Московское
Ю. В. ПЕШТИ
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
К ДОМАШНЕМУ ЗАДАНИЮ ПО КУРСУ
«ДИНАМИКА И ПРОЧНОСТЬ КРИОГЕННЫХ МАШИН» РАЗДЕЛ «ГАЗОДИНАМИЧЕСКИЕ ПОДШИПНИКИ»
Москва
1I 9 78
Министерство высшего и среднего специального образования СССР
Московское ордена Ленина и ордена Трудового Красного Знамени высшее техническое училище им. Н.Э. Баумана
Ю.В. ПЕШТИ
Утверждены редсоветом МВТУ
Методические указания к домашнему заданию по курсу
"Динамика и прочность криогенных машин" Раздел Тазодинамические подшипники'
Под редакцией М.С. Бабичева
Москва
1977
Данные методические указания к домашнему заданию издаются в соответствии с учебной программой.
Рассмотрены и одобрены кафедрой Э-4 20,5.1877 г., Методической комиссией факультета "Энергомашиностроение*' и учебно-методическим управлением.
Методические указания предназначены для выполнения домашнего задания по курсу "Динамика и прочность криогенных машин" и охватывают тему "Расчет устойчивости вращения ротора турбомашины в газодинамических подшипниках". Данная работа может быть использована также при курсовом и дипломном проектировании, учебно-исследовательской работе студентов.
Рецензент к.т.н. доц. В.Н. Хмара к.т.н. доц. И.Л.Шишкин
ОГЛАВЛЕНИЕ
Условные обозначения .................................    3
Предисловие .........................................••	5
1. Выбор типа газодинамического подшипника .............  5
2. Цилиндрические гладкие радиальные подшипники .......  11
8.	Сегментные радиальные подшипники .................... 18
4.	Лепестковые радиальные подшипники ................... 16
5.	Упорные подшипники со спиральными канавками ......... 27
6.	Устойчивость газовой смазки в газодинамических подшипниках .........................................       80
7.	Потери на трение в газодинамических подшипниках .... 81
Литература ...........................    .............	82
(С) Московское высшее техническое училище им.Н.Э.Баумана
Редактор В.М. Царев	Корректор В. Т. Карасева
Заказ /913	Объем 2 п.л. Тираж 400 экз.
Подписано к печати 20/ХП-77 г.	Бесплатно
Ротапринт МВТУ. 107005, Москва, Б-5, 2-я Бауманская, 5,
УСЛОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
£р - расстояние между серединами радиальных подшипников, м;
JU - вязкость абсолютная (динамическая) при температуре 7^ , Н^с/м2;
Ts - температура газа в смазочном слое подшипника, К;
U - скорость скольжения одной поверхности трения относительно другой, м/с;
W - внешняя радиальная или осевая нагрузка, Н;
/, , R и D - соответственно длина подшипника, радиус и диаметр цапфы, м;
£ - число лепестков в подшипнике;
лс--еуи^-^/Р1,н‘ - число сжимаемости для подшип-
ника со спиральными канавками;
h--ejuu)pR&/paHoz
- число сжимаемости;
ц - радиальный зазор, м;
р и р ° - соответственно текущее давление газа в рабочем зазоре подшипника и давление среды, окружающей торцы вкладыша подшипника, Па;
Е - модуль упругости, Н/м2;
- приведенный модуль упругости для широких лент, Н/м2;
Р - коэффициент Пуассона;
и f D - угол и коэффициент трения лепестков друг о друга;
1Тр	- момент инерции поперечного сечения лепест-
£ = е/н0 - относительный эксцентриситет;
Н - толщина лепестка, м;
// - число' канавок в спиральном подшипнике;
У* - угол охвата лепестком цапфы ротора, на котором
“ * зазор и давление в смазочном слое постоянны, рад;
А/ - масса ротора, кг;
К - жесткость, Н/м;
f - радиус цапфы ротора в лепестковом подшипнике, м;
-	радиус кривизны лепестка в свободном состоянии, м, £ - эксцентриситет, м;
-	радиус вписанной окружности между свободно лежащими друг на друге лепестками до установки в подшипник цапфы, м;
8
ft. и
-	радиус расточки корпуса подшипника, м;
-	угловая протяженность лепестка в свободном состоянии, рад;
Ro - соответственно внутренний и наружный радиус упорного подшипника со спиральными канавками, м;
R - радиус, на котором заканчивается канавка в упор-
* ном подшипнике со спиральными канавками, м;
R - соответственно геометрическое место центров радиусов , профилирующих спиральную канавку, м;

- предельная частота вращения ротора, при которой наступают его автоколебания, с ,
- текущий характерный геометрический размер, м;
F - несущая способность газодинамического подшипни-ка. Н;
if - угол положения, град;
Fr - газовая постоянная, Дж/кг. град;
(0- - рабочая частота вращения ротора, с ;
у - угловая скорость вращения ротора, рад/с;
р - несущая способность подшипника, изображенного на рис. 1а, при бесконечной длине вкладыша, Н;
/у - зазор между цапфой и сегментом в подшипнике, приведенном на рис. 2, в зоне расположения опоры
сегмента, м;
угловая скорость вращения ротора, при которой происходит разделение трущихся поверхностей слоем газовой смазки в газодинамическом подшипнике, рад/с;
6^ - угловое расстояние между опорами соседних сегментов (для трехсегментного подшипника = 120°), рад или град.;
-	угол в лепестковом подшипнике, на котором зазор имеет конфузорную форму, град или рад;
-	перемещение цапфы ротора по отношению к оси подшипника при действии радиальной внешней нагрузки, И;
/	V - число сегментов в сегментном подшипнике;
-	радиальный зазор между цапфой и расточкой вкладыша, м;
X - собственная частота колебаний системы "газовый смазочный слой - ротор . с-*.
- Л Лъ;	- /* /л
и О / п 4 К К / Н > п л / и •
4
ПРЕДИСЛОВИЕ
Применение газодинамических подшипников в криогенных машинах сдерживалось недостаточной их изученностью, отсутствием опыта эксплуатаци i и психологическими Лекторами. Теоретические и экспериментальные исследования, выполненные в проблемной лаборатории кафедры Э-4 МВТУ, позволили создать надежно работающие конструкции и методы расчета газодинамических подшипников таких перспективных типов, как сегментные и лепестковые применительно к условиям эксплуатации криогенных ман ии. Эти типы подшипников по сравнению с классическими цилиндрическими технологичнее и надежнее в эксплуатации.
Вопросы, рассматриваемые в настоящей работе, излагаются без широкого теоретического обоснования, а именно: чаются конечные математические зависимости и числовые примеры расчета подшипников того или иного типа. Такое изложение материала по газодинамическим подшипникам обусловлено тем, что теория подшипников с газовой смазкой достаточно подробно изложена в работе [11 .
1. ВЫБОР ТИПА ГАЗОДИНАМИЧЕСКОГО ПОДШИПНИКА
Выбор типа газодинамического подшипника диктуется различными требованиями, возникающими при эксплуатации. Так, газодинамические гладкие цилиндрические радиальные подшипники с жесткими рабочими поверхностями (рис. 1а) в криогенных турбомашинах не нашли практического применения из-за технологических трудностей: при изготовлении требуется обеспечить зазор между вкладышем и цапфой ротора в пределах Б-15 мкм.
В ступенчатых подшинниках Рэлея (рис. 1б-г) избыточное давление в рабочем зазоре подшипника создается при вращении цапфы ротора в клиновом ступенчатом зазоре. Подшипники с шевронными канавками (рис. 1г) работают по принципу вязкостного насоса. Канавки могут быть расположены симметрично относительно средней гладкой части подшипника (рис, 1г), канавки могут располагаться с одной стороны подшипника или подшипники выполняются без гладкой средней части,, На рис. 1л изображены различные варианты многоклиновых подшипников. На рис. 1е показан вибронесуший 'подшипник, работа которого основана на следующих двух принципах.
5

Рис, l. Газодинамические радиальные подшипники: а) гладкий полный цилиндрический; б) с карманами Рэлея; в) развертка на плоскость рабочей поверхности подшипника Рэлея; г) с шев ронными канавками; д) мпогоклииовые; е) рпбронесутие (со сдавливанием смазки; направление движения одной и® рабочих поверхностей показано обоюдоострыми стрелками)
6
Если втулка "а", закрепленная по концам в корпусе, изготовлена из пьезоэлектрического материала, то при подводе к ней знакопеременного напряжения в 10-15 В с частотой собственных колебаний материала втулки "а" она начнет сжиматься и разжиматься в радиальном направлении (при радиальной поляризации), что приведет к быстрому изменению зазора и образованию в нем избыточного давления.
Обычно изменение зазора составляет 2-6 мкм при общем радиальном зазоре 8-10 мкм. Если втулку "а" изготовить из любого не пьезоэлектрического материала и подвести к ней на резонансе материала втулки колебания ультразвуковой частоты, то можно получить более мощные по амплитуде радиальные колебания ее, а следовательно, и изменения зазора.
Однако подшипники, изображенные на рис. 1, из-за малых рабочих зазоров (5-15 мкм) и сложности устройства, возбуждающего колебания, не получили применения в криогенной технике.
На рис. 2 изображен подшипник с сегментными самоуста-навливаюшимися вкладышами. В этом типе подшипника каждый сегмент опирается шарнирно на корпус либо жестко (рис. 2а), либо через упругий элемент (рис. 26). Эксплуатация таких подшипников показала, что достаточно упруго закрепить на корпусе не все, а один сегмент. В криогенных машинах подшипник обычно содержит не более трех сегментов, автономно опирающихся на корпус, что объясняется малыми диаметрами цапф криогенных машин
Рис. 2. Радиальный сегментный подшипник: а) упругий элемент выполнен в виде плоской пружины; б) упругий элемент выполнен в виде арочной пружины; 1 - цапфа; 2 - сегмент; 3 - о: ора-шарнир; 4 - упругий элемент; 5 - корпус
7
В последнее десятилетие в патентной литературе появилось описание многочисленных конструктивных схем газодинамических радиальных подшипников с упругими рабочими поверхностями (рис. 3), которые, по нашему мнению, можно разделить на два типа: подшипники с натянутой по концам лентой (рис. За) и лепестковые (рис. 36).
Рис. 3. Радиальные подшипники с упругой рабочей поверхностью: а) ленточный (с натянутой по обоим концам лентой); б) с несколькими короткими лепестками; в) с одним спирально свернутым лепестком; г) лепесток с гофрированной упругой подложкой
В подшипниках (рис. За) рабочий зазор подучается между жесткой поверхностью цапфы и упругой поверхностью сегментов, образованных, участками ленты, натянутыми силой 7^ на направляющие ролики. Существенными недостатками такого подшипника являются зависимость натяжения ленты (а следовательно, и рабочего' зазора) от изменения температуры и сложный монтаж подшипников, поэтому такие подшипники не подучили широкого применения в турбомашинах.
От недостатков подшипников с натянутой лентой свободен ленточный подшипник лепесткового типа (рис. Зб-г). По нашему мнению, все многообразие конструкций лепестковых подшипников можно свести к следующим двум схемам. В первой схеме (рис. 36) между цапфой вала к корпусом частично внахлестку расположены листовые упругие элементы, одним конном опирающиеся на корпус, а другим (свободным) - на соседний лист. 8
При прогибе лепестков под действием колебаний вала они своими свободными концами имеют возможность скользить друг по другу, способствуя рассеиванию (демпфированию) энергии колебаний вала. Во второй схеме (рис. Зв) упругая рабочая поверхность образована одним лепестком, свернутым в спираль.
Недостатком обеих схем (и особенно схемы рис. Зв) является большая податливость в радиальном направлении, что в турбомашинах связано с возможностью повреждения лабиринтных уплотнений. Поэтому с .целью повышения радиальной жесткости между лепестковыми упругими элементами и корпусом располагаются упругие элементы (рис. Зг) с жесткостью, на порядок большей жесткости лепестков, которые могут быть выполнены в виде гофр.
Рис. 4. Газодинамические упорные подшипники: а) с карманами Рэлея; б) со спиральными канавками; в) с упругими элементами (лепестками); г) поперечное сечение подшипника по рис. 46
На рис. 4 изображены упорные газодинамические подшипники. Подшипник, приведенный на рис. 4а, является разновидностью подшипника Рэлея и в поперечном окружном сечении имеет такой же профиль, как и аналогичный радиальный подшипник Рэлея (см. рис. 16—в).
Изображенный на рис. 46 упорный подшипник со спиральны-
0
ми канавками работает, как и подшипник с шевронными канавками (рис. 1г), по принципу вязкостного насоса. Глубина канавок (разница зазоров	котоРые на Рис* 46 показаны точка-
ми, соизмерима с величиной рабочего зазора, изменяющегося в пределах 5-50 мкм. Такой подшипник может воспринимать значительные осевые нагрузки и нашел применение в турбомашинах.
На рис. 4в показан лепестковый упорный подшипник, в котором лепестки, выполненные в виде отдельных секторов, одним концом скреплены с помощью сварки (на рисунке показана точками, идущими в радиальном направлении) с кольцом, имеющим толщину, соизмеримую с толщиной лепестков, кольцо опирается на корпус через дополнительные упругие элементы по типу приведенных на рис. Зг.
Из многообразия рассмотренных газодинам'гческих подшипников в криогенных турбо машинах могут найти применение, на наш взгляд, только следующие.
Газодинамические радиальные подшипники цилиндрического типа (см. рис. 1) ввиду технологических трудностей и малых эксплуатационных зазоров в криогенных машинах в чистом виде не применяются. Однако в газостатических подшипниках с вращающимися роторами всегда присутствует газодинамическая составляющая несущей способности и жесткости (так называемые гибридные подшипники), величина которой может быть как пренебрежимо малой, так и соизмеримой со статической составляющей. Поэтому в таких типах подшипников всегда необходимо определять газодинамическую составляющую с целью оценки ее величины по сравнению с газостатической составляющей несущей способности.
Из других типов газодинамических радиальных подшипников в настоящее время получили распространение в криогенных машинах сегментные подшипники (см. рис. 2) благодаря надежности работы в широком диапазоне рабочих частот вращения роторов.
Начинают применяться лепестковые радиальные (см. рис. 36,г) подшипники.
Из газодинамических упорных подшипников в криогенном машиностроении, пожалуй, применяться могут только подшипники со спиральными канавками (рис. 46) и лепестковые (рис. 4в). Другие типы подшипников вряд ли найдут применение из-за технологических трудностей и малой надежности работы при изменяющихся параметрах газа и режимах работы агрегата, где они установлены.
10
2. ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ГЛАДКИЕ РАДИАЛЬНЫЕ ПОДШИПНИКИ
Существует много различных методов определения несущей способности и жесткости цилиндрических радиальных подшипников £2 J. Однако сопоставление между собой методов, выполненное в работе СзЗ , показало, что наиболее простым из них является полу эмпирический метод, разработанный еще в 1949 г. С.А. Шейнбергом £4 J . Суть этого метода в следующем. Давление в смазочном слое подшипника конечной длины вычисляется путем умножения давления, полученного для подшипника бесконечной длины, на некоторый поправочный множитель, зависящий от текущей длины вкладыша подшипника,
~Ра)-
Для вычисления величины f(r) предложена комбинация гиперболических функций по типу, применяемому для несжимаемой смазки. Функция f(r~) учитывает качественную зависимость давления в смазочном слое от Л при разных скоростях движения газа.
Несущая способность подшипника конечной длины по этому методу определяется из зависимости
F6p^,	(1)
где величина F& при Z>/Z) ~-о0 определяется до номограмме рис. 5 (по этой же номограмме можно определить угол положения if для данных/1 и £ ).
Угол положения определяется из зависимости
if- axetg (Fr /F^-где Fp - радиальная составляющая реакции , направлена вдоль линии центров 00 (см. рис. 1а);
Fj. - тангенциальная составляющая реакции Fgp • направлена перпендикулярно линии центров.	'
Угол положения if расположен между Fr и F& . Реакция F^p действует противоположно вектору V/ внешней радиальной нагрузки, приложенной к цапфе ротора.
Если требуется получить наибольшую предельную частоту вращения ротора и жесткость, то должны соблюдаться условия:
/£ L/D £ 2 ;	= 5 -15 мкм; М - наименьшая; Ср °
° (5-10) Z) ; погрешности формы цапф и вкладыша не более 0,5 мкм; отклонение геометрической и физической осей после динамической балансировки-ротора не более 0,1-0,25 мкм; материалы поверхностей трения должны Иметь большую твердость и не должны обладать адгезионными свойствами.
Рис. 5. Безразмерная несущая способность и угол положения газодинамического радиального цилиндрического подшипника (см. рис. 1а)
Пример. Определить газодинамическую составляющую несущей способности б гибридном радиальном подшипнике для примера, приведенного в работе £ 1J . Подшипник имеет параметры *
= 383 К; J-1 = 2,17» 10”5 Н*с/м2; Fr = 287 Дж/кг»град; ра = 0,98-105 Па; L = 10*10-3 м; 3) = 30-КГ8 м;
Нс= 35*10-6 м; а)р= 500 с-1 (30 000 об/мин); £ = 0,15.
Расчет ведем в такой последовательности?
1.	Для приведенных параметров подшипника определяем число сжимаемости при Jp -ЯПр/30= 3,14.30 000/30 = 3140 рад/с;
= 6*2,17-Ю-5. 3140 (15-Ю“3)2/0,98-105х XOS-6)2 = 0,768-
2.	По графику (рис, 5) для £ = 0,15 и Л = 0,768 определяется F& = 0,125.	_ о
3.	По формуле (1) для L/D = 10*10 /30*10	= 0,333
определяется газодинамическая составляющая несущей способности в гибридном подшипнике	Fg?= pa£3)[l-@/L)th(LlD)] F^ =
= 0,98.10s* 10 ДО"? 30-10"3 [1 -3 th (0,333)J • 0,125 = 0,163 H.
Несущая способность газостатического подшипника с такими же параметрами равна [1]	» н- ,
Из сопоставления между собой и F? видно, что газодинамическая составляющая несущей способности в гибридном подшипнике весьма мала (в нашем примере она составляет 5,43% от газостатической) и поэтому при расчете гибридных подшипников ею пренебрегают1
4.	На пересечении линий Л = 0,768 и £ = 0,15 определяется по рис. 5 угол положения if г В нашем случае ^= 10“, т.е, линия центров практически расположена вертикально.
.3. СЕГМЕНТНЫЕ РАДИАЛЬНЫЕ ПОДШИПНИКИ
При работе агрегатов с роторами, вращающимися в газодинамических подшипниках с самоустанавливающимися сегментными вкладышами (см. рис, 2), определение момента разделения слоем газовой смазки скользящих относительно друг друга поверхностей вкладышей и цапфы позволяет еще на стадии проектирования подшипников подобрать материал пар трения, установить число пусков и остановов ротора "в сухую1 на весь срок службы агрегата, назначить допустимый износ поверхностей трения, рассчитать максимальный расход энергии на "сухое" трение в
13
период разгона ротора до момента его "всплытия* на слое газовой смазки, рассчитать тепловыделения в подшипниках.
Если полученная в результате расчета частота "всплытия" ротора удовлетворяет перечисленным требованиям, то ротор можно запускать и останавливать при "сухом" контакте цапф ротора со вкладышем. В противном случае на период пуска и останова ротора требуется наддув газа в рабочий зазор подшипника от постороннего источника сжатого газа, например, компрессора. Расчет такого сегментного газостатического подшипника см. в работе С1] .
Для определения момента "всплытия" ротора на газовом смазочном слое необходимо знать его несущую способность.
Сопоставление между собой различных теоретических методов определения несущей способности [5, б] с экспериментом показали, что подученная по теоретическим зависимостям несущая способность сегмента в 2,5-3 раза выше, чем это следует из эксперимента: очевидно, в эксперименте сказывается перетекание смазки на краях вкладыша и частично в окружном направлении, что не учитывается ни одной из названных методик £5,6 Поэтому появился поду эмпирический метод, описанный в работе £ 7 J , основанный на большом числе экспериментальных данных, где приведена зависимость для определения несущей способности одного сегмента
Fm :0,5ра L'Ъ ’Л,79-ЗО,5Нт	-36<Н*+3&Н*). (2)
На наш взгляд, использование эмпирической зависимости (2) для расчета несущей способности сегмента с относительными геометрическими размерами и параметрами газа, близкими к использованным в формуле, даст лучшее совпадение с действительными значениями, чем существующие сложные теоретические зависимости, решить которые можно пока лишь применяя ЭВМ. Это предположение, естественно, нуждается в дополнительной экспериментальной проверке.
С учетом зависимости (2) несущая способность трехсег— ментного подшипника может быть определена по зависимости
где: а) для подшипника с линией действия внешней нагрузки , проходящей, как показано на рис. 2а,
б) для подшипника с линией действия внешней нагрузки U/, проходящей между опорами сегментов
ън*=м*-о,5(н?+н*)  Zifa	.
В формуле (3) величины Н j	- соответственно без-
размерные зазоры под каждой опорой сегментов, отсчитываемые в сторону вращения ротора и определяемые из зависимости нт~ i-ccose* .
Для другого числа сегментов несущая способность может быть определена по формулам, приведенным в работе fej .
Из зависимости (3) определяется частота (t)OT вращения ротора, при которой при пуске цапфа ротора 'всплывает' на слое газовой смазки, то есть реакция Fgp начинает уравновешивать приложенную к цапфе ротора внешнюю радиальную нагрузку (это происходит при	)
^от -2ра	(4)
Из зависимости (4) следует, что при частоте ь)р вращения ротора, меньшей Сдог, подшипники не могут работать в газодинамическом режиме.
Оптимальное расположение опоры сегментов получается при отношении “ 0,65 (см. рис. 2а). Другие параметры изменяются так: Z/Z> = 0,75 tl; 15 --25 мкм; по крайней мере, один из сегментов должен опираться на корпус через упругий элемент с жесткостью на порядок меньшей, чем жесткость слоя газовой смазки в сегменте.
Пример. Определить момент 'всплытия' ротора, вращающегося в газодинамических сегментных подшипниках, имеющих параметры: L = 34 ’10”® м; 2) и 48'10“® м; Ра° 0,88'10® Па; JU - 1,78'10"® Н-с/м2; Рош 20'10“® м; 3; ^*=120°; Тс - 293 К; IV® 120,5 Н; нагрузка V/ проходит между опорами сегментов “ 3140 рад/с.
По формуле (4) определяем угловую скорость 'всплытия' ротора в сегментном подшипнике
*
15
0)от~ 2- 0t98-/о^-го2-/0~,2(/20,5///395'C>9S /0S‘3^-f0-%£-f0~y>f /4/78-/0~S-982- fC~6= /36 рад/с .
Это значение угловой скорости получилось относительно большим, поэтому в данном случае в периоды пуска и останова ротора рекомендуется применить наддув газа в рабочий зазор подшипника от постороннего источника сжатого газа, например компрессора. В противном случае при пуске и останове будет наблюдаться повышенный износ рабочей поверхности сегментных вкладышей.
Поскольку сОдг ~/70^и)р = 3140 рад/с, то возможна устойчивая работа подшипника в газодинамическом режиме при рабочей частоте вращения ротора.
4. ЛЕПЕСТКОВЫЕ РАДИАЛЬНЫЕ ПОДШИПНИКИ
Как уже отмечалось в разделе 1, из всех перечисленных типов лепестковых подшипников (термин "лепестковый" введен нами f9,10J как результат вольного перевода термина заимствованного из иностранной патентной литературы, в основном изданной на английском языке) перспективу применения в криогенных машинах имеет подшипник, схематически изображенный на рис. 36,г. Расчет такого подшипника значительно слож
нее, чем газодинамических подшипников других типов, так как в
расчетах следует учитывать упругость материала лепестков. В результате расчета должны быть определены геометрические размеры лепестков и найдена частота вращения, при которой произойдет разделение лепестков и цапф ротора споем газовой смазки. Расчетные формулы получены в результате следующих допущений и анализа.
На рис. 6 представлен один лепесток, в котором взаимодействие с корпусом и соседними лепестками заменено силовы-
ми связями, а на рис. 7 представлен весь подшипник. Со стороны корпуса действуют реакция и момент заделки . На свободный конец лепестка действует реакция от другого
лепестка, направленная под углом I/ - к текущему радиусу кривизны Г лепестка. Здесь угол - угол между радиусами кривизны соседних лепестков, сходящихся в точке К, а исходящих из точек Oj- в О ,Т и /V — соответственно тангенциальные
и нормальные к радиусу кривизны лепестка составляющие реакций /?£ . Кроме того, Т — сила трения покоя или скольжения лепестков друг по другу. Если ротор не вращается, то со сто-16
роны цапфы на каждый лепесток действует распределенная на
грузка интенсивностью Ср , которую вуюшей fig .
можно заменить равнодойст-
Рис, 6. Силы, действующие на элемент радиального лепесткового подшипника
Для определения положения лепестков в подшипнике должны быть обязательно заданы следующие геометрические параметры: радиус Qt кривизны лепестка в свободном состоянии; радиус /у? расточки корпуса подшипника; чисто лепестков Z или угол - 860°/£ ; радиус Га вписанной окружности между свободно лежащими друг на друге лепестками до установки в подшипник цапфы вала или угол наклона лепестка к корпусу подшипника. Имеем
~ С/ ' • (5)
Только при наличии этих данных можно определить другие геометрические параметры, например входной угол , рав-
17
ный выходному углу fyc (рис« 6),
(е)
А
где d0=2atcSLn(Cisui-^) • d'z=atcccs[[it(l-^t-f^]/ (ба)
А ,________^7^}:__________,
. <бб)
^=^с/2 tazcsinfo, J<~С*/(/-/}}] .	<6в>
Изображенная на рис. 7 конструктивная схема лепесткового подшипника получилась статически неопределимой. На этом рисунке для реакций принята двойная индексация: первый индекс указывает, со стороны какого лепестка действует реакция, а второй - действие этой реакции на другой лепесток с данным номером.
Для раскрытия статической неопределимости воспользуемся уравнениями прогибов лепестков от нагрузок, действующих со стороны лалфы неподвижного ротора, и реакций со стороны лепестков. Перемещения отдельных сечений лепестков определим с помощью известных интегралов Мора fll, стр, 175-181^. В рассматриваемой системе основную роль играют нагибные пере-мешешш лепестков. Поэтому перемещения вследствие растяжения и сдвига малы по сравнению с перемещениями изгиба. Мала также энергия растяжения и сдвига по сравнению с энергией изгиба. Поэтому при определении перемещений из шести интегралов Мора принимаем во внимание только интеграл для изгиба.
Каждый лепесток, выполненный’ обычно из металлической ленты с линейной характеристикой, работает в области упругих деформаций и поэтому имеет линейную жесткость, как обычная плоская пружина постоянных размеров и сечения. Подшипник, состоящий из 2 одинаковых линейных упругих лепестков, также должен иметь линейную жесткость. В связи с этим задачу нахождения реакций лепестков друг на друга можно существенно упростить, не снизив точности ее решения, если рассмотреть только вертикальное положение ротора. В этом случае все реакции равны между собой и равны « В такой линейной системе даже при горизонтальном роторе удельная нагрузка <2 будет одинаковой для каждого лепестка. При этом разными будут только углы А охвата лепестками цапфы неврашающегося 18	J 2
вала (рис. 7) и, следовательно, нагрузки Рг . Для системы с вертикальным ротором, линейной жесткостью и const интегралы Мора будут иметь следующий общий вид для проги-
где значения нижних пределов в интегралах и величины моментов для прогибов сГк конпа лепестка, прогиба начала лепестка и прогиба средней части лепестка определяются из таб-
Рис. 7. Схема силового взаимодействия элементов лепесткового
подшипника
10
г.	Н1	Н2	нъ	нч	Н5	^Т1	Мм		Mr.	М^	Мед
£	0	0	6М		^0		"«к		Мун	М..	Mt
						^гк		Mi	Mr.	Мн.	м1-
4	6о/г		#о/2	<^о					Мт.'	М..	
Значения моментов, приведенных в таблице, определяются по следующим зависимостям:
единичный момент от единичной силы, приложенной в точке К,
•	(7а)
Мгк 'Тк^( f=	('-<&<#>};	(76)
ЫК~	COS(7r/> & Ъ ‘1	(7в)
^г„ -- тн с -4U) ~к И;(7г)
*'»«=**’! '‘"Aj- <5/^	-di): (7д>
Mf=4-r'L	-ej/г] - (d0
единичный момент от единичной силы, приложенной в точке Н,
Ml'=l'r-n-s^(^l-d'o) ;	(7ж) .
;	(7з)
единичный момент от единичной силы, приложенной в точке С,
/<-/•£	~<Ъ/г).	(7И)
Согласно известной теореме о взаимности перемещений L11« стр, 204J прогибы лепестка в точках Н и К должны быть равны между собой, В связи с этим после приравнивания между собой прогибов (Гк — (Р. и преобразования подученных зависимостей найдем значение реакции лепестков при вертикальном 20
роторе
где ал = CoSlfy [fTf) (/-COSJi ~q5S^)^-025Su72j^- (8а)
£ = COS^ fa -^)-ccs^O^sinJbM-sin^ -- D'5^ sin(^ -dj,}]*O,5(sin<?0	COS(T0-cos^siAjbfe (86,
-Z-2QH)sin ^yin2^^(1-COS^)^0'GjcoS^-ire^
*sin cos-~ +[^-cos~-dto)--^(d^~6H)sinJ-^\* ^cqs^g^y+[у(<№н)<м%<го--
X sin 0^ [-f(^cos d'c) + y(<fc-0H / 4]*
x Sin	Sen -^6H + ^J- ((f'c ~ %)^~2^о ~	2^o~3 fy]*
X %ecsjb - /	[sin 3(^)^ 3f ] -
Xcosf > -L Sinj^cos(^^ Sin (<P0 -eH) x
Kcos(^-O^)],	(8b)
21
Обычно угол VH является весьма малой величиной и в практических расчетах им можно пренебречь. При этом зависимость (8в) существенно упрощается и принимает вид
<4 - I2 Ч	~^)/2^5^(^СО3^0/2)ч,	s^q/2) -
-С222а>5(5^/2)-<Гоз(л	(8г)
*0,5sinJo	)/2] -О5зйт&• ccS(J3„~<£)}	(8д)
4J^o)№,5s2n& ^ЧЛ'^оУ0.25^2^};	(8е)
'(8ж)
Если подставить значение реакции из (8) в зависимость (7), то можно определить прогиб в любой точке, например в точках Н,К,С (рис. 6), для вертикального ротора под действием удельной нагрузки Q
<8>
, (1°> где
*> =4 ft е^п,^	<£
(10.)
22
v	ч	ч ' 3 н
к 2	4 U	2
-^^-е^т^^е^3-^^-^е„.
f (d'n-2£,jf'"/~y-" - -£ sisys* cos (£-<%) f
+ -^Si^(^o~6^)cOSe^ .	(106)
В принципе зависимость (106) можно несколько упростить, если принять 0н = 0. Такое допущение не должно сильно повлиять на результаты расчетов, так как величина 6Н мала по сравнению с другими членами зависимости (106): Ф • 2-i, 72 cos +0,667(Го.$сп<Го/</-0,222 cosjo -O,33i<?oS(S><?o +
★do ^,5(^-^оУц25$^(2^н--д>о)^25$слМ,
Co стороны лепестка на цапфу невращающегося ротора действует распределенная нагрузка , равнодействующая которой равна Р^ . В вертикальной плоскости при эксцентричной цапфе разница сил Р^ является максимальной, в горизонтальной плоскости она равна • нулю, и зазор между корпусом и цапфой здесь не изменяется, то есть текущее значение силы Р, такое же, как при вертикальном роторе (	- Ру, ).
Отсюда делаем предположение, что разница диаметрально противоположных сип Рг при неподвижном горизонтальном роторе изменяется по закону изменения косинуса, поэтому текущее значение силы можно определить' по формуле
Ц = рл+0.5^м-^)со^^к^ }	(н)
28
где Рн и - соответственно значения силы 7^ в зоне наибольшего и наименьшего сближения цапфы с корпусом подшипника;
- угловое положение силы Рг по отношению к направлению внешней радиальной нагрузки VI.
Силу V! уравновешивает только вертикальная составляющая реакций Р^ , поэтому можно записать так:
cose^^Ll^ ^!^a>sei}cosei=^^Br’
(12)
где > <Pt(h>Fgc~ Угпы охвата лепестками цапфы ротора, соответствующие силам	Р.
Поскольку жесткость пакета лепестков принята постоянной, то соблюдается равенство
P^nst?	:	,(13)
Ос	rfP*	Ос
где лА/р, - прогиб средней части лепестка под действием только силы U/.
С учетом зависимостей (10), (12) и (13) можно определить толщину лепестка
<»>
где
• (1В)
При определенной частоте вращения ротора, которую будем называть освобождающей, лепесток отделится от поверхности цапфы за счет газодинамического давления р, то есть исчезнет "сухое" трение лепестка о цапфу. В момент отрыва цапфы от лепестка распределенная нагрузка £ , в первом приближении, уравновешивается перепадом давления р- pas р.
Для определения давления р в зазоре лепесткового подшипника воспользуемся известными зависимостями, приведенными в работе [4, стр. 94-95J ,
‘ dp , 6U/urKf ,
Те
6Л
fyxz	- i] i	06)
24
где С - постоянная, определяемая из граничных условий;
при е--ен величина dp/d.6 “ О, тек как Л/,5 const иp-const.
С учетом граничных условий и замены решение уравнения (16) имеет вид
p-p^gjuu^-se^/^.	<m
Если определить значение <JL из уравнения (10) и приравнять его разнице давлений р-р^ , найденных по зависимости (17), то получим формулу для определения момента отделения лепестков от поверхности цапфы вращающегося ротора
Пот^/р9^сЕЧ/г)6^/^£.Гл(^Зе^) об/мин . (18)
На основании проведенного анализа можно предложить сле-
дующий порядок расчета радиального лепесткового подшипника;
1)	задаются величинами Et /^,/£ ,	, k, \fJ, Е ;
2)	по формуле (6) определяется входной угол
3)	по уравнению (14) определяется толщина лепестка Л/ ;
4)	из уравнения (18) находится число оборотов Пдг , при котором ротор "всплывет'' на лепестках.
Пример. Определить геометрические размеры лепестков в радиальном подшипнике и частоту вращения ротора, при которой произойдет "всплытие" цапфы ротора на слое газовой смазки. Расчет выполнить для газа и ротора с параметрами: газ - воз-
дух;
fa %
JL - 1,95-10“® Н«с/м2;	“ 287 Дж/кг»град; Т5
« 0,98-105 Па; М- 1,05 кг;	“ 30-10-3 м;
= 2-Ю"-8 м;	0»02-10“® м; /тр“ 0»4.
Расчет ведется в /акой последовательности.
- 293 К;
I. Задаются числом лепестков Е “ 6;	860/2
° 11
материалом лепестков - молибденовая лента с Е“ 3,7-10
- 60°;
Н/м2;
шириной лепестка 30-10-8 м ( L]J) “ 1); нагрузкой на один подшипник VJ° 5,13 Н; £ ” 15,5-10"8 м; Л, ш 17 -10”8 м;
д* » 13-10 м. Тогда безразмерные величины равны /£• °
« W-IO-8/!?-К-3 « 0,8823;	- 15,5• 10~^/17« 10”8 - 0.9118;
13-io"3/17-ю-8 = 0,7647.
2. По формуле (5) определяется коэффициент
- (0,91182 •- 0.76472 + 2 0,7647) /2 0,9118 - 0,9789.
25
3. Из зависимости (6) находится входной и выходной
угол 6^ и входящие в него величины /из зависимостей (6а)-(6г)/:

-(1~о,7647) cossc^Jii-o/eg?)2^^2^^,7647)0,7647
-0,7843;
$о/2- ахс$Ох(07893 Sin30°)-23,244°;
= 23/44° ^ахс^^д718^^4739^/г(7~О7б47)\--84787)
^axcs^^ft[/-O/224)-O,ffff82]/2(/-^824)}- 39, /2<С ^--2^ 787°-23,249°- 39,728°)/о,8824 =30,807 °-6„=05(60°-30,807°) = 95963 °~ 9t6°,.
Однако за счет истирания лепестков во время пусков и остановов угол 6Н фактически на 1-2° меньше расчетного, поэтому принимаем 6Н = 2,5°.
4.	По формуле (15) определяется параметр Q (для простоты расчета при определении Гл принимаем А, - О при /го - 0,4; 4>/2 - 0, Д= 84,787°;	“ 38,209°;
утр = 21,8°; cQ = 46,487° )f при этом коэффициенты с/л,
'ал,	определяются по зависимостям (8а)~(8е):
Г,1 - (0,3741 - 0,1293) (-0,3707 )/(0,7985 + 0,4034 - 0,2206 -- 0,2428) + 0,1257 » 0,002835.
5.	Из формулы (14) находится толщина лепестка, при
этом для простоты примем Е ° Е,
Н -ГМО"8^/(24»5,13»17*10“? 0,002835)/(6-10~? 3.7.1011- IS-lO^x х 30-10"^ 0,8761) » 0,07- 10"3 м - 70 мкм.
6.	По формуле (18) определяется освобождающее число оборотов ротора
Лг-1,105.2.10"? 3.7.1011 (30.10"3-0,073< Ю^/12) х
х 0,0202853/1,95‘ 10"? 174. 10"1? ЗОЛ О-3 0,0028346 (1 -О
- 0,020285 ) к 45 000 об/мин.
26
5. УПОРНЫЕ ПОДШИПНИКИ СО СПИРАЛЬНЫМИ КАНАВКАМИ
Основной элемент подшипника со спиральными канавками состоит из ряда одинаковых спиральных канавок (обычно это спираль Архимеда), выполненных на одной из поверхностей трения (см, рис. 46). Глубина	канавок обычно в три
раза больше зазора между гребнем и вращающейся гладкой поверхностью пяты. При расчете подшипника определяющей величиной является отношение {Ro~	) и второсте-
пенной - отношение .
Принцип создания несущей способности в таком подшипнике следующий. Поскольку гидравлическое сопротивление зазора вдоль образующих канавок меньше, чем поперек, то относительное движение поверхностей в направлении протяженности канавок по длине вызывает вязкостное течение газа вдоль образующих канавок. В связи с этим элемент подшипника с канавками можно считать вязкостным компрессором. Сопротивление обратному потоку газа от центра подшипника к периферии вызывает в зазоре повышенйе давления над давлением окружающей подшипник среды, что приводит к созданию несущей способности.
Ниже без теоретических выкладок приводится методика, которая заимствована из работы [б, раздел 6.3J и пример расчета подшипника со спиральными канавками при 350 Я;
500 с’1;	= 70-Ю-3 м; - 28 • КГ3 м; ра »
= 0,11 МПа; Т - 353 К; JU => 0,27 < 10-4 Н-с/м2
1,	Вычисляем отношение Rl/Rq *° 28* 10"3/70 40	= 0,4.
2.	Задаемся числом канавок Д/л = 30, откуда 1/Rq “ - 0,0333.	«	*
3.	По графикам рис. 8а определяем коэффициент <5 "Sr = 1,076 для 1/Л/0 = 0,0333 и R- /Х> = 0,4, который * V/	<?	6/0
учитывает утечку газа из канавки. Утечку газа из гладкой области учитывают при помощи постоянного коэффициента /у =1,5. .	4. Для заданного значения 350 Н определяется наи-
большая георе лчесгл возможная несущая способность подшипника	1,5-1,076-350 = 566 Н.
5.	Определяется безразмерная величина . (Если значение этого коэффициента больше 0,8, то необходимо увеличить радиус RQ .) г
=566/3,14 1,1-105- (7С?-232) 10"6=’0,440,8.
27
Рис. 8. К расчету упорного подшипника со спиральными канавками
28
6.	По графикам рис. Ьб для = 0,4 и / *- 0 = 0,4 определяется Дс= 17.
7.	Вычисляется отношение	из зависямости
/Ч =	ра /6Ы)р JU [ / -	’
= \/17-1,1-10 /6'3,14-500-0,27-10 . (1-0,4 ) = 2950,
причем должно соблюдаться условие Ро < 8000; если оно не соблюдается, то необходимо увеличить 2 0 или .
8.	Определяется	- Rq/IPq/ Н^) = 70-10 /2,95-103 ==
- 23,7-10"® м.
9.-Определяется из графиков рис. 8 безразмерная жесткость Коо - 0,8 Тазового слоя, безразмерный расход газа Q =2,4, безразмерный момент трения 7^- - 0,77 для Д = 17 и ^/*0 = 0,4.
Абсолютная величина перечисленных параметров определяется из зависимостей:
К<„ = ХрЛ,<К-**)/Кккг"г 'Of0,e(702-
-282)ю~6/1,076/5-23,7-10~€- 29,7- 10~6Н/м ;
й	~ 3,14-1,1 10Ь-2,37}-10^2,4/3-0,27-Ю'4-
- 1,37.IQ"1*м3/с 
ТТр =Яра Рг(2^8/)ЛсТ7р/б^З,14.1,1.10^2,37 /0'$(70г± +28г)-10~е. 17 0,77/6-010/5Нм,
Отсюда потери энергии на трение в одностороннем упорном подшипнике равны
21	= 0,1015-500 = 50,8 Вт.
ГР -> Р
10. Определяются геометрические размеры канавок из рис. 8д для Лс-= 17	(80 Pi) - 0,4! .
Отсюда радиус, на котором оканчиваются канавки, равен (см, рис. 46)
,0-0’41 <70‘28> '82'8
Для Лс = 17 из рис. 8г определяется относительная ширина /у / 82 “ 1,52 канавок на внешнем радиусе Ро , угол - 17О15* наклона канавок к внешней окружности радиуса отношение ////<%= 4.	2р
Получаем ° 4 /^ = 4* 23,7 • 10	м — 05*10 м,
Hf -Нг = 95 - 23,7 = 71,3 мкм.
Общая длина на внешней окружности радиуса, занимаемая одним элементом "канавка - выступ", равна +t2-2Xf>oiN9t где	~ 2-3,14-70.1,52/30* (1 + 1,52) =
= 8,85 мм;	= 8,85/1,52 = 5,83 мм.
Ширина гребня и канавки в поперечном сечении равна 8,88-Л* 17°15* = 8,85-0,292 =.2,58 мм;
= /5,83- *ft>?17o15* = 5,83-0,292 = 1,7 мм.
Технологически спираль Архимеда выполнить сложно, поэтому ее заменяют дугой окружности. Профилирование ло дуге окружности ведется следующим образом. Радиусами Х*О/ ^,*^с проводят окружности и разбивают их на П равных частей, например на /? = 20. Через каждую точку деления окружностей, например радиуса &0 , из их обшего центра проводят лучи. Строят спираль Архимеда по уравнению Си/а , где Л - любое число (у нас Л - 2) и <fa - угол поворота спирали в радианах (у нас радиус-вектор - ^Р-2</а ^а пересечении подученной спирали с радиусом Re замеряем угол	• что близко
к расчетному углу ficn = l?0^7, Далее для участка спирали между радиусами Ro и подбираем постоянный радиус = = 61 мм, центр которого ле,кит на окружности радиуса = « 24 мм (на рис. 46 пунктирная окружность).
На этом этапе профилирование и расчет подшипника заканчиваем.
6. УСТОЙЧИВОСТЬ ГАЗОВОЙ СМАЗКИ
В ГАЗОДИНАМИЧЕСКИХ ПОДШИПНИКАХ
Г а зоди комические гладкие радиальные цилиндрические подшипники (см. рис. 1а), как показали многочисленные экспериментальные исследования, устойчивы, если рабочие частоты^, вращения ротора меньше	, где собственная часто-
та /0 колебаний системы "смазочный газовый слой — ротор" определяется из зависимости
/6=(/^)/г^с’1кт	t
гпе т:М/2 - приведенная масса ротора при цилиндрической форме колебаний ротора, кг;
т-2Jx,u /Ср* - приведенная масса ротора при конической форме колебаний ротора, кг;
Jx,y~ массовый момент инерции ротора относительно оси Л или U , кг*м^.______________________________
30 *	'
Таким образом, в газодинамическом гладком нилиндрячес ком подшипнике предельная частота вращения ротора всегда равна удвоенной собственной частоте. Из последней зависик МУТИ видно, что чем меньше приведенная масса ротора, тем больше собственная и предельная частоты вращения ротора.
Сегментные радиальные подшипники (см. рис. 2) практичес ки устойчивы во всем диапазоне рабочих частот вращения роторов и поэтому на практике не возникает необходимости в определении расчетным путем предельной частоты вращения ротора.
Лепестковые радиальные подшипники (см. рис. 3), как показали предварительные экспериментальные исследования £ & J , также не имеют неустойчивых режимов работы в рабочем диапа • зоне частот вращения роторов и поэтому пока нет необходимости в определении предельных частот вращения роторов расчетным ггутем, как и сегментных подшипников.
7. ПОТЕРИ НА ТРЕНИЕ В ГАЗОДИНАМИЧЕСКИХ ПОДШИПНИКАХ
Потери на трение могут быть определены для различных типов подшипников по известным зависимостям, приведенным в работе £12 J , в которой также рассматриваются вопросы выбора оптимальной величины рабочего зазора с точки зрения минимума затрат энергии в подшипниках с газовой смазкой.
В криогенных микротурбомашинах с мощностью на валу в десятки и сотни ватт некоторые типы подшипников могут служить в качестве тормозного устройства, позволяющего за счет изменения зазора на ходу машины (например, в сегментных и лепестковых подшипниках) изменять потребляемую подшипниками мощность, то есть изменять число оборотов ротора и тем самым, например, регулировать холодопроизводительность турбодетандера. Такая схема упрощает конструкцию турбодетандера: отпадает необходимость в тормозном устройстве, выполняемом обычно в виде колеса центробежного компрессора.
Применение в криогенных турбомашинах подшипников с газовой смазкой значительно снижает расход энергии и тем самым повышает экономичность криогенной установки: снижается удельный расход эне; гии на единицу продукта криогенной установки.
31
ЛИТЕРАТУРА
1. Пешти Ю.В. Газостатические подшипники для криогенных машин. М., изд. МВТУ, 1977.
2. Дроздович В.Н. Газодинамические подшипники. Л., "Машиностроение', 1976.
8. Пешти Ю.В. Проектирование подшипников скольжения с газовой смазкой. М., изд. МВТУ, 1973.
4. Шейнберг С.А., Жодь В.П., Шишеев М.Д. Опоры скольжения с газовой смазкой. М„ 'Машиностроение", 1969.
б. Design Of Gas веarenas, Mechanical Technology Incorporated, Усгк t /969.
6. EtiielC R.C., FindEag J.A.Design* of Р/ггМег-PidJournal bearings, , Journal Of LulrccatuOn TecJnofaff January /9691 l,Mcriichcta.T., Experiments on h/gdredinamiccras bearing Applied to Aatomatcife (fas Tur8irtet„JdeAJMt pttflc -cation,di 7<rGT-/50, United ehycneerirgcenterJdeu'-'/orft2eccm6er7,M/6.
8.	Пешти Ю.В. Определение момента 'всплытия' ротора. Известия вузов, Машиностроение", 1976, № 1.
9.	Пешти Ю.В., Шадрина В.Ю. Особенности работы самоге-норнруюшихся лепестковых подшипников с газовой смазкой. "Вестник машиностроения", 1976, Ns 5.
10.	Пешти Ю.В. Перспективность применения лепестковых подшипников с газовой смазкой для роторов высокоскоростных турбомашин. В сб. "Глубокий холод и кондиционирование". Труды МВТУ Ns 240, М„ 1976.
11.	Феодосьев В.И. Сопротивление материалов. М., "Наука", 1974.
12.	Пешти Ю.В, Условия минимальной затраты энергии в опорах с газовой смазкой. 'Известия вузов, Машиностроение", 1876, № 5.