⅛S" ..
⅞umι⅜mff∣πiQħ⅛n∣Hmr⅜vm⅞^
flι⅛mnπ⅛ιι⅛
		.fli.

i
⅝B⅛1
г
II
фд. Лившиц
СЧЕТНАЯ
ЛИНЕЙКА
ЭКОНОМИСТОВ
ГОССТАТИЗДАТ
19⅛4
HH^y⅜HHbHuiHUΓħHlllflli7ΓHTr∣i!⅜ΠU!l!HΠ∣unΓHΠHlllΠlllfHTΠT!ΓlHHWHt∏{n∣ΠTlΠH,⅝mlHUHtHHH∏ia∏

Ф.Д. ЛИВШИЦ
СЧЕТНАЯ
ЛИНЕЙКА
ЭКОНОМИСТОВ
Пособие для работников статистики,
учета и планирования
ГОСУДАРСТВЕННОЕ СТАТИСТИЧЕСКОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
Москва 1954

ПРЕДИСЛОВИЕ
Предлагаемая работа предназначается широкому кругу эконо¬
мистов: статистикам, плановикам, работникам учета, калькулято¬
рам, аналитикам хозяйственной деятельности, а также учащимся
экономических техникумов и вузов.
Принято думать, что счетная линейка пригодна только при тех¬
нических вычислениях, призвана быть вычислительным орудием
только в руках инженера и техника. Между тем линейка может
найти широчайшее применение при экономических вычислениях.
Однако экономисты до сих пор мало пользуются линей¬
кой
Многие статистические вычисления и плановые расчеты произ¬
водятся особенно удобно именно на линейке — и притом быстрее,
чем на счетах, по таблицам или на вычислительных машинах. Од¬
нако экономисты часто недостаточно знакомы с огромными вычис¬
лительными возможностями линейки и поэтому недооцени¬
вают ее.
Распространено мнение, что счетная линейка недостаточно точ¬
на для экономических вычислений. Между тем для значительней¬
шей части этих вычислений степень точности ответов на линейке
практически вполне достаточна. Однако это мало известно эконо¬
мистам и потому они «не доверяют» линейке.
Всем этим и обусловлены задачи и содержание предлагаемого
пособия.
В главе I выясняются важные преимущества счетной линейки,
излагаются принципы ее устройства и выясняется степень возмож¬
ной точности вычислений на линейке. В главах II и V поясняются
принципы и описывается техника математических действий на ли¬
нейке. В главах III, IV и VI систематически излагается примене¬
ние линейки в важнейших областях экономических вычислений.
Одновременно шесть глав нашего пособия образуют три после¬
довательные части: вводную (глава I); первый кон¬
центр — экономические вычисления, требующие только четырех
арифметических действий (главы II — IV); второй кон¬
центр — более сложные экономические вычисления, для кото¬
3

рых необходимы квадратные и кубические степени и корни и лога¬
рифмы (главы V и VI).
Автор стремился избегать рецептурно-догматического изложе¬
ния приемов вычислений на линейке, добиваясь пусть несколько
более медленного овладения ими, зато более глубокого и прочного
понимания читателем каждого вычислительного шага на ли¬
нейке. Невозможно снабдить экономиста, особенно статистика, ре¬
цептами на все случаи вычислений, какие встречаются на практи¬
ке, — необходимо развить в нем понимание того, как «уложить на
линейке» то или иное, иногда довольно сложное, вычисление.
Вопрос о степени точности вычислений на линейке
сохраняется в поле зрения читателя на протяжении всего пособия.
Элементарное теоретическое изложение вопроса дано в § 4. Одна¬
ко наглядное числовое сопоставление результатов часто более убе¬
дительно, чем теоретические доводы. Поэтому наряду с прибли¬
женными ответами, получаемыми на линейке, автор в большин¬
стве случаев приводит вполне точные (там, где они возможны)
или более точные ответы, которые могли бы быть получены иным
путем — па бумаге, на конторских счетах, при помощи таблиц
или на вычислительных машинах. Автор надеется, что в результа¬
те изучения этого пособия читатель убедится в том, что степень
точности, достигаемая на линейке (разумеется, достигаемая опыт¬
ным вычислителем), практически вполне достаточна для значи¬
тельнейшего большинства экономических вычислений.
Тем самым будет устранено главное предубеждение и преодо¬
лено главное препятствие к широкому внедрению линейки в прак¬
тику экономических вычислений, — и замечательнейший
вычислительный прибор, созданный математической мыслью, по
праву станет постоянным спутником повседневной работы совет¬
ских экономистов.
Автор

ГЛАВА I
УСТРОЙСТВО ЛИНЕЙКИ
9 1. ПРЕИМУЩЕСТВА И НЕДОСТАТКИ СЧЕТНОЙ ЛИНЕЙКИ
Логарифмическая счетная линейка, называемая короче лога¬
рифмическая линейка, счетная линейка, линейка, —. полезней¬
ший вычислительный прибор, который занимает выдающееся
место среди современных средств вычисления.
Основу этого прибора составляют несколько сопряженных ло¬
гарифмических шкал — неподвижных и подвижных, — чем й объ¬
ясняется его наименование1.
Познакомимся с важными преимуществами счетной линейки и
отметим ее недостатки в сравнении с другими средствами вычисле¬
ний.
1.	Виды вычислений, возможных на линейке
При помощи счетной линейки можно производить до полу¬
тора десятка различных видов вычислений, а именно:
1)	умножение (например: 24,6 • 1,328	32,7);
2)	деление (например: 276,9 : 328,1 ≈ 0,843);
3)	возведение в квадрат (йапример: 6,522 ≈ 42,5);

4)	извлечение квадратного корня (например: у/ 762, 1≈=⅛j 27,6);
5)	возведение в куб (например: 1,2733 s≈⅛≠ 2,06);

6)	извлечение кубического корня (например:	у 2697,3 ≈=⅛*
13,92);
7)	вычисление обратных чисел (например: =0,001182);
8)	получение синусов (например: sin 49’12'0,757);
9)	получение тангенсов (например: tg 14’28's=⅛≈ 0,258);
10)	логарифмирование чисел (например: lg 37,41 ≈ 1,573);
11)	потенцирование, т. е. получение чисел по их логарифмам
(например: если lgN = 0,425, то N = 2,66);
1 О шкалах линейки будет подробно сказано далее, на стр. 20—21, 23—27
и др.
5

12)	решение квадратных уравнений;
13)	решение кубических уравнений,
а также некоторые другие, более специальные, вычисления.
Понятно, что при помощи линейки можно производить и ue,
лые сочетания названных вычислений. Например, если заданы
числа а, b, с, d, то можно вычислить на линейке не только одно-
члены
ab∙, cd∖ ас; аг; Ь3; V~c∖ Vd∖ —; —; —
d с а
и т. п., но и более сложные одночленные выражения,
как
аЬс; abcdi **- ∙	• ι∕l* - 1Z±-
cd c≈ c2⅛ с» ’ у с ’ У bd
Я Т. П.
Таким образом, линейка — почти универсальный вы-
ч и, с лительный прибор, на котором недоступны только
действия первого порядка — сложение и вычитание; в случае не¬
обходимости, эти действия производят вне линейки (см. далее
п. 4).
2.	Простота устройства и удобство пользования
Все виды вычислений на линейке предельно механизи¬
рованы. Линейка освобождает вычислителя от счета в уме и
требует от него крайне незначительного напряжения — при уста¬
новке исходных чисел, прочтении ответа и определении места за¬
пятой в ответе. Выполнение самих действий сводится к механи¬
ческому передвижению подвижных частей линейки — ее движка
(средней, подвижной части линейки) и бегунка (аллюминиевой
рамки, свободно скрепленной с линейкой). Число таких передви¬
жений бывает крайне невелико — обычно в пределах полуде-,
сятка.
Поэтому умение вычислять на линейке (особенно умение про.
изводить на ней два главных действия — умножение и деление);
достигается быстро и легко. Хотя техника любого вычисления нг!
линейке основана на свойствах логарифмов, но эту технику может
усвоить — правда, усвоить чисто механически — любой вычисли¬
тель, даже не знакомый ни с сущностью и свойствами логариф¬
мов, ни с правилами логарифмирования. Однако существенное
преимущество вычислителя, знакомого с логарифмами, — в том,
что он работает на счетной линейке не чисто механически, а со¬
знательно.
Хотя линейка представляет собой, в сущности, миниатюрный
«счетный агрегат», пользование ею практически необычайно
Удобно.
6

Линейка обычного типа имеет небольшие размеры: длину —
около 28 см, ширину—4 см, толщину—1,2 см. Поэтому она весьма'
портативна, и вычислитель может всегда иметь ее при себе. Рабо¬
та на линейке не требует физических усилий и совершенно бес¬
шумна, чем выгодно отличается от работы на вычислительных
машинах (например, на арифмометре). В сравнении с вычисли¬
тельными машинами она очень дешева, не выбывает из строя из-
за порчи механизмов и не требует запасных частей.
3.	Быстрота вычислений
Огромное преимущество счетной линейки — необыкно¬
венная быстрота, с которой возможны вычисления на ней.
У достаточно опытного вычислителя на линейке время, затрачи¬
ваемое на умножение или деление одного числа на другое, исчис¬
ляется несколькими секундами, а такие действия, как возведение
в квадрат или в куб, извлечение квадратного или кубического
корня, отыскание логарифма числа или числа по логарифму, —
производятся почти мгновенно.
Это становится возможным (как будет подробно пояснено в
дальнейшем) благодаря удачному сопряжению отдельных шкал
линейки. Так, если на линейке навести волосок (тонкую темную
нить в бегунке), на число 2,5 шкалы Н (второй снизу—см. рис. 1),
Отложив на линейке число (2.5), мы можем одновременно прочитать его квад¬
рат (6,25), куб (15,625), мантиссу егологарифма (0,398) и обратное число (0,4).
то одновременно на расположенной выше шкале В волосок
отметит квадрат этого числа, т. е. 6,25, на крайней верхней шка¬
ле К — куб этого числа, т. е. 15,625, на крайней нижней шка¬
ле Л — мантиссу логарифма этого числа — 398 тысячных, а на
обратной шкале R — обратное число 0,4. Следовательно, одной
установкой волоска мы, в сущности, производим на линейке
7

сразу и мгновенно четыре вычисления: возведение в квадрат,
возведение в куб, получение логарифма и обратного числа. Вот
почему длительность таких вычислений на линейке, как:
17,342 • 0,563; ■ ’	; -L l'0-0.,
15.052 у 27ι59
исчисляется буквально секундами.
Понятно, что такая быстрота совершенно недостижима ни при
каком ином способе вычисления — ни на счетах, ни по таблицам,
ни с помощью вычислительных машин.
4.	Недостатки линейки
Наряду с огромными преимуществами счетной линейки, пояс¬
ненными в пп. I—3, необходимо указать на два недостатка
линейки как вычислительного прибора, суживающие возможно¬
сти ее применения.
Прежде всего, на линейке нельзя производить дей¬
ствия первого порядка — сложение и вычита¬
ние. Поэтому, если в повседневной практике вычислителя эти
действия встречаются достаточно часто, он должен всегда иметь
под рукой, кроме линейки, еще и конторские счеты. Если же, ио
самому характеру вычислений, сложение и вычитание могут
встретиться крайне редко, слагаемые и вычитаемые не особенно
многозначны, а число их в каждом действии не очень велико, —
можно, в общем ходе вычислений, производить сложение и вычи¬
тание в уме или на бумаге.
Так, при вычислении выражения
1,28	15,04 + 4,382
можно поступить следующим образом:
а)	вычислить на линейке 4,382^ 19,18;
б)	сложить в уме 15,04 ÷ 19,18 = 34,22j

в)	извлечь на линейке квадратный корень j∕" 34,22	5,85;
г)	найденный результат умножить на линейке на 1,28 и полу¬
чить искомый ответ: 5,85 • 1,28	7,49.
Гораздо более существен другой недостаток счетной линейки*
Устанавливать на ней исходные числа и прочитывать получаемые
результаты вычислений можно лишь с ограниченной сте¬
пенью точности. Как мы увидим далее (см.§3),на линейке
обычного размера (25 см) можно устанавливать лишь 3—4 пер¬
вые значащие цифры числа (3 цифры — в правой, 4 цифры — в
левой части линейки) и получать результаты только с^такой же
степенью точности. Так, например, произвести на линейке совер¬
шенно точно умножение
8

41,6 ∙ 13,42 = 558,272
или
56,43 ∙ 27,169= 1 533,14667
невозможно. При первом умножении оба сомножителя возможно
установить вполне точно — как 41,6 и 13,42, однако резульуат
можно прочитать лишь приближенно — как 558 целых единиц.
При втором умножении придется уже и самые сомножители уста¬
новить приближенно — как 56,4 и 27,2 и лишь приближенно про¬
читать результат—как 1534 целых единиц. С подобным же обсто¬
ятельством мы встречаемся и при иных вычислениях на линейке.
Вследствие этого у большинства вычислителей-экономистов
возникло мнение, что естественное предназначение линейки —
обслуживать только область технических вычислений, где вполне
допустимы приближенные расчеты, и будто она не пригодна для
планово-экономических расчетов и учетно-статистических вычи¬
слений. Такое мнение необосновано и глубоко
ошибочно. В § 4 и во всем дальнейшем изложении мы убе¬
димся, что для значительнейшей части хозяй¬
ственных вычислений, производимых экономистом, пла¬
новиком, статистиком, аналитиком, степень точности, до¬
стигаемая на линейке, практически вполне
достаточна. Мы увидим также, что есть возможность значи¬
тельно повышать степень точности линейки, — например, получать
не 3—4 надежные цифры ответа, а 4—5 таких цифр. Для этого
достаточно увеличить вдвое длину шкал обычной линейки (с 25 см
до 50 см), что и достигается применением так называемых преци¬
зионных линеек, т. е. линеек с разрезными шкалами*.
Выводы
На основании сказанного мы можем сделать следующие выво¬
ды о применении счетной линейки к экономическим вычислениям.
1.	За исключением сложения и вычитания, остальные шесть
алгебраических действий могут быть механизированы при помощи
линейки.
2.	Счетная линейка фактически заменяет целый на¬
бор вычислительных таблиц (трехзначных, а частич¬
но — и четырехзначных): таблиц умножения, деления, возведения
в квадрат и в куб, квадратных и кубических корней, таблиц обрат¬
ных чисел, логарифмов и антилогарифмов, синусов и тангенсов.
3.	Техника работы на линейке несложна, сама работа на ней
неутомительна, вычисления на ней производятся быстрее, чем при
помощи конторских счетов, вычислительных таблиц и машин.
1 Конструкция таких линеек и приемы вычисления на них (незначительно
измененные по сравнению с приемами на обычных линейках) описываются
в специальных^пособиях. — См., например: М. М. Фивейская, Логариф¬
мические линейки с разрезными шкалами. Прецизионные линейки. ОНТИ.
М.—Л 1935.
9

4.	Только по степени точности ответов линейка уступает другим
■средствам вычислений; однако и достигаемая на ней
■степень точности (3—4 цифры числа) практически
достаточна для значительнейшей части эко¬
номических вычислений.
5.	Поэтому счетную линейку можно применять в по¬
давляющем большинстве случаев экономиче¬
ских вычислений, в первую очередь:
при процентных вычислениях любого вида;
при вычислениях с пропорциональными величинами (прямая и
■обратная пропорциональность, пропорциональное деление и т. д.);
при вычислении скорости оборота средств, скидок и накидок;
при статистических вычислениях (простые и взвешенные сред¬
ние, любые относительные величины, меры вариации, базисные й
цепные индивидуальные индексы, агрегатные индексы, уровни
динамики, темпы роста и прироста, расчеты, касающиеся выбор-,
ки, и т. д.);
при плановых прикидках и расчетах (сметные расчеты, нор¬
мативы оборотных средств, индексы плановых заданий, индексы
выполнения плана, планирование средних темпов роста и приро¬
ста, плановые уровни и т. д.);
при анализе хозяйственной деятельности;
при калькуляционных вычислениях, не требующих особенно
высокой точности.
§ 2. ПРИНЦИПЫ УСТРОЙСТВА ЛИНЕЙКИ
1.	Равномерная шкала
Взяв отрезок прямой АВ длиной в 10 см (см. рис. 2), последо¬
вательно отложим от его начала А, принятого за нуль, десять
отрезков (Я — 1), (Д — 2), (Д — 3), ... (Д — 10), соответственно
равных Г см, 2 см, 3 см, ... 10 см. Эти отрезки графически
выражают, в определенном масштабе, первые десять натуральных
чисел 1, 2, 3, ... 10. В, некотором условном смысле эти же числа
выражаются и т о ч к а м и 1, 2, 3,.. .10, которыми заканчиваются
Отложенные отрезки. Так, например, можно сказать, что точка 4,
находящаяся в 4 см от начала А (от нуля), графически «выра¬
жает» число 4.
Разделим каждое из десяти сантиметровых делений
(Д — 1), (1 —2), (2 — 3), ... (9 — 10) на десять равных милли¬
метровых делений и обозначим границы этих новых мелких деле¬
ний точками. Теперь на протяжении отрезка АВ = 10 см окажутся
сто точек (не считая нулевой точки А), а от точки А (от нуля)
окажутся отложенными сто отрезков длиной в 0,1 см, 0,2 см,
0,3 см, ... 10 см. Новые отрезки и соответствующие им конечные
точки будут графически выражать сто чисел:
0,1; 0,2; 0,3; ... 9,9; 10.
40

Мысленно продолжая дробление делений отрезка АВ, мы мо¬
жем получить тысячу, десять тысяч, сто тысяч, миллион и т. д.
отрезков и столько же соответствующих им конечных точек, кото¬
рые будут графически выражать то или иное число. В пределе
мы можем представить себе бесконечное количество отрез¬
ков и тоуек, которые графически выразят бесконечное количество
всевозможных чисел, какие только могут встретиться на интервале
от 0 до 10. Обратно, для любого из этих чисел можно найти на
прямой АВ отрезок и точку, которые графически выразят данное
число.
Линию (прямую или кривую), которая вычерчена так, что
каждая ее точка и соответствующий этой точке отрезок строго
определенным образом выражают определенное число, называют
функциональной шкалой, короче шкалой. На рис. 2 изображена
простейшая из функциональных шкал — именно, прямолинейная
равномерная шкала (называемая также натуральной). Как легко
О 123456783 М
>		о	» о •	• 	е	•	•	•
/Г	в
Рис. 2.
Прямолинейная равномерная шкала.
понять, равномерной ее называют потому, что равным нараста¬
ниям чисел (например: 1,2, 3, 4, ...) в ней соответствуют равные
нарастания отрезков, графически выражающих эти числа (в на¬
шем случае: 1 см, 2 см, 3 см, 4 см, ...); иначе говоря, точки,
выражающие эти числа на шкале, равноотстоят одна от другой.
Длину отрезка, графически выражающего одну единицу чи¬
сла, называют модулем шкалы и обычно обозначают буквой Ml.
β равномерной шкале, изображенной на рис. 2, каждой единице
любого числа соответствует 1 см; следовательно, модуль этой
шкалы равен 1 см (M=d см).
2.	Графическое сложение и вычитание
Имея две тождественные (во всем совершенно одинаковые)
равномерные шкалы I и II, мы можем с их помощью произво¬
дить графически действия сложения и вычитания. Схема
этих действий показана на рис. 3.
Закрепим нижнюю шкалу I, сделав ее неподвижной; подвиж¬
ную верхнюю шкалу II будем по мере надобности передвигать
вдоль шкалы I. Графически сложить числа 2 и 5 —
значит: к отрезку прямой, выражающему число 2, присоединить
отрезок, выражающий число 5, и при помощи модуля (графиче¬
ской единицы измерения) измерить новый полученный отрезок.
1 Модуль — буквально: мера, единица измерения.
11

Все это можно очень просто и быстро выполнить при помощи на¬
ших двух шкал: установим начало 0 шкалы II против числа 2
шкалы I, тогда против второго слагаемого 5 на шкале II мы про¬
читаем на нижней шкале I искомую сумму 7. Фактически мы
произвели таким образом графическое сложение отрезка (0 — 2)
длиной 2 см на шкале I с отрезком (0 — 5) длиной 5 см на шка¬
ле II и получипи общий отрезок (0 — 7) длиной 7 см на шкале I.
#	0	1	2	3	4	(§)	6	7	8	9	10
I	1	1	J	I	ι	t	t	г	I	I
1	0	1	©	3	4	5	6	□	8	9	?о
∣	—	-J
Ри'с. 3.
Равномерные шкалы. Графическое сложение и вычитание.
2 + 5 = 7;
7 — 5 = 2.
Нетрудно сообразить, как производится графическое
вычита ние, — например, вычитание 7—5 = 2: его путь обра¬
тен пути сложения. Против уменьшаемого 7 на неподвижной шка¬
ле I .устанавливаем вычитаемое 5 на подвижной шкале II, тогда
против начала 0 этой шкалы па нижней шкале I окажется раз¬
ность 2. Фактически мы из отрезка (0 — 7) длиной 7 см на ниж¬
ней шкале I вычли отрезок (0 — 5) длиной 5 см на верхней шка¬
ле II и получили разность в виде отрезка (0—2) длиной в 2 см
на нижней шкале I.
Если бы пришлось складывать или вычитать не целые, а дроб¬
ные числа, для которых соответственные точки на наших двух
шкалах не помечены, то пришлось бы устанавливать исходные чис¬
ла (слагаемые, уменьшаемые, вычитаемые) глазомерно, «на-глаз»,
между пометками для целых чисел, и точно так же «на-
глаз» прочитывать получаемые дробные результаты (суммы, раз¬
ности) .
Упражнения. Изготовив из плотной белой бумаги две
тождественные шкалы, подобные шкалам на рис. 3 (с модулем
Д4 = 1 см), произведите с их помощью следующие вычисления:
1)	2 + 3
2)	4+2
8) 3÷1,5
4)	2,5 +6
5)	3,5 +4,5
6) 2,75+4
7)3 +5,75
8)1,75 + 4,5
9)5,5 +3,75
10)8 -3
11)9,5-6
12)7 -4,5
13)6 -2,75
14)7,5 -2,5
15)9,75—4,25
3.	Графическое умножение и деление
Естественно, возникает немаловажный вопрос: можно ли по¬
строить такие шкалы, при помощи которых были бы возможны:
графическое умножение и деление? — Такие шкалы
12

возможны, и мы попытаемся сами построить их. Однако такие
шкалы уже не будут равномерными.
Для того, чтобы при помощи двух шкал I и II можно было
производить умножение, например:
(I) (И) (I)
2-1=2
2-2=4
2-3=6
2-4=8
2 • 5= 10
и так далее,
необходимо, чтобы после установки начала подвижной шкалы II
над множимым 2, взятым на неподвижной шкале 1 (см. рис. 4),
оказалось бы следующее взаимное расположение чисел на этих
шкалах:
против
множителя
1
на
шкале
II-
-произведение
2 ι
на
шкале
I
»
»
2
>
»
»
4
»
»
>
>
3
>
>
6
»
>
>
»
»
4
»
8
>
>
>
»
5
>
>
10
»
>
»
и т. д. Такие шкалы ι
4 представлены
на рис. 4.
Рис. 4.
Неравномерные шкалы. Графическое умножение и деление.
2-1=2; 2-2 = 4; 2-4=8;
2 : I = 2; 4 : 2 = 2; 8 : 4 = 2.
Расстояния между числами (точками) 1 и 2, 2 и 4, 4 и 8 — равны.
Внимательно вглядевшись в эти тождественные шкалы, мы за¬
мечаем следующее:
а)	обе они начинаются с числа (точки) 1, а не с нуля (проду¬
майте сами, почему они не могут начинаться с нуля?);
б)	расстояния между числами (точками) 1 и 2, между 2 и 4,
между 4 и 8 — одинаковы;
в)	следовательно, обе шкалы неравномерны: действи¬
тельно, в равномерной шкале (сравн. рис. 2) число 2 не могло бы
находиться точно посредине между числами 1 и 4, число 4 — точ¬
но посредине между числами 2 и 8, и т. д.;
13

г)	построить две неравномерные шкалы для умножения на 2,
крайне легко: последовательно откладывая от начала каждой
шкалы один и тот же отрезок / (произвольной длины), помечаем
начало шкалы числом 1, а следующие точки — последовательно
удваиваемыми числами — 2, 4, 8 и т. д.
Графическое умножение на таких шкалах производится точ¬
но так же, как графическое сложение на равномерных шка¬
лах, а графическое деление — точно так же, как графическое
вычитание на равномерных шкалах. Так, для умножения 2∙4 = S
(см. рис. 4) устанавливаем начало 1 подвижной шкалы II против
множимого 2 на неподвижной шкале I, после чего под множителем
4 шкалы II читаем искомое произведение 8 на шкале I. Та же
установка шкал дает возможность произвести, но только обратным
путем, деление числа 8 (на шкале I) на число 4 (на шкале II) и
получить частное 2 (на шкале I).
На шкалах I и II рис. 4 мы проставили только по четыре числа
первого десятка — именно: 1, 2, 4 и 8. В каких же точках следует
проставить остальные шесть недостающих чисел — 3, 5, 6, 7, 9 и
10? Так как шкалы неравномерны, то число 3 не может стать точно
посредине между числами 2 и 4, числа 5, 6 и 7 не могут стать на
одинаковых расстояниях между числами 4 и 8, и т. д. В действи¬
тельности, все десять точек-чисел должны расположиться так, как
это показано в шкалах на рис. 5; однако, чтобы точно нанести их,
необходимо выяснить закон их расположения на шкале.
4.	Логарифмическая шкала
Докажем, что неравномерная шкала для умножения и деления
должна быть логарифмической шкалой.
Как известно, десятичным логарифмом данного числа назы¬
вают показатель степени, в которую надо возвести число 10, что¬
бы получить данное число.
Введем следующие обозначения, которыми будем пользоваться
в дальнейшем изложении. Будем обозначать числа прописными
буквами:
Ni∙, АГ,; А/з;,.
а их десятичные логарифмы — строчными буквами:
nr, n2', п3; ...
Таким образом,
щ = lgΛ7j; n2 = lgW2j n3 = lg7V3J . •
и обратно:
ΛΓ1 = 10n*j W2 = 10n,j Λ'3 = 10π∖. . .
Следовательно, в то время как числа Λf изменяются (например,
возрастают) в интервалах:
14

(1 — 10); (10—100); (100— 1 000) и т. д.,
их логарифмы изменяются (возрастают) в интервалах:
(0—1); (1—2); (2 — 3) и т. д.
Рис. 5.
Логарифмические шкалы.
Ig2 + lg3 = lg6, т. е. 2 • 3 = 6;
lg6 - lg3 = lg2, т. е. 6 :3 - 2.
Известно, что логарифм произведения равен
сумме логарифмов сомножителей, а логарифм
частного — разности логарифмов делимого и
де л ителя:
lgM N2 = ∖gN1 ⅛ lgΛr2 = »1 + л2;
lg^- = ⅛M- lg¾ = "ι~ п2.
Возьмем теперь две шкалы I и II (см. рис. 5) и начнем откла¬
дывать от их начальных точек, в одном и том же масштабе, не
натуральные числа
N = 1; 2; 3; ... 10,
а их десятичные логарифмы lgW, или п:
0; 0,301; 0,477; ... 1,
помечая, однако, конец каждого отложенного логарифмического
отрезка соответствующим ему числом N, т. е. 1, 2, 3, ... 10. В ре¬
зультате такой операции числа N == 1, 2, 3, ... 10 окажутся отло¬
женными на шкалах I и II не в свою натуральную величину,,
а в логарифмическом масштабе, т. е. в виде своих логарифмов п.
Шкалы, подобные I и II, являются логарифмическими шкалами:
каждая точка на такой шкале выражает определенное число,
но расстояние (отрезок) от начала шкалы 1 до этой точки N равш>
логарифму этого числа, т. е. равно lgjV = п.
Нетрудно понять, что именно при помощи логарифмических
шкал умножение и деление самихчисел /V можно
свести к графическому сложению и вычитанию
15-

■отрезков, выражающих логарифмы этих чисел,
т. е. величины п. Так, умножение чисел:
2-3 = 6
может быть сведено к графическому сложению логарифмов:
lg2 + lg3 = lg6,
которое и показано на рис. 5. Взяв на шкале I отрезок (1 — 2),
равный Ig2, графически прибавляем к нему отрезок (1 —3) шка¬
лы II, равный Ig3j сумма этих отрезков может быть прочитана на
шкале I как отрезок (1 —6), т. е. как lg6. За графическим
сложением логарифмических отрезков Ig2 +
+ Ig3 = lg6 скрывается фактическое умножение
самих чисел, т. е. 2 • 3 = 6. Самое правило такого умноже¬
ния на логарифмических шкалах может быть практически выра¬
жено так: к числу 2 (множимому) на шкале I подводим начало
шкалы II и против числа 3 (множителя) на шкале II читаем на
шкале I произведение — число 6.
Теперь нетрудно понять и ход обратного действия — деления —
на логарифмических шкалах, например, деления 6:3 = 2 (см.
рис. 5). К делимому 6, взятому на шкале I, подводим делитель 3,
\5	2> ЗД 4$	⅛5	«5 χS 43 W
I	1	1	1	1—I—I I I г 4-i..4-J-IJLμ-I
1	2	Э 4	5 Б 7	• в 10
Рис. 6.
Логарифмическая шкала с делениями по 0,5.
взятый на шкале И, и против начала этой шкалы читаем на шка¬
ле I частное 2. Деление самих чисел 6:3 = 2 оказа¬
лось сведенным к графическому вычитанию
логарифмических отрезков:
lg6 — ⅛3 = lg2.
5.	Особенности логарифмической шкалы
По сравнению с равномерной (натуральной) шкалой, логариф¬
мическая шкала обладает рядом существенных особенностей.
1.	Деления равномерной шкалы одинаковы по своей длине
(см. рис. 7,а). Деления логарифмической шкалы неодинаковы
(см. рис. 7,6) и при этом становятся все меньше по мере отдале¬
ния от начала шкалы вправо (см. рис. 7, б и в). Эта особенность
логарифмической шкалы непосредственно вытекает из неравно¬
мерного, постепенно замедляющегося, нарастания логарифмов по¬
следовательных чисел 1, 2, 3 ... 10, 11, 12 ...
16

2.	Модуль шкалы, как мы уже знаем, есть длина отрезка, вы¬
ражающего на шкале одну единицу. Поэтому модулем равномер¬
ной шкалы надо считать длину отрезка между любыми двумя
точками, выражающими два последовательных натуральных чис¬
ла. Например, модуль равномерной шкалы (а) на рис. 7 равен
12,6 мм (М = 12,6 мм).
а) РаВномерная (натуральная) шкала
М-12,6мм	М-12,6 мм
∣	∣ """i	1 ,	∣	1	1	■ — ।	1	1	1
01 I 3	4	5	6	7	8	9	10
<7 Логарифмическая шкала (один период; нодуль М-126 мм)
I-			1	1	1	1	1	1—∣—∣
1	2	3	456789 10
В)	Логарифмическая шкала (два периода; модуль М-63 мм)
	М-63 мм	М-63 мн
1	* 1	1 '—I—I—∣-l",' Г’’1 1	 *	1 1—∣ ∣ ∣ ∣ I
1	2	3456789 Ю 21	30 40 50 (0 70 8090100
Рис. 7.
Модули и периоды шкал.
На логарифмической шкале отложены отрезки, выражающие
не числа, а их логарифмы: lgl = 0; lg2 ≈ 0,301; lg3 ≈ 0,477; ...
lglθ = 1. Поэтому на логарифмической шкале графическая вели¬
чина единицы измеряется расстоянием от пометки 1 (Igl = 0) до
пометки 10 (lglθ=l), иначе говоря — величиной отрезка (1 —
— 10) этой шкалы. Например, модуль шкалы (б) на рис. 7 равен
126 мм, так как отрезок (1 — 10) этой шкалы, графически выра¬
жающий величину lglθ — lgl = 1—0=1, т. е. единицу, равен
по своей длине 126 мм. Модуль шкалы (в) на том же рис. 7 ра¬
вен 63 мм; он вдвое меньше модуля шкалы (б).
3. Важной особенностью логарифмической шкалы является ее
периодичность
Отложим на прямой AD (см. рис. 8) отрезок АВ логарифмиче¬
ской шкалы с числами от 1 до 10; модуль М этой шкалы (длина
отрезка АВ) равен 63 мм. На продолжении прямой отложим
отрезок ВС, который равен отрезку AB=63 мм и деления кото¬
рого в точности повторяют деления отрезка АВ (см. рис. 8). Из
свойств логарифмов вытекает, что каждая точка на втором отрез-
2 Ф. Д. Лившиц
17

1
4 5 6 7 8 9 10
	В	К'	С
А Н-	—÷	1	1	1—I	I	I	Г к"	—п	1	1	1—I I I I I	∙D
1	2	3	4	5 6	7	8	9 1 0	20	30	40	50 60 70 80 Э01ОО
Рнс. 8
Периодичность логарифмической шкалы.
ке ВС должна выражать число, в 10 раз большее, чем соответ¬
ствующая ей точка на первом отрезке АВ. Так, точка /С1 должна
выразить число 20, которое в 10 раз больше числа 2, выражаемо¬
го точкой К на отрезке АВ; действительно, так как BKx=AK, то:
AKl = AB + BKx = АВ + АК,
или
AKl = lglθ + lg2 = lg(10.2) = lg20,
т. е. отрезок АК1 выражает логарифм числа 20.
Второй отрезок ВС шкалы с точками
10, 20, 30, ... 100
своими делениями в точности повторяет первый отрезок АВ шка¬
лы с точками
1, 2, 3, ... 10.
Поэтому участок АВ есть как бы первый «период» логарифми¬
ческой шкалы — с числами от 1 до 10, а участок ВС — ее второй
«период» — с числами от 10 до 100. Нетрудно понять, что отло¬
жив правее точки С третий отрезок, по длине и делениям повто¬
ряющий второй период ВС, мы получим третий период шкалы —
с числами от 100 до 1 000, и т. д. Если же отложить отрезок та¬
кой же длины и с такими же делениями влево от точки А (влево
от пометки 1), то получим период шкалы с числами от 0,1 до 1.
Упражнения. Убедитесь непосредственным измерением
(на рис. 8), что на логарифмической шкале расстояния
(2 — 20), (3 — 30), (4 — 40),... (10— 100)
равны расстоянию (1 — 10), т. е. модулю шкалы.
Уясните, что на логарифмической шкале расстояния (2 — 200),
(3 — 300),	(4—400), ... (Ю — 1000) равны расстоянию
(1 —100), т. е. удвоенному модулю шкалы.
Ответьте на общий вопрос, какие числа мы будем получать на
логарифмической шкале, если начнем откладывать вправо и вле¬
во от данного числа (например, числа 70) отрезки, равные по
длине одному, двум, трем и т. д. модулям?
В дальнейшем (в § 5) мы познакомимся еще с некоторыми за¬
мечательными свойствами логарифмической шкалы.
18

в. Конструкция линейки
Логарифмическая счетная линейка состоит из трех частей
(см. рис. 9):
а)	корпуса линейки, состоящего из двух упруго соединенных
полос;
Рис. 9.
Три составные части линейки:
а — корпус; б — движок; в — бегунок с волоском.
б)	движка — подвижной линейки, легко передвигаемой в па¬
зах корпуса линейки;
в)	бегунка (визира) — аллюминиевой рамки со стеклышком,
легко передвигаемой вдоль корпуса линейки; на стеклышко пер¬
пендикулярно к шкалам линейки нанесена тонкая темная линия —
волосок (визирная линия)1.
Размер (величина) линейки определяется длиной шкал, нане¬
сенных на линейку. На практике встречаются линейки в 12,5 см,
25 см и 50 см. Наиболее распространены линейки в 25 см, а по¬
тому они и явятся предметом всего дальнейшего изложения.
7.	Шкалы линейки
На лицевой стороне обычной линейки (25 см) мы видим шесть
шкал. На рис. 10 эти шкалы последовательно обозначены К, Bi,
B2, Н2 Я\ и Л. Шкалы Н2 и В2 нанесены на движке, остальные
четыре — на корпусе линейки. Расположенные рядом шкалы Н\ и
Н2 в точности повторяют одна другую, являются тождественными.
Тождественны одна другой также шкалы В; и В2. Из шести шкал
только шкала Л — равномерная, остальные пять — логарифмиче¬
ские.
На линейках некоторых видов имеется еще шкала R — лога¬
рифмическая шкала обратных чисел (см. рис. 10).
Шкалы H↑ и Н2 называются нижними шкалами линейки. Им
принадлежит наиболее важная роль при вычислениях на линей¬
ке; поэтому их называют также главными, или основными шкала¬
ми. Каждая из них имеет только один период, от числа 1 до
числа 10, и модуль Λf== 25 см.
1 В линейках некоторых видов имеется не один, а три параллельных во-
лоска.
2*	19

Рис. 10.
Шкалы линейки.
К — шкала кубов; В\ и В2 — верхние шкалы;
Н2 и Hι — нижние (основные) тканы; Л — шкала мантисс логарифмов;
R — шкала обратны» чисел (на линейках некоторых видов).
Шкалы Bi и В2 называют верхними шкалами. Так как они
предназначаются главным образом для вычисления квадратов чи¬
сел (и квадратных корней), то их называют также шкалами квад¬
ратов. Каждая из верхних шкал имеет по два периода: от 1
до 10 и от 10 до 100. Оба периода равны по длине и одинаковы
по нанесенным делениям; в этом можно убедиться непосредствен¬
но, если выдвинуть движок вправо так, чтобы число 1 шкалы В2
стало против числа 10 шкалы В\ (или влево так, чтобы число 100
шкалы В2 оказалось против числа 10 шкалы Bι). Модуль шкал
В\ и В2 (длина одного периода), следовательно, вдвое меньше
м
модуля шкал H↑ и Н2, т. е. равен — = 12,5 см.
Крайнее верхнее положение занимает шкала К, предназначае¬
мая для вычислений кубов чисел (и кубических корней) и назы¬
ваемая поэтому шкалой кубов. У этой шкалы три периода:
от 1 до' 10, от 10 до 100 и от 100 до 1 000; однако, ради краткости
обозначений, вместо чисел 100 и 1 000 на шкале К. проставлены
единицы (1). Все три периода шкалы К тождественны друг другу.
Модуль шкалы К (длина каждого периода) втрое меньше модуля
„„	м о 1
шкал Hχ и Н2 и равен — = о см.
□	о
Крайняя снизу шкала Л (равномерная) предназначена для на¬
хождения мантисс логарифмов и поэтому называется шкалой ман¬
тисс, или (менее точно) шкалой логарифмов. Началом этой шка¬
лы является число 0, концом — число 1 (на линейке ни начало, ни
конец шкалы Л числами не помечены). Модуль этой шкалы равен
модулю шкал H↑ н Н2 (М = 25 см).
Вертикальные штрихи разбивают каждую шкалу линейки на
деления (отрезки). Только на равномерной шкале Л эти деления
одинаковы, на остальных шкалах (логарифмических) деления по¬
степенно уменьшаются от левого конца линейки к правому. Над
20

некоторыми штрихами имеются числовые пометки. На пяти лога¬
рифмических шкалах эти пометки выражают некоторые основные
числа, логарифмы которых графически отложены на шкалах ли¬
нейки. Так, отрезок от начала шкалы Н\ до точки этой шкалы,
обозначенной штрихом с крупной пометкой 3, графически выра¬
жает величину логарифма числа 3 (lg3); отрезок от начала шкалы
В2 до точки, обозначенной штрихом с пометкой 40, графически
выражает величину логарифма числа 40 (lg40). Большинство
штрихов не снабжено числовыми пометками. Однако независимо
от этого любая точка любой логарифмической шкалы — и ука¬
занная штрихом, и между штрихами — соответствует тому или
иному числу, а отрезок шкалы от ее начала до данной точки гра¬
фически выражает логарифмы данного числа.
8.	Специальные пометки и справочные данные
Счетные линейки, выпускаемые в настоящее время и предна¬
значаемые, главным образом, для инженеров и техников, имеют
на своих шкалах некоторые специальные пометки чисел,
часто встречающихся при технических вычислениях. Большей ча¬
стью встречаются следующие специальные пометки:
π*⅛s 3,14159 (отношение длины окружности'к диаметру — на
нижних и на верхних шкалах);
М = — ≈0,3183,1 (число, обратное числу, π, — на верхних шка-
π
лах);
/4
— ≈ 1,12838 (число, облегчающее быстрое вычисле-
π
ние площади круга по диаметру и наоборот, — на нижних шка¬
лах) ;

Cι = 1 / —≈ 3,56825 (для тех же целей—на нижних шкалах).
у π
На оборотной стороне счетных линеек обычно приводятся глав¬
ные справочные данные, полезные при технических вы¬
числениях: некоторые математические и физические постоянные,
коэффициенты линейного расширения, модули упругости, удель¬
ный вес некоторых тел и др.
В приложении к нашей книжке (стр. 167—172) мы приводим
главные справочные данные, чаще всего необходимые при эко¬
номических вычислениях. Было бы полезно помещать эти дан¬
ные на обороте тех счетных линеек, которые предназначались
бы специально для нужд экономистов.
§ 3. УСТАНОВКА И ЧТЕНИЕ ЧИСЕЛ
При вычислениях на линейке важнейшее значение имеют, как
уже говорилось, нижние (главные, основные) шкалы Нι и Яг- По¬
этому ближайшие параграфы (§§ 3—9) будут посвящены именно
этим двум шкалам.
21

Опыт показывает, что большая часть ошибок при
работе на линейке происходит от неправильного чте¬
ния делений ее шкал и неправильной установки чи¬
сел. Поэтому читатель должен обратить особое внимание на воп¬
росы, излагаемые в этом параграфе.
1.	Вводные замечания
Рассмотрим следующий ряд действий умножения:
1,85 ×
2,6 =
4,81
(1),
18,5
X
2,6
=
48,1
(2),
1,85 ×
26
=
48,1
(3),
18,5
X
26
=
481
(4),
185
X
2,6
■—
481
(5),
185
X
26
-—
4 810
(6),
1 850
X
2,6
=
4 810
(7),
18 500
× 26 000
=
481 000 000
(8).
Если необходимо произвести эти действия при помощи лога¬
рифмических шкал, то для умножения (1) достаточны шкалы,
имеющие по одному периоду — от числа 1 до числа 10, для дей¬
ствий (2) и (3) уже необходимы шкалы с двумя периодами — от
1 до 100, для действий (4) и (5) — с тремя периодами, от 1 до
1 000, для действий (6) и (7) — с четырьмя, а для действия (8) —
с девятью периодами. При модуле М == 25 см такие шкалы долж¬
ны иметь длину соответственно в 25, 50, 75, 100 и даже 225 см.
Совершенно очевидно, что, если бы мастерские и стали выра¬
батывать линейки длиной в 1,2 и более метров, то вычислять при
помощи таких линеек было бы крайне неудобно и затруднитель¬
но. Однако, как мы сейчас убедимся, для любых действий
(2)—(8) в линейках такой длины нет никакой надобности, и
практически вполне достаточна линейка, имеющая только один
период от 1 до 10.
Действительно, все множимые (1) — (8) имеют по три одина¬
ковые значащие цифры 1—8—5 и отличаются только местополо¬
жением запятой; все множители (1) — (8) имеют по две одинако¬
вые значащие цифры 2—6 и отличаются только местоположе¬
нием запятой; все произведения (1) — (8) имеют по три одинако¬
вые значащие цифры 4 — 8 — / и также отличаются только место¬
положением запятой. Поэтому любое из умножений (2) — (8) мо¬
жет быть сведено к умножению (1) и соответствующей переста¬
новке запятой в произведении 4,81; для умножения же
1,85 × 2,6 = 4,81	(1)
достаточен один период логарифмической шкалы, от 1 до 10.
22

В этом же легко убедиться, основываясь на свойствах логарифмов. Лога¬
рифмы всех восьми множимых, выраженных одинаковыми значащими цифрами
1 —8 — 5, имеют одинаковые мантиссы 26717 стотысячных (при неодинаковых
характеристиках); логарифмы всех восьми множителей с цифрами 2 — 6 так¬
же имеют одинаковые мантиссы 41497 стотысячных (при неодинаковых харак¬
теристиках); поэтому логарифмы всех восьми произведений (1)— (8) также
должны иметь одинаковые мантиссы — именно, 68214 стотысячных (так как
26717 + 41497= 68214), однако с различными характеристиками. Действитель¬
но, переходя к логарифмированию действий (1)— (8), мы получаем:
(1)
,	0,26717
+ 0,41497
(2)
,	1,26717
+	0,41497
(7)
,	3,26717
+	0,41497
(8)
,	4,26717
+	4,41497
0,68214
1,68214
3,68214
8,68214
Следовательно, для любого из действий (1) — (8) достаточно произвести
умножение чисел со значащими цифрами 1 — 8 — 5 и 2 — 6 в первом периоде
шкалы, чтобы уже получить значащие цифры произведения 4 — 8— 1, соответ¬
ствующие неизменной мантиссе 68214, после чего в этом произведении остается
проставить запятую на основании характеристики логарифма данного произве¬
дения.
То же можно сказать и о делении. Любое из следующих деле¬
ний:
48,1 : 2,6= 18,5,
481 : 26 = 18,5,
4 810 : 26 = 185
и т. д. может быть сведено к делению:
4,81 :2,6= 1,85,
для которого достаточен один период (1 — 10) шкалы.
Итак, для умножения и деления любых чисел
на логарифмических шкалах практически вполне до¬
статочен только один период этих шкал, от числа 1
до числа 10. При этом:
устанавливают только значащие цифры исходных чисел (со¬
множителей, делимого, делителя), не обращая внимания на запя¬
тую и нули, стоящие слева или справа от значащих цифр;
прочитывают только значащие цифры результата (произведе¬
ния, частного);
затем определяет местоположение запятой в полученном ре¬
зультате.
2.	Разряды делений шкал Н\ и Н2
Так как местоположение запятой при установке чисел на шка¬
лах ∕∕ι и ∕∕2 не имеет значения, то будем для определенности бли¬
жайшего изложения считать, что устанавливаются целые
трехзначные числа.
Вся длина нижних, главных шкал Н\ и ∕∕2 разбита на девять
неравномерных отрезков, постепенно уменьшающихся к правому
23

концу линейки; эти отрезки отделены длинными поперечными
штрихами, со стоящими над ними крупными цифрами 1, 2, 3, 4,
5, 6, 7,8, 9, 10 (на правом конце иногда вместо 10 стоит 1). Круп¬
ные отрезки (1 — 2), (2 — 3), (3 — 4), ... (9—10) являются де¬
лениями высшего разряда. С точки зрения дальнейшего, более
дробного деления этих девяти крупных отрезков, на нижних шка¬
лах Н\ и Н2 легко различить три неодинаковых участка.
Первый участок шкал Н\ и Н2 составляет отрезок от
крупной единицы 1 до крупной двойки 2. Этот участок-отрезок
(1 — 2) состоит из 10 более мелких делений — делений среднего
разряда, которые разграничены штрихами, помеченными мелкими
цифрами 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Каждое из этих делений среднего
разряда в свою очередь разбито безымянными штрихами на де¬
сять самых мелких делений — делений низшего разряда. Первый
участок шкал Hi и Н2 со всеми его делениями изображен на
рис. 11.
Первый участок главных шкал — наиболее удобный, подроб¬
ный и отчетливый участок для вычислений. На нем четко видны
Рис. 11.
Первый участок (1 — 2) шкал Hi и Н2.
различные деления трех разрядов, соответствующие первым трем
разрядам числа. Именно, крупные цифры 1 и 2 выражают едини¬
цы высшего разряда (первый слева знак числа; в целом трехзнач¬
ном числе они выражают цифры сотен); каждое деление сред¬
него разряда, помеченное одной из мелких цифр 1, 2, 3, ... 9, вы¬
ражает единицу следующего, второго разряда числа (второй сле¬
ва знак числа; в целом трехзначном числе эти деления соответ¬
ствуют десяткам); короткие безымянные штрихи между мел¬
кими цифрами образуют деления низшего разряда, каждое из ко¬
торых соответствует единице низшего разряда числа (третий знак
числа; в целом трехзначном числе эти деления соответствуют
единицам числа); каждые пять таких делений низшего разря¬
да, для четкости, выделены более продолговатым штрихом. Чет¬
вертый знак числа можно находить или определять только на-глаз,
в пределах делений низшего разряда. Таким образом, чтобы отме¬
тить на шкалах Hi и Н2 трехзначное число. 146, надо отыскать его
по трем цифрам 1 — 4 —6, т. е. правее крупной цифры 1 (1 сот-
24

ня) взять четыре деления среднего разряда до мелкой цифры 4 (4
десятка) и далее, правее этой цифры, шесть безымянных делений
низшего разряда (6 единиц), — см. отметку («отсчет») числа 146
на рис. 11.
Второй участок шкал Н\ и Н2— отрезок от крупной
цифры 2 до крупной цифры 4; этот участок (2 — 4), со всеми его
делениями, показан на рис. 12. Каждое из двух крупных делений
высшего разряда на этом участке, т. е. делений (2 — 3) и (3 — 4),
Рис. 12.
Второй участок (2 — 4) шкал Н\ и Нг.
также содержит по десять делений среднего разряда, но каждое из
последних разбито только на пять делений низшего разряда
(«двойных» делений).
Крупные цифры 2, 3 и 4, как и крупная цифра 1 первого уча¬
стка, соответствуют цифрам высшего разряда числа (первый знак
числа); каждое безымянное деление среднего разряда в проме¬
жутках между 2, 3 и 4 (с пятью мелкими делениями внутри) вы¬
ражает одну единицу следующего, второго разряда числа (второ¬
го знака числа); каждое мелкое деление низшего разряда на
этом участке соответствует двум единицам низшего разря¬
да (третьего знака числа). Средние штрихи между цифрами 2 иЗ,
3 и 4 для удобства отсчетов удлинены и отмечают пять делений
среднего разряда (пять единиц второго знака числа). Следова¬
тельно, на этом втором участке шкал Н\ и Н2 с помощью самых
мелких делений («по штрихам») можно отмечать только чет¬
ные трехзначные числа:
200, 202, 204, 206, ... 298; 300, 302, 304, ... 396, 398, 400.
Так, чтобы получить число 328, берем вправо от крупной циф¬
ры 3 (т. е. 300) два безымянных деления среднего разряда (вме¬
сте выражающие 20) и за ними еще четыре «двойных» деле¬
ния низшего разряда (ибо 4 таких деления по 2 единицы в каж¬
дом составляют 4∙2 = 8 единиц числа); чтобы получить число
206 по его цифрам 2 — 0 — 6, берем вправо от крупной цифры 2
(т. е. 200) сразу же три мелкие «двойные» деления низшего
разряда, выражающие 3∙2 = 6 единиц числа. Установки чисел
328 и 206 показаны на рис. 12.
Третий участок шкал Н\ и Н2 — отрезок от крупной
цифры 4 до конца 10 шкал; этот участок (4 — 10), со всеми его
25

делениями, показан на рис. 13. Каждое крупное деление высшего
разряда, т. е. деления (4 — 5), (5 — 6) и т. д., и здесь содержит
по десять делений среднего разряда, но каждое из последних
расчленено только на два мелких деления низшего разряда
(«пятерные» деления).
Рис. 13.
Третий участок (4—10) шкал Н\ и Hi.
На этом участке каждая крупная цифра 4, 5, 6 и т. д. соот¬
ветствует первой цифре числа (цифра сотен), каждое деление
среднего разряда — одной единице второго разряда числа (циф¬
ра десятков), но каждое деление низшего разряда («пятерное»)
содержит пять единиц низшего разряда числа (третьего
знака). Удлиненные штрихи между крупными цифрами отмеча¬
ют, для удобства отсчетов, пятерки делений среднего разряда
(пятерки единиц второго разряда числа). Таким образом, на
этом участке с помощью наиболее мелких делений («по
штрихам») можно откладывать только числа, кратные
пяти:
405, 410, 415, ... 495; 500, 505, 510, ... 990, 995; 1 000.
Например, чтобы получить число 575 по его цифрам 5—7—5,
необходимо вправо от крупной цифры 5 (500) взять 7 делений
среднего разряда (выражающие 70) и за ними еще одно «пя¬
терное» деление низшего разряда, выражающее 5 единиц числа
(установку числа 575 см. на рис. 13).
Итак, на всем протяжении шкал Н\ и Н2 (на всех участках)
мы имеем деления трех разрядов. Если устанавливаются целые
трехзначные числа, то:
деления высшего разряда на всех участках выража¬
ют сотни единиц (первый знак числа);
деления среднего разряда на всех участках выра¬
жают десятки единиц (второй знак числа);
деления низшего разряда (отражающие третий знак
числа) содержат:
на первом участке — по 1 единице числа,
на втором участке — по 2 единицы числа,
на третьем участке — по 5 единиц числа.
26

Деления высшего разряда помечены на всем протяжении
шкал Hi и Н2 крупными цифрами 1, 2, 3, ... 10. Деления сред¬
него разряда помечены только на первом участке — мелкими
цифрами 1, 2, 3, ...9. Остальные деления среднего разряда и все
деления низшего разряда цифрами не помечены; при работе на
линейке мы находим их или читаем их показания путем непос¬
редственного отсчитывания по штрихам.
3.	Установка чисел на шкалах H↑ и Н2
«Установить» число на шкале — значит отложить от начала
шкалы отрезок, графически, пространственно выражающий это
число, или, говоря иначе, найти на шкале точку, графически, про¬
странственно отражающую это число на шкале. Чтобы получить
такой отрезок (или точку, которой он заканчивается), необходимо
«отсчитать» от начала шкалы некоторое число делений высшего,
делений среднего и делений низшего разряда. Поэтому графиче¬
ское, пространственное отражение числа на шкале в соответствии
с цифрами этого числа принято называть отсчетом числа.
Мы уже знаем, что «установить на линейке данное число» фак¬
тически означает: установить на ней значащие цифры этого числа.
Значащими цифрами числа являются девять цифр 1, 2, 3. .. .9, а также
яули, стоящие между этими цифрами. Не являются значащими цифрами
нули, стоящие впереди или позади значащих цифр числа. Следовательно,
числа
4 135; 6207; 13,52; 8,005; 0,01931; 1 807 000
имеют по четыре значащих цифры.
Целое число, образуемое значащими цифрами данного числа, называют
значащим выражением данном числа (для действий умножения и деления).
Значащими выражениями шести приведенных чисел являются четырехзначные
целые числа
4 135; 6 207; 1352; 8005; 1931; 1 807.
Следовательно, можно сказать иначе, что на линейке всегда
устанавливается только значащее выражение числа.
. Примеры.
1.	Установить на шкале H↑ (или Н2) число 14,6.
Значащее выражение этого числа — 146; установка 1 — 4 — 6
была рассмотрена на стр. 24—25 и показана на рис. 11.
2.	Установить число 146,3.
Установка числа 146 уже знакома из примера 1 (рис. 11). Для
получения же числа 146,3 необходимо к ранее полученному гра¬
фическому отсчету 1 — 4 — 6 присоединить 3 десятых доли следу¬
ющего, т. е. седьмого, деления низшего разряда. Это можно сде¬
лать только на-глаз, путем интерполяции в пределах седьмого де¬
ления. Само отделение 3 десятых этого деления производим при
помощи волоска (визирной линии). Установив таким образом во¬
лосок, получаем искомый отсчет 1 — 4 — 6 — 3, выражающий
данное число 1 463.
27

Очевидно, так же должна быть произведена и установка чисел
146,3; 14,63; 1,463; 0,1463; 14 630; 146 300,
имеющих то же значащее выражение 1 463.
3.	Установить число 1,846.
Взяв вправо от крупной 1 восемь делений среднего разряда до
штриха 8 и далее 4 безымянных деления низшего разряда, отсе¬
каем затем волоском 6 десятых долей следующего (пятого) деле¬
ния низшего разряда. Волосок находится на отсчете 1—8—4—6.
4.	Установить число 3,28.
Значащее выражение этого числа 328. Установка 3 — 2 — 8
была пояснена на стр. 25 и показана на рис. 12.
5.	Установить число 3,29.
К установке 3 — 2 — 8 (см. рис. 12) присоединяем на глаз,
пользуясь волоском, половину следующего (пятого) «двойного»
деления низшего разряда, после чего имеем под волоском отсчет
3 — 2 — 9.
6.	Установить число 0,0575.
Значащее выражение этого числа 575. Установка 5 — 7 — 5
была пояснена на стр. 26 и показана на рис. 13.
7.	Установить число 80 500.
Значащее выражение этого числа 805. Вправо от крупной
цифры 8 берем одно «пятерное» деление низшего разряда, содер¬
жащее 5 единиц; получаем 8 — 0 — 5.
8.	Установить число 65,3.
Вправо от крупной цифры 6 берем 5 делений среднего разряда
и за ними, пользуясь волоском, три пятых «пятерного» деления
з
низшего разряда (так как 5 • — =3); получаем отсчет 6—5—3.
5
9.	Установить число 0,708.
Вправо от крупной цифры 7 берем одно полное деление низ¬
шего разряда и за ним еще три пятых следующего такого же де-
3	3
ления (1 — деления низшего разряда здесь выражает 5∙ 1 — =
5	5
= 5∙ — =8 единиц третьего знака отсчета). Под волоском от-
5
счет 7 — 0 — 8.
Упражнения.
Установить на шкале Hi следующие числа*-
а) 4,36;	б) 67 700;	в) 78;	г) 0,0469;	д)	5,07;
е) 8190;	ж) 92,6;	з) 17;	и) 10,36;	к)	10,08.
28

4. Округление чисел при установке на линейке
Предыдущее изложение приводит нас к следующим выводам:
1) в «левой части» шкал H↑ и Н2 (как обычно называют пер¬
вый участок 1 — 2 этих шкал) возможно устанавливать четыре
значащих цифры числа, например: 1 463, 1 602, 1 891;
2) в «правой части» этих шкал (как обычно называют их от¬
резок от 2 до 10, содержащий второй и третий участки) возможно
устанавливать только три значащие цифры числа, например:
265, 388, 491, 604, 899, 916.
Однако необходимо обратить внимание на следующее важное
обстоятельство.
При некоторых сочетаниях значащих цифр оказывается воз¬
можным приближенно отразить в левой части линейки также
пятую значащую цифру числа, а в правой части — также чет¬
вертую цифру. Так, в левой части можно установить: все пять
цифр числа 12 375, если к отсчету 1 — 2 — 3 присоединить на-глаз
три четверти следующего деления низшего разряда (0,75 этого де¬
ления); все пять цифр числа 12 533, если к отсчету 1 — 2 — 5 при¬
соединить одну треть (0,33) следующего деления низшего разря¬
да, — и т. п. Аналогично, в правой части линейки можно устано¬
вить все четцре значащие цифры чисел:
2105, 3 615, 4 325, 5017, 5233,
если к трехзначным отсчетам:
2—1—0, 3 — 6 — 0, 4 — 3 — 0, 5 — 0—0, 5-2-0
соответственно присоединить на-глаз, пользуясь
1
волоском:

4
J	1_	1	2
3 ’ 2 ’ 3 ’ 3
следующего деления низшего разряда.
Установите самостоятельно возможно точнее все указанные
пяти- и четырехзначные числа.
При установке любого числа обра¬
щайте внимание, нельзя ли отразить на линей¬
ке еще одну значащую цифру сверх четырех
(в левой части шкал Н\ и Н2) или сверх трех
(в правой части)I — Это значительно по¬
вышает степень точности получае¬
мых результатов.
Числа, имеющие более трех — четырех значащих цифр, можно
установить на шкалах ∕∕l и Н2 только приближенно, предваритель¬
но округлив их до трех-четырех значащих цифр.
Напомним правила округления чисел.
Для округления числа одна или несколько цифр справа заменяются нуля¬
ми. Если при этом первая (считая слева направо) из нескольких цифр, заме¬
няемых нулями, есть 5 или более 5, то для уменьшения погрешности от округ-
29

ления последнюю из сохраняемых значащих цифр увеличивают на единицу —
«усиливают» эту цифру.
Если для округления числа заменяется нулем единственная цифра 5, за
которой далее нет никаких других цифр следующих разрядов, тэ на практике
придерживаются следующего правила: последнюю сохраняемую значащую
цифру числа оставляют без изменения, если она четная, и усиливают, если она
нечетная, так что в любом случае последняя цифра сохраняется как четная.
Поэтому, например, округляя пятизначные целые числа 12 035 и 12 765 до че¬
тырех значащих цифр (до десятков), получаем приближенные числа 12 040 и
12 760.
При округлении десятичных дробей замена последних десятичных знаков
нулями равносильна отбрасыванию этих знаков.
Следовательно, устанавливая на первом участке шкал Н\ и На
числа:
12 435; 17,5804; 130,563; 0,016105; 1 456 782,
мы вынуждены округлить каждое из них, оставляя только по ч е-
т ы р е значащих цифры:
12440; 17,58; 130,6; 0,01610; 1 457 000,
т. е. установить следующие четырехзначные отсчеты:
1—2 —4 —4; 1—7 —5 —8; 1—3 —0 — 6; 1—6—1—0;
1 — 4 — 5 — 7.
Аналогично, устанавливая на втором и третьем участках этих
шкал (2 — 4 — 10) числа:
31426; 40,78; 0,006045; 892 764,
мы также вынуждены округлить каждое из этих чисел, оставляя
только по три значащих цифры:
31400;	40,8;	0,00604;	893000,
т. е. установить следующие трехзначные отсчеты:
3—1—4; 4 — 0 — 8; 6 — 0 — 4; 8 — 9 — 3.
Упражнение. Установите на линейке следующие числа:
3417; 50,618; 0,015 265; 17; 1526804; 5,6; 80,031.
5.	Чтение чисел
После того как исходные числа последовательно установлены
на линейке и над ними произведены требуемые математические
действия, мы получаем на линейке отсчет, выражающий числовой
результат всего вычисления. Этот отсчет необходимо «прочи¬
тать».
Чтение отсчета состоит в выяснении значащих цифр чис¬
ла, которое выражено отсчетом. Для этого необходимо подсчитать,
сколько делений высшего, среднего и низшего разряда содержит¬
ся в отсчете. Крупные цифровые пометки 1, 2, 3, ... при делениях
30

высшего разряда дают возможность определить первую («стар¬
шую») значащую цифру читаемого числа; по числу следующих
затем делений среднего разряда мы определяем вторую знача¬
щую цифру; по числу остающихся после этого делений низшего
разряда мы определяем третью (в правой части линейки) или
третью и четвертую (в левой части линейки) значащие цифры
числа.
Примеры.
1.	Волосок находится на участке (1 —2) шкалы, отсекая пра¬
вее крупной цифры 1 четыре деления среднего разряда (до мелкой
цифры 4) и за ними 6 безымянных делений низшего разряда. —
Отсчет должен быть прочитан: 1 — 4 — 6 (или 1 —4 — 6 — 0).
2.	Волосок установлен на участке 1—2, отсекая правее круп¬
ной цифры 1 пять делений среднего разряда (до мелкой цифры
5), за ними 7 полных безымянных делений низшего разряда и еще,
приблизительно, 3 десятых доли следующего (восьмого) деления
низшего разряда. — Отсчет должен быть прочитан: 1 — 5 — 7 — 3.
3.	Волосок отсекает отрезок от начала шкалы, состоящий из
делений высшего разряда до крупной цифры 3, следующих за ни¬
ми 2 безымянных делений среднего разряда и далее 2 безымянных
делений низшего разряда. — Так как на этом (втором) участке
шкалы деления низшего разряда — «двойные» (содержат по 2
единицы третьего знака числа), то 2 таких деления выражают
2 • 2 = 4 единицы числа; следовательно отсчет должен быть про¬
читан: 3 — 2 — 4.
4.	Волосок отсекает 3— деления низшего разряда, располо¬
женные непосредственно вправо от крупной цифры 2. — На этом
(втором) участке шкалы 3— деления низшего разряда должны
соответствовать 2-3— =7 единицам третьего знака числа; деле¬
ний среднего разряда нет (0); поэтому отсчет должен быть про¬
читан: 2 — 0 — 7.
5.	Волосок установлен правее крупной цифры 4 и отсекает за
нею 7 делений среднего разряда и 1 деление низшего. — Так как
деления низшего разряда на этом (третьем) участке шкалы «пя¬
терные» (содержат по 5 единиц третьего знака числа), то отсчет
должен быть прочитан: 4 — 7 — 5.
6.	Волосок установлен правее крупной цифры 5 и отсекает за
нею 3 деления среднего разряда, затем 1 полное деление низшего
2
разряда и еше — такого деления. 1 деление низшего разряда
5
на этом участке шкалы соответствует 5 единицам числа,
та¬
кого деления — 2 единицам, следовательно, 1т— деления соот-
5
ветствуют 7 единицам; отсчет должен быть прочитан: 5 — 3 — 7.
3)

7.	Волосок отсекает l-^- деления низшего разряда, непосред¬
ственно следующие за крупной цифрой 6. — 1 деления низ¬
шего разряда соответствуют 5 • 1	— 7,5 единицам числа; от¬
счет может быть прочитан в данном случае с четырьмя зна¬
чащими цифрами: 6 — 0 — 7 — 5 (т. е. точнее, чем обычно воз¬
можно на этом участке шкалы).
8.	Волосок установлен правее крупной цифры 2 и отсекает за
нею 3 деления среднего разряда и — следующего за ними деле¬
ния низшего разряда. — Так как на этом участке деления низше-
»	з	o з
го разряда «двойные», то — такого деления выражают 2 • — =
4	4
= 1,5 единицы числа; отсчет может быть прочитан в данном слу¬
чае с четырьмя значащими цифрами: 2 — 3—1—5 (т. е.
точнее, чем обычно возможно на этом участке шкалы).
Рассмотренные примеры показывают, что в получаемых на
.линейке результатах вычислений мы в состоянии прочитать о б ы ч-
н о не более трех значащих цифр (в правой части шкал Н\ и Нг)
или четырех цифр (в левой части), и только иногда и то
на-глаз нам удается распознать следующую за ними цифру (чет¬
вертую — в правой части, пятую — в левой); прочие значащие
цифры ответа — если, конечно, они в ответе имеются — остаются
для нас неизвестными. Значащие цифры приближенного числа,
которые нам точно известны и в которых мы «уверены», называют
■верными знаками числа. Следовательно, можно сказать, что на
шкалах Н\ и Нг мы в состоянии получать (прочитывать) обыч¬
но не более трех (в правой части) или четырех (в левой части)
верных знаков ответа, и только иногда — на один верный
знак более.
6.	Порядок (значность) числа
Чтение отсчета на линейке дает возможность установить толь¬
ко верные знаки числа, например: 1 — 4 — 5 — 6. Но «прочитан¬
ные» значащие цифры 1 — 4 — 5 — 6 могут выражать бесконеч¬
ное множество чисел, например:
1	456 000; 14 560; 1 456; 145,6; 1,456; 0, 1456; 0,000 145 6 и т. д.
Однако, если отсчет 1 — 4 — 5 — 6 получен на линейке в ре¬
зультате вполне определенного вычисления, например, вычисле¬
ния:
18,2-5 -1,6,
то полученный отсчет может выражать только одно определенное
число 145,6 — и никакое другое. Но для того, чтобы по значащим
32

цифрам отсчета 1 — 4 — 5 — 6 уверенно написать действительный
ответ — число 145,6, необходимо еще дополнительно знать по¬
рядок: (значность) этого числа.
Порядок (значность) числа характеризует величину этого чис¬
ла и определяется по следующим правилам.
1)	Если данное число не меньше единицы, то его порядок вы¬
ражается целым положительным числом, показывающим, сколько
цифр имеется в целой части числа, до запятой (порядок положи¬
тельный).
2)	Если данное число меньше единицы, то его порядок выра¬
жается целым отрицательным числом, в котором столько отрица¬
тельных единиц, сколько в данном числе имеется нулей между
запятой и первой значащей цифрой десятичной дробной части
(порядок отрицательный).
3)	Если данное число меньше единицы и после запятой сразу
же стоит значащая цифра, то порядок такого числа равен нулю
(«нулевой» порядок).
Следовательно:
если порядок
числа равен:
то отсчет 1—4—5—6
выражает число:
+6
+4
+3
+ 1
0
-1
-3
-5
145 600
1456
145.6
1.456
0.1456
0,01456
0.000 145 6
0,000 001 456
И т. д.
Упражнения.
1.	Назовите порядок (значность) следующих чисел:
2 786 340; 135,54; 0,0278; 1,7; 0,506; 0,000063.
2.	Запишите числа, выражаемые следующими отсчетами, по¬
лученными на линейке, при следующем порядке (значности) этих
чисел:
отсчет
порядок (значность)
2-7-9
+5
3-0-6
-2
5-7-0
-3
6—1—2
0
1-5-0-8
+2
4—2—3
+4
О способах, какими обычно выясняют порядок (значность)
Числовых результатов вычислений на линейке, будет сказано да¬
лее.
3 Ф. Д. Лившиц
33

§ 4. СТЕПЕНЬ ТОЧНОСТИ УСТАНОВКИ И ЧТЕНИЯ ЧИСЕЛ
1.	Предварительные понятия
Установка и чтение чисел на линейке могут быть сопряжены с
различными погрешностями.
Так, вместо точного числа 47 312, на линейке (в третьем уча¬
стке шкалы Н\) приходится установить округленное число 47 300;
при этом возникает погрешность от округления числа. Устанавли¬
вая на-глаз отсчет 4 — 7 — 3 этого округленного числа, вычисли¬
тель вынужден интерполировать в пределах деления низшего раз¬
ряда и при этом может неточно установить волосок чуть правее
или левее нужного отсчета 4 — 7 — 3, — например, на таком от¬
счете, который в действительности выражает 4 — 7 — 3 — 2 (т. е.
число 47 320); таким образом, вследствие погрешности интерполя¬
ции возникает погрешность установки отсчета, вызывающая по¬
грешность установки числа. Однако погрешность установки отсче¬
та (значит, и числа) может возникнуть даже и в тех случаях,
когда число устанавливают без интерполяции, по имеющимся на
линейке штрихам: например, при установке числа 705 вычисли¬
тель может установить волосок не вполне точно на первом штрихе
вправо от крупной цифры 7, а чуть правее этого штриха — ска¬
жем, на числе 705,2 или 705,3. Наконец, возможны и погрешности
чтения чисел; так, производя на нижних шкалах умножение
13,03-47,7 = 634,41,
вычислитель, даже если он вполне точно установил на-глаз от¬
счеты сомножителей (1 — 3 — 0 — 3 и 4 — 7 — 7), может прочи¬
тать приближенный отсчет произведения не как 6—3—4 (что
более правильно), а как 6 — 3— 5 (что менее правильно).
Необходимо различать абсолютную и относительную величину
погрешности.
Разность между приближенным значением числа а и его точ¬
ным значением А, т. е. (а — Л), есть абсолютная погрешность
приближенного числа.
Пример 1 (см. приведенные выше числовые данные).
а) Округлив точное число 47312 до числа 47 300, мы получили
приближенное число с абсолютной погрешностью, равной:
47 300 — 47 312 = — 12,
т.	е. преуменьшили точное число на 12 единиц.
б)	Установив на-глаз вместо необходимого отсчета 473 (сотни)
отсчет 473,2 (сотни), мы допустили погрешность отсчета, равную:
473,2 — 473 = + 0,2 (сотни);
при этом мы фактически установили число:
473,2 сотни = 47 320.
34

в)	В результате наслоения второй абсолютной погрешно¬
сти (+ θ>2 сотни, или + 20) на первую (— 12), вместо требуемо¬
го точного числа 47 312 на линейке оказалось фактически уста¬
новленным число 47 320, действительная погрешность которого по
сравнению с точным, в результате, равна:
47 320 —47 312= +5.
Абсолютная погрешность отсчета (имеющая знак
«+») в значительной мере уменьшила, «исправила»
абсолютную погрёшность от округления (имевшую
знак «—»), — чт 5 часто бывает при ра¬
боте на линейке.
г)	При более точном прочтении произведения 634,41 (как 634)
мы допустили бы абсолютную погрешность:
634 — 634,41 = — 0,41;
при менее точном (как 635) мы допустили абсолютную погреш¬
ность:
635 — 634,41 = + 0,59.
В практике вычислений вопрос об абсолютной погрешности
имеет, конечно, большое значение. Однако абсолютная погреш¬
ность не дает ощутимого представления о степени точно¬
сти числа. Так, если при взвешивании пяти предметов, точный
вес которых равен:
1 г; 10 г; 100 г; 1 000 г; 10000 г,
получен был приближенный вес этих предметов:
2 г; 11 г; 101 г; 1 001 г; 10001 г,
т. е. во всех пяти случаях была допущена одинаковая абсолютная
погрешность в 1 г, то по отношению к точному весу пред¬
метов эта абсолютная погрешность составляет далеко не одина¬
ковую величину, именно:
η-= 1 (или 100%); ηL (или 10%); ~ (или 1%);
⅛ ("j"d⅛,'÷ 1⅛("',"⅛¾)∙
Эти дроби (относительные величины) выражают относитель¬
ную погрешность полученного веса предметов. Мы видим, что
одинаковая абсолютная погрешность в 1 г исказила, например,
вдвое вес первого предмета, но незначительна по отношению к ве¬
су третьего и совершенно ничтожна для веса пятого.
Итак, относительная погрешность есть дробь, получаемая от
Деления абсолютной погрешности на всю величину точного числа.
3*	35

Эта дробь показывает, какую долю всего числа состав¬
ляет абсолютная погрешность.
На практике точное значение числа А часто неизвестно, а из¬
вестно только его приближенное значение а. Поэтому для вычи¬
сления относительной погрешности чаще всего приходится делить
абсолютную погрешность не на точное число А, а на приближен¬
ное число а. Ошибка, получающаяся от такой замены, ничтожна.
Пример 2 (см. числовые данные примера 1).
а)	При округлении точного числа 47 312 до 47 300 абсолютная
погрешность равна — 12; относительная погрешность равна
Разделив числитель и знаменатель на 12 (знаменатель делится на
12 только приближенно), получим приблизительно —-—, или
5 Р 43
около % •
39
б)	При установке на-глаз отсчета 473,2 (сотни) вместо отсчета
473 (сотни) абсолютная погрешность равна + 0,2 (сотни). Сле¬
довательно, относительная погрешность фактически установлен¬
ного отсчета равна:
0,2 (сотни)
473 (сотни)
= -2- = ^-≈±o∕
4730	2365	24 0'
Практически то же получаем делением на фактическую вели¬
чину отсчета:
0,2 _	2	_	1	о/
473,2	4 732	2366	24 /о‘
Упражнения, вопросы и выводы, предлагаемые далее, крайне
важны для уяснения возможной степени точности вычислений на
линейке. Выполнив все эти упражнения и ответив на в с е во¬
просы, продумайте и усвойте выводы, вытекающие из решений и
ответов.
Упражнения, вопросы и выводы.
1.	На шкале Н\ необходимо установить следующие числа:
а) 43,84; б) 43,87; в) 24 614; г) 273,85; д) 0,06733; е) 16,82;
ж) 72300.
Какая абсолютная погрешность от округления возникнет в
каждом отдельном числе при установке его на линейке? Как ве¬
лика будет в каждом случае относительная погрешность округ¬
ления?
2.	На шкале Нх устанавливаются пять чисел:
а) 3,124; б) 31,24; в) 312,4; г) 3 124; д) 31 240.
Как велика абсолютная погрешность от округления каждого
числа при его установке? Как велика при этом относительная по¬
грешность?
36

3.	Вместо точной установки волоска на отсчетах, которые дол¬
жны выражать числа:
а) 5,17; б) 51,7; в) 517; г) 51 700; д) 5 170000,
вычислитель все время устанавливал волоском один и тог же от¬
счет 5 — 1 — 6.
Какая абсолютная погрешность устанавливаемого числа воз¬
никала в каждом отдельном случае вследствие неточности (по¬
грешности) отсчета? Какая возникала относительная погреш¬
ность?
Выводы (из ответов к упражнениям 2 и 3).
Если несколько чисел выражены одними и теми
же значащими цифрами (имеют одинаковое знача¬
щее выражение), то:
а)	абсолютная погрешность при округлении
или при одинаково неточной установке этих чисел
неодинакова, зависит от порядка числа (от ме¬
стоположения запятой) и увеличивается (уменьшает¬
ся) прямо пропорционально увеличению (уменьше¬
нию) самого числа;
б)	относительная погрешность при этом
одинакова (в упражнении 2 она у всех чисел
была равна —-— ∞ —%, в упражнении 3 она
3124	31
была -∣- ≈ 4-%).
517	5
4.	При установке числа 2 145 на шкале Н\ один вычислитель,
менее опытный, ограничился установкой отсчета 2 — 1 — 4, а дру¬
гой, более опытный, установил более тщательно точный отсчет
2 — 1 — 4 — 5 (отложив правее 2 — 1 — 4 еще —— следующего
«двойного» деления низшего разряда).
Какую абсолютную и какую относительную погрешность уста¬
новки числа 2 145 допустил первый вычислитель по сравнению со
вторым вследствие менее тщательной установки числа? Вырази¬
те допущенную относительную погрешность в процентах.
Вывод (из ответа к упражнению 4).
Более тщательная установка чисел на втором (а
также и на третьем) участке шкал Н\Нг дает воз¬
можность избежать относительной погрешности в
несколько десятых долей процента (иногда до 0,4%
величины числа).
5.	Устанавливая на шкале Н\ волоском числа:
1 010; 1 990; 2 020; 3980; 4 050; 9950
по имеющимся на шкале штрихам, вычислитель все время до¬
пускал неточность нанесения волоска, несколько отклоняя его
37

вправо от необходимого штриха, вследствие чего фактически ока¬
зались установленными числа, на 1 большие требуемых, т. е. числа:
1011; 1991; 2 021; 3981; 4051; 9951.
(I участок) (II участок) (III участок)
Выразите обычными дробями и в долях процента различ¬
ную относительную погрешность установки каждо¬
го из шести чисел, имеющих одинаковую абсолютную
погрешность в 1 единицу.
Выводы (из ответов к упражнению 5).
1)	Одинаковая абсолютная погрешность в уста¬
новке числа означает далеко не одинаковую отно¬
сительную погрешность для различных по величине
чисел, устанавливаемых в разных местах шкалы
2)	Если несколько чисел с одинаковым количе¬
ством значащих цифр (в упражнении 5 — все числа
с 4 значащими цифрами) устанавливаются с одина¬
ковой абсолютной погрешностью, то относительная
погрешность установки тем меньше, чем больше пер¬
вая слева («старшая») значащая цифра (сравн. от¬
носительную погрешность	у числа 9 950 и
—?— у числа 1 010).
1 010 3	1
3)	Абсолютная погрешность в 1 единицу в чет¬
вертой значащей цифре установленного числа
(см. числа в примере 5) вызывает на шкалах H∖Hz
следующие относительные погрешности:
в начале I участка ≈ --- 0∕0
на границе I и II участков ≈	0∕0
на границах II и III участков «=* -^-0∕0
в конце III участка ≈ —-—0∕0∙
4)	Понятно, что абсолютная погрешность в 1 еди¬
ницу в третьей значащей цифре числа должна
вызывать относительные погрешности в 10 раз боль¬
шие, т. е. соответственно:
⅛%∙
2.	Практическая погрешность на линейке обычной длины (25 см)
Рассмотрим вопрос о практически возможной сте¬
пени точности установки и чтения чисел на линейке длиной
25 см, которой обычно пользуются на практике. При этом, для
38

определенности, будем предполагать, что устанавливаются или
прочитываются числа, имеющие один знак целой части
(цифру целых единиц), а второй и следующие знали выражают
десятые, сотые, тысячные и т. д. доли единицы.
Так как деления в разных участках линейки имеют неодинако¬
вые величины, то исследуем отдельно четыре участка ее:
первый участок (1 — 2), имеющий длину приблизительно
75 мм: этот участок содержит 100 одинарных делений низшего
разряда, каждое такое деление выражает 0,01 единицы числа;
второй участок (2—4), имеющий длину также 75 мм: этот
участок содержит 100 «двойных» делений низшего разряда, каж¬
дое такое деление выражает 0,02 единицы числа;
третий участок (4 — 7), имеющий длину 61 мм: этот участок
содержит 60 «пятерных» делений низшего разряда, каждое такое
деление выражает 0,05 единицы числа;
четвертый участок (7— 10), имеющий длину 39 мм: этот уча¬
сток содержит также 60 «пятерных» делений низшего разряда,
также по 0,05 единицы числа в каждом таком делении.
Результаты всего исследования сведены в общую таблицу на
стр. 40. Покажем методику исследования применительно к пер¬
вому участку линейки (см. столбец (А) и столбец (1) таблицы).
А.	Длина первого участка (1—2) линейки равна приблизи¬
тельно 75 мм.
Б. На этом участке имеется 100 делений низшего разряда.
В.	Эти деления — одинарные, т. е. каждое из них выражает
0,01 единицы числа (устанавливаемого или прочитываемого).
Г. Однако длина этих делений (как и вообще на любом уча¬
стке линейки) неодинакова: в начале участка (около числа 1)
длина одного деления 1,08 мм; в конце участка (около числа 2)
эта длина только 0,55 мм (т. е. вдвое меньше, чем в начале);
75 мм
средняя длина одного деления на первом участке равна -	- =
= 0,75 мм.
Д. Как велика может быть предельная абсолютная по¬
грешность числа, устанавливаемого (или прочитываемого) на
первом участке линейки?
а)	В начале участка Деления низшего разряда достаточно ве-
лики„— πo I*θθ mm∙ Поэтому, откладывая на глаз части их де¬
лений (интерполируя в пределах делений), опытный вычислитель
может ошибиться не более чем на одну десятую (0,1) деления —
большая погрешность уже будет замечена самим вычислителем.
Труднее интерполировать в конце первого участка (например, при
установке числа 1,984): здесь деления вдвое мельче, чем в начале
участка (только по 0,55 мм), и поэтому даже опытный вычисли¬
тель может установить волосок с погрешностью не в одну десятую,
а даже в две десятых деления в ту или другую сторону (т. е.
установить, вместо числа 1,984, число 1,982 или число 1,986). В
39

СТЕПЕНЬ ТОЧНОСТИ ШКАЛ HιHs
ю
см
	.
©
ф
ю
©
©
о
©
t~∙∙,
©^
1
(4)
39
s
ю
©
©
ю
8
©
ю
©
©
©о
©
©ж
©
©
©~
©
<>ι
о*®5
о
еч
о
о
©
©"
©
х“
0,75
0,15
0,11
>
),008
.12%
)
кал
1
СО
3
s
ю
о
о
со
см
<о
со
©
см
©
ю
о
©
0,0065
О'!
0
0,12»/
3
о
©
©
©
тки
|
г2
00
см
о
0,55
,75
0,2
15
©
8
©СО
©
©
%1‘
%го
и
пз
ем
о
о
о
©
©
см
©
©
©
о
вг
©
©
©
о
>»
еч
1
(1)
75
100
0,01
80
0,55
0,75
0,2
0,15
Л
0,11
0,11
©
©^
0,002
0,0015
^5
%I,0
%l,0
©
©
©
©
1
Показатели, характеризующие участок шкалы
(V)
Длина участка (в мм) ...............
Число делений низшего разряда

Значение каждого деления (в долях единицы) . . .
Длина деления (в мм):
в начале участка

в конце участка	•	. . .
средняя

Предельная абсолютная погрешность установки
(или прочтения) числа, выраженная:
а) в долях одного деления:
в начале участка

в конце участка

в среднем

б) в миллиметрах длины:
в начале участка . •
в конце участка		 .
в среднем	• . . .
в) в долях единицы числа:
в начале участка

в конце участка

в среднем

Предельная относительная погрешность установки
(или прочтения) числа, в % %:
в начале участка

в конце участка

средняя на участке •

<
га
га
L→
га
40

0,1 + 0,2
среднем, на первом участке возможна погрешность в		—- ≈
= 0,15 деления низшего разряда.
б)	Выражая эти предельные глазомерные погрешности в
миллиметрах, получаем:
в начале участка 1,08 λλ∙0,1 (деления) 0,11 мм;
в конце участка 0,55 мм • 0,2 (деления) = 0,11 мм;
в среднем на участке 0,75 мм -0,15 (деления) 0,11 мм.
Таким образом, предельная глазомерная погрешность, выра¬
женная в миллиметрах, практически оказывается на всем протя¬
жении первого участка почти одинаковой.
в)	Найдем абсолютные числовые погрешности, которые
возникают при этом в самих устанавливаемых числах. Так как
каждое деление низшего разряда на первом участке выражает
0,01 единицы числа, то предельная абсолютная погрешность числа
должна составить:
в начале участка 0,01 • 0,1 (деления) = 0,001;
в конце участка 0,01 • 0,2 (деления) = 0,002;
в среднем на участке 0,01 -0,15 (деления) =0,0015.
Е. Теперь нетрудно вычислить и предельно возможную отно-
сительную погрешность, возникающую в числах, устанавли¬
ваемых (прочитываемых) на первом участке. В начале участка
устанавливаются (прочитываются) числа, близкие к 1 (например:
1,023; 1,171 и т. п.), в конце участка — близкие к 2 (например:
1,987; 1,964 и т. п.), в середине участка — близкие к 1,5 (напри¬
мер: 1,488; 1,517 и т. п.). Поэтому абсолютные погрешности
0,001; 0,002; 0,0015 (см. выше п. «Д; в») должны соответственно
вызывать следующие приблизительные относительные погрешно¬
сти в числах:
в начале участка 2122! = 0,001, или 0,1%;
в конце участка 0,θ°2 ■ =0,001, или 0,1%;
в среднем на участке -θθ1- = 0,001, или 0,1%.
1,5
Таким образом, при различной предельной абсолютной погре¬
шности (притом постепенно нарастающей от начала к концу уча¬
стка), предельная относительная погрешность чисел, устанавли¬
ваемых или прочитываемых на первом участке линейки, остает¬
ся постоянной на протяжении всего участка,,
и ее предельная величина у опытного вычислителя может
быть принята в 0,001, или в 0,1%.
Совершенно аналогичны приемы установления предельно воз¬
можных погрешностей установки (прочтения) чисел и на трех
остальных участках линейки: (2—4), (4—7) и (7—10). Опу¬
ская подробности, предлагаем самому читателю проследить ход
41>

такого определения по столбцам (2), (3) и (4) таблицы на
стр. 40.
Объединяя результаты, содержащиеся в разделах «Д; в» и «Е»
таблицы на стр. 40, мы приходим к следующим важным выводам
о предельной степени погрешности установки (прочтения)
чисел на линейке обычного размера 25 см у до¬
статочно опытного вычислителя:
1.	Предельная абсолютная погрешность этих чисел
есть величина переменная, возрастающая от начала линейки
к ее концу; для чисел в пределах первого десятка (1 — 10) она
составляет на четырех рассмотренных разных участках линейки:
0,001 — 0,002; 0,002 — 0,004; 0,005 — 0,008; 0,008 — 0,010.
2.	Предельная относительная погрешность этих
чисел на всем протяжении линейки почти одинакова
(0,1%—0,12%—0,11%) и может быть принята в
среднем за 0,1% (точнее, за 0,11 %).
При нашем исследовании мы условно принимали, что устанав¬
ливаются (или прочитываются) числа в интервале 1 —10, на¬
пример:
1,984; 2,36; 4,07; 8,49.	(1)
Если те же отсчеты (1 —9 — 8 — 4, 2 — 3 — 6 и т. д.) будут
выражать другие числа — скажем, числа, в 100 или в 1 000 раз
большие, т. е. числа:
198,4;	236;	407;	849	(2)
или
1 984; 2360; 4070; 8490,	(3)
то предельные абсолютные погрешности установки (прочте¬
ния) чисел (2) или (3) будут соответственно в 100 или в 1 000 раз
больше, чем для чисел (1), но предельная относительная
погрешность при этом останется та же, что и для чисел (1), т. е.
около 0,1%.
В заключение отметим, что мы все время устанавливали
предельно возможные величины погрешностей, т. е. их
крайние границы у опытного вычислителя. На практике,
в действительности, эти погрешности большей чйстью не дости¬
гают этих крайних, предельных значений, т. е. фактически
большей частью оказываются меньше их.

ГЛАВАII
УМНОЖЕНИЕ И ДЕЛЕНИЕ НА НИЖНИХ ШКАЛАХ
§ 5.	УМНОЖЕНИЕ НА НИЖНИХ ШКАЛАХ
1.	Принцип умножения на линейке
Общий принцип умножения на логарифмических шкалах уже
был достаточно подробно выяснен ранее (см. § 2, п.п. 3 и 4).
Применительно к двум нижним шкалам H∖H2 его можно форму¬
лировать следующим образом:
1)	устанавливаем множимое на неподвижной шкале Hi∙,
2)	подводим к множимому начало 1 подвижной шкалы Яг (на
движке) и при помощи волоска откладываем на этой шкале мно¬
житель;
3)	против множителя прочитываем на шкале H↑ под волоском
произведение.
Несколько простейших примеров умножения на линейке пока¬
зано на рис. 4 (2 • 2 = 4; 2 • 4 = 8) ина рис. 5 (2-3 = 6). Однако
то обстоятельство, что шкалы H∖H2 имеют на линейке только по
одному периоду (1-10), вызывает необходимость дополнитель¬
ных указаний.	I
Во-первых, при умножении на шкалах H∖H2 устанавливают в
пределах одного периода (1 — 10) три—четыре значащие цифры
любых сомножителей, независимо от их порядка. Поэтому в пре¬
делах периода (1 — 10) можно прочитать не само произведение,
а только его отсчет на линейке, только его три—четыре значащие
цифры (три — четыре верных знака). Следовательно, для полного
выяснения произведения необходимо еще дополнительно
выяснить его порядок.
Во-вторых, при умножении на шкалах H∖H2 отсчет произведе¬
ния может оказаться не только в пределах единственного налич¬
ного периода (1 — Ю) шкалы Н\, но и за его пределами — имен¬
но, правее его конца 10, т. е. в пределах второго периода шкалы
Н\, которого на линейке нет. Так, при действиях:
2-3 = 6; 4-2 = 8; 3.3,1=93. 2,5-3 = 7,5,
как легко непосредственно убедиться, отсчеты произведений
43

(чисел 6; 8: 9,3; 7,5), противостоящие отсчетам множителей (чи¬
сел 3; 2; 3,1; 3) на движке, оказываются в пределах периода
(1—10) шкалы Нь нанесенного на линейке, и могут быть тут же
прочитаны. При действиях же: 3-4=12; 5-3=15; 4-4,5=18;
5 -6 =30, κa∣x можно также непосредственно убедиться, отсчеты
множителей (чисел 4; 3; 4,5; 6) на выдвинутом вправо движке
оказываются правее конца 10 шкалы Hi, противостоящие им от¬
счеты произведений (чисел 12; 15; 18; 30) оказываются располо¬
женными во втором периоде шкалы Н\ (периоде 10—100), кото¬
рого в действительности на линейке нет, — иначе говоря, отсче¬
ты искомых произведений как бы «повисают в воздухе», и про¬
читать их оказывается невозможным.
Соответственно этому приходится дополнительно рассмотреть
два возможных случая умножения на шкалах H∖H2∙. пер¬
вый, когда отсчет произведения оказывается в пределах периода
(1 — Ю) шкалы Н\ (см. далее п. 2), и второй, когда отсчет произ¬
ведения оказывается вне пределов этого периода (см. далее п. 3).
2.	Первый случай умножения
Разберем умножение
14,543-4,728
на шкалах H↑H2. Сомножители могут быть установлены только
как округленные числа 14,54 и 4,73. Устанавливаем множи¬
мое, наводя волосок на отсчет 1 — 4 — 5 — 4 неподвижной шка¬
лы H∖∙, подведя под волосок начало 1 шкалы Н2 движка, пере¬
двигаем бегунок вправо и устанавливаем волосок на отсчете 4 —
— 7 — 3 шкалы Н2 (на отсчете множителя). Тогда на непод¬
вижной шкале Н\ под волоском, против отсчета множителя, нахо¬
дим отсчет произведения, которое на этом (третьем) участке шка¬
лы Н\ может быть прочитан только с тремя верными знаками —
как отсчет 6 — 8 — 8 (точное произведение имеет восемь знача¬
щих цифр: 6 — 8 — 7 — 5 — 9 — 3 — 0 — 4).
Для претворения полученного отсчета 6 — 8 — 8 в при¬
ближенное число, выражающее искомое произведение, необхо¬
димо знать порядок (значность) этого произведения. Этот поря¬
док можно определить несколькими различными способами.
1)	Во многих случаях приблизительная величина произведе¬
ния логически вытекает из данных самой задачи. Если
бы в нашем примере мы вычисляли стоимость 4,728 кг товара по
цене 14,543 руб./кг, то мы сразу решили бы, что отсчет 6 — 8 — 8
может единственно выражать 68,8 руб., но никак не 6,88 руб., не
688 руб., не 6 880 руб. и т. д.
2)	В других случаях столь же легко «прикинуть в уме»
приблизительную величину искомого произведения. Умножая (в
нашем примере) число 14,543, близкое к 14 целым единицам, на
число 4,728, близкое к 5 целым единицам, мы должны получить
44

приблизительно 14 ∙ 5 = 70 целых единиц. Поэтому нет сомнений,
что полученный нами отсчет 6 — 8 — 8 должен выражать число
68,8 (а не 6,88, не 688, не 6 880 и т. д.).
3)	В большинстве случаев (не всегда!) оказывается справедли¬
вым следующее формальное правило:
порядок произведения ab двух сомножителей а и Ь равен
сумме порядков сомножителей (Раь = Р a ÷ Рь), если про¬
изведение первых слева («старших») значащих цифр этих сомно¬
жителей не меньше 10;
порядок произведения на единицу меньше суммы
порядков сомножителей (Раь = P a + Pt> — 0, если произве¬
дение первых значащих цифр этрх сомножителей меньше 10.
(Самостоятельно проверьте это правило на следующих случаях
умножения:
265 -27	= 7 155 I 265 - 63 = 16 695.
265 • 0,27 = 71,55 | 0,265 • 0,063 = 0,016 695.)
Однако на порядок произведения влияют не только первые, но
и вторые (слева) значащие цифры сомножителей; поэтому в ря¬
де случаев приведенное правило не оказывается справедли¬
вым. Так, два цроизведения:
265-37= 9 805,
265 - 38 = 10 070
имеют различный порядок (+ 4 и + 5), хотя произведение первых
цифр сомножителей в обоих случаях меньше 10 и, следовательно,
по приведенному правилу порядок обоих произведений должен
быть равен
(+ 3) + (+ 2) — 1 = + 4.
Применительно к нашему случаю умножения на линейке:
14,543 • 4,728 ≈ 68,8
приведенное правило оказывается справедливым:
(+ 2) + (+ 1) — 1 = + 2;
■однако в случае умножения
14,543-7,728 ≈ 112,4
то же правило привело бы нас к ошибочному результату 11,24.
4)	Вследствие этого вычислители пользуются при умножении
на шкалах ∕∕l∕∕2 следующим, не знающим исключений, механи¬
ческим правилом:
если при умножении на шкалах H∖Hz движок подан (выдви¬
нут) вправо, то порядок произведения на единицу меньше
суммы порядков сомножителей, т. е.
Р<л — Ра + Pt — 1.
45

Об этом механическом правиле напоминает вычислителям по¬
метка: ≪Prod. — 1» в правой части линейки, рядом с концом
шкалы H∖ (≪Prod.>> — сокращенное англ. ≪Product>>, т. е. «Произ¬
ведение») .
Именно такой случай мы имеем в нашем примере умножения
14,543∙4,728r подведя начало подвижной шкалы Яг к отсчету
1—4—5—4, отложенному на неподвижной шкале Н\, мы подали
(выдвинули) движок вправо, поэтому порядок отсчета произ¬
ведения 6—8—8 должен быть равен
(+2) + (+ 1) —1 = + 2,
т. е. отсчет 6—8—8 должен быть, прочитан как 68,8.
Из четырех описанных способов могут быть, следовательно, ре¬
комендованы, как «безотказные», только три: первый — логиче¬
ский способ; второй — способ числовой прикидки в уме; четвер¬
тый — чисто механический способ.
Упражнения. Произведите на шкалах H∖H2 следующие
действия умножения, определяя порядок каждого произведения
двумя способами — механическим и прикидкой в уме (в скобках
приведены контрольные ответы — произведения):
а) 24,6	- 2,3
(56,6)
д) 35,41 - 0,2268
(8,04)
б) 1,82 -45,86
(83,5)
е) 114,8 • 0,03538
(4,06)
в) 13,67 - 42,03
(574)
ж) 59,38 • 1,0332
(61,3)
г) 2,368-31,59
(74,8)
з) 14,06.32,7
(460)
3.	Второй случай умножения
Разберем теперь, как пример второго случая умножения на
шкалах HλH2, умножение числа 3 на число 7.
Против множимого 3 на шкале Н\ установим начало 1 под¬
вижной шкалы Н2, выдвинув таким образом движок вправо (см.
рис. 14,а). Множитель 7 на шкале Н2 оказывается за пределами
периода (1 — 10) шкалы H↑, намного правее его конца 10, и про¬
читать против него на шкале Н\ произведение, равное в данном
случае 21, оказывается практически невозможным: это произведе¬
ние должно находиться во втором периоде (10 — 100) шкалы H2t
которого на линейке нет. Однако нетрудно сообразить, что в пер¬
вом периоде шкалы Н\ есть число, выражаемое теми же значащи¬
ми^ цифрами, что и произведение 21, но только в 10 раз меньшее
действительного произведения,#— число 2,1, расположенное на
шкале Я] на один модул'ь левее числа 21 и имеющее
такой же отсчет 2 — 1. Чтобы прочитать этот отсчет в пределах
первого периода, необходимо перебросить движок на всю величи¬
ну периода (на величину одного модуля) влево, т. е. устано¬
вить против множимого Зне начало 1, а конец 10 шка¬
лы Я2 (см. рис. 14, б). Тогда против множителя 7 действительно
окажется на шкале Я] число 2,1, в 10 раз меньшее искомого произ-
46

ведения 21, но выражаемое теми же значащими цифрами и имею¬
щее тот же отсчет 2 — 1-
Таким образом, можно формулировать следующее правило для
второго случая умножения на шкалах Н\ и Н2:
если произведение оказывается за пределами отрезка шкалы
Я1, то против отсчета множимого устанавливают не начало 1, а ко¬
нец 10 шкалы Н2 движка и против отсчета множителя на движке
прочитывают отсчет произведения на шкале H↑.
I
*)	г	м
Рис. 14.
Умножение 3 • 7 = 21.
(а) Движок подан вправо; отсчет (2— 1) за пределами линейки.
(б) Движок подан влево; отсчет (2—1) в пределах линейки.
Число 2,1 отстоит от числа 21 на длину модуля М.
При такой установке движка он оказывается поданым (выдви¬
нутым) влево, а правило механического определения порядка
произведения в этом (втором) случае умножения должно быть
формулировано следующим образом:
если при умножении на шкалах H↑H2 движок подан (выдви¬
нут) влево, то порядок произведения равен сумме порядков
сомножителей, т. е.
Рл =≈Pa + Рь.
(Продумайте и уясните сами, почему в этом, втором случае
умножения сумму порядков сомножителей не следует уменьшать
на единицу.)
Заметим, что вопрос о том, надо ли установить против множи¬
теля начало 1 или конец 10 шкалы Н2 движка (т. е. имеем ли мы
первый или второй случай умножения), почти всегда можно ре¬
шить на основании произведения первых значащих цифр сомно¬
жителей. Если оно меньше 10, следует сразу устанавливать на¬
чало 1 шкалы Н2, если больше 10- — ее конец 10.
47

Примеры.
1.	Умножить 40,67 на 0,632.
Произведение первых значащих цифр сомножителей есть
4 • 6 = 24, т. е. больше 10. Поэтому против отсчета 4—0—7
множимого (которое приходится округлить до трех значащих
цифр) устанавливаем конец шкалы Я2; против отсчета 6—3—2
множителя на этой же шкале, закрепленного волоском, читаем под
волоском на шкале Н\ отсчет 2—5—7 произведения.
Так как множитель немногим более половины (более 0,5), то
произведение должно быть немногим более половины множимого,
т. е. более числа 20. Следовательно, полученный отсчет 2—5—7
может выражать единственно число 25,7.
То же дает и механический подсчет. Так как движок был подан
влево, то порядок произведения равен сумме порядков сомно¬
жителей:
Pβ + Р* = (+ 2) + (0) = + 2,
т.	е. произведение равно 25,7.
2.	Умножить 2,182 на 36,27.
Произведение первых значащих цифр есть 2-3 = 6, т. е.
меньше 10. Поэтому против отсчета 2—1—8 на шкале Hi уста¬
навливаем начало шкалы ∕∕2 движка и против отсчета 3—6—3
на этой же шкале, закрепленного волоском, читаем под волоском
на шкале H↑ отсчет 7—9—1 произведения.
Прикидкой в уме определяем, что произведение должно быть
-около 2 • 36 = 72 целых единиц; следовательно, отсчет должен
<5ыть прочитан как 79,1. То же дает и механический подсчет: дви¬
жок был подан вправо, следовательно, порядок произведения
на единицу меньше суммы порядков сомножителей, т. е. равен
(+ 1) + (+2)-l = + 2.
3.	Умножить 27,14 на 4,83.
Формально произведение первых значащих цифр сомножите¬
лей, т. е. 2 • 4 = 8, меньше 10. Однако множимое достаточно близ¬
ко к числу 30, а множитель — к числу 5. Поэтому произведение
первых значащих цифр, с необходимой поправкой на вторые,
близко к 3 • 5 = 15, т. е. несомненно больше 10; следовательно,
против отсчета 2—7—1 множимого придется установить конец
движка, т. е. подать его влево.
(Убедитесь в этом непосредственно и самостоятельно вычисли¬
те произведение.)
4.	Общее правило умножения
Рассмотрев два возможных случая, мы можем теперь форму¬
лировать общее правило умножения двух чисел на
ШКДЛЭХ ∏ι∏2∙
48

1)	устанавливаем отсчет множимого на шкале Не,
2)	в зависимости от первых значащих цифр сомножителей
(с учетом вторых), подводим к отсчету множимого либо начало 1
шкалы Н2 (первый случай), либо ее конец 10 (второй случай);
при этом движок оказывается поданым либо вправо (первый слу¬
чай), либо влево (второй случай);
3)	при помощи волоска устанавливаем на шкале Н2 движка от¬
счет множителя;
4)	против этого отсчета читаем под волоском на шкале Н\ от¬
счет произведения;
5)	выясняем порядок произведения: он на единицу меньше
суммы порядков сомножителей, если движок был подан вправо
(первый случай); он равен сумме порядков сомножителей, если
движок был подан влево (второй случай). Порядок произведения
может быть легко определен также числовой прикидкой в уме.
§ 6. ДЕЛЕНИЕ НА НИЖНИХ ШКАЛАХ
1.	Принцип деления на линейке
Общий принцип деления на логарифмических шкалах уже был
выяснен ранее (см. § 2, п.п. 3 и 4). Применительно к двум нижним
шкалам H↑H2 его можно формулировать следующим образом:
1)	на неподвижной шкале Hi устанавливаем при помощи во¬
лоска делимое;
2)	подводим под волосок делитель, взятый на подвижной шка¬
ле Н2 движка;
3)	против начала 1 этой шкалы прочитываем на неподвижной
шкале Hi частное.
Несколько простейших примеров деления на линейке были по¬
казаны на рис. 4 (4 : 2 = 2; 8 : 4 = 2) и на рис. 5 (6 : 3 = 2). Но
так как шкалы H∖H2 имеют на линейке только по одному периоду,
необходимы некоторые дополнительные указания о делении на
них.
Во-первых, при делении (по аналогии с умножением) на шка¬
лах H∖H2 можно прочитать не само частное, а только его отсчет в
виде трех — четырех верных знаков. Поэтому всегда необходимо
дополнительное выяснение порядка частного.
Во-вторых, при делении (по аналогии с умножением) на μικa-
лах H∖H2 отсчет частного может оказаться вне пределов периода
(1—10) шкалы Н\ — именно, левее ее начала 1, т. е. в пределах
ее периода (0,1 — 1), которого на линейке нет. Таким образом, и
при делении (как при умножении) возможны два случая,
которые следует разобрать в отдельности (см. далее п. 2 и п. 3).
2.	Первый случай деления
Если первая (слева) значащая цифра делимого больше
первой значащей цифры делителя, то отсчет частного получается
непосредственно в пределах отрезка шкалы Н\, имеющегося на ли-
4 Ф. Д. Лившиц	49
нейке. При равенстве первых значащих цифр делимого и делителя
вопрос разрешается соотношением вторых, и т. д. Таким образом,
в следующих примерах деления на линейке:
518,31 : 2,293; 16,945 : 0,0158; 0,239 : 2,306,
как в этом нетрудно убедиться непосредственно, отсчет ча¬
стного получается в пределах отрезка шкалы имеющегося на
линейке. При этом движок оказывается поданым (выдвинутым)
вправо, а частное прочитывается влево от делимого — под
началом 1 движка.
В этом (первом) случае деления порядок частного может быть
определен по следующему механическому правилу:
если движок подан вправо и частное противостоит его началу 1,
то порядок частного на единицу больше разности
порядков делимого и делителя, т. е.
Pπ.h = Р— Ph + 1.
а/о а о ,
Об этом механическом правиле напоминает вычислителям по¬
метка ≪Quot. + 1» в левой части линейки, рядом с началом
шкалы H1 (≪Quot.> — сокращенное англ. <Quotient>, т. е. «Част¬
ное»),
Разумеется, порядок частного всегда может быть определен и
посредством числовой прикидки.
Примеры.
1.	Разделить 617,8 на 16,52.
Установив на шкале Hj волоском отсчет 6—1—8 округленного
делимого, подводим под волосок отсчет 1—6—5—2 делителя, взя¬
того на шкале Н2 движка. Движок оказывается поданым вправо;
против его начала 1 читаем на неподвижной шкале Н\ отсчет ча¬
стного: 3—7—4.
Прикидкой в уме определяем, что при делении числа, близкого
к 620, на число близкое к 16, частное должно быть около 40. Сле¬
довательно, отсчет частного 3—7—4 может выражать в нашем
примере единственно число 37,4 (а не 3,74, не 374 и т. д.).
В этом же убеждаемся, применяя механическое правило о по¬
рядке частного при движке, поданом вправо:
(+3) — (+2) + 1 = + 2,
т. е. в частном должно быть два знака целой части.
2.	Разделить 8,541 на 0,4788.
Установив волосок на отсчете 8—5—4 округленного делимого,
взятого на шкале Hi, подводим под волосок отсчет 4—7—9 округ¬
ленного делителя, взятого на шкале Н2 движка. Движок подан
вправо; против его начала 1 читаем на неподвижной шкале Hι от¬
счет 1—7—8—3 частного.
При делении числа, близкого к 8,5, на число, близкое к 0,5, ча¬
стное должно быть около — = — = 17. Следовательно, отсчет
0,5	5
1—7—8—3 может выражать единственно возможное в данном
случае число 17,83.
50

К тому же выводу приводит механический подсчет порядка ча¬
стного:
(+ 1) — (0) + 1 = + 2,
т. е. в частном должно быть два знака целой части.
Упражнения. Отберите из следующих ниже примеров те,
которые относятся к первому случаю деления на линейке,
и произведите предлагаемое в них деление, определяя порядок
каждого частного двумя способами — механическим и прикидкой
в уме:
а) 5 347:3 679
б) 82,07:4,063
в) 295,2:27,08
г) 0,607:8,923
д) 7,82 :0,503
е) 20,63:0,387
ж) 0,7051 :3,928
з) 5,822 :0,589
и) 173,14:12,07
к) 0,8103:0,0423
л) 300,8 : 10,65
3.	Второй случай деления
В качестве примера второго случая деления на шкалах H↑H2
разберем деление
4:5 = 0,8,
где первая (в данном случае и единственная) значащая цифра де¬
лимого меньше первой (и единственной) значащей цифры де¬
лителя.
К делимому 4 на шкале Н\ подводим делитель 5, взятый на
шкале Н2 движка и ищем частное против начала 1 шкалы Н2. Но
движок выдвинут влево (см. рис. 15), его начало 1 оказалось
левее начала шкалы ∕∕1, вне пределов ее периода (1 —10). По¬
этому прочитать частное 0,8 против «повисшего в воздухе» н а ч а-
л а движка невозможно: это было бы возможно лишь в том слу¬
чае, если бы на корпус линейки были нанесены деления предыду¬
щего периода (0,1 — 1) неподвижной шкалы Яь в пределах кото¬
рого мы, действительно, нашли бы частное 0,8. Однако нетрудно
сообразить, что в пределах периода (1 — 10) шкалы Н\ должно
иметься число, в десять раз большее действительного частного
0,8, находящегося от него на точном расстоянии одного модуля и
выражаемое теми же значащими цифрами (в данном случае циф¬
рой 8): это число расположено не против начала 1, а
против конца 10 шкалы Яг движка, ибо длина отрезка
(1 — 10) равна модулю шкал H∖H2. Действительно, против конца
10 движка (см. рис. 15) мы находим на Н\ число 8, выражаемое
той же значащей цифрой, что и требуемое частное 0,8, но только в
Десять раз большее этого частного.
Таким образом, можно формулировать для второго слу¬
чая д е л-е и и я на шкалах H∖H2 следующее правило:
4*	51

если при делении на шкалах HxH2 движок оказывается пода-
ным влево, то отсчет частного прочитывают под концом
10 движка.
1

	10
1	5\ 1
о,8
⅛ 4
Рис. 15.
Деление 4:5 = 0,8.
Правило же механического определения порядка частного в
этом (втором) случае таково:
порядок частного равен разности порядков делимого
и делителя, т. е.
Pa.h = Р — Ph.
а/о	а о
(Продумайте и уясните сами, почему в этом, втором случае
деления разность порядков не следует увеличивать на единицу,
Как мы это делали в первом случае.)
Примеры.
1-	Разделить 153,26 на 28,69.
Устанавливаем на H↑ волосок на отсчете 1 — 5 — 3 — 3 округ¬
ленного делимого и подводим под волосок отсчет 2 — 8 — 7 округ¬
ленного делителя, взятого на движке. Против конца 10 движка
читаем отсчет частного: 5 — 3 — 4.
Прикидкой в уме выясняем, что при делении числа, близкого
к 150, на число, близкое к 30, частное должно быть близко к 5
целым единицам. Следовательно, отсчет 5 — 3 — 4 может выра¬
жать единственно 5,34.
К этому же выводу приводит механическое правило. Так как
частное оказалось под концом движка, то порядок частного дол¬
жен быть:
(+3)-(+2) = + 1,
т. е. частное должно иметь один знак целой части: 5,34.
2.	Разделить 36,29 на 0,0427.
Устанавливаем на Н\ волосок на отсчете 3 — 6 — 3 округлен¬
ного делимого и подводим под волосок отсчет 4 — 2 — 7 делителя,
взятого на движке. Против конца 10 движка читаем отсчет частно¬
го: 8 — 5.
52

Частное должно быть приблизительно равно 	=	 =
0,04	4
= 900; следовательно, отсчет 8 — 5 выражает частное 850. К то¬
му же выводу приводит механическое правило о порядке частного:
(+2)-(-l) = + 3∙
Упражнения. Произведите самостоятельно деление:
а) 2 348:4 679
б) 42,07:6,063
в) 0,507:8,913
г) 20,63:0,387
д) 0,1051:39,28
е) 78,42:0,889
ж) 0,603:0,0914
з) 200,8: 50,67
4.	Общее правило деления
Рассмотрев два возможных случая, мы можем теперь форму¬
лировать общее правило деления на нижних шкалах
HiH2∙.
1)	на неподвижной шкале Н\ волоском устанавливаем отсчет
делимого;
2)	подводим под волосок отсчет делителя, взятого на шкале
Н2 движка;
3)	прочитываем против начала 1 движка (первый случай) или
против его конца 10 (второй случай) отсчет частного на шка¬
ле Hi∙,
4)	выясняем порядок частного: он на единицу больше разности
порядков делимого и делителя, если частное читается против на¬
чала 1 движка (первый случай); он равен разности порядков,
если частное читается против конца 10 движка (второй случай).
Порядок частного может быть легко определен также числовой
прикидкой в уме.
5.	Деление на движке
При вычислениях на линейке возможны случаи, когда дели¬
тель оказывается уже отложенным в готовом виде на непо¬
движной шкале H↑, и далее требуется разделить на этот де¬
литель данное делимое. В таких случаях нет необходимости при¬
бегать к обычному приему деления на линейке, т. е. устанавли¬
вать делимое на шкале H↑, переносить делитель со шкалы Н\ на
шкалу H2t а затем читать частное на шкале H∖∙. как мы сейчас
увидим, частное может быть в таких случаях получено гораздо
быстрее — при помощи одной подачи движка и прочтения
на движке же.
Допустим, что на неподвижной шкале Н\ уже отложен (т. е. от¬
мечен волоском) делитель 4, и необходимо число 8 разделить на
этот делитель. Подведем под волосок число 8 шкалы Н2 движка
(делимое); тогда на движке же, против начала 1 шкалы Н\,
можем прочитать частное 2.
53

Таким образом, вместо обычного расположения компонентов
(делимое и частное — на Н\, делитель — на движке), в этом слу¬
чае получается обратное их расположение (делитель — на Н\,
делимое и частное — на движке). Будем называть такой прием
деления на линейке «делением на движке». Этот важный прием
нам придется часто применять для ускорения вычислений.
Примеры.
Вычислить путем деления на движке:
а) 73,42 : 5,18; б) 3,804 : 42,61.
а)	Установив волоском на шкале Н\ отсчет 5—1—8 (дели¬
тель), подводим под волосок отсчет 7—3—4 движка (делимое)
и против начала 1 шкалы Ht читаем на движке отсчет ча¬
стного: 1—4—1—7. Путем числовой прикидки выясняем, что
частное должно быть около - — = 14; следовательно, отсчет 1—
5
— 4 — 1 — 7 выражает частное 14,17.
б)	Установив волоском 4 — 2 — 6 на Н\, подводим под воло¬
сок 3—8—0 движка и против конца 10 шкалы Hj читаем
йа движке 8—9—3. Так как делимое приблизительно в 10 раз
меньше делителя, то частное должно быть равно приблизительно
0,1; следовательно, его отсчет 8—9—3 должен быть прочитан
как 0,0893.
У пражнения.
Вычислите путем деления на движке:
а) 176,3:40,98; б) 32,14:6,203; в) 0,728: 12,31.
Порядок частных определяйте путем числовой прикидки в уме.
§ 7.	СОЧЕТАНИЕ ДЕЙСТВИЯ УМНОЖЕНИЯ И ДЕЛЕНИЯ
В этом параграфе мы рассмотрим следующие типичные случаи
вычислений:
а)	последовательное умножение на ряд множителей, вида:
а ∙ b • с ∙ d.../;
б)	последовательное деление на ряд делителей, вида:
а .
bcd. . .1 '
в)	сочетание последовательного умножения с последователь¬
ным делением, вида:
а • с ∙ е ∙ g • . ■ . • I
b∙d∙f∙ . . ..к
Все подобные вычисления выгоднее всего производить на ниж¬
них шкалах линейки. Значительное упрощение и сокращение вре¬
мени при таких вычислениях достигается, как мы увидим в даль¬
нейшем, применением обратной шкалы R (см. далее § 8, п. 8).
54

1.	Последовательное умножение
Пусть требуется вычислить произведение четырех сомножите¬
лей:
1,2-	20,6 • 1,43 • 0,223..
Умножаем обычным путем 1,2 на 20,6. Не читая произ¬
ведения, умножаем его далее на 1,43, т. е. подводим под во¬
лосок (который установлен на произведении 1,2 • 20,6) начало 1
движка и передвигаем волосок вправо на 1 — 4 — 3 шкалы H2∙,
теперь на шкале Н\ под волоском произведение 1,2-20,6 • 1,43.
Не читая и этого произведения, умножаем его на последний
множитель 0,223, т. е. вновь подводим под волосок начало 1 дви¬
жка и передвигаем волосок вправо на 2 — 2 — 3 шкалы Н2. После
этого на шкале образуется все произведение четырех сомножи¬
телей, и мы прочитываем его отсчет: 7 — 8 — 8.
Порядок произведения определим числовой прикидкой в уме,
грубо округляя сомножители:
1 • 20 • 1,5 • 0,2 = 6;
следовательно, отсчет 7 — 8 — 8 должен выражать число 7,88.
Можно определить порядок произведения и механическим под¬
счетом. Во время вычисления движок был подан три раза
вправо; следовательно, порядок произведения на три еди¬
ницы меньше суммы порядков всех сомножителей, т. е. ра¬
вен:
(+ 1) + (+ 2) + (+ 1) + (0) -3 = + 1,
и поэтому отсчет 7 — 8 — 8 выражает число 7,88.
В разобранном примере при каждом умножении приходилось
устанавливать начало 1 движка, т. е. подавать движок вправо
(первый случай умножения). При других аналогичных вычисле¬
ниях приходится прибегать и к другой установке движка — уста¬
новке его конца 10, т. е. подавать движок влево (второй случай
умножения).
Упражнения.
1.	Вычислите произведение 6,321 • 0,8408-15,067 -0,732.
При умножении на какие множители вам пришлось устанав¬
ливать начало 1 движка (подавать движок вправо), и при умно¬
жении на какие — его конец 10 (подавать движок влево)? Полу¬
чили ли вы правильный отсчет искомого произведения: 5 — 8 — 6?
Определите двумя способами порядок произведения; запишите
произведение.
2.	Вычислите произведение 3 650 - 0,082 - 2,008 • 0,45.
При умножении на какие множители пришлось устанавливать
начало движка? конец движка? Определите двумя способами по-
рядок произведения; запишите произведение.
55

Произведите контрольное вычисление того же произведения,
расположив сомножители в ином порядке (например, идя от по¬
следнего к первому). Получили ли вы при этом то же произведе¬
ние? (Правильный отсчет произведения: 2 — 7—1; при точных
установках движка и точном прочтении результата его можно
найти даже точнее: 2 — 7 — 0 — 6.)
Сформулируем теперь общее правило умножения
любого числа сомножителей на шкалах HxH2,
Первый сомножитель устанавливаем на шкале ∕7∣, остальные
на Н2, окончательное произведение читаем на ∕∕∣. При каждом
отдельном умножении устанавливаем, в зависимости от условий,
либо начало 1 движка (подавая движок вправо), либо его конец
10 (подавая влево). Порядок произведения на столько единиц
меньше суммы порядков всех сомножителей, сколькв раз было
установлено начало 1 движка (сколько раз движок был подан
вправо).
Задачи.
1.	Производительность труда на заводе составляет 4 870 руб.
на одного списочного рабочего в месяц. В ближайшие четыре по¬
лугодия предполагается увеличивать эту производительность по¬
следовательно в 1,06, в 1,09, в 1,12 и в 1,16 раза. Как велика дол¬
жна быть, по плану, производительность труда на этом заводе че¬
рез два года?
2.	Бак, имеющий длину 6,73 м, ширину 2,18 м и глубину
3,45 м, наполнен горючим, удельный вес которого 0,76. Цена го¬
рючего 785 руб./тонна. Вычислите стоимость горючего, содержа¬
щегося в баке.
2.	Последовательное деление
7
Пусть требуется произвести на линейке деление —Ча¬
стное может быть получено двумя способами.
1)	Делим 7 на 2, а затем полученный результат — на 3. Для
этого:
устанавливаем при помощи волоска делимое 7 на шкале Hι",
подводим под волосок первый делитель 2, взятый на шкале Н2
(движок выдвинут вправо), и передвигаем волосок на начало 1
движка; под волоском на шкале Н\ результат первого деления
(÷)>
не читая этого промежуточного результата, подводим под
волосок второй делитель 3, взятый на шкале Н2 (движок второй
раз оказывается выдвинутым вправо), и вновь передвигаем воло¬
сок на начало 1 движка;
читаем на шкале Hi под волоском отсчет окончательного ре¬
зультата (частного —1- ), именно 1 — 1 — 6 — 7.
2 • 3
56

Порядок ответа может быть определен двояко. Так как — =
2*3
7
= —— должно быть несколько более 1, то ответ должен быть
6
1,167.	С другой стороны, при двух последовательных делениях
(на 2 и на 3) частные оказывались под началом 1 движка,
следовательно, порядок ответа на две единицы больше
разности порядков делимого и делителей, т. е. равен:
(+l)-(+ l)-(+ 1) +2= + 1.
2)	Можно получить частное другим способом: вычислить про¬
изведение 2 • 3, стоящее в знаменателе, и разделить 7 на это про¬
изведение. Для этого:
обычным путем умножаем 2 на 3 и получаем на шкале H↑ под
волоском произведение 2• 3, которое не читаем;
так как делитель 2-3 уже отложен на шкале ffi, то дальней¬
шее деление выгоднее всего произвести на движке: подведя
под волосок делимое 7, взятое на шкале Яг движка, читаем на
движке же, против начала 1 шкалы Hl, отсчет частного: 1 — 1 —
— 6 — 7;
числовой прикидкой в уме определяем само частное 1,167.
Упражнение.
17 52
Вычислите двумя способами частное —2 1 3 4 5 75— •
Понадобилось ли вам при вычислении устанавливать волосок на
конец 10 движка? читать ответ под концом 10 шкалы? Получился
ли при обоих способах решения один и тот же отсчет частного
(4 — 2 — 6) ? Запишите само частное.
3.	Умножение, соединенное с делением
Весьма часты вычисления, в которых действия умножения со¬
единены с действиями деления. Начнем с рассмотрения простей¬
шего случая, когда одно действие умножения соединено с одним
действием деления, — например:
2,1 -4,6
1,7
Вычислить это выражение можно двумя способами:
1)	начать с умножения и закончить делением, т. е. произвести
действия: (2,1 -4,6) : 1,7;
2)	начать с деления и закончить умножением, т. е. произвести
действия; (2,1 : 1,7) -4,6 или (4,6 : 1,7) -2,1.
Легко убедиться, что второй способ выгоднее первого. Дей¬
ствительно, при первом способе необходимы две подачи (уста¬
новки) движка — при умножении на 4,6 и при делении результа¬
та на 1,7. Между тем при втором способе требуется лишь
57

одна подача (установка) движка: отложив волоском 2,1 на
шкале Н\, подводим под волосок число 1,7, взятое на движке, и
2,1	.
тем самым получаем против начала 1 движка частное ——— (ко¬
торое не читаем); остается умножить это частное на 4,8, для чего
достаточно, уже более не трогая движка, передвинуть во¬
лосок на число 4,8 шкалы Н2 движка; после этого на шкале Н\
под волоском читаем отсчет 5 — 6 — 8, который в данном случае
выражает 5,68. Точно так же достаточна одна подача (установ¬
ка) движка и при другом варианте второго способа вычисления:
(4,6: 1,7) -2,1.
Подобным же образом можем убедиться, что при вычислении:
2,1 . 4,6 • 5,27
1,7-3,94
после того как уже найдено —2>1 —, выгодно продолжать
вычисление также по второму способу: сначала найденный ре¬
зультат (число 5,68 под волоском) разделить на 3,94, а затем уже
умножить частное на 5,27, — для этого также потребуется только
одна подача (установка) движка, вместо двух при ином порядке
действий. Следовательно, все вычисление, состоящее из двух дей¬
ствий умножения и двух действий деления, может быть построено
на двух подачах движка. (Самостоятельно доведите вычисление
до конца.)
Мы приходим, таким образом, к важному выводу, что при вы¬
числениях вида:
а • с ∙ е ∙ f . «
b ∙ d - g . . . .
выгоднее всего начинать с деления и далее чередо¬
вать его с умножением, т. е., иначе говоря, необходима
такая «зигзагообразная» последовательность действий:
Все промежуточные результаты действий, разумеется, не чи¬
таются; прочитывается только окончательный результат всего вы¬
числения.
Осложняющее обстоятельство при вычислениях такого вида —
частая необходимость переброски движка. Пусть требуется, на¬
пример, вычислить:
72 - 56 • 26
35 • 47
72
Произведя первое деление 9 замечаем, что умножить да¬
лее частное (отсчет 2 — 0 — 5) на 56 при возникшем положении
58

движка нет возможности, так как отсчет 5 — 6 движка находится
за пределами отрезка шкалы Hi∙, это можно сделать, если только
перебросить движок, поставив на место его начала 1 его конец 10.
Для такой переброски наводим волосок на число 1 движка и, по¬
дав движок на всю его величину влево, подводим под волосок чи¬
сло 10 движка, — после чего необходимое умножение становится
возможным: для этого теперь достаточно установить волосок на
отсчет 5 — 6 движка. На шкале H1 теперь закреплено волоском
7-~ (волосок на отсчете 1 — 1 — 5 — 2 шкалы Н\, который
обычно не читается).
Разделив полученное число на 47, замечаем, что дальнейшее
умножение на 26 вновь невозможно, если не перебросить движок
на всю его величину вправо. После такой новой переброски уста¬
навливаем волосок на отсчете 2 — 6 движка и на шкале H↑ читаем
окончательный отсчет ответа: 6 — 3 — 7.
Производим числовую прикидку ответа, округляя исходные
числа:
70 • 60 • 30	7 • 6 • 30 со
-	—∙	^ ио»
40 • 50	4 -5
следовательно, ответ 63,7.
Переброски движка сильно замедляют вычисления и, кроме
того, становятся дополнительными источниками возможных неточ¬
ностей при установках. Однако вычислитель не бессиле^ в борьбе
с перебросками: очень часто умелая перестановка сомножителей
в числителе или в знаменателе дает возможность свести число пе¬
ребросок к минимальному, а иногда — и совсем избежать их.
Так, если в рассмотренном нами выражении:
72 - 56 - 26
35∙47
произвести частичную перестановку сомножителей в числителе:
72.26 • 56
35-47
или, вместо этого, перестановку в знаменателе;
72 - 56 - 26
47-35	’
то все вычисление можно выполнить без перебросок движка (не¬
пс средственно убедитесь в этом на линейке).
Поэтому при вычислениях подобного вида надо умело
подбирать порядок, в каком следует брать со¬
множители в числителе и в знаменателе.
59

Упражнение.
Вычислите выражение:
43 »5,3 - 3,7
17,8 • 0,84 ’
сохраняя данное в нем расположение сомножителей. — Сколько
перебросок движка пришлось сделать при вычислении? Получили
ли вы правильный отсчет ответа: 5 — 6 — 3? Чему равен ответ?
Подберите для того же выражения два других хода вычисле¬
ния, при которых необходимость в перебросках движка отпадает.
Сверьте получаемые ответы.
„	а-с-е. . ,
До сих пор мы определяли порядок ответа в выражениях вида

посредством числовой прикидки. Однако можно определять его и по правилам
механического подсчета.
При отсутствии перебросок движка порядок ответа равен
разности между суммой порядков сомножителей в числителе и> суммой по¬
рядков сомножителей в знаменателе. Так, при вычислении:
2,1.4,6-5,27
1,7∙3,94
(см. стр. 58). не потребовавшем перебросок движка, порядок ответа должен
быть:
[(+ D + (+ D + (+ П - [(+ П + (+ 1)1 = + 1
(проверьте по порядку ответа, полученного вами самостоятельно ранее).
При наличии перебросок движка порядок ответа равен:
разности между суммой порядков сомножителей в числителе и суммой
их в знаменателе,
плюс столько единиц, сколько было перебросок движка влево,
минус столько единиц, сколько было перебросок движка вправо.
Так, вы ранее убедились (см. выше упражнение на стр. 60), что вычисле¬
ние
43 »5,3 »3,7
17.8-0,84
в той последовательности, в какой записаны сомножители, требует двух пе¬
ребросок движка: одной —влево (при умножении на 5,3) и одной—
вправо (при умножении на 3,7). Поэтому порядок ответа должен быть:
разность сумм порядков
[(+ 2) + (+ 1) + (+ 1)] - [(+ 2) + (0)1 = + 2,
плюс поправка на одну переброску влево:	+ 1,
минус поправка на одну переброску вправо:	— 1
порядок ответа:	+2,
т. е. ответ должен быть 56,3 (сверьте его с ответом, который вы получили ра¬
нее путем числовой прикидки)1.
1 Чтобы не ошибиться в поправке (+ 1) или (— 1) при перебросках движ¬
ка, многие вычислители пользуются мнемоническими словами «конаплю» и
снакомин», означающими следующее. Если перебрасывают КОнец движка на
место его НАчала, то необходима поправка ПЛЮс единица (КО-НА-ПЛЮ);
если же перебрасывают НАчало движка на место его КОнца, то вносится по¬
правка МИНус единица (НА-КО-МИН).
60

Упра жнение.
Убедитесь, что при выполнении того же вычисления в иной последователь¬
ности:
43 • 5,3 • 3,7
0,84 - 17.8
надобность в перебросках движка отпадает, но порядок ответа (подсчитанный
без поправок на переброски) остается тот же: +2.
Задача.
В данном году удельный расход каменного угля на единицу
продукции составил 2,43 кг, при заготовительной цене угля 93 руб.
40 коп. за тонну. В следующем году предположено уменьшить
удельный расход угля в 1,17 раза, а заготовительную цену угля —
в 1,08 раз. План следующего года предусматривает производство
345 000 единиц изделий данного вида.
В какую (приблизительно) сумму денег должна обойтись за¬
готовка угля для производства этих изделий в следующем году?
Указания. Выразите ответ одной общей числовой форму¬
лой (три сомножителя в числителе, два — в знаменателе). Подбе¬
рите ход вычисления (последовательность сомножителей), приво¬
дящий только к одной переброске движка. Выясните порядок от¬
вета двумя способами. (Ответ: ≈ 67 500 руб.)
4. Заключительные замечания и выводы
В заключение §§ 5—7 об умножении и делении на шкалах
H↑H2 и о соединении этих действий сделаем несколько важных
замечаний и выводов.
1.	Степень точности результата вычисления на линейке зависит
от степени точности, с какой устанавливают исходные числа, де¬
лают установки движка (при его подаче или полной переброске),
наносят волосок на требуемые отсчеты и прочитывают окончатель¬
ный результат. Поэтому вычислитель должен выполнять все эти
приемы с предельно возможной тщательностью
и точностью (которые развиваются и возрастают в процессе
практики вычислений). Каждая добавочная подача или переброс¬
ка движка, а также каждый перенос отсчета числа с одной шкалы
на другую — добавочные источники возможных неточностей, вно¬
симых в вычисления, не говоря уже о том, что замедляют вычис¬
ления. Поэтому при вычислениях вида	необходимо применять
hcd...
прием деления на движке, если делитель bcd... уже вычислен и от¬
ложен на шкале Н\, и при любых вычислениях следует умело из¬
бегать ненужных перебросок движка.
2.	Не следует читать промежуточные результаты действий; вме¬
сто прочтения, их следует — если это требуется для очередного
действия — закреплять путем установки волоска. Закрепле¬
ние числа волоском дает большую точность,
61

чем прочтение этого числа и последующая
новая установка его; кроме того, такой прием
приводит к значительной экономии времени.
3.	В каждом вычислении важным шагом является определение
порядка ответа. Возможны, как мы видели, различные спо¬
собы такого определения.
а)	Прежде всего можно определить порядок ответа чисто
логическим путем, сообразуясь с данными самой задачи.
б)	Способ механического подсчета основан на
учете порядка исходн.ых данных, числа подач и перебросок движ¬
ка и их направлений. При достаточно большом числе различных
по направлению передвижений движка, произведенных во время
вычисления, легко можно сбиться или ошибиться в счете этих пе¬
редвижений и тем самым, незаметно для самого себя, получить не¬
правильный подсчет порядка результата. Поэтому, за исключени¬
ем простейших случаев умножения (вида a∙b) и деления (ви¬
да —), применив способ механического подсчета, мы непре-
ъ
менно должны проконтролировать полученный по¬
рядок ответа — либо логическим путем, либо числовой
прикидкой в уме (или на бумаге).
в)	Способ числовой прикидки величины ответа,
уже неоднократно применявшийся нами, может быть признан —
особенно при достаточно сложных вычислениях — гораздо
более целесообразным и надёжным, чем спо¬
соб механического подсчета. Сформулируем общее
правило такой прикидки.
Исходные числа грубо округляют так, чтобы в каждом из них
остался только один верный знак (при этом цифры 7, 8, 9 можно
округлять до 10, т. е. заменять единицей высшего разряда). Полу¬
ченные круглые числа умножают и делят (точно или хотя бы при¬
ближенно), по возможности — в уме, и тем самым устанавливают
приблизительную величину искомого результата. На основании ее
определяют число знаков целой части или местоположение запя¬
той в отсчете, полученном на линейке.
Приведем еще несколько примеров применения этого важного
способа.
Примеры.
1.	Определить порядок произведения 47,06 • 0,678 • 345,84.
Грубо округляем сомножители: 47,06 до 50; 0,678 до 1; 345,84
до 300. Имеем:
50∙l ∙300= 15 000;
следовательно, в искомом произведении, приблизительно равном
15 000, должно быть пять знаков целой части. (Отсчет 1—1—0—2,
полученный для произведения на линейке, выражает число 11020.)
62

2.	Определить порядок ответа при вычислении:
427 - 0,0879
17,345 - 0,526 ’
Грубо округлив все четыре числа, находим:
400 - 0,1 _ 400 - 1 _ 4.
20 • 0,5 ~ 20-5 ~ ’
следовательно, ответ должен быть равен приблизительно 4, т. е.
иметь один знак целой части. (Найдите этот ответ вычислением на
линейке.)

ГЛАВАШ
ПРОПОРЦИИ И ПРОЦЕНТЫ
§ 8. ПРОПОРЦИОНАЛЬНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ НА ЛИНЕЙКЕ
1. Выдвинутый движок
Выдвинем движок влево на число k, т. е. установим его
так, чтобы против начала 1 шкалы Hι стало число k шкалы Н2
(см. рис. 16). В таком случае каждое число, взятое
xx ка
		⅛i

кв кс
		1	μ

Рис. 16.
Движок выдвинут влево на число k.
Числа шкалы Я» в А раз больше противостоящих чисел шкалы Hι.
на шкале Н2, должно быть в k раз больше числа, проти¬
востоящего на шкале ∕∕1. Например, если подать дви¬
жок влево на число k=≈2 (см. рис. 17), то легко заметить на шка¬
лах Н2 и /71 следующие пары противостоящих чисел:
(шкала Я2)	2	4	6	7	8	9	10
(шкала ∕7ι)	1	2	3	3,5	4	4,5	5
которые с полной очевидностью образуют ряд равных отношений
(многочленную пропорцию) с коэфициентом пропорциональ¬
ности k = 2;
(.числа шкалы Я,)
(числа шкалы Hl)
__9_ _ 10
4,5 “ 5
54

Разумеется, то же кратное соотношение 2 должно существо¬
вать и для любой пары противостоящих чисел на ∕∕2 и на Hi. Ве¬
личину же коэфициента пропорциональности k = 2 удобнее всего
увидеть либо в начале ряда (т. е. при 1 шкалы ∕Zι) — как
либо в конце ряда (при 10 шкалы Я2) — как
_10
5
Рис. 17.
Ряд равных отношений (
2	4
1	2
6	8	10
3 - 4 - 5
Коэфициент пропорциональности читаем либо в начале, либо в конце ряда:
Будем передвигать движок вправо. При этом числа шкалы Нг
(«верхние» числа) будут постепенно сдвигаться по отношению к
числам шкалы Hi («нижним» числам), а коэфициент k будет по¬
степенно уменьшаться. Если вернуть движок в исходное положе¬
ние, то k станет равно единице (k = -^-= 1), и «верхним» числам
на шкале ∕∕2 будут противостоять равные им «нижние» числа на
шкале Hl. Продолжая передвигать движок вправо, мы уже сде¬
лаем k меньше единицы, например: 0,9; 0,8; 0,7 и т. д.
У пражнение. Выдвиньте движок вправо, установив
начало 1 шкалы Н2 против числа 2 шкалы Н\. Какие «верхние»
числа оказались при этом против «нижних» чисел 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,
10? Запишите ряд равных отношений, образуемых этими парами
противостоящих чисел. Чему равен коэфициент k пропорциональ¬
ности в этом случае? — Сравните ваши результаты с рис. 18.
Мы можем сформулировать следующие важные выводы.
I.	При любом положении движка (т. е. выдвинут ли он влево
или вправо) противостоящие друг другу числа на шкалах Н2 и Н\
5 Ф. Д. Лившиц
65

(«верхние» и «нижние») образуют ряд равных отношений, т. е.
одни пропорциональны другим:
числа Н>	д	, 11
числа H↑
2.	Коэфициент k пропорциональности удобнее всего прочитать
либо в начале, либо в конце ряда, т. е. либо при числе 1, либо при
числе 10. Этот коэфициент k выражается отношением любых двух
Н,
противостоящих чисел -∣
3	При движке, выдвинутом влево, k > 1; при движке, выдви¬
нутом вправо, k < 1.
Закрепите эти важные выводы путем следующих упражнений.
Ряд равных отношений (
Рис. 18.
Коэфициент пропорциональности читаем либо в начале, либо в конце ряда:
Упражнения.
1.	Выдвиньте движок на число 1,5 влево. Запишите не¬
сколько равных отношений между числами Н2 и H↑, образовав¬
шихся при этом. Где удобнее прочитать коэфициент пропорцио¬
нальности этих чисел — в начале или в конце ряда? Чему равно к?
2.	Выдвиньте движок на число 1,25 вправо. Запишите не¬
сколько образовавшихся при этом равных отношений ~ . Где
удобнее прочитать к? Чему равно в данном случае к?
3.	Установите движок так, чтобы число 6 шкалы Н2 оказалось:
а) против числа 4 шкалы Hi∖ б) против числа 5 шкалы Н\\ в) про¬
тив числа 7,5 шкалы Н\\ г) против числа 8 шкалы Н\\ д) против
числа 9 шкалы H↑,
Прочитайте величину коэфициента пропорциональности к при
каждой из этих пяти установок.
66

4.	Имеется следующий ряд равных отношений:
2,42 ~313 _ у _ 6,05
2,2 ~ χ ~ Т ~ z '
Пользуясь шкалами вычислите неизвестные члены х, у, г
и выясните коэфициент пропорциональности k.
Указание. Установите одно против другого числа 2,42
(«верхнее») и 2,2 («нижнее»),
5.	Имеется следующий ряд пропорциональных чисел:
а	5,05 с	0,213	n σc
—— =	=	—	 = 0,75.
3,42 b	17,83	<1
Пользуясь шкалами H2H↑, вычислите значения чисел а, b, с, d.
Указания: k = 0,75 можно выразить еще как k = — , т. е.
4
иолучить всю установку, противопоставив «верхнему» числу 3 (на
Н2) «нижнее» число 4 (на Hi).
2. Серийное умножение
Условимся обозначать в дальнейшем «верхние» числа на Н2
через у, а «нижние» числа на Hi — через х. Следовательно, соглас¬
но (1), имеем:
= y1 = 21 - ... kt	(2)
Λ1 X, л3
или, короче:
У = kx.	(3)
Равенство (2) или равенство (3) — общая математическая
форма выражения прямой пропорциональности величин у их, при
коэфициенте k пропорциональности между ними.
Если k задано, — например, если k = 3,47 — то- каждому зна¬
чению х строго соответствует определенное значение у = 3,47 х.
Для получения ряда («серии») значений
Уъ У2, Уз-
необходимо произвести умножёние ряда («серии») чисел
Хь Х2, Хз-
на одно и то же постоянное число k = 3,47. Такое «серийное умно¬
жение» весьма удобно производить на школах H∖H2. Установим
эти шкалы так, чтобы они давали ряд равных отношений (2) скоэ-
фициентом пропорциональности k = 3,47 (для этого выдвинем
Движок влево на 3,47); тогда против любого «нижнего» числа х на
шкале окажется «верхнее» число у = 3,47 х на шкале Н2.
67

Примеры.
1. За обработку одной детали рабочий получает 20,2 коп. Ка¬
кой заработок причитается за обработку: а) 25 таких деталей?
б) 356 деталей? в) 413 деталей? г) 1 262 деталей?
Имеем: k — 20,2 (коп.); у = kx = 20,2 • х (в копейках). Уста¬
навливаем число 20,2 (отсчет 2—0—2) шкалы Н2 против начала 1
20 2
шкалы Hi∙, тем самым получаем k = —р=- = 20,2. Последователь¬
но наводя волосок на числа 25, 356, 413 и 1 262 шкалы Н\ («ниж¬
ние» числа х), соответственно получаем на шкале Н2 («верхние»
числа у = kx):
5 руб. 05 коп.; 71 руб. 90 коп.; 83 руб. 40 коп.; 255 руб
(Более точные значения последних трех ответов: 71 руб. 91 коп.;
33 руб. 43 коп.; 254 руб. 92 коп.)
2. В 1953 г. на заводе действовали следующие сменные нор¬
мы обработки деталей:
№ детали
oi3 |
019
020
023
026 j
1
030
Число деталей за смену
56
63
77
85
134 !
I
225
На 1954 г. устанавливаются сменные нормы выработки на
12% выше, чем в 1953 г. Вычислить сменные нормы обработки на¬
званных деталей в 1954 г.
Новые нормы должны составлять 112%, или 1,12 прежних.
Установим 1,12 (отсчет 1—1—2) шкалы Н2 против начала 1 шка¬
лы Hi. Последовательно нанося волосок на числа 56, 63, ...225 шка¬
лы Я] (прежние нормы), читаем на шкале Н2 соответствующие
увеличенные новые нормы:
62,7; 70,5; 86,2; 95,2; 150; 252.
которые округляем до целых чисел:
63; 70; 86; 95; 150; 252.
Задача.
Расход электрической энергии на производство одной единицы
изделия в 1953 г. составил (в квт-ч):
Виды изделий
А
Б
В
г
д
Е | Ж
Расход энергии в кегп-ч
1,145
0,872
0,631
2,57
3,168
0,516 11,053
1
63

По плану на 1954 г. предполагается уменьшить удельные рас¬
ходы электрической энергии на 7,5% (на 0,075 прежней величи¬
ны). Вычислите на линейке ожидаемый в 1954 г. расход энергии
на единицу каждого изделия.
3.	Серийное деление
Если при любой установке движка переход от «нижних» чисел
Hι к «верхним» числам Яг означает серийное умножение, то обрат¬
ный переход — от «верхних» чисел Н2 к «нижним» числам Н\ —
равнозначен серийному делению на число k. При таком
обратном переходе мы получаем числа х, которые в k раз м е н ь-
ш е чисел у:
* ≈ -у •	(4)
к
Пример.
По официальным, явно приукрашенным данным, покупатель¬
ная сила 2-⅛- американских долларов в 1951 г. равнялась довоен¬
ной покупательной силе 1 американского доллара (в 1939 г.).
Скольким довоенным долларам фактически равнялся заработок
рабочих США, которые получали в 1951 г. следующую месячную
заработную плату (в долларах):
180; 190: 200; 205; 240; 300; 350; 400.
Для решения задачи необходимо каждое из этих чисел разде¬
лить на 2“ • Установим число 2— ≈ 2,33 шкалы Н2 против кон-
3	3
ца 10 шкалы Н\, т. е. тем самым k = 2,33. Переходя при помощи
волоска от «верхних» чисел на Н2 к «нижним» числам на Н\, про¬
изводим серийное деление первых четырех «верхних» чисел на
k = 2,33:
«верхние» числа (на Н2): 180 190 200 205
«нижние» числа (на Hi)∙- 77,4 81,7 86,0 88,1.
Для деления остальных четырех чисел приходится перенести
установку ⅛ = 2,33 в начало шкалы Н\ (против 1); после этого
получаем:
«верхние» числа (на H2}:	240	300	350	400
«нижние» числа (на H↑)'.	103,2 128,8 150,5 172.
Задача.
При средней скорости в пути 40 кле/час автобус затрачивает на
пробег следующее время (в минутах):
от пункта А до пункта Б ... 23
»	»	Б	»	»	В ...	17
»	»	В	»	»	Г ...	73
»	»	Г	»	»	Д ...	48.
69

Сколько времени потребуется автобусу на каждый из этих про¬
бегов, если увеличить его среднюю скорость в пути до 45 /см/час?
Указание. Новая скорость в = 1,125 раз больше преж¬
ней, следовательно, затраты времени на пробеги должны стать в
1,125 раз меньше прежних.
4.	Прямая пропорциональность
При серийном умножении и серийном делении мы имели дело с
прямо пропорциональными величинами.
Если две величины связаны так, что увеличение (уменьшение)
одной^из них в несколько раз вызывает увеличение (уменьшение)
другой из них во столько же раз, то такие две величины прямо про¬
порциональны. Математическим выражением такой зависимости
двух величин х и у и является формула
y = kxf	(3)
где k (коэфициент пропорциональности этих двух величин) есть
некоторое данное постоянное число.
Формула (3) равнозначна формуле (4):
×=-->	(4)
К
выражающей в ином виде прямую пропорциональность тех же ве¬
личин X и у.
5.	Обращенный движок
Вынем движок из корпуса линейки и повернем его на 180®
(см. рис. 19). После этого шкала Вг окажется внизу, а
—	 оиоящ
Г-1—  ■	'									1
и 6 9 L 9 в * е	г	I
Ot⅜κo8 ог 09 os (п ос ог 0^βs⅛9gγe г |
-в	 гд о и он гл
Рис. 19.
Обращенный движок.
шкала Н2 — вверху движка, и числа 1, 2, 3, 4,... обеих шкал рас¬
положатся в обратном порядке — справа налево; читать
эти числа придется теперь в «перевернутом» виде. Назовем дви¬
жок в таком положении обращенным движком (на практике обыч¬
но, хотя и не вполне точно, говорят: «перевернутый движок»).
Вставим движок в таком обращенном положении обратно в па¬
зы корпуса линейки (см. рис. 20). Теперь обращенная шкала Я,
70

уже не соприкасается вплотную со шкалой H↑t и ее направление
обратно направлению Hi.
Выясним важные свойства чисел на линейке при обращенном
движке.
Первое свойство.
Нетрудно подметить важное свойство чисел, противостоящих
одно другому на шкале Hl и на обращенной шкале Н2. п р о и з-
а
δ
1
в
3	д
е
1 1 1 • 1 ■ 1 ' Г-1
01 6 8	L 9
ς
V	с
i
i z
i
, 1 1—∣ ∣ Γ∙T,"l
wkq∩q H1 ι
2
! з
f
1
4	5
1	1
∣	1
6	7 8 9 10
1
О
1
δ
1
1
1
6
г ∂
-fiβ-l-
•
е
∣	l9*
1
* 1
и

— 1а 10

—
1
,uι
*H D!∕DUf∏
Рис. 20.
Обращенный движок.
Произведение противостоящих чисел /Л и Н2 равно 10.
ведение любой пары таких противостоящих
чисел равно 10. Действительно, ставя волосок последова¬
тельно в положения аа, бб, вв, гг, дд и ее (см. рис. 20), мы нахо¬
дим для каждой пары чисел под волоском:
(аа) 1 • 10= 10
(бб) 2 • 5 = 10
(ββ) 2,5- 4=10
(гг) 4*2,5= 10
(дд) 5*2 =10
(ее) 10*1 =10
Нетрудно' дать и общее доказательство этого соотношения.
Пусть волосок установлен в положение бб (см. рис. 20); пусть при
этом на шкале Нх отмечено число х, а на обращенной шкале Н2
движка — число у. Отложим в виде отрезков (см. нижнюю часть
рис. 20) lgx по направлению шкалы Н\ и ∖gy по направлению
шкалы Н2. Сумма обоих отрезков, как ясно из рисунка, равна от¬
резку, выражающему lg 10 (т. е. 1):
lg* + ⅛У = ⅛ Ю;
отсюда для любой пары чисел х и у при обращенном движке:
x∙f∕=10.	(5)
Примеры.
1.	Вычислить х, если 4,18 х= 10. — Нанеся волосок на 4,18
шкалы H↑, читаем на обращенной шкале H2. x = 2,39.
71

2.	Вычислить х == —— — Имеем: 3,619 х = 10. Нанеся во-
3,619
лосок на 3,619 (практически — на 3,62) шкалы Яь читаем на об¬
ращенной шкале Н2:
х = 2,76.
Упражнения.
Установив обращенный движок, вычислите значения числа х
по следующим условиям:
а) x=-⅛-5 б) 2,73 х =10; в) — = 6,125;
3,16	X
ч v _ 100	1 000 λ oππ
γ) λ — ~1 13 ; д) 0,593 л = 10; е) —~ —4,809.
Указание кп. «г»: вычислите сначала —, а затем пере-
7,13	κ
несите в частном запятую на один знак.
Второе свойство.
Выдвинем обращенный движок вправо на число k = 1,2,
т. е. установим левый конец обращенной шкалы ff2 против числа
k= 1,2 шкалы H↑∖ на столько же сместится и ее правый конец (см.
рис. 21). Вследствие этого числам х на шкале Н\ теперь будут
Шкала Н.
7/ оиоит
8 9 (10J
о
Рис. 21.
Обращенный движок выдвинут вправо на k= 1,2.
Произведение противостоящих чисел на Н\ и Н2 равно 10 Jfe=12
противостоять на шкале Н2 не прежние числа у, а в k раз боль¬
шие, т. е. числа ky, — в данном случае 1,2 у. Действительно,
если раньше против числа 4 шкалы Hi мы читали на обращенной
шкале Н2 число 2,5 (см. рис. 20, «аг»), то теперь (см. рис. 21, «дд»)
против того же числа 4 мы найдем на шкале Н2 число
2,5∙Λ = 2,5∙ 1,2 = 3.
Поэтому произведение любой пары противостоящих чисел на
∏ι и на Н2 теперь будет равно не 10, а ЮЛ = 10 • 1,2 = 12. Это
72

произведение легко получить, если перемножить пару противо¬
стоящих чисел на любом из концов полученной установки, г. е.
1,2-10 = 12 или 10-1,2= 12.
Действительно, последовательно ставя волосок в положения
аа, бб, ев, .. .зз (см. рис. 21), мы получаем одинаковые произве¬
дения таких пар чисел:
l,2∙10=l,5∙8 = 2∙6 = 3∙4 = 4∙3 =
-6-2 = 8- 1,5= 10- 1,2 = 12.
Упражнения и вопросы.
1.	Продолжайте выдвигать обращенный движок далее вп р а-
в о (например, на k = 2, на k = 3 и т. д.). Что при этом происхо¬
дит с произведением ху противостоящих чисел? Каков предел
этого переменного произведения?
2.	Выдвиньте обращенный движок влево так, чтобы правый
конец шкал движка оказался против числа 8 шкалы H↑.
Какое число обращенной шкалы Н2 оказалось против начала
1 шкалы /71? Какому числу должно быть равно произведение про¬
тивостоящих чисел на H↑ и на Н2 при таком положении движка?
Непосредственно убедитесь в этом на нескольких последователь¬
ных установках волоска.
3.	Продолжайте выдвигать обращенный движок далее влево
(например, до чисел 7, 6, 5 и т. д. на обращенной шкале Н2). Что
происходит при этом с произведением ху противостоящих чисел?
Каков предел этого переменного произведения?
Выводы.
1)	Установка обращенного движка дает возможность мгновен¬
но получать на Н\ и Н2 пары чисел х и у, имеющие постоянное
произведение:
xy = k.
2)	Величину k легче всего определить в начале 1 или в конце
10 установки.
6. Обратная пропорциональность
Установка с обращенным движком открывает возможность
легко и быстро производить вычисления с обратно пропорцио¬
нальными величинами.
Если две величины связаны так, что увеличение (уменьшение)
одной из них в несколько раз вызывает уменьшение (увеличение)
другой из них во столько же раз, то такие две величины являются
обратно пропорциональными.
Обозначим одну из таких величин х, а другую у; тогда взаимо¬
связанные пары значений х и у должны давать в произведении
некоторое постоянное число k. Действительно, если
73

то
xy = ky
(6)
(7)
Из формулы (7) очевидно, что величины х и у обратно про¬
порциональны: чему бы ни равнялось постоянное число к' с уве¬
личением (уменьшением) величины у будет во столько же раз
уменьшаться (увеличиваться) величина х, а с увеличением (умень¬
шением) величины х будет во столько же раз уменьшаться (уве¬
личиваться) величина у.
Соотношение (6), как мы уже знаем, легко и просто получает¬
ся на линейке при помощи обращенного движка, выдвинутого на
число k. Тем самым получаются и равнозначные ему соотноше¬
ния (7).
Технику вычислений с обратно пропорциональными величина¬
ми рассмотрим на примере.
Пример.
При одинаковой длительности рабочей смены в 8 часов (= 480
минут) норма времени х на обработку одной детали и норма вы¬
работки у деталей в одну рабочую смену — величины, обратно
пропорциональные. Если норму времени х выражать в минутах,
то х и у связаны соотношениями:
. on 480	480
ху — 480; у = —; х ~ —.
х	у
Вычислим на линейке нормы выработки yt соответствующие
'Следующим нормам времени х (в минутах):
1; 2; 3; 4; 5; 6; 8; 10.
Вопрос сводится к такой установке обращенного движка, при
которой произведение ху, т. е. число k, равнялось бы 480, т. е.
выражалось отсчетом 4—8. Этого можно достигнуть двоя¬
ким способом: установить обращенный движок так, чтобы против
•отсчета 4 — 8 шкалы H↑ оказался либо правый, либо левый конец
шкалы Н2. В первом случае движок окажется выдвинутым влево
(см. рис. 22, вверху), во втором случае — выдвинутым вправо
(см. рис. 22, внизу). Независимо от того, какая из этих установок
•сделана (влево, вправо), мы можем откладывать значения вели¬
чины х на любой из двух шкал — на H↑ или на обращенной H2y
тогда будем получать на другой шкале соответствующие значения
■величины у.
Сделаем первую установку (влево). Постепенно передви¬
гая волосок вдоль Hι и нанося его на числа
74

x = 1; 2; 3; 4,
читаем на обращенной шкале Н2 соответствующие значения у:
У = 480; 240; 160; 120.
Очевидно, того же можно достигнуть иначе:
откладывая на Н2 значения х 1	2
читаем на Hi значения у	480	240
3
160
4
120
I	I."
01	»»
Шкала H1 1
7 τHDI∕D>l∏∣
Шкала H1 Т
Рис. 22.
Две возможные установки обращенного движ>ка для k = 480.
Чтобы иметь возможность отложить остальные значения х, ко¬
торые больше 4,8, необходимо перейти ко второй установке обра¬
щенного движка (в п р а в о), т.
всю его длину. Тогда получаем:
на шкале Hi значения х
на шкале Н2 значения у
или, наоборот:
на шкале Н2 значения х
на шкале Hl значения у
перебросить движок вправо на
5
6
8
10
96
80
60
48
5
6
8
10
96
80
60
48
Пользуясь, в зависимости от надобности, установкой влево или
вправо, самостоятельно найдите:
а)	значения норм выработки у при следующих нормах време¬
ни х (в минутах):
1,2; 2,4; 3,6; 4,8; 5,6; 6,9; 7,12; 7,2; 9,61; 12;
б)	значения норм времени х при следующих нормах выработ¬
ки у (в штуках):
72; 88; 95; 110; 400; 560; 1 200.
75

Задачи.
1. Сколько единиц товара можно погрузить на 5-тонный гру¬
зовой автомобиль (в пределах его нормальной грузоподъемности),
если одна единица товара весит (в кг):
1,85; 2; 2,5; 3; 3,71; 4,12; 55; 62,5; 6,5; 82,5.
2. Килограмм каменного угля следующих марок
сжигании следующее число больших калорий:
дает при
подмосковный БР (бурый рядовой)
кузнецкий рядовой Д (длиннопламенный)
челябинский БК (бурый крупный)
2 905
6 260
4 279.
Какое количество кузнецкого угля Д или челябинского БК мо¬
жет заменить 31,1 т подмосковного угля БР?
Указание. Очевидно, что
2 905 • 31,1 = 6 260 ∙ y↑ = 4 279 ∙ у2.
Установив против числа 2 905 шкалы H↑ число 31,1 обращен¬
ной шкалы H2i читаем против чисел 6 260 и 4 279 шкалы H↑ отве¬
ты для y↑ и для у2 на шкале Н2. Коэффициент k (постоянное произ¬
ведение) в данном случае равен 2 905 • 31,1; прочитайте величину
k на любом из концов получившейся установки (⅛≈90 300 б. кал.).
3. Цеховые и общезаводские расходы завода вместе составили
6,13 процента по отношению ко всей величине 2 195 010 руб. за¬
трат на производство. Сколько процентов (с точностью до 0,01
процента) составила бы та же сумма накладных расходов завода
по отношению к общей величине затрат 1 823 776 руб.? к общей
величине 3 069 830 руб.? Какую абсолютную величину составляет
(приблизительно) сумма цеховых и общезаводских расходов за¬
вода?
Указание. Последнюю величину (k = 2 195010∙ -~-θ)
прочитайте в начале или в конце установки.
7. Обратные числа
Мы уже знаем, что при исходном положении движка (см. рис.
19 и формулу (5) ) каждые два противостоящих числа шкал H↑ и
Н2 связаны соотношением:
х • у = 10,
(5)
или, иначе:
Ю ю
л = у; y=-.	(5)
Отсюда — один только шаг к получению на линейке обрат¬
ных чисел.
76

Как известно, два взаимно обратных числа х и ц связаны соот¬
ношением:
*∙y = l,	(8)
или, иначе.
Замена числа 10 в равенствах (5z) на число 1 в равенствах
(9) должна отражаться только на местоположении запятой вод¬
ном из чисел х или у (запятая передвинется на один знак вле¬
во), но не на значащих цифрах этих чисел. Следовательно, уста¬
новив обращенный движок (рис. 19), мы можем тут же прочи¬
тать против любого числа х на шкале Hi значащее выра¬
жение обратного ему числа у на обращенной шка¬
ле Н2 (или наоборот: против любого числа у на обращенной
шкале Н2 — значащее выражение обратного ему числа х на
шкале Hl). Место же запятой в обратном числе определяется
по следующим правилам.
Если данное число х больше единицы, то обратное число

X
есть правильная дробь. Если выразить эту дробь в десятичной
форме, то она должна содержать перед своим значащим выраже¬
нием столько нулей (включая и нуль целых), сколько знаков
имеется в целой части данного числа х. Наоборот, если данное
. 1
число х меньше единицы, то обратное число — больше еди¬
ницы, и в его целой части столько знаков, сколько в данном
числе имеется нулей слева (включая нуль целых).
Нанеся волосок на любое число х шкалы H↑, мы одновременно
получаем под волоском на обращенной шкале Н2 отсчет (знача¬
щие цифры) числа у = —, обратного данному числу х. Таким
образом обращенная шкала Н2 является, в сущ¬
ности, целой таблицей обратных чисел, — при
этом таблицей, дающей 3—4 значащие цифры обратного числа
(3 цифры — в правой, 4 цифры — в левой части шкалы II2)∙
Примеры. Вычислить числа, обратные следующим:
а) 2,161; б) 365,9; в) 0,07182.
Устанавливая волосок на шкале H↑ на отсчетах:
а) 2—1—6; б) 3 — 6 — 6; в) 7—1—8,
читаем соответствующие отсчеты обратных чисел на обращенной
шкале //г:
а) 4 — 6 — 3; б) 2 — 7 — 3; в) 1—3 —9 — 3.
Принимая во внимание место запятой в данных числах, ставим
запятые в обратных числах:
а) 0,463; б) 0,00273; в) 13,93.
77

8.	Обратная шкала
Мы видели, какие вычислительные возможности открывает
обращенная шкала Н2. Однако для получения ее необходимо
предварительно вынуть движок из паз линейки, повернуть его на
180° и вдвинуть обратно в пазы линейки. Если предстоят многочи¬
сленные подсчеты, связанные с обратной зависимостью или с
обратной пропорциональностью, то такая операция обращения
движка оправдывается достигаемой общей экономией времени.
Вынимать же и вдвигать движок ради одного-двух таких вычи¬
слений — составляет уже значительную потерю времени.
Вот почему в усовершенствованных линейках имеется специ¬
альная обратная шкала R, нанесенная на движок между шкалами
Н2 и В2 (см. рис. 23) и в точности представляющая собой обра¬
щенную шкалу H2i т. е. ту же шкалу H2t только нане¬
сенную справа налево. С целью особо выделить шкалу
/?, ее деления и цифры наносят красным цветом («красная шка¬
ла»).
Bt 1	юо
r, I	и—I—ι—Н-Н-Н4——Н	1	1—нн о t ∣ |
В,
10 9 8	7	6	5	4	3	2	1
Я I—ι—ι—∣	1—ι	1	1	1	1
Н, 1	2	3	»56789 10
I—————	1 I	1	1—1	1	1-∙-ι—ι—|
Λ⅛ 1	3	4	5	6	7	8 9 W
Рис. 23.
Обратная шкала (Я).
При наличии шкалы R отпадает необходимость вынимать и
обращать движок ради вычислений с обратно пропорциональны¬
ми величинами. Против любого числа х, взятого на шкале Hi,
можно по волоску тотчас же прочитать обратное число
У = на шкале R (отсюда и название «обратная шкала»). Вы¬
двинув движок на число k, мы против любого числа х шкалы
тотчас же читаем число у = — на шкале R.
Вместе с тем, наличие обратной шкалы R создает до¬
полнительные удобства и для обычных видов
вычислений. Укажем на два главных.
1.	При перемножении a∙b обычным способом нам приходится
подводить к множимому а на шкале Н\, в зависимости от величи¬
ны множителя Ь, в одних случаях — начало, в других случаях —
78

конец шкалы Н2. При этом приходится соображать, какой из двух
концов Н2 подводить (левый или правый), иногда убеждаться в
неправильности сделанного выбора и производить переброску
движка.
Наличие обратной шкалы R дает возможность заменить
умножение а - b делением а на обратное число
b
беря
	 в готовом
ь
z 1
а ∙ b — а:	,
ь
виде, как число b на обратной шкале R. По¬
этому, например, умножение 6,42- 1,35 на шкалах H↑ и Н2 можно
заменить делением 6,42 : 1,35 на шкалах H↑ и R:
а)	наносим волосок на число 6,42 шкалы Н\\
б)	подводим под волосок число 1,35 шкалы R;
в)	против конца движка читаем произведение 8,67.
2.	При перемножении трех сомножителей а • Ь • с обычным спо¬
собом на Н{ и Н2 необходимы две установки движка. При пе¬
ремножении а • Ь • с с помощью шкал /Л, Н2 и R достаточна
одна установка движка. Так, произведение 6,42 • 1,35 • 5,64 мож¬
но получить сокращенным способом, как 6,42 :	• 5,64, именно:
а)	наносим волосок на число 6,42 шкалы H↑∙9
б)	подводим под волосок число 1,35 шкалы R (после чего под
концом движка на шкале H↑ можно прочитать число 6,42 : ——
= 6,42.1,35);
в)	не читая полученного результата, наводим
волосок на число 5,64 шкалы Н2 (на третий сомножитель);
г)	читаем на шкале Н\ под волоском окончательный ответ
48.9.
Итак, 6,42 • 1,35 • 5,64 = 48,9.
Упражнение. Вычислите, пользуясь обратной шкалой R,
произведение 64,3 • 0,728 • 1,341 • 0,54 • 3,89.
Указание. Перемежайте деление на обратное число (на
шкале /?) с умножением (на шкале Н2) следующим образом:
64,3: —1— • 1,341 : —5— • 3,89.
0,728	0,54
9.	Пропорциональное деление
Случаи применения пропорционального деления в экономиче¬
ской практике часты и многообразны. Покажем технику такого
деления на линейке, пользуясь конкретным примером.
Пусть требуется разделить число 1 800 на три части пропор¬
ционально трем числам: 3, 4 и 5. Это значит разбить 1 800 на та¬
79

кие три части у\, у% и r∕3, которые образовали бы с числами 3, 4,
5 пропорции, т. е. составили бы вместе с ними ряд равных отно¬
шений:
3	4	5	,
На основании известного из алгебры свойства ряда равных
отношений, отношение суммы предыдущих членов к сумме после¬
дующих также равно коэфициенту пропорциональности А, так что
в нашем случае:
■У1 + Jz2 + y i _ k
3 + 4 + 5
Но по условию сумма y↑ + У2 + Уз равна всему данному числу
I 800; следовательно,
1 800	_ 1800
3 + 4+5 “12
На основании равенств (10) и (11) можем написать:
y1 _ у2	у,ι __ 1 800
3 ~ Т “	12
(Н)
(12)
Отсюда ясно, что искомые части у\, у2, уз могут быть немед¬
ленно получены на линейке, если только сдвинуть влево шкалу
Нъ движка так, чтобы число 1 800 этой шкалы («верхнее число»)
оказалось против числа 12 шкалы H↑ («нижнего числа»). Произ¬
Рис. 24.
Деление числа 1 800 пропорционально 3:4:5
ведя такую установку, т. е. фактически установив отсчет 1 — 8
против отсчета 1 —2 (см. рис. 24), последовательно нацодим во¬
лосок на «нижние числа»:
3	,	4,	5
и над ними, по волоску, читаем отсчеты «верхних чисел»:
4	— 5,	6,	7 — 5,
80

которые, как ясно из самого условия задачи, должны выражать
следующие три части данного числа 1 800:
У\ = 450; у2 = 600; у3 = 750.
Поверка сложением дает: 450 + 600 + 750 = 1 800.
Упражнение.
Разделить 6 000 пропорционально числам; 2—— , 6—!— и 3.
2	2
Какое затруднение встретилось при решении этого упражне¬
ния? Как его обойти?
Задачи.
1.	Тресту установлен на квартал лимит банковского кредита
в 383 тыс. руб. Распределите этот лимит кредита между тремя
конторами треста пропорционально плановым остаткам товаров
у этих контор к концу квартала, а именно:
385600 руб.; 415 800 руб.; 475 200 руб.
(Ответы: 115 700; 124 700; 142 600.)
2.	При перевозке по железной дороге трех партий товара с
фактурной стоимостью 15 380 руб., 6 920 руб. и 10 160 руб. упла¬
чена общая денежная сумма 334 руб. 34 к. за страхование всего
товара в пути.
Распределите эту страховую сумму на три партии пропорцио¬
нально их фактурной стоимости.
(Ответ: на первую партию 158 руб. 40 к.)
3.	Цеховые расходы составили 117 990 руб. Основная заработ¬
ная плата производственных рабочих цеха за то же время соста¬
вила:
на выработку
изделия
«А»
157 тыс. руб.
» »
»
«Б»
132 »	»
» »
»
«В»
85 »	»
» »
»
«Г»
63 »	»
Какую величину
цеховых
расходов
следует отнести (пропор-
ционально заработной плате производственных рабочих) на себе¬
стоимость изделия каждого вида, выработанного в цехе?
(Ответ: на изделие «А» — 42400 руб.)
§ 9. ПРОЦЕНТНЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ НА ЛИНЕЙКЕ
В нашей хозяйственной практике находят широчайшее приме¬
нение относительные величины, выражаемые в процентах. Так, в
большинстве случаев именно в процентах выражают: относитель¬
ные величины в учете, статистике, в отчетности и при ее анализе;
плановые задания по сравнению с отчетными данными за предше¬
ствующий период; степень выполнения плана и т. д. Отсюда по¬
нятно значение процентных вычислений в нашей хозяйственной
практике.
6 Ф. Д. Лившиц
81

Основу процентных вычислений составляют умножение и де¬
ление — действия, для механизации которых главным образом и
предназначена логарифмическая линейка. Как мы увидим далее,
по простоте, легкости и удобству, с какими производятся процент¬
ные вычисления на линейке, она намного превосходит конторские
счеты и может соперничать даже со специальными таблицами для
процентных вычислений, а по быстроте оставляет позади вычисли¬
тельные машины. При этом степень точности результатов, дости¬
гаемая на линейке, в подавляющем большинстве случаев практи¬
чески достаточна для повседневной вычислительной работы хозяй¬
ственника, плановика, экономиста, статистика, аналитика.
Мы будем предполагать, что читателю известны главные поня¬
тия, правила и формулы, касающиеся процентных вычислений.
Поэтому мы лишь вкратце напомним о них — для связи с даль¬
нейшим изложением.
1.	Основные понятия и формулы
Рассматривая типичное процентное соотношение чисел:
«число а составляет р % числа А»,
видим, что в любой задаче, касающейся процентов, должны уча¬
ствовать три числовые величины:
1)	начальное число А, представляющее собой целое и прини¬
маемое за 100%;
2)	число процентов р, называемое также процентной таксой;
3)	процентная часть а, называемая также процентной суммой
(т. е. часть начального числа А, составляющая р% этого числа).
Число р% есть процентное отношение числа а к числу А.
В любой задаче на процентное вычисление из трех числовых
величин А, а, р две должны быть заданы, а третья является иско¬
мой. В зависимости от того, какие из величин А, а, р заданы и
какая отыскивается, возможны три типа задач на процентные
вычисления.
Задача I типа (вычисление процентной части а). —
Найти р% числа А.
Эта задача решается умножением начального числа А
на р%, т. е. на —-—, по формуле:
Например, 13% числа 85 равны:
85 ∙ 13% = -— = 11,05.
'0	100
Задача II типа (обратная первой: вычисление начально¬
го числа Л). — Найти число, р% которого равны а.
82

Эта задача решается делением процентной части а на
р%, т. е. на ' , по формуле:
. _ а • 100
—■ 	 •
Р
Например, если 32,5% начального числа равны 136,5,
чальное число равно:
136,5 :32,5% = 136,5: — = -1-6,5 ’ 100■ - 420.
0	100	32,5
Задача III типа (вычисление числа процентов р
самым, процентного отношения р%). — Сколько процентов чис¬
ла А составляет число а?
Формула для вычисления р (числа процентов) может быть
непосредственно выведена из формулы (1) или формулы (2),
именно
(2)
то на-
и, тем
отсюда получаем и формулу процентного отношения:
P0∕o=--^°‰	(3')
равнозначную формуле (3).
Например: сколько процентов составляет число 18,9 по отно¬
шению к числу 135? — Находим искомое число процентов:
18,9-100	1890
р = —		=	= 14
r 135	135
и; тем самым, искомое процентное отношение заданных чисел:
P% = ∕4%.
2.	Общие замечания
Перейдем к технике процентных вычислений на логарифмиче¬
ской линейке.
Рассматривая три основных формулы (1), (2) и (3), мы заме¬
чаем следующее. Каждая из них имеет в правой части (выражаю¬
щей ответ) по три компонента, один из которых всегда есть число
100. Но при действиях на линейке ни умножение, ни деление на
100 не может изменить значащие цифры ответа, значит, его от¬
счет на линейке. Следовательно, для получения ответа по любой
из формул (1), (2), (3) на линейке достаточно только одно
действие: умножение (Л • р в формуле (1)) или де-
6*
83

лен не (— в формуле (2); 	 в формуле (3) ). Поэтому при
Р	А
процентных вычислениях на линейке:
1)	число 100, входящее в формулы (1) — (3), оставляют без
внимания;
2)	производят обычным путем умножение исходных чисел
(Л • р) или деление одного на другое ( — ; -γ-);
\ р А /
3)	прочитывают получившийся отсчет, т. е. три — четыре зна¬
чащие цифры ответа;
4)	отделяют в ответе запятой целую часть от дробной, причем
пользуются преимущественно числовой прикидкой в уме.
Для процентных вычислений удобнее всего нижние шкалы ли¬
нейки. Но- и на этих шкалах, как мы знаем, устанавливать исход¬
ные числа (в данном случае Л, а, р) и прочитывать результат
можно с ограниченным числом верных знаков: с четырьмя — в
левой, с тремя — в правой части линейки. Поэтому, несмотря на
все выгоды линейки при процентных вычислениях, обращаться
к ней можно лишь в тех случаях, когда условия задачи допускают
приближенный ответ с указанной степенью точности.
3.	Вычисление процентной части числа
Вычисление процентной части числа, по формуле
требует на линейке, как мы уже говорили, только одного действия
умножения (Л • р), т. е. только одной установки движка. Покажем
технику такого вычисления на примерах, попутно оценивая сте¬
пень точности получаемых результатов.
Примеры.
1.	Найти 14% числа 185.
Искомая процентная часть, согласно формуле (1), равна
5 • 14
Не обращая внимания на число 100 в знаменателе,
100
умножаем на шкалах H∖H2 185 на 14 и получаем отсчет произве¬
дения 2 — 5 — 9; таков же и отсчет всего ответа. Так как 1 % чис¬
ла 185 есть 1,85, т. е. приблизительно 2, то 14% должны состав¬
лять около 28; следовательно, отсчет 2 — 5 — 9 должен выражать
число 25,9. (Ответ вполне точный.)
2.	Цена товара равна 218 руб. 20 к. и должна быть понижена
на 6,5%. Найти величину снижения цены.
Округляя, по необходимости, множимое 218,2 руб. до трех
верных знаков (отсчет 2 — 1 — 8) и не обращая внимания на за¬
пятую во множимом (отсчет 6 — 5), получаем отсчет ответа
1—4—1—7. Так как 1% множимого равен 2,182 руб., т. е.
84

около 2 руб., то 6,5% его должны составлять около 13 руб.;
следовательно, отсчет 1—4—1 — 7 выражает число 14,17 руб.,
или 14 руб. 17 к. — приближенную величину снижения
цены.
Точно вычисленная величина снижения равна:
218,2 руб. • 6,5% = 14,183 руб. = 14 руб. 18,3 к.;
абсолютная погрешность^ответа на линейке равна 1,3 к.; относительная погреш¬
ность ответа равна = или около (около %).
3.	По плану база строительных материалов должна получить
на месяц 1 460 кг круглых гвоздей со следующим ассортиментным
распределением:
строительные
толевые
48 %
14,5%
кровельные
штукатурные
отделочные
23 %
12 %
2,5%
Сколько килограммов гвоздей каждого сорта должна получить
база?
Производим на линейке серийное умножение числа 1 460 по¬
следовательно на числа: 48; 14,5; 23; 12; 2,5. Установив начало 1
движка против отсчета 1 — 4 — 6 шкалы Hi, последовательно на¬
водим волосок на следующие отсчеты шкалы Н^:
4 — 8; 1 — 4 — 5; 2 — 3;1— 2; 2 — 5
и с возможной точностью прочитываем под волоском
соответственные отсчеты на шкале H↑∙.
7 — 0— 1; 2 — 1 — 1 —6; 3 — 3 — 6; 1 —.7 — 5 —2; 3 — 6 — 5.
Так как 1 % числа 1 460 равен 14,6, т. е. приблизительно 15,
то числовой прикидкой в уме определяем, что полученные отсчеты
должны выражать следующие числа (вес в кг):
701; 211,6; 336; 175,2; 36,5.
Поверка путем сложения (при таких вычислениях всегда не¬
обходимая) обнаруживает, что сумма
701 + 211,6 + 336 + 175,2 + 36,5 = 1 460,3
на 0,3 превышает заданную в условии сумму 1 460. Поправляем
полученные ответы, пропорционально уменьшая те, для которых
могли быть прочитаны только три значащие цифры ответа (отсче¬
ты 7 — 0 — 1 и 3 — 3 — 6). Окончательно получаем:
700,8 кг; 211,6 кг; 335,9 кг; 175,2 кг; 36,5 кг.
85

Сравним эти ответы с совершенно точными (которые могли бы быть полу¬
чены на бумаге, на арифмометре, при помощи таблиц умножения и т. п.):
700,8 /се; 211,7 кг; 335.8 кг; 175,2 кг; 36,5 кг.
Как видим, только два ответа из пяти, полученных на линейке, содержат
незначительную абсолютную погрешность в ±0,1 кг (их относительные погреш-
нести равны yyp7 и , т. е. менее — % и — %). При решении прак¬
тических задач, подобных данной, абсолютная точность не нужна, а столь не¬
значительные погрешности неощутимы.
Решите самостоятельно следующие задачи, производя вычи¬
сления на линейке; при этом сверяйте приближенные ответы, по¬
лучаемые на линейке, с точными ответами, указанными в скоб¬
ках, и определяйте величину абсолютной и относительной погреш¬
ности ответов на линейке.
Задачи.
1.	Выход пряжи составляет по весу 81,69% перерабатываемого
хлопка. Сколько пряжи получится из 672 т хлопка? (Точный от¬
вет 548,9568 т.)
2.	Сумма всех оборотных средств предприятия к началу года
составляла 246 080 руб. По плану предполагается к концу года
уменьшить эту величину, за счет ускорения оборота средств, на
8,3%. На какую денежную сумму сможет уменьшить предприятие
к концу года величину необходимых ему оборотных средств?
(Точный ответ 20 424 руб. 64 к.)
3.	Первоначальная стоимость производственного здания
120 880 руб. Величина ежегодных амортизационных отчислений
установлена в 4,78% от его первоначальной стоимости. 60% этих
отчислений идет на восстановление первоначальной стоимости
здания, а остальные 40% — на капитальный ремонт здания. Вы¬
числите:
а)	всю ежегодную денежную сумму амортизационных отчис¬
лений;
б)	денежные суммы, ежегодно отчисляемые на восстановление
первоначальной стоимости здания и на его капитальный ремонт.
(Ответы с точностью до копейки: а) 5 778 руб. 06 коп.;
б) 3466 руб. 84 к. и 2 311 руб. 22 к.)
4.	Вычисление начального числа
Вычисление начального числа по его процентной части встре¬
чается на практике значительно реже других процентных вычи¬
слений. Как мы уже знаем, оно производится по формуле
д	а - 100
~ Р
и сводится на линейке к одному действию деления ( -≤-) •
\ р /
86

Покажем технику таких вычислений на примерах.
Примеры.
1.	Вес готовой продукции составляет 87,3% затрачиваемого на
нее сырья. Сколько сырья необходимо для изготовления 1 215 кг
этой продукции?
Разделив 1 — 2 — 1 — 5 на 8 — 7 — 3, читаем под концом 10
движка отсчет 1 — 3 — 9 — 2. Так как искомое начальное число
должно быть несколько более указанной его процентной части
1 215, то отсчет должен выражать / 392 кг.
Более точное значение ответа 1 391,75 кг. Погрешность ответа, полученного
на линейке (абсолютная — около 0,25 кг, относительная — около ∣	~
25	25	1	1
—	≈	 <Г	, т е. около

139 175	140 000	6 000’	60
ничтожна и не имеет в
подобных хозяйственных вычислениях практического значения.
2.	Розничный магазин получил с оптовой торговой базы тек¬
стильные товары на общую сумму 63 628 руб. по оптовым ценам.
Вычислить стоимость полученных товаров по розничным ценам,
если известно, что оптовые цены базы меньше розничных на 5,5 %.
Оптовая цена равна в данном случае (100—5,5)% =94,5%
розничной цены. Следовательно, задача сводится к вычислению
начального числа, 94,5% которого равны 63 628 руб. Разделив на
линейке 63 628 (отсчет 6 — 3 — 6) на число 94,5 (отсчет 9 — 4 —
— 5), читаем отсчет частного 6 — 7 — 3, который в данном случае
должен быть прочитан как 67 300 руб.
Более точный ответ 67 330 руб. 12 коп. Абсолютная погрешность ответа на
30	1
линейке — около 30 руб., относительная — около -	■ ≈	• , т. е. менее
и/ 330	2 244
, %. Сталь незначительные неточности при решении подобных задач прак¬
тически не имеют значения.
5.	Вычисление процентного отношения
Наиболее частый случай процентных вычислений — вычисле¬
ние процентного отношения двух чисел. Как мы уже знаем, чис¬
ло р процентов, которое составляет а по отношению к А, находят
по формуле:
(3)
и на линейке вычисление р сводится к одному действию — деле¬
нию числа а на число А (одной установке движка). Вычислив р
(число процентов), мы тем самым определяем и искомое процент¬
ное отношение р % заданных чисел.
Процентные отношения с достаточной для практики степенью
точности выражают трехзначными числами (например: 5,24%;
87

16,8%; 74,3%), гораздо реже — четырехзначными (5,243%;
16,82%; 74,29%). На шкалах H,H2 линейки может быть прочитан
любой ответ с тремя значащими цифрами, а в пределах участка
(1 — 2) — и с четырьмя. Следовательно, степень точ¬
ности линейки практически достаточна для
главного вида процентных вычислений — вы¬
числения процентных отношений.
Покажем технику этого вычисления на примерах.
Примеры.
1.	Сколько процентов составляют 144 руб. 90 к. по отношению
к 225 руб.?
Разделив 144,9 на 225, получаем отсчет частного (числа про¬
центов) 6 — 4 — 4. Так как 144,9 руб. несколько более половины
числа 225 руб., то отсчет 6 — 4 — 4 может выражать единственно
64,4 (процента).
При этом вычислении оба данных числа могли быть установле¬
ны на шкалах HiH2 со всеми значащими цифрами, а ответ 64,4
получен вполне точно.
2.	Вычислить процентное отношение 7928 руб. 16 к. к
63 680 руб.
Оба числа можно установить на H∖H2 только с тремя верными
знаками — как отсчеты 7 — 9 — 3 и 6 — 3 — 7. Произведя деле¬
ние 793 на 637, читаем отсчет частного 1 — 2 — 4 — 5. Так как
число 7 928 руб. 16 к. несколько более ~ числа 63 680 руб., то
полученный отсчет выражает процентное отношение 12,450∣0.
3.	Сколько процентов составляет число 268,6 по отношению
к числу 3 247?
Оба числа могут быть установлены на H∖H2 только округлен¬
но. Разделив 2 — 6 — 9 на 3 — 2 — 5, получаем отсчет частного
(числа процентов) 8 — 2 — 7. Так как 1 % числа 3 247 равен 32,47,
т. е. приблизительно 30, то число 268,6, близкое к 270, должно со¬
ставлять около 9 процентов. Следовательно, отсчет 8 — 2 — 7 вы¬
ражает 8,27 процента (8,27%).
Более точное значение ответа 8,273%; абсолютная йогрешность ответа на
„	0,003%
линейке (0,003%) и относительная величина этой погрешности (—	-- —
ъ ,2ιo %
3
1
——— ≈ —— ) практически не имеют значения,
о 27о	2 758
Решите самостоятельно при помощи линейки следующие за¬
дачи.
Задачи.
1.	Израсходовано 354 800 руб. при сметной величине расхода
380 000 руб. Сколько процентов сметной суммы составляет до¬
стигнутая экономия?
88

2.	Объем продукции завода и величина брака в первом и вто¬
ром полугодии выражаются следующими данными (в натураль¬
ных единицах продукции):
1-е
полугодие
2-е
полугодие
Продукция, вместе
с браком

В том числе брак . .
67 850
747
71 320
572
Вычислите в процентах и сравните доли брака продукции в
первом и ВО' втором полугодии.
3.	Итог баланса предприятия равен 5 782 343 руб. 60 к.; стои¬
мость основных средств предприятия равна 985 827 руб. 80 к.
Сколько процентов итога баланса составляет величина стоимости
основных средств?
6.	Процентирование слагаемых к «итогу
Этот важный для практики вид вычислений состоит в отыска¬
нии процентного отношения каждого из слагаемых к их итогу и
особенно удобно производится на линейке.
Пусть имеется сумма:
Cl∖ +	+ а3 + а4 = А,
и требуется вычислить процентное отношение (процентную вели¬
чину) каждого слагаемого к итогу А, т. ,е. найти числа процентов:
a1 • 100	«о • 100	• 100	• 100
p1 = -⅛-; p∙- = ÷τ~ ∙ p∙ = ^~'∙ р‘ = ~—•
Отсчеты чисел pb р2, Рз, Pt могут быть получены на линейке
серийным делением чисел ai, a2, a3, ai на одно и то же число А,
или, что то же, серийным умножением этих чисел на одно и то же
обратное число --— (срвн. § 8, п. п. 2 и 3 на стр. 65—70).
√4
На линейке гораздо выгоднее второй прием. Обратное число —
может быть легко получено, если установить начало 1 или конец
10 одной из шкал H∖H2 против числа А на другой шкале .
Примеры.
1.	Вычислить процентные отношения следующих слагаемых к
их итогу:
89>

2 631
1 857
592
1 134
6 214
Установим отсчет 6 — 2 — 1 шкалы Н2 движка (три верных
знака округленного итога) против конца 10 шкалы Н2;
тогда под началом 1 движка образуется число	, обратное
округленному итогу (его отсчет 1—6—1, но прочтение этого
отсчета не нужно). Остается умножить это обратное число после¬
довательно на каждое из слагаемых, для чего, не трогая движка,
последовательно наводим волосок на отсчеты движка:
2 — 6 — 3; 1—8 — 6; 5 — 9 — 2; 1 — 1—3 — 4.
Против этих отсчетов на движке, соответственно читаем под
волоском на шкале Н\ отсчеты:
4 — 2 — 3; 2 — 9 — 9; 9 — 5 — 2; 1—8 —2 —7,
которые выражают искомые числа процентов.
1% итога 6 214 равен 62,14, т. е. приблизительно 60; прикиды¬
вая в уме приблизительное число процентов в каждом слагаемом,
записываем ответы (числа процентов), выражаемые полученными
•отсчетами:
42,3; 29,9; 9,52; 18,27.
Поверка сложением дает:
42,3% + 29,9% + 9,52% + 18,27% = 99,99%,
т.	е. ничтожное расхождение с необходимыми 100%. Округляя
ответы до 0,1 %, окончательно получаем:
Абсолютные
величины
То же в %%
2 631
42,3
1857
29,9
592
9,5
1 134
18,3
6214
100β
(Почему при решении этого примера было необходимо устано¬
вить отсчет итога 6 — 2 — 1 на движке против конца, а не против
начала шкалы Hif)
■90

2. Вычислить процентные отношения слагаемых к итогу:
1 053
3614
735
812
6 214
В этом примере итог тот же, что и в примере 1, но слагаемые
иные. Установив, каки раньше, отсчет итога 6—2—1, взятый на
движке, против конца 10 шкалы Н\, замечаем, что при такой
установке движка нам удастся получить на Н\ отсчеты (числа
процентов) только для первых двух слагаемых, первые значащие
цифры которых (1 и 3) меньше первой значащей цифры итога
(6). Для остальных двух слагаемых необходимо установить отсчет
итога 6 — 2 — 1 против начала 1 шкалы Hl (произведя пере¬
броску движка). В результате получаем четыре отсчета:
1 — 6 — 9 — 6;5 — 8 — 2; 1 — 1 — 8 — 4; 1 — 3 — 0 — 8;
числовой прикидкой выясняем, что они должны выражать следу¬
ющие числа процентов.
16,96; 58,2; 11,84; 13,08.
Сумма их дает:
16,96% + 58,2% + 11,84% + 13,08% = 100,08%.
Отнеся неточность вычислений (+ 0,08%) за
счет наибольшего числа 58,2, для которого
мы могли прочитать на линейке только три
верных знака (т. е. уменьшив его на 0,08), и округлив отве¬
ты до 0,1%, окончательно получаем:
Абсолютные
величины
То же
в %%
1053
17.0
3 614
58.1
735
11,8
812
13.1
6214
1
100 0
Решите самостоятельно следующую задачу.
Задача.
Затраты (в рублях) на производство одного станка ЛК—2 в
1952 г. и в 1953 г., по отчетным калькуляционным данным, со¬
ставляли:
91

Калькуляционные статьи затрат
Затраты в руб.
То же в %0∕0 к итогу
1952
1953
1952
1953
(А)
(I)
(2)
(3)
	0)
1.	Сырье и основные материалы .
2.	Вспомогательные материалы . .
3.	Топливо

4.	Электроэнергия и пар

5.	Заработная плата производ¬
ственных рабочих (основная и
дополнительная)

6	Отчисления органам социаль¬
ного страхования

7.	Потери от брака

8.	Цеховые расходы

9.	Общезаводские расходы .
5 114
747
151
324
3 877
388
214
924
620
4 748
702
118
376
3 598
360
105
976
595
Заводская себестоимость (1—9)
10. Внепроизводствснные расходы .
12 359
138
11 578
144
Полная себестоимость (1 — 10) . .
12 497
11 722
Вычислите на линейке процентные отношения отдельных за¬
трат к полной себестоимости (с точностью до 0,1%) в 1952 г. и
в 1953 г. После выверки ответов проставьте их в столбцах (3) и
(4) таблицы.
Установите, какие изменения в структуре себестоимости стан¬
ка ЛК—2 (увеличение или уменьшение доли каких статей затрат)
произошли в 1953 г. по сравнению с 1952 г.
Указания. Перед вычислением определите, следует л»
устанавливать отсчеты итогов (полной себестоимости) против на¬
чала или против конца шкалы H↑.
Если для некоторых слагаемых потребуется переброска движ¬
ка, то сначала закончите вычисления с теми слагаемыми, которые
не требуют переброски, затем производите переброску и после нее
переходите к остальным слагаемым.
7.	Увеличение или уменьшение ряда чисел
на данное число процентов
Предположим, что требуется увеличить каждое из чисел:
56, 63, 77, 85, 134, 225
на 12%. Искомые числа должны соответственно составить
(100 + 12) % = 112%, или 1,12 данных; следовательно, они могут
быть получены умножением числа 1,12 на ряд данных чисел (се¬
рийным умножением). Приемы такого умножения на линейке уже
были изложены в § 8, п. 2; в частности, при рассмотрении приме-
92

pa 2 на стр. 68 показана техника серийного умножения именно
числа 1,12 на ряд данных выше чисел: 56, 63, . . . 225.
Аналогично производят уменьшение ряда чисел на одно
и то же число процентов. Если бы, например, было необходимо
уменьшить каждое из чисел ряда, приведенного выше, на 8,7%,
т. е. вычислить новые числа, соответственно составляющие
(100 — 8,7)% =91,3%, или 0,913 данных, то вычисление свелось
бы к серийному умножению числа 0,913 на ряд данных чисел: 56,
63, . . . 225. Установив отсчет 9 — 1 — 3 движка против конца 16
шкалы ∕7j, мы против каждого из данных чисел, взятого на движ¬
ке («верхнего числа»), прочитали бы под волоском на шкале H↑
новое число («нижнее число»), на 8,7% меньшее данного.
8.	Последовательное процентирование
Если требуется найти P↑% числа А, затем найти P2% от полу¬
ченной процентной части, далее найти P3% от второй процентной
части и т. д., то перед нами случай последовательного процента-
рования. Если такое последовательное процентирование произве¬
дено, например, четыре раза, то окончательный результат, оче¬
видно, должен быть равен:
А ∙ P10∕n ∙ P,o∕o ∙ P30∕0 ∙ P4o∕o = А ∙	∙ ⅛ ’ — ’ — =
11	“/0	3 /0	4 /0	100	100	100 100
_ 9 Pι9 р^ * P^' P^	∕z∣∖
100*
При вычислении такого результата на линейке достаточно по¬
лучить отсчет числителя (последовательным перемножением всех
пяти сомножителей — см. § 7, п. 1) и путем числовой прикидки
определить порядок ответа. При этом выгодно пользоваться обрат¬
ной шкалой Rf что уменьшает число подач и перебросок движка
и экономит время при вычислении.
Примеры.
1.	Затраты на производство продукции определенного вида
составили в 1 квартале 646 670 руб. Во II квартале, по сравне¬
нию с I, число единиц этой продукции должно составить 112%, а
себестоимость единицы продукции — 96,3%. Заработная плата
производственных рабочих (основная и дополнительная) соста¬
вит во II квартале 42,5% величины себестоимости. Вычислить по
этим данным плановую величину фонда заработной платы про¬
изводственных рабочих во II квартале.
Искомая величина фонда должна быть равна (в руб.):
648 670- 112% ∙96,3% ∙42,5% = 648 670- 1,12 ■ 0,963 • 0,425.
Для последнего произведения четырех сомножителей получаем
на линейке отсчет 2 — 9 — 7. Логическим путем или путем число¬
вой прикидки (650 000 • 1 • 1 • 0,4 = 65 000 • 4 = 240 000) выясняем
величину ответа: 297 000 руб.
93

Более точный подсчет — на бумаге, на арифмометре, по таблицам — дают
(с точностью до рубля) ответ 297 364 руб. Погрешность ответа на линейке: аб-
364	1	1
солютная — 364 руб., относительная 297 364 ≈ —, т. е. приблизительно ^ξ-%∙
При предварительных плановых расчетах такое округление чисел практически
допустимо. Существеннее однако другое: плановые показатели 112%, 96,3% и
42,5% надо рассматривать как имеющие только по три верных» знака каждый,
поэтому в ответе 297 364 (плановая величина фонда заработной платы) можно
ручаться, в лучшем случае, за три верных знака'; следовательно, округленный
ответ 297 000 руб. на линейке и с этой точки зрения вполне достаточен.
2.	Валовая продукция предприятия в IV квартале 1953 г. рав¬
на 1 243 065 руб. По плану, в I квартале 1954 г. предполагается
увеличение валовой продукции на 9% по сравнению с IV кварта¬
лом 1953 г., во II квартале 1954 г. — увеличение на 13% по
сравнению с I кварталом, в III квартале — уменьшение на 4%
по сравнению со П-м, в IV квартале — увеличение на 14% по
сравнению с Ш-м. Какова должна быть по плану валовая про¬
дукция предприятия в IV квартале 1954 г.?
Ответ дается произведением:
1 243 065-(100 + 9) % • (100+13)% • (100 — 4)% • (100 +
+ 14) % = 1 243 065• 109% • 113% • 96% -114% — 1 243 065 • 1,09 -
- 1,13-0,96-1,14.
Округлив по необходимости первый сомножитель (отсчет
1 — 2 — 4 — 3), последовательным четырехкратным умножением
получаем отсчет произведения: 1 — 6 — 7 — 7, который должен
выражать 1 677 000 руб.
Более точный подсчет, с точностью до рубля, дает 1 677 133 руб. Погреш-
133
ность ответа на линейке: абсолютная — 133 ∣py6., относительная ,	, т. е.
1 6/7 1оо
менее 10~ 000 * ИЛИ МеНее ”100 °/°‘ Разумеется» при плановых расчетах столь
незначительная погрешность практически вполне допустима.
9.	Процентное отношение данного числа
к различным числам
Вычисление процентных отношений одного и того же числа а
к нескольким различным числам A↑, Л2, ... Ап обычно требует
стольких действий деления, сколько- имеется различных начальных
чисел Л, и потому длительно и затруднительно. Между тем на
линейке такое вычисление производится быстро и легко, при по¬
мощи обратной шкалы R или одной установки обращенного
движка. (Возобновите в памяти сказанное в § 8, пп. 5, 6 и 8.)
Пусть требуется вычислить, сколько процентов составляет чис¬
ло 12 по отношению к каждому из трех чисел: 40; 56; 68. Обозна¬
чив три неизвестных числа процентов через ρ↑, Р2 и рз, можем
записать три соотношения:
94

∣2  40 * P∖ . ∣2 	 56 * p2 f 12 	 68 ∙ p.;
~^ 100 ’	^^ 100 ’	100 ’
откуда следует:
1 200 = 40 ∙ p1 = 56 ∙ p2 = 68 ∙p3∙
Последнее равенство говорит о том, что искомые числа про¬
центов pι, р2, рз обратно пропорциональны началь¬
ным числам 40, 56, 68, при коэфициенте пропорциональности (по¬
стоянном произведении) 1 200. Следовательно, вычисление pi, р2,
Рз может быть произведено при помощи установки обращенного
движка (см. § 8, п. 6) или при помощи обратной шкалы /?, если
она имеется на линейке (см. § 8, п. 8).
Установим обращенный движок так, чтобы конец 10 шкалы
Н2 был против числа I 200 (отсчета 1 —2) шкалы Hx∙, тогда, на¬
водя волосок на числа 40, 56 и 68 шкалы Нх, читаем против них
на обращенной шкале Н2 движка отсчеты искомых чисел px, р2 и
рз, именно: 3 — 0; 2 — 1 — 4; 1 — 7 — 6 — 5. Путем числовой при¬
кидки выясняем значение этих отсчетов (числа процентов): 30\
21,4; 17,65. Те же ответы получим против чисел 40, 56, 68 и на
обратной шкале R, если установим начало движка (в его обыч¬
ном положении) против 1 — 2 шкалы Нх.
Итак, число 12 составляет:
30	%	числа	40,
21,4 %	»	56,
17,65%	»	68.
Задачи.
1.	Оптовая цена предприятия равна 446 руб., налог с оборота-
64 руб., вся торговая наценка 34 руб. 60 к. Сколько процентов-
составляет торговая наценка по отношению: а) к оптовой цене
предприятия? б) к оптовой цене промышленности? в) к розничной
цене данного товара?
Указание. Оптовая цена промышленности равна сумме
оптовой цены предприятия и величины налога с оборота.
2.	Плановая себестоимость реализованной за год товарной про¬
дукции фабрики 4 356 700 руб., фактическая, по отчетным данным,
равна 4 188 213 руб. Эта продукция реализована (по оптовым це¬
нам предприятия) за '4 838 956 руб.
Вычислите и сравните плановые и фактические показатели
рентабельности фабрики, выразив их процентными отноше¬
ниями плановой и фактической прибыли а) к величине выручки от
реализации и б) к соответствующей (плановой или фактической)
величине себестоимости продукции.
Указание. Предварительно вычислите величины плановой
и фактически полученной прибыли. — Действующие оптовые цены
предприятия на протяжении отчетного года не изменялись.
95

10.	Смешанные вычисления
Огромная выгода применения логарифмической линейки ска¬
зывается при решении задач, в когорых процентные вычис¬
ления сочетаются с действиями умножения
или деления, а также с возведением в квадрат или в куб и
извлечением квадратных и кубических корней. Во многих таких
случаях ответ может быть выражен одной общей числовой форму¬
лой и получен одним «сквозным» вычислением на линейке.
Приведем несколько таких задач (решение которых читатель
должен сам производить на линейке одновременно с чтением
текста).
Задачи.
1.	Расход топлива, в переводе на условное, определен по плану
в 265 т. Фактически израсходовано 524 т торфа (коэфициент пере¬
вода торфа в условное топливо равен 0,45). Вычислите в процен¬
тах величину экономии, достигнутой в расходе топлива.
524 т торфа равнозначны (524 • 0,45) т условного топлива, по-
.	o	524-0,45
этому фактический расход условного топлива составил 	—

524-0,45-100 0/	o
планового, или 	 % планового расхода. Вычислив на
265
524 • 45
линейке 	, читаем отсчет ответа 8 — 9, который выражает
265
89%. Следовательно, величина достигнутой экономии равна
(100-89)% = //%.
2.	Вес отходов составляет 5,6% веса сырья; тонна сырья стоит
820 руб. Сколько должно стоить сырье, необходимое для изготов¬
ления 7 т 80 кг готовой продукции из этого сырья?
Вес полезного сырья составляет (100 — 5,6) % = 94,4% перво¬
начального веса сырья, идущего в производство. Следовательно.
7 08
для производства 7 т 80 кг продукции потребуется сырья —— т,
7,08 • 100	820 • 7,08 • 100 ’ ’
или 	т, которые должны стоить		 руб.
в ’	„	820∙708	c' 1 e
Вычислив на линеике 	■, читаем отсчет 6— 1 —5, ко-
944
торый должен выражать ответ 6 150 руб. (ибо 7 с лишним тонн
продукции по цене около 800 руб./т должны стоить около
6000 руб.).
3.	По плану на 1954 год, предприятие должно иметь постоян¬
ный запас сырья на 38 230 руб., что должно составлять 41 % вели¬
чины всего запаса его материальных ценностей; 33,5% стоимости
всего запаса материальных ценностей должны оплачиваться за
счет банкового кредита, остальная часть — за счет собственных
средств предприятия.
96

Вычислить плановую величину банкового кредита и величину
собственных средств, необходимых предприятию в 1954 году для
образования постоянного запаса материальных ценностей.
38 230
Весь запас материальных ценностей должен составлять

38 230	°
руб., или 		 руб.; величина банкового кредита должна быть
0,41
38 230∙33,5%	38 230∙ 0,335 л d
равна	—.или	-	руб. Взяв на линеике
f	41%	0,41 ej
38 230
частное —	, читаем под концом движка отсчет 9 — 3 — 1, ко-
0.41
торый должен выражать 93 100 руб. (весь запас); не трогая движ¬
ка, переводим волосок на 3 — 3 — 5 движка и под ним читаем для
38230-0 335	о ι о
произведения 		 отсчет 3 — 1 — 2, выражающий
31 200 руб. (банковый кредит). — Все решение свелось к одной
установке движка и двум —трем установкам волоска.

ГЛАВА IV
СТАТИСТИЧЕСКИЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ
(первая часть)
В этой главе и в главе VI мы покажем типичные случаи приме¬
нения логарифмической линейки при статистических вы¬
числениях. При изложении обеих глав мы будем предпола¬
гать, что сущность и способ получения статистических показате¬
лей, о которых идет речь, знакомы читателю, и поэтому будем, по
возможности, ограничиваться техникой их вычисления на ли¬
нейке.
В зависимости от формы исходных данных (первичные данные
или уже сведенные путем суммирования) и от структуры статисти¬
ческого показателя (его математической формулы), вычисление
этого показателя
а)	может быть произведено без действий сложения и вычита¬
ния, или же
б)	может требовать также и этих действий.
В первом случае вычисление может быть полностью произведе¬
но на линейке. Во втором случае сложение и вычитание исходных
данных или промежуточных числовых результатов, получаемых на
линейке, производят вне линейки — на бумаге, в уме, на контор¬
ских счетах, на суммирующих машинах; однако и в этом случае
выгоды применения линейки весьма значительны.
В этой главе мы рассмотрим такие статистические вычисления,
для которых необходимы только умножение и деление на
линейке (§ 10) или же сочетание этих действий со сложением
(§ и).
§ 10. СТАТИСТИЧЕСКИЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ БЕЗ СУММИРОВАНИЯ
1.	Относительные величины
Любая относительная величина получается делением од¬
ного числа на другое и выражается либо в обычных долях едини¬
цы (например: 0,376; 0,065), либо в процентах (37,6%; 6,5%). На
98

практике чаще выражают такие величины в процентах. Преобра¬
зование обычных относительных величин в процентные отношения
или обратно не представляет никаких трудностей.
В зависимости от задачи, вычисление относительных величин
на линейке производят путем однократного или серийного деле¬
ния. Вычисления выгоднее производить на нижних шкалах HxH2.
Пример 1.
По переписи 17 января 1939 г. население Москвы было
4 137 018 чел., население Ленинграда — 3 191 304 чел. Выразить
величину населения Ленинграда по сравнению с населением Мо¬
сквы на дату переписи.
Деля на шкалах HxHi обычным способом 3—1—9 на 4—1—4,
читаем на Н\ отсчет частного 7—7—1, который должен выражать
0,771, или 77,1%.
Пример 2.
При переписях населения 17 декабря 1926 г. и 17 января 1939 г.
были получены следующие данные о составе населения Союза
ССР:
Даты
переписи
(А)
Все население
В том числе
мужчины
(1)
женщины
(2)
всего
(3)
городское
население
(4)
сельское
население
(5)
17. XII. 1926
71 043 352
75 984 453
147 027 915
26314 114
120713 801
17. I. 1939
81664 981
88 802 205
170 467 186
55909908
114557278
Вычислить на каждую дату и сопоставить:
а)	доли мужского и женского населения;
б)	доли городского и сельского населения;
в)	число человек городского населения на 100 чел. сельского
(иначе, процентное отношение городского к сельскому).
Для ответа на п. «в» делим обычным способом на HxHz следую¬
щие отсчеты:
2-6-3	5—5—9	.
1_2 — 0 — 7 ’ 1-1-4 —б’
получаем соответствующие отсчеты частных: 2—1—8 (можно про¬
читать даже точнее: 2—1—7—5) и 4—8—9. Числовой прикидкой в
уме определяем частные: 21,8 и 48,9 чел. городского населения
на 100 чел. сельского.
Для ответа на пп. «а» и «б» производим в каждой из строк
таблицы серийное деление чисел, стоящих в столбцах (1), (2),
(4), (5), на число в столбце (3); (см. о серийном делении в § 8,
п. 3, на стр. 69).
7*
99

Так, для 1939 г. делим отсчеты 8—1—7, 8—8—8, 5—5—9 и
1—1—4—6 на отсчет 1—7—0—5 (все население). Поставив
1—7—0—5 шкалы Н2 движка сперва против начала шкалы
Hι, а затем против ее конца, читаем против четырех отсчетов на
движке (против «верхних чисел»):
8—1—7; 8—8—8; 5—5—9; 1—1—4—6
четыре отсчета искомых относительных величин на Hl («нижние
числа»):
4—7—9; 5—2—1; 3—2—8; 6—7—2,
которые выражают:
47,9%; 52,1%; 32,8%; 67,2%.
(Заметим, что достаточно было найти только два числа —
47,9% и 32,8%, а остальные получить дополнением до 100%; одна¬
ко вычисление всех четырех более гарантирует от ошибок и дает
возможность числовой поверки всего вычисления: 47,9% +
+ 52,1% = 100%; 32,8% + 67,2% = 100%.)
Подобным же способом находим на линейке для 1926 г. сле¬
дующие относительные:
48,3%; 51,7%; 17,9%; 82,1%;
поверка суммированием дает попарные суммы 100%.
Оформим все полученные ответы в виде таблицы процентных
отношений:
(В процентах)
Даты
переписи
Все население
В том числе
Городское
в %%
к сельскому
муж¬
чины
жен¬
щины
всего
город¬
ское
сельское
(А)
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
17. XII. 1926
48,3
51,7
100
17,9
82,1
21,8
17.1. 1939
47,9
52,1
100
32,8
67,2
48,9
(На основании полученных относительных величин сделайте
выводы об изменениях в составе населения СССР, происшедших
от 1926 к 1939 году.)
2.	Индивидуальные индексы динамики
(базисные и цепные)
Чрезвычайно удобно и легко производится на линейке вычисле¬
ние индивидуальных индексов динамики.
100

Если ряд динамики явления (его развития, изменения во вре¬
мени) представлен последовательными абсолютными уровнями:
⅛bb⅞. . .yn,
то степень интенсивности этой динамики может быть выражена ли¬
бо базисными индексами, т .е. отношениями каждого уровня к на¬
чальному:
А, Λ1 Л	Л.	(1)
Уо	Уо	Уо	уи
либо цепными индексами, т. е. отношениями каждого уровня к
непосредственно предшествующему:
■У1 , Уз., Уз. # Уп _	(2)
У» ’ У1 ’ Уз ”	Уп-1
Базисное число ряда динамики (у0) принимается обычно за
100 (процентов); цепные индексы обычно выражают в процентах.
Вычисление базисных индексов (1) требует серийного деления
на начальный уровень уо, вычисление цепных (2) — попарного
деления каждого уровня на предыдущий. При вычислении цепных
индексов выгодно чередовать деление на корпусе и деление на
движке.
Пример.
Продукция завода в отдельные годы пятилетия 1946—1950 гг.
составляла (в тыс. натуральных единиц одного и того же вида из¬
делия):
1 452; 1 602; 1 736; 1 922; 2 157.
Вычислить:
а)	базисные индексы продукции завода, по годам;
б)	цепные годовые индексы.
а)	Подадим движок влево так, чтобы начальное число 1 452
всего ряда, взятое на движке, оказалось против начала 1 шкалы
Hi∙, тогда против остальных чисел ряда, взятых на движке («верх¬
них чисел»), прочтем отсчеты искомых базисных индексов («ниж¬
них чисел»), в которых остается поставить запятые:
шкала Н2 1 452	1 602	1736	1 922	2 157
шкала Нх 100	110,3	119,6	132,4	148,6.
б)	Для вычисления цепных
на HxH2∙.
индексов
последовательно делим
1602 .	1736 .	1922	2157
1452 ’	1602 ’	1736 ’	1922 ‘
Вследствие «цепной связи» подобных индексов выгодно вычис¬
лять индексы, стоящие на четных местах (второй, четвертый),
путем деления на движке: действительно, после вычис-
101

ления первого индекса и вычисления третьего, на шкале Hi уже от¬
ложены готовые делители 1 602 .и 1 922 для вычисления следую¬
щих индексов — второго и четвертого.
(Произведите самостоятельно вычисление именно таким путем.
Получили ли вы необходимые ответы: 110,3%∙, 108,4%∙, 111,8%/,
112,2%?)
Оформим результаты таблицей:
Показатели динамики
продукции
1946
1947
1948
1949
1950
Число натуральных
единиц изделий
(в тыс.)
1452
1602
1 736
1 922
2 157
Базисные индексы
(В %%)
100
110,3
119,6
132,4
148,6
Цепные индексы
(в %%)
100,3
108.4
111,8
112,2
3. Индивидуальные индексы плановых величин
При планировании и анализе выполнения плана, относящегося
к какому-либо одному виду продукта, приходится вычислять сле¬
дующие индивидуальные индексы:
1)	индекс планового задания на следующий период по сравне¬
нию с фактической величиной за период, предшествующий плано¬
вому;
2)	индекс выполнения плана — отношение фактической вели¬
чины за отчетный период к плановой величине на этот же период.
Оба индекса обычно выражают в процентах. Каждый из них
может быть получен обычной установкой деления на HιHi.
Пример 1.
Торговый оборот магазина выражается следующими данными
(в руб.):
фактический за 1952 г.	2466 842,
по плану на 1953 г.	2825000,
фактический на 1953 г. 2903 226.
Вычислить: а) индекс планового товарооборота магазина на
1953 г. по сравнению с товарооборотом 1952 г.; б) индекс выполне¬
ния плана товарооборота в 1953 г.
а)	Делим на H∖H<2 обычным способом 2—8—2 на 2—4—7; по¬
лучаем 1—1—4—2, т. е. 114,2%. (В данном случае можно добить¬
ся ‘более тщательных установок 2—8—2—5 и 2—4—6—7 и полу¬
чить более точный ответ 114,6%. Сделайте самостоятельно такие,
более точные, установки.)
б)	Деля 2—9—0 на 2—8—2, получаем отсчет 1—0—2—8, т. е.
102,8%. (При более тщательном делении отсчета 2—9—Она от-
102

счет 2—8—2—5 получаем более точный ответ 1—0—2—7, т. е.
/02,7%.)
В некоторых случаях нам предлагается, наоборот, индекс пла¬
нового задания, и на основании его необходимо вычислить абсо¬
лютную величину планового задания, — что видно из следующего
примера.
Пример 2.
Средняя годовая себестоимость станка РО-2 на заводе «Стан¬
костроитель» была в 1952 году 17 843 руб. 60 коп. По плану на
1953 год она должна быть снижена 5,8%, фактически же состави¬
ла в 1953 году 16 441 руб. 70 коп.
Определить степень выполнения плана снижения себестоимости
этого станка в 1953 году.
Индекс плановой себестоимости станка в 1953 г. был равен
(100—5,8) %, т. е. 94,2%, по сравнению с себестоимостью в 1952 г.
Средняя годовая себестоимость в 1953 г., по плану, должна быть
(в руб.):
17 843,7-0,942;
умножая на H∖H∙l 1 —7 —8 — 4 на 9 — 4 — 2, находим отсчет
1 — 6 — 8 — 0, выражающий абсолютную плановую величину се¬
бестоимости 16 800 руб.
Остается разделить фактически достигнутую себестоимость
(отсчет 1 — 6 — 4 — 4) на плановую (отсчет 1 — 6 — 8 — 0) и ча¬
стное выразить в процентах. Так как делитель (1 — 6 — 8 — 0)
уже отложен на Нь то производим деление на движке;
против конца 10 шкалы Hi читаем на движке отсчет частного
9—7—9, т. е. 97,9%.
Фактическая себестоимость станка составляет 97,9% плановой
(меньше плановой на 2,1 %); следовательно, план снижения
себестоимости перевыполнен на 2,/%.
§ 11.	СТАТИСТИЧЕСКИЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ С СУММИРОВАНИЕМ
1.	Простая средняя арифметическая
Если числа xt, хг, Хз,... х„ выражают различные значения како¬
го-либо признака (варианты этого признака) у отдельных единиц
совокупности, то средняя арифметическая ха этого признака
равна:
~ 	x∣ + х? + ⅜⅛^ - • ∙ 4~ л	/1 \
а~	п	’
(п — число единиц совокупности, ее численность).
Очевидно, что при вычислении простой средней арифметиче¬
ской, выражаемой формулой (1), главная доля вычислительного
труда приходится на суммирование вариант, и логарифмическая
линейка может быть применена только для деления суммы ва¬
риант на их число (п) — если это число достаточно велико.
103

2.	Взвешенная средняя арифметическая
Большее значение может иметь линейка при вычислении взве¬
шенной средней арифметической, особенно если варианты и веса
выражаются многозначными числами.
Если обозначать веса вариант буквой f, то формула взвешен¬
ной средней арифметической х о(п имеет вид:
_ ∙*ι∕ι+⅛∕2+ ∙ ∙ ∙+*b∕λ _ ςV	/9\
x°w^ Λ + ∕2+..∙+∕n	“ V ‘
Очевидно, произведения xf, т. е. числовые значения взвешен¬
ных вариант, можно получать умножением на линейке, и на линей¬
ке же можно делить сумму взвешенных вариант (S xf) на сумму
весов (на ∑f).
Пример.
На фабрике произведено следующее количество ткани трех
сортов, при следующих оптовых отпускных ценах метра ткани
каждого сорта:
Сорта ткани
1
11
III
Количество ткани в м
3 822
1 073
214
Цена ткани в руб./л
50,4
46,7
40,5
Вычислить среднюю цену реализации одного метра ткани.
Искомая средняя (взвешенная арифметическая) равна:
50,4 • 3822-г 46,7 • 1073 + 40,5 • 214	,
—		!	!	≡	 руб.
3822 + 1073⅛214	hj
Три произведения в числителе находим умножением на шкалах
HiHi-
для 50,4 ∙3822	отсчет	1—9 — 2 — 6,	т.	е.	около	192 600	руб.;
для 46,7 • 1 073	отсчет	5 — 0— 1,	т.	е.	около	50 100	руб.;
для 40,5 • 214	отсчет	8 — 6 — 7,	т.	е.	около	8670	руб.
Произведения, по мере их получения	на	линейке, записываем
для сложения на бумаге или — что лучше — сразу откладываем
на счетах. После третьего произведения на счетах оказывается го¬
товая сумма всех трех произведений: 251 370 (руб.). Записав эту
сумму (на случай повторного, контрольного вычисления), находим
на счетах (или на бумаге) и записываем с,умму, стоящую в знаме¬
нателе (сумму весов):
3	822 + 1 073 + 214 = 5 109 (метров).
104

Наконец, разделив на линейке 251 370 (2 — 5 — 1) на 5 109
(5—1 — 1), читаем отсчет частного 4 — 9 — 2, выражающий
среднюю цену 49,2 руб. !м, или 49 руб. 20 коп./ м.
Точная величина отпускной стоимости всей ткани 251 404 руб. 90 коп.; сред¬
няя цена реализации метра, с точностью до копейки, — 49 руб. 21 коп. Погреш¬
ность ответа на линейке: абсолютная — 1 коп., относительная 	≈ — %,
4 921	49
т. е. совершенно ничтожна.
Запомните следующее важное соображе¬
ние, которое имеет общее значение для вычисле-
ний на линейке:
при умножении на веса (на 3 822, 1 073, 214) в
сумме произведений (251 370 руб.) накопилась до¬
вольно заметная абсолютная погреш¬
ность:
251 404 руб. 90 коп. — 251 370 руб. = 34 руб. 90 коп.
Однако после обратного действия — деления на
сумму весов (5 109) — она уменьшилась в 5 109 раз,
до 1 копейки, т. е., практически, «растворилась».
Относительная же погрешность и
„	/	34,9	\
всей суммы (	1, и частного, т. е. цены
j \	251 404,9 J
1	метра , н и ч тож н а: около ~o!o и око¬
ло — %.
49
Задача.
По плану завод должен отгрузить свою месячную продукцию
четырем покупателям, а именно:
Покупатели
Вес отгружаемой
продукции в т
Расстояние по
жел. дороге в км
I
316
283
II
1020
147
III
805
344
IV
665
128
Вычислите взвешенную среднюю дальность отправки продук¬
ции завода.
3. Простая средняя гармоническая
Ход вычисления этой средней вытекает из ее формулы:
105

Вычисление распадается на три части:
1)	на линейке, при помощи обратной шкалы R (если она имеет¬
ся) или шкалы Н2 обращенного движка (если шкалы R нет) нахо-
дим значения дробей — , обратных значениям вариант;
2)	суммируем полученные десятичные дроби — на бумаге или
на счетах;
3)	делим на линейке п (число вариант) на полученную сумму.
(О получении обратных чисел на обращенном движке или на
шкале R подробно говорилось в § 8, пп. 7 и 8.)
Пример.
Пять рабочих, занятых на одинаковых рабочих операциях, со¬
ответственно затрачивают на одну операцию следующее число ми¬
нут:
3,5;	4,25;	3,72;	4,15;	3,9.
Вычислить среднюю длительность одной операции у группы
этих рабочих.
Искомая средняя должна быть вычислена как средняя гармо¬
ническая1:
	5

-L+-L + -L+-L + -L ‘
3,5	4,25	3,72	4,15	3,9
1)	Последовательно устанавливая на шкале H↑ пять отсчетов:
3—5;	4—2—5;	3—7—2; 4—1—5;	3—9,
читаем против них, под волоском, на обратной шкале R (или на
шкале Н2 обращенного движка) следующие отсчеты обратных чи¬
сел:
2—8—6; 2—3—5; 2—6—9; 2—4—1;	2—5—6,
в которых, по известным нам правилам (см. стр. 77), ставим за¬
пятые:
0,286; 0,235; 0,269; 0,241; 0,256.
2)	Откладывая эти обратные числа, по мере их получения, на
счетах (или записывая их и складывая на бумаге), получаем их
сумму: 1,287.
3)	Находим на линейке частное ι — . Для этого устанавли¬
ваем конец движка против. числа 5 шкалы Н\ и наводим воло¬
сок на отсчет 1 — 2 — 8 — 7 обратной шкалы R (или шкалы Н2
обращенного движка). Против этого отсчета читаем на шкале Hι
отсчет 3 — 8 — 9, который выражает искомую гармоническую
среднюю: 3,89 минуты.
1 Обоснование необходимости в подобных случаях именно средней гармо¬
нической дается в курсе теории статистики.
106

Задачи.
1.	Между пунктами А и Б курсируют четыре автобуса со сле¬
дующими скоростями (в км/час):
26,8;	33,5;	31,2; 28,6.
Вычислите среднюю (гармоническую) скорость движения этой
труппы автобусов.
2.	При одинаковой величине оборотных средств у пяти пред¬
приятий треста длительность оборота у каждого из трестов раз¬
лична, составляя (в днях):
16,4;	28,3;	20,5;	25,2;	18,1.
Вычислите среднюю (гармоническую) длительность оборота
средств у всей группы предприятий треста.
4.	Взвешенная средняя гармоническая
Ход вычисления этой средней определяется ее формулой:
или, в ином выражении:
Вычисление распадается на четыре части»
1)	на линейке, при помощи обратной шкалы /? (если она имеет¬
ся) или шкалы Н2 обращенного движка (если шкалы R нет), на-
„ . f
ходим десятичные выражения дробей -;
х
2)	складываем полученные десятичные дроби (на бумаге или
на счетах);
3)	складываем веса f (на бумаге или на счетах);
4)	делим на линейке ≡f (числитель) на ∑- (на знаменатель).
В первой части вычисления для получения дробей — устанав¬
ливаем начало (или конец) движка последовательно против fi,
f2,...,fn шкалы Hi, а волосок при этом — на числа x↑, xi,...xn обрат¬
ной шкалы R (или шкалы Н2 обращенного движка); тогда на шка¬
ле H1, под волоском, соответственно читаем числа —, —, ... —.
Λ, ι X%	Xfi
107

Пример.
В апреле торговый оборот (сумма продаж) и число оборотов
товара в четырех секциях розничного текстильного магазина со¬
ставляли:
Товарные группы
(секции)
Оборот
в апреле
в тыс. руб.
Число обо¬
ротов за
месяц
Хл.-бумажные ткани .
452
6,2
Шерстяные ткани . . .
163
3,6
Льняные ткани . .
248
5,4
Шелковые ткани . . .
317
4,5
Вычислить среднее число оборотов всего товара магазина в
апреле.
Искомая средняя должна быть вычислена как средняя гармо¬
ническая из чисел оборотов по секциям, взвешенная по величине
оборотов:
452 ÷ 163 + 248 + 317
452	163	248	317 '
6,2 ^t^3,6 + 5,4 + 4,5
1)	Вычисляем дроби, стоящие в знаменателе. Последовательно
устанавливаем против отсчетов шкалы Hiι
4 — 5 — 2,	1—6 — 3,	2 — 4 — 8,	3 — 1 — 7
начало или конец обратной шкалы /? (начало или конец шкалы
обращенного движка); против ее отсчетов:
6 — 2, 3 — 6, 5 — 4, 4 — 5
читаем под волоском на шкале Hi отсчеты соответствующих дро¬
бей знаменателя:	1
7 — 2 — 9,	4 — 5 — 3, 4 — 5 — 8, 7 — 0 — 4,
которые должны выражать (производим числовую прикидку в
уме) следующие числа:
72,9; 45,3; 45,8;	70,4.
2)	Складывая эти четыре числа, получаем всю величину зна¬
менателя: 234,4.
3)	Находим сумму весов в числителе: 1 180.
4)	Находим частное —на линейке. Для этого устанав¬
ливаем конец движка против 1 — 1 — 8 — 0 шкалы Hi и наводим
волосок на отсчет 2—3—4 (можно и более точно: на 2—3—4—
— 4) обратной шкалы R (или шкалы ∕∕2 обращенного движка).
Против этого отсчета читаем, под волоском, на шкале /Л отсчет
108

частного 5 — 0 — 4 (при более тщательной установке отсчета
2 — 3 — 4 — 4 мы прочитаем 5 — 0 — 3). Этот отсчет и выражает
искомое среднее число оборотов в месяц: 5,04 (более точно 5,03).
Для практики вполне достаточны два знака ответа: 5,0 об./мес.
Задача.
Отчеты пяти заводов треста содержат следующие данные о
произведенной валовой продукции и степени выполнения плана
продукции:
Заводы
Валовая продук¬
ция в руб.
Выполнение пла¬
на продукции
В %%
№ 1
1 348 056
112,4
№ 2
897 218
108,6
№ 3
635 405
98,5
№ 4
1 016 980
106,0
№ 5
434 793
100,8
Вычислите общую (среднюю) процентную величину выполне¬
ния плана валовой продукции всеми заводами треста.
Указание. Необходимо вычислить среднюю гармоническую
из процентных величин выполнения плана, взвешенную по фак¬
тическому объему произведенной продукции.
5.	Средняя скорость оборота средств
Средняя скорость оборота средств может быть выражена дву¬
мя показателями:
п — среднее число оборотов, которое делают средства за опре¬
деленную единицу времени (например, за год, за месяц);
t — средняя длительность одного оборота.
Оба показателя взаимно обратны: с увеличением (уменьшени¬
ем) одного из них в несколько раз второй уменьшается (увеличи¬
вается) во столько же раз. Обычно ~t выражается числом дней.
Если за единицу времени взять год (360 дней), то п, t и 360 бу¬
дут связаны соотношениями:
f. 7 = 360; t=3-^i п=	(5)
п	t
Если вычисляется скорость оборота за какой-либо месяц
(30 дней), то необходимо брать иные числовые соотношения:
7 .7=30; t=^-, n= ⅛	(5')
п	t
Для квартала берут 90 дней, для полугодия — 180, и т. д.
Следовательно, зная один из показателей (п или t), можем тот¬
час же вычислить и другой. На практике проще вычислять снача¬
ла п\
109

—	оборот средств
л = 			;	(Ь)
средний остаток средств
тогда, согласно формуле (5) или (5'), получаем t∙
—	 	число дней периода

среднее число оборотов средств ’
или, после подстановки величины (6) в формулу (7):
у	(средний остаток средств) × (число дней периода)
оборот средств
Вычисление средней скорости оборота средств по любой из
формул (6) — (8) удобно производить на линей ке—
с точностью, заведомо достаточной для прак¬
тики. В зависимости от данных задачи, иногда приходится пред¬
варительно вычислить (вне линейки) среднюю величину остатка
средств за период.
Пример 1.
Средний остаток товаров продовольственного магазина в мар¬
те был равен 245 810 руб. Оборот товара (сумма продаж) за март
составил 1 838 346 руб. Вычислить показатели скорости торгового
оборота магазина в марте.
Имеем:
-	1838 346 v 30 -г 245 810-30
п =	; t — —, или t =	.
245 810	1 838 346
Деля на шкалах HlHi отсчет 1 — 8 — 3 —8 на 2 — 4 — 6, на¬
ходим для п отсчет 7 — 4 — 7; числовой прикидкой в уме выяс¬
няем, что п = 7,47 об./мес.
Так как числом уже отложено на шкале Н\, то вычисление вто-
30
рого показателя t = ~~ выгоднее произвести путем деления
на движке; получаем на движке t = 4,02 дня.
Разумеется, ту же величину t мы получили бы и из другого его
-	245 810 • 30
выражения: t =	, — чтэ, однако, излишне.
1 838 346
Пример 2.
Задолженность клиентов отделению банка по плановым
ссудам была равна (в тыс. руб.):
1 января	8 600,
1 февраля	8 560,
1 марта	8 760,
1 апреля	10 260.
Оборот (возврат) плановых ссуд за весь I квартал года соста¬
вил 25 150 тыс. руб. Вычислить среднюю длительность кредитова¬
но

ния клиентов отделением банка по плановым ссудам в I квартале
года.
Предварительно вычисляем без линейки (на бумаге, на
счетах) средний остаток задолженности клиентов в I квартале
(как моментную хронологическую среднюю за 3 месяца):
∆θθl +8 560 8 760 +
										-	 = 8917.
Теперь можем вычислить на линейке среднюю длитель¬
ность t пребывания средств банка в плановых ссудах клиентам, по
формуле (8):
8917 • 90
- 25150 ‘
Умножив 8 — 9 — 2 на 9 — 0 и разделив результат на
2 — 5 — 1 — 5 (почему такой порядок действий здесь выгоднее?
почему возможно установить 2 — 5—1—5?), получаем отсчет
ответа: 3 — 1 — 9; числовой прикидкой выясняем значение ответа:
i = 31,9 дня.
(Можно было вычислить t в два действия: сначала найти
п = s917 = 2,82 \ , а затем.
уже делением на движке получить t — 31,9. \
6.	Нормативы оборотных средств
Формулы (6) — (8) находят широкое применение и при вычис¬
лении нормативов оборотных средств, т. е. величин нормальных
запасов различных материальных ценностей и денежных средств,,
необходимых предприятию для нормального хода его работы.
Элементарным преобразованием формулы (8) получаем фор¬
мулу для определения величины нормального среднего запаса
(наличного остатка средств):
/ оборот \	/ средняя длительность \
средств ∕ ^ \ одного оборота )
Нормальный запас =			. (9)-
число дней периода
Вычисление нормативов по формуле (9) удобно производить
на линейке. Так, если промышленному предприятию необходимо в
течение квартала (90 дней) израсходовать топлива на 617 тыс. руб.
и при этом иметь нормальный 12-дневный запас топлива, то абсо¬
лютная величина норматива топлива равна (в тыс. руб.):
617 • 12 .
90
11Ь

(Самостоятельно вычислите на линейке величину норматива в
приведенном примере.)
7.	Агрегатные индексы
В § 10, пп. 2 и 3, была показана техника вычисления на ли¬
нейке индивидуальных индексов. Рассмотрим теперь технику вы¬
числения групповых и общих индексов в их наиболее частой на
практике агрегатной форме.
В качестве примера приведем вычисление на линейке агрегат¬
ных индексов физического объема продукции. Общая формула та¬
ких индексов:
jφU3, Об. =	(10)
'	- Яо Ро
показывает, что вычисление при помощи линейки должно состоять
в следующем:
1)	вычисляем на линейке для каждого отдельного продукта
два произведения: q∖po и <7oPo (для каждой пары таких произведе¬
ний достаточна одна установка движка на р0);
2)	складывая первые произведения, получаем числитель ин¬
декса — '∑qιpo∖
3)	складывая вторые произведения, получаем знаменатель ин¬
декса — ∑<7oPo',
4)	деля на линейке числитель ∑<∕1po на знаменатель ∑<7oPo, на¬
ходим искомый агрегатный индекс.
Пример.
Имеются следующие данные о плановых и фактических (от¬
четных) величинах выпуска продукции в натуральном выражении
на заводе в I и II квартале и об оптовых ценах предприятия на
1 января 1952 г. для единиц продукции каждого вида:
Виды продукции
Единица
измере¬
ния
Выпуск продукции в
натуральных единицах
Оптовая
цена пред¬
приятия
на 1. 1.1952
в рублях
(Ро)
факт,
в I кв.
(Яо)
план
на II кв.
(Япл)
фактич.
во II кв.
(яд
(А)
(Б)
1
2
3
4
Станки М—36 . . .
ШТ.
330
351
386
27 500
Станки Л—12 . . .
0
442
470
458
19 200
Станки С—25 . . .
9
505
520
576
17100
Чугунное литье , .
m
137
152
188
480
Вычислить следующие общие агрегатные индексы физического
объема:
а)	фактической продукции во II квартале по сравнению с про¬
дукцией в I квартале (Jll∣l);
112

б)	плановой продукции на II квартал по сравнению с продук¬
цией в I квартале {Jnjl. ////);
в)	выполнения плана продукции во II квартале (J nt ιr).
Для решения задачи необходимо предварительно вычислить
(по одним и тем же ценам ро столбца (4) таблицы):
общую стоимость всей продукции завода в I квартале;
общую стоимость его плановой продукции на II квартал;
общую стоимость всей фактической продукции завода во
II квартале.
Эти предварительные вычисления (за исключением суммирова¬
ния) производим на линейке. Результаты их приводим ниже в ви¬
де другой таблицы (со столбцами (5), (6) и (7) ), которую обыч¬
но располагают рядом с таблицей исходных данных (см. условие
задачи), как продолжение первой таблицы.
(Станки М-36)
(Станки Л-12)
(Станки С-25)
(Чугунное литье)
(Всего)
Стоимость продукции (в тыс. руб.)
фактической
в I квартале
плановой
на 11 квартал
(4Л..А,)
фактической
во 11 квартале
(√ι Ро)
(5)
(6)
(7)
9 070
8 490
8 560
65,8
9 650
9 020
8 890
73,0
10610
8 790
9 850
90,2
26 186
27633
|	29 340
Техника таких вычислений на линейке крайне проста. Так, для
получения трех чисел второй строки (станки Л-12) производим на
шкалах H∖H2 серийное умножение цены 19 200 (одного станка
Л-12) на 442, на 470 и на 458; для этого, установив начало движка
против отсчета 1 — 9 — 2 шкалы Hl, наводим волосок последова¬
тельно на отсчеты шкалы H2'.
4 — 4 — 2, 4 — 7 — 0,	4 — 5 — 8
и против них, по волоску, читаем на Hi отсчеты произведений:
8 — 4 — 9,	9 — 0 — 2,	8 — 7 — 9.
Посредством числовой прикидки в уме выясняем, что они вы¬
ражают следующие (приближенные) величины стоимости всей
продукции станков Л-12:
8 490 000, 9 020 000, 8 790 000.
Получив таким же способом произведения для остальных трех
строк, складываем четыре произведения в каждом столбце (5),
8 Ф. Д. Лившиц
113

(6) и (7) и получаем величины стоимости всей продукции завода
(S<7oPoJ ≡<U. Ро! 2<7iPo).
Остается вычислить делением на HiH2 три искомых агрегатных
индекса:
6>7-""=S≡≈v55='05∙^"i
затем делением на движке:
в) Аып пл и = 2-^∙ ≈ i,06i = 106,1*1,.
’ вып- пл-11	27 633	0
Если произвести все предварительные вычисления (для столб¬
цов (5), (6) и (7) ) вполне точно — на вычислительной машине,
на бумаге, по таблицам, — то искомые индексы, вычисленные
с 4 верными знаками, будут:
а) Л/д
29348 440
26 185 710
H2,0*∣oi
б) JnΛ.Il∣l
26185 710	0
в\ J — 2934p4jp— ι∩ρo*∣
в) Jtttn, пл. и - 27 b41 460 ~ y∞^∕o∙
Сравнивая эти ответы с ответами, полученными при помощи
линейки, приходим к выводу:
агрегатные индексы, несколько большие 1 (боль¬
шие 100%), можно получать на линейке либо с че¬
тырьмя верными знаками (т. е. с погрешностью
меньшей 0,1%), либо с погрешностью в 1 едини¬
цу четвертого знака (т. е. с погрешностью, дости¬
гающей 0,1%).
По аналогии, нетрудно прийти к другому выводу:
агрегатные индексы, меньшие 1 (меньше 100%),
можно получать на линейке с тремя верными зна¬
ками (например: 96,4%; 87,7%), т. е. тоже с погреш¬
ностью, меньшей 0,1%, и только иногда погреш¬
ность индекса может достигать 0,1%.
Разумеется, для плановой, статистической и аналитической
практики такая степень точности вполне доста¬
точна.

ГЛАВА V
СТЕПЕНИ, КОРНИ, ЛОГАРИФМЫ
Вводные замечания
Во многих экономических вычислениях (в частности, в стати¬
стических вычислениях, рассматриваемых в главе VI) приходится
иметь дело не только с первыми степенями чисел
а, b, с,. . . ,
но с их квадратами и кубами:
α2, b∖ с2, . . .
α3, b9, с3, . . .
и с квадратными и кубическими корнями:
а, y∕~ b, ∣Λc

3 _ з _ з _
y∕^ а, y∕^ b, y∕^с, .. .
Таковы, например, некоторые вычисления, касающиеся площа¬
дей квадратов и объемов кубов, коэфициентов роста за несколько
периодов, средних темпов роста и прироста и т. п.
Благодаря наличию верхних шкал Bl В2 и шкалы кубов К., на
линейке становится возможным:
1)	мгновенное получение квадратов и кубов чисел;
2)	мгновенное получение квадратных и кубических
корней из чисел;
3)	быстрое умножение и деление, в которых компонентами яв¬
ляются: первые степени, квадраты и кубы чисел, квадратные и ку¬
бические корни, — например:
з
§$Т‘12П’ ∣~^ РассмотРению таких вычислений будут посвящены
8*
115

Умея получать на линейке квадратные и кубические степени и
корни:
a2, a3, ^y∕r~a, ]∕^α	(1)
и производя последовательное возведение в квадрат или в куб, по¬
следовательное извлечение квадратных или кубических корней,
либо перемножение тех или других, мы можем получать степени и
корни некоторых более высоких порядков, например:
а* = (а2)2;
а3 = а3 • а2;
а6 = (а3)2 или а6 = (а2)3;
и т. д.
Однако нередки случаи, когда вычисление степени или корня
нельзя свести к сочетанию выражений вида (1), например:
5

5,172’3; 1О,860’®4; ∕^1,706.
Для вычисления подобных выражений на линейке, приходится
прибегать к логарифмированию и потенцирова-
н и ю, которые мы производим на самой линейке, поль¬
зуясь крайней снизу шкалой Л. — Эти вычисления будут рассмот¬
рены в § 15.
§ 12.	ВЫЧИСЛЕНИЯ НА ВЕРХНИХ ШКАЛАХ
1.	Устройство верхних шкал
Внимательно вглядевшись в верхние шкалы Bi В2 линейки и
сопоставив их с нижними шкалами Hi Н2 (см. также рис. 25), мы
замечаем следующее.
Каждая из верхних шкал состоит из двух, равных по длине,
частей: (1—10) и (10—100) 1. Иначе говоря, каждая логарифми¬
ческая шкала B↑ и В2 состоит из двух периодов (вспомните ска¬
занное в § 5, п. 2), которые мы будем называть «половинами»
шкалы. Деления левой половины шкалы:
(1—2); (2 — 3); (3 — 4); ... (9—10)
по длине в точности равны соответствующим делениям правой
половины:
(10—20);	(20—30);	(30—40);	(90—100),
1 На некоторых линейках основные числа верхних шкал помечены не 1 —
— 10 — 100, а 1 — 1 — 1, — чтб не меняет дела.
116

в чем можно непосредственно убедиться, подведя начало 1 шкалы
Вг под середину 10 шкалы В\. Следовательно, правые половины
шкал B∖ В2 в точности повторяют их левые половины.
а
1
56
1 1
г
1
|
д
г
1
Bt
1
2
3
1
4
1 1
1 1
5 6 7 8 910
1
1
20	30
40
50
60 70 8090ЮО
Вг
1
2
3
4
5 6 7 8 9 Ю
20	30
40
50
60 70 80 Я100
Нг
1
1

2
—4—
3
		н

4
→-
5
		1—г-
6
-4—
7
→-
8 9 10
—I	1—I
¼
1
2
1
3 1
1 '
4
1
5;
1
б
7
8 9 10
1
Q
1 1
66
1
г
1
1
6
Рис. 25.
Аналогично можно убедиться в том, что равны друг другу сле¬
дующие отрезки шкал Bi В2:
(1—10);	(2—20);	(3—30);	. . .	(9—90);	(10—100);
при этом каждый такой отрезок равен модулю верхних шкал. Не¬
трудно понять, что этот модуль вдвое меньше модуля
нижних шкал. На линейке обычного размера модуль верх-
М 25 см
них шкал равен —-— = —-	— 12,5 см (убедитесь в этом непо¬
средственно на линейке).
Вследствие этого отрезок, графически выражающий на шкалах
HxH2 величину lgΛ∕, должен выразить на шкалах BxB2 величину
вдвое большую, т. е. 2 lgΛf. Но 2 1 gΛ7 = 1 gN2, следовательно:
каждому числу N, взятому на нижних шкалах HxH2,
точно противостоит число N2 на верхних шкалах
B1B2∙
Таким образом, по отношению к шкалам Hx Н2, шкалы BxB2
являются шкалами квадратов (откуда и это, иное, их наименова¬
ние). Обратно:
каждому числу, взятому на шкалах BxB2, точно про¬
тивостоит на шкалах HxH2 квадратный корень из это¬
го числа.
Ставя, например, волосок последовательно в положения аа, бб,
ев, гг, дд (см. рис. 25), мы немедленно читаем:
против чисел (2V) шкал HlH2∙.	2	3	3,16	4	5,48
квадраты этих чисел (№)
на шкалах BlB2-,,	4	9	10	16	30
117

или же, идя обратным путем от шкал BiB2 к шкалам H∖H2, читаем:
против чисел (N) шкал B[B2÷	4	9	10	16	30
квадратные корни из этих
чисел (∣∕ N) на шкалах H∖H2∙.	2	3	3,16 4	5,48
Вследствие вдвое меньшего модуля, деления шкал B↑B2 не мо¬
гут быть столь же подробны, как деления шкал H∖H2. В частности,
на шкалах BiB2 линейки обычного размера:
помечены числами только деления высшего разряда, все
остальные деления безымянны;
деления среднего разряда нанесены на всем протяжении
шкал, все эти деления — одинарные;
деления низшего разряда нанесены только на участках (1—5)
и (10 — 50), причем эти деления:
на участках (1—2) и (10—20) — «двойные»,
на участках (2 — 5) и (20 — 50) — «пятерные».
2.	Возведение в квадрат
Наведя волосок на отсчет числа N, взятый на шкалах HγHz, мы
тут же читаем под волоском отсчет квадрата N2 на шкалах BiB2,
после чего остается выяснить лишь порядок квадрата (местополо¬
жение запятой).
Путем несложных рассуждений мы приходим к следующим
правилам:
а)	если квадрат N2 оказывается в правой половине шкал
BlB2, то порядок квадрата равен удвоенному порядку осно¬
вания 7√ (равен 2р);
б)	если же квадрат N2 оказывается в левой половине шкал
Bi Вг, то порядок квадрата на. единицу меньше удвоен¬
ного порядка основания N (равен 2р — 1).
Примеры.
1.	16,762 = ? — Наведя волосок на 1 — 6 — 7 — 6 шкалы H↑,
читаем на шкале Bi отсчет 2 — 8 — 1. Этот отсчет получен в л е-
вой части шкалы Bβ порядок основания 16,76 равен 2; следо¬
вательно порядок его квадрата должен быть 2 • 2 — 1=3. Ответ:
16,762 ≈ 281 (более точное значение ответа 280,9).
2.	46,612 = ? — Против округленного отсчета 4 — 6 — 6 на Н\
читаем под волоском отсчет 2 — 1 — 7 в правой половине
шкалы В\. Порядок основания равен 2; порядок квадрата должен
быть равен 2-2 = 4. Следовательно, 46,612 ≈ 2 170 (более точное
значение ответа 2 173).
3.	0,05832 = ? — Против отсчета 5 — 8 — 3 на Н\ читаем под
волоском отсчет 3 — 4 в правой половине шкалы Вь Поря¬
док основания равен (— 1); порядок квадрата должен быть
(— 1) • 2 = — 2. Следовательно, 0,05832 ≈=⅛ 0,0034 (более точный
ответ 0,003 399).
118

Упражнения.
Самостоятельно вычислите на линейке:
1,0232;	4,232; 24,692; 0,6852; 0,02742; 0,008642.
3. Извлечение квадратного корня
Наведя волосок на отсчет подкоренного числа N, взятый на
шкалах B↑_и В2, тут же читаем под волоском отсчет квадратного
корня У N на шкалах Hι и Н2.
Зная правило о порядке квадрата и его местоположения на
шкалах В\ и В2, легко можем сформулировать следующие прави¬
ла о местоположении и порядке чисел при извлечении квадратного
корня.
Подкоренное число N следует разбить, начиная от запятой, на
грани по две цифры в каждой грани: влево от запятой — если
число N больше единицы, вправо от запятой — если число N
меньше единицы. В первом случае число граней влево от запя¬
той покажет число знаков целой части в корне; во втором случае
число чисто нулевых граней вправо от запятой покажет число
нулей после запятой в корне (до первой значащей цифры в кор¬
не) . В зависимости от того, оказались ли при этом в первой (счи¬
тая слева) значащей грани подкоренного числа 1 или 2 значащие
цифры, отсчет подкоренного числа надо устанавливать соответ¬
ственно в первой (левой) или во второй (правой) половине шкал
B1 и В2.
Примеры.
1.	У 46,8 = ? — Подкоренное число больше единицы, в нем
одна грань (46) влево от запятой, и эта грань имеет две зна¬
чащие цифры. Поэтому подкоренное число надо установить в
правой половине шкалы Bi, а в подкоренном числе должен
быть один знак целой части. Наведя волосок на отсчет 4—6—8
в правой половине шкалы Bi, читаем под волоском на шкале Hl
отсчет корня 6 — 8 — 4. Ответ 6,84 (более точное значение ответа
6,841).

2.	У 0,507 =? - Подкоренное число меньше единицы. Допи¬
сав к нему нуль справа, получим две грани его вправо от запя¬
той: 0,50’70; в первой значащей грани (50) две значащие циф¬
ры, и до нее нет ни одной чисто нулевой грани. Поэтому подко¬
ренное число надо установить в правой половине шкалы Bi,
а в корне первая значащая цифра должна стоять непосредственно
после запятрй. Против отсчета 5 — 0 — 7 (иначе, 5 — 0 — 7 — 0)
в правой половине Bι читаем отсчет 7 — 1 — 2 на шкале Н\. От¬
вет 0,712.
3.	У 0,000815 = ? — В подкоренном числе, меньшем едини¬
цы, три грани вправо от запятой (0,00’08’15), из них одна — чи¬
сто нулевая (00); в первой значащей грани (08) одна
119

значащая цифра (8). Против отсчета 8 — 1 — 5 в левой поло¬
вине Bι читаем, под волоском, отсчет 2 — 8 — 6 на шкале Hi.
В корне между запятой и первой значащей цифрой должен быть
один нуль; следовательно, ответ 0,0286,
4.	yr 613,96 = ? — В подкоренном числе, большем единицы,
две грани влево от запятой (06’13,96); в первой из них одна
значащая цифра (6). Поэтому в корне должно быть два знака
целой части, а подкоренное число надо установить в левой по¬
ловине шкалы B↑. Против округленного отсчета 6 — 1 — 4 в ле¬
вой половине Bi читаем, под волоском, отсчет 2 — 4 — 8 на шка¬
ле Н\; ответ 24,8 (более точное значение ответа 24,78).
Упражнения и задачи.
1.	Самостоятельно вычислите на линейке:
1∕r385j √ 28,76; ∕^0,89; 1Λ4,063; ∣Λ0,0786; ]∕^53^210^
2.	Площадь квадрата равна 75,16 м2. Чему равна сторона это¬
го квадрата?
3.	Во сколько раз увеличится сторона квадрата, если его пло¬
щадь увеличить в 3 раза? в 50,5 раза?
4.	Умножение и деление на верхних шкалах
Вычисление квадратов и квадратных корней — главное при¬
менение верхних шкал линейки. Однако наличие двух тождествен¬
ных шкал — неподвижной Bχ и подвижной В2 — открывает воз¬
можность производить на этих шкалах умножение и деле-
ниечисел.
Общие приемы этих действий на Bi и В2 таковы же, как и на
H↑ и Н2. Наличие двух периодов (1 — 10 и 10— 100) на каждой
из шкал B↑ и В2 создает,, как мы сейчас увидим, большие удобства
при умножении и делении на В\ и В2, чем на Н\ и Н2. Но возмож¬
ная относительная погрешность на шкалах Bχ и В2 больше, чем
на шкалах H↑H2 (приблизительно вдвое больше).
Определение порядка произведения и частного лучше всего
производить при помощи числовой прикидки в уме.
Умножение. Множимое устанавливают на шкале В\, под
него подводят начало 1 шкалы В2 и против множителя, взятого
на шкале В2, читают на В\ произведение.
При умножении на шкалах H↑ и Н2, как мы уже знаем, под
множимое приходится подводить в одних случаях начало, в дру¬
гих — конец движка. Умножение же на Bi и В2 можно все г-
да выполнить при помощи начала движка.
Пусть требуется произвести на шкалах Bl и В2 умножение:
40- 15 = 600.
120

Для этого необходимо подвести под отсчет 4 — 0 шкалы Bi∙
начало 1 шкалы В2 и против отсчета 1 — 5 шкалы В2 прочитать
на шкале Bj отсчет произведения (именно 6 — 0). Но вследствие
двух периодов на каждой шкале, как отсчет 4 — 0 на Bi, так и от¬
счет 1 — 5 на В2 можно встретить дважды: в первом периоде (в
виде чисел 4 и 1,5) и во втором (в виде чисел 40 и 15). Поэтому
умножение 40 • 15 = 600 может быть выполнено на В\ и В2 при
помощи нескольких различных установок (см. рис. 26):
Множимое 40
устанавливаем:
Множитель 15
устанавливаем:
Произведение 600
читаем:
(1)
в первом периоде
в первом периоде
в первом периоде
(4)
(Ь5)
(6)
(2)
в первом периоде
во втором периоде
во втором периоде
(4)
(16)
(60)
(3)
во втором периоде
в первом периоде
во втором периоде
(40)
(1.5)
(60)
о 6	6
г	д
I	I
I I
г д
Рис. 26.
Различные установки при умножении 40 • 15 = 600
и при делении 600 : 15 = 40 на шкалах B∖B2.
На рис. 26 установка (1) показана пометками (аа, бб), уста¬
новка (2) — пометками (аа, ββ), установка (3) — пометками (гг,
дд). На практике, для определенности, устанавливают множимое
в левой половине (в первом периоде) шкалы B↑, а множи¬
тель — в левой половине (в первом периоде) шкалы В2; тогда
умножение всегда можно выполнить при помощи начала 1
движка, а произведение, в зависимости от величин сомножителей,
оказывается либо в левой, либо в правой половине шкалы B↑.
121

Упражнения.
Произведите на шкалах B∣ и В2 умножение следующих чисел,
устанавливая оба сомножителя в левых половинах шкал:
1,36-	42,8; 52,5-0,683; 920-4,046.
Деление. При делении на шкалах Bi и В2 делимое можно
устанавливать в любой половине шкалы Bi, а делитель — в
любой половине шкалы В2. Частное читаем на шкале Bi про¬
тив начала 1 или против конца 100 шкалы В2.
Так, деление
600 :15 = 40
можно произвести при помощи четырех различных установок (см.
рис. 26):
1)	беря отсчеты 6 — 0 и 1 —5 в левых половинах шкал (см.
установку бб);
2)	беря оба отсчета в правых половинах шкал (см. установку
ев);
3)	беря отсчет делимого 6 — 0 в правой, а отсчет делителя
1 — 5 в левой половине (см. установку бб);
4)	беря отсчет делимого 6 — 0 в левой, а отсчет делимого 1 — 5
в правой половине (на рис. 26 этой установки нет — произведите
ее на линейке сами; при этой установке частное получается про¬
тив конца 100 шкалы В2).
Упражнения.
Произведите на шкалах В] и В2 различными установками каж¬
дое из следующих действий деления:
60 : 80; 3,2:0,64; 105: 17,3; 0,59 : 4,05.
§ 13. ВЫЧИСЛЕНИЯ НА ШКАЛЕ КУБОВ
1.	Устройство шкалы кубов
Крайняя верхняя логарифмическая шкала К состоит из трех
равных частей-периодов. Будем называть эти части левой, средней
и правой. Левая часть (первый период) соответствует числам в
интервале 1 —10, средняя (второй период) — числам 10—100,
правая (третий период) — числам 100— 1 000. Однако на линей¬
ке, для краткости обозначений, числовые пометки во всех трех
частях одинаковы: 1, 2, 3 ... 9, 1. Одинаковы и нанесенные деле¬
ния, поэтому все три части шкалы К. тождественны одна другой.
Число делений, их числовое содержание, числовые пометки — в
каждой трети шкалы К те же, что в каждой половине шкал Bi и
В2 (см. § 12, п. 1). Однако сами деления шкалы К. еще мельче,
чем соответствующие деления шкал B∖B2.
Модулем шкалы К. является длина каждого периода ее, следо¬
вательно, её модуль втрое меньше модуля шкал Я] и
122

H2 и равен —5y,*- = 8 Вследствие этого отрезок, графи¬
чески выражающий на шкалах HxH2 величину lg2V, должен выра¬
зить на шкале К. величину втрое большую, т. е. 3 lgΛΛ Но 3 lgΛf=
= lg7V3, поэтому:
11 каждому числу N, взятому на шкалах HιH2, точно
11 противостоит его куб N3 на шкале К..
Таким образом, по отношению к числам шкал H∖H2 шкала К
является шкалой кубов этих чисел, — откуда и ее наименование.
Обратно:
каждому числу, взятому на шкале К, точно противо¬
стоит на шкалах H∖H2 кубический корень из этого
числа.
Ставя, например, волосок последовательно в положения аа,
бб, вв, ее, дд, ее (см. рис. 27), мы по волоску тут же читаем:
против чисел (Λf) шкал	H∖H2∙.	2	3	4	5	6	7
кубы этих чисел (N3)
на шкале К:	8	27	64	125	216	343.
Обратно, переходя от шкалы К к шкалам H∖H2, по волоску чи¬
таем:
против чисел (N) шка¬
лы Я	5
11,2 22
89,3
154
480
760
кубические корни (γ∕^)
из этих t чисел на
шкалах H1H2	1,71
2,24 2,8
4,47
5,36
7,83
9,13
а
1
5
1
8	г
i	'
д
1
1
е
1
|
1
1	в 10
27
ι	∣
84 100125
1
1
216
1
343
1000
1			ГП	1	ιιι∣∣
	.	1	ι	1	1	1	1—1
\н,>——	-?

1 ∩	2
3
•
4	5
I	I
6
1
7	8
1
9 10
1
1
0
1
к
1	•
8	г
1
1
д
1
1
е
Рис. 27.
Числам 2, 3, 4, 5, 6, 7 на шкалах Нх и Н2
противостоят их кубы 8, 27, 64, 125, 216, 343 на шкале кубов К.
123

2.	Возведение в куб
Несложные рассуждения приводят к следующему правилу о
порядке куба числа при вычислениях на линейке. Если порядок
основания (числа Λf) равен р, то порядок куба (числа № на шка¬
ле К) равен:
Зр — если куб оказывается в правой части шкалы К;
(Зр— 1) —если куб оказывается в средней части;
(Зр — 2) — если куб оказывается в левой части.
Примеры.
Вычислить на линейке следующие кубы чисел:
а) 17,353; б) 3,62»; в) 0,8733; г) 0,02563.
а)	Наведя волосок на 1 — 7 — 3 — 5 шкалы Hi, читаем на
шкале К отсчет 5—2—2. Порядок основания 17,35 равен р=+2;
куб 17,353 расположен в левой части шкалы К; порядок
куба должен быть Зр— 2 = (+2) ∙3 — 2= + 4. Следовательно,
отсчет 5 — 2 — 2 должен быть прочитан как 5 220 (более точное
значение ответа 5 223).
б)	Против 3 — 6 — 2 шкалы Н\ читаем по волоску отсчет 4 —
— 7 — 4 в средней части шкалы К. Порядок основания
р = + 1; порядок куба должен быть Зр— 1 = (+1) -3— 1 — +2.
Ответ: 3,623 ≈ 47,4 (более точное значение 47,438).
в)	Против 8 — 7 — 3 шкалы Hi читаем отсчет 6 — 6 — 5 в
правой части шкалы К. Порядок основания р = 0; порядок ку¬
ба должен быть Зр = 0. Ответ: 0,8733 ≈ 0,665 (более точное зна¬
чение 0,665 34) .
г)	Против 2 — 5 — 6 шкалы H↑ читаем отсчет I — 6 — 8 в
средней части шкалы К. Порядок основания р = — 1; порядок
куба должен быть Зр— 1= (— 1) • 3 — 1 — —4. Ответ: 0,02563 ≈
≈ 0,000 016 8.
Упражнения.
Самостоятельно вычислите на линейке:
10,233;	2,8483; 0,4233;	60,483; 0,03263j	8,1273.
Задача.
Деталь имеет форму куба с ребром 2,75 см. Сколько (прибли¬
зительно) должен стоить металл, необходимый для изготовления
10 000 таких деталей, если 1 см3 этого металла стоит 1 коп.?
3.	Извлечение кубического корня
Отметив волоском число N на шкале К, тут же читаем под во¬
лоском у/ Л/ на шкалах HxH2. Зная правила о порядке куба
числа и местоположении куба на шкале К, можем сформулировать
правила о местоположении и порядке чисел при извлечении ку¬
бического корня.
124

Подкоренное число N следует разбить, начиная от запятой,
на грани, по 3 цифры в каждой грани: влево от запятой —
если число N больше единицы, в п р а в о от запятой — если чис¬
ло Λf меньше единицы. В первом случае число граней влево от
запятой покажет число знаков целой части в корне; во втором слу¬
чае число чисто нулевых граней вправо от запятой покажет
число нулей после запятой в корне (до первой значащей цифры
корня). В зависимости от того, оказались ли при этом в первой
(считая слева) значащей грани подкоренного числа 1, 2 или 3
значащие цифры, отсчет подкоренного числа надо устанавливать
соответственно в первой (левой), во второй (средней) или в тре¬
тьей (правой) части шкалы К.
Примеры.
1.	' γ∕ 1 578,2 = ? — Разбивая подкоренное число, большее
единицы, на грани влево от запятой (1’578,2), получаем 2 гра¬
ни в целой части, при 1 значащей цифре (/) в крайней левой
грани; следовательно, число 1 578,2 необходимо установить в пер¬
вой (левой) части шкалы К. Против отсчета 1 — 5 — 8 (по необ¬
ходимости округленного) в первой (левой) части шкалы К чи¬
таем, под волоском, отсчет 1 — 1 —6 — 5 на шкале Hi. Так как
в подкоренном числе 1 578,2 оказалось 2 грани целой части, то в
корне должно быть 2 знака целой части, т. е. отсчет 1 — 1 —6 — 5
должен быть прочитан как 11,65. Итак, у/ 1 578,2 ≈⅛≈ 11,65 (бо¬
лее точное значение 11,64).
2.	yz 86,092 = ? — Разбиваем число 86,092, большее едини¬
цы, на грани влево от запятой: '086,092. В единственной ока¬
завшейся значащей грани имеются 2 значащие цифры (56); сле¬
довательно, в корне должен быть 1 знак целой части, а число
86,092 надо установить во второй (средней) части шкалы К. Про¬
тив отсчета 8 — 6 во второй (средней) части шкалы /С находим
отсчет 4 — 4 — 2 на шкале H↑, который должен быть прочитан
как 4,42.

3.	у/ 0,7051 = ? — Число 0,7051 меньше единицы; разбиваем
его на грани вправо от запятой: 0,705’1. Первая слева знача¬
щая грань (705) имеет 3 значащие цифры, следовательно, число
0,7051 надо установить в третьей (правой) части шкалы К.. Так
как в подкоренном числе нет чисто нулевых граней, то в корне пер¬
вая значащая цифра должна стоять вслед за запятой. Против от¬
счета 7—0—5 в третьей (правой) части шкалы К, читаем отсчет
8 — 9 на шкале H↑. Следовательно, д/ 0,7051 ≈0,89.
3 г

4.	γ 0,00006642 = ? — Разбиваем подкоренное число на гра¬
ни вправо от запятой; 0,000’066’42. Первая слева значащая
грань (066) имеет 2 значащих цифры (66), а до нее имеется 1 чи¬
сто нулевая грань ( ,000’). Поэтому подкоренное число надо уста-
125

повить во второй (средней) части шкалы К, а корень должен
иметь 1 нуль между запятой и первой значащей цифрой. Против
отсчета 6 — 6 — 4 в средней части шкалы К читаем отсчет
4 — 0 — 5 на шкале H1∙, следовательно,
У0,000 056 42 ≈ 0,0405.
Упражнение.
Самостоятельно вычислите на линейке:
j∕r 12,48;	y∕^ 3809,6; у^ 0,0564;	∕^ 0,006048;	y⅞,029j
3 Г
у 0,0005.
Указание: при разбивке на грани числа 0,0005 следует рас¬
сматривать его как 0,000’500 (с 3 значащими цифрами в первой
слева значащей грани).
Задачи.
1.	Объем куба равен 150 см3? Чему равны: а) ребро куба?
б) площадь одной грани куба?

Указание: получив 3\/ 150 на шкале Hi (для ответа на
вопрос «а»), тут же прочитайте квадрат этого числа на шкале Bi
(для ответа на вопрос «б»).
2.	Во сколько раз увеличится ребро куба, если объем куба уве¬
личить в 6 раз? в 18,4 раза? в 0,86 раза?
§ 14. КОМБИНИРОВАННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ
НА НЕСКОЛЬКИХ РАЗНЫХ ШКАЛАХ
Во многих случаях приходится производить вычисления с чис¬
лами в различных степенях (одними — в первой, другими — во
второй, третьими — в третьей) и с корнями различных степеней
(второй, третьей), как-то:
аЬ2;аЬ3;а?Ь2;
з/—
/в а
b ’
Таковы, например: вычисления, касающиеся площадей, объе¬
мов тел, веса тел; многие планово-статистические вычисления
уровней и средних темпов роста; расчеты численности населения
(в том числе — перспективные расчеты на будущее время); вычис¬
ление мер вариации; вычисление коэфициента корреляции; рас¬
четы численности выборки и т. д.
Встретившись с выражениями, подобными (•), неопытный вы¬
числитель обыкновенно начинает вычислять и записывать значе¬
ния отдельных компонентов (например, значения a2, b3, у^а,
126

3/—“
у b ), а затем производит на шкалах HxH2 обычным путем тре¬
буемые действия над этими компонентами (например: a2 × &2;
уЬ : а2, ит. п.). Между тем, применяя совместно и
умело комбинируя несколько разных шкал
(например: Hlft2 и BxB2∙, HiH2 и /С; BxB2 и К', HxH2, BxB2 и К), мы
можем вычислять выражения вида (*) много проще и значительно
быстрее. При таких вычислениях особенно ска¬
зываются выдающиеся удобства логарифми¬
ческой линейки.
Как увидим далее, большинство выражений вида (*) можно
вычислить при помощи одной установки движка и одной — двух
установок волоска (см. рис. 29). Но для этого перед вычислением
необходимо обдумать:
а)	на какой шкале выгоднее получить окончательный резуль¬
тат вычисления?
б)	в связи с этим, на какой шкале следует взять (установить)
то или иное исходное число?
в)	на какой шкале произвести каждое отдельное действие?
г)	какая последовательность этих действий быстрее и проще
приведет к окончательному результату всего вычисления?
1.	Предварительные указания
Выдвинем движок вправо, установив его начало 1 против числа
2 верхней шкалы Вх (см. рис. 28). Одновременно начало движка
окажется против числа 1,414 нижней шкалы ∕∕∣ и против числа
2,83 шкалы кубов К (см. тот же рисунок, положение аа волоска).
Примем все эти три числа (1,414; 2; 2,83) за множимые и
начнем умножать — каждое на своей шкале — наряд
множителей так, чтобы каждые три множителя точно противостоя¬
ли друг другу. Для этого будем последовательно передвигать во¬
лосок вправо, ставя его последовательно в положения бб, ββ, гг,
дд (см. тот же рис. 28).
Множителям на нижней шкале Н2 движка:
2,	3,	4,	5
соответствуют множители на верхней шкале В2 движка:
4,	9,	16,	25,
представляющие собой квадраты нижних множителей; одно¬
временно множимое на шкале кубов (число 2,83) умножается на
кубы нижних множителей;
8,	27,	64,	125.
Аналогичные соотношения имеем и при делении. Делению на
числа 2, 3, 4, . . . на нижних шкалах HxH2 соответствует на верх-
127

них шкалах B∖B2 деление на квадраты этих чисел — на
21 2, 32, 42, . . . , а на шкале кубов К. — деление на кубы этих
чисел, т. е. на 23, 33, 43, . . .
Умножению на числа
соответствует умножение на
и умножение на
2,	3,	4,	5
22,	32,	42,	52
23,	33,	43,	5г
на шкалах H↑H2
на шкалах BlB2
на шкале К.
Сформулируем теперь два общих вывода, важных для после¬
дующего изложения.
1) Передвижка волоска на jV единиц
нижних шкал HxH2 равносильна передвижке его
на № единиц верхних шкал B∖B2 или на № единиц
шкалы кубов К.
2) Чтобы умножить (разделить) на верхних шка¬
лах B∖B2 на число N2, или на шкале К — на число
№, достаточно передвину ть в нужную сто¬
рону волосок со множимого (делимого), уста¬
новленного на этих шкалах, на Λf единиц ниж¬
них шкал H∖H2 и прочитать результат на шкалах
BlB2 или К..
2. Выражения, не содержащие многочленов
Последовательно рассмотрим ряд типичных комбинированных
вычислений на разных шкалах (см. рис. 29).
128

1.	Выражение вида: а2Ь2; a3b3.
Представим α262 как (ab)2, а a3b3 как (ab)3. Вычислив на
HxH2 произведение ab, тут же прочтем его квадрат на Вх или
его куб на К.
Например: 5,142∙0,672 = ? Находим на HxH2 обычным путем
произведение 5,14 • 0,67; не читая его, прочитываем (под волос¬
ком) его квадрат на шкале Bβ ответ 11,9.
Подобным образом можно вычислять выражения вида
a2b2c2 = (abc)2, a3b3c3 = (abc)3 и т. п.
Вычислите самостоятельно: 18,423 ∙2,063j 5,33∙0,613∙ 13,23.
2.	Выражения вида у/ ab.
Найдем произведение ab и извлечем из него квадратный ко¬
рень. Чтобы получить ответ на HxH2, необходимо вычислить произ¬
ведение ab на шкалах BxB2,
Например: ∣Λ 5,14 • 6,23 = ? На шкалах BxB2 получаем про¬
изведение 5,14 • 6,23, которое не читаем (оно равно 32,0); по во¬
лоску находим квадратный корень из него на шкале Hx∖ ответ 5,66.
Вычислите самостоятельно:
√^14,2 • 368,5;
а2
3.	Выражения вида:	;
24 • 16,5 • 3,8 ,
a2 ∕ α ∖2 fl3 ∕ g \3
Поэтому вычисление сводится
к отысканию частного на Н* и прочтению его квадра-
о
та на B1 или его куба на К.
Например: во сколько раз больше объем кубического бака с
ребром 4,32 м, чем объем бака с ребром 2,73 л? Задача сводится
4,323	/ 4,32 ∖J „ .	„ и	4,32
к вычислению—1— , или (	) . Найдем на ∏∖H2 частное	—
2,73>	\ 2,73 )	2.73
(которое не читаем); отметив его волоском, прочитываем на К его
куб, равный 3,98. Ответ: в 3,98 раза.
4.	Выражения вида:
Чтобы получить значение
на шкале Нх, необхо¬
димо вычислить подкоренное частное-y на шкале B1, а
затем извлечь из него квадратный корень. Так
V а	- v а.	* ∕ a
и выражения вида—— , ибо 	= 1/ —•
∣∕ b V~b^	*	b
9 Ф. Д. Ливший
же вычисляют
129

Рис. 29 (начало)
130

Рис. 29 (окончание)
9*
131

S.	Выражение вида: аЬ2; ab8.
В обоих выражениях степени числа а и числа b различны. Так
как число b2 может быть получено на шкале Вь то и все вычисле¬
ние ab2 выгодно произвести на шкалах B∖B2. Число b3 может быть
получено тблько на шкале К, поэтому и все вычисление ab3 сле¬
дует произвести на шкале К; начинать его следует с установки
множителя а (продумайте, почему).
Например: 2,63 ∙ 17,452 = ? Производим вычисление на шкалах
B↑B2,i Откладываем на B↑ волоском первый множитель 2,63. Под¬
ведя под волосок начало 1 движка, передвигае^м волосок и откла¬
дываем при помощи его 17,45 на шкале Н2, или, что то же, 17,452
на шкале В2. После этого на шкале B↑ читаем под волоском ответ:
2,63 ∙ 17,452 = 800. (Более точное значение ответа 800,835.)
Вычислите самостоятельно: 1,46 • 50,682; 0,73 ∙ 2,843.
а b2 а
6.	Выражения вида:
Так как b2 приходится.получить на шкалах B↑B2, а b3 — на
шкале К, то первые два выражения следует вычислять на шкалах
В1В2, третье — на К.
Например:
——= ? Отложим на B↑ волоском делимое 26,3; подведем
1,745’
под волосок число 1,745 шкалы Н2, или, что то же, 1,7452 на шка¬
ле В2. Против начала движка читаем на Вх ответ:
= 8,65.
1,745’
б)
		 = ? Отложим волоском 1,745 на Hι, т. е. тем самым
26 3
1,7452 на Bl∙, подведем под волосок 26,3 шкалы В2. Против начала
движка читаем на Bl ответ-’ 1 ’745 = 0,1155.
26.3
26 3
в) —= ? Отложим на шкале К волоском число 26,3; под-
1,7453
ведем под волосок число 1,745 шкалы Н2, которому соответствует
число 1,7453 на шкале К. Нанеся волосок на начало движка, чи-
26 3
таем под волоском на шкале К. ответ:	— = 4,95.
1,745’
7.	Выражения вида:
Так как корни у а и у а можно получать только на
шкалах HxH1, то и все вычисления подобных выражений
необходимо производить на Hx Н2. Например:
132

а) —		— = ? Отложим волоском 17,8 на B1, т. е., тем
’	5,63
самым, 17,8 на Hl; подведем под волосок 5,63 шкалы Н2.
гт	и	K^i7,8~ Л7е
Против конца движка читаем на π1 ответ; -ς-—— — u>''* 3∙
5,63
б)—56^ = ? Отложим на H1 волоском 5,63; подведем
К 17,8

под волосок число 17,8 шкалы В2. т. е. число у 17,8 на
l,	ГТ	„	5,63	_
шкале лг. Против начала движка читаем на π1 ответ:—- — —
1/ 17,8
= 1,334.
Вычислите самостоятельно: 5,63 у/ 17,8; 5,63 i∕λ17,8,∙-^ 17, - >
r	5,63
5.63
Kz 17,8
/гт	5,63
(При вычислении—2— вы встретитесь с затруднением, ко-
3
И 17,8
торое можно обойти следующим образом: начните с установки
/17,8 на шкале H↑t а деление произведите на движке.)
8. Выражения вида:
Подкоренные частные —или —находим на шкале B↑, после
с ab
чего по волоску читаем на Hγ квадратные корни из этих частных.
Вычислите самостоятельно:
8,12 - 4,63
5,925
70,4
16,3 • 2,95
В вычислениях вида 9, 10 и 11, излагаемых далее,
участвуют одновременно квадратные и кубические
корни. Те и другие можно получать только на шка¬
лах HxH2> следовательно, на этих шкалах необходимо
производить и все вычисление. Так как на линейке
имеется лишь одна шкала К кубов, и эта шкала не¬
подвижна, то следует всегда начинать вы¬
числение с кубических корней, а за¬
тем вводитьквадратные.
133

9.	Выражения вида: -∣z∕ ∩ ∙ у/ b∖
з

Пусть требуется вычислить ∣∕" 5. Отложим волоском на
Н\ число 5 (для чего установим волосок на числе 5 шкалы /С).
Подведем под волосок начало движка и передвинем волосок впра¬
во, установив его на числе 2 шкалы В2. На шкале Н\ под волос¬
ком читаем отсчет 2 — 4 — 2. Следовательно, j∕ 2 ∙ jΛ 5 == 2.42,
Вычислите самостоятельно:
∣∕^ 17,63 • У 28,9 ; j^^672 ∙ ∣Λ 10,4 .
1П О	V Ь
10.	Выражения вида:	—; —1
V b pz^ а
Зг

V 5	з/

а)		 = ? Отложим волоском на H1 число у 5 (со-
)∕~2^
ответствующее числу 5 на шкале К)\ подведем под волосок
число j∕ 2 на шкале Н2 (соответствующее числу 2 на
шкале ∙B2)∙ Против начала движка читаем на Hi отсчет 1 —
з

— 2—0—9; следовательно, ответ: ' 5	= 1^209.
V~2
V~2
б)	—rzz—= ? Следуя указанному выше .правилу, начинаем
з -
с установки волоском числа ]∕^5 на шкале Hi (непосредственно
убедитесь, что, начав с установки 2, мы не сможем удобно про¬
должать вычисление). Деление у/^‘2 на это установленное число
произведем на шкале Н2 движка: для этого подведем под волосок
число }/ 2 шкалы Н2 (или, что то же, число 2 шкалы В2) и на
той же шкале Н2, против конца шкалы Н\, прочитаем ответ:
—⅛—= 0,527.
Вычислите самостоятельно:
134

а
11. Выражения вида: 		 i.	 •
V Ь . у с
Знаменатель y∕^~c^ ∙ y∕^ b вычисляем на H1 ∕72(cm. выше 9);
деление числа а на этот знаменатель производим на шкале Н2
движка.
Например: ——— 	= ? Отложим волоском на H1 число
3 _ V 2 • / 5
∣Λ 5; подведем под волосок начадо движка и передвинем волосок
вправо, установив его на число j∕" 2 шкалы Н2 (на число 2 шка-
лы_б2); на шкале Н\ под волоском образовалось произведение
у/~5« у 2 (которого не читаем). Подводим под волосок число
6 шкалы H2∙, против начала шкалы Н\ читаем на шкале Н2 отсчет
2 — 4 — 8 (деление на движке). Ответ: 		= 2,48.
∕^2^ • /Т
3.	Выражения, содержащие многочлены
Мы знаем, что производить на линейке сложение и вычитание
невозможно. Тем не менее наличие сумм или разностей в вычис-
чяемых выражениях не должно быть основанием полного отказа
от применения линейки; эти суммы и разности можно вычислять
вне линейки, иными способами (в уме, на бумаге, на конторских
счетах и т. д.).
Например, требуется вычислить:
_ 45,18 V12 -⅜- 1,345»
Применение линейки может принести при таком вычислении
большую пользу, если только, после вычисления значения 1,3452,
произвести в уме сложение под корнем. Поэтому поступаем так:
1) установив на Hi число 1,345, прочитываем на Bι значение
числа 1,3452 = 1,81;
2)	складываем в уме 12 + 1,81 = 13,81. После этого все наше
выражение примет форму:
_	45,18 • /13,81
не содержащую многочленов. Дальнейшее вычисление производим
знакомым нам путем (сравни п. 7 на стр. 132) на шкалах HiH2∙.
3)	откладываем волоском на Hi число / 13,81 (которое не
читаем);
13$

4)	делим это число на 6,13, т. е. подводим под волосок 6,13
шкалы //г;
5)	умножаем результат на 45,18, т. е. наводим волосок на 45,18
шкалы H⅛
6)	прочитываем на Hi окончательный результат всего вычисле¬
ния: 27,35.
Итак,
=	45.l8.l∕l2+l,3452- = 2735
6,13
§ 15. ЛОГАРИФМИРОВАНИЕ И ПОТЕНЦИРОВАНИЕ НА ЛИНЕЙКЕ
Известно, что логарифм любого положительного числа состоит
из целой части — характеристики и дробной части — мантиссы.
Так, в десятичных, логарифмах
lg 17,8 = 1,2504; Ig 8,57 = 0,9330; ⅛ 0,0442 = 2,6454
характеристики равны соответственно + 1; 0 и —2, а четырех¬
значные мантиссы — соответственно 2504, 9330 и 6454 десятиты¬
сячным.
Известно, что величина характеристики в логарифме числа
определяется порядком этого числа (местоположением запятой в
числе). Следовательно, чтобы знать логарифм любого числа, прак¬
тически достаточно знать мантиссу (дробную часть) этого лога¬
рифма.
1.	Шкала мантисс
Крайняя снизу шкала Л линейки дает возможность чисто
механически и мгновенно получить первые
три верных знака мантиссы любого числа.
Следовательно, шкала Л фактически представляет собой целую
таблицу трехзначных мантисс, но только таблицу,
выраженную графически—в виде отрезка с делениями. Поэтому
шкалу Л и называют шкалой мантисс или (не совсем точно) шка¬
лой логарифмов.
В отличие от прочих шкал линейки, шкала Л равномерна.
Ее длина, равная длине шкал H∖Hi, принята за 1 целую единицу и
равномерно разделена на деления трех разрядов. Десять
делений первого разряда, разграниченные штрихами с пометками
1, 2, 3, . . . 9, содержат каждое по 0,100 (по 100 тысячных долей
единицы); каждое из них поделено на десять делений второго раз¬
ряда, отмеченных безымянными, слегка удлиненными штриха¬
ми, — по 0,010 (по 10 тысячных); каждое деление второго разряда
поделено на пять мелких делений — «двойных» делений треть¬
его разряда по 0,002 (по 2 тысячных). Интерполируя на-глаз, мы
в состоянии дробить мелкие деления третьего разряда еще на две
136

(но не более) части—по 0,001 (по 1 тысячной). Таким образом»
на равномерной шкале Л можно устанавливать и прочитывать:
а)	на штрихах — четные числа тысячных долей едини¬
цы, т. е.
0,002; 0,004; 0,006; . . . 0,998; 1,000;
б)	между штрихами — нечетные числа тысячных долей
единицы, т. е.
0,001; 0,003; 0,005; . . . 0,999.
Числа (от 1 до 10)
(⅞4⅜)
3 η∣ 4	S 6	7 8' д’ 10
т	•—ι	ι—ι	1—ι—г—|
Мантиссы (от 0 до 1)
Рис. 30.
Шкалы H∖H1 (чисел) и шкала! Л (мантисс).
2.	Логарифмирование
Рассмотрим теперь шкалы HiHi и шкалу Л совместно (см.
рис. 30).
На логарифмических шкалах H∖H2 отложены в логарифмиче¬
ском масштабе числа от 1 до 10, т. е., иначе говоря, отложены от¬
резки, графически выражающие логарифмы этих чисел. Такой же
длины отрезки, взятые на равномерной шкале Л, доказывают,
сколько тысячных долей единицы содержит¬
ся в мантиссах этих логарифмов. Чтобы выяснить
это число тысячных, достаточно навести волосок на данное число
N шкалы H∖Hi и прочитать под волоском соответствующий
отсчет на шкале Л.
Упражнение 1.
Устанавливая волосок на числа шкалы Hι, убедитесь в пра¬
вильности следующих логарифмов (данных с точностью до 0,001) г
lg 1 = 0,000
lg 2 = 0,301
lg 3 = 0,477
lg 4 = 0,602
lg 5 = 0,699
lg 9 = 0,954
lg 10 = 1,000
lg 1,5 = 0,176
lg 2,5 = 0,398
lg 3,26 = 0,513
lg 7,85 = 0,895
lg 1,04 = 0,017
137

От переноса запятой в числе W мантисса lgN не изменяется.
Следовательно, логарифмы чисел:
1,5; 15; 150; 15 000; . . . 0,15; 0,0015; . . .
должны иметь одинаковую мантиссу и только различные характе¬
ристики. Нанеся волосок на отсчет 1 — 5 шкалы Н\, читаем на
шкале Л мантиссу 176 (тысячных), после чего можем написать:
lg 1,5=0,176; lg 15=1,176; lg 150 = 2,176;
lg 15000 = 4,176; lg 0,15= 1,176; lg 0,0015 = 3,176
« т. д.
Упражнение 2.
Находя мантиссы на шкале Л, напишите логарифмы следую¬
щих чисел:
3,5; 16,7; 1,324; 0,506; 28,77; 0,01048; 145,674.
Указание. Сверьте прочитанные трехзначные мантиссы с
соответствующими мантиссами в таблицах логарифмов. Число
145,674 предварительно округлите до четырех верных знаков.
3.	Потенцирование
Столь же просто производится на линейке потенцирование, т. е.
действие, обратное логарифмированию: нахождение числа по за¬
данному логарифму. Для этого необходимо:
волоском отложить на шкале Л мантиссу логарифма;
прочитать на шкале Hi отсчет, образовавшийся под волоском;
в этом отсчете поставить запятую в соответствии с характери¬
стикой логарифма.
Пример 1.
Найти на линейке числа, логарифмы которых равны:
а)	0,240; б) 2,465; в) 1,312; г) 3,527; д) 1,3261; е) 2,05627;
ж) 1,00813.
а)	Нанеся волосок на мантиссу 240 (отсчет 2 — 4 — 0) на шка¬
ле Л, читаем на шкале Н\ под волоском отсчет 1 — 7 — 3 — 8. Ха¬
рактеристике 0 соответствует один знак целой части числа. Следо¬
вательно, искомое число есть 1,738.
б)	Наносим волосок на мантиссу 465 на шкале Л (отсчет
4 — 6 — 5 получается между штрихами третьего мелкого деления
после 4—6—0). На шкале Hi волосок отделил приблизительно —
4
двойного деления третьего разряда после 2 — 9, что приблизитель¬
но соответствует отсчету 2 — 9 — 15. По характеристике 2 ставим
запятую после третьего знака отсчета; получаем число 291,5. (Таб¬
лицы логарифмов дают несколько более точное значение 291,7.)
138

в)	Мантиссе 312, взятой на шкале Л, соответствует отсчет
2 — 0 — 5 на шкале/Л; характеристика равна (—1); искомое
число есть 0,205. (Более точное значение его 0,2051.)
г)	Мантиссе 527, взятой на шкале Л, соответствует отсчет
3 — 3 — 7 на шкале Hi∙, характеристика равна 3; следовательно,
искомое число имеет четыре знака целой части, т. е. равно 3 370.
(Более точное значение, по таблицам, 3 365.)
д)	Округляем мантиссу до 326; ей соответствует на шкале Hi
отсчет 2 — 1 — 2; искомое число 0,212. (Более точное значение, по
таблицам, 0,2118.)
е)	Округляем мантиссу до 056 (несколько уменьшив ее); на
шкале Н\ ей соответствует отсчет 1 — 1 —3 — 8; искомое число
113,8. Для устранения некоторой погрешности в этом числе, вы¬
званной некоторым уменьшением мантиссы, можем увеличить на
единицу последний знак числа, т. е. взять 113,9. (По четырехзнач¬
ным таблицам логарифмов найдем:
для логарифма 2,056	. . число 113,8;
для логарифма 2,05627 . . . число 113,9,
что подтверждает правильность наших вычислений на линейке и
расчетов.)
ж)	Округлим мантиссу до 008; читаем на Н\ соответствующий
ей отсчет 1 — 0 — 1 — 9; искомое число 1,019. (Тот же ответ дают
таблицы логарифмов.)
Упражнение 3.
Самостоятельно вычислите на линейке числа, логарифмы кото¬
рых равны:
0,580; 1,364; 2,227; 0,065; 1,4162; 3,072; 2,111.
Проверьте значащие цифры ответов по таблицам логарифмов.
4.	Логарифмические вычисления
Применим теперь умение логарифмировать и потенцировать на
линейке к решению некоторых вычислительных задач.
П р и м е р 2.
а)	Вычислить 102∙β3. — Это значит найти такое число, десятич¬
ный логарифм которого равен 2,63. Мантиссе 630 (тысячных) со¬
ответствует на шкале Hι отсчет 4 — 2 — 7; характеристика равна
2, следовательно, число имеет три знака целой части. Ответ:
102∙63 = 427. (Более точный ответ, по таблицам, 426,6.)
б)	1000∙3,8 = P Так как 100= 102, то 1000∙318 = 102 ∙ 0∙3,8 =
_ ιθc,636 Мантиссе 636 соответствует отсчет 4 — 3 — 2 — 5; число
имеет один знак целой части. Ответ: 1000∙318 = 4,325. (Тот же от¬
вет дают таблицы.)
139

Упражнение 4.
Вычислите самостоятельно на линейке:
10°.°8,. ι ООО0 456; 101∙,7j 100,∙0,64.
Проверьте ответы при помощи четырехзначных таблиц, лога¬
рифмов.
Пример 3.
а)	Вычислить x = 2,423∙l8. — Если x = 2,423∙18, то lgx =
= 3,18 lg2,42. Поэтому:
находим на линейке lg 2,42 = 0,384;
на шкалах HxH2 перемножаем 3,18 • 0,384 = 1,221;
по lgx = 1,221 (на шкале Л) находим x≈ 16,63 (на шкале
Hl).
(Более точные вычисления по таблицам: lg 2,42 = 0,3838;
3,18 • 0,3838 = 1,220 484 ≈ 1,2205; х = 16,62).
б)	Вычислить = 2,42^3∙18. — Это число равнозначно чис¬
лу 2-42xiβ∙ Вычислив, как только что было показано, 2,423∙18 и по¬
лучив на шкале Н\ число 16,63, находим обратное ему число —-—
16,63
путем деления на движке. Для этого, не трогая во¬
лоска (который находится на 16,63 шкалы Hi), подводим под
волосок конец 10 шкалы Н2 и на этой же шкале, против начала
1 шкалы Hi, читаем отсчет 6 — 0—2, так что —	 =0,0602.
16,63
Итак, у = 2,42^3∙18 = 0,0602.
Пример 4.
Вычислить у = 40,65 ∙ 2,423∙18.
Вычислив второй сомножитель 2,423∙l8= 16,63, как было пока¬
зано в примере 3, «а», умножаем далее обычным способом 16, 63,
полученные на шкале Н\, на первый сомножитель 40,65:
у = 40,65 ♦ 16,63 ≈ 676.
Упражнение 5.
Вычислите самостоятельно на линейке:
12,460-8052; 6,08~1∙12j 25,08 ∙1,235j 19,3 ∙ 4,572∙31.
(Возможно точнее устанавливайте и прочитывайте отсчеты.
Полученные ответы проверьте при помощи таблиц логарифмов
(пятизначных или четырехзначных). ВыясниТе абсолютную и от¬
носительную степень неточности ответов, полученных вами на
линейке.)

ГЛАВА VI
ПЛАНОВО-СТАТИСТИЧЕСКИЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ
(вторая часть)
Вводные замечания
Возможность мгновенно получать на линейке квадратные и ку¬
бические степени и корни, логарифмы и антилогарифмы, быстро
производить любые логарифмические вычисления — в огромной
степени расширяет область планово-статистических вычислений,
которые могут быть удобно и быстро выполняемы на линейке.
Действительно, умея производить вычисления на шкалах BiBz,
КяЛ, мы получаем возможность, при помощи линейки:
вычислять среднюю геометрическую;
вычислять средние темпы роста (и прироста);
производить многие специальные вычисления, касающиеся
уровней динамики и темпов;
вычислять меры вариации признаков;
вычислять коэфициент корреляции;
производить расчеты, касающиеся выборки,
и т. д.
Техника этих плановых и статистических вычислений при по¬
мощи линейки будет показана в настоящей главе.
§ 16. ВЫЧИСЛЕНИЕ УРОВНЕЙ И ТЕМПОВ
НА ШКАЛАХ Н, В и К
Соотношения между крупными единицами времени (год, полу¬
годие, квартал, месяц) выражаются числами 2 и 3 или произведе¬
ниями из сомножителей 2 и 3:
год = 2 полугодия = 2 • 2 квартала = 2 • 2 • 3 месяца;
полугодие = 2 квартала = 2 • 3 месяца;
квартал = 3 месяца.
Поэтому многие плановые прикидки и расчеты, при которых
предполагается некоторый одинаковый или средний
темп роста (прироста) за каждый месяц, квартал, полугодие, —
141

могут быть сведены к возведениям в квадрат или в куб, либо к из¬
влечениям квадратичных и кубических корней. Аналогичная воз¬
можность часто возникает и при плановых расчетах на несколько
целых лет, например: на 2, на 3, на 4 года.
Подобные вычисления, как мы покажем далее, удобно и бы¬
стро производятся на линейке при помощи шкал H∖H2, BiB2 и К.
1.	Равномерные темпы
Разберем, прежде всего, вычисление общего коэфициента ро¬
ста (или прироста) явления за несколько периодов при равно¬
мерных темпах роста (или прироста) этого явления в каж¬
дый период.
Пример 1.
Во сколько раз возрастет продукция завода за два года, если
каждый год она будет увеличиваться в 1,107 раз?
Продукция должна возрасти за два года в 1,1072 раз. Наведя
волосок на 1 — 1 — 0 — 7 шкалы Н\, прочитываем с возмож¬
ной точностью на шкале В( под волоском отсчет квадрата:
1 — 2 — 2 — 5, который выражает число 1,225. (Более точный от¬
вет по таблице квадратов: 1,226.)
Пример 2.
Прирост продукции завода предполагается, по плану, 13,5% в
полугодие. Во сколько раз возрастет продукция завода за год?
за два года?
Если темп прироста равен 13,5%, то темп роста равен (100 +
+ 13,5) % =113,5%, или 1,135. За год ( = 2 полугодия) продук¬
ция должна возрасти в 1,1352 раз, за два года (= 4 полугодия) —
в 1,1354 раз, или в (1,1352)2 раз.
Наведя волосок на 1 — 1 — 3 — 5 шкалы Н\, читаем на шкале
В1 под волоском отсчет 1 — 2 — 8 — 8, который выражает число
1,288 (темп роста за год; иначе, 128.8%).
Установив полученное число 1,288 на шкале Н\, читаем на
шкале В1 под волоском его квадрат: ≈ 1,66 (более точное значе¬
ние этого квадрата 1,658); следовательно, 1,1354 = 1,2882 ≈ 1,66
(коэфициент роста за два года; иначе, 166%).
Пример 3.
По плану предполагается снижение себестоимости в среднем
на 4,5% в каждый квартал. Каков будет, по сравнению с началь¬
ным, уровень себестоимости через полгода? через год?
В конце первого квартала уровень себестоимости должен coi
ставить (100 — 4,5) % = 95,5% = 0,955 начального уровня; в кон¬
це первого полугодия — 0,9552 начального уровня; в конце года
(через 4 квартала) — 0,9554 = (0,9552)2 начального уровня.
Против 0,955 (9—5—5) на шкале H↑ читаем 0,91 (9—1) на
шкале Bi∙, в свою очередь, установив полученное значение квадра¬
та 0,91 на шкале H↑, читаем против него 0,827 (8—2—7) на
шкале В\. Следовательно, уровень себестоимости составит через
142

полгода 0,91 = 91 % начального уровня, а через год 0,827 == 82,7%
начального. (По таблицам квадратов мы нашли бы 91,20% и
83,17%.)
Пример 4.
Исходя из условий предыдущего примера, определить уровень
себестоимости, по сравнению с начальным, в конце третьего квар¬
тала? через 1 */г года (шесть кварталов)?
Ответы выражаются величинами 0,9553 и 0,955® = (0,9553)2.
Наведя волосок на 9 — 5 — 5 (0,955) шкалы Н\, читаем под волос¬
ком на шкале К кубов отсчет 8—7 (0,87). В свою очередь, наведя
на шкале Hi волосок на отсчет 8 — 7 (полученного куба 0,87), чи¬
таем на шкале Bi квадратов отсчет 7 — 5 — 7 (0,757). Таким об¬
разом:
0,9553 = 0,87; 0,955® = (0,9553)2 = 0,872 = 0,757.
Следовательно, в конце третьего квартала уровень себестои¬
мости составит 0,87 = 87% начального уровня, а через 1 ,∕≡ года—
0,757 = 75,7% его.
Пример 5.
Планируется ежегодный равномерный прирост товарооборота
области в 22,5%. Во сколько раз увеличится ее товарооборот че¬
рез 3 года? через 1 ½ года?
Ежегодный темп роста составит (100 + 22,5) % = 122,5% =
1,225. За 3 года рост составит 1,2253; за 11∕≡ года он составит
1,225,∙5 = ∕^ 1,2253.
Числу 1,225 на шкале Н\ соответствует его куб 1,84 на шкале
К; следовательно, через 3 года товарооборот области возрастет в
1,84 раз, составит 184% нынешнего.
Чтобы извлечь квадратный корень из полученного куба, уста¬
навливаем волоском 1,84 на шкале В\ квадратов и на шкале Н\
под волоском читаем 1,356 (иначе говоря, 1,2251∙5 = }Λ 1,2253 =
= j∕^ 1,84= 1,356); следовательно, через 1½ года товарооборот
области возрастет в 1,356 раз, составит 135,6% нынешнего.
(Более точные ответы по таблицам кубов и квадратных корней
дали бы 1,838 и те же 1,356.)
2.	Средние темпы
Очень удобно и легко вычислять на линейке средние темпы
роста явления (и его прироста) за несколько периодов времени.
Если явление по истечении п одинаковых периодов (лет, квар¬
талов, месяцев) возросло в к раз (к — коэфициент роста явления
за все время) и при этом в каждый отдельный период возрастало
в одинаковое среднее число Т раз (т. е. имело одинаковый
средний темп роста Т), то очевидно, что
ИЗ

T∙T∙1∙ ... ∙T= Tn = к;
(га раз)
следовательно, средний темп роста Т явления за один период мо¬
жет быть вычислен по формуле:
τ=γ~^.	(1)
Так, если за 2 года продукция промышленной отрасли возросла
•в '2,46 раза, то средний годовой темп ее роста был равен
Tt0d'≈ ∣∕^ξ46≈ 1,568 (или 156,8%);
средний квартальный темп ее роста в эти годы (2 года =
= 8 кварталов) был равен
Тм. = Y^2A6 ≈ 1,119 (или 111,9%);
средний месячный темп ее роста в эти же годы (2 года≈
j= 24 месяца) был равен
Тмес. = ]Z^236 ≈ 1,038 (или 103,8%).
Легко понять, что величина среднего квартального темпа могла
быть также получена из найденной нами величины годового темпа,
а среднего месячного — из величины среднего квартального. Так
как в году 4 квартала, а в квартале — 3 месяца, то можно было
применить иной способ вычисления:
Tκβ, = у/ 1,568 ≈ 1,119 (или 111,9%);
1 мес, — \/ 1,119≈ 1,038 (или 103,8%),
который, как видим, приводит к тем же результатам.
Средняя величина, определяемая по формуле (1), есть средняя
.геометрическая (о ней будет сказано подробнее в § 18, п. 1). Сле¬
довательно, средние темпы роста вычисляются как средние геомет¬
рические величины роста.
Как и ранее (в п. 1), мы будем пока предполагать, что число
периодов равно 2 или 3, либо есть произведение, состоящее только
из этих сомножителей (например: 4, 6, 8, 9 и т. п.).
Покажем на ряде примеров технику вычисления средних тем¬
пов на линейке.
Пример 1.
Продукция отрасли возросла за два года в 1,76 раз. Во сколь¬
ко раз возрастала она в среднем за каждый год?
Здесь Т ivl . = ∣∕ 1,76. Установив волосок на числе 1,76 шка¬
лы B1 (шкалы квадратов), читаем под волоском на шкале Н\ от-
144

счет 1 — 3 — 2 — 7, который должен выражать число 1,327. Сле¬
довательно, средний годовой темп роста продукции равен 1,327
(или 132,7%).
Пример 2.
За два года уровень себестоимости продукции завода понизил¬
ся на 32,5%. На сколько процентов он понижался в среднем в
каждый год? в каждое полугодие? в каждый квартал года?
Переходим от темпа прироста за два года (в данном
случае отрицательного: — 32,5%) к темпу роста за два го¬
да: (100 — 32,5) % = 67,5%, или 0,675 (в данном случае он мень¬
ше 100%, или меньше 1).
Средний годовой темп роста равен у/~ 0,675. Так как в первой
грани числа 0,67’50 две значащие цифры, то против 6 — 7 — 5
в правой половине шкалы Bt читаем на шкале fft, по волоску,
отсчет 8—2—2, который выражает темп роста 0,822, или 82,2%.
Следовательно, уровень себестоимости снижался ежегодно в сред¬
нем на 17,8% (так как 100% — 82,2% =17,8%).

Средний темп роста в полугодие должен быть равен 0,822.
Нанеся волосок на 8 — 2 — 2 правой половины шкалы Вх
квадратов, читаем на шкале Hi, под волоском, отсчет 9—0—7,
который выражает темп 0,907, или 90,7%. Следовательно, в каж¬
дое полугодие себестоимость снижалась в среднем на 9,3% (так
как 100 % — 90,7 % = 9,3 %).
Наконец, средний темп за квартал равен у 0,907 (продумай¬
те, почему?). Наносим волосок на отсчет 9 — 0 — 7 правой
трети шкалы К кубов (практически здесь возможно установить
только округленный отсчет 9 — 1 — 0; почему взята правая
треть?); на шкале Н\, под волоском, читаем для кубического корня
отсчет 9 — 6 — 9, который выражает средний квартальный темп
роста 0,969, или 96,9%. Следовательно, в каждый квартал себе¬
стоимость снижалась в среднем на 3,1 % (100% — 96,9% = 3,1 %).
Вычисления по таблицам дали бы следующие, более точные, значения:
V0,675 ≈ 0,8216; V0,8216 ≈ 0,9064; ∕θ,9O64 ≈ 0,968. Как видим, во всех
ответах на линейке абсолютная попрешность не превышает 0,001, или 0,1%, т. е.
степень точности ответов для подобных расчетов практически вполне доста¬
точна.
Самостоятельно решите на линейке следующие задачи, сверяя
ваши ответы с контрольными ответами в тексте.
Задачи.
1.	Прирост продукции завода за два года составил 43,6%. На
сколько процентов возрастала продукция в среднем каждый год?
(На 19,8%.)
2.	За четыре года необходимо увеличить продукцию завода на
127%. На сколько процентов в среднем необходимо увеличивать
ее каждый год? (На 22,8%.)
10 Ф. Д. Ливший
145

Указание. Вопрос сводится к предварительному вычисле¬
нию^ 2,27 (почему?), путем двукратного извлечения квадратно¬
го корня.
3.	За три года необходимо увеличить выпуск изделий на 126%.
На сколько процентов необходимо увеличивать этот выпуск в
среднем каждый год? каждое полугодие? (На 31,2% и 14,6%.)
Указание. Необходимо предварительно вычисление
y∕^2,26 (почему?), а затем — квадратного корня из полученного
результата (почему?).
4.	За три года уровень себестоимости понизился на 26,2%. На
сколько процентов он понижался в среднем в каждый год? в каж¬
дое полугодие? (На 9,6% и 4,9%.)
Указание. Необходимо предварительное вычисление
∣∕^0,738 (почему?), а затем — квадратного корня из полученного
результата (почему?). Темпы понижения являются дополнениями
двух полученных корней до 1 (до 100%).
3. Уровни и темпы
Как известно, между начальным уровнем явления у о, темпами
роста Tu T2, Т3, . . . явления в первый, второй, третий и т. д. пе¬
риоды и уровнями у\, У2, уз, ... в эти же периоды — существуют
следующие количественные соотношения:
У1 = Уо Л
У2=У1 Л
Уз=Уг Т3
У1 =Уо ' Л
(2), или иначе: ∙^2 —-У» ’ D ’ ~2 „
J'3=J'0 • Л • Т2 • Т3
(2')
Следовательно, можно написать общую формулу для уп:
Уп — У о ' Л ' Т'2 ' Т'з , * ■ * Тп.
(3)
Если явление развивается равномерными (одинаковыми),
средними темпами Т, то соотношение (3) преобразуется в следую¬
щее:
Уп=Уь • Тп,
(4)
где п — число периодов, протекших после началь¬
ного.
Из формул (2) и (4) вытекают формулы для вычислений об¬
ратного характера — вычисления темпов, если известны уровни
явления. Так, из (2) находим формулы для различных тем¬
пов отдельных периодов:
T2 = ^-∙, T3 = ^-
Уа	У,	Уз
(5)
146

из (4) находим общую формулу для вычисления среднего
(равномерного, одинакового) темпа:
(6)
где п означает число периодов, протекших после начального.
Если п выражается числом 2, числом 3 или произведением из
сомножителей 2 и 3, то вычисление уровней по формуле (4) и
средних темпов по формуле (6) можно производить при помощи
шкал Н, В и К.
Если же в состав п входят иные простые сомножители (напри¬
мер, 5, 7, 11 и т. д.), вычисление требует применения шкалы Л и
производится при помощи логарифмов (см. далее § 17).
Покажем на числовых примерах технику вычисления уровней
и темпов по формулам (2) — (6) на шкалах Н, В и К.
Пример 1.
Производительность труда на заводе в 1952 г. равнялась
68 406 руб. на списочного рабочего в год (по ценам на 1 января
1952 г.). На следующие три года план завода устанавливал сле¬
дующие годовые темпы роста производительности труда (в % %):
1953 г.
1954 г.
1955 г.
108,2
107,2
110,4
Вычислить плановые абсолютные уровни производительности
труда на этом заводе в 1953—19Й5 гг. (выраженные в рублях,
по тем же ценам).
Согласно формулам (2) имеем:
Л»5» = ^.θ32 • 1,082 = 68406 • 1,082;
-У1954—J,1953 ’ 1 »О72;
-У1955 — Jz1954 * 1,104,
На шкалах Н{Н2 обычным умножением 6 — 8—4 на 1—0 —
t~-8 — 2 находим на Н\ под волоском отсчет 7 — 4 — 0 (f∕i953≈
74 000 руб.);
сохранив под волоском отсчет 7 — 4 — 0, далее умножаем его
на 1—0 —7 —2 и получаем второй искомый отсчет 7 — 9 — 3
(У1954	79 300 руб.);
таким же образом далее умножаем 7 — 9 — 3 на 1 ’— 1 — 0 — 4
и читаем третий искомый отсчет 8 — 7 — 6 (У1955 ≈ 87 600 руб.).
Пример 2.
В соответствии с планируемым равномерным темпом увеличе¬
ния продукции зайода фонд заработной платы Производственных
10*	147*

рабочих должен возрастать в каждый следующий квартал на
7,6%. В IV квартале 1953 г. этот фонд составил 3467 506 руб.
Каков должен быть, по плану, фонд заработной платы произ¬
водственных рабочих завода во П-м, Ш-м и IV квартале 1954 г.?
Искомые величины фонда Ф должны быть равны:
Φπ = 3467 506 • 1.0762;
Φjn =3467506 • 1,0763;
Φ,v = 3467 506 ∙ l,0764.
Первую и третью величину получим на шкале Bl, третью —
на шкале К (см. п. 5 на стр. 132).
Отложим волоском на верхней шкале B↑ отсчет 3 — 4 — 7.
Подведя под волосок начало движка, передвинем волосок вправо
на число 1,076 нижней шкалы Н2, т. е. тем самым на число l,0762
верхней шкалы B2∖ после этого на верхней шкале В\ читаем под
волоском отсчет первого ответа 4 — 0 — 1, который должен озна¬
чать:
Φ11≈ 4 010000 руб.
Прочитав теперь число l,0762= 1,158, которое отмечено воло¬
ском на верхней шкале В2, переводим волосок далее вправо, на
такое же число 1,158 нижней шкалы Н\, т. е. тем самым на число
1,1582= l,0764 верхней шкалы B2∙, теперь на шкале В\ отсчет
третьего ответа: 4 — 6 — 5, который должен означать:
Φιv ≈ 4 650 ООО руб.
Наконец, отложим волоском 3—4—7 на шкале кубов Кг, под¬
ведя под волосок начало движка, передвинем волосок вправо на
число 1,076 нижней шкалы Н2 — тем самым на шкале К мы пере¬
двинули его вправо на величину l,0763. Теперь на шкале К воло¬
сок отмечает отсчет 4 — 3 — 3 второго искомого фонда
(3 467 506 ∙ l,0763); следовательно,
Φm≈4330000 руб.
Пример 3.
Удельный расход условного топлива на тысячу рублей валовой
продукции завода в 1953 г. был равен 204,7 кг. В течение даль¬
нейших двух лет, по плану, предполагается равномерными темпа¬
ми уменьшить этот расход на 16,5%.
Как велик должен быть, по плану, удельный расход условного
топлива на заводе в 1954 г.?
Коэфициент изменения удельного расхода топлива за 2 года
должен быть:
к = (100 — 16,5) % = 83,5 %, или 0,835;
148

равномерный темп изменения расхода в каждый год должен
быть:
T=-∕ к =y∕^0,835;
следовательно, удельный расход в 1954 г. (в среднем за весь этот
год) должен быть:
204,7 ∙ y∕r 0,835.
Получив на шкале Hi число ∣∕ 0,835 (против числа 0,835 на
верхней шкале Bt), далее умножаем это число на 204,7.
(Самостоятельно доведите вычисление до конца. — В какой
половине — левой или правой — следует установить на шкале B∣
число 0,835? Получили ли вы необходимый ответ: ≈ 187 кг?)
Задачи.
1.	К концу 1953 г. население области равнялось приблизи¬
тельно 4 368 тыс. чел. Средний годовой прирост населения обла¬
сти в последние годы перед 1953 г. составлял 1,72%. Вычислите
ожидаемое население области к концу 1955 г., предполагая неиз¬
менность среднего темпа его прироста.
Указания. Задача сводится к вычислению выражения
4 368∙ l,01722 (почему?). — Ответ: приблизительно 4 520 тыс. чел.
2.	Валовая продукция завода в декабре 1953 г. была равна
1 284 760 руб. По плану месячная продукция завода должна быть
доведена к концу 1954 г. до 1 535 тыс. руб., при постепенном ее
увеличении равномерными темпами. Каковы должны быть на
протяжении 1954 г.:
а) полугодовые темпы увеличения валовой продукции завода?
б) квартальные темпы?
(Ответы: а) 109,1%; б) 104,4%.)
§ 17. ВЫЧИСЛЕНИЕ УРОВНЕЙ И ТЕМПОВ
НА ШКАЛАХ Н и Л
В § 16 мы рассматривали такие случаи вычисления уровней и
темпов, в которых число периодов (лет, полугодий, кварталов, ме¬
сяцев) либо равнялось 2 или 3, либо, будучи невелико, состояло
только из сомножителей и делителей 2 и 3 (например: —- года,
8 кварталов, 6 полугодий и т. п.). Для таких вычислений, как мы
убедились, достаточно совместное применение основных шкал
H∖H2, шкал квадратов B↑B2 и шкалы кубов К.
Однако при плановых расчетах и особенно часто при статисти¬
ческом анализе и сопоставлениях динамики социально-экономиче¬
ских явлений встречаются случаи, когда число периодов развития
достаточно велико, не разлагается на числа 2 и 3 или даже вы¬
149

ражается дробным числом, например: 5 лет (при расчетах и ана¬
лизе пятилетних планов), 10 месяцев, 3 — года, 15-летие и т. п.
В таких случаях вычисление на линейке не может быть сведено,
в конечном счете, к получению квадратных или кубических степе¬
ней и корней и возможно только путем логарифмирования,
т. е. применения шкалы Л линейки.
Логарифмирование уже знакомых нам формул (1), (4) и (6),
т. е.:
n /
Г== / «; jn=Λ ∙ Tn∙,
соответственно дает:
⅛ Т = — lg к;
п
(7)
lgz1 = lgj'β + n∖gT∙,	(8)
⅛7'=- lgpt-V	(9)
п \ у0 /
Покажем на конкретных числовых примерах технику таких
вычислений на линейке.
Пример 1 (формулы (1) и (7)).
По пятому пятилетнему плану развития СССР на 1951—1955
годы, уровень производства в 1955 г. должен быть выше, чем в
1950 г.=
чугуна — на 76%,
угля — на 43%,
цемента — в 2,2 раза.
Каков должен быть средний годовой темп роста (соответствен¬
но, средний годовой темп прироста) производства каждого из
этих продуктов в 1951 — 1955 годы?
Общий коэфициент роста (к) продукции за 5 лет должен
составить:
чугуна	1,76,
угля	1,43,
цемента 2,2.
Средний годовой темп роста (Г) должен быть равен:
чугуна T4 = jX 1,76 ,
угля Ty =	1,43 ,
5 /

цемента Тц = γ 2,2 .
150

а)	Вычислив средний темп ∣∕r 1,76 роста продукции чу¬
гуна. Если 7', = ∣∕ 1,76 ,τo lg 7∖=-i- lg 1,76. Получив на ли¬
нейке величину lg 1,76 = 0,246, находиц (вычислением в уме)
числовое значение lg T4∙
lg T4 =	= 0,0492;
5
округлив до трех десятичных знаков мантиссу (∕g 7∖ ≈ 0,049),
находим на линейке Т ч = 1,12. Следовательно, средний годовой
темп роста продукции чугуна должен быть 1,12, или 112%;
соответственно, средний годовой темп прироста должен быть
+ 0,12, или + 12%.
б)	Аналогично получим для продукции угля:
⅛ Ту =4 ⅛ 1-43 =	= 0,031; Tv = 1,074 = 107,4%;
5	5	Л
средний темп прироста + 0,074, или + 7,4 %;
в)	Для продукции цемента находим:
⅛ Т. = 4- ⅛ 2,2 =	= 0,0684 ≈ 0,068; Tu ≈ 1,169;
5	5
с поправкой на четвертый знак мантиссы (цифра 4), отброшенный
при округлении, лучше принять Т,i = 1,170 = 117,0%; соответст¬
венно, средний темп прироста + 0,170, или + 17,0%.
Пример 2 (формулы (4) и (8)).
Население области равно, приблизительно, 2 430 тыс. человек.
Средний годовой темп прироста населения в этой области 2,1%.
Как велико будет, приблизительно, население области через 3 -⅛-
года?
Средний годовой темп роста населения области равен
(100 + 2,1) % = 102,1% = 1,021. Через 3— года население
области возрастет в l,0213>5 раз и составит приблизительно
(2 430 ∙ l,0213∙5) тыс. чел.
' Вычислим на линейке сначала x= l,0213,5'. Имеем:
lgx=3,5∙lgl,021.
Найдем на линейке lgl,021 =0,009. Умножив (в уме или на
бумаге) 3,5 на 0,009, получим 0,0315. По lgx = 0,0315≈0,032 на¬
ходим на шкале H1, под волоском, число х = 1,076 (коэфициент
роста населения за все 3y^года)- Остается умножить это число
на 2 430 (тысяч)., Не трогая волоска, подводим под него
начало 1 шкалы Я? и против отсчета 2 — 4 — 3 шкалы Из читаем
151

отсчет произведения 2 — 6— 1 — 5 на шкале H↑t который должен
означать 2 615 (тысяч).
Итак, население области через 3
года составит, приблизи¬
тельно, 2 615 тыс. чел.
Более точное вычисление по таблицам логарифмов дает около 2 613 тыс.;
относительная погрешность вычисления на линейке ничтожна и равна
2615 - 2613	2	1	, λ λuλπλ 1 0/
		 = 	 ~ 	, т. е. около — % .
2 613	2 613	1 306	13
Пример 3 (формулы (6) и (9)).
Население Союза ССР равнялось:
по переписи 17 декабря 1926 г.
по переписи 17 января 1939 г.
147027 915 чел.
170 467 186 чел.
Вычислить средний годовой темп прироста населения СССР за
время между обеими переписями.
Время, протекшее от одной переписи до другой, равно 12 г.
1 мес., или 12,08 годам. Общий коэфициент увеличения населения
, .	170 467 186 z,
за это время (к) равен - θ,7	. Средний темп роста насе¬
ления (Г) равен:
',j8 Л 170467186 ι
V 147027 915
Для вычислений на линейке округляем численность населения
до 4 верных знаков (до 0,1 млн. чел.):
12,08 ∕-TΣ7T
Т— \/ 17θ>5
- И 147,0 ’
Логарифмируя, находим:
lg Т=——
Б 12,08
а)	На шкале Н\ находим отсчет подкоренного частного, кото¬
рого не читаем (в действительности оно равно 1,16).
б)	Наведя волосок на этот отсчет (или, что то же, на начало 1
движка), читаем на шкале Л мантиссу логарифма частного: 0 —
с л о	170,5	λ 1
— 6 — 4. Замечая, что частное 	 несколько больше 1 це-
147,0
лой единицы, видим, что его логарифм должен быть 0,064 (т. е.
lg !Zθιl = 0,064).
Б 147,0	’
в)	На шкалах H∖Hi вычисляем 1 ■■■■■■ • 0,064, т. е. делим
'	12,08
152

0,064 на 12,08; читаем отсчет 5 — 3, который должен означать
0,0053 (т. е. lgΓ = 0,0053).
г)	По округленной трехзначной мантиссе 0 — 0 — 5, взятой на
шкале Л, находим отсчет Т на шкале H↑∙. 1 —0 — 1 —2; по ха¬
рактеристике 0 (нуль) отделяем один знак целой части. Следова¬
тельно, Т ≈ 1,012, или 101,2%.
Итак, средний годовой темп роста населения между 17 де¬
кабря 1926 г. и 17 января 1939 г. был (с точностью до четырех
верных знаков) 1,012, или 101,2%∖ соответственно, годовой темп:
прироста его был равен + 0,012, или + 1,2%.
Более точные вычисления при помощи вычислительной машины и таблиц
пятизначных логарифмов дают ответы: 101,23% и +1,23%. Относительная
ошибка величины темпа роста, вычисленного на линейке, равна
0,03%
101,23%
3	1
1
10 123 Л 3 374 ’ τ e, Менее 3 000
Задачи.
1.	По пятилетнему плану развития СССР'на 1951 —1955 годы;,
производительность труда в промышленности СССР должна воз¬
расти, примерно, на 50%, а себестоимость промышленной про¬
дукции — уменьшиться, примерно, на 25%. На сколько процентов
в среднем за год должна возрастать производительность труда и:
уменьшаться себестоимость продукции в промышленности?
2.	По тому же пятилетнему плану средние годовые темпы, при*-
роста валовой продукции должны составить:
в группе «А» (производство
средств производства)
в группе «Б» (производство
предметов потребления)
во всей промышленности
13%,.
И %,.
примерно, 12%..
Вычислите, во сколько раз должна возрасти за пятилетие ва^
ловая продукция обеих групп — гр. «А» и гр. «Б» — и всей
промышленности. На сколько процентов должна возрасти каждая
валовая продукция? Сличите вычисленный вами показатель роста
продукции всей промышленности с указанным1 в самом плане ро¬
стом — примерно, на 70 процентов.
3.	Население области составляло к началу 1947 года 4'218 тыс.
чел., а к концу 1952 года — 4 738 тыс. чел. Исчислите при помо¬
щи линейки:
а)	средний годовой темп роста населения области за указан¬
ное время;
б)	население области на 1 июля 1951 г., исходя из предполо¬
жения постоянства темпа роста населения области, в указанные
годы.
153.

'Указания к задаче 3. Вычислите предварительно коэфи-
,	4 738
гциент роста населения области за все время, т. е. число 	’
а затем — средний годовой темп роста. Не ошибитесь в подсчете
всего числа лет (от начала 1947 г. до конца 1952 г.) и числа лет
от начала 1947 г. до 1 июля 1951 г. Проверьте оба ответа вычи¬
слениями по таблицам логарифмов.
§ 18. ДРУГИЕ СТАТИСТИЧЕСКИЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ
(НА ВСЕХ ШКАЛАХ)
1. Средняя геометрическая
Для вычисления средней геометрической необходимо перемно-
■жить все п вариант и извлечь из их произведения корень л-ой
-степени. Формула этой средней такова:
xg=y∕^ x1-x2∙ х3 ... xn = ∣∕ Пх,	(10)
'Где ∏ — знак того, что взято произведение всех вариант х.
Если и равно 2 или 3 или есть какое-либо небольшое число,
состоящее только из сомножителей 2 и 3 (например: 4 = 2-2;
.6 = 2-3), то:
перемножение вариант можно произвести на шкалах H∖H2∙,
извлечение корня л-ой степени сводится к однократному или
.двукратному извлечению квадратного или кубического корня при
‘помощи шкал В и К.
При иных значениях л вычисление средней геометрической
■требует логарифмирования при помощи шкалы Л.
Свое главное применение в статистике и планировании средняя
геометрическая находит при вычислении средних темпов роста.
'Фактически, мы уже пользовались ею в §§ 16 и 17, вычисляя
■средние темпы по формулам (1) и (6). Здесь мы дополнительно
■покажем технику вычисления средних темпов в тех случаях, когда
заданы темпы отдельных периодов.
Пример 1.
Годовые темпы увеличения грузооборота на N-oιι железной
.дороге в ближайшие 4 года, по плану, должны быть:
1,126; 1,093; 1,204; 1,176.
Вычислить средние темпы планируемого увеличения грузообо¬
рота: а) за первые два года; б) за вторые два года; в) за все че¬
тырехлетие; г) за первые три года.
Искомые ответы выражаются следующими формулами:
а) jΛ 1,126 • 1,093 ; б) yr1,204 - 1,176 ;
<154

e)½ 1,126 ∙ 1,093 ∙ 1,204 ∙ 1,176;
r)>∕ 1,126 ∙ 1,093 ∙ 1,204 .
а)	Умножив на верхних шкалах 1,126 на 1,093 и записав
произведение 1,225, читаем против него, по волоску, на
шкале//] ответ: 1,108 (или 110,8%). Следовательно:
Ta-2) = у/ 1,126 • 1,093 = 1,108.
(1,225)
б)	Таким же способом находим:
у/ 1,204 • 1,176 = 1,189.
(1,416)
в)	Средний темп за все четырехлетие проще всего вычислить
как среднюю геометрическую из уже найденных двух средних
темпов за каждое двухлетие:
T(l-2-3-t) =У 1,108 • 1,189 .
Умножая число 1,189 (которое уже имеется в готовом виде под
волоском на шкале Н\, как результат предыдущего вычисления),
на число 1,108, получаем на Hi произведение 1,317. Обычным спо¬
собом находим:
T(1-2-3-4) ≈ 1Λ 1,317 = 1,148.
г)	Средний темп за первые три года равен:
T0-2-3) = ∣∕^ 1,126 • 1,093 • 1,204 .
(1,225)
Умножив на шкалах H↑H2 число 1,225 (записанное нами ра¬
нее, при вычислении «а», как произведение 1,126- 1,093) на число
1,204, получаем 1,476. Обычным способом (т. е. установив в л е-
в о й трети шкалы К округленный трехзначный отсчет 1 — 4 — 8
и переходя, по волоску, к шкале H↑) находим:
Ta-2-3) = У 1,476 « У 1,48 ≈ 1,14.
(Более точный ответ по таблицам: У1,476 ≈ 1,138б).
155

Пример 2.
Пятилетний план завода устанавливает следующие темпы
увеличения валовой продукции в каждый из пяти лет:
108,5%; 109%; 110,2%; 112%; 112%.
Вычислить средний годовой темп роста валовой продукции,
планируемого на пятилетие.
Искомый средний темп равен:
1,085 • 1,09 • 1,102 • 1,12 • 1,12 .
Вычисление не может быть сведено к вычислениям квадратных
и кубических корней и требует логарифмирования:
lgΓ = — (lgl,085 + lgl,09 + lgl,102 + lgl,12 + lgl,12).
5
Замечая, что характеристики всех логарифмов равны нулю,
читаем на шкале Л трехзначные мантиссы и записываем каждый
логарифм:
0,035; 0,037; 0,042; 0,049; 0,049.
Вычисляем (на бумаге) сумму этих пяти логарифмов, равную
0,212, и находим — этой суммы, т. е. 0,0424. Следовательно,
5
lg7, = 0,0424.
По округленной трехзначной мантиссе 0 — 4 — 2 находим на
шкале Н\ отсчет числа 1 — 1 — 0 — 2; следовательно,
Т= 1,102, или 110,2%.
Вычисление по таблицам четырехзначных логарифмов дает более точный
ответ Г = 1,104, или 110,4%; погрешность 0,2% ответа на линейке составляет
0,2%	2	1
■ „ ,— = .	= ——— величины темпа.
110,4'<∕o	1 104	552
2.	Меры вариации
Важная задача статистического анализа — измерение вариа¬
ции признака, т. е. количественное выражение того, насколько
изменчивы, колеблются числовые значения признака у разных
единиц совокупности. Из курса статистики известно, что абсо¬
лютной мерой вариации служит среднее квадратическое откло¬
нение (обычно обозначаемое буквой σ) t относительной мерой ее—
коэффициент вариации (обозначаемый буквой V и обычно выра¬
жаемый в процентах).
Как известно, вычисление а и затем V сводится к такой после¬
довательности действий:
1)	вычисляем среднюю арифметическую величину признака
(*»);
156

2)	вычисляем отклонения (d) каждой варианты от средней
арифметической (d-x — ха);
3)	возводим каждое отклонение в квадрат (получаем ряд зна¬
чений d2);
4)	находим сумму всех квадратов отклонений (∑d2)ζ
5)	разделив эту сумму на число п отклонений (равное числу
п единиц совокупности), находим средний квадрат отклонения,
∕ ∑rf2 \
или дисперсию признака ( ~~n	\;
6)	извлекая квадратный корень, получаем среднее квадрати-
(	1 f V.rf2 \
ческое отклонение ’1 3 = |/ i
7)	делением среднего квадратического отклонения (а) на
среднюю арифметическую величину признака (xa) находим коэ-
фициент вариации (V).
Следовательно, формула среднего квадратического отклоне¬
ния:
или подробнее:
(Н)
а формула коэфициента вариации:
У=Ч-,или l' = ½^0∕β.
(12)
Если вычисляется взвешенная средняя арифметическая
jcrt(∕), то соответственно вычисляется и взвешенное сред¬
нее квадратическое отклонение. В таком случае взвешиваются
(т. е. умножаются на веса f) все квадраты отклонений (d2) и
среднее квадратическое отклонение равно:
При вычислении σ при помощи линейки все возведения в квад¬
рат, умножения, деление и извлечение корня — производим н а
линейке, а действия сложения — на бумаге или на счетах.
Коэфициент вариации V находим делением или процентирова-
ниехМ на линейке.
Рассмотрим два типичных примера.
Пример 1.
В первую десятидневку августа 1953 г. рабочие цеха № 7 вы¬
работали в отдельные рабочие дни следующее число изделий (2 и
9 августа были воскресенья):
157

Дни августа
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Число изделий
314
—
319
308
324
322
338
312
—
328
Выразить при помощи коэфициента вариации дневной продук¬
ции степень неритмичности работы цеха в первую десятидневку
августа.
Последовательно производим следующие действия:
1)	Вычислив (на бумаге, на счетах) всю продукцию цеха за
8 рабочих дней (в единицах изделий):
314+ 319 + 308+ 324 + 322 + 338 + 312 + 328 = 2 565,
находим среднюю дневную продукцию цеха:
х„ =	≈ 320,6
a 8
2)	Находим (в уме) отклонения d восьми ежедневных выра¬
боток от средней дневной:
— 6,6; — 1,6; — 12,6; + 3,4; + 1,4; + 17,4; — 8,6; + 7,4.
3)	Возводим на линейке каждое отклонение в квадрат (квад¬
раты всегда положительны, поэтому знаки перед ними опускаем):
43,6; 2,56; 159; 11,6; 1,96; 303; 74,0; 54,8.
I
4)	Находим (на бумаге, на счетах) сумму всех квадратов от¬
клонений, сохраняя в ней один десятичный знак:
Σ<∕2≈ 650,5.
5)	Вычисляем средний квадрат отклонения (дисперсию) днев¬
ной продукции цеха:
^- = ^θΔ≈81,3.
п 8
6)	Извлекая на линейке квадратный корень из 81,3, читаем на
шкале Н\ среднее квадратическое отклонение восьми различных
выработок от их среднего уровня 320,6=
σ = V 8),3≈9,02.
7)	Делением на движке вычисляем искомый коэфи-
циент вариации (изменчивости) дневной продукции цеха:
V ≈ -Д- = 9,02 = 0,0281, или 2,81%.
ха 320,6	’
158

Итак, степень неритмичности работы цеха в от¬
дельные дни десятидневки августа 1953 г. характеризуется*
абсолютной колеблемостью дневной продукции, в среднем,
в 9,02 единиц изделий, или относительной колеблемостью-
продукции, в среднем, в 2,81 %.
Пример 2.
В июне производительность труда рабочих цеха № 5 выража¬
лась 274 натуральными единицами изделий на среднего списоч¬
ного рабочего в месяц, а коэфициент ее вариации (неодинаково¬
сти у разных рабочих цеха) был 5,6%.
За июль имеются следующие данные о распределении 123 ра¬
бочих цеха по их месячной производительности труда (в нату¬
ральных единицах тех же изделий):
Месячная выработка
(число изделий)
Число
рабочих
260—270
271-280
281-290
291-300
300-310
9
18
55
27
14
Всего
123
Произвести сопоставление производительности труда рабочим
цеха № 5 в июне и в июле по ее абсолютному уровню и по сте¬
пени различия у разных рабочих.
Вычислим для этого статистические показатели производи¬
тельности труда в июле: xa(f) и V.
1)	Вычисляем взвешенную среднюю месячную выработ¬
ку 123 рабочих цеха (за среднюю выработку каждой группы ра¬
бочих принимаем срединное значение соответствующего интерва-~
ла выработки, т. е. 265, 275, 285, 295 и 305):
-	265-9 + 275-18 + 285-55 + 295-27 + 305-14
Ха(Т) ~	123	'
Для этого находим на шкалах H↑Hi линейки, с возможной
точностью, каждое произведение в числителе:
2 390; 4 950; 15 680; 7 970; 4 270,
складываем их (на бумаге, на счетах) и делим на. линейке их;
сумму (35 260) на 123:
3θ 260 ciQ7-
Xa(f) =	^-≈287
1 Zo
(более точное значение было бы: *=« 286,7)-.
159*

2)	Находим отклонения средних месячных выработок каждой
группы рабочих от общей средней всех 123 рабочих цеха:
— 21,6; — 11,6; — 1,6; + 8,4; + 18,4.
3)	На линейке возводим каждое отклонение в квадрат и тот¬
час взвешиваем этот квадрат, т. е. получив квадрат на
шкале Вь тотчас умножаем его (на верхних шкалах!) на вес дан-
ной группы. Таким способом
верхних шкалах;
последовательно получаем н а
21,62 • 9≈4 200
11,62 • 18 ≈ 2 420
1,62∙55≈ 142
8,42 • 27 ≈ 1 900
18,4 ’ • 14 ≈ 4 740.
4)	Складывая эти взвешенные квадраты, получаем 13 402.
5)	Делением на шкалах HχH2 находим средний квадрат откло¬
нения: 13	= 108,9.
123
6)	Извлекая на линейке квадратный корень, находим:
σ = ∣∕ 108,9 ≈ 10,44.
7)	Не трогая волоска, стоящего на числе 10,44, делением на
движке находим коэфициент вариации:
V = 1θ8*t-≈ 0,0364, или 3,6√0∕0.
Более точные вычисления — на бумаге, на арифмометре, по таблицам —
.дали бы: xa(f) ≈ 286,7; ∏≈ 10,43; V≈3,64%. Окончательные ответы для V
совпадают в трех верных знаках, хотя для практических целей вполне доста¬
точны два таких знака (3,6%). Расхождение промежуточных результатов (x√∕)
и σ) в четвертом знаке не оказало влияния на три верных знака окончательного
ответа, т. е. практически не имело значения.
Объединив показатели июня и показатели июля *в форме таб¬
лицы и сопоставив одни с другими, самостоятельно сформули¬
руйте выводы.
3. Расчеты при выборочном наблюдении
Огромное значение в современной статистической работе имеет
выборочный метод: выборочное наблюдение изучае¬
мой совокупности или выборочная разработка данных, со¬
бранных о совокупности. Числовые расчеты, относящиеся к вы¬
борочному наблюдению (или разработке), состоят, главным обра¬
зом, из действий умножения, деления, возведения в квадрат и из¬
влечения квадратного корня; в то же время, по самой сущности
вопроса, эти расчеты не требуют особенно высокой точности: от-
носительная погрешность в θθ- ( в — % j здесь вполне допу*
160

стима. Поэтому счетная линейка — особенно удобный вычисли¬
тельный прибор для производства этих расчетов.
Мы покажем технику таких расчетов на линейке применитель¬
но к простейшему типу выборочного наблюдения — собственно¬
случайному безвозвратному (бесповторному) отбору единиц сово¬
купности. При этом предполагаем, что читателю известны из кур¬
са статистики основные расчетные формулы.
В зависимости от того, изучается ли выборочным путем доля единиц со¬
вокупности, обладающая данным качественно меняющимся признаком, или
средняя величина количественно меняющегося признака, расчеты ка¬
саются либо (I) ошибки выборочной доли, либо (II) ошибки выборочной сред¬
ней. Расчеты (I) практически опираются на величину р доли единиц в выбороч¬
ной совокупности; расчеты (II) опираются на величину среднего квадратиче¬
ского отклонения σ данного признака в выборочной совокупности. Одновремен¬
но в тех и других расчетах участвуют также следующие величины:
п— число единиц в выборочной совокупности (объем выборки);
Δ — предельная абсолютная величина возможной ошибки результа¬
тов выборки (ошибки доли или ошибки средней);
t — предельная от н оси те л ь н а й величина этой возможной ошибки,
выраженная числом мер ошибки, — например: /=1 (одна мера ошибки);
1 = 2 (две меры ошибки); t = 1,83 (1,83 меры ошибки) и т. п.;
Ф (^—вероятность (т. е. мера объективной возможности и, следователь^
но, степень нашей уверенности), что та абсолютная ошибка, к которой может
привести нас предпринимаемая выборка (или которая содержится >в уже про¬
изведенной выборке), не выйдет за пределы ±Δ, или — чтб то же — за
пределы + t мер ошибки.
Величина Ф (t) этой вероятности зависит от величины t (числа мер ошиб¬
ки, содержащихся в предельной ошибке Δ). Числовые соотношения значений
t и Ф (t) обычно даются в виде подробной таблицы. Приведем некоторые со¬
отношения из этой таблицы (они далее понадобятся нам при вычислениях):
Значения вероятности Ф (t)
в зависимости от значений t
t
φ(θ
t
Ф(0
t
Ф(0
0
0
1,281
0,800
2,20
0,972
0,10
0,080
1,40
0,838
2,33
0,980
0,25
0,197
1,44
0,850
2,50
0,988
0,40
0,311
1,50
0,866
2,58
0,990
0,50
0,383
1,645
0,900
2,70
0,993
0,75
0,547
1,80
0,928
3
0,997
1
0,683
1,96
0,950
3,5
0,9995
1,15
0,750
2
0,954
4
0,9999
1,20
0,770
2,10
0,964
ω
* 1
В зависимости от поставленной задачи, при выборочном на¬
блюдении (или при выборочной разработке материала) приходит¬
ся определять расчетным путем:
1)	либр Δ — предельную абсолютную величину ошибки вы¬
борки;
Я 1 Ф. Д. Лившим
161

2)	либо t — число мер ошибки, чтобы затем перейти (поль¬
зуясь таблицей) к соответствующей величине вероятности Ф(/);
3)	либо п — минимально необходимую, в данных условиях,
численность выборки (объем выборки).
Для наибольшего удобства вычислений на линейке, расчетные
формулы (которые выводятся в курсах теории вероятностей и ста¬
тистики) целесообразно представить в следующем виде:
I. Ошибка доли
II. Ошибка средней
1>-1∣∕⅛>
2)	t-	А
∣ /р(1 ~Р)
V n
∕ t ∖i
3)	n-p(l -р) ∙	J
l)∆ =	1-—
|< п
2)∕ = aLλ-
σ
... / \*
3>"=(-)
Покажем на примерах несложную технику таких вычислений
на линейке.
I. Ошибка дол и
Пример 1 (вычисление ∆).
При выборочном наблюдении 1 500 исходящих писем в горо¬
де А оказалось, что доля внутригородских писем составляет 0,365
(или 36,5%) всех наблюденных писем. Как велика, с вероятно¬
стью 0,8, предельная ошибка выборочно определенной доли внут¬
ригородских писем?
Вероятности Φ(∕)=0,8 соответствует число мер ошибки,
равное t≈ 1,281 (см. таблицу). Следовательно, по условию зада¬
чи имеем:
п = 1 500; р = 0,365; t = 1,281.
Отсюда:
Δ = 1,281
0,365 (1 - 0,365)
1 500
= 1,281
∕^0,365 • 0,635
/	1500
Начинаем с вычисления корня на шкалах BiB2 и H↑H2. Умно¬
жаем отсчет 3 — 6 — 5 в левой части В\ на отсчет 6 — 3 — 5 в ле¬
вой части В2 и под произведение подводим отсчет 1—5 в правой
части В2. Числовая прикидка подкоренного частного дает:
0,365 • 0,635 ~ 0,4.0,6
1 500	~ 2 000
———— = 0,03 01 12.
2 000
162

Первая значащая грань подкоренного частного есть 01, поэто¬
му ищем квадратный корень под отсчетом частного в левой
части В\ (на H↑ можем прочитать, по волоску, отсчет корня 1 —
— 2 — 4 — 2, т. е. корень 0,01242, — однако это не нужно).
Остается умножить полученный корень на 1,281 (на шкалах
∕∕ι∕∕2)i после этого получаем 1 —5 — 9 — 2, т. е. 0,01592. Следо¬
вательно,
∆ = 0,015 92 ≈ 0,016.
Итак, с вероятностью (степенью уверенности) в 0,8, т. е. имея
8 шансов из 10, можно полагать, что ошибка выборочной доли
не превышает, в ту или другую сторону, величины Δ ≈ 0,016,
т. е. действительная доля внутригородских писем в о
всем исходящем почтовом обмене города А заключена в следу¬
ющих границах:
(р ± ∆) = (0,365 ± 0,016) = (0,349 ÷ 0,381)
или, иначе, в границах (34,9 ÷ 38,1) %.
Пример 2.
На основании результатов того же выборочного наблюдения
(см. пример I) определить, с какой вероятностью можно утверж¬
дать, что ошибка выборочной доли (т. е. доли 0,365) не превы¬
шает, в ту или другую сторону, величины 0,005 (или 0,5 %)?
Для определения иокомой вероятности Φ(t) необходимо знать
t∙ По условиям новой задачи:
п = 1 500; р = 0,365; Δ = 0,005.
По этим данным вычисляем t (см. формулы на стр. 162, левый
столбец):
t =
0 005
/0.365 • (1 —0,365)
1500
0,005
/0,365 • 0,635
1500
Вычислив так же, как и в примере 1, на верхних шкалах под¬
коренное частное и получив на H↑ квадратный корень из него
(именно, число 0,01242), — делим 0,005 на полученный корень.
Так как делитель (корень) уже отложен на Н\, производим это
деление на движке: поставив над делителем, по волоску,
число 5 движка, читаем на движке же, против начала ι∏κaj
лы ∕∕1, отсчет числа t, равный 4 — 0 — 3. Посредством числовой
прикидки (- -θ ’~ θ,θθ- =0,5 x) выясняем, что t = 0,403
Н	\ 0,01242	0.010	/
≈½0,40. Этому значению t соответствует в таблице (см. cτ∣p. 161)
вероятность Φ(t) = 0,311, которую и требовалось вычислить.
ц*	163

Пример 3.
На основании результатов выборочного наблюдения, о котором
говорилось в примере 1, определить, какого объема выборку сле¬
довало бы произвести (сколько исходящих писем взять навыбор-
ку), чтобы с вероятностью 0,95 считать, что ошибка доли внутри¬
городских писем будет не более 0,004 (или 0,4 %)?
Значению Φ(t) = 0,95 соответствует значение t = 1,96. Следо¬
вательно, по условиям новой задачи:
Δ = 0,004;
t= 1,96;
доля р внутригородских писем в исходящем обмене, как уже
выяснено при первой выборке, приблизительно равна 0,365 (p≈
≈ 0,365).
По формуле для п (см. формулы на стр. 162, левый столбец)
имеем:
П = р (1 —р) • ( — У = 0,365 • 0,635 ∙ ( -1*L∖∖
y r' ∖ ∆ )	\ 0,004 )
Найдя на шкале Н{ частное отсчетов -—- θ-. тем самым
4
получаем против него, по волоску, отсчет квадрата этого частного
на шкале B↑ (отсчет квадрата равен 2 — 4 — 0 в правой части B↑,
но его можно не читать). Остается умножить этот отсчет
на 3 — 6 — 5 и далее на 6 — 3 — 5, что производим на верхних
шкалах. Окончательно получаем для п отсчет 5 — 5— 1 на шка¬
ле Bi.
Производим числовую прикидку ответа:
п≈0,4 • 0,6 • (—У = 0,24 ∙ ( 2∞θ,y = о24 ∙ 5002≈
\ 0,004 /	\ 4 /
≈ 0,2 ∙ 5002 = 0,2 • 250 000 ≈ 50 000;
следовательно, полученный отсчет 5 — 5 — 2 должен выражать:
55 200.
Итак, для получения результата выборки — значения выбо¬
рочной доли внутригородских писем — с требуемой степенью точ¬
ности ± 0,004 (достаточно высокой!), при степени уверенности
0,95 (тоже достаточно высокой), необходима, как показал расчет
на линейке, достаточно большая численность выборки — не м е-
н е е 55 200 писем.
Более точное вычисление по таблицам или на вычислительной машине дало
бы п ≈ 55 255. Относительная погрешность расчета п на линейке равна
55
55 255
τ∙ e∙ менееТ^о
(менее 0,1%). В приближенных расчетах необходимой
численности выборки столь небольшая погрешность не имеет практического
значения.
164

II.Ошибка выборочной средней
Пример 1.
300 метровок (т. е. проб урожайности с участков площадью по
1 лс2), взятых с поля, показали выборочную среднюю урожайность
234 г/м2, Среднее квадратическое отклонение показаний отдель¬
ных метровок от этой средней равно 18,6 г.
Как велика, с вероятностью 0,95, предельная абсолютная
ошибка средней урожайности, показанной метровками, по сравне¬
нию с действительной средней урожайностью всего поля (с пере¬
расчетом в ц/га)?
Величины 234 г/м2 и 18,6 г/м2 равнозначны величинам
23,4 ц/га и 1,86 ц/га. Вероятности Φ(t) =0,95 соответствует / =
= 1,96 (см. таблицу на стр. 161). Следовательно, по условию за¬
дачи, имеем:
п = 300; а=1,86; /=1,96.
Величина предельной ошибки выборочной средней урожайно¬
сти, т. е. средней величины 23,4 ц/га, должна быть равна (см. фор¬
мулы на стр. 162, правый столбец):
a ta 1,96-1,86
V п Кзоо
Вычисляем на шкале Hl, под волоском, произведение 1,96 • 1,86
(которого не читаем). Чтобы разделить его на ]∕r3’00, достаточ¬
но подвести под волосок отсчет 3 — 0 — Он левой части верх¬
ней шкалы В2 движка (почему именно в левой части?),
т. е., тем самым, отсчет К 300 нижней шкалы Н2
движка (этого отсчета тоже не читаем). После этого прочиты¬
ваем на Hi отсчет 2 — 1 — 0 величины ∆.
Числовой прикидкой выясняем:
Δ^96^6≈--0,2;
|Лзоо 20
следовательно, Δ = 0,21 ц/га.
Итак, с вероятностью (со степенью уверенности) 0,95 можно
утверждать, что действительная средняя урожайность х
всего поля заключена в следующих границах:
х= (23,4 ± 0,21) ц/га = (23,19 ÷ 23,61) ц/га.
Пример 2.
Сколько метровок надо дополнительно взять с поля, о котором
говорится в примере I, чтобы с вероятностью 0,75 выяснить сред¬
нюю урожайность всего поля с ошибкой не более 0,11 ц/га?
165

Новые условия постановки вопроса таковы:
Δ = 0,11;
Φ(t) =0,75, т. е. t = 1,15 (см. таблицу на стр. 161);
величину σ можно принять прежней, т. е. 1,86 ц/га.
Поэтому:
/1,15 • 1,86У
δ / V о,п /'
Найдя на H↑ частное
против него, по волоску,
читаем на шкале отсчет его квадрата: 4—5—6. Числовой при¬
кидкой выясняем:
n≈(-!-^-Y=202 - 400;
\ 0.1 /
следовательно, n=456.
Итак, необходимо взять, дополнительно к прежним 300, еще
156 новых метровок.

ПРИЛОЖЕНИЕ
ГЛАВНЫЕ СПРАВОЧНЫЕ ДАННЫЕ

1. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОСТОЯННЫЕ
(с точностью до пятого десятичного знака)
π = 3,14159
— = 0,31831
π
2π = 6,28319
— = 0,15916
2π
— = 1,57080
2
— = 0,78540
4
— - 0,63662
π
— = 1,27324
π
yrτΓ= 1,77245
—4г = 0,56419
= 0,88623
j∕r у = 1,25331
—?—= 1,12838
К»
1/ — =0,79788
У π
∣∕^2π^ = 2,50663
-4— = 0,39894
Vr2π
е = 2,71828
— = 0,36788
е
у/"ё = 1,64872
—— - 0,60653
V"e
Λf = lg10 г = 0,43429
(десятичный логарифм
числа е)
— = 1п 10 = 2,30258
М
(натуральный логарифм
числа 10)
16»

П. ФИЗИЧЕСКИЕ ПОСТОЯННЫЕ
Скорость света в воздухе
Скорость звука при 0°С:
в воздухе
в воде
299 776 км/сек.
(≈ 300 000 км/сек.)
331 м/сек.
1 450 м/сек.
Вес 1 см3 воды при +4oC
(при наибольшей плотности воды) 0,999 972 г
Ускорение силы тяжести
(стандартное расчетное значение)	9,81 м/сек2
Стандартная атмосфера
(единица давления)1	1,033 kz∣cm2
Абсолютная температура Т° (в переводе
на градусы по Кельвину)	T° = to + 273°
Соотношения градусов температуры
по Реомюру (Ro), Фаренгейту (Fo)
и Цельсию (С°):
— с°
5
Ro =
9
Fo = — С° + 32°
5
Co - -~ RO
с° = у (F0 - 32°'
III. СООТНОШЕНИЯ МЕР
Верста
1,067
КМ
Аршин
0,7112
м
Фут (= 12 дюймов)
30,48
см
Дюйм
2,54
см
Английская миля сухопутная
1 609
м
Английская миля морская («узел»)
1 853
м
Ярд
91,44
см
Десятина («казенная», 2 400 кв. саж.)
1,0925
га
Гектар
0,9154
десятины
Акр
0,405
га
Бутылка (= ~ ведра)
0,6150
л
Пуд (= 40 фунтов)
16,38
кг
Фунт русский
409,5
г
Фунт английский (торговый)
453,6
г
Метрическая тонна
1 000
кг
«Большая» (английская) тонна
1 016
кг
«Малая» тонна
907,2
кг
1 В технической практике употребительна «техническая атмосфера», при
«имаемая кругло за 1 кг/см2.
170

Тонна (метрическая)	61,05 пуда
Центнер (метрический; 100 кг — т) 6,105 пуда
Пересчет урожайности:
1 г/м2 = 0,1 ц/га*
1 пуд/дес. ≈ 0,15 ц/га
1 ц/га ≈ 6,7 пуда/дес.
2
1	амер.бушель/акр ≈ — ц/га**
IV. ТЕПЛОВЫЕ ЭКВИВАЛЕНТЫ
Лошадиная сила (л. с.)	≡ 75 кгм/сек
Киловатт (кет)	102 кгм/сек
1л. с. = 0,735 кет; 1 квт= 1,36 л. с.;
1	л. с.-ч. = 0,735 квт-ч; 1 квт-ч = 1,36 л. с.-ч.
1 кг условного топлива = 7 000 больших калорий.
Коэффициенты перевода по весу в условное
(7 000-калорийное) топливо:
Нефтяное топливо
1.43
Донецкий кам. уголь марки «ПЖ»
0,98
»	антрацит
0,97
Кузнецкий	кам. уголь
1,00
Подмосковный »	»
0,46
Челябинский	»	»
0,61
Карагандинский »	»
0,87
Кокс
0,93
Торф
0,45
Дрова хвойных пород
0,43
Дрова лиственных пород
0,42
Древесный уголь
0,93
Газ природный
(1,62—1,81)
1 складской м3 дров (твердых пород) 0,188 т усл. топлива.
V. УДЕЛЬНЫЙ ВЕС ТЕЛ
1. Твердые и жидкие тела
Вода (химически чистая, при + 4° С)	1
Лед (свободный от воздуха)	0,92
Нефть	0,76
Керосин	0,8
Бензин	0,75
Каменный уголь (в кусках)	(1,2—1,5)
Железо, сталь (в твердом состоянии)	7,85
Сталь в жидком состоянии	6,9
* Для перевода показаний метровок >в ц/га.
** Для пшеницы.
171

Чугун (в твердом состоянии)
7,2
Чугун в жидком состоянии
(6,8 — 7,0)
Медь
8,9
Алюминий
2,6
Ртуть
13,6
Гранит
2,8
Стекло
2-,5
Молоко
1,03
Подсолнечное масло
0,92
Льняное масло
0,60
2. Сыпучие тела
Песок, глина, земля сухие
1,6
Известь
2,6
»	»	» сырые
2,1
Пшеница
0,75
Цемент в порошке
1,4
Рожь
0,70
» утрамбованный
2,0
Овес
0,50
Кам. уголь насыпью
0,85
Ячмень
0,60
Антрацит	»
0,90
Просо
0,70
Кокс	»
0,50
Г речиха
0,52
Торф влажный
0,60
Кукуруза
0,72
» воздушно-сухой
0,37
Горох
0,78
Зола
0,90
Отруби
0,30
Гравий
1,75
Картофель насыпью
0,675
VI. ФОРМУЛЫ ДЛЯ ПРИБЛИЖЕННЫХ ВЫЧИСЛЕНИИ
(х и у предполагаются достаточно малыми по сравнению с единицей)
(1 ±x)2≈l ±2х;
(1 ±x)3≈l ±3л;
1∕^ 1 + х ≈ 1 + —;
r ~	2
3

т/ 1 + х ≈ 1 ± — ;
'	-	3
—— ≈1
1 ± X
≈1
-L-≈1
+ х (более точно:
+ х + х2);
(1 ± x)(l +y)≈l ± Λ÷J'!
(1 ± х)(1 — ,v)≈ 1 ± х — у\
b⅛Ξ ≈ 1 + х — у,
1+.У
1-⅛^- ≈ 1 ± х +у
1 -у

ОГЛ АВЛ Е Н И Е
Предисловие 	 3
Глава I. Устройство линейки
§1	. Преимущества и недостатки счетной линейки
1.	Виды вычислений, возможных на линейке	 5
2.	Простота устройства и удобство пользования	 6
3.	Быстрота вычислений	 7
4.	Недостатки линейки	 8
Выводы	 9
§2	. Принципы устройства линейки
1.	Равномерная шкала	 10
2.	Графическое сложение и вычитание	 11
3.	Графическое умножение и деление	 12
4.	Логарифмическая шкала	 14
5.	Особенности логарифмической шкалы	 16
6.	Конструкция линейки	 . .	19
7.	Шкалы линейки	*	 19
8.	Специальные пометки и справочные данные	 21
§3	. Установка и чтение чисел
1.	Вводные замечания ....		 22
2.	Разряды делений шкал Н\ и Н2	 23
3.	Установка чисел на шкалах Н\ и Н2	 27
4.	Округление чисел при установке на линейке	29
5.	Чтение чисел	 30
6.	Порядок (значность) числа	 32
§4	. Степень точности установки и чтения ри сел
1.	Предварительные понятия	 34
2.	Практическая погрешность на линейке обычной длины
(26 см) 	   38
173

Глава II. Умножение и деление на нижних шкалах
§5	. Умножение на нижних шкалах
1.	Принцип умножения на линейке	 43
2.	Первый случай умножения	 44
3.	Второй случай умножения	 46
4.	Общее правило умножения	 48
§6	. Деление на нижних шкалах
1.	Принцип деления на линейке	. .'	 49
2.	Первый случай деления	 49
3.	Второй случай деления	 51
4.	Общее правило деления	 53
5.	Деление на движке	 53
§7	. Сочетание действий умножения и деления
1.	Последовательное умножение	 55
2.	Последовательное деление	 56
3.	Умножение, соединенное с делением	 57
4.	Заключительные замечания и	выводы	 61
Глава III. Пропорции и проценты
§8	. Пропорциональные величины на линейке
1.	Выдвинутый движок	 64
2.	Серийное умножение	 67
3.	Серийное деление	 69
4.	Прямая пропорциональность	 70
5.	Обращенный движок	 70
6.	Обратная пропорциональность	 73
7.	Обратные числа	 76
8.	Обратная шкала	 78
9.	Пропорциональное деление	 79
§9	. Процентные вычисления на линейке
1.	Основные понятия и формулы	 82
2.	Общие замечания	 83
3.	Вычисление процентной части числа	 84
4.	Вычисление начального числа	 86
5.	Вычисление процентного отношения .....	...	87
6.	Процентарование слагаемых к итогу	 89
7.	Увеличение или уменьшение ряда чисел на данное число
процентов	 92
8.	Последовательное процентирование	 93
9.	Процентное	отношение данного	числа к различным числам 94
10.	Смешанные	вычисления	 96
Глава IV. Статистические вычисления (первая часть)
§	10. Статистические вычисления без суммирования
1.	Относительные величины	 98
2.	Индивидуальные индексы динамики (базисные и цепные) ,	100
3.	Индивидуальные индексы плановых величин	 102
§	11. С т а т и ст и ч е с к и е вычисления с суммированием
1.	Простая средняя арифметическая	 103
2.	Взвешенная средняя арифметическая	104
174

3.	Простая средняя гармоническая	105
4.	Взвешенная средняя гармоническая	 107
5.	Средняя скорость оборота средств . .	 109
6.	Нормативы оборотных средств	 111
7.	Агрегатные индексы	 112
Глава V. Степени, корни, логарифмы
Вводные замечания	 115
§12	. Вычисления на верхних шкалах
1.	Устройство верхних шкал	 116
2.	Возведение в квадрат	 118
3.	Извлечение квадратного корпя	 ...	119
4.	Умножение и деление на верхних шкалах 	 120
§13	. Вычисления на шкале кубов
1∙.	Устройство шкалы кубов	 122
2.	Возведение в куб	124
3.	Извлечение кубического корня	124
§14	. Комбинированные вычисленная на нескольких
разных шкалах
1.	Предварительные указания	127
2.	Выражения, не содержащие	многочленов	128
3.	Выражения, содержащие многочлены	135
§15	. Логарифмирование и	потенцирование на ли¬
нейке
1.	Шкала мантисс	135
2.	Логарифмирование	137
3.	Потенцирование	138
4.	Логарифмические	вычисления	139
Глава VI. Планово-статистические вычисления (вторая часть)
Вводные замечания	141
§	16. Вычисление уровней и темпов на шкалах Н. В. й К
1.	Равномерные темпы	142’
2.	Средние темпы	 143
3.	Уровни и темпы	145
§17	. Вычисление уровней и темпов на шка¬
ла	х Н и Л 	  149
§	18. Другие статистические вычисления (на всех
шкалах)
1.	Средняя геометрическая	154
2.	Меры вариации	 156
3.	Расчеты при выборочном наблюдении	-	160
Приложение. — Главные справочные данные. . .	167

Автор Ф. Д, Лившиц	Счетная линейка для экономистов
Редактор Е. М. Шенцис	Художник В. В. Лепорк,
Телн. редактор А. М. Мелентьев	Корректор В. А. Устиянц.
Сдано ⅛ набор 11/ХП—53 г.	Подписано к печати 8/Ш—54 г.
Ьумага 60×92i∕ι6.	Объем 11 п. л.=Уч..изд. л. И. Тираж 20 ОиО
Л108374
Го'сстатиздат, Москва, ул. Разина, 3, пом. 69.	Зак. 4888
Типография издательства «Московская правда», Потаповский пер., д. 3.
Цена 5 р. 50 к.

Цепа ≥ р. 60 к.