Автор: Волькенштейн В.С.
Теги: высшее образование университеты академическое обучение физика электричество механика термодинамика оптика сборник задач для студентов технических вузов
ISBN: 5-299-00219-Х
Год: 2002
Текст
Волькенштейн В. С
C6OFHMK ЗАДАЧ
по общему курсу
мфизические основы механики
молекулярная физика
и термодинамика
электричество и магнетизм
колебания и волны
«физика атома
В. С ВОЛЬ К ЕН ШТЕЙН
СБОРНИК ЗАДАЧ
ПО ОБЩЕМУ КУРСУ
ФИЗИКИ
Для студентов технических вузов
Издание дополненное и переработанное
Санкт-1 lei србург
СпснЛит
2002
УДК 378 53
В71
В подготовке данного издания приняли участие Ю Е. Чариков и М. А. Погарскнй
Волькенштайн В. С.
В71 Сборник задач по общему курсу физики. Изд. доп. и пере-
раб. — СПб.: СпецЛит, 2002. — 327 с.
ISBN 5-299-00219-Х
Настоящее издание представляет собой переработанный вариант книги
•Сборник задач по общему курсу физики» того же автора. Значительная
часть задач заменена на новые в соответствии с современными требованиями
вузов с обычной программой по физике»
Сборник задач может частично использоваться учащимися старших
классов, техникумов и ПТУ, а также преподавателями указанных учебных
заведений при подготовке к занятиям.
УДК 378 53
ISBN 5-299-00219-Х
© Издательство «СпецЛит», 2002
ОГЛАВЛЕНИЕ
UpcvUK'Jloniie ...... б
Г Л л 11 А I
Физически© основы мехпиики
5 1. Кинематика................................ - - - • <
§ 2 Динамика материальной точки к поступательного движения твер-
дого тел*.................................................. 15
§ 3. Вращательное движение твердых тел........................ 54
§4 . Механик а жидкостей и газов... .......... 42
Отлетъ» и рмиснил • ........ • • 213
ГЛАВА II
Молекулярная физика и термодинамики
§5 Молекулярно-кинетическая теория ........- 47
§ 6- Реальные газы ............-.....-....................... 73
§ 7. Насыщенные пары и жидкости . - ........ 76
J 8. Твердые тела.......................................... 87
Ответы и решения .. ....................................... 227
ГЛАВА III
Электричество и магнетизм
§ 9 Электростатика..................................... 100
§10. Электрический ток........ о .о ....... ... 118
§11. Электромагнетизм ................ . • .......... 155
От се ты и решения. .......................................... 262
ГЛАВ л IV
Колебания и волны
§ 12. Гармоническое колебательное движение н волны- ----- -• 156
§ 13. Акустика ........•...........
§14. Электромагнитные колебания и полны . .. .............. 170
Ответы и решения ... .............-........................... 281
4
ГЛАВА V
Оптика
§ 15. Геометрическая оптика и фотометрия....................... 175
§ 16 Волновая оптика......................................... 184
§17. Элементы теории относительности.......................... 193
§ 18. Тепловое излучение.................................. 195
Ответы и решения............................................... 290
Г Л Л К А VI
Физика атома и атомного ядра
§ 19. Квантовая природа света и волновые свойства частиц........ 199
§ 20. Атом Бора. Рентгеновские лучи............................. 204
§ 21 Радиоактивность ..................................... 209
§ 22. Ядерные реакции.......................................... 213
§23. Элементарные частицы Ускорители частиц . . .......... 218
Ответы и решения. .. . ............................... 297
Приложения
I Основные единицы системы СИ • • ....................... 308
II. Единицы механических величин............................ 309
III. Единицы тепловых величин..... ......................... 311
IV Единицы электрических и магнитных величин 312
V. Единицы акустических величин...................... .. 314
VI. Единицы световых величин.............................. 315
VII. Единицы радиоактивности и ионизирующих излучений...... 315
VIII. Связь между рационализованными и пграционализованиыми
уравнениями электромы пнтного поля............................ 316
IX График зависимости индукции В от напряженности Н магннт-
• кого поля для некоторого сорта железа..................... 319
X. Фундаментальные физические константы.................. 319
XI. Некоторые данные о планетах Солнечной системы..... .... 320
XII. Астрономические постоянные........... . ........ .. 320
XIII Диаметры атомов и молекул........................... .321
XIV. Критические значения Тк и рк....-. ..................... 321
XV. Давление водяною пара, насыщающего пространство иря раз-
ных температурах .. ....................................... 321
XVI. Удельная теплота парообразования воды при разных темпера-
турах ... .................................................... 321
XVII. Свойства некоторых жидкостей ... ............... 322
XVIII. Снойства некоторых твердых тел ................... . 322
XIX. Свойства упругости некоторых твердых тел................ 323
XX. Теплопроводность твердых тел..................... 323
XXI. Диэлектрическая проницаемость диэлектриков... ........ 323
XXII. Удельное сопротивление проводников . ... ..... 323
XXIII. Подвижности попов в электролитах....................... 324
XXIV. Работа выхода электронов из металла ..................... 324
XXV. Показатели преломления некоторых веществ............... 324
XXVI. Длина волны, определяющая границу К-серии рентгеновских
лучей для различных материалов антикатода ..................... 324
XXVII. Спектральные линии ртутной дуги.... ................... 325
XXVIII. Массы некоторых изотонов.......................... 325
XXIX Периоды полураспада некоторых радиоактивных элементов ... 325
XXX. Названия, символы и атомные массы химических элементов... 326
ПРЕДИСЛОВИЕ
Первое издание задачника вышло в свет в 1958 года Все после-
дующие издания печатались без существенных изменений. В на-
стоящее время уровень подготовки по физике в средних школах
намного вырос ио сравнению с предыдущими десятилетиями. и
потому многие задачи сборника решаются без труда учащимися
старших классов и не представляют в дальнейшем интереса для
студентов. В настоящее издание включено большое число новых
задач, которые делают задачник более многогранным — в нем
нрисутсгвуег по-прежнему достаточное число простых задач, но
имеются и более сложные, разного уровня трудности. Такие зада-
чи в тексте отмечены*. В предыдущих изданиях также приводи-
лось излишне подробное рассмотр<М1Ив решений многих задач, нс
стимулирующее самостоятельную работу студента. В настоящем
издании подобное объяснение сокращено.
Таблицы единиц измерения физических величин и другой спра-
вочный материал содержится в «Приложениях» в конце книги.
Главы 1 — XI редактировались Ю Е. Чариковым, а XIII—XXII
М. А. Погарским. Глава XII рассмотрена совместно. Общая ре-
дакция проведена Ю-Е. Чариковым.
Большинство из включенных вновь задач предлагались сту-
дентам Государственного Технического Университета г. Санкт-
Петербурга и школьникам старших классов базовых школ.
Ю. Е. Чариков, М /1 ПогарскиЬ
Глава I
ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕХАНИКИ
§1. Кинематика
Скорость и ускорение материальной точки
л __ dr - _ dv
ff-ar °-ат
где г — радиус-вектор точки.
Перемещение точки за время At = t> — to
Af = f (t 1) - г (to) = J v (t) dt, (1)
to
а соответствующее изменение скорости
Au=i7(tl)-i7(fo) = I a(t)dt. (2)
to
Для равномерного движения €Г — const и а = 0 из (1) получим
Af=tFAt, Atf = O.
В случае прямолинейного движения
, |AF| = S = vAt,
где S — путь, пройденный точкой за время At
В случае равнопеременного движения d = const, а (2) принимает вид
A v = v (11) — t? (to) = а A*,
Ar = r(ti) — F(to) = it At +
При криволинейном движении ускорение точки удобно разложить на две
составляющие: тангенциальную (касательную) и нормальную (цент)юстреми-
тсльную)
Л — df + ffn ।
8
ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕХАНИКИ
{Гл. I
где
вг-di
— тангенцидлыкю ускорение (направлено по касательной к траектории) и
On =
У2
Н
— нормальное ускорение (нанраилемо вдоль главной нормали), Н радиус со-
прикасающейся окружности (радиус кривизны траектории в данной точке).
Полное ускорение по модулю равно
Услопан скорость врпщсмия тела определяется как
W =
dip
аг»
где ф— вектор угла поворота тела, направлен вдоль оси вращения по правилу
правого винта.
Для равномерного вращения тела вокруг оси
-37 — const.
af.
В этом случае угол поворота и угловая скорость
у? = wt,
ы=е = *г=2™,
•> 1
где Т — период вращения, п — частота вращении, т. с. число оборотов d единицу
вррмепн.
Углинам скорость связана с линейной скоростью
и = ыЯ.
1Л.“ Вектор И изменил направление на обратное. Найти при-
ращение Ди, | Ди | и Д-с.
1.2. * Начальное значение радиус-вектора равно rj = 4i—3j+12Jt,
конечное — r*2 = — i—2j+2£. Найти: а) приращение радиус-векто-
ра Ar; 6) модуль приращения | Дг|; в) приращение модуля Д|г|.
1-3.* Исходя из определения среднего значения функции, до-
казать, что
а) среднее за время т значение скорости точки (с) равно
приращению перемещения точки Дг за это время, деленному
иа г;
б) среднее за время т значение ускорения точки (w) равно
приращению ckojjocth Ди за это время, деленному на г
sn
КИНЕМАТИКА
9
1.4 .* Радиус-вектор точки изменяется со временем по закону:
г = 2t2i + tj + к. Найти скорость г и ускорение w точки, модуль
скорости и в момент t = 2 с, приближенное значение пути S,
пройденного точкой за 10-ю секунду движения.
1.5 / Точка движется со скоростью v = at(2i 4- 3j + 4fc),
a = 1 м/с2 Найти,
а) модуль скорости точки в момент времени t — 1 с;
б) ускорение точки w и его модуль |t?|;
в) путь S, пройденный точкой с момента времени tj = 2с до
момента £2 = Зс;
г) какой характер имеет движение точки?
1.6 / Зависимость координат частицы от времени имеет вид
х = a cos art. j/=asinut, z = 0;
а) определить радиус-вектор частицы г, скорость ускорение
w и их модули;
6) вычислить скалярное произведение г • v. Что означает по-
лученный результат?
в) найти уравнение траектории частицы;
г) вычислить скалярное произведение f-w. Что означает по-
лученный |>езультат?
д) в каком направлении движется по траектории частица?
е) каков характер движения частицы вдоль траектории?
ж) как изменится движение частицы, если в выражении для у
изменить знак на обратный?
1.7 / Небольшое тело 6jk)ihcho под углом а к горизонту с
начальной скоростью Vp. Пренебрегая сопротивлением воздуха,
найти.
а) дальность полета L\
б) наибольшую высоту’ подъема Я;
в) время подъема до максимальной точки и время полета г;
г) уравнение траектории тела.
1.8 . Пароход идет но реке от .4 до В со скоростью Vi = 10 км/ч
относительно берега, а обратно со скоростью = 16 км/ч Най-
ти среднюю скорость (v) парохода и скорость течения реки.
1.9 . Найти скорость v относительно берега лодки, идущей по
течению, против течения и под углом а = 90° к направлению
течения. Скорость течения реки и = 1м/с, скорость лодки отно-
сительно воды ъ’о = 2 м/с.
V1.10. Лодка движется перпендикулярно к берегу со скоростью
v = 7,2 км/ч. Течение относит ее вниз на расстояние I = 150 м.
Найти скорость и течения реки и время i, затраченное на пере-
праву. Ширина реки L» 0,5 км.
1.11/ Лодка пересекает реку с постоянной относительно воды,
перпендикулярной к берегам скоростью v = 0,3 м/с. Ширина реки
10
ФИЗИЧКСКИЕ ОСНОВЫ МЕХАНИКИ
[Гл. I
равна L = 63 м. Скорость течения изменяется по параболическому
закону
и = Ио-4^(х-|)2
где х — расстояние от берега, ио константа, равная 5 м/с. Найти
снос лодки S вниз по течению от пункта отправления до места
причала на противоположном берегу реки.
1.12. * Спортсмены бегут колонной длины I со скоростью v.
Навстречу бежит тренер со скоростью и < v. Каждый спортсмен,
поравнявшись с тренером, разворачивается и начинает бежать
назад с той же но модулю скоростью v. Какова будет длина
Рис. 1
колонны, когда все спортсмены
развернутся?
1.13. * Два стержня пересека-
ются под углом о и движутся с
равными скоростями v перпенди-
кулярно самим себе (рис. 1). Ка-
кова скорость точки пересечения
стержней?
1.14.* Автомобиль удаляется со скоростью и от длинной сте-
ны, двигаясь под углом а к ней (рис. 2). В момент, когда
расстояние до стены равно /, шофер подает короткий звуко-
вой сигнал Какое расстояние пройдет автомобиль до момента,
когда шо<|>ер услышит эхо? Скорость звука в
воздухе равна с.
1.15. ’ Сверхзвуковой самолет летит горизон-
тально. Два микрофона, находящиеся на одной
вертикали на расстоянии I друг от друга, за-
регистрировали приход звука от самолета с за-
паздыванием времени At Скорость звука в
воздухе с. Какова скорость самолета?
Указание. Звуковые волны распространяются вну-
три конуса, в вершине которого находится самолет, а угол
при вершине определяется как
о = 2arcsin £ .
1.16. С аэростата, находящегося на высоте h = 300 м, упал
камень. Через какое время t камень достигнет земли, если:
а) аэростат поднимается со скоростью и = 5 м/с; б) аэростат опус-
кается со скоростью v=5.m/c; в) аэростат неподвижен.
1.17. Тело надает с высоты А = 19,6м без начальной скорости.
Какой путь пройдет тело за n-ую секуиду своего падения, за
последнюю секуиду? За какое время тело пройдет n-ый метр
своего пути, последний метр?
>1 1.18. Мяч, брошенный горизонтально. ударяется о стенку, па-
ходящукх:я на расстоянии I = 5 м от места бросания. Высота
in
КИНЕМАТИКА
II
места улара q стенку на A/i = 4,9 м меньше высоты Л, с которой
брошен мяч. С какой скоростью щ брошен мяч? Под каким
углом о мяч подлетает к поверхности стенки?
1.19. Камень брошен горизонтально со скоростью = 15 м/с.
Найти нормально пг, и тангенциальное ат ускорения камня череп
время t = 1 с после начала движения.
1.20. Камень бронюн горизонтально со скоростью i/j. = 10 м/с.
Найти радиус кривизны В траектории камня через время t = 3c
после начала движения.
1.21. Мяч брошен со скоростью Vo = 10 м/с лол углом а = 45°
к горизонту. Найти радиус кривизны R траектории мяча через
1с «после начала движения.
VI.22. Мяч брошен со скоростью ноя углом а к горизонту.
Найти и а, если максимальная высота подъема мяча h. = 3мг
а радиус, кривизны траектории мяча в этой точке Л = 3м.
1.23. * Мяч, брошенный со скоростью t’o = 10м/с под углом
а = 45° к горизонту, упруго ударяется о стенку, находящуюся на
расстоянии / = Зм от места бросания. Определить координаты
точки приземления и отскока, а также скорость v мяча в момент
удара.
1.24. * На вершине склона горы на расстоянии L (вдоль го-
ризонта) от подножия усланоштсна цель. С какой скоростью Ц)
необходимо произвести выстрел из пушки, чтобы попасть в цель.
Угол наклона горы а, угол стрельбы по отношению к горизонту «5.
1.25. * На высоте h горизонтально с постоянной скоростью ле-
тит самолет. С земли производится выстрел из орудия, причем
скорость снаряда v в момент выстрела направлена на самолет
под углом а к горизонту. С какой скоростью и летел самолет,
если снаряд поразил цель?
1.26. * Теннисист направляет мяч под углом к горизонту а со
скоростью vo навстречу движущейся довольно высокой стенке.
Скорость стенки н. Считая удар мяча о стенку абсолютно упру-
гим, определить время движения стенки до соударения с мячом,
если мяч после отскока упал в точку бросания. Считать, что
удар мяча происходит практически с поверхности земли.
1.27. * Из одной точки в один и тот же момент времени под
углом а к горизонту б|м>сают два камня сю скоростями Vt и t’2.
Какое расстояние будет между камнями в тот момент, когда
первый из них достигнет наивысшей точки подъема?
\f 1.28.* На перроне стоит человек. Мимо нею движется поезд.
Первый вагон проехал за время 1с, второй—за время 3/sC. Д-'111'
на вагона I = 12м. Найти ускорение а поезда и его скорость т.’() в
начале наблюдения. Движение поезда считать равнопеременным.
1.29. * Частица, покинув источник, пролетает с постоянной ско-
ростью расстояние L, а затем тормозится с ускорением п. При
какой скорости частицы время движения от ее вылета до оста-
новки будет наименьшим?
12
ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕХАНИКИ
|Гл. !
продолжает двигаться дальше.
Рис. 3
1.30/ Тело-начинает движение из точки А и движется сначала
равноускоренно в течении времени /о» загсм с тем же по модулю
ускорением — равнозамедленно. Через какое время от начала
движения тело вернется в точку А?
1.31. * Тяжелая горизонтальная плита движется вверх с посто-
янной скоростью и. Легкий шарик начинает свободно падать
и, пролетев расстояние й, сталкивается упруго с «лигой. Опре-
делить время между двумя последовательными ударами шарика
о плиту.
1.32. * Шарик, пушенный вверх но наклонной плоскости, про-
ходит последовательно два равных отрезка длинной. I каждый и
ервый отрезок шарик прошел за
время t, второй за 3L Найти
скорость шарика в конце пер-
вого отрезка пути.
1.33. * По наклонной доске
пустили катиться снизу вверх
маленький шарик. На рассто-
янии I = 30 см шарик побывал
дважды: через = 1с и че-
рез t2 = 2с после начала дви-
жения. Определить начальную
скорость шарика во и ускоре-
ние а, считая движение равно-
переменным.
высоты Л на наклонную плоо
время t после отражения тело
вторично. Как время падения
зависит от угла наклонной плоскости и почему?
1.36. * Небольшой шарик скользит со скоростью = 10 м/с
по горизонтальной поверхности стола, приближаясь к (iro краю
(рис. 3) Боковая поверхность стола и стена образуют щель
шириной d = 5 см. Высота стола /1 = 1 м. Сколько раз ударится
шарик о боковые поверхности, прежде чем достигнет пола? Удары
считать абсолютно упругими.
| 1.36.* На клине с углом наклона а лежит люнета. С каким
наименьшим ускорением должен двигаться клин по горизонталь-
ной поверхности, чтобы монета свободно падала вниз?
1.37. * На расстоянии L от стены высоты h мальчик бросает
мяч. Какова должна быть минимальная скорость мяча, чтобы он
перелетел через стену? Под каким углом выгоднее всего бросать
мяч?
1.38. * Сферический резервуар, стоящий на земле, имеет ра-
диус R При какой наименьшей скорости брошенный с земли
камень можег перелететь через резервуар, лишь коснувшись его
вершины?
1.34.* Упругое тело падает с
кость Определить, через какое
упадет па наклонную плоскость
5 ч
КИНЕМАТИКА
13
1.39. * Под каким наименьшим углом к горизонту следует бро-
сагь мяч, чтобы он пролетел сквозь баскетбольное кольцо сверху,
не ударившись о него? Радиус мяча г, радиус кольца 7? = 2г,
высота его над полом Н = З.м. Баскетболист бросает мяч с вы-
соты h = 2 м, -находясь по горизонтали от
кольца на расстоянии I = 5 м.
1.40. * Из одной точки с горизонталь-
ной поверхности одновременно брошены
два мяча с одинаковой по модулю ско-
ростью цо, но под разными углами и
аг (рис. 4). Чему равна скорость мячей
относительно друг друга? Как меняет-
ся расстояние между мячами со време-
нем? Считать, что мячи движутся посту-
пательно.
1.41. Найти радиус R вращающегося
колеса, если известно, что линейная скорость щ точки, лежанкой
на ободе, в 2,5 раза больше линейной скорости и? точки, лежащей
на расстоянии г = 5см ближе к оси колеса.
1.42. Колесо, вращаясь равноускоренно, достигло угловой ско-
рости = 20 рад/с через п = 10 оборотов после начала вращения.
Найти угловое ускорение е колеса.
1 43. Вал вращается с частотой п — 180об/мин. С некото-
рого момента вал начал вращаться равнозамедленно с угловым
ускорением £ = 3 рад/с2. Через какое время t вал остановится?
Найти число оборотов вала п до остановки.
1.44. Точка движется по окружности радиуса R — 20см с по-
стоянным тангенциальным ускорением пг = 5 см/с2. HejMis какое
время t после начала движения нормальное ускорение ат1 точки
будет: а) равно гангенниальиому, б) вдвое больше тангенциаль-
ного9
1.45. В модели атома Бора электрон в атоме водорода движет-
ся по круговой орбите с линейной скоростью ц. Найти угловую
скорость ы вращения электрона вокруг ядра и его нормальное
ускорение ап. Считать радиус орбиты г = 0,5 10“10 м и линейную
скорость на этой орбите v = 2,2 10е м/с.
< 1 46. Колесо радиусом R = 10 см вращается с угловым уско-
рением £ = 3,14 рад/с3 Найти для точек обода колеса к концу
первой секунды: а) угловую скорость и, 6) линейную скорость v,
в) тангенциальное аг н нормальное ап ускорение, г) полное уско-
рение, д) угол, составляемый вектором полного ускорения с ра-
диусом колеса, проведенным через соответствующую точку обода.
| 1.47. Точка движется по окружности радиусом R = 2 см. За-
висимость пути от времени дается уравнением s‘ = ct3f где
с = 0,1 см/с3. Найти нормальное ап и тангенциальное ат ускоре-
ние точки в момент, когда линейная скорость точки v = 0,3 м/с
u
ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕХАНИКИ
(Г.п. I
1.48 . Колесо радиусом В — 10см вращается так, что зависи-
мость угла поворота радиуса колеса от времени дается уравне-
нием = а + bt- + ct‘\ где a, b и с—константы, b = 2рад/с2,
г: = 1 рад/с3. Для точек, лежащих на ободе колеса, найти через
время t = 2 с после начала движения: а) угловую w и линей-
ную г скорости, 6) нормальное ап и тангенциальное аг ускорения,
в) угловое ус.ко|хч1ис €.
1.49 / Обод катится без скольжения со скоростью и (рис. 5).
Найти скорости точек Л, В. С. Выразить их через оргы коорди-
натных осей.
1.50 / Цилиндр катится без скольжения во горизонтальной
плоскости Радиус цилиндра г. Найги радиусы кривизны траек-
тории точек А и В (рис. 5).
Н
Рис, б
Рис. 6
1.51 / Тело участвует в двух вращениях, происходящих со ско-
ростями = aJt2i и й?2 = а = 1 рад/с2. На кокой угол
повернется тело за первые Зс? Вокруг какой осн произойдет этот
поворот?
1.52 / По плоскости без проскальзыпания катится конус. Ось
конуса вращается со скоростью и вокруг вертикали, проходящей
через его вершину- Высота конуса Л, угол между образующей и
осью конуса о. Чему равна угловая скорость вращения конуса
вокруг своей оси? Определить линейную скорость произвольной
точки, находящейся на диаметре основания конуса
1.53 / На платформах расположенных рядом и вращающихся
в нреяивоположиых направлениях (рис. 6), находятся наблюда-
тели Л: и Аз, занимающие в данный момент времени положе-
ния. показанные на рисунке. O1O2 = 5м, OjAj = О2А2 = 2 м,
tvx = tv? = I рад/с. С какой ско]мх:тью наблюдатель Аз движется
в данный момент относительно наблюдателя At?
1.54 / Четыре черепахи находятся в вершинах квадрата со
стороной п Они начинают двигаться одновременно с постоянной
скоростью в. Каждая черепаха движется по направлению к своей
соседке по часовой стрелке. Где встретятся черепахи и через
какое время?
ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
15
§3}
§ 2. Динамика материальной точки и поступательного
движения твердого тела
Основной закон динамики (второй закон Ньютона) материальной точки вы-
ражается в виде
F = £
Л ’
где F—результирующая сила, действующая на материальную точку массы тп,
f> = rnv — импульс материальной точки, f—ее скорость.
Изменен ил импульса Ар материальной точки за конечный промежуток вре-
мени At — t2 — ti есть
Др = Pdt
Закон изменения импульса механической системы тел
jfiT — i?
— 1 вмешн >
w п _ п
где Л'аиешп = 52 «нешм - главный доктор пненишх сил» р £ Р«— импульс
•=1 1=1
механической системы л тел.
Основной закон динамики поступательного движения твердого тела
Если масса тела тп — const, то
V __ d\i _ 1 .1
Ж “ rn ввешг
Центр масс системы материальных точек определяется следующим образом:
71
* = Х7 Е”*1Г‘ •
1=1
л
где А/ яз 22*74 — масса всей смсгемы, т,—масса i-ой материальной точки»
=! ‘ 4
— ее радиус-вектор
В случае непрерывного распределения массы (твердое тело, например] фор-
мула принимает вид
fc = it f fdm-
Скорость центра масс системы
= -г# 4 = Т7 = 4? 52rn»£f«’
at М at *i * at М
ам1
16
ФИЗИЧЕСКИЕ ОСИОПЫ М КХЛ пик и
(Гл. I
Закон движения центра масс
(Wv<,-) — F»пешк
Заком сохранения импульса жамкнутой системы тел (Аиппи = 0) = 0. т.г
р = const — ямпульс замкнутой системы тгл (точек).
Уравнение движения тела с переменной массой (уравнокке Мещерского)
т — г внешн + 11 ,
где* м = Fp—реактивная сила, й—относительная скорость потери (увели-
чения массы тела).
Второй закон Ньютона для вращательного движении матери алы юП точки
у _ mna - ,2 р
~~ ~ К ~~ miiJ
где v — линейная скорость, ы— угловая скорость, R—радиус кривизны траек-
тории в д<ишоЙ точке.
Основное уравнение динамики относительного движения материальной точ-
ки
гтш = F — тп&г — tnSig,
где dr—относительное ускорение точки, аг—переносное ускорение точки,
Зк — кориолисово ускорение точки; а* = 2[fl х vr]> dr. = оо + [Л х Г] +
+ П х [Я х f]]f v'o — скорость HCHifuptuuinMKjft системы ОТГ.ЧЛТЛ (СО) относи-
тельно инерциальной, Я угловая скорость вращения кеинерциальной СО от-
носит ельно инщщпальной, vr—относительная скорость точки (скорость в нс
инерциальной СО).
Сила гравитационного притяжения двух материальных точек
где G = 6,672-10-11 Н-м2/кг2 —-гравитационная постоянная, т> и m2 — массы
взаимодействующих точек, г — радиус вектор, проведенный из центра масс си-
стемы к материальной точке.
Потенциальная энергия гравитационного взаимодействия
*
Третий закон Кеплера
(Ю’“ (£)’•
Tj. Т-2 — периоды вращения планет, R-i, Rq — большие полуоси их орби г.
2.1. Тело массой т = 0,5 кг движется прямолипсЛно, причем
координата трлн V мзмвкжутся от щхгмеши как Л' = u-bt+ct2—di3,
где с = 5 м/с2 и d = 1м/с3. Найти силу F, действующую на тело
п конце первой секунды движения.
§3)
ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЫ ГОЯ ТОЧКИ
17
Л1
М
а
2.2. Тело массой тп = 1кг движется так, что пройденное рас-
стояние S от времени здшся уравнением S — a smurf, где а = 5см,
а> = тград/с Найти ускорение, силу и импульс тела через !/бС
после начала движения.
2.3. * Тело массой m = 1 кг движется так. что его координаты
х и у изменяются от времени следующим образом: х = a — bt+ct~,
y — dt3. где с = 1м/с2» г1 = 2м/с3. Определить ускорение тела и
действующую на тело силу к концу 5-й секунды
2.4. * На горизонтальном столе ле-
жат два тела массы JW = 1 кг каж-
дое, связанные невесомой нерастяжи-
мой нитью (рис. 7). Тело 2 связано
такой же нитью с грузом тп = 0,5 кг.
Блок невесомый, трением в блоке
можно пренебречь. Коэффициент Гре-
ция первого тела со столом A*i = 0,1»
второго — Л*2 = 0,15. Найти:
а) ускорение движения тел;
б) натяжение нитей;
в) силу давления на ось блока.
2.5. * На наклонной плоскости с углом к горизонту а =
движется тело массой тп = 1кг, связанное невесомой нитью
телом 1 такой же массы (рис. 8). Найти ускорение этих тел
силу натяжения нити. Трением в блоке пренебречь, также как
трением между телом 2 и наклонной плоскостью.
tn
Рис. 7
30
с
и
и
2.6. ’ Решить предыдущую задачу при условии, что коэффици-
ент трения тела 2 о наклонную плоскость к = 0,1.
2.7. * Найти ускорения грузов в системе, изображенной на
рис. 9 Л/1 = 1кг, М* = 5 кг, Л/з “ 2 кг Коэффициент тре-
ния между грузами 1 и 2 к = 0,2. Трением между грузом 2
и наклонной плоскостью пренебречь. Угол а = 30°. Будет ли
проскальзывание между грузами 1 и 2?
2.8. * На наклонной плоскости с коэффициентом трения к ле-
жит тело массой М. Нарисовать график зависимости силы тре-
ния, действующей на тело, в зависимости от угла наклона а
наклонной плоскости.
18
ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕХАНИКИ
[Гл. I
Рис. 10
2.9. * Найти ускорение куба (рис. 10).
Масса клина Л?, масса куба -т. Угол
клина а. Трение отсутствует
2.10. * На столе стоит клнн массой
М с углом а при основании. По клину
едет кубик массой т. Найти ускорение
клина. Трение отсутствует.
2.11. * На столе стоит клин массой
М с углом а при основании. По клину
без трения едет кубик массой т. Ка-
кой минимальный коэффициент трения
должен быть между столом и клином,
чтобы клин покоился?
2.12.* Определить ускорение
также силу натяжения нитей в
тп\ = т2+тз- Массой блока и
ствует.
грузов массы m2 и 7п3, а
системе блоков на рис 11, если
нитей пренебречь. Тррние отсут-
2.13. * Система блоков с грузами состоит из двух неподвижных
блоков и одного подвижного (рис 12). Через блоки перекинута
нерастяжимая нить, на концах которой подвешены грузы с масса-
ми mi и ш3, а к оси подвижного блока подвешен груз массы т2-
Определить ускорение каждого из грузов, если массой блоков и
нити, а также трением можно пренебречь.
2.14. * Определить ускорение грузов в системе блоков, изобра-
женной на рис. 13. Массой блоков, нитей н трением можно
пренебречь В какие стороны вращаются блоки?
2.15. * Невесомая нерастяжнмая нить, перекинутая через непо-
движный блок, пропущена через щель (рис. 14). При движении
нити на нее со стороны щели действует постоянная сила трения /.
ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
19
На концах нити подвешены грузы пц и пц. Определить ус коренна
грузов.
2.16/ Обезьяна массы т уравновешена противовесом на бло-
ке А. Блок А уравновешен грузом массы 2т на блоке В. Систе-
ма неподвижна. Как будет двигаться груз, если обезьяне начнет
равномерно выбщжгь веревку со скоростью и относительно себя.
Массой блоков и трением пренебречь.
2.17/ Камень, пущен-
ный по поверхности льда
со скоростью V s= 3м/с,
прошел до останонк и рас-
стояние s = 20,4 м. Най-
ти коэффициент трешня к
камня о лед.
2.18/ Вдоль наклон-
ной плоскости с углом О’
бросили тело со скоро-
стью V- Поднявшись на максимальную высоту, село начинлег
возвращаться к начальному положению. Коэффициент трения
тела о плоскость Аг. Определить скорость тела после возвраще-
ния в исходное состояние, а также интервал времени AZ между
начатом движения и концом
2.19/ По наклонной плоскости с углом наклона о начина-
<*! двигаться монета с начальной горизонтальной скоростью v
(рис. 15). Определить установившуюся скорость монеты, если
коэффициент трения Ai — tgO-
20
ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕХАНИКИ
(Гл. I
2.20. Человек массой т = 60 кг. бегущий со скоростью v =
— 8 км/ч, догоняет тележку массой М = 80 кг, движущуюся со
скоростью и = 2,9 км/ч, и вскакивает на нес. С какой скоростью
будет двигаться тележка? С какой скоростью будет двигаться
тележка, если человек бежал ей навстречу?
2.21. Снаряд массой т = 100 кг, летящий горизонтально со
скорое вью и = 500 м/с, попадает в нагон с песком, масса которого
М = Ют, и застревает в нем. Какова скорость движения ваго-
на после попадания снаряда если: а) ваши стоял неподвижно;
б) вагон двигался со скоростью и = 36 км/ч в том же направле-
нии, что и снаряд; в) вагон двигался с и = 36 км/ч в направлении,
противоположном движению снаряда?
2.22. Граната, летящая со скоростью v = 10 м/с, разорвалась
на два осколка. Ьблыний осколок, масса которого составляла 0.6
массы всей гранаты, продолжал двигаться в том же направлении,
но с увеличенной скоростью и = 25 м/с. Найти скорость меныпего
осколка
2 23. Тело массой т = 1 кг, движущееся горизонтально со ско-
ростью и = 1м/с, догоняет второе тело массой Af = 0,5 кг и пе-
упруто сталкивается с ним Какую скорость получат тела, если:
а) второе тело стояло неподвижно; б) второе тело двигалось со
скоростью и = 0,5 м/с в гом же направлении, что и первое тело;
в) второе тело двигалось со скоростью и = 0.5 м/с в направлении,
противоположном направлению движения первого тела.
2 24Л На покоящееся тело массы ?п налегает со скоростью
v тело массы М. Сила, возникающая при взаимодействии тел,
линейно растет во времени до значения Fq за время f0, а затем
равномерно убывает до нуля за такое же время f0. Определить
скорость тел после взаимодействия, считая, что все движения
происходят по одной прямой.
2.25. * При /9-распаде покоящегося первоначально нейтрона
образуется протон, электрон и нейтрино. Импульсы протона
и электрона pi и р?» угол между ними о. Определить импульс
нейтрино»
2.26. * Радиоактивное ядро распалось на три осколка массы
mi, 7712 и гпз, имеющих скорости U2 и из соответственно.
Какова была CKOjxKTb ядра до распада?
2.27. * Однородная цепочка одним концом подвешена на нити
так, что другим она касается поверхности стола. Нить пережига-
ют Определить зависимость силы давления цепочки па стол от
длины еще не упавшей ее части. Удар звеньев о стол неупругий,
масса пеночки ш, ее длина I
2 28.* С какой силой давит на землю кобра, когда она, го-
товясь к прыжку, поднимается вверх с постоянной скоростью V.
Масса змеи тп, ее длина I
2 29.* Лягушка массы т сидит на конце доски массы М и
длины L Доска плавает ио поверхности пруда. Лягушка прыгает
§*l
ДИНАМИКА МА ТЕРМАЛЬНОЙ ТОЧКИ
21
пол углом а к горизонту вдоль доски. Какой должна быть
начальная скорость лягушки, чтобы она оказалась после прыжка
на противоположном конце доски?
2.30 ." Решить предыдущую задачу, если доска и лягушка сно-
ся гея течением со скоростью и и лягушка прыгает но направле-
нию против течения
2.31 / Решить задачу 2.29, если доска испытывает при своем
движении постоянную силу сопротивления F воды
2.32 . Мяч, летящий со скоростью г0 = 15 м/с, отбрасывается
ракеткой в противоположную сторону со скоростью =20 м/с.
Найти изменение импульса, если изменение кинетической эноргии
ДЖ = 8,75 Дж.
2.33 / Сила F = l,5yt + 3x2j —0,2 (z2 4- у2) к действует на мате-
риальную точку массой тп = 1 кг. При t = 0 положение частицы
описывается радиус-вектором rfc = 2t + 3j, и опа движется со
скоростью йэ = 2 j + к
Найдите для t = 0;
а) силу, действующую на частицу;
б) ускорение частицы;
в) ее кинетическую энергию
2.34/ Потенциальная энергия частицы имеет вид: a) U = а/г,
kr2
б) U = -у-, где г — модуль радиус-вектора частицы; о и к
константы. Найти силу А действующую на частиц)’, работу,
совершаемую этой силой над частицами при се переходе из точки
с коордннахамн (1,2,3) в точку (2,3,4).
2.35/ Потенциальная энергия частицы, находящейся в цент-
рально-симметричном силовом поле, имеет нид
U = где а и Р—константы
Найти силу, действующую на частицу. Имеется ли у этой ча-
стицы положение устойчивого равновесия? Нарисовать крипую
зависимости U от г и F от г. Будет ли движение частицы
финитным, если ее полная энергия F= —10*1 Дж?
_ 2.36/ Частица массы т находится и силовом поле вида
F = — ^ё*г, а > 0,— константа, г—модуль, а ет— орт радиус-век-
тора частицы. Частицу поместили п точку с радиус-вектором fo
и сообщили ей начальную скорость tfo, перпендикулярную к го.
По какой траектории будет- двигаться частица?
2.37/ При каком условии траекторией частицы н< предыдущей
задачи будет окружность?
2.38. Вагон массой ш = 20 г, двигаясь равиозамедлеппо с на-
чальной скоростью vo =54 км/ч, под действием силы трения
F = 6 кН через некоторое время останавливается. Найти работу
силы трения и расстояние, которое вагон пройдет до остановки.
22
ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕХАНИКИ
|1л. I
2 39 * Решить предыдущую задачу, полагая, что тормозящая
сила изменяется < расстоянием по закону b = —ах, а = 100 Н/м
2 40 Камень массой тп = 1 кг брошен вертикально шкцж с
начальной скоростью vq =9,8 м/с. Построить график зависимости
от времени кинетической W*, потенциальной lVn и полной И7
энергий камня для интервала времени 0 t $ 2с.
2.41 В условиях предыдущей задачи построить график зави-
симости от рассголния кинетической ИЪ, потенциальной И7П и
полной И7 энергий камня
2.42. Камень брошен со скоростью ио = 15 м/с иод углом
а = 60° к горизонту. Найти кинетическую И\, потенциальную И7П
и полную энергии камня: а) через время t = 1 с после начала дви-
жения: б) в высшей точке траектории. Масса камня ш = 0,2 кг.
2.43. * На столе лежат карманные часы с цепочкой. Какую
минимальную работу надо совершить, чтобы оторвать часы от
стола, поднимая их за цепочку? Цепочка имеет длину L и
массу тп, масса часов Л/, диаметр часов d.
2.44. * Санки движутся но горизонтальному льду со скоростью
и = С) м/с, л затем выезжают на дорожку с песком Длина
полозьев санок I = 2 м, коэффициент трения санок о песок к = 1,0.
Какой путь пройдут санки до полной остановки?
2.45. * Санки начинают соскальзывать с вершины наклонной
ледяной горки с углом наклона а = 30° к горизонту. Длина
спуска L — Юм, коэффициент трепня к = 1,0. Какой путь
пройдут санки до полной остановки?
2.46 " Тело соскальзывает без начальной скорости с вершины
циклонной плоскости с углом наклона а к горизонту. Коэффици-
ент трения k между телом и наклонной плоскостью изменяется
с увеличением расстояния х от вершины наклонной плоскости но
закону к = Ло х. Тело останавливается, нс дойдя до конца на-
клонной плоскости. Найти путь, пройденный телом до остановки.
2.47. * Тело массы тп = L кг скользит без трения но гладкому
горизонтальному столу и въезжает на подвижную горку массы
Л/ = 5кг. Высота горки Н = 1,2 м. Трение между горкой и сголом
отсутствует. Найти конечные скощюти тела и горки Начальная
скорость тела Vq = 5 м/с.
2.48. * .Лепта горизонтального транспортера движется со ско-
ростью и = 0,5 м/с. На ленту, касаясь ее, влетает шайба с
начальной скоростью и© = 2,1м/с, перпендикулярной краю лен-
ты. Найти ширину ленты, при которой шайба остановится па се
краю, если коэффициент трения между шайбой и лентой к = 0,75.
2.49. ‘ Два одинаковых шарика налетают друг на друга со
скоростями щ и «ь под углом о и разлетаются после абсолютно
упругого удара со скоростями Uj и йэ. Найти угол 0 разлета
частиц после соударения
§2]
ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
23
2.50. * Определить скорости шаров после абсолютно упругого
центрального удара, если массы шаров mi и тг, а их скорости
ДО удара ?Т| И Ц». Указание: :н\дпчу ршпип. и л-системе (лабораторной)
и ц-системе (система центра масс).
2.51. * В каких случаях ц-система инерциальная, а в каких
ист?
2.52. * Тяжелая частица массы сталкивается с покоящейся
легкой частицей массы m2 На какой наибольший угол может
отклониться тяжелая частица в результате упругого улара?
2.53/ Частица массы mj налетела со скоростью v па непо-
движную частицу массы m2, которая после упругого удара по-
летела под углом а к первоначальному направлению движения
налетающей частицы. Определить скорость частицы тп2 после
удара.
2.54 * Атом массы т в возбужденном состоянии имеет вну-
треннюю энергию, большую, чем в основном состоянии, на Е.
При какой наименьшей энергии электрон с массой те может
возбудить первоначально покоившийся атом?
2 55.* Два тела массы mi и m2 подвешены на нитях одинако-
вой длины, имеющих общую точку крепления Нити отклоняют в
разные стороны на один и тот же угол и после этого отпускают.
При ударе тела слипаются Определить отношение высоты, на
которую тела поднимутся после слипания, к высоте, с которой
они начали свое движение вниз.
2.5в. " Пуля, летящая горизонтально, попадает в шар, под-
вешенный на невесомом жестком стержне, и застревает в нем.
Масса пули в 1000 раз меньше массы шара. Расстояние от центра
шара до точки подвеса стержня I = 1м. Найти скорость пули,
если известно, что стержень отклонится после удара нули на
угол о = 10°.
2.57. * Нить длины I с шариком массы ш на конце отклонили от
вертикали на 90° и отпустили. На каком наименьшем расстоянии
под точкой подвеса нужно поставить гвоздь, чтобы нить, налетев
на него, порвалась? Нить выдерживает силу натяжения Т
2 58.* Бассейн площадью S = 100м2, заполненный водой до
уровня h = .1м, разделен пополам вертикальной пере1\>родкой.
Перегородку медленно не|>сдв»и;ш)т в горизонтальном направле-
нии так, что она делит бассейн в отношении 1 : 3 Какую для
этого нужно совершить работу? Вода через нцрегородку не про-
никает и из бассейна не уходи г. рп = 103 кг/м3
2.59. ’ Две частицы с массами т и 2m, имеющие импульсы р и
р/2, движутся во взаимно перпендикулярных направлениях. По-
сле соударения частицы обмениваются импульсами. Определить
потерю механической энергии при соударении.
24
ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕХАНИК И
1Г.1. I
2.60. Акробат прыгает на сетку с высоты Л = 8 м. На какой
предельной высоте над полом надо натянуть сетку, чтобы акробат
на ударился о иол при прыжке? Известно, что сетка прогибается
на хо = 0,5м,‘если акробат прыгает на нее с высоты =0,5м.
2о61 Груз массой тп = 1 кг падает на чашку весов с высоты
h = 10 см. Каковы показания весов F в момент удара, цели после
успокоения качаний чашка опускается на то = 0,5 см.
2.62. С какой скоростью двигался вагон массой т = 20т, если
при ударе о стейку каждый буфер сжался на zc = 10 см? Жест-
кость пружины каждого буфера к — 1МН/м.
2.63. К нижнему концу пружины жесткости А[ присоединена
пружина жесткости А“2, к концу которой подвешен груз. Прене-
брегая массой пружины, определить отношение их потенциальных
энергий
2.64. На двух параллельных невесомых пружинах одинаковой
длины висит невесомый стержень длиной L = 10 см. Жесткость
Пружины £| =2П/м и &2 = ЗН/м. В каком месте стержня надо
подвесить груз, чтобы стержень оставайся горизонтальным?
2.65 Резиновый мяч массой т = 0,1кг летит горизонтально
и ударяется о неподвижную вертикальную стенку. За время
= 0,01с мяч сжимается на А/ = 1.37 см, такое же время At
затрачивается на восстановление первоначальной формы мяча
Найти среднюю силу, действующую на стенку во время удара.
2.66. Гиря массой тп = 0,5 кг, привязанная к резиновому шнуру
.длиной /о, описывает в горизонтальной плоскости окружность,
частота вращения гири п = 2об/с. Угол отклонения резинового
шнура от вертикали а = 30°. Жеп-косгь шнура А” = 0,6 кН/м.
Найти длину нерастянутого резинового шнура.
2 67.* Тело .массы т падает с высоты Н на стоящую верги
кально на полу пружину жесткости А и длины / Определить
максимальную скорость тела, наибольшую силу давления на пол.
2 68.* По гладкому горизонтальному проволочному кольцу мо-
гут без трения скользить две бусинки массами т.\ и гп2. Вначале
бусинки были соединены ниткой и между ними находилась сжатая
пружина. Нитку пережигают. После того как бусинки начали
движение, пружинку убирают. В каком месте кольца бусинки
столкнутся в 5-й раз? Столкновения бусинок абсолютно упругие.
Массой пружины можно нрииебричь.
2.69. * В детском пистолете шарик кладут на пружинку, укре-
пленную внутри ствола. Пружинку сжимают на длину А/ = 5 см.
а потом отпускают, направив ствол вертикально вверх. Шарик
взлетает на высоту Н = 0,5 м. Какое максимальное ускорение
приобрел шарик? Шарик отрывается от пружины в тот момент,
когда она полностью распрямится. Трен нем о сопротивлением воз
духа и массой пружины пренебречь.
5»]
ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
25
2.70. * Детский пружинный пи- ____________________- ,
столет выстреливает шариком со у
скоростью V (рис. 16) = Если вы- > 0 0 <3 6 0 д <Э 4*3/
стрелить шариком вдвое большей
массы то скорость уменьшится до рис ю
^/2/3 н. Какова будет скорость
вылета шарика тройной массы? Указание: учесть массу пружины.
2.71. * На горизонтальной плоскости лежат два бруска массы
т\ и т2, соединенных недеформироваиной пружиной. Опреде-
лить, какую минимальную силу нужно приложить к первому
бруску, чтобы сдвинулся и второй, если коэффициент трения
брусков о пол к.
2.72. * На краю стола высоты h лежит маленький шарик мае
сы А/. В пего попадает нуля массы т, лстявцая горизонтально
со скоростью v, направленной в центр шарика. Пуля застревает
в шарике. Па каком расстоянии от стола по горизонтали шарик
упадет на землю?
2.73. * Тележка массы Л/ вместе с человеком массы ш дви-
жется со скоростью и Человек начинает идти с постоянной
с кор ск тью вдоль тележки в том же направлении. При какой ско-
рости чсуювска относительно тележки она остановится? Трением
между* колесами тележки и землей пренебречь.
2.74. * С какой по величине и направлению скоростью должен
прыгнуть человек массой т, стоящий на краю тележки массой
А/ и длиной Z, чтобы попасть на другой ее конец к момен-
ту остановки тележки Коэффициент трения тележки о землю
равен к.
2.75. * Мешок с песком сползает без начальной скорости с
высоты Н по гладкой доске, наклоненной пол углом сл = 60°
к горизонту. После спуска мешок попадает на горизонтальный
пол. Коэффициент трения мешка о пол к — 0^7. Где. остановится
мешок?
2.76. * Мешок с песком сползает без начальной скорости с
высоты Н = 2 м по доске, наклоненной под углом п — 45° к го-
ризонту. После спуска мешок попадает на горизонтальный пол.
Коэффициент трения мешка о доску и иол одинаковы и равны
к =? 0,5. На каком расстоянии от конца доски остановится мешок?
2.77. * Стальной шарик скользит без трения по гладкому полу
и налетает на шероховатую стену так, что его с.ко|к>сть составляет
угол v? с нормалью. Каким должен быть угол чтобы шарик
отскочил перпендикулярно к плоскости стены? Коэффициент
трения между шариком и стеной к.
2.78. Стальной шарик массой т = 20 г, палая с высоты 1м
на стальную плиту, отскакивает от нее на высоту II = 81см.
Найти: а) импульс силы, действовавшей на плиту в момент удара;
б) количество теплоты, выделившейся при ударе.
26
ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕХАНИКИ
[Гл. >
2.79. На шар массы тп2, лежащий на гладкой горизонтальной
поверхности, налегает другой шар массы mi, движущийся го-
ризонтально. Между шарами щюисходит упругий центральный
удар. Построить график зависимости доли передаваемой энергии
от отношения масс ша|юн
2.80. * Два одинаковых гладких шарика летят навстречу друг
другу со скоростями v и 2v, причем прямые, проходящие через
////< центры каждою из шариков в направлении их дви-
жения, касаются другого шарика. Найти, под ка-
ким углом к первоначальному направлению будет
двигаться первый шар после соударения
2.81. * Два шарика с массами mi и т2 одно-
; временно начинают соскальзывать навстречу друг
другу без трения н вращения с двух горок однна-
X ковой формы и высоты Н. На какую высоту под-
vJL нимугся слипшиеся шарики, если удар абсолютно
{ неупругий
и 2.82.* На длинной нити подвешен шарик мас-
Лу- > сы шь к которому на нити длиной I подвешен
шарик массы т? (рис. 17) Какую начальную ско-
Гис. 17 рость в горизонтальном направлении нужно сооб-
щить нижнему шарику, чтобы соединяющая шарики
нить отклонилась до горизонтального положения?
2.83.* Брусок массы иц лежит на
горизонтальной плоскости. На брус- ---1
ке лежит тело массы т2 (рис. 18). I____I f
Коэффициент трения между телом | /Я| —>
и бруском, а также между бруском ^/////////////////////г
и плоскостью, равен к. Исследовать рис 18
движение при различных значениях
силы F, приложенной к бруску в горизонтальном направлении.
2.84.* Брусок массы mi лежит на гладкой горизонтальной
плоскости, по которой он может двигаться без трения На бруске
т
Рис. 19
лежит тело массы т2 (рис. 18). Ко-
эффициент тройня между ним и брус-
ком равен к. При каком значении си-
лы F, приложенной к бруску в гори-
зонтальном направлении, тело начнет
скользить по бруску? Через сколько
времени тело упадет с бруска? Дли-
на бруска I Трение между бруском
и плоскостью отсутствует.
2.85 * На конце доски длины I и массы Af находится малень-
кий брусок массы m (рис 19). Доска может скользить без трения
по горизонтальной плоскости. Коэффициент трения скольжения
S 21
ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
27
бруска о поверхность доски равен к. Какую горизонтальную ско-
рость ио нужно толчком сообщить доске, чтобы она выскользнула
in-под бруска?
2.86. * Два шарика с массами mi и т2- связаны пружинкой
длиной I и жесткостью k. Шарику массы т> сообщили скорость
г» вдоль линии их центров. На какое максимальное расстоя-
ние удаляются шарики друг о г друга при движении? Трение
отсутствует.
2.87/ На гладком столе лежат два шарика массой М каждый,
скрепленные пружиной длиной I с коэффициентом жесткости к.
Одному hi шариков сообщили скорость а в направлении, перпен-
дикулярном прямой, соединяющей их центры. Определить эту
скорость, если известно, что при движении пружинка растягива-
лась на максимальную длину Ь.
2.88/ На гладком столе лежат два одинаковых шарика мае
сой М каждый. Шарики скреплены гибкой упругой нитью дли-
ной /, нить вначале не натянута. Одному из шариков сообщили
скорость v вдоль прямой, соединяющей их центры. Нарисовать
графики зависимости скорости каждого из шариков в зависимо-
сти аг времени. Нарисовагь аналогичный график для скорости
центра масс.
2.89. * Два тела с массами етц и соединены переформи-
рованной пружиной жесткости к. Затем к телам одновременно
приложили противоположно направленные силы F. Пайги мак-
симальную кинетическую энергию тел и максимальную потен-
циальную энергию пружины. Какова наибольшая относительная
скорость тел?
2.90/ Полная кинетическая энергия системы тел складыва-
ется из энергии движения центра масс и кинетической энергии
движения тел относительно центра масс. Докажите это.
2.91/ Вдоль неподвижного пластилинового бруска модем m
приложили постоянную силу F. За время I действия силы конец
бруска, к которому она приложена, сдвинулся в направлении
действия силы на расстояние L На сколько возросла внутренняя
энергия бруска за это же время?
2.92/ Два тела с массами пц и ш2 имеют внутренние энергии
И’! и И 2 и скорости центров масс и Какова внутренняя
энергия системы этих тел, если потенциальной энергией их вза-
имодействия между собой можно пренебречь? Изменится .пи эта
энергия после столкновения их друг с другом и последующего
разлета?
2 93/ Частица массы 2m, летевшая го скоростью и и имевшая
внутреннюю энергию Ил распалась на два осколка одинаковой
массы m с одинаковыми внутренними энергиями И| Найти
максимально возможный угол разлета осколков, если известно,
что лиг > IFq.
2ft
ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕХАНИКИ
(Гл. 1
2.94. * Два одинаковых шара, лежащих на горизонтальной по-
верхности на расстоянии 21 друг от друга, связаны нитью длины
21, за середину которой стали тянуть вверх с постоянной силой F.
Найти приращение внутренней энергии к моменту первого удара.
2.95. На какую часть уменьшается вес тела на экваторе вслед-
ствие вращения Земли?
2.96. Трамвайный вагон массой тп = 5 т идет но закруглению
радиусом R = 128м. Найти силу бокового давления F колее на
рельсы при скорости движения и = 9км/ч.
2.97. Ведерко с водой, привязанное к веревке длиной I = 60см,
равномерно вращается в вертикальной плоскости. Найти наи-
меньшую скорость вращения, при которой вода не выливается
из ведерка в верхней точке траектории. Какова сила натяжения
веревки при этой скорости вращения в верхней и нижней точках
окружности? Масса ведерка с водой ?п = 2кг.
2.08. Камень, привязанный к веревке, равномерно вращается
в вертикальной плоскости. Найти массу камня, если разность
между максимальной и минимальной силами натяжения веревки
ДТ=10Н
2.99. Гирька массой m = 50 г вращается в горизонтальной плос-
кости на нити длиной I = 25см Частота вращения п = 2об/с.
Найти силу натяжения нити Т.
2 100. Диск вращается вокруг вертикальной оси, проходящей
через его центр с частотой п = 30об/мин. На расстоянии г = 20 см
от оси вращения лежит тело. Каким должен быть коэффициент
грения тела о диск, чтобы оно не скачилось с диска?
2.101. Самолет, летящий со скоростью v = 900 км/ч додает
«мертвую петлю» Каким должен быть радиус петли, чтобы
наибольшая сила, прижимающая летчика к сидспию была равна:
а) пятикратной силе тяжести, 6) десятикратной?
2.102. Мотоцикл ист едет но горизонтальной дороге со скоро-
стью v = 72 км/ч, делая поворот радиусом R = 100м. На какой
угол а при этом он должен наклониться, чтобы не упасть при
повороте?
2.103. * Шары, массы которых m и М, связаны нерастяжимой
нитью, пропущенной через отверстие в столе. С какой скоростью
должен двигаться шар массы М по окружности радиуса Л, чтобы
нижний шар был неподвижен?
2.104. * На гладкой массивной полусфере радиуса R лежит
малая монета. От небольшого толчка монета начинает скользить
вниз. На какой высоте она покинет полусферу?
2.105. * Цилиндр диаметром D заполнен водой и расположен
горизонтально. С какой скоростью и перемещается в цилиндре
поршень, если на него действует сила F, а из отверстия в дне
цилиндра вытекает струя диаметром d7 Трением пренебречь.
Силу тяжести не учитывать. Плотность жидкости р.
$2)
ДИНАМИКА МАТЕРИ АЛ ЫЮЙ ТОЧКИ
29
2.106. * Жесткий невесомый стержень длиной L вращается во-
круг одного из концов с постоянной угловой скоростью (J Посре-
дине на стержень насажена масса ш, а на конце — Л/. С какими
силами эти массы действуют* на стержень?
2.107. * Однородный стержень длиной L и массой М вращается
равномерно вокруг одного из концов с угловой скоростью и.
Определить силу натяжения стержня в зависимости от расстояния
до центра вращения и нарисовать график этой зависимости.
2.108. * Сфера радиусом R = 2 м равномерно вращается вокруг
оси симметрии с частотой ЗОмип**1. Внутри сферы находится
шарик массой тп = 0,2 кг. Найти высоту, соответствующую поло-
жению равновесия шарика относительно сферы, и силу реакции
сферы N.
2.109. * Внутри конической поверхности, движущейся с ускоре-
нием а, направленным горизонтально вдоль прямой, совпадающей
с высотой конуса, вращается шарик по окружности радиусом R
Определить период движения шарика по окружности. Угол при
вершине конуса 2п
2.110. * Тонкое резиновое кольцо массой m — 6 г надето на
горизонтальный диск радиуса R = 5 см. Сила натяжения коль-
ца Т = 0,1Н. Коэффициент трения между
кольцом и диском k = 0,25. При каком
числе, оборотов в секунду кольцо спадет с
диска?
2.111. Невесомый стержень может вра-
щаться в вертикальной плоскости относи-
тельно точки О. На стержне укреплены
на расстояниях rj и г? от точки О гру-
зы с массами пц и т? (рис. 20). Стер-
жень отпущен без начальной скорости из
положения, составляющего угол а с вер-
тикалью. Определить линейную скорость
грузов в момент, когда стержень занимает
вертикальное положении.
2.112 * Металлическая цепочка длины
I = 62,8 см, концы которой соединены, на-
сажена на деревянный диск. Диск вращается с частотой 60 с“х.
Определить силу натяжения цепочки, если ее масса m = 40 г.
2.113. * По резиновой трубке, свернутой в виде кольца, цирку-
лирует со скоростью v вода. Радиус кольца R, диаметр трубки
d 4с R. С какой силой растянута трубка?
2.114. * Из тонкого резинового жгута массы Л/ и жесткости к
сделали кольцо радиуса Rq. Это кольцо раскрутили вокруг его
оси Найти новый радиус кольца, если угловая скорость его
вращения равна ы.
2.115. * Горизонтальный диск начинают раскручивать вокруг
его оси с угловой скоростью, возрастающей со временем по зако-
ну oi = at2, где а — константа. При какой угловой скорости тело,
Рис. 20
зи
ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕХАНИКИ
(Гл. I
расположенное на расстоянии г от оси диска» начнет соскальзы-
вать с него, если коэффициент трения между ними равен А'?
2 116.* Через блок, укрепленный на краю гладкою стола, пе-
рекинута веревка, соединяющая грузы с массой тп и М (рис. 21).
Стол движется вверх с ускорением. Найти ускорение груза т.
Трением и массой блока пренебречь.
2.117.* Решить предыдущую задачу при условии, что стол
движется вертикально вниз с ускорением И” < д.
2.118.* Груз массы М находится на столе, который движется
горизонтально с ускорением W (рис. 22). К грузу присоединена
нить, перекинутая через блок. К другому концу нити подпитан
груз массы 7п. Найти силу натяжения нити и ускорения грузов.
Рис 22
2 119.* Через невесомый блок перекинута веревка с грузами
массой тп и М. Блок движется вверх (вниз) с ускорением
Пренебрегая трением на блоке, найти давление блока на ось,
силу натяжения веревки и ускорения грузов.
2.120.* Через блок, укрепленный на краю гладкого стола,
перекинута варенка, соединяющая грузы массой mi, тп* и тп$
(рис. 23). Определить ускорения грузов системы и силу натяже-
ния нитей. Трение отсутствует^ блоки невесомые.
2.121.* Стержень СМ вращается относительно верти калькой
оси ОВ с угловой скоростью и?. Угол между осью и стержнем а
(рис. 24). По стержню без трения скользит муфта массой М,
связанная с точкой О пружиной жесткости В педсформ кроват-
ном состоянии длина пружины /о Определить положение муфты
при вращении
2.122.* По поверхности вращающегося с угловой скоростью w
диска из центра по радиусу начинает ползти жук Расстояние от
жука до оси вращения зависит от времени как т — at2. Опреде-
лить ускорение жука как функцию времсни-
2 123.* Частица массы m = Юг перемещается но диску, враща-
ющемуся с угловой скоростью U) = 10рад/с. из точки, отстоящей
от оси вращения на расстояние К\ — 1м, в точку, отстоящую на
расстояние ft? = 2 м. Какую при этом работу А совершают над
частицей силы инерции?
5>l
ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
31
2.124. * По диску вращающемуся с угловой скоростью и, дви-
жется равномерно на неизменном расстоянии от оси вращения
частица. Найти мгновенные значения:
а) скорости частицы v относительно диска, при которой сила
Кориолиса будет уравновешиваться центробежной силой инерции.
Выразить v* через мгновенное значение радиус-вектора, прове-
денного из центра диска;
б) скорость частицы v относительно неподвижной системы от-
счета при тех же условиях.
2.125. * Через блок, масса которого равна нулю, перекинут
шнурок. На одном конце шнурка привязан груз массой пи, по
другому скользит кольцо массой пг? с постоянным относительно
шнурка ускорением а. Найти ускорение груза пи и силу трения
кольца о шнурок. Массой шнурка пренебречь и считать, что груз
mi опускается
2.126. Вода течет по трубе диаметром d = 0,2 м, расположен-
ной в горизонтальной плоскости и имеющей закругление радиусом
Я = 20 м. Найти боковое давление воды Р, вызванное центро-
бежной силой. Расход воды через поперечное сечение составляет
mi = 300 т/ч
2.127. Вычислить гравитационную постоянную G, зная ради-
ус земного шара R, среднюю плотность земли р и ускорение
свободного падения д у поверхности Земли
2.128. Определить лнбрациомную точку Земли, т.е. точку про-
странства, в которой материальное тело одинаково притягивается
Землей и Луной
2 129. Найти первую космическую скорость Ui, т.е. скорость,
которую необходимо сообщить телу, чтобы оно стало обращаться
вокруг Земли по круговой орбите.
2.130. Найти вторую космическую скорость V2, т.е. скорость,
которую необходимо сообщить телу чтобы оно преодолело земное
притяжение и навсегда удалилось от Земли.
32
ФИЗИЧЕСКИЕ ОС ПО I И.1 МЕХАНИКИ
(Гл. I
2.131 Найти линейную скорость v движения Земли по круго-
вой орбите.
2.132. Найти зависимость периода обращения Т спутника, вра-
щающегося но круговой орбите от средней плотности планеты р.
2.133. Найти центростремительное ускорение, с которым дви-
жется по круговой орбите спутник Земли, находящийся на высоте
h — 200 км от поверхности.
2 134. Искусственный спутник Земли движется по круговой
орбите в плоскости экватора с запала на восток. На какой
высоте Л над поверхностью должен находиться спутник, чтобы
быть неподвижным относительно земного наблюдателя?
2.135. * Найти изменение ускорения свободного паления при
«опускании» тела на глубину х. Построить график этой зависи-
мости. Как при этом меняются сила и потенциальная энергия
гравитационного взаимодействия тела н Плотность Зе-
мли р считать постоянной
2.136. * Две звезды с массами тп\ и т? образуют двойную
систему с неизменным расстоянием Л между звездами. Каков
период обращения звезд вокруг общего центра масс?
2.137. Кинетическая энергия спутника на круговой орбите рав-
на IV*. Чему равна его потенциальная энергия?
2.138. * Скорость спутника в перигее равна t> при расстоянии
до центра Земли, равном г Какова скорость спутника в апогее?
Каково расстояние от него до центра Земли в этом случае?
2.139. * Планета движется по эллипсу, в одном из фокусов
которого расположено Солнце. Принимая во внимание работу
силы тяготения, указать в какой точке траектории скорость
планеты будет максимальной и в какой минимальной.
2.140. * В воде имеются два пузырька воздуха радиуса г. При-
тягиваются или отталкиваются пузырьки? Какова их сила взаи-
модействия? Расстояние между пузырьками R. Плотность коды р.
2.141. * На прямой, перпендикулярной к оси тонкого однород-
ного стержня и проходящей через его центр, находится частица
массы т. Длина стержня Z, его масса Л/, расстояние до «части-
цы L. Найти модуль А’ силы, с которой стержень действует на
частицу (исследовать случай L Г).
2 142.* Решить прелыдуп^ую задачу, полагая, что I = L = 2а.
2.143. * Имеется тонкое кольцо радиусом R. Радиус проволоки
равен г, нлотнееггь материала проволоки р. Найти силу F(x), с
которой это кольцо притягивает материальную точку массы тп,
находящуюся на оси кольца на расстоянии х от его центра. Най-
ти потенциальную энергию U (х) частицы и кольца. Построить
графики F (ж) и U (х).
2.144. * Имеется гонкий однородный диск радиуса Л. Поверх-
ностная плотность диска равна а (кг/м2). Па прямой, проходящей
через центр диска перпендикулярно к нему, на расстоянии х на-
ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
33
ходится частица массы т. Найти: а) силу F, с которой диск
притягивает частицу: б) потенциальную энергию U (х) взаимодей-
ствия частицы и дигкл.
2.145? Имеется бесконечная тонкая нить с линейной плотно-
стью равной А (кг/м). На расстоянии х от се осн находится
частица массы т. а) Найти модуль силы F. действующей на
частицу со стороны нити, б) Частица какой массы Л/, находясь
от частицы т на расстоянии х, действовала бы на нее с такой
же силой?
2.146. * Определить силу грани гпции F дейстнукицую на ча-
стицу массы гп, помешенную внутрь однородной сферы радиуса
R и массы А/ в точку, отстоящую па х от центра, сферы.
2.147. ’ Однородный тонкий слой в виде полусферы притяги-
вает частиц)- массы гл, находящуюся в центре полусферы. Ее
радиус R> масса Л/ Пай-ш гравитационную силу F взаимодей-
ствия слоя и частицы
2.148. * В свинцовом шаре с радиусом К слизана сфериче-
ская полость, смешанная относительно центра шара на вектор г^.
Плотность шара р. Найти ускорение свободного падения в поло-
сти.
2.149. ’ Пространство заполнено материей, плотность которой
изменяется по закону Р = Ро/Г? ГДС Ро— константа, г — расстояние
от начала координат. Найти напряженность грани гапноиного поля
как функцию радиус-век гора г. Нарисовать линии напряженности
гравитационного ноля.
2.150.* Внутри шара с радиусом R и плотностью р имеет-
ся сферическая полость радиусом Л/4. Центр се находится на
расстоянии /?/4 от точки
С — центра шара, на ли-
нии PC у соединяющей С с
точкой Р. которая находит-
ся на расстоянии х от по-
верхности шара (рис. 25).
Найти ускорение свободно-
го падения а и точке Р.
2.151 * Искусственный
Рис. 25
спутник Земли запущен с экватора и движемся по круговой орби-
те в плоскости экваюра в направлении вращения Земли. Найти
отношение, радиуса орбиты спутника к радиусу Земли при усло-
вии, что спутник пер поди чес к и ран в двое суток проходит над
точкой запуска. Радиус Земли 6400км, ^ = 9,8 м/с2. Т = 24ч.
2.152. * Вычислить радиус круговой орбиты стационарного
спутника Земли, который остается все время неподвижным от-
носительно ее поверхности. Каковы его скорость и ускорение
и инерциальной системе отсчета, связанной в данный момент с
центром Земли? Масса Земли и период ее обращения вокруг
собственной оси известны.
$4
ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕХАНИКИ
(Гл I
2.153. * В начальный момент ракета имеет массу вместе с го-
рючим то, а ее скорость равна нулю Затем она движется в
отсутстние внешних сил, испуская непрерывную струю газа со
скоростью 17. постоянной относительно ракеты. Найти скорость
ракеты в момент, когда ее масса равна т.
2.154. * Ракета движется н отсутствие внешних сил с постоян-
ным ускорением w. скорость истечения газа относительно ракегы
постоянна и равна и. Масса ракеты в начальный момент равна
то- Найти закон изменения массы ракеты со временем.
2.155. * Вагонетка с носком движется под действием постоянной
силы F. В начальный момент времени масса вагонетки с песком
гпд. а ее скорость равна пулю В днище вагонетки имеется
дыра, через которую песок высыпается со скоростью потери массы
/а кг/с. Найти скорость и ускорение вагонетки как функции вре-
мени L
§ 3. Вращательное движение твердых тел
Момент силы относительно неподвижной точки О
Л7 = г х F,
г — радиус-вектор, проведенный из точки О в точку приложения силы А
Момент импульса материальной точки относительно неподвижной точки О
L = fxft
г—радиусвектор, »роведеш1ы11 и» точки О к материальной точке
Закон изменения момента импульса
(iLr — Af
-gj- ™ Л<В1ГГВ»М,
Л^виешн — момент внешних сил относительно неподвижной точки О
Момент инерции системы материальных точек относительно некоторой оси
где г, — расстояние от данной точки до оси вращения.
Момент инерции твердого тела относительно оси вращения
J = y^r2dm= J r2pdV,
(V)
p— плотность тела.
Если для какого-либо тела известен его момент инерции Jo относительно
оси3 проходящей мерси центр масс. то момент инерции относительно любой оси,
параллельной первой, может быть найден по формуле Шгеймера
J = Jo 4- mJ2,
где тп — масса тела и d—расстояние от центра масс тела до оси вращения.
Н
Ш'АШАТШ1Ы1О12 ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДЫХ Т1..Ч
Основной закон динамики вращательного движения (закон сохранения мо-
мгнрл импульса) ны раж ас гея уравнением
где Л/— момеПт сил, приложенных к телу, L— момент импульса тела (J —
момент инерции тела, й? сю угловая скорость}. Если J = const, го
М - J^g. =Je,
at
где -угловое ускорение, приобретаемое телом пещ действиям момента сил М.
Уравнение динамики тела, вращающегося относительно оси OZ
-- ‘"Л IMMI'IIINI
Lg и ЛХ/ проекции момщпон импульса и внешних сил па oct* вращении
^Z = (JZ — MZ вкгшк'
Кинетическая энергия тела, вращающегося вокруг оси
IV* . .
Сопоставление уравнений динамики вращательного движения с уравнениями
поступательного движения дано в табл. 1.
Таблица /
Плату нательное движение Врлщателмим! движение
Второй закон Ньютона
F At = mtfc — mtf| , М = Ju?2 - J&l .
или или
F = та М =
Закон сохранен и» импульса Закон сохранения момента импульса
S^rnw - cpnxt = const 1
Pafioja и киш пическая энергия
л = !>£=!$ -2^ л -
Условия статического равновесия тела (системы тел)
Е Я = о Е л7(Р;0) = и
»»1 1=1
36
ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕХАНИКИ
(Гл. I
З.1. * Найти момент инерции J и момент импульса L земного
шара относительно оси вращения.
3.2. * Доказать теорему Штейнера для системы двух матери-
альных точек, вращающихся вокруг вертикальной оси, перпенди-
кулярной прямой, соединяющей эти точки.
3.3/ Найти момент инерции однородного круглого прямого ци-
линдра массы тп и радиуса R относительно оси цилиндра.
34* Прямой круглый однородный конус имеет .массу wi и
радиус основания R. Найти момент инерции конуса относительно
его оси.
3.5. * Найти момент инерции топкого однородного стержня дли-
ны I и массы т: а) относительно перпендикулярной к стержню
оси, проходящей через центр масс; б) относительно перпендику-
лярной к стержню оси, проходящей через конец стержня.
3.6. * Найти момент инерции однородной прямоугольной пла-
стики массы т, длины а и ширины b относительно перпен-
дикулярной к ной оси, проходящей: а) через центр пластинки;
6) черев одну из вершин пластинки.
3.7. Дна шара одинакового радиуса R = 5 см закреплены на
концах невесомого стержня. Расстояние между тарами г = 0,5 м.
Масса каждого шара т = 1кг. Найти а) момент инерции J\
системы относигилыю оси, проходящей через середину стержня
перпендикулярно к нему; 6) момент инерции J2 системы относи-
тельно той же оси, считая шары материальными точками, массы
которых сосредоточены в их центрах; в) относительную ошибку
6 = (J) — Л)/Л, которую мы допускаем при вычислении момента
ипирцин системы, заменяя Jj па J2
3.8. К ободу однородного диска радиусом R = 0,2 м приложена
касательная сила F = 98,1 Н При вращении на диск действует
момент сил трения А/ = 4.9Н м. Найти массу диска т, если из-
вестно, что диск вращается с угловым ускорением г = 100рад/с2.
3 0. Однородный стержень длиной I = 1 м и массой m — 0,5 кг
вращается в верти калькой плоскости вокруг горизонтальной оси,
проходящей через середину стержня С каким угловым ускоре-
нием е вещается стержень, если па него действует момент сил
М = 98.1 Н?
3.10. Маховик, момент инерции которого .7 = 63,бкг -м2, вра-
щается с угловой скоростью и' = 31Дрдд/с. Найти момент сил
торможения Л/, под действием которого маховик останавливается
чщюз время t — 20с. Маховик считан» однородным диском.
3.11. Две гири с массами чп\ = 2 кг и тп2 = 1кг соединены
питью, перекинутой через блок массой m = 1кг. Найти уско-
рение а, с которым движутся гири, и силы натяжения 7j и Т2
нитей, к которым подвешены гири. Блок считать однородным
диском. Трением пренебречь.
BPA(НАГЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДЫХ ГЕЛ
37
3.12. * Определить угловое ускорение блока радиусом R с мо-
ментом инерции J. через который перекинута нить с грузами
массой mi и П12- Трением пренебречь
3.13. На барабан массой т = 9 кг намотан шнур, к концу
которого привязан груз массой пц = 2 кг. Найти ускорение груза
Барабан считать однородным цилиндром. Трением пренебречь.
3.14. На барабан радиусом Ji = 0,5 м намотан шпур, к кото-
рому привязан груз массой т = 10 кг Найти момент инерции
барабана J. если известно, что груз опускается с ускорением
п = 2 04 м/с .
3.15. На барабан радиусом R = 20 см, момент инерции которо-
го 7 = 0Дкг-м2, намотан шнур, к концу которого привязан груз
массой т = 0,5 кг. До начала вращения барабана груз находился
на высоте Л = 1 м над полом. Через какое время груз опустит-
ся на иол и какова булат при атом его кинетическая энергия?
Трением пренебречь.
3.16. Блок массой тп = 1 кг укреплен на конце стола Гири
1 и 2 одинаковой мжты rri| = = 1 кг соединены нитью, пе-
рекинутой через блок. Гиря 2 находится на поверхности стола,
а гиря 1 свешипасггя со стола. Коэффициент трепня гири 2 о
стол к = 0.1. Найти ускорение, с которым движутся гири, и си-
лы натяжения 7'1 и J’j нитей. Блок считать однородным диском.
Трением в блоке пренебречь.
3.17. Диск массой тп = 2 кг катится без скольжения но горизон-
тальной поверх вост со скоростью v = 4 м/с. Найти кинетическую
энергию обруча.
318. Шар диаметром D = 6 см и массой тп — 0,25 кг катится
без скольжения по горизонтальной плоскости с частотой вращения
п = 4 с&[с. Найти кинетическую энергию шара.
3.10. Шар массой ?п = 1кг, катящийся без скольжения, уда
ряется о стенку и отскакивает от нее. Скорость шара до удара
v = 10см/с, после удара и = 8см/с. Найти количество теплоты Q,
выделившейся в момент удара
3.20. Мальчик катит обруч по горизопшлыюй поверхности со
скоростью v = 7,2 км/ч. На какое расстояние может вкатиться
обруч на горку за счет его кинетической энергии? Уклон горки
равен 10 м на каждые 100 м пути
3 21. Найти линейные ускорения центров масс шара, диска и
обруча, скатывающихся без скольжения с наклонной плоскости.
Угол плоскости а = 37°, начальная скорость верх тел = 0
3 22. Найти линейные скорости движения центров масс шара,
диска и обруча, скатывающихся без скольжения с наклонной
плоскости, высота которой h = 0,5 м. Наскальная ско]юсть всех
тел = 0-
3.23. * Ци.чинлр с каты влетел бел проскальзывания с наклонной
плоскости с углом при основании а Каково ускорение центра
масс цилиндра?
38
ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕХАНИКИ
(Гл. 1
3.24 * Решить предыдущую задачу при условии, что между ци-
линдром и плоскостью коэффициент трения скольжения равен к.
Пояснить результат.
3.25. * Тонкий обруч радиуса R раскрутили вокруг его оси
до угловой скорости ш и положили плашмя на горизонтальную
поверхность. Полагая коэффициент трения между поверхностью
и обручем fc. определить время вращения до полной осдешовки.
Сколько обсцютов при этом сделает обруч7
3.26. * На тонкостенный цилиндр намотана нить, конец кото-
рой закреплен (рис. 26). Пить остается параллельной наклонной
Рис. 20
плоскости с углом наклона а при разматывании. Какую скорость
приобрел цилиндр» если его ось прошла расстояние /? Коэффи-
циент трения между цилиндром и плоскостью к.
3.27/ Па горизонтальной плоскости лежит катушка ниток Ее
тянут за нитку (рис. 27). При каких углах о катушка станет
ускоряться в сторону нити?
3.28. * По шероховатой горизонтальной поверхности катится без
проскальзывания со скоростью v тонкое кольцо- Через какое вре-
мя после упругого удара о гладкую вертикальную стенку кольцо
остановится. если коэффициент трения кольца о поверхность ра-
вен к?
3.29. * Тонкая однородная палочка длины I и массы т лежит
симметрично на двух опорах, расстояние между которыми а.
Одну из опор быат|ю убирают Какова сразу после этого сила
реакции оставшейся опоры?
3.30. • Обруч, вся масса которого сосредоточена в ободе, рас-
крутили до угловой скорости н поставили на шероховатую
наклонную плоскость, составляющую ’угол о с горизонтом. Най-
ти время, в течение: которого обруч будет подниматься вверх по
плоскости. Радиус обр\гча R.
3 31.* Тонкое кольцо радиуса R и массы т раскрутили до
узловой скорости й/*0 и поставили вертикально на горизонтальную
плоскость. Как будет двигаться кольцо, если коэффициент тре-
ния кольна о плоскость равен к? Черня какое время прекратится
проскальзывание? Какая часть начальной энергии перейдет в
тепло?
§3]
ВРАЩАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ГВКГДЫХ ТЕЛ
3.32/ Бревно высоты h = Зм и массы тп = 50 кг начинает па-
дать из вертикального положения на землю. Определить скорость
верхнего конца и момент импульса бревна в момент падения па
землю.
3.33. * Карандаш длиной I — 15 см, поставленный вертикально,
начинает падать па стол. Какую угловую скорость и> и линейную
скоросгь v будут иметь в конце падения середина и верхний конец
карандаша?
3.34. * Однородный стержень длиной I = 1 м подвешен на го-
ризонтальной оси, проходящей через верхний конец стержня. На
какой угол а надо отклонить стержень, чтобы нижний конец
стержня при прохождении положения равновесия имел скорость
v = 5 м/с?
3.35. * Горизонтальная платформа массой m = 100кг вращает-
ся вокруг вертикальной осн. проходящей через центр платформы
с частотой П( = 10 об/мин. Человек массой то = 60 кг стоит при
этом на краю платформы. С какой частотой «а начнет вращать-
ся платформа, если человек перейдет от края платформы к ее
центру? Считать платформу однородным диском, а человека
точечной массой
3.36/ Какую работу' Л совершает человек при переходе от
края платформы к ее центру в условиях предыдущей задачи?
Радиус платформы II = 1,5м.
3.37. * Горизонтальная платформа массой m = 80 кг и ради
усом R = 1м вращается с частотой ni = 20 об/мин. В центре
платформы с гонг человек и держит в расставленных руках гири.
С какой частотой П2 будет вращаться платформа, если человек,
опустив руки, уменьшит свой момент инерции аг Jj = 2,94 до
Ji = 0,98 кг • м2? Считать плат(|юрму однородным диском.
3.38. * Бо сколько раз увеличилась ки-
нетическая энергия И4 платформы с че-
ловеком в условиях предыдущей задачи?
3.39/ Диск массы m и радиуса R вра-
щается вокруг своей оси. Угловая ско-
рость вращения и Под действием внеш-
них сил диск останавливается. Чему рав-
на работа внешних сил?
3.40/ Два груза соединены нитью дли-
ной I и лежат на поверхности гладкого
бревне с радиусом И (рис. 28). При рав-
новесии 1рузов угол между вертикалью к радиусом, проведенным
к одному из грузов, равен о. Найти массу второго груза, если
масса первого равна Ш|.
*10
ФИЗИЧЕСКИ? ОСНОВЫ МЕХАНИКИ
[Гл. I
'///////////////////////,
3.41. * Цепочка массы гл подвешена за концы так. что вбли-
зи точек подвеса она образует с горизонталью угол а (рис. 29).
Оиргдслите силу натяжения це-
почки в ее нижней точке и в точ-
ках подвеса.
3 42.* В гладкой закрепленной
полусфере свободно лежи г палоч-
ка массы т так, что угол се с
горизонтом равен о, а конец выхо-
дит за край 1кхпус<|жц>ы (рис. 30).
С какими силами действует палочка на полусферу в точках со-
прикосновения .4 и В. Масса палочки тп.
3.43. * Между одинаковыми брусками квадратного сечения, ле-
жащими на горизонтальной плоскостиг вставлен гладкий клин
Рис. 29
такой же массы с сеченном в виде равностороннего треугольника
(рис. 31). При каком коэффициенте трения брусков о плоскость
они начнут разъезжаться?
3.44. * На горизонтальной поверхности стоит куб массы т. С
какой минимальной силой и под каким углом к горизонту надо
тянуть куб за верхнее ребро, чтобы он начат опрокидываться бел
проскальзывания, если коэффициент трения куба о плоскость
равен fc?
3.45. * Лестница опирается на пол и вертикальную стенку. При
каких значениях угла между лестницей и полом опа может стоять,
Рис 32
если ксг»ффиц|!Ш1гы трения лестницы о пол и о стену равны кг
н к? соответственно?
3.46. * К системе из одинаковых сгсржнсй, соединенных шар-
нирами. подвешен груз массы т (рис. 32). Определите силу,
растягивающую п-й верхний горизонтальный стержень.
§3|
НРЛЩАТНЛЫЮЁ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДЫХ ТЕД
41
3.47. * Каким должен быть коэффициент трения однородного
стержня о псиц чтобы он мог стоять так, как показано на рисун-
ке 33? Длина нити АВ равна длине стержня.
3.48/ Однородный тонкий брусок массы m ле-
жит на горизонтальной плоскости. Какой наи-
меньшей горизонтальной силой, приложенной к
концу' бруска, перпендикулярно к нему, его мож-
но сдвинуть с места, если коэффициент трения
между бруском и плоскостью равен Л?
3-49/ Балка массы ш и длинны 21 одним кон-
цом упирается в гладкую стену, а промежуточной
точкой в прямоугольный уступ (рис. 34). Рас-
стояние между стеной и уступом а. Какой угол
с вертикалью составляет балка в равновесии?
Определить также реакции зданий.
3.50/ Два гладкие бревна помещены в контейнер (рис. 35).
Бревно А весят 400 И, его радиус 0,8м, бревно В весит. 300 Н,
Рис. 33
Рис. 34
а его радиус 0,5 м Определить реакции вертикальных стен в
точках С и Е и горизонтального пола и точке а такжи
давление между бревнами, если ширина контейнера 2.5 м.
3.51/ На наклонной плоскости с углом наклона о =30° лежат
два груза с массами nij = 4 кг и тн* = б кг, соединенные тросом
(рис. 36). Коэффициенты трения грузин о наклонную плоскость
42
ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕХАНИКИ
(IX I
соответственно равны к\ =0,4 и А“? = 0,8. Определить натяжение
ipoca н модули сил трения, действующих на грузы. Будут ли
грузы в покое, или в движении?
3.52, Полуцилиндр весом Р и радиусом R лежит на негладкой
горизонтальной плоскости (рис 37). Однородный стержень ОА
длиной / и весом Q шарнирно закреплен в точке О. Он опирается
па гладкую поверхность полуцилиндра, образуя угол а с верти-
калью OB = h. Определить наименьшее значение коэффициента
трения скольжения к между полуцилиндром и горизонтальной
плоскостью при равновесии
§ 4. Механика жидкостей и газов
Для установившегося движения идеальной несжимаемой жидкости имеет ме-
сто ypaniioMiti* Бернулли
Р + + pgh сова!,
здесь р—плотность жидкости в данном сечении трубы, Л — высота данного се-
чения трубы нал некоторым уровнем и /’—давление.
Сила сопротивления, которую испытывает падающий в вязкой жидкости
(в пкмг) шлрпк, определяется формулой Стокса
F = бчпугу,
где 1) —динамическая вязкость жиякогти (ппл), г - радиус шарика, v- его ско-
рость. Закон Стокса имеет место только лля ламинарного движения. При
ламинарном движении объем жидкости (газа), протекающей за время t через
капиллярную трубку радиусом г в длиной I, опрегимшется формулой Пуазейля
v - *г41ДР
” 8/q - ’
где q—динамическая вязкость жидкости (гаьг), Др— разность давлений на
концах трубки.
Характер движения жидкости (газа) определяется безразмерным числом
Рейнольдса
Кв=«Ч> = И!
Г} I/ ’
где D — величина, характеризующая линейные размеры тела, обтекаемого жид-
костью (газом), w— скорость течения, р плотность, —динамическая ияв*
кость. Отношение у — т]/р называется кинематической вязкостью. Критическое
значение числа Рейнольдса, определяющее переход от ламинарного движения к
турбулентному, различно для тел разной формы.
4.1 Л На столе стоит цилиндрический сосуд высоты Я, напол-
ненный доверху водой. Пренебрегая вязкостью воды, определить
высоту Л. на которой нужно сделать в сосуде небольшое от-
верстие, чтобы вытекающая струя воды попадала на стол на
наибольшем удалении о г сосуда.
S«J
МЕХАНИКА ЖИДКОСТЕЙ I! ГАЛОП
43
4.2. * Показать, что при установившемся течении идеальной
жидкости для любой трубки тока выполняется соотношение
/ze'i dSi = pvt dS2 (уравнение неразрывности),
где р ПЛОТНОСТЬ ЖИДКОСТИ, П| и V*—скорости жидкости в торце-
вых сечениях трубки, площади которых dSj и dSj соответственно.
4.3. Найти скорость v течения углекислого газа по трубе,
если известно, что зл п]мвмя I = 30 мин через поперечное сече-
ние трубы протекает масса газа т = 0,51 кг. Плотность газа
р = 7,5 кг/м3. Диаметр грубы D = 2 см.
4.4. В дне цилиндрического сосуда диаметром D = 0.5 м име-
ется круглое отверстие диаметром d = 1 см. Найти зависимость
CKOjMXZTit понижения уровня воды в сосуде от высоты h этого
уровня. Найти значение этой скорости для высоты h = 0,2 м.
4.5. На столе стоит сосуд с водой, в боковой поверхности ко-
inporo имеется малое отвергни!, расположен ное на расстоянии hi
от дна сосуда и на расстоянии hj от уровня воды. Уровень воды
в сосуде поддерживается носмоянным На каком расстоянии I
от сосуда (ио горизонтали) струя воды падает на стол в случае,
если: a) hj = 25 см. h? = 16 см; б) hi = 16 см, Л-2 = 25 см?
4.6. Сосуд, наполненный водой, сообщается с: атмосферой череп
стеклянную трубку, закрепленную в горлышке сосуда (рис. 3$).
Кран К находится на расстоянии /»1 = 2см
от дна сосуда. Найти скорость v выте-
кания воды из крана в случае, если рас-
стояние между нижним концом трубки и
дном сосуда: a) hi = 2см; б) h> = 7,5см;
в) hj = 10 см.
4.7. Цилиндрический бак высотой h =
= 1 м наполнен до краев водой. За какое
время t вся вода выльется через отвер-
стие, расположенное у дна бака, если
плошадь Sz поперечного сечения отвер-
стия в 400 раз меньше площади Si по-
перечного сечения бака? Сравнить это
время с тем. которое понадобилось бы
для вытекания такого же объема воды.
Рис. 38
если бы уровень волы в баке поддерживался постоянным на вы-
соте h = 1 м от отверстия
4.8. В сосуд льется вода, причем за единицу времени нали-
вается объем воды = 0.2 л/с. Каким должен быть диаметр <1
отверстия в дне сосуда, чтобы вода в нем держалась на посто-
янном уровне h = 8,3 см?
* Н задачах 4.3-4.11 жидкости (газы) считан» идеальными несжимаемыми.
44
ФИЗИЧКСКИК ОСНОВЫ МЕХАНИКИ
(Гл- 1
4.9. Какое давление Р создает компрессор в краскопуль-
те, если струя жидкой краски вытекает из исто со скоростью
v = 25 м/с? Плотность краски р = 0,8 • 103кг/м3.
4.10. По горизонтальной трубе АВ течет жидкость (рис. 39).
Разность уровней этой жидкости в трубках а и b равна Д/i = 10 см.
Диаметры трубок а и b одинаковы. Найти скорость v течения
жидкости в трубке АВ.
4.11. Воздух продувается через трубку АВ (рис. 40). За едини-
цу времени через трубку АВ протекает объем воздуха Ц=5л/мин.
Рис. 39
Площадь поперечного сечения широкой части трубки АВ равна
Si = 2 см2, а узкой ее части и трубки abc равна S? = 0,5 см2. Най-
ти разность уровней ДЛ воды, налитой в трубку п?>с. Плотность
воздуха р= 1,32кг/м3.
4.12. Шарик всплывает с постоянной скоростью и в жидкости,
плотность р, которой в 4 раза больше плотности р2 материа-
ла шарика. Во сколько раз сила трения ?'тр, действующая на
всплывающий шарик, больше силы тяжести действующей на
этот шарик?
4.13. Какой наибольшей скорости v может досгнчь дождевая
капля диаметром <2 = 0,3 мм, если динамическая вязкость воздуха
?/= 1,2- 1О’ьПа с?
4.14. Стальной шарик диаметром <1 = 1 мм падай г с посто-
янной скоростью v = 0,185 см/с в большом сосуде, наполненном
касторовым маслом. ПаЙти динамическую вязкость т] касторового
масла.
4.15. Смесь свинцовых дробинок с диаметрами di = Змм и
d* = 1мм опустили н бак с глицерином высотой h = 1м. На
сколько позже упадут на дно дробинки меньшего диаметра по
сравнению с дробинкам и большого диаметра? Динамическая вяз-
кость глицерина // = 1,47 Па-с.
4.16. Пробковый шарик радиусом г = 5мм всплывает в сосуде,
наполненном касторовым маслом. Найти динамическую и кине-
матическую вязкости касторовою масла, если шарик всплывает
с постоянной скоростью v = 3,5cm/c.
§«1
МЕХ ЛИПКА ЖИДКОСТЕЙ И ГАЗОВ
45
4.17. В боковую поверхность цилиндрического сосуда радиусом
/? = 2с.м ветвлен горизонтальный капилляр. внутренний радиус
которого г = 1мм и длина I = 1,5 см. В сосуд налито касторовое
масло, динамическая вязкость которого т? = 1.211а* с. Найти
зависимость скорости v понижения уровня касторового .масла в
сосуде от высоты h этого уровня над капилляром. Найти значение
этой скорое км нри /1 = 26 см.
4.18. В боковую поверхность сосуда вставлен горизонталь-
ный капилляр, внутренний радиус которого г = 1 мм и длина
I — 1.5 см. В сосуд палит глицерин, динамическая вязкость кото-
рого i] = 1,0Па-с. Уровень глицерина в сосуде поддерживается
постоянным па высоте h = 0,18 м выше капилляра. Какое время
потребуется на то, чтобы из капилляра вытек объем глицерина
V = 5 см3?
4.19. На столе стоит сосуд, в боковую поверхность которо-
го вставлен горизонтальный капилляр на высоте Л< = 5см от
дна сосуда. Внутренний радиус капилляра т = 1 мм и длина
/ = 1 см. В сосуд налито машинное масло, плотность которого
р = 0,9 103 кг/м3 и динамическая вязкость т? = 0,5 Па • с. Уровень
масла в сосуде поддерживается постоянным на высоте Л2 = 50см
выше капилляра. На каком расстоянии I от конца капилляра
(по горизонтали) струя масла падает на стол?
4.20. Стальной шарик падает в широком сосуде, наполненном
трансформаторным маслом, плотность которого р = 0,9 -1()3 кг/м3
и динамическая вязкость т; = 0,8Па-с. Считая, что закон Стокса
имеет место при числе Рейнольдса Ro $ 0,5 (если при вычисле-
нии Re в качестве величины D взять диаметр шарика), найти
предельное значение диаметра D шарика
4.21. Считая, что ламинарность движения жидкости (или га-
за) в цилиндрической трубе сохраняется при числе Рейнольдса
Re $ 3000 (если нри вычислении Re в качестве величины !)
взять диаметр трубы), показать, что условия задачи 4.1 соответ-
ствуют ламинарному движению. Кинематическая вязкоегь газа
у = 1,33 10ем2/с. ‘
4.22. Вода течет по трубе, причем за единицу времени через
поперечное* сечение трубы протекает объем воды Vt = 200 см11/с.
Динамическая вязкость воды т/ = 0,001 Па с. При каком про-
дельном значении диаметра D трубы движение воды остается
ламинарным? (См. условие предыдущей задачи )
4.23. ’ Сферический баллон радиуса R со стенками толщины Д
разрывается внутренним давлением Р. Определить предел проч-
ности материала стенок.
4.24. * Почему сосиска в кипятке лопается вдоль, а нс поперек?
4.25. " В полусферический колокол, края которого плотно при-
легают к поверхности стола, наливают через отверстие вверху
4b
ФИЗИЧЕСКИ?. ОСНОВЫ МЕХАНИКИ
(ГЛ. I
жидкость Когда жидкость доходит до отверстия, она приподни-
мает колокол и начинает из-под него течь. Найти массу колокола,
если его внутренний радиус ранен Я, а плотность жидкости р.
4.26/ Закрытый цилиндр радиуса Я, заполненный на три че-
тверти своего объема жидкостью ИЛОГПОС1И /л вращается в не-
весомости вместе с жидкостью с угловой скоростью о? вокруг
своей оси. Как меняется давление в жидкости в зависимости от
расстояния до стенок цилиндра?
4.27. * Найти форму поверхности жидкости в цилиндрическом
стакане, который вращается вместе с жидкостей» вокруг своей
оси с угловой скоростью а?.
4.28/ Цилиндрический стакан радиуса R. заполненный жид-
костью плотное ги р, вращается с угловой скоростью и> вокруг
своей оси. В сосуде находится шарик радиуса т и плотности 2р.
Найти силу, с которой шарик давит па боковую стенку сосуда.
4 29/ Из отверстия в дне высокого сосуда вытекает вода. Се-
чение сосуда 6\ сечение струи з. Уровень воды в сосуде переме-
щается с постоянным ускорением. Найти это ускорение
4.30/ На мыльном пузыре радиуса R находится еще один
мыльный пузырь радиуса г. Какой радиус кривизны имеет плен-
ка, их разделяющая? Какой угол образуют пленки в местах
соприкосновения?
Глава II
МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА
§ 5. Молекулярно-кинетическая теория
Уравнение ссстоямня идеального i-xia
Pv -= /ст,
гди р—давление газа, V его объем, Т —термодинамическая температура,
тп-*— масса газа, д—молярная масса газа; R = 8,31441 Дж/ыолъ -К— газовая
постоянная
Заком Дальтона для давления смеси газов
₽»f>.
1=1
где р, — парциальное давление, т. с. давление, которое имел бы каждый из газов
d отдельности. если бы он при данной температуре одни заполнял весь объем
Основное уравнение кинетической теории газов имеет вид
2 тт7 2 mot?
? = 2 •
где п — концентрация молекул, ГУ сдопии кппитнчсскаа энергия покупа-
тельного движения одной молекулы с массой mo, —средняя квадратичная
скорость молекул.
Число молекул в единице объема (концентрации)
где к = 1.38066*2 -10” 33 Дж/К — постоянной Больцмана.
Средняя кинетическая энергия поступательного движения одной молекулы
w-^кт
Экер» им теплимого движим и и молекул (внутренняя энергия) газа
IV = j КГ
2 р
me I — число степеней свободы молекул.
18
МиЛЕКУЛЯГВЛЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА
!Гл н
Теплоемкость тела определяется как
g: Дж/К,
где Q— количество тгпдл, r<ici6li№i<iimi телу м iiori.iniAtoiiK’V <uo п-мнерлтуру
на 1 К.
MlvKHpli.lM ген ЛОГ Ы К ОСТЬ, Т. О. TttllJIWMКОСТЬ ОДНОГО МОЛЯ В01|(ССТН<1
zi _ 1 dQ
GV~ р dr
Удельная теплоемкость
_ _ I JQ
с “ m <7Г
Свм:и» между молярной и удельной теплоемкостями
с = cv//<>
Т<Ч1Л«>СЫКОГТЬ при постоянном ибьемо
где U — внутренняя энергия тела.
Теплоемкость при постоянном давлении
Внутренняя энергия идеального гача
/
и = 2' CVT
Функции pIlCHJHUtUICIIMH \(пкснеллл молекул но скоростям
«фикция распределения Максвелла молекул по проекции скорости
Вероятность того, что компоненты скорости лежат в пределах от vr, ы,
до ид + г/|»ж, + rfi’y, в, -И есть
dP — f (v) dvr dity dvr .
Число молекул, величина скоростей кемчфых лежит в интершим* ол и до v + du
diVr = Л* f (р) I ли2 du,
jV — полное число молекул гдта.
Ми.11Ь*КУЛ>1Г1Ю>К11ИЕТНЧПСКЛЯ ТЕОРИЯ
49
Функция распределения Максвелла по модулю скорости
F(„) = /М W = ,хр (-$)
Распределение Больцмана молекул во внешнем потенциалыюм поле
n = no exp »
м концентрации молекул. (Лладокицих потенциал ыюЙ энергией Wp, по —
концентрация молекул с нулевой потенциальной энергией.
Количество молекул, попадающих в пределы объема dv ~ dxdydz, распило»
жен кого в точке с координатами х, у, х, равно
... / '*7, (z,y,z)\
ЙЛ = no exp f---------- | dxdydz.
Закон Mаксион ла — Больцмана
f I Ж/ a Т/Al* X
/ m \W f И'»+-2“У
rf.V - no I 2rkT J exp I--------FT--- I dVv rf*’
Наиболее вероятная скорость молекул
v. = л/гят’/р.
Средняя скорость молекул (арифметическая)
V Kt*
ЗкТ
Эно 1
Средняя квадратичная скорость молекул
При решении ллдлч па такси раенрлдалення молекул по скоростям удобно
пользоваться табл- 2, в которой даны значения ДЛ’/(Л Ди) для различных к.
'Глблица 2
и ДЛГ/(ЛГ Ди) и дл7(лг Ди) и ДЛ7(ЛгДи)
0 0 0.9 0,81 1.8 0.29
0,1 0.02 1,0 0,83 1.9 0,22
0,2. 0.09 1,1 0,82 2,0 0,16
0,3 0.18 1,2 0,78 2,1 0,12
0,4 0,31 13 0,71 2.2 0,09
0,5 0,44 1.4 0,63 2.3 0,06
0,6 0,57 1.5 0.54 2,4 0,04
0.7 0,68 1,6 0,46 2.5 0,03
0,8 • 0,76 1J 0»36 •
50
МОЛККУЛЯР11ЛЯ ФИЗИКА II ТЕРМОДИНАМИКА
(Гл И
Во многих случаях важно знать число молекул JVr, скорости которых пре-
пышают заданное значение скородеи и. В табл. 3 дины значения №/Л’ дли
различных и, где Лг — общее число молекул.
Таблица 5
и Л г/Л’ и Л’г/Л’ и Лг»/Х
0 1,000 0,6 0.868 1.25 0,374
0,2 0,994 0,7 0,806 1,5 0,213
0,4 0,957 0.8 0,734 2,0 0,046
0,5 0,918 1.0 0,572 2.5 0.0D57
Барометрическая формула даст закон убывания давления газа с высотой в
моле силы тяжести
Р~РО схр ( .
здесь р— давление газа на высоте h. ро—давление на высоте h = 0, д =
= 9,80665 м/с2—ускоренно свободного падения. Эта формула приближенная,
так как температуру Т нельзя считать одинаковой для больших разностей вы-
сот.
Средняя длина свободного пробка молекул газа
А — i? = *
* у/2то^п ’
уде Г — средняя арифметическая скорость, У—среднее число столкновений
каждой молекулы с остальными в единицу времени, о - вффектмнный диаметр
молекулы, л — число молекул в единице объема (концентрация молекул). Об-
щее число столкновений всех молекул и единице объема за единицу времени
Z = хп/2.
Масса, перенесенная за время At при ян<^>фузии,
ш = -р as де,
где Ар/Ах— относительное изменение плотности в направлении х. перпенди-
кулярном к площадке AS, D = vA/3—коэффициент диффузии (и — средняя
арифметическая скорость, А — средняя длина свободного пробега молекул).
Импульс, перенесенный газом за время At, опумщеляет силу внутреннего тре-
ния FTp в газе:
FTp = -4^AS,
где Av/Ал —относительное изменение* скорости течения газа в направлении х»
перпендикулярном к площадке AS, rj = vAp/3—динамическая вязкость.
Количество теплоты, перенессиное за время At вследствие теплопроводно-
сти. определяется формулой
Q = -K^Ta5A1,
Дх '
hsi
МОЛОД УЛЯ Р1ЮЛ<>1 НИТИ ЧЕХЖЛ Я ТЕОРИЯ
51
где &T/&Z — относительное изменение температуры в направлении х, пернем*
Аннулярном к площадке Д5, А' = i/Acyp/З тсплонроводиоггь.
Первое качало термодинамики может быть записано в виде
6Q = dU + М,
где 5Q количество теплоты, подученное газом, dU—ti:»MWieui!U nnyTjMMiiii-Й
энергии газа, М — pdV — элементарная работа, совершаемая газом мри изме-
нении его объема.
Изменение внутренней энергии газа мри изменении температуры
dU = -i 7Г RdT
* • lL
Полная работа, совершаемая нрн кзыемшин объема «аза,
Работа, совершаемая при изотермическом изменении объема газа,
Ян, - лт In v?.
М V'l
Давление газа и его объем связаны при адиабатическом процессе уравнением
Пуассона
pV* — const, т. е. ’
9 ' р? Ч J
где показатель адиабаты х = ср/су. Уравнение Пуассона может быть записано
еще в тиком виде:
TV*-1 = ®>nst, т.е. ^ = (и)
ИЛИ
Работа, совершаемая при адиабатнчетком изменении объема газа, может
быть найдена по формуле
д = .АГ» "* fi - f Ji V ! 1 =? zh (j _ = y.OiCO. ~ .
Лвд“х-1к[1 I Ti) (X~ 1)7’1 ’
где ;jj ii V| —naiuiQHiift it объем w»a при температуре Ti.
Уравнение политропического процесса имеет пнд
рУп - соны, или piV|n =Р2^2*.
где п — поклз1псл1» полис pur in (1 < w < оо)
52
МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА
(Гл. II
Коэффициент полезного действия (к. п.д.) тепловой машины
где Qi —количество тепло гы, полученное рабочим телом от нагревателя, Q > —
количеспю теплоты, отданное холодильнику. Для идеального никла Карно
„ _ Тх - Т2
п
где 7\ и ?2—термодинамические темнерцтуры нигренатсля и холодильника.
Разность энтропий Яц - двух состояний В и Д определяется формулой
в
sB-sA = f^.
А
5.1. Посередине откачанного и запаянного с обеих сторон ка-
пилляра, расположенного горизонтально, находится столбик рту-
ти длиной I = 20см. Если капилляр поставить вертикально, то
столбик ртути переместится на Д/ = 10 см. До какого давления
был откачан капилляр? Длина капилляра Л = 1 м
5.2. * Внутри закрытого с обоих концов горизонтального ци-
линдра имеется топкий поршень, который может скользи гь в
цилиндре без трения. С одной стороны поршня находится водо-
род массой ни — 4 г, с другой — азот массой ni2 = 14 г. Какую
часть объема цилиндра занимает водород?
5.3. * Сосуд разделен перегородками на три части, объемы кото-
рых равны Ц, К и Уз и в которых находятся газы при давлениях
Рь Р2 и рз соответственно. Какое давление в сосуде установится
после удаления перегородок, если температура при этом осталась
неизменной?
5.4. * В баллоне объемом 0,2м3 находится газ под давлением
105 Па при температуре 290К. После нодкачиилння газа давление
повысилось до 3-105Па, а температура увеличилась до 320 К Па
сколько увеличилось число молекул газа? II — 8,31 Дж/моль - К,
= 6,02 1023 моль"1
5.5. * Объем камеры насоса равен Vfc- За сколько циклов ра-
боты насоса можно накачать автомобильную камеру объемом V
от давления pj до давления ра? Температуру воздуха считать
постоянной. Давление атмосферы у^.
5.6. * Огкачипающий насос захватывает за один цикл объем
газа Vq и выталкивает его в атмосферу. Сколько циклов должен
сделать насос, чтобы понизить давление в сосуде объема И от
значения ро до р?
5.7. " Каков должен быть вес оболочки детского воздушного ша-
рика, наполненного водородом, чтобы результирующая под нем пая
5 ч
МОЛЕКУЛЖ'НО-КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ
53
сила шарика F = 0, т. е. чтобы шарик находился во взвешенном
состоянии? Воздух и водород находятся при нормальных услови-
ях. Давление внутри шарика равно внешнему давлению Радиус
шарика равен 12,5 см. Молярные массы газов известны.
5.8. * Воздушный шар объемом 103м3 заполнен гелием. При
нормальных условиях он может поднять груз массой 103 кг Какой
груз может поднять тот же шар при замене гелия водородом при
той же температуре? Молярные массы газов изнестпы.
5.9. * Воздушный шар объемом 240 м3, заполненный водородом
нри температуре 300 К, поднимает полезный груз массой 300 кг.
Какой полезный груз сможет поднять воздушный шар, если сто
заполнить горячим воздухом нри температуре 400 К? До какой
температуры нужно нагреть воздух, чтобы воздушный шар смог
поднять такой же полезный груз, как и при заполнении его
водородом? Молярная масса во шуха р = 0,029 кг/моль.
5.10. * Два одинаковых сосуда заполнены кислородом при тем-
пературе 7*1 и соединены между собой трубкой с ничтожно малым
объемом. Во сколько раз изменится давление кнсло]х>дя в со-
судах. если один из них нагреть до температуры Т2, а второй
поддерживать при температуре 7\?
5.11. * Два сосуда с объемом Vi = 100см3 и V2 — 200 см3 разде-
лены подвижным поршнем, не проводящим тепла. Сначала тем-
пература газа в сосудах Т — 300К, а его давление р = 1,01-105 Па,
затем меньший сосуд охладили до 11 = 273 К, а большой нагрели
до Та = 373 К Какое давление установится и сосудах?
5.12. Найти плотность водорода при температуре t = 15 °C и
давлении р = 97,3 кПа.
5.13. Построить график зависимости плотности кислорода:
а) от давления при Т = const = 390 К в интервале значений
0 5$ р $ 400 кПа через каждые 50 кПа, б) от температуры Т при
р — const = 400 кПа в интервале 200 Т $ 300 К через каж-
дые 20 К.
5.14. В сосуде объемом 2л находятся углекислый газ Ш\ =6г
и закись азота (N2O) m2 = 4г при температуре 400К Найти
давление смеси d сосуде
5.15. В сосуде находятся 14г азота и 9г водорода при темпе-
рагу |>е t = 10°C и давлении р= 1МПа. Найти молярную массу
смеси и объем сосуда
5.16. Закрытый сосуд объемом 2л наполнен воздухом при
нормальных условиях. В сосуд вводится дпэтиловый эфир
(С2Н5ОС2Н5). После того как весь эфир испарился, давление
в сосуде? стало равным 0,14 МПа. Какая масса эфира была вве-
дена в сосуд?
5.17. В сосуде объемом 0,5 л находится 1г парообразного йода
(12). Нри температуре 103 °C давление в сосуде 93,3 кПа. Найт и
степень диссоциации о молекул йода на атомы. Молярная масса
молекул Йода р = 0.254 кг/моль.
51
МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА
(Гл. И
5.18. * В сосуде объемом V = 1дм3 находится 0,2 г углекислого
газа. При температуре 7’= 2600 К некоторая часть молекул СО2
диссоциировала на молекулы окиси углерода согласно
2СО2 ^2СО + О2
При этом давление в сосуде оказалось равным 108 кПа. Найти
степень диссоциации СО2 при этих условиях.
5.19. В сосуде находится углекислый газ. При некоторой тем-
пературе степень диссоциации молекул С02 на СО и О2 равна
о = 0,25. Во сколько раз давление в сосуде при этих условиях
будет больше того давления, при котором молекулы СО2 не были
диссоциированы?
5.20. В воздухе содержится 23.6% кислорода и 76,4% азота
(по массе) при давлении р = 100кПа и температуре Т = 290К.
Найти плог11(к:ть воздуха и парциальные давления кислорода и
азота.
5.21. В сосуде находится Юг СО2 и 15г N2. Найти плотность
смеси газов при температуре 300 К и давлении 150 кПа.
5.22. Найти массу атома: а) водорода: б) гелия.
5.23. * В(к1ггикш1Ы1ЫЙ цилиндр, закрытый с обоих концов раз-
делен поршнем По обе стороны поршня находится по одному
молю воздуха при температуре Т = 300 К. Отношение объемов
верхней части цилиндра и нижней равно t) — 4. При какой
температуре воздуха отношение этих объемов станет гд = 3?
5.24. * Два расположенных горизО1ггалыю цилиндрических со-
суда. соединенных герметически, перекрыты поршнями, соеди-
ненными недеформируемым стержнем Между поршнями и вне
их находится воздух при атмосферном давлении ро Площади
поршней равны Si и S?. Первоначальный объем воздуха между'
поршнями равен п0 (рис. II). На сколько сместятся поршни,
если давление в камере /1 повысить до значения р? Температуру
воздуха считать постоянной. Трением пренебречь. Камера В
сообщается с атмосферой.
5.25. * В горизонтально закрепленной, открытой с. торцов трубе
сечения S находятся два поршня В исходном состоянии левый
поршень соединен пгдеформнруемой пружиной жесткости к со
стенкой, давление газа ро между поршнями равно атмосферному,
расстояние I о г правого поршня до края трубы равно расстоянию
между поршнями (рис. 42). Правый поршень медленно вытянули
до края трубы. Какую силу надо приложить к поршню, чтобы
удержать <\го в таком положении? Температура газа постоянна.
Трением пренебречь.
5.26. Молежула азота летит со скоростью v = 430 м/с. Найти
импульс этой молекулы.
5.27. Как, зная плотность вещества р и молярную массу /х,
найти число молекул в едини не объема?
§SJ
МОЛ ККУЛ ЯРНО-Klt)! КТИ Ч КС К А Я 'I DorИЯ
Рис. 41
Рис 42
5.28, Какое число молекул находится d комнате объемом
v = 80 м3 при температуре. t = 17 °C и давлении р — 100кПа?
5 29. Какое число частиц п находится в единице массы па-
рообразного Йода (J2), степень диссоциации которого о = 0,5?
Молярная масса J2 р = 0,254 кг/моль.
5.30. Какое число Л' частиц находится в 16 г кислорода, сте-
пень диссоциации которого а = 0,5?
5.31. В сосуде находится 10’7 моль кислорода и 10"6 г азота.
Температура смеси t ~ 100 °C, днвление р “ 133 мПа. Найти
объем сосуда, парциальные давления кислорода и азота и число
молекул в единице объема сосуда.
5.32. * Изобразить для идеального газа примерные графики
изохорического, изобарического, изотермического и адиабатиче-
ского процессов на диаграммах: а) р, V; б) Г, V; в) р, Т Гра-
фики изобразить проходящими через общую для них точку.
5.33. * Изобразить для идеального газа примерные графики:
а) изохорического, изобарического и адиабатического процессов
па диаграмме 17 Т; б) изохорического, изобарического, изотерми-
ческого и адиабатического процоссоп на диаграммах U9 V и U, р
U откладывать по оси ординат. Исходной для всех графиков
принять общую точку.
5.34/ Чему равна теплоемкость идеального газа при: а) изо-
1ермическом; б) адиабатическом процессах?
5.35. Найти удельную теплоемкость кпелородн для а) V =
= const; 6) р = const.
5.36. Найти отношение удельных теплоемкостей Ср{су для кис-
лорода.
5.37. * Показать, что молярные теплоемкости Ср = Су + Л
(уравнение Мпйсрн)
5 38. Плотность некоторого двухатомного газа при нормальных
условиях р — 1,43кг/.м3. Найти удельные теплоемкости су и Ср
этого газа.
5.39. Найти степень диссоциации а кислорода, если его удель-
ная теплоемкость при постоянном давлении ср = 1,05 кДж/кг • К.
5.40. Найти степень диссоциации а азота, если отношение
Ср/су = lt47
56
МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА н термодинамика
[Гл I!
5.41. Найти удельную теплоемкость ср газовой смеск. состоя-
щей из 3000 .молей аргона и 2000 молей азота.
5.42. Юг кислородов находится при давлении р = 0.3МПа и
температуре £ = 10сС. После нагревания при р = const газ занял
объем Юл. Найти количесию теплоты, полученное газом, и
энергию теплового движения молекул газа до и после нагревания.
5.43. В сосуде объемом V = 2л находится азот при давлении
р = 0,1 МПа. Какое количество теплоты надо сообщить азоту,
чтобы: а) при р = const объем увеличился вдвое; б) при v = const
давление увеличилось вдвое?
5.44. Какую массу углекислого газа можно нагреть при р =
= const от температуры h = 20 °C до h = 100 °C количеством те-
плоты Q = 222 Дж? Па сколько при этом изменится кинетическая
энергия одной молекулы?
5.45. Для нагревания некоторой массы газа на Ah = 50 °C при
р = const необходимо затратить количество теплоты Q = 670Дж.
Если эту массу газа охладить на Ah = 100 °C при V = const,
то выделяется теплота Q? — 1005 Дж. Какое число степеней спо-
боды i имеют молекулы этого газа?
5.46. " Найти среднюю квадратичную скорость молекул воздуха
при температур 290К. Молярная .масса воздуха р=0,029 кг/моль.
5.47. Найти концентрацию молекул водорода при давлении
р = 266,6 Па, если средняя квадратичная скорость его молекул
2,4 Ю3м/с
5.48. Во сколько раз средняя квадратичная скорость пылинки,
взвешенной в воздухе, меньше средней квадратичной скорости мо-
лекул воздуха? Масса пылинки тп = 10”8 г. Воздух считать одно-
родным газом, молярная теплоемкость которого р = 0,029 кг/моль.
5.49. Нвйги импульс молекулы подорсца при температуре
t = 20°C- Скорость молекулы считать равной средней квадратич-
ной скорости.
5.50. Найти внутреннюю энергию 20 г кислорода при темпера-
туре I = 20 °C. Какая часть этой энергии приходится на долю
посту нагельною движения молекул и какая на вращательное дви-
жение?
5.51. ПаЙги внутреннюю энергию двухатомного газа, находя-
щеюся в сосуде объемом V = 2 л пол давлением р— 150 кПа.
5.52. При какой температуре энергия теплового движения ато-
мов гелия будет достаточна для тою, чтобы преодолеть земное
тяготение и навсегда покинуть земную атмосферу?
5.53 ‘ Получить уравнение сос тояния для адиабатическою про-
цесса, т. с. снизь между параметрами р, V или р, Т.
5.54. * Два различных газа, занимающие один и тот же началь-
ный объем Ин при одинаковом начальном давлении р^ ыппанно
подвергаются адиабатическому сжатию, каждый до половины сво-
его первоначально!о объема. Каково конечное давление ь каждом
МОЛ ЕК УЛ ЯГ НО- КИНЕТИЧЕСКАЯ ТВОРИ Я
57
газе, по сравнению с />□, если первый газ одноатомный, а второй
двухатомный?
5.55. * Адиабатической называется атмосфера.! в которой давле-
ние и плотность б зависимости от высоты удовлетворяют соотно-
шению рр~х = const. Покачать, что температура газа атмосферы
линейно уменьшается с высоюй, и найти коэффициент пропор-
циональности.
5.56/ Определить вероятность того, что: а) при бросании мо-
неты выпадет герб; б) при бросании игральной кости выпадет
цифра 5; в) из колоды с 36 каргами будет вынут туз червей.
5.57. * Какова вероятность того, что при бросании игральной
кости выпадет: а) либо единица, либо шестерка; б) четная циф-
ра?
5.58/ Два стрелка одновременно и независимо стреляют в одну
цель. НаЙтн ведояпккль поражения цели, если вероятности попа-
дания п цель первым и вторым стрелками равны соответственно
0,8 и 0,7. Цель считается пораженной, если в нее попадает хотя
бы один стрелок.
5.59. * При игре в Спортлото из А7 = 49 номеров наудачу вы-
бираются л-и = 6. Вычислить вероятность w^\no(k) того, что вы
увадаеге к «счастливых» номеров—тех, которые определяются в
дальнейшем при тираже Сделать расчет для k = 0. 1, 2 ... , 6.
5.60 * Аг неразличимых шаров случайным образом расклады-
вают по G А нумерованным ящикам. В один ящик помешается
только один шар. Слова «случайным образом» означают, что
каждый шар с равной вероятностью может оказаться в любом
из свободных ящиков. Определить вероятность w того, что N
ящиков с определенными номерами будут с шарами.
5.61. * Аг различных шаров случайным образом раскладывают
по G N нумерованным ящикам. Слова «случайным образом»
означают, что каждый шар с равной вероятностью .может попасть
в любой ящик независимо от размещения остальных. Определить
вероятность того, что пи в какой ящик не попадет более одного
шара.
5.62. * Некоторая случайная переменная х может принимать
значения Ж|, .т-2, х,, .... всроятшх.ти которых ш(Х|) из-
вестны. Написать выражения, определяющие следующие средние
арифметические, (г), (/•}, (/(*)), среднеквадратичную флуктуа-
цик> У ((г - (ж))2).
5.63/ Величина х может принимать только два значения zj
к Гу. причем веройinocib первого равна р. Найти (г3).
5.64/ Известно распределение вероятностей dw(x) = p(x)dx
для случайной переменной г, принимающей значение а х $ Ь.
Написать выражения, определяющие следующие средние ариф-
метические: {х), (z2), (f (х)) (/(х) — некоторая интегрируемая
функция х), среднеквадратичную флуктуацию у/ ((z — (х))2}.
53
МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА
(Гл. И
5 65.* Положение частицы распределено равномерно в шаре
радиуса R. Определить вероятность dw(r) обнаружения частицы
на расстоянии от г до г + dr от центра тара. Чему равны сред-
нее (т) и среднеквадратическое ^/(т2) расстояния от частицы до
центра шара? Внутри шара какого радиуса частица окажется с
вероятностью х/з ? (Центры шаров совпадают.)
5 66.* В сосуде находится -V молекул. Найти вероятность w
того, что в процессе хаотического .движения все молекулы собе-
рутся в одной половине сосуда. Вычислить w для Л = 2, 10,
Na = 6 1023.
5 67.* Рас^пределение вероятностей для некоторой случайной
величины х имеет вид с/ш(х) ос ехр(—Xx)dx Л > 0 (0 х < ос).
Отпормировагь распределение. Найти средние (х), (ж2), средне-
квадратичную и относительную флуктуации.
5.68. При какой температуре средняя квадратичная скорость
молекул азота больше их наиболее вероятной скорости па Av =
= 50 м/с?
5.69. Какая часть молекул кислорода нри t = О °C обладает
скоростями v от 100 до 110 м/с, от 900 до 1000 м/с7
5.70и Во сколько раз число молекул ДЛ'ь скорости которых
лежат и интервале от ивер до vB<jp 4- Av, больше числа моле-
кул AV?, скорости которых лежат в интервале от у/(г2) до
v/P) + Av?
5.71. Какая часть общего числа N молекул имеет скорости:
а) больше наиболее вероятной скорости vBCp; б) меньше наиболее
вероятной скорости vBep?
5 72. В сосуде находится 2,5 г кислорода Найти число Л,
молекул кислорода скорости которых превышают среднюю ква-
дратичную CKOJXJCTb yf [V-Qo
5.73. * Функция распределения вероятностей величины х имеет
вид f (х) = .4е~О;Г 4тг2г, где Д и а—константы. Написать при-
ближенное выражение для вероятности Р того, что значение х
окажется в пределах от 7Й9999 до 8,0001
5.74 " Написать выражение, определяющее относи тельную до-
лю т) молекул 1аза, обладающих скоростями, превышающими наи-
более вероятную скорость.
5.75. ’ Распределение Максвелла ;uim компоненты скорости
имеет вид
dw (их) = (vx) dvx = Л exp (-mv2/2A-T) rfv,.
О-гнормкровать это распределение (определить Д). Что происхо-
дит с максимальным значением <р при: а) увеличении темпера-
туры Г: 6) увеличении массы т? Вычислить (v2).
5.76 * Исходя из распределения Максвелла по модулю ско-
рости получить распределение для энергии € носгунательного
Цэ|
МОЛЕ К УЛЯ PIIO- К В ИКТИЧ ИСКАН ТЕОЯ1 я
59
движения молекул dw (е) = F (s) tte. Нарисовать график» зависи-
мостей F(e) для и Аг2 нри одной и той же температуре 'Г.
5.77. ’ Используя результаты задачи 5.76, пайгн паивероятней-
шее £о и среднее (с) значение энергии поступательного движения
молекул газа при юмнератург ’Г. Найти высоту максимума рас-
пределения Fo = F(co). Нарисовать график F(e) для двух тем-
ператур: Г н 21. При какой энергии €♦ пересекаются кривые?
Чему равны площади под кривыми?
5 78/ Вертикальный цилиндр с газом покоится в однородном
иоле тяжести. Масса молекул газа т, число молекул в цилин
дрс А\ площадь понцрцчного сечения цилиндра S. Найгн разность
давлений газа на нижнее р> и верхнее pi основания цилиндра.
5 79. Обсерватория расположена на высоте А — 3250 м над уров-
нем моря. Найти давление р воздуха на этой высоте. Температу-
ра воздуха постоянна и равна 5°C. Молярная масса воздуха д =
= 0,029 кг/моль. Давление воздуха на уровне, моря р^ = 101,3 кПа
5 80. Найти плотность воздуха р: а) у поверхности Земли;
б) на высоте А = 4 км от поверхности 'Земли. Температура воздуха
постоянна и равна 0°С Давление воздуха у поверхности Земли
Ро = 100 кПа.
5 81.* Вблизи поверхности Земли отношение концентраций кис-
лорода (02) и азота (Na) в воздухе rfo = 0,268. Полагая температу-
ру атмосферы нс зависящей от высоты и равной 0сС, определить
это отношение на высоте h = 10 км.
5.82. * Равновесный идеальный газ находится во внешнем по-
ле, н коюром нотши шальная шергия его молекулы равна и (г),
температура газа Т Концентрация молекул газа в точке с ра-
диус-вектором fb равна по- Определить концентрацию молекул в
точке с радиус-вектором г.
5.83/ Известна зависимость концентрации молекул газа от ко-
ординат л (г)- Найти распределение нсдюятпостей dw (г) для ко-
ординат молекул. Объем газа V
5.84 * Решить предыдущую задачу для распределения Больц-
мана п (т) = по охр (—и (г)/АТ).
5.85. * Равновесный идеальный газ находится в однородном
поле тяжести» Написать зависимость от высоты А концентра-
ции молекул газа п и давления р, если температура газа Т,
п(А = О) = no, p(h = 0) = ро- Нарисовать графики п (А) и р(А)
для двух тс.мператур Г> < Т2.
5.86. Перрен, наблюдая при помощи микроскопа изменение
концентрации взвешенных частиц гуммигуна с изменением высоты
и применяя барометрическую формулу, экспериментально нашел
значение числа Авогадро Лд. В одном из опытов Перрен нашел,
что при расстоянии между двумя слоями ДА = 100 мкм число
взвешенных частиц гуммигута в одном слое вдвое больше, чем
в другом Температура гуммигута i = 20 Со Частицы гуммигута
60
МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА
(Гл. II
диаметром d = 0,3 мкм были взвешены в жидкости, плотность
которой на Др = 0/2 • 10е кг/мч меньше плотности частиц. Найти
но этим данным значение постоянной Авогадро Лгд.
5.87. * Используя результат задачи 5.78, получить дифферен-
циальное ураннснис для зависимости даилепия р идеального газа
с температурой Т, находящегося в однородном поле тяжести, от
высоты Л, для чего рассмотреть цилиндр бесконечно малой высо-
ты dh. Решить это уравнение в предположении, что температура
газа не зависит от / и p(?i = 0) = ро- В тех же предположениях
найти зависимость от высоты концентрации молекул п.
5.88. * Может ли планета неограниченно долго удерживать изо-
термическую атмосферу?
5.89. * Идеальный газ находится в сосуде объемом V при тем-
пературе Т. Масса молекул газа тп. Внешних силовых полей
ист. Найти распределения вероятностей t/rc(f, и) для координат
и компонент скорости молекул газа.
5.90. * Как измени гея ответ задачи 5.89. если газ находится во
внешнем поле, в котором потенциальная энергия молекул газа
равна и (г)?
5.01. * Идеальный газ находится в однородном ноле тяжести.
Сравнить долю «быстрых» (и ио = у/2кТ/т) молекул на вы-
соте h — 0 и на высоте h = 1км. Температура газа от высоты не
запиент.
5.92. * Из баллона, содержащего гелий при давлении 1МПа,
вытекает струя, давление* газа в которой 0,1 МПа. Температура
газа в баллоне 300К. Определить температуру и скорость гелия
в струе.
5.93/ Источник атомов серебра создает узкий пучок, кото-
рый попадает на внутреннюю поверхность неподвижного цилин-
дра радиуса Л = 30 см и образует на ней пятно. Устройство
начинает вращаться с угловой скоростью и — ЮОтград/с. Опре-
делить скорость атомов се.|>ебра, если пятно отклонилось на угол
= 0,314 рад от первоначального положения.
5.94. * Скорости частиц, движущихся в потоке, имеют одно на-
правление и лежат в интервале от но ДО 2ц>. График функции
распределения частиц по скоростям имеет вид прямоугольника.
Чему равно значение функции распределения? Как она изме-
нится, если на частицы в течение времени t вдоль их скорости
действует сила F? Масса каждой частицы равна т.
5.95. * Закрытую с обоих торцов горизонтальную трубку длины
I = 100 см перемещают с постоянным ускорением ш, направленным
вдоль се оси. Внутри трубки находится аргон при температуре
Т = 330 К. При каком значении w концентрации аргона вблизи
торцов трубки будут отличаться друг от друга на г? = 1 %?
5.96. Найти среднюю длину свободного пробеги молекул угле-
кислого газа при температуре t = 100°C и давлении р = 13.3 Па.
Диаметр молекул СО2 d = 0,32 нм
МОЛЕКУЛЯРНО-КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ
61
5.97. На высоте 300км от поверхности Земли концентрация
частиц газа в атмосфере п = 1015м”3. Найти среднюю длину
свободного пробега частиц газа на этой нысотс. Диаметр частиц
d = 0,2 нм.
5.98. Найти среднюю длину свободного пробега молекул воз-
духа при нормальных условиях. Диаметр мол ж ул воздуха
d = 0,3 мм.
5.99. Найти среднее число столкновений в единицу времени
молекул СО2 при температуре t = 100 °C, осли средняя длина
свободного пробега молекул А = 870 мкм.
5.100. Найти среднее число столкновений в единицу време-
ни молекул азота при давлении р = 53 33 кПа и температуре
t = 27 °C.
5.101. Do сколько раз уменьшится число столкновений в еди-
ницу времени в двухатомном газе, если его объем адиабатически
увеличить в 2 раза?
5.102. Найти среднюю длину свободного пробега молекул азота
при давлении р= 10 кПа и температуре t = 17 °C
5.103. В сосуде объемом V = 100 см3 находится 0,5 г азота
Найти среднюю длину свободного пробега молекул азота.
5.104. Найти среднее время между двумя последовательными
столкновениями молекул азота при давлении р = 133 Па и темпе-
ратуре 10 С
5.105. Какое предельное число молекул воздуха должно нахо-
диться внутри сферического сосуда, чтобы молекулы не сталки-
вались друг с другом? Диаметр молекулы но:щуха d = 0,311м,
диаметр сосуда D = 15 см.
5.100. Расстояние между катодом и анодом в газоразрядной
трубке d = 15см. Какое давление надо создать в трубке, чтобы
электроны не сталкивались с молекулами воздуха иа пути от ка-
тода к аноду? Температура воздуха t = 27 °C, диаметр молекул
воздуха rfo = 0,3нм. Средняя длина свободного пробега элек-
трона в низе приблизительно в 5.7 раза больше средней длины
свободного пробега молекул самого газа.
5.107. Найти среднее число столкновений в единицу времени
молекул некоторого газа, если средняя длина свободного пробега
А = 5.мкм, а средняя квадратичная скорость «го молекул 500м/с.
5.108. * При нормальных условиях в 1см3 атомарного водорода
содержится 3 • 10w атомов. Оцените время, в течение которого
половина атомов превратится в молекулы водорода. Считать, что
каждое столкновение двух атомов водорода приводит к образова-
нию молекулы. Диаметр атома недорода d = 0,12 нм.
5.109. * Найти вероятность dw столкновения молекулы гада на
отрезке длины dS, если средняя длина свободного пробега А.
62 МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА !1 ТЕРМОДИНАМИКА [Гл. II
5 Л10.* Найти вероятность dw (т) того, что молекула газа про-
летит путь х без столкновений и столкнется с другой молекулой
на участке от х до х + dx. Средняя длина свободного пробега
молекул А. _
5.111/ Определить характер зависимости средней длины А и
среднего времени г свободного пробега молекул газа от его тем-
пературы Т и давления р. Качественно нарисовать зависимости
А(Т) и т (Т) для разных ...
5.112/ На тонкую плоскую мишень толщины d, содержащую
тц частиц сорта « в единице объема, надает однородный пучок
частиц copra 6, которые рассеиваются на частицах мишени. За
время At зарегистрировано ДАГ частиц сорта 6, рассеянных на
всевозможные углы. Считая столкновения однократными, опре-
делить полное эффективное поперечное сечение рассеяния a (v)
частиц b на частицах а. Концентрация часгиц b п*, их скорость и,
площадь поперечного сечения пучка S. Частицы мишени а счи-
тать неподвижными.
5.113/ Как связаны между собой полное (<т) и ди<|м|>ерепци-
алыюе (da) сечения рассеяния?
5.114. Найти коэффициент диффузии водорода щж нормаль-
ных условиях, если средняя длина свободного пробега А = 0,16мкм.
5.115 Найти коэффициент диффузии гелия при нормальных
условиях.
5 116 Найти массу азота, прошедшего вследствие диффузии
через площадку S = 0,01м2 за 10 секунд, если плотное 1Ь из-
меняется в направлении, перпендикулярном к площадке, как
Ар/Ах = 1,26кг/м4. Температура азота t = 27 °C, средняя длина
свободного пробега молекул азота А=10мкм.
5.117. Вычислить коэффициент взаимной диффузии водорода
и азота при температуре Т = 300 К в давлении р= 1,00 - 10ьПа.
5.118. Получить соотношение между коэффициентом диффу-
зии и подвижностью частицы (соотношение Эйнштейна)
5.119. При каком давлении р отношение1 вязкости некоторого
газа к коэффициенту его диффузии tjD = 0,3кг/м3, а средняя
квадратичная скорость его молекул vv2 =632 м/с?
5.120. ПаЙти вязкость азота при нормальных условиях, если
коэффициент диффузии для него D = 1,42 - 10”ьм2/с.
5.121 Найтн диаметр молекулы кислорода, если при темпера-
туре t — 0 °C вязкость кислорода г/ = 18,8 мкПа с.
5 122. Построить график зависимости вязкости азота от тем-
пературы 1 в интервале ЮС) $ Т <600К через каждый 100 К.
5.123. Коэффициент диффузии и вязкость водорода при не-
которых условиях равны D = 1,42- 10~4м2/с и ;/ = 8,5мкПа-с.
Найтн число молекул водорода в едини нс объема, его плотность,
среднюю длину свободного пробега и среднюю арифметическую
скорость его молекул.
МОЛЕ’КУЛЯРНОКИИЕТИЧКСКАЯ ТЕОРИЯ
63
5.124. Какой наибольшей скорости может достигнут!» дожде-
вая капля диаметром d — 0,3 мм? Диаметр молекул воздуха
</ = 0.3 им. Температура воздуха t = 0°С. Считать, что для
дождевой капли справедлив закон Стокса.
5.125. Самолет летит со скщюстью и = 360 км/ч. Считая, что
слой воздуха у крыла, увлекаемый вследствие вязкости, d =4 см,
найти касательную силу, действующую на единиц}' поверхности
крыла. Диаметр молекул воздуха <4 = 0,3 нм. Температура
воздуха t = 0 °C.
5.126. Пространство между двумя коаксиальными цилиндра-
ми заполнено газом Радиусы цилиндров равны R{ = 5 см,
11‘2 = 5,2 см. Высота внутреннего цилиндра h = 25 см. Внеш-
ний цилиндр вращается с частотой п = 360 об/мин. Для тою,
чтобы внутренний цилиндр оставался неподвижным, к нему на-
до приложить касательную силу Fr = 1,38мН. Рассматривая в
первом приближении поверхность цилиндров плоской, определить
вязкость газа г/ между цилиндрами.
5.127. Найтн теплопроводность водорода, вязкость которого
т/ = 8,6 .мкПа с
5.128. Найти теплопроводность воздуха при давлении р =
= 100 кПа и температуре t = 10 °C. Диаметр молекул воздуха
d = 0,3 им.
5.129. Построить график зависимости теплопроводности водо-
рода от температуры Т в интервале 100 $ Т < 600 К через каждые
100 К.
5.130. Углекислый газ и азот находятся при одинаковых тем-
пературах и давлениях. НаЙги для этих газон отношение:
а) коэффициентов диффузии; б) вязкости; в) теплопроводностей.
Диаметры .молекул газов считать одинаковыми.
5 131. Расстояние между стенками дьюаровского сосуда d =
= 8 мм. При каком давлении р теплопроводность воздуха, нахо-
дящегося между стопками сосуда, начнет уменьшаться при oi кач-
ке? Температура воздуха t = 17 °C- Диаметр молекул воздуха
d = 0,311м.
5.132Л Известны градиент температуры VT н теплопровод-
ность А. Написать выражение для вектора плотности потока
теплоты д. Указать единицы измерения д и к в СИ.
5.133. Какое количество теплоты Q теряет помещение за время
t = 1 ч через окно за счег теплопроводности воздуха, заключен-
ною между рамами? Площадь каждой рамы S = 4м2, расстояние
между ними d=30cM. температура помещения ti = 18СС, темпе-
ратура наружного воздуха to = ~20°С. Диаметр молекул воздуха
de = 0,3 нм. Температуру воздуха между рамами считать равной
среднему арифметическому температур помещения и наружного
воздуха. Давление р = 101,3 кПа.
64
МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА
(Гл. 11
5.134. Между пластинами, находящимися на расстоянии 1мм
друг от друга, находится воздух и поддерживается разность тем-
ператур ДТ* =* 1 К. Площадь каждой пластины S = 0,01 м2. Какое
количество теплоты Q передается за счет теплопроводности от
одной пластины к другой за время 10 мин? Считать, чю воздух
нах(х!1ится при нормальных условиях. Диаметр молекулы воздуха
0,3 нм.
5.135/ Температура Т идеалыю!х> одноатомного газа убывает
вдоль оси х, функция Т (х) известна Пусть некоторая^ .молекула
пролетела без столкновения от точки х н точку х + А, где А—
средняя длина свободного пробега. Какой «избыток» средней
кинетической энергии ДЬ\ она принесла с собой?
5.136. Два тела с постоянными температурами Ту и Та (ТЬ > Ту)
соединены теплопроводящим стержнем длины I с поперечным се-
чением S. Пренебрегая потерями тепло 1Ы че(юз боковую поверх-
ность стержня, определить зависимость температуры стержня Т
от координаты х. Найти поток теплоты </ через поперечное сече-
ние стержня. Теилонро1И)ДН(х:г|> материала стержня к
5.137/ Зазор между двумя концентрическими сферами запол-
нен однородным изотропным веществом. Радиусы сфер равны:
Г1 = 10 см, т*2 = 12 см Поверхность внутренней сферы поддер-
живается при температуре Ту = 320 К, поверхность внешней
при температуре 7*2 = 300 К В этих условиях от внутренней
сферы к внешней распространяется установившийся тепловой по-
ток dQ/dl = 2 кВт. Считая коэффициент теплопроводное! и ве-
щества к в зазоре не зависящим от температуры, определить:
а) значение к. 6) температуру в зазоре как функцию расе коя-
пия г от цсиггра сфер.
5.138. * Температура воздуха земной атмосферы линейно уве-
личивается с высотой /1, Т = То -I- оЛ При этом относительное
изменение температуры ah/T^ остается много меньше 1. Длина
свободного пробега молекул воздуха А, масса каждой молеку-
лы ш, концентрация молекул п. Оцените плотность теплоного
потока на Землю, как она зависит от п?
5.139. * Теплопроводности газов .4 н В равны соответственно
ку и 1*2* Определить теплопроводность смеси, в которой молекул
i-аза Я в о раз больше, чем молекул газа В. Температура газов
одинакова, газы одноатомные. Молярные массы газов соответ-
ственно /м и Р2.
5.140. ' В разреженном газе нагретое тело оггышмч та время т
За какое в(К?.мя остынет тело из того же материала, если вес его
линейные размеры увеличить в п раз?
5.141/ В сосуде находится газ под давлением р. В стенке
сосуда имеется отверстие площади S, размеры которого малы но
сравнению с длиной свободно!!) пробега молекул пыл. Определить
реактивную силу, испытываемую сосудом при истечении газа в
вакуум.
§Ь|
МОЛЕКУЛЯГ1Ю.КИ11ЕТНЧЕГКАЯ ТЕОРИЯ
5.142. * Между двумя длинными коаксиальными цилиндрами
рняиуип Г| и г-» находи гея разреженный гаи. Вну-цмиший цилиндр
вращается с постоянной угловой скоростью ил Оцепить угловую
скорое! ь внешнего цилиндра.
5.143/ Оценить подъемную силу пластины плондедью 1м2.
нижняя поверхность которой находится при температуре 100°C,
верхняя при 0 °C Температура воздуха 20°C, давление 0.1 Па.
5.144. * Дне одинаковые параллельные пластины площади S
расположены в сосуде близко друг к другу; их температура 7!
и 1*2, температура стопок сосуда Т Пластины оттхчннваюгся
друг от друга с силой F. Оценить давление разреженного газа в
сосуде.
5.145/ В сосуде с газом поддерживается температура То. Вне
его находится газ. давление которого р. а температура Т Чему
равно давление razia внутри сосуда. если в стенке; сосуда имеется
небольшое отверстие? Газы разрежены
5.146/ Между двумя плоскими параллельными пластинами,
расположенными па расстоянии d друг от друга, находится раз-
режеиный одноатомный газ Отшить плотность потока тепла,
если температура пластин поддерживается равной Т и Т 4- Д7'
соответственно, л концентрация атомов п Масса атома тп.
5.147/ Газ. заключенный в сосуде объема V. вытекает в ваку-
ум через отверстие, диаметр которого много меньше длины сво-
бодного пробега молекул Площадь отверстия S. Процесс проте-
кает изотермически при температуре Т Найти время т, за ко-
торое давление в сосуде уменьшите» в п раз Молярная масса
га за р.
5.148/ Определить скорость адиабатическою истечения смеси
двухатомных газов с молярной массой pi и р2- Число моле-
кул первого газа в к раз больше числа молекул второго газа.
Температура смеси Т.
5.149/ Газ адиабатически вытекает из сосуда через трубку.
Температура газа в сосуде 7>, давление pi. Па выходе из трубки
давление газа р% Определить скорость газа па выходе из трубки.
Молярная Maeda газа д, показатель адиабаты х.
5.150/ Из баллона. содержащего гелий при давлении 1 МПа.
вытекает струя, давление газа в которой 0,1 МПа. Температура
газа в баллоне 300 К. Определить температуру и скорость гелия
в струе.
5.151/ Воздух, сжатый в большом баллоне нри тем гидрату р<*
0 °C, вытекает при атмосферном давлении через трубку со ско-
ростью 400 м/с. Найти температуру воздуха в сгруе. Чему равно
давление; воздуха в баллоне?
5.152. Юг кислорода находятся в сосуде под давлением р =
= 300 кПа и температуре 10 °C. После изобарического нагревания
G6
МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА
(Гл. Н
газ занял объем I — Юл. Найти количество теплоты, полученное
газом, изменение внутренней энергии газа и работу, совершенную
газом при расширении.
5.153. В закрытом сосуде находится масса 20 г азота и 32 г
кислорода. Hart i и изменение ину трепней шергни газон при охла-
ждении ее на 28 К
5 154. 7 г углекислого газа были нагреты на 10 К в услови-
ях свободного расширения, Найти работу расширения газа и
изменение его внутренней энергии.
5.155. В сосуде под поршнем находится 1 г азота- Какое ко-
личество теплоты надо затратить, чтобы нагреть азот на ЮК?
На сколько при этом поднимется поршень? Масса поршня 1кг,
площадь его поперечного сечения 10см2. Давление над поршнем
100 кПа.
5.156. При изотермическом расширении Юг азота. находяще-
гося при температуре 17 °C, была соворшпна работа 860 Дж Во
сколько раз изменилось давление при расширении?
5.157. Гелий, находящийся при нормальных условиях, изотер-
мически расширяется от объема Ц = 1л до Ц = 2 л. Найти
работу, совершенную газом при расширении и количество тепло-
ты, сообщенное газу.
5.158. До какой температуры охладится воздух, находящийся
при 0 °C, если он расширяется адиабатически о г объема Ц до
Vi = 2Vi?
5.159. При адиабатическом сжатии воздуха в цилиндрах двига-
теля внутреннего сгорания давление изменяется от pi =0,1 МПа
до р2 = 3.5 МПа. Начальная температура воздуха G = 40°C
Найти температуру воздуха в конце сжатия.
5.160. Газ расширяется адиабатически, причем объем его уве-
личивается вдвое, а термодинамическая температура надает в
1,32 раза. Какое число станиной свободы имеют молекулы этого
газа?
5 Л 61. Двухатомный газ, находящийся при давлении pi =2 МПа
и температуре £i =27 °C, сжимается адиабатически от объема V]
до lz2 =03olZ!- Найти температуру и давление газа после сжатия.
5.162 . В сосуде под поршнем находится гач при нормаль-
ных условиях. Расстояние между дном сосуда и дном поршня
h — 25 см. Когда па поршень положили груз массой т = 20 кг.
поршень опустился на Ah =' 13,4 см. Считая сжатие адиабати-
ческим, найти показатель адиабаты х. Площадь поперечного
сечения поршня 5 = 10 см. Массой поршня пренебречь.
5.163 / Давление некоторого газа изменяется с объемом V по
закону Р — Ро схр[—a(V — Vb)|- Найти работу, совершаемую газом
при расширении от Ц до 2Ц.
5.164 .* Тело с известной теплоемкостью С охлаждается от 7\
до 72. Определить количество отданного телом тепла Q.
§3]
МОЛЕКУЛ ЯРКО КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ
5.165 / Получить уравнение состояния идеального газа, если
его генлосмкость изменяется: а) С = Су + аТ\ 6) С = Су +
в) С = СуЧ-ор» где а и fl—константы.
5.166 .* Теплоемкость идеального газа Сп при политропиче-
ском процессе постоянна. Получить в переменных V, Т и р, I
уравнение политропы для Сп — (пСу — Сг)/(п — 1), где Ср и
Су — изобарическая и изохорическая теплоемкости газа, ап—
параметр, характеризующий процесс. Почему п называют пока-
зателем политропы?
5.167 / Изохорическая теилое.мкость v молей идеального газа
равна Су. Определить теплоемкость этого газа при политропи-
ческом процессе с показателем политропы п (см. задачу 5.166).
5.16К / Определить теплоемкость моля идеального i-аза, если
а) р = «V; б) V = Зр~^3. Считать Су известной.
5.169 / Найти молярную теплоемкость одноатомного газа, рас-
ширяющегося по закону pVn ~ const.. При каких значениях п
теплоемкость будет равна нулю? Бесконечноеги?
5.170 / Нагревается или охлаждается газ, расширяющийся но
закону pVn = const?
5.171 / Найти теплоемкое гь системы, состоящей из перекрыто-
го поршнем цилиндра с одноатомным газом (давление ро, темпе-
ратура То и объем Vo). Поршень удерживается пружиной. Слева
от поршня вакуум. Если газ от качать, то поршень соприкоснется
с правой сгенкой цилиндра, а пружина будет не деформирована.
Теплоемкостями сосуда, поршня и пружины пренебречь.
5.172 / В оч качанном пространстве вертикально стоит цилин-
дрический сосуд, перекрытый сверху подвижным поршнем мас-
сы А/. Нод поршнем находится одноатомный газ при температу-
ре Т н давлении р. Внутреннее сечение цилиндра S. высота той
части сосуда, внутри которой находится газ, раина //. Поршень
отпустили, он начал двигаться. Чему равна максимальная ско-
рость. развиваемая поршнем, если газ сжимается изотермически?
Адиабат и чески?
5.173 / В длинной гладкой теплоизолированной грубо находят-
ся теплоизолированные поршни массы т> и тг, между которыми
в объеме Vo находится при давлении 7Л) однолгомныЙ гач. Поршни
отпускают. Определить их максимальные скорости, если масса
газа много меньше массы каждого поршня.
5.174 / В длинной теплоизолированной трубе между двумя
одинаковыми поршнями массы m каждый находится 1 моль одно-
атомного газа при температуре Го- Поршни начинают двигаться
навстречу друг другу со скоростями V и 3V. До какой макси-
мальной температуры нагреется газ?
5.175 / В теплоизолированном длин пом цилиндрическом сосу-
де, стоящем вертикально, на высоте h от дна висит на нити
поршень массы т. Под поршнем находится один моль газа.
G«
МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА
(Гл- Н
давление которого в начальный момент равно внешнему давле-
нию ро, а температура равна 2Ь- Какое количество теплоты
нужно подвести к газу, чтобы поршень поднялся до высоты 2 А?
Внутренняя энергия одного моля газа I/ = сТ, с = const. Трением
пренебречь.
5.176 .* В горизонтальном неподвижном цилиндрическом сосу-
де, закрытом поршнем массы А/, находится газ. Газ нагревают.
Поршень, двигаясь равноускоренно, приобретает скорость и. Най-
ти количество теплоты, сообщенной газу. Внутренняя энергия
моля газа U — с7\ с = const. Теплоемкостью сосуда и поршня, а
также внешним давлением пренебречь.
5.177 .* Некоторая масса кислорода занимает объем Ц = Зл
при температуре Tj =300 К и давлении pi =820кПа (рис. 43). В
другом состоянии газ имеет параметры: V2 = 4 л, р? = 600кПа.
Найти количество теплоты Q, по-
лученное газом, работу А, совер-
шенную газом при расширении и
изменение внузренней энергии Д£/
при переходе газа из одного состо-
яния в другое: а) через точку С
и б) череп точку D.
5.178 . Идеальная тепловая ма-
шина Карно совершает за один
цикл работу А = 2,94 кДж и от-
дает за один цикл холодильнику
количество теплоты Q = 13,4 кДж. Найти к.в.д. машины.
5.179 . Идеальная тепловая машина Карно за цикл получает
от нагревателя количество теплоты Qi = 2,512 кДж. Температура
нагревателя Tt = 400 К, температура холодильника Т2 = 300 К.
Найти работу, совершаемую машиной за один цикл, и количество
теплоты Q-2» отдаваемое холодильнику за один цикл.
5.180 . Идеальная тепловая машина Карно совершает за один
цикл работу А = 73.5 кДж. Температура нагревателя Tj =373 К,
холодильника 72 = 273 К. Найти к. н.д. цикла, количество те-
плоты (?!, получаемое машиной за один цикл от нагревателя, и
количество теплоты Q2. отдаваемое холодильнику за один цикл.
5.181 . Идеальная тепловая машина работает по циклу Карно.
Воздух при давлении pi = 708 кПа и температуре 7\ = 400 К
занимает объем Ц = 2л. После изотермического расширения
воздух занял объем Ц = 5л, после адиабатического расширения
объем возрос до Ц = 8 л. Найти: а) параметры пересечения
ню герм и адиабат; б) работу, совершаемую на каждом участке
цикла; в) полную работу в цикла; г) к. п.д. цикла; д) количества
теплоты и Q2) (Ji —полученное в цикле от нагревателя и
Qi —отданное холодильнику.
5')
МОЛЕКУЛЯРИО-КИИКТИЧЕСКЛЯ ТЕОРИЯ
G9
5.182 . Идеальный газ совершает цикл, состоящий из двух изо-
хор и двух изобар. При этом объем газа изменяется от Ц = 25м3
до У2 = 50 м3. а давление от р[ = 100 кПа до рз = 200 кПа. Во
сколько раз работа в таком цикле меньше работы в цикле Кар-
но, hi о тер мы которого соответствуют наибольшей н наименьшей
гем перату рам рассматриваемого цикла, если при изотермическом
расширении объем возрастает в 2 раза?
5.183 . Идеальная холодильная машина, работающая по обрат-
ному циклу Карно, совершает работу за один цикл .4 = 37 кДж.
При 41-ом опа забирает теплоту от тела с температурой Т2 = 263 К
и передает ее телу с температурой Т\ =290 К. Найтн к.п.д. ци-
кла, количество теплоты Q?, отнятое у первого тела, и количество
теплоты Qi, переданное второму телу за один цикл.
5.184 . Идеальная холодильная машина, работающая по обрат-
ному циклу Карно, передаст тепло от холодильника с водой
при температуре Т? = 273 К кипятильнику с водой при темпе-
ратуре Ti = 373К. Какую массу т.2 воды надо заморозить в
холодильнике, чтобы превратить в пар массу = 1 кг воды в
кипятильнике?
5.185 . Помещение (иаплипастся холодильной машиной, рабо-
тающей по обратному циклу Карно. Во сколько раз количе-
ство теплоты Q, получаемое помещением от сгорания дров в
печке, меньше количества теплоты Q', переданного помещению
холодильной машиной, которая приводится в действие тепловой
машиной потребляющей ту же массу дров? Тепловой двига-
тель работает между температурами Ту = 373 К и 7i = 273 К
Помещсшие требуемся поддержннать при температуре Т = 289 К
Температура окружающего воздуха Тп = 263 К.
5.186 . Паровая машина мощностью Р = 14,7кВт потребляет за
время t = 1 ч работы массу тп = 8,1 кг угля с удельной теплотой
сгорания q = 33 МДж/кг. Температура котла 7\ = 473 К. тем-
пература холодильника = 331 К. Найти фактический к.п.д.
машины и сравнить его с к.п.д. т/ идеальной тепловой маши-
ны Карно при тех же температурах. Круговой цикл машины
предстанлсн на диаграмме (рис. 44).
5.187 . Паровая машина мощностью Р = 14,7кВт имеет пло-
щадь поршня 8 = 0,02 м2, ход поршня h = 45см. Изобарический
процесс. PC (рис. 44) происходит при движении поршня на одну
треть его хода. Объемом И но сравнению с Ц и 14 прене-
бречь Давление пара п котле р> = 1,6 МПа, в холодильнике
р2 = 0,1 МПа. Сколько циклов за время t = 1 мин делает машина,
если показатель адиабаты х = 1,3?
5.188 . Цикл карбюраторного и газового четырехтактного дви-
ттеля внутреннего сгорания изображен па рис. 45. На участках
PC и DE происходит адиабатическое сжатие и расширение рабо-
чей смеси. Найти к.п.д. т} цикла, если степень сжатия V1/V2 = 5
11 показатель адиабаты х = 1,33.
70
МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА
|Гл. Н
5.189о В цилиндрах карбюраторного двигателя внутреннего сго-
рания газ сжимается политропически до l<2 = Ц/6. Начальное
давление pi =90 кПа, начальная температура Т\ = 400 К Найти
давление р2 и температуру Т2 газа в цилиндрах после сжатия
Показатель политропы п = 1,3.
5.190. В цилиндрах карбюраторного двигателя внутреннего сго-
рания газ сжимается поли тропически так, что после сжатия тем-
пература газа становится равной Т2 = 700 К Намалывая темпера-
тура газа 71 = 413 К Степень
сжагия У2Д1 = 5,8. Пай ги по-
казатель политропы п.
5 191. Найти к.п.д. >/ карбю-
рагорпого днигатсля внутреннего
сгорания, если показатель поли-
тропы п = 1,33 н степень сжа-
Рис. 46
тия а) Ц/Ц = 4 б) и У2 = 0
в) Vi/Уз = 8.
5 192 Цикл четырехтактного
двигателя Дизеля изображен на
рис. 16. Вегвь ВС —адиабатиче-
ское сжатие воздуха; DE — адиа-
батическое сжатие; CD — изобари-
ческое. расширение; ЕВ изохо-
рический процесс. Найти к п.д. у двигателя Дизеля.
5 193. Двигатель внутреннего сгорания Дизеля имеет степень
адиабатического сжатия е = 16 н степень адиабатического расши-
рения 6 = 6,4. Какую минимальную масс\ ш нефти потребляет
двигатель мощностью Р = 36,8 кВт за время f = 1ч? Пока-
затель адиабаты х = 1,3. Удельная теплота сгорания нефти
g = 46 МДж/кг.
5.194 .* Идеальный газ совершает круговой процесс, состоящий
из двух изотерм и двух изохор. Изотермнчечкие процессы про-
текают при температурах ?i н (7’1 > Т2)у изохорические—при
МОЛЕКУЛ ЯРКО-КИНКГИЧЕСКАЯ ТЖИ'ИЯ
71
объемах Ц и V в «е» раз больше V>). Найти к.п.д. q
цикла. Известно х
5.195 * Идеальный газ совершает круговой процесс, состоящий
из двух изотерм и двух изобар. Изотермические процессы проте-
кают при 7'| и ?2 (7’1 > 7’г)» изобарические — при pi и pj (р> в
ее» раз больше pi). Найти к.п.д. т/ цикла. Известно х.
5 196.* Доказать, что к п.д. любого обратимого цикла. совер-
шаютекпея » Интерполе температур Ть Т2 (Т\ > То), меньше
к.п.д. соответствующего цикла Карно (вторая теорема Карно)
5.197 . Пай ги изменение $ипропни AS при п]х>вращен ни массы
m = 10 г льда (Ti = 253К) в пар (Та = 373 К).
5 198 Найти изменение энтропии AS при превращении массы
т = 1 кг воды (Т[ = 273 К) в пар (Та — 373 К)
5.199 Найти изменение энтрЬиий AS при плавлении массы
т = 1 кг льда (7’ = 273К).
5.200 Найти изменение энтропии AS’ при переходе массы
т = 8 г кислорода от объема Vi = 10 л при температуре 1\ = 353 К
к объему Рз = 40л при температуре Та =573 К
5.201 . Масса т = 6,6г водорода изобарически расширяется от
объема Ц до объема V» = 2Ц. Найти изменение AS энтропии
при этом расширении.
5.202 . Масса тп = Юг кислорода нагревается от температу-
ры Ti = 323 К до температуры Т» = 423 К. Найти измене-
ние энтрении AS, если нагревание происходит: а) изохорически;
б) изобарически
5.203 Изменение энтропии на участке между двумя адиабата
ми в цикле Карно AS = 4,19кДж/К. Разность температур между
двумя изотермами АТ 5= 100Ко Какое количество теплоты Q
превращается н работу в этом цикле?
5.204 .* Как ведет себя энтропия термодинамической системы
при адиабатическом процессе?
5.205 .* Изобразить для идеального газа графики изотермиче-
ского и адиабат и чедкого процессов на диаграмме U, S
5 206 * Изобразить для идеального газа. графики изотермичен
ского, изобарического, изохорического и адиабатического процес-
сов на диаграмме: а) Т, S; б) V, S; и) р, S. Энтропию откла-
дывать по оси абсцисс. Графики проходят через общую для них
точку.
5.207 .* Энтропия системы изменяется с температурой по зако-
ну: S = а+Ы\ где а и b — константы. Какое количество тепла Q
иолу чае I система при обратимом шнречишин от Т до То?
5 208 * Моль одноатомного идеального газа нагревается обра-
тимо от Т\ до 7 2- В процессе нагревания газа его давление
изменяется с температурой по закону р = ро ехр (п7'). где а—
константа. Определить количество тепла полученное газом при
нагревании. 7j = 300К, Т? = 400 k о = 10 3 К"1
72
МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА
[Гл. П
5.209 .* Идеальный газ. расширяясь изотермически (Т — 400К),
совершает работу Л — 800Дж. Что происходит при атом с энтро-
пией газа?
5.210 / В ходе обратимого изотермического процесса (7=350 К)
тело совершает работу А = 80Дж. а впутрелняя энергия тела
получает приращение А17 = 7,5 Дж. Что происходит с энтропией
газа?
5.211 / В некотором интервале температур приращение энтро-
пии некоторого вещества оказывается пропорциональным прира-
щению температуры: AS = аДТ. Как зависит от темпера гуры
теплоемкость С вещества в том же интервале?
5.212 / Известно, что вблизи абсолютного нуля теплоемкость
кристаллов изменяется по закону: С = аТ3, где а — константа.
Определить энтропию кристалла.
5 213/ Давление газа изменяется пропорционально его объему.
Найти зависимость энтропии S одного моля идеального газа от
объема V при таком процессе. Считать известным показатель
адиабаты х.
5.214 / Азот массой m = 1 кг находится в сосуде объемом
Ц = 0,2 м3 под давлением р = 1 • 105 Па. Азот расширяется до
объема lz2 = 0.54 м3, при этом его давление падает в 2,7 раза.
Определить приращение энтропии газа AS и его внутренней энер-
гии Д17.
5 215/ Цилиндрический сосуд разделен на равные половины
!1Сре1ч>|х>дкой с первоначально закрытым отверстием. В одной
половине сосуда—идеальный газ, в другой — вакуум. Отвер-
стие открывают и газ раскроет роняется па весь объем. Про-
цесс расширения газа адиабатический. Определить приращения:
а) внутренней энергии Дбг; 6) энтропии AS.
5.216 / В сосуде находится Л' молекул. Найти вироятшкть
попадания всех /V молекул в одну из половин сосуда, провести
расчеты для Л' = 2, 5, 10, 100.
5.217 / В сосуде объемом Vq находится N молекул. Опреде-
лить вероятность попадания в объем V (V < Ц>) всех N молекул.
Провести расчеты для V/Vq = 0,1 и .V — 2, 5, 10
5.218 / Получить выражение, связывающее энтропию систе-
мы S п каждом состоянии с вероятностью Р реализации того же
состояния (формула Больцмана).
5.219 / Статистический вес G некоторого состояния термоди-
намической системы равен: а) Ю10; б) 5 • 1О10. Чему равна эн-
тропия S системы в этом состоянии? Чему равна по порядку
величины относительная разность энтропии AS/S для случаев
а) и б).
5 220/ Энтропия моля водорода при температуре Т = 298 К и
давлении р= 1,013*К)5Па равна S = 130 Дж/моль-К. Определить
статистический вес G-. а) одного моля; б) двух молей водорода
при данных условиях.
РЕАЛЬНЫЕ ГАЗ!J
73
§•1
§ 6. Реальные газы
Уравнение состояния реальных газов (уравнение Ван-дер-Ваальса) для Од-
ного моля газа имеет инд
(р+ф) (Ч>-Ь) = ЯТ.
где Vo — молярный объем газа, р—давление. Т-термодинамическая темпе-
ратура, Н = 8,31411Дж/( моль К)—газовая постоянная, а и Ь—постоянные,
различные дня разных газов.
Уравнение Ван-дер-Ваальса для любой массы m газа имеет вид
(V-
где V' — объем всего газа, /< - молярная масса газа. В этом уравнении =
= р, давлении) обусловленное силами взаимодействия молекул, = V,—
объем, связанный с собственным объемом молекул
Постоянные a u b данного газа связаны с его критической температурой ГК1
критическим давлением рк и критическим молярным объемом
ння мп
РЬж соотноше-
^ = зь> Рк,^. 7k = ^
Эти уравнения можно решить относительно постоянных анк
277* Л2 ,
---—- -- п —Г ——
64рк ’ 8р,
Если ввести при нолем ныс* величины
г = T/TKt Л- = р/р«) w =: Vb/Vbx,
то урашшмии Пан-дор-Ваальса для одною моля гаэи примет вид
(r+ (3u> - 1) = 8т.
6.1. * Показать, что зависимость сил притяжения в потенциа-
ле Леннарда-Джонса зависит от расстояния между молекулами
как ~ г"6,
6.2. Какой физический смысл константы Ван-дер-Ваальса о?
6.3. * (Правило Максвелла). Доказать равенство площадей фи-
гур abr. и cde на изотерме Ван-дер-Ваальса (рис. 47).
6.4. В каких единицах системы СИ выражаются постоянные
а и by входящие в уравнение Ван-дер-Ваальса?
6 5. Пользуясь данными о критических величинах Тк и рк лыя
некоторых газов (см. Прил. XIV), найти для них постоянные
а и by ихилящие в уравнение Вап-дер-Вааиьса,
74
МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИ ШКА И ТЕРМОДИНАМИКА
(Гл И
6.6 Какую температуру
Г имеет .масса т = 2 г
азота, занимающего объем
V = 820см3 при давлении
р = 0,2 МНа? Газ рассма-
тривать как: а) идеальный;
б) реальный
6.7. Масса тп = Юг ге-
лия занимает объем V =
= 100 см3 при данле.кни р =
= 100 МПа. Найти темпе-
ратуру Т газа, считая его: а) идеальным; б) реальным.
6 8. В закрытом сосуде объемом V а 0,5м3 находится коли-
чество и = 0,6 кмоль углекислого газа при давлении р = 3 МПа
Пользуясь уравнением Ван-дер-Ваальса, найти, во сколько раз
надо увеличить температуру газа, чтобы давление увеличилось
вдвое.
6 9. Количество г/ = 1 кмоль кислорода находится при темпе-
ратуре t — 27 °C и давлении р= 10МПа. Найтн объем V газа,
считая, что кислород при данных условиях ведет себя как ре-
альный газ
6 10. Найти эффективный диаметр а молекулы азота двумя
способами: а) по данному значению средней^ длины свободного
пробега молекул при нормальных условиях А = 95 нм: 6) по из-
вестному значению постоянной Ъ в уравнении Ван-дер-Ваальса.
6 11 Найти среднюю длину свободного пробега А молекул
углекислого газа при нормальных условиях. Эффективный диа-
метр а молекулы вычислить, считая известными для углекислою
газа критические значения Т* и рк.
6 12 Найти коэффициент диффузии D гелия при температуре
t = 17 °C и давлении р = 150 кПа. Эффективный диаметр о агома
вычислить, считая известными для гелия критические значения
Гк и рк.
6 13. Построить изотермы р ~ f (V) дтя количества и=\ кмоль
углекислого газа при температуре t = 0°С. Газ рассматривать как:
а) идеальный; б) ртльный. Значения V (в л/моль) для реаль-
ного газа взять следующие: 0 07, 0,08, 0 10, 0,12, 014, 0,16. 0,18,
0,20, 0.25, 0,30, 0,35 и 0,40; для идеального газа —в интервале
0.2 $ U $ 0.4 л/моль
6 14. Найти давление р„ обусловленное силами взаимодействия
молекул, заключенных и количестве р = 1 кмоль газа при пор
мальных условиях. Критическая температура и критическое да-
вление этого газа равны Тк =417 К и р* = 7,7 МПа
6=15 Для водорода силы нзанмолейсгвня между молекулами
незначительны; преимущественную роль играют собственные раз-
меры молекул. Написать уравнение состояния такого полу идеал ь-
§в|
РЕАЛЬНЫЕ ГАЗЫ
75
ного газа. Какую ошибку мы допустим при нахождении кол и че-
стна водорода I/, находящегося в иекогором объеме при темпера-
туре t=0°C и давлении р = 280 МПа, не учитывая собственного
объема молекул?
6.10. В сосуде, объемом V = Юл находится масса ;л = 0.25ki
азота при температуре I = 27 °C- Какую часть давления газа
составляет давление, обусловленное силами взаимодействия мо-
лекул? Какую часть объема сосуда составляет собственный объм
молекул?
0.17. Колпчесгио р — 0.5 кмоль некоторого газа занимает объем
Vi — 1 м3. При расширении газа до объема У2 = П2м была совер-
шена работа против сил взаимодействия молекул Л — 5,684 кДж.
Найти постоянную а, входящую в уравнение* Вяи-дсф-Вгьалься.
6.18. * Получить выражение для работы .4, совершаемой мо-
лем ваи-дер-ваал ьсовского газа при изотермическом расширении
от объема V| до объема Ц. Температура газа 7, постоянные
Ван-дер-Ваальса а и Ъ. Сравнить с работой идеального газа.
0.19.* Моль кислорода, занимавший объем Ц = 1л при
температуре Т — 173 К, расширился изотермически до объема
Ц = 9,712 л. Найти, а) приращение внутренней энергии газа Д(7,
б) работу Я, совершенную газом; в) количество тепла Q, полу-
ченное газом.
6.20. * Получить для вап-дер-ваальсопского газа уравнение ади-
абаты в переменных V и 7. а также в переменных V и р
Сравнить результаты с аналогичными уравнения для идеального
газа-
6.21. Масса m = 20 кг азота адиабатически расширяется в ва-
куум от объема Ц — 1м3 до объема 14 = 2м3. Найти понижение
Д7’ температуры при этом расширении, считая идписгной для
азота постоянную о. входящую в уравнение Ван-дер-Ваальса (см.
ответ 6.5).
6.22. Количество г/ = 0.5 кмоль грсхатомиого газа адиабати-
чески расширяется в вакуум от объема Ц = 0,5 м3 до объема
Vi = Зм3. Температура газа при гном понижается на Д7' = 12,2k.
Найти постоянную «, входящую в уравнении Ван-дер-Ваальса.
6.23 Какое давление р надо приложить, чтобы углекислый газ
превратить в жидкую углекислоту при температурах 1| =31 °C и
/2 =50 °C? Какой наибольший объем может занимать .масса
m = 1 кг жидкой углекислоты? Каково наибольшее давление ртах
насыщенного пара жилкой углекислоты?
6.24. Найти плотность рк водяного пара в критическом со-
стоянии. считая известной для пего постоянную 6, входящую В
уравнение Вап-дер-Ваальс.а (см. ответ 6.5).
6.25. Найти плотность рк гелия в критическом состоянии счи-
тая 1сшесгнымп для гелия критические значения Тк и рк.
76
МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА
(Гл. II
6.26. Количество и =1 кмоль гелия занимает объем V =0,237 м3
при температуре? t = —200 °C Найти давление р газа, пользуясь
уравнением Ван-дер-Ваальса в приведенных величинах.
6 27. Во сколько раз давление газа больше его критическою
давления если известно, что его объем и температура вдвое
больше критических значений этих величин?
6 28.* Определить для ван-дер-надльговского газа разность мо-
лярных теплоемкостей Ср—Су. Сравнить с соотношением Майера.
6.29. " Построить графики зависимостей внутренней энергии U
моля наи-дер-ваальсовского газа от: а) температуры Т при
V = const; б) объема I при Г = const. Сравнить эти кривые
с аналогичными для идеального газа.
6.30. * Найти выражение для энтропии моля ваи-дер-ваальсов-
ского газа (как функцию от Т и V). Сравнить с выражением
для энтропии идеального газа.
§ 7. Насыщенные пары и жидкости
Абсолютной влажностью р называется парцигыыюе давление водяною пара,
находящегося в воздухе. Относительной клажмпстып ш называется отношение
абсолютной влажности р к парциальному давлению ри водяного „ара. насыща-
ющею пространство при данной температуре
Удельной теплотой парообразования г называется количество теплоты, не-
обходимое для превращения единицы .массы жидкости и пар при постол иной
темлературе.
Милирна» теплота парообразования го = дг, где д— молярная масса
Зависимость давления насыщенного пара рк от температуры дается уравне-
нием Клаузиуса—Клапейрона
4рп _______гр_____
T(VOir-lbm)t
где Von и V©* — молярные объемы пара и жидкости.
Относительное. изменение <>Ги4*мн жидкости при tlu 1 реваиин
= |5Л7’,
где .в [Л* !]— температурный коэффициент объемного расширения.
Относительное изменение объема жидкости нри изменении давления
где к [IIл 1 ] — сжимаемость.
Поверхностное натяжения а |Н/м] численно равно силе, приложенной к еди-
нице длины края поверхностней пленки жидкости
« = F/L
При изменении илощадн пленки „а Д5 совершается работа
АЛ = п Д5.
§71
НАСЫЩЕННЫЕ ПАРЫ И ЖИДКОСТИ
Добавочное давление, вызванное кривизной поверхностн жидкости, онреде-
ляетхгя формулой Лапласа
Лр = “(й7+Л’)'
где Rj и /?2—р.1лиусы кривизны двух взаимно перпендикулярных сечений по-
верхности жидкости Радиус R считается положительным, если центр кривизны
находится внутри жидкости (выпуклый мениск), к отрицательным, если нснхр
кривизны находится пне жидкости (вогнутый мениск)»
Высота поднятия жидкости в капиллярной трубки
. 2л соя О
h-~Vp9~’
где г — радиус трубки, р—плотность жидкости, 0—краевой угол. При полном
смачивав им 0 = 0, при полном неси ачи ванин 0 = т
Давление насыщенного пара над погнутой поверхностью жидкости мень-
ше, а над выпуклой — больше, чем давление. ри над плоской поверхностью. До-
бавочное давление
г । 2ар_
Лр„ = р„ - ,
где р плотность жидкости. р„ — плотность насыщенного паря жидкости, Н
радиус кривизны поверхности жидкости.
Осмотическое давление р раствора связано с термодинамической температу-
рой Т ({юрмулоП Ван г-Гоффа
р = CRT,
где R- газовая постоянная. С (моль/м3| ~ m/pV— молярная концентрация
раствори (количество раствори иного пешее i*im » единице объеми растиор.з).
Для растворов недиссоцпированных молекул вещества
— TZi — У
с-
где Лд— постоянная Авогадро, Дг — число молекул растворенного вещества н
единице объема раствора. При наличии диссоциации число частиц п глицине
объема будет больше, что приведет к увеличению осмотического давления.
Давление насыщенного пара нал раствором меньше, чем ицд чистым раство-
рителем. При достаточно малой концентрации раствора относительное умень-
шение давления насыщенного пара над раствором оирчщсляе-гся законом Рауля
Ро~Р _
Р(\ и i i/ ’
1де ра—давление насыщенного пара под чистым раствори гелем, р дапленпц
насыщенного пара над раствором г/ — количество растворенного вещества, v—
количество жидкости- Задачи, относящиеся к явлипию вязкости жидкостей,
помешены и §4 гл. 1.
7в
МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА
[Гл. 11
7 1.* В замкну wm объеме V = 1.мл относи тельная влажность
воздуха w = 0,6 при гсмнерлтуре t = 20 °C Какая масса во-
ды должна испариться в этот объем, чтобы водяной пар стал
насыщенным?
7.2/ Молярная мшта водяного пара /< = 0.018 кг/моль. Найти
число молекул п насыщенного водяного пара, содержащихся в
единице объема при темпера гуре t =30 °C.
7.3/ Масса т — 0,5 кг водяного пара занимает объем V = Юл
при температуре t = 50 СС. Какова при этом относительная влаж-
ность ш? Какая масса Дш пара сконденсируется, если изотер-
мически уменьшить объем от V до V/2?
7 4 Во сколько раз илшность pni насыщенного водяного пара
при температуре G = 200 °C больше плотности ри2 насыщенного
водяного пара при температуре $2 = 100 °C?
7 5. Какая масса m водяного пара содержится в объеме
V = 1м3 воздуха в летний день при температуре t = 30°C и
относительной влажности w = 0,75?
7.6/ В сосуд объема V = 10 дм3 поставили блюдце Содержащее
т = 1 г воды После этого сосуд герметически закрыли и оставили
при температуре t = 20 °C, при которой давление насыщенного
пара р = 2.33 кПа. Клкая часть полы испарится? Молярная
масса водяного пара р = 0.018 кг/моль.
7.7. Температура комнаты tj = 18 °C, относительная влажность
w = 0,5. В металлический чайник палили холодную воду. Какова
температура t2 воды, при которой чайник перестает запотевать?
7.8/ Смешали V > = 1 м3 воздуха с относительной влажностью
тс, =20% и V’2 = 2м3 воздуха с относительной влажностью
wa = 30%. При этом температура воздуха была одинакова. Смесь
занимает объем У = З.ма. Определить ее относительную вл аж
ность
7.9. " Определить отношение плотности сухого воздуха и нов-
духа с относительной влажностью w = 50%. Of>e порции взяты
при атмосферном давлении и температуре t = 20 °C. Отношение
.молярных масс пира и воздуха рп/рп = 0,6.
7.10. В камере Вильсона объемом V = 1 л заключен воздух,
насыщенный водяным паром. Начальная температура камеры
Л =20 °C. При движении поршня объем камеры увеличился до
1*2 = 1,25 Ц. Расширение считать адиабатическим, причем пока-
затель адиабаты х = c^fcy = 1,4. Найти: а) давление pi нодя-
ного пара до расширения; б) массу пц водяного пара в камере
до расширения; в) плотность водяного пара до расширения;
г) температуру 12 после расширения (изменением температуры из-
за выделения тепла при конденсации пара пренебречь); д) массу
Am сконденсированного пара; е) плотность р2 водяного пара по-
сле конденсации; ж) степень пресыщения, т е. отношение плот
ПЛСЫЩЕННЫК ПАРЫ и жидкости
79
ности водяного пара после расширения (но до конденсации) к
плотное in водяного пара, насыщающего пространство при темпе-
ратуре. установившейся после конденсации.
7.11. * Цилиндр сечения я = 20 см2 разделен поршнем массы
т = 5 кг на две части. В нижней находится вода, а верхняя часть
откачана- Поршень соединен с цилиндром пружиной жесткости
к = 15и/м. Вначале пружина но д(ч]ю]>мн]х)вана Определить
массу образовавшегося пара при нагревании воды от t\ = 0°С до
Ь == 100 °C. Трением пренебречь.
7.12. * В цилиндре; закрытом поршнем, при температуре t =
= 20 °C находится воздух. На дне цилиндра имеется капелька
поды. Чему будет равно давление в цилиндре после изотермиче-
ского уменьшения его вместимости в два раза? Какую для этого
нужно совершить работу? Первоначальная вместимость цилиндра
0,5 м3, давление насыщенного пара при f = 20°C равно 1,73 кПа.
Начальное давление в цилиндре 101,3 кПа
7.13. Найти удельный объем и поды в жидком и парообразном
состояниях при нормальных условиях.
7.14. Пользуясь первым законом термодинамики в данными
табл. XIV и XV, найти удельную тешлоту парообразования г во-
ды при t = 200 °C Для воды критическая температура 7'к = 617 К.
критическое давление рн =22 МПа. Проверить правильное! ь по-
лученного результата по данным табл. XVI.
7.15. Какая часть теплоты парообразования воды при темпера-
туре t = 100 °C идет па увеличение внутренней энергии системы?
7.16. Удельная теплота парообразования бензола (Се Не) при
температуре I = 77 °C равна г = 398 кДж/кг. Найти изменение
внутренней энергии ДIV при испарении массы Д?л = 20 г бензола.
7.17 * Указать карды ер зависимости (растет, убывает и т.н.)
скрытой теплоты парообразования ог температуры.
7.18. * Написать уравнение, определяющее зависимость давле-
ния р насыщенного пара от температуры Т Известны молярная
теплота парообразования Q и молярные объемы жидкой и
газовой кг фаз. Предполагая Q = const.. V'r 3> а также то,
что для расчета давления пара р можно с достаточной точно-
стью использовать уравнение состояния идеального газа, найти
зависимость р (Т)
7.19. Пользуясь уравнением Клаузиуса Клапейрона и данны-
ми табл. XV, найти удельную теплоту парообразования г недеы
при температуре f = 5 °C Проверить правильность полученного
результата по данным табл. XVI
7.20. Давления насыщенного ртутного пара при температурах
11 =? 100°C и = 120 °C равны р\ — 37,3 Па и — 101,311а. Найти
среднее значение удельной теплоты парообразования г ртути в
указанном интервале. температур.
7.21. Давления насыщенного пара этилового спирта (СгЩОН)
при температурах t\ = 40еС и = 60 °C равны pi = 17.7 кПа
80
МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА
[Гл. II
и Р2 — 67,9 кПа. Найтн изменение энтропии AS при испарении
массы Am = 1 г «лилового спирта, находя щелхм’л при температуре
* = 50 °C.
7.22. Изменение энтропии при испарении количества Др =
= 1 кмоль некоторой жидкости, находящейся при температуре
*1 =50 °C, AS = 133Дж/К. Давление насыщенного пара жидко-
сти при температуре *j =50 °C раппо pi — 12,33 кПа. На сколько
меняется давление насыщенного пара жидкости при изменении
температуры от = 50°C до Ь = 51 °C?
7.23. До какого предельного давления р можно откачать со-
суд при помощи ргутпо-днффузнойного насоса, работающего без
ртутной ловушки, если температура водяной рублшки насоса
t = 15 °C? Давление насыщенного ртутного пара при темпера-
туре = О °C равно pt) = 0,021 Па, среднее значение удельной
теплоты парообразования ртути в данном интервале температур
принять равным г = 10.08 МДж/кг.
7.24. При температуре tu = 0°С плотность ртути ра = 13,6 х
х К)3 кг/м \ Найти ее нлогноегь р при температуре t = 300 °C.
Коэффициент объемного расширения рту гм /7= 1,85 • 10“4К-1.
7.25. Найти плотность р морской воды на глубине h = 5 км,
если плотность сс на поверхности р0 — 1,03 1(Ркг/м3. Сжимае-
мость воды к = 4,8 • 10~1ОПа“!.
Указание. При вычислении гидростатического давления морской «оды ге
плотность приближенно полагать рлнноЙ плотности воды на ноперхиисгн.
7.26. При нормальных условиях сжимаемость банзола k = 9 х
х10"1ОПа“1. коэффициент объемного расширения ,3 = 1,24 х
х К)”3 К На сколько необходимо увеличить внешнее давление,
чтобы при нагревании па А* = 1 К объем бензола не измелился?
7.27. Найги разность уровней ЛЬ ртути в двух одинаковых
сообщающихся стеклянных трубках, если левое' кололо поддер-
живается при температуре *0 — 0 °C, а правое нагрето до темпера-
туры * = 100°C- Высота левого колена Ао —90 см. Коэффициент
объемного расширения ртути 3 = 1,82 10”4К_|. Расширением
стекла пренебречь.
7.28. Ртугь налита в стеклянный сосуд высотой L = 10см. При
температуре * = 20 °C уровень ртути на А = 1мм ниже верхнего
края сосуда Па сколько можно нагреть ртуть. чтобы она нс
вылилась из сосуда? Коэффициент объемного расширения ртути
3 = 1.82 1()“4 К""1. Расширенном стекла пренебречь.
7.29. Стеклянный сосуд, наполненный до краев ргутью при
температуре /о = 0°С, имеет массу А/ = 1кг. Масса пустого
сосуда Л*о — 0,1 кг. Найти массу m ртути, которая может по-
меститься в сосуде при температуре * = 100 °C. Коэффициент
объемного расширения ртути 4= 1,82 • 10~4 К”1. Расширением
стекла пренебречь.
7.30. Стеклянный сосуд наполнен до краев жидким маслом
при температуре = 0°С При пагрздаиин сосуда с маслом до
5-1
НАСЫЩЕННЫЕ ПАТЫ И ЖИДКОСТИ
81
температуры t = 100 °C вытекло 6% налитого масла. Найти
коэффициент объемного расширения масла Д. цели коэффициент
объемного расширения стекла 3f = 3 • 10“° К”1 -
7.31. Температура помещения I = 37 °C» атмосферное давление
Ро = 101,3 кПа. Какое давление р покажет ртутный барометр,
находящийся в этом помещении? Коэффициент объемного расши-
рения ртути 0 = 1,82 • 10 11 К"*1. Расширением стекла пренебречь.
7.32. Какую силу F нужно приложить к горизонтальному алю-
миниевому кольцу высотой Л = 10 мм, внутренним диаметром
d\ = 50 мм и внешним днаметртм d? = 52мм, чтобы оторвать его
от поверхности воды? Какую часть найденной силы составляет
сила поверх нос того натяжения?
7.33. Кольцо внутренним диаметром (Ц = 25 мм и внешним диа-
метром d-> — 26 мм подвешено па пружине и соприкасается с по
iiepxiiocibio жидкости. Жесткость пружины к = 9,8-10 7 Н/м При
опускании поверхности жидкости кольцо оторвалось от. нее при
растяжении пружины на = 5,3мм. Найти
поверхностное натяжение п жидкости.
7.34. Рамка ABCD с подвижной медной пе-
рекладиной KL затянута мыльной пленкой
(рис. 48). Каков должен быть диаметр d пе-
рекладины KL, чтобы она находилась в рав-
новесии? Найди длину I перекладины, если
известно, что при перемещении перекладины
на A/i = 1см совершается изотермическая ра-
бота Л = 45 мкДж. Поверхностное натяжение
Рис. 48
мыльного раствора а = 0,045 Н/м.
7.35. Си ирг по каплям вытекает из сосуда через вертикальную
трубку внутренним диаметром d = 2 мм. Капли отрываются через
время Дт —1с одна после другой. Через какое время т вытечет
масса m = Юг спирта? Диаметр шейки капли н момент отрыва
считать равным внутреннему диаметру трубки.
7.36. Вода по каплям вытекает из сосуда через вертикаль-
ную трубку внутренним диаметром d = Змм. При остывании
воды от ti = 100 °C до — 20 °C масса каждой капли измени-
лась на Д?п = 13,5 мг. Зная поверхностное натяжение «2 воды
при t2 = 20 °C, найти поверхностное натяжение Oj воды при
ti = 100 РС. Диаметр шейки капли в момент отрыва считать рав-
ным внутреннему диаметру трубки.
7.37. При плавлении нижнего конца вертикально подвешенной
свинцовой щюиолоки диаметром d = 1 мм образовалось W = 20
капель свинца. На сколько укоротилась проволока? Поверхност-
ное натяжение жидкого свинца о = 0,47 Н/м. Диаметр шейки
капли в момент отрыва считать равным диаметру проволоки.
7.38. Вода по каплям вытекает из вертикальной трубки вну-
тренним радиусом г = 1 мм. Найти радиус R капли в момент
82
МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА
[Гл. 11
отрыва. Каплю считать сферической. Диаметр шейки капли в
момент отрыва считать равным внутреннему диаметру трубки.
7.39. На сколько нагреется капля ртути, полученная от слия-
ния двух капель радиусом г = 1 мм каждая?
7.40. Какую работу А против сил поверхностного натяжения
надо совершить, чтобы разделить сферическую каплю ртути ра-
диусом К=3ым на два одинаковые капли?
7.41. Какую работу Л против сил поверхностного натяжения
пади совершить, чтобы увеличить вдвое объем мыльного пузыря
радиусом г = 1 см? Поверхностное натяжение мыльного раствора
о = 0,043 Н/м.
7.42. Какую работу А против сил поверхностного натяже-
ния надо совершить, чтобы выдуть мыльный пузырь диаметром
rf = 4c.M? Поверхностное натяжение а =0.043 Н/м.
7.43 Найти давление р воздуха в воздушном пузырьке диаме-
тром d = 0,01 мм, находящемся на глубине h = 20 см под поверх-
ностью воды. Атмосферное давление ро = 101,7 кПа.
7.44. * Вычислить добавочное давление Др[ внутри сфериче-
ской капли жидкости и Дрг—внутри сферического пузыря из
пленки той же жидкости. Радиус капли и пузыря Л, коэффици-
ент поверхностного натяжения жидкости а
7.45. * Радиусы кривизны поверхности жидкости в некоторой
точке равны Rt и R?. Чему равпа кривизна Н поверхности
в этой точке и как связано добавочное давление в жидкоеги
под этой точкой с Н9 Коэффициент поверхностного натяжения
жидкости о
7.46. Давление воздуха внутри мыльного пузыря на Др =
= 133.311а больше атмосферного. Найти диаметр d пузыря. По-
верхностно? натяжение мыльного раствора а = 0,043 Н/м
7.47. Во сколько раз плотность воздуха в пузырьке, находя-
щемся на глубине h — 5 м под водой, больше плотности возду-
ха при атмосферном давлении Ро = 101,3 кПа? Радиус пузырька
г = 0,5 мкм
7.48. * Жидкость плотности р
поднялась в капилляре на высо-
ту h (рис. 49). Давление окру-
жающее воздуха ро. Нарисо-
вать зависимость p(z) в точках
оси Z. Чему раней коэффициент
поверхностного натяжения жид-
кости, если радиус капилляра г
н имеет место полное смачива-
ние; полное нссмачивание?
7.40. * Жидкость плотности р
поднялась в капилляре на высо-
ту Ло (рис 50). Давлен ис окру-
жающего воздуха pg. Нарисовать зависимость давления р(х) в
точках оси х.
$71
НАСЫЩЕННЫЕ ПАРЫ К ЖИДКОСТИ
нз
7.50 В сосуд с ртутью опущен открытый капилляр, внутрен-
ний диаметр которого d = 3 мм. Разность уровней ртути в сосуде
и в капилляра Д/i = 3,7 мм. Найти радиус кривизны R мениска
в капилляре.
7.51 В сосуд с водой опущен открытый капилляр, внутрен-
ний диаметр которого d = 1 мм. Разность уровней воды в сосуне и
в капилляре Д/i = 2,8 см. Найти радиус кривизны R мениска в
капилляре. Какова была бы разность уровней ДЛ в сосуде и в
капилляре, если бы смачивание было полным?
7.52 Каким должен быть внутренний диаметр d капилля-
ра, чтобы при полном смачивании вола в нем поднималась на
ДЛ = 2 см? Задачу решить, когда капилляр находи гея: а) на
Земле; б) на Луне
7 53. Найти разность уровней Д/t ртути в двух сообщающихся
капиллярах, внутренние диаметры которых равны di = 1мм и
<4 = 2 мм. Несмачнвание считать полным
7.54. Капилляр с внутренним радиусом г = 2 мм опущен в
жидкость. Найти поверхностное натяжение о жидкости, если
известно, что в капилляр поднялась масса жидкости т = 0.09 г.
7 55. D сосуд с водой опущен капилляр, внутренний радиус
которого г = 0.16мм. Каким должпо быть давление р воздуха
над жидкостью в капилляре, чтобы уровень воды в капилляре
и в сосуде был одинаков? Атмосферное давление ро = 101,3 кПа
Смачивание считать полным.
7 56. Капиллярная трубка опущена вертикально н сосуд с во-
дой. Верхний конец трубки запаян. Для того чтобы уровень воды
н трубке и в широком сосуде был одинаков, трубку пришлось
погрузить в воду на 1,5% ее длины. Найти внутренний радиус г
трубки. Атмосферное давление ро = 100 кПа. Смачивание считать
полным.
7 57. Барометрическая трубка А, заполненная ртутью (рис. 51),
имеет внутренний диаметр iL равный: а) 5 мм; б) 1,5 см. Можно
84
МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА
(I> II
ли определять атмосферное давление непосредственно по высоте
ртутного столба? Найти высоту ртутного сго.хба в каждом из
этих случаев. Атмосферное давление Pq = 758 мм рт. ст. Несмачи-
вапие считать полным.
7.58. Внутренний диаметр барометрической трубки d = 0.75 см.
Какую поправку надо ввести, измеряя атмосферное давление по
высоте ртутного столба? Несмачнваннс считать полным
7.59Л Капилляр наполовину заполненный жидкостью, враща-
ется вокруг оси 00' (рис. 52). Длина ка-
пилляра 21, радиус — г. Плотность жид-
кости р, а поверхностное натяжение о.
Жидкость полностью смачивает капил-
ляр При какой угловой скорости вра-
щения жидкость не выльется из капил-
ляра?
7.60. * Как будет двигаться капля
смачивающей (несмачивающей) жидко-
Рис. 52 сти в горизонтально расположенном ко-
ническом капилляре?
7.61. На поверхность воды положили жирную (полностью нс-
смачиваемую водой) стальную иголку. Каков наибольший диа-
метр d иголки, при котором она еще может держаться на воде?
7.62. Будет ли плавить на поверхности воды жирная (пол-
ностью несмачиваемая водой) платиновая проволока диаметром
d = 1 мм?
7.63. В дне сосуда с ртутью имеется отверстие. Каким может
быть наибольший диаметр d отверстия, чтобы ртуть из сосуда не
выливалась при высоте столба ртути Л = 3см?
7 64. В дне стеклянного сосуда площадью S = 30см2 имеется
круглое отверстие диаметром d = 0,5 мм. В сосуд налита ртуть.
Какая масса т ртути останется в сосуде?
7.65. * После покрытия споем парафина радиус отверстий ре-
шета стал равеи г = 1,5 мм. Учитывая, что вода не смачивает
парафин. определить высоту h слоя воды, который можно носить
в решете так, чтобы вода не пролилась через отверстия.
7.66. Водомерка бегает по поверхности воды. Найти массу m
водомерки, если известно, чго под каждой из шести лапок насе-
комого образуется ямка, равная полусфере радиусом г = 0.1 мм
7.67. Какую силу F надо приложить, чтобы оторвать друг
от друга (без сдвига) две смоченные фотопластинки размером
5 = 9 х 12 см2? Толщина водяной прослойки между пластинками
d = 0.05 мм. Смачивание считать полным.
7.68. Между двумя вертикальными плоскопараллельными сте-
клянными пластинками, находящимися на расстоянии d — 0,25 мм
друг ох друга, напита жидкость. Найти плотность р жидкости,
§7)
НАСЫЩКПНЫК НАРЫ 11 ЖИДКОСТИ
S5
если известно, что высота поднятия жидкости между пластинка-
ми А = 3,1см. Поверхностное натяжение жидкости а — 0,03 Н/м.
Смачивание считать полным.
7.69. * Две вертикальные параллельные друг другу стеклянные
пластины погружены частично в воду. Зазор между пластинами
d — 0.5 мм, размер пластин по горизонтали I = 10 см. Считая
смачивание полным, определить:
а) высоту Л, па которую вода поднимается в зазоре;
б) силу F, с которой пластины притягиваются друг к другу.
7.70. Между двумя горизонтальными плоскопараллельными
стеклянными пластинками помещена масса тп = 5'г ртути. Когда
ил верхнюю пластинку положили груз массой Л/ = 5 кг, расстоя-
ние между пластинками стало равным d = 0.087мм. Пренебрегая
массой пластинки ио сравнению с массой груза, найти поверх-
ностное натяжение1 о ртути. Несмачивание считан» полным.
7.71. В открытом капилляре, внутренний диаметр которого
d = 1 мм, находится капля поды. При вертикальном положении
капилляра капля образует столбик высотой Л равной: а) 2 см;
б) 4 см; в) 2,98 см. Найти радиусы кривизны Л1 и R2 верхнего и
нижнего менисков в каждом из этих случаев. Смачивание считать
полным
7.72. Горизонтальный капилляр, внутренний диаметр которого
d — 2 мм, наполнен водой так, что в нем образовался столбик
длинной h = 10см. Какая масса т воды вытечет из капилляра,
если его поставить вертикально? Смачивание считать полным.
Указание. Учесть, что предельная длина столбика поды, оставшейся п ка
(iiuiJBiiMi, должна соотпетстпопагь радиусу крннияпы нижнею мениска, равному
радиусу капилляра (см. решение 7.71).
7.73. В открытом вертикальном капилляре, внутренний ради-
ус китецюго г = 0,6 мм, находится столбик спирта. Нижний мениск
этого столбика нависает на нижний конец
капилляра. Найти высоту Л столбика спир-
та, при которой радиус кривизны R нижне-
го мениска равен: а) Зг; б) 2г; в) г. Сма-
чивание считать полным.
7.74. Трубка, изображенная на рис. 53,
открыта с обоих концов и наполнена керо-
сином. Внутренние радиусы трубок 1 и 2
рдвпы Г1 =0,5 мм и г«2 = 0,9 мм. При ка-
кой разности уровней ДА мениск на копне
трубки 1 будет: а) вогнутым с радиусом
кривизны /? = п; б) плоским; в) выпуклым
с радиусом кривизны R = г2; г) выпуклым
с радиусом кривизны Я = п? Смачивание
считать полным
7.75. В широкий сосуд с водой опущен
верхний его конец находится выше уровня
капилляр так, что
воды в сосуде на
8b
МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИНИКА И ТЕРМОДИНАМИКА
[•’л II
h = 2 см. Внутренний радиус капилляра г = 0,5 мм. Найти
радиус кривизны R мениска в капилляре. Смачивание считать
полным.
7.76. Ареометр плавает в воде, полностью смачивающей его
сгш<ки. Диаметр вертикальной цилиндрической трубки ареометра
г/=9мм. На сколько изменится глубина погружения ареометра,
если на поверхность воды палить несколько капель спирта?
7 77. Ареометр плавает в жидкости, полностью смачивающей
его стенки. Диаметр вертикальной цилиндрической трубки арео-
мег рн d = 9 мм Плотность жидкости р = 0,8 х 10* кг/м3, поверх-
ностное натяжение жидкости а = 0,03Н/м. На сколько изменит-
ся глубина погружения ареометра, если вследствие замасливания
ареометр сгал полностью i измачиваемым этой жидкостью?
7.78/ Два легких тела, оба смачиваемые (или оба несмачива-
омые) водой, плакая на поверхности воды, притягиваю юн друг к
другу. Если же одно тело смачивается водой, а другое нс сма-
чивается. то тела будут отталкиваться, объяснить это явление.
7.70/ Маленькая капля жира плавает на поверхности жид-
кости, поверхностное натяжение которой а. Поверхностное на-
тяжение жира на границе воздух— жир 04, на границе жир
жидкость (72- Определить толщину капли, если се радиус равен г.
7.80. При растворении массы т = Юг сахара (С12Н22О11) в
объеме К= 0,5 л воды осмотическое давление расиюрл р = 152 кПа.
При какой температуре Т находится раствор? Диссоциация мо-
локу.! сахара отсутствует.
7.81. Осмотичстксх! давление раствора, находящегося при тем-
пературе t = 87 °C р = 165 кПа. Какое число Лг молекул воды
приходи гея на одну молекулу растворенного вещества и этом
растворе? Диссоциация молекул вещества отсутствует.
7.82. Масса тп. = 2г поваренной соли растворена в объеме
V = 0,5л воды, Степень диссоциации молекул поваренной соли
п = 0,75- Найти осмотическое давление р раствора при темпера-
туре t = 17 °C.
7.83. Степень диссоциации молекул поваренной соли при рас-
творении ее в иоде а = 0/1. При этом осмотическое давление
раствора, находящегося при температуре t=27°C, 118,6кПа.
Какая масса тп поваренной соли растворена в объеме V = 1л
1ЩДЫ?
7.84. Масса ш = 2.5 г поваренной соли растворена в объеме
V = 1л воды. Температура раствора t = 18 °C. Осмотическое
давление раствора р = 160 кПа. Какова степень диссоциации от
молекул поваренной соли в этом случае? Сколько частиц раст-
воренного вещества находится в единице объема раствора?
7.85. Масса m = 40г сахара (CrjHjaOn) растворена в объеме
V = 0,5 л волы. Температура раствора t = 50 сС- Найти давление р
насыщенного водяного пара над раствором.
§8)
ТВЕРДЫЕ ТЕЛА
87
7.86. Давление насыщенного пара над раствором при темпера-
туре G =30 °C равно pi = 42 кПа. Найти давление р-> насыщен-
ного пара над этим раствором ври температуре = 60 °C
7.87. Давление р насыщенного пара над раствором в 1,02 раза
меньше давления ро насыщенного пара чистой воды. Какие чис-
ло и молекул воды приходится на одну молекулу растворенного
вещества?
7.88. Масса тп = 100 г нелетучего вещества растворена в объ-
еме V = 1л воды. Температура раствора I = 90 °C Давление
насыщенного пара над рдстнором р = 68,8 кПа. Найти молярную
массу р растворенного вещества.
7.89 Нелетучее вещество с молярной массой р = 0,060 кг/моль
растворено в воде. Температура раствора t = 80°C. Давление на-
сыщенного пара над раствором р = 47,1 кПа Найти осмотическое
давление я» раствора.
§ 8. Твердые тела
Изменение температуры плавления (И' при изменении давления на dp дается
урамнеикК'М Клаузиуса Клапейрона
ОТ - у .Vom.tJV
где <jq — молярная теплота плавления. — молярный объем жидкости, Ц>г —
молярный объем твердого тела, Т—термодинамическая температура плавле-
ния
При не очень низких температурах для твердых тел имеет место закон Дю-
лонга н Пт к, согласно которому молярная теплоемкость всех химически про-
стых твердых тел равна приблизительно ЗЯ = 25 Дж/(молъ К).
Количество теплоты Q, переносимое вследствие теплопроводности за время
Дт, определяется формулой
<? = А -^ Д5Дт
где Д'Г/Дх — изменение температуры в направлении z, перпендикулярном к
илошадке Д5, Л ^теплопроводность.
При повышении температуры длина твердых гел возрастает в первом при-
ближении линейна с температурой:
I - io(l + at),
где I—длина тела при температуре f, Iq — его длина при температуре 1 о = 0 °C,
п — температурный коэффициент линейного раешкрмшя. Для твердых изо-
тропных тел а = б/З. где б—температурный коэффициент объемного расши-
рении.
В случае деформации продольного растяжения (сжатия) стержня относи-
тельное изменение длины стержня по закону Гука
-J- = Скра = -р рП9
где p»i нормалыпмг напряжение, т. с. рп = !*’/#» гДр F- растягивающая (сжи-
мающая) сила, S— площадь поперечного сечения. Величина Е [Па] = 1/о ка-
зыыштся модулем Юнга.
88
МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА
{Гл. [<
Относительное изменение диаметра стержня при продольном растяжении
(сжатии)
Ad -
Величина о = Й = называется коэффициентом Пуассона.
Дин закручивании стержня (проволоки) па некоторый угол у? необходимо
приложить момент пары снл (закручивающий момент)
Vf - я Nr 4
где I—длина проволоки, г — ее радиус, iV [Па] — модуль сдвига материала Про-
волоки-
Элементы кристаллографии.
Объем Vo одного килограмм-моля кристалла
Vo = £ ,
где р— киломоль, р плотность кристалла.
Объем V элементарной ячейки кристалла:
а) при кубической сингонии
V = o3,
б) при гексагональной сингонии
У=^в2-с,
где а и с—параметры ячейки.
Число Zo элементарных ичеек в одном кнлограмм-моле кристалла
Zo и
или
=
и п I
где к— число одинаковых атомов в химической формуле соединения, Лд—
число Л во гад ро, н — число одинаковых атомов, приходящихся на элементарную
ячейку.
Число Z элементарных ячеек в единице объема кристалла
у _ Zo
Z- V?’
а) в общем случае
z=,*-Ч,
и п п А9
б) дли кристалла, состоящего из одинаковых атомов (А* 1)
= Р Я«
F п • .4
где .4—кило(рамм атом.
Параметр кубической решетки
кр^'д ’
§•]
ТВЕРДЫЕ ТКЛЛ
89
Расстояние d между соседними атомами п кубической решетке:
а) в гранецсктрмропапной
d = a/\/2,
б) в объем ноцентр и ровен ной
Тепловые свойства твердых тел.
Энергия одного килограмм-атома химически простых {состоящих из одина-
ковых атомов) твердых тел в классической теории теплоемкости выражается
формулой
К = ЗЯТ,
где Я—универсальная газовая постоянная Т- абсолютная температура
Теплоемкость одного килограмм-атома химически простых твердых тел опре-
деляется по закону Дюлоига и Пт и:
Ct, = 3R.
Для химически сложных тел (состоящих из различных атомов) теплоемкость
Одного киломоля определяется законом Нгймшы Коппа
С» = п
л — общее число частиц в химической формуле соединения.
CfMwiire значение (е) анергии квантового осциллятора, приходящегося на
одну степень свободы, в квантовой теории Эйнштейна выражается формулой
(е) = е0 + - •
где ер — нулевая чиергия (со = 5 ЛИ» Л— постоянная Плдкка. м — частота
колебаний осциллятора, к — постоянная Больцмана, Т—абсолютная темпера-
тура.
Энергия одного хилограмм-атома кристалла в квантовой теории теплоемко-
сти определяется ках
g-^+3n^>_T-
где JSo | R0к нулевая энергия килограмм-атома, Ое — ~%г— характери-
стическая температура.
Теплоемкость одного килограмм-атома кристалла в квантовом состоянии
сд = ЗД(^У ^/г ...
\TJ tfB/T _ 1)4
Частотный спектр колебаний в теории теплоемкости Дебая задается функ-
цией распределения частот д(р). Число JZ собственных частот твердого тела,
приходящихся на интервал частот от у до и + dv
dZ — д {у} dy.
Для трехмерного кристалла, содержащего .V атомов
t№ = ^L^dl,.
^mix
t'max - максимальная частота, ограничивающая спектр колебаний.
90
МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА
(Гл II
Энергия твердого тела
^гоах
Я» У
о
Энергия одного килограмм-атома кристалла по Дебаю
з ех7т
E = fib+3RT3(i) /
о
q
где Е'о = g НО о— нулевая энергия одного кмлограмы-атома кристалла по Де-
баю 0& — — характеристическая температура Дебая.
Теплоемкость одного килограмм-атома кристалла по Дебаю
, eDfT
с-=3»[12(£) 1
О
Энергия фонона связана с частотой м колебаний
€ = ЙК
Квазиимпульс фонона
₽=х=л*.
где А— длина волны, = 5^1 * = —волновое число.
Схорость фонона (групповил)
_ de _ dr/
и - Ир “
Фазовая скорость фонон и: «ф = .
Скорости воли в кристалле:
продольных— ч = поперечных— ч =
где Е—модуль продольной упругости, G — модуль продольной упругости,
р — плотность твердого тела.
Усредненное значение скорости звука определяется формулой
3 _ _2 . J_
в3 ~ V3 + tf ’
Теплота, перенесенная через поверхность площадью S, перпендикулярную
направлению теплового потока за время dt9 определяется законом Фурье:
do - -х^5Л,
dV
х— коэффициент теплопроводности, — проекция градиента температуры.
Коэффициент теплопроводности X связан с удельной теплоемкостью (на
единицу объема) с, скоростью звука г и средней длиной свободного пробега
фононов А
X — j гА • v
§Ь.
ТВЕРДЫ!-: ГЕЛЛ
91
Линейный коэффициент теплового расширения но определению
Плотность тока насыщения при термоэлектронной эмиссии с катода дается
формулой Ричардсона —Дэшмака
7я-/ГГ?ехр{-Л/(Л-Г)}.
т , R—кегярфинисит отражения электронов гцюводи-
К*
где 13 « 120(1 - К)
см
мости от потенциального барьера па поверхности эмитифн, Л — pitGor* выхода
электронов (см. Приложение XXIV) с поверхности катода.
Полупроводники.
Удельная проводимость а собственных проводников
а = п - е (un f uF)?
где с—заряд электрона, п— концентрация носителей тока, ио и ир— по-
движное г>. электронов и дырок.
Напряжение (Ух «а гранях образца при эффекте Холла
UX = ftxW,
где Я\ постоянная Холит, Я — индукция маг питии го ноля, Ь—ширина пла-
стины. j — плотность тока.
Постоянная Холла для полупроводников типа алмаз, кремний, германий н
др., обладающих носителями тока одного нпда
8.1. Изменение энтропии при плавлении количества =1 кмоль
льда AS = 22,2кДж/K На сколько изменяется температура плл-
нлепия льда при увеличении внешнего давления на Др = 100кПа?
8.2. При давлении р\ = 100кПа температура плавления олова
ti = 231,9 °C, а при давлении pj = 10 МПа она равна t2 = 232,2 ° С-
Плотность жидкого олова р = 7,0 10л кг/м3. Найти изменение
энтропии AS при плавлен ни количества р = 1 кмоль олова.
8.3- Температура плавления железа изменяется на АГ=0,012К
при изменении давления па Др = 98кПа. На сколько меняется
при плавлении объем количества и = 1 кмоль железа?
8.4. Пользуясь законом Дюлопга и Пти, пайги удельную теп-
лоемкость с: а) меди; б) железа: н) алюминия.
8.5. Пользуясь законом Дюлонга и Пти. найти, из какого .ма-
териал* сделан металлический шарик массой ш = 0,025 кг, если
известно, что дня его нагревания от h = 10 °C до t2 = 30°C
потребовалось затратить количество теплоты Q = 117 Дж.
8.6. Пользуясь законом Дюлонга и Пти, найти, во сколько раз
удельная теплоемкость алюминия больше удельной теплоемкости
платины.
8.7. Свинцовая пуля, летящая со скоростью v = 400 м/с, уда-
ряется о сводку и входит в псе. Считая, чго 10% кинетической
92
МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМСЩИНАМИКА
(Ki. И
энергии пули идет па ее нагревание, найти, па сколько нагрелась
пуля. Удельную теплоемкость свинца найти по закону Дюлонга
и Птн.
8.8. Пластинки из меди (толщиной di =9 мм) н железа (тол-
щи ной dj = Змм) сложены имеете. Внешняя поверхность медной
пластинки поддерживается при температуре ti = 50 °C, внешняя
поверхность железной— при температуре 0°С. Найти темпе-
ратуру t поверхности их соприкосновения. Площадь пластинок
велика по сравнению с толщиной.
8.9. Наружная поверхность стены имеет температуру ti =
= —20°C, внутренняя — температуру t2 — 20 °C. Толщина стены
d = 40см. Найти теплопроводность А материала стены, если че-
рез единицу ее поверхности за время г = 1 ч проходит количество
теплоты Q = 460,5 к Дж/м2.
8.10. Какое количество теплоты Q теряет за время 7=1 мин
комната с площадью пола 5 = 20 м2 и высотой h = Зм через
четыре кирпичные стопы? Температура в комнате ti = 15 иС,
температура наружного воздуха t2 = —20 °C. Теплопроводность
кирпича Л = 0,84Вт/(м - К). Толщины стен d = 50см. Потерями
тепла чсфсз пол и потолок пренебречь.
8.11. Один конец железного стержня поддерживается при тем-
пературе ti = 100 °C, другой упирается в лед. Длина стержня
I = 14 см, площадь поперечного сечения S = 2см2. Найти ко-
личество теплоты Qr, протекающее в единицу времени вдоль
стержня. Какая масса m льда растает за время т = 40 мин?
Потерями тепла через стенки пренебречь.
8.12. Площадь поперечного сечения медного стержня S=10cm2,
длина стержня I — 50 см. Разность температур на концах стержня
ДТ = 15 К. Какое количество теплоты Qr проходит в единицу
времени через стержень? Потерями тепла пренебречь
8.13. На плите стоит алюминиевая кастрюля диаметром D =
= 15 см, наполненная водой- Кода кипит, и при этом за время
т = 1 мии образуется масса m = 300 г водяного пара. Найти
температуру t внешней поверхности дна кастрюли, если толщина
его d =2 мм. Потерями тепла пренебречь.
8.14. Металлический цилиндрический сосуд радиусом К = 9см
наполнен льдом при температуре ti = 0°С. Сосуд теплоизолиро-
ван слоем пробки толщиной d= 1см. Через какое время т весь
лед, находящийся в сосуде, растает, если температура наружного
воздуха t2=25°C? Считать, что обмен trivia происходит только
через боковую поверхность сосуда средним радиусом /?о = 9,5 см.
8.15. Какую силу F надо приложить к концам стального
стержня с площадью поперечного синения $ = 10см2, чтобы нр
дать ему расшириться при нагревании от /0 = 0°С до t = 30°C?
8.16. К стальной проволоке радиусом г= 1мм подвешен груз.
Под действием этого груза проволока получила такое же удли-
нение, как при нагревании на At — 20 °C. Найти маосу m груза.
ТВЕРДЫЕ ТЕЛА
93
8.17. Медная проволока натянута горячей при температуре
Ji = 150 °C между двумя прочными неподвижными стенками. При
какой температуре f-j, остывая, разорвется проволока? Считать,
что закон Гука справедлив вплоть до разрыва проволоки.
8.18. При - нагревании некоторого металла от /0 = 0°С до
I = 500 °C его плотность уменьшается в 1,027 раза. Найти дня
этого металла коэффициент линейного расширения а. считая его
постоянным в данном интервале температур.
8.19. Какую длину должны иметь при температуре f0 = 0°С
стальной и медный стержни, чтобы при любой температуре сталь-
ной стержень был длинное модного па = 5 см?
8.20. На нагревание модной болванки массой т= 1кг, находя-
щейся при температуре /ц = 0°С, затрачено количество теплоты
Q = 138,2кДж. Во сколько раз при этом увеличился ее объем?
Удельную теплоемкость меди найти по закону Дюлонга и Пти.
8.21. При растяжении модной проволоки, поперечное сечение
которой S = 1,5мм2, начало остаточной деформации наблюдалось
при нагрузке F = 44,1 II Каков продел упругости р материала
проволоки7
8.22. Каким должен быть предельный диаметр d стального
Tjxjca, чтобы on выдержал нагрузку F = 9,8kII?
8.23. Найти длину I модной проволоки, которая, будучи подве-
шена вертикально, начинает рваться под действием собственной
силы тяжести.
8.24. Решить предыдущую задачу для свинцовой проволоки.
8.25. Для измерения глубины моря с парохода спустили гирю
на стальном тросе. Какую наибольшую глубину I можно измерить
таким способом? Плотность морской воды р= 1-103кг/м3. Массой
гири по сравнению с массой троса пренебречь
8.26. С крыши дома свешивается стальная проволока длиной
/=40м и диамсг|юм <1 = 2 мм. Какую нагрузку F может выдер-
жать эта проволока? На сколько удлинится эта проволока, если
па ней повиснет человек массой m = 70кг? Будет ли наблюдать-
ся остаточная деформация, когда человек отпустит проволоку?
Предел упругости стали р= 294 МПа.
8.27. К стальной проволоке радиусом г = 1 мм подвешен груз
.массой 7п = 100 кг. На какой наибольший угол о можно отклонить
проволоку с грузом, чтобы она не разорвалась при прохождении
этим грузом положения равновесия?
8.28. К железной проволоке длиной I = 50 см и диаметром
d = 1мм привязана гиря массой ?п = 1 кг. С какой частотой л
можно равномерно вращать в вертикальной плоскости такую про-
волоку с грузом, чтобы она не разорвалась?
8.29. Олнородиый медный стержень длиной 1= 1м равномерно
вращается вокруг вертикальной оси, проходящей через один из
его концов- При какой частоте вращения л стержень разорвется?
94
МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА
(»- U
8.30. Однородный стержень равномерно вращается вокруг вер-
тикальной оси. проходящей через его середину. Стержень раз-
рывается, когда скорость конца стержня достгает v = 380 м/с.
Найти предан прочности р материала стержня. Плотность мате-
риала стержня р = 7,9 • 10* кг/м3.
8.31. К стальной проволоке длиной I = 1 м и радиусом г =• 1 мм
подвесили груз массой m = 100 кг. Найти работу .4 растяжения
проволоки.
8.32. Из резинового шнура длиной I = 42см и радиусом
г = Змм сделана рогатка. Мальчик, стреляя из рогатки, рас-
тянул резиновый шпур на Д/ = 20см. Найти модуль Юнга для
этой резины, если известно, что камень массой тп = 0,02 кг, пу-
щенный из рогатки, полетел со скоростью и = 20 м/с. Изменением
сечения шнура при растяжении пренебречь.
с 8.33. Имеется резиновый шланг длиной I =
= 50 см н внутренним диаметром Ф = 1см.
Шланг натянули так, что его длина стала на
= 10см больше. Найти внутренний диаметр
d> натянутого шланга, если коэффициент Пуас-
сона для резины о = 0.5.
8.34. На рис. 54 АВ -железно! проволока,
CD — модная проволока такой же длины и с
таким же поперечным сечением, BD— стержень
В х г D линией 1 ~ 80 см. На сгержсиь псдвесили груз
2L массой ш = 2 кг. На каком расстоянии х от точки
Um В надо его подвесить, чтобы стержень остался
Рис 51 горизонтальным?
8.35. Найти момент пары сил Л/, необходи-
мый для закручивания проволоки длиной 1 = 10см и радиусом
г = 0.1 мм на угол = 10'. Модуль сдвига материала проволоки
V = 4,9 • 1010 Па.
8.36. Зеркальце гальванометра подвешено на проволоке, дли-
ной I = 10 см и диаметром d = 0.01мм. Найти закручивающий
момент Л/, соответствующий отклонению зайчика на величину
а = 1 мм по шкале, удаленной на расстояние £ = 1 м от зеркаль-
ца. Модуль сдвига материала проволоки Лг = 4* 10,оПа,
8.37. Найтн потенциальную энергию W проволоки данной
I = 5 см и диаметром d = 0,04 мм, закрученной на угол <р = 1(У.
Модуль сдвига материала проволоки N = 5,9 х 10,оПа.
8.38. При протекании электрического тока через обмотку галь-
ванометра на его рамку с укрепленным на ной зеркальцем дей-
ствует закручивающий момент Л/ = 2-10“13Н м. Рамка при этом
поворачивается на малый угол ср. На это закручивание идет
работа Л = 8,7 - 10~|в Дж. На какое расстояние а перемес тится
зайчик от зеркальца по шкале, удаленной па расстояние £= 1м
от гальванометра?
ТВЕРДЫЕ ТЕЛА
35
8.39. Найти коэффициент Пуассона а. при котором объем про-
волоки при растяжении не меняется.
8.40 Найтн относительное изменение плотност цилиндриче-
ского медного стержня при сжатии его давлением р„ = 9,8 107Па.
Коэффициент Пуассона для меди о = 0,34.
8.41 Железная проволока длиной / = 5м висит вертикально.
Как измени гея объем проволоки, если к пей привязать гирю
массой тп = 10кг? Коэффициент Пуассона для железа а =0,3.
8.42. я Определить число узлов, приходящихся на одну элемен-
тарную ячейку н । panelичириронанноЙ решетке.
8.43. * Определить постоянную а и расстояние d между сосед-
ними атомами кристалла Са (решетка гранецентрированная ку-
бической сингонии). Плотность кристалла Са р=1,55 И)3 кг/м1.
8.44. * Определить число элементарных ячеек в единице объема
кристалла; а) хлористого цепня (решетка обьемноци! при романная
кубической сингонии); б) меди (решетка гранрцентрированцая ку-
бической сингонии); в) кобальта. имеющего гексагональную струк-
туру с плотной упаковкой.
8.45. * Найти плотность кристалла неона (при Т = 20К), если
известно, что его решетка гр ai сцентрированная кубической син-
гонии. Постоянная решетки при той же температуре а = 4,52 А
8.46/ Определить относительную атомную массу кристалла,
если известно, что расстояние между ближайшими соседними
атомами d = 3,04 А. Решетка гранецеитрированная кубической
сингонии. Плоиюсть кристалла р = 0,534 • 103 кг/м*1.
8.47. * Используя метол упаковки шаров, найти отношение па-
раметров спав гексагональной решетке с плотнейшей упа-
ковкой. Указать причины отклонения этой величины п реальном
кристалле о г вычисленного.
8.48 * Определить постоянные а и с решетки кристалла маг-
ния, который представляет собой гексагональную [мшштку <в плот-
ной упаковкой. Плотность кристалла магния 1,74 -103 кг/м3.
8 49 * Вычислить постоянную а решетки бериллия, который
представляет собой гексагональную структуру с плотной упа-
ковкой. Параметр решетки с = 3,59 А. Плотность кристалла
бериллия р = 1,82 • 103 кг/м3.
8-50.* Найти плотность кристалла Нг (при Т = 2 К), который
представляет собой гексагональную структуру с плотной упаков-
кой. Постоянная решетки « = 3,57 А.
8.51. * Определить теплоту, необходимую лля нагревания кри-
сталл NaCi массой m = 20 г на ЛТ = 2 К. Рассмотреть дна
случая:
а) нагревание происходит от температуры 7\ — Оо = 320 К:
б) нагревание» происходит от температуры Т| =2 К.
8.52 х Исходя из классической теории вычислить удельные теп-
лоемкости кристаллов: 1) Си; 2) AI; 3) NaCI и 4) СаС1
96
МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА
|Гл И
8.53. * Вычислить 1ПМ(У1йпис внутренней энергии кристалла Xi
при нагревании его от = О °C до to = 200 °C. Масса кристал-
ла 20 г.
8.54. * Получить формулу для среднего значения энергии (Е)
линейного гармонического осциллятора при гспловом равновесии.
Вычислить значение (Е) при Т = 300 К.
8.55. * Определить теплоемкость и энергию системы, состоящей
из .V = Ю2в трехмерных классических гармонических осциллято-
ров. Температура системы Т = 300 К.
8.56. ж Характеристическая температура атомов Ag равна 0е =
= 165 К. Определить частоту колебаний агомон Ag по теории
теплоемкости Эйнштейна.
"'8-57.* Во сколько раз нсменится средняя энергия квантового
осциллятора, приходящаяся па одну степень свободы при повы-
шения температуры от Т\ = ~ 0е до Т2 = №
8.58. * Используя квантовую теорию теплоемкости Эйнштей-
на, вычислить измешшне ДЕ впут^эсншШ энергии одного ки-
лограмм-атома кристалла при нагревании его на Д7' = 2 К от
температуры 1\ = |
8.59. * Вычислить ио теории Эйнштейна нулевую энергию, ко-
торой обладает один килограмм-атом кристалла цинка. Характе-
ристическая температура 0е для цинка раина 230 К
8.60. * В теории Дебая твердое тело рассматривается как си-
стема из продольных и поперечных стоячих волн. Определить
функцию распределения час геи у (я/) для кристалла с трехмер-
ной решеткой. Принять, что число собственных колебаний Z
ограничено и равно ЗА’. Аг - число агомон в рассматриваемом
объеме.
8.61. х Используя формулу для энергии трехмерного кристалла
ОоП
о
вывести выражение кнлограмм-атомноЙ теплоемкости.
8.62. * Килограмм-атомная теплоемкость трехмерного кристал-
ла выражается формулой
о
Найти предельное выражение Ср при низких температурах
Wd » Г).
8.63. * Для кристалла Ан вычислить максимальную частоту
собственных колебаний по теории Дебая. 0п = 180 К.
5м
ТВЕРДЫЕ ГЕЛЛ
97
8.64. * Кристалл нагревают от нуля до Т = 0,10р. Найти
отношение изменения wo внутренней энергии ДЬ к величине
нулевой энергии Eq. Припять Т 0п
8.65. * Вычислить изменение внутренней энергии одного кнло-
грамм-атома кристалла при его нитровании па ДТ = 2 К от тем-
пературы Т\ = -вЕ. Использовать квантовую теорию Дебая.
8.66. * Определить характеристическую температуру Дебая се-
ребра. cxvni дчя нагревания Юг от Ту = ЮК до Тч = 20К было
затрачено Дф = 0,71Дж теплоты. Принять Т <&0г>.
8.67. * Найти отношение характчфистических температур Эйн-
штейна И Дебая. Указание. Исиользоппть пырпжсиис дня нулепых
энергий, вычисленных по обеим теориям.
8.G8. * Для кристалла с двухмерной решеткой получить функ-
цию распределения частот д{и). Кристалл состоит из невзаимо-
действующих слоев, число собственных колебаний Z ограничено
и равно ЗАГ (V—число атомов кристалла). Рассматривать твер-
дое тело как систему продольных и поперечных стоячих волн.
8.69. * Зная функцию распределения частот (см. :тдачу 8.68)
для кристалла с двухмерной решеткой, получить формулу для
энергии кристалла, содержаще!*) А’ (ранное Агд) атомов.
8.70. * Используя ответ задачи 8 69, получить выражение для
теплоемкости килограмм-атома С'р кристалла с двухмирной ре-
шеткой.
8.71. ' Вычислить нулевую энергию одного килограмм-атома
двухмерного кристалла, если характеристическая гемпердгурл
Дебая = 350 К.
8.72. * Для кристалла с одномерной решеткой получить функ-
цию распределения частот д(//). Кристалл состоит из линейных
цепей, не взаимодействующих между собой, число собственных
колебаний Z ограничено и равно ЗА (А—число аюмов кри-
сталла).
8.73. * Рпшнгь № 8.69 для кристалла с одномерной решеткой.
8.74. * Решить №8.70 для кристалла с одномерной решеткой.
8.75. * Вычислить нулевую энергию одного килограмм-атома
одномерного кристалла, если характеристическая температура Де-
бая = 300 к
8.76 * ПаЙ1и шергию фонона, соответствующего граничной
частоте, если характеристическая температура 0о = 25ОК.
8.77. * Определить квазиимпульс фонона часготой v = 0,lt/nwix.
Среднее значение скорости звука н кристалле и = 1380 м/с,
0р = 1(ЮК Дисперсией звуковых волн пренебречь.
8.78. ’ Вычислить усредненное значение скорости звука в кри-
сталле серебра. Модули упругости Е и G\ а также плотность р
серебра считать нзвеччными.
8.79. * ()иред('лнть длину волны фононов п кристалле вольф-
рама. соответствующих частоте г/ = 0.11/п1ЛХ1 если во = 310 К.
Дисперсией звуковых ноли пренебречь.
98
МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ГЕИМОДИНЛМИКА
|Гл II
8.80. * Определить скорость звука в кристалле, характеристиче-
ская температура которого 0р = 300 К, а межатомное расстояние
а = 2,5 Л.
8.81. * Вычислить среднюю длину свободного пробега А фоно-
нов в кварце (SiOj) при некоторой температуре, если при той
же температуре х = 13Вт/(м • град), теплоемкость С = 44 кДж х
х(мтрад)"*1, усредиешшое значение скорости звука v — 5-1О3м/с.
Плотность кварца р = 2,65 • 103 кг/м3.
8.82. * Вычислить давление фононного газа в свинце при абсо-
лютном нуле. 0£> =85 К.
8.83/ Определить фононное давление в меди при Т = 0р =
= 320 К.
8.84. * Найти коэффициент объемного расширения для ани-
зотропного кристалла, коэффициенты расширения которого по
трем взаимно перпендикулярным направлениям составляют о> =
= 1,25 • 10“5град“1, «2 - 1Д • 10-5град-1, оз = 1.15 - К5 град"*1.
8.85/ Известно, что температура тала в точение 20 мни. пада
ст от 100 °C до 60 °C Температура воздуха при этом равна 20 ° С
Через сколько времени (от момента начала охлаждения) темпера-
тура тела понизится до 25 °C? Считать, что скорость охлаждения
тела в воздухе пропорциональна разности между температурами
тела и воздуха.
8.86/ Стена (коэффициент теплопроводности к = 0,0015) имеет
30см толщины. Найти, как зависит температура от расстояния
от внешней поверхности стелы, если температура равна 20 °C на
внутренней н 0°С на внешней поверхности.
8.87/ Концы однородного счг.ржпя постоянного сечения под-
держиваются при температурах и ^2 (*2 > h)- Температурный
коэффициент линейного расширения магериолл стержня равен п
Чему равна длина стержня, если нри 0°С опа была fo?
8.88/ Трубопровод тепловой магистрали (диаметр 20 см) защи-
щен изоляцией толщиной 10см; величина коэффициента тепло-
проводности А- = 0,00017 Температура трубы 160°C; температура
внешнего покроил 30 °C Плйтн распределение температуры вну-
три изоляции, а также количество тепла, отдаваемое 1 погонным
.метром трубы.
8.89/ Стальной трек удерживает кабину лифта, максимальная
масса которого не более 2500 кг. Если максимальное ускорение
лифта равно 1,5м/с2, то каким должен быть диаметр стального
троса при запасе прочности 5.0?
8.90/ Определите относительное удлинение алюминиевой про-
волоки. если при сг растяжении была затрачена работа А = 14 Дж
Длина проволоки I = 1 м, сечение S — 2 мм2.
8.91/ Существует максимальная высота однородной верти
калькой колонны из любого материала, не зависящая от площади
поперечного сечения, при превышении которой колонна разру-
шится. Вычислите эту высоту для колонны из стали. Предел
прочности стали на сжатие 5 • Ю8 Н/м2, плотность 7,8 КЯкг/м3.
ТВЕРДЫЕ ТЕ Л А
99
8.92. * Толщина биметаллической пластинки, составленной из
одинаковых иолоспк стали и цинка, равна d = 0,1 мм. Опреде-
лить радиус кривизны пластинки нри повышении температуры на
ДГ = ЮК ог темперагуры, при которой пластинка была ровной.
8.93/ Найти распределение температуры в пространстве между
двумя концентрическими сферами с. радиусами Ry и Яо, заполнен-
ном проводящим к'нло однородным веществом, если температуры
обеих сфер постоянны и равны Т\ и Т2.
8.94/ По однородному цилиндрическому проводу радиусом R
без изоляции тече т ток силой I. Определить стационарное рас-
пределение температуры в проводе, если температура его поверх-
н(х:ги (7у) 11<>;1д<фжикается постоянной. Удельное сопротивление
проводника р
8.95/ Какова работа выхода из металла, если повышение тем-
пературы нити накала, сделанной из этого металла, от 2000 К до
200 L К увеличивает ток насыщения в электронной лампе на 1 %?
8.06/ Определить ток насыщонмм и эл(ЖТ|юнн<>й ламне с
вольфрамовым катодом при следующих условиях: Длина и диа-
метр нити Зсм и 0,1мм; температура накала 2700 К; постоянная
13 для вольфрама равна 60.2 А/(см • К*).
8.97/ Германий имеет при некоторой температуре удельное со-
противление р — 0,48Ом -м. Определить концентрацию носителей
тока п, если подвижности электронов нп = 0,36м2/(В-с), а дырок
п.р = 0,16 м2/(В • с).
8.98/ Определить подвижность и концентрацию дырок в по-
лупроводнике дойна, если его удельная проводимоегь а =
= 1120м-1 • м . а постоянная Холла /?х = 3,66 • 10”4м3/Кл.
8.99/ Определить уровень Ферми в полупроводнике, если энер-
гия активации Д/?п “ 1 ъВ. За нулеиой уровень отсчета кинети-
ческой энергии электронов принять низший уровень зоны прово-
димости.
8.100/ В германии часть атомов замещена атомами сурьмы.
Диэлектрическая проницаемость германия е = 16. Рассматри-
вая дополнительный электрон примесного агома но модели Бора,
вычислить его энергию Е связи и радиус г ыч) орбиты.
8.101/ Пластина ширимой 6= 1 см н длиной L = 10см из-
готовлена из колу проводника и помешена в однородное магнит-
ное ноле с В = 0,2 Тл, перпендикулярное плосксхггн пластины.
К концам пластины по направлению L приложено постоянное
напряжение U = 30013. Определить разность потенциалов L;x на
гранях пластины, если /?х = ОД м3/Кл, удельное сонротнвлопие
р — 0,5 Ом • м.
8.102/ Кремниевая lumcnma щнриной 5 = 2см помещена в од-
нородное магнитное поле с индукцией В — 0,1 Тл перпендикуляр-
но линиям магнитной индукции. Холловская разность потенциа-
лов ~ 0,368 В возникает па гранях пластины при при текли ни
гока с плотностью j = 0,5А/мм2 вдоль пластины. Определить
концентрацию носнтелеЛ тока.
Глава III
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ
§ 9 Электростатика
По закину Кулона сила электростатического взаимодействия между двумя
заряженными телами, размеры которых малы. но сравнению с расстоянием г
между ними, определяется формулой
.51^
iTCofc3 ’
где gi и <уз— электрические заряды тел, г—относительная диэлектрическая
проницаемость среды, Со = 8,«о4187Б'2 -10~12 Ф/м —электрическая постоянная.
Напряженность электрического поля ппредшяатеп формулой
где F — сила, действующая на заряд q. Напряженность поля точечного заряда
Е— . 9 а-
dfftotr4
Напряженность электрического толя нескольких зарядов (например, ноле ди
поля) находится по правилу век горного сложения.
Ио т<ч>|>смг Гаусгя поток ианрижоимости сквозь любую замкнутую поверх-
ность
где 52ф алюбраичсская сумма зарядив, пнходящихги нпутрн wott поверхно-
сти. Соответствен по поток электрической» смещении сквозь любую замкнутую
поверхность
•vi> = £’••
При помощи теоремы Гаусса можно найтн напряженность электрического
поля, образованного различными заряженными телами
Напряженность ноля образованпого заряженной бесконечно длинной нитью,
Е = 7г--— ,
2 л* где а
где т линейная плотность заряда на инти, а — расстояние от нити Если нить
имеет конечную длину. то напряженность ноля в точке, иаходищеЛси на иер«
венднкуляре, iMxrcvraiuirjnioM из середины пяти на расстоянии а от ше,
F — т S>nA
2.Т6ОГ « 1 2
§0]
ЭЛЕКТ1’ССТЛ1ИКЛ
101
где 0 — угол между направлением нормали к нити и радиус-вектором, прове-
денным из рассматриваемой точки к концу нити.
Напряженность поля, образованного заряженной бесконечно протяженной
плоскостью,
л- — g
ь - 2Z5? •
где о поверхностная плотность заряда на плоскости. Цели плоскость пред-
ставляет собой диск радиусом Я. то напряженность поля в точке, находящейся
на перпендикуляре. шихтаилиниом из центра диска ни расстоянии а от исто,
2еос
1 - ---------Л .
V Н* + а 2 7
Напряженность поли, обрати >пан ноги разноименно заряженными параллель-
ными бесконечными плоскостями (поля плоского конденсатора).
Напряженность поля, образованного заряженным шаром,
к- т^-т.
41тео£г2
где q - заряд шара радиусом Лиг расстояние от центра шара, причем г > Н-
Электрнческои смешение D определяете л соотношением
Л — (atb = а
Разность потенциалов между я кум я точками электрического ноля определя-
ется работой, которую надо совершить, чтобы единицу положительного заряда
принести из одной точки в другую:
ЬГ = У?1 — ^2 =
Потенциал поля точечного заряда
“ 1л го*г ‘
где г — расстояние от заряда.
Нацриженность электрического ноля и потенциал связаны соотношением
В случдн однородного ноли шин к«нх> кондсчКитира напряженность
ь d 1
где (/ — разность потенциалов между пластинами конденсатора, d—расстояние
между НИМИ.
102
ЭЛЕК'ГРИЧМТПЮ и МАГНЕТИЗМ
!Гл. п>
Потенциал уединенного проводника и его заряд связаны соотношением
<? = Су?,
где С — емкость уединенного проводника.
Емкость н.*пм,к<и«» конденсатора
с = ?2’.—,
а
где 5 — площадь каждой нлшггнны кондмнгаторл,
Емкость сферического конденсатора
__
G R-r
где г и R—радиусы внутренней и внешней сфер В частном случае, когда
R — оо,
С = JiTEocr
—емкость уединенного шара.
Емкгнчь цилиндрического конденсатора
,, Zn-fncl/
где L — высота коаксиальных ци-1ипдцюв, г я R радиусы инутрсшкч*о м инеш
него цилиндров.
Емкость системы конденсаторов:
при параллельном соединении конденсаторов
C = C| +С2 + С3 + ... ,
при последовательном соединении
_L _ 1 । 1 1 .
С ~ С) CJ ся т •
Энергия уединенного заряженного проводника может быть найдена по одной
и» следующих формул:
IV = 9%., IV = ( IV = .
В случае плоского конденсатора энергия
и — _ eot E^Sd _ a2Sd
2rf “ 2 Vor ’
где $ — плошадь каждой пластины конденсатора, ст — поверхностная плотность
:шридл на пластинах, Г разность iior<:iiiin^.qon между пластинами, d—рас
стояние между ними. Величина
... еосЕ’2
и 'О — —2— —
назыпаг.гся объемной плотностью энергии электрического поля.
Сила протяжения мсжд\' пластинами плоского конденсатора
Л- - WE2S _ tocSfP _ ct2S
2 2d2 2ёое ‘
§0]
I
ЭЛ к к тюстлт И К А
103
9.1. * Определить дивергенцию следующих векторных полей:
а) « = г, г — радиус-вектор точки, в которой определяется ди-
вергенция;
б) a = ё?. где ё?—орт радиус-вектора точки;
и) а = /(г)сг, где f (г) — пекотодо! функция модуля ради-
ус-вектора;
г) « = Л—константа, г— радиус-вектор точки.
9 2.* Задано однородное поле вектора а. Определить: а) ди-
вергенцию этого поля; 6) поток вектора а через произвольную
замкнутую поверхность.
9.3. * Вычислить коток радиус-вектора г через сферу радиуса Я
с центром в начале координат.
9.4. * Вычислить поток вектора а через сферу радиуса R с цент-
ром в начале координат, если дивергенция вектора я известная
функция f (г) (V а = f (г)).
9.5. * Чему равна дивергенция вектора Е однородного электри-
ческого поля?
9 6.* Напряженность электростатического ноля Е как функция
координат имеет вид Е = х2ёх + у2ёу + zex. Определить илоикосхь
зарядов р, создающих такое поле.
9.7. * Потенциал поля, создаваемый системой зарядов, имеет
ипд: = гы2 4- by2 — cz2, «, 6 и с—положи тельные константы.
Найти напряженность поля Е(х^уу z).
9.8. * Напряженность Электрического поля Е имеет вид: И =
= ncj 4- 4- се-, а, Ь, с—константы. Является ли что иоле
однородным? Определить потенциал поля
9.9* Напряженность электростатического поля определяется
как Е = ^ег, где а — константа. Является ли это поле однород-
ным? Найти потенциал этого поля <р.
9 10 .* Определить ротор следующих векторных полей.
а) а = г радиус-век гор точки, в которой вычисляется ротор;
6) а = Д- г’ п — константа, г—радиус-вектор точки;
н) (7 = ег—орт радиус-вектора точки;
г) а = /(г)сг, /(г)— известная функция модуля радиус-век-
тора.
9.11/ Доказать, что однородное векторное ноле является без-
вихревым.
9 12/ Может ли поле Е = а(уех — jcev) быть электростатиче-
ским?
9.13/ Для поля Е = п (j/ez - тсу) вычислить:
а) ротор в точке с координатами (z, у. z);
6) циркуляцию Г по окружности радиуса лежащий и плос-
кости 2/; направление обхода контура образует с осью Z пра-
вовшгговую систему.
101
□ЛЕКТРИЧВСТПО и магнетизм
|Гл 111
9.14. Построить график зависимости силы F взаимодействия
между двумя точечными зарядами от расстояния г между ними
в интервале 2 $ г 10 см через каждые 2 см. Заряды 91 = 20нКл
и 02 = ЗОиКл.
9Я5. Во сколько раз сила гравитационного притяжения между
двумя протонами меньше силы их электростатического отталки-
вания? Заряд пригона равен по модулю и и роти hoi ю ложен по
знаку заряду электрона
9.16. Во сколько раз энергия И’™ электростатического взаи-
модействия двух частиц с зарядом q и массой т каждая боями?
энергии И>р их гравитационного взаимодействия? Задачу решить
для: а) электронов; б) протонов.
9.17. Посетить график зависимости энергии электроста-
тического взаимодействия двух точечных зарядов от расстояния г
между ними в интервале 2 г 10см через каждые 2см. За-
Рмс. 55
ряды 91 = 1нКл и 92 = ЗнКл; е = 1 Гра-
фик построить для: а) одноименных зарядов;
б) разноименных зарядов.
9.18. * В вершинах квадрата со стороной а
имеется четыре заряда (см. рис. 55). Найти
напряженность электрического поля на перпен-
дикуляре, восставленном из центра квадрата.
как функцию расстояния х.
9.19. * В вершинах тетраэдра расположены четыре заряда (см.
рис. 56). Сторона тетраэдра а. Определить силу, действующую
на заряд Q. Заряды считать известными.
9.20. В вершинах правильного шести-
угольника расположены три положитель-
ных и три отрицательных заряда. Най-
ти напряженность Е электрического ноля
в центре шестиугольника при различных
комбинациях в расположении этих деря
дов. Каждый деряд q = 1,5 нКл; сторона
шестиугольника а = Зсм.
9.21. Решить предыдущую задачу при
условии, что вег шесть зарядов, располо-
женных в вершинах шестиугольника, положи дельны.
9.22. Два шарика одинаковых радиуса и массы подвешены на
нитях одинаковой длины гак. чю их поверхности соприкасаются.
После сообщения шарикам заряда 9^ — 0,4 мкКл они оттолкнулись
друг от яру га и разошлись на угол 2о = 6(1°. Найти массу m
каждого шарика, если расстояние от центра шарика до точки
подвеса I = 20 см?
9.23. Два шарика одинаковых радиуса и массы подвешены на
нитях одинаковой длины гак, что их поверхности соприкасаются.
Какой заряд 9 нужно сообщить шарикам, чтобы сила натяжения
5»;
ЙМ1ЕКТРОСТЛТИКЛ
105
нитей стала равной Т — 98 мН? Расстояние от центра шарика до
точки подноса I = 10см; масса каждого шарика m = 5г.
9.24/ Какой минимальный заряд q нужно закрепить в нижней
точке сферической полости радиуса И, чтобы в поле тяжести
небольшой шарик массы тп н заряда Q находился в верхней
точке полости в положении устойчивого равновесия (рис. 57)?
9.25Л Четыре положительных заряда связаны пятью нитями
(см. рис. 58). Длина каждой нити /. Определить силу натяжения
нити, связывающей заряды Q между собой (Q > q).
9-26.* Семь одинаковых зарядов q связаны друг с другом оди-
наковыми упругими нитями так, как показано на рис. 59 Ржсенк
янис между ближайшими зарядами I Определить силу натяжения
каждой нити.
0.27. Найти плотность р материала шариков задачи 9 22, если
известно, что при погружении этих шариков в керосин угол рас-
хождения нн гей стал ]швпым 2ак = 54°.
9.28. * Доказать, что электрическое поле заряда и проводящей
плоскости можно подставить как ноле данного заряда и симмет-
ричного относительно плоскости заряда противопо-
ложного знака (метод зеркальных отображений).
0.29. На рис. 60 АА — заряженная бесконеч-
ная плоскость с поверхностной плотностью заряда
п = 40мкКл/м2 и В однонмснио заряженный ша-
рик с массой m = 1 г и зарядом q = 1 нКл. Какой
угол а с плоскостью АА образует нить, на которой
висит шарик?
9.30. На рис. 60 А А—заряженная бесконечная
плоскость и В — одноименно заряженный шарик с
массой ш = 0,4 мг и зарядом q = 667 нКл Си-
ла натяжения нити, на которой висит шарик,
Г = 0/19мН. Найти поверхностную плошость за- Рис. со
ряда а на плоскости А.4.
9.31/ Доказать электростатическую теорему Гаусса: поток век-
тора напряженности ял<жт|х>сгптичпского ноля через замкнутую
поверхность S равен суммарному заряду, находящемуся в объеме
106
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО II МАГНЕТИЗМ
(Гл. Ill
ограниченном данной поверхностью S, или равен нулю, если все
заряды расположены вне этого объема:
п
Г - £ qi
I Eds — ——, €о—электрическая постоянная.
J е®
(S)
9.32. * Используя теорему Гаусса, получить выражение для на-
пряженности электростатического поля заряженной бесконечно
длинной интн как функцию расстояния х от нити Считать за-
данной линейную плотность заряда на нити А. Найти потенциал
нити.
9.33. * Решить предыдущую задачу для нити конечной длины I.
9.34. * Получить выражение для напряженности электростати-
ческого поля заряженной бесконечной плоскости. Поверхностная
плотность зарядов а известна.
9.35. Найти силу F, действующую ка заряд q — 2СГСс, если
заряд помещен: а) па расстоянии г = 2 см от заряженной ни-
ти с линейной плотностью заряда т = 0,2мкКл/м; б) в но-
ле заряженной плоскости с поверхностной плотностью заряда
ст = 20мкКл/м*; в) на расстоянии г = 2 см от поверхности заря-
женного шара с радиусом R = 2 см н поверхностной плотностью
заряда ст = 20мкКл/м2. Диэлектрическая проницаемость среды
€ = 6.
9.36 Построит?* на одном графике кривые зависимости на-
пряженности Е электрического поля от расстояния г в интер-
вале 1 г 5 см через каждый 1см, если поле образовано:
а) точечным зарядом q = 33.3 нКл; б) бесконечно длинной заря-
женной нитью с линейной плотностью заряда т = 1,67 мкКл/м,
в) бесконечно протяженной плоскостью с поверхностной плотно-
стью заряда ст = 25 мкКл/м2.
9.37. С какой силой F/ электрическое поло заряженной беско-
нечной плоскости действует на единицу длины заряженной беско-
нечно длинной нити, помещенной в это пола? Линейная плотность
заряда на нити т = ЗмкКл/м и поверхностная плотность заряда
на плоскости ст = 20 мкКл/м2.
9.38- С какой силой F/ на единицу’ длины отталкиваются две
одноименно заряженные бесконечно длинные нити с одинаковой
линейной плотностью заряда т = 3 мкКл/м, находящиеся на рас-
стоянии и = 2 см друг от друга? Какую работу Лг на единицу
длины надо совершит!., чтобы сдвинуть эти лиги до расстояния
г2 = 1 см?
9.39. Две длинные одноименно заряженные нити расположены
па расстоянии г = 10см яруг от друга. Линейная плотность зал
ряда на нитях п = т2 = ЮмкКл/м. Найти модуль н направление
напряженное!» Е результирующего электрического ноля в точке,
находящейся на расстоянии а = 10 см от каждой нити
И]
ЭЛ FJCT рос: гати к а
107
9.40» С какой силой Fs на единицу площади отталкиваются
дне одноименно заряженные бесконечно протяженные плоскости?
Поверхностная плотность заряда на плоскостях сг = 0,3 мКл/м2.
9.41. Медный шар радиусом R — 0,осм помещен в масло.
Плотность масла рм = 0,8 10 я кг/м3. Найти заряд q шара, если
в однородном электрическом поле шар оказался взвешенным в
масле. Электрическое поле направлено вертикально вверх и его
Напряженность Е = 3,6 МВ/м.
V 9.42 Показать, что электрическое поле, образованное заря-
женной питью конечной л.пнны, в предельных случаях переходит
в электрическое поле: а) бесконечно длинной заряженной нити;
б) точечною заряда.
9.43. Кольцо из проволоки радиусом R = 10 см имеет отрица-
тельный заряд q = — 5 нКл. Найти напряженности Е электриче-
ского поля на оси кольца в точках, расположенных от центра
кольца на расстояниях £, равных 0, о, 8, 10 и 13см. Построить
график Е = / (L). Н«з каком расстоянии L от центра кольца на-
пряженность Е электрическою поля будет иметь максимальное
значение?
9.44. Напряженность электрического поля на оси заряженного
кол!.на имеем максимальное значение на рос стояли и L от центра
кольца. Во сколько раз напряженность электрическою ноля в
точке, расположенной на расстоянии 0 3L аг центра кольца, будет
меньше максимального значения напряженности?
9.45. * Определить напряженность поля и потенциал па осн
диска размера R как функцию расстояния х вдоль оси. Поверх
ностная плотность зарядов а задана.
9.46. Показать, чго электрическое' поле, образованное заряжен
ным диском, в предельных случаях переходит в электрическое
поле: а) бесконечно протяженной плоскости; б) точечною заряда.
9 47. Два параллельных разноименно заряженных диска с оди-
наковой поверхностной плотностью заряда на них расположены на
расстоянии J=1cm друг от друга. Какой предельный радиус R
могут иметь диски, чтобы между центрами дисков поле отлича-
лось от поля пл(м*,кого конденсатора не более чем на 5 %? Какую
ошибку <5 мы допускаем, принимая для этих точек напряжен-
ность поля равной напряженности поля плоского конденсатора
при R/d — 10?
9 48/ Определить напряженность электрического ноля и по-
тенциал заряженной сферы радиуса 7? Заряд Q равномерно
нанесен на поверхность сферы. Нарисовать графики Е(г). <+>(г).
9.19. * Определить напряженное! ь поля и потенциал заряжен-
ною по объему шара. Радиус шара Й, объемная плотность заряда
и шаре р. Нарисовать графики Е(г). ^(^)-
9 50.* С какой силой действует электрический заряд q на
равномерно заряженную бесконечную плоскость? Чему ранни
напряженность электрическою поля плоскости? Поверхностная
плотность заряда о.
108
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО Н .МАГНЕТИЗМ
(Гл. HI
9.51/ Определить напряженность поля и потенциал внутри и
юно бесконечного цилиндра радиуса Я, если объемная плотность
заряда внутри цилиндра равна р. Нарисовать график зависимости
напряженности поля ог расстояния до оси.
9.52. * С какой силой расталкиваются равномерно заряженные,
грани куба? Тетраэдра? Поверхностная плотность заряда гра-
ней пг, длина ребра а.
9.53. ’ В равномерно заряженном шаре радиуса R вырезали
сферическую полость радиуса г, центр которой находился на
расстоянии п от центра шара (рис. 61). Объем-
ная плотность заряда р. Определить напряжен-
ность электрического ноля в полости.
9.54. Шарик массой тп = 40 мг, имеющий по-
ложительный заряд q = 1 нКл. движется со ско-
ростыо к = 10 см/с. На какое расстояние г
может приблизиться шарик к положительному
закрепленному точечному заряду = 1,33 нКл?
9.55. До какого расстояния г могут сблизить-
ся два электрона, если они движутся навстречу
относительной скоростью го = 10е м/с?
С
точку 2,
1, если в
друг другу
9.56. Два шарика с зарядами gi = 6.66 нКл и = 13,33 нКл
находятся на расстоянии rt = 40см. Какую работу А надо со-
вершить. чтобы сблизить их до расстояния г2 = 25см?
9.57. Найти потенциал </> точки ноля, нахсшящойся на рассто-
янии г = 10см от центра заряженного шара радиусом R = 1см.
Задачу решить, если: а) задана поверхностная плотность заряда
на шаре о — 0,1 мкКл/.м2; 6) задан потенциал шара <рц = 300 В
\ 9-58. Какая работа А совершается при перенесении точечного
заряда q = 20нКл из бесконечности в точку, находящуюся на
расстоянии г = 1 см от поверхности шара радиусом R = 1 см с
поверхностной плотностью заряда а = 10мкКл/м2?
9.59. Шарик с массой тп = 1 г и зарядом q = IO11K.1 переме-
щаются из точки 1, потенциал которой 9?! = 600 В, в
потенциал которой у>2 = 0. Найти его скорость в точке
точке 2 она стала равной г2 = 20 см/с.
9.60. На расстоянии п = 4 см от бесконечно длинной заряжен-
ной нити находится точечный заряд д = О,б6иКл. Под действием
поля заряд приближается к нити до расстояния г2 = 2 см, при
этом совершается работа А = 50 эрг. Найти линейную плотность
заряда г на нити.
9 61. Электрическое поле образовано положительно заряжен-
ной бесконечно длинной нитью. Двигаясь под действием этого
поля от точки, находящейся на расстоянии Г| = 1 см от ни-
ти, до точки г2 = 4 см, о-частица изменила свою скорость от
Vi = 2 - 10° м/с до v>2 = 3-106м/с. Найти линейную плотность
заряда т на нити.
ЭЛ ЕКТ1*ОСГЛТИ кл
10»
9.62. Электрическое поле образовано положительно заряжен*
ной fcacone'iiio длинной нитью с линейной плотностью заряда
т = 0,2мкКл/м. Какую скорость v получит электрон под дей-
ствием ПОЛЯ. Приблизившись К НИТИ С расстояния Г| = 1см до
расстояния Т2 — 0,5 см?
'9.63. Около заряженной бесконечно протяженной плоскости на-
ходится точечный заряд г/ = 0,66 иКл. Заряд перемещается но
линии напряженности поля на расстояние ДЛ = 2см; при этом
совершается работа А = 50 эрг. Найти поверхностную плох пос гь
заряда (J на плоскости.
9.64. Разность потенциалов между пластинами плоского кон-
денсатора U = 90 В. Площадь каждой пластины 5 = 60 см2» ос
заряд 9 = 1 нКл. На каком расстоянии d друг от друга находятся
пластины?
9.65. * Металлический шар радиуса и, заряженный до потен-
циала окружают проводящей тонкое генной сферической обо-
лочкой радиуса г2. Определить потенциал рз шара после того,
как шар на некоторое время соединили проводником с оболочкой.
0.66 * Найти напряженность ноля
и потенциал в центре полусферы ра-
диуса R ранномерно шряженной с
поверхностной плотностью заряда о
9.67. * ПаЙти потенциал и модуль
напряженное!!! ноля диполя как фун- ____________Zie t
кипи-расстояния от центра ДИПОЛЯ Г +g -q
и угла 0 между осью диполя и наира
пленном г (рис. 62). Электрический Рис* 62
дипольный момент равен р.
9.68. * Найти силу взаимодействия двух молекул воды, отсто-
ящих друг от друга па расстояние I = 10” 8 м. Электрический ди-
польный момент молекул волы р — 0,62 10“29 Кл м. Дипольные
моменты молекул считать расположеппыми вдоль соединяющей
молекулы прямой.
9.69. * Два электрона удерживаются в равновесии за счет нити
длины I. Система находится на горизонтальной поверхпости.
Пнть пережигают Какую максимальную скорость приобрету г
электроны, если коэффициент трепня к, а масса тг?
9.70/ Три заряженных частицы массой тп и заряд ши q свя
заны тремя нитями длины I каждая Одну из нитей пережигают.
Определить .максимальную скорость частиц.
9.71/ Дна электрона находятся на расстоянии г друг от друга,
причем скорость одного из них равна нулю, а скорость другого
направлена im.t острым углом к линии, соединяющей злоктроны.
Каким будет угол между скоростями электронов, когда они вновь
окажутся на расстоянии г друг от друга?
9.72/ С большого расстояния к металлической плоскости дви-
жется тело массы т, имеющее заряд q. Определить скорость
но
'->.11 НК ТРИ ЧИСТ ВО И МАГНЕТИЗМ
[Гл. HI
тела в тот momqiit, когда оно будет находиться на расстоянии d
от плоскости. Начальная скорость тола равна нулю, его размеры
много меньше d.
9.73. * На биссектрисе двугранною .металлического угла на рас-
стоянии d до ребра находится точечный заряд Найти силу,
действующую на заряд.
9 74 Меж .ту двумя вертикальными пластинами па одинаковом
расстоянии от них падает пылинка. Вследствие сопротивления
воздуха пылинка налает с постоянной скоростью t«i = 2 см/с.
Через какое время t после подачи па пластины разности потен-
циалов 17 = ЗкВ пылинка достигнет одной из пластин? Какое
расстояние I по вертикали пылинка пролетит до попадания на
пластину? Расстояние между пластинами г/=2см. масса пылин-
ки m — 2 10 9 г, ее заряд Q — 6.5 • 10 17 Кл
9.7.5 . В плоском горизонтально расположенном конденсаторе,
расстояние между пластинами которого d — 1см, находится за-
ряженная камелька масла. В отсутствие электрического поля ка-
пелька падает с постоянной скоростью Vj = 0,11 мм/с. Если па
пластины подать разность потенциалов V = 150 В, то капелька
падает со скоростью U2 = 0,43 мм/с. Найти радиус г капельки и
ее заряд q. Динамическая вязкость воздуха = 1.82- 10”5Па-с;
[|.ii(Wiiocti> масла больше плотности газа, в кото|юм падает ка-
пелька, па Лр = 0,9 103кг/м3.
9 70 Между двумя вертикальными пластинами, находящимися
на расстоянии d = 1см друг от друга, на нити висит заряженный
бузиновый шарик массой ?п = 0,1г. После подачи на пластины
разности потенциалов U = 1 кВ нить с шариком отклонилась па
угол о = 10°о Найти заряд q шарика.
9.77 Расстояние между пластинами плоского конденсатора
<1 = 4 см. Электрон начинает двигаться от отрицательной пла-
стины в тот момент, когда от положительной пластины начинает
двигаться протон На каком расстоянии I от положительной пла-
стины встретятся элект|юн и протон?
9 78. Расстояние между пластинами плоского конденсатора
(I = 1 см. О г одной нз пластин одновременно начинают двигаться
протон и n-частпца. Какое расстояние I пройдет а-частица за
то время, в течение которою протон пройдет весь путь от одной
пластины до другой?
9 79 Элек ।рои, пройдя и плоском конденсаторе путь от одной
пластины до другой, приобретает скорость и = 106м/с. Расстоя-
ние между пластинами d = 5.3 мм. Найти разность потенциалов U
между пластинами, напряженность Е электрического ноля внутри
конденсатора и поверхностную плотность заряда о на пластинах.
9.80. Электрон в однородном электрическом ноле получает
ускорение « = 1012м/с2. Найти напряженность Е электрического
ноля, скорость v. которую получит электрон за время t = 1мкс
^OJ
ЭЛвКТГОСТЛТИКЛ
111
своего движения, работу Л сил электрического поля за это вре-
мя и разность потенциалов IZ, пройденную при этом электроном.
Начальная скорость электрона v© = 0.
9.81 о Электрон летит от одной пластины плоского конденсаго-
ра до другой. Разность потенциалов между пластинами U = ЗкВ;
расстояние между пластинами </ = 5мм. Найти силу F, действу-
ющую на электрон, ускорение л электрона, скорость v, с которой
электрон приходит ко второй пластине, и поверхностную плот-
ность заряда а на пластинах.
9 82о Электрон с некоторой начальной скоростью во влетает в
плоский горизонтально расположенный конденсатор параллельно
пластинам па равном расстоянии от них. Разность нсугенциалон
между пластинами конденсатора V — 300 В; расстояние между
пластинами d = 2см; длина конденсатора I — 10см. Какова долж-
на быть продельная начальная скорость ц© электрона, чтобы
электрон нс вылетел из конденсатора? Решить эту же задачу
для а-часгицы
9 83. Электрон влетает в плоский горизонтально расположен-
ный конденсатор параллельно пластинам со скоростью t*o = 9 х
х 10е м/с. Разность потенциалов между' пластинами U = 100В;
расстояние между пластинами d = 1 см. Найти полное а, нор-
мальное ап и тангенциальное а, ускорения электрона чс]К?з время
t= 10 нс после начала его движения н конденсаторе
9.8*1 . Протон и а-часхица, ускоренные одной и той же разно-
стью потенциалов. нлетают в плоский конденсатор параллельно
пластинам. Во сколько раз отклонение протона полем конденса-
тора будет больше отклонения п-частины?
9.85. Пучок электронов, ускоренных разностью потенциалов
(>0 = 300 В, нри прохождении че|хгз незаряженный плоский гори-
зонтально расположенный конденсатор параллельно его пласти-
нам дает светящееся пятно па флуоресцирующем экране, распо-
ложенном на расстоянии х = 12 см от конца конденсатора. При
зарядке конденсатора пятно на экране смещается па расстояние
у = Зсм. Расстояние между пластинами d = 1,4см; длина кон-
денсатора I =6см. Найти разность потенциалов I/, приложенную
к пластинам конденсатора.
9.86. Электрон движется п плоском горизонтально распо-
ложенном конденсаторе параллельно его пластинам со скоро-
стью t = 3,6 10* м/с. Напряженность поля внутри конденсатора
Е = 3,7 кВ/м длина пластин конденсатора I = 20см. На какое
расстояние у сместится электрон в вертикальном направлении
пол действием электрического поля за время его движения в
конденсаторе?
9.87. Найти емкость С земного шара. Считать радиус земного
шар* 7? — 6400 км На сколько изменится потенциал ip земного
шара, если ему сообщить заряд q = 1 к л?
112
ЭЛКИТПИЧЕОТПО И МАГНЕТИЗМ
[Гл III
9.88о Шарик радиусом R = 2см заряжается отрицательно до
потенциала = 2 кН Найти массу ш всех электронов, состав-
ляющих заряд, сообщенный шарику.
9.89 Восемь заряженных водяных капель радиусом г = 1 мм
и зарядом ? = 0,1пКл каждая сливаются в одну общую водяную
каплю. Найти потенциал р большой капли.
9 90'Шарик заряженный до потенциала = 792 Bs имсхи*
поверхностную плотность заряда а — ЗЗЗнКл/м . Найти радиус г
шарика.
9.91. Найти соотношение между радиусом шара R и макси-
мальным потеннналом V5, до которого он может быть заряжен в
воздухе, если при нормальном давлении разряд в воздухе наступа-
ет при напряженности электрического поля Eq = ЗМВ/м. Каким
будет максимальный потенциал шара диаметром D = 1 м?
9.92." Вывести формулу для электроемкости плоского конден-
сатора.
9 93 * Получить выражение для электроемкости цилиндриче-
ского конденсатора, образованного ссхклыми цилиндрами высоты I
и с радиусами /?1 и Л2 (/ , /?а).
9 94 * Получить выражение для электроемкости сферического
конденсатора, образованного двумя концентрическими сферами с
радиусами Е] и
9 95. Плошадь пластин плоского воздушного конденсатора S =
= 1 м2, расстояние между ними d = 1,5мм ПаИтн емкость С этого
конденсатора.
9.96 Плошадь пластин плоского воздуипкич) конденсатора S =
= 0,01м2, расстояние между ними гХ = 5мм. К пластинам прило-
жена разность потенциалов L\ = 300 В. После отключения кон-
денсатора от источника напряжения просграистпо между пласти-
нами заполняется эбонитом. Какова будет разность потенциалов
1>2 методу пластинами после зшюлшшия? Найти емкость кондеи
сатора Ci я С* и поверхностные плотности заряда и па
пластинах до н после заполнения.
9.97. Решить предыдущую задачу для случая, когда запол-
нение пространства между пластинами изолятором производится
при включенном источнике напряжения.
9 98. Коаксиальный электрический кабель состоит из цен-
тральной жилы и концентрической цилиндрической оболочки,
между которыми находится диэлектрик (е = 3,2) Найтн емкость
С/ единицы длины такого кабеля, если радиус жилы г = 1,3 см,
ралиус оболочки R = 3,0 см.
9.99. Вакуумный цилиндрический конденсатор имеет радиус
внутреннего цилиндра г — 1,5см и радиус внешнего цилиндра
/? = 3,5 см. Между цилиндрами приложена разность потенциалов
U = 2,3 к В. Какую скорость в получит электрон под действием
ноля этого конденсатора, двигаясь с расстояния 1\ = 2,5см до
расстояния 1г = 2с.м от оси ннлинлра.2
§в)
ЭЛ RKTPOCTAT ИКА
113
9о100. Цилиндрический конденсатор состоит из внутреннего ци-
линдра радиусом г = Змм, двух слоев диэлектрика и внешнего
цилиндра радиусом R = 1см. Первый слой диэлектрика толщиной
dt = 3м.м примыкает' к внутреннему цилиндру. Найти отношение
падений потенциала U1/U2 в этих слоях.
9101. При изучении фотоэлектрических явлений использует-
ся сферический конденсатор, состоящий из металлического ша-
рика диаметром d = 1,5см (катода) и внутренней поверхности
посеребренной изнутри сферической колбы диаметром D = 11см
(анода). Воздух из колбы откачивается. Найти емкость С такого
конденсатора.
9 102 Каким будет потенциал шара радиусом г = Зсм. если:
а) сообщить ему заряд <7=1 нКл, б) окружить его концентриче-
ским шаром радиусом /? — 4 см, соединенным с землей?
9.103. Найтн емкость С сферического конденсатора, состоя-
щего из двух концентрических сфер с радиусами г = 10см и
/? = 10,5 см. Пространство между сферами заполнено маслом. Ка-
кой радиус /io должен иметь шар, помещенный в масло, чтобы
иметь такую же емкость?
9.104. Радиус внутреннего шара ва-
куумного сферического конденсатора
г = 1 см, радиус внешнего шара R =
= 4 см. Между шарами приложена
разность потенциалов U = ЗкВ. Ка-
кую скорость v получит электрон
приблизит пись к центру шаров с
расстояния = Зсм до расстояния
х2 =2см?
9.105. Найги емкость С сксгпмы конденсаторов, изображенной
на рис 63. Емкость каждого конденсатора Сх = 0,5 мкФ
9 106. При помощи электрометра сравнивали между собой ом
кости двух конденсаторов Для этого заряжали их до разностей
потенциалов [7> = 300 В и = 100 В и соединяли оба конденсато-
ра параллельно Измеренная при этом электрометром разность
потенциалов между обкладками конденса-
тора оказалась равной U = 250 В Найти
отношение емкостей C'i/C?.
0Л07. Разность потенциалов между
точками -4 и В (рис. 64) U — 6 В Емкость
первого конденсатора С\ = 2 мкФ и емкость второго конденсатора
Сз=4мкФ Найти заряды Ц\ и 72 и разности потенциалов /Д и
U2 на обкладках каждого конденсатора.
0 108. В каких пределах может изменяться ем кость С систе-
мы, состоящей из двух конденсаторов переменной емкости, если
емкость Ct каждого из них изменяется аг 10 до 450 пФ?
С»
Рнс. 63
Д с’ Са й
О-------II---------II--------о
Рис 64
9 109. Конденсатор емкостью С = 20 мкФ заряжен до разности
потенциалов U = 100 В Найти энергию И7 этого конденсатора.
I и
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО II МАГНЕТИЗМ
{Гл lit
9.110. * К какой паре точек схемы, изображенной на рис. 65,
надо подключить источник токд, чтобы зарядить все шесть кон-
денсаторов, емкости которых рав-
ны С?
9.111/ Плоский конденсатор
заполнен диэлектриком, ириницае-
мость которого зависит от напря-
жения на конденсаторе по закону
е = oV, где n = 1 В-1. Пар!ьъпыль-
но этому конденсатору, который
не заряжен, подключают такой же
конденсатор, но без диэлектрика,
коюрыЙ заряжен до напряжения Vo = 156 В. Определихь напря-
жение И, которое установится на конденсаторах
9 112.* Определить емкости систем конденсаторов, изображен-
ных на рис. 66 — 68
9.113. * К конденсатору 1 емкости С, заряженному до разности
потенциалов V, подсоединяется батарея нз конденсаторов такой
же емкости, как показано на рис. 69. Найти заряд на каждом
из шести конденсаторов.
9.114. * Трем изолированным одинаковым конденсаторам ем-
кости С каждый были сообщены заряды iji, и дз (рис. 70).
Конденсаторы соединили. Найти новые заряды на конденсаторах.
9.115. * Пластины заряженного плоской) конденсатора попере-
менно заземляют’. Будет ли при этом конденсатор разряжаться?
9.116. * Найти емкость блгарги конденсаторов (рис. 71).
9.117. Шар. побуженный в керосин, имеет потенциал у —
= 4,5 кВ и поверхностную плотность заряда а — 11,ЗмкКл/м2.
Найти радиус Я, заряд с/, емкость С и энергию И7 шара.
9.118. Шар 1 радиусом R\ = 10см. заряженный до потенциала
1^1 = 3 кВ, после отключения от источника напряжения соединя-
ется проволочкой (емкостью которой можно пренебречь) сначала
§4]
э л вктгоетлтик л
115
с удаленным незаряженным шаром 2, а затем после отсоедине-
ния (л шара 2 с удаленным незаряженным шаром 3. Шары 2
и 3 имеют радиусы Ло — Яз = 10см. Найти: а) первоначальную
энерино IVj шара 1; 6) энергии и Hj шарим 1 и 2 после
соединения н работу Д разряда при соединении; в) энергии Пг('
и Из шаров 1 и 3 после соединения и работу Л разряда при
СОСДИ11ГНИИ
9 119. Пластины плоского конденсатора площадью S = 0.01м2
каждая нригягннаются друг к другу е силой F = 30 мН Про-
странство .между пластинами заполнено слюдой. Найти заря-
ды q4 находящиеся на пластинах, напряженность Е поля между
плас типами и объемную плотность лне.рпш Hzn ноля.
9 120. Между пластинами плоского конденсатора вложена топ-
кая слюдяная пластинка. Какое давление р испытывает эта пла-
стинка при напряженности электрического поля Е = 1 МВ/м?
НЛ4СГННЛХ о = 495нКл/м2.
Риг. 71
9.121. Разность потенциалов между пластинами пленного кон-
денсатора U = 280 В. Площадь пластин конденсатора 5 = 0.01 м2;
поверхностная нлогпех'гь <аряда на
Найти: а) напряженность Е поля
Biiyipn конденсатора; б) расстоя-
ние d .между’ пластинами; в) ско-
рость v, которую получит элек-
трон, пройдя н конденсат орг путь
от одной пластины до другой;
г) unepritto Hz конденсатора; д) ем-
кость С конденсатора; с) силу при-
тяжения Ь пласгин конденсатора.
9 122. Площадь пластин плоского воздушного конденсатора
5 = 0,01м2. расстояние между ними = 2 см. К пластинам
koiinciiraгора приложена разность потенциалов U = ЗкВ Какова
будет напряженность Е поля конденсатора, если, не отключая
его от источника напряжения, пластины раздвинуть до расстоя-
ния dj — 5 см? Найти энергии И7| и IV2 конденсатора до и после
раздвижения пластин.
cz:
llfi
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ
4Тл. III
9.123. Решить предыдущую задачу при условии, что снача-
ла конденсатор отключается от источника напряжения, а затем
раздвигаются пластины конденсатора.
9.124. Плоский конденсатор заполнил диэлектриком и на его
пластины подана некоторая разность потенциалов. Его энергия
при этом И’ = 20 мкДж. После того как конденсатор отключили
от источника напряжения, мнчлектрик вынули из конденсатора.
Работа, которую надо было совершить против сил электрического
поля, чтобы вынуть диэлектрик, .4 = 70 мкДж. Найти диэлектри-
ческую проницаемость € диэлектрика
9.125. Найти объемную плотность энергии Ио электрическо-
го поля в точке, находящейся: а) на расстоянии х = 2 см от
поверхности заряженного шара радиусом R = 1 см; б) вблизи бес-
конечно протяженной заряженной плоскости; в) на расстоянии
х — 2см от бесконечно длинной заряженной инти. Поверхностная
плотность заряда на шаре и плоскости а = 16,7 мкКл/м2, линей-
ная плотность заряда на нити т = 167нКл/.м. Диэлектрическая
проницаемоегь среды е = 2
9.126. На пластины плоского конденсатора, расстояние между
которыми d = Зсм, подана разность потенциалов U = 1кВ. Про-
странство между пластиками заполняется диэлектриком (с = 7).
Найти поверхностную плотность связанных (поляризационных)
зарядов <7ch. Насколько изменяется поверхнисгпая imoiiiocib за-
ряда па пластинах при заполнении конденсатора диэлектриком?
Задачу решить, если заполнение конденсатора диэлектриком про-
износит я: а) до отключения конденсатора от источника напря-
жения; 6) после отключения конденсатора от источника напря-
жения.
9.127. Пространство между пластинами плоского коидешато-
ра заполнено диэлектриком, диэлектрическая восприимчивость
которого х = 0.08- Расстояние мсжд> пластинами d = 5 мм. Па
пластины конденсатора подана разность потенциалов U = 4 кВ.
Найти поверхностную плотность связанных зарядов асв на ди-
электрике и поверхностную идо i несть заряда суя на пластинах
конденсатора.
9.128. Пространство между пластинами плоского конденсатора
заполнено стеклом. Расстояние между пластинами d = 1мм. Па
пластины конденсатора подана разность потенциалов U = 1.2 кВ.
Най-иг. а) напряженность Е поля в стекле; б) поверх нос гну ю
плотность заряда ал на пластинах конденсатора; в) поверхност-
ную плотность связанных зарядов сгсе на стекле; г) диэлектри-
ческую восприимчивость х стекла.
9.129. Пространство между пластинами плоского конденсатора
заполнено парафином. При присоединении пластин к источнику
§®1
ЭЛЕ к ткю тлт и кл
117
напряжения давление пластин на парафин стало равным р = 5 Па.
Найти: а) напряженность Е электрического поля и электрическое
смещение D в парафине; 6) поверхностную плотность связанных
зарядов стсв на парафине; в) поверхностную плотность заряда оя
на пластинах конденсатора; г) объемную плотность энергии И о
электрического поля в парафине; д) диэлектрическую восприим-
чивость х парафина.
9.130. Простринстпо между пластинами плоского конденсато-
ра объемом V” = 20 см3 заполнено диэлектриком (с = 5). Пла-
стины конденсатора присоединены к источнику напряжения. При
этом поверхностная плотность связанных зарядов на диэлектрике
осв = 8,35 мкКл/м2. Какую работу Л надо совершить против сил
электрического ноля, чтобы удалить диэлектрик из конденсато-
ра? Задачу решить, если удаление диэлектрика производится:
а) до отключения источника напряжения; б) после отключения
источника напряжения.
9.131/ В некоторой точке изотропного диэлектрика с прони-
цаемостью с смещение имеет значение D. Чему равна ноляризо-
ванноеть Р в этой точке?
9.132. * Две бесконечные параллельные пластины заряжены с
плотностями заряда +ст н —ст. Затем зазор между пластинами
заполняется однородным изотропным диэлектриком с проницае-
мостью е. Как изменится при атом; а) напряженность li ноля
» зазецнц б) смсщоние D\ в) разность потенциалов между
пластинами?
9.133. * Бесконечная плоскопараллельная пластина из одно-
родного и изотропного диэлектрика с проницаемостью е = 2
помещена в однородное электрическое поле г. напряженностью
Ец = 100 В М Цлацтина перпендикулярна к А‘о. Определить:
а) напряженность поля Е и электрическое смешение D внутри
пластины; 6) поляризовапность диэлектрика Р; в) поверхностную
плотность связанных зарядов ст'.
9.134. ’ Проводящий шар ридиуса г с зарядом Q окружен сло-
ем однородной) изотропною диэлектрика, внешний радиус кото-
рого /?.. Диэлектрическая проницаемость слоя с. Найти поверх-
ностную плотность заряда на внутренней и внешней поверхностях
слоя Построить графики зависимости /?(х) и ^(х) от расстояния
до центра шара.
9.135. ’ Металлический шар радиуса г с зарядом Q окружен
слоем жидкого диэлектрика с проницаемостью с. Внешний радиус
слоя диэлектрика R. Найти давление диэлектрика на шар.
9.136. * Конденсатор емкости С без диэлектрика имеет заряд q.
Какое количество теплоты выделится в конденсаторе, если его
заполнить диэлектриком с проницаемостью €?
11«
ЮЛЕКТРИЧКСТИО И МАГНЕТИЗМ
'Гл III
§ 10. Электрический ток
Сила тока (ток) I численно раина количеству электричества, проходящему
’icjxn поперечное сечение щмнюдпика в единицу примени:
/ = Ф .
dl
Если сила тока / — confit, то
"*1
Плотность электрического тока
где S плошадь поперечного сечения проводника.
Ток, текущий по участку однородного проводника, подчиняется закону Ома
' /Г
где О’- разность потейпианов на копиях участка, Я ^сопротивление этого
участка.
Сопротивление проводчика
n = "S 'Ь’
где р—удельное сопротивление, а — удельная проводимость, I— длина и 5 —
площадь поперечного сечения проводника
Удельное с<ш]х>1 явление металлов зависит ос температуры следующим обра-
зом:
Pt ~ 0о (1 +
где Ро удельное coiipoi я или и не при to = 0°С, а — темпщмгурпый коэффици-
ент сопротивления.
Работа члекгричиского тока на участке цени определяется формулой
Л = !Ut - pRl =^i-
Для замкнутой цепи закона Ома имеет вид
где £ — Э-Д. С- генератора, R—внешнее сопротивление, г — внутреннее сопро-
тивление ivnepBriopft.
Полная мощность, выделяемая в цепи
Р = €1
Для разветвленных цепей имеют место два закона Кирхгофа.
первый закон Кирхгофа алгебраическая сумма токов, сходящихся в узле,
равна нулю:
$!0) ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ TOK 119
второй закон Кирхгофа—в любом замкнутом контуре алгебраическая сумма
падений потенциала на отдельных участках цепи раина алгебраической сумме
в.д.с., встречающихся в этом контуре:
При применении законов Кнрх1чм]>а надо руководствоваться следующими
правилами.
На схеме произвольно указываются сгрелками направления токов у соответ-
ствующих сопротивлений. Обходя контур в произвол!.ном направлении, будем
считать положительными те токн, направления которых совпадают с напра-
влением обхода, н отрицательными те, направления которых противоположны
направлению обхода
Положительными э.д. с. будем считать то в.д.с.» которые повышают потен-
циал в направлении обхода, т.е. в.д.с. будет положительной, если при обходе
придется идти ст минуса к плюсу внутри генератора.
В результате решения составленных уравнений определяемые величины мо-
гут получиться отрицательными. Отрицательное значение тока указывает на
то, что фактическое направленно тока на данном участке цепи обратно приня-
тому.
Для влектрмчегкого тока имеют место два закона Фарадея:
первый закон Фарадея — масса вещества, выделившегося при электролизе,
т- КН = Кд,
где д— количество электричества, прошедшего через электролит, К — электро-
химический эквивалент,
второй закон Фарадея—электрохимический эквивалент пропорционален хи-
мическому эквиваленту:
*-Я-
где А молярная масса, 2— валентность, F = $0,-18456 • 10* К л /моль—
постоянная Фарадея.
Удельная И]юводнмисть электролита определяется формулой
а — 1 =aCZF(U++u^,
где г> — степень диссоциации, С (ыоль/м3] — молярная концентрация, 2— ва-
лентность, К — моего»пн<1>! Фарадеи, ит н и- [м2/(В с)] — подвижности конов.
При этом а — пл/п -отношению числа диссоциированных молекул единице
объема к числу всех молекул растворе иного вещества в этом объеме. Величи-
на д = С7 [моль/м3] называется жвивалентной концентрацией, а величина
Л = и/д [м“/(Ом мать)]—эквивалентной проводимостью.
При небольших плотностях тока, тткуши’о в газе. имеет Mcoto закон Ома
j = дп (и |- + ti-) Е = аЕ,
где /С— напряженность поля, о—удельная проводимость газа, д—заряд иона,
иж н и-—подвижности ионов, п [м-3] — число ионов каждого знака (число
120
М1ЕКГРИЧПСТВП И МАГНЕТИЗМ
(Гл. 111
пер ионов), находящихся в единице объема газа. При этом п = у/ Х/у. где
Л' м '3-с — число нар ионов, со.ущилемых ионизирующим агентом в единице
объема в елпницу времени, у |м3/с] — коэффициент рекомбинации
Плотность тока насыщения в газе определяется формулой
2« =
где d расстояние между электродами.
Чтобы покинуть поверх ноет), мртл.'кдл, «доктрин, должен обладать кпниогць
скоЙ энергией
где .4 — работа выхода »-тектрона вз данного металла.
Плотность тока масыщолия при термоэлектронной эмиссии опрлйолмется
формулой
j„ = №exp(
где Т- 1ч*рмодиннмпческая температура х аж ода, Д — работа выхода, к =
= 1,380662-10”23 Дж/К — постоянная Больцмана, В (Л/(м2-К2)]—эмиссионная
постоянная, разная для различных металлов.
10.1. Ток I и проводнике меняется со временем t по уравнению
/ = 4 + 2/., где /—н амперах и t в секундах. Какое количество
электричества </ проходит через поперечное сечение проводника
:ш время or fj =2 с до Ь = 6 с? При каком постоянном токе /0
через поперечное сечение проводника за то же время проходит
такое же количество электричества?
10.2. Ламповый реостат состоит из пяти электрических лам-
почек сопротивлением г = 350Ом, включенных параллельно. Най-
ти сопротивление R |хюс.тата, когда: а) горят все лампочки;
б) вывинчиваются одна, две, три, четыре лампочки.
10.3. Вольфрамовая нить электрической лак почки при =
= 20 °C имеет сопротивление Rv = 35,8 Ом. Какова будет тем-
пература /2 Шни лампочки. если при включении в сеть напря-
жением U — 120В по нити идет ток / = 0 33 А? Темперагурпый
коэффициент сопротивления вольфрама о = 4,6 10“3К-1.
10.4. Обмотка катушки из медной проволоки при Zl = 14°C
имеет сопротивление Rt = 10Ом. После, пропускания тока со-
противление. обмогки стало равным R> = 12.20м. До какой тем-
пературы Г.» нагрелась обмотка? Температурный коэффициент
сопротивления меди а = 4,15’ 10~3К“1.
10.5. Элемент с ч.д. е. £ = 2 В имеет внутреннее сопротивление
г = 0,5 О.м. Найти падопмо потенциала Ur внутри элемента при
токе в цепи I — 0,25 А Каково внешнее сопротивление R цепи
при втих условиях?
10.6. Элемент с э.д.с. £ = 1.6 В имеет внутреннее сопротив-
ление г = 0,5 Ом. Найти к.п.д. г/ элемента при токе в цени
Z = 2,4 А.
S 10|
ЭЛККГРИЧКОКИЙ ТСЖ
121
10.7. Э.д.с. элемента 8 = 6 В. При внешнем сопротивлении
R = 1,1 Ом тсж п цепи / = ЗА. Найти падение потенциала Ur
внутри элемента и его сопротивление г.
10.8. Какую долю э.д.с. элемента € составляет разность по-
тенциалом U па его зажимах, если сопротивление элемента г
в п раз меньше внешнего сопротивления Я? Задачу решить для:
а) п = 0,1; б) и = 1; в) п = 10.
10 9 Элемент, сопротиплепнг и амперметр соединены после-
довательно. Элемент имеет э.д.с. £ — 2В и внутреннее сопро-
тивление г = 0,4 Ом Амперметр показывает ток 7 = 1А Каков
к.п.д. г? элемента?
10.10. Имеются два одинаковых элемента с э.д.с. £ = 2В
и внутренним сопротивлением г = 0,3Ом. Как надо соединить
эти элементы (последовательно или параллельно), чтобы полу-
чить больший ток, если внешнее сопротивление; а) Я = 0,2Ом;
б) И. = 16 Ом? Найти гок I в каждом из этих случаев.
10.11. Два параллельно соединенных элемента с длипаковыми
э.д.с. £i = £2 = 2В и внутренними сопротивлениями и = Юм
и г*2 = 1.5Ом замкнуты на внешнее сопротивление R = 1,4Ом
(рис. 72). Найти ток I в каждом из элементов и во всей цепи.
10 12. Два последовательно соединенных элемента с одина-
ковыми э.д.с. £\ — £2 = 2В и ннут|>енннми сопротивлениями
г> = Юм и г-2 = 1,50м замкнуты на внешнее сопротивление
122
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО II МАГНЕТИЗМ
(Гл. III
R = 0,5 Ом (рис. 73). Найти разность потенциалов U на зажимах
каждого элемента.
10.13. Батарея с э.д.с. £ = 10В и внутренним сопротивлением
т — Юм имеет к.п.д. ц = 0,8 (рис. 74), Падения потенциала
на сопротивлениях R\ н Яц равны U\ = 4 В и 1Л| = 2 В Какой
ток / показывает амперметр? Найти паление потенциала на
сопротивлении Я^.
10 14. Э.д.с батареи Е — 100В, сопротивления Я» = 100Ом.
Яг = 200Ом и Яз = 300Ом, сопротивление вольтметра Яу = 2кОм
(рис. 75). Какую разность потенциалов U показывает- вольтметр?
10 15. Найти показания амперметра и вольтметра в схемах,
изображенных па рис. 76 79. Э.д.с. батареи £ = НОВ, сопро-
тивления Я1 = 400 Ом и /?2 = 600 Ом, сопротивление вольтметра
Яу = 1 кОм.
10.16. Амперметр с сопротивлением Яд = 0,16Ом, зашунти-
рован сопротивлением Я = 0,04 Ом. Амперметр показывает ток
Л> = 8А. Найти гок I в цени.
10 17. Имеетс я предназначенный для измерения токов до I =
— 10 А амперметр с сопротивлением Яд = 0,18Ом, шкала которо-
го разделена на 100 делений. Какое сопротивление Я надо взять
и как его включить, чтобы этим амперметром можно было изме-
рять ток до /о = 100 А? Как изменится при этом цепа деления
амперметра?
§10]
ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ’ГОК
123
10.18. Имеется предназначенный для измерения разности по-
тенциалов до U = 30В волымсгр с соп|Ю1 пилением Ry =2кОм,
шкала которого разделена на 150 делений. Какое сопротивле-
ние R надо взять и как его включить, чтобы этим вольтметром
можно было измерять разности потенциалов до Un = 75 В? Как
изменится при этом цена деления вольтметра?
10 19 Имеется 120-вольтовая электрическая лампочка мощно-
стыо Р = 40 В г. Какое добавочное сопротивление R надо вклю-
чить последовательно с лампочкой, чтобы она давала нормаль-
ный накал при напряженности в сети 17» = 220 В? Какую длину I
нихромовой проволоки диаметром d = 0,3 мм надо взять, чтобы
получить такое сопротивление?
10.20. Имеются три 110-вольтоных электрических лампочки,
мощности которых Pt = А =40 Вт и Рз =80 Вт. Как надо вклю-
чить эти лампочки, чтобы они давали нормальный накал при
напряженности в сети Ufa =220В? Начертить схему. Найти токи
/1, /j и /з, текущие через лампочки при нормальном накале.
10 21. В лаборатории, удаленной от генератора на расстояние
I = 100 м, включили электрический нагрспагсльпый прибор, по-
требляющий ток 1 = 10 А. На сколько понизилось напряжение U
на зажимах электрической лампочки, горящей в этой лаборато-
рии, если сечение медных подводящих проводом S = 5mm2?
10 22. Or батареи с э.д.с. £ = 500В требуется передать энер-
гию пл расстояние I — 2,5 км Потребляемая мощность Г = 10кВт
Найти минимальные потери мощности ДР в сети, если диаметр
медных подводящих проводов <1= 1,5 см.
10 23.0т генератора с э.д.с. £ = НОВ требуется пере-
дать энергию на рассстояннс I = 250 м- Потребляемая мощность
Р = 1кВт. Найти минимальное сечение S медных проводящих про-
водов, если потери мощности в сети не должны превышать 1 %.
10.24. В цепь включены последовательно медная и стальная
проволоки одинаковых длины и диаметра. Найти: а) отношение
количеств теплоты, выделяющихся в этих проволоках; б) отно-
шение палений напряжения на этих проволоках.
10 25. Элемент с: э.д.с. 5 = 6В лает максимальный ток / = ЗА
Найти наибольшее количество теплоты Qr, которое может быть
выделено во внешнем сопротивлении в единицу времени.
10.26. Батарея с э.д.с. £ = 240В и внутренним сопротивлением
г = 10м замкнута на вшчннсн сопротивление R = 23Ом. Найти
полную мощность полезную мощность Р и к.п.д. т] батареи.
10.27. Элемент замыкают сначала па внешнее сопротивление
Ri = 2 Ом, а затем на внешнее сопротивление Л 2 = 0,5Ом. Найти
э.д.с. £ элемента и его внутреннее сопротивление г, если извест-
но, что в каждом из этих случаев мощность, выделяющаяся во
внешней цепи, одинакова и равна Р = 2.54 Вт
10.28. Элемент с э.д.с. £ = 2В и внутренним сопротивлени-
ем г = 0.5 Ом замкнут на внешнее сопротивление R. Построить
124
ЭЛЕК1 ТПЧЕСТВО И МАП1КГНЗМ
[Гл. III
график зависимости от сопротивления R тока I в цели. падения
потенциала U но внешней цепи, полезной мощности Р и полной
мощности Ро. Сопротивление Р взять в пределах 0 $ R $ 40м
через каждые 0,5Ом.
10.29. Элемент с э.д.с. £ и внутренним глицил* и влипнем г зам-
кнут на внешнее сопротивление R Наибольшая мощность, выде-
ляющаяся во внешней цепи, Р = 9 В г.
При этом в цепи течет ток I — ЗА
Найти э.д.с £ и внутреннее сопротив-
ление г элемента.
10.30 Э.д.с. батареи £ = 100 В ее
внутреннее сопротивление г = 2Ом, со
противления = 25 Ом и R? = 780м
(рис. 80). На сопротивлении R\ выделя-
ется мощность Р| = 16 Вт Какой ток I
показывает амперметр?
10.31. Разноегь потенциалов между
точками Л и В равна U = 9 В Имеются
два проводника с сопротивлениями = 5Ом и R2 — 30м» Найти
количество теплоты QT^ выделяющееся в каждом проводнике
в единицу времени, если проводники между* точками А и В
соединены а) последовательно; 6) параллельно.
10.32. Какой объем V волы можно вскипятить, затратив элек-
трическую энергию Нл = ЗгВт-ч? Начальная температура волы
to = 10°С
10.33. Какую мощность Р потребляет нагреватель электриче-
ского чайника, если объем V = 1л воды закипает через в|мэдя
т = 5мин? Каково сопротивление R нагревателя, если напряже-
ние в сети U = 12013? Начальная температура воды to = 13,5 °C.
10.34. Нагреватель электрического чайника имеет две секции.
При включении одной из них вода в чайнике закипит через время
Ti = 15 мин, при включении другой—через время т2 = 30 мин.
Через какое время т закипит вода в чайнике, если включить обе
сшеции: а) нсюледснштельно; 6) параллельно?
10.35. Объем V = 4,5 л воды можно вскипятить, затратив элек-
трическую энергию Иг = 0,5 кВт • ч. Начальная температура воды
to = 23°C Найти к.п.д. г/ нагревателя.
10.36. Электрический чайник, содержащий объем V = 600см:1
воды нри to = 9 °C, забыли выключить. Сопротивление нагрева-
теля чайника R — 16Ом. Через какое время т после включения
вода в чайнике выкипит? Напряжение в сети U = 120 В, к. п д.
нагревателя tj = 60 %.
10.37. В ртутном диффузионном насосе в единицу времени
испаряется масса mr = 100 г/мин ртути Каково должно быть
сопротивление R нагревателя насоса, если он включается в сеть
напряжением U = 127 В? Удельная теплота парообразования рту-
ти q = 296 кДж/кг.
$10]
ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК
125
10.38 * Как изменится сопротивление цепи. состоящей из пяти
одинаковых проводников, если добавить еще два таких же провод-
Рис 81
ника, как показано штриховой линией на
рис. 81?
10 39.• Проволочный каркас: в виде тетра-
эдра подключен к источнику постоянного то-
ка как показано на рис. 82. Сопротивления
всех ребер одинаковы
сопротивление всей цепи. Исключение ка-
кого из ребер каркаса приведет к пан
большему изменению тюка / в цепи? Че-
му равно это максимальное изменение то-
ка А7Г||ЯХ? Напряжение на клеммах U.
10.40.* Каркас изготовлен из вложен-
ных |мпносго|>Ьн11нх треугольников, чис-
ло которых стремится к бесконечности
(середины сiороп каждого треугольника
являются вершинами следующего). Со-
противление любой стороны пропорцио-
нально ос длине, сопротивление стороны
внешнего треугольника равно R, Найти
и равны R Определить
conpoi шшеиио кепи между двумя вершинами внешнего треуголь-
ника. к которым подключен источник тока.
10.41. * Схема из резисгсдюв состоит из бесконечно большо-
го числа звеньев (рис 83). Сопротивление резисторов каждого
Рнс 83
последующего звена отличаются в К раз от сопротивления ре-
зисторов предыдущего звена. Найти сопротивление П.дн между
точками А и В если сопротивления в первом звене равны
и R?.
10.42. * Определите сопротивление проволочного каркаса, имею-
щего форму куба, если напряжение подводится к точкам А и В
(рис. 84). Сопротивление каждой стороны равно Ro
10.43 * Найти сопротивление. Яд/j между точками .4 и В
(рнс. 85). Сопротивления всех ветвей указаны на рисунке*.
10.44 * Используя законы Кирхгофа определить сопротивление
цепи между точками Д и В, составленной из девяти одинаковых
проволочек сопротивлением R каждая (рис. 8G).
126
ЭЛВКТРИЧПСГТНО 11 МАГНЕТИЗМ
(Г.1. Ill
10.45. * Определить сопротивление проволочного каркаса в ви-
де параллелограмма, если напряжение приложено: а) между точ-
/1
Рис. 8Б
в
—о
В
Рис 86
A R
ками А и В, б) между С и D (рис. 87) Сопротивления сторон
Л1 и Лг> угол между сторонами у>.
10.40. * Опр<жел11гс гоки в каждой стороне ячейки, полный
ток от узла А к узлу В и полное сопротивление между этими
Рис 89 Рис. 90
узлами. Сторона каждой ячейки имеет сопротивление R, и ток,
иркичисающий по одной из сторон, paitun i (рис. 88).
10.47. * Определите сопротивление между' точками .4 и В про-
волочного каркаса в виде квадрата. Каждая сторона имеет со-
противление R. ’Тему равно сопротивление между гонками С и D
(рис. 89)?
10.48. * В схеме, изображенной на рис. 90, определить заряд на
конденсаторе, если е = 5В внутреннее сопротивление источника
г=1Ом. сопротивление Л —4 Ом Электроемкость конденсатора
С = 20 мкФ
5ч>1
9JIEK ГРИЧКСЖИ А ГОК
127
10,49.* В схеме на рис. 91 определить напряжение и за-
ряд на конденсаторе электроемкостью С, Э.д.с. источника то-
ка £ = 2 В. г = 20м, /?i = 10м,
Рнс. 92
Рис. 91
10 50.* В схеме, изображенной на рис. 92, £=100 В, С1 = 1мкФ.
С2 = 2 мкФ, Сз = ЗмкФ Сначала замыкается ключ Kj. Затем <чч>
размыкают и замыкают ключ К?. Какие заряды qlt q2 п <?з
протеку г при этом в указанных стрелками направлениях через
сечения 1, 2 и 3?
10.51. * Может ли сила тока, протекающего через резистор,
увеличиться, если замкнуть нако|ютко один из источников тока,
например э.д.с. £%, как показано на рнс. 93? £ь £2 и Л заданы.
10.52. * В схеме на рис. 94 определить силу тюка, протекаю-
щего через ()ата|мио; и первый момент времени после замыкания
ключа К: спустя большой промежуток времени. Все параметры
элементов считать заданными
10 53 Найти токи 1\ в отельных ветвях мосгика Уитсона
(рис 95) при условии, что через гальванометр идет ток It = О
Э.д с. элемента £ = 2В. сопротивления Л| = 30 Ом, R2 =45Ом и
J? i = 200Ом
128
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ
[Гл. HI
10.54. Э.д.с. элементов £\ = 2,1В и £2 = 1.9 В, сопротивления
7?1 = 15 Ом, R* = 10Ом и R$ = 10Ом (рис. 96). Найти токи /, по
всех участках цепи.
10.55. Какая разность потенциалов U получается на зажи-
мах двух элементов, включенных параллолыю, если их э.д. с.
Рис. 05
£1 = 1,4 В и £2 = 1,2 В и внутрен-
ние сопротивления г> = 0,6Ом и
Г2 = 0,4 Ом7
Риг. О«
10.56. Два элемента с одинаковыми э.д.с. £\ — £•> = 2 В и вну-
тренними сопротивлениями rj = Юм и г? = 2Ом замкнуты на
внешнее, сопротивление R (рис. 97). Через элемент с э.д.с. £\ те-
Рис- 98
чет ток /s = 1 А. Найти сопротивление R и ток /?, текущий через
элемент с э.д.с. £2- Какой ток 1 течет через сопротивление R!
10.57. Решить предыдущую задачу, если £\ = £> = 4 В, г> — г? =
= 0.5 Ом и 1\ —2 А.
\/ 10.58. Батареи имеют э.д.с. £i = НОВ и £2 — 220В. сопротив-
ления /?1 =/?2 = 100Ом, Лз=5000м (рис. 98). Найти показание
амперметра.
10.59- Батареи имеют э.д.с. Е\ =213 и £2 = 4В, соп|>отивл(у||1с
= 0,5 Ом (рис. 98). Падение потенциала на сопротивлении R%
равно U2 = 1 В (ток через R* направлен справа налево). Найт
показание амперметра.
510)
ЭЛЕКТНИЧКСКИЙ ток
129
10.60. Батареи имеют э.д.с. £j = ЗОВ и £2 = 5 В, сопротивле-
ния Я2 = 10Ом, R# = 20Ом (рис. 98). Через амперметр течет ток
I = 1 А, направленный от к Я| Найтн сопротивление Ri
10.61. Батареи имеют э.д.с. £| = 2В и £2 = 1В? сопротив-
ления Я» = 1 кОм, /?2 = 0,5 кОм и = 0,2кОм, сопротивление
амперметра Яд = 0,2 кОм (рис. 99) Найти показание амперметра
10.62. Батареи имеют э.д.с. £\ = 2В и £2 = 3В, сопротивление
7?з = 1,5 кОм, сопротивление амперметра Яд = 0,5 кОм (рис. 99).
Падение потенциала на сопротивлении Я? равно f/2 = 1В (ток
через Я2 направлен сверху вниз). Найти показание амперметра.
10.63. Батареи имеют э.д.с £g = 2В, £2 “ 4В и £з = 6В,
сопротивления Я1 = 4Ом, Я2 = 6Ом и Я3 = 8Ом (рис. 100).
Найти токи Ц но всех участках цепи.
10.64s- Батареи имеют э.д.с. £х = £2=£3 =6В. сопротивление
Rt = 20Ом, Я2 = 12Ом (рис. 100). При коротком замыкании
верхнего узла схемы с: отрицательным зажимом батарей через
замыкающий провод течет ток I = 1,6 А. Найти токи Z, во всех
участках цепи и сопротивление Я3.
10 65. В схеме, изображенной на рис. 100, токи Ц я 73 напра-
влены справа налево, ток /2—сверху вниз. Падения потенциала
на сопротивлениях Я[, R> и Я3 равны U\ = (J3 — 2£73 = 10 В
Найти э.д.с. £2 и £3, если э.д.с. £х = 25В
130
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ
(Гл. Ill
10.66. Батареи имеют э.д.с. £t - £2 = 100В, сопротивления
Л1 = 20 Ом, R2 = 10 Ом, Я3 = 400м и Я4 = 30Ом (рис. 101).
НаЙги показание амперметра.
10.67. Батареи имеют э.д.с. = 2Е2у сопротивления R\ = Яз =
= 20 Ом, R2 = 15Ом и Я* = 30 Ом (рис. 101). Через амперметр
течет ток I = 1,5 А, направленный
снизу вверх. Найти э.д.с. £v и £2»
а также юки Л и f3, текущие через
сопротивления Я2 и Я3.
Рнс. 104
10.68. Два одинаковых элемента имеют э.д.с. £\ = £2 = 2В и
внутренние сопротивления г> — т2 =0,5Ом (рис. 102). Найги токи
Л н /2, текущие через сопротивления R\ =0,5 Ом и Я2 = 1,50м,
а также ток I через элемент э.д.с. £у.
10.69. Батар<ш имеют э.д.с. £\ = £2t conpoiпиления R2 = 2Я>
(рис. 103). Во сколько раз ток, текущий через вольтметр, больше
тока, текущего через сопротивление Я2?
10.70. Батартш имеют э.д.с. £i = £2 = НОВ сопротивле-
ния Я1 = Я2 = 0,2 кОм, сопротивление вольтметра Яу = 1кО.м
(рис. 103). Найти показание во-чьтметра.
10.71. Батареи имеют э.д.с. fi =£2* сопротивления R\ = Я2 =
= 1000м, сопротивление вольтметра Яу = 150Ом (рис. 103).
Показание вольтметра U = 150В Найти э.д.с. £} и £2 батарей.
§10]
ЭЛЕКП’ИЧЕСКИП ГОК
131
10.72. Элементы имеют э.д.с. = £? = 1,5В и внутренние
соп|ютивления rL = гг = 0,5 Ом > соп|хугивлспия Я| = R-> = 20м
и Яз = 10м, сопротивление амперметра Яд = 30м (рис. 101).
Найти показание амперметра.
10.73. Элемент имеет э.д.с. Е = 200В, сопротивления /?i =
= 2 кОм и R? = ЗкОм. сопротивления вольтметров Ryt = ЗкОм
к Ry* =2 кОм (рис. 105). Найти показания вольтметров т/| и Ц,
если ключ К: а) разомкнут, 6) замкнут. Задачу решить, применяя
законы Кирхгофа.
10 74.* Ключ К замыкают поочередно с каждым из контак-
тов (рис. 106) на малые одинаковые промежутки времени, так
что изменение заряда конденсатора за В{>емя каждого замыкания
мало. Какой заряд qycT установится на конденсаторе?
10.75.* Найти напряжение па конденсаторах с электроемко-
стями Ci и Сг (рис. 107). Сопротивления резисторов /Zj и /?2, а
э.д.с. источника £, его внутреннее сопротивление г.
10.76.* В схеме на рис. 108 определить количество теплоты Q,
выделяющееся на резисторе после перезамыкания ключа* К. Все
параметры в схеме считать заданными.
10.77.* Конденсатор емкостью С\ разрежается через резистор
сопротивлением R (рис. 109). Когда сила тока разряда достигает
значения /о, ключ К размыкают. Найти количество теплоты Q,
которое выделяется на резисторе начиная с этого момента.
10.78.* В схеме на рис. ПО конденсатор емкостью С не заря-
жен. Ключ К замыкают на некоторое время, в течение которого
132
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ
[Гл. HI
напряжение на конденсаторе падает до U. Определить количество
-теплоты Q которое выделится за это время на резисторе сопро-
тивлением /?2- Э л* с. источника тока равна £. его внутренним
сопротивлением пренебречь.
10.79.* Определить количество теплоты, выделившейся на
каждом резисторе после замыкания ключа. Одни конденсатор в
начале был заряжен до напряжения 17, а второй нс был заряжен
(рис. 111).
10.80.* Определить напряжения н Ui на конденсаторах,
если £\ = 12кВй £2 = 13 кВ, С\ = ЗмкФ, С? = 7 мкФ (рис. 112)
Рис. 112
10.81.* Определить разность потенциалов на конденсаторе С
в схеме на рис. 113. Величины номиналов заданы. Какой знак
Рис. 113
будет иметь заря;! на верхней пластине
конденсатора С при £ 1 = £2?
10.82.’ Аккумулятор с внутренним со-
протиплеинсм г = 0.08 Ом нри токе 4 А
отдает во внешнюю день мощность 8 Вт.
Какую мощность отдает аккумулятор но
внешнюю цепь при токе 6А?
10 83.* Мощность, рассеиваемая па ре-
зисторе сопротивлением /?», подсоединен-
ном к батарее, равна W. Чему равна э.д.с.
батареи, если мощность W не изменилась
при замене сопротивления Hi на R??
10.84.* Электроэнергия генератора мощ-
ностью Wo перелается потребителю по про-
водам, общее сопротивление которых г. Э.д.с. генератора £.
Определить к п.д линии передачи, т.е. отношение мощности,
выделяемой на полезной нагрузке, к мощности генератора. Вну-
грениим сопротивлением генератора пренебречь
V 10 85.* Во сколько раз следует повысить напряжение источ-
ника, чтобы потери мощности (в подводящих проводах) снизить
в 100 раз при условии постоянства отдаваемой генератором мощ-
ности?
10 80.* Линия имеет сопротивление 300 Ом Какое напряженно
должен иметь генератор, чтобы при передаче по этой линии к
§10]
ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК
133
потребителю мощности 25 кВт потери в линии не превышали 4%
передаваемой мощности?
10.87.* На вход линии электропередачи подастся некоторая
мощность пру напряжении f)'i = 10кВ. причем к.п.д. линии ра-
вен 7/[ = 80%. Каким нужно сделать напряжение U* ил линии,
чтобы к.п.д. ее повысился до т)ч = 95%? Рассмотреть случаи по-
стоянства мощности: а) на входе линии; б) па полезной нагрузке.
10.88.* Тепловая мощность спирали электроплитки линейно
зависит от разности температур спирали и комнатного воздуха:
.V = fc(T —То). Сопротивление спирали тоже линейно зависит от
этой разности: R = R^ [1 4- а (Т - То)], где — сопротивление
спирали при комнатной температуре. До какой температуры на-
греется спираль при пропускании через нее тока /?
10.89. За какое время т при электролизе медного купороса
масса медной пластинки (катода) увеличится на Дш = 99 мг?
Площадь пластинки S = 25 см2, плотность тока j = 200 А/м2.
Найти толщину d слоя меди, образовавшегося на пластинке.
10.90, При электролизе медного купороса за время т = 1 ч
выделилась масса m = 0,5 г меди. Площадь каждого электрода
5 = 75 см2. Найти плотность тока j.
10.91. Найти электрохимический эквивалент К водорода.
10.92. Амперметр, включенный последовательно с электроли-
тической ванной с раствором AgNOa, показывает ток 7 = 0,90 А.
Верен ли амперметр, если за время т = 5мин прохождения тока
выделилась масса ms.116 мг серебра?
10.93. Две электролитические ванны с растворами AgNOa и
C11SO4 соединены последовательно. Какая масса то меди выде-
лится за время, в течение которого выделилась масса тх = 180 мг
серебра?
10.94. При получении алюминия электролизом раствора AI2O3
в расплавленном криолите проходил ток I = 20 кА при разности
потенциалов на электродах U = 5 В. За какое время т выделится
масса m = 1 т алюминия? Какая электрическая энергия И при
этом будет затрачена?
10.95. Какую электрическую энергию IV надо затратить, чтобы
при электролизе раствора AgNOa выделилась масса m = 500 мг
серебра'* Разность потенциалов на электродах U = 4 В.
10.90. Реакция образования воды из водорода и кислорода про-
исходит с выделением тепла:
2Н2 + О2 = 2Н-.0 + 5,75 • 10е Дж
Найти наименьшую разность потенциалов I/, при которой будет
происходить разложение воды элсктролизом.
10 97 Найти эквивалентную проводимость Лоо Для очень сла-
бого раствора азотной кислоты.
(Гл. IH
*>.п:ктгичЕстио и млгиктизм
10.98. Через раствор азотной кислоты пропускается ток 7 = 2 А.
Какое количество электричества q переносится за время т = 1 мни
попами каждого знака?
10.99. Эквивалентная проводимость раствора КС1 при некото-
рой кошцмггрлпии Л = 12,2 • 10"3 м2/(Ом • моль), удельная прово-
димость при той же концентрации ст = 0,122 См/м, эквивалентная
проводимость при бесконечном разведении /1^ = 13 10’3м2/(Ом х
хмоль). Найти: а) степень диссоциации а раствора KCI при дан-
ной концентрации; 6) эквивалентную концентрацию г/ раствора;
в) сумму подвижностей 4- н~ ионон К4" и С1
10.100. Найти сопротивление R. раствора AgNCh» заполняю-
щего трубку длиной I = 84 см и площадью поперечного сечения
S = 5 мм2. Эквивалентная концен трация рас тора т? = 1моль/л,
степень диссоциации а = 81 %.
10.101 Найти сопротивление R раствора KNO31 заполняю»
щего трубку длиной / = 2см и площадью поперечного сечения
5 = 7см\ Эквивалентная концентрация раствора q = 0,05моль/л,
эквивалентная проводимость Л = 1,1 • 10“ м2/(0м • моль)
10.102. Трубка длиной I = Зсм и площадью поперечного се-
чения 5* = 10см* заполнена раствором СиБОд- Эквивалентная
концентрация pact пора г/ = 0,1 моль/л, сопротивление R — 380м.
Найти эквивалентную проводимость .4 раствора-
10.103. Удельная проводимость деципормальиого раствора со-
ляной кислоты а = 3,5 См/м. Найти степень диссоциации а.
10.104. При освещении сосуда с газом рентгеновскими лучами
в единице объема в единицу щ жмени ионизируется число мо-
лекул Лг = 1016 м“3 с"1. В результате рекомбинации в сосуде
устновилось равновесие, причем в единице объема газа находит-
ся число ионон каждого знака п = 10,4м”3. Найти коэффициент
рекомбинации 7.
10.105. К электродам разрядной грубы приложена разность
потенциалов U — 5 В, расстояние между ними d = 10см. Газ,
находящийся в трубке, однократно ионизирован. Число ионов
каждого 3IKIKA в единице объема газа п = 10е м~3; подвижности
ионов Н| = 3 • 10-2м2/(В - с) и и_ = 3 1()2м2/(В • с). Найти
плотность тока j в трубке. Какая часть полного тока неродосятся
положительными ионами?
10.106. Площадь каждого электрода ионизационной камеры
S = 0,01м2, расстояние между ними d = 6,2 см. Найти ток на-
сыщения /„ в такой камере, если в единице объема в единицу
времени образуйся число однозарядных ионон каждого знака
N = 1Q16 м“3 - с”1.
10.107. Найти наибольшее возможное число ионов п каждого
знака, находящихся в единице объема камеры предыдущей задачи,
если коэффициент рекомбинации 7 = 10~12.м3/с.
Sin
ЭЛ ККТРОМЛ ГНЕТИ зм
135
10.108. Найти сопротивление R трубки длиной I = 84см и пло-
щадью поперечного сечения S = 5 мм2, если она заполнена возду-
хом, ионизированным так, что в единице объема при равновесии
находится п — 1013м"3 однозарядных ионов каждого знака. По-
движности ионов = 1,310‘4 м2/(В с) и = 1,8-10~4м2/(Вс).
10.109. Какой ток I пойдет между электродами ионизационной
камеры задачи 10.106, если к электродам приложена разность по-
тенциалов U — 20В? Подвижности ионов и.|. = и . = 1О‘"4м2/(В с),
коэффициент рекомбинации 7 = 10~12м3/с. Какую долю тока на-
сыщения составляет найденный ток?
10.110. Какой наименьшей скоростью v должен обладать элек-
трон для того, чтобы ионизировать атом водорода? Потенциал
ионизации атома водорода U = 13,5 В
10.111. Прн какой температуре Т атомы ртути имеют кине-
тическую энергию поступательного движения, достаточную для
ионизации? Потенциал ионизации атома ртути U = 10,4 В.
10.112. Потенциал ионизации атома гелия U = 24,5 В. Найти
работу ионизации А.
10.113. Какой наименьшей скоростью v должны обладать сво-
бодные электроны в цезии и платине для того, чтобы они смогли
покинуть металл?
10.114. Во сколько раз изменится удельная термоэлектронная
эмиссия вольфрама, находящегося при температуре 1\ = 2400 К,
если повысить температуру вольфрама на ДТ = 100К?
10.115. Во сколько раз катод из торированного вольфрама при
температуре Т = 1800 К дает большую удельную эмиссию, чем
катод из чистого вольфрама при той же температуре? Эмиссион-
ная постоянная для чистого вольфрама В\ = 0,6 • 10* А/(м2 К2),
для тарированного вольфрама &2 = 0»3 • 107 А/(м2 К2).
10.116. При какой температуре Т? тарированный вольфрам
будет давать такую же удельную эмиссию, какую дает чистый
вольфрам при 7\ = 2500К? Необходимые данные ьмпь из пре-
дыдущей задачи.
§ 11. Электромагнетизм
Магнитная индукция В связали с напряженностью /7 магнитного поля соот-
ношением
Н — дорН,
где д— относительная магнитная проницаемость среды, до = 4т • 10”7 Гн/ы —
— 12,5663706144 • 10~тГи/м— магнитная постоянная.
Для ферромагнитных тел д = а следовательно, н В = /(Я). При
решении задач, где. требуется знать зависимость В а / (//), необходимо пользо-
ваться графиком, прниеданным я приложении IX
130
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МЛl illCTir.I.M
[Гл. 11!
По закону Био — Садера—Лапласа элемент контура ей, по которому течет
ток /, создаст и некоторой точке Д пространства магнитное поле напряженно*
стью
где г — расстояние от точки А до элемента тока Л, v—радиус-вектор точки А
от элемента тока tU-
Напряжелностъ магнитного поля в центре кругового тока
' я = яг
где R — радиус кругового контура с током.
Напряженность магнитного поля, созданного бесконечно длинным прямоли-
нейным проводником,
Н =
2яа
здесь « — раегтоянпр от точки, где ищется напряженность, до проводника с то-
ком.
Напряженность магнитного поля на осн кругового тока
Н=_______В21_____
2(Я2+в2)’/а’
здесь R радиус кругового контура с током, а— расстояние от точкп, где
ищется напряженность, до плоскости контура.
Напряженность магнитного поля внутри тороида и бесконечно дли иного со-
леноида
И = In,
где п — число витков на единицу длины соленоида (тороида).
Напряженность мш нит кого ноли на осн соленоида конечной хпины
// = Q (сов0а -*СО6 02),
где Л| н 32—углы между осью соленоида и радиус-вектором, проведенным из
рассмагрншюмой точки к концам соленоида.
Объемная плотность энергии магнитного поля
Магнитный поток (поток мигни хной индукции) сквозь контур
Ф = 13S соя^,
где S — плошадь поперечного сечения контура, — угол между нормалью к
плоскости контура и направлением магнитного поля.
Магнитный ноток сквозь тороид
т._ uoufNS
Sul
ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ
137
где V— общее число витков тороида, I— его длина, S — площадь его попереч-
ного сечения. Если тороид имеет воздушный зазор, то
ф=_,________LS—_______,
/1/5д0Р1
где /1 —длина железного сердечника, pi —его магнитная проницаемость, Ь —
длина воздушного зазора, до—магнитная проницаемость воздуха.
На элемент dl проводника с током, находящийся в магнитном поле, действует
сила Ампера
dF = Л/ sinftdJ,
где а—угол между направлениями тока и магнитною поля.
На замкнутый контур с гиком, а также на магнитную стрелку в магнитном
поле действует пара сил с вращающим моментом
М = р х В,
где р—магнитный момент контура с током (или магнитной стрелки).
Магнитный момент контура с током
р—1 у. п ' S,
где S — площадь контура, п— вектор нормали к плоскости контура.
Два параллельных бесконечно длинных прямолинейных проводника с тока-
ми fi н h взаимодействуют между собой с силой
где I—длина участка проводников, d—расстояние между ними.
Работа перемещения проводника с током в магнитном полр
dA = Г </Ф,
где ЛФ— магни шый ноток, не^мкоченный проводником при его движении.
Сила, действующая на заряженную частицу, движущуюся со скоростью в
магнитном поле, определяется формулой Лоренца
F — q v х lJt
где q—заряд частицы.
При притекании тока I пдпль (цхмюдящеЙ пластины, помещенной перпенди-
кулярно к магнитному полю, возникает поперечная разность потенциалов
0 = =
п пса
гнел—толщина пластины, В— индукция магнитного ноля, К « 1/пе—посто-
янная Холла, обратная концентрации п носителей тока н их заряду с. Зная
постоянную Холла А и удельную проводимость материала с = 1/р = пси,
можно найти подвижность носителей тока и.
13В
ЭЛНКТРНЧЕСТПО И МАГНЕТИЗМ
(Ел. lit
Явление электромагнитной индукции заключается в появлении в контуре
Э. д.с. индукции при всяком изменении магнитного потока Ф сквозь поверхность,
охватываемую контуром. Э.д.с индукции определяется уравнением
г _ с*Ф
Изменение мигнивного потока может доспиатъся ивмшншисм тока в самом кои-
туре (явление самоиндукции). При этом э. д. с. самоиндукции определяется фор-
мулой
г — _ т dT
4 ~ L dl ’
где L индуктивность контура.
Индуктивность соленоида
L — iWin2tS,
где I—д ина соленоида, S- площадь его поперечного сечения, п — число вит-
ков нв единицу его длины.
Вследствие явления самоиндукции при выключении э. д.с. ток в цепи спадает
по закону
/ = /о ехр (-£<) »
а нри включении э.д.с. ток нарастает но закону
где R — сопротивление цепи.
Магнитная энергия контура с током
iv -LI1
“ 2 ’
Изменение магнитного потока может достигаться также изменением тока в
соседнем контуре (явление взаимной индукции). При этом индуцируемая э.д.с.
Р _ г dl
где I is — взаимная индуктивность контуров. Взаимная индуктивность двух
соленоидов, пронизываемых общим магнитным потоком,
£12 =
где щ и па — числа витков на единицу длины этих соленоидов.
Количество электричества, прошедшего через поперечное сечение проводни-
ка при возникновении в нем индукционного тока,
d7 = - l <1Ф
$11]
ЭЛНКТРОМЛГНКГИЯМ
139
11.1. * Используя закон Био — С.авара—Лапласа, показать, что
напряженность II магнитного ноля бесконечно длинного провод-
ника с током / рання Н = где г — расстояние от проводника.
11.2. * Определить напряженность магнитного ноля на оси кру-
гового тока. Сила тока I радиус витка Л.
11.3 Найти напряженность Н магнитного поля в центре кру-
гового проволочного витка радиусом R = 1см, по которому течет
ток I — 1 А
11.4 На рис. 114 изображены сечения двух прямолинейных
бесконечно длинных проводников с токами Расстояние между
Л1,
Риг 11Б
Рис. 114
проводниками ЛВ = 10см, токи Л = 20А и /2 = ЗОЛ. НаЙш
напряженности II магнитного ноля, вызнанного токами Ц и I?
в точках А/1, А1% и Л/з. Расстояния AfjA — 2см, АЛЛ = 4см и
ВМ3 - Зсм.
11.5. На рис 115 изображены сечения трех прямолинейных бес-
конечно длинных проводников с токами. Расстояния АВ = ВС =
— 5см. гокн Л = Л = I и Л — 21 Найти точку на прямой АС, в
которой напряженность магнитного поля, вызванного токами Л,
Л и Л равна нулю.
11.6. Два прямолинейных бесконечно длинных проводника рас-
положены перпендикулярно друг к другу и находятся в одной
плоскости (рис. 116). Найти
л/1
д
М, ?.........« Л!,
: !
: i
: : 6
--1---------1►
С------------в
напряженности Н\ и Н2 магнит-
ного поля в точках н Л/о,
если токи Л = 2 А и Л = ЗА.
Расстояния АЛЛ = АЛЛ = 1см н
1Ш1 = СМ2 - 2 см
Рис. 117
Рис. 116
11.7. Два прямолинейных бесконечно длинных проводника рас-
положены перпендикулярно друг к другу и находятся во взаимно
перпендикулярных плоскостях (рис. 117) Найти напряженности
7/1 и Н2 магнитного поля в точках Л/в и Afj, если токи Ц ^2А
и /2 = 3А Расстояния АЛЛ = АЛЛ = 1 см и АВ = 2см.
140
ЭЛККТИИЧЕС 1'110 и МАГНЕТИЗМ
|Гл. Ill
11.8. Два прямолинейных длинных проводника расположены
параллельно на расстоянии d = 10см друг от друга. По провод
никам текут токи /| = = 5 А в противоположных направлениях.
Найти модуль к направление напряженности Н магнитного но-
ля н точив, находящейся иа расстоянии л = 10 см от каждого
проводника.
11.9. Найти напряженность И магнитного поля, создаваемого
отрезком АВ прямолинейного проводника с током, в точке С,
расположенной на перпендикуляре к середине этого отрезка па
расстоянии а = 5см от него. По проводнику гечот ток / =20А
Отрезок АВ проводника виден из точки С пол углом 60°.
11.10. Решить предыдущую задачу при условии, что ток в
проводнике I = 30 А и отрезок проводника виден из точки С
под углом 90°. Точка С расположена на расстоянии а = Сем от
П]ю водник а,
11.11. Ток 7 = 20 А идет по длинному проводнику, согнутому
под прямым углом. Найти напряженность // магнитного поля
в точке, лежащей иа биссектрисе этого угла и отстоящей от
вершины угла на расстоянии а= 10 см.
11 12. Ток I = 20 А, протекая по кольцу из медной проволоки
сечением S = 1,0 мм2, создает в центре кольца напряженность
магнитного ноля Н = 178 А/м. Какая разность потенциалов U
приложена к концам проволоки, образующей кольцо?
11.13. Найти напряженность Н магнитного поля в центре кру-
гового контура на расстоянии а = 3см от его плоскости. Радиус
контура R = 4см, ток в контуре I = 2 А.
11.14. Напряженность магнитного поля в центре кругового вит-
ка Яо = 0,8Э. Радиус витка В = 11см. Найти напряженность Н
магнитного ноля на оси витка па расстоянии а = 10 см от его
плоскости.
11.15. Два круговых витка радиусом Н = 4см каждый распо-
ложены в параллельных плоскостях на расстоянии d = 10 см друг
от друга. По виткам текут токи Ц = I? = 2 А. Найтн напряжен-
ность Н магнитного поля на оси витков в точке, находящейся
на рапном расстоянии от них. Задачу решить, когда: а) токи
в витках текут в одном направлении; б) токи в витках текут в
противоположных направлениях.
11.16. Найтн распределение напряженности Н магнитного поля
вдоль оси кругового витка диаметром D = 10 см, но которому
течет ток I = 10 А Составить таблицу значений Н и построить
график для значений х в интервале 0 $ 10см через каждые
2 см.
11.17. Два круговых витка расположены в двух взаимно пер-
пендикулярных плоскостях так, что центры этих витков совнада-
ют. Радиус каждого шика 7? = 2см, токи в витках Ц = То =5А.
Найти напряженность Н магнитного поля в центре этих витков.
§11)
ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ
Hl
ИЛЬ. Из проволоки длиной I = 1м сделана квадратная рамка.
По рамке течет ток 1 — ЮЛ. Найти напряженность Н магнитного
поля в центре рамки.
11.19. В.центре кругового проволочного витка создается маг-
нитное поле напряженностью Н при разности потенциалов Сг>
на концах витка. Какую надо приложить разность потенциалов
Cr2i чтобы получи гь такую же напряженность магнитного ноля
в центре витка вдвое большего радиуса, сделанного из той же
проволоки?
11.20. По проволочной рамке, имеющей форму правильного
шестиугольника, вдет ток I = 2 Л. При этом в центре рамки
образуется магнитное поле напряженностью II — ЗЗА/.М. Найти
длину I проволоки, из которой сделана рамка.
11.21. Бесконечно длинный провод образует круговой виток,
касательный к щмяюду. По проводу идет ток I = 5 .А. Найти
радиус R витка, если напряженность магнитного поля в центре
витка II = 41 Л/м.
11.22. * Показать, что напряженность линейного ноля на оси
бесконечно длинного соленоида, по которому протекает ток I.
раина Н — /п, где п — число витков на единицу длины соленоида.
11.23. * То же, но для соленоида конечной длины:
и - у (cos/?, -сояД2),
где /3; и р->—углы между осью соленоида и радиус-векторами,
провешенными из данной точки к концам соленоида.
11.24. * По плоскому контуру, изображенному на рисунке 118.
течет чок силы I = 1 Л. Угол между прямой инейными участ-
Рис. 118 Рис. 119
ками контура прямой. Радиусы rj = 10см н г2 = 20см Найти
магнитную индукцию В в точке С.
11.25. " Определить индукцию магнигною ноля 1^ в центре
кольца, по которому течет ток / (рис. .119). Магнитно® поле
радиальных подводящих проводников скомпенсировано.
142
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ
(Гл. >11
11.26. * По проволоке, согнутой в виде правильного п-уголь-
иика, вни&шного в окружность радиуса R, пропускается ток
силы Г. Найти магнитную индукцию В в центре многоугольника.
Исследовать полученное выражение для случая и -> оо.
11.27. * По круглому прямому проводу' радиуса R течет ток
постоянной плотности j. Найти выражение для напряженности
поля В в точке, положение которой относительно оси провода
определяется перпендикулярным к этой оси радиус-вектором г.
Рассмотреть случаи, когда точка лежит внутри и вне провода.
11.28. * Внутри прямого провода круглого сечения имеется кру-
глая цилиндрическая полость, ось которой параллельна оси про-
вода. Смещение осп полос ги относительно оси провода определя-
ется вектором ci. По проводу течет ток постоянной по сечешно
плотности j. Найти напряженность магнитного поля Н внутри
полости. PaccMOTjMnb случай а = 0.
11.29 Катушка длиной I = 30 см имеет Аг = 1000 витков. Най-
ти напряженность Н магнитного ноля внутри катушки, если но
катушке проходит ток 7 = 2А. Диаметр катушки считать малым
по сравнению с се длиной.
11 30 Требуется получить напряженность магнитного поля
Н — 1 кА/м в соленоиде длиной I = 20 см и диаметром D = 5см.
Найти число ампер-витков LV, необходимое для этого соленоида,
и разность потенциалов U, которую надо приложить к концам
обмотки из .медной проволоки диаметром d = 0,5 мм. Считать поле
соленоида однородным
11.31. Найти распределение напряженности Н магнитного поля
вдоль оси соленоида, длина которого I = Зсм и диаметр D = 2 см.
По соленоиду течет ток I = 2А. Катушка имеет Лт = 100 витков.
Составить таблицу значений Н и нос троить график для значе-
ний л в интервале 0 х Зсм через каждые 0,5см.
11.32. Конденсатор емкостью С = 10 мкФ периодически заря-
жается от батареи с э.д.с. с £ — 120В и разряжается через
соленоид длиной I = 10см. Соленоид имеет .V = 200 витков.
Среднее значение напряженности магнитного ноля внутри соле-
ноида И = 240 Л/м С какой часа спой п происходит переключение
конденсатора? Диаметр соленоида считать малым по сравнению
с его длиной.
11.33. В однородном магнитном поле напряженностью Н =
= 79,6 кА/м помещена квадратная рамка, плоскость которой со-
ставляет с. itaripaii.Tcniic.M магнитного поля угол а = 45°. Сторона
рамки о = 4 см. Найти магнитный поток Ф пронизывающий рамку.
11.34. В магнитном ноле, индукция которого В = 0,05 Тл, вра-
щается стержень длиной I = 1 м. Ось вращения, проходящая через
один из концов стержня, параллельна направлению магнитного
ноля. Найти магнитный поток Ф, нороодкаемый стержнем при
каждом обороте.
§П|
ЭЛЬКТГОМЛГНЕТНЗМ
143
11 <35. Рамка, площадь которой S = 16 см2, вращается в од-
нородном магнитном ноле с частотой п = 2с"1. Ось вращения
находится в плоскости рамки и перпендикулярна к направлению
магнитного ноля. Напряженность магнитного поля Н = 79,6 кА/м.
IТайги зависимость магнитного потока Ф, пронизывающего рамку,
от времени t и наибольшего значения Фтах магнитного потока.
11.36. Сколько ампер-витков потребуется для того, чтобы вну-
три соленоида малого диаметра и длиной I = 30 см объемная плот-
ность энергии магнитного поля была равна Wq = 1,75Дж/м3?
11.37. Длина железного сердечника тороида Ц = 2,5 м, длина
воздушного зазора 12 = 1см. Число витков в обмотке тороида
N = 1000. При токе I — 20А индукция магнитного поля в
воздушном зазоре В = 1,6Тл. Найти магнитную проницаемость д
железного сердечника при этих условиях. (Зависимость В от Н
для железа неизвестна.)
11.38. Длина железного сердечника тороида = 1м, длина
воздушного зазора = 1см. Площадь поперечного сечения сер-
дечника S = 25см2. Сколько ампер-витков потребуется для со-
здания магнитного потока Ф = 1,4 мВб, если магнитная проницае-
мость материала сердечника р = 800? (Зависимость В от Н для
железа неизвестна.)
11.39. Длина железного сердечника /j = 50 см, длина воздуш-
ного зазора Ь = 2 мм. Число ампер-витков в обмотке торои-
да IN = 2000 А • в. Во сколько раз уменьшится напряженность
магнитного ноля п воздушном зазоре, если при том же числе
ампер-витков увеличить длину воздушного зазора вдвое?
11.40. Внутри соленоида длиной I = 25,1см и диаметром
/)=2см помещен железный сердечник. Соленоид имеют N = 200
витков. Построить для соленоида с сердечником график зависи-
мости магнитного потока Ф от тока 1 в интервале 0 I 5 Л
через-каждый 1А По оси ординат откладывать Ф (в 10“4Вб).
11.41. Магнитный ноток сквозь соленоид (без сердечника)
Ф = 5мкВб. Найти магнитный момент р соленоида, пели его
длина / = 25 см.
11.42. Через центр железного
кольца перпендикулярно к его пло-
скости проходит длинный прямоли-
нейный щюпод. по которому течет
гок I = 25 А. Кольцо имеет че-
тырехугольное сечение (рис. 120),
размеры которого /1 = 18 мм. h =
= 22мм и h = 5 мм. Считая при-
ближенно, что в любой точке се-
чения кольца индукция одинакова
Рнс. 120
н равна индукции па г^х^дпс.Й линии
колыш, найти магнитный
поток Ф, пронизывающий площадь сечения кольца.
ьи
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ
(Гл. HI
11.43. Найти магнитный поток Ф, пронизывающий площадь
сечения кольца щхщыдущсЙ задачи, учитывая, что магнитное
ноле в различных точках сечения кольца различно. Значение р
считать постоянным и найти его но графику кривой В = / (Я)
для значения Н на средней линии кольца.
11.44. Железный сердечник длиной G = 50,2 см с воздушным
зазором длиной I? ss 0,1см имеет обмотку и:» *V = 20 витков.
Какой ток I должен протекать по этой обмотке, чтобы в зазоре
получить индукцию В? = 1,2Тл?
11.45. Между полюсами электромагнита требуется создать маг-
нитное поле с индукцией В = 1ДТл. Длина железного сердечника
Zi = 40 см, длина меж полюсного пространства /2 = 1см, диаметр
сердечника D = 5см. Какую э.д.с. £ надо взять для питания
Рис 121 Рис. 122
обмотки электромагнита, чтобы получить требуемое магнитное
поле, используя модную проволоку площадью поперечного сече-
ния S = 1 мм^? Какая будет при этом наименьшая толщина b
намотки, если считать, что предельно допустимая ида/гность тока
I = ЗМА/м2?
11.46. Между полюсами электромагнита создастся однородное
магнитное поле с индукцией В = 0,1 Тл. По проводу длиной
I = 70 см, помещенному перпендикулярно к направлению .магнит-
ного поля, течет ток I = 70 A. Hath и силу F, действующую на
провод.
1147.* Проводник EF движется с постоянной скоростью £?*, за-
мыкая дна проводника АС и образующих между собой угол п
(рис. 121). Перпендикулярно плоскости проводников приложено
постоянное однородное магнитное поле индукпнн В Найти пол-
ное количество теплоты, выделившейся в цепи за время движения
проводника EF от точки .4 до точки С. Сопротивление единицы
длины проводника EF равно Л/. Сопротивлением п^юводников
АС и AD гцюнвбречь. АС = /о, EF.LAC, V1.EF.
Ju]
ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ
145
11.48. * Определить силу, с которой действует бесконечно длин-
ный прямой провод пл прямоугольный кон гур. Провод располо-
жен в плоскости контура. По контуру течет ток I а по проводу
/ь Стороны AD н ВС контура имеют длину а н расположены
параллельно проводу. Расстояние от AD до провода равно т.
АВ = DC =1 (рис. 122).
11.49. * Медный провод г сечением S, согнутый в виде рамки
(рнс. 123), может вращаться вокруг горизонтальной оси. Провод
находится в однородном магнитном поле, направленном верти-
кально. Когда по проводу течет ток I провод отклоняется па
угол а от вертикали. Определить индукцию поля В. Плотность
меди равна р,
11 50.* Из проволоки сделано полукольцо радиусом г = 10 см,
по которому протекает ток силой / = 10 А (рнс. 124). Полукольцо
Рис. 123
Рис 124
помещено в магнитное поле. Вектор индукции лежи г в плоско-
сти полукольца в перпендикулярен диаметру. Индукция В равна
50мТл. Определить силу, действующую на проволоку.
11.51 По соленоиду с погонным числом ниткой п = 15см"1
и радиусом В = 5.5 см протекает ток силой I Предельное зна-
чение силы, которую выдерживает материал соленоида, равно
Fnp = 100 Н Какой максимальной силы ток можно пропустить
через соленоид, чтобы он не разрушился?
11.52. Два прямолинейных длинных параллельных проводника
находятся на расстоянии = 10см друг от друга. По провод-
никам в одном направлении текут токи 1г — 20 А и /2 = 30 А.
Какую работу А/ пало совершить (на единицу длины проводни-
ков), чтобы раздвинуть эти проводники до расстояния = 20 см?
11.53 Два прямолинейных длинных параллельных проводника
находятся на некотором расстоянии друг от друга. По провод-
никам текут одинаковые токи в одном направлении. Найти токи
Ц и Г2, текущие но каждому из проводи икон, если нзвестно,
что для того, чтобы раздвинуть эти проводники па вдвое боль-
ше*! расстояние, пришлось совершить работу (на единицу длины
проводников) А< = 55 мкДж/м
11.54. Из проволоки длиной / = 20см сделаны квадратный и
круговой контуры. НаЙги вращающие моменты сил Mi и Л/2|
действующие на каждый контур, помещенный в однородное маг-
146
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ
(Гл III
нитное поле с индукцией В = 0,1 Тл. По контурам течет ток
I = 2 А. Плоскость каждого контура составляет угол а = 45° с
.направлением поля.
11.55. Катушка гальванометра, состоящая из Аг = 400 витков
гонкой гцюволоки, намотанной иа прямоугольный каркас длиной
I = Зсм и шириной b = 2 см, подвешена на нити в магнитном
поле с индукцией В = 0,1Тл. По катушке течет ток I = ОД мкА.
Найти вращаюший момент А/, действующий на катушку гальва-
нометра, если плоскость катушки: а) параллельна направлению
магнитного поля; б) составляет угол о — 60° с направлением
магнитного ноля.
11.56. На рассгояпии а = 20 см от длинного прямолинейного
вертикального провода на пяти длиной I = 0 1 м и диаметром
d — ОД мм виси г короткая магнитная стрелка, магнитный момент
которой р = 0,01А м2. Стрелка находится в плоскости, проходя-
щей через провод и нить. На какой угол у? повернется стрелка,
если но щкшоду пустить ток I = 30 А? Модуль сдвига материа-
ла нити G = 5.9 ГПа. Система экранирована от магнитного поля
Земли
11.57. Квадратная рамка подвешена на щюволоке так, что
направление магни гного поля составляет угол а = 90° с нормалью
к плоскости рамки Сторона рамки а = 1см. Магнитная индукция
поля В = 13,7 мТл. Если по рамке пропустить ток I = 1А, то
она поворачивается на угол р = 1°. Найти модуль сдвига G
материала проволоки. Длина проволоки I = 10см, радиус нити
г = 0,1 мм.
11.58. Круговой контур помещен в однородное магнитное но-
ле так. что плоскость контура перпендикулярна к направлению
магнитного ноля. Напряженность магнитного поля Н = 150 кА/м.
По контур} течет ток 1 = 2А Радиус контура R = 2ем. Ка-
кую работу А надо совершить, чтобы повернуть контур на угол
ф = 90° вокруг оси, совпадающей с диаметром контура?
11.59. В однородном магнитном поле с индукцией В = 0,5 Тл
движется равномерно проводник длиной I = 10см. Ио проводнику
течет ток I = 2 Л Скорость движения п|х>волнмка v = 20 см/с
и направлена перпендикулярно к направлению магнитного поля.
Найти работу А перемещения провод-
ника за время t = 10 с и мощность Р,
затраченную на это перемещение.
11.60. Однородный медный диск .4
радиусом R — 5 см помещен в магнитное
поле с индукцией В = 0.2Тл так, что
плоскость лиска перпендикулярна к на-
правлению магнитного поля (рис- 125).
Ток I = 5 А проходит по радиусу дис-
ка ab (а и b — скользящие контакты).
Рис. 125
§11) ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ 147
\
Диск вращается с частотой п = Зс1. Найти: а) мощность Р
такого двигателя; б) направление вращения диска при условии,
что магнитное поле направлено от чертежа к нам* в) вращающий
момент А/. действующий на диск»
11 61 Найти магнитный ноток Ф, пересекаемый радиусом ab
диска Л (рис- 123) за время t = 1мин вращения. Радиус лиска
R = 10см. Индукция магнитного поля В =0.1 Гл Диск вращается
с частотой п = 5,3 с-1.
11.62. Электрон, ускоренный разностью потенциалов U = 1 к13.
влетает в однородное магнитное поле, направление которого nej>-
нендикулярно к направлению его движения. Индукция магнитно-
io ноля 13 = 1,19 м Гл Найти радиус II окружности, по которой
движется электрон, период обращения Т и момент импульса А/
электрона.
11.63. Электрон. уско]>ен11ЫЙ разностью но инициалов U = 300 В,
движется параллельно прямолинейному длинному проводу на рас-
стоянии а = 4 мм от пего. Какая сила. F действует па электрон,
если по проводнику пустить ток I = 5 А?
11.04. Поток а-частнц (ядер атома гелия), ускоренных разно-
стью потенциалов U = 1 МВ, влетает в однородное магнитное поле
напряженностью Н = 1,2 кА/м. Скорость каждой частицы напра-
влена перпендикулярно к направлению магнитного поля. Найти
силу F, действующую на каждую частицу.
11.65. Электрон влетает в однородное магнитное ноле, напра-
вление которого перпендикулярно к направлению его движения.
Скорость электрона v = 4 • 10' м/с. Индукция магнитного ноля
В = 1мТл. Найти тангенциальное «т и нормальное ап ускорения
электрона в магнитном поле.
11.66. Найтн кинетическую энергию IV (в электронвольтах)
протона, движущегося по луге окружности радиусом R = СО см в
магнитное поле с индукцией В = 1 Тл.
11 67. Прозой и электрон, ускоренные одинаковой разностью
потенциалов, влетают в однородное магнитное поле Во сколько
раз ]мдиус кривизны Ri траектории протона больше радиуса
кривизны В2 траектории электрона?
11.68. Заряженная частица движется в магнитном поле по
окружное г it со скоростью v = 10е м/с. Индукция магнитного
поля В = 0.3 Тл. Радиус окружности В = 4см. Найти заряд q
частицы, если известно, что ее энергия И = 12 кэВ
11.69. Найти отношение qfm для заряженной частицы, если
она, влетая со скоростью v = 10ь м/с в однородное магнитное
ноле напряженностью Н = 200 кА/м, движется по дуге окружно-
сти радиусом R = 8,3 см. Направление скорости движения части-
цы перпендикулярно к направлению магнитного ноля. Сравнить
найденное значение со значением q/m для электрона, прогона и
о-частицы.
148
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ
(Гл III
11.70. Пучок электронов, ускоренных разностью потенциалов
U = 300В, влетает в однородное магнитное ноле, направленное от
чертежа к нам (рис. 126).
Ширина поля 6 = 2,5 см. В отсутствие
магнитного поля ну чок электронов да-
ет пятно в точке .4 флуоресцирующе-
го экрана, расположенного на рассто-
янии I = 5 см от края полюсов магии
та. При включении магнитного поля
пятно смещается в точку В. Найти
с мощен и с х = АВ пучка электронов,
если известно, что индукция магнит-
ного ноля В — 14,6 мкТл.
11.71. Магнитное поле напряжшг-
ностыо Н = 8 кА/м и электрическое
поле напряженностью Е = 1 кВ/м на-
правлены одинаково. Электрон влетает в электромагнитное ноле
со скоростью v = 10’’ м/с. Найти нормальное ап, тангенциальное
аг и полное а ускорения электрона Задачу решить, если скорость
электрона направлена: а) параллельно направлению электриче-
скою ноля; б) перпендикулярно к нащжвлению электрического
ноля.
11.72. Магнитное поле, индукция которого В = 0,5мТл, напра-
влено перпендикулярно к электрическому полю, напряженность
которого Е = 1кВ/м. Пучок электронов влетает в электромаг-
нитное поле, причем скорость v электронов перпендикулярна к
плоскости, в которой лежат нскторы Е и В. Найти скорость элек-
тронов г, если при одновременном действии обоих полей пучок
электронов не испытывает отклонения. Каким будет радиус R
траектории движения электронов при условии включения одного
магнитного ноля?
11.73. Электрон, ускоренный разностью потенциалов U =6 кВ,
влетает в однородное магнитное поле под углом а = 30° к на-
правлению поля и движется по винтовой траектории. Индукция
магнитного ноля В = 13мТл. ИаЙтп радиус К и шаг h пинтовой
траектории.
11.74. Электрон влетает в плоский горизонтальный конденса-
тор параллельно его пластинам со скоростью в = 107м/с. Длина
конденсатора I = 5 см. Напряженность электрического поля кон-
денсатора Е = 10 кВ/м. При вылете из конденсатора электрон
попадает в магнитное ноле, перпендикулярное к электрическому
полю. Индукция магнитного поля В = ЮмТл. Найти радиус й
и шаг /1 вин юной траектории электрона в магнитном ноле.
11.75. Электрон, ускоренный разностью потенциалов U = ЗкВ,
влетает в магнитное поле соленоида под углом а = 30° к tiro
ЭЛЕКТГОМ ЛГНЕТИЧМ
149
оси. Число ампер-витков соленоида /Лг — 5000 А - в. Длина соле-
ноида I = 25см. Найти шаг h винтовой траектории электрона в
магнитном поле.
11.76. Чррез сечение S = ab медной пластинки толщиной
а = 0.5 мм и высотой b = 10.мм пропускается ток 1 = 20Л. При по-
мещении пластинки в магнитное поле, перпендикулярное к ребру
b и направлению тока, возникает поперечная разность потенци-
алов U — 3,1 мкВ. Индукция магнитного поля В= 1Тл. Найти
концентрацию п электронов проводимости в меди и их скорость и
при этих условиях.
11.77. Через печение S = ab алюминиевой пластинки (а —
толщина и b—высота) пропускается ток / = 5 А Пластинка
помещена в магнитное ноле, перпендикулярное к ребру b и напра-
влению тока Найти возникающую при этом поперечную разность
потенциалов U- Индукция магнитного поля В = 0,5Тл. Толщина
пластинки а = 0,1 мм. Концентрацию электронов проводимости
считать равной концентрации атомов.
11.78. * Определить поперечную разность потенциалов, возни-
кающую при протекании тока силой I вдоль проводящей пласти-
ны толщиной а, помещенной перпендикулярно магнитному полю
с индукцией В. Концентрация носителей тока п.
; 11.70. Пластинка полупроводника толщиной а = 0,2 мм поме-
щена в маппттное поле, перпендикулярное к пластинке. Удельное
сопротивление полупроводника р = 10 мкОм м- Индукция магнит-
ного поля В = 1 Тл. Перпендикулярно к направлению поля вдоль
пластинки пропускается ток I = ОД А. При этом возникает попе-
речная разность потенциалов U = 3,25 мВ Найти подвижность и
носителей тока в полупроводнике,
11.80. В однородном магнитном поле, с индукцией В = 0,1Тл
движется проводник длиной I = 10 см. Скорость движения про-
водника и = 15 м/с и направлена перпендикулярно к магнитному
полю. Найти индуцированную в проводнике э.д.с £.
11.81. Катушка диаметром D = 10 см, состоящая из /V = 500
витков проволоки, находится в магнитном поле. Найги среднюю
э.д.с. индукции £ср, вовникаклцую в этой катушке, если Ждукция
магнитного ноля В увеличивается в течение времени i = 0,lc от
0 до 2 Та.
11.82. Скорость самолета е реактивным двигателем v=950 км/ч.
Найти э.д.с. индукции £, вози икающую между концами крыльев,
если вертикальная составляющая напряженности земного магнит-
ного поля На =39.8А/м и размах крыльев самолета I = 12,5 м
11.83. В магнитном поле, индукция которого В=0,05Тл, вра-
щается стержень длиной I = 1 м с угловой скоростью и = 20рад/с.
150
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ
|Гл. III
Ось вращения проходит черев конец стержня и параллельна маг-
нитному полю. Найти э.д.с. индукции £, возникающую на концах
стержня.
11.84. Круговой проволочный виток площадью S = 0,01м2
находится в однородном магнитном поле, индукция которого
В = 1 Тл. Плоскость витка перпендикулярна к направлению маг-
нитного поля. Найти среднюю э.д. с. индукции £ср, возникающую
в витке при выключении ноля н течение времени t = 10 мс
11.85. В однородном магнитном паче, индукция которого В —
— 0,8Тл, равномерно вращается рамка с угловой скоростью
xj = 15рад/с Площадь рамки S = 150см2 Ось вращения находит
ся в плоскости рамки и составляет угол а = 30° с направлением
магнитного ноля. Найти максимальную э.д.с. индукции £1пах ьо
вращающейся рамке.
11.86. 1 орнзонгалынлй стержень длиной 1м вращается во-
круг вертикальной оси, проходящей Mujxri один из его концов.
Ось вращения параллельна магнитному полю, индукция которого
В = 50мкТл. При какой час готе вращения п стержня разность
потенциалов на концах этого стержня L7 = 1 мВ?
11.87. * Металлический диск радиуса а = 0,25 м вращается, де-
лим ?! = 1000 об/мин. Найти разность потенциалов U между цен-
тром и краем диска, возникающую:
а) в отсутствие магнитных нолей;
6) для магнитного поля, перпендикулярного плоскости диска с
индукцией В = ЮмТл.
11.88. На соленоид длиной I = 20 см и площадью поперечного
сечения S = 30 см2 надет проволочный виток Обмотка соленоида
имеет А" = 320 витков, и по нему идет ток / = ЗА Какая средняя
э.д.с. £ср индуцируется н налогом на соленоид витке, когда ток
в соленоиде выключается в течение времени t = 1 мс?
11.89- Какая средняя э.д.с. £ср индуцируется в витке, если
соленоид, рассмотренный в предыдущей задаче, имеет железный
сердечник?
11.90. На соленоид длиной / = 144 см и диаметром D = 5 см
налет проволочный ниток. Обмотка соленоида имеет N = 2000
витков, и по ней течет ток I = 2 А. Соленоид имеет железный
сердечник. Какая средняя э.д.с. £Ср иидуцируося в надетом на
соленоиде нитке, когда ток в соленоиде выключается в течение
времени t = 2 мс?
11.91. Катушка данной / = 20 см имеет Аг = 400 витков. Пло-
щадь поперечного сечения катушки S = 9см2. Найти индуктив-
ность £> катушки. Какова будет индуктивность L> катушки, если
внутрь катушки введен железный сердечник? Магнитная прони-
цаемость материала сердечника /1 = 400-
ЭЛЕК'1 РОМАГНЕТНЗМ
151
11.92. Обмотка соленоида состоит из /V витков медной про-
волоки, поперечное сечение которой 5 = 1 мм2. Длина соленоида
I = 25гм; его сопротивление Я = 0,2Ом. Найти шщуктивность L
соленоида.
11.93. Катушка длиной / = 20см и диаметром D = 3cm имеет
Дг =400 витков. По катушке идет ток / = 2А. Найти индуктив-
ность L катушки и магнитный ноток Ф, пронизывающий площадь
се 1юпп|»счного сечения.
11.94. Сколько витков проволоки диаметром d = 0,6 мм имеет
однослойная обмотка катушки, индуктивность которой L= 1мГн
и диаметр D = 4 см? Витки плотно прилегают друг к другу
11.95. Катушку с железным сердечником имеет площадь по-
перечного сечения 5 = 20см2 н число витков N = 500. Ин-
дуктивность катушки с сердечником L = 0,28 Гн при токе через
обмотку I = 5 А. Найти магнитную проницаемость д железного
сердечника.
11.96. Соленоид длиной / =50см и площадью поперечного се-
чения S = 2см2 имеет индуктивность L = (),2мкГп При каком
токе I объемная плотность энергии магнитного поля внутри со-
леноида И о — 1 мДж/м3?
11.97. Сколько витков имг/уг катушка, индуктивность которой
L = 1 мГн, если при tokp I = 1 А магнитный поток сквозь катушку
Ф = 2 мкВб?
11.98. Площадь поперечного сечения соленоида с жаленном
сердечником S = 10см2; длина соленоида / — 1м. Найти магнит-
ную проницаемое гь д материала сердечника, если магнитный по-
ток, пронизывающий поперечное сечение соленоида, Ф = 1,4мВб.
Какому току /, текущему через соленоид, соответствует этот маг-
нитный ноток, если известно, что индуктивность соленоида при
этих условиях L = 0,44 Гн?
11.00. Имеется соленоид г железным сердечником длиной
/ = 50 см, площадью поперечного сечения S = 10см2 и числом вит-
ков .V = 1000. Найти индуктивность L этого соленоида, если по
обмотке соленоида течет ток: а) I — 0,1 А; б) / = 0,2 А, в) I = 2 А
11.100. Две катушки намотаны на один общий сердечник. Ин-
дуктивность первой катушки £> = 0,2 Гн. второй — £2 = 0.8 Гн;
сопротивление второй катушки Н? = 600Ом. Какой ток Г» поте-
чет но второй катушке, если ток Л = 0,3 А текущий в первой
катушке, выключить п течение времени t = } мс?
11.101. В магнитном поле, индукция которого /? = 0.05Тл. по-
мещена квадратная рамка из медной проволоки. Площадь попе-
речного течения проволоки я = 1мм2, площадь рамки S = 25см2
Нормаль к плоскости рамки параллельна магнитному полю. Ка-
кое количество электричества q пройдет по контуру рамки при
исчезновении магнитного поля9
152
ЭЛ!? КТ РИЧ ЕСТ HO И МАГНКТИЗМ
|Гл. Ill
11.102. В магнитном поле, индукция которого В = 0,05 Гл,
помпищна катушка, состоящая из N = 200 витков проволоки.
Сопротивление катушки Я = 40О.м; плошадь поперечного сечения
S = 12 см2. Катушка помещена так, что ее ось составляет угол
а — 00° с нанравл<м1исм .магнитного поля. Какое количество
электричества q пройдет по катушке при исчезновении магнитного
ноля?
11.103. Круговой контур радиусом г = 2 см помещен в одно-
родное магнитное ноле, индукция которого В = 0,2 Тл. Плоскость
контура перпендикулярна к направлению магнитного ноля. Со-
противление контура R = 1 Ом. Какое количество электричества q
пройдет через катушку при повороте ее на угол а = 90°?
11.104. Для измерения магнитной проницаемости железа из
него был изготовлен тороид длиной I = 50 см и площадью по-
перечного сечения S = 4 см2. Одна из обмоток тороида имела
АГ1 = 500 витков и была присоединена к источнику тока, другая
имела Лг2 = 1000 витков и была присоединена к гальванометру.
Переключая направление тока в первичной обмотке на обратное,
мы вызываем во вторичной обмотке индукционный ток. Найти
магнитную проницаемость /х железа, если известно, что при пе-
реключении в первичной обмотке направления тока f = 1 А через
гальванометр прошло количество электричества q = 0,06 Кл. Со-
П|ЮТИВЛ<Ч!НС вторичной обмотки — 20 Ом.
11.105. Электрическая лампочка, сопротивление которой в го-
рячем сосюяикн R = 10 Ом, подключается через дроссель к 12-
вольтовому аккумулятору. Индуктивность дросселя £ = 2Гн, со-
противление г = Юм. Через какое время t после включения
лампочка загорится, если опа начинает заметно светиться при
напряжении на ней U = 6 В?
11.106. Имеется катушка длиной / — 20 см и диаметром £>=2см.
Обмотка катушки состоит из N = 200 витков медной проволоки,
плошадь поперечного сечения которой s = 1 мм2. Катушка вклю-
чена в цепь с некоторой э.д.с. При помощи переключателя э.д.с.
выключается, и катушка замыкается накоротко. Через какое вре-
мя t после выключения э.д.с. гок в цени уменьшится в 2 раза?
11.107. Катушка нмоцт индуктивность Л = 0,2 Г» и сопротив-
ление R = 1,640м. Во сколько раз уменьшится ток в катушке
через время t = 0,05 с после того, как э. д. с. выключена и катушка
замкнута накоротко?
11.108. Катушка имеет индуктивность L = 0,144 Гн и сопро-
тивление R — 10 Ом. Чсрем какое время t. после включения в
катушке потечет ток, равный половине установившегося?
11.109. Контур имеет сопротивление R — 20м и индуктивность
L 0,2 Гн. Построить график зависимости гока 1 в контуре, от
времени прошедшего с момента включения в цепь э.д. с., для
§И1
ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ
153
интервала 0 t $ 0,5с через каждую ОД с. По оси ординат
откладывать отношение нарастающего тока 7 к конечному току Jq.
11.110. Квадратная рамка ид модной прополок и сечнннш
s = 1мм2 помещена в магнитное поле, индукция которого ме-
няется по закону В = Bosinx't, где Ло = 0,01 Тл, и = 2ъ[Т и
Т = 0,02 с Площадь рамки 5 =25см2 Плосжость рамки перлон
дикулярна к направлению магнитного поля. Найти зависимость
от в 1 измени t н наибольшее значение а) магнитного потока Ф,
пронизывающего рамку: 6) э.д.с. индукции £, возникающей в
рамке; в) тока 7, текущего по рамке.
11.111. Через катушку, индуктивность которой L = 20 мГн,
течет ток, изменяющийся со временем но закону 7 = 7q sinut, где
70 = 5 А, ы = 2тг/Т и Т = 0.02 с. Найти зависимость от времени I.
а) э.д. с. самоиндукции £, возникающей в катушке: б) энергии И
магнитного поля катушки.
11.112. Две катушки имеют взаимную индуктивность Ь\2 =
= 5 мГн. В нерпой катушке ток изменяется по закону I = sinurt,
где 70 = 10 А, о? = 2jt/jT и Т = 0,02 с. Найти зависимость от вре-
мени t э.д.с. £-2- индуцируемой во второй катушке, н наибольшее
значение £зт.чх этой э.д.с.
11.113. * Катушка с индуктивностью L = 2 мкГц и сопротив-
лением Rq = Юм подключена к источнику постоянного тока с
э.д.с. £ = 3,0В Параллельно кятушке включено сопротивление
R = 2 Ом. После того как ток в катушке достигает установив-
шегося значения, источник тока отключается. Най ти количество
тепла Q, выделившегося после разрыва цепи. Сопротивлением
источника тока и соединительных проводов пренебречь.
11.114. * Когда в ко]югкозамкнутыЙ сверхпроводящий длинный
соленоид с током вставили сверхпроводящий стержень, ток в со-
леноиде увеличился в 3 раза. Определить, во сколько раз сечение
соленоида больше сечения стержня.
11.115. * Длинный короткозамкнутый сверхпроводящий солено-
ид вдвигают в магнитное ноле индукции Bq под углом о к на-
правлению поля. Как распределится индукция магнитного поля
в соленоиде, если он лишь наполовину войдет во внешнее поле?
11.116. * Сверхпроводящее кольцо индуктивности L. в котором
течет ток 7, вносят в однородное магнитное поле индукции Bq.
Найти ток, который будет протекать по кольцу. Нормаль к плос-
кости кольца составляет с направлением ноля угол а, радиус
кольца R
11.117. * Какой минимальной скоростью должен обладать
сверхпроводящий тонкий стержень сечения 5, длины L и мас-
сы т, чтобы влететь в продольное магнитное поле индукции В7
154
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ
(Гл. Ill
И 118 * Если длинный идеально проводящий тонкостенный
цилиндр раскрутить вокруг своей осн, то внутри цилиндра возни-
кает магнитное ноле. Найти его индукцию, если угловая скорость
цилиндра и/.
11.119. * Вдоль однородного магнитного ноля с индукцией В
из одной точки со скоростью v вылетают электроны, имея малый
угловой разброс 6а. Определить расстояние от места вылета на
котором пучок будет иметь минимальный поперечный размер и
оценить ею
11.120/ Две пластины из маснетиков с ироницаемостямм ру
и р2 сложены вместе и помещены и перпендикулярное к ним
однородное поле с индукцией Bq. Чему равны поток Фд вектора
В н ноток Фя вектора Й через воображаемую цилиндрическую
uoBcpxiiocib с образующими, параллельными Во, и основаниями
площади S, перпендикулярными к В$?
11.121/ В однородное магнитное поле с индукцией В помещен
шар из оджцюлного и изотропного магнетика с проницаемостью /х.
а) Определить напряженность Н и индукцию В поля в магне-
тике Размагничивающий фактор считать известным.
б) Написать приближенное выражение для В в случае, если
д » 1.
11.122/ Имеется круговой проводящий контур радиуса а с
сопротивлением R Первоначально ток в hqm отсутствует» Затем
включается перпендикулярное^ к плоскости контура однородное
магнитное ноле с индукцией В
а) В каком направлении будет течь возникший в контур ток?
б) Какой заряд q протечет по контуру?
11.123/ Почему наличие очень высокого напряжения во вто-
ричной обмотке повышающего транс^юрмалора не приводит к
большим потерям энергии на выделение тепла в самой обмотке•
11.124/ Для определения мощности, выделяемой переменным
током в катушке с индуктивностью L и сопротивлением Rj„
иногда применяют метод трех вольтметров, заключающийся в
Следующем Последовательно с катушкой включают известное со-
противление R Измерив эффективные напряжения- U—на ка-
тушке. t/г — на сопротивлении R и U—-между клеммами катушки
и соп|ютивления, определяют искомую мощность И Какова она?
11 125Л Поверх длинного соленоида вплотную намотана ка-
тушка. Ток в соленоиде нарастает прямо пропорционально вре-
мени. Каков характер зависимости тока в катушке от времени?
11.126/ Может ли сериесный двигатель постоянного тока,
включенный в сеть с напряжением U = 120 В. развить мощность
Р = 200 Вт если сопротивление его обмоток R = 20 Ом?
Sil]
ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ
133
11.127.* Определить к.п.д. сериесного и шунтового двигателей
при условии, что развиваемая ими мощность максимальна. На-
пряженно на зажимах равно U\ сопротивление обмоток ротора
Ri и статора R2 одинаковое у обоих двигателей.
11 128.* Шунтовый двигатель постоянного тока при напряже-
нии на зажимах U = 120 В развивает механическую мощность
Р= 160 Вт. Частота вращения якоря двигателя п = 10 с"1. Опре-
делить максимальную возможную частоту вращения при данном
напряжении» Сопротивление якоря R = 20Ом
11.129.* Как измени гея частота шунтового двигателя при уве-
личении силы тока в обмотках статора, если напряжение на якоре
равно U и приложенный к оси якоря механический момент А/
остаются постоянными7
11 130.* Электромотор питается от батареи с э.д.с. £ = 12 В.
Какую механическую работу П' совершает мотор за 1с при про-
текании по его обмотке тока I = 2 А, если при полном заторма-
живании якоря по цепи течет ток /о — 3 Л?
11.131.* Чему равен к п я. электромотора, если при включе-
нии eixj в сеть постоянного тока пусковой ток 1$ — 15 А. а в
установившемся режиме ток снижается до / = 9Л?
Глава IV
КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
§12. Гармоническое колебательное движение и полны
Уравнение i армоннчсского карательного движения имеет вид
х = Д air Г + у) = A rin (2пт4 4 ^) “ Д sin{сЛ 4* <р),
где х—смещение точки от положении рлпитития, редкое дчн разных момен-
тов времени. А—амплитуда, Т—период, 9?—начальная фаза, 1/ 4 ц] = 1/Г—
частота колебаний, и [с- *) s 2xjT— круговая частота^
Скорость и ускорение точки, совершающей колебания, определяются соот-
ношениями . .
v=g = £4<o=(£. + „).
Сила, пол действием которой точка массой тп совершает гармоническое ко-
лебание
Р = гал=_4^ПА«п(^4 + «,)=-^Ех = -Л*.
где к = 4л2т/Т2. т. е. Т — 2тг у/rn/к. Здесь Т—период колебаний точки, соэер
тающей колебания под действием силы F = — kxt где А — жесткость, численно
равная силе вызывающей смещение, равное единице
Кинетическая и потенциальная энергии колеблющейся точки имеют вид
н-к = = 2^a- cos2 + .
H'n = ^2 = 2^»A2sin2(^t + V).
Полная энергия
VV 2^гп ди
т2
Примером гармонических колебательных движений могут служить малые
колебания маятника. Период колебаний математического маятника
Т = y/T/^t .
где I —длина маятника, д—ускорение свободного падания
§12] ГЛРМОНИЧЯСКОЕ КОЯЕПЛТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ 11 ВОЛНЫ 157
Период малых колебаний физическою маятника
где J—момент инерции маятника относительно его оси вращения, т—масса
маятника, d — расстояние от центра масс до оси вращения, д—ускорение сво-
бодного падения.
При сложении двух одинаково нанривлеппых гармонических колебаний оди-
накового периода получается гармоническое колебание того же периода с ам-
плитудой
А = yj 4 А% 4- 2Л > Ач cos (v?2 - V4)
и с начальной фазой, определяемой из уравнения
— ^1 sin у>1 4- /12 SinV2
Al COSpl + /12 COSv“-J *
где А| и Д?— амплитуды слагаемых колебаний, ipj и ipj их начальные физы.
При сложении двух взаимно перпендикулярных колебаний одинакового пе-
риода уравнение траектории результирующею движении имеет вид
д| + Д2 “ “Г^Ъ cosgsl -^,) = Siut(v’2-^l)-
Если на материальную точку массой т, кроме упругой силы F — -кх, дей-
ствует еще сила трения FTp = —rv, где г— коэффициент трения и и— скорость
колеблющейся точки, то колебания точки будут затухающими Уравнение за-
тухающего колебательного движении имеет вид
х — Ае~*1 sin (wt -г у?),
где d (с-1] — коэффициент затухания Прн этом 6 — т(2т н и = — Я2. где
и?0 — круговая частот собственных колебаний Величина X = 6Т называется
логарифмическим декрементом затухания
Если на материальную точку массой т, колебание которой дало в виде
®1 = Ae“fi< sinwoi,
действует внешняя периодическая сила F = Fq sinut, то колебания точки будут
вынужденным и п уравнение се движении прнмег вид
Лз = A sin (ы£ j ^),
где
А =
Гр
m J(wjj - си2)2 4- 4d’w2
tg#>= ^4
Резопакс наступайi* тогда, когда частота вынужденных колебаний <j связана
с частотой собственных колебаний шо и с коэффициентом затухания 6 соотно-
шением
w= — 2Л2
158
КОЛЕБАНИЯ И ПОЛНЫ
[Гл.IV
При распространении незатухающих колебаний со скоростью с вдоль неко-
торого направления, называемого лучом, смещение любой точки, лежащий на
луче и отстоящий от источника колебаний па расстоянии I, дастся уравнением
г = ДВИ^1-^),
где А — амплитуда колеблющихся точек, X —длина волны. При этом X = сТ.
Две точки, лежащие на луче на расстояниях ft н /2 or источника колебаний,
имеют разность фал
_ о- 6 ~ 11
~ Ш -
При интерференции волн максимум и минимум амплитуды получаются со-
ответственно при условиях
Ь-/1=2п| (п = 0.1,2,...),
h-h = (2n-fl)| (я = 0.1,2,...)
Здесь I? — h — разность хода лучей
12.1. Написать уравнение гармонического колебательного дви-
жения с амплитудой .4 = 50 мм. периодом Т = 4 с и начальной
фазой = тг/4 Найти смещение х колеблющейся точки от поло-
жения равновесия при t = 0 и t = 1.5 с. Начертить график этого
движения.
12.2 Написать уравнение гармонического колебательного дви-
жения с амплитудой А = 5 см и периодом Т = 8с, если начальная
фаза у колебаний равна: а) 0} б) г/2; в) тг; г) Зтг/2; д) 2г. На-
чертить график этого движения во всех случаях.
12.3 Начертить на одном графике два гармонических колеба-
ния с одинаковыми амплитудами Л| = Аъ = 2 см и одинаковыми
периодами 7 j = Т2 = 8 с, но имеющими разность фаз уъ — ,
равную: а) тг/4; 6) тг/2; в) тг; г) 2тг.
12.4. * Определить начальную фазу колебаний тела, если не-,
рез 0,25 с от начала движения смещение было равно половине
амплитуды. Период колебаний 6 с.
12.5. Начальная фаза гармонического колебания = 0. Через
какую долю периода скорость точки будет равна половине ее
максимальной скорости?
12.6. Амплитуда гармонического колебания А = 5 см, период
Г «4с Найти максимальную скорость t.'rri>x колеблющейся точки
и се максимальное ускорение атах.
12.7. * Колебания материальной точки совершаются ио закону
х = 0.03 • sin тг (t 4- 0,5). Амплитуда и период колебаний заданы в
системе СП. Определить наибольшие значения скорости и усксциу
имя ’Тему равна фаза колебаний спустя 5 с от начала движения?
113)
lAJ’MOLIH’lLVKOE КОЛЕБАТЕЛЬНОЕ ДВИЖ1П1ИК 11 ВОЛНЫ
159
12.8. Дапо уравнение движения точки х = 2sin j t 4- -* J см
Найти период колебаний Т. максимальную скорость vmax и мак-
симальное ускорение ajnQK точки
12 9.* Смещение гармонического осциллятора в зависимости от
времени дается выражением х — 2.4 cos где х измерена
в метрах a t в секундах Найти а) период и частоту колеба-
ний; б) с мел цен не и скорость и момент времени t = 0; н) ско|юсть
и ускорение в момент времени t = 10с.
12.10. * Скорость материальной точки, совершающей гармони
ноские колебания, задается уравнением v(t) = —6sin2«t Записать
зависимость смещения этой точки от времени.
12.11. * Две частицы А и В совершают гармонические колеба-
ния с одинаковой амплитудой (10 см) по одной и той же прямой.
Частоты их движений составляют = 20с ив = 21с~* соот-
ветственно. В момент времени t = 0 обе частицы проходят точку
х — 0 в положительном направлении, а) На каком расстоянии они
будут находиться друг от друга в момент t = 0,350 г? б) Какова
скорость частицы В относительно А в этот момент времени?
12.12. Точка совершает гармоническое колебание. Период ко-
лебаний 7' = 2 с, амплитуда А = 50 мм, начальная фаза ip — 0.
Найти скорость v точки в момент времени, когда смещение точки
от положения ранпо1кх211Я z = 25mm.
12.13. Написать уравнение гармонического колебательного дви-
жения, если максимальное ускорение точки птоах = 49.3 см/с2,
период колебаний Т = 2с и смещение точки от положения рав-
новесия в начальный момент времени = 25мм.
12 14.* Частица движется с шх гояниой скор(х:тью 21м/с по
окружности с центром в начале координат. В момент времени
t — 0 частица находится в точке х = 3,0 м; у = 4,2 м. Чему равна
частота вращения? Чему равна начальная фаза «^о? Каким выра-
жением описывается траектория этой частицы в плоскости х. у7
12 15. Уравнение колебания магершииыюй точки массой т =
= 16 г имеет вид х — 0,1 sin м. Построить график за
внснмости от времени t (в пределах одного периода) силы F,
действующей па точку. Найти максимальную силу Fmax
12 16 Уравнение колебаний материальной точки массой тп =
= 10 г имеет вид х *= 5sin t4- см. Найти максимальную силу
FmRX, действующую на точку, и полную энергию И' колеблющейся
точки.
12 17. Уравнение колебания материальной точки массой тп =
= 16 г имеет вид х = 2 sin t + см. Построить трафик зави-
симости от временя t (в пределах одного периода) кинетической
И'к, потенциальной 1УП и полной IF энергий точки.
НИ)
КОЛЕБАНИЯ If ПОЛНЫ
(Гл IV
12Л8. Найти отношение кинетической энергии И'к точки, со-
вершающей гармоническое колебание, к ее потенциальной энергии
й'п дли моментов времени: a) t = Т/12; 6) t = Т/8; н) t = 7’/6.
Начальная фаза колебаний = 0.
12.19. Найти онюшеиис кинетической энергии П’н точки, со-
вершающс'Л гармоническое колебание, к ее потенциальной энергии
Н'п для моментов, когда смещение точки о г положения равновесия
состав.тяст: а) х = .4/4; 6) х = Д/2; в) х — Л, где Л —амплитуда
колебаний.
12.20. Полная энергия тела, совершающего гармоническое ко-
лебательное движение, 1Г = 30 мкДж, максимальная сила, дей-
ствующая на тело, 1’щах = 1,5 мН. Написать уравнение движения
этого тела, если период колебаний Т — 2с и начальная фаза
= тг/З-
12.21. Амплитуда гармонических колебаний материальной точ-
ки Д = 2 см, полная энергия колебания IF =0,3 мкДж. При каком
смещении х от положения равновесия на колеблющуюся точку
действует сила F = 22,5 мкН?
12.22. Шарик, подвешенный иа нити длиной I =2м. отклоня-
ют на угол от = 4° и наблюдают сто колебания. Полагая колеба-
ния незатухающими гармоническими, найти скорость шарика при
прохождении им положения равновесия. Проверить полученное'
решение, найдя скорость шарика при прохождении им положения
равновесия из уравнений механики.
12.23. К пружине подвешен груз массой m = 10кг. Зная, что
пружина под влиянием силы F = 9,8Н растягивается на I = 1,5 см,
найтн период Т вертикальных колебаний груза.
12.24. К пружине подвешен груз. Максимальная кинетическая
энергия колебаний груза И'к тм = 1Дж. Амплитуда колебаний
А — 5см. Найти жесткость к пружины.
12.25. Как изменится период вертикальных колебаний груза,
висящего на двух одинаковых пружинах, если от последовательно-
го соединения пружин перейти к параллельному их соединению?
12.26/ Если увеличить массу груза, подвешенного к спираль-
ной пружине, на 600 г. то период колебаний возрастает в 2 раза.
Определить массу первоначально подвешенного груза.
12.27. К пружине подвешена чашка носов с гирями. При этом
период вертикальных колебаний Т\ = 0,5с. После того как на
чашку весов положили еще добавочные гири, период вертикаль-
ных колебаний стал равным Т2 = 0,6 с. На сколько удлинилась
пружина аг прибавления этого добавочного груза?
12.28. К резиновому шнуру длиной / — 40 см и радиусом
г = 1м.м подвешена гиря массой тп = 0,5 кг. Зная, что модуль
Юнга резины Es3MI1/m2, найти период Г вертикальных коле-
баний гири. Указан и е. Учесть, что жесткость к резины связала г. модулем
Юнга Ь соотношением к = S’E/L где S — площадь поперечного сечения резины,
I се длина
$1*1
ГАРМОНИЧЕСКОЕ КОЛ ЕГ. АТ ЕЛ I.МОЕ ДВИЖЕНИЕ II ПОЛНЫ
161
12.29. * Груз массой т осторожно прикрепляют к концу сво-
бодно висящей пружины. Когда груз освобождают, он опускается
на 30 см, а затем начинает колебаться. Чему равна частота ко-
лебаний?
12.30. Ареометр массой m = 0,2 кг плавает и жидкости. Если
погрузить его немного в жидкость и отпустить, то он начнет
совершать кехшабапия с периодом Т = 3,4 с Считая колебания не-
затухающими, найти плотность жидкости р, в которой плавает
ареометр. Диаметр вертикальной цилиндрической трубки ареоме-
тра 4 = 1 см.
12.31. * Математический маятник отклонили на 90° от вер-
тикали и отпустили. В тот момент, когда маятник проходил
положение равновесия, точка его подвеса стала двигаться вверх с
ускоренном а. На какой максимальный угол отклонится маятник
ОТ BCpTlIKfUIM?
12.32. * Горизонтальная подставка совершает в вертикальном
направлении гармонические колебания у = a cosut. На нлаг(]юрме
лежит шайба из абсолютно нсупругого материала.
а) При каком условии шайба будет отделяться от подставки?
б) В каком положении находится и в каком направлении яви
жегся подставка в момент отрыва от нее шайбы?
и) На какую высоту /х будет подниматься шайба над се поло-
жением. отвечающим среднему положению подставки, н случне,
если а = 20 см, а/ — 10 с“ !?
12.33. * Бревно массы М = 20 кг висит на двух шнурах длины
I = 1 м каждый. В торец бревна попадает и застревает в нем
нуля массы tn = 10 г, летящая со скоростью V — 500м/с. Найти
амплитуду ipm и период Т колебаний бревна. Трением пренебречь
12.34. * Через блок массы М = 5 кг и радиуса Л — 10см. ко-
торый является сплошным однородным цилиндром, на шнуре
подвешен груз массы m = 1кг. Другой конец шпура скреплен
через пружину жесткости к = 10а11/м с опорой. Цилиндр может
вращаться вокруг оси без трения. Пренебрегая проскальзывани-
ем шнура по блоку, найти: а) частоту о/ малых колебаний груза;
6) максимальную силу натяжения шнура слева F|W и справа Fjm
от блока в случае, когда амплитуда колебаний а = 5 см.
12.35. * Два шара с массами иц и mt скользят вдоль тонкого
горизонтального стержня. Шары скреплены невесомой пружиной,
коэффициент жесткоеш которой равен к. Раздвинув тары, их
затем отпускают. Определить:
а) смешение центра масс системы;
б) частоту и) возникших колебаний;
в) максимальное значение относительной скорости ннцюп, если
начальное относительное смещение шаров равно а.
12 36.’ В условии предыдущей задачи первоначально шары
неподвижны. Затем шару массы mi сообщили импульс = mjvo
1В2
КОЛЕГ.ЛНИЯ И ВОЛНЫ
1Гл. IV
Определить: а) скорость vc центра масс системы; б) энергию
li^nocT постунателыюго и Ькол колебательного движения системы;
в) частоту uj и амплитуду жт колебаний.
12.37 .* К наклонной стене подвешен маятник длины /. Маят-
ник отклонили от вертикали на малый угол, в два раза превы-
шающий угол наклона с гены к вертикали, и отпустили. Найти
период колебаний маятника, если удары о с гену абсолютно упру-
гка
12.38 .* Тело массы т, подвешенное на пружине жесткости
лежит па подставке. Подставку мгновенно убирают Написать
уравнения колебаний тела у(1). если первоначально пружина:
а) не деформирована; б) ежа га на Д/.
12.39 .* Точка подвеса двойного маятника совершает гармони-
ческие колебания в горизонтальном направлении. Длина нижней
инти равна /, масса нижнего шарика равна т, верхних) — Л/.
Какова должна быть частота колебаний точки подвеса, чтобы
верхняя часть нити оставалась вертикальной?
12.40 / У двойного маятника точка подвеса неподвижна. Ма-
ятник совершаем гармонические колебания Какова их частота?
Массы шариков равны ?п, длина нижней нити I.
12.41 / Однородный круглый диск радиусом R подвешен за
край. Чему равна частота его малых колебаний относительно
точки подвеса?
12.42 / Физический маятник представляет собой тонкий одно-
родный стержень длиной 35 см. Определить, па каком расстоянии
от центра масс должна быть точка подвеса, чгобы частота коле-
баний была максимальной.
12.43 . Написать уравнение движения, получающегося в резуль-
тате сложения двух одинаково направленных гармонических коле-
бательных движений с одинаковым периодом Т = 8с и одинаковой
амплитудой 4 = 0,02 м. Разность фаз между этими колебаниями
tp2 — У5! = тг/-1. Начальная фаза одного из этих колебаний равна
нулю.
12.44 . Найти амплитуду А и начальную фазу <р гармониче-
ского колебания, полученного от сложения одинаково направлен-
ных колебаний, данных уравнениями Т[ = 0,02 shi(5tt1 Ь я/2) м и
х2 = 0,03 яп1(5тг1 + тг/4) м.
12.45 . В результате сложения двух одинаково направленных
гармонических колебаний с одинаковыми амплитудами и одина-
ковыми периодами получается результирующее колебание с тем
же периодом и той же амплитудой. Найгн разность фаз
складываемых колебаний.
12.46 . Найти амплитуду А и начальную фазу гармониче-
ского колебания, полученного от сложения одинаково напра-
вленных колебаний, данных уравнениями £> = 4 sin nt см и
/ч «= 3 sin (я/ + тг/2) см. Написать уравнение результирующего ко-
лебания. Дать векторную диаграмму сложения амплитуд.
5121
ГАРМОНИЧЕСКОЕ КО.ЧЕВЛТЕЛSHOE ДВПЖЬИИН II ПОЛНЫ
163
12.47 . Уравнение колебаний имеет вид х = Л siu2^x/i£. где ам-
плитуда .4 изменяется со временем по закону Л = .40 (1+со$2я1л>Г)
Из каких гармонических колебаний состоит колебание? Построить
график слагаемых и результирующего колебаний для Л о = 4 см.
Fi = 2 Гц, /л» = I Гц. Начертить спектр результирующего колеба-
ния.
12.48 . Написать уравнение резулы мрующего колебания, полу-
чающегося в результате сложения двух взаимно перпендикуляр-
ных колебаний с одинаковой частотой pj = t/2 = 5 Гц н с оди-
наковой начальной фазой Vh = <р2 = т/3. Амплитуды колебаний
равны Л1 = 0,10 м и Д2 = 0,05 м.
12.49 . Точка участвует в двух колебаниях одинакового периода
с одинаковыми начальными фазами. Амплитуды колебаний рав-
ны Лх =3см и Л2 =4см. Найти амплитуду Л результирующего
колебания, если колебания совершаются: а) в одном направлении,
б) в двух взаимно перпендикулярных направлениях.
12.50 . Точка участвует в двух взаимно перпендикулярных ко-
лебаниях х = 2 sin^'l м н у = 2 cosutf м Найти траекторию ре-
зультирующего движения точки.
12.51 . Точка участвует в двух взаимно перпендикулярных ко-
лебаниях х = cos?rt и у = cos t Найти траекторию результирую-
щего движения точки.
(12.52. Точка участвует н двух взаимно перпендикулярных ко-
лебаниях х = sin nt и у = 2 sin (irt + тг/2). Найти траекторию
результирующего движения точки и начертить ее с нанесением
масштаба.
12 53.* Точка подвеса математического маятника, период соб-
ственных колебаний которого равен Г — 1с, совершает синусои-
дальные колебания с амплитудой ,4„ = 1 см и периодом Тп = 1,1с.
Какова амплитуда Л установившихся колебаний маятника?
12.54 . Период затухающих колебаний Т = 4с; логарифмиче-
ский декремент затухания х = 1,6; начальная фаза <£> = 0- При
I — Т / Л. смешение точки х = 4,5см. Написать уравнение движения
этого колебания. Построить график этого колебания в пределах
двух периодов.
12.55 . Пост]юигь [рафик затухающего колебания, данного
уравнением х = е-0|£ sin t м.
12.56 . Уравнение затухающих колебаний дано в виде х =
= 5c“0,25t sin j t м. Найти скорость в колеблющейся точки в мо-
менты времени t равные: 0, Т, 27’. 37’ и 4Т.
12.57 . Логарифмический дскрс.медт затухания математическо-
го маятника х = 0,2. Во сколько раз уменьшится амплитуда
колебаний за одно полное колебание маятника?
12 58.* При наблюдении затухающих колебаний оказалось. что
для двух последовательных колебаний амплитуда второго мель-
161
КОЛЕНАМИЯ И ВОЛНЫ
IV
ше амплитуды первого на 60%. Период колебаний Т — 0.5 с.
ОнрСмЩ-нггь к()Э(|х|нщислт затухания и собетионную частоту поза
гу хающих колебаний.
12.59 . Математический маятник длиной I = 24,7см совершает
затухающие колебания. Через какое время t энергия колебаний
маятника уменьшится в 9.4 раза? Задачу решить при значении
логарифмического декремента затухания: а) х = (),01; б) х = 1.
12.60 . Математический маятник совершает затухающие коле-
бания с логарифмическим декрементом затухания х — 0,2. Во
сколько раз уменьшится полное ускорение маятника в его край
нем положении за одно колебание?
12.61 . Амплитуда затухающих колебаний математического ма-
ятника за время t = 1 мин уменьшилась вдвое. Во сколько раз
уменьшится амплитуда за время t — Змии?
12.62 .* Начальная амплитуда затухающих колебаний маятника
Ао = Зсм. Через /1 = 10с амплитуда стала Ai = 1см. Через какое
время амплитуда станет равной /1г = 0,3 см?
12.63 . К вертикально висящей пружине подвешивают груз.
При этом пружина удлиняется на Д/ = 9,8см. Оттягивая этот
груз вниз и отпуская его, заставляют груз совершать коле-
бания. Каким должен быть коэффициент затухания д’, чтобы:
а) колебания прекратились через время t = 10 с (считать условно,
что колебания прекратились, если их амплитуда упала до 1 %
от начальной); 6) груз возвращался в положение равновесия апе-
риодически; в) логарифмический декремент затухания колебаний
был равным х = 6?
12.64 . Тело массой m = Юг совершает затухающие колеба-
ния с максимальной амплитудой -4тах = 7 см, начальной фазой
V? = 0 и коэффициентом затухания д = 1,6 с”1. На это тело на-
чала действовать внешняя периодическая сила F, пол действием
которой установились вынужденные колебания Уравнение выну-
жденных колебаний имеет- вид х = 5 к1п(10т£-Зтг/4) см. Найти (с
числовыми киэ(]>фицяс|11ами) уравнение собственных колебаний и
уравнение внешней периодической силы.
12.65 . Гиря массой т — 0,2 кг, висящая на вертикальной пру-
жине, совершает затухающие колебания с коэффициентом зату-
хания <5 = 0,75 с”1. Жесткость пружины к = 0,5 кН/м. Начер-
тить зависимость амплитуды А вынужденных колебаний гирьки
от частоты и внешней периодической силы, если известно, что
максимальное значение внешней силы Fo = 0.98 Н Для построе-
ния графика найти значение А для частот: о? = 0. w — 0,5 х?о,
= 0,75u?o. uj = и?о, и) = 1,5070 и 4J = 2ыю» где cv0— частота
собственных колебаний подвешенной гири.
12.66 . По грунтовой дороге прошел трактор, оставив следы
в виде ряда углублений, находящихся па расстоянии I = 30 см
друг от друга. По этой дороге покатили детскую коляску. имею-
щую две одинаковые рессоры, каждая из которых прогибается
$12] ГАРМОНИЧЕСКОЕ КОЛКГ.АТ!'.ЧЫЮЕ ДВИЖЕНИЕ И ПОЛНЫ 163
ч
на хо = 2см под действием груза массой то = 1кг. С какой
с.ко[юечы<) v катили коляску, если аг толчков на углублониях
она. попал в резонанс, начала сильно раскачиваться? Масса
коляски А/ с= 10 кг.
12.67 . Найти длину волны X колебания, период которого
Т = 10”11 с. Скорость распространения колебаний с = 3- 10* м/с. ’
12.68 . Звуковые колебания, имеющие частоту р = 500Гц и ам-
плитуду А = 0,25 мм, распространяются в воздухе. Длина волны
А = 70 см. НаЙш скорость с распространения колебаний и мак-
симальную скорость итлх ЧДСТИЦ ВОЗДухЯ.
12.69 . Уравнение незатухающих колебаний имеет вид х =
= sin рем. Найти уравнение полны, если ско^хють распростра-
нения колебаний с = 300м/с. Написать и изобразить графиче-
ски уравнение колебания для точки, отстоящей на расстоянии
1 = 600м от источника колебаний. Паппсагь и изобразить графи
чески уравнение колебания для точек волны в момент времени
t = 4с после начала колебаний.
12.70 . Уравнение незатухающих колебаний имеет вил х —
= sin 2,5irt см. Найти смещение х or положения равновесия. ско-
рость и и ускоренно а точки, находящейся па расстояния I = 20м
от источника колебаний, для момента времени t — 1 с после нача-
ла колебаний. Скорость расщюсч ранения колебаний с = 100 м/с.
12.71 . Найти рацность фаз колебаний двух точек» от-
стоящих от источника колебаний на расстояниях /1 = 10 м и
h = 16м. Период колебаний Т = 0 04с скорость распространения
с = 300 м / с.
12.72 . Ilaftin разность фаз колебаний двух точек, лежащих
па луче и отстоящих на расстоянии I = 2 м друг от друга, если
длина волны А = 1м.
12.73 . Найти смещение х от положения равновесия точки, от-
стоящей от источника колебаний на расстоянии I = А/12, для
.момента примени t. = Т/6. Амплитуда колебаний Я = 0,05 м.
12.74 . Смещение от положения равновесия точки, отстоящей от
источника колебаний на расстоянии I =-• 4 см, в момент времени
t = Т/6 равно половине амплитуды. Найти длину А бегущей
волны.
12.75 . Найти положение узлов п пучностей и начертить график
стоячей волны, если: а) отражение происходит от менее плотной
среды; б) отражение происходит от более плотной среды. Длина
бегущей волны А = 12см.
12.76 .* Определить длину волны А, если числовое значение
волнового вектора А = 0,0314 гм.
12.77 . Однородный стержень длиной I = 0,5 м совершает малые
колебания н вертикальной плоскости около горизонтальной осн.
проходящей 'юрез сто верхний конец. Найти период колебаний Т
стержня.
166
КОЛЕБАНИЯ II ПОЛНЫ
[Гл IV
12.78 . Найти период колебаний Т стержня предыдущей зада-
чи, если ось вращения проходит череп точку, находящуюся на
расстоянии (I = 10 см от его верхнего конца.
12.79 . На концах вертикального сгержня укреплены два груза.
Центр масс групон находится ниже середины стержня на рассто-
янии d = 5см. Найти длину I стержня, если известно, что период
малых колебаний стержня с грузами вокруг горизонтальной сх*л,
проходящей через его середину, Т = 2 с. Массой стержня прене-
бречь но сравнению с. массой грузов.
12.80 . Обруч диамеггром D — 56,5 гм висит на гвозде, вбитом в
стену, и совершает малые колебания в плоскоеги, параллельной
стене. Найти период колебаний 7’ обруча.
12.81 . Какой наименьшей длины I надо взять нить, к которой
подвешен однородный шарик диаметром D = 1см, чтобы при
определении периода малых колебаний Т шарика рассматривать
его как математический маятник? Ошибка 6 при таком допущении
не должна превышать I %
12.82 . Однородный шарик подвешен на нити, длина которой I
равна радиусу шарика R Во сколько раз период малых коле-
баний Т| этого маятника больше периода малых колебаний Ti
математического маятника с тем же расстоянием от центре масс
до точки подвеса?
§ 13. Акустика
Скорость распространения акустических колебаний в упругой среде опреде-
ляется формулой ___
с - \/Е/р,
где Е—модуль Юнга среды, р—плотность среды.
В гачах ckojkjcti» распространения
с = у/ хПТ/ik у
где д — молмриля масса, 7’— термодинамический TCMiiepiviypn. мм, R—газовая
постоянная, X = СР{Су (Ср — теплоемкость газа при постоянном давлении' и
Су—теплоемкость газа при постоянном объеме).
Уровень звукового давлении Lv (в децибелах) связан с амплитудой звукового
давления р соотношением
Ьг-201В^,
гдеро — амплитуда звукспвшо давлении при нулевом уроинс громкости. Уровень
громкости L/ (в фонах) связан с интенсивностью звука соотношением
^ = Ю1к±,
где /о— порог слышимости (и?левой уровень громкости) звука. Условно при
пимается, что /о = 10"12 Вт/м2 и ро = 2 10“5 Па.
513]
АКУСТИКА
167
По принципу Доплера частота звука, воспринимаемая наблюдателем, опре-
дел ягтсм формулой
с— и •
где «/ — частота звука, посылаемая источником звука, и — скорость диижспмя
источника звуки, о скорость движении наблюдателя, с скорость распро-
странения звука. Скорость v > 0, если наблюдатель движется по направлению
к м< гочлику звука; скорость ц > 0, если источник звука движется к наблюда-
телю.
Частота основного тона струмы определяется формулой
где I - длина струны, F сила ее натяжения, S — площадь се поперечного се-
чения, р плотность материала среды.
13.1. Найти длину волны Л основного тона ля (частота и =
= 435Гц). Скорость распространения звука в воздухе с = 340м/с.
13.2. Челоиечсскос ухо может воспринимать звуки частотой
приблизительно от щ = 20 Гц до 1/2 = 20000 Гц Между какими
длинами ноли лежит интервал слышимости звуковых колебаний?
Скорость распространения звука в воздухе с = 340 м/с.
13.3. Найти скорость с распространения звука в стали.
13.4 * Для определения скорости звука и воздухе методом аку-
стического резонанса используется труба с поршнем и звуковой
мембраной, закрывающей один из се торцов Расстояние между
соседними положениями поршня, при которых наблюдается ре-
зонанс на частоте у — 2000 Гц составляет L — 17 см. Определить
скорость звука в воздухе.
13.5. Скорость распространения звука в керосине с = 1330 м/с.
Найти сжимаемость 0 керосина (0 = 1/Е).
13.Ь. При номоши эхолота измерялась глубина моря. Како-
ва была глубина моря, если промежуток времени .между воз-
никновением звука и его приемом оказался ранным I = 2,5с?
Сжимаемость воды 0 — 4,6 • 10“10 Па-1, плотность морской воды
р= 1,03 103кг/м:1.
13.7. Найти скорос ть г распространения звука в воздухе при
температурах t равных: —20, 0 и 20 °C.
13.8. * Изменение давления в звуковой волне дастся выраже-
нием р= 2,2sin — 1700vt). где р измеряется в паскалях, х— в
метрах, a t в секундах. Определите: 1) длину волны; 2) часто-
ту; 3) скорость распространения; 4) амплитуду смещения волны.
Плотность среды р = 2,7 103 кг/м3.
13.9. Зная, что средняя квадратичная скорость молекул двух-
атомною газа и условиях опыта г = 461 м/с, найти скорость с
распространения звука в газе.
168
КОЛЕБАНИЯ И ВОЛ HU
(Гл IV
13.10. Найти скорость с распространения звука в двухатомном
газе, если известно, что при давлении р= 1,01 • 10* Па плотность
газа р = 1.29 кг/м3.
13 11. Зная, что средняя молярная кинетическая энергия по-
ступательного движения молекул азота lVKp = 3,4 к Дж/моль, най-
ти скорость с распространения звука в азоте при этих условиях
13.12. Для определения температуры верхних слоев атмосфе-
ры нельзя пользоваться термометром, так как вследствие малой
плотности газа термометр не придет в тепловое равновесие с
окружающей средой. Ддя этой нсуш пускают ракету с граната-
ми, взрываемыми при достижении определенной высоты. Найти
температуру t на высоте Л = 20 км от поверхности Земли, если из-
вестно, что звук от взрыва, произведенного на высоте /ц =21 км,
пришел позже на Д/ = 6.75 с звука от взрыва, произведенного на
высоте hi = 19 км.
13.13. Найти показатель преломления п звуковых волн на гра-
нице воздух — стекло. Модуль Юнга для стекла Е = 6,9-Ю10 Па,
плотность стекла р = 2.6 К)3 кг/м3, температура воздуха t = 20°C
13.14. Найти предельный угол о полного внутреннего отраже-
ния звуковых волн на границе воздух—стекло. Воспользоваться
необходимыми данными из предыдущей задачи.
13.15. * Продольная сейсмическая полна падает im границу раз-
дела между двумя но}Х)дами под углом в 10°. Отопительные
нлогноеги пород 3,6 и 4,9. Определить угол преломления, считая
модули, упругосгн этих пород одинаковыми.
13.1G. Дна звука отличаются по уровню звукового давления
на ДЬр = 1дБ. Найти отношение рч/р\ амплитуд их звукового
давления.
13.17. Шум на улице с уровнем громкости Ьц = 70фон слышен
в комнате так, как шум с уровнем громкости = 40 фон. Найти
огнонкчпю интенсивностей звуков на улице и в комнате.
13.18. Интенсивность звука увеличилась в 1000 раз. На сколь-
ко увеличился уровень звуковой) давления? Во сколько раз
увеличилась амплитуда звукового давления?
13.19. Интенсивность звука I = 10.мВт/м2. Найти уровень
громкости Lj и амплитуду р звукового давления
13.20. * Вычислить максимальное смещение молекул воздуха
для звука на порот слышимости. Частота звука 1000Гц. Опре-
делить максимальное изменение давления в этой волне.
13.21. * Человеческое ухо способно воспринимать разницу уров-
ней громкости 1.0 дБ. Каково отношение амплитуд этих звуков,
уровни громкости которых отличаются на эту величину?
13.22. Найти расстояние / между соседними зубцами звуко-
вой бороздки на граммофонной пластинке для: а) у = 100 Гц;
6) и = 2000Гц. Среднее расстояние от центра пластинки г = 10см.
Частот врАЩсшия пластинки п = 78мин“*.
§ I V’
АКУСТИКА
16У
13.23. При образовании стоячей волны в трубке Кундта в
воздушном столбе наблюдалось п = 6 пучностей. Какова была
длина воздушного столба, если стальной стержень закреплен:
а) посередине; б) в конпе? Длина стержня = 1м. Скорость рас-
п]ххтранения звука в стали С( = 5250 м/с, в воздухе сг = 343 м/с.
13.24. Какова была длина li стеклянного стержня в трубке
Кундта, если при закреплении его посередине в воздушном отол-
бс наблюдалось п = 5 пучностей? Длина воздушного столба
/2 = 0,25 м. Модуль Юнга для стекла Е = 6.9 1010 Па: плот-
ное гь (текла р — 2,5 • 103 кг/м4. Скорость распространения звука
в воздухе с = 340 м/с.
13.25. Для каких наибольших частот применим метод Кунд-
га определения скорости звука, если считать, что наименьшее
различаемое расстояние между пучностями I ~ 4 мм? Скорость
распространения звука в воздухе е = 340 м/с.
13.26. Два поезда идут навстречу друг другу со скоростя-
ми mi = 72 км/ч и v? = 54 км/ч. Первый поезд дает списток с
частотой у — 600 Гц, Найти частоту г/ колебаний звука, кото-
рый слышит пассажир второго поезда: а) пе]кд встречей поез-
дов; б) после вс ’/гречи поездов. Скорость распространения звука в
воздухе с = 340 м/с.
13.27. Когда поезд проходит мимо неподвижного наблюдателя,
частота топа гудка паровоза меняется скачком. Какой процент
от истинной частоты топа составляет скачок частоты, если поезд
движется со CKojxjen.io v = GO км/ч?
13.28. * Звуковая волна с частотой 5000Гц испускается я на-
правлении тела, которое приближается к источнику звука со
скоростью 3,3 м/с. Чему равна частот отраженной волны?
13.29. Ружейная пуля летит со скоростью и = 200 м/с. Во
сколько раз изменится частота тона свиста пули для неподвиж-
ного наблюдателя, мимо которого пролетает пуля? Скорость
распространения звука в воздухе с = 333 м/с.
13.30. * Два дельфина движутся навстречу друг яругу. Один
из них издает звуковые импульсы с частогой следования у. С
какой частотой У\ приходят эти импульсы к другому дельфину,
если скорость дельфинов относительно воды равна г,’? Скорость
звука в воде с.
13.31. Детучля мышь летит перпендикулярно к стене со скоро-
стью v = 6,0 м/с, издавая ультразвук частотой у = 45 кГц. Какие
две частоты звука yf н у-> слышит легучая мышь? Скорость
распространения звука в воздухе с = 340 м/с.
13.32. ” Подводная лодка, погружаясь вертикально, излучает
короткие звуковые импульсы енгшим гидролокатора длительно-
стью То в направлении дна. Длительность отраженных сигналов,
измеренных гидроакустиком на лодке, (шипа т. Какова скорость
погружения лодки? Скорость звука в воде V.
170
КОЛЕБАНИЯ И ПОЛНЫ
(Ел. IV
13 33. С какой силой F надо натянуть стальную струну длиной
I = 20см и диаметром d = 0 2мм, чтобы она издавала гоп ля
(частота р = 435 Гц)?
13.34. Зная предел прочности для стали, найти наибольшую
частоту р» на которую можно настроить струну длиной I = 1 м
13.35. Струна, натянутая с силой Fj = 147 Н, даст с камерто
ном частоту биений Рб = 8 Гц. После того как эту струну натянули
с силой F> = 156,8 И, она стала настроена с камс]И'О1юм в унисон.
Найти частоту 1/2 колебаний камертона.
13 36. Камертон предыдущей задачи дает с другим камертоном
частоту биений Рб = 2Гцо Найти частоту колебаний р второго
камертона.
13.37. * Однородная веревка длиной L подвешена вертикально.
Определить скорость распространения поперечных колебаний в
зависимое ш от расстояния до нижнего конца веревки. Сколько
времени идет волновой импульс от нижнего конца до верхнего?
13.38. Найти частоту и основного тона: а) открытой трубы;
б) закрытой трубы.
13.39. Закрытая труба издает основной тон до (частота и\ =
= 130,5 Гц). Трубу открыли Какую частоту <2 имеет основной
топ теперь? Какова длина I трубы9 Скорость распространения
звука в воздухе с = 340 м/с.
§ 14. Электромагнитные колебания и волны
Период Т электромагнитных колебаний в контуре, состоящем из емкости С,
индуктивности L и сопротивления Я, определяется формулой
ул_ ______2гг______
" У1/ЪС-(Я/2/.)» ’
Если сопротивлении R контура настолько мшю, что
то период колебаний
Т = 2т:у/ТС
Если сопротивление контура R не равно нулю, то колебания будут затухаю-
щими. При этом разность потенциалов на обкладках конденсатора меняется со
проденем по закону
U = Woe"*1 cosejf,
Сели врем* отсчитывать от момента, соогветстпующего наибольшей разности
потенциалов на обкладках конденсате раа Здесь 6 ~ R/2L — коэффициент зату
хання. Величина X = 6Т иазыиается логарифмическим декрементом зшгухшши.
Если б - 0, то колебания будут незатухающими, п тогда можно записать
(Г s= (/q собь/С
5 и]
ЭЛ IIK ГРОМА ITIIITH1.IK KOJILHAH!I>1 И ВОЛНЫ
171
Если время отсчитывать от момента, когда разность потенциалов на обкладках
конденсатора равна нулю, то будет справедливым соотношение
U ж Ь’о в in cut.
Закон Ома для переменного тока записывается в виде
где /эф и С’>ф — эффективные значения тока и напряжения, связанные с их
амплитудными значения мн /п и 1А> соотношениями
1*Ф = lol'fi, Ь»ф =
a Z — полное сопротивление цепи. Если цепь содержит сопротивление- Л, ем-
кость С и индуктивность Л, соединенные шилцдов.ттельно, то
Z- yj IV* | (ыЛ - 1/ojC)j
При этом сдвиг фаз между напряжением и током определяется формулой
Формулы для полного сопротивления нсин Z и сдвига фаз ф для различных
способов включения Л, С н L даны в решении задачи 14.23.
Катушка, обладающая сопротивлением Л и индуктивностью L, в цепи пере-
mchholx) тока соответствует последовательно включенным R и L. Конденсатор
с утечкой, т. г. конденсатор, обладающий емкостью С и сопротивлением R, со-
ответствует параллельно включенным R и С.
Мощность переменного тока
Р « CO8V5.
14.1. Колебательный контур состоит из конденсатора ёмкостью
С = 888 пФ и катушки с швдкптностыо L = 2 мГн. На какую
длину волны А настроен контур?
14.2. На какой диапазон длин волн можно настроить колебал
гсльпый контур, если его индуктивность Ь = 2мГн, а емкость
может меняться от С\ = 69 пФ до Со = 533 нФ?
14.3 * Какое сопротивление может содержать колебательный
контур, состоящий из катушки с индуктивностью 10 мГн и кон-
денсатора емкостью 4 мкФ, чтобы в нем могли еще возникнуть
элгктромагнИтпые колебания?
14.4. Катушки с мндуктинностью £ = 30мкГи присоединены к
плоскому конденсатору с площадью пластин S = 0,01 м2 и рас-
стоянием между ними d = 0.1 мм. Найти диэлектрическую прони-
цаемость £ среды, заполняющей прост рпнетпо мсжд> пластинами,
если контур настроен на длину волны А = 750 м
172
КОЛЕБАНИЯ И ПОЛНЫ
[Гл. IV
14.5. Колебательный контур ссхзтоит из конденсатора емкостью
С — 25 пФ и катушки с индуктивностью L = 1,015 Гн. Обклад-
ки конденсатора имеют заряд 7 = 2,5мкКл. Написать уравнение
(с числовыми коэффициентами) изменения разности потенциа-
лов U на обкладках конденсатора и тока I в цепи. Найти разность
потенциалов иа обкладках конденсатора и ток в цепи в моменты
времени Г/8, Т/4 и Г/2. Построить графики этих зависимостей
в пределах одною периода.
14.6. Для колебательною контура предыдущей задачи напи-
сать уравнение (с числовыми коэффициентами) изменения со вре-
менем I энергии электрического ноля 1ИМ1, энергии магпитноп)
поля 1ЕМ и полной энергии поля И Найти энергию электриче-
ского пиля, энергию магнитного поля и полную энергию поля
в моменты времени Т/8, Т/4 и Т/2. Построить графики этих
зависимостей в пределах одного периода.
14.7. * В LC-контуре Q = Qo> I = 0 при f. = 0. Через какую
долю периода Т. считая от t = 0, энергия впервые распределится
поровну между катушкой и конденсатором? Каким в этот момент
будет заряд конденсатора?
14.8. Уравнение изменения со временем тока в колебательном
контуре имеет вид / = - 0,02 sin 400х£ Л Индуктивность котурл
£ = 1Гн. Найти период Т колебаний, емкость С контура, макси-
мальную энергию И « магнитною ноля и максимальную энергию
И7^ электрического поля
14.9. Найти отношение энергии 1КМ/1КЭЛ магнитного поля ко-
лебательного контура к энергии сю электрического ноля для
момента времени Т/8.
14.10. * Какую энергию необходимо подвести к колебательному
контуру с логарифмическим декрементом затухания х = 0,03, что
бы поддерживать в нем незатухающие колебания в течение 1 часа,
если контур состоит из конденсатора емкостью С = 0,05 мкФ в
катушки с £ = 2мГн. а максимальный ток в катушке Tfn =5мА.
14.11. Колебательный контур состоит из конденсатора емко-
стью С — 0.2 мкФ н катушки с индуктивностью L = 5,07 мГн.
При каком логарифмическом декременте затухания х разность
потенциалов па обкладках конденсатора за время t = 1 мс умень-
шите я в три раза? Каково при этом сопротивление П контура?
14.12 * Заряженный конденсатор с начальной емкостью Со за-
мкнут пл катушку индуктивности £. Найти такую зависимость
от времени t емкости конденсатора, при кото[Х>Й ток в цепи
в а рас каст прямо пропорционально времени.
14.13. Ко. irGiiiгльпый контур состоит из кондгшедто^ емко-
стью С = 2,22 нФ и катушки длиной I = 20 см из медной прово-
локи диаметром d = 0,5мм. Найти логарифмический декромеш
затухания х колебаний
5 ы]
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
173
14.14. Колебательный контур имеет емкость С — 1,1 нФ и ин-
дуктивность L — 5 мГн. Логарифмический декремент затухания
* = 0,005. За какое ирсмя нслсдстние затухания потеряется 99%
энергии контура?
14.15. * Какое сопротивление надо внести и ЛС-коптур (L =
= 200мГн. С = 1200 нФ), чтобы изменить частоту колебаний на
0,10%. Увеличится или уменьшится частота колебаний?
14.16. * Ток в последовательной ЛГ-цепочкс возрастает от ну-
ля до половины максимального значения за 1,56 мс. Опреде-
ли iv а) пемтоянпую времени цепочки; б) сопротивление Л, если
Ь = 310Гн.
14.17. * Резонансная частота контура, содержащего конденсатор
емкостью 120 пФ, должн?! быть равна 18.0 МГц. Катушку индук-
тивности предполагается изготовить из изо.тированного провода
длиной 12 м и дилмет|юм 1.1 мм и вида соленоида с плотной на-
моткой без сердечника. Сколько витков должна иметь катушка?
14.18. Два конденсатора с емкостями С\ = 0,2 мкФ и С-2 ~
— 0.1 мкФ включены последовательно в цепь переменного тока
напряжением U = 220 В и частотой м = 50 Гц. Найти ток I в
пени и падения иопчишала на первом и и гором конденсаторах
1419. Катушка длиной I = 25 см и радиусом г = 2 см имеет
обмотку из N = 1000 витков медной пронолокн. площадь попе-
речного сечения которой s = 1 мм2 Катушка включена в цепь
переменною тока частотой 1/ = 50Гц. Какую часть полною со-
противления Z катушки составляют активное сопротивление R и
1птдуктип1юе сопротивление Xtf
14 20 Конденсатор емкостью С = 20 мкФ и резистор, сопро-
тивление которого /? = 150 Ом, включены последовательно в цепь
переменного тока частотой у = 50 Гц. Какую часть напряжения t;,
при ложон лого к этой цепи, составляют падения напряжения на
конденсаторе Uc и на резисторе СГд?
14 21.* В послглопатслыюй L/l-ценочке (R = 1600-м, L =
= 0,85 мГн) течет ток I = 31 cos (3774), где Г выражено в «ам-
перах. t — в секундах. Какая мощность в среднем рассеивается в
контуре?
14 22.* Чему равно эффективное значение силы тока в после-
довательной ЛЬ-ценочке (Я = 65.0 Ом, L = 50,0 мГн), включенной
в сеть 120 В, 60 Гц7 Чему равен сдвиг фаз между напряжением
и током? Какая мощность рассеивается в цепочке?
14 23 Найти формулы для полного сопротивления цепи Z и
сдвига фаз между сопротивлением и током при различных
способах включения сопротивления ft, емкости С и индуктивно-
сти L. Рассмотреть случаи: a) R и С включены последошпр-льно;
б) Я и С включены параллельно, в) R и L включены последова-
тельно: г) R и L включены параллельно; д) /?, L и С включены
п оследовател ьпо.
174
КОЛЕВА ЛИ Я 11 ПОЛНЫ
(Гл IV
14.24. Конденсатор емкостью С = 1мкФ и резистор с сопро-
тивлением II = ЗкОм включены в цепь переменного тока частогой
и = 50 Гц. Найти полное сопротивление Z пени, если конденсатор
и резистор включены: а) последовательно; б) параллельно.
14 25. В цепь переменного тока напряжением U = 220 В и час-
тотой v = 50 Гц включены последовательно емкость С = 35.4 мкФ,
сонротмплсние Н = 100 Ом и индуктивность L = 0,7 Гн. Найти
ток I в цепи и падения напряжения 17с 1 и Vi. на емкости,
сопротивлении и индуктивности.
14.26 Индуктивность L = 22,6мГн и соирогяплшше R пклю-
чеиы параллельно в цепь переменного тока частотой и = 50 Гц.
Найти сопротивление R, если известно, что сдвиг фаз между
напряжением и током <^ = 2тт/3.
14.27. * Катушка с индуктивностью 23 мГн и сопротивлением
0,8Ом подключена к конденсатору С н источнику напряжения
360 Гц. Какую емкость должен иметь конденсатор С, чтобы на-
пряжение и сила тока совпадали по фазе?
14 28. В пень переменного тока напряжением U — 220В вклю-
чены последовательно емкость С, сопротивление R и индуктив-
ность L Найти падение напряжения Un па сопротинленки. если
известно, что падение напряжения на конденсаторе Uc = 2(/д, на
индуктивности Ui, = ЗЬ’д.
Глава V
ОПТИКА
§ 15. Геометрическая оптика и фотометрия
Дли сферического эдркаля оптн'юская сила D определяется формулой
1 . J_ - 2 - 1 - л
Я7 + И?-
где в] в — расстоянии предмета н изображения от зеркала, Л — радиус кри-
вой зеркала, /• —его фокусное расстояние.
Расстояния, отечнтыпш ыые от черкала по лучу, считаются положиn&iины-
ми, а против луча — отрицательными. Если /•’ выражено в метрах, то /> выра-
ипч-м и диоптриях (днтр): I днтр «s I м_|
При переходе луча из одной среды в другую имеет место закон преломления
Спета
&="=£•
где I —угол падения, 0—угол преломления, п— показатель преломления вто-
рой среды относительно первой, w> п скорости рас пространен и л света в
первой н во второй средах.
Для тонкой линзы, поме-идейной » однородную среду» оптическая сила D опре-
деляется формулой
1 + 1 а (n - I)
«1 С2 ' '
(ттг" 777) = т = "
где uj п «а — расстояния предмета н изображения от линзы. ппо казаны ь
преломления материала линзы. Н» и Я?— радиусы кривизны линзы. Правило
зпакпн дли линз такое же, как и дли зеркал. Оптическая сила двух тонких
линз, сложенных вместе.
D = /Л t D2s
где D\ и I)/ онтнчегкие силы линз.
Поперечное линейное увеличение в зеркалах и линзах определяется форму-
лой
I, _ У-2 _
1/1 " «I ’
где pi —высота предмета к у?—высота изображения.
Увеличение лупы
где L—рпегтояпие иаилучшего зрения н F —фокусное расстояние лупы
176
ОПТИКЛ
(IX V
Увеличение микроскопа
fc I.dlh Ih,
где I. — рдестоми ил нзилучшгго зрения. ti расстоянии между фокуснми о'Гпачс
типа н окуляра, Di п Лз оптические силы объектива и окуляра.
Уводичепие телескопа
к=&
где /ч и F'2 фокусные расстояния объектива и окуляра.
Световой погок Ф определяется энергией, переносимой Световыми волнами
через данную площадь и единицу времени:
Ф_.£*И
Сила света 1 численно равна световому потоку, приходящемуся па единицу
телесного угли:
/ - *1»
du?
Освещен ноет I» К характеризуется световым потоком, приходящимся на еди-
ницу площади:
г _ d<I>
“ dS
Точечный источник силой цпети f «ид aft на площадке, отстоящей от него на
расстоянии г. освещенность
/? ® -4f GOSO,
г*
где а — угол падения лучей.
Светимость /< численно равна световому потоку, испускаемому единицей пло-
щади светящегося тела:
" dS
Если rtMwiiiMCM:tb гада обусловлена его освещенностью, то
/?. = p/i,
где р коэффшшенг отражения.
Яркостью В светящейся поверхности называется величина, численно равная
отпошечшю силы смета с элемента ндлучающей поверхности к площади проекции
этого элемента иа плогк<х-гь, пернгидикуляркую к направлению наблюдения
(т-О- к видимой понерхпости элемента}:
R - dl
” dS cost? 1
где 0—угол между нормалью к элементу поверхности и направлением наблк»-
дения.
1щлп тело излучист ио закону ЛамСсрш, т.е. если яркость нс чзипсит от
направления, то светимость R U яркость В связаны соотношением
К = яИ.
5
ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ОПТИКА И ФОТОМЕТРИЯ
177
15.1. * Чему равна скорость света: а) в воде; б) в скипидаре;
и) ио льду?
15.2. * Нить обычной электрпчс.ской лампы накаливания ис-
пускает лучи снеговых волн продолжительностью около 10~8с.
Чему равна щютяжечшогть такого цуга в пространстве?
15.3. На каком расстоянии от зеркала получится изображе-
ние предмета в выпуклом зеркале с радиусом кривизны R = 40 см,
если предмет помещен на расстоянии =30см от зеркала? Ка-
кова будет высота ?/2 изображения, если П]хщмет имеет высоту
yi = 2 см? П|Х)иср1иь вычисления, сделан чертеж на миллиме-
тровой бумаге.
15.4 Выпуклое зеркало имеет радиус кривизны R = GO см.
На расстоянии О| = 10см от зеркала поставлен предмет высо-
той = 2см. Найти положение и высоту у? изображения. Дать
чертеж.
15.5. В вогнутом зеркале с радиусом кривизны R =40см хо-
тят получить действительной изображение, высота которого вдвое
меньше высоты самого предмета. Где нужно поставить предмет и
где получится изображен пщ?
15.6. * На каком расстоянии от выпуклого зеркала (радиусом
24,0см) должен находиться объект, чтобы его изображение ока-
залось бесконечно удаленным.
15.7. Перся вогнутым зеркалом на главной оптической оси пер-
пендикулярно к ней па расстоянии П| = 4F/3 от зеркала носгавле-
па горящая свеча. Изображение свечи и вогнутом зеркале попа-
дает на выпуклое зеркало с фокусным расстоянием F' = 2F. Рас-
стояние между зеркалами d == 3F, их оси совпадают. Изображение
свечи в первом зеркале играет роль мнимое предмета по отно-
шению ко второму зеркалу я даст действительной изобргикепие,
расположенное между обоими зеркалами.
Пос трои ть это изображение и найти общее
линейное увеличение к системы.
15.8. Где будет находиться и какой раз-
мер у» будет иметь изображение Солнца,
получаемое в рефлекторео радиус кривиз-
ны которого R = 16 м?
15.9 Если на зеркало падает пучок све-
та, ширина которого определяется углом а
(рис. 127), то луч, идущий параллельно
главной оптической оси и падающий па
край зеркала. после отражения от пего пе-
ресечет оптическую ось уже не в фокусе,
а на некотором расстоянии AF аг фокуса.
Расстояние — AF называется продольной
дней, расстояние у = FII— поперечной сферической аберрацией.
Вывести формулы, связывающие эти аберрации с углом а и ра-
диусом кривизны зеркала R.
сферической пберра-
178
ОПТИКА
(1>. V
15.10. Вогнутое зеркало с диаметром отверстия d = 40 см имеет
радиус кривизны R = 60 см. Найти продольную х и поперечную у
сферическую аберрацию краевых лучей, падоигсльных главной
оптической оси.
15.11. Имеется погнутое зеркало с фокусным расстоянием
F = 20cm. На каком наибольшем расстоянии h от главной опти-
ческой оси должен находиться предмет, чтобы продольная сфе-
рическая аберрация т составляла не больше 2% фокусного рас-
стояния F?
15.12. Луч снега падает под углом i = 30° на плоскопарал-
лельную стеклянную пластинку и выходит из нее параллельно
первоначальному лучу. Показатель преломления сюкла п = 1,5.
Какова толщина d пластинки, если расстояние между’ лучами
1 = 1,94см?
15.13. На плоскопараллельную стеклянную плаепшку п>лти-
ной d = 1см падает луч света под углом i = 60°. Показатель
преломления стекла п — 1.73. Часть света отражается, а часть,
пре,»Юмляясь, проходит в ciftK.no, отражается от нижней поверх-
ности пластинки и, преломляясь вторично, выходит обратно в
воздух парад дельно первому отраженному лучу. Найти р<чесгоя-
нпе / между лучами.
15.14. Луч света падает иод углом г на тело с показателем
нрчломляния л. Как должны быть слизаны между собой вели-
чины : и п, чтобы отраженный луч был перпендикулярен к
прел ом леи ному?
15.15. ’ Под стеклянной пластинкой толщины d = 15 см лежит
маленькая крупинка. На каком расстоянии / or верхней поверх-
ности пластинки образуется ос видимое изображение, если луч
зрения перпендикулярен к поверхности пластинки, а показатель
1ЦИОЮМлеиия пекла п = 1,5?
15.16. ’ Предмет помещен на оси вогнутого зеркала дальше его
фокуса. Между фокусом и зеркалом помещена плоскопараллель-
ная стеклянная пластика толщины d с показателем преломив-
нпя п так, что ось зеркала перпендикулярна к пластинке. На
сколько сместится изображение, если \ брать пластинку?
15 17. Луч света выходит из скипидара в воздух. Предельный
угол полного внутреннего отражения для этого луча в = 42п23'.
Найти (жорехчь V] распространения света в скипидар.
15 18 На стакан, наполненный водой положена стеклянная
пластинка. Под каким углом г должен падать на пластинку луч
света, чтобы от поверхности раздела вода — стекло произошло
полное внутреннее отражение? Показатель преломления стекла
nt = 1,5.
15.19. На дно сосуда, выполненного водой до высоты h = 10 см.
помешен точечный источник света. На поверх нос hi воды плавает
круглая непрозрачная пластинка так, что ее центр находится над
$ 1Л;
ГКОМЕЛЧ’ИЧКСКЛЯ ОПТИКА И ФОТОМЕТРИЯ
179
источником света. Какой наименьший радиус г должна иметь эта
пластинка, чтобы ни один луч нс мог ныЙтн через поверхность
воды?
15.20. При падении белого света под углом i = 45° на сте-
клянную пластинку углы преломления /3 лучей различных длин
волн получились следующие:
X, »м 759 687 589 486 397
fl 24°2' 23® 57' 23° 17' 23°27' 22*57*
Построить график зависимости показателя преломления п мате-
риала пластинки от длины полны Л.
15.21. Показатели преломления некоторого сорта стекла для
красного и фиолетового лучей равны нкр = 1,51 и Пф = 1,53.
Найти предельные углы полного внутреннего отражения /3К|) и
вф при падении этих лучей на поверхность раздела стекло—
воздух.
15.22. * Цилиндрический стакан с жидкостью поставлен на мо-
нету. рассматриваемую сквозь боковую стенку стакана. Найти
наименьшую возможную величину показателя преломления п
жидкое 1 и, при котором монета по видна.
15.23. Монохроматический луч падает нормально на боковую
поверхность призмы, преломляющий угол которой 7= 40°. Пока-
затель преломления материала призмы для этого луча п = 1,5.
Найти угол отклонения 6 луча, выходящего из призмы, от пер-
воначального направления
15.24. Монохроматический луч падает нормально на боковую
поверхность призмы и выходит из нее отклоненным на угол
6 = 25°. Показатель преломления материала призмы для эго-
го луча п = 1,7. Найти Преломляющийся угол 7 призмы.
15.25. Преломляющий угол равнобедренной призмы 7 = 10°.
Монохроматический луч падает па боковую грань под углом
i = 10°. Показатель преломления материала призмы для этого
луча и = 1,6. Найти угол отклонения д луча от первоначального
направления
15.2G. Преломляющий угол призмы 7 = 45°. Показатель пре-
ломления материала призмы для некоторого монохроматического
луча п = 1.6. Каков должен быть наибольший угол падения г это-
го луча на призму, чтобы прн выходе луча из нее не наступило
полное внутреннее отражение?
15.27. Пучок света скользит вдоль боковой грани равнобедрен-
ной призмы. Прн каком предельном преломляющем угле 7 приз-
мы преломленные лучи претерпят полное внутреннее отражение
на второй боковой грани? Показатель преломления материала
призмы для этих- лучей п = 1,6
LSD
ОПТИКА
[Гл V
15.28. Монохроматический луч падает на боковую поверхность
прямоугольной рашюбе/цнчшой призмы. Войдя и призму, луч пре-
терпевает полное1 внутреннее отраженно от основания призмы и
выходит через вторую боковую поверхность призмы. Каким дол-
жен быть наименьший угол падения i луча на призму, чтобы
еще происходило полное внутреннее отражение? Показатель пре-
ломления материала призмы для этого луча п — 1.5
15.29. Монохроматический луч надает на боковую поверхность
равнобедренной призмы к после преломления идет в призме па-
раллельно се основанию. Выйдя из призмы, он оказывается от-
клоненным па угол 6 от своего первоначального направления.
Найти связь между преломляющим углом призмы 7, углом от-
клонения луча 6 к показателем преломления для этого луча п
15.30. Луч белого света падает* на боковую поверхность рав-
нобедренной призмы под таким углом, чю красный луч выходит
из пес перпендикулярно к второй грани. Найти углы отклоне-
ния 6кр и красного и фиолетового лучей от первоначального
направления, если преломляющий угол призмы 7 — 45°. Показа-
тели преломления материала призмы для красного и фиолетового
лучей равны лкр = 1,37 и Пф = 1.42.
15.31. Найти фокусное расстояние Fi кварцевой линзы для
ультрафиолетовой линии спектра ртути (At = 25911м), если фокус-
ное расстояние дня желтой линии натрия (Аз = 589 нм) Fj = 16 см.
Показатели преломления кварца для этих длин воли равны
г*! = 1.504 и П'2 = 1*458.
15.32. Найти фокусное расстояние F для следующих линз:
л) линза двояковыпуклая: Ri = 15 см и Л. = 25 см; 6) линза
плоско-выпуклая: /?i = 15 см и /?,2 = ос; в) линза вогнуто-вы-
пуклая (положительный мениск): /?> = 15 см и R? = 25 см;
г) линза лнояконогиугая* П.\ = —15см и Н» = 25см; я) линза
плоско-вогнутая; — оо, Я2 = —15 см; е) линза выпукло-вогнутая
(отрицательный мениск): Rt =25см. /?2 = 15см. Показатель пре-
ломления материала линзы 71 = 1.5.
15.33 Из двух стекол с показателями преломления ni = 1,5 и
»2 = 1*7 сделаны две одинаковые двояковыпуклые линзы. Пайти
отношение F1/F2 их фокусных расстояний Какое действие каж-
дая из этих линз произведет па луч, параллельный оптической
оси если погрузить линзы и прозрачную жидкость с показателем
преломления п = 1.6?
15.34. Радиусы кривизны поверхностей двояковыпуклой линзы
Ri = R2 — 50см. Показатель преломления материала и = 1.5.
Найти оптическую силу D линзы.
15.35. На расстоянии щ = 15см от двояковыпуклой линзы,
оптическая сила которой D = Юдптр, поставлен перпендикулярно
к оптической оси предмет высотой ух = 2 см. Найти положение и
высоту у2 изображения. Дать чертеж
§ 15!
ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ Of (ТИКА И ФОТОМЕТРИЯ
181
15.36. Доказать, что в двояковыпуклой линзе с равными ра-
диусами кривизны поверхностей и с показателем преломления
п = 1,5 с|х)кусы ехмишляют с центрами кривизны.
15.37. Линза с фокусным расстоянием F = 16см дает резкое
изображение, предмет при двух положениях, расстояние между
которыми d = 6см Найти расстояние Of 4- а2 от предмета до
экрана.
15.38. ’ Собирающая линза дает изображение некоторого объ-
екта на экране. Высота изображения равна а. Оставляя непо-
движными экран и объект, начинают двигать линзу к экрану
п находят, что при втором четком изображении объекта высота'
изображения равна Ь. Найти действительную высоту предмета h.
15 39.* В погнутся» зецжлло. лежащее горизонтально, налито
немного воды. Зеркало дает действительное изображение вцмздме-
та на экране на расстоянии 5-1 см от зеркала. При приближении
экрана, к зеркалу изображение появляется вновь па расстоянии
36 см от зеркала. Определить радиус кривизны зеркала и рассто-
яние I от него до предмета, если показатель истомления воды
п = 1,33.
15.40. " Определить наименьшее расстояние между предметом
и изображением для линзы с фокусным расстоянием F.
15.41. Найти фокусное расстояние F2 линзы, погруженной в
воду, если се фокусное расстояние н воздухе — 20 см. Показа-
тель преломления материала линзы п = 1.6.
15.42. Плоско-выпуклая линза с радиусом кривизны R = 30 см
н показателем преломления ns 1,5 дает изоб1южепие предмета
с увеличением к — 2. Найти расстояния в( и а2 предмета н
изображения or линзы. Дать чертеж.
15.43. Найти продольную хроматическую аберрацию двояковы-
пуклой л низы из флинтгласа с радиусами кривизны Ri =К2=8см.
Показатели преломления флинтгласа для красного (Акр = 760 им)
и фиолетового (Аф =430 нм) лучей равны пкр = 1,5 и пф = 1,8.
15.44. На расстоянии at —40см от линзы предыдущей задачи
на оптической оси находится светящаяся точка. Найти положение
изображения этой точки, если она испускает монохроматический
свет с длиной волны: a) Ai = 760 нм; 6) А> =430им.
15.45. В фокальной плоскости двояковыпуклой линзы распо-
ложено плоское зеркало. Предмет находится перед линзой между
фокусом к двойным фокусным расстоянием. Построить изобра-
жение предмета.
15 46. Найти увеличение к, даваемое лупой с фокусным рас
стоянием F = 2 см. для: а) нормального глаза с расстоянием
плилучшего зрения L = 25см; 6) близорукого глаза с расстояни-
ем паи лучшего зрения L— 15см.
15.47. Какими должны быть радиусы кривизны R\ = R2 по-
верхностей лупы, чтобы она давала увеличение для нормального
182
ОПТИКА
[Гл- V
глаза к = 10? Показатель преломления стекла, из которого сде-
лана лупа, п = 1.5.
15.48. * Человек с нормальным зрением пользуется луной с фо-
кусным расстоянием 8см. Найти максимальное увеличение лупы.
15.49. Микроскоп состоит из объектива с фокусным расстоя-
нием F> = 2 см и окуляра с фокусным расстоянием F? = 40 мм.
Расстояние между фокусами объектива и окуляра d= 18 см. Най-
ти увеличение fc, далаелюе м и к [ юс к оном.
15.50. Картину площадью S = 2 х 2 м2 снимают фотоаппара-
том. установленным от пес на расстоянии о = 4.5м. Изображение
получилось размером л = 5 x5см2 Найти фокусное расстояние F
объектива фотоаппарата. Расстояние от картины до объектива
считать большим по сравнению с фокусным расстоянием.
15.51. Телескоп имеет объектив с фокусным расстоянием F> =
= 150 см и окуляр с фокусным расстоянием F% = 10 см Под
каким углом зрения д видна полная Луна в этот телескоп, если
невооруженным глазом она видна пол углом i?0 = 3V?
15.52. При помощи двояковыпуклой линзы, имеющей диаметр
D = 9см и фокусное расстояние. F = 50см. изображение Солнца
проектируется на экран. Каким получается диаметр <1 изображе-
ния Солнца, если угловой диаметр Солнца а = 32'9 Во сколько
раз освещенность, создаваемая изображением Солнца, будет боль-
ше освещенности, вызываемой Солнцем нелосредственно?
15.53. Свет от электрической лампочки с силой света 7 = 200 кд
падает под углом а = 45° на рабочее место, создавая освещенность
Е = 141 лк. Па каком расстоянии г от рабочего места находится
лампочка? На какой высоте h от рабочего места она висит?
15.54. Лампа, подвешенная к потолку, дает в горизонтальном
направлении силу света / = 60 кд Какой световой поток Ф падает
на картину площадью 5 = 0,5м2, висящую вертикально на степе
па расстоянии г = 2м о г лампы, если па противоположной стене
находится большое зеркало на расстоянии о = 2 м от лампы?
15.55. Больший чертеж фотографируют сначала целиком, за-
тем отдельные его детали в натуральную величину Во сколько
раз надо увеличить время экспозиции при фотографировании де-
талей?
15.56. 21 марта, п день весеннего равноденствия, па Северной
Земле Солнце стоит в полдень под углом q = 10° к горизонту. Во
сколько раз (хчи’шс’пносгь площадки, поставленной вертикально,
будет больше освещенности горизонтальной площадки?
15.57. В полдень во время весеннего и осеннего равноденствия
Солнце стоит на экваго|>е в золите. Во сколько раз в это нщтмя
освещенность поверхности Земли на экваторе больше освещен-
ности поверхности Земли в Ленинграде? Ширена Ленинграда
V? = 60°
§li]
ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ОПТИКА II ФОТОМЕТРИЯ
183
15.58. В центре, квадратной комнаты площадью S = 25 м2 виси г
лампа. На какой высоте h or иола должна находиться лампа,
чтобы освещенность в углах комнаты была наибольшей?
15.59. Над центром круглого стола диаметром D = 2 м висит
лампа с силой свет I = 100 кд Найти мзмсноиие освещенно-
сти Ё края стола при постепенном подъеме. лампы в интервале
0,5 $ Л $ 0,9 м через каждые ОД м. Построить график Е = / (/i).
15.60. В цен г;мд круглого стола диаметром D - 1,2 м стоит
настольная лампа из одной электрической лампочки, располо-
женной на высоте hi = 40см аг поверхности с гола. Над центром
стола на высоте h? = 2м от его поверхности висит люстра из
четырех таких же лампочек. В каком случае получится бблыпая
освещенность па краю стола (и во сколько раз): когда горит
настольная лампа или когда гори г люстра?
15.61. Предмет при фотографировании освещается электриче-
ской лампой, расположенной от него на расстоянии п = 2м Во
сколько раз надо увеличить время экспозиции, если эту же лампу
отодвинуть на расстояние г? = 3 м от предмета?
15.62. Найти освещенность Е иа поверхности Земли, вызывае-
мую нормально падающими солнечными лучами. Яркость Солнца
В = 1,2 109кд/м2.
15.63. * Собирающая линза дает изображение предмета в на-
туральную величину. Во сколько раз уменьшится освещенность
изображения предмета, если путем передвижения линзы и пред-
мета унелмчшь площадь изображения в 9 раз?
15.64. Лампа, в которой светящим телом служит накаченный
шарик диаметром d = Змм, даст силу енота I = 85 кд. Най-
ти яркость В лампы, если сферическая колба лампы сделана:
а) из прозрачного стекла; б) из матового стекла. Диаметр колбы
D = 6 см-
15.65. * Над горизонтальной поверхностью, освещенной точеч-
ным источником света силой 60 кд, ня пути лучей помех-гили
собирающую линзу так. чтобы источник находился в ее фокусе.
Определить оптическую силу линзы, если освещенность поверх-
ности под источником света 15 лк.
15.66. На лист белой бумаги площадью S’ = 20 х 30см~ пер-
пендикулярно к поверхности падает световой поток Ф = 120лм
Найти освещенность £*. светимость R и яркость В бумажного
листа, если ко-х|н])ицн<чгг отражения р = 0,75.
15.67. * Над центром квадратной спортивной площадки на рас-
стоянии г = 5м от нее висит лампа. Рассчитать, па каком рас-
стоянии от центра площадки освещенность поверхности земли в
2 раза меньше, чем в центре. Считать, что сила света лампы
одинакова по всем направлениям.
15.68. Лист бумаги площадью S = 10 хЗОсм2 освещается лам-
пой с силой света 1 = 100 кд, причем па него падает 0,5% всего
посылаемого лампой слета Найти освенщипосгь F листа бумаги
184
ОПТИКА
«Гл V
15.69. Электрическая лампа с силой света I = 100кд посылает
во все сгороны в единицу времени IV7 = 122Дж/мин световой
энергии. Найти механический эквивалент света К и к.п.д.
световой отдачи, если лампа потребляет мощность N = 100 Вт.
§ 16. Волновая оптика
Но принципу Дондгра «тслота р* спета, воспринимаемая регистрирующим
прибором, связана с частотой и. посылаемой источником света, соотношением
У -v/c
У 1 + v/c ’
где v — скорость регистрирующего прибора относительно источника, с—ско*
рост», раенрострапеция света. Положительное значение v соответствует удале-
нию источника света. При и < с формулу приближенно можно представить в
виде
t/ ~ „ —1--=
ltv/с С 4-1
Расстояние между интерференционными полосами на экране, расположен-
ном параллельно двум когерентным источникам снега,
А,
где А — длина волны света, L — расстояние от экрана до источников сьета, от-
стоящих друг от друга на раег.пшпии d (при этом Л d)
Результат интерференции света в плоскопараллельных пластинках (в про-
ходящем свете) определяется формулами:
усиление света
2hncoe/3 = 2Jt^ (*=0,1,2....),
ослабление света
21т СЫ0 = (2* + 1) j (* = О, I. 2, ),
где Л — толщина пластинки, п— показатель преломления, угол преломле-
ния, А —длина волны света. В отраженном смете условия усиления и ослабле-
ния света обратны условиям в проходящем свете.
Радиусы светлых колец Ньютона (в проходящем свете) определяются фор-
мулой ____
rk « v/ТЛА (Л'= 1, 2 ...);
радиусом темных колец
г* = (* = 1, 2, . ),
где R — радиус кривизны линзы. В отраженном свете расположение светлых и
7ч*мпь]х колец обратно их расположению и проходящем свете.
5101 ВОЛНОВАЯ ОПТИКА 185
Положение минимумов освещенности при дифракции от щели, на которую
нормально падает пучок параллельных лучей, определяется условием
п sin у> = ± кХ (к s 1 2, 3, ..
где о—ширина цып, — угол дифрАккнИ) А—длина нолям падающего св<гта.
В дифракционной решетке максимумы света наблюдаются в направлениях,
составляющих с нормалью к решетке угол у), удовлетворяющий соотношению
(при условии, что свет падает на решетку нормально)
dsiny?=±A’A (Дг = 0» 1, 2, ...),
где d—постоянная решетки, <р — угол дифрак пи и, А—длина волны падающего
света к А* порядок спектра. Постоянная решетки d ~ 1/А'о, где Л'о— число
щелей решетки, приходящееся па единицу длины решетки.
Разрешающая способность дифракционной решетки определяется формулой
где Дг—общее число щелей решетки г к—порядок спектра, А и А +АА—длина
волн двух близких спектральных линий, еще разрешаемых решеткой.
Угловой дисперсией дифракционной решетки называете» величина
dip
dX ’
Линейной дисперсией дифракционной решетки называется величина
где F— фокусное расстояние лннш, проектирующей спектр на экран
При отражении естественного света от электрического зеркала имеют место
формулы Френеля
I <11/ r«ln(i-^)la Г tg (i -/J) 11
[f5in(t + 0 ] II ° |.t.R(l+0)J
где Zx—интенсивность световых колебаний в отраженном луче, совершаю-
щихся в направлении, кернеидикулирном к плоскости падения света, /| —
интенсивность световых колебаний в отраженном луче, совершающихся в на-
правлении, параллельном плоскости падения света, Zq — интенсивность падаю-
щего естествеикого света, i—уюя падения, /?— угол преломления.
Если i + ,0 - 90°, то Z|| = 0. В этом случае угол падения >ь и показатель
преломлении п диэлектрического зеркала спязаиы соотношением
tg fli Я П (зако>! Бркх гцрд).
Интенсивность сш^та, прошедшего mqjmu поляризатор к анализатор,
/ = Zo сок2 у? (закон Мплюса),
где V—-угол мсж1<у плоскостями поляри.штор.3 и ашитэнторц, Zo интенсив-
ность света, прошедшего через поляризатор.
186
О1ГГИКЛ
[Гл. V
16.1. При фотографировании спекра Солнца было найдено,
ню желтая спектральная линия (Л = 589 нм) в спектрах, по-
лученных от л иного и правого краев Солнца, была смешена на
ДА = 0,008 им. Найти скорость и вращения солнечного диска.
16.2. Какая разность потенциалов U была приложена между
электродами гелиевой разрядной трубки, если при наблюдении
вдоль пучка а-частиц максимальное доплеровское смещение ли-
пни гелия (А =492,2 им) получилось равным ДА = 0,8 им?
16.3. При фотографировании спектра звезды е Андромеды бы-
ло найдино, ню линия титана (А = 495,4 нм) смещена к фио-
летовому концу спектра на ДА = 0,17нм. Как движется звезда
относительно Земли?
16.4. * IIай г и число полос интерференции, получающихся с по-
мощью бипризмы, если показатель преломления ее п. преломляю-
щий угол о, длина волны источника А. Расстояние от источника
света до бипризмы равно а, а расстояние от бипризмы до экра-
на Ь.
16.5. В опыте Юнга отпоре гая освещались монохроматическим
светом (А = 600нм). Расстояние между' отверстиями d = 1мм,
расстояние от огвирсгий до экрана L — Зм Найти положение
трех первых светлых полос.
16.6. В опыте с зеркалами Френеля расстояние между' мни-
мыми изображениями источника света d s 0,5 мм, расстояние до
экрана Ь = 5м. В зеленом свете получились интерференционные
полосы, расположенные на расстоянии I = 5мм друг от друга.
Найти длину волны А зеленого света.
16.7. В опыте Юнга на пути одного из интерферирующих лу-
чей помешалась гонкая стеклянная пластинка, иследствии чего
центральная светлая полоса смещалась в положение, первона-
чально занято пятой светлой полосой (не считая центральной).
Луч падает перпендикулярно к поверхности пластинки. Показа-
тель преломления пластинки п = 1,5. Длина волны А = 600им.
Какова толщина h пластинки?
16.8. В опыте Юнга стеклянная пластинка толщиной h = 12 см
помешается на пути одного из интерферирующих лучей перпен-
дикулярно к лучу. На сколько могут отличаться друг от друга
показатели преломления в различных местах пластинки, чтобы
изменение разности хода от этой неоднородности не превышало
Д = 1мкм?
16.9. На мыльную пленку падает белый гнет под углом i = 45°
к поверхности пленки. При какой неизменной толщине Л плпнки
отраженные лучи будут окрашены в желтый цвет (А = 600 нм)?
Показатель преломления мыльной поды п = 1,33.
16.10. Мыльная пленка, расположенная вертикально, образует
клин вследствие стекания жидкости. При наблюдении интерфе-
ренции полос в отраженном свете ртутной дуги (А = 546,1 нм)
§10)
ВОЛНОВАЯ ОПТИКА
187
оказалось, что расстояние между пятью полосами / = 2см. Най-
ти угол 7 клипа. Спет н:кдает перпендикулярно к поверх пости
пленки. Показатель преломления мыльной воды п = 1.33.
16.11. Мыльная пленка, расположенная вертикально, образует
клин вследствие стекания жидкости. Интерференция наблюдается
в отраженном свете через красное стекло (Ах =631 им). Расстоя-
ние между сосущими красными полосами при этом G = Змм. За-
тем эта же пленка наблюдается через синее стекло (А2 —400 нм).
Найти расстояние /2 между соседними синими полосами. Счи-
тать, что за и рем я измерений ({юрма пленки не мзмцижггся п
свет падает перпендикулярно к поверхности пленки.
16.12. Пучок спета (А = 582 нм) падает перпендикулярно к
поверхности стеклянного клина. Угол клина 7 = 20". Какое чис-
ло Ао темных интерференционных полос пр и ходится на единицу
хпины клипа? Показатель преломления стекла п = 1,5.
16.13. * Тонкая пленка с показателем преломления 1,5 освеща-
ется спетом с длиной волны А = 600 нм. При какой минимальной
толщине пленки исчезнут интерференционные полосы?
16.14. Успшоика для получения колец Ньютона освещается
монохроматическим светом, падающим по нормали к поверхности
пластинки. Радиус, кривизны линзы R — 8,6 м. Наблюдение ве-
дется в отраженном свете. Изморил ням и установлено. что радиус
четвертого темного кольца (считая центральное темное пятно за
нулевое) г.у =4,5мм Найти дайну волны А падающего свепа.
16.15. Установка для получения колец Ньютона освещается
белым стмггом, палаюпщм по нормали к поверхности пластинки.
Радиус кривизны линзы R = 5 м. Наблюдение ведется в прохо-
дящем свете. Найти радиусы гс и гкр четвертого синего кольца
(Ас = 400им) и третьего красного кольца (Акр = 630 нм).
16.16. Установка для получения колец Ньютона освещается
монохроматическим с ветом, падающим по нормали к поверхности
пластинки. Радиус кривизны линзы R = 15 м. Наблюдение ведется
в отраженном снеге. Расстояние между пятым и двадцать пятым
светлыми кольцами Ньютона I = 9 мм. Найти длину волны А
монохроматического света.
16.17. Установка для получения колец Ньютона освещается
монохроматическим светом, падающим по нормали к поверхности
пластинки. Наблюдение ведется в отраженном свете. Расстояние
между вторым и двадцатым темными кольцами G = 4.8 мм. Найти
расстояние /♦ между третьим и шестнадцатым темными кольцами
Ньютона.
16.18. Установка для получения колец Ньютона освещается
свепом от ртутной дуги, падающим по нормали к поверхности
пластинки. Наблюдение ведется в проходящем свете. Какое по
порядку светлое колыю. соответствующее линии Aj = 579.1 нм, со-
нпаджп' со следующим светлым кольцом, соответствующим липни
А2 = 577 нм?
ОПТИКА
IГл. V
16.19. Установка для получения колец Ньютона освещается
снегом с длиной волны А = 589 нм, падающим по нормали к
поверхности пластинки. Радиус кривизны линзы R = 10 м. Про-
странство между линзой и стеклянной пластинкой заполнено жид-
костью Найти показа гель преломления п жидкости, если радиус
грегьего светлого кольца в проходящем свете гз =3,65 мм
16.20. Установка для получения колец Ньютона оснащается
монохроматическим светом с длиной волны Л = 600 нм, падаю-
щим но нормали к поверхности пластинки. Найти толщину h
воздушного слоя между линзой и стеклянной пластинкой в том
месте, где наблюдается четвертое темное кольцо в отраженном
ciiQie.
16.21. * Найти радиус т центрального темного пятна колеи
Ньютона, если между линзой и пластинкой налит бензол (п = 1.5).
Радиус кривизны линзы R — 1 м. Показатели преломления линзы
и пластинки одинаковы. Наблюдение ведется в отраженном свете
с длиной волны А = 5890 А.
16.22 Установка для получения колец Ньютона оснещпггся
монохроматическим светом, падающим по нормали к поверхно-
сти пластинки. После тот как прост ранг.гно между линзой и
стеклянной пластинкой заполнили жидкостью, радиусы темных
колеи в отраженном свете уменьшились и 1,25 раза. Найти пока-
за гель преломления п жидкости.
16.23. В опыте с интерфероме-
м гром Майкельсона для смещения
интерфирапциальпой картины па
/~~7 Г1 к = 500 полос потребовалось ле-
/ / / / рсмосгить зеркало на рапегоянио.
/ L________>_______У / L = 0.161 мм. Найти длину волны
!\1________ » /у А падающего света.
i II 16.24. Для измерения показято
/ / / / ля преломления аммиака в одно из
плечсЙ ннтерфецюмстра Млйкель-
сона поместили откачанную труб-
ку длиной I = 14 см. Концы труб-
ки закрыли плоежопар^из дельным и
Рис. 12в стеклами. При заполнении трубки
аммиаком интерференционная кар-
тина для длины волны А = 590 нм сместилась на к — 180 полос.
Найти показатель преломления п аммиака.
16.25. Иа пути одного из лучей интерферометра Жамела
(рис. 128) поместили трубку длиной / = 10 см. При заполне-
нии трубки хлором интерференционная картина для длины вол-
ны А = 590 им сместилась на к = 131 полосу. Пайги показатель
преломления п хлора.
§10)
ВОЛПОПА» ОПТИКА
IN!»
16.26. Пучок белого света падает по нормали к поверхности
стеклянной пластинки толщиной с/ = 0.4мкм_ Показатель прело-
мления стекла п = 1,5. Какие длины воли Л, лежащие в пределах
видимого спектра (от 100 до 700нм), усиливаются в отраженном
гнете?
16.27 На вовефхпость стеклянного объектива (??i = 1.5) нане-
сена тонкая пленка, показатель преломления которой п? = 1.2
(«просветляющая» пленка). При какой наименьшей толщине d
этой пленки произойдет максимальное ослабление отраженного
света в средней части видимого спектра?
16.28. * Однослойное оптическое покрытие снижает до пуля
отражение света с А = 550 нм. Во сколько раз снижает отражение
то же покрытие при А = 450 нм и А = 700 нм по сравнению со
случаем. когда покрытие отсутствует?
16.29. Найти радиусы г* пе.рвых пяти зон Френеля, если рас-
стояние от источника свепа до волновой поверхности а = 1м рас
стояние от волновой поверхности до точки наблюдения Ъ = 1м.
Длина волны света А = 500 нм.
16.30. Найтн радиусы г*, первых пяти зон Ф|мшеля для плос
кой волны, если расстояние от волновой поверхности до источника
наблюдения 6 —1м. Длина полны света А =500им.
16 31. Дифракционная картина наблюдается на расстоянии /
от точечного источника монохроматического света (А = 600 нм).
На рассгоянии а = 0,5/ от источника помещена круглая непро-
зрачная преграда диаметром D = 1см. Найги расстояние /, если
преграда закрывает только центральную зону Френеля.
16.32. Дифракционная картина наблюдается па расстоянии
I = 4 м от точечного источника монохроматического света (А =
= 500 нм). Посередине* между экраном и источником света поме-
щена диафрагма с круглым отверстием. При каком радиуса Я
отверстия центр дифракционных колец, наблюдаемых на экране,
будет наиболее темным?
16.33. На диафрагму с диаметром отверстия D = 1,96 мм па-
дает нормально параллельный пучок монохроматического света
(А = 600им). При каком наибольшем рассгоянии I между* диа-
фрагмой и экраном в центре дифракционной картины еще будет
наблюдаться темнею, пятно?
16.34. * Диск ил стекла с показателем преломления п (для
длины волны А) закрывает полторы зоны Френеля для точки
наблюдения А. При какой толщине диска Ъ освещенность в А
будет наибольшей?
16.35. * Какова интенсивность I в фокусе зонной пластинки,
если закрыты все зоны, кроме норной? Интенсивность света без
пластинки /о.
190
ОПТИКА
(Гл V
16.36. На щель шириной а = 6А падает нормально параллель-
ный пучок монохроматического снега с. длиной волны А. Под
каким углом 9? будет наблюдаться третий дифракционный мини-
мум света?
16.37/ На узкую щель нормально падает параллельный пучок
монохроматического света. Определить относительную интенсив-
ность вторичных максимумов.
16.38 Какое число штрихов Лго на единицу длины имеет ди-
фракционная решетка, если зеленая линия ртути (А = 546,1 нм)
в спектре первого порядка наблюдается под углом <р = 19°8'?
16.39. На дифракционную решетку нормально падает пучок
света. Натриевая линия (Aj = 589 нм) дает в ciicktjmi первого
порядка угол дифракции = 17°8'. Некоторая линия дает в
спектре второго порядка угол дифракции 9?2 = 21° 12'. Найти
длину волны А2 этой линии и число штрихов Л па единицу
длины решетки.
16.40. На дифракционную решетку нормально падает пучок
света от разрядной трубки. Какова должна быть постоянная d
дифракционной ранетки, чтобы в направлении 9? = 41° совпадали
максимумы линий Aj =656,3 нм и А2 = 410,2 нм?
16.41. На дифракционную решетку нормально падает пучок
снега. При попорото трубы гониометра на угол 9? в поле зрения
видна линия А^ = 440 нм в спектре третьего порядка. Будут ли
видны под этим же углом 99 другие спек тральные линии Л2,
соответствующие длинам воли в пределах видимого спектра (от
400 до 700 нм)?
16.42. На дифракционную решетку нормально падает пучок
света от разрядной трубки, наполненной гелием. На какую линию
Л2 в спектре. третьего порядка накладывается красная линия
гелия (Aj = 670 нм) спектра второго порядка?
16.43. Па дифракционную решетку нормально падает пучок
света от разрядной трубки, наполненной гелием. Сначала зритель-
ная труба устанавливается на фиолетовые липни (Аф = 389нм) но
обе стороны от центральной полосы в спектре первого порядка.
Отсчеты по лимбу вправо от нулевого деления дали 9^фХ = 27°33'.
и 9?ф2 = 36°27'. Посла этого зрительная труба устанавливает-
ся на красные линии по обе стороны от центральной полосы в
спектре первого порядка. Отсчеты но лимбу вправо от пулевого
деления дали 9>КР| = 23°54' и 9>Kp2 — 40°6'. Найти длину волны
Акр красной линии спектра гелия.
16.44. Найти наибольший порядок к спектра для желтой липни
натрия (А = 589 нм), если постоянная дифракционной решетки
d = 2 мкм
16.45. На дифракционную решетку нормально падает пучок
монохроматического света. Максимум третьего порядка наблю-
дается под углом 9? = 36°48' к нормали. Найти постоянную d
решетки, выраженную в длинах волн падающего света.
ВОЛКОВАЯ ОПТИКА
191
16.46. " Монохроматический свет падает на прозрачную ди-
фракционную решетку под углом 0 к нормали. Постоянная решет-
ки </. Определить соотношение для дифракционных максимумов.
16.47/ Дифракционная решетка с 3500 штрих/см имеет ши-
рину 3,6см. На решетку падает свет с длиной волны 621 нм На
сколько могут различаться две длины волны, если их надо разре-
шить в любом порядке? В каком порядке досгиглгтся наилучшее
разрешение?
16.48. Какова должна быть постоянная d дифракционной ре-
шетки, чтобы в первом порядке были разрешены линии спектра
калия Ai = 404,4 им и Аз = 404,7 нм? Ширина решетки а = 3см.
16 49 Какова должна быть постоянная d дифракционной ре-
шетки, чтобы в первом порядке был разрешен дублет натрия
Ai =589 нм н Аз —589,б им? Ширина ренштки а — 2,5см.
16.50. Постоянная дифракционной решетки d = 2 мкм Какую
разность длин волн ДА может разрешить эта решетка в области
желтых лучей (А = 600 им) в спектре, второго порядка? Ширина
решетки а = 2.5 см.
16.51 Постоянная дифракционной ренк гки d = 2,5 мкм. Найти
угловую дисперсию dp/dX решетки для А = 589им в спектре
верного порядка
16.52. Угловая дисперсия дифракционной решетки для А =
= 668 нм в спектре первого порядка dtp/dX = 2,02- Ю^рад/м.
Найти период d дифракционной решетки.
16.53. Найти линейную дисперсию D дифракционной решетки
в условиях предыдущей задачи, если фокусное расстояние линзы,
проектирующей спектр на экран, равно F = 40cm.
16.54 Па каком расстоянии I друг от друга будут находиться
на экране, две линии ртутной дуги (Aj = 577 им и Аз =579.1 им) в
спектре первого порядка, полученном при помощи дифракционной
решетки? Фокусное рассюяние линзы, проектирующей спектр на
экран, F = 0.6 м. Постоянная решетки d = 2 мкм.
16.55. Па дифракционную решетку нормально падает пучок
света. Красная линия (Aj = 630 нм) видна в спектра третьего
порядка под углом = 60°. Какая Спектральная линия А2 видна
под этим же углом в спектре четнг^гого порядка? Какое число
штрихов Л'о на единицу длины имеет дифракционная решетка?
Найти угловую дисперсию d^pfdX этой решетки для длины волны
Aj = 630 им в спектре третьего порядка.
16.56. " Найти условие равенства нулю интенсивности гп-го
максимума для дифракционной решетки с периодом d и шириной
щели Ъ.
16.57. Какое фокусное расстояние F должна имен» линза, про-
ектирующая на экран спектр, полученный при помощи дифракци-
онной решетки, чтобы расстояние между двумя линиями калия
А] = 404.1 им и Х’> =401,7 им в спектре первой» порядка было
равно I = 0,1 мм? Постоянная решетки d = 2 мкм.
192
ОНГИКА
[Гл V
16.58. Найти угол г б полной поляризации при отражении света
от сгекла, показатель преломления которого n = 1,57.
16.59. Предельный угол полного внутреннего отражения для
некоторого вещества i = 45°. Найти для этого вещества угол ie
полной поляризации.
16 60. Под каким углом ?е к горизонту должно находиться
Солнце, чтобы его лучи, отраженные от поверхности озера, были
наиболее полно поляризованы?
16.61. Найти показатель преломления и стекла, если при от-
ражении от него света отраженный луч будет- полностью поля-
ризован при угле преломления 0 = 30°.
16.62. Луч света проходит через жидкость. налитую в сте-
клянный (н = 1,5) сосуд, и отражается ог дна. Отраженный луч
полностью поляризован при падении его на дно сосуда под углом
ib = 42°37'. Найти показатель преломления п жидкости. Под ка-
ким углом t должен падать на дно сосуда луч света, идущий в
этой жидкости, чтобы наступило полное внутреннее отражение?
16.63. Пучок плоскополяризоиаппого снега (А = 589 им) па-
дает па пластинку исландского шпата перпендикулярно к его
оптической оси. Найти длины волн Ао п Ае обыкновенною и пе-
обыкпопонного лучей в кристалле, если показатели преломления
исландского шпата для обыкновенного и для необыкновенного
лучей равны по — 1,66 и = 1,49.
16.64. Найти угол 9? между главными плоскостями поляри-
затора и анализатора. если интенсивность ее гост венного све-
та, проходящего через поляризатор и анализатор, уменьшается
в 4 раза.
16.65. Естественный свет проходит через поляризатор и ана-
лизатор, поставленные так, что угол между их главными плоско-
стями равен 9?. Как поляризатор, так и анализатор поглощают и
отражают 8% падающего на них света. Оказалось, что интенсив-
ность луча, вышедшего пз анализатора, равна 9% интенсивности
естественного света, падающего на поляризатор. Найти угол р.
16.66. Найти коэффициент оцмгжепия р uctoctbci итого света,
падающего на стекло (п = 1,54) под углом полной поляризации.
Найти степень поляризации Р лучей, прошедших в стекло.
16.67. * Стопа Столетова состоит из десяти тонких плоскопа-
раллельных стеклянных пластинок, на которые луч падает под
углом полной поляризации. Вычислить степень поляризации пре-
ломленного луча в зависимости от числа Л: пройденных им пла-
стинок (п — 1,5). Падающий свет естественный
16.68. Найти коэффициент отражения р и степень поляризации
Pj отраженных лучей при падении естественною света на стекло
(та = 1,5) под углом ? = 45°. Какова стелешь поляризации Р2
преломленных лучей?
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
193
§ 17. Элементы теории относительности
Длина I толп, движущегося со скоростью ( относительно некоторой системы
Отсчета, связана с длиной /о тела, неподвижного ь Этой системе, соотношением
1 = 1оу/1-0‘,
где 0 = v/ с, с — скорость распространения света.
Промежуток времени Дг в системе, движущейся со скоростью к по отноше-
нию к наблюдателю, связан г промежутком времени Дт& в неподвижной для
наблюдателя системе соотношением
Дт =
Дтр
0 - 0*
Замш имеет i. массы т тс-in от скорости и его движения ц.и*тся уравнением
m =
УПр
vr-^'
где то — масса покоя этого тела.
Зависимость к utt пти час кой эмор!ик тела от скорости v его движения даетсм
уравнением
И» = тос3 ( I , - 1
Кч/ГПз7
Изменение массы системы на Дт соответствует изменению aitoptmi системы
на
ДИ' = с3 Дт
17.1. При какой отпоен г ель пой скорое? и v движения реляти-
вистское сокращение длины движущегося тела составляет 25 %?
17.2. Какую скорость v должно иметь движущееся тело, чтобы
его продольные размеры уменьшились п 2 раза?
17.3. Мезоны космических лучей достигают поверхности Земли
с самыми разнообразными скоростями. Найти релятивистское со-
кращение размеров мезона. скорость которого равна 95% скорости
света.
17.4. По сколько раз увеличивается продолжительность суще-
ствования нестабильной частицы по часам неподвижного наблю-
дателя. ое:’ш она начинает двигаться со скоростью, составляющей
99% скорости света?
17.Б. Мезон, входящий в состав космических лучей, движется
со скоростью. составляющей 95% скорости света. Какой проме-
жуток времени Дт по часам неподвижного наблюдателя соответ-
ствует одной секунде «собственного времени» мсгиша?
17.6. На сколько увеличится масса п-частипы при ускорении
ее от начальной скорости, равной нулю, до скорости, равной 0.9
ско|юсти света?
ЦН
ОПТИКА
1Гл. V
17.7. Найти отношение е/т заряда электрона к его массе
для скоростей: а) г» с; б) и = 2 • 108 м/с; в) v = 2 2 * 10е м/с;
г) г = 2,4 108 м/с; л) v = 2,6 108 м/с; е) v = 2,8 • 108 м/с. Со-
ставить таблицу к построить графики зависимостей m и е/m от
величины 3 — v/c для указанных скоростей.
17.8. При какой скорости и масса движущегося электрона
вдвое больше его массы покоя?
17.9. До какой энергии WK можно ускорить частицы в цикло-
троне, если относительное увеличение массы частицы по должно
превышать 5 %? Задачу решить для: а) электронов; б) протонов;
в) дейтонов.
17.10. Какую ускоряющую разность потенциалов U должен
пройти электрон, чтобы его скорость составила 95% скорости
света?
17.11. Какую ускоряющую разности потенциалов U должен
пройти протон, чтобы его продольные размеры стали меньше в
2 раза?
17.12. * 7Г°-мсх10и (то = 2,1 • 10 2Н кг) движется со скоростью
v = 0,8 с = 2,4- 10й м/с. Чему равна его кинетическая энергия?
Полученный ответ сравните с вычислениями но классической
механике.
17.13. * Сколько энергии выделяется при раснаде я°-мезона
из предыдущего примера и его превращении н электромагнитное
излучение?
17 14.* На сколько изменится масса сферического проводника
радиусом R = 1м, если ему сообщить заряд ф = 85мкКл.
17.15. * Электрон (тп^ = 9,11 - 10-31 кг) под действием консер-
вативной силы ускоряется из состояния покоя до скорости V.
При этом его потенциальная энергия убывает на 4,2 • 10~14 Дж.
Определить скорость электрона.
17.16. Циклотрон дает пучок электронов с кинетической энер-
гией И’к = 0,67 МэВ Какую долю 0 скорости света составляет
скорость электронов в этом пучке?
17.17. Составить для электронов и протонов таблицу зависимо-
сти их кинетической энергии HZK от скорости v (в долях скорости
света) для значений /3, рапных 0,1; 0,5; 0.6; 0,7; 0,8, 0,9; 0,95;
0.999.
17.18. Масса движущегося электрона вдвое больше его массы
покоя. Найти кинетическую энергию электрона
17 19. Какому изменению массы Ат соответствует изменение
энергии па Д1У = 4,19 Дж?
17.20. Пайгн изменение энергии ДИ’, соответствующее изме-
нению массы на Дтп = 1 а. е. м.
17.21. Найти измененне энергии ДИ’, соответствующее изме-
нению массы Дт = те.
S1H]
ТЕПЛОВОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ
193
17.22. Найтн изменение массы Дтд, происходящее при обра-
зовании I/ — 1 моль воды, если реакция образования воды такова:
2112 + О2 - 2Н2О -г 5,75 - 10s Дж.
17.23. При делении ядра урана 235и офюбождацтця энер-
гия И7 = 200 МэВ Найти изменение массы Дтд при делении
р = 1 моль урана.
17.24. Солнпс излучает ноток энергии Р = 3,9- Ю26 Вт За какое
время г масса Солнца уменьшится в 2 раза? Излучение Солнца
считать постоянным.
§ 18о Тепловое излучение
Энергетическая светимость (излучательность) абсолютно черного тела, т е.
»нср1>1Я, излучаемая ® единицу времени единицей ноперхносхи $Гмг<йнопк» чер
него тела, определяется формулой Стефана — Больцмана
R* = аТ'\
где Т—термодинамическая температура, гг = 5,67 - 10”8 Вт/(м2 К4) — посто-
янная Стефана Больцмана.
Если излучаемое тело не является абсолютно черным, то
л; = tafF1.
где коэффициент к всегда меньше единицы.
Энергетическая слоги mocti. R? смыил ср с пикт рилы mil плоти остью энерге-
тической светимости абсолютно черного тела соотношением
«. J гх <1Х.
О
Излучательная способность абсолютно черного тела
_ 2 л/ip3 ____1______
** с2 охр (hv/kT) - I
где А = 6,626 • 10"34Дж/с — постоянная Планка, I/ частота спета, с = 3 х
х101Осм/с — скорость света, 1* = 1,3« - 10-23Дж/к — постоянная Больцмана,
Т—температура абсолютно черного гола.
Произведение термодинамической температуры абсолютно черного тела на
длину волны, при которой спектральная плотность эцергог и ческой светимости
этого тела максимальна, раина постоянной величине (первый закон Внпа);
AmT = Ci = 2.9 -10"3 м - К.
Максимальная спектральная плотность энергетической светимости абсолют-
но черного тела возрастает пропорционально ня гой степени 1емпорату|и4 (вто-
рой закон Внпа):
ГД- Ci = 1,29 • 10“5 В1/(м3 - К5).
196
ОПТИКА
[Гл V
18.1. Найти температуру Т печи, если известно, что излуче-
ние из отверстия в пей площадью S = 6Дсм2 имеет мощность
Д’ = 3-1,6 Вт. Излучение считать близким к излучению абсолютно
черного тела.
18.2. Какую мощность излучения Лг имеет Солнце? Излучение
Солнца считать близким к излучению абсолютно черного тела.
Температура поверхности Солнца Т = 5800К.
18.3 Какую энергетическую сводимость имеет затвердеваю-
щий свинец? Отношение энергетических светимостей свинца и
абсолютно черного тела для данной температуры к = 0,6.
18 4. Мощность излучения абсолютно черного тела Лг = 34 кВт.
Найти температуру Т этого тела, если известно, что его поверх-
ность S = 0,6 м2.
18.5. Мощность излучения раскаленной металлической поверх-
ности Лг/ = 0.67 кВт. Температура поверхности Т = 2500 К, ее пло-
щадь S = 10см2. Какую мощность излучения Лг имела бы эга
поверхность, если бы опа была абсолютно черной? Найти отноше-
ние к энергетических светимся гей этой поверхности и абсолютно
черного тела при данной температуре.
18.6. Диаметр вольфрамовой спирали в электрической лампоч-
ке (I = 0,3 мм. длина спирали I = 5 см. При включении лампочки в
сеть напряжением U = 127В через лампочку течет ток I = 0,31 А.
Найти температуру Т спирали. Считать, что по установлении рав-
новесия все выделяющееся в пяти тепло теряется в результате
излучения. Отношение энергетических светимостей вольфрама и
абс олютно черного тела для данной температуры к = 0.31
18.7. Температура вольфрамовой спирали в 25-ваггпой элек-
трической лампочке Т = 2450 К. О сношение ее энергетической
светимости к энергетической светимости абсолютно черного тела
при данной температуре к — 0,3. НаЙги площадь S излучающей
поверхности спирали.
18 8. Найти солнечную постоянную К, т.е. количество .лу-
чистой энергии, посылаемой Солнцем в единицу В1>емспи через
единичную площадку, перпендикулярную к солнечным лучам и
находящуюся па тиком же расстоянии от пего, как и Земля
Температура поверхности Солнца Т = 5800К. Излучение Солнца
считать близким к излучению абсолютно черного тола.
18 9. Счшая, что атмосфера поглощает 10% лучистой энергии,
посылаемой Солнцем, найти мощность излучения Лг> получаемую
от Солнца горизонтальным участком Земли площадью 5 = 0.5 т.
Высота Солнца над горизонтом 9? = 30е. Излучении Солнца счи-
тать близким к излучению абсолютно черного тела.
18 10.* Температура поверхности Солнца 6000К, 01 ношение
диаметра земной орбиты к диаметру Солнца составляет 2,14-102.
Считается, что Земля одинаково излучает ио всем направлениям,
вычислите ее среднюю температуру.
5 »«)-
ТЕПЛОВОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ
197
18.11. Какую энергетическую светимость R^ имеет абсолютно
черное тело, если максимум спектральной плотности его энерге-
тической светимости приходится на длину волны А = 481 нм?
18.12. Мощность излучения абсолютно черного тела Дг = 10 кВт.
Найти площадь S излучающей поверхности тела. если максимум
спектральной плотности его энергетической светимости приходит-
ся на длину волны А = 700 нм.
18.13. В каких областях спектра лежат длины волн, гост
ветствующне максимуму спектральной плотности энергетической
светимости, если источником света служит: а) спираль электриче-
ской лампочки (Т = 3000К); б) поверхность Солнца (Т = 6000К);
в) атомная бомба, в которой в мо-
мент взрыва развивается температу-
ра Т 10' К? Излучение считать
близким к излучению абсолютно чер-
ного тела.
18.14. На рис. 129 дана кривая
зависимости спектральной плотности
энергетической светимости абсолют-
но черного тела гл от длины вол-
ны А при некоторой температуре. К
какой температуре Т относится эта
кривая? Какой процент излучаемой
энергии приходится па долю видимо-
го спектра при этой температуре?
18.15. При нагревании абсолютно черного тела длина волны А,
на которую приходится максимум спектральной плотности энер-
гетической светимости, изменилась от 690 до 500 им. Во сколько
раз увеличилась при этом энергетическая светимость тела?
18.16. На какую длину волны А приходится максимум спек-
тральной плотности энергетической свсгимосги абсолютно черно-
го тела, имеющего температуру, равную температуре t = 37 °C
человеческого тела, г. с. Т = 310 К?
18.17. Температура Т абсолютно черною тела изменилась при
нагревании от 1000 до 3000 К Во сколько раз увеличилась при
этом ею энергетическая светимость Лэ? На сколько изменилась
длина волны А. па которую приходится максимум спектральной
плотности энергетической светимости? Во сколько раз увеличи-
лась «io максимальная спектральная плотность энергетической
светимости гд?
18.18. Абсолютно черное тело имеет температуру Т\ =2900 К
В результате остывания тела длина волны, на которую приходит-
ся максимум спектральной плотности энергетической светимости,
изменилась на ЛА = 9мкм. До какой температуры охладилось
тело?
19R
ОПТИКА
(Гл. V
18.19 * Определить температуру тела, при которой оно излу-
чало бы энергии в 10 раз больше, чем поглощало. Температура
окружающей среды /« = 23 °C.
18.20. * Лазер на рубине излучает в импульсе длительностью
т — 0,5 .\к: энергию Е = 10Дж в виде параллельного свез оного луч-
ка» Длина волны лазера А = 6913 А, шприца линии ДА = 0,01 А.
Определить по спектральной плотности излучения эффективную
температуру Т,фф в лазерном луче»
18.21. * В черный тонкостенный металлический сосуд, имеющий
форму куба, палит 1кг воды, нагретой до 50 °C- Определить
время t остывания сосуда до 10°C, если он помещен в черную
полость, температура стенок которой поддерживается при 0°С, а
вода заполняет весь объем сосуда.
18 22.* Найти энтропию и теплоемкость излучения черного те-
ла температурой Г в обьеме V.
18.23. * Показать, что излучательная способность абсолютно
черного гела и объемная спектральная плотность энергии
связаны соотношением е^т — 0,25с
18 24.’' Вывести из формулы Планка соотношения Рэлея
Джинса и Вина.
Глава VI
ФИЗИКА АТОМА И АТОМНОГО ЯДРА
§ 19. Квантовая природа света и волновые, свойства частиц
Энергия фотона (кванта спета) определяется формулой
с =.
где А = 6.626176 10“34 Дж с—постоянная Планка, г/ (Гц] — частота колебания.
Импульс и масса фотона
где с s 2,99792458 10я м/с — ckojkjcti. распространения снега в вакууме
Связь между энергией фотона, вызывающего внешний фотоэффект, и мак-
симальной кя|щтнч(!ф«)П вяерпшЙ вылетающих электронов дается формулой
Эйнштейна
hv = л + т™- ,
где А — работа выхода электрона из металла, т — масса электрона. Если L = 0,
то hvQ = Д, где мо — частота света, соответствующая красной границе фогоэф
факта.
Световое давление
р=£(1+р).
где Е—энергия, падающая на единицу поверхности за единицу времени, р—
кспффицмгпт «пражским <*пстх
Изменение длины волны рентгеновских лучей при комптоновском рассеянии
определяй кя формулой
Л А — ~ (1 ~ cos V?).
me z
где v5 — угол рассеяния, т—масса электрона.
Пучок элементарных частиц обладает свойством плоской ванны, распростра-
няющейся в направлении прррмрщения этих частиц. Длина волны А, соответ-
ствующая этому пучку, определяется соотношением де Бройля
А = h =
rnv y/2Wm '
где н — скорость чагтнц. т— масса частиц, И'—их кинетическая энергия.
2(Ю
ФИНИКА Л1ОМА И АТОМНОГО ЯДРА
[Гл, VI
Если скорость v частиц соизмерима со скоростью света с, то эта формула при-
нимает вид
Л
где 8 ж ю/С| то — масса покоя частицы.
19 1 Пай гн массу т. фотона: а) красных лучей слота (Л =
= 700нм); б) рентгеновских лучей (А = 25 пм): в) гамма-лучей
(А = 1.21 пм).
19 2 * Дифракционная решетка с постоянной d — Змк распо-
ложена нормально на пути монохроматического снегового потока.
При этом углы дифракции, отвечающие двум соседним макси-
мумам. равны (/?] = 23°35" и ip? = 36°52". Вычислить энергию
фотонов данного сводового потока.
19 3 Ртутная дуга имеет мощность N = 125 Вт. Какое число
фотонов испускается в единицу времени в излучении с длинами
воли А, равными 612,3; 579,1; 5-16,1; 40-1,7; 365,5; 253,7 пм?
Интенсивности этих линий составляют соответственно 2: 4: 4: 2,9;
2,5: 4% интенсивноеги ртутной дуги. Считать, что 80% мощности
дуги идет на излучение.
19 .4.* При фЛосиптезе под действием света происходит реак-
ция СОз -> СО + О*. Считается, что для этой реакции требуется
9 фотонов с А = 670 нм. Каков к.п.д. синтеза, если обратная
реакция характеризуется энерговыдел гнием 4,9 эВ на одну моле-
кулу СОз?
19.5. С какой еко^спло и должен двигаться электрон, что-
бы его импульс был равен импульсу фотона с длиной волны
А = 520 нм?
19.0 Какую энергию £ должен иметь фо гоп, чтобы его масса
была равна массе. покоя электрона?
19.7. Импульс, переносимый монохроматическим пучком фо-
тонов через площадку S = 2см2 за время t — 0,5 мин, равен
р = 3- 10 ”!>кг’м/с. Найти для этого пучка энергию £?, падающую
на единицу плошали :ш ачииш^у времени.
19.8 * Какое количество фотонов с длиной волны А = 0,6 мкм в
параллельном пучке имеет суммарный импульс, равный среднему
абсолютному значению импульса |;Т| атома гелия при температуре
Г = 300 К?
19.9 При высоких энергиях трудно осу шее I пить условия для
измерения экспозиционной дозы рентгеновского и гамма-излуче-
ний в pciiTixuiax, поэтому допускается применение рентгена как
единицы дозы дня излучений с энергией квантов до £ = ЗМчВ.
До какой предельной длины волны А рентгеновского излучения
МОЖНО употреблять |МЧГПТИ?
19.10. * Электрическая лампа мощностью 100 Вт испускает4 3%
потребляемой энергии н форме видимого света (средняя дли-
на волны 550 нм) равномерно по всем направлениям. Сколько
КВАНТОВАЯ Ш’ШЧЖА СВЕТА
201
фотонов видимого света попадает за 1с в зрачок наблюдателя
(диаметр зрачка 4,0 мм), находящегося на расстоянии 10 км от
лампы?
19.11. В работе Л. Г-Столетова « Ак гино-элелсгричсскис иссле-
дования» (1888 г.) впервые были установлены основные чаконы
фотоэффекта. Один из результатов его опытов был сформулиро-
ван так: «Разряжающим действием обладают лучи самой высокой
преломтясмости с длиной волны менее 295 нм». Пай ги работу вы-
хода А электрона из металла, с которым работал А. Г. Столетов.
1» 12. Найти длину волны Ао спела. соотвсчегвующую красной
границе фотоэффекта, для лития, натрия, калия и цезия.
19.13. Диша волны света, соответствующая красной границе
фотоэффекта, для некоторого металла Ао = 275 им. Найти мини
мальную энергию € фотона, вызывающего фотоэффект.
19.14. * Квант длиной волны А = 342 А нырыначт с чистой
поверхности металлического лития фотоэлектрон, который опи-
сывает в магнитном поле напряженностью Н = 1.2-1 А/м окруж-
ность радиусом /2= 1.2 см Определи гь энергию, затраченную на
освобождение данного электрона из атома лития.
19.15. * Чему равна минимальная длина полны рентгеновского
излучения, испускаемого при соударении ускоренных электронов с
экраном телевизионного кинескопа, работающего при напряжении
30 кВ?
1916. Найти задерживающую разность потенциалов U для
электронов, вырываемых при освещении калия снегом с длиной
волны А — 330нм.
19.17. При фотоэффекте с платиновой поверхности электро-
ны полностью задерживаются разностью потенциалов U = 0,8 В.
Найти длину волны А применяемого облучения и предельную
длину волны Aq, при которой еще возможен фотоэффект.
19.18. Фо гопы с энергией £ = 4,9 эВ вырывают электроны из
металла с работой выхода А = 4.5 эВ. Найти максимальный им-
пульс ртах. передаваемый поверхности металла при вылете каж-
дого электрона.
19.19. Найти постоянную Планка ft, если известно, что элек-
троны, вырываемые? из металла светом с частотой = 2|2‘10|Г,Гц,
полностью задерживаются разностью потенциалов 1Л = 6,6 В. а
вырываемые светом с частотой = 4,6 101 1п разностью по-
тенциалов Ъг2 = 16,5 В
19.20. Вакуумный фотоэлемент состоит из центрального ка-
тода (вольфрамового шарика) и анода (внутренней ноперхпосги
посеребренной изнутри колбы). Контактная разность потенциалов
между электродами L:o =(Х6В ускоряет вылетающие электроны.
Фотоэлемент освещается свепом г длиной волны А = 230 нм. Ка-
кую задерживающую разность потенциалов U надо приложить
' IT ?
202
ФИЗИКА АТОМА И АТОМНОГО ЯДРА
[Гл VI
между электродами, чтобы фототок упал до нуля? Какую ско-
рость v получат электроны, когда они долетят до анода, если нс
прикладывать между катодом и анодом разности потенциалов?
19.21. Между электродами фотоэлемента предыдущей задачи
приложена задерживающая разность потенциалов U = 1 В. При
какой . предельной длине волны Ад падающего на катод света
начнется фотоэффект?
19.22 На рис. 130 показана часть прибора, с. которым ПН Ле-
бедев производил свон опыты по измерению светового давле-
ния. Стеклянная крестовина, подвешенная па
тонкой нити, заключена в откачанный сосуд
и имеют ил концах два легких кружка из пла-
тиновой фольги. Один кружок зачернен, дру-
дгой оставлен блестящим Направляя свет на
один из кружков и измеряя угол поворота ни-
ти (для зеркального отсчета служит зеркаль-
це S), можно онрачелить световое давление.
Найти световое давление Р и световую энер-
гию Е, падающую от дуговой лампы в сди-
J лицу времени на единицу площади кружков.
Wr | | При освещении блестящего кружка отклоне-
ние зайчика а = 76 мм по шкале, удаленной
Рис. 130 от зеркальца на расстояние b = 1200 мм Диа-
метр кружков d = 5 мм. Расстояние от центра
кружка до оси вращения I = 9 2 мм. Коэффициент отражения све-
та от блестящего кружка р = 0,5. Постоянная момента кручения
нити (Л/ = ка) к = 2 2 • 10~н Н - м/рад.
19.23. * Определить силу светового давления Fj солнечного из-
лучения на поверхность земного шара, считая се абсолютно чер-
ной. Найти отношение этой силы к силе гравитационного при-
тяжения Солнца Fj. Светимость Солнца равна 2 Ю20 Дж/м2 • с.
Другие необходимые астрономические величины даны в Прило-
жении XII
19.24. В одном из опытов П II Лебедева мощность падающего
на кружки монохроматического света (А = 560нм) была равна
jV = 8 33мВт. Найги число фотонов /, падающих н единицу
времени на единицу площади кружков, и импульс силы FAr,
сообщенный единице площади кружков за единицу времени, для
значений р, равных: 0; 0,5; 1. Данные прибора взять из условия
задачи 19 22.
19.25. * Найти величину нормальных» давления на плоскую по-
верхность при зеркальном отражении параллельного светового
потока с интенсивностью I = 0,5вг/см2, если коэффициент отра-
жения данной поверхности р = 0,6, а угол между направлением
света и нормалью к поверхности 0 = 30°.
19.26. Найти световой давление Р па стенки электрической
100-ваттной лампы. Колба лампы представляет собой сфериче-
5 iv]
КВАНТОВАЯ ПРИРОДА СНЯТА
203
ский сосуд радиусом г = 5 см. Стенки лампы отражают 4% и
пропускают 6% падающего па них спета. Считать, что вся по-
требляемая мощность идет на излучение.
19.27. На поверхность площадью 5 = 0,01 м2 в единицу времени
падает световая энергия Е ~ 105 Дж/г.. Найти световое давление
Р в случаях, когда поверхность полностью отражает и полностью
поглощает плдакицне на нее лучи.
19.28. Монохроматический пучок света (А = 490 нм), падая
по нормали к поверхности, производит световое давление Р =
= 4,9 мкПа. Какое число фотонов I падает в единицу времени
на единицу площади этой поверхности? Коэффициент отражения
света р = 0.25.
19.29. Рентгеновские лучи с длиной волны Ао = 70.8 пм ис-
пытывают комнтонивскос рассеяние на парафине. Найти дли-
ну волны А рентгеновских лучей, рассеянных в панравлиниях:
а) = г/2: б) у = тг.
10.30 . Какова была длина волны Ао рентгеновского излучения,
если при комптоновском рассеянии этого излучения графитом
пол углом </> = 60° длина волны рассей иного излучения оказалась
равной А = 25,4 им9
19.31 . Рентгеновские лучи с длиной волны Ад = 20 пм испы-
тывают комптоновское рассеяние под углом \р = 90°. Найти из
менение ДА длины волны рентгеновских лучей при рассеянии а
также энергию и импульс электрона отдачи.
19.32 . При комптоновском рассеянии энергия падающего фото-
на распределяется поровну между рассеянным фотоном и элек-
троном отдачи. Угол рассеяния = тг/2. Найти энергию W и
импульс р рассеянного фотона.
19.33 . Энергия рентгеновских лучей f = 0.6 МэВ. Найти энер-
гию We электрона отдачи, если длина полны рентгеновских лучей
после комптоновского рассеяния изменилась на 20%.
19.34 . Найти длину полны де Бдюйля А для электронов, про-
шедших разность потенциалов = 1В и 62 = 100 В
19.35 .* Вычислить отношение кинетической энергии электрона
к кинетической энергии протона с одинаковой длиной волны де
Бройля. Скорости существенно меньше, чем скорость света.
19.36 . Найти длину волны де Бройля А для: а) адоктрона,
движущегося со скоростью v = 106 м/с: б) атома водорода, дви-
жущегося со средней квадратичной скоростью при температуре
Т = 300К; в) шарика массой m = 1г, движущегося со скоростью
и = 1 см/с.
19.37 . Найти длину волны де Бройля А для электрона, имею-
щего кинетическую энергию: а) И] = 10 кэВ; б) = 1 МэВ.
19.38 . Заряженная частица. ускоренная разностью нохепциалов
I/ = 200В, имеет длину волны дс Бройля А = 2.02 нм. Найти
массу тп частицы, если ее заряд численно равен заряду электрона.
204
ФМЧНКА АТОМА И АТОМНОГО ЯДРА
:г.н. VI
19.39 . Составить таблицу значений длин волн дс Бройля А для
электрона, движущегося го ско|юстью v, равной. 2 1()8 2.2 10s;
2,4 -108: 2.6 • 10< 2.8 • 10в м/с.
19.40 . о-частица движется по окружности радиусом г = 8,3 мм
в однородном магнитном поле, напряженность которого Н =
= 18,9 кА/м. Найти длину волны де Бройля А для а-частицы.
19.41 . Найти длину волны дс Бройля А для атома недорода,
движущегося при температуре Т = 29.3 К с наиболее вероятной
скоростью.
§20 . Атом Бора. Рентгеновские лучи
Согласно первому пос гулату Бора движение электрона вокруг ядра возмож-
но только «о определенным орбитам, радиусы которых удовлетворяют соотно-
шению
TTWjtrjt = к ~ ,
где тп— масса электрона, —его скорость на fc-й орбите. rt — радиус этой
орбиты, Л —° постоянная И лайка, к—любое целое число (квантовое число).
Согласно второму постулату Бора частота излучения, соответствующая пе-
ремещу »?i<‘Kipoiia с одной о|>биты ил другую, определяется формулой
hv = И'п - И'*,
где к и п— номера орбит (д > fc), W'fe я lVn—соответствующий ям значения
энергии электрона.
Формула, позволяющая найти частоты и или длины волн А, соответствующие
ЛИНИЯМ водородного CHUKTjMk имеет вил
где к и п — номера орбит, с—скорость распространения света в вакууме, R—
постоянная Ридберги, равная
Л = -g*™ = 1,097373177 Wym
8egh3c
Здесь е — заряд электрона, тп — его масса, Л—постоянная Планка и со —
электрическая постоянная.
Формула, позволяющая найти частоты и или длины волн А для водородопо-
добных конов, имеет вид
гд* Z порядковый номер элемента в таблице Мппделоана.
Дифракция рентгеновских лучей описывается уравнением Вульфа — Брэгга
2dsin^ = mA (тл = 0, 1,2, ...)
§20)
АТОМ НОРА РЕНТГЕНОВСКИЕ ЛУЧИ
205
где d—постоянная решетки кристалла (расстояние между атомными плоско-
стями кристалли), угол между пучком рентгеновских лучей и ноицрхши:ты<>
кристалла.
Часто га ио, соответствующая коротковолновой границе сплошного ронтго
невского спектра, может быть найдена из соотношения
hvn = cU,
где U — разность потенциалов, приложенная к электродам рентгеновской
трубки.
Длина полны решгеновскнх характеристических лучей может быть найдена
по формуле Мозли
где Z—порядковый номер элемента, из которого сделан антикатод, Ь—посто-
янная экранирования. Последили формула может быть переписана так.
ч/Т" = ci (Z - Ь), где а=
Интенсивность пучка рентгеновских лучей, прошедших сквозь пластинку
толщиной xt ощхщеляется формулой
где /о“- интенсивность пучка, падающего на плаепшку, д |м~!] лилейный
коэффициент поглощения» Коэффициент поглощения /г зависит от длины вол-
ны рентгеновских лучей и от плотности вещества. Массовый коэффициент по-
гло1ц<ч<ия ;гм слизан с линейным коэффициентом поглощения р соотношением
рм [м*/кг| = д/р. где р— плотность вещества-
Поглощснио рентгеновских лучей рааличмыми ншцсствами можно охаракте-
ризовать так называемой «толщиной слоя половинного ослабления», те тол-
щиной слоя х1/2, уменьшающей вдвое янгеношпость падающих лучей.
20,1. Найти радиусы г* трех первых борот ких электронных
орбит в атоме водорода и скорости v* электрона на них.
20.2. Найти кинетическую IVK, потенциальную И „ и полную W
энергии электрона на первой воровской орбите.
20.3. Найти кинетическую энергию И’к электрона, находяще-
гося па пй орбите агома водорода, для n = 1, 2, 3 и ос.
20.4 " Определить угловую скорость электрона па первой бо-
рове кой орбите атома водорода.
20.5. Найти наименьшую АП1|П и наибольшую ArnhX длины ноли
спектральных линий водорода в видимой области спектра.
20 0 НаЙги наибольшую дойну волны Ашах в ультра фиоле-
товой области спектра водорода. Какую наименьшую скорость
t'min должны иметь электроны, чтобы прн возбуждении атомов
водорода ударами электронов появилась эн л линия?
20.7. Найти потенциал ионизации Ь\ атома водорода.
и
206
ФИЗИКА АТОМА И АТОМНОГО ЯДРА
[Гл. VI
20.8. Найти первый потенциал возбуждения атома водорода.
20.9. Какую наименьшую энергию IFmln (в элскгрон вольтах)
должны иметь электроны, чтобы при возбуждении атомов водо-
рода ударами этих электронов появились все линии всех серий
спектра водорода? Какую наименьшую скорость vm|n должны
иметь эти электроны?
20.10. В каких пределах должна лежать энергия бомбардирую-
щих электронов, чтобы при возбуждении атомов водорода ударами
этих электронов спектр водорода имел только одну спектральную
линию?
20.11. * Атомарный водород, возбуждаемый некоторым моно
Х]н>матичс('ким светом, испускает только три спектральные линии.
Определить квантовое число энер1**угического уровня, на который
возбуждаются атомы, а т«ткже длины волн испускаемых линий
20.12. В каких пределах должны лежать длины воли А моно-
хроматического света, чтобы при возбуждении атомов водорода
квантами этого сдоты наблюдались три спектральные линии?
20.13. На сколько изменилась кинетическая энергия электрона
в атоме водорода при излучении атомом фотона с длиной волны
А = 486 им?
20.14. В каких пределах должны лежать длины волн А моно-
хроматического света, чтобы при возбуждении атомов водорода
квантами этого света радиус орбиты г* электрона увеличился
в 9 раз?
20.15. На дифракционную решетку нормально падает пучок
света от разрядной трубки, наполненной атомарным водородом.
Постоянная решетки </ = 5мкм. Какому перехода электрона со-
ответствует спектральная линия, наблюдаемая при помощи этой
решетки в спектре пятого порядка под углом ^ = 41°?
20.16. Найти длину волны де Бройля А для электрона, дви-
жущегося по первой боровской орбите атома водорода.
20.17. Найти радиус п первой боровской электронной орбиты
для однократно ионизованного гелия и скорость t»i электрона
на ней.
20.18. Найти первый потенциал возбуждения 1>\ л) однократно
ионизованного гелия; 6) двукратно ионизованного лития.
20.19. Найти потенциал ионизации а) однократно ионизо-
ванного гелия; б) двукратно ионизованного лития.
20.20. НгхЙтм длину волны А фотона, соответствующего nej>exo-
ду электрона со второй боровской орбиты на первую в однократно
ионизованном атоме гелия.
20.21/ Определить магнитный момент электрона, движуще-
гося иа ««^орбите атома водорода. Показать, что отношение
магнитного момента к механическому постоянно для всех орбит.
20.22. D линия натрия излучается в [юзультате такого пере-
хода электрона с одной орбиты атома иа другую, при котором
§20]
ATOM БОГА. I'KH'JTHHUHGKNK ЛУЧИ
207
энергия атома уменьшается на ДИ7 = 3,37 10“19 Дж. Найти длину
волны А D-линии ширин.
20.23. На рис 131 изображена схема прибора для определения
резонансного потенциала натрия. Трубка содержит пары натрия.
Электроды GT и А имеют одинаковый ногпициал. При какой наи-
меньшей ускоряющей разности потенциалов U между катодом К
и сеткой G паблюдшгген «тюктральная линия с длиной полны
А = 589 нм?
20.24. Электрон, пройдя разность потенциалов U = 4,9 В стал-
кивается с атомом ртути и переводит его в первое возбужденное
состояние» Какую длину волны А имеет фотон, соответствующий
переходу атома ртути и нормальное состояние?
20.25. На рис. 132 изображена установка для наблюдения ди-
фракции рентгеновских лучей. При вращении кристалла С толь-
ко тот луч будет отражаться на фотографическую пластинку В^
длина волны которого удовлетворяет уравнению Вульфа — Брэгга.
При каком наименьшем угла ip между плоскостью кристалла и
пучком рентгеновских лучей были отражены рентгеновские лу-
чи с длиной волны А = 20 им? Постоянная решетки кристалла
d = 303 пм.
20.26. Найти постоянную решетки d каменной соли. зная мо-
лярную массу д -= 0,058 кг/.моль кпмшшоЙ соли и ее плотность
р = 2,2- I О3 кг/м3. Кристаллы каменной соли обладают простой
кубической структурой.
20.27. При экспериментальном определении постоянной План-
ка h при помощи рентгеновских лучей кристалл устанавливается
под некоторым углом а разность потенциалов С/, приложенная
к электродам рентгеновской трубки, увеличивается до тех пор,
пока не появится линия, соответствующая этому углу. Найти
постоянную Планка А из следующих данных кристалл каменной
соли установлен под углом = 14°; разность потенциалов, при
которой впервые появилась линия, соответствующая этому углу,
U = 9.1 кВ; постояштая решетки кристалла d = 281 им.
208
ФИЗИКА АТОМА И АТОМНОГО ЯЛРл\
[Гл VI
20.28/ Атомные плоскости кристалла отстоят друг or друга на
210 нм. Чему равна длина полны рентгеновских лучей, падающих
иа кристалл, если отражение первого порядка наблюдается под
углом 45®?
20.29. * Определить угловую ширину дифракционных максиму-
мов, возникающих при рассеянии плоского пучка монохроматиче-
ских рентгеновских лучей с длиной волны Л на линцЙиоЙ цепочке
из Л* рассеивающих центров с периодом о.
20.30. ПаЙги длину. волны А, определяющую коротковолновую
границу непрерывного ррнтт^новского спектра, если известно, что
уменьшение приложенного к рентгеновской трубке напряжения
па ДСг=23кВ увеличивает искомую длину волны и 2 разя.
20.31. Длина волны гамма-излучения радия А = 1,6пм. Какую
разность потенциалов U надо приложить к рентгеновской трубке,
чтобы получить рентгеновские лучи с этой длиной волны?
20.32. Какую наименьшую разность потенциалов U надо при-
ложить к рентгеновской трубки, чтобы получить все линии
Л'-серии, если в качестве материала антикатода взять: а) медь;
б) серебро; в) вольфрам; г) плапшу?
20.33. Считая, что формула Мозли с достаточной степлныо
точности дает связь между длиной волны А характеристических
рентгеновских лучей и порядковым номером элемент Z, из кто-
рого сделан антикатод, найти наибольшую длину волны А линий
ЛЛ-серии рентгеновских лучей, даваемых трубкой с антикатодом
из: а) железа; б) меди; в) молибдена; г) серебра; д) тантала;
е) вольфрама; ж) плагины. Для Л’-серии постоянная экраниро-
вания 6=1.
20.34. Найти постоянную экранирования b для £-серии рент-
геновских лучей, если известно, что при шцюходс электрона в
атоме вольфрама с Л/- на £-слой испускаются рентгеновские лучи
с длиной волны А = 143пм.
20.35. При переходе электрона в атоме с £- на /С-слой испус-
каются рентгеновские лучи с длиной волны А = 78,8пм. Какой
это атом? Для Л'-серии постоянная экранирования 6=1.
20.36. Воздух в некотором объеме V облучается рентгеновски-
ми лучами. Экспозиционная доза излучения £>э = 4,5 Р. Какая
доля атомов, находящихся в данном объеме, будет ионизована
этим излучением?
20.37. Рент ишовская трубка создает па иекогецюм расстоянии
мощность экспозиционной дозы Я, = 2,58 -10“° Л/кг. Какое чис-
ло Л' пар ионов в единиц}7 времени создает' эта трубка на единицу
массы воздуха при данном ршхяоякни?
20.38. Воздух, находящийся при нормальных условиях в иони-
зационной камере объемом V = 6см3, облучается рентгеновски-
ми луча.мн. Мощность экспозциошюЙ дозы рентгеновских лучей
= 0,48 мР/ч. Найти ионизационный ток насыщения
РАДИОЛ КТИ И! I ОСТЬ
209
20.39. Найти для алюминия толщину слоя половинного
ослабления дня рентгеновских лучей некоторой длины волны.
Массовый коэффициент поглощения алюминия для этой длины
волны дм = 5.3 м2/кг.
20.40. * При увеличении толщины слоя графита на 0,5 см ин-
тенсивность прошедшего пучка рентгеновских лучей уменьшилась
в 3 раза. Определить линейный коэффициент ослабления граф in а
для данного излучения.
20.41. Во сколько раз уменьшится интенсивность рентгенов-
ских лучей с длиной волны А = 20 пм при прохождении слоя
железа толщиной d = 0,15 мм? Массовый коэффициент поглоще-
ния железа для этой длины волны = 1,1.м2/кг
20.42. В нижеследующей таблице приведены для некоторых
материалов значения толщины слоя л1уг2 половинного ослабле-
ния рентгеновских лучей, энергия которых Hz = 1 МэВ Найти
линейный д и массовый Дм коэффициенты поглощения этих ма-
териалов для данной энергии рентгеновских лучей. Для какой
длины волны А рентгеновских лучей получены эти данные?
Вещество Пола Алюминий Железо Свинец
Х1/2. см 10,2 1,5 1.ЛС 0.Й7
20.43. Сколько слоев половинного ослабления необходимо для
уменьшения интенсивности рентгеновских лучей в 80 раз?
§21 . Радиоактивность
Число атомов радиоактивного исщества dA’. распадающихся за время dt, про
норциоипльно числу имеющихся атомои и определяется соотношением
^ = -A/V,
где А постоянная радиоактнпного распада» Интегрируя, получим
•V = Л’ог-Л’л
где Aq- число атомов в момент времени 4=0, «V число их по истечения
времени С
Чнсло распадов. происходящих r препарате за единицу времени। называется
активностью радиоактивного препарата (1 Гэк = I рагл/с):
п[Кк » » -ААГ.
1 at
Период полураспада ?1/з ” постоянная распада А пинаны с<х>тпсшщ|1Ш'М
In 2 _ 0,693
^1/2 = ТГ - -V •
210
ФИЗИКА АТОМА И АТОМНОГО ЯДРА
[Гл. VI
Величина т = 1/Д, обратная постоянной распада, называется средним временем
жизни радиоактивного атома.
Если радиоактивный изотоп А помешен в закрытый сосуд и при распаде его
образуется радиоактивный изогон В, то в этом сосуде по истечении времени t
число ядер изотопа В определяется по формуле
Л’я = ,VM —(с’** • - е"*"') .
Ад — Ад \ /
Здесь ЛГод—число ядер изотопа Л при f = 0, Ад и Хц— постоянные распа-
да изотопов А к В. Если период полураспада изотопа Д значительно больше
периода полураспада изотопа В, то
Л'в = Лг0Л^А(1-е-*"‘).
При раднолктишюм ратнииюки
ЛГд/iVb =Ад/Ад
Удельная активность радиоактивного изогона определяется числом актов
распада в единицу времени па единицу массы распадающегося вещества,
21.1. Сколько атомов полония распадается за время = 1суг
из W — 106 атомов?
21 2. Сколько атомов радона распадается за время = 1сут
из N = 10е атомов?
21.3. Найти активность а массы т = 1 г радия.
21.4. Найти массу радона, активность которого а = 3,7 101СБк.
21.5. НаЙги массу т полония g^Po, активное! ь которого
а = 3,7- Ю10 Бк
21.6. * Определить период полураспада таллия, если известно,
чго через 100 дней его активность уменьшилась в 1,07 раза.
21.7. Найти удельную активность атп: а) урана jp6U, б) радона
862Ru-
21о8. Ионизационные счетчики Гейгера—Мюллера имеют и в
отсутствие радиоактивного препарата определенный «фон». При-
сутствие фона может быть вызвано космическим излучением или
радиоактивными загрязнениями. Какой массе радона т соответ-
ствует фон. даюший 1 отброс счетчика за время t = 5c?
219. При помощи ионизационного счетчика исследуется актив
пость некоторого радиоактивного изотопа. В начальный момент
времени счетчик дает 75 отбросов за время t = 10с. Какое число
отбросов за время t = 10с дает счетчик по истечении времени
t = Считать Гх/г2 Э> Юс.
5 211
РАДИОАКТИВНОСТЬ
211
21.10. * Вычислить количество /3-радиоактивных ядер в пре-
парате ьд4Ся, если известно. что скорость счета /5-час гин. равна
1,9 103 чаетиц/с при эффективности счета 5%. Период полурас-
пада составляет 2,3 года.
21.11 Природный уран прсдстаплжгг собой смесь трсзх изо-
топов: 9240г 928t- Содержание g^U ничтожно (0,006 %),
па долю jg*U приходится 0,71%, а остальную массу (99 28%)
составляет Периоды полураспада Т|/2 этих изотопов соот-
ветственно равны 2,5 105 лет. 7,1-10* лет и 4,5 109 лот. Найти
процентную долю радиоактивности, вносимую каждым изотопом
в общую радиоактивность природного урана.
21.12. Кинетическая энергия а-частицы, вылетающей из ядра
атома радия при радиоактивном распаде. IV| =4,78 МэВ. Найш
скорость v а-частицы и полную энергию IV, выделяющуюся при
вылете а-частицы.
21.13 Какое количество теплоты Q выделяется при распаде
радона активностью а = 3,7 - 101ОБк: а) за время t = 1 ч; б) за
среднее время жизни г? Кинетическая энергия вылетающей из
радона а-частицы IV — 5,5 МэВ
21.14. Масса т = 1г урана в равновесии с продуктами его
распада выдел я «т мощность Р = 1,07 10“7 Вт. Найти молярную
теплоту Q(l, выделяемую ураном за среднее время жизни т атомов
урана.
21.15. Найти активность а радона, образовавшегося из массы
т = 1 г радия за время t — 1 ч
21.16. В результате распада массы то = 1г радия за время
t = 1 год образовалась некоторая масса гелия, занимающего при
нормальных условиях объем V = 43 мм3. Найти из этих данных
постоянную Л во гад ро Ад.
21 17.* Вычислить суммарную активность препарата, содержа-
щего радий вместе со своими продуктами распада, с которыми он
находится в равновесии, если активность самого радия 3,7-1О,пБк.
21 18. Некоторое число атомов радия пометено в замкнутый
сосуд. Через какое время t число атомов радона N в этом сосуде
будет отличаться на 10% от того числа атомов радона Л”, которое
соответствует радиоактивному равновесию радия с радоном в этом
сосуде? Построить кривую зависимости изменения N/N' в сосуде
от времени t в интервале 0 $ t $ 671/2, принимая за единицу’
времени период полураспада радона Jj/j.
21 19 Некоторое чнгло атомов радона N* помещено в замкну-
тый сосуд. Построить кривую зависимости изменения числа ато-
мов радона 1N/N1 в сосуде от времени в интервале О $ t $ 20 сут
через каждые 2 сут. Постоянная распада радона А = 0,181 сут-1.
Из кривой А’/А = f («) найти период полураспада 1\ радона.
212
ФИЗИКА АТОМЛ И АТОМНОГО ЯДРА
1Гл VI
21.20. В нижеследующей таблице приведены результаты из-
мерения зап нс и мости активности а нексп <>[юго радиоактивного
элемента от времени I. Найти период полураспада 7'1/2 элемента.
1. М 0 3 6 9 12 15
о, 3,7 1()7 Ьк 21,6 12,6 7,6 4.2 2,4 1,8
21.21. * При радиоактивном распаде ядер изотопа Bi с посто-
янной распада Ai образуется изотоп В-2 с постоянной распада Аг-
Получить закон ил меднения числа радиоактивных ядер изотопа В?
с течением времени, полагая, что в начальный момент препарат
содсржа.4 только ядра В\ и кол имеет не Л’о.
21.22. Свинец, содержащийся в урановой руде, является конеч-
ным продуктом распада уранового ряда, поэтому из отношения
массы урана в руде к массе свинца в ней можно определить
возраст руды. Найти возраст t урановой руды, если известно,
что па массу шур = 1кг урана в этой руде приходится масса
тг„ » 320 г свинца «§6Pb.
21.23. Зная периоды полураспада Tj/2 радия и урана, найти
число атомов урана! приходящееся па один атом радия в природ-
ной урановой руде. Указание. Учесть, что радиоактивность природного
урана обусловлена в основном изотопом g£bV.
21.24. Из какой наименьшей массы т руды, содержащей 42%
чистого урана, можно получить массу n?o = 1 г радия?
21.25. а-частицы из изотопа радия вылетают со скоростью
v = 1.5-107м/с и ударяются о флуоресцирующий экран. Счи-
тая, что экран потребляет па единицу силы света мощность
Р/ = 0,25Пт/кд, найти силу света I экрана, если на него па-
дают все а-частицы. испускаемые массой m = 1 мкг радия
21.26. Какая доля первоначальной массы радиоактивного изо-
топа распадается за время жизни этого изотопа?
21.27. Найти активность а массы т = 1мкг полония j^Po.
21.28. Найти удельную активность um искусственно получен-
ного радиоактивного изотопа стронция IJSr.
21.29. К массе mi = 10 мг радиоактивного изотопа $jCa
добавлена масел = 30 мг не.радиоактинпоп) изотопа эдСа. Нп
сколько уменьшилась удельная активность ат радиоактивного
источника?
21.30. Какую массу пи радиоактивного изотопа Й°В| надо
добавить к массе mi = 5 мг нералионктивного изотопа ^9Bi, чтобы
через время t = Юсут после этого отношение числа распевшихся
атомов к числу нграспавпшхся было равно 50 %? Постоянная
распада изотопа зз°В1 равна А = 0,14сут“1.
§V)
ЯЛКРМЫЕ РЕАКЦИИ
213
21.31. Какой изотоп образуется из Jo2Th после четырех л-рас-
падов и двух Zf-рлспалов?
21.32. Какой изотоп образуется из ^8U после трех л-распадов
и двух //-распадов?
21.33. Какой изогон образуется из U после двух Д-|ми:пйДон
и одного л-распада?
21.34. Какой изотоп образуется из jLi после одного Л-]>лсиада
и одного л-распада?
21.35. Какой изотоп образуется из 5i3Sb после четырех J-pac-
1КЯДОВ?
21.36. Кинетическая энергия л-частицы, вылетающей из ядра
атома полония Ц4Р<> при радиогхкгинном распаде, И* = 7,68 МэВ.
Найти: а) скорость и л-частицы: б) полную энергию IV, выделяю-
щуюся при вылете л-частицы; в) число пар ионов А\ образуемых
л-частицей, принимая, что на образование одной пары ионов в
воздухе требуется энергия И© = 34 эВ; г) ток насыщения /„ в
ионизационной камере от всех л-часгиц, испускаемых полонием.
Активность полония а = 3.7 • 104 Бк.
§22 . Ялерпыс реакции
9нср1ин сьязн ядра любого изотопа определяется соотношением
IV = с’ Дт,
где Дт разность между массой частиц, со стают ню тих ядро, и массой самого
ядра. Очевидно.
Дт = т (А — Z) шп — шя, (1)
гди Z порядковый помор плотен ш, А млгеонос число, гпя масса протона,
ти —масса нейтрона, тм — масса ядра изотопа. Так как тя = тд — Zme , где
тд масса hjoioiiu и тл масса электрона, го
Дт » Zm» п -г (А - Z) гл„ - тл. (2)
Здесь т>и — масса изотопа водорода {II. тд —масса данного изотопа.
Изменение энергия при я дир ной реакции
«? = <•’ ($2 - 52 тп,ь (3)
где £ пц-—сумма масс частиц до реакции, £ mj—сумма масс части шт*
реакции. Если mi > Z2r?l2. то реакция идет с выделением энергии, если
же £mi < то реакция идет с поглощением энергии. Отметим, что в
формулу (3), так же как и при пычислопми энергии слизи и-цш, мы можем
подставлять массу изотопов, а не ядер, так как поправки на массу электронов
оболочки и ходит с разными знаками и поэтому исключаются.
22.1. Найти число протопоп и нейтронов, входящих в состав
ядер rj>ex изотопов магния: а) ^.Vlg; б) >Ig; в) ?‘Mg.
214
ФИЧИ КА АТОМА И Л НАМНОГО ЯДРА
[Гл VI
22.2. Найги энергии) связи IV ядра изотопа лития jLi.
22.3. Найти энергию связи IV ядра атома гелия jHe.
22.4. Найти энергию связи IV ядра атома алюминия f£Al.
22.5. Найти энергию связи IV ядер: а) 6) £Не. Какое из
этих ядер более устойчиво?
22.6. Найти энергию связи VVq, приходящуюся на один нуклон
в ядре атома кислорода JCO.
22.7. Найти энергию связи IV ядра дейтерия f Н.
22.8. Найти энергию связи И о, приходящуюся па один нук-
лон в ядрах: a) jLi; 6) |4N; в) JJA!; г) JoCa; д) о) J^Cd;
ж) sn°Hg; 3) 92HU Построить зависимость И70 = /(А), где А—
массовое число.
22.0. Найти энергию Q выделяющуюся при реакции
;Li + }H->3He4jHe.
22.10. Найти энерппо Q. поглощенную при реакции
“N-^He->}H + ’7O.
22.11. Найти энергию Q, выделяющуюся при реакциях
а) ?Н + ?Н->|Н + ?Н; Г>) ]Н + jH-> ^Не + Jn.
22.12. Найти энергию Q, выделяющуюся при реакциях
a) *Н + Ше->’Н+^Не; 6) рл + *Н-> $Не + jHe;
в) 3L1 + }II-> jHe + jHc.
22.13. Какую .массу М воды можно нагреть от О °C до кипения,
если исыюльзовагь все тепло, выделяющееся при реакции 3L1
(р, а), при полном разложении массы тп = 1 г лития?
22.14. Написать недостающие обозначения в реакциях:
а) »А1 (п, а) х- б) >9F (р, х) ^‘О;
в) ||Мп (х, n) JgFc; г) 1зА1 (а, р) х;
Д) “N («> х) с4С; с) х (р, а) „Na.
22.15. НаЙги энергию Q, выделяющуюся при реакции
3L1 + Jll -» ®Ве +^н.
22.16. * Найти электрическую мощность атомной электростан-
ции, расходующей 0,1кг g^V в сутки, если к.п.д. станции 16%.
22.17. * Энергия, выделяемая при синтезе двух дейт|юноп с
образованием ядра jHe, составляет 23,8 МэВ. Определить раз-
ность энергий связи на один нуклон в о-частипё и дейтроне.
22.18. При бомбардировке изотопа алюминия ^А1 а-частицами
получается радиоактивный изотоп фосфора который затем
§22)
ИДЕГНЫКРЕАКЦИИ
215
распадается с выделением позитрона. Написать уравнения обеих
реакций. Найти удельную активность ат изотопа если ею
период полураспада Т|/2 = 130 с.
22.19. При бомбардировке изотопа JjNa дейтонами образует-
ся /3 радиолк ! ивный изотоп JjNa. Счетчик 3-частиц установлен
вблизи препарата, содержащего радиоактивный {>Na. При первом
измерении счетчик дал 170 отбросов за 1 мин, а через сутки —
56 отбросов за 1 мни. Написать уравнения обеих реакций. Найти
период полураспада Ti/2 изотопа JfNa.
22.20. Какая анергия Qj выделится, если прн реакции
JJAI + 2Нс-> J$Si + {Н
подвергаю гея превращению все ядра, находящиеся в массе т = 1 г
алюминия? Какую энергию Q2 надо затратить, чтобы осуще-
ствить это превращение, если известно, что при бомбардировке
ядра алюминия a-час гидами с энергией IV = 8М>В только одна
а-частица из п = 2 10® частиц вызывает превращение?
22.21. При бомбардировке изотопа лития jLi дей гонами (ядра-
ми дейтерия f Н) образуются две n-частииы. При этом выделяется
энергия а =22,3 МэВ. Зная массы дейтона d и а-частицы, найти
массу т изотопа лития |Li.
22.22. Источником энергии солнечного излучения является
энергия образования гелия из водорода по следующей цикли-
ческой реакции*
*2с + ] Н -> -}3N -Д3С + ° , Г, *3С + ; Н -> «N,
|4N + «И -> J5O -» |5N + 5 ,e, |5N + |H -> J2C + зНе.
Какая масса mt водорода в единицу времени должна превращать-
ся в гелий? Солнечная постоянная К = 1,37кВт/м2. Принимая,
что масса водорода составляет 35% массы Солнца, подсчитать,
на какое время t хватит запаса водорода, если излучение Солнца
считать постоянным.
22.23. Реакция разложения дейтона 7-лучаыи
;Н + hi,-> }Н + ’я.
Найти массу тп. нейтрона, если известно, что энергия 7-квантов
IV1 = 2,66 МэВ, а энергия вылетающих препоной, измеренная по
производимой ими ионизации, оказалась равной IV» = 0,22 МэВ
Энергию нейтрона считать равной энергии протона. Массы дей-.
тона и протона считать известными.
22.24. Написать недостающие обозначения в реакциях:
а) ?;Л1 (7, х) ?«Mg; б) 22Л1 (7, п) х;
в) »Си (7. 2-) gCu; г) X (7, n)
2JG
ФИЗИКА АТОМА И АТОМНОЮ ЯДРА
|Гл. VI
22.25. Выход реакции образования радиоактивных изотопов
можно охарактеризовать либо числом — отношением числа про-
исшедших актов ядсрного превращения к числу бомбардирующих
частиц, либо числом А2 [Ьк]—отношением активности получен-
ного продукта к числу частиц, бомбардирующих мишень. Как
связаны между собой величины к\ и А2?
22.26. При бомбардировке |Ь1 протонами образуется радиоак-
тивный изотоп бериллия £Ве с периодом полураспада 7i 2 = 4,67х
х10сс. Найти выход реакции fcj (см. условие 22.25), если извест-
но. что бомбардирующие протоны общим зарядом q = 1 мкА • ч
вызыиают активность полученного препарата а = 6.51 106Бк
22.27. В результата ядериой реакции ||Ге (р, п) образуется
радиоактивный изотоп кобальта ^7^° с периодом полураспада
Tj/2 = 80 су г. Найти выход реакции А| (см. условии 22.25), если из-
вестно, что бомбардирующие протоны общим зарядом q = 20мкА ч
вызывают активность полученного препарата а = 5,2 • 1()7 Ьк.
22.28. Ис- сочником нейтронов является трубка, содержащая по-
рошок бериллия $ Be и газообразный радон. При реакции а-частиц
радона с бериллием возникают нейтроны. Написать реакцию по-
лучения нейтронов. Найти массу тп радона, шиуцмнюго в источ-
ник при его изготовлении, если известно, чго этот источник дает
через время t — 5сут после ею изготовления число нейтронов в
единицу времени а-> = 1.2-10е С-1. Выход реакций fcj = 1/4000,
т. е только одна а-частица из п = 4000 вызывает реакцию.
22.29. Источником ней тропов является трубка, описанная в ш-
даче 22.28. Какое число нейтронов а4 в единицу времени создают
а-частицы, излучаемые радоном с активностью nj =3,7- 10|ОБк,
попадая па порошок бериллия? Выход реакции ki = 1/4000.
22.30. Реакция образования радиоактивного изотопа углерода
g!C имеет вид |СВ (d, и), где d—дейтон (ядро дейтерия jll).
Период полураспада изогона //С Тц2 = 20 мин. Какая энергия Q
выделяется при этой реакции? Найти выход реакции А2. если
Ai = 10 *я (см условие 22.25).
22.31. В реакции UN (о, р) кинетическая энергия а-частицы
W7j = 7.7 МэВ. Под каким углом у к направлению движения
а-часгицы вылетает протон, если известно, что его кинетическая
энергия И 2 = 8,5 МэВ?
22.32. При бомбардировке изотопа лития 3L1 дейтонами обра-
зуются две а-частицы, разлетающиеся симметрично под углом q>
к направлению скорости бомбардирующих дейтонов. Какую ки-
нетическую энергию Ио имеют образующиеся п-часгицы если
известно, что энергия бомбардирующих дейтонов iVi = 0.2 МэВ?
Найти угол 9?.
ЯДЕР HUE РЕАКЦИИ
217
22.33. Изотоп гелия о Ис получается бомбардировкой ядер три-
тия f II протонами. Написать уравнение реакции Какая энергия
Q выделяется при этой реакции? Найти порог реакции, т.с. ми-
нимальную кинетическую энергию бомбардирующей частицы, при
которой происходит эта реакция. Указанна Учесть, что при лоро-
гопом значении кинетической энергии бомбардирующей частицы относительная
скорость частиц, возникающих в результате реакции, равна нулю.
22.34. Найти порог IV ядериой реакции |fN (о, р)
22.35. * Определить суммарную кинетическую энергию продук-
тов ядериой реакции ^Li (р, n) jBe при пороговом значении ки-
нетической энергии пал стающих протонов (литиевая мишень на-
ходится в покое).
22.30. * Рассчитать минимальную кинетическую энергию нале-
тающей а-частицы, необходимую для преодоления кулоновского
потенциального барьера ядра fbi, находящегося первоначально в
покое. Возбудит ли о-часчица с такой энергией ядерную реакцию
*Li (а, п) “В?
22.37. Реакция |°В (п, а) идет при бомбардировке бора нейтро-
нами, скорость которых очень мала (тепловые нейт|юпы). Какая
энергия Q выделяется при этой реакции? Пренебрегая скоро-
стями нейтронов, найти скорость и и кинетическую энергию И
n-частины. Ядра бора считать неподвижными.
22.38. При Сюмбардировке изотопа лития 3L1 протонами обра-
зуются две а-частицы. Энергия каждой а частицы в момент их
образования TV2 =9.15 МэВ Какова энергия IV[ бомбардирующих
протонов?
22.39. Найти наименьшую энергию 7-кванта, достаточную для
осуществления реакции разложения дейтона 7-лучами
|Н -г hi/ -+ }Н + qH.
22.40. Найтн наименьшую энергию 7-кванта, достаточную дня
осуществления реакции i£Mg (7. п).
22.41. Какую энергию И* (в кнловагг-часах) можно получить
от деления массы тп = 1г урана j^U, если при каждом акте
распада выделяется энергия Q = 200 МэВ9
22.42. Кдкая масса m урана расходуется за время
t = 1сут на атомной электростанции мощностью Р = 5000 кВт?
К.п.д. принять равным 17%. Считать, что при каждом акте
распада выделяется энергия Q = 200 МэВ
22.43. При взрыве водородной бомбы протекает термоядерная
реакция образования гелия из дейтерия и трития. Написать
уравнение реакции. Найтн энергию Q. выделяющуюся при этой
реакции. Какую энергию IV можно получить при образовании
массы тп = 1 г гелия?
218
ФИЗИКА АТОМА И АТОМНОГО ЯДРА
$Гл. VI
§ 23. Элементарные части цы. Ускорители частиц
Решен»'* задач «того параграфа основано па законе мерностях, уже рассмо-
тренных в предыдущих разделах «Сборника»; столкновение частиц, движение
частиц и электрическом к магнитном нолях нт. д. При решении ряда задач
необходимо использовать формулы теории относительности.
23.1. В ядерпой физике принято число заряженных частиц,
бомбардирующих Мишель, характеризовать их общим зарядом,
выраженным в мнк]юампер-'1лсах (мкА ч) Какому числу заря-
женных частиц соответствует общий заряд q = 1 мкА ч? Задачу
решить для: а) электронов: б) а-частиц.
23.2. При упругом центральном столкновении нейтрона с не-
подвижным ядром замедляющего вещества кинетическая энергия
нейтрона уменьшилась п 1,4 раза. Найти массу тп ядер замедляю-
щего вещества.
23.3. Какую чаегь первоначальной скорости будет составлять
скорость нейтрона после упругого центрального столкновения с
неподвижным ядром изотопа u Na?
23.4. Для получения медленных нейтронон их пропускают че-
рез вещества, содержащие водород (например, парафин). Какую
наибольшую часть своей кинетической энергии нейтрон массой
то может передать: а) протону (масса то), б) ядру атома свинца
(.масса 207 п«о)? Наибольшая часть передаваемой энергии соот-
ветствует упругому центральному столкновению.
23.5. Найти в предыдущей задаче распределение энергии меж-
ду' нейтроном и протоном, если столкновение неуиругое. Нейтрон
при каждом столкноиенни отклоняется в среднем на угол = 45°.
23.6. Нейтрон, обладающий энергией Йо = 4,6МэВ, в резуль-
тате столкновений с протонами замедляется. Сколько столкно-
вений он должен испытать, чтобы его энергия уменьшилась до
IV = 0,23 эВ? Нейтрон отклоняется при каждом столкновении в
среднем ня угол 9? - 45°.
23.7. Поток заряженных частиц влетает в однородное магнит-
ное ноле с индукцией В = ЗТл Скорость частиц v = 1,52 10 м/с
и направлена перпендикулярно к направлению поля. Найти за-
ряд q каждой частицы, если известно, что на нее действует сила
F= 1,46 КГ11!!.
23.8/ Найти скорость а-частицы. которая при движении в иро-
сгранстве, где имеются взаимно перпендикулярные электрическое
п магнитное поля, не испытывает никакого отклонения Напря-
женность магнитною ноля 5 кА/м, напряженность электрического
ноля 6,28 кВ/м. Скорость n-частнцы 1Ифне1|Д11кулярна к линиям
напряженности обоих полей.
23.9. Электрон ускорен разностью потенциалов U = 180 кВ.
Учитывая поправки теории относительности, найти для этого
$2.1]
ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ЧАСТИЦЫ. УСКОРИТЕЛИ ЧАСТИЦ
21!>
электрона массу т, скорость v. кинетическую энергию И7 и
отношение ею заряда к массе. Какова скорость v* этого электрона
бел учета релятивистской поправки?
23.10. Мезон космических лучей имеет энергию И” = ЗГэВ.
Энергия покоя мезона И7© = 100 МэВ Какое расстояние / в атмо-
сфере сможет пройти мезон за время его жизни т но лаборатор-
ным часам? Собственное время жизни мезона то = 2мкс.
23.11. Мезон космических лучей имеет кинетическую энергию
И7 = 7т©с2. где га©— масса покоя мезона. Во сколько раз соб-
ственное время жизни то мезона меньше времени его житии т по
лабораторным часам?
23.12. Позитрон и электрон соединяются, образуя дна с[югона.
Найти энергию Лр каждого из фогонов, считая, что начальная
энергия частиц ничтожно мала. Какова длина волны Л этих
фотонов?
23.13. Электрон и позитрон, образуются фотоном с энергией
Лр = 2,62 МэВ. Какова была в момент возникновения полная
кинетическая энергия И71 4- Иг позитрона и электрона?
23.14. Электрон и позитрон, образованные фотоном с энергией
Лр = 5,7 МэВ, дают и каморе. Вильсона, помещенной в магнитное
поле, траектории с радиусом кривизны R = 3 см. Найти магнит-
ную индукция В ПОЛЯ.
23.15. Неподвижный нейтральный тг-мезон, распадаясь, пре-
вращается и дна фотона. Найти энергию Лр каждого фотона.
Масса покоя тг-мезона гпо(тг) = 264,2то. где hiq- масса покоя
электрона.
23.16 Нейтрон и aiiTinicilT]M)ii соединяются, образуя два фото-
на. Найти энергию Лр каждого из фотонов, считая, что начальная
энергия частиц ничтожно мала.
23.17. Неподвижный К°-мезол распадается на два заряженных
х-мезона. Масса покоя /<°-мевона пц^А*1) = 965?п0, где хи© —
масса покоя элокчтюна; масса каждого тг-мезона хл(к) = 1.77жп(тг),
где хпо(~)—его масса покоя. Найти массу покоя то СО “-мезонов
и их скорей и» v и момент образования.
23.18. Вывести формулу, связывающую магнитную индукцию В
поля циклотрона и частоту р приложенной к дуантем разности
потенциалов. Найти частоту приложенной к дуяптам разности
потенциалов для дейтонов, протонов и а-частиц. Магнитная ин-
дукция поля 0 = 1,261-1.
23.19. Вывести формулу, связывающую энергию И7 вылетаю-
щих из циклотрона частиц и максимальный радиус кривизны R
траектории частиц. Найти энергию И7 вылетающих из цикло-
трона дейтонов, протонов и а-частиц, если максимальный радиус
кривизны R = 48,3см; частота приложенной к дули гам разности
потенциалов р = 12 МГц.
23.20. Максимальный радиус кривизны траектории частиц в
циклотроне R = 35 см; частота приложенной к дуантам разности
220
ФИ'.ШКЛ Л ГОМА И АТОМНОГО ЯДРА
|Гл VI
потенциалов и = 13.8 МГц. Найти магнитную индукцию В поля,
необходимого для синхронной роботы циклотрона, н максималь-
ную энергию IV вылетающих протонов.
23.21. Решить предыдущую задачу для: а) дейтонов, б) а-час-
i'mil
23.22. Ионный ток в циклотроне при работе с о-частицами
I = 15 мкА Во сколько раз такой циклотрон продуктивнее массы
m = 1 г радия?
23.23. Максимальный радиус кривизны траектории частиц в
циклотроне В = 50 см; .магнитная индукция ноля В = 1Тл. Какую
постоянную разность потенциалов U должны пройти протоны,
чтобы получить такое же ускорение, как в данном циклотроне?
23.24. * Определить частоту генератора, питающего циклотрон,
который ускоряет дейтрон до энергии IV = 2 МэВ при значении
.максимального радиуса кривизны траектории частиц р = 49см.
23.25. Между дунитами циклотрона радиусом R = 50 см при-
ложена переменная разность потенииалон U = 75кВ с частотой
и = 10МГц. НаЙги магнитную индукцию В ноля циклотрона,
скорость v и энергию IV вылетающих из циклотрона частиц.
Какое число оборотов п делает заряженная частица до своего
вылета из циклотрона? Задачу решить для дейтонов, протонов и
о-частиц.
23.26. * Пучок а-частиц, ускоренных в циклотроне, выпускает-
ся наружу через алюмин новое окошко, толщина которого 5мг/см2.
Максимальный радиус кривизны п-члегнп в циклотроне равсл
40см, индукция магнитного поля 1.3Тл. Найти длину пучка в
воздухе.
23.27. Энергия дейтонов, ускоренных синхротроном, И' =
= 200 МэВ. Найти дня этих дейтонов отношение т/т^ (где
m — масса движущегося дейтона и тц — его масса покоя) и ско-
рость V.
23.28 В фазотроне увеличение массы частицы при возрастании
ее скорости компенсируется увеличением периода ускоряющего
ноля. Частота разности потенциалов, подаваемой на ду анты фазо-
трона, м« пилась для каждого ускоряющего цикла от =25 МГн
до v = 18,9 МГц. Найти магнитную индукцию В ноля фазотрона
и кинетическую энергию W вылетающих протонов.
23 29. Протоны ускоряются п фазотроне до энергии IV =
= 660 МэВ. а-частицы—до энергии IV = 840 МэВ. Для того чтобы
скомпенсировать увеличение, массы, изменялся период ускоряю-
щего поля фазотрона. Во сколько раз необходимо было изменить
период ускоряющего ноля фазотрона (для каждого ускоряющего
цикла) прн работе: а) с протонами; б) с о-частицами?
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
Глава I
ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕХАНИКИ
§ 1. Кинематика
1.1 Ди = —2£Г; |Ди] = 2н; Д|гГ| = 0.
1.2. Дг =-6вЧУ~1о£; |ДГ|=/Пб; Д|^| = -10.
1.4. v = 4(t + ]\ <П = 4i; | v [ 8 м/с; S ~ ЗЯ м
1.5. v = 5,4м/с; tiJ = a {2i + 3J + 4Л); | uJ | = 5,4 м/с2; 5~ 13.5м.
1.6. а) г ж a (ciMcut 1 I- sinu/t j)t = Ouj(*~8inu>( * к + севаИ j), u? = —u2 ft
| fI = a, v = Gul, w = QU’2;
6) f • 0-0;
u) x2 +1/2 — a2—окружность радиуса a;
r) r • w = —zj2u2 = —r • w;
д) протии часовой стрелки;
с) частица движется равномерно против часовой стрелки по окружности ра-
диуса а, центр которой в начале координат;
ж) направление движения частицы изменится па противоположное
1-7- й)/=^Цп2а; б) hiiK =
г) У (z) = г tga - х2
1.8. (и) = 12,3км/ч; «с = 3 км/ч.
У a sin а ч __ Vfr s>n q .. 2Vbsina
.......' > n~ 9 9
1.0. a) v = 3 м/с, 6) v — 1 м/с, it) v = 2,24 м/с.
1 10. и = 0.60 м/с, I zz 250c.
1.11. S = 700m.
1.12. S = ((v-u)/(v+u).
ri3‘ 1/1 = ^2-r2cosob
1 14 £ _ 2/v v S»K* 4- V c3 - b -oos- о
1.15. v = d/v/72 -^РДР .
1.16. a) t -8,4 c 6) t a 7,3c; в) ( - 7,8c.
1.17. hn — | fj(2n - 1), r«c to = Ic; Л„Огл - 15м;
Л,п = /W(ч/7Г" 'о = 1 м; ДГпос.ч =
1.18. v,
= 5 м/с; lga=0,5.
1.19. ал 2x”0,8^; e± 0,6<?.
1.211. Яп=305м.
1.21. Я = 6.3 м.
222
ОТПЕТЬ! Н РЕШЕНИЯ
[Ел. I
1.22 tga “ ч/Т; Vfj = 4/9/?1 1 + t&2 n) = 9,4 м/с; а = Й°44*
1.23. {хп, уп) = (—'1м, 0); (х0. уо) = (Зм, 2,61 м); v = 7,6m/c.
1 ол 1- — / СОЯП
° 2со5.й sin (/5 — а)
х 25. „ = (, + xl 1-^^). Vsino > /Ж.
I ОЛ » И sin Q (v О COS а 1 2u)
126- 4 - i(lbcMO + u)
1,27. S = I Vi Vj|-9' linn.
1.28. a ”Ц*-~ 4,Л = 3,2 м/с’; Го в ‘ ^1±-^Ц^11 = 13,6 м/с.
tlt2 {tl -t-12) 1 t><2 (Ч + 4)
1.29. V = v/o77.
1.80. t=(2+/2)t0.
1 31. t = 2^. +2u
9
1.32. v = Jr |. Указание: задача решается наиболее просто, если вос-
пользоваться обратимостью движении и ныбряиь началом отс’ита границу раз-
дела двух отрезков.
1.33. го = 0.4!) м/с; а = 0,3м/с2.
1.34. t = 2 \f2h/g^ ст угла нс зависит
1.35. п = х/Ы/у = 90
1.36. (i = 9 cl€ Q-____________
1.37. Vo nlin = -^2 ^2)1/2 _ jJ = + ** +М
достигается при or = ^ + j arctg j .
1.38. V- = ^yR
1.39. tR« = 2 11<> = 45°.
1.40. u = *2i'oci» S • 2i?ot cos
1 41. R= R,33oi.
1.42. e = и?2/4яп = 3.2рад/с2.
1.43. ( -6,3 c, n 9,4 об.
1.44. f = ?опй/вг; a) t = s/R/aT = 2c; 6) I - \j2R/a^ — 2,8c.
1.45. cj = 4,4 - 10le рад/с; an = 9,7 - 1022 м/с2.
1,46. a) uf = 3,14 рад/с; 6) v = 0,314 м/с; в) ftr я 0,314 м/с2,
an = 0,986 м/с2; г) а— 1,03 м/с2; д) sin а = 0,305.
1 47. а» =4,5м/с2. От = 0,06м/с2.
1.48. а) из 20рад/с; v = 2м/с; б) ап = 40м/с2, аг = 1,6м/с2;
в) с = 16 рад/с2.
1.49. тГд = v (1 + /); V£r = 2v Г vc = v (Г- j)
1.Г»0. Ял =2/2 г; Яи=4г.
1.51. а} = 20 рад; б) вокруг сси, лежащей в плоскости х, у и образующей
с осью х угол, ранный 63°.
О ГНИ ГЫ И РЕШЕНИЯ
223
1.52. Так как конус катится без проскальзывания, то точки образующей О А
должны быть шшиднижны Для точки А это условие лает (рис. 133)
77^7- ПЛ 1Я о. я= ш
COSO SIIK1
Скорость произвольной ТОЧКИ lift ДНЯ*
ыигре Л В слагается из двух
V!,a = cj (Л cos а гр г .sin л) d: rm/sino.
где г — расстояние от точки С до то-
чек 1 или 2. Верхние знаки для точек,
лежащих выше гочки С» нижние зна-
ки— для точек, лежащих ниже С
1 53. v = 1 м/с.
1.54. t = a/w, в центре квадрата.
Рис 133
§ 2 Динамика материальной точки и поступательного движения
твердого тела
2.1. А = та - тп (2с - СЛ); F = 2//.
2.2. w = -ou?2siii4jf; w ±f —0,25 м/с2. F = mw = -0,25 И.
2.3. w - \/4с2 * 36(Ff 2 ~ 60м/с2; F = 60 Н
5л й „ п / ТО- “9 & + ™ ,т> И (к, + fc,)t
2 4. ft = (IJ s fl? = п.3 = с ПН 2.4 ' '
I 0» m sC Af (*i 4-A2);
n = 1 м/с2; Тм ж m(p «) - 4,5 II; = Л7 (o + — 1 II;
Foe». = T23 /2 = 6,31 H
2 ft 1 sin о .» л r .о
5 -a = ff-rj-- = 2,45 м/с*;
rr _ пцтп^(I + .4inn)p nip i, ч , QKU
T - ---m, -I- m2-= -Г <[ *smQ> = 7>35 H-
« = mt-m^sino+fecosn) = a
‘ mi + m2 ’
2.Bo
T-
mima [1 4- sing — fc cos0)9 _ 7 771l
wii+w -f.rrti
Так как sin о > д cost*, то проскальзывание будет.
2.7.
ai w 9 (sin о— д cos о) йг 3,3 м/с2;
йг = аз
2.8.
2.9.
= (тп? sin л 4- дп>1 cosg — m3) g/(m2 + m3) ~ 0,91 м/с2.
I m^sina, при igo^fc,
( Атпр cus«, при Igg к.
ago
о in Мып2л
2.10. “-92(A/ + msillIil)-
<> . 1 тп М sin 2л
mR/V\ + k'"
агс1цй
Рис. 134
р 2(Л/ + тп sin2 a)(.W ф mcoe о)
о ю_______ («ва-гм»)2
2 12 aj — 2 , _2---тг2----У,
т5 + тз бтлатпз
ai = ™1-.ЛцЗ д. 0, = "»1 - 4т»3 т = 8m,mgCT3
-г <7Д27л.з ш2 + 4гп?тл ‘ 4т2тл *- пц (т2 + тэ) J
a —
221
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
(Гл. 1
2 in - -frftiWf— Зтдшз 4-mim2 _ ?П1Ж2 — frnin>3 — гпгтз
1 4mimj 1 rzi'jmj + m;m; 2 liviimj 4 rzvpnj 4 mjmj
~ 4rn 1 ?Пз — Згп^ТП? 4- m2T773
П3 “ Г7ЦП13 4 m2TV3 4- Ш|П12
2.14. Оба груза свободно падают с ускорением д Блоки Б л С вращаются
против часовой стрелки» блок Д—по часовой.
2ДБ. а = "У
ГП1 + П12
2 16о Со скоростью н/4 вверх
2.17. к = 0,01.
218- v = v° /йЁЙп-гй5й> _______
Л‘ =49 (а™-А-«й» + : к< 1б°’ |
2.10, v = и/2. Указание: написать уравнение движения для осей на-
правленных вдоль скорости и но вертикали вниз.
2.20. »= 5,14 км/ч; и* —1,71 км/ч
2.21. а) и = 17,8км/ч; 6) и = 53,5 км/ч; и) и = —17.8 км/ч.
Знак «минус» указывает, что вагон продолжает двигаться навстречу снаряду,
но с меньшей скоростью.
2.22. и = -12,5 м/с.
2.23, а) н = 0,67 м/с; б) и = 0,83 м/с; в) н = 0,5м/с.
2.24. vf = у — ; г" = PqIq/тп.
2.25, р= у/ р} 4- 2piP2 cos л + р£.
2.20. tf = TW|<tf> 4 WI2** * та»*7а
*" ГП] — 7Н2 + ТПЗ
2 27 F = 3mr/(1 -Ег/О
2«28 F = тп(ч2 4-
2‘20‘ ” - \/ (1 4-m/v) Hin2n
-> ол “М sin о 4- ti* sin^ci + (1 4- m/M)gL sin2o
2.30. v ----------^ДГ+7лЙЖ ---------------------
2.31. v = I • g/' 'op-- '-
(1 4-m/Af) Ain 2ft 4- sin2 ft
2.32. Др = = -3,5 кг м/с.
Vi - Vo
2.33. а) Г(0) = 4,5Г H2j-2.fi A; 6) o0 = rJ (4.5, + 12 j - 2,6k),
1 1Л/ n г 4
В) И'* = -у1- - 2,5Дж.
б) P = -fcr. A = j (rj - r£) = £ (14 - 29) = -7.5*, Дж.
§а]
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
225
2 35. Да, при г = За/2/1 (рнс. 135). Указание; условие устойчивого
равновесия = 0. F = ^ = -L£ + ^=0;
Гийп = (рнс. 136). Да, будет. Указание: проанализировать знак полной
анергии частицы.
2 36. При ио > у/2а/тго по гиперболе, при uq = 2а/тго—по параболе,
при ио < у/2а/тпго ио чылнпсу. У клзание. получить выражение для полной
энергии частицы и проанализировать ого.
, у
2.37. При го = у q mro или Е = — ' где полная энергия части-
цы, Л/- момент импульса частицы | М = m|f х £Г|
2 38. ЛГр = 2,25 МДж; *> = 375 м
2 39. Лтр = 2,25 МДж; 5 = 212 м.
2.40. IV — И* + W’n, IVjt у (Vo - yt}’2t И'п = mtjy = rng )
(риг. 137).
б) И'* = ,5,7 Дж, И1» = 16,Я Дж, Ил = 22.5 Дж
2 43. .4 = тд j Ц- |i тп Ц- gd.
2-44-5=2 + Й=2‘8м-
226
ОТПЕТЫ И РЕШК.ПНЯ
(Гл. I
2.45. S = 6 м
2.46. Ъ=
Ло
2.47. Скорость тела vj = -3,33м/с. скорость горки и2 = 1,67м/с. Указа-
ние: сначала следует выяснить, преодолеет ли тело вершину горки или миг.
2.57. х = I у. .
1 — тд
2.58. Д = (-Pffh'S = 1,83 105 Дж.
2.59.
2.60. Л= 1,23 м
2.61. F = 72,511
2.62. V» 3.6км/ч.
Ш,.
- *г
kj) = 6 См от перной пружины
2 48.
2.49. /3 — шссоя Г А
\ U1U2 У
2.52 irina с тг/пц.
2.53. u2 = 2mi v C06tt/(’ni +тлз)-
2.54. b’min = Е(1 4 гп£/гл)
_ /1. /mi
2.55. 'Д = (та17™гГ-
Ло \ПЦ + УП2 /
2.56 у = 550 м/с
2.63.
2.64. На рисе гоя и и л I kii,/(ki
2.65. F = т А//(Д02 = 13.7 Н.
2.66. /0 = 6,3см
2.67. Цп<х = v/’ipXB - /) 4 mg*/k, F„,ax = w
1 + -о]
2.68. г- = — , h и h—длины дуг кольца от точки начала движения до
к mi *
точки 5»го соударения.
2.69. а-(2Н/1- \)д = 19р.
2.70. из = - Учесть, что энергия массивной пружины пропорциональ-
на квадрату скорости: Ияр = отИ, о = ronni.
2.71. Fmill = ftp (mi + m2/2).
с /2Л тлг
* — у д m i А/ '
m 4- Л -f
v = -----и
т
2.73.
2.74
2.75.
V =
_____$_______ ,
(?П сове») . - п ’
2*.W -+S'"2Q
п = airtR 2FW
Начальный горизонтальный импульс мешка mvo cos о = 0,5mvo, а им-
пульс силы грсния Ftp *t = kmua Hinn 2: 0,6moo- Поэтому мешок остановится
сразу же у края доски.
2.76. I = Н (sin о — к cos а) (сом
Рнс. 139
— к ain ci}2/к tin о = 0,25 м.
2.77. Шарик отскочит перпендикуляр-
но стене, если igip 21.
2.78. FAf = 0,1711-a Q= 37,2мДж
2.70. Ч = =
15*i (mi | тгУ
_ 4m i______ . _ x.
— m2 (Г I- m i/ms ja * ni2
• • It I 1 l Л
2.80. 7=j+ arctR (2 \/3) = 134 °
§2)
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
227
281. Л =
\mi +тп2/
2.82. Исходя из того, что нить подвеса шарика mi очень ддшшая, можно
считать, что шарик движется по горизонтальной прямой, а сима нить остается
вертикальной. Все внешние силы в этой системе направлены вертикально, а
потому сохраняется горизонтальная составляющая импульса
ГИ2ИП ж (тн> +
Закон сохранения механической уперши
тлаиЗ (гл] + m2) v} msu* . ,
~2~ = -----J-------+ “2“ + ””9/-
Минимальное значение скорость vo принимает в случае = 0- Тогда
*0 min — \/2^(1 +mjml) .
2.83. Если F $ к (тп । 4- m2) gt дпнжепие отсутствует. Пусть F > к (m। + m2) д
Рассмотрим случай отсутствия скольжения тела по бруску. Уравнения движе-
ния будут
УН1П = F — / - Л (Щ] + Л12)р, т^аа/, f < кт-29-
Получим
а = ----f L l — kgt f = — JtrnjQ fcmjQj
rnj m2 * * mj + m2 ' ’1
что возможно если
Цлц < F < 2k (mi + 1712)9-
Если F > 2Л (mj + 012)9, то тело будет скользить по бруску. Уравнения движе-
нии
mini = F — кт^д — к (mj + тп?) 9, пиод = кт^д;
F l. 2т> + m2 _
Ш = хд---к-------—---9, оз — «9,
П1| ?7Ц
2.84 F > fc (m, 4- ma) g t = FZt/$ + W3)
2 86. «о > у/2кд1(1+т/М). ________
2.86. Даи.м =И-4/г7”>1Т^>? \ V- ........-K
у fc(n>i +mj) V) k ________
Указание: решение удобно полу-
чить, используя систему центра масс. у ..................... - -__
2.87. v0 = У Решение g________________________________________
удобно провести в системе центра
масс. .....................
2.88 Смотри на рис. 140 <сж//о0 2//и0 *
2 89 IP, ш„ = W„ ряс Д40
Voth = F /(mi+m2 (fcmim2)
X’ /д \ f жит
228
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
[Гл. I
2.90. Указание1 следует выразить скорости движения тел в л-системе
через скорость центра масс и относительную скорость частиц
v«m +
3 = —
_™Л-.. а
ГПа +тз
—-----V
mQ +
где v
ио — vp — относительная скорость.
2.91 AW “ F (/ - FP/2wi).
2.92. IV = IV, + IV, + <ц - Vi)’; »IT-
Указание: используя решение задачи 2=90 следует показатьр что во вну-
треннюю энергию может переходить только часть суммарной кинетической
энергии а именно, &£ — (V2 — V 2), где V н И'—относительные скорости
тел.
203
«ГОМ
= аггсок
2.04 AIV = FL
o o_ ДР _ mv2/R _ iv2R
P 7Л0 0
2.96 F = 245H=
mt.2 - Wo 4- 2Wj
mv + Wo - 2И i
= 0,34 %
2.97 v= 2,43 м/с, 71 0 (в высшей точке), T -39,2 (в низшей точке).
2 08 тп = 0,5 кг
2 99 Т= 1,96 II
2 100. fc = 0,2.
2 101. a) R = 1600м^ б) R = 711 ы
2 102 а ~ 22
2.103. » = .
2.104. h = | Я.
2.105. « = £ ./ У
О у itp(D* — <Г)
2.106. А", = Мы2!.-.
N2=u2L (л/+£).
2.107. Т- ^^(L2 -х2}
(рнс. 141).
2 108 A =m(2irn)2 А = 0,4 И;
Л(1 - <//(2лп)2 • R) = 1м.
2 109 Т и 2я у/ Я tg "/(« + fl)
2 110. n - =3.W-
2.111. », = u-n = 2r, sin $
„ о 7П\Г1 4-’>П2Г2
Irt = urr2 = 2r2 sin p ---------T-j-——J .
2 у r?ijrf4-m2rJ
2 112. T= m I n2 =90H
2 113. T- ^pv*.
2.114. R = --- п,- , если ш < 2ж /к/тп\
1 — тш4/4х^к
при w > 2л у^к/ш кольцо расти гиплх*тс>1 кЛограинчцнНО.
2.115. wi = 0 если с > к$(т\ wi = (к2д2/г2 — с2)1^4 «елм е < кд{т.
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
220
2.116. В неинерцпальной системе, связанной со столом, запишем уравнение
движения (никоя) для тел
OY: jV — МИ' — Мд — 0 moo-гн — тд — Т — (—mW)»
m IV—сила инерции аоти —ускорение грузов относительно стола
ОХ‘ — т
Решая эту систему уравнений, найдем
_ тп (д IV) _ тпМ /и/ . ч
"°™ - . I = -n + M{W + д).
2.117. Оотн = ! Т = (9 - W')-
тп + М ' m 4- М 1
2.118. «отп = I Т = (Уй/^ 4V - IV).
2.119. =
2.120. «, = д-----¥-2^3гл------. «2=9 mi(m?-m2)-4ma7n3 .
mi (тз 4- тпз) 4- Итгтз у «ц (та + итз) 4* Дтпгтз '
а.,=д m,(m3- m2} + im2m3 т ____________ ________________ _ 1
mi (m2 4- тт1з) 4Ш2ТПД ,v тгц (тн»2 4-„*з |+ 4wi2„*3 * 2 1
2 121. I = Показать что вто положенно муфты устойчиво,
если пы1!О*1!яютг.я следующие условия: kto > Мд сон о, чибо w < Q
2 122. Оо7и — ot2cv2 4- 4olu?.
2 123 Л = 2у^(Л|-Я2) = 1,5Дж
2 124 а) 77 = j [г х ш]; б) и = (<3 х г].
2 125 о. = + . /.• = mi„12 (2? о)
mj 4-т„2 ’ р тп |4-?712
7 = = 6,67 10-“ Н - м2/кг2.
На расстоянии г = 3 4 105 км от Земли.
Vj = R = у/ gR — 7,9 км/с.
V2 \/2gR = 11.2 км/с.
v = 30 км/с.
2 127
2 128.
2 129
2 130
2 131. ______
2 132. Т = для Земли Т = 1,41 ч.
2 133 цл =з 9,2м/с2.
2 134 h = 35 800км
2 135. Выделим малый элемент массы dm на рассто-
янии г от центра планеты (г $ R). Рассмотрим силы
притяжении, действующие на данную массу со стороны
масс на поверхности Земли 4тгц и dma (рис. 142)
F, = 7 &n dmi . Ft = у
Г1 Г2
Рис. 142
Учтем, что dm 1 ^dS\ — площадь поверхности, нырезаемаи кинической поверх-
ностью с углом раствора <1П, dm2 ^2- Тогда F\ ~ н Fj по
dS dS 2
—2~ ~ —у = dfl — телесный угол. СледовАтелъио, массы, сосредоточенные вне
Г! Г2
230
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
[Гл. 1
сферы радиуса г, будут взаимно компенсировать гравитационное притяжение
«выделенной» массы dm. И только масса внутри сферы радиуса г будет ока-
зывать силовое воздействие на «пробную» массу dm-
Рнс. 143
Р = 7^Г; Sr
DW„
Мт _ __ Л1/ _ _ 4 __.з.
—- m — pv — р яг ,
4 г = s й (₽нс 143>’
lVn - -7 —г3
гг
Рис- 144
Рис. 146
2.136. Т = 2х у/ 4- m?)
2.137. IVn = 2И'К.
2.138. VA = и(2уМ/гу2 - 1);
J? = r/(2yM/rv2 — 1), M — масса Земли.
2 139. Ил закона сохранения момента им-
. const
пульса следует v • т sin v = const, v = » »
rsinip—минимально в ( )j4 и максимально в
( ) й. Следовательно, VA —максимальна, Vr —
минимальна (рис. 144).
2.140. Вблизи пузырька поле тяготения
меньше, чем в однородной жидкости. Жид-
кость около пузырька менее сжата. Поэтому
пузырьки воздуха стремятся приблизиться друг
к другу. Притяжение пузырьков воздуха можно
представить как притяжение двух отрицатель-
ных масс, равных массам воды в объеме пу-
зырька
Г = 7
2 гв
Я7
2.141 На стержне выделим элемент
длины dyr который имеет массу dM
(рис. 145). Сила притяжения этой мас-
сой частицы m
У2 4-ь~
Очевидно, что проекции на ось Оу таких
элементарных сил притяжении в сумме дадут нуль (симметрия верх — низ), а
проекции на ось Ох дадут истинную силу притяжения, т. е.
dF сов ot
mdM
dM
(j/’ + L1)3/»’
dM =
;ЛГГ’в at
— 2-у ПЬМ. У 2_т Л£ , 1_
lL + Io ч/L2 +7^/4
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
231
(интеграл берется подстановкой у — L Iga). При £ }$> J Р~ у .
2 142 F = 7 .
2уб о
2.143. Используя идеи решения задачи 2.141. Hirrei-рируя по кольцу, полу-
чим (рис. Мб)
и (х) = - f F(z)dc = ; Uo = -2w7T»npr2.
J (z- + Я2)1'*
2.144. Указание площадь диска разбить на кольца ширины dr, найти
нклал и силу притяжении от такого кольца и проинтегрировать по т.
a) F — Ък-рпа (1 — z/\/z2 + R2 );
б) U (z) = — 2эг>тпа |(z + R — у/х~ '+??"]-
2 146 a) F » 27»iA/z; 6) М = 2bz.
2 146 Из 2.135 следует, что рг = д F = 7
2 147. F = 7ttiM/2R2.
2 148О Мысленно деполнмм полость массой синица, чтобы ситуация не из-
менилась, добавим также вещество (антивещество) с «отрицательной» массой,
раиной массе добавленного свинца. Тогда грапптацнопиое поло в полос, i и и
любой точке М создается самой массой сытна и массой антивещества, т. е.
W = H?D + И'»*™;
иг = 7 *г. Р> Г- lVfcI.„ = 7 рл Г'; (рис И7)
Р Р. = -Р*; 1*’ - 7 Р(^~ г') = 7 чр /УГО.
2.149 ЯП-2Я7РО£>.
2 150. Используя метод «заполнения» н принцип суперпозиции (см. 2 148),
получим
°-(, + £?/<)”]
1
< II г
232
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
(Гл. I
2.152. г = у/уМ(Т/2п)'л = 4,2 10* км где Л/ и Т—масса Земли и период
ее обращения вокруг собственной оси; 3,1км/с; 0,22 м/с2
2.153. = — u In (m/mo) 2 1Б4. т = тпое~**^и
2.155. V = £ In --Ф-т , W =
p Шо “ M* mo “ Я
§3. Вращательное движение твердых тел
3 1.7 = 9,7 Ю27кг м2; L = 7 • 10эз кг • м2/с.
3.7. а) 71 = 63,5 10“3кг м2; б) J2 = 62,5 - 10“3 кг м2; в) 5=1,6%.
3.8. m = 2 (F R - M)/eR? = 7,36 кг.
3.9. с = 2,35рад/с2. 3.10 М = 100 И • м
3.11. Учитывая различие сил реакции натянутой нити, действующей на обе
1Мри, напишем уравнение движения гирь для блока;
пип = пир — Т}
< m2e = Т2 — т2р
.7 £ = (Т1 -Ti)Ri
б = n/R, J = тЯ2/2— момент инерции блока, m —его масса.
Решая систему, найдем
о=. (?».-.Г??Х.,.=2,Вм/с»;
mi + ф 7/ R*
= Wig(2т? +. J/ffi = и „ Т2 о п.,д(2тп| + J/R2) = 6 и
mi + тл2 + J/R mi m2 + J/R2
|mi - m2 |
(лц + m? + J/Ra) R
3 13. Аналогично решению 3.11.
mo 4- 2m
Решим эту задачу, используя закон сохранения механической энергии.
т„п. _ mv2 . Ju?3
трл “2*2*
3.12. е =
а =
h — высота, на которую опустится груз и — скорость груза на этой высоте,
w = v/R, J = m0R2/2.
Учтем, что /1 = ^2=-, v = at
Подставляя все в закон сохранения, получим тот же ответ.
3 14. 7 = 9,5 кг м7.
3.15. t=l,lс; ll’fc =0,81 Дж: Т = 4,1Н.
3.16. а = 3,33м/с2; 71 = 6,3Н Г2 = 4,5Н.
317 Кинетичсскаи .*л1Г|>гии диска склмымвс'гся ичэнершп поступательно-
го движения и кинетической энергии вращения:
1л* — mv7 . 7и2 _ Зти2
И ‘ - Т т Т - “4“
= 24 Дж
3.18. И* =01 Дж
3 19. Q ~ 2,51 мДж»
3 20. л = 4 1 м
5*1
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
233
3 21. Из закона сохранения механической энергии (см. 3.13) получим
mgl sin а = (тп -г J/R2}-
С учетом кинематики движения
_ mg sin о
т + J/H2
Подставляя моменты инерции для шара, обруча н диска) получим
01 = 3,5м/с2, Д2 = 2 44 м/с2, ад = 3,27м/с2.
3-22v=\O^;
Vi = 2,65 м/с;
3.23. а = д sin а.
3.25. t = w/i/(p Л); Л1 = w* R/(4xgk).
3.26. и (sin а — 21* сова).
г? = 2,56 м/с; из = 2,21 м/с.
3.27. cosa > r/R.
3.28 I = v/kg.
3 29 Л'=тп$Р/(Р + За2)
3 30. Из закона сохранения энергии ----| = тирЛ найдем Л, а
затем I = Л/sina—длину подъема обруча вдоль плоскости. Учитывая, что
I = of2/2 и и = at. легко найти t = к - -
z д ып о
3.31. t - u?0R/fcps Q/И” = 1/2.
3 32. v 3gh 9,5 м/с; М тпд у/p/i/3 — 4 7 • 102 кг №/с.
3.33. =w*2 = 14рад/с2; rj = 1,05 м/с; из = 2,10м/с.
3.34. а = 8122'.
3.35. Закон сохранения момента импульса ,= /2^2;
Л = rf/2 + moR?t J? = mR2/2\ n2 = m = 22об/мнн.
3 36 A = 162Дж.
3.37. n2 — 21 об/мин.
3 38 Hbj/ИЪ, = 1,05.
3.39 Я = -mR2u72/4.
З ЛО. m2 = mi sin a/sin д — aj
3 41. T = mp/2iga; Tf = mg/2 sina.
3 42. F,\ = mg tga; /•’« = mg cos 2а/cos a
3.43. к - l/vT-
F = mp/2, a = 0 при Л 1/2
F = ^5^- 4k 4-1, tgo =
3.45. igct > (1 - kiki)/2ki.
3.47. * > 1/3
ч i 2a
3.49 a = arcsin , ^"ycryit nijy
при к < 1/2.
3.46. 7’j, = (2n - 1) mg/i/3.
3.48. F = kmg(y/^F — 1).
I > 2a
3.50 jVc = Д', = 720H; ND = 700 Н»
3 51. 7’ = 0»4H; RTp, = 13,6 H; F7p2 =40,8H
и покое.
3 52 к =
, 2P
sina 4- —
сова
2h _ к
£ sina I cosa
234
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
(I>. I
§ 4. Механика жидкостей к газов
Н
4.1. Л — у. У к аз а 11 не: вывести формулу Торичелли для скорости вы-
текающей жидкости.
4 3. и = 0.12 м/с.
4 4. ОС означим Sj —площадь поперечного сосуда и wi скорость течения
воды в нем (скорость понижения уровня воды в сосуде), Sj —площадь попе-
речного сечения отверстия и vi—скорость вытекания воды из отверстия. По
теореме Бернулли
или — v2 (О
В силу неразрывности струи vjSf = vaSj, или
t»2=t»j S\/S2. (2)
Подставляя (2) в (1), получим V| = S2 у/ $2 ~~ $2 • Учитывая, что
Si = kD2/4 и S2 = я<Р/4( имеем и> = d2 y/^gh /yf D4 — d4. Так как d4 D4,
то приближение
t»i = (d2/D2) (3)
Отмегим, что если d = Dy то vi = ^2gh. При h = 0,2 м скорость = 0,8 мм/с.
4 5. В обоих случаях струя воды надает на стол ни расстоянии I = 0,4 м
от сосуда.
4.0. а) и —0; б) и — 1,04 м/с; в) и = 1,25 м/с.
4 7. Скорость понижения уровня поды в баке v = S2 у/Яду I yj S2 “ S|
(см решение 4.4). Здесь у- уровень воды в баке (переменный). За время dl
уровень воды в бак» понизится на
dy = vdt = А у/~у Л, где 4 — S2 y/2g/yj S2 — . (1)
Из (1) имеем dt. = dy/A yfy\ отсюда
t=l /-&=
Л J >fy
о
Учащимся предлагается довести интегрирование до конца и получить ответ
2>/h^sl-sl
1 = --- ^ж-ь- = 1/ —12----------1 = Змии.
S2 у/^9 V 9
Нетрудно убедиться, что если бы уровень воды в баке поддерживался посто-
янным на высоте А = 1м от отверстия, то время вытскпнии такого же объема
воды было бы в два раза меньше
4.8. d = 1.4см. 4.12. Frp/mr? = 3.
4 9 Р = 250 кПа. 4.13а и = 4,1 м/с.
4.10. и — 1,4 м/с- 4 14. 9 = 211а с.
4 11. ДЛ = 1,6 мм 4.15. ДТ = 4 мни.
4 16 т;=1,09Па-с, р = 12,1 сма/с.
§S)
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
235
4.17. Скорость понижения уровни касторового масла в сосуде зависит от
скорости протекания масла через капилляр. Объем масла, протекающего за
время I через капилляр, определяется формулой Пуазейля
ОД
Разность давлений па концах капилляра обусловлена гидростатическим давле-
нием слоя жидкости т.е,
AF = PQh (2)
С другой стороны,
V = ffv't = xr2v'tt (3)
где vl—скорость протекания масла через капилляр. Из (1) — (3) имеем v' =
а» г2р<?Л/81т/. Ио так как t/S' = vS. где и—скорость понижения уровня масла
в сосуде и S — площадь поперечного сечения сосуда, то окончательно имеем
и = r4pgh/&lr)I&. При h = 0,26 м скорость v = 3 10“5 м/с.
4 18. t — lt5 мин.
4 19. I = 1,1см
4.20. £2 = 4,6 мм
4.21 Число Рейнольдса Re = 1800, т.е Re < 3000 — движение ламинарное.
4.22. D $ 0,085 м.
4.23.
4 25. m = | хЯ3р.
4 26. Давление Р(х) можно найтн из условии, что сила давления на вну-
треннее основание выделенного тонкого цилиндрнчсскго объема равна mur2i/,
где у — расстояние от центра цилиндра до осн вращения, гп—масса выделен-
ного объема Р (z) = Р^2 (Я — х)2 — | Л2]
4.27.
4 28 F = ^7rr3(K-r)pw2
4.29 a = p(s/S)2.
4.30. R = гЛо/(Ло-г), о =120°.
Глава II
МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА
$ 5. Молекулярно-кинетическая теория
ВЛ. р0 = р = pgl. h=(L_,)/2.
5.2. п = --М------ = 0.8. 5.5. n = .
' т1Д2+«12Д1 polo
к О _ _ Pl У| Ь Р?У% 4 РзУз 5 6 П - ,
63 р- x'i + ц + ц 5-6- п- му/ГуЛо)] •
5.4. AN = JVa = 8>6 •1о23-
236
ОТПЕТЫ И РЕШЕНИЯ
[Гл II
5.7. Результирующая подъемная сила воздушного шарика равна разности
между весом воздуха в объеме шарики и весом самого шарика (весом находяще-
гося в кем водорода и весом оболочки): F = «120 — (mip + Р), где тпг —масса
воздуха в объеме шарика, тпу —масса водорода в объеме шарики. 1. к Р = О,
К=(ТП2“Ш1)9=5^(Д2-Р1)= (Д2 -Р1) = 9бмН.
5-8. Pt = Pi + 9 (дн. “ ) - ]’09'103 кг
5.9. Р2~80,5Н; Ti = Т ~ 4350 К.
^па
ьло. ч = T^+2Tj
6Л1- р' = Р V,+1^ Т (* + V? ’) = 144 l°S Па
5.12. р = 0.081 кг/м3.
5.13. р = vp/PT; а) при Т = const р ~ р; б) при р = const р 1/Т
5.14 р — 415 кПд
8 15’ Д = ж, 7^, = 4’610’3КГ/ММЬ: V = ,1-7л’
5.16. «1 = 2,5 г.
5.17. Если бы молекулы были не диссоциированы, то давление » сосуде
было бы р = mRT/nV
После диссоциации в сосуде находится количество */| = 2ат/д атомарного
йода и количество = (1 -а)т/д молекулярного йода. Давления создавае-
мые ими, есть
.. _ Яшц ят ’ ft) w РГ
Pl - Р V” Р2-— ------- -у-
По закону Дальтона
₽№ = Pi + Pi = s^- (I + а) = Р (1 + о)
т.е. 1+а = рсм/р = 1,12; а = 0.12.
5.18 а-20 %.
5-19. рсм/р — 1|25.
5.20. р а 1,2 кг/м3; р! = 21кПв; р2^79кИя.
5-21. р = 1,98 кг/м*.
§4
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
237
5.22. а) тпо = 1,67 • 10" 27 кг. б) то = 6,65 10“27 кг.
5-23- 7'1 = Т = <20 К.
l(’/i - 1)
6 24. Пусть т смещение поршней. Объем воздуха между иоршвимн после
их смещения
У' я Уо + х($2 - S>).
Из закона Бойля Мариотта
pnV0=;/V/i
где р* — давление воздуха м«1жду поршнями после их смещения. Условие ран*
новее и я стержня
(p-p')St = (ро -р')5г.
Совместное решение этих уравнений дает
Si - S2 p+poSifSi
Б.2Б. Условие равновесия поршней н закон Бойля—Мариотта приводят к
следующему уравнению для искомой силы
F2 — F (2W + voS) +рок IS-о
и _
F = М + р05/2 - y/(ktp + (poS/2)’ (F -» 0 при к -> 0)
Б.26. р == 2 10-33 кг • м/с.
Б.28. N = 2* 10зт
5.29. л “ Уд [2о/р + (1 - Q/р] = 3,56 • Ю24 кг"1.
5.30. N = 4,5-1023.
Б.31. V = 3,2л; pi =98 мПа; р*»35м!1а; п = 2,6 - 10,в м“3.
5.38. су = 650 Дж/(кг - К); Ср = 910 Дж/(кг • К).
5.39. Для ши репамия смеси атомарного и молекулярного кислорода требу-
ется количество теплоты
Q = 2а ™ С’At + (1 - О) S С" At = CpAt,
где Ср и С"— молярные теплоемкое гн атомарного и молекулярного кислоро-
да, Ср—теплоемкость смеси. Следовательно,
2аС; + (1 - а)С; = С„. а = (Ср - С/)/(2С; - Ср');
Ср = м Ср = 1,05 кДж/(кг • К) • 32 • 10“ 3 кг/маль = 33.6 ДжДмоль К);
CJ = 20,8 Дж/(моль К); €% = 29,1 ДжДмоль - К); а = 0,36.
5.40. а = 0,23.
5.41. Ср = 685Дж/(кг К).
5.42. Количество теплоты, полученное газом,
Q = ^Ср^з-Г,). где
Ср — 29,1 Дж/(моль • К) — молярная теплоемкость кислорода. Температуру Ti
находим ит уравнений состояния пата до и после ik.U]M'ii.hikm:
рИ - ЯТь pVj = К/з, откуда Гг = 7’1 1 •
238
ответы и решения
(Гл- п
Но V’l = mRTi/др .и, следовательно, Тг = pVjp/mK = 1156 К Таким образом,
7'2 - 71 = 873К и (2»^Ср(Т2-Т|} = 7,9кДж
Энергия газа до нагревания может быть найдена по формуле
IV, = j ™ КТ] = 1,8 кДж,
где 1 =- 5. так как кислород*** гаа двухатомный. Энергия газа после нагревании
ИЪ= ^КГ2= 76 кДж,
5 43. а) При р = const имеем Q — тпСр&Т/р. Но рЦ = mRTi/р и
р\'2 = mRTzfp, откуда
рД V а ™ RAT, или 2* ДТ =
Следовательно, Q — Cpp&V/R = 700Дж
б При v = const имеем Q = (тп/д)СуАТ. Но piV = mKTi/p и
р2 V = тпК7з/д, откуда
УДр = 2* RAT, или 21 ДТ = ^2 .
Следовательно, Q = Су V&pfR 500 Дж
5.44. m = 3,7ц ДИЪ = 3,3 -10“21 Дж. 5 46. yf^ = 500 м/с.
5 45 £ = 6. 5 47. п = 4.2 1024 и"»
5.48 В 1,44 • 10* рада.
5.49 тп \ЛТ = ^/ЗЛТтп = 6,3 10-24 кг м/с.
5.50 Внутренняя энергия гааа определяется формулой
w = * кт.
Для двухатомного газа £ = 5, причем i = 3 приходятся на долю поступатель-
ного движения молекул и » 2 — иа долю вращательного движении. Подста-
вляя числовые данные, получим IV — 3,7 кДж причем Wnocr = 2,2 кДж и
WBp я 1.5 кДж
5.51 . Ж = 750 Дж
5.52 . 71 = 2 10* К; Т2 = 900 К
5.54. pi = ро 2м, где х = | для одноатомного и х = г для двухатомного
5.58 w =0,94
5.Б9. WK,no(k) = С*о С”?ЦПо/С^.
*0123 4 5 6
w 0,436 0,413 0,132 0,0176 9,69 10“4 1,84-Ю-8 7,15-10-®
5.60. w = N>/[G(G - 1).. .(G - .V + 1)] = 1/Cg.
Л'! C/f
5-01- w = 1,7,0 .
G
§4
ОТПЕТЫ И РЕШЕНИЯ
239
5.62. (/(х)) = £/(х,)ш(х,); 7(<х-(х))2) =
5.63. ( х3 ) = (xj - х3) р + х%.
Ъ Ъ
5.64. (/ (х) ) = f /<х) р(х) dx = J / (х) dw (х);
v/((x-(x))J) = °
5.65. dw = Зг2 dr/Я3; ( г) = Я \/ ( г2 ) ш ^/3/5 Я; Я1/2 = Л/21/3.
5.66. и? = 1/2''’, 1/4, 1/1024, 10-1,8-1023.
5.67. tfw(z) = А ехр(-Az) dx; (х) = 1/А; (a?2) = 2/A2;
к/((х-(х))2) = l/л, Лх = 1.
5.68 Г = 83 К.
5 6D Распределенис молекул по скоростям дастся формулой:
где иотносительная скорость В нашем случае v м 100 м/с и Av = 10 м/с.
Наиболее вероятная скорость vB = у/ЪКГ[р = 376 м/с. Следовательно,
u = v/vB = 100/376, и3 = 0,071, е-*-1 = 0 93 н Ди = 10/376. Тогда фор-
мула (1) дает:
= -^= 0.93 • 0,071 • = 0 004 = 0.4%.
Таким образом, число молекул скорости которых лежат в укатанном интерва-
ле, равно 0,4 % от общего числа молекул.
5 70 AJVj/A/fa = 1,1 для любого гата при любой температуре
5.71. a) Ni/N = 57%; 6) ^2/^ = 43%. Отсюда видно, что кривая распре-
деления молекул но скоростям несимметрична.
5.72. jVr = 1,9 10м.
5.73. РкА ехр(—64q) 4jt 64 2 10 А
5 74 ij= -^L J c~^2u2du
5.70. F(£) = -Д- exp </£/(*T)3/2; ft. = 2kT, Fm = 2 e~3/кГ
(рис. 149).
5.77. tp = -ту- ; (£) = j kT /*о = 2/(\/к7\ = ЗА?'Г In2 (рнс. 150).
п
240
ОТПЕТЫ И РЕШЕН 1151
[Гл II
5 78. р-2 — pi = Tngb'/S. -
5 79. Давление газа р уменьшается с высотой h но закону
р = ро е*Р (—Щ)Ь/КТ). В условиях данной задачи р = 07,2 кПа.
5-80. а) р =‘1,28кг/м\ б) р = 0.78кг/ы3.
5.81. ij -0.225.
5.82. п (г) = пр схр )
5.83. dw = ^ = i~T
JV J ti (r) dx dy dx
(V)
*r лл ,,, exp (-u (f)/A<T) dV
5 84. dw = r 1 > >
J exp (—u r) /kT) dV
(V)
5 .85. n(h) = npexp (- р(Л) = pocxp Po = nAT.
5 86 Имеем барометрическую формулу
P = Роехр(~^Л/ЙТ) (1)
Концентрация (число частиц в единице объема)
п = Р/кТ. (2)
Подставляя (2) в (1), получим соответственно для высот Aj и Ла:
П] = no <*xp(-pph] /ЯТ), п2 ш поехр(-р^Л2//ГГ);
отсюда
или
1п П1 - ~hl) /qx
,п - —"TFT— W
Так как масса частицы тл = д/Лд, то формулу (3) можно записать так:
. пх Л'дт0(Л2-Л|)
1п П3 =------ЙТ------
откуда, учитывал поправку на закон Архимеда, получим:
_ КГ 1п(П|/па
А “ gV (р - р0) (ht -Л,)
- 6,1 - 10м моль-1,
где р—плотность гуммигута и р0 — плотность жидкости
5.87. п = ппе“ \ P = Poc^'^i
р — молярная масса, R гаыопая постоянная.
5-88. Концентрация частице изотермической атмосфере описывается выра-
жением
" (Л> = "° схр [с (тНт + «)] > 0
на любой высоте Л, т.е. планета будет торить чисти цы.
5М
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
241
5.89. dw (f, v) = (^кА-'г) ехг> <^'-г
5-90. Множитель dxdydzfV заменить на
вхр(-Т₽)
dx dy tlx't
(V)
dw = Л exp
dV dvT dvy dvt.
5 91. Одна и та же на любой высоте.
5 92. Т~ 120 К v- 1370м/с.
5 93. v = wfi/Аф — 100 м/с.
5 94. /(w) = 21V/31J, где N = ff(v}dv, Ifc v 2Vo Действие по-
г?
стоя иной силы приводит к смещению границ интервала на величину — т. Вид
функции остается прежним.
5.95. w 2г -г 70р. 6.100. 2 = 2,47- 10вс-’
5.96. Л=850мкм. 5Д01. В 2,3 раза
6-97. Х = б,6км. 5.102. X — 1 мкм.
5.98. Л — 93 нм. 5.103. Л = 23 нм.
6.99. Z = 4,9- 10s с"1 5.104. 7= 1,6-КГ7 с.
5.105. Чтобы молекулы не сталкивались друг с другом, средняя длина
свободного пробега должна быть пе меньше диаметра сосуда, т е, А D
1/У7№п отсюда n $ l/\f2 тта7!) = 1,7 10,ft м”3.
Б 106 р 399 мПа.
6-107. z = ® = 8,2 10тс-1.
6108 <-эд-- m=v^F: ‘7=’“2/*.
5.109. dw=dS/X.
6.110. dw(x) = | exp(-x/A)<ir.
6.111. A~7/p, t^VT/p (рис. 161).
5.112. <r(v) = где j = nw—плотность потока налетающих ча-
стиц, ДЛ1.1 = AN/(At-niS<i) — число рассеяний за единицу времени в расчете
«а один расорнпнтель.
242
ОТВЕТЫ И РЫНКИ И Я
[Гл. II
5 114. D = 9.1 • 10 гы2/с. 5.117. D|2=0,7 10 4 м2/с.
5 115. D = 8 4 10”5 ы3/с 5.119 р = 39,9кПа
5.116. т = 2ыг. 5.120. q =17,8 мкПа с.
5 121 Имеем
. г? = п-Ар/3, (1)
где v = у/8RT/хд —средняя арифметическая скорость молекул,
А = КГ/хП ка'2р средняя длина свободного пробега и
р = prnfRT — плотность газа Подставляя эти величины в (1). получим.
т) = М/Г'» откуда «у2 = \/р — 9'10“й°ма, т.е. о = 0,3 им
з™2 V Зтг^ V R*
5 122. fj = v Ap/3. Подставляя выражения для v, J и р, найден >; = Л д/7\
где Л — некоторая постоянпая .
5.123. п= Лдч/рП = 1,8- 1025ы“3
5.124. v = 2,72 м/с.
Б 12Б. Fs = 15 мН/м2
5.126. fj= F[R — г)/4т2пЛЕг = 18 мкПа с.
5.133. Q = 23,9 кДж
5.134. Q= 78Дж.
5.127. К=90нВт/(м К).
5 128 К = 13,2мВт/(м К)
5.129 К = V -АСур/3. Подставляя
выражения для U, А и р, найдем К =
= Ал/Т, где А—некоторая постоянная.
На рис. 152 дан характер зависимости те-
плопроводности К от температуры Т
5.130 a)D1/D2=0D8j
6) т/тп = 1,25; в) Ki/K2 = 0,96
5.131 р = 1,26 Па.
5.135. Д( | к (Т(®) Т(х 4 Л)] = - | к Л
прн Л<Т/|&Г/0г|.
5.136. T(z) = Т3 - (Та - Т,) x/l; q = Sk (Тл - Т,)//.
5.137. a) fc= 13,ЗВт/(ы • К); 6) Т = 200 + 12/г ([Г]=К. [г) = д).
5.138. IV = па>* y/fcTb?т; не изменится.
5.139 * --------------........... -п +--------------..........-
1 + 4a 1 + 1 + 4 j1 + \/ v6<2//«F
5.140. f = nt
5 141. F-ps/2
5.142. ц/ =u7(ri/ra)2.
5.143. F» 10“2H.
5.144. p KL\/[S (Г2 - 2’t)].
5.145. po = pi у/7o Tj
кий 1 ™ ДТ
0 146. Q == 37 n --- —J- .
* 2 /4 V 7T/4
5.147. т ~ (4V/S) 1ги)у/тгц/гКГ.
5.148. v = [7(fc + 1) HTKkpi +р2)Г/2.
5,149. V= I [1 -
x-1 [ kpi/ I/
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
243
5 150 Т= 120К; v= 1370м/с.
5 151. Т r; 1*93 р = 0.33 МПа.
5 152. Q = у СрДТ = 7,92 кДж- Д1У = £ рДV = 5,66 кДж;
А — рДУ = 2.26 кДж- Таким образом, как и следовало ожидать,
на основании первого закона термодинамики Q ~ AIV + Л
5.153 Д1Г = 1кДж
5.154 А » 13,2 Дж; ДИ' = 39,6Дж
5.155 . Q = 10,4 Дж; АЛ = 2,8 см.
5156 В 2,72 раза
5.157 . А = 70Дж- Q = А = 70Дж
5-158 7г = 207 К
5 150 Т2 = 865К
5.160 i=5.
5 161. t, = 123°С Р2 =5,28МПа,
5.162. CF/C\, = 1,4.
6.163. Л = £ [1 -e-“v«].
5 165 а) первое начало термодинамики дает:
(Cv + «T)rfT = Cv <lT + i>dV = Су аг + ££ dV, т.е.
J.,, _ И 0V. т _ R V .
dI = а V ' T~T°-alnV5'
б) и >) проделать подобные выкладки.
5.167. С - Cv - vR/(n - 1)
5.168. а) С = Су + К/2; б) С - Су - W.
6.169. с-(у4-н +1)й; п = 3: п = 1‘
5.171. С - 2р0У0/Т0.__________________
5.172. = ^/[l-^ + j^l^];
f1 - 2 (^) ' + 2 ^]
5.173. V, идах - [3poVoTn2/mi (mi + m2)]l/2j
V2 mux = [ЗроИ)ТП1/тпа (mi + ma)],/2.
5 174 Тт»ж = То + 2mv*/3/i, К газопая постоянная
5 175. Q = rngh (1 + 2с/Л) 4- (с + Л}Т0.
5.176. С=^у^(» + я)-
5.177. а) 3=1,55кДж, Д .0,92кДж, AVV = О.бЗкДж;
б)С=1,58кДж3 А = 1,25 кДж, AW = 0,63 к Дж.
5178 г) = 18%.
5.170 Тепловая машина, работающая по ш<клу Карно, совершает работу
Д = <21 “ Qi = VQ1, где Qi—количгстпо теплоты, получаемое машиной от
нагревателя, Q2 — количество теплоты, отдаваемое холодильнику, к.п.д.
машины. Имеем q = (Tj — TaJ/Ti = 0,25. Тогда А = f?Ql = 630Дж Далси
Qi — Qi — А — 1,Я8 кДж
5Л80. п = 2б.8%; Qi = 274кДжв Q2 = 200кДж.
241
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
(Гл, Л
5.181. а) Ц ss 2л, pi = 708x11а: V? — 5л, р2 = 284кПа; Ц — Вл,
рз = 146 кПа; V< = 3,22л, /м = 365 кПа;
6) Работа в процессе изотермического расширения
41 = Я711/1п^ = 1,3 кДж
и сжатия
Лз = /fZjpIn у-А с — 1,07 кДж;
•з
Работа в процессе адиабатного расширении
Лг = v (1 - - 620Дж
и сжатия
А1 = «' (1 - = —620Дж;
и) работа за весь цикл
4
Л = 52 А = 230Дж;
• а!
г) к. п д. цикла
П = = 0,175;
д) количсстпо теплоты, полученное от iiarpi'naTQipH
Qi = Z/»j = 1.3 кДж;
с) и отданное холодильнику
Q2 = Qf ~ А = 1.07 кДж.
5.182. В 2,1 раза.
5.183. При обратном цикле нпешине силы совершают нал газом работу Л.
При этом количество теплоты Q2 отнятое у холодного тела, вместе с затра
ченной работой Л равно количеству теплоты Q], переданному более нагретому
телу. При этим 1) = (7\ - 7’з)/71 = 0,093; Qi = Qi — Л « - /\ = 360 кДж;
Qi = Qt + Л = 397 кДж.
5.184. ;п2 = 4,94 кг.
5.185. За счет количества теплоты Q можно совершить работу А = t)Q,
г,те т) — к.п.д. тепловой машины, причем г/= (7’i — 7’2)/7i- Помещению будет
передано холодильной машиной количество теплоты Qr = Afif» где j/«— к п д.
холодильной .машины, причем г/ = (T|f - TJJ/TJ. Тогда
_ ТМ _ п.» _ 7j - Z'2 Г _ .
Q~rfA~n/^~ Т} Т-Тв-^
т. о. помещение получает в 3 раза меньше количеетпа теплоты от сгорания дров
н печке, чем при отоплении его холодильной машиной.
5.186. т; = 0,2; т/г = 0,3.
5.187 104 цикла
$5]
ответы и решения
215
5 188- Имеем tj — A/Q\ т.к, Адв = Авд 11 Acd — то
далее
А=^С,(7Ь-Т3)(1-£).
Гак как Q - ™ С, (Та - Т|), то
- _ 4 - 7з ~ Тз _ । _ 7з . . _ . I 419%
Q - ' , ~ Та “ 1 (Vi/Va)*-’ " ’ °‘
Б 189. р2 - 930 кПа- Т2 - 686 К
Б.100. п = 1,3.
Б.191. а) ч ~ 36,7 %; б) ч = 4'1,6 %, в) ч = 49,6 %
Б 192 = 1 _ 1
A Pt
б 103 г/ = q = — , с другой стороны
О = ‘ - ^£-1 [Д 1}. гдо (i = TifTt, е = Va/V,.
Приравнивая, получим массу серевшей псфги rn = 5,9 кг.
Б 194 ч = q, А = /?(Т, - Т2); Q = (Т> - Та) + ЛТц
5.197. Измгпснне читронин определяется формулой
в
&s = sB-sA = I
А
где .$д и Sb—энтропии в первом и во втором состояниях Общее мзмепсиие
вн троими в данном случае складывается из изменений ее в отдельных процессах.
При нагревании массы гл л1^да от температуры Т до температуры Г© = 273 К
имеем dQ = mc.n dT, где сл — 2,1 кДж/(кг К) — удельная теплоемкость льда,
и
Д.91 =тСл1п(То/Т)-
При плавлении массы тп лвда при температуре 7© имеем JdQ = хпА, где
А = ОДЗМДж/кг—удельная теплота плавления, п
А.$2 — тпХ/То
При иагревщ1нн массы m воды от температуры То до температуры Тп имеем
Д.9з = тс1п(7п/То).
где с = 4Л9кДж/(кг • К) — удельная теплоемкость воды.
При испарении массы m воды при температуре 7’п имеем:
Абд = mr/rn,
где v = 2.26 МДж/кг—удельная теплота парообразования
246
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
(Гл. II
Общее изменение энтропии
AS = тп йл 1п + с In уР- + 77) = Дж/К.
5.108. AS =7,4 Дж/К.
5.199. AS = 1230 Дж/К.
5.200. Имеем
«-/?•
I
Но dQ = ~ Cv dl' + р dV и, кроме того pV = ~ /СТ, тогда
2 з
л« — f w Г’ <П* . f тп п d V
^S-J д CvT+J 7TKV-
1 1
или Д$ = S Cv In 7Я + у R In = 5 4 Дж/К
5.201 Выразим энтропию в этой задаче через параметры V и р. Имеем:
AS=^Culnp + ^Rln^. (1)
Я к 1 Я VI
Уравнение Менделеева Клапейрона даст-
₽ = • (2)
т> Р1У|
Подсталляя (2) в (1). напучим:
AS=^^InE| + mc„in^ + s«in^z=scvin|| + ^cPin^
При изобарическом процессе pi = Р2 и
Д$ = Ср 1п = 66,3 Дж/К
5.202. п) Д.9= !,76Дж/К 6} Д$ = 2,46Дж/К.
5.203. Q- 420 кДж.
5 204. Остается постоянной, если процесс обратим; возрастает, если процесс
5.205. См. рис. 153.
5.206. См. рис- 154.
ОТПЕТЫ И РЕШЕНИЯ
247
6.207. dQ = S <ГГ\ Q = /(о ЬТ) <ГГ ?- 0 (Ta ~ 7,) + % (T22 - 7’?).
Л
5.208. Q= 1,79 кДж.
5.209. Энтропия получает приращение AS = 2 Дж/К.
5.210. AS = 0,23Дж/К
5.211. С = аТ.
5.212. S = С/З.
6.213. 5= ^±4 Я Ini'+ const.
6.214. a) AS ~ 296Дж; 6) ДУ = 0.
5.215. а) AV = 0; б) AS =» R In 2.
5.216. Р = (V/Vo)N. где V = .j V'o.
Р = 2“Л; Р(2) = 1/4; P(5) = l/32; P(10J ~ 0,001; Р(100) = 10"м.
5.218. S = к 1пР) к постоянная Больцмана.
5-220. G =
§ в. Реальные газы
в.в. а) Т = 280К; б) 7’ = 280 К — т. о. при малых давлениях газ ведет себя
как ндоальный
6.7. а) 7 = 482 К; б) Т = 204 К.
6.8. 7*2/71 = (2р + р»)/(р + р;) = 1,85, где р, = <n/2/V2. Если бы газ
подчинялся уравнению Менделеева — Клапейрона, то было бы 7г/Т| = 2.
6.9. Определение объема по формуле Ван-дер-Ваальса требует решения
уравнения третьей степени. Один из трех корней этого уравнения, соответству-
ющий газообразному состоянию вещества, может быть найден методом после-
дппатедьиых приближений. Из уравнения Вли-Д(1р*Ваальсл для пром мюльного
количества р = гп/р кислорода имеем
v-^^+vb-^+vb- <*>
В качестве первого приближения берем V = И —объем, получаемые из урав-
нения Менделеева Клапейрона-
V'l = = 0,24М3.
Тогда
«=^-win-=’-MDa-
Подставляя р, в (1), получим второе приближение:
V2 (‘°* 28,’311О7— + I03 3,16 10-) м3 = 0,232м3.
Тогда
V/ ~ (0.232)2 -2’53МПа-
Vs + 10’ '3 ,6 ’ W“S) м’ = °’231 м3
Поступая таким же образом, можно получить четвертое ит.д. приближения
Нетрудно убедиться, что уже четвертое приближение практически совпадает с
третьим. Таким образом, искомый объем V =231 л.
П г
248
ОТПЕТЫ и РЕШЕНИЯ
[Гл. К
Рис 1ББ
6.15. = %КГ. х
6.10. а) а = 297 пы; б) а = 313 им.
Таким образом, результаты, получен-
ные двумя разными способами, дают до-
статочно хорошее совпадем ие.
6.11. Л= 79 им.
6.12. Р= 3,5- 10-rm*/c.
6.13 На рис 155 дан график р =/(е),
построенный для р = 1 кмоль углекисло-
го пип прн t = О °C. КрИНЛЯ (I соответ*
ствует уравнению идеального газа, кривая
б—уравнению реального газа.
6.14. р. = 27Т2р2/64ркТ2 = 1,31 кПа.
— — 33%, где р и —
количества водорода без учета и < учетом собственного объема молекул.
6.16. р,/р = 4,95%; V;/V-0,86%.
6.17. Работа, совершенная против сил взаимодействия молекул,
1'т
A^jpfdV, где Pi = .
V1
Таким образом,
v?
д - nA» I dV_ m*a (J________1\ - т2д(П- Ц)
м2 J v2 ~ м2 kVi /4*ЦУ2 ’
откуда
° = 1 = =°-136па м6/“мь2
m2 ( Vj — Ц) р* (Vjg — Vj)
6.18. Л /ГГ1п^^+о(^-^).
6.18. а) ЛГ/ = 0.121 Дж, 6} .4 = 3.31 кДж; в) Q = 3,31 кДж.
6.20. Т (V - Ь)«/с> = const; р + (V - Ь)л/С»+’ = const.
6.21. AT = 02/(Vj — Vj)2/V’jV^iK = 2,33 К, где i — число степеней свободы
молекул гама, м — количество азота.
6.22. a = 0.364 Па • м6/моль2.
6.23. Так хак температура ti = 31® С критическая температура углеки-
слого газа, то необходимое давление р ~ рк — 7,38 МПа. Так как температура
t2 = 50®С больше критической температуры, то ни при каком давлении нри
50°C иела»эи превратить углекис лый газ в жидкую углекислоту. Наибольший
объем Vni(LX = ЗЬ/р = 2,9 л; наибольшее давление рш&х. = рк = 7,38 МПа.
6 24. рл s: д/ЗЬ - 19Скг/м3.
6.25. рк — 8/хрк/ЗТкЛ = 57кг/м3.
6.26. р = 2,7 МПа.
6.27. Д’ =р/р« =2,45-
6.28. Gp-a= --------
l"2“ K/V*'
6.30. 5 = Cl, In Т + К In {V - 6) + const.
5Л
OTUBTIil И РЕ ШЕН И Я
249
§ 7. Насыщенные пары и жидкости
7.1 Ат = рп п V (1 - ш) = 6,8 г.
7.2. п = 10м м“3.
7.3. IV = 60,6%; Ат = 86 мг
7.4. В 12 раз.
7.Б. Относительная влажность (Шределя гтси формулой ш = р/рн, где р —
давление водяного пара, находящегося в воздухе, и рк —давление водяного па-
ра, насыщающего пространство нри данной температуре*. Масса тп водяного
пара в объеме V воздуха
m = pVp/BT — ыр*\'р/КГ. (1)
При Т = 303 К давление насыщенного пара р„ = 4,23кПа.
Тах как р » 0,018 кг/моль, то ii:i (1) получим тп = 22,5 г.
7-6- Am/m = рр- V/RT-rn = 0,17
7.7 (2 = 7°С.
7.8. w = 27%.
7.9. pj/p2 - --------,—г = 1,005.
1 2 РО - Мри.п. (1 ~Рп/ръ)
7.10. а) До расширения насыщенный водяной пар находится при темпе-
ратуре ti — 20 °C, а следовательно (см. прил. XV), давление этого пара
pi — 2,33 кПа; б) масса водяного пара в камере до расширения иц —
= Р1МЧ/ЛТ1 = 17,2мг, в) р] = рхр/Л?'] = 17,2 • 10“3кг/м3; г) Тг =
= 7’1/(Ч/И)**-1 = 268 К; д) при температуре <2 = —5 °C давление на-
сыщенного водяного пара рз = 3419 Па. Масса пара в камере, соответству-
ющая этому давлению, т? = ргрЧ/ЙТз = 4,0 мг. Следовательно, мас-
са скопдснсиршишного пара Ат к т> — mj = (17,2 — 4,0) мг = 13,2 мг,
б) Р? — PiP/R^i = 3,2 - 10"3 кг/м3; ж) так как плотность водяного пара по-
ели расширения (но до kcjh^ciicliiimm)
Рз = W = кг/“3 а 137 10-3 кг/м’>
то степень пересыщения s — р^/р? = 4,3.
7.11. Ат = 12 г.
7.13. рж = 0,001 м3/кг, vn = 1,25 м3/кг.
7 14. В процессе испарения теплота тратится на преодоление сил п:мпмо-
действии молекул я на работу расширения против внешнего давления. Таким
обрнлом, согласно первому закону термодинамики имеем
г0=ДИ' + Л, (I)
(де го — молярная теплота парообразования, AW—изменение молярной вну-
тренней энергии сил взаимодействия при испарении, Д — молярная работа, со-
вершаемая протии вш'шнсго давления При этом
Л Ph(V0||-И>ж), (2)
где рп —давление насыщенного пара при температуря парообрмопдния, V0Mt —
молярный объем жидкости и Ц)П — молярный объем пара. Имеем
т, п 0,918кг/моль 3.
Чы - ъ =18-10 6 м3/моль,
р 1000 кг/м3
250
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
[Гл. И
где у —малярная масел п р-—плотность воды. Так как по условию 1/ = m/д =
= 1 кмоль, то из уравнения Менделеева—Клапейрона Vfon = Ri'!pn. При
Т = 473К имеем (см. Прил. XV) р», = 1,55МПа и Ibn = /?Т/ра = 2,5 л / мол I»
Считая, что изменение внутренней энергии взаимодействия молекул при испа-
рении соответствует уравнению Ван-дер-Ваальса (см задачу 6.17) имеем
АН' - lL\9n Vo"> , (3)
*'0ж *Оп
где n = 27Т*Н2/64рк — 5,56- 10? 11а - мс/моль2. Замечая, что Ц)ж 4>п»
получим из (1) — (3)
г0 = + Рм Vbn = ^7 + ПТ - 35 кДж/моль
10ж Р
Тогда удельная теплота парообразования г = го/р = 1,95 МДж/кг. Прил. XVI
дает дли температуры I « 200°C значение г = 1,94МДж/кг. Таким образом,
несмотря на то, что уравнение Ван-дер-Ваальса, а следовательно, и формула
(3) являются приближенными, совпадение результатов хорошее,
7.15. Д1Г/г0 = (го - Л)/г0 = 1 - ЯТ/го = 92,4%.
7.16. Д1Г = 7,22кДж
7.17. Q убывает с ростом 7, Q (Ткр) = 0.
7Л8. / Р = Р0ехр(-7^,)
7.19. Имеем уравнение Клаузиуса—Клапейрона
Ау ______го____
<ГГ T(VOn-Vbm)‘
(1)
Считая, что насыщенные пары подчиняются уравнению Менделеева—Клапей-
рона, имеем (для v — 1 моль) — RT/y. Тах как (см. прил. XV) при темпе-
ратуре t — 5 °C давление насыщенного пара рп = 870 Па, то нетрудно найти,
что Vbn = 2,65м3/моль. Кроме того. Vqm = р/р $ 18- 10-вмэ/моль. Таким
образом, мы видим, что Vbm С Чьи и тогда уравнение (!) можно написать так:
dp _ гор
Л5 “ RT2 ’
ПЛИ
dp = го 47
р А’ т2 '
(2)
Для небольшого интервала температур 7? — Т> малярную теплоту испарения
го можно считать постоянной и тогда, интегрируя уравнение (2), получим
ь, Р? - гоСПг Г»)
,прГ" ЯГ/Г2
(3)
(4)
Здесь pi и р2—давления насыщенного пара при темнсрЛ1урах Т\ и 7*2- В яа-
лачс требуется ннйти удельную теплоту парообразования г при температуре
t = 5°C. Поэтому для величин '1\ н 7*2 можно взять значения = 4°C и
t2 = 6 °C. Тогда на основании данных Прил- XV имеем р| =811 Па, рг = 932 Па
и рг/pi = 1.15- Подставляя в (4) числовые данные, получим го = 45кДж/моль.
Огсюда уделг.ная теплота парообрпзомшнн г = ro/l* = 2,49 МДж/кг Построив
ОТПЕТЫ Н РЕШЕНИЯ
251
по данным Прил. XVI график г = /((), нетрудно убедиться, что при t ~ 5°C
имеем г = 2,48МДж/кг, что дает хорошее совпадение с найденным значением.
7.20. г = 0.302 МДж/кг.
7.21. Д5 — 2,86 Дж/К.
7.22. Др = 599 Па,
7-23. До давления р = 93 мПа, т.е. до давления насыщенного ртутного пара
при f = 15°C.
7.24. Имеем р0 = тп/Vq и р = m/V Но так как V = Vo(l + то
Р “ Z’o/C1 + ДО 1 • Ю3 кг/м3.
7.25 р= 1.055-103 кг/м3»
7.26. Др = №л/к = 1,4 МПа.
7 27. ДЛ= 16,4 мм.
7.28. Д1 = Л(1+Д1)/(Ь-Л).0 = 56°С.
7.29. тп = 884 г.
7.30.0=7 Ю^К’1.
7.31. р- 102 кПа.
7.32. Сила, необходимая для отрыва кольца от поверхности воды, склады-
вается ил силы тяжести, действующей на кольцо, и силы поверхностного натя-
жения, т.е. F = Fi ч- F2- Сила тяжести
Fi = ph * (d£ - rf?)<? = 40,0мН.
При отрыве кольца поверх постная пленка разрывается по внешней и вну-
тренней окружности кольца, поэтому сила поверхностного натяжения
F2 = но (dj 4- d2) = 23,5 мН.
Таким образом, F = 63,5 мН. При этом х = F?/F = 37%.
7 33 а = 0,032 П/м
7.34. d— 1,2мм; /=5см.
7.35. Сила тяжести, действующая на каплю, в момент со отрыва должка
разорвать поверхностную пленку по длине I = опт, где г —радиус шейки ка-
пли. Отсюда сила тяжести Р = 2лта = zde В массе тп спирта содержится Л'
капель, причем Л’ = rngfP = mp/^do = 780капель. 'Гак как по условию капли
отрываются через время Дт = 1 с одна после другой, то весь спирт вытечет
через время т = 780с = 13 мин.
7.36. ai = 0.059 Н/м.
7.37 А/с 34 см
7.38. R- УЪга/чрд = 2,2 мм.
7.39. Выделенная энергия при слиянии двух капель ртути ДИ” = аД5\
где изменение площади поверхности ДЗ = 4хг2 2 — 4я/?2, где Н- радиус
большой капли. Радиус R находим, приравнивая объем большой капли сумме
объемов слившихся капель; 2 4яг/3 = 4яЛ3/3, откуда R = г у^2 Тогда
Д5 = 4яг2(2 — \/~4) и
ДИ' = сгДЗ = а 4?гга (2 - УТ). (1)
Выделенная энергия пойдет на нагревание ртутной капли; следовательно,
ДИ' = стпДТ - ч»(4/3)хЯ3Д« - ср(8/3)кг3ДГ. (2)
г—m \ '
252
ОТВЕТЫ К РЕШЕНИЯ
(Гл. 11
Сравнивая (1) и (2), находим
Д* = За (2 - УТ)/ср2г = 1,65 • 10“4 К.
7.40 Л = 14.7 мкДж.
7.41. А = (И мкДж.
7.42. А = 432 мкДж.
7.43. Давление воздуха в пузырьке р сложится из атмосферного давле-
ния ро, гидростатического давления воды pi = pgh и добавочного давле-
ния р2 = 2o/r = 4a/d, вызванного кривизной поверхности. Таким образом,
Р Pi) + + 2a/r = 132,9 кПа,
7.44. Дрз = 2Др| = 4с/К— формула Лапласа.
7.45. н = (тг; + 7^); Ар = о».
7.46. d = &а/&р = 2,6 мм.
7 .47. В 4,4 раза.
7.48 n = pghr/2 (см. рис. 156)
7.40. г—радиус капилляра (см. рис. 157).
Рис. 158
7.50. Радиус мениска R связан с радиусом трубки г Следую-
щим образом (рис. 158):
г = R сш<р - II сен (180° - 0) = -К COS0,
где 0— краевой угол. Добавочное давление, вызванное кривиз-
ной мениски. Др = -(2а сс*0)/г. Так как для ртути 0 > ж/2,
т. с. cos0 < 0, то это добавочное давление положительно, и уро-
вень ртути » капилляре будет ниже,* чем в сосуде. Разность уров-
ней
ДА = —-° , отсюда - cos 8 — = 0,740.
pyrt 4а
Следовательно. радиус кривизны метиска ртути Н = — г/с<ж0 = 2 мм.
7.51. 1=0,53 мм; ДА = 2,98 см.
7.52. а) 4= 1,5мм; б) d = 8,8мм.
7.53. ДА = 7.5мм.
7.54. а ^0,0711/ы,
7.55. р = ро + 2а/г = 102,2 кПа.
§7)
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
253
7.56. Обозначим ро и р—давления воздуха п к пн ил л яре* до и после по
гружения капилляра в воду. Ц» » V— объемы воздуха в капилляре до и носде
погружения. По закону Бойли Мариотта
po4)=pV. (1)
Здесь р = ро + 2a/r, Vo = S/to. где 5 — площадь сечения капилляра и ho —
его длина. V ~ Sh, где h — длина трубки, выступающей над жидкостью после
погружения. С учетом этого имеем
РоЛо=(ро + ^)л. откуда r = (2)
по уелппию (Л© — h)/ho = 0,015, или Л/(Ло - Л) = 65,7. Подстанлям числовые
данные в (2), получим г = 0,1 мм.
7.57. а) Л = 755мм; б) h = 757 мм. Таким образом, если трубка узкая,
то атмосферное давление не может быть непосредственно определено по высо-
те ртутного столба Л, так как к давлению столба прибавляется еще давление
выпуклого мениска ртути и трубке.
7.58. К высоте ртутного столба надо добавить 2мм.
7.50. и = (2/1} y/njrp.
7.60. Смачивающая жидкость будет двигаться в сторону узкой части капил-
ляра, ш'смачивающаяв обратную «торону.
7.61. Чтобы иголка могла держаться иа воде, необходимо, чтобы давле-
ние, оказыпаемос иголкой на площадь се опоры, нс превышало давления, вы-
званного кривизной поверхности жидкости в углублении под иголкой и на
иравлемного вверх (силой Архимеда пренебрегаем). Давление иголки на воду
Pl = rng/ld = pVg/ld = pfldp/l, где / — длина жххлки и V — се объем. Давле-
ние, вызванное кривизной поверхности жидкости, определяется формулой Лап-
ласа рз = q (1/К| 4-1//?2) В нагнем случае поверхность жидкости цплипдриче»-
ская, т.е. R\ - ос и R? — г — радиус иголки. Тогда рг = а/т = 2а/d. Так как
необходимо, чтобы pi С Р<« то prdg/4 2a/rf. откуда d yfikt/рлд = 1,6 мм.
7.62. Нет.
7.63. d - 0,5 мм.
7.64. m = 1,22 кг.
7.65. Л = — = 10 мм.
Р.9г
7.66. m = 27,5 мг.
7 67. Поверхность смачивающей жидкости между пллгтинкамн имеет ци-
линдрическую форму с радиусом кривизны Е = d/2. Тогда добавочное отрица-
тельное давление под цилиндрической вогнутой поверхностью р = <»//{ » 2a/d.
Величина р—избыток внешнего давления, действующего иа площадь пласти-
нок S. Следопателыю, сила, которую надо приложить, чтобы оторван* пла-
стинки друг от друга,
F = pS= 2а 5 = 31,5 н.
а
7.6В. р = 0,79 Ю’кг/м13.
7.00. h = 30мм; F= =0,4411.
7.70. n = 0,5 Н/ы
254
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
(Гл. II
7.71. При кортикальном положении капилляра верхний мениск вогнутый и
давление, вызванное кривизной этого мениска! всегда направлено вверх и равно
pl = 2q/Ki , где Ri —радиус кривизны верхнего мениска. При полном смачива-
нии pi = 2о/г, где г—радиус капилляра. Гидростатическое давление столба
жидкости всегда направлено вниз и равно р2 — pgh. Если pi > рз то ре-
зультирующее давление, направленное вверх, заставляет нижний мениск быть
вогнутым. При этом давление рз, вызванное кривизной нижнего мениска, на-
правлено вниз и равно рз = 2о/Г<а, где Я? радиус кривизны нижнего мениска.
В равновесии pi = рз + рз- Если pi < рг, то результирующее давление напра-
влено вниз и нижний мениск будет выпуклым При этом давление рз = 2а/Rz
будет направлено уже вверх. В этом случае Pi 4-рз — Р2- Если pi = pz, то ниж-
ний мениск будет плоским и рj = 0 Пользуйся числовыми данными, нетрудно
получить;
a) Ri = 0,5 мм, Rz — — 1,52 мм; 6) = 0,5 мм, Rj = 1,46 мм; в) /?> = 0,5мм,
Rz — оо-
7.72. т = 0,22г.
7.73. a) Л = 11,5 мм, б) Л = 12,9 мм; n) Л = 17,2 мм (см. решение 7 71).
7 74. а) АЛ = 6,8мм; б) ДЛ = 8,5мм; в) АЛ = 17 мы; г) АЛ = 23,8мы.
При АЛ > 23,8 мм жидкость начинает аытекать из трубки 1.
7.75. Если бы капилляр был достаточно длинным, то, как нетрудно убе-
диться. вода в нем поднялась бы иа высоту hr = 2,98см. Но высота капилляра
над водой Л < Л'. К мениску приложены давление ро = 2о/Я, вызванное кри-
визной мениска, направленное вверх и гидростатическое давление р = pgh. Для
любой высоты Л будем иметь pgh = 2о/R, откуда R = 2а/pgh 0,75 мм
7.76. На ареометр, плавающий в жидкости действуют: сила тяжести Р, на-
правленная вниз, сила поверхностиою натяжения F = 2яго = к da, напра-
вленная при полном смачивании вниз (при полном несмачивании вверх), и сила
Архимеда Ед = pg(V 4- Sh)t направленная вверх, где V—объем нецилиндрп-
ческой части ареометра, S - площадь поперечного сечении трубки ареометра
и Л—длина цилиндрической трубки, находящейся в жидкости. В равновесии
Р + F = Ед. Считая, что от нескольких капель спирта плотность воды не
изменилась, мы можем написать для воды и спирта соответственно
Р 4 сЛтП1 =• pg (V 4- Shi)t Р -|- rfxnta = pg(V 4- S/12),
откуда АЛ = 4Да/р9«/ — 2,4 мм.
7.77 АЛ = 3,5 мм
7.79. Л = г J ° j* . °* —уу , при <т > «л + <12-
У О - (<У| 4- сз) <7* - (<7j - очГ
7 80. Т- 313К
7-81. N = 1000.
7.82. р = 290 к Па.
7.83. тп = 2 г.
7 84. О = 0,55; п = 4 1О25 м’3
7.85. р= 12,4 кПа,
7-86. рз = 19,6 кПа.
7.87. X = 50.
SB!
ответы И РЕШЕНИЯ
255
7 88. Закон Рауля можно применить дли определении молярной массы ве-
щества. Действительно, закон Рауля можно написать так:
Замечая, что с/ = т/р и 1/ = тп'/д\ нетрудно in (1) получиil
f и т ро - р * W
где m масса растворителя, д— молярная масса растворителя, т' — масса
растворенного вещества и д'— молярная масса растворенного вещества. П<ж-
егтивляя числовые данные, получим д' = 0,092 хг/моль.
7.89. до = 925кПа
§ 8. Твердые тела
8 1 И 1 уравнения Клаузиуса— Клапейрона находим
ДГ.^ЧЧ.-Ц) (1)
С другой сто|юпы, из менян не энтропии
з шАо/Т = и<&/Т, (2)
где Ло — удельная теплота плавления, фо — молярная теплота плавления, тл —
масса Из (I) я (2) имеем
ДТ = Лр(V* - К)<//ДS = 0,009 К. (3)
8.2. Д$ = 15,8хДж/К.
8.3. ДУ = 1,03л.
8.4. а) с — 390 Дж/(кг К); б) с = 450Дж/(кг • К); в) с = 930 Дж/(кг К).
8.5. Молярная масса материала шарика д — 0,107 кг/моль; следовательно,
шарик сделан из серебра.
8.6. В 7,2 раза.
8.7. ДТжббК.
8.8. Количество теплоты, прошедшее через сложенные вместе медную и
железную пластинки, определяется формулой
Q = Л> Sr = Л2 Ц-^- Sr,
di di
откуда
Aitidj 4»
Ajd^ + >2</i
= 34,5cC.
256
ОТПЕТЫ И РЕШЕНИЯ
(Гл. 11
8.9 Л =1,28 Вт/(м К)
8.10. Q = 190кДж
8.11. = fi.38 Дж/с; m - 60г.
8 12 QT = 11,7 Дж/с.
813 t = 106 °C
8 14. г = 28,6ч.
8.1Б. При нагревании от to - 0°С до температуры t = 30 °C стержень удли-
нится на величину
А/ = I - l0 = loot (1)
Чтобы не дать стержню удлиниться, к нему надо приложить силу Г “ Ai E.S/fo,
откуда
At foF/ДО. (2)
где Е— модуль Юнга материала стержня. Ил (1) и (2) находим
Е = ESat = 71 кН
8 16 т= 15,2 кг.
8.17. 12 = 20 °C.
8-18з а = 1,8-16“* К"1-
8-19 Имеем для стального п медного стержней
li = fot (1.+ “10 = foi + foi«iG (1)
h = foa (1 + “г!) — foi + fo2«2t- (2)
По условию — fo ss AI, toi “ fo? 13 О)
Вычитая (2) из (1) и учитывая условия (3), получим
oifoi — aJoi. СО
Из уравнений (3) н (1) нетрудно найти длину стержней при to = 0°С:
/02 = Lai/(OT “Ot) = 11 см, foi = foa 4 Е - 16см.
8.20. В 1,02 раза-
8.21 р = 29,4 МПа.
8.22 d = 4,0мм.
8.23. I- 2.9 км
8.24 t = 180м.
8 25 t = 11,9км.
ОТВЕТЫ И ВЕШАНИЯ
257
8 26 F = 2,45 кН; Д/ — 4 с.ы; нет, так как удельная нагрузка меньше
предела упругости
8.27. п = TS'W
8.28. п = 3»4с-1.
8.2D. Центробежная сила, действующая ни стержень, в данном случае
Т71 f
F — J r<i)2dm^= J ru)2pSdr,
и о
где ш —yiлопая скорость вращения, г расстояние от элемента массы din до
оси вращения Для однородного стержня dm = pSJr, где р шютнгктъ мате-
риала стержня и S его сечение. Произведя интегрирование, получим
FapSwV/2
откуда предельная частота вращения
-*-?|\ж:=38,л/с-
8.30. р — 570 МПа.
8.31 По закону Гука
1 ~ Е1'” = г откудл * (1)
Для упругих Сил
F = *Д1. (2)
Сравнивая (1) и (2) видим, что к — SE/1 Тогда
А = k (Al)2 /2 = SE (Д1)2/11. (3)
Вычисляя величину Л/ »и (1) и подставляя остальные числовые данные в (3),
получим Л — 0,7()6Дж.
8.32. Ь =: 2,94МПк.
8 33. Для растяжения шланга на Л! требустсн приложить силу
r"-ksr- (*)
г—т
2Б8
ОТВЕТЫ И ГЕН КЕН И Я
(Гл II
При этом внутренний диаметр шланга уменьшится на Ad = fidiF/S. Но из (1)
имеем F/S = A//nJ, слсдоцдтслыю
ЛЯ ЛЛ 1
Ad = /?dl--r = —r-.
где а = fi/a ~ коэффициент Пуасьом*. Подсгакляя числовые данные, найдем
Arf = 1 мм к, следовательно, d? — di — Ad = 9 мм
8-34- х-О.Зм.
8.35. М = 2,28 10“7 Н м
8.36. Закручивающий момент М = •xWd*ipf{2l-16) причем tg2у? = а/L. При
малых у? можно положить tgy? т у?, н тогда у> — a/2L = 32/Af/wNd4 Отсюда
М = «яNtf/Mll. 1,96 10“13II - м
8.37. Для поворота проволоки на угол dy> надо совершить работу
dA - Mdy
где М—закручивающий момент. Так как М — *Nr4tp/2l9TO
А = J = = ! 25 . ю-12 Дж
О
Эта работа перейдет в потенциальную энергию W закрученной проволоки.
8.38. <1 = 1,74 см.
8.39. Коэффициент Пуассона а — ^ = > где г— радиус проволоки и
I—ее длина. Объемы проволоки до н после растяжения:
Vj = жЛ, и ж (г — Ar)2 (I 4- Л/)
Если объем при растяжении не нзыеннлся0 то
2l = 3F(r-Ar)2(l + AI).
Пренебрегая квадратами величин Аг к АГ найдем пт2А/ = 2*гАН, откуда
а = 0,5- t
8 40- Плотность несжатого стержня pj = т/Ц, где Ц = irr2l. Плотность
сжатого стержня /»2 т/Иг» где Vj _ я(г + Ar)2 (J — AZ). Следовательно,
измен си нс плотности
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
259
Так как сжатие невелико, то приближенно можно принять У2У1 = V,*. т.е. поло-
жить Др — тДУ/Ц. Тогда относительное изменение плотности Ap/pj = ДУ/Ц
Найдем изменен ио объема:
ДУ = яг2/ — ж (г + Дг)2 (/ Д/)
Пренебрегая квадратами величин Дг и Д/, получим
Д1 = I,
откуда АР _ ДИ _ А* ц 2<г),
где а* коэффициент Пуассона. По закону Гука Д/// = р„/К Тогда
У нас р„ — 9,81 - 10т Па» Е ~ 1,18- 10й Па и о = 0,34. Ilojuft’iuuimi эти данные,
получим Лр/Р| =0,027%.
8.41. ДУ = 1мм3
8.42. п = 4 узла.
8 43. Постоянная а связана с объемом элементарной ячейки У = а3, а
V = &•. Следовательно
Объем одного килограмм-атома Са
Число элементарных ячеек в одном кнлограмм-атоме
Z°=n'
Мд — число Авогадро, п — число атомов, приходящихся на одну ячейку. Пекле
подстановок получим
а3 = -=•£-, откуда а = ?/ -’’А-
/>• Na9 j V P na
Подставнв n = 4 (см. предыд>гщ>ю задачу) и числовые значения р =
= 1,55•!О3 кг/м3, Na = 6,02-1023 моль ’» А = 4<J кг/штом, получим а = 5,56 Л.
Расстояние d =-S—= 3,93А.
У2
260
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
р’л II
8-44. а) 1,44 -102* м“3. 6) 2,1 - 1023 м“3, в) 4Л4 • 10-а м"3.
8.45. р= 1,46.10*кг/я*.
8.46. тп = 6,95 — литий.
8.47. с/а = 1.63.
8.48 п 3,20А, с = 5.21 А.
8.49О п==2,зД.
8 50 р 207кг/м3.
8 51 Теплота AQ для нагревания тела от Т( до Та
ЛС? =
с (Т) ат.
Тснлооы кость «ела
нател ьно
(И1 масса тела, //— молярная мл ста), ел цдо-
J С*(Т)<ГГ
Для случая нагрева от тем пера гуры 7> — 0п — 320 К на 2 К можно считать, что
молярная теплоемкость не меняется, т. к. ДТ Т В атом случае
™С|. (Т,)ДГ
Найдем Су(/ |) Цо теории Дебаи
Г-(7'0 = :’«[*2(Й)3
*п/1\
[ J-1 dr
J -1
о
При 7’1 = 0ц интеграл f т ~ i отсюда С’я (7’i) = 2.87/f и
о 1
д<2 = 2,87 R ЛТ = 16,3 Дж.
Во втором случае 7’ <С Ор, следовательно
з
(показать!)
а
Л(?= 1^2
т2+дт
Г-2
11|Ю11ПТСГрИрОШ№, получим
£>.Q - Or'1 R 4- - 1,22 IC S Дж.
11 6D
Sei
ОТВЕТЫ It РЕШЕНИЯ
2G1
8.52. Сс„ - 925 Дж/(кг • К); СЛ| 390Дж/(к г К); CNuCj = 852Дж/(кг К).
С’СаС:, - 925Дж/(кг - К).
8.53. ДЕ 1,7кДж.
8.54. {Е} = АТ; ( Е) = 4.14 • 10“21 Дж
8.55. Е = 121 кДж; С = 414 Дж/град.
8.56. р = 3.44 • 1012 Гц.
8.57. В 3,74 piKM
8.58. ДЕ = 36 кДж.
8.59. Ео = 2,87 МДж/кияограмы-атом.
8.60. </(р) = '‘д—№.
him
, *о/Т 3 (
о
8.62. СД = ^ИЛ(^)3
8-63. РгааХ =3,76- 10,2Гц.
8.64 ДЕ//ц> = 5,2 • 10“3
8.65. ДЕ = 41,4 кДж/княогракм-атом.
8.06. = 212 К.
8 67. 0E/0D = 3/4.
8.68. (р) = "•
X 2 9Г>/Т
*со л; з/п-.2(^) /
О
.то С..з»[о(£) /
о
8.71. Ео = 2.91 МДж.
8.72 у(р) =
'max
^i/Г
8.73. Е = ЗЯТ^^ У F~T‘
Л|,/г
..И.С„=3Л[2(^) J
О
8.75 Л*» = 1,87 МДж.
8.7G. € = 3,45 - 10”21 Дж.
8 77 р- Il»-2ill с.
8.78. v = 1,5 10я м/с.
8.79. А = 48 Л
8 80. и =3.13 Ю3м/с.
8.81. А = 40 А.
8.82. ПЛМН/м2.
262
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
(Гл III
8.83. 77.7МПа.
8.84. о = 3,40 • 10”6 град-1.
8.85. = 1 час 20 мпп. *
8.86. Т = 2х/3.
8.87. I — Хи (1 + a(#i 4-G1/2]
8.88. Т = 591,8 - 431.8 1gК, где R—расстояние от оси трубы (в см);
Q - 30,2 кДж/час.
8.89 D = 2см.
8.90 Л1//= 0,014.
8 91 Нтпч = 6.5км
8.92. R — d(l 4" “ Лгт) АТ ~ 56см.
8.93. Г(Я) =
8.91. T(r) = lb + (Я2 - г2).
8.ОБ. А = 3,1 »В.
8.96 /„ = 0,15 А.
8.97. п = 2,5 10,ом-3.
8.98. иг = 3,5 • IO"2 м2/(В с); пг = 2 1022 »Г3.
8.90. ср - -0,05 эВ.
8.100. г = 0,053эВ
8.101. UX = 1,2В.
8 102. п = 1022ы-3
Глава III
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ
§ 9. Электростатика
8 1.»)Vf=3; 6)Ve, =2/г; в) г) 0
9.2. Ve = 0; Ф^ = 0.
9.3. Фг = 4хЛ3.
я
9 4. ФЛ = j/(f)4№</r.
9.5 VE = 0.
9.0 - р = со (2х + 2у 4- 1).
9.7 Ё = ~(2ахZ* + - 2« £*).
9.8 . Да. является,
V?(z, р. z) = - (ох 4- by + cz).
0 0. Нет, не» является; ^?(г) = —
0.10. а) —г) [Vxff| =0.
9.12 . Нет, не может.
0.13. a) [Vx/?1 = 2oft: 6) Г = 2о%/?2
9.15 . В L25 10* раза.
0.10. а) И'жл/Н'гр = 4117 10«;
б) Wvi/W'rp = 1,24 - 10*
0 17. На рис. 159 представлен характер лани
с я мости энергии И'»л электростатического взам-
модойствпя двух точечных зарядок от расстоя-
ния г между ними.
МГ11ЕТЫ И РЕШЕНИЯ
203
0,6 F- g7.u“4^w
1твоаа
В зависимости от расположения зарядов:
а) Е = 0; б) Я = Ш)кВ/м; в) £ = 30 кВ/м.
Е = 0.
0.19.
0.20.
9 21.
9.22. На каждый шарик действуют две силы (см. рис. НЮ): сила тяжести
ту и сила электростатического отталкивания F&. РлниодсПсгвующая этих сил
равна F. Но
= mg lg«r = f3/4ireo№, г/2 = I sin а.
где </ = до/2*-злряд на каждом шарике, р—
ускорение свободного падения; отсюда имеем:
-ft ж-----------«2^.—т-------- 15.6 г.
9 4&а 4яеос вш* a tg а
Q = 1,1 МкКл.
Groin = 32*tomgR?/Q.
Т — —<
4хгс|Г
9.26. Т =
TFJ =
0.23.
9.24.
9 25
Рис. 160
9.27. Для шарика, находящегося в воздухе, имеет место уравнение (см. ре-
шение 9.22)
д2
ту =------------Н----х-------
4яео£ 4/*р eliva Igo
При погружении шарика в керосин на каждый шарик стала д<*11ствонать вытал-
кивающая сила Архимеда Рдрх. Для шарика, находящегося в керосине, имеем:
(О
™9 “ ^Лрх = 7-------,,Л . j, (2)
* 1г у внг nK tgoK
где
’ng - FApx = (/>-/>«) V9, (3)
где д —плотное ti. материал я шарика, рк—плотность пероснил, V* — объем ша-
рика, д — ускоренно свободного падения. Из (1) — (3) имеем
I™) ~ ^Лрх _ р — _ г sin2 a tg а
/’ ск flin' nM eg ок ’
откуда
Р = РК --. /xei.r°KtgOK = w& 10з кг/мз
внг Ок tg ак — е «in' о tg о
9.29 о=13°
9.30 с = 2со£ \JT^Сгцд)2 /д = 7,8 мкКл/м*
9.32 . Е = А/(2ягох)-
S.M. е=й-
21.1
О ГНЕТ IJ It РЕП! ГНИЯ
(Гл. Ill
9.ЗБ. a) F = 20mkH; 6) F= 126 мкН: b) F = 62,8mkH.
9 37. F| = 3,4H/m
9 38. F|=8,1H/m; A[ = 0,112 Дж/м.
9.39. E — 3,12 МВ/м; папе поправлено перпендикулярно к плоскости, про-
ходя щгЛ череп обе нити.
9.40. Fs = 5,1 кН/м2.
9.41. На шпр дейстпуют ipn силы: сила *,ин*кт рического поля F (иисрх),
сила тяжести тд (вниз) и сила Архимеда Fa₽x (вверх). В равновесии
n?p = F + FApx, (1)
причем
П1£/ = 4%FJpp/3, F = Е\рк - (2)
где р и рм —п.по f пост и меди и масла. Из (1) и (2) имеем
г/ = 4irR*0(p - рм)/ЗЬ =11 нКл.
9.42. Имеем
р Т81ПП m
(1д<\лал чиртеж, нетрудно усташшмть, что
MU = -г-,-^2 (2)
где» I длина нити, а— расстояние рассматриваемой точки от нити. Подставляя
(2) н (1), получим; (сравни с решением 9.33)
4xfocn Ь (//2)а
di
d&
Риг. 191
и) Если a <K 1, то + (//2)2 R* 1/2. В этом глуше <|к)рмула (3) дает
Е — r/2nwa — напряженность поля бесконечно длинной нити.
б) Если а » I» ю у/а'2 + (1/2р* w °* 1Ак как ™ <|м»|>му-1л (3) дасг
/•; = fl/4x£oca2— напряженность ноля точечного заряда.
9.43. Возьмем чьдименг КОЛЬЦА (II
(см. рис. 161). Этот элемент имеет
заряд ей/. Напряженность электриче-
ского поля п точке Д, созданная этим
элементом, dE = с/|//4.сбо5.т2. Она на-
iipaii.ii«‘im по линии .г, соединяющий
элемент кольца dl с точкой .4. Для
пахож,№11пя напряженности пиля вег
го кольца н.щс вгкторно сложить dE
от всех элсменгон. Вектор d/v мож-
но рахюжпп» на гогт.нишклцне дЁг и dEn. Составляющие dEn каждых двух
диаметрально противоположных элементов взаимно уничтожается» и тогда
Е
ЛЕГ.
ОТПЕТЫ И РЕШЕНИЯ
265
Составляющая
dEr = dE cos a = dE^ = -У1*!.
x 4гс0ег2
что дает
E = a——У /* = 7—' 5
45T€o£S J Лп-еос®3
Ho x = V/i* + 1Л и окончательно
•4ж?ое(Л2+L2)3/2 '
— напряженность злектричееко! о ноля на осн кольца. Если L ?J> Rt то
Е = «j/dreoeL2, т.е. на больших расстояниях заряженное кольцо можно рас-
сматрниать как точечный заряд. Подставляя в (1) числовые данные, получим
напряженности Е» равные 0, 1,60, 1,71, 1,60 и 1,15 кВ/м. Выдоим величины т
и L через угол а. Имеем Я = г sin a, L = х cos а; теперь формула (1) примет
вид:
г> <7 -2
Ь —-----—cos a sm а.
4яеосЛ2
Для нахождения максимального значения напряженности Е возьмем производ-
ную dE/da и приравняем ее нулю:
dE _____q
dt* 4kcqe/J*
(го«2 n 2 sin a — ain3 a) = 0 или tg2 о . 2.
Тогда напри жен нос ть электрического ноля имеет максимальное значение в точ-
ке .4. расположенной на расстоянии L = J?/tga = Rfy/2 — 7,1см от центра
кольца
9.44. В 1,3 раза
9.45. См. рис. 162.
dE = -------г!г
4-XEQ (г* + т2) 4я£о (г2 -I’ Z3)
R
Е= [dE cose = [ „„ =
J J у/ r'^ 4- z2 4кбо J (f2 4- z2)3^2
я ° Г
= -у f dr7 = 11__________x_____I
Uo J (r2 + z2)3/2 2fo [ Ry/l + xi/R* ]
Рнс 162
Рис. 163
ОТПЕТЫ И РЕШЕНИЯ
[Гл. Ill
9 46 Из решения задачи 9 45, следует, что, если
в) Я х, то 1 — д У/кХ *’ и & = 2?о Т*в элсктР,1ч<,скос поле
бесконечной заряженной плоскости;
. х • Г. 1 Ла . 1 ~ 1 Я2
6) если х> Я, то 1 - I” [1~ 2 +- ] * 2 р-
Е = £— = -—2--« —т о. ноле точечного заряда
4-го т* 4ле0х/
9 47. И< ходи из решения задачи 9.-1Ьсглцлуот получить пыраж«*.пнс для элек-
трического поля Ё между лисками.
9 48. Испльзуя тацмшу Острог раде кохч) — Гаусса, легко получить осы? г:
Е - 0, 0 г < К, Е— _&?, г > R, v= 0 < г < К; V =
г R (см. рис. 163).
9.49. Е = 5^-г, 0 г < ft Й= . *? д X. г > ft Q = -тгЛ3р.
Зсд 4хбоН I г | 3
р—плотность электрического заряд»;
* = --&О (R2 “ т)’ 0 $ г $ R' v= & (я - ?)•г Hi
ь’^)=4^ ^М ’*С16'‘)
9.50. /-^^.
ЛГ- Лр^
9.51. К 4?-, 0 < т $ ft Е = Ц^~ , П;
^£0
ip ж (Л2 - г2), 0 < г < R; In R , Н < г (см. рис. 1бч5)
9.52. Сида, действующая на выделенную грань куба, Р = a f Еп где
J Рп dS ноток через my i рань вектора Нчлпряжениостм поля, создаваемый
остальными пятью гранями. В качестве замкнутой поверхности построим
куб, немного больший данного. Тогда все шесть граней дают поток век-
тора напряженности поля через все шесть сторон построенной поверхности
Ф = g/to = 6<rt2/€o> а через одну грань О’ = сг/2/ео« Но
Ф'
/Еп dS + aP/fr.Q, следовательно
от выдолеияой
от пяти грьмюй гряин
Значит, F = <у2Р/2го- Аналогично для тетраэдра F — \/3^212/Вео
5*1
ОТНЕГЫ И РЕШЕНИЯ
267
9.53. Указание, мысленно заполнить полость зарядами протквополож
пых знаком г ilidihcc'thmki и —/>. Тогда поле п пои нити можно рассматривать
как суперпозицию полей двух равЕЮмерпо и противоположно заряженных ша-
ров.
= Л-®_; Г=ЙСЫ.
2 4зГ£()£Г’
г = 5,1 10"10м
9.54»
9.55
9 56. А = 1,2 мкДж
9 57. В) v= 11.3В; б) р = .ТОВ
9-58» А = 113 мкДж.
9 59, vi ж 16,7см/с.
9.60. Имеем rfA = qdUt но dU = -Edr = rdr/2я£о£т, интегрируя, получим
Л = - 7 In U
J 2iTEccr 2ireoe *’2 *
откуда т - - = 0.6 мкКл/м.
9 61. г и 3,7 мкКл/м.
9 62. с = 2,97-107 м/с.
9.63. a = 2Лг?ос/</Аг = 6,6 мкКл/м2.
9-64. d = 4,8 мм
9.65. " V(/O — Л1)/Я2? Ч>2 » V4 Л1/Я-2.
я-6(3- Е = : v = •
0 67. д> = ? *ccw Q/r*i Е = (р/г3) 1 + Зсон2 &
9 68. F = 2,l - 10-16Н
°-69- — = ТЗ^Г " ,1рн <£? > кт9'
9.70. Указан не: скорости окажутся максимальными и момент t, когда все
заряды окажутся па одной прямой. v> = —у* . ; V» = —т .
V 4тео отш V 4лсо bmJ
9 71. Записан законы сохршгения для двух вдектронон, получим а = г/2.
°-72’ v = ^Jomd
9.73. Указание: применить метод зеркальных отображений (см. 9.28).
2 72 -1 2
32лто<12
9 74. ( = 0a5mgd/qE = 2см; t = d/2vt = 1 С.
9 75. г = 10 ям; q = 7,3 10 1Я Кл
9.76. g= 1 73нКл
9.77. {==22 мкм
9.78. 1- 0,5 см.
9.79. U =2,8В, Е = 530В/м а = 4,7иКл/ме.
9.80. F =5.7 В/м; ю = 10е м/с; А =4.5 10"19 Дж U = 2.8В
9 81. F = 9,6-10"14 Н; а = 1,05-1017 м/с2; v = 3.24-107 м/с; <т = 5.3мКл/м2.
9.82. го $ у/j с E/rnd, для мн*кг|кшл vq =3,64 Ю7 м/с,
для а-частицы fo — 6 105 м/с.
268
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
(Itn. И!
9 83. ar = 15,7 • 1014 м/с2; an = 8 10н м/с2; а = 17,6 -1014 м/с2.
9“-" = nSfc=28B-
9.86. у = 1 см.
9.87. С = 710мкФ; Д<-?я 1400 В.
9.88. т = 2,5 1О’мкг.
9.8В. \fi = n2^3^/(4»fo'r*') = 3,6 кВ
9.90. г = 2,1 см.
9 91 у>тах - 1,5МВ.
9 92. С — 1 S- площадь пластин конденсатора, d—расстояние между
пластинами
9 93. C = 2*cCol/\n(R7/nt).
9.94. С = 4^7^.
9.95. С = 5,9 нФ.
9 96. Cl = = 17,7нФ; О| ш qfS = CU/S = 531 иКл/м2
С, £2^5 . 46 пФ; at - ai
9,97. С| = 17,7 пФ* tri = 531 нКл/м2; С7 — 46 пФ; <тг = 1,38 мкКл/м2.
9 98. С| = 214 пФ/м.
9 99 Имеем d4 е —qEdrt где Е = 1'ц {Я/у)—||плс 11 цилиндрическом
конденсаторе (см. 9.93).
л _ l? qU dx _ qU ln(/i/h) nw2
A “ “J гйгглтн ‘ inlA/r) = nr’
9.100. Падение потенциала в норном слое
у,»- i +
*' J ‘,аХ ln(K/r)
r-Hh
А ИО 1НЧЦЮМ
DolnW(r + dj))
La-------iiTutTd-----
Отсюда
Ui _ ln((r 4-rfi)/r) _
0’2 “ 1п(Я/(г + (П)) “
9.101. C= 0,96 нФ.
9 102. л) - 300 В; 6) tfi = 75 В.
9 103. С = 1,17нФ; /?о=2,1м-
9 104- " = • 107 “/С- ‘
9.105. С = 0,33 мкФ
О 106. Cl/Ch = 3.
9.107. «л = 92 = 8мкКл; Ui=4B: U7 =2 В.
9.109. 1К = 0.1Дж.
9.111. LT = (ч/4пЦ) 4- 1 - 1) /2о = 12В.
§0] ОТПЕТЫ И РЕШЕНИЯ 269
9.112. а) С = ~ С; б) С’ = 5 С. в) С'=ЗС.
9.113. ffi=94=^y; 92=93=fls=<M = t/^.
9 114. По закону сохранения зарина имеем
91 - Vi = 9'1 - Й» Q2 -<?:<“ 92 - 9з-
Рлбогл по Ш']м*мс1цси>1Ю заряда по данной замкнутой цени равна нулю (т, к. ноле
потенциальное), т.е.
0=’1 + ^т^
с с с
С л едовател ь но,
' _ '^91 “ 42 - 93 г _ 2fr - <?j - 91 • _ 2^3 - 91 - 92
91 - -------з---, 92 - -------f---. 9з - -------з-----•
9.116. Указание: учесть, что работа электростатического поля по пере-
мещению заряда по замкнутому контуру равна нулю. С1 = 2 С.
9.117. R = 7mm; 9 = 7нКл; С=1,55пФ; 1У=15,8мкДж.
9-118 a) Wj = 50мкДж; б) И'{ = = 12,5ыкДж, Л = 25 мкДж;
в) IVJ = ИЛ' — 3,125 мкДж, Л = 6,25мкДж.
9.119. q = 17,7мкКл, Б = ЗЗЗкВ/м; Wo = 2,94 Дж/м®
9 120 р = 26,5 Па.
9.121. а) Е = 56кВ/м; б) d =. омы; в) v = 107 м/с; г) VK = 695 мДж;
л) С« 1,77пФ, е) F = 139 мкН
9.122. Е — 60 кВ/м; IVi =20 мкДж; И'г =8 мкДж
9.123. Е\ = Kj 150 кВ/м; IVi = 20 мкДж; IVj = 50 мкДж.
9.124. г = 4,5.
9.125. а) И'о <72Л</реое(Я + л)4]^97мДж/м3;
б) И'о = о2/(8е(н) = 1,97 Дж /к3;
и) IVC = та/(8л*£оех2) - 50 мДж/м3.
9.126. Пусть «то — поверхностная плотность заряда на пластинах в отсут-
ствие диэлектрика. а ад— при его наличии. сгс»— поверхностная плотность
связанных зарядов на диэ.чвктрпкг. Совместное деПствис двух последних мож-
но представить как действие «эффективного» заряда на границе проводника и
диэлектрики с иовгркностной плотностью
<7 = ~~ <^4»
Очевидно, cfq, av и а связаны с соответствующими напряженностями пола
в отсутствие диэлектрика Ei = eo/to = Ui/dt
в присутствии диэлектрика <^оЛо =- ^/d.
Ov — styEi = co (г — 1) = co (c — 1) Va/d;
а) до отключения от источника: Ui —V2 = Ъ\
(icn = со (f - 1) V/d =17,7мкКл/м3.
Изменение поверхностной плотности заряда при лано.ииенин кондгнеагго]»^ ди-
электриком о9 — ао = СосЕ? — ?о£1- Так как в данном случае Е2 = Е\ = E/d,
°9 -^0 = со (Е - 1) V/d = ас» = 17,7мкКл/м2;
270
ОТПЕТЫ И РЕШЕНИЯ
[Гл. Ill
6) После отключения конденсатора от источника напряжения q — const,
l'i ЖUA/*2 »
— го (г - 1) l’?/d = ео (г ~ 1) t U*i /«j<f — 2,53 мкКл/ма.
D 127 о, в = 4я«о\Е = 4wt^xU/d = 7,1 мкКл/м2;
(т9 — Ue^e/d — 14 мкКл/м2.
0.128. а) Е = 300 кВ/м; б) <j9 — 1Г>,9мкКл/м2; н) a VB = 13,3 мкКл/м2.
9-129 а) Е = 752 кВ/м, D = грсЕ = 13,3 мкКл/м2: б) <гСп - 6,7 мкКл/м2:
is) ад = 13,3 мкКл/м2; г) W'o = 5 ^Хж/ы3; д) * = с - 1.
9 130 а) Д = 19,7 мкДж; 6) А = 98 мкДж
9 131. Р = D
9.132. Е = О = еоеЕ -п А? = 7^7
9 133. а) Е = 50В/м, V - 0.885иКл/м*. б) /’= О.-МпКл/м2;
и) с* = ± 0,41 нКл/м2.
9.134. <Гвнутр = “4тгсг^^' ‘ (см. рис. 166 167).
9.136. W =
$ 10. Электрический ток
1U.1. 4= УIdi= 7(4+2t)<« = <«Кл; ?0= I2A.
*1 *1
10.2. a) R = 70Ом
б) Rt = 87,50м; Я2 - 116.7Ом; Кз - 1<5Ом; R-i = 350Ом.
10.3. Имеем R\ = Ro (1 holi)r где Яо — сопротивление нити при «и = (J°C;
отгюдл Ru = 771/(1 +а«|) = 32,8 Ом. Далсч», Rj = U// = 364Ом, и так как
R* = Яо(1 +а*2)- <2 = («2 - Ло)/Лоа = 2200°C.
10.4. t-2 70°С.
10.5. Lr2 = 0,125 В; R = 7,5Ом.
10.6. fj = 25%.
10.7. U2 = 2,7 В; г = 0,9 Ом.
5 ю)
ОТПИТЫ И РЕШЕНИЯ
271
10.8. х = и/£ = п/(1+п); а) ж = 9,1 %; 6) х = 50%; в) ж = 91 %.
10.0. 1) _ 80%.
10 10 При последовательном соединении элементов /| = 2£/(2г 4- Л), при
параллельном соединении /2 = f/(0,5r 4- Я).
a) It = 5Aa /j = 5,7А; 6) /1 я 0,24А, /д = 0,121 Л. Тпкны образам, при
малом внешнем сопротивлении R элементы выгодное соединять параллельно,
а при большом внешнее сопротивлении —последовачелию.
10 11 /|-0.6Л; Ц -0.4 A; Z = Л +/2 = 1 А
10.12 Ток в цепи / = 2£j(R 4- П + г2) = 1,33Л. Разность потенциалов на
зажимах шелюги ьчемеп гл (fj =s £ — lr i = 0,6613 разность потен пн а. юь на за-
жимах второго элемента = £ — In = 0. Учашимся предлагается исследовать
в общим виде, при каком соотношении между Я. Г( и п разность потенциалов
иа зажимах одного из элементов будет равна нулю.
10 13 / = 2Л. = 2В
10 14 0=80 В
10.15. а) / = 0,22А, СГ=11ОВ б) I = 0,142А, 0= 53,2В;
п) / = 0.57 Л. 1/ = 110В; г) 1 =0,089A, U = 35,6В.
10.16. I =40 А
10.17. Параллельно амперметру надо включить сопротивление R = 0,02 Ом;
иена деления амперметра изменится и вместо 0,1 А/дал станет райпо 1 А/дол
10.18 . Последовательно с вольтметром
надо включить сопротивлении К = ЗкОм;
йена деления вольтметра изменится н вме
сто 0,2В/дел сгниет равно 0,5 В/дел
10.19 R = 300Ом; 1 = 21,2м.
10.20 . См. рис. 168;
/> = I? = 0.365 А /д = 0,73 Л
10.21 ДУ = 6.8 В
10.22 ДР = 212 Вт.
10.23 S = 78mm2
10.24 . a) Q1/Q2 =0,17; б) Ui/U2 =0,17.
10.26 Qr = 18Дж/с.
10.26. Ро — 2,4 кВт Р = 2.3 кВт if =. 90%.
10.27. £ = 4 В; г = 1 Ом.
1020 £ = 6В г = Юм
10 30. I = 1 А.
10 31. a) Qri 6,37 Дж/с, Q,a = 3,82Дж/с;
б) QT, = 16.2Дж/с, Qra =27,2Дж/с.
10 32. V' = 2,9 л.
10.33. Р= 1,2кВт. R = 17Ом.
10 34. а) т = 45мнн; б) т=10мии.
10.36. ff = 80 %.
10 36. t = 49 мни.
10 37. К = 33 Ом.
10 38. /?,/Л1 = 3/5
10 39 R? = R/2; Д/гжх = -U/RD / = ^т- убрать ребро АВ
27'2
ОТПЕТЫ И РЕШЕНИЯ
*Гл. II!
10.41. Эквивалентная схема (из соображений симметрии схемы) бесконеч-
ной цепочки имеет вид как на рис. 170. Эквивалентное сощютинлепие такой
схемы
«лл = (ла - к («I + Ra) + ^/[«a-*(Rl + Ra))2 -I- «Л> Ra ) /2fc.
10.42. H1 = g R.
10.43- H‘ = 5 H — использовать симметрию ветвей около точек Ди В
10.44. Полученную схему (рис. 171) не удается упростить» т. к. в ней отсут
ствует симметрия. Поэтому следует воспользоваться правилами Кирхгофа.
/1 = /з + fa
fa t h — /4 P fa
(/2 + /5 + /|}Я = (7
(h + /i)«=/5K
(Ji + /з) Я ЬЯ
U — напряжение иа АВ
Учтем! что Лдц “ O'/f/t + fa) Из решения сисггмы можно получить значения
токов /2, /з? fa и /5, выраженные через Л, и Ujfa = 3R. После этого
Рис 171
Рис. 172
Sio)
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
273
10.45. Rcd — -2/, 4- Y21 — напряжение на CD (рис. 172);
( О' = /1Л2+(/1-г/2)Я|
I (/> + /2) Л| + h + Ri- 2KiH2 coeV = Л «2
Решая систему и подставляя в первое уравнение, получим
2Л1+ (/h /?2) v/ Л? + /if — 2Н1 R? cos
Rcd = --—---—-------р .. ;=;---- -==----- .
rtt + Я» + 2 yj R* + Я.] - 2Я1H2 cos^
(Я, + Яг) +Лг-2Я1Я2сов₽
Аналогично для Иди = * .
R1 + Яг + 2 Я? + Я? - 2Я1Я2 сое<р
10 46 Из соображений симметрии схемы найдем токи п к.икдоЙ пореша-
ем. рнс. 173. 1дв = j 1. Rah = г.
10.47. Нли = уг; itcD ~ 7 г
10.4«. V= j^C
10 49 д = 2,5кмКл; U = 0.25 В
10.50. 91 = <?2 = 9з = 55мкКл.
10.51 Если £|Г2 > (/? -! г|), то ток в цепи увеличивается
10.52. 7, = /2 = ^/(«1 + Н2)-
10.53. 1\ = = 26,7мА; /д = /4 — 4мА.
10.54. Применим закон Кирхгофа для данной разветвленной пени. Прежде
всего наметим направление токов ст|м?лкнмк па рнс. 174. Предположим, чти
токи будут* идти в направлении поставленных нами стрелок. По первому закону
Кирхгофа для узла С
/3 = h + h (1)
(Для узла .4 мы получим тождественное уравнение.) По второму закону Кирх-
гофа для контуров АИС н ACD
hih + hRi =^i (2)
hfh-hR<i=€2 (3)
(Вместо контура /IC’D или контура АБС можно было бы взять контур АЙС’О).
I
274
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
(Ел. Ill
Имеем три уравнения для нахождения трех неизвестных: /[, 12 и /з При
решении ладам на применение законов Кирхгофа удобнее а уравнения (тина
(1) (3)) подставить числовые значения:
1з = А 4- /?, IUZ3 + 45/1 =2,1, 45/> - 10/2 = 1Д
Решая эти у|нтпги11Н, получим Л = 0,04 Л, I* —0,01 А н /3 = 0,03 Л. От
рицательиый знак у тока /3 указывает на то, что направление тока нами было
взято неверно. Направление тюка /? в действительности будет от D к С, а не
наоборот, так это было принято перед составлением уравнений.
10.66 (/® 1,28 В.
10.66. Ях= 0,660м; /2=0,5 А; /=1.5А.
10.57 Я = 0,750м, h =2Л; / = 4А.
10-68 7=0,4 А
10.59 1=2 А.
10.00. Hi = 20Ом.
10.61 /=0,45мЛ.
10.62. Г = 1 мА
10 63 Л = 385мА; /2=77мА; /3 = ЗОВмА.
10.64 /1 = 0,3 A; h = 0,5Л; /3 = 0,8Л; К3 = 7,5Ом
10.65. £2 = ЗОВ; £3 = 45В.
10.66. I = 9А
10 67 £,=24В; £2= 12 В; /2 = 1.2Л; /з = 0,ЗЛ
10 68. А =2,28 А; /2=0.56А; /=1,72 Л
10.60. В 3 раза.
10.70. (J = 100 В.
10.71. £j =£<* = 200В.
10.72. / = 75мА.
10.73. a) U\ с 120 В, U2 = «0 В; б) Ui = U2 = 100 В.
10-74. Рассмотрим установившийся режим, когда направление на конденса-
торе не меняется и равно U*. При очередном замыкании ключа в положение 1
*а небольшой интервал времени At заряд конденсатора изменятся иа величину
ДЦ£1-<4)/Л|.
При тамыклиин ключа в положение 2 заряд изменится на величину
Суммарное изменение заряда за цикл должно быть равно пулю:
£1 ~ " У9 _ п
Л1 + Я2 ~
Отсюда
т* _ £>/А+£>/£$ - ги — с* ^'1^1 + А К*
си,-с
10.75. (/, =i7t2G'2/[(r + /^)(6!1 *C2)j Vt = fWjCt/K/ij + rKC, FC,)].
10 7G
£ (Gi -г C2)
10 77 Q = (7оЛ)2С|С2/[2 (C, + C2)J.
О’ГЫЕГЫ И РЕШЕНИЯ
275
10.78 Используя закон сохранения энергии и условие параллельного соеди-
пения резисторов, получим Q = z(Rt ~
______... CU1 Их си- Я;
10.79. И'1 - -у- • Ri + Нз . Hj - л Ri + ftj
10-80. th = r Cfr- (£, + fj) = 17,5kB, tr2 = Cx^C, {fl + f>2> = 7,5xB-
10-82- Л'2 = 1*1 h - rlihlh - Л)]//| = И Вт
10.83. £ _ (vTi? + x/7?-) \/7v.
10-84 Ti = /V/Ло = 1 - A’nr/f’.
1ПЯГ £- Н2+г I >V2 -10
l0-8'’- 77 - 77TT"r V ТГ “
10.86. V = 26 y/Tir/5 = 14 кВ.
10.87, U2/Ux = lh/Ut = yf^ - -
10,88 7’ = 7b + Ko/2/(* - /2W A >
При к < /q/?o« и'мшфлгурл 7 неограниченно возрастает.
10*89 т = 10мип; </ = 4,6мкм
10.90 j -56А/М2.
10.91. К = I 04 • 10"вкг/Кл.
10.92. Амперметр показывает меньше на 0,04 А.
10.03 Ш2 = 53мг
10.94. т = 149г; W = 53,7 ГДж*
10.95. И’ = 1,8 кДж
10.96. Энергия, необходимая для выделения массы тп вещества при элек-
Ц ЮЛ ПЗС,
И’ = fUt = mllZF/A,
(1)
где F— постоянней Фарадея. А—молярная масса. Z— валентность и U —
приложенная разность потенпнаппп. Чтобы разложить */ = 2 моль воды, т.с.
чтобы выделить тп = 4г водорода, требуется 5,75-105 Дж энергии. Таким обра-
зом, у нас m = 4 г, IV = 5,75 105Дж Подсиавляя числовые данные в (1),
получим U - 1,5 В.
10.07. В слабых растворах а » I, т.е. все молекулы диссоциированы Сле-
довательно, эквивалентная проводимость Лоо = F(u+ + « .). Подставляя
числовые данные: F = 96/5 - 103Кл/моль, = 3,26 - 10”7№/(у * с) и
и.. = 0,64 10 7 м2/(В <:), получим = 37.6 • 10"3м3/(Ом моль).
10-98. = 100 Кл; <?_ = 20 Кл.
10.99 а) а — 94%; 6) т/ = 0,1 моль/л; и) и+ 4- u_ = 1,35 10 1 м2/(В - с).
10.100 R =180 кОм.
10.101 К = 520 кОм.
10.102. Л = 3.9 10“3 м2/(Ом • моль).
10.103. q = 92%*
10.104. 7= 10“12 м3/с
10.105. j - 0.24 мкА/м2; 1-r/i = 0,01 %-
10.106. /„ =0,1 мкА.
10.107. Наибольшее возможное число ионов каждого знака в единице объ-
ема камеры получится при уелошыц что убывание ионов н|и>и€Х<>дит только за
счет их рекомбинации. В этом случае .V = 7л2 и п = у/N/'y = 3,2 • 1013 м-3.
276
ОТПЕТЫ И РЕШЕНИЯ
[Гл. Ш
10.108. Я =3/4 -10й Ом. 10.109. / = 3,ЗмА; 7/7и = 3.3%.
10.110. Потс шатлом ио шеищи и атома называется разность потенциалов,
которую должен пройти электрон, чтобы при соударении с атомом его ионизо-
вать. Поэтому скорость, которую должен ммагь электрон, найдется из равен-
ства mv2/2 = или v = у/2гК/ш = 2.2 - 10е м/с
10.111. 7' = 8 - 104К.
10 112. А = 39,2 • 10",р Дж.
10-113. vi - 8.3 • 105 м/с; va = 1,4 - 106 м/с.
10.114 Удельная термоэлектронная эмиссия вольфрнма при температурах
Т] и Т2:
Ь = /ГГ’ехр (-^) , Л = ет/ехр
Деля второе уравнение на первое, получим
10.115. я/ji = 1,1 - 104
10.116. Удельная эмиссия чистого вольфрама при температуре Г> = 2500 К
н торнровапною вольфрама при температуре Ту:
Я = В, 7?е*Р (-= 2,84 103 А/м2,
Л = ВгТ2ехр(-^).
По условию jj = J2. т.е
В2Т? ГО|» = А/м2. (1)
Уравнение (1) можно решить двумя способами (графически и способом после-
довательных приближений).
В результате, решением уравнения (1) является значение 72 ~ 1760 К.
$11. Электромагнетизм
— Снвара,
11.2. Использовать закон Био
-
2 л г
Рис. 17Ь
11.3. // = 50?\/м»
11.4. /Л = 120А/м; ГГ2= 159А/м;
Я3 = 135 А/м.
11.6. Между точками А и Н на рас-
стоянии а = 3.3 см от точки А
11 6. Ht =8 Л/м; Я2 = 55,8Л/ы.
11.7. Я!=35,6А/м; Н2 = 57,4Л/ы.
11 8. // = 8 Л/м. Напряженность
магнитного поля направлена перпенди-
кулярно к плоскости, проходящей через
оба провода.
5>и
ОТПЕТЫ И РЕШЕНИЯ
277
/I pinn # ado
sin* о
02
а/ я»п о.
11.9. Напряженность магнитного поля в точке С будет равна (рис. 175)
<и
//--
Слсаопательио,
о I
Н = ”4^ Jsinada = (cosai - cosaa) = 31,8 Л/м,
02
11.17. II = 177 А/м.
11.18. II = 35.8 А/м
1119. Lr2 =4U|
11.20. L = 0,2м
11.21. R = 8cm.
11 24. Л = 5,5мкТл.
где аа - 180° - 60° = 120°
11 10 II =56,5 А/м.
11.11. II = 77.3 Л/м.
11 12. U = тгрЙ/SH =0,12 В
11.13 /У = 12,7 Л/м.
11.14. II = 25,7 А/м.
11.15. а) И = 12,2 Л/м; б) И = 0.
11 25. Учесть, что /iL| = /2^2- Ло = 0.
11.26. В — /д>(//2г) tB0r/n)/(7T/n). В пределе при и -ь О В = — поле
в центре кругового тока.
11.27. Н = j (J х г] для г /?, Н = j (tf2/r2)(J х г] для г й. Применить
теорему о циркуляции.
11.28. Поло внутри полости однородно и имеет напряженность II j [?Хс].
11.29 Н = 6,67 кА/м.
11 30 /.V 200 Л в. В = 2,7 В И А
11.31 На рнс 176 изображен харак-
тер эавнснмостн // = / (я).
11.32. п = 100с"1.
11.33. Ф = НЗмкВб.
11.34. Ф = 157 мВб.
11.35. Ф= 1,6- 10~ 4 cos (4л/4-а) Вб
где а—угол между нормалью к рам-
ке и направлением магнитного поля в
начальный момент времени, Фтлк — 160 мВб
11.36. IN =500А в.
11.37. р = 440
11.38. IN = 5000 Л - в.
Рис. 176
11.39. В 1,9 раза.
11.41. В » 1 Л м2.
11.42. Ф = 18мкВ6.
11.43. Имеем II = I/2тгх. Возьмем элемент площади поперечного сечения
кольца dS = hdx. Тогда магнитный ноток ckbojL этот элемент будет
</ф = В dS = pop Л (кг
Магнит in.1Й поток через все поперечное сечение кольца
л / dx _ РО/*7Л . /2
ф“ ъГ J
h
Находя д и подставляя остальные данные, получим Ф= 18мкВб.
11.44. 1 = 60 А.
1
епт
278
ОТПЕТЫ И РЕШЕНИЯ
(Гл. HI
IN ил
11 45 Имеем В = j у t\ hi* ОтСЮда необходимое число ампер-витков
IN — f* + /И _ | т2
Mo к Ml М2/ МОМ1 J
По кривой В = / (Н) находим, что значению В = 1,4 Тл соответству-
ет значение Н = 0,8 кА/м, Следовательно, /V 1,14 104 А в. Далее,
I — £/К = £S/vpDN1 откуда £ = INpxD/S — 31 В- Так как диаметр
проволоки d = ^Л15/‘Л = 1 Ими, то на длине соленоида поместится
iVj = (40 10~2)/(1ЛЗ •10"3) = 354 витка Так как I — jS — ЗА. Лг = 3830 bift-
ков, то необходимое число слоев будет равно 3830/354 Л 11. Диаметр проволоки
d = 1.13 мм, поэтому 11 слоев займут толщину b = 1,2с.м.
11.4 6 /«’ = 4,911.
11.4 7. Q = У d/ =
11.4 8 F -
2tjx (т + I)
11.4 0. Равемстно момешоп силы Ампера и силы тяжести дает
В ~ (2ppS/I) tgft.
11 .БО. F = 2IBK.
11 .Б1. . (^)’Л
11.52. Л = Edx = 7 l^Phb1 dx = ИЛ1,1к!з1 i„ 41
/ 2тх 2rr di
di dj
Работа на единицу .рейны нроцвйников
А, = j = 1„ g = «3 мкДж/м.
11.63. Л =/2 = 20Л
11.Б4 Mi = 3,53 10“4 Н м. Л12 = 4,5 • 10“4 Н м
11.ББ. н) .W =2,4 -Ю-’Н м; 6) М - 1,2 - 10“9 Н м.
11.Б6. На магнитную стрелку действует вращающий момент Л/ = рВ eina,
где р—магнитный момент стрелки и В = 1рщл/2*а мндукнни элагнптнот по-
ля тока. Вращающий момент М вызывает поворот нити на угол у = 2lM/wGr4,
где < — длина нити, г — радиус нити и G — модуль сдвига материала инти. Так
как sin о = 1, то W = рВ — р/р^р/2тга. Тогда
у? = рорНр/ат:2Сг* = 0.52 рад или <р = 30°
11.57. (7 = 50ГПн.
11.58. А = (),5мДж.
11 Б9 А = 0,2Дж; Р = 20 мВт
11.60 а) Па радиус оЬ {рис. 125) действует сила F — B1R. Работа при од-
ном обороте диска Л = BISj где S -площадь, опис ымагмая p.uuiyc<iM ia один
оборот, т. е. нлошадь диска Мощность такого двигателя Р — A/t. = nBvirR2 =
— 23,6 мВ г. б) Диск врАщается щкггиг члешюй стрелки, в) На элемент ради-
уса da: действует сила dF = BI dx и вращающий момент dAf = xdF = BIxdx.
$U)
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
275
где х—расстояние -лпемента dx от осп вращения На весь диск действует вра-
щающий момент
п
М = J BIxdz = = 12,5 - 10-« Н м.
и
11 61 Ф= 1В6
11.02. Н = 9см. Имеем Т = 2wR/v, причем II = tnv/eB Следователь
но, Т = 2ттп/сП. т.с. период нс зависит от скорости злектринл. Подставляя
числовые данные, найдем Т — 30 нс, М = 1,5 - Ю”24 кг • м2/с.
1163 F-Л 10”,6Н.
1164 F = 4,7 10~12Н
11 6Б ttr = 0 во все время движения;
an = const = 7 • 1015 м/с2.
HOC VV «17,3 МэВ
11.67. К1/К2 = у/mi/mj = у/1340 =
= 42,9.
1168 7 = 3,2 IO"19 IGt
11 ВО q/tn = 4,8-Ю7 Кд/кг. Для элек-
трона q/та = 1,76 1011 Кл/кг, для прото-
на q/m = 9,6 107 Кл/кг; для а-частицы
q/m = 4,8 • 107 Кл/кг.
11.70 Общее смещение электрона х =
ti 4* га» где ц — смещение электрона в
магнитном пале (рис. 177). Электрон в магнитном поле движется по окруж-
ности радиусом К = nw/(eB). Смешение xj можно найти из соотношения
Xi = DC = ОС - OD По ОС = Я я OD = DjW2 = \Л?
Смещение хд может быть найдено из пропорции тд// = DM/DOf откуда
Х2 = Ы/>/ № — № . Тогда общее смещение
х - R - у/r3 - Ы + Ы у/К-Ь*.
Имеем
Поде г акт к я числовые данные, получим К = 4 см и х - 4,9 см
11.71. а) = 0, а = аг = еЕ/тп = 1,76 - 1014 м/с2;
б) аг = 0, Q = ап = у/~- (cE/mj^ — 2,5 IO14 м/с2.
11.72 v = 2 10° м/с R = 2,3см. _______
11.73. Электрон влетает в магнитное поле со скоростью v = y/2eU/т. Раз-
ложим скорость v im две составляющие; рг, нпнракшчшую цдоль поли, и vn
направленную перпендикулярно к полю. Проекция траектории электрона на
плоское гь, ш:|шондикулярную к индукции В, представляет собой окружность,
радиус которой равен искомому радиусу винтовой траектории и определяется
формулой
R = mvn/(c7?) = m(w sinn)/(eB).
Так как период обращения электрона Т = 2jt/?/u sin о = 2xm/(eP), то шаг
винтовой траектории электрона
Л = vyT = 2ттп(г cosn)/(cD)
Подставляя числовые данные, получим R — 1 см н h = 11 см.
.✓^"7/Г^
СИГ
280
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
(Гл III
11.74. Я = 5мм; Л = 3,6см. 11.75. Л = 3,94см.
11.76 л = 71?/(/га = 8,1 102fi м~3; v = j/ne = //Site = 0,31 мм/с.
11.77. (/ = 2,7 мкВ.
1178 .
neo
11.79. u = 0,65№/(B с),
11.80. £ = -ЛФ/Л = -Bl dx/dt = -Blv = -0.15 В
11.B1. fcp = 78,513.
11.82. E - 165 мВ.
11.83 При каждом оСмфсгм» стержня магнитный поток, пересекаемый стерж-
нем Ф = BS — Bpl2. Если п -частота вращения стержня, то
Е = Bsl2 = = B(2w/2,
где и—у гл она и скорость вращения. Подставляя числовые данные, получим
Е = 0,5 П.
11.Я*1. Еср = IB. 11.91. /и , = 0,9мГи: = 0.36 Гн
11.85. =«,09 В. 11 92 L — 55 мкГп-
11.86. n = 6,4c"J- 11 93 L = 0,71 мГн; Ф = 3.55мкВб
11.87. a) U =2нВ; б) U = 33мВ. 11.94. N = 380.
11.88. 18 мВ. 11.95. = U00
11.80. £ср = 5.!В. 11 96. I = 1 А.
11.90. £ср = 1.R7B. 11.97. .V = 500.
11.98. р - 1400; / = 1,6 А.
11 99. a) L = 9,0 Гн; 0) L = 5,8 Ги; в) Л = 0,83 Гн.
11.100. Имеем
М ш /«o/mjiS, /.2 = popBjlS. (1)
Взаимная нилук тки пост ь катушек, имеющих общий сердечник,
Ma =/хоРЛ]П21Я. (2)
Умножая соотношения (1) друг па друга, получим
Ь|Ь2 Откуда гцпг = \/ B1L2 /(pofdS}. (3)
Подставляя (3) в (2), найдем L>2 = yCCiTF- Так как £2 = —Ln <Hi/dit средний
ток во второй катушке
11.101. Колпчесим» в.чектричссгви, индуцируемое в рамке,
Ф3
9 = "I f М = “ Л f<I>l “
Ф,
ГНС Ф[ магнитный поток чн|и£« рамку в нервом положении н <T»j — мнпштный
поток через рамку во втором положении. У нас Фл = 0; кроме того
R — pl/s = p-ia/s = p4’/?/s,
где a—сторона рамки. 'Гак как Ф] = io
q = Bd V~S /(4p) = 74 мКл.
5 lai
ОТПЮЫ И РЕШЕНИЯ
281
11.103. д = 0,15мКл. 11.105. 1=126мс.
11.103. 9-0.25 мКл. 11.106 /=0,25мс.
11.104. р = 1200. 11-107. В 1.5 раза.
11.108. t = Юме.
11.110. а) Ф = tfoSsinwi = 2,5 - КГ5 sin (Ю0>1) Вб, Фтах = 25мкВб;
б) г* = -7,85 IO”3 cos (IOOjtI) В, 611ад = 7.85 мВ;
в) 7 = -2,3 cos (100’0 А, /П1ах = 2.3 А
11.111. а) £ « -33 cos(l<JO*t)B; 6) И' = £/а/2 = 0.2(53siм2 (lOOnt) Дж.
11.112. Г? — —Гн d//dl = — />|2/о<4? coeevf = —15,7 сон (IOOjtI) В;
^2 max — 15,7 В.
И.113. q = /где2Д2л*(/? + Но)] = бмкДж.
11.114. В 1,5 раза
11.115. Меняется только осевая сосывлиющаи индукции магнитного поля.
В области внешнего ноли она равна i £?©, а вне этой области — | Во сизо
11.116 Г- /п- Bn COSO.
11.117. ulnln = Д 7SL/(Mnm).
11.118. В = 2mdw/e> тп?, е — масса и заряд электрона.
11 119, х = 2nmtv/(eB); Ду = ят«г(да)3/(2е£1).
11.120 ФВ=0. Ф.=($Дп/р0)(^- i).
11.121. а) И = А 5^; 6) Д = в; в) « ~ Зно
11.122. а) протии ’ШСопоЛ стрелки; 6) </ = .
11.124. IV = (U- - - U'*)/(2R).
11.126. Нет, нс может, т. к. Р1Пах = C’2/(4/Z) = 180Вт < Р.
11.127. Шуи тиый двитагель: т; у—
Ссриосный двигатель: т; = 0,5.
11.128. tt| niiix — 15с \ П2тел — 30с L
11.129. п = где к— коэф, пропорциональности, с, = кпВ.
11.130. И' = £/-£(^)2 =8 Вт.
11.131. ч = 8 - 1 - у- _ ол.
Глава IV
КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
$ 12. Гармоническое колебательное движение и полны
12.1. х — 50 яш , ММ1 = 35,2 мм; хз = 0.
12.2. а) х = Ъ sin t см; б) х — 5 sin (J см5 в) х = 5 sin (J t 4- я) см;
г) х = 5 sin j t 4- см; л) х = 5 sin ~ t см.
х—//гхх
< II г
282
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
[Г-1 IV
12.3 См. рис. 178. 12 4 ¥?о = yj 12.5. t = Г/6.
12.6. trItl«x = 7.85 см/г; л1иаж « 12,3 см/с2
12 7 vmM = А = 9,4с.м/с «тпх = 0,29 м/с3.
12.8- Т = 4с; Vmfix = 3.14см/с; Отш = 4.93см/с2
12 9 а) 1,6с, 0,62Гц; б) 2,1м, -4,7м/с; в) 9,1м/с, 9,6м/с2.
12 10. .r(f) «а 2 гов2кГ
12 11. а) 2.17см; 6) 50см/с.
12.12. и = 13,6 см/с.
12.13. х — 5 siu(fft + я/6)см
12 14 /—^ = 0,74 Гц; ро = 54°;
т — Л cos(iwt + s?o); у — Л sm(±ujf + $?о), где А = 5,16 м,
«+» cooTiic’TCTiiyi’T движению протии часовой стрелки, «—»- по стрелке.
Рис. 178
12 15 Finax = 246 мкН-
12 16 Г||1ЖХ = 197 мкН
1Г = 4,93 мкДж.
12.17. См. рис 179. Из графика
видно, что период колебаний энергия
иди гл- мспынс периода самою колеба-
тельного движения
12.18. a) ВД = б) И'к/И^ = 1; в) И'ж/И'в = 1/3.
12.19 и) 1УМ/Щ, = 15; б)Н’ж/1^ = 3 в) 1ГЖ/И'и = 0.
12.20 х — 0,04 sin (?f + тг/3) м.
12 21 л = РД3/2И = 1,5см.
12.22. Период колебаний шарика 'Г = 2л у/if# = 2,8с Амплитуда коле-
баний при малых отклонениях шарика от положения равновесия А = I sin о =
— 2 0,0698 м 0,14 м Тогда уравнение движения шарика запишется так
х = A sin — 0.14 sin t м
I
если время отсчитыпатк от положения рапнопесия При щюхождинии шариком
положения равновесия его скорость будет достигать наибольшего значения. Так
0.14 2тг . 2г , ,
как v =J — соя 5"g * м/с» 70
_ -2л , _ _ .. .
ь'тжх — 2~g м/с — 0,31 м/с.
S 13J
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
283
Эту же скорость мы можем найти из соотношения mgh = nwa/2, где
Л вы сот я поднятия шн| ика, отсюда у ~ y/2gh. Нетрудно видеть, что
h — i(l — cosn). Тогда и = y/2gl (1 — соло) = 0,31м/с. При больших откло-
нениях маятника от положения равновесия колебания маятника уже не будут
гармоническими
12.23. Т= 0,78с.
12.24. Аг = 805Н/м
12.25. Уменьшится в 2 раза
12 26. 0,2кг
12.27. Имеем
Ti = 2тг у/ m/fc, или
После добавления груза Дт будем иметь
Та = 2г у/ (тп + Дт)/£ или
'Л2 = 4*2m/fc. (1)
Tj = 4я2 (тп + Дт)/к. (2)
Вычитая (1) из (2), получим Т? — Т’2 = 4я2Дт/Л. Но к = F/Д/ = Дтпр/Д/, где
F—сила, вызывающая удлинение пружины Д/. Таким образом,
Т? - Т2 = 4зт2 , или = “г Рг “ Т?) = 2.7 см.
12.28. Т = 0.93 с.
12.29. 1.3Гц.
12 30 На плавающий ареометр действуют силы тяжести (вниз) и сила
Архимеда (вверх). Поэтому в равновесии mg = pg(V + Sh), где (V + Sh) —
часть объема ареометра, находящаяся в жидкости. Если погрузить приомстр
на глубину х, то результирующая выталкивающая сила
F = Р9 [V + S (Л + х)] - mg = pg [V + S (Л + x)j - pg (V -г S/r) = pgSx = кха
где к = pgS. Так как Т = 2тг у/т/к, то
откуда р = ЙИ* я 0.89 • Ю3 кг/м3
12.31. о = агссоя —;— .
а + д
12.32с a) аш3 > д; б) в момент отрыва шайбы подставка движется вверх
от среднего положения; в) Л ~ ^/{Зы2) + a2uf2/(2g) = 25 см
12.33. <рт = 1.6°; Г =2с.
12.34. a) gj= 16,9с-1; б) FIm =60Н, F2m = 24 Н
12.35. а) центр масс неподвижен; 6) ш = у/к/р, где д =
и) «швл — auJ а к /1.
2 2 2
12-зс- “) "= srfe; 6> w
» = Ии Ы = 'm = VO
12.37. T= v/7/j.
12.38. a) у (t)= д? (costal— 1); 6) у (I) = + Al^fcoswt — 1), <j= yfkjm.
Z—7/r\
cn?
284
ОТВИТЫ И РЕШЕНИЯ
|Гл.IV
12-з9-“=уН1+*0
12.40. = ^(2±/2).
12-“- = йгД
12.42. 10,1см
12.43. т = 3,7 sin t + g)cM.
12.44. А = 4,6см; ^? = 62D467.
12.45. >^2 - — 2х/3.
12.46. А = осм; у? = 36°52е « 0.2к;
12.47. Имеем
х — 5 sin (irt 4- x/5)gm.
х = Л sin2irPiti Л = Ao (1 + cos2«r/2t).
Подставляя второе уравнение п первое, получим
х — Aq(1 +co62«i*af.) sin 2xi/i t = An sin2xv>t 4- Ao cos2xi/at sin2jrpil =
= Ao sin 2xi/i< + sin [2tt (a/j - i/2) t] 4- s*n P* (pi + *]•
Таким образом, pacr.MAr|»tn демос колебание может быть разложено на сумму
рех гармонических колебательных движений с частотами iq, fj —1/2 и *-1 4-^2
и с амплитудами Ао, А<>/2 и Ао/2. Амплитуда ролулыирующего колебании
будет меняться во времени. Такого рода колебание уже не представляет со-
бой гармонического колебательного движения н называется модулированным
колебанием.
12.48. Прн сложении двух взаимно перпендикулярных колебаний одинако-
вого периода уравнение траектории результирующт о колебания имеет виц
сое(v2 - ^1) = sin* G?2 - Vi )-
(О
Так как у нас <^2 — V1 = 0, то уравнение (1) примет вид
или
откуда у =
* 1?
— уравнение прямой линии. Такны образом, результирующее колебание будет
происходить но прямой линия. Угол наклона прямой найдется in уравнения
tga = Az/Aj — 0,5, т.е- а = 26°34'. Период результирующего колебания
puiwti периоду слагаемых колебаний, а амплитуда результирующего колебания
А = ^/aj 4- Aq = 11,2см. Следовательно, уравнение результирующего колеба-
ния имеет вид s = 11/2 sln(l(№t4- я/3)сы.
12 40 а) .4 = 7см; б) А = 5см.
12.Б0. х2/4 4-уа/4 = 1—уравнение окружности радиусом R = 2 м.
5 12)
ОТВЕТЫ И РЬПДЕНИЯ
285
12 51. Имеем
Z — сов TTt, X/ = cos| 1 = у — ^0S - , ИЛИ 2j/2 - 1 = CORirt
Отсюда (2у? — 1)/х = 1, млн 2уа -1 = 1 —уравнение параболы
12.52. зга/1 + уа/4 = 1 —уравнение «шлипс*.
12.53 Л - ,4’^1 = < 76см
* п *
12.54. Уравнение затухающих колебаний имеет вид
х = Ае"& sin (evt 4- 9?). (1)
В нашем случае о; = 2тт/7 = г/2, ip = 0 и 6 = х/7 = 1,6/4 = 0,4с“
Амплитуда А найдется из условия х = 4,5см при t = 7/4 = 1с. Нетрудно
найти из (1), что А = 6.7см. Таким образом, уравнение (1) примет вид
х = 6,7с-0,4* sin | t см. (2)
Для построения графика колебании найдем моменты времени ,
соответствующие максимальным значениям смешения х. Максимум х найдется
из условия v = dx/dt - 0. Из уравнении (1) находим (при $9 = 0)
v = Аи/е cofturt — Attar Й1 ягн cut = 0 отсюда tgwt = cjj/6 = 2r/x (3)
Из уравнения (3) видно, что только при незатухающих колебаниях, когда
X = 0, величина igutf = со, или сЛ = я/2. т.е. 2irt/T = х/2, или t — 7/4.
В нашем же случае tgcut = 2г/X = 3,925, т.е. tJt = 75е, 47 w 0,4211г, от-
куда t = 0,421 r/cj = 0,542с. Таким образом, х = х1лях прн tt =: 0,842с;
<2 = «1 + 7/2 = 2,842 с. t3 = h + 7 = 4.842 с и t4 = ft + 37/2 = 6.842с ит.д.
Подставляя найденные значении t п ураннспие (2), нетрудно найти соопмтству*
ющие значения Xi, х?, хз,...
12.55. См. ]м.*шепнс 12.54.
12.56. irj = 7,85 м/с, v? = 2 88 м/с, v$ = 1,06 м/с, и< = 0,39 м/с,
Vi 0,14 м/с.
12.57. По формулам для затухающих колебаний имеем
Ai Ao exp , Аа = Ao exp
откуда А1/А2 = е**- По условию X = 0,2; отсюда А1/А2 = 1,22.
12.58. 6 = 1,83с"1; И) = 2,02Гц.
12 59 a) t= 120с; 6) 1= 1,22с.
12.60 В 1 22 раза.
12.61. В 8 раз.
12.62. Через 21с.
12.63. а) = 0,46 с"1; б) J=10c"1;
н) <5 = х/7’ = Ххъ\/4г3 + X2 = 7/2 с-1
12.64. Уравнение собственных колебаний имеет вид
х = Лос"^1 sinwot- (1)
(ИТ
28G
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
[Гл.IV
По условию сдвиг фаз между собственными и вынужденными колебаниями ра-
вен —Зя/4; следовательно»
tgsP=-^4-tg(-3>r/l) = l,
х'о -
отсюда
.до = \/и3 4- 2<5lj . (2)
У наг w = 10х mJ 1,6 с-1. II од с таил и я зги значения и (2), получим u/q = 16.Sir,
и тогда уравнение собственных колебаний примет вид
х — 7e“,,w sin 10,5 л f. см.
Уравнение внешней периодической силы имеет вид
Р — Fq sin art.
МаксимХ'гьное значение внешней периодической силы
Fo = Ат (wq - w2)2 4 462w2 = 72 мН,
н тоицв урииненне. внешней периодической силы будет иметь вид
F = 72 win Mbit мН
12.65. На рис. 180 дли хлрактш зависимости амплитуды Л вынужденных
колебаний от частоты иг внешней периодической силы.
12.60. Коляскн начнет сильно раослчинптьси,
если промежуток между двумя последовательны-
ми точками на углублениях будет ранен перио-
ду собственных колебаний коляски. Период соб-
ственных колебаний коляски находится из форму-
лы Т = 2* y/m/к. У нас m = 10кг/2 = 5 кг —
масса, приходящаяся на каждую рессору, к —
— иод/зд = (9,8/2) II/см = 490 Н/м и, следова-
тельно, Т — 0,63 с. Время между двумя послодова-
тцльными толчками I 1/w = Т\ отсюда получаем t> = 1/Т — (0,3/0,63) м/с =
= 1.7 км/ч.
12.67. А = 3мкм.
12.68. г = 350 м/г; vmax = 0,785 м/с.
12.69. Уравнение волны имеет вид
*=,0ain(2‘~rfe)
см.
(I)
Таким образом, х = f (1, t), т. е. смещение точек, лежащих на луче, зависит от
времени t и расстояния I точки до источника колебаний.
Для точки, отстонщсй or источника колебаний на расстоянии I = 660 м, уран-
пение (1) примеъ вид х - 10 sin f t - тг) см. т.е. при / = const мы получим
х = f (t)- смешение фиксированной точки, лежащей на луче, менян гея со вре-
менем.
5 12]
ОТПЕТЫ И РЕШЕНИЯ
287
При t = 4 с уравнение (1) примет вид я = 10 sin ^2ir - f ’jqt) cm- ® этом
случае t = const и x = f (I) — различные точки, лежащие на луче, имеют раз-
личные смещении в данный момент времени.
12.70. т-0; v = 7,85 см/с; а = 0-
12.71 Ду>хз я точки колеблются и и роти ионол ожных фазах.
12.72. Ду> = 4х— точки колеблются и одинаковых фазах
12.73. х = 2,5 см.
12 74 А = 0,48 м.
12.75. а) Положения узлов: х — 3, 9, 15, ... см; положения пучностей;
х ~ 0, 6, 12, 18, . см б) Положения узлов: х — 0, 6, 12, 18, ... см; нало-
жения пучностей: т = 3, 9, 15, ... см.
12.70. А = 2м.
12.77. Т- ltl€c-
12.78 Г= 1,07с.
12.70 1-Т/^Г/я = 0,440 м
12.80. Г — 1,5с.
12 81 Период малых колебаний математического маятника
Ti = 2ir /J7F (1)
Период малых колебаний физического маятника
Ti — 2т \/ J vngl»
где J — момент инерции шарика относительно оси вращения, m — масса шарика
и I—-расстояние от центра масс шарика до точки подвеса. В нашем случае
С учетом этого получим
Т2 = 2тг \Дх[д (2)
Из (1) и (2) имеем 7г/Т> — v/я7. Ошибка» которую мы делаем, принимай псише-
шейный шарик за математический маятник, будет
д = Ц±П = £_1 = /^_1;
*1 /t
отсюда
У нас Д < 0,01. Подставляя п (3), помучим R/1 0,0224. 'Гак как R Г)/2 -z
= 0.02 м, то предельное расстояние от центра масс шарика до точки подвеса
I 0,089 м, а предельная длина нити L = I - R = 0,069 м
12.82. Т|/Та = 1,05.
✓—УГ~\\ \ 1 - Z С. IIТ ' -
288
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
[Гл IV
§ 13. Акустика
13 1. А=0,78м 13.3. с = 5300м/с.
13.2. От А1 = 17мм до А2 = 17м. 13.4. 340 м/с.
13.5. ’Гак как модуль Юпш Е снмтдн со сжимаемостью 0 соотношением
0=1/Е. то £ = 1/(рс2) = 7,1 -10“1° Па~1.
I = 1810м.
П = 318 м/с; С2 = 330 м/с; с» — 343 м/с
1) 6м; 2) 850 Гц; 3) 5100мк;
С = 315 м/с.
с = 330 м/с.
с — 336 м/с.
t = -54 °C.
п — С|/с2 = 0,067.
Lj я 100 фом;
Ом = 10~11 м;
1 12.
4) 3- 10’11 М-
13.14. ft = 3°5Г.
13.15. 8,6°.
13.10. p2/pi = 1,12
13.17. Jj/72 = 100O.
13.18. ДЬр=30дБ; p^/pi = 3,16.
р = 2Па.
р„ = 2,7 -10“5 Па.
б) I = 0,41 мм.
13.6.
13.7
13.8.
13.9.
13.10
13.11.
13 12.
13.13.
13.19.
13.20
13.21
13.22. a) i =8,15 мм;
13.23. При возбуждении колебаний в стальном стержне в нем установится
стоячая полна с уздами в точках зажима и пучностями на свободных концах.
В стоячей волне воздушного столба расстояние между- соседними пучностями
ршиш половине длины возбужденной звуковой волны. Имеем
Л|/Л2 = Ci/Cj.
(1)
Длина I? воздушного столба на основании скизлшкпю ноЯдется из условия
пА2/2 = Ь.
(2)
Из (1) и (2) имеем
h nAic2/2ct.
Тогда: а) А> = 21п h= 0,392 м; б) А, -4IJt
13 24. I, = 0,715м.
13 25 р = 43 к Гц — ультрачпукопая частота
13.26. а) рг = 666 Гц: б) 1/ = 542 Гц.
13.27. 10%.
13.28. |/=5050Гц.
13 29. В 4 раза
13.30.
13.35. Имеем
12 = 0,784 м
iq = 45 кГц, р2 = 46,6 кГц.
тл — Г
U = V -V-T ,- .
-ь т
13 33. к 7,3 II.
13.34. Ршаж = 158Гц.
13.31.
13.32.
Р1/р2 = у/ Ь\[р2 — \Г15/16
Рб — V? pj = Ь Гц.
Решая эти уравнения совместно, получим
13.36. р = 250 Гц или р = 254 Гц.
13 37. t - 2 </Л/р
Р2 = 252 Гц.
5 141 ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ 289
13.38. а) В открытой трубке образуется стоячая звуковая полна с пучно-
стями на обоих концах Очевидно, в этом случае на длине трубы I может уме-
ститься п полуволн. 1дс л = 1, 2. 3. ., т. е. I = пА/2 н v с/А = пг/(2/) При
п = 1 получим частоту основного тона 1/ = с/(21). б) В закрытой трубе стоя-
чая волна имеет узлл на одном конце и пучность на другом. Очевидно, в этом
случае I = пА/4 п р = с/А = пс/(41). При n = 1 получим частоту основного
тона г/ = с/(41)
13.39. р = 261 Гц; I = 0.65 м.
§ 14 Электромагнитные колебания и полны
14.1. А = 2500м.
14.2. От А! ==700м до А2 = 1950 м.
14.3. К < 2 L/C - 1000м
14.4. € = 6.
14.6. V - I00coti(2ir 103l)B, I = — 15,7 sin (2гг 10*1) мА L’j а 70,7В,
Л=-11,1 мА; t/2 = 0. 72 = -15,7мА; 773 =-100Bf fe = 0.
14.0. Wgj, = 125 cos2 (2jt • 1030мкДж, И'м = 125 sin2 (2л • 10s) мкДж;
IV = 125 мкДж; lV>n| = 62,5мкДж, 1ГМ> — 62,5мкДж, IVi = 125мкДж;
И\л2 = 0» Wm2 = 125мкДж, Нг2 = 125мкДж; И^з — 125 мкДж, И'м3 = 0,
IV3 = 125 мкДж.
14.7. Через Т/8; Qn/\f2.
14.8. Т = 5ыс; С = 0,63мкФ; U - 25,2В. VVM = 0,2 мДж; = 0,2мДж.
14.9. Имеем U = l/o coswt и / = CdU/dt = — CUqw sin u/t; следовательно,
И-„ = Lf. = ein^ Wm = 0$. = ™» a»*wt.
Отсюда
= lcJ2 -ф! = LCJ1
IV^, COflaur<
При I = Т/Я ммггм n»nujf = v/T/2 и coscut \Z2/2. Так как
LG = Т2/4л2 = 1/cA
TO
Игм/VV„ = sin2 cut/ cos2 cut = 1.
14.10 IV = = 0.17Дж.
14.11. Полагая сопротивление R достаточно малым, находим период коле-
баний по формуле Т = 2jt V LC 0,2 мс. Далее имеем
7/1 = Ud exp (- xt/T), откуда XI/Т — In (17©(U\).
По условию при / = 1мс отношение 77o/7/j ® 3- Следоватолыю»
x=rin(u0f;I)=0>22
Сопротивление контура К — 11,Юм. Нетрудно убедиться что это значение R
уловлегворяет условию применимости формулы Т = 2п \/IX).
—/Я W
<нт
290
отпеты И РГДнГН ИЯ
[Гл. V
14.12. С = Со (1-^)
14.13. X — 8р у/vie /(d2 \/доХ) = 0,018.
14.14. 1 = Г-1п100/(2Х)=6,8мс.
14.16. Не 11500м.
14.16. а) 2,25 мс; 6) К =1,33-10* Ом
14.17. 2- 104 вмткон.
14.18. / = 4.6мА; UCl = 73,4 В, UCi = 146,6 В.
14.19. 74%, 68%.
14 20 72,5%, 68,5%.
14.21 770 В
14 22 1.77 А 16® 204 Вт.
14 23 a) Z = ^Я=+1/{«С)4. tgV = 1/йхХ?, б) Z =
tg₽ = -ftJC; в) Z = Уй’гИ2, tg<p=pt./ft; г) Z = \/R^uL)2 ’
tg <p = -R/uL‘, д) Z = >/R1 + {wL-l/uC')1, tg <f = ~^wC .
14.24. a) Z = 4.38 кОм; 6) Z = 2,18 кОм.
14.25. Га 1.34 Л; VC = 121 В; Кд = 134 В; Кд=205В.
14.26. R= 12,3 Ом.
14.27. С = 8,5 мкФ.
14 28. Кд = 156 В.
Глава V
ОПТИКА
$ 15. Геометрическая оптика и фотометрия
15.1. а) 2,26 • 10’ м/с; 6) 2,01 • 108 м/с; в) 2,29 10в м/с.
15.2. Зм
15.3. а-2 = 0,12 м, ya = —8 мм; изображение мнимое, прямое и уменьшен нос.
15.4. в2 = 7,5см; уз = —1,5см; изображение мнимое, прямое и уменьшен-
ия?.
15.5 О1 = — 0,6 м, аз = —0.3 м.
15.6. 12см.
15.7. k~ 6.
15.8. аг — R/2 — изображение будет находиться и фокусе зеркала;
У2 = 7,5 СМ-
15 9- Из равнобедренного треугольника ОАМ (рис. 62) имеем О А =
= Я/(2 сова). Но х = AF = ОЛ - OF = ОА - К/2, т.е.
Если о=0, то cos а =1 и х = 0. Далее, р = /*'Я » -rtg Z.HAF Но Z.HAF
как внешний угол треугольника АОМ равен 2а, и тогда
(^-’)‘82а
Если а — 0, то сова =1, tg2a = О н у = 0.
§16)
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
291
15.10. x = 1,8см; у т: 1,5см.
15.11. Л = 8 ом.
15.12. <1 = 0.1м
15.13. f — 5,8ым.
15.14. tgв = п
15.15. 1 - = 10см.
n
15.16. На (л. - l)d/n.
15.17. in = 2,02 10я м/с.
15.18. Имеем = щ. Полное пнутреинов отражепш* от поверх ш>
сти, отделяющей воду от стекла, произойдет, если выполнено условие: sin/? =
" hj/hj, где па н<1»1Л i.mvib преломления воды. Тогда sint = щыпД =
= П1П2/п1 =т>2 = 1,33, т.е. sint > 1 — условия ждачи неосупхествямы.
15.1V. г в 0,114 м. 15.25. ^=6°Г.
15.21. 0нр = 41°28'; = 40°49'. 15.26. i = lllaR'
15-22. н = у/? - 1,11. 15.27. 7 = 77°22'.
15.23. г 3-1°37'. 15.28 L <°47'.
15.24. 7 = 28°.
15.29. sin & = п sin . В этом случае получается наименьшее шклопе-
нна луча от сю пцрпсшачалыюго нпправлсння
15.30. бкр = 30°38', = 33*27'.
15.31. Fi - С, 116 м.
15.32. a) F = 0,188м; 6) F = 0,30м. в) F = 0,75 м; г) F = -0.18Км;
д) F=— 0,30м; с) Fee— 0,75м.
15.33. Fj/Fa = 1,4; в жидкости первая линза будет действовать как рассе-
ивающая линза, a irro|>a>i —как собирающая.
15.34 D — 2 дптр. 15.43. FKp - F,j, = Зсм
15.35. О2=0|3м; j/2 = 4см. 15.44. и) а? = 10 см; 6) aj = 5,7см.
15.37. П1 4- Л2 = 1 м 15.46. л) А: = 12,5; б) к 7,5.
15.38. h = ч/аб. 15.47. Rt = R2 = 25мм.
15.39. Н = 72 см; 1 » 108 гм. 15.48. к = 4х.
15.40. 4F. 15 49. к = 562.
15.41. F2 _ 0,59 м. 15.50. F 11,112 м.
15.42. <11 = -90см; «2 = 180см. 15 51. 0 = 7О45'.
15.52. Диаметр изображения d — 2?’tg(o/2) = 4,6мм. Поток лучей, попа-
дающих ил поверх иог-ri. лип *ы площадью яР2/4, концентрируется в воображе-
ния Солнца площадью nd2/4. Тогда E2/£i — 4ir/?2/4xd* = Р2/<Р =383.
15 53. г = 1м; Л = 0.71 м.
15.54. Ф = 8,34лм.
15.55. При фотсирафиропаннн всего чертежа, размеры которою и>|мпдо
больше фотопластинки, изображение получается приблизительно в главном с|и>
кусс обьектнпа. При фо пн раф м|юванни деталей изображение в натуральную
величину получается при помещении предмета па двойном фокусном расстоя-
нии от объектива (на таком же расстоянии пол у чае гея н изображение иа фо-
топленке). Площадь изображения при этом унсишчи гея и (2F/F)2 = 4 раза.
Во столько же раз уменьшится освещенность фотопластинки; следовательно,
нремя жспозиции надо увеличить п 4 рала
15.50. В 5,7 раза. Таким образом, на Северной Земле загорать лучше стоя.
чем лежи.
15.57. В 2 раза.
15.58. Ot iH-iiu'iiniM ib в углах комнаты
Е = -^ cost*.
(D
сиг
292
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
[]>. V
Расстояние г от лампы до угла комнаты, величина а (половина диагонали ква-
дратного нала ком ниты), сторона квадратного поли Ь и высота лампы mui по-
лом /1 связаны равенством
о = г sina = Ь 2 = Alga. (2)
На основании (2) выражение для освещенности может быть записано так:
/(ля нахождения .максимума Е возьмем производную dEjAn л приравняем ее
нулю:
— = -4- (2 cos2 a sin a — sin3 a) = 0.
da n2
отсюда tg2 a = 2. Тогда h = a/ Iga = b/(\/T tga) = &/2 = 2,5 м.
15.60 . Когда горит настольная лампа, освещенность края стола получается
больше п 1,2 раза.
15.61 . В 2,25 раза.
15.62 . ЕъЪ 104лк.
15.63 . В 4 раза.
15.64 а) В = 1,2- 107 кд/м2; 6) В = 3 • 104 кд/м2.
15.65 0,5дптр.
15.66 . Е ж 2I03 лк, Я ж 1,5 • Ю3 лм/м2; В = 480кд/ма
15.67 . I я Уг2(УТ - I) ад 4 м
15.68 . £ = 210лк.
15.6В . К = 1.61 • 10“3Вг/лм; г;ад2%.
§ 16 Волновая оптика
16.1. При фотографировании одного края солнечного диска (источник свсга
движется к нам)
i/ = vc/(c - l); (1)
при фотографировании другого края солнечного диска (источник спета движет-
ся от нас)
р" = рс/(с 4- v). (2)
Учитывая, ч<о е/ с/А, из (1) и (2) находим ДА — 2еА/с; отсюда
v = сДХ/2А = 2 км/с.
16.2. U = тс* (ДХ)2/ф = 2,5 кВ.
16.3. Смещение спектральных линий в сторону коротких волн означает,
что звезда приближается к нам Радиальная скорость се движения (т.е. ско-
рость вдоль линии, соединяющей звезду и Землю) находится из соотношения
v = с ДХ/А = 103 км/с.
*•< М1’"”-
16.5. pi “ 1,8мм; |/и = 3,6мм; уз = 5,4 мм
16.6. А — 0,5мкм.
§1(J]
ОТВЕТЫ >1 РЕШЕНИЯ
293
16-7. В результате внесения стеклянной пластинки разность хода между
интерферирующими лучами изменится на величину Л = nh — h = /г (п — 1).
С другой стороны в результате ингсгния пластинки произошло емшцинне на к
полос. Следовательно, добавочная разность хода, введенная
пластинкой, равна кХ. Таким Образом, Л (я — 1) = kXt от куля Д
h = кХ/(п — I) = бмкм. / \
lG.fi. Лн<б10“5. /V\
16.9. h = 0.13мкм / \
16.10. Обозначим через /ц и Ла толщины пленки, соот- / \
ветствующие соседним полосам. Тогда Ah = А? - h| = A/2n \
(рис. 181). Учитывая, что угол 7 клина мал, можно считать, / /V
что Ah = 1 tg7; отсюда tg7 = kX/2nl - 5,13 • 10“5 n 7 = И"- ^2/ ’ \
16.11. h = 1,9 мм. [_______\
16.12. Ло =5см“|.
16.13- d Л/4п = 100 им. Рис 181
16 14 А =589 нм.
16.16. гс = \/4ЯАС = 2,8мм; гКр = ^/зЙАкр = 3.1 мм.
Таким об|»азом, мы виднм, что третье красное кольцо лежит дальше, чем че-
твертое синее Этим объясняется, почему наблюдать кольца Ньютона в белом
свете можно только мри небольших толщинах воздушного слоя. Для больших
толщин происходит наложение различных цветов.
16-16. А =675 им.
16.17. h = 3,66мм.
16.18. к =275
16 10. При наблюдении колец Ньютона и проходящем свете условие макси-
мума света определяется формулой
2hn = ЛА. (1)
Толщина слоя h между’ линзой и пластинкой связана с соответствующим ради-
усом наблюдаемого кольца следующим образом-
h = ri/2R. (2)
Подставляя (2) в (1), получим пг^/Н = ЛА, откуда п = ЛАЯ/г^ — 1,33.
16 20. h - 1,2 мкм.
16.21. г = v'RA/n = 0,63 мм.
16.22. п = 1,66.
16.23 Перемещение L зеркала на расстояние А/2 соответствует изменению
разност хода на А, т. с смещению интерференционной картины на одну полосу.
Таким образом. Л = ЛА/2, где к—число прошедших в ноле зрения полос, откуда
А=2Ь/Л = 644нм.
16.24. п - 1 = ЛА/2А = 3,8 • 10"4, откуда п = 1,ММ138.
16.25. В отличие от интерферометра Майкельсона, в данном случае луч
проходит через трубку с хлором только один раз (рис. 12В). Поэтому разность
хода лучей, проходящих в хлоре и вакууме, равна In — I = 1(п— 1) = ЛА; отсюда
п - 1 =ЛА/1 = 7,73-10 4 и 11 = 1,060773.
16.26. А =480нм.
16-27. d = 115 нм.
16.28. До 0,117; до 0,109.
ОТВкГЫ I! РЕШЕНИЯ
[Гл. V
16 29 Радиус к й эоны гк = у/каЬХ/(а + Ь Подставляя числовые данные,
найдем и = 0,50 мм, го = 0.71 мм, гз = 0,86 мм, г< — 1,0 мм и г$ = 1,12 мм.
16-30. Г| = 0,71 мм; Г2 = 1,0мм; гз = 1,22 мм; = 1,41 мм, гз = 1,58 мм»
16.31. /= 167 м.
16 32 Пусть отверстие ди>м)||>П(<мы пропускает к эон Френкели Тогда ра-
диус fc-й зоны есть одновременно радиус отверстия: R = г* = у/~каЪХ/(а + Ь).
Наименьшая освещенность центра колеи, наблюдаемых ни экране, (оо i встссву-
ет двум зонам (к = 2). Подставляя числовые данные, найдем R = 1мм
16.33. I =0,8м
16.34. Ь = ?™-±2>£4 . А1 m _ 0> 1в 2,
16 ЗБ /%4/0
16.36. \р = 30°.
16.37 Ifi = 7—ftj.-Tg-y; для m = I 1д = 0,045/о-
[тп+1/2)**'
16.38 No = 600 мм-1.
16.39 Аг — 409,9 нм; No =-500 мы-1.
16.40. Имеем мир = fci Ai/cf = АгзАг/d, или Ar>A] = fcaA?; отсюда kz/ky =
= Aj/Лг = 656,3/410,2 = 1,6. Так как числа Дц и к2 должны быть обязательно
целыми, то условию ki/kz = 1,6 удовлетворяют значения frj = Г> и <;j е 8
Тогда d = Ai /sin р = 5 мкм.
16.41 Аг — 660нм в спектре второго порядка.
16 42 Аг = 447 им—синяя линия спектра гелия.
16 43. АКр = 705 нм.
16.44 А; =3.
16 45 d = 5А.
16.46 (ЦмпЙ ± нт^) mA, где т?» = 0, 1, 2,
16.47. На 0,032 нм; т = 2.
16.48 </ = 22мкм
16 49 d = 25,4 мкм.
16.50. ДА = 24пм.
16.51. Имеем dsinv = A:A. Дифференцируя, получим
d costpd^ kdX, или dv?/dA = к/d ae^.
Подставляя числовые лаииыи, находим вш — 0,236, откуда — 13с38'. Тогда
сонф = 0.972 н d^/dX = 4,1 • I05 рад/м
16-52. d= 5мкм.
16.53. ZJ = K1mkm/hm.
16.54. [ = 0,65 мм.
16.55. Аг = 475пм; Л’о — 460 мм d^/dA=2,76 Ю^рад/см.
16.56. m = nd/6, где n = 1, 2, 3....
16.57. F = 0,65 м
16.58. т»; =57*30'.
16.59. 2В = &4°44'.
16.60. >в = 37°.
16 61. л = 1,73.
16.62. ti = 1,63; t = (И>в5Б'.
16.63. 1О = 355 им /с = 395 пм-
§l?| ОГНЕ ГЫ И РЕШЕНИЯ 295
16.64. Обозначим интенсивность естественного спета через /о. После прохо-
ждения через поляризатор луч имеет интенсивность Ii = 0,5/о После прохо-
ждения луча через анализатор его интенсивность /з = Ii соя2 р =. 0,3/q cos2 v
По условию /2//0 = 0.25: тогда cos2 = 0,25/0.50 — 1/2 и <p = 45э.
16-65. V? = 62°32*.
16 66 Коэффициент отражения падающего света р = //Лъ где Г = /х + 7ц.
причем
I -Пгг Sin2(* ~ А) г _ л г г tg2(* ~ 3)
1 ° eii?(? + /)) 11 ' tg7(i4//}
В нашем случае при падении под углом полной поляризации tgi^ = п 1,5*1
следовательно. *г> = 57е Так как *Б + fl = 90°, то угол преломления 3 = 33° и
t'u — fl 21°. Поэтому
= °-5/“ = 0-ОМЛо, /ц - 0,5/0 = °-
уп290° tg290°
т е. в отраженном свете при угле падения, равном углу полной поляризации,
колебания происходят только и нлоскосл», перпендикулярной к плоскости па-
дения. При этом
I + hl
Р= 4-= ---г - = 0,083,
7о tO
i.e. отражается от стекла только 8,3% энергии падающих естественных лу-
чей. Это будут лучи с колебаниями, перпендикулярными к плоскости падения.
Следовательно. энергия колебаний, перпендикулярных к плоскости падения п
прошедших во вторую среду, будет составлять 41,7% от общей энергии лучей,
упавших иа границу раздела, а энергия колебаний. лежащих п плоскости пале-
ния, раина 50%. Степень патярнзацни лучей, прошедших во вторую среду,
Р ~ У' — ОсОбЗ _ Q дЛ. — 9 ] %
” i'll + /х ~ 0.917 “ и-091 “ 9,1
16.67, Р (W=l. Р= 14,8%; Л’ 2, Г = 25,8% иг. д.).
16 68. р - 1'/1в =’5,06%; Pi =83%; Р» = 4 42%.
§ 17. Элементы теории относительности
17-1. Имеем
1 = ^/1-Дг (1)
По условию (to — l)/to = 1 — ///о = 0.25; отсюда
4/Хо = 0,75, или t = Ot75to. (2)
Подставляя (2) в (1), получим 1 — 3^ = 0,75, или 1 — /З2 = (0.75)2 = 0,5625
л З2 = 0,4375 Таким образом, 0 = v/c = у/6,4375 = 0,6615 и окончательно
v = 0с = 0.662 • 3 108 м/с = 1,98 • 10R м/с.
17.2. v ж 2/6* 10я м/с.
17.3. (/0-7)До ^68.8%.
17.4. В 7,1 раза.
17 5. Лт = 3.2с.
CIIT ’
296
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
[1л. V
17.6. Дт = 8.6 10“27 кг.
17.7. На рнс. 182 дан характер зависимости массы m электрона и отношения
Рис. 182 Обозначим (т — то)/ттц) = Jfc; тогда = mgc2&.
По условию к = 0.05.
а) И'к - 25,6 кэВ 6} И м = 47 МэВ; в) И', - 91 МэВ.
17.10. U = 1,1 МВ.
17.11 П = 510кВ
17.12. = 1.4 10 Дж; IV; = 6,9 - 10”12 Дж.
17.13. Knojln moc2-i IVK =3.1 10“11 Дж.
17.14. На —1,6 • 10“16 кг (т.е, уменьшится).
17.15 2,25 -10* м/с.
17.16 0 = 0,9.
17.18 17к =8,2- 10“иДж
17.19 Am = 4 6 10“17кг
17.20 Д1У=931МэВ.
17.21 ДИ'= 8,2-10“14 Дж
17.22 Дт,, = 3,2- 10”®г/моль. Таким образом, и результате реакции полу-
"шетсн не 18г поды, а ин 3,2 • 10 г меньше. Эта величина лежит »а щмщ^ппми
чувствительности самых точных весов. Такого же порядка изменение массы и
при других химических ] мм к пнях. Прн ядириых реакциях изменение массы уже
значительно (см следующую задачу).
17 23 Дт^ = 0,217 г/моль.
17 24 т = 7Ю12 лег
I 18. Т<!1!ЛС»ПО<3 ичлучениг
18.1 . т 1000К
18.2 Дт = 3.9 Ю^Вт.
18.3 . /Г; = 4,6кВг/м’<
18.4 . 7 = 1000 К.
18.5 Д'= 2,22 кВт; Аг = 0,3.
18.6 7 = 2500К
18 7. 5 = 04см2
18 8. К = 1,37 кВт/м2.
18 9. .¥ = 3,1 МВт.
18 10. 7 = 290 К
18 11. К» = 73.5 МВт/м2.
18.12 5 = 6см2
18.13. а) АуП = 1мкм— инфракрасная область; 6) А„ = чОО им— область
видимого света; в) Am Я? 300 нм — обдаст ь рентгеновских лучей.
18.14. По графику (рпс. 64) находим что длина полны, на которую прихо-
дится максимальная спектральная плотность энергетической светимости тела,
А,п ss 1,2 мкм Тогда ио закону Вина получим 7' = 2400 К
|1У]
СПЫЕТЫ И РЕШЕНИЯ
297
Процент излучаемой энергии, приходящейся на долю видимого спектра,
определяется гой долей площади, ограниченной кривой гА = / (Л), которая
отсекается ординатами. и<кстпвленпыми ио краям интересующего пас интерва-
ла. Видимый спектр простирается приблизительно от 400 до 750 мм. Нанося
кривую, и шбражсниую ня рис*. 129. ид миллимгт ронку, найдем, что нри дан-
ной температуре на долю видимого излучения приходится около 3-5% всего
излучения.
18.15. В 3,6 раза.
18 16 А =9,3 мкм.
18.17 . В 81 раз; от А> = 2,9мкм до Ла = 0,1)7 мкм; в 243 раза.
18.18 7’2 = с> /1/(ДАТ» + С1) - 290 К.
18.19 7’= 533 К
18.20 . 7\фф — 2cJbr ДА ~ Ю17 К (с—скорость света, к—постоянная
Больцмана)
18.21 I- 1,64 часа.
18.22 . 5 = J-•a2<1V; Су = -\oT3Vt где а — постоянная Стефана — Больц-
мана.
Глаш» V!
ФИЗИКА АТОМА И АТОМНОГО ЯДРА
§ 19. Кпаптошш природа свотп и иол моими снойетпп частик
19.1. д) га = 3.2- Ю-*° кг, б) гп = 8,8 10“32 кп п) тп = 1,8 10“3° кг.
19.2. Е = -Гт-.— -----г = 2,07эВ
a (тп tp2 — Binipi)
19.3. Л\ - 6.2 • 1018Г1; Лг2 = 1,2 - 1019с“1; Лгэ = 1.1 • 1019с"1-
= 5,9 10й с"1; Лгя = 4,6 10,8с“1; Л’6 = 5,1 • ll^r1.
19 4. 29%
19.5. v ж 1,4 км/с.
19.6. € = 0^1 МэВ.
19.7. Е = pc/(Sl) = 150Дж/(с - ы3).
19.8. 1V = гДС m — мисса атома Не, к — настоянная
Больцмана.
19.9. А 0,41пы.
19.10 8,3 104.
19 11. Имеем hu — А -? ту^/2. Для того чтобы возник фотоэффект, не-
обходимо, чтобы Лм > Л, т.е. V > A/h Но м = с/А и, слцдоиителыю, для
возник новен и я фото:эффекта длина волны падающего света должна удовлетво-
рить неравенству А < he/А В опытах Столетова А 295им, откуда нетрудно
найти, что А = 4,2 эВ.
19.12 Ао = 517нм, Ао = 540нм; Ао = 620нм; Aq=660hm.
19 13 в = 4,5эВ.
19.14 Ь\ =5ЛэВ.
19.15 Ао = = 0,041 нм, гди с —заряд злекrpona, h постоянная Плаш-
ка.
19.16 U =1,75 В.
19.17. А =204 мм; Ао =234 нм.
29R
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
(Гл. VI
19.18. ртАХ = 3,45 • IO" 35 кг • м/с
19.19. /| 6,6 • 10“и Дж с
19-20- U = -Н/о = 1,5 В V = (Лр “ Л Ь гПо) = 7,3 106 м/с.
19.21. >о < 254 им
10.22. Световое aulmk*>ihc Р — P/S9 где Р—сила светового давления на
кружгж поверхностью $. Но F = М/l — ka/lt где М— момент кручения инти,
1- - расстояние от центра кружка до оси вращения, а - -угол поворота кружка.
Для того чтобы лайчик по шкале, удаленной от зирка-'Ш иа расстояние Ь, от-
клонился на величину о, надо, чтобы угол поворота зеркальца удовлетворял
условию tg,2n =. д/6, или при малых углпх tg2o Рз 2ci » а/b. Таким образом,
а = <х/2Ь и Р = ka/(2lb,S) — 3,85мкПа; Е = 770Дж/(с м2).
10.23. F. - 5.9 10" И = 1,6 - 10“H
10.24. /= l,210»‘c-‘ * Л>Лт= 1,42мкН-с/мг, Z-jAt = 2,13мкНс/м-
1*\&т = 2,84 мкН с/м2.
19.25. Р = (1 + р) cos2 О ад 2 10“» Н/см2 = 2 10"5 На.
19.26. />= 10,4 мкПа.
19.27. Р> =0 7 мкПа; Pj = 0,35мкПа.
19.28. / = 2,9 102|с 1 м~2.
19.29. а) ДА = 2,42им, А = А© + ДА = 73,22им; б) ДА = 4,Зим,
А = 75,6 пм.
10.30. А© = 24,2 им
19.31. ДА=2,42пм; lVe = ЛсДА/(А©А) = 6,6кэВ, рс = 4,4 • 10“23 кг ♦ м/с.
19.32. И' = 0,26 ММ3; р = 9,3 -ИГ12 кг м/с.
19.33. IV, =0,1 МэВ.
19.34. А> = 1,23им; А? = 0,123 им.
10.35. 1836.
19.36. а) А = 730пм; 6) А — 144 пм; в) А = 6,6 • 10~2t>M, т.е. валковые
свойства шарика обпаружи гь ненолмажип.
19.37. а) А = 12,2пм 6) А = 0,87им.
10.38. т = 1,67 10 37 кг.
19 39. V, 10е м/с 2.0 2,2 2,4 2,6 2,8
А, пм 2,70 2,25 1,82 1,39 0,925
19.4 0 А=10пм.
19.4 1. А = 180 пм
§ 20. Атом Бора. Рентгеновские лучи
20.1 Г) = 53пм. Г2=212пх(, Гз=477пм;
vi = 2,19 • 1041 м/с, 1-2 = 1,1 • 10е м/с, Вз = 7,3 • 10я м/с.
20.2. И* = те1/(вф2*2 = 13,6*В; Wn = -2VVK = -27,2эВ;
IV = И'м I И'и = -13.6 эВ.
20.3. И-м|=13,6эВ, IVK2 = 3,40^13; VVk3 = 1,51 »В; IVel « 0.
20.4. щ = 4,14 -1016с”1.
20.Б. Длины волн спектральных лини!! водорода всех cj’piitl определяются
формулой
S 20)
ОТПСТЫ И РЕШЕНИЯ
2911
при к = 1, п = 2, 3, 4,... —серия Лаймана в ультрафиолетовой области,
ври к - 2, и = 3, 4, 5» ,. серия Бальмера п видимой области;
при Л = 3, п = 4, 5, б ... —серия Пашена ч
IIj>h к = 4, я = 5, 6, 7 ... серии Бреккета > в инфракрасной области.
при Аг — 5, л — 6, 7, 8,... - - серия Пфукда А
Таким образом, видимая область спектра соответствует значениям к — 2 и
п 3, 4, 5,... Очевидно, наименьшая длина волны спектральных линий этой се-
рии будет при п = оо, Тогда из (I) имеем 1/Ат;п = Я/4, или Anljn — 4/Н = 365 нм
(с точностью до третьей значащей цифры). Наибольшая длина вп.пиы соответ-
ствует л = 3; при этом Атих ж 656 нм.
20.6. АП1в< 121 им; wmfn = 1,90 10° м/с.
20.7. ПотенциХ! ионизации атомп определяется уравнением гб\ = i де
Д1—работа удаления электрона с нормальной орбиты в бесконечность. Для
атома водорода
Л,=Л.=^(±-х).
При Аг = 1 и п = оо работа А, — hRc и потенциал ионизации L'i = Af/r = hRc/е =
= 13,6 В.
20.8. О‘| = 10,2 В,
20-0. Все линии всех серий спектра водорода появятся при ионизации атома
водорода Это будет при энергии электронов IVull*n = 13,6 эВ (см решение 20 7);
vjnjn = y/2eU,/m = 2,2 • 10е м/с.
2O.1I) . Энергия необходимая дли перевода атома и первое возбужденной со-
стояние, Wj = 10.2 эВ (см. решение 26.8). Энергия, необходимая для перевода
агома по второе возбужденное состояние (Л = 1, п = 3), IVg = 12,1 эВ. Таким
образом, спектр водорода будет иметь только одну спектральную линию, если
энергия бомбардирующих электронов лежит в интервале 10,2 $ IV $ 12.1 эВ.
20.11- п = 3; А = 1026 Л, А =1215А, А = 6570 А.
20.12. 97,3 О < 102,6мм.
20.13. AIV =2,56 зВ,
20.14- 97,3 $ А $ 102.6нм.
20.15 С п 3 пл к 2,
20.16- Л = 0,ЗЗпн.
20.17 п зз 26,6 пм; Vj = 4,37 • 10° м/с.
20.18 а) ГЛ = 40,8В; 6) (Л -91.8В.
20.10. a) ГД =54 В, б) Г/, = 122 В.
20.20. А = 30,4 КМ
20.21. дп = -п:
т п 2тг рп 2тс
20.22. А = 589 км.
20.23. LT = 2,1B.
20.24. А =254 нм.
20.26. Наименьший угол соответствует спектру первого порядка, т.е, А —
= 2d sinv>, откуда sir» = A/2d - 0,033 и = 1°54'.
20.26. МолирныЙ обь<‘ы камгнппй голи V з д/р. В этом аГи.сме имеется
2Л’д ионов, где Лгд — постоянная Авогадро. Тогда объем, приходящийся на один
ион, Ц /х/2рЛ’д. (\1Д>!Орат<ыы1О. расстояние d между ионами (постомпнал
решетки} найдется из условия kj = ri3, т.е.
d - УуГ - Ум/(2рЛ'д) - 281 пм.
СП гг
зоп
urilliTlJ К РЕШЕНИИ
[Гл VI
20.27. При увеличении разности потенциалов (7, приложенной к электро-
дам рентгччювакоП трубки, iicihiuimctqi спектральная линия а спектра первого
пОрядкаа длина волны которой А удовлетворяет уравнению
е(7 =/и/= hc/A. (1)
Но по формуле Вульфа— Брэгга
A = 2dsili<^ (2)
Из (1) и (2) находим
h *= f Vc 2d Bin ip = 6,6 - 10м Дж - с.
20 28 А = 297пм.
20.29. 2Да = — 8|д~^ । где а — угол между направлением цепочки и напра-
влением на дифракционный максимум
20.30. А = 27пм.
20.31. U = 770кВ.
20.32. Все линии К-ссрни (а также линии остальных серий) появятся одно-
аримепно, как только будет удален электрон с К-орбиты атома. Дли этого надо
приложить разность потсчщналон U, удовлетворяющую соотношению
г(7 = /п/ = /ic/A,
где А—длина полны, пип неге гну ющня переходу (юсконечно удаленного элек-
трона на /Сорбиту, т. е. длина волны, определяющая границу А'-серии. Для
нашего случая длина волны А равна (см. Прмл. XXVI); а) 138 пм б) 48,4 пм;
в) 17,8 пм; г) 15,8 нм Искомая разность потенциалов найдется по формуле
U = hc/eX. Подставляя числовые данные, получим следующие значения для
разности потенциалов//: а) 9кВ; б) 25,3 кВ; в) 69кВ; г) 79кВ.
20 33. Имеем
(1)
Наибольшая длина волны К-серии соответствует линии Ко. При этом в форму-
ле (1) мы должны положить b = 1, к = 1 п = 2. Решая формулу (1) относитель-
но А и подставляя числовые данные, получим значения А, равные: а) 194пм;
6) 13* пм; п) 72пм; г) 57.4 нм, д) 23,4 пм с) 22,8 нм; ж) 20.5 пм. Экспери-
ментально найденные значения длин волн Алипии следующие: а) 194 им;
б) 154 им; п) 71,2пм; г) 56,3 пм; д) 22 им; с) 21,4 им; ж) 19 пм.
20.34 Переход электрона с А/- на L-слой соответствует значениям к — 2 и
п = 3; поряджоиыЙ помер вольфрама и таблице Менделеева Я — 74 Подстявлнн
эти числовые данные в формулу Мозли, найдем Ь = 5,5.
20.35. 2 — 40 (цирконий).
20.30. jVo/jV = /*Л,/Ллв = 3,3 • 1(1",о. 20 30. zl/a = 0,5 мм.
20.37. Л* = 1,6 -10м с"1 кг"1. 20.40. 2,2 см"1.
20.38 /„ = 2,7 I0"16 Л. 20.41. В 3,7 раза
§2П
ОГНКТЫ И РЕП IF НИ Я
301
20 42. См. таблицу. Л = 1>24пм.
Вещество Вода Алюминий Желцэо Свинец
р. м"1 6,7 16 41 77
10"3 м2/кг 6,7 6,2 5,6 6,8
20 43 n - In «О/ In 2 - 6,35.
§21 Радиоактивность
21 1. Число атомов радиоактивного вещества, распадающихся за время Л.
ОН реДСЛ Я<*ТГ.Я <|(С1 рмулаЦ t
d/V = -АЛ’ dt. (1)
Употреблять эту формулу для конечного промежутка времени At можно толь-
ко в случае, если число имеющихся атомов Л’ можно считать та время At ио*
изменным. т.е. когда промежуток времени At гораздо меньше периода полу-
распад и В пашем случае (см. табл. XXII) период полураспада полония
Тх/2 — 138 сут. поэтому мы можем число распадающихся за время At = 1сут
атомов полонии паПги но формула
| АЛ’ | = АЛГ АТ = Iй 2 У At = 5025cvt- 1. (2)
Г1/2
21.2. При решении данной задачи пользоваться приближенной формулой
(2) мз решения задачи 21.1 нельзя, так как период полураспада радона (см.
табл. XXII) — 3,82 сут. Для нахождения числа распадающихся за время
Д1 = 1сут атомов радона надо пользоваться формулой Л* = Лгое“Л<. Тогда
искомое число
ДЛ' = No - Л’ Л'о №с"*' = ЛЪ(1 - с-*') = 1,67- 10sсут-1.
Если же мы будем находит ДЛ’ по приближенной формуле (2), то получим
АЛ” = 1,92- 105сут-1, т.е. допустим ошибку порядка 10%. Учащимся предла-
гается убедиться, *по решения задачи 21 I по формулам (1) и (2) приводят с
точностью до третьей значащей цифры к одному и тому же ответу.
21 3. а = 3,7 • 10|(| Бк.
21 4. т-6,5 10”® кг
215. т = 0,22 мг.
21.U. 2,75 года
21.7. а) = 7,9 107 Бк/кг б) ат — 5,7 • 1018 Бк/кг
21.в. т = 3,5 10" 20 кг.
21 О. 53 отброса.
21.10. -J 10|3(.
21 11. Процентили доля радиоактиппо^тп, иное и мня каждым из изотопов в
общую радиоактивность природного урана, определится отношением числа рас-
надо» it единицу природного ypaim. Оболтчнм через m массу природ-
ною урана. Тогда массы изотопов будут равны соответственно пц = б - 10“ 5т,
С. II 7
302
ОТПЕТЫ И РЕШЕНИЯ
(IX VI
mo = 7 Л 10”ат и тз = 99,28 10" 2т Число распадов в единицу времени,
да пас мое изотопом, будет равно
a.Vi = .VjAi = ,
д V2 - 1»2ЛГдтдДС ддг = 1п2ЛлтзД<
Т2Л2 ’ л Т3Л3 *
где Л д — постоянная Лвогадро8 '1\ — период полураспада шютома (индекс: 1/2
у Т опущен), Д,- — его молярная масса. Отсюда искомое отношение для каждого
из изотопов будет равно
— Д-Ч _ ^/(Д-тр
Л Vi + А Л 2 4- AN3 - Ш) /(А । Т|) + шзД.ЛгТг) + глз/ (Д3Т3)
Подставляя числовые данные, нетрудно убедиться, что вся радиоактивность
природного урана обусловлена изотопом gj^U» радиоактивность же изотопов
925^ н исчезающе мала.
21.12. и = 1,52- 107м/с. Полная энергия W, выделяющаяся при вылете
а-частмцы, равна сумме кинетической энергии а-частиды IVj и кинетической
энергии W? остаточного ядра:
VV' = H’| + IV2, (1)
Кроме тою, имеет место закон сохранении импульса. Так как до распада им-
пульс системы был ранил нулю, то после ршиида
nil VI = 012^2’ (2)
Из (2) нетрудно получить
, .<> ГН|Ь',2гП| Л , .9 ТП^Н2
(mtn)2 =-----1---- = Wz)2mt = (гпгп)2 = “ 2m2 = 2’пзН 2
Тогда из (1) имеем
IV = VV1 + 2™llVt = IV, f 1 = IV, t = 4.87 .МэВ.
1 2ГП2 \ П12/ * nia
21 13 а) <? = 0,12кДж; 6) Q = 16кДж.
21 14 Qh = 5,2 1012 Дж/моль.
21 15 a = 2,8-10s Бк.
21 1C Na =6 - IO23 моль 1
21.17. 18,5 IO10 Бк.
21.18. 1 = 12,8сут. На рис. 183 дан характер зависимоеги W/N1 = f (1).
Рис. 183
Рис. 184
ОТПЕТЫ И ГУЛПЕПНЯ
303
21.19 На рнс 181 дан характер зависимости A’/N = /(t). Период полурас-
сыда найдется как абсцисса 4лхоЙ точки к pit ной, ордината кого|н>й рпкна (1,5
Для нашего случая us кривой Ж/Лт/ = /(£), начерченной с нанесением мдешга
ба» можно nail гu Ft/2 — 3,8 сут.
21 20 7'1/2л1ч.
21.21. Л'2(0= дЛ'1ЛХ1 (e~A|t
21.22 Имеем
где Л,— молярная масса изотопа (индекс, J/2 у Tt опущен). Отсюда t= 3 10^
лет-
21. 23 Лг = 2 8 • 106. 21 26. 63,2%.
21.24 ш—7 -10экг. 2127. а— 1.67 10*Бк.
2125 / 1,1 10 7 кд 21.28. ат = 5,25 • 1015 Бк/кг.
21.29. До смешения удельная активность изотона
„ _ АЛ’ - AiV _ In 2Хд ттц _ 1п2Лд fn
°ml - m, Д7 ~ SIT “ Тл'^ГГ “ ТлГ ’ 1 '
после с мешении
« - - АЛГ -_____________1п2|Удгп1 f24
т {mt 4- шз At 7.41 (,ni + 1
где Аг —молярная масса радиоактивного изотопа (индекс 1/2 у 7° опушен). Из
(I) и (2) получим
1п2Л7д f. rm \ 1п2Лглтп-2 . л г»..
(*т
21.30
21.81.
21 32
21 36
= -лг. I > ~----— I С.’т-'.---§ **---г -• 1и 1ЭК/КГ.
7 А» \ mt 4- m2 J ХА1 (mi — m2)
m2 == 11мг. 21-33. g|6U
gJ6P<>. 21.34. «Иг.
gg6Ra. 21.35. ’PCs.
a) и = 1,92-107м/с; 6) И’ = 7,83МэВ (см. решение 21.12);
в) «V 2,26 105 г) /„ в 1,33 ИГ® А.
§ 22. Ядсрныс реакции
22.1. и) 12 Прогонов и 12 нейтронов; 6) 12 протонов и 13 нейтронов
в) 12 протонов и И нейтронов.
22.2. Имеем Aw= MmiH +(А - X)mn — тлд У нас (см. Прнл. XXVIII)
Атп= (3 1,00783 + 4 1.9U567 - 7,01600) а. о. м„ = 0.04217 а. с. м.
Гак как массе 1а. е.м. соответствует энергия 931 МэВ (см. задачу 17.20), то
сконч1пслы1о 'энергия свяэи ядра 7Li будет раина IV* = 0,01217 931 М »Н =s
= 39.3 МэВ. Эту энергию надо натратить чтобы расшеимть ядро 7Li на нуклоны.
22.3. IV = 28,3 МэВ.
22.4. VV = 225 МэВ
—/Г V
301
ОГРЕТЫ И РЕШЕНИЯ
(Гл. VI
22.5. а) И’ = 8.5 МэВ; 6) И' = 7,7 МэВ.
Ядро -}Н более устойчиво, чем ядро }Не?
22.6. Wo = 7.07 МэВ
22.7. И’=2.2 МэВ.
22 8. a) IV = 5,6 МэВ; б) И’ -7,5МэВ; и) IV 8.35МэВ; г) IV =: 8,55 МэВ;
д) И' = 8.75 МэВ; е) IV = 8.5 МэВ; ж) W = 7,9 МэВ; з) IV = 7,6 МэВ.
22.0. Имеем Q *с2( - Егл*)- Сумма масс исходных частиц
У2"»1 = (7«01в00 + 1,00783) а. с. м. 8,02383 а. с. м.
Сумма масс обрааовашпихся частиц
52 т* = (4,00260 + 1,00260) а. в. ы. = 8,00520 а. с м
Таким образом, дефект масс Луп = 0,01863 а. с. м. С.тедонателыю, при реакции
пыодляатги энергия Q 0,01863 • 931 МэВ = 17,3 МэВ
22.10. Q = 1,18 МэВ.
22.11. a) Q = 4,(М МэВ; б) Q = 3.26 МэВ.
22.12 а) Q =18,3 МэВ; б) Q = 22,4 МэВ; в) Q = 4,02 МэВ.
22 13. М - 570 т. 22.17. Л® = ® = 5.95 МэВ.
22.15. У=15\ЬВ. 22.18. ц„, = 1,1 10»1 Бк/кг.
22.16. И’ = 1.5МВт. 22.19. 'Г|/2 - 15ч.
22 20. Qt = 5,35 10ааМэ!1; Q, = 3,6 10й МэВ. Таким образом,
Ql/Qi — 7- 10е, т. е., чтобы осуществить это превращение, подо натратить :>нср-
гни приблизительно в 7 млн. раз больше, чем выделится при этой реакции.
22.21. m = 6.015 а. о. м
22 22, В результате проведенного цикла четыре ядра водорода превращают-
ся в одно ядро гелия Углерод, ведущий себя как химический катализа!пр, мо-
жет использоваться снова. Нетрудно найти, что в результате этого цикла осво-
бождается энергия 4,3 • 10~12 Дж. С другой стороны, зная солнечную постоян-
ную и расстояние от Земли до Солнца, найдем, что Солнце излучает в единицу
н]к*мспн анергию Qct = 3,8- 10зв Дж/г_ Если превратите четырех атомов водо-
рода дает энергию 4,3 1D“12 Дж, то для излучения энергии Qc« = 3,8-1026 Дж/с
необходимо расходовать в единицу времени массу водорода тл: = 5.9 10н кг/с.
Тах как масса Солнца т<? = 2- 10зд кг. то запас водорода в солнечном веществе
щ = 2 • 1О30 -0,35 кг = 7’ 10"41 кг. Следовательно, данного запаса водорода хватит
на время t — 4 • 10ю лет.
22.23. m = 1,00867а. с. м.
22.25. По ипредшпчшю
= (1)
где Л’| числи происшедших актов ядерного превращения за некоторый про-
межуток времени и Л'г — число частиц, бомбардирующих мишень ->п этот про-
межуток времени. С другой стороны, гак как активность изотопа определяется
числом распадов п единицу* времпин (п> = АЛГ|), то
где Тупериод полураспада обрлтивавшется рддиолк тивмого и.нутопл. Та-
ким образом, из (1) и (2) получим
*2 = 4?^- А’1-
11/2
§22)
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
305
22.26. ki = 1/500, те. только один протон из 500 вызывает роли ним».
22.27. Art = 1,2 10"3.
22.28. Ннпосрелственио после изгопнмюппя источник дает в единицу вре-
мени число распадов щ = (AiV/At)i = A*Vi: спустя время t число распадов в
единицу времени а? = (AJV/At)? = АЛгг, где АЧ = Ari€“A<. Отсюда, учиты-
вая, что только одна п-частмца из п = 4000 вызывает' реакцию, находим число
•томив радона, введенного в источник:
Дг* — nA’j = njV2eAt.
Тогда масса радона
nN' tt к. ипгх* а?
ш » V- = ' пХ2см = * v ч
А л Ад А
^адю-^кг.
22.29. as =9,3 10е с”1.
22.30. Q - 6,9 М»В; к2 = 5,77 Ю”13 Ьк
22.31. Обозначим (рис. 185) тп», гп? и mj — массы бомбардирующей п-часш-
цы, протона н ядра отдачи (в нашем случис ядра кислорода); IV,. IV* и ИЪ— их
кинетические энергии. Если ядро азота (т) неподвижно, то закон сохранения
энергии запишется так:
lVt + Q = IV2 + W3, (1)
где Q энергия реакции. Закон со-
хранения нм пулы л в векторной фо|>
ме имеет вид
Р) = Р2 4 РЗ- (2)
Из (2) имеем для импульсов (рис. 185)
Рис. 185
Рз - Р? + р? - 2Р1Р2 СОЗр
Так как
2
р2 - (т*)2 - 2Ц- 2т 2mlV.
то уравнение (3) примет вид
2т$ W3 = 2frij И') + 2т2Ш» ~ 2 соя у/ 2т i И j • 2т 2IV* >
или
IVS = Si IV, т HU IV. - ~v/mnn.VV! IV. .
т/ii у/ii • тя v 1
(3)
(>)
(*)
Исключая из (1) К (5) .чниргию Из, получим формулу, связывающую кинетиче-
скую энергию бомбардирующих о-чястиц с кинетической энергией протопоп:
(EV) ♦ « (№sJ) - i.»*. <•>
306
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
[Г.-l V!
Здесь Q = —1,18 МэВ. Решая (6) относительно cos*? и подставляя числовые
данимо, найдем
ГЛЧ.О - РИ + мз / W-2 _ тз ~ г»> / И»
2 у пчтуЛУ) у гтигпгИ'г
- — ^9— = 0,849, или V = 32°.
2 x/tniwqWi ИV
22.32 W2-H,3NbB; ?₽8<Ю°.
22.33 . Q = —0,78 МэВ — реакция идет с поглощением эпиргпи; W = | Q | х
x(wij I rrt2)/mi = 1,01 МлВ, где /гц—масса покоящегося ядра и тг — масса
бомбардирующей частпцы
22.34 IV = 1,52 МэВ.
22.35 . Еа = |Q| = >1,39МэВ( гдо Q —Энергия реакции.
22.36 . Е = 2,78 МэВ < ЕПор = 4.4 МэВ, поэтому не возбудит.
22.37 Q = 2,8 М»В; р - 9,3 • 10е м/с; W = 1,8 МэВ
22 38 W> = 1 МэВ
22 39 /ар = 2,2 МэВ.
22.40 /ар = 1(>Л> М*>П
22.41 . IV = 2,3 I О4 кВт-ч.
22 12 m - 31г.
22 43 Q = 17,6 МэВ; IV = 11,8 - КУ3 кВт ч
J 23. Элементарные чпеткщн Ускорители частиц
23.1. а) Л’ - 2.2 10:С; 6) Л’ = 1,1 10|С.
23.2. т = 12а.е. м. (графит).
23.3. 92%
23.4. a) 100%; б) 1,9%, т.е. в слое свинца нейтроны тормозятся зна-
чню-лыго слабее, чем в соотвитствукидем слое вещества, содержащего водород
(например, парафина).
23.5. Направление скорости v ней грина, налетающего на неподвижный про-
тон, является биссектрисой прямого угла, под которым разлетаются частипы.
При этом скорости этих частиц одинаковы и равны v’ = v \/2 /2. Следовательно,
энергия распределится в сиднем поровну между нейтроном и протоном
23.6. При каждом столкновения кинетическая энергия нейтрона уменьша-
ется наполовину (см. решении 23-5). Слцдопатслыго, поело и сголкпоп^пиП эиср
П1Я нейтрона будет IV = (1/2)” Wo. Отсюда п 1g2 = lp(Wo/W) = Ig(2 - 107) и
n = Ig (2 • 10T)/Ig 2 = 24.
23.7. q - 2c = 3.2 10 10 Кл.
23.8. v = —гД.— = Ю6 м/с.
1ШП Sina A
23 0. rn = 1,23 W“3n кг, p » 2,02 10я м/с, IV = 1.8 10s эВ; с/т = 1,3 х
х10и Кл/кп г' = 2,52 10я м/с.
23.10 Цо условию IV/ Wo = 1/\/1 — ff2 = 30, откуда v = 2,998- 10s м/с. Вре-
мя жн «пн дпижущиюся м<'*.юп«1 но лабораторным часом т = К)/\/1 — 80t&.
За это время мезон пройдет расстояние I = vr — v - 30то % 18 км.
23.11. В Нрнэ
23 12 W = 0,51 МэВ; А = 2 4 пм
§23|
OTUHTI.I >1 РМШЕ1ШЯ
«187
23.13 Если фотон с энергией hv превращается в пару частиц, то по ткопу
сок ран гни я »»iepi ни
hi/ — 2тпог2 + W| + ИЪ,
где wiqC2 — энергия покоя каждой частицы, IV» и И'з— кинетические энергии
частиц в момент их потпикистенпм. У наг то с? я 0,51 МэВ; следовательно,
27ПОС2 “ 1-02 МэВ. Тогда VVj + VV2 = (2,62 - 1,02) МэВ = 1.60 МэВ.
23.14 CJn.m .П<>]М*И1(д Пдм — ы'куль. В = mv/qR. Согласно теории
относительности импульс частицы р — mi* связан с ее кинетической энергией IV
cwt ношен нем __________ .
Р - | У 'V (IV + 2глис2) ,
где то — масса покоя частицы. Отсюда
И = А/и'(И' + 2тос’).
(I)
Нетрудно показать (см. решение 23.13), что кинетическая энергия каждой ча-
стицы IV = 2,34 М >В. Подставляя в (I) числовые данный, получим В — 0в31Т ь
23.15 . hv - 67,5 МэВ.
23.10 . /н' = 940М:«В.
23.17. mo (it) = 273т0, где то — масса покоя электрона; v = 2.48 • 10s м/с.
23.18. р= Bql'l^wr. и =8,7 МГц, = 19,4 МГц, р.ч — 9,7 МГц.
23.19. IV = 2я2те*Л2 И'| = 13.8 МэВ, IVj = 6,9МэВ. И'3 = 27.6МэВ.
23.20. В = и,9Тл; IV = 4.8 МэВ.
23.21. 11} В = 1,«Тл, IV =9,6МэВ; 6) В = 1,8Тл IV = 19,2МэВ.
23.22. Масса m = 1 г радия испускает в единицу времени число а-чнетпц
п> = 3,7 10т0с“|. Ток / = 15мкЛ соответствует потоку or-частиц пд = 4.7 х
х1013с-1. Таким образом, данный циклотрон продуктивнее массы ш = 1г
радия болог чем в тысячу раз.
23.23. U = R2B2q/2rn = 12 МВ.
23.24 / = — ~ =9 МГц
J лр у m
23.25. Для дейтонов и а-частин В = 1,ЗТл; для протопоп В — 0,65 Тл, Для
дейтонов, протонов и а-частиц v = 3,13 • 10* м/с Для дейтонов IV = 10,2 МэВ;
для протонов И' = 5.1 МэВ; для а-частмц VV = 20.4 МэВ.
При каждом полном обороте :1арнжгп|1ая час,типа проходит дважды про*
странство между' дуаитами и, следовательно, дважды ппл^'чит добавочный им-
пульс. Поэтому при п cl)i>|>ohAx юряжепная частица приобретает энергию, зкпн-
валентную ускоряющему потеннлалу (/' = 2пГ/, где U — разность потенциалов,
приложенная между дунитами Отсюда n = Ur(2U, Для дейтонов и п чпетпн
н = 6R; для протонов и = 34.
14,5 см.
тгг/шо = 1,1; fl = v/c = 0,44 it v —
В = 2irmovo/q = l-nmvfq — 1,62 Тл.
23.26.
23.27.
23.28.
1,32- JO8 м/с.
Так как L’o/i'=m/w4o =
IV = mor2
-J—1
\Z i -
= =30РМэВ
I
/1 - J2’
23.20. а) Т/Го Ж 17; б) Г/Го = 1,9.
анг
ПРИЛОЖЕНИЯ
I. Основные! единицы системы СИ
Величина Единица
наименование обозна- чение
Длина метр м
Масса килограмм кг
Время секунда с
Сила ч лек гр и чес кого тока ампер А
Термодм ламищеская тем пирату ра кельв II к К
Сила света кандела кд
Количество вещества моль моль
Плоский угол радиан рал
Телесный угол стерадиан ср
Приставки
Приставки Числовое зпачопме Обозна- чение Приставка Числовое значение Обозна- чение
Л г то Ю“18 а Дека 101 ДА
Фемто 10“1Ь Ф Гекто I02 Г
Пики 10"12 и Кило 1(р К
Нано 10“и н Мега 10° М
Микро 10-" мк Гига 10° 1
Милли 10-3 >1 Тера 10й т
Сап гм 1(Г* с Пега 10IS I!
Леци ю-1 д Экса 10>« У
В таблице приведены приставки, служащие д ля образования кратных и доль-
ных единиц системы СИ. Эти приставки можно присоединять только к простым
наименованиям (метр, грамм ит.д.). Не допускаете и. например, нрнсотпнять
какую-либо приставку к наименованию «килограмм», уже содержащему при-
ставку «кило». И j мпх же соображений единицу максы ш = 1UВ 9 кг = 10й г
следует называть «тераграммом* (Тг).
ПРИЛОЖЕНИЯ
зон
II. Единицы механических величин
Производные единицы в СИ:
Величина Единица
определении панмононапнс обозна- чение
[1 лошадь Обч .ем Скорость Ускорение Угловая скорость Условие ускоренно Частота периодиче- скою процесса Частота вращения Плотность Массовый расход Объемный расход Сила Давление Жесткость Импульс Импульс силы Момент силы Момент нм пульса Момент инерции Работа; энергия Мощность Динамическая вя«кость Кинематическая IllllKUCTl* «з > "в ч» «г 2 ъ з с ">£ в е г; II и и и и « ? 11 11 11 11 * и 7i 11 11 11 ,|! 11 11 11 ъ ~ - £ * ' > * - > | & к н ал ратный ъкчр кубический метр метр в секунду метр на сек> иду в квадрате радиан в секунду ]мдкап на секунду в кп.хтрате герц секунда в минус первой степени килограмм на кубический метр килограмм в секунду кубический метр в секунду НЬЮ гон паскаль ньютон на метр кил ограм м - мет р в секунду ньютон-секунда ньютон-метр к нл ограм м - метр в квадрате в секунду килограмм -м стр в квадрате джоуль ватт паск ал ь-секу нда квадратный метр л секунду м2 ма м/с м/с2 рад/с рад/с2 Гц с"1 кг/м3 кг/с мл/с Н Па П/м кг м/с Нс Нм кг м2/с К1 м2 Дж Вт Па с М‘/С
S—7/ГА ' \
СП f ’
310
ПРИЛОЖЕНИЯ
Внесистемные единицы и коэффициенты пересчета:
Величина Единица и ее сня'и. с единицами СП
Длина Масса Время Плоский угол 1 1 лошадь Объем Сила Дашшпж* Жесткость Импульс СИЛЫ Момент силы Работа; энергия Мощность Динамическая вязкость Кинема! и ческая вязкость I А = Ю“10м 1 л г = 1.49508 10й м 1 св. гол = 9,4605 - 10« м 1 ПК = 3.0857 10,йм 1 г = 103 кг 1 а. с. м. = 1 ,€605655 10“27 кг 1 мин = 60 с 1 ч = 3600 с 1 сут = 86 400 с 1° = (я/180) рад 1' = (jt/108) 10“7 рад 1" = (я/648) 10“3 ]кщ 1 об = 2х рад 1 i-a = 104 м2 1 л = 10“3 м3 I дни = Id-5 Н 1 кге = 9,81 И I дин/см = 0,1 Пл 1 кге/ы2 = 9,81 Па 1 ат = 1 кгс/см2 = 0,981 • 105 Па 1 ммрт.сг. (Торр) = 133,0 Пи 1 атм = 760мм рт.ст. = 1,013 • 10й Па 1 бар = 10s Па 1 дни/см = 10 1 Н/м 1 лип • с = 10“5 Н • г 1 лип • см = 10" 711 • м I эрг = 10“7Дж 1 кге м = 9,81 Дж 1 Вт - ч = 3,6-103 Дж 1 эВ = 1,6021892 10"1° Дж 1 кал 4,19 Дж 1 эрг/с = 10“ 7 Вт 1 л. с. = 75 кге • ы/с = 735,5 Вт 111 = 0,UU с 1Ст = 10-* м2/с
ПРИЛОЖЕНИЯ
31!
1П. Единицы тепловых величии
Производные единицы в СИ:
Величина Единица
определение пли мен опа пне обозна- чение
Количество теплоты Тсялогмкосгь гис гены Энтропия системы Удельная теплоемкость Удельная энтропия Удельная теплота фазового превращения Температурный градиент Тепловой поток Плотность теплового потока Теплопроводное гь Темиературон роводиость Коэффициент теплооб- мена j о > « 0 -о to f) II II II ‘1 II g. II II 11 II II II © Ы t> S § > с ^§Н 3 3 Э $ > И > ££> > > ч 5 > О •—4 "ч джоуль джоуль Н.т КСЛ1.НИП джоуль на кельвин джоуль иа кило грамм-кол ьвип джоуль ма кило- грамм кельвин джоуль на кп .’Ю1 рам м кельвин на метр ватт ватт па квадратный метр ватт па метр-кельвин квадратный метр п секунду ватт на квадратный мсгр-кельвин Дж Дж/К Дж/К ДжДкг К) ДжДкг К) Дж/кг К/м Вт Вт/м2 ВгДм К) >г/с Вт/(м2 • К)
Внесистемные единицы и коэффициенты п<'|»ш:*1<«та:
Величина Единица и ее связь с единицами СП
Количество теплоты 1 кал — 4,19 Дж
Теплоемкость системы; 1 кал/К = 4,19 Дж/К
энтропия системы Удел ыыя ген- 1 оемкогть, 1 мл/(г • К) = 4.19 103 Дж/(кг • К)
удельная энтропия Удельная теплота фазового 1 кал/г — 4 19 1С3 Дж/кг
П|М>11р.3111РНИП Тепловой ноток Плотность TCILtObOlO потока Т Щ1Л011рОПСЩНПС7Ь 1 кал/с = 4,19 Вт 1 кал/(с • см2) 4,19 1D4 Вг/ы2 1 калДс • см К) - 4 19 102 ВгДм К)
S—7/Г\\
ГП ? ”
312
ПРИ JПОЖЕНИ Я
IV. Единицы электрических и магнитных величин
Производные единицы в СИ-
Величина Единица
ОЩМ'ДЩНЧШС пнимоповаиие абоэии- чение
Коли чесгво э лек три честна (электрпческий заряд) Поток электрического смещения Линейная плотность электрического заряда 1loneрхностпдя П.ЧО1 постъ Электрического заряда Электрическое смещение Объе«ная плотность .|.*|рктрнческого заряда Ра них-и. iioitiiiibiltob; электродвижущая сила Напряженность электрического поля Электрическое i/oiipum&neiiNe Электрическая проводимость Удел I.IKJU элек гр п ческос сопротивление Удельная электрическая ГЦМНЮДИМОСТЬ Электрическая емкость Плотность тока Магнитный поток Магнитная индукция Индуктивность Напряженность магнитного поля Магнитный момент </ = И аго = £<7 т ~ 7/1 а = q/S 7? = <7 6 = q/V U ~ Л/q E=U/l R = Ufl (7= 1/К /> = RS/1 а= \/р G = q/V j = i/s | 4Ф| ~£dt В =. Ф/З ,L,= 37/57 П « //2тгг р — IS кулон кулон кулон па митр кулон па квад- ратный метр кулон на квад- ратный метр кулон нв куби- ческий метр вольт вольт на метр ом снмсис им-метр сименс на метр фарад ампер на квад- ратный ме-ср пебер течдха генри ампер на метр ампер-квад- ратный метр Кл Кл Кл/ м Кл/ма Кл/м2 Кл/м5 В В/м Ом См Ом - м <^1/м ф А/м2 R6 Тл Гн -\/м А м2
ПРИЛОЖЕНИЯ
313
Единицы системы СГС и коэффициенты пересчете:
Величина Единица и се связь с единицами СИ
Ток Количество электричества Поток электрического смещения Элок три чгскос см emeu ие Поверхностная плотность элск грического заряда Разность потенциалов; элек гродвижушля сила 1 fan ряжен н<Югь электри- ческого поля Э.П'11 IpH'KX К(М‘ COHJMHTIB* лешке Удельное электрическое сопротивление Электрическая емкость Плотность тока Магнитный поток Магнитная индукция Индуктивность Напряженность магнит- ною пол» 1СГС/ = ^Л-д 11) "А 1С.ГС, - ^Кл= | 10-9Кл ,сгс№ l0"f“Kj' 1 СГСр = ’°* Кл/м2 = К) ' Кл/м2 1 СГС<г = 1 СГС,/см2 = Кп/м2 = = | - 1(Г4 Кл/м2 1СГС(7 =г. 11)—” В = 3-102 В 1СГСП =с-10-«В/ы»3 10* В/м 1 СГСг = с2 10-° Ом 9 К)’1 Ом 1СГСр - с1 10-11 Ом - м = 9 - 10 'О.м м 1 СГСс = 10° Ф = д 10 Ф 1 СГС, = А/м2 - j !0’s А/м2 1 СГСф = 1 Мкс = 10 е Нб 1 СГСд = 1 Гс = 1Q-4 Т.ч 1СГС/, = 1см = 10-° Ги I С!’Сц = 1Э=з^ 103 А/м
Примеч а и п г В -згой таОлицс числовое значении скорости слета а вакууме
выражено в сантиметрах и секунду. т е. с = 3 IU,ocm/c.
311
приложения
V« Единицы акустических величин
Производные единицы в СИ:
Величина Единица
определение наименование обозна- чение
Звуковое1 ддилепие Плотность звуковой энергии Звуковая МОЩНОСТЬ Интенсивность звука -з Е= * 1» II II П < ? 5 s 2 ~ 4/5 паскал. джоуль на куби- ческий метр ватт ватт на квадрат- ный метр На Дж/м3 Вт Вт/№
Единицы системы СГС и коэффициенты гн-ресчетн:
Величина Единица и ее связь с единицами СИ
Зпуковсд* IPUU1CIIMC Плотность звуковой ЭНГргнн Звуковая мощность Иитснс'ивпопь звука 1 днн/см2 = 0,1 Па 1 эрг/см3 = 0,1 Дж/м3 1 эрг/с = 10~7 Вт 1 эрг/(с сы3) = 10 3 Вт/м2
Внесистемные сццшицы:
Величина Единица
наимено- вание обозна- чение определенно
Уровень звуко- вого давления Уровень ipoM- кости звука децибел фон яБ фон Децибел — уровень звукового давления, двадцать десятич- ных логарифмов отношения которого к условному порогу давления, равному 2 • 10“ 5 Па. равны единице Фон — уровень громкости звука, для которою уровень звуково- го давления рани огром кого с ним звука частоты 10s Гц ра- вен 1дБ
ПРИ ЛОЖ ГЛ II я
31Л
VI. Единицы световых величин
Единица
Величина определение наименовании обозна- чение
Световой поток Снеговая энергия Освещенность Светимость Яркость Сш*ТО|111Я ЭК Г ПОЛИ ни и ~ 5! » И £ & «- II II II ' U II a. ft. а. II 11 > > * ft & * Si 5 & ? S люмси люмен -секу ила люкс люмен на квад ратный метр наплела на квад ратный метр люкс-секунда лм ям с лк дм/м2 кл/м2 лк -с
VII. Единицы радиоактивности и ионизирующих излучений
Производные единицы в СИ
Величина Единица
определение наименование обозна- чение
Актминость изото- па п радиоактив- ном источнике а — dN/dt беккерель Бк
Интенсивность из- лучения J = W/S патт на квадрат- ный метр Вг/м2
Поглощенная доза налучекия Dn = |V/m грей Гр
* Мощность погло- щенной дозы из- лучения Fn = Dnjt грей в секунду Гр/с
Экспозиционная дела |мч1тпчк>11* ского it гамма-из- л\ЧСПИЙ D* — кулон па кило- грамм Кл/кг
Мощность экспо- зиционной дозы рентгеновского и гамма- излучений И. - i^/t. ампер па кило- грамм А/кг
316
ПРИЛОЖЕНИЯ
Внесистемные единицы:
Величина Едмшща и ее связь с единицами СИ
Ак тинное гь изотона п радиоактивном источнике Поглощенная доза излучения Экспозиционная доза ромтгомовскою и гамма-из.пучеиий 1Ки = 3,7 IO'OJSk 1 рад — 10“г I р 1 Р - 2,57976 IO-4 Кл/кг
Примечание. Единицу экспозиционной долм ршгпчрк>но<1Г<1 и гпммп-
излученнй кулон на килограмм, а также внесистемную единицу рентген можно
применись дли излучений с энергией квинтой, не превышающей 5 • 10“13 Дж
(приблизительно 3 МэВ)
VIII. Спм-н. между раци<>1ны1И'.1г>пп1111Ызии и нершдоопплизоипнными
уравнениями электромагнитного поля
Уравнения электромагнитного поля в рационализованной форме можно по-
лучить из уравнений в пера пион ал и зова и ной форме следующими преобразова-
ниями:
I. Ди хле* грп'кч'кая ириницвитмисп» е, входящим в >мдни1И<якы1Изоитнн4к
уравнения, заменяется величиной
•1хел ш 4л^ое,
где со электрическая постоянная, с—опии игольная диэлектрическая про-
ницаемость с рады.
2 Магнитная проницаемость ц, входящая в luqtauitoihuiii ю в л иные уравне-
ния, заменяется величиной
/*' _ До/*
41г 4х ’
где ри магнитная постои и пая, р—относительная магнитная проницаемость
среды.
3. Электрическое с:мсщщ1ис D = сП, входящее и не рацион ал изо винные урав-
нения, заменяется величиной
4tD — 4jt€d€jE?-
4. Напряженность магнитного поля // /1/р, входящая в iicpaiuiuii<viH30-
ваипые уравнении, заменяется величиной
4т Н = 4я .
РОД
Все уравнения, в которых отсутствуют величины г, р. D и //, имеют один и
гот же вид и в нграциопалнзоваиноП, и в рационализованной форме.
Осуществляя указанные выше преобразования, нетрудно составить таблицу,
и которой сопоставлены важнейшие уравнения §§ 9 и 11 гл. III в iNtpruiHoiuuin-
зованиой и в рационализованной формах.
Учащимся предлагается, осуществляя указанные выше преобразования, до-
полнить згу таблицу не вошедшими в нее формулами §§ 9 и 11 гл. III. Нетрудно
убедиться, что вся уравнения, прицеленные и §10 >л. III. вдектг один и тот же
вид в рационализованной и нерацпонализованной формах.
1ГГИЛОЖЕПНЯ
317
A 1 !ерац|(о1Н1Лн:1ондипам форма (система СГС) Раи.иоил.ч в зонаш। ii» форма (система СИ)
Закон Кулона Напряженность элек- трического поля Напряженность поля точечного заряда Теорема Гаусса Напряженность поля заряженной нити Панрпженпость поля заряженной плос- кости Напряженность ноля плоского конденса- тора Разность потенциалов П<к<11циал ноям то- чечного заряда Зависимость между напряженностью по- ля и потенциалом 'Го же для однород- ного ноля Зависимость между емкостью, зарядом и потенциалом про- водника Емкость плоского конденсатора Емкость сфс.ричгс КОЮ конденсатора Емкость шара Г- Т -г- «. « slt II- II- Т 8 Ш ; 11 4 " « щ " 11 Ь Ь " " !1 " 'I О Ь. _г> щ U; Ь! Ь < -J е- Ъ и Л т 4? wlj ч=| й 1 5 И Л || II 1 II J: " щ 11 й J! щ « Ь * Ы О- О II с lb a < о
31В
ПРИЛОЖЕНИЯ
Продолжение табл.
1 В ера» ио пал изовяпни я форма (система СГС) Рппиошьтизованмая форма (система СИ)
Энергия заряженного пропашника Энергия поля плоско- го кондшк агора Объемная плотность энергии электриче- ского поля Сила притяжения пластам плоского конденсатора Закон Био—Савара — Лапласа Напряженность маг- нитного поля в цен- тре круговою тока Напряженность маг- магшпного ноля прямого тока Напряженность маг- магинтного ноля пну три С<и№НОИЛД Связь между напря- женностью мягиит- иого поля и магнит- ной индукцией Плотность энергии магнитного ноля Сила Ампера Си.» Лоренца CiCta ныимцдсПгтиия марал дельных токов Индуктивность соле- ноида ... _ e/J СП* _ q* и - Y “ to VV - = 8ir« _ eE2Sd _ 2irtr*Sd Bit e ... ‘Vo = -SF 8п * — — 2л<у25 “ Бла5 ~ г <m = crJ H =ъг Il = — ca И — c П = pH IV HB И° = TGF tlF Ш c p — sin о c F . Wlhl t'^d L = 4x/m3/.S’ eoeE^Sd a2Sd 2‘' =<Sw K’n - F _ еце = — 2d2 2co€ ... Id! sin a ''"=-Тлг’ H = 27? H= 2¥a H = In В =! H ... H в И° = -2“ <//•’ = Bl sin о dl js Bqv sin a 2ла L = pQpn2lS
ПРИЛОЖЕНИЯ
319
IX График чапмсимости индукции П «г напряженности Н
магнитного поля для некоторого сорта железа
X Фундаментальные физические константы
Гравитационная постоянная
Скорость снега ь ьакууме
Магни г пая постоянная
Электрическая постоянная
Постоянная Планка
Масса покоя электрона
Масса покоя протона
Масса покоя нейтрлш
Отношение массы протона к массе
лнект рана
Элементарный заряд
Отношение заряда электрона
к ею массе
Атомная един и на массы
11 истой и мая А вогадро
1 loci оянная Фа|»лдея
Молярная газовая постоянная
Молярный объем идеальною
газа прн нормальных условиях
Постоянная Больцмана
G ~ 6.6720 10“п И м2/кг2
с = 2,9979245В 108 м/с
ро = 12,5663706144 10“7 Гц/м
СО -8,85418782 • 10"12Ф/м
Л = 6,62617G • 10* А< Дж • с
— 9,109534 • 10“31 кг
тпр = 1,6726485 • 10“27 кг
mfl = 1,0740513 10 27 кг
тпр/пг — 1836,15152
« = 1,6021892 • 10-,9Kn
е/тпс = 1,7588047 • 10й Кл/кг
1 а. с. м. =s 1,6605655 - 10“27 кг
Л'а = 6,022045 10м моль-1
F ss 96,48-156 • К)3 Кл/моль
Л 8.31441 Дж/(маль К)
V© = 22.41383 • 10“3м3/моль
к = 1380662 10“23 Дж/К
320
ПРИЛОЖЕНИЯ
XI. Некоторые данные о планетах Солнечной системы
ПРИЛОЖЕНИЯ
321
XIII. Диаметры атомоп и молекул
Гелий 0,20 Кислород 0.30
Водород 0,23 Азот 0,30
XIV. Критические значения и р*
Вещество Тк, К pHt МПа Всщест1к> Тм. К рк, МПа
Водяной пар Углекислый газ Кислород Аргон 647 304 154 151 22.0 7,38 5,07 4.87 Лк»г Водород Гелий 126 33 5,2 3,4 1.3 0,23
XV. Дннленне водяного пара, насыщающего пространство при
разных температурах
I. °C рп, Па £, °C Рк» Па t. °C Р«, Па
-5 400 8 1070 40 7335
0 609 9 1145 50 12302
1 оде 10 1225 60 19817
2 704 12 1396 70 31 122
3 757 14 1596 80 47215
4 811 ' 16 1809 90 69958
5 870 20 2328 100 101 080
6 932 25 3165 150 486240
7 1025 30 4229 200 1349890
XVI Удельная теплота парообразования воды при разных
температурах
еле 0 50 100 200
г, МДж/кг 2.49 2,38 2,26 1,94
322
ПРИЛОЖЕНИЯ
XVII. Свойстнп некоторых жидкостей (при 20°С)
Вещество Плотность, 103 хг/м3 Удельная теплоемкость, Дж/(к г KJ Поверх Неи гное натяжение, П/ы
Бензол 0,88 1720 0,03
Вода 1,00 4190 6,073
Глицерин 1,20 2130 0,064
Касторовое масло 0,00 1800 0,035
Керосин 0.80 2140 0,03
Ртуть 13,60 138 0,5
Спирт 0,79 2510 0,02
XVIII. Свойства некоторых твердых тел
Вещество Плот- ность, 103 кг/ы3 Темпе- ратура плавле- ния, °C Удельная теплоем- кость, Дж/(кг • К) Удельная теплота плавления, кДж/кг Температур- ный коэффи- циент линей- ном расши- 10 ”4 К”1
Алюминий 2.6 659 896 322 2.3
Железо 7,9 1530 500 272 1.2
Латунь 6.4 900 386 — 1.9
Л<щ 0,9 0 2100 335 —
Мцдь 8,6 1100 395 176 1.6
Олово 7.2 232 230 58,6 2.7
Платина 21,4 1770 117 113 0.89
Пробка од — 2050 — —
Свинец 11.3 327 126 22,6 2.9
Серебро 10,5 960 231 88 1.9
Сталь 7J 1300 460 — 1,06
Цинк 7,0 420 - 391 117 2,9
ПРИЛОЖЕНИЯ
323
XIX. Снойстпл упругости иокоторых т перлы х тел
Вешсстпо Предел прочноегн, .МПа Модуль IOicm. ГПа
/\люм|{ний ИО 69
Желех) 294 196
Медь 245 ПН
Свинец 20 15,7
Серебро 290 74
Сталь 785 216
XX. Теплопроводность твердых тел, Вт/(м К)
Алюминий Войлок Железо Кварц плавленый Медь 210 0,046 58,7 1,37 390 Песок сухой П|юбки Серебро Эбонит 0,325 0,050 160 0,174
XXI. Диэлектрическая проницаемость диэлектриков
Воск Рада Керосин Масло 0Q |/ 0© Парафин Слюда Стекло Фарфор 2 6 6 6 Эбонит Парафинированная бумага 2,в 2
XXII. Удельное сопротивление проводников (при 0°С), мкОм - м
Алюминий 0,025 Нихром 100
Графит 0,039 Ртуть 0,94
Железо 0,087 Свинец 0,22
Медь 0,017 Сталь 0,10
324
ПРИЛОЖЕНИЯ
XXIII. Подвижности ионов в электролитах, 10 8 м2/(В с)
ЬОз н+ К+ 6.4 32,6 6,7 СГ Ag+ 6,8 5.G
XXIV Работа выхода электронов из металла, эВ
VV 4,5 Ab 4.74
W + Cs 1,6 Li 2,4
W + Th 2,G3 Na 2,3
14 1 Се 1,40 К 2,0
Pl 5,3 Ся
XXV. Показатели преломления некоторых веществ
Алмаз 2.12 Сероуглерод 1,63
Вода 1.33 Скипидар 1,48
Лсд 1,31 Стекло 1,5- 1,9
XXVI. Длина полны, с>11|м«д<*лякшм1я Гранину К-серии рентгспонских
лучей для различных материалов антикатода, пм
Вольфрам Золото Медь 17, Я 15,3 138 Платина Серебро 15,8 48.4
ПРИЛОЖЕНИЯ
325
XXVII. Спектральные линии ртутноМ дуги, им
253,7 104.7 546,1 612,8
3(55,0 135.8 577,0 690,8
365,5 523.5 579,1 708,2
XXVIII. Массы некоторых изотопов, а. е м
Изотоп Miura Изотоп Масса Изотоп М.тгс^
;и 1.00783 ?Bc 9.01218 ?JSi 29,97377
?н 2.01410 '°В 10,01294 2oCa 39,96257
?Н 3.01605 isc 12,0 2 7 CO 55,93984
?Нс 3,01603 13,00574 “Cn 62,92960
J Не 4,00260 14.00307 111,90276
S’i 6,01512 Г<> 16,99913 ^Hg 199,96832
3Li 7,01600 ?]Mg 22,99413 235,04393
7.01693 ?5мй 23,9850-1 238,05353
^Ве 8.00531 I3A1 26,9815-1
XXIX. Периоды полураспада некоторых радиоактивных элементов
164 сут 2* На 1590 ЛСГ
□2* 28 лот 7,1 • 10® лот
a°Po 138 сут 23Вт| 92 и 4,5 10е лет
3,82 сут
3211
ПРИЛОЖЕНИЯ
XXX Названия, символы и атомные массы химических элементом
1 Водород Н 1,0079 32 Германий Ge 72.59
2 Гелий Не 4,00260 33 Мышьяк As 74,9216
3 Литий Li 6,941 31 Селен Se 78.96
4 I Я’рНЛЛМЙ Вс 9,01218 35 Бром Hr 79,9114
5 Бор В 10,81 36 Криптон Кг 83,80
6 Углерод с 12,011 37 Рубидий Rb 85.467
7 Азот X 14.0067 ' 38 Стронций Sr 87,62
8 Кислород о 15,9994 39 Иттрий Y 88.9059
9 Фтор Е 18.998403 40 Цирконий Zr 91.22
К) 1 Icon Ne 20.179 41 Ниобий Xb 92.9064
11 Натрий Na 22,98977 42 Молибден Vo 95.94
12 Магний Mg 24,305 43 Технеций Tc 98.9062
13 Алюминий Al 26,98154 44 Рутений Ru 101,07
14 Кремний Si 28,0855 15 Родий Rh 102.9055
15 Фосфор P 30,97376 46 П.1ЛЛЛДИЙ Pd 106,4
16 Сера s 32,06 47 Серебра AK 107.8G8
17 Хлор CI 35,453 48 Кадьшй Cd 112.41
18 Аргон Ar 39.948 49 Индий In 114.82
19 Калий К 39.0983 50 Олово Sn 118.09
20 Кальций О 10.08 51 Сурьми Sb 121,75
21 Скандий Sc 44,9559 52 Теллур Те 127.60
22 Титан Ti 47,90 53 Иод 1 126,9045
23 Ванадий V 50,9415 54 Ксенон Xe 131.30
24 Хром Cr 51,996 36 Цезий Cs 132,9054
25 Марпшец Ми 54,9380 56 Б кр ИЙ Пл 137.33
26 Железо Fa 55,847 57 Лантан U 138.9055
27 Кобальт Co 58,9332 58 I [ерий Cc 140.12
28 Никель Xi 58,71 59 Празеодим Pr 140,9077
29 Медь Ch 63,546 60 I Iеоднм Nd 144.24
i 30 Цинк Zu 65,38 61 1!р1>мсгий Pm [I-li]
| 31 Галлий Ga 69.735 62 Самарий Sm 150,1 —— ’
ПРИЛОЖЕНИЯ
327
Продолжение табл-
63 Европий Ей 151.96 85 Астаг At [210)
61 Гадолиний Gd 157,25 86 Радон Rn [222]
65 Тербий Tb 158.9254 87 Франций Fr [223)
G6 Диспрозий Пу 162,50 88 Радий Ra 22,0254
67 Гольмий По 164.9304 89 Актиний Ac [227]
68 Эрбий Ег 167.26 90 Торий Th 231,0381
69 Тулий Тш 168,9342 91 Протактиний Pa 231,0359
70 Иттербий Yb 173,04 92 Уран U 238.029
71 Лютеций l.u 174,967 I 93 Нептуний Np 237.0482
72 Гафний Hf 178,49 94 Плутоний Pu [244]
73 Таи i-ал 1U 180,947 95 Америций Am [243]
74 Вольфрам w 183.85 96 Кюрий Cm (247)
75 Рений Re 186,207 97 Верклнй Bk [247]
76 Осмий Os 190.2 98 Калифорний Cf [251)
77 Иридий Ir 192 22 99 Эйнштейний Es [254]
78 1 1латина Pl 195,09 100 Фермий Fm (257)
79 Золото Au 196.9665 101 Мевдслений Nd [25«]
80 Ртуть Hg 200,59 102 (Нобелий) (No) (259]
81 Таллий Ti 204,37 103 (Лоуренсий) (Lr) [260]
82 Свинец Pb 207,2 101 Курчатовий Ku (260)
83 Висмут Bi 208,9804 105 (260]
84 Полоний Po |2U9J 106 [263]
Учебное издание
Валентина Сергеевлн Волькетнтейн
СБОРНИК ЗАДАЧ
ПО ОБЩЕМУ КУРСУ ФИЗИКИ
Для студентов технических вузов
Издание дополненное и переработанное
Редактор Л. С. Виноградов
Корректоры Я П. Егорова, Д. В. Смирнова. И. В Солнцева, И II. Ткаченко
Верстка С. Г. Долгих, С 10. Мамашина
Лицензия ИД Vq 00072 ot 10.09.99. Подписано в печать 9.04 2002
Формат 60x90 Печать офсетная. Уч.-изд. л. 23.7. Уел. псч. л. 20Д
Тираж 10 000 экз. Заказ 3183
Издательство «СисиЛит» при рмстии ООО «Мифрид».
19S005. Санкт-Петербург, Измайловский пр., 29
Отпечатано с гоижых лиа|кпитипоп
в Академической типографии «Наука» РАН
199034, Сан кт Петербург. 9 линия. 12
—
Волькенштейн В. С
fj СБОРНИК ЗАДАЧ
•х по общему курсу
1 СРИЗИКИ
—(физические основы механики
—-J молекулярная физика г
и термодинамика
мн электричество и магнетизм
мм колебания и волны
в оптика