ТЕХНИКА РАБОТЫ С ЦИФРАМИ
П.П.МАСЛОВ

П. П. МАСЛОВ
ТЕХНИКА РАБОТЫ
С ЦИФРАМИ
Практические указания
ИЗДАНИЕ 3-е
(переработанное и дополненное)
СТАТИСТИКА
МОСКВА 1969

ВВЕДЕНИЕ
Работа экономиста — это работа с числами. Мысли,
умозаключения, выводы, логические ассоциации выра-
жаются величинами, именованными числами и мерами.
Если бы не было измерений, т. е. определений, сколько
раз в данной .величине содержится другая величина,
принятая за единицу, не было бы экономического рас-
суждения, не было бы экономической работы. Числами
выражаются итоги деятельности предприятий, числами
характеризуется и качество работы, в числах выражают
и планы.
Конечно, не только экономист работает с числами и
занимается вычислениями. Испокон веков нет такой от-
расли деятельности, в которой человеку не приходилось
бы постоянно иметь дело с цифровыми обозначе-
ниями.
Цифры — это знаки, при комбинации которых мы по-
лучаем возможность обозначать числа. Оперируя де-
сятью принятыми у нас цифрами, можно выразить бес-
предельное количество чисел.
Если говорить о том, кому принадлежит заслуга
изобретения счета и числа, и оставить в стороне миф
о Прометее, который, согласно Эсхилу, дал людям
число, то, очевидно, речь должна идти об Архимеде и
его числовой системе, хотя и до него греки знали счет,
правда, только до 10000. Но измерение величин пришло
позже.
Сейчас измерение сопутствует рассуждениям и ана-
лиз фактов тесно связан с вычислениями и измерениями.
Задача экономического анализа заключается не
только в том, чтобы просто установить факты или кон-
статировать цепь событий и регулярность их наступле-
ния. Нет, экономист должен указать место этих фактов
3

п системе общих представлений. Иначе говоря,
должна быть сформулирована закономерность, которая
дает повод для определенных политико-экономических
заключений. Обработать и привести в систему факты,
характеризующие какой-нибудь процесс, означает «по-
нять, оценить, статистически выразить этот процесс».
(В. И. Ленин, Поли. собр. соч., изд. 5, т. 27, стр. 180).
И оценить, и статистически выразить его можно только
при помощи чисел. Но не отвлеченных чисел,- а при по-
мощи мер.
Идея измерения величин, вероятно, пришла к чело-
веку еще до того, как он научился считать на сотни и
тысячи. Во время переписи населения и хозяйства Тувы
в 1931 г. регистрировались расстояния между кочевьями
(зимними, весенними, летними). Поскольку до этого
никому в голову не приходило измерять эти расстояния
и представления о километре у населения тогда не было,
вопрос программы переписи был поставлен так:
«сколько раз успеет вскипеть чай, пока туда доедешь».
Стандартная чугунная чаша на очаге и стандартная
езда верхом позволили определить расстояния, а выбо-
рочная проверка спидометром автомобиля подтвердила
тогда же правильность этих определений. Данные были
опубликованы в километрах1.
Этот пример показывает, что человеческое сознание
быстро приспосабливается ко всякого рода сопоставле-
ниям, а следовательно, и к измерениям. При этом жи-
тейский опыт подсказывает разумные масштабы и там,
где речь идет о непривычных предметах.
«Считать, можно самые разнообразные предметы:
два чемодана и арбуз могут составлять три предмета,
взятые с собой в дорогу, но два чемодана и пол-арбуза
не составляют 21/2 предмета—употребление дробных
чисел предполагает однородность как самих предметов,
так и их частей, т. е. по существу всегда связано с из-
мерением величин»2.
Часто всякого рода софизмы принимают числовое и
измерительное обличье.
1 «Тувинская сельскохозяйственная и демографическая перепись
1931 года» (Научно-исследовательская ассоциация по изучению на-
циональных проблем), М., 1933.
2 А. Колмогоров, предисловие к книге Г Лебега «Об изме-
рении величины», М., 1938, стр. 4.
4

Например, у каждого живущего сейчас было два ро-
дителя и по два деда и бабки, по четыре прадеда и пра-
бабки. Означает ли это, что раньше было в четыре или
в восемь раз больше народу, чем сейчас? Конечно, нет!
Во-первых, деды и прадеды жили в разное время и, во-
вторых, у братьев и двоюродных братьев были одни и
те же предки.
В других случаях софизм требует известной дешиф-
ровки. Вот обычный тезис, выдвигаемый буржуазной
наукой. Во время кризиса, несмотря на рост безрабо-
тицы, доля трудовых слоев в национальном доходе уве-
личивается потому, что прибыли уменьшаются в боль-
шем проценте, чем другие доходы. Рабочие, следова-
тельно, теряют во время кризиса меньше, чем предпри-
ниматели. Но, допустим, отношение доли труда и капи-
тала в национальном доходе составляло 1:1, прибыль
упала на 40%, фонд заработной платы — на 30%. Отно-
шение получилось 0,86 вместо 1. Но, если фонд заработ-
ной йлаты упал на 30% и средняя заработная плата,
допустим, снизилась на 20%, значит, численность без-
работных возросла более чем на 13%. Это означает,
что доля национального дохода, приходящаяся на тру-
дящихся, разделилась на две части: работающие стали
получать на 20% меньше, но при этом число обез-
доленных, которые практически не получают ничего из
национального дохода, возросло на 13%.
Часто буржуазные публикации состоят только из од-
них цифр, и читателю или комментатору предостав-
ляется возможность толковать и переводить язык цифр
на житейскую речь.
Если говорить о переводе с языка цифр, то здесь, по-
видимому, основное заключается в том, чтобы «перевод-
чик» сам полностью понимал этот язык. Между тем все
измеряемые понятия имеют свои названия и термино-
логия сейчас настолько сложна и во многих случаях
запутана и произвольна, что толкование измерений
часто требует предварительных соглашений о названиях
применяемых на практике измерителей.
В настоящее время к статистическим сборникам при-
лагаются указатели, объясняющие принятые термины.
Однако и этого мало: недостаточно знать, что озна-
чает данный термин и символ, надо еще знать, как его
понимают другие.
5

Приводим характерный пример: разное понимание
простого слова «турист» приводит к несообразностям.
Если сложить публикуемые европейскими странами дан-
ные о прибывающих на каникулы в Европу англичанах,
то получится одно число, в то время как по английским
даадным — другое. Это объясняется различным толкова-
нием термина «посещение». Италия, например, считает
туристов на границе даже тогда, когда они едут тран-
зитом и вновь будут сосчитаны в следующей стране.
Швейцария считает только -прибывающих в гостиницы
и, следовательно, «е считает живущих лагерем и считает
по нескольку раз тех, кто меняет гостиницы.
Помимо терминологии, когда мы оперируем данными
из иностранных источников, очень важно также знать
примененную методологию расчетов. Приводим пример,
из которого это можно наглядно видеть.
Покупательная сила доллара, т. е. обратная вели-
чина индекса це«, будет разной в зависимости от того,
какой -индекс применяется для расчетов. Если 1947—
1949 гг. приняты за 100, то получатся следующие резуль-
таты 1:
Годы
1940
1950
1960
1961
Покупательная сила доллара,
измеренная
индексом
оптовых цен
195,7
97,0
83,6
84,0
индексом
розничных пер
166,9
97,3
79,1
78,2
Покупательная сила заработной платы отражается
лучше индексом розничных цен.
Отсюда следует: недостаточно знать, что покупатель-
ная способность денег исчислена как обратная величина
индекса цен. Надо еще знать — какого индекса цен.
Когда в Англии исчислили коэффициент эластич-
ности от дохода на бензин и масло для автомобилей, то
получили 0,61, т. е. этот вид расхода растет гораздо
медленнее роста дохода. Это казалось парадоксальным,
так как эластичность спроса на автомобили была 1,06.
1 См. «Survey of Current business» за соответствующие годы,
СЩА/
6

Однако загадка разрешается, если принять во внима-
ние, что с увеличением дохода увеличивается покупка
новых автомобилей, а новые потребляют горючего и
смазки меньше старых. Отсюда отставание роста по-
требления бензина и масла от возрастания числа авто-
мобилей. Здесь любопытно то, что по экономическим
группам населения расход на бензин дает U-образную
кривую: группы с низшими доходами тратят больше
групп со средними доходами из-за старых автомобилей,
а группы с высшими доходами тратят больше из-за уве-
личения числа машин.
Оперируя числами, определяющими раз-мер при-
знака, следует всегда справляться об источниках инфор-
мации.1 ч Невозможность измерить какой-либо предмет
или явление влечет за собой .применение косвенных рас-
четов. Считается, что массовость наблюдения способна
дать объективный результат, даже если он и покоится
на субъективных оценках. Однако никакая массовость
при косвенных расчетах не заменит данных непосред-
ственного наблюдения.
Осторожного подхода требуют те показатели бур-
жуазных статистиков, особенно американских, которые
являются результатом экспертной оценки («estimate»).
Во многих случаях эти данные сопутствуют другим, ос-
новным. При этом основной расчет может быть вполне
достоверным и покоящимся на достаточных фактических
данных, а «побочный» — наполовину результатом
догадок.
Мы здесь говорим о тех трудностях, с которыми
сталкиваемся, когда обращаемся к иностранным публи-
кациям. Если мы имеем дело с советскими источниками,
эти неясности редки. Но остается необходимость пред-
варительного размышления. Никакая самая виртуозная
техника обработки данных не опасает от ложных выво-
дов, если материал предварительно был недостаточно
продуман. Особенно это относится к анализу динамиче-
ских процессов и измерения связей между явлениями —
этой самой интересной и самой плодотворной отрасли
статистических изысканий. Здесь наблюдатель может
легко натолкнуться на следствие ложных причин.
Когда в передней звонит звонок, телевизор' рябит.
Когда стрелки часов на руке устанавливаются на 12,
слышен бой стенных часов. Мы знаем, что в первом слу-
7

чае причинная связь есть, а во втором ее нет. Однако
не всегда легко различить причинную связь и совпа-
дение. Так, отсутствие каких-либо условий может быть
принято за действующую причину (например, отсут-
ствие ухода за больным считают причиной его смерти).
Если новое лекарство .получает распространение, то свя-
зано ли это с ускорением выздоровлений? Суждение
будет неопределенным, если ще будет специальных и
повторных экспериментов под строгим контролем. Если
результаты повторяются, их уже можно обобщать при
помощи формул. Арифметическая конкретность превра-
щается в алгебраический символ. Однако повторные
эксперименты с часами не дадут никаких «новых аргу-
ментов. В случае с лекарством 'дополнительные наблю-
дения могут вмести ясность, но лишь три условии, что
будут сведения и о заболеваниях, а не только о выздо-
ровлениях: число выздоровлений возрастает, но, может
быть, число заболеваний тоже растет?
Иногда очевидная связь явлений при внимательном
рассмотрении оказывается ложной. Возьмем, например,
данные о лреступности по годам. Они 'могут совершенно
дезориентировать неопытного исследователя. Почему
быстрее всего растет преступность среди молодежи?
Не потому ли, что удельный вес молодежи возра-
стает? 1
Вот другой пример. При несчастных случаях ору-
довцы непременно регистрируют скорость, с которой
двигался транспорт. Если расположить все эти случаи
в группировке по нарастающей скорости движения, то
наибольшее число случаев и абсолютно, и в среднем
придется .на группу средней скорости. Такие данные мо-
гут привести к заключению, что быстрая езда безопас-
нее. Вывод ложный, проистекающий из того, что наи-
большее число зарегистрированных аварий приходится
на среднюю скорость только по той причине, что тран-
спорт движется обычно со средней скоростью.
1 Недоумение вызывает публикация в журнале английского Ко-
ролевского статистического общества (1939), которое исчисляло
связь -между «числом преступлений, известных полиции, п процентах
к взрослому мужскому населению» и порками (процент выпоротых
в участках к общему числу приговоров). Получалось так, что чем
больше порют, тем преступность ниже. Остается только непонятным,
за что же порют, если в годы больших порок преступность ниже?
8

Еще пример. Чем больше в стране автомобилей, тем,
естественно, больше и несчастных случаев. Но прямой
пропорциональности здесь нет. Приведем данные начала
60-х годов *:
Страна
Франция ; . .
Западная Германия ....
США
Число
автомобилей
(тыс.)
8 700
6100
3 000
76 000
9 906
Число смер-
тельны ^.слу-
чаев в течение
года (при _
авариях)
9 337
14 160
8 000
38 000
7019
На сколько
автомоби-
лей прихо-
дится один
случай
932
431
375
2 000
1411
Легко видеть* что самая неблагополучная страна
здесь Италия. Однако, если эти данные сопоставить
с "численностью населения в этих странах, получится
иная картина. Любознательный читатель может сделать
такие расчеты.
Из таблицы видно, что делать заключения о возрас-
тании одного признака, связанного с ростом другого,
надо очень осторожно, всесторонне продумывая каждый
шаг в цепи умозаключений.
Из пяти безработных в США четверо белых и один
негр. Значит ли это, что безработица среди белых
больше, чем среди непров? Нет, дело в том, что негров
не в пять раз меньше чем белых, а в десять раз и без-
работица среди них -вдвое больше, чем среди белых.
В изданной у нас брошюре Д. Броуди «О статисти-
ческом рассуждении» (изд-во «Статистика», М., 1968,
стр. 26) приведены данные о том, что в местечке Хэнли
на 1000 человек населения смертность в 1961 г. была
17 человек, а в местечке Бутле—10 человек. «Правиль-
но ли будет сделать из этого вывод, — иронически пишет
Броуди, — что если хочешь подольше прожить, то лучше
поселиться в Бутле?» «В том же самом году из умерших
в Англии и Уэлсе в возрасте 45—49 лет на одного холо-
стяка приходилось шесть женатых... Верно ли, что брак
настолько опасней для жизни?» Автор .не дает дальней-
ших пояснений, но и без них ясно, что женатых потому
1 «Traffic in Towns», Lnd., 1963.

больше, что в этом возрасте их вообще среди живущих
больше, чем холостых.
Непродуманная группировка первичного материала
может иногда дезориентировать. Если разгруппировать
больничные листки по двум признакам: должности боль-
ного и продолжительности болезни, то не возникнет ни-
каких сомнений в том, что продолжительность пребыва-
ния на больничном листке лиц, занимающих высшие
должности, будет меньше. Означает ли это, что у них
болезни слабее? Нет, конечно! При большей ответствен-
ности естественно стремление укоротить пребывание на
больничном листке.
Можно упомянуть -и о других примерах связи: уро-
жайность и пожары (чем .ниже урожайность, тем больше
пожаров — влияние отсутствия осадков); смерть от ро-
дов в дореволюционное время и обращения к врачу
(в последнем случае больше смертельных исходов —
следствие того, что при благополучной беременности к
врачу не обращались). Сейчас наблюдается любопыт-
ный 'процесс снижения рождаемости в тех странах, в на-
селении которых увеличивается удельный вес пожилых
возрастов. Связь здесь также обусловлена третьими
факторами. Все дело в брачности. Если попросту сопо-
ставлять брачность и уровень жизни, получается резко
выраженная отрицательная связь: уровень жизни
растет, а брачность падает. Между тем здесь вмеши-
вается третий фактор. Дело в том, что экономический
прогресс приводит к тому, что удлиняется продолжи-
тельность жизни, а это приводит к повышению брач-
ного возраста. Если этот фактор исключить (это можно
сделать, исключив вдияние времени способами, которые
излагает теория статистики), связь окажется положи-
тельной и тесной: чем выше уровень жизни, тем выше
уровень брачности.
Другой пример. В профессиональном и социальном
составе населения капиталистических стран с течением
времени наблюдается иногда устойчивость и даже сни-
жение процента лиц, работающих по найму. Это объяс-
няется резким расширением сферы услуг, в которой ра-
ботающих по найму меньше, чем в других отраслях.
Одним словом, область изучения связей, самая ин-
тересная для исследователя, таит в себе ряд особен-
ностей, требующих внимательного подхода.
10

Сейчас мы «начали перекладывать на машины основ-
ную тяжесть громоздких и трудоемких вычислений. То,
что было когда-то .подвигом, отнимавшим громадное
количество человеческой энергии (например, составле-
ние таблиц логарифмов и других математических
таблиц), сейчас при современной вычислительной техни-
ке— совсем несложное дело. Машина заменяет вычис-
лителя. Однако вычисления 'нельзя полностью перело-
жить на механизм; человек неизбежно занимается
вычислениями, так как это обычно связано с его мышле-
нием. Вытеснить полностью собственноручные вычисле-
ния из экономических рассуждений так же нельзя, как
машина не может вытеснить древнейшее орудие — ло-
пату. Не надо, конечно, делать массовых и громоздких
вычислений. Их должны дел;ать механизмы. Но прикидки,
примерки, сопоставления и числовые выводы неизбежны
на каждом шагу рассуждений. Поэтому-то экономисту
любой квалификации и приходится все дремя иметь
дело с цифрами.
В Программе Коммунистической партии Советского
Союза говорится: «Взимание экономистов должно быть
направлено на изыскание путей наиболее эффективного
использования в народном хозяйстве материальных и
трудовых ресурсов, наилучших методов планирования
и организации промышленного и сельскохозяйственного
производства, на разработку принципов рационального
размещения производительных сил и технико-экономи-
ческих проблем строительства коммунизма»1. Необходи-
мым условием этого Программа считает «высокий уро-
вень развития математики, физики, химии, биологии»,
интенсивное развитие исследовательской работы в об-
ласти общественных наук.
В своей работе экономисты и статистики непосред-
ственно имеют дело с измерительными методами изуче-
ния явлений. С помощью цифр обоснован и рассчитан
грандиозный план создания материально-технической
базы коммунизма в нашей стране. С помощью цифр
подытоживаются выдающиеся достижения советского
народа и его Коммунистической партии в области пре-
образования экономики нашей страны, перехода к выс-
1 Программа Коммунистической партии Советского Союза,
изд-воч «Правда», 1961, стр. 128.
11

шему типу общественного хозяйства «и более прогрес-
сивному общественному строю. Поэтому рациональные
приемы обработки цифрового материала и наиболее
целесообразные способы его конечного оформления
должны внедряться в практику расчетов и для работ в
области статистики и в области учета <и отчетности.
Культура счета аналогична культуре речи. Мы стре-
мимся к тому, чтобы говорить ясно и кратко, употреб-
лять слова, точно выражающие мысль, и избегать лиш-
них слов и словесного мусора.
В той же мере следует стремиться к тому, чтобы и
цифровые расчеты, численные формулировки и пред-
ставления выполнялись кратко, точно и ясно. К этому
можно привить вкус и сделать культуру счета привыч-
ным стилем работы.
Культура счета и математическая грамотность ста-
новится одной из непременных предпосылок успешной
работы и исполнителей, и руководителей.

1. О МАТЕМАТИЧЕСКИХ ЗНАКАХ
Математические знаки имеют строго определенное
значение. Они описывают понятия, которые выражают
в абстрактной форме некоторые отношения действитель-
ности. Таким образом, (математический знак, или символ
(обычно это отождествляется), есть условное обозна--
чение понятия, весьма удобное для мыслительных опера-
ций. Но содержание любого понятия могло формиро-
ваться первоначально только в словесном выражении.
Поэтому математические з'наки — это «одежда», в кото-
рую переодеты слова. Такая «одежда» стала органичной
для многих понятий. К знакам-величинам (цифры и
числа), знакам-действиям (плюс, минус и т. д.) и зна-
кам-отношениям (равно, больше, меньше, подобно и пр.)
человек привыкает с малолетства. Очень важно придер-
живаться точного, а .главное единообразного обозначе-
ния понятия, будь то символ или термин. Для примера
можно упомянуть о выражении «равенство». Обычно за-
бывают, что имеются два вида равенства:
1. Равенства между алгебраическими выражениями,
верные при всех численных значениях алгебраических
знаков. Так,
a2 —ft2=(a + ft)(a —ft).
Этот вид равенства называется тождеством и вместо
знака равенства лучше в этих случаях ставить знак =.
2. Равенство между выражениями, которое осуще-
ствляется только при одном определенном значении ал-
гебраического символа. Пример: л: + 2 = Зл: — 2. Это
верно, если х = 2. Такие равенства называют уравне-
ниями.
13

В настоящее время не только в экономическую ли-
тературу прикладного характера, но и в экономическую
теорию широко стало проникать математическое рас-
суждение. Математические модели часто формулируют
исходные положения и служат основой для построения
алгоритмов, на основе которых делают все расчеты.
В некоторых случаях такие модели и не служат для по-
следующих арифметических действий, оставаясь лишь
формой теоретического обобщения и показывая ход ло-
гического рассуждения. Такое -применение математики
и экономике называют «математической кибернетикой»,
«экономико-математическими расчетами», «экономиче-
ской математикой» и «эконометрикой». Здесь всюду на-
ходят применение обычные математические знаки и сим-
волы.
Но в настоящее время наряду с обычной математи-
ческой символикой в некоторые работы по эконометрии
стали вводить символику, заимствованную из математи-
ческой логики. Это в известной мере обогащает изло-
жение, так как позволяет расширить границы формули-
ровок за пределы количественных соотношений в об-
ласть качественных суждений. Из приводимых дальше
примеров можно видеть, насколько полезно привлечение
этих знаков для изложения экономических и других во-
просов.
Приводим сокращенный неполный перечень таких
обозначений вместе с приблизительным толкованием.
П-ри этом предупреждаем, что полного единства и стан-
дартизации в этой области нет.
В настоящем изложении приняты обозначения, при-
веденные в брошюре Л. А. Калужнина «Что такое мате-
матическая логика», М., 1967.
Знаки для логических операций (исключая те, которые не поддаются
толкованию вне контекста, например двоеточие):
Обозначение Его приблизительный смысл
1 не, т. е. отрицание,
например ~] а читается «не а» (иногда
применяется а — знак инверсии).
Д Конъюнкция (обычно заменяет союз «и».)
V Дизъюнкция (обычно заменяет «или»).
-> Импликация или вовлечение (обычно соответствует
«если ... то ...». Это же выражается иногда двоето-
чием). Импликация обозначается также знаком о
14

~- Эквивалентность («тогда и только тогда, когда»).
= Тождество (или «равносильно»).
0 Принадлежность элемента к множеству.
П Пересечение двух множеств.
V Обозначение всеобщности («все»).
0 Пустота (бессодержательность).
*Э Утверждение, существования.
С Знак содержания. Р с Q читается: «множество Р
содержится в множестве Q».
< Предпочтение: а < в; читается «в предпочтитель-
нее а».
Примеры транскрипций ^суждений (без применения
фигурных скобок):
Vx(S(x)->P(x)).
«Для всех х, если х обладает свойством S, то х об-
ладает свойством Р».
3x(S(x)AP(x)).
«Существует такой объект ху обладающий свой-
ством 5, который тачкже обладает свойством Р».
Sx(S(x)AlP(x)).
«Существует такой объект х, который обладает свой-
ством S и не обладает свойством Р».
3 x(S{x) Л Р(х)) = 3*(Р(х) Л S(x)).
Суждение: «Некоторые S суть Р» истинно тогда и
только тогда, когда истинно суждение: «некоторые Р
суть 5».
При изложении экономических текстов з*наки мате-
матической логики могут внести известные уточнения.
Например, выражение: «цена Pi меньше цены Ро, но все
же цена Р0 предпочтительнее» может быть записано
так:
Л<Ро,
P^ ( Ро-
Знаки математической логики позволяют характери-
зовать некоторые оттенки в свойствах явлений и осо-
бенно в их соотношениях. Например, общественный про-
дукт выражается в виде:
c-\-v-\-m,
15

Однако
с Сф,
т. е. с вовлекает величину у, без которой она не может
существовать. Здесь знак импликаций уточняет сужде-
ние, позволяя говорить о том, что знак 'плюс в формуле
общественного продукта не просто знак сложения, но и
знак структуры. Он показывает, из каких составных
частей состоит общественный продукт, причем части эти
не могут быть логически обособлены: переменный капи-
тал органически связан с постоянным капиталом.
Из этого примера мож-но видеть, что знаки математи-
ческой логики способны заменять пространные словес-
ные характеристики.
2. ОТНОСИТЕЛЬНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
Обобщения, к которым приходит экономист в резуль-
тате обработки и анализа статистических данных, выра-
жаются обычно в форме или средних величин, или отно-
сительных величин. О содержании таких показателей
говорит теория статистики, и мы этого касаться не бу-
дем. Целесообразнее разобрать здесь некоторые прак-
тические и технические вопросы, связанные с вычисле-
нием показателей.
Относительные величины обычно выражаются не
простыми, а десятичными дробями. Нам привычнее и
удобнее написать 0,3, а не 19/6з, или 0,72 вместо 998/i387.
Обычно для -наглядности за общее основание прини-
мается 100, и относительные величины обозначаются
как процент. Но в некоторых случаях, когда небольшие
величины сравнивают с очень крупным основанием, бе-
рут не 100, а 1000, т. е. обозначают не .проценты, а про-
милле (например, естественный прирост населения на
1000 жителей).
Относительные величины в виде долей, процентов и
промилле можно выразить в общей форме так:
где k — некоторый целый показатель степени.
16

Если & = 0, то 10*= 1, и мы получаем просто долю
(в случае, когда отношение -j- меньше единицы). Если
k = 2, получаем проценты, если k = 3, получаем про-
милле. В некоторых случаях в демографии расчеты ве-
дут на 10 000 (k = 4), на 100 000 (£ = 5) и на 1000 000
(к = 6). Такие различные обозначения обусловлены
стремлением представить отношения в наиболее удоб-
ном для обозрения виде.
В некоторых случаях относительные величины вычис-
ляются как орямые и обратные ('напомним, что обрат-
ной величиной называется отношение единицы к данной
величине. Если данная величина х, то обратная ей — ).
Так, можно, например, рассчитывать производитель-
ность труда. Пусть у нас имеются следующие данные:
Прошлый год Текущий год
Добыча угля — тыс. т . . ♦ . . . ...
Отработано — тыс. чел.-час. ..!....
[ в тоннах на 1 чел.-час
(прямая величина) . . .
Выработка
в человеко-часах на 1
(обратная величина)
40
200
^ = 0,20
200
200 ,
"40 = 5
56
224
J = °-25
224 _4
56
При обоих способах расчета изменение производи-
тельности труда составит +25%:
в одном случае находим возрастание часовой выра-
ботки:
-^Х100-125%;
в другом случае затраты рабочего времени на тонну
в прошлом году сопоставляются с такими же затратами
в текущем году:
4-Х Ю0= 125о/0.
При помощи относительных величин можно из не-
большого числа исходных величин получить много про-
изводных показателей для анализа народнохозяйствен-
ных вопросов и вопросов организации производства на
отдельных предприятиях.
17

При исчислении процента прироста особое значение
имеет база, принятая для расчета. Возьмем два числа.
Стоимость продукции предприятия в 1965 г. составила
3459 тыс. руб. В 1967 г. она достигла 6461 тыс. руб.
Разделив второе число на первое и умножив на 100,
устанавливаем, что прирост продукции составляет 87%.
Но мы можем первое число разделить на второе и,
умножив на 100, получим, что стоимость продукции
в 1965 г. составила 53% суммы в 1967 г. Получается
кажущееся противоречие вследствие того, что для ис-
числения в обоих случаях приняты разные базы.
Мы встречаемся с кажущимся противоречием и в
таких случаях: если одно число возрастает на 100%, то
для того, чтобы вновь возникшее число превратилось
в первоначальное, надо его уменьшить на 50%, и на-
оборот: если число уменьшилось на 50%, то для воз-
вращения его в первоначальное состояние требуется
увеличение на 100%. Рост в процентах может быть,
вообще говоря, безграничен, уменьшение же на 100%
означает превращение числа в нуль, а более 100%—в
отрицательные величины. Сказанное легко пояснить таб-
лицей:
Заданное число
10
10
10
10
10
10
10
10
10
Процент
прироста
500,00
200,00
100,00
50,00
33,33
25,00
10,00
5,00
1,00
Новое число
60,00
30,00
20,00
15,00
13,33
12,50
11,00
10,50
10,10
На сколько процентов
следует его уменьшить,
чтобы получить перво-
начальное число
83,33
66,67
50,00
33,33
25,00
20,00
9,09
4,76
0,99
Напоминаем, что уменьшить число на такой-то про-
цент означает ^помножить это число на процент, раз-
делить на 100 и вычесть из заданного числа. Поэтому
бессмысленно сообщение одного секретаря деканата о
том, что «пропуски занятий уменьшились на 200%»: это
означает, что оци превратились в довольно В'нушитель-
18

йые отрицательные величины! Ё самом деле, пусть пер-
воначально было 300 пропусков (чел.-часов). Делаем
расчет:
300X200 = 60000,
60000:100 = 600,
300—600 = -300
Бессмысленность отрицательной величины оче-
видна.
Излюбленная форма обмана рабочих предпринима-
телями капиталистических стран такова: «Мы снижаем
заработную плату на 20%, но через месяц мы прибавим
20%!». Тот, кто получал.2 долл. в час, будет получать
1,6 долл., а через месяц 1,92 долл., а не 2 долл., как он
ожидал.
На расчетах процента (Приращения построена приве-
денная в приложении таблица процентных накидок
(стр. 112).
К. Маркс («Теории прибавочной стоимости», ч. III,
гл. 21 *) к подобным расчетам дает следующее пояснение:
если затраченный капитал на производство товара со-
ставляет 100, прибыль 10%, то стоимость продукта равна
110, прибыль образует Vio затраченного капитала и
Vn стоимости продукта, куда входит и сама прибыль.
Прибыль, следовательно, образует Vn, а авансированный
капитал 10/п этого продукта.
Когда мы говорим о базе для исчисления процентов,
то особо надо иметь в виду динамические ряды. Здесь
правильный выбор базы часто предопределяет конечные
выводы. Вот простейший пример.
Среднегодовой темп прироста валового националь-
ного продукта в США в долларах 1954 г. в зависимости
от базы, принятой за исходную, составил2:
Период Процент
прироста в год
1949—1960 гг 3,7
1950—1960 гг 3,3
1954—1960 гг 3,2
1955—1960 гг 2,3
1 К. Маркс и Ф. Энгельс, Соч., изд. 2-е, т. 26, ч. Ill, М.,
1964.
2 О. Мергенштерн. О точности экономико-статистических
наблюдений. Изд-во «Статистика», М., 1968, стр. 276.
19

Выбор базы для динамических рйдоб зависит от
того, с чем мы желаем сравнивать данный уровень. Тут
же непременно встает вопрос: сравнимы ли уровни?
В (некоторых .случаях от этого выбора зависит и на-
глядность графических представлений, как это можно
видеть из следующего «примера. Допустим, нам -надо по-
казать сравнительное движение двух уровней А и Б на
три даты—1955 г., 1960 г., 1965 г. (тыс. руб.):
1955 г. 1960 г. 1965 г.
Л
Б
220
160
440
240
330
400
Если вычислить движение уровней в процентах, мы
получим три возможных варианта, представленные на
следующих чертежах (рис. 1):
/. В процентах
к 1955 г.
II. В процентах
к I960 г.
III. В процентах
к 1965 г.
ЬЮО
Л
400
я
wo,
1955г 1960г 1965г. 1955г. 1960г. 1965г 1955г 1960г 1965г
Рис. 1. Три варианта вычислений процентов.
Задача сравнения достигнутого уровня с исходным,
по-видимому, яаилучшим образом выполнена на III чер-
теже. Но во многих, главным образом иностранных,
публикациях за 100 принимают и середину ряда. Конеч-
ный уровень принимают за 100 в тех случаях, когда его
считают нормой, к которой постепенно подходили, опре-
деляя каждый раз, сколько до нее остается процентов.
В экономических расчетах, связанных с анализом дан-
ных буржуазной статистики, часто приходится иметь
дело со сложными процентами. Очень важно различать
расчет по простым процентам и расчет по сложным про-
центам.
20

На смешение простых и сложных процентов и выте-
кающие из этого недоразумения обратил внимание еще
Н. Г. Чернышевский. Опровергая измышления мальту-
зианцев, стремившихся доказать справедливость теории
«двух прогрессий», Н. Г. Чернышевский разоблачил не-
правильности в вычислениях. «Просим читателя обра-
тить внимание,—говорит он, — сначала на цифры, отно-
сящиеся к Англии: по ценсу 1801 г. население было
10 568 000 человек; по ценсу 1851 г. население было
20936 000 человек. Сам Легуа справедливо говорит, что
в 50 лет английское население удвоилось. Хорошо, смот-
рим у него же в таблице, каков период удвоения насе-
ления в Англии: «35 лет, 8 месяцев, 15 дней». Да каким
же образом, когда несколькими строками выше оказы-
валось 50 лет? Дело вышло очень просто. Легуа нашел,
что в 50 лет английское население возросло на 98%,
разделил эту цифру 98 на 50 и получил 1,96. Ему вооб-
разилось, что 1,96 составляет годичный процент воз-
растания. Он заглянул в какие-нибудь таблицы слож-
ных процентов, во сколько лет удваивается число, воз-
растающее по 1,96% в год,—вот и вышло 35 лет, 8 ме-
сяцев, 15 дней, и он даже не заметил, что сам противо-
речит себе. Сначала он вычислил процент возрастания,
как будто оно шло по арифметической прогрессии, а по-
том взял этот процент для вывода геометрической про-
грессии. Прелестно!» 1
Относительные величины, выраженные в процентах,
исчисляются по общим арифметическим правилам или
в виде пропорции:
А \а = 100 :ху
ах 100
откуда х = —^j ,
а если речь идет о нарастании в процентах, то:
А :(Л-4-я) = Ю0:л:,
(А + а) х 100
откуда х = v ' .
Разность между общим основанием и сравниваемой
величиной определяется в этих случаях или скидкой со
1 Н. Г. Чернышевский, «Избранные экономические произ-
ведения», т. III, ч. 1, М., 1948, стр. 377.
21

100, если сравниваемая сумма больше основания, или
дополнением к 100, если она меньше.
Случаи вычисления процентов не «на 100», а «во 100»
в экономическом анализе редки. Вот пример: у 100 ц
зерна влажность 20%; после сушки она оказалась 14%.
Насколько понизился вес зерна?
Ответ: 6%—неправилен. Надо считать следующим
образом.
Примем за х вес зерна после сушки. Составим про-
порцию:
*-*° + ~Тбо~' *~io6-80' Гоо—~80>
86* = 8000; х ~ 93. Правильный ответ не 6, а 7%.
Еще примеры на вычисление процентов «во 100».
1. За товар, проданный со скидкой в 10%, выручено
400 руб. Сколько стоил товар до скидки?
Сейчас его стоимость равна 90% первоначальной стои-
мости. Следовательно,
ТаггтгХ Ю = 44,44-
Его прежняя стоимость
400 + 44,44 = 444,44 руб.
2. За месяц издержки обращения магазина снизи-
лись на 5% по сравнению с предыдущим месяцем и со-
ставили 40 000 руб. Каковы были издержки в прошлом
месяце?
-4^ = 2105,26;
40 000 + 2105,26 = 42105,26 руб.
При вычислении процентов на капитал в иностран-
ной литературе и практике различаются проценты обык-
новенные и проценты точные. Обыкновенные проценты
начисляются исходя из того, что год состоит из 12 меся-
цев по 30 дней в каждом, иначе говоря, из 360 дней.
Проценты, рассчитанные исходя из года, состоящего из
365 дней, называются точными.
22

Так, 5% на сумму в 1500 руб. составят 75 руб. в год,
но для 90 дней получится:
а) при обыкновенных процентах
Л = 75 Х-щ-= 18,75 руб.;
б) при точных процентах
90
365
£ = 75Xw = 18,49 руб.
Отсюда ясно, что
1Г = 1=1,01389;
4=1 = 0,9863.
Этими коэффициентами можно пользоваться для
переводов одних процентов в другие.
В международных расчетах, там, где это оговорено,
принят так называемый коммерческий год, состоящий из
360 дней. Он применяется в тех случаях, когда рассчи-
тываются проценты на капитал,* и при учете векселей.
Так, при 3% годовых капитал в 1000 руб. должен давать
в год 30 руб. Год считается в 360 дней. Таким образом,
за один день проценты составляют приблизительно
0,0833 руб. (30:360=0,0833).
В течение гражданского невисокосного года
(365 дней) из расчета 3% годовых будет насчитано:
На 360 дней 30 руб.
За 5 дней по 0,0833 руб 0,4165 руб.
Всего (с округлением) 30 р. 42 к.
Ввиду такой сложности расчетов, связанных с округ-
лением, существуют, во-первых, специальные таблицы,
где даются проценты за каждый период (от 1 дня до
366 дней), и, во-вторых, таблица для расчета числа дней
между датами (см. приложение на стр. 114—115).
В нашей советской практике к округленному до
360 дней году прибегают при исчислении оборачивае-
23

мости средств (инструкция МФ и ЦСУ СССР 14 ап-
реля 1949/г.).
Прирост по сложным процентам1 можно иллюстри-
ровать следующим примером. Допустим, прирост насе-
ления составляет 5% в год. Как рассчитать общий при-
рост за 4 года для района, в котором 600 тыс. жите-
лей?
Для первого года получим (в тыс.) 600X0,05=30.
Складывая с первоначальным числом, получим к исходу
первого года 630. Для второго года — 630 Х0>05 = 31,5.
Складывая, «получаем 661,5. Продолжая расчет для тре-
тьего и четвертого года, получим к концу четвертого
года 729,3, а весь прирост за четыре года окажется
равным 129,3, т. е. будет равен разности между 729,3
и 600.
Ход решения можно представить в следующем
виде:
Прирост за первый год = 600 х 0,05
_. ( 600 + 600 < 0,05
Расчет для первого года = { б00 ^ (1 + 00>5) = б00 <105
Прирост за второй год = 600 X 1,05 X 0,05
Г 600 X 1,05 + 600 X 1,05 X 0,05
Расчет для второго года = { 600 X 1,05 X 1,05
( 600x1,052
Прирост за третий год = 600 X 1,052 X 0,05
( 600 х 1,052 + 600 X 1,052 X 0,05
Расчет для третьего года = { 600 х 1,052 х 1,05
600 X 1,05з
Прирост за четвертый год = 600 х 1,053 X 0,05
600 X 1,053 + 600 X 1,053 х 0,05
Расчет для четвертого года = \ ^ * ^^ х '
600 xl!21550625 = 729,3
На сложных процентах основаны расчеты сроков
займов. Следует отличать номинальный срок государ-
1 Наглядное объяснение сложных процентов вместе с цифровым
примером приводит К. Маркс в «Теориях прибавочной стоимости»,
ч. III, гл. 21 (К. Маркс и Ф. Энгельс, Соч., изд. 2-е, т. 26,
ч. Ill, М., 1964).
24

етвеййаго займа от реального, так как & течение объяв-
ленного срока займа происходят тиражи, как бы сокра-
щающие срок пользования заемными средствами. Реаль-
ный, или средний, срок займа определяется но обычной
формуле сложных процентов:
откуда
где а —платежи государства за весь срок займа,
включая выигрыши;
а0 — нарицательная сумма займа;
Р
-щ- — доходность в процентах;
/ — средний срок.
В экономической литературе расчеты со сложными
процентами встречаются довольно часто. Не мешает по-
этому напомнить .некоторые детали. Решим типичные за-
дачи,
1. Во что обратится через 30 лет величина 10000
при возрастании по 5% (в сложных процентах)?
Применяя формулу сложных процентов, получим
а = 10000(1 +0,05)30.
Логарифмируя, найдем
lga = lg 10000 + 30 \g 1,05 = 4,635679,
откуда
а = 43219,43.
2. Каков среднегодовой темп прироста величины
10000, достигающей через 25 лет величины 26658,36?
25

Б общем виде при указанных выШс обозначениях по-
лучаем:
lga = lg 00 + 251^(1+^),
25
Подставляем данные из задачи
откуда
lg 26658,36 - lg 10 000 = 0j0170333,
1+Ш=1>04, т. е. 4%.
Наращение по сложным процентам больше нараще-
ния по простым процентам, если период оборота боль-
ше года. Есл.и он меньше года, то наращение по про-
стым процентам больше. Так, 1000 руб. при 5% про-
стых обратятся через 6 месяцев в 1025,00 руб., при
сложных — в 1024,70 руб. Через год в обоих случаях
будет 1050 руб., через 100 лет при сложных процентах --
131501,26 руб., при простых — 6000,00 руб. (см. стр. 27).
Для определения времени удвоения вклада при
сложных процентах следует число 70 делить на процент.
В этом случае получается время оборота с точностью
до трех дней. Например, через сколько лет вклад удво-
ится при 3%? Ответ: -g- я^23,3 года.
Делить число 70 на процент следует потому, что
при 1о/0(1,01)70 = 2,
при 2%(1,02)35 = 2,
при 3%(1,03)24 = 2,
при 4%(1,04)18 = 2,
при 5%(1,05)14 = 2.
Это приближенные результаты. Более точный расчет
может быть сделан следующие образом.
Пример. Каков период удвоения при 4%?
(1,04)* = 2,
*lg(l,04) = lg2,
lg2 0,30103 л-Q
п = 'WW = ""мшг = 17>8 года-
26

Если возрастание идет по 3%, каково время, в тече-
ние которого уровень возрастет в 20 раз?
(1,03)" =20,
lg20 _ 1,30103
п =
lg(l,03) ~~ 0,01284
101
год.
Это все же довольно грубое приближение. На самом
деле удвоение наступает в следующие сроки:
Годовой про-
цент прироста
1
2
■з
4
5
Сколько лет тре-
буется для удвоения
первоначальной
величины
69,3
34,7
23,1
17,3
13,9
Однако для практических финансовых расчетов это
уточнение не имеет значения.
Приводим разность между наращением по 5 .про-
стых и 5 сложных процентов для 1000 руб. при разных
периодах оборота:
Время обо;-эта
1 ме<;яц
2 „
3 „
4 ,
6 .
8 ,
1 год . ,
2 „ .
3 . .
5 лет . .
Ю . . .
50 . . .
100 . . .
При простых
процентах
При сложных
процентах
1004,17
1008,33
1012,50
1016,66
1025,00
1033,33
1050,00
1100,00
1150,00
1250,00
1500,00
3500,00
6000,00
1004,07
1008,16
1012,27
1016,40
1024,70
1033,06
1050,00
1102,50
1157,Ь2
1276,28
1628,89
11467,40
131501,26
Разность
0,10
0,17
0,23
0,26
0,30
0,27
0
—2,50
—7,62
—26,28
-128,89
—7967,40
-125501,26
Расчет времени удвоения основан на следующем рас-
суждении. Задача формулируется так: во сколько вре-
мени величина а, возрастающая по Р%, удвоится, т. е.
будет равна 2а,
27

По формуле сложных процентов
t= \g2a—\ga
или
t__ lg2 + ]ga —fga _ lg2
p
будем обозначать здесь и в дальнейшем -^ через Ь и
выразим то же самое в натуральных логарифмах:
In 2 0,693
/ =
ln(l + *) 1п(1 + &)#
Разложим In (1+6) в ряд. Как известно,
1 /1 I и\ и b2 i ьз bi .
1п(14-*) = *--2" + -з г+ • • •
Так как b сравнительно малая величина, то, не де-
лая большой ошибки, ограничимся только двумя чле-
нами этого разложения, тогда / выразится
0,693
t =
ь-чТ
или
._ 0,693
0-4-)'
Предположим, что у второго множителя знаменателя
величина Ь равна 0,02, т. е. возрастание идет по 2% го-
довых. Тогда
0,693 0,693 _ 0,7 .
/=■
.(.-•-£)
fr-0,99 "" b
умножая числитель и знаменатель последней дроби на
100, получим
г~ Р •
28

Может быть поставлена и обратная задача.
Пример. Современная численность населения стра-
ны— 44 миллиона. Возрастание составляло 1,5% в год.
Какова была численность населения сто лет назад?
P0(l,015)l00 = 44,
«8^0 + 100 lg (1,015) = lg 44,
lgP0 e 1,64345 - 100 X 0,00647 = 1,64345 — 0,647 =
= 1,64345 + 1,35300 = 0,99645,
Р0 = 9,9186, т. е. 9918600 человек.
На основе формулы сложных процентов решаются
разные задачи, связанные с наращением вкладов и пр.
Для таких расчетов кредитные учреждения обычно
обращаются к готовым таблицам для бинома fl-f щ) ,
т. е. к таблицам, где показано возрастание одного рубля
по сложным процентам (обычно от 1 года до 100 лег).
Существуют также готовые таблицы для обратной
величины бинома, т. е.( 1 + ^) .
Пример. Найти возросший вклад и процент, если
первоначальный банковский вклад 20 000 помещен на
Шлет по43/4%.
Решение:
lg а = lg 20 000 + 10 lg 1,0475 = 4,5025700,
откуда
а = 31810,46.
Наросшие проценты найдем, если из этой величины
вычтем начальную:
31810,46 — 20 000=11810,46.
Формула сложных процентов имеет значение в фи-
нансовых расчетах. Если, скажем, речь идет о вкладах,
то проценты к вкладу присоединяются в конце года.
В этом случае говорят, что период капитализации го-
довой. Если периоды капитализации будут полугодо-
вые, в !Д года и в 7я года, то возникают следующие из-
менения.
29

При иолугодоиом периоде капитализации, т. е. когда
||р01№1Г1'Ы будут присоединяться к первоначальной вели-
чине каждые полгода, с одного рубля за полгода будет
Р Р
получено щ : 2 и каждый.рубль обратится в 1 +200' а
и год— (l + 20o)2- Через t лет будет(l +goo). • Точно
так же, если период капитализации равен 1/п части года,
проценты с одного рубля в 1/п часть года будут щ: п, а
рубль превратится через t лет в (\-\- Л~ГШ) *
С уменьшением периода капитализации увеличи-
вается скорость возрастания начальной величины.
Максимальное значение получается поэтому при
п = оо, т. е. когда проценты присоединяются непре-
рывно.
В случае непрерывной капитализации начальная ве-
личина в конце t лет обратится в величину
tp
100
а = а0 е ,
с tP ,
Если 1QQ <с 1, можно полагать с достаточной сте-
пенью приближения
2° \ 1 + 100 ) •
Помимо обычных простых и сложных процентов, сле-
дует еще различать «проценты антисипативные и декур-
сивные.
При многих кредитных и ссудных, особенно между-
народных операциях проценты удерживаются вперед и
вычитаются из суммы ссуды. Этот способ начисления
процентов носит название антисипативного, или аван-
сового способа, в отличие от обыкновенного, или де-
курсивноро способа.
Если начисление процентов идет антисипативным
способом, то формула сложных процентов видоизме-
няется. Если занимаемый 1 рубль по годовой ставке
щ равен 6, то должник получает на руки сумму 1 — b
и по истечении года должен вернуть 1 рубль.
Если 1 — Ь руб. обращаются в 1, то во что обратится
30

1 рубль через год, можно определить из обыкновенной
пропорции:
1 — b руб. обращаются в 1 рубль.
1 руб. обращается в х,
откуда
\ — ь
Это означает, что пр'и начислении процентов анти-
силативным способом, т. е. авансом, каждый рубль об-
ращается в i ^ руб. Через 2 года 1 рубль обратится
в узГТГ X 1 _ь = /т_Ь]2 • Через t лет 1 рубль обратится
1
В г .
(1-*)'
Если речь пойдет не об одном рубле, а об а руб.,
возрастание выразится формулой:
а = а0 - = л0 (1 — Ь)~*.
В то же время при декурсивном способе, как было
ранее указано, возрастание происходит по формуле:
а = а0(\+ьу.
Поскольку 1 __ъ = 1 + b + b2 + . . . больше (1 + b)>
можно заключить, что (. «^ > (1 + by, т. е. наращение
по антисипативно.му способу идет быстрее, чем по де-
курсивному.
Так, наращенная величина, составлявшая первона-
чально 1000 руб. и отданная в ссуду по 5 сложным ан-
тисипативным процентам на 4 года, .превратится в
1227,74 руб., а при декурсивном способе — в 1216,51
руб.
Антисипативный способ может быть заменен декур-
сивным способом, если соответственно изменить про-
центную таксу, т. е. величину Ь.
Пусть первоначальная сумма а0 'при декурсивном
способе наращения и процентной ставке Ь\ за время t
31

т'ф.чтается в величину Oo(l+&i) , а при антисипатив-
1кш способе по ставке Ь обращается в величину-
ап
(1-*)'
Если эти наращенные величины должны быть равны, то
получим равенство:
«o(l+*i)'
или
отсюда
(1-6)'
о + *|) = т=г
и ставка декурсивиых процентов, дающая ту же нара-
щенную величину, будет равна:
А 1 1 Ь
Так, если процентная такса >при антисипативном нара-
щении равна 5%, то процентная такса при декурсивном
наращении будет равна:
0,05 _ 0,05
1—0,05 ~~ 0,95
0,052631.
Это означает, что вместо 5% должно быть (с обычным
приближением) 574%.
Если при декурсивном способе начисления ягроцен-
тов ставка составляет 5%, то соответствующая ей про-
центная ставка антисипативного способа составит:
* = _*.-•
* = "W = a047619'
т. е. вместо 5% надо брать 43/4%.
На основе общей формулы сложных процентов мо-
гут быть решены задачи на определение размера про-
цента или процентнрй таксы.
32

Выражение (1 -|- by = -~- логарифмируем:
lg(l + »)I '««-'«* .
По данному логарифму найдем число, из найден-
р
ного числа вычтем 1, найдем b = щи, умножая на 100,
найдем процентную таксу.
Пример. Сумма 10 000 руб. на текущем счете через
25 лет превратилась в 26658,36 руб. По какому проценту
происходило возрастание?
lg(l + Ь) = ^6658,36-lg 10000 = 0>0170333.
1 + & = 1,040, что означает возрастание на 4% в год.
В иностранной литературе, а также в практике ме-
ждународных кредитных операций применяются некото-
рые дополнительные понятия и расчеты, основанные на
сложных процентах.
Считается, что если заемный капитал а подлежит
возврату через t периодов, то настоящая его цена Яо бу-
дет в данный ^момент меньше, чем я.
Из формулы сложных процентов вытекает:
а
а = г •
0 (1 + ьу
Величина а0 называется настоящей ценой капитала
а, или его учтенной стоимостью.
Размер учета можно найти, вычтя из а величину a<j:
а
а — ап = а —.
(1 + *)'
При краткосрочном вексельном кредите для нахож-
дения настоящей, или учтенной стоимости векселя суще-
ствуют два способа расчета: коммерческий учет и так
называемый математический.
Коммерческий учет векселей состоит в том, что берут
с суммы а простые проценты за время / по таксе Ъ
с одного рубля за один период и эти проценты вычи-
тают из а.
Таким образом, настоящая цена капитала а при
коммерческом учете составит:
а0 = а — atb = а (1 — tb).
33

Настоящую стоимость при «математическом» учете
получим, рассматривая величину а как сумму началь-
ного капитала и 'Простые .проценты с него, т. е.
а = ао ~"Ь ао №>
откуда
— а
ао— (l + tb) •
Если сравнить стоимость одного и того же капитала
по одной и той же таксе за одно и то же время, то:
при учете по сложным процентам
при коммерческом учете
а0 = а{\ — tb)\
при «математическом» учете
а
а°— (l + tb) #
При краткосрочном кредите пользуются коммерче-
ским учетом, так как разность между его результатом
и результатом «математического» учета незначительна.
Когда ведут расчеты по иностранным займам или
имеют дело с иностранным страхованием, приходится
сталкиваться с -понятиями, связанными с так называе-
мыми высшими финансовыми вычислениями. Там на
сложных процентах основаны так называемые актуар-
ные расчеты — ренты и займы. Рентой называется в
этом случае ряд платежей, подлежащих уплате через
равные промежутки времени. Отдельные платежи назы-
ваются аннуитетами. Различают ренты погашения
(предназначенные для погашения долга) и ренты по-
мещения (для образования капитала). Если платежи
вносят в конце периодов, то рента называется постнуме-
рандо, если в начале периода—пронумерандо.
Актуарные расчеты сложны и требуют математиче-
ской подготовки. С аннуитетами имеет дело наш спец-
банк при предоставлении долгосрочных ссуд хозяйствен-
ным организациям. Так, широко применял аннуитетный
способ расчета при долгосрочном кредитовании Инком-
банк. При этих расчетах долг погашается равными сум-
34 ■

мами через равные промежутки времени. В данном слу-
чае аннуитетами 'называются (платежи, включающие
в себя, с одной стороны, возрастающее погашение дол-
га, с другой — убывающие проценты по ссуде1. Вычи-
сления, связанные с расчетом -погашения долгосрочных
ссуд, сводятся к нахождению, вочпервых, суммы долга,
погашаемого аннуитетом, и, во-вторых, аннуитета пога-
шаемой ссуды.
Пример. Каков должен быть аннуитет при погаше-
нии в течение 6 лет долгосрочной ссуды в 9000 руб. из
расчета 2% годовых? Есть специальные таблицы аннуи-
тетов, из 'которых можно установить для каждого срока,
чему равен аннуитет при долге в 1 руб. По таблице
узнаем, что при сроке погашения в 6 лет аннуитет для
долга в 1 руб. равен 0,1785258. Отсюда следует, что для
долга в 9000 руб. искомый аннуитет составляет
1606,732 руб.
Платежи в течение 6 лет распределяются следующим
образом.
Платежи в конце года
Срок
1
2
3
4
5
6
Остаток долга
9000,000
7573,268
6118,001
4633,629
3119,568
1575,227
Проценты
(из расчета
2% годовых)
180,000
151,465
122,360
92,671
62,391
31,505
Погашение
долга (включая
уплату
процентов)
1426,732
1455,267
1484,372
1514,061
1544,341
1575,227
Аналогичные расчеты возможны при планировании
ссуд или платы за основные фонды. Здесь не исключены
некоторые практические недоразумения, которые опыт-
ный экономист должен предвидеть. Вот пр'имер.
. Допустим, банк выдал предприятию ссуду в 120 тыс.
руб. из расчета 5% годовых с обязательством погашать
ссуду ежемесячно по 10 тыс. руб. Предприятие выпла-
тило первые 10 тыс. руб. по истечении месяца. Следо-
> 1 Процентами («интересами») в данном случае называют суммы,
уплачиваемые за пользование кредитом. Их называют также «про-
центные деньги» или «плата за кредит».
35

вательно, оно пользовалось эгими деньгами один месяц.
Подобно этому следующими 10 тыс. руб. оно пользо-
валось 2 месяца. Рассуждая так, мы можем полагать,
что полученная ссуда может быть разбита на 12 ссуд по
10 тыс. руб., каждая из которых имеет свой срок, а
сумма всех сроков составляет 1+2 + 3 +... + 11 + 12 =
= 78 месяцев. Средйий размер месячной ссуды равен:
78 х Ю тыс. руб. пс *
12 FJ ■ = 65 тыс. руб.
По условию предприятие должно уплатить 5% взя-
той ссуды. Это составляет 6 тыс. руб. Но так как сред-
немесячный размер ссуды, которой располагает пред-
приятие, равен 65 тыс., фактически оно платит за эту
ссуду значительно больший процент (9,2%).
Все эти обстоятельства должны быть уточнены при
оформлении соглашения с банком.
К типу задач на сложные проценты относятся и за-
дачи на определение того, как скоро одна страна дого-
нит другую при разных процентах возрастания. Если
исходный экономический уровень одной страны равен
1, а другой —2 и при этом в первой стране рост про-
мышленной продукции составляет 4%, а во-второй,—
3%, то определить, через сколько времени первая страна
догонит вторую, можно, решив уравнение:
•O+iM'-^+A)*'
1,04* = 2(1,03)",
xlg 1,04 =\g2 + x\g 1,03;
*(lg 1,04- Ig 1,03) = lg2;
lg2 0,30103 u
X~ jg 1,04 — :gl,03 "0,01703 — 0,01284 ;
x = 71,84,
т. е. .первая страна догонит вторую через 72 года.
Таблица наращения по сложным процентам приве-
дена в приложении (стр. 112).
Вторичные вычисления на основе относительных ве-
личин представляют собой обширное поле деятельности
для специалиста.
36

Допустим, имеются следующие отчетные данные
о снижении себестоимости по трем изделиям, объем вы-
пуска которых остался тот же, что и в прошлом году.
Изделия
Л
Б
В
По всем изде-
лиям ....
Себестоимость (руб.)
первого года
50
70
80
200
второго года
30
35
60
125
Процент
снижения
40
50
25
37,5
Если мы сложим себестоимость за каждый год и
разделим 125 на 200, получим 0,625. Это значит, что
средний процент снижения себестоимости для всех трех
изделий равен 37,5%. Было бы неправильно складывать
40 + 50 + 25 и сумму делить на 3. В этом случае сни-
жение себестоимости было бы показано больше, чем
оно было на самом деле. Поскольку каждый из процен-
тов рассчитан к своей, отличной от других, базе, величи-
ны принадлежат как бы к разным видам, поэтому их
складывать нельзя.
По данным справочника «Преступность в США»
(изд. Гувера—директора федерального бюро расследо-
ваний), за пять лет (I960—1965) население США воз-
росло на 8%, число серьезных преступлений — на 46%.
Показателем преступности считается число преступлений
на 100 человек населения.
Спрашивается, насколько возрос этот показатель? На
35%, 'потому что 1,46 : 1,08= 1,35.
Относительным величинам можно придать раздую
степень выразительности. Предположим, имеются два
уровня признаков на две даты. Первый год—189, вто-
рой— 267. Мы может сказать, что уровень вырос на
41%. Но мы можем выразиться и так: уровень на вто-
рой год достиг 141%. Такая формулировка более эмо-
циональна.
Если для нас существенно, что признак наблюдается
в размере 30%, мы поварим «ino крайней мере 30%...»
или «не менее 30%...». Если это несущественно, мы гово-
37

рим: «имеется только 30%...» или «не более 30%...». Та-
кими фразеологическими степенями мы придаем вели-
чинам дополнительный смысл. Конечно, такие оттенки
выражают обычно только субъективные суждения.
По этим соображениям было бы преувеличением ут-
верждать, что «цифры сами за себя говорят». Это да-
леко не всегда так. Во многих случаях язык цифр надо
переводить на житейскую речь, в других случаях цифры
надо располагать так, чтобы они были более вырази-
тельными.
Мы часто прибегаем не к процентам, а к пропор-
циям, обычно для характеристики более или менее ус-
тойчивых отношений. Существует ли у человека чувство
пропорций? Да, конечно, оно проявляется лри истолко-
вании различий в 'величинах. Когда же каждая из срав-
ниваемых величин очень велика, мы теряем способность
чувствовать различия, например -разницу оз .расстоянии
от Земли до Луны и от Земли до Венеры.
h ТОЧНОСТЬ РАСЧЕТА
Обработка цифрового материала часто требует ог-
ромных затрат сил и аредств. Поэтому результаты дол-
жны достигаться наиболее простыми и рациональными
способами.
Достаточная точность при наименьших усилиях —
таково практическое правило вычислений.
Для разных целей нужна разная точность. В не-
которых случаях требуется точность -очень высокой сте-
пени. Так, масса эталона фунта была определена Мен-
делеевым с точностью до 0,000072 г. Для эталона тре-
буется огромный запас точности, так как нужно после-
довательно поглощать ошибки весов при изготовле-
нии прототипов эталонов, потом рабочих эталонов, за-
тем образцовых гирь, так как ошибка здесь допускается
для массы в 1 кг до 0,02 г. Разумеется, для достижения
такой точности требуются особые технические условия.
Даже самые точные весы дают ошибки при приближе-
нии к ним человека, так как распространяемое им тепло
действует на них.
В 1795 г. был уволен со службы сотрудник Гринвич-
ской обсерватории Киннбрук за недобросовестность: при
38

определении времени прохождений звезд через мери-
диан Киннбрук запаздывал на 0,5—0,8 сек. Только
спустя 30 лет после смерти он был реабилитирован.
Было установлено, что время (реакции у людей различно
и меняется с возрастом. Отсюда возникло «личное урав-
нение»—.поправка на несовершенство человеческого ор-
ганизма.
Однако практика знает немало примеров, когда по-
гоня за кажущимся повышением точности влечет за со-
бой непомерные и часто совершенно неоправданные
усилия. Часто упускается из виду, что получаемая иногда
«точность» играет относительную, а подчас и совершенно
условную роль, поэтому исчисления с точностью, скажем,
до 0,1 коп. могут обойтись (оценивая затраты труда),
в сотни рублей.
Для изучения рынка сбыта в Англии был проде-
лан следующий опыт. Было опрошено 4321 человек и
установлено, что 25% мужчин старше 20 лет поль-
зуются электробритвой. Распространяя эти результаты
на все взрослое мужское население Англии (17 275 тыс.),
исследователи опубликовали, что 4 318 750 человек
(т. е. точно 25%) пользуются электробритвой. Такая
«точность» может привести к серьезным недоразуме-
ниям. Статистически грамотные исследователи должны
знать, что «точность» здесь совершенно мифическая, что
в 95 случаях из 100 исчисляемая доля лежит в грани-
цах 25+1,33%, т. е. где-то в пределах от 23,67 до
26,33%' К При этом пределы существенны только в том
случае, если опрошенные действительно представляли
все взрослое мужское население Англии. Во всяком слу-
чае ясно, что претензия ,на «точность» исчисления абсо-
лютного числа потребителей совершенно не обоснована.
Кроме того, в таких расчетах существенно и то, что
бреются мужчины и до 20 лет. Следовательно, речь дол-
жна идти не о 25%, а о другой величине.
О. Моргенштерн («О точности экономико-статистиче-
ских наблюдений». Пер. с англ., изд-во «Статистика», М.,
1968, стр. 47), приводит опубликованную в США вели-
чину: на 30 июня 1962 г. федеральный государственный
долгсоставил 286 330 760 948 долл., что составляет 1586,07
1 См. П. М а слов. Вариационная статистика (Сельскохозяйст-
венная энциклопедия, т. I, М., 1969).
39

долл. .надушу населения. Подумайте: точность до цента!
Однако всякому должно быть ясно, что 'Никакого реаль-
ного и физического смысла эта величина не имеет. И точ-
ность мнимая, и средняя огульная. Конечно, для аккурат-
ного счетоводства такая «точность» нужна, чтобы все
сбалансировалось, но для статистической информации
здесь достаточно трех, четырех значащих цифр.
Тот же автор приводит австрийскую правительствен-
ную публикацию: «Население провинции Зальцбург в
1951 году было равно 327 232 чел. Это составило
4,719 303(1) процента всего населения Австрии». Здесь
мнимая точность и к счетоводству не имеет отношения.
Экономист, полагающий, что с увеличением числа деся-
тичных знаков точность результата . непременно повы-
шается, нередко делается жертвой своеобразной абер-
рации.
Мы отмечаем день, но не час своего рождения, в
железнодорожных расписаниях не даются секунды, а в
расписаниях морских (пароходов отмечаются только
часы, но не минуты.
Равным образом и при статистических исчислениях
нам редко бывает надобно, чтобы наши результаты
были точны до 1/1000.
Так, для экономических расчетов мы обычно прини-
маем гражданский год равным 365 дням и даже 360.
Между тем средняя продолжительность гражданского
года .составляет 365 суток 5 час. и 48,8 мин. Продол-
жительность суток -принимается равной 24 час, между
тем астрономы считают 23 час. 56 мин. 4,1 сек.1. Для
физики имеет значение то, что удельный вес воды при
0° равен 1, а при 4° равен 0,99987.
Для экономиста такие тонкости значения не' имеют.
Народный доход рассчитывается с округлением даже
до 1 млрд. руб. Однако для экономиста очень важно,
чтобы расчеты были травильными и тщательными в
-пределах заданной точности.
1 Звездный год = 365,2564 дня.
Тропический год = 365,2422 дня.
Звездный день = 23 час. 56 мин. 4,091 сек. по среднему сол-
нечному времени.
Средний солнечный день = 24 час. 3 мин. 56,555 сек. звездного
времени.
40

Обычно мы имеем дело не с точными величинами,
а с их приближенными значениями. Если величина —
результат измерений, она всегда приближенная. До-
пустим, нам надо определить объем цилиндра. Изме-
ряем высоту (А), радиус основания (/?) »и пользуемся
известной формулой V = nR2h.
Ясно, что объем цилиндра .получится приближенным,
так как-в формуле все величины, кроме .показателя сте-
пени, приближенные. Однако следует различать степень
точности величин, которыми «мы оперируем. Величину я
или. е или логарифмы чисел мы берем с округлением,
которое нам желательно. В результатах же измерений
мы не можем быть всегда уверены, так как здесь воз-
можны ошибки, связанные с по.грешностями измеритель-
ных инструментов или с внешними влияниями, которые
не всегда можно уловить и учесть. Поэтому результаты
наших .измерений должны быть точнее, чем округлен-
ные числа, взятые из математических таблиц. Кроме
того, важно помнить, что если исчисленные величины
служат сомножителями, то всякое округление влечет за
собой на/копление ошибок.
Оперируя цифровым 'материалом, необходимо по-
стоянно применять соответствующие проверки по суще-
ству вычислений.
Сделанные 'расчеты проще всего проверить путем
приближенной оценки результатов. Надо, начиная с ко-
нечного вывода, проследить весь порядок вычисления и
прийти к исходным данным. Такую оценку следует де-
лать по ходу дела постоянно до полного вычи-
сления.
Проверка вычислений обязательно связана с обду-
мыванием не только конечного, но и промежуточных ре-
зультатов. Пусть допущена ошибка: при делении 0,0387
на 0,987 получено 0,000392 .вместо правильного ответа
0,0392. Такую ошибку легко заметить, так как делитель
очень близок к единице и частное должно быть близ-
ким к делимому.
Во многих случаях полезно сделать набросок черте-
жа, по которому легко определить, насколько получае-
мый -результат соответствует теоретически допустимым
выводам. Такая проверка предохранит от многих оши-
бок, допущенных при вычислении, и от ложных выводов
из полученных результатов.
41

В (некоторых случаях нанесение .на график результа-
тов наблюдения может служить проверкой их точности.
Как уже было сказано, при любых статистических на-
блюдениях 'имеется стремление к округлению чисел, не-
зависимо от предмета исследования. Поэтому, если пред-
ставлены результаты двух измерений в виде рядов рас-
пределений, изображенных на графике, точность изме-
рений будет больше там, где меньше скучивание около
округленных чисел. Величиной таких «протуберанцев»
ошибок можно пользоваться в качестве меры достовер-
ности .произведенных .наблюдений.
Необходимо также ясно представлять степень ариф-
метической точности результатов. Чтобы уяюнить, что та-
кое точность в арифметическом смысле, рассмотрим при-
роду различных типов одгибак исчисления и измерения.
Ошибку, или, вернее, погрешность, можно опреде-
лить как разрыв, или расхождение, между вычисленной
величиной и той величиной, которую мы признаем дей-
ствительной, или истинной. Если х\ есть вычисленная
величина, а х— истинная величина, то разность Е —
= Xi — х будет абсолютной ошибкой. Отношение абсо-
лютной ошибки к истинной величине, или -j-, назы-
вается относительной ошибкой.
Предположим, взвешиваются двенадцать монет од-
ного и того же достоинства, бывших в обращении. По-
лучены следующие результаты в дециграммах с точностью
до сантиграмма: 57, 58, 58, 56, 57, 60, 57, 60, 57, 55, 56,
56. Их среднюю 57,25 можно считать наиболее типич-
ной величиной, а отклонения (—0,25 + 0,75 + 0,75 —
— 1,25 — 0,25 + 2,75 — 0,25 + 2,75 —0,25— 2,25—1,25 —
—1,25 = 0) -будут рассматриваться как абсолютные
ошибки (хотя, строго говоря, они лишь разные прибли-
жения к настоящим ошибка;м). Приведенные расчеты
могут быть алгебраически обобщены на основе следую-
щего рассуждения.
Если истинная величина х, а в результате измерений
получена величина хи то ошибка измерения может быть
получена как разность Е = Х\ — х. Ошибка может быть
положительной или отрицательной, но ее величина пред-
полагается весьма малой относительно истинной вели-
чины х. Это обозначается
i£i:<<i*i-
42

Мы можем записать
х = х1+Е = х1(1 +Д
где / = — является относительной ошибкой. Обычно,
Е
поскольку величина х остается неизвестной, вместо —
Е
принимают — .
Это приблизительное суждение правомерно в тех
случаях, 'когда
\Е\<<\хх\,
т. е. когда
Следовательно, можно отметить, что
а также
если
В этом же
-случае
X
X
Е t
хх
•*- = 1+/,
1 1
- И-/"1
(Л<<1.
X хгк
-/,
Для практических расчетов решающее значение
имеет относительная ошибка. Очень важно сразу уви-
деть, 'какое число .более точно. Сравните два числа:
1362,3 и 2,37. В первом абсолютная ошибка (см. стр. 42)
не более одной десятой, а во втором она не более
одной сотой. Кажется, что второе число точнее первого.
Однако если в первом случае абсолютная ошибка 0,1,
то относительная ошибка равна:
ЧШТ- W078V
43

Во втором случае при абсолютной ошибке даже 0,01
относительная ошибка равна
°'°2,£100 =°>42°/°-
Ясно, что первое число в сто раз точнее второго.
В технических расчетах обычная допустимая точ-
ность— 1% (с такой точностью работают со счетной ли-
нейкой, дающей три значащие цифры).
Точное знание пределов относительной ошибки осо-
бенно важно три обработке массового материала на бы-
стродействующих счетно-решающих устройствах. Уже
упомянутый 'известный исследователь ошибок экономи-
ческой информации Оскар Моргенштерн («О точности
экономико-статистических наблюдений». Изд-во «Стати-
стика», М., 1968, стр. 105—106) приводит следующий
пример.
Система уравнений
(х—у=1
1 х—1,00001 .у = 0
имеет решение
*= 100001; .у = 100000.
В то же время почти тождественная система уравне-
ний
(х-у=\
\ х —0,99999j/ = 0
имеет решения
х = - 99 999; у = — 100000.
Коэффициенты при у в этих двух системах уравнений
отличаются 'на две единицы в пятам знаке /после запя-
той, в то время 'как разность в решениях составляет
200 000. Представьте себе, что вы планируете прибыль
в рублях!
Допустимые 'Границы точности устанавливаются за-
ранее, когда речь идет о технических расчетах. В не-
которых случаях они устанавливаются и в законода-
тельном .порядке. Так, в правительственных правилах-о
чеканке русской золотой монеты было сказано: «В ли-
гатурном фунте металла пробы 900 частей чистого зо-
44

лота на 100 частей меди должно содержаться 47 монет,
6 рублей 3 и 27/121 копейки. Диаметр монет опреде-
ляется в 88 точек.
Лигатурный вес золотой монеты есть 2 золотника
1,6 доли; шредельный вес для обращения назначается
в 2 'золотника 0,6 доли. Терпимость в .пробе допускается
Vioo часть. Терпимость в весе золотой монеты при вы-
пуске с Монетного Двора составляет 0,35 доли на 1 кру-
жок и 1 золотник на 100 кружков».
Бывают неточности, которые в массе возмещают или
погашают друг друга; они носят название случайных,
или взаимно компенсирующихся. Приведем пример с ок-
руглением чисел.
Предприятия
А
Б
В
Г
Д
Итог
В среднем
Валовая продукция
в руб.
4077347
6 144 143
8153 635
10 632772
12 827 307
41 835 204
8 367 041
в тыс. руб.
4 077
6144
8154
10 633
12 827
41835
8 367
При округлении до 1000 числа меньше 500 отбра-
сываются. Если число равно точно 500, оно должно рав-
ными долями прибавляться к предшествующему и
последующему числу или если оно встречается еще раз,
то (В одном из случаев прибавляется 1000 К
1 Есть особый случай округления, когда вычисляются процент-
ные отношения частей к целому и результаты вычислений подгоняют
к тому, чтобы сумма равнялась точно 100,0%. В этих случаях деся-
тые доли процентов у одних слагаемых, обычно у наибольших, отни-
мают, к другим, наименьшим, прибавляют, если десятых долей не
хватает до 100. В большинстве случаев это приводит к искажению,
хотя и мало заметному. Лучше делать наоборот: у наименьших от-
нимать, к наибольшим прибавлять. Дело в том, что вычисления та-
кого рода преследуют цель показать структуру явления. Действуя
по рекомендуемому способу, мы подчеркиваем, а не затушевываем
структурные различия.
45

В больших рядах чисел рекомендуется лри округ-
лении следовать так называемому 'правилу Гаусса. За-
ключается оно в -следующем: если наделе цифры б сле-
дует ,не .нуль, а какая-либо другая цифра, то к предше-
ствующему десятичному з'наку прибавляется единица;
если же -после 5 идут нул-и или если 'последующие знаки
неизвестны, то в случае четного предшествующего знака
отбрасывается 5, а в случае нечетного предшествующего
десятичного знака прибавляется единица. Так, округ-
ляя число 3,75, мы (напишем 3,8; округляя 3,65, напи-
шем 3,6. Если не .применять этого правила и всегда при-
бавлять к предшествующей цифре единицу, в итоге бу-
дет .накапливаться ошибка (в сторону преувеличе-
ния).
Если сама цифра 5 есть результат дополнения, при
округлении ее .надо отбрасывать. Например, длина дуги
окружности при угле в 65° составляет 1,134464 длины
радиуса. Если округлять до четвертого знака, мы дол-
жны взять 1,1345. Если отбрасывать и четвертый знак,
то следует брать 1,134, а не 1,135.
В примере с округлением чисел (стр. 45) ошибки со-
ставляют: —347, —143, +365, +228 и —307; алгебраи-
ческая сумма ошибок составляет — 204. Следовательно,
даже в коротком ряду чисел итоговая ошибка относи-
тельно мала; в более длинных рядах чисел она будет
еще меньше.
Округление основывается ,на тех же принципах, что
и приближенные вычисления, когда ошибкой пренебре-
гают в силу ее незначительности. Например, если ве-
личина а ничтожно мала по сравнению с единицей,
то можйо приближенно полагать (1+а)2^1 +
+ 2а.
Неслучайными, или систематическими, ошибками яв-
ляются такие, которые не стремятся нейтрализовать
друг друга, а наоборот, аккумулируются, т. е. 'накапли-
ваются таким образом, что конечная ошибка оказы-
вается относительно большей, чем в индивидуальных на-
блюдениях.
Предположим, .на строительных работах бригадиры
приписывают к выполнению норм :по 1%.
В целом то участку получается следующий резуль-
тат:
46

Бригады Измерения Ошибка
1 69 +0,69
2 71 4-0,71
3 68 +0,68
4 69 +0,69
5 73 +0,73
Итог 350 +3,50
В результате приписок накопилось 3,50 мг якобы вы-
полненных работ. Эта величина вполне может дезориен-
тировать предположения на следующий день.
В результате обычных исчислений получаются .неко-
торые цифры, которые принимаются как достаточные,
а часть цифр может быть признана не имеющей значе-
ния для результата. Количество значащих (или верных)
цифр соответствует той части числа, которая считается
точной. Так, если сделано измерение в 39,6 г, то счи-
тается, что оно точбо до 0,1 г. В этом результате
имеются три значащих (верных) (цифры, истинная же
величина 'находится ще-то между 39,55 и 39,65 г. Если
тот же результат выражен как 0,0396 кг, то ©се равно
количество значащих цифр будет равно трем, так как
нули после запятой лишь свидетельствуют о примене-
нии другого вида обозначения того же результата. Если
нуль появляется оправа (после запятой, то это указывает
на то, что десятые доли принимаются в расчет для об-
щего количества значащих цифр.
Так, измерение 2600,0 дает четыре значащих цифры,
т. е. оно находится между 2599,5 и 2600,5. В следующих
числах, например, имеется .пять значащих цифр:
47,234; 0,00036924; 0,0042000; 10000,0; 0,56340.
Чтобы не было неясности в том, являются ли нули
результатом округления, т. е. заменяют ли они неиз-
вестные цифры или указывают, с (какой точностью сде-
лан расчет, .поступают так: в первом случае дается сло-
весное обозначение разряда тесел, во втором случае ста-
вятся нули. Число 8 367 000 мы выше записали как
8367 тыс. руб., так как нули здесь 'были результатом
округления. Если же проставляется число, окажем 3,60,
то здесь нуль должен означать, что единиц данного раз-
ряда (сотых долей) в этом числе нет, а цифры тысяч-
ных долей -нам неизвестны.
47

3,14159
3,1416
3,142
3,14
3,1
3
X. 2,71828
X 2,7183
X 2,718
Х2.72
Х2,7
хз
= 8,5397212652
= 8,53981128
= 8,539956
= 8,5408
= 8,37
= 9
Рассмотрим следующие ряды произведений последо-
вательно округленных значений чисел я и е. Их произве-
дение с точностью до сем'И десятичных знаков рав»но
* X е « 8,5397342,
так как
тг X е = 3,14159265 X 2,718281828 = 8,5397342114733642.
те X В Произведение Точное значени
3,1415927 X 2,7182818 = 8,539734259422861 8,5397342
3,141593 X 2,718282 =8,539735703226 8,539734
8,53973
8,5397
8,540
8,54
8,5
9
Первое произведение точно только до седьмой цифры
(т. е. до шести десятичных знаков), так как если оно бу-
дет округлено .на седьмом з'на'ке, получится ошибка (мы
получим 8,5397343 вместо 8,5397342). Однако значение
числа я всегда (приблизительно, и для него допускаются
десять знаков после вапятой, чтобы рассчитать окруж-
ность земли с точностью до двух с половиной сантимет-
ров.
Этот расчет с очевидностью показывает, что (неце-
лесообразно оставлять в произведении большее коли-
чество десятичных знаков, чем количество значащих
цифр в каждом -из сомножителей.
Это может быть показано и другим путем. Пусть
требуется помножить 36,9 на 8,74 — два сомножителя,
которые обладают тремя значащими цифрами. Произве-
дение составит 322,506. При этом максимально возмож-
ное произведение будет: 36,95 X 8,745 = 323,12775, ми-
нимальное — 36,85 X 8,735 = 321,88475.
В этом случае возникает сомнение: какой ответ бу-
дет более точным — 322 или 323. Но поскольку 323 бли-
же к средней из обоих крайних значений:
323,12775 + 321,88475 = з22)5063>
Если следовать правилу Гаусса, то результат будет иной:
3,1415926 X 2,7182818 = 8,5397335927616
48

лучше предпочесть именно это число. Очевидно, что
цифры за пределами первых трех значащих цифр ни-
как не влияют на этот результат, так как каждый из
сомножителей обладает именно тремя значащими
цифрами. Добавлять в этом случае десятые и со-
тые доли якобы для увеличения «точности» бессмыс-
ленно.
Это же положение вполне применимо и в -случае де-
ления. Рассмотрим, например, частное 0,368 = 8,47 : 23.
Максимальное и минимальное значения составят соот-
ветственно 0,377 = 8,475 : 22,5 и 0,360 = 8,465 : 23,5. Здесь
может быть много вариаций .в значении третьего знака,
но, по-видимому, частное 0,37 будет наилучшим ответом
как средняя из крайних значений 0,38 и 0,36.
На основе сделанных расчетов можно вывести сле-
дующее общее правило.
Произведение или частное, полученное из округлен-
ных чисел, не должно записываться с большим количе-
ством значащих цифр, чем их имеется у каждого из чи-
сел, с которыми производятся действия. Если же у чи-
сел разное количество десятичных знаков, то ориентиро-
ваться нужно на наименьшее количество.
При сложении и вычитании нужно следить не столько
за количеством значащих цифр, сколь'ко вообще за ко-
личеством десятичных эиаков. Возьмем два измерения
624,2 и 49,17 см. Максимальная ошибка в первом пусть
будет 0,05 и во втором — 0,005 см. Максимальная и ми-
нимальная суммы в этом случае получаются
624,25 + 49,175 = 673,425 см
и
624,15 + 49,165 = 673,315 см.
Сумма (будет, по-видимому, точна только при округ-
лении 49,17 до 49,2 и записывается «как 624,2 + 49,2 =
= 673,4 см.
Если складывают числа с разным количеством деся-
тичных знаков, то целесообразно округлять числа с
большим количеством десятичных знаков, с тем чтобы
у всех слагаемых оно было одинаково. При достаточно
большом ряде чисел ошибки погасят друг друга, и в
итоге получится нужная степень точности. Поясним это
на примере таблицы, приведенной ниже.
49

лминмо
07,432
У, 64
10,4
8,356
17,9
6,566
8,327
7,463
29,638
19,784
185,506
Округление до двух
десятичных знаков
67,43
9,64
10,40
8,36
17,90
6,57
8,33
7,46
29,64
19,78
185,51 |
Округление до одного
десятичного знака
67,4
9,6
10,4
8,4
17,9
6,6
8,3
7,5
29,6
19,8
185,5
Приемы, которыми мы пользуемся, позволяют уста-
новить, что в данном случае максимальная и минималь-
ная суммы—185,6145 и 185,3975. Следовательно, 185,5
есть наилучший ответ: он ближе всего подходит к сред-
ней из двух крайних значений.
Практика экономических расчетов показывает, что
экономист часто не отдает себе отчета в том, в каких
пределах арифметической точности он оперирует. По-
этому мы подробнее остановимся на этом вопросе.
В абстрактных арифметических расчетах, если мы
говорим о числе 10, это означает именно 10 — не более
и яе менее. Практически, особенно -в научной работе, мы
очень редко сталкиваемся с таэдши абсолютными сужде-
ниями о точности. Очень редки случаи, когда мы можем
сказать, что 10 — абсолютно точное число. Гораздо чаще
мы имеем в виду «приблизительно 10». Если в англий-
ском учебнике физики сказано, что скорость света
186000 миль в секунду, это значит, что последняя цифра
6 приблизительна. Три нуля в конце числа вовсе не яв-
ляются измерителями: они поставлены здесь для того,
чтобы обозначить порядок величины. Известно, что фи-
зики определили скорость света в 186 324 мили в секун-
ду. Но и это число приблизительно, так как оно показы-
вает только, что скорость света лежит где-то в пределах
от 186323,5 до 186324,5 мили в секунду. Поэтому, когда
в учебнике утверждается, что скорость равна 186 000,
это означает, что она ближе к 186 000, чем к 185 000 или
50

к 187 000. Если бы мы захотели дать последовательно
все большую и большую точность, мы могли бы гово-
рить о 190000, 186000, 186 300, 186 320, 186 324 милях
в секунду. Каждый раз мы будем все ближе и ближе
подходить к действительной скорости, но абсолютной
точности мы можем достичь только случайно и никогда
це сможем быть в ней уверены. Поэтому числа, кото-
рыми мы оперируем, всегда только относительно точны.
Отсюда важно отдавать себе полный отчет в степени
точности чисел.
Предположим, нам нужно вычислить среднюю уро-
жайность льна для трех одинаковых участков. В од-
ном— 7 ц с га, в другом — 4, в третьем — 6 ц. Склады-
ваем и делим на 3:
17:3 = 5,66666...
Если у нас хватит терпения, мы можем вычислить
сотню шестерок после запятой. Но увеличит ли это точ-
ность исчисления?
Число 7 означает, что оно заключено где-то между
6,5 и 7,5, так как измерить урожайность абсолютно точно
гораздо труднее, чем скорость света; число 4 — между
3,5 и 4,5; число 6 — между 5,5 и 6,5.
Сумма наших трех чисел может быть в крайних слу-
чаях
или 6,5 + 3,5 + 5,5 = 15,5,
или 7,54-4,5 -f 6,5 = 18,5.
В первом случае средняя будет приблизительно
15,5:3 = 5,17; во втором — 18,5 : 3 = 6,17.
Какой же смысл вычислять десятичные знаки, когда
у нас нет уверенности в точности даже целых единиц?
Следовательно, нет необходимости вычислять резуль-
таты с большим количеством значащих цифр, чем имею-
щееся в исходных данных.
Другой пример. Какова площадь участка длиной в
72 м: и шириной в 36 м? Перемножаем 72 на 36, полу-
чаем 2592.
Справедливость требует округления до 2600 м2, по-
тому что число 2592 претендует на точность, которой
в действительности нет. Тем же приемом, что и в преды-
дущем случае, легко установить, что исчисленная пло-
щадь заключается в пределах 2538,25 и 2646,25 м2. Мы
s 51

не можем быть уверены даже в правильности последней
сотни квадратных метров. Очевидно, и здесь нужно
брать две значащие цифры, так как их две у сомножи-
телей. Однако много ли найдется экономистов, соглас-
ных поступиться мнимой «точностью»?
Когда мы складываем числа, мы должны обращать
внимание не на значащие цифры, а на порядок их —
единицы, десятки, сотни и т. д. Например, расстояние
от Ленинграда до Москвы определяется в 680 км. Но мы
хотим считать его от Красной площади и прибавляем
еще 10 км; желая считать от Спасской башни, прибав-
ляем еще 100 м, от часов на башне прибавляем 10 см.
Однако кто же будет указывать расстояние от Ленин-
града до Москвы в 690,101 км, хотя бы каждое из изме-
рений и содержало по две значащие цифры? Если пер-
воначальное слагаемое дано в целых километрах, мы
не имеем права его складывать с метрами и сантимет-
рами.
Население Москвы в 1845 г. составляло 350 тыс. че-
ловек. Мы хотим узнать, насколько выросло население
города к 1933 г. Численность населения в 1933 г. состав-
ляла 3416 550 человек. Можем ли мы сказать, что насе-
ление выросло на 3 066 550 человек? Нет.
Действие, которое мы выполним, может быть пред-
ставлено так:
3416550
— 350???
3 066???
Мы вычитали из 550 какие-то неизвестные цифры.
Очевидно, правильнее было поступить только так:
3400
— 350
3050
и сказать, что население выросло приблизительно на
3 млн. человек.
Обращаем внимание на то, что округление чисел в
таких случаях подсказывается не желанием экономить
время, а желанием быть добросовестным экономистом,
не показывающим фиктивной «точности».
52

В. И. Ленин упоминает, что точные цифры можно
округлять «чтобы легче было представить себе и запом-
нить при чтении главные данные» (Поли. собр. соч.,
изд. 5, т. 22, стр. 24).
При всякого рода восстановлениях абсолютных ве-
личин на основе процентных отношений не следует за-
бывать о значащих цифрах; здесь это особенно важно.
Вот пример. Известна абсолютная численность населе-
ния района 2083 тыс. человек. Дано также процентное
распределение по возрастам:
Возрастная группа Процент
0—15 20
15—35 30
35-55 27
55 и более 23
Распределив 2083 тыс. человек соответственно этим
процентам, мы получим абсолютные величины по груп-
пам, в которых у каждого числа только одна значащая
цифра, так как проценты округлены до одной целой. Это
легко показать, сопоставив действительные численности
(в тыс.) возрастных групп с вычисленными по процен-
там:
Возрастная группа
0—15
15—35
35—55
55 и более
Всего
Фактическая
численность
410
625
564
484
2083
Вычисления на
основе процент-
ных отношений
417
625
562
479
2083
Как надо
записать
0,4 МЛН.
0,6 .
0,6 .
0,5 .
2,1 млн.
Особые случаи округления розничных цен при каль-
куляции предусмотрены были в розничной торговле до
денежной реформы 1961 г. При розничной цене до 1 руб.
включительно: до 0,05 коп. отбрасывается, свыше
0,5 коп. округляется до полной копейки. При розничной
цене от 1 руб. до 10 руб. включительно: до 2,5 коп. от-
брасывается, от 2,51 до 7,5 коп. округляется до 5 коп.,
свыше 7,5 коп. округляется до 10 коп. При розничной
цене свыше 10 руб. и до 100 руб. включительно: до
53

5 коп. отбрасывается, от 5,1 коп. й выше округляется до
10 коп. При розничной цене свыше 100 руб.: до 50 коп.
отбрасывается, от 50,1 коп. и выше округляется до
рубля.
В некоторых случаях полезно не округлять большие
числа, а да.вать им иную транокршщию. Это возможно
там, где числа чрезмерно громоздки и поэтому с трудом
поддаются осмысливанию. Так, число 149 000 000 округ-
ленно выражает в квадратных километрах площадь всей
суши земного шара. Его можно написать в виде
1,49 X Ю8> т. е. в виде произведения числа с одной лишь
однозначной цифрой левее запятой на соответствующую
степень числа 10.
Для слишком малых чисел также применяются та-
кие обозначения. Так, вес атома водорода составляет
сто шестьдесят пять стосептимиллионных. Это число пи-
шется с 23 нулями после запятой. Проще его записать
ice
так: 1Q23 или 165 X Ш~23. Число нулей всегда равно
показателю степени.
. Такая транскрипция чисел носит название стандарт-
ного обозначения.
Некоторые величины вообще трудно выразить иначе
как в стандартных обозначениях. Например, в 1 куб. мм
водорода (наименее плотный газ) при 0°С и 760 мм
давления содержится 27,8 X Ю15 молекул, причем каж-
дая молекула претерпевает 9520 ХЮ6 столкновений
в 1 сек. с другими при громадном диапазоне скорости
движения. Каждая молекула состоит из множества ато-
мов, а атомы — из электронов.
В вычислительной практике теперь все чаще и чаще
прибегают не только к округлениям, подсказанным на-
учной добросовестностью, но и к стандартным обозна-
чениям больших или очень малых чисел, к которым, од-
нако, нужно привыкнуть.
В английской литературе приводится следующий при-
мер.
Допустим, требуется вычислить с максимальной точ-
ностью вес земного шара. Находим в соответствующих
источниках:
а) объем шара равен 4,1888 R3, где R — радиус;
б) измерения полярного радиуса земного шара ко-
леблются между 6 356 079 и 6 356 992 м\
54

в) для экваториального радиуса — 6 377 397 и
6 378 388 м;
г) метр равен 3,28 фута;
д) плотность Земли в 5,5 раза больше плотности
воды;
е) 1 фут3 воды весит 62,5 англ. фунта.
Все эти данные приблизительные, но при помощи их
мы желаем знать возможно точный вес земного шара.
Взяв среднее измерение радиуса (из пп. бив), полу-
чат 6 367 214. Далее, если мы не будем руководство-
ваться правилами обращения со значащими цифрами,
поступим следующим образом:
1) куб земного радиуса составит
258135859576097196344 ж3;
2) объем находим умножением этого числа на 4,1888;
получаем 1081279488592355936045,7472 ж3;
3) 1 мъ равен 3,283 фута3, или 35,287552 фута3;
4) объем Земли составляет ^(п. 2ХП- 3)
38155706180236165895772,9786988544 фута3;
5) 1 фут3 весит (из пп. д и е) 343,75 фунта;
6) вес Земли (п. 4ХП- 5) равен
13116023999456182370404773,927731200000 фунтов.
Если же мы будем руководствоваться правилами об-
ращения со значащими цифрами, мы прежде всего за-
метим, что плотность Земли показана двумя значащими
цифрами, и в соответствии с этим округлим все осталь-
ные данные до трех значащих цифр, одновременно при-
бегая к стандартным обозначениям:
а) объем шара — 4,19 /?3;
б) радиус Земли — 6,37 X 106 м;
в) метр равен 3,28 фута;
г) плотность Земли в 5,5 раза больше плотности
воды;
д) 1 фут3 (воды весит 62,5 англ. фунта.
Мы знаем, что при умножении показатели степеней
складываются, а при возведении в степень они перемно-
жаются. Ход решения следующий:
1) куб радиуса —258 ХЮ18, или 2,58 Х,1020;
2) объем Земли (куб радиуса Х'на 4,19) равен
10,8 Х.Ю20, или 1,08 ХЮ21;
3) 1 м3 содержит 3,28 фута3, или 3,53 X Ю футов3;
4) объем Земли (п. 2><п. 3) равен 3,81 X Ю22 фу-
тов3;
55

5) 1 фут3 Земли весит 3,44 X Ю2 Фунтов (из пп. г
и д) ;
6) вес Земли (п. 4Хп. 5) равен 13,1 X, Ю24, или
1,31 X W25 фунтов.
Этот ответ наиболее точен в пределах тех исходных
данных, которыми мы располагаем (данные взяты из
английского источника, поэтому единицы измерения при-
ведены не в метрической системе мер. В метрической си-
стеме масса Земли составляет 5,98 X, Ю27 кг)- Вместе
с тем стандартные обозначения позволяют избежать
громоздких вычислений. Однако и здесь, повторяем, речь
идет не об экономии времени, а о научной добросовест-
ности.
Стандартные обозначения уместны там, где мы имеем
дело с величинами, для которых нет привычного обозна-
чения. Мы пишем скорость света как 2,9977 X Ю10 см/сек
или число молекул газа в 1 см3 как 2,7 X 1019- Но мы,
разумеется, не обозначим 1 т как 106 г или вместо метра
мы не напишем 1G2 см.
При округлении десятичных знаков надо иметь
в виду, что при возведении в квадрат число знаков после
запятой удваивается.
Например: 0,22 = 0,04
0,292 = 0,0841
0,2932 = 0,085849
2,92 = 8,41
2,932 = 8,5849
29,32 = 858,49
8,72 = 75,69
87,92 = 7726,41
При действиях с округленными числами не следует
забывать два обстоятельства: 1) действия с десятич-
ными дробями (умножение и деление) всегда приводят
к округлению; 2) умножение округленных десятичных
дробей на целые числа приводит к накоплению ошибки,
т. е. понижает точность конечного результата. Поэтому
там, где это возможно, лучше избегать действий с ок-
ругленными числами.
Приведем пример. Допустим, предприятие вырабо-
тало за месяц такое количество однородных изделий
Л, В и С:
А —153200 шт.
В —211100 ,
С —123100 „
56

Желательно выразить всю продукцию в условных еди-
ницах, скажем, в изделиях С Далее, пусть рабочий за-
трачивал в среднем:
на изделие А — 12 мин.
. В-17 .
. С—11 .
Здесь возможны три варианта решений.
1-й вариант. Выражаем время в долях часа: прини-
маем время, затраченное на изготовление изделия С, за
единицу, узнаем отношение к нему нормы времени для
А и В и переводим изделия Л и В на изделие С.
Изделия
1
А
В
с
Итог
Изготов-
лено
(штук)
2
153 200
211 100
123 100
—
Время, затраченное
на единицу изделия
в минутах
3
12
17
11
—
в долях
часа
4
0,-20
0,28
0,18
—
Соотно-
шение
норм
времени
5
1,09
1,55
1,00
—
Вся продукция
в переводе
на изделие С
(гр. 2 X гр. 5)
6
166 988
327 205
123 100
617 293
2-й вариант. То же отношение взято с тремя десятич-
ными знаками;
Изделия
1
А
В
С
Итог
Изготовлено
(штук)
2
153 200
211 100
123100
—
Время, затра-
ченное на еди-
иицу*изделия
(минут)
3
12
17
11
—
Соотно-
шение
норм
времени
4
1,091
1,550
1,00
—
Вся продукция
в переводе
на изделие С
5
167 141
327 205
123100
617 446
3-й вариант. Не прибегая к десятичным долям, мы
можем помножить изделия Л на 12 (узнаем, сколько
минут затрачено на все изделия А) и разделить на 11
(узнаем, сколько за это время можно было бы успеть
57

изготови+ь изделий С); то же в отношении изделия В
(множим на 17 и делим на 11)
Изделия
1
Л
В
С
Итог
Изготовлено
(штук)
2
153200
211 100
123 100
—
Время, затра-
ченное на
единицу изде-
лия (минут)
3
12
17
11
—
Соотно-
шение
норм
времени
4
12/11
17/11
1
—
Вся продукция
в пересчете
на изделие С
5
167127,2
326 245,4
123100,0
616 473
Третий вариант позволяет делать округления только
в последней графе, поэтому результат здесь наиболее
точный. Первый вариант, где округление происходило
последовательно три раза, дал н^м ошибку+ 820 еди-
ниц; второй вариант, где мы округляли два раза,
,+ 973 единицы.
Когда мы говорим о «точности» результата примени-
тельно к экономическим показателям, не следует забы-
вать, что статистические показатели представляют только
ту совокупность, из которой они получены. Статистиче-
ские производные величины построены, как правило, на
приблизительных оценках. Данные сплошных наблюде-
ний дают материал для описательной статистики. Это
обычный учет. Нужда в подлинном искусстве статисти-
ческого исчисления оценок возникает по-настоящему
тогда, когда точных сплошных данных получить нельзя
или когда это связано с чрезмерными затратами. В этих
условиях исчисленный статистический показатель может
быть только приближенным. Поэтому в статистике точ-
ность результата зависит не столько от порядка вычис-
лений, сколько от исходной информации, от ее качества
и полноты, а также от последующей обработки — груп-
пировки и сводки. Экономисту обычно приходится иметь
дело с готовым, уже обработанным и собранным в таб-
лицы материалом. Во многих случаях эти таблицы слу-
жат для экономиста полуфабрикатом, который он дол-
жен преобразовать в соответствии с поставленной целью
и истолковать содержание результата.
58

В тех случаях, когда материал представлен в виде
разгруппированных данных и нужно исчислять сводные
характеристики, опираясь на этот готовый материал, воз-
можны, конечно, искажения.
Здесь следует уяснить прежде всего, какое значение
могут иметь эти ошибки, а это зависит от целей, для ко-
торых делают вычисления.
В некоторых случаях в точных расчетах надобности
нет. Возьмем организацию оплаты труда продавцов. Как
известно, раньше продавец получал заработную плату
с оборота, или, как говорится «с наколки», т. е. с суммы
чеко,в, которые он накалывал за время своей смены. По
окончании работы чеки подсчитывал продавец, а затем
обычно его проверял контролер. Сумма чеков должна
была совпадать с кассовым учетом, который велся от-
дельно. Таким образом, подсчет чеков был вторичным
оперативным учетом, дублирующим счетоводство. Оче-
видно, он был нужен лишь для последующего вычисле-
ния средних величин или пропорциональных вычислений,
а не для отчетности. В этих условиях достаточна -точ-
ность до 1 руб.
В свое время в ручном отделе аптеки был проделан
следующий опыт — наколотые чеки были разгруппиро*
эаны и составлены ряды распределения:
До 10 коп. 164 чека
10—20 . 53 .
20—30 „ 36 чеков
30—40 , 13 чеков
40—50 » 3 чека
50—60 „ 7 чеков
и т, д.
Всего 291 чек
После этого средние значения интервалов (5 коп.,
15 коп., 25 коп. и т. д.) были умножены на численность
каждой группы (5X164+15X53 и т. д.). В сумме
было получено 53 р. 37 к. Товаров же по кассовому
учету было продано на 53 р. 07 к. Расхождение соста-
вило 0,4%. Ясно, что такое расхождение никакого зна-
чения не имело для исчисления заработной платы про-
давца. При больших интервалах (20 коп.), разрыв по-
лучается 1,3%. Достаточная точность получается, даже
если у продавца будет всего 3 наколки: для чеков менее
20 коп., от 20 до 40* коп. и свыше 40 коп. На первых двух
59

наколках достаточно подсчитать число чеков и соответ-
ственно умножить на 10 и 30, а для третьей наколки
следует подсчитать и сумму чеков.
Получение средней из разгруппированных данных,
как видели, может значительно упростить все расчеты.
Однако это возможно лишь в случаях, если точностью
результата можно поступиться. Конечно, практически
это возможно далеко не всегда.
В других случаях, когда приходится вести расчеты
по разгруппированным данным, исчисление средней мо-
жет дать существенное искажение, с которым надо счи-
таться. Это всегда нужно иметь в виду при оценке досто-
верности результата расчетов. Поясним это на примере.
Допустим, исчислена средняя месячная заработная
плата служащих:
Заработная
плата
1
50,1—100
100,1—150
150,1—200
200,1—250
Всего
Число
случаев
2
5
20
20
5
50
Середина
интервала
3
75
125
175
225
—
Произведение
(гр. 2 X гр. 3)
4
375
2 500
3500
1125
7 500
Средняя —fq— = 150.
Между тем у 50 служащих имеются четыре группы
окладов. Они были разгруппированы в соответствии с об-
щей для всех учреждений формой разработки:
Оклады
90
НО
180
230
Всего
Число случаев
5
20
20
5
50
Произведение
(гр. 1 X гр. 2)
450
2 800
3600
1150
8000
Средняя —ид— = 160.

Средняя, полученная из этих данных, оказывается
на 6% больше.
Теперь, предположим, заработная плата всем увели-
чена на 15%:
Оклады
103,5
161,0
207,0.
264,5
Всего
Число случаев
5
20
20
5
50
Произведение
(гр. 1 X гр. 2)
517,5
3220
4140
1 322,5
9200
9200
Средняя go :"
184.
Средняя повысилась тоже на 15%.
Если разнести эти случаи по принятым группам, они
предстанут в следующем виде:
Группы
100,1—150
150,1-200
200,1—250
250,1—300
Всего
Число случаев
5
20
20
5
50
Середина
интервала
125
175
1 225
275
Произведение
(гр. 2 X гр. 3)
625
3 50Э
4 500
1375
1000Э
10 000 ОЛЛ
Средняя —gQ— = 200.
Средняя, полученная из разгруппированных данных,
оказывается уже больше, чем правильная величина.
Мало того, повышение окладов на 15% повысило сред-
нюю на 33,3% (раньше она была равна 150, теперь —
200).
Пример показывает, какие искажения возможны при
расчетах на основе готовых разгруппированных данных.
Экономист должен предвидеть это, если он не имеет
возможности привлечь исходные материалы.
61

Приближенные результаты можно получить и в тех
случаях, когда неизвестен вес одной из величин или не-
скольких из серии величин. Алгебраически это можно
показать так.
Допустим, имеются два уровня А и В. Для А весом
служит &, а для В вес t неизвестен. Обобщающий пока-
затель должен был бы быть * , ,—, Но, поскольку
истинный вес для В остается неизвестным, мы или долж-
ны брать для него гипотетический вес g, или оставить
явление В вообще в стороне. Иначе говоря, мы должны
л A-k + B-g A- k „
выбирать между k , и —^—= Л, т. е. принять
расчет по догадке или остановиться на полпути, оста-
ваясь в пределах достоверной и доступной исходной ин-
формации.
Если t^>g или t^>k, вес значения g намного улуч-
шит обобщающий показатель. Но если g^>t, t<^k, то
введение гипотетического веса улучшит результат, если
| Ak + Bg Ak + Bt
h + g k + t
<
Ak + Bt A
•A
k + t
Из этого неравенства вытекает, что в случае если
£>Ато
,<^.«(i+4).
Вот арифметический пример: пусть А = 120, В=* 150,
/г^=б, tf=12.
гт « * 120x6 4-150x12 1/|Л
Правильный ответ будет ^ = 140.
Допустим, что, не зная величины t, мы по догадке берем
£=10. В этом случае обобщающая величина окажется
138,8. Это будет вернее, чем «осторожная» величи-
на 120!
К изложенному следует добавить несколько слов об
относительных величинах, с которыми часто приходится
иметь дело. Обратные величины применяют для ускоре-
ния действия деления. Вычислительная машина гораздо
быстрее помножит число на величину N , чем раз-
делит каждое из этих чисел на величину N,
62

Ах В
Так, если надо произвести действие ——^— , то это
(Л \ А
—г-) В. Для действия —^ достаточно взять
—— и помножить на А
Массовые действия с обратными величинами могут
механически упрощаться, если иметь в виду следующее.
Возьмем ряд обратных величин:
5 0,2
50 0,02
500 0,002
4 0,25
40 0,025
400 0,0025
8 0,125
16 0,0625
32 0,03125
7 0,142857142857...
6 0,16666666666...
Легко заметить, что, передвигая десятичные знаки
у числа налево, получаем передвижение десятичных зна-
ков у обратного числа в обратную сторону. Таким обра-
зом, зная порядок величины (десятки, сотни, тысячи),
можно заранее знать местоположение последнего деся-
тичного знака правее запятой и соответственно устанав-
ливать решающее устройство. Обычно пользуются таб-
лицами обратных величин, однако в силу указанной осо-
бенности нет нужды смотреть каждый раз в таблицу:
если установили обратную величину для числа х, то из-
вестна и обратная величина д,ля числа 10 х, 100 х и т. д.
Из примера видны также неточности, возникающие при,
операциях с обратными числами в тех случаях, когда
неизбежны округления (случаи с цифрой 7 и 6). Однако
квалифицированные вычислители знают, что существуют
математически обоснованные способы получения и в
этом случае точных результатов.
4. ЛОГАРИФМИРОВАНИЕ
Наибольшие затруднения в технике экономических
расчетов встречаются при вычислении корней и возве-
дении в степень. Практика показывает, что экономист
избегает применять, например, геометрическую среднюю
63

пли вычислять среднее квадратическое отклонение
только потому, что его затрудняют действия извлечения
корня и возведения в степень, которые он не может про-
делать непосредственно на арифмометре. Поэтому мы
считаем не лишним дать здесь некоторые приемы алгеб-
раических расчетов.
Если имеются равенства отношений, например:
4 400 _ 4000 _ ,
1 — 100 — 1000 ~~ 4>
то эти отношения удобно представлять одинаковой дли-
ны отрезками, хотя абсолютные значения и числителя,
и знаменателя во всех случаях очень различны и от-
дельно их (сравнивая числитель с числителем и знаме-
натель со знаменателем) изображать равными отрез-
ками, конечно, нельзя. Идея изображения таких отно-
шений одинаковой величиной служит основой логариф-
мической шкалы.
Если имеется показательная функция а = с, то воз-
можно обратное действие — извлечение корня:
а = у/"Т
или другое обратное действие — нахождение логарифма:
b = \gac
Здесь основанием служит величина а. Примем а—10
и рассмотрим следующую табличку, полученную из при-
веденных определений:
с b= lg10c, или Ь = Igc
10~2 -2
I0~i -1
100 = 1 0
101 1
102 2
Отсюда видно, что в логарифмической шкале не мо-
жет быть нуля.
1=0
10 = 1
100 = 2...
Для логарифмирования можно рекомендовать сле-
дующий округленный способ расчетов, не требующий
особой точности и достаточный для аналитических обоб-
64

щений и для построения графиков с логарифмическим
масштабом.
К логарифмированию экономисту приходится прибе-
гать прежде всего при расчетах сложных процентовке
частности при исчислении средних темпов роста. Так,
чтобы установить среднегодовой темп роста, если из-
вестно, что продукция за пять лет выросла на 85%, сле-
дует сделать расчет:
Чтобы извлечь корень пятой степени, мы прибегаем
к логарифмированию, т. е. находим lg 1,85:5 = 0,267:
: 5 = 0,053.
Установив по логарифму число 1,131, находим, что
среднегодовой темп прироста составляет 13,1%.
Вместо обычных пятизначных таблиц логарифмов
можно пользоваться следующей небольшой таблицей:
Таблица логарифмов
1
й
в
4
5
6
7
«8
9
0
ОЭО
301
477
602
699
778
845
903
954
1
041
322
491
613
708
785
851
908
959
2
079
342
505
623
716
792
857
914
964
3
114
362
519
633
724
799
863
919
968
4
146
380
531
643
732
806
869
924
973
5
176
398
544
653
740
813
875
929
978
6
204
415
556
663
748
820
881
934
982
7
230
431
568
672
756
826
886
940
987
8
255
447
580
681
763
833
892
944
991
9
279
462
591
690
771
839
898
949
996
В этой таблице даны только мантиссы (дробные
части) логарифмов. Характеристики (целые части лога-
рифмов) не указываются, так как они автоматически
определяются по заданным числам: характеристики на
единицу меньше, чем количество цифр в заданном числе.
Так, характеристика логарифма числа 325 равна 2, так
как в этом числе три цифры; характеристика числа 12
равна 1, числа 6 равна 0 и т. д.
Поэтому мантисса логарифмов не зависит от числа
нулей, приписанных к числу.
Логарифм числа 300 равен 2,477,
„ 30 „ 1,477,
3 „ 0,477.
l/i3 заказ № аео
65

Что касается дробных чисел (меньше единицы), то
мантисса у них та же, а характеристика — отрицатель-
ная. Она показывает, сколько нулей у заданного числа
перед первой цифрой:
lg 0,3 = 1,477,
lg 0,03 = 2,477.
Над характеристикой поставлен минус, который ука-
зывает, что ее нужно вычитать при сложении с другими
логарифмами; мантисса же остается положительной.
Допустим, нам надо проделать следующее действие:
6:0,3.
Обращаемся к таблице. В левой колонке находим
число 6. Ему соответствует мантисса 778. Значит,
lg 6 = 0,778.
Находим далее lg 0,3= 1,477.
Теперь нам нужно из 0,778 вычесть Г,477. Это соста-
вит 1,301 (отрицательную единицу при вычитании мы
должны прибавить, а положительную мантиссу вы-
честь) .
Обращаемся вновь к таблице. Ищем в ней число 301
(только мантиссу, так как характеристика нам указы-
вает лишь на то, что искомое число двузначное). Этому
числу в таблице соответствует 2. Значит, искомое число
равно 20.
Результат:
65 0,3 = 20.
Для двузначных чисел мантиссы логарифмов нахо-
дим на пересечении строчки (где ищем первую цифру
заданного числа) и графы (где находится вторая его
цифра) :<
lg 53 = 1,724,
lg360 = 2,556.
Если при вычислениях встречаются трех-, четырех-
значные и более числа, они округляются (вместо 5322
берем 5300, вместо 137 берем 140 и т. д.). Если не нахо-
дим в таблице нужной мантиссы, берем ближайшую.
66

Возьмем пример. Допустим, нам требуется сделать
следующее вычисление:
l/~3892.
Если, бы мы обратились к большим (пятизначным)
таблицам логарифмов, то ход решения был бы следую-
щий:
lg3892 :5 = 3,59017':5 = 0,71803;
ЛЛ&0,71803 = 5,224.
По нашей таблице:
lg3900:5 = 3,591 :5 = 0,718;
Wlg0,716-5,2.
i
Так как мантиссы 718 в таблице нет, берем ближай-
шую к ней мантиссу 716. Результат вполне достаточный
для экономических расчетов, носящих характер-камер-
ных прикидок. При обратном возведении в степень по-
лучаем:
5,2245 = 3890,
5,23 = 3802 (расхождение в 2,3 %).
Извлечение квадратных и кубических корней для чи-
сел менее 10 000 не требует вычислений, так как их на-
ходят непосредственно по готовым таблицам. Логариф-
мировать приходится при более высоких степенях.
Часто приходится извлекать квадратный корень из
единицы с сотыми долями. В этих случаях можно при-
бегать к приближенному извлечению корня с погреш-
ностью не больше 1%. Для этого можно руководство-
ваться формулой:
yT±ft«l±-5-.
Здесь величина b означает число не больше 0,1. До-
пустим, надо вычислить V 1,08.
Полагая
1/1,08 да1+-^у^-, получаем 1,04.
Допустим, корень нужно извлечь из величины 0,94:
V~0№ = /1-0,06 да 1 — 0,03 = 0,97,
V<3* 67

В заключение несколько слов о счетной и вычисли-
тельной работе экономиста. Нередко ученые-экономисты
чуждаются подсчетов и вычислений, полагая, по-види-
мому, что их область работы — это сфера дедукций, а
складывание и деление чисел — черновая работа, которая
мешает размышлениям над числами. Это неправильная
позиция. Если экономист сам делает расчеты, у него
больше логических ассоциаций, чем если он просто чи-
тает таблицы. Вопрос заключается только в том, сколько
времени отнимают вычисления. Поэтому на то, что мы
поручаем делать их подсобному персоналу, нужно смот-
реть как на неизбежное зло, как на меру, необходимую
для экономии времени. Там, где это возможно, лучше
делать расчеты самому.
При этом, разумеется, нужно стремиться к тому,
чтобы расчеты и вычисления делать с минимумом затрат
времени и сил.
К сожалению, в счетно-вычислительной практике мы
сталкиваемся с двумя крайностями: или все вычисления
выполняют механическим способом на вычислительных
машинах (когда обрабатывается массовый статистиче-
ский материал), или ограничиваются применением
счетов.
Но экономист в своей работе часто не нуждается в
фабриках механизированного учета, его подсчеты и вы-
числения носят камерный характер. Для такой кустар-
ной вычислительной работы можно дать следующие со-
веты.
К счетам можно не прибегать, если складываемые
числа написаны строгой колонкой (единицы под едини-
цами, десятки под десятками и т. д.). В этом случае при
небольшом навыке складывать в уме гораздо быстрее,
чем на счетах, особенно если для облегчения подсчета
цифры наносятся на специальную вертикально графле-
ную бумагу. Еще быстрее подсчет идет на небольших
счетных приборах.
При вычислениях огромную помощь оказывают из-
данные таблицы, в которых даны обратные числа, сте-
пени, корни чисел, коэффициенты и др., поэтому обычно
нет надобности, в новых вычислительных работах. Таб-
лицы всякого рода готовых значений каждый экономист
должен держать у себя на столе. Если к ним привык-
нуть, вычисления не будут отнимать много времени.
68

Вычислительные таблицы в руках экономистов то же,
что счетная линейка в руках инженера (опыт показы-
вает, что линейка служит главным образом для прак-
тических прикидок). Если прибегать к таблицам, то вы-
числительная работа не будет скучным и обременитель-
ным делом. К вычислениям можно привить известный
вкус, что будет значительно способствовать аналитиче-
ской работе экономиста.
5. СОСТАВЛЕНИЕ ТАБЛИЦ
Результаты вычислительных работ экономист соби-
рает в удобные для обозрения таблицы. Аналитическая
таблица — важный итог счетной и статистической ра-
боты.
В курсе статистики подробно разбираются методоло-
гические вопросы составления таблиц. Нас же интере-
сует прикладная часть, имеющая отношение к цифро-
вому представлению конечного материала.
При помощи таблицы исследователь доводит до чи-
тателя свои выводы, выраженные в числах.
«...В табличках, — говорил В. И. Ленин, — данные
выступают рельефнее и компактнее» (Поли. собр. соч.,
изд. 5, т. 2, стр. 368).
С другой стороны, не следует злоупотреблять табли-
цами. Собирают статистические данные в таблицах в тех
случаях, когда, во-первых, этих данных много и, во-вто-
рых, когда изложение предполагает сопоставление ка-
ких-либо чисел. Во многих случаях помещенные в тексте
статистические данные (особенно в виде кратких переч-
ней) вполне доступны для читателя и более доходчивы,
чем излишние таблицы (см., например, «Политическую
экономию», учебник для школ основ марксизма-лениниз-
ма, М., Политиздат, 1968, где вообще нет статистических
таблиц, но много справочных данных в тексте).
Табличной формой расположения цифрового мате-
риала называется такое расположение, при котором
число приходится против определенного названия по го-
ризонтальной строчке, и определенного заголовка по вер-
тикальной графе. Таблица по внешнему виду — комби-
нация этих вертикальных граф и горизонтальных строк.
Графы и строки составляют как бы скелет таблицы.
Va3 Заказ № 1160
39

Однако не всякая форма, разграфленная таким об-
разом и заполненная цифрами, представляет собой ста-
тистическую таблицу. Опросный бланк или какой-нибудь
формуляр, или схема расчета могут носить табличную
форму, но это еще не статистическая таблица. Послед-
няя должна быть непременно результатом подсчета фак-
тических данных. Это первое. Второе, что отличает ста-
тистическую таблицу от других табличных форм, это то,
что в ней сведены воедино данные по многим или, по
крайней мере, по нескольким единицам или объектам
наблюдения. Статистическая таблица должна быть ре-
зультатом сводки, т. е. соединения путем классифика-
ции, группировки и расчета многих первоначальных за-
писей, подсчетов и вычислений.
Легко заметить, что ничего по существу не измени-
лось бы, если бы, например, годовой отчет был пред-
ставлен не в виде таблицы, а в виде перечня всех отдель-
ных статей отчета. Ясно, что табличная форма здесь
принята просто для более компактного изложения, т. е.
ради экономии места и наглядности.
Иное дело — статистическая таблица. Она может
быть составлена на основе сводки многих таких опера-
тивных отчетов, бухгалтерских балансов и текущих до-
несений. Сами отчеты будут в этом случае лишь первич-
ным материалом, своего рода сырьем для последующей
обработки. Статистическая таблица — это конечный ре-
зультат. Правда, отдельный отчет представляет собой
документ первостепенной важности, необходимый для
характеристики предприятия, к которому он относится.
Но задачи анализа такого отчета не такие, какие ста-
вятся перед анализом статистической таблицы. Послед-
няя, относится к массе предприятий, она показывает, что
собой представляют эти предприятия в целом и какими
средними признаками характеризуется эта масса.
Статистическая таблица дает возможность делать
выводы для всей массы, позволяет делать обобщения;
она помогает улавливать связи между явлениями.
По содержанию таблица представляет собой «стати-
стическое предложение», в котором, как в грамматиче-
ском предложении, есть подлежащее (то, о чем гово-
рится) и сказуемое (то, что говорится о подлежащем).
Происхождение того и другого совершенно различно.
Подлежащее возникает путем группировки единиц
70

наблюдения. Этот отбор предшествует подсчету и яв-
ляется началом статистической сводки материала. Ска-
зуемое же возникает в результате подсчета признаков,
характеризующих единицы наблюдения. Эти признаки
берутся из формуляра (бланка, карточки, анкеты
и др.)-
TaiK, создавая таблицу, в которой сравнивается зара-
ботная плата рабочих разных профессий, статистик сна-
чала рассортирует карточки, заполненные на каждого
рабочего, по профессиям: отдельно отложит карточки,
заполненные на металлистов, отдельно на деревообде-
лочников, строителей и т. д.; в группе строителей можно
выделить каменщиков, штукатуров, маляров и пр. Полу-
ченные группы и подгруппы и есть подлежащее таблицы.
Только после этого статистик начинает считать заработ-
ную плату. Берет из каждой карточки, лежащей в дан-
ной подгруппе, величину заработной платы и складывает
с величинами заработной платы, взятыми из других кар-
точек этой же подгруппы. В результате такого подсчета
получается итог заработной платы по всей подгруппе. Для
получения итога по группе уже нет нужды обращаться
к карточкам; можно сложить итоги по подгруппам. Так
возникает сказуемое — результат внутригруппового под-
счета.
Как правило, подлежащее располагается в горизон-
тальных строках таблицы, а сказуемое — в вертикаль-
ных графах. Однако могут быть и исключения, не ме-
няющие, впрочем, существа дела. Приведем типичный
случай построения так называемой комбинационной
таблицы, где подлежащее формируется сразу же по не-
скольким признакам.
Колхозы района
Группы колхозоэ с годовым
доходом (тыс. руб.)
До 25
25—50
50—100
100—200
В колхозах зернового
направления
коров
(тыс. голов)
посева
(тыс. га)
В колхозах животновод-
ческого направления
коров
(тыс. голов)
посева
(тыс. га)
71

Здесь подлежащее разбито по следующим призна-
кам: доходность и направление хозяйства. Для нагляд-
ности часть подлежащего перенесена в заголовки верти-
кальных граф. Вообще же, если следовать обычному
порядку расположения подлежащего, таблица должна
бы быть представлена в следующем виде:
Группы колхозов
Коров
(тыс. голов)
Посева
(тыс. га)
До 25 тыс. руб. |
От 25 до 50 тыс. руб. I
и т. д. *
зерновые
животноводческие
зерновые
животноводческие
Сказуемое представлено только двумя признаками:
численностью коров и площадью посева. Именно эти
данные берутся из готовых отчетов и подсчитываются.
А признаки подлежащего служат только основанием для
раскладки (группировки) отчетов.
Мы привели пример сложной таблицы — комбинаци-
онной. Здесь в подлежащем фигурировали группы и под-
группы. Если бы в подлежащем были одни группы без
подгрупп, такую таблицу назвали бы групповой. Если
вместо групп представлены были бы административные
или территориальные единицы или номенклатуры (пе-
речни), тогда таблица называлась бы простой (переч-
невой) .
И групповая, и комбинационная таблицы составля-
ются для аналитических целей. Они служат и для изу-
чения структуры явления, и для изучения связей между
признаками. В этой работе, посвященной технической
стороне вопроса, мы не останавливаемся на табличном
методе как аналитическом методе.
Нелишне указать, что комбинационная таблица —
чисто русское изобретение. Идеи ее были изложены пер-
воначально Н. Зибером и впервые практически приме-
нены А. Шликевичем при разработке материалов земской
переписи Козельского уезда Черниговской губернии
в 1882 г. Теоретическое обоснование этого метода было
дано Шликевичем в статье «Что дают и что могут дать
72

подворные переписи» («Земский сборник Черниговской
губ.» № 3—4, 1890). Шликевич считал, что комбина-
ционные таблицы решают три задачи: 1) выясняют вза-
имную связь основных элементов крестьянского хозяй-
ства; 2) указывают причинность различных проявлений
жизни крестьянского двора; 3) подразделяют общий ре-
зультат действия всех причин на ряд частных результа-
тов. Решение этих задач, как полагал Шликевич, соз-
дает возможность «при изучении общественных явлений
пользоваться методами экспериментальных наук». Не-
смотря на наивность народнических представлений Шли-
кевича, его работы, как и последующие земские стати-
стические работы, внесли большой вклад в статистиче-
скую науку.
Советская государственная статистика оставила да-
леко позади старую технику составления таблиц. Слож-
ные аналитические таблицы, которые может дать меха-
низированная разработка, позволяют до предельной под-
робности изучать результаты выполнения плана по всем
отраслям народного хозяйства. Аналитические группи-
ровки здесь могут найти широкое применение. К сожа-
лению, такие группировки и аналитические таблицы при-
меняются у нас еще недостаточно.
Сказуемое таблицы, как мы говорили, характеризует
группы, из которых образовано подлежащее. Формиро-
вание признаков в сказуемом может идти разными пу-
тями.
Графа в сказуемом может указывать число случаев,
в которых какой-либо качественный признак имеется на-
лицо или отсутствует. При помощи суммы таких случаев
дается характеристика подлежащему:
^S4v. Сказуемое
Подлежащее ^^\^
(группы пред- ^ч.
приятии) ^ч^
1
До 100 рабочих
100—200
200—300
и т. д.
Всего
пред-
приятий
2
В том числе
со своей
электро-
станцией
3
получаю-
щих энер-
гию со
стороны
4
Число
рабочих
5
Валовая
про-
дукция
(тыс.
РУб.)
6
73

Можно ли сказать, что графы 3 и 4 — части подлежа-
щего, перенесенные в сказуемое? Нет. Каждую из групп
подлежащего (графа 1) мы характеризуем всеми при-
знаками сказуемого (графы 2—6), а признаки в гра-
фах 3 и 4 приспособлены только для характеристики
подлежащего. По этим двум группам мы не знаем ни
числа рабочих, ни валовой продукции. Очевидно, что
этот пример не похож на тот,- который мы уже приво-
дили „(колхозы).
В тех случаях, когда не у каждой единицы наблюде-
ния имеется данный признак, наряду с суммой величин
сказуемое дает и то количество единиц наблюдений,
у которых данный признак есть или отсутствует (см.
табл.).
^4svs^^ Сказуемое
Подлежащее ^Чч\ч^
Число предприятий
В том числе имеющих
электростанции
число
предприятий
общая мощ-
ность станций
Такая дополнительная графа особенно нужна там,
где регистрация признака может не совпадать с его на-
личием, например признак не указан, но он существует.
Так, если по части предприятий регистрировалась мощ-
ность двигателей, а по другой — нет, то такая таблица
должна бы быть дополнена графой: «Число предприя-
тий, имеющих станции, со сведениями о мощности».
Если при регистрации отмечалось только наличие
или отсутствие признака, то сказуемое может давать три
варианта подсчетов — итоги положительных и отрица-
тельных отметок или один из них:
1
Всего предприятий
в том числе
S
ф
Ч
Ф
н
СО
и
я
«
а>
н
Л
и
Я
ю
2
i
«
я
с
ф
&
о
Ф*
о н
1
СО
U
Я
со
и
X Я
ц
£2 *>
я н
3
я
си
S
ф
а,
с
о
ф*
а я
со н
Я
§
(О
Ф
ю
й*
5 ч
X ф
£2 «в
S и
74

Из этих трех вариантов предпочтение следует отдать
первому потому, что здесь возможна проверка подсчета,
потому, что он нагляднее, потому, что в дальнейшей
работе могут понадобиться обе величины.
В тех случаях, когда некоторые разновидности при-
знака встречаются часто, а другие — редко, прибегают
к выделению наиболее распространенных, объединяя все
остальные:
Вся посевная
площадь под
зерновыми (га)
В том числе
пшеница
рожь
ячмень
овес
прочие
Сказуемое должно строиться так, чтобы занимать
возможно меньше места и всячески облегчать чтение
таблиц. Для этой цели заголовки граф располагают в
различных комбинациях, иногда в несколько «этажей»,
часто прибегая, как мы делали это выше, к объедине-
нию граф под заголовками «в том числе», «из этого
числа», «из них» и т. д.
В таблице должны присутствовать проверочные
итоги. Это значительно облегчает ее чтение и подкреп-
ляет общее заключение, составленное на основе отдель-
ных чисел таблицы. «...Ошибки или опечатки, — говорит
B. И. Ленин, — естественный результат отсутствия про-
верочных итогов» (Поли. собр. соч., изд. 5, т. 2, стр. 353).
В подготовительных материалах к работе «Империализм
как высшая стадия капитализма» В. И. Ленин, выписы-
вая данные из немецкого журнала «Банк», отметил:
«Автор не подвел итогов, опровергающих его!!» (Ленин-
ский сборник XXII, стр. 321). По поводу одной работы
C. Булгакова В. И. Ленин говорит: «Автор ужасно не-
брежен: иногда перечисляет размеры всех имений
(напр., 40 и более 30—40), иногда — нет. Общих итогов
никаких» (Ленинский сборник XIX, стр. 179). В тетради
«Статистика стачек в России» В. И. Ленин исправляет
сведения о числе стачечников: «Итоги по месяцам за
1905 г. не сходятся (экономические = 1020442; политиче-
ские = 1842514), ибо часть стачечников не распределены
по месяцам» (Ленинский сборник XXV, стр. 138—139).
75

При построении таблицы рекомендуем пользоваться
следующими практическими указаниями. Таблица дол-
жна быть построена так, чтобы всячески облегчалось ее
чтение. Полезно помнить, что, чем меньше таблица, тем
она яснее и доходчивее. Поэтому надо помещать в таб-
лицу только то, что безусловно необходимо; следует из-
бегать так называемых «небезынтересных» данных.
Числа полезно по возможности округлять (за исклю-
чением тех случаев, когда для отчетности нужны точные
справки). Округленное число более наглядно и броско.
Излишне, например, давать сотые доли процента. Сле-
дует избегать и десятых долей процентов, особенно
в устных докладах. Среднюю величину не следует да-
вать с большим числом десятичных знаков, чем сами
числа, из которых она выведена, о чем сказано выше.
Числа, расположенные одно под другим, легче срав-
нивать, чем расположенные рядом (например, план и
выполнение плана). Таблицы лучше строить так, чтобы
сопоставляемые числа располагались по возможности
в одной и той же колонке (вертикальной). Поэтому пе-
речни в таблицах лучше всего располагать в нисходя-
щем или восходящем значении признака, подлежащего
сопоставлению. Вместе с тем надо стремиться к тому,
чтобы графы и строки были расположены в логической
связи.
В длинных таблицах полезно оставлять двойной про-
межуток после каждых пяти или десяти строк. Это об-
легчает чтение таблицы. Цифры следует проставлять в
середине колонки, а не с краю, единицы под единицами,
десятки под десятками и т. д.
Если числа даются с десятыми и сотыми долями, то
после запятой во всех числах должно быть одинаковое
количество цифр. Так, если все числа даны с одним де-
сятичным знаком, а одно из чисел точно трехзначное
число, то все же следует место четвертого знака запол-
нить нулем, отделив его запятой *. Это полезно делать
для того, чтобы показать, что все величины вычислены
с одинаковой точностью и последняя цифра именно нуль,
а не какая-нибудь другая цифра, не внесенная по неб-
1 В американских изданиях вместо запятой десятичные знаки
отделяются точкой, а нуль в -разряде целых чисел не ставится, TaKf
число 0,5 у них обозначается .5.
za

режности. Такое уточнение вместе с тем облегчает и тех-
нику проверки в пересчете. .
В рукописных таблицах десятичные знаки полезно
писать меньшим размером, чтобы они лучше оттеняли
целые числа и не было ошибки в запятой, отделяющей
десятичные знаки.
Названия граф и заголовков должны быть так сфор-
мулированы, а таблица так построена, чтобы она пред-
ставляла собой законченное целое, независимое от со-
провожающего ее текста. Это требование тем более
справедливо, что текст должен служить выводом из таб-
лицы, а не расшифровывать ее содержание и уж во вся-
ком случае не повторять попросту то, что помещено в
таблице.
Хорошо, если в названии таблицы делается ударение
на тот факт или те. факты, для демонстрации которых
предназначена таблица. Но при этом надо помнить, что,
чем лаконичнее текст заголовков, тем доходчивее таб-
лица. Здесь нужна величайшая экономия слов.
Так, слова вроде «число», «количество», «сумма» не
нужны там, где содержание графы и без них вполне ясно.
Примеры.
Излишне писать Достаточно указать
Число рабочих (чел.) Рабочих
Общая стоимость (сумма
в руб.) Общая стоимость (руб.)
Количество станков Станков
Книг (число экз.) Книг (экз.)
Название таблицы лучше печатать заглавными бук-
вами или в разрядку. В заголовке вертикальных граф
и горизонтальных строк таблиц наиболее важные слова
полезно подчеркивать (при издании выделять курси-
вом).
Лишние точки и запятые затрудняют обозрение таб-
лицы. Если название состоит из двух предложений,
точка ставится только для отделения первого предложе-
ния от второго (но не в конце второго). Лучше также
избегать точек в заголовках граф, за исключением со-
кращений, к которым прибегают только по необходи-
мости. Принятый иногда в нашей машинописи порядок
отделения тысяч и миллионов при помощи точек внутри
граф неудачен. Чтобы не загромождать таблицу лиш-
77

ними лшшши, лучше отделять разряды промежутком
и одну цифру.
Htviii но какой-либо строке нет данных, то нужно ста-
вить не нули, а отточие. Если признак отсутствует, можно
ставить тире.
К таблице даются примечания, если помещенные в
ней данные нуждаются в пояснениях. В некоторых слу-
чаях примечания к таблице имеют такое же важное
значение, как и сама таблица. Особенно внимательно
надо относиться к таким примечаниям в иностранных
публикациях.
Сокращенные обозначения мер можно применять в
тексте только после числовых величин. Их пишут в строку
без последующей точки как знака сокращения (напри-
мер, центнер —*{, но не ц.\ километр — км, но не км.,
литр—л, но не л. и т. д.). После числа в тексте мы ста-
вим знак %, но в заголовке графы надо писать словами
«проценты». Этот знак можно ставить только после
числа.
Точки после обозначения млн, млрд, т, и т. д. не ста-
вятся потому, что это условные обозначения, а не сокра-
щения. Другое дело — руб., коп., чел., тыс. и т. д. Здесь
сокращено слово, и поэтому, естественно, требуется
точка. Заканчивается сокращение всегда на согласной
букве.
После сокращений кв. (квадратный) и куб. (кубиче-
ский) точки в тексте ставятся, но их, быть может, не
следует оставлять в заголовках граф таблицы, памятуя
о том, что каждый лишний знак в таблице наносит ей
ущерб.
6. ГРАФИЧЕСКОЕ ИЗОБРАЖЕНИЕ
Во многих случаях бывает полезно уже при поверх-
ностном обзоре статистических данных составить неболь-
шой чертеж, облегчающий дальнейший анализ.
Распространено мнение, что графическое изображе-
ние составляется только для популяризации фактических
данных, т. е. для того, чтобы они легче воспринимались
читателем. Это заблуждение. Графики часто бывают не-
обходимы для себя. Во всех случаях чертеж облегчит
и ускорит усвоение и осмысливание материала.
78

Эта свойство графических изображений учитывалось
гениальными мыслителями. В черновых записях
В. И. Ленина можно обнаружить много таких чертежей.
Так, в XIX Ленинском сборнике помещено факсимиле,
где дается чертеж типа номограммы. Кроме того,
В. И. Ленин прибегает к графикам и в расчете на мне-
моническое действие. На стр. 355 сборника помещен та-
кой чертеж (см. рис. 2).
Собственность на землю (всего ок. 250 милл. дес.)
1% помещики
(О»! милл. семей)
15% багатые кре-
стьяне (lVa милл.
с1емей])
20% средние кре-
стьяне (2 милл.
с[емей]>
64% сельские
(67а милл. семей)
пролетарии и по-
лупролетарии
Всего ок. 10.! мил-
лиона семей или
хозяйств
24% земли в пользова-
нии у помещиков
(ок. 60 милл. дес.)
36% земли в пользова-
нии у богатых кре-
стьян (ок. 90 милл.
дес.)
22% земли в пользова-
нии] у средних кре-
стьян (ок. 55 милл.
дес.)
18% земли в пользова-
нии] у дерев[енской]
бедноты (ок. 45 милл.
дес.)
Всего около 250 милл.
дес. в пользовании.
Рис. 2.
Такой простейший график можно легко и надолго
запечатлеть в памяти, а вместе с ним — и относящиеся
к нему числа.
Желающие изучить графические представления, кото-
рыми пользовался В. И. Ленин, могут посмотреть диа-
граммы и чертежи, помещенные в следующих томах Пол-
ного собрания сочинений: т. 3, стр. 132—133, 347, 391;
т. 8, стр. 323; т. 23, стр. 10; Ленинские сборники: XIX,
стр. 355, 356; XXII, стр. 309; XXV, стр. 142—143, 154;
XXVIII, стр. 199; XXXI, стр. 412; XXXV, стр. 197.
В соответствии с назначением статистических пока-
зателей: анализ динамики явлений, анализ структуры,
анализ связей — графические представления также под-
разделяются по своему содержанию на изображения
79

выполнения плана, динамики, структуры и связей. По
назначению — на аналитические и популярные.
В отношении способа построения здесь встречается
большое разнообразие.
Однако многообразие диаграмм и картограмм можно
уложить в определенную схему.
I. Диаграммы
В одном измерении.
1. Линейные:
а) в прямоугольной системе координат;
б) в полярной системе координат.
2. Столбиковые:
а) изолированные;
б) связные. '
3. Секторные.
4. Изобразительные, или фигуры-знаки («венский метод»)*
В дЪух измерениях.
1. Прямоугольные:
а) квадраты;
б) знак Варзара.
2. Круговые.
В трех измерениях.
1. Фигурные.
2. Объемные.
II. Картограммы
1. На основе географической карты.
2. На основе топографического плана.
III. Картодиаграммы
1. Комбинация карты и диаграммы в одном и в двух из-
мерениях.
2. Комбинация карты и фигур.
IV. Ленточная диаграмма
Способы построения этих графических изображений
приведены в курсе статистики. О том, какой вид графика
выбрать из приведенного перечня, также говорится в
курсе статистики, и здесь мы не можем излагать этот
большой практический вопрос. Здесь можно сделать
только некоторые дополнения к тому, о чем говорится
обычно в курсе статистики.
Мнемоническое действие графических изображений
экономисты обычно недооценивают. Считается, что гра-
фик нужен только для интерпретации или популяризэ-
80

ции величин и их соотношений. Между тем графики,
во-первых, являются сильным средством, помогающим
запомнить факты, так как в помощь логическим ассо-
циациям приходит, как мы уже говорили, зрительная
память. Во-вторых, графики служат не только для изо-
бражения величин, но и для видимой классификации
или расстановки фактов, в частности расстановки их во
времени. Сюда относятся всякого рода схемы и хроно-
граммы.
При составлении графика руководствуются следую-
щими практическими указаниями:
1. Диаграмма читается слева направо.
2. По возможности все показатели представляются
в линейных величинах. Площади и объемы, как правило,
малонаглядны.
3. Вертикальную шкалу надо выбирать так, чтобы
нулевая линия была на диаграмме.
4. Если невозможно дать такую шкалу, надо дать
в диаграмме горизонтальный разрыв.
5. Нулевая линия должна быть жирной как по
абсциссе, так и по ординате.
6. Если кривая представляет распределение в про-
центах, то надо дать верхнюю линию (100%) и тоже
сделать ее жирной.
7. Если шкала диаграммы не дает начала и конца,
то жирным выделять верхнюю линию не надо (в част-
ности, при изображении рядов динамики).
8. Если принята логарифмическая шкала, то жирным
нужно обозначить деления: 1, 10 и 100.
9. Не следует показывать больше координат, чем
этого требует шкала.
10. Кривая должна быть жирнее сетки.
11. На графиках, изображающих серию явлений, от-
мечают (стрелками) те, которые требуют особого вни-
мания.
12. Горизонтальная шкала читается слева направо, а
вертикальная — снизу вверх.
13. Цифры у шкал помещаются слева и снизу или
в середине (если нулевые координаты в середине гра-
фика).
14. Часто желательно помещать наряду со шкалой
ординат также конкретные обозначения ординат для
81

каждого деления шкалы абсциссы. Эти обозначения
помещают вверху.
15. Если нельзя их поместить на графике, можно
дать рядом маленькую табличку1.
Откладывая время по оси абсцисс, мы располагаем
даты слева направо. Это подсказывается сложившейдя
традицией и кажется естественным и необходимым. Но
это не так. Дело в том, что не только движение во вре-
мени, но и всякое другое движение вперед мы представ-
ляем графически слева направо и снизу вверх. Движение
слева направо более выразительно, и объяснять это
только привычкой наших глаз — воспринимать строчки
текста именно в этом направлении — нельзя. Еще вели-
кие мастера древности догадывались чутьем, что стреми-
тельное движение легче выразить в изображении, когда
оно идет слева направо, чем наоборот. Решающее зна-
чение, видимо, имеют композиционные диагонали: начав
слева внизу и закончив справа вверху, мы можем про-
вести линию одним движением кисти правой руки:
Чтобы провести диагональ из правого нижнего угла в
левый верхний, нужно привести в движение всю руку.
Если смотреть на зеркальное отражение картины Сури-
кова «Боярыня Морозова», движение саней приобретает
стремительный характер и совершенно меняет общее
драматическое впечатление от картины.
По всем этим причинам мы изображаем и движение
явления во времени также слева направо и снизу вверх
(в случае поступательного движения).
При построении диаграммы особое значение имеет
выбор масштаба. При выборе масштаба руководствуются
следующими соображениями.
Известные в практике закономерные и гармониче-
ские отношения делятся на две группы: простые, основан-
ные на отношениях простых чисел, и иррациональные,
получаемые при помощи геометрического построения.
Простыми отношениями называются такие, в которых
числитель и знаменатель — целые числа в пределах от 1
до 6. На отношении 1 : 1 строятся квадрат и куб. Квад-
1 Более обстоятельное изложение приемов составления графи-
ков см. в книге Л. А. Вызова «Графические методы в статистике,
планировании и учете», М., 1940 (издание 1952 г. менее полное),
а также в книге Я. П. Герчука «Графические методы в статистике».
Изд-бо «Статистика», М., 1968.
82

300
200
too
Ал4*
—i i i г , t
ратные отношения 1 :2, 1 : 3, 1:4, 1: 5, 1 : 6 дают в прямо-
угольной форме повторение квадрата целое число раз.
При этом меньшая величина в этом случае является
единицей измерения большей. В простых отношениях
2:3, 3:4, 2:5, 4:5, 5:6 меньшее число укладывается
в большем целое с небольшим число раз. По мере уве-
личения чисел, составляющих отношение, последнее
усложняется. Считается,
что предел простых отно-
шений (6) служит психо-
физиологическим преде-
лом ясного восприятия
зрительных раздражений.
Иррациональным от- |
ношением называют от- J
ношение стороны квадра- ?
та к_ его диагонали <§"
(1:"|/2). Такой квадрат
лучше всего восприни-
мается зрением. Другим
примером может служить
равносторонний треуголь-
ник, у которого высота
относится к половине его
основания как 1 : ~|/~З.Рис. 3. Государственные займы во
Эта форма также воспри-время войны (правильно составлён-
нимается наилучшим об- НЬ1Й график)*
разом. Для прямоуголь-
ников наилучшим отношением сторон считается 1,62: 1 —
иррациональное отношение, известное под названием зо-
лотое сечение. Оно выделяется из всех других отноше-
ний свойством, которое можно сформулировать так: вы-
сота относится к основанию как основание к высоте
плюс основание. Другими словами, золотое сечение есть
отношение меньшей величины к разности обеих величин.
В правильной пятиконечной звезде отношение расстоя-
ния между смежными концами звезды к стороне звезды
находится в отношении золотого сечения. Приближенно
в целых числах золотое сечение выражается как 3:5,
5: 8, 8 : 13, 13:21..., приближаясь к точному выражению
золотого сечения с возрастанием чисел отношения.
Приведенные здесь соотношения —наилучшие для со-
cvi
**.
:*
«ъ
«\»
С\4
<Ь
Р>
«V»
<*>
•Э-
с*
со <Ъ

отношения масштаба по осям абсцисс и ординат во всех
случаях графических изображений статистических дан-
ных. Устанавливать одинаковые масштабы по ординате
и абсциссе будет неправильно с точки зрения зритель-
ного восприятия1. Но приведенные закономерные отно-
шения следует рассматривать лишь как метод, уточняю-
щий соразмерность изображаемых величин.
Главное при построении любого графика — логиче-
ское соблюдение масштабов. При этом следует особенно
обращать внимание на соизмеримость самих сопостав-
ляемых величин. Одна пропорциональность отрезков по
оси абсцисс и оси ординат еще не создает нужных про-
порций в самих изображаемых величинах (см. рис. 3).
Пример. Приводимые ниже данные нельзя изобра-
жать в одном масштабе, так как сами величины несоиз-
меримы 2.
Годы
1948
1949
1950
1951
1952
1953
Выигрыш населения от снижения
цен (млрд руб.)
в государственной
и кооперативной
торговле
57
48
80
27,5
23
46
на колхозном
рынке
29
23
30
7
5
7
Всего
86
71
ПО
34,5
28
53
Указанные здесь суммы складывать нельзя и сравни-
вать друг с другом тоже нельзя, так как покупательная
способность рубля различная—10 млрд выигрыша на-
селения в 1953 г. гораздо выше 10 млрд руб. выигрыша
населения в 1948 г. Поэтому один и тот же масштаб по
оси ординат здесь неуместен.
Прежде чем нанести на график начальный уровень,
внимательно выбирают начало отсчета, так как различ-
ное его положение меняет характер движения (Ьм. рис. 1).
При построении линейных динамических графиков
Международный статистический институт постановил
1 В этом отличие от математики, где масштабы для обеих пере-
менных должны быть одинаковы.
2 Ж- «Финансы и кредит» № 4t 1953,
84

считать за норму одинаковые отрезки для 30-летнего пе-
риода (ось абсцисс) и 100 по шкале уровней (рис. 4, от-
резок ОА = ОС, где ОС = 30 лет, О А = 100).
От применения плоскостных изображений, т. е. изо-
бражений в двух измерениях, лучше воздержаться, так
как изображение величин в этих случаях связано с отно-
шениями квадратных корней, что совершенно искажает
зрительное впечатление от действительных соотноше-
ний величин. Если та-
кая диаграмма составлена
правильно, она не наглядна.
Если она наглядна, то, на-
верно, неправильна (отно-
шение площадей не соответ-
ствует отношению величин).
Поясним это положение.
Если, допустим, мы изоб-
ражаем пдощади посевов | ,
двух районов — площадь, « ~~ - ^ Время
равную а, и площадь, рав-
ную Ьу — при помощи двух
квадратов, то сторона каж- _
дого квадрата должна быть равна У а и V Ъ. Если же
мы изображаем их в виде прямоугольников с одинако-
вым основанием и показываем различие только в длине,
то это не плоскостная диаграмма, а изображение в одном
измерении, т. е. то же самое, что линейный график.
Допустим далее, что мы хотим изобразить эти же
площади при помощи кругов. Тогда радиус каждого из
кругов должен равняться опять-таки ]/ а и ]/ Ъ, так как
площадь круга пропорциональна квадрату радиуса.
Однако если мы возьмем обе окружности одина-
кового радиуса и покажем при помощи секторов, напри-
мер соотношение культур в посеве, то изображение будет
в одном измерении, где каждый процент выразится
углом, т. е. будет равен 360° : 100 = 3,6<°.
В этом случае мы будем иметь дело не с кругом, а
с окружностью. Площадь же будет равна 100°, т. е.
график будет в одном (угол), а не в двух измере-
ниях.
При составлении диаграммы в прямоугольной си-
стеме координат надо брать пропорциональные интер-
85:

пили по оси абсцисс (желательно начинать с нулевого
уровня). Если эти условия не соблюдать, то диаграмма
получится неправильная (рис. 5).
Для специальных случаев, когда нужно представить
сдвиги в структуре изучаемой массы, можно применить
равносторонний треугольник, как показано на рис. 6.
Каждая сторона представляет группу (в данном случае
возрастную группу),и процент откладывается по часовой
стрелке. Линии, как показано на чертеже, проводят па-
раллельно сторонам. Смысл диаграммы заключается в
том, чтобы по движению точки пересечения судить о
структурных сдвигах (на основе приведенных ниже
данных).
Распределение населения по возрасту
в 1939 и 1959 гг.1
в том числе в возрасте:
16-59
Число ЛИЦ
1939 г.
190677890
71841507
105838836
12997547
1959 г.
208826650
63495768
125623348
19707534
В процентах
ко всему
населению
1939 г.
100
37,7
55,5
6,8
1959 г.
100
30,4
60,2
9,4
1 Рассчитано по «Итогам Всесоюзной переписи населения 1959 года»,
Сводный том., М., Госстатиздат, 1962, стр. 49, табл. 12.
При построении графиков нужно иметь в виду еще
другие важные обстоятельства. Допустим, у нас имеются
следующие итоговые данные:
Год
1
2
3
4
5
Себестоимость
продукции
170
220
270
320
420
Товарная ,
продукция
850
900
950
1000
1100
S6

I
/so
no
160
150
140
f30
120
110
too
As
Рост В процентах
ше/гтьмш тог тп /тг tsss*
' интервалы не пропорци-
ональны периодам, это
искажает темпы движения
Нет нулевой линии, это искажает
соотношение уровней
Рис. 5. Неправильно составленная
диаграмма.
А
20
80
60
40
%
15-69 лет
Рис. 6,

Если представить эти абсолютные данные на гра-
фике, получится картина полного благополучия: из-
держки повышаются параллельно повышению объема
произйодства. Между тем, если эти данные рассчитать
в процентах к исходному году и поместить на график,
получится удручающая картина.
Нельзя сказать, что. такие графики противоречат
друг другу. Нет. Они просто дают изображение одаюго
и того же примера с разных сторонТ'
Один и тот же ряд может быть представлен в разных
масштабах, так что будет создана иллюзия резких раз-
личий в темпах развития.
В публикациях можно встретить такие изображения
и без масштабов вообще. Но ... график без масштаба —
это то же, что градусник без шкалы.
Мы говорили здесь о графических изображениях,
которые исследователь составляет для себя, так сказать,
для внутреннего пользования. В тех случаях, когда ста-
тистические факты хотят представить наглядно для дру-
гих, т. е. в случае доклада, лекции и т. д., нужно руко-
водствоваться 'Правилом наибольшей доходчивости. Диа-
грамма, как и реклама, должна прежде всего убедить
и врезаться в память. Тактика выбора признака и способ
его изображения решают дело. Чем схематичнее диа-
грамма, чем меньше на ней подробностей, тем она до-
ходчивее. Этим популярные-диаграммы отличаются от
аналитических графиков, которые мы составляем себе
в помощь.
Популярную диаграмму строят с таким расчетом,
чтобы факт, который мы хотим подчеркнуть, бросался
в глаза. Поэтому не следует стеснять себя сеткой коор-
динат, соотношение величин должно быть приблизитель-
ным, в интересах наглядности можно поступиться точ-
ностью. В этих же целях на диаграмму помещают мини-
мум признаков, минимум ориентиров и минимум надписей.
Особенно тщательно нужно продумывать материал такой
диаграммы с точки зрения удаления из нее всего лиш-
него. Диаграмма должна быть компактной.
В иностранной литературе встречаются графические
изображения динамических рядов, где принят логариф-
мический масштаб. Этот масштаб существенных удобств
не дает, если нет привычки для обозрения такого гра-
фика. Принцип построения логарифмического масштаба
88

заключается в следующем. Если ряд покп.шиаот, дону
стим, постоянный абсолютный прирост
100 150 200 250 300
т. е. является арифметической прогрессией, то лога-
рифмы покажут для него убывающую разность
2 2,176 2,301 2,398 2,477.
Если ряд дает постоянный темп прироста
100 150 225 337,5 506,25,
то логарифмы дадут постоянную разность +0Л76:
2 2,176 2,352 2,528 2,704.
Следовательно, если по масштабу ординаты взять не
натуральные числа, а логарифмы их, то динамический
ряд будет охарактеризован не с точки зрения движения
его уровня (абсолютные величины), а с точки зрения
темпов изменения (относительные величины).
От статистических графиков важно отличать схемы
и графические модели. На схемах, как правило, нет
изображений величин и редко присутствует масштаб,
если не считать масштаба времени.
И плановые, и отчетные схемы служат прекрасным
организующим началом во всякой работе. Каждый мо-
жет составить себе такую схему применительно к своей
области работы и даже к своему личному времяпрепро-
вождению.
7. ЗАПОМИНАНИЕ ЧИСЕЛ
С экономическим анализом цифр тесно связан вопрос
о запоминании цифровых данных. Уже говорилось, что
сильным мнемоническим средством, помогающим удер-
жать в памяти соотношение величин, служит чертеж.
Но это лишь частный практический прием. В этой об-
ласти можно дать ряд более общих указаний.
Прежде всего следует иметь в виду, в какой мере
числа по своему материальному содержанию соответ-
ствуют той работе или отрасли знания, которыми занято
данное лицо. Если это содержание постороннее для его
специальности, то запоминание потребует особых ассо-
циаций и вообще будет сложнее, чем если оно совпадает
со специальностью читателя. Так, если данные о себе-
4 Заказ № 1160
89

стоимости печеного хлеба прочитает калькулятор на
хлебозаводе, он легко их запомнит, так как будет сравни-
вать их с данными, которые помнит по роду работы, с
прошлогодними данными и т. д. Но данных о себестои-
мости ткани он не запомнит. В этом смысле можно гово-
рить не 6 человеческой памяти вообще, а о различных
видах памяти.
Помимо этого, следует отметить, что память индиви-
дуальна. У одних людей она хороша от природы, у дру-
гих она развита упражнениями. Некоторые склонны
к зрительным ассоциациям, другие — к слуховым. Одни
обладают так называемой «индейской памятью» — хра-
нят в памяти, как на складе, большое количество фактов
без видимой логической связи; другие хорошо запоми-
нают общие правила и схемы, но плохо помнят факты.
Однако можно наметить общие пути для закрепления в
памяти фактов и чисел.
Обычно считается, что наилучший путь для закрепле-
ния в памяти — это «повторение. Чтобы лучше запомнить
что-нибудь, что мы уже видели, мы смотрим на это
снова и снова. Но в большинстве случаев в отношении
чисел (как и иностранных слов) такой путь приносит
мало пользы. Снова смотреть на число скучно, а скука
противодействует запоминанию и рассеивает внимание.
Поскольку одно и то же повторяется вновь и вновь, за-
поминание превращается в известное умственное на-
силие.
Успешное запоминание заключается в формировании
новых сильных ассоциаций. Но, чтобы сконструировать
сильную, т. е. врезающуюся в память, ассоциацию, необ-
ходимо, чтобы число, которое требуется запомнить, вы-
звало живой интерес. Есть числа, прочитав которые ни-
когда о них не вспоминаешь. Но есть такие цифры, ко-
торые звучат, как песня, и которые легко запоминаются,
потому что они дороги и близки. Есть ли у нас кто-ни-
будь, кто не помнит года нашей победы над гитлеровской
Германией?
Чтобы число вызвало интерес, надо думать о нем так,
чтобы найти его отношение к фактам, которые нам хо-
рошо известны или которыми мы в данный момент зани-
маемся. Студент обычно не помнит, что температура
внутри солнца 20 млн. градусов, но если ему сказать,
что в его потоке .27 отличников, он это запомнит.
90

Допустим, мы читаем нужные нам исторические
(условные) данные: «В 1840 г. в Москве было 350 тыс.
жителей, 12 тыс. домов, около 400 церквей». Остановим
внимание на этих трех числах. Возникает ряд мыслей.
1. Это было почти сто тридцать лет назад.
2. За сто лет население города выросло более чем
в 10 раз.
3. Много это или мало—12 тыс. домов? Выходит по
30 человек на один дом. Маловато — значит домишки
были маленькие.
4. На 30 домов одна церковь?
. 5. Сколько сейчас домов? Нет под рукой таких дан-
ных.
6. Во всяком случае, ясно, что после 1840 г. населе-
ние росло быстрее, чем число домов, и уж, конечно,
быстрее, чем число церквей.
По такой или иной схеме легко сознательно уложить
в памяти эти простые числа.
При запоминании чисел, которые с трудом можно
ассоциировать со. знакомыми фактами, лучше прежде
всего подумать о порядке числа (единицы, десятки, ты-
сячи и т. д.) и постараться его с чем-нибудь сопоставить.
Именно подумать, а не слепо повторять — в этом ключ
к запоминанию.
Однако не всегда удается построить логическую
ассоциацию, т. е. не всегда можно размышлять о числе
конструктивно, особенно в части отвлеченных чисел (на-
пример, число я—'отношение радиуса к окружности)
или дат. Здесь на помощь могут прийти и не логические
ассоциации. Один знакомый не назвал мне номера своего
телефона, а сказал так: «Два раза год смерти Пушкина,
в середине девятка». Чтобы каждый раз воспроизвести
этот номер, мне нужно маленькое усилие, но забыть этот
номер нельзя: 37 9 37. Число 6212 легко запомнить, за-
мечая, что 6X2= 12. Число 96 легко запомнить графи-
чески. Число 1812 легко запомнить потому, что это год
Отечественной войны и т. д. Искусство запоминания от-
влеченных чисел есть искусство нахождения какой-ни-
будь, пусть фантастической, но прочной ассоциации
(«семьдесят восемь — сено косим»), иногда служащей им
своего рода ярким одеянием. Но, разумеется, такого
рода приемы не могут заменить логической ассоциа-
ции— наилучшего «способа закрепления чисел в памяти;
4*
91

именно к ней следует прибегать там, где это возможно.
Только размышление поднимает запоминание чисел до
уровня изучения, а не зазубривания.
Чтобы заставить себя или слушателей запомнить
число, которое мы называем, лучше всего это число об-
лечь в наглядную форму, способную прочно внедриться
в сознание.
Например, в 1965 г. у нас выпущено 616 тыс. автомо-
билей. Год — это 8760 часов. Значит, в час заводы вы-
пускали 70 автомобилей. Сопроводив число таким про-
стым и наглядным расчетом, мы закрепляем его в па-
мяти, так как число 616 тыс. запоминается трудно,
а 70 в час — легко (так же, как скорость 70 км
в час).
В том же направлении действует прием сравнения
чисел. В 1965 г. у нас было добыто нефти 242,9 млн. т,
а в 1913 г. — 9,2 млн. т. За один месяц мы добываем
в два раза больше, чем раньше добывали за год.
Способность запоминать числа — явление индиви-
дуальное. Поэтому каждый должен приспосабливаться
к своим возможностям, развивая их постепенно. Не сле-
дует стараться сразу запомнить целую таблицу. Надо
взять основное, обдумать, проверить себя и, выждав
время, убедившись в том, что в памяти это закреплено,
вернуться к деталям. С другой стороны, не надо ста-
раться запоминать по частям, малыми дозами, бедными
ассоциациями. Это вызовет .скуку, а .скука — враг запо-
минания. Доза должна быть достаточна для интересных
ассоциаций и не слишком велика, чтобы не отпугивать
сознание необъятностью.
В том, что подлежит запоминанию, надо прежде
всего искать живой интерес или стараться возбудить его
у себя. Сами поиски помогут запомнить факт, отмечен-
ный числом (как и иностранное слово. Вообще, все, что
здесь говорится о числах, может быть отнесено и к ино-
странному языку).
Чем чаще прибегать к графике, тем лучше для запо-
минания. Даже те, у кого главным образом слуховая
память, будут легче запоминать числа, если их сначала
запишут, а потом прочтут, а не просто сразу прочтут.
Если число читать несколько .раз подряд, пользы будет
мало. Но, если, прочитав, стараться через некоторое
92

времд вспомнить, эффект будет другой. При повторении
этой операции число запомнится.
При чтении таблиц следует заранее иметь в виду на-
добность в запоминании, если известно, что нужно за-
поминать числа.
Как при переходе через незнакомую местность надо
обращать внимание на окрестные деревья, кусты и пр.,
чтобы найти дорогу обратно, так и при чтении таблицы
или текста нужно отмечать то, что нужно запомнить.
Воспроизведение в памяти прочитанного будет эффек-
тивно для запоминания только тогда, когда -пройдет из-
вестное время после чтения. Время должно быть доста-
точным, чтобы затруднить воспоминание. С другой сто-
роны, слишком большой промежуток времени не даст
возможности вспомнить и приведет к повторному чте-
нию. Такая проверка и есть то, что называется «повто-
рение — мать учения».
Программу всякого изучения и всякого запоминания
надо дробить. Задание на каждый день лучше задания
на неделю. Ежедневные небольшие дозы должны быть
мелкими ступеньками. Задания должны быть так состав-
лены, чтобы переход от предыдущего к последующему
включал непременно частицу уже пройденного. Задание
должно сопровождаться каким-либо действием: чертеж,
запись (лучше на доске).
Произнесение вслух может в известной мере неко-
торым помочь, но следует иметь в виду, что при чтении
про себя, хотя голосовые мышцы не участвуют, тем не
менее участок головного мозга, управляющий речью,
вполне активен. Поэтому особой разницы нет, произно-
сятся слова громко или про себя.
Чтобы наилучшим образом закрепить в памяти число,
его применяют при первом удобном случае в каком-либо
контексте с тем, чтобы само запоминание давало непо-
средственный практический результат. Это число надо
упомянуть в беседе или докладе или специально затеять
соответствующий разговор. В этом случае создаются
новые ассоциации, все факторы, воздействующие на па-
мять, обостряются, и результаты предыдущей работы по
запоминанию упрочатся.
По свидетельству Хотчнера — биографа Хемингуэя,
тот никогда не вел дневник и не делал заметок для па-
мяти. «Я просто нажимал кнопку памяти, — говорил Хе-
93

мингуэй,— и то, что я хотел вспомнить, являлось. Если
не появлялось, значит, это было нечто, что не стоило
хранения в памяти».
Конечно, в таком сложном психологическом процессе
никакие советы не могут рассматриваться как «правила».
То, что мы указали, можно принимать только как со-
веты, но не более. Главное и безусловное — это обдумы-
вание предмета для запоминания. В этом залог успеха.
Все остальное имеет вспомогательное значение.

ПРИЛОЖЕНИЯ
ОБОЗНАЧЕНИЯ МЕТРИЧЕСКИХ МЕР
Наименование
Сокращенные
обозначения
русские
ино-
стран-
ные
Определение
Меры массы (веса)
Килограмм
Тонна . . ,
Центнер (или квинтал)
Декаграмм
Грамм
Дециграмм
Сантиграмм
Миллиграмм * ..... .
Квадратный метр . .
Квадратный километр
кг
т
ч
дкг
г
1 дг
сг
мг
kg 1
t
Я
dkg
g
dg
eg
tng
Тысяча килограммов
(1000 кг)
Сто килограммов (100 кг)
Одна сотая килограмма
(0,01 кг)
Одна тысячная кило-
грамма (0,001 кг)
Одна десятитысячная ки-
лограмма (0,0001 кг)
Одна стотысячная кило-
грамма (0,00001 кг)
Одна миллионная кило-
грамма (0,000001 кг)
Меры поверхности
кв. м
или м2
кв. км
или км2
/и2 1
£/и2
Один миллион квадрат-
ных метров (1000000
кв. м)
Для драгоценных камней мера веса — I карат «= 205,3 миллиграмма.
Практически считается 200 миллиграммов, или 3,086 тройских грана. В США
применяется как мера чистоты золота, показывающая, сколько чистых ча-
стей из 24.
95

Продолжение
Наименование
Сокращенные
обозначения
русские
ино-
стран-
ные
Определение
Гектар
га
ha
Ар
Квадратный
Квадратный
дециметр
сантиметр ,
Квадратный миллиметр
кв. дм
или дм2
кв. см
или см2
кв. мм
или мм2
dm?
позе-
мель-
ные
меры
Десять тысяч
квадратных
метров
(10000 кв. м)
Сто квадрат-
ных метров
(100 кв. м)
Одна сотая квадратного
метра (0,01 кв. м)
Одна десятитысячная
квадратного метра
(0,0001 кв. м)
Одна миллионная квад-
ратного метра
(0,000001 кв. м)
Меры вместимости
Литр . . .
Декалитр .
Децилитр .
Сантилитр .
Миллилитр
Метр 1 . . .
Километр .
Мириаметр
Дециметр .
л
дал
дл
ел
мл
Меры )
м
км
мрм
дм
1
dal
dl
cl
ml
ушны
m
kM
тут
dm
Десять литров (10 л)
Одна десятая литра (0,1 л)
Одна сотая литра (0,01 л)
Одна тысячная литра
(0,001 л)
Тысяча метров (1000 м)
Десять тысяч метров
Одна десятая метра
(0,1 м)
Примечание. Для измерений с точностью, не превышаю-
щей 0,01%, литр принимается равным кубическому дециметру,
килолитр — кубическому метру, миллилитр — кубическому санти-
метру.
1 Международная конференция по мерам и весам 14 октября 1960 г.
приняла резолюцию об определении метра как длины, равной 1650763,73 длины
волны излучения в вакууме, соответствующего оранжевой линии спектра
изотопа криптона с атомным весом 86. Этим решением было отменено преж-
нее определение метра как специально изготовленного платиново-иридиевого
штрихового эталона, составляющего одну десятимиллионную часть четверти
парижского меридиана.
96

Продолжение
Наименование
Сокращенные
обозначения
русские
СМ
мк
ммк
ино-
стран-
ные
cm
mm
М-
тр.
о
Л или
X
F |
Определение
Одна сотая метра
(0,01 м)
Одна тысячная метра
(0,001 м)
Одна миллионная метра
(0,000001 м)
Одна миллиардная метра
(0,000000001 м)
Одна десятимиллиардная
метра (0,0000000001 м)
Применяется для изме-
рения длины световых
волн
Применяется для обоз-
начения размеров ато-
мов и их частиц
Приставки для образования наименований кратных
и дольных единиц
Кратность и дольность
1 000 000 000 000 = 1012
1000000 000=109
1 000 000 = 106
1 000 = Юз
100 = 102
10 = 101
0,1 = ю-1
0,01 = 10-2
0,001 = Ю-з
0,000 001 = 10-е
0,000 000001 = 10-9 1
0,000 000000001 = 10-12
0,000 000 000 000 001 = 10-15
0,000 000 000 000 000 001 = 10-18
Наимено-
вание
приставки
тера
гига
мега
кило
гекто
дека
деци
санти
МИЛЛИ
микро
нано
пико
фемто
атто
Обозначение
русскими
буквами
Т
Г
м
к
г
да
д
с
м
МК ]
н \
п \
ф
а
латинскими
или грече-4
скйми буквами
. Т
G
М
k
h
da
d
с
m
H-
n
p
f
a
97

В Англии
Биллион = миллиону миллионов =1 с 12 нулями
Триллион = миллиону биллионов = 1 с 18 нулями
Квадриллион = миллиону триллионов = 1 с 24 нулями
Квинтиллион = миллиону квадриллионов = 1 с 30 нулями
Секстиллион = миллиону квинтиллионов = I с 36 нулями
Во Франции
Биллион, или миллиард, равен тысяче миллионов, триллион равен
миллиону миллионов и т. д.
Сравнение мельчайших мер
Кристаллы снега 1—0,1 мм
Кровяные шарики 10 р.
Бактерии 1 ja
Вирусы 0,1 fi,
о
Молекулы 100—10 А
о
Атомы 1—0,1 А
Атомные ядра 1000—1 F
Развитие метрической системы мер шло различными путями.
В каждой отрасли знаний выбирали удобные метрические единицы
и строили на их основе свою систему единиц. Так, наряду с систе-
мой — метр, килограмм, секунда во многих отраслях техники полу-
чила распространение система с основными единицами: метр, кило-
грамм-сила, секунда (МКГСС), а в физике — сантиметр, грамм,
секунда (СГС). Специальные единицы и системы единиц применяются
в электронике, теплотехнике, светотехнике, в области ионизирующих
излучений и т. п. Кроме того, в отдельных узких областях техники
имеется много внесистемных единиц. Производные единицы образо-
вались не по единому правилу, а как произвольное сочетание еди-
ниц различных систем и внесистемных. Расчетные формулы обросли
сложными числовыми коэффициентами, зависящими от выбора еди-
ниц- Вследствие этого значительно усложнилось выполнение науч-
ных и технических расчетов.
Даже по одной и той же отрасли знаний авторы книг выбирают
единицы измерений произвольно. В результате тратится много вре-
мени и энергии на пересчет и замену значений одних и тех же ве-
личин, выраженных в единицах различных систем или внесистемных
единицах. Например, мощность дизеля и генератора, насаженных
на один вал, выражается в разных единицах — лошадиных силах
и киловаттах. Соотношение между ними очень неудобно для расче-
тов:! одна лошадиная сила равна 0,735499 киловатта. В экономиче-
ских же расчетах считают почему-то 0,736 киловатта.
Многое определяется традицией: хлеб часто считают в пудах, в мо-
реходстве расстояния измеряют морскими милями, скорость — уз-
лами, время — склянками.
Для выражения давления применяется множество различных
единиц, также со сложными соотношениями между ними: техниче-
ская атмосфера, физическая атмосфера, миллиметр водяного столба,
миллиметр ртутного столба, торр, бар, дина и ряд других.
98

Применение единиц, взятых из разных систем, часто приводит
к искажению смысла физических формул. Много путаницы вызывает
одинаковое наименование единиц массы и силы (килограмм).
Давно стала очевидной необходимость упорядочения единиц
измерений и перехода на единую универсальную систему единиц,
охватывающую все.отрасли науки и техники. Длительная работа и
совместные усилия научных учреждений многих стран при активном
участии советских ученых привели к разработке такой системы.
Она получила название Международной системы единиц, сокращенно
СИ (SI —Systeme International).
Эта система принята 11-й генеральной конференцией по мерам
и весам после согласования с рядом ведущих международных ор-
ганизаций: Международной организацией законодательной метро-
логии, Международной организацией по стандартизации (ИСО),
Международным союзом чистой и прикладной физики, Международ-
ной электротехнической комиссией (МЭКЬ Международным астро-
номическим союзом и др.
СИ состоит из шести основных единиц (метр, килограмм, се-
кунда, ампер, градус Кельвина, свеча), двух дополнительных (ра-
диан и стерадиан) и необходимого числа производных единиц.
В ГОСТ 9867—61 включено 27 важнейших производных еди-
ниц СИ.
МЕЖДУНАРОДНАЯ СИСТЕМА ЕДИНИЦ (СИ) ПО ГОСТу 9867-61
Наименование
величины
Единица измерения
Сокращенное
обозначение
русскими
буквами
латинскими
буквами
Длина
Масса
Время . . .
Сила электрического
тока
Термодинамическая
температура
Сила света
Основные единицы
метр
килограмм
секунда
ампер
градус Кельвина
свеча
Дополнительные единицы
Плоский угол I радиан
Телесный угол . . . . | стерадиан
Производные единицы
Площадь
Объем
Частота
Плотность (объемная
масса)
квадратный метр
кубический метр
герц
килограмм на куби-
ческий метр
м
кг
сек
ев
рад
стер
гц
кг/м*
т
kg
s
°К
cd
rad
sr
т*
Hz
kg/m*
99

Наименование
величины
Единица измерения
П родолжени
Сокращенное
обозначение
русскими
буквами
латинскими
буквами
Скорость ....
Угловая скорость
Ускорение . . .
Угловое ускорение . .
Сила .........
Давление (механическое
напряжение) ......
Динамическая вязкость
Кинематическая
кость ....
вяз-
Работа, энергия, коли-
чество теплоты . . .
Мощность
Количество электриче-
ства, электрический
здряд .........
Электрическое напря-
жение, разность элек-
трических потенциа-
лов, электродвижу-
щая сила
Напряженность электри-
ческого поля . . . .
Электрическое сопро-
тивление
Электрическая емкость
Поток магнитной индук-
ции
Индуктивность . . . .
Магнитная индукция . .
Напряженность магнит-
ного поля
Магнитодвижущая сила
Световой поток ....
Яркость . .
метр в секунду
радиан в секунду
метр на секунду в
квадрате
радиан на секунду в
квадрате
ньютон
ньютон на квадрат-
ный метр
ньютон-секунда на
квадратный метр
квадратный метр на
секунду
джоуль
ватт
кулон
вольт
вольт на метр
ом
Освещенность
вебер
генри
гаусс
ампер на метр
ампер
люмен
свеча на квадратный
метр или нит
люкс
м/сек
рад/сек
м/cetf
рад/сек*
н/м*
н-сек/м2
мУсек
дж
вт
в/м
ом
ф
вб
гн
гс
а/м
а
лм
св/м2
или нит
лк
100

Старые
Меры веса
торгового:
берковец = 10 пудам =
= 163,804 килограмма
пуд = 40 фунтам = 16,38 ки-
лограмма
фунт = 32 лотам = 96 золот-
никам = 0,40951 килограмма
золотник = 96 долям =
= 4,2657 грамма
доля = 44,435 миллиграмма
аптекарского:
фунт = 12 унциям = 84 зо-
лотникам = 0,358 килограмма
унция = 8 драхмам =
= 29,860 грамма
драхма = 3 скрупулам =
— 3,7325 грамма
скрупул = 20 гранам
гран = 62,21 миллиграмма
Мера длины
верста = 500 саженям =
= 1066,8 метра
сажень = 7 футам = 3 ар-
шинам = 2,1336 метра
фут (равен английскому) =
= 12 дюймам = 0,3048 метра
дюйм = 10 линиям =
= 25,3995 миллиметра
линия = 10 точкам =
= 2,540 миллиметра
аршин = 16 вершкам ==
28 дюймам = 0,7112 метра
Меры поверхности
кв. верста = 250 000 кв. са-
женям = 1,13802 кв. кило-
метра
кв. сажень = 49 кв. футам =
= 9 кв. аршинам = 4,552 кв.
метра
кв. фут =144 кв. дюймам =
= 92899,68 /кв. миллиметра
кв. дюйм = 100 кв. линиям=
= 645,14 кв. миллиметра
кв. аршин = 784 кв. дюй-
мам = 256 кв. вершкам
русские меры
Меры объема
1 куб. сажень = 27 куб. арши-
нам = 343 куб. футам =
= 9,7122 куб. метра
1 куб. аршин = 4096 куб. верш-
кам = 21 952 куб. дюймам =
= 0,35971 куб. метра
1 куб. дюйм = 1000 куб. ли-
ниям = 16386,175 куб. милли-
метрам
1 куб. фут = 1728 куб. дюй-
мам.— 0,2832 куб. метра
1 куб. вершок = 5,35938 куб.
дюйма = 87819,65 куб. мил-
лиметра
Для жидких тел
1 бочка = 40 ведрам =
= 491,96 литра
1 ведро = 10 штофам =*
= 100 чаркам = 12,299 лит-
ра = 30 фунтам воды
1 чарка = 2 шкаликам =
1/100 ведра = 0,12 литра
Бутылка винная =1/16 ведра=
= 0,769 литра
Бутылка водочная = 1/20 вед-
ра = 0,615 литра
Для сыпучих тел
1 ласт= 12 четвертям =
= 2518,92 литра
1 четверть = 2 осьминам =
8 четверикам = 64 гарнцам =
= 209,90 литра
1 четверик = 8 гарнцам =
= 26,24 литра = 64 фунтам
воды
1 гарнец = 2 полугарнцам =
= 3,27 литра
В экономических расчетах
приняты были следующие
нормативы
(легальный вес)
1 четверть пшеницы = 9,5 пуда
1 четверть ржи = 6,5 пуда
1 четверть ячменя = 7,25 пуда
1 четверть овса = 5 пудам
101

Продолжение
1 куль = 8—10 четверикам
1 куль ржаной муки = 7,5 пуда
брутто или 7,25 нетто
1 куль ржи = 9 пудам брутто
1 куль ячменя = 6,5 пуда
1 куль овса = 5,5—6 пудам
ТАБЛИЦА ПЕРЕВОДА СТАРЫХ РУССКИХ МЕР В МЕТРИЧЕСКИЕ
И ОБРАТНО.
Таблица перевода линейных мер
Метры
1
0,0001
0,02540
0,30479
2,13357
0,04445
0,71119
Миллиметры
1000
1
25,3995
304,794
2133,57
44,4494
711,190
Дюймы
39,3708
0,03937
12
84
1,75
28
Футы
3,28089
0,00328
0,08333
1
7
0,14583
2,33333
Сажени
0,46870
0,00047
0,01191
0,14286
0,02083
0,03333
Вершки
22,4976
0,02250
0,57140
0,86714
48
1
16
Аршины
1,40610
0,00141
0,03571
0,42857
3
0,06250
1
Таблица перевода квадратных мер
Кв.
метры
1
0,0001
0,00065
0,09290
4,55210
0,00198
0,50579
Кв.
сантиметры
10 000
1
6,45137
92,8994
45 521,0
19,7538
5057,90
Кв. дюймы
1550,06
0,15501
144
7056
3,06250
784
Кв. футы
10,7643
0,00108
0,00694
1
49
0,02127
5,44455
Кв.
сажени
0,21968
0,00002
0,00014
0,02041
0,00043
0,11111
Кв. вершки
506,143
0,05062
0,32653
47,0195
2304
1
256
Кв.
аршины
1,97712
0,000198
0,00128
0,18367
9
0,00391
Таблица перевода кубических мер
1 куб. дюйм = 16,3861 куб. сантиметрам; 1 куб. сантиметр =
= 0,061 куб. дюймам
Куб.
метры
1
0,001
0,02832
9,71215
0,01230
0,2099
0,35971
Литры
1000
1
28,3152
9712,15
12,299
209,9
359,7
Куб.
футы
35,3166
0,03532
1
343
0,43436
7,3800
12,704
Куб.
сажени
0,10296
0,00010
0,00292
0,001266
0,02161
0,03704
Ведра
81,3078
0,08131
2,30226
289,674
17,0667
29,2470
Четверти
4,76420
0,00476
0,13590
46,2700
0,05859
1
1,71370
Куб.
аршины
2,78002
0,00278
0,07872
27
0,03419
0,58353
Поземельная мера — 1 деся-
тина =» 2400 кв. саженям =
=* 10925,00 кв. метра
102

Таблица перевода весов
Килограммы
1
1000
0,40951
16,3804
Метрические
тонны
0,001
0,00041
0,01638
Фунты (русск.) 1
2,44193
2441,93
1
40
Пуды
0,06105
61,0475
0,02500
1 Следует иметь в виду, что, помимо официального фунта (96 золот«
ников), в торговом обороте встречались: ревельский фунт, рижский, курлянд-
ский и финляндский (больше обычного русского фунта), польский, грод-
ненский и аптекарский (меньше русского фунта).
ГЛАВНЫЕ АНГЛИЙСКИЕ МЕРЫ
Стерлинговые деньги 1
1 гинея = 21 шиллингам
1 фунт стерлингов = 20 шил-
лингам
1 крона = 5 шиллингам
1 полукрона = 2 шиллингам
6 пенсам
1 флорин = 2 шиллингам
1 шиллинг (s) = 12 пенсам =
= 2 сикспенсам
1 пенс (d) = 4 фартингам
(пенни)
Тройский вес
1 фунт (lb) = 12 унциям
1 унция (oz) = 20 пеннивей-
там
1 пеннивейт (dwt) = 1,552
грамма = 24 гранам
Коммерческий (авуардюпуа)
вес
(для всех товаров, кроме
благородных металлов и
драгоценных камней)
1 тонна («длинная») = 20 англ.
центнерам
1 центнер (cwt) = 4 кварте-
рам = 50,802 килограмма
Меры для тканей
1 ярд = 4 квартерам
1 квартер = 4 гвоздям
1 гвоздь = 2,25 дюйма
Меры для сена и соломы
1 воз = 36 связкам (truss)
1 связка = 60 фунтам свежего
сена = 56 фунтам старого =
= 36 фунтам соломы
Меры объема
1 куб. перч (perch) = 12,75 куб.
футам (для кирпичной клад-
ки) = 24,75 куб. футам (для
других строительных работ).
1 куб. фут = 1728 куб. дюймам
1 куб. ярд = 27 куб. футам
1 регистровая (судовая) тон-
на = 100 куб. футам
Мера площади
1 акр = 4 руудам (rood)
1 рууд = 40 кв. саженям
(pole)
1 кв. сажень = 30,25 кв. ярдам
1 кв. ярд = 9 кв. футам
1 кв. фут =144 кв. дюймам
1 Таблицу перейода английских шиллингов и пенсов в десятичную си-
стему см. на стр. 117,
103

Продолжение
1 квартер (qr) = 28 фунтам =
= 12,700 килограмма
1 фунт (lb) = 16 унциям =
= 0,4536 килограмма
1 унция (oz) = 16 драхмам
1 драхма (dr) = 27,3 грана
1 стон (st) = 6,35 килограм-
ма = 14 фунтам
1 цента л = 100 фунтам
Аптекарский вес
(для благородных металлов)
и драгоценностей)
1 фунт (lb) = 12 унциям
1 унция (oz) = 8 драхмам
1 драхма (dr) = 3 скрупулам
1 скрупула (scr) = 20 гранам
Меры длины
1 миля = 8 фурлонгам или
1760 ярдам = 1609,32 метра
1 фурлонг (fur) = 201 метру =
=40 саженям (pole)=\0 чей-
нам
1 сажень (pi) = 5,5 ярда
1 ярд (yd) = 3 футам
1 фут (ft) = 12 дюймам
1 дюйм (in) = 12 линиям
Пшеница 750
Кукуруза 720
Рожь „. . 700
Овес 430
Сено (солома) 100
Мера емкости
(для сыпучих и жидких
тел)
1 чолдрон (chaldron) = 12 меш-
кам = 2880 фунтам воды
1 мешок = 3 бушелям
1 бушель = 8 галлонам
1 квартер = 8 бушелям
1 бушель = 4 пекам
1 пек = 2 галлонам
1 галлон = 4 квартам
1 кварта = 2 пинтам
1 пинта = 4 кружкам (джил-
лям)
Коэффициенты для перевода
сельскохозяйственных
f продуктов
1 баррель муки = 4,5—4,7 бу-
шеля пшеницы
Коэффициент перевода неочи-
щенного риса в очищенный —
—0,64
1 кипа хлопка = 478 англ.
фунтам нетто = 216,8 кило-
грамма
Вес объема воды
(при температуре 4°С)
1 куб. фут воды = 2,302 вед-
ра, весит = 69,143 фунта =
1,7286 пуда = 28,314 кило-
грамма
Л куб. сажень воды=789,6 вед-
ра, весит 592,9 пуда =
= 23715,2 фунтов = 9711,6 ки-
лограмма
1 ведро воды = 0,4345 куб.
фута, весит 30,034 фунта =
= 12,299 килограмма
Дрова сухие
Дуб ......... 436
Береза .390
Сосна .352
Осина , , 275
Принятый для расчетов средний вес одного кубического
метра (в кг)
104

Перевод неметрических мер в метрические
и обратно
Если указано
акры
п
баррели л
бушели (амер.)
бушели (англ.) на акр
бушели (англ.)
вершки
гектары
граммы
•
»
я
»
»
галлоны (англ.)
галлоны
гектолитры на гектар
граны (комм.)
десятины
джилли (1/4 пинты)
дюймы (англ.)
золотники
кв. футы
кв. дюймы
кв. ярды
кв. метры
п п
» я
» »
» »
кв. мили
кв. сантиметры
кварты (амер.) жидк.
кварты (англ.)
квартеры (англ.)
килограммы
N
„
п
»
п
»
километры
»■
то для того, чтобы получить
кв. метры
гектары
куб. метры
литры
гектолитры на гектар
литры
миллиметры
акры
драхмы
граны (комм.)
унции (комм.)
унции (тройские)
фунты (англ. комм.)
1 фунты (тройские)
литры
литры
английские бушели на акр
граммы
гектары
литры
миллиметры
граммы
кв. метры
кв. сантиметры
кв! метры
акры
кв. футы
кв. сажени
кв. д*юймы
кв. ярды
кв. километры
кв. дюймы
литры
я
1»
центнеры (англ.)
„длинные" тонны
„короткие" тонны
унции (комм.)
унции (тройские)
фунты (комм.)
фунты (тройские)
мили (англ.)
мили (морские)
J
надо умножить на
4046,87
1 0,4047
I 0,15876
35,238
0,898
36,37
44,45
2,471
0,5645
15,4324
0,035274
0,03215
| 0,00220
0,002679
4,5434
3,7853
1,113
0,064899
1,0925
0,142
25,400
4,2656
0,092903
6,4514
0,83613
0,0002471
10,7639
0,2197
1550,06
1,19599
2,59
0,1550
0,9463
1,136
290,9
0,01968
0,00098
0,0011
35,274
32,151
2,2046
2,67923
0,62137
0,5399
105

Продолжение
Если указано
куб. дюймы
куб. метры
0 0
» ш
я я
я Я
я я
0 я
куб. сажени
куб. сантиметры
куб. футы
куб. ярды
литры
я
»
>
я
я
я
0
0
я
0
•
•
-0
я
метры
0
я
мили (англ.)
мили (морские)
миллиметры
пеки (амер.)
пинты (англ.)
пинты (амер.)
сантиметры
стоны (англ.)
тонны (метр.)
П 0
тонны , длинные"
тонны „короткие", или
янетто-тонныв (амер.)
тонна регистровая
(судовая)
то для того, чтобы получить
куб. сантиметры
баррели
куб. футы
куб. ярды
галлоны (англ.)
галлоны (амер.)
пинты (амер.)
регистровые тонны
куб. метры
куб. дюймы
куб. метры
Я Я
бушели (амер.)
бушели (англ.)
куб. дюймы
куб. метры
куб. футы
ведра
галлоны (англ.)
галлоны (амер.)
гарнцы
пинты (англ.)
пеки (амер.)
пинты (амер.) жидкие
пинты (амер.) сухие
квартеры (англ.)
кварты (амер.) жидкие
футы
дюймы
ярды
километры
я
ДЮЙМЫ
литры
' о
я
ДЮЙМЫ
килограммы
тонны „длинные"
тонны „короткие"
килограммы
я
куб. метры
надо умножить на
16,3861
6,299
35,3166
1,3079
220,10
264,18
2113,4
0,353
9,7124
0,061
0,0283
0,7646
0,0283
0,0275
61,0232
0,001
0,035315
0,0813
0,2201
0,26417
0,3049
1,7621
0,1135
2,1134
1,8162
0,0034
1,0567
3,2809
39,37
1,0936
1,6093
1,85325
(т. е. Г мери-
диана)
0,03937
9,092
0,5675
0,4732
0,3937
6,35
0,98421
1,10231
1016,0465
907,1853
2,832
106

Продолжение
Если указано
унция (комм.)
унция (тройская)
фунт (англ. комм.)
фунт (тройский)
фут
Фаренгейт (°)
Цельсий (°)
центнер (англ.)
ярд
то для того, чтобы получить
граммы
II
я
»
сантиметры
Цельсий (°)
Фаренгейт (°)
килограммы
метры
надо умножить на
28,3495
31,1042
453,6
373,24
30,48
(F—32)Х0,5555
(°СХ1,80) + 32
50,8
0,91438
Американские меры
для жидкостей
1 жидкая кварта = 1/4 галлона = 57,57 куб. дюйма,
1 жидкая пинта = -тг- галлона = -?р кварты,
1 джилль = оо~ галлона = 7,19625 куб. дюйма,
1 1
1 жидкая унция = j-gg галлона = jg- пинты,
1 1
1 жидкий драм = ~§~ унции = ут^ пинты,
1 1
1 миним == gg- драма = ^gg унции,
1 феркин = 9 галлонов.
для сыпучих тел
1
1 пек = -j- бушеля = 537,605 куб. дюйма,
1 сухая кварта =о2~ бушеля = -яг- пека = 67,2006 куб. дюйма,
1 1
1 сухая пинта = gj- бушеля == -я- кварты,
1 баррель (для фруктов, овощей и пр.) = 105 сухих кварт —
= 7056 куб. дюймов.
Официальный перевод*
1 литр состоит из 1,000027 куб. дециметров, или 61,025 куб. дюймов,
т. е. 0,264178 галлонов «= 2,11342 жидкой пинты.
1 галлон считается эквивалентным 231 куб. дюйму.
1 бушель приравнивается к 2150,42 куб. дюйма.
107

о
оо
Приведение к километру европейских национальных единиц для исчисления
длины пути
« се
я *
И СХ.Я
< us
tort
5 *> х
art2
3-. t- о
Is
Английская гражданская миля . .
Английская географическая миля
Километр
Немецкая географическая миля
Австрийская миля .
Голландский ур . .
Норвежская миля
Шведская миля
Датская миля . .
Швейцарский штунд ......
1,000
1,153
0,621
4,610
4,714
3,458
7,021
6,644
4,682
2,987
0,868
1,000
0,540
4,000
4,089
3,000
6,091
5,764
4,062
2,592
1,609
1,855
1,000
7,420
7,586
5,565
11,299
10,692
7,536
4,808
0,217
0,250
0,135
1,000
1,022
0,750
1,523
1,441
1,016
0,648
0,212
0,245
0,132
0,978
1,000
0,734
1,489
1,409
0,994
0,634
0,289
0,333
0,180
1,333
1,363
1,000
2,035
1,921
1,354
0,684
0,142
0,164
0,088
0,657
0,672
0,493
1,000
0,948
0,667
0,425
0,151
0,169
0,094
0,694
0,710
0,520
1,057
1,000
0 705
0,449
0,213
0,246
0,133
0,985
1,006
0,738
1,499
1,419
1,000
0,638

Иностранная мера длины, применявшаяся в России
в XVIII веке —локоть (он же эль)
Парижский = 118,8 сантиметра.
Амстердамский = 69,1 сантиметра.
Страсбургский = 51,1 сантиметра.
Разные встречающиеся на практике иностранные
и международные меры
Агат (амер.) — 1/4 дюйма. Служит полиграфической мерой.
Астрономическая единица — 93003 000 мили — среднее расстояние
от Земли до Солнца. Применяется в астрономии.
Баррель (Ш): для жидкостей —31,5 галлона, или 7326,5 куб. дюй-
мов; для сухих товаров (за исключением клюквы) — 105 сухих
кварт, или 7056 куб. дюймов; для клюквы — 5826 куб. дюймов.
Бордфуты (амер,) — 144 куб. дюйма (12X12X1 дюйм) —для бревен.
Большой гросс— 12 гроссов, или 1728 шт.
Гросс — 12 дюжин, или 144 шт.
Ель (англ.), или 1/32 пояса. Применяется как портновская мера.
Кипа — товарная мера для разных объемистых грузов. В США при-
близительный вес кипы (bale) хлопка составляет 500 фунтов.
В других странах вес кипы иной.
Квайр (амер.)—мера бумаги. Иногда — 24 страницы, чаще — 25;
20 квайров составляют рим.
Кабель — около 100 амер. сажен, или 600 футов. Применяется для
измерения длины кабелей.
Лига — неопределенная мера длины, в странах английского языка
обычно считается за 3 мили.
Локоть—18 дюймов, или 45,72 см. Выводится из расстояний от
локтя до кончика среднего пальца.
Лошадиная сила (HP) — сила, необходимая для поднятия тяжести
в 33 000 фунтов на высоту в 1 фут в одну минуту (около \xk силы
средней лошади). При переводе в киловатты принимают коэффи-
циент 0,76.
Магнум — большая винная бутылка в две кварты (0,5 англ. гал-
лона).
Миль — 0,001 дюйма. Служит для измерения диаметра проволоки.
Морская миля равна I', или 1/21600 большого земного меридиана.
Эта длина в разных странах различна. В Англии она считается
равной 6080,2 фута, или 1853,25 му в США—6080,2 фута, или
1853,245 м. Многие страны приняли международную меру 1852 м.
Пайп — см. хогсхэд.
Парсек — термин, комбинирующий два слова:, «параллакс» и «се-
кунда». Эта мера равна приблизительно 3,26 световых лет.
Пика—1/6 дюйма, или 12 пунктов. Служит в типографском деле.
Пункт— 0,013837 (около 1/72) дюйма, или 1/12 пики.
Рим — см. квайр.
Рука — 4 дюйма, или 10,16 ам. Выводится из длины кисти. Приме-
няется в США для измерения высоты лошади у загривка..
109

Сажень (амер.) — б футов, или 1,8288 м. Выводится из размаха
руки. Применяется для измерения веревок и глубины воды.
Световой год — 5880 млн миль; расстояние, которое пробегает свет
в один год со скоростью 186 272 мили в секунду. (Если одна
астрономическая единица будет представлена как один дюйм, то
световой год будет представлен приблизительно одной милей.)
Служит для измерения космических пространств.
Тан — 252 галлона, но часто несколько больше. Применяется в тор-
говле вином.
Узел — измеритель скорости движения морских судов. Это не рас-
стояние, а норма скорости (число морских миль в час).
Фрахтовая тонна — 40 куб. футов товара. Служит для расчетов
при погрузке.
Хогсхед (hhd) — мера жидкостей: 2 жидких барреля, или
14,653 куб. дюймов. 2 хогсхэда составляют пайп.
Цепь (ch) — равна 66 футам, или Vio длины фур лонга. Делится на
100 частей под названием «звенья». Одна миля равна 80 цепям.
Применяется в США в землеустройстве.
Перевод индийских мер
1 миля = 1,6093 километра.
1 акр = 0,4047 гектара. ~~
1 тола= 11,66368 англ. грана.
1 чхатак (chhatak) = 5 толам = 2,0571 унции = 933,0944 грамма.
1 моунд {maund) = 40 сирам (seer) = 82,2858 фунта = 0,0373238 мет-
рической тонны,
Старинные русские денежные единицы
Золотые монеты
Империал = 10 руб. (в XIX ве-
ке = 15 руб.).
Полуимпериал = 5 руб.
Андреевский, или просто рос-
сийский, червонец = 2 руб.
Двурублевики = 2 руб.
Серебряная монета
Рубль = 100 коп. (с XIV века).
Полтина = 50 коп.
Четверть = 25 коп.
Двадцатикопеечник = 20 коп.
Пятнадцатикопеечник = 15 коп.
Гривна = 10 коп.
Пятикопеечник = 5 коп.
Алтын = 3 коп.
Ливландская цельная = 96 коп.
Ливландская полтина =р 48 коп.
Ливландская четверть=24 коп.
Четырехкопеечник = 4 коп.
Двухкопеечник = 2 коп.
Медная монета
Гривна (барнаульская) = 10 коп.
Пятак = 5 коп.
Грош1 — 2 коп.
Копейка = 1 коп. (с конца
XVII века).
Денежка = 1/2 коп.
Полушка = 1/4 коп.
1 В просторечии грошом неправильно, называли 1/2 копейки (т. е. «де-
нежку» ).
ПО

+
04
Температурные шкалы
5S
О)
со
§ о
о |ю
II
&*
Л О
а 1
8 II
^ с*
DS у
5юм<
5 II
98,4
J2
212
104
95
86
77
68
59
50
41
23.
14
5
—4
80
32
29,5
28
24
20
16
12
8
4
0_
—4
—8
—12
—16
100
40
35
30
25
20
15
10
5
—5
—10
—15
—20
Точка кипения воды
36,9 Нормальная температура
—— крови
Очень жаркий летний
день
Теплый день
Мягкий зимний день
0 Точка таяния льда
Заморозки
Сильный мороз
Меры времени
60 секунд = 1 минуте.
60 минут = 1 часу.
24 часа = 1 суткам.
7 суток = 1 неделе.
29 суток, 12 часов, 44 минуты, 2,78 секунды (с колебаниями до
13 часов, связанными с эксцентричностью орбиты) = 1 лунному
месяцу.
28! 29, 30 или 31 день = 1 календарному месяцу.
30 дней = 1 месяцу (при расчете по сложным процентам).
365 дней, 5 часов, 48 минут и 46 секунд = 1 солнечному году.:
366 дней = 1 високосному году.
111

ПРОЦЕНТНЫЕ НАКИДКИ
Если нужно накинуть
процент от продажной
цены
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
15
16
17
18
19
20
30 .
40
50 |
на сколько процентов
возрастает цена
1,0101
2,0408
3,0928
4,1667
5,2632
6,383
7,5269
8,6957
9,8901
11,1111
17,647
19,0476
20,4819
21,9512
23,4568 ч
25,0000
42,8571
66,6667
100,0000
Этот расчет вытекает из следующего: Ь — цена после накидки;
Р Р
щр — накидка; Ь —100^ — первоначальная цена; процент возраста-
накидка
ния* первоначальная цена "
Таблицы сложных процентов. Значения (i + -£-
-^^^РЯ
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
И
12
13
14
15
1%
1,010000
1,020100
1,030301
1,040604
1,051010
1,061520
1,072135
1,082857
1,093685
1,104622
1,115668
1,126825
1,138093
1,149474
1,160967
lViX
1,015000
1,030225
1,045678
1,061364
1,077284
1,093443
1,109845
1,126493
1,143390
1,160541
1,177949
1,195618
1,213552
1,231756
1,250232
2%
1,020000
1,040400
1,061208
1,082432
1,104080
1,126162
1,148686
1,171659
1,195093
1,218994
1,243374
1,268242
1,293607
1,319479
1,345868
I
3%
1,030000
1,060900
1,092727
1,125509
1,159274
1,194052
1,229874
1,266770
1,304773
1,343916
1,384234
1,425761
1,468534
1,512590
1,557967
4%
1,040000
1,081600
1,124864
1,169859
1,216653
1,265319
1,315932
1,368569
1,423312
1,480244
1,539454
.1,601032
1,665074
1,731676
1,800944
112

РИМСКИЙ СЧЕТ
Римские обозначения цифр и чисел через алфавит в настоящее
время встречаются при нумерации или для обозначения подразде-
лений.
Система чтения римского счета покоится на трех принципах:
1. Буква, повторяемая дважды или трижды, удваивает или
утраивает свое значение (XXX = 30, СС = 200 и т. д.).
2. Одна или более букв, помещенных после другой буквы боль-
шего значения, увеличивает значение этой буквы на величину более
мелкой (VI = 6, LXX = 70, МСС = 1200 и т. д.).
3. Буква, помещенная перед другой буквой, имеющей большее
значение, уменьшает это значение на величину более мелкую (IV =4,
XL = 40, ХС = 90, СМ = 900 и т. д.).
Буква
И
II
III
IV
V
VI
VII
VIII
IX
X
XX
XXX
XL
L
Значение
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
20
30
40
50
Буква
LX
ILXX
LXXX
' ХС
С
D
м
V
X
L
С
D
М
Значение
60
70
80
90
100
500
1000
5000
10000
50000
100000
500000
1000000
ТАБЛИЦА ДЛЯ РАСЧЕТА ЧИСЛА ДНЕЙ МЕЖДУ ДАТАМИ
Таблицей (см. стр. 114—115) надо пользоваться следующим об-
разом (пример):
1. Установить, сколько дней истекает с начала года до 25 сен-
тября. В колонке «Число месяца» найти 25 и по этой строчке дойти
до сентября. Здесь находим 268 — число истекающих дней.
2. Установить число дней между 12 февраля и 19 октября.
Находим в этой же колонке «Число месяца» 19. Следуя по этой
строчке до октября, находим 292. Это число дней, истекших с 1 ян-
варя по 19 октября. Далее для даты 12 февраля находим 43—число
дней, истекших с 1 января до 12 февраля. Вычитая из 292 число 43,
получаем 249 — число дней между назначенными датами.
3. Установить число дней между 23 июля и 17 апреля следую-
щего года. Для даты 23 июля находим 161 —число дней, остающихся
до конца года. Далее для даты 17 апреля находим 107 — число дней
между этой датой и 1 января. Складывая оба числа 161 4- 107 =
= 268, находим число дней между назначенными датами 23 июля
и 17 апреля следующего года.
ИЗ

Таблица для расчета числа дней между датами
(для високосного года не применима)
Число
месяца
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
12
13
14
15
Январь
1364
2363
1 3 362
4361
1 5360
6 359
7 358
8 357
9 356
10 355
11354
12 353
13 352
14 351
15 350
Февраль
32333
33332
34331
35330
36329
37 328
38 327
39 326
40325
41324
42 323
43 322
44 321
45 320
46 319
Март
60305
61304
62303
63 302
64301
65 300
66299
67 298
68 297
69 296
70 295
71294
72 293
73 292
74 291
Апрель
91274
92273
93272
94 271
95 270
96269
97 268
98 267
99 266
100 265
102 264
102 263
103 262
104 261
105 260
Май
121244
122243
123 242
124241
125 240
126 239
127 238
128 237
129 236
130 235
131 234
132233
133 232
134 231
135 230
Июнь
152213
153 212
154 211
155 210
156 209
157 208
158 207
159 206
160 205
161 204
162 203
163 202
164 201
165200
, 166 199
Июль
182 183
183 182
184 181
185 180
186 179
187 178
188 177
189 176
190 175
191 174
192 173
193172
194 171
195 170
196 169
Август
213 152
214151
215 150
216 149
217 148
218 147
219 146
220 145
221144
222 143
223 142
224 141
225 140
226 139
, 227 138
Сентябрь
244121
245 120
246119
247118
248117
249116
250115
251 114
252113
253112
254111
255110
256 109
257 108
■ 258 107
Октябрь
274 91
275 90
276 89
277 88
278 87
.279 86
280 85
28184
282 83
283 82
284 81
285 80
28679
287 78
■ 28877
Ноябрь
305 60
306 59
307 58
308 571
309 56
310 55
31154
312 53
313 52
314 51
31550
316 49
31748
318 47
319 46
Декабрь
335 30
33629
337 28
338 27
339 26
340 25
34124
342 23
343 22
344 21
345 20
346 19
347 18
348 17
34916
Число
месяца
1
2
3
4
5
6
7
8
9 .
10
11
12
13
14
15

16
17
18 1
19 |
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
16 349
17 348
18 347
19346 |
20345
21344
22343
23342
24341
25 340
26339
27338
28 337
29 336
30335
31334
47 318 !
48317
49 316
50 315 J
51314
52 313
53 312
54311
55310
56 309
57308
58 307
59306
t
75290 1
76 289
77 288
78 287
79 286
80285
81 284 j
82283 j
83282
84281
85 280
86279
87278
88 277
89276
90 275
106 259
107 258
108 257
109256
110255
111254
112 253
113 252
114251
115 250
116249
117248
118 247
119 246
120245
136229]
137 228
138 227
139 2261
140 225
141 224
142 223
143 222!
144221
145220
146 219
147 218
148 217
149 216
150215
151 214
167 198
168 197
169 196
170 195 1
171 194
172193
173192
174 191
175 190
176 189
177 188
178 187
179 186
180 185
181184
197 168 1
198 167
199 166
200165 i
201164
202 163
203 162
2041611
205 1601
206159
207 158
208 157
209 156
210155
211154
[212153
2284 37
229 136
230135
231134
232 133
233 132
234 131
235130
236129
237 128
238127
239 126
240 125
241124
242 123
243 122
259 106
260 105
261 104
262 103
263 102
264 101
265 100
266 99
267 98
268 97
26996
270 95
271 94
272 93
273 92
28976
29075
291 74
29273
293 72
29471
29570
296 69
29768
29867
29966
30065
30164
302 63
303 62
30461
32045
32144
32243
32342
32441
32540
32639
327 38
32837
329 36
33035
33134
33233
333 32
33431
35015
351 14
352 13
35312
35411
35510
356 9
357 8
358 7
359 6
360 5
361 4
362 3
363 2
364 1
365 0
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31

МНОЖИТЕЛЬНАЯ ПИРАМИДА
Множительная пирамида дает произведения, служит таблицей
умножения, продленной до чисел 25X25.
Расположенные слева подчеркнутые числа служат множимыми,
расположенные рядом в верхнем ряду строчки — множители. Произ-
ведения поставлены тут же, в нижнем ряду строчки.
Пример: 18 X 17 = 306.
Каждая таблица умножения может, конечно, служить и для
деления. В этом случае чтение ее должно быть в обратном порядке:
чтобы узнать, сколько раз в данном числе содержится подчеркнутое
число, следует найти данное число в нижнем ряду и прочесть то,
что расположено над ним.
/
а
з *з
6 9
а 2 3 4
~ 8 12 16
5 г 3 U 5
- 10 15 20 25
с 2 3 4 5 6
- 12 18 24 30 36
7 1~1 4 5 6 7
- 14 21 28 35 12 49
с 2 3 4 5 6 7 8
g 16 24 32 40 48 56 64
О 23456789
~ 18 27 36 45 54 63 72 81 .
/л 2 3 4 5 6 7 8 9 Ю
~ 20 30 40 50 60 70 80 90 100
ff 2 3 4 5 6 7 8 9 /0 11
*~ 22 33.44 55 66 77 88 99 110 121
12 9 3 4 5 6 7 8 9 10 11 171
** % 36 .48 60 72 84 96 108 120 132 144
^I'l^.y,^,,,^^ ^ №
и 26 39 52 65 78 91 104 117 130 143 .156 169
Л.Ч 'Г <'5 ё '7"'Г19' Id 11 12 13 1$
/ц 28 42 56 70 84 98 112 126 140 154 168 182 196
и > J 1st t 4' f id tl i2 /S )i is'
u 30 45 SO 75 90 105 120135 150 16$ 180 195 210 225
iS } t IS / f &itdtri2'iyU if fl
ш 32 48 61 80 96 112 128 14k 160 176 192 208 224 240 256
/7 2 3 U $ l> 7 "4 § 1д if IS ti U""l5 16 if
u 34 51 68 85 102 119 136 153 170 187 204 221 231 255 272 289
jg i 3 4 5 t У 8 9 ib'it \2 13 U ts 16 11 id'
ш 36 54 72 90 108 126 144 162 180 198 216-234 252 270 288 ЗОВ324
/о ?~1 4 5 6 7 8 9- 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
- 38 57 76 95 114 133 152 171 190 209 228 247 266 285 304 323 342 361
2п 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
— 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360380 400
9f 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ft 12 13 14. 15 16 17 18 19 20 21
— 42 63 84 105 126 147 J6B 189 210 231 252 273 294 315 336 357 378 399 420 441
22 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22
'— 4U 66 88 110 132 154 176 198 220 242 264 286 308 330 352 374 396418 440 462 484
2Я 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23
g 46 69 92 115 138 161 184 207 230 253 276 299 322 345 368 391 414 437 460 483 506 529
2л 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15. 16 17 18 19 20 21 22 23 24
~ 48 72 36 120 144 168 192 216 240 264 288 312 336 360 384 408 432 456 480 504528 552 576
ГГТП 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
SO 75 100 125 150 175 200 225250 275 300 325 350 375 400 425 450 475 500 525550 575 600 625 „
116

ПЕРЕВОД АНГЛИЙСКИХ ШИЛЛИНГОВ И ПЕНСОВ В ДЕСЯТИЧНУЮ СИСТЕМУ
(доли фунта)
Пенсы
0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
0,30
0,35
0,40
0,45
0,50
0,55
0,60
0,65
0,70
0,75
0,80
0,85
0,90
0,95
-0,00417
0,05417
0,10417
0,15417
0,20417
0,25417
0,30417
0,35417
0,40417
0,45417
0,50417
0,55417
0,60417|
0,65417
0,70417
0,75417
0,80417;
0,85417
0,90417
0,95417
00833
05833
10833
15833
20833
25833
30833
35833
40833
45833
50833
55833
60833
65833
70833
75833
80833
85833
90833
95833
0,01250
0,06250
0,11250
0,16250
0,21250
0,26250
0,31250
0,36250
0,41250
0,46250
0,51250
0,56250
0,61250
0,66250
0,71250
0,76250
0,81250
0,86250
0,91250
0,96250
0,01667
0,06667
0,11667
0,16667
0,21667
0,26667
0,31667
0,36667
0,41667
0,46667
0,51667
0,56667
0,61667
0,66667
0,71667
0,76667
0,81667
0,86667
0,91667
0,96667
0,Ю2083
0,07083
0,12083
0,17083
0,22083
0,27083
0,32083
0,37083
0,42083
0,47083
0,52083
0,57033
0,62083
0,67083
0,72083
0,77083
0,82083
0,87083
0,92083
0,97083
0,02500
0,07503
0,12500
0,17500
0,22500
0,27500
0,32500
0,37500
0,42500
0,47500
0,52500
0,575Э0
0,62500
0,67500
0,72500
0,77500
0,82500
0,87500
0,92500
0,97500
0,02917
0,07917
0,12917
0,17917
0,22917
0,27917
0,32917
0,37917
0,42917
0,47917
0,52917
0,57917
0,62917
0,67917
0,72917
0,77917
0,82917
0,87917
0,92917
0,97917
0,03333
0,08333
0,13333
0,18333
0,23333
0,28333
0,33333
0,38333
0,43333
0,48333
0,53333
0,58333
0,63333
0,68333
0,73333
0,78333
0,83333
0,88333
0,93333
0,98333
0,03750
0,08750
0,13750
0,18750
0,23750
0,28750
0,33750
0,38750
0,43750
0,48750
0,53750
0,58750
0,63750
0,68750
0,73750
0,78750
0,83750
0,88750
0,93750
0,98750
ю
,04167
,09167
,14167
,19167
,24167
,29167
,34167
,39167
,44167
,49167
,54167
,59167
,64167
,69167
,74167
,79167
,84167
,89167
,94167
,99167]
Пример.
Сумма -платежа 4 фунта стерлингов 5 шиллингов 7 пенсов
Сумма платежа
4ф. 5 ш. 7 п. » ?
4-00 =4,0 ф.
0~5ш. 7 п. =0,27917 ф.
4 ф. 5 ш. 7 п. = 4,27917 ф .

СОДЕРЖАНИЕ
Введение 3
1. О математических знаках 13
2. Относительные величины 16
3. Точность расчета 38
4. Логарифмирование 63
5. Составление таблиц 69
6. Графическое изображение 78
7. Запоминание чисел 89
Приложения 95
Обозначения метрических мер 95
Международная система единиц 99
Метрология 101
Процентные накидки 112
Римский счет ИЗ
Таблица для расчета числа дней между датами 113
Множительная пирамида . 116
Перевод английских шиллингов и пенсов в десятичную
систему 117

Работа экономистов и статистиков — это ра-
бота с цифрами, с измерительными методами изу-
чения явления,
В брошюре практический работник, эконо-
мист и учащийся найдут полезные советы и вспо-
могательные справочные материалы.
В ней приведены перечень мер ^и таблицы
для их перевода. Цель автора — дать по возмож-
ности исчерпывающий материал и предельно об-
легчить и упростить перевод мер, сохранив при
этом максимально возможную точность.
Брошюрой помимо экономистов смогут вос-
пользоваться читатели, интересующиеся изучением
технико-экономических проблем.

Павел Петрович Маслов
Техника работы с цифрами
Редактор Е. А. Тимофеева
Техн. редактор А. А. Капралова
Корректор А. Т. Сидорова
Худ. редактор Т. В. Стихно
Обложка художника Э. Л4 Эрмана
Сдано в набор 26/ХП 1968 г. Подписано к печати
12/VI 1969 . г. Формат бумаги 84 X IO8V32.
Бумага № 2. Объем 3,75 печ. л. Уч.-изд. л. 6,12.
Тираж 18 000 зкз. А-07818. (Тематич. план 1969 г.
№ 12). Заказ № 1160. Цена 31 коп.
Издательство «Статистика», Москва, ул. Кирова, 39.
Типография им. Котлякова издательства
«Финансы» Комитета по печати при Совете
Министров СССР, Ленинград, Садовая, 21.