Автор: Волькенштейн В.С.
Теги: общее школьное образование общеобразовательная школа физика задачи по физике
ISBN: 5-86457-033-8
Год: 1997
Текст
В. С. ВОЛЬКЕНШТЕЙН
СБОРНИК ЗАДАЧ
ПО ОБЩЕМУ КУРСУ
ФИЗИКИ
Для студентов технических вузов
Издание дополненное и переработанное
Са икг-Пете рбург
«Специальная Литература»
1997
УДК 373 372.8
В подготовке данного издания приняли участие Ю. Е. Чариков и М. Л. Погарский
Волькенштейн В. С.
С 23 Сборник задач по общему курсу физики. Изд. дополи, и псрс-
работ.— СПб: «Специальная Литература», 1997.—328 с.
ISBN 5-86457-033-8
Настоящее издание представляет собой переработанный вариант кни-
ги «Сборник задач по общему курсу физики» того же автора. Значительная
часть задач заменена на новые в соответствии с современными требова-
ниями вузов с обычной программой по физике.
Сборник задач может частично использоваться учащимися старших
классов, техникумов и ПТУ, а также преподавателями указанных учебных
заведений при подготовке к занятиям.
Книга издана при содействии фонда поддержки науки и образования
«Университетская книга»
ISBN 5-86457-033-8
© Волькенштейн В. С., 1997
© «Специальная Литература». 1997
© Волошкин О. П., оформление
обложки, 1997
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие.................................................... 6
ГЛАВА I
Физические основы механики
§ 1. Кинематика................................................ 7
§ 2. Динамика материальной точки и поступательного движения твер-
дого тела....................................................
§ 3. Вращательное движение твердых тел........................ 34
§ 4. Механика жидкостей и газов............................... 42
Ответы и решения............................................. 213
ГЛАВА II
Молекулярная физика и термодинамика
§ 5. Молекулярно-кинетическая теория.......................... 47
§ 6. Реальные газы............................................ 73
§ 7. Насыщенные пары и жидкости.............................. 76
§ 8. Твердые тела............................................. 87
Ответы и решения............................................. 227
ГЛАВА 111
Электричество и магнетизм
§ 9. Электростатика.......................................... 100
§ 10. Электрический ток...................................... 118
§11. Электромагнетизм....................................... 135
Ответы и решения............................................. 262
ГЛАВА IV
Колебания и волны
§ 12. Гармоническое колебательное движение и волны........... 156
§ 13. Акустика............................................... 166
§ 14. Электромагнитные колебания и волны..................... 170
Ответы и решения............................................. 281
1*
4
ГЛАВА V
Оптика
§15. Геометрическая оптика и фотометрия.......................... 175
§ 16. Волновая оптика............................................. 184
§ 17. Элементы теории относительности............................. 193
§ 18. Тепловое излучение.......................................... 195
Ответы и решения............................................. 290
ГЛАВА VI
Физика атома и атомного ядра
§ 19. Квантовая природа света и волновые свойства частиц....... 199
§ 20. Атом Бора. Рентгеновские лучи............................ 201
§ 21. Радиоактивность.......................................... 209
§22. Ядерные реакции..................................'....... 213
§ 23. Элементарные частицы. Ускорители частиц.................. 218
Ответы и решения............................................... 297
Приложения
I. Основные единицы системы СИ........................... 308
II. Единицы механических величин.......................... 309
III. Единицы тепловых величин............................. 311
IV. Единицы электрических и магнитных величин............. 312
V. Единицы акустических величин......................... 314
VI. Единицы световых величин............................. 315
VII. Единицы радиоактивности и ионизирующих излучений.... 315
VIII. Связь между рационализованными и нерационализованными
уравнениями электромагнитного поля.......................... 316
IX. График зависимости индукции В от напряженности Н магнит-
ного поля для некоторого сорта железа..................... 319
X. Фундаментальные физические константы.................. 319
XI. Некоторые данные о планетах Солнечной системы......... 320
XII. Астрономические постоянные............................ 320
XIII. Диаметры атомов и молекул........................... 321
XIV. Критические значения Тк и рк.......................... 321
XV. Давление водяного пара, насыщающего пространство при раз-
ных температурах........................................... 321
XVI. Удельная теплота парообразования воды при разных темпера-
турах ...................................................... 321
XVII. Свойства некоторых жидкостей.......................... 322
XVIII. Свойства некоторых твердых тел........................ 322
XIX. Свойства упругости некоторых твердых тел.............. 323
5
XX. Теплопроводность твердых тел............................ 323
XXI. Диэлектрическая проницаемость диэлектриков............. 323
XXII. Удельное сопротивление проводников..................... 323
XXIII. Подвижности ионов в электролитах......................... 324
XXIV. Работа выхода электронов из металла...................... 324
XXV. Показатели преломления некоторых веществ............... 324
XXVI. Длина волны, определяющая границу К-серии рентгеновских
лучей для различных материалов антикатода..................... 324
XXVII. Спектральные линии ртутной дуги......................... 325
XXVIII. Массы некоторых изотопов............................... 325
XXIX. Периоды полураспада некоторых радиоактивных элементов ... 325
XXX. Названия, символы и атомные массы химических элементов... 326
ПРЕДИСЛОВИЕ
Первое издание задачника вышло в свет в 1958 году. Все после-
дующие издания печатались без существенных изменений. В на-
стоящее время уровень подготовки по физике в средних школах
намного вырос по сравнению с предыдущими десятилетиями, и
потому многие задачи сборника решаются без труда учащимися
старших классов и не представляют в дальнейшем интереса для
студентов. В настоящее издание включено большое число новых
задач, которые делают задачник более многогранным — в нем
присутствует по-прежнему достаточное число простых задач, но
имеются и более сложные, разного уровня трудности. Такие зада-
чи в тексте отмечены*. В предыдущих изданиях также приводи-
лось излишне подробное рассмотрение решений многих задач, не
стимулирующее самостоятельную работу студента. В настоящем
издании подобное объяснение сокращено.
Таблицы единиц измерения физических величин и другой спра-
вочный материал содержится в «Приложениях» в конце книги.
Главы I — XI редактировались Ю.Е. Чариковым, а XIII—XXII
М. А. Погарским. Глава XII рассмотрена совместно. Общая ре-
дакция проведена Ю.Е.Чариковым.
Большинство из включенных вновь задач предлагалось сту-
дентам Государственного Технического Университета г. Санкт-
Петербурга и школьникам старших классов базовых школ.
Ю. Е. Чариков, М. А. Погарский
Глава I
ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕХАНИКИ
§ 1. Кинематика
Скорость и ускорение материальной точки
где 1--радиус-вектор точки.
Перемещение точки за время At = tj — to
Af = f (ti) — f (to) = У v(t)dt, (1)
to
а соответствующее изменение скорости
ti
Av = v (tj) — v (to) = fd(t)dt. (2)
to
Для равномерного движения v = const и d = 0 из (1) получим
Ar = vAt, Ai7 = 0.
В случае прямолинейного движения
| Аг | = S = v At,
где S — путь, пройденный точкой за время At.
В случае равнопеременного движения а = const, а (2) принимает вид
Av = v (ti) — v (to) = a At,
Ar = f (tj) - r (to) = vo At + ° (A*}
При криволинейном движении ускорение точки удобно разложить на две
составляющие: тангенциальную (касательную) и нормальную (центростреми-
тельную)
О — От Лп,
8
ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕХАНИКИ
[Гл. I
где
< ат =
dt
— тангенциальное ускорение (направлено по касательной к траектории) и
— нормальное ускорение (направлено вдоль главной нормали), Н — радиус со
прикасающейся окружности (радиус кривизны траектории в данной точке).
Полное ускорение по модулю равно
Угловая скорость вращения тела определяется как
где — вектор утла поворота тела, направлен вдоль оси вращения по правилу
правого винта.
Для равномерного вращения тела вокруг оси
dip
ш = -Л- = const.
dt
В этом случае угол поворота и угловая скорость
р — u>t.
,, _ £ _ 2тг _ ~ ,
ш — гр, —
где Т — период вращения, п — частота вращения, т. е. число оборотов в единицу
времени.
Угловая скорость связана с линейной скоростью
v = u>R.
1.1. * Вектор v изменил направление на обратное. Найти при-
ращение Др, | Др | и Ар.
1.2. * Начальное значение радиус-вектора равно fi = 4г—3j+12k,
конечное — г2 = — г — 2j + 2k. Найти: а) приращение радиус-векто-
ра Аг; б) модуль приращения |Аг|; в) приращение модуля А|г|.
1.З. * Исходя из определения среднего значения функции, до-
казать, что
а) среднее за время т значение скорости точки (р) равно
приращению перемещения точки Аг за это время, деленному
на т;
б) среднее за время т значение ускорения точки (гр) равно
приращению скорости Ар за это время, деленному на т.
§1)
КИНЕМАТИКА
9
1.4. * Радиус-вектор точки изменяется со временем по закону:
r = 2t?i + tj + k. Найти скорость v и ускорение w точки, модуль
скорости v в момент t = 2 с, приближенное значение пути S,
пройденного точкой за 10-ю секунду движения.
1.5. * Точка движется со скоростью v = at (2г + 3j + 4fc),
а = 1м/с2. Найти:
а) модуль скорости точки в момент времени t = 1 с;
б) ускорение точки w и его модуль |гН|;
в) путь S, пройденный точкой с момента времени t\ = 2 с до
момента = 3 с;
г) какой характер имеет движение точки?
1.6. * Зависимость координат частицы от времени имеет вид
х — a cosut, у = a sinwt, z — 0;
а) определить радиус-вектор частицы г, скорость v, ускорение
w и их модули;
б) вычислить скалярное произведение г v. Что означает по-
лученный результат?
в) найти уравнение траектории частицы;
г) вычислить скалярное произведение г w. Что означает по-
лученный результат?
д) в каком направлении движется по траектории частица?
е) каков характер движения частицы вдоль траектории?
ж) как изменится движение частицы, если в выражении для у
изменить знак на обратный?
1.7. * Небольшое тело брошено под углом а к горизонту с
начальной скоростью vq- Пренебрегая сопротивлением воздуха,
найти:
а) дальность полета L;
б) наибольшую высоту подъема Н;
в) время подъема до максимальной точки и время полета г;
г) уравнение траектории тела.
1.8. Пароход идет по реке от А до В со скоростью гц = 10 км/ч
относительно берега, а обратно — со скоростью г>2 = 16 км/ч. Най-
ти среднюю скорость (v) парохода и скорость течения реки.
1.9. Найти скорость v относительно берега лодки, идущей по
течению, против течения и под углом а = 90° к направлению
течения. Скорость течения реки и — 1м/с, скорость лодки отно-
сительно воды vq = 2 м/с.
1.10. Лодка движется перпендикулярно к берегу со скоростью
v = 7,2км/ч. Течение относит ее вниз на расстояние I = 150м.
Найти скорость и течения реки и время t, затраченное на пере-
праву. Ширина реки L = 0,5 км.
1.11. * Лодка пересекает реку с постоянной относительно воды,
перпендикулярной, к берегам скоростью v = 0,3 м/с. Ширина реки
10
ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕХАНИКИ
(Гл. I
равна L = 63 м. Скорость течения изменяется по параболическому
закону
u = u0-4^(z-|)2,
где х — расстояние от берега, ио — константа, равная 5 м/с. Найти
снос лодки S вниз по течению от пункта отправления до места
причала на противоположном берегу реки.
1.12. * Спортсмены бегут колонной длины I со скоростью v.
Навстречу бежит тренер со скоростью и < v. Каждый спортсмен,
поравнявшись с тренером, разворачивается и начинает бежать
назад с той же по модулю скоростью v. Какова будет длина
колонны, когда все спортсмены
развернутся?
1.13.* Два стержня пересека-
ются под углом а и движутся с
равными скоростями v перпенди-
кулярно самим себе (рис. 1). Ка-
кова скорость точки пересечения
стержней?
1.14. * Автомобиль удаляется
ны, двигаясь под углом а к
расстояние до стены равно I,
со скоростью v от длинной сте-
ней (рис. 2). В момент, когда
шофер подает короткий звуко-
вой сигнал. Какое расстояние пройдет автомобиль до момента,
когда шофер услышит эхо? Скорость . звука в
воздухе равна с.
1.15. * Сверхзвуковой самолет летит горизон-
тально. Два микрофона, находящиеся на одной
вертикали на расстоянии I друг от друга, за-
регистрировали приход звука от самолета с за-
паздыванием времени At. Скорость звука в
воздухе с. Какова скорость самолета?
Ук а з а н и е. Звуковые волны распространяются вну-
три конуса, в вершине которого находится самолет, а угол
при вершине определяется как
Рис. 2
а = 2 arcsin .
1.16. С аэростата, находящегося на высоте h = 300 м, упал
камень. Через какое время t камень достигнет земли, если:
а) аэростат поднимается со скоростью v = 5 м/с; б) аэростат опус-
кается со скоростью v = 5 м/с; в) аэростат неподвижен.
1.17. Тело падает с высоты h= 19,6 м без начальной скорости.
Какой путь пройдет тело за n-ую секунду своего падения, за
последнюю секунду? За какое время тело пройдет n-ый метр
своего пути, последний метр?
1.18. Мяч, брошенный горизонтально, ударяется о стенку, на-
ходящуюся на расстоянии I = 5 м от места бросания. Высота
§11
КИНЕМАТИКА
11
места удара о стенку на А 5 = 4,9 м меньше высоты h, с которой
брошен мяч. С какой скоростью vx брошен мяч? Под каким
углом а мяч подлетает к поверхности стенки?
1.19. Камень брошен горизонтально со скоростью vx = 15 м/с.
Найти нормальное ап и тангенциальное ат ускорения камня через
время t = 1 с после начала движения.
1.20. Камень брошен горизонтально со скоростью vx = 10 м/с.
Найти радиус кривизны R траектории камня через время t = 3 с
после начала движения.
1.21. Мяч брошен со скоростью vq = 10 м/с под углом а = 45°
к горизонту. Найти радиус кривизны R траектории мяча через
1с после начала движения.
1.22. Мяч брошен со скоростью ио под углом а к горизонту.
Найти ио и а, если максимальная высота подъема мяча h = 3 м,
а радиус кривизны траектории мяча в этой точке R = 3 м.
1.23. * Мяч, брошенный со скоростью vq = 10 м/с под углом
а = 45° к горизонту, упруго ударяется о стенку, находящуюся на
расстоянии I = 3 м от места бросания. Определить координаты
точки приземления и отскока, а также скорость v мяча в момент
удара.
1.24. * На вершине склона горы на расстоянии L (вдоль го-
ризонта) от подножия установлена цель. С какой скоростью vo
необходимо произвести выстрел из пушки, чтобы попасть в цель.
Угол наклона горы а, угол стрельбы по отношению к горизонту (3.
1.25. * На высоте h горизонтально с постоянной скоростью ле-
тит самолет. С земли производится выстрел из орудия, причем
скорость снаряда v в момент выстрела направлена на самолет
под углом а к горизонту. С какой скоростью и летел самолет,
если снаряд поразил цель?
1.26. * Теннисист направляет мяч под углом к горизонту а со
скоростью vo навстречу движущейся довольно высокой стенке.
Скорость стенки и. Считая удар мяча о стенку абсолютно упру-
гим, определить время движения стенки до соударения с мячом,
если мяч после отскока упал в точку бросания. Считать, что
удар мяча происходит практически с поверхности земли.
1.27. * Из одной точки в один и тот же момент времени под
углом а к горизонту бросают два камня со скоростями Vi и V2-
Какое расстояние будет между камнями в тот момент, когда
первый из них достигнет наивысшей точки подъема?
1.28. * На перроне стоит человек. Мимо него движется поезд.
Первый вагон проехал за время 1с, второй — за время 3/2с. Дли-
на вагона I = 12 м. Найти ускорение а поезда и его скорость vo в
начале наблюдения. Движение поезда считать равнопеременным.
1.29. * Частица, покинув источник, пролетает с постоянной ско-
ростью расстояние L, а затем тормозится с ускорением а. При
какой скорости частицы время движения от ее вылета до оста-
новки будет наименьшим?
12
ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕХАНИКИ
[Гл. I
продолжает двигаться дальше.
Рис. 3
1.34.* Упругое тело падает с
кость. Определить, через какое
упадет на наклонную плоскость
1.30. * Тело начинает движение из точки А и движется сначала
равноускоренно в течение времени to, затем с тем же по модулю
ускорением — равнозамедленно. Через какое время от начала
движения тело вернется в точку А?
1.31. * Тяжелая горизонтальная плита движется вверх с посто-
янной скоростью и. Легкий шарик начинает свободно падать
и, пролетев расстояние h, сталкивается упруго с плитой. Опре-
делить время между двумя последовательными ударами шарика
о плиту.
1.32. * Шарик, пущенный вверх по наклонной плоскости, про-
ходит последовательно два равных отрезка длинной I каждый и
ервый отрезок шарик прошел за
время t, второй за 3t. Найти
скорость шарика в конце пер-
вого отрезка пути.
1.33. * По наклонной доске
пустили катиться снизу вверх
маленький шарик. На рассто-
янии I = 30 см шарик побывал
дважды: через tj = 1с и че-
рез <2 = 2с после начала дви-
жения. Определить начальную
скорость шарика «о и ускоре-
ние а, считая движение равно-
переменным.
высоты h на наклонную плос-
время t после отражения тело
вторично. Как время падения
зависит от угла наклонной плоскости и почему?
1.35. * Небольшой шарик скользит со скоростью ц0 = 10м/с
по горизонтальной поверхности стола, приближаясь к его краю
(рис. 3). Боковая поверхность стола и стена образуют щель
шириной d — 5 см. Высота стола h = 1м. Сколько раз ударится
шарик о боковые поверхности, прежде чем достигнет пола? Удары
считать абсолютно упругими.
1.36. * На клине с углом наклона а лежит монета. С каким
наименьшим ускорением должен двигаться клин по горизонталь-
ной поверхности, чтобы монета свободно падала вниз?
1.37. * На расстоянии L от стены высоты h мальчик бросает
мяч. Какова должна быть минимальная скорость мяча, чтобы он
перелетел через стену? Под каким углом выгоднее всего бросать
мяч?
1.38' .* Сферический резервуар, стоящий на земле, имеет ра-
диус R. При какой наименьшей скорости брошенный с земли
камень может перелететь через резервуар, лишь коснувшись его
вершины?
§1)
КИНЕМАТИКА
13
1.39. * Под каким наименьшим углом к горизонту следует бро-
сать мяч, чтобы он пролетел сквозь баскетбольное кольцо сверху,
не ударившись о него? Радиус мяча г, радиус кольца R = 2г,
высота его над полом Н — Зм. Баскетболист бросает мяч с вы-
соты h = 2 м, находясь по горизонтали от
кольца на расстоянии I = 5 м.
1.40. * Из одной точки с горизонталь-
ной поверхности одновременно брошены
два мяча с одинаковой по модулю ско- щ .
ростью г>о, но под разными углами а; и ’х vo
а2 (рис. 4). Чему равна скорость мячей \
относительно друг друга? Как меняет- И2 /\
ся расстояние между мячами со време-
нем? Считать, что мячи движутся посту- '//////////////////
пательно. Рис
1.41. Найти радиус R вращающегося
колеса, если известно, что линейная скорость гд точки, лежащей
на ободе, в 2,5 раза больше линейной скорости v2 точки,-лежащей
на расстоянии г = 5 см ближе к оси колеса.
1.42. Колесо, вращаясь равноускоренно, достигло угловой ско-
рости ш = 20рад/с через п = 10 оборотов после начала вращения.
Найти угловое ускорение е колеса.
1.43. Вал вращается с частотой п = 180 об/мин. С некото-
рого момента вал начал вращаться равнозамедленно с угловым
ускорением е = Зрад/с2. Через какое время t вал остановится?
Найти число оборотов вала п до остановки.
1.44. Точка движется по окружности радиуса R = 20 см с по-
стоянным тангенциальным ускорением ат = 5см/с2. Через какое
время t после начала движения нормальное ускорение ап точки
будет: а) равно тангенциальному, б) вдвое больше тангенциаль-
ного?
1.45. В модели атома Бора электрон в атоме водорода движет-
ся по круговой орбите с линейной скоростью v. Найти угловую
скорость w вращения электрона вокруг ядра и его нормальное
ускорение ап. Считать радиус орбиты г = О,5 1О-1ом и линейную
скорость на этой орбите v = 2,2- 106м/с.
1.46. Колесо радиусом R = 10 см вращается с угловым уско-
рением £ = 3,14рад/с2. Найти для точек обода колеса к концу
первой секунды: а) угловую скорость w, б) линейную скорость v,
в) тангенциальное ат и нормальное ап ускорение, г) полное уско-
рение, д) угол, составляемый вектором полного ускорения с ра-
диусом колеса, проведенным через соответствующую точку обода.
1.47. Точка движется по окружности радиусом R = 2 см. За-
висимость пути от времени дается уравнением s = ct3, где
с = 0,1см/с3. Найти нормальное ап и тангенциальное ат ускоре-
ние точки в момент, когда линейная скорость точки v = 0,3 м/с.
14
ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕХАНИКИ
(Гл. I
1.48. Колесо радиусом R — 10 см вращается так, что зависи-
мость угла поворота радиуса колеса от времени дается уравне-
нием = а + bt2 + ci3, где а, b и с—константы, b = 2рад/с*',
с — 1рйд/с3. Для точек, лежащих на ободе колеса, найти через
время t = 2 с после начала движения: а) угловую ш и линей-
ную п скорости, б) нормальное ап и тангенциальное ат ускорения,
в) угловое ускорение е.
1.49. * Обод катится без скольжения со скоростью v (рис. 5).
Найти скорости точек А, В, С. Выразить их через орты коорди-
натных осей.
1.50. * Цилиндр катится без скольжения по горизонтальной
плоскости. Радиус цилиндра г. Найти радиусы кривизны траек-
тории точек А и В (рис. 5).
Рис. 5
Рис. 6
1.51. * Тело участвует в двух вращениях, происходящих со ско-
ростями wj = at2i и W2 = at2j, а = 1рад/с2. На какой угол <р
повернется тело за первые 3 с? Вокруг какой оси произойдет этот
поворот?
1.52. * По плоскости без проскальзывания катится конус. Ось
конуса вращается со скоростью ш вокруг вертикали, проходящей
через его вершину. Высота конуса h, угол между образующей и
осью конуса а. Чему равна угловая скорость вращения конуса
вокруг своей оси? Определить линейную скорость произвольной
точки, находящейся на диаметре основания конуса.
1.53. * На платформах, расположенных рядом и вращающихся
в противоположных направлениях (рис. 6), находятся наблюда-
тели Ai и Аъ, занимающие в данный момент времени положе-
ния, показанные на рисунке. O1O2 = 5 м, OjAi = О2А2 — 2 м,
сд = = 1рад/с. С какой скоростью наблюдатель Л2 движется
в данный момент относительно наблюдателя Ai?
1.54. * Четыре черепахи находятся в вершинах квадрата со
стороной а. Они начинают двигаться одновременно с постоянной
скоростью v. Каждая черепаха движется по направлению к своей
соседке по часовой стрелке. Где встретятся черепахи и через
какое время?
§2]
ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
15
§ 2. Динамика материальной точки и поступательного
движения твердого тела
Основной закон динамики (второй закон Ньютона) материальной точки вы-
ражается в виде
где F— результирующая сила, действующая на материальную точку массы т,
р = mv — импульс материальной точки, v— ее скорость.
Изменение импульса Др материальной точки за конечный промежуток вре-
мени At = t2 — ti есть
<2
Др = f F dt.
ti
Закон изменения импульса механической системы тел
dp_________________________________ р
"dt — рвнешн 5
_ п _ п
где FBaeiaa = 22 ^внеши — главный вектор внешних сил, Р = 22 Pi— импульс
1=1 1=1
механической системы п тел.
Основной закон динамики поступательного движения твердого тела
d(mv) -
—— — ^внешн .
Если масса тела т = const, то
я _ dv _ 1 ff
dt ~ т ^внешн •
Центр масс системы материальных точек определяется следующим образом:
п
i=l
п
где М = 22 mi — масса всей системы, т,—масса г-ой материальной точки,
t=l
f{—ее радиус-вектор. *
В случае непрерывного распределения массы (твердое тело, например) фор-
мула принимает вид 9
Скорость центра масс системы
- dfc 1 d V' - 1 V" dfi 1
i=l 1=1 i=l
16
ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕХАНИКИ
[Гл. I
Закон движения центра масс
(Л/«с) -= ^виеши
Закон сохранения импульса замкнутой системы тел (А>иеши = 0) = 0, т. е.
р = const — импульс замкнутой системы тел (точек).
Уравнение движения тела с переменной массой (уравнение Мещерского)
dv _ гр । ~ dm
лг "dt — гвнеши * >
где й = Fp — реактивная сила, и—относительная скорость потери (увели-
чения массы тела).
Второй закон Ньютона для вращательного движения материальной точки
Fn = = mw2R,
it
где v — линейная скорость, ш— угловая скорость, R— радиус кривизны траек-
тории в данной точке.
Основное уравнение динамики относительного движения материальной точ-
ки
mdr = F — тае — та^ ,
где аг—относительное ускорение точки, ае — переносное ускорение точки,
aic — кориолисово ускорение точки; ад. = 2[П х tlr], ae = i?o+[Oxf^ +
+ [П х [fi х f]], vo — скорость неинерциальной системы отсчета (СО) относи-
тельно инерциальной, П — угловая скорость вращения неинерциалыюй СО от-
носительно инерциальной, vr — относительная скорость точки (скорость в не-
инерциальной СО).
Сила гравитационного притяжения двух материальных точек
F = —G f,
гл
где G = 6,672-10“11 Н м2/кг2 — гравитационная постоянная, mi и тг — массы
взаимодействующих точек, г — радиус-вектор, проведенный из центра масс си-
стемы к материальной точке.
Потенциальная энергия гравитационного взаимодействия
W = Gmi™2
г
Третий закон Кеплера
(йЛМ-
Ti, Т? — периоды вращения планет, R\, R?—большие полуоси их орбит.
2.1. Тело массой m = 0,5кг движется прямолинейно, причем
координата тела X изменяется от времени как X = a—bt+ct2 — dt3,
где с — 5 м/с2 и d— 1м/с3. Найти силу F, действующую на тело
в конце первой секунды движения.
§21
ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
17
2.2. Тело массой т = 1 кг движется так, что пройденное рас-
стояние S от времени дается уравнением S — a sinwt, где а = 5 см,
д — тград/с. Найти ускорение, силу и импульс тела через 1/6с
после начала движения.
2.3/ Тело массой т = 1 кг движется так, что его координаты
х и у изменяются от времени следующим образом: х = a—bt+ct?,
у = dt3, где с - 1м/с2, d = 2 м/с3. Определить ускорение тела и
действующую на тело силу к концу 5-й секунды.
2.4.* На горизонтальном столе ле-
жат два тела массы М = 1кг каж-
дое, связанные невесомой нерастяжи-
мой нитью (рис. 7). Тело 2 связано
такой же нитью с грузом т = 0,5 кг.
Блок невесомый, трением в блоке
можно пренебречь. Коэффициент тре-
ния первого тела со столом ki — 0,1,
второго—^2 = 0,15. Найти:
а) ускорение движения тел;
б) натяжение нитей;
в) силу давления на ось блока.
2.5.* На наклонной плоскости с углом к горизонту а = 30°
движется тело массой т = 1кг, связанное невесомой нитью с
телом 1 такой же массы (рис. 8). Найти ускорение этих тел и
силу натяжения нити. Трением в блоке пренебречь, также как и
трением между телом 2 и наклонной плоскостью.
Рис. 9
Рис. 8
2.6. * Решить предыдущую задачу при условии, что коэффици-
ент трения тела 2 о наклонную плоскость к -- 0,1.
2.7. * Найти ускорения грузов в системе, изображенной на
рис. 9. Mi - 1кг, М2 = 5 кг, Мз — 2 кг. Коэффициент тре-
ния между грузами 1 и 2 к = 0,2. Трением между грузом 2
и наклонной плоскостью пренебречь. Угол а = 30°. Будет ли
проскальзывание между грузами 1 и 2?
2.8. * На наклонной плоскости с коэффициентом трения к ле-
жит тело массой М. Нарисовать график зависимости силы тре-
ния, действующей на тело, в зависимости от угла наклона а
наклонной плоскости.! и ...... - и я
18
ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕХАНИКИ
[Гл. I
7777777777777777/77/.
Рис. 10
2.9. * Найти ускорение куба (рис. 10).
Масса клина М, масса куба — т. Угол
клина а. Трение отсутствует.
2.10. * На столе стоит клин массой
М с углом а при основании. По клину
едет кубик массой т. Найти ускорение
клина. Трение отсутствует.
2.11. * На столе стоит клин массой
М с углом а при основании. По клину
без трения едет кубик массой т. Ка-
кой минимальный коэффициент трения
должен быть между столом и клином,
чтобы клин покоился?
2.12.* Определить ускорение
также силу натяжения нитей в
т1 — т2 + гпз. Массой блока и
ствует.
грузов массы mi, m2 и m3, а
системе блоков на рис. 11, если
нитей пренебречь. Трение отсут-
Рис. 11
2.13. * Система блоков с грузами состоит из двух неподвижных
блоков и одного подвижного (рис. 12). Через блоки перекинута
нерастяжимая нить, на концах которой подвешены грузы с масса-
ми mi и m3, а к оси подвижного блока подвешен груз массы m2.
Определить ускорение каждого из грузов, если массой блоков и
нити, а также трением можно пренебречь.
2.14. * Определить ускорение грузов в системе блоков, изобра-
женной на рис. 13. Массой блоков, нитей и трением можно
пренебречь. В какие стороны вращаются блоки?
2.15. * Невесомая нерастяжимая нить, перекинутая через непо-
движный блок, пропущена через щель (рис. 14). При движении
нити на нее со стороны щели действует постоянная сила трения /.
ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
19
У//////////'
На концах нити подвешены грузы пц и Определить ускорение
грузов.
2.16. * Обезьяна массы т уравновешена противовесом на бло-
ке А. Блок А уравновешен грузом массы 2m на блоке В. Систе-
ма неподвижна. Как будет двигаться груз, если обезьяна начнет
равномерно выбирать веревку со скоростью и относительно себя.
Массой блоков и трением пренебречь.
2.17. * Камень, пущен-
ный по поверхности льда .
< о скоростью v = 3 м/с, у'
прошел до остановки рас- / У'
। тояние з = 20,4 м. Най- / /s'
ги коэффициент трения к / /у^
камня о лед. /___________________
2.18. * Вдоль наклон-
ной плоскости с углом а Рис. 15
бросили тело со скоро-
стью v. Поднявшись на максимальную высоту, тело начинает
возвращаться к начальному положению. Коэффициент трения
тела о плоскость к. Определить скорость тела после возвраще-
ния в исходное состояние, а также интервал времени At между
началом движения и концом.
2.19. * По наклонной плоскости с углом наклона а начина-
ет двигаться монета с начальной горизонтальной скоростью v
(рис. 15). Определить установившуюся скорость монеты, если
коэффициент трения fc = tga.
20
ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕХАНИКИ
[Гл. I
2.20. Человек массой т = 60кг, бегущий со скоростью v =
= 8 км/ч, догоняет тележку массой М = 80 кг, движущуюся со
скоростью и = 2,9 км/ч, и вскакивает на нее. С какой скоростью
будет двигаться тележка? С какой скоростью будет двигаться
тележка, если человек бежал ей навстречу?
2.21. Снаряд массой т = 100кг, летящий горизонтально со
скоростью г> = 500 м/с, попадает в вагон с песком, масса которого
М = 10 т, и застревает в нем. Какова скорость движения ваго-
на после попадания снаряда, если: а) вагон стоял неподвижно;
б) вагон двигался со скоростью и = 36 км/ч в том же направле-
нии, что и снаряд; в) вагон двигался с и = 36 км/ч в направлении,
противоположном движению снаряда?
2.22. Граната, летящая со скоростью v = 10м/с, разорвалась
на два осколка. Больший осколок, масса которого составляла 0,6
массы всей гранаты, продолжал двигаться в том же направлении,
но с увеличенной скоростью и = 25 м/с. Найти скорость меньшего
осколка.
2.23. Тело массой т = 1кг, движущееся горизонтально со ско-
ростью v = 1м/с, догоняет второе тело массой М = 0,5 кг и не-
упруго сталкивается с ним. Какую скорость получат тела, если:
а) второе тело стояло неподвижно; б) второе тело двигалось со
скоростью « = 0,5 м/с в том же направлении, что и первое тело;
в) второе тело двигалось со скоростью « = 0,5 м/с в направлении,
противоположном направлению движения первого тела.
2.24. * На покоящееся тело массы т налетает со скоростью
v тело массы М. Сила, возникающая при взаимодействии тел,
линейно растет во времени до значения Fq за время to, а затем
равномерно убывает до нуля за такое же время to. Определить
скорость тел после взаимодействия, считая, что все движения
происходят по одной прямой.
2.25. * При /3-распаде покоящегося первоначально нейтрона
образуется протон, электрон и нейтрино. Импульсы протона
и электрона pi и р2, угол между ними а. Определить импульс
нейтрино.
2.26. * Радиоактивное ядро распалось на три осколка массы
mi, т2 и тз, имеющих скорости Vi, v2 и и3 соответственно.
Какова была скорость ядра до распада?
2.27. * Однородная цепочка одним концом подвешена на нити
так, что другим она касается поверхности стола. Нить пережига-
ют. Определить зависимость силы давления цепочки на стол от
длины еще не упавшей ее части. Удар звеньев о стол неупругий,
масса цепочки т, ее длина I.
2.28. * С какой силой давит на землю кобра, когда она, го-
товясь к прыжку, поднимается вверх с постоянной скоростью v.
Масса змеи т, ее длина I.
2.29. * Лягушка массы т сидит на конце доски массы М и
длины L. Доска плавает по поверхности пруда. Лягушка прыгает
ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
21
под углом а к горизонту вдоль доски. Какой должна быть
начальная скорость лягушки, чтобы она оказалась после прыжка
на противоположном конце доски?
2.30. * Решить предыдущую задачу, если доска и лягушка сно-
сятся течением со скоростью и и лягушка прыгает по направле-
нию против течения.
2.31. * Решить задачу 2.29, если доска испытывает при своем
движении постоянную силу сопротивления F воды.
2.32. Мяч, летящий со скоростью ио — 15 м/с, отбрасывается
ракеткой в противоположную сторону со скоростью гд = 20 м/с.
Найти изменение импульса, если изменение кинетической энергии
bW = 8,75Дж. _
2.33. * Сила F = l,5j/г*-Ь 3xc2j — 0,2 (я2 + у2)к действует на мате-
риальную точку массой тп = 1 кг. При t = 0 положение частицы
описывается радиус-вектором Fq = 2г + 3j, и она движется со
скоростью Яо = 2 j + к.
Найдите для t = 0:
а) силу, действующую на частицу,
б) ускорение частицы;
в) ее кинетическую энергию.
2.34. * Потенциальная энергия частицы имеет вид; a) U = а/г,
г- 2
б) U = —, где г — модуль радиус-вектора частицы; а и к—
константы. Найти силу F, действующую на частицу, работу,
совершаемую этой силой над частицами при ее переходе из точки
< координатами (1,2,3) в точку (2,3,4).
2.35. * Потенциальная энергия частицы, находящейся в цент-
рально-симметричном силовом поле, имеет вид
U = Д — 4 , где а и в—константы.
гл тг
Найти силу, действующую на частицу. Имеется ли у этой ча-
стицы положение устойчивого равновесия? Нарисовать кривую
(ависимости U от г и F от г. Будет ли движение частицы
финитным, если ее полная энергия Е-— 10-1ОДж?
2.36. * Частица массы тп находится в силовом поле вида
F = ~^ег, а > 0 — константа, г—модуль, а ег —орт радиус-век-
тора частицы. Частицу поместили в точку с радиус-вектором г о
и сообщили ей начальную скорость vq , перпендикулярную к fb •
Но какой траектории будет двигаться частица?
2.37. * При каком условии траекторией частицы из предыдущей
i.i дач и будет окружность?
2.38. Вагон массой m = 20 т, двигаясь равнозамедленно с на-
чальной скоростью i?o = 54 км/ч, под действием силы трения
/*' = 6 кН через некоторое время останавливается. Найти работу
силы трения и расстояние, которое вагон пройдет до остановки.
22
ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕХАНИКИ
[Гл. I
2.39. * Решить предыдущую задачу, полагая, что тормозящая
сила изменяется с расстоянием по закону F = —ах, а = 100 Н/м.
2.40. Камень массой т = 1кг брошен вертикально вверх с
начальной скоростью vq = 9,8 м/с. Построить график зависимости
от времени кинетической Wk, потенциальной Wn и полной W
энергий камня для интервала времени 0 t 2 с.
2.41. В условиях предыдущей задачи построить график зави-
симости от расстояния кинетической PKjt, потенциальной Wn и
полной W энергий камня.
2.42. Камень брошен со скоростью vq = 15 м/с под углом
а = 60° к горизонту. Найти кинетическую Wk, потенциальную Wn
и полную энергии камня: а) через время t = 1 с после начала дви-
жения; б) в высшей точке траектории. Масса камня т = 0,2 кг.
2.43. * На столе лежат карманные часы с цепочкой. Какую
минимальную работу надо совершить, чтобы оторвать часы от
стола, поднимая их за цепочку? Цепочка имеет длину L и
массу т, масса часов М, диаметр часов d.
2.44. * Санки движутся по горизонтальному льду со скоростью
v = 6 м/с, а затем выезжают на дорожку с песком. Длина
полозьев санок I = 2 м, коэффициент трения санок о песок к — 1,0.
Какой путь пройдут санки до полной остановки?
2.45. * Санки начинают соскальзывать с вершины наклонной
ледяной горки с углом наклона а = 30° к горизонту. Длина
спуска L = 10 м, коэффициент трения к = 1,0. Какой путь
пройдут санки до полной остановки?
2.46. * Тело соскальзывает без начальной скорости с вершины
наклонной плоскости с углом наклона а к горизонту. Коэффици-
ент трения к между телом и наклонной плоскостью изменяется
с увеличением расстояния х от вершины наклонной плоскости по
закону к = ко • х. Тело останавливается, не дойдя до конца на-
клонной плоскости. Найти путь, пройденный телом до остановки.
2.47. * Тело массы т = 1 кг скользит без трения по гладкому
горизонтальному столу и въезжает на подвижную горку массы
М = 5 кг. Высота горки Н = 1,2 м. Трение между горкой и столом
отсутствует. Найти конечные скорости тела и горки. Начальная
скорость тела vq = 5 м/с.
2.48. * Лента горизонтального транспортера движется со ско-
ростью и = 0,5 м/с. На ленту, касаясь ее, влетает шайба с
начальной скоростью vq = 2,1м/с, перпендикулярной краю лен-
ты. Найти ширину ленты, при которой шайба остановится на ее
краю, если коэффициент трения между шайбой и лентой к = 0,75.
2.49. * Два одинаковых шарика налетают друг на друга со
скоростями vi и V2 под углом а и разлетаются после абсолютно
упругого удара со скоростями щ и й2- Найти угол /? разлета
частиц после соударения.
ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
23
2.50. * Определить скорости шаров после абсолютно упругого
центрального удара, если массы шаров mi и m2, а их скорости
,!,<> удара Vy я Vy. Указание: задачу решить в л-системе (лабораторной)
и ц-системе (система центра масс).
2.51. * В каких случаях ц-система инерциальная, а в каких
нет?
2.52. * Тяжелая частица массы ту сталкивается с покоящейся
югкой частицей массы m2- На какой наибольший угол может
отклониться тяжелая частица в результате упругого удара?
2.53. * Частица массы ту налетела со скоростью v на непо-
движную частицу массы т2, которая после упругого удара по-
потела под углом а к первоначальному направлению движения
налетающей частицы. Определить скорость частицы m2 после
удара.
2.54. * Атом массы т в возбужденном состоянии имеет вну-
греннюю энергию, большую, чем в основном состоянии, на Е.
При какой наименьшей энергии электрон с массой те может
возбудить первоначально покоившийся атом?
2.55. * Два тела массы ту и m2 подвешены на нитях одинако-
вой длины, имеющих общую точку крепления. Нити отклоняют в
разные стороны на один и тот же угол и после этого отпускают.
11ри ударе тела слипаются. Определить отношение высоты, на
которую тела поднимутся после слипания, к высоте, с которой
они начали свое движение вниз.
2.56. * Пуля, летящая горизонтально, попадает в шар, под-
вешенный на невесомом жестком стержне, и застревает в нем.
Масса пули в 1000 раз меньше массы шара. Расстояние от центра
шара до точки подвеса стержня I = 1 м. Найти скорость пули,
|'гли известно, что стержень отклонится после удара пули на
\ гол а = 10°.
2.57. * Нить длины I с шариком массы т на конце отклонили от
вертикали на 90° и отпустили. На каком наименьшем расстоянии
вид точкой подвеса нужно поставить гвоздь, чтобы нить, налетев
на него, порвалась? Нить выдерживает силу натяжения Т.
2.58. * Бассейн площадью S — 100 м2, заполненный водой до
\ ровня h = 1м, разделен пополам вертикальной перегородкой.
Перегородку медленно передвигают в горизонтальном направле-
нии так, что она делит бассейн в отношении 1 : 3. Какую для
и ого нужно совершить работу? Вода через перегородку не про-
никает и из бассейна не уходит. рв = 103кг/м3.
2.59. * Две частицы с массами т и 2т, имеющие импульсы р и
/7'2, движутся во взаимно перпендикулярных направлениях. По-
• ie соударения частицы обмениваются импульсами. Определить
in о ерю механической энергии при соударении.
24
ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕХАНИКИ
[Гл. I
2.60. Акробат прыгает на сетку с высоты h = 8 м. На какой
предельной высоте над полом надо натянуть сетку, чтобы акробат
не ударился о пол при прыжке? Известно, что сетка прогибается
на хо = 0,5 м, если акробат прыгает на нее с высоты hi = 0,5 м.
2.61. Груз массой т = 1кг падает на чашку весов с высоты
h = 10 см. Каковы показания весов F в момент удара, если после
успокоения качаний чашка опускается на хо = 0,5 см.
2.62. С какой скоростью двигался вагон массой т = 20т, если
при ударе о стенку каждый буфер сжался на хо = 10 см? Жест-
кость пружины каждого буфера к = 1МН/м.
2.63. К нижнему концу пружины жесткости ki присоединена
пружина жесткости к2, к концу которой подвешен груз. Прене-
брегая массой пружины, определить отношение их потенциальных
энергий.
2.64. На двух параллельных невесомых пружинах одинаковой
длины висит невесомый стержень длиной L — 10 см. Жесткость
пружины ку — 2Н/м и к2 — ЗН/м. В каком месте стержня надо
подвесить груз, чтобы стержень оставался горизонтальным?
2.65. Резиновый мяч массой т = 0,1кг летит горизонтально
и ударяется о неподвижную вертикальную стенку. За время
At = 0,01с мяч сжимается на AZ = 1,37 см, такое же время At
затрачивается на восстановление первоначальной формы мяча.
Найти среднюю силу, действующую на стенку во время удара.
2.66. Гиря массой т = 0,5 кг, привязанная к резиновому шнуру
длиной Iq, описывает в горизонтальной плоскости окружность,
частота вращения гири п = 2об/с. Угол отклонения резинового
шнура от вертикали а =-30°. Жесткость шнура к = 0,6кН/м.
Найти длину 10 нерастянутого резинового шнура.
2.^7. * Тело массы т падает с высоты Н на стоящую верти-
кально на полу пружину жесткости к и длины I. Определить
максимальную скорость тела, наибольшую силу давления на пол.
2.68. * По гладкому горизонтальному проволочному кольцу мо-
гут без трения скользить две бусинки массами mi и т2. Вначале
бусинки были соединены ниткой и между ними находилась сжатая
пружина. Нитку пережигают. После того как бусинки начали
движение, пружинку убирают. В каком месте кольца бусинки
столкнутся в 5-й раз? Столкновения бусинок абсолютно упругие.
Массой пружины можно пренебречь.
2.69. * В детском пистолете шарик кладут на пружинку, укре-
пленную внутри ствола. Пружинку сжимают на длину А/ = 5 см,
а потом отпускают, направив ствол вертикально вверх. Шарик
взлетает на высоту Н — 0,5 м. Какое максимальное ускорение
приобрел шарик? Шарик отрывается от пружины в тот момент,
когда она полностью распрямится. Трением, сопротивлением воз-
духа и массой пружины пренебречь.
I
ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
25
2.70. * Детский пружинный пи-
шлет выстреливает шариком со /
। коростью v (рис. 16). Если вы- у 0 0 0 0 0 0 0 \^*
। ц юлить шариком вдвое большей
массы, то скорость уменьшится до Рис. 16
ч./'2/3 V. Какова будет скорость
вылета шарика тройной массы? Указание: учесть массу пружины.
2.71. * На горизонтальной плоскости лежат два бруска массы
in । и m2, соединенных недеформированной пружиной. Опреде-
нггь, какую минимальную силу нужно приложить к первому
оруску, чтобы сдвинулся и второй, если коэффициент трения
орусков о пол к.
2.72. * На краю стола высоты h лежит маленький шарик мас-
' ы М. В него попадает пуля массы т, летящая горизонтально
< I > скоростью v, направленной в центр шарика. Пуля застревает
и шарике. На каком расстоянии от стола по горизонтали шарик
\ падет на землю?
2.73. * Тележка массы М вместе с человеком массы т дви-
нется со скоростью й. Человек начинает идти с постоянной
। коростью вдоль тележки в том же направлении. При какой ско-
рости человека относительно тележки она остановится? Трением
между колесами тележки и землей пренебречь.
2.74. * С какой по величине и направлению скоростью должен
прыгнуть человек массой т, стоящий на краю тележки массой
\[ и длиной I, чтобы попасть на другой ее конец к момен-
। v остановки тележки. Коэффициент трения тележки о землю
равен к.
2.75. * Мешок с песком сползает без начальной скорости с
высоты Н по гладкой доске, наклоненной под углом а = 60°
|. горизонту. После спуска мешок попадает на горизонтальный
пол. Коэффициент трения мешка о пол к = 0,7. Где остановится
мшнок?
2.76. * Мешок с песком сползает без начальной скорости с
высоты Н = 2 м по доске, наклоненной под углом а = 45° к го-
ризонту. После спуска мешок попадает на горизонтальный пол.
Коэффициент трения мешка о доску и пол одинаковы и равны
/. = 0,5. На каком расстоянии от конца доски остановится мешок?
2.77. * Стальной шарик скользит без трения по гладкому полу
и налетает на шероховатую стену так, что его скорость составляет
.гол <р с нормалью. Каким должен быть угол <р, чтобы шарик
и кочил перпендикулярно к плоскости стены? Коэффициент
। рения между шариком и стеной к.
2.78. Стальной шарик массой т = 20 г, падая с высоты h = 1 м
пн стальную плиту, отскакивает от нее на высоту Н = 81см.
Найти: а) импульс силы, действовавшей на плиту в момент удара;
о) количество теплоты, выделившейся при ударе.
26
ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕХАНИКИ
[Гл. I
2.79. На шар массы m2, лежащий на гладкой горизонтальной
поверхности, налетает другой шар массы пц, движущийся го-
ризонтально. Между шарами происходит упругий центральный
удар. Построить график зависимости доли передаваемой энергии
от отношения масс шаров х = mi/m2-
2.80. * Два одинаковых гладких шарика летят навстречу друг
другу со скоростями 1> и 2v, причем прямые, проходящие через
Рис. 17
центры каждого из шариков в направлении их дви-
жения, касаются другого шарика. Найти, под ка-
ким углом к первоначальному направлению будет
двигаться первый шар после соударения.
2.81. * Два шарика с массами mi и m2 одно-
временно начинают соскальзывать навстречу друг
другу без трения и вращения с двух горок одина-
ковой формы и высоты Н. На какую высоту под-
нимутся слипшиеся шарики, если удар абсолютно
неупругий.
2.82. * На длинной нити подвешен шарик мас-
сы ту, к которому на нити длиной I подвешен
шарик массы т2 (рис. 17). Какую начальную ско-
рость в горизонтальном направлении нужно сооб-
щить нижнему шарику, чтобы соединяющая шарики
нить отклонилась до горизонтального положения?
2.83. * Брусок массы mi лежит на
горизонтальной плоскости. На брус-
ке лежит тело массы т2 (рис. 18).
Коэффициент трения между телом
и бруском, а также между бруском
и плоскостью, равен к. Исследовать
движение при различных значениях
силы F, приложенной к бруску в горизонтальном направлении.
2.84. * Брусок массы mi лежит на гладкой горизонтальной
плоскости, по которой он может двигаться без трения. На бруске
лежит тело массы т2 (рис. 18). Ко-
эффициент трения между ним и брус-
ком равен к. При каком значении си-
лы F, приложенной к бруску в гори-
зонтальном направлении, тело начнет
скользить по бруску? Через сколько
времени тело упадет с бруска? Дли-
на бруска I. Трение между бруском
и плоскостью отсутствует.
2.85. * На конце доски длины I и массы М находится малень-
кий брусок массы т (рис. 19). Доска может скользить без трения
по горизонтальной плоскости. Коэффициент трения скольжения
т.
F
т,
Рис. 18
т
Рис. 19
»о
52]
ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
27
бруска о поверхность доски равен к. Какую горизонтальную ско-
рость vo нужно толчком сообщить доске, чтобы она выскользнула
из-под бруска?
2.86. * Два шарика с массами тщ и m2 связаны пружинкой
длиной I и жесткостью к. Шарику массы mi сообщили скорость
v вдоль линии их центров. На какое максимальное расстоя-
ние удаляются шарики друг от друга при движении? Трение
отсутствует.
2.87. * На гладком столе лежат два шарика массой М каждый,
скрепленные пружиной длиной I с коэффициентом жесткости к.
Одному из шариков сообщили скорость v в направлении, перпен-
дикулярном прямой, соединяющей их центры. Определить эту
скорость, если известно, что при движении пружинка растягива-
лась на максимальную длину L.
2.88. * На гладком столе лежат два одинаковых шарика мас-
сой М каждый. Шарики скреплены гибкой упругой нитью дли-
ной I, нить вначале не натянута. Одному из шариков сообщили
скорость v вдоль прямой, соединяющей их центры. Нарисовать
графики зависимости скорости каждого из шариков в зависимо-
сти от времени. Нарисовать аналогичный график для скорости
центра масс.
2.89. * Два тела с массами mi и тг соединены недеформи-
рованной пружиной жесткости к. Затем к телам одновременно
приложили противоположно направленные силы F. Найти мак-
симальную кинетическую энергию тел и максимальную потен-
циальную энергию пружины. Какова наибольшая относительная
скорость тел?
2.90. * Полная кинетическая энергия системы тел складывал
стоя из энергии движения центра масс и кинетической энергии
движения тел относительно центра масс. Докажите это.
2.91. * Вдоль неподвижного пластилинового бруска массы m
приложили постоянную силу F. За время t действия силы конец
бруска, к которому она приложена, сдвинулся в направлении
действия силы на расстояние I. На сколько возросла внутренняя
энергия бруска за это же время?
2.92. * Два тела с массами mi и тг имеют внутренние энергии
И;1 и W2 и скорости центров масс Vi и V2- Какова внутренняя
энергия системы этих тел, если потенциальной энергией их вза-
имодействия между собой можно пренебречь? Изменится ли эта
энергия после столкновения их друг с другом и последующего
разлета?
2.93. * Частица массы 2m, летевшая со скоростью v и имевшая
внутреннюю энергию ТУо, распалась на два осколка одинаковой
массы m с одинаковыми внутренними энергиями Ж1. Найти
максимально возможный угол разлета осколков, если известно,
что mv2 > TVq.
28
ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕХАНИКИ
[Гл. 1
2.94. * Два одинаковых шара, лежащих на горизонтальной по-
верхности на расстоянии 21 друг от друга, связаны нитью длины
21, за середину которой стали тянуть вверх с постоянной силой F.
Найти приращение внутренней энергии к моменту первого удара.
2.95. На какую часть уменьшается вес тела на экваторе вслед-
ствие вращения Земли?
2.96. Трамвайный вагон массой т — 5 т идет по закруглению
радиусом R = 128 м. Найти силу бокового давления F колес на
рельсы при скорости движения v = 9 км/ч.
2.97. Ведерко с водой, привязанное к веревке длиной I = 60см,
равномерно вращается в вертикальной плоскости. Найти наи-
меньшую скорость вращения, при которой вода не выливается
из ведерка в верхней точке траектории. Какова сила натяжения
веревки при этой скорости вращения в верхней и нижней точках
окружности? Масса ведерка с водой т = 2 кг.
2.98. Камень, привязанный к веревке, равномерно вращается
в вертикальной плоскости. Найти массу камня, если разность
между максимальной и минимальной силами натяжения веревки
ДТ = ЮН.
2.99. Гирька массой т — 50 г вращается в горизонтальной плос-
кости на нити длиной I = 25 см. Частота вращения п = 2об/с.
Найти силу натяжения нити Т.
2.100. Диск вращается вокруг вертикальной оси, проходящей
через его центр с частотой п = 30 об/мин. На расстоянии г = 20 см
от оси вращения лежит тело. Каким должен быть коэффициент
трения тела о диск, чтобы оно не скатилось с диска?
2.101. Самолет, летящий со скоростью v — 900км/ч делает
«мертвую петлю». Каким должен быть радиус петли, чтобы
наибольшая сила, прижимающая летчика к сидению была равна:
а) пятикратной силе тяжести, б) десятикратной?
2.102. Мотоциклист едет по горизонтальной дороге со скоро-
стью v = 72 км/ч, делая поворот радиусом R = 100 м. На какой
угол а при этом он должен наклониться, чтобы не упасть при
повороте?
2.103. * Шары, массы которых т и М, связаны нерастяжимой
нитью, пропущенной через отверстие в столе. С какой скоростью
должен двигаться шар массы М по окружности радиуса R, чтобы
нижний шар был неподвижен?
2.104. * На гладкой массивной полусфере радиуса R лежит
малая монета. От небольшого толчка монета начинает скользить
вниз. На какой высоте она покинет полусферу?
2.105. * Цилиндр диаметром D заполнен водой и расположен
горизонтально. С какой скоростью и перемещается в цилиндре
поршень, если на него действует сила F, а из отверстия в дне
цилиндра вытекает струя диаметром d? Трением пренебречь.
Силу тяжести не учитывать. Плотность жидкости р.
(i 2]
ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
29
2.106. * Жесткий невесомый стержень длиной L вращается во-
круг одного из концов с постоянной угловой скоростью ш. Посре-
дине на стержень насажена масса т, а на конце—М. С какими
силами эти массы действуют на стержень?
2.107. * Однородный стержень длиной L и массой М вращается
равномерно вокруг одного из концов с угловой скоростью ш.
Определить силу натяжения стержня в зависимости от расстояния
до центра вращения и нарисовать график этой зависимости.
2.108. * Сфера радиусом R = 2 м равномерно вращается вокруг
оси симметрии с частотой 30 мин-1. Внутри сферы находится
шарик массой тп = 0,2 кг. Найти высоту, соответствующую поло-
жению равновесия шарика относительно сферы, и силу реакции
сферы N.
2.109. * Внутри конической поверхности, движущейся с ускоре-
нием а, направленным горизонтально вдоль прямой, совпадающей
с высотой конуса, вращается шарик по окружности радиусом R.
Определить период движения шарика по окружности. Угол при
вершине конуса 2а.
2.110. * Тонкое резиновое кольцо массой т = 6 г надето на
горизонтальный диск радиуса R = 5 см. Сила натяжения коль-
ца Т = 0,1Н. Коэффициент трения между
кольцом и диском к = 0,25. При каком <7\
числе оборотов в секунду кольцо спадет с / /
диска? у/ ,г
2.111. Невесомы^ стержень может вра- У / /
даться в вертикальной плоскости относи- /
тельно точки О. Йа стержне укреплены /т, /
на расстояниях ri и г% от точки О гру- / /
и с массами mi и m2 (рис. 20). Стер- / '“ /
жень отпущен без начальной скорости из / /
положения, составляющего угол а с вер- _/ /
гикалью. Определить линейную скорость
грузов в момент, когда стержень занимает
вертикальное положение.
2.112. * Металлическая цепочка длины Рис 2о
/ = 62,8 см, концы которой соединены, на-
гажена на деревянный диск. Диск вращается с частотой 60 с-1.
()пределить силу натяжения цепочки, если ее масса т = 40 г.
2.113. * По резиновой трубке, свернутой в виде кольца, цирку-
лирует со скоростью v вода. Радиус кольца R, диаметр трубки
<1 < R. С какой силой растянута трубка?
2.114. * Из тонкого резинового жгута массы М и жесткости к
с делали кольцо радиуса Rq. Это кольцо раскрутили вокруг его
оси. Найти новый радиус кольца, если угловая скорость его
вращения равна ш.
2.115. * Горизонтальный диск начинают раскручивать вокруг
го оси с угловой скоростью, возрастающей со временем по зако-
ну u = at2, где а—-константа. При какой угловой скорости тело,
30
ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕХАНИКИ
[Гл. I
расположенное на расстоянии г от оси диска, начнет соскальзы-
вать с него, если коэффициент трения между ними равен к?
2.116. * Через блок, укрепленный на краю гладкого стола, пе-
рекинута веревка, соединяющая грузы с массой т и М (рис. 21).
Стол движется вверх с ускорением. Найти ускорение груза т.
Трением и массой блока пренебречь.
2.117. * Решить предыдущую задачу при условии, что стол
движется вертикально вниз с ускорением W < д.
2.118. * Груз массы М находится на столе, который движется
горизонтально с ускорением W (рис. 22). К грузу присоединена
нить, перекинутая через блок. К другому концу нити подвешен
груз массы т. Найти силу натяжения нити и ускорения грузов.
Рис. 21 Рис. 22
2.119. * Через невесомый блок перекинута веревка с грузами
массой т и М. Блок движется вверх (вниз) с ускорением W.
Пренебрегая трением на блоке, найти давление блока на ось,
силу натяжения веревки и ускорения грузов.
2.120. * Через блок, укрепленный на краю гладкого стола,
перекинута веревка, соединяющая грузы массой тщ, т? и m3
(рис. 23). Определить ускорения грузов системы и силу натяже-
ния нитей. Трение отсутствует, блоки невесомые.
2.121. * Стержень ОА вращается относительно вертикальной
оси О В с угловой скоростью ш. Угол между осью и стержнем а
(рис. 24). По стержню без трения скользит муфта массой М,
связанная с точкой О пружиной жесткости к. В недеформирован-
ном состоянии длина пружины /о- Определить положение муфты
при вращении.
2.122. * По поверхности вращающегося с угловой скоростью w
диска из центра по радиусу начинает ползти жук. Расстояние от
жука до оси вращения зависит от времени как г = at2. Опреде-
лить ускорение жука как функцию времени.
2.123. * Частица массы m = 10 г перемещается по диску, враща-
ющемуся с угловой скоростью uj = 10рад/с из точки, отстоящей
от оси вращения на расстояние Ri = 1 м, в точку, отстоящую на
расстояние R? = 2 м. Какую при этом работу А совершают над
частицей силы инерции?
ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
31
2.124. * По диску, вращающемуся с угловой скоростью си, дви-
жется равномерно на неизменном расстоянии от оси вращения
I.п тица. Найти мгновенные значения:
а) скорости частицы v' относительно диска, при которой сила
Кориолиса будет уравновешиваться центробежной силой инерции.
Выразить v' через мгновенное значение радиус-вектора, прове-
киного из центра диска;
б) скорость частицы v относительно неподвижной системы от-
и та при тех же условиях.
2.125. * Через блок, масса которого равна нулю, перекинут
шнурок. На одном конце шнурка привязан груз массой mi, по
। русому скользит кольцо массой тпг с постоянным относительно
шнурка ускорением а. Найти ускорение груза mi и силу трения
। о льца о шнурок. Массой шнурка пренебречь и считать, что груз
Ш| опускается.
2.126. Вода течет по трубе диаметром d — 0,2 м, расположен-
ной в горизонтальной плоскости и имеющей закругление радиусом
/i' - 20 м. Найти боковое давление воды Р, вызванное центро-
нежной силой. Расход воды через поперечное сечение составляет
mi = ЗООт/ч.
2.127. Вычислить гравитационную постоянную G, зная ради-
11 земного шара R, среднюю плотность земли р и ускорение
нободного падения д у поверхности Земли.
2.128. Определить либрационную точку Земли, т. е. точку про-
। ранства, в которой материальное тело одинаково притягивается
(млей и Луной.
2.129. Найти первую космическую скорость Vi, т.е. скорость,
11 > горую необходимо сообщить телу, чтобы оно стало обращаться
вокруг Земли по круговой орбите.
2.130. Найти вторую космическую скорость «2, т.е. скорость,
11 > горую необходимо сообщить телу, чтобы оно преодолело земное
притяжение и навсегда удалилось от Земли.
32
ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕХАНИКИ
[Гл. 1
2.131. Найти линейную скорость v движения Земли по круго-
вой орбите.
2.132. Найти зависимость периода обращения Т спутника, вра-
щающегося по круговой орбите от средней плотности планеты р.
2.133. Найти центростремительное ускорение, с которым дви-
жется по круговой орбите спутник Земли, находящийся на высоте
h, = 200 км от поверхности.
2.134. Искусственный спутник Земли движется по круговой
орбите в плоскости экватора с запада на восток. На какой
высоте h над поверхностью должен находиться спутник, чтобы
быть неподвижным относительно земного наблюдателя?
2.135. * Найти изменение ускорения свободного падения при
«опускании» тела на глубину х. Построить график этой зависи-
мости. Как при этом меняются сила и потенциальная энергия
гравитационного взаимодействия тела и Земли? Плотность Зе-
мли р считать постоянной.
2.136. * Две звезды с массами тп^ и т2 образуют двойную
систему с неизменным расстоянием R между звездами. Каков
период обращения звезд вокруг общего центра масс?
2.137. Кинетическая энергия спутника на круговой орбите рав-
на 144- Чему равна его потенциальная энергия?
2.138. * Скорость спутника в перигее равна v при расстоянии
до центра Земли, равном г. Какова скорость спутника в апогее?
Каково расстояние от него до центра Земли в этом случае?
2.139. * Планета движется по эллипсу, в одном из фокусов
которого расположено Солнце. Принимая во внимание работу
силы тяготения, указать, в какой точке траектории скорость
планеты будет максимальной и в какой минимальной.
2.140. * В воде имеются два пузырька воздуха радиуса г. При-
тягиваются или отталкиваются пузырьки? Какова их сила взаи-
модействия? Расстояние между пузырьками R. Плотность воды р.
2.141. * На прямой, перпендикулярной к оси тонкого однород-
ного стержня и проходящей через его центр, находится частица
массы гл. Длина стержня /, его масса М, расстояние до части-
цы L. Найти модуль F силы, с которой стержень действует на
частицу (исследовать случай L /).
2.142. * Решить предыдущую задачу, полагая, что I = L = 2а.
2.143. * Имеется тонкое кольцо радиусом R. Радиус проволоки
(равен г, плотность материала проволоки р. Найти силу F(x), с
которой это кольцо притягивает материальную точку массы тп,
находящуюся на оси кольца на расстоянии х от его центра. Най-
ти потенциальную энергию U (х) частицы и кольца. Построить
графики F(x) и U (х).
2.144. * Имеется тонкий однородный диск радиуса R. Поверх-
ностная плотность диска равна <т (кг/м2). На прямой, проходящей
через центр диска перпендикулярно к нему, на расстоянии х на-
ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
33
ходится частица массы т. Найти: а) силу F, с которой диск
притягивает частицу; б) потенциальную энергию U (z) взаимодей-
ствия частицы и диска.
2.145. * Имеется бесконечная тонкая нить с линейной плотно-
стью равной А (кг/м). На расстоянии z от ее оси находится
частица массы т. а) Найти модуль силы F, действующей на
частицу со стороны нити, б) Частица какой массы М, находясь
от частицы т на расстоянии х, действовала бы на нее с такой
же силой?
2.146. * Определить силу гравитации F, действующую на ча-
стицу массы т, помещенную внутрь однородной сферы радиуса
R и массы М в точку, отстоящую на х от центра сферы.
2.147. * Однородный тонкий слой в виде полусферы притяги-
вает частицу массы т, находящуюся в центре полусферы. Ее
радиус R, масса М. Найти гравитационную силу F взаимодей-
ствия слоя и частицы.
2.148. * В свинцовом шаре с радиусом R сделана сфериче-
ская полость, смещенная относительно центра шара на вектор tq.
Плотность шара р. Найти ускорение свободного падения в поло-
сти.
2.149. * Пространство заполнено материей, плотность которой
изменяется по закону р = Ро/т, где р0 — константа, г — расстояние
от начала координат. Найти напряженность гравитационного поля
как функцию радиус-вектора г. Нарисовать линии напряженности
гравитационного поля.
2.150. * Внутри шара с радиусом R и плотностью р имеет-
ся сферическая полость радиусом Л/4. Центр ее находится на
расстоянии Л/4 от точки
С — центра шара, на ли-
пин PC, соединяющей С с
точкой Р, которая находит-
ся на расстоянии х от по-
верхности шара (рис. 25).
Найти ускорение свободно-
го падения а в точке Р.
2.151. * Искусственный
спутник Земли запущен с экватора и движется по круговой орби-
те в плоскости экватора в направлении вращения Земли. Найти
отношение радиуса орбиты спутника к радиусу Земли при усло-
вии, что спутник периодически раз в двое суток проходит над
точкой запуска. Радиус Земли 6400км, д = 9,8м/с2, Т = 24ч.
2.152. * Вычислить радиус круговой орбиты стационарного
спутника Земли, который остается все время неподвижным от-
носительно ее поверхности. Каковы его скорость и ускорение
в инерциальной системе отсчета, связанной в данный момент с
центром Земли? Масса Земли и период ее обращения вокруг
собственной оси известны.
ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕХАНИКИ
2.153. * В начальный момент ракета имеет массу вместе с го-
рючим т0, а ее скорость равна нулю. Затем она движется в
отсутствие внешних сил, испуская непрерывную струю газа со
скоростью и, постоянной относительно ракеты. Найти скорость
ракеты в момент, когда ее масса равна т.
2.154. * Ракета движется в отсутствие внешних сил с постоян-
ным ускорением w, скорость истечения газа относительно ракеты
постоянна и равна и. Масса ракеты в начальный момент равна
то- Найти закон изменения массы ракеты со временем.
2.155. * Вагонетка с песком движется под действием постоянной
силы F. В начальный момент времени масса вагонетки с песком
т0, а ее скорость равна нулю. В днище вагонетки имеется
дыра, через которую песок высыпается со скоростью потери массы
д' кг/с. Найти скорость и ускорение вагонетки как функции вре-
мени t.
§ 3. Вращательное движение твердых тел
Момент силы относительно неподвижной точки О
М = г х F,
г — радиус-вектор, проведенный из точки О в точку приложения силы F.
Момент импульса материальной точки относительно неподвижной точки О
L = т х р,
т — радиус-вектор, проведенный из точки О к материальной точке.
Закон изменения момента импульса
— м
— шанешн»
Мвнешн — момент внешних сил относительно неподвижной точки О.
Момент инерции системы материальных точек относительно некоторой оси
J = У7 mir^<
i=l
где т, — расстояние от данной точки до оси вращения.
Момент инерции твердого тела относительно оси вращения
J = У г2 dm =
р— плотность тела.
Если для какого-либо тела известен его момент инерции Jo относительно
оси, проходящей через центр масс, то момент инерции относительно любой оси,
параллельной первой, может быть найден по формуле Штейнера
J = Jo + md2,
j r2pdV,
(V)
где m — масса тела и d — расстояние от центра масс тела до оси вращения.
ВРАЩАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДЫХ ТЕЛ
35
Основной закон динамики вращательного движения (закон сохранения мо-
мента импульса) выражается уравнением
М dt — dL — d(J S),
। де М — момент сил, приложенных к телу, L — момент импульса тела (J —
момент инерции тела, ш — его угловая скорость). Если J = const, то
М = jig = j£,
dt
где ё— угловое ускорение, приобретаемое телом под действием момента сил М.
Уравнение динамики тела, вращающегося относительно оси OZ
dLz _ .»
— гИД внешн)
/,/ и Mz— проекции моментов импульса и внешних сил на ось вращения
№z ^) ^z внешн*
Кинетическая энергия тела, вращающегося вокруг оси
™k =
Ju>2
2
Сопоставление уравнений динамики вращательного движения с уравнениями
поступательного движения дано в табл. 1.
Таблица 1
Поступательное движение
Вращательное движение
Второй закон Ньютона
F &t = mvz — mvi , М At = ~ i
или или
F - та M = Je
Закон сохранения импульса Закон сохранения момента импульса
23 mv = const i 23 Ju; = const t
Работа и кинетическая энергия
Jw? Ju>?
Условия статического равновесия тела (системы тел)
ЕЛ = о ЕМ($о) = °
i=i »=1
36
ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕХАНИКИ
[Гл. 1
З.1. * Найти момент инерции J и момент импульса L земного
шара относительно оси вращения.
3.2. * Доказать теорему Штейнера для системы двух матери-
альных точек, вращающихся вокруг вертикальной оси, перпенди-
кулярной прямой, соединяющей эти точки.
3.3. * Найти момент инерции однородного круглого прямого ци-
линдра массы т и радиуса R относительно оси цилиндра.
3.4. * Прямой круглый однородный конус имеет массу т и
радиус основания R. Найти момент инерции конуса относительно
его оси.
3.5. * Найти момент инерции тонкого однородного стержня дли-
ны I и массы т: а) относительно перпендикулярной к стержню
оси, проходящей через центр масс; б) относительно перпендику-
лярной к стержню оси, проходящей через конец стержня.
3.6. * Найти момент инерции однородной прямоугольной пла-
стинки массы т, длины а и ширины b относительно перпен-
дикулярной к ней оси, проходящей: а) через центр пластинки;
б) через одну из вершин пластинки.
3.7. Два шара одинакового радиуса R — 5 см закреплены на
концах невесомого стержня. Расстояние между шарами г = 0,5 м.
Масса каждого шара т = 1кг. Найти: а) момент инерции Д
системы относительно оси, проходящей через середину стержня
перпендикулярно к нему; б) момент инерции 7г системы относи-
тельно той же оси, считая шары материальными точками, массы
которых сосредоточены в их центрах; в) относительную ошибку
<5 = (Д — J2VJ2, которую мы допускаем при вычислении момента
инерции системы, заменяя R на J-2-
3.8. К ободу однородного диска радиусом R = 0,2 м приложена
касательная сила F = 98,1 Н. При вращении на диск действует
момент сил трения М = 4,9Н м. Найти массу диска т, если из-
вестно, что диск вращается с угловым ускорением е = 100рад/с2.
3.9. Однородный стержень длиной I = 1м и массой т = 0,5 кг
вращается в вертикальной плоскости вокруг горизонтальной оси,
проходящей через середину стержня. С каким угловым ускоре-
нием е вращается стержень, если на него действует момент сил
М = 98,1 Н?
3.10. Маховик, момент инерции которого J = 63,6кг • м2, вра-
щается с угловой скоростью ш = 31,4рад/с. Найти момент сил
торможения М, под действием которого маховик останавливается
через время £ = 20с. Маховик считать однородным диском.
3.11. Две гири с массами пц = 2кг и m2 = 1кг соединены
нитью, перекинутой через блок массой т = 1кг. Найти уско-
рение а, с которым движутся гири, и силы натяжения Тг и Т2
нитей, к которым подвешены гири. Блок считать однородным
диском. Трением пренебречь.
ВРАЩАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДЫХ ТЕЛ
37
3.12. * Определить угловое ускорение блока радиусом R с мо-
ментом инерции J, через который перекинута нить с грузами
массой mi и m2- Трением пренебречь.
3.13. На барабан массой т = 9 кг намотан шнур, к концу
которого привязан груз массой mi = 2 кг. Найти ускорение груза.
Варабан считать однородным цилиндром. Трением пренебречь.
3.14. На барабан радиусом R — 0,5 м намотан шнур, к кото-
рому привязан груз массой т = 10 кг. Найти момент инерции
барабана J, если известно, что груз опускается с ускорением
и = 2,04 м/с2.
3.15. На барабан радиусом Я = 20 см, момент инерции которо-
ю J = 0,1кгм2, намотан шнур, к концу которого привязан груз
массой т = 0,5 кг. До начала вращения барабана груз находился
на. высоте h = 1м над полом. Через какое время груз опустит-
ся на пол и какова будет при этом его кинетическая энергия?
Трением пренебречь.
3.16. Блок массой т = 1кг укреплен на конце стола. Гири
I и 2 одинаковой массы mi = т2 = 1кг соединены нитью, пе-
рекинутой через блок. Гиря 2 находится на поверхности стола,
а гиря 1 свешивается со стола. Коэффициент трения гири 2 о
< тол к = 0,1. Найти ускорение, с которым движутся гири, и си-
пя натяжения Ti и Т2 нитей. Блок считать однородным диском.
Трением в блоке пренебречь.
3.17. Диск массой т = 2 кг катится без скольжения по горизон-
тальной поверхности со скоростью v — 4 м/с. Найти кинетическую
шергию обруча.
3.18. Шар диаметром D = 6 см и массой т - 0,25 кг катится
без скольжения по горизонтальной плоскости с частотой вращения
п = 4об/с. Найти кинетическую энергию шара.
3.19. Шар массой т = 1кг, катящийся без скольжения, уда-
ряется о стенку и отскакивает от нее. Скорость шара до удара
г = 10 см/с, после удара и = 8 см/с. Найти количество теплоты Q,
выделившейся в момент удара.
3.20. Мальчик катит обруч по горизонтальной поверхности со
скоростью v = 7,2 км/ч. На какое расстояние может вкатиться
обруч на горку за счет его кинетической энергии? Уклон горки
равен 10 м на каждые 100 м пути.
3.21. Найти линейные ускорения центров масс шара, диска и
обруча, скатывающихся без скольжения с наклонной плоскости.
S'гол плоскости а = 37°, начальная скорость всех тел «о = 0.
3.22. Найти линейные скорости движения центров масс шара,
писка и обруча, скатывающихся без скольжения с наклонной
11-поскости, высота которой h = 0,5 м. Начальная скорость всех
। ел «о = 0. ,
3.23. * Цилиндр скатывается без проскальзывания с наклонной
плоскости с углом при основании а. Каково ускорение центра
масс цилиндра?
38
ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕХАНИКИ
[Гл. 1
3.24. * Решить предыдущую задачу при условии, что между ци-
линдром и плоскостью коэффициент трения скольжения равен к.
Пояснить результат.
3.25. * Тонкий обруч радиуса R раскрутили вокруг его оси
до угловой скорости ш и положили плашмя на горизонтальную
поверхность. Полагая коэффициент трения между поверхностью
и обручем к, определить время вращения до полной остановки.
Сколько оборотов при этом сделает обруч?
3.26. * На тонкостенный цилиндр намотана нить, конец кото-
рой закреплен (рис. 26). Нить остается параллельной наклонной
плоскости с углом наклона а при разматывании. Какую скорость
приобрел цилиндр, если его ось прошла расстояние /? Коэффи-
циент трения между цилиндром и плоскостью к.
3.27. * На горизонтальной плоскости лежит катушка ниток. Ее
тянут за нитку (рис. 27). При каких углах а катушка, станет
ускоряться в сторону нити?
3.28. * По шероховатой горизонтальной поверхности катится без
проскальзывания со скоростью v тонкое кольцо. Через какое вре-
мя после упругого удара о гладкую вертикальную стенку кольцо
остановится, если коэффициент трения кольца о поверхность ра-
вен к?
3.29. * Тонкая однородная палочка длины I и массы т лежит
симметрично на двух опорах, расстояние между которыми а.
Одну из опор быстро убирают. Какова сразу после этого сила
реакции оставшейся опоры?
3.30. * Обруч, вся масса которого сосредоточена в ободе, рас-
крутили до угловой скорости ш и поставили на шероховатую
наклонную плоскость, составляющую угол а с горизонтом. Най-
ти время, в течение которого обруч будет подниматься вверх по
плоскости. Радиус обруча R.
3.31. * Тонкое кольцо радиуса R и массы т раскрутили до
угловой скорости шо и поставили вертикально на горизонтальную
плоскость. Как будет двигаться кольцо, если коэффициент тре-
ния кольца о плоскость равен к? Через какое время прекратится
проскальзывание? Какая часть начальной энергии перейдет в
тепло?
ВРАЩАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДЫХ ТЕЛ
39
3.32. * Бревно высоты h — Зм и массы т = 50 кг начинает па-
дать из вертикального положения на землю. Определить скорость
верхнего конца и момент импульса бревна в момент падения на
землю.
3.33. * Карандаш длиной I = 15 см, поставленный вертикально,
начинает падать на стол. Какую угловую скорость ш и линейную
скорость v будут иметь в конце падения середина и верхний конец
карандаша?
3.34. * Однородный стержень длиной I = 1 м подвешен на го-
ризонтальной оси, проходящей через верхний конец стержня. На
какой угол а надо отклонить стержень, чтобы нижний конец
стержня при прохождении положения равновесия имел скорость
е = 5 м/с?
3.35. * Горизонтальная платформа массой т = 100кг вращает-
ся вокруг вертикальной оси, проходящей через центр платформы,
с частотой Hi = 10 об/мин. Человек массой т0 =60 кг стоит при
atom на краю платформы. С какой частотой пг начнет вращать-
ся платформа, если человек перейдет от края платформы к ее
центру? Считать платформу однородным диском, а человека —
точечной массой.
3.36. * Какую работу А совершает человек при переходе от
края платформы к ее центру в условиях предыдущей задачи?
Радиус платформы R = 1,5 м.
3.37. * Горизонтальная платформа массой т = 80 кг и ради-
усом R = 1м вращается с частотой гц = 20 об/мин. В центре
платформы стоит человек и держит в расставленных руках гири.
С какой частотой пг будет вращаться платформа, если человек,
опустив руки, уменьшит свой момент инерции от Ji — 2,94 до
./з = 0,98кг • м2? Считать платформу однородным диском.
3.38. * Во сколько раз увеличилась ки-
нетическая энергия Wk платформы с че-
ловеком в условиях предыдущей задачи?
3.39. * Диск массы т и радиуса R вра-
щается вокруг своей оси. Угловая ско-
рость вращения ы. Под действием внеш-
них сил диск останавливается. Чему рав-
на работа внешних сил?
3.40. * Два груза соединены нитью дли-
ной I и лежат на поверхности гладкого
бревна с радиусом R (рис. 28). При рав-
новесии грузов угол между вертикалью и радиусом, проведенным
к одному из грузов, равен а. Найти массу второго груза, если
масса первого равна т^.
40
ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕХАНИКИ
[Гл. 1
3.41. * Цепочка массы т подвешена за концы так, что вбли-
зи точек подвеса она образует с горизонталью угол а (рис. 29).
//////////////////////// ОпРеделите СИЛУ натяжения це-
///////////////////////S почки в ее нижней точке и в точ-
ках подвеса.
3.42. * В гладкой закрепленной
полусфере свободно лежит палоч-
ка массы т так, что угол ее с
Рис. 29 горизонтом равен а, а конец выхо-
дит за край полусферы (рис. 30).
С какими силами действует палочка на полусферу в точках со-
прикосновения А и В. Масса палочки т.
3.43.* Между одинаковыми брусками квадратного сечения, ле-
жащими на горизонтальной плоскости, вставлен гладкий клин
7//7777777/777/7//77Z,
Рис. 31
такой же массы с сечением в виде равностороннего треугольника
(рис. 31). При каком коэффициенте трения брусков о плоскость
они начнут разъезжаться?
3.44. * На горизонтальной поверхности стоит куб массы т. С
какой минимальной силой и под каким углом к горизонту надо
тянуть куб за верхнее ребро, чтобы он начал опрокидываться без
проскальзывания, если коэффициент трения куба о плоскость
равен к?
3.45. * Лестница опирается на пол и вертикальную стенку. При
каких значениях угла между лестницей и полом она может стоять,
если коэффициенты трения лестницы о пол и о стену равны fcj
и к2 соответственно?
3.46. * К системе из одинаковых стержней, соединенных шар-
нирами, подвешен груз массы т (рис. 32). Определите силу,
растягивающую n-й верхний горизонтальный стержень.
S3]
ВРАЩАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДЫХ ТЕЛ
41
В
3.47/ Каким должен быть коэффициент трения однородного
стержня о пол, чтобы он мог стоять так, как показано на рисун-
ке 33? Длина нити АВ равна длине стержня.
3.48. * Однородный тонкий брусок массы т ле-
жит на горизонтальной плоскости. Какой наи-
меньшей горизонтальной силой, приложенной к
концу бруска, перпендикулярно к нему, его мож-
но сдвинуть с места, если коэффициент трения
между бруском и плоскостью равен fc?
3.49. * Балка массы т и длинны 21 одним кон-
цом упирается в гладкую стену, а промежуточной
точкой в прямоугольный уступ (рис. 34). Рас-
стояние между стеной и уступом а. Какой угол
с вертикалью составляет балка в равновесии?
Определить также реакции зданий.
3.50. * Два гладкие бревна помещены в контейнер (рис. 35).
Бревно А весит 400 Н, его радиус 0,8 м, бревно В
'/////////,
Рис. 33
весит 300Н,
Рис. 35
а его радиус 0,5 м. Определить реакции вертикальных стен в
точках С и Е и горизонтального пола в точке D, а также
давление между бревнами, если ширина контейнера 2,5 м.
3.51. * На наклонной плоскости с углом наклона а = 30° лежат
два груза с массами mi = 4 кг и m2 = 6 кг, соединенные тросом
(рис. 36). Коэффициенты трения грузов о наклонную плоскость
42
ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕХАНИКИ
[Гл. I
соответственно равны ki = 0,4 и = 0,8. Определить натяжение
троса и модули сил трения, действующих на грузы. Будут ли
грузы в покое или в движении?
3.52. Полуцилиндр весом Р и радиусом R лежит на негладкой
горизонтальной плоскости (рис. 37). Однородный стержень О А
длиной I и весом Q шарнирно закреплен в точке О. Он опирается
на гладкую поверхность полуцилиндра, образуя угол а с верти-
калью OB = h. Определить наименьшее значение коэффициента
трения скольжения к между полуцилиндром и горизонтальной
плоскостью при равновесии.
§ 4. Механика жидкостей и газов
Для установившегося движения идеальной несжимаемой жидкости имеет ме-
сто уравнение Бернулли
ри2
Р + —f- pgh = const,
здесь р — плотность жидкости в данном сечении трубы, h — высота данного се-
чения трубы над некоторым уровнем и Р— давление.
Сила сопротивления, которую испытывает падающий в вязкой жидкости
(в газе) шарик, определяется формулой Стокса
F = Qtttitv,
где 7/ — динамическая вязкость жидкости (газа), г — радиус шарика, v— его ско-
рость. Закон Стокса имеет место только для ламинарного движения. При
ламинарном движении объем жидкости (газа), протекающей за время t через
капиллярную трубку радиусом г и длиной I, определяется формулой Пуазейля
1/ _ 7rr4t ДР
8/т) ’
где г] — динамическая вязкость жидкости (газа), ДР—разность давлений на
концах трубки.
Характер движения жидкости (газа) определяется безразмерным числом
Рейнольдса
Re = 21Р = Dv
V ’
где D — величина, характеризующая линейные размеры тела, обтекаемого жид-
костью (газом), v — скорость течения, р — плотность, т; — динамическая вяз-
кость. Отношение с = т)/р называется кинематической вязкостью. Критическое
значение числа Рейнольдса, определяющее переход от ламинарного движения к
турбулентному, различно для тел разной формы.
4.1. * На столе стоит цилиндрический сосуд высоты Н, напол-
ненный доверху водой. Пренебрегая вязкостью воды, определить
высоту h, на которой нужно сделать в сосуде небольшое от-
верстие, чтобы вытекающая струя воды попадала на стол на
наибольшем удалении от сосуда.
VI]
МЕХАНИКА ЖИДКОСТЕЙ И ГАЗОВ
43
4.2. * Показать, что при установившемся течении идеальной
жидкости для любой трубки тока выполняется соотношение
pvi dSi = pv? dS? (уравнение неразрывности),
। ле р — плотность жидкости, г>1 и t)2 — скорости жидкости в торце-
вых сечениях трубки, площади которых dSi и dS^ соответственно.
4.3. *) Найти скорость v течения углекислого газа по трубе,
если известно, что за время t = 30 мин через поперечное сече-
ние трубы протекает масса газа т = 0,51кг. Плотность газа
/I = 7,5кг/м3. Диаметр трубы D = 2см.
4.4. В дне цилиндрического сосуда диаметром D = 0,5 м име-
< гея круглое отверстие диаметром d = 1см. Найти зависимость
скорости понижения уровня воды в сосуде от высоты h этого
уровня. Найти значение этой скорости для высоты h = 0,2 м,
4.5. На столе стоит сосуд с водой, в боковой поверхности ко-
торого имеется малое отверстие, расположенное на расстоянии hi
от дна сосуда и на расстоянии Л,2 от уровня воды. Уровень воды
в сосуде поддерживается постоянным. На каком расстоянии I
от сосуда (по горизонтали) струя воды падает на стол в случае,
если: a) hi = 25 см, h? = 16см; б) hi = 16см, h? = 25см?
4.6. Сосуд, наполненный водой, сообщается с атмосферой через
стеклянную трубку, закрепленную в горлышке сосуда (рис. 38).
Кран К находится на расстоянии Л.г = 2см
or дна сосуда. Найти скорость v выте-
кания воды из крана в случае, если рас-
стояние между нижним концом трубки и
дном сосуда: a) hi = 2см; б) hi = 7,5см;
в) hi = 10см.
4.7. Цилиндрический бак высотой h =
:1м наполнен до краев водой. За какое
время t вся вода выльется через отвер-
стие, расположенное у дна бака, если
площадь S-2 поперечного сечения отвер-
стия в 400 раз меньше площади Si по-
перечного сечения бака? Сравнить это
время с тем, которое понадобилось бы
для вытекания такого же объема воды,
если бы уровень воды в баке поддерживался постоянным на вы-
соте h = 1 м от отверстия.
4.8. В сосуд льется вода, причем за единицу времени нали-
вается объем воды V) = 0,2 л/с. Каким должен быть диаметр d
отверстия в дне сосуда, чтобы вода в нем держалась на посто-
янном уровне h = 8,3 см?
V В задачах 4.3-4.11 жидкости (газы) считать идеальными, несжимаемыми.
44
ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕХАНИКИ
[Гл. I
4.9. Какое давление Р создает компрессор в краскопуль-
те, если струя жидкой краски вытекает из него со скоростью
v = 25 м/с? Плотность краски р = 0,8 • 103 кг/м3.
4.10. По горизонтальной трубе АВ течет жидкость (рис. 39).
Разность уровней этой жидкости в трубках а и b равна АЛ = 10 см.
Диаметры трубок а и b одинаковы. Найти скорость v течения
жидкости в трубке АВ.
4.11. Воздух продувается через трубку АВ (рис. 40). За едини-
цу времени через трубку АВ протекает объем воздуха Vt = 5 л/мин.
Рис. 39
Площадь поперечного сечения широкой части трубки АВ равна
Si = 2см2, а узкой ее части и трубки abc равна S2 = 0,5см2. Най-
ти разность уровней Ah воды, налитой в трубку abc. Плотность
воздуха р = 1,32кг/м3.
4.12. Шарик всплывает с постоянной скоростью v в жидкости,
плотность рг которой в 4 раза больше плотности р-2 материа-
ла шарика. Во сколько раз сила трения FTp. действующая на
всплывающий шарик, больше силы тяжести тд, действующей на
этот шарик?
4.13. Какой наибольшей скорости v может достичь дождевая
капля диаметром d — 0,3 мм, если динамическая вязкость воздуха
т/ = 1,2 • 10“5 Па с?
4.14. Стальной шарик диаметром d = 1 мм падает с посто-
янной скоростью г = 0,185 см/с в большом сосуде, наполненном
касторовым маслом. Найти динамическую вязкость д касторового
масла.
4.15. Смесь свинцовых дробинок с диаметрами d2 = Змм и
d-2 = 1 мм опустили в бак с глицерином высотой h = 1м. На
сколько позже упадут на дно дробинки меньшего диаметра по
сравнению с дробинками большего диаметра? Динамическая вяз-
кость глицерина д = 1,47 Па с.
4.16. Пробковый шарик радиусом г = 5 мм всплывает в сосуде,
наполненном касторовым маслом. Найти динамическую и кине-
матическую вязкости касторового масла, если шарик всплывает
с постоянной скоростью v = 3,5 см/с.
МЕХАНИКА ЖИДКОСТЕЙ И ГАЗОВ
45
4.17. В боковую поверхность цилиндрического сосуда радиусом
11 = 2 см вставлен горизонтальный капилляр, внутренний радиус
которого г = 1мм и длина I — 1,5 см. В сосуд налито касторовое
масло, динамическая вязкость которого т) = 1,2 Па-с. Найти
зависимость скорости v понижения уровня касторового масла в
сосуде от высоты h этого уровня над капилляром. Найти значение
этой скорости при h = 26 см.
4.18. В боковую поверхность сосуда вставлен горизонталь-
ный капилляр, внутренний радиус которого г = 1 мм и длина
/ = 1,5 см. В сосуд налит глицерин, динамическая вязкость кото-
рого т) = 1,0 Па-с. Уровень глицерина в сосуде поддерживается
постоянным на высоте h = 0,18 м выше капилляра. Какое время
потребуется на то, чтобы из капилляра вытек объем глицерина
V' = 5 см3?
4.19. На столе стоит сосуд, в боковую поверхность которо-
го вставлен горизонтальный капилляр на высоте hi = 5 см от
дна сосуда. Внутренний радиус капилляра г = 1мм и длина
I = 1см. В сосуд налито машинное масло, плотность которого
Р = 0,9 • 103 кг/м3 и динамическая вязкость т/ = 0,5Пас. Уровень
масла в сосуде поддерживается постоянным на высоте hz = 50 см
выше капилляра. На каком расстоянии I от конца капилляра
(по горизонтали) струя масла падает на стол?
4.20. Стальной шарик падает в широком сосуде, наполненном
трансформаторным маслом, плотность которого р = 0,9 • 103 кг/м3
и динамическая вязкость т] ~ 0,8 Па с. Считая, что закон Стокса
имеет место при числе Рейнольдса Re $ 0,5 (если при вычисле-
нии Re в качестве величины D взять диаметр шарика), найти
предельное значение диаметра D шарика.
4.21. Считая, что ламинарность движения жидкости (или га-
за) в цилиндрической трубе сохраняется при числе Рейнольдса
Re 3000 (если при вычислении Re в качестве величины D
взять диаметр трубы), показать, что условия задачи 4.1 соответ-
ствуют ламинарному движению. Кинематическая вязкость газа
</ = 1,33-10-® м2/с.
4.22. Вода течет по трубе, причем за единицу времени через
поперечное сечение трубы протекает объем воды V) = 200 см3/с.
Динамическая вязкость воды т[ = 0,001 Па с. При каком пре-
дельном значении диаметра D трубы движение воды остается
ламинарным? (См. условие предыдущей задачи.)
4.23. * Сферический баллон радиуса R со стенками толщины А
разрывается внутренним давлением Р. Определить предел проч-
ности материала стенок.
4.24. * Почему сосиска в кипятке лопается вдоль, а не поперек?
4.25. * В полусферический колокол, края которого плотно при-
легают к поверхности стола, наливают через отверстие вверху
46
ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕХАНИКИ
[Гл. I
жидкость. Когда жидкость доходит до отверстия, она приподни-
мает колокол и начинает из-под него течь. Найти массу колокола,
если его внутренний радиус равен R, а плотность жидкости р.
4.26. * Закрытый цилиндр радиуса R, заполненный на три че-
тверти своего объема жидкостью плотности р, вращается в не-
весомости вместе с жидкостью с угловой скоростью ш вокруг
своей оси. Как меняется давление в жидкости в зависимости от
расстояния до стенок цилиндра?
4.27. * Найти форму поверхности жидкости в цилиндрическом
стакане, который вращается вместе с жидкостью вокруг своей
оси с угловой скоростью ш.
4.28. * Цилиндрический стакан радиуса R, заполненный жид-
костью плотности р, вращается с угловой скоростью си вокруг
своей оси. В сосуде находится шарик радиуса г и плотности 2р.
Найти силу, с которой шарик давит на боковую стенку сосуда.
4.29. * Из отверстия в дне высокого сосуда вытекает вода. Се-
чение сосуда S, сечение струи s. Уровень воды в сосуде переме-
щается с постоянным ускорением. Найти это ускорение.
4.30. * На мыльном пузыре радиуса R находится еще один
мыльный пузырь радиуса г. Какой радиус кривизны имеет плен-
ка, их разделяющая? Какой угол образуют пленки в местах
соприкосновения?
Глава II
МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА
§ 5. Молекулярно-кинетическая теория
Уравнение состояния идеального газа
pV - S КГ,
р
где р— давление газа, V— его объем, Т — термодинамическая температура,
m — масса газа, д— молярная масса газа; R — 8,31441 Дж/моль • К — газовая
постоянная.
Закон Дальтона для давления смеси газов
Р=
t=i
где р{ — парциальное давление, т. е. давление, которое имел бы каждый из газов
п отдельности, если бы он при данной температуре один заполнял весь объем.
Основное уравнение кинетической теории газов имеет вид
p==|n^=x2nrn^i
где п — концентрация молекул, W— средняя кинетическая энергия поступа-
тельного движения одной молекулы с массой mo, V v2 — средняя квадратичная
скорость молекул.
Число молекул в единице объема (концентрации)
те к = 1,380662 10 23 Дж/К— постоянная Больцмана.
Средняя кинетическая энергия поступательного движения одной молекулы
W - | кТ.
Энергия теплового движения молекул (внутренняя энергия) газа
W _ i тр gj, '
£ р.
где i — число степеней свободы молекул.
48
МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА
[Гл. II
Теплоемкость тела определяется как
С=^Дж/К,
где Q — количество тепла, сообщенное телу и повышающее его температуру
на 1 К.
Молярная теплоемкость, т. е. теплоемкость одного моля вещества
- м сГГ '
Удельная теплоемкость
т <ГГ'
Связь между молярной и удельной теплоемкостями
с = Си / д.
Теплоемкость при постоянном объеме
где U — внутренняя энергия тела.
Теплоемкость при постоянном давлении
Внутренняя энергия идеального газа
U = CVT.
Функция распределения Максвелла молекул по скоростям
(2^тУ/2ехр Gif)-
Функция распределения Максвелла молекул по проекции скорости
Вероятность того, что компоненты скорости лежат в пределах от vz
до vx + dvx, vy + dvy, vz + dvz есть
dP = f (v) dvx dvy dvx .
Число молекул, величина скоростей которых лежит в интервале от v до v + dv
dNv -N f(v} 4ttd2 dv,
N — полное число молекул газа.
МОЛЕКУЛЯРНО-КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ
49
Функция распределения Максвелла по модулю скорости
/ \3/2 / 2\
F(v) = /(u)4wv2 = (Дд,) exp 4ян2.
Распределение Больцмана молекул во внешнем потенциальном поле
и концентрация молекул, обладающих потенциальной энергией Wp, по —
। ппцентрация молекул с нулевой потенциальной энергией.
Количество молекул, попадающих в пределы объема dv — dx dy dz, располо-
i.i'HHOro в точке с координатами х, у, z, равно
(W = по ехр (- 'j dx dy dz.
\ Л-1 /
Закон Максвелла — Больцмана
/ т \3/2 ( -р+^\
dN = no I ) exp I----------j-т--- I dvx dvv dvz dx dy dz.
Наиболее вероятная скорость молекул
п» = у/ 2HT/(i.
1 родняя скорость молекул (арифметическая)
/ 8ДТ
}/ яд ‘
1 редняя квадратичная скорость молекул
у М у то
При решении задач на закон распределения молекул по скоростям удобно
пользоваться табл. 2, в которой даны значения Л/'Щ!'} Ли) для различных и.
Таблица 2
и AN/(AT Ди) и ^N/(N Ли) и ДДГ/(ЛГДи)
0 0 0,9 0,81 1,8 0,29
0,1 0,02 1,0 0,83 1,9 0,22
0,2 0,09 1,1 0,82 2,0 0,16
0,3 0,18 1,2 0,78 2,1 0,12
0,4 0,31 1,3 0,71 2,2 ' 0,09 ,
0,5 0,44 1,4 0,63 2,3 0,06
0,6 0,57 1,5 0,54 2,4 0,04
0,7 0,68 1,6 0,46 2,5 0,03
0,8 0,76 1,7 0,36
50
МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА
[Гл.
Во многих случаях важно знать число молекул Nx, скорости которых пре-
вышают заданное значение скорости и. В табл. 3 даны значения Nx/N для.
различных и, где N — общее число молекул.
Таблица 3
U nx/n и №/ЛГ и Nx/N
0 1,000 0,6 0,868 1,25 0,374
0,2 0,994 0,7 0,806 1,5 0,213
0,4 0,957 0,8 0,734 2,0 0,046
0,5 0,918 1,0 0,572 2,5 0,0057
Барометрическая формула дает закон убывания давления газа с высотой в
поле силы тяжести:
Р = Роехр(-^),
здесь р — давление газа на высоте h, ро—давление на высоте h = 0, д =
— 9,80665 м/с2—ускорение свободного падения. Эта формула приближенная,
так как температуру Т нельзя считать одинаковой для больших разностей вы-
сот.
Средняя длина свободного пробега молекул газа
А = 2 = 1 ,
z y/2ira2n ’
где v — средняя арифметическая скорость, z— среднее число столкновений
каждой молекулы с остальными в единицу времени, а — эффективный диаметр
молекулы, п — число молекул в единице объема (концентрация молекул). Об-
щее число столкновений всех молекул в единице объема за единицу времени
Z = zn/2.
Масса, перенесенная за время At при диффузии,
m =
&х
где Др/Дт— относительное изменение плотности в направлении х, перпенди-
кулярном к площадке Д5, D = vA/3— коэффициент диффузии (р— средняя
арифметическая скорость, А — средняя длина свободного пробега молекул).
Импульс, перенесенный газом за время At, определяет силу внутреннего тре-
ния FTp в газе:
Ft₽ = Л5’
где Др/Дт— относительное изменение скорости течения газа в направлении х,
перпендикулярном к площадке Д5, ц = рАр/3— динамическая вязкость.
Количество теплоты, перенесенное за время At вследствие теплопроводно-
сти, определяется формулой
О = Д^
* /X т* ’
МОЛЕКУЛЯРНО-КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ
51
»• ДТ/Az—относительное изменение температуры в направлении х, перпен-
шм'ляриом к площадке Д5, К = vXcyp/3— теплопроводность.
Первое начало термодинамики может быть записано в виде
SQ - dU + <54,
. <' i)Q — количество теплоты, полученное газом, dU—изменение внутренней
..ргии газа, 6А = pdV—элементарная работа, совершаемая газом при изме-
и. кии его объема.
Изменение внутренней энергии газа при изменении температуры
dU= ±^Rd.T.
Полная работа, совершаемая при изменении объема газа,
V2
4 = J pdV.
V1
I ’абота, совершаемая при изотермическом изменении объема газа,
4из = ЯТ^1п^.
Давление газа и его объем связаны при адиабатическом процессе уравнением
11 \ ассона
р Vх = const, т. е. ~ ,
F Р2 \ Ц J
- н' показатель адиабаты х — Ср/су. Уравнение Пуассона может быть записано
..в таком виде:
TV*-1 = const, т.е. =
TpV-*^ const, т.е. Й =
Работа, совершаемая при адиабатическом изменении объема газа, может
u.rii, найдена по формуле
. ЯГ1 m Г. AViV-1] RTi Т2\ PiViCTi-Tz)
^a-X-lpL1 \V2) J-X-lgV Ti7“ (X-l)Ti ’
,< pi и Vi —давление и объем газа при температуре Ti.
Уравнение политропического процесса имеет вид
pVn = const, или piV" = раУ2п,
, ,< п— показатель политропы (1 < п < оо).
52
МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА
[Гл. I
Коэффициент полезного действия (к.п.д.) тепловой машины
_ Qi - Qi
Qi
где Qi —количество теплоты, полученное рабочим телом от нагревателя, Qi~
количество теплоты, отданное холодильнику. Для идеального цикла Карно
ц Г1
где 7\ и Тг—термодинамические температуры нагревателя и холодильника.
Разность энтропий Зд — Зд двух состояний В и Д определяется формулой
в
Sb ~Sa = j"
A
5.1. Посередине откачанного и запаянного с обеих сторон ка-
пилляра, расположенного горизонтально, находится столбик рту-
ти длиной I = 20 см. Если капилляр поставить вертикально, то
столбик ртути переместится на NI = 10 см. До какого давления
был откачан капилляр? Длина капилляра L = 1 м.
5.2. * Внутри закрытого с обоих концов горизонтального ци-
линдра имеется тонкий поршень, который может скользить в'
цилиндре без трения. С одной стороны поршня находится водо-
род массой mi = 4 г, с другой — азот массой m2 = 14 г. Какую
часть объема цилиндра занимает водород?
5.3. * Сосуд разделен перегородками на три части, объемы кото-1
рых равны Vi, V-2 и 1'з и в которых находятся газы при давлениях j
Pi, р-2 и рз соответственно. Какое давление в сосуде установится
после удаления перегородок, если температура при этом осталась I
неизменной? 1
5.4. * В баллоне объемом 0,2 м3 находится газ под давлением
105Па при температуре 290 К. После подкачивания газа давление 1
повысилось до 3-105Па, а температура увеличилась до 320 К. На
сколько увеличилось число молекул газа? R = 8,31 Дж/моль • К, ,1
Na = 6,02 • 1023 моль-1. >
5.5. * Объем камеры насоса равен Vo. За сколько циклов ра-
боты насоса можно накачать автомобильную камеру объемом V !
от давления pi до давления р-2? Температуру воздуха считать j
постоянной. Давление атмосферы ро.
5.6. * Откачивающий насос захватывает за один цикл объем
газа Vo и выталкивает его в атмосферу. Сколько циклов должен
сделать насос, чтобы понизить давление в сосуде объема V от
значения ро до р?
5.7. * Каков должен быть вес оболочки детского воздушного ша-
рика, наполненного водородом, чтобы результирующая подъемная
МОЛЕКУЛЯРНО-КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ
53
i.i шарика F = 0, т. е. чтобы шарик находился во взвешенном
•• 1ОЯПИИ? Воздух и водород находятся при нормальных услови-
.Давление внутри шарика равно внешнему давлению. Радиус
• 'рика равен 12,5см. Молярные массы газов известны.
5.8. * Воздушный шар объемом 103м3 заполнен гелием. При
р ма.зьных условиях он может поднять груз массой 103 кг. Какой
। । может поднять тот же шар при замене гелия водородом при
и же температуре? Молярные массы газов известны.
5.9. * Воздушный шар объемом 240м3, заполненный водородом
I-и температуре 300К, поднимает полезный груз массой 300кг.
I и. nil полезный груз сможет поднять воздушный шар, если его
iin iiniTb горячим воздухом при температуре 400К? До какой
пи ратуры нужно нагреть воздух, чтобы воздушный шар смог
•шагь такой же полезный груз, как и при заполнении его
| '1><>дом? Молярная масса воздуха д = 0,029 кг/моль.
'>10.* Два одинаковых сосуда заполнены кислородом при тем-
| р.нуре Ту и соединены между собой трубкой с ничтожно малым
к'мом. Во сколько раз изменится давление кислорода в со-
i.iк, если один из них нагреть до температуры ТД а второй
। и'рживать при температуре Ту?
5.11. * Два сосуда с объемом Vi = 100см3 и V% — 200см3 разде-
.... подвижным поршнем, не проводящим тепла. Сначала тем-
р । тура газа в сосудах Т = 300 К, а его давление р = 1,01-105 Па,
..... меньший сосуд охладили до Ту = 273К, а большой нагрели
= 373 К. Какое давление установится в сосудах?
5.12. Найти плотность водорода при температуре t = 15 °C и
'и к-нии р = 97,3 кПа.
5.13. Построить график зависимости плотности кислорода:
и давления при Т = const = 390 К в интервале значений
/> < 400 кПа через каждые 50 кПа; б) от температуры Т при
const = 400 кПа в интервале 200 С Т С 300 К через каж-
>> 20 К.
5.14. В сосуде объемом 2л находятся углекислый газ ту = 6г
1.1кись азота (N2O) т-2 = 4г при температуре 400К. Найти
и кчше смеси в сосуде.
5.15. В сосуде находятся 14г азота и 9г водорода при темпе-
. । \ ре t= 10°С и давлении р= 1МПа. Найти молярную массу
I л и объем сосуда.
5.16. Закрытый сосуд объемом 2л наполнен воздухом при
। i шальных условиях. В сосуд вводится диэтиловый эфир
1 ILOC2H5). После того как весь эфир испарился, давление
.......уде стало равным 0,14 МПа. Какая масса эфира была вве-
ц.1 в сосуд?
5.17. В сосуде объемом 0,5л находится 1г парообразного йода
। । При температуре 103 °C давление в сосуде 93,3 кПа. Найти
........ диссоциации а молекул йода на атомы. Молярная масса
| и'кул йода р = 0,254кг/моль.
54
МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА
[Гл. I
5.18. * В сосуде объемом V = 1дм3 находится 0,2 г углекислой
газа. При температуре Т = 2600 К некоторая часть молекул СО;
диссоциировала на молекулы окиси углерода согласно
2СО2 2СО + О2 .
При этом давление в сосуде оказалось равным 108 кПа. Найти
степень диссоциации СО2 при этих условиях.
5.19. В сосуде находится углекислый газ. При некоторой тем-
пературе степень диссоциации молекул СО2 на СО и О2 равна
а = 0,25. Во сколько раз давление в сосуде при этих условиях
будет больше того давления, при котором молекулы СО2 не была
диссоциированы?
5.20. В воздухе содержится 23,6% кислорода и 76,4% азота
(по массе) при давлении р = 100 кПа и температуре Т = 290 К,1
Найти плотность воздуха и парциальные давления кислорода и
азота.
5.21. В сосуде находится Юг СО2 и 15г N2. Найти плотность
смеси газов при температуре 300 К и давлении 150 кПа.
5.22. Найти массу атома: а) водорода; б) гелия. i
5.23. * Вертикальный цилиндр, закрытый с обоих концов, раз-
делен поршнем. По обе стороны поршня находится по одному
молю воздуха при температуре Т = 300 К. Отношение объемов
верхней части цилиндра и нижней равно г) = 4. При какой]
температуре воздуха отношение этих объемов станет гд = 3?
5.24. * Два расположенных горизонтально цилиндрических со-:,
суда, соединенных герметически, перекрыты поршнями, соеди-,
ненными недеформируемым стержнем. Между поршнями и вне
их находится воздух при атмосферном давлении ро- Площади
поршней равны Si и S2. Первоначальный объем воздуха между
поршнями равен vq (рис. 41). На сколько сместятся поршни,
если давление в камере А повысить до значения р? Температуру
воздуха считать постоянной. Трением пренебречь. Камера В
сообщается с атмосферой.
5.25. * В горизонтально закрепленной, открытой с торцов трубе
сечения S находятся два поршня. В исходном состоянии левый;
поршень соединен недеформируемой пружиной жесткости к со
стенкой, давление газа ро между поршнями равно атмосферному,
расстояние I от правого поршня до края трубы равно расстоянию’
между поршнями (рис. 42). Правый поршень медленно вытянули
до края трубы. Какую силу надо приложить к поршню, чтобы]
удержать его в таком положении? Температура газа постоянна.’
Трением пренебречь.
5.26. Молекула азота летит со скоростью v = 430м/с. Найти
импульс этой молекулы.
5.27. Как, зная плотность вещества р и молярную массу р,
найти число молекул в единице объема?
'I '!
МОЛЕКУЛЯРНО-КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ
55
5.28. Какое число молекул находится в комнате объемом
н = 80 м3 при температуре t = 17 °C и давлении р — 100 кПа?
5.29. Какое число частиц п находится в единице массы па-
рообразного йода (J2), степень диссоциации которого а — 0,5?
Молярная масса J2 р = 0,254кг/моль.
5.30. Какое число N частиц находится в 16г кислорода, сте-
пень диссоциации которого а = 0,5?
5.31. В сосуде находится 10-тмоль кислорода и 10-6г азота.
Температура смеси t = 100 °C, давление р = 133 мПа. Найти
ыгьем сосуда, парциальные давления кислорода и азота и число
молекул в единице объема сосуда.
5.32. * Изобразить для идеального газа примерные графики
и юхорического, изобарического, изотермического и адиабатиче-
кого процессов на диаграммах: а) р, V; б) Т, V; в) р, Т. Гра-
фики изобразить проходящими через общую для них точку.
5.33. * Изобразить для идеального газа примерные графики:
i) изохорического, изобарического и адиабатического процессов
пл диаграмме U, Т; б) изохорического, изобарического, изотерми-
и ткого и адиабатического процессов на диаграммах U, V и U, р.
I откладывать по оси ординат. Исходной для всех графиков
принять общую точку.
5.34. * Чему равна теплоемкость идеального газа при: а) изо-
к рмическом; б) адиабатическом процессах?
5.35. Найти удельную теплоемкость кислорода для: а) V —
const; б) р — const.
5.36. Найти отношение удельных теплоемкостей Ср/су для кис-
Н1|>ода.
5.37. * Показать, что молярные теплоемкости Ср = Су + R
сравнение Майера).
5.38. Плотность некоторого двухатомного газа при нормальных
повиях р = 1,43кг/м3. Найти удельные теплоемкости су и Ср
и иго газа.
5.39. Найти степень диссоциации а кислорода, если его удель-
ная теплоемкость при постоянном давлении ср = 1,05 кДж/кг • К.
5.40. Найти степень диссоциации а азота, если отношение
. = 1,47-
56
МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА
[Гл.
5.41. Найти удельную теплоемкость ср газовой смеси, состою
щей из 3000 молей аргона и 2000 молей азота.
5.42. Юг кислорода находится при давлении р = 0,3МПа 1
температуре t = 10 °C. После нагревания при р = const газ заня
объем Юл. Найти количество теплоты, полученное газом,
энергию теплового движения молекул газа до и после нагреванш
5.43. В сосуде объемом V = 2 л находится азот при давлени
р = 0,1 МПа. Какое количество теплоты надо сообщить азот}
чтобы: а) при р = const объем увеличился вдвое; б) при v = cons
давление увеличилось вдвое?
5.44. Какую массу углекислого газа можно нагреть при р i
= const от температуры С = 20 °C до t2 = 100 °C количеством те
плоты Q = 222 Дж? На сколько при этом изменится кинетическа
энергия одной молекулы?
5.45. Для нагревания некоторой массы газа на Ati = 50 °C npj
р = const необходимо затратить количество теплоты Q = 670 Дж
Если эту массу газа охладить на Д£г = 100 °C при V — cons:
то выделяется теплота Q? — 1005 Дж. Какое число степеней сво
боды i имеют молекулы этого газа?
5.46. * Найти среднюю квадратичную скорость молекул воздух!
при температуре 290 К. Молярная масса воздуха р = 0,029 кг/мол^
5.47. Найти концентрацию молекул водорода при давленщ
р = 266,6 Па, если средняя квадратичная скорость его молекул
2,4 Ю3 м/с.
5.48. Во сколько раз средняя квадратичная скорость пылинки
взвешенной в воздухе, меньше средней квадратичной скорости мо
лекул воздуха? Масса пылинки т = 10~8 г. Воздух считать одна
родным газом, молярная теплоемкость которого р = 0,029 кг/моль
5.49. Найти импульс молекулы водорода при температур»
t = 20 °C. Скорость молекулы считать равной средней квадратич-
ной скорости.
5.50. Найти внутреннюю энергию 20 г кислорода при темпер»
туре t = 20 °C. Какая часть этой энергии приходится на доли;
поступательного движения молекул и какая на вращательное дви
жение? !
5.51. Найти внутреннюю энергию двухатомного газа, находя
щегося в сосуде объемом V = 2 л под давлением р— 150 кПа.
5.52. При какой температуре энергия теплового движения ато
мов гелия будет достаточна для того, чтобы преодолеть земно»
тяготение и навсегда покинуть земную атмосферу?
5.53. * Получить уравнение состояния для адиабатического про
цесса, т. е. связь между параметрами р, V или р, Т.
5.54. * Два различных газа, занимающие один и тот же началь
ный объем Vo, при одинаковом начальном давлении ро внезапна
подвергаются адиабатическому сжатию, каждый до половины сво
его первоначального объема. Каково конечное давление в каждое
МОЛЕКУЛЯРНО-КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ
57
. ио сравнению с ро, если первый газ одноатомный, а второй
I .ГГОМНЫЙ?
'> 55.* Адиабатической называется атмосфера, в которой давле-
... и плотность в зависимости от высоты удовлетворяют соотно-
..... рр~* = const. Показать, что температура газа атмосферы
niui iliio уменьшается с высотой, и найти коэффициент пропор-
"I < 'ИИЛЬНОСТИ.
'>.56.* Определить вероятность того, что: а) при бросании мо-
ii.i выпадет герб; б) при бросании игральной кости выпадет
цифра. 5; в) из колоды с 36 картами будет вынут туз червей.
>.57.* Какова вероятность того, что при бросании игральной
• । и выпадет: а) либо единица, либо шестерка; б) четная циф-
। 1 '
5.58. * Два стрелка одновременно и независимо стреляют в одну
... и. Найти вероятность поражения цели, если вероятности попа-
. и и я в цель первым и вторым стрелками равны соответственно
и и 0,7. Цель считается пораженной, если в нее попадает хотя
II идин стрелок.
3.59. * При игре в Спортлото из N = 49 номеров наудачу вы-
........потея по = 6. Вычислить вероятность ш,у.По(А’) того, что вы
। । шоте к «счастливых» номеров — тех, которые определяются в
* н.нейшем при тираже. Сделать расчет для к = 0, 1, 2, ... , 6.
> .60.* N неразличимых шаров случайным образом расклады-
..... по G N нумерованным ящикам. В один ящик помещается
п.ко один шар. Слова «случайным образом» означают, что
. । । 1ый шар с равной вероятностью может оказаться в любом
। нободных ящиков. Определить вероятность w того, что N
и пиков с определенными номерами будут с шарами.
> .61.* N различных шаров случайным образом раскладывают
<! N нумерованным ящикам. Слова «случайным образом»
।i.i'iaiOT, что каждый шар с равной вероятностью может попасть
|юбой ящик независимо от размещения остальных. Определить
сытность того, что ни в какой ящик не попадет более одного
" I 11 )> I.
> .62.* Некоторая случайная переменная х может принимать
и ик'ния Ш1, х%, ..., Xi, ..., вероятности которых w(xi) из-
1пы. Написать выражения, определяющие следующие средние
। ифметические: (х), (х2), (/(я)), среднеквадратичную флуктуа-
.1.11.1 х/ ((х - (х))2} .
з 63.* Величина х может принимать только два значения: Xi
•• - • . причем вероятность первого равна р. Найти {х3).
5.64. * Известно распределение вероятностей dw(x') = p{x)dx
। । । случайной переменной x, принимающей значение а х Ь.
и писать выражения, определяющие следующие средние ариф-
। |нческие: (х), (х2), (/(т)) (/(х) — некоторая интегрируемая
|. пкпия х), среднеквадратичную флуктуацию у/ {(х — (х))2}.
58
МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА
[Гл.
на Дг)
от г>вер до ивер + Ди, больше числа
5.65. * Положение частицы распределено равномерно в шар<
радиуса R. Определить вероятность dw (г) обнаружения частиць
на расстоянии от г до г + dr от центра шара. Чему равны сред
нее (г) и среднеквадратическое у/{г2} расстояния от частицы д<
центра шара? Внутри шара какого радиуса частица окажется с
вероятностью х/2 ? (Центры шаров совпадают.)
5.66. * В сосуде находится N молекул. Найти вероятность и
того, что в процессе хаотического движения все молекулы собе
рутся в одной половине сосуда. Вычислить w для N = 2, Щ
Na = 6 • 1023.
5.67. * Распределение вероятностей для некоторой случайно!
величины х имеет вид dw(x') a exp (—Ат) dx, А > 0 (0 С х < оо)^
Отнормировать распределение. Найти средние (т), (т2), средней
квадратичную и относительную флуктуации.
5.68. При какой температуре средняя квадратичная
молекул азота больше их наиболее вероятной скорости
= 50м/с?
5.69. Какая часть молекул кислорода при t = 0°С
скоростями v от 100 до 110 м/с, от 900 до 1000 м/с?
5.70. Во сколько раз число молекул ДМ, скорости ю
лежат в интервале
кул AN2, скорости которых лежат в интервале от у/(v2) до
у/ (и2) + Ди?
5.71. Какая часть общего числа N молекул имеет скорости:
а) больше наиболее вероятной скорости ивер; б) меньше наиболее
верОЯТНОЙ СКОрОСТИ «вер?
5.72. В сосуде находится 2,5 г кислорода. Найти число Nx
молекул кислорода, скорости которых превышают среднюю ква-
дратичную скорость у/(и2).
5.73. * Функция распределения вероятностей величины х имеет
вид f (х) = Ае~ах 4тпс2, где А и а — константы. Написать при-
ближенное выражение для вероятности Р того, что значение х
окажется в пределах от 7,9999 до 8,0001.
5.74. * Написать выражение, определяющее относительную до-
лю т) молекул газа, обладающих скоростями, превышающими наи-
более вероятную скорость.
5.75. * Распределение Максвелла для компоненты скорости
имеет вид
dw (vx) - tp (uj) dvx — A exp (-mv2/2fc71) dvx.
Отнормировать это распределение (определить А). Что происхо-
дит с максимальным значением р при: а) увеличении
туры Т; б) увеличении массы т? Вычислить (и2).
5.76. * Исходя из распределения Максвелла по модулю ско-
рости получить распределение для энергии е поступательной
темпера-
МОЛЕКУЛЯРНО-КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ
59
• ||/Кения молекул dw (е) = F(e)</e. Нарисовать графики зависи-
..... F (е) для Hi и No, при одной и той же температуре Т.
.’•.77.* Используя результаты задачи 5.76, найти наивероятней-
.. и среднее (е) значение энергии поступательного движения
’ и кул газа при температуре Т. Найти высоту максимума рас-
I" юления Fq = F(eo)- Нарисовать график F (е) для двух тем-
... । i.i гур: Т и 2Т. При какой энергии е* пересекаются кривые?
। му равны площади под кривыми?
!>.78.* Вертикальный Цилиндр с газом покоится в однородном
.... и' тяжести. Масса молекул газа т, число молекул в цилин-
ч ' .-V, площадь поперечного сечения цилиндра S. Найти разность
г. к'ний газа на нижнее р% и верхнее /и основания цилиндра.
!>.79. Обсерватория расположена на высоте h = 3250м над уров-
। моря. Найти давление р воздуха на этой высоте. Температу-
। • воздуха постоянна и равна 5 °C. Молярная масса воздуха р =
О.029кг/моль. Давление воздуха на уровне моря ро = 101,ЗкПа.
о.8О. Найти плотность воздуха р: а) у поверхности Земли;
। । на высоте h = 4 км от поверхности Земли. Температура воздуха
. .. юянна и равна О °C. Давление воздуха у поверхности Земли
,,, 100 кПа.
Вблизи поверхности Земли отношение концентраций кис-
•|и|да (Ог) и азота (N2) в воздухе Цо = 0,268. Полагая температу-
имосферы не зависящей от высоты и равной 0°С, определить
отношение на высоте h = 10 км.
!>.82.* Равновесный идеальный газ находится во внешнем по-
н котором потенциальная энергия его молекулы равна и (г),
шература газа Т. Концентрация молекул газа в точке с pa-
ir вектором го равна по. Определить концентрацию молекул в
п.е с радиус-вектором г.
Ц.83.* Известна зависимость концентрации молекул газа от ко-
. пшат п(т). Найти распределение вероятностей dw(r') для ко-
пшат молекул. Объем газа V.
!>.84.* Решить предыдущую задачу для распределения Больц-
• 11.1 п (г) = по ехр (—и (т)/кТ).
'• 85.* Равновесный идеальный газ находится в однородном
>' тяжести. Написать зависимость от высоты h концентра-
ми молекул газа п и давления р, если температура газа Т,
Ji - 0) = по, p(h = 0) = ро- Нарисовать графики n(h) и р (7г)
। । двух температур 7) < Тг-
:•.86. Перрен, наблюдая при помощи микроскопа изменение
ниентрации взвешенных частиц гуммигута с изменением высоты
• применяя барометрическую формулу, экспериментально нашел
и гюцпе числа Авогадро Na- В одном из опытов Перрен нашел,
m i при расстоянии между двумя слоями Д/i = 100 мкм число
и пюпных частиц гуммигута в одном слое вдвое больше, чем
• ругом. Температура гуммигута t — 20°С. Частицы гуммигута
60
МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА
[Гл. I
диаметром d = 0,3 мкм были взвешены в жидкости, плотность
которой на Др = 0,2 • 103 кг/м3 меньше плотности частиц. Найтй
по этим данным значение постоянной Авогадро Na. '
5.87. * Используя результат задачи 5.78, получить дифферент
циальное уравнение для зависимости давления р идеального газа
с температурой Т, находящегося в однородном поле тяжести, от
высоты h, для чего рассмотреть цилиндр бесконечно малой высо-
ты dh. Решить это уравнение в предположении, что температура
газа не зависит от h и p(h = 0) = ро- В тех же предположениях
найти зависимость от высоты концентрации молекул п.
5.88. * Может ли планета неограниченно долго удерживать изо-
термическую атмосферу?
5.89. * Идеальный газ находится в сосуде объемом V при тем-
пературе Т. Масса молекул газа тп. Внешних силовых полей;
нет. Найти распределения вероятностей dw (г, v) для координат
и компонент скорости молекул газа. ;
5.90. * Как изменится ответ задачи 5.89, если газ находится во
внешнем поле, в котором потенциальная энергия молекул газа
равна и (г)?
5.91. * Идеальный газ находится в однородном поле тяжести.
Сравнить долю «быстрых» (v vq = у/2кТ/тп) молекул на вы-
соте h — 0 и на высоте h = 1 км. Температура газа от высоты не
зависит.
5.92. * Из баллона, содержащего гелий при давлении 1МПа„
вытекает струя, давление газа в которой 0,1 МПа. Температура
газа в баллоне 300 К. Определить температуру и скорость гелия
в струе.
5.93. * Источник атомов серебра создает узкий пучок, кото-j
рый попадает на внутреннюю поверхность неподвижного цилин-
дра радиуса R = 30 см и образует на ней пятно. Устройство
начинает вращаться с угловой скоростью ш = ЮОтград/с. Опре-
делить скорость атомов серебра, если пятно отклонилось на угол
<р = 0,314 рад от первоначального положения.
5.94. * Скорости частиц, движущихся в потоке, имеют одно на-
правление и лежат в интервале от vq до 2vq. График функции
распределения частиц по скоростям имеет вид прямоугольника.
Чему равно значение функции распределения? Как она изме-
нится, если на частицы в течение времени t вдоль их скорости
действует сила F? Масса каждой частицы равна т.
5.95. * Закрытую с обоих торцов горизонтальную трубку длины
I = 100 см перемещают с постоянным ускорением w, направленным
вдоль ее оси. Внутри трубки находится аргон при температуре
Т = 330К. При каком значении w концентрации аргона вблизи
торцов трубки будут отличаться друг от друга на р = 1 %?
5.96. Найти среднюю длину свободного пробега молекул угле-
кислого газа при температуре t = 100 °C и давлении р = 13,3 Па.
Диаметр молекул СОг с! =0,32 нм.
МОЛЕКУЛЯРНО-КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ
61
5.97. На высоте 300 км от поверхности Земли концентрация
। и гиц газа в атмосфере п = 1015м-3. Найти среднюю длину
!> людного пробега частиц газа на этой высоте. Диаметр частиц
I 0,2 нм.
5.98. Найти среднюю длину свободного пробега молекул воз-
ка при нормальных условиях. Диаметр молекул воздуха
i 0,3 нм.
5.99. Найти среднее число столкновений в единиду времени
'иекул СО2 при температуре t = 100 °C, если средняя длина
пабодного пробега молекул А = 870мкм.
5.100. Найти среднее число столкновений в единиду време-
на молекул азота при давлении р = 53,33 кПа и температуре
< 27 °C.
5.101. Во сколько раз уменьшится число столкновений в еди-
ницу времени в двухатомном газе, если его объем адиабатически
!> личить в 2 раза?
5.102. Найти среднюю длину свободного пробега молекул азота
i n давлении р= ЮкПа и температуре t = 17°С.
5.103. В сосуде объемом V = 100см3 находится 0,5г азота,
и n'irn среднюю длину свободного пробега молекул азота.
5.104. Найти среднее время между двумя последовательными
жновениями молекул азота при давлении р= 133 Па и темпе-
, и гре 10 ° С.
5.105. Какое предельное число молекул воздуха должно нахо-
|'пвся внутри сферического сосуда, чтобы молекулы не сталки-
1ись друг с другом? Диаметр молекулы воздуха d = 0,3 им,
.ц.1метр сосуда D = 15 см.
5.106. Расстояние между катодом и анодом в газоразрядной
.,'кбке d= 15см. Какое давление надо создать в трубке, чтобы
интроны не сталкивались с молекулами воздуха на пути от ка-
."ia к аноду? Температура воздуха t = 27°C, диаметр молекул
- i чуха do = 0,3 нм. Средняя длина свободного пробега элек-
,">на в газе приблизительно в 5,7 раза больше средней длины
людного пробега молекул самого газа.
5.107. Найти среднее число столкновений в единицу времени
'" и’кул некоторого газа, если средняя длина свободного пробега
5мкм, а средняя квадратичная скорость его молекул 500 м/с.
5.108. * При нормальных условиях в 1см3 атомарного водорода
.........ржится 3 • 1019 атомов. Оцените время, в течение которого
- • швина атомов превратится в молекулы водорода. Считать, что
' ' к.уое столкновение двух атомов водорода приводит к образова-
"1чо молекулы. Диаметр атома водорода d = 0,12 нм.
5.109. * Найти вероятность dw столкновения молекулы газа на
•||и-)ке длины dS, если средняя длина свободного пробега А.
62
МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА
[Гл. Ц
5.110. * Найти вероятность dw(x) того, что молекула газа про--
летит путь х без столкновений и столкнется с другой молекулой^
на участке от х до х + dx. Средняя длина свободного пробега!
молекул А. - _
5.111. * Определить характер зависимости средней длины А и
среднего времени т свободного пробега молекул газа от его тем-,
пературы Т и давления р. Качественно нарисовать зависимости;
А (Г) и т (Г) для разных Pi < р-2 < рз <
5.112. * На тонкую плоскую мишень толщины d, содержащую*
rii частиц сорта а в единице объема, падает однородный пучок
частиц сорта Ь, которые рассеиваются на частицах мишени. За,
время Ai зарегистрировано AN частиц сорта Ь, рассеянных на
всевозможные углы. Считая столкновения однократными, опре-
делить полное эффективное поперечное сечение рассеяния a (v)
частиц b на частицах а. Концентрация частиц b п-2, их скорость v,
площадь поперечного сечения пучка S. Частицы мишени а счи-
тать неподвижными.
5.113. * Как связаны между собой полное (<т) и дифференци-
альное (da) сечения рассеяния?
5.114. Найти коэффициент диффузии водорода при нормаль-
ных условиях, если средняя длина свободного пробега А = 0,16мкм.
5.115. Найти коэффициент диффузии гелия при нормальных
условиях.
5.116. Найти массу азота, прошедшего вследствие диффузии
через площадку S = 0,01 м2 за 10 секунд, если плотность из-
меняется в направлении, перпендикулярном к площадке, как
Др/Дх = 1,26кг/м4. Температура азота t = 27°С, средняя длина
свободного пробега молекул азота А= Юмкм. I
5.117. Вычислить коэффициент взаимной диффузии водорода
и азота при температуре Т = 300 К и давлении р = 1,00 • 105Па.
5.118. Получить соотношение между коэффициентом диффу-
зии и подвижностью частицы (соотношение Эйнштейна).
5.119. При каком давлении р отношение вязкости некоторого
газа к коэффициенту его диффузии rj/D = 0,3 кг/м3, а средняя
квадратичная скорость его молекул Vv = 632м/с? ')
5.120. Найти вязкость азота при нормальных условиях, если
коэффициент диффузии для него D = 1,42- 10-5м2/с.
5.121. Найти диаметр молекулы кислорода, если при темпера-
туре t = 0 °C вязкость кислорода р — 18,8 мкПа-с.
5.122. Построить график зависимости вязкости азота от тем-
пературы Т в интервале 100 Т 600 К через каждый 100 К. j
5.123. Коэффициент диффузии и вязкость водорода при не-'
которых условиях равны D = 1,42- 10-4м2/с и т] = 8,5 мкПа-с.
Найти число молекул водорода в единице объема, его плотность,
среднюю длину свободного пробега и среднюю арифметическую
скорость его молекул.
'• -I
МОЛЕКУЛЯРНО-КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ
63
5.124. Какой наибольшей скорости может достигнуть дожде-
п.| я капля диаметром d = 0,3 мм? Диаметр молекул воздуха
<1 - 0,3 нм. Температура воздуха t = 0°С. Считать, что для
иождевой капли справедлив закон Стокса.
5.125. Самолет летит со скоростью v = 360км/ч. Считая, что
, ной воздуха у крыла, увлекаемый вследствие вязкости, d = 4 см,
Н.1ЙТИ касательную силу, действующую на единицу поверхности
крыла. Диаметр молекул воздуха do = 0,3нм. Температура
ж >•,духа t = 0 °C.
5.126. Пространство между двумя коаксиальными цилиндра-
ми заполнено газом. Радиусы цилиндров равны Ri = 5 см,
= 5,2 см. Высота внутреннего цилиндра h = 25 см. Внеш-
ний цилиндр вращается с частотой п = ЗбОоб/мин. Для того,
иобы внутренний цилиндр оставался неподвижным, к нему на-
II) приложить касательную силу FT = 1,38 мН. Рассматривая в
нервом приближении поверхность цилиндров плоской, определить
низкость газа ц между цилиндрами.
5.127. Найти теплопроводность водорода, вязкость которого
|/ - 8,6 мкПа • с.
5.128. Найти теплопроводность воздуха при давлении р =
100 кПа и температуре t = 10 °C. Диаметр молекул воздуха
/ = 0,3 нм.
5.129. Построить график зависимости теплопроводности водо-
рода от температуры Т в интервале 100 $ Т 600 К через каждые
100К.
5.130. Углекислый газ и азот находятся при одинаковых тем-
in ратурах и давлениях. Найти для этих газов отношение:
О коэффициентов диффузии; б) вязкости; в) теплопроводностей.
1.паметры молекул газов считать одинаковыми.
5.131. Расстояние между стенками дыоаровского сосуда d =
8 мм. При .каком давлении р теплопроводность воздуха, нахо-
ницегося между стенками сосуда, начнет уменьшаться при откач-
||? Температура воздуха t = 17 °C. Диаметр молекул воздуха
• I 0,3 нм.
5.132. * Известны градиент температуры VT и теплопровод-
|||><ть к. Написать выражение для вектора плотности потока
н плоты q. Указать единицы измерения q и к в СИ.
5.133. Какое количество теплоты Q теряет помещение за время
I 1 ч через окно за счет теплопроводности воздуха, заключен-
ною между рамами? Площадь каждой рамы S = 4м2, расстояние
между ними d ~ 30см, температура помещения ti = 18 °C, темпе-
p.u ура наружного воздуха t? = —20 °C. Диаметр молекул воздуха
•Л, - 0,3 нм. Температуру воздуха между рамами считать равной
। реднему арифметическому температур помещения и наружного
шидуха. Давление р = 101,3 кПа.
64
МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА
[Гл. 1
5.134. Между пластинами, находящимися на расстоянии 1 м»
друг от друга, находится воздух и поддерживается разность тем
ператур ДТ = 1 К. Площадь каждой пластины S = 0,01 м2. Каксм
количество теплоты Q передается за счет теплопроводности 01
одной пластины к другой за время 10 мин? Считать, что воздуэ
находится при нормальных условиях. Диаметр молекулы воздух?
0,3 нм.
5.135. * Температура Т идеального одноатомного газа убывает
вдоль оси х, функция Т (а:) известна. Пусть некоторая молекула
пролетела без столкновения от точки х в точку х + А, где А —
средняя длина свободного пробега. Какой «избыток» средне!
кинетической энергии Д/Д она принесла с собой? ;
5.136. Два тела с постоянными температурами Т\ и Т2 (T2>Ti,
соединены теплопроводящим стержнем длины I с поперечным се-
чением S. Пренебрегая потерями теплоты через боковую поверх!
ность стержня, определить зависимость температуры стержня Т.
от координаты з:. Найти поток теплоты q через поперечное сече-
ние стержня. Теплопроводность материала стержня к.
5.137. * Зазор между двумя концентрическими сферами запол-
нен однородным изотропным веществом. Радиусы сфер равный
Г1 = 10 см, = 12 см. Поверхность внутренней сферы поддер-
живается при температуре Д = 320 К, поверхность внешней—!
при температуре Т2 = 300 К. В этих условиях от внутренней
сферы к внешней распространяется установившийся тепловой по-
ток dQ/dt = 2 кВт. Считая коэффициент теплопроводности ве-
щества к в зазоре не зависящим от температуры, определить:
а) значение к-, б) температуру в зазоре как функцию расстоя-
ния г от центра сфер.
5.138. * Температура воздуха земной атмосферы линейно уве-,
личивается с высотой h, Т = То + ah. При этом относительное
изменение температуры ah/To остается много меньше 1. Длина
свободного пробега молекул воздуха А, масса каждой молеку-
лы т, концентрация молекул п. Оцените плотность теплового
потока на Землю, как она зависит от тг?
5.139. * Теплопроводности газов А и В равны соответственна
ki и к%. Определить теплопроводность смеси, в которой молекул;
газа Ава раз больше, чем молекул газа В. Температура газов'
одинакова, газы одноатомные. Молярные массы газов соответ-
ственно Д1 И Д2-
5.140. * В разреженном газе нагретое тело остывает за время т.
За какое время остынет тело из того же материала, если все его
линейные размеры увеличить в п раз?
5.141. * В сосуде находится газ под давлением р. В стенке
сосуда имеется отверстие площади S, размеры которого малы по
сравнению с длиной свободного пробега молекул газа. Определить
реактивную силу, испытываемую сосудом при истечении газа в
вакуум.
-|51
МОЛЕКУЛЯРНО-КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ
65
5.142. * Между двумя длинными коаксиальными цилиндрами
радиуса и и гг находится разреженный газ. Внутренний цилиндр
вращается с постоянной угловой скоростью ш. Оценить угловую
с корость внешнего цилиндра.
5.143. * Оценить подъемную силу пластины площадью 1м2,
нижняя поверхность которой находится при температуре 100 °C,
верхняя при 0°С. Температура воздуха 20°С, давление 0,1 Па.
5.144. * Две одинаковые параллельные пластины площади S
расположены в сосуде близко друг к другу; их температура
и Т-2, температура стенок сосуда Т. Пластины отталкиваются
друг от друга с силой F. Оценить давление разреженного газа в
сосуде.
5.145. * В сосуде с газом поддерживается температура То. Вне
его находится газ, давление которого р, а температура Т. Чему
равно давление газа внутри сосуда, если в стенке сосуда имеется
небольшое отверстие? Газы разрежены.
5.146. * Между двумя плоскими параллельными пластинами,
расположенными на расстоянии d друг от друга, находится раз-
реженный одноатомный газ. Оценить плотность потока тепла,
е сли температура пластин поддерживается равной Т и Т + ДТ
соответственно, а концентрация атомов п. Масса атома тп.
5.147. * Газ, заключенный в сосуде объема V, вытекает в ваку-
\м через отверстие, диаметр которого много меньше длины сво-
бодного пробега молекул. Площадь отверстия S. Процесс проте-
кает изотермически при температуре Т. Найти время т, за ко-
юрое давление в сосуде уменьшится в п раз. Молярная масса
газа р.
5.148. * Определить скорость адиабатического истечения смеси
свухатомных газов с молярной массой pi и дт. Число моле-
кул первого газа в к раз больше числа молекул второго газа.
Температура смеси Т.
5.149. * Газ адиабатически вытекает из сосуда через трубку.
Температура газа в сосуде Т1: давление рх. На выходе из трубки
давление газа рг- Определить скорость газа на выходе из трубки.
Молярная масса газа р, показатель адиабаты х.
5.150. * Из баллона, содержащего гелий при давлении 1 МПа,
илтекает струя, давление газа в которой 0,1 МПа. Температура
। аза в баллоне 300 К. Определить температуру и скорость гелия
н струе.
5.151. * Воздух, сжатый в большом баллоне при температуре
1ГС, вытекает при атмосферном давлении через трубку со ско-
ростью 400 м/с. Найти температуру воздуха в струе. Чему равно
паление воздуха в баллоне?
5.152. Юг кислорода находятся в сосуде под давлением р =
300 кПа и температуре 10 °C. После изобарического нагревания
66
МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА
[Гл. II
газ занял объем V — Юл. Найти количество теплоты, полученное
газом, изменение внутренней энергии газа и работу, совершенную
газом при расширении.
5.153. В закрытом сосуде находится масса 20 г азота и 32 г
кислорода. Найти изменение внутренней энергии газов при охла-
ждении ее на 28 К.
5.154. 7г углекислого газа были нагреты на ЮК в услови-
ях свободного расширения. Найти работу расширения газа и
изменение его внутренней энергии.
5.155. В сосуде под поршнем находится 1г азота. Какое ко-
личество теплоты надо затратить, чтобы нагреть азот на 10 К?
На сколько при этом поднимется поршень? Масса поршня 1 кг,
площадь его поперечного сечения 10 см2. Давление под поршнем
100 кПа.
5.156. При изотермическом расширении Юг азота, находяще-
гося при температуре 17°C, была совершена работа 860Дж. Во
сколько раз изменилось давление при расширении?
5.157. Гелий, находящийся при нормальных условиях, изотер-
мически расширяется от объема 14 = 1л до V? = 2 л. Найти
работу, совершенную газом при расширении, и количество тепло-
ты, сообщенное газу.
5.158. До какой температуры охладится воздух, находящийся
при 0°C. если он расширяется адиабатически от объема 14 до
V2 = 214?
5.159. При адиабатическом сжатии воздуха в цилиндрах двига-
теля внутреннего сгорания давление изменяется от pi = 0,1 МПа
до р2 = 3,5МПа. Начальная температура воздуха ti = 40°C.
Найти температуру воздуха в конце сжатия.
5.160. Газ расширяется адиабатически, причем объем его уве-
личивается вдвое, а термодинамическая температура падает в
1,32 раза. Какое число степеней свободы имеют молекулы этого
газа?
5.161. Двухатомный газ, находящийся при давлении р1=2МПа
и температуре ti = 27 °C, сжимается адиабатически от объема 14
до 14 = 0,514 • Найти температуру и давление газа после сжатия.
5.162. В сосуде под поршнем находится газ при нормаль-
ных условиях. Расстояние между дном сосуда и дном поршня
h = 25 см. Когда на поршень положили груз массой т = 20 кг,
поршень опустился на Д/г = 13,4 см. Считая сжатие адиабати-
ческим, найти показатель адиабаты х. Площадь поперечного
сечения поршня S = 10 см. Массой поршня пренебречь.
5.163. * Давление некоторого газа изменяется с объемом V по
закону р = ро exp [—а (V — 14)]. Найти работу, совершаемую газом
при расширении от 14 до 214
5.164. * Тело с известной теплоемкостью С охлаждается от 1\
до Т2. Определить количество отданного телом тепла Q.
МОЛЕКУЛЯРНО-КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ
67
5.165. * Получить уравнение состояния идеального газа, если
। то теплоемкость изменяется: а) С — Су + аТ; б) С = Су + &V;
в) С = Су + ар, где а и /3 — константы.
5.166. * Теплоемкость идеального газа Сп при политропиче-
ском процессе постоянна. Получить в переменных V, Т и р, V
уравнение политропы для Сп = (пСу — Ср)/(п — 1), где Ср и
—изобарическая и изохорическая теплоемкости газа, ап —
параметр, характеризующий процесс. Почему п называют пока-
зателем политропы?
5.167. * Изохорическая теплоемкость и молей идеального газа
равна Су. Определить теплоемкость этого газа при политропи-
ческом процессе с показателем политропы п (см. задачу 5.166).
5.168. * Определить теплоемкость моля идеального газа, если
а) р = aV; б) V = 0p~2/f3. Считать Су известной.
5.169. * Найти молярную теплоемкость одноатомного газа, рас-
ширяющегося по закону pVn = const. При каких значениях п
юплоемкость будет равна нулю? Бесконечности?
5.170. * Нагревается или охлаждается газ, расширяющийся по
закону pVn = const?
5.171. * Найти теплоемкость системы, состоящей из перекрыто-
го поршнем цилиндра с одноатомным газом (давление ро, темпе-
ратура То и объем Vo). Поршень удерживается пружиной. Слева
о г поршня вакуум. Если газ откачать, то поршень соприкоснется
। правой стенкой цилиндра, а пружина будет не деформирована.
Теплоемкостями сосуда, поршня и пружины пренебречь.
5.172. * В откачанном пространстве вертикально стоит цилин-
фический сосуд, перекрытый сверху подвижным поршнем мас-
। ы М. Под поршнем находится одноатомный газ при температу-
ре Т и давлении р. Внутреннее' сечение цилиндра S, высота той
части сосуда, внутри которой находится газ, равна Н. Поршень
спустили, он начал двигаться. Чему равна максимальная ско-
рость, развиваемая поршнем, если газ сжимается изотермически?
Адиабатически?
5.173. * В длинной гладкой теплоизолированной трубе находят-
ся теплоизолированные поршни массы т\ и т?, между которыми
и объеме Vo находится при давлении ро одноатомный газ. Поршни
и пускают. Определить их максимальные скорости, если масса
шза много меньше массы каждого поршня.
5.174. * В длинной теплоизолированной трубе между двумя
। >ди паковыми поршнями массы m каждый находится 1 моль одно-
атомного газа при температуре Tq. Поршни начинают двигаться
навстречу друг другу со скоростями V и 3V. До какой макси-
мальной температуры нагреется газ?
5.175. * В теплоизолированном длинном цилиндрическом сосу-
к‘, стоящем вертикально, на высоте h от дна висит на нити
поршень массы тп. Под поршнем находится один моль газа,
68
МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА
[Гл. 11
давление которого в начальный момент равно внешнему давле-
нию ро, а температура равна То. Какое количество теплоты
нужно подвести к газу, чтобы поршень поднялся до высоты 2hl
Внутренняя энергия одного моля газа U — сТ, с = const. Трением
пренебречь.
5.176. * В горизонтальном неподвижном цилиндрическом сосу-
де, закрытом поршнем массы М, находится газ. Газ нагревают.
Поршень, двигаясь равноускоренно, приобретает скорость v. Най-
ти количество теплоты, сообщенной газу. Внутренняя энергия
моля газа U — сТ, с = const. Теплоемкостью сосуда и поршня, а
также внешним давлением пренебречь.
5.177.* Некоторая масса кислорода занимает объем Ц = Зл
при температуре 1\ = 300 К и давлении рг = 820 кПа (рис. 43). В
другом состоянии газ имеет
Рис. 43
параметры: V2 = 4 л, р2 = 600 кПа.
Найти количество теплоты Q, по-
лученное газом, работу А, совер-
шенную газом при расширении и
изменение внутренней энергии AJ7
при переходе газа из одного состо-
яния в другое: а) через точку С
и б) через точку D.
5.178. Идеальная тепловая ма-
шина Карно совершает за один
цикл работу А = 2,94 кДж и от-
дает за один цикл холодильнику
количество теплоты Q = 13,4 кДж. Найти к.п.д. машины.
5.179. Идеальная тепловая машина Карно за цикл получает
от нагревателя количество теплоты Qi = 2,512кДж. Температура
нагревателя Т\ = 400 К, температура холодильника = 300 К.
Найти работу, совершаемую машиной за один цикл, и количество
теплоты Q2, отдаваемое холодильнику за один цикл.
5.180. Идеальная тепловая машина Карно совершает за один
цикл работу А= 73,5 кДж. Температура нагревателя Т\ — 373 К,
холодильника Т2 = 273К. Найти к.п.д. цикла, количество те-
плоты Qj, получаемое машиной за один цикл от нагревателя, и
количество теплоты Q2, отдаваемое холодильнику за один цикл.
5.181. Идеальная тепловая машина работает по циклу Карно.
Воздух при давлении pi = 708 кПа и температуре Д = 400 К
занимает объем Vi — 2 л. После изотермического расширения
воздух занял объем V2 — 5 л, после адиабатического расширения
объем возрос до Из — 8 л. Найти: а) параметры пересечения
изотерм и адиабат; б) работу, совершаемую на каждом участке
цикла: в) полную работу в цикле; г) к.п.д. цикла; д) количества
теплоты Qj и Q2, Qi—полученное в цикле от нагревателя и
Q2— отданное холодильнику.
§5]
МОЛЕКУЛЯРНО-КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ
69
5.182. Идеальный газ совершает цикл, состоящий из двух изо-
хор и двух изобар. При этом объем газа изменяется от Vj = 25 м3
до V2 = 50 м3, а давление от pi = 100кПа до р2 — 200 кПа. Во
сколько раз работа в таком цикле меньше работы в цикле Кар-
но, изотермы которого соответствуют наибольшей и наименьшей
температурам рассматриваемого цикла, если при изотермическом
расширении объем возрастает в 2 раза?
5.183. Идеальная холодильная машина, работающая по обрат-
ному циклу Карно, совершает работу за один цикл А — 37 кДж.
При этом она забирает теплоту от тела с температурой Т2 = 263 К
и передает ее телу с температурой 71 =290 К. Найти к.п.д. ци-
кла, количество теплоты Q2, отнятое у первого тела, и количество
теплоты Qi, переданное второму телу за один цикл.
5.184. Идеальная холодильная машина, работающая по обрат-
ному циклу Карно, передает тепло от холодильника с водой
при температуре Т2 = 273 К кипятильнику с водой при темпе-
ратуре Ti = 373 К. Какую массу тп2 воды надо заморозить в
холодильнике, чтобы превратить в пар массу mi = 1кг воды в
кипятильнике?
5.185. Помещение отапливается холодильной машиной, рабо-
тающей по обратному циклу Карно. Во сколько раз количе-
ство теплоты Q, получаемое помещением от сгорания дров в
печке, меньше количества теплоты Q1, переданного помещению
холодильной машиной, которая приводится в действие тепловой
машиной, потребляющей ту же массу дров? Тепловой двига-
тель работает между температурами = 373 К и Т2 = 273 К.
Помещение требуется поддерживать при температуре Т — 289 К.
Температура окружающего воздуха Тв = 263 К.
5.186. Паровая машина мощностью Р = 14,7кВт потребляет за
время t = 1 ч работы массу m = 8,1 кг угля с удельной теплотой
сгорания q = 33 МДж/кг. Температура котла Т\ = 473 К, тем-
пература холодильника Т2 = 331 К. Найти фактический к.п.д.
машины и сравнить его с к.п.д. q' идеальной тепловой маши-
ны Карно при тех же температурах. Круговой цикл машины
представлен на диаграмме (рис. 44).
5.187. Паровая машина мощностью Р = 14,7 кВт имеет пло-
щадь поршня S — 0,02 м2, ход поршня h = 45см. Изобарический
процесс ВС (рис. 44) происходит при движении поршня на одну
греть его хода. Объемом Vo по сравнению с Vi и V2 прене-
бречь. Давление пара в котле pi = 1,6 МПа, в холодильнике
/)2 = 0,1 МПа. Сколько циклов за время t = 1мин делает машина,
если показатель адиабаты х = 1,3?
5.188. Цикл карбюраторного и газового четырехтактного дви-
гателя внутреннего сгорания изображен на рис. 45. На участках
13С и DE происходит адиабатическое сжатие и расширение рабо-
чей смеси. Найти к.п.д. г/ цикла, если степень сжатия Vj/V2 = 5
и показатель адиабаты х = 1,33.
70
МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА
[Гл. II
5.189. В цилиндрах карбюраторного двигателя внутреннего сго-
рания газ сжимается политропически до V2 = Vj/б. Начальное
давление pi — 90 кПа, начальная температура 1\ = 400 К. Найти
давление р2 и температуру Тг газа в цилиндрах после сжатия.
Показатель политропы п = 1,3.
5.190. В цилиндрах карбюраторного двигателя внутреннего сго-
рания газ сжимается политропически так, что после сжатия тем-
пература газа становится равной Тг = 700 К. Начальная темпера-
тура газа Т\ = 413 К. Степень
сжатия V>/Vi = 5,8. Найти по-
казатель политропы п.
5.191. Найти к.п.д. г/ карбю-
раторного двигателя внутреннего
сгорания, если показатель поли-
тропы п = 1,33 и степень сжа-
тия: a) Vi/Vo = 4; б) Vi/Ц = 6;
в) Ц/Ц = 8.
5.192. Цикл четырехтактного
двигателя Дизеля изображен на
рис. 46. Ветвь ВС — адиабатиче-
ское сжатие воздуха; DE — адиа-
батическое сжатие; CD — изобари-
ческое расширение; ЕВ — изохо-
д. т) двигателя Дизеля.
5.193. Двигатель внутреннего сгорания Дизеля имеет степень
адиабатического сжатия е = 16 и степень адиабатического расши-
рения 5 = 6,4. Какую минимальную массу тп нефти потребляет
двигатель мощностью Р = 36,8 кВт за время t = 1 ч? Пока-
затель адиабаты х — 1,3. Удельная теплота сгорания нефти
q = 46 МДж/кг.
5.194. * Идеальный газ совершает круговой процесс, состоящий
из двух изотерм и двух изохор. Изотермические процессы про-
текают при температурах Д и Т2 (Д > Тг), изохорические — при
МОЛЕКУЛЯРНО-КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ
71
объемах Vi и (Т2 в «е» раз больше И). Найти к.п.д. т)
цикла. Известно х.
5.195. * Идеальный газ совершает круговой процесс, состоящий
из двух изотерм и двух изобар. Изотермические процессы проте-
кают при Ti и Т2 (Т) > Т2), изобарические—при pi и р2 (р2 в
«с» раз больше pi). Найти к.п. д. т) цикла. Известно х.
5.196. * Доказать, что к.п.д. любого обратимого цикла, совер-
шающегося в интервале температур Ti, Т2 (Т\ > Т2), меньше
к.п.д. соответствующего цикла Карно (вторая теорема Карно).
5.197. Найти изменение энтропии ДЗ при превращении массы
m = Юг льда (Т\ = 253К) в пар (Т2 = 373К).
5.198. Найти-изменение энтропии ДЗ при превращении массы
тп — 1кг воды (Ti = 273 К) в пар (Т2 = 373 К).
5.199. Найти изменение энтропии ДЗ при плавлении массы
m = 1кг льда (Т = 273 К).
5.200. Найти изменение энтропии ДЗ при переходе массы
ш — 8г кислорода от объема У) = Юл при температуре Ti — 353К
к объему V2 = 40 л при температуре Т2 = 573 К.
5.201. Масса тп = 6,6 г водорода изобарически расширяется от
объема И до объема V2 = 2Vi. Найти изменение ДЗ энтропии
при этом расширении.
5.202. Масса тп = Юг кислорода нагревается от температу-
ры Ti = 323 К до температуры Т2 = 423 К. Найти измене-
ние энтропии ДЗ, если нагревание происходит: а) изохорически;
6) изобарически.
5.203. Изменение энтропии на участке между двумя адиабатаг
ми в цикле Карно ДЗ = 4,19кДж/К. Разность температур между
двумя изотермами ДТ = 100 К. Какое количество теплоты Q
превращается в работу в этом цикле?
5.204. * Как ведет себя энтропия термодинамической системы
при адиабатическом процессе?
5.205. * Изобразить для идеального газа графики изотермиче-
ского и адиабатического процессов на диаграмме U, S.
5.206. * Изобразить для идеального газа графики изотермиче-
ского, изобарического, изохорического и адиабатического процес-
сов на диаграмме: а) Т, S; б) V, S; в) р, S. Энтропию отклаг
дывать по оси абсцисс. Графики проходят через общую для них
точку.
5.207. * Энтропия системы изменяется с температурой по зако-
ну: S = а+ЬТ, где а и b—константы. Какое количество тепла Q
получает система при обратимом нагревании от Ti до Т21
5.208. * Моль одноатомного идеального газа нагревается обра-
тимо от Ti до Т2. В процессе нагревания газа его давление
изменяется с температурой по закону р = ро ехр(аГ), где а —
константа. Определить количество тепла, полученное газом при
нагревании. Ti — 300К, Т2 = 400К; а = Ю~3К-1.
72
МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА
[Гл. II
5.209. * Идеальный газ, расширяясь изотермически (Т — 400 К),
совершает работу А = 800 Дж. Что происходит при этом с энтро-
пией газа?
5.210. * В ходе обратимого изотермического процесса (Т = 350К)
тело совершает работу А = 80 Дж, а внутренняя энергия тела
получает приращение ДЦ = 7,5 Дж. Что происходит с энтропией
газа?
5.211. * В некотором интервале температур приращение энтро-
пии некоторого вещества оказывается пропорциональным прира-
щению температуры: Д5 = аДТ. Как зависит от температуры
теплоемкость С вещества в том же интервале?
5.212. * Известно, что вблизи абсолютного нуля теплоемкость
кристаллов изменяется по закону: С = аТ3, где а — константа.
Определить энтропию кристалла.
5.213. * Давление газа изменяется пропорционально его объему.
Найти зависимость энтропии S одного моля идеального газа от
объема V при таком процессе. Считать известным показатель
адиабаты х.
5.214. * Азот массой m = 1кг находится в сосуде объемом
V) = 0,2 м3 под давлением р = 1 • 105 Па. Азот расширяется до
объема Ц — 0,54м3, при этом его давление падает в 2,7 раза.
Определить приращение энтропии газа Д5 и его внутренней энер-
гии Д[7.
5.215. * Цилиндрический сосуд разделен на равные половины
перегородкой с первоначально закрытым отверстием. В одной
половине сосуда—идеальный газ, в другой — вакуум. Отвер-
стие открывают и газ распространяется на весь объем. Про-
цесс расширения газа адиабатический. Определить приращения:
а) внутренней энергии ДС7; б) энтропии Д5.
5.216. * В сосуде находится N молекул. Найти вероятность
попадания всех N молекул в одну из половин сосуда, провести
расчеты для N = 2, 5, 10, 100.
5.217. * В сосуде объемом Vq находится N молекул. Опреде-
лить вероятность попадания в объем V (V < Vq) всех N молекул.
Провести расчеты для V/Vq =0,1 и N = 2, 5, 10.
5.218. * Получить выражение, связывающее энтропию систе-
мы S в каждом состоянии с вероятностью Р реализации того же
состояния (формула Больцмана).
5.219. * Статистический вес G некоторого состояния термоди-
намической системы равен: а) 1О10; б) 5 • 1010. Чему равна эн-
тропия S системы в этом состоянии? Чему равна по порядку
величины относительная разность энтропии Д5/5 для случаев
а) и б).
5.220. * Энтропия моля водорода при температуре Т = 298 К и
давлении р= 1,013 -105 Па равна S = 130Дж/моль-К. Определить
статистический вес G: а) одного моля; б) двух молей водорода
при данных условиях.
РЕАЛЬНЫЕ ГАЗЫ
$ 6. Реальные газы
Уравнение состояния реальных газов (уравнение Ван-дер-Ваальса) для од-
ного моля газа имеет вид
(р+ф) (Уо—Ь) = ИТ,
где Vo — молярный объем газа, р—давление, Т-—термодинамическая темпе-
ратура, R = 8,31411 Дж/(моль • К) — газовая постоянная, а и Ъ — постоянные,
различные для разных газов.
Уравнение Ван-дер-Ваальса для любой массы m газа имеет вид
। де V — объем всего газа, р—молярная масса газа. В этом уравнении
pi—давление, обусловленное силами взаимодействия молекул,
а _
V1 "
Ц—
объем, связанный с собственным объемом молекул.
Постоянные а и Ь данного газа связаны с его критической температурой Тк,
критическим давлением рк и критическим молярным объемом Vok соотноше-
ниями
к«..зь, =
'-)ти уравнения можно решить относительно постоянных а и Ь:
_ 27Т2Я2
~ 64рк
TKR
8₽к
6 =
Если ввести приведенные величины
т = Т/Тк, л = р/рк, ы = Уо/Уок,
к> уравнение Ван-дер-Ваальса для одного моля газа примет вид
(Зш - 1) = 8т.
6.1. * Показать, что зависимость сил притяжения в потенциа-
ле Леннарда-Джонса зависит от расстояния между молекулами
как ~ г-6.
6.2. Какой физический смысл константы Ван-дер-Ваальса а?
6.3. * (Правило Максвелла). Доказать равенство площадей фи-
। ур abc и cde на изотерме Ван-дер-Ваальса (рис. 47).
6.4. В каких единицах системы СИ выражаются постоянные
<i и Ь, входящие в уравнение Ван-дер-Ваальса?
6.5. Пользуясь данными о критических величинах Тк и рк для
некоторых газов' (см. Прил. XIV), найти для них постоянные
и и Ь, входящие в уравнение Ван-дер-Ваальса.
74
МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА
[Гл. II
6.6. Какую температуру
Т имеет масса m = 2 г
азота, занимающего объем
V = 820 см3 при давлении
р = 0,2 МПа? Газ рассма-
тривать как: а) идеальный;
б) реальный.
6.7. Масса тп = Юг ге-
лия занимает объем V =
= 100 см3 при давлении р =
= 100 МПа. Найти темпе-
ратуру Т газа, считая его: а) идеальным; б) реальным.
6.8. В закрытом сосуде объемом V = 0,5 м3 находится коли-
чество v = 0,6 кмоль углекислого газа при давлении р — ЗМПа.
Пользуясь уравнением Ван-дер-Ваальса, найти, во сколько раз
надо увеличить температуру газа, чтобы давление увеличилось
вдвое.
6.9. Количество и = 1 кмоль кислорода находится при темпе-
ратуре t = 27 °C и давлении р — 10 МПа. Найти объем V газа,
считая, что кислород при данных условиях ведет себя как ре-
альный газ.
6.10. Найти эффективный диаметр а молекулы азота двумя
способами: а) по данному значению средней^ длины свободного
пробега молекул при нормальных условиях А = 95 нм; б) по из-
вестному значению постоянной Ь в уравнении Ван-дер-Ваальса.
6.11. Найти среднюю длину свободного пробега А молекул
углекислого газа при нормальных условиях. Эффективный диа-
метр а молекулы вычислить, считая известными для углекислого
газа критические значения Тк и рк.
6.12. Найти коэффициент диффузии D гелия при температуре
t = 17 °C и давлении р= 150 кПа. Эффективный диаметр о атома
вычислить, считая известными для гелия критические значения
Гк и рк.
6.13. Построить изотермы р = /(V) для количества р = 1 кмоль
углекислого газа при температуре t = 0°С. Газ рассматривать как:
а) идеальный; б) реальный. Значения V (в л/моль) для реаль-
ного газа взять следующие: 0,07, 0,08, 0,10, 0,12, 0,14, 0,16, 0,18,
0,20, 0,25, 0,30, 0,35 и 0,40; для идеального газа — в интервале
0,2 < V 0,4 л/моль.
6.14. Найти давление pi, обусловленное силами взаимодействия
молекул, заключенных в количестве и = 1 кмоль газа при нор-
мальных условиях. Критическая температура и критическое да-
вление этого газа равны Тк =417 К и рк = 7,7 МПа.
6.15. Для водорода силы взаимодействия между молекулами
незначительны; преимущественную роль играют собственные раз-
меры молекул. Написать уравнение состояния такого полуидеаль-
'I'-l
РЕАЛЬНЫЕ ГАЗЫ
75
пого газа. Какую ошибку мы допустим при нахождении количе-
< ч ва водорода г/, находящегося в некотором объеме при темпера-
туре t = О °C и давлении р = 280 МПа, не учитывая собственного
объема молекул?
6.16. В сосуде, объемом V = 10л находится масса т — 0,25кг
нота при температуре t = 27 °C. Какую часть давления газа
«оставляет давление, обусловленное силами взаимодействия мо-
и'кул? Какую часть объема сосуда составляет собственный объм
молекул?
6.17. Количество и = 0,5 кмоль некоторого газа занимает объем
I') = 1 м3. При расширении газа до объема Рг = 1,2 м3 была совер-
шена работа против сил взаимодействия молекул А = 5,684кДж.
Найти постоянную а, входящую в уравнение Ван-дер-Ваальса.
6.18. * Получить выражение для работы А, совершаемой мо-
шм ван-дер-ваальсовского газа при изотермическом расширении
иг объема Vi до объема V2. Температура газа Т, постоянные
Нан-дер-Ваальса а и Ь. Сравнить с работой идеального газа. '
6.19. * Моль кислорода, занимавший объем V) = 1л при
к мпературе Т = 173 К, расширился изотермически до объема
Г2 = 9,712 л. Найти: а) приращение внутренней энергии газа ДС7;
и) работу А, совершенную газом; в) количество тепла Q, полу-
ченное газом.
6.20. * Получить для ван-дер-ваальсовского газа уравнение ади-
шаты в переменных V и Т, а также в переменных V и р.
<'равнять результаты с аналогичными уравнения для идеального
। аза.
6.21. Масса тп = 20 кг азота адиабатически расширяется в ва-
куум от объема Vi = 1м3 до объема V2 = 2м3. Найти понижение
\Т температуры при этом расширении, считая известной для
. пота постоянную а, входящую в уравнение Ван-дер-Ваальса (см.
ответ 6.5).
6.22. Количество и = 0,5 кмоль трехатомного газа адиабати-
чески расширяется в вакуум от объема И = 0,5 м3 до объема
Г_, = Зм3. Температура газа при этом понижается на ДТ = 12,2 К.
Найти постоянную а, входящую в уравнении Ван-дер-Ваальса.
6.23. Какое давление р надо приложить, чтобы углекислый газ
превратить в жидкую углекислоту при температурах tj = 31 °C и
/, = 50 °C? Какой наибольший объем l^nax может занимать масса
m = 1 кг жидкой углекислоты? Каково наибольшее давление ртах
насыщенного пара жидкой углекислоты?
6.24. Найти плотность рк водяного пара в критическом со-
< гоянии, считая известной для него постоянную 5, входящую в
сравнение Ван-дер-Ваальса (см. ответ 6.5).
6.25. Найти плотность рк гелия в критическом состоянии, счи-
1пя известными для гелия критические значения Тк и рк.
76
МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА
[Гл. II
6.26. Количество v = 1 кмоль гелия занимает объем V = 0,237 м3
при температуре t = —200 °C. Найти давление р газа, пользуясь
уравнением Ван-дер-Ваальса в приведенных величинах.
6.27. Во сколько раз давление газа больше его критического
давления, если известно, что его объем и температура вдвое
больше критических значений этих величин?
6.28. * Определить для ван-дер-ваальсовского газа разность мо-
лярных теплоемкостей Ср—Су. Сравнить с соотношением Майера.
6.29. * Построить графики зависимостей внутренней энергии U
моля ван-дер-ваальсовского газа от: а) температуры Т при
V = const; б) объема V при Т = const. Сравнить эти кривые
с аналогичными для идеального газа.
6.30. * Найти выражение для энтропии моля ван-дер-ваальсов-
ского газа (как функцию от Т и V). Сравнить с выражением
для энтропии идеального газа.
§ 7. Насыщенные пары и жидкости
Абсолютной влажностью р называется парциальное давление водяного пара,
находящегося в воздухе. Относительной влажностью w называется отношение
абсолютной влажности р к парциальному давлению ря водяного пара, насыща-
ющего пространство при данной температуре.
Удельной теплотой парообразования г называется количество теплоты, не-
обходимое для превращения единицы массы жидкости в пар при постоянной
температуре.
Молярная теплота парообразования го = рг, где р—молярная масса.
Зависимость давления насыщенного пара рм от температуры дается уравне-
нием Клаузиуса—Клапейрона
dp к _ ____гр____
dT Т(К0п-К0ж),
где Vbn и Кож — молярные объемы пара и жидкости.
Относительное изменение объема жидкости при нагревании
4^ = 0 дт,
V
где /3 [К-1]— температурный коэффициент объемного расширения.
Относительное изменение объема жидкости при изменении давления
^ = -*Др,
где k [Па-1] — сжимаемость.
Поверхностное натяжения а [Н/м] численно равно силе, приложенной к еди-
нице длины края поверхностной пленки жидкости:
а = F/1.
При изменении площади пленки на AS совершается работа
ДА = a AS.
§7]
НАСЫЩЕННЫЕ ПАРЫ И ЖИДКОСТИ
77
Добавочное давление, вызванное кривизной поверхности жидкости, опреде-
ляется формулой Лапласа
Л? = а(А + А)’
где Яг и Да — радиусы кривизны двух взаимно перпендикулярных сечений по-
нерхности жидкости. Радиус R считается положительным, если дентр кривизны
находится внутри жидкости (выпуклый мениск), и отрицательным, если центр
кривизны находится вне жидкости (вогнутый мениск).
Высота поднятия жидкости в капиллярной трубке
. _ 2а cos 9
^~~трд~’
где г — радиус трубки, р — плотность жидкости, в— краевой угол. При полном
смачивании в = 0, при полном несмачиванни в = тг.
Давление насыщенного пара рв над вогнутой поверхностью жидкости мень-
ше, а над выпуклой — больше, чем давление р„ над плоской поверхностью. До-
бавочное давление
Др„=рп-ри = ±-^г,
где р—плотность жидкости, рв —плотность насыщенного пара жидкости, R—
радиус кривизны поверхности жидкости.
Осмотическое давление р раствора связано с термодинамической температу-
рой Т формулой Вант-Гоффа
р = CRT,
где R—газовая постоянная, С [моль/м3] = m/pV — молярная концентрация
раствора (количество растворенного вещества в единице объема раствора).
Для растворов недиссоцинрованных молекул вещества
Г1 — 171 — N
p.V~ NA'
где Ад — постоянная Авогадро, N — число молекул растворенного вещества в
единице объема раствора. При наличии диссоциации число частиц в единице
объема будет больше, что приведет к увеличению осмотического давления.
Давление насыщенного пара над раствором меньше, чем над чистым раство-
рителем. При достаточно малой концентрации раствора относительное умень-
шение давления насыщенного пара над раствором определяется законом Рауля
Ро — р _ 1/
РО р + v' ’
где ро—давление насыщенного пара над чистым растворителем, р — давление
насыщенного пара над раствором, и' — количество растворенного вещества, и—
количество жидкости. Задачи, относящиеся к явлению вязкости жидкостей,
помещены в §4 гл. 1.
78
МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА
(Гл. II
7.1. * В замкнутом объеме V = 1 м3 относительная влажность
воздуха w = 0,6 при температуре t — 20 °C. Какая масса во-
ды должна испариться в этот объем, чтобы водяной пар стал
насыщенным?
7.2. * Молярная масса водяного пара /г = 0,018 кг/моль. Найти
число молекул п насыщенного водяного пара, содержащихся в
единице объема при температуре t = 30 °C.
7.3. * Масса m — 0,5кг водяного пара занимает объем V = Юл
при температуре t = 50 °C. Какова при этом относительная влаж-
ность w? Какая масса Дт пара сконденсируется, если изотер-
мически уменьшить объем от V до V/2?
7.4. Во сколько раз плотность рн1 насыщенного водяного пара
при температуре ti = 200 °C больше плотности рн2 насыщенного
водяного пара при температуре i2 = 100 °C?
7.5. Какая масса т водяного пара содержится в объеме
V = 1 м3 воздуха в летний день при температуре t = 30 °C и
относительной влажности w = 0,75?
7.6. * В сосуд объема V = 10 дм3 поставили блюдце, содержащее
т = 1 г воды. После этого сосуд герметически закрыли и оставили
при температуре t = 20 °C, при которой давление насыщенного
пара р = 2,33 кПа. Какая часть воды испарится? Молярная
масса водяного пара р = 0,018 кг/моль.
7.7. Температура комнаты i, = 18 °C, относительная влажность
w = 0,5. В металлический чайник налили холодную воду. Какова
температура t2 воды, при которой чайник перестает запотевать?
7.8. * Смешали Ц = 1 м3 воздуха с относительной влажностью
wi = 20 % и Vi = 2 м3 воздуха с относительной влажностью
W2 = 30 %. При этом температура воздуха была одинакова. Смесь
занимает объем V = Зм3. Определить ее относительную влаж-
ность.
7.9. * Определить отношение плотности сухого воздуха и воз-
духа с относительной влажностью w = 50%. Обе порции взяты
при атмосферном давлении и температуре t = 20 °C. Отношение
молярных масс пара и воздуха рп/рв = 0,6.
7.10. В камере Вильсона объемом V = 1л заключен воздух,
насыщенный водяным паром. Начальная температура камеры
h = 20 °C. При движении поршня объем камеры увеличился до
V-2 = 1,25 Vj. Расширение считать адиабатическим, причем пока-
затель адиабаты х = ср/су = 1,4. Найти: а) давление /д водя-
ного пара до расширения; б) массу ?n.i водяного пара в камере
до расширения; в) плотность р} водяного пара до расширения;
г) температуру t-2 после расширения (изменением температуры из-
за выделения тепла при конденсации пара пренебречь); д) массу
Дт сконденсированного пара; е) плотность р2 водяного пара по-
сле конденсации; ж) степень пресыщения, т. е. отношение плот-
НАСЫЩЕННЫЕ ПАРЫ И ЖИДКОСТИ
79
пости водяного пара после расширения (но до конденсации) к
плотности водяного пара, насыщающего пространство при темпе-
ратуре, установившейся после конденсации.
7.11. * Цилиндр сечения s — 20 см2 разделен поршнем массы
щ = 5 кг на две части. В нижней находится вода, а верхняя часть
откачана. Поршень соединен с цилиндром пружиной жесткости
= 15н/м. Вначале пружина не деформирована. Определить
массу образовавшегося пара при нагревании воды от Ц = 0°С до
ь = 100 °C. Трением пренебречь.
7.12. * В цилиндре, закрытом поршнем, при температуре t =
- 20 °C находится воздух. На дне цилиндра имеется капелька
поды. Чему будет равно давление в цилиндре после изотермиче-
ского уменьшения его вместимости в два раза? Какую для этого
нужно совершить работу? Первоначальная вместимость цилиндра
0,5 м3, давление насыщенного пара при t = 20 °C равно 1,73кПа.
11ачальное-давление в цилиндре 101,3 кПа.
7.13. Найти удельный объем v воды в жидком и парообразном
состояниях при нормальных условиях.
7.14. Пользуясь первым законом термодинамики и данными
юбл. XIV и XV, найти удельную теплоту парообразования г во-
ды при t = 200 °C. Для воды критическая температура Тк = 647 К,
критическое давление рк — 22 МПа. Проверить правильность по-
(ученного результата по данным табл. XVI.
7.15. Какая часть теплоты парообразования воды при темпера-
туре t = 100 °C идет на увеличение внутренней энергии системы?
7.16. Удельная теплота парообразования бензола (СеНе) при
юмпературе t = 77 °C равна г = 398 кДж/кг. Найти изменение
внутренней энергии ДИ7 при испарении массы Дш = 20 г бензола.
7.17. * Указать характер зависимости (растет, убывает и т.п.)
скрытой теплоты парообразования от температуры.
7.18. * Написать уравнение, определяющее зависимость давле-
ния р насыщенного пара от температуры Т. Известны молярная
геплота парообразования Q и молярные объемы жидкой Vx и
(азовой Vr фаз. Предполагая Q = const, К Ц, а также то,
что для расчета давления пара р можно с достаточной точно-
стью использовать уравнение состояния идеального газа, найти
(.твисимость р(Т").
7.19. Пользуясь уравнением Клаузиуса—Клапейрона и данны-
ми табл. XV, найти удельную теплоту парообразования г воды
при температуре t = 5 °C. Проверить правильность полученного
результата по данным табл. XVI.
7.20. Давления насыщенного ртутного пара при температурах
11 = 100 °C и t2 = 120 °C равны р\ = 37,3 Па и р2 = 101,3 Па. Найти
роднее значение удельной теплоты парообразования т ртути в
сказанном интервале температур.
7.21. Давления насыщенного пара этилового спирта (С2Н5ОН)
при температурах Ц = 40°С и t2 — 60°С равны р^ = 17,7кПа
80
МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА
(Гл. II
и j>2 = 67,9 кПа. Найти изменение энтропии Д5 при испарении
массы Дт = 1 г этилового спирта, находящегося при температуре
t = 50 °C.
7.22. Изменение энтропии при испарении количества Ди =
= 1 кмоль некоторой жидкости, находящейся при температуре
ti = 50 °C, Д5 = 133Дж/К. Давление насыщенного пара жидко-
сти при температуре Н = 50 °C равно pi = 12,33 кПа. На сколько
меняется давление насыщенного пара жидкости при изменении
температуры от ti = 50 °C до t? = 51 °C?
7.23. До какого предельного давления р можно откачать со-
суд при помощи ртутно-диффузионного насоса, работающего без
ртутной ловушки, если температура водяной рубашки насоса
t = 15 °C? Давление насыщенного ртутного пара при темпера-
туре t0 = 0 °C равно ро = 0,021 Па, среднее значение удельной
теплоты парообразования ртути в данном интервале температур
принять равным г = 10,08 МДж/кг.
7.24. При температуре to = 0°С плотность ртути ро — 13,6 х
х103кг/м . Найти ее плотность р при температуре t = 300°C.
Коэффициент объемного расширения ртути /3 = 1,85 • 10-4 К-1.
7.25. Найти плотность р морской воды на глубине h = 5 км,
если плотность ее на поверхности р0 = 1,03- 103 кг/м3. Сжимае-
мость воды к = 4,8 • Ю-10 Па-1.
У казание. При вычислении гидростатического давления морской воды ее
плотность приближенно полагать равной плотности воды на поверхности.
7.26. При нормальных условиях сжимаемость бензола к = 9 х
х10-1ОПа-1, коэффициент объемного расширения /3 = 1,24 х
х 10-3К-1. На сколько необходимо увеличить внешнее давление,
чтобы при нагревании на At = 1К объем бензола не изменился?
7.27. Найти разность уровней Д/i ртути в двух одинаковых
сообщающихся стеклянных трубках, если левое колено поддер-
Ж1узается при температуре to = 0°С, а правое нагрето до темпера-
туры t = 100 °C. Высота левого колена ho = 90 см. Коэффициент
объемного расширения ртути /3 = 1,82 • 10-4 К-1. Расширением
стекла пренебречь.
7.28. Ртуть налита в стеклянный сосуд высотой L = 10 см. При
температуре t = 20 °C уровень ртути на h = 1мм ниже верхнего
края сосуда. На сколько можно нагреть ртуть, чтобы она не
вылилась из сосуда? Коэффициент объемного расширения ртути
/3 = 1,82 • 10~4 К-1. Расширением стекла пренебречь.
7.29. Стеклянный сосуд, наполненный до краев ртутью при
температуре to = 0°С, имеет массу М = 1кг. Масса пустого
сосуда Mq — 0,1 кг. Найти массу т ртути, которая может по-
меститься в сосуде при температуре t = 100 °C. Коэффициент
объемного расширения ртути /3 = 1,82 • 10-4 К-1. Расширением
стекла пренебречь.
7.30. Стеклянный сосуд наполнен до краев жидким маслом
при температуре to = 0°С. При нагревании сосуда с маслом до
НАСЫЩЕННЫЕ ПАРЫ И ЖИДКОСТИ
81
" пи'ратуры t = 100°С вытекло 6% налитого масла. Найти
...|>фнциент объемного расширения масла (3, если коэффициент
...'много расширения стекла /3' = 3 10-5К-1.
<’.31. Температура помещения i = 37°C, атмосферное давление
I 101,3 кПа. Какое давление р покажет ртутный барометр,
...лящийся в этом помещении? Коэффициент объемного расши-
с пня ртути (3 = 1,82 10~4 К-1. Расширением стекла пренебречь.
7.32. Какую силу F нужно приложить к горизонтальному алю-
"||||ц‘вому кольцу высотой h — 10мм, внутренним диаметром
| , 50 мм и внешним диаметром <?2 =52 мм, чтобы оторвать его
поверхности воды? Какую часть найденной силы составляет
н |.| поверхностного натяжения?
7.33. Кольцо внутренним диаметром di — 25мм и внешним диа-
। ром фг = 26 мм подвешено на пружине и соприкасается с по-
|' постьюжидкости. Жесткость пружины к = 9,810-7Н/м. При
•и. । капни поверхности жидкости кольцо оторвалось от нее при
।• । яжении пружины на Д/ = 5,3 мм. Найти
и ич рхностное натяжение а жидкости.
7.34. Рамка ABCD с подвижной медной пе-
। । шдиной KL затянута мыльной пленкой
||'П' 18). Каков должен быть диаметр d пе-
। ' Юдины KL, чтобы она находилась в рав-
" । пи? Найди длину I перекладины, если
и ’li'TTHO, что при перемещении перекладины
> Xh = 1см совершается изотермическая ра-
| | .4 = 45 мкДж. Поверхностное натяжение
..... раствора а = 0,045Н/м.
7.35. Спирт по каплям вытекает из сосуда через вертикальную
। t >ку внутренним диаметром d = 2 мм. Капли отрываются через
Р' мя Дт = 1с одна после другой. Через какое время т вытечет
'' a m = 10 г спирта? Диаметр шейки капли в момент отрыва
иппть равным внутреннему диаметру трубки.
7.36. Вода по каплям вытекает из сосуда через вертикаль-
и in трубку внутренним диаметром d — Змм. При остывании
' и.। от ti = 100°С до t-2 = 20°С масса каждой капли измени-
|'|. па Am = 13,5 мг. Зная поверхностное натяжение ол воды
i'1-ii t-2 = 20°C, найти поверхностное натяжение сц воды при
, 100 °C. Диаметр шейки капли в момент отрыва считать рав-
и| гч внутреннему диаметру трубки.
7.37. При плавлении нижнего конца вертикально подвешенной
। инцовой проволоки диаметром d = 1 мм образовалось N = 20
........ль свинца. На сколько укоротилась проволока? Поверхност-
" натяжение жидкого свинца а — 0,47Н/м. Диаметр шейки
। hi in в момент отрыва считать равным диаметру проволоки.
7.38. Вода по каплям вытекает из вертикальной трубки вну-
।UIIIIM радиусом г = 1мм. Найти радиус R капли в момент
82
МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА
[Гл.
отрыва. Каплю считать сферической. Диаметр шейки капли
момент отрыва считать равным внутреннему диаметру трубки.
7.39. На сколько нагреется капля ртути, полученная от слш
ния двух капель радиусом г — 1 мм каждая?
7.40. Какую работу А против сил поверхностного натяжени
надо совершить, чтобы разделить сферическую каплю ртути ра
диусом R = 3 мм на две одинаковые капли?
7.41. Какую работу А против сил поверхностного натяжени
надо совершить, чтобы увеличить вдвое объем мыльного пузыре
радиусом г = 1 см? Поверхностное натяжение мыльного раствор
а = 0,043 Н/м.
7.42. Какую работу А против сил поверхностного натяже
ния надо совершить, чтобы выдуть мыльный пузырь диаметром
d = 4 см? Поверхностное натяжение а = 0,043 Н/м.
7.43. Найти давление р воздуха в воздушном пузырьке диаме
тром d = 0,01мм, находящемся на глубине h = 20 см под поверх
ностью воды. Атмосферное давление ро = 101,7 кПа.
7.44. * Вычислить добавочное давление Д/д внутри сферичв|
ской капли жидкости и Д/>2 — внутри сферического пузыря и;
пленки той же жидкости. Радиус капли и пузыря R, коэффици)
ент поверхностного натяжения жидкости а.
7.45. * Радиусы кривизны поверхности жидкости в некоторо:
точке равны Ri и R%. Чему равна кривизна Н поверхност<
в этой точке и как связано добавочное давление в жидкости
под этой точкой с Н1 Коэффициент поверхностного натяженщ
жидкости а.
7.46. Давление воздуха внутри мыльного пузыря на Ар
= 133,3 Па больше атмосферного. Найти диаметр d пузыря. По-
верхностное натяжение мыльного раствора а = 0,043 Н/м.
7.47. Во сколько раз плотность воздуха в пузырьке, находя
щемся на глубине h = 5 м под водой, больше плотности возду-
ха при атмосферном давлении ро — 101,3 кПа? Радиус пузырькг
г = 0,5мкм.
7.48. * Жидкость плотности /
поднялась в капилляре на высо-
ту h (рис. 49). Давление окру;
жающего воздуха ро- Нарисо
вать зависимость p(z) в точказ
оси Z. Чему равен коэффициент
поверхностного натяжения жид-
кости, если радиус капилляра i
и имеет место полное смачивав
ние; полное несмачивание? '
7.49. * Жидкость плотности /
поднялась в капилляре на высо-
ту ho (рис. 50). Давление окру!
жающего воздуха ро- Нарисовать зависимость давления р(х) I
точках оси х. 1
I
НАСЫЩЕННЫЕ ПАРЫ И ЖИДКОСТИ
83
7.50. В сосуд с ртутью опущен открытый капилляр, внутрен-
ний диаметр которого d = Змм. Разность уровней ртути в сосуде
и в капилляре ДЛ = 3,7 мм. Найти радиус кривизны R мениска
и капилляре.
7.51. В сосуд с водой опущен открытый капилляр, внутрен-
ний диаметр которого d = 1 мм. Разность уровней воды в сосуде и
и капилляре ДЛ = 2,8 см. Найти радиус кривизны R мениска в
। тилляре. Какова была бы разность уровней ДЛ в сосуде и в
। тилляре, если бы смачивание было полным?
7.52. Каким должен быть внутренний диаметр d капилля-
ра, чтобы при полном смачивании вода в нем поднималась на
\/i — 2 см? Задачу решить, когда капилляр находится: а) на
'.'мле; б) на Луне.
7.53. Найти разность уровней ДЛ ртути в двух сообщающихся
। шиллярах, внутренние диаметры которых равны di = 1мм и
• I = 2 мм. Несмачивание считать полным.
7.54. Капилляр с внутренним радиусом г = 2 мм опущен в
। идкость. Найти поверхностное натяжение а жидкости, если
и шестно, что в капилляр поднялась масса жидкости т = 0,09 г.
7.55. В сосуд с водой опущен капилляр, внутренний радиус
। 11 горого г = 0,16 мм. Каким должно быть давление р воздуха
। |Д жидкостью в капилляре, чтобы уровень воды в капилляре
и в сосуде был одинаков? Атмосферное давление ро = 101,3 кПа.
। Мачивание считать полным.
7.56. Капиллярная трубка опущена вертикально в сосуд с во-
н>й. Верхний конец трубки запаян. Для того чтобы уровень воды
и трубке и в широком сосуде был одинаков, трубку пришлось
и грузить в воду на 1,5% ее длины. Найти внутренний радиус г
। рубки. Атмосферное давление ро = 100 кПа. Смачивание считать
II, '.ИНЫМ.
7.57. Барометрическая трубка А, заполненная ртутью (рис. 51),
шкет внутренний диаметр d, равный: а) 5мм; б) 1,5см. Можно
84
МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА
[Гл.
ли определять атмосферное давление непосредственно по высот
ртутного столба? Найти высоту ртутного столба в каждом и
этих случаев. Атмосферное давление ро = 758 мм рт. ст. Несмач!
вание считать полным.
7.58. Внутренний диаметр барометрической трубки d = 0,75 с»
Какую поправку надо ввести, измеряя атмосферное давление п
высоте ртутного столба? Несмачивание считать полным.
7.59.* Капилляр, наполовину заполненный жидкостью, вращ<
Рис. 52
ется вокруг оси 00' (рис. 52). Длина ка
пилляра 21, радиус—г. Плотность жид
кости р, а поверхностное натяжение с
Жидкость полностью смачивает капид
ляр. При какой угловой скорости вра
щения жидкость не выльется из капил
ляра?
7.60.* Как будет двигаться каши
смачивающей (несмачивающей) жидко
сти в горизонтально расположенном ко
ническом капилляре? i
7.61. На поверхность воды положили жирную (полностью нй
смачиваемую водой) стальную иголку. Каков наибольший диа
метр d иголки, при котором она еще может держаться на воде'
7.62. Будет ли плавать на поверхности воды жирная (пол
ностью несмачиваемая водой) платиновая проволока диаметро!
d = 1 мм?
7.63. В дне сосуда с ртутью имеется отверстие. Каким може1
быть наибольший диаметр d отверстия, чтобы ртуть из сосуда н<
выливалась при высоте столба ртути h 3 см?
7.64. В дне стеклянного сосуда площадью S = 30 см2 имеете!
круглое отверстие диаметром d = 0,5 мм. В сосуд налита ртуть
Какая масса т ртути останется в сосуде?
7.65. * После покрытия слоем парафина радиус отверстий ре
шета стал равен г = 1,5 мм. Учитывая, что вода не смачивав*
парафин, определить высоту h слоя воды, который можно носит!
в решете так, чтобы вода не пролилась через отверстия. ;
7.66. Водомерка бегает по поверхности воды. Найти массу тг.
водомерки, если известно, что под каждой из шести лапок насе
комого образуется ямка, равная полусфере радиусом г = 0,1 мм.
7.67. Какую силу F надо приложить, чтобы оторвать дру1
от друга (без сдвига) две смоченные фотопластинки размере»
S — 9 х 12 см2? Толщина водяной прослойки между пластинкам!
d=0,05 мм. Смачивание считать полным.
7.68. Между двумя вертикальными плоскопараллельными сте
клянными пластинками, находящимися на расстоянии d = 0,25 м»
друг от друга, налита жидкость. Найти плотность р жидкостд
НАСЫЩЕННЫЕ ПАРЫ И ЖИДКОСТИ
85
и, известно, что высота поднятия жидкости между пластинка-
। I: -3,1см. Поверхностное натяжение жидкости а = 0,03Н/м.
1 |'1ивание считать полным.
/ 69.* Две вертикальные параллельные друг другу стеклянные
... Н1ны погружены частично в воду. Зазор между пластинами
f 0,5 мм, размер пластин по горизонтали I = 10см. Считая
। । швание полным, определить:
11 высоту h, на которую вода поднимается в зазоре;
'О । илу F, с которой пластины притягиваются друг к другу.
/ 70. Между двумя горизонтальными плоскопараллельными
। (явными пластинками помещена масса ш = 5г ртути. Когда
н верхнюю пластинку положили груз массой М = 5 кг, расстоя-
... между пластинками стало равным d = 0,087мм. Пренебрегая
...>Й пластинки по сравнению с массой груза, найти поверх-
। нос натяжение а ртути. Несмачивание считать полным.
7.71. В открытом капилляре, внутренний диаметр которого
1мм, находится капля воды. При вертикальном положении
hi 1ляра капля образует столбик высотой h равной: а) 2см;
I. м; в) 2,98см. Найти радиусы кривизны Ri и /?2 верхнего и
। । пего менисков в каждом из этих случаев. Смачивание считать
IIII.1M.
Г .72. Горизонтальный капилляр, внутренний диаметр которого
2 мм, наполнен водой так, что в нем образовался столбик
П1НОЙ h = 10см. Какая массд т воды вытечет из капилляра,
hi ого поставить вертикально? Смачивание считать полным.
Рис. 53
г. аз а н и е. Учесть, что предельная длина столбика воды, оставшейся в ка-
। ।ре, должна соответствовать радиусу кривизны нижнего мениска, равному
и ".су капилляра (см. решение 7.71).
/.73. В открытом вертикальном капилляре, внутренний ради-
гоорого г = 0,6 мм, находится столбик спирта. Нижний мениск
и> столбика нависает на нижний конец
। пипляра. Найти высоту h столбика спир-
при которой радиус кривизны R нижне-
н ниска равен: а) Зг; б) 2г; в) г. Сма-
: nine считать полным.
/.74. Трубка, изображенная на рис. 53,
। рыта с обоих концов и наполнена керо-
i.i.iM. Внутренние радиусы трубок 1 и 2
• ины ?т = 0,5мм и Г2 = 0,9мм. При ка-
ii разности уровней Д/i мениск на конце
। и<и 1 будет: а) вогнутым с радиусом
< । ипизны R = п; б) плоским; в) выпуклым
।и анусом кривизны R — гг; г) выпуклым
। гшусом кривизны R = Г\? Смачивание
шм гь полным.
/.75. В широкий сосуд с водой опущен
р ппй его конец находится выше уровня
что
капилляр так,
воды в сосуде на
86
МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА
[Гл;'
h — 2 см. Внутренний радиус капилляра г = 0,5 мм. Найт
радиус кривизны R мениска в капилляре. Смачивание считая
полным.
7.76. Ареометр плавает в воде, полностью смачивающей ег
стенки. Диаметр вертикальной цилиндрической трубки ареометр
d= Эмм. На сколько изменится глубина погружения ареометр!
если на поверхность воды налить несколько капель спирта?
7.77. Ареометр плавает в жидкости, полностью смачивающе
его стенки. Диаметр вертикальной цилиндрической трубки арес
метра d = Эмм. Плотность жидкости р = 0,8 х 103кг/м3, поверх
ностное натяжение жидкости а. = 0,03 Н/м. На сколько измени!
ся глубина погружения ареометра, если вследствие замасливани
ареометр стал полностью несмачиваемым этой жидкостью?
7.78. * Два легких тела, оба смачиваемые (или оба несмачив!
емые) водой, плавая на поверхности воды, притягиваются друг
другу. Если же одно тело смачивается водой, а другое не смг
чивается, то тела будут отталкиваться, объяснить это явление.
7.79. * Маленькая капля жира плавает на поверхности жщ
кости, поверхностное натяжение которой ст. Поверхностное н4
тяжение жира на границе воздух—жир ctj, на границе жир-
жидкость Ст2- Определить толщину капли, если ее радиус равен j
7.80. При растворении массы т = Юг сахара (С12Н22О11)
объеме V = 0,5 л воды осмотическое давление раствора р = 152 кГП
При какой температуре Т находится раствор? Диссоциация мс
лекул сахара отсутствует.
7.81. Осмотическое давление раствора, находящегося при тем
пературе t = 87 °C, р = 165 кПа. Какое число N молекул вод
приходится на одну молекулу растворенного вещества в это’
растворе? Диссоциация молекул вещества отсутствует.
7.82. Масса т = 2 г поваренной соли растворена в объем
V — 0,5 л воды. Степень диссоциации молекул поваренной сол
а = 0,75. Найти осмотическое давление р раствора при темпер!
туре t — 17 °C.
7.83. Степень диссоциации молекул поваренной соли при рах
творении ее в воде а = 0,4. При этом осмотическое давлен®
раствора, находящегося при температуре t = 27 °C, р= 118,6 кН;
Какая масса т поваренной соли растворена в объеме V = 1
воды?
7.84. Масса т = 2,5 г поваренной соли растворена в объем
V = 1л воды. Температура раствора t = 18 °C. Осмотическс
давление раствора р = 160 кПа. Какова степень диссоциации
молекул поваренной соли в этом случае? Сколько частиц рас:
воренного вещества находится в единице объема раствора?
7.85. Масса т = 40г сахара (С12Н22О11) растворена в объем
V = 0,5 л воды. Температура раствора t = 50 °C. Найти давление
насыщенного водяного пара над раствором.
ТВЕРДЫЕ ТЕЛА
87
< не. Давление насыщенного пара над раствором при темпера-
। I" /1 = 30 °C равно pi = 4,2 кПа. Найти давление р% насыщен-
.... пара над этим раствором при температуре t2 = 60 °C.
7.87. Давление р насыщенного пара над раствором в 1,02 раза
и ч>.ц|(! давления ро насыщенного пара чистой воды. Какое чис-
I I/ молекул воды приходится на одну молекулу растворенного
и, in, , гва?
I 88. Масса т = 100 г нелетучего вещества растворена в объ-
, Г = 1л воды. Температура раствора t = 90°C. Давление
и,, и щепного пара над раствором р = 68,8кПа. Найти молярную
hi"V р растворенного вещества.
i 89. Нелетучее вещество с молярной массой р = 0,060 кг/моль
р „ пюрено в воде. Температура раствора t = 80 °C. Давление на-
> ин, иного пара над раствором р = 47,1 кПа. Найти осмотическое
। ..пне ро раствора.
§ 8. Твердые тела
11 'менение температуры плавления ЛГ при изменении давления на dp дается
, и,,, „нем Клаузиуса—Клапейрона
dT =- Т --У?* dp,
90 н
,,, молярная теплота плавления, Vojk •—молярный объем жидкости, Vbr—
,|,пый объем твердого тела, Т — термодинамическая температура плавле-
। ||,ц не очень низких температурах для твердых тел имеет место закон Дю-
.,, и Пти, согласно которому молярная теплоемкость всех химически про-
• ' । пердых тел равиа приблизительно 3R = 25 Дж/(моль К).
। , шчество теплоты Q, переносимое вследствие теплопроводности за время
,, I >еделяется формулой • '
Q = А^ ДЗДт,
Дж ’
Щ /Дх — изменение температуры в направлении х, перпендикулярном к
...... ,ке ДЗ, А — теплопроводность.
и ini повышении температуры длина твердых тел возрастает в первом при-
, । , ' пии линейно с температурой:
I = (о (1 4" at),
। 1 длина тела при температуре t, <о— его длина при температуре to = 0 °C,
, " мпературный коэффициент линейного расширения. Для твердых изо-
, ,,,,,.,х тел а = Ь/3, где Ь — температурный коэффициент объемного расши-
11 г..
и । тучае деформации продольного растяжения (сжатия) стержня относи-
• и н.п' изменение длины стержня по закону Гука
Д( _ _ 1 „
— -арв - -gpH,
, ,. н, нормальное напряжение, т. е. рк = F/S, где F— растягивающая (сжи-
», ii.iii) сила, S — площадь поперечного сечения. Величина Е [Па] = 1/а нал-
ип, ,. о >i модулем Юнга.
88
МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА
[Гл,
Относительное изменение диаметра стержня при продольном растяже:
(сжатии)
Величина а = называется коэффициентом Пуассона.
Для закручивания стержня (проволоки) на некоторый угол ср необходи:
приложить момент пары сил (закручивающий момент)
где I — длина проволоки, г — ее радиус, N [Па] — модуль сдвига материала п{
волоки.
Элементы кристаллографии.
Объем Vb одного килограмм-моля кристалла
где д— киломоль, р—плотность кристалла.
Объем V элементарной ячейки кристалла:
а) при кубической сингонии
V = а3,
б) при гексагональной сингонии
17 2
V = -j- а с,
где а и с — параметры ячейки.
Число Zo элементарных ячеек в одном килограмм-моле кристалла
7 _ Vo
z° V
где k — число одинаковых атомов в химической формуле соединения, Ад
число Авогадро, п — число одинаковых атомов, приходящихся на элементарно
ячейку.
Число Z элементарных ячеек в единице объема кристалла
7 _ Zo
Z~Vo’
а) в общем случае
Z = p~
п п • А ’
б) для кристалла, состоящего из одинаковых атомов (А: = 1)
где А — килограмм-атом.
Параметр кубической решетки
kpNA
l "I
ТВЕРДЫЕ ТЕЛА
89
г ь стояние d между соседними атомами в кубической решетке:
л) в гранецентрированной
d = а/у/Ь,
0) в объемноцентрированной
, -/3
d- а.
Тепловые своИства твердых тел.
Энергия одного килограмм-атома химически простых (состоящих из одина-
• ..пых атомов) твердых тел в классической теории теплоемкости выражается
.|...рмулой
E = 3RT,
। ... R — универсальная газовая постоянная, Т—абсолютная температура.
Теплоемкость одного килограмм-атома химически простых твердых тел опре-
|. шется по закону Дюлонга и Пти:
См = 3R.
I i>i химически сложных тел (состоящих из различных атомов) теплоемкость
.. 11(<>|-о киломоля определяется законом Неймана—Коппа
Cf, = п • 3R,
.. общее число частиц в химической формуле соединения.
< реднее значение (е) энергии квантового осциллятора, приходящегося на
о.v степень свободы, в квантовой теории Эйнштейна выражается формулой
^£^£о + е^/(*Т)_1’
. и со—.нулевая энергия (со = j hi/), h — постоянная Планка, и—частота
.. и'баний осциллятора, k — постоянная Больцмана, Т— абсолютная темпера-
. p.i.
Энергия одного килограмм-атома кристалла и квантовой теории теплоемко-
. и определяется как
E = Eo + 3R .,?Е-
' " Eq - j R&E — нулевая энергия килограмм-атома, 0е = —характери-
иг1еская температура.
Теплоемкость одного килограмм-атома кристалла в квантовом состоянии
г V евЕ>т
м \TJ (е»в/Г-1)2
' I астотный спектр колебаний в теории теплоемкости Дебая задается функ-
I.п.ii распределения частот g(v). Число dZ собственных частот твердого тела,
и си годящихся на интервал частот от и до +
dZ = д (м) th/.
'I I I трехмерного кристалла, содержащего N атомов
dZ = 1/2 di/,
>.. - максимальная частота, ограничивающая спектр колебаний.
90 МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА [Гл.
Энергия твердого тела
Е= У (e)ff(i/)di/.
о
Энергия одного килограмм-атома кристалла по Дебаю
3 «д/г
Е = + / ^dx,
о
9
где Eq = g R9d — нулевая энергия одного килограмм-атома кристалла по Д
баю, бо = —характеристическая температура Дебая.
Теплоемкость одного килограмм-атома кристалла по Дебаю
_«с/г з(
= зя[12 (й") / ^ridx- е«о/т _ J-
о
Энергия фонона связана с частотой р колебаний
е = hv.
Квазиимпульс фонона
р = ^ = Нк,
где А — длина волны, И = к = —волновое число.
Скорость фонона (групповая)
.. _ de _ di/
dp ~ dk '
Фазовая скорость фонона: мф = .
Скорости волн в кристалле: i
продольных— Vi = У , поперечных— vt = yj , i
где Е—модуль продольной упругости, G — модуль продольной упругосп
р — плотность твердого тела.
Усредненное значение скорости звука определяется формулой
3 _ 2 , X
V3 v3 др ' (
Теплота, перенесенная через поверхность площадью S, перпендикулярную
направлению теплового потока за время dt, определяется законом Фурье:
dQ = -х S dt,
dx ,
х—коэффициент теплопроводности, —проекция градиента температуры
Коэффициент теплопроводности х связан с удельной теплоемкостью (и
единицу объема) с, скоростью звука v и средней длиной свободного пробег
фононов А
X — i сА V.
I
ТВЕРДЫЕ ТЕЛА
91
.Линейный коэффициент теплового расширения по определению
- 1 Ж
~ I <П"
11лотность тока насыщения при термоэлектронной эмиссии с катода дается
.рмулой Ричардсона-—Дэшмана
= ВТ2 ехр{—А/(кТ)},
н В = 120 (1 — R) —=—=, R—коэффициент отражения электронов проводи-
-.... г и от потенциального барьера на поверхности эмиттера, А — работа выхода
• иктронов (см. Приложение XXIV) с поверхности катода.
11олупроводники.
Удельная проводимость
а собственных проводников
а = п - е (un + “₽),
. и- <>.— заряд электрона, п — концентрация носителей тока, ип и ир— по-
nui.KHOCTb электронов и дырок.
Напряжение Ux на гранях образца при эффекте Холла
Ux = RxBbj,
< /гх — постоянная Холла, В — индукция магнитного поля, b—• ширина плв-
. ины, з—плотность тока.
11остоянная Холла для полупроводников типа алмаз, кремний, германий и
। обладающих носителями тока одного вида
8.1. Изменение энтропии при плавлении количества v =1 кмоль
о ia = 22,2кДж/К. На сколько изменяется температура пла-
о н'ния льда при увеличении внешнего давления на Др = 100кПа?
8.2. При давлении pi = 100кПа температура плавления олова
11 231,9 °C, а при давлении ръ = 10МПа она равна <2 = 232,2 °C.
II ютность жидкого олова р = 7,0 • 103 кг/м3. Найти изменение
ч| ||>огтии AS при плавлении количества v = l кмоль олова.
8.3. Температура плавления железа изменяется на АТ=0,012 К
ирп изменении давления на Др = 98кПа. На сколько меняется
при плавлении объем количества v = 1 кмоль железа?
8.4. Пользуясь законом Дюлонга и Пти, найти удельную теп-
। е мкость с: а) меди; б) железа; в) алюминия.
8.5. Пользуясь законом Дюлонга и Пти, найти, из какого ма-
н риала сделан металлический шарик массой тп = 0,025 кг, если
и ик-стно, что для его нагревания от й = 10°С до t-з = 30°С
и и рсбовалось затратить количество теплоты Q = 117 Дж.
8.6. Пользуясь законом Дюлонга и Пти, найти, во сколько раз
и иьная теплоемкость алюминия больше удельной теплоемкости
и И Н ИНЫ.
8.7. Свинцовая пуля, летящая со скоростью v = 400м/с, уда-
! и гея о стенку и входит в нее. Считая, что 10% кинетической
92
МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА
энергии пули идет на ее нагревание, найти, на сколько нагрела
пуля. Удельную теплоемкость свинца найти по закону Дюлои
и Пти.
8.8. Пластинки из меди (толщиной dy = 9 мм) и железа (тс
щиной d2 = 3 мм) сложены вместе. Внешняя поверхность медн
пластинки поддерживается при температуре Н = 50 °C, внешн
поверхность железной — при температуре t-2 = 0°С. Найти тем!
ратуру t поверхности их соприкосновения. Площадь пластин
велика по сравнению с толщиной.
8.9. Наружная поверхность стены имеет температуру Н
= —20°С, внутренняя — температуру /г = 20°C. Толщина сте!
d = 40 см. Найти теплопроводность А материала стены, если «
рез единицу ее поверхности за время г = 1 ч проходит количест
теплоты Q — 460,5 кДж/м2.
8.10. Какое количество теплоты Q теряет за время т = 1м:
комната с площадью пола S = 20 м2 и высотой h = Зм чер
четыре кирпичные стены? Температура в комнате ij = 15°
температура наружного воздуха i2 = —20 °C. Теплопроводное
кирпича А = 0,84Вт/(м • К). Толщины стен d = 50см. Потеря!
тепла через пол и потолок пренебречь.
8.11. Один конец железного стержня поддерживается при те
пературе Н = 100 °C, другой упирается в лед. Длина стерж:
I = 14см, площадь поперечного сечения S — 2 см2. Найти и
личество теплоты QT, протекающее в единицу времени вда
стержня. Какая масса m льда растает за время г = 40 ми
Потерями тепла через стенки пренебречь.
8.12. Площадь поперечного сечения медного стержня S = 10cn
длина стержня I = 50 см. Разность температур на концах стерж]
ДТ = 15 К. Какое количество теплоты Qr проходит в едини
времени через стержень? Потерями тепла пренебречь.
8.13. На плите стоит алюминиевая кастрюля диаметром D
= 15 см, наполненная водой. Вода кипит, и при этом за вре!
т = 1 мин образуется масса m = 300 г водяного пара. Най'
температуру t внешней поверхности дна кастрюли, если толщи
его d=2 мм. Потерями тепла пренебречь.
8.14. Металлический цилиндрический сосуд радиусом R = 9i
наполнен льдом при температуре ii =0°С. Сосуд теплоизолир
ван слоем пробки толщиной d — 1см. Через какое время т ве
лед, находящийся в сосуде, растает, если температура наружно
воздуха t2 = 25 °C? Считать, что обмен тепла происходит толь
через боковую поверхность сосуда средним радиусом Rq = 9,5 с
8.15. Какую силу F надо приложить к концам стально
стержня с площадью поперечного сечения S = 10 см2, чтобы
дать ему расшириться при нагревании от to = 0°С до t = 30°C
8.16. К стальной проволоке радиусом г = 1мм подвешен rpj
Под действием этого груза проволока получила такое же удл
нение, как при нагревании на Ai = 20 °C. Найти массу m груз
ТВЕРДЫЕ ТЕЛА
93
'17. Медная проволока натянута горячей при температуре
150 °C между двумя прочными неподвижными стенками. При
> "ii температуре ta, остывая, разорвется проволока? Считать,
i.ikoh Гука справедлив вплоть до разрыва проволоки.
i 18. При нагревании некоторого металла от t0 = О °C до
.D0 °C его плотность уменьшается в 1,027 раза. Найти для
•I . металла коэффициент линейного расширения а, считая его
...япным в данном интервале температур.
ч 19. Какую длину 1о должны иметь при температуре t0 = 0°С
и.пой и медный стержни, чтобы при любой температуре сталь-
.1 < горжень был длиннее медного на Д/ = 5см?
20. На нагревание медной болванки массой т = 1кг, находя-
|' я при температуре to = 0°С, затрачено количество теплоты
138,2 кДж. Во сколько раз при этом увеличился ее объем?
п.ную теплоемкость меди найти по закону Дюлонга и Пти.
21. При растяжении медной проволоки, поперечное сечение
. .рой S = 1,5 мм2, начало остаточной деформации наблюдалось
I нагрузке F = 44,1 Н. Каков предел упругости р материала
1.ЧОКИ?
н 22. Каким должен быть предельный диаметр d стального
а, чтобы он выдержал нагрузку F = 9,8kH?
ч 23. Найти длину I медной проволоки, которая, будучи подве-
। вертикально, начинает рваться под действием собственной
ii тяжести.
ч 24. Решить предыдущую задачу для свинцовой проволоки.
' 25. Для измерения глубины моря с парохода спустили гирю
ильном тросе. Какую наибольшую глубину I можно измерить
. им способом? Плотность морской воды р = 1-103кг/м3. Массой
и ио сравнению с массой троса пренебречь.
26. С крыши дома свешивается стальная проволока длиной
16 м и диаметром й=2мм. Какую нагрузку F может выдер-
I. эта проволока? На сколько удлинится эта проволока, если
...ii повиснет человек массой т = 70 кг? Будет ли наблюдать-
нматочная деформация, когда человек отпустит проволоку?
! и 1 упругости стали р = 294 МПа.
ч 27. К стальной проволоке радиусом г = 1 мм подвешен груз
>>й т = 100 кг. На какой наибольший угол а можно отклонить
i nлоку с грузом, чтобы она не разорвалась при прохождении
> । грузом положения равновесия?
ч 28. К железной проволоке длиной I = 50см и диаметром
I мм привязана гиря массой т — 1кг. С какой частотой п
। ио равномерно вращать в вертикальной плоскости такую про-
ку с грузом, чтобы она не разорвалась?
в 29. Однородный медный стержень длиной I = 1м равномерно
шается вокруг вертикальной оси, проходящей через один из
гонцов. При какой частоте вращения п стержень разорвется?
94
МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА
[Гл.'
8.30. Однородный стержень равномерно вращается вокруг ве(
тикальной оси, проходящей через его середину. Стержень ра!
рывается, когда скорость конца стержня достигает v = 380 м/(
Найти предел прочности р материала стержня. Плотность мат?
риала стержня р = 7,9 • 103 кг/м3. т
8.31. К стальной проволоке длиной I = 1 м и радиусом г = 1м
подвесили груз массой т = 100 кг. Найти работу А растяжени
проволоки. 1
8.32. Из резинового шнура длиной I — 42 см и радиусо
г = Змм сделана рогатка. Мальчик, стреляя из рогатки, рах
тянул резиновый шнур на А/ = 20 см. Найти модуль Юнга дЛ
этой резины, если известно, что камень массой т = 0,02 кг, пу
щенный из рогатки, полетел со скоростью v — 20 м/с. Изменение!
сечения шнура при растяжении пренебречь.
4 . с 8.33. Имеется резиновый шланг длиной I :
= 50 см и внутренним диаметром dy = 1 cs
Шланг натянули так, что его длина стала й
А/ = 10 см больше. Найти внутренний диамет
натянутого шланга, если коэффициент Пуа(
сона для резины а = 0,5.
8.34. На рис. 54 АВ — железная проволок^
CD — медная проволока такой же длины и
таким же поперечным сечением, BD — стержев
s х - D длиной I = 80 см. На стержень подвесили гру
Й массой т = 2 кг. На каком расстоянии х от точк
т В надо его подвесить, чтобы стержень осталс
Рис. 54 горизонтальным?
8.35. Найти момент пары сил М, необхода
мый для закручивания проволоки длиной I = 10 см и радиусо:
г = 0,1 мм на угол ip = 10'. Модуль сдвига материала проволок
N = 4,9- Ю10Па.
8.36. Зеркальце гальванометра подвешено на проволоке длй
ной I — 10 см и диаметром d = 0,01мм. Найти закручивающи
момент М, соответствующий отклонению зайчика на величин
а = 1 мм по шкале, удаленной на расстояние L = 1 м от зеркал^
ца. Модуль сдвига материала проволоки N = 4 • 1010 Па.
8.37. Найти потенциальную энергию W проволоки длино
I = 5 см и диаметром d = 0,04 мм, закрученной на угол <р = 10?
Модуль сдвига материала проволоки N ~ 5,9 х 1О10 Па.
8.38. При протекании электрического тока через обмотку галь
ванометра на его рамку с укрепленным на ней зеркальцем де!
ствует закручивающий момент М = 2-10-13Н-м. Рамка при это
поворачивается на малый угол <р. На это закручивание иде
работа А = 8,7 10-16Дж. На какое расстояние а переместите
зайчик от зеркальца по шкале, удаленной на расстояние L — 1
от гальванометра?
ТВЕРДЫЕ ТЕЛА
95
8.39. Найти коэффициент Пуассона ст, при котором объем про-
> тки при растяжении не меняется.
8.40. Найти относительное изменение плотности цилиндриче-
। и о медного стержня при сжатии его давлением рн — 9,8-107Па.
| ' । >ффициент Пуассона для меди а = 0,34.
8.41. Железная проволока длиной I = 5 м висит вертикально.
I .ж изменится объем проволоки, если к ней привязать гирю
' и сой т = 10 кг? Коэффициент Пуассона для железа ст = 0,3.
8.42. * Определить число узлов, приходящихся на одну элемен-
1 ||>ную ячейку в гранецентрированной решетке.
8.43. * Определить постоянную а и расстояние d между сосед-
ними атомами кристалла Са (решетка гранецентрированная ку-
и ческой сингонии). Плотность кристалла Са р = 1,55 • 103 кг/м3.
8.44. * Определить число элементарных ячеек в единице объема
' 1'исталла: а) хлористого цезия (решетка объемноцентрированная
. инческой сингонии); б) меди (решетка гранецентрированная ку-
бической сингонии); в) кобальта, имеющего гексагональную струк-
1>у с плотной упаковкой.
8.45. * Найти плотность кристалла неона (при Т = 20 К), если
' честно, что его решетка гранецентрированная кубической син-
инн. Постоянная решетки при той же температуре а = 4,52 А.
8.46. * Определить относительную атомную массу кристалла,
in известно, что расстояние между ближайшими соседними
'мами d = 3,04 А. Решетка гранецентрированная кубической
ингонии. Плотность кристалла р = 0,534 • 103 кг/м3.
8.47. * Используя метод упаковки шаров, найти отношение па-
। метров с и а в гексагональной решетке с плотнейшей упа-
г.кой. Указать причины отклонения этой величины в реальном
I рич талле от вычисленного.
8.48. * Определить постоянные а и с решетки кристалла маг-
|| |. который представляет собой гексагональную решетку с плот-
II упаковкой. Плотность кристалла магния 1,74 103 кг/м3.
8.49. * Вычислить постоянную а решетки бериллия, который
। и дставляет собой гексагональную структуру с плотной ула-
нкой. Параметр решетки с = 3,59 А. Плотность кристалла
' риллия р — 1,82 • 103 кг/м3.
8.50. * Найти плотность кристалла Не (при Т = 2К), который
ч •'вставляет собой гексагональную структуру с плотной упаков-
Hi. Постоянная решетки а = 3,57А.
8.51. * Определить теплоту, необходимую для нагревания кри-
। ia NaCl массой m = 20 г на ДГ = 2 К. Рассмотреть два
। чая:
.>) нагревание происходит от температуры Ti = др = 320К;
и) нагревание происходит от температуры Т\ = 2 К.
8.52.* Исходя из классической теории вычислить удельные теп-
..мкости кристаллов: 1) Си; 2) А1; 3) NaCl и 4) СаС1г-
96
МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА
8.53. * Вычислить изменение внутренней энергии кристалла
при нагревании его от ti = О °C до t2 = 200 °C. Масса крист;
ла 20 г.
8.54. * Получить формулу для среднего значения энергии (.
линейного гармонического осциллятора при тепловом равновеа
Вычислить значение (Е) при Т = 300К.
8.55. * Определить теплоемкость и энергию системы,
из N = 1026 трехмерных классических гармонических ।
ров. Температура системы Т = 300К.
8.56. * Характеристическая температура атомов Ag ]
= 165 К. Определить частоту колебаний атомов Ag
теплоемкости Эйнштейна.
8.57. * Во сколько раз исменится средняя энергия
осциллятора, приходящаяся на одну степень свободы
шении температуры от = |(9д до Т-2—0е?
8.58. * Используя квантовую теорию теплоемкости
на, вычислить изменение ДВ
лограмм-атома кристалла при
температуры Ti = | 9е-
8.59. * Вычислить по теории
торой обладает один килограмм-атом кристалла цинка. Харак!
ристическая температура 0е для цинка равна 230 К.
8.60. * В теории Дебая твердое тело рассматривается как с
стема из продольных и поперечных стоячих волн. Определи
функцию распределения частот д (р) для кристалла с трехмс
ной решеткой. Принять, что число собственных колебаний
ограничено и равно 31V, N — число атомов в рассматриваем!
объеме.
8.61. * Используя формулу для энергии трехмерного кристал
во/Т
f х3 dx
J
О
вывести выражение килограмм-атомной теплоемкости.
8.62. * Килограмм-атомная
ла выражается формулой
Е=3RT•3
ОСЦИЛЛЯ'
равна
по теор)
при ПОВ1
внутренней энергии одного
нагревании его на ДТ = 2 К
Эйнштейна нулевую энергию,
теплоемкость трехмерного
Г х3 , \Т )
J ex-ldx - 1
О
Найти предельное выражение при
{0d » Г)-
8.63.* Для кристалла Au вычислить
собственных колебаний по теории Дебая.
= ЗЯ 12
з
низких температур
максимальную част<
0D = 180К.
ч
ТВЕРДЫЕ ТЕЛА
97
8.64. * Кристалл нагревают от нуля до Т — 0,10р. Найти
>> гпошение изменения его внутренней энергии Д.Е к величине
пулевой энергии Eq. Принять Т
8.65. * Вычислить изменение внутренней энергии одного кило-
11 >амм-атома кристалла при его нагревании на ДТ = 2 К от тем-
пературы Ti = Использовать квантовую теорию Дебая.
8.66. * Определить характеристическую температуру Дебая се-
ребра, если для нагревания 10г от Ti = ЮК до Тч — 20К было
i.n-рачено ДО = 0,71 Дж теплоты. Принять Т
8.67. * Найти отношение характеристических температур Эйн-
штейна и Дебая. Указание. Использовать выражение для нулевых
......... вычисленных по обеим теориям.
8.68. * Для кристалла с двухмерной решеткой получить функ-
цию распределения частот д(у). Кристалл состоит из невзаимо-
и'йствующих слоев, число собственных колебаний Z ограничено
п равно 3N (N— число атомов кристалла). Рассматривать твер-
||>с тело как систему продольных и поперечных стоячих волн.
8.69. * Зная функцию распределения частот (см. задачу 8.68)
। ня кристалла с двухмерной решеткой, получить формулу для
нк'ргии кристалла, содержащего N (равное Na) атомов.
8.70. * Используя ответ задачи 8.69, получить выражение для
। плоемкости килограмм-атома См кристалла с двухмерной ре-
шеткой.
8.71. * Вычислить нулевую энергию одного килограмм-атома
шухмерного кристалла, если характеристическая температура
Ii‘бая 0р=35ОК.
8.72. * Для кристалла с одномерной решеткой получить функ-
цию распределения частот д(у). "Кристалл состоит из линейных
in пей, не взаимодействующих между собой, число собственных
шлебаний Z ограничено и равно 3N (N— число атомов кри-
1алла).
8.73. * Решить № 8.69 для кристалла с одномерной решеткой.
8.74. * Решить № 8.70 для кристалла с одномерной решеткой.
8.75. * Вычислить нулевую энергию одного килограмм-атома
।' щомерного кристалла, если характеристическая температура Де-
пая 0£> = ЗООК.
8.76. * Найти энергию фонона; соответствующего граничной
|.и:тоте, если характеристическая температура 0d = 25OK.
8.77. * Определить квазиимпульс фонона частотой v = 0,li/raax.
• роднее значение скорости звука в кристалле v = 1380 м/с,
ihi = 100К. Дисперсией звуковых волн пренебречь.
8.78. * Вычислить усредненное значение скорости звука в кри-
' илле серебра. Модули упругости Е и G, а также плотность р
। ребра считать известными.
8.79. * Определить длину волны фононов в кристалле вольф-
рама, соответствующих частоте v — 0,lpmax; если 0р = 310 К.
1,псперсией звуковых волн пренебречь.
98
МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА
[Гл. И;
8.80. * Определить скорость звука в кристалле, характеристиче-1
ская температура которого вр = 300 К, а межатомное расстояние
а — 2,5 А.
8.81. * Вычислить среднюю длину свободного пробега А фоно-
нов в кварце (БЮг) при некоторой температуре, если при той
же температуре х = 13Вт/(м град), теплоемкость С = 44 кДж х
х(м-град)-1, усредненнное значение скорости звука v = 5-103м/с.
Плотность кварца р = 2,65 • 103 кг/м3.
8.82. * Вычислить давление фононного газа в свинце при абсо-
лютном нуле. 0р = 85К.
8.83. * Определить фононное давление в меди при Т = во =
= 320 К.
8.84. * Найти коэффициент объемного расширения для ани-
зотропного кристалла, коэффициенты расширения которого по
трем взаимно перпендикулярным направлениям составляют Oj =
= 1,25 • 10-5 град-1, аг — 1,1 Ю-5 град-1, Оз — 1,15 • I-5 град-1.
8.85. * Известно, что температура тела в течение 20 мин. пада-
ет от 100 °C до 60 °C. Температура воздуха при этом равна 20 °C.
Через сколько времени (от момента начала охлаждения) темпера-
тура тела понизится до 25 °C? Считать, что скорость охлаждения
тела в воздухе пропорциональна разности между температурами
тела и воздуха.
8.86. * Стена (коэффициент теплопроводности к = 0,0015) имеет
30 см толщины. Найти, как зависит температура от расстояния
от внешней поверхности стены, если температура равна 20 °C на
внутренней и 0°С на внешней поверхности.
8.87. * Концы однородного стержня постоянного сечения под-
держиваются при температурах Ч и t2 (t-2 > ti). Температурный
коэффициент линейного расширения материала стержня равен а.
Чему равна длина стержня, если при 0°С она была Iq?
8.88. * Трубопровод тепловой магистрали (диаметр 20 см) защи-
щен изоляцией толщиной 10 см; величина коэффициента тепло-
проводности к = 0,00017. Температура трубы 160 °C; температура
внешнего покрова 30 °C. Найти распределение температуры вну-
три изоляции, а также количество тепла, отдаваемое 1 погонным
метром трубы.
8.89. * Стальной трос удерживает кабину лифта, максимальная
масса которого не более 2500 кг. Если максимальное ускорение
лифта равно 1,5 м/с2, то каким должен быть диаметр стального
троса при запасе прочности 5,0?
8.90. * Определите относительное удлинение алюминиевой про-
волоки, если при ее растяжении была затрачена работа А = 14 Дж.
Длина проволоки I = 1 м, сечение S -- 2 мм2.
8.91. * Существует максимальная высота однородной верти-
кальной колонны из любого материала, не зависящая от площади
поперечного сечения, при превышении которой колонна разру-
шится. Вычислите эту высоту для колонны из стали. Предел
прочности стали на сжатие 5- 108Н/м2, плотность 7,8 103 кг/м3.
ТВЕРДЫЕ ТЕЛА
99
8.92. * Толщина биметаллической пластинки, составленной из
одинаковых полосок стали и цинка, равна d — 0,1мм. Опреде-
1 ить радиус кривизны пластинки при повышении температуры на
\Т = 10К от температуры, при которой пластинка была ровной.
8.93. * Найти распределение температуры в пространстве между
шумя концентрическими сферами с радиусами Ri и /?2, заполнен-
ном проводящим тепло однородным веществом, если температуры
обеих сфер постоянны и равны Ту и Tj.
8.94. * По однородному цилиндрическому проводу радиусом R
о<>ч изоляции течет ток силой I. Определить стационарное рас-
пределение температуры в проводе, если температура его поверх-
ности (То) поддерживается постоянной. Удельное сопротивление
111 юводника р.
8.95. * Какова работа выхода из металла, если повышение тем-
пературы нити накала, сделанной из этого металла, от 2000 К до
’001К увеличивает ток насыщения в электронной лампе на 1%?
8.96. * Определить ток насыщения в электронной лампе с
вольфрамовым катодом при следующих условиях: Длина и диа-
негр нити Зсм и 0,1мм; температура накала 2700 К; постоянная
/>’ для вольфрама равна 60,2 А/(см • К2).
8.97. * Германий имеет при некоторой температуре удельное со-
противление р = 0,48 Ом -м. Определить концентрацию носителей
тиа п, если подвижности электронов ип = 0,36м2/(В-с), а дырок
= 0,16м2/(В • с).
8.98. * Определить подвижность и концентрацию дырок в по-
iv проводнике p-типа, если его удельная проводимость а =
1120м-1 • м- , а постоянная Холла Rx = 3,66 • 10-4м3/Кл.
8.99. * Определить уровень Ферми в полупроводнике, если энер-
। ия активации ДЕо = 1эВ. За нулевой уровень отсчета кинети-
н ской энергии электронов принять низший уровень зоны прово-
III мости.
8.100. * В германии часть атомов замещена атомами сурьмы.
1иэлектрическая проницаемость германия е = 16. Рассматри-
п.1Я дополнительный электрон примесного атома по модели Бора,
вычислить его энергию Е связи и радиус г его орбиты.
8.101. * Пластина шириной b = 1см и длиной L = 10см из-
11 > говлена из полупроводника и помещена в однородное магнит-
ит’ поле с В = 0,2 Тл, перпендикулярное плоскости пластины.
К концам пластины по направлению L приложено постоянное
н.шряжение U = 300 В. Определить разность потенциалов Ux на
। ранях пластины, если Rx = 0,1 м3/Кл, удельное сопротивление
г - 0,5 Ом • м.
8.102. * Кремниевая пластина щириной Ь = 2 см помещена в од-
нородное магнитное поле с индукцией В — 0,1 Тл перпендикуляр-
но линиям магнитной индукции. Холловская разность потенциа-
|оп Ux — 0,368В возникает на гранях пластины при протекании
юка с плотностью j = 0,5А/мм2 вдоль пластины. Определить
концентрацию носителей тока.
Глава III
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ
§ 9. Электростатика
По закону Кулона сила электростатического взаимодействия между двумя
заряженными телами, размеры которых малы, по сравнению с расстоянием г
между ними, определяется формулой
р = Ч1Ч2 ,
4тгеоегЕ 2 * * * &
где qi и дг—электрические заряды тел, с— относительная диэлектрическая'
проницаемость среды, ео = 8,85418782 • 10-12 Ф/м — электрическая постоянная.
Напряженность электрического поля определяется формулой
Е=Е
Ч
где F— сила, действующая на заряд q. Напряженность поля точечного заряда
Е= - .
47Г£о£7*2
Напряженность электрического поля нескольких зарядов (например, поле ди-
поля) находится по правилу векторного сложения.
По теореме Гаусса поток напряженности сквозь любую замкнутую поверх-
ность
Ne =
где 9t — алгебраическая сумма зарядов, находящихся внутри этой поверхно-
сти. Соответственно поток электрического смещения сквозь любую замкнутую
поверхность
Nd = Wi-
При помощи теоремы Гаусса можно найти напряженность электрического
поля, образованного различными заряженными телами.
Напряженность поля, образованного заряженной бесконечно длинной нитью,,
Е = — -
2tteqe а
где т — линейная плотность заряда на нити, а — расстояние от нити. Если нить
имеет конечную длину, то напряженность поля в точке, находящейся на пер-
пендикуляре, восставленном из середины нити на расстоянии а от нее,
& _ т sin в
2тгеое а ’
ЭЛЕКТРОСТАТИКА
101
! не в — угол между направлением нормали к нити и радиус-вектором, прове-
иепным из рассматриваемой точки к концу нити.
Напряженность поля, образованного заряженной бесконечно протяженной
11 носкостью,
те <т — поверхностная плотность заряда на плоскости. Если плоскость пред-
I гавляет собой диск радиусом R, то напряженность поля в точке, находящейся
ин перпендикуляре, восставленном из центра диска на расстоянии а от него,
__ (У I 1 _ д_________
“ 2£ое y/RP + c?
Напряженность поля, образованного разноименно заряженными параллель-
ными бесконечными плоскостями (поля плоского конденсатора),
Напряженность поля, образованного заряженным шаром,
. 2 5
4тгео^г
। и; q— заряд шара радиусом R и i расстояние от центра шара, причем г > R.
Электрическое смещение D определяется соотношением
D = eqeE — <г.
Разность потенциалов между двумя точками электрического поля определя-
< к я работой, которую надо совершить, чтобы единицу положительного заряда
принести из одной точки в другую:
U = tpi - ч>2 = у •
Потенциал поля точечного заряда
г Апеоег1
। к* т — расстояние от заряда.
Напряженность электрического поля и потенциал свизаны соотношением
я = -^.
dr
I * случае однородного поля плоского конденсатора напряженность
Е=%,
а
। -к* U —разность потенциалов между пластинами конденсатора, d—расстояние
Ml-жду ними.
102
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ
[Гл. Ш
Потенциал уединенного проводника и его заряд связаны соотношением
д = Сд>,
где С — емкость уединенного проводника.
Емкость плоского конденсатора
,, _ eqeS
d ’
где S — площадь каждой пластины конденсатора.
Емкость сферического конденсатора
С~ R — r ’
где г и R—радиусы внутренней и внешней сфер. В частном случае, когда'
R = оо,
С = iirEQEr
— емкость уединенного шара.
Емкость цилиндрического конденсатора
„ _ 2ireoeL
~ 1п(Я/г) ’
где L — высота коаксиальных цилиндров, г и R — радиусы внутреннего и внеш-
него цилиндров.
Емкость системы конденсаторов:
при параллельном соединении конденсаторов
С = C*i + С 2 + С*з + . - - ,
при последовательном соединении
± = J- +J- + J- +
С Cl + С2 + С3 +
Энергия уединенного заряженного проводника может быть найдена по одной-
из следующих формул:
W = се/2 W =
rv - 2 , 2 , w 2С .
В случае плоского конденсатора энергия
„. _ eoeSU2 _ 6Q£E2Sd _ a2Sd
' ~ 2d ~ 2 ~ 2еое ’
где S — площадь каждой пластины конденсатора, <т — поверхностная плотность
заряда на пластинах, U — разность потенциалов между пластинами, d — рас-
стояние между ними. Величина
W0 = = ED
называется объемной плотностью энергии электрического поля.
Сила притяжения между пластинами плоского конденсатора
„ _ eqeE2S _ eqeSU2 _ a2S
~ 2 _ 2d2 ~ 2е0£ ’
Ij9]
ЭЛЕКТРОСТАТИКА
103
9.1. * Определить дивергенцию следующих векторных полей:
а) а = г, г— радиус-вектор точки, в которой определяется ди-
вергенция;
б) а = ёр, где е?-—орт радиус-вектора точки;
в) а = /(f) ёр, где f (г)—некоторая функция модуля ради-
ус-вектора;
г) а= A[f, А—константа, г—радиус-вектор точки.
9.2. * Задано однородное поле вектора а. Определить: а) ди-
вергенцию этого поля; б) поток вектора а через произвольную
|.|.мкнутую поверхность.
9.3. * Вычислить поток радиус-вектора г через сферу радиуса R
< центром в начале координат.
9.4. * Вычислить поток вектора S через сферу радиуса R с цент-
ром в начале координат, если дивергенция вектора S известная
функция /(г) (Vа = /(г)).
9.5. * Чему равна дивергенция вектора Ё однородного электри-
ческого поля?
9.6. * Напряженность электростатического поля Ё как функция
координат имеет вид Ё = ar2ez + y2ev + zez. Определить плотность
ырядов р, создающих такое поле.
9.7. * Потенциал поля, создаваемый системой зарядов, имеет
вид: <р = ах2 + by2 — cz2, а, _Ь и с — положительные константы.
Найти напряженность поля Ё(х, у, z).
9.8. * Напряженность электрического поля Ё имеет вид: Ё =
аёх + Ъеу + cez, а, Ъ, с—константы. Является ли это поле
однородным? Определить потенциал поля <р.
9.9. * Напряженность электростатического поля определяется
I..1K Ё= Дег, где а — константа. Является ли это поле однород-
ным? Найти потенциал этого поля <р.
9.10. * Определить ротор следующих векторных полей:
а) а = т—радиус-вектор точки, в которой вычисляется ротор;
б) a = 4jr, а—константа, г— радиус-вектор точки;
в) а = ё*г — орт радиус-вектора точки;
г) а = /(г)ег, f (г)—известная функция модуля радиус-век-
и>ра.
9.11. * Доказать, что однородное векторное поле является без-
вихревым.
9.12. * Может ли поле Ё = а(уех — хеу) быть электростатиче-
> КИМ?
9.13. * Для поля Ё = а (уех — хеу) вычислить:
а) ротор в точке с координатами (х, у, z)\
б) циркуляцию Г по окружности радиуса R, лежащей в плос-
кисти х, у, направление обхода контура образует с осью Z пра-
||| ншнтовую систему.
104
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ
[Гл. III
9.14. Построить график зависимости силы F взаимодействия
между двумя точечными зарядами от расстояния г между ними
в интервале 2 г 10 см через каждые 2 см. Заряды qi = 20 нКл
и q-2 = 30 нКл.
9.15. Во сколько раз сила гравитационного притяжения между
двумя протонами меньше силы их электростатического отталки-
вания? Заряд протона равен по модулю и противоположен по
знаку заряду электрона.
9.16. Во сколько раз энергия электростатического взаи- 1
модействия двух частиц с зарядом q и массой т каждая больше
энергии И7гр их гравитационного взаимодействия? Задач}' решить
для: а) электронов; б) протонов.
9.17. Построить график зависимости энергии W3JJ электроста-
тического взаимодействия двух точечных зарядов от расстояния г
между ними в интервале 2 10 см через каждые 2 см. За-
ряды Qi — 1 нКл и д-2 = ЗнКл; е = 1. Гра-
фик построить для: а) одноименных зарядов;
б) разноименных зарядов.
9.18. * В вершинах квадрата со стороной а
имеется четыре заряда (см. рис. 55). Найти
напряженность электрического поля на перпен-'
дикуляре, восставленном из центра квадрата,
как функцию расстояния х.
9.19. * В вершинах тетраэдра расположены четыре заряда (см.
рис. 56). Сторона тетраэдра а. Определить
на заряд Q. Заряды считать известными.
9.20. В вершинах правильного шести-
угольника расположены три положитель-
ных и три отрицательных заряда. Най-
ти напряженность Е электрического поля
в центре шестиугольника при различных
комбинациях в расположении этих заря-
дов. Каждый заряд q = 1,5 нКл; сторона
шестиугольника а = Зсм.
9.21. Решить предыдущую задачу при
условии, что все шесть зарядов, располо-
+9
а
“9*=--------
Рис. 55
4 -q
силу, действующую
женных в вершинах шестиугольника, положительны.
9.22. Два шарика одинаковых радиуса и массы подвешены на
нитях одинаковой длины так, что их поверхности соприкасаются.
После сообщения шарикам заряда 9о = 0,4 мкКл они оттолкнулись
друг от друга и разошлись на угол 2а = 60°. Найти массу т
каждого шарика, если расстояние от центра шарика до точки
подвеса I = 20 см?
9.23. Два шарика одинаковых радиуса и массы подвешены на
нитях одинаковой длины так, что их поверхности соприкасаются.
Какой заряд q нужно сообщить шарикам, чтобы сила натяжения
И
ЭЛЕКТРОСТАТИКА
105
нитей стала равной Т = 98мН? Расстояние от центра шарика до
। очки подвеса I = 10 см; масса каждого шарика m = 5 г.
9.24. * Какой минимальный заряд q нужно закрепить в нижней
точке сферической полости радиуса R, чтобы в поле тяжести
небольшой шарик массы m и заряда Q находился в верхней
ючке полости в положении устойчивого равновесия (рис. 57)?
Рис. 59
9.25. * Четыре положительных заряда связаны пятью нитями
(см. рис. 58). Длина каждой нити I. Определить силу натяжения
нити, связывающей заряды Q между собой (Q > д').
9.26. * Семь одинаковых зарядов q связаны друг с другом оди-
наковыми упругими нитями так, как показано на рис. 59. Рассто-
яние между ближайшими зарядами I. Определить силу натяжения
к;тждой нити.
9.27. Найти плотность р материала шариков задачи 9.22, если
известно, что при погружении этих шариков в керосин угол рас-
хождения нитей стал равным 2ак = 54°.
9.28. * Доказать, что электрическое поле заряда и проводящей
п лоскости можно представить как поле данного заряда и симмет-
ричного относительно плоскости заряда противопо-
ложного знака (метод зеркальных отображений).
9.29. На рис. 60 АА—заряженная бесконеч-
ная плоскость с поверхностной плотностью заряда
а = 40мкКл/м2 и В—одноименно заряженный ша-
рик с массой m = 1г и зарядом q - 1нКл. Какой
м ол а с плоскостью АА образует нить, на которой
висит шарик?
9.30. На рис. 60 АА—заряженная бесконечная
п лоскость и В — одноименно заряженный шарик с
массой тп = 0,4мг и зарядом q = 667 пКл. Си-
ia натяжения нити, на которой висит шарик,
Г = 0,49 мН. Найти поверхностную плотность за- Рис. 60
ряда а на плоскости А А.
9.31. * Доказать электростатическую теорему Гаусса: поток век-
юра напряженности электростатического поля через замкнутую
поверхность S равен суммарному заряду, находящемуся в объеме
106
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ
[Гл. III
ограниченном данной поверхностью S, или равен нулю, если все
заряды расположены вне этого объема:
п
Г _ 52
I Eds = ——, Eq—электрическая постоянная. I
J е°
(S) I
9.32. * Используя теорему Гаусса, получить выражение для на-
пряженности электростатического поля заряженной бесконечно 1
длинной нити как функцию расстояния х от нити. Считать за-
данной линейную плотность заряда на нити А. Найти потенциал
нити.
9.33. * Решить предыдущую задачу для нити конечной длины I.
9.34. * Получить выражение для напряженности электростати-
ческого поля заряженной бесконечной плоскости. Поверхностная
плотность зарядов ст известна.
9.35. Найти силу F, действующую на заряд q = 2СГСд, если
заряд помещен: а) на расстоянии г = 2см от заряженной ни-
ти с линейной плотностью заряда т = 0,2 мкКл/м; б) в по-
ле заряженной плоскости с поверхностной плотностью заряда
ст = 20 мкКл/м2; в) на расстоянии г = 2см от поверхности заря-
женного шара с радиусом R = 2 см и поверхностной плотностью
заряда ст = 20мкКл/м2. Диэлектрическая проницаемость среды
Е = 6.
9.36. Построить на одном графике кривые зависимости на-
пряженности Е электрического поля от расстояния г в интер- •
вале 1 sj г 5 см через каждый 1см, если поле образовано:
а) точечным зарядом q = 33,3 нКл; б) бесконечно длинной заря-
женной нитью с линейной плотностью заряда т = 1,67мкКл/м,
в) бесконечно протяженной плоскостью с поверхностной плотно-
стью заряда ст = 25 мкКл/м2.
9.37. С какой силой F/ электрическое поле заряженной беско-
нечной плоскости действует на единицу длины заряженной беско-
нечно длинной нити, помещенной в это поле? Линейная плотность
заряда на нити т = 3 мкКл/м и поверхностная плотность заряда
на плоскости ст = 20 мкКл/м2.
9.38. С какой силой F< на единицу длины отталкиваются две
одноименно заряженные бесконечно длинные нити с одинаковой
линейной плотностью заряда г = 3 мкКл/м, находящиеся на рас-
стоянии Ti = 2 см друг от друга? Какую работу Ai на единицу
длины надо совершить, чтобы сдвинуть эти нити до расстояния
Г2 — 1см?
9.39. Две длинные одноименно заряженные нити расположены
на расстоянии г = 10 см друг от друга. Линейная плотность за-
ряда на нитях n = Т2 = 10 мкКл/м. Найти модуль и направление
напряженности Е результирующего электрического поля в точке,
находящейся на расстоянии а = 10 см от каждой нити.
'i '•]
электростатика
107
9.4QJ С какой силой Fs на единицу площади отталкиваются
ни; одноименно заряженные бесконечно протяженные плоскости?
Поверхностная плотность заряда на плоскостях а = 0,3мКл/м2.
9.41р Медный шар радиусом R = 0,5 см помещен в масло.
Плотность масла рм = 0,8- 103кг/м3. Найти заряд q шара, если
и однородном электрическом поле шар оказался взвешенным в
масле. Электрическое поле направлено вертикально вверх и его
напряженность £ = 3,6МВ/м.
9.42. Показать, что электрическое поле, образованное заря-
.м>нной нитью конечной длины, в предельных случаях переходит
и электрическое поле: а) бесконечно длинной заряженной нити;
о) точечного заряда.
9.43. Кольцо из проволоки радиусом Я = 10 см имеет отрица-
н'льный заряд q = —5нКл. Найти напряженности Е электриче-
ского поля на оси кольца в точках, расположенных от центра
кольца на расстояниях L, равных 0, 5, 8, 10 и 15см. Построить
। рафик Е = / (L). На каком расстоянии L от центра кольца на-
пряженность Е электрического поля будет иметь максимальное
। качение?
9.44. Напряженность электрического поля на оси заряженного
кольца имеет максимальное значение на расстоянии L от центра
кольца. Во сколько раз напряженность электрического поля в
ючке, расположенной на расстоянии 0,5L от центра кольца, будет
ш’ньше максимального значения напряженности?
9.45. * Определить напряженность поля и потенциал на оси
пи ка размера R как функцию расстояния х вдоль оси. Поверх-
ностная плотность зарядов а задана.
9.46. Показать, что электрическое поле, обрадованное заряжен-
ным диском, в предельных случаях переходит в электрическое
ноле: а) бесконечно протяженной плоскости; б) точечного заряда.
9.47. Два параллельных разноименно заряженных диска с оди-
наковой поверхностной плотностью заряда на них расположены на
расстоянии d= 1см друг от друга. Какой предельный радиус R
могут иметь диски, чтобы между центрами дисков поле отлича-
юсь от поля плоского конденсатора не более чем на 5 %? Какую
ошибку 8 мы допускаем, принимая для этих точек напряжен-
ность поля равной напряженности поля плоского конденсатора
при R/d = 10?
9.48. * Определить напряженность электрического поля и по-
к’нциал заряженной сферы радиуса R. Заряд Q равномерно
нанесен на поверхность сферы. Нарисовать графики Е{т),
9.49. * Определить напряженность поля и потенциал заряжен-
ного по объему шара. Радиус шара R, объемная плотность заряда
и шаре — р. Нарисовать графики Е(г), <р(г).
9.50. * С какой силой действует электрический заряд q на
равномерно заряженную бесконечную плоскость? Чему равна
напряженность электрического поля плоскости? Поверхностная
п лотность заряда ст.
108
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ
[Гл. III
9.51. * Определить напряженность поля и потенциал внутри и
вне бесконечного цилиндра радиуса R, если объемная плотность
заряда внутри цилиндра равна р. Нарисовать график зависимости
напряженности поля от расстояния до оси.
9.52. * С какой силой расталкиваются равномерно заряженные
грани куба? Тетраэдра? Поверхностная плотность заряда гра-
ней а, длина ребра а.
9.53. * В равномерно заряженном шаре радиуса R вырезали
сферическую полость радиуса г, центр которой находится на
Рис. 61
расстоянии а от центра шара (рис. 61). Объем-
ная плотность заряда р. Определить напряжен-
ность электрического поля в полости.
9.54. Шарик массой т = 40 мг, имеющий по-
ложительный заряд <? = 1 нКл, движется со ско-
ростью v = 10 см/с. На какое расстояние г
может приблизиться шарйк к положительному
закрепленному точечному заряду до = 1,33 нКл?
9.55. До какого расстояния г могут сблизить-
ся два электрона, если они движутся навстречу
друг другу с относительной скоростью vq = 106м/с?
9.56. Два шарика с зарядами qi = 6,66 нКл и д^ = 13,33 нКл
находятся на расстоянии ?’i = 40 см. Какую работу А надо со-
вершить, чтобы сблизить их до расстояния п = 25 см?
9.57. Найти потенциал <р точки поля, находящейся на рассто-
янии г = 10 см от центра заряженного шара радиусом R = 1см.
Задачу решить, если: а) задана поверхностная плотность заряда
на шаре ст = 0,1мкКл/м2; б) задан потенциал шара <ро = 300В.
9.58. Какая работа А совершается при перенесении точечного
заряда д = 20 нКл из бесконечности в точку, находящуюся на
расстоянии г = 1 см от поверхности шара радиусом R = 1 см с
поверхностной плотностью заряда ст = 10мкКл/м2?
9.59. Шарик с массой т = 1г и зарядом д = ЮнКл переме-
щается из точки 1, потенциал которой <pi = 600 В, в точку 2,
потенциал которой = 0. Найти его скорость в точке 1, если в
точке 2 она стала равной v? = 20 см/с.
9.60. На расстоянии п =4см от бесконечно длинной заряжен-
ной нити находится точечный заряд д = 0,66 нКл. Под действием
поля заряд приближается к нити до расстояния г2 = 2 см; при
этом совершается работа А = 50 эрг. Найти линейную плотность
заряда т на нити.
9.61. Электрическое поле образовано положительно заряжен-
ной бесконечно длинной нитью. Двигаясь под действием этого
поля от точки, находящейся на расстоянии п = 1см от ни-
ти, до точки г2 — 4 см, а-частица изменила свою скорость от
тц = 2 • 105м/с до ц2 = 3 • 106м/с. Найти линейную плотность
заряда т на нити.
§9]
ЭЛЕКТРОСТАТИКА
109
9.62. Электрическое поле образовано положительно заряжен-
ной бесконечно длинной нитью с линейной плотностью заряда
т = 0,2 мкКл/м. Какую скорость v получит электрон под дей-
ствием ПОЛЯ, приблизившись К НИТИ С расстояния Г1 = 1см до
расстояния Г2 = 0,5 см?
9.63. Около заряженной бесконечно протяженной плоскости на-
ходится точечный заряд q = 0,66 нКл. Заряд перемещается по
линии напряженности поля на расстояние ДЯ = 2 см; при этом
совершается работа А = 50 эрг. Найти поверхностную плотность
заряда а на плоскости.
9.64. Разность потенциалов между пластинами плоского кон-
денсатора U = 90 В. Площадь каждой пластины S = 60см2, ее
заряд q = 1нКл. На каком расстоянии d друг от друга находятся
пластины?
9.65. * Металлический шар радиуса п, заряженный до потен-
циала у>1, окружают проводящей тонкостенной сферической обо-
лочкой радиуса гг- Определить потенциал ip2 шара после того,
как шар на некоторое время соединили проводником с оболочкой.
9.66. * Найти напряженность поля
и потенциал в центре полусферы ра- М
диуса R равномерно заряженной с
поверхностной плотностью заряда .ст. Л/
9.67. * Найти потенциал и модуль s'
напряженности поля диполя как фун- /у т
к ции расстояния от центра диполя г +q ~Ч
и угла в между осью диполя и напра-
влением г (рис. 62). Электрический Рис- 62
шпольный момент равен р.
9.68. * Найти силу взаимодействия двух молекул воды, отсто-
ящих друг от друга на расстояние I = 10-8 м. Электрический ди-
польный момент молекул воды р = 0,62 • 10-29 Кл м. Дипольные
моменты молекул считать расположенными вдоль соединяющей
молекулы прямой.
9.69. * Два электрона удерживаются в равновесии за счет нити
злины- I. Система находится на горизонтальной поверхности.
Нить пережигают. Какую максимальную скорость приобретут
электроны, если коэффициент трения А, а масса те?
9.70. * Три заряженных частицы массой тп. и зарядами q свя-
йны тремя нитями длины I каждая. Одну из нитей пережигают.
()пределить максимальную скорость частиц.
9.71. * Два электрона находятся на расстоянии г друг от друга,
причем скорость одного из них равна нулю, а скорость другого
направлена под острым углом к линии, соединяющей электроны.
Каким будет угол между скоростями электронов, когда они вновь
скажутся на расстоянии г друг от друга?
9.72. * С большого расстояния к металлической плоскости дви-
жется тело массы т, имеющее заряд q. Определить скорость
110
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ
[Гл. Ц
тела в тот момент, когда оно будет находиться на расстоянии <
от плоскости. Начальная скорость тела равна нулю, его размеры
много меньше d.
9.73. * На биссектрисе двугранного металлического угла на рас-
стоянии d до ребра находится точечный заряд q. Найти силу,
действующую на заряд.
9.74. Между двумя вертикальными пластинами на одинаковом
расстоянии от них падает пылинка. Вследствие сопротивления
воздуха пылинка падает с постоянной скоростью «д = 2 см/с.
Через какое время t после подачи на пластины разности потен-'
циалов U = ЗкВ пылинка достигнет одной из пластин? Каков1
расстояние I по вертикали пылинка пролетит до попадания н*1
пластину? Расстояние между пластинами с! = 2см, масса пылин-'
ки т = 2 • 10-9 г, ее заряд q = 6,5 • 10-17 Кл.
9.75. В плоском горизонтально расположенном конденсаторе,'
расстояние между пластинами которого d = 1см, находится заг1
ряженная капелька масла. В отсутствие электрического поля ка-
пелька падает с постоянной скоростью t'i = 0,11 мм/с. Если на
пластины подать разность потенциалов U = 150 В, то капелька’
падает со скоростью v? =0,43 мм/с. Найти радиус г капельки и
ее заряд q. Динамическая вязкость воздуха ту = 1,82- 10-5 Па • с;;
плотность масла больше плотности газа, в котором падает ка-j
пелька. на Дут = 0,9 103 кг/м3. I
9.76. Между двумя вертикальными пластинами, находящимися
на расстоянии d = 1см друг от друга, на нити висит заряженный ’
бузиновый шарик массой т = 0,1г. После подачи на пластины |
разности потенциалов U = 1 кВ нить с шариком отклонилась на
угол о = 10°. Найти заряд q шарика.
9.77. Расстояние между пластинами плоского конденсатора
d = 4 см. Электрон начинает двигаться от отрицательной пла-'
стины в тот момент, когда от положительной пластины начинает]
двигаться протон. На каком расстоянии I от положительной пла-;
стины встретятся электрон и протон?
9.78. Расстояние между пластинами плоского конденсатора
d = 1 см. От одной из пластин одновременно начинают двигаться
протон и а-частица. Какое расстояние I пройдет а-частица за
то время, в течение которого протон пройдет весь путь от одной
пластины до другой?
9.79. Электрон, пройдя в плоском конденсаторе путь от одной
пластины до другой, приобретает скорость v = 106м/с. Расстоя-
ние между пластинами d = 5,3 мм. Найти разность потенциалов U'
между пластинами, напряженность Е электрического поля внутри
конденсатора и поверхностную плотность заряда сг на пластинах.
9.80. Электрон в однородном электрическом поле получает
ускорение а= 1012м/с2. Найти напряженность Е электрического^
поля, скорость v, которую получит электрон за время t — 1 мкс
ЭЛЕКТРОСТАТИКА
111
вирго движения, работу А сил электрического поля за это вре-
। । и разность потенциалов U, пройденную при этом электроном.
1I гюльная скорость электрона vq = 0.
9.81. Электрон летит от одной пластины плоского конденсато-
|м до другой. Разность потенциалов между пластинами U = ЗкВ;
г и стояние между пластинами d = 5 мм. Найти силу F, действу-
иную на электрон, ускорение а электрона, скорость v, с которой
н ктрон приходит ко второй пластине, и поверхностную плот-
......... заряда а на пластинах.
9.82. Электрон с некоторой начальной скоростью vq влетает в
с. соский горизонтально расположенный конденсатор параллельно
с с.к тинам на равном расстоянии от них. Разность потенциалов
> жду пластинами конденсатора U = 300 В; расстояние между
и «.-к-тинами d = 2см; длина конденсатора I = 10см. Какова долж-
на быть предельная начальная скорость vq электрона, чтобы
и ктрон не вылетел из конденсатора? Решить эту же задачу
। i-я а-частицы.
9.83. Электрон влетает в плоский горизонтально расположен-
П.1Й конденсатор параллельно пластинам со скоростью vq = 9 х
10° м/с. Разность потенциалов между пластинами U = 100 В;
ри стояние между пластинами d = 1см. Найти полное а, нор-
ильное ап и тангенциальное ат ускорения электрона через время
10 нс после начала его движения в конденсаторе.
9.84. Протон и а-частица, ускоренные одной и той же разно-
и.н) потенциалов, влетают в плоский конденсатор параллельно
п метинам. Во сколько раз отклонение протона полем конденса-
та будет больше отклонения а-частицы?
9.85. Пучок электронов, ускоренных разностью потенциалов
। ,, = 300 В, при прохождении через незаряженный плоский гори-
нгально расположенный конденсатор параллельно его пласти-
iM дает светящееся пятно на флуоресцирующем экране, распо-
। '.кенном на расстоянии х = 12 см от конца конденсатора. При
мрядке конденсатора пятно на экране смещается на расстояние
Зсм. Расстояние между пластинами d = 1,4см; длина кон-
" исатора I = 6см. Найти разность потенциалов U, приложенную
пластинам конденсатора.
9.86. Электрон движется в плоском горизонтально распо-
г мощном конденсаторе параллельно его пластинам со скоро-
и,1о v = 3,6 107м/с. Напряженность поля внутри конденсатора
I - 3,7кВ/м; длина пластин конденсатора I = 20см. На какое
। и стояние у сместится электрон в вертикальном направлении
и. и действием электрического поля за время его движения в
। 'иденсаторе?
9.87. Найти емкость С земного шара. Считать радиус земного
имра R = 6400км. На сколько изменится потенциал земного
и ipa, если ему сообщить заряд q = 1Кл?
112
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ
[Гл. III
9.88. Шарик радиусом R = 2 см заряжается отрицательно до
потенциала = 2 кВ. Найти массу т всех электронов, состав-
ляющих заряд, сообщенный шарику.
9.89. Восемь заряженных водяных капель радиусом г — 1 мм
и зарядом q = 0,1 нКл каждая сливаются в одну общую водяную
каплю. Найти потенциал большой капли.
9.90. Шарик, заряженный до потенциала — 792 В, имеет
поверхностную плотность заряда сг = ЗЗЗнКл/м-. Найти радиус г
шарика.
9.91. Найти соотношение между радиусом шара R и макси-
мальным потенциалом <р, до которого он может быть заряжен в
воздухе, если при нормальном давлении разряд в воздухе наступа-
ет при напряженности электрического поля Eq = ЗМВ/м. Каким
будет максимальный потенциал шара диаметром D = 1 м?
9.92. * Вывести формулу для электроемкости плоского конден-
сатора.
9.93. * Получить выражение для электроемкости цилиндриче-
ского конденсатора, образованного соосными цилиндрами высоты I
и с радиусами Ri и R-2 (/ Ri, R2).
9.94. * Получить выражение для электроемкости сферического
конденсатора, образованного двумя концентрическими сферами с
радиусами 7?i и Я>.
9.95. Площадь пластин плоского воздушного конденсатора S =
= 1 м2, расстояние между ними d = 1,5 мм. Найти емкость С этого
конденсатора.
9.96. Площадь пластин плоского воздушного конденсатора S =
= 0,01м2, расстояние между ними </=5мм. К пластинам прило-
жена разность потенциалов Ui = 300 В. После отключения кон-
денсатора от источника напряжения пространство между пласти-
нами заполняется эбонитом. Какова будет разность потенциалов
U‘2 между пластинами после заполнения? Найти емкость конден-
сатора Ci и Сг и поверхностные плотности заряда сг1 и а2 на
пластинах до и после заполнения.
9.97. Решить предыдущую задачу для случая, когда запол-
нение пространства между пластинами изолятором производится
при включенном источнике напряжения.
9.98. Коаксиальный электрический кабель состоит из цен-
тральной жилы и концентрической цилиндрической оболочки,
между которыми находится диэлектрик (е = 3,2). Найти емкость
Ci единицы длины такого кабеля, если радиус жилы г = 1,3 см,
радиус оболочки R = 3,0 см.
9.99. Вакуумный цилиндрический конденсатор имеет радиус
внутреннего цилиндра г = 1,5 см и радиус внешнего цилиндра
Н = 3,5см. Между цилиндрами приложена разность потенциалов
U — 2,3 кВ. Какую скорость v получит электрон под действием
поля этого конденсатора, двигаясь с расстояния 1\ = 2,5 см до
расстояния 1'2 — 2 см от оси цилиндра?
ЭЛЕКТРОСТАТИКА
113
9.100. Цилиндрический конденсатор состоит из внутреннего ци-
линдра радиусом г = Змм, двух слоев диэлектрика и внешнего
цилиндра радиусом R = 1 см. Первый слой диэлектрика толщиной
ili = 3мм примыкает к внутреннему цилиндру. Найти отношение
падений потенциала Ui/U^ в этих слоях.
9.101. При изучении фотоэлектрических явлений использует-
ся сферический конденсатор, состоящий из металлического ша-
рика диаметром d = 1,5 см (катода) и внутренней поверхности
посеребренной изнутри сферической колбы диаметром D = 11см
(анода). Воздух из колбы откачивается. Найти емкость С такого
конденсатора.
9.102. Каким будет потенциал <р шара радиусом г = Зсм, если:
а) сообщить ему заряд q = 1 нКл, б) окружить его концентриче-
ским шаром радиусом R = 4cm, соединенным с землей?
9.103. Найти емкость С сферического конденсатора, состоя-
щего из двух концентрических сфер с радиусами г — 10 см и
R — 10,5 см. Пространство между сферами заполнено маслом. Ка-
кой радиус Ro должен иметь шар, помещенный в масло, чтобы
иметь такую же емкость?
9.104. Радиус внутреннего шара ва-
куумного сферического конденсатора
г = 1 см, радиус внешнего шара R =
- 4 см. Между шарами приложена
разность потенциалов U = ЗкВ. Ка-
кую скорость v получит электрон,
приблизившись к центру шаров с
Ci
расстояния Xi — Зсм до расстояния Рис. 63
Г > = 2см?
9.105. Найти емкость С системы конденсаторов, изображенной
на рис. 63. Емкость каждого конденсатора С, = 0,5 мкФ.
9.106. При помощи электрометра сравнивали между собой ем-
кости двух конденсаторов. Для этого заряжали их до разностей
потенциалов Ui = 300 В и Uz = 100 В и соединяли оба конденсато-
ра параллельно. Измеренная при этом электрометром разность
потенциалов между обкладками конденса-
1 С| Сг в тора оказалась равной U = 250 В. Найти
°-----II----II— отношение емкостей Ci/Cj.
рис 64 9.107. Разность потенциалов между
точками А и В (рис. 64) 17 = 6 В. Емкость
первого конденсатора Cj = 2 мкФ и емкость второго конденсатора
С2 =4 мкФ. Найти заряды qi и и разности потенциалов Ui и
1г-> на обкладках каждого конденсатора.
9.108. В каких пределах может изменяться емкость С систе-
мы, состоящей из двух конденсаторов переменной емкости, если
емкость Ci каждого из них изменяется от 10 до 450 пФ?
9.109. Конденсатор емкостью С — 20 мкФ заряжен до разности
потенциалов U = 100 В. Найти энергию W этого конденсатора.
114
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ
[Гл. III
А
Рис. 65
9.110. * К какой паре точек схемы, изображенной на рис. 65,
надо подключить источник тока, чтобы зарядить все шесть кон-
денсаторов, емкости которых рав-
ны С?
9.111. * Плоский конденсатор
заполнен диэлектриком, проницае-
мость которого зависит от напря-
жения на конденсаторе по закону
Е = aV, где а = 1 В-1. Параллель-
но этому конденсатору, который
не заряжен, подключают такой же
конденсатор, но без диэлектрика,
который заряжен до напряжения Vo = 156 В. Определить напря-
жение V, которое установится на конденсаторах.
Рис. 67
Рис. 66
Рис. 68
9.112. * Определить емкости систем конденсаторов, изображен-
ных на рис. 66 — 68.
9.113. * К конденсатору 1 емкости С, заряженному до разности
потенциалов V, подсоединяется батарея из конденсаторов такой
же емкости, как показано на рис. 69. Найти заряд на каждом :
из шести конденсаторов.
9.114. * Трем изолированным одинаковым конденсаторам ем-
кости С каждый были сообщены заряды qlt q2, и q3 (рис. 70).
Конденсаторы соединили. Найти новые заряды на конденсаторах.
9.115. * Пластины заряженного плоского конденсатора попере-
менно заземляют. Будет ли при этом конденсатор разряжаться?
9.116. * Найти емкость батареи конденсаторов (рис. 71).
9.117. Шар, погруженный в керосин, имеет потенциал <р =
= 4,5кВ и поверхностную плотность заряда <т = 11,ЗмкКл/м2.
Найти радиус R, заряд q, емкость С и энергию W шара
9.118. Шар 1 радиусом Ri = 10 см, заряженный до потенциала
= 3 кВ, после отключения от источника напряжения соединя-
ется проволочкой (емкостью которой можно пренебречь) сначала
§9]
ЭЛЕКТРОСТАТИКА
115
с удаленным незаряженным шаром 2, а затем после отсоедине-
ния от шара 2 с удаленным незаряженным шаром 3. Шары 2
и 3 имеют радиусы R2 = R3 = 10 см. Найти: а) первоначальную
энергию Wi шара 1; б) энергии W[ и W2 шаров 1 и 2 после
соединения и работу А разряда при соединении; в) энергии W[
и W3 шаров 1 и 3 после соединения и работу А разряда при
соединении.
9.119. Пластины плоского конденсатора площадью S = 0,01м2
каждая притягиваются друг к другу с силой F — 30 мН. Про-
странство между пластинами заполнено слюдой. Найти заря-
ды q, находящиеся на пластинах, напряженность Е поля между
пластинами и объемную плотность энергии 1К0 поля.
9.120. Между пластинами плоского конденсатора вложена тон-
кая слюдяная пластинка. Какое давление р испытывает эта пла-
стинка при напряженности электрического поля Е = 1МВ/м?
пластинах а = 495нКл/м2.
с
С
С
с с
9.121. Разность потенциалов между пластинами плоского кон-
денсатора U = 280 В. Площадь пластин конденсатора S = 0,01м2;
поверхностная плотность заряда на пластинах а — 495нКл/м2.
Найти: а) напряженность Е поля
внутри конденсатора; б) расстоя-
ние d между пластинами; в) ско-
рость v, которую получит элек-
трон, пройдя в конденсаторе путь
чт одной пластины до другой;
г) энергию W конденсатора; д) ем-
кость С конденсатора; е) силу при-
1яжения F пластин конденсатора.
9.122. Площадь пластин плоского воздушного конденсатора
5 = 0,01м2, расстояние между ними di = 2 см. К пластинам
конденсатора приложена разность потенциалов U = ЗкВ. Какова
будет напряженность Е поля конденсатора, если, не отключая
। то от источника напряжения, пластины раздвинуть до расстоя-
ния d2 = 5 см? Найти энергии IKi и W2 конденсатора до и после
Рис. 71
раздвижения пластин.
116
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ
[Гл. III
9.123. Решить предыдущую задачу при условии, что снача-
ла конденсатор отключается от источника напряжения, а затем
раздвигаются пластины конденсатора.
9.124. Плоский конденсатор заполнен диэлектриком и на его
пластины подана некоторая разность потенциалов. Его энергия
при этом И' = 20 мкДж. После того как конденсатор отключили
от источника напряжения, диэлектрик вынули из конденсатора.
Работа, которую надо было совершить против сил электрического
поля, чтобы вынуть диэлектрик, А — 70 мкДж. Найти диэлектри-
ческую проницаемость г диэлектрика.
9.125. Найти объемную плотность энергии Wo электрическо-
го поля в точке, находящейся: а) на расстоянии х = 2 см от ।
поверхности заряженного шара радиусом R = 1см; б) вблизи бес- ,
конечно протяженной заряженной плоскости; в) на расстоянии 1
т = 2 см от бесконечно длинной заряженной нити. Поверхностная
плотность заряда на шаре и плоскости а = 16,7мкКл/м2, линей-
ная плотность заряда на нити т = 167нКл/м. Диэлектрическая 1
проницаемость среды е = 2. |
9.126. На пластины плоского конденсатора, расстояние между
которыми d= Зсм, подана разность потенциалов U = 1кВ. Про-
странство между пластинами заполняется диэлектриком (е = 7).
Найти поверхностную плотность связанных (поляризационных)
зарядов <тсв. Насколько изменяется поверхностная плотность за-
ряда па пластинах при заполнении конденсатора диэлектриком? ,
Задачу решить, если заполнение конденсатора диэлектриком про- j
изводится: а) до отключения конденсатора от источника напря- I
жения; б) после отключения конденсатора от источника напря- 1
жения. j
9.127. Пространство между пластинами плоского конденсате- (
ра заполнено диэлектриком, диэлектрическая восприимчивость
которого х = 0,08. Расстояние между пластинами d = 5 мм. На >
пластины конденсатора подана разность потенциалов U = 4 кВ.
Найти поверхностную плотность связанных зарядов <тсв на ди- 1
электрике и поверхностную плотность заряда ад на пластинах ।
конденсатора.
9.128. Пространство между пластинами плоского конденсатора 1
заполнено стеклом. Расстояние между пластинами </ = 4мм. На)
пластины конденсатора подана разность потенциалов U = 1,2 кВ.
Найти: а) напряженность Е поля в стекле; б) поверхностную 1
плотность заряда ад на пластинах конденсатора; в) поверхност- •
ную плотность связанных зарядов <тсв на стекле; г) диэлектри-
ческую восприимчивость х стекла.
9.129. Пространство между пластинами плоского конденсатора ।
заполнено парафином. При присоединении пластин к источнику
§9]
ЭЛЕКТРОСТАТИКА
117
напряжения давление пластин на парафин стало равным р = 5 Па.
Найти: а) напряженность Е электрического поля и электрическое
смещение D в парафине; б) поверхностную плотность связанных
зарядов стсв на парафине; в) поверхностную плотность заряда стд
на пластинах конденсатора; г) объемную плотность энергии Wq
электрического поля в парафине; д) диэлектрическую восприим-
чивость х парафина.
9.130. Пространство между пластинами плоского конденсато-
ра объемом V = 20 см3 заполнено диэлектриком (е = 5). Пла-
стины конденсатора присоединены к источнику напряжения. При
этом поверхностная плотность связанных зарядов на диэлектрике
<7СВ = 8,35 мкКл/м2. Какую работу А надо совершить против сил
электрического поля, чтобы удалить диэлектрик из конденсато-
ра? Задачу решить, если удаление диэлектрика производится:
а) до отключения источника напряжения; б) после отключения
источника напряжения.
9.131. * В некоторой точке изотропного диэлектрика с прони-
цаемостью г смещение имеет значение D. Чему равна поляризо-
ванность Р в этой точке?
9.132. * Две бесконечные параллельные пластины заряжены с
плотностями заряда +сг и —а. Затем зазор между пластинами
заполняется однородным изотропным диэлектриком с проницае-
мостью £. Как изменится при этом: а) напряженность поля
в зазоре; б) смещение Л; в) разность потенциалов между
пластинами?
9.133. * Бесконечная плоскопараллельная пластина из одно-
родного и изотропного диэлектрика с проницаемостью е = 2
помещена в однородное электрическое поле с напряженностью
Ео = 100 В/М. Пластина перпендикулярна к Eq. Определить:
а) напряженность поля Е и электрическое смещение D внутри
пластины; б) поляризованность диэлектрика Р; в) поверхностную
плотность связанных зарядов а'.
9.134. * Проводящий шар ридиуса г с зарядом Q окружен сло-
им однородного изотропного диэлектрика, внешний радиус кото-
рого R. Диэлектрическая проницаемость слоя е. Найти поверх-
ностную плотность заряда на внутренней и внешней поверхностях
। чоя. Построить графики зависимости Е(х) и <р(х) от расстояния
по центра шара.
9.135. * Металлический шар радиуса г с зарядом Q окружен
слоем жидкого диэлектрика с проницаемостью е. Внешний радиус
« поя диэлектрика R. Найти давление диэлектрика на шар.
9.136. * Конденсатор емкости С без диэлектрика имеет заряд q.
Какое количество теплоты выделится в конденсаторе, если его
гпюлнить диэлектриком с проницаемостью е?
118
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ
[Гл. Щ.
§ 10. Электрический ток
Сила тока (ток) I численно равна количеству электричества, проходящему
через поперечное сечение проводника в единицу времени:
Г - (Lq
df
Если сила тока I = const, то
м-
Плотность электрического тока
где S — площадь поперечного сечения проводника.
Ток, текущий по участку однородного проводника, подчиняется закону Ома
где U — разность потенциалов на концах участка, R— сопротивление этого
участка.
Сопротивление проводника
где р— удельное сопротивление, а — удельная проводимость, I — длина и S —
площадь поперечного сечения проводника.
Удельное сопротивление металлов зависит от температуры следующим обра-
зом:
Pi = Ро (1 + Qt),
где рд—удельное сопротивление при to = О °C, а — температурный коэффици-
ент сопротивления.
Работа электрического тока на участке цепи определяется формулой
A = IUt = I2Rt — ~t.
Для замкнутой цепи закона Ома имеет вид
где 8— э.д. с. генератора, R — внешнее сопротивление, г — внутреннее сопро-
тивление генератора.
Полная мощность, выделяемая в цепи,
Р = 81.
Для разветвленных цепей имеют место два закона Кирхгофа:
первый закон Кирхгофа — алгебраическая сумма токов, сходящихся в узле,
равна нулю:
§10]
ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК
119
второй закон Кирхгофа—в любом замкнутом контуре алгебраическая сумма
падений потенциала на отдельных участках цепи равна алгебраической сумме
ч. д. с., встречающихся в этом контуре:
При применении законов Кирхгофа надо руководствоваться следующими
правилами.
На схеме произвольно указываются стрелками направления токов у соответ-
ствующих сопротивлений. Обходя контур в произвольном направлении, будем
считать положительными те токи, направления которых совпадают с напра-
влением обхода, и отрицательными те, направления которых противоположны
направлению обхода.
Положительными э. д. с. будем считать те э.д. с., которые повышают потен-
циал в направлении обхода, т.е. э.д.с. будет положительной, если при обходе
придется идти от минуса к плюсу внутри генератора.
В результате решения составленных уравнений определяемые величины мо-
гут получиться отрицательными. Отрицательное значение тока указывает на
го, что фактическое направление тока на данном участке цепи обратно приня-
тому.
Для электрического тока имеют место два закона Фарадея:
первый закон Фарадея — масса вещества, выделившегося при электролизе,
т — Kit — Kq,
где q— количество электричества, прошедшего через электролит, К—электро-
химический эквивалент;
второй закон Фарадея—электрохимический эквивалент пропорционален хи-
мическому эквиваленту:
rs _ 1 А
К ~ F Z’
те А — молярная масса, Z — валентность, F = 96,48456 10® Кл /моль —
постоянная Фарадея.
Удельная проводимость электролита определяется формулой
а = i-aCZF(U+ +u_),
где a — степень диссоциации, С [моль/м3]— молярная концентрация, Z— ва-
лентность, F — постоянная Фарадея, и+ и и_ [м2/(В-с)]— подвижности ионов.
При этом а = Пд/п — отношению числа диссоциированных молекул в единице
объема к числу всех молекул растворенного вещества в этом объеме. Величи-
на г) = CZ [моль/м3] называется эквивалентной концентрацией, а величина
I = a/q [м2/(Ом - моль)]—эквивалентной проводимостью.
При небольших плотностях тока, текущего в газе, имеет место закон Ома
j = qn (u+ 4- u_) Е = аЕ,
। ie Е — напряженность поля, а — удельная проводимость газа, q — заряд иона,
а । и и_—подвижности ионов, п [м-3] — число ионов каждого знака (число
120
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ
[Гл. Ill
пар ионов), находящихся в единице объема газа. При этом п = у/ N/~f, где
N [м-3-с-1]— число пар ионов, создаваемых ионизирующим агентом в единице
объема в единицу времени, 7 [м3/с]— коэффициент рекомбинации.
Плотность тока насыщения в газе определяется формулой
j„ = Nqd,
тря d— расстояние между Электродами.
Чтобы покинуть поверхность металла, электрон должен обладать кинетиче-
ской энергией
mv2 •> л
где А — работа выхода электрона из данного металла.
Плотность тока насыщения при термоэлектронной эмиссии определяется
формулой
j„ = ВТ2 ехр ,
где Т — термодинамическая температура катода, А— работа выхода, к =
= 1,380662 10-23 Дж/К — постоянная Больцмана, В [А/(м2-К2)] — эмиссионная
постоянная, разная для различных металлов.
10.1. Ток I в проводнике меняется со временем t по уравнению
I = 4 + 2i, где I — в амперах nt — в секундах. Какое количество
электричества q проходит через поперечное сечение проводника
за время от tt = 2с до = 6 с? При каком постоянном токе Iq
через поперечное сечение проводника за то же время проходит
такое же количество электричества?
10.2. Ламповый реостат состоит из пяти электрических лам-
почек сопротивлением г = 350 Ом, включенных параллельно. Най-
ти сопротивление R реостата, когда: а) горят все лампочки;
б) вывинчиваются одна, две, три, четыре лампочки.
10.3. Вольфрамовая нить электрической лампочки при ti =
= 20 °C имеет сопротивление 7?i = 35,8 0м. Какова будет тем-
пература t2 нити лампочки, если при включении в сеть напря-
жением U = 120 В по нити идет ток I = 0,33 А? Температурный
коэффициент сопротивления вольфрама а = 4,6 • 10-3К~1.
10.4. Обмотка катушки из медной проволоки при Н = 14 °C
имеет сопротивление = 10 Ом. После пропускания тока со-
противление обмотки стало равным R2 = 12,20м. До какой тем-
пературы t2 нагрелась обмотка? Температурный коэффициент
сопротивления меди а = 4,15- 10~3К-1.
10.5. Элемент с э.д. с. £ = 2 В имеет внутреннее сопротивление
г = 0,5 Ом. Найти падение потенциала Ur внутри элемента при
токе в цепи I = 0,25 А. Каково внешнее сопротивление R цепи-
при этих условиях?
10.6. Элемент с э.д.с. £ = 1,6В имеет внутреннее сопротив--
ление г = 0,5Ом. Найти к.п.д. т/ элемента при токе в
I = 2,4 А.
8 ю]
ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК
121
10.7. Э.д. с. элемента £ = 6 В. При внешнем сопротивлении
R = 1,10м ток в цепи I = ЗА. Найти падение потенциала Ur
внутри элемента и его сопротивление г.
10.8. Какую долю э.д.с. элемента £ составляет разность по-
тенциалов U на его зажимах, если сопротивление элемента т
в п раз меньше внешнего сопротивления Я? Задачу решить для:
а) п = 0,1; б) п = 1; в) п = 10.
10.9. Элемент, сопротивление и амперметр соединены после-
довательно. Элемент имеет э.д.с. £ = 2В и внутреннее сопро-
тивление г = 0,4 Ом. Амперметр показывает ток I = 1А. Каков
к.п.д. т) элемента?
10.10. Имеются два одинаковых элемента с э.д.с. £ = 2В
и внутренним сопротивлением г = 0,3 Ом. Как надо соединить
>ти элементы (последовательно или параллельно), чтобы полу-
чить больший ток, если внешнее сопротивление: a) R = 0,2 Ом;
11) R = 16Ом? Найти ток I в каждом из этих случаев.
10.11. Два параллельно соединенных элемента с одинаковыми
>.д. с. £i = £2 = 2 В и внутренними сопротивлениями п = 10м
и г2 = 1,50м замкнуты на внешнее сопротивление R = 1,40м
(рис. 72). Найти ток I в каждом из элементов и во всей цепи.
10.12. Два последовательно соединенных элемента с одина-
ковыми э.д.с. £1 = £2 = 2В и внутренними сопротивлениями
/’1 = 10м и Г2 = 1,50м замкнуты на внешнее сопротивление
122
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ
[Гл. III
7? = 0,5 Ом (рис. 73). Найти разность потенциалов U на зажимах
каждого элемента.
10.13. Батарея с э.д.с. £ = 10В и внутренним сопротивлением
г = 10м имеет к.п.д. т? = 0,8 (рис. 74). Падения потенциала
на сопротивлениях Ri и Яд равны Ui = 4 В и U4 = 2 В. Какой
ток I показывает амперметр? Найти падение потенциала U2 на
сопротивлении R2.
10.14. Э.д.с. батареи £ = 100В, сопротивления Ri = 100Ом,
Т?2 = 200 Ом и 7?з = 300 Ом, сопротивление вольтметра Ry = 2 кОм
(рис. 75). Какую разность потенциалов U показывает вольтметр?
10.15. Найти показания амперметра и вольтметра в схемах,
изображенных на рис. 76 — 79. Э.д.с. батареи £ — НОВ, сопро-
тивления Ri = 400 Ом и Т?2 = 600 Ом, сопротивление вольтметра
Ry = 1 кОм.
10.16. Амперметр с сопротивлением Ra = 0,16 Ом, зашунти-
рован сопротивлением R = 0,04 Ом. Амперметр показывает ток
/о = 8 А. Найти ток I в цепи.
10.17. Имеется предназначенный для измерения токов до I =
— 10 А амперметр с сопротивлением Ra = 0,18 Ом, шкала которо-
го разделена на 100 делений. Какое сопротивление R надо взять
и как его включить, чтобы этим амперметром можно было изме-
рять ток до 10 = 100 А? Как изменится при этом цена деления,
амперметра? '
§ 10]
ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК
123
10.18. Имеется предназначенный для измерения разности по-
тенциалов до U = 30 В вольтметр с сопротивлением Ry = 2 кОм,
шкала которого разделена на 150 делений. Какое сопротивле-
ние R надо взять и как его включить, чтобы этим вольтметром
можно было измерять разности потенциалов до Uo = 75 В? Как
изменится при этом цена деления вольтметра?
10.19. Имеется 120-вольтовая электрическая лампочка мощно-
стью Р = 40 Вт. Какое добавочное сопротивление R надо вклю-
чить последовательно с лампочкой, чтобы она давала нормаль-
ный накал при напряженности в сети Uo — 220 В? Какую длину I
нихромовой проволоки диаметром d = 0,3 мм надо взять, чтобы
получить такое сопротивление?
10.20. Имеются три 110-вольтовых электрических лампочки,
мощности которых Pi = Р2 = 40 Вт и Рз = 80 Вт. Как надо вклю-
чить эти лампочки, чтобы они давали нормальный накал при
напряженности в сети fJo = 220B? Начертить схему. Найти токи
Ii, 12 и 13, текущие через лампочки при нормальном накале.
10.21. В лаборатории, удаленной от генератора на расстояние
I = 100 м, включили электрический нагревательный прибор, по-
требляющий ток I = 10 А. На сколько понизилось напряжение U
на зажимах электрической лампочки, горящей в этой лаборато-
рии, если сечение медных подводящих проводов S = 5мм2?
10.22. От батареи с э.д.с. £ = 500В требуется передать энер-
। ию на расстояние I = 2,5 км. Потребляемая мощность Р = 10 кВт.
Найти минимальные потери мощности ДР в сети, если диаметр
медных подводящих проводов d = 1,5 см.
10.23. От генератора с э.д.с. £ = 110В требуется пере-
щть энергию на расстояние I = 250 м. Потребляемая мощность
U = 1 кВт. Найти минимальное сечение S медных проводящих про-
ходов, если потери мощности в сети не должны превышать 1%.
10.24. В цепь включены последовательно медная и стальная
проволоки одинаковых длины и диаметра. Найти: а) отношение
количеств теплоты, выделяющихся в этих проволоках; б) отно-
шение падений напряжения на этих проволоках.
10.25. Элемент с э. д. с. £ = 6 В дает максимальный ток I — 3 А.
Найти наибольшее количество теплоты QT, которое может быть
выделено во внешнем сопротивлении в единицу времени.
10.26. Батарея с э.д.с. £ = 240В и внутренним сопротивлением
г = 10м замкнута на внешнее сопротивление R = 230м. 'Найти
полную мощность Ро, полезную мощность Р и к.п.д. т] батареи.
10.27. Элемент замыкают сначала на внешнее сопротивление
/1*1 = 2Ом, а затем на внешнее сопротивление R2 = 0,50м. Найти
|.д.с. е элемента и его внутреннее сопротивление г, если извест-
но, что в каждом из этих случаев мощность, выделяющаяся во
внешней цепи, одинакова и равна Р = 2,54Вт.
10.28. Элемент с э.д.с. £ = 2В и внутренним сопротивлени-
ем г = 0,5 Ом замкнут на внешнее сопротивление R. Построить
124
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ
[Гл. Ill
график зависимости от сопротивления R: тока I в цепи, падения
потенциала U во внешней цепи, полезной мощности Р и полной
мощности Ро- Сопротивление R взять в пределах 0 R 40м
через каждые 0,5 Ом.
10.29. Элемент с э.д.с. 8 и внутренним сопротивлением т зам-
кнут на внешнее сопротивление R. Наибольшая мощность, выде- /
ляющаяся во внешней цепи, Р = 9 Вт.
При этом в цепи течет ток I = ЗА.
Найти э.д.с. Е и внутреннее сопротив-
ление г элемента.
10.30. Э.д.с. батареи £ = 100В, ее
внутреннее сопротивление г = 2 Ом, со-
противления Ry = 25 0м и = 78 0м
(рис. 80). На сопротивлении Ry выделя-
ется мощность Ру = 16 Вт. Какой ток I
показывает амперметр?
10.31. Разность потенциалов между
точками Л и В равна U — 9 В. Имеются '
два проводника с сопротивлениями Ry = 50м тл. R2 = 30м. Найти
количество теплоты QT. выделяющееся в каждом проводнике
в единицу времени, если проводники между точками А к В
соединены: а) последовательно; б) параллельно.
10.32. Какой объем V воды можно вскипятить, затратив элек-
трическую энергию W = 3 гВт ч? Начальная температура воды
t0 = 10 °C.
10.33. Какую мощность Р потребляет нагреватель электриче-
ского чайника, если объем V = 1л воды закипает через время
т — 5 мин? Каково сопротивление R нагревателя, если напряже-
ние в сети U = 120В? Начальная температура воды t0 = 13,5 °C.
10.34. Нагреватель электрического чайника имеет две секции.
При включении одной из них вода в чайнике закипит через время
П = 15 мин, при включении другой — через время т2 = 30 мин.
Через какое время т закипит вода в чайнике, если включить обе
секции: а) последовательно; б) параллельно?
10.35. Объем V — 4,5 л воды можно вскипятить, затратив элек-
трическую энергию И’ = 0,5кВт-ч. Начальная температура водь!
to = 23°C. Найти к.п.д. г) нагревателя. ‘
10.36. Электрический чайник, содержащий объем V = 600см3
воды при to = 9°C, забыли выключить. Сопротивление нагрева-
теля чайника R = 16 Ом. Через какое время т после включения
вода в чайнике выкипит? Напряжение в сети U = 120В, к.п.д.
нагревателя ту = 60%.
10.37. В ртутном диффузионном насосе в единицу времени
испаряется масса тпт = 100 г/мин ртути. Каково должно быть
сопротивление R нагревателя насоса, если он включается в сеть
напряжением U — 127 В? Удельная теплота парообразования рту-
ти q = 296 кДж/кг.
§10]
ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК
125
Рис. 81
внешнего треуголь-
10.38. * Как изменится сопротивление цепи, состоящей из пяти
одинаковых проводников, если добавить еще два таких же провод-
ника, как показано штриховой линией на
рис. 81?
10.39. * Проволочный каркас в виде тетра-
эдра подключен к источнику постоянного то-
ка как показано на рис. 82. Сопротивления
всех ребер одинаковы и равны R. Определить
сопротивление всей цепи. Исключение ка-
кого из ребер каркаса приведет к наи-
большему изменению тока / в цепи? Че-
му равно это максимальное изменение то-
ка Д/тах? Напряжение на клеммах U.
10.40. * Каркас изготовлен из вложен-
ных равносторонних треугольников, чис-
ло которых стремится к бесконечности
(середины сторон каждого треугольника
являются вершинами следующего). Со-
противление любой стороны пропорцио-
нально ее длине, сопротивление стороны
внешнего треугольника равно R. Найти
сопротивление цепи между двумя вершинами
ника, к которым подключен источник тока.
10.41. * Схема из резисторов состоит из бесконечно большо-
го числа звеньев (рис. 83). Сопротивление резисторов каждого
kR.
Рис. 83
последующего звена отличаются в К раз от сопротивления ре-
шсторов предыдущего звена. Найти сопротивление Rab между
точками А и В, если сопротивления в первом звене равны Ri
II /?2-
10.42. * Определите сопротивление проволочного каркаса, имею-
щего форму куба, если напряжение подводится к точкам А а В
(рис. 84). Сопротивление каждой стороны равно R.
10.43. * Найти сопротивление Rab между точками А и В
(рис. 85). Сопротивления всех ветвей указаны на рисунке.
10.44. * Используя законы Кирхгофа определить сопротивление
цепи между точками А и В, составленной из девяти одинаковых
проволочек сопротивлением R каждая (рис. 86).
126
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ
[Гл. III
10.45. * Определить сопротивление проволочного каркаса в ви-
де параллелограмма, если напряжение приложено: а) между точ-
ками А и В; б) между С и D (рис. 87). Сопротивления сторон
и Т?2, угол между сторонами
10.46. * Определите токи в каждой стороне ячейки, полный
ток от узла .4 к узлу В и полное сопротивление между этими
А
Рис. 90
узлами. Сторона каждой ячейки имеет сопротивление R, и ток,
протекающий по одной из сторон, равен г (рис. 88).
10.47. * Определите сопротивление между точками А и В про-
волочного каркаса в виде квадрата. Каждая сторона имеет со-
противление R. Чему равно сопротивление между точками С и D
(рис. 89)?
10.48. * В схеме, изображенной на рис. 90, определить заряд на
конденсаторе, если е = 5 В, внутреннее сопротивление источника
г = 10м, сопротивление R — 4Ом. Электроемкость конденсатора
С = 20 мкФ.
§10]
ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК
127
10.49. * В схеме на рис. 91 определить напряжение и за-
ряд на конденсаторе электроемкостью С. Э.д.с. источника то-
ка £ = 2 В, г = 20м, = 10м,
/?2 = 2 Ом, 7?з = 3 Ом, С = 10 мкФ,
(71 = 20 мкФ.
______________ _______________________________________1-
3
Рис. 91 Рис. 92
10.50. * В схеме, изображенной на рис. 92, £ = 100 В, (71 = 1мкФ,
С-2 = 2 мкФ, Сз = ЗмкФ. Сначала замыкается ключ Kj. Затем его
размыкают и замыкают ключ Кг- Какие заряды qi, <72 и <73
протекут при этом в указанных стрелками направлениях через
печения 1, 2 и 3?
10.51. * Может ли сила тока, протекающего через резистор,
увеличиться, если замкнуть накоротко один из источников тока,
например э.д.с. £2, как показано на рис. 93? £i, £2 и R—заданы.
10.52. * В схеме на рис. 94 определить силу тока, протекаю-
щего через батарею; в первый момент времени после замыкания
ключа К; спустя большой промежуток времени. Все параметры
(лементов считать заданными.
10.53. Найти токи Ц в отдельных ветвях мостика Уитсона
(рис. 95) при условии, что через гальванометр идет ток /г = 0.
Э.д.с. элемента £ — 2В, сопротивления Ri = 30Ом, R2 = 450м и
/?з = 200 Ом.
128
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ
[гл. irt
10.54. Э.д.с. элементов £г = 2,1 В и £2 — 1.9В, сопротивлений
Ri = 45 0м, = 10 Ом и 7?з = 10 Ом (рис. 96). Найти токи R во
всех участках цепи.
10.55. Какая разность потенциалов U получается на зажи-
мах двух элементов, включенных параллельно, если их э.д.с.’
Рис. 96
Рис. 95
10.56. Два элемента с одинаковыми э.д.с. £\ = £2 = 2В и вну-
тренними сопротивлениями п = 1 Ом и г2 = 2 Ом замкнуты на
внешнее сопротивление R (рис. 97). Через элемент с э.д.с. £± те-
Рис. 98
Рис. 97
чет ток R = 1А. Найти сопротивление R и ток 12, текущий через
элемент с э.д.с. £2. Какой ток I течет через сопротивление R?
10.57. Решить предыдущую задачу, если = £2 — 4 В, и = т2 —
= 0,5 Ом и Д = 2 А.
10.58. Батареи имеют э.д.с. £\ = 110В и £2 = 220В, сопротив-т
ления R-i = R2 = ЮООм, R3 = 5000м (рис. 98). Найти показание
амперметра.
10.59. Батареи имеют э.д.с. = 2В и £2 = 4В, сопротивление
Ri =0,5 Ом (рис. 98). Падение потенциала на сопротивлении R%
равно U2 — 1 В (ток через R2 направлен справа налево). Найти
показание амперметра.
§10)
ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК
129
10.60. Батареи имеют э. д. с. Si = 30 В и S2 = 5 В, сопротивле-
ния Я2 = 10 Ом, Яз = 20 Ом (рис. 98). Через амперметр течет ток
I = 1 А, направленный от Яз к Я1- Найти сопротивление Я1.
10.61. Батареи имеют э.д.с. Si = 2В и £2 = 1В, сопротив-
ления Я1 = 1кОм, Я2 = 0,5 кОм и Яз = 0,2 кОм, сопротивление
амперметра Яд = 0,2 кОм (рис. 99). Найти показание амперметра.
Рис. 99
10.62. Батареи имеют э.д.с. Si — 2В и £2 = ЗВ, сопротивление
Л'з = 1,5 кОм, сопротивление амперметра Яд =0,5 кОм (рис. 99).
Падение потенциала на сопротивлении Я2 равно lh = 1В (ток
через Я2 направлен сверху вниз). Найти показание амперметра.
10.63. Батареи имеют э.д.с. Si = 2В, £2 = 4В и £3 = 6В,
сопротивления Я1 = 4Ом, Я2 = 6Ом и Яз = 8Ом (рис. 100).
Найти токи Ц во всех участках цепи.
10.64. Батареи имеют э.д.с. Si = S2 = S3 = 6В, сопротивление
/?1 = 20 Ом, Я2 = 12Ом (рис. 100). При коротком замыкании
верхнего узла схемы с отрицательным зажимом батарей через
। а мыкающий провод течет ток I = 1,6 А. Найти токи Ii во всех
участках цепи и сопротивление Яз.
10.65. В схеме, изображенной на рис. 100, токи Д и I3 напра-
влены справа налево, ток /2—сверху вниз. Падения потенциала
на сопротивлениях Яь Я2 и Яз равны Ui = U3 —IU2 = 10В.
Найти э.д.с. S2 и S3, если э.д.с. Si =25В.
130
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ
[Гл, Ш
10.66. Батареи имеют э.д.с. £\ = £2 = 100В, сопротивления
Ri = 20 Ом, R2 — 10 Ом, 1?з = 40 Ом и Rt — 30 Ом (рис. 101).
Найти показание амперметра.
10.67. Батареи имеют э.д.с. £г = 2£2, сопротивления Ri = R3 =
= 20 Ом, R2 = 15Ом и 1?4 = 30 Ом (рис. 101). Через амперметр
течет ток I = 1,5 А, направленный
снизу вверх. Найти э.д.с. £\ и £2,
а также токи 12 и 13, текущие через
сопротивления R2 и R3.
Рис. 104
10.68. Два одинаковых элемента имеют э.д.с. £i = £2 = 2В и
внутренние сопротивления п = г2 — 0,5 Ом (рис. 102). Найти токи
R и 12, текущие через сопротивления Ri = 0,5 Ом и R2 = 1,5Ом,
а также ток I через элемент э.д.с. £i.
10.69. Батареи имеют э.д.с. £i = £2, сопротивления R2 = 2Rr
(рис. 103). Во сколько раз ток, текущий через вольтметр, больше
тока, текущего через сопротивление R2?
10.70. Батареи имеют э.д.с. £i = £2 = 110В, сопротивле-
ния Ri = R2 = 0,2 кОм, сопротивление вольтметра Ry = 1кОм
(рис. 103). Найти показание вольтметра.
10.71. Батареи имеют э.д.с. £i = £2, сопротивления Ri = R2 =
= 100Ом, сопротивление вольтметра Ry = 150Ом (рис. 103).
Показание вольтметра U = 150В. Найти э.д.с. £i и £2 батарей.
§10]
ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК
131
10.72. Элементы имеют э.д.с. £\ = 82 = 1,5В и внутренние
сопротивления п = гг = 0,5 Ом, сопротивления Ri = R2 = 20м
и R3 = 10м, сопротивление амперметра Лд = 30м (ррс. 104).
Найти показание амперметра.
10.73. Элемент имеет э.д.с. Е = 200В, сопротивления Ri =
= 2 кОм и R2 — ЗкОм, сопротивления вольтметров Ryt = ЗкОм
и Rv2 = 2 кОм (рис. 105). Найти показания вольтметров Vi и V2,
если ключ К: а) разомкнут; б) замкнут. Задачу решить, применяя
законы Кирхгофа.
10.74. * Ключ К замыкают поочередно с каждым из контак-
тов (рис. 106) на малые одинаковые промежутки времени, так
что изменение заряда конденсатора за время каждого замыкания
мало. Какой заряд qyCT установится на конденсаторе?
10.75. * Найти напряжение на конденсаторах с электроемко-
стями Ci и С2 (рис. 107). Сопротивления резисторов Ri и /?2, а
|.д. с. источника £, его внутреннее сопротивление г.
10.76. * В схеме на рис. 108 определить количество теплоты Q,
выделяющееся на резисторе после перезамыкания ключа К. Все
параметры в схеме считать заданными.
10.77. * Конденсатор емкостью Ci разрежается через резистор
сопротивлением R (рис. 109). Когда сила тока разряда достигает
шачения /о, ключ К размыкают. Найти количество теплоты Q,
которое выделяется на резисторе начиная с этого момента.
10.78. * В схеме на рис. ПО конденсатор емкостью С не заря-
жен. Ключ К замыкают на некоторое время, в течение которого
132
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ
[Гл. Ill
напряжение на конденсаторе падает до U. Определить количество
теплоты Q, которое выделится за это время на резисторе сопро-
тивлением /?2- Э.д.с. источника тока равна £, его внутренним
сопротивлением пренебречь.
10.79. * Определить количество теплоты, выделившейся на
каждом резисторе после замыкания ключа. Один конденсатор в
начале был заряжен до напряжения U, а второй не был заряжен
(рис. 111).
10.80. * Определить напряжения Ui и U? на конденсаторах,
если £i = 12кВ, £2 = 13кВ, С\ = ЗмкФ, Сг = 7мкФ (рис. 112).
Рис. 111
Рис. 112
10.81.* Определить разность потенциалов на конденсаторе С
в схеме на рис. 113.
Величины номиналов заданы. Какой знак
будет иметь заряд на верхней пластине
конденсатора С при £-t = £2?
10.82. * Аккумулятор с внутренним со-
противлением г = 0,08 Ом при токе 4 А
отдает во внешнюю цепь мощность 8 Вт.
Какую мощность отдает аккумулятор во
внешнюю цепь при токе 6 А?
10.83. * Мощность, рассеиваемая на ре-
зисторе сопротивлением подсоединен-
ном к батарее, равна W. Чему равна э.д.с.
батареи, если мощность W не изменилась
при замене сопротивления на /?2?
10.84. * Электроэнергия генератора мощ-
ностью Wo передается потребителю по про-
водам, общее сопротивление которых г. Э.д.с. генератора £.
Определить к.п.д. линии передачи, т.е. отношение мощности,
выделяемой на полезной нагрузке, к мощности генератора. Вну-
тренним сопротивлением генератора пренебречь.
10.85. * Во сколько раз следует повысить напряжение источ-,,
ника, чтобы потери мощности (в подводящих проводах) снизить
в 100 раз при условии постоянства отдаваемой генератором мощ-
ности?
10.86. * Линия имеет сопротивление 300 Ом. Какое напряжение
должен иметь генератор, чтобы при передаче по этой линии к.,
§10]
ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК
' 133
потребителю мощности 25 кВт потери в линии не превышали 4%
передаваемой мощности?
10.87. * На вход линии электропередачи подается некоторая
мощность при напряжении Ui = 10кВ, причем к.п.д. линии ра-
нен тд = 80%. Каким нужно сделать напряжение U? на линии,
чтобы к. п. д. ее повысился до = 95 %? Рассмотреть случаи по-
стоянства мощности: а) на входе линии; б) на полезной нагрузке.
10.88. * Тепловая мощность спирали электроплитки линейно
зависит от разности температур спирали и комнатного воздуха:
W = k(T — То). Сопротивление спирали тоже линейно зависит от
этой разности: R = Ro [1 + а (Т — То)], где Ro — сопротивление
спирали при комнатной температуре. До какой температуры на-
греется спираль при пропускании через нее тока Т?
10.89. За какое время т при электролизе медного купороса
масса медной пластинки (катода) увеличится на Аги = 99 мг?
Площадь пластинки S = 25 см2, плотность тока j — 200 А/м2.
Найти толщину d слоя меди, образовавшегося на пластинке.
10.90. При электролизе медного купороса за время т — 1ч
выделилась масса m — 0,5 г меди. Площадь каждого электрода
S = 75см2. Найти плотность тока j.
10.91. Найти электрохимический эквивалент К водорода.
10.92. Амперметр, включенный последовательно с электроли-
тической ванной с раствором AgNOa, показывает ток I = 0,90 А.
Верен ли амперметр, есди за время т = 5 мин прохождения тока
выделилась масса тп = 316 мг серебра?
10.93. Две электролитические ванны с растворами AgNOa и
< 'uSOi соединены последовательно. Какая масса т2 меди выде-
лится за время, в течение которого выделилась масса тп^ — 180 мг
серебра?
10.94. При получении алюминия электролизом раствора Ah Оз
в расплавленном криолите проходил ток I = 20 кА при разности
потенциалов на электродах U = 5 В. За какое время г выделится
масса т — 1т алюминия? Какая электрическая энергия W при
•том будет затрачена?
10.95. Какую электрическую энергию W надо затратить, чтобы
ври электролизе раствора AgNOa выделилась масса т = 500 мг
• еребра? Разность потенциалов на электродах U = 4 В.
10.96. Реакция образования воды из водорода и кислорода про-
исходит с выделением тепла:
2Н2 + О2 = 2Н2О + 5,75 105 Дж.
Найти наименьшую разность потенциалов U, при которой будет
происходить разложение воды электролизом.
10.97. Найти эквивалентную проводимость Лоо для очень сла-
бого раствора азотной кислоты.
134
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ
[Гл. IB |
10.98. Через раствор азотной кислоты пропускается ток 1 = 2 А.
Какое количество электричества q переносится за время т = 1 мин
ионами каждого знака?
10.99. Эквивалентная проводимость раствора КС1 при некото-
рой концентрации Л = 12,2- Ю-3м2/(Ом моль), удельная прово-
димость при той же концентрации а = 0,122См/м, эквивалентная
проводимость при бесконечном разведении Лоо = 13 10-3 м2/(0мх
хмоль). Найти: а) степень диссоциации а раствора КС1 при дан-
ной концентрации; б) эквивалентную концентрацию т) раствора;
в) сумму подвижностей и++ н_ ионов К+ и С1~.
10.100. Найти сопротивление R раствора AgNOa, заполняю-
щего трубку длиной I = 84 см и площадью поперечного сечения
S = 5 мм2. Эквивалентная концентрация раствора т) = 1 моль/л,
степень диссоциации а = 81 %.
10.101. Найти сопротивление R раствора KNOa, заполняю-
щего трубку длиной I = 2 см и площадью поперечного сечения
S = 7см2. Эквивалентная концентрация раствора т? = 0,05 моль/л,
эквивалентная проводимость Л = 1,1 10-6 м2/(Ом моль). х
10.102. Трубка длиной I = Зсм и площадью поперечного се-
чения S = 10 см2 заполнена раствором CUSO4. Эквивалентная
концентрация раствора г) = 0,1 моль/л, сопротивление R = 380м.
Найти эквивалентную проводимость Л раствора.
10.103. Удельная проводимость децинормального раствора со-
ляной кислоты <т = 3,5См/м. Найти степень диссоциации а.
10.104. При освещении сосуда с газом рентгеновскими лучами
в единице объема в единицу времени ионизируется число • мо-
лекул N = 1016м-3-с-1. В результате рекомбинации в сосуде
установилось равновесие, причем в единице объема газа находит-
ся число ионов каждого знака п = 1014м~3. Найти коэффициент
рекомбинации 7.
10.105. К электродам разрядной трубы приложена разность
потенциалов U = 5 В, расстояние между ними d = 10 см. Газ,
находящийся в трубке, однократно ионизирован. Число ионов
каждого знака в единице объема газа п = 108 м-3; подвижности
ионов н+ = 3 10-2м2/(В с) и н_ = 3 • 102м2/(В • с). Найти
плотность тока j в трубке. Какая часть полного тока переносится
положительными ионами?
10.106. Площадь каждого электрода ионизационной камеры
S = 0,01м2, расстояние между ними d = 6,2 см. Найти ток на-
сыщения /„ в такой камере, если в единице объема в единицу
времени образуется число однозарядных ионов каждого знака
N = 1015 м-3 - с"1.
10.107. Найти наибольшее возможное число ионов п каждого
знака, находящихся в единице объема камеры предыдущей задачи,
если коэффициент рекомбинации 7 = 10-12м3/с.
§111
ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ
135
10.108. Найти сопротивление R трубки длиной I — 84 см и пло-
щадью поперечного сечения S = 5 мм2, если она заполнена возду-
хом, ионизированным так, что в единице объема при равновесии
находится n = 1013 м-3 однозарядных ионов каждого знака. По-
движности ионов и+ = 1,3-10-4 м2/(Вс) и и_ = 1,8-10-4 м2/(В-с).
10.109. Какой ток I пойдет между электродами ионизационной
камеры задачи 10.106, если к электродам приложена разность по-
тенциалов U = 20 В? Подвижности ионов u+ = u_ = 10~4 м2/(В-с),
коэффициент рекомбинации 7 = 10-12м3/с. Какую долю тока на-
сыщения составляет найденный ток?
10.110. Какой наименьшей скоростью v должен обладать элек-
трон для того, чтобы ионизировать атом водорода? Потенциал
ионизации атома водорода U = 13,5 В.
10.111. При какой температуре Т атомы ртути имеют кине-
тическую энергию поступательного движения, достаточную для
ионизации? Потенциал ионизации атома ртути U = 10,4 В.
10.112. Потенциал ионизации атома гелия U = 24,5 В. Найти
работу ионизации А.
10.113. Какой наименьшей скоростью v должны обладать сво-
бодные электроны в цезии и платине для того, чтобы они смогли
покинуть металл?
10.114. Во сколько раз изменится удельная термоэлектронная
(миссия вольфрама, находящегося при температуре Т\ = 2400 К,
если повысить температуру вольфрама на ДТ = 100 К?
10.115. Во сколько раз катод из торированного вольфрама при
температуре Т = 1800 К дает большую удельную эмиссию, чем
катод из чистого вольфрама при той же температуре? Эмиссион-
ная постоянная для чистого вольфрама Bi = 0,6- 106А/(м2 - К2),
для торированного вольфрама Вг — 0,3 • 107 А/(м2 • К2).
10.116. При какой температуре Тг торированный вольфрам
будет давать такую же удельную эмиссию, какую дает чистый
вольфрам при 71 = 2500 К? Необходимые данные взять из пре-
дыдущей задачи.
§11. Электромагнетизм
Магнитная индукция В связана с напряженностью Я магнитного поля соот-
ношением
В - цъцН,
де д— относительная магнитная проницаемость среды, до = 4тг • 10-7Гн/м =
12,5663706144 • 10-7Гн/м — магнитная постоянная.
Для ферромагнитных тел д = <р(Я), а следовательно, и В = /(Я). При
решении задач, где требуется знать зависимость В = f(H), необходимо пользо-
ваться графиком, приведенным в приложении IX.
136
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ
По закону Био — Савара — Лапласа элемент контура dl, по которому течет
ток I, создает в некоторой точке А пространства магнитное поле напряженно-
стью
. д I dl х г
где т — расстояние от точки А до элемента тока dl, т— радиус-вектор точки А ।
от элемента тока dl. i
Напряженность магнитного поля в центре кругового тока
/г _ /
, 2R ’ ।
где R— радиус кругового контура с током.
Напряженность магнитного поля, созданного бесконечно длинным прямоли-
нейным проводником,
Н = ~ ;
2тга
здесь а — расстояние от точки, где ищется напряженность, до проводника с то-
ком. I
Напряженность магнитного поля на оси кругового тока ।
н= r21 I
2(Я2 + <12)3/2 ’
здесь R — радиус кругового контура с током, а — расстояние от точки, где .
ищется напряженность, до плоскости контура.
Напряженность магнитного поля внутри тороида и бесконечно длинного со-
леноида |
Н = In,
где п — число витков на единицу длины соленоида (тороида). '
Напряженность магнитного поля на оси соленоида конечной длины
Н = (cos— cos/32),
I
где /3j и /32—углы между осью соленоида и радиус-вектором, проведенным из
рассматриваемой точки к концам соленоида. I
Объемная плотность энергии магнитного поля
Магнитный поток (поток магнитной индукции) сквозь контур j
Ф = BS cos <р,
I
где S — площадь поперечного сечения контура, ip— угол между нормалью к ]
плоскости контура и направлением магнитного поля.
Магнитный поток сквозь тороид ,
ф _ fiofilNS fl
§11]
ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ
137
где W—общее число витков тороида, I—его длина, S—площадь его попереч-
ного сечения. Если тороид имеет воздушный зазор, то
h/SfioHi +li/SfioH2 ’
где li —длина железного сердечника, щ — его магнитная проницаемость, I?—
длина воздушного зазора, да — магнитная проницаемость воздуха.
На элемент dl проводника с током, находящийся в магнитном поле, действует
сила Ампера
dF — BI sin a dl,
где а-—угол между направлениями тока и магнитного поля.
На замкнутый контур с током, а также на магнитную стрелку в магнитном
поле действует пара сил с вращающим моментом
М - р х В,
где р — магнитный момент контура с током (или магнитной стрелки).
Магнитный момент контура с током
р = I х п • S,
где S — площадь контура, п — вектор нормали к плоскости контура.
Два параллельных бесконечно длинных прямолинейных проводника с тока-
ми Л и I? взаимодействуют между собой с силой
где !—длина участка проводников, d—расстояние между ними.
Работа перемещения проводника с током в магнитном поле
dA = 7сМ>,
>де <1Ф — магнитный поток, пересеченный проводником при его движении.
Сила, действующая на заряженную частицу, движущуюся со скоростью в
магнитном поле, определяется формулой Лоренца
F = qv х В,
। Jie q — заряд частицы.
При протекании тока I вдоль проводящей пластины, помещенной перпенди-
кулярно к магнитному полю, возникает поперечная разность потенциалов
и = К1В=1В_
а пеа ’
। и? а —толщина пластины, В — индукция магнитного поля, К = 1/пе —посто-
янная Холла, обратная концентрации п носителей тока и их заряду е. Зная
постоянную Холла К я удельную проводимость материала а = 1/р = пей,
можно найти подвижность носителей тока и.
138
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ
[Гл. И!
Явление электромагнитной индукции заключается в появлении в контуре
э. д. с. индукции при всяком изменении магнитного потока Ф сквозь поверхность,
охватываемую контуром. Э. д. с. индукции определяется уравнением
с _ <1Ф
dt '
Изменение магнитного потока может достигаться изменением тока в самом кон-
туре (явление самоиндукции). При этом э. д. с. самоиндукции определяется фор-
мулой
at
где L — индуктивность контура.
Индуктивность соленоида
L = }iQ}in2lS,
где I—длина соленоида, S — площадь его поперечного сечения, п— число вит-
ков на единицу его длины.
Вследствие явления самоиндукции при выключении э. д. с. ток в цепи спадает
по закону
/ = /о ехр Я ,
а при включении э. д. с. ток нарастает по закону
I = /о [1 - exp ,
где R — сопротивление цепи.
Магнитная энергия контура с током
W=
w 2 .
Изменение магнитного потока может достигаться также изменением тока в
соседнем контуре (явление взаимной индукции). При этом индуцируемая э. д. с.
E = -L12 %,
dt
где Li2—взаимная индуктивность контуров. Взаимная индуктивность двух
соленоидов, пронизываемых общим магнитным потоком,
L12 —
где ni и П2 — числа витков на единицу длины этих соленоидов.
Количество электричества, прошедшего через поперечное сечение проводни-
ка при возникновении в нем индукционного тока,
^=-рФ-
§11]
ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ
139
11.1. * Используя закон Био—Савара—Лапласа, показать, что
напряженность Н магнитного поля бесконечно длинного провод-
ника с током I равна Н = где г — расстояние от проводника.
11.2. * Определить напряженность магнитного поля на оси кру-
гового тока. Сила тока I, радиус витка R.
11.3. Найти напряженность Н магнитного поля в центре кру-
гового проволочного витка радиусом R = 1 см, по которому течет
ток I = 1 А.
11.4. На рис. 114 изображены сечения двух прямолинейных
бесконечно длинных проводников с токами. Расстояние между
4
Ф
В
₽-0
А43
Рис. 114
Рис. 115
проводниками АВ — 10 см, токи Л = 20 А и /2 = 30 А. Найти
напряженности Н магнитного поля, вызванного токами Ц и /2
в точках Mi, М2 и М3. Расстояния Mi А = 2 см, ЛМ2 = 4см и
ВМз — Зсм.
11.5. На рис. 115 изображены сечения трех прямолинейных бес-
конечно длинных проводников с токами. Расстояния АВ — ВС —
— 5 см, токи В = I2 = I и 73 — 21. Найти точку на прямой АС, в
которой напряженность магнитного поля, вызванного токами Ц,
12 и 1з равна нулю.
11.6. Два прямолинейных бесконечно длинных проводника рас-
положены перпендикулярно друг к другу и находятся в одной
плоскости (рис. 116). Найти напряженности Hi и Н2 магнит-
ного поля в точках Mi и М2,
если токи 11 = 2А и 12 = ЗА.
Расстояния AMi — АМ2 = 1 см и
В Mi = СМ2 = 2 см.
Рис. 116
Рис. 117
11.7. Два прямолинейных бесконечно длинных проводника рас-
положены перпендикулярно друг к другу и находятся во взаимно
перпендикулярных плоскостях (рис. 117). Найти напряженности
/71 и Н2 магнитного поля в точках Mi и М2, если токи Д = 2 А
и 12 = 3 А. Расстояния AMi = АМ2 = 1см и АВ - 2 см.
140
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ
[Гл. Ill
11.8. Два прямолинейных длинных проводника расположены
параллельно на расстоянии d = 10 см друг от друга. По провод-
никам текут токи Л = /г = 5 А в противоположных направлениях.
Найти модуль и направление напряженности Н магнитного по-
ля в точке, находящейся на расстоянии а = 10 см от каждого
проводника.
11.9. Найти напряженность Н магнитного поля, создаваемого
отрезком АВ прямолинейного проводника с током, в точке С,
расположенной на перпендикуляре к середине этого отрезка на
расстоянии а = 5 см от него. По проводнику течет ток I = 20 А.
Отрезок АВ проводника виден из точки С под углом 60°.
11.10. Решить предыдущую задачу при условии, что ток в
проводнике I = 30 А и отрезок проводника виден из точки С
под углом 90°. Точка С расположена на расстоянии а = 6см от
проводника.
11.11. Ток I = 20 А идет по длинному проводнику, согнутому
под прямым углом. Найти напряженность Н магнитного поля
в точке, лежащей на биссектрисе этого угла и отстоящей от
вершины угла на расстоянии а = 10 см.
11.12. Ток I = 20 А, протекая по кольцу из медной проволоки
сечением S = 1,0 мм2, создает в центре кольца напряженность
магнитного поля Н = 178 А/м. Какая разность потенциалов U
приложена к концам проволоки, образующей кольцо?
11.13. Найти напряженность Н магнитного поля в центре кру-
гового контура на расстоянии а = 3 см от его плоскости. Радиус
контура R = 4 см, ток в контуре I = 2 А.
11.14. Напряженность магнитного поля в центре кругового вит-
ка Но = 0,8Э. Радиус витка R = 11см. Найти напряженность Н
магнитного поля на оси витка на расстоянии а = 10 см от его
плоскости.
11.15. Два круговых витка радиусом R = 4см каждый распо-
ложены в параллельных плоскостях на расстоянии d = 10 см друг
от друга. По виткам текут токи Д = I2 = 2 А. Найти напряжен-
ность Н магнитного поля на оси витков в точке, находящейся
на равном расстоянии от них. Задачу решить, когда: а) токи
в витках текут в одном направлении; б) токи в витках текут в
противоположных направлениях.
11.16. Найти распределение напряженности Н магнитного поля
вдоль оси кругового витка диаметром D = 10 см, по которому
течет ток I = 10 А. Составить таблицу значений Н и построить
график для значений х в интервале 0 < х < 10 см через каждые
2 см.
11.17. Два круговых витка расположены в двух взаимно пер-
пендикулярных плоскостях так, что центры этих витков совпада-
ют. Радиус каждого витка R — 2 см, токи в витках Д = I2 — 5 А.
Найти напряженность Н магнитного поля в центре этих витков.
§11]
ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ
141
11.18. Из проволоки длиной I = 1м сделана квадратная рамка.
По рамке течет ток I = 10 А. Найти напряженность Н магнитного
поля в центре рамки.
11.19. В центре кругового проволочного витка создается маг-
нитное поле напряженностью Н при разности потенциалов C7i
на концах витка. Какую надо приложить разность потенциалов
U2, чтобы получить такую же напряженность магнитного поля
в центре витка вдвое большего радиуса, сделанного из той же
проволоки?
11.20. По проволочной рамке, имеющей форму правильного
шестиугольника, идет ток I = 2 А. При этом в центре рамки
образуется магнитное поле напряженностью Н = ЗЗА/м. Найти
длину I проволоки, из которой сделана рамка.
11.21. Бесконечно длинный провод образует круговой виток,
касательный к проводу. По проводу идет ток I = 5 А. Найти
радиус R витка, если напряженность магнитного поля в центре
витка Н = 41 А/м.
11.22. * Показать, что напряженность линейного поля на оси
бесконечно длинного соленоида, по которому протекает ток I,
равна Н — In, где п — число витков на единицу длины соленоида.
11.23. * То же, но для соленоида конечной длины:
Н = (cos/Jj - cos/32),
где /?! и /32—углы между осью соленоида и радиус-векторами,
проведенными из данной точки к концам соленоида.
11.24. * По плоскому контуру, изображенному на рисунке 118,
течет ток силы I — 1 А. Угол между прямолинейными участ-
ками контура прямой. Радиусы п = 10 см и г2 = 20 см. Найти
магнитную индукцию В в точке С.
11.25. * Определить индукцию магнитного поля В в центре
кольца, по которому течет ток I (рис. 119). Магнитное поле
радиальных подводящих проводников скомпенсировано.
142
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ
[Гл. III
11.26. * По проволоке, согнутой в виде правильного п-уголь-
ника, вписанного в окружность радиуса R, пропускается ток
силы I. Найти магнитную индукцию В в центре многоугольника.
Исследовать полученное выражение для случая п —> оо.
11.27. * По круглому прямому проводу радиуса R течет ток
постоянной плотности j. Найти выражение для напряженности
поля Н в точке, положение которой относительно оси провода
определяется перпендикулярным к этой оси радиус-вектором г.
Рассмотреть случаи, когда точка лежит внутри и вне провода.
11.28. * Внутри прямого провода круглого сечения имеется кру-
глая цилиндрическая полость, ось которой параллельна оси про-
вода. Смещение оси полости относительно оси провода определя-
ется вектором а. По проводу течет ток постоянной по сечению
плотности j. Найти напряженность магнитного поля Н внутри
полости. Рассмотреть случай а = 0.
11.29. Катушка длиной / = 30 см имеет N = 1000 витков. Най-
ти напряженность Н магнитного поля внутри катушки, если по
кадушке проходит ток I = 2 А. Диаметр катушки считать малым
по сравнению с ее длиной.
11.30. Требуется получить напряженность магнитного поля
Н — 1кА/м в соленоиде длиной Z = 20 см и диаметром D — 5 см.
Найти число ампер-витков IN, необходимое для этого соленоида,
и разность потенциалов U, которую надо приложить к концам
обмотки из медной проволоки диаметром d = 0,5 мм. Считать поле
соленоида однородным.
11.31. Найти распределение напряженности Н магнитного поля
вдоль оси соленоида, длина которого / = 3 см и диаметр D = 2 см.
По соленоиду течет ток I = 2 А. Катушка имеет N = 100 витков.
Составить таблицу значений Н и построить график для значе-
ний х в интервале 0 х Зсм через каждые 0,5 см.
11.32. Конденсатор емкостью С = 10 мкФ периодически заря-
жается от батареи с э. д. с. с £ — 120 В и разряжается через
соленоид длиной / = 10 см. Соленоид имеет N = 200 витков.
Среднее значение напряженности магнитного поля внутри соле-
ноида Н = 240 А/м. С какой частотой п происходит переключение
конденсатора? Диаметр соленоида считать малым по сравнению
с его длиной.
11.33. В однородном магнитном поле напряженностью Н =
= 79,6 кА/м помещена квадратная рамка, плоскость которой со-
ставляет с направлением магнитного поля угол а = 45°. Сторона
рамки а = 4 см. Найти магнитный поток Ф, пронизывающий рамку.
11.34. В магнитном поле, индукция которого В = 0,05Тл, вра-
щается стержень длиной I = 1 м. Ось вращения, проходящая через
один из концов стержня, параллельна направлению магнитного
поля. Найти магнитный поток Ф, пересекаемый стержнем при
каждом обороте.
§11]
ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ
143
11.35. Рамка, площадь которой S = 16 см2, вращается в од-
нородном магнитном поле с частотой п = 2с-1. Ось вращения
находится в плоскости рамки и перпендикулярна к направлению
магнитного поля. Напряженность магнитного поля Н = 79,6 кА/м.
Найти зависимость магнитного потока Ф, пронизывающего рамку,
от времени t и наибольшего значения Фтах магнитного потока.
11.36. Сколько ампер-витков потребуется для того, чтобы вну-
три соленоида малого диаметра и длиной I = 30 см объемная плот-
ность энергии магнитного поля была равна Wq = 1,75 Дж/м3?
11.37. Длина железного сердечника тороида li — 2,5 м, длина
воздушного зазора 12 = 1см. Число витков в обмотке тороида
N = 1000. При токе I — 20 А индукция магнитного поля в
воздушном зазоре В = 1,6 Тл. Найти магнитную проницаемость д
железного сердечника при этих условиях. (Зависимость В от Н
для железа неизвестна.)
11.38. Длина железного сердечника тороида li — 1м, длина
воздушного зазора 12 = 1см. Площадь поперечного сечения сер-
дечника S = 25 см2. Сколько ампер-витков потребуется для со-
здания магнитного потока Ф = 1,4 мВб, если магнитная проницае-
мость материала сердечника д = 800? (Зависимость В от Н для
железа неизвестна.)
11.39. Длина железного сердечника 1^ = 50 см, длина воздуш-
ного зазора 12 = 2 мм. Число ампер-витков в обмотке торои-
да IN = 2000 А - в. Во сколько раз уменьшится напряженность
магнитного поля в воздушном зазоре, если при том же числе
ампер-витков увеличить длину воздушного зазора вдвое?
11.40. Внутри соленоида длиной I = 25,1см и диаметром
D = 2 см помещен железный сердечник. Соленоид имеет N = 200
витков. Построить для соленоида с сердечником график зависи-
мости магнитного потока Ф от тока I в интервале 0^1 5 А
через каждый 1 А. По оси ординат откладывать Ф (в 10-4Вб).
11.41. Магнитный поток сквозь соленоид (без сердечника)
Ф = 5мкВб. Найти магнитный момент р соленоида, если его
длина I = 25 см.
11.42. Через центр железного
кольца перпендикулярно к его пло-
скости проходит длинный прямоли-
нейный провод, по которому течет
гок I = 25 А. Кольцо имеет че-
тырехугольное сечение (рис. 120),
размеры которого li = 18 мм, 12 =
= 22 мм и h = 5 мм. Считая при-
ближенно, что в любой точке се-
чения кольца индукция одинакова
п равна индукции на средней линии кольца, найти магнитный
поток Ф, пронизывающий площадь сечения кольца.
144 ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ [Гл. Ill
11.43. Найти магнитный поток Ф, пронизывающий площадь ч
сечения кольца предыдущей задачи, учитывая, что магнитное !
поле в различных точках сечения кольца различно. Значение д
считать постоянным и найти его по графику кривой В — f (Н) 1
для значения Н на средней линии кольца.
11.44. Железный сердечник длиной li = 50,2 см с воздушным
зазором длиной I? = 0,1см имеет обмотку из N = 20 витков.
Какой ток I должен протекать по этой обмотке, чтобы в зазоре
получить индукцию Вг = 1,2 Тл?
11.45. Между полюсами электромагнита требуется создать маг-
нитное поле с индукцией В = 1,4 Тл. Длина железного сердечника
li = 40 см, длина межполюсного пространства I? = 1см, диаметр
сердечника D = 5см. Какую э.д.с. Е надо взять для питания
обмотки электромагнита, чтобы получить требуемое магнитное
поле, используя медную проволоку площадью поперечного сече-
ния 5 = 1мм2? Какая будет при этом наименьшая толщина b
намотки, если считать, что предельно допустимая плотность тока
/ = ЗМА/м2?
11.46. Между полюсами электромагнита создается однородное
магнитное поле с индукцией В = 0,1 Тл. По проводу длиной
I = 70 см, помещенному перпендикулярно к направлению магнит-
ного поля, течет ток I = 70А. Найти силу F, действующую на
провод.
11.47. * Проводник EF движется с постоянной скоростью v, за-
мыкая два проводника АС и AD, образующих между собой угол а
(рис. 121). Перпендикулярно плоскости проводников приложено
постоянное однородное магнитное поле индукции В. Найти пол-
ное количество теплоты, выделившейся в цепи за время движения
проводника EF от точки А др точки С. Сопротивление единицы
длины проводника EF равно Ri- Сопротивлением проводников
АС и AD пренебречь. АС = Iq, EF Е AC, vEEF.
§11]
ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ
145
11.48. * Определить силу, с которой действует бесконечно длин-
ный прямой провод на прямоугольный контур. Провод располо-
жен в плоскости контура. По контуру течет ток I, а по проводу—
Л. Стороны AD и ВС контура имеют длину а и расположены
параллельно проводу. Расстояние от AD до провода равно х.
АВ — DC — I (рис. 122).
11.49. * Медный провод с сечением S, согнутый в виде рамки
(рис. 123), может вращаться вокруг горизонтальной оси. Провод
находится в однородном магнитном поле, направленном верти-
кально. Когда по проводу течет ток I, провод отклоняется на
угол а от вертикали. Определить индукцию поля В. Плотность
меди равна р.
11.50. * Из проволоки сделано полукольцо радиусом г = 10 см,
по которому-протекает ток силой I = 10 А (рис. 124). Полукольцо
Рис. 123
Рис. 124
помещено в магнитное поле. Вектор индукции лежит в плоско-
сти полукольца и перпендикулярен диаметру. Индукция В равна
50мТл. Определить силу, действующую на проволоку.
11.51. По соленоиду с погонным числом витков п = 15 см-1
и радиусом R = 5,5 см протекает ток силой I. Предельное зна-
чение силы, которую выдерживает материал соленоида, равно
/'пР = 100 Н. Какой максимальной силы ток можно пропустить
через соленоид, чтобы он не разрушился?
11.52. Два прямолинейных длинных параллельных проводника
находятся на расстоянии di = 10см друг от друга. По провод-
никам в одном направлении текут токи Д = 20 А и Д = 30 А.
Какую работу At надо совершить (на единицу длины проводни-
ков), чтобы раздвинуть эти проводники до расстояния «Д = 20 см?
11.53. Два прямолинейных длинных цараллельных проводника
находятся на некотором расстоянии друг от друга. По провод-
никам текут одинаковые токи в одном направлении. Найти токи
Л и /2, текущие по каждому из проводников, если известно,
что для того, чтобы раздвинуть эти проводники на вдвое боль-
шее расстояние, пришлось совершить работу (на единицу длины
проводников) А1 = 55мкДж/м.
11.54. Из проволоки длиной I = 20 см сделаны квадратный и
круговой контуры. Найти вращающие моменты сил Mi и М2,
действующие на каждый контур, помещенный в однородное маг-
146
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ
[Гл. III
нитное поле с индукцией В = 0,1 Тл. По контурам течет ток
I = 2 А. Плоскость каждого контура составляет угол а = 45° с
направлением поля.
11.55. Катушка гальванометра, состоящая из N = 400 витков
тонкой проволоки, намотанной на прямоугольный каркас длиной
I = Зсм и шириной b — 2 см, подвешена на нити в магнитном
поле с индукцией В = 0,1Тл. По катушке течет ток I = 0,1 мкА.
Найти вращающий момент М, действующий на катушку гальва-
нометра, если плоскость катушки: а) параллельна направлению
магнитного поля; б) составляет угол а = 60° с направлением
магнитного поля.
11.56. На расстоянии а = 20 см от длинного прямолинейного
вертикального провода на нити длиной I = 0,1 м и диаметром
d = 0,1 мм висит короткая магнитная стрелка, магнитный момент
которой р = 0,01А-м2. Стрелка находится в плоскости, проходя-
щей через провод и нить. На какой угол р повернется стрелка,
если по проводу пустить ток I = 30 А? Модуль сдвига материа-
ла нити G = 5,9 ГПа. Система экранирована от магнитного поля
Земли.
11.57. Квадратная рамка подвешена на проволоке так, что
направление магнитного поля составляет угол а = 90° с нормалью
к плоскости рамки. Сторона рамки а = 1 см. Магнитная индукция
поля В = 13,7 мТл. Если по рамке пропустить ток I = 1 А, то
она поворачивается на угол = 1°. Найти модуль сдвига G
материала проволоки. Длина проволоки I = 10 см, радиус нити
г = 0,1 мм.
11.58. Круговой контур помещен в однородное магнитное по-
ле так, что плоскость контура перпендикулярна к направлению
магнитного поля. Напряженность магнитного поля Я = 150 кА/м.
По контуру течет ток I = 2 А. Радиус контура R — 2 см. Ка-
кую работу А надо совершить, чтобы повернуть контур на угол
р = 90° вокруг оси, совпадающей с диаметром контура?
11.59. В однородном магнитном поле с индукцией В = 0,5 Тл
движется равномерно проводник длиной I = 10 см. По проводнику
течет ток I = 2 А. Скорость движения проводника v = 20 см/с
и направлена перпендикулярно к направлению магнитного поля.
Найти работу А перемещения провод-
ника за время t = 10 с и мощность Р,
затраченную на это перемещение.
11.60. Однородный медный диск А
радиусом R = 5 см помещен в магнитное
поле с индукцией В — 0,2 Тл так, что
плоскость диска перпендикулярна к на-
правлению магнитного поля (рис. 125).
Ток I = 5 А проходит по радиусу дис-
ка ab (а и Ь — скользящие контакты).
§11]
ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ
147
Диск вращается с частотой п = Зс-1. Найти: а) мощность Р
такого двигателя; б) направление вращения диска при условии,
что магнитное поле направлено от чертежа к нам; в) вращающий
момент М, действующий на диск.
11.61. Найти магнитный поток Ф, пересекаемый радиусом ab
диска А (рис. 125) за время t = 1мин вращения. Радиус диска
R — 10 см. Индукция магнитного поля В = 0,1 Тл. Диск вращается
с частотой п = 5,3с-1.
11.62. Электрон, ускоренный разностью потенциалов U = 1кВ,
влетает в однородное магнитное поле, направление которого пер-
пендикулярно к направлению его движения. Индукция магнитно-
го поля В = 1,19 мТл. Найти радиус R окружности, по которой
движется электрон, период обращения Т и момент импульса М
электрона.
11.63. Электрон, ускоренный разностью потенциалов U = 300 В,
движется параллельно прямолинейному длинному проводу на рас-
стоянии а = 4 мм от него. Какая сила F действует на электрон,
если по проводнику пустить ток I = 5 А?
11.64. Поток а-частиц (ядер атома гелия), ускоренных разно-
стью потенциалов U = 1МВ, влетает в однородное магнитное поле
напряженностью Н = 1,2кА/м. Скорость каждой частицы напра-
влена перпендикулярно к направлению магнитного поля. Найти
< илу F, действующую на каждую частицу.
11.65. Электрон влетает в однородное магнитное поле, напра-
вление которого перпендикулярно к направлению его движения.
Скорость электрона v = 4- 10' м/с. Индукция магнитного поля
В = 1 мТл. Найти тангенциальное ат и нормальное ап ускорения
электрона в магнитном поле.
11.66. Найти кинетическую энергию W (в электронвольтах)
протона, движущегося по дуге окружности радиусом Я = 60 см в
магнитное поле с индукцией В = 1Тл.
11.67. Протон и электрон, ускоренные одинаковой разностью
потенциалов, влетают в однородное магнитное поле. Во сколько
раз радиус кривизны Ri траектории протона^ больше радиуса
кривизны R? траектории электрона?
11.68. Заряженная частица движется в магнитном поле по
окружности со скоростью v = 106м/с. Индукция магнитного
поля В = 0,3 Тл. Радиус окружности R = 4 см. Найти заряд q
частицы, если известно, что ее энергия W = 12 кэВ.
11.69. Найти отношение q/m для заряженной частицы) если
она, влетая со скоростью v = 106м/с в однородное магнитное
поле напряженностью Н = 200 кА/м, движется по дуге окружно-
сти радиусом Я = 8,3 см. Направление скорости движения части-
цы перпендикулярно к направлению магнитного поля. Сравнить
найденное значение со значением q/m для электрона, протона и
< t-частицы.
148
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ
[Гл. III
11.70. Пучок электронов, ускоренных разностью потенциалов
U = 300 В, влетает в однородное магнитное поле, направленное от
чертежа к нам (рис. 126). Ширина поля Ь — 2,5см. В отсутствие
магнитного поля пучок электронов да-
ет пятно в точке А флуоресцирующе-
го экрана, расположенного на рассто-
янии Z = 5см от края полюсов магни-
та. При включении магнитного поля
пятно смещается в точку В. Найти
смещение х = АВ пучка электронов,
если известно, что индукция магнит-
ного поля В = 14,6 мкТл.
11.71. Магнитное поле напряжен-
ностью Н = 8 кА/м и электрическое
поле напряженностью Е = 1кВ/м на-
правлены одинаково. Электрон влетает в электромагнитное поле
со скоростью v — 105 м/с. Найти нормальное ап, тангенциальное
ат и полное а ускорения электрона. Задачу решить, если скорость
электрона направлена: а) параллельно направлению электриче-
ского поля; б) перпендикулярно к направлению электрического
поля.
11.72. Магнитное поле, индукция которого В = 0,5 мТл, напра-
влено перпендикулярно к электрическому полю, напряженность
которого Е = 1кВ/м. Пучок электронов влетает в электромаг-
нитное поле, причем скорость v электронов перпендикулярна к
плоскости, в которой лежат векторы Ё и В. Найти скорость элек-
тронов v, если при одновременном действии обоих полей пучок
электронов не испытывает отклонения. Каким будет радиус R
траектории движения электронов при условии включения одного
магнитного поля?
11.73. Электрон, ускоренный разностью потенциалов U = 6 кВ,
влетает в однородное магнитное поле под углом а = 30° к на-
правлению поля и движется по винтовой траектории. Индукция
магнитного поля В = 13мТл. Найти радиус R и шаг h винтовой
траектории.
11.74. Электрон влетает в плоский горизонтальный конденса-
тор параллельно его пластинам со скоростью v — 107 м/с. Длина
конденсатора Z = 5 см. Напряженность электрического поля кон-
денсатора Е = 10 кВ/м. При вылете из конденсатора электрон
попадает в магнитное поле, перпендикулярное к электрическому
полю. Индукция магнитного поля В = ЮмТл. Найти радиус R
и шаг h винтовой траектории электрона в магнитном поле.
11.75. Электрон, ускоренный разностью потенциалов U — ЗкВ,
влетает в магнитное поле соленоида под углом а = 30° к его
Snj
ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ
149
оси. Число ампер-витков соленоида IN = 5000 А • в. Длина соле-
ноида I = 25см. Найти шаг h винтовой траектории электрона в
магнитном поле.
11.76. Через сечение S = ab медной пластинки толщиной
а = 0,5 мм и высотой 6=10 мм пропускается ток I = 20 А. При по-
мещении пластинки в магнитное поле, перпендикулярное к ребру
1> и направлению тока, возникает поперечная разность потенци-
алов U = 3,1 мкВ. Индукция магнитного поля В = 1Тл. Найти
концентрацию п электронов проводимости в меди и их скорость v
при этих условиях.
11.77. Через сечение S = ab алюминиевой пластинки (а—
толщина и Ь — высота) пропускается ток I — 5 А. Пластинка
помещена в магнитное поле, перпендикулярное к ребру Ь и напра-
влению тока. Найти возникающую при этом поперечную разность
потенциалов U. Индукция магнитного поля В - 0,5 Тл. Толщина
пластинки а = 0,1мм. Концентрацию электронов проводимости
считать равной концентрации атомов.
11.78. * Определить поперечную разность потенциалов, возни-
кающую при протекании тока силой I вдоль проводящей пласти-
ны толщиной а, помещенной перпендикулярно магнитному полю
с индукцией В. Концентрация носителей тока Ti-
ll. 79. Пластинка полупроводника толщиной а = 0,2 мм поме-
щена в магнитное поле, перпендикулярное к пластинке. Удельное
' «противление полупроводника р = 10 мкОм • м. Индукция магнит-
ного поля В = 1Тл. Перпендикулярно к направлению поля вдоль
пластинки пропускается ток I = 0,1 А. При этом возникает попе-
речная разность потенциалов U = 3,25 мВ. Найти подвижность и
носителей тока в полупроводнике,
11.80. В однородном магнитном поле с индукцией В = 0,1 Тл
движется проводник длиной I = 10 см. Скорость движения про-
водника v = 15 м/с и направлена перпендикулярно к магнитному
полю. Найти индуцированную в проводнике э.д.с. 8.
11.81. Катушка диаметром D = 10 см, состоящая из N = 500
витков проволоки, находится в магнитном поле. Найти среднюю
> д. с. индукции £ср, возникающую в этой катушке, если индукция
магнитного поля В увеличивается в течение времени t = 0,1 с от
и до 2Тл.
11.82. Скорость самолета с реактивным двигателем и=950км/ч.
Найти э.д.с. индукции 8, возникающую между концами крыльев,
тли вертикальная составляющая напряженности земного магнит-
ного поля Нв = 39,8 А/м и размах крыльев самолета I — 12,5 м.
11.83. В магнитном поле, индукция которого В = 0,05 Тл, вра-
щается стержень длиной I = 1 м с угловой скоростью ш = 20рад/с.
150
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ
[Гл. III
Ось вращения проходит через конец стержня и параллельна маг-
нитному полю. Найти э. д. с. индукции Е, возникающую на концах
стержня.
11.84. Круговой проволочный виток площадью 5 = 0,01 м2
находится в однородном магнитном поле, индукция которого
В — 1 Тл. Плоскость витка перпендикулярна к направлению маг-
нитного поля. Найти среднюю э.д.с. индукции £ср, возникающую
в витке при выключении поля в течение времени t = 10 мс.
11.85. В однородном магнитном поле, индукция которого В =
= 0,8 Тл, равномерно вращается рамка с угловой скоростью
w = 15рад/с. Площадь рамки S = 150 см2. Ось вращения находит-
ся в плоскости рамки и составляет угол а = 30° с направлением
магнитного поля. Найти максимальную э.д.с. индукции £тах во
вращающейся рамке.
11.86. Горизонтальный стержень длиной Z = 1 м вращается во-
круг вертикальной оси, проходящей через один из его концов.
Ось вращения параллельна магнитному полю, индукция которого
В = 50мкТл. При какой частоте вращения п стержня разность
потенциалов на концах этого стержня U = 1 мВ?
11.87. * Металлический диск радиуса а = 0,25 м вращается, де-
лая п = 1000 об/мин. Найти разность потенциалов U между цен-
тром и краем диска, возникающую:
а) в отсутствие магнитных полей;
б) для магнитного поля, перпендикулярного плоскости диска с
индукцией В = ЮмТл.
11.88. На соленоид длиной Z = 20 см и площадью поперечного
сечения S ~ 30 см2 надет проволочный виток. Обмотка соленоида
имеет W = 320 витков, и по нему идет ток I = 3 А. Какая средняя
э. д. с. оср индуцируется в надетом на соленоид витке, когда ток
в соленоиде выключается в течение времени t = 1 мс?
11.89. Какая средняя э.д.с. £ср индуцируется в витке, если
соленоид, рассмотренный в предыдущей задаче, имеет железный
сердечник?
11.90. На соленоид длиной Z = 144 см и диаметром D = 5 см
надет проволочный виток. Обмотка соленоида имеет N = 2000
витков, и по ней течет ток I — 2 А. Соленоид имеет железный
сердечник. Какая средняя э.д.с. £ср индуцируется в надетом на
соленоиде витке, когда ток в соленоиде выключается в течение
времени t = 2мс?
11.91. Катушка длиной Z = 20 см имеет N = 400 витков. Пло-
щадь поперечного сечения катушки S = 9 см2. Найти индуктив-
ность Li катушки. Какова будет индуктивность L? катушки, если
внутрь катушки введен железный сердечник? Магнитная прони-
цаемость материала сердечника /х = 400.
!i 11] ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ 151
11.92. Обмотка соленоида состоит из N витков медной про-
волоки, поперечное сечение которой 5=1 мм2. Длина соленоида
/ = 25 см; его сопротивление R = 0,2 Ом. Найти индуктивность L
соленоида.
11.93. Катушка длиной I = 20 см и диаметром D = Зсм имеет
N = 400 витков. По катушке идет ток I = 2 А. Найти индуктив-
ность L катушки и магнитный поток Ф, пронизывающий площадь
ее поперечного сечения.
11.94. Сколько витков проволоки диаметром d = 0,6 мм имеет
однослойная обмотка катушки, индуктивность которой L = 1мГн
н диаметр D = 4 см? Витки плотно прилегают друг к другу.
11.95. Катушку с железным сердечником имеет площадь по-
перечного сечения 5 = 20 см2 и число витков N = ’500. Ин-
дуктивность катушки с сердечником L = 0,28 Гн при токе через
। >бмотку I = 5 А. Найти магнитную проницаемость д железного
сердечника.
11.96. Соленоид длиной I = 50 см и площадью поперечного се-
чения 5 = 2 см2 имеет индуктивность L — 0,2мкГн. При каком
гоке I объемная плотность энергии магнитного поля внутри со-
леноида Ио = 1 мДж/м3?
11.97. Сколько витков имеет катушка, индуктивность которой
/, = 1 мГн, если при токе I = 1А магнитный поток сквозь катушку
•I» = 2 мкВб?
11.98. Площадь поперечного сечения соленоида с железным
сердечником 5 = 10см2; длина соленоида I = 1м. Найти магнит-
ную проницаемость д материала сердечника, если магнитный по-
юк, пронизывающий поперечное сечение соленоида, Ф = 1,4мВб.
Какому току I, текущему через соленоид, соответствует этот маг-
нитный поток, если известно, что индуктивность соленоида при
тих условиях L = 0,44 Гн?
11.99. Имеется соленоид с железным сердечником длиной
/ = 50 см, площадью поперечного сечения 5 = 10 см2 и числом вит-
ков N — 1000. Найти индуктивность L этого соленоида, если по
। >бмотке соленоида течет ток: а) I = 0,1 А; б) I — 0,2 А; в) I — 2 А.
11.100. Две катушки намотаны на один общий сердечник. Ин-
дуктивность первой катушки L\ — 0,2 Гн, второй—1<2 = 0,8 Гн;
сопротивление второй катушки R% = 600 Ом. Какой ток h поте-
чет во второй катушке, если ток Ii = 0,3 А, текущий в первой
катушке, выключить в течение времени £=-1мс?
11.101. В магнитном поле, индукция которого В = 0,05 Тл, по-
мещена квадратная рамка из медной проволоки. Площадь попе-
речного сечения проволоки s — 1мм2, площадь рамки 5 = 25 см2.
Нормаль к плоскости рамки параллельна магнитному полю. Ка-
кое количество электричества q пройдет по контуру рамки при
исчезновении магнитного поля?
152
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ
[Гл. III
11.102. В магнитном поле, индукция которого В = 0,05 Тл,
помещена катушка, состоящая из N = 200 витков проволоки.
Сопротивление катушки R = 40 Ом; площадь поперечного сечения
S — 12 см2. Катушка помещена так, что ее ось составляет угол
а — 60° с направлением магнитного поля. Какое количество
электричества q пройдет по катушке при исчезновении магнитного
поля?
11.103. Круговой контур радиусом г = 2см помещен в одно-
родное магнитное поле, индукция которого В — 0,2 Тл. Плоскость
контура перпендикулярна к направлению магнитного поля. Со-
противление контура R = 1 Ом. Какое количество электричества q
пройдет через катушку при повороте ее на угол а = 90°?
11.104. Для измерения магнитной проницаемости железа из
него был изготовлен тороид длиной I = 50 см и площадью по-
перечного сечения S = 4 см2. Одна из обмоток тороида имела
Ni = 500 витков и была присоединена к источнику тока, другая
имела Л?2 — 1000 витков и была присоединена к гальванометру.
Переключая направление тока в первичной обмотке на обратное,
мы вызываем во вторичной обмотке индукционный ток. Найти
магнитную проницаемость д железа, если известно, что при пе-
реключении в первичной обмотке направления тока I = 1А через
гальванометр прошло количество электричества q — 0,06 Кл. Со-
противление вторичной обмотки R = 20 Ом.
11.105. Электрическая лампочка, сопротивление которой в го-
рячем состоянии R = 10 Ом, подключается через дроссель к 12-
вольтовому аккумулятору. Индуктивность дросселя Ь = 2Гн, со-
противление г = 10м. Через какое время t после включения
лампочка загорится, если она начинает заметно светиться при
напряжении на ней U = 6 В?
11.106. Имеется катушка длиной / = 20см и диаметром £> = 2см.
Обмотка катушки состоит из N = 200 витков медной проволоки,
площадь поперечного сечения которой s = 1мм2. Катушка вклю-
чена в цепь с некоторой э. д. с. При помощи переключателя э. д. с.
выключается, и катушка замыкается накоротко. Через какое вре-
мя t после выключения э.д.с. ток в цепи уменьшится в 2 раза?
11.107. Катушка имеет индуктивность Ь = 0,2Гн и сопротив-
ление R = 1,640м. Во сколько раз уменьшится ток в катушке
через время t = 0,05с после того, как э.д.с. выключена и катушка
замкнута накоротко?
11.108. Катушка имеет индуктивность L — 0,144 Гн и сопро-
тивление R = 10 Ом. Через какое время t после включения в
катушке потечет ток, равный половине установившегося?
11.109. Контур имеет сопротивление R = 2Ом и индуктивность
L = 0,2 Гн. Построить график зависимости тока I в контуре от
времени t, прошедшего с момента включения в цепь э.д.с., для
ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ
153
интервала 0 t 0,5 с через каждую 0,1с. По оси ординат
। • гкладывать отношение нарастающего тока I к конечному току Iq.
11.110. Квадратная рамка из медной проволоки сечением
.ч = 1мм2 помещена в магнитное поле, индукция которого ме-
няется по закону В = Во sinwt, где Bq = 0,01 Тл, = 2тг/Т и
Г = 0,02 с. Площадь рамкй S = 25 см2. Плоскость рамки перпен-
дикулярна к направлению магнитного поля. Найти зависимость
от времени t и наибольшее значение: а) магнитного потока Ф,
пронизывающего рамку; б) э.д.с. индукции £, возникающей в
рамке; в) тока I, текущего по рамке.
11.111. Через катушку, индуктивность которой L — 20 мГн,
течет ток, изменяющийся со временем по закону I — Io sin wt, где
/о = 5 А, ы = 2тг/Т и Т — 0,02 с. Найти зависимость от времени t:
а) э.д.с. самоиндукции £, возникающей в катушке; б) энергии W
магнитного поля катушки.
11.112. Две катушки имеют взаимную индуктивность Z12 =
5 мГн. В первой катушке ток изменяется по закону I — Iq sin wt,
। де Iq = 10 А, = 2тг/Т и T — 0,02 с. Найти зависимость от вре-
мени t э.д.с. £?, индуцируемой во второй катушке, и наибольшее
|падение f2max этой э.д.с.
11.113. * Катушка с индуктивностью L = 2мкГн и сопротив-
лением До = Юм подключена к источнику постоянного тока с
> д. с. £ = 3,0 В. Параллельно катушке включено сопротивление
/? = 2Ом. После того как ток в катушке достигает установив-
шегося значения, источник тока отключается. Найти количество
юпла Q, выделившегося после разрыва цепи. Сопротивлением
источника тока и соединительных проводов пренебречь.
11.114. * Когда в короткозамкнутый сверхпроводящий длинный
юленоид с током вставили сверхпроводящей стержень, ток в со-
леноиде увеличился в 3 раза. Определить, во сколько раз сечение
соленоида больше сечения стержня.
11.115. * Длинный короткозамкнутый сверхпроводящий солено-
ид вдвигают в магнитное поле индукции Bq под углом а к на-
правлению поля. Как распределится индукция магнитного поля
и соленоиде, если он лишь наполовину войдет во внешнее поле?
11.116. * Сверхпроводящее кольцо индуктивности L, в котором
к’чет ток /, вносят в однородное магнитное поле индукции Bq.
Найти ток, который будет протекать по кольцу. Нормаль к плос-
кости кольца составляет с направлением поля угол а, радиус
кольца R.
11.117. * Какой минимальной скоростью должен обладать
сверхпроводящий тонкий стержень сечения S, длины L и мас-
сы т, чтобы влететь в продольное магнитное поле индукции В?
J,
[Гл. Щ
154
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ
11.118. * Если длинный идеально проводящий тонкостенный
цилиндр раскрутить вокруг своей оси, то внутри цилиндра возни-
кает магнитное поле. Найти его индукцию, если угловая скорость
цилиндра ш.
11.119. * Вдоль однородного магнитного поля с индукцией В
из одной точки со скоростью v вылетают электроны, имея малый
угловой разброс 6а. Определить расстояние от места вылета, ня
котором пучок будет иметь минимальный поперечный размер и
оценить его.
11.120. * Две пластины из магнетиков с проницаемостями /zj,
и Д2 сложены вместе и помещены в перпендикулярное к ним
однородное поле с индукцией Во. Чему равны поток Фд вектора
В и поток Фя вектора Н через воображаемую цилиндрическую
поверхность с образующими, параллельными Во, и основаниями
площади S, перпендикулярными к Во7
11.121. * В однородное магнитное поле с индукцией Во помещен
шар из однородного и изотропного магнетика с проницаемостью д,
а) Определить напряженность Н и индукцию В поля в магне-
тике. Размагничивающий фактор считать известным.
б) Написать приближенное выражение для В в случае, если
М » 1.
11.122. * Имеется круговой проводящий контур радиуса а с>
сопротивлением R. Первоначально ток в нем отсутствует. Затем
включается перпендикулярное к плоскости контура однородное
магнитное поле с индукцией В.
а) В каком направлении будет течь возникший в контуре ток?
б) Какой заряд q протечет по контуру?
11.123. * Почему наличие очень высокого напряжения во вто-
ричной обмотке повышающего трансформатора не приводит к
большим потерям энергии на выделение тепла в самой обмотке?'
11.124. * Для определения мощности, выделяемой переменным1
током в катушке с индуктивностью L и сопротивлением Я/,,
иногда применяют метод трех вольтметров, заключающийся в
следующем. Последовательно с катушкой включают известное со-
противление R. Измерив эффективные напряжения: — на как
тушке, U2 — на сопротивлении R и U — между клеммами катушки
и сопротивления, определяют искомую мощность W. Какова она?
11.125. * Поверх длинного соленоида вплотную намотана ка-
тушка. Ток в соленоиде нарастает прямо пропорционально вре-,
мени. Каков характер зависимости тока в катушке от времени?,
11.126. * Может ли сериесный двигатель постоянного тока(,
включенный в сеть с напряжением U = 120 В, развить мощности'
Р = 200 Вт, если сопротивление его обмоток R = 20 Ом? ।
ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ
155
11.127. * Определить к.п.д. сериесного и шунтового двигателей
при условии, что развиваемая ими мощность максимальна. На-
пряжение на зажимах равно U; сопротивление обмоток ротора
/?! и статора R2 одинаковое у обоих двигателей.
11.128. * Шунтовый двигатель постоянного тока при напряже-
нии на зажимах U = 120 В развивает механическую мощность
Р = 160 Вт. Частота вращения якоря двигателя п = 10 с-1. Опре-
делить максимальную возможную частоту вращения при данном
напряжении. Сопротивление якоря Я = 20Ом.
11.129. * Как изменится частота шунтового двигателя при уве-
личении силы тока в обмотках статора, если напряжение на якоре
равно U и приложенный к оси якоря механический момент М
। к таются постоянными?
11.130. * Электромотор питается от батареи с э.д.с. £ = 12В.
Какую механическую работу W совершает мотор за 1с при про-
। еканни по его обмотке тока I = 2 А, если при полном заторма-
живании якоря по цепи течет ток То = ЗА?
11.131. * Чему равен к.п.д. электромотора, если при включе-
нии его в сеть постоянного тока пусковой ток То = 15 А, а в
установившемся режиме ток снижается до I = 9 А?
Глава IV
КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
§ 12. Гармоническое колебательное движение и волны
Уравнение гармонического колебательного движения имеет вид
х = A sin t + = A sin (27Г14 4- = A sin (wt 4- <р),
где х— смещение точки от положения равновесия, разное для разных момен-
тов времени, А — амплитуда, Т — период, <р — начальная фаза, v [Гц] = 1/Т —
частота колебаний, oi[c-1] = 2тг/Т — круговая частота.
Скорость и ускорение точки, совершающей колебания, определяются соот-
ношениями
v = = v A cos ( t 4- ч> ) ,
at 1 у 1 J
„ _ dv __ d2x j _ 4тг2 . . / 2тг , ,
a~dt - d^d - -уг Л s,n ‘ + ‘J •
Сила, под действием которой точка массой m совершает гармоническое ко-
лебание,
_ 4тг2т j ( 2т, . \ _ 4тг2т _ _ .
г = та =------— A sin I г 4- I -----о— х — —кх.
Т2 \Т J Т2
где к = 4тг2т/7’2, т. е. Т = 2тг у/m/k. Здесь Т — период колебаний точки, совер-
шающей колебания под действием силы F = — кх, где к — жесткость, численно
равная силе, вызывающей смещение, равное единице.
Кинетическая и потенциальная энергии колеблющейся точки имеют вид
A2 cos2 t +,
iVn = ^ = &A2 Sin2(^t + ^.
Полная энергия
И/= 2^>Д2.
Т2
Примером гармонических колебательных движений могут служить малые
колебания маятника. Период колебаний математического маятника
Т = 2тг /777,
где I — длина маятника, д—ускорение свободного падения.
•i 12]
ГАРМОНИЧЕСКОЕ КОЛЕБАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ И ВОЛНЫ
157
Период малых колебаний физического маятника
Т = 2тг./—=4- ,
у mag
<де J — момент энерцин маятника относительно его оси вращения, m — масса
маятника, d—расстояние от центра масс до оси вращения, д—ускорение сво-
бодного падения.
При сложении двух одинаково направленных гармонических колебаний оди-
накового периода получается гармоническое колебание того же периода с ам-
। г литудой
А = у/ Al+А% + 2AiA2 cos (<p2 - Vi)
и с начальной фазой, определяемой нз уравнении
t Ai sin <pi + A2 sin yz
SV Al COS Ipl + A2 COS '
। те Ai и A2 —амплитуды слагаемых колебаний, <pi и <p2— их начальные фазы.
При сложении двух взаимно перпендикулярных колебаний одинакового пе-
риода уравнение траектории результирующего движения имеет вид
+ " ОТ CO8(V2 " V1) = ““2 “ *’1)‘
Если на материальную точку массой т, кроме упругой силы F = —kx, дей-
> гвует еще сила трения FTp = —rv, где г — коэффициент треиия и v—скорость
колеблющейся точки, то колебания точки будут затухающими. Уравнение за-
< ухающего колебательного движения имеет вид
х = Ae~St sin (wt + <р),
। де <5 [c-1] — коэффициент затухания. При этом 5 = r/2m и ы = — <52 , где
• л—круговая частота собственных колебаний. Величина X = <5Т называется
тогарифмическнм декрементом затухания.
Если на материальную точку массой тп, колебание которой дано в виде
Xi = Ae~st sin wot,
п йствует внешняя периодическая сила F = Fq sinwt, то колебания точки будут
понужденными и уравнение ее движения примет вид
х2 = A sin (wt + ip),
। не
Fo
m у/(u>q — w2)2 + 4<52w2
tg<p =
2<Уш
12-W2
Резонанс наступает тогда, когда частота вынужденных колебаний и> связана
частотой собственных колебаний ыо и с коэффициентом затухания S соотно-
..иием
ш = — 2S2 .
158
КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
[Гл. IVJ
При распространении незатухающих колебаний со скоростью с вдоль неко-
торого направления, называемого лучом, смещение любой точки, лежащей на
луче и отстоящей от источника колебаний на расстоянии I, дается уравнением
х = A sin ,
I
где А — амплитуда колеблющихся точек, А — длина волны. При этом А = сТ.
Две точки, лежащие на луче на расстояниях Zi и I2 от источника колебаний, '
имеют разность фаз
9 I2 — li '
<Р1 - Ч>2 = 2тг - .
При интерференции волн максимум и минимум амплитуды получаются со-
ответственно при условиях
12 - /1 = 2п % (п — 0, 1, 2, ...),
* I
l2-h =(2n + l)^ (n = 0, 1, 2, ...)
।
Здесь l2 — li —разность хода лучей.
12.1. Написать уравнение гармонического колебательного дви- 1
жения с амплитудой А = 50 мм, периодом Т = 4 с и начальной1
фазой ip = тг/4. Найти смещение х колеблющейся точки от поло-
жения равновесия при t — О и £ = 1,5 с. Начертить график этого ;
движения.
12.2. Написать уравнение гармонического колебательного дви- ,
жения с амплитудой А = 5 см и периодом Т = 8 с, если начальная
фаза tp колебаний равна: а) 0; б) тг/2; в) тг; г) Зтг/2; д) 2тг. На-
чертить график этого движения во всех случаях.
12.3. Начертить на одном графике два гармонических колеба- 1
ния с одинаковыми амплитудами Aj = А2 = 2 см и одинаковыми .
периодами Ti = Т2 = 8с, но имеющими разность фаз <р? — р\, ,
равную: а) тг/4; б) тг/2; в) тг; г) 2тг.
12.4. * Определить начальную фазу колебаний тела, если че-1
рез 0,25 с от начала движения смещение было равно половинеJ
амплитуды. Период колебаний 6 с. I
12.5. Начальная фаза гармонического колебания р — 0. Через!
какую долю периода скорость точки будет равна половине ее i
максимальной скорости? Н
12.6. Амплитуда гармонического колебания А — 5см, период'
Т — 4с. Найти максимальную скорость «та.х колеблющейся точки,
и ее максимальное ускорение атах.
12.7. * Колебания материальной точки совершаются по закону
х = 0,03 sin тг (£ + 0,5). Амплитуда и период колебаний заданы в1
системе СИ. Определить наибольшие значения скорости и ускоренj
ния. Чему равна фаза колебаний спустя 5 с от начала движения? 1
I| 12) ГАРМОНИЧЕСКОЕ КОЛЕБАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ И ВОЛНЫ 159
12.8. Дано уравнение движения точки х = 2 sin 14- j J см.
Найти период колебаний Т, максимальную скорость vmax и мак-
симальное ускорение атах точки.
12.9. * Смещение гармонического осциллятора в зависимости от
времени дается выражением х — 2,4cos 4- где х измерена
в метрах, a t—в секундах. Найти: а) период и частоту колеба-
ний; б) смещение и скорость в момент времени t = 0; в) скорость
и ускорение в момент времени t = 10 с.
12.10. * Скорость материальной точки, совершающей гармони-
ческие колебания, задается уравнением и (£) = — 6зт2тг£. Записать
швисимость смещения этой точки от времени.
12.11. * Две частицы А и В совершают гармонические колеба-
ния с одинаковой амплитудой (10 см) по одной и той же прямой.
Частоты их движений составляют и>д = 20 с-1; шд = 21с-1 соот-
ветственно. В момент времени t = 0 обе частицы проходят точку
I = 0 в положительном направлении, а) На каком расстоянии они
будут находиться друг от друга в момент t = 0,350 с? б) Какова
скорость частицы В относительно А в этот момент времени?
12.12. Точка совершает гармоническое колебание. Период ко-
лебаний Т = 2 с, амплитуда А = 50 мм, начальная фаза у> = 0.
11айти скорость v точки в момент времени, когда смещение точки
< >т положения равновесия х = 25 мм.
12.13. Написать уравнение гармонического колебательного дви-
жения, если максимальное ускорение точки атах = 49,3 см/с2,
период колебаний Т — 2 с и смещение точки от положения рав-
новесия в начальный момент времени хо — 25 мм.
12.14. * Частица движется с постоянной скоростью 24 м/с по
окружности с центром в начале координат. В момент времени
I = 0 частица находится в точке х — 3,0 м; у = 4,2 м. Чему равна
частота вращения? Чему равна начальная фаза <^о? Каким выра-
жением описывается траектория этой частицы в плоскости х, у?
12.15. Уравнение колебания материальной точки массой тп —
16 г имеет вид х — 0,1 sin t + j) м. Построить график за-
висимости от времени t (в пределах одного периода) силы F,
действующей на точку. Найти максимальную силу Fmax.
12.16. Уравнение колебаний материальной точки массой m =
10 г имеет вид х = 5 sin 14- см. Найти максимальную силу
^'шах, действующую на точку, и полную энергию W колеблющейся
। очки.
12.17. Уравнение колебания материальной точки массой тп —
16г имеет вид х = 2 sin t 4- см. Построить график зави-
и мости от времени t (в пределах одного периода) кинетической
И к, потенциальной W„ и полной W энергий точки.
160
КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
[Гл. IV
12.18. Найти отношение кинетической энергии 1¥к точки, со-
вершающей гармоническое колебание, к ее потенциальной энергии
W„ для моментов времени: a) t = Т/12; б) t = Т/8; в) t = Т/6.
Начальная фаза колебаний р = 0.
12.19. Найти отношение кинетической энергии WK точки, со-'
вершающей гармоническое колебание, к ее потенциальной энергии
для моментов, когда смещение точки от положения равновесия
составляет: а) х — A/к, б) х = А/2; в) х — А, где А — амплитуда
колебаний.
12.20. Полная энергия тела, совершающего гармоническое ко-
лебательное движение, W = 30 мкДж; максимальная сила, дей-
ствующая на тело, Fmax — 1,5 мН. Написать уравнение движения
этого тела, если период колебаний Т — 2 с и начальная фаза
Р = 7Г/3.
12.21. Амплитуда гармонических колебаний материальной точ-
ки А = 2 см, полная энергия колебания W = 0,3 мкДж. При каком
смещении х от положения равновесия на колеблющуюся точку
действует сила F = 22,5 мкН?
12.22. Шарик, подвешенный на нити длиной I = 2м, отклоня-
ют на угол а = 4° и наблюдают его колебания. Полагая колеба-
ния незатухающими гармоническими, найти скорость шарика при
прохождении им положения равновесия. Проверить полученное
решение, найдя скорость шарика при прохождении им положения
равновесия из уравнений механики.
12.23. К пружине подвешен груз массой m = 10 кг. Зная, что
пружина под влиянием силы F = 9,8 Н растягивается на I = 1,5 см,
найти период Т вертикальных колебаний груза.
12.24. К пружине подвешен груз. Максимальная кинетическая
энергия колебаний груза WK max = 1Дж. Амплитуда колебаний
А = 5 см. Найти жесткость к пружины.
12.25. Как изменится период вертикальных колебаний груза,
висящего на двух одинаковых пружинах, если от последовательно-
го соединения пружин перейти к параллельному их соединению?
12.26. * Если увеличить массу груза, подвешенного к спираль-
ной пружине, на 600 г, то период колебаний возрастает в 2 раза.
Определить массу первоначально подвешенного груза.
12.27. К пружине подвешена чашка весов с гирями. При этом
период вертикальных колебаний Т\ = 0,5 с. После того как на
чашку весов положили еще добавочные гири, период вертикаль-
ных колебаний стал равным Т% = 0,6 с. На сколько удлинилась
пружина от прибавления этого добавочного груза?
12.28. К резиновому шнуру длиной I = 40 см и радиусом
г = 1 мм подвешена гиря массой m = 0,5 кг. Зная, что модуль
Юнга резины Е = ЗМН/м2, найти период Т вертикальных коле-
баний гири. Указание. Учесть, что жесткость А: резины связана с модулем
Юнга Е соотношением k = SE/1, где S—площадь поперечного сечения резины,
I — ее длина.
§12]
ГАРМОНИЧЕСКОЕ КОЛЕБАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ И ВОЛНЫ
161
12.29. * Груз массой т осторожно прикрепляют к концу сво-
бодно висящей пружины. Когда груз освобождают, он опускается
на 30 см, а затем начинает колебаться. Чему равна частота ко-
лебаний?
12.30. Ареометр массой т — 0,2 кг плавает в жидкости. Если
погрузить его немного в жидкость и отпустить, то он начнет
совершать колебания с периодом Т — 3,4 с. Считая колебания не-
затухающими, найти плотность жидкости р, в которой плавает
ареометр. Диаметр вертикальной цилиндрической трубки ареоме-
тра d = 1 см.
12.31. * Математический маятник отклонили на 90° от вер-
тикали и отпустили. В тот момент, когда маятник проходил
положение равновесия, точка его подвеса стала двигаться вверх с
ускорением а. На какой максимальный угол отклонится маятник
от вертикали?
12.32. * Горизонтальная подставка совершает в вертикальном
направлении гармонические колебания у = a coswt. На платформе
лежит шайба из абсолютно неупругого материала.
а) При каком условии шайба будет отделяться от подставки?
б) В каком положении находится и в каком направлении дви-
жется подставка в момент отрыва от нее шайбы?
в) На какую высоту h будет подниматься шайба над ее поло-
жением, отвечающим среднему положению подставки, в случае,
если а = 20 см, ш — 10 с-1?
12.33. * Бревно массы М = 20 кг висит на двух шнурах длины
I = 1 м каждый. В торец бревна попадает и застревает в нем
пуля массы тп = Юг, летящая со скоростью v = 500м/с. Найти
амплитуду tpm и период Т колебаний бревна. Трением пренебречь.
12.34. * Через блок массы М = 5 кг и радиуса R = 10 см, ко-
торый является сплошным однородным цилиндром, на шнуре
подвешен груз массы тп = 1кг. Другой конец шнура скреплен
через пружину жесткости & = 103Н/м с опорой. Цилиндр может
вращаться вокруг оси без трения. Пренебрегая проскальзывани-
ем шнура по блоку, найти: а) частоту ш малых колебаний груза;
б) максимальную силу натяжения шнура слева Flm и справа Fam
от блока в случае, когда амплитуда колебаний а = 5 см.
12.35. * Два шара с массами тщ и тпэ скользят вдоль тонкого
горизонтального стержня. Шары скреплены невесомой пружиной,
коэффициент жесткости которой равен k. Раздвинув шары, их
затем отпускают. Определить:
а) смещение центра масс системы;
б) частоту uj возникших колебаний;
в) максимальное значение относительной скорости шаров, если
начальное относительное смещение шаров равно а.
12.36. * В условии предыдущей задачи первоначально шары
неподвижны. Затем шару массы mi сообщили импульс pi = ttiiVq.
162
КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
[Гл. IV
Определить: а) скорость vc центра масс системы; б) энергию
£?пост поступательного и Екол колебательного движения системы;
в) частоту ш и амплитуду хт колебаний.
12.37. * К наклонной стене подвешен маятник длины I. Маят-
ник отклонили от вертикали на малый угол, в два раза превы-
шающий угол наклона стены к вертикали, и отпустили. Найти
период колебаний маятника, если удары о стену абсолютно упру-
гие.
12.38. * Тело массы т, подвешенное на пружине,жесткости к,
лежит на подставке. Подставку мгновенно убирают. Написать
уравнения колебаний тела y(t), если первоначально пружина:
а) не деформирована; б) сжата на AZ.
12.39. * Точка подвеса двойного маятника совершает гармони-
ческие колебания в горизонтальном направлении. Длина нижней
нити равна I, масса нижнего шарика равна т, верхнего — М.
Какова должна быть частота колебаний точки подвеса, чтобы
верхняя часть нити оставалась вертикальной?
12.40. * У двойного маятника точка подвеса неподвижна. Ма-
ятник совершает гармонические колебания. Какова их частота?
Массы шариков равны т, длина нижней нити I.
12.41. * Однородный круглый диск радиусом R подвешен за
край. Чему равна частота его малых колебаний относительно
точки подвеса?
12.42. * Физический маятник представляет собой тонкий одно-
родный стержень длиной 35 см. Определить, на каком расстоянии
от центра масс должна быть точка подвеса, чтобы частота коле-
баний была максимальной.
12.43. Написать уравнение движения, получающегося в резуль-
тате сложения двух одинаково направленных гармонических коле-
бательных движений с одинаковым периодом Т = 8 с и одинаковой
амплитудой А = 0,02 м. Разность фаз между этими колебаниями
</92 — = тг/4. Начальная фаза одного из этих колебаний равна
нулю.
12.44. Найти амплитуду А и начальную фазу </9 гармониче-
ского колебания, полученного от сложения одинаково направлен-
ных колебаний, данных уравнениями Ti = 0,02 sin (5тг! + тг/2) м и
Х2 ~ 0,03 sin (5тг£ + тг/4) м.
12.45. В результате сложения двух одинаково направленных
гармонических колебаний с одинаковыми амплитудами и одина-
ковыми периодами получается результирующее колебание с тем
же периодом и той же амплитудой. Найти разность фаз <рг —
складываемых колебаний.
12.46. Найти амплитуду А и начальную фазу <р гармониче-
ского колебания, полученного от сложения одинаково напра-
вленных колебаний, данных уравнениями a;i — 4зттг£см и
Х2 = 3 sin (irt + тг/2) см. Написать уравнение результирующего ко-
лебания. Дать векторную диаграмму сложения амплитуд.
§12]
ГАРМОНИЧЕСКОЕ КОЛЕБАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ И ВОЛНЫ
163
12.47. Уравнение колебаний имеет вид х = A sin27ri/it, где ам-
плитуда А изменяется со временем по закону А = Ад (l+cos27ti^t).
Из каких гармонических колебаний состоит колебание? Построить
график слагаемых и результирующего колебаний для Ад = 4 см,
//1=2 Гц, i/2 = l Гц. Начертить спектр результирующего колеба-
ния.
12.48. Написать уравнение результирующего колебания, полу-
чающегося в результате сложения двух взаимно перпендикуляр-
ных колебаний с одинаковой частотой i/i = vi = 5 Гц и с оди-
наковой начальной фазой = </з2 = тг/З. Амплитуды колебаний
равны Ai — 0,10 м и А2 = 0,05м.
12.49. Точка участвует в двух колебаниях одинакового периода
с одинаковыми начальными фазами. Амплитуды колебаний рав-
ны Ai =3см и А2 =4см. Найти амплитуду А результирующего
колебания, если колебания совершаются: а) в одном направлении;
б) в двух взаимно перпендикулярных направлениях.
12.50. Точка участвует в двух взаимно перпендикулярных ко-
лебаниях х — 2 sinwt м и у = 2 coswt м. Найти траекторию ре-
зультирующего движения точки.
12.51. Точка участвует в двух взаимно перпендикулярных ко-
лебаниях х = cos irt и у = cos t. Найти траекторию результирую-
щего движения точки.
12.52. Точка участвует в двух взаимно перпендикулярных ко-
лебаниях х — sin?rt и у = 2 sin (тг£ 4-тг/2). Найти траекторию
результирующего движения точки и начертить ее с нанесением
масштаба.
12.53. * Точка подвеса математического маятника, период соб-
ственных колебаний которого равен Т — 1 с, совершает синусои-
дальные колебания с амплитудой Ап = 1см и периодом Тп = 1,1с.
Какова амплитуда А установившихся колебаний маятника?
12.54. Период затухающих колебаний Т = 4 с; логарифмиче-
ский декремент затухания х = 1,6; начальная фаза <р = 0. При
t = Т/А смещение точки х = 4,5 см. Написать уравнение движения
этого колебания. Построить график этого колебания в пределах
двух периодов.
12.55. Построить график затухающего колебания, данного
уравнением х = e~0,lt sin t м.
12.56. Уравнение затухающих колебаний дано в виде х =
= 5e-0,25t sin м. Найти скорость v колеблющейся точки в мо-
менты времени t, равные: 0, Т, 2Т, ЗТ и 4Т.
12.57. Логарифмический декремент затухания математическо-
го маятника х = 0,2. Во сколько раз уменьшится амплитуда
колебаний за одно полное колебание маятника?
12.58. * При наблюдении затухающих колебаний оказалось, что
для двух последовательных колебаний амплитуда второго мень-
164
КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
[Гл. IV
ше амплитуды первого на 60%. Период колебаний Т — 0,5 с.
Определить коэффициент затухания и собственную частоту неза-
тухающих колебаний.
12.59. Математический маятник длиной I = 24,7см совершает
затухающие колебания. Через какое время t энергия колебаний
маятника уменьшится в 9,4 раза? Задачу решить при значении
логарифмического декремента затухания: а) х=0,01; б) х = 1.
12.60. Математический маятник совершает затухающие коле-
бания с логарифмическим декрементом затухания х — 0,2. Во
сколько раз уменьшится полное ускорение маятника в его край-
нем положении за одно колебание?
12.61. Амплитуда затухающих колебаний математического ма-
ятника за время t = 1 мин уменьшилась вдвое. Во сколько раз
уменьшится амплитуда за время t = 3 мин?
12.62. * Начальная амплитуда затухающих колебаний маятника
Ао = 3 см. Через Ai = 10 с амплитуда стала Ai = 1 см. Через какое
время амплитуда станет равной Аг = 0,3 см?
12.63. К вертикально висящей пружине подвешивают груз.
При этом пружина удлиняется на А/ — 9,8 см. Оттягивая этот
груз вниз и отпуская его, заставляют груз совершать коле-
бания. Каким должен быть коэффициент затухания <5, чтобы:
а) колебания прекратились через время t = 10 с (считать условно,
что колебания прекратились, если их амплитуда упала до 1 %
от начальной); б) груз возвращался в положение равновесия апе-
риодически; в) логарифмический декремент затухания колебаний
был равным х = 6?
12.64. Тело массой m = Юг совершает затухающие колеба-
ния с максимальной амплитудой Атах = 7 см, начальной фазой
ср = 0 и коэффициентом затухания 6 — 1,6с-1. На это тело на-
чала действовать внешняя периодическая сила F, под действием
которой установились вынужденные колебания. Уравнение выну-
жденных колебаний имеет вид х = 5 sin (10тг£ — Зтг/4) см. Найти (с
числовыми коэффициентами) уравнение собственных колебаний и
уравнение внешней периодической силы.
12.65. Гиря массой т — 0,2кг, висящая на вертикальной пру-
жине, совершает затухающие колебания с коэффициентом зату-
хания 6 = 0,75 с-1. Жесткость пружины к = 0,5 кН/м. Начер-
тить зависимость амплитуды А вынужденных колебаний гирьки
от частоты ш внешней периодической силы, если известно, что
максимальное значение внешней силы Fo = 0,98 Н. Для построе-
ния графика найти значение А для частот: w = 0, ш = 0,5 wq,
w = 0,75ojoi и = wq, w = 1,5wo и w = 2wo, где wq— частота
собственных колебаний подвешенной гири.
12.66. По грунтовой дороге прошел трактор, оставив следы
в виде ряда углублений, находящихся на расстоянии I = 30 см
друг от друга. По этой дороге покатили детскую коляску, имею-
щую две одинаковые рессоры, каждая из которых прогибается
§12]
ГАРМОНИЧЕСКОЕ КОЛЕБАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ И ВОЛНЫ
165
на хо = 2 см под действием груза массой то = 1кг. С какой
скоростью v катили коляску, если от толчков на углублениях
она, попав в резонанс, начала сильно раскачиваться? Масса
коляски М = 10 кг.
12.67. Найти длину волны А колебания, период которого
Т = 10-14 с. Скорость распространения колебаний с = 3 • 108 м/с.
12.68. Звуковые колебания, имеющие частоту v = 500 Гц и ам-
плитуду А = 0,25 мм, распространяются в воздухе. Длина волны
А = 70 см. Найти скорость с распространения колебаний и мак-
симальную скорость vmax частиц воздуха.
12.69. Уравнение незатухающих колебаний имеет вид х —
= sin t см. Найти уравнение волны, если скорость распростра-
нения колебаний с = 300 м/с. Написать и изобразить графиче-
ски уравнение колебания для точки, отстоящей на расстоянии
I = 600 м от источника колебаний. Написать и изобразить графи-
чески уравнение колебания для точек волны в момент времени
t = 4 с после начала колебаний.
12.70. Уравнение незатухающих колебаний имеет вид х =
= зт2,5тг£ см. Найти смещение х от положения равновесия, ско-
рость v и ускорение а точки, находящейся на расстоянии I = 20 м
от источника колебаний, для момента времени t = 1 с после нача-
ла колебаний. Скорость распространения колебаний с = 100 м/с.
12.71. Найти разность фаз Д<р колебаний двух точек, от-
стоящих от источника колебаний на расстояниях Zj = 10 м и
1-2 = 16 м. Период колебаний Т = 0,04 с; скорость распространения
с = 300 м/с.
12.72. Найти разность фаз Ду> колебаний двух точек, лежащих
на луче и отстоящих на расстоянии I = 2 м друг от друга, если
длина волны А = 1 м.
12.73. Найти смещение х от положения равновесия точки, от-
стоящей от источника колебаний на расстоянии I = А/12, для
момента времени t — Т/6. Амплитуда колебаний А = 0,05 м.
12.74. Смещение от положения равновесия точки, отстоящей от
источника колебаний на расстоянии I = 4 см, в момент времени
t = Т/6 равно половине амплитуды. Найти длину А бегущей
волны.
12.75. Найти положение узлов и пучностей и начертить график
стоячей волны, если: а) отражение происходит от менее плотной
среды; б) отражение происходит от более плотной среды. Длина
бегущей волны А = 12 см.
12.76. * Определить длину волны А, если числовое значение
волнового вектора к = 0,0314 см.
12.77. Однородный стержень длиной I = 0,5 м совершает малые
колебания в вертикальной плоскости около горизонтальной оси,
проходящей через его верхний конец. Найти период колебаний Т
стержня.
166
КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
[Гл. IV
12.78. Найти период колебаний Т стержня предыдущей зада-
чи, если ось вращения проходит через точку, находящуюся на
расстоянии d = 10 см от его верхнего конца.
12.79. На концах вертикального стержня укреплены два груза.
Центр масс грузов находится ниже середины стержня на рассто-
янии d = 5 см. Найти длину I стержня, если известно, что период
малых колебаний стержня с грузами вокруг горизонтальной оси,
проходящей через его середину, Т — 2 с. Массой стержня прене-
бречь по сравнению с массой грузов.
12.80. Обруч диаметром D = 56,5 см висит на гвозде, вбитом в
стену, и совершает малые колебания в плоскости, параллельной
стене. Найти период колебаний Т обруча.
12.81. Какой наименьшей длины I надо взять нить, к которой
подвешен однородный шарик диаметром D = 4 см, чтобы при
определении периода малых колебаний Т шарика рассматривать
его как математический маятник? Ошибка 5 при таком допущении
не должна превышать 1 %.
12.82. Однородный шарик подвешен на нити, длина которой I
равна радиусу шарика R. Во сколько раз период малых коле-
баний Ti этого маятника больше периода малых колебаний
математического маятника с тем же расстоянием от центра масс
до точки подвеса?
§ 13. Акустика
Скорость распространения акустических колебаний в упругой среде опреде-
ляется формулой ____
с = У Е/р,
где Е — модуль Юнга среды, р— плотность среды.
В газах скорость распространения
с = \/ xRT/ р,
где р— молярная масса, Т — термодинамическая температура газа, R— газовая
постоянная, X = Ср/Су (Ср—теплоемкость газа при постоянном давлении и
Су—теплоемкость газа при постоянном объеме).
Уровень звукового давления Lp (в децибелах) связан с амплитудой звукового
давления р соотношением
ЬР = 2016£,
где ро — амплитуда звукового давления при нулевом уровне громкости. Уровень
громкости L] (в фонах) связан с интенсивностью звука соотношением
М = ю1б£,
где /о — порог слышимости (нулевой уровень громкости) звука. Условно при-
нимается, что /0 33 Ю-12 Вт/м2 и ро = 2 • 10-5 Па.
§13]
АКУСТИКА
167
По принципу Доплера частота звука, воспринимаемая наблюдателем, опре-
деляется формулой
с —и ’
где и—частота звука, посылаемая источником звука, и—скорость движения
источника звука, v—скорость движения наблюдателя, с—скорость распро-
странения звука. Скорость v > 0, если наблюдатель движется по направлению
к источнику звука; скорость и > 0, если источник звука движется к наблюда-
телю.
Частота основного тона струны определяется формулой
ЛЁГ
2/ у рЗ
где I— длина струны, F—сила ее натяжения, S—площадь ее поперечного се-
чения, р — плотность материала среды.
13.1. Найти длину волны А основного тона ля (частота и =
= 435 Гц). Скорость распространения звука в воздухе с = 340 м/с.
13.2. Человеческое ухо может воспринимать звуки частотой
приблизительно от vi = 20 Гц до = 20 000 Гц. Между какими
длинами волн лежит интервал слышимости звуковых колебаний?
Скорость распространения звука в воздухе с = 340 м/с.
13.3. Найти скорость с распространения звука в стали.
13.4. * Для определения скорости звука в воздухе методом аку-
стического резонанса используется труба с поршнем и звуковой
мембраной, закрывающей один из ее торцов. Расстояние между
соседними положениями поршня, при которых наблюдается ре-
зонанс на частоте и = 2000 Гц составляет L — 17 см. Определить
скорость звука в воздухе.
13.5. Скорость распространения звука в керосине с = 1330 м/с.
Найти сжимаемость /3 керосина (/3 = 1/Е).
13.6. При помощи эхолота измерялась глубина моря. Како-
ва была глубина моря, если промежуток времени между воз-
никновением звука и его приемом оказался равным t — 2,5 с?
Сжимаемость воды /3 = 4,6- Ю~10Па-1, плотность морской воды
р = 1,03 103 кг/м3.
13.7. Найти скорость с распространения звука в воздухе при
температурах t, равных: —20, 0 и 20 °C.
13.8. * Изменение давления в звуковой волне дается выраже-
нием р = 2,2 sin - 1700тп), где р измеряется в паскалях, х—в
метрах, a t в секундах. Определите: 1) длину волны; 2) часто-
ту; 3) скорость распространения; 4) амплитуду смещения волны.
Плотность среды р — 2,7 • 103 кг/м3.
13.9. Зная, что средняя квадратичная скорость молекул двух-
атомного газа в условиях опыта v = 461м/с, найти скорость с
распространения звука в газе.
168
КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
[Гл. IV
13.10. Найти скорость с распространения звука в двухатомном
газе, если известно, что при давлении р = 1,01 • 105 Па плотность
газа р = 1,29кг/м3.
13.11. Зная, что средняя молярная кинетическая энергия по-
ступательного движения молекул азота 1ГКД = 3,4кДж/моль, най-
ти скорость с распространения звука в азоте при этих условиях.
13.12. Для определения температуры верхних слоев атмосфе-
ры нельзя пользоваться термометром, так как вследствие малой
плотности газа термометр не придет в тепловое равновесие с
окружающей средой. Для этой цели пускают ракету с граната-
ми, взрываемыми при достижении определенной высоты. Найти
температуру t на высоте h = 20 км от поверхности Земли, если из-
вестно, что звук от взрыва, произведенного на высоте hi = 21 км,
пришел позже на At = 6,75 с звука от взрыва, произведенного на
высоте /i2 = 19 км.
13.13. Найти показатель преломления п звуковых волн на гра-
нице воздух — стекло. Модуль Юнга для стекла Е = 6,9- 101ОПа,
плотность стекла р = 2,6-103 кг/м3, температура воздуха t = 20°C.
13.14. Найти предельный угол а полного внутреннего отраже-
ния звуковых волн на границе воздух — стекло. Воспользоваться
необходимыми данными из предыдущей задачи.
13.15. * Продольная сейсмическая волна падает на границу раз-
дела между двумя породами под углом в 10°. Относительные
плотности пород 3,6 и 4,9. Определить угол преломления, считая
модули, упругости этих пород одинаковыми.
13.16. Два звука отличаются по уровню звукового давления
на = 1дБ. Найти отношение рг/pi амплитуд их звукового
давления.
13.17. Шум на улице с уровнем громкости Ьц = 70 фон слышен
в комнате так, как шум с уровнем громкости £/2 = 40 фон. Найти
отношение Ii/I-z интенсивностей звуков на улице и в комнате.
13.18. Интенсивность звука увеличилась в 1000 раз. На сколь-
ко увеличился уровень звукового давления? Во сколько раз
увеличилась амплитуда звукового давления?
13.19. Интенсивность звука I = 10мВт/м2. Найти уровень
громкости Ди амплитуду р звукового давления.
13.20. * Вычислить максимальное смещение молекул воздуха
для звука на пороге слышимости. Частота звука 1000 Гц. Опре-
делить максимальное изменение давления в этой волне.
13.21. * Человеческое ухо способно воспринимать разницу уров-
ней громкости 1,0 дБ. Каково отношение амплитуд этих звуков,
уровни громкости которых отличаются на эту величину?
13.22. Найти расстояние I между соседними зубцами звуко-
вой бороздки на граммофонной пластинке для: а) и = 100 Гц;
б) и = 2000 Гц. Среднее расстояние от центра пластинки г = 10 см.
Частота вращения пластинки п = 78мин~1.
§ 13]
АКУСТИКА
169
13.23. При образовании стоячей волны в трубке Кундта в
воздушном столбе наблюдалось п = 6 пучностей. Какова была
длина I2 воздушного столба, если стальной стержень закреплен:
а) посередине; б) в конце? Длина стержня h = 1м. Скорость рас-
пространения звука в стали Ci = 5250 м/с, в воздухе C2 = 343 м/с.
13.24. Какова была длина 1\ стеклянного стержня в трубке
Кундта, если при закреплении его посередине в воздушном стол-
бе наблюдалось п — 5 пучностей? Длина воздушного столба
12 = 0,25 м. Модуль Юнга для стекла Е — 6,9 • 1О10 Па; плот-
ность стекла р — 2,5 • 103 кг/м3. Скорость распространения звука
в воздухе с = 340 м/с.
13.25. Для каких наибольших частот применим метод Кунд-
та определения скорости звука, если считать, что наименьшее
различаемое расстояние между пучностями I « 4 мм? Скорость
распространения звука в воздухе с = 340 м/с.
13.26. Два поезда идут навстречу друг другу со скоростя-
ми vi = 72 км/ч и v2 = 54 км/ч. Первый поезд дает свисток с
частотой и = 600 Гц. Найти частоту и' колебаний звука, кото-
рый слышит пассажир второго поезда: а) перед встречей поез-
дов; б) после встречи поездов. Скорость распространения звука в
воздухе с = 340 м/с.
13.27. Когда поезд проходит мимо неподвижного наблюдателя,
частота тона гудка паровоза меняется скачком. Какой процент
от истинной частоты тона составляет скачок частоты, если поезд
движется со скоростью v = 60 км/ч?
13.28. * Звуковая волна с частотой 5000 Гц испускается в на-
правлении тела, которое приближается к источнику звука со
скоростью 3,3 м/с. Чему равна частота отраженной волны?
13.29. Ружейная пуля летит со скоростью v = 200 м/с. Во
сколько раз изменится частота тона свиста пули для неподвиж-
ного наблюдателя, мимо которого пролетает пуля? Скорость
распространения звука в воздухе с = 333 м/с.
13.30. * Два дельфина движутся навстречу друг другу. Один
из них издает звуковые импульсы с частотой следования и. С
какой частотой 1/1 приходят эти импульсы к другому дельфину,
если скорость дельфинов относительно воды равна и? Скорость
звука в воде с.
13.31. Летучая мышь летит перпендикулярно к стене со скоро-
стью v = 6,0 м/с, издавая ультразвук частотой и = 45 кГц. Какие
две частоты звука и и 1/2 слышит летучая мышь? Скорость
распространения звука в воздухе с = 340 м/с.
13.32. * Подводная лодка, погружаясь вертикально, излучает
короткие звуковые импульсы сигнала гидролокатора длительно-
стью то в направлении дна. Длительность отраженных сигналов,
измеренных гидроакустиком на лодке, равна г. Какова скорость
погружения лодки? Скорость звука в воде v.
170
КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
[Гл. IV
13.33. С какой силой F надо натянуть стальную струну длиной
I = 20 см и диаметром d = 0,2 мм, чтобы она издавала тон ля
(частота и — 435 Гц)?
13.34. Зная предел прочности для стали, найти наибольшую
частоту 1/, на которую можно настроить струну длиной I = 1 м.
13.35. Струна, натянутая с силой F± = 147 Н, дает с камерто-
ном частоту биений i/б = 8 Гц. После того как эту струну натянули
с силой Fz = 156,8 Н, она стала настроена с камертоном в унисон.
Найти частоту 1/2 колебаний камертона.
13.36. Камертон предыдущей задачи дает с другим камертоном
частоту биений Рб = 2 Гц. Найти частоту колебаний 1/ второго
камертона.
13.37. * Однородная веревка длиной L подвешена вертикально.
Определить скорость распространения поперечных колебаний в
зависимости от расстояния до нижнего конца веревки. Сколько
времени идет волновой импульс от нижнего конца до верхнего?
13.38. Найти частоту 1/ основного тона: а) открытой трубы;
б) закрытой трубы.
13.39. Закрытая труба издает основной тон до (частота 1/1 =
= 130,5Гц). Трубу открыли. Какую частоту 1/2 имеет основной
тон теперь? Какова длина I трубы? Скорость распространения
звука в воздухе с= 340 м/с.
§ 14. Электромагнитные колебания и волны
Период Т электромагнитных колебаний в контуре, состоящем из емкости С,
индуктивности L и сопротивления R, определяется формулой
_ _______2тг_____
~ У 1/LC - (Я/2Ь)2 '
Если сопротивление R контура настолько мало, что
(Я/2Ь)2 < 1/LC,
то период колебаний
Т-2-k-FlC
Если сопротивление контура R не равно нулю, то колебания будут затухаю-
щими. При этом разность потенциалов на обкладках конденсатора меняется со
временем по закону
U = Uoe~st coswt,
если время отсчитывать от момента, соответствующего наибольшей разности
потенциалов на обкладках конденсатора. Здесь 5 = R/2L — коэффициент зату-
хания. Величина X = iT называется логарифмическим декрементом затухания.
Если 5 = 0, то колебания будут незатухающими, и тогда можно записать
U = Uo coswt.
§14]
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
171
Если время отсчитывать от момента, когда разность потенциалов на обкладках
конденсатора равна нулю, то будет справедливым соотношение
U = Uo sinwt.
Закон Ома для переменного тока записывается в виде
где /эф и (7эф—эффективные значения тока и напряжения, связанные с их
амплитудными значениями /о и Uo соотношениями
/эф = lo/V^, t/эф = t/0//2,
a Z— полное сопротивление цепи. Если цепь содержит сопротивление Я, ем-
кость С и индуктивность L, соединенные последовательно, то
z = у Я2 + (ыЬ - 1/шС)2 .
При этом сдвиг фаз между напряжением и током определяется формулой
u)L — 1/и)С
=-----я----•
Формулы для полного сопротивления цепи Z и сдвига фаз для различных
способов включения Я, С и L даны в решении задачи 14.23.
Катушка, обладающая сопротивлением Я и индуктивностью L, в цепи пере-
менного тока соответствует последовательно включенным Я н L. Конденсатор
с утечкой, т. е. конденсатор, обладающий емкостью С и сопротивлением Я, со-
ответствует параллельно включенным Я и С.
Мощность переменного тока
Р ' /эф//эф cos
14.1. Колебательный контур состоит из конденсатора емкостью
С = 888 пФ и катушки с индуктивностью L = 2 мГн. На какую
длину волны А настроен контур?
14.2. На какой диапазон длин волн можно настроить колеба-
тельный контур, если его индуктивность L = 2 мГн, а емкость
может меняться от Ci — 69 пФ до C-i = 533 пФ?
14.3. * Какое сопротивление может содержать колебательный
контур, состоящий из катушки с индуктивностью 10 мГн и кон-
денсатора емкостью 4 мкФ, чтобы в нем могли еще возникнуть
электромагнитные колебания?
14.4. Катушки с индуктивностью £ = 30мкГн присоединены к
плоскому конденсатору с площадью пластин S = 0,01 м2 и рас-
стоянием между ними d = 0,1 мм. Найти диэлектрическую прони-
цаемость £ среды, заполняющей пространство между пластинами,
если контур настроен на длину волны А = 750 м.
172
КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
[Гл. IV
14.5. Колебательный контур состоит из конденсатора емкостью
С = 25 нФ и катушки с индуктивностью L = 1,015 Гн. Обклад-
ки конденсатора имеют заряд q = 2,5 мкКл. Написать уравнение
(с числовыми коэффициентами) изменения разности потенциа-
лов U на обкладках конденсатора и тока I в цепи. Найти разность
потенциалов на обкладках конденсатора и ток в цепи в моменты
времени Т/8, Т/4 и Т/2. Построить графики этих зависимостей
в пределах одного периода.
14.6. Для колебательного контура предыдущей задачи напи-
сать уравнение (с числовыми коэффициентами) изменения со вре-
менем t энергии электрического поля Ж,л- энергии магнитного
поля 1КМ и полной энергии поля W. Найти энергию электриче-
ского поля, энергию магнитного поля и полную энергию поля
в моменты времени Т/8, Т/^ и Т/2. Построить графики этих
зависимостей в пределах одного периода.
14.7. * В LC-контуре Q = Qq, 1 = 0 при t = 0. Через какую
долю периода Т, считая от t = 0, энергия впервые распределится
поровну между катушкой и конденсатором? Каким в этот момент
будет заряд конденсатора?
14.8. Уравнение изменения со временем тока в колебательном
контуре имеет вид I = —0,02 sin400?rt А. Индуктивность контура
Т = 1Гн. Найти период Т колебаний, емкость С контура, макси-
мальную энергию И’ч магнитного поля и максимальную энергию
Пэл электрического поля.
14.9. Найти отношение энергии И^/ИАл магнитного поля ко-
лебательного контура к энергии его электрического поля для
момента времени Т/8.
14.10. * Какую энергию необходимо подвести к колебательному
контуру с логарифмическим декрементом затухания х = 0,03, что-
бы поддерживать в нем незатухающие колебания в течение 1 часа,
если контур состоит из конденсатора емкостью С = 0,05 мкФ и
катушки с L = 2 мГн, а максимальный ток в катушке Im = 5 мА.
14.11. Колебательный контур состоит из конденсатора емко-
стью С = 0,2 мкФ и катушки с индуктивностью L = 5,07 мГн.
При каком логарифмическом декременте затухания х разность
потенциалов на обкладках конденсатора за время t = 1 мс умень-
шится в три раза? Каково при этом сопротивление R контура?
14.12. * Заряженный конденсатор с начальной емкостью Со за-
мкнут на катушку индуктивности L. Найти такую зависимость
от времени t емкости конденсатора, при которой ток в цепи
нарастает прямо пропорционально времени.
14.13. Колебательный контур состоит из конденсатора емко-
стью С = 2,22 нФ и катушки длиной I = 20 см из медной прово-
локи диаметром d = 0,5 мм. Найти логарифмический декремент
затухания х колебаний.
§14]
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
173
14.14. Колебательный контур имеет емкость С — 1,1 нФ и ин-
дуктивность L — 5 мГн. Логарифмический декремент затухания
х = 0,005. За какое время вследствие затухания потеряется 99 %
энергии контура?
14.15. * Какое сопротивление надо ввести в LC-контур (L =
— 200 мГн, С = 1200 нФ), чтобы изменить частоту колебаний на
0,10%. Увеличится или уменьшится частота колебаний?
14.16. * Ток в последовательной Д.Г-цепочке возрастает от ну-
ля до половины максимального значения за 1,56 мс. Опреде-
лить: а) постоянную времени цепочки; б) сопротивление R, если
L = 310 Гн.
14.17. * Резонансная частота контура, содержащего конденсатор
емкостью 120 пФ, должна быть равна 18,0 МГц. Катушку индук-
тивности предполагается изготовить из изолированного провода
длиной 12 м и диаметром 1,1мм в виде соленоида с плотной на-
моткой без сердечника. Сколько витков должна иметь катушка?
14.18. Два' конденсатора с емкостями С\ = 0,2 мкФ и С% —
= 0,1 мкФ включены последовательно в цепь переменного тока
напряжением U = 220 В и частотой и = 50 Гц. Найти ток I в
цепи и падения потенциала на первом и втором конденсаторах.
14.19. Катушка длиной I = 25см и радиусом г = 2см имеет
обмотку из N = 1000 витков медной проволоки, площадь попе-
речного сечения которой s = 1мм2. Катушка включена в цепь
переменного тока частотой v — 50 Гц. Какую часть полного со-
противления Z катушки составляют активное сопротивление R и
индуктивное сопротивление X^l
14.20. Конденсатор емкостью С = 20 мкФ и резистор, сопро-
тивление которого R— 150 Ом, включены последовательно в цепь
переменного тока частотой и = 50 Гц. Какую часть напряжения U,
приложенного к этой цепи, составляют падения напряжения на
конденсаторе Uc и на резисторе Е7д?
14.21. * В последовательной ЬД-цепочке (Д = 160 Ом, L =
= 0,85 мГн) течет ток I = 31cos(377t), где I выражено в ам-
перах, t— в секундах. Какая мощность в среднем рассеивается в
контуре?
14.22. * Чему равно эффективное значение силы тока в после-
довательной ДД-цепочке (Д = 65,0Ом, L = 50,0мГн), включенной
в сеть 120 В, 60 Гц? Чему равен сдвиг фаз между напряжением
и током? Какая мощность рассеивается в цепочке?
14.23. Найти формулы для полного сопротивления цепи Z и
сдвига фаз <р между сопротивлением и током при различных
способах включения сопротивления Д, емкости С и индуктивно-
сти L. Рассмотреть случаи: а) Д и С включены последовательно;
б) Д и С включены параллельно; в) Д и L включены последова-
тельно; г) Д и L включены параллельно; д) Д, L и С включены
последовательно.
174
КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
[Гл,IV
14.24. Конденсатор емкостью С = 1 мкФ и резистор с сопро-
тивлением R = 3 кОм включены в цепь переменного тока частотой
v = 50 Гц. Найти полное сопротивление Z цепи, если конденсатор
и резистор включены: а) последовательно; б) параллельно.
14.25. В цепь переменного тока напряжением U = 220 В и час-
тотой v = 50 Гц включены последовательно емкость С = 35,4 мкФ,
сопротивление R = 100 Ом и индуктивность L = 0,7 Гн. Найти
ток I в цепи и падения напряжения Uc, Ur и Ul на емкости,
сопротивлении и индуктивности.
14.26. Индуктивность L — 22,6 мГн и сопротивление R вклю-
чены параллельно в цепь переменного тока частотой и = 50 Гц.
Найти сопротивление R, если известно, что сдвиг фаз между
напряжением и током = 2тг/3-
14.27. * Катушка с индуктивностью 23 мГн и сопротивлением
0,8 Ом подключена к конденсатору С и источнику напряжения
360 Гц. Какую емкость должен иметь конденсатор С, чтобы на-
пряжение и сила тока совпадали по фазе?
14.28. В цепь переменного тока напряжением U = 220В вклю-
чены последовательно емкость С, сопротивление R и индуктив-
ность L. Найти падение напряжения Ur на сопротивлении, если
известно, что падение напряжения на конденсаторе Uc = 2Ur, на
индуктивности Ui = 3Ur.
Глава V
ОПТИКА
§15. Геометрическая оптика и фотометрия
Для сферического зеркала оптическая сила D определяется формулой
i + 2 = 1 = £>
Я1 + а2 R F ’
где 01 и 02 — расстояния предмета и изображения от зеркала, R— радиус кри-
вой зеркала, F— его фокусное расстояние.
Расстояния, отсчитываемые от зеркала по лучу, считаются положительны-
ми, а против луча — отрицательными. Если F выражено в метрах, то D выра-
зится в диоптриях (дптр): 1 дптр = 1 м-1.
При переходе луча из одной среды в другую имеет место закон преломления
света
sin t _ _ »i
sin/? V2 ’
где i — угол падения, /7 — угол преломления, п — показатель преломления вто-
рой среды относительно первой, vj и иг—скорости распространения света в
первой и во второй средах.
Для тонкой линзы, помещенной в однородную среду, оптическая сила D опре-
деляется формулой
_А + A = (n-i)f 1 _ 1 А = 1 =Dt
сц аг k \ Яг J F ’
где ai и аг — расстояния предмета и изображения от линзы, п — показатель
преломления материала линзы,
знаков для линз такое же, как
линз, сложенных вместе,
Ri и Яг— радиусы кривизны линзы. Правило
и для зеркал. Оптическая сила двух тонких
D = Di +
линз.
где Di и £>2—оптические силы
Поперечное линейное увеличение в зеркалах и линзах определяется форму-
лой
>. _ S/2 _ 02
yi ai ’
где yi — высота предмета и у2 — высота изображения.
Увеличение лупы
к-L
к~ F’
где L — расстояние нанлучшего зрения и F — фокусное расстояние лупы.
176
ОПТИКА
[Гл. V
Увеличение микроскопа Ч
k = LdDi /?2, J
где L — расстояние нанлучшего зрения, d—расстояние между фокусами объек- j
тива и окуляра, £>i и £>2—оптические силы объектива и окуляра.
Увеличение телескопа
Г2 1
где Fi и F?—фокусные расстояния объектива и окуляра.
Световой поток Ф определяется энергией, переносимой световыми волнами i
через данную площадь в единицу времени: 'l
Сила света / численно равна световому потоку, приходящемуся на единицу
телесного угла:
7=^.
du I
Освещенность Е характеризуется световым потоком, приходящимся на еди- |
ницу площади:
d®
Е - dS ‘ !
Точечный источник силой света I создает на площадке, отстоящей от него на 1
расстоянии г, освещенность ]
Е = -4 cos a, j
I
где а — угол падения лучей.
Светимость R численно равна световому потоку, испускаемому единицей пло-
щади светящегося тела:
р _ с/Ф
R- dS ' |
Если светимость тела обусловлена его освещенностью, то 1
I
R = рЕ, |
I
где р — коэффициент отражения. ]
Яркостью В светящейся поверхности называется величина, численно равная
отношению силы света с элемента излучающей поверхности к площади проекции J
этого элемента на плоскость, перпендикулярную к направлению наблюдения
(т.е. к видимой поверхности элемента):
1
В — dl '
dS cos 9 ’ I
где 9— угол между нормалью к элементу поверхности и направлением наблю-
дения. 1
Если тело излучает по закону Ламберта, т.е. если яркость не зависит от ।
направления, то светимость R и яркость В связаны соотношением 1
R = irB.
!i 15]
ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ОПТИКА И ФОТОМЕТРИЯ
177
15.1. * Чему равна скорость света: а) в воде; б) в (Скипидаре;
в) во льду?
15.2. * Нить обычной электрической лампы накаливания ис-
пускает лучи световых волн продолжительностью около 10~8с.
Чему равна протяженность такого цуга в пространстве?
15.3. На каком расстоянии аг от зеркала получится изображе-
ние предмета в выпуклом зеркале с радиусом кривизны R = 40 см,
<-сли предмет помещен ца расстоянии а\ =30 см от зеркала? Ка-
кова будет высота j/г изображения, если предмет имеет высоту
//1 = 2 см? Проверить вычисления, сделав чертеж на миллиме-
тровой бумаге.
15.4. Выпуклое зеркало имеет радиус кривизны R = 60см.
На расстоянии ai = 10 см от зеркала поставлен предмет высо-
той yr = 2 см. Найти положение и высоту у2 изображения. Дать
чертеж.
15.5. В вогнутом зеркале с радиусом кривизны Я = 40 см хо-
тят получить действительное изображение, высота которого вдвое
меньше высоты самого предмета. Где нужно поставить предмет и
где получится изображение?
15.6. * На каком расстоянии от выпуклого зеркала (радиусом
24,0 см) должен находиться объект, чтобы его изображение ока-
палось бесконечно удаленным.
15.7. Перед вогнутым зеркалом на главной оптической оси пер-
пендикулярно к ней на расстоянии ai = 4F/3 от зеркала поставле-
на горящая свеча. Изображение свечи в вогнутом зеркале попа-
дает на выпуклое зеркало с фокусным расстоянием F* = 2F. Рас-
стояние между зеркалами d = 3F, их оси совпадают. Изображение
свечи в первом зеркале играет роль мнимого предмета по отно-
шению ко второму зеркалу и дает действительное изображение,
расположенное между обоими зеркалами.
Построить это изображение и найти общее
।инейное увеличение к системы.
15.8. Где будет находиться и какой раз-
мер у2 будет иметь изображение Солнца,
получаемое в рефлекторе, радиус кривиз-
ны которого 7? =16 м?
15.9. Если на зеркало падает пучок све-
та, ширина которого определяется углом а
(рис. 127), то луч, идущий параллельно
главной оптической оси и падающий на
край зеркала, после отражения от него пе-
ресечет оптическую ось уже не в фокусе,
а на некотором расстоянии AF от фокуса.
Рис. 127
Расстояние х = AF называется продольной сферической аберра-
цией, расстояние у — FH — поперечной сферической аберрацией.
Вывести формулы, связывающие эти аберрации с углом а и ра-
диусом кривизны зеркала R.
178 ОПТИКА [Гл. V]
15.10. Вогнутое зеркало с диаметром отверстия d = 40 см имеет
радиус кривизны R = 60см. Найти продольную х и поперечную у,
сферическую аберрацию краевых лучей, параллельных главной
оптической оси. ,i
15.11. Имеется вогнутое зеркало с фокусным расстоянием
F = 20 см. На каком наибольшем расстоянии h от главной опти-
ческой оси должен находиться предмет, чтобы продольная сфе-,
рическая аберрация х составляла не больше 2 % фокусного рас-
стояния F?
15.12. Луч света падает под углом г = 30° на плоскопарал-
лельную стеклянную пластинку и выходит из нее параллельно
первоначальному лучу. Показатель преломления стекла п = 1,5.
Какова толщина d пластинки, если расстояние между лучами '
I = 1,94 см?
15.13. На плоскопараллельную стеклянную пластинку толщи-
ной d = 1см падает луч света под углом г = 60°. Показатель
преломления стекла п = 1,73. Часть света отражается, а часть,
преломляясь, проходит в стекло, отражается от нижней поверх-J
ности пластинки и, преломляясь вторично, выходит обратно в
воздух параллельно первому отраженному лучу. Найти расстоя-I
ние I между лучами.
15.14. Луч света падает под углом г на тело с показателем/
преломления п. Как должны быть связаны между собой вели-
чины г и п, чтобы отраженный луч был перпендикулярен к'
преломленному?
15.15. * Под стеклянной пластинкой толщины d — 15 см лежит
маленькая крупинка. На каком расстоянии I от верхней поверх-
ности пластинки образуется ее видимое изображение, если луч
зрения перпендикулярен к поверхности пластинки, а показатель
преломления стекла п = 1,5?
15.16. * Предмет помещен на оси вогнутого зеркала дальше его
фокуса. Между фокусом и зеркалом помещена плоскопараллель-
ная стеклянная пластинка толщины d с показателем преломле-
ния п так, что ось зеркала перпендикулярна к пластинке. На
сколько сместится изображение, если убрать пластинку?
15.17. Луч света выходит из скипидара в воздух. Предельный
угол полного внутреннего отражения для этого луча 0 = 42О23\ 1
Найти скорость щ распространения света в скипидаре.
15.18. На стакан, наполненный водой, положена стеклянная
пластинка. Под каким углом i должен падать на пластинку луч/
света, чтобы от поверхности раздела вода — стекло произошла
полное внутреннее отражение? Показатель преломления стекла1
Zlj = 1,5. I
15.19. На дно сосуда, наполненного водой до высоты h = 10см,
помещен точечный источник света. На поверхности воды плавает'
круглая непрозрачная пластинка так, что ее центр находится над
ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ОПТИКА И ФОТОМЕТРИЯ
179
источником света. Какой наименьший радиус г должна иметь эта
пластинка, чтобы ни один луч не мог выйти через поверхность
поды?
15.20. При падении белого света под углом i = 45° на сте-
клянную пластинку углы преломления /3 лучей различных длин
ноли получились следующие:
А, нм 759 687 589 486 397
0 24° 2' 23° 57' 23°47' 23°27' 22°57'
Построить график зависимости показателя преломления п мате-
риала пластинки от длины волны А.
15.21. Показатели преломления некоторого сорта стекла для
красного и фиолетового лучей равны пкр = 1,51 и Пф = 1,53.
Найти предельные углы полного внутреннего отражения 0кр и
/Зф при падении этих лучей на поверхность раздела стекло—
воздух.
15.22. * Цилиндрический стакан с жидкостью поставлен на мо-
нету, рассматриваемую сквозь боковую стенку стакана. Найти
наименьшую возможную величину показателя преломления п
жидкости, при котором монета не видна.
15.23. Монохроматический луч падает нормально на боковую
поверхность призмы, преломляющий угол которой 7 = 40°. Пока-
затель преломления материала призмы для этого луча п = 1,5.
Найти угол отклонения 6 луча, выходящего из призмы, от пер-
воначального направления.
15.24. Монохроматический луч падает нормально на боковую
поверхность призмы и выходит из нее отклоненным на угол
Л’ = 25°. Показатель преломления материала призмы для это-
го луча п = 1,7. Найти преломляющийся угол 7 призмы.
15.25. Преломляющий угол равнобедренной призмы 7 = 10°.
Монохроматический луч падает на боковую грань под углом
i = 10°. Показатель преломления материала призмы для этого
луча п = 1,6. Найти угол отклонения 6 луча от первоначального
направления.
15.26. Преломляющий угол призмы 7 = 45°. Показатель пре-
ломления материала призмы для некоторого монохроматического
пуча п = 1,6. Каков должен быть наибольший угол падения i это-
го луча на призму, чтобы при выходе луча из нее не наступило
полное внутреннее отражение?
15.27. Пучок света скользит вдоль боковой грани равнобедрен-
ной призмы. При каком предельном преломляющем угле 7 приз-
мы преломленные лучи претерпят полное внутреннее отражение
па второй боковой грани? Показатель преломления материала
призмы для этих лучей п = 1,6.
180
ОПТИКА
[Гл. V
15.28. Монохроматический луч падает на боковую поверхность ।
прямоугольной равнобедренной призмы. Войдя в призму, луч пре-
терпевает полное внутреннее отражение от основания призмы И
выходит через вторую боковую поверхность призмы. Каким дол-
жен быть наименьший угол падения г луча на призму, чтобы
еще происходило полное внутреннее отражение? Показатель пре- !
ломления материала призмы для этого луча п = 1,5.
15.29. Монохроматический луч падает на боковую поверхность 1
равнобедренной призмы и после преломления идет в призме па-
раллельно ее основанию. Выйдя из призмы, он оказывается от-
клоненным на угол 6 от своего первоначального направления.
Найти связь между преломляющим углом призмы 7, углом от-
клонения луча 6 и показателем преломления для этого луча п.
15.30. Луч белого света падает на боковую поверхность рав-
нобедренной призмы под таким углом, что красный луч выходит
из нее перпендикулярно к второй грани. Найти углы отклоне-
ния <5кр и <5ф красного и фиолетового лучей от первоначального
направления, если преломляющий угол призмы 7 = 45°. Показа-
тели преломления материала призмы для красного и фиолетового .
лучей равны пкр = 1,37 и Пф = 1,42.
15.31. Найти фокусное расстояние Fi кварцевой линзы для
ультрафиолетовой линии спектра ртути (Ai = 259 нм), если фокус- [
ное расстояние для желтой линии натрия (А2 = 589 нм) F2 = 16 см.
Показатели преломления кварца для этих длин волн равны
П1 = 1,504 и П2 = 1,458.
15.32. Найти фокусное расстояние F для следующих линз:
а) линза двояковыпуклая: i?i = 15 см и R2 = —25 см; б) линза
плоско-выпуклая: Ri = 15 см и Ri = оо; в) линза вогнуто-вы-
пуклая (положительный мениск): Ri = 15 см и R2 = 25 см;
г) линза двояковогнутая: Ri = —15 см и R2 = 25 см; д) линза
плоско-вогнутая: Ri= 00, R2 = —15 см; е) линза выпукло-вогнутая
(отрицательный мениск): R\ =25см, = 15 см. Показатель пре-
ломления материала линзы п = 1,5.
15.33. Из двух стекол с показателями преломления n-i = 1,5 и
П2 = 1,7 сделаны две одинаковые двояковыпуклые линзы. Найти
отношение Fi/F2 их фокусных расстояний. Какое действие каж-
дая из этих линз произведет на луч, параллельный оптической
оси, если погрузить линзы в прозрачную жидкость с показателем ;
преломления п = 1,6?
15.34. Радиусы кривизны поверхностей двояковыпуклой линзы 1
Ri = R? — 50 см. Показатель преломления материала п = 1,5.
Найти оптическую силу D линзы.
15.35. На расстоянии сц = 15 см от двояковыпуклой линзы,
оптическая сила которой D = Юдптр, поставлен перпендикулярно j
к оптической оси предмет высотой yi — 2 см. Найти положение и
высоту у2 изображения. Дать чертеж. 1
ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ОПТИКА И ФОТОМЕТРИЯ
181
15.36. Доказать, что в двояковыпуклой линзе с равными ра-
тусами кривизны поверхностей и с показателем преломления
и — 1,5 фокусы совпадают с центрами кривизны.
15.37. Линза с фокусным расстоянием F = 16 см дает резкое
изображение предмета при двух положениях, расстояние между
которыми d = 6 см. Найти расстояние aj + аг от предмета до
> к рана.
15.38. * Собирающая линза дает изображение некоторого объ-
екта на экране. Высота изображения равна а. Оставляя непо-
|.нижными экран и объект, начинают двигать линзу к экрану
п находят, что при втором четком изображении объекта высота
изображения равна Ь. Найти действительную высоту предмета h.
15.39. * В вогнутое зеркало, лежащее горизонтально, налито
немного воды. Зеркало дает действительное изображение предме-
ia на экране на расстоянии 54 см от зеркала. При приближении
। к рана к зеркалу изображение появляется вновь на расстоянии
!бсм от зеркала. Определить радиус кривизны зеркала и рассто-
яние I от него до предмета, если показатель преломления воды
и = 1,33.
15.40. * Определить наименьшее расстояние между предметом
и изображением для линзы с фокусным расстоянием F.
15.41. Найти фокусное расстояние F2 линзы, погруженной в
поду, если ее фокусное расстояние в воздухе F. = 20 см. Показа-
к*ль преломления материала линзы п = 1,6.
15.42. Плоско-выпуклая линза с радиусом кривизны Я = 30 см
и показателем преломления п = 1,5 дает изображение предмета
увеличением к = 2. Найти расстояния aj и а2 предмета и
изображения от линзы. Дать чертеж. ।
15.43. Найти продольную хроматическую аберрацию двояковы-
пуклой линзы из флинтгласа с радиусами кривизны Ri = R2 = 8cm.
Показатели преломления флинтгласа для красного (Акр = 760нм)
и фиолетового (Аф =430 нм) лучей равны пкр — 1,5 и Пф = 1,8.
15.44. На расстоянии aj =40см от линзы предыдущей задачи
па оптической оси находится светящаяся точка. Найти положение
изображения этой точки, если она испускает монохроматический
। нет с длиной волны: а) Aj = 760 нм; б) Аг = 430 нм.
15.45. В фокальной плоскости двояковыпуклой линзы распо-
южено плоское зеркало. Предмет находится перед линзой между
фокусом и двойным фокусным расстоянием. Построить изобра-
жение предмета.
15.46. Найти увеличение к, даваемое лупой с фокусным рас-
। гоянием F = 2 см, для: а) нормального глаза с расстоянием
паилучшего зрения L — 25 см; б) близорукого глаза с расстояни-
ем наилучшего зрения L = 15 см.
15.47. Какими должны быть радиусы кривизны Ri = R2 по-
нерхностей лупы, чтобы она давала увеличение для нормального
182 ОПТИКА [Гл.
глаза к = 10? Показатель преломления стекла, из которого оде"]
лана лупа, п = 1,5; 1
15.48. * Человек с нормальным зрением пользуется лупой с фо»,
кусным расстоянием 8 см. Найти максимальное увеличение лупы.1
15.49. Микроскоп состоит из объектива с фокусным расстоя-:
нием Fi = 2 см и окуляра с фокусным расстоянием 7*2 = 40 мм»,
Расстояние между фокусами объектива и окуляра d = 18см. Най*т
ти увеличение к, даваемое микроскопом. j
15.50. Картину площадью S = 2 х 2 м2 снимают фотоаппарат]
том, установленным от нее на расстоянии а = 4,5 м. Изображение:]
получилось размером s = 5 x5см2. Найти фокусное расстояние /Н
объектива фотоаппарата. Расстояние от картины до объектива'
считать большим по сравнению с фокусным расстоянием.
15.51. Телескоп имеет объектив с фокусным расстоянием Fi я
= 150 см и окуляр с фокусным расстоянием 7*2 = 10 см. ПоД1
каким углом зрения d видна полная Луна в этот телескоп, если1
невооруженным глазом она видна под углом 17о = 31'? I
15.52. При помощи двояковыпуклой линзы, имеющей диаметру
D = 9 см и фокусное расстояние F — 50 см, изображение Солнца
проектируется на экран. Каким получается диаметр d изображен
ния Солнца, если угловой диаметр Солнца а = 32'? Во сколько'
раз освещенность, создаваемая изображением Солнца, будет боль»
ше освещенности, вызываемой Солнцем непосредственно?
15.53. Свет от электрической лампочки с силой света / = 200кД,
падает под углом а = 45° на рабочее место, создавая освещенность
Е = 141 лк. На каком расстоянии г от рабочего места находится
лампочка? На какой высоте h от рабочего места она висит?
15.54. Лампа, подвешенная к потолку, дает в горизонтально»^
направлении силу света I = 60 кд. Какой световой поток Ф падает
на картину площадью S = 0,5м2, висящую вертикально на стен*
на расстоянии г — 2 м от лампы, если на противоположной стене
находится большое зеркало на расстоянии а = 2 м от лампы?
15.55. Большой чертеж фотографируют сначала целиком, за»
тем отдельные его детали в натуральную величину. Во сколько
раз надо увеличить время экспозиции при фотографировании де»
талей? ।
15.56. 21 марта, в день весеннего равноденствия, на Северной1
Земле Солнце стоит в полдень под углом а = 10° к горизонту. Во
сколько раз освещенность площадки, поставленной вертикально^
будет больше освещенности горизонтальной площадки?
15.57. В полдень во время весеннего и осеннего равноденствия
Солнце стоит на экваторе в зените. Во сколько раз в это время
освещенность поверхности Земли на экваторе больше освещен»'
ности поверхности Земли в Ленинграде? Широта Ленинградца
9? = 60°. |
§15)
ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ОПТИКА И ФОТОМЕТРИЯ
183
15.58. В центре квадратной комнаты площадью S = 25 м2 висит
лампа. На какой высоте h от пола должна находиться лампа,
чтобы освещенность в углах комнаты была наибольшей?
15.59. Над центром круглого стола диаметром D = 2 м висит
лампа с силой света I = 100 кд. Найти изменение освещенно-
сти Е края стола при постепенном подъеме лампы в интервале
0,5 h 0,9 м через каждые 0,1 м. Построить график Е = f (Л).
15.60. В центре круглого стола диаметром D = 1,2 м стоит
настольная лампа из одной электрической лампочки, располо-
женной на высоте hi = 40 см от поверхности стола. Над центром
стола на высоте hi = 2 м от его поверхности висит люстра из
четырех таких же лампочек. В каком случае получится большая
освещенность на краю стола (и во сколько раз): когда горит
настольная лампа или когда горит люстра?
15.61. Предмет при фотографировании освещается электриче-
ской лампой, расположенной от него на расстоянии п = 2 м. Во
сколько раз надо увеличить время экспозиции, если эту же лампу
отодвинуть на расстояние гг = 3 м от предмета?
15.62. Найти освещенность Е на поверхности Земли, вызывае-
мую нормально падающими солнечными лучами. Яркость Солнца
В = 1,2 • 109кд/м2.
15.63. * Собирающая линза дает изображение предмета в на-
туральную величину. Во сколько раз уменьшится освещенность
изображения предмета, если путем передвижения линзы и пред-
мета увеличить площадь изображения в 9 раз?
15.64. Лампа, в которой светящим телом служит накаленный
шарик диаметром d = Змм, дает силу света I = 85 кд. Най-
ти яркость В лампы, если сферическая колба лампы сделана:
а) из прозрачного стекла; б) из матового стекла. Диаметр колбы
0 = 6 см.
15.65. * Над горизонтальной поверхностью, освещенной точеч-
ным источником света силой 60 кд, на пути лучей поместили
собирающую линзу так, чтобы источник находился в ее фокусе.
Определить оптическую силу линзы, если освещенность поверх-
ности под источником света 15 лк.
15.66. На лист белой бумаги площадью S = 20 х 30 см2 пер-
пендикулярно к поверхности падает световой поток Ф = 120 лм.
Найти освещенность Е, светимость R и яркость В бумажного
листа, если коэффициент отражения р = 0,75.
15.67. * Над центром квадратной спортивной площадки на рас-
стоянии г = 5 м от нее висит лампа. Рассчитать, на каком рас-
стоянии от центра площадки освещенность поверхности земли в
2 раза меньше, чем в центре. Считать, что сила света лампы
одинакова по всем направлениям.
15.68. Лист бумаги площадью S = 10 х 30см2 освещается лам-
пой с силой света I — 100 кд, причем на него падает 0,5% всего
посылаемого лампой света. Найти освещенность Е листа бумаги.
184
ОПТИКА
15.69. Электрическая лампа с силой света I = 100 кд посылав!
во все стороны в единицу времени WT = 122Дж/мин световой
энергии. Найти механический эквивалент света К и к.п.д. Ц
световой отдачи, если лампа потребляет мощность N — 100 Вт.
§ 16. Волновая оптика
По принципу Доплера частота i/ света, воспринимаемая регистрирующих
прибором, связана с частотой ь, посылаемой источником света, соотношением
, / 1 — v/c
I/ = Ц А / --Т- ,
у 1 -f v/c
где v — скорость регистрирующего прибора относительно источника, с — ско-
рость распространения света. Положительное значение v соответствует удало*,
нию источника света. При v -С с формулу приближенно можно представить Я
виде
ц' » ц--.
1 + v/c С + V
Расстояние между интерференционными полосами на экране, расположен*
ном параллельно двум когерентным источникам света,
I = £ А,
где А — длина волны света, L — расстояние от экрана до источников света, от*
стоящих друг от друга на расстоянии d (при этом L 3*> d).
Результат интерференции света в плоскопараллельных пластинках (в про*
ходящем свете) опредепяется формулами:
усиление света
2hn cos/3 = 2k (к = 0, 1, 2, ...),
ослабление света
2/in cos/3 = (2fc + 1) (к = 0, 1, 2, ...),
где h — толщина пластинки, п — показатель преломления, /3 — угол преломлвт
ния, А — длина волны света. В отраженном свете условия усиления и ослаблв-
ния света обратны условиям в проходящем свете.
Радиусы светлых колец Ньютона (в проходящем свете) определяются фор-
мулой
г*. = V kRA (fc = 1, 2, . ..);
радиусом темных колец (
тк = ^(2к -1)к| (к = 1, 2, ...), ‘
где R — радиус кривизны линзы. В отраженном свете расположение светлых К
темных колец обратно их расположению в проходящем свете. !
>116]
ВОЛНОВАЯ ОПТИКА
185
Положение минимумов освещенности при дифракции от щели, иа которую
нормально падает пучок параллельных лучей, определяется условием
asin^ = ±fcA (fc = 1, 2, 3, ...),
где а —ширина щели, <р— угол дифракции, А—длина волны падающего света.
В дифракционной решетке максимумы света наблюдаются в направлениях,
' оставляющих с нормалью к решетке угол р, удовлетворяющий соотношению
(при условии, что свет падает иа решетку нормально)
dsin¥> = ±fcA (fc = О, i; 2, ...),
। де d — постоянная решетки, р— угол дифракции, А—-длина волны падающего
< пета и fc — порядок спектра. Постоянная решетки d = 1/No, где No — число
щелей решетки, приходящееся иа единицу длины решетки.
Разрешающая способность дифракционной решетки определяется формулой
где N—общее число щелей решетки, fc — порядок спектра, А и А + ДА—длина
ноли двух близких спектральных линий, еще разрешаемых решеткой.
Угловой дисперсией дифракционной решетки называется величина
d<p
dX ’
Линейной дисперсией дифракционной решетки называется величина
D = F&
ал
। де F — фокусное расстояние линзы, проектирующей спектр иа экран.
При отражении естественного света от электрического зеркала имеют место
формулы Френеля
Zj. = 0,5/о
Г sin (г — /3)12
[ sin (г + /3) J ’
7П
где Zj.— интенсивность световых колебаний в отраженном луче, совершаю-
щихся в направлении, перпендикулярном к плоскости падения света, 1ц —
интенсивность световых колебаний в отраженном луче, совершающихся в на-
правлении, параллельном плоскости падения света, Zq—-интенсивность падаю-
щего естественного света, i — угол падения, /3—угол преломления.
Если i + /3 = 90°, то Zj| = 0. В этом случае угол падения ib и показатель
преломления п диэлектрического зеркала связаны соотношением
tgi'e = п (закон Брюстера).
Интенсивность света, прошедшего через поляризатор и анализатор,
Z = Zo cos2 р (закон Мал юса),
те р — угол между плоскостями поляризатора и анализатора; Zq —интенсив-
ность света, прошедшего через поляризатор.
186
ОПТИКА
[Гл. V
16.1. При фотографировании спекра Солнца было найдено,
что желтая спектральная линия (Л — 589 нм) в спектрах, по-
лученных от левого и правого краев Солнца, была смещена на {
ДА — 0,008 нм. Найти скорость v вращения солнечного диска.
16.2. Какая разность потенциалов U была приложена между)
электродами гелиевой разрядной трубки, если при наблюдении!
вдоль пучка «-частиц максимальное доплеровское смещение ли-'
нии гелия (А = 492,2 нм) получилось равным ДА = 0,8 нм? f
16.3. При фотографировании спектра звезды е Андромеды бы-i
ло найдено, что линия титана (А = 495,4 нм) смещена к фио-
летовому концу спектра на ДА = 0,17 нм. Как движется звезда
относительно Земли?
16.4. * Найти число полос интерференции, получающихся с по-1,
мощью бипризмы, если показатель преломления ее п, преломляю- 1
щий угол а, длина волны источника А. Расстояние от источника 1
света до бипризмы равно а, а расстояние от бипризмы до экран [
на Ь.
16.5. В опыте Юнга отверстия освещались монохроматическим |
светом (А = 600нм). Расстояние между отверстиями d = 1мм,,
расстояние от отверстий до экрана L = Зм. Найти положение,
трех первых светлых полос.
16.6. В опыте с зеркалами Френеля расстояние между мни-
мыми изображениями источника света d = 0,5 мм, расстояние до ।
экрана L = 5 м. В зеленом свете получились интерференционные ,
полосы, расположенные на расстоянии I — 5 мм друг от друга.
Найти длину волны А зеленого света. . 1
16.7. В опыте Юнга на пути одного из интерферирующих лу-\
чей помещалась тонкая стеклянная пластинка, вследствие чего;
центральная светлая полоса смещалась в положение, первона-;
чально занятое пятой светлой полосой (не считая центральной).
Луч падает перпендикулярно к поверхности пластинки. Показа-
тель преломления пластинки п = 1,5. Длина волны А = 600 нм. I
Какова толщина h пластинки? j
16.8. В опыте Юнга стеклянная пластинка толщиной h = 12 см]
помещается на пути одного из интерферирующих лучей перпен-ч
дикулярно к лучу. На сколько могут отличаться друг от друган
показатели преломления в различных местах пластинки, чтобы"
изменение разности хода от этой неоднородности не превышало^
Д = 1 мкм?
16.9. На мыльную пленку падает белый свет под углом г = 45е?
к поверхности пленки. При какой неизменной толщине h пленки
отраженные лучи будут окрашены в желтый цвет (А = 600 нм)?1
Показатель преломления мыльной воды п = 1,33.
16.10. Мыльная пленка, расположенная вертикально, образует
клин вследствие стекания жидкости. При наблюдении интерфе*
ренции полос в отраженном свете ртутной дуги (А = 546,1 нм)^
!l 16]
ВОЛНОВАЯ ОПТИКА
187
сказалось, что расстояние между пятью полосами / = 2см. Най-
ти угол 7 клина. Свет падает перпендикулярно к поверхности
пленки. Показатель преломления мыльной воды п = 1,33.
16.11. Мыльная пленка, расположенная вертикально, образует
клин вследствие стекания жидкости. Интерференция наблюдается
и отраженном свете через красное стекло (Ai =631 нм). Расстоя-
ние между соседними красными полосами при этом /j = Змм. За-
тем эта же пленка наблюдается через синее стекло (Аг = 400 нм).
Найти расстояние /г между соседними синими полосами. Счи-
тать, что за время измерений форма пленки не изменяется и
। вет падает перпендикулярно к поверхности пленки.
16.12. Пучок света (А = 582 нм) падает перпендикулярно к
поверхности стеклянного клина. Угол клина 7 = 20". Какое чис-
ю ко темных интерференционных полос приходится на единицу
тлины клина? Показатель преломления стекла п = 1,5.
16.13. * Тонкая пленка с показателем преломления 1,5 освеща-
ется светом с длиной волны А = 600 нм. При какой минимальной
юлщине пленки исчезнут интерференционные полосы?
16.14. Установка для получения колец Ньютона освещается
монохроматическим светом, падающим по нормали к поверхности
пластинки. Радиус кривизны линзы R = 8,6 м. Наблюдение ве-
ются в отраженном свете. Измерениями установлено, что радиус
четвертого темного кольца (считая центральное темное пятно за
нулевое) Г4 =4,5 мм. Найти длину волны А падающего света.
16.15. Установка для получения колец Ньютона освещается
। ,елым светом, падающим по нормали к поверхности пластинки.
I 'здиус кривизны линзы R = 5 м. Наблюдение ведется в прохо-
1ящем свете. Найти радиусы гс и гкр четвертого синего кольца
(,\с = 400нм) и третьего красного кольца (Акр = 630 нм).
16.16. Установка для получения колец Ньютона освещается
монохроматическим светом, падающим по нормали к поверхности
пластинки. Радиус кривизны линзы R = 15 м. Наблюдение ведется
и отраженном свете. Расстояние между пятым и двадцать пятым
петлыми кольцами Ньютона I = Эмм. Найти длину волны А
монохроматического света.
16.17. Установка для получения колец Ньютона освещается
монохроматическим светом, падающим по нормали к поверхности
пластинки. Наблюдение ведется в отраженном свете. Расстояние
между вторым и двадцатым темными кольцами li = 4,8 мм. Найти
расстояние I2 между третьим и шестнадцатым темными кольцами
11 ьютона.
16.18. Установка для получения колец Ньютона освещается
петом от ртутной дуги, падающим по нормали к поверхности
пластинки. Наблюдение ведется в проходящем свете. Какое по
порядку светлое кольцо, соответствующее линии Ai = 579,1 нм, со-
ппадает со следующим светлым кольцом, соответствующим линии
\'= 577нм?
188
ОПТИКА
[Гл. V
16.19. Установка для получения колец Ньютона освещается
светом с длиной волны X = 589 нм, падающим по нормали к |
поверхности пластинки. Радиус кривизны линзы Я=10м. Про-j
странство между линзой и стеклянной пластинкой заполнено жид*
костью. Найти показатель преломления п жидкости, если радиус i
третьего светлого кольца в проходящем свете гз = 3,65 мм. 1 I
16.20. Установка для получения колец Ньютона освещается
монохроматическим светом с длиной волны X = 600 нм, падаю-
щим по нормали к поверхности пластинки. Найти толщину Л
воздушного слоя между линзой и стеклянной пластинкой в том
месте, где наблюдается четвертое темное кольцо в отраженном
свете.
16.21. * Найти радиус г центрального темного пятна колец1
Ньютона, если между линзой и пластинкой налит бензол (п = 1,5), |
Радиус кривизны линзы R = 1 м. Показатели преломления линзы
и пластинки одинаковы. Наблюдение ведется в отраженном свете
с длиной волны Х = 5890А.
16.22. Установка для получения колец Ньютона освещается
монохроматическим светом, падающим по нормали к поверхно*
сти пластинки. После того как пространство между линзой и.
стеклянной пластинкой заполнили жидкостью, радиусы темных,
колец в отраженном свете уменьшились в 1,25 раза. Найти покал
затель преломления п жидкости. 11
16.23. В опыте с интерфероме- I
а тром Майкельсона для смещения
интерференциальной картины на
/7 /7 к = 500 полос потребовалось пе-
/ / / / реместить зеркало на расстояние
/ /_______>________f / L = 0,161 мм. Найти длину волны,
/у_________ х /у X падающего света.
Il II 16.24. Для измерения показател
/ / / / ля преломления аммиака в одно и9',
плечей интерферометра Майкель*
л сона поместили откачанную труб-!
ку длиной I = 14см. Концы трубт
ки закрыли плоскопараллельным^
Рис. 128 стеклами. При заполнении трубки,
аммиаком интерференционная кар-i.
тина для длины волны X = 590 нм сместилась на к = 180 полосу
Найти показатель преломления п аммиака. ’
16.25. На пути одного из лучей интерферометра ЖаменЯ
(рис. 128) поместили трубку длиной I = 10 см. При з апо л но
нии трубки хлором интерференционная картина для длины вол-
ны X = 590 нм сместилась на к = 131 полосу. Найти показателе
преломления п хлора.
!i is]
ВОЛНОВАЯ ОПТИКА
189
16.26. Пучок белого света падает по нормали к поверхности
стеклянной пластинки толщиной с/ = 0,4мкм. Показатель прело-
мления стекла п = 1,5. Какие длины волн А, лежащие в пределах
видимого спектра (от 400 до 700 нм), усиливаются в отраженном
свете?
16.27. На поверхность стеклянного объектива (nj = 1,5) нане-
сена тонкая пленка, показатель преломления которой пг = 1,2
(«просветляющая» пленка). При какой наименьшей толщине d
->той пленки произойдет максимальное ослабление отраженного
света в средней части видимого спектра?
16.28. * Однослойное оптическое покрытие снижает до нуля
отражение света с А = 550 нм. Во сколько раз снижает отражение
то же покрытие при А = 450 нм и А = 700 нм по сравнению со
случаем, когда покрытие отсутствует?
16.29. Найти радиусы г*, первых пяти зон Френеля, если рас-
стояние от источника света до волновой поверхности а = 1 м, рас-
стояние от волновой поверхности до точки наблюдения Ь = 1м.
Длина волны света А = 500 нм.
16.30. Найти радиусы г*, первых пяти зон Френеля для плос-
кой волны, если расстояние от волновой поверхности до источника
наблюдения Ь = 1м. Длина волны света А = 500 нм.
16.31. Дифракционная картина наблюдается на расстоянии I
от точечного источника монохроматического света (А = 600 нм).
На расстоянии а = 0,51 от источника помещена круглая непро-
Фачная преграда диаметром D = 1 см. Найти расстояние I, если
преграда закрывает только центральную зону Френеля.
16.32. Дифракционная картина наблюдается на расстоянии
/ = 4м от точечного источника монохроматического света (А =
= 500 нм). Посередине между экраном и источником света поме-
щена диафрагма с круглым отверстием. При каком радиусе R
отверстия центр дифракционных колец, наблюдаемых на экране,
будет наиболее темным?
16.33. На диафрагму с диаметром отверстия D = 1,96 мм па-
дает нормально параллельный пучок монохроматического света
(А = 600нм). При каком наибольшем расстоянии I между диа-
фрагмой и экраном в центре дифракционной картины еще будет
наблюдаться темное пятно?
16.34. * Диск из стекла с показателем преломления п (для
длины волны А) закрывает полторы зоны Френеля для точки
наблюдения А. При какой толщине диска b освещенность в А
будет наибольшей?
16.35. * Какова интенсивность I в фокусе зонной пластинки,
< сли закрыты все зоны, кроме первой? Интенсивность света без
пластинки Iq.
190
ОПТИКА
[Гл. V
16.36. На щель шириной а = 6А падает нормально параллель-
ный пучок монохроматического света с длиной волны А. Под
каким углом будет наблюдаться третий дифракционный мини-
мум света?
16.37. * На узкую щель нормально падает параллельный пучок
монохроматического света. Определить относительную интенсив-
ность вторичных максимумов.
16.38. Какое число штрихов No на единицу длины имеет ди-
фракционная решетка, если зеленая линия ртути (А = 546,1 нм)
в спектре первого порядка наблюдается под углом — 19°8'?
16.39. На дифракционную решетку нормально падает пучок
света. Натриевая линия (Aj = 589 нм) дает в спектре первого
порядка угол дифракции tpi = 17°8'. Некоторая линия дает в
спектре второго порядка угол дифракции <р2 — 24° 12'. Найти
длину волны А2 этой линии и число штрихов No на единицу
длины решетки.
16.40. На дифракционную решетку нормально падает пучок
света от разрядной трубки. Какова должна быть постоянная d
дифракционной решетки, чтобы в направлении = 41° совпадали
максимумы линий Ai = 656,3 нм и А2 = 410,2 нм?
16.41. На дифракционную решетку нормально падает пучок
света. При повороте трубы гониометра на угол <р в поле зрения
видна линия Ai = 440 нм в спектре третьего порядка. Будут ли
видны под этим же углом <р другие спектральные линии А2)
соответствующие длинам волн в пределах видимого спектра (от
400 до 700 нм)?
16.42. На дифракционную решетку нормально падает пучок
света от разрядной трубки, наполненной гелием. На какую линию
А2 в спектре третьего порядка накладывается красная линия
гелия (Ai = 670 нм) спектра второго порядка?
16.43. На дифракционную решетку нормально падает пучок
света от разрядной трубки, наполненной гелием. Сначала зритель-
ная труба устанавливается на фиолетовые линии (Аф = 389 нм) по
обе стороны от центральной полосы в спектре первого порядка.
Отсчеты по лимбу вправо от нулевого деления дали <рф1 = 27°33*
и <рф2 = 36°27'. После этого зрительная труба устанавливает-
ся на красные линии по обе стороны от центральной полосы в
спектре первого порядка. Отсчеты по лимбу вправо от нулевого1
деления дали </?Kpi = 23°54' и </?кр2 = 40°6'. Найти длину волны
Акр красной линии спектра гелия.
16.44. Найти наибольший порядок k спектра для желтой линии
натрия (А = 589нм), если постоянная дифракционной решетки
d = 2 мкм.
16.45. На дифракционную решетку нормально падает пучок
монохроматического света. Максимум третьего порядка наблю-
дается под углом <р = 36°48' к нормали. Найти постоянную Л
решетки, выраженную в длинах волн падающего света.
'l 16]
ВОЛНОВАЯ ОПТИКА
191
16.46. * Монохроматический свет падает на прозрачную ди-
фракционную решетку под углом в к нормали. Постоянная решет-
ки d. Определить соотношение для дифракционных максимумов.
16.47. * Дифракционная решетка с 5500 штрих/см имеет ши-
рину 3,6 см. На решетку падает свет с длиной волны 624 нм. На
сколько могут различаться две длины волны, если их надо разре-
шить в любом порядке? В каком порядке достигается наилучшее
I разрешение?
16.48. Какова должна быть постоянная d дифракционной ре-
шетки, чтобы в первом порядке были разрешены линии спектра
калия Ai = 404,4нм и Аг = 404,7нм? Ширина решетки а = Зсм.
16.49. Какова должна быть постоянная d дифракционной ре-
шетки, чтобы в первом порядке был разрешен дублет натрия
\i = 589 нм и Аг = 589,6 нм? Ширина решетки а = 2,5 см.
16.50. Постоянная дифракционной решетки d = 2 мкм. Какую
разность длин волн ДА может разрешить эта решетка в области
гкелтых лучей (А = 600 нм) в спектре второго порядка? Ширина
решетки а = 2,5 см.
16.51. Постоянная дифракционной решетки d= 2,5 мкм. Найти
угловую дисперсию cbp/dX решетки для А = 589нм в спектре
первого порядка.
16.52. Угловая дисперсия дифракционной решетки для А =
668 нм в спектре первого порядка dp/dX = 2,02 105 рад/м.
Найти период d дифракционной решетки.
16.53. Найти линейную дисперсию D дифракционной решетки
в условиях предыдущей задачи, если фокусное расстояние линзы,
проектирующей спектр на экран, равно F = 40см.
16.54. На каком расстоянии I друг от друга будут находиться
на экране две линии ртутной дуги (Aj = 577 нм и Аг = 579,1 нм) в
• пектре первого порядка, полученном при помощи дифракционной
решетки? Фок!усное расстояние линзы, проектирующей спектр на
шран, F = 0,6 м. Постоянная решетки d = 2 мкм.
16.55. На дифракционную решетку нормально падает пучок
гнета. Красная линия (Ai = 630 нм) видна в спектре третьего
порядка под углом р = 60°. Какая спектральная линия Аг видна
под этим же углом в спектре четвертого порядка? Какое число
штрихов Nq на единицу длины имеет дифракционная решетка?
Найти угловую дисперсию dtp/dX этой решетки для длины волны
\ । = 630 нм в спектре третьего порядка.
16.56. * Найти условие равенства нулю интенсивности т-го
максимума для дифракционной решетки с периодом d и шириной
щели Ъ.
16.57. Какое фокусное расстояние F ррлж.'&а. иметь линза, про-
ектирующая на экран спектр, полученный при помощи дифракци-
онной решетки, чтобы расстояние между двумя линиями калия
\i = 404,4 нм и Аг = 404,7 нм в спектре первого порядка было
равно I = 0,1мм? Постоянная решетки d= 2 мкм.
192
ОПТИКА
[Гл. к
Отраженный луч
16.58. Найти угол г'в полной поляризации при отражении светя
от стекла, показатель преломления которого п = 1,57. |
16.59. Предельный угол полного внутреннего отражения ДЛЯ1
некоторого вещества г = 45°. Найти для этого вещества угол 1'в
полной поляризации.
16.60. Под каким углом «б к горизонту должно находиться,'
Солнце, чтобы его лучи, отраженные от поверхности озера, был#
наиболее полно поляризованы? "
16.61. Найти показатель преломления п стекла, если при отч
ражении от него света отраженный луч будет полностью поля*
ризован при угле преломления /3 = 30°.
16.62. Луч света проходит через жидкость, налитую в стеч
клянный (п = 1,5) сосуд, и отражается от дна.
полностью поляризован при падении его на дно сосуда под углом
г б = 42°37'. Найти показатель преломления п жидкости. Под кВ*
ким углом i должен падать на дно сосуда луч света, идущий I
этой жидкости, чтобы наступило полное внутреннее отражение? ।
16.63. Пучок плоскополяризованного света (А — 589 нм) П£к<
дает на пластинку исландского шпата перпендикулярно к ertj
оптической оси. Найти длины волн Ао и Ае обыкновенного и не*1
обыкновенного лучей в кристалле, если показатели преломления
исландского шпата для обыкновенного и для необыкновенного
лучей равны по — 1,66 и пе = 1,49.
16.64. Найти угол между главными плоскостями поляри*
затора и анализатора, если интенсивность естественного сый
та, проходящего через поляризатор и анализатор, уменьшаете^
в 4 раза.
16.65. Естественный свет проходит через поляризатор и анйл
лизатор, поставленные так, что угол между их главными плоско*
стями равен у>. Как поляризатор, так и анализатор поглощают я
отражают 8 % падающего на них света. Оказалось, что интенсив*
ность луча, вышедшего из анализатора, равна 9 % интенсивности
естественного света, падающего на поляризатор. Найти угол <р,
16.66. Найти коэффициент отражения р естественного свет{Ц
падающего на стекло (п = 1,54) под углом г’в полной поляризации»
Найти степень поляризации Р лучей, прошедших в стекло. ,
16.67. * Стопа Столетова состоит из десяти тонких плоскопгИ
раллельных стеклянных пластинок, на которые луч падает ПОД
углом полной поляризации. Вычислить степень поляризации пре,
ломленного луча в зависимости от числа N пройденных им план
стинок (п = 1,5). Падающий свет естественный.
16.68. Найти коэффициент отражения р и степень поляризация
Pi отраженных лучей при падении естественного света на стекл<
(п = 1,5) под углом г = 45°. Какова степень поляризации
преломленных лучей?
§1 ?]
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
193
§17. Элементы теории относительности
Длина I тела, движущегося со скоростью v относительно некоторой системы
отсчета, связана с длиной 1о тела, неподвижного в этой системе, соотношением
где /3 — v/c, с—скорость распространения света.
Промежуток времени Дт в системе, движущейся со скоростью v по отноше-
нию к наблюдателю, связан с промежутком времени Дто в неподвижной для
наблюдателя системе соотношением
Дт = Дто
Зависимость массы т тела от скорости v его движения дается уравнением
где то — масса покоя этого тела.
Зависимость кинетической энергии тела от скорости v его движения дается
сравнением
- 1 .
Жк = тос2 ( 1
Изменение массы системы на Дтп соответствует изменению энергии системы
ДЖ = с2 Дтп.
17.1. При какой относительной скорости v движения реляти-
вистское сокращение длины движущегося тела составляет 25 %?
17.2. Какую скорость v должно иметь движущееся тело, чтобы
<то продольные размеры уменьшились в 2 раза?
17.3. Мезоны космических лучей достигают поверхности Земли
< самыми разнообразными скоростями. Найти релятивистское со-
кращение размеров мезона, скорость которого равна 95% скорости
<вета.
17.4. Во сколько раз увеличивается продолжительность суще-
ствования нестабильной частицы по часам неподвижного наблю-
дателя, если она начинает двигаться со скоростью, составляющей
'»9 % скорости света?
17.5. Мезон, входящий в состав космических лучей, движется
о скоростью, составляющей 95% скорости света. Какой проме-
жуток времени Дт по часам неподвижного наблюдателя соответ-
< гвует одной секунде «собственного времени» мезона?
17.6. На сколько увеличится масса а-частицы при ускорении
<•<: от начальной скорости, равной нулю, до скорости, равной 0,9
корости света?
194
ОПТИКА
[Гл. V
17.7. Найти отношение е/m заряда электрона к его массе
для скоростей: a) v с; б) v = 2 • 108м/с; в) v = 2,2 • 108м/с;
г) v = 2,4 • 108м/с; д) v = 2,6 • 108м/с; е) v = 2,8 • 108м/с. Со-
ставить таблицу и построить графики зависимостей т и е/т от
величины (3 = v/c для указанных скоростей.
17.8. При какой скорости v масса движущегося электрона
вдвое больше его массы покоя?
17.9. До какой энергии WK можно ускорить частицы в цикло-
троне, если относительное увеличение массы частицы не должно
превышать 5 %? Задачу решить для: а) электронов; б) протонов;
в) дейтонов.
17.10. Какую ускоряющую разность потенциалов U должен
пройти электрон, чтобы его скорость составила 95% скорости
света?
17.11. Какую ускоряющую разности потенциалов U должен
пройти протон, чтобы его продольные размеры стали меньше в
2 раза?
17.12. * 7го-мезон (то = 2,4- 10-28кг) движется со скоростью
v = 0,8 • с = 2,4 • 108м/с. Чему равна его кинетическая энергия?
Полученный ответ сравните с вычислениями по классической
механике.
17.13. * Сколько энергии выделяется при распаде тг°-мезона
из предыдущего примера и его превращении в электромагнитное
излучение?
17.14. * На сколько изменится масса сферического проводника
радиусом R = 1м, если ему сообщить заряд Q = 85мкКл.
17.15. * Электрон (то = 9,11 • 10-31 кг) под действием консер-
вативной силы ускоряется из состояния покоя до скорости V.
При этом его потенциальная энергия убывает на 4,2 10-14Дж.
Определить скорость электрона.
17.16. Циклотрон дает пучок электронов с кинетической энер-
гией И7К = 0,67 МэВ. Какую долю в скорости света составляет
скорость электронов в этом пучке?
17.17. Составить для электронов и протонов таблицу зависимо-,
сти их кинетической энергии WK от скорости v (в долях скорости
света) для значений /3, равных 0,1; 0,5; 0,6; 0,7; 0,8; 0,9; 0,95;
0,999.
17.18. Масса движущегося электрона вдвое больше его массы
покоя. Найти кинетическую энергию WK электрона.
17.19. Какому изменению массы Дт соответствует изменение
энергии на ДЖ = 4,19 Дж?
17.20. Найти изменение энергии ДИ7, соответствующее изме-
нению массы на Am — 1 а. е. м.
17.21. Найти изменение энергии ДИ7, соответствующее изме*
нению массы Am = те. ।
§18]
ТЕПЛОВОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ
195
17.22. Найти изменение массы Дшд, происходящее при обра-
зовании v = 1 моль воды, если реакция образования воды такова:
2Н2 + О2 = 2Н2О + 5,75 • 10s Дж.
17.23. При делении ядра урана g25U освобождается энер-
гия W = 200 МэВ. Найти изменение массы Дшм при делении
и = 1 моль урана.
17.24. Солнце излучает поток энергии Р = 3,9-1026 Вт. За какое
время т масса Солнца уменьшится в 2 раза? Излучение Солнца
считать постоянным.
§ 18. Тепловое излучение
Энергетическая светимость (излучательиость) абсолютно черного тела, т. е.
энергия, излучаемая в единицу времени единицей поверхности абсолютно чер-
ного тела, определяется формулой Стефана—Больцмана
R, =аТ*,
где Т—термодинамическая температура, а = 5,67 10-8Вт/(м2 • К4)—посто-
янная Стефана— Больцмана.
Если излучаемое тело не является абсолютно черным, то
я; = каТ4,
где коэффициент к всегда меньше единицы.
Энергетическая светимость Rs связана со спектральной плотностью энерге-
тической светимости абсолютно черного тела г\ соотношением
Я, = JrxdX.
О
Излучательная способность абсолютно черного тела
₽ „ - Зтг/ц/3 1
V'T~ С2 exp (hv/kT) — 1 ’
|де h = 6,626 • 10~34 Дж/с — постоянная Планка, и— частота света, с = 3 X
х1О1осм/с — скорость света, к = 1,38 • 10-23Дж/к— постоянная Больцмана,
Г — температура абсолютно черного тела.
Произведение термодинамической температуры абсолютно черного тела иа
глину волны, при которой спектральная плотность энергетической светимости
ггого тела максимальна, равна постоянной величине (первый закон Вина):
AmT = Ci = 2,9 • 10“3 м • К.
Максимальная спектральная плотность энергетической светимости абсолют-
но черного тела возрастает пропорционально пятой степени температуры (вто-
рой закон Вина):
гхт1ж = СгТ®, где С2 = 1,29 • 10~8 Вт/(м3 - К8).
196
ОПТИКА
[Гл. V
18.1. Найти температуру Т печи, если известно, что излуче-
ние из отверстия в ней площадью S = 6,1 см2 имеет мощность
N = 34,6 Вт. Излучение считать близким к излучению абсолютно,
черного тела.
18.2. Какую мощность излучения N имеет Солнце? Излучение
Солнца считать близким к излучению абсолютно черного тела.
Температура поверхности Солнца Т = 5800 К.
18.3. Какую энергетическую светимость б?, имеет затвердеваю-
щий свинец? Отношение энергетических светимостей свинца и
абсолютно черного тела для данной температуры к = 0,6.
18.4. Мощность излучения абсолютно черного тела N = 34 кВт.
Найти температуру Т этого тела, если известно, что его поверх-
ность S = 0,6 м2.
18.5. Мощность излучения раскаленной металлической поверх-
ности N' = 0,67 кВт. Температура поверхности Т — 2500 К, ее пло-
щадь S = 10 см2. Какую мощность излучения N имела бы эта
поверхность, если бы она была абсолютно черной? Найти отноше-
ние к энергетических светимостей этой поверхности и абсолютно
черного тела при данной температуре. ।
18.6. Диаметр вольфрамовой спирали в электрической лампоч- ।
ке d = 0,3 мм, длина спирали I = 5 см. При включении лампочки в 1
сеть напряжением U = 127 В через лампочку течет ток I = 0,31 А. 1
Найти температуру Т спирали. Считать, что по установлении рав-
новесия все выделяющееся в нити тепло теряется в результате '
излучения. Отношение энергетических светимостей вольфрама и ।
абсолютно черного тела для данной температуры к = 0,31.
18.7. Температура вольфрамовой спирали в 25-ваттной элек- 1
трической лампочке Т = 2450 К. Отношение ее энергетической 1
светимости к энергетической светимости абсолютно черного тела 1
при данной температуре к = 0,3. Найти площадь S излучающей
поверхности спирали. !
18.8. Найти солнечную постоянную К, т.е. количество лу- j
чистой энергии, посылаемой Солнцем в единицу времени через
единичную площадку, перпендикулярную к солнечным лучам и |
находящуюся на таком же расстоянии от него, как и Земля. I
Температура поверхности Солнца Т = 5800 К. Излучение Солнца I
считать близким к излучению абсолютно черного тела. I
18.9. Считая, что атмосфера поглощает 10% лучистой энергии» ‘
посылаемой Солнцем, найти мощность излучения N, получаемую I
от Солнца горизонтальным участком Земли площадью S = 0,5 га. I
Высота Солнца над горизонтом = 30°. Излучение Солнца счи- |
тать близким к излучению абсолютно черного тела. i
18.10. * Температура поверхности Солнца 6000 К, отношении |
диаметра земной орбиты к диаметру Солнца составляет 2,14 10а.
Считается, что Земля одинаково излучает по всем направлениям, ।
вычислите ее среднюю температуру. ,
§18]
ТЕПЛОВОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ
197
18.11. Какую энергетическую светимость Лэ имеет абсолютно
черное тело, если максимум спектральной плотности его энерге-
тической светимости приходится на длину волны А = 484 нм?
18.12. Мощность излучения абсолютно черного тела W= 10 кВт.
Найти площадь S излучающей поверхности тела, если максимум
спектральной плотности его энергетической светимости приходит-
ся на длину волны А = 700 нм.
18.13. В каких областях спектра лежат длины волн, соот-
ветствующие максимуму спектральной плотности энергетической
светимости, если источником света служит: а) спираль электриче-
ской лампочки (Т = 3000К); б) поверхность Солнца (Т = 6000К);
в) атомная бомба, в которой в мо-
мент взрыва развивается температу- г*‘1 л
pa Т « 107К? Излучение считать I \
близким к излучению абсолютно чер- I \
кого тела. \
18.14. На рис. 129 дана кривая I \
зависимости спектральной плотности I \
энергетической светимости абсолют- / \
ио черного тела гд от длины вол- / \
пы А при некоторой температуре. К / X.
какой температуре Т относится эта /
кривая? Какой процент излучаемой 0 2 4 х мкм
энергии приходится на долю видимо-
го спектра при этой температуре? ис’
18.15. При нагревании абсолютно черного тела длина волны А,
на которую приходится максимум спектральной плотности энер-
гетической светимости, изменилась от 690 до 500 нм. Во сколько
раз увеличилась при этом энергетическая светимость тела?
18.16. На какую длину волны А приходится максимум спек-
тральной плотности энергетической светимости абсолютно черно-
го тела, имеющего температуру, равную температуре t = 37 °C
человеческого тела, т. е. Т = 310 К?
18.17. Температура Т абсолютно черного тела изменилась при
нагревании от 1000 до 3000 К. Во сколько раз увеличилась при
этом его энергетическая светимость Д,? На сколько изменилась
длина волны А, на которую приходится максимум спектральной
плотности энергетической светимости? Во сколько раз увеличи-
лась его максимальная спектральная плотность энергетической
светимости гд?
18.18. Абсолютно черное тело имеет температуру 1\ =2900 К.
В результате остывания тела длина волны, на которую приходит-
ся максимум спектральной плотности энергетической светимости,
изменилась на ДА = 9 мкм. До какой температуры Т2 охладилось
гело?
198 оптика [Гл. V
18.19. * Определить температуру тела, при которой оно излу-i
чало бы энергии в 10 раз больше, чем поглощало. Температура
окружающей среды to = 23 °C.
18.20. * Лазер на рубине излучает в импульсе длительностью^
т = 0,5 мс энергию Е = 10 Дж в виде параллельного светового пуч-
ка. Длина волны лазера А = 6943 А, ширина линии ДА = 0,01 А.
Определить по спектральной плотности излучения эффективную
температуру Т3фф в лазерном луче.
18.21. * В черный тонкостенный металлический сосуд, имеющий
форму куба, налит 1кг воды, нагретой до 50 °C. Определить1
время t остывания сосуда до 10 °C, если он помещен в черную |
полость, температура стенок которой поддерживается при 0°С, а
вода заполняет весь объем сосуда.
18.22. * Найти энтропию и теплоемкость излучения черного те-
ла температурой Т в объеме V.
18.23. * Показать, что излучательная способность абсолютно'
черного тела и объемная спектральная плотность энергии
связаны соотношением £Vit = 0,25 с • и„д-. I
18.24. * Вывести из формулы Планка соотношения Рэлея — ,
Джинса и Вина.
Глава VI
ФИЗИКА АТОМА И АТОМНОГО ЯДРА
§ 19. Квантовая природа света и волновые свойства частиц
Энергия фотона (кванта света) определяется формулой
е = hv,
где h = 6,626176 -10-34 Дж - с — постоянная Планка, и [Гц] — частота колебания.
Импульс и масса фотона
где с - 2,99792458 • 10® м/с — скорость распространения света в вакууме.
Связь между энергией фотона, вызывающего внешний фотоэффект, и мак-
симальной кинетической энергией вылетающих электронов дается формулой
Эйнштейна
о
hi, = А + ,
где А—работа выхода электрона из металла, т—масса электрона. Если v = 0,
го hva - А, где и> — частота света, соответствующая красной границе фотоэф-
фекта.
Световое давление
(1 + Р).
где Е — энергия, падающая на единицу поверхности за единицу времени, р—
коэффициент отражения света.
Изменение длины волны рентгеновских лучей при комптоновском рассеянии
определяется формулой
ДА = (1 - cos ср),
тс'
е де ср—угол рассеяния, т—масса электрона.
Пучок элементарных частиц обладает свойством плоской волны, распростра-
няющейся в направлении перемещения этих частиц. Длина волны А, соответ-
ствующая этому пучку, определяется соотношением де Бройля
А= А- = ft
\/2lVm ’
е де v — скорость частиц, m— масса частиц, W — их кинетическая энергия.
200
ФИЗИКА АТОМА И АТОМНОГО ЯДРА
[Гл. VI
Если скорость v частиц соизмерима со скоростью света с, то эта формула при-
нимает вид ______
А = J 1 — /З2 = h_ ,
™ov v v/2IVm0 + IV2/c2
где /3 = ч/с. mo — масса покоя частицы.
19.1. Найти массу in фотона: а) красных .лучей света (А =
= 700 им); б) рентгеновских лучей (А = 25пм); в) гамма-лучей
(А = 1,24 пм).
19.2. * Дифракционная решетка с постоянной d = Змк распо-
ложена нормально на пути монохроматического светового потока.
При этом углы дифракции, отвечающие двум соседним макси-
мумам, равны = 23°35" и — 36°52". Вычислить энергию
фотонов данного светового потока.
19.3. Ртутная дуга имеет мощность N = 125 Вт. Какое число
фотонов испускается в единицу времени в излучении с длинами
волн А, равными: 612,3; 579,1; 546,1; 404,7; 365,5; 253,7 нм?
Интенсивности этих линий составляют соответственно 2; 4; 4; 2,9;
2,5; 4% интенсивности ртутной дуги. Считать, что 80% мощности
дуги идет на излучение.
19.4. * При фотосинтезе под действием света происходит реак-
ция СО2 —> СО + О2. Считается, что для этой реакции требуется
9 фотонов с А = 670им. Каков к.п.д. синтеза, если обратная
реакция характеризуется энерговыделеиием 4,9 эВ па одну моле-
кулу СО>?
19.5. С какой скоростью v должен двигаться электрон, что-
бы его импульс был равен импульсу фотона с длиной волны
А = 520 нм? '
19.6. Какую энергию е должен иметь фотон, чтобы его масса
была равна массе покоя электрона?
19.7. Импульс, переносимый монохроматическим пучком фо-
тонов через площадку S = 2 см2 за время t = 0,5 мни, равен
р = 3 • 10~9 кг- м/с. Найти для этого пучка энергию Е, падающую
на единицу площади за единицу времени.
19.8. * Какое количество фотонов с длиной волны А = 0,6 мкм в
параллельном пучке имеет суммарный импульс, равный среднему
абсолютному значению импульса |р| атома гелия при температуре
Т = 300 К?
19.9. При высоких энергиях трудно осуществить условия для
измерения экспозиционной дозы рентгеновского и гамма-излуче-1
ний в рентгенах, поэтому допускается применение рентгена как
единицы дозы для излучений с энергией квантов до £ = ЗМэВ.
До какой предельной длины волны А рентгеновского излучения
можно употреблять рентген?
19.10. * Электрическая лампа мощностью 100Вт испускает 3%-
потребляемой энергии в форме видимого света (средняя дли-.,
иа волны 550 пм) равномерно по всем направлениям. Сколько;
§191
КВАНТОВАЯ ПРИРОДА СВЕТА
201
фотонов видимого света попадает за 1с в зрачок наблюдателя
(диаметр зрачка 4,0 мм), находящегося на расстоянии 10 км от
лампы?
19.11. В работе А. Г. Столетова «Актино-электрические иссле-
дования» (1888 г.) впервые были установлены основные законы
фотоэффекта. Один из результатов его опытов был сформулиро-
ван так: «Разряжающим действием обладают лучи самой высокой
преломляемости с длиной волны менее 295 нм». Найти работу вы-
хода А электрона из металла, с которым работал А. Г. Столетов.
19.12. Найти длину волны Ао света, соответствующую красной
границе фотоэффекта, для лития, натрия, калия и цезия.
19.13. Длина волны света, соответствующая красной границе
фотоэффекта, для некоторого металла Ао = 275 нм. Найти мини-
мальную энергию £ фотона, вызывающего фотоэффект.
19.14. * Квант длиной волны А = 342 А вырывает с чистой
поверхности металлического лития фотоэлектрон, который опи-
сывает в магнитном поле напряженностью Н = 1,2103 А/м окруж-
ность радиусом R= 1,2 см. Определить энергию, затраченную на
освобождение данного электрона из атома лития.
19.15. * Чему равна минимальная длина волны рентгеновского
излучения, испускаемого при соударении ускоренных электронов с
экраном телевизионного кинескопа, работающего при напряжении
30 кВ?
19.16. Найти задерживающую разность потенциалов U для
электронов, вырываемых при освещении калия светом с длиной
волны А = 330 нм.
19.17. При фотоэффекте с платиновой поверхности электро-
ны полностью задерживаются разностью потенциалов U = 0,8 В.
Найти длину волны А применяемого облучения и предельную
длину волны Ао, при которой еще возможен фотоэффект.
19.18. Фотоны с энергией е = 4,9 эВ вырывают электроны из
металла с работой выхода «А = 4,5 эВ. Найти максимальный им-
пульс ртах, передаваемый поверхности металла при вылете каж-
дого электрона.
19.19. Найти постоянную Планка h, если известно, что элек-
троны, вырываемые из металла светом с частотой = 2,2 1015Гц,
полностью задерживаются разностью потенциалов U\ = 6,6 В, а
вырываемые светом с частотой = 4,6 • 1015 Гц—разностью по-
тенциалов U2 = 16,5 В.
19.20. Вакуумный фотоэлемент состоит из центрального ка-
тода (вольфрамового шарика) и анода (внутренней поверхности
посеребренной изнутри колбы). Контактная разность потенциалов
между электродами Uq = 0,6 В ускоряет вылетающие электроны.
Фотоэлемент освещается светом с длиной волны А = 230 нм. Ка-
кую задерживающую разность потенциалов U надо приложить
202
ФИЗИКА АТОМА И АТОМНОГО ЯДРА
[Гл. VI
между электродами, чтобы фототок упал до нуля? Какую ско-
рость v получат электроны, когда они долетят до анода, если не
прикладывать между катодом и анодом разности потенциалов?
19.21. Между электродами фотоэлемента предыдущей задачи
приложена задерживающая разность потенциалов U = 1 В. При
какой предельной длине волны Ао падающего на катод света
начнется фотоэффект?
19.22. На рис. 130 показана часть прибора, с которым П. Н. Ле-
бедев производил свои опыты по измерению светового давле-
ния. Стеклянная крестовина, подвешенная на
тонкой нити, заключена в откачанный сосуд
и имеет на концах два легких кружка из пла-
тиновой фольги. Один кружок зачернен, дру-
6 гой оставлен блестящим. Направляя свет на
один из кружков и измеряя угол поворота ни-
5 ти (для зеркального отсчета служит зеркаль-
це S), можно определить световое давление.
Найти световое давление Р и световую энер-
гию Е, падающую от дуговой лампы в еди-
--- ----/'”\ ницу времени на единицу площади кружков.
При освещении блестящего кружка отклоне-
ние зайчика а = 76 мм по шкале, удаленной
Рис. 1зо от зеркальца на расстояние Ь = 1200 мм. Диа-
метр кружков d = 5 мм. Расстояние от центра
кружка до оси вращения I = 9,2 мм. Коэффициент отражения све-
та от блестящего кружка р = 0,5. Постоянная момента кручения
нити (М = ка) к = 2,2 10-11 Н • м/рад.
19.23. * Определить силу светового давления F солнечного из-
лучения на поверхность земного шара, считая ее абсолютно чер-
ной. Найти отношение этой силы к силе гравитационного при-
тяжения Солнца Fj. Светимость Солнца равна 2 • 1026Дж/м2 - с.
Другие необходимые астрономические величины даны в Прило-
жении XII.
19.24. В одном из опытов П.Н. Лебедева мощность падающего
на кружки монохроматического света (А = 560 нм) была равна
N = 8,33 мВт. Найти число фотонов 1, падающих в единицу
времени на единицу площади кружков, и импульс силы F Дт,
сообщенный единице площади кружков за единицу времени, для
значений р, равных: 0; 0,5; 1. Данные прибора взять из условия
задачи 19.22.
19.25. * Найти величину нормального давления на плоскую по-
верхность при зеркальном отражении параллельного светового
потока с интенсивностью I = 0,5вт/см2, если коэффициент отра-
жения данной поверхности р = 0,6, а угол между направлением
света и нормалью к поверхности 6 = 30°.
19.26. Найти световое давление Р на стенки электрической
100-ваттной лампы. Колба лампы представляет собой сфериче-
§19]
КВАНТОВАЯ ПРИРОДА СВЕТА
203
ский сосуд радиусом г -- 5 см. Стенки лампы отражают 4% и
пропускают 6% падающего на них света. Считать, что вся по-
требляемая /мощность идет на излучение.
19.27. На поверхность площадью S = 0,01 м2 в единицу времени
падает световая энергия Е = 1,05 Дж/с. Найти световое давление
Р в случаях, когда поверхность полностью отражает и полностью
поглощает падающие на нее лучи.
19.28. Монохроматический пучок света (А = 490 нм), падая
по нормали к поверхности, производит световое давление Р =
= 4,9 мкПа. Какое число фотонов I падает в единицу времени
на единицу площади этой поверхности? Коэффициент отражения
света р — 0,25.
19.29. Рентгеновские лучи с длиной волны Ао = 70,8 пм ис-
пытывают комптоновское рассеяние на парафине. Найти дли-
ну волны А рентгеновских лучей, рассеянных в направлениях:
а) <р = тг/2; б) <р = тг.
19.30. Какова была длина волны Ао рентгеновского излучения,
если при комптоновском рассеянии этого излучения графитом
под углом <р = 60° длина волны рассеянного излучения оказалась
равной А = 25,4 пм? ,
19.31. Рентгеновские лучи с длиной волны Ао = 20 пм испы-
тывают комптоновское рассеяние под углом <р = 90°. Найти из-
менение ДА длины волны рентгеновских лучей при рассеянии, а
также энергию We и импульс электрона отдачи.
19.32. При комптоновском рассеянии энергия падающего фото-
на распределяется поровну между рассеянным фотоном и элек-
троном отдачи. Угол рассеяния <р = тг/2. Найти энергию W и
импульс р рассеянного фотона.
19.33. Энергия рентгеновских лучей е = 0,6 МэВ. Найти энер-
гию We электрона отдачи, если длина волны рентгеновских лучей
после комптоновского ^рассеяния изменилась на 20%.
19.34. Найти длину волны де Бройля А для электронов, про-
шедших разность потенциалов [Д — 1В и 1?2 = 100 В.
19.35. * Вычислить отношение кинетической энергии электрона
к кинетической энергии протона с одинаковой длиной волны де
Бройля. Скорости существенно меньше, чем скорость света.
19.36. Найти длину волны де Бройля А для: а) электрона,
движущегося со скоростью v = 106 м/с; б) атома водорода, дви-
жущегося со средней квадратичной скоростью при температуре
Т — 300 К; в) шарика массой m = 1 г, движущегося со скоростью
и = 1см/с.
19.37. Найти длину волны де Бройля А для электрона, имею-
щего кинетическую энергию: a) Wi = 10 кэВ; б) W? = 1МэВ.
19.38. Заряженная частица, ускоренная разностью потенциалов
IJ = 200 В, имеет длину волны де Бройля А = 2,02 пм. Найти
массу тп частицы, если ее заряд численно равен заряду электрона.
204
ФИЗИКА АТОМА И АТОМНОГО ЯДРА
[Гл. VI
19.39. Составить таблицу значений длин волн де Бройля А для .
электрона, движущегося со скоростью v, равной: 2 108; 2,2 • 10®}
2,4 • 108; 2,6 • 108; 2,8 • 108 м/с.
19.40. а-частица движется по окружности радиусом г = 8,3 мм
в однородном магнитном поле, напряженность которого Н ;
— 18,9 кА/м. Найти длину волны де Бройля А для а-частицы.
19.41. Найти длину волны де Бройля А для атома водорода, 1
движущегося при температуре Т = 293 К с наиболее вероятной
скоростью.
§ 20. Атом Бора. Рентгеновские лучи
Согласно первому постулату Бора движение электрона вокруг ядра возмож-
но только по определенным орбитам, радиусы которых удовлетворяют соотно-
шению
mvkrk =кт^,
где m — масса электрона, гд—его скорость на fc-й орбите, гк — радиус этой
орбиты, h — постоянная Планка, к — любое целое число (квантовое число).
Согласно второму постулату Бора частота излучения, соответствующая пе-
реходу электрона с одной орбиты на другую, определяется формулой
hv = Wn - Wk,
где fc и n — номера орбит (n > fc), Wk и Wn—соответствующие им значения
энергии электрона.
Формула, позволяющая найти частоты и или длины волн А, соответствующие
линиим водородного спектра, имеет вид
где к и п — номера орбит, с—скорость распространения света в вакууме, Я—
постоянная Ридберга, равная
Я = = 1,097373177 107 м~‘
8e§/i3c
Здесь е — заряд электрона, m — его масса, h — постоянная Планка и ео-'
электрическая постоянная.
Формула, позволяющая найти частоты 1/ или длины воли А для водородопо- f
добных ионов, имеет вид
где Z — порядковый номер элемента в таблице Менделеева. I
Дифракция рентгеновских лучей описывается уравнением Вульфа—БрэггЦ
2d sin <р = mA (гп = 0, 1, 2, ...),
§20]
АТОМ БОРА. РЕНТГЕНОВСКИЕ ЛУЧИ
205
где d—постоянная решетки кристалла (расстояние между атомными плоско-
стями кристалла), <р—угол между пучком рентгеновских лучей и поверхностью
кристалла.
Частота pq, соответствующая коротковолновой границе сплошного рентге-
новского спектра, может быть найдена из соотношения
/то — eU,
где 17—разность потенциалов, приложенная к электродам рентгеновской
трубки.
Длина волны рентгеновских характеристических лучей может быть найдена
по формуле Мозли
где Z — порядковый номер элемента, из которого сделан антикатод, 6—посто-
янная экранирования. Последняя формула может быть переписана так:
=a(Z -6), где а=уЯс(^-^7у'
Интенсивность пучка рентгеновских лучей, прошедших сквозь пластинку
толщиной z, определяется формулой
где Zo — интенсивность пучка, падающего на пластинку, ц [м-1] — линейный
коэффициент поглощения. Коэффициент поглощения д зависит от длины вол-
ны рентгеновских лучей и от плотности вещества. Массовый коэффициент по-
глощения дм связан с линейным коэффициентом поглощения д соотношением
дм [м2/кг] = д/р, где р — плотность вещества.
Поглощение рентгеновских лучей различными веществами можно охаракте-
ризовать так называемой «толщиной слоя половинного ослабления», т. е. тол-
щиной слоя z1y2, уменьшающей вдвое интенсивность падающих лучей.
20.1. Найти радиусы трех первых боровских электронных
орбит в атоме водорода и скорости V/, электрона на них.
20.2. Найти кинетическую WK, потенциальную Wn и полную W
энергии электрона на первой боровской орбите.
20.3. Найти кинетическую энергию WK электрона, находяще-
гося на n-й орбите атома водорода, для п = 1, 2, 3 и оо.
20.4. * Определить угловую скорость электрона на первой бо-
ровской орбите атома водорода.
20.5. Найти наименьшую Лт;п и наибольшую Атах длины волн
спектральных линий водорода в видимой области спектра.
20.6. Найти наибольшую длину волны Атах в ультрафиоле-
товой области спектра водорода. Какую наименьшую скорость
«min должны иметь электроны, чтобы при возбуждении атомов
водорода ударами электронов появилась эта линия?
20.7. Найти потенциал ионизации Щ атома водорода.
206
ФИЗИКА АТОМА И АТОМНОГО ЯДРА
[Гл. VI
20.8. Найти первый потенциал возбуждения Ui атома водорода.
20.9. Какую наименьшую энергию Wmin (в электронвольтах)
должны иметь электроны, чтобы при возбуждении атомов водо-
рода ударами этих электронов появились все линии всех серий
спектра водорода? Какую наименьшую скорость t/min должны
иметь эти электроны?
20.10. В каких пределах должна лежать энергия бомбардирую-
щих электронов, чтобы при возбуждении атомов водорода ударами
этих электронов спектр водорода имел только одну спектральную
линию?
20.11. * Атомарный водород, возбуждаемый некоторым моно-
хроматическим светом, испускает только три спектральные линии.
Определить квантовое число энергетического уровня, на который
возбуждаются атомы, а также длины волн испускаемых линий.
20.12. В каких пределах должны лежать длины волн Л моно-
хроматического света, чтобы при возбуждении атомов водорода
квантами этого света наблюдались три спектральные линии?
20.13. На сколько изменилась кинетическая энергия электрона
в атоме водорода при излучении атомом фотона с длиной волны
А = 486 нм?
20.14. В каких пределах должны лежать длины волн А моно-
хроматического света, чтобы при возбуждении атомов водорода
квантами этого света радиус орбиты г* электрона увеличился
в 9 раз?
20.15. На дифракционную решетку нормально падает пучок
света от разрядной трубки, наполненной атомарным водородом.
Постоянная решетки d — 5мкм. Какому перехода электрона со-
ответствует спектральная линия, наблюдаемая при помощи этой
решетки в спектре пятого порядка под углом ср = 41° ?
20.16. Найти длину волны де Бройля А для электрона, дви-
жущегося по первой боровской орбите атома водорода.
20.17. Найти радиус гг первой боровской электронной орбиты
для однократно ионизованного гелия и скорость гд электрона
на ней.
20.18. Найти первый потенциал возбуждения Ur- а) однократно
ионизованного гелия; б) двукратно ионизованного лития.
20.19. Найти потенциал ионизации Up. а) однократно ионизо-
ванного гелия; б) двукратно ионизованного лития.
20.20. Найти длину волны А фотона, соответствующего перехо-
ду электрона со второй боровской орбиты на первую в однократно
ионизованном атоме гелия.
20.21. * Определить магнитный момент электрона, движуще-
гося на «п»-орбите атома водорода. Показать, что отношение
магнитного момента к механическому постоянно для всех орбит.
20.22. D-линия натрия излучается в результате такого пере-
хода электрона с одной орбиты атома на другую, при котором
§20]
АТОМ ВОРА. РЕНТГЕНОВСКИЕ ЛУЧИ
207
энергия атома уменьшается на = 3,37-10-19 Дж. Найти длину
волны А D-линии натрия.
20.23. На рис. 131 изображена схема прибора для определения
резонансного потенциала натрия. Трубка содержит пары натрия.
Электроды G и А имеют одинаковый потенциал. При какой наи-
меньшей ускоряющей разности потенциалов U между катодом К
и сеткой G наблюдается спектральная линия с длиной волны
А = 589 нм?
20.24. Электрон, пройдя разность потенциалов U = 4,9 В, стал-
кивается с атомом ртути и переводит его в первое возбужденное
состояние. Какую длину волны А имеет фотон, соответствующий
переходу атома ртути в нормальное состояние?
20.25. На рис. 132 изображена установка для наблюдения ди-
фракции рентгеновских лучей. При вращении кристалла С толь-
ко тот луч будет отражаться на фотографическую пластинку В,
длина волны которого удовлетворяет уравнению Вульфа— Брэгга.
При каком наименьшем угле <р между плоскостью кристалла и
пучком рентгеновских лучей были отражены рентгеновские лу-
чи с длиной волны А = 20 пм? Постоянная решетки кристалла
d = 303 пм.
20.26. Найти постоянную решетки d каменной соли, зная мо-
лярную массу д = 0,058 кг/моль каменной соли и ее плотность
р = 2,2 • 103кг/м3. Кристаллы каменной соли обладают простой
кубической структурой.
20.27. При экспериментальном определении постоянной План-
ка h при помощи рентгеновских лучей кристалл устанавливается
под некоторым углом <р, а разность потенциалов U, прилаженная
к электродам рентгеновской трубки, увеличивается до тех пор,
пока не появится линия, соответствующая этому углу. Найти
постоянную Планка h из следующих данных: кристалл каменной
соли установлен под углом <р = 14°; разность потенциалов, при
которой впервые появилась линия, соответствующая этому углу,
U = 9,1 кВ; постоянная решетки кристалла d = 281 пм.
208
ФИЗИКА АТОМА И АТОМНОГО ЯДРА
[Гл. VI
20.28. * Атомные плоскости кристалла отстоят друг от друга на [
210 пм. Чему равна длина волны рентгеновских лучей, падающих
на кристалл, если отражение первого порядка наблюдается под
углом 45°?
20.29. * Определить угловую ширину дифракционных максиму-
мов, возникающих при рассеянии плоского пучка монохроматиче- 1
ских рентгеновских лучей с длиной волны А на линейной цепочке
из N рассеивающих центров с периодом а.
20.30. Найти длину волны А, определяющую коротковолновую „
границу непрерывного рентгеновского спектра, если известно, что '
уменьшение приложенного к рентгеновской трубке напряжения
на А (7 = 23 кВ увеличивает искомую длину волны в 2 раза.
20.31. Длина волны гамма-излучения радия А = 1,6 пм. Какую 1
разность потенциалов U надо приложить к рентгеновской трубке,
чтобы получить рентгеновские лучи с этой длиной волны?
20.32. Какую наименьшую разность потенциалов U надо при- I
дожить к рентгеновской трубке, чтобы получить все линии >
Д-серии, если в качестве материала антикатода взять: а) медь; (
б) серебро; в) вольфрам; г) платину?
20.33. Считая, что формула Мозли с достаточной степенью
точности дает связь между длиной волны А характеристических
рентгеновских лучей и порядковым номером элемента Z, из кото-
рого сделан антикатод, найти наибольшую длину волны А линий г
К-серии рентгеновских лучей, даваемых трубкой с антикатодом I
из: а) железа; б) меди; в) молибдена; г) серебра; д) тантала; ,
е) вольфрама; ж) платины. Для Jf-серии постоянная экраниро-
вания b= 1. J
20.34. Найти постоянную экранирования Ь для L-серии рент- 1
геновских лучей, если известно, что при переходе электрона в. j
атоме вольфрама с М- на L-слой испускаются рентгеновские лучи'1
с длиной волны А = 143 пм.
20.35. При переходе электрона в атоме с L- на /f-слой испус-
каются рентгеновские лучи с длиной волны А = 78,8пм. Какой,
это атом? Для /f-серии постоянная экранирования 6=1. I
20.36. Воздух в некотором объеме V облучается рентгеновски- 1
ми лучами. Экспозиционная доза излучения D3 = 4,5Р. Какая
доля атомов, находящихся в данном объеме, будет ионизована
этим излучением?
20.37. Рентгеновская трубка создает на некотором расстоянии
мощность экспозиционной дозы Рэ = 2,58- 10-5 А/кг. Какое чис-
ло N пар ионов в единицу времени создает эта трубка на единицу
массы воздуха при данном расстоянии?
20.38. Воздух, находящийся при нормальных условиях в иони-
зационной камере объемом V = 6 см3, облучается рентгеновски-
ми лучами. Мощность экспозционной дозы рентгеновских лучей
Рэ = 0,48 мР/ч. Найти ионизационный ток насыщения /н.
§21]
РАДИОАКТИВНОСТЬ
209
20.39. Найти для алюминия толщину xi/2 слоя половинного
ослабления для рентгеновских лучей некоторой длины волны.
Массовый коэффициент поглощения алюминия для этой длины
волны дм = 5,3м2/кг.
20.40. * При увеличении толщины слоя графита на 0,5 см ин-
тенсивность прошедшего пучка рентгеновских лучей уменьшилась
в 3 раза. Определить линейный коэффициент ослабления графита
для данного излучения.
20.41. Во сколько раз уменьшится интенсивность рентгенов-
ских лучей с длиной волны А = 20 пм при прохождении слоя
железа толщиной d= 0,15 мм? Массовый" коэффициент поглоще-
ния железа для этой длины волны дм = 1,1м2/кг.
20.42. В нижеследующей таблице приведены для некоторых
материалов значения толщины слоя хуг половинного ослабле-
ния рентгеновских лучей, энергия которых W = 1 МэВ. Найти
линейный д и массовый дм коэффициенты поглощения этих ма-
териалов для данной энергии рентгеновских лучей. Для какой
длины волны А рентгеновских лучей получены эти данные?
Вещество Вода Алюминий Железо Свинец
Xj/25 СМ 10,2 4,5 1,56 0,87
20.43. Сколько слоев половинного ослабления необходимо для
уменьшения интенсивности рентгеновских лучей в 80 раз?
§21. Радиоактивность
Число атомов радиоактивного вещества dJV, распадающихся за время dt, про-
порционально числу имеющихся атомов и определяется соотношением
где А — постоянная радиоактивного распада. Интегрируя, получим
N = Noe~xt,
где No — число атомов в момент времени t = 0, N — число их по истечении
времени I.
Число распадов, происходящих в препарате за единицу времени, называется
активностью радиоактивного препарата (1 Бк = 1 расп/с):
а [Бк] = = -XN.
1 1 at
Период полураспада Tj/2 и постоянная распада А связаны соотношением
_ 1п2 _ 0,693
Л/2 -
210
ФИЗИКА АТОМА И АТОМНОГО ЯДРА
[Гл. VI
Величина т = 1/А, обратная постоянной распада, называется средним временем
жизни радиоактивного атома.
Если радиоактивный изотоп А помещен в закрытый сосуд и при распаде его
образуется радиоактивный изотоп В, то в этом сосуде по истечении времени t
число ядер изотопа В определяется по формуле
Nb = Noa с ' - е"Ав ‘) •
Ад - ла \ >
Здесь Nqa—число ядер изотопа А при t = 0, Ад и Ад—постоянные распад
да изотопов А и В. Если период полураспада изотопа А значительно больше
периода полураспада изотопа В, то
При радиоактивном равновесии
Na/Nb = Хв/^А-
Удельная активность радиоактивного изотопа определяется числом актов
распада в единицу времени на единицу массы распадающегося вещества.
21.1. Сколько атомов полония распадается за время At = 1сут
из N = 106 атомов?
21.2. Сколько атомов радона распадается за время At = 1сут
из N = Ю6 атомов?
21.3. Найти активность а массы т = 1г радия.
21.4. Найти массу радона, активность которого а = 3,7 101ОБк.
21.5. Найти массу т полония f^Po, активность которого
« =3,7-101оБк.
21.6. * Определить период полураспада таллия, если известно,
что через 100 дней его активность уменьшилась в 1,07 раза.
21.7. Найти удельную активность ат: а) урана 925U; б) радона
21.8. Ионизационные счетчики Гейгера — Мюллера имеют и в
отсутствие радиоактивного препарата определенный «фон». При-
сутствие фона может быть вызвано космическим излучением или
радиоактивными загрязнениями. Какой массе радона т соответ-
ствует фон, дающий 1 отброс счетчика за время t = 5 с?
21.9. При помощи ионизационного счетчика исследуется актив-
ность некоторого радиоактивного изотопа. В начальный момент
времени счетчик дает 75 отбросов за время t = 10 с. Какое число
отбросов за время t = 10 с дает счетчик по истечении времени
t =7^/2/2? Считать Ti/2 Юс.
§21]
РАДИОАКТИВНОСТЬ
211
21.10. * Вычислить количество /3-радиоактивных ядер в пре-
парате 554Cs, если известно, что скорость счета /3-частиц равна
1,9 103 частиц/с при эффективности счета 5%. Период полурас-
пада составляет 2,3 года.
21.11. Природный уран представляет собой смесь трех изо-
топов: 924U, 925U, 928U- Содержание g24U ничтожно (0,006%),
на долю |35U приходится 0,71%, а остальную массу (99,28%)
составляет |38U. Периоды полураспада Ту2 этих изотопов соот-
ветственно равны 2,5-105лет, 7,1-108лет и 4,5-109лет. Найти
процентную долю радиоактивности, вносимую каждым изотопом
в общую радиоактивность природного урана.
21.12. Кинетическая энергия а-частицы, вылетающей из ядра
атома радия при радиоактивном распаде, W\ = 4,78 МэВ. Найти
скорость v а-частицы и полную энергию W, выделяющуюся при
вылете а-частицы.
21.13. Какое количество теплоты Q выделяется при распаде
радона активностью а = 3,7 1О10 Бк: а) за время t = 1 ч; б) за
среднее время жизни т? Кинетическая энергия вылетающей из
радона а-частицы W = 5,5 МэВ.
21.14. Масса тп = 1г урана в равновесии с продуктами его
распада выделяет мощность Р = 1,07- 10~7Вт. Найти молярную
теплоту <2Д, выделяемую ураном за среднее время жизни т атомов
урана.
21.15. Найти активность а радона, образовавшегося из массы
m — 1 г радия за время t -- 1 ч.
21.16. В результате распада массы то — 1г радия за время
t — 1 год образовалась некоторая масса гелия, занимающего при
нормальных условиях объем V = 43 мм3. Найти из этих данных
постоянную Авогадро Na-
21.17. * Вычислить суммарную активность препарата, содержа-
щего радий вместе со своими продуктами распада, с которыми он
находится в равновесии, если активность самого радия 3,710’° Бк.
21.18. Некоторое число атомов радия помещено в замкнутый
сосуд. Через какое время t число атомов радона N в этом сосуде
будет отличаться на 10% от того числа атомов радона IV7, которое
соответствует радиоактивному равновесию радия с радоном в этом
сосуде? Построить кривую зависимости изменения N/N' в сосуде
от времени t в интервале 0 i 671/2> принимая за единицу
времени период полураспада радона Ту2.
21.19. Некоторое число атомов радона Л7 помещено в замкну-
тый сосуд. Построить кривую зависимости изменения числа ато-
мов радона N/N' в сосуде от времени в интервале 0 t 20 сут
через каждые 2 сут. Постоянная распада радона А = 0,181 сут-1.
Из кривой 2V/W' = f (t) найти период полураспада /2 радона.
212
ФИЗИКА АТОМА И АТОМНОГО ЯДРА
[Гл. VI
21.20. В нижеследующей таблице приведены результаты из-
мерения зависимости активности а некоторого радиоактивного
элемента от времени t. Найти период полураспада Тг/2 элемента.
t, Ч 0 3 6 9 12 15
а, 3,7 107 Вк 21,6 12,6 7,6 4,2 2,4 1,8
21.21. * При радиоактивном распаде ядер изотопа Bi с посто-
янной распада Ai образуется изотоп В2 с постоянной распада Аг.
Получить закон изменения числа радиоактивных ядер изотопа В2
с течением времени, полагая, что в начальный момент препарат
содержал только ядра Bi в количестве No.
21.22. Свинец, содержащийся в урановой руде, является конеч-
ным продуктом распада уранового ряда, поэтому из отношения
массы урана в руде к массе свинца в ней можно определить
возраст руды. Найти возраст t урановой руды, если известно,
что на массу тур = 1 кг урана в этой руде приходится масса
тсв = 320 г свинца |°6РЬ.
21.23. Зная периоды полураспада Ti/2 радия и урана, найти
число атомов урана, приходящееся на один атом радия в природ-
ной урановой руде. Указание. Учесть, что радиоактивность природного
урана обусловлена в основном изотопом 92®U-
21.24. Из какой наименьшей массы т руды, содержащей 42%
чистого урана, можно получить массу то = 1 г радия?
21.25. а-частицы из изотопа радия вылетают со скоростью
v = 1,5- 107 м/с и ударяются о флуоресцирующий экран. Счи-
тая, что экран потребляет на единицу силы света мощность
Pi = 0,25Вт/кд, найти силу света I экрана, если на него па-
дают все а-частицы, испускаемые массой т = 1 мкг радия.
21.26. Какая доля первоначальной массы радиоактивного изо-
топа распадается за время жизни этого изотопа?
21.27. Найти активность а массы т= 1мкг полония
21.28. Найти удельную активность ат искусственно получен-
ного радиоактивного изотопа стронция з°8г.
21.29. К массе mi = 10 мг радиоактивного изотопа
добавлена масса т2 = 30 мг нерадиоактивного изотопа го Са. На
сколько уменьшилась удельная активность ат радиоактивного
источника?
21.30. Какую массу т2 радиоактивного изотопа |з°ЕИ надо
добавить к массе mi = 5 мг нерадиоактивного изотопа lg9Bi, чтобы
через время t = Юсут после этого отношение числа распавшихся
атомов к числу нераспавшихся было равно 50 %? Постоянная
распада изотопа ||°Bi равна А = 0,14сут-1.
§22]
ЯДЕРНЫЕ РЕАКЦИИ
213
21.31. Какой изотоп образуется из 9Q2Th после четырех «-рас-
падов и двух /3-распадов?
21.32. Какой изотоп образуется из 928U после трех а-распадов
и двух /0-распадов?
21.33. Какой изотоп образуется из Ц8!) после двух /3-распадов
и одного а-распада?
21.34. Какой изотоп образуется из 8Li после одного /3-распада
и одного а-распада?
21.35. Какой изотоп образуется из li’Sb после четырех /3-рас-
падов?
21.36. Кинетическая энергия а-частицы, вылетающей из ядра
атома полония |д4Ро при радиоактивном распаде, WK = 7,68 МэВ.
Найти: а) скорость и а-частицы; б) полную энергию W, выделяю-
щуюся при вылете а-частицы; в) число пар ионов TV, образуемых
а-частицей, принимая, что на образование одной пары ионов в
воздухе требуется энергия Wq = 34 эВ; г) ток насыщения 1Н в
ионизационной камере от всех а-частиц, испускаемых полонием.
Активность полония а = 3,7 • 104 Бк.
§ 22. Ядерные реакции
Энергия связи ядра любого изотопа определяется соотношением
W = с2 Дт,
где Дт — разность между массой частиц, составляющих ядро, и массой самого
ядра. Очевидно,
Лт = Zmp + (А — Z)rrifi — тя, (1)
где Z — порядковый номер изотопа, А—массовое число, тр— масса протона,
mn — масса нейтрона, тя — масса ядра изотопа. Так как тя - тд — Zme, где
тд — масса изотопа и те — масса электрона, то
Дт = Zmia + (А — Z)mn — тд. (2)
Здесь mi н — масса изотопа водорода }Н, тд — масса данного изотопа.
Изменение энергии при ядерной реакции
<? = с2(52т1-^2т2), (3)
где 22 т1—сумма масс частиц до реакции, 22 т2—сумма масс частиц после
реакции. Если 22 т1 > 52 m2, то реакция идет с выделением энергии, если
же 22 mi < 52 т2> то реакция идет с поглощением энергии. Отметим, что в
формулу (3), так же как и при вычислении энергии связи ядра, мы можем
подставлять массу изотопов, а не ядер, так как поправки на массу электронов
оболочки входят с разными знаками и поэтому исключаются.
22.1. Найти число протонов и нейтронов, входящих в состав
ядер трех изотопов магния: a) 24Mg; б) 28Mg; в) 28Mg.
214
ФИЗИКА АТОМА И АТОМНОГО ЯДРА
[Гл. VI
22.2. Найти энергию связи W ядра изотопа лития ^Li.
22.3. Найти энергию связи W ядра атома гелия ^Не.
22.4. Найти энергию связи W ядра атома алюминия 13AI.
22.5. Найти энергию связи W ядер: а) ^Н; б) ^Не. Какое из
этих ядер более устойчиво?
22.6. Найти энергию связи Wo, приходящуюся на один нуклон
в ядре атома кислорода |6О.
22.7. Найти энергию связи W ядра дейтерия JH.
22.8. Найти энергию связи Wo, приходящуюся на один нук-
лон в ядрах: a) 3L1; б) |4N; в) fjAl; г) 4{,Са; д) ®эСи; е) J|3Cd;
ж) io°Hg; 3) 928U- Построить зависимость IPq = /(А), где А —
массовое число.
22.9. Найти энергию Q, выделяющуюся при реакции
jLi + JH -> 4Не + ^Не.
22.10. Найти энергию Q, поглощенную при реакции
|4N+4He-> {Н + |7О.
22.11. Найти энергию Q, выделяющуюся при реакциях
a) fH + fH -> }Н +1Н; б) jН + |Н -> 3Не + 10п.
22.12. Найти энергию Q, выделяющуюся при реакциях
а) 3Н + 3Не -> }Н + ^Не; б) |Li + jH -> 4Не + ^Не;
в) |Li + |H -> 2Не + 4Не.
22-13. Какую массу М воды можно нагреть от О °C до кипения,
если использовать все тепло, выделяющееся при реакции 3L1
(р, а), при полном разложении массы т = 1г лития?
22.14. Написать недостающие обозначения в реакциях:
а) !зА1 («> «) х> б) 99F (р, х) 86О;
в) УМп (х, n) yFe; г) ^А1 (а, р) а:;
д) 74N (n, т) J4C; е) х (р, a) ffNa.
22.15. Найти энергию Q, выделяющуюся при реакции
з1А + 1Н —1 ®Ве + qH.
22.16. * Найти электрическую мощность атомной электростан-
ции, расходующей 0,1кг в сутки, если к.п.д. станции 16%.
22.17. * Энергия, выделяемая при синтезе двух дейтронов с
образованием ядра 4Не, составляет 23,8 МэВ. Определить раз-
ность энергий связи на один нуклон в а-частице и дейтроне.
22.18. При бомбардировке изотопа алюминия ЦА1 а-частицами
получается радиоактивный изотоп фосфора f^P, который затем
§22]
ЯДЕРНЫЕ РЕАКЦИИ
215
распадается с выделением позитрона. Написать уравнения обеих
реакций. Найти удельную активность ат изотопа 15Р, если его
период полураспада Г1/2 = 130 с.
22.19. При бомбардировке изотопа 2|Na дейтонами образует-
ся /3-радиоактивный изотоп 24Na. Счетчик /0-частиц установлен
вблизи препарата, содержащего радиоактивный 24Na. При первом
измерении счетчик дал 170 отбросов за 1 мин, а через сутки —
56 отбросов за 1мин. Написать уравнения обеих реакций. Найти
период полураспада Tj/2 изотопа 2fNa.
22.20. Какая энергия Qi выделится, если при реакции
22Al-f-4He->3°Si4-}H
подвергаются превращению все ядра, находящиеся в массе т = 1 г
алюминия? Какую энергию Q2 надо затратить, чтобы осуще-
ствить это превращение, если известно, что при бомбардировке
ядра алюминия а-частицами с энергией W = 8 МэВ только одна
а-частица из п = 2 • 10е частиц вызывает превращение?
22.21. При бомбардировке изотопа лития ®Li дейтонами (ядра-
ми дейтерия 2Н) образуются две а-частицы. При этом выделяется
энергия а — 22,3 МэВ. Зная массы дейтона d и а-частицы, найти
массу т изотопа лития ®Li.
22.22. Источником энергии солнечного излучения является
энергия образования гелия из водорода по следующей цикли-
ческой реакции:
г62С 4- JH -> |3N -> 43С 4- ° хе, J3C + }H->£4N,
74N 4--» ^O-^N + ^e, }5N + }Н-> J2C + |Не.
Какая масса mt водорода в единицу времени должна превращать-
ся в гелий? Солнечная постоянная К = 1,37кВт/м2. Принимая,
что масса водорода составляет 35% массы Солнца, подсчитать,
на какое время t хватит запаса водорода, если излучение Солнца
считать постоянным.
22.23. Реакция разложения дейтона 7-лучами:
2Н 4- hv -> [Н 4- Jn.
Найти массу т нейтрона, если известно, что энергия 7-квантов
Wi = 2,66 МэВ, а энергия вылетающих протонов, измеренная по
производимой ими ионизации, оказалась равной W2 = 0,22 МэВ.
Энергию нейтрона считать равной энергии протона. Массы дей-
тона и протона считать известными.
22.24. Написать недостающие обозначения в реакциях:
а) 13А1 (7, х) 2®Mg; б) ||А1 (7, п) х;
в) 2эСи (7, х) ^Си; г) х (7, n)
216
ФИЗИКА АТОМА И АТОМНОГО ЯДРА
[Гл. VI
22.25. Выход реакции образования радиоактивных изотопов
можно охарактеризовать либо числом к\ —отношением числа про-
исшедших актов ядерного превращения к числу бомбардирующих
частиц, либо числом к2 [Бк] — отношением активности получен-
ного продукта к числу частиц, бомбардирующих мишень. Как
связаны между собой величины ki и к2?
22.26. При бомбардировке 3L1 протонами образуется радиоак-
тивный изотоп бериллия jBe с периодом полураспада Т\/2 = 4,67х
xlOGc. Найти выход реакции к\ (см. условие 22.25), если извест-
но, что бомбардирующие протоны общим зарядом q = 1 мкА • ч
вызывают активность полученного препарата а = 6,51 • 106 Бк.
22.27. В результате ядерной реакции 2GFe (р, п) образуется
радиоактивный изотоп кобальта 27Со с периодом полураспада
Ti/2 = 80сут. Найти выход реакции fci (см. условие 22.25), если из-
вестно, что бомбардирующие протоны общим зарядом q = 20 мкА-ч
вызывают активность полученного препарата а — 5,2 107 Бк.
22.28. Источником нейтронов является трубка, содержащая по-
рошок бериллия 4Be и газообразный радон. При реакции а-частиц
радона с бериллием возникают нейтроны. Написать реакцию по-
лучения нейтронов. Найти массу т радона, введенного в источ-
ник при его изготовлении, если известно, что этот источник дает
через время t — 5сут после его изготовления число нейтронов в
единицу времени а2 — 1,2- 10° с-1. Выход реакций к^ — 1/4000,
т. с. только одна а-частица из п = 4000 вызывает реакцию.
22.29. Источником нейтронов является трубка, описанная в за-
даче 22.28. Какое число нейтронов <12 в единицу времени создают
а-частицы, излучаемые радоном с активностью ai =3,7-101ОБк,
попадая на порошок бериллия? Выход реакции к\ = 1/4000.
22.30. Реакция образования радиоактивного изотопа углерода
А*С имеет вид |°В (4, п), где d — дейтой (ядро дейтерия (Н).
Период полураспада изотопа Т\/2 — 20 мин. Какая энергия Q
выделяется при этой реакции? Найти выход реакции к2. если
fci = 10-8 (см. условие 22.25).
22.31. В реакции ?4N (а, р) кинетическая энергия а-частицы
IV] = 7,7 МэВ. Под каким углом <р к направлению движения
a-частицы вылетает протон, если известно, что его кинетическая
энергия И'2 = 8,5 МэВ?
22.32. При бомбардировке изотопа лития GLi дейтонами обра-
зуются две a-частицы, разлетающиеся симметрично под углом (р
к направлению скорости бомбардирующих дейтонов. Какую ки-
нетическую энергию Иг имеют образующиеся a-частицы, если
известно, что энергия бомбардирующих дейтонов И71 — 0,2 МэВ?
Найти угол <р.
!)22]
ЯДЕРНЫЕ РЕАКЦИИ
217
22.33. Изотоп гелия $ Не получается бомбардировкой ядер три-
тия |Н протонами. Написать уравнение реакции. Какая энергия
Q выделяется при этой реакции? Найти порог реакции, т.е. ми-
нимальную кинетическую энергию бомбардирующей частицы, при
которой происходит эта реакция. Указание. Учесть, что при поро-
говом значении кинетической энергии бомбардирующей частицы относительная
скорость частиц, возникающих в результате реакции, равна нулю.
22.34. Найти порог W ядерной реакции y4N (а, р).
22.35. * Определить суммарную кинетическую энергию продук-
тов ядерной реакции jLi (р, n) Be при пороговом значении ки-
нетической энергии налетающих протонов (литиевая мишень на-
ходится в покое).
22.36. * Рассчитать минимальную кинетическую энергию нале-
тающей а-частицы, необходимую для преодоления кулоновского
потенциального барьера ядра 3L1, находящегося первоначально в
покое. Возбудит ли а-частица с такой энергией ядерную реакцию
зЫ (а, п) з°В?
22.37. Реакция |°В (п, а) идет при бомбардировке бора нейтро-
нами, скорость которых очень мала (тепловые нейтроны). Какая
энергия Q выделяется при этой реакции? Пренебрегая скоро-
стями нейтронов, найти скорость и и кинетическую энергию W
а-частицы. Ядра бора считать неподвижными.
22.38. При бомбардировке изотопа лития 3L1 протонами обра-
зуются две а-частицы. Энергия каждой а-частицы в момент их
образования W% = 9,15 МэВ. Какова энергия Wj бомбардирующих
протонов?
22.39. Найти наименьшую энергию 7-кванта, достаточную для
осуществления реакции разложения дейтона 7-лучами
+ hv -> }Н + In.
22.40. Найти наименьшую энергию 7-кванта, достаточную для
осуществления реакции J^Mg (7, п).
22.41. Какую энергию W (в киловатт-часах) можно получить
от деления массы тл = 1г урана g|5U, если при каждом акте
распада выделяется энергия Q = 200 МэВ?
22.42. Какая масса т урана g35U расходуется за время
£ = 1сут на атомной электростанции мощностью Р — 5000 кВт?
К.п.д. принять равным 17%. Считать, что при каждом акте
распада выделяется энергия Q = 200 МэВ.
22.43. При взрыве водородной бомбы протекает термоядерная
реакция образования гелия из дейтерия и трития. Написать
уравнение реакции. Найти энергию Q, выделяющуюся при этой
реакции. Какую энергию W можно получить при образовании
массы т = 1 г гелия?
218
ФИЗИКА АТОМА И АТОМНОГО ЯДРА
[Гл. VI
§ 23. Элементарные частицы. Ускорители частиц
Решение задач этого параграфа основано на закономерностях, уже рассмо-
тренных в предыдущих разделах «Сборника»: столкновение частиц, движение
частиц в электрическом и магнитном полях ит. д. При решении ряда задач
необходимо использовать формулы теории относительности.
23.1. В ядерной физике принято число заряженных частиц,
бомбардирующих мишень, характеризовать их общим зарядом,
выраженным в микроампер-часах (мкА • ч). Какому числу заря-
женных частиц соответствует общий заряд 9=1 мкА • ч? Задачу
решить для: а) электронов; б) а-частиц.
23.2. При упругом центральном столкновении нейтрона с не-
подвижным ядром замедляющего вещества кинетическая энергия
нейтрона уменьшилась в 1,4 раза. Найти массу т ядер замедляю-
щего вещества.
23.3. Какую часть первоначальной скорости будет составлять
скорость нейтрона после упругого центрального столкновения с
неподвижным ядром изотопа ffNa?
23.4. Для получения медленных нейтронов их пропускают че-
рез вещества, содержащие водород (например, парафин). Какую
наибольшую часть своей кинетической энергии нейтрон массой
т0 может передать: а) протону (масса то), б) ядру атома свинца
(масса 207 то)? Наибольшая часть передаваемой энергии соот-
ветствует упругому центральному столкновению.
23.5. Найти в предыдущей задаче распределение энергии меж-
ду нейтроном и протоном, если столкновение неупругое. Нейтрон
при каждом столкновении отклоняется в среднем на угол р = 45°.
23.6. Нейтрон, обладающий энергией Wo — 4,6 МэВ, в резуль-
тате столкновений с протонами замедляется. Сколько столкно-
вений он должен испытать, чтобы его энергия уменьшилась до
W — 0,23 эВ? Нейтрон отклоняется при каждом столкновении в
среднем на угол р = 45°.
23.7. Поток заряженных частиц влетает в однородное магнит-
ное поле с индукцией В — ЗТл. Скорость частиц v = 1,52 107 м/с
и направлена перпендикулярно к направлению поля. Найти за-
ряд q каждой частицы, если известно, что на нее действует сила
F = 1,46 • 10"11 Н.
23.8. * Найти скорость а-частицы, которая при движении в про-
странстве, где имеются взаимно перпендикулярные электрическое
и магнитное поля, не испытывает никакого отклонения. Напря-
женность магнитного поля 5 кА/м, напряженность электрического
поля 6,28 кВ/м. Скорость а-частицы перпендикулярна к линиям
напряженности обоих полей.
23.9. Электрон ускорен разностью потенциалов U = 180 кВ.
Учитывая поправки теории относительности, найти для этого
§23]
ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ЧАСТИЦЫ. УСКОРИТЕЛИ ЧАСТИЦ
219
электрона массу гп. скорость v, кинетическую энергию W и
отношение его заряда к массе. Какова скорость v' этого электрона
без учета релятивистской поправки?
23.10. Мезон космических лучей имеет энергию W = ЗГэВ.
Энергия покоя мезона Ио — 100МэВ. Какое расстояние I в атмо-
сфере сможет пройти мезон за время его жизни г по лаборатор-
ным часам? Собственное время жизни мезона то = 2 мкс.
23.11. Мезон космических лучей имеет кинетическую энергию
W — 7тос2, гДе то— масса покоя мезона. Во сколько раз соб-
ственное время жизни То мезона меньше времени его жизни г по
лабораторным часам?
23.12. Позитрон и электрон соединяются, образуя два фотона.
Найти энергию hv каждого из фотонов, считая, что начальная
энергия частиц ничтожно мала. Какова длина волны А этих
фотонов?
23.13. Электрон и позитрон, образуются фотоном с энергией
hv = 2,62 МэВ. Какова была в момент возникновения полная
кинетическая энергия VV’i + W? позитрона и электрона?
23.14. Электрон и позитрон, образованные фотоном с энергией
hv — 5,7 МэВ, дают в камере Вильсона, помещенной в магнитное
поле, траектории с радиусом кривизны R — Зсм. Найти магнит-
ную индукция В поля.
23.15. Неподвижный нейтральный тг-мезон, распадаясь, пре-
вращается в два фотона. Найти энергию hv каждого фотона.
Масса покоя тг-мезона то(тг) = 264,2то, где то — масса покоя
электрона.
23.16. Нейтрон и антинейтрон соединяются, образуя два фото-
на. Найти энергию hv каждого из фотонов, считая, что начальная
энергия частиц ничтожно мала.
23.17. Неподвижный К°-.мезон распадается на два заряженных
тг-мезона. Масса покоя КГ°-мезона т0(К°) = 965то, где то —
масса покоя электрона; масса каждого тг-мезона т(тг) = 1,77то(тг),
где то(тг)—его масса покоя. Найти массу покоя то(тг) 7г-мезонов
и их скорость v в момент образования.
23.18. Вывести формулу, связывающую магнитную индукцию В
поля циклотрона и частоту v приложенной к дуантам разности
потенциалов. Найти частоту приложенной к дуантам разности
потенциалов для дейтонов, протонов и а-частиц. Магнитная ин-
дукция поля В — 1,26 Тл.
23.19. Вывести формулу, связывающую энергию W вылетаю-
щих из циклотрона частиц и максимальный радиус кривизны R
траектории частиц. Найти энергию W вылетающих из цикло-
трона дейтонов, протонов и а-частиц, если максимальный радиус
кривизны R — 48,3см; частота приложенной к дуантам разности
потенциалов v = 12 МГц.
23.20. Максимальный радиус кривизны траектории частиц в
циклотроне R = 35см; частота приложенной к дуантам разности
220
ФИЗИКА АТОМА И АТОМНОГО ЯДРА
[Гл. VI
потенциалов и = 13,8 МГц. Найти магнитную индукцию В поля,
необходимого для синхронной работы циклотрона, и максималь-
ную энергию W вылетающих протонов.
23.21. Решить предыдущую задачу для: а) дейтонов, б) а-час-
тиц.
23.22. Ионный ток в циклотроне при работе с а-частицами
I = 15 мкА. Во сколько раз такой циклотрон продуктивнее массы
m = 1 г радия?
23.23. Максимальный радиус кривизны траектории частиц в
циклотроне R = 50 см; магнитная индукция поля В = 1 Тл. Какую
постоянную разность потенциалов U должны пройти протоны,
чтобы получить такое же ускорение, как в данном циклотроне?
23.24. * Определить частоту генератора, питающего циклотрон,
который ускоряет дейтрон до энергии W = 2 МэВ при значении
максимального радиуса кривизны траектории частиц р = 49см.
23.25. Между дуантами циклотрона радиусом R = 50 см при-
ложена переменная разность потенциалов U = 75 кВ с частотой
v = 10 МГц. Найти магнитную индукцию В поля циклотрона,
скорость v и энергию W вылетающих из циклотрона частиц.
Какое число оборотов п делает заряженная частица до своего
вылета из циклотрона? Задачу решить для дейтонов, протонов и
а-частиц.
23.26. * Пучок а-частиц, ускоренных в циклотроне, выпускает-
ся наружу через алюминиевое окошко, толщина которого 5мг/см2.
Максимальный радиус кривизны а-частиц в циклотроне равен
40 см, индукция магнитного поля 1,3 Тл. Найти длину пучка в
воздухе.
23.27. Энергия дейтонов, ускоренных синхротроном, W =
= 200 МэВ. Найти для этих дейтонов отношение пг/тп0 (где
т — масса движущегося дейтона и то — его масса покоя) и ско-
рость V.
23.28. В фазотроне увеличение массы частицы при возрастании
ее скорости компенсируется увеличением периода ускоряющего
поля. Частота разности потенциалов, подаваемой на дуанты фазо-
трона, менялась для каждого ускоряющего цикла от i>o = 25 МГц
до и = 18,9 МГц. Найти магнитную индукцию В поля фазотрона
и кинетическую энергию W вылетающих протонов.
23.29. Протоны ускоряются в фазотроне до энергии W =
= 660 МэВ, а-частицы—до энергии W = 840 МэВ. Для того чтобы
скомпенсировать увеличение массы, изменялся период ускоряю-
щего поля фазотрона. Во сколько раз необходимо было изменить
период ускоряющего поля фазотрона (для каждого ускоряющего
цикла) при работе: а) с протонами; б) с а-частицами?
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
Глава I
ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕХАНИКИ
$ 1. Кинематика
1.1. Ай = —2и; |Аи| = 2й; А147 [ = 0.
1.2. Af =-5i +J - 10k; | Аг | = 126 ; A|f| = -10.
1.4. v = 4ti + j; w = 4t; | v | 8 м/с; S ~ 38 m.
1.5. v = 5,4 м/с; w = a (2i + 3j + 4k); |w| = 5,4м/с2; S~ 13,5 м.
1.6. a) r = a (cosait i + sinait - J), v = aw (— sinwt • i + cosa>t j), w = —a>2 f,
| f| = a, v = aw, w = aw2 ;
6) f • v = 0;
в) x2 + y2 — a2 — окружность радиуса a;
г) г • w = —w2a2 = —r • w;
д) против часовой стрелки;
е) частица движется равномерно против часовой стрелки по окружности ра-
диуса а, центр которой в начале координат;
ж) направление движения частицы изменится на противоположное.
1.7. а) i = V02sm2a. б) Лтах = В) tn = г = 2Vo^na.
г) у (х) = X • tg а - g 2vJ'~Q^ i2-
1.8. (v ) = 12,3км/ч; и = 3км/ч.
1.9. а) v = 3 м/с, б) v = 1 м/с, в) и = 2,24 м/с.
1.10. и = 0,60м/с, t = 250с.
1.11. S = 700 м.
1.12. S = I (и — и)/(у + и).
1-13. «1 = v/2 + 2cosa .
, , . г, „. v sin a + у/ с2 — v2 cos2 a
1.14. о = 2lv--------ч---ч--------.
с2 - V2
1.15. v = cl/у/12 — с2 At2 .
1.16. а) t = 8,4с; б) t = 7,3c; в) t = 7,8с.
1.17. hn = 11^ (2n - 1), где to = 1 с; ЛПОсл 15м;
Atn = — п — 1); /о = 1м; А!Посл = (у/~2 — 1)с.
1.18. «х = I = 5м/с; tg“ — 0,5.
1.19. an ^0,8д; ат ^0,6д.
1.20. Rn = 305 м.
1.21. R = 6,3м.
222
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
[Гл. Г
1.22. tga = yf2\ Vb = у/gR(l + tg2a) = 9,4м/с; a = 54°44'.
1.23. (xn, yn) = (—4м, 0); (xq, yo) = (3 m, 2,61 m); u = 7,6m/c.
. . I g L cost»
0 — у 2 cos/? sin(/? - a)
1.25. u = ^cfSQ f 1 + \/1 — > Vsina y/~2gK.
2 I V V2 sin a j
1 26 t = V° sin,Q (V° COS Q t 2u)
g (Vq cos a + u)
1.27. S = |Vj - V2|^- sina.
t •>« -- 2/(tj—t2) _o„..,_2 /(t2 + 2tit2 — t2)
128- “ - +t2) - 3’2m/c ; v° = = 13’6m/c-
1.29. V = •/a£.
1.30. t = (2 + /J) t0.
1.31. t = 2 y/2^ + 2u
9
5 I
1.32. v = g . Указание: задача решается наиболее просто, если вос-
пользоваться обратимостью движения и выбрать началом отсчета границу раз-
дела двух отрезков.
1.33. ио =0,45м/с; а = 0,3м/с2.
1.34. I = 2 у/ 2h/g, от угла не зависит.
1.35. п = /W? = 90.
1.36. а = д ctg а.
1-37’ V° min = \Z (£2 + h^/2_/f = + М
достигается при “ = ^ + j arctg j .
1.38. V = /5j7T
i.39. tgQ = 2^ + __2__; q = 45 = .
1.40. и = 2зд cos + Q2 j , S = 2vot cos °2 ] •
1.41. R = 8,33см.
1.42. e = ш2/4тгп = 3,2рад/с2.
1.43. t = 6,3c, n = 9,4o6.
1.44. t = у/ anR/aT-, a) t = у/R/aT = 2c; 6) t = y/2R/aT = 2,8c.
1.45. ui = 4,4 1016 рад/с; an = 9,7 1022 м/с2.
1.46. a) u> = 3,14 рад/с; 6) v= 0,314 м/с; в) aT = 0,314 м/с2,
an =0,986 м/с2; r) a =1,03 м/с2; д) sina = 0,305.
1.47. an =4,5m/c2, aT =0,06м/с2.
1.48. а) ы = 20рад/с; и = 2м/с; б) ап=40м/с2, ат = 1,6м/с2;
в) е = 16 рад/с2.
1.49. цд = v (i + /); vb = 2v i; i>c = v (i — j).
1.50. Ra =2 yf2r-, RB-4r.
1.51. а) <р = 20рад; б) вокруг оси, лежащей в плоскости х, у и образующей
с осью х угол, равный 63°.
§2]
ответы и решения
223
1.52. Так как конус катится без проскальзывания, то точки образующей О А
должны быть неподвижны. Для точки А это условие дает (рис. 133)
-^- = ПЛ tga,
coso: ® ’ sin а
Скорость произвольной точки на диа-
метре АВ слагается из двух
«1,2 = ы (Л cos а Т г sin а) ± гы/ sin а,
где г — расстояние от точки С до то-
чек 1 или 2. Верхние знаки для точек,
лежащих выше точки С, нижиие зна-
ки—для точек, лежащих ниже С:
1.53. v = 1 м/с.
1.54. t = a/v, в центре квадрата.
$ 2. Динамика материальной точки к поступательного движения
твердого тела
2.4. а = ai = аг = лз =
2.1. F = та = т (2с-Mt); F = 2Н.
2.2. w — — aw2sinwt; w Oi — 0,25 м/с2 • F — mw = — 0,25Н.
2.3. w = V4c2+36d2t2 ~ 60м/с2; F=60H.
О, m М (fci + кг);
а = 1 м/с2; Тгз = т(д — а) = 4,5 Ц; Ти == М(а + fcig) ~ 1Н;
Foe = Т23\/Т = 6,31 Н
2.5. а = д 1~д№а = 2,45м/с2;
Т = m1m2(l + sina)g = mg sina) = 7>35Н.
Ш1 4- ТП2 А 4 '
2.6. а = д mi-m2(sina + fccosa) = 2 д2м/сг
3 mj 4- m2 ' т
01
02
j. _ mi m2 [1 + sin а + fc cos а] р — 7 77 ц
mi + m2 ’
2.7. Так как sin01 > д coso, то проскальзывание будет.
= д (sin а - р cos а) ~ 3,3 м/с2;
= (m2 sin о: + pmi сова — тз)д/(т2 + т3) — 0,94 м/с2.
( тд sin а, при tga к, Д, ; t
тр | ктд cos а, при tga к.
т + М etg2 а
М sin 2а
— 9 2 (М + т sin2 а) ’
__________тМ sin 2а
2(М + main2 а)(М + mcos2 а)’
— (ni2 ~ тз)^
а* ~ т| + mJ + 6т2т3
_ т? - 4mJ _ т? - 4mJ ™ __ 8mim2m3
mJ 4- 4т2т3 9’ 3 ' mJ + 4т2т3 9’ — 4т2т3 + mi (тг + тз) 9'
= аз
2.8.
2.9.
2.10.
2.11.
2.12.
mg//l + fc~2
arctgfc л/2
Рис. 134
0.2
224
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
[Гл.
а.
2 и о — Остита - Зтгтз + mi тг а _ пцт? - 4т;тз + тгтз I
1 4mtm3 + тгтз + тхтг 2 4.т\тз + тгтз + mimj Я
_ 4т]тз — Зпцтг + тгтз
аз ~ 4т1тз + тгтз + mimz Я"
2.14. Оба груза свободно падают с ускорением д. Блоки В и С вращаются,
против часовой стрелки, блок А — по часовой.
2.15. а = .
mi + тг
2.16. Со скоростью и/4 вверх.
2.17. к = 0,01.
2.18. V = Vo J . s‘n,Q----- ;
у sin q + к cos a ’
A, _ И) ( 1 , / sin о
g у sin a + fc cos a у sin2 a — fc2 cos2 a
2.19. и = v/2. Указание: написать уравнение движения для осей, нал
правленных вдоль скорости и по вертикали вниз.
2.20. и = 5,14км/ч; и1 = 1,71 км/ч.
2.21. а) и = 17,8км/ч; б) и = 53,5км/ч; в) и = — 17,8км/ч.
Знак «минус» указывает, что вагон продолжает двигаться навстречу снаряду,
но с меньшей скоростью.
2.22. и = -12,5м/с.
2.23. а) и — 0,67м/с; б) и = 0,83м/с; в) и = 0,5м/с.
v' = v — ^0^°’ ; v" = Foto/m.
P = y/p2 + 2pi p2 cos a+p2.
ff_ mini + m2V2 + т3Уз
mi + m.2 + тз
F = 'Лтд (1 — x/l}.
F = m(t;2 + gl)/l.
2.24.
2.25.
2.26.
2.27.
2.28.
2.29.
2.30.
2.31.
2.32.
у (1 + m/M) sin 2a
—и sin a + у/ u2 sin2 a + (1 + m/M) gL sin2a
(1 + m/M) sin 2a
9^
(1 + m/M) sin 2a + sin2 a
. 2ДИ4 „r ,
Др =-------— = —3,5 кг • м/с.
И ui - «о '
v
v =
и
2.33. a) F (0) = 4,5?+12 j — 2,6 fc; б) а0 = (4,5?+ 12 j - 2,6 fc);
ИД = = 2,5 Дж.
2.34. a) F = -<Wgr = 4ег,
б) F = -кг, А=^(г2-г%)=^ (14 - 29) = -7,5k, Дж.
§2)
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
225
2.35. Да, при г = За/2/З (рис. 135). Указание: условие устойчивого
dU п „ dU За 2/3 dF 12а , 6/3 _
зновесия -JJ— =0. F = — -д— = —j--т; -д— —-----г- Ч—(г = 0;
ОТ ОТ Г4 ОТ г9 Г4
энергии частицы.
2.36. При ад > у/ 2a/mro по гиперболе, при по = i/ 2a/mro— по параболе,
при ио < у/2a/mro по эллипсу. Указание: получить выражение для полной
энергии частицы и проанализировать его.
2
2.37. При ио = у/ а/тго или Е = — ’ где Е— полная энергия части-
цы, М — момент импульса частицы: | М | = т | г х й|.
2.38. 4тр = 2,25 МДж; 5 = 375 м.
2.39. 4тр = 2,25 МДж; 5 = 212 м.
2.40. W = ИД + ИД, WK = (Vo - St)2, W„ = mgy = mg (vot -
(рис. 137).
Рис. 137 Рис. 138
/ v? \
2.41. ИД = mgy, WK -ml -%----gy j (рис. 138).
2.42. a) WK = 6,6Дж, ИД = 15,9Дж, IV = 22,5Дж;
б) ИД = 5,7Дж, ИД = 16,8Дж, W = 22,5 Дж.
2.43. А = mg + (т 4- 4^) gd.
I и2
2-44- 5 = 1 + й=2’8м'
226
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
[Гл. I
2.45. S = 6 м.
2.46. L = 23^
2.47. Скорость тела wj = —3,33м/с, скорость горки иг = 1,67м/с. Указа-
ние: сначала следует выяснить, преодолеет ли тело вершину горки или нет.
2-48- h = 215 Vu2+v2-
2.49. /3 = arccos (V11J2 COSH.
\ U1U2 )
2.52. sin a = тг/mi.
2.53. из = 2miu coso/(mi -f-m2).
2.54. Em;n = E (1 + me/m).
2.55.
ho \mi + m2 J
2.56. v = 550 м/с.
2.57. x = I 3m9 .
1 — mg
2.58. A = | pgh2S = 1,63 • 105 Дж.
2-59- =
2.60. h= 1,23 м.
2.61. F = 72,5 H.
2.62. и = 3,6км/ч.
2.64. На расстоянии I = k\L/(ki + кг) = 6см от первой пружины.
2.65. F = m AZ/(At)2 = 13,7 Н.
2.66. Io = 6,3 см.
2.67. Vmax = у/2д(Я -l) + mg2/k, Fmax = mg fl + \/l + (Я - Z) |.
L V *’*,y J
2.68. li и 1г— длины дуг кольца от точки начала движения до
точки 5-го соударения.
2.69. а = (2Н/1 - l)g = 19д.
v х/ 2
2.70. из = —— . Учесть, что энергия массивной пружины пропорциональ-
на квадрату скорости: lVnp — av2, а = const.
2.71. Emin = кд (mi + тг/2).
о —о г.___ / 2h mv
2.72. 5 - у — т + м .
о-» _ т + М
(m cos of2 , . ’ ° = ЯМ
k 2кМ2 +Sm2Q
2.75. Начальный горизонтальный импульс мешка muo coso = 0,5mno> а им-
пульс силы трения FTp t = kmvo sin a ~ O,6mtio- Поэтому мешок остановится
сразу же у края доски.
2.76. I = Н (sin а — к cos a) (cos
— к siria)2/fc sin а = 0,25 м.
2.77. Шарик отскочит перпендикуляр-
но стене, если tg<p Sj 2к.
2.78. F&t = 0,17Н -с; Q = 37,2мДж.
2 ТЯ n - AW* - _4т1тг _
Wk* (mi + m2)2
_ _______4mi . mi _ x.
m2 (1 + mi/m.2)2 ’ m2 '
ДИА 4x , ,
T) = ~ ? (рис. 139).
TT Kl 1 т -E
2.80. 7=3 + arctg (2 /Т) = 134°.
§2]
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
227
2.81. h= (mi ™2} Н.
\mi + mz )
2.82. Исходя из того, что нить подвеса шарика mi очень длинная, можно
считать, что шарик движется по горизонтальной прямой, а сама нить остается
вертикальной. Все внешние силы в этой системе направлены вертикально, а
потому сохраняется горизонтальная составляющая импульса
тгзд ' (mi + m2) «г-
Закон сохранения механической энергии
тг^о (mi+mj)»? тгь2 , ,
2 =-------2--- + + т2в1'
Минимальное значение скорость vq принимает в случае гв = 0. Тогда
«о min = у/2gl (1 + mzmi).
2.83. Если F Sj к (mi + m2) g, движение отсутствует. Пусть F>k (mi -I-m2) g.
Рассмотрим случай отсутствия скольжения тела по бруску. Уравнения движе-
ния будут
mia = F — f - k (mi + mz) g, mza = f, f kmzg.
Получим
a =-----y——--kg, f = ---kmzg kmzg,
mi + m2 a mi + mz
что возможно, если
к (mi 4- m2) д < F < 2k (mi 4- m2) g.
Если F > 2k (mi 4-m2) g, то тело будет скользить по бруску. Уравнения движе-
ния
miai — F — kmzg — к (mi 4- т2)д> mzaz = kmzg;
F . 2mi + m2 .
“1 = ---к-----™“ 9, “2 = kg,
mi mi 31 31
2.84. F > k (mi 4- m2) g, t = «/ -ft— .
v у F - kg (mi + m2)
2.85. ио > у/2kgl (1 4- m/M).
2.86. Дхтах =*+,/v. . ....... Ц
у к (mi + m2) V, i ....... v
Указание: решение удобно полу- “
чить, используя систему центра масс. у ..........................
2.87. ио = у ' Решение у/2
удобно провести в системе центра
масс. __________
2.88. Смотри на рис. 140. /0 = i/Vq 2l/v0 ‘
F2 2F2
2.89. WK шах = oTfj ^n max = “T i « , .n
zk к Рис. 140
Voth = F у/ (mi + m2)/(fcmi m2) .
l/4 S*
228
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
[Гл. 1
2.90. Указание: следует выразить скорости движения тел в л-системе
через скорость центра масс и относительную скорость частиц
-* - . т&
Vq - + та + т0
— —• ТПа
V0 — ицм -
V
V
где v = vo — ^>0 —относительная скорость.
2.91. ЛИ' = F (I - Ft2/2т).
2.92. W = Wi + ИЪ + 2(™72тг) (Й - Й)2; нет.
Указание: используя решение задачи 2.90 следует показать, что во вну-
треннюю энергию может переходить только часть суммарной кинетической
энергии, а именно, Д£ = (V2 — V 2), где V и V—относительные скорости
тел.
_ „„ mv2 - И-'о + 21V1
2.93. отах = arccos-, /——- .
mu' 4- И-о — 2lVi
2.94. AIV = Fl.
2.95. *£ = mv2/R = ^ = 0,34%.
F mg g
2.96. F = 245 H.
2.97. v = 2,43 м/с; T = 0 (в высшей точке), Г = 39,2 (в низшей точке).
2.98. т — 0,5 кг.
2.99. Т = 1,96 Н.
2.100. к = 0,2.
2.101. a) R = 1600 м; б) Я = 711м.
2.102. а = 22°.__
2.103. ц=^дЯ.
2.104. h = | R.
„ d2 I 8F
2.105. и - -jy %р(р4 -_ ^) '
2.106. Ni = Mu2L;
У2 = u2L (Л4+ y).
2.107. T= ^^(L2-x2)
(рис. 141).
2.108. N = m (2тгп)2 • R = 0,4 H;
h = Я(1 — д/(2тгп)2 • R) = 1м.
2.109. T = 2тг У Я tg а/(а + д).
2110- п = = 5-8об/с-
П 1 , 1 П • а I ШЩ 4- 7712?*2
2.111. щ = uri = 2п sm -у . д ——2 - 7 ,
4 у wiirf + mjrJ
г, • О I ТП1Г1 + ТП2Г2
V2 = ЫГ2 = 2Г2 sin 7 / д !—1—--------.
2 у miTj + ГП2Г2
2.112. Г = m 1 • п2 = ЭОН.
2.113. Т= ^-pv2.
2.114. Я = -----. п, , если ш < 2тг Jк/m ;
1 - mu>z/4irzk v
при и) > 2тг у/ к/т кольцо растягивается неограниченно.
2.115. о>1 =0, если e>kg/r\ wi = (к2д2/г2 — е2)1/4, если
е < кд/т.
§2]
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
229
2.116. В неинерциальной системе, связанной со столом, запишем уравнение
движения (покоя) для тел
OY: N-MW-Mg = 0 таот„ = тд — Т - (—mW),
mW — сила инерции, аотн—ускорение грузов относительно стола
ОХ: Мао-™ — Т.
Решая эту систему уравнений, найдем
2.117. = , т=^
r=5=^(/w^-w).
опа п (м ~ m) (fl + w) . r _ 2mM (д + IV) . „ _ „т
2.119. аотн - -, Т - -----------, Focb - 2Т.
2 120 а —а 2тгтз_______. а _ . т1 (тз - тг) - 4тзтз .
а.1 — д пгз) 4ТО2ТПЗ > 2 д mi (m2 тз^ 4m2ni3 1
rf, _ 2t111 Ш2 m3 rr1. _ 1 rTy
1 — 9 mi (m2 + m3) + 4тгтз ’ 2 — 2 1'
_ mi (m3 — m2) + 4тгтз _
аз ~ 9 mi (m2 + m3) + 4тзтз ’
2.121. I = . Показать, что это положение муфты устойчиво,
к — Ми sin a
если выполняются следующие условия:
2.122. аотн = at2u2 + 4atw.
2.123. А = (Я2 - Я2) = 1,5 Дж.
2.124. a) v' = j [г х а»]; б) v = j [ш
2.125. = F,,
2-I2e'p=mV
2.127. т = = 6,67 • IO"11 Н • м2/кг2.
2.128. На расстоянии г = 3,4 • 105 км от Земли.
2.129. Vi = 3/yM/R = </ gR = 7,9 км/с.
kin > Mg coso, либо w < }~
u ’ sin а
х г].
_ mim? (2g - а)
mi + m2
2.131. v = 30 км/с.
2.132. Т = у/ А-п/ур , для Земли Т = 1,41 ч.
2.133. а„ = 9,2м/с2.
2.134. h = 35 800 км.
2.135. Выделим малый элемент массы dm на рассто-
янии г от центра планеты (г R). Рассмотрим силы
притяжения, действующие на данную массу со стороны
масс на поверхности Земли: dmi и dm2 (рис. 142)
г, dm • dm2
F2 = 7-----5---
Рис. 142
р, _ dm dm i
* 1 — У n
Учтем, что dm\ ~ dSi —площадь поверхности, вырезаемая конической поверх-
ностью с углом раствора dSl, dm2 ~ dS}. Тогда Fi ~ и F2 ~ , но
dS dS ^2
—Д = —2- — d£l — телесный угол. Следовательно, массы, сосредоточенные вне
Г1 г2
8 Зак. 83
230
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
[Гл. I
сферы радиуса г, будут взаимно компенсировать гравитационное притяжение
«выделенной» массы dm. И только масса внутри сферы радиуса г будет окат
зывать силовое воздействие на «пробную» массу dm.
F = yMm. m = pV = pi^r3.
г2 3
F = flr = ^r = fl£ (рис.МЗ),
„ 3Wn ... 2тгМр 2
F = -~дГ’ Wn = -'1—^r.
2.136. Т = 2тг у/ R2/y(mi + тг).
2.137. lVn - 21VK.
2.138. VA = и(27М/гд2 - 1);
R ~ г/(27Л//тд2 — 1), М — масса Земли.
Рис. 145
2.139. Из закона сохранения момента им-
const
пульса следует v • г • sin = const, v = ,
г sm ip
rsinip — минимально в (-)A и максимально в
(-)В. Следовательно, VA—максимальна, Vg —
минимальна (рис. 144).
2.140. Вблизи пузырька поле тяготения
меньше, чем в однородной жидкости. Жид-
кость около пузырька менее сжата. Поэтому
пузырьки воздуха стремятся приблизиться друг
к другу. Притяжение пузырьков воздуха можно
представить как притяжение двух отрицатель-
ных масс, равных массам воды в объеме пу-
зырька
2 Я
г6
Я2'
2.141. На стержне выделим элемент
длины dy, который имеет массу dM
(рис. 145). Сила притяжения этой мас-
сой частицы т
dF = у m'dM-
УУ2 + ^'
Очевидно, что проекции на ось Оу таких
элементарных сил притяжения в сумме дадут нуль (симметрия верх — низ), а
проекции на ось Ох дадут истинную силу притяжения, т. е.
х
F = [ dFx = [ dF cosa = [у • -= L. -= =y-L-m [ ;
J J J y2 + L2 y/y2 + L2 J (y2 + L2)3/2
<2 arct8 5Г
dM=*dy, F = 2ylfMl dV /2=2^ I cosada =
o ' 0
- о-v mM y \l>2 z= у mM 1
lL у/y2 + L2 Io L y/L2+l2/4
§2]
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
231
(интеграл берется подстановкой у = L tga). При L3>l F ~ 7 М™ _
L
„ , с, Мт
2.142. F — -у ——ri—к
2\Л5 а2
2.143. Используя идеи решения задачи 2.141, интегрируя по кольцу, полу-
чим (рис. 146)
F(x) = 2k2„2R-
2.144. Указание: площадь диска разбить на кольца ширины dr, найти
вклад в силу притяжения от такого кольца и проинтегрировать по г.
a) F = 'l-yma (1 — x/x/z2 + R2 );
б) U (х) = —2ir-ymcr [х + R — у/ х2 + R2 ].
2.145. a) F = 2'утХ/х; б) М = 2Ьх.
2.146. Из 2.135 следует, что gr = д F = -у .
2.147. F ~-ymM/2R2.
2.148. Мысленно заполним полость массой свинца, чтобы ситуация не из-
менилась, добавим также вещество (антивещество) с «отрицательной» массой,
равной массе добавленного свинца. Тогда гравитационное поле в полости в
любой точке М создается самой массой свинца и массой антивещества, т. е.
W = WB + Й>анти;
IVb — 7 “3" Рв ' г’ Иантн 7 з Ра ' г > (рис. 147)
р = рв = -ра; IV = 7 у-р(г - г') = 7 рп>.
2.149. д(г) = 2тг7р0ёг-,
2.150. Используя метод «заполнения» и принцип суперпозиции (см. 2.148),
получим
8*
232
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
[Пп. I
2.152. г = у/(Т/2к)2 = 4,2 • 104 км, где М и Т — масса Земли и период
ее обращения вокруг собственной оси; 3,1км/с; 0,22м/с2.
2.153. v = — й In (m/mo). 2.154. m = mo e~wi/u.
_,-- - F , mo - F
2.155. v = — In-y—г ; w = ------т .
p mo — pt ’ mo — pt
§ 3. Вращательное движение твердых тел
3.1. J = 9,7 • 1027 кг • м2; L - 7 • 1033 кг • м2/с.
3.7. а) Л = 63,5 • 10-3кг • м2; б) J2 - 62,5 • 10"3 кг • м2; в) <5 = 1,6%.
3.8. m = 2 (F • R — M)/eR2 = 7,36 кг.
3.9. е = 2,35рад/с2. 3.10. М = 100Н • м.
3.11. Учитывая различие сил реакции натянутой нити, действующей на обе
гири, напишем уравнение движения гирь для блока:
ггца = mig — Ti
' m2a = T2 — m2g
J e = (T\ — T2) R,
e — a/R, J — mR2/2— момент инерции блока, m — его масса.
Решая систему, найдем
(mi-m2)s _2R / 2.
а — ---------- . _9 — 2,о м/с ,
mi 4-m2 + J/R2
_ mig(2m2 + J/R2) _ _ m2g(2mi +J/R2) _
ll = --------------—x— = 14 ri; j 2 = ---------- = 12,0 ri.
mi 4- m-2 + J /Rr mi 4- m2 4- J /Кг
I mi - m2 |
(mi 4- m2 + J/R?) R '
3.13. Аналогично решению 3.11.
a = —— = 3 м/с2.
mo + 2m '
Решим эту задачу, используя закон сохранения механической энергии.
mgh = ,
3.12. e =
h — высота, на которую опустится груз, v— скорость груза на этой высоте,
щ = v/R, J = moR2/2.
at2
Учтем, что h = v — at.
Подставляя все в закон сохранения, получим тот же ответ.
3.14. J = 9,5кг • м2.
3.15. t = 1,1 с; Нь=0,81Дж; Т = 4,1Н.
3.16. a = 3,53 м/с2; Ti=6,3H; Т2 = 4,5Н.
3.17. Кинетическая энергия диска складывается из энергии поступательно-
го движения и кинетической энергии вращения:
WK=rnvi+J^_ = Згш? = 24 Дж
3.18. lVfc = 0,1 Дж.
3.19. Q = 2,51 мДж.
3.20. s = 4,1 м.
§3]
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
233
3.21. Из закона сохранения механической энергии (см. 3.13) получим
2
mgl sin а = ^- (m + J/R2).
С учетом кинематики движения
_ mg sing
т + J/R?
Подставляя моменты инерции для шара, обруча и диска, получим
ai = 3,5м/с2, аг —2,44 м/с2, аз = 3,27м/с2.
3.22. и = у rn + J/Rl ’ и1=2>65м/с; «2= 2,56м/с; и3 = 2,21 м/с.
о
3.23. а = j д sin а. 3.27. cosg > г/R.
3.25. t = u>R/(g -k)-, N = и>2 R/(4irgk). 3.28. t = v/kg.
3.26. v = \/gl (sin a — 2k cosg). 3.29. N = mgl2/(l2 + За2).
о or, ma>2 R2 , Jw2 , „ .
3.30. Из закона сохранения энергии ---------1---у = mgh найдем п, а
затем I = /i/sing — длину подъема обруча вдоль плоскости. Учитывая, что
! = at2 /2 и v = at, легко найти t = 2 .
' ’ 2 g sm g
3.31. t = a>oR/kg, Q/W = \/2.
3.32. v = v2 3gh = 9,5 м/с; M = mg у/ gh/3 = 4,7 • 102 кг • м2/с.
3.33. u>i = a>2 = 14 рад/с2; Vj = 1,05 м/с; V2 — 2,10 м/с.
3.34. g = 81°22'.
3.35. Закон сохранения момента импульса Jia>i — J2<^2>
3.36. A = 162 Дж.
3.37. П2 = 21 об/мин.
3.38. W^/Wfc, = 1,05.
3.39. A - -mR2u>2/4.
{F = mg/2, a = 0
F = s/5fc2 -4fc
Ji = mR2/2 + той2, J2 = тй2/2; П2 = ni = 22об/мин.
3.40. m2 — mi sin a/ sin (-д — a).
3.41. T = mg/2tgg; T' = mg/2 sing.
3.42. Fa = mg tgg; Fg = mg cos2g/cosg.
3.43. k = l/v^T.
при k 1/2
I- 1 , tg g = 1 , при k < 1/2.
3.45. tgg (1 - Jfcifc2)/2fci. 3.46. Tn = (2n - 1)тд/\ГЗ.
3.47. fc 1/3. 3.48. F = kmg(V2 - 1).
3.50. Nc - N, = 720 H; ND = 700 H.
3.51. T = 6,4 H; FTP1 = 13,6 H; FTp2 = 40,8 H; в покое.
sing 4- — —------------------
Q \ I sin a I cos a
234
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
(Гл. I
§ 4. Механика жидкостей и газов
TJ
4.1. h — Указание: вывести формулу Торичелли для скорости вы*
текающей жидкости.
4.3. v = 0,12 м/с.
4.4. Обозначим: Si —площадь поперечного сосуда и Vi —скорость течения
воды в нем (скорость понижения уровня воды в сосуде), 5г— площадь попе*
речного сечения отверстия и v?—скорость вытекания воды из отверстия. По
теореме Бернулли 1
2 2
ф-+рд/1=^- или vl+2gh = vf. (1)
В силу неразрывности струи mSi = V2S2, или
V2 = V1S1/S2- (2)
Подставляя (2) в (1), получим Vi = S2 у/ 2gh / yj — S% Учитывая, что
Si — тгД2/4 и S2 = ird2/4, имеем Vi = ^2 у/ 2gh /'J — d4 . Так как d4 -К D*,
то приближенно
Vi = (d2/D2) y/2^h. (3)
Отметим, что если d = D, то щ = у/2gh . При h = 0,2 м скорость Vi = 0,8 мм/с.
4.5. В обоих случаях струя воды падает на стол на расстоянии I — 0,4 м
от сосуда.
4.6. а) ц = 0; б) V— 1,04 м/с; в) 11 = 1,25 м/с.
4.7. Скорость понижения уровня воды в баке v = S2 у/ 2ду / yj — S%
(см. решение 4.4). Здесь у — уровень воды в баке (переменный). За время dt
уровень воды в баке понизится на
dy = v dt = А у/^у dt, где А = S2 у/2д / yj S% — (1)
Из (1) имеем dt = dy/A yfy~', отсюда
Учащимся предлагается довести интегрирование до конца и получить ответ
2/h^S2-S2 _ l2h [(Sy/S2)2-l]
t = ------ ---- -- \l — о мин.
S2x/29 V 9
Нетрудно убедиться, что если бы уровень воды в баке поддерживался посто-
янным на высоте h = 1 м от отверстия, то время вытекания такого же объема
воды было бы в два раза меньше.
4.8. d = 1,4см. 4.9. Р = 250 кПа. 4.10. и = 1,4 м/с. 4.11. Д/i = 1,6 мм. 4.16. Г) = 1,09 Па с, ь = 4.12. F-rp/mg = 3. 4.13. v = 4,1 м/с. 4.14. т) = 2 Па • с. 4.15. ДТ = 4 мин. - 12,1 см2 /с.
§5]
.ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
235
4.17. Скорость понижения уровня касторового масла в сосуде зависит от
скорости протекания масла через капилляр. Объем масла, протекающего за
время t через капилляр, определяется формулой Пуазейля
I/ _ тгг'ЧДР
“ 81г,
(1)
Разность давлений на концах капилляра обусловлена гидростатическим давле-
нием слоя жидкости, т. е.
АР = pgh. (2)
С другой стороны,
V — S'v't = irr2v't, (3)
где v'—скорость протекания масла через капилляр. Из (1) — (3) имеем v' =
— T2pgh/8lT). Но так как v' S' — vS, где v — скорость понижения уровня масла
в сосуде и S — площадь поперечного сечения сосуда, то окончательно имеем
v = r^pgh/SlrjR2. При h = 0,26 м скорость v = 3 • 10-5 м/с.
4.18. t = 1,5 мин.
4.19. I = 1,1см.
4.20. D = 4,6 мм.
4.21. Число Рейнольдса Re = 1800, т.е. Re < 3000 — движение ламинарное.
4.22. D 0,085 м.
4.25. т = | -nR?p.
4.26. Давление Р (х) можно найти из условия, что сила давления на вну-
треннее основание выделенного тонкого цилиндрическго объема равна mw2j/,
где у — расстояние от центра цилиндра до оси вращения, т — масса выделен-
ного объема: Р (х) — pa)2 [(Я — х)2 — j Я2].
4.27. у = i — х2.
и 2 д
4.28. Р = | лт3 (Я — г) Р<Д2.
4.29. а = д (s/S)2.
4.30. R = гЯо/(Яо -г), о = 120°.
Глава II
МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА
§ 5. Молекулярно-кинетическая теория
5.1. ро = + Р = ™1'’ h = (L~ 0/2.
5.2. „ = -------------= 0,8. 5.5. п = .
ГПЩ2 + ГО2Д1 РОИ)
- , „ P1V1 + P2V2 + P3V3 е _ _ lg (p/po)
5-3- Р - V1+V2 + V3 • 5-6- п - 1п[У/(У + VoJ]
5.4. ДУ = Na ъ (& - £1') = 8,6 • 1023.
л \12 J 1/
236
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
[Гл. Ц
5.7. Результирующая подъемная сила воздушного шарика равна разности
между весом воздуха в объеме шарика и весом самого шарика (весом находяще-
гося в нем водорода и весом оболочки): F = птг9 — (nrig + Р), где т2 — масса
воздуха в объеме шарика, пц —масса водорода в объеме шарика. Т. к. Р = О,
F = (пт2 - mi) g = j (р2 - Д1) = (М2 - Д1) = 96 мН.
5.8. Р-2 = Pi + д (рНс - рН2 ) ~ 1,09 • 103 кг.
5.9. Р2 ~ 80,5 Н; Т\ = -Р- Т ~ 4350 К.
Мн2
5Л0. .= ^.
5.11. р' =р туддУ T" (' + Ту = х>14'105 Па-
5.12. р = 0,081 кг/м3.
5.13. р = рд/ЯТ; а) при Т = const — р ~ р; б) при р = const р ~ 1/Т
5.14. р = 415кПа
5.15. д = --7й t™2 /— = 4,6 • 10~3 кг/моль; V = 11,7л.
mi/pi+m2/p2 '
5.16. пт = 2,5 г.
5.17. Если бы молекулы были не диссоциированы, то давление в сосуде
было бы р = mHT/pV.
После диссоциации в сосуде находится количество ц=2апг/д атомарного
йода и количество ц2 = (1 — о) пт/р— молекулярного йода. Давления, создавае-
мые ими, есть
„ _ 2am НТ „ _(1-а)птят
Pi " — ДГ - Р2 - --------р-----у-
По закону Дальтона
Рем = Pi + Р2 = (1 + а) = р (1 + а)
т.е. 1 + а = рсм/р = 1,12; а = 0,12.
5.18. а = 20%.
5.19. рсм/р = 1,25.
5.20. р = 1,2 кг/м3; рг = 21кПа; р2 = 79кПа.
5.21. р = 1,98кг/м3.
§5]
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
237
5.22. а) то = 1,67 • 10 27 кг; б) то = 6,65 • 10 27 кг.
5.23. Ti = Т = 420 К.
’/(’if - 1)
5.24. Пусть х — смещение поршней. Объем воздуха между поршнями после
их смещения
V' = Vo + x(S2-Si).
Из закона Бойля — Мариотта
PoVo = p'V,
где р'—давление воздуха между поршнями после их смещения. Условие рав-
новесия стержня
(p-p')Si = (po-p')S2.
Совместное решение этих уравнений дает
_ Ур р-ро
Si - S2 р + P0S2/S1
5.25. Условие равновесия поршней и закон Бойля — Мариотта приводят к
следующему уравнению для искомой силы
F2 - F (2kl + poS) +pOk-l-S = 0
И
F = kl + poS/2 - У (fcl)2 4- (poS/2)2 (F -+ 0 при k —> 0).
5.26. р = 2 • 10-33 кг - м/с.
5.28. N = 2 1027.
5.29. n = Na [2а/ц + (1 - а/р] = 3,56 • 1024 кг”1.
5.30. W = 4,5- Ю23.
5.31. V = 3,2л; pi = 98мПа; р2 = 35мПа; ’п = 2,6 • 1019 м-3.
5.38. су = 650 Дж/(кг К); ср = 910 Дж/(кг • К).
5.39. Для нагревания смеси атомарного и молекулярного кислорода требу-
ется количество теплоты
Q = 2а C^At + (1 - а) C'^At = CPAt,
где Ср и Ср—молярные теплоемкости атомарного и молекулярного кислоро-
да, Ср — теплоемкость смеси. Следовательно,
2аС; + (1-а)С" =СР; а = (СР - С")/(2С; - С");
Ср = р ср = 1,05кДж/(кг • К) • 32 • 10-3 кг/моль = 33,6 ДжДмоль • К);
Ср =20,8 Дж/(моль • К); Ср = 29,1 Дж/(моль • К); а = 0,36.
5.40. а = 0,23.
5.41. Ср = 685Дж/(кг • К).
5.42. Количество теплоты, полученное газом,
Q = ~СР(Т2- ТО,
м
где
Ср = 29,1 ДжДмоль К) — молярная теплоемкость кислорода. Температуру Г2
находим из уравнений состояния газа до и после нагревания:
рЦ^^ЯТ!, рУ2 = ^ЯТ2, откуда Г2 = Tj .
А* М VI
238
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
[Гл. И
Но Vi = mRTi/pp и, следовательно, Т2 = pV2p/mR = 1156 К. Таким образом,
Т2 - Ti = 873 К и Q = — Ср {Т-2 - = 7,9кДж.
д
Энергия газа до нагревания может быть найдена по формуле
Wi = ^RTi = 1,8 кДж,
где г = 5, так как кислород — газ двухатомный. Энергия газа после нагревания
IV2 = | ^RT2 =7,6 кДж,
5.43. а) При р — const имеем Q = шСрДТ/д. Но pVi = тпКТх/р, и
pV2 = mRT2/p, откуда
рД V = Тк R^T, или ДТ = рДУ R '
Следовательно, Q = СррДУ/R = 700 Дж.
б) При v = const имеем Q = (т/тДСуДТ. Но piV = mRTilp и
p2V = mRT2/р, откуда
УДр = ДДТ, или - Д7' = .
и М М R
Следовательно, Q = Су УДр/R = 500 Дж.
5.44. тп = 3,7 г; Д1У0 = 3,3 • 10“21 Дж.
5.45. i = 6.
5.46. = 500м/с.
5.47. п = 4,2 • 1024 и-3.
5.48. В 1,44 • 107 раза.
5.49. тп 'У v2 = х/ЗкТт = 6,3 • 10-24 кг м/с.
5.50. Внутренняя энергия газа определяется формулой
IV = | — КГ.
2 р
Для двухатомного газа i = 5, причем i = 3 приходится на долю поступатель-
ного движения молекул и i = 2 — на долю вращательного движения. Подста-
вляя числовые данные, получим IV = 3,7 кДж, причем lVnocT = 2,2 кДж и
1Увр = 1,5 кДж.
5.51. IV = 750 Дж.
5.52. Ti = 2 104 К; Т2 = 900 К.
5 7
5.54. pi = ро • 2х, где X = для одноатомного и X = для двухатомного
газов.
5.58. w = 0,94.
5.59. lVjv,no {к) = С*о CnN^nJC^.
£0123 4 5 6
w 0,436 0,413 0,132 0,0176 9,69 • 10“4 1,84 Ю-5 7,15 10~8
5.60. w = N'./[G(G - 1)... (G - + 1)] = 1/С#.
5.61. »=^.
§5]
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
239
5.62. ( / (х)) = £ / (х,) w (xi); д/((х - (х))2 ) = У(х2 ) - (х)2 .
5.63. (х3 ) = (if - х|) р + х|.
6 ь
5.64. (f (х)) = J f (х) р (х) dx = / f (х) dw (х);
У((х - (х))2 ) = (х2) — (х)2 .
5.65. dw = Зг2 dr/Rz-, {r) = ^R\ У (г2) = /3?5 R; Я1/2 = Я/21/3.
5.66. w = 1/2N, 1/4, 1/1024, 10"l'S 1023.
5.67. dw(x) = A exp (—Ах) dx; (х) = 1/А; (х2)=2/А2;
У((х-(х))2) = 1/А; <5х = 1.
5.68. Т = 83К.
5.69. Распределение молекул по скоростям дается формулой:
= 4= e-“2u2Au, (1)
N у/Т
где и — относительная скорость. В нашем случае v = 100м/с и Ди = 10м/с.
Наиболее вероятная скорость vB = у/2RT/р — 376м/с. Следовательно,
и = v/vB = 100/376, и2 = 0,071, е_“2 = 0,93 и Ди = 10/376. Тогда фор-
мула (1) дает:
= 4= 0-93 • 0,071 • 4: = 0,004 = 0,4 %.
JV тг 3 (о
Таким образом, число молекул, скорости которых лежат в указанном интерва-
ле, равно 0,4% от общего числа молекул.
5.70. AM/AN2 = 1,1 для любого газа при любой температуре.
5.71. a) Ni/N = 57%- б) W2/W = 43%. Отсюда видно, что кривая распре-
деления молекул по скоростям несимметрична.
5.72. Nx = 1,9-1022.
5.73. Р И А ехр (-64а) • 4?г 64 • 2 • Ю"4.
5.74. т) = 4= f e_u2u2du.
5.76. F(£) = -^L exp Z£/(fcT)3/2; £m = 2fcT; Fm = 2 e~2/kT
(рис. 149).
5.77. £о = ^г; (£) = |а:Т; Fo = 2/(y/2^kT\ £* - 3kT In2 (рис. 150).
240
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
[Пл. II
I
5.78. pa — pi — mgN/S.
5.79. Давление газа р уменьшается с высотой h по закону
р = ро exp (—pgh/BT). В условиях данной задачи р = 67,2 кПа.
5.80. а) р = 1,28 кг/м3; б) р = 0,78кг/м3.
5.81. т) - 0,225.
5.82. п (г) = п0 ехр .
, „„ , dN n(r)dxdydz
5.83. =
(V)
5 84 dw= exp(-u^/fcT)dV _
f exp(-u(f)/fcT)dV ’
(V)
5.85. n(h.) = no exp P (Л) = Po exp ; po = nkT.
5.86. Имеем барометрическую формулу
p = ро exp(—ддЛ/ЯТ). (1)
Концентрация (число частиц в единице объема)
п = р/кТ. (2)
Подставляя (2) в (1), получим соответственно для высот hi и /12:
ni = noexp(-pghi/RT), пг = no exp(-pgh2/RT)-,
отсюда
- exD ( P9(hi-h2)\ _ (yg(h2-hi)\
п2 ~ р RT )~ р ВТ )'
ИЛИ
। ni _ уд (/»2 - hi) .
П2 - ВТ •
Так как масса частицы m = д/Na, то формулу (3) можно записать так:
, ni _ NAmg(h2 - hi)
lnn2 - ВТ
откуда, учитывая поправку на закон Архимеда, получим:
•1023 моль~1’
pv (р - Ро) (h2 - hl)
где р—плотность гуммигута и р0 — плотность жидкости.
5.87. n — пое~ h; р — рое~ 11,
д — молярная масса, В — газовая постоянная.
5.88. Концентрация частиц в изотермической атмосфере описывается выра-
жением
n(/i) = no exp |g + ь > 0
на любой высоте h, т. е. планета будет терять частицы.
§5]
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
241
_ ( т \3/2 ( mv2\ , , , dxdydz
5.89. dw (г, v) = I 2 jfcT1) exp I — 2JcT I <iVz “t,i' —V— ’
5.90. Множитель dxdydz/V заменить на
(V)
dx dy dz;
dw — A exp
kT )
dV dvx dvy dvz.
5.91. Одна и та же на любой высоте.
5.92. Т ~ 120 К; 1370 м/с.
5.93. v = <дЯ/Д<р ~ 100 м/с.
5.94. f (v) = 2/V/3V02, где N = J f(v)dv; Vb C « 2Vo- Действие no-
F
стоянной силы приводит к смещению границ интервала на величину — т. Вид
функции остается прежним.
5.95. w 2? уЛТ/pl ~ 70g. 5.100. Z = 2,47- 109c-!
5.96. А = 850 мкм. 5.101. В 2,3 раза.
5.97. А = 5,6 км. 5.102. А = 1 мкм.
5.98. А = 93 нм. 5.103. А = 23 нм.
5.99. Й = 4,9 105с-1. 5.104. т= 1,6- 10-7с.
5.105. Чтобы молекулы не сталкивались друг с другом, средняя длина
свободного пробега должна быть не меньше диаметра сосуда, т.е. А Ji D
I» 1/>/Ттг<72п; отсюда n l/v^тгсг2D = 1,7 • 1019 м~3.
5.106. р < 399 мПа.
5.107. 7=^/^ = 9,2-107с-*.
5-108- ‘=да " = ^2/4-
5.109. dw = dS/X.
5.110. dw(x) — j exp(—x/X)dx.
5.111. A ~ Т/р, т ~ хТГ /р (рис. 151).
5.112. <т(г) = ANi,i/j, где j = n?v — плотность потока налетающих ча-
стиц, A/Vi,i = &N/(At-niSd) — число рассеяний за единицу времени в расчете
на один рассеиватель.
242
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
[Гл. И
5.114. D = 9,1 • 10“5 м2/с.
5.115. D = 8,4 • 10“5 м2/с.
5.116. т = 2 мг.
5.117. D12 = 0,7 • 10-4 м2/с.
5.119. р = 39,9 кПа.
5.120. q = 17,8 мкПа • с.
5.121. Имеем
г) = v • Ар/3,
(1)
где v = у/ 8RT/np—средняя арифметическая скорость молекул,
А = RT/хЛГтг<72р— средняя длина свободного пробега и
р = pm/RF — плотность газа. Подставляя эти величины в (1), получим:
г? = 2fe , J , откуда <т2 — ./ = 9 • Ю-20 м2, т. е. <7 = 0,3 нм.
Зтгст2 у Rn Зт/ у Rn
5.122. г/ = и-Ар/3. Подставляя выражения для v, А и р, найдем 77 = А '/Т',
где А — некоторая постоянная.
5.123. п = NAq/pD = 1,8 • 1025 м-3.
5.124. v = 2,72 м/с.
5.125. Fs = 45 мН/м2.
5.126. q = F (R — r)/47r27i/iTtr = 18 мкПа с.
5.127.
5.128.
5.133. Q = 23,9 кДж.
К = 90мВт/(м • К).
К = 13,2мВт/(м К).
5.129. К = v • ХСур/З. Подставляя
выражения для v, А и р, найдем К =
= А х/ТГ, где А — некоторая постоянная.
На рис. 152 дан характер зависимости те-
плопроводности К от температуры Т.
5.130. a) Di/D2 = 0,8;
б) 771/772 = 1,25; в) К1/К2 = 0,96.
5.131. р = 1,26 Па.
5.134. Q = 78Дж.
5.135. Д(Е*) = |fc[T(x)-T(x + A)] = -5*:^A при А Т/\дТ/дх |.
5.136. Т(х) = Т2 - (Т2-Ti)x/1; q = Sk (Т2 - Т\}Ц.
5.137. а) к = 13,ЗВт/(м -К); б) Т = 200 + 12/г ([Г] = К, [г] = р).
5.138. W = паХк у/ кТо/тп ; не изменится.
5.139. к =
т“7 ’
5.144. p«FTi/[S(T2-Ti)].
5.145. ро = pi у/То/Ту .
5.140. t' = Tit.
5.141. F = ps/2.
5.142. о)' = <д(г1/г2)2.
5.143. Ей 10“2Н.
5.146.
1 771
<7 = Ту 71 —
2 р
8RT ДТ
•пр d
5.147. т = (4V/S) In 77 у/np/8RT .
5.148. v = [7(fc + l)RT/(kp! +/i2)]1/2.
5.149. „ = /
(p(X-l) [ \piJ J J
§5]
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
243
5.150. Т = 120К; v = 1370м/с.
5.151. Г» 193 К; р- 0,33 МПа.
5.152. Q = — СРДТ = 7,92 кДж; Д W = х pAV = 5,66 кДж;
А = pAV = 2,26 кДж. Таким образом, как и следовало ожидать,
на основании первого закона термодинамики Q — Д№' + А.
5.153. APT = 1 кДж.
5.154. А = 13,2 Дж; AW = 39,6Дж.
5.155. <Э=10,4Дж; Д/г = 2,8см.
5.156. В 2,72 раза.
5.157. А = 70 Дж; Q = А = 70 Дж.
5.158. Т2 = 207 К.
5.159. Т2 = 865 К.
5.160. i = 5.
5.161. t2 = 123 °C; Р2 = 5,28 МПа.
5.162. Cp/Cv = 1,4.
5.163. А = £ [1 - e~aV1l.
a l j
5.165. а) первое начало термодинамики дает:
(Cv + aT)dT = CvdT + pdV = CvdT+ dV, т.е.
j'p _ R dV , m гр ______ R i V
dT~a-V' T~T°~aXnV0'
б) и в) проделать подобные выкладки.
5.167. С = Су - vR/(n - 1).
5.168. а) С = Cv + Я/2; , б) С = Cv - 2R.
5.169. с = R; п = п = 1.
\ 1 71 «ь / о
5.171. С = 2р0У0/Т0.____________________
5.172. Umax = 2р7/ 1 — 4- fyg »
Umax = [i - 2 (^) Z + 2 •
5.173. Vi max = [3poVom2/mi (mi +
^2 max = [3poVomi/m2 (mi + m2)]1/2.
5.174. Tmax = To + 2mv2/3R, R—газовая постоянная.
5.175. Q = mgh (1 + 2c/R) + (c+ R)T0.
5.176. Q = (1 + £).
5.177. а) <Э=1,55кДж, А = 0,92кДж, AW = 0,63кДж;
6) Q= 1,88 кДж, A = 1,25 кДж, AW = 0,63 кДж.
5.178. rj = 18%.
5.179. Тепловая машина, работающая по циклу Карно, совершает работу
А = Qi — Q2 = ц<Э1, где Qi—количество теплоты, получаемое машиной от
нагревателя, Q2— количество теплоты, отдаваемое холодильнику, ц—к.п.д.
машины. Имеем ц = (Ti — T2)/Ti = 0,25. Тогда А = rjQi = бЗОДж. Далее
Q2 = Qi — А = 1,88 кДж.
5.180. 17 = 26,8%; <Э1 = 274кДж; <32 = 200кДж.
244
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
[Гл. II
5.181. a) Vj — 2л, pi = 708кПа; У2 = 5л, рг = 284кПа; Рз = 8л,
рз = 146 кПа; V$ = 3,22л, р4 = 365 кПа;
6) Работа в процессе изотермического расширения
Al = RTi v In = 1,3 кДж
и сжатия
Аз = RTipln 13- = —1,07 кДж;
Рз
Работа в процессе адиабатного расширения
4 fl ^2 А ДПА тт
А2 = х_11 р ( 1 - jr 1 = 620 Дж
и сжатия
= = -62°Дж;
в) работа за весь цикл
4
А = ^А; = 230 Дж;
1=1
г) к. п. д. цикла
гу = Т1£Т2 = 0,175;
д) количество теплоты, полученное от нагревателя
Qi = А/т) = 1,3 кДж;
е) и отданное холодильнику
Ql = Q1 - А = 1,07 кДж.
5.182. В 2,1 раза.
5.183. При обратном цикле внешние силы совершают над газом работу А.
При этом количество теплоты Q2, отнятое у холодного тела, вместе с затра-
ченной работой А равно количеству теплоты Qi, переданному более нагретому
телу. При этом т] = (Т\ — T2)/Ti = 0,093; Qi = Qi — A = — A — 360кДж;
Qi = <?2 + A = 397 кДж.
5.184. тп2 = 4,94кг.
5.185. За счет количества теплоты Q можно совершить работу А = r]Q,
где г] — к.п.д. тепловой машины, причем т] = (Ti — Т2)/Ту. Помещению будет
передано холодильной машиной количество теплоты Q' = A/rf, где rf — к. п.д.
холодильной машины, причем ту' = (Т{ — Tji/Tj. Тогда
Q' _ дД _ , _ Ti -Т2 Т _ о
Q ~ ту'А “ Ti Т-Т„ ~3,
т. е'. помещение получает в 3 раза меньше количества теплоты от сгорания дров
в печке, чем при отоплении его холодильной машиной.
5.186. Т] = 0,2; гу' = 0,3.
5.187. 104 цикла.
§5]
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
245
5.188. Имеем т/ = A/Q\ т.к. Адв = Ава и Acd — Лев — 0> то
д - А А _ т R(T0 -Тз)
а = авс- аое - - х_-х
1
далее
а = шс„(т0-тз)(1-^).
Так как Q = — Cv (Т2 — Ti), то
А _ гг ~ ?з — 1 _ Z1 — 1_______1
V~Q~ Т2 Т2 (Vi/Vj)*-1
= 41,2%.
5.189. Р2 - 930 кПа; Т2 = 686 К.
5.190. п = 1,3.
5.191. а) т/= 36,7%; б) г? = 44,6 %; в) т) = 49,6 %.
<1 109 „ — А —1 1 Тз — То
5,i92. rj - - 1 - - Т2--7у •
А Р • t
5.193. 7 = с другой стороны
Л = 1 - 1) > где /3 = Тг/Ti, г = V2/Vt.
Приравнивая, получим массу сгоревшей нефти тп = 5,9 кг.
5.194. т, = А = K(Tj — Т2); Q = (Тг - Т2) + ЯГ1;
5.197. Изменение энтропии определяется формулой
в
&S = SB-SA = У ,
А
где Sa и Sg —энтропии в первом и во втором состояниях. Общее изменение
энтропии в данном случае складывается из изменений ее в отдельных процессах:
При нагревании массы тп льда от температуры Т до температуры То = 273 К
имеем dQ = гпсл dT, где сл = 2,1 кДж/(кг К)—удельная теплоемкость льда,
и
Д51 = тсл In (То/Т).
При плавлении массы т льда при температуре То имеем f dQ = mA, где
А = 0,ЗЗМДж/кг— удельная теплота плавления, и
Д.У2 = mA/То.
При нагревании массы т воды от температуры То до температуры Тп имеем
Д5з = тс In (Тп/То),
где с = 4,19 кДж/(кг К) — удельная теплоемкость воды.
При испарении массы т воды при температуре Тп имеем:
Д54 = тт/Тп,
где г = 2,26 МДж/кг — удельная теплота парообразования.
246
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
[Гл. Й
Общее
изменение энтропии:
AS = тп
+ A+cln?k+ г ) = 88Дж/К.
-Z 0 * 0 * п /
5.198.
5.199.
5.200.
AS - 7,4 Дж/К.
AS = 1230 Дж/К.
Имеем
2
AS = f
Но dQ = — Cv dT + pdV и, кроме того рИ = RT, тогда
м м
2 2
а с____ [ т, у-» dT । f тп d dV
AS- I p Cv ~T + J pR^y-
или AS = Cv In R 1п - 5,4 Дж/К.
5.201. Выразим энтропию в этой задаче через параметры V и р. Имеем:
Уравнение Менделеева — Клапейрона дает:
Тг _ ргУг
Ti piVi ’
(1)
(2)
Подставляя (2) в (1), получим:
л с _ m /- In Р2 , т г 1 Иг , т „ . Иг _ т г . рг , т г .Иг
AS - - In — + - Cv In у- + - R In pj- - - Cv In — + - Cp In pj-.
При изобарическом процессе pi = рг и
AS = Ср In = 66,3 Дж/К.
Р VI
5.202. a) AS = 1,76Дж/К; б) AS = 2,46Дж/К.
5.203. Q = 420 кДж.
5.204. Остается постоянной, если процесс обратим; возрастает, если процесс
необратим.
изотерма
адиабата
Рис. 154
Рис. 153
S
5.205. См. рис. 153.
5.206. См. рис. 154.
§6]
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
247
J2 h
5.207. dQ = SdT-, Q= f (a + bT) dP = a (T2 - Ti) + % (T22 - T2).
Ti
5.208. Q = 1,79 кДж.
5.209. Энтропия получает приращение AS = 2 Дж/К.
5.210. AS = 0,25 Дж/К.
5.211. С = аР.
5.212. S = С/3.
5.213. S = R 'ln V + const’
5.214. a) AS 296 Дж; б) Д(/= 0.
5.215. a) AV = 0; б) AS = R 1п2.
5.216. Р = (V/V0)N, где V = | Vo.
P = 2~N-, Р(2) = 1/4; Р (5) = 1/32; Р (10) ~ 0,001; Р (100) = Ю"30.
5.218. S = к In Г, к — постоянная Больцмана.
5.220. G - es/k.
§6. Реальные газы
6.6. а) Т = 280 К; б) Т = 280 К — т. о. при малых давлениях газ ведет себя
как идеальный.
6.7. а) Т = 482 К; б)Т = 204К.
6.8. P2/Pi = (2р 4- р;)/(р + pi) = 1,85, где р, = ai/2/V2. Если бы газ
подчинялся уравнению Менделеева — Клапейрона, то было бы P2/Pi = 2.
6.9. Определение объема по формуле Ван-дер-Ваальса требует решения
уравнения третьей степени. Один из трех корней этого уравнения, соответству-
ющий газообразному состоянию вещества, может быть найден методом после-
довательных приближений. Из уравнения Ван-дер-Ваальса для произвольного
количества v = тп/р кислорода имеем
(1)
У = ...УЯТ .+иЬ^-^+иЬ.
p + v2a/V2 P + Pi
В качестве первого приближения берем V = И —объем, получаемые из урав-
нения Менделеева—Клапейрона:
Vi = = 0,24 м3.
Тогда
ь>2а Ю6 0,136 „ ,...п
р' = < = Л^)^Па"2'4МПа'
Подставляя р, в (1), получим второе приближение:
_ /103 -8,31 300 з Ю"5) м3 = 0,232 м3.
\ 1,24 • 107 J
Тогда
V = (.Ю3-8,31 - 300 з 5\ з _ з
\ 1,253 • 107 J
Поступая таким же образом, можно получить четвертое ит. д. приближения.
Нетрудно убедиться, что уже четвертое приближение практически совпадает с
третьим. Таким образом, искомый объем V = 231л.
248
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
[Гл. П
6.15. р
6.11.
— RT;
Д
6.10. а) а = 297 пм; б) <т = 313пм.
Таким образом, результаты, получен-
ные двумя разными способами, дают до-
статочно хорошее совпадение.
А = 79 нм.
6.12. D = 3,5 • 10~5 м2/с.
6.13. На рис. 155 дан график р = f (и),
построенный для и = 1 кмоль углекисло-
го газа при I = О °C. Кривая а соответ-
ствует уравнению идеального газа, кривая
б—уравнению реального газа.
6.14. р( = 27Т2р2/64ркТ2 = 1,31 кПа.
= р ~ р = 33%, где v и и' —
х
количества водорода без учета и с учетом собственного объема молекул.
6.16. pi/p = 4,95%; Vi/V = 0,86%.
6.17. Работа, совершенная против сил
v2
А =
взаимодействия молекул,
где
V1
_ _ т2а
Р' ~ p?V2 ’
Таким образом,
А =
V*2
[ dV _
J v2 -
т2а ( 1__
Р2
J_\ _ m2a(V2 - Vi)
V2/ - p.2ViV2
откуда
6.18.
_ Ap2ViV2
т2 (V2 - Vi)
А = RT In + (
AVjV2
—=--------- = 0,136па м6/моль2.
6.19.
6.20.
6.21.
молекул
6.22.
6.23.
а) ДИ = 0,121 Дж; б) А = 3,31 кДж; в) Q = 3,31 кДж.
Т (V — 6)7J/Cv = const; (р + (V — 6)л/с"+1 = const.
AT = at/(V2 - Vi)2/ViViiR = 2,33 К, где г — число степеней свободы
газа, v — количество азота.
а = 0,364 Па • м6/моль2.
Так как температура tj = 31 ° С — критическая температура углеки-
слого газа, то необходимое давление р = рк = 7,38 МПа. Так как температура
t2 = 50 °C больше критической температуры, то ни при каком давлении при
50 °C нельзя превратить углекислый газ в жидкую углекислоту. Наибольший
объем V'max = ЗЬ/р = 2,9 л; наибольшее давление ртах = Рк = 7,38 МПа.
6.24. рК = р/36 = 196кг/м3.
6.25.
6.26.
6.27.
6.28. Ср - С,
рк = 3ppK/‘3TKR = 57 кг/м3,
р = 2,7 МПа.
я = р/рк = 2,45.
R
1-2а^-Ь12'
RTV*
6.30. 5 = Cv InT + R In (V' — b) + const.
§7]
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
249
$ 7. Насыщенные пары и жидкости
7.1. Дт = pH II V'(1 — w) = 6,8 г.
7.2. п = 1024 м~3.
7.3. W = 60,6%; Дт = 86мг.
7.4. В 12 раз.
7.5. Относительная влажность определяется формулой ш = р/рн, где р—
давление водяного пара, находящегося в воздухе, и ри — давление водяного па-
ра, насыщающего пространство при данной температуре. Масса тп водяного
пара в объеме V воздуха
тп = pVp/BT = wpnVp/RT. (1)
При Т = 303 К давление насыщенного пара ри = 4,23 кПа.
Так как р = 0,018 кг/моль, то из (1) получим тп = 22,5 г.
7.6. Ьтп/тп = рр VjRT тп = 0,17.
7.7. 12 = 7 °C.
7.8. ш = 27%.
7.9. pi/p2 = ------------------г-^г = 1,005.
1/2 Ро - шрн.п. (1 - Рп/РЬ)
7.10. а) До расширения насыщенный водяной пар находится при темпе-
ратуре ti = 20 °C, а следовательно (см. прил. XV), давление этого пара
Pi = 2,33 кПа; б) масса водяного пара в камере до расширения пц =
= pip\'\/ВТ\ = 17,2мг, в) pY = pxpjBTi = 17,2 • 10~3кг/м3; г) Тг =
= Ti/(V2/Vi)’<_1 = 268 К; д) при температуре (г = —5 °C давление на-
сыщенного водяного пара рг = 399 Па. Масса пара в камере, соответству-
ющая этому давлению, тпг = ргрУг/ЯТг = 4,0 мг. Следовательно, мас-
са сконденсированного пара Дт = mi — тпг = (17,2 — 4,0) мг = 13,2 мг;
е) р2 = ргр/ЯТг = 3,2 • 10-3кг/м3; ж) так как плотность водяного пара по-
сле расширения (ио до конденсации)
р3 = , кг/м3 = 13,7 10-3 кг/м3,
Vi 1,25 • 10~3 ' '
то степень пересыщения s = р3/р2 = 4,3.
7.11. Дт = 12 г.
7.13. иж = 0,001 м3/кг; vn = 1,25м3/кг.
7.14. В процессе испарения теплота тратится на преодоление сил взаимо-
действия молекул и на работу расширения против внешнего давления. Таким
образом, согласно первому закону термодинамики имеем
ro = AW + A, (1)
где го — молярная теплота парообразования, Д№' — изменение молярной вну-
тренней энергии сил взаимодействия при испарении, А — молярная работа, со-
вершаемая против внешнего давления. При этом
А = рн (Vb„ - Уож), (2)
где рн— давление насыщенного пара при температуре парообразования, Уож —
молярный объем жидкости и Vbn — молярный объем пара. Имеем
р 0,018 кг/моль е 3.
Уо* = — = —------- , , = 18-10 м /моль,
Р 1000 кг/м3 1
250
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
[Гл. II
где р — молярная масса и р— плотность воды. Так как по условию v = т/р =
= 1 кмоль, то из уравнения Менделеева—Клапейрона Уоп = /?Т/рн. При
Т = 473К имеем (см. Прил. XV) р„ = 1,55 МПа и Vbn = RT/pH = 2,5л/моль.
Считая, что изменение внутренней энергии взаимодействия молекул при испа-
рении соответствует уравнению Ван-дер-Ваальса (см. задачу 6.17), имеем
ДИ' =
О (Уоп ~ Урж)
Уож Уоп
(3)
где а = 27T2R2/64pK = 5,56 • 102 Па • м6/моль2. Замечая, что Урж Vbn
получим из (1) — (3)
го = тг---1- РнУоп = 77 + RT = 35 кДж/моль.
»0ж Р
Тогда удельная теплота парообразования т = то/р = 1,95 МДж/кг. Прил. XVI
дает для температуры t = 200 ° С значение г = 1,94 МДж/кг. Таким образом,
несмотря на то, что уравнение Ван-дер-Ваальса, а следовательно, и формула
(3) являются приближенными, совпадение результатов хорошее.
7.15. Д1У/г0 = (го - А)/го = 1 - ЯТ/го = 92,4%.
7.16. AW = 7,22 кДж.
7.17. Q убывает с ростом Т, Q (Ткр) = 0.
7-18- = Т(УГ- Уж); Р = Р0ехр(”Ш’)'
7.19. Имеем уравнение Клаузиуса — Клапейрона
dp _ ____гр____
<ГГ Т(Уоп-Уож)'
(1)
Считая, что насыщенные пары подчиняются уравнению Менделеева—Клапей-
рона, имеем (для и = 1 моль) Уоп = ВТ/р. Так как (см. прил. XV) при темпе-
ратуре t = 5 °C давление насыщенного пара рн = 870 Па, то нетрудно найти,
что Vbn = 2,65 м3/моль. Кроме того, Урж = р/р 18 10-6 м3/моль. Таким
образом, мы видим, что Vqx <С Vbn, и тогда уравнение (1) можно написать так:
dp _ гор dp _ rodT
dT - ПТ2' Р R Т2 '
(2)
Для небольшого интервала температур Т2 — Tj молярную теплоту испарения
го можно считать постоянной и тогда, интегрируя уравнение (2), получим
откуда ! Р2 _ го (Т2 -71) . Pi - КТ1Т2 ’ ДТ1Т21п(р2/Р1) , . Г0= Г2_Г1 (4)
Здесь pi и рз—давления насыщенного пара при температурах Т\ и Т2. В за-
даче требуется найти удельную теплоту парообразования г при температуре
t = 5 °C. Поэтому для величин Т\ и Т2 можно взять значения ti — 4 °C и
12 = 6 °C. Тогда на основании данных Прил. XV имеем pi =811 Па, р2 = 932 Па
и p2/pi = 1,15. Подставляя в (4) числовые данные, получим го = 45 кДж/моль.
Отсюда удельная теплота парообразования г = то/р = 2,49 МДж/кг. Построив
§7)
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
251
по данным Прил. XVI график г — f (t), нетрудно убедиться, что при t = 5 °C
имеем г = 2,48 МДж/кг, что дает хорошее совпадение с найденным значением.
7.20. г = 0,302 МДж/кг.
7.21. AS = 2,86 Дж/К.
7.22. Др = 599 Па.
7.23. До давления р = 93 мПа, т. е. до давления насыщенного ртутного пара
при t — 15 °C.
7.24. Имеем р0 = m/Vo и р = m/V. Но так как V = Vb(l + /Д); то
р = р0/(1 + fit) = 12,9 103 кг/м3.
7.25. р = 1,055- 103кг/м3.
7.26. Др = /ЗЫ/к = 1,4 МПа.
7.27. Д/i = 16,4 мм.
7.28. Д/ = h(l + $t)/(L - h)p = 56 °C.
7.29. т = 884 г.
7.30. 0 = 7- 10-4К-1.
7.31. р= 102 кПа.
7.32. Сила, необходимая для отрыва кольца от поверхности воды, склады-
вается из силы тяжести, действующей на кольцо, и силы поверхностного натя-
жения, т. е. F = Fj + Кг- Сила тяжести
Fl = ph | (d| - df) д = 40,0 мН.
При отрыве кольца поверхностная пленка разрывается по внешней и вну-
тренней окружности кольца, поэтому сила поверхностного натяжения
F-2 = тга (di + di) = 23,5 мН.
Таким образом, F = 63,5 мН. При этом х = Fi/F = 37%.
7.33. а = 0,032 Н/м.
7.34. d = 1,2 мм; I = 5 см.
7.35. Сила тяжести, действующая на каплю, в момент ее отрыва должна
разорвать поверхностную пленку по длине I = airr, где >—радиус шейки ка-
пли. Отсюда сила тяжести Р = 2тгга = nda. В массе т спирта содержится N
капель, причем N = тд/Р = mg/nda = 780 капель. Так как по условию капли
отрываются через время Дт = 1с одна после другой, то весь спирт вытечет
через время г = 780 с = 13 мин.
7.36. ai = 0,059 Н/м.
7.37. Д1 = 34 см.
7.38. R = у/Зга/2рд =2,2 мм.
7.39. Выделенная энергия при слиянии двух капель ртути ДИ7 = аДЗ,
где изменение площади поверхности ДЗ = 4тгг2 • 2 — 4тгВ2, где R—радиус
большой капли. Радиус R находим, приравнивая объем большой капли сумме
объемов слившихся капель: 2 • 4тгг/3 = 4тгЯ3/3, откуда R = т Тогда
ДЗ = 4тгг2 (2 — УТ) и
ДИ7 = аДЗ = а 4тгг2 (2 - УТ). (1)
Выделенная энергия пойдет на нагревание ртутной капли; следовательно,
ДИ7 = стДТ = ср (4/3) irR? Ы = ср (8/3) лг3Д«. (2)
252
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
[Гл. П
Сравнивая (1) и (2), находим
At = За (2 - \/1)/ср2г = 1,65 10~4 К.
7.40. А = 14,7 мкДж.
7.41. А = 64 мкДж.
7.42. А = 432 мкДж.
7.43. Давление воздуха в пузырьке р сложится из атмосферного давле-
ния ро, гидростатического давления воды pi = pgh и добавочного давле-
ния р2 = 2а/г = 4a/d, вызванного кривизной поверхности. Таким образом,
р = ро + pgh + 2a/r = 132,9 кПа.
7.44. Др2 = 2Др1 = 4а/Я— формула Лапласа.
7.45. Н=(^ + ^); Др = аН.
7.46. d = 8а/Др = 2,6 мм.
7.47. В 4,4 раза.
7.48. a = pghr/2 (см. рис. 156).
7.49. г — радиус капилляра (см. рис. 157).
Рис. 158
7.50. Радиус мениска R связан с радиусом трубки г следую-
щим образом (рис. 158):
г = R cos<p = R cos (180° — в) = —R cos б,
где в — краевой угол. Добавочное давление, вызванное кривиз-
ной мениска, Др = —(2a cos6)/r. Так как для ртути 0 > тг/2,
т. е. cos б < 0, то это добавочное давление положительно, и уро-
вень ртути в капилляре будет ниже, чем в сосуде. Разность уров-
ней
Д/i = _ 4a cos б отсюда — cos б = _ q 74Q
Следовательно, радиус кривизны мениска ртути R = —г/cos б = 2 мм.
7.51. I — 0,53 мм; Д/i = 2,98см.
7.52. а) <1=1,5 мм; б) й = 8,8мм.
7.53. Д/i = 7,5 мм.
7.54. a = 0,07 Н/м.
7.55. р = ро + 2а/т = 102,2 кПа.
§7]
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
253
7.56. Обозначим: ро и р — давления воздуха в капилляре до и после по-
гружения капилляра в воду, Vo и V — объемы воздуха в капилляре до и после
погружения. По закону Бойля — Мариотта
poVo=pV. (1)
Здесь р = ро + 2a/r, Vb = Sho, где S — площадь сечения капилляра и ho —
его длина, V = Sh, где h — длина трубки, выступающей над жидкостью после
погружения. С учетом этого имеем
РоЛо = (ро + Л, откуда г = 2ah . (2)
\ т ) ро (ho - п)
по условию (ho — h)/ho = 0,015, или h/(ho — h) = 65,7. Подставляя числовые
данные в (2), получим г = 0,1 мм.
7.57. a) h = 755 мм; б) h = 757 мм. Таким образом, если трубка узкая,
то атмосферное давление не может быть непосредственно определено по высо-
те ртутного столба h, так как к давлению столба прибавляется еще давление
выпуклого мениска ртути в трубке.
7.58. К высоте ртутного столба надо добавить 2 мм.
7.59. ы = (2/1) y/ajrp.
7.60. Смачивающая жидкость будет двигаться в сторону узкой части капил-
ляра, несмачивающая — в обратную сторону.
7.61. Чтобы иголка могла держаться на воде, необходимо, чтобы давле-
ние, оказываемое, иголкой на площадь ее опоры, не превышало давления, вы-
званного кривизной поверхности жидкости в углублении под иголкой и на-
правленного вверх (силой Архимеда пренебрегаем). Давление иголки на воду
pi = mg/ld = pVg/ld = pndg/4, где I — длина иголки и V — ее объем. Давле-
ние, вызванное кривизной поверхности жидкости, определяется формулой Лап-
ласа pa = a(l/Ri +1/R?). В нашем случае поверхность жидкости цилиндриче-
ская, т. е. Я: = оо и Ri = г — радиус иголки. Тогда р2 = o/r = 2a/d. Так как
необходимо, чтобы pi рг, то prrdg/i 2a/d, откуда d 5$ у/Ъа/рид = 1,6 мм.
7.62. Нет.
7.63. d = 0,5 мм.
7.64. m — 1,22 кг.
7.65. h = — = 10 мм.
Р9Г
7-66. тп — 27,5 мг.
7.67. Поверхность смачивающей жидкости между пластинками имеет ци-
линдрическую форму с радиусом кривизны R = d/2. Тогда добавочное отрица-
тельное давление под цилиндрической вогнутой поверхностью р = a/R = 2a/d.
Величина р—избыток внешнего давления, действующего на площадь пласти-
нок S. Следовательно, сила, которую надо приложить, чтобы оторвать пла-
стинки друг от друга,
F = pS= ^S = 31,5H.
7.68. р = 0,79 • 103кг/м3.
7.69. h = = 30 мм; F = = 0,44 Н.
рда pgd£
7.70. а = 0,5 Н/м.
254 ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ [Гл. II [
7.71. При вертикальном положении капилляра верхний мениск вогнутый и . I
давление, вызванное кривизной этого мениска, всегда направлено вверх и равно
Pi = 2a/Ri, где Ri —радиус кривизны верхнего мениска. При полном смачивав '
нии pi = 2a/r, где г — радиус капилляра. Гидростатическое давление столба ,
жидкости всегда направлено вниз и равно рг = pgh. Если pi > рг> то ре- 1
зультирующее давление, направленное вверх, заставляет нижний мениск быть
вогнутым. При этом давление рз, вызванное кривизной нижнего мениска, наг
правлено вниз и равно рз = 2а/R2, где Яг — радиус кривизны нижнего мениска. ।
В равновесии pi = рг +Рз- Если pi < рг, то результирующее давление напра- j
влено вниз и нижний мениск будет выпуклым. При этом давление рз = 2а/Яг Г
будет направлено уже вверх. В этом случае pi+рз — рз- Если pi = рг, то ниж-
ний мениск будет плоским и рз = 0. Пользуясь числовыми данными, нетрудно
получить: '
а) Я1 = 0,5мм, Яг = —1,52 мм; б) Я1 =0,5 мм, Яг = 1,46 мм; в) Я1 = 0,5мм, .
Яг = оо. '
7.72. т = 0,22 г. [
7.73. а) h = 11,5мм; б) h = 12,9мм; в) h = 17,2мм (см. решение 7.71).
7.74. а) Ah = 6,8 мм; б) Ah = 8,5 мм; в) Ah = 17 мм; г) Ah = 23,8 мм.
При Ah > 23,8 мм жидкость начинает вытекать из трубки 1.
7.75. Если бы капилляр был достаточно длинным, то, как нетрудно убе-
диться, вода в нем поднялась бы на высоту h' = 2,98 см. Но высота капилляра
над водой h < h'. К мениску приложены давление ро = 2а/Я, вызванное кри- 1
визиой мениска, направленное вверх и гидростатическое давление р = pgh. Для
любой высоты h будем иметь pgh = 2a/R, откуда Я = 2а/pgh = 0,75 мм.
7.76. На ареометр, плавающий в жидкости действуют: сила тяжести Р, на-
правленная вниз, сила поверхностного натяжения F = 2тгга = irda, напра-
вленная при полном смачивании вниз (при полном несмачивании вверх), и сила
Архимеда Яд = p.g(V + Sh), направленная вверх, где V—-объем нецилиндри-
ческой части ареометра, S— площадь поперечного сечения трубки ареометра
и h — длина цилиндрической трубки, находящейся в жидкости. В равновесии
Р + F = Яд. Считая, что от нескольких капель спирта плотность воды ие
изменилась, мы можем написать для воды и спирта соответственно
Р + dirai = pg (V + Shi), Р + dwaz = pg (V + Sh2),
откуда Ah = 4.&.a/pgd = 2,4 мм.
7.77. Ah = 3,5 мм.
7.79. h = г ./ — , а2 -л, при cr > ai + <72-
у а - (ai + cr2) а2 - (ai - cr2)2 ’
7.80. Т = 313К.
7.81. N = 1000.
7.82. р = 290 кПа.
7.83. т = 2 г.
7.84. a = 0,55; п = 4 • 1025 м-3.
7.85. р = 12,4 кПа.
7.86. рг = 19,6 кПа.
7.87. N = 50.
§8]
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
255
7.88. Закон Рауля можно применить для определения молярной массы ве-
щества. Действительно, закон Рауля можно написать так:
Замечая, что и = т/р. и и' = тп'/д', нетрудно из (1) получить
д' = д {2)
р м т ро — р ’ ' '
где т — масса растворителя, д— молярная масса растворителя, т'—масса
растворенного вещества и д' — молярная масса растворенного вещества. Под-
ставляя числовые данные, получим д' = 0,092 кг/моль.
7.89. ро = 925 кПа.
§ 8. Твердые тела
8.1. Из уравнения Клаузиуса — Клапейрона находим
АГ=ДрТ(Уж.-Ут)
90 v '
С другой стороны, изменение энтропии
AS = mAo/T = vqnlT, (2)
где Ao — удельная теплота плавления, до — молярная теплота плавления, т—
масса. Из (1) и (2) имеем
ДТ = Др(Уж -УТ)1//Д5 = 0,009К. (3)
8.2. Д5 = 15,8кДж/К.
8.3. ДУ = 1,03 л.
8.4. а) с = 390 Дж/(кг • К); б) с = 450 Дж/(кг • К); в) с = 930 Дж/(кг К).
8.5. Молярная масса материала шарика д = 0,107кг/моль; следовательно,
шарик сделан из серебра.
8.6. В 7,2 раза.
8.7. ДТ = 66 К.
8.8. Количество теплоты, прошедшее через сложенные вместе медную и
железную пластинки, определяется формулой
Q = Ai Sr = А2 St,
(Z1 «2
откуда
х _ Alh^2 + A2f2di _ QI кор
Aid2 + A2dx G‘
256
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
[Гл. II
8.9. Х= 1,28 Вт/(м • К).
8.10. Q = 190 кДж.
8.11. QT = 8,38Дж/с; тп = 60г.
8.12. QT = 11,7 Дж/с.
8.13. t - 106°С.
8.14. т = 28,6 ч.
8.15. При нагревании от to = 0°С до температуры t — 30 °C стержень удли-
нится на .величину
AZ = I — to — loot- (1)
Чтобы не дать стержню удлиниться, к нему надо приложить силу F = AZ ES/Iq,
откуда
AZ = IqF/ES, (2)
где Е— модуль Юнга материала стержня. Из (1) и (2) находим
F = ESat = 71 кН.
8.16. т = 15,2 кг.
8.17. t2 = 20 °C.
8.18. а = 1,8 10-5 К"1.
8.19. Имеем для стального и медного стержней
Zi = Zoi (1 + ait) = Zoi + Zoiait, (1)
h = to? (1 + a2t) = Z02 + lo2“-2t- (2)
По условию
Zi — li — Д1, lot — lo2 = AZ. (3)
Вычитая (2) из (1) и учитывая условия (3), получим
o-iloi = 0.2I02. (4)
Из уравнений (3) и (4) нетрудно найти длину стержней при to = О °C:
Zo2 — bai /(аг — ai) = 11 см, Zoi — ^02 + L = 16 см.
8.20. В 1,02 раза.
8.21. р = 29,4 МПа.
8.22. d = 4,0 мм.
8.23. I = 2,9 км.
8.24. I = 180 м.
8.25. I = 11,9 км.
§S]
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
257
8.26. F = 2,45 кН; Д/ = 4 см; нет, так как удельная нагрузка меньше
предела упругости.
8.27. а - 75°30'.
8.28. п - 3,4с-1.
8.29. Центробежная сила, действующая на стержень, в данном случае
m I
F = J ты2 dm — j rw2pS dr,
о о
где ai—угловая скорость вращения, i—расстояние от элемента массы dm до
оси вращения. Для однородного стержня dm = pSdr, где р — плотность мате-
риала стержня и S — его сечение. Произведя интегрирование, получим
F = pSu2l2/2,
откуда предельная частота вращения
п =
Л \1 = 38об/с.
тг( у 2pS '
8.30. р = 570 МПа.
8.31. По закону Гука
Т = В ₽н = ’ откуда F = лг‘
I J& £j J I
Для упругих сил
F = fcAZ. (2)
Сравнивая (1) и (2), видим, что к = SE/1. Тогда
Л = fc(AZ)2/2 = 5’£1(Д()2/2(. (3)
Вычисляя величину Д! из (1) и подставляя остальные числовые данные в (3),
получим А = 0,706 Дж.
8.32. Е = 2,94 МПа.
8.33. Для растяжения шланга на Д< требуется приложить силу
al '
258
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
[Гл. I»
При этом внутренний диаметр шланга уменьшится на Ad = pd^F/S. Но из (1)
имеем F/S = Ы/al-, следовательно
Ad^d^ =
где ст = $/а — коэффициент Пуассона. Подставляя числовые данные, найдем
Ad = 1 мм и, следовательно, d2 = di — Ad — 9 мм.
8.34. х = 0,3 м.
8.35. М = 2,26 • 1Q-7 Н • м.
8.36. Закручивающий момент М — 5rNd4v’/(2M6), причем tg2^ = a/L. При
малых tp можно положить tg tp « tp, и тогда tp = a/2L = 32lM/xNd4. Отсюда
M = anNd4/MIL = 1,96 10~13 Н • м.
8.37. Для поворота проволоки на угол dtp надо совершить работу
dA = Mdtp,
где М — закручивающий момент. Так как М = nNritp/2l, то
[ TrNr^tp , itNr^tp2 , щ-12 п
/ —dlf = ---= 1-25 ’ 10 Дж-
о
Эта работа перейдет в потенциальную энергию IV закрученной проволоки.
8.38. а = 1,74 см.
3 / т
8.39. Коэффициент Пуассона сг = , где г — радиус проволоки и
I — ее длина. Объемы проволоки до и после растяжения:
V1 = тгг2I, V2 = я (г - Ar)2 (1 + Д1).
Если объем при растяжении не изменился, то
ТГГ21 = тг(г - Аг)2 (1 + Д1).
Пренебрегая квадратами величин Аг и Д1, найдем ят2Д1 = 2тгг Ari, откуда
ст = 0,5.
8.40. Плотность несжатого стержня рг = m/Vi, где Vi = ят21. Плотность
сжатого стержня р2 = m/Vi, где V2 = тг (г + Ar)2 (1 — Д1). Следовательно,
изменение плотности
л _ „ _ „ ( 1 1 А _ m AV
Др - Р2 - Pi - ™
§8]
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
259
Так как сжатие невелико, то приближенно можно принять У2У1 — Ц2, т. е. поло-
жить Др = тДУ/Уь Тогда относительное изменение плотности Др/pj — ДУ/Уь
Найдем изменение объема:
ДУ = тгг2г - тг (г + Дг)2 (I - Ы).
Пренебрегая квадратами величин Дг и Д?, получим
ДУ = Vi (1 - 2ст), откуда (1 - 2ст),
I Ml » 1 1
где ст— коэффициент Пуассона. По закону Гука Д//( = рп/Е. Тогда
У нас ри = 9,81 • 107 Па, Е = 1,18 1011 Па и ст = 0,34. Подставляя эти данные,
получим Др/pi = 0,027%.
8.41. ДУ = 1 мм3.
8.42. п = 4 узла.
8.43. Постоянная а связана с объемом элементарной ячейки У = а3, а
У = . Следовательно
Объем одного килограмм-атома Са
v0=a.
Число элементарных ячеек в одном килограмм-атоме
Уд — число Авогадро, п — число атомов, приходящихся на одну ячейку. После
подстановок получим
a3 = rh’ откуда а= •
Подставив п = 4 (см. предыдущую задачу) и числовые значения р =
= 1,55-103 кг/м3, Уд = 6,02-1023 моль"1, А = 40кг/атом, получим а = 5,56А.
Расстояние d — -%= = 3,93 А.
V2
260
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
[Гл.!|
8.44. а) 1,44 • 1028 м”3, б) 2,1 1028 м~3, в) 4,54 • 1028 м~3
8.45. р = 1,46 • 103 кг/м3.
8.46. in = 6,95 — литий.
8.47. с/а = 1,63.
8.48. а = 3,20 А, с = 5,21 А.
8.49. а = 2,3 А.
8.50. р = 207кг/м3.
8.51. Теплота Д<Э Для нагревания тела от Tj до Т2
т2
= ! С (Г) (ГГ.
Т1
Теплоемкость тела С=^СМ, (т—масса тела, р— молярная масса), следо»1
Р
вательно
т2
Д<2 = (Т) dT.
Для случая нагрева от температуры Tj = во = 320 К на 2 К можно считать, чтв
молярная теплоемкость не меняется, т. к. ДТ <Т. В этом случае
Д<2 = ™ (Ti) ДТ.
Найдем См (Ti\ По теории Дебая
(т,) = зя
ч вр/Т,
[ х3 dx
J ех - 1
о
een/Ti _ j
1 z3 dx
При Ti = &d интеграл f ± , = 0,225, отсюда Ср
о е
(Ti) = 2,87Я и
AQ = 2,87 Я ДТ = 16,3 Дж.
Во втором случае Т <С бд, следовательно
3
, (показать!)
лп — 12тг4 тп Я
5 р
т2+дт
т2
СМ=Ц^Я
3
а
Проинтегрировав, получим
/4
Д<Э = 9тг4 — Я = 1,22 • 10-3 Дж.
М в D
§8]
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
261
8.52. Сси = 925Дж/(кг • К); Сд! = 390 Дж/(кг • К); CxaCl = 852 Дж/(кг • К);
СсаС12 = 925 Дж/(кг К).
8.53. ДЕ = 1,7 кДж.
8.54. (Е) = kT; (Е) = 4,14 • 10~21 Дж.
8.55. Е — 124 кДж; С = 414Дж/град.
8.56. v - 3,44 • 1012 Гц.
8.57. В 3,74 раза.
8.58. ДЕ = 36 кДж.
8.59. Eq = 2,87МДж/килограмм-атом.
8.60. д («/) = и2.
%iax
8.61. СМ=ЗЯ[12(^) f
о
8.62. С/1 = ^<Я(£)3.
8.63. i/max = 3,76 • 1012 Гц.
8.64. ДЕ/Ео = 5,2 • 10—3.
8.65. ДЕ = 41,4кДж/килограмм-атом.
8.66. 6D = 212 К.
8.67. 6e/9d = 3/4.
8.68. g(v) =
^тах
2 во/Т
8.69. Е = 3RT 2 (f x*dx, .
8.70. См=3я[б(^) /
О
8.71. Ео = 2,91 МДж.
8.72. g(„)=^L.
илах
»d/T
8.73. Е = ЗЕТ (£) f
О
«d/т
8.74. СМ=ЗЯ[2(^) f
о
2(gp/T) ]
e«D/r_ij-
gp/r 1
e«D/T_lJ-
8.75. Ео = 1,87 МДж.
8.76. е = 3,45 • 10“21 Дж.
8.77. р= 10-25Н с.
8.78. v = 1,5 103 м/с.
8.79. А = 48 А.
8.80. v = 3,13 • 103 м/с.
8.81. А = 40 А.
8.82. 11,5МН/м2.
262
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
I
[гл. »й,'
8.83. 77,7 МПа.
8.84. а = 3,40 10-5 град-1.
8.85. At = 1 час 20 мин.
8.86. Т = 2х/3.
8.87. I = to [1 +a(ti +<г)/2].
8.88. Т = 591,8 - 431,8 1g Я, где R — расстояние от оси трубы (в см);
Q = 30,2кДж/час.
8.89. D - 2 см.
8.90. AZ/Z = 0,014.
8.91. Hmах = 6,5КМ.
8.92. R = d(l + астДТ)/(ац - аст) АТ = 56 см.
о о, Ti — Tj RiRi , tiRi — t2R2
8.93. Т(Я) - Д1 _ д2 • —+ Я1'- ЯГ" '
8.94. Т (г) = То + ~ г2) •
8.95. А = 3,1эВ.
8.96. /„ = 0,15 А.
8.97. п = 2,5 • 1019м-3.
8.98. Up = 3,5 • 10-2 м2/(В с); пр = 2 • 1022 м-3.
8.99. Cf = —0,05 эВ.
8.100. е = 0,053эВ.
8.101. UK = 1,2 В.
8.102. n = 1022 м-3.
Глава III
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ
§ 9. Электростатика
9.1. a)Vr=3; 6)Ver=2/r; в) V (/ (г) ег) = 4- г) 0.
9.2. V а = 0; Фа = 0.
9.3. Фг- = 4яЯ3.
Я
9.4. Фз = f f (г) 4лт2 dr.
9.5. V Ё = 0.
9.6. р — ео (2х + 2у + 1).
9.7. Ё = — (2ах ех + 2Ьу ёв — 2cz ё2).
9.8. Да, является;
<р (х, у, z) = - (ах + by + cz).
9.9. Нет, не является; <р(г) = — .
9.10. а) — г) [Vxa] = 0.
9.12. Нет, не может.
9.13. а) [VxE] = 2ae2; б) Г = 2атгЯ2.
9.15. В 1,25 • 1036 раза.
9.16. a) W3„/IVrp = 4,17 1042;
б) VrM/lVrp = 1,24 • 1036.
9.17. На рис. 159 представлен характер зави-
симости энергии электростатического взаи-
модействия двух точечных зарядов от расстоя-
ния т между ними.
§9]
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
263
9-18. F =------, ,а-' -- 7х .
2тгео (х2 + а2/2)3/2
9.19. Е =
4тГ£0Д
9.20. В зависимости от расположения зарядов:
а) Е = 0; б) Е = 60 кВ/м; в.) Е = 30 кВ/м.
9.21. Е = 0.
9.22. На каждый шарик действуют две силы (см. рис. 160): сила тяжести
тд и сила электростатического отталкивания F^. Равнодействующая этих сил
равна F. Но
Fe = тд tga = д2 / Атгедет2, т/2 = I sin а,
где q = <?о/2 — заряд на каждом шарике, д—
ускорение свободного падения; отсюда имеем:
Я2
m_ Fe =___________________________
9 tg а 4тгеде 4l2g sin2 a tg а
9.23. q = 1,1 мкКл.
9.24. 9min
9.25. Т =
= 32iregmgR2 /Q.
(Q2" wt) •
Я2 „ (9 vj\
4iregl2 3 J '
9.27. Для шарика, находящегося
шение 9.22)
= 15,6 г.
Рис. 160
9.26. Т =
в воздухе, имеет место уравнение (см. ре-
Я2
(1)
тд = ---------к—г-5-------•
4тгео£ • 4! s sin2 а tg а
При погружении шарика в керосин на каждый шарик стала действовать вытал-
кивающая сила Архимеда Рдрх- Для шарика, находящегося в керосине, имеем:
Я2
тд ДАрх — . ..о . о . »
4тгеоек • 4l2g sin2 ак tg ак
(2)
где
тд - FApx = (р-pK)Vg, (3)
где р — плотность материала шарика, рк — плотность керосина, V— объем ша-
рика, д — ускорение свободного падения. Из (1) — (3) имеем
тд — РаРх _ р — Рк _ s sin2 a tg а
^9 Р ек sin2 ак tgaK ’
откуда
Р = Рк
gK sin2aK tggK
------5---------------5------ = 2,55 • 103 кг/м3.
ек sin2 ак tg ак — е sin a tg а
а = 13°.
<т = 2ео£ у/Т2 — (mg}2 /д = 7,8 мкКл/м2.
9.29.
9.30.
9.32. Е = А/(2тге0х)-
9.33. Е =----------, .
2леот V 4х2 + I2
9.34. Е = .
2ео
264
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
[Гл. 1Ц
9.35. a) F = 20 мкН; б) F = 126 мкН; в) F = 62,8 мкН.
9.37. Fi = 3,4 Н/м. !
9.38. Ft = 8,1 Н/м; А/ = 0,112 Дж/м.
9.39. Е = 3,12 МВ/м; поле направлено перпендикулярно к плоскости, про-
ходящей через обе нити.
9.40. Fs = 5,1 кН/м2. |
9.41. На шар действуют три силы: сила электрического поля F (вверх), ’
сила тяжести тд (вниз) и сила Архимеда FApx (вверх). В равновесии
m<z = F + FApx,
mg = 4irR3gp/3, F = Eq, F^p* = 4тгЯ3ЗРм/3,
где р и ры—плотности меди и масла. Из (1) и (2) имеем
q = 4irR3g (р - р^/ЗЕ = 11 нКл.
9.42. Имеем
_ т sing
2тгеоеа '
Сделав чертеж, нетрудно установить, что
;/2
sin а = —._ ---,
ч/а2 4- (г/2)2
(!)
(2)
|
аь
।
(2);
где I — длина нити, а — расстояние рассматриваемой точки от нити. Подставляя
(2) в (1), получим: (сравни с решением 9.33)
rl
Е= ,_________
4тгеоеа Vх а2 + (£/2)2
(3)
а) Если а <С I, то у/ а2 + (1/2)2 « 1/2. В этом случае формула (3) дает
Е = т/2?геоеа — напряженность поля бесконечно длинной нити.
б) Если а I, то а2 + (1/2)2 ~ а. Так как т1 = q, то формула (3) дает
Е = q/Атгео^а.2 — напряженность поля точечного заряда.
но разложить на составляющие dE,
9.43. Возьмем элемент кольца dl
(см. рис. 161). Этот элемент имеет
заряд dq. Напряженность электриче-
ского поля в точке А, созданная этим
элементом, dE = dq/Aneqex2. Она на-
правлена по линии х, соединяющей
элемент кольца dl с точкой А. Для
нахождения напряженности поля все-
го кольца надо векторно сложить dU
от всех элементов. Вектор dE мож-
и dEn. Составляющие dEn каждых двух
диаметрально противоположных элементов взаимно уничтожается, и тогда
dET.
§9]
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
265
Составляющая
dET = dE cosa = dE £ = Ldg , ,
x 4iT£q£X£
что дает
E = -----[ dq= -------^-3
4?rcoez J iireaex3
Ho x = 7й2 + L2 и окончательно
p — ________LQ________ fp
4тгеос(/?2 + L2)3/2
— напряженность электрического поля на оси кольца. Если L R, то
Е = ?/4тео£Ь2, т. е. на больших расстояниях заряженное кольцо можно рас-
сматривать как точечный заряд. Подставляя в (1) числовые данные, получим
напряженности Е, равные 0, 1,60, 1,71, 1,60 и 1,15кВ/м. Выразим величины х
и L через угол а. Имеем R — х sin a, L = х cosa; теперь формула (1) примет
вид:
л О .2
Е = ------—х- cos a sin a.
Atteo^R
Для нахождения максимального значения напряженности Е возьмем производ-
ную dE/da и приравняем ее нулю:
4^ = -------—х- (cos2 a 2 sin a — sin3 a) = 0 или tg2 a = 2.
da 4тг£О£/?2
Тогда напряженность электрического поля имеет максимальное значение в точ-
ке А, расположенной на расстоянии L — R/tga = RI-/2 = 7,1см от центра
кольца.
9.44. В 1,3 раза.
9.45. См. рис. 162.
jg. _ _____dq____ _ a . 2тгг dr
4тгео (г2 + х2) 4яео (г2 + х2)
Я
Е = f dE- cosa = f dE , 1 . = 2,rz [ „ rdT^,,^ =
J J у/ r2 + x2 4тгео J (r2+x2)3/2
— & •1 f __drl__ — <x 1______________x_____
4e0 J (r2+x2)3/2 2eo [ Ry/l + x2/R2
Рис. 162
9 Зак. 83
Рис. 163
266
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
[Гл. lit
9.46. Из .решения задачи 9.45, следует, что, если
a) R х, то 1 - ^===—— -» 1, и Е = т. е. электрическое поле
бесконечной заряженной плоскости;
,, п , х , Г, 1 R2 1 1 й2
' Ry/l + x2/R2 L 2 1 J 2 х
„ <т R2 q
Е = -т— —г = —2—т —т. е. поле точечного заряда.
4ео х2 4тгеоя
9.47. Исходя из решения задачи 9.45, следует получить выражение для элек-
трического поля Е между дисками.
9.48. Испльзуя теорему Остроградского — Гаусса, легко получить ответ:
Е = 0, 0О<Я; Е=^, 0^r<R; V
г R (см. рис. 163).
9.49. Ё = г, 0 т < R; Ё = . т т-Ст, т > R; Q = 4 тгЯ3р,
Зео 4тгеог2 ИГ 3
р — плотность электрического заряда;
v= 2^ (R2 -т)’ °^Г^Я; г^Я;
= sdh* (см-рис-164)-
9.50. F=^; Е=£_.
9.51. Е= , 0 < г R; Е = , r>R-,
2ео 2еог
<р = (Я2 — г2), 0 < г < Я; ip — In у , R < т (см. рис. 165).
9.52. Сила, действующая на выделенную грань куба, F = crj EndS, где
f Еп dS — поток через эту грань вектора напряженности поля, создаваемый
остальными пятью гранями. В качестве замкнутой поверхности построим
куб, немного ббльший данного. Тогда все шесть граней дают поток век-
тора напряженности поля через все шесть сторон построенной поверхности
Ф = g/ео = 6<т(2/ео> а через одну грань Ф' = <т!2/ео- Но
Ф' = f EndS + <т(2/2ео, следовательно f EndS = .
J от выделенной J °
от пяти граней грани
Значит, F = <т212/2ео. Аналогично для тетраэдра F = \/3 а212/8ео-
§9]
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
267
9.53. Указание: мысленно заполнить полость зарядами противополож-
ных знаков с плотностями +р и — р. Тогда поле в полости можно рассматривать
как суперпозицию полей двух равномерно и противоположно заряженных ша-
ров.
Ё= а.
Зео
о
QQQ с
—jr— = . ; Г = бСМ.
2 4тгео£г ’
г = 5,1 • 10-1ом.
9.54.
9.55.
9.56. А = 1,2 мкДж.
9.57. а) = 11,3 В; б) <р = 30 В.
9.58. А - ИЗмкДж.
9.59. Vi = 16,7см/с.
9.60. Имеем dA = qdU, но dU = —Edr = rdr/2ne.otr, интегрируя, получим
A — - Г In — ,
J 2тг£оег 2тгеов Т2
откуда т = я = 0,6 мкКл/м.
9.61. т = 3,7 мкКл/м.
9.62. v = 2,97 • 107м/с.
9.63. <т = 2Aeo^/q^r = 6,6 мкКл/м2.
9.64. d = 4,8 мм.
9.65. <pi = (Яа — Я1)/Й2; <Р2 = <piRi/R-2-
aR
V=2^'
'2; 4^(p/r3)V1 + 3cos2e-
9.66. Е = ;
9-67‘ v = 4F^p cos0/r
9.68. F = 2,1 • 10~~16 Н.
9’69’ V™x = \/d0ml - ПР“ 4^ > кТПЗ-
9.70. Указание: скорости окажутся максимальными в момент t, когда все
„ „ 2g q
заряды окажутся на одной прямой. vi = , , 4 ; V2 = , , ==
у/ 4лто 6ш( V 4тгго 6ш(
Записав законы сохранения для двух электронов, получим а = тг/2.
v = , .
V 8?гсота
Указание: применить метод зеркальных отображений (см. 9.28).
9.71.
9.72.
9.73.
F _ ----1 1
32тгсо</2
9.74. I = 0,5mgd/qE = 2 см; t = d/2va = 1с.
9.75. г = 1(Г6 м; q = 7,3 • 10“18 Кл.
9.76. q = 1,73 нКл. ,
9.77. I = 22 мкм. >ч'
9.78. I = 0,5 см.
9.79. U = 2,8В; Е = 530В/м; <т = 4,7 нКл/м2.
9.80. Е = 5,7 В/м; v = 106 м/с; А = 4,5 • 10“19 Дж; U = 2,8 В.
9.81. F - 9,610-14 Н; а = 1,05101т м/с2; v = 3,24-107 м/с; <т = 5,ЗмКл/м2.
9.82. ио у71 е | E/md; для электрона vo = 3,64 • 107 м/с,
для а-частицы vq = 6 10® м/с.
9*
268
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
[Гл. III
9.83. ат = 15,7 • 1014 м/с2; ап = 8 • 1014 м/с2; а = 17,6 • 1014 м/с2.
9-85- U=TW^= 28 в-
9.86. у = 1 см.
9.87. С = 710 мкФ; Д<р= 1400В.
9.88. тп = 2,5 • 10~20кг.
9.89. tp = n2/3g/(4ireoE’') = 3,6 кВ.
9.90. г = 2,1 см.
9.91. = EqR; <pmax = 1,5MB.
9.92. С = , S — площадь пластин конденсатора, d — расстояние между
пластинами.
9.93. С = 27TEEoVln(fi2/fii)- '
9.94. С = 4ад0£7г^.
9.95. С = 5,9 нФ.
9.96. Cl = = 17,7пФ; <7i = q/S = CU/S = 531нКл/м2;
С2 — = 46 пФ; <72 = <71.
9.97. С1 = 17,7пФ; от = 531 нКл/м2; Сг = 46пФ; <7г = 1,38мкКл/м2.
9.98. Ст = 214 пФ/м.
9.99. Имеем dA = —qEdx, где Е = ~ 1п”(Я/г)—поле в цилиндрическом
конденсаторе (см. 9.93).
Л — — QU — № 'п (^1 //з) — mt|2 .
— / х In (Л/г) — 1п(Л/г) — 2 ’
/2qU ln(Zi/(2) , ... nn7 ,
и = \ —. Ду/ ;, ' = 1,46 • 10' м/с.
у тп 1п (Л/г) ’ '
9.100. Падение потенциала в первом слое
1/, = - [ Edx=Uoin^.d^r\
J In (Л/г)
г+^1
а во втором
.. _ Uo 1п(Л/(г + dl))
U2~------ЙГ(Л77) ’
Отсюда
171 _ ln((r + di)/r) _
lh ~ \n(R/(r + d!)) ~ ’°'
9.101. С = 0,96 пФ.
9.102. a) р = 300 В; б)<р = 75В.
9.103. С = 1,17нФ; Л0 = 2,1м.
9.104. v = /2^1xi_-x2I = 10Т
у ТП{К — Т)Х1Х2 1
9.105. С = 0,33 мкФ.
9.106. С1/С2 ~ 3.
9.107. qi = <72 = 8 мкКл; Ui = 4 В; 172 = 2 В.
9.109. W = 0,1 Дж.
9.111. U = (^4aU0 + l - 1) /2а = 12 В.
§9]
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
269
9.112. а) С = | С; б) С = j С; в) С = 3 С.
С с
9.113. qi = 94 = U у; 92 =: 9з = 95 = 96 = J7 .
9.114. По закону сохранения заряда имеем
91 - 92 = 91 - 9г> 92 - 93 = 9г _ 93-
Работа по перемещению заряда по данной замкнутой цепи равна нулю (т. к. поле
потенциальное), т. е.
О _ , 9з , 9з
U “ С + С + С ’
Следовательно,
/ 291 - 92 - 93 I _ 292 - 93 - 91 J _ 293 - 91 “ 92
91 = -------§---, 92 - ------з-----, 9з ~ ---------§-----•
9.116. Указание: учесть, что работа электростатического поля по пере-
мещению заряда по замкнутому контуру равна нулю. С = 2 С.
9.117. R = 7 мм; 9 = 7 нКл; С = 1,55 пФ; W = 15,8 мкДж.
9.118. a) Wj = 50мкДж; б) W[ = Wj = 12,5мкДж, А = 25мкДж;
в) Wj = W'3 = 3,125 мкДж, А = 6,25 мкДж.
9.119. 9 = 17,7мкКл; Е = ЗЗЗкВ/м; Wo = 2,94Дж/м3.
9.120. р = 26,5Па.
9.121. а) Е — 56 кВ/м; б) d = 5 мм; в) и=107м/с; г) W = 695 нДж;
д) С =1,77 пФ; е) F = 139 мкН.
9.122. Е = 60 кВ/м; И'1=20мкДж; W2 = 8мкДж.
9.123. Ei = Е2 = 150 кВ/м; Wi = 20 мкДж; W2 = 50 мкДж.
9.124. е = 4,5.
9.125. a) Wo = <т2/?4/[2еое (Я + х)4] = 97мДж/м3;
б) Wo = <т2/(8гог) = 1,97Дж/м3;
в) Wo = т2/(8тг2ео£Я12) = 50мДж/м3.
9.126. Пусть сто — поверхностная плотность заряда на пластинах в отсут-
ствие диэлектрика, а ад— при его наличии. <7СВ— поверхностная плотность
связанных зарядов па диэлектрике. Совместное действие двух последних мож-
но представить как действие «эффективного» заряда на границе проводника и
диэлектрика с поверхностной плотностью
<7 — <7d <7св-
Очевидно, со, ад на связаны с соответствующими напряженностями поля
в отсутствие диэлектрика = <то/со = Ui/d\
в присутствии диэлектрика Е2 = <т9/ео£ — <ro/to = Ui/d.
<7св = еоеЕъ — ео<Ег ~ £о — 1) — £о (£ — 1) ^г/Ф
а) до отключения от источника: U\ = U2 = U,
<тсв = го (е — 1) U/d = 17,7 мкКл/м2.
Изменение поверхностной плотности заряда при заполнении конденсатора ди-
электриком ад - <то = ео££-2 — CqjEi- Так как в данном случае Е? = Ei = U/d,
ад — ао — го (е ~ 1) U/d = <тсв = 17,7 мкКл/м2;
270
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
[Гл. III
б) После отключения конденсатора от источника напряжения q = const,
172 = £1<71/C2 и
<тсв = £о(е - 1)Uz/d — — 1)EiUi/e2d = 2,53мкКл/м2.
9.127. <Тсв = 47ГЕ0ХЕ = iireoxU/d = 7,1 мкКл/м2;
<Тд = Ueoe/d = 14мкКл/м2.
9.128. а) Е = 300кВ/м; б) ад = 15,9мкКл/м2; в) <тсв = 13,3мкКл/м2.
9.129. а) Е = 752 кВ/м, D — eqeE = 13,3 мкКл/м2; б) асв = 6,7 мкКл/м2;
в) сгд = 13,ЗмкКл/м2; г) Wo = 5Дж/м3; д) х = е - 1.
9.130. а) А — 19,7 мкДж; б) А = 98 мкДж.
9.131. Р = D.
9.132. Е=^ = ^; D = e0eE = a;
9.133. а) Е = 50В/м, D = 0,885 нКл/м2; б) Р = 0,44 нКл/м2;
в) <т' = ±0,44 нКл/м2.
9.134. Ствнутр — - ; О'виеш = (см- РИС- 166-167).
9.135.
9.136.
(g- i)Q ( 1
32тг2ео£
<?2
2U
Р =
W =
§ 10. Электрический ток
<2 «2
10.1. q= f I dt = f(4 + 2t)dt = 48 Кл; /0 = 12А.
ij il
10.2. a) R = 70 Ом;
6) Ri = 87,5Om; R2 = 116,7Ом; R3 = 175Om; R4 = 350 0м.
10.3. Имеем Ri = 7?o (1 + ati), где Яо — сопротивление нити при to = 0°С;
отсюда Ro = ^1/(1 ±atl) = 32,8Ом. Далее, Яг = U/I = 364Ом, и так как
Я2 = Яо (1 + at2), то t2 = (Я2 - Яо)/Яоа = 2200 °C.
10.4. t2 = 70 °C.
10.5. U2 = 0,125В; Я=7,5Ом.
10.6. q = 25%.
10.7. tZ2 = 2,7 В; г = 0,9 Ом.
§10]
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
271
10.8. x = U/£ = n/(l+n); а) х = 9,1 %; б) х = 50%; в) z = 91%.
10.9. г] = 80%.
10.10. При последовательном соединении элементов li = 2£/(2т + R), при
параллельном соединении 1г = 5/(0,5г + R).
а) Л = 5А, 12 = 5,7А; б) Л = 0,24А, 12 = 0,124А. Таким образом, при
малом внешнем сопротивлении R элементы выгоднее соединять параллельно,
а при большом внешнем сопротивлении — последовательно.
10.11. h =0,6 А; 72 = 0,4А; I = h + I2 = 1 А.
10.12. Ток в цепи / = 2£/(R + rj + r2) — 1,33 А. Разность потенциалов на
зажимах первого элемента Ui = £ — Ir\ = 0,66 В; разность потенциалов на за-
жимах второго элемента U2 = £ — Zr2 = 0. Учащимся предлагается исследовать
в общем виде, при каком соотношении между R, п и г2 разность потенциалов
на зажимах одного из элементов будет равна нулю.
10.13. / = 2А, U2 =2В.
10.14. U = 80 В.
10.15. а) 7 = 0,22А, 17= НОВ; б) 7 = 0,142А, U = 53,2В;
в)/ = 0,57А, 17=110В; г)/ = 0,089А, 17 = 35,6В.
10.16. I = 40 А.
10.17. Параллельно амперметру надо включить сопротивление R = 0,02 Ом;
цена деления амперметра изменится и вместо 0,1 A/дел станет равно 1 А/дел.
10.18. Последовательно с вольтметром
надо включить сопротивление R = ЗкОм;
цена деления вольтметра изменится и вме-
сто 0,2 В/дел станет равно 0,5 В/дел.
10.19. й=ЗОООм; 1= 21,2м.
10.20. См. рис. 168;
h = 1г =0,365 А, 7з = 0,73А.
10.21. Д17 = 6,8 В.
10.22. ДР = 212 Вт.
10.23. S = 78мм2.
10.24. a) Q1/Q2 = 0,17; б) 17i/L72 = 0,17.
10.25. QT = 18Дж/с.
10.26. Ро = 2,4 кВт; Р = 2,3 кВт; г; = 96 %.
10.27. £ = 4 В; г = 1 Ом.
10.29. £ = 6 В; г = Юм.
10.30. I = 1 А.
10.31. a) QT1 = 6,37Дж/с, QT2 =3,82Дж/с;
б) Qn = 16,2 Дж/с, =27,2Дж/с.
10.32. V = 2,9л.
10.33. Р = 1,2 кВт, й=12Ом.
10.34. а) т = 45 мин; б) т=10мии.
10.35. ч = 80%.
10.36. t = 49 мин.
10.37. R = 33 Ом.
10.38. R2/Ri = 3/5.
. 217
10.39. R = R/2; Д/max = — UjR; { = -д-; убрать ребро АВ.
272
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
[Гл. Ill
10.40. Из соображений симметрии ис-
ходная схема может быть заменена на экви-
валентную (рис. 169).
Далее легко получить
Rx = R(VT- l)/vT.
10.41. Эквивалентная схема (из соображений симметрии схемы) бесконеч-
ной цепочки имеет вид как на рис. 170. Эквивалентное сопротивление такой
схемы
Rab = (r2 - к (Ri 4- R2) + [R2 - fc (Ri 4- R2)]2 4- 4fcRi R2 ) /2k.
10.42. R' = j R.
о
7
10.43. R = g R—использовать симметрию ветвей около точек А и В.
10.44. Полученную схему (рис. 171) не удается упростить, т. к. в ней отсут-
ствует симметрия. Поэтому следует воспользоваться правилами Кирхгофа.
h = h 4- Ц
12 4- 1з = Ц 4- Is
(Л 4- Is 4- Л) R = U
(I3 + U)R = isR
{/i 4- 73)R = I2R
U — напряжение на АВ
Учтем, что Rab = U/(h 4-12). Из решения системы можно получить значения
токов /2, 7.з, /4 и /5, выраженные через It, и 17/71 = 3R. После этого
₽ - А_ U _ 15 р
Rab - и 71 - n R-
Рис. 171
Рис. 172
§10)
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
273
10.45. Rcd = 2ГГ-П2’ — напряжение на CD (рис. 172);
| U = ЛК2 + (Л+/з)й1
1 (11 + /2) Й1 + h yj RJ + R%- 2Ri R.2 cos <p = hR2.
Решая систему и подставляя в первое уравнение, получим
2RiR2 + (Ri + R2) л/ R? + R| - 2RiR2 cos<p
Rcd =-----------------, — -----
Ri + R2 + 2 J Rj + R| — 2Ri R2 cos tp
(Ri + R2) J Ry + R| - 2Ri R2 cos<p
Аналогично для R^b = -----------' , - .
Ri + R2 + 2 у Rj + R| - 2Ri R2 cos <p
10.46. Из соображений симметрии схемы найдем токи в каждой стороне —
10.48. q = С.
10.49. 9 = 2,5кмКл; U = 0,25 В.
10.50. 91 = 92 = 9з = 55 мкКл.
10.51. Если £1Г2 > £2 (R + п), то ток в цепи увеличивается.
10.52. h = £/Ri; h = E/(Rl + R2).
10.53. h = I2 = 26,7 mA; /3 = I4 = 4 mA.
10.54. Применим закон Кирхгофа для данной разветвленной цепи. Прежде
всего наметим направление токов стрелками на рис. 174. Предположим, что
токи будут идти в направлении поставленных нами стрелок. По первому закону
Кирхгофа для узла С
h = Л + 12- (1)
(Для узла А мы получим тождественное уравнение.) По второму закону Кирх-
гофа для контуров АВС и ACD
l3R3 + hRi=£i (2)
71R1—72R2=£2 (3)
(Вместо контура ACD или контура АВС можно было бы взять контур ABCD).
274
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
[Гл. III
Имеем три уравнения для нахождения трех неизвестных: Л, I2 и 13. При
решении задач на применение законов Кирхгофа удобнее в уравнения (типа
(1)-(3)) подставить числовые значения:
13 = 71 4- /2, 1073 4- 4571 = 2,1, 4571 - 1072 = 1,9.
Решая эти уравнения, получим 71 = 0,04 А, 72 = —0,01 А и 7з = 0,03 А. От-
рицательный знак у тока 72 указывает на то, что направление тока нами было
взято неверно. Направление тока 72 в действительности будет от D к С, а не
наоборот, так это было принято перед составлением уравнений.
10.55. U = 1,28 В.
10.56. R = 0,66Ом; 72 = 0,5А; 7 = 1,5 А.
10.57. 7? =0,75 Ом; 12 = 2А; 7 = 4А..
10.58. I = 0,4 А.
10.59. 7 = 2А.
10.60. Я1 = 20 Ом.
10.61. 7 = 0,45 мА.
10.62. 7 = 1мА.
10.63. 71 = 385 мА; 72 = 77 мА; 73 = ЗО8мА.
10.64. 71 =0,3 А; 72=0,5А; 73 = 0,8 A; R3 = 7,5 Ом.
10.65. £2 =30 В; £3 = 45В.
10.66. 7 = 9 А.
10.67. £1=24 В; £2 = 12 В; 72 = 1,2А; 73=0,ЗА.
10.68. 71 = 2,28 А; 72 = 0,56А; 7 = 1,72 А.
10.69. В 3 раза.
10.70. U = 100 В.
10.71. £1 = £2 = 200 В.
10.72. I = 75 мА.
10.73. а) 171 = 120 В; V2 = 80 В; б) Ui = U2 = 100 В.
10.74. Рассмотрим установившийся режим, когда направление на конденса-
торе не меняется и равно Uy. При очередном замыкании ключа в положение 1
за небольшой интервал времени At заряд конденсатора изменится на величину
At(£i -l/v)/77i.
При замыкании ключа в положение 2 заряд изменится на величину
At(£2-l/v)/772.
Суммарное изменение заряда за цикл должно быть равно нулю:
£1-UV , £2 -
Ri + R2 ~
Отсюда
Тг _ £2Ri 4- £1772 . _ u*~ r1 + r2 ' Чу-си* 10.75. Hi = £772 С2/[(г 4- 772) (Ci 4-С2)]; Ю.76. Q-2(Cl+C2y 10.77. Q = (7077)2CiC2/[2 (Ci 4- С2)]. _ „ £2Ri 4- £1К2 ' ~ 771 4- 772 ' U2 = £772С1/[(Я2 4- Г) (С1 4- С2)].
§10]
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
275
10.78. Используя закон сохранения энергии и условие параллельного соеди-
/-’гг р
нения резисторов, получим Q = д—_|_ д (2£ — U).
,п„„ „г CU2 Ri CU2 R.2
Ю.79. Wt = — • д^Г^ ; И2 = — .
10.80. Ui = cS+ 'C^ + £2> = 17,5 кВ’ U2 = С/ + С/ + £2) = 7-5 кВ-
10.82. AS = [М/г - гЛ/2 (Лг - Л)]/Л = И Вт.
10.83. £ = (-/Я? + /ЛГ)
10.84. 7? = N/No = 1 - Nor/S2.
10.85. = 10-
£1 «1 + г у Ni
10.86. U = 26 y/Nr /5 = 14 кВ.
10.87. U2/Ul = ; U2/Ul =
10.88. Т = То + RoI2/tk-I2Roa), к > I$Roa.
При к < /qRqo температура Т неограниченно возрастает.
10.89. т = 10мин; <1 = 4,6 мкм.
10.90. j = 56А/м2.
10.91. К = 1,04 IO'8 кг/Кл.
10.92. Амперметр показывает меньше на 0,04 А.
10.93. ni2 = 53 мг.
10.94. т = 149 г; W = 53,7 ГДж.
10.95. IV = 1,8 кДж.
10.96. Энергия, необходимая для выделения массы гп вещества при элек-
тролизе,
W = IUt = mUZF/A, (1)
где F—постоянная Фарадея, А — молярная масса, Z— валентность и U —
приложенная разность потенциалов. Чтобы разложить и = 2 моль воды, т. е.
чтобы выделить m = 4 г водорода, требуется 5,75 • 105 Дж энергии. Таким обра-
зом, у нас m = 4г, W = 5,75 105 Дж. Подставляя числовые данные в (1),
получим U = 1,5 В.
10.97. В слабых растворах а^1, т. е. все молекулы диссоциированы. Сле-
довательно, эквивалентная проводимость Лж — F (и_|. + н_). Подставляя
числовые данные: F = 96/5 103Кл/моль, <<+ = 3,26 10~7 м2/(В с) и
и_ = 0,64 10~7 м2/(В с), получим Лоо = 37,6 10-3 м2/(Ом моль).
10.98. д+ = 100 Кл; q~ =20Кл.
10.99. а) а = 94 %; б) ц = 0,1 моль/л; в) <<+ + и_ = 1,35 10-7 м2/(В • с).
10.100. R=180kOm.
10.101. R = 520кОм.
10.102. Л = 3,9 • 10~3 м2/(Ом моль).
10.103. а - 92%.
10.104. 7 = 10~12 м3/с.
10.105. / = 0,24мкА/м2; /+// = 0,01%.
10.106. 1„ =0,1 мкА.
10.107. Наибольшее возможное число ионов каждого знака в единице объ-
ема камеры получится при условии, что убывание ионов происходит только за
счет их рекомбинации. В этом случае N = 7П2 и п = yj N/y = 3,2 • 1013 м-3.
276
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
[Гл. Ш
10.108. R = 3/4 • 1014 Ом. 10.109. 1 = 3,3 мА; ///„ = 3,3%.
10.110. Потенциалом ионизации атома называется разность потенциалов,
которую должен пройти электрон, чтобы при соударении с атомом его ионизо-
вать. Поэтому скорость, которую должен иметь электрон, найдется из равен-
ства mv2/2 — eU, или v = у/2eL//m = 2,2 • 106 м/с.
10.111. Т = 8- 104К.
10.112. А = 39,2-10"19 Дж.
10.113. «г = 8,3 • 105 м/с; t)2 = 1,4 • 106 м/с.
10.114. Удельная термоэлектронная эмиссия вольфрама при температурах
7’1 и Т2:
л = ВТ2 exp , л = ВТ2 exp .
Деля второе уравнение на первое, получим
J2 _ / ov„ J _ А f _1_______— 9 fi
Л " ) ехр ( к \Т2 Ti) J “ 2’6'
10.115. Д/л = 1,1 • Ю4.
10.116. Удельная эмиссия чистого вольфрама при температуре Т\ — 2500 К
и тарированного вольфрама при температуре Т2:
ji = BiTfexp = 2,84 103 А/м2,
\ ft* 1 J
j2 = B2T}e*p
По условию л = J2, т. е.
B2T22exp(-j^0 = 2,84 -103 А/м2. (1)
Уравнение (1) можно решить двумя способами (графически и способом после-
довательных приближений).
В результате, решением уравнения (1) является значение Т2 ~ 1760 К.
§ 11. Электромагнетизм
11.2. Использовать закон Био — Савара,
Рис. 175
2тгг
11.3. И = 50 А/м.
11.4. Hi = 120А/м; Н2 = 159А/м;
Из = 135 А/м.
11.5. Между точками А и В на рас-
стоянии а = 3,3 см от точки А.
11.6. Н1 = 8А/м; Н2 = 55,8А/м.
11.7. Hi =35,6 А/м; Н2 = 57,4 А/м.
11.8. Н = 8А/м. Напряженность
магнитного поля направлена перпенди-
кулярно к плоскости, проходящей через
оба провода.
§11]
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
277
11.9. Напряженность магнитного поля в точке С будет равна (рис. 175)
/I sin а
4тгг2
а Ф* , г — а/ sin а.
sin2 а
а1
Н = -
Следовательно,
Я = — J sin a da = ~ (cosai — cos аз) = 31,8 А/м,
а2
где а2 = 180° - 60° = 120°.
11.10. Н = 56,5 А/м.
11.11. Н = 77,3 А/м.
11.12. U= irpI3/SH = 0,12 В.
11.13. Н = 12,7 А/м.
11.14. Я = 25,7А/м.
11.15. a) Н =12,2 А/м; б) Я = 0.
11.17. Я = 177 А/м.
11.18. Я = 35,8А/м.
11.19. U2 = Wi.
11.20. L = 0,2м.
11.21. R = 8см.
11.24. В = 5,5мкТл.
11.25. Учесть, что IiLi = I2L2. Во = 0.
11.26. В = до (7/2г) tg (тг/т^Дтг/п). В пределе при я —> 0 В = —поле
в центре кругового тока.
11.27. Я = j \j х г] для г Я, Я = j (Я2/г2) \j х г] для г R. Применить
теорему о циркуляции.
11.28. Поле внутри полости однородно и имеет напряженность Я = [jxa].
11.29. Я = 6,67 кА/м.
11.30. IN = 200 А в; Я = 2,7 В. Н А
11.31. На рис. 176 изображен харак-
тер зависимости Я = f (z).
11.32. n = 100с-1.
11.33. Ф = ПЗмкВб.
11.34. Ф = 157 мВб.
11.35. Ф = 1,6 • Ю-4 cos (4тг4 + а) Вб,
где а — угол между нормалью к рам-
ке и направлением магнитного поля в
начальный момент времени, Фтах = 160 мВб.
11.36. IN = 500А в.
11.37. ц = 440.
11.38. IN = 5000 А в.
.t
Рис. 176
11.39. В 1,9 раза.
11.41. Р = 1 А м2.
11.42. Ф = 18мкВб.
11.43. Имеем Я = 7/2тгх. Возьмем элемент площади поперечного сечения
кольца dS = hdx. Тогда магнитный поток сквозь этот элемент будет
<1Ф = В dS = дом ' h dx-
Магнитный поток через все поперечное сечение кольца
12
ф _ poplh f dx _ poplh I2
2тг J x 2тг li '
h
Находя д и подставляя остальные данные, получим Ф = 18мкВб.
11.44. I = 60 А.
278
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
[Гл. 1П
11.45. Имеем В =
INp0
h//xi + I2/P2 ’
отсюда необходимое число ампер-витков
IN = 4- 4- Н12
ДО \Д1 М2/ (10(11
По кривой В = f (Н) находим, что значению В = 1,4 Тл соответству-
ет значение Н = 0,8кА/м. Следовательно, IN — 1,14 • 104 А • в. Далее,
I = S/R = SS/irpDN, откуда £ = INpTtDjS = 31В. Так как диаметр
проволоки d = у/iSfit = 1,13 мм, то на длине соленоида li поместится
Ni = (40 10“2)/(1,13 10-3) = 354 витка. Так как I = jS = 3 A, N = 3830 вит-
ков, то необходимое число слоев будет равно 3830/354 кг 11. Диаметр проволоки
d — 1,13 мм, поэтому 11 слоев займут толщину Ь = 1,2см.
F = 4,9Н.
SJ _ Г 2£Инд j. _ • Ip tg а
у _ j R at - 8. Rt
р _ ppllial
2iri (x 4-1) ’
Равенство моментов силы Ампера и силы тяжести дает
11.46.
11.47.
11.48.
11.49.
В = (2pgS/I) tga.
11.50. F = 2IBR.
/ р \ 1/2
11.52. A = df Fdx = df НОЦЬЫ dx = |n ^2
У У 2ttx 2tt ai
«1
Работа на единицу длины проводников
А/ — у = 'п = 83 мкДж/м.
11.53. h = 12 = 20 А.
11.54. Mi = 3,53 • 10“4 Нм; М2 = 4,5 Ю”4 Н м.
11.55. а) М = 2,4 • 10~9 Н м; б) М = 1,2 10~9 Н м.
11.56. На магнитную стрелку действует вращающий момент М = рВ sina,
где р—магнитный момент стрелки и В = /дом/2тга— индукция магнитного по-
ля тока. Вращающий момент М вызывает поворот нити на угол <р = 2lM/irGr4,
где I — длина нити, г — радиус нити н G— модуль сдвига материала нити. Так
как sina = 1, то М = рВ = р1рор/2тга. Тогда
tp = popllp! air2 Gr* = 0,52 рад или <р = 30°.
11.57. G = 50 ГПа.
11.58. .4 = 0,5 мДж.
11.59. А = 0,2Дж; Р = 20мВг.
11.60. а) На радиус ab (рис. 125) действует сила F = BIR. Работа при од-
ном обороте диска 4 — BIS, где S — площадь, описываемая радиусом за один
оборот, т. е. площадь диска. Мощность такого двигателя Р = A/t = пВгтгЯ2 =
= 23,6 мВт. б) Диск вращается против часовой стрелки, в) На элемент ради-
уса dx действует сила dF = BI dx и вращающий момент dM = xdF = BIxdx,
§11]
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
279
где х— расстояние элемента dx от оси вращения. На весь диск действует вра-
щающий момент
я
М = J BIxdx= = 12,5 • 10-4 Н м.
о
11.61. Ф = 1 Вб.
11.62. R = 9 см. Имеем Т — 2-nR/v,
но, Т = 2тгт/еВ, т. е. период не зависит
числовые данные, найдем Т = 30 нс, М =
11.63. F = 410"16H.
11.64. F = 4,7 • 10“12 Н.
11.65. ат = 0 во все время движения;
ап — const = 7 • 1016 м/с2.
11.66. W = 17,3 МэВ.
11.67. Я1/Й2 = = •/1840' =
= 42,9.
11.68. q = 3,2 • 10~19Кл.
11.69. q/m = 4,8-107 Кл/кг. Для элек-
трона q/m = 1,76 • 1011 Кл/кг; для прото-
на q/m — 9,6 107 Кл/кг; для а-частицы
q/m = 4,8 • 107 Кл/кг.
11.70. Общее смещение электрона х =
= xi + Х2, где Xi —смещение электрона в
причем R — mv/eB. Следователь-
эт скорости электрона. Подставляя
,5 • 10-24 кг • м2/с.
магнитном поле (рис. 177). Электрон в магнитном поле движется по окруж-
ности радиусом R = mv/(eB). Смещение xi можно найти из соотношения
ц = DC = ОС - OD. Но ОС = R и OD = V ОМ2 - DM2 - V R2 - Ь2 .
Смещение Х2 может быть найдено из пропорции Х2/1 = DM/DO, откуда
Х2 = Ы/у/ R2 — Ь2 . Тогда общее смещение
х = R - л/Я2 -62 + Ы у/R2-b2.
Имеем
г, _ mv _ 1 / 2Um
R~ еВ ~ В V е '
Подставляя числовые данные, получим R = 4 см и х = 4,9 см.
11.71. а) ап = 0, а = аг = еЕ/т = 1,76 1014 м/с2;
б) аТ — 0, а = ап = у/ (еиВ/т)2 — (еЕ/т)2 = 2,5 • 1014 м/с2.
11.72. v = 2 106 м/с; R = 2,3см. _______
11.73. Электрой влетает в магнитное поле со скоростью v — у/2eU/m. Раз-
ложим скорость v на две составляющие: vr, направленную вдоль поля, и vn,
направленную перпендикулярно к полю. Проекция траектории электрона на
плоскость, перпендикулярную к индукции В, представляет собой окружность,
радиус которой равен искомому радиусу винтовой траектории и определяется
формулой
R = туп/(еВ) = т(у sinа)/(еВ).
Так как период обращения электрона Т = 2-nR/v sina = 2тгт/(еВ), то шаг
винтовой траектории электрона
h = vTT = 27rm(v cosa)/(eB).
Подставляя числовые данные, получим R=1cmh/i = 11cm.
280
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
[Гл. III
11.74. Я=5мм; h = 3,6см. 11.75. h = 3,94см.
11.76. п = IB/Vea = 8,1 1028 м-3; v = j/ne = I/Sne = 0,31 мм/с.
11.77. U = 2,7 мкВ.
11.78. U =
пеа
11.79. и = 0,65 м2/(В с).
11.80. Е = —d<S>/dt = — Bldx/dt = -Blv = -0,15В.
11.81. £ср = 78,5 В.
11.82. £ = 165 мВ.
11.83. При каждом обороте стержня магнитный поток, пересекаемый стерж-
нем, Ф = BS = Bpl2. Если п — частота вращения стержня, то
Е = Bnl^ = В-пРы/Ъ-п — Bi2w/‘l,
где ш — угловая скорость вращения. Подставляя числовые данные, получим
Е = 0,5 В.
11.84. £ср = 1 В. 11.91. Li = 0,9 мГн; L2 = 0,36 Гн.
11.85. £тах = 0,09 В. 11.92. L = 55 мкГн.
11.86. п = 6,4с-1. 11.93. L = 0,71 мГн; Ф = 3,55 мкВб.
11.87. a) U = 2 нВ; б) и = 33 мВ. 11.94. W = 380.
11.88. £ср = 18 мВ. 11.95. р = 1400.
11.89. £ср = 5,1В. 11.96. / = 1А.
11.90. £ср = 1,57 В. 11.97. W = 500.
11.98. р = 1400; I = 1,6 А.
11.99, a) L = 9,0 Гн; б) L = 5,8 Гн; в) L = 0,83 Гн.
11.100. Имеем
L1 = додп213, L2 = (1)
Взаимная индуктивность катушек, имеющих общий сердечник,
L12 = додпхпг^З. (2)
Умножая соотношения (1) друг на друга, получим
L1L2 = (дод(5)2п2П2, откуда щпг = у/ L1L2 /(дод(5). (3)
Подставляя (3) в (2), найдем L12 = у/ L1L2 Так как £2 = — Т12 dli/dt, средний
ток во второй катушке
L12 All _ у/LjL2 AIi
R At ~ R At
= 0,2 А.
11.101. Количество электричества, индуцируемое в рамке,
<J>2
9 = -1у(1Ф = -1(Ф1 -Ф2), (1)
Ф,
где Ф1 —магнитный поток через рамку в первом положении и Фг — магнитный
поток через рамку во втором положении. У нас Фг = 0; кроме того
R — pl/s = pia/s = p4y/~S/s,
где a — сторона рамки. Так как Ф1 = BS, то
q = Bs y/~S /(4р) = 74 мКл.
§12)
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
281
11.102. д = 0,15мКл.
11.103. у = 0,25мКл.
11.104. д = 1200.
11.108. t = Юме.
11.105. t = 126 мс.
11.106. t = 0,25 мс.
11.107. В 1,5 раза.
11.110. а) Ф = BoSsinajt = 2,5 IO-5 sin (lOOirt) Вб, Фтах = 25мкВб;
б) £ = —7,85 • 10-® cos(lOOn-t) В, £тах = 7,85 мВ;
в) I = -2,3 cos (lOOjrt) А, /щах =2,3 А.
11.111. а) £ = -33 cos(100тг«) В; б) IV = LI2/2 - 0,263sin2 (lOOirt) Дж.
11.112. £i = — Li2 di/dt = —Bulow coswt — —15,7 cos (lOOirt) B;
E-2 max = 15,7 B.
11.113. Q - RL£2/[2R% (R + До)] = 6мкДж.
11.114. В 1,5 раза.
11.115. Меняется только осевая составляющая индукции магнитного поля.
В области внешнего поля она равна j Во, а вне этой области — Во cost».
11.116. [ = 10 - во coso.
11.117. nmin = В у/SL/(nom).
11.118. В = 2теш/е, те, е — масса и заряд электрона.
11.119. х = 2тгтец/(еД); Ду = irmev (<5о)3/(2еВ).
11.120. Фв = 0, ф1|=(5В0/Д0)(Х--1.).
П.121. а) Н= А_Во_; в) В ЗВ0.
11.122. а) против часовой стрелки; б) q = .
11.124. W = (U2 - U2 - U2)/(2R).
11.126. Нет, не может, т. к. Pmax = U2/(4R) = 180 Вт < Р.
0 5
11.127. Шунтовый двигатель: Т) =
Сериесный двигатель: т) = 0,5.
11.128. 711 max — 15с П2 max = 30 с'1.
11.129. n = где к — коэф, пропорциональности, с, = кпВ.
11.130. W = £1 -£ (jL)2 = 8Вт.
11.131. 7j = £~gIR = 1 - yj = 0,4.
Глава IV
КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
§ 12. Гармоническое колебательное движение и волны
12.1. х = 50 sin t + мм; Xi — 35,2 мм; х% = 0.
12.2. а) х = 5 sin t см; б) х = 5 sin t + см; в) х = 5 sin t + см;
г) х = 5 sin t + см; д) х = 5 sin t см.
282
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
[Гл.IV
12.4. ¥>о = уз -
Vmax = 7,85см/с; Стах ' 12,3см/с2.
2тг л t _ 0>29м/с2.
Г — 4 с; Птах = 3,14 см/с; Стах ’ 4,93 См/с2.
б) 2,1м, —4,7м/с; в) 9,1м/с, 9,6 м/с2.
12.3. См. рис. 178.
12.6.
12.5. t = T/6.
12.12.
12.13.
12.14.
12.7. Гтах — А — 9,4см/с; Стах
12.8.
12.9. а) 1,6 с, 0,62 Гц;
12.10. x(t) = — cos2?rt.
12.11. а) 2,17см; б) 50см/с.
v = 13,6 см/с.
х — 5 sin (ттЛ + ?r/6) см.
/=27 =0,74 Гц; ¥>0 = 54°;
х = A cos (±wt + ¥>о); у = A sin (±wt + ^о), где А — 5,16м,
«+» соответствует движению против часовой стрелки, «—» — по стрелке.
12.15. РШах = 246мкН.
12.16. Fmax = 197 мкН;
W = 4,93 мкДж.
12.17. См. рис. 179. Из графика
видно, что период колебаний энергии
вдвое меньше периода самого колеба-
тельного движения.
Рис.
178
б) IVK/Wn = 1;
б) WK/Wn =3;
в) WK/IV„ = 1/3.
в) WK/Wn = 0.
= 3;
= 15;
12.18. a) Wk/Wh
12.19. a) IVK/IV„
12.20. х — 0,04 sin (тг t + тг/3) м.
12.21. x = FA2/2W = 1,5см.
12.22. Период колебаний шарика Т = 2тг у/ 1/д = 2,8 с. Амплитуда коле-
баний при малых отклонениях шарика от положения равновесия А = I sin а —
— 2 0,0698 м яз 0,14 м. Тогда уравнение движения шарика запишется так:
х = A sin = 0,14 sin Mt м,
1 2,0
если время отсчитывать от положения равновесия. При прохождении шариком
положения равновесия его скорость будет достигать наибольшего значения. Так
0,14 2тг 2тг . ,
как v = ’ g— cos yj t м/с, то
Umax —
0,14 2тг . .
’2’8— м/с = м/с.
§12]
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
283
Эту же скорость мы можем найти из соотношения mgh = mv2/2, где
h — высота поднятия шарика; отсюда v = y/2gh. Нетрудно видеть, что
h = 1(1 — cos а). Тогда v = у/ 2gl (1 — cos а) = 0,31м/с. При больших откло-
нениях маятника от положения равновесия колебания маятника уже не будут
гармоническими.
12.23. Т = 0,78с.
12.24. к - 805 Н/м.
12.25. Уменьшится в 2 раза.
12.26. 0,2 кг.
12.27. Имеем
Ti = 2тг у/ m/к , или
После добавления груза Дт будем иметь
7г = 2тг (т + Дт)/1, или
Т2 = 4тг2т/к. (1)
Т2 = 4тг2 (т + Дт)/1. (2)
Вычитая (1) из (2), получим Т.2 — Т2 = 4тг2Дт/к. Но к = F/Д/ = Amg/Al, где
F — сила, вызывающая удлинение пружины Д/. Таким образом,
Т2 - 7\2 = 4тг2 —, или Д/= -Д; (7f - 7\2) = 2,7 см.
9 4^^
12.28. Т = 0,93с.
12.29. 1,3Гц.
12.30. На плавающий ареометр действуют силы тяжести (вниз) и сила
Архимеда (вверх). Поэтому в равновесии mg — pg(V + Sh), где (У + Sh)—
часть объема ареометра, находящаяся в жидкости. Если погрузить ариометр
на глубину х, то результирующая выталкивающая сила
F — рд [У + S (h + т)] - mg = рд [У + S (Л + rr)] - рд (У + Sh) = pgSx = кх,
где к — pgS. Так как Т = 2тг у/ m/к , то
0ТКУДа Д=Ж =0’89'1°3 кг/м3'
12.31. а = arccos —т— .
а + д
12.32. а) ао)2 > д; б) в момент отрыва шайбы подставка движется вверх
от среднего положения; в) h = g/(2w2) + a2u)2/(2g) = 25см.
12.33. <рт = 4,6°; Т = 2с.
12.34. а) и = 16,9 с-1; 6)Elm=60H, F2m = 24 Н.
12.35. а) центр масс неподвижен; б) и> — у/к/р, где р = J™1™2, ;
th 1 т” тн2
в) fmax = аш = а у/ к/р.
12.36. a) vc = ^1’1, i 6) Е„ост = 9, V где
' тп\-\-тп2 1 2(mi4-ni2)
д = т?+^2 ’’ в) = yW- = "О >/W-
12.37. Т= ^ity/T/g.
12.38. а) у (t) = (cosu)t — 1); б) у (t) = + Д1) (cos wt — 1), u) =-^/k/nT.
284
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
[Гл. IV
12-39--=У|(1 + м)-
12.40. и = у |(2±У7).
12.42. 10,1см.
12.43. х = 3,7 sin (у i + ^)см-
12.44. А = 4,6см; 99 = 62°46'.
12.45. i^2 — V3! = 2тг/3.
12.46. .4 = 5 см; ip = 36°52' яз 0,2тг; х = 5 sin (?rt + тг/5) см.
12.47. Имеем
х = A sin2TTPii, А = Ao (1 + соз2др2<)-
Подставляя второе уравнение в первое, получим
х = Ao (1 + cos2?TP2t) sin2ttpit = Ao sin2Tn/it + Ao cos2Tri^t sin2?ri'it =
= Ao sin 2ttpi t + ~ sin [2ir (pi — p2) t] + sin [2тг (pi + p2) t]-
Таким образом, рассматриваемое колебание может быть разложено на сумму
трех гармонических колебательных движений с частотами pi, pi — Рг и pi + Р2
и с амплитудами Ао, Ао/2 и Ао/2. Амплитуда результирующего колебания
будет меняться во времени. Такого рода колебание уже не представляет со-
бой гармонического колебательного движения и называется модулированным
колебанием.
12.48. При сложении двух взаимно перпендикулярных колебаний одинако-
вого периода уравнение траектории результирующего колебания имеет вид
Так как у нас pi — р\ — 0, то уравнение (1) примет вид
х2 , У2 _ 2ху _
А2 + А2 А1А2“и’
нли
=о’ откуда у='^х
— уравнение прямой линии. Таким образом, результирующее колебание будет
происходить по прямой линии. Угол наклона прямой найдется из уравнения
tgo = A2/Ai = 0,5, т. е. а — 26°34'. Период результирующего колебания
равен периоду слагаемых колебаний, а амплитуда результирующего колебания
А = -'^i +" 'М = 11,2 см. Следовательно, уравнение результирующего колеба-
ния имеет вид з — 11/2 sin (lOrrl + д/З) см.
12.49. а) А = 7см; б) А = 5см.
12.50. х2/4 + у2/4 = 1 — уравнение окружности радиусом R = 2 м.
§12]
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
285
12.51. Имеем
. 7Г . 11 + COS 7tt „ 2 . 1
х = cosirt, у = cos t = 4/ —~2----’ или " 1 = COS7rl-
Отсюда (2y2 — l)/x = 1, или 2y2 — x — 1—уравнение параболы.
12.52. x2/l+y2/4= 1 — уравнение эллипса.
д T2
12.53. A = ^n_rj = 4,76 см.
12.54. Уравнение затухающих колебаний имеет вид
х = Ae~6t sin (wt + ip). (1)
В нашем случае ш = 2к/Т = тг/2, = 0 и 6 = х/Т = 1,6/4 = 0,4с-1.
Амплитуда А найдется из условия х = 4,5 см при t = Т/4 = 1 с. Нетрудно
найти из (1), что А = 6,7 см. Таким образом, уравнение (1) примет вид
х = 6,7e-0,4t sin tCM. (2)
Для построения графика колебания найдем моменты времени ti, ta, 1з, ..,
соответствующие максимальным значениям смещения х. Максимум х найдется
из условия v = (lx[dl. = 0. Из уравнения (1) находим (при = 0)
v = Au)e-<St coswt — ASu>e~St sin cut = 0, отсюда tgu)t = ш/6 = 2тг/х. (3)
Из уравнения (3) видно, что только при незатухающих колебаниях, когда
X = 0, величина tgwt = оо, или wt = тг/2, т. е. 2itl/T - тг/2, или t = Т/4.
В нашем же случае tgcut = 2тг/х = 3,925, т.е. u)t = 75°,42' к 0,421-тг, от-
куда t = 0,421тг/а) = 0,842 с. Таким образом, х = хтах при ti = 0,842с;
t2 = й + Т/2 = 2,842 с, t3 = ti + Т = 4,842 с и t4 - ti + ЗТ/2 = 6,842 с ит.д.
Подставляя найденные значения t в уравнение (2), нетрудно найти соответству-
ющие значения ц, Х2, хз, . •
12.55. См. решение 12.54.
12.56. П1 = 7,85 м/с, 02 = 2,88 м/с, г>з = 1,06 м/с, о4 = 0,39 м/с,
vs = 0,14 м/с.
12.57. По формулам для затухающих колебаний имеем
/ i I тА
Ai = Ао exp I — х ~ I , Аг = Ао exp I -х —", I ,
откуда Ai/Аг = ех. По условию х = 0,2; отсюда Ai/Аг = 1,22.
12.58. S = 1,83с-1; с/о = 2,02Гц.
12.59. a) t = 120 с; б) t = 1,22 с.
12.60. В 1,22 раза.
12.61. В 8 раз.
12.62. Через 21 с.
12.63. а) <5 = 0,46с-1; б) <5= Юс-1;
в) <5 = х/Т = X(W4?r2 + X2 =7/2 с-1.
12.64. Уравнение собственных колебаний имеет вид
х = Aoe~ft sinu)ot. (1)
286
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
(Гл. IV
По условию сдвиг фаз между собственными и вынужденными колебаниями ра>
вен —Зя/4; следовательно,
tg = 22<?u) 2 = tg (-Зтг/4) = 1,
отсюда
u)q = \/о)2 + 2<5w . ' (2)
У нас ш = 10% и 5 = 1,6с-1. Подставляя эти значения в (2), получим ш0 = 10,5%,
и тогда уравнение собственных колебаний примет вид
х = 7e-1,6t sin 10,5%tCM.
Уравнение внешней периодической силы имеет вид
F = Fq sin wt.
Максимальное значение внешней периодической силы
Fo = Am ^/(cug - ш2)2 +4<52щ2 = 72 мН,
и тогда уравнение внешней периодической силы будет иметь вид
F = 72 sin 10%t мН.
12.65. На рис. 180 дан характер зависимости амплитуды А вынужденных
колебаний от частоты ш внешней периодической силы.
12.66. Коляска начнет сильно раскачиваться,
тельными толчками t = l/v
= 1,7 км/ч.
12.67. А = 3 мкм.
если промежуток между двумя последовательны-
ми точками на углублениях будет равен перио-
ду собственных колебаний коляски. Период соб-
ственных колебаний коляски находится из форму-
лы Т = 2% у/т/к. У нас m = 10кг/2 = 5 кг —
масса, приходящаяся на каждую рессору, fc =
= тод/хо = (9,8/2) Н/см = 490 Н/м и, следова-
тельно, Т = 0,63 с. Время между двумя последова-
= Т- отсюда получаем v = 1/Т = (0,3/0,63) м/с =
12.68. с= 350м/с; Umax = 0,785 м/с.
12.69. Уравнение волны имеет вид
х = 10 sin I t —
7г( А
6 • 104 )
см.
(1)
Таким образом, х = f (t, I), т. е. смещение точек, лежащих на луче, зависит от
времени t и расстояния I точки до источника колебаний.
Для точки, отстоящей от источника колебаний на расстоянии I = 600 м, урав-
нение (1) примет вид х = 10 sin t — %) см, т.е. при I = const мы получим
х = f (t) — смещение фиксированной точки, лежащей на луче, меняется со вре-
менем.
§12]
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
287
При t = 4с уравнение (1) примет вид х = 10 sin ^2л — j см. В этом
случае t = const и х = f (7) — различные точки, лежащие на луче, имеют раз-
личные смещения в данный момент времени.
12.70. х = 0; v = 7,85 см/с; а = 0.
12.71. Ду; = л— точки колеблются в противоположных фазах.
12.72. Д^з = 4л— точки колеблются в одинаковых фазах.
12.73. х = 2,5 см.
12.74. А = 0,48 м.
12.75. а) Положения узлов: х = 3, 9, 15, ... см; положения пучностей:
х = 0, 6, 12, 18, ... см. б) Положения узлов: х = 0, 6, 12, 18, ... см; поло-
жения пучностей: х — 3, 9, 15, ... см.
12.76. А = 2м.
12.77. Т = 1,16с.
12.78. Т = 1,07с.
12.79. I = Т^/тт = 0,446 м.
12.80. Т = 1,5 с.
12.81. Период малых колебаний математического маятника
Т1= 2л-5/777- (1)
Период малых колебаний физического маятника
Тг = 2л 5/ J/mgl,
где J — момент инерции шарика относительно оси вращения, тп — масса шарика
и I — расстояние от центра масс шарика до точки подвеса. В нашем случае
J = | mR2 +ml2 =ml2 1 + 2(7
= ml2x.
С учетом этого получим
Т2 = 2л /Щ/?. (2)
Из (1) и (2) имеем Т2/Т\ = у/~х. Ошибка, которую мы делаем, принимая подве-
шенный шарик за математический маятник, будет
71 +
отсюда
= (1 + <5)2, или « = J5[(1+й)2-1]. (3)
У нас Д 0,01. Подставляя в (3), получим R/1 0,0224. Так как R = D/2 =
= 0,02 м, то предельное расстояние от центра масс шарика до точки подвеса
I 0,089 м, а предельная длина нити L — I — R -- 0,069 м.
12.82. Т1/Т2 = 1,05.
288
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
[Гл. IV
§ 13. Акустика
13.1. А = 0,78м. 13.3. с = 5300м/с.
13.2. От Ai = 17 мм до >2 = 17 м. 13.4. 340 м/с.
13.5. Так как модуль Юнга Е связан со сжимаемостью /3 соотношением
/? = 1/Е, то 0 = 1/(рс2) = 7,1 Ю'И’Па-1.
13.6. I = 1810 м.
13.7. ci = 318 м/с; ci = 330 м/с; сз = 343 м/с.
13.8. 1) 6 м; 2) 850 Гц; 3)5100мк; 4)3-10-пм.
13.9. с = 315 м/с. 13.14. а = 3°51'.
13.10. с = 330 м/с. 13.15. 8,6°.
13.11. с = 336 м/с. 13.16. p2/pi = 1,12.
13.12. t= -54 °C. 13.17. li/12 = 1000.
13.13. n = cj/c2 = 0,067. 13.18. ALP = ЗОдБ; p2/pi = 3,16.
13.19. L; = 100 фон; р = 2 Па.
13.20. = IO”11 м; р„ = 2,7 10~5 Па.
13.21. 1,12.
13.22. а) I = 8,15 мм; б) 1 = 0,41 мм.
13.23. При возбуждении колебаний в стальном стержне в нем установится
стоячая волна с узлами в точках зажима и пучностями на свободных концах.
В стоячей волне воздушного столба расстояние между соседними пучностями
равно половине длины возбужденной звуковой волны. Имеем
А1/А2 = С1/С2.
(1)
Длина h воздушного столба на основании сказанного найдется из условия
пАг/2 = li.
Из (1) и (2) имеем
<2 = пА1С2/2С1-
Тогда: a) Ai = 21i, I2 = 0,392м; 13.24. h = 0,715м. 6) Ai = 41i, h = 0,784 м.
13.25. р = 43кГц— ультразвуковая частота.
13.26. а) р' = 666 Гц; б) р' = 542 Гц.
13.27. 10%. 13.31. i/i =45 кГц, i/2 — 46,6 кГц.
13.28. р' = 5050 Гц. 13.32. и = v т°~т . То + т
13.29. В 4 раза. 13.30. pi = р . 1 С — V 13.35. Имеем 13.33. F = 7,3 Н. 13.34. Ртах = 158 Гц.
Р1/Р2 — \/ F1/F1 = у/15/16, р6 = р2 — pi = 8 Гц.
Решая эти уравнения совместно, получим Рг = 252 Гц.
13.36. р = 250Гц или р = 254Гц.
13.37. v = у/~дК; t = 2 y/L/g.
§1“]
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
289
13.38. а) В открытой трубке образуется стоячая звуковая волна с пучно-
стями на обоих концах. Очевидно, в этом случае на длине трубы I может уме-
ститься п полуволн, где n = 1, 2, 3, ..., т. е. Z = пА/2 и р = с/А = пс/(2(). При
n = 1 получим частоту основного тона р = с/(21). б) В закрытой трубе стоя-
чая волна имеет узел на одном конце и пучность на другом. Очевидно, в этом
случае I = пА/4 и р = с/А = пс/(4Г). При n = 1 получим частоту основного
тона р = с/(4().
13.39. р = 261 Гц; I = 0,65 м.
§ 14. Электромагнитные колебания и волны
14.1. А = 2500 м.
14.2. От Ai = 700 м до Аг = 1950 м.
14.3. Л < 2 У L/C = 100 Ом.
14.4. е = 6.
14.5. U = 100 cos(2?r 103t)B, I = -15,7 sin (2тг • 103t) мА; ' (7i = 70,7 В,
11 = -11,1 мА; U2 - 0, Г2 = -15,7мА; С3 = -100В, I3 = 0.
14.6. IVsj, = 125 cos2 (2тг 103()мкДж, = 125 sin2 (2тг 103)мкДж;
W = 125 мкДж; WMi = 62,5 мкДж, WMi = 62,5 мкДж, IVi = 125 мкДж;
— 0, IVM2 = 125 мкДж, W2 = 125 мкДж; 1Тэлз = 125 мкДж, 1Тмз = 0,
W3 = 125 мкДж.
14.7. Через T/8; Со/-/2 .
14.8. Т = 5мс; С = 0,63 мкФ; U = 25,2В; 1Тм = 0,2мДж; 1Тэл = 0,2мДж.
14.9. Имеем V = Uo cosut и I = С dU/dt = —CUqw sinut; следовательно,
IVM = Mi = LC^2 sin2 ш(, Wsjt = cos2 wt.
Отсюда
Wm. = MliM = LCw2 lg2wt.
ИЧп cos2 U)t
При t=-T/& имеем sin wt = yf2/2 и cosuit — \T2/2. Так как
LC = Г2/4л-2 = l/o)2,
то
И^м/Иэл = sin2 wt/ cos2 wt = 1.
14.10. W = = 0,17 Дж.
14.11. Полагая сопротивление R достаточно малым, находим период коле-
баний по формуле Т = 2тг V LC = 0,2 мс. Далее имеем
(71 = Со ехр( —xt/T), откуда xt/T = In(Uo/Ui).
По условию при t = 1 мс отношение Uo/U\ = 3. Следовательно,
х=Т1п(<70/С1)=0|22
Сопротивление контура R = 11,1 Ом. Нетрудно убедиться, что это значение R
удовлетворяет условию применимости формулы Т = 2тг у/ LC.
290
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
[Гл. V
14.12. С -Со(1- 2ГО^)'
14.13. х = &р VirlC /(d2 /дом-) = 0,018.
14.14. t = Т • In 100/(2х) = 6,8 мс.
14.15. R = 11500м.
14.16. а) 2,25 мс; б) R = 1,38 • 105 Ом.
14.17. 2 104 витков.
14.18. 7 = 4,6 мА; UCl = 73,4В, Uc2 = 146,6В.
14.19. 74%, 68%.
14.20. 72,5%, 68,5%.
14.21. 770 В.
14.22. 1,77А; 16°; 204 Вт.
14.23. a) Z = y^ + l/CcuC)2, tg</, = 1/ЯшС; б) Z =
tgV = -Ru>C; в) Z = y/R? + (^L)\ tg = uL/% г) Z = ,
R2 4- (uL)2
tg <p = —R/wL\ д) Z = \Z Й2 + (wL - 1/uC)2 , tg <p = шЬ ~^ШС
14.24. a) Z = 4,38kOm; 6) Z = 2,18kOm.
14.25. 7 = 1,34A; Uc = 121 B; Ur - 134B; UL = 295B.
14.26. R = 12,3 Ом.
14.27. C = 8,5 мкФ.
14.28. Ur = 156 B.
Глава V
ОПТИКА
§ 15. Геометрическая оптика и фотометрия
15.1. а) 2,26-108 м/с; б) 2,01 108 м/с; в) 2,29 • 108 м/с.
15.2. Зм.
15.3. а.2 = 0,12м, J/2 — —8мм; изображение мнимое, прямое и уменьшенное.
15.4. аг = 7,5 см; у2 = —1,5 см; изображение мнимое, прямое и уменьшен-
ное.
15.5. ai = —0,6м, аг = —0,3м.
15.6. 12см.
15.7. k = 6.
15.8. аг = Д/2— изображение будет находиться в фокусе зеркала;
З/г = 7,5 см.
15.9. Из равнобедренного треугольника ОАМ (рис. 62) имеем ОА =
= R/(2 cosa). Но х = AF = О А — OF — О А — R/2, т. е.
2 k cos a
Если a = 0, то cosa = 1 и х = 0. Далее, у = FH = itgZ.HAF. Но Z.HAF
как внешний угол треугольника АОМ равен 2a, и тогда
x=f (ебЬ-1) ‘Вн-
если a = 0, то cosa=l, tg2a = 0 и у = 0.
§15]
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
291
15.10. х = 1,8см; у = 1,5см.
15.11. h = 8см.
15.12. d = 0,1 м.
15.13. I = 5,8 мм.
15.14. tg i = п.
15.15. ( = - = 10см.
п
15.16. На (п — 1) d/n.
15.17. vi = 2,02 108 м/с.
15.18. Имеем sin г/ sin /3 = щ. Полное внутреннее отражение от поверхно-
сти, отделяющей воду от стекла, произойдет, если выполнено условие: sin ,3 —
— ni/ri2, где пг — показатель преломления воды. Тогда sin г = nisin/3 =
= тпг/ni = П2 = 1,33, т.е. sin? > 1 — условия задачи неосуществимы.
15.19. г = 0,114 м. 15.25. S = 6°2'.
15.21. /Зкр = 41°28'; /Зф = 40°49'. 15.26. г = 10°8'.
15.22. п = -/2 = 1,41. 15.27. 7 = 77°22'.
15.23. 6 = 34°37'. 15.28. i = 4°47'.
15.24. 7 = 28°.
15.29. sin = n sin . В этом случае получается наименьшее отклоне-
ние луча от его первоначального направления.
15.30. <5кр = 30°38', <Уф = 33°27'.
15.31. Fi = 0,146м.
15.32. a) F = 0,188 м; б) F — 0,30 м; в) F = 0,75м; г) F = —0,188 м;
д) F = —0,30 м; е) F = —0,75 м.
15.33. Fi/F2 = 1,4; в жидкости первая линза будет действовать как рассе-
ивающая линза, а вторая — как собирающая.
15.34. D = 2 дптр. 15.43. FKp — Еф = Зсм.
15.35. а.2 = 0,Зм; у2 = 4см. 15.44. а) 02 = 10 см; б) аг = 5,7см
15.37. «1 + Q2 = 1 м. 15.46. а) к = 12,5; б) к = 7,5.
15.38. h = у/ ab. 15.47. Я1 = R2 = 25 мм.
15.39. R = 72 см; 1 = 108 см. 15.48. к — 4х.
15.40. 4F. 15.49. к = 562.
15.41. F2 = 0,59 м. 15.50. F = 0,112 м.
15.42. <11 = —90см; а.2 = 180см. 15.51. d = 7°45'.
15.52. Диаметр изображения d — 2Ftg(o/2) = 4,6 мм. Поток лучей, попа-
дающих на поверхность линзы площадью тг£)Е 2/4, концентрируется в изображе-
нии Солнца площадью тгг/2 /4. Тогда F9/F1 = 4ттD2/4тгd2 = Z>2/d2 — 383.
15.53. г = 1м; h = 0,71 м.
15.54. Ф = 8,34лм.
15.55. При фотографировании всего чертежа, размеры которого гораздо
больше фотопластинки, изображение получается приблизительно в главном фо-
кусе объектива. При фотографировании деталей изображение в натуральную
величину получается при помещении предмета на двойном фокусном расстоя-
нии от объектива (на таком же расстоянии получается и изображение на фо-
топленке). Площадь изображения при этом увеличится в (2F/F)2 = 4 раза.
Во столько же раз уменьшится освещенность фотопластинки; следовательно,
время экспозиции надо увеличить в 4 раза.
15.56. В 5,7 раза. Таким образом, на Северной Земле загорать лучше стоя,
чем лежа.
15.57. В 2 раза.
15.58. Освещенность в углах комнаты
Е = X cos а.
г 2
(1)
292
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
[Гл. V
Расстояние г от лампы до угла комнаты, величина а (половина диагонали ква-
дратного пола комнаты), сторона квадратного пола Ь и высота лампы над по-
лом h связаны равенством
а = г sin а = Ь у/~2 = htga. (2)
На основании (2) выражение для освещенности может быть записано так:
Е = -kr (cos a sin2 а).
а2
Для нахождения максимума Е возьмем производную dE/da и приравняем ее
нулю:
4^- = -L (2 cos2 a sin а — sin3 а) = 0.
da а2
отсюда tg2 а = 2. Тогда h = а/ tg а = Ь/(-^2 tg о) = 6/2 = 2,5 м.
15.60. Когда горит настольная лампа, освещенность края стола получается
больше в 1,2 раза.
15.61. В 2,25 раза.
15.62. Е&8- 104лк.
15.63. В 4 раза.
15.64. а) В = 1,2 • 107 кд/м2; б) В = 3 • 104 кд/м2.
15.65. 0,5дптр.
15.66. Д = 2103лк; R = 1,5 103 лм/м2; В = 480кд/м2.
15.67. I = г2 (УТ - 1) « 4 м.
15.68. Е = 210лк.
15.69. К = 1,61 • 10-3Вт/лм; г/«2%.
§ 16. Волновая оптика
16.1. При фотографировании одного края солнечного диска (источник света
движется к нам)
и' = ис./(с — и); (1)
при фотографировании другого края солнечного диска (источник света движет-
ся от нас)
v" = i/c/(c + и). (2)
Учитывая, что р = с/А, из (1) и (2) находим ДА = 2иА/с; отсюда
v = сДХ/2Х = 2км/с.
16.2. U = тс2 (ДА)2jq - 2,5 кВ.
16.3. Смещение спектральных линий в сторону коротких волн означает,
что звезда приближается к нам. Радиальная скорость ее движения (т. е. ско-
рость вдоль линии, соединяющей звезду и Землю) находится из соотношения
v = сДХ/Х = 103 км/с.
16.4. N = ~ р2-а-2- .
а + о л
16.5. у\ = 1,8 мм; у2 = 3,6 мм; уз = 5,4 мм.
16.6. Л = 0,5 мкм.
§16]
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
293
16.7. В результате внесения стеклянной пластинки разность хода между
интерферирующими лучами изменится на величину Д = nh — h — h (n — 1).
С другой стороны, в результате внесения пластинки произошло смещение на к
полос. Следовательно, добавочная разность хода, введенная
пластинкой, равна кХ. Таким образом, h (п — 1) = кХ, откуда Д
h = кХ/(п — 1) = 6 мкм. j \
16.8. An 5 10~s. ЛД
16.9. Л = 0,1.3 мкм. / \
16.10. Обозначим через hi и hi толщины пленки, соот- / \
ветствующие соседним полосам. Тогда Д/i = hi — hi = А/2п д
(рис. 181). Учитывая, что угол т клина мал, можно считать, / /V
что Д/i = I tg 7; отсюда tgT = kX/2nl = 5,13 • 10~s и 7 = 11". 2/ 1 \
16.11. 12 = 1,9мм. /________\
16.12. ко = 5см-1.
16.13. d > А/4п = ЮОнм. Рис. 181
16.14. А = 589 нм.
16.15. Гс = у/4RXC = 2,8 мм; гкр = у/3RXKp = 3,1 мм.
Таким образом, мы видим, что третье красное кольцо лежит дальше, чем че-
твертое синее. Этим объясняется, почему наблюдать кольца Ньютона в белом
свете можно только при небольших толщинах воздушного слоя. Для больших
толщин происходит наложение различных цветов.
16.16. А = 675 нм.
16.17. li - 3,66 мм.
16.18. к = 275.
16.19. При наблюдении колец Ньютона в проходящем свете условие макси-
мума света определяется формулой
2Лп = кХ. (1)
Толщина слоя h между линзой и пластинкой связана с соответствующим ради-
усом гк наблюдаемого кольца следующим образом:
h = rf/2R. (2)
Подставляя (2) в (1), получим nrfJR — кХ, откуда n = kXR/r^ — 1,33.
16.20. h = 1,2 мкм.
16.21. г = у/ RX/n = 0,63 мм.
16.22. п = 1,56.
16.23. Перемещение L зеркала на расстояние А/2 соответствует изменению
разности хода на А, т. е. смещению интерференционной картины на одну полосу.
Таким образом, L = fcA/2, где к— число прошедших в поле зрения полос, откуда
А = 2L/k = 644 им.
16.24. п - 1 = кХ/2Х = 3,8 10“4, откуда п = 1,00038.
16.25. В отличие от интерферометра Майкельсоиа, в данном случае луч
проходит через трубку с хлором только один раз (рис. 128). Поэтому разность
хода лучей, проходящих в хлоре и вакууме, равна In — I = I (п — 1) = fcA; отсюда
п - 1 = кХ/l = 7,73 10“4 и п = 1,000773.
16.26. А = 480нм.
16.27. d= 115 нм.
16.28. До 0,117; до 0,109.
294
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
(Гл. V
16.29. Радиус fc-й зоны тк = у/ каЬХ/(а + Ь) . Подставляя числовые данные,
найдем ri = 0,50 мм, г2 = 0,71 мм, гз = 0,86 мм, г 4 = 1,0 мм и гд = 1,12мм.
16.30. п = 0,71 мм; г-2 = 1,0 мм; гз = 1,22мм; Г4 = 1,41мм; гз = 1,58мм.
16.31. I = 167м.
16.32. Пусть отверстие диафрагмы пропускает к зон Френкеля. Тогда ра-
диус fc-й зоны есть одновременно радиус отверстия: R = гк = каЬХ/(а + 6).
Наименьшая освещенность центра колец, наблюдаемых на экране, соответству-
ет двум зонам (fc = 2). Подставляя числовые данные, найдем R = 1 мм.
16.33. I = 0,8м.
16.34. Ь = +—(у A, m = 0, 1, 2, ...
2(n—1)
16.35. I « 410.
16.36. р = 30°.
16.37. 1д = -- {° 2 о ; Для m — 1 1в = 0,045 10.
(m + l/2)":?rz
16.38. No = 600 мм-1.
16.39. А2 = 409,9нм; No = 500 мм-1.
16.40. Имеем sin ip — k^Xi/d = fca A2/rf, или fciAj = fc2A2;-отсюда fc2/fci =
= Aj/A2 = 656,3/410,2 = 1,6. Так как числа fci и fc2 должны быть обязательно
целыми, то условию fci/fc2 = 1,6 удовлетворяют значения fci = 5 и fc2 = 8.
Тогда d = fciAi/ sin tp = 5 мкм.
16.41. Л2 = 660 нм в спектре второго порядка.
16.42. Л2 = 447 нм — синяя линия спектра гелия.
16.43. Акр = 705 нм.
16.44. fc = 3.
16.45. d = 5А.
16.46. d (sin в ± simp) = mA, где m = 0, 1, 2, ...
16.47. Ha 0,032 нм; m — 2.
16.48. d = 22мкм.
16.49. d = 25,4 мкм.
16.50. ДА = 24 пм.
16.51. Имеем d sin ср = fcA. Дифференцируя, получим
d cos tp dtp = к dX, или dtp/dX = к/d cos tp.
Подставляя числовые данные, находим sintp = 0,236, откуда tp = 13°38'. Тогда
cos tp — 0,972 и dtp/dX = 4,1 10s рад/м.
16.52. d = 5 мкм.
16.53. D = 81 mkm/hm.
16.54. I = 0,65 мм.
16.55. A2 = 475hm; No = 460 mm-1; dtp/dX = 2,76 104 рад/см.
16.56. m — nd/b, где n = 1, 2, 3, ...
16.57. F = 0,65 м.
16.58. iB ~ 57°30'.
16.59. iB = 54°44'.
16.60. iB - 37°.
16.61. n = 1,73.
16.62. n = 1,63; i = 66°56'.
16.63. lo = 355 нм, le — 395 нм.
§ 17]
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
295
16.64. Обозначим интенсивность естественного света через 7о- После прохо-
ждения через поляризатор луч имеет интенсивность h = О,5/о- После прохо-
ждения луча через анализатор его интенсивность /2 — h cos2 р — 0,5/q cos2 <p.
По условию I2/I0 = 0,25; тогда cos2 tp = 0,25/0,50 = 1/2 и <p = 45°.
16.65. p = 62°32'.
16.66. Коэффициент отражения падающего света р = ///о, где I = Tj. + ^|]>
причем
В нашем случае при падении под углом полной поляризации tgip = п — 1,54;
следовательно, is = 57°. Так как ib + 0 = 90°, то угол преломления [3 = 33° и
1в — 0 = 24°. Поэтому
^ = "№йй?’"’083'"' = =
т. е. в отраженном свете при угле падения, равном углу полной поляризации,
колебания происходят только в плоскости, перпендикулярной к плоскости па-
дения. При этом
р - * 7|- = 0,083,
10 1о
т.е. отражается от стекла только 8,3% энергии падающих естественных лу-
чей. Это будут лучи с колебаниями, перпендикулярными к плоскости падения.
Следовательно, энергия колебаний, перпендикулярных к плоскости падения и
прошедших во вторую среду, будет составлять 41,7% от общей энергии лучей,
упавших на границу раздела, а энергия колебаний, лежащих в плоскости паде-
ния, равна 50%. Степень поляризации лучей, прошедших во вторую среду,
р = £1!_дЬ. = 0’083 q Q91 д j %
4 +0,917 0,09 9’ /0
16.67. F = -у yg (N-l, F=14,8%; N = 2, F = 25,8% ит. д.).
16.68. р = I/Io = 5,06%; Fi = 83%; Р2 = 4,42%.
§17. Элементы теории относительности
17.1. Имеем
г = 1ох/1-02. (1)
По условию (/о — l)/lo = 1 — 1/1о — 0,25; отсюда
///о =0,75, или I = 0,75/о. (2)
Подставляя (2) в (1), получим 1 — 02 = 0,75, или 1 — 02 = (0,75)2 = 0,5625
и 02 = 0,4375. Таким образом, /3 = v/c = /0,4375 = 0,6615 и окончательно
v = 0с = 0,662 • 3 • 108 м/с = 1,98 • 108 м/с.
17.2. v = 2/6 108 м/с.
17.3. (/о -0/<с < 68,8%.
17.4. В 7,1 раза.
17.5. Дт = 3,2 с.
296
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
[Гл. V
17.6. Дт = 8,6 10-27кг.
17.7. На рис. 182 дан характер зависимости массы т электрона и отношения
е/т от величины /3 — v/c.
17.8. v = 2,6 108 м/с.
17.9. Имеем
г2( то
— mg ) — с2 (т — то),
a) WK = 25,6 кэВ; б) WK
17.10. U = 1,1 МВ.
откуда
И'к/то = с2 (т — то)/то.
Обозначим (т —то)/то = к', тогда WK = тос2к.
По условию к = 0,05.
= 47 МэВ; в) Wk = 94 МэВ.
17.11. U = 510кВ.
17.12. W° = 1,4 • 10-11 Дж; W* = 6,9 10“12 Дж.
17.13. Епалн = тос2 + WK = 3,4 • 10“11 Дж.
17.14. На —1,6 • 10-16 кг (т. е. уменьшится).
17.15. 2,25 • 108 м/с.
17.16. 0 = 0,9.
17.18. WK =8,2- 10“14 Дж.
17.19. Am = 4,6 • 10-17 кг.
17.20. AW = 931 МэВ.
17.21. AW =8,2- 10-14 Дж.
17.22. Дтм = 3,2- 10-9 г/моль. Таким образом, в результате реакции полу-
чается не 18 г воды, а на 3,2 10-9 г меньше. Эта величина лежит за пределами
чувствительности самых точных весов. Такого же порядка изменение массы и
при других химических реакциях. При ядерных реакциях изменение массы уже
значительно (см. следующую задачу).
17.23. Дтм = 0,217г/моль.
17.24. т = 7 • 1012 лет.
§ 18. Тепловое излучение
18.1. Т = 1000 К. -18.7. S = 0,4см2.
18.2. ^ = 3,9 • 1026 Вт. 18.8. К = 1,37кВт/м2.
18.3. = 4,6 кВт/м2. 18.9. N = 3,1 МВт.
18.4. Т = 1000 К. 18.10. Т = 290 К.
18.5. N = 2,22 кВт; к = 0,3. 18.11. R3 = 73,5 МВт/м2
18.6. Т = 2500 К. 18.12. S = 6см2.
18.13. a) Am = 1 мкм — инфракрасная область; б) Хт = 500 нм — область
видимого света; в) AmRs 300nM — область рентгеновских лучей.
18.14. По графику (рис. 64) находим, что длина волны, на которую прихо-
дится максимальная спектральная плотность энергетической светимости тела,
Ат « 1,2 мкм. Тогда по закону Вина получим Т = 2400 К.
§ 19]
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
297
Процент излучаемой энергии, приходящейся на долю видимого спектра,
определяется той долей площади, ограниченной кривой т\ = /(А), которая
отсекается ординатами, восставленными по краям интересующего нас интерва-
ла. Видимый спектр простирается приблизительно от 400 до 750 нм. Нанося
кривую, изображенную на рис. 129, на миллиметровку, найдем, что при дан-
ной температуре на долю видимого излучения приходится около 3 - 5 % всего
излучения.
18.15 . В 3,6 раза.
18.16 . А = 9,3 мкм.
18.17 . В 81 раз; от Ai = 2,9 мкм до Аз = 0,97 мкм; в 243 раза.
18.18 . Т2 = С1Т1/(ДАТ1 + Ci) = 290К.
18.19 . Т = 533К.
\ 2
18.20 . Тэфф = 2с£тДА W Ю1? (с— скорость света, к — постоянная
Больцмана).
18.21 . t= 1,64 часа.
18.22 . S = Су = 4aT3V, где а — постоянная Стефана—Больц-
мана.
Глава VI
ФИЗИКА АТОМА И АТОМНОГО ЯДРА
§ 19. Квантовая природа света и волновые свойства частиц
19.1. а) тп = 3,2 • 10-36 кг, б) m = 8,8 • 10 32 кг, в) m = 1,8 • 10 30 кг.
19.2. Е = —27Г^ .-----v = 2,07эВ.
a (sin 1^2 — sin <pi)
19.3. Ai = 6,2 • 1018с-1; N2 = 1,2 1019 с"1; А3 = 1,1 • Ю^с"1;
А4 = 5,9 1018 с—1; А5 = 4,6 • 1018 с-1; А6 = 5,1 1018 с“1.
19.4. 29%.
19.5. v = 1,4 км/с.
19.6. е = 0,51 МэВ.
19.7. Е = pc/(St) = 150 Дж/(с - м2).
19.8. А = -4г л/ ^ткТ & 7 g . ю3, где т — масса атома Не, fc — постоянная
яй V 1
Больцмана.
19.9. А 0,41 пм.
19.10. 8,3 • 104.
19.11. Имеем hi/ = А + mv2/2. Для того чтобы возник фотоэффект, не-
обходимо, чтобы hv > А, т. е. и > А/h. Но v = с/А и, следовательно, для
возникновения фотоэффекта длина волны падающего света должна удовлетво-
рять неравенству А < he/А. В опытах Столетова A 295нм, откуда нетрудно
найти, что А = 4,2 эВ.
19.12. Ао = 517нм; Ао = 54Онм; Ао = 620 нм; Ао = 660нм.
19.13. е = 4,5эВ.
19.14. Е, = 5,4 эВ.
he
19.15. Ао = — 0,041 нм, где е — заряд электрона, h — постоянная План-
ка.
19.16. U = 1,75 В.
19.17. А = 204 нм; Ао = 234нм.
10 Зак. 83
298
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
[Гл. VI
19Д8. Ртах = 3,45'10 25 КГ м/с.
19.19. h = 6,6 • 10~34 Дж с.
19.20. U = f1- ~ А + Но = 1,5 В v = (Тп/ - Д + еПо) = 7,3 • 105 м/с.
19.21. Ао С 254 нм.
19.22. Световое давление Р = F/S, где F— сила светового давления иа
кружок поверхностью S. Но F = M/1 = ka/l, где М — момент кручения нити,
I — расстояние от центра кружка до оси вращения, а — угол поворота кружка.
Для того чтобы зайчик по шкале, удаленной от зеркала на расстояние Ь, от-
клонился на величину а, надо, чтобы угол поворота зеркальца удовлетворял
условию tg2a = a/b, или при малых углах tg2a « 2а = а/Ь. Таким образом,
а = а/26 и Р = ka/(2tbS) = 3,85 мкПа; Е = 770 Дж/(с м2).
19.23. Fi = 5,9 • 10® Н; уХ = 1,6 • 10-14.
19.24. I = 1,21021 с-1 м-2; F,Дт = 1,42 мкН с/м2, F2At = 2,13 мкН с/м2;
F3Дт = 2,84мкН • с/м2.
19.25. Р - (у + р) cos2 в к 2 10“9 Н/см2 = 2 • 10“5 Па.
19.26. Р = 10,4 мкПа.
19.27. Fi = 0,7 мкПа; Р2 = 0,35 мкПа.
19.28. I = 2,9 1021 с-1 • м~2.
19.29. а) ДА = 2,42 пм, А = Ао + ДА = 73,22 пм; б) ДА = 4,8 пм,
А = 75,6 пм.
19.30. Ао = 24,2 пм.
19.31. ДА = 2,42пм; We = ЛсДАДАоА) = 6,6 кэВ, ре = 4,4 10-23 кг • м/с.
19.32. IV = 0,26 МэВ; р = 9,3 10-12 кг • м/с.
19.33. VVe = 0,1 МэВ.
19.34. Ai = 1,23нм; А2 = 0,123нм.
19.35. 1836.
19.36. а) А = 730пм; б) А = 144 пм; в) А = 6,6 10-29м, т. е. волновые
свойства шарика обнаружить невозможно.
19.37. а) А = 12,2пм; б) А = 0,87пм.
19.38. т = 1,67 10~27 кг.
19.39. и, 10® м/с 2,0 2,2 2,4 2,6 2,8
А, пм 2,70 2,25 1,82 1,39 0,925
19.40. А = 10 пм.
19.41. А = 180 пм.
§ 20. Атом Бора. Рентгеновские лучи
20.1. ri = 53 пм, г2=212пм, гз = 477пм;
vi = 2,19 10® м/с, иг = 1,1 • Ю6 м/с, из = 7,3 10s м/с.
20.2. WK = me4/(8eg/i2fc2 = 13,6эВ; Wn = -21VK = -27,2эВ;
W = WK + Wn = -13,6 эВ.
20.3. WK1 = 13,6 эВ; 1Тк2 = 3,40эВ; И/к3 = 1,51эВ; Wki = 0.
20.4. ы = 4,14 • 1016с“ 1.
20.5. Длины волн спектральных линий водорода всех серий определяются
формулой
(1)
§20]
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
299
при к = 1, ti = 2, 3, 4, ... —серия Лаймана в ультрафиолетовой области;
при к = 2, п ~ 3, 4, 5, ... —серия Бальмера в видимой области;
при к = 3, п = 4, 5, 6, ... —серия Пашена 'i
при к = 4, п = 5, 6, 7, ... —серия Бреккета > в инфракрасной области.
при к = 5, 7? = 6, 7, 8, ... —серия Пфунда )
Таким образом, видимая область спектра соответствует значениям к = 2 и
п ~ 3, 4, 5, ... Очевидно, наименьшая длина волны спектральных линий этой се-
рии будет при п = оо. Тогда из (1) имеем 1 /Amin — Я/4, или Xm;n = 4/Я = 365 нм
(с точностью до третьей значащей цифры). Наибольшая длина волны соответ-
ствует п — 3; при этом Ашах = 656 нм.
20.6. Атах = 121 нм; 77mjn = 1,90 • 106 м/с.
20.7. Потенциал ионизации 77, атома определяется уравнением eV{ = А{, где
.4, — работа удаления электрона с нормальной орбиты в бесконечность. Для
атома водорода
Ai = hv = hRc I А - Л I -
\fc" TV/
При fc = 1 и 7i = оо работа .4, = hRc и потенциал ионизации Ui = А,/е = hRc/е =
= 13,6 В.
20.8. 771 = 10,2 В.
20.9. Все линии всех серий спектра водорода появятся при ионизации атома
водорода. Это будет при энергии электронов Wmin = 13,6эВ (см. решение 20.7);
«min = у/2eUi/m = 2,2 106 м/с.
20.10. Энергия, необходимая для перевода атома в первое возбужденное со-
стояние, И7! = 10,2эВ (см. решение 20.8). Энергия, необходимая для перевода
атома во Второе возбужденное состояние (fc — 1, п = 3), ИТг = 12,1 эВ. Таким
образом, спектр водорода будет иметь только одну спектральную линию, если
энергия бомбардирующих электронов лежит в интервале 10,2 IV 12,1 эВ.
20.11. 71 = 3; А = 1026А, А = 1215 А, А = 6570А.
20.12. 97,3 С А 102,6 нм.
20.13. ДИ7 = 2,56эВ.
20.14. 97,3 < А 102,6 нм.
20.15. С п = 3 на fc = 2.
20.16. А = О,33нм.
20.17. ri = 26,6 пм; щ = 4,37 • 106 м/с.
20.18. а) 771= 40,8В; б) 771= 91,8В.
20.19. a) Ui =54В; б) Ui = 122В.
20.20. X = 30,4 нм.
20.21. = ^ = 2^-
20.22. А = 589 нм.
20.23. U = 2,1 В.
20.24. А = 254 нм.
20.25. Наименьший угол соответствует спектру первого порядка, т. е. А =
= 2d sin <р, откуда sin у? = A/2rf = 0,033 и <р = 1°54'.
20.26. Молярный объем каменной соли V = д/р. В этом объеме имеется
2Ыд ионов, где Na —постоянная Авогадро. Тогда объем, приходящийся на один
ион, Vi = р./2рЛгд. Следовательно, расстояние d между ионами (постоянная
решетки) найдется из условия V] = d?, т. е.
d = УГГ = у/p./(2pN А) = 281 пм.
10*
300
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
[Гл. VI
20.27. При увеличении разности потенциалов V, приложенной к электро-
дам рентгеновской трубки, появляется спектральная линия в спектре первого
порядка, длина волны которой А удовлетворяет уравнению
eV = hv — hc/X. (1)
Но по формуле Вульфа — Брэгга
А = 2d sin <р. (2)
Из (1) и (2) находим
h = = eUc 2d sin tp = 6,6 1034 Дж • с.
20.28. А = 297пм.
к
20.29. 2Да = , где а — угол между направлением цепочки и напра-
и П СХ
влением на дифракционный максимум.
20.30. А = 27 пм.
20.31. U = 770 кВ.
20.32. Все линии А'-серии (а также линии остальных серий) появятся одно-
временно, как только будет удален электрон с А’-орбиты атома. Для этого надо
приложить разность потенциалов V, удовлетворяющую соотношению
eV = hv = hc/X,
где А — длина волны, соответствующая переходу бесконечно удаленного элек-
трона на A-орбиту, т. е. длина волны, определяющая границу А'-серии. Для
нашего случая длина волны А равна (см. Прил. XXVI): а) 138 пм; б) 48,4 пм;
в) 17,8 пм; г) 15,8 пм. Искомая разность потенциалов найдется по формуле
V = hc/eX. Подставляя числовые данные, получим следующие значения дня
разности потенциалов V-. а) 9 кВ; б) 25,3 кВ; в) 69 кВ; г) 79 кВ.
20.33. Имеем
1 = R(Z-4’(X-X). (I)
Наибольшая длина волны A-серии соответствует линии Ка. При этом в форму-
ле (1) мы должны положить b = 1, к = 1, п = 2. Решая формулу (1) относитель-
но А и подставляя числовые данные, получим значения А, равные: а) 194 пм;
б) 155 пм; в) 72 пм; г) 57,4 пм; д) 23,4 пм; е) 22,8 пм; ж) 20,5 пм. Экспери-
ментально найденные значения длин волн А линии Аа следующие: а) 194 пм;
б) 154 пм; в) 71,2 пм; г) 56,3 пм; д) 22 пм; е) 21,4 пм; ж) 19 пм.
20.34. Переход электрона с М- на L-слой соответствует значениям к = 2 и
п = 3; порядковый номер вольфрама в таблице Менделеева Z = 74. Подставляя
эти числовые данные в формулу Мозли, найдем Ь — 5,5.
20.35. Z = 40 (цирконий).
20.36. No/N = p.D3/NAe - 3,5 IO"10. 20.39. т1/2 = 0,5мм.
20.37. N = 1,6 1014 с-1 кг-1. 20.40. 2,2см-1.
20.38. /„ = 2,7 10-16 А. 20.41. В 3,7 раза.
§21]
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
301
20.42. См. таблицу; А = 1,24 пм.
Вещество Вода Алюминий Железо Свинец
р, м"1 6,7 16 44 77
цм,10-3 м2/кг 6,7 6,2 5,6 6,8
20.43. п = In 80/In 2 = 6,35.
§21. Радиоактивность
21.1. Число атомов радиоактивного вещества, распадающихся за время dt,
определяется формулой
dN =-XN dt. (1)
Употреблять эту формулу для конечного промежутка времени At можно толь-
ко в случае, если число имеющихся атомов N можно считать за время At не-
изменным, т. е. когда промежуток времени At гораздо меньше периода полу-
распада Т1/2- В нашем случае (см. табл. XXII) период полураспада полония
Т1/2 = 138сут, поэтому мы можем число распадающихся за время At = 1 сут
атомов полония найти по формуле
| ЛАП = XNAT = NAt = 5025cyT~1. (2)
11/2
21.2. При решении данной задачи пользоваться приближенной формулой
(2) из решения задачи 21.1 нельзя, так как период полураспада радона (см.
табл. XXII) Туз = 3,82сут. Для нахождения числа распадающихся за время
At = 1 сут атомов радона надо пользоваться формулой N = Noe~xt. Тогда
искомое число
AN = Ng — N = No — Noe~xt = N0(l-e~xt) = 1,67 • 10s сут"1.
Если же мы будем находить AN по приближенной формуле (2), то получим
AN = 1,92 10s сут"1, т. е. допустим ошибку порядка 10%. Учащимся предла-
гается убедиться, что решения задачи 21.1 по формулам (1) и (2) приводят с
точностью до третьей значащей цифры к одному и тому же ответу.
21.3. а = 3,7- Ю10 Бк.
21.4. m = 6,5 • 10"9кг.
21.5. m = 0,22 мг.
21.6. 2,75 года.
21.7. а) ат = 7,9 • 107 Бк/кг, б) ат = 5,7 • 1018 Бк/кг.
21.8. т = 3,5 Ю"20 кг.
21.9. 53 отброса.
21.10. 4 1012.
21.11. Процентная доля радиоактивности, вносимая каждым из изотопов в
общую радиоактивность природного урана, определится отношением числа рас-
падов в единицу времени природного урана. Обозначим через т массу природ-
ного урана. Тогда массы изотопов будут равны соответственно mi = 6 • 10~5m,
302
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
[Гл. VI
= 7,1 • 10 Зт и тз = 99,28 10 2т. Число распадов в единицу времени,
даваемое изотопом, будет равно
дм = ^3 мдг = ln2^47ilAt,
Ji 71.41
av _ ln2NAm2&t Л _ \n2NAm3&t
*N2 - T2A2 ’ Д№ - ТзАз ’
где Na — постоянная Авогадро, Ti—период полураспада изотопа (индекс 1/2
у Т опущен), А, —его молярная масса. Отсюда искомое отношение для каждого
из изотопов будет равно
дм
т — ______L
ДА1+ДМ+ДМ mi/(/liTi) + тгД/ЬТг) + тз/(ДзТз) '
Подставляя числовые данные, нетрудно убедиться, что вся радиоактивность
природного урана обусловлена изотопом 238U, радиоактивность же изотопов
92S U и 234 U исчезающе мала.
21.12. в = 1,52 107м/с. Полная энергия IV, выделяющаяся при вылете
а-частицы, равна сумме кинетической энергии а-частицы Wt и кинетической
энергии W2 остаточного ядра:
W = Wi + W2. (1)
Кроме того, имеет место закон сохранения импульса. Так как до распада им-
пульс системы был равен нулю, то после распада
mivi = Ш2Н2- (2)
Из (2) нетрудно получить
(mifi)2 = ---g--- = Wi2mi = (m2v2)2 = —2m2 = 2m2W2.
Тогда из (1) имеем
W = IVi + = IM (1 + = Wi ™2+mi = 4,87 МэВ.
2m2 \ Ш2 / Ш2
21.13. а) <? = 0,12кДж; б) <?=16кДж.
21.14. Qp = 5,2 • 1012 Дж/моль.
21.15. a = 2,8 108 Бк.
21.16. Ад = 6 • 1023 моль-1.
21.17. 18,5 • 101ОБк.
21.18. t = 12,6сут. На рис. 183 дан характер зависимости N/N' — f (t).
Рис. 183
Рис. 184
§22]
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
303
21.19. На рис. 184 дан характер зависимости N/N' = f (t). Период полурас-
пада найдется как абсцисса такой точки кривой, ордината которой равна 0,5.
Для нашего случая из кривой N/N1 = f (t), начерченной с нанесением масшта-
ба, можно найти Т\/2 = 3,8 сут.
21.20. Т1/2 и 4 ч.
21.21. N2 (t) = (е-А’е - е-А2‘).
21.22. Имеем
Ы L ( 0,693АТ
Усв = Уур II - exp у— II ,
где Ai — молярная масса изотопа (индекс 1/2 у Г, опущен). Отсюда t = 3 109
лет.
21.23. N = 2,8 • 10®. 21.26.63,2%.
21.24. т = 7 • 103 кг. 21.27. а = 1,67 • 10® Бк.
21.25. I = 1,1 • 10“7 кд. 21.28. ат = 5,25 • 1015 Бк/кг.
21.29. До смешения удельная активность изотопа
_ AN _ AN _ 1п2ДГлт1 _ In 2 Уд . , ,
“ miAt ~ mi ~ TAimi ~ TAi . ’ v ;
после смешения
_ AN _ \n2NAmi
m2 (mi + m2) Al TAi (mi + m2) ’
где Д1 — молярная масса радиоактивного изотопа (индекс 1/2 у Т опущен). Из
(1) и (2) получим
_ 1п2Уд / _ mi
т ~ TAi V mi + ш2
In 2NAm2
TAi (mi + m2)
= 4,9 • 1017 Бк/кг.
21.30. m2 = 11 мг.
21.31. |1®Ро.
21.32. ||®Ra.
21.36. a) v = 1,92 107 м/с; 6)
в) У = 2,26 • 105; r)
21.33. ||5U.
21.34. «He.
21.35. 5j3Cs.
W = 7,83 МэВ (см. решение 21.12)
/„ = 1,33 • IO"9 A.
§ 22. Ядерные реакции
22.1. a) 12 протонов и 12 нейтронов; б) 12 протонов и 13 нейтронов;
в) 12 протонов и 14 нейтронов.
22.2. Имеем Am = ZmiH + (А — Z) тп — тА. У нас (см. Прил. XXVIII)
Ат = (3- 1,00783 + 4 • 1,00867 - 7,01600) а.е. м. = 0,04217 а. е. м.
Так как массе 1а. е. м. соответствует энергия 931 МэВ (см. задачу 17.20), то
окончательно энергия связи ядра gLi будет равна W = 0,04217 931 МэВ =
= 39,3 МэВ. Эту энергию надо затратить, чтобы расщепить ядро gLi на нуклоны.
22.3. W = 28,3 МэВ.
22.4. W = 225 МэВ.
304
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
[Гл. VI
22.5. а) IV = 8,5 МэВ; б) W - 7,7 МэВ.
Ядро ;Н более устойчиво, чем ядро 3Не.
22.6. IVO = 7,97 МэВ.
22.7. W = 2,2 МэВ.
22.8. a) W - 5,6 МэВ; б) W = 7,5 МэВ; в) W = 8,35 МэВ; г) W = 8,55 МэВ;
д) W = 8,75 МэВ; е) W = 8,5 МэВ; ж) W - 7,9 МэВ; з) W = 7,6 МэВ.
22.9. Имеем Q = с2( — £тг)- Сумма масс исходных частиц
5>1 = (7,01600 + 1,00783) а. е. м. = 8,02383 а. е. м.
Сумма масс образовавшихся частиц
52 т2 = (4,00260 + 4,00260) а. е. м. = 8,00520 а. е. м.
Таким образом, дефект масс Am = 0,01863 а. е. м. Следовательно, при реакции
выделяется энергия Q = 0,01863 931 МэВ = 17,3 МэВ.
22.10. Q = 1,18 МэВ.
22.11. a) Q = 4,04 МэВ; б) Q = 3,26 МэВ.
22.12. a) Q = 18,3 МэВ; б) Q = 22,4 МэВ; в) Q = 4,02 МэВ.
22.13. М = 570т. 22.17. ДЕ = ^ = 5,95 МэВ.
22.15. Q = 15 МэВ. 22.18. ат = 1,1 • 1023 Бк/кг.
22.16. W = 15 МВт. 22.19. Т1/2 = 15 ч.
22.20. Qi = 5,35 • 1022 МэВ; Q2 = 3,6 • 1029 МэВ. Таким образом,
Qi/Qi — 7- 106, т. е., чтобы осуществить это превращение, надо затратить энер-
гии приблизительно в 7 млн. раз больше, чем выделится при этой реакции.
22.21. т = 6,015 а. е. м.
22.22. В результате проведенного цикла четыре ядра водорода превращают-
ся в одно ядро гелия. Углерод, ведущий себя как-химический катализатор, мо-
жет использоваться снова. Нетрудно найти, что в результате этого цикла осво-
бождается энергия 4,3 • 10-12 Дж. С другой стороны, зная солнечную постоян-
ную и расстояние от Земли до Солнца, найдем, что Солнце излучает в единицу
времени энергию Qci = 3,8-1026 Дж/с. Если превращение четырех атомов водо-
рода дает энергию 4,3 -10“12 Дж, то для излучения энергии Qci = 3,8-1026 Дж/с
необходимо расходовать в единицу времени массу водорода mt = 5,9 1011 кг/с.
Так как масса Солнца тс = 2 1О30 кг, то запас водорода в солнечном веществе
m = 2 • 103° 0,35 кг = 7 • 1029 кг. Следовательно, данного запаса водорода хватит
на время t = 4 • Ю10 лет.
22.23. т — 1,00867а. е. м.
22.25. По определению
/=1=№^2, (1)
где Ni — число происшедших актов ядерного превращения за некоторый про-
межуток времени и N2 — число частиц, бомбардирующих мишень за этот про-
межуток времени. С другой стороны, так как активность изотопа определяется
числом распадов в единицу времени (<ц = АЛ^), то
где Tlz/2 — период полураспада образовавшегося радиоактивного изотопа. Та-
ким образом, из (1) и (2) получим
к2 = ^-fci.
J 1/2
§22]
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
305
22.26. fci = 1/500, т.е. только один протон из 500 вызывает реакцию.
22.27. fc! = 1,2 10“3.
22.28. Непосредственно после изготовления источник дает в единицу вре-
мени число распадов ai = (ДДГ/Д1)1 = XNr, спустя время t число распадов в
единицу времени аг = (ДЛ7Д1)2 = AN2, где N2 = Nie~Xl. Отсюда, учиты-
вая, что только одна а-частица из п = 4000 вызывает реакцию, находим число
атомов радона, введенного в источник:
N' = nNi = nN2eXt.
Тогда масса радона
U.N' и xt tmext аз
m = = “-пД2еЛ = —.— = 2,1 • 10 а кг.
Nx Nx NxA
22.29. а2 =9,3- 106c"1.
22.30. Q = 6,9 МэВ; fc2 = 5,77 • IQ-12 Бк.
22.31. Обозначим (рис. 185) mi, m2 и m3 — массы бомбардирующей а-части-
цы, протона и ядра отдачи (в нашем случае ядра кислорода); Wj, W2 и W3 — их
кинетические энергии. Если ядро азота (т) неподвижно, то закон сохранения
энергии запишется так:
IV1 + Q = W2 + W3, (1)
где Q — энергия реакции. Закон со-
хранения импульса в векторной фор-
ме имеет вид
Pi = р2 + РЗ- (2)
Рис. 185
Из (2) имеем для импульсов (рис. 185)
Рз = Р1 + Рг ~ 2P1P2 cos Ч>-
(3)
Так как
р2 = (та)2 = 2т = 2mW, (4)
то уравнение (3) примет вид
2тзW3 = 2mj Wi + 2m2IV2 — 2 cos <p -\/2miWi im-iW],
или
w3 = IV1 + W2 - 4/m1m2VrIlV2. (5)
Исключая из (1) и (5) энергию IV3, получим формулу, связывающую кинетиче-
скую энергию бомбардирующих а-частиц с кинетической энергией протонов:
Wi (М) + Q = W2 Vmim2HW2. (6)
306
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
[Гл. VI
Здесь Q = -1,18 МэВ. Решая (6) относительно соз<£ и подставляя числовые
данные, найдем
СО8у?=™2+тз /_ Hf2
i у mim2vVi
тз — mi
2
Wi
mi mil'll
____тзО_____
2 V //цтгИдИ^
= 0,849,
или ip = 32°.
22.32. W2 = 11,3 МэВ; <р^90°.
22.33. Q = —0,78 МэВ — реакция идет с поглощением энергии; W = | Q | X
х (mi + m2)/mi = 1,04МэВ, где mi—масса покоящегося ядра и т2-—масса
бомбардирующей частицы.
22.34. IV = 1,52 МэВ.
22.35. Еа = У-1 Q | = 4,39 МэВ, где Q — энергия реакции.
22.36. Е = 2,78 МэВ < Епор = 4,4 МэВ, поэтому не возбудит.
22.37. Q = 2,8 МэВ; v = 9,3 • 106 м/с; W =1,8 МэВ.
22.38. IVi = 1 МэВ.
22.39. Лм = 2,2 МэВ.
22.40. Лм = 16,6 МэВ.
22.41. W = 2,3- 104 кВт - ч.
22.42. т = 31 г.
22.43. Q = 17,6 МэВ; IV = 11,8 104 кВт ч.
§ 23. Элементарные частицы. Ускорители частиц
23.1. а) ^ = 2,2•10lв; б) ^ = 1,1 • 101в.
23.2. т = 12а. е.м. (графит).
23.3. 92%.
23.4. а) S3 100%; б) 1,9%, т. е. в слое свинца нейтроны тормозятся зна-
чительно слабее, чем в соответствующем слое вещества, содержащего водород
(например, парафина).
23.5. Направление скорости v нейтрона, налетающего на неподвижный про-
тон, является биссектрисой прямого утла, под которым разлетаются частицы.
При этом скорости этих частиц одинаковы и равны v1 = v у/~2/2. Следовательно,
энергия распределится в среднем поровну между нейтроном и протоном.
23.6. При каждом столкновении кинетическая энергия нейтрона уменьша-
ется наполовину (см. решение 23.5). Следовательно, после п столкновений энер-
гия нейтрона будет W = (l/2)nIVo- Отсюда n 1g2 = lg(Wo/W) = lg(2 • 107) и
n = lg(2 • 107)/1g 2 = 24.
23.7. q = 2e = 3,2 • 10~19 Кл.
23.8. v = —гД-----= 106 м/с.
fion sina '
23.9. m = 1,23 • 10~3° кг, v = 2,02 • 10® м/с; W = 1,8 • 105 эВ; e/m = 1,3 x
Х10иКл/кг, v' = 2,52 • 108 м/с.
23.10. По условию W/Ид = 1/\/ 1 - /З2 = 30, откуда v = 2,998 -10® м/с. Вре-
мя жизни движущегося мезона по лабораторным часам г = то/у/ 1 — /З2 = ЗОто.
За это время мезон пройдет расстояние I = vt = v • ЗОто ?з 18 км.
23.11. В 8 раз.
23.12. W = 0,51 МэВ; А = 2,4пм.
§23]
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
307
23.13. Если фотон с энергией Лр превращается в пару частиц, то по закону
сохранения энергии
hv = 2moc2 + Wi + W2,
где тдс2— энергия покоя каждой частицы, Wi и IV2— кинетические энергии
частиц в момент их возникновения. У нас тдс2 = 0,51 МэВ; следовательно,
2т0с2 = 1,02 МэВ. Тогда И-j + 1Г2 = (2,62 - 1,02) МэВ = 1,60 МэВ.
23.14. Сила Лоренца Bqv = mv2 /R, откуда В = mv/qR. Согласно теории
относительности импульс частицы р = mv связан с ее кинетической энергией IV
соотношением
р= | у/И/(И/ + 2т0с2),
где mo — масса покоя частицы. Отсюда
B=^R J™(W + 2moc2). (1)
Нетрудно показать (см. решение 23.13), что кинетическая энергия каждой ча-
стицы W = 2,34 МэВ. Подставляя в (1) числовые данные, получим В — 0,31 Тл.
23.15. hi/= 67,5 МэВ.
23.16. hv = 940МэВ.
23.17. то (тг) = 273то, где то — масса покоя электрона; v = 2,48 108 м/с.
23.18. р = В<?/2тгт; щ = 9,7 МГц, ц2 = 19,4 МГц, 1/3 = 9,7 МГц.
23.19. W = 2тг2т1/2Я2; И'1 = 13,8 МэВ, W2 = 6,9 МэВ, И'з = 27,6 МэВ.
23.20. В - 0,9 Тл; W = 4,8 МэВ.
23.21. а) В = 1,8Тл, 1Г = 9,6МэВ; б) В=1,8Тл, 1Г = 19,2МэВ.
23.22. Масса т = 1 г радия испускает в единицу времени число а-частиц
ni = 3,7 • Ю10с-1. Ток I = 15 мкА соответствует потоку а-частиц п2 = 4,7 х
х1013с-1. Таким образом, данный циклотрон продуктивнее массы т = 1г
радия более чем в тысячу раз.
23.23. U = R2B2q/2m = 12 МВ.
23.24. / = — J — = 9 МГц.
J тгр у т
23.25. Для дейтонов и а-частиц В = 1,3 Тл; для протонов В = 0,65 Тл. Для
дейтонов, протонов и а-частиц v = 3,13- 107м/с. Для дейтонов W = 10,2 МэВ;
для протонов W = 5,1 МэВ; для а-частиц W = 20,4 МэВ.
При каждом полном обороте заряженная частица проходит дважды про-
странство между дуантами и, следовательно, дважды получит добавочный им-
пульс. Поэтому при п оборотах заряженная частица приобретает энергию, экви-
валентную ускоряющему потенциалу U' = 2nU, где U — разность потенциалов,
приложенная между дуантами. Отсюда n = U'/21/. Для дейтонов и а-частиц
п = 68; для протонов п = 34.
23.26. 14,5 см.
23.27. m/mo = 1,1; /3 = v/c = 0,44 и v = 1,32 • 108 м/с.
23.28. В = 2-nmqi>o/q = 2irmi'/q = 1,62Тл. Так как pq/^ — m/mp= . ,
то Vх 1 - /З2
W = тоС2 (__L_ _ Л = У2(-<0^) = зоо МэВ.
\Vi-/32 ) "
23.29. а) Г/То = 1,7; б) Т/То = 1,9.
ПРИЛОЖЕНИЯ
I. Основные единицы системы СИ
Величина Единица
наименование обозна- чение
Длина метр м
Масса килограмм кг
Время секунда с
Сила электрического тока ампер А
Термодинамическая температура кельвин К
Сила света кандела КД
Количество вещества моль моль
Плоский угол радиан рад
Телесный угол стерадиан ср
Приставки
Приставка Числовое значение Обозна- чение Приставка Числовое значение Обозна- чение
Атто 10~18 а Дека 101 да
Фемто 10“15 ф Гекто ю2 г
Пико 10-12 п Кило 103 к
Нано кгВ 9 * * н Мега 10е м
Микро 10~6 мк Гига ю9 г
Милли иг3 м Тера ю12 * т
Санти 10~2 с Пета ю15 П
Деци 10~1 д Экса ю18 э
В таблице приведены приставки, служащие для образования кратных и доль-
ных единиц системы СИ. Эти приставки можно присоединять только к простым
наименованиям (метр, грамм и т. д.). Не допускается, например, присоединять
какую-либо приставку к наименованию «килограмм», уже содержащему при-
ставку «кило». Из этих же соображений единицу массы т = 109 кг = 1012 г
следует называть «тераграммом» (Тг).
ПРИЛОЖЕНИЯ
309
II. Единицы механических величин
Производные единицы в СИ:
Величина Единица
определение наименование обозна- чение
Площадь S = I2 квадратный метр м2
Объем V = I3 кубический метр м3
Скорость V = Al/At метр в секунду м/с
Ускорение а = Дп/At метр на секунду в квадрате м/с2
Угловая скорость ш = Д<р / At радиан в секунду рад/с
Угловое ускорение £ = Acj/At радиан на секунду в квадрате рад/с2
Частота периодиче- И =T~l герц Гц
ского процесса
Частота вращения n = T~1 секунда в минус первой степени с-1
Плотность p = m/V килограмм на кубический метр кг/м3
Массовый расход mt = m/t килограмм в секунду кг/с
Объемный расход Vt = v/t кубический метр в секунду м3/с
Сила F = ma ньютон Н
Давление P = F/S паскаль Па
Жесткость k = F/l ньютон на метр Н/м
Импульс p = mAv к илограм м- метр в секунду кг • м/с
Импульс силы p = FAt ньютон-секунда Нс
Момент силы M = Fl ньютон-метр Н м
Момент импульса L = MAt кил ограм м- метр в квадрате в секунду кг м2/с
Момент инерции J = mr2 килограмм-метр в квадрате кг • м2
Работа; энергия .4 = Fl джоуль Дж
Мощность N = AA/At ватт Вт
Динамическая F Al паскаль-секунда Па с
ВЯЗКОСТЬ
Кинематическая ВЯЗКОСТЬ v = Tl/p квадратный метр в секунду м2/с
310
ПРИЛОЖЕНИЯ
Внесистемные единицы и коэффициенты пересчета:
Величина Единица и ее связь с единицами СИ
Длина 1А = 10-1°м 1а. е. = 1,49598 • 10й м 1 св. год = 9,4605 • 10ls м 1 пк = 3,0857 1016 м
Масса 1 т = 103 кг 1 а. е. м. = 1,6605655 • 10-27 кг
Время 1 мин = 60 с 1 ч = 3600 с 1 сут — 86 400 с
Плоский угол 1° = (тг/180) рад 1' = (тг/108) 10-2 рад 1" = (тг/648) • IO"3 рад 1 об = 2тг рад
Площадь 1 га = 104 м2
Объем 1 л = 10~3 м3
Сила 1 дин = 10“5 Н 1 кгс = 9,81 Н
Давление 1 дин/см2 = 0,1 Па 1 кгс/м2 = 9,81 Па 1 ат = 1 кгс/см2 = 0,981 • 10s Па 1 мм рт. ст. (Торр) = 133,0 Па 1 атм = 760 мм рт. ст. = 1,013 105 Па 1 бар = 105 Па
Жесткость 1 дин/см = 10-3 Н/м
Импульс силы 1 дин с = 10“ 5 Н • с
Момент силы 1 дин см = 10-7 Н • м
Работа; энергия 1 эрг = 10-7 Дж 1 кгс м = 9,81 Дж 1 Вт•ч = 3,6 103 Дж 1эВ = 1,6021892 • 10“19 Дж 1 кал = 4,19 Дж
Мощность 1 эрг/с = 10“7 Вт 1 л. с. = 75 кгс • м/с = 735,5 Вт
Динамическая вязкость 1 П = 0,1 Па • с
Кинематическая вязкость 1 Ст = 10-4 м2/с
ПРИЛОЖЕНИЯ
311
III. Единицы тепловых величин
Производные единицы в СИ:
Величина Единица
определение наименование обозна- чение
Количество теплоты Теплоемкость системы Энтропии системы Удельная теплоемкость Удельная энтропия Удельная теплота фазового превращения Температурный градиент Тепловой поток Плотность теплового потока Теплопроводность Тем пературопроводность Коэффициент теплооб- мена Q = А = W С = Q/ДТ S = SQ/T с -- Q/m&r s = S/m q — Q/m gradT= ДТ/Д1 Ф = &Q/bt ? = Ф/5 Q л “ AtS ДТ/At a = X/cp a = Ф/S/XT джоуль джоуль на кельвин джоуль на кельвин джоуль на кило- грам м-кельвин джоуль на кило- грам м-кельвин джоуль иа килограмм кельвин на метр ватт ватт на квадратный метр ватт на метр-кельвин квадратный метр в секунду ватт на квадратный метр-кельвин Дж Дж/К Дж/К Дж/(кг • К) Дж/(кг • К) Дж/кг К/м Вт Вт/м2 Вт/(м • К) м2/с Вт/(м2 • К)
Внесистемные единицы и коэффициенты пересчета:
Величина Единица и ее связь с единицами СИ
Количество теплоты Теплоемкость системы; энтропия системы Удельная теплоемкость; удельная энтропия Удельная теплота фазового превращения Тепловой поток Плотность теплового потока Теплопроводность 1 кал = 4,19 Дж 1 кал/К = 4,19 Дж/К 1 кал/(г • К) = 4,19 103 Дж/(кг • К) 1 кал/г — 4,19 103 Дж/кг 1 кал/с = 4,19 Вт 1 кал/(с • см2) = 4,19 • 104 Вт/м2 1 кал/(с • см • К) = 4,19 102 Вт/(м • К)
312
ПРИЛОЖЕНИЯ
IV. Единицы электрических и магнитных величин
Производные единицы в СИ:
Величина Единица
определение наименование обозна- чение
Количество электричества (электрический заряд) Поток электрического смещения Линейная плотность электрического заряда Поверхностная плотность электрического заряда Электрическое смещение Объемная плотность электрического заряда Разность потенциалов; электродвижущая сила Напряженность электрического поля Электрическое сопротивление Электрическая проводимость Удельное электрическое сопротивление Удельная электрическая проводимость Электрическая емкость Плотность тока Магнитный поток Магнитная индукция Индуктивность Напряженность магнитного ноля Магнитный момент q = It Nd = S<7 т = q/l a = q/S D = <7 <5 = 4/V U = A/q E = U/l R = U/1 G = l/R p = RS/l <t = 1/p C = q/U j = i/s | d<& | = £ dt В = Ф/3 |L| = dF/dt II = I/2irr p = IS кулон кулон кулон на метр кулон на квад- ратный метр кулон на квад- ратный метр кулон на куби- ческий метр вольт вольт на метр ом сименс ом-метр сименс на метр фарад ампер на квад- ратный метр вебер тесла генри ампер на метр ампер-квад- ратный метр Кл Кл Кл/м Кл/м2 Кл/м2 Кл/м3 В В/м Ом См Ом м См/м Ф А/м2 Вб Тл Гн А/м А • м2
ПРИЛОЖЕНИЯ
313
Единицы системы СГС и коэффициенты пересчета:
Величина Единица и ее связь с единицами СИ
Ток 1СГС/ = А = i 10“9 А С 3
Количество электричества 1СГС, = — Кл = | • IO'9 Кл с 3
Поток электрического смещения 1СГС„с = Кл = л * о • 10“9 Кл 4?ГС 47Г • 3
Электрическое смещение icrcD = Кл/м2 = о • 10~5 Кл/м2 4тгс ' 4тг • 3 '
Поверхностная плотность электрического заряда 1СГС„ = 1 СГС,/см2 = Кл/м2 = = | • 10“5 Кл/м2
Разность потенциалов; электродвижущая сила Напряженность электри- ческого поля Электрическое сопротив- ление Удельное электрическое сопротивление Электрическая емкость 1СГСу = 1СГСВ = 1сгсг = 1СГСр = 1СГСс = с - IO"8 В = 3 • 102 В с - 10“6 В/м = 3 • 104 В/м с2 • 10“9 Ом = 9 • 1011 Ом с2 • 10“11 Ом • м = 9 • Ю9 Ом • м X • 109Ф = i • 10~и Ф сл У
Плотность тока 1 СГС, = — А/м2 = 4 • 10~5 А/м2 с ' 3 '
Магнитный поток 1СГСф = 1 Мкс = 10-8 Вб
Магнитная индукция 1СГСВ = 1Гс = 10-4 Тл
Индуктивность 1СГС£ = 1 см = 10~9 Гн
Напряженность магнит- ного поля 1СГСН = 1Э = X- • 103 А/м 4тг '
Примечание. В этой таблице числовое значение скорости света в вакууме
выражено в сантиметрах в секунду, т. е. с = 3 1О10 см/с.
314
ПРИЛОЖЕНИЯ
V. Единицы акустических величин
Производные единицы в СИ:
Величина Единица
определение наименование обозна- чение
Звуковое давление Плотность звуковой энергии Звуковая мощность Интенсивность звука p = F/S w = W/V P-W/t I = w/st паскаль джоуль на куби- ческий метр ватт ватт на квадрат- ный метр Па Дж/м3 Вт Вт/м2
Единицы системы СГС и коэффициенты пересчета:
Величина Единица и ее связь с единицами СИ
Звуковое давление Плотность звуковой энергии Звуковая мощность Интенсивность звука 1 дин/см2 = 0,1 Па 1эрг/см3 =0,1 Дж/м3 1эрг/с = 10-7 Вт 1 эрг/(с • см2) = 10-3 Вт/м2
Внесистемные единицы:
Величина Единица
наимено- вание обозна- чение определение
Уровень звуко- вого давления Уровень гром- кости звука децибел фон дБ фон Децибел — уровень звукового давления, двадцать десятич- ных логарифмов отношения которого к условному порогу давления, равному 210-5 Па, равны единице Фон — уровень громкости звука, для которого уровень звуково- го давления равногромкого с ним звука частоты 103 Гц, ра- вен 1дБ
ПРИЛОЖЕНИЯ
315
VI. Единицы световых величин
Величина Единица
определение наименование обозна- чение
Световой поток Световая энергия Освещенность Светимость Яркость Световая экспозиция </Ф = I du> dW = ®dt Е = d<t>/dS R = d^/dS В = dl/dS cos f) dH3 = E dt люмен люмен-секунда люкс люмен на квад- ратный метр кандела на квад- ратный метр люкс-секунда лм лм с лк Лм/м“ кд/м2 лк • с
VII. Единицы радиоактивности и ионизирующих излучений
Производные единицы в СИ:
Величина Единица
определение наименование обозна- чение
Активность изото- па в радиоактив- ном источнике а = dN/dt беккерель Бк
Интенсивность из- лучения J = W/S ватт на квадрат- ный метр Вт/м2
Поглощенная доза излучения Dn = W/m грей Гр
Мощность погло- щенной дозы из- лучения Рп = Dn /1 грей в секунду Гр/с
Экспозиционная доза рентгенов- ского и гамма-из- лучений D3 = q/m кулон на кило- грамм Кл/кг
Мощность экспо- зиционной дозы рентгеновского и гамма-излучений P3 = D3/t ампер на кило- грамм А/к г
316
ПРИЛОЖЕНИЯ
Внесистемные единицы:
Величина Единица и ее связь с единицами СИ
Активность изотопа в радиоактивном источнике Поглощенная доза излучения Экспозиционная доза рентгеновского и гамма-излучений 1 Ки = 3,7 - Ю10 Бк 1 рад = 10~2 Гр 1Р = 2,57976 10~4 Кл/кг
Примечание. Единицу экспозиционной дозы рентгеновского и гамма*
излучений кулон на килограмм, а также внесистемную единицу рентген можно
применять для излучений с энергией квантов, не превышающей 5 • 10”13 Дж
(приблизительно ЗМэВ).
VIII. Связь между рационализованными и нерационалнзованными
уравнениями электромагнитного поля
Уравнения электромагнитного поля в рационализованной форме можно по-
лучить из уравнений в нерационализованной форме следующими преобразова-
ниями:
1. Диэлектрическая проницаемость е, входящая в нерационализованные
уравнения, заменяется величиной
4тге/ = 4тгео£’,
где £о—-электрическая постоянная, е— относительная диэлектрическая про-
ницаемость среды.
2. Магнитная проницаемость д, входящая в нерационализованные уравне-
ния, заменяется величиной
// _ ДО/Х
4тг 4тг *
где р-о — магнитная постоянная, ц — относительная магнитная проницаемость
среды.
3. Электрическое смещение D = е£?, входящее в нерационализованные урав-
нения, заменяется величиной
4тг£) = AtieqeE.
4. Напряженность магнитного поля Н = В/ц, входящая в нерационализо-
ванные уравнения, заменяется величиной
4тгЯ = 4тг — .
/ход
Все уравнения, в которых отсутствуют величины е, /х, О и Я, имеют один и
тот же вид и в нерационализованной, и в рационализованной форме.
Осуществляя указанные выше преобразования, нетрудно составить таблицу,
в которой сопоставлены важнейшие уравнения §§ 9 и 11 гл. III в нерационали-
зованной и в рационализованной формах.
Учащимся предлагается, осуществляя указанные выше преобразования, до-
полнить эту таблицу не вошедшими в нее формулами §§ 9 и 11 гл. III. Нетрудно
убедиться, что все уравнения, приведенные в § 10 гл. III, имеют один и тот же
вид в рационализованной и нерационализованной формах.
ПРИЛОЖЕНИЯ
317
Нерационализованная форма (система СГС) Рационализованная форма (система СИ)
Закон Кулона Напряженность элек- трического поля Напряженность поля точечного заряда Теорема Гаусса Напряженность поля заряженной нити Напряженность поля заряженной плос- кости Напряженность поля плоского конденса- тора Разность потенциалов Потенциал поля то- чечного заряда Зависимость между напряженностью по- ля и потенциалом То же для однород- ного поля Зависимость между емкостью, зарядом и потенциалом про- водника Емкость плоского конденсатора Емкость сферического конденсатора Емкость шара ft -h Д У II- II- 8 SE ; » " » " " « "as II 1 II <! In ь. » k k OS SI * | м к | b|| b|| ° fc ||| | | 1-? и и « и и ii * . и и и £ ; “ i « a
318
ПРИЛОЖЕНИЯ
Продолжение табл.
Нерационализованная форма (система СГС) Рационализованная форма (система СИ)
Энергия заряженного проводника Энергия поля плоско- го конденсатора Объемная плотность энергии электриче- ского поля Сила притяжения пластин плоского конденсатора Закон Био — Савара — Лапласа Напряженность маг- нитного поля в цен- тре кругового тока Напряженность маг- магнитного поля прямого тока Напряженность маг- магнитного поля внутри соленоида Связь между напря- женностью магнит- ного поля и магнит- ной индукцией Плотность энергии магнитного поля Сила Ампера Сила Лоренца Сила взаимодействия параллельных токов Индуктивность соле- ноида и,- _ QU _ CU'2 _ д'2 2 “ 2 ~ 2С 8тгс/ _ eE2Sd _ 2'Ktr2Sd ~ 8тг — е ИЛ fE2 И ° = -8F F - - _ eSU2 _ 2тг<T2S 8?rd2 е j ,Tr I dl sin a (Ln — « crx H = ctt. H = — ca _ A-п In ~~ c В = pH HB w° = ^r ^p _ BI sin a dl ~ c P _ Bqv sin a c p _ 2/zZi I?l c2d L = 4irfin2lS IV _ CU2 _ q2 v ~ 2 ~ 2 ~ 2C W = e0eSU2 = 2nd _ eoeE2Sd _ a2Sd 2 2soe W0=^ P _ £o^E2S _ 1 ~ 2 - _ epeSU2 _ a2S 2d2 2cOf , rr I dl sin a dH = ^^~ H = 2R H = 2тга H = In В = popH w - HB Wo - -g- dF = BI sin a dl F — Bqv sin a p _ U01H1I2I 2vd L = popn2lS
ПРИЛОЖЕНИЯ
319
IX. График зависимости индукции В от напряженности Н
магнитного поля для некоторого сорта железа
В, Тл
Н, IC )3 А/м
О 12345678
Рис. 186
X. Фундаментальные физические константы
Гравитационная постоянная
Скорость света в вакууме
Магнитная постоянная
Электрическая постоянная
Постоянная Планка
Масса покоя электрона
Масса покоя протона
Масса покоя нейтрона
Отношение массы протона к массе
электрона
Элементарный заряд
Отношение заряда электрона
к его массе
Атомная единица массы
Постоянная Авогадро
Постоянная Фарадея
Молярная газовая постоянная
Молярный объем идеального
газа при нормальных условиях
Постоянная Больцмана
G = 6,6720 • 10-11 Н • м2/кг2
с = 2,99792458 • 108 м/с
до = 12,5663706144 10-7Гн/м
е0 = 8,85418782 • 10“12 Ф/м
h = 6,626176 • 10“34 Дж • с
те = 9,109534 10“31 кг
тр = 1,6726485 • 10“27 кг
тп = 1,6749543 • 10~27 кг
тр/те = 1836,15152
е = 1,6021892 • 10“19 Кл
e/wie = 1,7588047 • 10п Кл/кг
1 а. е. м. = 1,6605655 10-27 кг
Na = 6,022045 • 1023 моль-1
F = 96,48456 103 Кл/моль
R = 8,31441 Дж/(моль • К)
Vo = 22,41383 • 10-3 м3/моль
к = 1,380662 10-23 Дж/К
XI. Некоторые данные о планетах Солнечной системы
Меркурий Венера Земля Марс Юпитер Сатурн Уран Нептун Плутон
Среднее расстояние от Солнца, млн. км 57,91 108,21 149,59 227,94 778,3 1429,3 2875,03 4504,4 5900
Период обращения вокруг Солнца, земной год 0,24 0,62 1,0 1,88 11,86 29,46 84,02 164,8 249,7
Экваториальный диаметр, км 4840 12 400 12 742 6780 139 760 115100 51000 50 000 —
Объем по отношению к объ- ему Земли 0,055 0,92 1,0 0,150 1345 767 73,5 59,5 —
Масса по отношению к мас- се Земли 0,054 0,81 1,0 0,107 318,4 95,2 14,58 17,26 —
Ускорение свободного паде- ния по отношению к уско- рению на поверхности Земли (р = 9,80665 м/с2) 0,38 0,85 1,0 0,38 2,64 1,17 0,92 1,14
320 ПРИЛОЖЕНИЯ
XII. Астрономические постоянные
Радиус Земли 6,378164 • 10е м Радиус Луны 1,737-10® м
Средняя плотность Земли 5,518- 103кг/м3 Масса Луны 7,35 • 1022 кг
Масса Земли 5,976 1024 кг Среднее расстояние до Луны 3,844 • 108 м
Радиус Солнца 6,9599 • 108 м Среднее расстояние до Солнца 1,49598 • 10й м
Средняя плотность Солнца 1,41 • 103 кг/м3 (астрономическая единица)
Масса Солнца 1,989 Ю30 кг Период обращения Луны вокруг Земли 27 сут 7 ч 43 мин
ПРИЛОЖЕНИЯ
321
Х1П. Диаметры атомов и молекул
Гелий 0,20 Кислород 0,30
Водород 0,23 Азот 0,30
XIV. Критические значения Тк и Рк
Вещество Тк, К рк, МПа Вещество Тк, К рк, МПа
Водяной пар 647 22,0 Азот 126 3,4
Углекислый газ 304 7,38 Водород 33 1,3
Кислород 154 5,07 Гелий 5,2 0,23
Аргон 151 4,87
XV. Давление водяного пара, насыщающего пространство при
разных температурах
t, °C р„, Па t, °C ря, Па t, °C Ри, Па
—5 400 8 1070 40 7 335
0 609 9 1145 50 12302
1 656 10 1225 60 19817
2 704 12 1396 70 31 122
3 757 14 1596 80 47215
4 811 16 1809 90 69 958
5 870 20 2328 100 101080
6 932 25 3165 150 486240
7 1025 30 4229 200 1549890
XVI. Удельная теплота парообразования воды при разных
температурах
t, °C 0 50 100 200
г, МДж/кг 2,49 2,38 2,26 1,94
322
ПРИЛОЖЕНИЯ
XVII. Свойства некоторых жидкостей (при 20°С)
Вещество Плотность, 103 кг/м3 Удельная теплоемкость, Дж/(кг-К) Поверхностное натяжение, Н/м
Бензол 0,88 1720 0,03
Вода 1,00 4190 0,073
Глицерин 1,20 2430 0,064
Касторовое масло 0,90 1800 0,035
Керосин 0,80 2140 0,03
Ртуть 13,60 138 0,5
Спирт 0,79 2510 0,02
XVIII. Свойства некоторых твердых тел
Вещество Плот- ность, 103 кг/м3 Темпе- ратура плавле- ния, °C Удельная теплоем- кость, Дж/(кг • К) Удельная теплота плавления, кДж/кг Температур- ный коэффи- циент линей- ного расши- рения, ю-®к-1
Алюминий 2,6 659 896 322 2,3
Железо 7,9 1530 500 272 1,2
Латунь 8,4 900 386 — 1,9
Лед 0,9 0 2100 335 —
Медь 8,6 1100 395 176 1,6
Олово 7,2 232 230 58,6 2,7
Платина 21,4 1770 117 113 0,89
Пробка 0,2 — 2050 — • —
Свинец 11,3 327 126 22,6 2,9
Серебро 10,5 960 234 88 1,9
Сталь 7,7 1300 460 — 1,06
Цинк 7,0 420 391 117 2,9
ПРИЛОЖЕНИЯ
323
XIX. Свойства упругости некоторых твердых тел
Вещество Предел прочности, МПа Модуль Юнга, ГПа
Алюминий 110 69
Железо 294 196
Медь 245 118
Свинец. 20 15,7
Серебро 290 74
Сталь 785 216
XX. Теплопроводность твердых тел, Вт/(м-К)
Алюминий Войлок Железо Кварц плавленый Медь 210 . 0,046 58,7 1,37 390 Песок сухой Пробка Серебро Эбонит 0,325 0,050 460 0,174
XXI. Диэлектрическая проницаемость диэлектриков
Воск 7,8 Парафин 2 Эбонит 2,6
Вода 81 Слюда 6 Парафинированная 2
Керосин 2 Стекло 6 бумага
Масло 5 Фарфор 6
XXII. "Удельное сопротивление проводников (при 0°С), мкОм-м
Алюминий 0,025 Нихром 100
Графит 0,039 Ртуть 0,94
Железо 0,087 Свинец 0,22
Медь 0,017 Сталь 0,10
324
ПРИЛОЖЕНИЯ
XXIII. Подвижности ионов в электролитах, 10 8 м2/(В-с)
NO3 н+ к+ 6,4 . 32,6 6,7 С1- Ag+ 6,8 5,6
XXIV. Работа выхода электронов нэ металла, эВ
W 4,5 Ag 4,74
W + Cs 1,6 Li ' 2,4
W + Th 2,63 Na 2,3
Pt -f" Cs 1,40 К 2,0
Pt 5,3 Cs 1,9
XXV. Показатели преломления некоторых веществ
Алмаз 2,42 Сероуглерод 1,63
Вода 1,33 Скипидар 1,48
Лед 1,31 Стекло 1,5 —1,9
XXVI. Длина волны, определяющая границу К-серии рентгеновских
лучей для различных материалов антикатода, пм
Вольфрам Золото Медь 17,8 15,3 138 Платина Серебро 15,8 48,4
ПРИЛОЖЕНИЯ
325
XXVII. Спектральные линии ртутной дуги, нм
253,7 404,7 546,1 » 612,8
365,0 435,8 577,0 690,8
365,5 523,5 579,1 708,2
XXVIII. Массы некоторых изотопов, а. е. м
Изотоп Масса Изотоп Масса Изотоп Масса
}Н 1,00783 iBe 9,01218 ?2Si 29,97377
2,01410 I°B 10,01294 2O^"a 39,96257
3,01605 i2c 12,0 i?co 55,93984
3Не 3,01603 ’3N 13,00574 29 Cu 62,92960
2Не 4,00260 14,00307 “2Cd 111,90276
3Li 6,01512 ГО 16,99913 i8°Hg 199,96832
jLi 7,01600 i!Mg 22,99413 235 Tj 92 U 235,04393
jBe 7,01693 ?3Mg 23,98504 238 tt 92 U 238,05353
? Be 8,00531 27A1 13A1 26,98154
XXIX. Периоды полураспада некоторых радиоактивных элементов
2§Са 164 сут II6 Ra 1590 лет
38Sr 28 лет 235TJ 92 U 7,1 • 108 лет
si°P° 138 сут 238тт 92 U 4,5 • 109 лет
3,82 сут
326
ПРИЛОЖЕНИЯ
XXX. Названия, символы и атомные массы химических элементов
1 Водород н 1,0079 32 Германий Ge 72,59
2 Гелий Не 4,00260 33 Мышьяк As 74,9216
3 Литий Li 6,941 34 Селен Se 78,96
1 Бериллий Be 9,01218 35 Бром Br 79,904
5 Бор В 10,81 36 Криптон Кг 83,80
б Углерод С 12,011 37 Рубидий Rb 85,467
7 Азот N 14,0067 38 Стронций Sr 87,62
8 Кислород О 15,9994 39 Иттрий Y 88,9059
9 Фтор F 18,998403 40 Цирконий Zr 91,22
10 Неон Ne 20,179 41 Ниобий Nb 92,9064
11 Натрий Na 22,98977 42 Молибден Vo 95,94
12 Магний Mg 24,305 43 Технеций Tc 98,9062
13 Алюминий Al 26,98154 44 Рутений Ru 101,07
1-1 Кремний Si 28,0855 45 Родий Rh 102,9055
15 Фосфор P 30,97376 46 Палладий Pel 106,4
16 Сера S 32,06 47 Серебро Ag 107,868
17 Хлор Cl 35,453 48 Кадмий Cd 112,41
18 Аргон Ar 39,948 49 Индий In 114,82
19 Калий К 39,0983 50 Олово Sn 118,69
20 Кальций Ca 40,08 51 Сурьма Sb 121,75
21 Скандий Se 44,9559 52 Теллур Те 127,60
22 Т итан Ti 47,90 53 Иод I 126,9045
23 Ванадий V 50,9415 54 Ксенон Xe 131,30
24 Хром Cr 51,996 55 Цезий Cs 132,9054
25 Марганец Mn 54,9380 56 Барий Ba 137,33
26 Железо Fe 55,847 57 Лантан La 138,9055
27 Кобальт Co 58,9332 58 Церий Ce 140,12
28 Никель Ni 58,71 59 Празеодим Pr 140,9077
29 Медь Co 63,546 60 Неодим Nd 144,24
30 Цинк Zn 65,38 61 Прометий Pm [145]
31 Галлий Ga 69,735 62 Самарий Sm 150,4
ПРИЛОЖЕНИЯ
327
Продолжение табл.
63 Европий Ей 151,96 85 Астат At [2Ю]
64 Гадолиний Gd 157,25 86 Радон Rn [222]
65 Тербий Tb 158,9254 87 Франций Fr [223]
66 Диспрозий Dy 162,50 88 Радий Ra 22,0254
67 Гольмий Но 164,9304 89 Актиний Ac [227]
68 Эрбий Ег 167,26 90 Торий Th 231,0381
69 Тулий Тт 168,9342 91 Протактиний Pa 231,0359
70 Иттербий Yb 173,04 92 Уран U 238,029
71 Лютеций Lu 174,967 93 Нептуний Np 237,0482
72 Гафний Hf 178,49 94 Плутоний Pu [244]
73 Тантал Та 180,947 95 Америций Am [243]
74 Вольфрам W 183,85 96 Кюрий Cm [247]
75 Рений Re 186,207 97 Берклий Bk [247]
76 Осмий Os 190,2 98 Калифорний Cf [251]
77 Иридий It 192,22 99 Эйнштейний Es [254]
78 Платина Pt 195,09 100 Фермий Fm [257]
79 Золото Au 196,9665 101 Менделевий Md [258]
80 Ртуть Hg 200,59 102 ^Нобелий) (No) [259]
81 Таллий Ti 204,37 103 (Лоуренсий) (Lr) [260]
82 Свинец Pb 207,2 104 Курчатовий Ku [260]
83 Висмут Bi 208,9804 105 [260]
84 Полоний Po [209] 106 [263]
Валентина Сергеевна ВОЛЬКЕНШТЕЙН
СБОРНИК ЗАДАЧ
ПО ОБЩЕМУ КУРСУ ФИЗИКИ
Для студентов технических вузов
Издание дополненное и переработанное
Ответственный за выпуск Шакиров В. Н.
Редактор Виноградов А. С.
Корректоры Егорова В. П., Смирнова Л. В., Солнцева Н. В.,
Ткаченко И. П.
Компьютерная верстка Долгих С. Г., Маклаишн С. Ю.
ЛР № 071099 от 09.11.94. Подписано в печать с готовых диапозитивов
15.12.97. Формат 60 х 901/1б- Печать офсетная. Уч.-изд. л. 23,7.
Усл.-печ. л. 20,5. Тираж 7000 экз. Заказ 83.
Издательство «Специальная Литература»
при участии ТОО «Мифрил».
198052, Санкт-Петербург, Измайловский пр., 29.
ОАО «Саикт-Петербургская типография № 6».
193144, Санкт-Петербург, ул. Моисеенко, д. 10.