в.п. коря bob
МЕТОДЫ
РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
В ОБЩЕМ КУРСЕ
ФИЗИКИ
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО
И МАГНЕТИЗМ
МОСКВА
«СТУДЕНТ»
2011

УДК 536:539
ББК 22.317+22.36
К 66
Корявов В.П.
К 66	Методы решения задач в общем курсе физики. Электричество
и магнетизм: Учеб, пособие/В.П. Корявов. — М., Студент, 2011.—
533с.:ил.
ISBN 978-5-4363-0009-2
В учебном пособии подробно разобраны методы решения задач по курсу
электричества и магнетизма. Задачи систематизированы по разделам, каждый
из которых предваряется кратким изложением теоретического материала.
Для студентов технических вузов, а также преподавателей физики высших
и средних учебных заведений.
УДК 536:539
ББК 22.317+22.36
ISBN 978-5-4363-0009-2
© ООО «ТИД «Студент», 2011

ПРЕДИСЛОВИЕ
Эта книга продолжает рассмотрение методов решения задач в
общем курсе физики, начатое в ранее вышедших книгах В.П. Коря-
вова: Методы решения задач в общем курсе физики. Механика, 2007;
Методы решения задач в общем курсе физики. Термодинамика и
молекулярная физика, 2009. Ссылки на них в дальнейшем будут
отмечаться 1 и 2. Здесь повторяем часть предисловия к вышедшим
книгам.
Особенности преподавания физики в Московском физико-тех¬
ническом институте (МФТИ) заключаются, во-первых, в значитель¬
ности затрачиваемого времени (шесть семестров) и, во-вторых, в
привлечении к преподаванию по совместительству сотрудников ис¬
следовательских физических институтов Российской академии наук
и различных министерств, т. е. весьма квалифицированных специа¬
листов.
Любая практическая деятельность физиков фактически сводит¬
ся к решению конкретных задач. Понимание этого привело к тому,
что и в процессе обучения, и при проверке знаний на экзаменах на
кафедре общей физики МФТИ большое внимание уделяется уме¬
нию решать задачи. Поэтому все экзамены включают письменные
контрольные работы. О достаточной сложности предлагаемых задач
свидетельствует то, что студентам на письменных экзаменах разре¬
шается пользоваться учебниками, книгами, конспектами и другими
учебными пособиями.
Придумывать новые задачи — обязательное требование к сотруд¬
никам кафедры общей физики. О числе задач можно судить, напри¬
мер, по тому, что в первом семестре, посвященном изучению меха¬
ники, надо иметь 20 задач (контрольная по первому заданию и экза¬
менационная работа по два варианта из 5 задач). Эта трудная работа
(придумывание задач) проводится на кафедре более полувека. На¬
коплено много хороших задач. Практически исчерпаны все возмож¬
ные варианты. Лучшие и показательные (представительные) задачи
вошли в три тома сборника под редакцией В.А. Овчинкина. В пер-
з

вом томе (Сборник задач по общему курсу физики в трех частях /
Под ред. В.А. Овчинкина. В 3 ч. Ч. 1. Механика. Термодинамика и
молекулярная физика. — 2-е изд., испр. и доп. — М.: Изд-во МФТИ,
2002) содержится 1060 задач по механике и 827 задач по термоди¬
намике и молекулярной физике. Во втором томе (Сборник задач
по общему курсу физики в трех частях / Под ред. В.А. Овчинкина.
Ч. 2. Электричество и магнетизм. Оптика. — М.: Физматкнига, 2004)
содержится 715 задач по электричеству и магнетизму и 627 задач по
оптике.
В предлагаемой книге систематизированы и приведены методы
решения задач по электричеству и магнетизму, содержащихся в упо¬
мянутом сборнике. Каждый из 12 тематических разделов начинает¬
ся с краткого изложения основных теоретических результатов.
В отличие от имеющихся различных задачников с решениями
здесь возможно впервые сделан акцент на изложении методов ре¬
шения задач и соответствующей систематизации.
Предполагается, что основными читателями данной книги мо¬
гут стать преподаватели и студенты физических специальностей
университетов и институтов, а также преподаватели школ.
Более 40 лет автор имел возможность общаться с сотрудниками
кафедры общей физики МФТИ и благодарен им за все полезное, что
смог от них почерпнуть, а также благодарен профессору А.Д. Гладу-
ну за поддержку работы, А.В. Гуденко за полезные замечания, сде¬
ланные им после детального ознакомления с рукописью книги. За
помощь в издании книги автор выражает большую благодарность
Д.П. Корявову.
Автор

ВВЕДЕНИЕ
Методы решений новых задач создаются на основе общих сведе¬
ний о рассматриваемых явлениях и известных методах решения по¬
хожих задач.
Затруднения при решении задач следует преодолевать дополни¬
тельными усилиями, чтением учебников, беседой с однокурсника¬
ми, обсуждением на семинарских занятиях с преподавателями. Эта
книга также может быть полезна, если самостоятельные упорные
предварительные попытки найти решение не дают результата. Ав¬
тор старался, чтобы книга не была решебником, а помогала бы ос¬
воить методы решения, проясняла бы трудные вопросы. Если чело¬
век не хочет научиться решать задачи, а стремится лишь к сдаче
тетради с заданием, он найдет, откуда переписать решения, может
быть и неправильные, и сделает это без настоящей пользы для себя.
Автор надеется, что, воспользовавшись этой книгой, даже ленивый
чему-нибудь научится.
В общем курсе физики электричество и магнетизм существенно
отличаются от школьной программы.
Решение задач полезно проводить по следующему плану:
1)	хорошо понять условие задачи, используя рисунки и допол¬
няя их затем по ходу решения;
2)	обдумать условие задачи и возможные пути и варианты ре¬
шений;
3)	используя нужные физические законы, выписать уравнения,
и если они в векторном виде, то выбрать удобную систему коорди¬
нат и записать уравнения в проекциях;
4)	выписать дополнительные условия, которые необходимы для
решения задачи, и написать решение уравнений;
5)	провести анализ результатов решения: по размерности, по
правильности предельных значений полученных зависимостей
(с учетом области применимости решения), по разумности поряд¬
ков вычисленных величин (по грубым оценкам и здравому смыслу).
В данной книге автор не стремился доводить решения конкрет¬
ных задач до численных результатов (за некоторым исключением).
5

Важно было проследить цепочки задач, попытаться их систематизи¬
ровать и провести анализ различных вариантов. В скобках указыва¬
ются номера задач из Сборника задач по общему курсу физики под
ред. В.А. Овчинкина (Ч. 2. — М.: Изд-во МФТИ, 2004), в которых
возможно применение излагаемых методов решения.
Наша цель — показать, как общие физические законы, кото¬
рые будут кратко изложены, позволяют решить большое число
задач.

1.	ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ЗАРЯД
И НАПРЯЖЕННОСТЬ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ.
ДИПОЛЬ. ТЕОРЕМА ГАУССА
При изучении механики был рассмотрен закон всемирного тяго¬
тения (гравитации), определяющий силу взаимодействия между дву¬
мя точечными массами (см. 1, с. 135). Было введено поле тяготения,
напряженность поля, экспериментально получена теорема Гаусса.
Опыты показывают, что между телами могут быть взаимодей¬
ствия, значительно превышающие гравитационные, связанные с
электрическими зарядами тел. Заряды на телах возникают в ре¬
зультате явления, называемого электризацией (разделение зарядов).
В равных количествах появляются положительные и отрицательные
заряды. Между телами с зарядами одинакового знака существует
отталкивание, а между телами с зарядами разных знаков — притя¬
жение. Электрические заряды изменяют свойства пространства,
окружающего заряженное тело, создают электрическое поле, кото¬
рое проявляет себя тем, что действует на заряженные тела. Заряды
являются количественной мерой взаимодействия заряженных тел.
Экспериментально получен закон Кулона для силы взаимодействия
двух неподвижных точечных тел с зарядами qx и q2 в зависимости от
расстояния между ними г.
F =
Я\Я2 £
г2 г
(U)
Здесь векторы обозначены полужирным шрифтом: F — сила, дей¬
ствующая на тело с зарядом q2, г — расстояние от тела с зарядом qx
до тела с зарядом qT Величина (г/г) — единичный вектор в направ¬
лении г, который определяет направление силы F. Такое написание
формулы (1.1) показывает, что величина силы обратно пропорцио¬
нальна квадрату расстояния между заряженными телами малых (то¬
чечных) размеров. В этой формуле отсутствует влияние среды, ок¬
ружающей тела, т. е. предполагается, что заряженные тела находят¬
ся в вакууме. Однако сразу отметим, что влияние воздуха на силы
взаимодействия очень мало и им можно пренебречь.
7

Единицы измерения зарядов можно получить из (1.1). Исполь¬
зуя системы СГС и Гаусса (расстояние в см, сила в динах) находим
единицу заряда (СГСЭ ед. заряда). Исторически практической еди¬
ницей заряда (в системе СИ) стал кулон (1 Кл = 3 ■ 109 СГСЭ ед.
заряда). При этом закон Кулона (в системе СИ) имеет вид
р ^ Я\Ч2 г
Апгйг~ г
(1.2)
Здесь электрическая постоянная (диэлектрическая постоянная ва¬
куума)
107
е0 = —у = 8,85 • КГ12 Ф/м,
4яс4
где с — скорость света; сила измеряется в ньютонах, расстояние — в
метрах; Ф — фарада.
В дальнейшем тексте для основных формул в системе Гаусса
будут приведены их аналоги в системе СИ (в фигурных скобках).
Сравнение электростатических (кулоновских) FK и гравитацион¬
ных FT сил можно сделать для частиц с известными зарядами и мас¬
сами, например протона и электрона (№ 1.1). Из таблиц в соответ¬
ствующих единицах измерения зарядов, масс и постоянной грави¬
тации находим
для протона это 1,24 • 1036, для электрона 4,17 • 1047.
Для проверки зависимости (1.1) Кулон проводил измерения пе¬
риода колебаний шеллаковой (не проводящей зарядов) стрелочки,
на одном конце которой был прикреплен небольшой кружок из зо¬
лотой фольги с зарядом qv подвешенной на неупругой нити за центр
масс, с моментом инерции / относительно оси, проходящей через
центр масс в направлении нити. Колебания происходят из-за того,
что на расстоянии И, которое значительно больше размера стрелоч¬
ки, в плоскости колебаний находится точечный заряд q2 противопо¬
ложного знака относительно qv Найдем зависимость периода коле¬
баний Т от расстояния h (№ 1.18). Считая, что колебания малы и
фактически происходят в постоянном электрическом поле, получа¬
ем уравнение колебаний стрелки
,d2(p
dt2

Отсюда для периода имеем
Т =
2п h
I
^Ч\Ч21
1/2
Заряженное тело меняет свойства окружающего его простран¬
ства — создает электрическое поле. Для неподвижного точечного
тела с зарядом qx из (1.1) получаем для напряженности электростати¬
ческого поля
i = ]е =
d2 г г [ 4ле0г
(1.3)
Такая сила будет действовать на точечное тело с единичным за¬
рядом, называемое пробным заряженным телом. Реальное пробное
тело должно иметь настолько малый заряд, чтобы не возникали су¬
щественные перераспределения зарядов на телах, создающих поле.
Для изображения полей удобно использовать линии, называе¬
мые силовыми, касательными к которым являются векторы напря¬
женности поля. Направление линий совпадает с направлением век¬
тора напряженности поля — от положительного к отрицательному
заряду.
В декартовых координатах силовую линию определяют диффе¬
ренциальные уравнения
dx _ dy _ dz
Тх~Ту~Тг’
(1.4)
где dx, dy и dz — изменения декартовых координат вдоль силовой
линии; Ех, Еуи Ez — декартовы компоненты вектора напряженности
электрического поля.
Для вывода этих соотношений вводим элемент длины вдоль си¬
ловой линии ds = (dx2 + dy2 + dz})'/2. Учитывая, что
dx _ Ех dy _Еу dz _ Ег
ds~~Ё’ ds'lT’
выражаем ds/E и получаем (1.4).
Экспериментально установлено, что для сил взаимодействия за¬
ряженных тел выполняется суперпозиция (геометрическое сложение
сил от разных заряженных тел).
Для примера найдем, какой заряд Q надо поместить в центре
квадрата со стороной а, чтобы нулю была равна сила, действующая
на каждый из зарядов д, находящихся в вершинах квадрата (№ 1.2).
9

/ На рис. 1.1 показаны силы, действующие на один из
q зарядов в вершине квадрата от других зарядов. Из
равенства геометрической суммы нулю получаем
q	Qq _ я2 ^ч2Л. п_л1 + 2V2
wf Ш «2 ' а" 4 '
Здесь уместно напомнить теорему Ирншоу о том, что всякая
равновесная конфигурация покоящихся точечных электрических
зарядов неустойчива, если на них, кроме кулоновских сил притя¬
жения и отталкивания, никакие другие силы не действуют. Убе¬
диться в справедливости теоремы можно, рассматривая изменение
сил при смещении зарядов. Простейший пример устойчивой сис¬
темы: два тела с зарядами одного знака, подвешенные на ниточках
в поле тяжести.
Силы взаимодействия между заряженными телами конечных
размеров и напряженности полей от больших тел можно найти пу¬
тем сложения (интегрирования) сил, действующих от бесконечно
малых элементов тел.
Найдем напряженность поля на оси симметрии диска радиусом R,
заряженного равномерно с поверхностной плотностью а (№ 1.10).
На рис. 1.2 показан диск и выделено колечко радиусом г и шириной dr.
На элементе колечка площадью rdydr, который можно считать точеч¬
ным, находится заряд, равный ardydr, который создает напряжен¬
ность поля на расстоянии h от поверхности диска на оси симметрии
d2E = ard([> -~-i-.
h2 +r2
77
9
q
Рис. 1.1
Рис. 1.3
10

Пользуясь симметрией относительно оси А, интегрируем по углу ср,
учитывая, что сумма составляющих перпендикулярных оси А равна
нулю, а складывать надо только составляющие поля вдоль оси А
dE = 2nardr-
(h 2+r2)3/2'
Интегрируя это выражение по г, получаем
А
Е = 2 па
1 -
(а2 + /?2),/2
(1.5)
Отсюда следует, что в центре диска на его поверхности напря¬
женность поля
Е = 2па; =	(1.6)
Важным примером суперпозиции является сложение полей от
двух равных по величине зарядов противоположных знаков на рас¬
стояниях, значительно превосходящих расстояние между зарядами.
Система зарядов в таком случае называется диполем. Моментом ди¬
поля р называется произведение абсолютной величины зарядов q на
вектор 1 — расстояние от заряда — q до заряда +q. На рис. 1.3 показа¬
ны два заряда на расстоянии 1. Напряженность поля Е, в направле¬
нии р = q\ на расстоянии г
Еу =		^—	(' + I/2)2 - (г - 1/2)2 g 2г/х = 24-
(г-//2)2	(г+ 1/2)2 (г -1/2)2 (г + //2)2	г4 г3
В векторном виде
Ei = 2-у.
Г
(1-7)
Напряженность поля в направлении, перпендикулярном р:
Е, =
В векторном виде
qi
г2 +
т2 (г2+(//2)2 )|/2
_Р_
з *
е2
Р_
*
(1.8)
и

Отметим, что расстояние г отсчитыва¬
лось от середины расстояния /. Но посколь¬
ку г » /, его можно отсчитывать от любой
точки на /. Воспользуемся этим для нахож¬
дения поля по любому направлению. На
рис. 1.4 поле от диполя р ищется в некото¬
ром направлении, заданном вектором г.
Представляем р в виде суммы двух векторов
р, в направлении г и р2 в направлении, пер¬
пендикулярном г. Используя полученные
соотношения (1.7) и (1.8), имеем
Так как
Р = Pi + Р:
и Р| =
получаем
Е = Е, +Е2 =
г	г
Окончательно (№ 1.3)
Е = 3(рг)4-4; |е =
3 (рг) г/г5 -р/г3
4яе„
(1.9)
Найдем уравнение силовых линий точечного диполя в полярной
системе координат (МЬ 1.4). Из полученных ранее соотношений и
приведенных на рис. 1.4 изображений векторов и углов можно по¬
лучить
tgp =
f’ = l“ = ltga
Е\ 7 р1 2
Проекцию элемента силовой линии, направление которого со¬
впадает с направлением вектора Е, на направление, перпендику¬
лярное вектору г, можно записать следующим образом:
rdQ = ^ dr tg 0.
Разделяя переменные и интегрируя, получаем для силовой линии
r—r0 sin2 0,
12

,где r0 — расстояние до силовой линии
|в направлении перпендикуляра к век¬
тору момента диполя (при 0 = я/2).
1	На рис. 1.5 показана система четы¬
рех зарядов (двух положительных +q и
двух отрицательных —q, расположенных
■ вершинах квадрата со стороной а).
Поле такой системы на расстояниях
г» а называется полем квадруполя. Ис-
+я
-Я
1
Е
а
о*

г,
-Я
+я
Рис. 1.5
Пользуя (1.9) и разлагая (l/r23 -1/г3) в ряд Тейлора, получаем для
Напряженности поля в точке А (№ 1.6)
Е =
Л/г3)
dr
(г2-л,) = —Зр4-
где р = qа.
Сила, действующая на заряд q, находящийся в поле диполя р,
определяется (1.9). В частности, на заряд на расстоянии L по на¬
правлению диполя (№ 1.7), используя (1.7),
V - 2qV
f-~F-
Для положительного заряда получаем силу отталкивания, для отри¬
цательного — притяжения. Отметим, что при взаимодействии заря¬
дов сила уменьшается обратно пропорционально квадрату расстоя¬
ния, при взаимодействии заряда с диполем — обратно пропорцио¬
нально кубу расстояния, а при взаимодействии с квадруполем —
обратно пропорционально четвертой степени расстояния.
Поле диполя симметрично относительно его оси. Найдем на¬
правление вектора г (угол 0 с осью диполя), для которого вектор
напряженности поля будет перпендикулярен направлению оси дипо¬
ля. Это условие выполняется, если скалярное произведение Ер = 0.
Получаем
Ep = 3(pr)4-H = 3pV
Отсюда находим

Следовательно, возможны круговые движения с постоянной ско- /
ростью точечного электрического заряда вокруг оси точечного элек
трического диполя на любом расстоянии от него в плоскости, пер-]
пендикулярной его оси (№ 1.8). Знак минус для положительного
заряда, знак плюс для отрицательного.
Найдем силу взаимодействия F двух точечных диполей, если ni
дипольные моменты Pj и р2 направлены вдоль соединяющей их пря
мой, а расстояние между диполями равно L (№ 1.9). Представим
р2 = ql и найдем силу, используя (1.7):
F - 2Р\
Я
(L + lf
(>Р\Рг
L*
(l.ld)
Диполи, направленные в одну и ту же сторону, притягиваются, а
в противоположные — отталкиваются.
В постоянном по величине и направлению электрическом поле
силы, действующие на диполь, представляют пару сил. Они не
вызывают поступательное движение, а только вращение. При
отклонении диполя на угол а от направления поля момент сил (удоб¬
но вычислять относительно положения отрицательного заряда —q)
М — qEl sin а = рЕ sin а. В векторном виде
М = [рЕ].
В изменяющемся по пространству электрическом поле возника¬
ет сила, вызывающая поступательное движение диполя:
г * г дЕ ,	ЭЕ
F = qAE = q — lcosa = р—cosa.
дх	дх
Здесь поле направлено по оси х. Если диполь направлен по полю, то
' = <1Л1>
Из суперпозиции и (1.3) можно получить теорему Гаусса. Пото¬
ком вектора называется скалярное произведение этого вектора на
вектор площадки (единичный вектор нормали на величину площад¬
ки), через которую вектор как бы протекает. Поток через площадки
конечной величины в случае меняющегося по пространству вектора
надо вычислять интегрированием по бесконечно малым площадкам.
Используя выражение (1.3), для потока вектора напряженности
электрического поля от точечной массы с зарядом ql (точечного за¬
ряда) через замкнутую поверхность, получаем
14
i£E*/S = ф EdSE =§q\ —f- = §qxdQ. = An qx,

где dSE — проекция площадки поверхности на направление поля;
аЦ — телесный угол из точечного тела на бесконечно малую пло-
цсу поверхности.
Используя суперпозицию, для произвольного заряженного тела
с Некоторым распределением зарядов получаем теорему Гаусса для
суммы зарядов q внутри замкнутой поверхности:
= 4nq\ j$E</S = -2-l.
(1.12)
Теорема Гаусса может быть использована для вычисления на¬
пряженности поля в тех случаях, когда легко вычислить интеграл.
Например, в случае симметрии поля: сферической, цилиндричес¬
кой или плоской.
В случае сферической симметрии распределения заряда напря¬
женность на одном и том же расстоянии г от центра симметрии
одинакова по абсолютной величине для всех направлений, и для
переменной плотности заряда р получаем
Е (г)4яг2 = 4я|р(г)4яг2*/г,
откуда
Е(г) = -у4я| p(r)r2dr.	(1.13)
г о
Для постоянной плотности имеем линейную зависимость
Е(г) = у яр г.
В векторном виде
Е(г) = уярг; {е(г) = ^-|.	(1.14)
Если плотность отлична от нуля только до некоторого R, то для
г > R из (1.13) следует
Е(г) = ^я/?3р-^- = -у-.	(1.15)
i г г г
Это совпадает с выражением (1.3) для точечной массы. Отсюда
для взаимодействия двух сферически симметричных распределений
зарядов получаем силу взаимодействия такую же, как для точечных
15

/
I
заряженных тел. Логика такая: поле первого заряда такое же, как оtj
точечного, значит, сила взаимодействия та же, что для точечного и
второго зарядов. Но силу со стороны второго заряда на точечной
заряженное тело вычисляем по полю от второго, которое такое же,
как для точечного, равного заряду второго тела.
На рис. 1.6 показано изменение напряженности электрического
поля Е тела радиусом R с постоянной плотностью заряда.
В металлических телах есть электрические заряды, которые могут
свободно перемещаться. Под действием электрических полей в них
может происходить перераспределение зарядов — поляризация. 34-
ряды, помещенные на металлический шарик, располагаются равно¬
мерно (при отсутствии влияния каких-либо других зарядов или по¬
лей) на его поверхности. Внутри металлическою шарика (как и любо¬
го проводящего тела) электрическое поле отсутствует. Если вокруг такого
металлического шарика (радиусом /?,), имеющего заряд Q, концентри¬
чески расположить незаряженную металлическую оболочку конеч¬
ной толщины (внутренний радиус R2, наружный R3), то поле будет
меняться так, как показано на рис. 1.7. Напряженность поля падает
обратно пропорционально квадрату расстояния от центра шарика.
Внутри металлической оболочки поле отсутствует. На поверхностях
оболочки появляются заряды, по абсолютной величине равные заря¬
ду шарика (на внешней с тем же знаком, а на внутренней с противо¬
положным). Зависимость напряженности от расстояния за оболоч¬
кой продолжает ту же зависимость, которая была перед ней.
Поле вокруг равномерно заряженной сферической поверхности
(с поверхностной плотностью заряда а) определяется (1.15). На внеш¬
ней стороне поверхности Е = 4па, на внутренней — поле равно
нулю. Найдем поле Ех, которое будет в центре небольшого отвер¬
стия, вырезанного в этой поверхности (№ 1.12). Воспользуемся прин¬
ципом суперпозиции: сумма Ех и поля в центре площадки, которую
затем удаляют, определяемая (1.6), должна давать соответствующие
поля на заряженной сферической поверхности (внутри и снаружи).
Следовательно, Ех = 2ла и направлено от центра сферы.
S
II
Е= 0
И=°г-—
R\ R2 Rj г
Рис. 1.7
16

\ Поле вокруг цилиндрического тела с погон¬
ной плотностью заряда qL из (1.12) получаем
Е = 2^;
Е =
_
2пе0г
(Мб)
Найдем напряженность поля от двух беско¬
нечно длинных параллельных проводов, рассто¬
яние между которыми /, с линейной плотнос-
тыр зарядов +qL и —qL, на расстоянии А от плос¬
кости, в которой лежат провода, в точке,
лежащей в плоскости симметрии (№ 1.14). На
рис. 1.8 показано расположение проводов в плоскости, перпендику¬
лярной плоскости симметрии. Используя (1.16), получаем
Е = 8
4l1
/2 + 4 А2 '
Поле от плоскости с плотностью заряда на поверхности о
Е = 2па; \е = —\
1	2е0/
(1-17)
Отметим, что поле не меняется с расстоянием от поверхности и
совпадает с результатом для точки в центре диска (1.6) и для диска
при
Для проводящей (например, металлической) пластинки, на ко¬
торой плотность заряда а (по а/2 на каждой поверхности), поля с
каждой стороны определяются (1.17) (внутри направлены в проти¬
воположные стороны и дают нуль). Изменение поля (с учетом зна¬
ка) при переходе через пластинку
Д Е = 4 па;
(1.18)
Такое же изменение (скачок) нормальной компоненты поля бу¬
дет при переходе через любую заряженную поверхность.
Электрическое поле вблизи поверхности Земли (на площадке,
характерный размер которой значительно меньше радиуса Земли)
можно считать плоским. Поэтому при известном изменении напря¬
женности поля ДЕ с изменением высоты А для средней плотности
заряда в атмосфере р из теоремы Гаусса (1.12) получаем (№ 1.20)
17

При АЕ= 75 В/м и А = 1500 м получаем р = 1,33 • 10 ~9 ед. СГСЭ.
Измерения показали, что земное электрическое поле меняется вб
времени. Кроме регулярных (суточных и годичных) существуют и
нерегулярные изменения. В среднем напряженность электрическо¬
го поля у поверхности Земли равна 130 В/м. Заряд Земли отрица¬
тельный и равен 6 • 105 Кл. Так как электрическое поле направлено
к поверхности Земли, отрицательные заряды будут двигаться вверк,
и в атмосфере появится положительный заряд (р > 0).
Рассмотрим две бесконечные плоскопараллельные металличес¬
кие пластинки, помещенные в вакууме параллельно друг другу и
имеющие одна на единицу площади полный заряд (т. е. сумма заря¬
дов на обеих поверхностях пластинки) qv а другая — q2 (№ 1.13). На
рис. 1.9 показаны пластинки и соответствующие параметры (Е —
напряженности поля, а — плотности зарядов на поверхностях). Скла¬
дывая поля от плоских зарядов, которые определяются (1.17), с уче¬
том их направлений внутри металлических пластин, где они долж¬
ны быть равны нулю, получаем
2п(а[ - а, -а2 -о'2) = 0;	2я(а[ + а, +а2 -а2) = 0.
Складывая и вычитая эти соотношения, находим
а[ = а2; а, =-а2.
По условию
= о; + <т,;	q2=a2+a2.
Отсюда
о, = -а, =
4i ~Яг.
а, = а, =
Я\+Я2
Используя эти результаты и теорему Гаусса (1.12), получаем из
потоков через поверхности 1 и 2
Рис. 1.9
Е = 4по{ =2n(q{ -q2);
Е[ - Е[ = 4tio[ = 2п(qt + q2)-
Конструкция из двух проводящих
пластин, на которых можно помес¬
тить заряды, называется плоским кон¬
денсатором.
18
S

\ Воспользуемся теоремой Гаусса (1.12) для нахождения напря¬
женности поля внутри и вне плоского слоя толщиной / с равномер¬
ным распределением положительных зарядов с объемной плот¬
ностью р (№ 1.15). На рис. 1.10 в плоскости, перпендикулярной
слою, показаны поверхности, через которые вычисляются потоки
вектора напряженности. Так как вектор напряженности имеет со¬
ставляющую только в направлении оси х и существует симметрия
относительно средней плоскости (х = 0), получаем для потоков
через поверхность с единичной площадью: для поверхности 1 име¬
ем 2Е = 4яр2х, для поверхности 2 — 2Е{ = 4яр/. Откуда находим
линейное возрастание напряженности внутри слоя Е = 4ярх и
постоянную напряженность поля вне Ei = 2яр/.
Теорема Гаусса является интегральным соотношением. В не¬
которых случаях удобнее иметь дифференциальные соотношения.
Для этого надо рассмотреть бесконечно малый объем. На рис. 1.11
в декартовых координатах показан бесконечно малый объем dxdydz.
Чтобы не загромождать рисунок, поток вектора напряженности
поля Е показан только вдоль одной координаты х (проекция векто¬
ра на эту ось Ех). По другим координатам потоки подсчитываются
аналогичным образом. Обозначая плотность заряда р, из (1.12)
получаем
/
Е Г-
"л...
Рис. 1.10
^E</S = 4я<7 =
^4- dxdydz + -!г- dydxdz + Щ^-dzdxdy =
Эх	Эу	oz
= div Е dxdydz = 4яр dxdydz.
дЕх
~дГ
dx
2
19

Здесь введено обозначение div, называемое дивергенцией (расходи¬
мостью) вектора Е,	)
divE = lim
дк-»о\ ДГ I
Таким образом, теорема Гаусса в дифференциальном виде
divE = 4np; |divE = —|.	(1-19)
В декартовых координатах, как это получено ранее,
.. „ ЬЕХ ЬЕу	дEz
div Е =	+ -rr~ + -тг-
Эх Эу	д z
(1.20)
В случае цилиндрической симметрии относительно оси z, изоб¬
раженном на рис. 1.12, получаем
divE
(Ег + ЪЕГ/dr dr) (г + dr) d(р dz - Err dip dz
r dip dr dz
Щ . Er 1 ЗЦ)
(1.21)
dr Г Г dr
В случае сферической симметрии
divE =
(Er + Э£г/Эг Jr) 4я (г + dr)2 - Er4nr2
4nr2dr
Щ	Er	1 Э (r2Er)
dr	г	г2 Эг
(1.22)
При равномерном распределении заряда (плотность р) в беско¬
нечной плоской пластине толщиной 2h напряженность поля можно
вычислить, пользуясь теоремой Гаусса в диф¬
ференциальном виде (№ 1.19). Из (1.19) и
(1.20)	внутри пластины
4Д = 4яр и Е = 4лрх + С.
dx
Постоянная интегрирования С определя¬
ется из условия симметрии задачи: при х = 0
напряженность поля равна нулю и, следова¬
тельно, С = 0. Вне пластины заряда нет
20

(р = 0) и из тех же соотношений напряженность поля постоянна. Ее
значение определяется условием на границе пластины, где Е = 4ярй.
Для равномерно заряженного шара из интегральной формулы Га¬
усса (1.12) была найдена напряженность поля (1.14). Можно также
воспользоваться теоремой Гаусса в дифференциальном виде (№ 1.19).
Из (1.19) и (1.22) получаем
Постоянная интегрирования С внутри шара равна нулю, так как
напряженность поля в центре шара конечна, как это ясно из физи¬
ческих соображений.
Вне шара заряда нет. Поэтому Е— С/г2. Постоянная интегриро¬
вания С определяется по значению поля на границе шара.
Найдем, как должна меняться плотность заряда по радиусу, что¬
бы напряженность поля была направлена по радиусу и имела посто¬
янную величину Е0 (№ 1.21). Из (1.19) и (1.22)
Если внутри равномерно заряженного шара имеется сферичес¬
кая полость, в которой заряд отсутствует, то поле внутри такой по¬
лости можно найти из суперпозиции решений для равномерно за¬
ряженного шара и противоположно заряженного с той же плотнос¬
тью шарика, наложенного на полость. Используя (1.14), для поля в
точке А (рис. 1.13) находим (№ 1.22)
Рассмотрим суперпозицию полей напряженности от двух одно¬
родных шаровых зарядов противоположных знаков и одинаковой
плотности, центры которых смещены на расстояние а (рис. 1.14).
гг 4	С
Е = -прг +—.
5	Г
(1.23)
а
Рис. 1.13
Рис. 1.14
21

Для каждого из шаров поле определяется (1.14). В области их пере¬
сечения (в некоторой точке А) для напряженности поля имеем
Е0 = Е, + Е2 = улр(г, -r2) = -у яра.	(1.24)
Таким образом, в области пересечения, где суммарная плотность
заряда равна нулю, поле постоянно и направлено противоположно
вектору а (из центра отрицательно заряженного шара к центру по¬
ложительно заряженного шара). Если расстояние между центрами
шаров мало по сравнению с их радиусами (а «: R), то некомпенси¬
рованные заряды распределены фактически по поверхности сферы.
Так как поверхности шаров в направлении вектора а сдвинуты на а,
то расстояние между ними по направлению 0 равно a cos 0. Плот¬
ность заряда на единицу поверхности
а = pa cos 0.
Отметим, что при стремлении а к нулю произведение яр должно
оставаться конечным. Выражая ра из (1.24), находим, что для полу¬
чения внутри сферической поверхности поля Е0 распределение плот¬
ности заряда на ней должно быть (№ 1.23)
3 F
a = -^-cos0; {о = Зе0.£0 cos©}.	(1-25)
Поле вне однородно заряженного шара определяется суммар¬
ным зарядом
Q = jnR3 р.
Два противоположно заряженных шара на расстояниях, зна¬
чительно превосходящих расстояние между их центрами, создают
поле в области пересечения, соответствующее диполю с моментом
р = ()а. Из (1.24) находим р = —R3Е0. Постоянное поле внутри
шара согласуется с полем диполя при г = R с учетом скачка поля,
связанного с зарядом (1.18).
На границе проводящего тела напряженность электростатическо¬
го поля может быть направлена только по нормали к границе. В про¬
тивном случае возникает движение и перераспределение зарядов.
На границе проводящего шара (радиусом К), находящегося в по¬
стоянном электрическом поле Е0, вектор напряженности поля Ес
направлен по нормали к границе (поверхности), т. е. касательная
компонента равна нулю. Попробуем удовлетворить это условие с по¬
мощью диполя р, помещенного в центре шара. Обозначая напряжен-
22

ность поля от диполя Ед, получаем, что суммарное поле Ес = Е0 + Ед
при г = R должно иметь только радиальную компоненту. Векторное
произведение этого поля на R должно быть равно нулю. Это позво¬
лит найти величину р. Учитывая, что в выражении (1.9) остается
только второй член, имеем
[М] - [«.«I - [•£«] - [(*. -•$■)*]- »•
Откуда
р = Л3Е0; {р = 4яе0Л3Е0}.	(1.26)
Распределение зарядов по поверхности проводящего шара, по¬
мещенного в постоянное поле с напряженностью Е0, определяется
(1.24) и (1.25), так как в проводнике поле внутри должно быть равно
нулю, т. е. распределение зарядов должно создать напряженность
постоянную и противоположную напряженности внешнего поля Е0.
Напряженность поля вне проводящего шара определяется суммой
напряженности внешнего поля Е0, в которое он помещен, и напря¬
женности поля диполя, возникающего на шаре благодаря поляриза¬
ции, р = R%.
Поле вне шара
Е = Е0+ЗЛ3(Е0г)4-/г3^.	(1.27)
г	г
Напряженность поля на поверхности шара
E(R) = 3£’ocos0^.	(1.28)
К
Видно, что на поверхности проводящего шара напряженность поля
всегда нормальна к поверхности и на оси симметрии (0 = 0 и 0 = я)
равна 3Eq, а при 0 = п/2 равна нулю (№ 1.26). Направление, при кото¬
ром напряженность поля по абсолютной величине равна Е0 (№ 1.25),
определяется cos0 = ±1/3, а 2Е0 — соответственно cos0 = ±2/3.
Найдем точки пространства, в которых поле равно 2Е0 (№ 1.27).
Из (1.27)
Е0=ЗЛ3(Е0г)4-Л3^-.
г	г
Поэтому
E0[l+^-] = 3R3(E0r)-L.
23

Отсюда направление г, для которого это условие выполняет¬
ся, совпадает с направлением Е0. Проведя вычисления, находим
r= R( 2)‘/3.
Аналогичным образом найдем точки, в которых поле равно Е/3
(№ 1.27). Получаем
= ЗЛ3(Е0г)4.
Если предположить, что г направлено по Е0, то получаем r= —R(2)1/3.
Так как в случае сферической симметрии г не может быть отрица¬
тельным, для удовлетворения уравнения используем Е0г = 0. В этом
случае г = R(3/2)1/3. Следовательно, искомая напряженность поля
будет на окружности с радиусом г = R(3/2)1/3 в плоскости, перпен¬
дикулярной вектору Е0, проходящей через центр шара.
Найдем величину и направление силы взаимодействия между
двумя незаряженными проводящими сферами радиусом R, помещен¬
ными в однородное электрическое поле Е0, направленное параллель¬
но линии, соединяющей центры сфер, расстояние между которыми
г» R (№ 1.29). Действие поля на проводящий шар, как получено
ранее, приводит к поляризации — возникновению дипольного мо¬
мента р = Л3Е0. Постоянное по величине и направлению поле на
диполи не действует. Одинаково направленные диполи, как показа¬
но ранее (1.10), притягиваются с силой, которую можно также най¬
ти через градиент поля диполя (1.11)
Р = р^ = -б4 = -6Е^.	(1.29)
Для сфер, находящихся в поле, перпендикулярном к линии, со¬
единяющей их центры (№ 1.30), как следует из (1.8) и (1.11), проис¬
ходит отталкивание с силой
„ ЪЕ -Рг ,r2 R
(1-30)
Поле внутри равномерно заряженного (с объемной плотностью р)
бесконечного цилиндра находим с помощью (1.12)
Е = 2ярг;
Е = Щ
2е0 J
(1.31)
Это линейная зависимость, как и (1.14), но с другим коэффици¬
ентом. Для двух параллельных цилиндров с зарядами противопо-
24

ложных знаков в области перекрытия зарядов получаем постоянную
напряженность поля
Е0 = Ej + Е2 = 27ip(r1 - г2) = -2тгра,	(1.32)
где а — расстояние между осями симметрии цилиндров. Используя
рис. 1.14, можем найти необходимое распределение плотности за¬
ряда по поверхности цилиндра, чтобы получить постоянную напря¬
женность поля Е0 внутри цилиндра
о = pacos0 = -^-cos©; {а = pacos0 = 2е0£'0 cos©}. (1.33)
Если бесконечно длинный проводящий цилиндр помещен в по¬
стоянное электрическое поле, перпендикулярное оси цилиндра, с
напряженностью Е, то для отсутствия поля в проводящем цилиндре
на его поверхности должно быть распределение (1.33) (№ 1.24).
Отметим, что поле на поверхности цилиндра в плоскости симмет¬
рии (0 = 0) увеличивается до 2Е, а при 0 = п/2 равно нулю. Силовые
линии подходят по нормали к поверхности цилиндра.
По аналогии с диполем можно рассмотреть систему двух разно¬
именно заряженных (с одинаковым абсолютным значением заряда
на единицу длины) бесконечных прямолинейных нитей, находящихся
на очень близком расстоянии. В соответствии с (1.12) и (1.16), обо¬
значая заряд на единицу длины нити %, имеем для напряженности
поля Е = 2%/г. Если нити находятся на расстоянии /, то можно вве¬
сти вектор р = %1> направленный от отрицательно заряженной к
положительно заряженной нити и являющийся аналогом дипольно¬
го момента. Используя рис. 1.3 вместо (1.7), получаем
Е[ = 2-у.	(1.34)
г
Вместо (1.8)
Е2 = -24_	(1.35)
Г
Используя рис. 1.4, для произвольного угла 0 находим поле «плос¬
кого» диполя
Е = 4(рг)-^--2-у.	(1.36)
г г
Если в безграничном плоском слое толщиной 2Л объемная плот¬
ность заряда р изменяется по закону р = р^/А (—А <, х< h), где х —
25

р(*)
-h
h
x
ось, перпендикулярная плоскости слоя
(рис. 1.15), то напряженность поля внутри
слоя можно найти, воспользовавшись
(1.19)	и (1.20):
Е1
1
V
У '
Ет
X,
Л
! h
+Я
h
4н
Рис,
11'
. 1.15
Разделяя переменные и интегрируя, на¬
ходим
Е (х) = 2лр0	+ С.
п
Постоянная С определяется из условия,
что вне слоя, как это следует из сложения
полей от всех элементов слоев (от поло¬
жительных зарядов — в положительном
направлении, от отрицательных зарядов —
в отрицательном направлении), поле рав¬
но нулю. Таким образом,
V2 _ и1
Е(х) = 2тср0—-—.
п
Поле внутри слоя направлено противоположно оси х (см. рис. 1.15).
Если внутри слоя имеется тонкий канал вдоль оси х, то на диполь,
помещенный внутри канала в точке х = 0 и направленный по полю,
будет действовать при его смещении на х возвращающая сила. Най¬
дем период малых колебаний диполя массой т (№ 1.16). Для дипо¬
ля с дипольным моментом р — ql при смещении его середины на х < I
получаем возвращающую силу
F = ц2%Ц-
h
М-4
= -4яр0ql-
Для получения периода колебаний диполя можно было возвра¬
щающую силу находить с помощью (1.11), (1.19) и (1.20)
F =	= р4пр = р4пр0 j.
Отметим еще раз, что при получающемся поле для существова¬
ния колебаний диполь должен быть направлен в сторону отрица¬
тельных иксов.
26

Из уравнения колебаний
md2x
~dF
находим период колебаний
Т =
Ро Р)
Для объяснения электромагнитного излучения из атомов Том¬
соном была предложена модель атома: в положительном заряде, рас¬
пределенном в объеме атома (радиусом R), находится отрицатель¬
ная частица — электрон. Найдем распределение плотности положи¬
тельного заряда в случае сферической симметрии для обеспечения
гармонических колебаний электронов в поле положительного заряда
(№ 1.17). Обозначая массу электрона m и заряд е, для гармоничес¬
ких колебаний по радиусу атома имеем
md2r
Л2
Частота колебаний
Возвращающая сила
= -кг.
со
кг = еЕ(г).	(1.37)
Распределение заряда определяем из (1.19) и (1.22) и приведен¬
ной зависимости, обеспечивающей гармонические колебания (1.37),
л ЭЕ ~ Е
4 яр = —+ 2— = 3—.
Э г	г е
Из нейтральности атома следует
R	я3	2
е - \4npr2dr = к— и к = —у.
о	е	R
Таким образом, плотность зарядов должна быть постоянной и
равной

2.	ПОТЕНЦИАЛ.
МЕТОД ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ИЗОБРАЖЕНИЙ
При изучении механики были введены понятия «работа» и «по¬
тенциальная энергия». Работа — это скалярное произведение силы
на перемещение (работу совершает только сила, направленная по
перемещению)
dA = F</I = Fd\ cos 0 = Fdr,	(2.1)
где dr — проекция перемещения d 1 на направление силы F. Куло¬
новские силы, так же как и гравитационные, зависят только от ко¬
ординат. Работа в поле сил (2.1) связана с перемещением точечного
заряда q2 в поле неподвижного точечного заряда q{ из точки 1 в
точку 2, которые определяются расстояниями г{ и г2 от заряда qv
Ап = / Ш j = Ы2 ^	'Щ).	(2.2)
Силы, зависящие только от координат, называются консерва¬
тивными, или потенциальными. Работа не зависит от формы пути,
и по замкнутому контуру она равна нулю. Величина W называется
потенциальной энергией. Для малых перемещений
dA = -dW.	(2.3)
Рассмотрим две одинаковые и одинаково заряженные капди не¬
сжимаемой проводящей жидкости, находящиеся на большом (бес¬
конечном) расстоянии друг от друга. Заряд, радиус и масса каждой
капли равны соответственно q, г и т. Найдем, какую минимальную
скорость У0 вдоль прямой, соединяющей их центры, надо сообщить
каждой капле, чтобы они стали двигаться навстречу друг другу и
при столкновении соединились в одну, не учитывая поверхностное
натяжение и колебания формы (№ 2.1). Когда капли соприкоснут¬
ся, их потенциальная энергия достигнет величины
28

При слиянии их потенциальная энергия становится равной
W2 =
м
/1 ’
где радиус г, определяется из условия несжимаемости жидкости,
т. е. сохранения объема г,3 = 2г3. Увеличение потенциальной энер¬
гии происходит за счет имевшейся при соприкосновении капель
кинетической энергии
В результате
W2-W{ =
2т V?
2	'
2	2	1	2	’ тг
Отсюда находим К0.
Для характеристики поля электрического заряда, кроме введен¬
ной ранее напряженности поля (1.3), вводится потенциал. Это рабо¬
та, которую совершает поле при удалении из данной точки на бес¬
конечно большое расстояние единичного точечного (пробного) за¬
ряда. Из (2.2) находим изменение потенциала с расстоянием от
точечного заряда q
*W-7: {ф(г) = 4тЫ'	<2'4)
Потенциал электрического поля можно определить и как работу
внешней силы (противоположной кулоновской) по перемещению
единичного пробного заряда из бесконечности, где поле отсутству¬
ет, в данную точку поля.
Из суперпозиции полей следует сложение потенциалов в точке
на расстояниях г, от точечных зарядов q.\
Ф-S4-.	(2.5)
/=1 Г\
Связь потенциала с напряженностью поля находим из (2.1)
Aр = -Edl	(2.6)
и, следовательно,
2 2
ф] - ф2 = j Edl = J Eydl.
i	i
29

В соответствии с (2.4) и потенциальностью поля получаем для
замкнутой траектории в электростатике
Таким образом, циркуляция вектора напряженности в статичес¬
ком электрическом поле равна нулю.
Приведем пример, когда возникающая разность потенциалов не
успевает выровняться. Оценим разность потенциалов U между го¬
ловной и хвостовой частями стального керна бронебойного снаря¬
да, возникающую вследствие его торможения в преграде. Считаем,
что керн длиной L = 25 см потерял скорость v = 1000 м/с, пробив
броню толщиной Н= 5 см (№ 2.8). Обозначая замедление скорости
при торможении а, массу электрона т и заряд его е, для силы инер¬
ции, действующей на электрон, получаем F = та. Это приводит к
возникновению электрического поля Е = та/е и разности потенци¬
алов на концах керна U = EL = maL/e. Предполагая, что вся кине¬
тическая энергия снаряда тратится на работу на пути, равном тол¬
щине брони, получаем
Подставляя это в выражение для разности потенциалов, имеем
Из (2.6) следует связь между напряженностью поля и потенциа¬
лом в дифференциальном виде
Здесь производная от скаляра берется по направлению 1 и называет¬
ся градиентом. В декартовых координатах вектор напряженности поля
можно представить
Обозначение V называется оператором градиента, или набла.
Поверхность, на которой потенциал постоянен, называется поверх¬
ностью уровня, или эквипотенциальной поверхностью. Линии, пер¬
пендикулярные к этим поверхностям, называются линиями градиен¬
та и совпадают с силовыми линиями. Вдоль них происходит наи¬
большее изменение <р.
(2.7)
(2.8)
30

В цилиндрических координатах (на рис. 2.1 z
Р, V и z)
Здесь введены единичные векторы (орты) по
осям координат.
В сферических координатах (на рис. 2.1
г, ф и 0)
(2.Ю)
Рис. 2.1
X
Здесь также введены единичные векторы (орты) по осям координат.
Используя (1.19) и (1.20), получаем
Это уравнение называется уравнением Пуассона, а обозначение Д
называется оператором Лапласа. С помощью этого уравнения мож¬
но найти распределение потенциала и напряженности поля при за¬
данном распределении зарядов. В проводниках потенциал постоя¬
нен, а вне проводника, где нет зарядов, определяется граничными
условиями и уравнением Лапласа Дф = 0.
В цилиндрических координатах (см. рис. 2.1), используя выра¬
жение для оператора Лапласа, получаем уравнение Пуассона
Здесь для плотности зарядов использовано обозначение р , чтобы
отличить от радиуса полярных координат р.
В сферических координатах (см. рис. 2.1) соответственно имеем:
,.	. Э2ф Э2® Э2ф _2	.
div grad ф = тт + ТТ + ТТ = 7Ф = дФ
Эх ду dz
и соответственно
Дф = -4яр;
(2.11)
(2.12)
ДФ = ТТ + 7
д2Ф t 2 Эф |	1 Э2ф |
Эг2	г Эг	г2 sin2 0 Э\|/2
31

Найдем для цилиндрического (диаметром D) пучка частиц (это
может быть дейтрон, у которого заряд равен заряду протона, а масса
на нейтрон больше) с кинетической энергией W и силой тока в
пучке / (с равномерной плотностью по сечению пучка j) напряжен¬
ность электрического поля Е на поверхности и разность потенциа¬
лов U между его границей и осью симметрии (№ 2.9). Вводя плот¬
ность зарядов р, получаем для плотности тока
./	4/
7=рК=^’
где
Из теоремы Гаусса (1.12) находим напряженность электрического
поля внутри пучка Е2пг = 4яряг2 и, следовательно, Е(г) = 2ярг для
г < D/2. На поверхности пучка
Для разности потенциалов имеем
0/2
и = f 2nprdr = nD2^ = i-.
о	4 У
Внутри металлических (и вообще проводящих) тел электроста¬
тическое поле равно нулю и потенциал постоянен. Потенциал ме¬
таллического заряженного шарика радиусом R можно вычислить в
его центре, используя (2.5). При г > R потенциал описывается (2.4).
Если заряд равен q, то потенциал в центре — ср = q/R.
Рассмотрим систему из трех одинаковых металлических шари¬
ков радиусом г, расстояния между которыми одинаковы и равны а
(очевидно, что они находятся в вершинах равностороннего треу¬
гольника), и удаленный заряженный проводник, потенциал кото¬
рого неизвестен (<р), но поддерживается постоянным. Поочередно
шарики соединяются проводом с удаленным проводником. Найдем
заряд на шарике, который присоединялся последним (</3), если на
двух присоединявшихся ранее оказались заряды q] и q2 (№ 2.46).
Для первого шарика после присоединения к удаленному заряжен¬
ному проводнику имеем ср = qx/r. Для второго шарика полный по¬
тенциал ср складывается из потенциала от полученного в результа-
32

г а *
Для третьего шарика
те подсоединения собственного заряда q, и на¬
веденного от первого заряда
г а а
Из этих трех уравнений находим
-д 1 +д
Рис. 2.2
Найдем потенциал диполя с дипольным моментом р = qI. Ис¬
пользуя рис. 2.2 и суперпозицию (2.5), имеем
Воспользуемся этой формулой, чтобы найти, на какое макси¬
мальное расстояние L удалится эквипотенциальная поверхность от
плоского заряженного конденсатора (расстояние между пластинами А,
площадь пластин S), если внутри конденсатора она проходит на
расстоянии 599А/1200 от одной из пластин (№ 2.52). Обозначая раз¬
ность потенциалов между пластинами ср0 и учитывая, что потенциал
равен нулю на половине расстояния между пластинами, находим
для данной эквипотенциальной поверхности
Поле вдали от конденсатора будет соответствовать полю диполя,
заряд которого равен заряду пластин, а расстояние между зарядами —
расстоянию между пластинами
/j - r2 _ <7/ cos 0 _ />cos0 _ рг .
(2.14)
1200*
Используя (2.14), получаем
з-
33

По известному распределению напря¬
женности поля с помощью (2.6) можно
найти распределение потенциала.
При равномерном распределении за¬
ряда внутри шара радиусом R изменение
напряженности поля показано на рис. 1.6.
При r> R поле описывается (1.3), и с
помощью (2.6) получаем (2.4). Внутри
шара поле описывается (1.14). Интегрируя, с учетом полученного
потенциала на поверхности шара, имеем
Ф = ^пр(3 R2-r2).	(2.15)
На рис. 2.3 показано распределение потенциала.
Для заряженного металлического шара, окруженного концент¬
рической металлической незаряженной оболочкой, распределение
напряженности поля показано на рис. 1.7. На рис. 2.4 приведено
распределение потенциала (№ 2.3), полученное с помощью (2.6).
Потенциал оболочки равен
ф,
^q/R
q/R
О	R	г
Рис. 2.3
Потенциал шара
В случае заземленной оболочки (потенциал ее равен нулю) рас¬
пределение потенциала показано на рис. 2.4 пунктиром. В этом слу¬
чае потенциал шара
Фз =Q
^2 s
Рис. 2.4
34

В металлической оболочке любой формы в электростатике все¬
гда поле равно нулю, и внешнее и внутреннее поля независимы.
Внутреннее поле не будет меняться, если снаружи подносить заря¬
женный проводник. Это называется электростатической экраниров¬
кой. Перемещение зарядов внутри металлической оболочки будет
изменять поле внутри, но не будет изменять снаружи (№ 2.2).
Заряд на сферической металлической оболочке располагается на
внешней поверхности. Внутри поверхности поля нет. Потенциал <р
поверхности и всей оболочки определяется зарядом Q и внешним
радиусом R:
Если незаряженный металлический шарик радиусом г, располо¬
женный достаточно далеко, чтобы можно было не рассматривать
индукционные явления (перераспределение зарядов), соединить
металлическим проводом с заряженной оболочкой (рис. 2.5), то
происходит перемещение зарядов и выравнивание потенциалов шари¬
ка и оболочки. Движение зарядов происходит благодаря разности
потенциалов даже в случае, если проводник через малое отверстие
присоединяется к внутренней поверхности оболочки, где зарядов нет.
После перемещения зарядов на шарике появляется заряд q, а на обо¬
лочке остается (Q — q). Заряд q находится из равенства потенциалов
£ =
г R '
Поле от двух зарядов qvi—q можно вычислить, используя (1.3) и
(2.4). На рис. 2.6 показаны эти заряды, находящиеся на оси х сим¬
метрично относительно оси у на расстоянии друг от друга 2А. Кар¬
тина поля симметрична относительно оси х. Из (2.4) следует, что на

плоскости, проходящей через ось у и перпендикулярной оси х, по¬
тенциал равен нулю. Из (1.4) следует, что в плоскости нулевого по¬
тенциала напряженность поля перпендикулярна этой плоскости.
Вводя угол 0 из условия cos0 = h/r2, получаем изменение напряжен¬
ности поля вдоль оси у (линии нулевого потенциала)
E = 2q^p-.	(2.16)
А
Уравнения, описывающие положение силовых линий, можно
находить, используя дифференциальные связи. В декартовых коор¬
динатах они имеют вид (1.4)
dx
~ЁХ
dy dz
(2.17)
где dx, dy и dz — изменения декартовых координат вдоль силовой
линии; Ех, Е и Ег — декартовы компоненты вектора напряженности
электрического поля. Решение этих уравнений громоздкая проце¬
дура. Качественно ход силовых линий можно получить, зная, на¬
пример, в данном случае, что из точки линии выходят симметрично
во все стороны, а на линии нулевого потенциала параллельны оси х.
Пунктиром, для примера, показаны на рис. 2.6 две силовые линии
поля.
Важным следствием полученной картины поля является то, что
при расположении заряда на расстоянии А от проводящей беско¬
нечной плоскости в области положительных значений х возникает
такая же картина, как для двух зарядов. Если поля одинаковы, то и
воздействие проводящей поверхности на заряд q будет таким же,
как воздействие от заряда — q, помещенного симметрично относи¬
тельно границы проводящей плоскости. Поэтому для нахождения
картины поля и сил взаимодействия можно заменить проводящую
плоскость зарвдом-изображением «—q», расположенным симметрич¬
но заряду q относительно положения проводящей плоскости. Метод,
использующий такую замену, называется методом электрических изоб¬
ражений. Сила притяжения заряда к бесконечной проводящей плос¬
кости равна
F =
F =
4л£п (2 hr
(2.18)
Если между зарядами Qx и Q2 было расстояние R и между ними
посередине вставили перпендикулярно линии их соединяющей
36

бесконечную металлическую пластину толщиной R/2, то силы,
притягивающие каждый из этих зарядов, определяются по (2.18),
где А = R/4 (№ 2.12).
Для примера найдем напряженность поля в точке А (рис. 2.7),
если заряд Я находится на расстоянии А от проводящей бесконечной
плоскости (№ 2.10). Из (1.3)
из соответствующего треугольника
Величину напряженности определяем по теореме косинусов
Получаем
Наклон к горизонтали вектора Е (угол Р) находим также из тео¬
ремы косинусов.
На рис. 2.8 показаны два одинаковых шарика массой т с заряда¬
ми Q, подвешенных на одинаковых нитях над горизонтальной ме¬
таллической заземленной плитой на высоте А и соединенных ни¬
тью длиной /. Найдем натяжение нитей, если радиусы шариков
Е1 = Е\ + Е\ - 2ЕхЕ2 cos0.
h
F,
F,
h
Рис. 2.7
Рис. 2.8
37

малы по сравнению с И и /, которые значительно меньше размеров
плиты (№ 2.13). Для получения нулевого потенциала на плите нуж¬
но ввести два симметрично расположенных отрицательных заряда
(— Q), как показано на рис. 2.8. Складывая силы, действующие на
заряженные шарики, получаем для натяжения горизонтальной нити
Fr = Fy - F3 cos 0, вертикальной FB = mg + F2 + F3 sin 0. Здесь угол 0
определяется соотношением
^3 =
Q2
I2 + 4h2 '
Распределение плотности отрицательного заряда, наводимого на
проводящей плоскости зарядом q, находящемся на расстоянии А от
нее, определяется теоремой Гаусса Е = 4ло и (2.16) (№ 2.11)
а =
-Я
cos3 0
2лА2 ‘
(2.19)
Угол 0 показан на рис. 2.6.
Интегрируя по всей плоскости, получаем, что полный индуци¬
рованный заряд равен — q. Плотность индуцированного заряда на
оси симметрии (0 = 0) равна
а
я
2лИ2
Если известно, что одна из силовых линий, идущая от точечного
заряда q, находящегося на высоте А над бесконечной металлической
пластиной (потенциал равен нулю), приходит на поверхность плас¬
тины на расстоянии L = а73 от точки, над которой находится заряд,
то можно определить, под каким углом к горизонту эта силовая
линия выходит из заряда (№ 2.50). Чтобы вос¬
пользоваться теоремой Гаусса для потоков векто¬
ра напряженности поля, выберем поверхности,
через которые удобно вычислять поток. Сечения
этих поверхностей показаны на рис. 2.9. Через
поверхность, образованную силовыми линиями,
потока нет. Поле у поверхности пластины нахо¬
дим методом изображений
Е =
2qh
(х2 +
И2)
3/2
и вы-
Рис. 2.9
числяем соответствующий поток. Поток через
часть сферической поверхности у заряда опреде-
38

ляется~величиной заряда (q) и соответствующим телесным углом (£2).
Таким образом, используя теорему Гаусса (1.12), получаем
hS
-q£l + 2qh J
J / 2 ,2\У2 °‘
о (jr + h1)
2nxdx
Отсюда находим Q = 2n, т. e. силовые линии от заряда идут
горизонтально.
Рассмотрим похожую ситуацию для цилиндрического случая.
Длинный тонкий провод, имеющий заряд на единицу длины X, про¬
ходит параллельно горизонтальной металлической поверхности на
высоте А. Поле находим, используя провод-изображение, имеющий
заряд на единицу длины —X, находящийся с другой стороны поверх¬
ности на расстоянии А и обеспечивающий условие на металли¬
ческой поверхности (см. рис. 2.9). Найдем, на каком расстоянии
от точки на плоскости под проводом (начало координат) прихо¬
дит на плоскость силовая линия, уходящая от провода горизон¬
тально (№ 2.51). Поток вектора напряженности поля, идущий от
провода между силовой линией и осью у, представляет четвертую
часть общего потока, т. е. равен яХ. На оси х напряженность поля
(1.16)	от двух проводов
Поток этого вектора при изменении х от 0 до L должен равняться
Вводя обозначение x/h = tga и интегрируя, получаем для грани¬
цы потока a = я/4. Это соответствует L = А.
Найдем плотность индуцированного заряда в горизонтальном
листе металла под вертикально расположенным равномерно заря¬
женным (полный заряд Q) тонким стержнем длиной /, нижний ко¬
нец которого находится от листа на расстоянии Н (№ 2.17). Обозна¬
чая вертикальное расстояние от листа у и пользуясь суперпозицией
для напряженности поля, находим
2Х	2А	4АХ
39

Вычислим плотность индуцированного заряда (а) в горизонталь¬
ном листе металла от равномерно заряженного горизонтального диска
радиусом /?, находящегося на высоте Н над листом, в точке под цент¬
ром диска (№ 2.18). Используя симметрию относительно оси диска,
можем напряженность поля вычислять, интегрируя вклады от колец
на диске. Обозначая поверхностную плотность заряда на диске
Р =
л/?~
для нормальной к поверхности составляющей поля получаем
-3/2
dE = р2я rdrHiH2 + г2 У
Интегрируя, вводя полный заряд диска Q, используя (1.17) и
отсутствие поля внутри металла, находим
Л1 - н(н2 + л2)"172
—'
Заряд q может находиться между двумя параллельными металли¬
ческими заземленными пластинами (например, посередине на
расстоянии а от каждой), как показано на рис. 2.10. В этом случае
для удовлетворения условий на пластинах требуется бесконечное
число зарядов-изображений (на рис. 2.10 показана небольшая часть).
Для определения, например, плотности заряда в точке А (№ 2.49)
можно учесть влияние только ближайших за-
+q в	рядов. Напряженность поля в точке А равна
~Q •
А
+<7 •
Е =
■т+...
Метод электрических изображений можно
применить для нахождения силы притяжения
точечного электрического диполя к бесконеч¬
ной металлической пластинке (№ 2.15). В слу¬
чае диполя, находящегося на расстоянии L от
пластинки, дипольный момент которого р на¬
правлен перпендикулярно ей, пластинку за¬
меняем диполем, также направленным и на¬
ходящимся на расстоянии 2L от первого. Ис¬
пользуя (1.7) и (1.11), находим
-я •
Рис. 2.10
F =
М2рП
Р д г
iZ.
8 14‘
40

Сила отрицательная, поэтому диполь притягивается. Работа вне¬
шних сил для отодвигания диполя от пластинки от расстояния L{ до
расстояния L2 при этом положительна и равна
А =
3
2
Двугранный угол образуется при пересечении плоскостей. Это
позволяет применить для двугранных углов методы, использованные
для плоскостей. Найдем силу, действующую на точечный заряд q,
помещенный на биссектрисе прямого двугранного угла между дву¬
мя проводящими плоскостями (№ 2.14). На рис. 2.11 показаны за¬
ряды, с помощью которых обеспечивается нулевой потенциал на
плоскостях, которые образуют двугранный угол. Абсолютные зна¬
чения сил
2 *
Суммарная сила направлена к вершине двугранного угла
F
Найдем силу, действующую на диполь, находящийся на биссек¬
трисе прямого двугранного угла, образованного двумя проводящими
плоскостями на расстоянии а от вершины (№ 2.16). На рис. 2.12
показаны диполь в точке А на биссектрисе угла и диполи электри-
Рис. 2.11
Рис. 2.12
41

ческих отображений в точках В, С и Д которые обеспечивают нуле¬
вые потенциалы на плоскостях, образующих прямой двугранный
угол. Напряженности поля от диполей находим по (1.9). От дипо¬
лей в В и D две составляющие по р и по г. По направлению р в
сумме получаем ноль. Для удобства введем расстояние от точки С
до точки А х = 2а. Тогда расстояние от точек В и D до точки А равны
х/Л. Напряженности поля ЕВг и ^одинаковы по абсолютной ве¬
личине и дают в сумме (геометрической)
ebd= 6V24.
х
Напряженность поля в точке А от диполя в точке С
Суммарная напряженность поля направлена к вершине угла
Е = 2р
Зл/2-1
Действие поля на диполь определяется (1.11)
Qi
Рис. 2.13
Г- -ЭЕ с -2 3-^2 — 1 _ 3 _2 3-72 - 1
Рассмотрим три концентрические бес¬
конечно тонкие металлические сферы с
радиусами Л, < R2 < /?3 (рис. 2.13). Най¬
дем распределение напряженности поля
и потенциала, если крайние сферы зазем¬
лены (потенциал равен нулю), а на сред¬
ней находится заряд Q (№ 1.11).
Так как заряженная сфера при от¬
сутствии заземления на крайних сферах
создает на них потенциалы, отличные
от нуля, то при заземлении появятся за¬
ряды, которые обозначим на внутренней
сфере Qv а на внешней Qr Используя
суперпозицию (сложение потенциалов)
и то, что для заряженной сферы (ради¬
ус R, заряд Q) внутри потенциал посто¬
42

янен и равен Q/R, а снаружи падает как Q/r, получаем из условия
заземления:
на внутренней сфере
0 =
^L + JL+Sl;
Л, r2 r3
на внешней сфере
0 = ^ + ^+£.
Л3 R3 R3
Отсюда находим
Qi = -Q
1-^2
1-Лз/Л,’
<22 = -<2 - <2, -
Наведенные заряды отрицательные. Напряженности поля:
и
©
если 0 < r < Rx и R3 < r <
E - 0 * ^з/^2
'J(i -*,/*,)'
если Rx<r < R2;
F-0 '-«l/*!
S(l-RjR3y
если R2< r < Ry
На трех концентрических тонких металлических сферах радиу¬
сами Л, < R2 < R3, находящихся в вакууме, имеются соответственно
заряды Qv Q2 и Qy Найдем изменение потенциала в некоторой точ¬
ке между первой и второй сферами на расстоянии г от их центра в
результате замыкания накоротко второй и третьей сфер (№ 2.4). До
соединения потенциал определяется суперпозицией от трех зарядов
Ф, =
Q\ ! Qi
г R2
+
9l
Лз‘
После соединения второй и третьей сфер у них будет одинако¬
вый потенциал, поэтому напряженность поля между ними должна
равняться нулю. Следовательно, на второй сфере находится заряд,
противоположный заряду на первой сфере (—0,), а на третьей —
заряд, равный сумме всех зарядов Qx + Q2 + Qy Суперпозиция дает
= Q\ Qi Q\ + Qi + Q3
Ф2 r R2 R3
43

Изменение потенциала равно
На рис. 1.10 показано изменение напряженности поля в плоском
слое с постоянной плотностью заряда. Если расстояние отсчитывать от
одного края слоя толщины А, то для напряженности поля получаем
Если этот слой поместить между двумя тонкими металлически¬
ми пластинами (обкладками), образующими плоский конденсатор,
в котором одна обкладка заземлена (нулевой потенциал), а вторая
имеет потенциал ср0, то к напряженности поля добавляется постоян¬
ная напряженность <р0/А. Постоянство напряженности между метал¬
лическими пластинами следует из плоской картины и равномерно¬
го распределения зарядов на пластинах. Таким образом, напряжен¬
ность поля в конденсаторе
Найдем, какой должна быть плотность объемного заряда (р) рав¬
номерно распределенного между пластинами плоского конденсато¬
ра (расстояние между пластинами А), которая получается, напри¬
мер, при распространении равномерного потока электронов внутри
конденсатора параллельно пластинам, чтобы потенциал и напряжен¬
ность поля на одной пластине были равны нулю, а на другой потен¬
циал был равен <р0 (№ 2.6). Из (2.11) для плоского случая имеем
Дважды интегрируя, получаем
<р = —2прх2 + Схх + С2.
Из условия при х = А имеем
<р = ср0 = —2щ>И + Cxh + Сг,
£ = 4яр(*-£).
Используя (2.6), получаем (№ 2.5):

при х = О
Ф = О = С2; Е = ~^- = -4яр • О + С, = О.
Откуда
Разность потенциалов между обкладками цилиндрического кон¬
денсатора (внутренний радиус Rv внешний радиус Л,), между кото¬
рыми находится заряд с постоянной объемной плотностью р, мож¬
но найти (№ 2.7), используя (2.12) для потенциала
Константы определяются, если задано, что при г = R2 потенциал
Ф = Ф0, а при г = R [ потенциал ф = 0.
Найдем поверхность нулевого потенциала для двух разноимен¬
ных зарядов q и —q/n (л > 1) (№ 2.19). На рис. 2.14 изображены
заряды. Ось х, проходящая через них, является осью симметрии кар¬
тины поля. Ось у проводим через точку расположения меньшего по
абсолютной величине заряда перпендикулярно х. Найдем линию
пересечения плоскости (х, у) с поверхностью нулевого потенциала.
Обозначая расстояния от зарядов до произвольной точки с нулевым
потенциалом г, и г2, находим
\_d(rdipldr) = _4пр
Дважды интегрируя, получаем
Ф = С1п г + С, — яр г2.
Л	1/г, - nlr2
Ф = 0 = ф, + Ф2 = -q-L-i
п
Откуда следует, что г2 = иг,.
Из рис. 2.14 находим
я
Отсюда
п2(х2 + у2) = (/ — х)2 + у2.
В
X
Окончательно
Л
Рис. 2.14
L
45

Это окружность радиусом
Л =
Центр ее находится на расстоянии от меньшего заряда
(2.21)
А =
*1
L
и на расстоянии от большего заряда
(2.22)
L = А + / = -Ф— = nR.
п2-1
Получаем полезное соотношение
Л
А Л'
(2.23)
(2.24)
Вычислим силу, действующую между заземленным металличес¬
ким шаром (потенциал равен нулю) и зарядом (q), расположенным
от центра шара на расстоянии L. Воспользуемся тем, что поле вокруг
заряда будет таким же, как от этого заряда (q) и заряда-изображения
{—q/ri), находящегося на расстоянии / от заряда q (см. рис. 2.14).
Пользуясь законом Кулона (1.1), а также (2.24), (2.23) и (2.22), нахо¬
дим силу, действующую на заряд q (№ 2.20):
F =
-RL
а2-л2)2
(2.25)
Знак минус говорит о притяжении заряда к заземленному шару.
Напряженность поля в точке А равна
а в точке В
еа =~Я
1 + L/R
(L + Л)2 ’
Е =_£	g R!L
В (L + Rf	(r + r2/lf
Для получения плотности зарядов в данных точках напряженно¬
сти надо разделить на 4л (№ 2.42).
Если шар не заземлен и заряд его равен нулю, то можно воспользо¬
ваться суперпозицией полученного ранее поля и поля от заряда q/n,
46

расположенного в точке, соответствующей центру шара. Заряд в этой
точке дает на сфере, соответствующей поверхности шара, постоян¬
ный потенциал, который получаем также, если этот заряд равно¬
мерно расположить на поверхности сферы:
Я Я
nR L'
(2.26)
Это важный результат, заключающийся в том, что незаряжен¬
ный проводящий шар в поле заряда имеет потенциал, который со¬
здавался бы в точке, соответствующей центру шара, в его отсут¬
ствии (теорема о среднем).
Внутри сферы сумма зарядов равна нулю. Сила, действующая на
заряд q от зарядов внутри сферы, равна (№ 2.20)
F = -
RL R
{l2-r2? ё
(2.27)
Если на шаре еще имеется заряд — q (№ 2.40), то в выражении
для силы появится еще член —q2/L2 и
F = --
R R
~Т + Т
1-
R
2 \
L J
Если на шаре полный заряд Q, то сила равна
Q + qR/L
F =
qlR
l{l-r2!l)
+ q-
Отсюда, чтобы сила взаимодействия была равна нулю (№ 2.41),
заряд должен быть равен
R L4 - (i? - R2)
qL (L2-R2)
Для вычисления работы по удалению заряда q на бесконечность
(№ 2.21) надо проинтегрировать полученные выражения, учитывая,
•что внешняя сила имеет противоположный знак.
В случае заземленного шара (2.25)
/11 = К‘Л = «!*Ь^Т
1 7 q2Rd{l? - R2)
2l (l2-R2?
1	q2R
2	l} - R2
47

В случае незаряженного шара (2.27)
Л 2 — А ] + <7^
Rl~,
L L
LdL
з
1
я2*3
2l2(l2-r2Y
Если внутри незаряженной металличес¬
кой оболочки (внутренний радиус г, вне¬
шний R) в точке А на расстоянии ОА = h
от ее центра находится сосредоточенный
заряд q (рис. 2.15) и требуется вычислить
потенциал на внутренней поверхности обо¬
лочки, то надо иметь в виду, что на внутреннюю поверхность обо¬
лочки притягивается заряд, равный —q, но неравномерно распреде¬
ленный, а на внешней поверхности оболочки заряд, равный q, рас¬
пределяется равномерно с поверхностной плотностью
а =
4 nRz
так как поле в проводящей оболочке равно нулю и влияние внут¬
ренних зарядов отсутствует. Потенциал оболочки в сферически сим¬
метричном поле ср = q/R. Такой же и в точках В и С (№ 2.22).
Поле внутри оболочки найдем, пользуясь методом электрических
изображений. Найдем вначале, какой заряд Q и на каком расстоя¬
нии х от сферической поверхности, находящейся на месте внутрен¬
ней поверхности оболочки (см. рис. 2.15), надо поместить, чтобы
потенциал на этой сфере был постоянен и равен нулю. Можно вос¬
пользоваться приведенными ранее формулами, а можно записать
соотношения для равенства потенциалов нулю в точках В и С
-т + — = °;
П X
г + И х + 2г
= 0.
Отсюда
г - h ^ г
x = r^^; Q = -q~.
h ’	А'
Напряженность поля в точке В от двух зарядов равна
„	я{\ +h/r)
В ~~(	Г\2“‘
(г-Л)
Напряженность поля от тех же зарядов в точке С
Ег =
<?(! - h/r)
С {r + hf
48

Для получения распределения плотности зарядов надо эти вели¬
чины разделить на 4п. Изменения потенциала на сферической повер¬
хности на постоянную величину не изменяет картину поля внутри и
распределение заряда по поверхности. Если потенциал поверхности
не нулевой, а ср0 = qjr, то потенциал, например, точки В равен
Я
r-h
Л.
X
Получаем то же самое уравнение, что и раньше:
ч
r-h
Рассмотрим теперь тонкостенную металлическую изолированную
сферу радиусом R с зарядом на ней Q и зарядом q внутри нее на рас¬
стоянии от центра, равном половине радиуса (рис. 2.16). Вне сферы
поле сферически симметрично и по теореме Гаусса (1.12) определя¬
ется суммарным зарядом на сфере и внутри ее. На внешней поверх¬
ности сферы напряженность поля и плотность заряда равны (№ 2.30)
Г _<2 + Ч.	__ Е Q + q
lh	л )	^	.	л •
R2	4л 4 л/?2
Для обеспечения нулевого (и вообще постоянного) потенциала
на сфере надо использовать заряд-изображение Q{ = —nq на рассто¬
янии L — nR от центра сферы (2.23) и (2.24). Если заряд q находится
на середине радиуса, то п = 2, 0, = —2q и L = 2R. Поэтому сила,
действующая на заряд q, равна
F =
n(L-R/2f
9 R2
Поле на внутренней поверхности сферы в точке А равно
(R/2)2 R2 R2
Заряд на сфере поля внутри не создает.
Поле внутри металлической обо¬
лочки должно быть равно нулю. Это
обеспечивается плотностью заряда в
точке А, равной
Е	3 q
о = --г- =
4л	2nR2
4-2073
L
Рис. 2.16
49

В точке В на внутренней поверхности поле равно
£ _ Я	2q_ = 2j_
(R + R/2)2	3 R2 9 в2'
Плотность отрицательного заряда в точке В на внутренней по¬
верхности
а = — =	4
18яЛ2‘
Плотность на внешней поверхности в случае Q = —2д (№ 2.31)
с _ я - 2g _ д
AnR2	4лЛ2‘
При заземлении сферы плотности зарядов на внутренней повер¬
хности в точках Л и В не изменяются, а на внешней поверхности
плотность заряда должна быть равна нулю, так как потенциал такой
же, как на бесконечности, и нет поля.
Найдем потенциал ф металлического шара радиусом R с зарядом
на нем Q, когда точечный заряд q помешен на расстоянии L от цен¬
тра шара (№ 2.23). Пользуясь суперпозицией для потенциала в цен¬
тре шара, можно написать
Л,
± + 9..
L R
Здесь суммируются потенциалы от зарядов Д£) на поверхности шара.
Потенциал металлического шара такой же, как в центре.
Для нахождения потенциала сферической проводящей оболочки
(или полого металлического шара) от собственного заряда Q и заряда q,
находящегося на расстоянии L от центра оболочки, также можно
использовать суперпозицию теоремы о среднем (2.26) и решение
для постоянного заряда на сферической поверхности. В случае за¬
ряда q вне сферической поверхности потенциал на оболочке
Если же заряд q переместить через малое отверстие внутрь оболоч¬
ки (№ 2.25), то потенциал на ней определяется ее внешним радиу¬
сом и по теореме Гаусса суммарным зарядом
Q +
R
50

Поле вокруг заземленного металлического шара, когда на рас¬
стоянии L от его центра находится заряд q, такое же, как от этого
заряда и заряда — q/n, расположенного, как показано на рис. 2.14, и
определяемого (2.24). Можно вычислить напряженность поля на
поверхности шара и найти распределение заряда, который в сумме
равен —q/n. В случае изолированного незаряженного металлическо¬
го шара картина распределения напряженности поля не изменится,
и распределение заряда по поверхности будет таким же, но в центре
надо расположить заряд q/n, который обеспечивает суммарный ну¬
левой заряд на шаре и приводит к появлению потенциала на нем.
Если этот шар заземлить, то на него притечет заряд —q/n, чтобы
нейтрализовать заряд, создававший потенциал (№ 2.26).
Если в поле заряда q находится заземленная проводящая сфе¬
ра, то, используя (2.23) и (2.24), для напряженности поля в точке А
(см. рис. 2.14) имеем
Е - q | q _ g(! + L/R)
А (L-Rf „(R-Ry Lf	(L-R)1 '
Обозначая напряженность в точке А при отсутствии проводящей
сферы
Ео =
(L-RY
получаем для изменения напряженности при внесении заземленной
проводящей сферы (№ 2.27)
Аналогичным образом находим для точки В (см. рис. 2.14)
£jl = ]-L
Е0 R‘
Для незаряженной проводящей сферы ищем поле от трех зарядов
(в центр сферы, как это получено ранее, надо поместить заряд q/n).
В этом случае
Ел
Полученные ранее решения для сферической и плоской про¬
водящих поверхностей можно использовать для решения задачи,
4*
51

в которой заряд q располагается над бу¬
горком в виде полусферы радиусом г на
поверхности (№ 2.24). На рис. 2.17 по¬
казано расположение заряда q, а также
зарядов —Q, Q и —q, используемых в
методе электрических изображений для
получения нулевого потенциала на бу¬
горке и плоскости. Из (2.24) определя¬
ем, во сколько раз (п) заряд q больше Q
(п = L/r) и на каком расстоянии он на¬
ходится от центра сферы (А = г/п). По¬
казанные на рис. 2.17 заряды полностью определяют электричес¬
кое поле.
Сила, действующая на заряд над бугорком (№ 2.39), определяется
тремя зарядами-изображениями
Рис. 2.17
F = q2 qQ | qQ
I? (L - hf (L + h)2 '
Если заземленный металлический шар радиусом Улежит на тон¬
ком равномерно заряженном диэлектрическом (непроводящем) дис¬
ке того же радиуса, полный заряд которого равен Q, то притекаю¬
щий на шар заряд можно найти, рассматривая суперпозицию реше¬
ний для шара и элементов заряда на диске. На рис. 2.18 показан
разрез системы в плоскости, перпендикулярной поверхности диска,
проходящей через центры шара и диска. Для заряда на диске
dQ = -Q^-rdydr
nR2
по (2.24) находим заряд-изображение
d2q = dQ^y = dQ
(я2 + г2 )*/2
Интегрируя по <р и г, находим полный наведенный на шаре за¬
ряд (№ 2.38)
q = -2(j2~l)Q.
Найдем систему зарядов-изображений для заземленной прово¬
дящей сферы радиусом R и диполя с моментом р = ql, находящегося
на расстоянии L от центра сферы, и силу взаимодействия между
52

ними (№ 2.28). На рис. 2.19 показаны заряды и расстояния. Пользу¬
ясь тем, что для диполя / <*: L, имеем для заряда
qR R\-4L_qR qRl _qR pR
T+i= qK I T 1J~~L IT
и для
R2	R2 _ IR
L	L + t ~ i}
Таким образом, система изображений состоит из диполя
Р\ =
qRAx _ pR3
~L~~T
и заряда
Диполь р притягивается к диполю рх и заряду qv Для вычисле¬
ния силы притяжения надо воспользоваться (1.10) и (1.7):
р	6 ррх	|	2 qxp 2p2RL(2R2+I?)
(l - R2/l)4 {l - R2/Lf (L2 -R2 /
Если проводящая сфера радиусом R изолирована и не заряжена
и диполь с моментом р = ql, находящийся от центра сферы на рас¬
стоянии L и направленный перпендикулярно линии, идущей от цент¬
ра сферы к центру диполя, то расположение зарядов-изображений
53

L
h
l
Рис. 2.20
будет таким, как показано на рис. 2.20. Заряды в центре сферы,
создающие потенциал, не показаны, так как в сумме равны нулю.
Величина зарядов q определяется (2.24)
Поле диполя в перпендикулярном направлении (1.8) зависит
только от расстояния. Из (1.11) следует (№ 2.34)
Знак минус указывает на притяжение диполей.
Приближенное решение данной задачи (оценка) может быть
получено в предположении, что изолированная незаряженная про¬
водящая сфера помещена в постоянное поле, равное полю диполя в
данном месте. В этом случае поляризация приводит к диполю с мо¬
ментом (1.26) />, = ЮЕ. Поле определяется по (1.9).
В таком же приближении можно оценить силу взаимодействия
между двумя маленькими металлическими шариками радиусом R,
из которых один имеет заряд q, а второй не заряжен, в зависимости
от расстояния между ними L. Поле от заряда Е = q/L2 поляризует
незаряженный шарик, создавая дипольный момент
54

Поле этого диполя определяется (1.7) и действует на заряд. В ре¬
зультате сила притяжения (№ 2.36)
г 2 я2Я3	1
г=—~т
Если к металлическому шарику радиусом R, на котором медлен¬
но повышается потенциал <р (увеличивается заряд), на тонкой не¬
проводящей нити длины /» R подвешен нейтральный металличес¬
кий шарик массой m и радиусом г «: R, то при некотором потенци¬
але он притянется к верхнему. Этот потенциал находим из равенства
силы притяжения весу нижнего шарика. Для верхнего шарика заряд
Q = <рЛ и поле вблизи нижнего шарика
Е
Это поле поляризует нижний шарик, создавая дипольный мо¬
мент р = г3Е. При этом поле считаем однородным. Но сила, дей¬
ствующая на диполь, определяется неоднородностью поля — про¬
изводной
ЬЕ 2ф/г
э/ ~	(/ + Л)3 ’
Используя (1.11), получаем
mg = 2 г3
(фЛ)2
(l + R)5'
Откуда находим (р (№ 2.43).
Такую же схему решения можно применить, если эти шарики
находятся вне поля тяжести и не скреплены между собой, а мень¬
шему сообщается начальная скорость в направлении от большего
шарика. Найдем величину этой скорости, чтобы меньший шарик
мог уйти на бесконечность (№ 2.44). Благодаря поляризации созда¬
ется дипольный момент р = гъЕ, где Е — поле заряженного шарика:
Г ■ Q и э Е	2 Q
(/ + Л)2	3/	(/ + Rf ‘
Используя (1.11), получаем
(/ + Rf
55

Для работы внешней силы получаем
А = J Fdl =
/
1 r2Q2
2(/+*)4’
которую надо приравнять mv1/2, чтобы найти нужную скорость
(№ 2.44).
Подобным образом можно рассмотреть устойчивое положение
небольшого незаряженного металлического шарика радиусом г, ко¬
торый может смещаться только вдоль оси тонкого однородно заря¬
женного кольца радиусом R. Обозначая расстояние вдоль оси кольца
от его плоскости х и полный заряд кольца Q, получаем для напря¬
женности поля вдоль оси
Е -
{r2 + x2)V2'
Это поле поляризует шарик, создавая дипольный момент
р = ггЕ. Условие равновесия — равенство силы, действующей на
шарик, нулю:
Дифференцирование Е дает
ЭЕ _ R2 - 2х2
(r2+x2)2'5'
При х = 0 равны нулю и поле, и дипольный момент, а производная —
положительна. Однако при малейшем отклонении возникает диполь¬
ный момент, т. е. равновесие неустойчивое. Устойчивое равновесие
будет при равенстве производной нулю, т. е. при (№ 2.37)
х =
Поле вне конденсатора на большом расстоянии г » (5)1/2 (S —
площадь пластин конденсатора, которые считаем дисками) можно
приближенно описывать как поле диполя с моментом
Р\ = ql = СИ =
SV
4л ’
где q — заряд конденсатора; / — расстояние между пластинами; С —
емкость конденсатора; V — напряжение на конденсаторе.
56

Напряженность поля диполя (1.7)
Е
2 р
изменение поля диполя
Если на оси конденсатора на большом расстоянии находится
проводящий незаряженный шарик радиусом R г, то происходит
поляризация и создается дипольный момент, величину которого
вычисляем в предположении постоянства поля конденсатора вок¬
руг шарика р2 = ЮЕ. Силу вычисляем, используя (1.11) (№ 2.53):
г „ ЪЕ п л R3 'j q2\/2 R3
F-p^^-Up^.-JSV 17-т.
Рассмотрим случай, когда диполь с моментом р = ql помещен в
центр проводящей незаряженной сферы (рис. 2.21). Заряды-изо¬
бражения nq и —nq каждый в паре с соответствующим зарядом
диполя создают постоянный потенциал на сфере. Суперпозиция
дает полное решение. Сумма зарядов в центре сферы, создающих
потенциал на сфере, равна нулю (поэтому на рис. 2.21 не показана).
Из (2.24) и (2.22)
L 2 R ,
■ТТ’1'
Поэтому поле от зарядов nq вокруг сферы можно считать однород¬
ным и равным
Е0
Р
Л3 ’
Напряженности поля от диполя
в точках А и В определяются соот¬
ветственно (1.7) и (1.8). Суммарное
поле в точке А равно
Е,
J> 2р
Л3 Л3
в точке В (№ 2.33):
Зр
Л3’
Е,
_р_
л3
_р_
Л3
= 0.
в
57

-nq
+nq
Если внутри проводящей полой изо¬
лированной и незаряженной сферы радиу¬
сом R на расстоянии h от центра поме¬
щен точечный диполь с моментом р, ори¬
ентированный перпендикулярно радиусу
(рис. 2.22), то снова, как и ранее, пользу¬
емся суперпозицией и получаем для заря¬
дов-изображений
п =
L.
R’
h
В?_
L *
Используя подобие треугольников, находим дипольный момент
зарядов-изображений
Из (1.8) и (1.11) находим силу взаимодействия диполей, т. е.
силу, действующую на диполь внутри сферы (№ 2.34):
F = Pl
3 р
(L-h)4'
Для точечного диполя, находящегося на расстоянии h от центра
сферы и направленного вдоль радиуса (рис. 2.23), изображениями
являются диполь />, и заряд qv Из (2.24) получаем
R
А
I.
R ’
«1
R =Ц_
h + I R '
Отсюда находим
и заряд
qRl
ql=nq-nlq = Z-r.
Для момента диполя-изображения имеем
Сила взаимодействия между диполями (притяжение) равна
Fx=6p
Р\
(1-Л)4’
58

R
сила действия заряда на диполь (отталкивание)
F 2др - 2plR
2 L-h h2(L-hf
Суммарная сила (№ 2.35) (притяжение)
F 2P2 h 2 + h2/R2
R* R(l-h2/R2)4'
На рис. 2.24 показана система зарядов изображений qR/a и —qR/a
для двух зарядов q и —q, расположенных на расстоянии 2а друг от
друга, и незаряженной проводящей сферы радиусом R, находящейся
посередине между зарядами (№ 2.29). Величины зарядов-изображе¬
ний определяются (2.24), их расстояния от центра сферы — (2.22).
Так как сумма зарядов равна нулю, имеем незаряженную сферу.
При а » R заряды-изображения действуют на заряды q и —q как
диполь с дипольным моментом
_ 2R3q
Воспользовавшись (1.7), получаем изменение (увеличение) силы,
действующей между зарядами,
на
Д7Г=2^ = 4^1
59

Рассмотрим систему двух параллельных бесконечно длинных
прямых нитей, находящихся на расстоянии 2а друг от друга и имею¬
щих равномерные заряды противоположных знаков по абсолютной
величине равные % на единицу длины. Напряженность электричес¬
кого поля на расстоянии г от заряженной прямой нити определяет¬
ся (1.16): Е= 2%/г. Между нитями действует сила притяжения, кото¬
рая на единицу длины равна
F = £X = —•
а
Отметим, что этим же способом можно вычислить силы и для раз¬
ных зарядов на единицу длины. Из (2.8) и (2.10) для потенциала
получаем
<р = 2xlnr+ <р0.	(2.28)
На рис. 2.25 показано сечение, перпендикулярное нитям. Ось х
проходит через нити, а ось у перпендикулярно к оси х через середи¬
ну расстояния между нитями. Потенциал в точке с координатами
(х, у) равен
ф = Ф1 +ф2 =2xlnr, +ф0 -2х1пг2 + ф0 =2х1п
о-
Постоянное значение потенциала будет при
— = С = const.	(2.29)
>2
Значение С определяет различные линии постоянного потенци¬
ала (сечение поверхностей равного потенциала). При С = 1 получа¬
ем ось у. Для других значений С получаем
С2 = !±_ = (д - *)2 + у2
г2 (Д + х)2 + у2
Отсюда находим для сечения поверхностей равного потенциала
У
2
+
(
х + а
\
с2 +1Y
с2 -1J
4д2С2
(С2 - О2
(2.30)
Это уравнение окружности.
Полученные результаты позволяют вычислить силу (на единицу
длины) взаимодействия между металлическим цилиндром радиусом г
60

Рис. 2.26
и длинной тонкой проволочкой, расположенной на расстоянии R > г,
если на единице длины нити заряд %, а на единице длины цилиндра —%
(№ 2.45). Из (2.30) находим положение и радиус для нашего метал¬
лического цилиндра (линии равного потенциала). Центр сдвинут на
С2 +1
х, = а—5
1 С2 -1
в сторону отрицательных иксов, а радиус равен
На рис. 2.26 показаны цилиндр и проволока (сечение в перпен¬
дикулярной плоскости). Расстояние от центра цилиндра до прово¬
локи R = а + х,. Так как поле вокруг цилиндра такое же, как от
проволочки на расстоянии —а, то сила взаимодействия между ци¬
линдром и проволочками одна и та же. Из предыдущих соотноше¬
ний получаем
С = - и	4- •
г	\	R2)
С помощью (1.16) получаем
F 2х2	2Х2
20	R(l-r2/R2)'
Найдем, какую максимальную разность потенциалов можно под¬
держивать между проводами бесконечной двухпроводной линии,
если напряженность пробоя воздуха Е = 30 кВ/см, диаметр прово¬
дов 2а = 1 см, а расстояние между проводами Ь = 5 м (№ 2.48).
Используя теорему Гаусса (1.12) для изолированного заряженного
цилиндра, как и в случае заряженной нити (1.16), получаем распре-
61

деление напряженности поля Е = 2%/г, где % — заряд на единицу
длины; г — расстояние от оси цилиндра. В случае двух противопо¬
ложно заряженных цилиндров благодаря суперпозиции получаем на
линии, соединяющей их центры (расстояние х отсчитывается от оси
положительно заряженного цилиндра):
Е=Ъ+ 22L.
X о - X
Исследуя эту зависимость, можно получить, что при х = Ь/2 она
имеет минимум. Таким образом максимальное значение напряжен¬
ности поля на поверхности цилиндров равно
Е -	2*-Ь
м а{Ь-аУ
Из (2.6) следует
д»=2*Ш+гУл'4)£ЧН=
а 4	'
- 2£«“Н)|п (Н-207 кВ-
Заряд (q), находящийся в точке внешнего электрического поля с
потенциалом <р, обладает энергией в этом поле, равной
W= qq>.	(2.31)
Если в поле находятся два заряда +д и —q, образующие диполь
бесконечно малой длины /, то энергия этих зарядов во внешнем
поле равна
W= q(<p - <p'),
где ф и ф' — потенциалы внешнего поля в полюсах диполя. С точно¬
стью до величин второго порядка малости, учитывая (2.10),
Ф = ф' + ^ / = ф' + 1 grad ф = ф' - IE.
О/
Поэтому
W=- qlE = -pE,	(2.32)
где р — момент диполя; Е — напряженность внешнего поля в месте
расположения диполя. В этом выражении не учитывается взаимная
энергия зарядов диполя, величина которой изменяется лишь при
изменении длины диполя /.
62

Силы, действующие на диполь, представляют пару сил. Их мо¬
мент определяется векторным произведением
М = [1F] = *[1Е] = [рЕ]. .	(2.33)
Используя сокращенное обозначение градиента в виде операто¬
ра «набла»:
v = iA + ji- + kA	(2.34)
Эх J ду dz
Скалярным умножением р на V получаем оператор
(р*)-а| + Р,|;+*£-	(2.35)
С помощью этого оператора можно обобщить формулу (1.11)
для силы, действующей на диполь,
F = (pV)E.	(2.36)

3.	ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ В ВЕЩЕСТВЕ.
ЭНЕРГИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ.
ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ МЕТОД ВЫЧИСЛЕНИЯ
ПОНДЕРОМОТОРНЫХ СИЛ
Диэлектриками, или изоляторами, называются вещества, не прово¬
дящие (или очень плохо проводящие) электрический ток. Имеющиеся
в них заряженные частицы могут под действием электрического поля
лишь смещаться (а не перемещаться свободно, как в проводниках).
Возникающая поляризация, как показывает опыт, пропорциональна
напряженности электрического поля, прикладываемого к диэлектри¬
кам. Это наблюдается и для веществ, у которых частицы, например
молекулы, обладают дипольными моментами (полярные диэлектри¬
ки), но из-за хаотичности их направлений суммарный дипольный мо¬
мент диэлектрика равен нулю, и появляется он только тогда, когда под
действием поля происходит выстраивание моментов в направлении
поля. Вектором поляризации (или поляризацией) Р называется суммар¬
ный дипольный момент единицы объема диэлектрика
Возникающая в диэлектрике поляризация, как показывает опыт
при не очень больших напряженностях поля, пропорциональна при¬
кладываемому электрическому полю
Коэффициент пропорциональности называется поляризуемостью.
Отметим, что такая зависимость хорошо выполняется для изотроп¬
ных веществ. Для анизотропных веществ поляризуемость является
тензорной величиной и направления векторов Р и Е могут не со¬
впадать. Отметим также, что поляризация может возникнуть и в
отсутствие электрического поля, например при механическом сжа¬
тии (пьезоэффект).
При поляризации, несмотря на смещение, все заряды внутри
диэлектрика скомпенсированы, и только на границах остаются свя-
64
(3.1)
Р = аЕ; {Р = е0аЕ}.
(3.2)

занные заряды. На рис. 3.1 показано сечение слоя
диэлектрика. Выделен объем А Ус боковыми по¬
верхностями, параллельными вектору поляриза¬
ции Р, и торцевыми поверхностями площадью ДА,
на которых плотность связанных зарядов о. Для
дипольного момента этого объема имеем
РАК- аДА1.
Вводя угол (3 между нормалью к границе и
вектором Р, получаем
а = Р cos р = Р„ = а Еп; {о= Рп = е0а £„}.	(3.3)
Для диэлектриков в дифференциальную теорему Гаусса (1.19)
необходимо включать и связанные заряды
dS
divE = 4яр + 4я<6а —— = 4rcp-4ndivP.
J д v
В общем для плотности связанных зарядов имеем
Рсв = ~div р; {Рсв = -div Р>.	(3.4)
Вектор электрической индукции (смещения) D вводится следую¬
щим образом:
D = Е + 4яР; {D = е0Е + Р}.	(3.5)
Вектор D является суммой различного рода физических вели¬
чин: напряженности приложенного поля и поляризации единицы
объема диэлектрика, но использование его упрощает описание поля
в диэлектриках. В частности, для диэлектриков в дифференциаль¬
ной теореме Гаусса (1.19) надо заменить вектор Е на D и учитывать
только свободные заряды
div D = 4яр; {div D = р}.	(3.6)
Соответственно для интегральной теоремы (1.12)
§DdS = $DndS = 4nq\ {ф-DrfS = j>DndS = q).	(3.7)
Для равномерно заряженной пластины диэлектрика (с плотно¬
стью заряда р) толщиной 2а получаем изменение D в зависимости
от расстояния от средней плоскости пластины х: внутри пластины
D = 4прх, вне пластины постоянно и равно D = 4яра.
Для равномерно заряженного шара из диэлектрика (с плотнос¬
тью заряда р) радиусом а в зависимости от расстояния от центра г:
65
5-

внутри шара
D = -7ipr;
вне шара
п 4 з г
D = -TipaJ—.
Г
Линейная зависимость между поляризацией и напряженностью
поля (3.2) нарушается в полярных диэлектриках (элементы которых
обладают дипольными моментами) при больших напряженностях
поля, когда все диполи среды выстраиваются по полю. Происходит
насыщение поляризации (поле растет, а поляризация не меняется).
Если же (3.2) выполняется, то из (3.5) получаем
D = Е + 4яР = (1 + 4яа)Е = еЕ;
{D = е0Е + Р = (1 + а)е0Е = е0еЕ}.
(3.8)
Здесь введена важная характеристика сред — диэлектрическая
проницаемость (называемая также диэлектрической постоянной)
е=1+ 47ia; {е = 1 + а}.	(3.9)
Приведем формулы для полей и потенциалов в изотропном ди¬
электрике с диэлектрической проницаемостью е.
Для поля точечного (и сферически симметричного) заряда из (3.7)
и (3.8) вместо (1.1), (1.2) и (2.4) получаем обобщенный закон Кулона
Е
Е =
4пг0гг2
4яе0ег
Для потенциала точечного диполя вместо (2.14)
(ЗЛО)
Ф =
Р!
з
гг
Ф =
РГ
4яе0ег3
(3.11)
Дифференцируя, в соответствии с (2.8), можем найти напря¬
женность поля (Е = —grad ф).
Для потенциала поля от равномерно заряженного по объему
(с плотностью р) шара радиусом а из (3.10) и (2.15) получаем:
вне шара
внутри шара
яра3 .
гг ’
ф = 2 яр
(3 12)
66

Потенциал сферы радиусом а, равномерно заряженной по поверх¬
ности зарядом q:
вне сферы
внутри сферы
(3.13)
Для равномерно заряженной (плотность заряда р) пластины тол¬
щиной 2а в зависимости от расстояния от средней плоскости х:
внутри пластины
ср = 2яр
*2+«2
+ <р0;
вне пластины
(3.14)
A	UA
Ф = -4Tip — + ф0 при х > а;
ах
ф = 4тгр— + ф0 при х < а,
где ф0 — значение потенциала на средней плоскости.
Для бесконечного равномерно заряженного по объему цилиндра
(плотность заряда р) радиусом а в зависимости от расстояния от оси
цилиндра г
Ф = — {а2 - гг) + ф0 при г < а;
Е	(3.15)
<р = -2^a2 In + ср0 при г > а,
где <р0 — значение потенциала на оси цилиндра.
Для бесконечной цилиндрической оболочки, равномерно заряжен¬
ной с поверхностной плотностью о, в зависимости от расстояния до
оси оболочки
Ф = ср0 при г <а\
Ф = ~2~а In {^J + Фо ПРИ г>а,
где ф0 — значение потенциала на оболочке.
5*
(3.16)
67

Введя обозначение q{ = q/e, можно для поля (3.10) повторить все
выкладки, которые привели к формулам (2.20)—(2.24), и получить
обобщение теоремы о среднем (2.26) — потенциал проводящего шара
радиусом г, находящегося в поле заряда (на расстоянии L) в диэлек¬
трической среде с диэлектрической проницаемостью е (№ 3.37):
(3.17)
В электростатике было получено, что циркуляция электрическо¬
го поля равна нулю (2.7):
j>Edl = j> E,dl = 0.	(3.18)
Рассмотрим однородный изотропный диэлектрик с проницае¬
мостью е, на плоской границе которого с вакуумом напряженность
электрического поля в вакууме равна Е0 и вектор Е0 составляет угол 0
с нормалью к поверхности диэлектрика (рис. 3.2). Считая поле внут¬
ри и вне диэлектрика однородным, найдем:
1)	поток Ф£ вектора Е через сферу радиусом R с центром на
поверхности диэлектрика;
2)	циркуляцию вектора D по прямоугольному контуру Г со сто¬
ронами длиной /, и /2, плоскость которого перпендикулярна к по¬
верхности диэлектрика и параллельна вектору Е0 (№ 3.23).
Из (3.18) касательная к поверхности диэлектрика компонента
поля Е0 sin 0 непрерывна на границе. Вследствие симметрии входя¬
щий в сферу поток ее равен выходящему потоку. Нормальная ком¬
понента поля Е0 cos 0 дает поток через поверхность сферы такой же,
как через ее диаметральное сечение. Из (3.7) следует сохранение
нормальной компоненты вектора электрической индукции
D»= Еоп = *Еап = EocosQ-
Отсюда для нормальной компоненты напряженности электри¬
ческого поля в диэлектрике имеем
Поэтому поток вектора напряженнос¬
ти электрического поля
Ф£ = nR2EQ cos0^1 - ^j.
Касательная компонента вектора ин¬
дукции в вакууме равна касательной ком-

поненте напряженности поля Е0 sin 0. В диэлектрике Dx = еЕ0 sin 0.
Поэтому циркуляция вектора электрической индукции (по контуру Г
из /, и /2) равна
j>Ddl = 1}Е0 sin 0(1 -е).
г
Если в центре диэлектрического шара радиусом R с диэлектри¬
ческой проницаемостью е, помешен точечный заряд q и шар окру¬
жен бесконечным диэлектриком с проницаемостью е, то на границе
диэлектриков появляются поляризационные заряды. Найдем их плот¬
ность (№ 3.22). Из (3.7) следует непрерывность D на границе. Из (3.8)
Е, =•
8, Л
£>.= ■
е2Л
,2 ‘
Из (1.12) 4яа = Е2 — Ег Откуда
№ д ( 1
4я 4я/г2[е,	е2/
Из (3.7) и (3.18) следует, что в плоских щелях (воздушных или
вакуумных, для которых диэлектрическая постоянная е = 1) напря¬
женность электрического поля Ещ связана с напряженностью элек¬
трического поля в диэлектрике (с диэлектрической проницаемос¬
тью е) Е следующим образом: в щели, параллельной полю, Ещ = Еа,
в щели, перпендикулярной полю, Ещ = гЕа. Аналогичным образом
связаны поля на границах диэлектрика в конденсаторах, частично
заполненных диэлектриком. Например, если плоский конденсатор
(две параллельные металлические пластины, имеющие противопо¬
ложные заряды) частью опущен в диэлектрик так, что пластины
перпендикулярны поверхности диэлектрика, то поле в диэлектрике
равно полю в воздушной части конденсатора.
Используя (3.7) и (3.18), получаем, что при отсутствии на грани¬
цах между диэлектриками свободных зарядов, при переходе через
границу сохраняются нормальные к границе ком¬
поненты D и касательные к ней компоненты Е.
На рис. 3.3 показано преломление силовой ли¬
нии поля на границе двух диэлектриков с ди¬
электрическими проницаемостями е, и е2. Учи¬
тывая, что
♦ А
Рис. 3.3
69

получаем
(3.19)
tgYl _ ei
tg V2 ^2
Для определения поля равномерно поляризованного шара вос¬
пользуемся формулой (1.14) для поля в равномерно заряженном
(плотность заряда р) шаре и суперпозицией его поля с полем от
такого же шара с отрицательным равномерным зарядом (—р), сдви¬
нутым на малое расстояние 1 относительно первого. Сложение по¬
лей в области пересечения определяется (1.24) и дает
где р! — дипольный момент единицы объема, т. е. (—Р). Поэтому поле
внутри шаров (при малом сдвиге это один как бы шар радиусом R)
Это поле за счет поляризации. Дополнительного внешнего поля,
которое могло приводить к такой поляризации, нет.
Дипольный момент поляризованного шара равен
где п — единичная нормаль к поверхности шара. В точках поверх¬
ности на оси симметрии
(3.20)
р = КР = |яЛ3Р.
(3.21)
Вне шара поле является полем диполя (1.9)
(3.22)
На границе шара с внешней стороны
Еег = 4я(Рп)п- |лР,
(3.23)
Ег0=|дР = -2Е;.
На диаметре, перпендикулярном оси,
70

Равномерная поляризация диэлектрического шара получается при
помещении его во внешнее однородное электрическое поле (с на¬
пряженностью Е0). Убедимся, что в этом случае сумма внешнего
поля и поля равномерно поляризованного шара удовлетворяет ус¬
ловиям на бесконечно большом расстоянии и на границе шара. На
бесконечно большом расстоянии суммарное поле Е = Е0 + Ее пере¬
ходит в Е0, так как поле шара (3.22) стремится к нулю. На границе
шара по разные стороны границы должны быть одинаковы касательные
составляющие векторов Е и нормальные составляющие векторов D.
Суммарное поле внутри шара Е = Е0 + Е., вне шара Е = Е0 + Ее. Как
видно из (3.20) и (3.23), касательные составляющие поля на границе
шара совпадают. Вне шара D = Eg + Ef. Внутри шара D = Е0 + Е;. + 4лР.
Используя (3.20) и (3.23), находим, что на границе шара одинаковы
нормальные составляющие вектора D. Таким образом, поле внутри
диэлектрического шара, находящегося во внешнем поле Е0,
Е = Е0 - j пР.
(3.24)
Используя (3.2) и
(3.9), находим
Е = 3 Е° .
8 + 2
(3.25)
Из (3.2) и (3.25)
Р = 3(е 1) ,Е° Л,.
4 л(е + 2)
(3.26)
Дипольный момент диэлектрического шара радиусом а (V= 4тш3/3)
во внешнем поле
р = УР = о3 (е -(3.27)
е + 2
Введем координатную ось х, проходящую через центр шара (на¬
чало отсчета) параллельно внешнему полю Е0. При этом потенциал
внешнего поля <р = —Е0х, а потенциал поляризованного шара опре¬
деляется уравнениями (2.14) и (3.11), в последнем е = 1 для среды,
окружающей шар (г > а),
где
при г > а,
К =
3
(3.28)
71

Внутри шара
Поэтому при г < а
(3.29)
Окончательно, для потенциала поляризованного шара во внеш¬
нем поле Е0 получаем
Найдем напряженность поля Еп в сферической полости, выре¬
занной внутри равномерно поляризованного диэлектрика. Обозна¬
чим поле внутри диэлектрика, вызвавшее его поляризацию, Е. Если
полость заполнить тем же диэлектриком, то к полю в полости доба¬
вится поле равномерно поляризованного шара (3.20). Их сумма дол¬
жна равняться Е. Отсюда
Оценим силу взаимодействия между нейтральным диэлектричес¬
ким шариком радиусом R и точечным зарядом q, считая расстояние
между ними L большим, а диэлектрическую проницаемость шарика е,
такой, что е — 1 «: 1 (№ 3.39). Предполагая, что при вычислении
дипольного момента шарика поле, его создающее (от заряда), мож¬
но считать постоянным по величине и направлению, а при вычис¬
лении силы учитывать его изменение, из (3.27) и (1.11) находим
(3.31)
Е„ =Е + |яР = (е + 2)|;
При е — 1 <к 1 получаем
72

Сила взаимодействия между двумя ша-	у
риками, один из которых заряжен и состо- 	q
ит из диэлектрика, а другой металлический
и не заряжен, определяется (1.26) и (1.11)	‘ i
(№ 3.41). Дипольный момент металличес¬
кого шарика за счет заряда (д) диэлектри-
ческого шарика в соответствии с (1.26) бу¬
дет уменьшаться с расстоянием между	Рис. 3.4
ними (г), как \/г2. Используя (1.11), нахо¬
дим, что F~ 1 /г5. Действие возникающего дипольного момента ша¬
рика из диэлектрика дает несущественную добавку.
Рассмотрим взаимодействие точечного заряда (q), находящегося
на расстоянии L от плоской поверхности диэлектрика (диэлектри¬
ческая проницаемость е) с этим диэлектриком, заполняющим полу¬
пространство (№ 3.40). Обозначим плотность связанных зарядов на
границе диэлектрика а. Учитывая, что напряженность электричес¬
кого поля в некоторой точке Л (рис. 3.4) создается зарядом q и свя¬
занными зарядами диэлектрика (противоположного q знака), и ис¬
пользуя (3.3), (3.9), (1.1) и (1.17), получаем
=(в-п|-,(е-1)*с“у-гто
4л	4л
Откуда распределение плотности связанных зарядов
(е - l)<7cos3 0
2л1?(е + 1)
(3.33)
Приведем соотношение между параметрами, использованными
здесь и на рис. 3.4:
х = Ltg0, dx =	, r2 = I?+x2.
cos 0
Вычислим полный связанный заряд на поверхности диэлектрика
Q = ? a 2nxdx = ——^.
i	е + 1
Для силы притяжения получаем
Г	Г2 41} {t +1)
(3.34)
(3.35)
73

Рассмотрим два однородных диэлектрика
с диэлектрическими проницаемостями е, и е2,
граничащих друг с другом вдоль плоскости
(рис. 3.5). В точке Вх помещен точечный за¬
ряд qx. Найдем напряженность электрическо¬
го поля в каждом из диэлектриков. В окрест¬
ности Вх поле должно описываться (3.10), т. е.
в выражение для поля должен входить член вида
(3.10). Предположим, что поле от поляриза¬
ционных зарядов на границе диэлектриков в
первом диэлектрике (е,) эквивалентно полю
заряда qv помещенного в точку В2, зеркально
симметричную точке Вх относительно границы.
В таком случае поле в первом диэлектрике описывается формулой
Е,=
_ Ч\т\ х <hr2
е1г|3 е2г2
Предположим также, что поле во втором диэлектрике можно
представить через некоторый заряд q3, помещенный в точку Вх,
Е2
_Wi
Е2Г\
Оба предположения будут оправданы последующими вычисле¬
ниями. Должны удовлетворяться условия на границе диэлектриков:
непрерывность касательных компонент вектора Е и нормальных
компонент вектора D
Ч\
sinO
Ei
+ Чг
sin 9
ei
= Яз
sin0.
5
е2
qx cos Q-q2 cos 0 = q3 cos 0.
Видно, что угол 0 выпадает из обоих уравнений. Отсюда находим
8| £2 ^2
42 = Ч\ ; Яг = 2Я\ ■
е, + е2 е, + е2
Подставляя их в выражения для полей, имеем
(3.36)
Е _ Ч\Г\ (е2"е1 )?|«2 .
1 <W 61(81+62)^’
(3.37)
Т? _ ^1*1
2 — "5 •
(ei + e2)ri
(3.38)
74

При е2 —> ©о получаем выражения для точечного заряда над про¬
водящей плоскостью
Е =
eiri3 eir23
Чтобы определить силу, действующую на заряд qv который на¬
ходится на расстоянии А от границы диэлектриков, находим поле от
заряда д2, равное
Е =
я2
4A2£j ’
и умножаем его на q{
р g(ei— ь)
4 h1 (е, + е2)
(3.39)
Опишем поля через потенциалы: ср, в первом диэлектрике и <р2
во втором диэлектрике. Из отсутствия заряда на границе диэлект¬
риков и (2.8) и (3.10) имеем
е
дф|
ду
У=0
= е2
"Эф2
S. дУ
У = О
(3.40)
Используя (3.6), (3.8) и (2.12), получаем уравнения Пуассона
Л<р, = -^.	(3.41)
£i	h
Плотность зарядов равна нулю везде, кроме точки Bv Поэтому
Дф2 = 0.	(3.42)
Другое уравнение из (3.41) можно удовлетворить, положив
Ф1 = —+ Фз! Лфз=°>	(3-43)
eiri
где г, = [х2 + (у — Л)2 + г2]|/2. Воспользовавшись (2.13), убеждаемся,
что первый член устраняет особенность в точке Ву
Потенциал в каждой точке пространства зависит от г и расстояния
от плоской границы раздела диэлектриков O'). Вместо у удобно ввес¬
ти расстояние от точки В2, расположенной симметрично точки Вх
относительно границы диэлектриков, г2 = [х2 + (у + Л)2 + г2]1/2- Гра¬
75

ница диэлектриков описывается уравнением г{ = г2. Решениями урав¬
нений Лапласа из (3.42) и (3.43) являются суперпозиции сферичес¬
ки симметричных решений (2.13), зависящих от г, и г2. При этом
потенциал ср2 во втором диэлектрике не может содержать членов,
пропорциональных 1/г2, а потенциал <р3 в первом диэлектрике соот¬
ветственно членов, пропорциональных 1 /г,. Решения ищем в виде
а	Я
Фз=Я|—;	Ф2=й2—.
е,г,	е2г2
где а, и а2 — постоянные величины, которые определяем из условий
на границе. Равенство потенциалов <р, и (р2 дает
1+о, а2
е, е2 ‘
Из (3.40) имеем 1 — а, = а2. Отсюда
«1
£1 ~£2
е, + е2 ’
Получаем для потенциала
«2
2£2
£, +е2 '
Я Ч (ei - ег)
Ф = Ф| = — + —т	г~
£,г,	е,(е,+е2)г2
при у > 0;
(3.44)
Ф = Ф2 = 7	ПРИ 3;<°-	(3.45)
(£, +£2)г,
Рассмотрим взаимодействие между сферическими пузырьками
(полостями) радиусом г внутри диэлектрика с диэлектрической прони¬
цаемостью е, помещенного между обкладками плоского конденсатора,
имеющими разность потенциалов U. В первом варианте пузырьки рас¬
положены на расстоянии / друг от друга в плоскости, параллельной
обкладкам конденсатора. Оценим величину и направление силы их
электростатического взаимодействия, предполагая, что наличие пу¬
зырьков не изменяет однородной поляризации диэлектрика и рав¬
номерного распределения заряда на обкладках (№ 3.17). Дипольные
моменты пузырьков рп противоположны дипольным моментам, ко¬
торые получились бы при заполнении их данным диэлектриком.
Поэтому (3.21) и (3.8) дают
(е-1 )F?E
(3.46)
76
3

Для диполей из (1.8) и (1.11) находим силу отталкивания
3Р± (е-1 fvV
/4	ЗА2/4
Если пузырьки расположены вдоль прямой, перпендикулярной об¬
кладкам конденсатора (№ 3.18), то возникает сила притяжения (1.10)
Некоторой моделью диэлектрика может служить среда, состоя¬
щая из большого числа проводящих шариков радиусом R. Предпола¬
гая, что концентрация шариков п очень мала Юп «: 1, можем найти,
на сколько отличается от единицы диэлектрическая постоянная (про¬
ницаемость) среды (№ 3.1). Считая, что поле вблизи шариков равно
внешнему Е, из (1.26) находим дипольный момент шарика р = ЮЕ.
Из (3.1) Р= пр, а из (3.8) находим е = 1 + 4ппЮ.
Зная диэлектрическую проницаемость е некоторого одноатом¬
ного газа с известным числом атомов в единице объема п, можно
оценить, на какое расстояние / в заданном электрическом поле Е
сместится электронная оболочка (предполагаемая симметричной в
отсутствие внешнего поля) атома с известным зарядом ze (№ 3.2).
В случае, когда D = гЕ, имеем zE= Е + 4пР. Откуда
Отметим, что смещение для атома аргона в поле с напряженно¬
стью Е = 300 В/м получается 2 • 10-16 см, что значительно меньше
размера атома.
Предполагая некоторую структуру электронного облака в атоме,
можно вычислить коэффициент поляризуемости атома а в слабом
внешнем электрическом поле, пренебрегая деформацией электрон¬
ного облака (№ 3.3).
Если плотность электронного облака описывается функцией
6	pi	2(е-1 fu2r6
/4	ЗА2/4
р_(е-1)£
4я
Так как Р = пр, р = ql, q = ez, то
l -Р - р _ (£ ~ !)£
q nez Annez
11

где а — радиус первой боровской орбиты, то, используя теорему
Гаусса (1.12), имеем
Г
Е(г)4ш2 = 4nj4nr2p(r)dr.
о
Откуда находим
£(/•) = —у 1 - ехр
г
Отметим, что неопределенность при г, стремящемся к нулю, можно
раскрыть по правилу Лопиталя. Производная числителя: 4(г2/а2)е~2г/а,
производная знаменателя: 2г/а. Поэтому Е(0) = 0.
Так как наибольшая плотность заряда в основном находится при
г « а, то, разлагая экспоненту до кубического члена, получаем
Это поле в электронном облаке. При наложении внешнего поля Е0
облако сдвигается, и смещение его центра на г0 определяется поло¬
жением нулевого поля из условия Е0 + Е(г0) = 0. Получаем
и, следовательно,
Можно предположить, что электронное облако сосредоточено
внутри сферы радиусом а с постоянной плотностью (№ 3.4)
Зе
^	4 паг
По теореме Гаусса (1.12) получаем
При наложении внешнего поля Е0 в данном случае смещение
центра облака происходит также на г0:
и, следовательно, а = а\
78

Диполи диэлектрика, помещенные в постоянное электрическое
поле (Е0), выстраиваются по полю. Под действием поперечно на¬
правленного переменного электрического поля (например, синусо¬
идального Е= Ел sin Ш «: Е0) они могут совершать колебания. Най¬
дем резонансную (собственную) частоту колебаний жестких дипо¬
лей с дипольными электрическими моментами р и моментами
инерции / в постоянном электрическом поле Е0, превосходящем по
величине поле насыщения (№ 3.5). Учитывая, что момент сил М, дей¬
ствующий на диполь, равен векторному произведению М = [рЕ0], для
малых отклонений на угол 0, при которых синус можно заменить
углом, получаем уравнение вращательных колебаний
Найдем напряженность поля Ец в центре сферической полости
радиусом R внутри диэлектрической среды с диэлектрической про¬
ницаемостью е, созданного поляризационными зарядами, индуци¬
рованными на поверхности сферы. В диэлектрике имеется одно¬
родное электрическое поле напряженностью Е и вектор поляриза¬
ции Р всюду (за исключением полости) имеет постоянное значение
(№ 3.15). На рис. 3.6 показана сфера и элемент ее поверхности
Плотность индуцированного на поверхности сферы связанного
заряда
Отсюда собственная частота колебаний
dS = RdQR sin 0 d\y.
о = Pcos0.
79

Из (3.2) и (3.9) получаем
Е - {г~Х)Е
(3.48)
Отметим, что поле в сферической полости определяется (3.32)
Если диэлектрик состоит из диполей р по N штук в единице
объема, то при отсутствии их взаимного влияния друг на друга по¬
лучаем из (3.1) Р = TVp и из (3.2) Р = аЕ. Обозначая поляризуемость
диполей (например, молекул) р, получаем для диполей р = РЕ и
связь с поляризуемостью среды а = Лф. Влияние диполей друг на
друга можно учесть, считая, что поле вокруг одного диполя, созда¬
ваемое другими диполями, соответствует (3.47), и вместе с прило¬
женным описывается (3.32). В таком случае для поляризуемости
вводим а0 = УУр и для суммарного поля Ес
Р = jYp = АгрЕс = а0Ес = а0Е + 4яа0 у.
Отсюда получаем
Р =
апЕ
1 - 4яа0/3
= аЕ и а =
«о
1 - 4яа0/3
Отметим, что а0 — поляризуемость, вычисленная без учета отличия
Е. от Е.
С
Из (3.9) находим
е = 1 + 4яа = 1 + -
4яап
1 - 4яа0/3
Откуда следует формула Лоренц—Лорентца для определения е с
учетом влияния диполей в диэлектрике друг на друга (№ 3.16)
£-J_ _ 4яЛГр	,3 4д.
Эта формула хорошо подтверждается для диэлектрических жид¬
костей, поляризуемость которых а не мала по сравнению с еди¬
ницей.
Рассмотрим газ из молекул, представляющих упругие диполи с
молекулярной поляризуемостью р, для которых дипольный момент
р — рЕ. Если в такой газ, имеющий температуру Т и среднюю кон-
80

центрацию п0, внести заряженный шарик, то в результате притяже¬
ния молекул к шарику и их теплового движения установится боль-
цмановское распределение молекул в электрическом поле. Сила
притяжения определяется (1.11)
д£ п/гдЕ 1Э(р£2)
р = р_ = $Е_ = ___
д W
дх ’
где, по определению силы в потенциальном поле, W — потенциаль¬
ная энергия. Распределение Больцмана дает для распределения числа
молекул в единице объема от величины поля в случае малого возму¬
щения концентрации (8« «: п0) (см. 2, с. 188)
п = Hq exp
р Е2
2 кТ
Для заряда в диэлектрической среде из (3.9) и (3.10) имеем
D = 4 = гЕ = Е[\ + Wr)p] = Е(\ + 4пп$) + Лпп$^~.
г	кТ
Решаем это уравнение методом последовательных приближений.
В качестве первого приближения берем
Е =	^
1	1 + 4ля0Р
и подставляем в предыдущее уравнение. В результате для зависимо¬
сти напряженности поля от расстояния в газе, состоящем из диполей,
имеем (№ 3.21)
Е(г) я D(г) 1 ~ [D(r)1lО + 4ляоР)3]4*л0р2/кТ
1 + 4ЛЛдР
Если в пространство, первоначально занятое однородным элек¬
трическим полем Е0, вносят длинный диэлектрический цилиндр
так, что его ось перпендикулярна начальному полю Е0, то ди¬
электрик поляризуется однородно, и в соответствии с (1.31) поле
за счет поляризации Еп = —2пра. Вводя вектор поляризации Р
(поляризация единицы объема), получаем для поля за счет поля¬
ризации Еп = —2пР. Полное поле в диэлектрике включает прило¬
женное поле Е0 и равно Е = Е0 — 2пР. Так как именно это поле
0-2073	81

вызывает поляризацию, с помощью (3.2) получаем Е = Е0 — 2паЕ.
Учитывая (3.9), находим (№ 3.20)
При выключении внешнего поля в диэлектрике может остаться
так называемая замороженная поляризация. Связанные заряды на
границах диэлектрика создают электрические поля вне и внутри
диэлектрика.
В случае плоского слоя диэлектрика с замороженной поляри¬
зацией Р, перпендикулярной границе, поле будет как в плоском
конденсаторе: снаружи нулевое (и D = 0), внутри из (3.5) получа¬
ем Е = —4пР.
Для шара из диэлектрика с замороженной поляризацией Р мож¬
но воспользоваться (1.25) и (3.3) или сразу (3.20). Получаем, что
поле внутри шара
Вне шара поле определяется диполем с моментом, равным про¬
изведению Р на объем шара (3.21).
Если напряженность поля в диэлектрике Е, то поле в полости
внутри диэлектрика из суперпозиции (3.32)
Найдем поля Е и D для тонкого диэлектрического цилиндра дли¬
ной 21 и радиусом г<к1 с замороженной поляризацией Р, направлен¬
ной вдоль оси цилиндра (№ 3.7, № 3.8). Электрическое поле созда¬
ется связанными зарядами на торцах цилиндра. Из (3.3) получаем
плотность зарядов на торцах: а = Р на верхнем торце, если поляри¬
зация направлена вверх, и а = — Р на нижнем (рис. 3.7, а). Напря¬
женность поля на торцах определяется плотностью зарядов (1.17)
Е = 2ла = 2пР. Вдали от торцов поле меняется как от зарядов
q = л or2. В середине цилиндра Е= q/l2. Еще на больших расстояни¬
ях поле превращается в поле диполя. На рис. 3.7, а показаны сило¬
вые линии напряженности поля, на рис. 3.7, б — силовые линии
вектора D = Е + 4яР. Видно, что вне диэлектрика линии D совпада¬
ют с линиями Е, а на боковой поверхности резко меняют направле¬
ние. Изменение вектора AD = 4яР. При переходе через торцы век¬
тор D не меняется.
(е ~ 1) Ер
2я(е + 1) ‘
Еп = Е-Еш =Е +jnP.
82

а	б
Рис. 3.7
6 случае короткого цилиндра радиусом R и высотой A « R с замо¬
роженной поляризацией Р, направленной по оси цилиндра, напря¬
женность поля близка к напряженности поля в плоском конденса¬
торе: внутри Е — 4па = 4пР и направлена противоположно Р,
а снаружи поля нет. Если учесть конечность размера диэлектрика,
то, пользуясь для поля заряженного диска формулой (1.5), в центре
поверхности диэлектрика получаем напряженность поля (№ 3.8)
Для бесконечной полоски диэлектрика шириной L и толщиной
/ <к L с вектором замороженной поляризации Р, перпендикулярным
меньшей грани (рис. 3.8), найдем поле Е и индукцию D на сред¬
ней линии (№ 3.9). Поле на средней линии полоски будет как от
двух линий с зарядами на единицу длины линии, равными о/ = Р1
и —о/ = —Р1. Это, как следует из (1.16), дает поле Е = —8РI/L. Для
индукции из (3.5) получаем
Если диэлектрический образец с замороженной поляризацией Р
имеет форму полого цилиндра радиусом R и толщиной стенки А R
с разрезом ширины I <к R (сечение его и направление вектора
поляризации показаны на рис. 3.9), то поле в точке А будет от
двух заряженных линий с зарядами на единицу длины ah = Ph и
R '
83
6*

/
Рис. 3.8
Рис. 3.9
—ah = —Ph, отстоящими друг от друга на / и находящимися от
точки А на расстоянии 2R. Используя (1.16), из геометрического
сложения получаем
Так как этот вектор направлен противоположно вектору (в точке А),
получаем (№ 3.10)
Аналогичным образом решается задача для желоба, сечение ко¬
торого показано на рис. 3.10 (№ 3.11). Из (1.16) и геометрического
сложения находим в точке А
Рассмотрим тонкий диск из диэлектрика радиусом R с отвер¬
стием радиусом /-толщиной И « г с замороженной поляризацией Р,
параллельной поверхности диска (рис. 3.11). В соответствии с (3.3)
плотность связанных зарядов на внешней поверхности а = —Pcos0,
а на внутренней — а = Р cos 0. Электрическое поле, создаваемое
84
Phi
и из (3.4)

р
Е
Рис. 3.10
Рис. 3.11
в центре диска этими зарядами при угле 6, направлено вдоль ради¬
уса и равно
В силу симметрии относительно вертикальной линии при ин¬
тегрировании по всем углам остается только вертикальная состав¬
ляющая поля. Учитывая симметричность подынтегральной функ¬
ции, получаем (№ 3.12)
Этой формулой можно воспользоваться для нахождения напряжен¬
ности поля в центре отверстия в тонкой (толщиной И) длинной рейке
шириной 21 (рис. 3.12) с замороженной поляризацией, перпендику¬
лярной краям рейки. Связанные заряды на краях рейки дают поле, как
от двух противоположно заряженных нитей (1.16), а на отверстии —
по последней формуле. В итоге (№ 3.14)
На рис. 3.13 показано поперечное сечение диэлектрической пла¬
стинки толщиной 2h с замороженной поляризацией, направленной
перпендикулярно ее поверхности (по оси х) и равной
dq dq
85

У1
р
-и
0
h х
Рис. 3.13
где л: отсчитывается от средней плоскости пластинки. В силу симмет¬
рии относительно средней плоскости по теореме Гаусса вне пластин¬
ки имеем Emtm = D = 0. Из непрерывности нормальной компоненты
электрической индукции на границе диэлектрика и внутри пластин¬
ки D = 0. Из (3.5) Евнуг = —4лР. Разность потенциалов между боковы¬
ми поверхностями пластинки (№ 3.13) находим из (2.6)
Л	А (	2
ф, -ф2 = J Edx = -4пР01 1 --J
-И	-И ^	h
dx =
= -8яР0 J[1 ~^\dx = “16л-/о
Для диэлектрической пластинки с замороженной поляризацией Р,
перпендикулярной поверхностям пластинки, поле Е и индукция D
снаружи равны нулю. Так как индукция D на границе диэлектрика
непрерывна, то из (3.5) следует Е = —4лР. Если такую пластинку
поместить внутрь плоского конденсатора (рис. 3.14), пластины ко¬
торого, находящиеся на расстоянии /, соединены между собой, то
картина полей изменится. Наличие связанных зарядов на поверхно¬
сти диэлектрика приводит к тому, что на пластинах
конденсатора наводятся свободные заряды плотнос¬
тью а, разных знаков. Учитывая, что плотность свя¬
занных зарядов на поверхности диэлектрика о = ±Р
и что из непрерывности D для поля вне диэлектрика
имеем £внеш = D = Е + 4лР, из (2.6) и равенства по¬
тенциалов на пластинах конденсатора (по условию)
получаем Еансш(1 — h) + Eh = 0. Решая это уравнение
совместно с предыдущим, находим (№ 3.19)
D = Еп	=
4л Ph
Е =
4nP(l-h)
1 /
86

Плотность связанных зарядов на поверхности диэлектрика а — Р,
плотность свободных зарядов на пластинах конденсатора
Важной характеристикой проводящих тел и конденсаторов (спе¬
циальных технических устройств, предназначенных для накопле¬
ния и сохранения электрических зарядов) является емкость. Это —
коэффициент пропорциональности между зарядом проводника или
конденсатора и потенциалом или разностью потенциалов, кото¬
рый зависит от размеров и формы устройств и диэлектрической
проницаемости окружающего диэлектрика и ее распределения в
пространстве.
Емкость металлического шара радиусом R в вакууме из (2.4)
Емкость такого же шара в диэлектрике с диэлектрической про¬
ницаемостью е из (3.10)
Для двух металлических шаров (радиусами Л1 и R2), находящих¬
ся в диэлектрике с диэлектрической проницаемостью е и располо¬
женных на расстоянии 2h друг от друга, в точке, отстоящей от одно¬
го на гр а от другого — на г2, из (3.10) и суперпозиции для потенциа¬
ла получаем
	 ВПСШ 	 - ■"
(3.50)
С = zR\ {С = 4яе0е/?}.
(3.51)
а о
ср = —	— + const.
ег| ег2
В случае h » Л, и А » R2 имеем на первом шаре
и на втором шаре
<р, = —2	—
е2h eR2
—2— + const.
Разность потенциалов
<Pi -Ф2 =
<?[/.(/?, + /?2)~/г,/г2] q(Rl + R2)
Е R. | R. 2
eR. ^R 2
87

Отсюда емкость такой системы
с= е/?,Л2
R | + /?2
При = R2 = R получаем
г - tR •
С " 2 ’
С = 4лепе-
Л, + Л2
{с = 4ле0еу|.
(3.52)
(3.53)
Применение метода зеркальных изображений дает то же значе¬
ние емкости для системы из проводящей плоскости и проводящего
шара на расстоянии h » R.
Для концентрических металлических оболочек радиусами Rx и
R2, между которыми находится диэлектрик с диэлектрической про¬
ницаемостью е (сферический конденсатор), из (3.10) получаем
<Pi -Фг
<?(!//?, -1/Л2)
е
(3.54)
Отметим, что здесь q — абсолютная величина заряда, который нахо¬
дится на внешней оболочке внутренней сферы и на внутренней повер¬
хности внешней сферы. На внешней поверхности внешней сферы мо¬
жет находиться любой заряд, и он не влияет на поле между сферами.
Из (3.54) емкость сферического (шарового) конденсатора
С =
eRlR2
С = 4яе0е
Л2-Л,
(3.55)
Если толщина зазора между обкладками h мала по сравнению с
радиусами, то для площадей обкладок имеем
S ~ 4яR] = 4nR\ = 4nRlR2.
В этом случае для емкости получаем
С
(3.56)
Естественно, что ту же самую формулу получаем и для плоского
конденсатора, если пренебрегать краевыми эффектами. Используя
(3.7)	и (3.8) для напряженности между противоположно заряжен¬
ными плоскими металлическими пластинами, получаем
г 4 яо	4 nqh
E.-L и ф,-Фг.И,_,
Отсюда и следует (3.56).
88

Найдем емкость плоского конденсатора, пространство между
обкладками которого заполнено диэлектриком с линейно изменяю¬
щейся диэлектрической проницаемостью от значения г{ у одной об¬
кладки до е2 < Ej у другой. Обозначая расстояние между обкладками А,
площадь обкладок S и координату, перпендикулярную к обкладкам
х, получаем из (2.6) для изменения разности потенциалов
dx
е(х)
dx
е2 + (е1 ~ е2 )x/h
44л
ln(El/E2)
е, -е2
Отсюда определяем емкость С = q/U (№ 3.26).
Рассмотрим плоский конденсатор, на пластинах которого рас¬
пределен заряд с поверхностной плотностью а, а между пластинами
вставлен диэлектрик с диэлектрической проницаемостью е, заря¬
женный положительным пространственным зарядом так, что объем¬
ная плотность заряда изменяется от 0 у одной пластины (положи¬
тельной) до р0 у другой по закону
рЫ = сАг,
а2
где А — расстояние между пластинами. Найдем полный простран¬
ственный заряд в диэлектрике на единицу площади
Используя (3.7), находим, что снаружи конденсатора поле, как
от заряженной плоскости 2£,внеш = 4яа/2, т. е. абсолютное значение
£внеш = яа* Снова используя (3.7) для поверхности вне конденсатора
и внутри на расстоянии х, получаем
р . ( ах2)
па + еЕ = 4п о +—=- .
I 2 И2)
Отсюда получаем Е(х) внутри конденсатора (№ 3.27).
Если в изолированный заряженный конденсатор вдвигать плас¬
тину (толщиной, равной зазору между обкладками) из диэлектрика
(проницаемость е), то заряды на обкладках не меняются, а перерас¬
пределяется их плотность. Конденсатор можно рассматривать как
два конденсатора, соединенных параллельно. Суммарная емкость
при этом увеличивается, а разность потенциалов и напряженность
поля уменьшаются.
89

Электрическая индукция (смещение) в диэлектрике при вдви¬
гании уменьшается и при заполнении конденсатора целиком стано¬
вится равной значению без диэлектрика. На границе диэлектрика
меняется плотность заряда на обкладках так, чтобы напряженность
поля была одинаковой с обеих сторон границы. Обозначая пло¬
щадь обкладок 5,, а площадь, занятую диэлектриком Sv и отно¬
шение индуктивности в диэлектрике (D = гЕ) к его значению без
диэлектрика (D0 = Е0) буквой п = D/E0, из сохранения заряда
получаем
■?,£(, _ (е2^2 + Si -S2)E
4л	4л
Найдем, при каком отношении площади диэлектрика к площа¬
ди обкладок получим заданное значение и (№ 3.30). Из приведен¬
ных ранее соотношений
S2 _ е - п
Si я(е - 1) ’
В плоском конденсаторе (расстояние между обкладками /) мож¬
но две пластины диэлектрика (диэлектрическая проницаемость е)
приложить к обкладкам так, что между ними остается небольшой
зазор А. Найдем, при каком А поле в зазоре будет в п раз превышать
поле в отсутствие пластин, если конденсатор подключен к батарее
(№ 3.31). Обозначая поле в отсутствие диэлектрика Е0, в диэлектри¬
ке Е и в зазоре Е, из постоянства разности потенциалов на обклад¬
ках и (2.6) находим
V = EJJ - А) + Eh.
Из непрерывности нормальной компоненты электрической ин¬
дукции на границе диэлектрика следует Е = е£д. Получаем
Е	el
Е0~ t + h(e-iy
Откуда находим
Если металлический шар радиусом Л, окружен шаровым слоем
диэлектрика с диэлектрической проницаемостью е толщиной А
(Л2 = /?, + А) и помещен концентрично в металлической оболочке с
90

внутренним радиусом R3 (№ 3.24), то для разности потенциалов
такого конденсатора имеем
Аф = -
Я
£
1/Д.-1/Д2 ,
е
1
Яп
Отсюда находим С = q/Aq>.
Найдем изменение напряженности электрического поля в сфери¬
ческом конденсаторе (радиусы Л, и R-), который заполнен двумя одно¬
родными диэлектриками (с диэлектрическими постоянными е, и е^,
граничащими по конической поверхности (телесные углы й, и й2).
Если на внутренней обкладке заряд Q, то Q =	+ Q2R2a2. Из
сохранения касательной компоненты поля на границе диэлектри¬
ков и (3.10) получаем
Откуда
Е = 4яЛ2 = 4лЛ,2
е,г
2l_
е2г
Это позволяет найти
RI (Й1 +й2 е2 /е1)
и подставить его в выражение для напряженности поля (№ 3.28)
Рассмотрим пустотелый металлический шар, заряд которого q,
а радиус R, плавающий в жидкости с диэлектрической проницаемо¬
стью е, так, что его центр находится на уровне поверхности жидко¬
сти, и найдем плотность свободных зарядов на его поверхности,
считая диэлектрическую проницаемость воздуха равной е (№ 3.38).
Для потенциала и напряженности поля вокруг шара имеем симмет¬
ричную картину, описываемую уравнением Лапласа (2.13). Плотность
свободных зарядов на шаре и электрическая индукция меняются скач¬
ком на границе диэлектриков. Обозначая плотность заряда на поло¬
вине поверхности, находящейся в жидкости о,, а в воздухе а, можем
написать q = 2nR\a{ + о). Изменение электрической индукции из
(3.7)	в воздухе
D = 4я R1
а
4 пг
2 ’
91

а в жидкости
D, =4 kR2-\.
4 nr2
Используя непрерывность напряженности электрического поля
на границе диэлектриков (2.7), получаем
' «I
и затем
£ - £l
ё" е, ■
Подставляя это в выражение для суммарного заряда, находим соот¬
ветствующие плотности.
Найдем емкость сферического конденсатора, т. е. отношение
заряда к разности потенциалов, при заданном значении заряда q,
если в него (радиусы обкладок соответственно Л, и R2) помещен
неоднородный диэлектрик с поляризуемостью, зависящей от рас¬
стояния от центра сфер (г), а = Р^г2. Из (3.7) D = q/r2. Из (3.2),
(3.5)	и заданного соотношения для поляризуемости имеем
4= Я(1+4яР/-2|£|).
Г
При положительном заряде на внутренней обкладке Е > 0 получаем
4nfi(r2E)2 + r2E — q = 0.
Решая это квадратное уравнение и беря (по смыслу) положитель¬
ный корень, находим
ггЕ
-1 + (1 + 16яР q)
8яр
= А = const.
С помощью (2.6) получаем
ч
R
2 J
Откуда емкость (№ 3.33) С = q/Д<р.
Найдем объемное распределение связанных зарядов в диэлектри¬
ке, заполняющем сферический конденсатор (внутренний радиус Л,,
92

внешний R2), проницаемость которого с расстоянием от центра сфер (г)
изменяется по закону (№ 3.34):
Из (3.7) и (3.8) имеем
Z) = 4 = Ее = Ее
г
Откуда следует постоянство напряженности поля при изменении
расстояния от центра сфер
Используя (3.4) и выражение для дивергенции в сферических
координатах в случае сферической симметрии (1.22), получаем
d
1
4яе,Л?
_ 2я
Если задан не заряд, а разность потенциалов ( U), то
Емкость цилиндрического конденсатора, состоящего из коаксиаль¬
ных цилиндрических металлических обкладок радиусами Л, и Rv
между которыми находится диэлектрик с диэлектрической прони¬
цаемостью е, получаем, используя (3.7) и (3.8). Из (3.7) для едини¬
цы длины цилиндра получаем еЕ2пг = 4nq. Для разности потенциа¬
лов на обкладках имеем
Из (3.8)
р_ (е-1 )Е _ gfci *iA-l)
4 пгхЯ]
Чк\
93

Откуда для емкости цилиндрического конденсатора длиной / по¬
лучаем
С =
е/
21п(Л2/Л1)’
4я8 0е/
2 Ш (R2/Ri)
(3.57)
При малом по сравнению с радиусами зазоре между цилиндра¬
ми (А) (3.57) переходит в (3.56).
Найдем емкость цилиндрического конденсатора (на единицу
длины), т. е. отношение заряда к разности потенциалов, при задан¬
ном значении заряда q (на единицу длины), если в него (радиусы
обкладок соответственно Л, и Л2) помещен неоднородный диэлек¬
трик с поляризуемостью, зависящей от расстояния от оси цилинд¬
ров (г), а = р|£|г. Из (3.7) D = 2q/r. Из (3.2), (3.5) и соотношения
для поляризуемости имеем
2^ = £(1 + 4яРг|£|).
При положительном заряде на внутренней обкладке Е > 0 по¬
лучаем
4яР (rE)2 + rE- 2q = 0.
Решая это квадратное уравнение и беря (по смыслу) положитель¬
ный корень, находим
гЕ =
-1 +(1 + 32яр<7)
8тф
= А = const.
С помощью (2.6) получаем
я,
Дф = -л(± = -
i г
= —А In
'R_
\
2_
1 )
Откуда емкость (№ 3.32) С = q/Дф.
Рассмотрим цилиндрический конденсатор (с радиусами обкла¬
док /?| и Л2 и длиной /), заполненный двумя разными диэлектрику
ми (с проницаемостями е, и е2), граничащими по плоскостям, про¬
ходящим через ось цилиндра и образующим двугранные углы 0, и
02 = 2л — 0,. Найдем напряженность электрического поля между
обкладками, если заряд на внутренней обкладке равен Q (№ 3.29).
Обозначая плотности зарядов на внутренней обкладке о, и о2, име-
94

ем Q = Л,/(е,а, + 02<т2). Из сохранения напряженности поля на гра¬
нице диэлектриков (3.18) и (3.7) находим
Откуда
Используя выражение для Q, получаем
г	4nQ
(8,0, +е202)/г
Найдем распределение объемной плотности поляризационного
(связанного) заряда, напряженность поля Е{г) и индукцию D(r) внут¬
ри и вне в длинном цилиндре радиусом R с замороженной поляри¬
зацией (№ 3.35)
Пользуясь (3.4) и выражением для дивергенции в цилиндричес¬
ки симметричном случае (1.21), получаем
Снаружи, так как свободных зарядов нет, D = 0. Следовательно,
снаружи и Е = 0. Из непрерывности на границе диэлектрика нор¬
мальной компоненты D и (3.8) внутри Е = —4пР.
Если диэлектрический диск вращать, то силы инерции (центро¬
бежные) вызывают смещение электронных оболочек и возникнове¬
ние поляризации диэлектрика. Сила, действующая на электрон,
определяется угловой скоростью его вращения со, массой т и рас¬
стоянием г от оси вращения, F= таРг. Эта сила дает ту же поляри¬
зацию, что и электрическое поле Е = F/e (е — заряд электрона). Для
нахождения поляризации воспользуемся (3.2) и (3.9)
где е — диэлектрическая проницаемость диэлектрика, а вектор по¬
ляризации направлен к оси вращения и на поверхности цилиндра
Р0 d (\ - г/R){r2/я)
95

при г = R будет отрицательный заряд. Объемная плотность связан¬
ных зарядов определяется (3.4) и дивергенцией для цилиндричес¬
ких координат. С учетом направления Р получаем (№ 3.36)
- * d r2/wc°2 (е ” О/^71^
г	dr
ты2
е - 1
Апе
Угловую скорость вращения можно выразить через число обо¬
ротов
Для заряда на поверхности цилиндра получаем
q = -min2 (е - 1 )n2R2 —.
е
Емкость двух прямолинейных параллельных проволок длиной /
(много большей диаметров проволок /?, и Rv чтобы можно было пре¬
небречь краевыми эффектами), имеющих противоположные по знаку
заряды q, вычислим, используя суперпозицию и теорему Гаусса.
Из (3.7) следует
Е =	(3.58)
hr
Из (2.6) получаем
2^rlnr +const.	(3.59)
/е
В точке, которая находится от проволок на расстояниях гх и rv
потенциал
lq In г, 2q In л
Ф =	—- + const.
/е	/г
Вводя расстояние между проволоками 2h и действуя так же, как
ранее для шаров, получаем емкость системы
£ _	е/	. L, =	2яе0е/	1
- 21п(4Л2//г,Л2)’	{ " 1п(4Л2/л1Л2)|
В случае одинаковых радиусов проволок
4 In (2 h/R)'
(3.60)
(3.61)

Система из проводящей поверхности и проволоки, проходящей
параллельно ей на расстоянии А, имеет емкость
С =
el
2 In (2 h/R)'
(3.62)
Это следует из предыдущей формулы при использовании метода
зеркальных изображений.
Конденсаторы можно соединять в батареи. Общая формула свя¬
зи разности потенциалов на конденсаторе с зарядом и емкостью
ДФ = U = 1.	(3.63)
При параллельном соединении конденсаторов (емкостями С,
и С2) разности потенциалов между обкладками обоих конденса¬
торов одинаковые, заряд системы равен сумме зарядов конденса¬
торов q = qx + q2. Разделив это на одинаковую разность потенци¬
алов, получаем
С = С, + С2.	(3.64)
При последовательном соединении конденсаторов средние об¬
кладки соединены между собой, поэтому их заряды равны по вели¬
чине и противоположны по знаку, а разности потенциалов склады¬
ваются (/=(/,+ UT Поэтому
I = -L J_
С С, + с2'
(3.65)
Если в плоский конденсатор, имеющий расстояние между об¬
кладками А, введена пластина из оптического стекла (е) так, что
остался зазор 5, и приложена разность потенциалов U, то напряжен¬
ность поля Е можно найти из соотношения
U = Е8 + Е-.
е
При отключении конденсатора от источника на нем сохра¬
няется заряд. При удалении пластины напряженность поля, оп¬
ределяемая плотностью заряда, не меняется. Напряжение будет
равно V = Eh. Используя предыдущее соотношение, получаем
(№ 3.25)
U =
Уе
1 + (е - 1) 8/А *
7-
97

В случае слоев диэлектрика в плоском конденсаторе можно
считать на границах диэлектриков обкладки и пользоваться резуль¬
татами для последовательно соединенных конденсаторов. В данном
случае
^ _ S .	^ е£
1	4л5’	2 4л(й - S)'
Емкость системы С получаем с помощью (3.63)
С =
eS
4n\_h +(е - 1)8]
При удалении диэлектрика заряд q = VC сохраняется, а емкость
конденсатора становится
Разность потенциалов
С3
S
4 nh'
Перемещение одного заряда в поле другого приводит к измене¬
нию энергии электрического взаимодействия зарядов (2.3). Для двух
точечных зарядов qx и q2 можно вычислить, например, работу по
перемещению заряда qi в поле неподвижного заряда q2 из бесконеч¬
ности в точку, находящуюся от него на расстоянии г,2, потенциал
которой обозначим <р, = q2/r12. Для энергии взаимодействия получаем
w = у1 = 4i<Pi = ЬЪ = \{я&\ + ЯгЧг)-	(366)
Здесь <р2 = Я\/Гп-
Найдем энергию, запасаемую в конденсаторе при зарядке. Работа
совершается при перемещении заряда с одной обкладки на другую
W
(3.67)
где U — напряжение (разность потенциалов) на обкладках конден¬
сатора.
Для плоского конденсатора
SE21
8 к
(3.68)
98

На единицу объема электрического поля (плотность энергии) в
плоском конденсаторе
(3.69)
Можно ввести и электрическую энергию одного заряда, подразу¬
мевая под этим работу, требующуюся для его создания, например
путем последовательного переноса зарядов из бесконечности.
Вычислим электростатическую энергию заряда на шаре радиу¬
сом R в вакууме, если заряд шара Q равномерно распределен по его
поверхности. Можно заряды из бесконечности приносить на повер¬
хность бесконечно тонкими симметричными слоями. Используя
(3.39), имеем (№ 3.42)
W
8 ke0R
(3.70)
В случае распределения заряда в шаре с постоянной плотнос¬
тью (р) получаем (№ 3.43)
W = J(р(г, q)dq = J jitr3pj4nr2pdr =	(3.71)
о	о3 r	3 к
Те же результаты можно получить, если, воспользовавшись (3.69),
(1.14) и (1.15), проинтегрировать по пространству, где имеется элек¬
трическое поле:
W =
_1_
8л
f E2dV + jE2dv\ = Jnprf 4nr2dr + ]U
<0	R J o'3	'	/Лг
\_tf_ ic?i = 3{£
10 R + 2 R 5 R
4nr2dr =
(3.72)
Отметим, что при рассмотрении точечных зарядов в энергии
появляются бесконечно большие величины. В некоторых задачах,
где требуется найти разности энергий (работу), можно их вычитать.
Рассмотрим две удаленные друг от друга металлические сферы с
внешними радиусами /?, и R2 и толщиной стенки А, в центры кото¬
рых помещены заряды ql и qT Найдем работу, необходимую, чтобы
поменять заряды местами (№ 3.47). Используя (3.72), можем напи¬
сать энергию поля для первой сферы с зарядом
Я\
2R'^dr
г аг о с dr
J -T + tfrJ-T
1
2
К\ ~
*1 I
о
dr q]
г2 Л,/

Аналогичным образом можно написать и для второй сферы.
Суммарная энергия в начальном состоянии
Предполагая, что масса электрона определяется из соотношения
W - тс2, где W — электростатическая энергия заряда электрона,
можно оценить его радиус:
1)	в случае постоянной плотности заряда по объему с помощью (3.71);
2)	в случае заряда на поверхности с помощью (3.70) (№ 3.44).
Если известна работа А, необходимая для перемещения заряда q
от поверхности равномерно заряженного (плотность заряда р) плос¬
кого слоя на расстояние /, то, используя (1.12), получаем толщину
слоя (№ 3.45)
Электрическая энергия конденсатора, определяемая (3.67), при
разряде передается среде, находящейся между обкладками. Если
между ними находился разреженный водород с начальными: объемом
У0= 10 л, давлением р0 = 10-2 мм рт. ст. и температурой Т0 = 300 К,
а напряжение на конденсаторе емкости С = 18 мкФ было Ь— 30 кВ,
то, обозначая число частиц в данном объеме N (после нагрева до
температуры Г их в результате диссоциации и ионизации станет 4N),
можем написать закон сохранения энергии
В конечном состоянии
Работа равна разности этих энергий
2npql ’

Используя уравнение состояния идеального газа (см. 2, с. 8)
Д Г _ Р0У0
кТ0
и пренебрегая начальной энергией газа (вторым членом), находим
(№ 3.46)
Т = -о£^1-3>107 к
Пр0У0
Отметим, что температура газа может снизиться, если будут на¬
греваться обкладки конденсатора.
Энергия трех проводящих шаров с радиусами Л,, R2 и /?3 и соот¬
ветственно потенциалами <р,, <р2 и <р3, далеко разведенных друг от
друга, равна
и/ _ ^|Ф? + ^2Ф2 + ^зФз
гу ы	2
Если шары соединить тонкими проволочками, емкостями кото¬
рых можно пренебречь, то потенциалы их станут одинаковыми. Его
можно найти из сохранения зарядов
Л,Ф, + Л2<р2 + Л3<р3 = (Я, + R2 + Л3)ф.
Энергия системы после соединения шаров
и/ _ (^1+ Л2 + Лз)ф2
” к	2
Количество теплоты, выделившееся при прохождении токов (№ 3.56):
Q=K~K-
Рассмотрим диск радиусом R и толщиной I (I «ж R) из равно¬
мерно заряженного диэлектрика (диэлектрическую проницаемость
положим е = 1) с объемной плотностью заряда р, который лежит
на большой металлической заземленной пластине. Вычислим энер¬
гию электростатического поля диска, пренебрегая краевыми эф¬
фектами (№ 3.49). Воспользуемся методом электрических изобра¬
жений. Для удовлетворения условия на металлической пластине
надо под диском разместить такой же диск с объемной плотнос¬
тью заряда —р. Используя теорему Гаусса (1.12), (1.19) и (1.20),
получаем, что вне диска поле отсутствует, а по его толщине меня-
101

ется линейно. Интегрируя по толщине с помощью (3.69) и умно¬
жая на площадь, получаем
W = nR2} (4ярх)2 р- = |п2р2Я21\
о	8л 3
Если во внешнем поле Е находятся два заряда противополож¬
ных знаков, образующие диполь с моментом р = q 1, то энергия этих
зарядов во внешнем поле равна
W= <?(р - <7(р' = ?(ф - ср').
С точностью до величин второго порядка малости
Ф = Ф/ + |у/ = ф/ + 1 gradф = ф' - 1Е.
о!
Откуда
W = —<71Е = —рЕ.	(3.73)
Это энергия взаимодействия зарядов, поэтому она может быть от¬
рицательной. Отметим, что это энергия жесткого диполя (расстоя¬
ние между зарядами не меняется).
Для проводящего шарика радиусом R в поле Е дипольный мо¬
мент р = Я3Е, и поэтому при изменении поля
Е	пЗ р2
W = -/?3 J EdE =	у~-	(3.74)
о	2
При внесении проводящего незаряженного шарика в заряжен¬
ный плоский конденсатор его заряд q не меняется, а емкость увели¬
чивается (как бы уменьшается расстояние между пластинами /). Из
сохранения энергии
R3E2
RV
2 С 2(С + ДС) 2	2(С + ДС) 2 С2/2'
Отсюда изменение емкости (№ 3.66) ДС= R3/l2. Заметим, что не
учтено исчезновение энергии поля в объеме шарика, которая равна
т. е. примерно того же порядка в случае R = 0,2 мм и
3 оЯ
/= 1 см.
Рассмотрим идеальный газ, полярзуемость молекул которого р,
находящийся в большом сосуде при температуре Т, где также нахо¬
дится плоский конденсатор с напряженностью поля Е. Найдем от¬
102

носительную разность концентраций молекул Дп/п0 в конденсаторе и
вне его, предполагая выполнение распределения Больцмана (№ 3.6).
Дипольный момент молекул в электрическом поле равен р = рЕ.
Формула (3.73) получена для жесткого диполя и связана с его пово¬
ротом в поле. Получим энергию упругого диполя в процессе квази-
статического изменения дипольного момента при изменении внеш¬
него поля. При изменении поля изменяется дипольный момент
dp = qdl = РdE. Работа электрических сил qEdl = fiEdE. Определяя
энергию упругого диполя W, как работу внешних сил, имеем
»/_ Р£2	РЕ	рЕ
2	2	2 '
Распределение Больцмана для числа молекул в единице объема
(см. 2, с. 188)
"-"»exp(-^)="»exp(w)-
где п0 — концентрация молекул вне конденсатора.
При малых отклонениях концентрации
Ди р Е2
Лф = 2кТ
Формулы (3.68) и (3.69) можно преобразовать для конденсато¬
ров, заполненных диэлектриками. Используя (2.6) и (3.7), из (3.67)
получаем вдоль силовой линии
- ± J(EDWK - ±j lE'dV,
где dV= dldS.
Для плотности электростатической энергии в диэлектрической среде
имеем
(ED) _ е£2 _ D2 ' | _ (ЕР) _ е0гЕг _ D1
8я 8я 8яе ’	W 2	2 2е0е
(3.75)
Используя те же формулы, можно получить выражение для плот¬
ности энергии, не предполагающее линейную зависимость между
Е и D,
=	=	{lT = Kjb/D}. (3.76)
103

Рассмотрим два удаленных друг от друга диэлектрических (с ди¬
электрической проницаемостью е) шара радиусами Л, и Rv в цент¬
ры которых помещены заряды q] и q2. Найдем работу, необходимую,
чтобы поменять эти заряды местами (№ 3.48). Используя (3.75) и
(3.10), можем найти начальную и конечную энергии
2е
2 *|
л *1
2е - г
+jL
+sL
2R\
2е
2
*>
+ 92
+ f
2R,
2е
Я\
2 R2
Работа равна разности энергий
A = WK-WH= {q\ -q}){е -1)
Рассмотрим плоский конденсатор емкостью С, подключенный пос¬
ледовательно с некоторым сопротивлением (R) к батарее с ЭДС &.
Пластины конденсатора быстро сближают, так что расстояние между
ними уменьшается в два раза, причем настолько быстро, что заряд
конденсатора практически не меняется. Найдем джоулеву теплоту,
которая выделится на сопротивлении к моменту окончания переза¬
рядки (№ 3.58). В соответствии с (3.56) емкость увеличится в два
раза (АС = С), и, следовательно, при неизменном заряде разность
потенциалов уменьшится в два раза (станет равной й/2). После окон¬
чания процесса перезарядки разность потенциалов снова станет рав¬
ной #, а заряд увеличится в два раза, т. е. протечет заряд, равный
начальному на конденсаторе Aq = q = С$. Изменение энергии кон¬
денсатора в процессе перезарядки
AW = 2С^--2сЩ^- = jC$2.
2	2	4
Из сохранения энергии следует, что работа батареи А = Aq<$= С%2
пошла на изменение энергии конденсатора АИ^и нагрев сопротив¬
ления (Q). Таким образом,
Q = A-AW = ^Of2.
Для того чтобы за время сближения пластин At заряд конденса¬
тора не изменился, необходимо выполнить условие At <к т = RC.
104

Такое выражение для характерного времени т можно получить из
уравнения для данного контура
= £
и его решения
q = WC[ \-е-Ч{кс)].
Рассмотрим плоский конденсатор (площадь пластин S, расстоя¬
ние между ними А), в котором находится пластина из стекла (ди¬
электрическая проницаемость е), целиком заполняющая простран¬
ство между обкладками. Найдем, как изменяется энергия конденса¬
тора при удалении пластины диэлектрика в случае, когда он все время
присоединен к батарее с ЭДС, равной Ш, и в случае, когда конденса¬
тор был первоначально присоединен к батарее, а затем отключен, и
только после этого пластина была удалена. Вычислим также меха¬
ническую работу, затрачиваемую на удаление пластины в обоих слу¬
чаях (№ 3.62).
Энергия конденсатора (3.67)
Емкость начальная
СГ
2 ‘
конечная
их разность
zS
Anh ’
S
4nh’
A C =
C - C =
-(e - 1 )CK.
В первом случае сохраняется разность потенциалов U. Поэтому
соотношение между начальной WH и конечной IVK энергиями
zSU2
Snh
>W„
SU2
8 nh
В этом случае при уменьшении емкости уменьшается энергия
= WK -WH = (1 -е)
2 *
105

Во втором случае сохраняется заряд. Поэтому
н 2eS к	2S
Энергия увеличивается
AtV2=rK-HSH=(e-l)^-.
При вычислении механической работы Ам в первом случае надо
учесть работу источника напряжения
А и = и) dq = UAq = U2AC.	(3.77)
Н
Эта величина отрицательная, поэтому энергия источника увели¬
чивается за счет механической работы. Следовательно,
Ам = AW{ -Аи =jU2AC-U2AC = -±[/2АС =
Во втором случае механическая работа идет на увеличение энер¬
гии конденсатора
А „ = AWj =(e-l)-^- = ie(e-l)CKC72.
2еСк 2
Пондеромоторными называются силы, которые действуют на ве¬
сомые тела (диэлектрики и проводники), находящиеся в электри¬
ческом поле. Сила, действующая на заряд, определяется напряжен¬
ностью поля, в которое помещен этот заряд, а не того поля, которое
возбуждается им самим.
Рассмотрим заряженный проводник. Так как взаимно отталки¬
вающиеся элементы заряда не могут покинуть проводник, к его по¬
верхности будут приложены пондеромоторные силы, стремящиеся
ее растянуть. Обозначая поверхностную плотность заряда а, для на¬
пряженности поля с внешней стороны элемента площади поверх¬
ности dS имеем из (1.12) Е= 4тш. У поверхности проводника поле
направлено по нормали к поверхности. Это поле можно считать
суммой полей от заряженной площадки dS (1.17) и поля, создава¬
емого другими зарядами поверхности в отсутствие площадки. Это
поле равно 2жт и направлено по внешней нормали к поверхности.
106

Таким образом, сила, действующая на единицу площади элемента
dS, равна
/ = 2жт2 =^Еа = ^.	‘	(3.78)
Если по поверхности сферы радиусом R равномерно распреде¬
лен заряд Q, то давление изнутри поверхности определяется по (3.46)
(№ 3.50)
p = f = 2na2 =-^-4--	(3.79)
оЯа
Силу отталкивания между двумя половинками проводящей сферы
радиусом Л с общим зарядом £)(№ 3.51) можно найти, используя (3.78):
F = pnR2 =(3.80)
о К
Если в центр проводящей сферы, рассмотренной ранее, помес¬
тить заряд <7, то он увеличит давление на поверхность на рх = aq/R2.
Складывая это с давлением от заряда Q, получаем (№ 3.52)
F Q(Q + 2g)
8 R2
Рассмотрим незаряженный проводящий шар (радиусом R), разре¬
занный пополам, находящийся во внешнем однородном поле (Е0),
перпендикулярном плоскости разреза. Найдем силу, с которой оба
полушария отталкиваются друг от друга (№ 3.53). Поле на поверх¬
ности шара описывается (1.28)
Е = 3 Е0 cos 0 ”,
А
где 0 — угол между направлением Е0 и нормалью к поверхности.
Проекция силы давления на ось симметрии (направление поля Е0)
из (3.78)
Л = Е2
COS0
8 к
Силу отталкивания, действующую на каждую из половинок, на¬
ходим интегрированием по углу
•Ч*	Q	^	Q
F = J f^lnRsinQRdQ = ^ElR2 j cos30sin0rf0 = ^ElR2.
107

Рассмотрим длинный проводящий цилиндр радиусом R, состав¬
ленный из двух половинок. Найдем силу отталкивания Fдействую¬
щую на единицу длины каждого полуцилиндра, если на единицу
длины цилиндра приходится заряд % (№ 3.54). Давление на единицу
поверхности определяется (3.78). На единицу длины каждой поло¬
винки цилиндра действует сила
F = 2na72R =
так как
Если на оси цилиндра поместить тонкую заряженную нить, на
единицу длины которой приходится заряд Хо> то на его поверхности
и дополнительное давление
Ро =
2%qCt
R ’
т. е. в сумме для силы имеем
г х(х + 2х0)
F’
Оценим силу, действующую на атом, находящийся на рассто¬
янии / = 200 А от поверхности острия металлической иглы с ра¬
диусом закругления R = 100 А. Потенциал на игле V = 100 кВ.
Поляризуемость атома а — величина порядка его объема (№ 3.71).
Будем считать, что поле острия иглы совпадает с полем заряжен¬
ного шара
Дипольный момент поляризованного атома р = аЕ. Используя
(1.11), находим силу притяжения
г/2 п2
F = -2а———г = 10“5 дин.
(l + Rf
108

Найдем силу притяжения между пластинами плоского конден¬
сатора, на одной из которых плотность заряда о, а на другой —а.
Поле, создаваемое одной пластиной там, где находится вторая, равно
(1.17)	Е= 2по. Сила, действующая на единицу .поверхности второй
пластины,
j = p = 2na\	(3.81)
Учитывая, что поле внутри конденсатора Е = 4ла, получаем, что
'-£•	<з-82)
Это можно назвать силой натяжения вдоль силовой линии, и ее
величина равна плотности энергии (3.69). Силовая линия как бы
старается сократиться, а расстояние между силовыми линиями, как
в дальнейшем будет показано, стремится увеличиться.
Рассмотрим плоский конденсатор, состоящий из двух квадрат¬
ных пластин, расположенных в вакууме вертикально на расстоянии
Л = 1 мм друг от друга, одна из которых закреплена, а другая может
двигаться без трения по гладким вертикальным направляющим.
Найдем, при какой разности потенциалов U между пластинами
подвижная не упадет вниз, если ее масса М = 1 г, а сторона квад¬
рата / = 10 см (№ 3.69). Обозначая смещение подвижной пластины
у и пользуясь (3.68), получаем для энергии конденсатора
тv_m-y)
8л
Сила в направлении у равна
dW
ду
е2м
8 п
= Mg.
Отсюда для разности потенциалов получаем
U = Eh =	= 4,71 кВ.
Если между пластинами конденсатора находится диэлектрик, то
поле от первой пластины, которое действует на заряд второй, равно
Е = 2ла/е и сила
F	_ 2па2 еЕ2
J ~ Р ё 8тГ‘
(3.83)
109

И в этом случае величина силы натяжения вдоль силовой линии
равна плотности энергии (3.75).
Отметим, что в случае твердых диэлектриков, когда имеется хотя
бы небольшой зазор между диэлектриком и пластиной, сила притя¬
жения определяется (3.81) и (3.82), а для жидких диэлектриков, ког¬
да зазор отсутствует, — (3.83).
В заряженном цилиндрическом конденсаторе сила притяжения
между обкладками может привести к разрушению обкладки. Рас¬
смотрим цилиндрический конденсатор, состоящий из двух тонко¬
стенных коаксиальных металлических цилиндров, пространство
между которыми заполнено жидким диэлектриком с диэлектричес¬
кой проницаемостью е = 2. На конденсатор подается напряжение,
величина которого медленно увеличивается. Найдем, что наступит
раньше: механическое разрушение внутренней обкладки или пробой
диэлектрика, если известно, что пробой наступает при напряженно¬
сти поля Е = 30 кВ/мм, а разрывное усилие стенок цилиндров —
о = 500 Н/м и радиус внутренней обкладки R — 3 см (№ 3.60).
Отметим, что сила притяжения между обкладками растягивает внут¬
реннюю обкладку и сжимает внешнюю. Так как материал на сжа¬
тие обладает большей прочностью, чем на растяжение, то в пер¬
вую очередь будет разрушаться внутренняя обкладка. На рис. 3.15
показаны силы, действующие на элемент обкладки (площадью 2аR,
умноженной на единицу длины вдоль образующей цилиндра): сила
притяжения 2аRp, которая определяется по (3.83), и проекции сил
2а/, которые ее уравновешивают. Откуда
_ Ле£2
J ~ 8я '
Если Е= Еп , то/= 2 • 105 дин/см. Это меньше, чем аразр = 500 Н/м =
= 5 • 105 дин/см. Поэтому раньше произойдет пробой диэлектрика.
Найдем силу притяжения между обкладками (площадью S) плос¬
кого воздушного конденсатора (разность потенциалов обкладок U),
в который введена диэлектрическая пластина толщиной А, и диэлек¬
трической проницаемостью е так, что между обкладками и пласти¬
ной еще остались зазоры, суммарная толщина которых / (№ 3.59).
Для разности потенциалов имеем
(/ = £/ + — .
8
Используя (3.82), получаем
F =
SU2
8я(/ + А/е) ’
110

На рис. 3.16 показано сечение плоского конденсатора, в кото¬
рый параллельно его обкладкам вставлена диэлектрическая пласти¬
на с проницаемостью е, толщина которой равна половине зазора
конденсатора (А), и приложено напряжение V. Пунктиром изобра¬
жен некоторый замкнутый контур L, пронизывающий конденсатор
и диэлектрическую пластину. Найдем циркуляцию j>Dtdl вектора
электростатической иццукции D по контуру L (№ 3.65). Круговой
интеграл (3.18) в электростатике равный нулю можно разбить на две
части. Часть, находящуюся вне конденсатора, обозначим А. Тогда
из (3.18)
. Eh Eh ^
А + -— + — = 0;
2 2е
A = -Eh
е +1
~ъГ
Так как вне конденсатора D = Е, а внутри конденсатора D не¬
прерывно, получаем
&D,dl = Dh + А = Eh= V^-l.
7 1	2e e +1
Рассмотрим плоский конденсатор, пластины которого имеют
площадь S и расположены на расстоянии А, заполненный диэлект¬
риком с диэлектрической проницаемостью е и присоединенный к
батарее постоянного тока, поддерживающей на нем разность потен¬
циалов U. Одну из пластин отодвигают так, что образуется воздуш¬
ный зазор. Найдем, на какое расстояние х отодвинута пластина,
если при этом совершена работа А (№ 3.57). Изменение напряжен¬
ности электрического поля Е в воздушном зазоре можно опреде¬
лить из условия
rr ЕЬ с
U = — + Ех.
е
111

Сила, совершающая работу, определяется из (3.82). Работа этой
силы
А
S | U2dx
Sn{(x+h/t)2
SU2xt2
Snh(xe + h) *
Откуда получаем
SU2z2/%nhA-z'
На границах диэлектриков, находящихся в электрическом поле,
действуют силы. Рассмотрим это на примере жидких диэлектриков
с диэлектрическими проницаемостями е, и е2 внутри плоского кон¬
денсатора. В первом случае плоская граница диэлектриков парал¬
лельна пластинам конденсатора (рис. 3.17). Предполагается, что ди¬
электрики несжимаемы, и температура постоянна. Как обычно в
механике, работу силы fS на виртуальном перемещении 5х прирав¬
ниваем изменению энергии в данном случае при постоянных зарядах
на обкладках конденсатора, так как при этом на границе диэлектри¬
ков индукция постоянна. Изменение энергии происходит из-за того,
что в объеме SЪх вместо диэлектрика с проницаемостью е2 появится
диэлектрик с проницаемостью е,. Таким образом,
fSbx = —(w, — w2)55x.
Используя (3.75), находим силу на единицу площади
Д2(1/е2-1/е,)
7	8л
(3.84)
При Ej > е2 сила направлена, как показано на рис. 3.17, в сторону
диэлектрика с меньшей проницаемостью.
Если граница диэлектриков перпендикулярна пластинам конден¬
сатора (рис. 3.18), то на границе постоянна напряженность поля,
е2
е
I
i
6jc
Рис. 3.17
1
! /
1
е.
1
1
I е2
1
!
Рис.
3.18
112

что соответствует постоянной разности потенциалов на конденса¬
торе (конденсатор присоединен к батарее). Из (3.84) находим силу
давления на единичную площадку
Е2(е 1-е2)
J	8я
(3.85)
При е, > е2 сила направлена, как показано на рис. 3.18, также в
сторону диэлектрика с меньшей проницаемостью.
Если к плоскому воздушному конденсатору (площадь пластин S,
расстояние между ними А, пластины расположены вертикально),
заряженному до разности потенциалов V и отсоединенному от
источника ЭДС, снизу подводят сосуд с жидким диэлектриком
(диэлектрическая проницаемость в), то диэлектрик втекает в кон¬
денсатор. Для случая заполнения конденсатора наполовину най¬
дем емкость конденсатора С, напряженность поля Е, распределе¬
ние плотности заряда на поверхности пластины а, уменьшение энер¬
гии конденсатора Д W (№ 3.61). Емкость конденсатора можно
рассматривать как параллельное соединение двух конденсаторов (с
половинной площадью пластин) воздушного и заполненного диэ¬
лектриком. Используя (3.56) и (3.64), находим
(1 + е)Д
8яА ‘
Из (3.18) следует непрерывность напряженности поля на грани¬
це диэлектрика. Сохранение заряда на конденсаторе
Откуда
а - VC - ^ - УС
4 ~ КС° " 4яА " К,С‘
Р _ К _ 2V
h А(е + 1) ’
Из (3.7) а = D/An. Используя (3.8) и равенство напряженностей,
находим в воздушном зазоре
V	8 V
°в 2nh(\ + е) ’ ад 2кН(\ + е) *
Из (3.75) изменение энергии
(е + 1) E2hS (V/hf Sh SV2 (e - 1)
16я	8я 8яА(е +1)
8-207Э	ИЗ

Аналогичным образом можно решить задачу с твердым диэлект¬
риком. Найдем, например, силу, с которой пластина из диэлектри¬
ка (е), также вставленная до половины конденсатора (с квадратными
пластинами), втягивается в него (№ 3.63). Используя (3.85), имеем
8я
8я(е + I)2
Если внутри конденсатора имеется диэлектрик с диэлектричес¬
кой проницаемостью е, то его емкость (С0) увеличивается в е раз
С = еС0 (3.56). Из (3.67) для энергии плоского конденсатора имеем
w-L-jL
1 ” 2С " 2еС
о
Допустим, что в конденсаторе находился жидкий диэлектрик,
который слили, предварительно отсоединив конденсатор от батареи
(источника питания). Так как заряд на конденсаторе сохраняется,
его энергия станет равной
W, =
2Сп
= efVj.
Такая энергия выделится при разрядке конденсатора (№ 3.55).
Выливание диэлектрика — это работа силы тяжести против сил элек¬
трического поля, которые в соответствии с (3.85) стремятся втяги¬
вать диэлектрик. Она увеличивает энергию конденсатора.
На рис. 3.19 показано сечение конденсатора переменной емкости,
состоящего из двух неподвижных металлических пластин, располо¬
женных на расстоянии h друг от друга, и подвижной диэлектричес¬
кой пластины с диэлектрической проницаемостью е, которая может
поворачиваться и заходить в зазор между металлическими пласти¬
нами. Все пластины имеют форму полукруга радиусом R, причем
зазоры между диэлектрической пластиной и пластинами конденса¬
тора пренебрежимо малы по сравнению с А. Пренебрегая краевыми
эффектами, найдем момент М сил, действующих на диэлектрическую
пластину, когда она выведена из положения равновесия, а разность
потенциалов на пластинах конденсатора равна V (№ 3.67). Сила,
действующая на границе между диэлектриком и воздухом внутри
пластин конденсатора, втягивает диэлектрик в конденсатор и опре¬
деляется (3.85). Момент ее равен
,,	?, ,чГ2 ,dr V2R2(e-1)
114

Рис. 3.19
Рис. 3.20
Как видим, момент сил не зависит от угла поворота диэлектри¬
ческой пластины. Отметим, что когда угол поворота равен нулю,
можно считать, что внутри конденсатора находятся две границы
диэлектрика, на которых моменты уравновешивают друг друга, и
суммарный момент, действующий на пластину диэлектрика, равен
нулю (№ 3.68).
На рис. 3.20 показано сечение сферического конденсатора, у ко¬
торого половина заполнена диэлектриком с проницаемостью е,, а
другая половина диэлектриком с проницаемостью е2. Найдем силу,
действующую на внутреннюю сферу радиусом R, если конденсатор
имеет заряд Q (№ 3.70). Заряд перераспределится (разделится на
Qx + Q2= Q) так, чтобы в соответствии с (3.18) на границе остава¬
лась непрерывной напряженность поля
F = Ф -
е,г2 е2г2 ‘
Используя связь между зарядами, выражаем через суммарный
заряд
Е =	®
"(в,+е 2У
Из (3.85) получаем давление на внутренней сфере, которое для
получения силы умножаем на площадь:
F _ (е|-e2)Q22n/?2
8 л (е, + e2)/f4
Рассмотрим подъем жидкого диэлектрика (диэлектрическая про¬
ницаемость е, плотность р) в вертикальном воздушном цилиндри¬
ческом конденсаторе с радиусами обкладок Л, и /?2 < Я,, разность
115
8

потенциалов на которых равна К(рис. 3.21).
Найдем высоту подъема диэлектрика h
(№ 3.64). Напряженность поля в цилинд¬
рическом конденсаторе определяется заря¬
дом на единицу длины % = q/l. Интегрируя
(3.58) для воздушной части, получаем
К = %1п
Г R \
\RU
Подставляя в (3.58), имеем
Е =
V 1
In (Л,/Л 2 ) Г
На границе диэлектрика напряженность поля непрерывна. Сила
на единицу площади границы определяется (3.85). Интегрируя по
площади границы, получаем
F =	/ Е2 2nrdr = ^ 1^2
8л I	41n(RJR2)
Чтобы найти высоту подъема А, эту силу приравниваем весу ди¬
электрика
mg = pn(R\ -R\)hg.

4.	ПОСТОЯННЫЙ ТОК.
ТОКИ В НЕОГРАНИЧЕННОЙ СРЕДЕ
Электрический ток — это движение зарядов, которое возникает
в проводнике под действием электрического поля. Плотность тока j
определяется числом частиц в единице объема я, имеющих заряд е,
проходящих через единицу поверхности за единицу времени со ско¬
ростью и:
j = леи.	(4.1)
Поток электрического заряда через поверхность dS (с нормалью п)
называется силой тока /
I	= % = j(jn)dS = fj„dS.	(4.2)
ш s	s
Изменение заряда, имеющего плотность рмр, внутри объема V,
охватываемого неподвижной поверхностью S, описывается урав¬
нением
I Рзар^
\У
д t
= ~j>JndS’
(4.3)
где jn — проекция плотности тока на внешнюю нормаль поверх¬
ности.
В дифференциальном виде отсюда имеем
+ div j = 0.	(4.4)
ot
Это называют законом сохранения заряда.
При постоянных токах распределение зарядов стационарно и из
(4.3)	и (4.4) имеем
)JndS = 0;
(4.5)
div j = 0.
(4.6)
117

Эти уравнения показывают, что постоянный ток не имеет ис¬
токов, т. е. что линии тока всегда замкнуты или уходят в бесконеч¬
ность.
Как показывает опыт, для многих проводящих сред (в частно¬
сти, металлов) плотность тока j пропорциональна напряженности
электрического поля Е (закон Ома в дифференциальном виде)
j = ХЕ,	(4.7)
где X — постоянная для данной среды величина, называемая удель¬
ной проводимостью, или электропроводностью, зависящая от свойств
сред и условий, в которых они находятся. Отметим, что это уравне¬
ние остается справедливым и в переменных электрических полях.
Величина, обратная удельной проводимости, называется удельным
сопротивлением среды
р-г	<4-8>
Используя (4.6), (4.7), (3.8) и (3.6), получаем, что в случае стаци¬
онарных токов макроскопические электрические заряды могут на¬
ходиться только на поверхности или в местах неоднородности про¬
водящей среды. В этом отношении электрическое поле стационар¬
ных токов аналогично электростатическому.
Отметим, что закон Ома не является фундаментальным зако¬
ном, а выполняется лишь для некоторых (может и многочислен¬
ных) сред при определенных ограничениях. Приведем пример мо¬
дельного представления, позволяющего получить зависимость (4.7)
и выражение для X.
В металлах проводимость связана с наличием свободных элект¬
ронов (масса aw, заряд е), которые под действием электрического
поля могут ускоряться в направлении поля (Е) и тормозиться при
соударениях с ионами решетки. Хаотическое (тепловое) движение
электронов не приводит к току. Ток — это дрейфовое (упорядочен¬
ное) движение с ускорением
еЕ
а - —.
т
Предполагая, что при соударении дрейфовое движение пропада¬
ет, находим, что за время т до следующего соударения скорость бу¬
дет v = ах. Средняя скорость дрейфа
118

Для плотности тока получаем
j = пей =
пе2тЕ
7т *
Это — закон Ома (4.7), где выражение для проводимости
. _ пе2 т
2т~‘
(4.9)
Время между соударениями можно оценить из длины пробега / и
скорости теплового движения с:
т = —.	(4.10)
с
Работа, совершаемая в единицу времени (мощность) над элект¬
ронами единицы объема, при дрейфовом движении
nuF = —.
е
Эта энергия идет на увеличение внутренней (тепловой) энергии
среды. Тепловая мощность N, создаваемая током в единице объема
проводящей среды:
N=^ = ^~.	(4.11)
е	е2
Или, так как F = еЕ, используя (4.7), получаем
N = 4-.	(4.12)
А
Это закон Джоуля—Ленца в дифференциальном виде.
Для поддержания постоянного электрического тока необходимы
электродвижущие силы неэлектростатического происхождения (хи¬
мические, индукционные, термоэлектрические, контактные, инер¬
циальные и т. д.). Работа этих электродвижущих сил (ЭДС), кото¬
рые называются сторонними, компенсирует потери на джоулеву теп¬
лоту. Для совокупного действия электростатического поля Е и поля
сторонних сил Ес в соответствии с (4.7) можем написать
j = Х(Е + Ес).	(4.13)
Это обобщенный закон Ома в дифференциальном виде.
119

Применим полученные соотношения для токов вдоль проводов.
Сопротивлением провода на участке от поперечного сечения 1 до се¬
чения 2 назовем величину
<414>
при постоянных 5иХ
d__L.pL
R SX S'
Так как ток во всех сечениях одинаковый, то, используя (4.2),
(4.13)	и (4.14), получаем
2	2
IRn=\Edl + \Eedl = Vn+tcn.	(4.15)
1	1
В стационарном поле постоянных токов электрическое поле Е
обладает потенциалом <р. Поэтому
/Л,2=Ф|-Ф,+«12.	(4-16)
Для замкнутого контура
IR=%	(4.17)
где R — полное сопротивление контура (включая сопротивление ЭДС);
Ж — полная ЭДС контура (верхний индекс здесь опущен, так как это
обозначение будет использоваться только для сторонних электродви¬
жущих сил). Это закон Ома для полной (замкнутой) цепи тока.
Интегрируя (4.12) по объему провода, получаем закон Джоуля-
Ленца в интегральной форме
N= PR.	(4.18)
Для разветвленной цепи проводов, включающих ЭДС, сформу¬
лированы два правила Кирхгофа:
1)	в каждой точке разветвления проводов алгебраическая сумма
токов (например, входящие положительны, а выходящие отрица¬
тельны) равна нулю
£/,=0;	(4-19)
/
2)	сумма ЭДС в выделяемом контуре равна сумме падений на¬
пряжений на всех участках контура
(4.20)
120

В электротехнических расчетах используют единицы измерения,
входящие в систему единиц СИ. Приведем их связи с единицами в
СГСЭ:
Заряд (q) 1 кулон	3 • 109 ед. СГСЭ
Напряженность поля (Е) 1 В/м
(вольт на метр)	 (3 • 104)-1 ед. СГСЭ
Разность потенциалов (<р) 1 В (вольт)	 1/300 ед. СГСЭ
Емкость (С) 1 Ф (фарада)	9 • 10м см
Сопротивление (R) 1 Ом	(9 • 1011)-1 ед. СГСЭ
Для измерения силы тока используют амперметр, разности по¬
тенциалов — вольтметр. Идеальный амперметр не обладает сопро¬
тивлением, идеальный вольтметр имеет бесконечно большое сопро¬
тивление. Реально используемые приборы имеют сопротивление,
которое называют внутренним.
Рассмотрим некоторые электрические цепи (схемы). Напом¬
ним, что ЭДС на схемах изображают двумя линиями: длинная со¬
ответствует положительной клемме, а короткая (более жирная) —
отрицательной. Считается, что ток в цепи идет от положительной
клеммы к отрицательной. В действительности в металлах отрица¬
тельные заряды двигаются от отрицательной клеммы к положи¬
тельной.
На рис. 4.1 показана схема, в которую включены два одинако¬
вых гальванических элемента с ЭДС равными & и внутренними со¬
противлениями г. Пренебрегая сопротивлением соединительных
проводов и считая вольтметр идеальным (ток через него равен нулю),
найдем, какой ток (У) проходит через элементы, и что покажет вольт¬
метр (VB) (№4.1). Из (4.19) и (4.20) следует 2&= 21г. Отсюда 1= Ш/г.
Из (4.20) Ш = Ir + VB. Подставляя величину тока, получаем К = 0.
Падение напряжения внутри каждого элемента равно ЭДС элемен¬
та. Если бы гальванические элементы были направлены навстречу
друг другу (параллельное соединение), то вольтметр показал бы ЭДС
элемента (Щ.
Найдем токи через гальванические элементы с ЭДС,
равными S’, = 1,9 В и $2 = 1,1 В и внутренними сопротив¬
лениями г, = 0,1 Ом и г2 = 0,8 Ом, и падение напряжения
на сопротивлении (R = 10 Ом) для схемы, изображенной
на рис. 4.2 (№ 4.2). На рисунке показаны выбранные на¬
правления токов. Если получим отрицательное значение, г'1£
то направление противоположно выбранному. Из (4.19) Рис. 4.1
121
4vb

/ = /, + /2. Из (4.20) Щ = /,г, + IR и Ш2 = I2r2 + IR. Три уравнения и
три неизвестных тока. Решая уравнения, получаем
£|/*2 + Я I ^2 )
л =	,) Vg 1,05 А;
г,г2 + Я (г, +г2)
*2Г\ + Ф\ ~ *г)
/2 = —	У	Ц - -0,87 А;
'i'2 +Л('1 +Г2)
«г, г, + Щг,
/ =	21	^ 0,18 А;
г,г2 + Л (г, +г2)
V = /Л = 1,8 В.
Ток через второй элемент идет противоположно направлению,
указанному на рис. 4.2.
Для схемы, показанной на рис. 4.3 (№ 4.3), пренебрегая сопро¬
тивлением соединяющих проводов, из (4.20) имеем
J щ+ь+щ
п + h + гг
Откуда
При
V = <$-1г =
Щг2 - ?2Г1 + Щг3 -
г\ + г2 + 'З
получаем К= 0.
S,	%	«j
>1	>2	'з
122

В схеме на рис. 4.4 сопротивления Л, и R2 подобраны так, что ток
через гальванометр Г не идет. Считая известными &r &2, и R2 и
пренебрегая внутренними сопротивлениями батарей по сравнению
с /?! и R2, найдем £' (№ 4.4). Предполагаем направления токов таки¬
ми, как показано на рис. 4.4. Так как ток через гальванометр не
идет, то /, = /2 = /. Используя (4.20), находим
Найдем ток, проходящий через R0, в схеме на рис. 4.5 (№ 4.5).
Предположим направления токов такими, какие обозначены на
рис. 4.5. Из (4.19) и (4.20)
Для схемы на рис. 4.6 при заданных значениях Л, и R2 найдем R,
при котором рассеиваемая на нем мощность максимальна, и опреде¬
лим условие того, что ток, проходящий через R, равен нулю (№ 4.6).
Считаем направления токов такими, как обозначенные на рис. 4.6.
Из (4.19) и (4.20) имеем
Отсюда
ЩЯ2+ЩЯХ
[ + Я2
/0	^2	/3;	^1	^3R3	^2^2’
Щ + %0 = hR0 + 73<Л0 + Лз>-
Откуда
/, = I + /2;	= I(R + /?,) + Щ; %2 = I2R2 - IR.
h
Рис. 4.5
Рис. 4.6
123

Откуда
j _	-#2/?i
+ Л2^ RlR2
Отсюда условие, чтобы ток был равен нулю:
*1_
h Ri ‘
Для мощности, рассеиваемой на R, имеем
N = I2R =
AR
(R + В)2 ’
где
л (*<*г-«г*,)\ д Д,Д2
(Л,+Л2)2	’	Л,+Л2'
Вычисляя производную TV по R и приравнивая ее нулю, получа¬
ем, что максимальная мощность рассеивается при
R = Jb*2-.
R j + /?2
На рис. 4.7 показана схема из двух батарей ЭДС Шх и %2 и четы¬
рех одинаковых резисторов сопротивлением R каждый. Найдем мощ¬
ность, рассеиваемую на этих резисторах (№ 4.7). На рисунке обозна¬
чены выбранные направления токов. Используя (4.19), получаем
/| + /6 — /2; /, - /3 + А» А — А А> А А — А-
Откуда
А + А = А + /6.
Из (4.20)
/3 + /4 + /6 + /2 = 0;
/3-/4 = /2 + /3=-1;
/2-/3=-/3-/4=^-.
124

В результате
h
/4
*1 + ^2 ,
2 R ’
/3
h
2 R '
Выделяемая мощность равна N = PR.
Существует принцип, согласно которому токи и напряжения в
цепи, состоящей из линейных (подчиняющихся закону Ома) эле¬
ментов, распределяются таким образом, что диссипируемая в теп¬
лоту мощность минимальна. Найдем с помощью этого принципа
напряжения на каждом из трех последовательно соединенных со¬
противлений /?,, R2, R3, если суммарное падение напряжения на
них равно V (№ 4.10). Обозначим падения напряжений на сопро¬
тивлениях К, — IR{, V2 = IR2. Тогда падение напряжения на третьем
сопротивлении (V— К, — У2). Для диссипируемой в теплоту мощно¬
сти, используя (4.18), получаем
N =
у?, vi,
R1 R2	R3
Условие минимальности мощности определяется уравнениями
dN _ 2Vi 2(К-К,-К2) _0- dN 2V2	2(К-К,-К2) р
ЭК, Л,	R3
Решая их, находим
VR,
=
^2 =
ЭУ
эк2
II
КЛ2
*3 =
VR,
А, + Л2 + R3	R i + R2 + R3	A, + A2 + A3
Если сопротивления соединить параллельно (№ 4.11), то из (4.18)
N = I}R] + I\R2 +(/-/,- 12)R3.
Условие минимальности мощности
dN 2/,	2 (/-/,-/2)	0
Э	7,	A,	R3
Получаем
dN _212 2(/-/,-/2) Q
Э/2	/?2	/?3

Рис. 4.9
В схеме на рис. 4.8 сопротивления /?,, R2 и Л3 подобраны так,
что ток через гальванометр Г не идет. Зная эти сопротивления и
ЭДС <?, и й'3, найдем ЭДС й2 и ток /, проходящий через батарею
пренебрегая внутренними сопротивлениями батарей (№ 4.8). На
рисунке показаны предполагаемые направления токов. Учитывая,
что ток через гальванометр не идет, из (4.20) получаем
Щ = 1\Я3; й2 = /1(/г2+Л3) = ^з
13
R
3 J
Ток / находим из уравнения
й, = Щ + /,(*2 + Л3).
В схеме на рис. 4.9 сопротивления Л, и R2 подобраны так, что
ток через гальванометр Г не идет. Пренебрегая внутренними сопро¬
тивлениями батарей и считая известными Й, и й2, найдем Ш (№ 4.9).
Выбранное направление тока указано на рисунке.
Используя (4.20), получаем
Й, - й2 = I(Ri + R2); % - £, = IRV
Откуда
к.„ § + g2 R\!R1
1 + Л,/Л2
На рис. 4.10 показана схема включения неоновой лампочки в раз¬
рыв подвижного проводящего диаметра CD окружности ACBD, сде¬
ланной из однородной проволоки постоянного поперечного сече¬
ния. Найдем, при каких положениях CD лампочка зажигается (по¬
тенциал зажигания Кюж) и гаснет (потенциал гашения Угаш < У^ж),
126

если между А и В поддерживается напря¬
жение К, а сопротивление проводов мало
по сравнению с сопротивлением неоновой
лампочки. При вращении диаметра по ча¬
совой стрелке (от а = 0) получаем
Откуда
а =
V л
г заж 11
V 2'
Аналогично находим
2К0
п
Поэтому (№ 4.12)
V я
о _ гаш u
Р V 2*
В длинных сетях потери в проводах могут быть существенными.
Найдем, каким должен быть минимальный диаметр медного про¬
вода D (удельное сопротивление меди р = 0,017 • 10-4 Ом • см, дли¬
на 10 км), чтобы потери энергии в сети не превышали 10 % от мощ¬
ности источника (N= 5 кВт) с напряжением V= 110 В (№ 4.31). По
условию теряемая мощность
V2 N
R < 10’
где
Q.I'O
II
0$
Откуда
D2 < 4plN, = 10 см2.
ЮпУ2
Основными элементами прибора для измерения напряженности
электрического поля у поверхности Земли являются две проводящие
127

пластины (площадью S каждая), расположенные горизонтально (па¬
раллельно поверхности Земли) с небольшим зазором, соединенные
с Землей, как показано на рис. 4.11. Верхняя пластина вращается
относительно вертикальной оси (п оборотов в минуту). Когда она
находится над нижней, то напряженность поля над ней равна на¬
пряженности поля Земли (Е), а между ними — нулю, так как у них
одинаковые потенциалы, равные потенциалу поверхности Земли.
После открытия нижней пластины на ней должна быть напряжен¬
ность поля, равная напряженности поля поверхности Земли. Соот¬
ветствующий заряд идет через сопротивление R, вызывая на нем па¬
дение напряжения V. Считая, что нижняя пластина успевает полнос¬
тью перезарядиться за один цикл вращения, время которого т = 1/и,
получаем оценку среднего тока
г Ч	с
I = — = qn = aSn - ——.
т	2л
Умножая ток на сопротивление R, получаем среднее падение на¬
пряжения (№ 4.13).
Ток в цепи может быть вызван, например, меняющейся емкос¬
тью, включенного в цепь конденсатора. На рис. 4.12 показана сис¬
тема, состоящая из ЭДС Ш и подключенного к ней конденсатора, в
который вдвигается пластина из диэлектрика (диэлектрическая про¬
ницаемость е) высотой h и шириной Ь (без зазора) с постоянной
скоростью v. Ток в цепи связан с зарядом, приходящим на конден¬
сатор. За время dt приходит заряд dq = obvdt. Здесь, как следует из
(3.3)	и (3.9),
<т = Р =
Поэтому для силы тока получаем
(с-О»
4 лИ
(№ 4.14)
dq (e-l)m
dt 4nh
шшш.
шшшшттт.
Рис. 4.11
п
А 1_	J
Рис. 4.12
128

Если пластину не вдвигать принудительно, она сама будет втя¬
гиваться в конденсатор. Сила определяется уравнением (3.85). Ра¬
бота батареи идет на увеличение электрической энергии конденса¬
тора и механическую кинетическую энергию пластины (трением
пренебрегаем). Обозначая мощность, развиваемую батареей N, по¬
лучаем Ndt = fidq = dW + 5А. Для работы батареи из (3.77) имеем
<o2dC, для изменения энергии конденсатора
dW =
dCd2
2
<$2dC
2 ‘
Таким образом, половина работы батареи идет на увеличение
энергии конденсатора и половина на создание кинетической энер¬
гии пластины. Для емкости конденсатора при вхождении пластины
внутрь конденсатора на расстояние х имеем
С0 +(е-1 )Ьх
4nh
где С0 — емкость конденсатора без диэлектрика. Подставляя в фор¬
мулу для работы, имеем
4 nh
N =%I =
(е-1 )bv%2
4nh
Видно, что мощность, развиваемая батареей, растет с увеличением
мгновенной скорости пластины диэлектрика v = dx/dt (№ 4.15).
Рассмотрим некоторые примеры распространения токов в нео¬
граниченной проводящей среде.
На рис. 4.13 изображен металлический лист толщиной а, к кото¬
рому на расстоянии b друг от друга приварены по нормали к листу
два цилиндрических (радиусом г0) провод¬
ника, удельная проводимость которых Л,
значительно больше удельной проводимо¬
сти X материала листа. Найдем сопротив¬
ление между проводниками, считая, что
а « г0 « b (№ 4.16). Из (4.6) и (4.7) следу¬
ет, что электрическое поле стационарных
токов аналогично электростатическому
полю. Найдем это поле, учитывая, что
благодаря X, » X, цилиндрические про¬
водники по всей своей длине имеют по¬
стоянные потенциалы. Если линейная
9-
129

плотность зарядов на проводниках ±р, то для стержней в отдельно¬
сти из (1.12) и (1.16) Е= +2р/>. Разность потенциалов между про¬
водниками находим, интегрируя напряженности от них по линии,
проходящей через их оси:
dr = 4р In
'о )
~ 4р In
(b\
Величину тока находим, считая, что вблизи каждого цилиндра
влияние другого мало и имеется цилиндрическая симметрия, т. е.
/ = 2 л r0aj — 2л г0аХЕ = 4яр Ха.
Следовательно, сопротивление
R V
/ пХа
Аналогичным образом можно найти сопротивление систем, изоб¬
раженных на рис. 4.14 и рис. 4.15. В первом случае к цилиндричес¬
ким электродам диаметром d присоединен проводящий слой с про¬
водимостью А, намного меньшей проводимости электродов, и тол¬
щиной 8 <& d, находящийся на двух конусах, наибольший диаметр
которых Д а во втором — такой же проводящий слой на поверхно¬
сти цилиндра диаметром D и высотой /.
Для изменения напряженности электрического поля в проводя¬
щем слое на конусе имеем для компоненты поля, перпендикуляр¬
ной оси симметрии,
Ег
2р
Г
130

Разность потенциалов на конусе
т	/лЛ
V-JEA- 2pln(f).
На втором конусе еще такое же падение потенциала. Для тока
получаем
/ = 2я^5/ = ndbXE, =
2	J	1 sin а
где Е, — поле вдоль образующей конуса, компонентой которого яв¬
ляется Ег,
D-d
Сопротивление системы (№ 4.17)
д 2V	2/ \n(D/d)
I nXS(D-d)'
В случае цилиндра (см. рис. 4.15) напряженность электрическо¬
го поля на его основании Е = 2р/г и разность потенциалов (на
каждом основании)
На боковой поверхности цилиндра поле постоянно, так же как
постоянна плотность тока. Следовательно, падение потенциала на
боковой поверхности
Г,=4р1.
Полное падение потенциала
V = 4р
Силу тока вычисляем по плотности потока вблизи электрода
/ = 2л у 8/ = ndbXE = 4лрХ5.
Сопротивление системы (№ 4.18)
V 1/D +In (D/d)
7~ тЛ5
131

Найдем сопротивление между двумя металлическими шарами (ра¬
диусами R] и /?2), зарытыми на большую глубину и находящимися
на большом расстоянии друг от друга в земле, проводимость кото¬
рой вблизи от шаров А., и Х2 значительно меньше проводимости
металлов (№ 4.32, 4.34). Воспользуемся тем, что токи вблизи шаров
близки к сферической симметрии
/ г J Г
7= 	Т И £ = f =	Т,
4кг1 2	А. 4 пкг2
оо
что приводит к быстрой сходимости интеграла \Edr. Для оценки
R
разности потенциалов между шарами имеем
^ = J —~~2 +
я, 4я^1Г
j
*2
Idr
4яА.2г2
= IR.
Откуда
К =	+	.
4TtA^| 4 kX2R2
Если шары включить в цепь постоянного тока с источником ЭДС %
как показано на рис. 4.16, то, пренебрегая всеми сопротивлениями,
кроме сопротивления заземления, получаем для тока
1	4 кК
\!\XRX + 1/А,2Л2
Это позволяет найти напряженности поля на каждом шаре и по
теореме Гаусса (1.12) вычислить соответствующие заряды (знак оп¬
ределяется направлением тока) (№ 4.36)
W/W,
Ч, Л
0, = R]EX =
Q2 = R\e2 =
r]i
iSR-
4/??	R2/R\ ■*" ^-i/^-2
Ч'м
R\l
Ж-
4 kK2r\	Л,/Л2 + Х2/Х,
132
Рис. 4.16
Сопротивление заземления можно найти и для
электродов произвольной формы, если заданы

их емкости в вакууме (определяемые только формой) С, и С2. Для
заряда на электроде можно написать
Откуда
= 4^-41
4 яА
V
4nkR'
R =
1
4rikC
(4.21)
Если среда обладает диэлектрической проницаемостью е, то в
теореме Гаусса должно стоять D = еЕ вместо Е. Соответственно
R = е
4яХС‘
(4.22)
Можно ввести удельное сопротивление р = 1Д. Тогда (№ 4.33)
Л =
ер
4яС ’
Для всего заземления (№ 4.35)
(4.23)
Ло=Л,+ ^2
Pi/Q +Р2/С2
4л
Рассмотрим токи в слабо проводящих диэлектриках.
Пусть пространство между пластинами плоского конденсатора
заполнено многослойным диэлектриком, обладающим слабой элект¬
ропроводностью. Диэлектрическая проницаемость и удельная элект¬
ропроводность изменяются от ер Я, на одной поверхности диэлект¬
рика до е2, Я2 на другой его поверхности. Если такой конденсатор
(с утечкой) включить в цепь с некоторой ЭДС, то по нему потечет
постоянный ток I. Обозначив площадь пластин конденсатора S, для
плотности тока получаем I/S — j = ХЕ.
Найдем суммарный свободный заряд q, который возникнет в
диэлектрике (на границах) и плотность которого pMp определяется
из (3.6) через дивергенцию электрической индукции
_ dDjdx
Рзар
Для суммарного заряда имеем

Очевидно, что все внутренние слои дают нулевой вклад и ре¬
зультат определяют крайние. Используя (3.8), получаем (№ 4.23)
S(P2 - D\) _ S(e2E2 - e^i) _ Sj(e2/X2 - Е\/\\) _ I (£2/^2 ~ ei Ai)
4я * 4я	4я	4я
Если электрическое поле направлено от стороны 1 к стороне 2 и
то заряд положительный.
Если задан не ток, а разность потенциалов на пластинах (об¬
кладках) К, то в случае двух слоев диэлектрика толщиной h{ и h2
(№ 4.25) плотность заряда на границе диэлектриков получаем сле¬
дующим образом:
£,/?, + E2h2 = V] j = Х{Е{ = \2Е2,
Откуда
Е,=
\-У
h\ Х2 +
и E-у =
ХУ
h{X2 + h2X{
и, так как D2— Z), = г2Е2 — г]Е] = 4па, то
__ М,-е.Х2)К
G — 	~{	г
4я \hxX2 + h2X\)
Рассмотрим цилиндрический конденсатор с радиусами обкладок
Ri и R2, заполненный слабо проводящей средой (е = 1, X = к/г2, где
к — некоторая постоянная), на который подано напряжение V. Най¬
дем распределение поля и плотности заряда (р) в конденсаторе и
его емкость (№ 4.24). Из постоянства тока через единицу длины
конденсатора
/ = 2nrj = 2пгХЕ - —^— = const
г~
следует линейная зависимость напряженности поля от радиуса Е = А г.
Для определения постоянной А вычислим разность потенциалов на
обкладках конденсатора
R-,
V = J Edr =
*i
2
134

Откуда
Следовательно,
А =
2V
R\-R]'
Е =
2 Уг
r\-r
2 •
I
Из (3.6) и (1.21) при е = 1 имеем
divD (1/г)д(гЕг)/дг	у
Р~ 4л	4п "я(л|-Л?)‘
Плотность заряда постоянна.
Величина заряда на единицу длины на внутренней обкладке q
определяем из уравнения
Е 2g _ 2VR,
R\ R\-rY
Для определения емкости на единицу длины к этому заряду надо
добавить распределенный заряд в диэлектрике
Q = fm(R\-R]).
Отсюда емкость
Найдем, по какому закону должна меняться проводимость в та¬
ком конденсаторе, чтобы напряженность электрического поля была
постоянна. Из постоянства тока в конденсаторе имеем
/ = 2nrj = 2пгХЕ.
Отсюда (№ 4.28)
2пЕг г'
В случае сферического конденсатора (радиусы Л, и R2), запол¬
ненного диэлектриком с удельной проводимостью X, из постоян¬
ства тока / = 4яг2у для напряженности электрического поля имеем
Е = — =	^
X 4 пг2Х
135

Для разности потенциалов получаем
у_ I *(dr_/(l/R\-l/R2)
4пк J г2	4яА.
К\
Проводимость изоляции (№ 4.26)
Л _ / _ 4яА.
Можно было бы воспользоваться (4.21) и (3.55).
Найдем, как должна меняться проводимость Х(г) в диэлектрике,
находящемся в сферическом конденсаторе, чтобы при прохожде¬
нии тока была постоянной во всех точках объемная плотность джоу-
левых потерь (№ 4.27):
Постоянство тока дает
Р = (4 nPj)2 = (4 nr2)2NK.
Откуда следует, что должно быть
Изменение проводимости на участке проводника приводит при
постоянной плотности тока к изменению напряженности элект¬
рического поля и плотности зарядов проводимости. Найдем из¬
менение объемной плотности зарядов проводимости в цилинд¬
рическом проводнике, по которому течет ток плотностью j, на
участке, где удельная проводимость меняется по линейному за¬
кону (№ 4.29)
Х = Х, +(х2 - X,)j.
Используя теорему Гаусса (1.19) и закон Ома (4.7) в дифферен¬
циальном виде, получаем
_ dEjdx 		j(X2 - Х{)
4я 4л/[я,+(Х2-Х,)х//]2
При постоянном X объемная плотность зарядов р в проводнике, по
которому течет ток, равна нулю.
136

Если в вакууме находятся п идеально проводящих тел с заряда¬
ми qv qv qv ..., qn и соответственно потенциалами <рр ф2, ср3, сря,
то поле между телами определяется уравнением Лапласа, следую¬
щим из уравнения Пуассона (2.11) при р = 0. При заполнении про¬
странства между телами однородной жидкостью с диэлектрической
проницаемостью е и слабой проводимостью X и поддержании потен¬
циалов тел при прежних значениях электрическое поле между ними
не изменится. Найдем, какое количество теплоты будет выделяться
ежесекундно в этой жидкости (№ 4.30). Для каждого тела выделяю¬
щаяся теплота определяется током с его поверхности
Iк = $ Jn dS у
где jN — плотность тока по нормали к поверхности тела и разностью
потенциалов на теле и на бесконечности (0). Используя теорему
Гаусса (3.7), для заряда на каждом теле имеем
A DN dS	£
_ сф Jn ^3
4л J 4n J 4nX
Количество ежесекундно выделяющейся теплоты
Ток может создаваться механическим переносом заряда, на¬
пример на диэлектрической ленте. С помощь такой ленты заря¬
жается высоковольтный сферический электрод (радиусом Л) в
генераторе Ван-де-Граафа, изображен¬
ном на рис. 4.17. Найдем максимальный
потенциал и ток, которые можно полу¬
чить от такого генератора, если скорость
движения ленты v, ширина /, а пробой в
атмосфере газа, в котором находятся лен¬
та и высоковольтный электрод, возни¬
кает при напряженности электрическо¬
го поля Е (№ 4.21). Максимальная плот¬
ность поверхностного заряда на ленте
определяется пробоем
а =
пр
2я
Поэтому максимальный ток I 2I = clv = E^!l'
2 к
137

Максимальный потенциал на сфере
ф = ^,
пр-
Атомный электрический элемент представляет собой две концен¬
трические проводящие сферы. Внутренняя сфера сделана из радио¬
активного материала, испускающего быстрые электроны. В простран¬
стве между сферами скорость электронов и, следовательно, их иони¬
зирующее действие можно считать постоянным. Пролетев воздушный
зазор, электроны поглощаются на внешней сфере. В отключенной
батарее устанавливается равновесие между потоком заряда, перено¬
симым быстрыми электронами, и током проводимости в ионизиро¬
ванном воздухе. Найдем напряженность электрического поля Е в
пространстве между сферами, если ЭДС элемента равна радиусы
сфер равны R, и R2 (№ 4.22). Так как проводимость X ионизирован¬
ного газа пропорциональна концентрации ионов, которая пропор¬
циональна потоку быстрых электронов, при равновесии равному току
проводимости, то из закона Ома (упр = ХЕ) следует постоянство на¬
пряженности электрического поля
Е =
Л2 - Л,
Постоянное поле в сферическом конденсаторе свидетельствует
о наличии пространственного заряда.
Если в пространстве между пластинами плоского конденсатора,
заполненного газом и подсоединенного к батарее, образуется пара
ионов с зарядами ±е, то возникающее движение этих ионов приво¬
дит к протеканию заряда (току) в цепи. Найдем этот ток (№ 4.37).
Предполагаем постоянной подвижность ионов, т. е. их скорости v{
и и,. Обозначим расстояние между пластинами /. Тогда, если один
проходит путь до соответствующей пластины х, то другой ион про¬
ходит до другой пластины путь / — х. У одного на это уходит время
t - —
*1 -	>
а у другого пусть большее время
h ~'
1-х
Ток через конденсатор определяется (4.1), числом зарядов на
единицу длины, умноженным на скорость движения. Учитывая, что
138

движение заряда отрицательного знака в отрицательном направле¬
нии дает ток в положительном направлении, получаем, пока двига¬
ются оба иона (0 < t < t{), ток
/ = /1 =у( 1/,+Wj),
а затем при /, < / < t2
/ = /2
Таким образом, ток меняется скачком в момент прихода на пласти¬
ну одного иона.
Простые правила вычисления суммарного сопротивления сис¬
темы при последовательном
/ \
/ У
и параллельном соединени¬
ях
иногда бывает трудно применить. В таких случаях
надо искать некоторую симметрию, возможность где-то систему
разомкнуть. Рассмотрим такой пример. Фигура, изображенная на
рис. 4.18, сделана из проволоки постоянного сечения. Число впи¬
санных друг в друга правильных треугольников очень велико. Сто¬
рона самого большого треугольника а, = 1 м. Сопротивление одно¬
го метра проволоки 1 Ом. Найдем сопротивление между клеммами
А и В (№ 4.19). В силу симметрии системы потенциал во всех точках
на вертикальной линии, проведенной из верхней вершины треу¬
гольника, будет один и тот же (равный половине разности потенци¬
алов между точками А и В). Поэтому ток, идущий от А к av равен
току от ах к В, а ток от а2 к ах равен току от а, к ат В таком случае
можно в нижнем а, отделить внутренний треугольник от внешнего.
Для внутреннего треугольника ситуация теперь такая же, как была
для внешнего. Учитывая, что сторона его равна половине внешнего,
Г
139

получаем, что и сопротивление его должно быть в два раза меньше
внешнего. Если искомое сопротивление R, то сопротивление систе¬
мы, ограниченной первым внутренним треугольником, равно R/2.
Обозначая сопротивление куска проволоки, равного длине стороны
внешнего треугольника г = а,р, получаем эквивалентную схему, изоб¬
раженную на рис. 4.19. В результате
1 = 1 1
R~ г r + rR/(R + 2r)'
Это квадратное уравнение относительно R. Выбирая корень, кото¬
рый дает положительное значение, получаем

5.	МАГНИТНОЕ ПОЛЕ.
ЗАКОН БИО-САВАРА-ЛАПЛАСА.
ТЕОРЕМА О ЦИРКУЛЯЦИИ В ВАКУУМЕ.
ИНДУКТИВНОСТЬ ПРОВОДНИКОВ.
ТЕОРЕМА ВЗАИМНОСТИ
В пространстве, окружающем электрический ток, создается маг¬
нитное поле, проявляющее себя тем, что действует на движущиеся
заряды, в том числе и на токи. Название этого поля объясняется
тем, что оно того же типа, как у постоянных магнитов. Величина и
направление поля описываются вектором Н, называемым напряжен¬
ностью магнитного поля. На основе опытов сформулирован закон
Биб—Савара—Лапласа, позволяющий вычислить напряженность маг¬
нитного поля от элементов тока:
®Л,И;
С г3
dH = I
[dir]
4nrJ
(5.1)
где с — скорость света (электромагнитных волн) в вакууме (при
использовании для входящих в формулу величин гауссовой сис¬
темы единиц); d 1 — элемент проводника, по которому течет ток /;
г — вектор расстояния, отсчитываемого от элемента тока. Из опыта
следует суперпозиция магнитных полей, которая нарушается лишь
при наличии в поле ферромагнетиков.
Для бесконечного прямолинейного проводни¬
ка с током силовые линии магнитного поля пред¬
ставляют окружности с центрами на оси прово¬
да. Из (5.1) интегрированием получаем напря¬
женность магнитного поля на расстоянии b от
оси провода. На рис. 5.1 показан прямой беско¬
нечный провод, по которому течет ток I. Для
вычисления напряженности магнитного поля на
расстоянии b от провода пользуемся тем, что
b	rd а
- = cos а = ——.
г	dl
141

Используя (5.1), имеем
dH =-dir s\n^^-
С	г3
/ da
— cosa —.
с	b
Интегрируя по а от —п/2 до тг/2, получаем
Н =
2/
с/?
(5.2)
Направлено поле внутрь рисунка (вращение правого винта при дви¬
жении в направлении тока).
Напряженность магнитного поля на оси кругового витка с током
в силу осевой симметрии имеет составляющую только в направле¬
нии оси. Обозначая радиус витка R, на его оси на расстоянии от
элементов г из (5.1) получаем, интегрируя по длине,
Я =
2kRI sin a
cr
где sin a = R/r. Поэтому окончательно
Я =
2 nR2I
Я =
r2i
2 г3
(5.3)
В центре кругового витка с током радиусом R получаем
Я =
2п1.
cR ’
(5.4)
Рис. 5.2
На больших расстояниях, как это видно
из (5.3) и (1.7), поле соответствует полю ди¬
поля с моментом (в данном случае магнит¬
ным), определяемым как
А,- т = ^	{д,-И-**=/}.	(5.5)
На рис. 5.2 показан круглый виток ра¬
диусом R0, по которому течет ток /. Най¬
дем поток магнитной индукции (в данном
случае, в вакууме совпадающий с напряжен¬
ностью магнитного поля) через заштрихо¬
ванную часть плоскости ху, если R = 10/?0
(№ 5.26). Магнитный момент витка
InR о
142

а расстояниях, больших R, поле является полем диполя типа
В таком случае поток поля
1
1
I
Юс *
Магнитные стрелки, далеко отстоящие друг от друга, взаимо¬
действуют как диполи. На рис. 5.3 показано, что в точке А закрепле¬
на под углом а = 45° к линии АВ одна стрелка. Найдем угол (3, под
которым установится другая стрелка, которая может вращаться в
точке В (№ 5.27). Используя формулу (1.9) и обозначая
а
Р
г
3 ’
находим вдоль направления г: Ег = За cos а; вдоль направления р:
Е = —а. Поэтому
tgp=-
asina
3a cos a -a cos a
При a = 45° tg p = —1/2.
Магнитное поле в плоскости кругового витка с током неоднородно.
Для прямого провода оно уменьшается обратно пропорционально рас¬
стоянию от оси провода. Но для искривленного провода оно могло бы
и возрастать. Покажем, что на оси оно имеет минимум (№ 5.9). Рас¬
смотрим два элемента Idl на противоположных сторонах диаметра
витка (2R). Обозначим расстояние от центра витка х. Используя
(5.1), от двух противоположно расположенных элементов имеем
dH = -Idl
с
(R - х)	(R + х)
Поведение этого выражения вблизи центр витка (х — 0) опреде¬
ляет и поведение суммы всех элементов. Для выяснения этого надо
рассмотреть функцию
/(*) =
1 1
(R - xf + (R + х)2 '
В	3 a cos a
ZХ7
Рис. 5.3
143

Первая производная по х
/'(*) =	2-3-	—
(Л-jc) (Л + jc)
Вторая производная
/" =	—г +——г-
(Л - х) (А + х)
Так как при х = 0 первая производная равна нулю, а вторая
производная положительна, то здесь минимум функции. Минимум
даст и сумма всех элементов витка.
Для плоской катушки (как бы сжатой в один виток), имеющей /V
витков, в ее центре в соответствии с (5.4) имеем поле
И =-—
cR
Если в центр этой катушки подвесить, например, на жесткой нити
другую плоскую катушку, то при пропускании по ним тока возника¬
ет взаимодействие. Предполагая, что подвешенная катушка значи¬
тельно меньше неподвижной, имеет п витков с площадью S и в
равновесии плоскости катушек взаимно перпендикулярны, а мо¬
дуль кручения нити а, найдем угол поворота подвижной катушки в
случае одинакового постоянного тока в них / (№ 5.40). В данном
случае магнитный диполь с магнитным моментом р = InS/c нахо¬
дится в поле Я. Момент сил, действующий на диполь, М = [pH].
Величина момента определяется синусом угла между векторами. Угол
поворота подвижной катушки ср предполагаем малым. Получаем урав¬
нение для определения ф
М = pHсовф * 2nSN4
R
= аср.
Аналогичным образом можно рассмот¬
реть квадратную рамку, подвешенную внут¬
ри соленоида (№ 5.41).
Найдем напряженность магнитного поля
в фокусе витка с током (/) в виде эллипса,
уравнение которого в полярной системе ко¬
ординат (рис. 5.4) имеет вид
1 + е cos ср ’
144

где
— rip раметр;
Р
ь2
с (а2-Ь2)1/2	,
е = — =	< 1
а	а
— эксцентриситет (№ 5.1).
Используя (5.1) и вводя угол а между dl и г, находим
1 / » • \ldlL 1 / ,
dtl = —jdl sin а =	— = —аср.
err
с г
Так как
получаем
1 _ 1 + е cos <р
'	Р
„ l/2?/,	ч.	2я/ 2л/а
Н = — (1 + ecoscplacp =	= —г-.
сру	’	ср	сЬ2
Рассмотрим также виток, представляющий «гофрированную ок¬
ружность» (рис. 5.5), уравнение которой в полярной системе коор¬
динат имеет вид
- = — + bcos(m<p),
га	4	7
где а и b — постоянные величины; т — целое число (№ 5.2).
Можно повторить сделанное ранее
»jj 1 /	„ .	1 / dl± 1 / ,
dH =—5-tf/sina =	— = —acp.
Так как
с г
— = —+ Z>cos(m<p),
га	4	'
err
с г
получаем
Н = с 71 [a + » cos(#иср)J
Рис. 5.5
Ю-2073
145
-©у.

/
с
}
а
i
Рис. 5.7
Найдем магнитное поле в центре окружности,
если по проводу, изображенному на рис. 5.6, а,
протекает ток / (№ 5.3). Суперпозиция четырех
таких проводов, изображенная на рис. 5.6, б, по¬
зволяет найти поле от круглого витка (5.4) и че¬
тырех прямолинейных проводов (5.2)
Я >[^ + 4Юя2Ш2 + 2
4 { cR cRJ с RI 2
На рис. 5.7 изображена однородная тонкая металлическая плас¬
тинка, имеющая форму равностороннего треугольника со стороной
а, по которой пропускают ток /. Пренебрегая магнитным полем от
подводящих ток проводов, найдем магнитное поле в центре треуголь¬
ника (№ 5.4). Три подобные системы утроят поле в центре. Из сим¬
метрии и суперпозиции следует, что поворот второй системы на
120°, а третьей — на 240° ничего не должен изменить. При этом
оказывается, что через каждую вершину суммарный ток равен нулю.
Таким образом, для трех так расположенных пластин поле в центре
равно нулю. Следовательно, оно равно нулю и для одной пластины.
На рис. 5.8 показан длинный тонкий многовитковый соленоид с
поверхностной плотностью тока / и площадью поперечного сечения
S = пг2 согнутый так, что его ось образует половину окружности ра¬
диусом R. Найдем напряженность магнитного поля Н в центре этой
окружности (№ 5.12). Элемент соленоида на угле J<p представляет
магнитный диполь, магнитный дипольный момент которого в соот¬
ветствии с (5.5)
S
dpm = iRd<p—,
и дает в центре окружности в соответствии с (1.9)
146
dH =%.
/г

в
dH sin if
О
R
A
A
Рис. 5.8
Рис. 5.9
При интегрировании по длине соленоида (по углу <р) компонен¬
ты поля, перпендикулярные диаметру АВ, компенсируются, и окон¬
чательное значение поля в точке О дает интеграл от компоненты
вдоль АВ
Магнитное поле от витков, намотанных на немагнитную сферу
радиусом R, можно найти, пользуясь формулой (5.3). Считаем, что
плотность поверхностного тока в таком «соленоиде» постоянна и
равна /. Найдем напряженность магнитного поля в точке О (рис. 5.9),
подставляя в (5.3) ток в витке iRtkр, радиус витка R sin<p, расстояние
от элементов витка до точки О равно R:
Если обмотана вся сфера (№ 5.13), то поле будет в два раза больше.
Вычислим циркуляцию напряженности магнитного поля вдоль
произвольного замкнутого контура для бесконечного прямолиней¬
ного провода с током, магнитное поле которого описывается (5.2).
На рис. 5.10 показана проекция контура на плоскость, перпендику¬
лярную проводу. Интегрируя скалярное произведение вектора на¬
пряженности магнитного поля Н на элемент длины контура d\ по
длине замкнутого контура, с помощью (5.2) получаем
Я
. с Я
/ S с
,2
fHd\ = j>H,dl = j>H,dlH =j>Hrda = ^j>da =
С
10*
147

Суперпозиция позволяет написать
эту формулу (теорему о циркуляции в
интегральном виде) для суммы прохо¬
дящих внутри контура токов
(5.6)
Отсюда для цилиндрического провода радиусом R, по которому
течет ток с постоянной плотностью у, получаем напряженность маг¬
нитного поля внутри провода
„ 2л .	2 1г
Н =—jr =	т
С	С R2
—1
2 лЯ2\
(5.7)
Вне провода магнитное поле описывается формулой (5.2), ко¬
торую также можно получить с помощью теоремы о циркуляции
(5.6).
Здесь уместно ввести еще один дифференциальный оператор —
ротор. Напомним, что оператор градиента (набла)
Оператор, примененный к скалярной величине — потенциалу <р,
дает напряженность электрического поля (2.8)
Е = —Vcp; {Е = -Vtp}.	(5.8)
Скалярное произведение наблы, например, на Е дает диверген¬
цию (1.20)
VE
ЪЕХ дЕ ЭЕ.
—— + —- + —
Эх ду дZ
(5.9)
Векторное произведение наблы, например, на Н дает ротор
[VH] = rotH =
i
j
к
_Э_
д_
Э
дх
Эу
Э z
нх
н>
ff,
(5.10)
148

Этот определитель раскрывается обычным путем по минорам
rot Н = i
э нг э ну
ду Эг
(
+ J
ЭЯ, э н,
д Z
дх
+ к
ЭЯ ЭЯ,
Эх
ЭУ
Так ротор записывается в декартовых координатах.
В цилиндрических координатах (р, у, z на рис. 2.1)
rotH =
1 ЭЯг
ЭЯ^
Гэ"р
дну
1 ЭрЯу
1 эяр '
р Э\|/
Эг J
ер +
Эг
эР j
ЧР Эр
Р ЭЧ1 ;
В сферических координатах (г, \р, 0 на рис. 2.1)
гоШ =
' 1 Э sin 0Яу
эяе]
е +{UrH•
1 ЭН У
rsinG Э0
Э\|/ )
' [г Эг
г Э0 ,
ev +
(5.11)
ег. (5.12)
' 1 ЭЯ, 1 drHv
sin0 Э\|/ г Эг
(5.13)
Из циркуляции (5.6) ротор получается предельным переходом к
контуру с бесконечно малой площадью AS
H!dl\
AS у
(5.14)
где п — единичный вектор нормали к поверхности AS.
Отсюда теорема о циркуляции в дифференциальном виде
rot Н = ™ j; {rot Н = j},	(5.15)
где j — вектор плотности тока.
На рис. 5.11 показана широкая полиэтиленовая пленка (ди¬
электрик) с равномерным поверхностным зарядом с плотнос¬
тью о, которая движется по роликам со скоростью v. Движение за¬
рядов создает ток плотностью j = av.
Перпендикулярно току и парал¬
лельно поверхности пленки возни¬
кает магнитное поле, которое на¬
ходим с помощью теоремы о цир¬
куляции (5.6)
2Н =
с
Рис. 5.11

Откуда
ц _ 2nav _ Ev
с с
где Е — напряженность электрического поля у поверхности плен¬
ки. При известном значении электрического поля пробоя можно
найти максимальные плотность поверхностного заряда и значе¬
ние магнитного поля при заданной скорости протягивания плен¬
ки (№ 5.6).
Если постоянный ток / течет вдоль длинной тонкостенной труб¬
ки радиусом /?, которая имеет тонкую прорезь шириной Ь, парал¬
лельную оси трубки, то вокруг трубки возникает магнитное поле.
Найдем его напряженность (№ 5.7). При отсутствии разреза внутри
трубки магнитного поля не было бы. Условие в разрезе удовлетво¬
ряется, если предположить, что по нему, противоположно /, про¬
пускается ток силой
1Ь ^ 1Ь
2 nR-b 2 nR
Внутри трубки на расстоянии гот разреза с помощью (5.2) по¬
лучаем
н
КСКГ
Вне трубки добавляется еще поле тока по всей трубке
где / — расстояние от оси трубки.
Найдем распределение магнитного поля вне и внутри длинного
цилиндрического провода, состоящего из двух проводящих сред,
имеющих удельное сопротивление от оси провода до и р2 от
до Rv по которому идет ток / (№ 5.8). Благодаря электрическому
контакту, стационарности токов, при котором электрическое поле
аналогично электростатическому, напряженность электрического
поля в проводе постоянна. Из (4.7) и (4.8) для плотностей тока в
частях провода получаем Е= p{j\ = р2jv Откуда
Л.= Pi_
h Р2 ’
Ток через первую среду
150
/, =jxnR],

ток через вторую среду
I2=j2n(R\-R]).
Для токов получаем
/ = /, + /2 и b. = ?L
2 Л Р2
Отсюда
!	I	j __
1	(1 + р./р2)(л1/л?-1)’	2	(1 + Р|/Р2)(л1/л?-1)'
Из (5.7) и (5.2) при 0 < г < Л, магнитное поле
при Л, < г < R2
(2/c)(7/r)(l + p,/p2)(r2//??-l)
(1 + Pi/P2)(*!/*?-i)
при г > R2
Найдем зависимость магнитного поля Н от расстояния г от оси
бесконечного прямого провода радиусом R, по которому течет по¬
стоянный ток /, а удельное сопротивление его р зависит от расстоя¬
ния от оси по закону р = р0г (№ 5.38). Как и в предыдущей задаче,
электрическое поле Е в проводнике постоянно, поэтому
Р(г)
Е Е
рОО рог
Используя закон Ома (4.7), (4.8), получаем
2 nRE
Ро
151

Из (5.6) внутри провода
Hl*r = fjj(r)2xrdr=?2-Il
Откуда
и 21
Н = — = const.
cR
При г > R
Н - —.
сг
Если в плазменном цилиндре радиусом а распределение удельной
проводимости X в зависимости от расстояния от оси цилиндра г
имеет вид
Х = АЛ
V а J
то плотность тока
j(r) = X(r)E = j0
_2
1--
где у0 = Х0Е; Е — постоянное электрическое поле, вызывающее по¬
стоянный ток:
I = ]j2nrdr = ^-.
С помощью теоремы о циркуляции (5.6) находим распределение
магнитного поля (№ 5.21). Внутри плазменного цилиндра
2 пгН =-^2 я/oJV
_г\
v"7,
, 4я
dr = —njQ
Г J \
2 г
Г	2
2а2
откуда
Вне плазменного цилиндра
2 пгН =
4 п!
152

и, следовательно
сг
На рис. 5.12, а показано поперечное сечение системы из двух
бесконечно длинных прямолинейных проводников из немагнитного
материала, изолированных друг от друга и ограниченных цилинд¬
рическими поверхностями. Найдем величину и направление маг¬
нитного поля (в данном случае, совпадающего с индукцией магнит¬
ного поля) в полости (П), если токи с одинаковой плотностью j
идут по одному проводнику к читателю, а по другому — от читателя
(№ 5.23). Используя (5.7), для цилиндра с током можем написать в
векторном виде
На рис. 5.12, б показаны все векторы. В результате получаем
Эту же формулу можно применить и к нахождению магнитного
поля внутри бесконечной цилиндрической полости, сделанной в
бесконечном цилиндрическом проводе, вдоль которого течет по¬
стоянный ток плотностью у, равномерно распределенный по сече¬
нию провода (№ 5.24).
Рассмотрим плоский конденсатор, пластинами которого явля¬
ются диски радиусом R, подключенный к источнику постоянного
2п
С
н
Рис. 5.12
153

напряжения V. Объем между пластинами заполнен слабопроводя-
щим диэлектриком, диэлектрическая проницаемость которого
е(г) = е0
а проводимость
x(r)=A°(ff ’
где А — расстояние между пластинами, a z отсчитывается от нижней
пластины; г — расстояние от оси. Пренебрегая краевыми эффекта¬
ми, найдем плотность заряда р(г, z), а также полный свободный заряд
Q, сосредоточенный’ в диэлектрике, и магнитное поле В(г) (№ 5.25).
Из (4.7) имеем Е = j/X. Считая, что плотность тока не зависит от z,
получаем, что напряженность поля
£•- Я')
X0(R/r)'12
также не зависит от z, т. е. Е = V/h.
Из (3.6)
_ dD/dz _ d(eE)/dz _ 2Ez Vz
^ 4л	4л 4яА2	2лА3
Интегрируя по объему, находим
Q = ^.jzdz=^.
2лА3 J0	4А
Из теоремы о циркуляции (5.6) следует
2лгН = 4лEj 2лrX0	dr = 8л2 ER^2X0rl^2dr = -у л2Е (Rrf*7 гХ0.
Откуда, учитывая, что В= Н, находим
В = 8я^Х0 (Rr)l/2.
И
При симметрии системы можно воспользоваться теоремой о
циркуляции (5.6) и в случае части провода конечной длины. Система,
изображенная на рис. 5.13, представляет однородную проводящую
154

Рис. 5.13
Рис. 5.14
сферу и провод вдоль диаметра. Ток / идет по проводу от В к А, а
затем по поверхности сферы (№ 5.10). Так как имеется симметрия
относительно АВ, то, обозначая расстояние от оси симметрии г, мож¬
но из (5.6) внутри сферы получить Н2пг = 4л 1/с. Снаружи сферы
поля нет, так как суммарный ток равен нулю.
На рис. 5.14 показан круговой тор прямоугольного поперечного
сечения с размерами а и Ь, на который навита обмотка тонкой про¬
волоки, содержащая N витков (на рисунке не показана). На тор
надета кольцевая катушка с числом витков п, по обмотке которой
течет ток /. Найдем магнитный поток, который посылает магнитное
поле катушки через обмотку тора с внутренним радиусом R (№ 5.35).
Предполагаем, что рассеяния магнитного потока от кольцевой ка¬
тушки нет, т. е. весь поток идет внутри тора, и учитываем, что сило¬
вые линии не пересекаются. Для силовой линии, проходящей на
расстоянии г от оси симметрии тора, из (5.6) 2лгН = 4лл//с. Для
потока имеем
-Ы f — = 2-Inb\n(l+l
с { г с	V R
Умножая это на N, получаем зацепленный поток через тор.
Если по оси полого цилиндра из немагнитного металла или диэ¬
лектрика натянута заряженная нить, то на его поверхностях появят¬
ся заряды. Вращение цилиндра дает электрический ток и приводит
к появлению магнитного поля. Пренебрегая краевыми эффектами,
пьезоэффектом и всеми эффектами, вызываемыми центробежной
силой, найдем магнитные поля в случае металлического и диэлект¬
рического (диэлектрическая проницаемость е) цилиндров, вращаю¬
щихся с угловой скоростью £2 вокруг нити, на единицу длины кото¬
рой приходится заряд % (№ 5.14). Так как суммарный заряд на ци¬
линдре равен нулю, то и суммарный ток равен нулю. Поэтому в
Ф= j Hbdr = 2
R
155

полости и снаружи цилиндра магнитного поля нет. Поле внутри
цилцндра определяется плотностью заряда на внешней поверхности
цилиндра (радиус R). В соответствии с (1.16) напряженность элект¬
рического поля на внешней поверхности цилиндра
Е
1%
R ‘
В случае металла плотность заряда из (1.12)
ст = — =
4я 2nR’
а в случае диэлектрика из (3.3) и (3.8), так как
Е= D= гЕ1 = Е+ 4пР,
Д	Д	’
ТО
а -р - (е~‘)£д (e-Qg _ (е~0х
л ” 4п	4пе 2neR
Ток на единицу длины цилиндра /= o£lR. Используя (5.4), по¬
лучаем в случае металла Н = 2%Q/c, а в случае диэлектрика
н 2ха(е-1)
д	се
Найдем магнитные поля, возникающие при вращении длинного
сплошного цилиндра из статически поляризованного диэлектрика,
вращающегося вокруг своей оси симметрии с угловой скоростью со.
Задано, что вектор поляризации во всех точках цилиндра направлен
радиально, а его величина пропорциональна расстоянию от про¬
дольной оси цилиндра, т. е. Р = кт (к = const; г — радиус-вектор,
проведенный от оси перпендикулярно к ней), радиус цилиндра R
(№ 5.15). Из (3.4) следует Для объемной плотности связанных зарадов
Рсвяз = - div Р = -к div г = -к ^	) = -2к,
т. е. постоянна во всем объеме цилиндра.
При вращении связанные заряды создают токи с объемной плот¬
ностью
} = “'Рсвяз = ~2ка}Г-
Заметим, что на поверхности цилиндра при к > 0 из (3.3) поло¬
жительный поверхностный связанный заряд плотностью о = Рп = kR,
156

а внутренние связанные заряды отрицательные и в
сумме равны поверхностному заряду, т. е., как и
должно быть, свободных зарядов нет. Поэтому при
вращении цилиндра внешнего магнитного поля нет.
Для вычисления магнитного поля внутри цилиндра
воспользуемся теоремой о циркуляции (5.6). Кон¬
тур для циркуляции, показанный на рис. 5.15, бе¬
рем вдоль образующей цилиндра на единице длины
по радиусам и линии на расстоянии гот оси цилин¬
дра. Получаем ток
R	R
I = J jdr + c(oR = -2&coJ rdr + k($R2 = kw2
r	r
и магнитное поле H = 4nl/c.
Если тонкостенная длинная дюралевая трубка заряжается элект¬
рически и приводится в быстрое вращение относительно оси сим¬
метрии, то возникают магнитные поля. Максимальная скорость вра¬
щения трубки to обусловлена механической прочностью дюраля апр.
На рис. 5.16 показана максимальная центробежная сила
F = phRdya)2 R = 2апрЛ^,
где р — плотность дюраля; h — толщина трубки; R — ее радиус.
Отсюда
Рис. 5.15
СО" =	*г.
Р R2
Обозначая заряд на трубке q, имеем из (1.3) для напряженности
электрического поля на поверхности трубки
для плотности тока при вращении
. _ Ящ _ g((Tnp/p)/
4 nR2	4л R2
Этот ток, так же как в соленоиде, созда¬
ет магнитное поле внутри трубки
Н = *3L.
С
157

Для наибольшего отношения магнит¬
ного поля внутри трубки к электрическо¬
му полю на ее внешней поверхности по-
(фГ
лучаем
(№ 5.16).
Для вращающегося заряженного шари¬
ка магнитное поле вдали от него пред¬
ставляет поле магнитного диполя. Най¬
дем величину магнитного диполя при рав¬
номерном распределении заряда q по
поверхности шарика радиусом R. Плот¬
ность заряда на поверхности
о =
Я
4tiR2 '
На колечке радиусом Л sin <р (рис. 5.17) имеется зарад oRd(p2nRcos<p.
Этот заряд проходит за время поворота Т = 2л/ш. Отсюда получаем
ток и, в соответствии с (5.5), магнитный момент
ф = I о со л/?4 cos3 (р dtp.
Интегрируя по углам, находим магнитный момент, направлен¬
ный по (О,
1 л/2 1
р = - асоя/?4 21 cos2(pd sin ф = - qR2 у.
В случае равномерного распределения заряда по объему шара
для плотности заряда имеем
Р =
3g
4я/?3'
Заряд в кольце высотой 2R sin ф, шириной Rd<p sin ф и радиусом
R cos ф равен р2R sin ф Rd<p sin ф 2яR cos ф. Этот заряд проходит за
время поворота Т = 2я/а>. Отсюда получаем ток и, в соответствии с
(5.5), магнитный момент
dp = - 2рояЛ5 cos3 ф sin2 ф dtp.
С
Интегрируя по углам, находим магнитный момент, направлен¬
ный по со,
1	п/2	1	0)
р = -ртя/Г2 f cos2 фвт2 ф^втф =-qR2 — ■
с	I	с	5
158

Используя полученные магнитные моменты с помощью (1.9),
находим магнитное поле (№ 5.17).
Согласно современным данным, допустимое из опытов различие
абсолютных величин зарядов электрона де и протона qp таково, что
Ч,
< 1(Г21.
Таким образом, каждый атом с номером Z может иметь заряд
Zxqp, где
Яр ~Яе
X = —	.
Яр
Считая, что для атомов, составляющих Землю, отношение от¬
носительной атомной массы А к атомному номеру Z порядка 2, а
плотность Земли р = 5 г/см3, оценим, не может ли наличие заря¬
да и вращение Земли создать существующее магнитное поле Земли
В = 3 • 10~5 Тл (№ 5.20). Так как масса атома равна массе нуклона
(протона или нейтрона) тн, умноженного на А, то отношение пол¬
ного заряда Земли q к ее массе М равно
Я _ ^Яр
М тнА '
Используя полученное в предыдущей задаче соотношение для
магнитного момента Земли, находим
Z Яр . /Г
Если бы Земля обладала таким дипольным магнитным момен¬
том, то из (1.9) для максимального значения на полюсе получим
а затем вычисляем
х =
D
А тн
2 Яр
15сВ Т? .
\6п2рЯ
= 2,6 1019.
Эта величина намного больше возможной, поэтому магнитное поле
Земли не может быть создано из-за разности зарядов.
159

Найдем магнитный момент квадратной рамки со стороной а, рав¬
номерно заряженной с линейной плотностью р, вращающейся с уг¬
ловой скоростью о вокруг одной из сторон (№ 5.18). Сторона, па¬
раллельная угловой скорости, дает момент в ее направлении
1 (О 2 Я3
Шг = -ра — па = рсо —.
1 ск 2л	2с
Каждая из радиальных сторон дает
1	I	з
1 Г , СО 2	1 а
^в7{	=ср(0Т-
В сумме получаем
1 5 з
т = --рсхла.
с 6
Для вращающегося с угловой скоростью ю равномерно заряжен¬
ного (полный заряд Q) диска радиусом R (рис. 5.18) магнитный мо¬
мент находим (№ 5.19) интегрированием, используя (5.5):
где
а
Q
kR2
С помощью таблицы интегралов, либо
вводя обозначение х = R sin ср, полу¬
чаем
Вектор-потенциал магнитного поля
можно получить из закона Биб—Сава-
ра—Лапласа (№ 12.1).
Используя связь / = jdS, из (5.1) по¬
лучаем
160

Интегрируя, находим
H'jJWt1-	<5л6>
Входящий в (5.16) радиус-вектор г имеет начальную точку, где
находится элемент тока с плотностью j, называемую истоком, и ко¬
нечную точку, где вычисляют величину магнитного поля, называе¬
мую точкой наблюдения. Найдем градиент численной величины
радиуса-вектора г. Можно при вычислении градиента оставлять не¬
подвижной точку истока. В таком случае наибольшее возрастание
производной происходит в направлении радиуса-вектора (измене¬
ние расстояния равно изменению длины вектора)
gradar= т/г.
При перемещении истока
grada г = -г/г.
Так как для произвольной функции /(г)
grad a/(r) = ^j^grad аг,
ТО
grada 7 = —у grada г = —г—.
Далее можно воспользоваться формулой, в справедливости ко¬
торой можно убедиться просто вычислением,
rot (/а) = /rot а + [grad/а].
Подставляя в это соотношение/= 1/ги а = j и при дифференци¬
ровании считая неподвижной точку истока вектора г, получаем
TOto (;) = [grad, rj] + ~rota j.
Так как значение вектора j в элементе dV (точка истока) не зави¬
сит от перемещения точки наблюдения, в которой вычисляется поле,
то rota j = 0. Следовательно,
(5.17)
(5.18)
(5.19)
11-
161

Внося это в уравнение (5.16), находим
•Ч/Г01-(;К
Так как дифференцирование (образование ротора) проводится
по координатам точки наблюдения, а интегрирование — по объему
проводников, обтекаемых током, то возможно изменение последо¬
вательности этих операций
Н = rot.
Вводя обозначение величины, называемой векторным потенциалом
магнитного поля,
получаем
Н = rot А;
Найдем поле на оси соленоида (катушки) как сумму полей от
набора витков (№ 5.5). На рис. 5.19 показано сечение соленоида и
даны его размеры. Обозначая общее число витков N и силу тока / и
пользуясь (5.3), получаем поле в точке А от элемента соленоида dx
dH	sin3 (p; dl = /rfxsincp = R-^-.
c R Y	Y siпф
В результате
„ 2nl N г .	,
Я =		 sincp dcp.
С I i
1 '.dV\
= 4^/J—I’
(5.20)
{H = rot A}.
(5.21)
Откуда
Я =	(cos P — cos a).	(5.22)
cl	’
Для точек внутри достаточно длинного соленоида, чтобы можно
было пренебречь краевыми эффектами р = 0, a = п:
= 4к /Я
с I
(5.23)
162

dx
R
x A
Рис. 5.19	Рис. 5.20
Поле не зависит от расстояния от оси соленоида и направлено в
соответствии с (5.1).
На краю достаточно длинного соленоида р = 0, а = п/2 поле на
оси соленоида
и 2к IN	\и IN 1	/СО/1ч
н-т—- Iя чг)-	(5'24)
Если на тонкий латунный прут, свернутый в кольцо, намотано
равномерно N = 104 витков провода, по которому идет ток /, то
магнитное поле есть на оси прута и в центре кольца. Так как ток
вдоль кольца равен /, то поле в центре кольца радиусом R (5.4)
н 2л1
h=Tr-
Поле на оси прута (5.21)
Я =
4л IN
2л cR
Отсюда можно найти их отношение N/n (№ 5.22).
На рис. 5.20 показаны силовые линии магнитного поля солено¬
ида. Найдем, на каком расстоянии А от соленоида длиной / с чис¬
лом витков N пройдет силовая линия (а), если в его середине она
проходит на расстоянии в а раз меньшем его радиуса (№ 5.39).
Считаем, что на больших расстояниях поле определяется маг¬
нитным моментом соленоида (5.5)
INnR2
в соответствии с (1.8)
и
163

Из отсутствия магнитных зарядов (замкнутости силовых линий)
и, следовательно, сохранения магнитного потока, пользуясь (5.23),
имеем
4к1 N
	Г Я
| H2nrdr.
и
Подставляя и интегрируя, получаем
А
а2/
2 *
В следующем разделе будет введено понятие вектора магнитной
индукции В, который подобно вектору напряженности электричес¬
кого поля Е является силовым вектором, определяющим пондеро-
моторные силы. Здесь ограничимся лишь указанием, что в отсут¬
ствие магнетиков вектор магнитной индукции равен вектору напря¬
женности магнитного поля
В = Н; {В = р0Н}.	(5.25)
Здесь магнитная постоянная
р0 = 4тс • 10-7 = 1,25663706144 • 10"6 Гн • м"1.	(5.26)
Поэтому при отсутствии магнетиков поток вектора магнитной ин¬
дукции
Ф = J BJS =J H</S; |o = jB</S = mjH</s[. (5.27)
Приведем пример вычисления потока магнитного поля (№ 5.32).
Найдем поток напряженности магнитного поля, создаваемого
квадратной рамкой со стороной а, по которой
течет ток /, через полуплоскость, граница
dy которой расположена на расстоянии b от од¬
ной из сторон рамки (рис. 5.21). Рамка лежит
на полуплоскости, граница которой начина¬
ется от заштрихованной части. Очевидно, что
сумма потоков магнитного поля от сторон
рамки, перпендикулярных границе полуплос¬
кости, равна нулю. Чтобы вычислить потоки
от сторон рамки, параллельных границе по¬
луплоскости, воспользуемся тем, что поток
от единичного отрезка стороны рамки через
164

все единичные площадки, лежащие на линиях, параллельных гра¬
нице полуплоскости, равен потоку от провода бесконечной длины
через единичную площадку на этой линии, который вычисляется по
(5.2). В соответствии с (5.1) поток равен интегралу
О	сг
Введенные координаты показаны на рис. 5.21. Можно поменять
местами dl и dy и воспользоваться (5.2).
Отсчитывая расстояние х от стороны рамки, получаем, что ин¬
тегрировать надо для ближней к границе стороны рамки от b до °°,
а для дальней стороны от а + b до °°, так как ближайшие к сторонам
части дают интегралы с разными знаками (т. е. нуль). Интегралы
надо увеличить в а раз, так как результаты были для единичного
элемента стороны. Учитывая, что от ближней и дальней от границы
полуплоскости сторон потоки имеют разные знаки, получаем
С
Г-
г dx	г ах
■I х	*. х
dx
\г‘
L X
а + Ь у
С * X С \ о
Для замкнутого провода, по которому течет ток /, можно вычис¬
лить, используя (5.27) и (5.1), поток Ф вектора напряженности маг¬
нитного поля Н через замкнутый контур площади S
Ф = -Ы; {Ф = Ы}.	(5.28)
с
Здесь, как и в (5.1), используется множитель (1 /с), а другой мно¬
житель (L), определяемый только геометрией системы (размерами
и конфигурацией провода) и не зависящий от силы тока, называет¬
ся индуктивностью, а также коэффициентом самоиндукции провода,
или самоиндукцией.
Воспользовавшись полученной для длинного соленоида (длину
обозначим /) зависимостью (5.23) и учитывая, что площадь витков
равна S и число их N, т. е. поток через весь контур увеличивается в N
раз и превращается в так называемый зацепленный поток Y = ФУУ,
находим самоиндукцию соленоида
L = 4nN2j;	{z, = p0W2yJ.	(5.29)
Найдем индуктивность L проводника, показанного на рис. 5.22.
Ток течет по проволоке диаметром 2а, расположенной по оси доста-
165

точно тонкой металлической трубки диаметром 2Ь, переходит на дно
трубки, к центру которой припаяна проволока, и возвращается об¬
ратно по ее поверхности (№ 5.28). Пренебрегая краевыми эффекта¬
ми для магнитного поля внутри трубки, из (5.2) получаем
Используя (5.28), находим
Для единицы длины системы из двух параллельных одинаковых
проводов, по которым одинаковые токи текут в противоположных
направлениях (рис. 5.23), учитывая магнитное поле только вне про¬
водов, из (5.2) и (5.27) получаем (№ 5.29)
с г
Внутри провода из (5.7)
На единицу длины трубки и провода получаем
2 Ь
I
2а
h
Рис. 5.22
Рис. 5.23
166

Если имеются два замкнутых контура L, и L2: первый с током /,,
а второй с током /2, то первый создает поток магнитного поля через
второй Ф12, а второй через первый Ф2|. Используя теорему Стокса,
получаем
012 = !ffi„dS2 = fAlldl2 = j>Aldl2;
Si	Li	Li
Si	ц	ц
Переходя в (5.20) к току (/ = jdS), находим
ф12=-ФФ^1—; ^2,=—•
к к
Li L\
Интегрирование проводится по обоим контурам Lx и Ь2, причем
каждый элемент длиной dlx контура Lx должен быть скалярно умно¬
жен на элемент длиной dl2 контура L2, и полученное произведение
разделено на расстояние между элементами г. Двойной интеграл,
входящий в формулы для Ф12 и Ф2|, носит название коэффициента
взаимной индукции контуров Lx и L2, обозначается Ln и L2X,
а из их выражения следует теорема взаимности
Ln = L2V	(5.30)
Если на один сердечник намотаны две катушки с индуктивнос¬
тями L, и L2 и известно, что рассеяния магнитного поля нет, то
можно найти их взаимную индукцию М (№ 5.30). Обозначим число
витков в катушках Nx и N2, магнитный поток, который не рассеи¬
вается, и поэтому одинаковый для обеих катушек Ф, сцепленный
поток первой катушки Ч/1 = Ф(У,, сцепленный поток от первой ка¬
тушки через вторую 'Р21 = ФУУ2, сцепленный поток второй катушки
'Р2 = ФА^ и сцепленный поток от второй катушки через первую
¥,2 = ФтУ,. При токе / только в первой катушке имеем
ф = 1<- =
12.
n2 •
Надо иметь в виду, что формула (5.28) была написана для од¬
ного витка. Если поток пронизывает N витков, то вместо Ф надо
брать = Ф N
'Y = -IL;	{'Р = Ш.	(5.31)
С
167

В данном случае
у.
^ и T21=^L.
Отсюда, используя полученные ранее соотношения при сохранении
потока, имеем
Z-l _ jV!
При токе / только через вторую катушку получаем
n2 /V, •
Используя (5.31), находим
!Ь_ = Ьк
N2 L, ‘
Из двух соотношений числа витков следует М = (Z.jL2)1/2.
Найдем магнитный поток, который посылает поле маленькой
плоской катушечки площадью S с числом витков NK, по обмотке
которой течет ток /к, через обмотку соленоида длиной / с числом
витков Nc (№ 5.31). Используя (5.23) для зацепленного потока маг¬
нитного поля от соленоида, по которому течет ток /с, через кату¬
шечку получаем
Т = NKS4nNc^ = ^±.
к к	с с/ С
Используя теорему взаимности (5.28), находим для зацепленно¬
го магнитного потока через соленоид
= M^ = 4nNKSNc-^-.
с	с	к с cl
Поле намагниченного стержня и витка с током на больших по
сравнению с их размерами расстояниях описывается полем диполя
с магнитным моментом (5.5)
Используя это, найдем магнитный поток, пронизывающий длин¬
ный соленоид с плотностью намотки п и радиусом /?, от намагни-
168

ценного стержня, находящегося на его оси вдали от концов и имею¬
щего магнитный момент р, направленный по оси соленоида (№ 5.34).
Обозначая коэффициент взаимной индукции Л/, который по те¬
ореме взаимности (5.30) одинаков для витка и соленоида, получаем
для магнитного потока через виток
^вит = ~М1С = HcSBm = 4nnlc
Откуда М = 4яи5'вит. Поэтому
Тс = М	= 4nnSBm	= 4ппр.
Вычислим коэффициент взаимной индукции М между катушкой,
намотанной на тор прямоугольного сечения, и бесконечным прямо¬
линейным проводом, идущим по оси тора. Длина стороны попереч¬
ного сечения тора, параллельного проводу, — а, перпендикулярной
к ней — Ь, радиус внутренней поверхности тора R, число витков
катушки N (№ 5.33). Используя (5.2), получаем для зацепленного
магнитного потока от провода через тор
Т= J —Nadr = -2IaN\n^-.
{ сг	с	R
Отсюда в соответствии с (5.31)
M = 2aN 1п(1 + ^) = 2аЛ^-
На рис. 5.24 показана система: внутри катушки-соленоида дли¬
ной /, площадью сечения S и плотностью намотки п расположена не¬
большая катушка с площадью витков а
и полным числом витков N. Обе ка¬
тушки соединены последовательно.
Найдем, как изменяется индуктив¬
ность L такой системы в зависимос¬
ти от угла 0 между осями катушек,
если индуктивность меньшей катуш¬
ки равна L0 (№ 5.36). В соответствии
с (5.29) индуктивность большей ка¬
тушки Z,, = 4nn2Sl. Используя теорему
взаимности (5.30), при заданном по-
S, п, I
Рис. 5.24
169

ч
следовательном соединении катушек имеем L = L0 +	+ 2М. Вза¬
имную индуктивность Мнаходим, вычисляя зацепленный поток через
меньшую катушку:
'Р = — = Ho^-l cos0 = — InoN cos0.
cl	с
Отсюда
М = 4nonN cos 0.
В результате
L = L0 + Ann2 IS + Snort N cos 0.
Аналогичным методом можно вычислить индуктивность систе¬
мы, когда внутри длинной катушки-соленоида индуктивностью Ll
расположен соосно другой соленоид меньших размеров с тем же
числом витков, все линейные размеры которого в Р раз меньше ли¬
нейных размеров большого соленоида (подобные катушки) (№ 5.37).
Так как число витков одинаково, получаем из (5.29), что индуктив¬
ность меньшей катушки
А) -
ь_
Р
Для нахождения взаимной индукции записываем зацепленный
поток через меньшую катушку
¥ = —= ЯАгД-.
Откуда, используя (5.29),
В результате индуктивность системы
1=1,
+ —+ ■
Р р2
На основе опытов Фарадея и правила Ленца, следуя Максвел¬
лу, можно сформулировать закон электромагнитной индукции: из¬
менение магнитного поля во времени возбуждает в окружающем
пространстве электрическое поле. В неподвижном замкнутом конту¬
170

ре возникает циркуляция напряженности электрического поля Е,
определяемая изменением магнитного потока Ф, пронизывающе¬
го этот контур:
фЕ</1 = -
1 ЭФ
с Ы ’
(5.32)
где Ф — поток вектора магнитной индукции, Ф = ^BrfS. О магнит-
ной индукции будет подробно сказано в следующем разделе, сейчас
лишь заметим, что в отсутствие магнетиков В = Н (вектору напря¬
женности магнитного поля).

6.	МАГНИТНОЕ ПОЛЕ В ВЕЩЕСТВЕ.
ВЕКТОРЫ ВИН.
ТЕОРЕМА О ЦИРКУЛЯЦИИ В ВЕЩЕСТВЕ.
СВЕРХПРОВОДНИК В МАГНИТНОМ ПОЛЕ
Вещества могут обладать магнетизмом, который возникает бла¬
годаря орбитальному движению электронов вокруг атомных ядер,
собственному вращению (спину электрона), собственному вращению
ядер (спину атомного ядра). При беспорядочном тепловом движении
в отсутствие магнитного поля атомы вещества обычно ориентирова¬
ны хаотически и возбуждаемые ими магнитные поля компенсируют
друг друга. Под воздействием магнитного поля некоторые вещества
(например, железо, никель, кобальт) могут сильно намагничивать¬
ся. Они называются ферромагнетиками. Другие, например платина,
вольфрам, алюминий, намагничиваются, но слабо. Они называются
парамагнетиками. Среди слабо намагничивающихся веществ есть
такие (например, висмут, золото, серебро), которые приобретают
намагниченность, противоположную прикладываемому полю, и на¬
зываются диамагнетиками. Замечательной особенностью ферромаг¬
нетиков является то, что при снятии внешнего магнитного поля
они не размагничиваются полностью. Остается постоянное (остаточ¬
ное) намагничивание. Здесь проявляется нелинейная зависимость
намагниченности от напряженности магнитного поля и гистерезис —
зависимость намагничивания от истории изменения магнитного поля.
Орбитальные и спиновые вращения электронов и спиновые вра¬
щения атомных ядер можно рассматривать как молекулярные токи,
создающие магнитные поля. Таким образом макроскопическое маг¬
нитное поле В возбуждается как обычными токами проводимости
(плотностью у), так и токами намагничивания (плотностью jm), по¬
зволяющими описать вклад усредненных молекулярных токов. За¬
метим, что токи намагничивания не испытывают сопротивления и
не приводят к джоулевым потерям на теплоту.
Отсутствие магнитных зарядов приводит к замкнутости силовых
линий магнитного поля. Применение аналога теоремы Гаусса дает
(6.1)
172

В дифференциальной форме
div В = 0.	(6.2)
Теорему о циркуляции (5.6) и (5.15) надо дополнить включени¬
ем токов намагничивания /
т
фв<л = ^(/ + /т).	(6.3)
L	С
В дифференциальной форме
n*B = £(j + U {rot В = j +jm}.	(6.4)
Намагниченность среды принято характеризовать вектором на¬
магничивания М. Это средний магнитный момент единицы объема
магнетика, создаваемый молекулярными токами. Если рассмотреть
магнетик цилиндрической формы, магнитный момент которого на¬
правлен вдоль оси цилиндра, и обозначить средний магнитный мо¬
мент молекулы р, а число молекул в единице объемом п, то средний
магнитный момент единицы объема М = пр. Молекулярные токи
соседних молекул в местах их соприкосновения текут в противопо¬
ложных направлениях и взаимно компенсируют друг друга. Неком¬
пенсированными остаются только молекулярные токи, выходящие
на наружную боковую поверхность цилиндра и дающие ток 1т. Для
цилиндра, имеющего объем V, высоту / и площадь основания S ( V—
IS), магнитный момент
= VM = SIM.
с
Направление S совпадает с направлением М. Поэтому 1т = с1М.
Следовательно, поверхностный ток, приходящийся на единицу длины
цилиндра, равен
L = сМ; {im = М).	(6.5)
Если вектор М не направлен по оси цилиндра, то поверхност¬
ный ток (6.5) определяется только проекцией М на ось цилиндра.
Поверхностный ток создает поле, которое можно найти по фор¬
муле для соленоида (5.23) и следует добавить к полю, вызвавшему
намагниченность:
В = Н + 4л М; {В = Н + М}.	(6.6)
Вектор В называется вектором магнитной индукции. Как выяс¬
нится позднее, он подобно вектору напряженности электрическо-
173

го поля Е и является силовым. Название возникло исторически,
так как учение о магнетизме развивалось по аналогии с электро¬
статикой.
Если намагниченность (М) пропорциональна напряженности
поля (Н)
м = Хн,	(6.7)
то из (6.6) следует
В = pH; {В = рр0Н},	(6.8)
где
р = 1 + 4ях; {р = 1 + Xh	(6.9)
магнитная постоянная р0 = 1,2566370614-10~6 Гн/м.
Величина % называется магнитной восприимчивостью, ар — маг¬
нитной проницаемостью вещества. Вещества, для которых % > 0 и,
следовательно, р > 1, называются парамагнетиками, а вещества, для
которых х < 0 и, следовательно, р < 1, называются диамагнетиками.
В постоянном магните цилиндрической формы с постоянной на¬
магниченностью М, направленной по оси цилиндра, плотность тока
намагничивания на боковой поверхности определяется (6.5). Чтобы
индукция В в длинном тонком однослойном соленоиде с плотностью
намотки п [витков/см] была такой же, как в постоянном магните
тех же размеров, должно быть In = im. И, как следует из (6.5), ток в
соленоиде /= сМ/п (№ 6.1).
Между электрическими и магнитными полями, а также между
диэлектриками и магнетиками существует аналогия. Основное от¬
личие при этом связано с отсутствием свободных магнитных заря¬
дов. Для связанных «магнитных зарядов», возникающих при намаг¬
ничивании, существует аналогия со связанными электрическими
зарядами при поляризации. На границе магнетика в соответствии с
(3.3)	плотность «магнитных зарядов» равна нормальной к поверхно¬
сти компоненте вектора намагниченности
ст=Мп.	(6.10)
Аналогии, существующие между законом Кулона (1.1) и зако¬
ном Био—Савара—Лапласа (5.1), между (3.8) и (6.6), между (3.7) и
(6.1), между (3.6) и (6.2), между (5.32) и (5.6), позволяют использо¬
вать результаты, полученные для диэлектриков, также и для магне¬
тиков. Картина полей В и Н для прямоугольного бруска с намагни¬
ченностью М (№ 6.2), показанная на рис. 6.1, совпадает с картиной
для D и Е, показанной на рис. 3.7.
174

Рис. 6.1
Для бесконечной плоской пластины, изготовленной из однород¬
ного намагниченного ферромагнетика с вектором намагничивания М,
перпендикулярным плоскости пластины, из (6.1) следует В = 0 вне и
внутри пластины, а из (6.6) внутри ферромагнетика Н = —4яМ. Вне
пластины Н = В (№ 6.3). Если вектор намагничивания М паралле¬
лен плоскости пластины, то из (6.5) следует, что на поверхности
текут токи намагничивания. Используя симметрию и отсутствие то¬
ков проводимости из (5.6), для напряженности поля Н вне и внутри
пластины Н = 0. Для В из (6.3) вне пластины В = 0, а из (6.6) в
пластине В = 4яМ (№ 6.4).
Для длинного постоянного магнита в виде цилиндра (длиной 21 и
радиусом г) с намагниченностью М поля векторов Н и В обладают
осевой (цилиндрической) симметрией. В плоскости сечения вдоль
оси распределение совпадает с изображенным на рис. 6.1. Поле на
торце подобно (1.17) Вт = Нт = 2па = 2лМ. Поскольку для зарядов
поле падает обратно пропорционально квадрату расстояния, то для
поля в средней части магнита от обоих торцов (№ 6.5)
Для короткого постоянного магнита (высотой А и радиусом К)
поле определяется током намагничивания. Используя формулу для
витка с током (5.4) и то, что это ток намагничивания (6.5), получаем
(№ 6.6)
При помещении стержня из магнитного материала (р » 1, но это
еще не ферромагнетик и можно воспользоваться связью В = цН),
175

имеющего форму цилиндра радиусом г, во внешнее однородное маг¬
нитное поле В0, направленное вдоль оси стержня, имеем внутри очень
длинного цилиндра Я = В0, В = \хН = цД0 и из (6.6)
м = (ц-»£.
Для стержня длиной /, используя (5.22) и (6.5), в центре стержня
от токов намагничивания получаем
Вт = 2л/..
1/2
[т?+г2]
1/2
= ЛпМ
С 2 Л
‘-27
= (и-1)А»
.2 \
1-2-
В результате
В = Я + Я
т
цД0 -(й“1)2^-
Д,
Найдем длину /, при которой полученное значение менее чем
на 1 % отличается от значения для стержня очень большой длины
(№ 6.7). Для этого
1)2“ТГ - 0,01.
ц/
Откуда
/>
2(ц-1)
П'/2
= 14 г.
Если круглый диск (радиусом г), изготовленный из такого же
материала, поместить в однородное магнитное поле В0, то для беско¬
нечно тонкого диска В = В0. Оценим, при какой максимальной
толщине / индукция в центре диска отличается от этого значе¬
ния не более чем на 1 % (№ 6.8). Так как в данном случае В = В0
и Я = Д0/р из (6.6)
(и-ОА,
4*)i	'
Используя формулы для витка (5.4) и тока намагничивания (6.5),
находим
176
В = 2л/„ — = 2л М - = (ц -1)/-^-.
т	т cr	г VP ' 2ЦГ

Поэтому
B = B0 + Bm = B0+(lx-l)l^L.
Откуда
и, следовательно,
/<0,02ц^^ = 0,02г.
Соотношения на границе магнетика определяются (6.1) и (6.3).
Используем их в случае, когда на плоской границе магнетика
(с магнитной проницаемостью ц) в вакууме индукция магнитного
поля равна В0 и вектор В0 составляет угол 0 с нормалью п к поверх¬
ности (рис. 6.2). Найдем:
1)	поток Фн вектора Н через поверхность сферы S радиусом R,
центр которой лежит на поверхности магнетика;
2)	циркуляцию вектора В по квадратному контуру Г со стороной /,
расположенному, как показано на рис. 6.2 (№ 6.9).
Поток вектора Н через поверхность сферы такой же, как по нор¬
мали к границе раздела, так как параллельно границе какой поток
входит, такой и выходит. В вакууме по нормали идет Вп = В0 cos 9,
а в магнетике Нп = BJ\i, поэтому
Ф =
Y U
Вп cos 0 - — cosel nR2 = Вп cos QnR2 ———.
Отметим, что для потока В имеем нуль (сколько входит, столько
и выходит).
При вычислении циркуляции В по Г
надо иметь в виду, что при отсутствии
токов проводимости циркуляция Н рав¬
на нулю, т. е. касательная к границе
компонента Нх не меняется. В вакууме
Вх = Н= В0 sin 0, а в магнетике Вх = \iHx.
Поэтому
ф Brfl = (В0 sin 0 - ц50 sin 0) / =
= (1 - ]х)1В0 sin 0.
12-2073
177

Найдем поток индукции Ф через сечение (в виде квадрата со сто¬
роной а) железного сердечника (магнитная проницаемость р), име¬
ющего форму тора (диаметром D), на который равномерно намота¬
на проволока (N витков), по которой идет ток /(№ 6.10). Используя
(5.6)	, имеем
nDH =— IN.
С
Откуда
2
Ф = Ва2 = 4/Яр——.
* cD
Если в этом сердечнике сделать поперечный разрез (воздушный
зазор толщиной А), то поток изменится. Найдем его (№ 6.11). Отме¬
чая параметры в разрезе индексом «р», имеем В = р# = Вр = Нр. Из
(5.6)	, предполагая, что нет рассеяния потока, следует
(nD-h)H + ИН = ^L.
с
Откуда
(41/c)(N/D)
1 + (р - l)h/nD ’
Отсюда поток Ф = рЯа2.
Для вычисления коэффициентов индукции необходимо находить
потоки индукции Ф. Определим коэффициент самоиндукции L ко¬
аксиала, образованного соосно расположенными железным стерж¬
нем (р = 1000) и медной (р = 1) трубкой, замкнутыми на одном из
концов проводящим диском. Длина стержня и трубки / = 10 см,
диаметр стержня 2г, = 2 мм, внутренний диаметр трубки 2г2 = 9 мм,
наружный — 2г3 = 10 мм. Считаем, что в стержне и трубке токи
равномерно распределяются по сечениям (№ 6.39). Обозначая ток в
цепи /, в соответствии с (5.7) получаем внутри стержня на расстоя¬
нии г от оси поле
Н = 2/-^-
сг\
И поток ПОЛЯ

В зазоре поле, как следует из (5.2),
сг
и поток поля
ф 2 = 2 f —/— = 2-/In
I с г с
В трубке, как следует из (5.6),
Н2пг = —
с
I -
'(s-ty
4я
с
).
Поток
Ф3
2-1
с
1п (г3 ! г2 )
Г, -Л
1
2	'
Суммарный поток
ф = ф, +Ф-, +ф, =-/
p + 21nf—
с
U J
rl-rl _
поэтому
1 = 2/
И -1
+ 1п
И
г\
~ 104 см.
Аналогичным образом можно вычислить индуктивность коак¬
сиала, если стержень такой же проводник, как трубка, а простран¬
ство между ними заполнено диэлектрическим магнетиком с маг¬
нитной проницаемостью ц (№ 6.40). В этом случае
L = 2l
pin
„ Л
+ г!
/•, -г,
= 58 см.
Требуется построить электромагнит, который создает в зазоре
магнитную индукцию В. Длина железного сердечника /, ширина
воздушного зазора а, диаметр сердечника d, магнитная проницае¬
мость железа ц. Найдем, какое число витков должна иметь обмотка,
если используется медный провод (удельное сопротивление меди р)
179
12’

площадью сечения S, по которому можно пропустить ток, не пре¬
вышающий /тах. Оценим также напряжение V, которое нужно по¬
дать на обмотку для получения максимального поля (№ 6.21).
Из (6.8) и (5.6)
Откуда
N B{l/\i + a)c
Для напряжения получаем
fг _ I	D
' _ •'max-'*	^
Найдем индукцию магнитного поля в небольшом зазоре (толщи¬
ной И) электромагнита, изображенного на рис. 6.3 (№ 6.12). По об¬
мотке, имеющей N витков, протекает ток I. Участки электромагни¬
та, размеры которых указаны на рисунке (А <к /), имеют одинаковые
площади сечения, а магнитная проницаемость его равна ц. При раз¬
ветвлении потока Ф = Ф, + Ф2, поэтому Я = Н1 + Я2. Отмечая
параметры в зазоре индексом «р», для циркуляции магнитного поля
из (5.6) имеем
Я, 21 + HI = HI + Н2 (21 - h) + Hph = ^ IN.
Из (6.1) и (6.8) Я= В = В2 = ц.Я2. В результате
Я, = ■
Вп
1 +
(ц -1)6
я = Я, +Я2 = Я, +-£■ = -£■
21
BJL=B1
Р ц
4 nIN
2 +
(и-О*
в„
2Я, + Я = —,
2+i^+2+i^
/ 21
21
AnIN
cl ’
		nlNy.
p c/[l + (3/8)(p - 1)A//]
180

/
Рис. 6.3
На рис. 6.4 показан тороидальный сердечник, составленный из
двух половинок, сделанных из различных ферромагнитных материа¬
лов с магнитными проницаемостями ц, и д2. Общая длина сердеч¬
ников, включая два небольших зазора величиной А, равна /. По об¬
мотке сердечника, имеющей N витков, течет ток I. Найдем величи¬
ну поля В в зазоре, предполагая, что рассеянием магнитного поля в
нем можно пренебречь (№ 6.13). Используя (6.1) и (5.6), имеем
В = Pj#, = ц2Н; 2АД+я(^-а) + я(^-й) = ^.
Откуда
в	(4 n/c)IN
2А + (//2-А)(ц, +ц2)А*1И2
Тонкий сердечник тороидальной катушки длиной / сделан из
ферромагнитного материала. Минимальная напряженность магнит¬
ного поля, при которой материал достигает насыщения (Л/= Л/нас),
равна Я= Янас. Найдем, какой минимальный ток /0 должен течь по
обмотке, имеющей N витков, чтобы намагниченность сердечника
достигла насыщения (№ 6.15). Из (5.6)
г _ ^нас ^
0 4я N
При создании воздушного зазора в сердечнике достаточной тол¬
щины (йн) насыщения намагниченности не возникает при / > /0.
Найдем такую толщину (№ 6.15). При зазоре А из (5.6), обозначая
напряженность поля в зазоре Я3, имеем
Я3А + Я (/ - А) =
4я IN
с
181

Из (6.1) и (6.6)
Н3 = В3 = В= Н+ 4пМ.
Для тока получаем
г _Ш + 4nMh
4ncN '
Ток, при котором наступает насыщение,
Лн л
Рис. 6.5
^нас^ ^Л/нас/>
4ncN
т , МнкИс
1й+~Ы~-
Эта линия на плоскости (/, И) (рис. 6.5)
отделяет область насыщения (заштрихованная) от области отсут¬
ствия насыщения. Отсюда
(/-/нас)7У
н	сМ
Следовательно, насыщение отсутствует при h > hH.
На рис. 6.6 показан железный сердечник постоянного сечения
длиной / = 1 м, который изогнут в виде тора с зазором h = 1 мм и на
который намотана катушка с числом витков N — 1600, по которой
идет ток / = 1 А. Зависимость В{Н) материала сердечника представле¬
на на рис. 6.7. Найдем магнитное поле в зазоре (№ 6.17). Из (5.6)
Bh + НЫ— N1.
С
Подставляя данные, находим 105+ Н = 20,1. Эту линейную зависи¬
мость наносим на рис. 6.7. Пересечение с заданной зависимостью
позволяет найти В= 15 кГс, которое и есть магнитное поле в зазоре.
На рис. 6.8 показан разрез достаточно длинной катушки с плотно¬
стью намотки п витков на 1 см, по которым течет постоянный ток /.
182

Если смотреть на катушку со стороны правого торца, то ток течет
по виткам в направлении по часовой стрелке. В катушку соосно
вставлен длинный магнитный стержень с площадью сечения о и
магнитной проницаемостью р > 1. На рис. 6.8 пунктиром изображе¬
на некоторая замкнутая поверхность S, которая пересекает катушку
вдали от ее торцов. Найдем поток НndS вектора напряженности
s
магнитного поля Н, пронизывающий поверхность S, и определим
его знак (№ 6.16). Используя (6.1), получаем
|B</S=JpH</S + J HrfS = 0.
S	a	S-a
Откуда
j H<JS = -nfHdS.
S-o	о
Поэтому, используя (6.8) и (5.23), имеем
HdS = -р| HdS + j HdS = (1 - p)— Ina.
S	<7	0	C
Top квадратного сечения с поперечным разрезом шириной Л
изготовлен из ферромагнитного материала, имеющего остаточную
намагниченность М0, коэрцитивную силу Н0 и зависимость М(Н) в
виде четверти окружности (рис. 6.9), представляет постоянный маг¬
нит (внутренний радиус тора г,, внешний — г2). Найдем величину
магнитного поля в центре зазора (№ 6.14). Из (5.6)
Hph + Н(2пг — И) = О,
где
- rl+r2
2 ’
поле в разрезе отмечено индексом «р». Отсюда
Из (6.6) следует
Вр = Нр = Н+ 4я М,
поэтому
Н = ~
2 hM
г
183

Так как зависимость М(Н) представляет окружность, то по тео¬
реме Пифагора
Я2 +М2 = Ml = Hi.
Подставляя Я, получаем
1 + (21/г)
Таким образом,
В.	= Я„ = Н + 4пМ =(-— + 4п)м = 4пМ 1	.
У Г ]	[l + (2Л/г )2 ]1/2
Тонкий тороидальный сердечник радиусом R, изображенный на
рис. 6.10, выполнен из мягкого железа с магнитной проницаемос¬
тью р » 1. Сердечник разрезан по диаметру, половинки раздвинуты
на расстояние И, а затем один из зазоров (А) замкнут постоянным
магнитом. Намагниченность вещества магнита равна М. Вектор М
перпендикулярен плоскости разреза. Пренебрегая рассеянием, най¬
дем поле в свободном зазоре (Б) (№ 6.18). Используя (6.1), получа¬
ем непрерывность магнитной индукции
Д = Я + 4пМ= В= цН= В= Н= В.	(6.11)
Из теоремы о циркуляции (5.6) имеем
(B-4nM)h + -2nR + Bh = 0.	(6.12)
Откуда
2 кМк
h + nR!\i *
(6.13)
Если разрез Б заполнен диэлект¬
риком и известна величина индукции
магнитного поля в диэлектрике Bv а
намагниченность М неизвестна, то ее
можно определить из (6.12)
(Л + nR/ti) В1
2 nh
Найдем индукцию магнитного
поля в диэлектрика после того, как
184

всю систему поместят в среду с магнитной проницаемостью р
(равной магнитной проницаемости сердечника) (№ 6.19). В ре¬
зультате имеем постоянный магнит, который можно рассматри¬
вать как магнитный диполь с дипольным моментом р = MV, где
V — объем магнита. Вокруг магнита среда, являющаяся магнетиком
всюду, кроме небольшой области, заполненной диэлектриком. Ис¬
пользуя формулу для поля диполя (1.8), а также полученное ранее
выражение для магнитного вектора, можем найти
В = —^-у.
(2 Л)
При заполнении разреза Б веществом с той же магнитной про¬
ницаемостью jli, что и сердечник, магнитное поле в центре тора из¬
менится. Найдем, во сколько раз (№ 6.20). При намагниченном
сердечнике поле в центре тора от пустых разрезов равно нулю. Если
один разрез заполнен магнитом (объем V, намагниченность М), то
поле в центре тора можно вычислить в соответствии с (1.9) как поле
диполя
Если второй разрез заполнить веществом таким же, как вещество
сердечника (с магнитной проницаемостью р), то, используя (5.6)
вместо (6.12), получаем
(В' - 4пМ) h + ^ (2nR + h) = 0,
и вместо (6.13)
_	4nMh
h + (2nR + h)/\i *
При этом намагниченность сердечника
В'-В'/\х В' /
М	41Г~Тп
Эту намагниченность надо вычесть из намагниченности магнита
и снова воспользоваться формулой для поля диполя
в _ {М - М')У
2	Л3
185

Таким образом,
В\ _ М _ Ар + 2nR + А _ . Ар
В2~ М-М' 2nR + А	2яЛ'
При помещении магнетика эллипсоидальной формы в однород¬
ное магнитное поле Н0 внутри него возникает однородное поле
н = н0 + Нф.	(6.14)
Поле Нф ослабляет внешнее поле внутри магнетика. Оно назы¬
вается размагничивающим, так как в ферромагнетиках и парамагне¬
тиках оно направлено противоположно внешнему полю. Влияние
формы тела на его намагниченность М обычно представляют с помо¬
щью коэффициента размагничивания (размагничивающего фактора)
P = -jr-	(6.15)
Рассмотрим стальной шарик, который намагничивается во внеш¬
нем поле до насыщения, и затем поле выключается. Оценим оста¬
точную намагниченность М шарика, если Ви Н для данного сорта
стали связаны уравнением
В = Вп
',д'
Н*>
коэффициент размагничивания Р (№ 6.22). Из (6.14) и (6.15), так
как Н0 = О, Н = -рМ. Используя условие и (6.6), имеем
В = Я+ 4яЛ/ = 4яЛ/-рМ = В0
1-
Р М
н.
Откуда
РЯ0+(4я-Р )ЯК'
Изменение внешнего магнитного поля приводит к изменению
намагниченности находящегося в этом поле магнетика. Максималь¬
ная намагниченность (все магнитные диполи направлены по внеш¬
нему полю) достигается при Втс (поле насыщения). При уменьше¬
нии внешнего поля до нуля в ферромагнетиках остается намагничен¬
ность. Разный ход зависимости В(Н) для увеличения и уменьшения
внешнего поля называется гистерезисом. Часть работы, затрачивае-
186

мой на поворот магнитных моментов магнетика,
не возвращается, а уходит в теплоту. Воспользу¬
емся аналогией между электрическими и магнит¬
ными процессами. Подобно (3.76) для потерь на
теплоту получаем
о
в
н
(6.16)
где V — объем магнетика.
Теплота, выделяющаяся в одном цикле на¬
магничивания в единице объема, равна площади Рис* б*11
петли гистерезиса, деленной на 4п.
На рис. 6.11 показана идеализированная петля (прямоугольник)
гистерезиса железного цилиндра (радиусом а, длиной /), помещен¬
ного внутрь соленоида, по которому пропускают переменный ток
(период Г), который перемагничивает цилиндр от Янас до — 2?нас и
от -Я„ас до Днас. Найдем теплоту гистерезиса Q, выделяющуюся за
время t (№ 6.41). Используя (6.16), получаем
При быстро происходящих процессах, как следует из (5.32), со¬
храняется (не изменяется) магнитный поток. Рассмотрим цилиндри¬
ческий (радиус цилиндра R) магнетик (магнитная проницаемость р),
помещенный внутрь соленоида (радиусом R), по обмотке которого
течет ток /0. Находящийся на оси магнетика детонационный шнур в
некоторый момент взрывается. Цилиндрическая взрывная волна
распространяется со скоростью v и, не разрушая магнетик, уменьшает
его магнитную проницаемость до 1. Найдем, как меняется при этом
ток в обмотке (№ 6.42). Используя (5.27), (5.23) и (6.8), получаем
где г — расстояние, на которое распространилась взрывная волна в
момент времени /. Отсюда имеем
где г — vt.
Удельное сопротивление проводников (р) уменьшается с умень¬
шением температуры (Т). Для чистых (без примесей) металлов при
0=Х-ВШа2*-.
*2	Т
187

низких температурах р ~ Т5. Замечательным свойством ряда веществ
является переход их при низких температурах в состояние сверхпро¬
водимости, когда сопротивление скачком падает до нуля или, во вся¬
ком случае, до очень малой величины. Такие вещества называются
сверхпроводниками. Температура перехода называется критической
(Гк). Измерения показали, что переход происходит на очень узком
интервале температур — для чистых веществ порядка КН...10-4 К.
Интервал возрастает при наличии примесей или других дефектов
структуры. Однако сверхпроводник не является просто идеальным
проводником. Было установлено, что слабое магнитное поле не про¬
никает в глубь сверхпроводника независимо от того, было ли поле
включено до или после его перехода в сверхпроводящее состояние
(эффект Мейснера). Направление намагничивания и в том и в дру¬
гом случае противоположно направлению намагничивающего поля.
Эффект Мейснера связан с тем, что в поверхностном слое сверхпро¬
водника под действием магнитного поля появляется электрический
ток, который компенсирует внешнее поле в толще сверхпроводника.
На рис. 6.12 сравнивается действие магнитного поля на сверхпро¬
водник и идеальный проводник. При температуре Т> Тк (рис. 6.12, а)
магнитное поле захвачено обоими шариками. При температуре Т < Тк
(рис. 6.12, б) поле вытесняется из шарика, перешедшего в сверхпрово¬
дящее состояние. Если затем выключается магнитное поле (рис. 6.12, в),
то в идеальном проводнике будет остаточная намагниченность.
По поведению в достаточно сильных магнитных полях сверх¬
проводники подразделяются на две группы. Их различие можно
видеть на примере зависимости намагничивания (М) длинных ци¬
линдрических образцов, когда внешнее магнитное поле (Я) направ¬
лено по оси цилиндров. На рис. 6.13 приведена зависимость для
сверхпроводников 1-го рода. Начальный участок зависимости соот¬
ветствует интервалу значений Я от нуля до Як (критическое), на
котором имеет место эффект Мейснера и после которого поле скач-
о Сверхпроводник
б	в
Т<ТК #= О
Идеальный
проводник
188
Рис. 6.12
Рис. 6.13

ком проникает внутрь образца, и он во всем объеме переходит в
нормальное состояние. При этом удельный магнитный момент также
скачком уменьшается примерно в 105 раз. Критическое поле Нк зави¬
сит от температуры. Оно максимально при 7’=0Ки уменьшается
до нуля при Т = Тк. Если разрушение сверхпроводимости магнит¬
ным полем проводится при адиабатической изоляции образца, то
он будет охлаждаться. Теплота поглощается сверхпроводником при
переходе в нормальное состояние. Отметим, что скачкообразный
переход наблюдается только в длинном цилиндре в продольном поле.
При произвольной форме образца и других ориентациях поля пере¬
ход из сверхпроводящего состояния в нормальное оказывается рас¬
тянутым по некоторому интервалу значений Н. Он начинается при
Н < Нк и заканчивается, когда поле во всех точках образца превос¬
ходит Нк. Образец расслаивается на чередующиеся области в нор¬
мальном и сверхпроводящем состоянии.
Зависимость намагничивания М от магнитного поля Ядля сверх¬
проводников 2-го рода показана на рис. 6.14. Как и у сверхпроводни¬
ков 1-го рода, начальный участок — линейная зависимость. Картина
разрушения сверхпроводимости магнитным полем в сверхпровод¬
никах 2-го рода даже в длинных цилиндрических образцах в про¬
дольном поле сложнее. Постепенное уменьшение намагничивания
начинается от значения магнитного поля Нк1 (нижнее критическое
поле), когда оно начинает проникать в толщу образца, и продолжа¬
ется до значения Нк2 (верхнее критическое поле), при котором про¬
исходит полное разрушение сверхпроводимости. Особенность сверх¬
проводников 2-го рода заключается в том, что имеется смешанное
состояние, когда области сверхпроводящего состояния пронизаны
областями нормального состояния в виде нитей.
Найдем магнитное поле Н вне шара радиусом R из сверхпровод¬
ника 1-го рода, внесенного в постоянное однородное магнитное поле
с напряженностью Н0, которое еще не разрушило сверхпроводи¬
мость в шаре, а также поверхностную плотность сверхпроводящего
тока j (№ 6.23).
Так как поле не входит в сверхпроводник
(эффект Мейснера), то на его границе оно
должно быть направлено по касательной,
т. е. скалярное произведение HR = 0. Попы¬
таемся удовлетворить этому условию с помо¬
щью диполя р, помещенного в центре шара:
Н
= 3г^-*-
г5 г3
189

Поле вокруг шара Н = Н0 + Нд. Для выполнения граничного
условия необходимо
Отсюда
HR = H0R + 3R(pR5)R
R
О
II
1
r(h+f)=c
к
р--я’Ь
(6.17)
Для поля вокруг шара имеем
Н =
1 +
Я
з
2г
Нп
3 рЗ_ НдГ
2КТ~
(6.18)
Для получения напряженности поля на границе шара надо (6.18)
умножить на единичный касательный к поверхности шара вектор т.
Введем угол 0, как показано на рис. 6.15. Этот же угол определяет
точку на поверхности шара, если его отсчитывать от диаметра, па¬
раллельного внешнему полю Н0. Картина полей симметрична отно¬
сительно направления этого диаметра. Для поля на границе шара
получаем
Нх =HT = !#0sine = 47i^.	(6.19)
Это поле на оси симметрии (0 = 0) равно нулю, а на «экваторе»
(0 = п/2) поле равно (3/2 )#0. Плотность поверхностного тока у опре¬
деляется из (6.19).
190
Рис. 6.15
Рис. 6.16

Силовые линии поля вокруг шара (6.18) показаны на рис. 6.16.
На продолжении диаметра шара, перпендикулярного внешнему полю,
второй член в (6.18) равен нулю, поэтому
Н= 1 +
[>3
2 г1
Нп.
Из сохранения потока магнитного поля (6.1) получаем
Ф„ = nr2inH0 =Ф0 = jf 2я rH (г) dr = пН0
вЗ А
Го -■
г0
Откуда
= Го
Л1/2
1-
r0 J
Таким образом, если расстояние между симметричными точками
на продолжении диаметра, перпендикулярного внешнему полю, 2г0,
то расстояние между симметричными точками, лежащими на тех же
силовых линиях на бесконечности, 2rmin (№ 6.24).
Если задано, что поле в точке А (см. рис. 6.16) в два раза больше,
чем в точке С, находящейся на таком же расстоянии (г0) от центра
шара (№ 6.44), то, пользуясь (6.18), можно найти R/r0. Имея в виду,
что для точки А вектор г0 перпендикулярен вектору Н0, а для точки
С — противоположен Н0, получаем из (6.18)
Н л = Нп
вЗ Л
1+-
2 г3
, нс = н0
1 —
,з^
Л0 J
Отсюда
Если к полю Н0 добавить перпендикулярное к нему поле #01,
равное, например, 2Н0 (№ 6.45), то, используя принцип суперпози¬
ции для поля в точке С, получаем
HC\=(H2c + H2A{j12.
При задании отношения НС[/НС можно найти отношение рас¬
стояния от центра шара до точки С к радиусу шара.
191

Среду, состоящую из большого числа (п штук в единице объема)
сверхпроводящих шариков радиусом /?, находящихся друг от друга на
расстояниях, значительно превышающих их радиус, можно харак¬
теризовать некоторой магнитной проницаемостью ц. Считая, что
nR <к 1, определим, насколько ц отличается от единицы (№ 6.26).
В магнитном поле Н каждый сверхпроводящий шарик, как сле¬
дует из (6.17), обладает магнитным моментом
а единица объема — магнитным моментом (намагниченностью)
М = пр. Из (6.8) и (6.6) имеем
В = |Ш = Н + 4ялМ = Н + 4тш(-Д3 у) = H(l - 2nnR3).
Откуда — 1 = —2nnR3. Знак минус показывает, что такая среда
является диамагнетиком.
На рис. 6.17 изображена тонкая тороидальная катушка радиусом г,
намотанная на полый немагнитный каркас радиусом R, имеющая
N витков, по которым течет ток I. Найдем магнитное поле в центре
тора (точка О), а также определим, как изменится поле в этой точ¬
ке, если внутрь катушки поместить небольшой сверхпроводящий ша¬
рик радиусом г0 «с г (№ 6.27). В отсутствие сверхпроводящего шари¬
ка поле в центре тора определяется тем током, который идет вдоль
него, т. е. /, и равно в соответствии с (5.4)
В0 = Я0 =
2я/
cR '■
и перпендикулярно плоскости тора. Магнитное поле внутри тора
(катушки) из (5.23)
_ 4 nln _ 2 N1
с cR
В соответствии с (6.17) сверхпрово¬
дящий шарик приобретает магнитный
момент
В точке О поле от этого диполя
Рис. 6.17
Вектор поля лежит в плоскости тора.
192

Если внутрь катушки поместить сверхпроводящий шарик, то ее
индуктивность изменится. Найдем, насколько изменится коэффи¬
циент самоиндукции длинной однослойной катушки, в середину
которой поместили сверхпроводящий шарик, радиус которого г зна¬
чительно меньше радиуса витков. Длина катушки /, число витков N
(№ 6.28). Из (5.23) в середине пустой катушки
г = я = ±'J0L.
cl
Магнитный момент шарика, определяемый (6.17)
з В
Рт=~Г J,
заменяем витком с током /в площадью сечения S, для которого
Коэффициент взаимной индукции М определяется из условия
У,, = BS = 4nNIK = М—.
в	к с/ с
Откуда
Таким образом,
М =
4nNS
I
VK = LK^ + M^- = LK^ + 4nNS^ =
к к С	С к С	1с
J /к . N
L. —+ 4л—
к с	I
Откуда
гП
4 nNIK
2
cl
)
/ v')
М =
l / )
ж К
С
Рассмотрим длинный сверхпроводящий короткозамкнутый со¬
леноид (плотность намотки п, радиус R, ток /), на оси которого
вдали от концов соленоида находится маленький шарик (радиусом
г « R) из немагнитного материала, который при охлаждении пере¬
водится в сверхпроводящее состояние. Найдем, где после этого бу-
13'2073	1 93

дет максимальное поле и чему оно будет равно (№ 6.29). Шарик при
переходе в сверхпроводник получает дипольный момент, определя¬
емый (6.17). В длинном соленоиде поток магнитного поля от шари¬
ка (в силу симметрии) будет равен нулю, значит, ток не изменится.
Поле внутри него складывается из поля соленоида (5.21) и поля
диполя (1.9). В соответствии с (6.18) поле максимально в экватори¬
альной плоскости шарика, перпендикулярной полю соленоида, и
равно
d —И — ^ Н —
°тг\ ~ п max 2 **с	С
Сверхпроводящий соленоид индуктивностью L и плотностью
намотки п в момент времени / = О подключается к переменной ЭДС
% = sin Ш. Внутри соленоида находится сердечник с магнитной
проницаемостью ц. Пренебрегая внутренним сопротивлением ЭДС
и явлением гистерезиса в сердечнике, найдем среднюю за период
колебания ЭДС намагниченность М сердечника (№ 6.38). Из (5.31)
и (5.32) можно написать
£' =
Используя условие, имеем
jf
dl =-j-c2 sin (оtdt.
Интегрируем, учитывая, что при t = 0 и /= О,
0 III)
Используя (5.23), (6.7) и (6.9), имеем
■ л 1 ,ч „	1 — COS О)/
М = (»-1)п%0с ы .
Для среднего значения намагниченности получаем
(71/) = ijM* = (p-l)/7g0f
1 о	L
Магнитное поле на оси витка (площадью сечения S) с током (7)
определяется (5.3). Вдали от витка, на расстоянии г » (S)l/2, это
поле магнитного диполя, определяемого (5.5), равно
Я = 24 = 2/4--
Г	сг
194

Его изменение (градиент)
ЭЯ
Эг
Сверхпроводящий шарик радиусом R в этой точке в соответствии
с (6.17) приобретает дипольный момент
рш =-/г3^ = -/^4-	(6.20)
L	сг
По аналогии с (1.11) для силы, действующей на шарик (№ 6.48),
имеем
F = p
ЭЯ
Эг
(6.21)
Шарик отталкивается от витка.
При помещении сверхпроводника в электрическое поле он ве¬
дет себя как проводник — происходит поляризация (идет ток, вы¬
равнивается потенциал). Проводящий шар радиусом R в электри¬
ческом поле <f' в соответствии с (1.26) приобретает электрический
дипольный момент, равный рэ = R3E. Два шарика, расположенные
вдоль электрического поля на расстоянии х » R друг от друга, в
соответствии с (1.10) притягиваются как диполи с силой
Т;=б4 = 6Л64-	(6.22)
х	х
Если, кроме того, имеется еще и магнитное поле, перпендику¬
лярное электрическому, то создаются магнитные дипольные мо¬
менты (6.17)
л Я
р = R у,
которые в соответствии с (1.8) и (1.11) вызывают отталкивание ша¬
риков с силой
/;ч=з4 = ^64-	(6.23)
Сила взаимодействия шариков равна нулю (№ 6.46), если F3 = FM,
т. е. H=2(2)V2E.
13*
195

Если магнитное поле создается внутри соленоида, то.для равен¬
ства электрических и магнитных сил в соленоиде, как следует из
(5.23), должен идти ток (№ 6.47)
/ = 2(2)1/2-^.
4я п
Если ток силой / идет по бесконечному прямому проводу, распо¬
ложенному на расстоянии И параллельно плоской поверхности сверх¬
проводящей среды, то распределение плотности поверхностных то¬
ков j и силу, действующую на единицу длины провода, / можно
найти, используя условие отсутствия магнитного поля в сверхпро¬
водящей среде (эффект Мейснера). Поле на плоской границе будет
иметь только касательную к границе составляющую Нх, если сим¬
метрично под ней расположить провод с противоположным направ¬
лением тока. Используя (5.2) и рис. 6.18, получаем
Нх = 2 Я sine =	(6.24)
сг
Откуда (№ 6.33; 6.37)
^ Нх	Ih
Для дальнейшего необходимо воспользоваться законом Ампера
для взаимодействия тока с магнитным полем. Обозначая силу тока /,
элемент тока d\, индукцию магнитного поля В и силу, действую¬
щую на элемент тока, dF, имеем
d¥ = ^ [</1В]; {</F = / [</1В]}.	(6.25)
Из (5.2) и (6.25) сила, действующая на единицу длины провода
от параллельного провода с противоположным направлением тока,
является силой отталкивания, равной (№ 6.37)
Если погонная плотность (масса на еди¬
ницу длины) провода р,, то условие его па¬
рения над плоской поверхностью сверхпро¬
водника
Pig = f = 17
СП
(6.26)
196
Рис. 6.18

Отсюда можем найти высоту, на которой провод будет поддер¬
живаться магнитным полем (№ 6.36).
Если над плоской поверхностью сверхпроводника 1-го рода на изо¬
лирующем слое толщиной И лежит тонкое сверхпроводящее кольцо
радиусом R » А, по которому течет ток /, то для каждого небольшо¬
го элемента кольца можно силу рассчитывать, как для прямолиней¬
ного провода. Найдем, при каком токе / кольцо начинает парить
над поверхностью, если его масса т (№ 6.35). Ранее получена сила
на единицу длины (6.26). Поэтому
Вдали от витка с током (/) поле является полем магнитного ди¬
поля (5.5). Если такой виток находится над сверхпроводящей плос¬
костью, то для удовлетворения условия отсутствия проникновения
поля в сверхпроводник (эффект Мейснера) необходимо симметрично
от поверхности разместить соответствующим образом ориентиро¬
ванный магнитный диполь (метод зеркальных отображений). Нали¬
чие второго диполя изменяет поле вблизи первого и, следовательно,
изменяет индуктивность витка с током. Найдем изменение индук¬
тивности (ДL), когда плоскость витка параллельна поверхности сверх¬
проводника (№ 6.30) и когда она перпендикулярна ей (№ 6.31). Ис¬
пользуя формулы для поля диполя (1.7) и (1.8), следующие из (1.9), и
(5.28)	для потока поля и индуктивности и обозначая радиус витка R и
расстояние витка от поверхности сверхпроводника А » R, находим в
первом случае
с (2Л)3
л R2 = — Д L.
с
Откуда
Во втором случае
nR2 = — AL.
С
Откуда
197

Постоянный магнит со сверхпроводящей поверхностью взаимо¬
действует подобно витку, имеющему такой же магнитный момент.
Используя метод зеркальных изображений и выражение для поля
диполя (1.8) и силы взаимодействия (1.11), обозначая массу магни¬
та /я, магнитный момент /?, расстояние до поверхности А, получаем
3 р
(2 Л)4
Отсюда находим магнитный момент р, а по нему магнитное поле
у поверхности сверхпроводника от двух диполей (№ 6.34)
Рассмотрим кольцо (радиусом R) из тонкой проволоки радиусом
/*«:/?, находящееся в магнитном поле Н, которое перпендикулярно к
плоскости кольца. Кольцо охлаждением переводится в сверхпрово¬
дящее состояние. При этом магнитное поле вытесняется из кольца,
а по поверхности его начинают течь токи намагничивания (рис. 6.19)
по внутренней поверхности в одну сторону, а по внешней в другую.
При уменьшении магнитного поля его силовые линии удаляются на
бесконечность. Но линии, проходящие внутри кольца, пройти через
сверхпроводник не могут. Поэтому остается поле внутри кольца и
ток на внутренней поверхности проволоки, как показано на рис. 6.20.
Используя (5.28) и известную формулу для индуктивности тонкого
проволочного кольца
L = 4nR
можем найти силу тока в кольце (№ 6.32)
/ =cnR2^-.
Найдем распределение поверхностных токов /пов(0) на проволоке
(радиусом а), если поле Я0, в которое она помещена, еще не раз-
198

рушает сверхпроводимость в ней (№ 6.25).
Поле внутри проводящего цилиндра, по ко¬
торому течет однородный ток плотностью у,
на расстоянии г от оси определяется (5.7)
е
Используя метод наложения (рис. 6.21), по¬
лучаем в полости, где ток отсутствует,
Рис. 6.21
Чтобы внутри сверхпроводника поля не было,
должно быть Н = —Н0. Откуда следует
Из геометрии имеем in0Bdl=jdS=jdlb. Поэтому, используя рис. 6.15,
получаем распределение поверхностного тока
Ток течет параллельно оси проволоки.
Магнитное поле вне длинной сверхпроводящей проволоки, по¬
мещенной во внешнее однородное магнитное поле Н0, найдем, ис¬
пользуя тот же прием, что и для сверхпроводящего шара. По анало¬
гии с полем электрического «плоского» диполя (1.36) имеем для
«плоского» магнитного диполя
Величину дипольного момента находим из условия, что сумма
внешнего поля и поля диполя на границе проволоки (г = R) имеет
только касательную к поверхности составляющую
(6.27)
H0R + (pR)|-i£ = 0.
Откуда
(6.28)
Для поля вне проволоки получаем
(6.29)

7.	ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ИНДУКЦИЯ.
ЭНЕРГИЯ И СИЛЫ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ.
СОХРАНЕНИЕ МАГНИТНОГО ПОТОКА
В СВЕРХПРОВОДЯЩИХ КОНТУРАХ
Открытие Фарадея заключалось в том, что в замкнутом проводя¬
щем контуре при изменении потока магнитной индукции (В), охва¬
тываемого этим контуром, возникает электрический ток, называе¬
мый индукционным. Это означает, что в контуре появляется ЭДС
индукции
1 ЭФ
с dt 9
(7.1)
где Ф — поток вектора магнитной индукции через площадь S,
Ф = J BdS.
S
Знак минус связан с выбором положительного направления об¬
хода контура (направления тока и ЭДС). Положительным является
направление, при вращении в котором правый винт смещается в
направлении нормали к плоскости контура.
Для проверки правильности выбора направления тока можно
пользоваться правилом Ленца: ток идет так, чтобы возникающее от
него магнитное поле противодействовало изменению потока маг¬
нитного поля. Помогает также использование формул, полученных
обобщением экспериментальных данных для сил Лоренца и Ампе¬
ра. Сила Лоренца, действующая на заряд q, движущийся в магнит¬
ном поле (индуктивность В) со скоростью v, равна
FM=i*[vB]; {FM = g[vB]}.	(7.2)
Если кроме магнитного поля действует еще и электрическое Е,
то сила Лоренца
F = $(£ + i[vB]); {F = ?(£ + [vB])}.	(7.3)
200

(7.4)
Сила Ампера действует на элемент тока Id 1
d¥ = ^[dlB];	{</F =/[</IB]}.
Следуя Максвеллу, можно переписать (7.1) для вихревого элек¬
трического поля в проводнике в интегральном и дифференциаль¬
ном виде
Изменение площади внутри контура не всегда предстает в яв¬
ном виде. Рассмотрим медный диск (радиусом а), вращающийся в
однородном магнитном поле (с индукцией В, перпендикулярной к
плоскости диска) с угловой скоростью а). Две щетки, одна на оси
диска, другая на окружности, соединяют его с внешней цепью, в
которую включены реостат с сопротивлением R и амперметр, со¬
противлением которого, а также сопротивлением соединительных
проводов можно пренебречь. Найдем силу тока, идущего через ам¬
перметр (№ 7.1). Можно подумать, что площадь, охватываемая кон¬
туром, не меняется, если не учитывать подвижность элементов дис¬
ка, которые замыкают контур. Элемент поворачивается на беско¬
нечно малый угол da = (ndt за бесконечно малое время dt. При этом '
изменение площади
Из (7.1)
dS = -aada.
2
% =
Для тока получаем
1ЭФ
с д t
лв™_Ва
С dt
2 W
2с'
i = - = bJ “
R	2 сЯ
Появление тока свободных зарядов в проводнике можно объяс¬
нить действием магнитной силы (7.2), так как заряды вместе с дис¬
ком имеют скорости v = cor, где г — это расстояние заряда от оси
вращения. Напряженность электрического поля
Е =
201

а полная движущая сила (ЭДС) на радиусе диска
К = I Ed г =
О
1
-со
с
(о а
2±
2с'
Если диск заменить ободом с двумя спицами (№ 7.2), то ситуация
не изменится, так как разность потенциалов £ набирается там, где
есть у электронов скорость v.
Для цепи из двух вращающихся дисков радиусами а{ и а2 и двух
конденсаторов емкостью С{ и С2, изображенной на рис. 7.1, можно
написать, учитывая, что заряды, которые появляются на конденса¬
торах, одинаковы, т. е. q = VlCl = V2Cv
*1 -*2 =
со В (а2 - а2)
2с
= Г,+К2=*
Отсюда (№ 7.7)
со5а2 (l - а\ /а2 )
i + c,/c2	;
Изменение магнитного потока может быть связано с непосред¬
ственным движением части контура, изменением площади, через ко¬
торую идет поток. Рассмотрим систему из двух вертикальных реек
(проводящих шин), сопротивлением которых будем пренебрегать, зам¬
кнутых сверху и снизу проводниками с сопротивлениями R (рис. 7.2).
Еще один проводник с сопротивлением R, имеющий длину / и мас¬
су т, скользит без трения по рейкам в поле тяжести (g). Найдем
максимальную скорость этого проводника, если система находится
в однородном магнитном поле, индукция которого В перпендику¬
лярна плоскости, в которой лежат рейки и сопротивления (№ 7.9).
Рис. 7.1
Л
202

При падении проводника скорость его v направлена вниз, и в соот¬
ветствии с (7.2) ток идет от D к А (см. рис. 7.2). Сила в соответствии
с (7.4) направлена вверх и увеличивается с ростом скорости. Уста¬
новившаяся скорость (она же и максимальная) определяется из ус¬
ловия
пВ
mg = II-.
с
Величину тока / находим, используя ЭДС, т. е. разность потен¬
циалов на концах скользящего проводника как интеграл по элект¬
рическому полю, определяемому (7.2):
П = Ш = VB-c = /(я += |/Л.
Полученное отсюда / подставляем в предыдущее уравнение и находим
V =
Rc1
(ВО2'
Можно было бы воспользоваться и (7.1), учитывая, что в верх¬
ней части поток растет, а в нижней уменьшается. Так что ток в
движущемся проводнике идет в одну сторону (складывается).
На рис. 7.3 вместо верхнего проводника включена батарея. При
падении проводника в соответствии с (7.2) создается ЭДС индук¬
ции Ш, и в направлении от точки D к точке А идет ток, равный /.
Обозначая токи и их направления, как показано на рис. 7.3, и ЭДС
батареи &6, имеем
/ = /1 + /2;	/,Л = йб+й'; /2Л = Й;
й = - Blv; F = - IBl = mg.
С	С
Откуда
mgRc - %В1с
V~ 2В1	’
Движение будет направлено вверх, если
mgR < Ш (№ 7.8).
Рассмотрим сверхпроводящее плоское
кольцо площадью S, которое перенесено из
удаленной области, где поля нет, в область
однородного магнитного поля В0, так что в
результате нормаль к плоскости кольца со¬
ставляет с направлением поля угол 0. Изме¬
Рис. 7.3
203

нение потока магнитного поля через кольцо приводит к изменению
тока в соответствии с (5.28)
ДФ = B0ScosQ = ^LAJ.
Если известно, что в результате переноса кольца текший по нему
ток / обращается в нуль, то можно найти коэффициент его самоин¬
дукции (№ 7.27)
L,cB„SО!*.
Поток магнитного поля может меняться за счет изменения со
временем магнитного поля. Вычислим ЭДС Ш в квадратном прово¬
лочном контуре со стороной а, в который включена лампочка, нахо¬
дящемся на расстоянии b от длинного прямого провода (рис. 7.4), по
которому течет синусоидальный ток /= /0 cos со/. В соответствии с
(5.2) и (5.27) поток через контур
Ф = -/вТ—= -^ln(l + f).
с / г с \ Ы
Из .(7.1) находим
<f = ^/0cosin co/oln|l + ^j.
Если сопротивлением контура можно пренебречь и задано на¬
пряжение V, требующееся для нормального накала лампочки, то можно
найти эффективное (смотри разд. 10) значение силы тока (№ 7.3)
Аэф
c2V
2аю 1п(1 + а/b)'
Рассмотрим длинную катушку с плотностью витков п, по обмот¬
ке которой течет ток / = /0 cos со/ и в которую вставлен стержень
радиусом R с магнитной проницаемостью ц, обладающий слабой
удельной проводимостью X. Найдем среднюю мощ-
/	ность тепловых потерь в стержне на единицу длины в
центральной части катушки (№ 7.87). В соответствии
с (5.23) и (6.8) поле в сердечнике, вставленном по
оси катушки, будет равно
Рис. 7.4
В = 4щп—cos со/.
204

Используя (7.5), находим вихревое электрическое поле
Е = 2npw-^-corsinco/,
с
где г — расстояние от оси стержня (и соленоида).
В соответствии с (4.12) и (4.7) мощность тепловых потерь опре¬
деляется интегралом по объему
N = j XE2dV.
v
Объем на единицу длины стержня равен dV= Inrdr, и интегри¬
ровать надо от 0 до R. Поэтому
/2
N = 2п3\ц2п2 -j-a)2Л4 sin2 соЛ
Усреднение за период изменения тока дает
(N) = n3\\i2n24-a)2R4.
Аналогичным образом можно найти среднюю мощность тепло¬
вых потерь в металлическом диске радиусом а, толщиной Ь и удель¬
ной проводимостью X, находящемся в однородном магнитном поле,
перпендикулярном плоскости диска и изменяющемся по закону
В — В0 sin Ш (№ 7.86). Обозначая расстояние от оси диска г, из (7.5)
получаем
2 пгЕ = - - пг2Ва> cos to/: Е =	Bna>r cos со/,
с	2 с 0
В соответствии с (4.12) и (4.7) мощность тепловых потерь опре¬
деляется интегралом по объему
N = j XE2dV.
v
Объем dV - blnrdr, и интегрировать надо от 0 до а. Поэтому
N - \-nXb^r(£>2 cos2 (Щд4.
Усреднение за период изменения тока дает
(N) =
16
205

На рис. 7.5 показан соленоид, имеющий форму тонкого тора, в
котором ток линейно возрастает со временем:
Вокруг тора имеется один незамкнутый виток. Один из входов
милливольтметра жестко присоединен к концу 3, а другой переме¬
щается, проходя последовательно положения 1—2—3—1. Найдем,
что покажет при этом милливольтметр, если площадь витков соле¬
ноида S и плотность намотки витков п (№ 7.4). Милливольтметр
показывает ЭДС, которая создается в его контуре благодаря измене¬
нию магнитного потока внутри соленоида. Используя (5.23) и (7.1),
для положений 1—2—3 получаем
В результате присоединения снова к 1 получаем, что контур
милливольтметра дважды охватывает магнитный поток в соленои¬
де, поэтому показание будет в два раза больше.
Если в длинном воздушном соленоиде (радиус намотки г0, плотность
намотки п) ток линейно нарастает со временем (dl/dt = Г = const),
то силовые линии возникающего вихревого электрического поля
представляют окружности в плоскости, перпендикулярной оси со¬
леноида с центрами на этой оси. Используя (5.23) и (7.5), вдали от
концов соленоида на расстоянии г от оси для напряженности элек¬
трического поля получаем
При погружении соленоида в однородный немагнитный диэлект¬
рик (диэлектрическая проницаемость е) электрическое поле в соот-
2пгпГ
Рис. 7.5
Рис. 7.6
206

ветствии с (7.5) не изменится, а индукция в соответствии с (3.8)
увеличится в е раз (№ 7.5).
На рис. 7.6 показан железный цилиндрический сердечник, через
который проходит однородный магнитный поток Ф = Ф0 cos ш. На
сердечник надет тор из диэлектрика с диэлектрической проницаемо¬
стью е. В торе имеется бесконечно узкий воздушный зазор, образо¬
ванный двумя бесконечно близкими разрезами вдоль меридиональ¬
ных плоскостей. Найдем напряженность электрического поля Е в
зазоре в зависимости от расстояния г от оси цилиндра (№ 7.6). Обо¬
значая штрихом производную потока по времени и ширину воздуш¬
ного зазора Л, из (7.5), непрерывности нормальной составляющей
электрической индукции на границе диэлектрика и (3.8) получаем
Eh + —(2л/- - А) = -Ф'.
е
Откуда
Е _ е Ф/
с (е - 1 )Л + 2кг'
При А, стремящемся к нулю, имеем
£ _ _ еФ' _ есоФ0 sin ш
2пгс 2пгс
Рассмотрим простейшую динамо-машину (рис. 7.7), состоящую
из прямоугольной рамки площадью S (сторона, параллельная оси
вращения а, перпендикулярная Ь) с числом витков п и внутренним
сопротивлением г, вращающейся со скоростью со в однородном
магнитном поле (индукция В), работающую на внешнее сопротивле¬
ние R. Найдем средний момент М, приложенный к рамке, и сред¬
нюю мощность N, идущую на вращение динамо-машины (№ 7.10).
Из (7.2) находим силу, действующую на заряды в рамке, которая
создает ЭДС в частях рамки, параллельных оси вращения,
й = 2nvBacosa = то Bab cos а.
Для тока получаем
Из (7.4) находим силу, действующую
на ток, и вычисляем момент, приложен¬
ный к рамке,
М = 2/а/?и ^ cos а = (BSn)2
2	R + г
207

Отсюда находим среднее значение (М), имея в виду, что зависи¬
мая от времени величина (cos2 а) = (cos2to/) = 1/2. Так как работа
равна Mda, то мощность N = Мо и, следовательно, (М) = (M)iо.
Если внутри длинного соленоида (плотность витков и) вдали от
его концов вращается небольшая плоская катушка (площадь сече¬
ния S, число витков N), по которой идет постоянный ток /, то из-за
изменения магнитного потока через соленоид на его концах появ¬
ляется переменное напряжение. Найдем его амплитуду и частоту,
если угол а между осями соленоида и катушки, которая находится
на оси соленоида, меняется по закону а(/) = а0 cos со/, где а0 —
малая величина (№ 7.11). Для нахождения магнитного потока от
катушки через соленоид воспользуемся теоремой взаимности (5.28),
т. е. равенства коэффициентов взаимной индукции катушки и со¬
леноида Мкс = Мск. Если через соленоид идет ток /с, то в соответ¬
ствии с (5.23) и (5.28), учитывая поворот катушки,
Фк (t) = ±Л/СК /с = 4iwSN-^-cosa(/).	(7.7)
Таким образом,
Мкс = Мск = 4nnSN l - ^cr (/)J = AnnSN l-^al cos2 cofj =
= 4nnSN
ai
a
—~~—г-cos* (01
4	4
Используя (5.28) и (7.1), находим
№ =	= -4г/к^т^ = 2n\SNna20«>IK sin2cor.
c dt c2 dt	C2	■
Внутрь рассмотренного соленоида можно поместить небольшую
магнитную стрелку, уравновешенную на острие, вокруг оси которого
может свободно вращаться. Если вдоль оси соленоида приложить
внешнее однородное магнитное поле с индукцией В0, то стрелка,
отклоненная в начальный момент (на малый угол а0), начнет коле¬
баться. При этом магнитный поток через соленоид меняется и в
нем возникает переменная ЭДС. Найдем амплитуду и частоту пе¬
ременной ЭДС на концах обмотки соленоида, если момент инерции
стрелки относительно оси вращения У, а ее магнитный момент М
(№ 7.12). Магнитная стрелка с магнитным моментом рм эквивален¬
тна маленькой катушечке (или просто витку с током) с таким же
магнитным моментом (рм = /S/с). Поэтому можно воспользоваться
208

решением предыдущей задачи, в том числе и (7.7). Колебания стрелки
во внешнем поле описываются уравнением /а" = —В0рма. Здесь
штрихами обозначена вторая производная угла отклонения стрелки
по времени, а в правой части момент сил, действующих на магнит¬
ный диполь во внешнем поле при малых углах отклонения. Из это¬
го уравнения частота колебаний равна to = (B0pM/J)l/2, а закон коле¬
баний стрелки a(t) = Oq cos ш. Действуя далее, как в предыдущей
задаче, получаем для амплитуды переменной ЭДС на концах обмот¬
ки соленоида
и для частоты сос = со.
Магнитик в виде цилиндра радиусом г и длиной / с остаточной
индукцией В и соответственно намагниченностью М = В/Лп имеет
магнитный момент ры = пг21М, которому соответствует виток с маг¬
нитным моментом пг21/с. Откуда сила тока
Если такой магнит вращается с угловой скоростью со в центре
кругового витка радиусом R » / » г, то коэффициент взаимной
индукции находим, как для вращающегося витка. Используя (5.4),
(5.28)	и (5.30), получаем, как и ранее, для коэффициента взаимной
индукции
г	2 2я
L = кг —cosco/.
А
Из (5.28)
^	2 1 Я/
Ф = пг — — cos со/.
2 R
Если виток радиусом R подключен к вольтметру переменного
тока, то, как будет в дальнейшем получено для переменного тока,
показание меньше максимального значения в V2 раз. Используя (7.1),
получаем (№ 7.16):
пг21а>В
2-JlRc '
Магнитик такой же, как в предыдущей задаче (массой т и плот¬
ностью р), расположен посередине между двумя параллельными тон¬
209
■(4-2073

кими длинными проводниками, находящимися на расстоянии 21,
концы которых с одной стороны замкнуты, а с другой — подключе¬
ны к милливеберметру. Ось магнитика перпендикулярна плоскости
проводников. Найдем изменение показаний прибора (изменение
магнитного потока ДФ) после быстрого нагревания магнитика выше
температуры Кюри (полного размагничивания), если до этого оста¬
точная индукция в нем была равна В (№ 7.17). Объем магнитика т/р.
Поэтому магнитный момент
х, т „ т
Рм = М— = В-—.
р 4яр
Ему соответствует магнитный момент витка
(площадью S с током /). Взаимную индукцию (L) находим по магнит¬
ному потоку Ф5 от проводов с током /п (5.2) через площадь S. Имеем
Откуда взаимная индукция
Ь =
В соответствии с теоремой взаимности (5.30) поток от магнитика
ф = 1и =4^ = В-^~.
с	I яр/
Если остаточная индукция стали стрелки компаса равна индук¬
ции насыщения В0, то ее намагниченность М = В0/4я, а магнитный
момент рм = М V, где V — объем стрелки. Такой компас расположен
под прямым бесконечным проводом, по которому течет ток. Най¬
дем, какая должна быть сила тока, чтобы стрелка поднялась над осью,
на которой она находится (№ 7.50). Магнитное поле тока определя¬
ется (5.2). Оно увеличивается при приближении к проводу, поэтому
магнитный диполь (стрелка компаса) будет втягиваться в это поле.
Силу, действующую на диполь, находим по аналогии с (1.11) или из
того, что потенциальная энергия U = рмВ. Для предельной силы
имеем
F = pVg = -
dU
dr
ЭМ)	эв
дг	м Эг
В0У
21
4пег2 9
где р — плотность материала стрелки.
210

Отсюда
/ = 2пр сг2 —.
Во
Стрелка компаса, направленная по горизонтальной составляю¬
щей земного поля (В0 = 0,2 Гс), будет отклоняться, если к ней под¬
нести (на расстояние L = 1 м) магнитный брусок (площадью сече¬
ния S= 1 см2, длиной /= 10 см, с остаточной индукцией материала
5, = 10 кГс). При вычислении магнитного поля, действующего на
стрелку, брусок будем считать магнитным диполем в соответствии с
(6.6), равным
Максимальное поле в соответствии с (1.7) получаем в направлении
оси диполя
Н = В = 24 =	= 0,016 Гс.
L3 21л
Поэтому, направляя диполь перпендикулярно полю Земли, полу¬
чаем максимальное отклонение на угол ф = В/В0 = 0,1 рад (№ 7.65).
Стрелка компаса с магнитным моментом р может вращаться на
вертикальной оси, но связана со спиральной пружиной, модуль круче¬
ния которой / По большому горизонтальному листу, расположенно¬
му под стрелкой, начинает течь поверхностный ток плотностью j,
направление которого совпадает с направлением начального равно¬
весного направления стрелки. Предполагая угол поворота а малым,
найдем его величину (№ 7.49). Магнитное поле, создаваемое током,
определяем с помощью (5.6) Н = 4я j/c. Момент сил, действующий на
магнитный диполь в магнитном поле, в соответствии с (2.33) и ана¬
логией между магнитными и электрическими полями равен
М = [рВ].	(7.8)
В данном случае при малых углах отклонения стрелки и почти
перпендикулярном направлении магнитного момента стрелки (р) к
направлению магнитного поля тока, учитывая, что В = Н, а также
связь момента сил, создаваемого пружиной, с углом поворота стрелки,
имеем
рВ = 2 nj— = fa.
Отсюда находим угол поворота стрелки.
14'
211

Искусственный спутник Земли массой т выполнен в виде тон¬
костенного шара. Для сообщения ему угловой скорости можно ис¬
пользовать магнитное поле Земли, индукция которого В. Найдем
угловую скорость (о, которую приобретет спутник при быстрой раз¬
рядке аккумуляторов, имеющих заряд Q, через обмотку N витков,
уложенную на поверхности спутника вдоль окружности большого
круга, считая магнитное поле Земли параллельным плоскости об¬
мотки (№ 7.51). Спутник представляет магнитный диполь, на кото¬
рый в магнитном поле, как и в предыдущей задаче, действует мо¬
мент сил, приводящий к вращению с угловым ускорением dta/dt.
Момент инерции полого шара массой т и радиусом R равен
2
(см.: 1, с. 190). Уравнение, описывающее вращение спутника,
, du)
= рВ,
так как магнитный диполь спутника при малом времени разрядки
аккумулятора практически перпендикулярен магнитному полю.
Используя для магнитного момента (5.5), в которое подставляем
I
dQ
dt ’
находим набранную угловую скорость.
Прецессия тяжелого гироскопа (гироскопа, подвешенного таким
образом, что на него действует момент силы тяжести) описывается
уравнением (см.: 1, с. 286)
[QLJ = [mg],	(7.9)
где £2 — скорость прецессии; Lm — момент импульса собственного
вращения гироскопа; г — вектор расстояния от точки опоры до цен¬
тра масс гироскопа; g — напряженность силы тяжести; т — масса
гироскопа. Если направление г совпадает с направлением Lm, то
получаем
£2 = -/-^.
А.
Скорость прецессии меняется, если гироскоп имеет намагничен¬
ность М вдоль своей оси и находится в магнитном поле с индуктив¬
ностью В, направленной, например, вертикально вверх. В этом слу-
212

чае в соответствии с (2.33) и аналогией между электрическим и маг¬
нитным полем
[Q,LJ = [rmg] - [рВ].	(7.10)
Обозначая плотность материала гироскопа р, для его объема по¬
лучаем V= т/р. Намагниченность, умноженная на объем, дает маг¬
нитный дипольный момент р = М V. Для изменения скорости пре¬
цессии да = а, — а имеем
[AaLJ = -[МКВ].
Поэтому получаем (№ 7.66)
да _ л/я
a pgr'
Найдем скорость прецессии а однородно заряженного непрово¬
дящего кольца (массой т, с зарядом q), быстро вращающегося вок¬
руг своей оси с угловой скоростью ш во внешнем однородном маг¬
нитном поле В (№ 7.47). Вращение заряда соответствует току
Введем обозначение радиуса кольца R и угол между его осью и
направлением магнитного поля а. Собственный момент импульса
кольца Ьш = тЮо. Магнитный момент в соответствии с (5.5)
R2
p = qti> 27-
Используя приведенные ранее формулы для скорости прецес¬
сии, получаем [aLJ = — [рВ] = [Вр]. Так как направление скорости
прецессии совпадает с направлением магнитного поля, а направле¬
ние момента импульса кольца совпадает с направлением его маг¬
нитного момента, то
Отметим, что скорость прецессии не зависит от радиуса кольца,
угловой скорости его вращения и угла между его осью и направле¬
нием магнитного поля.
Вместо рассмотренного кольца можно взять стержень. Если из¬
вестно, что работа для поворота этого стержня, обладающего маг¬
нитным моментом р, на 180° в магнитном поле В равна А, то в соот-
213

ветствии с приведенной далее формулой (7.31) и результатом для
электрического поля (3.73) А =- 2рВ. При раскручивании стержня
вокруг собственной оси до большой скорости вращения равной со
стержню сообщается энергия вращения, равная 10 А:
/со2
2
= 10 А.
Отсюда для механического момента импульса имеем
Используя приведенную ранее формулу для скорости прецессии,
получаем (№ 7.48):
Q = Я-^- =
К
0)
40*
Для определения магнитной восприимчивости диамагнитного ма¬
териала измеряют с помощью весов силу, выталкивающую малень¬
кий образец из зазора между полюсами электромагнита (рис. 7.8).
Известно, что магнитное поле в зазоре меняется в зависимости от
расстояния (г) от оси симметрии В = Д0ехр (—аг2). Найдем, на ка¬
ком расстоянии от оси нужно расположить диамагнитный образец
(абсолютное значение магнитной восприимчивости материала %	1)
в виде небольшого тонкого диска объемом К, ориентированного пер¬
пендикулярно магнитному полю, чтобы сила его выталкивающая была
максимальной (№ 7.76). Учитывая (6.7) и (6.9) (в данном случае 1),
для магнитного момента образца имеем
р = MV=xHV=%BV.
В соответствии с (1.11) на магнитный диполь действует сила
К
F
/1
I/ \1
F = p
dB
dr
~ В
di-
dr ‘
Обычным образом (приравнивая нулю про¬
изводную) находим экстремальную силу. Надо
удовлетворить
Ш
\dr
+ В
d2 В
dr2
= 0.
Вычисляя производные, имеем
Рис. 7.8
2а г2 + 2а г2 —1=0.
214

Откуда
Подставляя это в выражение для силы,
получаем максимальную силу
Рис. 7.9
На рис. 7.9 показан магнитный диполь с моментом рм, вращаю¬
щийся с частотой со вокруг оси, проходящей через его центр и пер¬
пендикулярной магнитному моменту. Найдем ток в плоской круг¬
лой неподвижной рамке радиусом а с сопротивлением R, находя¬
щейся на расстоянии I» а от диполя (№ 7.13). Нормаль п к плоскости
рамки перпендикулярна оси вращения диполя. Самоиндукцией рамки
пренебрегаем. Используя формулу для поля диполя (1.9), имеем
где г — вектор расстояния от центра диполя до центра рамки, длина
этого вектора равна /. Для скалярных произведений имеем
m = г; р г = р г cos а; р п = р cos а; а = со/. В итоге получаем поле
м	м	м	м
в рамке
Отсюда получаем / = ЩЯ.
На оси круглого витка радиусом R на расстоянии / от него в
некоторый момент времени оказывается «точечный» магнитный
диполь, параллельный оси витка и движущийся вдоль нее со скоро¬
стью у. Оценим силу тока / в витке, если его сопротивление г, а
величина магнитного момента диполя рм (№ 7.18). Магнитный ди¬
поль можно заменить соответствующим витком небольшой площа¬
ди S с током /м (рм = f„S/c). Коэффициент взаимной индукции L
находим, пользуясь теоремой взаимности (5.30) и (5.28), а также
д 1рш cos а
Из (7.1) находим
215

вычисляя с помощью (5.3), где г = (/2 + Л2)1/2 = /, поток от витка
через S, предполагая, что по витку идет ток /в:
ф=2
откуда
L = 2 л/?2 4" •
/3
Поэтому, учитывая, что / = vt, получаем с помощью (5.28) маг¬
нитный поток через виток
Ф(/) = 1-^- = 2nR2 -Аг-
с	Ы)3
С помощью (7.1) находим ЭДС в витке и затем силу тока
I = 6nR2P>t-^.
сп
Намагниченная пуля пролетает вдоль оси тонкой (плоской) ка¬
тушки (диаметром D, с числом витков л), соединенной с баллисти¬
ческим гальванометром через идеальный выпрямляющий элемент
(сопротивление цепи R). Зная, что размеры пули малы по сравне¬
нию с диаметром катушки и магнитный момент пули М направлен
вдоль оси движения, найдем его величину, если известны баллисти¬
ческая постоянная гальванометра b (рад/Кл) и угол ф, на который
стрелка гальванометра отклонилась после пролета пули (№ 7.19).
Удобно перейти в систему координат, связанную с пулей. Тогда в
движущейся со скоростью v в магнитном поле пули, определяемом
(7.11), катушке под действием силы Лоренца (7.2) возникает движе¬
ние зарядов (вихревое электрическое поле). Используя (7.11) для
силы Лоренца и напряженности электрического поля в системе СИ,
получаем
E = FM=[vB] = ^{3(Mr)^!},
где г — вектор от диполя к элементу катушки.
Второй член из (7.11) дает нуль, так как скорость параллельна
дипольному моменту.
Обозначая угол наклона вектора г к оси катушки а, имеем для
модуля напряженности электрического поля
г 3[i w	sin а
Е = - -М cosav—г—.
4 к	г3
216

Это поле, проинтегрированное по всем п виткам, дает ЭДС цепи
8 = nnD = IR = ^-R,
dt
где q — заряд, протекший в цепи (в том числе через гальванометр)
при изменении а от 0 до п/2. Ток в противоположном направлении
не допускает выпрямляющий элемент. Величина заряда, определяе¬
мая гальванометром, q = ср/й.
Учитывая, что
D
2 sin а
и
v = d
г cos а
—di~’
получаем
Rdq = -^ Л/ро sin2 acosat/a.
Интегрируя по а от 0 до п/2, в итоге получаем
м = т.
пц0Ь
Сверхпроводящий шарик (радиусом г) в магнитном поле (Н = В)
приобретает магнитный дипольный момент (6.17)
Р =
-г
зВ
2'
Если такой шарик летит по направлению к соленоиду вдоль его оси,
то возникающий дипольный момент тормозит движение шарика там,
где есть изменение магнитного поля. В соответствии с (1.11) сила
торможения
F = p
dB
dx ’
где х — координата вдоль оси соленоида.
Предполагаем, что радиус соленоида R » г. Шарик пролетит че¬
рез соленоид, если работа сил торможения (А) до достижения сере¬
дины соленоида, где задано магнитное поле В0, меньше кинетичес¬
кой энергии шарика:
Во
4 з
< у Яг р
где р — плотность шарика. Таким образом,
А = -) Fdx = \r* \ BdB = \ггВ1 < \ярг3v/-.
217

Откуда находим (№ 7.20, 7.21):
v > В0
Если к небольшой катушке с числом витков N и площадью вит¬
ка S, по которой течет переменный ток / (действующее значение,
т. е. показание амперметра переменного тока, которое меньше мак¬
симального значения в 72 раз), поднести (на расстояние а) лист из
хорошо проводящего материала, то, как и в случае сверхпроводя¬
щего «магнитного зеркала», возникает «отражение» катушки. Так
как она небольшая, можно поле, проходящее через нее, вычислять
по (5.3)
Н = 2S —
I N
с (2аУ
Дополнительную ЭДС (действующее значение, которое так же,
как и ток, в 75 раз меньше максимального) определяем по (7.1)
й =
-in2s2
(1)
4с V '
Знак минус означает, что дополнительная ЭДС направлена против
поля катушечки, т. е. ЭДС убывает при экранировке (№ 7.14).
Рассмотрим два соосных круговых витка радиусами R и г <к R,
размещенных на расстоянии Л друг от друга. Найдем ток /(/) в боль¬
шом витке, сопротивление которого R0, если по малому витку про¬
пускается ток /' = /0 cos Ш (№ 7.15). В данном случае, используя (5.3),
легко найти поток через малый виток Фм, если по большому идет
ток /б,
Ф
М
- пг2 2 nR2

(r2 + r2)
3/2 '
Отсюда и из (5.28) для взаимной индукции имеем
L =
п2г2
J2R'
Используя теорему взаимности (5.30) и (7.1), для тока в боль¬
шом витке получаем
h
n2r2<oi0 sin (of
JlRRoc2
218

На рис. 7.10 показан прямолинейный магнит NS,
расположенный на оси круглого кольца радиусом а,
состоящего из п витков проволоки, концы которой
соединены с баллистическим гальванометром. Рас¬
стояние между центрами кольца и магнита равно А.
Размеры магнита малы по сравнению с Л и радиусом
кольца. Найдем магнитный момент рм магнита, если
при его удалении от кольца стрелка баллистического
гальванометра отклонилась на угол ф. Баллистичес¬
кая постоянная равна b (рад/Кл), сопротивление цепи
(включая сопротивление гальванометра) R (№ 7.22).
Магнит можно заменить соответствующим витком
небольшой площади S с током /м и магнитным моментом (5.5)
(рм = I^S/c). Коэффициент взаимной индукции L находим, пользу¬
ясь теоремой взаимности (5.30) и (5.28), а также вычисляя с помо¬
щью (5.3), где г = (А2 + а2)[/2, поток от витка через S, предполагая,
что по витку идет ток /в:
Ф = 2па21.	= L-.
СГ с
Откуда
L = 2па2
г
Поэтому с помощью (5.28) получаем магнитный поток через п вит¬
ков (зацепленный)
¥(/) = лФ(/) = nL^- = 2ппа1Р-* .
С	г
С помощью (7.1) находим для цепи (с гальванометром)
ndq _ 1 (!*¥
Интегрируя по времени, получаем
_ Ф _ 2ка2рмсп
q~~b~ SR '
Отсюда находим магнитный момент.
Длинный соленоид, витки которого намотаны с плотностью я,
включен в цепь, общее сопротивление которой R. В торцевых плос¬
костях на оси соленоида помещены одинаковые магнитики малого
219

объема V каждый и намагниченностью 4пМ, повернутые друг к дру¬
гу разноименными полюсами. Найдем, какой заряд Q протечет в
цепи соленоида, если магнитики, двигаясь по оси соленоида, сли¬
паются в его центре (№ 7.24).
Магнитик можно заменить соответствующим витком небольшой
площади SB с током /в и магнитным моментом (5.5) (р — IBSJc).
Обозначая коэффициент взаимной индукции L, который по те¬
ореме взаимности (5.30) одинаков для витка и соленоида, и исполь¬
зуя для поля соленоида (5.22), получаем для магнитного потока че¬
рез виток (на торце соленоида)
После слипания общий магнитный момент слипшихся магнити¬
ков 2р. Поэтому поток через соленоид будет в два раза больше, а
изменение потока
Найдем силу, действующую на магнитный диполь с магнитным
моментом р, расположенный в центре торца длинного соленоида с
плотностью намотки п (витков/см), радиусом сечения R, по обмотке
которого течет ток /, если диполь ориентирован по оси соленоида
(№ 7.80). Для поля на оси соленоида воспользуемся (5.22) и рис. 5.19.
Координату х отсчитываем от центра торца. Для силы, действующей
на диполь в переменном поле, подобно (1.11), можем написать
При х = 0 • sin а = 1, sin Р стремится к нулю для длинного соленоида,
Откуда L = 4nnSB. Поэтому
дхр —	= 4 ппр = 4л nMV.
Откуда
Эа	1^
Эх " Л’
220

В результате
F = р2п-1.
и с R
Если дипольный момент направлен так же, как поле в соленоиде,
то диполь будет втягиваться в соленоид.
Небольшой сверхпроводящий шарик может свободно перемещаться
вдоль оси тонкого кольца радиусом R, по которому течет ток. Най¬
дем, при каком расстоянии между шариком и плоскостью кольца
сила, действующая на шарик, принимает максимальное значение и
как она направлена (№ 7.81). Обозначая расстояние от плоскости
кольца вдоль его оси х, из (5.3) имеем
„	~ / R
Н = 2л-
СЫ2+х2?12'
Дипольный момент сверхпроводящего шарика радиусом г в со¬
ответствии с (6.28)
Сила подобно (1.11)
Р =
-г
г а
2 '
Приравнивая первую производную по х нулю, находим экстре¬
мумы. При х = R/\l7 сила максимальна и направлена в сторону воз¬
растания х (сила отталкивания). При х = -Л/V7 сила по абсолют¬
ной величине такая же, но направлена в сторону отрицательных
значений х (также сила отталкивания).
В экваториальной плоскости шара радиусом а находится тонкое
металлическое кольцо радиусом р > а с электрическим сопротивле¬
нием R. Внешнее однородное магнитное поле В0 перпендикулярно
плоскости кольца. Пренебрегая индуктивностью кольца, найдем
заряд, протекший по кольцу, если охлаждением шар переводится
в сверхпроводящее состояние (№ 7.28). Предполагая, что вещество
шара является немагнитным, получаем для потока магнитного поля
через кольцо Фн = В0пр2. В результате превращения шара в сверх¬
проводник магнитное поле из него вытесняется (эффект Мейснера).
221

По поверхности шара текут поверхностные токи. Для удовлетворе¬
ния граничного условия на поверхности шара, как это следует из
(6.17), можно считать, что в центре шара имеется диполь с диполь¬
ным моментом
Р =-^Во-
Поле в экваториальной плоскости шара будет равно
В (г) = В0 - -у.
Г
Для потока в этом случае получаем
р	з
Фк = $ В (г) 2nrdr = В0пр2 - В0п—.
а	^
Используя (7.1), находим
% = IR =	=
dt с dt
Откуда
1 Дф п а
Я 		тг = Впп——.
с R 0 cR р
На рис. 7.11 показан стальной магнитопровод длиной L с магнит¬
ной проницаемостью ц, в замкнутой сверхпроводящей обмотке ко¬
торого возбужден ток /0. Найдем, как изменится ток в обмотке, если
имеющийся в магнитопроводе небольшой зазор I, в котором рассея¬
нием магнитного поля можно пренебречь,
уменьшить в два раза (№ 7.30). Из теоре¬
мы о циркуляции (5.6), обозначая число
витков в обмотке п, находим
4	nn^- = HxL + H2l.
с
Из условия на границе с помощью
(6.1)	имеем рЯ, = Я2. Откуда
4пп— = Н2(—
с	Vl1
+ /
222

Так как сопротивление обмотки и, следовательно, ЭДС Нравны
нулю, из (7.1) имеем постоянство магнитного потока и поэтому по¬
стоянство напряженности магнитного поля. Отсюда
L /
7+2j’
где / — новый ток в обмотке, для которого получаем
/ =
, Ш + //2
0	+ l '
Если не уменьшать зазор, а заполнить его тем же веществом, из
которого состоит магнитопровод (№ 7.32), то второе уравнение при¬
мет вид
Откуда
L + 1
И
/ =
'о
L + I
1 + /ц'
Постоянство магнитного потока из (7.1) следует также для быс¬
трых (при dt стремящихся к нулю) процессов. Сильные магнитные
поля можно получить взрывным сжатием проводящей цилиндричес¬
кой трубы, внутри которой создано начальное магнитное поле с
индукцией В0. Предполагая материал трубы идеально проводящим
(магнитное поле не входит в него), найдем индукцию магнитного
поля внутри трубы В при сжатии ее по радиусу от начального внут¬
реннего радиуса R до г и давление р, необходимое для этого (№ 7.31).
Из постоянства потока магнитного поля Bnr2 = B0nR2 находим В.
Для плотности энергии (w) магнитного поля (напряженность Н, ин¬
дукция В = цЯ), которое определяет давление (р), по аналогии с
(3.75) имеем
{'—"41-
Поэтому в данном случае (ц = 1)
(7.12)
В*
2 (КМ
8я
Найдем давление />, действующее на боковую поверхность длин¬
ного соленоида, имеющего плотность намотки п [витков/см], по ко¬
223

торому течет ток /(№ 7.34). Предполагая магнитную проницаемость
среды р. = 1, из (7.12) и (5.23) получаем
С внешней стороны длинного соленоида магнитное поле отсут¬
ствует. Отметим, что давление в случае магнитного поля действует в
сторону от него, в то время как в случае электрического поля, на¬
пример в конденсаторе, давление направлено в сторону электричес¬
кого поля (обкладки заряженного конденсатора притягиваются).
Давление можно найти и другим способом, используя закон
Ампера. Сила, действующая на элемент тока Idl, находящийся в
магнитном поле Н, в соответствии с (7.4) при В = Н
(7.13)
где Н — магнитное поле, создаваемое в данной точке всеми элемен¬
тами тока соленоида, кроме самого рассматриваемого элемента.
Это поле можно найти из условия, что сумма его с полем #э,
создаваемым элементом, равно полю внутри соленоида, а вне —
равно нулю (Н — Нэ = 0). Вычисляя циркуляцию поля на единице
длины, из (5.6) имеем
Откуда
Я + #э
4 пп!
с
/V
jj 2кп1	dF ~
Н-~Г " Р = 1Г= 2к ■
Если обмотка соленоида выполнена проводом диаметром d в один
слой, то п = \/d и, следовательно,
В случае сверхпроводящей обмотки максимально возможный ток
определяется либо механической прочностью провода обмотки, либо
разрушением его сверхпроводимости. При разрушающем сверхпро¬
водимость внешнем поле Дкр = 15 кГс и диаметре провода обмотки
d = 0,2 мм, используя (5.23), находим
1 maxi
- cd^2- = 31°10 •210'2 1,5 104
4я
3-10* -2-3,14
= 240 А.
224

При прочности проволоки на разрыв
Fp = 5 Н и диаметре соленоида D = 2 см,
учитывая, что давление магнитного поля р
уравновешивается силой вдоль оси про¬
вода, как показано на рис. 7.12, для пре¬
дельной прочности получаем уравнение
ora D »
2 F- = Руси/,
находим (№ 7.67)
/	-с{У-
max2	I яD
По заданным значениям находим
/
max 2
3 10,о 5 • 105 • 2 • 10~2/2 • 3,14
3 • 109
= 400 А.
Таким образом, вначале разрушается сверхпроводимость (№ 7.68).
На поверхности сверхпроводящей сферы, находящейся в одно¬
родном магнитном поле, напряженность магнитного поля определя¬
ется (6.19)
Ят =~Н0 sin 6,
где 0 — угол отклонения радиуса, направленного в данную точку, от
направления магнитного поля (#0 = В0). Давление на поверхность
сферы определяется (7.12)
Р
al
8я
и направлено к центру сферы. Если сфера радиусом R разрезана
вдоль диаметральной плоскости, перпендикулярной к направлению
магнитного поля, то для отрыва одной полусферы от другой требует¬
ся сила (№ 7.69)
F = f pR sin 0 InRdQ cos 0 =	B}R2.
I	64
В сверхпроводящем соленоиде отсутствует сопротивление и ЭДС
равна нулю. Поэтому из (7.1) следует неизменность потока магнит¬
ного поля Ф. Если в короткозамкнутый длинный сверхпроводящий
15-2073
225

соленоид с начальным внутренним полем, равным В0 в его центре,
и площадью сечения S вставляют длинный сверхпроводящий сердеч¬
ник с площадью сечения а, то, пренебрегая краевыми эффектами,
получаем, что индукция магнитного поля станет
В соответствии с (7.12) и (7.13) давление на внутреннюю повер¬
хность соленоида и боковую поверхность сердечника будет равно
(№ 7.71)
в2	[ЦДО-о)]2
^ 8л	8л
Начальное давление поля было
В общем случае при адиабатическом сжатии магнитного поля
получаем из предыдущего соотношение типа адиабаты для газов
(№ 7.72)
P\S\ = PlS2'
На рис. 7.13 изображен полый цилиндр (конечной длины с радиу¬
сами цилиндрических поверхностей Я, и Я2) из сверхпроводника, вдоль
оси которого расположен длинный проводник, по которому идет ток
/. Найдем токи, текущие по внутренней и наружной цилиндрической
поверхности сверхпроводящего образца, и давление на стенки ци¬
линдра (№ 7.73). Важной особенностью данной задачи является осе¬
вая симметрия. Благодаря этому, исполь¬
зуя (5.6), находим поле у внутренней стен¬
ки цилиндра, как и в (5.2) имеем
Н = 21
cR{
Токи, идущие по поверхности сверх¬
проводника, должны не впустить магнит¬
ное поле внутрь. Вводя плотность тока на
поверхности ур из (5.6) получим
HI = 4тД.
С
226

Откуда
I
По всей внутренней поверхности идет ток I. Сверхпроводник в
поле проводника будет вести себя подобно тороидальной катушке.
На внешней боковой поверхности цилиндра полный ток также I и
соответственно
а за внешней боковой поверхностью цилиндра магнитное поле опи¬
сывается (5.2). Поэтому давления на боковые стенки цилиндра на¬
ходим с помощью (7.12)
Давления направлены внутрь сверхпроводника, причем р2 < pv
а силы одинаковые.
Используя формулу для магнитного поля прямого провода бес¬
конечной длины (5.2) и закон Ампера (7.4), находим силу взаимо¬
действия между двумя прямыми параллельными проводами беско¬
нечной длины, расположенными на расстоянии /, много большем
диаметров проводов, по которым текут постоянные токи /, и /2. На
единицу длины сила равна
Из векторных уравнений (5.1) и (7.13) находим направление силы.
При одинаковом направлении токов — притяжение, при противо¬
положном — отталкивание. Обратим внимание на то, что парал¬
лельно движущиеся свободные заряды отталкиваются. Полученным
направлением силы взаимодействия между элементами тока можно
объяснить силы в витках соленоида (отталкивание) и между витка¬
ми (притяжение).
Для двух параллельных длинных проводов с противоположными
направлениями тока силой / из (7.14) для силы отталкивания на
единицу длины имеем
I
(7.14)
15*
227

Работа, которую совершает магнитное поле, при увеличении
расстояния между проводами (А) в два раза (№ 7.43) равна
2 h j г 2	г 2
А = f =^dr = 2^ln2.
А с '	с
На такую величину увеличится магнитная энергия единицы длины
системы двух проводов.
Если два параллельных цилиндрических провода из сверхпро¬
водника находятся в однородном постоянном магнитном поле с
индукцией В, направленной вдоль проводов, то на их боковые
поверхности действует давление, определяемое (7.12). Сила взаи¬
модействия между проводами отсутствует при отсутствии в них
тока (№ 7.36).
Рассмотрим два провода в виде прямых плоских шин шириной а,
расположенных параллельно на расстоянии I <& а, по которым
идут токи / в противоположных направлениях. На единицу ши¬
рины шины ток I/а. Используя (5.6), получаем магнитное поле
для шины
Н = 2л — .
са
От двух шин, в которых токи идут в противоположных направ¬
лениях, поле будет в два раза больше. С помощью (5.28)
Ф = -Ы = 2Я/ = —.
с	са
Откуда находим индуктивность системы на единицу длины
Сила взаимодействия (отталкивания) между шинами на едини¬
цу площади (давление) определяем с помощью (7.12) (№ 7.54):
2 я/2
с а
Если на шинах задана плотность тока j, то поле между шинами
н-Ш.
С
При заполнении пространства между шинами плоскими слоями
магнетиков с магнитными проницаемостями ц, и ц2, с учетом не-
228

прерывности напряженности магнитного поля на границах, из (7.12)
получаем давление на шинах:
о j2	1 -i2
Р\ = 2я—И />2=271-2-^2, *
С	С
а давление на границе раздела магнетиков
/2
Рп = 2п—(ц, -ц2).
С
В целом система сбалансирована (№ 7.53).
На рис. 7.14 показано поперечное сечение коаксиального кабе¬
ля, во внешнем тонкостенном цилиндрическом проводнике кото¬
рого вдоль образующей сделана щель шириной b ■« R(R — радиус
внешнего проводника). Найдем силу, действующую на централь¬
ный проводник при пропускании по этому кабелю тока /. Радиус
центрального проводника R. Ток /течет по центральному про¬
воднику в одну сторону, а по внешнему — в другую (№ 7.35). От¬
сутствие тока в разрезе можно представить как суперпозицию тока
по всему сплошному цилиндру и противоположно направленного
по разрезу, равного
/ = /
2nR'
Из (7.14) получаем силу притяжения
Р = 2Г-^- = Г
c2R
пс2Л2
При производстве полиэтиленовой пленки широкая тонкая
полоса протягивается по роликам со скоростью v (см. рис. 5.11).
В процессе обработки поверхность пленки приобретает равномерно
распределенный заряд плотностью а. Над плен¬
кой на расстоянии Л, малом по сравнению с ее
шириной, расположен прямой провод, по кото¬
рому течет ток I. Направление тока совпадает с
направлением движения пленки. Найдем силу,
действующую на единицу длины пленки (№ 7.45).
Магнитное поле над ней вычисляем с помощью
(5.6)	на ширине Д/
2Д/Я = 4лДЛ;-.
С
229

Отсюда
А
2
Н = 2nv-.
С
L
На единицу длины провода, в соответствии с
(7.4), действует сила
Рис. 7.15
Такая же сила действует на единицу длины пленки.
Если на расстоянии L от прямого провода, по которому течет
ток силой /р расположена квадратная рамка со стороной /, таким
образом, что две ее стороны параллельны проводу, и вся рамка, по
которой течет ток силой /2, лежит в плоскости, проходящей через
провод (рис. 7.15), то, используя (5.2) и (7.4), можно найти силу
взаимодействия между проводом и рамкой (№ 7.46) (силы действуют
только на стороны рамки, параллельные проводу)
При направлении токов, указанном на рисунке, действует сила
притяжения.
Из формулы (7.2) для силы, действующей на электрический за¬
ряд, движущийся в магнитном поле, можно получить силу, действу¬
ющую на ток, создаваемый движением одинаковых частиц с заряда¬
ми q и концентрацией п. Для плотности тока имеем j = nqy, а для
числа частиц в объеме dV получаем dN = ndV. Таким образом, для
силы, действующей в магнитном поле (индукция В) на элемент объе¬
ма dV, находим
Рассмотрим прямоугольную кювету (рис. 7.16), передняя и зад¬
няя стенки которой металлические, а остальные диэлектрические,
наполненную электролитом с проводимостью X. К металлическим
стенкам приложено напряжение К, и вся кювета помещена в одно¬
родное магнитное поле с индукцией В, направленное вертикально.
dF = i[vB ]dN = n-[yJS]dV = -[jB]</F.
c	c	c
Для объемной плотности силы получаем
(7.15)
230

Рис. 7.16
Рис. 7.17
Размеры кюветы: металлическая стенка длиной L, диэлектричес¬
кая а. Плотность диэлектрика р. При прохождении тока через элек¬
тролит в соответствии с (7.15) действует сила, перпендикулярная
току. Используя (4.7), изменение силы на единицу объема на шири¬
не L получаем
Д/ = jBL = -XB~.
а с
Для компенсации этого давления уровень электролита поднима¬
ется на высоту (№ 7.41)
bh.iL.
Рg
На рис. 7.17 изображена схема электромагнитного насоса для пе¬
рекачки расплавленного металла. Участок трубы с расплавленным
металлом помещается в магнитное поле, перпендикулярное оси тру¬
бы; через этот же участок в перпендикулярном (к магнитному полю
и оси трубы) направлении пропускается ток. Найдем избыточное дав¬
ление Др, создаваемое насосом (№ 7.39). Считая, что ток / идет через
площадку ab, из (7.12) получаем силу, действующую в объеме а2Ь,
F = fa4 = - jBa4 = IB-.	(7.16)
С	С
Откуда для избыточного давления имеем
Для трубы диаметром D из (7.16) можно написать
F ■= I В — ,
с
Оценим ток, необходимый для перекачки ртути (вязкость т|) по
трубе диаметром D и длиной L с объемным расходом Q (л/с) в маг-
231

нитном поле В (№ 7.40). Предполагая, что в трубе реализуется тече¬
ние Пуазейля, воспользуемся соответствующей формулой для силы
трения в трубе (см.: 1, с. 364):
F = 32r\L-^T.
D2
Приравнивая это силе в насосе (7.16), где а ~ Д получаем
/ = 32^-^.
BD3
Применим формулу (7.15) для цилиндрического проводника, по
которому течет ток плотностью у, и, следовательно, магнитное поле
в нем определяется (5.7)
Это поле, как следует из (7.15), давит на ток в направлении к оси
цилиндра. Токи, текущие по проводнику, имеют одинаковое на¬
правление и поэтому притягиваются друг к другу, создавая давление
внутри проводника.
Обозначая цилиндрическую боковую поверхность элемента объе¬
ма S, имеем соответственно
dV = Sdr и Р = Ц- = fdr.
Используя (7.15) и (5.7), с учетом знака имеем
dp = -Щ-frdr.	(7.17)
С
Найдем давление внутри жидкого (отсутствует сдвиговая проч¬
ность) цилиндрического проводника радиусом а, в котором равно¬
мерно по сечению (плотность тока постоянна) течет ток /(№ 7.38).
Интегрируя (7.17), имеем
~ г	~	2	2
2л .? г # 2я .2 а - г
Z7T .2 Г 1 ZH -2
р = —jJ )rdr = —J
2 Л
а2)
па2с2.
На оси проводника при г =0
Ро - —	2 ■
с па
232

Рассмотрим высокий цилиндрический со¬
суд радиусом R, наполненный электролитом.
Внутри него параллельно оси расположен ци¬
линдрический металлический стержень, повер¬
хность которого покрыта изолирующей крас¬
кой. Радиус стержня равен гт Расстояние меж¬
ду осями стержня и сосуда равно А. В
электролите параллельно оси течет ток /, воз¬
вращающийся обратно по стержню. Считая
плотность тока в электролите постоянной,
найдем силу, с которой магнитное поле, со¬
зданное рассматриваемыми токами, действует на единицу длины
стержня (№ 7.42). Поле в полости, которую занимает стержень, най¬
дем, рассматривая суперпозицию полей токов одинаковой плотнос¬
ти, идущих в противоположных направлениях по всему сосуду и
объему полости. Используя (5.7) и обозначения на рис. 7.18, имеем
н = v(ljr‘b[ir2]) =	(7л8)
Зная поле в полости, где находится стержень, с помощью (7.4)
находим силу, действующую на элемент длины (dl) стержня:
rfF = ([</№].
В данном случае В = Н и для силы, действующей на единицу
длины стержня, получаем
, dF ~ rh ~(I\2 h
f = ir = 2%lj7 = %) 7Т7'
При изменении магнитного потока, как следует из (7.1), возни¬
кает ЭДС индукции. Элементарная работа, которую должен совер¬
шить внешний источник против ЭДС индукции ($), равна
Эта работа идет на увеличение магнитной энергии электрическо¬
го тока
d\V = I —.	(7.19)
с
Вводя самоиндукцию контура L, предполагая, что ферромагне¬
тики отсутствуют, и, используя (5.28), после интегрирования для
233

магнитной энергии неподвижного контура, когда самоиндукция ос¬
тается постоянной, получаем
1	* Ф 1 Ф2
2	с 2 L
(7.20)
Используя (7.12), для магнитной энергии внутри соленоида пло¬
щадью S и длиной / можем написать
= В'3±-п = Р1,
(7.21)
где
F
B2S
8я
— сила, действующая между витками соленоида вдали от концов.
Из (7.21) можем найти выражение для индуктивности соленои¬
да, которое, конечно, совпадает с (5.29). Это так называемый энер¬
гетический метод нахождения индуктивности. Воспользуемся им, чтобы
найти индуктивность единицы длины коаксиального кабеля, состо¬
ящего из толстого внутреннего провода радиусом а и тонкой внеш¬
ней оболочки радиусом b (№ 7.55). Исходим из (7.12) и (7.20). Объем
на единицу длины равен dV= 2nrdr, где г — расстояние от оси внут¬
реннего провода. Поле внутри провода определяется (5.7)
_ 21г
Нх - J.
са
Поле вне провода определяется (5.2)
В результате получаем
Нг
2/
сг
откуда
И+21"(;)-
Круговую петлю из сверхпроводника индуктивностью L, по кото¬
рой течет ток, помещают внутрь длинного сверхпроводящего корот¬
234

козамкнутого соленоида индуктивностью Lc, с числом витков N,
в котором тока вначале нет. Найдем, во сколько раз изменится при
этом ток в петле, если диаметры петли и соленоида одинаковы
(№ 7.29). Обозначая начальный ток в петле /н* и учитывая, что в
сверхпроводнике из-за отсутствия сопротивления нет ЭДС и, как
следует из (7.1), сохраняется поток (5.28), для петли получаем
ии = ик + М1С,
где М — взаимная индукция петли и соленоида; /с — ток в соленоиде.
В сверхпроводящем соленоиде поток также сохраняется
Vc+	= о-
Учитывая, что поток через петлю от соленоида BS = М1С,
а зацепленный поток (5.31) в соленоиде NBS = L0IC, находим
М = LJN. Используя предыдущие уравнения, получаем
к	L	L
/н	l-m2/lc	l-lJn2'
Найдем, какую работу надо совершить для того, чтобы круговую
петлю из сверхпроводника поместить внутрь длинного сверхпрово¬
дящего соленоида, замкнутого накоротко. Диаметры петли и соле¬
ноида считаем равными, а их оси — параллельными. В отсутствие
круговой петли ток в соленоиде равен нулю, начальный ток в пет¬
ле /н. Индуктивность петли L, соленоида — Lc, число витков соле¬
ноида N (№ 7.75). Используя (7.20), для начальной энергии систе¬
мы получаем
для конечной соответственно
2 2
W2 = L-^ + Lc^- + MIKIc.
Работа, которую надо совершить, чтобы поместить петлю в со¬
леноид, равна А = AfV= W2 — Wv Используя полученные в преды¬
дущей задаче соотношения, находим
А =
k/N7
l-lc/n2 '
Формулами (7.19) и (7.20) можно воспользоваться для вычисле¬
ния работы, необходимой, чтобы кольцо из сверхпроводника надеть
235

на длинный однородно намагниченный стержень, индукция на конце
которого (в центре торца) равна В0. Внешнее поле постоянного маг¬
нита совпадает с полем соленоида с током. Пользуясь (5.22) или
(5.23)	и (5.24), получаем, что поле вдали от концов вдвое больше,
чем на торце. Считая, что поле вдали от стержня отсутствует, на¬
ходим, что при надевании кольца поток через него изменяется на
Ф = 2B0S. Если задана работа (Л) (№ 7.84), то из (7.20) выражаем
самоиндукцию кольца (l = 2B£ S2/a), и с помощью (5.28) находим
ток, который пойдет по кольцу,
, Ф сА
I = с— =	.
L B0S
Если два одинаковых длинных соленоида (длиной /) приставле¬
ны торцами друг к другу, как показано на рис. 7.19, то они притяги¬
ваются друг к другу, как витки в соленоиде вдали от концов, с си¬
лой F(7.21). Таким образом, по известной силе притяжения можно
найти индуктивность соленоидов (№ 7.56).
Рассмотрим две небольшие одинаковые катушки (число витков N,
площадь витков S), расположенные так, что их оси лежат на одной
прямой (рис. 7.20) на расстоянии /, значительно превышающем их
линейные размеры. Найдем, с какой силой взаимодействуют ка¬
тушки, когда по ним течет одинаковый ток /, и чему равен коэф¬
фициент взаимоиндукции Л/(№ 7.57). Сила взаимодействия катушек
равна силе взаимодействия диполей (1.10). С учетом момента витка р
(5.5)	и числа витков
F =
i2s2n2
c2lA '
Используя (5.31), (5.27) и (7.11), получаем
отсюда находим М.
4х =
Ml
= BNS =
с
2IS2N2
cl3
Рис. 7.19
/
TW
Рис. 7.20
236

На рис. 7.21 показан длинный прямой про¬
вод, по которому течет ток /,, и квадратная рам¬
ка со стороной а, лежащая в плоскости, прохо¬
дящей через провод на расстоянии Ь. По рамке
течет ток /2. Найдем, какую работу нужно со¬
вершить, чтобы прямой провод передвинуть в
положение, указанное на рисунке пунктирной
линией (№ 7.44). Вводя взаимную индуктивность
рамки и провода (М), в соответствии с (5.28)
можем записать поток магнитного поля от рам¬
ки через провод Ф12 = М12/с. После перемещения провода в поло¬
жение, обозначенное на рисунке пунктиром, поток изменит знак на
противоположный. Следовательно, изменение потока равно 2Ф12.
Для нахождения взаимной индукции вычислим магнитный поток
от провода через рамку:
Ф21 =-^L = °|*2—а—= 2—a!n(l+
с { с г с \ Ы
о
Здесь использована теорема взаимности (5.30) и (5.2). Поэтому
Jl/ = 2aln(l + |).
Из (7.19) получаем работу
Л = 2a\llI2ln{l + j].
Найдем силу, с которой втягивается в соленоид с полем В длин¬
ный цилиндрический стержень с магнитной проницаемостью ц и
площадью поперечного сечения S. Стержень расположен на оси
соленоида таким образом, что один его конец находится внутри, а
другой — вне соленоида. Магнитное поле соленоида вблизи первого
конца можно считать однородным, вблизи второго (вне соленоида) —
равным нулю (№ 7.58). Воспользуемся формулой (7.12) для давле¬
ния магнитного поля. На торце стержня внутри соленоида давление
меняется скачком. Внутри стержня давление
_ я2
8яр ’
а вне
В2
Рис. 7.21
237

Учитывая, что в случае магнитного поля давление является на¬
тяжением (витки притягиваются друг к другу), а на внешнем конце
стержня нет сил, получаем силу втягивания стержня в соленоид
Если известна сила втягивания стержня в соленоид, в котором
течет ток /, можно найти коэффициент самоиндукции L соленоида
(без сердечника) при известной длине / (№ 7.59). Используя (7.21) и
(7.22), находим
В случае длинного соленоида (п витков), намотанного на тонко¬
стенный капилляр, погруженный одним концом в парамагнитную
жидкость с плотностью р и магнитной проницаемостью р, найдем,
насколько изменится уровень жидкости в капилляре, если по соле¬
ноиду пропустить ток /(№ 7.60). Обозначая изменение уровня (вы¬
соту подъема жидкости) h из (7.22), (5.23) и (6.8), получаем
Если в соленоид, по которому течет ток, вставлен тонкий стер¬
жень из магнитного материала, то для вычисления сил, действую¬
щих на стержень, надо пользоваться условием сохранения касатель¬
ной составляющей напряженности магнитного поля на боковой
поверхности стержня: Яст = Яс = Я. В таком случае для стержня
площадью сечения S получаем из (7.12) силу втягивания стержня
По заданному току в соленоиде (/) и плотности намотки п (вит-
ков/см) с помощью (5.23) находим
(7.22)
с РРg
с ’
По заданной кривой намагничивания стержня
Н = Ann —
238

и (6.6) получаем (№ 7.77)
F=l-SHMHiC
1 - exp
Если длинный сверхпроводящий цилиндр (из сверхпроводника
1-го рода) внесен в постоянное однородное магнитное поле с индук¬
цией В, направленное параллельно оси цилиндра, то поле в сверх¬
проводник не проникает, а создает давление на его поверхность,
определяемое (7.12). Предполагая, что для окружающей сверхпро¬
водник среды Н- В, получаем давление (№ 7.82)
В2
Для определения сил в магнитном поле существует энергетичес¬
кий метод. Рассмотрим его на примере системы, состоящей из двух
контуров с токами /, и /2. В соответствии с (7.20) магнитная энергия
такой системы может быть представлена в виде
w 1 W + h<t>2;
2 с
(7.23)
где Ф, и Ф2 — полные магнитные потоки, пронизывающие контуры
1 и 2 соответственно (индукции контуров Li и Lv взаимная индук¬
ция Ln = L21):
ф MiM; ф-hhlhiL,	(7.24)
с	с
Работа 8у4, которую совершают ЭДС, включенные в контуры, идет
на теплоту 60, приращение магнитной энергии системы dW (из-за
движения контуров или изменения токов в них) и механическую ра¬
боту 8Лмех (вследствие перемещения или деформации контуров):
6/4 = 5(2+ dW+8AMn.	(7.25)
Предполагая, что емкость и сопротивления контуров пренебре¬
жимо малы, электрическую энергию учитывать не будем. Принима¬
ем во внимание только работу 5/4и, которая совершается против ЭДС
индукции и самоиндукции:
К = -(К, + KiW-iKi + Кг)¥<-
Учитывая (7.1), т. е.
&
+ gc =
d<t>
dt ’
239

получаем
8ЛИ = Ixd Ф, + I2d Ф2.	(7.26)
Эта работа идет на приращение магнитной энергии и механи¬
ческую работу
¥ ф, + I2d ф2 = dW+	5Лмех.	(7.27)
Из этой формулы получаем в случае постоянных потоков
Ч,ех =	(7-28)
Если токи постоянны, то, используя (7.23) и (7.27), находим
5АЖХ = dWr	(7.29)
На рис. 7.22 изображен электромагнит, в сердечнике которого
имеется малый зазор /, в который помещена пластинка из того же
материала, что и материал сердечника. Найдем, какую работу нуж¬
но совершить против магнитных сил, чтобы удалить пластинку из
зазора. Длина сердечника равна L, сечение всюду одинаково и рав¬
но S, магнитная проницаемость р »1. Обмотка электромагнита имеет
N витков, по которым течет ток I. Рассеянием магнитного потока
пренебрегаем (№ 7.61). При наличии в зазоре пластинки из (5.6)
находим
Вх = 4 nN //с	= 4л N--/-T = а-рт.
1	/,/р + //р	с L + l L +1
Из (7.12) и (6.8) получаем
W, = B?S^- = а2р ,f ...
8яр	^ 8я (L + /)
При отсутствии пластинки
в>‘лтЬ<в'’
Ц/
г» 2 SL г» 2 SL 2
° с w
8 n{L + р/)	1 ’
В случае постоянного тока надо воспользоваться (7.29), учиты¬
вая, что внешняя работа
Ни
= -И,ех = -dWx = ~{W2 -Wx) = aWliL + l)lfL + *l)-
240

Рис. 7.23
При ц » 1 и L » / имеем
.	_ 2n\i2N2I2Sl
внеш " c2L(L + ц/)
На рис. 7.23 показана катушка, имеющая N витков и намотанная
на железный тороидальный сердечник с магнитной проницаемос¬
тью ц. Радиус тора R, радиус сердечника г <с R. Тор разрезан на две
половины, раздвинутые так, что образовался воздушный зазор х.
Найдем силу притяжения между половинками тора, если в обмотке
течет ток /, в том числе и при х = 0 (№ 7.62). Из (5.6) и (6.8)
2nR- + 2xB = 4nI —.
ц	с
Отсюда имеем
В = 2-
N
с Rj\i + х/п'
Используя (7.12) и (6.8), получаем для магнитной энергии системы
ш- f/f N2r2
4cJ /(/ц + х/п'
Так как ток постоянный, пользуемся (7.29). Поэтому
8Лмех = Fdx = dWr	(7.30)
Откуда сила (притяжения)
г dW,	m2 jyV
dx	IcJ (Л/ц + x/nf
При х = 0
^ = _т2 jvV_
(Д/ц)2
16"2073
241

Найдем разрывающее усилие в сверхпроводящем кольце радиусом R
из цилиндрической проволоки радиусом г (г « R), по которому те¬
чет ток /. Индуктивность кольца (№ 7.70)
L = 4nR
Для магнитной энергии кольца из (7.21) имеем
W =
Для небольшого угла а (рис. 7.24) имеем
При постоянном токе из (7.30) находим силу в направлении из¬
менения радиуса кольца
/2 </Л[1п(8Л/г)-2]
“72" TR
Используя рис. 7.24, где введена сила /, разрывающая кольцо,
получаем связь
Fa =2f^ = fa.
Поэтому, используя предыдущее выражение, имеем
Найдем, как изменится подъемная сила электромагнита, изображен¬
ного на рис. 7.25, если его нижнюю подкову изготовить из материала с
242

магнитной проницаемостью р2, отличной от магнитной проницаемос¬
ти верхней подковы р, (р2 ф р,) (№ 7.63). Из (5.6) и (6.8) имеем
BnR
1
1 >
	1
h
+ В2х = 4л/ — ,
С
где х — величина возможного зазора между подковами.
Отсюда
Из (7.12) и (6.8)
В = 4п-
N
с nR(\/[i{ + 1Да2) + 2х '
W = в2
пя(-U-L
Ul ^2
+ 2х
S_ = 2 ljN\2	S
8л	Лl с) я/?(1/р| + 1/р2) + 2х‘
Используя (7.30), получаем
F = -4л
(М/с?
[лЛ(1/р, + 1/р2) + 2х]2
При х = 0 находим
F =
-4л
(М/с?
[лЛ(1/р, + 1/р2)]2 ‘
Отношение сил: F{ при р( = р2, F2 при р, ф р2
4
F\ (I + (J-i /М-2 )2
Аналогичным образом можно рассмотреть дру¬
гие конфигурации электромагнитов (№ 7.64).
С помощью чувствительных весов измеряется
сила Fj(x), втягивающая парамагнитный образец в
сверхпроводящую короткозамкнутую катушку в за¬
висимости от его положения (х) (рис. 7.26). Извест¬
но, что при х = 0 индуктивность катушки равна L0,
а по ее виткам течет некоторый ток /,. Найдем, ка¬
кую зависимость F2(x) следует ожидать, если катушку
перевести в нормальное состояние и по ее виткам
пропускать ток /2 от внешнего источника (№ 7.78).
16’
243

Для сверхпроводящей катушки из (7.1) и (5.28) имеем сохранение
потока магнитного поля
ф = 1,^ = 1
Ь(х)
Из (7.28) и (7.20)
При известной Ft(x) можем вычислить
-jFx(x)dx = J = -j- ~YT^-
Ф2о	l? А> Ux)
Отсюда
Ux) =		.
1 - 2c2//,2 A) J F\ (*)<&
о
Для катушки в нормальном состоянии из (7.29) и (7.20)
ihlhf
* у
1 - 2с2//2 А) IА (*)&
V	о J
При /, = /2 F2(x) > Ft(x) (х > 0).
Внутри длинной катушки-соленоида с плотностью намотки вит¬
ков п расположена небольшая катушка с площадью витков S и пол¬
ным числом витков N. Ось малой катушки ориентирована под уг¬
лом 6 по отношению к оси соленоида. Катушки включены последо¬
вательно, и по ним течет ток /. Найдем момент сил, действующих
на малую катушку (№ 7.79). Используя (5.23), для зацепленного
потока через малую катушку получаем
4х = yVBS = NBS cos0 = AnNn — ScosQ = 4nM?cos0— = L2 —.
c	c	с
Отсюда взаимная индукция Ll2 = 4nnSNcos 0. Полная индукция
системы Lnom = L, + L2 ± 2Ll2 = L{ + L2± SnnNS cos 0. Используя
(7.20), можем написать полную магнитную энергию системы или ее
часть, связанную с взаимодействием катушек и зависящую от 0:
W = SnnNS ^ cos0.
dUx)
dx
= F Ш-
244

Такое же выражение получим, если, считая магнитный момент
малой катушки
будем вычислять энергию, по аналогии с (2.32), как скалярное про¬
изведение
-РМВ.	(7.31)
Обозначая момент сил М и используя (7.29), имеем
ЬА = Fdx = Ш0 = dWr
Откуда находим
М =	sin0.
Малая катушка стремится развернуться, чтобы ее магнитный
момент (ее поле) был направлен по полю катушки-соленоида.
Найдем, на какой высоте А постоянный магнитик с магнитным
моментом р и массой т, который можно считать магнитным дипо¬
лем, будет парить в горизонтальном положении над плоской гори¬
зонтальной поверхностью сверхпроводника 1-го рода (№ 7.83). Ус¬
ловие на границе сверхпроводника — отсутствие проникновения в
него магнитного поля, можно обеспечить с помощью метода зер¬
кальных изображений. Если симметрично относительно его грани¬
цы расположить такой же диполь как заданный, то на границе маг¬
нитное поле будет иметь только компоненту касательную к поверх¬
ности. Расстояние между диполями найдем из равенства силы
отталкивания между диполями весу магнитика. Силу отталкивания
определяем из магнитной энергии взаимодействия диполей. Один
диполь создает поле, определяемое (7.11), а второй, находясь в
этом поле, в соответствии с (7.31) обладает энергией W = —рВ.
Поэтому, используя (7.11), получаем
F _ д W _ Э(рВ) _ рЭ [3r(pr)/rs - р/г3 ]
Э г	д г	дг
Так как г в данном случае перпендикулярно р, то находим
рЭ(-р/г3) 3 р2	3 р2
дг	г4	16А4	8'
Отсюда находим А. Отметим, что такое же выражение для силы по¬
лучено в (1.10) и (6.23).
245

Шарик из сверхпроводника можно подвесить на магнитной по¬
душке. Оценим его максимальный размер (Л), если известны плот¬
ность р, критическое магнитное поле (В) и такое изменение поля с
расстоянием, что на тыльной стороне шарика давлением магнитно¬
го поля можно пренебречь. Используя (7.12), можем написать урав¬
нение равновесия сил
kR2B2
8 я
Отсюда находим максимальный радиус (№ 7.74):
32 7фg
Если магнитный компас, стрелка которого может вращаться в
горизонтальной плоскости, находится рядом с вертикальной сверх¬
проводящей плоскостью, то, предполагая, что внешнее магнитное
поле отсутствует, действующие на стрелку силы можно найти, ис¬
пользуя метод зеркальных изображений. Условие, которому должно
удовлетворять зеркальное изображение, заключается в отсутствии
нормальной к поверхности сверхпроводника компоненты магнит¬
ного поля, т. е. симметричному относительно поверхности положе¬
нию стрелки и ее зеркального изображения. Угол стрелки относи¬
тельно поверхности при устойчивом равновесии определяется ми¬
нимальной энергией взаимодействия стрелки и ее изображения.
Для нахождения энергии стрелку и ее изображение считаем точеч¬
ными диполями (рис. 7.27). Из (7.31) и (7.11) для энергии взаимо¬
действия имеем
W = - р
'з(рг)4Ч
г5 г3
= -3 p2r2 cos а
cos(rc - а) j2 cos(rc - 2а)
s + Р i
= Р
2 1 + cos2 а
Видно, что минимальная энергия при а = п/2, т. е. устойчивое
равновесие стрелки, когда она параллельна сверхпроводящей плос¬
кости (№ 7.85).
В ферромагнитном шаре пропилена узкая глубокая щель. Шар
намагничен до насыщения перпендикулярно плоскости щели, и за¬
тем внешнее поле выключено. Кривая размагничивания материала
шара М(Н) представляет собой четверть окружности (рис. 7.28). Из
щели выдергивается и удаляется на значительное расстояние плос-
246

Рис. 7.27
кая рамка площадью S с числом витков N. Рамка подключена к
гальванометру. Найдем количество электричества Q, протекшего
через гальванометр. Полное сопротивление цепи R. Заданы также
Я0, М0 и размагничивающий фактор шара 0 = 4я/3 (№ 7.23). Из
(7.1)	получаем для цепи гальванометра
^ _ RdQ _ ld(<S>N)
dt с dt
Поток вектора магнитной индукции Ф меняется от начального,
определяемого начальной магнитной индукцией в щели Bv до нуля
при значительном удалении рамки от шара. Поэтому
Q = BlS^.	(7.32)
Используя (6.15) для размагничивающего фактора и зависимость,
изображенную на рис. 7.28, получаем для поля внутри магнетика
Я, = -0Л/, =
Ml = Я,2 + М? = Ml
+ 1 .
Откуда определяем М,. В отсутствие внешнего поля для начальной
магнитной индукции в щели имеем
Я, = 4 лМ1 + Я,
8я 8я М0
— МI =—	5	.
з 3 (4я/3)2 + 1
Эту величину подставляем в (7.32).
Для исключения потерь энергии на джоулеву теплоту в линиях
передачи постоянного тока предложено использовать коаксиальный
247

кабель, проводящие поверхности которого для внутренней жилы
(диаметр d) и наружной оболочки (диаметр D) выполнены из сверх¬
проводника. Максимально допустимая индукция магнитного поля
на поверхности сверхпроводника В, максимально допустимая на¬
пряженность электрического поля в изолирующей прослойке ка¬
беля Ем. Найдем, при каком соотношении диаметров х = D/d мож¬
но передать наибольшую мощность N и величину этой мощности
(№ 7.52). Из (4.18) мощность тока 7V= IV, где I — сила тока, идуще¬
го в разные стороны по оболочке и жиле и создающего магнитное
поле вокруг жилы, определяемое (5.2) и имеющее максимальное зна¬
чение на ее поверхности
В = Н = 4Td’
V — разность потенциалов между жилой и оболочкой, на которых
благодаря сверхпроводимости потенциал не меняется. Для однород¬
ной изолирующей прослойки из (3.7) и (3.8) находим (для цилинд¬
рического случая) E2nr = const = А. Из (2.6) dV= —Edr. Поэтому
V =
А . D
2п П7’
Е =
V
г In X '
Максимальное значение напряженности электрического поля на жиле
Ех
= 2
V
d\n х
= 2
Ух
D In jc
Для мощности получаем
N = IV = \cBED2\ lnx.
8	xl
Приравнивая производную мощности по х нулю, находим, что
максимальная мощность будет при х = е1/2 и равно
cBED
16е
В длинном идеально проводящем соленоиде при изменении ин¬
дуктивности сохраняется поток магнитного поля, и поэтому из (5.31)
следует IL = I0L0. Используя выражение (5.23) для соленоида, в слу¬
чае изменения его длины /= /0 + a cos со/ для тока получаем (№ 7.33)

8.	ДВИЖЕНИЕ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ
В ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ И МАГНИТНОМ ПОЛЯХ.
ЭДС ХОЛЛА. ДВИЖЕНИЕ ПРИ НАЛИЧИИ
ПОНДЕРОМОТОРНЫХ СИЛ
При рассмотрении движения заряженных частиц в дополнение
к силам, которые были введены в механике, надо учитывать дей¬
ствие электрических и магнитных полей.
Сила взаимодействия между заряженными частицами определя¬
ется законом Кулона (1.1), а потенциальная энергия — соответству¬
ющей работой в электрическом поле (2.1). Напряженность поля
вокруг точечной заряженной частицы описывается (1.3), а потенци¬
ал — работа, которую надо совершить, чтобы единичный заряд из
бесконечности перевести на расстояние г (2.4). Потенциал от элект¬
рона, который считаем точечной частицей с зарядом е, на расстоя¬
нии а от него равен е/а. Если в эту точку переместить из бесконеч¬
ности второй электрон, то потенциальная энергия системы будет
равна е2/г. Потенциал в точке, находящейся на расстоянии а от каж¬
дого из этих электронов, будет равен 2е/а. Чтобы в эту точку переме¬
стить из бесконечности еще один электрон, нужно совершить работу
2е2/а. Таким образом, система из трех электронов, находящихся в
состоянии покоя в вершинах правильного треугольника со стороной а,
обладает потенциальной энергией Ъе2/а. Если этим электронам пре¬
доставить возможность свободно разлетаться под действием сил от¬
талкивания, то вся их потенциальная энергия перейдет в кинетичес¬
кую. Предполагая симметрию движения, получаем для определения
предельной скорости разлета (г) электронов массой т уравнение
Отсюда находим скорость (№ 8.1). Здесь использовано нереля¬
тивистское приближение.
В релятивистском случае (больших энергий и скоростей) кине¬
тическая энергия имеет вид
Т — mc2(y — 1),
249

где
Y =
(i-32)1/2
с — скорость света (см.: 1, с. 179.). Поэтому имеем
у = тс2 (у-1).
Откуда
Y = 1 +
2 :
тс а
^ = 11-
1 У/2 _ (l + 2тс2 а/е2)
1 + тс2 а/е
1/2
Y2 )
Нерелятивистским приближением (№ 8.2) можно пользоваться,
если выполняется условие
е	2
— «: тс.
а
Поэтому должно быть
а »	= г^л = 2,8 • 10~13 см
тс
(классический радиус электрона).
В плоском конденсаторе с напряженностью электрического поля Е
отрицательно заряженный электрон ускоряется при движении к
положительной пластине. Однако на вырвавшийся из отрицатель¬
ной пластины благодаря термоэмиссии электрон кроме поля кон¬
денсатора действует еще притяжение положительного заряда элект¬
рического изображения. Обозначая расстояние электрона от отрица¬
тельной пластины через х и используя закон Кулона (1.1), получаем
уравнение движения электрона
dv г е*
т— = еЕ -
dt
4х
2 *
Скорость вырвавшегося электрона будет вначале уменьшать¬
ся, а затем увеличиваться. Минимальная скорость определяется
условием
dv
~dt
0.
250

Из уравнения движения находим точку, в
которой скорость электрона минимальна (№ 8.3):
7777ZP77777777777777Z
I
з
Рис. 8.1
При Е = 1000 В/м х = 6 • 10-5 см. В результате
торможения электронов вблизи отрицательной пластины может об¬
разоваться пространственный заряд, который здесь не учитывается.
Рассмотрим действие прямоугольного импульса тока /= 200 кА,
который протекает за время At = 10~4 с через гибкую металлическую
полосу длиной 2/ = 2 м, шириной а = 0,1 м, сложенную вдвое и
разделенную тонким непроводящим промежутком (рис. 8.1). Под
полосой расположен твердый массивный стол, а сверху находится
брусок с площадью основания (al) и массой т = 1 кг. Оценим ско¬
рость бруска после прохождения импульса тока по полосе (№ 8.49).
Так как полосы, по которым течет ток, широкие, а промежуток между
ними мал, магнитное поле токов будет сосредоточено в основном в
этом промежутке. Пренебрегая краевыми эффектами, используя (5.6)
и учитывая, что поля от верхней и нижней частей петли складыва¬
ются, получаем
В = Н = 4п—.
са
Давление магнитного поля (7.12), направленное на пластины,
НВ ^
р= =2п
~"с2а2
Сила, действующая на пластину и, соответственно, на брусок,
равна
F = pal =
с а
Не успевая сдвинуться, брусок приобретает импульс FAt. Поэто¬
му его скорость будет
FAt Л
V = 	 = In
т
I2lAt
тс2а
= 25
м/с.
Магнитное давление проявляется также, если импульс тока (мак¬
симальное значение / = 100 кА) протекает через две тонкие гибкие
металлические полосы шириной а = 0,1 м, разделенные тонким зазо¬
251

ром, заполненным диэлектрической жидко¬
стью (маслом) с плотностью р = 0,8 г/см3
(рис. 8.2). Оценим скорость, с которой
масло будет выбрасываться из зазора меж¬
ду полосами в момент протекания макси¬
мального тока (№ 8.50). Направление тока
в пластинах такое, что между ними магнитного поля нет. Используя
(5.6)	и считая, что в каждой полосе идет ток /, находим, что магнит¬
ное поле снаружи
В = 4л — .
са
В соответствии с (7.12) магнитное поле давит на пластины, со¬
здавая между ними давление
Рис. 8.2
В2
Предполагая, что вязкостью можно пренебречь, оценим скорость
из уравнения Бернулли (см. 1, с. 350), которое в данном случае
Отсюда скорость
JP
Р
V
2
2 *
2 /
v = —
с а
= 40
м/с.
Вдоль эвакуированной длинной цилиндрической трубы радиу¬
сом R создан стационарный аксиально симметричный поток элект¬
ронов, ускоренных при прохождении разности потенциалов V. Из¬
менение магнитного поля в зависимости от расстояния от оси тру¬
бы г описывается выражением
В =
при г < R и q > 0,
где В0 и q — постоянные. Найдем распределение плотности элект¬
ронов п в зависимости от расстояния от оси трубы г и электричес¬
кое поле Е(г), предполагая, что параметры пучка не изменяются
вдоль его оси (№ 8.4). Скорость электронов и определяем по полу¬
ченной ими энергии
eV =
ти2
252

Используя (5.6), имеем
В 2 лг = — f пие 2nr dr.
с I
Дифференцируя это соотношение, находим
„(г) = c(l + ‘l)Bo(r/R){4~')
AneuR
Используя (1.12), получаем
Е 2пг = 4nj пе 2лг dr.
о
Интегрируя, имеем
Е{г)=с-вА$ = с-в.
и \RI и
Отметим, что в пучке отрицательно заряженных электронов элек¬
трическое поле направлено к оси пучка, а сила, действующая на
электрон, направлена от оси пучка. Используя (7.2), можем найти
силу Лоренца, которая направлена к оси пучка и равна
Отношение этой силы к электрической (кулоновской) силе FK = еЕ
равно (м/с)2, т. е. мало, пока скорости электронов малы по сравне¬
нию со скоростью света.
Компенсировать разницу сил можно, поместив нужное количе¬
ство положительных неподвижных однозарядных ионов внутрь пуч¬
ка. Обозначая концентрацию ионов п+ и предполагая, что столкно¬
вениями электронов (концентрации п) с ионами можно пренебречь,
для единицы объема получаем
Откуда (№ 8.10)
"(FK - FJ - n.FK.
2
V с J
Аналогичное отношение магнитной (FM) и электрической (/у
сил получаем для сил взаимодействия двух параллельных пучков элек-
253

тронов. Предполагая, что поперечный размер пучков много меньше
расстояния между ними (а), и обозначая площадь сечения пучков ст
и скорость электронов v, из (1.12), (5.6) и закона Ампера (7.4) полу¬
чаем (№ 8.9)
Е2па = 4 папе;
Е
= 2 ап-; Ек =
а
2а2 п2 —;
а
В = Н = lane — :
F.
= 1а2п2е2 Д-;
F« _Ы
са '
с2а
FK \с,
Найдем частоту поперечных колебаний протонов, захваченных
релятивистским электронным пучком, имеющим сечение nR2 и силу
тока /(№ 8.6). Обозначая плотность электронов в пучке п, для силы
тока в пучке получаем I = enmR2 = encnR2, с учетом того, что v - с.
Используя теорему Гаусса (1.12), получаем электрическое поле в
электронном пучке
Е - 2еппг = 2/-Ц-.
cR2
На протон действует сила притяжения еЕ. Уравнение колебаний
протона (массой т)
т-
d2r
dt2
2 Ier п
+ —г- = 0.
cR2
Отсюда частота колебаний
со
2
Не
mcR2
и v
со
2п ’
Две щели 5, и S2, которые будем считать бесконечно длинными,
шириной / каждая (рис. 8.3), установленные в эвакуированном со¬
суде, выделяют плоский пучок электронов с энергией W. Найдем,
на каком расстоянии х от щели S2 ширина электронного пучка удво¬
ится из-за кулоновского расталкивания электронов, если электрон¬
ный ток, приходящийся на единицу длины щели (за щелью S2), ра¬
вен I (№ 8.5). Для скорости электронов (массы т) имеем
и =
Ток /= neul. Используя (1.12), получаем
поле на границе пучка 2Е = Annie. Откуда
Рис. 8.3
Е
2л/
и
254

Ускорение электрона на границе пучка перпендикулярно к ско¬
рости пучка
Е
а = е—.
т
При двойном расширении пучка
Поэтому получаем
Из ускорителя выводится пучок протонов с энергией W= 4 МэВ,
который затем проходит в вакууме путь / = 4 м, прежде чем попасть
на мишень. Вследствие кулоновского взаимодействия частиц раз¬
меры пучка увеличиваются. Оценим максимально возможную плот¬
ность тока в пучке, если допускается увеличение его радиуса на
5 = 10 % по сравнению с исходным (8 = Аг/г0). Считаем, что распре¬
деление частиц в пучке аксиально симметрично, а их начальными
поперечными скоростями пренебрегаем (№ 8.7). Обозначая заряд
частиц е, массу т, число в единице объема п, из (1.12) получаем
напряженность электрического поля в пучке Е = 2пепг. Для движе¬
ния частицы в радиальном направлении, т. е. для увеличения ради¬
уса пучка, получаем тг" = 2пе2пг. Вводя приращение радиуса пучка
х = г — г0 и радиальную скорость пучка
dr dx
имеем
и
2
Интегрируя по х от нуля до Дг и по t от нуля до
/ = 1/Vи подставляя j = enV, получаем
J
= 8V3
т
nel2
8mS>£
nel2
На рис. 8.4 изображена электронная лампа не¬
посредственного накала со всеми поданными на
нее напряжениями. Предполагая, что анодный ток
Н'1'Н
60B
Рис. 8.4
255

мал по сравнению с током накала, что обычно и бывает в лампах,
и учитывая, что нить имеет в разных точках различный потенци¬
ал, получаем, что вылетающие из разных частей нити электроны
при движении до анода набирают различные скорости в соответ¬
ствии с той разностью потенциалов, на которой они разгоняются
(от 56 до 60) (№ 8.8). Такое распределение скоростей будет иметь
место, если анодный ток мал по сравнению с током накала, что
обычно и бывает.
Движение частицы, имеющей заряд q и скорость v, в электри¬
ческом поле с напряженностью Е и магнитном поле с индукцией В
определяется, как следует из опыта, силой Лоренца
F = ?E + ^<jr[vB]; {F = qE + q [vB]},	(8.1)
где с — скорость света в вакууме.
При v с для частицы с массой т получаем уравнение дви¬
жения
m^ = qE. + ^q[vB>]\	|/h^ = 0E + 0[vB]J.	(8.2)
В дальнейшем будет показано, что движение с нерелятивистски¬
ми скоростями может происходить при выполнении условия E<s. В.
Так как в нерелятивистском приближении сила одинакова в
инерциальных системах координат, а второй член в (8.1) меняется
при изменении скорости, то разделение силы на электрическую и
магнитную зависит от выбора системы отсчета. Рассмотрим две си¬
стемы отсчета: неподвижную S и движущуюся относительно нее со
скоростью и подвижную систему S'. Скорость частицы (v) в систе¬
ме S связана со скоростью (v') в системе S' преобразованием Гали¬
лея v = v' + и. Из равенства сил имеем
F = q Е + X-q [vB] = q Е + l-q [v'B] + X-q [uB] = F' = q E' + X- q [v'B].
Отсюда следует
E' = E + -[uBl.	(8.3)
C
Для получения закона преобразования магнитной индукции надо
привлекать теорию относительности. Приведем результат
В' = В-1[иЕ].
(8.4)
256

Соотношения (8.3) и (8.4) позволяют получить условия для вы¬
бора систем, в которых существует либо только магнитное поле,
либо только электрическое.
В постоянном магнитном поле сила перпендикулярна скорости
и поэтому работы не совершает.
Если скорость перпендикулярна В, то движение происходит по
окружности. Вводя угловую скорость вращения со и радиус окруж¬
ности R, получаем с помощью (8.2) и уравнения движения по ок¬
ружности (см. 1, с. 14; 45) для угловой скорости вращения, которую
называют циклотронной частотой
тс
(8.5)
Заметим, что эта частота не зависит от радиуса орбиты, который
называется циклотронным, или ларморовским, радиусом
R =
mcv
w
(8.6)
На рис. 8.5 показана траектория электрона, который влетает в
постоянное однородное магнитное поле В со скоростью v под углом а
к направлению поля. Найдем расстояние АС, которое электрон про¬
ходит за один оборот (№ 8.12). Обозначим компоненты скорости,
перпендикулярной и параллельной магнитному полю соответствен¬
но vl = и sin ос и v2 = г; cos а. Тогда в соответствии с (8.2) для движе¬
ния по окружности получаем
Откуда
и период обращения
mvf
~R~
1 D
= -еу^В.
с
V\ =
eRB
тс
Поэтому
2пЯ
v\
2птс
еВ *
АС = v2T =
2nmcv cos а
7в
Найдем величину магнитного поля, необ¬
ходимого для того, чтобы в ускорителе ультра-
Рис. 8.5
*17-2073
257

релятивистские частицы, разогнанные разностью потенциалов U,
двигались по окружности радиусом R (№ 8.13). Имея в виду, что
для ультрарелятивистских частиц v ~ с и кинетическая энергия
частицы
W = q U
ШпС
[l-(lVc)2]
2-|‘/2 ’
где т0 — масса покоя протона. Из (8.6) находим В = U/R.
В солнечном ветре, представляющем собой поток плазмы, дви¬
жущейся относительно Солнца со скоростью v = 400 км/с, происхо¬
дит ионизация неподвижных относительно Солнца нейтральных
атомов гелия межзвездной среды. Полагая, что вектор магнитной
индукции В в системе отсчета, связанной с ветром, перпендикуля¬
рен вектору v и по модулю равен 5 • 10~9 Тл, а также что направления
векторов В и v остаются постоянными, найдем траекторию ионов
Не+ как функцию времени после ионизации. В силу высокой про¬
водимости плазмы солнечного ветра считаем, что напряженность
электрического поля в системе отсчета, связанной с ветром, равна
нулю и влиянием гравитационного поля можно пренебречь (№ 8.86).
В системе отсчета, связанной с солнечным ветром, электрического
поля нет. Система отсчета, связанная с Солнцем, относительно этой
системы движется со скоростью (-v), и поэтому в соответствии с
(8.3)	в ней есть электрическое поле
Е' = -
tvB]
Из (8.4) следует, что магнитное поле в обеих системах одинако¬
во. Предполагаем, что поток плазмы только ионизирует гелий, а
ускорение ионов связано с магнитным и электрическим полями, а
не с ударным воздействием. На рис. 8.6 показаны векторы полей и
скоростей. Ускорение иона по оси z связано с
действием электрического поля и ускорени¬
ем от движения по оси х в магнитном поле,
которое (движение) возникает от движения по
оси z в магнитном поле. Эти скорости иона
обозначаем их и иг. По оси у никакого движе¬
ния иона нет. Уравнения движения имеют вид
,	В.
ти* =~?иг-;
В в
mu' = -qv — + qu —.
1	с	с
258

Дифференцируя первое уравнение по времени и подставляя вто¬
рое, получаем
< + “2 (“* - *0 = °»
где
qB
00 = ——.
тс
Общее решение их — v = A sin со/ + В cos со/ при начальных условиях
(/ = 0) их = 0, uz = 0, а из первого дифференциального уравнения и
«' = 0 дает
их= 1 — cos со/); мг - —г; sin со/.
Учитывая, что в начальный момент х = г = 0, получаем
х = г>(/- — sin со/); z = — (cosco/ -1).
\ со /	со
Из полученных ранее соотношений видно, что максимальное
удаление от начальной точки по оси z по абсолютной величине
равно 2г>/со, максимальная скорость ихтах = 2v, а среднее значение
(№ 8.87)
Для моделирования траектории атомной частицы с зарядом е и
импульсом р, движущейся в магнитном поле, часто пользуются тем
обстоятельством, что очень легкий (невесомый) гибкий проводник с
током /, находящийся под постоянным механическим натяжением Т,
занимает в том же магнитном поле положение, совпадающее с траек¬
торией частицы. Найдем связь между е, р, I и Т, когда частица дви¬
жется перпендикулярно магнитному полю, предполагая, что вне него
участки проводника прямолинейны и расположены вдоль соответ¬
ствующих прямолинейных же участков траектории (№ 8.14). Из (8.6)
для радиуса кривизны траектории частицы в магнитном поле полу¬
чаем
R =
£Е.
еВ
На проводник с током действует сила Ампера (7.4). Сила на еди¬
ницу длины
F
1В_
с
17'
259

Рис. 8.7
Используя рис. 7.24, находим для силы натяже¬
ния (на рисунке она обозначена f) Т — FRV где
R — радиус кривизны провода. Для совпадения его с
радиусом кривизны траектории частицы должно быть
1р = еТ. Если задана энергия частицы, то пользуемся
связью (№ 8.15)
На рис. 8.7 показана схема масс-селектора, т. е. прибора, пред¬
назначенного для разделения атомных частиц разных масс, состо¬
ящего из цилиндрического конденсатора с внутренним радиусом
г, = 2,4 см и внешним г2 = 3 см. Ионные лучи (частицы) попадают
в селектор через узкую щель S, расположенную посередине между
обкладками. Параллельно оси конденсатора (т. е. перпендикулярно
к плоскости чертежа) приложено однородное магнитное поле с ин¬
дукцией В = 2000 Гс. Найдем, какую по величине и знаку раз¬
ность потенциалов надо приложить к пластинам конденсатора,
чтобы однократно заряженный положительный ион 7Li, имею¬
щий энергию W — 1000 эВ, прошел по средней линии конденса¬
тора, т. е. по окружности радиусом г = 2,7 см, а также напряжен¬
ность электрического поля на этой окружности (№ 8.16). Масса иона
равна примерно семи массам нуклонов (протонов или нейтронов)
m = 7 • 1,67 • 10~24 г. Чтобы ион двигался по окружности радиусом г,
на него должна действовать сила
(см. 1, с. 14; 45). Используя связь заданной энергии со скоростью
W =
mv
2
2 ’
находим скорость v = 1,65 • 107 см/с. Необходимая сила равна
F = 11,7 • 10-10 дн. Поэтому из (8.1) для магнитной силы получаем
FM = 5,12 • 10-10 дн. Необходимо добавить еще электрическое поле
цилиндрического конденсатора
E=F — = 412 В/см.
е
Обозначив заряд на внутренней цилиндрической обкладке q, из
(1.12)	находим Е = 2q/r. Для обеспечения движения положительных
260

ионов по окружности поле должно быть направлено к внутренней
поверхности конденсатора. Она должна иметь отрицательный заряд
(отрицательный потенциал). Для вычисления разности потенциа¬
лов воспользуемся уравнением (2.6)
Для разделения изотопов можно обойтись и одним магнитным
полем. В установке для разделения изотопов 235U и 238U пучок одно¬
кратно ионизованных ускоренных ионов урана с энергией W= 5 кэВ
попадает от источника через щель S (рис. 8.8) в однородное магнит¬
ное поле, перпендикулярное к плоскости рисунка. В магнитном поле
ионы разных масс движутся по различным окружностям и, совер¬
шив полуоборот, попадают в приемники. Конструкция последних
должна быть такова, чтобы расстояние между пучками 235U и 238U
на выходе была меньше 5 = 5 мм. Найдем, каково должно быть маг¬
нитное поле В, удовлетворяющее этому условию, и время t, необхо¬
димое для полного разделения М = 1 кг природного урана, если ион¬
ный ток, создаваемый источником, / = 5 мА. Массы протона и ней¬
трона считаем одинаковыми и равными тр = 1,67 • 10 ~24 г (№ 8.17).
Используя выражение для скорости через энергию и (8.6), получаем
Для напряженности поля на средней линии получаем
Нп(г2/г,)‘
Откуда находим
где т = 235тр, Д/л = (238 — 235)тр = Ътр. Откуда
Для тока имеем
s
ь
где А — атомное число (=235).
Рис. 8.8
261

Интегрируя, находим
М = 1Атп-.
р е
Отсюда t = 2,5 г.
Сепаратор частиц может быть устроен так,
как показано на рис. 8.9. На вход цилиндри¬
ческого конденсатора с радиусами г, и г2 попа¬
дают ионы разных масс и, двигаясь по окруж¬
ности, попадают затем в магнитное поле В.
Найдем отношение m/q массы иона к его заряду, если он прошел
сепаратор при напряжении U, а радиус его траектории в магнитном
поле равен гт (№ 8.18). Из (1.16) напряженность электрического поля
в цилиндрическом конденсаторе с зарядом на единицу длины % рав¬
на Е = 2х/г. Из (2.6) для разности потенциалов получаем
U = 2%1п
Гг Л
г7
Уравнение движения частицы по окружности в конденсаторе
2
v ~ %
т— = 2 J-,
г	г
а в магнитном поле
г"	В
т— = qv — .
Гг	с
Используя все приведенные соотношения, получаем
2
1п (зАО
c2U
В ускорителях заряженных частиц индукция В магнитного поля,
направленная вдоль оси симметрии, изменяется вблизи равновес¬
ной орбиты по закону
?
где г — радиус круговой орбиты; п — характерный показатель; а —
постоянная величина. Найдем, при каком его значении обеспечива¬
ется не только круговое движение на равновесной орбите, но и ра-
262

диальная устойчивость ее (№ 8.23). Используя (8.1) и (8.6) для ско¬
рости, магнитного поля и силы на равновесной орбите, получаем
2 2
qB0r0 D _ а . г _ qv0B0 _* q а
vo - ~~~9	Л) -	:	- гг.
тс
* ' г! '	0	<■
стп
Если с той же скоростью частица переходит на орбиту радиу¬
сом гр то
2 2
D _ а . Г *"0*1 _ Я а
Ли-——-	7Г1
гх	^ стг$п
Таким образом, для равновесия на новой орбите
Ь =
л л
q а
1 (2/1-1)’
стп
а при сходе с нее
FM =•
л2 2
q а
01 гтг(П~1Кп
стг0 г,
Для устойчивости орбиты при увеличении радиуса эта величина
должна быть больше равновесной
1 ^ 1
>-D > (—о •
г0 г\
Чтобы это выполнялось, должно быть п — 1 < 0, т. е. п < 1. Для
устойчивости орбиты при уменьшении радиуса F0l < F, и получаем
то же самое соотношение.
Один из ранних методов определе¬
ния отношения заряда к массе е/т для
электрона состоял в следующем. Элек¬
троны, вырванные из алюминиевого
диска А, ускорялись разностью по¬
тенциалов U, приложенной между А и
щелью S (рис. 8.10). Пройдя через
щель 5, электронный пучок попадал в
однородное магнитное поле, перпен¬
дикулярное к плоскости рисунка. Вся
система помещалась в вакуум. Изме¬
няя величину магнитного поля, доби-
263

вались того, чтобы ток на коллекторе С, регистрируемый гальвано¬
метром Г, был максимален. Измерив магнитное поле В в этот мо¬
мент, можно вычислить е/т. Найдем е/т, зная длину хорды SC = /
и ее угол с начальным направлением скорости а (№ 8.19). Из сохра¬
нения энергии имеем
2
eU = т^—.
2
Из (8.6)
Из треугольника OSC
г = тс
еВ'
В результате находим
/
2 sin а *
е о о sin2 а
— = 8 (Г—jpr-.
т	в212
В ускорителе прямого действия протон движется в практически
однородном электрическом поле внутри вакуумной трубки (ускоря¬
ется от пренебрежимо малой энергии до энергии W= 4 МэВ). Оце¬
ним допустимое однородное внешнее магнитное поле в зоне такого
ускорителя, чтобы на длине трубки 1=2 м отклонение протонов от
осевой линии было меньше b = 1 см (№ 8.20). При такой энергии
можно пользоваться нерелятивистскими соотношениями. При ма¬
лых углах отклонения можно считать, что сила Лоренца и вызывае¬
мая ею скорость v перпендикулярны к горизонтальной составляю¬
щей скорости vx, приобретаемой за счет электрического поля. Для
продольного движения имеем
"ЧГ“>Е-
Интегрируя это уравнение, находим
— Et.
т
264

Еще раз интегрируя, получаем
/ = -Е^-.
т 2
Для поперечного движения, учитывая (8.2), имеем
dvy я в BEt
т—г~ = —vYB = qB —.
dt с	cm
Интегрируя, находим
* =(«) *
г \т) с
2 ” Et2
Еще раз интегрируя, для максимального отклонения имеем
ь = {±)21^1.
\т) с 6
Учитывая линейное возрастание продольной скорости, можем
написать
Здесь максимальная скорость
После алгебраических преобразований находим
В < 3 mcb
(0,5W/m)l/2
V2
На рис. 8.11 показано движение ча¬
стицы массой т с зарядом е по равно¬
весной круговой орбите радиусом г0 в
горизонтальной плоскости зазора маг¬
нита, в котором магнитное поле спа¬
дает по радиусу по закону Bz(r) = А/гп
(О < п < 1). В отсутствие магнетиков в
зазоре В = Н. Так как токов нет, из
(5.15)	получаем rot Н = 0. Круговое
движение обладает осевой симметри¬
265

ей относительно zz■ Удобно воспользоваться цилиндрическими ко¬
ординатами (р, у, z на рис. 2.1). В использованных ранее обозна¬
чениях г= р. Из симметрии и (5.6) следует, что производные по у
и = Нч равны нулю. Поэтому из (5.12)
rotH =
1 dHz .(»*,
эяг"
£ +
Г l эр hw ,эяЛ
Lp Э\|/ Эг J p ^ Эг
Эр J
Ip Эр p Элр J
е* =
ЭЯ„ ЭЯ.
Эг Эр
ev =0.
Отсюда в использованных ранее обозначениях получаем
двг дВг
Эг dz
Из условия
двг_ п _ вгп
Эг ~ А г(п+{) ~ г ‘
Для изменения компоненты Вг по малому изменению z можем
написать
Br=-~Bzz.
'о
Таким образом, увеличение z (от нулевого значения на равновес¬
ной орбите) приводит к появлению компоненты Вг, которая в соответ¬
ствии с (8.1) дает силу, возвращающую (как показано на рис. 8.11) к
плоскости z = 0:
Fz = -vBr = --сi0nBzz = -<s)0nmz,
где
_ v_ _ eB
° " Ъ ~ mc
(последнее из (8.5)).
Уравнение колебаний по z (штрихами далее обозначены произ¬
водные по времени)
266
mz" + m>\mz = 0.

Отсюда для частоты колебаний по z (№ 8.21)
Q = о^2 = Л АЫ.
4	тс
Рассмотрим возможные радиальные колебания частицы в случае
малых отклонений от равновесной орбиты (№ 8.22). Устойчивыми
колебания будут, если сила Лоренца изменяется с изменением ра¬
диуса медленнее, чем центробежная. Сила Лоренца направлена к
оси вращения, а центробежная — от оси вращения. На равновесной
орбите они равны. При отклонении к оси центробежная сила ока¬
зывается больше и возвращает частицу на равновесную орбиту.
При отклонении от оси больше оказывается сила Лоренца. Она на¬
правлена в сторону равновесной орбиты. Обозначая малое отклоне¬
ние х = г — г0, представляем Bz(r) в виде ряда Тейлора
а я
BZ (г) = Bz(,г0) + -ф(г - г0) = Вг	Bz (r0) дг.
L"	Ч)
В таком случае радиальная составляющая силы Лоренца имеет вид
F = -vB. (г) = -согВ, (г) = -со0 В. (
с z	С 1	с г 1 4
= f «>о'Ь^г ('o)f 1 -—If1 - «—1 = F(ro)
- WCOfl (1 + n)x.
Здесь использован закон сохранения момента импульса
со0г02 = СО/-2,
где со0 — круговая (циклотронная) частота вращения частицы на
равновесной орбите (8.5):
0)0
_СВЛ'о)
тс
Для центробежной силы имеем
Fu6 = ты2 г = отсо^ = отсо^/ь ^1 - 3^-j.
В результате уравнение радиальных колебаний частицы имеет вид
тх" + т(я\ (2 - п)х = 0.
267

Колебательный режим возможен при п < 2. Частота колебаний
Йрад = «\,<2 - «)1/2‘
Длинный соленоид намотан так, что магнитное поле вдоль его
оси меняется по линейному закону
В = Во 1 +
i*i
где х — расстояние от центра соленоида вдоль его оси; L — пара¬
метр поля. Диаметр соленоида J « L, поле В не зависит от времени.
Отметим, что указанную зависимость В(х) нельзя реализовать в ок¬
рестности х = 0, что не существенно для решения задачи. Заряжен¬
ная частица движется так, что ее траектория полностью находится
внутри соленоида (для простоты можно считать, что траектория
симметрична относительно оси соленоида). Опишем картину дви¬
жения частицы и найдем период и амплитуду ее колебаний вдоль
оси соленоида, если известно, что в цент¬
ральном поперечном сечении соленоида
она движется под углом 60“ к его оси со
скоростью v (№ 8.24).
На рис. 8.12, а показано изменение маг¬
нитного поля с изменением х. С увеличе¬
нием х, как следует из (8.5) и (8.6), увели¬
чивается частота вращения и уменьшается
радиус. На рис. 8.12, 6 показаны компо¬
ненты скоростей частицы и магнитного
поля. Предполагаем, что скорость смеще¬
ния к оси vr очень мала. Очень важным
является наличие у магнитного поля состав¬
ляющей, направленной к оси вращения
частицы Вг. Благодаря ей магнитное поле
образует «ловушку», в которой частица за¬
стревает, т. е. останавливается и идет на¬
зад (рис. 8.12, в). Используя (8.1), получа¬
ем, что компоненты векторных произве¬
дений дают: vxBx = 0; vrBr = 0; vxBr — силу
в направлении vz, которая увеличивает эту
скорость, vzBx — силу в направлении vr,
которая в основном обеспечивает враще¬
ние относительно оси, vzBr — силу против
в,
вх
Z ■ —0
"Ох
Рис. 8.12
268

скорости vx, которая замедляет движение, а затем обеспечивает дви¬
жение к центру соленоида, vrBx — силу в направлении vz, которая
при движении в положительном направлении х увеличивает ско¬
рость вращения, а при возвратном движении — уменьшает. Так как
сила Лоренца (8.1), представляющая сумму указанных сил, всегда
направлена перпендикулярно скорости, то она работы не соверша¬
ет. Поэтому кинетическая энергия частицы сохраняется. Пренебре¬
гая скоростью vr по сравнению с vz и вводя начальные скорости vz0 и
vx0 (рис. 8.12, г), получаем из закона сохранения энергии
Медленность изменения орбиты вращения частицы позволяет
воспользоваться адиабатическим инвариантом (см.: 1, с. 127). Ки¬
нетическая энергия вращения
угловая скорость вращения определяется (8.5). Инвариантность от¬
ношения К/оз дает
Подставляя это в соотношение для магнитного поля и используя
закон сохранения энергии, имеем при vx = 0 максимальное откло¬
нение
Период колебаний в 4 раза больше времени прохождения этого
расстояния
Один из предложенных .путей получения высоких температур,
необходимых для осуществления термоядерных реакций, использу¬
ет так называемую «магнитную термоизоляцию». Уход быстрых час¬
тиц из зоны высокой температуры предотвращается магнитным по¬
лем. Найдем силу тока /в столбе газового разряда радиусом R = 3 см,
В Во
269

необходимую для того, чтобы электроны, обладающие средней ско¬
ростью хаотического движения, отвечающей температуре Т= 106 К,
не могли удаляться от поверхности столба на расстояние больше,
чем г = 2 • 10“3 см (№ 8.25). Наибольший шанс уйти от столба имеет
электрон, у которого скорость
v =
1/2
направлена перпендикулярно границе столба. Магнитное поле вблизи
поверхности столба (5.2)
В =
2
cR'
На расстоянии г поле можно считать постоянным и воспользо¬
ваться (8.2)
у2 е D
m— = -vB.
г с
В результате
2 ег
= 1,4 • 105
А.
При пропускании мощных импульсов тока по коаксиальному
токопроводу, находящемуся в вакууме, когда между проводниками
коаксиала имеются мегавольтные напряжения, поверхность провод¬
ников покрыта плазменной «подушкой» и приобретает неограни¬
ченную способность к эмиссии электронов. Найдем, каким должен
быть ток в коаксиале с радиусом внутреннего провода R{ = 0,6 см и
внешнего провода /?2 = 1 см (рис. 8.13) при напряжении между ними
U= 600 кВ, чтобы не было «вакуумного пробоя» (№ 8.81). Из теоремы
о циркуляции (5.6) находим величину магнитного поля между про¬
водниками
5	= ^.
сг
Меньшее значение поля при г = Rr Разность потенциалов
между проводами разгоняет электроны, а магнитное поле застав¬
ляет их вращаться по окружности. При больших энергиях элект¬
ронов (см. 1, с. 179) получаем в данном случае
Y =
Е me2 + eU
(i-»7c2)
1/2
= 2,
тс
тс
270

1
I*
откуда v/c = 1. А циклотронный радиус из (8.6)
= 2
тс
2
еВ '
Чтобы не было «вакуумного пробоя», расстояние между провод¬
никами должно быть больше циклотронного радиуса R2 — Rx > гц.
Поэтому для тока находим
/
c~yv
1
Вместо коаксиала можно использовать две плоские параллель¬
ные пластины шириной / = 5 см с зазором между ними 8 = 0,5 см
(рис. 8.14), на которых падение напряжения U= 1 МВ. Найдем, при
каком токе в такой линии проводники окажутся эффективно изо¬
лированными друг от друга (№ 8.82). Оценивая, как и раньше, энер¬
гии электронов, получаем у = 3; v/c = 1. Магнитное поле в соответ¬
ствии с (5.6)
В = 4я^г.
с/
В результате получаем, что для отсутствия пробоя должно быть
/ > mc2yvl4п6е.
По классическим представлениям электрон, вращающийся в ато¬
ме, обладает механическим моментом количества движения L = mrv.
Считая, что ток, соответствующий движению электрона, I = —е/Т,
где Т — период обращения электрона, Т = 2nr/v. В соответствии с
(5.5)	магнитный момент этого движения (тока)
271

В векторном виде (№ 8.26)
(8.7)
Отношение Г = p/L называется гиромагнитным отношением.
Для обладающего магнитным моментом р и механическим мо¬
ментом количества движения L из (7.10) (в отсутствие поля тяготе¬
ния) и (8.7) получаем
Эта частота называется ларморовской. Она в два раза меньше цик¬
лотронной (8.5).
В классическом опыте, поставленном И.К. Кикоиным, сверх¬
проводящий цилиндр (массой т = 80 г, высотой h = 20 см, радиусом
R = 0,5 см) подвешен на упругой нити в магнитном поле, направлен¬
ном вертикально вдоль оси цилиндра. Нить подвеса в исходном
состоянии не закручена. Магнитное поле постепенно повышается
так, что сверхпроводимость скачком исчезает при поле В — 1 кГс, а
цилиндр при этом закручивается. Найдем максимальный угол зак¬
ручивания, если модуль кручения к = 1 эрг/рад (№ 8.52). Магнит¬
ное поле внутрь сверхпроводника не проникает (эффект Мейсне¬
ра), а по поверхности идет ток плотности /. С величиной внешнего
поля Н = В в соответствии с (5.21) имеем соотношение
При исчезновении сверхпроводимости прекращается поверхно¬
стный ток и магнитный момент, с которым, как следует из (8.7),
связан механический момент импульса. Так как механический мо¬
мент импульса должен сохраняться, то возникает вращение цилин¬
дра с угловой скоростью to (со = dq>/dt = <р'). Для абсолютного значе¬
ния момента импульса имеем
Откуда (№ 8.27)
(8.8)
4 я IN _ 4 я/
ch с
С помощью (5.5) вычисляем магнитный момент
L = Уср' = mecBR2 А
272

где J — момент инерции цилиндра:
mR2
тен е — масса и заряд электрона. Полученная кинетическая энер¬
гия затем переходит в упругую энергию закручивания нити
В результате имеем
<р = mcBh	щ = 4,5 • 10~5 рад.
е (2 ктг
Сверхпроводящий шар массой М - 10 г и радиусом R = 1 см
покоится в магнитном поле В = 1 кГс. Температура шара постепен¬
но повышается так, что сверхпроводимость исчезает, а шар начинает
вращаться. Найдем угловую скорость вращения (№ 8.55). Магнит¬
ное поле внутрь сверхпроводящего шара не проникает. На поверх¬
ности шара магнитное поле направлено по касательной (6.19)
Вх = lysine,
где 0 — угол отклонения от направления внешнего магнитного поля.
По поверхности идет ток плотностью
j =
с
А.
4л'
Движение электронов создает момент количества движения.
Подсчитаем его:
Ф
L = 2 f /w,«(/?sin0)2 Л i/0 2л Л sin 035 sin 0-——
J	8л enR
Этот момент количества движения должен сохраниться при ис¬
чезновении сверхпроводимости и тока электронов. Для вращения
шара получаем
\ MR1 т = те cR3 —.
5	е е
Откуда находим угловую скорость со.
В омегатроне ион остаточного газа раскручивается по спирали в
скрещенном электрическом (переменном с амплитудой Е = 1 В/см)
18-2073	273

и постоянном магнитном (В = 3 • 103 Гс)
полях (рис. 8.15). Найдем частоту, при ко¬
торой ионы NJ будут достигать коллекто¬
ра К (контакта между обкладками конден¬
сатора). При этой частоте радиус спирали
будет возрастать до тех пор, пока ион не
достигнет коллектора на радиусе R = 1 см.
Если частоту немного изменить, то ион
будет некоторое время раскручиваться, а
потом начнет скручиваться обратно к источнику. Оценим, на сколь¬
ко надо изменить частоту, чтобы ток на коллекторе прекратился
(№ 8.28). Электрическое поле будет способствовать увеличению ра¬
диуса орбиты, если оно будет согласовано с изменением направле¬
ния при вращении, т. е. его частота будет совпадать с частотой вра¬
щения (8.5)
V0
еВ
2 птс
= 163 кГц.
Для оценки изменения частоты, приводящей к нарушению син¬
хронизма, оценим вначале шаг спирали. Обозначая период обраще¬
ния Г, из второго закона Ньютона получаем
mkv ~ еЕ —.
Для скорости v на орбите радиусом R имеем
2nR
поэтому
A R =
j At» _ у,2 еЕ
2 п 4пт
2 Е
= men	т
(еВ)2
При уменьшении периода изменения электрического поля до
величины Тх, меньшей периода обращения Т, обозначая
Л,
VJL
2л ’
можем написать
274
AT = T-Tl=^{R-Rl) = (R-Rl)^.

Если R — R{ < AR, то раскручивания не происходит и ток в цепи
коллектора прекращается. Для изменения частоты колебания элек¬
трического поля имеем
Av =
Т
АТ
Т2 '
Нарушение синхронизма будет при
Ду	Д R
v0 R
Поэтому получаем
iv._|_ = ,5 кг„.
Рассмотрим систему, состоящую из вертикально стоящего соле¬
ноида и гладкой горизонтальной поверхности внутри него вдали от
концов, на которой на расстоянии R от оси соленоида находится
шарик массой m с зарядом д, который может скользить по поверх¬
ности без трения. Найдем радиус круговой траектории, по которой
будет скользить шарик, если быстро, пока шарик еще не успевает
заметно сместиться, в соленоиде устанавливается постоянное одно¬
родное магнитное поле В (№ 8.29). Из (7.5), используя симметрию,
находим
г 1 RdB
е = ~2 7~а‘
Подставляя это во второй закон Ньютона eEdt = mdv и интегрируя,
получаем скорость шарика к моменту установления магнитного поля
v - qR
В
2 тс'
Дальнейшее движение шарика будет происходить по окружнос¬
ти и описываться уравнением
Отсюда следует г = R/2 и Т= 2nr/v. Период оказывается очень боль¬
шим для макроскопических частиц.
В ускорителе электронов бетатроне роль ускоряющего напряже¬
ния играет ЭДС индукции (7.1), возбуждаемая изменением магнит¬
ного потока, пронизывающего орбиту электронов. Электроны дви¬
18
275

жутся при этом по орбитам приблизительно постоянного радиуса.
Считая радиус орбиты электрона неизменным, определим необхо¬
димое для этого в данный момент времени соотношение между сред¬
ним магнитным полем (B(t)), пронизывающим орбиту электрона, и
магнитным полем на орбите электрона B0(t) (№ 8.30). Из (7.5)
Е =
с dt
Используя второй закон Ньютона
dv г d(B)
т~г = е-	—,
находим
mv = ег—~,
2с
учитывая, что нет поля, нет и скорости. Движение электрона по
окружности определяется полем В0 на орбите
vB
е —
с
Из этих соотношений
Магнитное поле некоторой нейтронной звезды (массой М ~
~ 1,5 • 1030 кг, радиусом = 10 км) имеет дипольный характер, т. е.
В=В0
Ло
R
з
где В0 ~ 1012 Гс. Оценим, какие силы будут доминировать в динами¬
ке релятивистского электрона (W~ 3 МэВ) на расстоянии от звезды
порядка радиуса земной орбиты (150 млн км) (№ 8.31). Для задан¬
ной энергии электрона, у которого энергия покоя тс2 = 0,511 МэВ,
имеем (см. 1, с. 179),
Так как
= 6.
1/2
276

а из закона всемирного тяготения, учиты¬
вая релятивизм:
получаем скорость порядка скорости
света (с). Из (8.1) для силы Лоренца
имеем
F = еВ0
3
-10-19 дн,
Рис. 8.16
F - Gym-^- ~ 10 27 дн.
R
Таким образом, доминируют электромагнитные силы.
Длинная катушка, по виткам которой течет ток, движется со ско¬
ростью и, направленной перпендикулярно ее оси. Заряженная час¬
тица, имеющая скорость v (с » v > и), догоняет катушку и, пролетев
между ее витками, вылетает под углом 90° к первоначальному на¬
правлению со скоростью, которую обозначим v, (рис. 8.16). Найдем
относительное изменение энергии частицы (№ 8.32). В системе от¬
счета, связанной с катушкой, получаем начальную скорость части¬
цы v2 = v — и, а конечную v3 = v, — и. При этом в магнитном поле
сила Лоренца (7.2) перпендикулярна скорости, не меняет ее вели¬
чины, т. е. 1>3 = vr Поэтому v — и = (v{ + м)|/2. Откуда
Энергия уменьшается, часть ее передана катушке.
Другой способ решения основан на использовании формулы (8.3).
В системе отсчета, которая движется относительно магнитного поля
со скоростью (—и), для электрического поля
v2 - 2vu + и2 = v2 + и2.
Относительное изменение энергии частицы
A W _v\-v2	2 и
Е' = Е +
С
для магнитного из (8.4)
В =B-i[-uE].
с
277

Частица в этой системе имеет начальную скорость у. Так как в сис¬
теме неподвижного магнитного поля электрическое поле Е = 0, то
из (8.3) и (8.4)
Е,= [_иВ] и в, = в
с
Чтобы поворот положительно заряженной частицы в поле В был
вниз (см. рис. 8.16), оно должно быть направлено к нам относитель¬
но плоскости рисунка. При этом электрическое поле перпендику¬
лярно и и В и направлено вверх, т. е. тормозит движение. Работа
этой силы и приводит к уменьшению энергии. Лоренцева сила ра¬
боты не совершает. Значит, изменение энергии
AW = -qBu —.
с
Используя уравнение движения
v2	vB
т— = q —,
Г	с
получаем, как и ранее,
A W	и
mv2/2	v
Один из механизмов ускорения заряженных частиц (протонов и
ядер) в космических лучах в Галактике обусловлен их отражением от
движущихся «магнитных облаков» — потоков ионизированной плаз¬
мы, несущей сильные «замороженные» магнитные поля. На рис. 8.17
показана граница намагниченной области АА (область, заполнен¬
ная магнитным полем, заштрихована), которая движется со скоро¬
стью и. Магнитное поле в облаке направлено перпендикулярно ри¬
сунку. Нерелятивистское заряженное ядро летит перпендикулярно
границе АА со скоростью v (v » и). Найдем относительное измене¬
ние энергии ядра при его отражении от магнитного облака, учиты¬
вая действие магнитного и электрическо¬
го полей (№ 8.33). В системе отсчета, свя¬
занной с магнитным полем, скорость ядра
v{ = v + и. Для силы Лоренца (7.2) имеем
Рис. 8.17
Кв].
278

При движении под действием силы Лоренца скорость не меня¬
ется по величине. После выхода из магнитного поля в системе Га¬
лактики v2 = vt + и = v + 2и. Относительное изменение энергии
Д W _ v\ - v2 _ 4uv + Ли2 _ 4и
lv 72 V2 v"
Другой метод, как и в предыдущей задаче, с рассмотрением по¬
лей в системе Галактики, где начальная скорость ядра равна v. Из
(8.3)	и (8.4) имеем
Е' = и В' = В.
С
Используя уравнение, описывающее движение по окружности
V
2
т
R
для работы электрического поля получаем
А = AlV = qE'2R = quB— = 2 umv.
с
Для относительного изменения энергии имеем
AJV
W
- 2 ит
v
mv2 /2
4и
v
В скрещенных однородных полях Б и В (Е 1 В) из некоторой
точки х0 разлетаются электроны с одинаковыми скоростями v <зс с,
лежащими в плоскости Оху (рис. 8.18). Считая Е В (СГСЭ) и
пренебрегая взаимодействием электронов друг с другом, найдем, на
каком расстоянии / и через какое время Т они снова соберутся в
одну точку, а также изобразим (качественно) траекторию частицы,
если известно, что в начальный момент она покоилась в точке х0
(№ 8.34). Перейдем в систему отсчета, в которой электрическое
поле равно нулю. В соответствии с (8.3) и заданными условиями
эта скорость направлена по оси х (см. рис. 8.18
и равна
г с
и = Е —.
В
В этой системе частицы движутся по окружное
тям с угловой скоростью
в
со = е —
тс
279

и соответственно периодом
Т = 2пт-^~.
еВ
Через это время частицы вернутся в начальную точку, которая в
неподвижной системе пройдет путь, равный
/ = иТ = Inmc1 -Д5-.
еВ2
Траектории частиц представляют циклоиды, как это было для
точки обода катящегося колеса. Радиус получаем из (8.6)
R = тс1 - Др.
еВ2
Приведем подробное решение для движения электрона, облада¬
ющего скоростью v, попадающего в однородные и постоянные вза¬
имно перпендикулярные электрическое и магнитное поля Е и В
(см. рис. 8.18) (№ 8.35).
Проектируя (8.2) на оси координат и обозначая производные по
времени штрихами, получаем
тх" = еу' —; ту" = еЕ-ех' — ; mz" = 0.	(8.9)
с	с
Умножая второе уравнение на мнимую единицу / = (—1 )1/2 и скла¬
дывая с первым, имеем
— + /со (х + iy) = ie —,	(8.10)
где
Ш — 	 .
тс
Решение (8.10) ищем как сумму однородного (правая часть рав¬
на нулю) и частного решения неоднородного. Для однородного имеем
x' + iy' = aeiw.	(8.11)
Частное решение
х' + /у' = с|.	(8.12)
Входящее в (8.11) а — в общем случае комплексная величина
а = 6е/а. Поскольку а умножается на е-/0)' (вращается в комплексной
плоскости), то, выбирая начало отсчета времени, можем придать фазе а
280

любое значение. Выберем так, чтобы а было вещественным. Общее
решение уравнения (8.10), учитывая, что е_,0)/ = cos со/ — / sin со/,
можем записать
х' + iy' = о, cos со/ - ia sin со/ + с —.	(8.13)
В
Приравнивая действительные и мнимые члены, находим
£
х' = с/cos со/ + с —; у'=-a sin со/.	(8.14)
В
Видно, что в момент / = 0 скорость направлена по оси х, а ком¬
поненты скорости — периодические функции. Для средних по вре¬
мени значений находим
« = <■§; </) = 0,
Скорость дрейфа (х') перпендикулярна обоим полям. В вектор¬
ном виде
[ЕВ]
Интегрируя (8.14), получаем
(8.15)
х = — sin со/ + сЕ^-; у = — (coswt - 1).	(8.16)
со	В	со
Это — трохоида. При а = —сЕ/В — это циклоида.
По двум параллельным проводящим плоскостям текут антипа-
раллельные токи с линейной плотностью /. Они замыкаются через
соединяющую плоскости перемычку толщиной 5 с удельным сопро¬
тивлением р (рис. 8.19). В пространстве между плоскостями совер¬
шает дрейфовое движение свободный электрон. Найдем величину и
направление скорости дрейфа (№ 8.80). Обозначая ширину плоско¬
стей /, а высоту а, получаем:
для тока

для напряженности электрического поля
Из теоремы о циркуляции (5.6)
В = Ап-.
с
Из (8.15) получаем
Заряженный шарик движется в скрещенных однородных элект¬
рическом Е и магнитном В полях (Е <$: В) в среде, сила трения в
которой пропорциональна скорости движения. Движение происхо¬
дит в плоскости, перпендикулярной вектору индукции магнитного
поля. Найдем величину и направление скорости его установивше¬
гося движения, если известно, что в отсутствие магнитного поля эта
скорость равна и, (№ 8.42). Используя (8.2), для описания движения
шарика получаем
т-^ - ?E + ^[vB]-av.	(8.17)
На рис. 8.20 показаны векторы полей и скорости.
В установившемся движении производная скорости по времени
равна нулю. Поэтому при отсутствии магнитного поля qE = avv
При наличии магнитного поля запишем уравнение в проекциях
qE - avx + ^ vy В = 0;	- avy - ~ vx В = 0.	(8.18)
Из этих уравнений находим
tgcp =
Bv i
~Ёс'
V = {Vx+VyT =
[l + B^/fV]
№
Вместо электрического может быть грави¬
тационное поле. Такое же условие в отсутствие
магнитного поля. Кроме того, при отсутствии
трения задана скорость дрейфа va (№ 8.41).
Из решения уравнений (8.9) следует, что
дрейф возникает при любой постоянной силе,
например силе тяжести F. В уравнении (8.2),
282

а потом и в (8.17) записываем Е = ¥/е (в последнем соответственно
Е = F/д). Для скорости дрейфа из (8.15) следует
[FB]
Ж
(8.19)
Таким образом, при отсутствии магнитного поля F= avv а для
скорости дрейфа получаем
cF	v
vn = —« = са—
д дБ	дВ
Подставляя в уравнения (8.18) Е= F/q и решая их, находим
tg<P
= — =	; v = (ух + v )1/2 =		—хп'
[1
Однородный по плотности плоскопараллельный слой электро¬
нов удерживается в вакууме однородным магнитным полем с индук¬
цией В = 57 Гс (рис. 8.21). Поле параллельно поверхности слоя.
Толщина слоя 8 = 1 см. Плотность электронов в слое п = 107 см-3.
В этих условиях электроны движутся параллельно поверхности слоя
в плоскости, перпендикулярной магнитному полю (дрейф). Найдем
скорость дрейфа ид в зависимости от расстояния х до плоскости
симметрии. А также определим разность потенциалов Д<р между
плоскостью симметрии и внешними поверхностями слоя. Зная, что
для электронов ejm — 5,27 • 1017 ед. СГСЭ (№ 8.36) однородный
слой заряженных частиц (в данном случае электронов) создает элек¬
трическое поле. Учитывая симметрию и применяя теорему Гаусса
(1.12), получаем Е = —4пепх внутри слоя и Ес = —2пеп£> — вне слоя
(см. рис. 8.21). Движение электронов внутри слоя в скрещенных
электрическом и магнитном полях описывается уравнениями (8.9),
которые в данных наименованиях координат имеют вид
тх" = -еЕ -еу’ — \ ту" = ex’ —;
с	с
В соответствии с (8.16) получаем
x = rsin(0/; у = rcosmt -cE-tjj’,
В	(8.21)
со = е —.
cm
Таким образом, заряд наряду с круговым
движением дрейфует вдоль оси у (перпенди¬
mz" = 0.	(8.20)
283

кулярно Е и В). В слое частицы удерживаются в результате равнове¬
сия электрической и лоренцевой сил
г > В п
Е + у— - 0.
С
Отсюда скорость дрейфа
сЕ
V*~ В'
Колебания в линейно меняющемся поле описываются уравне¬
нием
тх" + 4пе2пх = 0.	(8.22)
Частота их называется плазменной частотой
(о^ = 4пе2^.	(8.23)
Воспользовавшись этим определением плазменной частоты, вы¬
ражением для электрического поля
17	2 X
Е = (D„m —
р е
и формулой для циклотронной частоты (8.5), получаем
2 X
Для разности потенциалов имеем
(8.24)
ЧР	52
Дф = J 4nenxdx = пеп—.	(8.25)
о	^
Электронный пучок представляет собой тонкостенную трубку,
движущуюся в направлении своей оси и вращающуюся относитель¬
но нее в вакуумированном пространстве между электродами соос¬
ного с пучком цилиндрического конденсатора (радиус внутреннего
электрода г,, внешнего г,). Считая пучок бесконечно тонкой заря¬
женной поверхностью, свернутой в круглую трубу радиусом г0, а
полную скорость электронного пучка заданной и равной v{], найдем
максимальный ток /тах, который может быть проведен в таком пучке
через пространство, ограниченное электродами конденсатора. Кон¬
денсатор электрически закорочен, его длина существенно превы¬
шает зазор между электродами (№ 8.37).
284

Обозначая поверхностный заряд пучка о, получаем заряд пучка
на единицу длины % = 2пг0а. Вводя заряд на единицу длины на
внутреннем электроде %р из выражения для напряженности элект¬
рического поля, имеющего цилиндрическую симметрию, (1.16) по¬
лучаем, что поле между гх и г0 равно
2*1
а поле между г0 и г2 равно
Е 2(x + Xi)
2	Г
Используя связь напряженности поля с потенциалом (2.6), на¬
ходим
<р ('о) - ф ('i ) = ~2Xi In
f Ш. \
Ф (''г) — ф ('b) = -2(x + Xi)ln
'h
.'о
Из условия закороченности конденсатора ф(г2) = ф(/*,) получаем
Ц^Ло)
%i =-%
In АгА)’
Скорость движения электронов v0 складывается из скорости вра¬
щения по окружности v и скорости вдоль оси пучка
/2	2 У/2
=(*0 -М *
Для движения электрона с зарядом е (отрицательным) и массой т
по окружности имеем
2
т— = -е
'о
V Г0
/
Используя полученные ранее связи, записываем
где
е Info r2/rj)
т Info/г,)
285

Для тока в пучке получаем
Из условия максимума тока
получаем значение
В результате
тах З73а ‘
Такой же полый электронный пучок, имеющий форму тонкостен¬
ной длинной трубки, движется в вакууме в направлении своей оси,
вдоль которой приложено внешнее однородное магнитное поле, и
одновременно вращается относительно оси с частотой Лармора (8.8)
Считая пучок бесконечно тонкой заряженной поверхностью,
свернутой в трубку круглого сечения, а полную скорость электро¬
нов пучка заданной и равной v0 (много меньшей скорости света с),
найдем максимальный ток /тах, который можно провести в таком
пучке (№ 8.40). Как и ранее, имеем, что скорость движения элект¬
ронов v0 складывается из скорости вращения по окружности vn и
скорости вдоль оси пучка
Для движения электрона с зарядом е (отрицательным) и массой т
по окружности имеем
где Е — напряженность собственного электрического поля пучка, кото¬
рое действует на электрон в пучке. Обозначая поверхностную плотность
заряда пучка а, подставляя Е = 2па и выражая В через Q, находим
0’=£.2яа
т г0
286

Соответственно
v2. = rn2Q = —2л ar0.
ц и	т	V
Для тока в пучке получаем
I = 2nar0vn = jv2(v2-v2).
Из условия максимума
находим
_ 2mvl
тах Зл/Зе'
Вдоль оси находящегося в вакууме соленоида с плотностью на¬
мотки п и током / из электронной пушки инжектируется цилиндри¬
ческий пучок электронов (рис. 8.22). Вследствие пересечения части¬
цами сходящихся магнитных силовых линий в области неоднород¬
ного поля у торца соленоида пучок приобретает однородное
вращение. Полагая, что пушка находится вдали от торца соленоида,
и не принимая во внимание радиальные скорости электронов, при¬
обретенные при движении в неоднородном магнитном поле, най¬
дем угловую скорость вращения пучка (№ 8.38).
Перейдем в систему отсчета, движущуюся со скоростью частиц,
вылетающих из пушки. В ней из-за движения неоднородной части
магнитного поля соленоида происходит изменение потока магнит¬
ного поля, и появляется азимутальное электрическое поле. С помо¬
щью (5.32) получаем
Е2пг = -
1 d Ф
с dt
Считаем, что это поле заставляет электроны вращаться по ок¬
ружности постоянного радиуса г. Изменение момента количества
движения электрона (масса т, заряд е) связано с моментом сил
d (тг2 со)
dt
г в d<S>
= -еЕг = -	—.
2яс dt
Начальный поток Фн = 0, так как пушка на¬
ходится вдали от соленоида.
K-j
1 1 IIMMI1III1M
Рис. 8.22
287

Конечный поток
Фк = Впг2,
где В — магнитное поле соленоида (5.21):
В = Ann — .
с
После интегрирования имеем
еВ
к " 2тс
что в два раза меньше (8.5) — циклотронной частоты
со =
еВ_
тс '
Металлическое кольцо радиусом г и массой т падает в магнитном
поле, вертикальная составляющая индукции которого зависит от
высоты h по закону B(h) = B0(l — ah), где а — константа. Плоскость
кольца при падении горизонтальна, омическое сопротивление R.
Найдем зависимость скорости его падения от времени t (№ 8.46).
Используя (7.1), получаем
£
R
nr dB п v
—— — = пгВ^а — ,
cR dt	0 cR
где
dh
v = —.
dt
При таком токе кольцо представляет магнитный диполь с маг¬
нитным моментом (5.5)
Сила, действующая на диполь в меняющемся по пространству
магнитном поле, в соответствии с (1.11) и (6.21) равна
F- -dB (nr2aBof
Р dh	с2 R
Уравнение движения кольца в магнитном поле и поле тяжести
т
dv (	2 п \2 v
- = -(»• ай.) Я-«*-
(8.26)
Установившаяся скорость при ускорении, равном нулю:
*Vt = ~т8-
c2R
(nr2 a BQ )
2 ‘
288

Знак минус соответствует тому, что положительные направления
координаты (высоты) и скорости выбраны против силы тяжести
(вверх). Интегрируя уравнение движения при условии, что в на¬
чальный момент скорость равна нулю, находим
г, = »уст(1-е-'Ч
где
с2
x = mgT~2	?•
(пг2аВ0)
Короткозамкнутой проволочной рамке в форме квадрата со сто¬
роной а, массой т и омическим сопротивлением R, находящейся в
магнитном поле, сообщена начальная скорость v0 в направлении, пер¬
пендикулярном одной из сторон в плоскости рамки. Вектор магнит¬
ной индукции В направлен перпендикулярно плоскости рамки, а ве¬
личина его линейно изменяется в направлении скорости (х) так, что
Найдем скорость рамки через время t после начала движения
(№ 8.47). Так как магнитный поток через рамку меняется, возника¬
ет ЭДС (Щ, по рамке течет ток. Используя (7.1), находим
g _ 1 4Ф _ a1 dB _ a1 dB	а1 {
с dt с dt	с dx	с
Потери кинетической энергии идут на джоулеву теплоту (4.18)
2 dt
Т
Дифференцируя это уравнение, получаем
Откуда
dv 4,2
-mv— = а к
dt
V
c2R
Интегрируя, находим
*1 = _а4*2-*
v	c2Rm
г
v = v0 exp
v
a*k2t)
c2Rm )
19-2073
289

Алюминиевое кольцо, сопротивление которого пренебрежимо
мало, надето на сердечник электромагнита и лежит на подставке в
верхней части сердечника (рис. 8.23). Магнитный поток, посылае¬
мый сердечником через кольцо, нарастает от нуля до конечного зна¬
чения Ф0 = 10 Гс • см2. Нарастание потока происходит настолько
быстро, что за это время кольцо практически не успевает сместить¬
ся. Найдем высоту А, на которую подскочит кольцо, если его масса
т = 100 г, а индуктивность L — 100 см (№ 8.62). Изменение потока
магнитного поля через кольцо приводит к возникновению в кольце
тока / и появлению магнитного момента
где S — площадь кольца. Благодаря градиенту внешнего поля 2?внеш
(от катушки с сердечником) на кольцо, являющееся магнитным ди¬
полем, действует сила типа (1.11)
F =
- *^внеш
Р dx '
Координата х направлена по оси сердечника вверх. Так как по¬
ток внешнего поля через кольцо равен <t>	= Я „„ S, то для силы
1	А	ВНСШ	ВНСШ
получаем
F _	/ <*Ф„неш
с dx
Используя (7.1) при быстром нарастании магнитного поля и
пренебрежимо малом омическом сопротивлении кольца, получа¬
ем сохранение полного потока магнитного поля, который скла¬
дывается из потоков внешнего поля и собственного поля кольца
Ф„„„„ = Ф„„„ + Ф Так как в начальный момент никакого поля не
полн	знеш	соо
было, то имеем Фвнеш = -Фсоб. Из (5.28)
4>co«-£f
где L — индуктивность кольца. Таким образом, для силы получаем
Р _ _!_Ф ^Фвнеш
л £ внеш
dx
Отсюда находим работу, которая создает кинетическую энергию
кольца. Так как за время нарастания магнитного поля оно практи¬
чески не успевает сдвинуться, то
А
1 Фр
L 2
= mgh.
290

Начиная двигаться, кольцо быстро уходит из области влияния маг¬
нитного поля, и потоками магнитного поля там можно пренебречь.
Рассмотрим систему (рис. 8.24), представляющую диск из изо¬
лятора, который может свободно вращаться на вертикальной оси
и на котором размещены заряды, суммарная величина которых
Q = 4 • 10-6 Кл, и в его центре вертикально закрепленный длинный
сверхпроводящий соленоид (радиусом г0 = 2 см), замкнутый нако¬
ротко, по которому циркулирует ток, создающий в центре соленои¬
да индукцию В0 = 104 Гс. Найдем момент импульса (L), который
получит система при разогреве соленоида, прекращении тока и ис¬
чезновении магнитного поля (№ 8.51).
При изменении магнитного потока вокруг него возникает элек¬
трическое поле, которое можно найти из циркуляции (5.22)
Е2пг = -^~.
с dt
Магнитный поток в основном идет внутри соленоида, а вне его,
где расположены заряды, им можно пренебречь. Момент электри¬
ческой силы, действующей на заряд q, расположенный на расстоя¬
нии г от оси, равен
хж q d<f>	2 dB dt
M = -2	—г = qrf —^—.
2пс dt	0 2с
Видно, что он не зависит от расстояния г, поэтому для несколь¬
ких зарядов просто складывается. Суммарный момент сил изменяет
момент количества движения
Отсюда
dL _ п 2 dB/dt
~dF~Ur° ~2Г'
191
L = (?г02 ^ = 8 • 10 3 г • см2/с.
291

С точки зрения механики, кажется, что здесь нарушается закон
сохранения импульса. В действительности до прекращения тока в
соленоиде, благодаря наличию электрического и магнитного полей,
как будет далее показано, существует поток электромагнитной энер¬
гии, определяемый вектором Пойнтинга, и соответствующий ему
момент количества движения, который затем при исчезновении
магнитного поля сохраняется.
Металлический шарик массой т, с зарядом q подвешен на нити
длиной L и вращается вокруг вертикальной оси (конический маят¬
ник). Обозначая расстояние шарика от оси вращения /*, угловую ско¬
рость вращения со0, ускорение в поле тяжести g и отклонение нити
от оси вращения а, получаем
о>о — = tg а = sin а = у.
8	L
Откуда
(о,
-(Г
Если включить параллельное оси вращения однородное магнит¬
ное поле с индукцией В, то на заряженный шарик будет действовать
вихревое электрическое поле с напряженностью Е, которая опреде¬
ляется из циркуляции (7.5)
Е2пг = --пг2 ^.
с dt
Сила F= qE. Импульс
Fdt = d (mv) = -rq .
2c
Для угловой скорости, если В направлено так же, как <о, и сила
замедляет вращение, имеем
v	В
Ш = 7 = Ш°~д2^-
При противоположном направлении В вращение на столько же
ускоряется.
Для изменения кинетической энергии в случае одинакового на¬
правления поля и угловой скорости получаем уменьшение, а в про¬
тивоположном случае увеличение (№ 8.54) на
Д W = тг
2 О)2 - (Oq
	2 (ш-о>о)(со + соо)	2 ЯВ
= тг 			тг -—
2	Ате
(2ш°+И)'
292

Если задан потенциал U шарика (№ 8.53), то подставляем q = Ur,
где г — радиус шарика. При вращении в постоянном магнитном
поле, направленном как со, сила Лоренца (8.1) уменьшает центрост¬
ремительную силу. Без магнитного поля для угла отклонения нити
имеем
со
2
О
Г
g
г
7‘
Откуда
При магнитном поле
со
2 _ g
о -у
Таким образом,
2	В g
со - *7 со — = Ц- = со
тс I
2
О*
= ^ШЪпсщ = ^2отс‘
Постоянный короткий магнит с магнитным моментом, ориен¬
тированным вертикально, сначала удерживается над сверхпрово¬
дящей плоскостью на расстоянии а = 2 см, а затем отпускается
(рис. 8.25). Оценим высоту А, на которую он подскочит, если мас¬
са магнита т = 15 г, объем У = 2 см3, намагниченность М= 103 Гс
(№ 8.57). При оценке энергии взаимодействия магнита со сверх¬
проводящей плоскостью воспользуемся методом «изображений»,
т. е. будем рассматривать взаимодействие его с другим, который
обеспечивает такие же граничные условия, как на поверхности сверх¬
проводника. Для магнитного момента магнита
имеем р = VM. В дипольном приближении из
(7.11) для нашего случая находим
5 = 2-
(2 гУ
где г — расстояние магнита от сверхпроводя¬
щей плоскости. В соответствии с (1.10) сила
отталкивания
5 = 6
(2г)4 '
(8.27)
Рис. 8.25
293

Сила отталкивания и приобретаемая энергия положительны, так
как направление диполя «изображения» противоположно диполю
магнита. Энергия определяется работой этой силы dW = Fdr. Надо
иметь в виду, что такая же работа тратится при перемещении «изоб¬
ражения», фактически расходуясь на изменение токов, текущих по
поверхности сверхпроводника.
Из закона сохранения энергии после интегрирования следует
2(уМ)2
(2а?
2 Ш?
(2а + 2h?
+ mgh.
Считая, что в верхнем положении взаимодействие магнита со
сверхпроводником мало по сравнению с начальным, находим
и —	г 	 Т W1V1.
(8 mga)
Используя полную формулу, получаем 4,166 см, т. е. приближе¬
ние оправдано.
Такой магнит может находиться над сверхпроводящей плоско¬
стью в равновесии или совершать, например, малые гармонические
колебания. Используя (8.27), получаем для равновесия на высоте а
над сверхпроводящей поверхностью
mg =
При малом отклонении х (например, вниз) от равновесия
тх = mg-
8 (а-х?
= mg-Ъ
р2(1 + 4х/а)
8а4
Отсюда получаем (№ 8.56)
1 \V2
x" + 4g^ = 0; со = 2IJJ .
Найдем отношение периодов колебаний двух аналогичных маг¬
нитов одинаковой массы, если их магнитные моменты отличаются
в 16 раз и оси при колебаниях остаются параллельны сверхпрово¬
дящей плоскости (№ 8.58). В случае диполя, параллельного сверх¬
проводящей поверхности, диполь, соответствующий «изображе¬
нию», параллелен первому диполю. Они отталкиваются. Силу на-
294

ходим с помощью (1.9) и (1.11). Она оказывается вполовину мень¬
ше (8.27). Обозначая отклонение от равновесного положения х,
получаем
F =
3_
16
16 (а + х)4
Уравнение движения магнита с учетом силы тяжести
тх" = F — mg или х" + са2х = О,
(8.28)
где частота и положение равновесия
4 та
Поэтому ш2 ~ р~1/2, период
, „2	( -X п2 V74
<о =--Ц-; а = \tz—
5	V16 mg J
Т ~ д1/4 и -
Т0
А
Л1/4
= 2.
(8.29)
Если в 16 раз отличаются массы, а магнитные моменты одина¬
ковые и перпендикулярные сверхпроводящей поверхности (№ 8.59),
то из (8.27) и (8.28) следует вместо (8.29) для частоты и положения
равновесия
О)
2
3	Р2 .
О 5 ’
4	та
Поэтому ю2 ~ /я1/4, период
а =
r±iL
^8 mg
,1/4
Т~т 178 и -5- = -к
Г0 272
Рассмотрим сверхпроводящий шарик радиусом г и массой т, ко¬
торый со скоростью v подлетает к области постоянного магнитного
поля В. Оценим максимальную скорость, при которой он отразится
от поля (№ 8.63). При вхождении шарика на расстояние х в область
поля на него действует тормозящая сила давления (7.12), равная
F = ^-n[r2-(r-x)2l
о П
Уравнение движения шарика
dv dv В1	2 ^
т— = mv— =	- \2rx-x ).
dt
dx
295

Если шарик не полностью погрузится в
поле (х < 2г), то сила давления магнитного
поля вытолкнет его. Интегрируя уравнение
движения (скорость от v до нуля, х от нуля
до 2г), получаем
Вг3/2
" < От)1'2 '
Монополь Дирака (элементарная частица,
пока не обнаруженная, массой т, обладаю¬
щая магнитным зарядом Ь) находится строго
посередине зазора между пластинами незаря¬
женного разомкнутого плоского конденсато¬
ра, изготовленного из идеального сверхпро¬
водника. Оценим частоту малых колебаний монополя в направле¬
нии нормали к плоскостям. Все размеры конденсатора много больше
расстояния И между пластинами (№ 8.60). Чтобы обеспечить отсут¬
ствие нормальной к сверхпроводящей поверхности компоненты
магнитного поля, необходимо, чтобы «изображение» магнитного
заряда имело тот же знак и находилось в симметричном положении.
Так как сверхпроводящих поверхностей две, то потребуется целая
система зарядов. Для оценки сил, возникающих при небольшом
отклонении заряда от начального положения, достаточно учесть лишь
ближайшие изображения. На рис. 8.26 показаны заряд и изображе¬
ния. При отклонении от средней линии, равном х, для силы, дей¬
ствующей на заряд (подобно закону Кулона), получаем
F = —	^-т = -8А24-
(А + 2х)" (А - х)	А
Уравнение колебаний заряда
тх" + 8А2 Д- = 0.
А3
Откуда для частоты получаем
м2 о Ь2
(0 = о	=-.
mh3
В однородное магнитное поле с индукцией В помещена тонкая
металлическая лента шириной / (рис. 8.27) и толщиной а так, что
плоскость ленты перпендикулярна к индукции В. По ленте пропус¬
кают ток /. Найдем разность потенциалов С/, возникающую между
296
41
■ 4+ж
•
Т+х
Рис. 8.26

краями ленты (т. е. на расстоянии /), если
концентрация свободных электронов в метал¬
ле п (частный случай явления Холла) (№ 8.64).
Обозначая заряд электрона е, для тока полу¬
чаем / = enalv. Отсюда определяем скорость
электронов и подставляем ее в выражение для
силы Лоренца (8.1), которая, отклоняя элект¬
роны, создает электрическое поле
Е = - [vB].
с
Для разности потенциалов имеем
U = Е1 =
/В
сепа'
Вдоль трубы с внутренним и наружным радиусами Л, и R2 течет
ток I. Найдем, какая разность потенциалов U установится между
внутренней и наружной поверхностями трубы, считая, что число
свободных электронов в единице объема металла равно п (№ 8.68).
Электрический ток создает в трубе магнитное поле. На электроны,
движущиеся в этом поле, действует сила Лоренца (8.1). Электроны
скапливаются на поверхности и создают электрическое поле, урав¬
новешивающее силу Лоренца и приводящее к разности потенциа¬
лов U (явление Холла). Для плотности тока в трубе имеем
J =
= env,
где е — заряд электрона; v — его скорость.
Из (8.1) для равновесия получаем
e = L = ^.=
е с
IB
cenn\R.\ - R\)
Из (5.6) имеем
Откуда
Ilnrdr
4л j r2-R}
Tr\.R]-
В = Н = 21
297

Разность потенциалов
U= j Edr =	.2/,		 Г г-^1
Л,	С2«т(/?2-Л2)ЛН Г
= 21-
’j__ Цл]/л]]‘
2	r\/r\-\_
dr =
[с2еля(/?2 - Л?)] •
В простейшей схеме магнитного гидродинамического генератора
плоский конденсатор с площадью пластин S и расстоянием между
ними / помещен в поток проводящей жидкости с проводимостью X
(рис. 8.28), двигающейся с постоянной скоростью v параллельно пла¬
стинам. Система находится в магнитном поле с индукцией В, на¬
правленной перпендикулярно плоскости рисунка. Найдем, какая мощ¬
ность N выделится во внешней цепи, имеющей сопротивление R
(№ 8.69). Сила Лоренца (8.1) вызывает движение заряженных частиц,
работает как электродвижущая сила % = vBl. Для тока в цепи имеем
/ =
if
г + R'
Здесь внутреннее сопротивление
г
\_1_
XS'
Мощность, выделяемая во внешней цепи (4.18),
[ОД)//5 +л]2'
Длинная незаряженная пластинка из немагнитного металла дви¬
жется равномерно в однородном магнитном поле В со скоростью v.
Векторы В и v взаимно перпендикулярны и параллельны плоскости
пластинки (рис. 8.29). Найдем поверхностную плотность электри-
д.
298
Рис. 8.28
Рис. 8.29

ческих зарядов на плоскостях пластинки, возникающих вследствие
ее движения, и их знаки, если векторное произведение [vB] направ¬
лено вверх. Магнитным полем зарядов будем пренебрегать (№ 8.70).
Используя (8.1), получаем, что электроны буду*г отклоняться к ниж¬
ней стороне пластинки, а верхняя получит положительный заряд.
Плотность заряда а определяется из соотношения
Е = — = 4 по.
с
Откуда
vB
° 4кс *
Длинный сплошной алюминиевый цилиндр радиусом R заря¬
жен электричеством и вращается с постоянной угловой скоростью со
вокруг своей продольной оси. Заряд на единицу длины цилиндра
равен %• Найдем разность потенциалов U между осью и поверхнос¬
тью цилиндра, возникающую из-за его вращения, пренебрегая цен¬
тробежной силой (№ 8.67). За счет вращения заряда, который нахо¬
дится на поверхности цилиндра, с периодом Т имеем круговой ток
на единицу длины цилиндра
т = X = №
Т 2п ‘
Из теоремы о циркуляции (5.6) следует, что снаружи цилиндра
магнитного поля нет, а внутри оно постоянно и направлено по оси
в ту же сторону, что и угловая скорость, и равно
Н = 471— = 2% — .
с с
В соответствии с (8.1) на заряды внутри цилиндра действует сила
Лоренца, которая создает меняющуюся с расстоянием напряжен¬
ность электрического поля
Е =
Для нахождения разности потенциалов надо вычислить интеграл
V = 2%^\rdr = ((о^) х■
Длинный незаряженный цилиндр из немагнитного металла ра¬
диусом R = 12,56 см равномерно вращается в однородном магнит-
299

ном поле В = 300 Гс, параллельном оси цилиндра с угловой скоро¬
стью со = 60 рад/с. Найдем поверхностную плотность зарядов, воз¬
никающих вследствие вращения на боковой поверхности цилиндра,
и их знак, если векторы со и В направлены в одну сторону, прене¬
брегая магнитным полем возникающих зарядов и инерционными
эффектами электронов (№ 8.65). Сила Лоренца (8.1) действует на
вращающиеся заряды подобно электрическому полю
С помощью (1.12) получаем
_ Bu)R
4я с
Полый диэлектрический цилиндр с внутренним /•, и наружным г2
радиусами равномерно вращается в однородном магнитном поле с
угловой скоростью со вокруг своей оси. Вектор индукции магнитно¬
го поля В параллелен оси цилиндра, диэлектрическая проницае¬
мость материала цилиндра равна е. Найдем:
1)	объемную плотность рсвяз связанных зарядов, появившихся в
диэлектрике вследствие вращения в магнитном поле;
2)	полный объемный заряд q на единицу длины цилиндра;
3)	плотность поверхностных зарядов на обеих поверхностях ци¬
линдра (№ 8.66).
В соответствии с (8.1) на заряд е, вращающийся вместе с цилин¬
дром, действует сила Лоренца
F = 7[vB] = f М®] = 7(®В)Г
Используя (3.2) и (3.9), находим поляризацию, которую вызыва¬
ет эта сила:
P=“(»B)r = (£-l>Ml.
с '	'	4яс
Используя (1.21), откуда
divr =
г Эг
2,
и (3.4), находим
соВ

Интегрируя по объему единицы длины цилиндра, имеем
Я = J Рсвяэ^dv = - te - 1 )(<»В)-■
Поверхностная плотность связанных зарядов на внутренней и
внешней поверхности цилиндра:
<*1свяэ = -(е - 1)(соВ)^Ь ст2связ = (е - 1)(©В)^.
Диэлектрическая жидкость проницаемостью е протекает между
пластинами плоского конденсатора (расстояние между пластинами
равно /) со скоростью v <sc с. Перпендикулярно направлению движе¬
ния жидкости и параллельно обкладкам конденсатора приложено
однородное постоянное магнитное поле В. Найдем напряжение U
между обкладками конденсатора и поверхностную плотность заря¬
дов диэлектрика а (№ 8.71). В системе отсчета, связанной с конденса¬
тором, задано поле В, а электрическое поле вне конденсатора Е = 0.
В системе отсчета, связанной с движущейся жидкостью, в соответ¬
ствии с (8.4) и (8.3) магнитное поле не меняется, а электрическое
поле вне конденсатора
Е' = E + -[vB] = — [vB].
с	с
При отсутствии свободных зарядов на границе диэлектрика из (3.7)
имеем непрерывность электрической индукции D' = Е' = D" = еЕ".
Таким образом, в системе отсчета, связанной с диэлектрической
жидкостью, имеем для напряженности электрического поля
Е" =
ес
Переходя обратно в систему отсчета, связанную с конденсато¬
ром, получаем внутри диэлектрика
E = E"-^ = [vB]—.
с	ес
Из (2.6) для разности потенциалов находим
U = -[y В]—.
D-E
4л ’
301

а из (3.3)
Диэлектрическая незаряженная пластина с проницаемостью е = 3
движется между обкладками плоского конденсатора со скоростью
v = 1 м/с. Перпендикулярно направлению движения пластины и
параллельно обкладкам конденсатора приложено однородное по¬
стоянное магнитное поле В = 1,5 Тл. Найдем поверхностную плот¬
ность зарядов на обкладках конденсатора и поверхностную плот¬
ность поляризационных зарядов диэлектрика, если к конденсатору
приложена разность потенциалов U = 1 В. Расстояние между плас¬
тинами конденсатора А = 2 см и равно толщине пластины диэлект¬
рика (№ 8.84). Разность потенциалов создает внешнее поле внутри
конденсатора Е = U/h. В системе отсчета, связанной с движущимся
диэлектриком, получаем из (8.3)
Е'
Е±
vB
с
Знак зависит от направления магнитного поля. Для вектора поляри¬
зации из (3.2) и (3.9) имеем
Р = (е- Dj--
4я
Отсюда поверхностная плотность поляризационных зарядов в соот¬
ветствии с (3.3)
ос=(е-1 )ЩЪ±ЕШ±.
с	4л
При знаке плюс это равно 0,91 • 10-9 Кл/м2, при знаке минус —
0,86 • 10-9 Кл/м2. Для плотности свободных зарядов на обкладках
конденсатора из (3.7) и (3.8) получаем
D
где
D = Е + 4пР = еЕ ±(г-\) — .
С
При знаке плюс плотность зарядов — 1,33 • 10-9 Кл/м2, при знаке
минус — 1,3 • 10 -9 Кл/м2.
На рис. 8.30 показан вертикально расположенный цилиндричес¬
кий конденсатор (радиус наружного цилиндра R, внутреннего — г,
302

высота h, масса внутренней обкладки т, г « А) с
зарядом Q. Найдем период малых колебаний внут¬
ренней обкладки в поле тяжести (№ 8.77). Из фор¬
мулы (3.57) для емкости цилиндрического конден¬
сатора в случае сдвигания внутренней обкладкй на
расстояние х получаем
сы = 1
h-x
In (Л/г)'
Из (3.67) для энергии конденсатора имеем
1 Q
2 С(х)
Для силы, действующей в направлении х, имеем
Fx =
(8.30)
Дифференцируя и подставляя это в уравнение движения, по¬
лучаем
тх" = mg-Q
2 In(R/r)
(h-xf
Положение равновесия х0 (при х" = 0) определяется из соотно¬
шения
mg =
П2 Н^/г)
(А-*о)2'
При колебаниях будут происходить малые смещения (у) внут¬
ренней обкладки относительно положения равновесия х = х0 + у.
Подставляя это в уравнение колебаний и разлагая по малому пара¬
метру, получаем
ту" * 2Q-
Отсюда период малых колебаний
у = 0.
T-2i%)
1/2
Mr/г)
mg
-,1/4
303

l
*
-ТШ1Ш1Г
!
ь
Одна из пластин конденсатора жестко зак¬
реплена, а вторая, имеющая массу т, связана с
пружиной жесткостью к (рис. 8.31). Расстояние
между пластинами при ненагруженной пружи¬
не равно /0. При подключении к конденсатору
батареи в новом положении равновесия рассто¬
яние между пластинами
Рис. 8.31
Найдем период малых колебаний пластины (№ 8.79). Силу взаи¬
модействия между пластинами найдем из закона сохранения энер¬
гии: работа батареи (3.77) равна сумме механической работы и из¬
менению энергии конденсатора Udq = dW + Fdx. При подключении
к батарее напряжение на конденсаторе U не меняется. Так как ем¬
кость плоского конденсатора
г _ Я = S
U 4 пЛ’
а энергия
то dq = UdC, и при постоянном напряжении на конденсаторе
F = U2^ = -U2-^T^-.
dx	8я/Г dx
Считая отклонения от равновесия (х) при колебаниях малыми,
получаем уравнение колебаний
8я(/ - х)
Из условия равновесия
Используя это, малость х и связь /0 и /, получаем уравнение коле¬
баний
+ х = 0.
2т
304

Откуда находим период колебаний
Электрический заряд Q равномерно распреде¬
лен по тонкому кольцу радиусом R (рис. 8.32). Рис. 8.32
Точечный диполь массой т с дипольным момен¬
том р может перемещаться вдоль оси кольца (ось х), перпендику¬
лярно его плоскости, причем дипольный момент диполя паралле¬
лен оси кольца, а сила тяжести отсутствует. В начальный момент
времени диполь находится в центре кольца и имеет нулевую ско¬
рость. Найдем:
1)	максимальную скорость i>max диполя при его движении вдоль
оси кольца;
2)	положение равновесия х0 диполя;
3)	период малых колебаний диполя около положения равнове¬
сия (№ 8.78).
Распределение потенциала вдоль оси кольца
В соответствии с (2.6) или (2.8)
Ох
Л (л2 + х1 )3/2
Используя (1.11), для силы, действующей на диполь, получаем
F =
= pQ
R2 - 2х2
(r2 + х2 )5/2
В положении равновесия сила равна нулю. Поэтому
Вводя малое отклонение у от положения равновесия х = х0 + у,
получаем уравнение колебаний
y" + l6pQ
У
R*m35'2
= 0.
20-2073
305

Откуда для периода колебаний находим
т
1/2
Т = Ь5/АпЯ2- ....
2	(PQ)'12
Для вычисления максимальной скорости воспользуемся тем, что
работа силы dA = Fdx = pdE. Сила разгоняет диполь от начального
положения х = 0 до положения равновесия
*0 - 21/2 •
Следовательно,
A = m^f- = pE(x0) = 2 P^^-
Отсюда находим максимальную скорость.
Найдем период малых крутильных колебаний магнитного брус¬
ка (5= 1 мм2, /= 10 см), подвешенного горизонтально на неупругом
подвесе в магнитном поле Земли (горизонтальная составляющая
В0 = 0,2 Гс). Плотность стали р = 7,8 г/см3, остаточная индукция
В = 10 кГс (№ 8.73). Момент инерции бруска относительно оси
вращения (см. 1, с. 191)
J
Магнитный момент бруска в соответствии с (6.6)
p = MSl = 4^-
4 71
(8.31)
В соответствии с (7.8) в магнитном поле Земли создается воз¬
вращающий момент сил B0BSl<f>/4n. Уравнение колебаний бруска
Vte = o.
4я
Отсюда период колебаний
(8.32)
Т = 2п1
яр
V/2
\ЪВ0В j
Два одинаковых железных бруска площадью сечения 5= 0,1 см2 и
длиной / = 5 см имеют остаточную магнитную индукцию В= 12560 Гс.
Бруски расположены на одной прямой на расстоянии L = 1 м. Один
306

брусок закреплен неподвижно, а дру-	. .	.	, ,	. 0
гой может свободно вращаться вокруг и и 0 t 1 ,
оси 00', проходящей через его середи- i	i i I	I
ну и параллельной магнитному полю
Земли В0 (рис. 8.33). Найдем период Т
малых крутильных колебаний бруска.	Рис. 8.33
Плотность железа р = 7,8 г/см3 (№ 8.74).
Магнитные моменты брусков можно вычислить по (8.31), а поле,
которое они создают на расстоянии L, — по (7.11). Поле Земли
возвращающего момента не создает. Момент со стороны закреп¬
ленного бруска равен 2S2l2B2q>/(l6n2L3). Уравнение колебаний
/ф" +
2S2l2B2<p
\6п21?
= 0.
После подстановки J, как в предшествующей задаче, получаем
T,2%2LWLffL,
Если бы бруски были перпендикулярны линии их соединяющей
(№ 8.75), то изменился бы коэффициент (вместо двойки единица) в
выражении для магнитного поля, определяемого по (7.11).
В результате некоторого космического события образовалась
система, состоящая из звезды (масса М, магнитный момент р0) и
планеты (масса т<к М, магнитный момент р). Планета движется по
круговой орбите радиусом R. Найдем возможный разброс величины
периода обращения в зависимости от ориентации магнитных мо¬
ментов, считая плоскость орбиты, перпендикулярной магнитному
моменту звезды р0 (№ 8.72). Из (7.11) получаем для поля звезды
В = -
Р
г
3 •
Используя (1.11), для силы магнитного взаимодействия звезды и
планеты получаем отталкивание при одинаковом направлении маг¬
нитных моментов и притяжение при противоположном направле¬
нии с силой 3p0p/R4. Эта сила складывается с гравитационной. Для
движения по окружности имеем
v2 М р
т— = ут-г- ± рп -J-T.
R 1 R2 Уо R*
Учитывая, что период обращения
Т = 2п~,
V
20*
307

получаем
2пт^1	< j, <	2пт^2
(ут М/Л3 + />0 piRS )У2	(у/я М/Я3 -р0р/Л5 )1Д
Разброс периодов
ДГ =
ЬпРоР
т{уМ)3/2 Л1/2 '
По двум горизонтальным параллельным проводам, находящим¬
ся на расстоянии 2а = 1 см друг от друга, текут одинаковые по
величине, но противоположные по направлению токи силой /= 103 А.
Точно посередине между проводами находится шарик с диамагнит¬
ной восприимчивостью % = —10-5 и плотностью р =2,0 г/см3. Най¬
дем период малых колебаний шарика в горизонтальной плоскости,
считая, что вертикальное движение шарика отсутствует и трения
при его движении нет (№ 8.61). Используя (5.2), для магнитного поля
в точке, отстоящей от средней, между проводами на х, получаем
Я =-/{+
с уа + х а - х
4 1а _ 4 / (,	х*_'
с а2 - х1 сД + а1 /
Шарик получает дипольный момент р = |%|HV, где V — объем
шарика. Поскольку это диамагнетик, он будет выталкиваться в на¬
правлении уменьшения поля, т. е. к средней точке между провода¬
ми. Для вычисления силы можно воспользоваться (1.11). Уравнение
колебаний шарика
= 0.
Отсюда находим период колебаний
Т =
Р
21х|
,1/2
Электрический диполь движется в однородном магнитном поле
со скоростью v, перпендикулярной В. Дипольный момент р со¬
ставляет малый угол с направлением [vB] (рис. 8.34). Найдем угло¬
вую частоту малых колебаний диполя ю, считая известными его
момент инерции J, скорость v, дипольный момент р и индукцию
поля В (№ 8.43). Сила Лоренца (8.1), действующая на каждый из
308

зарядов диполя, будет создавать момент, стремящийся уменьшить
отклонения диполя от направления [vB]. Для малых углов отклоне¬
ния а имеем уравнение вращательных колебаний
/а" + pvB- = 0.
с
Отсюда находим угловую частоту колебаний
Плоский воздушный конденсатор помещен в горизонтальном
положении между круглыми горизонтальными наконечниками элек¬
тромагнита (рис. 8.35). Между обкладками конденсатора в однород¬
ном электрическом поле Е на расстоянии R от оси полюсных нако¬
нечников неподвижно висит заряженная масляная капля с зарядом q.
В обмотке включают ток, и магнитное поле доводят до постоянной
величины В. Предполагая, что за время нарастания магнитного поля
смещение капли пренебрежимо мало, найдем ее скорость v и траек¬
торию движения после включения магнитного поля (№ 8.44). Для
вихревого электрического поля из (7.5) имеем
Откуда для этой скорости с учетом нулевых начальных значений
получаем
EB2nR = --nR2^-.
в	с dt
(8.33)
Для скорости в направлении этого поля получаем
(8.34)
(8.35)
R
• •
• • • •
Рис. 8.34
Рис. 8.35
309

г = тс -
Здесь введено поле конденсатора Е из связи mg = qE. При такой
скорости из (8.6) находим радиус кривизны траектории
R
qB ' 2‘
Электрический заряд q равномерно распределен по твердому
непроводящему тонкому кольцу массой т. Кольцо может свободно
вращаться вокруг своего (закрепленного) центра. Вначале оно по¬
коится, а магнитное поле равно нулю. Затем включают однородное
магнитное поле В = В(/), перпендикулярное к плоскости кольца и
произвольно меняющееся во времени. Найдем движение кольца в
магнитном поле (№ 8.45). Для него выполняются уравнения (8.33),
(8.34) и первая часть уравнения (8.35). Поэтому для угловой скоро¬
сти вращения кольца имеем
v В
со = — = q-—.
R * 2тс
Тонкое металлическое кольцо быстро вращается вокруг верти¬
кальной оси, проходящий через его диаметр и перпендикулярной
однородному магнитному полю с индукцией В = 100 Гс. Пренеб¬
регая трением в оси, найдем время т, за которое угловая скорость
вращения уменьшается в е раз, если плотность материала кольца
р = 9 г/см3, проводимость X = 5 • 105 Ом-1 • см-1, считая потери
энергии за один оборот малыми (№ 8.76). Момент инерции кольца
относительно диаметра (см.: 1, с. 193)
J = ртш*3,
где s — площадь сечения кольца; г — его радиус. Угловая скорость
вращения кольца со изменяется при изменении кинетической энер¬
гии вращения W за счет потерь на сопротивлении
R =
2кг
Xs
Из (7.1) находим ЭДС в кольце. Разделив ее на сопротивление,
имеем для тока в кольце
j _ _ 1 dФ 1 _ BXswr sin со/
с dt R	2с
Потери на джоулеву теплоту равны dQ = I2Rt. Усредняя их по
периоду вращения и приравнивая потерям кинетической энергии,
получаем
d
/со2
~
= У со//со = -
B2Xnw2sr2dt
4?
310

Подставляя J и сокращая, имеем
diо B2Xdt
ш 4с2
Откуда
со = е-,/т,
где
т = 4с2—
ХВ2
Два одинаковых плоских изолированных конденсатора с квад¬
ратными пластинами (обкладками) площадью S каждая располо¬
жены так, как показано на рис. 8.36, а. В конденсаторы вставлена
длинная диэлектрическая пластинка массой т с диэлектрической
проницаемостью е. Толщина пластинки равна толщине зазора в
конденсаторах. В положении равновесия пластинка заполняет по¬
ловину объема каждого из конденсаторов. Конденсаторам сооб¬
щены одинаковые заряды q. Их емкость без диэлектрика равна С0.
Найдем:
1)	частоту со малых колебаний диэлектрической пластинки, пре¬
небрегая силами трения;
2)	будет ли пластинка совершать колебания, если конденсаторы
соединить параллельно;
3)	изменится ли частота колебаний, если на одном из конденса¬
торов изменить знаки зарядов пластин (№ 8.83).
Найдем силу, действующую на пластинку в одном конденсато¬
ре, когда она сдвинется на расстояние х от середины конденсатора
(рис. 8.36, б). Рассматривая конденсатор как параллельное соедине¬
ние конденсаторов, из (3.56) получаем 44 пп
Для напряженности электрического поля
имеем
E = - = S-
h hC'
Для давления на границе диэлектрика,
которое стремится вдвинуть его в конден¬
сатор, из (3.83) следует
+9
+9
1
1
1
1
1
» 1 X
-F,
б
Рис. 8.36
311

Поэтому для силы, действующей на пластинку, получаем
F = pLh = Lh(e-1)-^— =
ОЯ
8л(е- \)q2—-——т
i} (е +1)2
1 + 2 (е — 1)
-1-2
L(e +1)
При малых х имеем
F =
8л(е -1 )q2
1 — 4 (е — 1)
Цг +1)
(8.36)
1} (е +1)2
Пластинка в одном конденсаторе вдвигается, а в другом выдви¬
гается. Поэтому возвращающая сила
s2 i f>X
AF = 64я(е- 1) q2 .	. .
L4 (e + l)3
Вводя обозначение емкости
C0 =
s
4nh
и S = L2,
получаем
со2 = 16 (e — l)2
(e +1)3 C0Si,l2m
Если на одном из конденсаторов изменить знаки зарядов, то
возвращающая сила, а значит, и частота колебаний не изменятся.
Если же конденсаторы соединить параллельно, то будет перете¬
кание заряда до выравнивания потенциалов. Следовательно, на¬
пряженности электрического поля на границах диэлектрика бу¬
дут одинаковые, разности давлений одинаковые и направлены в
противоположные стороны. Возвращающей силы нет, и колеба¬
ний не будет.
а	б
Рис. 8.37
Диэлектрическую пластинку с конденсато¬
ром, показанную на рис. 8.36, б, можно подве¬
сить на пружине жесткостью к, как показано
на рис. 8.37, а или б. Обозначая растяжение
пружины в положении равновесия х0, откло¬
нение от положения равновесия (положитель¬
ное вниз) х и используя (8.31), получаем:
а)	тх" = mg — k(x0i + х) + F;
б)	тх" = mg — k(xQ2 + х) — F.
312

Для краткости введем в (8.36) обозначения F= а( 1 — Ьх). В слу¬
чаях а) и б) колебания будут описываться соответственно уравне¬
ниями
тх" + {к + ab)x = 0 и тх" + (к — аЬ)х = 0.
Отсюда находим и частоты колебаний. Если конденсатор подсо¬
единить к батарее, то сила F будет постоянной (независящей от
отклонения) и скажется только на положении равновесия, а частота
колебаний будет как в отсутствие конденсатора (№ 8.85).

9.	ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ
В ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ.
СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ
Электрические цепи — это соединенные проводами какие-то
наборы сопротивлений, конденсаторов, катушек (соленоидов), де¬
текторов, источников электричества и других устройств. Электро¬
магнитное возмущение (например, изменение силы тока в цепи)
распространяется с большой, но конечной скоростью. Если время
распространения возмущения по цепи длиной / со скоростью с, рав¬
ное т = 1/с, много меньше характерного времени Т изменения, на¬
пример силы тока, то сила тока будет успевать, как бы мгновенно
выравниваться в цепи. Далее будем предполагать выполнение усло¬
вия х «: Т, т. е. считать системы квазистационарными. В частности,
будем считать мгновенные значения квазистационарных токов под¬
чиняющимися закону Ома и для систем пользоваться правилами
Кирхгофа.
Рассмотрим цепь (колебательный контур), состоящую (рис. 9.1)
из последовательно соединенных источника ЭДС &, активного со¬
противления R, катушки (соленоида) с индуктивностью L и кон¬
денсатора емкостью С.
В этом разделе удобно использовать практическую систему еди¬
ниц (СИ). В некоторых случаях в фигурных скобках приводим фор¬
мулы в системе Гаусса.
Падение напряжения на активном сопротивлении R при про¬
хождении через него тока силой / определяется законом Ома
Vr=IR.	(9.1)
Падение напряжения на индуктивности L опре¬
деляется изменением зацепленного потока магнит¬
ного поля 'Р = IL [(5.27) и (5.28)]:
dlL
dt ’
Эта ЭДС индукции здесь записана как падение
напряжения на индуктивности и поэтому без минуса.
VL =
(9.2)
314

Падение напряжения на емкости С, заряженной зарядом д, (3.63):
V -i.
Ус ~ С‘
(9.3)
По правилу Кирхгофа
^L + IR + 1= g.
dt	С
(9.4)
Приведем это уравнение в системе Гаусса
Заряд на конденсаторе и сила тока связаны соотношением
dq
/ =
dt ’
(9.5)
поэтому получаем
d[L(dq/dt)]	dq	q
dt	dt	C	"
(9.6)
Будем обозначать производную по времени штрихом. Тогда для
постоянной индуктивности имеем
Lq" + Rq' + 1 = $.	(9.7)
Это обыкновенное линейное неоднородное дифференциальное
уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Для
нахождения решения необходимы еще два начальных условия. Удоб¬
но ввести обозначения, смысл которых поясним позднее. Собствен¬
ной (циклической) частотой колебательного контура называется
“о
(.LC)42 ‘
(9.8)
В системе Гаусса
со0 =
(£С)1/2 ’
где с — скорость света. Коэффициентом затухания:
(9-9)
315

В таком случае из (9.7) получаем
Я" + 2$q' + <o20q =	(9.10)
Рассмотрим различные виды колебаний и соответствующие им
решения уравнения (9.10).
Колебания называются свободными, если # = 0. Они могут быть
незатухающими (собственными), если R = 0 (и соответственно р = 0),
либо затухающими при R и Р не равных нулю.
Для собственных колебаний имеем уравнение гармонического
осциллятора
Его решение
q" + со\q = 0.
Я = Ят cos (су + а),
(9.11)
иначе
q = A sin оу + В cos су.	(9.12)
Постоянные интегрирования qm (амплитуда изменения заряда на
обкладках конденсатора) и а (начальная фаза колебаний) или А и В
определяются из начальных условий, а собственная частота колеба¬
ний (о0 (9.8) — параметрами колебательного контура. Для периода
колебаний Т0 и числа колебаний в секунду v0 имеем
Т0 = — = — = 2n(LC)V2.	(9.13)
v0 «о
Из (9.12) можно найти ток в контуре
/ = ^ = -qmw0 sin (су + а) = qmсо0 cosjj - су - а).
Сравнивая это с (9.12), видим, что ток по фазе опережает на л/2
напряжение на конденсаторе, которое по фазе совпадает с зарядом.
Если (9.11) умножить на q', проинтегрировать и воспользовать¬
ся (9.8), то получим закон сохранения энергии
LI2
2
= const.
(9.14)
Сумма магнитной энергии в катушке и электрической энергии в
конденсаторе остается постоянной. Энергия из катушки переходит
в конденсатор, а потом возвращается обратно.
316

Рассмотрим пример, когда электрическая цепь представляет со¬
бой треугольник, каждая сторона которого содержит емкость С, а
вершины соединены с общей центральной точкой индуктивностя¬
ми L (рис. 9.2, а). Найдем частоту возможных колебаний (№ 9.31).
Удобно эту цепь перерисовать так, как на рис. 9.2, б. Сразу видна
симметрия. На одном конденсаторе нет разности потенциалов, и
поэтому отсутствует заряд. Ток через него не идет. В центральной
точке одинаковые токи (обозначим их /) складываются. По (9.2),
(9.3)	и по Кирхгофу для суммы падения напряжений имеем
На рис. 9.3 изображена система, в которой вначале через индук¬
тивность L и замкнутый ключ К течет ток /0, а напряжение на кон¬
денсаторе равно нулю. В момент времени t = 0 ключ размыкается.
Пренебрегая активным сопротивлением всех элементов цепи, най¬
дем напряжение на конденсаторе и ток через него как функцию
L2I' + LI' + ^ = 0.
Отсюда
3Lq" + l = 0.
Из (9.11) и (9.8)
времени (№ 9.32). Из (9.2) и (9.3) для цепи
С
Отсюда
после размыкания ключа имее л
V' + V' + f = о.
а
С,
Рис. 9.2
Рис. 9.3
317

Из (9.11) и (9.12) имеем решение в виде
q = A sin а)0/ + В cos со0/.
Из условия, что напряжение на конденсаторе, а значит и заряд,
равно нулю, находим 5 = 0. Для определения второй постоянной
рассмотрим момент времени, бесконечно близкий к начальному,
когда через конденсатор идет ток /01. Из уравнения для токов, в
котором можно считать q = 0, получаем
- /0) + 12(/01 - 0) = 0.
Откуда находим
, Уо
01 ц + V
Подставляя этот ток как начальный в решение для тока
1 = q' = у4со0 cos со0/,
находим А = /,,С70. Поэтому
/ =
Ц/q COSO)0t
А + ^2
U = J = Vo sin со0/.
С одной из пластин конденсатора мгновенно испаряется тонкий
слой вещества, несущий заряд (q0), который затем движется как целое
с постоянной скоростью v к противоположной пластине (рис. 9.4).
Найдем зависимость тока в LC-цепи от времени при движении слоя
в конденсаторе, если расстояние между пластинами конденсатора Л,
площадь пластин S и индуктивность катушки L (№ 9.50). Конденса¬
тор со слоем можно рассматривать как два последовательно соеди¬
ненных конденсатора с изменяющимися емкостями и зарядами.
Обозначим заряд на левой пластине конденсатора Q(t) — q0, на ле¬
вой стороне слоя q0 — Q(t), на правой стороне слоя — Q(t), а всего
на слое q0, на правой пластине конденсатора, —
Q(t). Используя (3.56), для емкостей конден¬
саторов имеем:
-Q(>) для начального
С = ^
0	4 nh
и для образовавшихся
S	г - s
Ч _
L
Рис. 9.4
С> 4tlc’
4n(h - х) ‘
318

Из (9.4) получаем (в системе Гаусса)
+ L + -^- = 0.
с	С,{х)	С2(х)
Учитывая, что Q' — 7, х' = v, и вводя обозначение
2 С2
(О2 =
LCn
(в системе Гаусса), получаем
7" + ш2/ = q0<j32Y-
П
Используя решение (9.12) однородного уравнения (9.11) и част¬
ное решение неоднородного
г	v
/=**>
а также начальное условие 7(0) = /'(0) = 0, находим
7 = q0 J(l-coso)/),
В однородное электрическое поле Е0 перпендикулярно ему по¬
мещены две плоскопараллельные незаряженные металлические пла¬
стины (площадью S, с расстоянием между ними А), образующие
плоский конденсатор. Найдем зависимость заряда конденсатора от
времени, если в момент времени t = 0 пластины закорачивают через
катушку индуктивностью L (№ 9.51). На пластинах происходит раз¬
деление зарядов (на +q и —q). Обозначая емкость конденсатора С,
находим поле внутри конденсатора
Используя (9.7), получаем в системе Гаусса
\ Lq" + hE = \ Lq" + ^ + hE0 = 0.
с	с	С
Вводя обозначение
со
2
С
2
LC
319

и используя начальные условия q(0) = q’{0) = 0, находим
q = E0h С (cos Ш -1) = E0S^\
где
С
S
4 nh
В центре уединенной незаряженной проводящей сферы радиу¬
сом R находится точечный заряд Q. В некоторый момент t = 0
сферу заземляют через катушку с индуктивностью L длинным и
тонким проводом. Пренебрегая активным сопротивлением катуш¬
ки и сопротивлением провода, найдем зависимость заряда сферы
от времени (№ 9.52). На сфере происходит разделение зарядов.
При заземлении на нее начинает поступать заряд q. До этого ее
потенциал был
При поступлении заряда q он становится
Q +
R
Сферу можно рассматривать как конденсатор между ее поверх¬
ностью и бесконечностью. Поэтому воспользуемся (9.7)
= 0.
Так как в начальный момент и заряд и ток равны нулю, получаем
q = 0(1 -cos cof),
где
(0
2
С
2
RL'
Для свободных затухающих колебаний из (9.10) получаем
q" + 23?' + (a20q = 0.	(9.15)
Введем новую функцию х
320
q = хе-р'.
(9.16)

(9.17)
Подставляя в (9.15) и вводя обозначение
(О2 = ©о -р2,
получаем
х" + со2х = 0.	(9.18)
Используя (9.11) и (9.12), находим х = д cos (со/ + 5). Из (9.16)
имеем решение (9.15) с двумя произвольными постоянными, опре¬
деляемыми из начальных условий
q = де_р' cos (со/ + 5),	(9.19)
либо
q = е-р'(Л sin соt + В cos со/).
На рис. 9.5 приведена эта зависимость. Хотя при таких колеба¬
ниях нет точного повторения, время Т между прохождениями q че¬
рез нуль в одном и том же направлении изменения называют пери¬
одом затухающих колебаний
Т
2п
со
2 71
(«4-о’)
1/2 •
(9.20)
При малом затухании (р2 < Юо) период близок к периоду соб¬
ственных колебаний (9.13), ас увеличением затухания — растет.
При Р > со0 зависимость q(t), как видно из (9.16), (9.17) и (9.18),
становится апериодической. Сопротивление, при котором возникает
апериодичность, называется критическим. Оно определяется из ус¬
ловия р = <в0 с помощью (9.8) и (9.9):
КР=2{^\	(9.21)
Интегрируя (9.18) при со = 0 и под¬
ставляя в (9.16), получаем
q = (а + bt)e~V.	(9.22)
Постоянные интегрирования опре¬
деляются из начальных условий.
Из (9.22) для тока получаем
, = л =[*-№ +
21-2073
Г= 2тс/0>
Рис. 9.5
321

Найдем время, за которое ток достигает максимального значе¬
ния, и это значение, если конденсатор емкостью С, заряженный до
напряжения ЭДС <?, в момент времени t = 0 замыкается на катушку
индуктивностью L и сопротивление, равное критическому (9.21) для
образовавшегося контура (№ 9.36). При / = О имеем q = а — %С, 1—0,
b = ар. Откуда / = —р6/е_р'. Время максимума определяем из условия
^ = p6(p/-l)e-f>'=0.
Это дает
t,
Чтобы рассмотреть случаи р > сэ0, введем обозначение
Y = (Р2 ~ “о)''2 •
Тогда из (9.17) и (9.18) х = Ае~у1 + Be'1', а из (9.16)
q = Р + тг)' + Ве^-^К
(9.23)
(9.24)
Постоянные интегрирования А и В определяются из начальных
условий.
Для характеристики затуханий вводится ряд величин. Время, за
которое амплитуда уменьшается в е раз, называется временем релак¬
сации. Оно равно
Т = Р-
(9.25)
Декрементом затухания называется отношение амплитуд через
период
0(0
q(t + Т)
, а логарифмическим декрементом затухания называется
Л = In
1(0
q(t + Т)
(9.26)
где iVe — число колебаний, за которое амплитуда уменьшается в
е раз.
Добротностью Q колебательного контура называют величину
О)
2Р
ot)Z/
~R'
(9.27)
322

При слабом затухании р <к ш0 получаем со = со0 и
0 = ^Г-.	(9.28)
Энергию колебаний можно выразить через максимальную энер¬
гию в конденсаторе. Тогда
^(0
w(t + т)
<?(')
-]2
q{t + Т)
= е2рг.
При малом затухании потери энергии за период
ДW = W(t)-W(t + Т) = W(t){\ -е'2рг) »
Отсюда добротность при слабом затухании определяется как
Q =
2п W
AJV ‘
(9.29)
При измерении добротности Q резонансного контура из парал¬
лельно включенных катушки индуктивностью L = 0,1 Гн, сопротив¬
лением г = 30 Ом и конденсатора емкостью С = 30 пФ = 30 • 10~12 Ф
поступили следующим образом. Контур подключили к клеммам ос¬
циллографа и, включая и выключая ЭДС постоянного тока, наблю¬
дали затухающие колебания в контуре (рис. 9.6). Сравним добротно¬
сти контура при разомкнутой цепи батареи в случае, когда входное
сопротивление R осциллографа очень велико и когда оно конечно
(№ 9.29). Используя (9.4) и правила Кирхгофа, получаем уравнения
LI'L+rIL=± = RIR, IL + IR+q' = 0.
Дифференцируя и подставляя, в итоге имеем
Вводя обозначения
г . 1 2 1 + r/R
^ ~ L + CR ’ 0)0 " -LC ’
к'
гу
1
получаем (9.15), в котором
.„12 .„12
ъ
г у
-о
?1*
323

Следовательно, для добротности из (9.27) имеем
0 _ со _ L (1 + r/R)/LC
У 2Р г 1 + L/rRC ‘
Отношение добротностей
Q~ _ 1 +L/rRC .„a
Qr 1 + r/R ~	•
Рассмотрим колебательный контур, который содержит катушку
с индуктивностью L и конденсатор емкостью С с утечкой, сопротив¬
ление которой равно R. Пренебрегая активным сопротивлением
катушки и прочих проводов, выведем уравнение собственных коле¬
баний контура, найдем собственную частоту колебаний о)0 и лога¬
рифмический декремент затухания X (№ 9.35). На рис. 9.7 приведе¬
на схема колебательного контура. Сопротивление утечки параллельно
емкости. Из (9.1)—(9.3) и (9.7)
ui+z = o, 1 = 1Л h = h+i'-
Из второго соотношения q' = RCI'r, из третьего q" = I'L- I'R, из
первого
?" + -f- + -^ = 0.
4 RC LC
Вводя обозначения
Q 1	2	1
^ RC’	®° IC’
приходим к стандартному уравнению затухающих свободных колеба¬
ний (9.15). Его решение (9.19). Из (9.26) получаем декремент затухания
Рис. 9.7	Рис. 9.8
324

Из (9.17) частота колебаний
(О2 = COq — Р2 ~ (Од = -^.
Здесь о в соответствии с (9.8) называется частотой собственных
колебаний.
Изображенная на рис. 9.8 цепь питается источником напряже¬
ния U. Найдем, как будут изменяться ток через индуктивность и
напряжение на конденсаторе после размыкания ключа. Составим
уравнение для определения момента tv в который энергия, запасен¬
ная в конденсаторе, будет иметь наибольшее значение (в частности,
при слабом затухании) (№ 9.38). По правилу Кирхгофа
Lr + (Ri + R2)I+ ^ = 0 или Lq"+ (Rt + R2)q'+ ^ = 0.
Вводя обозначения
*_ Л + Л,
2Р =	. и о>5 =
2 _ _1_
LC ’
приходим к уравнению (9.15) для изменения заряда на конденсато¬
ре, решением которого является (9.19):
q = е_р'(Л sin Ш + В cos Ш).
Начальные условия
q(0) = q0 = UC, /(<>) = /„=■£-,
кг
Используя их, определяем А и В. В результате
COSO)/ +
С
f
3
Т - Т
1L - 70е
COSO)/ -
fP+0)2^-]
Iю w/0J
| sin со/
sin ш
Максимальная энергия в конденсаторе будет при максимальном
заряде. При этом ток через индуктивность равен нулю. Это дает
tgotf, =
w/0
РЛ) + °>о?о
325

Число колебаний Ne, за которое их амплитуда уменьшается в е раз,
определяется (9.27). Считая, что затухание слабое, найдем, во сколько
раз оно изменится, если в два раза уменьшить индуктивность и в два
раза увеличить емкость, сохранив неизменным активное сопротив¬
ление (№ 9.33). Очевидно, что частота собственных колебаний (9.8)
при этом не изменится. Из (9.27)
п nR
= 2.
Найдем добротность контура с емкостью С и индуктивностью L,
если на поддержание в нем незатухающих колебаний, которые мож¬
но считать малыми, с амплитудой напряжения на конденсаторе U
необходимо подводить среднюю мощность (N) (№ 9.37). Энер¬
гия, содержащаяся в колебательном контуре, равна максималь¬
ной энергии на конденсаторе CU2/2. В соответствии с (9.13) пе¬
риод колебаний
j, _ 2л
= (LC)'/2'
Потери за период равны (N)T. Из (9.29) следует
Q = 2n
0/2/2
(N)T
Г,2 (C/Lf
2 (N)
Колебательный контур составлен из конденсатора емкостью С и
катушки радиусом а и индуктивностью L, заполненной слабопрово-
дящим материалом с удельной проводимостью X и магнитной прони¬
цаемостью р. Пренебрегая сопротивлением проводов и потерями
энергии на перемагничивание, найдем добротность колебательного
контура (№ 9.57). В данном контуре потери энергии связаны не с
сопротивлением в нем, а с процессом нагрева вещества внутри ка¬
тушки, которое не влияет на параметры собственных колебаний,
определяемых уравнением (9.11). Используя его, имеем для собствен¬
ных колебаний тока и их частоты
/ = /„ COSO)/,
0)
с
2
LC ’
Потери будут уменьшать амплитуду тока /0. Они определяются
циркулярными токами в веществе внутри катушки, связанными с
326

изменением магнитного поля в ней. Из (5.23) магнитная индукция
в катушке
Из (7.5) имеем
Cl
InrE = -
nr
с
ЭВ
dt ’
Откуда электрическое поле
г/ \	1 1 ЭВ 1 1 г л кт т .	. Л кт г since/
Е{г) = ---г— = -—j4nN\iu>I0 sinш/ = 2nN\i(arI0—jj-.
Используя (4.7) и (4.12) для средней мощности джоулевых по¬
терь, получаем
р = ] X(E2)dV = f \(E2)2nrdrl =
О	о
= 2яXI (2nN\ui)f —yj f r’dr = л3Хц2о)2а4/о
2с г о	с /
Из (9.29)
= со L
/о2
2с2/, ’
где
Z, = 4n2a2N2j.
После подстановки
2с2	2c{LCf2
яЯцшд2	тЛцд2
На рис. 9.9 показан контур, состоящий из
заряженного до q0 конденсатора емкости С,,
незаряженного конденсатора емкостью С2 и со¬
противления R. Опишем процесс разрядки кон¬
денсатора С, после замыкания ключа (№ 9.2).
В законе Кирхгофа для контура надо учесть,
—I— Су
R
Рис. 9.9
327

что падение напряжения на С2 противоположно падению напряже¬
ния на Су Поэтому
С, С2 dt
Из сохранения заряда qx + q2 = q0. Исключая из дифференциаль¬
ного уравнения q2 и учитывая, что в начальный момент qx = q0,
получаем
q = q0
l+fe/Cjexp^fC, +C2)t/RqC2]
1 + c2/c,
При стремлении сопротивления к нулю q{ стремится к
Яо
i + c2/q
К такому же значению стремится и конечное значение qlK при
стремлении времени / к бесконечности. Соответственно
а, =	Ь.	.
Ч2к 1 + С,/С2
Используя (3.67), получаем энергии конденсаторов. Потери энер¬
гии на сопротивлении (на джоулеву теплоту) равны разности на¬
чальной и конечной энергий конденсаторов
Q = AW = W0~{WX + W2) = \q\
Если задано напряжение U0, которое равно qJC, а требуется най¬
ти ток
/
dq_
dt
(№ 9.18), то, пользуясь полученной формулой, имеем
/ =
(С, + C2)t
rcxc2
Используя этот результат, можно прямым расчетом найти ко¬
личество выделенной в соединительных проводах теплоты, пренеб¬
регая индуктивностью проводов, например для случая С, = С2 = С
(№ 9.19). Из (3.18) (закон Джоуля—Ленца) имеем dQ = I2Rdt.
328

Подставляя сюда полученное ранее выражение для тока и интег¬
рируя от 0 до бесконечности, находим
Это же выражение можно получить из изменения энергии конден¬
саторов.
Рассмотрим случай, когда конденсатор С заряжается от батареи &
через нелинейное сопротивление R, сила тока в котором связана с
напряжением соотношением 1= XU3/2 (X — постоянная величина).
Найдем зависимость силы тока в цепи от времени, если батарея
включена при t = 0 (№ 9.20). Из закона Кирхгофа для падения на¬
пряжения на сопротивлении имеем
и-*-Ь-
Используя условие для заряда на конденсаторе q, получаем диф¬
ференциальное уравнение
d{e-q/C) _ , dt
(t-q/cf Ре¬
интегрируя его при условии, что начальный заряд равен нулю, по¬
лучаем
£ = g	*	.
С	[l+Xf(tf)l/2/2c]2
Дифференцируя, находим ток
7	Х^2
[l + Xt (tf)'/2/2cJ3
При размыкании рубильника К в элект¬
рической цепи, изображенной на рис. 9.10,
возник дуговой разряд, вольт-амперная харак¬
теристика которого имеет вид U= а + Ь/1, где
anb — известные постоянные величины. Най¬
дем ток в цепи (№ 9.21). Закон Кирхгофа дает
L^- + RI + UI = 8.
dt
L	R
Рис. 9.10
329

Отсюда для установившегося режима, когда
получаем
Л/02+(а-г)/0+й = 0.
Решая это уравнение, находим
/« =
(» -а)±	- af - 4Rb^2
2R
До размыкания ток был /, = <S/R. В момент сразу после размыкания
рубильника
L
Ток начинает уменьшаться. Для исследования устойчивости уста¬
новившегося режима рассмотрим состояния, близкие к равновес¬
ному /(0 = /0 + x(t). Подставляя в закон Кирхгофа и используя
уравнение устойчивого режима, получаем для изменения малой до¬
бавки со временем
dx
~di
х.
Видно, что более устойчивым является режим с большим током.
Он и достигается раньше.
Сверхпроводящие катушки с самоиндукциями £, и Ь2 соединены
параллельно и включены через сопротивление R в цепь гальваничес¬
кой батареи с ЭДС Ш и внутренним сопротивлением г (рис. 9.11).
Найдем токи в катушках /, и /2 и ток в общей цепи /, если коэффи¬
циентом взаимной индукции катушек можно пренебречь (№ 9.22).
Для контура из катушек, не имеющих сопротивления, получаем
Рис. 9.11
= 0.
Интегрируя по времени, имеем L,/, = Ьг1г
Из первого закона Кирхгофа /, + /2 = /.
Поэтому
L_.
1 1,+V	А+^2
330

Из закона Ома следует, что
Соленоид, реостат и источник постоянного напряжения вклю¬
чены последовательно. Соленоид равномерно растягивают со ско¬
ростью v = 50 см/с, одновременно передвигая движок реостата
так, что сила тока в цепи остается постоянной. Найдем, насколь¬
ко изменится сопротивление реостата, когда длина соленоида уве¬
личится вдвое, если он после растяжения имеет плотность витков
п = 50 см-1, а диаметр его поперечного сечения D= 10 см (№ 9.25).
Обозначая сопротивление реостата начальное и текущее /?(/), из
(9.4)	имеем
Отсюда
//?0=й и ^ + /Л = £.
0	dt
R-R0
dL
dt '
Из (5.29) индуктивность соленоида обратно пропорциональна
его длине
Поэтому, обозначая производные по времени штрихом, получаем
Следовательно,
U
ML
i ‘
Откуда
U _ Г _ v
L I Г
R-R0=^.
В схеме, изображенной на рис. 9.12, в
некоторый момент времени замыкают ключ
К, и конденсатор С, имеющий первоначаль¬
ный заряд q0, начинает разряжаться через
индуктивность L. Когда ток разряда достига-
К
R
L
Рис. 9.12
331

ет максимального значения, ключ К вновь размыкают. Найдем, ка¬
кой заряд протечет через сопротивление R, если сопротивление дио¬
да D в схеме в прямом направлении много меньше R, а в обратном —
бесконечно велико (№ 9.27). После замыкания ключа ток идет только
через индуктивность, так как на диоде D потенциал в верхней точке
выше, чем в нижней. Из (9.7) для заряда на конденсаторе
Решение этого уравнения q — /1 sin со/ + В cos tat. В начальный мо¬
мент заряд на конденсаторе qQ, а ток через индуктивность «/'(О) = 0.
Используя это, находим q = q0 cos со/, I — —q' = ^Ocosin cof. Откуда
/max = <70w. В момент максимального тока (заряд на конденсаторе
равен нулю) после отключения конденсатора ток идет через диод.
Из (9.7) LI' + RI = 0. Интегрируя с учетом, что здесь в начальный
момент ток был максимальный, получаем /= /maxe_yf,/i. Для заряда,
протекшего через /?,
Длинный соленоид, длина которого равна /, а площадь витков S,
замыкается в некоторый момент времени последовательно с сопро¬
тивлением R на источник постоянного напряжения с ЭДС & В сред¬
ней части соленоида находится небольшое короткозамкнутое коль¬
цо, площадь которого равна о, сопротивление г. Плоскость кольца
перпендикулярна оси соленоида. Пренебрегая самоиндукцией коль¬
ца, определим радиальное давление на него (т. е. радиальную силу
на единицу длины) в тот момент, когда оно максимально (№ 9.23).
Из (9.4) имеем
Решая это уравнение, с учетом того, что в начальный момент ток
равен нулю, находим
332

Из (5.23) поле в соленоиде
ЭДСI (?, в кольце определяется (7.1). Для тока в кольце /, получаем
Из (5.29) для индуктивности соленоида следует
L = 4nN2j.
Воспользовавшись законом Ампера (7.4), получаем для радиаль¬
ной силы на единицу длины кольца
Чтобы вычислить максимальное значение этой величины, при¬
равняем ее производную по времени нулю.
Получаем, что максимальное значение будет при
Оно равно
Тороидальная катушка с радиусом тора Rr и радиусом витка гт
(гт Rr) замыкается в некоторый момент времени последовательно
с сопротивлением R на источник постоянного напряжения с ЭДС &
Внутри катушки находится небольшое короткозамкнутое кольцо,
площадь которого а, а сопротивление г. Плоскость кольца совпада¬
ет с плоскостью одного из витков тора. Пренебрегая самоиндукци¬
ей кольца, определить энергию джоулевых потерь Q в кольце за все
время установления тока в цепи тора (№ 9.24). Как и в предыдущей
задаче, ток в торе
Из (5.6) для поля внутри тора
N
В = Н = 21——.
cRT
333

Используя (5.27) и (5.28), находим индуктивность тора
ЭДС Й, в кольце определяется (7.1). Для тока в кольце /, по¬
лучаем
Два соленоида имеют одинаковые геометрические размеры, но
один из них изготовлен из проволоки вдвое большей площади
поперечного сечения и вдвое меньшей длины, чем другой. Мате¬
риал проводов обоих соленоидов одинаков. Найдем, в обмотке
какого из них будет выделяться больше теплоты, если магнитные
поля в них одинаковы, а также у какого из них меньше время
установления магнитного поля (№ 9.26). Обозначая сечение про¬
водов о и их длину Л, из (4.14) получаем для отношения сопро¬
тивлений проводов
При одинаковых диаметрах соленоидов отношение числа вит¬
ков пропорционально длинам проволок
Так как по условию длины соленоидов одинаковые и устанавли¬
ваются одинаковые магнитные поля, то из (5.23) следует
Используя (4.18), для отношений выделившейся теплоты имеем
Из (4.18) находим джоулевы потери
Л2 _ h2 Oj _ 1
h\ о2 4
*2 = 1
N, А, Г
1г_	_ л
h n2
334

В предыдущих задачах с помощью (9.4) были получены уравне¬
ния ^становления тока и соответственно магнитного поля, куда вошли
характерные времена установления т. Используя (5.29) для индук¬
тивности соленоида
j	L = 4nN2j,
находйм
h
Ti
к А
к Ri
В схеме, приведенной на рис. 9.13 и состоящий из двух конту¬
ров с известными &, г, £,, L2 и М, в некоторый момент, когда в
первом контуре уже установился ток, одновременно и мгновенно ра¬
зомкнули ключ Кр а К2 замкнули. Вычислим энергию WR, выделив¬
шуюся на сопротивлении R, а также энергию Wv полученную вторым
контуром, пренебрегая в нем омическим сопротивлением (№ 9.42).
Ток, установившийся через индуктивность Lv равен /10 = $/г. Для
второго контура можно написать (7.1), учитывая, что поток магнит¬
ного поля через вторую индуктивность складывается из собствен¬
ного и взаимного (5.25)
0 = 1(1,/,+Л//,);
^Л+м^-о.
^ dt dt
Интегрируя /2 от нуля до /2к и /, от /10 до нуля, получаем /2/2к = М110.
Второй контур получает энергию, которая в нем в результате содер¬
жится
w2 = /,^Н м"2 —
2	^ 2	2 Z,
= М2
(g/r)2
2Z, '
Из сохранения энергии находим
1-
м
2 Л
кк
г ко _
Ll~2~
1-
М
г \
кк
На рис. 9.14 изображена электрическая цепь, состоящая из бата¬
реи £, сопротивлений г и Л и индуктивности Lv К катушке изда-
335

Рис. 9.13
лека приближают короткозамкнутую сверхпроводящую катушку с
индуктивностью L2. Первоначально ток в ней отсутствует, а после
сближения с катушкой L{ он становится равным /2. После сближе¬
ния катушек ключ К замыкают. Найдем, какая энергия выделится
на сопротивлении R в виде джоулевой теплоты (№ 9.43). Первона¬
чально в катушке Lx течет ток
I = —
10 R + г '
Как и в предыдущей задаче, поток магнитного поля через вто¬
рую индуктивность складывается из собственного и взаимного (5.27)
Ф = 1(^/2 +М1{).
Но здесь надо учесть, что меняется взаимная индуктивность М,
т. е.
dl2 dMIx
^ dt dt
= 0.
Интегрируя /2 от нуля до /2к и М1Х от нуля до Л//10, получаем
V* = -*4о-
Энергия взаимодействия катушек
WK = LiIf + I^Ij- + MIl0I2 = Li^-L2^-.
Эта энергия и выделится в виде теплоты на сопротивлении R.
В схеме, изображенной на рис. 9.15, при замыкании ключа К
через гальванометр Г протек заряд q. Определим коэффициент вза¬
имоиндукции М катушек, обозначенных как Lj и L2, если извест-
336

ны Ш, Rx и R2 (№ 9.58). Для второго контура с помощью (9.4)
получаем
Hi
dt
+ M^-+R2I2
dt 22
= 0.
Интегрируя по / от 0 до oo и учитывая, что ток /2 в начале и в конце
был равен нулю, получаем
R2q = -MIi(oo) = -M — .
Л1
Откуда
Уравнение первого контура для решения не нужно.
В схеме, изображенной на рис. 9.16, катушки Ьх и L2 намотаны
на общий магнитный сердечник с магнитной проницаемостью ц » 1.
При замыкании ключа К в первом контуре через гальванометр Г,
включенный во вторичный контур, протекает заряд q. Считая изве¬
стными R2, L2 и установившийся ток в первичном контуре /0, най¬
дем коэффициент самоиндукции катушки Lx (№ 9.59). В данном слу¬
чае рассеянием магнитного потока в общем сердечнике можно пре¬
небречь и пользоваться результатами задачи № 5.30, полученными с
помощью (5.30) и (5.31), для коэффициента взаимной индукции
М= (ЛХЬ2У/2. Уравнение для второго контура такое же, как в преды¬
дущей задаче. Поэтому R2q = —М10.
Отсюда
Используя выражение для взаимной индукции, находим
м2 я\дг
^ ~ h ~ Vo '
22-2073
337

Ключ (схема на рис. 9.17) размыкают, и в контуре возникают
колебания. Найдем, какой должна быть емкость С, чтобы Макси¬
мальное напряжение на емкости U не более чем в п раз превышало
напряжение на батарее {f (№ 9.28). В момент размыкания (ключа
через соленоид идет ток / = Ш/R. При колебаниях в контура через
некоторое время (половина периода колебаний) вся энергии соле¬
ноида перейдет в емкость. Пренебрегая его сопротивлением; из за¬
кона сохранения энергии (9.14) имеем
I2L _ q1 _ CU2
2 "2 С~ 2 '
Чтобы было U < nis, должно быть
Генератор с весьма малым внутренним сопротивлением посыла¬
ет в контур прямоугольный импульс напряжения (рис. 9.18). Пренеб¬
регая затуханием, найдем:
1)	при какой длительности импульса Г, в контуре отсутствуют
колебания после прекращения импульса;
2)	при какой длительности импульса Т2 амплитуда колебаний
напряжения на емкости максимальна (после прекращения импуль¬
са). Чему она равна?
Для обоих случаев нарисуем графики тока и напряжения, начи¬
ная с момента /0 (№ 9.44). Используя (9.4), для времени существова¬
ния напряжения V0 на генераторе получаем уравнение
= Vn
к. Л = 10 Ом
Рис. 9.17
Рис. 9.18
338

Общее решение для напряжения на
конденсаторе
г = VQ + A cos со/ + В sin со/,
где
со = ■
1
2 п
п'
(Hlf2
Удобно момент t0 считать нулевым.
В этот момент V = 0, / = 0, поэтому
получаем
V= У0(1 — cos Ш), I = У0С(л sin соЛ
На рис. 9.19, а показано изменение
потенциала на конденсаторе и тока че¬
рез индуктивность. Видно, что при от¬
ключении генератора (убирании V0) в
точке Г, и в других точках, соответству¬
ющем времени t= Т{ — пТ0 (п = 1, 2,...),
колебания прекратятся. Если генератор
выключить в момент, показанный на рис. 9.19, б, при
t = T1=(n + ^jTQ (п = 0,1,2,...),
то амплитуда колебаний на емкости будет Kmax = 2V0. В соответ¬
ствии с законом сохранения энергии амплитуда тока также возрас¬
тает в два раза.
В момент времени t = 0 идеальный Z-C-контур с собственной
частотой 100 Гц возбуждается периодической последовательностью
импульсов с длительностью т = 0,002 с, изображенной на рис. 9.20
(8 = 5 В). Найдем период следования импульсов Т, при котором
среднее значение напряжения на конденсаторе V = 2 В. Нарисуем
mi
Т
$0
1
П ~1
	1—
□	а
/
Рис. 9.20
гг
339

Рис. 9.21
график зависимости V(t) (№ 9.54). Используем	I
решение предыдущей задачи. Соотношение соб- ^ ^
ственной частоты контура и длительности импуль¬
са таково, что происходят два колебания (рис. 9.21).
Среднее значение напряжения на этом участке < Kt) = Е = 5 В. Через
Т повторяется изменение напряжения на конденсаторе. Среднее зна¬
чение за Травно (VT) = (V.)х/Т. Чтобы эта величина равнялась 2 В,
из последнего соотношения Т= 0,05 с.
После размыкания ключа в контуре (рис. 9.22) возникают мед¬
ленно затухающие колебания, максимальная амплитуда напряжения
которых Umax в п раз превосходит напряжение батареи &. Найдем
собственную частоту контура со, если уменьшение амплитуды коле¬
баний в е раз происходит за время т (№ 9.30). Из (9.19) получаем
для затухающих колебаний
В начальный момент (t = 0) имеем U= % /= q' = Ш/R. В резуль¬
тате получаем
q = е_%4 sin Ш + В cos Ш).
Как и в (9.9), (9.8) и (9.17),
При слабом затухании
Используя это, имеем
340
U ~ £е р' ^cosinco/.

Из условия и этого результата
Поэтому ш = 2л/т.
Постоянная времени разряда плоского масляного конденсатора
через некоторое сопротивление равна т,. После того как масло кон¬
денсатора отсырело, постоянная времени разряда через то же сопро¬
тивление оказалась равной т2. Найдем удельное сопротивление р
отсыревшего масла, если его диэлектрическая проницаемость е не
изменилась (№ 9.6). Используя (9.1) и (9.3), имеем
= 0.
Откуда
* = *0е-'/ЛС=*0е-'Л.	(9.30)
Таким образом, постоянная разряда конденсатора
т = RC.	(9.31)
При прохождении тока через конденсатор схема цепи выглядит,
как на рис. 9.23. Конденсатор разряжается через параллельно со¬
единенные сопротивления. С учетом (4.14) для нового сопротивле¬
ния /?j получаем
-L = I А
Л, R + р/ ‘
Таким образом, т, = RC, т2 = /?,С. Учитывая выражение для ем¬
кости (3.56)
С =
eS
4п /’
находим
Сферический конденсатор с радиусами сфер г, и г2
заполнен слабо проводящей средой. Емкость конден¬
сатора равна С, а разность потенциалов на конден¬
саторе после отключения его от батареи уменьши¬
лась в два раза за время t. Найдем диэлектрическую
Рис. 9.23
341

проницаемость е среды и ее удельное сопротивление р (№ 9.7). Ис¬
пользуя выражение для емкости сферического конденсатора (3.55),
находим
e = C^L.
r\r2
Используя (9.30) и связь напряжения на конденсаторе с зарядом
(3.63), находим для сопротивления
R = С In 2’
С другой стороны, в соответствии с (4.14)
Отсюда находим
Л = Jp
dr
4 nr2
= Р
h ~ П
4щг2
р = 4яг,л —	г	.
2 С(г2 - г,) In 2
Найдем закон изменения напряжения U на конденсаторе С пос¬
ле замыкания ключа К в основной цепи схемы, представленной на
рис. 9.24 (№ 9.11). Обозначая ток после замыкания ключа через R]
как /, и через R2 как /2, получаем с помощью (9.4)
$ = I\R\ + U, U = 12R2=±,
а из первого закона Кирхгофа
Т - I +*5_
+ dt-
В результате имеем уравнение
dq q(Ri+R2)-%CR2
dt "	CRxR2
Рис. 9.24
342

Интегрируя и используя условие, что в начальный момент q = О,
находим
ц _Ч__ %CR 1 exp [-(/?, + R2)t/CRlR7'j
С 2	C(Ri + R2)
К контуру L, С, R (рис. 9.25) с малым затуханием в момент t = О
подключают источник постоянной ЭДС £ с ничтожно малым внут¬
ренним сопротивлением. Найдем напряжение U на конденсаторе С
в зависимости от времени t, а также, на какое минимальное напря¬
жение он должен быть рассчитан (№ 9.13). Изменение заряда на
нем q — UC описывается уравнением (9.7). Решение его представля¬
ет сумму решения однородного уравнения (9.19) и частного реше¬
ния уравнения (9.7), которое для разности потенциалов на конден¬
саторе имеет вид U= &. Таким образом, общее решение для напря¬
жения на конденсаторе
U = # + е_р'(Л sin Ш + В cos Ш).
В начальный момент t = 0 заряда на конденсаторе нет, и поэто¬
му U = 0. Откуда следует В = — &. Так как индуктивность препят¬
ствует увеличению тока скачком, то ток в начальный момент равен
нулю, т. е.
dU_\dq_
dt С dt
Дифференцируя и подставляя, получаем
Окончательно
и = &
-е-Р'Г
COSCO/ + —sin (at
\	О)
Так как по условию затухание мало, то е-рг = 1 и, следовательно,
РГ = 2я— < 1.
(О
Поэтому U= £(1 — cosait). Напряжение, которое должен выдержи¬
вать конденсатор, U= 2%.
Рассмотрим вариант, когда катушка индуктивностью L, кон¬
денсатор емкостью С и батарея с ЭДС & и внутренним сопротив¬
343

лением R соединены параллельно (рис. 9.26). Найдем силу тока /,
текущего через катушку, как функцию времени t после включения
батареи, если параметры L, С, R удовлетворяют условию (№ 9.14)
С _1_
L > 4 R2
Используя (9.1)—(9.3) и правила Кирхгофа, получаем
IL'l=1Г, IrR+ LI'l = £, lR = IL+q'.
Дифференцируя и подставляя, находим
Вводя обозначения
ill+^ +
L RC
h_
LC
%
RLC
и
со =
1
LC
и замечая, что по условию со > (3, приходим к уравнению типа (9.10)
и соответствующему (9.19) решению
IL=—: + е"р' (A sin со t + В cos со/).
А
Частота определяется (9.17). Используя, что в начальный мо¬
мент IL = 0 и LIl = q/C = 0, имеем
I, = — 1 - е“р'| — sinco/+ cosco/1 .
L R [	Л
На рис. 9.27 изображена схема зажигания автомобиля. Вторичная
обмотка высоковольтного трансформатора нагружена на запальную
свечу. Первичная обмотка трансформатора имеет сопротивление
Рис. 9.26	Рис. 9.27
344

R = 2,5 Ом и индуктивность L = 10~3 Гн и подключена через кон¬
денсатор емкостью С = 0,2 мкФ к источнику постоянной ЭДС
% = 12 В. Отношение числа витков обмоток трансформатора
*1-40.
Найдем, через какое время после размыкания прерывателя (клю¬
ча К) возникает разряд, если пробой зарядного промежутка свечи
происходит при напряжении U = 3 кВ (№ 9.34). Используя (9.4),
получаем уравнение колебаний в контуре
U' + RI + 1 = %
В начальный момент f = 0 имеем <7(0) = 0, /(0) = Ш/R и из урав¬
нения колебаний /'(0) = 0. Дифференцируя уравнение колебаний,
получаем уравнение для тока в первичной обмотке и начальные ус¬
ловия
I" + 2р/' + cOq/ = 0,	/(0) = -|,	/'(0) = 0.
Здесь введены обозначения
р = ^ = 1,25103 с’1, (о2=|_у‘/2=0)71.,05 c-i
Так как р со0 и рассматриваются времена, не превышающие
четверти периода колебаний (нарастание напряжения до величины
меньшей максимума), а период Т - 10-4 с, то можно пренебречь
затуханием и искать решение в виде
/(f) = A cos юг + В sin <of.
Используя начальные условия, находим
и
/(f) = — COS (Of.
Напряжения на обмотках определяются зацепленными потока¬
ми индукции магнитного поля Ч? = /УФ. Поэтому из сохранения
потока для напряжения на вторичной обмотке, которое в момент
проскакивания искры равно напряжению на разрядном промежут¬
ке, получаем
ГГ /У О ГГ/ /У 2 ^ г .	/У 2 _ , .
U =—-Ы =—-—со/.sin (of = —-QiSsnuof.
/V,	N{ R	/V,
345

Здесь введена добротность
Подставляя заданные величины, находим время достижения про¬
бойного напряжения на запальной свече t = 3 мкс.
Потери при затухающих колебаниях в контуре, состоящем из
последовательно соединенных конденсатора, активного сопротив¬
ления и катушки индуктивности (рис. 9.28), можно компенсиро¬
вать, увеличивая скачком на Ли напряжение на коцценсаторе через п
колебаний. Считая затухание малым, найдем амплитуду и установив¬
шихся колебаний напряжения на конденсаторе (№ 9.53). На рис. 9.29
показано изменение напряжения на конденсаторе со временем для
случая п - 1. Из (9.19) следует
и = (и +Ди)е"рлГ.
Отсюда находим
и = Ди
е-Э*г
Р пТ	nnR
Рассмотрим задачи, в которых переход¬
ной процесс связан с быстрым изменением
какого-либо параметра контура.
Для измерения магнитной восприим¬
чивости длинных цилиндрических образ¬
цов применяется установка, показанная на
рис. 9.30. При быстром удалении образца,
заполняющего всю катушку, на ней воз¬
346

никает импульс напряжения, величина которого измеряется с помо¬
щью осциллографа. Найдем магнитную восприимчивость % образца, если
= 4,5 В, R = 10 Ом, L = 1 Гн (пустой катушки), U= 6,8 мВ (№ 9.3).
Из (9.4) следует, что при быстром удалении образца (At<K L/R = 0,1 с)
сохраняется магнитный поток Ы = pZ,/0, где /0 = tf'/R. Таким обра¬
зом, после удаления образца
В итоге, используя (6.9) в системе СИ, получаем для напряже¬
ния на катушке U — Й — IR = <?( 1 — р) = Откуда
В контуре, состоящем из батареи с ЭДС &, сопротивления R и
конденсатора емкостью С = 10-10 Ф, очень быстро за время At = 10~2 с
уменьшают расстояние между пластинами в два раза. Найдем, при
каком условии за это время заряд конденсатора практически не изме¬
нится, а также определим джоулеву теплоту Q, которая выделится в
сопротивлении R к моменту перезарядки (№ 9.1). Для того чтобы за
время сближения пластин изменение заряда, равное произведению
тока / на время At, было мало по сравнению с зарядом (д), необходи¬
мо условие lAt«: <7 = С&, т. е. должно быть R » At/С = 108 Ом. При
уменьшении расстояния между пластинами в два раза емкость
увеличивается в два раза С, = 2С. Используя (9.1) и (9.3), получа¬
ем уравнение, описывающее изменение заряда после раздвиже-
ния пластин,
Для определения постоянной К используем условие, что в на¬
чальный момент заряд на пластинах q = &С. Поэтому получаем
Работа батареи, равная А = Aqis = q&= СШ2, идет на изменение
энергии конденсатора и джоулевой теплоты. Энергию конденсатора
347
д^ + -£- = $
dt	С.
Решение его
д = ШС( 2-е-'/2ЯС).

после сдвигания пластин можно вычислить с помощью (3.67) из
постоянства заряда и увеличения емкости в два раза
W -	- С—
Wx~ 22 С " °
Заметим, что при сдвигании разность потенциалов уменьшается
в два раза, и снова
После работы батареи энергия конденсатора
W2 =12 С$2.
В результате
Q = A-(W2-Wl) = C^-.
На рис. 9.31 показан контур, состоящий из постоянной ЭДС £,
сопротивления R и плоского конденсатора, из которого очень бы¬
стро извлекают пластину из диэлектрика с проницаемостью е, кото¬
рая заполняла весь объем конденсатора. Найдем зависимость тока
в цепи от времени, если после удаления пластины емкость кон¬
денсатора равна С (№ 9.4). До удаления пластины заряд на кон¬
денсаторе q = ЙеС. В процессе удаления пластины в цепи идет ток
dq _ й - q/eC
Hi R '
Так как справа стоит конечная величина, то при бесконечно
малом dt должно быть бесконечно малое dq, т. е. q можно считать
постоянной величиной. Как следует из (9.7), дальнейшее изменение
q описывается уравнением
= $.
Разделяя переменные и интегрируя при
условии, что в начальный момент заряд
равен &еС, получаем
Рве. 9.31
q = &C + &C(e- 1)е-'/Лс.
348

Отсюда для тока находим
Колебательный контур содержит индуктивность и емкость. В не¬
который момент времени из конденсатора быстро извлекают плас¬
тину с диэлектрической проницаемостью е = 4, занимавшей весь
его объем. Найдем, как изменится частота колебаний контура, во
сколько раз изменятся максимальные величины заряда на конден¬
саторе и тока в катушке, если пластину извлекают в момент, когда
заряд на конденсаторе:
1)	отсутствует;
2)	максимален (№ 9.5).
В соответствии с (3.56) емкость конденсатора уменьшится в 4 раза
Из (9.8) для изменения частоты колебаний получаем
(О,
Если при извлечении пластины заряд на конденсаторе отсут¬
ствует, то в соответствии с (3.67) энергия конденсатора равна нулю.
Вся энергия колебательного контура в этот момент находится в ка¬
тушке. В соответствии с (7.20) она равна
Максимальные значения тока не изменятся /2м = /1м. Учитывая,
что при колебании вся энергия катушки переходит в энергию кон¬
денсатора (конечно, когда нет потерь, т. е. сопротивления, как в
данном случае),
^2м _	_ 41м
2С2	2	2С, ’
находим

Если на конденсаторе есть заряд, то при быстром извлечении
пластины он не успевает измениться. Значит, q2w = qlM. Используя
закон сохранения энергии, получаем
|2
II
V
Ам
^2 >
= 2.
Другой вариант колебательного контура, в котором емкость не
изменяется, а из катушки индуктивности быстро выдергивают сер¬
дечник из сверхпроводника с радиусом в два раза меньшим радиуса
катушки. Найдем, как изменится частота колебаний контура, во
сколько раз изменятся максимальные величины заряда на конден¬
саторе и тока в катушке, если сердечник выдергивают в момент,
когда ток в катушке:
1)	отсутствует;
2)	максимален (№ 9.10).
В соответствии с (5.29) для отношения индукции соленоида с
сердечником L0 к индукции без сердечника L{ получаем
А) 'о2 - г\ _ з
А ~ /ь2 ~4'
Из (9.8) следует, что отношение частот
(3f
2 '
В первом случае энергии в катушке нет, вся энергия в конденса¬
торе, который не меняется, и поэтому qiM = q0M = q. Из сохранения
энергии (так потерями на сопротивление пренебрегаем)
Откуда
А м	(3)1/2
Ам ^
Во втором случае в соответствии с (7.1) и (5.28)

Из сохранения энергии
L
и
Яы
Яом
[Ь-Т
V. А> j
Лм _ (з)|/2
'<>„ 2
Найдем изменение силы тока в цепи,	—
изображенной на рис. 9.32, когда из катушки	рис. 9.32
индуктивности (дросселя) очень быстро уда¬
ляется железный сердечник, и в результате ее индуктивность меняет¬
ся от Z., до L2 (№ 9.8). Из (9.6), обозначая полное активное сопро¬
тивление контура R, получаем
dLI
dt
+ RI
= ff.
При бесконечно малом времени dt должно быть бесконечно ма¬
лым изменение произведения индуктивности на ток d(LI), т. е. в
результате удаления сердечника
£,/, = L2I2 = const.	(9.32)
Скачком падает индуктивность и скачком возрастает сила тока
от /, до 12 =ЬЬ-'
h.
Дальнейший процесс описывается уравнением, следующим из (9.4):
^ dt
Разделяя переменные и интегрируя, находим
1п(/Л-&)
	+ const.
W
Постоянную интегрирования находим из условия, что при t = О
величина тока
/
Щ
щ'
В результате
/
£
~R
1 +
Ц-L2
f
exp
V
—1
^2 J.
351

Длинный тонкий соленоид радиусом г0 подключен к батарее, и
по нему течет постоянный ток /0. Сердечником в соленоиде служит
сплошной цилиндр из сверхпроводника радиусом г, = 0,5г0. Сердеч¬
ник быстро выдергивают из соленоида. Найдем значение /, тока в
обмотке непосредственно после удаления сердечника и его дальней¬
шее изменение (№ 9.9). В соответствии с (5.29) для отношения ин¬
дукции соленоида с сердечником L0 к индукции без сердечника Ll
получаем
к /о2
Используя (7.1) и (5.28), из сохранения потока магнитного поля
при быстром удалении сердечника получаем, как и в (9.32), L0/0 = LJV
Откуда
к =
Г2Л
1-i-
.2
г0
к =
3
4
Окончательно устанавливающийся ток определяется ЭДС ба¬
тареи и сопротивлением соленоида и поэтому равен начальному
току /0. График изменения тока во времени качественно показан
на рис. 9.33.
Изменить индуктивность можно и простым растягиванием ка¬
тушки (№ 9.17). Найдем, как изменится собственная частота коле¬
баний в контуре, состоящем из индуктивности L0 и емкости С, в
котором совершаются колебания силы тока / = /0 cos <a0t
с частотой
со0 =
если в момент t
I"
О длину катушки (/0), представляющую спираль,
очень быстро растянуть в два раза. Из (5.19) по¬
лучаем, что при увеличении длины катушки в два
раза индуктивность ее уменьшится в два раза
к _1ц
U /.
а частота собственных колебаний
t
Рис. 9.33
со =
I V/2
кР j
= со0 (2)V2.
352

В момент времени t = 0 сила тока максимальна (70). При быст¬
ром растяжении выполняется (9.30), поэтому сила тока практичес¬
ки скачком увеличивается в два раза. При этом вся энергия колеба¬
тельного контура находится в катушке. Для отношения энергий по¬
лучаем
Ъ АЛ2.. 2
% Vo
Энергия возрастает в два раза за счет работы сил по растяжению
катушки.
6	колебательном контуре с малым затуханием одновременно уве¬
личивают емкость конденсатора и самоиндукцию катушки в одно и
то же число раз, равное п. Увеличение проводится в произвольный
момент за время, малое по сравнению с периодом собственных ко¬
лебаний контура. Найдем соотношение между амплитудами тока
/, и /2 до и после изменения параметров контура (№ 9.40). При
быстром изменении индуктивности не изменяется магнитный по¬
ток (7.1), поэтому энергия в катушке (7.20) обратно пропорциональна
индуктивности
При быстром изменении емкости С не успевает измениться за¬
ряд конденсатора q, поэтому энергия (3.67) обратно пропорциональна
емкости
Так как индуктивность и емкость меняются в одинаковое число
раз, то суммарная энергия W изменится в такое же число раз. Мак¬
симальные значения тока (амплитуды) определяются полной энер¬
гией, поэтому
W.-L.ll-'-W, = V,
2	1 2с п 1 п “ 2с
Так как и индуктивность увеличивают в п раз, то
II
/,2
1
П
2 ‘
23-2073
353

Намагниченная пуля пролетает вдоль оси длинного соленоида,
входящего в колебательный контур. Время пролета пулей расстоя¬
ния, равного диаметру соленоида, мало по сравнению с периодом Т
колебаний в контуре. Найдем, при какой скорости v пули амплиту¬
да колебаний тока в контуре максимальна и какова при этом вели¬
чина тока /тах, считая, что магнитный момент пули р параллелен
оси соленоида, длина соленоида I, площадь поперечного сечения S,
число витков N, и пренебрегая сопротивлением контура (№ 9.56).
Движение пули создает переменный поток магнитного поля через
соленоид Фс. Это в соответствии с (7.1) создает ЭДС, и в цепи идет
ток. Максимальная ЭДС и, следовательно, максимальный ток в кон¬
туре будет, когда производная потока достигнет максимума. Для
оценки будем считать, что это близко к моменту прохождения пули
через торец соленоида. Вычислим взаимную индукцию в этой точ¬
ке. Магнитный момент пули представим как магнитный момент витка
площадью о с током /в, т. е.
Магнитное поле на торце соленоида в соответствии с (5.24)
равно
N
Н = 2л/ —г.
с с/
Поток магнитного поля через виток
Фв=2 nIcN^ = MIc.
Отсюда взаимная индукция для положения в этот момент
М = 2nNj.
В соответствии с теоремой взаимности (5.30) и (5.28)
ф =M^- = 2nN^-.
С	I
Для тока в соленоиде из (5.28) и (5.29) получаем
В середине соленоида поток будет равен нулю. Движение пули
не будет противодействовать изменению ЭДС и тока в контуре,
354

если до середины соленоида она долетит за чет¬
верть периода колебаний
v =
2/
Т
R
Рис. 9.34
Отключение цепей постоянного тока от источ¬
ника электричества обычно проводится одновре¬
менным отсоединением положительной и отри¬
цательной клемм (рубильником). Если в цепи
имеется большая индуктивность, как, например,
в обмотках возбуждения генераторов постоянно¬
го тока, то между отключаемыми контактами (/ и 2 на рис. 9.34)
может возникнуть большая разность потенциалов, приводящая к
пробою и искрению. Для ограничения возникающей разности по¬
тенциалов цепь непосредственно перед отключением замыкают на
сопротивление г. Найдем, во сколько раз в этом случае максималь¬
ное напряжение на отключаемых контактах Vm будет превышать
приложенное ранее постоянное напряжение V0 (№ 9.16).
Начальный ток в цепи
J°~ R-
После присоединения г и отключения цепи имеем из (9.4)
Li + I(K + r)‘ 0.
Разделяем переменные и интегрируем
^ = _(Л + Г)*;	/ = Ле-<Л+г^.
■ *
Постоянную интегрирования определяем из условия, что t = 0,
/= /0. Таким образом,
Отсюда
Т -
1 ~ Л®
К = П0)г = ^.
Видно, что чем меньше г, тем меньше Vm. Однако при малых г
через источник электричества пойдет большой ток, что приводит к
23*	355

нежелательной перегрузке источника. Достаточно, чтобы Ут было
порядка У0, т. е. г ~ R.
Защитить аналогичную цепь можно и с помощью конденсатора,
как показано на рис. 9.35. Найдем напряжение на конденсаторе после
отключения источника электричества, считая, что 4L > CR2 (№ 9.15).
Учитывая принятое условие, а также (9.8), (9.9) и (9.17), имеем в
цепи свободные затухающие колебания, описываемые уравнением
(9.15)	и его решением (9.19). Начальными условиями при /= 0 яв¬
ляются
Груз массой т подвешен на тонкой проволоке длиной / (рис. 9.36)
и сопротивлением R в однородном горизонтальном магнитном по¬
ле В и совершает малые колебания в плоскости, перпендикулярной
полю. При этом проволока всегда остается замкнутой накоротко
неподвижной внешней цепью. Найдем число колебаний, по проше¬
ствии которых амплитуда тока в цепи уменьшится в е раз (№ 9.39).
6 уравнение колебаний маятника (см. 1, с. 244) надо добавить мо¬
мент силы Ампера (7.4)
Из первого получаем В = УС, а из второго
Таким образом,
о
Рис. 9.35
Рис. 9.36
356

В контуре из-за изменения потока магнитного поля создается
ЭДС (7.1)
которая создает ток I = Ш/R. В результате получаем уравнение сво¬
бодных затухающих колебаний
<р" + 2Р<р' + а>о<р = 0.
Здесь введены обозначения
,2
Р = В1	г— (в единицах СГСЭ); Wq = 4-
8тсR	I
Используя (9.19), находим
ф = ф0е_р'со8 (со/ + 5).
Изменение амплитуды отклонения фм = ф0е_р'. Максимальный
угол отклонения достигается при со/ + б = 0. Так как ЭДС и, следо¬
вательно, ток пропорциональны ф', то максимальный ток возникает
при со/ + б = л/2. Для тока имеем
/= ф' = —ф0е_р'[Рсо8(со/ + б) + со sin (со/ + б)].
Изменение амплитуды тока /м = ф0сое-р'. Время уменьшения ам¬
плитуды тока в е раз
Так как
1 _ 8тс2Л
Р~ В2!2
..2 _ ..2 о2 _ ..2 _ 8 . т _
со — со0 р ~С00 —j, Т —	,
/	ю0
то можно вычислить число колебаний п = х/Т.
Кольцо из тонкой проволоки, имеющее омичес¬
кое сопротивление R = 10-3 Ом, массу m — 1 г и ра¬
диус г = 1 см, подвешенное на упругой нити, совер¬
шает малые крутильные колебания с частотой v = 1 Гц
(рис. 9.37). Если поместить кольцо в магнитное поле,
параллельное плоскости кольца в положении равно¬
весия, то возникает сильное затухание колебаний.
Оценим магнитную индукцию поля, при которой
У///Л
Г
Рис. 9.37
357

движение крутильного маятника происходит в критическом режиме
(т. е. колебательный режим переходит в апериодический), не учиты¬
вая самоиндукцию кольца и затухание без магнитного поля (№ 9.41).
В уравнение крутильных колебаний (см.: 1, с. 266) надо добавить
момент силы Ампера (7.4)
с	В
/ф" + А<р + 4 f /*sin0/n/0sin0— = О,
о	с
где J — момент инерции кольца, J = тг2/2; к — модуль кручения
нити; 0 — угол между направлением тока в кольце и направлением
магнитного поля и одновременно из центра кольца на элемент тока
от вертикали; ф — угол поворота кольца от положения равновесия,
который считаем малым (sin ф = ф). Момент силы Ампера в резуль-
2, В
тате равен nr I —.
С
В контуре из-за изменения потока магнитного поля создается
ЭДС (7.1)
К = Впг2«,
С
которая создает ток I = %/R. В результате получаем уравнение сво¬
бодных затухающих колебаний аналогичное (9.15)
ф" + 2Рф' + сорф = 0.
Здесь введены обозначения
/ 2
Р = В2 -Ц;— (в единицах СГСЭ), toI = ^.
2с1 RJ v	’	J
Из (9.17) и (9.18) критический (апериодический) режим возникает
при р = со0. Отсюда находим соответствующее этому магнитное поле
с(2Л/(о0)^2 с (2jtv0w/{)^2
В = 	Г	 = 	.
лг2	ПГ
Конденсатор емкостью С присоединен к верхним концам двух
параллельных медных шин, расположенных вертикально на расстоя¬
нии / друг от друга. Однородное магнитное поле В горизонтально и
перпендикулярно к плоскости шин. Вдоль шин в магнитном поле
падает без начальной скорости медный проводник массой т так, что
всегда имеется контакт между проводником и шинами. Пренебре¬
358

гая сопротивлением и индуктивностью проводников, а также тре¬
нием проводника о шины, найдем:
1)	ускорение проводника;
2)	силу тока, заряжающего конденсатор (№ 9.45).
Из (8.1) следует, что в движущемся со скоростью х' проводнике
создается вдоль проводника электрическое поле Е = х'В И на кон¬
цах проводника разность потенциалов
U = x'Bl = q/C.	(9.33)
На проводник, по которому идет ток /, действует сила Ампера (7.4)
F = ИВ.	(9.34)
Она направлена в соответствии с векторными произведениями в
(8.1)	и (7.4) вверх. Уравнение движения проводника
тх" = mg - ИВ = mg - СВ212х".	(9.35)
Отсюда находим ускорение проводника
„ = mg
т + СВ2!2
и ток, заряжающий конденсатор,
j _ mgBIC
~ т + СВ212 '
Та же конструкция, но вверху вместо конденсатора присоединен
соленоид индуктивностью L с ничтожным сопротивлением. Найдем за¬
кон движения проводника (№ 9.46). В данном случае падение напряже¬
ния на проводнике вместо (9.33) равно падению на индуктивности
U = x'Bl = LI’.	(9.36)
Отсюда х"В1 = LI". Для силы Ампера имеем снова (9.34). Под¬
ставляя все соотношения в первую часть уравнения движения про¬
водника (9.35), имеем
Г' + В212^--В1%- = 0.
mL L
Используя начальное условие 7(0) = 7'(0) = 0, получаем
/ = mg
В1

Из (9.36) и начальных условий имеем
, 1 - COSOи
X = mgL д2/2	•
Если в той же конструкции вверху находится сопротивление R,
то вместо (9.33) и (9.36) получаем
U = x'BI = 1R.	(9.37)
Подставляя (9.37) в первую часть уравнения движения провод¬
ника (9.35), имеем
тх" = mg- ПВ = mg - В212
А
При установившемся движении х" = 0 получаем для скорости
, R
v = x =mgYF
Из (9.34) и (9.37) видно, что скорость падения будет расти (от
нуля), пока сила Ампера не станет равной силе тяжести (№ 9.47).
Рассмотрим еще случай (№ 9.48), когда эта система сверху зам¬
кнута индуктивностью, а снизу сопротивлением (рис. 9.38). Теперь с
помощью (9.35)—(9.37) имеем
тх" = mg + В1 (IL -1R), LI'l = -Bbc', RIr= Blx'.
Отсюда
После интегрирования при нулевых начальных условиях имеем
х = mgL
1 - е cos ш
[Btf ’
где
(В!)
2 mg ’
со
(■В1?
ml '
Еще один случай, когда к верхним концам присоединены после¬
довательно соединенные конденсатор емкостью С и катушка индук¬
тивностью L (рис. 9.39). Пренебрегая сопротивлением катушки,
медных шин и проводника, а также индуктивностью проводников и
360

X
X
X
X
X
X
X
Рис. 9.38
Рис. 9.39
трением проводника о шины, определим закон изменения тока I(t),
а также координаты проводника x(t), начиная с момента начала па¬
дения t = О, х(0) = 0 (№ 9.49). Используя (9.33), (9.35) и (9.36),
получаем
тх" = mg — IBI, ЬГ + q/ С — Blx'.
Откуда, дифференцируя, имеем
Гх I -в/х"- Bl!L
LC L g - BU/m
Вводя обозначение
получаем
0)
2 = Д2 — + 1
Lm LC ’
1" + (й2Г = Blj-.
Его решение при условии /(0) = 0
1 - COSO)/
I(t) = Blg-
Lo/
Для координаты проводника имеем
//	п212	1 - COS (О/
х" = g-В2 l2g	—5-.
mL со
Интегрируя и используя условия х'(0) = 0 и х(0) = 0, получаем
W1 Л (1	| r»2f2 1 - COS Cl)/
mlMf

10.	ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ. РЕЗОНАНС.
МЕТОД КОМПЛЕКСНЫХ АМПЛИТУД
Колебания в электрической цепи называются вынужденными, если
их вызывает меняющаяся со временем ЭДС. Для описания измене¬
ний в цепи из последовательно соединенных индуктивности, со¬
противления, емкости и ЭДС можно пользоваться уравнением (9.6)
или при неизменных параметрах контура уравнением (9.10)
где X(t) — ЭДС деленная на индуктивность L.
Решение этого неоднородного уравнения складывается из обще¬
го решения однородного (правая часть равна нулю) и частного ре¬
шения неоднородного уравнения. Возможность представления пра¬
вой части уравнения в виде ряда Фурье для периодической X(t) или
в виде интеграла Фурье при отсутствии периодичности, т. е. набо¬
ром гармонических функций, требует в первую очередь рассмотреть
гармоническую вынуждающую ЭДС и соответственно гармоничес¬
кую функцию X(t)
Свободные колебания, возникающие в начальный момент при¬
ложения вынуждающего воздействия, в соответствии с (9.19) зату¬
хают, а устанавливаются колебания на частоте со, которые поддер¬
живаются внешним воздействием. Найдем амплитуду qm и фазу \|/
таких установившихся колебаний. Частное решения уравнения (10.2)
ищем в виде
q—qm cos (со/ + \|/) = qm (cos у cos wt — sin sin (of),	(10.3)
где \|/ — разность фаз между колебаниями заряда и внешним воздей¬
ствием.
Дифференцируя (10.3) по времени и подставляя в (10.2), получаем
q" + 2Р q' + (0 lq = X(t),
(10.1)
q” + 2Pq' + ct>o<7 = X0 cos Ш.
(Ю.2)
362

Для удовлетворения (10.2) должно быть
[(coo — co2)cos\|/-23cosiny]?m = Х0;^
[(юд - со2) sin \|/ + 2рсо cos у] qm =0.
Из (10.5)
.	2Рсо
tgv =
СОл - со
Воспользуемся тригонометрическими тождествами
Получаем
cos \|/
1
1 + tg2 \|/
Sin \|/ =
1
1 + Ctg2 \|f
COS \|/ =
Sin\|/ =
(On - со
1/2
[W +4fiV]
	2ftco
Подставляя в (10.4), находим амплитуду
[(coo -со2)2 +4Р2ш2]
Максимальное значение амплитуды будет при со = ш^,
емой резонансной частотой. Используя (10.7), получаем
®рез =в>0 "2Р2;
1т рез
2р(о,
рез
При о) = 0 имеем
9.W) = 4-
“о
(10.4)
(10.5)
(10.6)
(Ю.7)
называ-
(10.8)
(10.9)
(10.10)
363

На рис. 10.1 показана зависимость амплитуды вынужденных ко¬
лебаний от частоты вынуждающего воздействия. При уменьшении
затухания (уменьшении Р) максимум становится острее и выше.
Частота резонанса при этом стремится к собственной частоте, а от¬
ношение максимальной амплитуды к амплитуде при нулевой часто¬
те приближается к добротности Q (9.27).
Удобно в (10.7) ввести добротность и профиль пика. Обозначая
отклонение частоты от пика Асо = |со0 — со| (при малых затуханиях
“рез = “о)» из (Ю-7) и (9.27) получаем
Ят
Ят рез
[l + (2Д(о/со)2 Q2]^
(10.11)
На рис. 10.2 показано изменение фазы колебаний. При малых
частотах фазы совпадают. При резонансе отстают на я/2, а при боль¬
ших частотах колебания происходят в противофазе воздействию.
Из (10.3) дифференцированием получаем изменение тока /в цепи
/ = —щт sin (Ш + V) = lm cos + v + я/2).	(10.12)
Отсюда видно, что изменение тока опережает по фазе измене¬
ние заряда на п/2. При резонансе ток по фазе совпадает с вынужда¬
ющим воздействием.
Для производной тока (второй производной заряда) по времени
получаем
Г = q" = qja2 cos (wt + \)r + n).	(10.13)
Это изменение опережает на л/2 изменение тока и на я измене¬
ние заряда.
364

На рис. 10.3 показано изменение ампли¬
туды тока в зависимости от частоты вынуж¬
дающего воздействия. Резонансное для тока
значение частоты равно собственной частоте.
Резонанс тока соответствует резонансу падения
напряжения на активном сопротивлении. Ре¬
зонанс заряда (10.8) соответствует резонансу
падения напряжения на емкости. Резонансу
падения напряжения на индуктивности будет
соответствовать резонанс второй производной
заряда. Используя (10.3) и находя экстремум,
получаем
/*<
ш
L рез
^0
[l-2(p/co0)2]1/2
(10.14)
Установившиеся вынужденные колебания можно рассматривать
как протекание в цепи переменного тока.
Обозначая амплитуду прикладываемого напряжения Um = X0L,
из (10.13), (9.8) и (9.9) получаем для тока
/„ =
ит
[л2 + (со! - 1/соС)2]
1/2
(10.15)
Формально это соотношение можно рассматривать как закон Ома
для амплитуд напряжения и тока. Величину, стоящую в знаменате¬
ле, называют полным сопротивлением, или импедансом,
Z =
R2 +
«^J
-|l/2
(10.16)
Величину, стоящую в круглых скобках, называют реактивным со¬
противлением (в отличие от активного сопротивления R), или релак-
тансом. Индуктивным сопротивлением называют
ZL — со L.
Емкостным сопротивлением называют
(10.17)
(10.18)
Анализ колебательных процессов в многих случаях облегчается
при использовании комплексных чисел. Если действительные числа
365

можно расположить на прямой линии — числовой оси, то для пред¬
ставления комплексных чисел нужна плоскость, называемая комп¬
лексной, на которой точкой определяется комплексное число (г),
имеющее действительную (по оси х) и мнимую (по оси у) части.
Оно записывается в виде
Z = X + iy,
где /' = у[Ц.
Комплексное число можно записать в полярных координатах, введя
радиус-вектор р = (х2 + у2)1/2 и угол ф из соотношения tg ф = у/х.
Тогда получаем
z = х + iy = р(совф + /втф).	(10.19)
Дифференцируя по ф, получаем
dz
dq>
= р(-втф + /совф) = iz-
Разделяя переменные и интегрируя, с учетом, что при ф = 0 z = р,
находим так называемую формулу Эйлера
z = p(cos ф + / sin ф) = ре,<р.	(10.20)
Комплексная (экспоненциальная) форма во многих случаях по¬
могает упростить преобразования.
Для линейных уравнений всегда можно разделить действитель¬
ную часть, для которой были получены решения, и мнимую. Вместо
уравнения (10.2) напишем уравнение для напряжения на конденса¬
торе, предполагая его комплексной величиной
r/' + 2pF' + to^ = Fmco2e,w.
Частное решение ищем в виде
F= y4e'm'.
Получаем
(10.21)
(10.22)
A = V„
СОп
(10.23)
(Од - 0) + /2Рсо
Преобразуя с помощью формулы Эйлера знаменатель, получаем
/(со/ - <р)
у = утщ
2 е
(10.24)
366
р

где р — модуль комплексного числа, совпадающий со знаменателем
(10.7); <р — фаза, ф = —ф из (10.6).
Действительная часть (10.24) совпадает с решением (10.3). С по¬
мощью (10.24) можно найти и другие характеристики колебаний в
комплексном виде. Полезно выделить в экспоненте часть, завися¬
щую от времени, от другой части, определяющей фазу характерис¬
тики и дающую вместе с амплитудой так называемую комплексную
амплитуду. Будем далее комплексные величины отмечать сверху спе¬
циальным значком «Л». Например, для тока имеем
/ = /0е'“' = /0е'9е'ш',	(10.25)
где /0 = /ое'0 — комплексная амплитуда.
Падение напряжения на сопротивлении
U0r = I0Zr = I0R,	(10.26)
ZR = ft	(10.27)
Для падения напряжения на индуктивности находим
UL = U0Lcia" = L^ = LI0koe'“'.
Отсюда
Uql = toLIo = hZL\
ZL = mL.
Падение напряжения на емкости
(10.28)
(10.29)
1 t
(10.30)
Z - * - _ z
c i(oC coC*
(10.31)
Для цепи из последовательно соединенных сопротивления, ин¬
дуктивности, емкости и комплексной ЭДС, равной Ш = £0е'“', имеем
'HKsc}
= So = hZ.
(10.32)
367

Эта связь комплексных амплитуд — правило Кирхгофа для
установившихся колебаний (переменного тока). Роль сопротивле¬
ния играет импеданс в комплексном виде. Из формулы (10.20)
следует, что
i = ei1t/2.	(10.33)
Комплексные величины, подобные (10.25), на комплексной плос¬
кости вращаются (против часовой стрелки) относительно центра
полярной системы координат с угловой скоростью ю. Во вращаю¬
щейся с такой скоростью плоскости комплексные амплитуды не¬
подвижны и имеют наклон, определяемый их фазой. Такое изобра¬
жение называется векторной диаграммой.
Изобразим на этой плоскости (рис. 10.4) комплексные амплиту¬
ды падений напряжений, входящих в (10.32). Для этого воспользу¬
емся (10.26), (10.28), (10.30) и (10.33).
Удобно фазовые углы отсчитывать от вектора UR, так как его
фаза совпадает с фазой вектора тока /, который одинаков во всех
элементах при последовательном их соединении. Фаза напряжения
на индуктивности опережает на я/2 фазу напряжения на сопротивле¬
нии, а фаза падения напряжения на емкости отстает от нее на я/2.
Сдвиг фазы ЭДС (<£) из (10.32) определяется соотношением
tg<p =
сoL - l/ci)С
R
(10.34)
Рассмотрим систему (рис. 10.5) из двух обмоток, связанных же¬
лезным сердечником, в котором не происходит рассеяния магнитно¬
го потока.
Одна обмотка, из большого числа п витков, присоединена к ис¬
точнику синусоидальной ЭДС Ш. Другая обмотка состоит из одного
кольца, сопротивление которого R. Точки А, В и С этого кольца
отстоят друг от друга на равные расстояния. Найдем, пренебрегая
индуктивностью кольца и соединительных проводов:
А
Рис. 10.4
368

1)	что покажет достаточно чувствительный амперметр переменного
тока с сопротивлением г, если его присоединить к двум из этих точек;
2)	как изменится показание амперметра, если его перебросить в
положение, указанное штриховой линией на рис. 10.5 (№ 10.1).
Из (7.1) для ЭДС в кольце получаем
Г _	1 аф
к “ с dt ’
где Ф — поток магнитного поля в сердечнике.
Для обмотки из п витков в аналогичном соотношении надо
писать зацепленный поток Y. Если рассеяние потока отсутствует,
то 'Р = пФ. Поэтому &= п&к. В случае присоединения амперметра к
точкам А и С имеем контур из параллельно соединенных ампермет¬
ра и третьей части кольца и последовательно к ним присоединен¬
ных остальных двух третей кольца. Используя правило Кирхгофа,
получаем
I[l/r + 3/R
2 R
9r + 2R
3 r + R '
Обозначая ток через амперметр /а, а через часть кольца /,, по
правилам Кирхгофа имеем
/ = /а+Л>
г	flR
а	3
и, следовательно,
/ _ IR _ 3g* _ 3^/«
а Ъг + R 9r + 2R 9r + 2R'
Во втором случае подсоединения, обозначенном пунктиром,
поступая аналогичным образом, находим
. _ 6 Ш/п
а “ 9r + 2R ‘
В опыте Мандельштама и Папалекси прямой однослойный со¬
леноид с индуктивностью L совершает вынужденные крутильные
гармонические колебания вокруг своей оси ср = cp cos cot. Соленоид
гибкими проводами присоединен к конденсатору емкостью С. Ра¬
диус соленоида а, длина проволоки, из которой он изготовлен, /,
сопротивление соленоида R. Найдем напряжение на конденсаторе
369
24-2073

при резонансе, когда частота а) равна собственной частоте колеба¬
тельного контура (№ 10.17):
(О0 =
1
(LC)1'2
В системе отсчета, связанной с витками соленоида, на электро¬
ны действует переменная тангенциальная сила, равная массе элект¬
рона, умноженной на ускорение, которое равно угловому ускоре¬
нию (второй производной угла по времени), умноженному на ради¬
ус витков. Разделив на заряд электрона, получаем напряженность
поля, а умножив на длину проволоки, получаем ЭДС, действующую
в контуре. Таким образом, приходим к уравнению (10.2), в котором
*0 ="»/аср0^-.
Используя (10.7), при со = ш0 для амплитуды напряжения на кон¬
денсаторе получаем
V0 =mla(f>o^-
Напряжение в соответствии с (10.3) меняется гармонически
V= K0cos (со/ + \|/),
но ц/ здесь несущественно.
Рассмотрим подключение к источнику синусоидального на¬
пряжения U = U0 sin со/ в момент времени t = 0 последовательно
соединенных сопротивления R и индуктивности L. Найдем силу
тока / как функцию времени и фазы <р, а также условие, при
котором сразу после замыкания цепи в ней установятся синусо¬
идальные колебания (№ 10.4). Используя (9.4), для цепи полу¬
чаем уравнение
L-j- + RI = U0 sin со/.
dt	0
Решение этого уравнения можно составить из общего решения од¬
нородного уравнения (правая часть равна нулю) и частного реше¬
ния данного уравнения. Решение однородного уравнения
Ле-Л
L ’
370

где А — постоянная, которую определим из начальных данных. Ча¬
стное решение будем искать в виде /2 = /0 sin (со/ + ср). Подставляя
это в общее уравнение, находим
Л> =
UnR
[r1 + co2£2)coscp
Общее решение
со L
и sincp = - — coscp.
R
/ = AerR4L + U°R
(r2 + o2Z?)cos<p
Используя начальное условие — ток в начальный момент равен
нулю, и полученные ранее соотношения, имеем
/ = U0o)L
е R'lL - sin(o)^ + ср)/sin <р
R2 +оi2I?
Заметим, что частное решение можно было искать в виде
/2 = /0 cos (Ш + <p).
При L — 0 сразу устанавливаются колебания
, _ и sin Ш
Выделяемая мощность в случае переменного тока, как и для по¬
стоянного (4.18), определяется силой тока / и напряжением V
N = IV.
Для переменного тока V— VQ cos Ш и / = /0 cos (ш/ + ф), где ф —
сдвиг фаз между напряжением и током. Поэтому
N = V0I0 cos со/ cos (со/ + ф) = j V0I0 [cos ф + cos (2со/ + ф)].
Для средней за период мощности, так как среднее значение
cos (2со/ + ф) равно нулю, получаем
<ЛО = ^0/0со8ф.	(10.35)
При гармоническом изменении токов и напряжений их средне¬
квадратичные значения, называемые эффективными, равны
у*-тг-	(,0'36)
24’
371

Эти величины показывают амперметры и вольтметры перемен¬
ного тока.
Для средней мощности через эффективные значения имеем
Для определения мощности, выделяемой переменным током в
катушке, у которой неизвестны индуктивность L и сопротивление г,
иногда применяют метод трех амперметров. Включение их показано
на рис. 10.6. Параллельно катушке включают известное сопротивле¬
ние R. Измеряют эффективные значения токов: /, — через катушку,
/2 — через сопротивление R и полный ток /. Зная показания прибо¬
ров, определим искомую мощность N (№ 10.3).
В соответствии с (10.32) и (10.33) нарисуем векторные диаграм¬
мы для напряжений и токов. На рис. 10.7, а для последовательно
соединенных сопротивления г и индуктивности получаем, что паде¬
ния напряжения на индуктивности	опережает по фазе паде¬
ния напряжения на сопротивлении Л/,г на я/2. Геометричес¬
кая сумма этих падений (т. е. падение на катушке) равна ^212Л
(т. е. падению напряжения на сопротивлении R). Угол <р — это
сдвиг фаз между напряжением и током в катушке, который входит
в (10.37). На рис. 10.7, б показано сложение токов по правилу
Кирхгофа I = I, + 12. По теореме косинусов
(Ю = ^эф/эфСОвф.
(10.37)
/2 = If +1\ - 2/,/2 cos (я - cp) = if +1\ + 21J2 cos (p.
/2 i2r
Рис. 10.6
Рис. 10.7
372

Используя (10.37), получаем
(N) = VI, cos<p = I2RIX /2~-f ~/д2 = Ы12 - П ~
2I\I2	2	' >
Заметим, что при чисто реактивном сопротивлении катушки
(г = 0) <р = п/2. Соответственно косинус и джоулевы (тепловые)
потери равны нулю.
Для определения мощности, выделяемой переменным током в
катушке, у которой неизвестны индуктивность L и сопротивление г,
применяют также метод трех вольтметров. Последовательно с ка¬
тушкой включают известное сопротивление R и присоединяют к
цепи три вольтметра так, как показано на рис. 10.8. Измеряют с их
помощщр эффективные напряжения: Vl — на катушке, V2 — на со¬
противлении и V — между концами цепи. Зная показания прибо¬
ров, определим искомую мощность N(№ 10.2). На рис. 10.9 приве¬
дены соответствующие векторные диаграммы. Ток через катушку и
через сопротивление R один и тот же. По теореме косинусов
V2 = К,2 + И22 - 2VXV2 cos(n - ф) = К,2 + И,2 + 2VxV2 совф.
Используя (10.37), получаем
(N) = К/совф = Ух
У2 У2 - У,2 - vl 1 V2 - У2 - vl
R
2УхУ2
Входящий в (10.35) совф называют коэффициентом мощности.
373

Обмотка электромагнита, полное сопротивление которой Z— 10 Ом
и коэффициент мощности cos ср = 0,6, присоединена к цепи пере¬
менного тока. Найдем, каким будет коэффициент мощности coscp',
если параллельно обмотке присоединить конденсатор, реактивное
сопротивление которого равно Zx = 7 Ом (№ 10.7). Используя ком¬
плексные представления (10.27), (10.29), (10.31), (10.32) и (10.35),
изобразим их на векторной диаграмме (рис. 10.10). Получаем
„	_	, Z sin ф - Z,
R = Z cos ср, tg ф = —			.
Z cos ф
Откуда
cos ф' = cos
arctg
f втф - Zj/Z
cos ф
0,999.
В приведенной на рис. 10.11 схеме в момент / = 0 замыкают
ключ К. Найдем зависимость от времени тока /, текущего через ис¬
точник синусоидальной ЭДС & = %0 sin со/, если параметры контура
связаны соотношением (№ 10.5)
Используя это соотношение, а также (10.27), (10.29) и (10.31), нахо¬
дим импеданс параллельного соединения Z
1 _	1	1	_ 2R + /(coL - 1/о)С) _ 1
Z	R + /соL + R + 1//(оС 2R + /7?(со£ - 1/соС)
Это чисто активное сопротивление. Поэтому
_ & _ ^ sin со/
~ 7Г
Рис. 10.10
374

Источник переменного тока с циклической частотой со и ЭДС &
действует на колебательный контур (рис. 10.12). Определим силу
тока / и сдвиг фазы ср между /и & при резонансе (№ 10.8). Используя
условие резонанса (9.8), а также (10.27), (10.29) и (10.31), находим
импеданс параллельного соединения Z
1	1	, . п itoCR
— =	+ /соС =	.
Z R + /со/	R + /со/,
Для тока получаем
/ = ШС _ R _ = ШCR ~!R. = mCRp^-.
R + /COl	R2 + (o2i2	r p2
Отсюда
In = $u)R-
(r2
+ CO
42t
tgcp = -
_R_
со/ ’
Для цепи, изображенной на рис. 10.13, найдем ток / в цепи (в ус¬
тановившемся режиме при V— K0cosco/), а также значения час¬
тот, при которых амплитуда установившихся колебаний будет мак¬
симальна и минимальна, и значения максимума и минимума тока
(№ 10.9). Обозначив импеданс параллельного соединения Z,, имеем
_1_
= -Д- + /шС = 1 -<л2Ь-^—.
IWL	/C0L
Для полного импеданса цепи получаем
1	/	/(2co2/C-l)
—- + /СО	ц	=	;	г	г.
/соС 1 — со 2/С coCU-co2/c)
375

Пользуясь тем, что заданная зависимость напряжения есть ре¬
альная часть от комплексного напряжения К0е'“' и (10.33), вычисля¬
ем комплексный ток
максимальное
Индуктивностью резонансного контура (/= 10 МГц) служит длин¬
ная однослойная катушка диаметром D= 10 мм. Найдем, во сколь¬
ко раз изменится его резонансная частота, если внутрь катушки
вставлен на всю длину латунный цилиндр (удельное сопротивле¬
ние латуни р = 8 • 10~6 Ом • см) диаметром D/2 (№ 10.10). При
высоких частотах колебаний электромагнитных полей они не про¬
никают внутрь проводников. В данном случае, учитывая также,
что для латуни ц порядка единицы в соответствии с (12.56) толщи¬
на скин-слоя
Индуктивность катушки меняется из-за уменьшения площади,
через которую идет магнитный поток (5.29)
Получаем для действительной части
Минимальное значение
при о2 =—;,
8	=	-—трг ~ 4 • 10 2 мм.
(2я|иш/р) ^
Ь D2 4
D2 - D2!4	3 ‘
Используя (9.8), получаем
376

В цепь, состоящую из последовательно включенных сопротив¬
ления R, индуктивности L и емкости С, включен последовательно
источник синусоидальной ЭДС постоянной амплитуды и перестра¬
иваемой частоты. Изменяя частоту источника, настраивают ее в ре¬
зонанс с частотой цепи, затем уменьшают емкость контура в два
раза и снова добиваются резонанса. Посмотрим, изменится ли сила
тока при резонансе. Найдем отношение резонансных частот, соот¬
ветствующих первому и второму случаям (№ 10.11). Из (9.8) следует
и соответственно
со.
(^Г
со2
У2
Из (10.15) находим
^ = (2)./2
СО,
Сила тока одинакова.
Через баллистический гальванометр пропускается кратковремен¬
ный импульс тока. При этом его рамка отклоняется на угол ср0. Спу¬
стя половину периода, когда она вернется в исходное положение,
через него пропускается такой же импульс тока, но в противопо¬
ложном направлении; через следующую половину периода пропус¬
кается снова такой же импульс, но в первоначальном направлении
и т. д. Таким образом, всякий раз, когда рамка гальванометра про¬
ходит через положение равновесия, она испытывает одинаковые
толчки в направлении своего движения. Найдем максимальный угол
ее отклонения ср при установившихся колебаниях, зная, что период
затухающих колебаний Т, а коэффициент затухания р (№ 10.13).
Обозначая механический момент толчка рамки М, для изменения
момента количества движения (момент инерции J, полученная уг¬
ловая скорость (ро) имеем Mdt = /сpj. Пока нет толчка, колебания
затухают как свободные, и изменения угла описываются уравнени¬
ем типа (9.15) и имеют решение типа (9.19). В начальный момент
угол равен нулю, а угловая скорость благодаря удару <Pq. Используя
это, находим
ср = —е р< sin cof,
(О
ф' = cost»)/ -psinco/)e р'.
О)
377

Через время t = 7/2 окажется (р, = 0 и ф[ = ф^е р7^2. В результате
удара угловая скорость станет равной ф^. Для ее определения имеем
Уфо 1 - Уф[ = Mdt = Уф£.
В следующий переход через нулевой угол угловая скорость будет
Фг = Фше'рГ/2 = (Фо + фОе~РГ/2 = Фо (1 + е-рг/2)е'рг/2.
В результате удара
Уфог - Уфг = Mdt = Уфо-
Следовательно,
Продолжая этот процесс далее, получаем
Фо„ = Фо [l + е'рг/2 + (е-рг/2)2 +... + (е-Р7-/2)" ].
Используя формулу для суммы убывающей геометрической про¬
грессии, находим
а' =—12
Vm“ 1 _ е-Р7У2'
При слабом затухании можно считать, что
Поэтому
Фтах _ Фтах
Фо Фо
1-е-рг/2‘
С помощью схемы, показанной на рис. 10.14
требуется получить фазовый сдвиг на угол 90°
между напряжением на входе Vm и напряже¬
нием на выходе Квых. Найдем, какому усло¬
вию должны удовлетворять параметры схемы
R и L, если циклическая частота входного на¬
пряжения равна to, и чему при этом будет
равно отношение амплитуд входного и вы¬
ходного напряжений (№ 10.6). Связь напря¬
жения на выходе с напряжением на входе
можно найти либо используя правила Кирх-
378

гофа, либо рассматривая цепь как два последовательных делителя
напряжения. Воспользуемся вторым способом. Обозначая часть цепи
как z и используя (10.27) и (10.29), видим, что VBX делится на /со! и z,
а затем z делится на /со/, и R. Получаем
V -	R
вых z + /со! R + /со!
Используя правило сложения сопротивлений, имеем
1 = 1 + —!—.
Z R R + iwL
Подставляя и преобразовывая, получаем
у 		^ R	 у R
вых R2 - со2/,2 + i3u>LR ре/<р ’
где
= [(/?2 - со2!2)2 + (Зсо!/?)2]
1/2
tgcp
Зсо LR
R2 - со2!2
Если R = coL, to VBblx отстает от VBX на cp = 90° и
V 1
К* 3‘
Если R » col, то ф — малая величина, т. е. практически нет
сдвига фаз и выходное напряжение равно входному. При умень¬
шении R отставание выходного напряжения от входного увеличи¬
вается, достигая 180° при R «: со! (на каждом из делителей отставая
на 90°).
С помощью схемы, приведенной на рис. 10.15,
требуется получить сдвиг фазы 90° между на¬
пряжением на входе У и на выходе U. Найдем,
какому условию при этом должны удовлетво¬
рять параметры схемы R и С, если частота вход¬
ного напряжения равна со (№ 10.54). Как и в
предыдущей задаче, находим, рассматривая
цепь как два последовательных делителя на¬
пряжений:
U =
VR
VR
(R - //ШС)2	[(Л2 _1/(02C2)2 +4Л2/ш2с2]‘/2
379

Для определения сдвига фаз имеем
coC(/t2 -l/co2C2)‘
Чтобы удовлетворить условие, должно быть toRC = 1.
Найдем, при каком соотношении между параметрами схемы,
изображенной на рис. 10.16, напряжение на выходе U находится в
фазе с напряжением на входе V— l^coswf и какова при этом ампли¬
туда напряжения на выходе, а также построим векторную диаграм¬
му напряжений на элементах схемы (№ 10.55). Для делителей на¬
пряжения имеем
Векторная диаграмма представлена на рис. 10.17.
Найдем, при каком соотношении между параметрами схемы,
изображенной на рис. 10.18, напряжение на выходе U сдвинуто по
фазе относительно напряжения на входе V на 90° и какова при этом
амплитуда напряжения на выходе, а также построим векторную ди¬
аграмму напряжений на элементах схемы (№ 10.56). Для делителей
напряжения имеем
В результате
u = vR-vc =
и = у в — у С —т	; ч	7—;	г.
л(1-ю2Ш + <о>(С/Г + L)
При ti)2CL = 1 это выражение чисто действительное и
V (CR2 - l)
cr2 + l
0
~v
$
и
с
V
Рис. 10.16
Рис. 10.17
380

ч
Г(Я)
и О-
*0 *0
Рис. 10.18
В результате
Рис. 10.19
u = vR l-VK2 =
VR{\ + (o2Z,c)
/j(l-(o2CZ,) + /СО (сл2 + l) '
При со2CL= 1 это выражение чисто мнимое (поворот на 90') и
и VlRjLCf1
CR2 + L
Векторная диаграмма представлена на рис. 10.19.
Найдем, при каком соотношении между параметрами схемы,
изображенной на рис. 10.20, напряжение на выходе U находится в
фазе с напряжением на входе V и каким при этом будет отношение
амплитуд напряжений (№ 10.57). Обозначая импеданс параллель¬
ного соединения Z, имеем
Z
I	+ mC.
Откуда
Z =
R
1 + /соСЛ
Рис. 10.20
Рис. 10.21
381

Для делителя напряжений имеем
VZ
U =
R - //соС + Z 3 + /(соCR — 1/юСЛ)
Это выражение будет чисто действительным, а следовательно, на¬
пряжения будут в одинаковой фазе при to CR = 1. При этом V/U= 3.
На вход фильтра (рис. 10.21) подано напряжение V= V0cos<o/, где
to =
1
RC'
Найдем амплитуду напряжения на выходе U (№ 10.58). На ри¬
сунке даны обозначения токов. Используя правила Кирхгофа, по¬
лучаем
/,=/,+/,;	+	=	V = LR + -^~; U = -^~.
3	1	2	1 /со С коС	3 но С”	/соС
Пользуясь условием для частоты, находим
U-,	V-..
1 - т + i(m + 2)
Для амплитуды напряжения имеем
и0 =
[(1 - тf +(т + if ]1/2	(2т2 +2т + 5)
\V2 •
К клеммам А и В (рис. 10.22) подводится произвольное пере¬
менное напряжение VBX(t), которое возбуждает между клеммами
М и N напряжение (/). Параметры R, L, С подобраны таким
в 0-
в 0-
А 0	|h
-0 М А 0-пгтпг>-
-0 N
-0 М
В 0-
А
-0 N В 0-
Рис. 10.22
R
-0М
-0N
-0М
-0N
382

образом, что напряжение на выходе в каждый момент времени
мало по сравнению с напряжением на входе в тот же момент.
Покажем, что при выполнении этого условия выходное напряже¬
ние на схемах 1 и 2 приблизительно пропорционально интегралу,
а на схемах 3 и 4 — производной от входного напряжения по
времени (№ 10.59). Цепочки 1 и 2 называются интегрирующими, а
3 и 4 — дифференцирующими.
Заметим, что между MN большое сопротивление (как в вольт¬
метре) и ток идет только через конденсатор. Для схемы 1 ток через
конденсатор
Г _ dq _ г dvbba _Vr	Уах - Кых _ КВХ
с dt dt R	R	~ R ‘
Откуда
v =\v —.
r ВЫХ J flX	*
Для схемы 2 имеем
Откуда
V = R1 = — f V dt.
Г ВЫХ	L ^ BX
Для схемы 3 получаем
j _ dq_ _ dVc _ f~> ^ К ~ ^вых ) _ f~f dVM
c dt dt	dt	dt '
Откуда
Vbm=IcR = RC^.
Для схемы 4 находим
_ .dl _Ld{vm-Vtm) LdVm
вых dt R dt ~ R dt '
Найдем входной импеданс бесконечной цепочки, показанной на
рис. 10.23, а также при каких частотах цепь не будет потреблять
мощность от источника (№ 10.60). Импеданс части цепи, обведен¬
ной пунктиром, обозначим Z. Импеданс цепи после катушки с ин-
383

2 С
0-
Рис. 10.23
дуктивностью L/2 также равен Z. Поэтому для параллельного со¬
единения имеем
1	= ЛоС*
1
/со// + Z ’
Откуда
Z2 +/coLZ-^ = 0;
1/2
Для положительного модуля импеданса годится только положи¬
тельный корень. Учитывая сопротивление катушки с индуктивнос-
(L L2^2
тью L/2, получаем, что импеданс цепи равен I — - со2 — I . Цепь не
потребляет мощности, если импеданс чисто мнимый. Это будет при
со >
2
(1С)|/2 '
На вход схемы, изображенной на рис. 10.24, подается синусои¬
дальное напряжение с частотой со. Исследуем зависимость ампли¬
туды и фазы выходного напряжения от величины сопротивления R
(№ 10.61). Так как параллельные участки одинаковые, по ним идет
одинаковый ток
I =
R + mL
Тогда выходное напряжение
ir т/- г п\ т/ - R г г ш2^2 ~ Л2 + 2mLR
V„=I(mL-R) = V„
= V„ [(ш2!2 -R2f * 4m*l}R?]
|l/2
Р/Ф
R2 + co2Z,2
= V e/<p.
r nv v •
384

Амплитуды одинаковы. Фаза определяется из соотношения
,8ф-2^лг-?-
Найдем, при каком соотношении между параметрами моста, изоб¬
раженного на рис. 10.25, напряжение U на его выходе находится в
фазе с входным напряжением Vи какая при этом амплитуда напря¬
жения U на выходе (№ 10.62). Вводя обозначения импедансов
Z,=R + ioiL; Z2 = ~ш-—т
1	2 R + iwL
и токов /,, /2, можем по правилам Кирхгофа написать
U= /Д - /Д; V= /,Д + Л,) = /2(Z, + Z2).
Отсюда
U = V
/?1 + /?2 Zj + Z2
Чтобы не было сдвига, в скобках должно быть действительное
число. Для этого действительным должно быть
Z) (R + /о)!)2 R2 - ю2!2 + iluiLR
Z2 iwLR	mLR
Это выполняется при соL = R. При этом
U = V
л,
Rl + R1
2Л
3 '
а
25-2073
385

Мост переменного тока, изображенный на рис. 10.26, сбаланси¬
рован. Найдем соотношение между постоянными времени плеч ab
и cd, выясним, является ли найденное соотношение достаточным
условием баланса моста (№ 10.63). Вводя обозначения импеданса
1 + /соСЛ
и токов /,, /2, можем по правилам Кирхгофа написать
/,	Ч	Ут, . Л
/?+/?!+1//соCi	/соС| yR + /?j j + 1
,	V	у /со С - со CR
2	" 1//С0С + R/{ 1 + i(0CR) “	1 + 2/шСУ? *
Условие баланса моста (отсутствие выходного напряжения)
/,W+,a>C,) = A,
Подставляя токи, получаем С1 + /соCC{R = С + mCyCRv Отку-
да С, = С и /?, = R. Поэтому постоянная времени плеча ab равна
т, = Л, С, и равна постоянной времени плеча cd, равного т = RC.
Найдем условие, при котором в схеме, изображенной на рис. 10.27,
ток через некоторую нагрузку Z не будет зависеть от величины этой
нагрузки, пренебрегая сопротивлением проводов и омическим со¬
противлением катушки (№ 10.67). Импеданс параллельного соеди¬
нения Z0 находим из условия
_1_
^0
-1 + /ЮС.
В параллельных участках
Откуда
_Л_
/со С
= I2Z.
1= /j + /2= /2(1 + /со CZ).
Поэтому
/ v
2 /со! + Z(1 - coLC)'
Чтобы ток не зависел от Z, должно быть
сoLC= 1.
386

При изменении частоты /вынуждающей силы, действующей на
линейную колебательную систему, меняется фаза ср установившихся
колебаний этой системы и запасенная в ней энергия W. Пусть при
малом сдвиге частоты от резонансной А/ = 1 Гц фаза колебаний <р
изменилась на п/4. Найдем, как изменится при этом энергия W.
Определим также, каково время затухания т системы в режиме
свободных колебаний (№ 10.15). При слабом затухании из (10.8)
следует, что резонанс при сорез = со0. Изменение фазы от резонанс¬
ного (—я/2) на п/4, как следует из (10.6), дает
(а>о - со2)2 = 4р2со2.
Используя это и то, что отношение энергий равно отношению
квадратов амплитуд, выражаемых (10.7), получаем
Ири («о-со2)2+4pV Л
W	4pV
Энергия уменьшится в два раза.
Используя полученное ранее соотношение, для характерного вре¬
мени затухания свободных колебаний (9.25) получаем
1 2со		2со		 1	_	1	pip
Р	сод-со2	(со0-ш)(со0+ш)	Дсо 2лД/
В колебательном контуре с индуктивностью L= 1 Гн, настроен¬
ном в резонанс, под действием внешнего синусоидального напряже¬
ния с амплитудой V0 = 200 В установился переменный ток с амплиту¬
дой /0 = 20 А. Найдем сопротивление контура R и время затухания т
(время, за которое амплитуда колебаний уменьшается в е раз) в ре¬
жиме свободных затухающих колебаний (№ 10.16). Используя зави¬
симость амплитуды колебаний в контуре от частоты внешнего воз¬
действия (10.15), представленную на рис. 10.3, видим, что макси¬
мальное значение будет при
О) = со0 =
1
(£С)1/2'
При этом сопротивление контура (10.16) чисто активное и равно
= Ю Ом.
/о
25*
387

В соответствии с (9.25) и (9.9)
При снятии резонансной кривой колебательного контура (рис. 10.28)
с малым затуханием найдено: выходное напряжение максимально
при частоте Уд = 1,6 кГц; при частотах/<$zf0 это напряжение равно
V0 = 1 В. Найдем, чему равно выходное напряжение К, при частоте
/, = 16 кГц (№ 10.20). В соответствии с (10.7) и рис. 10.1 вдали от
резонанса при малом затухании
Постоянную величину А определяем из условия при малых частотах
В другом варианте при снятии резонансной кривой колебатель¬
ного контура (рис. 10.29) найдено: максимальный ток /0 = 0,1 А дос¬
тигается при частоте yj, = 1,6 кГц (здесь и дальше приведены эффек¬
тивные значения токов и напряжений); ток при частоте /, = 16 кГц
равен /, = 10~4 А. Входное напряжение в обоих случаях равно V= 1 В.
Вычислим по этим данным приближенные значения параметров кон¬
тура R, L, С (№ 10.21). Используем (10.15) для эффективных значений
V
А
4- = ^0 = 1 В-
Поэтому при высоких частотах
V
Рис. 10.28
Рис. 10.29
388

При резонансе
0) = С00 =2я/о = -^ = Ю4 с"1; Im = I0=j.
При высоких частотах
В результате
R = — = 10 Ом; 1 = — = 0,1Гн; С = —Ц- = 10'7 Ф = 0,1 мкФ.
/0	к» о
На колебательный контур с собственной частотой со0 и логариф¬
мическим декрементом затухания X = 0,02 действует внешняя пери¬
одическая сила с постоянной амплитудой. Ее частота со, вначале
равная частоте собственных колебаний, изменяется настолько, что
мощность, расходуемая в контуре, падает вдвое. Найдем изменение
частоты в процентах к собственной (или резонансной) частоте ш0
(№ 10.65). Мощность, расходуемая в контуре, определяется (10.35).
Так как амплитуда внешней силы, т. е. амплитуда напряжения V0,
является постоянной, то отношение мощностей зависит от токов и
фазы. Используя (10.32) и (10.34) и обозначая ю = со0 + До, получаем
для модуля импеданса
[tf+(«L~L)2l
1/2
= R
t 4 А со2/,2
\ (ОС/ ]
L R2 J
1/2
Для фазы
Откуда
.	to L - 1/соС	Л. L
tg(p =	R	= 2А(0л'
COS(p =
(l + 4 b(02L2/R2f2
Учитывая, что резонансу соответствует До» = 0, получаем
4г = 2 = 1 + 4Дсо2-
N
!>2
Отсюда
Ago _ X _ 1
со 2п л ‘
389

Емкостной датчик — это одно из наиболее чув¬
ствительных радиотехнических устройств для реги¬
страции малых механических смещений. Обычно он
представляет собой электрический колебательный
контур с воздушным конденсатором (рис. 10.30),
одна пластина которого подвижна. Оценим мини¬
мальное измеряемое перемещение пластины кон¬
денсатора А А, если контур настроен в резонанс.
Напряжение источника питания U— 100 В, минимальное измеряе¬
мое изменение напряжение на сопротивлении A U= 100 мкВ, доброт¬
ность контура Q = 100 и зазор между пластинами A = 1 мм (№ 10.23).
Используя для емкости плоского конденсатора (3.56)
С = е д-т-
4 л И
и собственной частоты колебательного контура (9.8)
Щ=7П^'
можем получить (например, логарифмируя, а затем дифференцируя)
Д®о
(0(1
1 А А
IT'
Из (10.15) получаем для отклонения от резонансного значения
д/ = и_	U
R [л2 +(wL-1/coC)2]1/2
Для со = со0 + Дш0 получаем
со!-^= 1(оо0+Доо0)-	1
1 +
Дсоп
(«0 +Дсо0)С
Д(о0
ш0 1 + Д(о0 /ю0
(10.38)
= oinL2-
со0
Используя соотношение на сопротивлении AU= /?Д/и выраже¬
ние для добротности (9.27), находим
MJ = .
и
{l + [(ю0 L/R) 2 Дш0 К]2}	[l + (<?2 А(0о К)2]
= 1-
1
2 -|1/2
. (10.39)
390

Так как затухание слабое, получаем
(	А „ \2
а и
и
Q2^-
ш0 .
Подставляя сюда полученное ранее соотношение, имеем
Откуда
14 10'7 см.
Индуктивный датчик является радиотехническим устройством
для регистрации небольших изменений индуктивности. Обычно
он представляет собой электрический колебательный контур с из¬
меняемой индуктивностью (рис. 10.31). Оценим минимальное изме¬
ряемое относительное изменение индуктивности ДL/L, если контур
настроен в резонанс. Напряжение источника питания U = 100 В,
минимальное измеряемое изменение напряжения на сопротивле¬
нии АС/= 10 мкВ, добротность контура Q = 100 (№ 10.22). Исполь¬
зуя выражение для собственной частоты колебательного контура (9.8),
находим
Aci)
1
Л L
(0
2
L
Как и в предыдущей задаче, для падения напряжения на сопро¬
тивлении (10.39) получаем
А и
и 1
{21
1 + [(со01/Л)2Дш0/со0] }
1/2
Откуда следует
2
AL _ l(^AU
L Q{ U
,1/2
= 4,4 • 10~6.
Так как в (10.39) AU= С/рез - Uv где £/рез — резо¬
нансное значение; — на некотором интервале от
резонанса, из (10.39) получаем
и 1 _	1
Црю {l +[G2Ato0/(o0]2}1/2
(10.40)
391

Для отношения энергий соответственно
Wx	1
"W 1+[е2ДСй0/сО0]2'
(10.41)
Характеристикой ширины резонансной кривой в случае слабого
затухания является ширина резонансной кривой (2Дю0) (Да>0 называет¬
ся расстройкой) при уменьшении энергии колебаний в два раза. Из
(10.41) получаем, что относительная ширина резонансной кривой
т Дю0 _ 1
«о ~Q‘
(10.42)
Обратная величина называется избирательностью контура
-^2- = Q.	(10.43)
2Д(о0
Найдем, как изменится избирательность контура, если вдвое
увеличить индуктивность L и вдвое уменьшить емкость, оставляя
неизменным активное сопротивление (№ 10.18). Из (10.43), (9.27)
и (9.8):
сор = Q = mL = Ч£\'2
2Дсо0 ^ R /flcj
Избирательность увеличится в два раза, так как Q2 = 2QV
Считая добротность некоторого контура достаточно большой,
найдем:
1)	расстройку До, (при снятии резонансной кривой), при кото¬
рой потребляемая контуром мощность падает в два раза;
2)	расстройку Дш2, при которой сдвиг фазы меняется на л/4,
если при свободных колебаниях этого контура амплитуда падает в
е раз за время т = 1 с (№ 10.14).
Из (10.42), (9.27) и (9.25) следует
Да), = Дсо0 = ^| = р = 1.
Из (10.34), (10.38), (10.42), (9.27) и (9.25) получаем при <р = тг/4
также Дсо, = 1/т = 1 с _|.
В определенном пункте напряженность электрического поля,
создаваемого радиостанцией А (на частоте 210 кГц), в пять раз боль¬
ше, чем напряженность электрического поля радиостанции В (на
392

частоте 200 кГц). Определим добротность контура, с помощью ко¬
торого можно принимать в данном пункте станцию В без помех со
стороны станции А, если для этого необходимо, чтобы амплитуда
сигналов станции В в контуре была бы по крайней мере в 10 раз
больше амплитуды станции А (№ 10.24). В приведенных ранее фор¬
мулах можно было пользоваться не циклическими частотами, а обыч¬
ными частотами (обратными периоду) /= 1 /Г, так как
До) _ д/
w / ’
(10.44)
Используя (10.40) и (10.44) для сигнала станции В на частоте
сигнала станции А, имеем
Щв	1
UpaB	[l + (б2 Д/0//0)2]1/2
Чтобы этот сигнал сравнялся с сигналом станции А, надо {/резВ
увеличить в 5 раз, а чтобы он был больше еще в 10 раз, увеличить в
50 раз. Это значит, что знаменатель правой части равенства надо
увеличить в 50 раз. Таким образом, должно быть
1 +
А f \2
Q2^2-
л
= 2500.
Используя начальные данные, получаем, что должно быть Q > 525.
Входной контур радиоприемника имеет добротность Q = 100 и
настроен на/0 = 1000 кГц. Найдем, во сколько раз напряжение час¬
тоты ./^ на конденсаторе больше напряжения частоты /, = 2fQ (меша¬
ющая станция), при условии, что амплитуды электродвижущих сил,
возбуждающихся в контуре, одинаковы (№ 10.19). Обозначая амп¬
литуды электродвижущих сил, деленные на индуктивность, Х0, из
(10.9), (10.7) и (9.27)
Откуда
‘о
к--?	,
“»	[м-ю! )’.»=(. ус’]
|1/2
Vo
( 2 ^
2 2
=
Q1
1- —
0)
+ —
1 Ш0 J
щ
1/2
= 300.
393

В контуре, состоящем из последовательно соединенных емко¬
сти, индуктивности, сопротивления и синусоидальной ЭДС, амп¬
литуда силы тока /, существующая при отклонении частоты ЭДС
на небольшую величину Д/, которая называется «расстройкой»
(a Af/f0 — «относительной расстройкой»), от резонансной частоты^,,
в соответствии с (10.15) и (9.27) будет связана с амплитудой силы
тока при резонансе /0 следующим соотношением (№ 10.12)
— =	!	jr.	(10.45)
'• [1 + (02М,//„)Т
Для схемы, изображенной на рис. 10.32, а, определим частоты
источника ЭДС, соответствующие резонансам токов и напряжений, а
не тока и напряжения, как, например, в (10.8). Построим график
сдвига фазы тока / относительно ЭДС Ш в зависимости от частоты
источника, считая внутреннее сопротивление последнего пренебре¬
жимо малым (№ 10.25). Используя (10.29) и (10.31), имеем для им-
педансов
Z1=/(coZ-^];
iwL
+ i(o С.
В результате импеданс цепи Z находим из соотношения
— = —+ •
1
1
со С
i(a>L - 1/соС)	ia>L /' ’
или
I	(l - ш2Lcf -2а>2LC
Z~ (oZ,(l-(o2LC)
Обозначая со2LC = х, из (10.46) получаем
(10.46)
л
/'	1 + 4х + х
Z “ со/,(1 - х)
(10.47)
Резонансу напряжений соответствует наименьшее напряжение в
цепи при Z= 0, что получаем при
со =
1
(LC)42
= со0.
394

Рис. 10.32
Рис. 10.33
Резонансу токов соответствует минимальный ток, что будет при
1/Z= 0. Следовательно, надо удовлетворить уравнению х2 + 4 х + 1 = 0,
решение которого х = 2 ± >/3. Получаем
. 2-7з
Для тока имеем
1/2
0,52
(LC)
1/2
СО,
2 + УЗ
(1С)1/2
1,93
{LC)^1
8 _ 8 1 - 4х + х2
Z / со£(1 - х)
В соответствии с (10.33)
- = е"/я/2.
1
На рис. 10.32, 6 показано изменение фазы, которая определяет¬
ся знаком второй дроби предыдущего выражения. Оно положительно
при 0 < со < o)j и при (о0 < о < со2, а отрицательно при со, < со < со0 и
со2 < со. Изменение знака соответствует повороту фазы на п (т. е.
знаку в показателе экспоненты).
Аналогичным образом можно действовать в случае схемы, изоб¬
раженной на рис. 10.33, а (№ 10.26). Здесь
1	11-сo2LC
Z2 i	сoL
395

В итоге
j _ $ _ _ g 1 - Ах + х2
Z / (о£(1 - х)
Изменения фазы показано на рис. 10.33, б.
Приведем пример, когда схему можно нарисовать по данным об
изменении тока. Дан черный ящик с двумя внешними клеммами.
Внутри него собрана схема из индуктивности с малыми омически¬
ми потерями, емкости и сопротивления. Известно, что если по¬
дать на клеммы постоянное напряжение U0 = 1 В, то ток будет
равен /0 = 10 мА. При переменном напряжении 1 В на частоте 50 Гц
ток равен 1 мА. С ростом частоты ток падает, достигает минимума
при частоте^ = 500 Гц, а затем постоянно возрастает до предельно¬
го значения 10 мА. Нарисуем схему черного ящика и определим ее
параметры (№ 10.27). Для получения минимума тока, что соответ¬
ствует резонансу токов, необходимо иметь параллельное соедине¬
ние индуктивности и емкости, так как при этом
7 _ mL
п ~ 1-о)2LC'
Так как по условию значение силы тока при ш -» °° равно силе
тока при постоянном напряжении, то значит сопротивление вклю¬
чено последовательно с параллельным соединением индуктивности
и емкости (рис. 10.34). В результате имеем
/?=■— = 100 Ом; LC = -Дг ~ Ю"7 с.
/о	<4
При о) * (о0
Рис. 10.34	Рис. 10.35
396

Откуда при 50 Гц
1^1 =
R2 +
со L
Ч‘/2
1-со2/с-2
СО,
= 103 Qm.
0 J
Так как при этом R2 < \Zj2 и со2 <с соц, то \Z\ = соL, что дает L = 3,2 Гн
и С= 3,14-10-2 мкФ.
Другой вариант такого же черного ящика. Известно, что если
подать на клеммы постоянное напряжение U0 = 1 В, то ток будет
равен /0 = 1 мА. При переменном напряжении 1 В на частоте 50 Гц
ток равен 10 мА. С ростом частоты ток растет и достигает максиму¬
ма на частоте,/^ = 500 Гц, а затем постоянно возрастает до предель¬
ного значения 10 мА. Нарисуем схему черного ящика и определим
ее параметры (№ 10.28). Так как ток достигает максимума, то, сле¬
довательно, L и С включены последовательно. Чтобы был ток при
постоянном напряжении, сопротивление должно быть включено им
параллельно (рис. 10.35, а). Получаем
Л = — = 1000 Ом; LC =-V-10-7 с.
Л>	«о
Для импеданса цепи находим
и=
[l/Л2 + (соС/со21С -1)2]
2-1V2
При частоте /= 50 Гц по условию получаем \Zj = 102 Ом. Под¬
ставляя это в предыдущее соотношение и учитывая, что
Ц-^Ю-4 1/Ом
R2
и
со
N.2
<1,
находим со С - 10-2, С = 3,2 • 10-5 Ф, L = 3,14 • 10-3 Гн.
Имеется еще и другая возможная схема, когда сопротивле¬
ние параллельно емкости, а индуктивность им последовательна
(рис. 10.35, б). Сопротивление и LC остаются теми же, а для модуля
импеданса цепи получаем
1^1 =
[l-(co/co0)2 +((»L/R)2]1
[l/ R2 + (coC)2]‘/2
397

Так как при частоте /= 50 Гц по условию \Z\ = 102 Ом, то, под¬
ставляя это в предыдущее соотношение и учитывая, что R = 103 Ом
(ш л2 ,
и — -с 1, находим
1 + |^|2 =Ю-2со 2R2C2.
При со = 2л/ = 100л получаем для индуктивности уравнение
LA + ЮТ2 — 10-4 = 0. Откуда I? = —5 ± 5(1 + 10~4/50). Так как эта
величина не может быть отрицательной, получаем L = 3 • 10-2 Гн.
Поэтому емкость равна С = 13 мкФ.
В цепь синусоидальной ЭДС включены параллельно активное
сопротивление R и реактивное X. Найдем, какие активное г и реак¬
тивное х сопротивления должны быть подключены к ЭДС последо¬
вательно (рис. 10.36), чтобы ток во внешней цепи (по амплитуде и
фазе) остался неизменным. Получим, во что переходят точные выра¬
жения для х и г при дополнительных условиях:
1)	г «: х;
2)	г » х.
Считаем X и х — величины вещественные (№ 10.29). В соответ¬
ствии с (10.30)
/
0_
Z
При одном и том же источнике для одинакового тока должны
быть одинаковые импедансы
Z, =
1/R + 1JiX
iR
-^_ = Z2
R + iX 2
г + ix.
Из совпадения действительных и мнимых частей получаем
г =
R
1 + r2/x
2 5
X =
1 + x2!r2 '
398

Так как
г__Х_
х R ’
то в случае г « х и соответственно R » X получаем г = R, а в случае
г » х имеем X » R и х = Л 2/Х.
В цепь переменного тока с & = 440 В и частотой/= 50 Гц вклю¬
чены последовательно нормально горящая лампочка накаливания и
конденсатор. Найдем, чему равна емкость конденсатора С, если лам¬
почка рассчитана на напряжение V = 220 В и силу тока I = 1 А.
Определим также, чему равен сдвиг фаз <р между током и пол¬
ным напряжением в цепи (№ 10.30). Сопротивление лампочки
R = V/I= 220 Ом. Из (10.32) получаем
Левая часть является представлением правой в экспоненциаль¬
ном виде, поэтому
ё = I
R1
\!/2
(«су
tg<p = -
1
to CR'
Отсюда
—Цг = &2 - I2R2 = ё2 - У2;
(соС)2
[2л/fe2 - V2)f
8,4 мкФ.
Поскольку
г
440 В
1 А
440 Ом = 2R,
то
1
(юС)2
3 R2.
В таком случае tg<p = —75 и ср = —60°. Ток опережает по фазе
напряжение.
Другой вариант, когда в цепь переменного тока с ё = 440 В и
частотой /= 50 Гц включены последовательно нормально горящая
лампочка накаливания и катушка самоиндукции. Лампочка рассчи¬
тана на напряжение К, = 110 В и силу тока /[ = 1 А. При замене
399

лампочки другой, рассчитанной на V2 = 220 В и /2 = 0,8 А, оказалось,
что новая лампочка горит также нормальным накалом. Найдем со¬
противление R и самоиндукцию L катушки (№ 10.31). Сопротивле¬
ние первой лампочки
R] = — = 110 Ом,
сопротивление второй лампочки
R-, = — = 275 Ом.
Из (10.32) получаем
|Z, | = [(*, + R)2 + со2!2 ]1/2=4Л1;
|Z2| = [(Л2 + R)2 +со212]‘/2 = 2 R2.
Возводя в квадрат и решая систему, находим
3 5Л? - R\
R = ^—			 = 137 Ом,
2 л,-л2
[l6/?f - (Л, +Л)2]1/2
2л/
= 1,16 Гн.
Найдем диэлектрическую проницаемость жидкости, если извес¬
тно, что ее удельное сопротивление р = 10й Ом • см и при переходе
от постоянного тока к переменному с частотой 50 Гц (при том же
эффективном напряжении) ток, текущий через конденсатор, напол¬
ненный этой жидкостью, возрастает в 7 раз (п = 7) (№ 10.32). Кон¬
денсатор с утечкой представляет систему из параллельно соединен¬
ных емкости и сопротивления. Импеданс этой системы Z определя¬
ем, пользуясь (10.27) и (10.31), 1/Z= R + тС. Откуда
По условию
|Z| =
[l + (соСТ?)2]
№ ‘
400

Пользуясь (3.56) и (4.14), имеем С = e0eS/h и R = ph/S и соответ¬
ственно CR = е0ер. Отсюда
2я/е0р
Длинный однослойный реостат из нихромовой проволоки с удель¬
ным сопротивлением р = 1,1-10-6 Ом • м намотан виток к витку с
плотностью витков п = 10 см-1 на керамический каркас диаметром
D = 5 см и включен в цепь переменного тока с частотой /= 50 Гц.
Найдем сдвиг фаз между током и напряжением на реостате, пренеб¬
регая толщиной изоляции проволоки (№ 10.33). Воспользовавшись
(5.29)	и (4.14), находим
L = Но nNnD2; R = 4pDNn2.
Используя (10.34), получаем
= ^ =	2^ = 0,025.
В схеме, представленной на рис. 10.37, емкость С подобрана та¬
ким образом, что при замыкании ключа К ток /, показываемый
амперметром А, не изменится. Найдем индуктивность катушки, если
известно, что /= 0,5 A, U= 380 В,/= 50 Гц (№ 10.34). Из (10.30)
to С = I/U. Используя (10.32), получаем
т гг }	г г 1 - (и£С + mCR
Амперметр показывает эффективные значения, т. е. меряет мо¬
дули. Они и должны быть равны (удобно написать квадраты моду¬
лей)
Откуда
(l - а>2 Let +(m2C2R2
0) С =	j	5-5
R2 + (о 21?
2шЬС = 1;	1 = —L = J^_ = 1,2 Гн.
’	2ш С 4я/7
На рис. 10.38 показана принципиальная схе¬
ма трансформатора — устройства для изменения
напряжения переменного тока. Первичная обмот¬
ка, связанная с источником переменного на-
26-2073
401

Ф= BS
f
и
l
*2
Рис. 10.38
пряжения, и вторичная, связанная с нагрузкой (потребителем), нави¬
ты на общий железный сердечник, в котором при вычислениях счита¬
ем отсутствие рассеяния магнитного поля и ферромагнитизма. Индук¬
ция магнитного поля В сердечника (площадь сечения S) создает маг¬
нитный поток Ф = BS. Число витков обмотки п дает зацепленный
поток ¥ = пФ. Этим потоком определяется ЭДС индукции или индук¬
тивное сопротивление d'V/dt (здесь и далее используется система СИ).
В соответствии с (5.31) имеется связь с коэффициентом индукции L и
током / в обмотке ¥ = IL. Для обмоток из (10.32) получаем
и ~^+кт-
ul - dt + /Vl>
o^J2 +r2i2.
dt 2 2
(10.48)
При отсутствии рассеяния магнитного потока
ф = ^1
= Il
(10.49)
"i
«2 ’
Используя (5.31) и вводя собственную и взаимную индуктив¬
ность, получаем для потоков
¥, = L,/, + I12/2; ¥2 = L21/, + 12/2.	(10.50)
Подставляя это в (10.49) и учитывая, что полученное соотноше¬
ние должно соблюдаться при любых токах, находим n2L{ = nlL21 и
n2Ll2 = ri\L2 и, следовательно, Ln L2l = LXLT Пользуясь теоремой
взаимности (5.30), имеем
Ln = Lix = А, = (W/2-	(Ю.51)
Для переменного тока частотой со из (10.32) получаем
0Л = (Л, + /со Д)/, + /со (Z^Z^)1/2 /2;	(10.52)
0	= kd^Z^)1/2 /, +(R2 + mL2)I2.	(10.53)
402

Отсюда
j _ (R2+iti>L2)Ui
/?1 /?2 ^ ^2 ^2 ^1)
(10.54)
(10.55)
Если можно пренебречь активным сопротивлением в первичной
цепи (7?j <к toZ,,), то имеем
^ _ (Л2 + iti>L2)Ul
1 /coL] Л2 ’
(10.56)
j2=_ к. ^ Hi- w2
^1 J ^2 W1 ^2
(10.57)
где учтено, что индуктивность катушки пропорциональна п2.
Для так называемого падения напряжения во вторичной цепи
получаем
U2 = hR2 = ~—U\-	(10.58)
"1
Разделительный трансформатор имеет две одинаковые обмотки,
у каждой из которых индуктивное сопротивление на рабочей часто¬
те в «= 5 раз больше омического. Найдем, каково отношение мощ¬
ностей, потребляемых в первичной цепи при замкнутой и разомк¬
нутой вторичной цепи (№ 10.37). Воспользуемся (10.54) и (10.55).
В случае замкнутой цепи (в соответствии с условием) R{ = R2 = R,
Ll = L2 = L и u>L = nR. Поэтому получаем
(R + mL)Ux _
Л2 + 2mLR ’
(10.59)
iwLIy
R + mL'
(10.60)
Модуль тока в первичной цепи равен
U{ [(l + 2n2)2 +й2]‘/2
1 R	1 + 4 п2
(10.61)
261
403

Для фазы тока относительно напряжения в первичной цепи по¬
лучаем
tg<P = --
cos(p =
1 + 2nl
(10.62)
1 + 2 n1'	"“’"(us w2+4/i4)V2-
В соответствии с (10.35) средняя мощность в первичной цепи
/ \т \	1 тгг	1 и2 1 + 2я2
(*,).-/(/С08Ф = 5Т1-^.
В случае разомкнутой вторичной цепи из (10.54)
/, =
U,
I
U(R - i<aL) U 1 - /и.
Л + /(о1	(/е+о)2!2)'/2 Л1 + и2’
1
tg(p = -w; coscp =
(l + я2)
1/2 ’
/\ 1 ,,, i u2/r
(^2) = 2/C/cos<P = 2777-
Отношение мощностей
= (1 + 2я2)-^-4- = 13,1.
v ’ 1 + 4л2
В трансформаторе омическое сопротивление первичной цепи
в и,, а вторичной в и2 раз меньше индуктивного (на рабочей частоте).
Найдем сдвиг фазы ф между током и напряжением в первичной
цепи, если рассеянием магнитного потока в сердечнике трансфор¬
матора можно пренебречь (№ 10.38). Воспользуемся (10.52) и (10.53)
и получим
h
и
= -i(nln2RiR2)'/2
Л2(1 + /и2)’
U _ 1 -п2(п1 + л2)-/л,
А 1 + (и, + и2 )2
tg<p = -
1 + Я2 (и| + Я2)

Ток отстает от напряжения. При л, = и2 = 10 <р = —3°.
По первичной обмотке трансформатора течет ток / = /„ cos ш/.
Найдем, в какой момент времени следует разорвать вторичную об¬
мотку трансформатора, чтобы в месте разрыва не • образовалась ис¬
кра, и чему будет равна сила тока /, в первичной обмотке в этот
момент времени, если индуктивность вторичной обмотки L, сопро¬
тивление R (№ 10.35). Из (10.53)
/, =
/<0(1,1е-
/(я/2-ф)
R2 + iwLq
2 ,2\V2 ’
(л2+о>2/2)
где фаза определяется из равенства tg<p = со/,//?.
Так как / = /„cosШ = Re(I0t'al), то
J _ I и ,\V2 COS (я/2 - ф + со/)
h-4\44	, ,.i/2	•
(// +со2/2)
Чтобы не проскочила искра во вторичной цепи, напряжение и
ток должны равняться нулю в момент размыкания. Поэтому
я/2 — ф + ш/ = я/2.
Отсюда (о/ = ф. Так как
cos ф =
1
1 + tg2 ф ’
то для тока в первичной обмотке имеем
/, =
1	(1 + <*2L2/R2f
Если во вторичную обмотку дополнительно включить конденса¬
тор емкостью С, то во все соотношения, в которые входит со/,, доба¬
вится —(1/соС) (№ 10.36). В таком случае
I0R
.	.	. col - 1/шС ,
18ф = tgco/, =	^—; /, = —	 /2.
R	[/?2 + (со/-1/соС)2]
Видно, что /, = /„ при
со/, =
со С/
405

Вблизи катушки колебательного контура с параметрами Lv С, R
расположена вторая катушка с индуктивностью LT Взаимная ин¬
дукция между ними равна М. Найдем, какой будет резонансная ча¬
стота контура, если выводы второй катушки замкнуты накоротко,
считая, что ее индуктивное сопротивление на рассматриваемой
частоте значительно больше ее активного сопротивления, а также
при каком условии резонанс недостижим (№ 10.39). В соответ¬
ствии с (9.4) и (7.1) для первого колебательного контура имеем
Для второго
^Л+м^ = о.
^ dt	м
dt
Подставляя второе соотношение в первое, получаем
к
\
Ml"
к,
dI\ . D/
~df+RI'
+ 1/,л = 0.
Резонанс тока происходит при собственной частоте контура,
поэтому
со
2
рез
= 0)о
1
С^-М2/^)'
Резонанс не достижим, если М2 = L{L2, как это бывает при от¬
сутствии рассеяния магнитного потока через две катушки.
Две одинаковые катушки, намотанные на общий каркас, вклю¬
чены последовательно в колебательный контур с емкостью С двумя
способами, изображенными на рис. 10.39. Резонансные частоты
колебательных контуров оказались равными со, и ю2 соответствен¬
но. Найдем индуктивность L каждой из катушек и коэффициент их
взаимной индукции М (№ 10.40). В первом случае соединения вза-
Lnnnnm
L
ишпппл I
L
?
Рис. 10.39

имные индукции действуют так же, как собственные (складываются
с собственными), а во втором случае — против собственных:
2L^ + ^\ldt±2M^ = 0.
dt С J	dt
В первом случае
а во втором
“2	2C{L - М)'
Отсюда
1/®2. М _ l/w?-l/c02
4С ’	4С
Две одинаковые катушки, намотанные на общий каркас, вклю¬
чены параллельно в колебательный контур с емкостью С двумя спо¬
собами, изображенными на рис. 10.40. Резонансные частоты коле¬
бательных контуров оказались равными со, и ш2 соответственно.
Найдем индуктивность L каждой из катушек и коэффициент их вза¬
имной индукции М (№ 10.43). В первом случае соединения взаим¬
ные индукции действуют так же, как собственные (складываются с
собственными), а во втором случае — против собственных. Так как
катушки соединены параллельно, то ток в них равен половине, иду¬
щего через конденсатор. Поэтому
В первом случае
2
с(ь + му
L
L
L
L
О
Рис. 10.40
407

а во втором
2
C(L-M)'
Отсюда
Высокодобротный колебательный контур (рис. 10.41) включает две
последовательно соединенные катушки с индуктивностями £, и Lr
После того как катушку L2 замыкают накоротко, частота собствен¬
ных колебаний контура не изменяется. Определим коэффициент
взаимной индукции М (№ 10.41). До замыкания накоротко
При замыкании второй катушки два контура, для которых име¬
ем уравнения:
(10.63)
Откуда
со
2
С(ц +1з +2М)'
Подставляя второе соотношение в первое, получаем
С,
Рис. 10.41
Рис. 10.42

Отсюда
1
С(^-Л/2/^)'
По условию это равно полученному ранее. Откуда
Мг +2L1M + l\ =(M + L2f =0
и, следовательно, М = — L2.
К высокодобротному колебательному контуру С, с известной
резонансной частотой со, может быть подключена ключом К после¬
довательно цепочка с известными Lv С2 (рис. 10.42). При этом ре¬
зонансная частота контура не изменяется. Определим коэффициент
взаимной индукции М (№ 10.42). До переключения
После подключения суммарная емкость конденсаторов
£ _ ^1^2
С, + С*2
Цепь описывается уравнением (10.63). Приравнивая частоты,
получаем
Найдем добротность катушки, намотанной на тонкую медную трубку
с внешним диаметром D = 2 см и толщиной стенок 8 = 0,05 см
(удельное сопротивление меди р = 1,8 • 10_6 Ом • см), подключенной
к цепи переменного тока частотой /= 50 Гц, если длины катушки и
трубки одинаковы и значительно больше диаметра (№ 10.44). Вос¬
пользуемся (9.29), (7.21), (4.18), (4.14) и (7.1). Потери энергии
связаны с вихревыми (кольцевыми) токами (Фуко) в стенках труб¬
ки. Причина вихревых токов — ЭДС индукции
Откуда

где
с_ ЯD2
4 '
Обозначая амплитудное значение магнитной индукции В0, для
переменного поля имеем В = B0cos(2nft). Потери энергии опреде¬
ляются сопротивлением
ту nD
R-<4i-
где / — длина трубки. Мощность потерь на нагрев трубки
N 18'2	l(2n/B0S/c)2
нот 2 А 2 R
(10.64)
Амплитудное значение энергии в катушке с учетом (7.12)
1V0 = B20£L.	(10.65)
8яц
Для меди ц = 1 и поэтому
W - В2 57
" В° 8я ’
Добротность можно определить следующим образом:
<2 = 2л
wn
ЛИ/
= 2л/
wn
рс
Nnm	2п2 fD8
= 18.
Длинный соленоид с плотной намоткой размещен на цилиндри¬
ческом железном сердечнике с магнитной проницаемостью ц и про¬
водимостью X (рис. 10.43). Соленоид замкнут на конденсатор, вслед¬
ствие чего образован контур с резонансной частотой со. Радиус сер¬
дечника г, утечки в конденсаторе несущественны, обмотку и
соединительные провода можно считать идеально
проводящими, а скин-эффект не учитывать. Найдем
добротность контура (№ 10.47). В случае перемен¬
ного тока I и соответственно переменной индукции
магнитного поля В = В0 cos со/ в сердечнике возника¬
ет переменное вихревое электрическое поле Е. В со¬
ответствии с (7.5)
А
Е2пг = -ш1г2Вп sin Ш.
410

Откуда
Е = ~ 50(orsin(o/.
В соответствии с (4.7) и (4.12) мощность выделения энергии
N = J XE2dS =	sin2 (o/j 2nr3dr.
л	^ 'С'	О
Усредняя по периоду, получаем
Энергия, запасенная в контуре за период (по двум полуперио-
дам) в соответствии с (10.65):
W = $-2%г21.
8яр 0
Так как потери энергии Д W= (N)T= N2л/ш, то из (9.29) получаем
\2
U)W _ 2(с/г0)
(N)l ярЯш
(10.66)
Найдем, как изменится добротность контура при увеличении
емкости конденсатора в два раза (№ 10.46). Из (9.8)
(0 =
(LC)'12 ‘
Используя (10.66), получаем
02
01
\'/2
v Ci)
= 21/2.
Катушка колебательного контура имеет добротность Q = 100.
Если один виток катушки замкнуть накоротко, то ее индуктивность
почти не меняется, а добротность уменьшается вдвое. Определим
по этим данным число витков катушки N (№ 10.45). ЭДС индукции
определяется зацепленным потоком, который в соответствии с (5.31)
равен Y = LI (в СИ произведению индуктивности на ток). В катуш¬
ке зацепленный поток больше, чем в витке, в N раз. В соответствии
411

с (10.29) падение на катушке UK = L(dI, а на витке (/ = ImI/N.
С помощью (4.18) и (9.27), учитывая, что сопротивление витка рав¬
но R/N (R — сопротивление катушки), находим мощность потерь
энергии в витке
Так как по условию добротность при замыкании витка в два раза
меньше, то потери, которые в катушке равны PR, в два раза боль¬
ше, ДNB + I2R = 2PR. Откуда получаем N = Q2 = 10 000.
На рис. 10.44 изображена металлическая скоба длиной /, шириной
а ~ / и с зазором А •« /, а. Ее можно рассматривать как колебательный
контур: конденсатор и полувиток, по которому заряд переходит с
одной пластины на другую. Оценим резонансную частоту такого ко¬
лебательного контура (№ 10.48). Из (3.56) емкость конденсатора
Если по скобе идет ток /, то из (5.6)
са'
Поток индукции магнитного поля
Ф ~Ш1 —
са
а
Из (9.8)
Рис. 10.44
Рис. 10.45
412

или /~ 500 Гц. Прямая оценка из условия / ~ Х/2, где X — длина
волны, дает X ~ 20 см и частота о = 2пс/Х ~ 10ю с _|.
Оценим приближенно резонансную частоту /рез тороидального
резонатора, размеры которого представлены на рис. 10.45, где изобра¬
жено его меридиональное сечение: а = 20 см, D = 10 см, А = 1 мм
(№ 10.49). Предполагаем, что размеры резонатора малы по сравне¬
нию с резонансной длиной волны. В таком случае можно пользо¬
ваться формулами для квазистационарной цепи (9.8). Из (3.56) для
емкости плоского конденсатора в центральной части резонатора
у D2
С = £—— = ——
4яА 16А‘
Из (5.6) получаем напряженность (равную индукции) магнитно¬
го поля в зависимости от расстояния от оси тора (г)
2/
Н = В =
сг
Для потока магнитного поля имеем
D/2+а
Ф = 2а1- | — = 2а —lnfl + ^1.
^ L г с { D)
D/2
Из (5.28) получаем индуктивность тора
Из (9.8) резонансная частота
,	_ (О _
Урез " Ък ~
(i/n)(c/D)
_£_\1/2 =
LCl [(l/2)(a/A)ln(l + 2a/D)f2
Тороидальный резонатор электромагнитных колебаний представ¬
ляет собой полый идеально проводящий тор круглого сечения. Внутри
него вырезан зазор (рис. 10.46), края которого затянуты двумя прово¬
дящими сетками, имеющими форму круга радиусом а = 5 см, рассто¬
яние между сетками А = 2 см, а средний радиус кривизны тора 2а.
Рассматривая резонатор как колебательный контур и считая, что е и р
в нем примерно равны единице, оценим резонансную частоту (№ 10.50).
Действуем, как в предыдущей задаче. Из (3.56) для емкости плоско¬
го конденсатора в центральной части резонатора

А-А
Из (5.6) получаем напряженность (равную индукции) магнитно¬
го поля
Я = Д = —.
са
Для потока магнитного поля имеем
Ф = Впа2 = — па.
с
Из (5.28) получаем индуктивность тора L « па. Из (9.8) резонан¬
сная частота
л
рез
0) _ С
2" ~ UC)V2
а а
На рис. 10.47 показана схема. Пренебрегая активным сопро¬
тивлением катушек, определим частоту резонанса токов в схеме,
когда генератор подключен к клеммам: 1) ab, 2) ad и 3) ас (№ 10.51).
В соответствии с (10.31) и (10.29) и их параллельным соединением в
случае:
1) аЬ
1	. „	1	~ п 1 - a?LC
Z	2/0)1 - //соС	1 _ 2ш2LC
Для резонанса токов Z — оо. Для этого должно быть
2) ad
(0
2
1
LC ’
1 _	2	_ 2о)С
Z mL - //(о С /(со21C - l) ‘
В этом случае резонанс токов не возможен;
414

3)	ас
11,	1	~ п 1 - (л2LC
-=• - —г + —7—^ = 2wС—Г	.
Z taL t(x)L-2i/<j)C	(a^LC-2
Условие совпадает с первым случаем.
На рис. 10.48 изображена электрическая схема, в которой R = 6 Ом,
L = 0,01 Гн. Внешнее напряжение синусоидальное с круговой час¬
тотой о = 300 с-1. Определим, при какой емкости конденсатора С
ток / находится в фазе с напряжением V(№ 10.53). Для импеданса
цепи Z при параллельном соединении по (10.27), (10.29) и (10.31)
имеем
\_
Z
R - iwL
R2 + со2/2
+ /(оС.
Для совпадения фаз тока и напряжения Z должно быть веще¬
ственным, т. е.
о)С -
(0/
R2 + со2/,2
= 0.
Откуда
С =
R2 +(о2!2 ’
В одной из схем радиочастотного лампового генератора наличие
электронной лампы с нелинейной характеристикой в цепи обрат¬
ной связи эквивалентно подключению к колебательному контуру
двухполюсника (так называют какое-либо устройство, имеющее вход
и выход — две клеммы) (рис. 10.49), комплексное сопротивление
которого зависит от амплитуды тока / и на частоте ю равно
Z =
Рис. 10.49
415

где а н b — известные константы. Найдем, при каких условиях воз¬
никнут автоколебания в такой схеме и какова частота со и амплитуда
А установившихся колебаний (№ 10.70). Импеданс колебательного
контура (без двухполюсника)
Условие возникновения автоколебаний Z0 + Z= 0. Должны нулю
равняться действительная и мнимая части этого выражения, поэто¬
му получаем
Конденсатор колебательного контура возбуждается периодичес¬
кой последовательностью коротких импульсов, частота следования
которых равна собственной частоте контура, а их величина равна V0.
Найдем, как изменится амплитуда вынужденных колебаний, если кон¬
тур возбудить гармонической ЭДС той же частоты и амплитуды VQ
(ЭДС в этом случае включается последовательно с элементами
контура) (№ 10.68). На рис. 10.50 показаны прикладываемые
напряжения и схемы соединения элементов контура. В первом случае
(рис. 10.50, а) в соответствии с (9.19) максимальная амплитуда И,
затухающих (с коэффициентом затухания Р) колебаний через пери¬
од Т будет равна V|е~Р7'. Добавка (V0) возвращает амплитуду к мак¬
симальному значению
Отсюда видно, что а < 0. Следовательно, амплитуда тока
Из равенства мнимых частей имеем
Откуда
416

Отсюда, используя (9.27), находим
V ко . уо	voQ
1	1-е-рг Р Т	п '
Во втором случае (на рис. 10.50, б), используя (10.2), (10.9) и
(9.27) и учитывая, что в используемом там обозначении Х0 = F0co2,
получаем V2 = V0Q. Откуда
Конденсатор подключен к розетке переменного тока с частотой
/= 50 Гц и напряжением U= 220 В. Через конденсатор с сопротив¬
лением утечки R = 10 кОм течет ток / = 1 А. Зависимость электри¬
ческого смещения от напряженности Е электрического поля в сег-
нетоэлектрике конденсатора, объем которого V = 100 см3, образует
петлю гистерезиса с площадью S= 12,5 мДж/см3. Найдем активное
сопротивление гс и емкость С конденсатора (№ 10.72). Потери энер¬
гии за счет гистерезиса (переполяризации) определяются (3.76). Для
мощности потерь имеем
£-4,97 Ът.
Мощность, теряемая за счет проводимости (утечки), определя¬
ется (4.18) и равна
Ауг=^г = 4,84 Вт.
27-2073
417

Активное сопротивление гс определяется суммарной потерей
мощности
=9810м
I2
Используя (10.32), находим модуль импеданса цепи
Z = у = 220 Ом
и реактивное сопротивление конденсатора
ZC=-Jc = (Z2-rcf12 = 219,8 Ом.
Откуда
С = —= 14,4мкФ.
Zed)
Для изготовления трансформатора используется замкнутый маг¬
нитный сердечник с площадью поперечного сечения S = 5 см. Ин¬
дукция насыщения материала сердечника равна 2?нас = 2 Тл. Найдем
минимальное число N витков первичной обмотки, предназначен¬
ной для включения в сеть с действующим напряжением V= 220 В и
частотой /= 50 Гц, чтобы в сердечнике еще не возникало насыщения,
пренебрегая рассеянием магнитного потока (№ 10.77). Поток в сер¬
дечнике не должен превышать Ф = SBmc sin Ш. Возникающая ЭДС
индукции определяется зацепленным потоком £	= SBHacN<a cos Ш.
Измеряемое вольтметром напряжение Vявляется эффективным зна¬
чением напряжения (10.36), т. е.
V = % = 55HKiV-^.
Л	>/2
При большем числе витков — меньшая индуктивность. При за¬
данном насыщении минимальное число витков определяется
N = ——-— = 990 витков.
2цГБВнлс
На металлическую трубу с внешним радиусом г и толщиной А
намотана катушка (рис. 10.51). Число витков N, длина трубы I, удель¬
ная проводимость ее материала X, магнитная проницаемость р. = 1.
Считая обмотку идеально проводящей, найдем активное сопротив¬
418

ление такой катушки переменному току час¬
тотой со (№ 10.78). Если через обмотку течет
ток /= /0 cos со/, то внутри катушки возникает
магнитное поле (5.23)
Оно возбуждает азимутальное электрическое
поле (7.5)
Рис. 10.51
2пгЕщ (г) =	= 4лМо/0
Активное сопротивление соленоида связано с потерями из-за токов
Фуко. Усредняя по периоду колебаний и пользуясь (4.12), получаем
На рис. 10.52 изображена электромеханическая колебательная
система высокой добротности Q, совершающая вынужденные коле¬
бания. Система состоит из неподвижного плоского конденсатора с
квадратными пластинами площадью / ж / и расстоянием h между
ними. Широкая диэлектрическая пластина (шириной А, массой т и
диэлектрической проницаемостью е) подвешена на пружине жест¬
костью к и входит в зазор между пластинами конденсатора, на кото¬
рый подается переменное напряжение V = V0 cos со/. Найдем, при
каком значении частоты со наступит механический резонанс, а так¬
же амплитуду вертикальных механических колебаний пластины при
этом (№ 10.79). Используя (3.85) и (2.6), находим силу, действую¬
щую на пластину: 2 3/(,эф-у= f lXE22nrdr = 4л3Асо2ЛГ2/02 J
^	-С.
г — h	r-h
Откуда
F = lh{z-\)^ = l{E-\)Vt
2	1 + cos2o)t
3	\6nh
27*
419

£
V - ('cos со/
Рис. 10.52
Для нахождения резонансной частоты амплитуды механических
колебаний можно воспользоваться соответствующими формулами
(например, см. 1, с. 98—100). Резонанс будет при
Амплитуда вынуждающей силы
F0=/(e-l)
16яй
Амплитуда колебаний
X
рез
= /(е-1)
VpQ
16 nh
Обратим внимание на сходство формул с (10.9) и (9.27).
На рис. 10.53 изображена электромеханическая колебательная
система высокой добротности Q, совершающая вынужденные коле¬
бания. Система состоит из неподвижного соленоида с числом витков
на единицу длины п, по виткам которого протекает переменный ток
/= /0 cos (о„/. В катушку вставлен длинный магнитный стержень мас¬
сой т, площадью сечения S, с магнитной проницаемостью ц, подве¬
шенный на невесомой пружине. Известно, что собственная частота ме¬
ханических колебаний стержня на пружине совпадает с частотой тока в
соленоиде. Определим амплитуду колебаний стержня (№ 10.80).
В соответствии с (7.22) и (5.23) сила, действующая на стержень:
420

Амплитуда вынуждающей силы
F0 =я(ц-1)л2/02-^-.
с ц
Так как частота вынуждающей силы 2<о0 » ю0, т. е. далека от
резонанса, можно пренебречь затуханием и воспользоваться соот¬
ветствующей формулой (например, см.: 1, с. 100) для нахождения
амплитуды колебаний:
Металлическое проволочное кольцо площадью S с омическим
сопротивлением R и индуктивностью L подвешено в горизонталь¬
ном однородном магнитном поле В = В0 cos oof и удерживается в нем
таким образом, что угол между вектором В0 и нормалью п к плоско¬
сти кольца равен ф (рис. 10.54). Найдем средний момент М сил,
действующих на кольцо со стороны магнитного поля, а также поло¬
жения равновесия кольца и исследуем их устойчивость. Рассмот¬
рим два предельных случая:
1)	со/, » 7J;
2)	соL <к R.
Выясним, в каком случае при одинаковых L вращающий мо¬
мент больше (№ 10.75). Используя (7.1) и (9.4), для тока в кольце
получаем
Решение ищем в виде / = A sin cof + D cos cof. Подставляя в урав¬
нение и приравнивая коэффициенты при синусах и косинусах, по¬
лучаем
Fp/m Fp
2 2 2 *
4о)0 - (о0	3/яо)0
ШШ
Используя (5.5) и (7.8), находим момент сил
= — Яц^СОвфСО
Рис. 10.54
421

При усреднении по периоду изменения поля получаем
, А4\ _ i^WLcosq)
{	}~2c4R1 2 + LWY
Возможны два положения равновесия:
1)	плоскость кольца перпендикулярна магнитному полю (неус¬
тойчивое равновесие, так как магнитный момент кольца противо¬
положен магнитному полю);
2)	плоскость кольца параллельна магнитному полю (устойчивое
равновесие, так как поток магнитного поля равен нулю, т. е. тока
нет, а при отклонении плоскости кольца момент возвращает в на¬
чальное положение).
При соL^> R
М = Мх ~ BqS2 sin
1 и	2Lc2
При со/. •« R
М = М2= i*2B2S2Lsincp^PJ = мх .
Во втором случае вращающий момент меньше.
Параллельный колебательный контур подключен, как показа¬
но на рис. 10.55, через сопротивление R — 10 кОм к источнику
переменного напряжения (амплитуды U0). Активное сопротивле¬
ние катушки г= 5 Ом. Для измерения добротности колебательного
контура к сопротивлению R подключается параллельно такое же
сопротивление (замыканием ключа К). При этом амплитуда ко¬
лебаний напряжения на контуре при резонансе токов увеличива¬
ется в 1,5 раза. Найдем добротность Q конту¬
ра, если известно соотношение между его па¬
раметрами (№ 10.81)
Для импеданса контура Z из (10.27), (10.29)
и (10.31) получаем
1	.	1	i(nrC - (л2LC + \
Рис. 10.55	Z	г + huL	г + mL
422

При резонансе
со
2
1
LC
и поэтому
^ = г + ко/, = !/<• +	=	_ ./пУ2
iwrC	со С	О \С/
Отсюда, во-первых, для модуля Z из условия задачи и (9.28) на¬
ходим
Z = -
г
I?
V'
Lr1
1/2
Во-вторых, учитывая, что из условия задачи при резонансе сле¬
дует, что L2a)2 » г2, и поэтому импеданс контура можно считать
некоторым активным сопротивлением, которое обозначим RK. Обо¬
значая ток от источника / и падение напряжения на контуре Uv
получаем U0 = I(R + RK), Ux = IRK. Откуда
и,
R + RK
При включении второго сопротивления получаем
и2
= и0
К
Л/2 + Л/
По условию оно в 1,5 раза больше £/,. Это позволяет найти

11.	ЭЛЕМЕНТЫ СПЕКТРАЛЬНОГО АНАЛИЗА.
АВТОКОЛЕБАНИЯ.
ПАРАМЕТРИЧЕСКИЙ РЕЗОНАНС. ШУМЫ
При рассмотрении вынужденных колебаний уже было сказано о
важности представления воздействующей нагрузки (правой части в
уравнении вынужденных колебаний) в виде набора гармоник (си¬
нусов и косинусов). Такое разложение нагрузки (произвольного
сигнала) называется спектральным анализом.
Периодическую функцию /(/) можно разложить в ряд Фурье
ЛО = А + Ё A sin (пш) +^В„ cos(wotf).	(11.1)
/7=1	/7=1
С круговой частотой со связан период основной гармоники
2я
Г = —.	(11.2)
О)
Коэффициенты определяются следующим образом:
Г/2
А>=У\	(П.З)
-Г/2
Интегралы всех гармоник по основному периоду дают нули.
■) 772
An = r \ f{t)&\n{mt)dt.
-Г/2
(11.4)
II
О
О
с/з
8
Sr
(11.5)
Легко проверить непосредственным вычислением, что в обоих
случаях только квадратичные члены отличны от нуля.
Можно разложение написать и для комплексной функции S(t),
для которой f(t) является действительной частью (в отличие от пре-
424

дыдущего раздела специальный значок «Л» используем для спект¬
ральной функции):
/(0 = ReS(0- •	(11.6)
S{t)= X Сп е‘пш'.
п = - оо
(11.7)
Отрицательные частоты соответствуют вращению вектора в ком¬
плексной плоскости по часовой стрелке
C„=J°]TS(t)t™'dt.	(11.8)
tО
Для непериодической функции f(t) снова имеем (11.6) и интег¬
рал Фурье
S(t) = 2“ J 5Чсо)е'“'</(о.	(11-9)
Функция 5 (со) называется спектром (или преобразованием Фу¬
рье) функции S(t)
S(a>)= J S(t)e~l<0,dt.	(1110)
В спектроскопии принято в показателе (11.9) ставить минус, а в
показателе (11.10) соответственно плюс и 1/(2я) из (11.9) перенести
в (11.10).
Найдем, какую величину S t получаем вместо (11.10) при сдвиге
(11.9) на Т, т. е. при S(t — Т). Из (11.10) следует
S(co) = J S(t - T)e~iu>ldt.
Введем новую переменную t' = t — Т. Производя замену, получаем
5,(со)= j	= е_,тГ | S(t')ei,a,'dt'.
(11.11)
425
Откуда
5, (со) = S( со)е-'шГ

При сдвиге сигнала изменяется фаза спектральной характеристики.
Проведем спектральный анализ некоторых колебаний. Цель та¬
кого анализа — найти коэффициенты при гармониках, входящих в
разложение (11.1).
Для квадратичного преобразования монохроматического (одной
частоты) сигнала/(/) = Л cos2 со/ (№ 11.1) даже не нужно пользовать¬
ся приведенными ранее формулами для коэффициентов ряда Фу¬
рье, а из простой тригонометрии получаем
/(/) = A cos2 со/ = у + у cos 2со/,
т. е. сигнал представляет сумму постоянной величины и второй гар¬
моники.
Если при колебаниях амплитуда или фаза, или и то и другое
меняются со временем, то они называются модулированными. Наи¬
больший интерес представляют случаи, когда модуляция является
гармонической функцией с частотой, значительно меньшей часто¬
ты колебаний, которая называется несущей частотой.
Для амплитудной модуляции с частотой Q •« со (несущей) частоты
и отношением амплитуд т < 1 (т называется глубиной модуляции)
(№ 11.1) получаем
/(/) = А{ 1 + т cos Ш) cos со/ =
т	т	(11.12)
= ^4cosco/ + ^yCOs(co + £2)/ + i4-2 cos(co-Q)/.
Спектр этого колебания, показанный на рис. 11.1, называется
линейчатым. Это коэффициенты при соответствующих гармониках,
обозначаемые Л(со).
Удобно воспользоваться комплексной формой сигнала и век¬
торными представлениями. Из (10.20)
Ж©)
А —
Ат
2
Г
1
co-Q со со+£2 со
Рис. 11.1
cos Q/ =
JQJ , -iQt
е + е
2
Получаем
S(t) = А{\ + т cos Q/) е
_ ^g/ш/ | А™ e*(o> + Q)f | А™
ш
с'ш =
(11.13)
J(<a-Q)t
426

В плоскости фазовых амплитуд (векторов), вращающейся с уг¬
ловой скоростью со, получаем результат, показанный на рис. 11.2.
|В результате вращения векторов Ат/2 в противоположные стороны
^получаем модуляцию амплитуды.
При модуляции фазы колебаний (№ 11.1) имеем
/(/) = /4coscp(/) = Л cos (со/ + т cos Sit).	(11.14)
В случае £2 «: со и т « 1 получаем
/(/) = A cos (о/ cos (т cos Sit) - A sin со/ sin (m cos Sit) ~
= A cos соt - Am sin со/ cos Sit = A cos со/ - mA cos Sit cos ^co/ -	=
m A	it I m A
= ylcosco/--
2 ' '22 ' ' 2\
(Il.l5)
mA
(co + Q)/-|
mA
— cos
—— cos
2
mA
— cos
1	1
8
+
JO
+
ю| Я
mA
H—— cos
2
(co-Q)/ + |j.
Следует отметить, что происходит модуляция мгновенной частоты
колебаний сомгн. Это можно определить дифференцированием фазы <р(/)
о)мгн = ^ = co-mQsinQ/.	(П.16)
В комплексном виде фазовая модуляция представляет
S(t) = Ae'(<a,+mcosn') = /1(1 + im cos Sit)
_	+/^d.e'(“+QV +iOhle'(°>-Q)'
(l 1.17)
A
Рис. 11.2
Am
427

Учитывая (10.33), изображаем вектора на векторной плоскости
(рис. 11.3). При т «: 1 амплитуда суммарного вектора не меняется,
а меняется его наклон, т. е. фаза.	|
Найдем, что зарегистрирует приемник радиоизлучения, если изве-|
стно, что в нем осуществляется квадратичное преобразование прини-/
маемого сигнала с последующим усреднением за некоторое время At,
подчиняющееся условию 2я/ю <sc At« 2я/£2, где ш — радиочастота;
£2 — частота модуляции (й « и) в следующих случаях:
1)	на вход поданы амплитудно-модулированные колебания (11.12);
2)	на вход поданы колебания, модулированные по фазе (11.14);
3)	на вход поданы колебания, модулированные по фазе с от¬
фильтрованной (т. е. убранной) частотой (о;
4)	на вход поданы колебания, модулированные по фазе, в ко¬
торых фаза спектральной компоненты частоты ю изменена на я/2
(т. е. фаза несущей изменена на я/2) (№ 11.2).
В первом случае введем обозначение B(t) — А( 1 + /я cos£20 для
величины, которая мало меняется на интервале от t — At/2 до t + At/2.
В этом случае выходной сигнал, который регистрирует приемник,
будет
я(') = (/Щ = Т7 J B2(x)cos2(oxdx =
t-Ы
B2(t)
At
I
t-tAt
cos2 cox dx
B2 (t) _ A2(l + mcos£lt)2
	л— ~ ^	г
2	2
Предполагается, что At содержит целое число периодов несущей
радиочастоты ш.
Можно воспользоваться комплексными представлениями
fit) = Re5(0,
где S(t) = х + iy = А( 1 + mcosQt)eim'. Усреднение модуля комплексно¬
го числа по большому числу периодов (р2) = (х2) + (у2) = 2(х2). Поэто¬
му
g =
= -55* = А2 + ff|C°s£2/)2
2° 2
где 5* — вектор, комплексно сопряженный 5, 5* = х — iy. При т « 1
получаем
£(') =
л2^ + 2т cos Ш
А 2
(11.18)
428
2

Во втором случае — фазовой модуляции (11.14) — удобно сразу
! воспользоваться комплексным представлением
1	А2
g = -SS* = —.
Таким образом, фазовая модуляция теряется.
В третьем случае при фильтрации (устранении) несущей часто¬
ты вместо (11.17) имеем
5(г) = /^e'(“+Q)' + iHtcosQt.
Получаем
g(f) = ^55" = mA f cos2 Sit -	(1 + cos2£2/).
В четвертом случае, в отличие от третьего, фаза несущей часто¬
ты изменена на п/2, что соответствует умножению первого члена в
(11.17)	на /:
5(0 =	= Ле/(“'+’'/2) (1 + т cos Sit).
Отсюда получаем
Это соответствует амплитудной модуляции
Найдем спектры сигналов, изображен¬
ных на рис. 11.4:
а)	периодическая последовательность
прямоугольных импульсов;
б)	прямоугольный импульс;
в)	синусоидальный цуг (№ 11.3).
В случае рис. 11.4, а для периодичес¬
кой функции можно написать представле¬
ние в виде ряда Фурье. Воспользовавшись
(11.6), (11.7) и (11.8), получаем
1 т/2
-Ф
1 dt =	А /^-шшт/2 _ ginan/2 \ _
-imnT'	'
А т 8т(лят/Г) _ А т sin(wx(o/2)
АТ ппт/Т АТ лхсо/2 ’
2 1 + 2/wcos£2f
2
(11.18).
АО,
Г
1 н-н
ппп_
JWI
л
h
щ
. t* -
1_
Л '
т
Fw
\ Л -
и
U V/'
—^4
Т
где со = 2п/Т.
Рис. 11.4
429

—2со -со 0 со 2 со Зсо со
Рис. 11.5
На рис. 11.5 показан линейчатый спектр этого сигнала.
В случае рис. 11.4, б для непериодического сигнала с помощью
интеграла Фурье (11.10) получаем сплошной спектр
s (со) = J s{t)eimdt =
= А Г е~ыА = — (е-,ил/2 - е/шт/2) = Ах sin(co^2)
—#Vil	fiVT//
(11.19)
-/со
сот/2
Этот спектр показан на рис. 11.6.
Интервал частот, в котором спектральная амплитуда существен¬
но отличается от нуля, называется шириной спектра. В данном слу¬
чае можно взять ширину главного максимума (2Дсо), для которого
Дсо = 2л/т.
(11.20)
Так как т равно длительности сигнала At, то можно написать
общее соотношение, связывающее длительность сигнала с шири¬
ной спектра и называемое соотношением неопределенности:
Д/Дю = 2л.	(11.21)
Вводя обозначение £2 = 2л/Г, в случае рис. 11.4, в получаем сплош¬
ной спектр
= d J (е,£г' +е-в')е-Ав'Л=у
-т/2
, т/2
S(со) = J Acos(Qt)e~ia,'dt =
-т/2
. ( т/2	т/2	N
J е-,(“-0)'Л+ j е~'(ш +а)'Л
v-t/2	-т/2	>
430

^ ’ е-/(ш - С1)х/2 _ е1'(<0 - £2)т/2 е-/'(ш + а)т/2 _	+ £2)т/2 "
2	—/(со - £2)	—/(со + £2)
[ sin[(co - £2)т/2] sin[(a) + £2)т/2]1
2 | (со - £2)т/2	(со + £2)т/2 J ’
Отметим, что этот спектр представляет сумму двух спектров
от прямоугольных импульсов, сдвинутых на £2 в разные стороны
(рис. 11.7).
Плоский вакуумный диод подключен к источнику постоянного
напряжения с пренебрежимо малым внутренним сопротивлением
(рис. 11.8). Эмиссионная способность катода К столь мала, что ток
через диод протекает в виде одиночных импульсов отдельных элек¬
тронов, каждый из которых имеет длительность т. Найдем спектр
сигнала на измерительном приборе при прохождении такого им¬
пульса (№ 11.4). При пролете заряда dq работа источника
Udq = U dt = UIdt.
* dt
Для электрона работа
eEdx = e^j-dx,
где / — ширина зазора. Поэтому, обозначая ускоре
ние электрона а, получаем
е dx _ eat _ let
l dt дт2/2 x2
“•I-®-1
Рис. 11.8
431

В соответствии с (11.10)
00	—1(0Г 1	—/(ОТ
/(ш)=( /(/)е"'“'Л = 2е-	— -2е-—.
оот	/сот
Через систему тонких плоскопараллельных
пластин, соединенных с измерительным прибор
Рис. 11.9	ром так, как показано на рис. 11.9, пролетает по
нормали к пластинам электрон достаточно вы¬
сокой энергии, чтобы пронизывать их без заметных потерь. Найдем
спектр сигнала на измерительном приборе, если скорость электро¬
на v, ширина каждого зазора h (№ 11.5). Эта задача похожа на пре¬
дыдущую. Так как там ЭДС не входит в ответ, то здесь можно
провести те же самые рассуждения, а затем положить U = 0. По¬
лучаем для —т < Г < 0 ток / = — /0, а для 0 < t < т ток I = /0, где т — h/v
и /0 = ev/h. Из (11.10) следует
/<•)- j
Найдем, при каких условиях, налагаемых на вид сигнала Um(t)
[и его спектра С/вх(со)], напряжение UBUX(t) на выходе ЛС-цепочек,
изображенных на рис. 11.10 и 11.11, совпадает с входным напряже¬
нием Um(t) (№ 11.7). В соответствии с (10.27) и (10.31) в первом
случае
$
и -	1 ивх _
ВЬ1Х /соС R + у/соС	1 + /со С/? *
Во втором случае
= R
R +
у/со С
= mCR
иш
1 + i(oCR
	0
* II 1
	0
Л')
С
= т
ло ли
т
0
	0
0.	L
	0
Рис. 11.10
Рис. 11.11
432

В первом случае при
1	а во втором случае при
получаем tfBUX = Um.
Высокодобротный колебательный контур находится под действи¬
ем внешней амплитудно-модулированной ЭДС, изменяющейся по
закону 8(0 = А(1 + т cos2 Ш) cos со0/. Резонансная частота контура
может перестраиваться с помощью изменения емкости. Считая ко¬
эффициент затухания контура р заданным, найдем амплитуду вы¬
нужденных колебаний в следующих случаях:
1)	контур настроен на несущую частоту ю0;
2)	контур настроен на частоту ю + 2Q (№ 11.8).
Используя тригонометрические формулы, для входного сигнала
получаем
Спектр этого сигнала показан на рис. 11.5. В соответствии с (10.1),
(10.9) и (9.27) для выходного сигнал получаем в первом случае
На вход колебательного контура с высокой добротностью подаются
амплитудно-модулированные колебания $(/) = А(1 + т cos Ш) cos ш.
При перестройке несущей частоты о наблюдается несколько резо¬
нансов. Найдем резонансные значения частот и определим глубину
модуляции т, если известно, что амплитуда вынужденных колеба¬
ний напряжения на контуре уменьшилась в п = 4 раза при пере¬
стройке частоты со от значения о>0 до ю0 + Q + р (ю0 — собственная
Во втором случае
28-2073
433

частота; Р — коэффициент затухания контура) (№ 11.9). Для пода¬
ваемого напряжения имеем
%(t) = А{ 1 + т cos Ш) coso)/ =
= y4costo»' + ^cos(a) + Q)/ + :^cos(a)-Q)r.
При совпадении со с со0 получаем спектр с резонансами при
(о)0 — Q), (о0 и (со0 + Q). Из (10.41) следует, что отношение энергии
при сдвиге частоты от резонанса на Доа = р к энергии при резонансе
уменьшается в два раза. Амплитуда уменьшается в 72. В соответствии
с (10.1), (10.9) и (9.17) амплитуды вынужденных колебаний в Q (доб¬
ротность) раз больше амплитуды вынуждающей силы. При ш0 амп¬
литуда AQ, при (ш0 + Q) амплитуда AmQ/2, а при сдвиге на р еще в
72 меньше. По условию амплитуда уменьшилась в 4 раза. Отсюда
„ = ^ = 0,7.
В схеме, изображенной на рис. 11.12, действует переменная ЭДС,
изменяющаяся по закону = &0 cos2 Ш. Найдем токи / и /,, если
известно, что параметры цепи удовлетворяют соотношению (№ 11.10)
1
Q2 =
ALC'
Можно воздействие представить в виде
^	—|-—cos 2Ш.
2	2
Таким образом, в напряжении имеется постоянная и перемен¬
ная составляющие. Постоянный ток не проходит через конденса¬
тор, а идет через R, R{ и Lv Правая часть схемы находится в резо¬
нансе напряжений с ЭДС
Следовательно, ее сопротивление переменной части тока равно
нулю. Весь переменный ток течет через R и LC. Он равен
/ =
cos Sir
Постоянный ток через конденсатор не проходит, поэтому
Щ/2
1 R + Rl
434

I
В схеме, изображенной на рис. 11.13, действует переменная ЭДС,
изменяющаяся по закону Ш = £0 cos2 Ш. Найдем токи / и /,, если
известно, что параметры цепи удовлетворяют соотношению (№ 11.11)
Q2
1
4 LC'
Можно воздействие представить
К S,
g' = ^- + ^-cos2Q/.
2 2
Постоянный ток будет идти только через L. Он будет равен
/
2R'
Так как L С контур находится в резонансе токов, то переменный
ток через него не идет, а идет через Л, и С,. Поэтому
Амплитуда его
%/2
R. + Л| + 1^/£2С|
»о	2 £2/ + <р
— C°s
[(Л + Л,)2+1/(2ПС1)2]
tg<P =
	1
2(Л + /г,) + 1/£2С, '
На /?С-цепрчку (рис. 11.14) подается гармо¬
ническое напряжение Um = U0 cos Ш. Парамет¬
ры цепочки подобраны так, что сдвиг фаз меж-
ду UBta h Ubx составляет 60°. Найдем спектраль¬
ный состав выходного напряжения и фазовые
сдвйги между спектральными компонентами для
с
0
-0
U»x /?| I ^вых
0-
-0
Рис. 11.14
28
435

/
случая, когда расстояние между пластинами конденсатора (конден- /
сатор плоский) изменяется по закону h — Л(1 + a cos Qt), причем /
Q «о и а« 1 (№ 11.12). При неизменных параметрах цепочки,
когда С = С0, получаем, как для делителя напряжений, в соответ-,
ствии с (10.26) и (10.30)
С/.
R + 1//'соС0
и для сдвига фаз по условию в 60° в соответствии с (10.34)
'8Ф'^='Й'
Откуда соотношение между параметрами цепочки
to C0R = -т=.
0	л/3
Для переменной емкости конденсатора по условию и в соответ¬
ствии с (3.56) имеем
С =
Со
1 + acosQt'
В таком случае
Увых _	1		1
UBX 1 + \/iwCR - />/з)(1 - iy/3acosQ,t/\ - /73)
Используя условие а «с 1 и формулу Эйлера (10.20) (см. 1, с. 101),
получаем
^вых 1 + *73flCOS£2//(l - /73)
1-/V3
1
2
е>Ф
Представляя входное напряжение в комплексном виде U = t/0e ,
имеем
[/ = ^0 е<(ш/ + Ф)+цоУ/з £р'[(“ +«)' + 7"/6] + е*[(а> -а)/ + 7*/6]J
436

Таким образом, в спектре имеем три гармонические компонен¬
ты: основную с частотой ш и амплитудой UJ2 и с частотами со ± £2
и амплитудами U0y/3^, которые по фазе сдвцнуты относительно
основной на 5л/6.
Рассмотрим аналогичную задачу, в которой сопротивление и
емкость поменялись местами (рис. 11.15) и сдвиг фазы равен —45”
(№ 11.13). При этом
U =U 1/',а)С°	- и
вых “ R + 1//шС0	1 + /соС0Л
и tg ф = —соС0Л = —1, т. е. шC0R = 1. В результате
1/вых _	1	_ 1 + ia cos Q.t/{\ + /)
Um	1 + //(1 + a cos £2/)	l + i
Представляя входное напряжение в комплексном виде U = U0eml,
имеем
щ е'(“' - к/*) Г1 + ° e<(Q/ + v4) + а е«(-а+v4)
Л	I 2Л	2л/2
Таким образом, в спектре имеем три гармонические компонен-
ип
ты: основную с частотой со и амплитудой —j= и с частотами со ± £2 и
амплитудами U0которые по фазе сдвинуты относительно основ¬
ной на л/4.
На вход колебательного контура (рис. 11.16) подается амплитуд-
но-модулированное напряжение
Um = (/0(1 + т cos £2/) cos ю0/ (т < 1).
Контур настроен в резонанс с частотой ш0. Вычислим (/вых,
если ш0 = 2 • 106 с-1, £2 = 5 • 103 с-1, добротность контура Q = 100
Рис. 11.15	Рис. 11.16
437

(№ 11.14). Используя (11.12), получаем для спектра входного сиг¬
нала
U = U0 (1 + /и cos Q/) cos со/ =
/гхШ	/	v	1/пП
~2 cos (со0 + £2) / н ”■
ТТ	Un/П / v
= t/0 cosco0/+ —cos(co0 + &)/ + —cos(co0 + Q)/.
Чтобы получить спектр тока, надо воспользоваться (10.16) для им¬
педанса, (9.27) и (10.38) для связи с добротностью и (10.34) для фазы:
Z = R
Г1+Ь_м2«1
1/2
L \ гоС/ RJ
V со / _
1/2
А	(оL - 1/соС ^ 2Д(о
,кч, = —я
где для резонанса Дсо = 0, а для смещенных компонент |Дсо| = Q.
Таким образом, спектр тока
/ = %cos.y + i?g «»К>»а> + Ф)
я	2 Л[1,(С2цЧ)’Г
U0m	cos(co0r - £2/ - (р)	_(/„	 ,
+ 2	Г	2"l 1/2 " /{ COS(°0'
*[i + (02q4)2]'
^ /wcos(Q/ + cp) ^
[l+(G2n/co0)2]1/2
Отсюда
гг гг	1 + mcos(Q.t + ф) г_
С/ = Uо COSCDq/-			- = ^0 COS(00/
[1 “lv
1 + (Q 2Ц/ш0)2 J
^ ^ wi,cos(QC+<p)
[l + (G 2Ц/ш0)2]
|l/2
где
			2^ = 0,9m; tgcp = 0,5.
[l + (G2£2/o)0)2]
На вход колебательного контура (см. рис. 11.16) подается пери¬
одическая последовательность прямоугольных импульсов, длительность
которых (т) в 4 раза меньше величины периода (Т). Частота повто¬
рения импульсов (со = 2п/Т) совпадает с резонансной частотой кон¬
тура. Найдем отношение амплитуд второй гармоники к первой на
438

выходе контура, если его добротность Q = 100 (№ 11.15). Для вход¬
ного сигнала, используя (11.7) и (11.8), получаем
С„=4 f AeT^'dt =—sin/кв |,
Т-{,2 ПП 2
где А — амплитуда импульса; (о = 2л/Т — первая гармоника.
Так как т = 7/4, то для первой гармоники
А
n-Jl ’
а для второй гармоники
^2вх -
А_
2л ‘
Рассматривая схему как делитель напряжения, получаем для ре¬
зонанса С1вых = С1вх, а для
со2
= 2<о =
1
aoV2 ’
используя (10.16), находим
^2вых  	Л			R		 2
С2вх	[л2 + (coi - 1/щС’)]1/2	[(9/4) L/C + R2 ]‘/2	30
Окончательно
= 0,0047.
ClBba
Сигнал с выпрямителя имеет вид U(t) (половинки косинусоид)
(рис. 11.17 сплошная линия). Его подают на схему, изображенную
на рис. 11.18. Контур L, С настроен на частоту ш0; R »<o0L и R» г.
439

Считая контур идеальным, определим форму сигнала UR(t) (№ 11.16).
При разложении в ряд Фурье (11.1) имеем постоянную составляю¬
щую и гармоники. При заданных условиях через данную систему
постоянная составляющая и все гармоники, кроме первой, пройдут
без изменения. Для первой гармоники в контуре L, С наблюдается
резонанс токов, т. е. бесконечное сопротивление. Значит, эту гар¬
монику надо вычесть из сигнала, поступающего на схему. Исполь¬
зуя (11.5) для коэффициента первой гармоники, получаем
Т/4
Bi=-f | cos2a>0tdt = ^.	(11.22)
1	-Т/4	2
В результате
(/Л(г) = (/(/)-| cos со0/.
Вычитаемая часть показана на рис. 11.17 пунктиром. Оконча¬
тельно получаем
^«(0 = ^|c°sco0/|.
Рассмотрим другой вариант, когда такой же сигнал (на рис. 11.17
сплошная линия) подается на схему, изображенную на рис. 11.19.
Контур L, С настроен на частоту ш0; <л0Ь » R » г. Считая контур
идеальным, определим форму сигнала UR(t) (№ 11.17). Снова пользу¬
емся разложением в ряд Фурье (11.1). Для первой гармоники в кон¬
туре L, С наблюдается резонанс напряжений, т. е. нулевое сопро¬
тивление. Он шунтирует сопротивление для этой гармоники, она
на него не попадает. Значит, эту гармонику надо вычесть из сигна¬
ла, поступающего на схему. Используя (11.5) для коэффициента пер¬
вой гармоники, получаем (11.22)
2 774	1
Д] =т! cos2со0tdt = ~.
1 -Т/4	1
В результате
UR(t) = U(t)-]-cosa>0t.
Вычитаемая часть показана на рис. 11.17 пунктиром. Оконча¬
тельно получаем
= ^|cosco0/|.
440

0
т
т 1
i
с
Рис. 11.19
Рис. 11.20
Генератор импульсов, имеющих форму, изображенную на рис. 11.17
(сплошная линия), включен в цепь колебательного контура L, С, R,
имеющего добротность Q = 100 и настроенного на первую гармони¬
ку генератора со0 (рис. 11.20). Внутреннее сопротивление генератора
г = 50 Ом, а амплитуда ЭДС U— 100 В. Найдем максимально воз¬
можное значение амплитуды первой гармоники тока /1тах в контуре,
если все высшие гармоники должны быть подавлены по крайней мере
в 100 раз (Р = IJI2 > 100) (№ 11.18). Пользуемся разложением в ряд
Фурье (11.1). В соответствии с (11.5) для первой гармоники имеем
-//4
Для второй гармоники, используя четность формы импульсов,
находим
При резонансе сопротивление имеет активный характер (10.16),
поэтому
Амплитуды входных сигналов
При резонансе, используя (9.8) и (9.27), имеем
щЬ = — = QR.
со0С
441

Вторая гармоника — вне резонанса. Поскольку по условию она
должна быть сильно подавлена, то
D	7	1
R + г «с оз7Ь	.
ш2С
Таким образом,
U2	U2 _ 2U2
2 " оhL- 1/а)2С " 2QR - (1/2)QR ~ 3QR'
Отношение гармоник тока
я
R + г'
Откуда
Л = 8р
г
9п Q - 8р'
Считая, что р равно как минимум 100, получаем R = 20 Ом. Это
значение сопротивления R определяет максимально возможное зна¬
чение амплитуды первой гармоники тока
/1пт = —Ц = —Щ ~ °>71 А.
lm“ г + R r + R
Аналогичную задачу можно решить в случае генератора прямо¬
угольных импульсов (рис. 11.21) с амплитудой U = 100 В и скважно¬
стью а = Т/т = 4(7’— период следования; т — длительность импуль¬
сов), имеющего внутреннее сопротивление г= 50 Ом, нагруженного
на последовательный контур с добротностью Q = 100. Найдем мак¬
симально возможное значение амплитуды первой гармоники тока
Атах в контуре, если все высшие гармоники должны быть подавле¬
ны по крайней мере в 100 раз (Р = IJI2 > 100) (№ 11.19). Пользуемся
и> I
П
Т
2
442
Рис. 11.21

разложением в ряд Фурье (11.1). В соответствии с (11.5) для первой
гармоники имеем (11.22)
9 т/2	ft
By = U J* cos(to0/)J/ = U —.
7 -т/2	71
В силу выбранной четности зависимости импульсов члены с
синусами отсутствуют. В чем можно убедиться непосредственным
применением (11.4).
Для второй гармоники, используя четность формы импульсов,
находим
V2
в2 = Y } cos (2(i>0t)dt = —.
1 -т/2	“
Амплитуды входных сигналов
£/,-М; и,-".
1	71	П
При резонансе, используя (9.8) и (9.27), имеем
о)01 = —= QR.
щС
При резонансе сопротивление имеет активный характер (10.16),
поэтому
Л =
Ух
R + г *
Вторая гармоника — вне резонанса. Поскольку по условию она
должна быть сильно подавлена, то
Таким образом,
R
+ г < о)2Z -
1
со2С
U2 _	и 2	2 и 2
2 " (d2L-1/co2C “ 2QR - (l/2)QR ~ 3QR '
Отношение гармоник тока
Л
R + г'
443

Откуда
* = pV2r(30-p>/2).
Считая, что Р равно как минимум 100, получаем R = 45 Ом. Это
значение сопротивления R определяет максимально возможное зна¬
чение амплитуды первой гармоники тока
/
1 шах
Ux _ Ujl/n
г + R г + R
0,474 А.
Квадратичный детектор D преобразует входное напряжение
U = //„(sin (о/ + sin 2со/) по закону Ua = kU2. К выходу детектора
подключена цепь, состоящая из последовательно соединенных ин¬
дуктивности L и сопротивления R(a>L/R= 1/3) (рис. 11.22). Найдем
отношение амплитуды гармоники с максимальной частотой к посто¬
янной составляющей выходного напряжения, снимаемого с сопро¬
тивления (№ 11.20). Результат квадратичного преобразования проще
всего получить, воспользовавшись (10.20). Обозначив ш/ = а, имеем
(sin а + sin 2а)2 =
/а -/а	/2а	-/2а
е - е е - е
+
2/
2/
Jla - 2 + е~'2“ + е'4а - 2 + е-,4а + 2(е,3“ - е'° - e"ta + е-<3а)
+ е - 2 + е"
Отсюда следует
Ua = kUl{\ + cos о/- i cos 2ш/-cos 3<и/-^ cos 4ш/j.
Как в делителе напряжения, на выходе получаем
R
^ВЫХ Л	я
(л2+о272)
1/2 •
С учетом условия находим
^вых4 1	1	_ 3
^выхО 2 (l + 16ш2L2/R2f2	10
Если на квадратичный детектор поступает входное напряжение
U = t/„(cos (о/ + cos 2(о/), то, действуя, как в предыдущей задаче,
получаем
(/д = kUl fl + cos со/ + ^ cos 2(о/ + cos3co/ + ^ cos 4(0/1.
444

Рис. 11.22
Рис. 11.23
В случае подключения к детектору цепи, изображенной на
рис. 11.23, используя (10.27) и (10.31), для амплитуд получаем
U =и
вых п ЦП
1
(1 + ш^2Л2)
1/2 •
Если известно, что
то для отношения амплитуды гармоники с максимальной частотой
к постоянной составляющей выходного напряжения, снимаемого с
емкости (№ 11.21), имеем
^вых4	V2	_ 1
^выхО (1 + 16ш2С2/Л2)'/2	6
Дифференциальная магнитная проницаемость р некоторого фер¬
ромагнетика зависит от напряженности магнитного поля по закону
dB	jj2
На тонкий тороидальный сердеч¬
ник из такого материала равномерно
намотана катушка, имеющая ТУ витков.
Сечение сердечника S, радиус тора г
(рис. 11.24). Через катушку течет по¬
стоянный ток подмагничивания, вели¬
чина которого такова, что зависимость
В(Н) достигает максимума. Катушка
охвачена короткозамкнутым проводом,
сопротивление которого R. Найдем
445

спектр тока / в проводнике (пренебрегая его индуктивностью), если
помимо тока подмагничивания через катушку пропустить слабый
переменный ток /= /„sin со/ (№ 11.23). Из условия
ffo
= 0.
находим
Яп =
Ток / дает добавку магнитного поля ЛЯ, для которой из (5.6)
следует
4v.NI
Откуда
где
ДЯ2яг =
ДЯ = 2N — = 2NI0	= A sin со/,
сг	и сг
A = 2N^-.
сг
Магнитную индукцию представим в виде ряда Тейлора (разло¬
жения по АН относительно максимального В)
31
По условию
= -2ц2Я„ =-2(р,ц2)1/2;
Более высокие производные равны нулю.
Поэтому, подставляя АН, получаем
*-JL
,dH3)0
= -2р2.
В = В0- (p,p2)l/2 A2 sin2 со/ - -у-Л3 sin3 со/.
Для изменения индукции со временем находим
^ = -2 (р, р2 )'^2 Л2со sin со/ cos Ш -Щ-А3	cos 2со/) cos со/ =
= -(p,p2)l/2 zl2cosin2co/cosco/-^-.43co(cosco/-cos3co/).

Заметим, что представление степеней гармонических функций
проще всего получать с помощью формулы (10.20).
Ток в проводе определяем с помощью (7.1):
/ = ~ ^	) /2 Л2а> s‘n 2cof cos	A3to (cos Ш - cos 3(of)
\>/2 л2
И2
Таким образом, в спектре тока три гармоники с частотами ю,
2(0 и 3(о.
Для такой же тороидальной катушки в отсутствие подмагничи-
вания, которое выводит В на максимум, заданную зависимость маг¬
нитной индукции от напряженности поля
йв	тт2
можно проинтегрировать. Используя, что при Н = 0 и В = О,
получаем
В = »ХН-\»2Н3.
Из (5.6) следует
Н = 2N—.
сг
Если в катушке течет переменный ток / = /0 sin (о/, то, вводя
обозначение
Яо=2 N%,
находим для индукции магнитного поля
1 , ,
В = ц,Я0 sin of - -ц2#о s‘n at-
Используя (10.20), (7.1) и (10.18), находим для схемы, изобра¬
женной на рис. 11.25, (№ 11.24)
/ = - S(i?C
ЩН0 - ц2
3 1
sin ©f + - - Sco^UjHl sin 3(ot.
4 c
Найдем, каков спектральный состав выходного напряжения (7ВЫХ
(т. е. амплитуды и фазы спектральных компонент) в схеме, изобра¬
женной на рис. 11.26, если обе индуктивности одновременно изме-
447

Рис. 11.26
няются по закону L = L0( 1 + т cos Qt), считая, что т < 1, со » Q. и
соL0 R (№ 11.25). Используя (10.26) и (10.28), получаем
U = и I ——	-—
вых ив*1 д + йо! R + ia>L
а-1Ч>
(R + aL)^
	— U eTi2<f
и вхс >
где tg ср = соL/R. Учитывая условие,
2ф =
2со L
R ‘
Таким образом, если входное напряжение URX = U0 cos со/, то вы¬
ходное напряжение £/вых = U0 cos (соt — 2ф). Подставляя фазу и ин¬
дуктивность, учитывая, что 2соL/R « 1, и пользуясь (11.14) и (11.15),
находим
ивых = U0 cos
соt - 2пкаЦ
cos й/
-2(0-3-
R
= Un cos со/ + 2£/лС0 — < cos
(co + £2)/-^
+ cos
Рис. 11.27
Найдем, каков спектральный состав
выходного напряжения UBVlx (т. е. ам¬
плитуды и фазы спектральных ком¬
понент) в схеме, изображенной на
рис. 11.27, если обе емкости одновре¬
менно изменяются по закону
i = тг(1 + mcos£2/),
с с0
448

считая, что т < 1, со » £2 и ш/?С0 » 1 (№ 11.26). Используя (10.26) и
(10.30), получаем
^вых	^ вх
= иш
1/(/0)С) 1 R I _ „ ( R + //соС _
R + l/(/coC)J R + l/(/coC)J Bxt-/f+ //cocJ
R2+-
1
(» С)2
J<P
[л2 +l/(coC)2]<
-'Ч>
= U е'2<р
где
tgq> =
1
шСЛ ‘
Учитывая условие,
Таким образом, если входное напряжение Um = U0 cos Ш, то
выходное напряжение UBm = U0 cos (соt + 2ср). Подставляя фазу и
емкость, учитывая, что 2соCR » 1, и пользуясь (11.14) и (11.15),
находим
ТТ гг ( * л cos Sit
и.ж = и a cos| (0/ + 2т——
(о C0R
(co + Q)n-|
= Un cos (о/ + 2m
(&C(\R I
(cos
__2_N
соС0Лу
+ cos
(co-Q)/ + | J
В вольтметре для постоянного тока ток поступает в катушку,
которая может вращаться во внешнем постоянном магнитном поле.
Выясним, какую величину измеряет такой вольтметр и что он будет
показывать, если его включить через идеальный диод в розетку пе¬
ременного тока с напряжением 220 В (№ 11.27). Ток, текущий в
катушке, создает магнитный диполь, на который в постоянном маг¬
нитном поле действует механический момент (7.8). Если катушка
подвешена на упругой нити (или пружине), то поворот зависит от
магнитного момента катушки, т. е. от тока в ней, который опреде¬
ляется подводимым напряжением. Таким образом, измеряется под¬
водимое напряжение. При включении через диод переменного тока,
благодаря механической инерционности системы, происходит ус-
449
29-2073

реднение прикладываемого напряжения. Гармоническое (синусои¬
дальное) изменение напряжения дает
В вольтметрах для измерения постоянного или переменного на¬
пряжения используется принцип взаимодействия двух катушек, одна
из которых подвижная. Катушки соединены последовательно, так
что через них проходит один и тот же ток. Выясним, какую величи¬
ну измеряет такой вольтметр и что он будет показывать, если его
включить через идеальный диод в розетку переменного тока с на¬
пряжением 220 В (№ 11.28). В отличие от предыдущей задачи внеш¬
нее поле зависит от тока, поэтому момент зависит от квадрата тока,
т. е. от квадрата приложенного напряжения. В таком виде вольтметр
измеряет при постоянном токе квадрат напряжения, а при перемен¬
ном — средний квадрат напряжения. При соответствующей градуи¬
ровке — шкалы напряжение и среднее квадратичное напряжение.
Для среднего получаем
На вход высокодобротного колебательного контура (L, С, R) в
начальный момент времени / = 0 подается внешняя ЭДС
U(t) = U0 cos [й/ + <р(/)]
Найдем, через какое время после включения ЭДС амплитуда
вынужденных колебаний в контуре максимальна и сколько времени
должно пройти, чтобы амплитуда вновь уменьшилась (№ 11.31).
Изменение аргумента косинуса х|/(/) = й/ + at2 соответствует изме¬
нению частоты
с законом модуляции ср(/) = at2 (о. > Та). Параметры колебатель¬
ного контура удовлетворяют условию
ю =	= й + 2а/.
dt
(11.23)
450

Амплитуда достигнет максимальной величины, когда частота
станет равной резонансной
Это произойдет в момент
Надо иметь в виду, что в начальный момент кроме вынужден¬
ных возникают также собственные колебания. Их затухание опре¬
деляется коэффициентом затухания (9.9)
По условию характерное время затухания (9.25)
Характерное время изменения величины cos (at2) как раз поряд-
нение фазы приведет к резонансным колебаниям. Существенное
снижение амплитуды произойдет, когда частота выйдет за ширину
резонансной кривой (10.42), т. е. Дш = (3 = 2а/,. Откуда
2а 4 aL
Ha вход высокодобротного колебательного контура (L, С, К) в
начальный момент времени / = 0 подается внешняя ЭДС
{/(/) = a(t) cos о)0/
с законом амплитудной модуляции a(t) = a(l + cos at2), где со0 » Та.
Параметры колебательного контура удовлетворяют условию
Найдем, через какое время после включения ЭДС колебания
напряжения на обкладках конденсатора окажутся близкими к гар¬
моническим (№ 11.32). Для внешней ЭДС получаем
U(t) = а(\ + cos at2) cos со0/ = a cos со0/ + a cos at2 cos со0/ =
= a cos со0/ + (o/2)[cos(co0/ — at2) + cos (со0/ + а/2)].
а)0 -£2
2а '
ка , поэтому собственные колебания затухнут раньше, чем изме-
29’
451

Два последних слагаемых — модулированные по частоте колеба¬
ния такие, как в предыдущей задаче. Из (11.23) законы модуляции
0)1,2(/) = W0 ± 2Ш-
При смещении частоты на ширину резонансной кривой (10.42), (9.9)
До) = 2а/ = Р =
модулированные колебания фактически исчезнут. Таким образом,
колебания окажутся близкими к гармоническим через время
/ > ——.
4а L
Сигнал U(t) = U0 cos (to/ + т cos Ш), где т<к\ и £2 <sc о, подается
на вход контура с высокой добротностью Q» 1. Резонансная часто¬
та контура (о0 = со — Q. Найдем с точностью до малых поправок
зависимость от времени напряжения на конденсаторе U(t), считая
Q э> Wq/Q (№ 11.33). Воспользовавшись (11.14), (11.15) и (11.17),
получаем для входного сигнала
U(t) = U0 coso)/ + ^y*-cos (co + Q)/ + ^ + —~^cos (со-
й)' + f]-
Этот сигнал есть действительная часть действия в комплексном
виде
Цф _ jg'W + ™ е'[(“ + п)' + "/2] + е'[(“ - а)‘ + "/2] j
(11.24)
Импеданс контура (10.32)
Z = R + ip,
(11.25)
где
I	з
1
о
3
II
CL
(11.26)
Сдвиг фазы тока от входного напряжения (10.34)
(11.27)
При малой расстройке (Дш «с ю0) из (10.38)
Ip|.l2H=c*3^-
(11.28)
452

Для напряжения на конденсаторе в соответствии с (10.31) и (10.32)
получаем
Uс =
/
/соС
ioaCZ
е-<(я/2 + <р)
соС(/?2 +р2)^2
(11.29)
Для разных гармоник получаем разные р, так как р зависит от
частоты, и разные ср, так как они зависят от р.
Для частоты (со - £2), которая по условию равна резонансной со0,
имеем р = 0иф = 0. В этом случае, учитывая (9.27), получаем
e-<V2
Uc =^mU0COS^CR^t =^mU0Qcos((a-Q.)t.
Для частоты со имеем
р(со) = р(со0 + Q) = 2LQ.;
tgcp = 2 LQ./R = 2(?Q/co0.
Эта величина по условию очень большая, поэтому <р = я/2. Откуда,
подставляя соответствующую гармонику в (11.29) и учитывая усло¬
вие, получаем
Uс =0
соСр
е1(о>/-п)
соСр ’
тт	11	(O'	Uq С°0
Uс = -Uо COS—— =	COSO)/.
с 0 шСр 2 Q
Для частоты (со + Q) имеем
р(со) = р(со0 + 2Q) = 4 LSI;
tgcp = 4 LQ/R = 40fl/coo.
Как в предьщущем случае, получаем
Uс =1)
Uс -
соСр
-\mU0
m e'(m + а)' -
°Т ^
cos (со + й)с
соСр
453

Этим членом можно пренебречь по сравнению с гармоникой,
соответствующей со. Таким образом, для зависимости напряжения
на конденсаторе имеем
Uс ~ ^mU0Qcos((a-Q.)t -~-^-cos<at.
На вход колебательного контура, настроенного на частоту со,
подается сигнал	= U0(] + т cos Qf) cos <o0?, m < 1. Добротность
Q » 1. Частота модуляции выбрана равной
Найдем амплитуды и фазы спектральных компонент напряжения
иаых(0 (№ 11.34). Из (11.12) и (11.13) получаем входной сигнал в
комплексном виде
0BX(t) = (/о ехР («ВоО + -у- ехР[' (“о + &)'] + ехр[/ (со0 - Q) t]. (11.30)
Используя (11.25)—(11.28) и (10.32), при малой расстройке по¬
лучаем спектральные компоненты тока в виде
L	ип вх
-/ф
К-Р2)
2\Ч2
Спектральная составляющая напряжения на конденсаторе
/	Л е-'(ф + ^
итвых =-у =	^ + р21^12 •	<П-31)
Для разных гармоник получаем разные р, так как р зависит от
частоты, и разные ср, так как они зависят от р.
Для частоты со = со0 из (11.27) и (11.28) имеем
р = 0 и ср = 0.
Для частоты (ш0 + Q) имеем
p((o0+ft) = 2ZQ = 2Q£?—.
со0
Отсюда, используя условие, получаем
454

Из (11.27)
я
Ф=4-
Для частоты (ш0 — £2) получаем
я
4'
Поэтому
й<оо вых = QU0e~‘*t2cosa>0t,
jс<к(ш0 + а)/;
и1т,.ат‘Яиае-1ч'^(щ-а)1.
Сигнал на выходе представляет амплитудную модуляцию с глу-
т
биной -д. Суммарный сигнал
Qtf0[cos((V-!) + A^L
COS
f ш nt + Q/ -	+ 44=cos(cV -Ш-
= QU0 sin o)0/
2 V2
i + ^c°s(a,-J
Чтобы построить векторную диаграмму, запишем результаты в
комплексном виде:
К вых = QU0e~^2exp(i(a0t);
й(щ+а) вых =	|е-'3я/4е'£2'ехр(/соо0;
^(сво-а) вых = ^ио je-in/4e-iQ,exp(io)0t).
Суммарный выходной сигнал в комплексном виде
t/вых = [QUoein/2+-^U0 "(e^V*' + e-'*/4e-^)]exp(/ov)-
455
44 Я

Аналогичным образом можно представить и входной сигнал
На рис. 11.28 этот сигнал показан горизонтальным вектором UQ
и двумя векторами, вращающимися в противоположные стороны.
Выходной сигнал представлен вектором QU0, отстающим от вход¬
ного на л/2, и двумя векторами, вращающимися в противополож¬
ные стороны.
Индуктивность колебательного контура периодически изменя¬
ется во времени по закону, указанному на рис. 11.29. Найдем, при
каком значении емкости колебательного контура возможен пара¬
метрический резонанс, а также при каком максимальном значении
активного сопротивления контура произойдет возбуждение пара¬
метрических колебаний (№ 11.35). Для резонанса необходимо, что¬
бы период вынуждающей силы 4т0 совпал с периодом собственных
колебаний
U
DX
U0 +U0j(eia' +е-'й') ехр(/ш00-
4т - Т - —
4Т° “ ' " ш
= 2 я(А,С),/2.
Откуда
Рис. 11.28
Рис. 11.29
456

Предположим, что изменение индуктивности происходит за счет
изменения длины катушки. При растягивании производится рабо¬
та, так как витки в катушке притягиваются друг к другу (как парал¬
лельные провода). Колебания поддерживаются благодаря этой ра¬
боте, которая равна изменению энергии магнитного поля в катушке
и равна потерям на сопротивлении (4.18)
(/, + Д/,)у-£у = 1/2Л4т0.
Откуда
Для поддержания незатухающих колебаний в LCR-контуре ем¬
кость конденсатора быстро меняется на величину АС каждый раз,
когда напряжение на нем равно нулю, а через время т возвращается
в исходное состояние. Найдем величину и знак АС (№ 11.36). Когда
напряжение на конденсаторе равно нулю, ток в индуктивности мак¬
симален /тах и мало меняется. Если время т мало по сравнению с
характерным временем изменения тока, то на конденсатор притечет
заряд q = /тахх.
Изменение энергии электрического поля в нем связано с изме¬
нением емкости от С, до С2, которое должно восполнить потери на
сопротивлении за половину периода колебаний
Ill-Iilr2 2 Cl ~ ^2 ^	1 т2 пГ
2 С2 2 С, max 2С2	2*2'
Отсюда
С,	- С, > RC2-,
Т
т. е. емкость надо уменьшить, для чего раз¬
двинуть пластины, при этом совершив ра¬
боту, так как заряженные пластины притя¬
гиваются.
В схеме, изображенной на рис. 11.30,
анодный ток /а при малых колебаниях в кон¬
туре линейно зависит от напряжения на сет¬
ке Vc по закону /а = SVc + /0, где S и /0 —
постоянные величины. Катушка колебатель¬
ного контура L и катушка связи LCB намота-
Рис. 11.30
457

ны на общем магнитном сердечнике. Считая величины L, LCB, С и S
заданными (L = 4• 10-4 Гн, LCB = 4• 10~6 Гн, С= 10~8 Ф, 5= 2 • 10~3 А/В),
найдем, при каком максимальном значении активного сопротив¬
ления R контура возможно возбуждение автоколебаний и какова
будет эффективная добротность контура, если выбрать R = 2Лтах
(№ 11.37). Как видим, анодный ток не зависит от потенциала ано¬
да, а зависит от потенциала сетки. Это связано с тем, что сетка
находится ближе к катоду. Дифференцируя это соотношение, по¬
лучаем
dI± = £s_dV!L = sdV!L
dt dVQ dt dt
При изменении анодного тока в колебательном контуре через
LCB в соответствии с (9.1) и (5.27) индуцируется ЭДС
£инд =-м^Г = ~MS4г-
инд	dt	dt
где М — коэффициент взаимной индукции. Предполагая, что рассе¬
яние мало, из (5.30) получаем
M=(LLCBy/\
Потенциал на сетке равен потенциалу на конденсаторе, поэтому
dVc 1 dq I
dt ~ C dt~ С'
где q и / — заряд на конденсаторе и ток через конденсатор. Следо¬
вательно,
Кш = -Msl.
Если М < 0, то &инд и / имеют одинаковые знаки, колебания
нарастают (самовозбуждение). При М > 0 колебания подавляются.
Используя (9.4), получаем для колебательного контура
Lq" + Rq' + ± = -MS^.
Вводя обозначения
(О
2 _J_
0 LC
и
2Р =
R MS
L LC
458

приходим к уравнению (9.15), которое имеет решение (9.19). При
Р > 0 — затухающие колебания, при р < 0 — нарастание колебаний —
самовозбуждение. Для самовозбуждения должно быть
При R = 2Rmax = 16 Ом, используя (9.28) для добротности
получаем при отсутствии обратной связи 12 (М = 0), при наличии
положительной обратной связи (М < 0) 25, при отрицательной об¬
ратной связи (М > 0) 8.
С помощью высокочувствительной измерительной схемы, кото¬
рая проводит усреднение за время т = 1 с, регистрируются малые
изменения Д/ постоянного тока, текущего через вакуумный диод
(рис. 11.31), вызванные, например, изменением напряжения бата¬
реи. Оценим минимальное регистрируемое на фоне дробового шума
диода значение A/min, если средний ток диода /= 10-3 А (№ 11.38).
Дробовым шумом называется неравномерность термоэлектрической
эмиссии электронов с катода лампы, связанная с тепловым хаоти¬
ческим их движением, зависящим от температуры. Это — электри¬
ческие флуктуации. Для полосы частот А/, в которой измеряется
флуктуация, по формуле Найквиста для среднего квадрата напря¬
жения
где R — сопротивление схемы. Для среднего квадрата шумового тока
имеем
- 4шгд/\
Поэтому минимально регистрируемое
Шул
туациям
ника, можно уменьшить, снижая их тем¬
пературу. Зная, что сигнал от радиопере-
Рис. 11.31
459

датчика, принятый на расстоянии /, = 1 км, равен по мощности
уровню собственных шумов приемника, найдем, с какого расстоя¬
ния /2 можно было бы вести прием с тем же соотношением уровней
сигнала и шума, если охладить входные цепи радиоприемника до
температуры жидкого гелия Тг = 4 К (№ 11.39). Энергия сигнала
радиоприемника
w _ F2 ~ —
волн волн j2 '
Энергия шума
Если
гг ВОЛН _ 1
W ~ 5
гг ш
то TK0MHl} = Trl\. Откуда
/2=/,
\'/2
= 8 км.
'г J
Найдем, каков закон амплитудной модуляции, т. е. как зависит
от времени амплитуда сигнала на выходе Л£-цепочки, показанной
на рис. 11.32, если входной сигнал V(t) — колебание, модулирован¬
ное по фазе: V(t) = V0 cos (о)0/ + m cos Sit), Si < (o0, m < 1, а также
какова глубина модуляции амплитуды выходного сигнала U(t), если
параметры R, L удовлетворяют условию о)£ <е /? для всех спектраль¬
ных компонент входного сигнала (№ 11.40). Для выходного напря¬
жения имеем (9.2)
_ . dl _ L d{V - U) _ L dV
U ~ L dt R dt	~ R dt ’
так как toL « R. Это дифференцирующая цепочка. Получаем
г d[V,, cos (aw + m cos £2/)l
= *оКд
^ f mQ.'
sin Sit
©
3
cos ^<o0f + m cos Sit + ^ j.
Отсюда глубина модуляции mSl/ш0.
460

Рис. 11.32	Рис. 11.33
Аналогичным образом действуем и в случае ЛС-цепочки,
показанной на рис. 11.33, на которую действует такой же сигнал
V(t) = K0cos (са0/ + т cos Qt), Q < (о0, т < 1, и для которой предпола¬
гается, что шRC « 1 (№ 11.42). Для тока получаем
r.dg _cdVc d(V-U) dV
dt dt	dt ~ dt'
так как
Выходное напряжение
U(,)~IR,RC
Следовательно, это дифференцирующая цепочка. Получаем
U(t) = RC
d^VQ cos(m0/ + /ясовШ)]
dt
— Vo^oRC
CSI
£|
1
1
sin Qt
1<°0 )
cos	+ m cos Qt + ^ j.
Отсюда глубина модуляции rnQ/ш0.
На вход L/J-цепочки (рис. 11.34) подается амплитудно-модули-
рованное напряжение
V(t) = 1^,(1 + т cos Sit) cos ш0/, т < 1.
Найдем отношение амплитуд боковых спек¬
тральных гармоник выходного сигнала, а также
фазовый сдвиг между колебаниями боковых гар¬
моник и несущей, если (№ 11.41)
L
	0
ПО лП
0	L
UU)
		0
Рис. 11.34
461

Для данной модуляции из (11.12) имеем
Vnm
V{t) = V0 coscu0/ + “^"'cos(a)o + Q.)t + -^^cos(co0 -Q)t. (11.32)
Используя (10.26), (10.28) и (10.32), имеем
R ¥> R
coL
v‘vjt4»- *■
Для отношения амплитуд боковых гармоник получаем
Л>0-
R2 + (со0 -	£
R2 + (о)0 + £2)
-|1/2
(41)
1/2 '
Искомый СДВИГ \|/ = —<р, поэтому
tgv
о)0+ Q
со0 + О, 5
■ = "4;
СОп - й
03,
о
оз0
= -т;	1ёч/Шо=-1.
Используя связь
tg(q + B)= tgcc + tg|3
Tg^ot + p; ,_tgatgp,
получаем
Д¥Ш0+Й = arctg | -
1
AVa,0-q = arctg
В)-
Аналогичным образом можно рассмотреть RC-цепочку (рис. 11.35).
Для такого же амплитудно-модулированного напряжения V(t) =
= К0(1 + т cos Ш) cos со/, т < 1, найдем отношение амплитуд боко¬
вых спектральных гармоник выходного сигнала, а также начальные
фазы гармоник, если (№ 11.43)
Wo=^c; Q = T'-
Используем (11.32). Из (10.26), (10.30) и (10.32) имеем
V/imC	V
U =
R + 1/iwC 1+ю 2R2C2
е'ф; tg<p = соЛС-
Для отношения амплитуд боковых гармоник получаем
г	.	- ,-|1/2

R
m
0—
CA.	u(t)
Рис. 11.35
Искомый СДВИГ \|f = —<р, поэтому
tgVo,0+Q =
C0q + Q
(O0
5
4 ’
tgV«»0-Q
co0 - £2
Щ
3
4’
*sv«o =-!•
На вход колебательного контура (рис. 11.36) подается сигнал в
виде периодической последовательности прямоугольных импульсов,
длительность которых равна т = 7/2 — половине периода Т их сле¬
дования. Круговая частота следования сигналов Q = 2п/Т= 50 с-1,
колебательный контур настроен на частоту со0 = 350 с-1.
1)	Определим добротность контура, если амплитуда Vc напря¬
жения на конденсаторе оказалось в 8 раз больше амплитуды им¬
пульсов U0.
2)	Найдем, при каком значении й = Q, наступит ближайший
резонанс и во сколько раз при этом изменится амплитуда напряже¬
ния на конденсаторе, если период Тследования импульсов начина¬
ют плавно уменьшать, не изменяя отношения х/Т и параметров ко¬
лебательного контура (№ 11.44).
В соответствии с (11.1)—(11.5) разложение Фурье для сигнала
(четной функции) (рис. 11.37) имеет вид
/(0 = 'ZAcosnQt,
где
Г/2
Ап - J f(t)cosnQtdt.
-Г/2
Для нашей функции
. U0 2 . пп
А„ = —-sin —.
"ля 2
463

т
L
Т_Т О Т Т 3 Г Т5Т *
2	4	4	2	4	4
Рис. 11.37
Рис. 11.38
Из условия следует, что контур настроен на седьмую гармони¬
ку сигнала и амплитуда колебаний напряжения на конденсаторе
равна 8 U0. Из (10.9) получаем
Откуда Q = 28я = 88. При уменьшении периода и увеличении часто¬
ты целое значение соJQ. получаем для Qj = 70 с-1 при п = 5. Для
амплитуды имеем
Отношение амплитуд
В схеме, изображенной на рис. 11.38, ключ К периодически за¬
мыкает и размыкает цепь на равные промежутки времени (круговая
частота переключений О. = 2п/Т= 100 с-1), и в колебательном кон¬
туре возникают колебания. Контур настроен на частоту to = 500 с-1,
напряжение источника постоянного тока Ш = 1 В, добротность кон¬
тура Q = 50.
1)	Определим амплитуду Vc вынужденных колебаний напряже¬
ния на конденсаторе.
2)	При каком значении Q = Q, наступит ближайший резонанс и
какова при этом будет амплитуда Vq колебаний напряжения на кон¬
денсаторе, если частоту переключений Q начинают плавно увеличи¬
вать, оставляя параметры схемы неизменными (№ 11.45). Эта зада¬
ча аналогична предыдущей. Воспользуемся полученными там ре¬
зультатами. Так как п = ю/й, то п = 5 , л, = 2. Поэтому напряжение
на конденсаторе
22i = 8I/,
; К; =6,4 В; К2 = 15,9 В.

12.	УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА.
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ.
ВОЛНОВОДЫ И РЕЗОНАТОРЫ. ПЛАЗМА
Обобщение опытных данных и гениальная догадка позволили
Максвеллу получить уравнения электродинамики, носящие его имя.
В интегральном виде
*
„ ,, 4л г (.	1 3D
Ш1 = — j +
с JV 4л 3/
d S,
I 4Э'
^D</S = 4rcjp<n',
5	V
^B</S = 0,
S
||DrfS = JprfKj;
J^bjs = oJ.
(12.1)
(12.2)
(12.3)
(12.4)
Максвелл в дополнение к току проводимости (плотности]), свя¬
занному с движением заряженных частиц, ввел ток смещения с плот¬
ностью
j
СМ
J_3D.	.
4л Зг ’ JcM
3D
3/ '
(12.5)
Этот ток существует только там, где меняется электрическая
индукция D. Подобно тому, что изменение магнитного поля вызы¬
вает появление электрического (12.2), изменение электрического
вызывает появление магнитного (12.1). На ток смещения не дей¬
ствуют силы, и в нем не выделяется теплота, так как нет движущих¬
ся зарядов. Он создает магнитное поле.
Фундаментальные уравнения Максвелла (12.1)—(12.4) не содер¬
жат никаких характеристик среды, в которой возбуждается электро¬
магнитное поле. Их необходимо дополнить материальными уравне¬
ниями. Наиболее простые материальные уравнения имеем в случае
слабых электромагнитных полей, достаточно медленно меняющих¬

ся в пространстве (заметные изменения происходят на расстояниях,
значительно превышающих межатомные и межмолекулярные) и во
времени (характерное время изменения велико по сравнению с пе¬
риодами внутриатомных и внутримолекулярных колебаний). Для
изотропных сред, не являющихся ферромагнетиками или сегнето-
электриками, можно получить
D = еЕ,
{D = е0еЕ};
(12.6)
В = pH,
{В = Ц0рН};
(12.7)
j = ХЕ,
{j = ХЕ}.
(12.8)
Приведенные уравнения Максвелла в интегральной форме спра¬
ведливы и там, где напряженности полей или свойства среды меня¬
ются скачкообразно.
При отсутствии скачков те же уравнения можно записать в диф¬
ференциальной форме
. „ 4п . 1 3D
ГО,н»—J + J —,
(12.9)
ro,E=-i®
С dt
(12.10)
div D = 4лр,
{div D = р};
(12.11)
div В = 0,
{div В = 0}.
(12.12)
Отметим, что из четырех уравнений Максвелла два являются
векторными и два — скалярными.
Введение в уравнение (12.1) изменения потока вектора элект¬
рической индукции (тока смещения) оказалось весьма плодотвор¬
ным. Для похожести уравнений (12.1) и (12.2) во второе надо вве¬
сти ток магнитных зарядов, которые возможно, как показывают
известные опыты, вряд ли существуют. Однако предпринимаются
попытки обнаружения гипотетического элементарного магнитно¬
го заряда — монополя Дирака, величина которого в гауссовой сис¬
теме единиц g0 = hc/2e, — методом регистрации электрического
тока, возникающего в сверхпроводящем контуре после прохож¬
дения сквозь него монополя. Оценим величину тока в кольце ин¬
дуктивностью L = 0,1 мкГн (№ 12.14). Обозначая Ш — ЭДС, воз¬
никающая в контуре, Ф — поток магнитной индукции, /м — ток
монополя, т. е. магнитный заряд, протекающий через площадку,
466

ограниченную контуром в единицу времени, из (12.2) по аналогии
с (12.1) получаем
с dt с
Отсюда для тока в сверхпроводящем кольце находим
£ = -
4я dg
с dt'
Поэтому для тока в кольце при прохождении одного монополя имеем
Ы = ^~; 1 = ^- = 124 ед. СГСЭ = 0,041 мкА.
2е	Le
Если кольцо не сверхпроводящее, а металлическое с омическим
сопротивлением R, а индуктивным сопротивлением его можно пре¬
небречь, то для протекшего в кольце заряда Q
$ = Л— = - — —
dt с dt'
Откуда (№ 12.15)
е = ^ = 12,4 10-6 ед. СГСЭ = 4,1 • 10'15 Кл.
Изменение величины дипольного момента точечного электри¬
ческого диполя приводит к появлению магнитного поля. На рис. 12.1
в начале координат находится точечный диполь, направленный
по оси z и меняющийся со временем по величине pz = р sin Ш.
Найдем магнитное поле в точке Л с координатами (R, 0, R), предпо¬
лагая, что диполь расположен в вакууме (№ 12.63). Картина полей
обладает осевой симметрией относительно оси Z- Чтобы воспользо¬
ваться (12.1), надо найти поток вектора Е,
определяемого для диполя (1.9). Угол
между рг и г обозначим <р. Тогда имеем
R
г =
coscp
р = Rtg<p;
dtp
ds - 2npdp; dp = R
cos2 (p
Из (1.9)
3	cos2 cp -1
30*

Для потока электрического поля получаем
cos ф -
= 2пр COS(Pmax ~ cos3 Фтах
Pz	R
Точка А соответствует ф = п/4. Поэтому
Из (12.1) находим
Ф = 71р
sin ш/
Ryf2 '
Н = ры
cos со/
iJlcR2 '
Чтобы поле диполя можно было вычислять по электростатичес¬
кой формуле (1.9), необходимо выполнение условия квазистатич¬
ности R « сТ = 2яс/со.
Аналогичным образом можно найти напряженность магнит¬
ного поля, если величина диполя постоянна, а положение меня¬
ется z— a sin со/, где постоянная величина а <с R (№ 12.64). Из-за
нейтральности диполя ток при его движении не возникает. Это зна¬
чит, что магнитное поле определяется опять потоком вектора на¬
пряженности электрического поля. Найдем магнитное поле в точке В
(см. рис. 12.1) Для связи с углом ф имеем
Г = 7^Т7’ P = *tg\|/; ds = 2npdp;
cos vp
Для потока при каждом z получаем
dp =
zdy
cos2 ф
„ Углах
Ф = jE„ds = 2п— J sin\|/(3cos2ф- 1)с/ф =
= 2яр
о
COSVmax-COS V»
Из рис. 12.1 видно, что при z « R получаем
Vr
Поэтому для потока имеем
Ф = 2 пр
к _z_
2 R'
1 -z2/R2
R

Из (12.1)
H2nR = -~.
с dt
Подставляя зависимость z от времени, получаем
ы 2	• 2со/
Н = /иго) sin—г-
И	cR4
Из (12.2) следует, что изменение магнитного потока приводит к
появлению вихревого электрического поля, созданию ЭДС. Это про¬
исходит, например, если в однородное магнитное поле, которое с
некоторого момента t = О начинает уменьшаться по линейному зако¬
ну со скоростью
перпендикулярно полю поместить замкнутый круглый виток радиу¬
сом г, индуктивность которого L, а омическое сопротивление R.
Используя (9.4) и (12.2), получаем
L^--v RI - пг2а.
dt
Разделяя переменные и интегрируя, находим
/ = яr2^ + AeTK,,L.
К
Постоянная интегрирования А определяется из начального ус¬
ловия: при / = 0, / = 0 и
А	2 О
А—пг т
В результате для потока магнитной индукции через виток, ис¬
пользуя (5.27), получаем (№ 12.21)
Ф = Впг2 + Ы = лг2
В0 - at + La
1 -е-Л"М
R
/
На самоиндукционный поток в витке наложен внешний поток
поля.
При переменном напряжении (V = V0 cos Ш) на обкладках кон¬
денсатора (например, в виде круглых дисков, находящихся на рас¬
469

стоянии h) внутри возникает магнитное поле, которое из (12.1) и
(12.5)	равно
Н
dV/dt
2 ch
= ra)V0
sin со/
2 ch
Если внутри такого конденсатора находится проволочная прямо¬
угольная рамка (2а • 2/>), одна сторона которой (2Ь) совпадает с осью
симметрии конденсатора, то по рамке будет идти ток. Найдем силу
тока /, предполагая, что омическое сопротивление рамки R велико
по сравнению с индуктивным (№ 12.19). Из (7.1)
/
1 ЭФ/Э/
с R
Э
1
'2а	'
J Н (г) 2bdr
чО	J,
с	R
= 2(о2ЬУа cos (at f .
c2hR
Рассмотрим такой же конденсатор (два круглых диска площа¬
дью S), в который помещена квадратная проволочная рамка со сто¬
роной, равной а, причем одна сторона рамки совпадает с осью кон¬
денсатора, а две другие направлены по радиусу диска. Конденсатор
заряжается от источника постоянной ЭДС до заряда Q0 (постоянная
времени т = /?, Q. Считая, что омическое сопротивление рамки R
намного больше ее индуктивного сопротивления, найдем джоулеву
теплоту, выделяющуюся в рамке при зарядке конденсатора (№ 12.24).
При изменении заряда конденсатора меняется электрическое поле
в нем и в соответствии с (12.1) возникает меняющееся в зависимо¬
сти от расстояния от оси конденсатора г магнитное поле
Штрихом здесь и далее обозначены производные по времени. По¬
ток магнитного поля через рамку
Ф = ? Hadr = Е'^~.
3	4с
Из (12.2) находим ЭДС в рамке, которая создает ток в ней
/
1 Ф' з Е"
—— = а —г—.
с R	4с2 R
Поле в конденсаторе равно
£ = 4»|.
470

Для тока получаем
I =
а3 я
Q"
c2RS
Ток при зарядке конденсатора /, = Q', идущий через сопротив¬
ление Л,, определяется (9.4)
Л,<2' + § = Й.
Разделяем переменные и интегрируем
dQ
=	Q = «С + Ке-,/%.
Q-$C RXC т
В начальный момент заряд равен нулю, поэтому постоянная
К = -ШС\ Q = %C{ 1-е-,/т).
При t—ooQ= Qq. Следовательно, Q = Q0(l — е_,/т). Отсюда
Q" = -[^г)е~'Л-
Для джоулевых потерь в рамке имеем
W = \ I2Rdt = яV dQ° . | е"2,/тЛ = п2а6
J	J с2 d-4 J
Оо
cAS2Rx4
2cAS2Rx3
Эта энергия берется от батареи, заряжающей конденсатор. Пре¬
небрегать индуктивным сопротивлением можно, когда а/х <е с.
Рассмотрим плоский конденсатор с обкладками в форме дисков
радиусом R (расстояние между ними равно А), который заполнен
диэлектриком (диэлектрическая и магнитная проницаемости виц)
и через который идет переменный ток смещения / = /0 cos юг.
Этот ток создает в конденсаторе магнитное поле. Пренебрегая
краевыми эффектами, вычислим электрическую и магнитную
энергии, локализованные в конденсаторе, и найдем отношение
максимальной магнитной к максимальной электрической энер¬
гии (№ 12.2).
По току смещения / находим изменение заряда
q = jldt =
/0 .
—sin ш
10
471

и напряженность электрического поля
Е = л^з-
Плотность электрической энергии
=
е£
,2 sin2 со/
8л 0 6ю2яЛ4
а в объеме конденсатора
W3=nR2hw3=2hI20^-.
eco R
Для плотности тока смещения в конденсаторе имеем
т
Поэтому из (5.7) и (12.1) магнитное поле
Я = 2/-^-,
cR2
где г — расстояние от оси конденсатора.
Плотность магнитной энергии
ця2
8я
= р4/2
8яс2/?4
Магнитная энергия в конденсаторе
W^l^lnhrdr^hll^.
о
Отношение максимальной магнитной энергии к максимальной
электрической энергии равно
max _
W	8 [с ) '
гг э max	4 у
Для справедливости условия квазистационарности, когда выпол¬
няются использованные ранее соотношения, должно быть mR «: с.
При этом полученное отношение много меньше единицы.
472

Если бы была задана не сила тока в цепи, а переменное напряже¬
ние на обкладках этого конденсатора V = V0 sin со/, то для тока сме¬
щения из (12.5) получаем
1 Э D dE/dt dV/di
■^см 4 я Э/ £ 4я 6 я А '
Из (12.1), пренебрегая краевыми эффектами, находим магнит¬
ное поле (№ 12.6, 12.7)
Н =
дУ г
е дг 2ch
= 8(0 ГК0
cos со/
2сЛ
Найдем отношение электрической и магнитной энергий внутри
длинного соленоида (длина /, радиус Л), состоящего из N витков
проволоки, заполненного веществом с диэлектрической и маг¬
нитной проницаемостями е и \х, по которому идет переменный
ток /= 70cosco/(№ 12.3). Из (5.23) магнитное поле в Соленоиде
Н = 4nN^ = 4nNI0
COSO) /
~dT'
Плотность магнитной энергии
н2
^
Пренебрегая краевыми эффектами, получаем магнитную энер¬
гию внутри соленоида
К = V*2/ = 2я2цД2ЛГ2/2
Из (12.2)
гтл 1 дВ 2	2 А ж гг sin со/
Е2пг = - — пг = яг и4я/У/псо—г—.
с Э/	и с21
Откуда
гг ^ АГ т sin со/
£ = 2яр/у (ог/0 —
Плотность электрической энергии
473

Для вычисления всей электрической энергии внутри соленоида
(опять пренебрегая краевыми эффектами) интегрируем
, sin2 Wt	1 1 2 п4 жг2 *2 Sin2 СOt
W3 = е4я2р2ш2Лг2/02/—jjj— j 2nrdr = ец2я2(о2 R4N2Iq
c*l
Отношение максимальной электрической к максимальной маг¬
нитной энергии равно
К max	£Ц ( О)R ^
W	8 ( с J
В случае квазистационарности (оЛ <*: с) это отношение много
меньше единицы.
При изменении силы тока в соленоиде меняется поток магнитно¬
го поля и в соответствии с (12.2) возникает вихревое электрическое
поле, силовые линии которого представляют окружности относи¬
тельно оси соленоида. Например, при возрастании тока с постоян¬
ной скоростью dl/dt = Г в длинном воздушном соленоиде с радиу¬
сом намотки г0, содержащим п витков на единицу длины, имеем для
потока, используя (5.23),
и из (12.2)
Ф = яг024я/^,
фЕг/1 = 2я гЕ = --Ф' = яг024я/'4.
J	с	с1
Откуда для г = 2г0 (т. е. вне соленоида) находим электрическое поле
£ = яг0/'4.
с
Если соленоид погрузить в диэлектрик с диэлектрической про¬
ницаемостью е = 2, то в соответствии с (12.2)	а в соответ¬
ствии с (3.8) Z), = 2D (№ 12.20).
На рис. 12.2 показана система из двух длинных соленоидов (один
радиусом г, вставлен в другой радиусом г2) с одинаковой плотнос¬
тью намотки п (витков на сантиметр), которые одними концами
подключены к батарее постоянного тока ЭДС, равной Ш, а другими
замкнуты на сопротивление R. Оценим, при каком сопротивлении
электрическая и магнитная энергии системы будут одинаковы (№ 12.66).
Пренебрегая сопротивлением соленоидов, можем считать, что раз¬
474

R
ность потенциалов между ними равна U = IR. В случае цилиндри¬
ческой симметрии из (1.16) или (12.3) получаем Е = А/г. Постоян¬
ную А определяем, используя (2.6):
U = J Edr = А In
г\
V 1
Находим электрическую энергию между радиусами на единицу
длины соленоидов при ее плотности (3.69)
W3 = ] E22nrp = I2	—	Л — =/2	tf—r.
г,	8я [2 In (г2//•,)] i г 4 In (г2 /Г1)
Приравниваем эту энергию к энергии магнитного поля на еди¬
ницу длины соленоида
И' = Н2п^~ = 2 пРп
2	г2 - г2
2 „2 *2
8я
Отсюда находим R.
Если внутри вертикально стоящей катушки, питаемой перемен¬
ным током, подвесить проводящий цилиндр, то в нем возникает
вихревое электрическое поле (ЭДС), вызывающее токи Фуко, при¬
водящие к нагреванию цилиндра. Величина тока пропорциональна
ЭДС (циркуляции электрического поля) и обратно пропорциональ¬
на сопротивлению (для одинаковых цилиндров удельному сопро¬
тивлению материала р). Из (12.2) и (12.10)
/~1 „*Е = -И» JL®,
р	р с at	рс dt
где р — магнитная проницаемость материала.
Нагревание может быть связано и с гистерезисом, если цилиндр
из ферромагнитного материала, например из железа. Отношение
токов Фуко, а значит, и нагреваний железа и меди, которая не
475

является магнетиком, но имеет меньшее удельное сопротивление,
зависит от величины ц/р. Для меди р ~ 1, р = 10-8 Ом • м, для
железа р ~ 1000, р = 10-7 Ом • м. Поэтому ток в железе больше в
10 000 раз. Железный цилиндр будет нагреваться быстрее медного
вне зависимости от гистерезиса (№ 12.16).
Для медного цилиндра радиусом а и высотой А в переменном
однородном поле В — В0 cos со/ мощность теплоты, выделяющейся
из-за токов Фуко, равна
где г — расстояние от оси цилиндра.
Пользуясь законом Ома (4.7), (4.8) и (12.2), получаем
0 = 1лЛ^
8 р
(
А \
соД0у
1 У
sin со/.
При вычислении средней мощности теплоты надо учесть, что
среднее значение sin2 со/равно 1/2 (№ 12.22).
Если в цепь переменного тока / = /0 cos со/ входит конденсатор
(площадь пластин S, расстояние между ними А), заполненный слабо
проводящим диэлектриком (диэлектрическая проницаемость е, удель¬
ное сопротивление р), то токи проводимости и смещения идут па¬
раллельно. Обозначая поверхностную плотность зарядов на пласти¬
нах конденсатора а и плотность тока проводимости у, получаем
dcт /
Используя (3.8) и (4.7), находим
dE л Е	. 1
—+ 4л— = 4л—.
dt ре eS
Для изменения напряжения V на конденсаторе имеем
dV , V л т h
—— + 4л— = 4л/ —.
dt ре	ел
Для решения этого уравнения удобно представить правую часть
в комплексном виде аеш и соответственно искать V = 1^0еПод¬
ставляя в уравнение, получаем
4я/0 h/eS (4л/0 А/е5)е~,<|>
4я/ре + /со ~ [(4п/ре)2 +	]1/2 '
476

Откуда (№ 12.23)
у	4я/0 h/eS
[(4я/ре)2 + со2 ]V2
Можно воспользоваться представлениями об импедансе, пере¬
писав (10.32) для параллельного соединения сопротивлений
1 + /соСЛ ’
где
С =
S
6	4яй ‘
Получаем тот же результат, так как V0 = /0|Z|.
Рассмотрим плоский конденсатор в виде двух плоских дисков с
радиусами а и расстоянием между ними И, заполненный слабо про¬
водящей средой (е = р = 1) с электропроводностью X, который в
момент времени t = 0 подключается к батарее постоянного тока с
ЭДС, равной и внутренним сопротивлением г. Найдем зависи¬
мость от времени тока проводимости / и тока смещения /см в кон¬
денсаторе, а также магнитное поле Я вблизи его боковой поверхно¬
сти (№ 12.72).
Обозначив напряжение на конденсаторе V, его емкость С и со¬
противление току проводимости
R =
h
Хя а2
и имея в виду, что ток через конденсатор равен сумме тока прово¬
димости
пр
К
R
и тока смещения /см = CV (штрихом обозначена производная по
времени), 1=1+ /см, из (4.20) % = V + 1г и, следовательно,
«-У
г
Интегрируя это уравнение при условии К(0) = 0, получаем
V = т
1 - е-'/т
R + r ’
477

где
Откуда
»е~//т g (l - е~'/т) (l + Л е-,/т/г)
Л + г	R + г
Вблизи боковой поверхности конденсатора
2/	2<f(l + Re~l/x/r)
са ca(R + r)
Если этот конденсатор подсоединить к источнику переменного
тока с ЭДС, равной $coso)t, и внутренним сопротивлением г, то для
определения тех же параметров (№ 12.73) ^можно воспользоваться
комплексными представлениями. Импеданс конденсатора
mCR +1'
Для полного тока находим
i й й(крСЛ +1)
Z + г R + г + i(aCRr"
Для тока проводимости
t _ IZ _	%
пр R R + г + iwCRr ‘
Действительная амплитуда
/,
пр
1/2 '
Для тока смещения
/см = IZmC =
ё/шСЛ
R + г + mCRr'
Действительная амплитуда
/
йюСЛ
478

Если параметры схемы подобраны так, что со СУ? = 1, то
/пр /см
&
[(R + rf+r2]
Vi •
Из (12.1)
Я2ях = 4П(/пр+,/см)*2; Н = 2х 2 *(/юСЛ + 1)
а2с
azc{R + г + iwCRr)
При (о С/? = 1 имеем
я _ 2ШЛх
а2с[(/? + г)2 + г2]'/2
Проводящий шар радиусом а = 20 см (рис. 12.3, а), находя¬
щийся при потенциале U0 = 3 • 104 В, разряжается через сопро¬
тивление R = 5 • 103 Ом. В квазистационарном (следующем изме¬
нению тока) приближении найдем возникающее при этом маг¬
нитное поле B(t, г, 0) вне шара (№ 9.12). Заряд шара меняется, и
меняется создаваемое им электрическое поле (1.4). Из симметрии
картины и уравнения (12.1) получаем
d[)EndS\
§Hdl = H2nr = 1-^—L
С помощью рис. 12.3, б и (1.3) можно получить
jE„dS = qQ,
s
где q — заряд шара; £2 — телесный угол, для
которого из рис. 12.3, а находим
£2 — 2л (1 — cos0).
Изменение заряда шара за счет тока че¬
рез сопротивление R описывается (9.30), где
в соответствии с (2.4) С = а и q = U0ae~,/Ra.
Для магнитного поля
p-'!Ra
В = Н = U0a(\ - cos©)——.
и v	’ caRr
470

Возмущения электрических и магнитных полей распространя¬
ются в виде волн.
Получим уравнение, описывающее распространение плоской
поперечной электромагнитной волны. Будем предполагать, что заря¬
ды и токи отсутствуют (р = 0 , j = 0), и волна распространяется
вдоль оси х в однородной бесконечной среде с диэлектрической и
магнитной проницаемостями е и р. Из (12.9) и (12.10) получаем
гоШ = -^;	(12.13)
с at
rotE =	(12.14)
С dt
Используя правую систему координат и (5.13), проектируем
(12.13) на у, а (12.14) наг
ЭЯ,
е ЪБу
дх
с dt ’
ЬЕу
ЦЭЯ,
дх
с dt
(12.15)
(12.16)
Дифференцируя первое по /, а второе по х, получаем волновое
уравнение
tbi-i-tEL- [ЭЧ с2 Э гЕу
dt2	ец Эх2 ’ | dt2 е0ец0ц Эх2
Можно было бы продифференцировать (12.15) по х, а (12.16) по t
и получить аналогичное уравнение для Нг.
Легко убедиться простой подстановкой, что решение уравнения
(12.17)	имеет вид
(12.17)
Ev = /,(х - vt) + fJx + vt),
(12.18)
где/, и/2 - произвольные функции своих аргументов (фаз); v — ско¬
рость распространения фазы (фазовая скорость):
V =
V = •
(ец)1/2 п ’	|	(е0ец0ц)'/2
Здесь введен показатель преломления среды
п = J = (ец)1/2; {и = £ = (е0ец.0ц)1/2 J.
(12.19)
(12.20)
480

Для волны, бегущей в положительном направлении оси х, из
(12.18)	находим Еу = f{(x — vt). Из (12.16) получаем
Интегрируя и учитывая, что постоянных составляющих в волне
нет, находим
На рис. 12.4 показано, для примера, изменение электромагнит¬
ного поля в очень важном случае плоской поперечной гармоничес¬
кой (/, — гармоническая функция: синус или косинус) волны.
Из (12.21), (3.75) и (7.12) следует одинаковая плотность энергии
в электрическом и магнитном полях. Эта энергия распространяется
со скоростью V.
Уравнения Максвелла дополним законом сохранения энергии.
Для этого умножим скалярно (12.13) на Е, а (12.14) на Н и сложим
Отсюда
(12.21)
Пользуясь векторной формулой, получаем
(12.22)
Рис. 12.4
31-
481

Введенный здесь вектор плотности потока энергии S называется
вектором Пойнтинга
s = ctEH]; {S = [EH]}.	(12.23)
4 п
Поскольку плотности энергии соответствует плотность массы,
то при распространении энергии со скоростью с, для плотности элек¬
тромагнитного импульса g получаем
S
[ЕН],	(
4тгс 5	1
g =
(12.24)
Для двухпроводной линии из идеального проводника (без тепло¬
вых потерь), соединяющей генератор постоянного тока с нагрузкой
(сопротивление /?), найдем вектор плотности потока энергии (век¬
тор Пойнтинга) (№ 12.25). На рис. 12.5 показаны направления век¬
торов. При отсутствии сопротивления подводящих проводов их по¬
тенциалы ср, и ср2 постоянны и отличаются на величину напряжения
(падения потенциала) на сопротивлении нагрузки (R). Учитывая
направление магнитного поля, получаем из (12.23), что поток энер¬
гии идет от генератора к нагрузке между проводами линии.
Если учитывать, что подводящие провода обладают сопротивле¬
нием, то у вектора напряженности электрического поля появляется
составляющая вдоль провода (№ 12.26). Это приводит к потоку энер¬
гии к проводу. Если провод имеет длину / и радиус г, а падение
напряжения на этой длине К и по нему идет ток силой /, то на
поверхности провода
а поток энергии через боковую поверхность, как следует из (12.23):
S2nrl = cEH2nr-j- = IV.
4	п
Этот поток энергии равен мощности, выделяемой током в проводе
(в виде джоулевой теплоты).
Если в линии, изображенной на рис. 12.5, поменять направле¬
ние тока, что соответствует как бы переворачиванию рисунка, то
направление потока энергии от генератора к нагрузке не изменится.
Поэтому в случае синусоидального тока, когда напряжение и сила
тока находятся в одной и той же фазе, т. е. одновременно меняют
направление (№ 12.39), направление потока энергии не меняется,
хотя величина его меняется вместе с изменением величины полей.
482

Если ток отстает по фазе от напряжения на 90° (п/2) (№ 12.40), то
результат меняется. Предполагая гармоническое изменение величин,
можем написать для напряженности электрического поля, которая по
фазе совпадает с напряжением, Е= Е0 cos со/, а для напряженности маг¬
нитного поля, которая по фазе совпадает с током, #= tf0sinco/. Исполь¬
зуя (12.23) и вычисляя плотность потока за период, получаем
т
s = \eh
0
dt_
4 п
т
j
Е0 cos K>tH0 sin со/
dt_
4п
= 0.
Каждые четверть периода вектор S меняет направление на об¬
ратное. Энергия колеблется в отдельных участках, а не течет в од¬
ном направлении. Это стоячая волна.
Найдем величину и направление вектора Пойнтинга (S) для си¬
стемы из двух параллельных проводящих плоскостей (рис. 12.6), по
которым текут антипараллельные токи с линейной плотностью / и
которые замыкаются через соединяющую плоскости перемычку тол¬
щиной б с удельным сопротивлением р (№ 12.71). Полный ток по
плоскости / = И, полное сопротивление перемычки
и
'8=р«'
падение напряжения между плоскостями
К = /Л = /р|,
напряженность электрического поля между плоскостями
Из (12.1)
Н = Ап-
С
483

и, следовательно
При подключении соленоида к источнику постоянного тока в
него втекает (от момента подключения до момента установления
постоянного тока) энергия. Найдем ее величину для длинного соле¬
ноида (длина /, радиус г, число витков N), который подключается к
источнику постоянной ЭДС if (№ 12.28). Из (9.4) имеем
Разделяя переменные, интегрируя и используя, что в начальный
момент ток был равен нулю, получаем
Используя (12.23), для энергии, прошедшей через боковую по¬
верхность соленоида за все время установления тока, получаем
На рис. 12.7, а изображена цепь, состоящая из резистора сопро¬
тивлением R и длинной катушки радиусом г2 и плотностью намотки
витков п [см-1] и соосного с катушкой прямого провода радиусом г,,
по которому течет постоянный ток /. Пренебрегая сопротивлени¬
ем катушки и провода, найдем аксиальную Sz и азимутальную Sv
компоненты вектора Пойнтинга внутри катушки вдали от ее тор¬
цов (№ 12.27).
Разность потенциалов между катушкой и проводом Д<р = IR. Это
значит, что на проводе имеется заряд, а из (12.3) следует
L^- + IR = $.
dt
Из (5.23) и (5.25) (в системе СИ)
Из (12.2) на боковой поверхности соленоида
_ А _ _ dip
~7~ ~dr'

-УОТГТ1-'
О О О О О О
Е(	^
фНч»	qS<p
О	©
Е| S* \
о о о о о о
б
Рис. 12.7
Для определения постоянной А найдем из интеграла
2 Г1
Отсюда
Ф2 -ф, = -А In
1
А =
_ Дф _
/Л
Ц'з/'О M'j/'l)"
Таким образом, для вектора Е имеем
F IR г
'Ц'г/'О'-2 ■
Для магнитного поля из (5.23) и (5.2) имеем
Нг = 4п —; Я, = —.
z	с * сг
На рис. 12.7, б показаны векторы полей и получающиеся на ос¬
новании (12.23) плотности потоков энергии:
sz = сЕ^т- = /2 —2 л, , ч;
4л 2яг2 1п(г2/г,)
Я.
л
5. =	= /2Л-—j—гт.
* 4я rln(r2/r,)
485

Полный поток энергии через катушку к сопротивлению R равен
П = J Sz2nrdr = PR.
п
Это — мощность джоулевых потерь на сопротивлении.
Рассмотрим плоский конденсатор, состоящий из двух одинако¬
вых дисков радиусом R, заряженный и отключенный от источника
электричества. Если среда внутри конденсатора обладает проводимо¬
стью, то он будет разряжаться. При этом за счет изменения плотно¬
сти заряда а идет ток проводимости плотностью
• _
J ~ Hi'
направленный так же, как вектор электрической индукции D, и ток
смещения
• =_L^ = ^.
Лм “ 4л dt ” dt ’
направленный, как вектор ЭБ/Э/, т. е. противоположно вектору D.
Таким образом, суммарный ток через конденсатор равен нулю (№ 12.4).
И вследствие (12.1) или (12.9) магнитное поле отсутствует.
Если же конденсатор разряжается посредством искры, проскаки¬
вающей по его оси, то внутри него возникает магнитное поле. Это
связано с тем, что плотность тока смещения не зависит от расстоя¬
ния от оси конденсатора, а ток проводимости / идет только по оси
и создает поле в соответствии с (5.2)
Учитывая изменение заряда конденсатора для тока смещения в
зависимости от расстояния от оси г, получаем
Отсюда и из (12.1) следует (№ 12.5)
2л гН = —(/ + /см) = 2/1~Г^/?-.
С \	см/	сг
На рис. 12.8 показано изменение магнитного поля в зависимос¬
ти от расстояния от оси. Вектор Пойнтинга определяем по (12.23).
486

Поток энергии направлен к оси конденсатора и
обеспечивает разогрев среды (в искровом кана¬
ле) током проводимости (сопротивление искро¬
вому пробою). На краях конденсатора, где маг¬
нитное поле равно нулю, потока энергии нет
(№ 12.8).
Разряд конденсатора может произойти за счет
соединения его обкладок проводом длиной / и
радиусом а, проходящим вне конденсатора. Пре¬
небрегая краевыми эффектами и обозначая ток
в цепи /(в проводе это ток проводимости, в кон¬
денсаторе — ток смещения) и заряд на конден¬
саторе q (и ток и заряд меняются со временем), находим, что на
краю конденсатора (из круглых дисков радиусом />, расстояние между
которыми И) магнитное поле
Я
к
2/
cb
и электрическое
4?
Ь2'
Из (12.23) получаем, что через боковую поверхность конденса¬
тора вытекает поток энергии равный 4qlh/b2. Электрическое поле
вдоль поверхности провода
а магнитное на поверхности провода
Учитывая направление полей и (12.23), для потока, втекающего
в провод через его поверхность (2па1), получаем 4qlh/b2. Таким об¬
разом, вся энергия, вытекающая из конденсатора, втекает в провод
и идет на его нагрев за счет омического сопротивления (№ 12.9).
Найдем вектор Пойнтинга в зависимости от расстояния от оси
конденсатора (г) и времени и полную электромагнитную энергию,
вытекающую через боковую поверхность конденсатора за все время
разряда, если он заполнен диэлектриком с диэлектрической прони¬
цаемостью е, а сопротивление провода R (№ 12.32).
487

Если конденсатор емкостью
разряжается через сопротивление R, то из (9.4)
R^- + l = RC^ + V = 0.
dt С dt
Откуда
V(t) = V0e~'/\ x = RC.
Электрическое поле внутри конденсатора Е = V/h. Плотность
тока смещения в конденсаторе
.	_ dD/dt _	К0е~'/т
Усм 4я nb2R ‘
Из (12.1) имеем
H = 2njcur- = 2V0r
е-,/т
cb2R'
Вектор Пойнтинга направлен из конденсатора к сопротивлению
При г=Ь
S (г, t) = сЕ
Н_
4п
= rV2
е-2/Л
2nb2hR'
S =
V2
vo
e-2//x
InbhR ‘
Полная электромагнитная энергия, вытекающая через боковую
поверхность конденсатора за все время разряда,
W = 1 S2nbhdt = 7 K0V2,/t % = Cf.
о	о	R 2
Это начальная энергия заряженного конденсатора.
В подобном конденсаторе, образованном двумя круглыми диска¬
ми, расположенными на расстоянии h друг от друга, мысленно вы¬
делим замкнутую цилиндрическую поверхность радиусом R (2R < А) и
длиной L меньше диаметра пластин конденсатора (рис. 12.9). В слу¬
чае изменения напряжения на конденсаторе по линейному закону
488

'см
Iе
1
1 H
©
,	s
г
	i
н
О
S
А
Рис. 12.9
(от времени) V= At (А — известная константа) найдем вектор Пойн-
тинга внутри него и вычислим полный поток энергии через цилин¬
дрическую поверхность за время t (№ 12.37).
Напряженность электрического поля
F-H-dL
Е h А '
Из (12.1) напряженность магнитного поля
Магнитное поле со временем не меняется. С помощью (12.23)
находим
Как видно из рис. 12.9, при положительном А поток энергии
идет к оси конденсатора (увеличивается энергия в конденсаторе с
увеличением заряда). Для подсчета полного потока через цилинд¬
рическую поверхность воспользуемся тем, что энергия магнитного
поля в объеме цилиндра не меняется, так как напряженность маг¬
нитного поля не зависит от времени, а меняется только электричес¬
кая энергия за счет потока энергии. Из (3.69) энергия электричес¬
кого поля внутри цилиндра
W = wnR2L = nR2L^~.
8я
Ее изменение равно потоку энергии
U = nR2L^ = R2LA24t-
dt	4 h
489

Подобный подсчет потока энергии можно использовать для объе¬
ма внутри длинного соленоида, ток через который меняется по линей¬
ному закону (от времени) /= At (№ 12.36). Из (5.23) для соленоида
Н = 4ппА~.
с
Для электрического поля из (12.2) имеем
Е = 2 ппА .
сг
Оно со временем не меняется. Вектор Пойнтинга (12.23)
S = 2 я п2А2г-^г.
с
Он направлен к оси соленоида и приводит к увеличению магнитной
энергии и напряженности магнитного поля с увеличением силы тока.
Для вычисления потока энергии через сферическую поверхность ра¬
диусом R, центр которой лежит на оси соленоида вдали от торцов и
радиус меньше радиуса витков соленоида, учтем, что электрическая
энергия внутри сферы не меняется со временем, а меняется только
магнитная. Поток энергии обеспечивает изменение магнитной энер¬
гии (3.69)
Откуда
W = \ nR3^-.
3 8я
П = ^ = 16л2Л3л2/12Д-.
Э /	Зс2
Если выразить п через индуктивность L и объем катушки
то
S = LA2r—П = |я R*LA24--
2 c2V	3	C2V
Рассмотрим, как меняется ток проводимости в конденсаторе при
раздвигании его пластин с постоянной скоростью (№ 12.10). Пре¬
небрегая краевыми эффектами и считая, что при движении пластин
расстояние между ними (х) остается всегда малым по сравнению с
490

их линейными размерами, для электрического поля Е (при отсут¬
ствии диэлектриков равного индуктивности D), разности потенциа¬
лов V и заряда q получаем
D = Е - 4л.
S	х
Учитывая (12.5), при постоянных q и площади пластин S имеем
отсутствие тока смещения, а при постоянной разности потенциалов
на обкладках
где и — скорость раздвигания пластин. При сдвигании пластин из¬
менится направление тока смещения.
Рассмотрим плоский ковденсатор, состоящий из двух одинако¬
вых соосных дисков, подключенный к источнику постоянного на¬
пряжения 8. В момент времени t = 0 расстояние между дисками на¬
чинает увеличиваться по некоторому закону h(t). Найдем вектор
Пойнтинга S и электромагнитную энергию W(r, (), переносимую
через цилиндрическую поверхность радиусом г, расположенную
внутри конденсатора вокруг оси, как функцию времени, считая, что
расстояние между пластинами остается все время малым по сравне¬
нию с радиусом (№ 12.33).
Напряженность электрического поля в конденсаторе Е = <S/h.
Из (12.1)
Из (12.23)
Н = -Шг
W
2ch2 '
Для переносимой энергии получаем
W = j Shlnrdt = Ш2г2 УЬоШ,
о	^
По длинному отрезку коаксиального кабеля, у которого оболоч¬
ка (радиусом 2?0) и центральный проводник (радиусом г0) изготов¬
лены из разных сверхпроводников и замкнуты на торцах, вначале
циркулирует ток /0 (рис. 12.10). Найдем вектор Пойнтинга после
перехода внутреннего проводника (в результате нагрева) в нор-
491

мальное состояние и электромагнитную энергию (на единицу дли¬
ны кабеля), перенесенную за время затухания тока, предполагая,
что скорость изменения тока dl/dt известна (№ 12.38). Магнитное
поле внутри кабеля определяется током по центральному провод¬
нику (5.2)
Я,„
/
сг
где г — расстояние от оси симметрии кабеля. Для определения элек¬
трического поля вычислим его циркуляцию по контуру (12.2), изоб¬
раженному на рис. 12.10 пунктиром, учитывая, что в сверхпроводя¬
щей оболочке кабеля электрического поля нет:
ИЬ-Ыг—Шы*.
dt	г2 dt г
Здесь учтено, что
Ez >0.
В соответствии с (12.23) вектор Пойнтинга направлен к оси ка¬
беля и равен
С I{dI/dt)ln(Jt0/r)
О	2
ПС г
Электромагнитная энергия на единицу длины кабеля за время
затухания тока
fV(r) = J S2nrdt =
о
In
А
г
\
492

При г = г0
V
'о /
Учитывая, что погонная индуктивность кабеля
1 =
2 In
41
получаем
W(r,)-L!l.
На рис. 12.11 показана цепь, в которой источник постоянного
тока нагружен на сопротивление R через коаксиальную линию (ради¬
усы внутренний г, и внешний г2) длиной /» г2. В некоторый момент
ключ К, отключает линию от источника и одновременно К2 замы¬
кает накоротко нагрузку. Полагая все сопротивления, кроме R, пре¬
небрежимо малыми, а величины ЭДС (напряжение V), /, /*, задан¬
ными, найдем, при какой величине г2 энергия, излученная линией
после срабатывания ключей, будет минимальной (№ 12.41). В мо¬
мент срабатывания ключей ток в цепи / = V/R. В отсутствие оми¬
ческой диссипации излучается вся энергия, имевшаяся в коакси¬
альной линии:
W =
Для определения индуктивности воспользуемся (12.1) и (5.31)
2пгН = 4я—; ¥ = J 211 — = 211 In
с	3 сг
Ы_
с
Откуда
1 = 2/ In
f Г \
'2
Обозначая заряд на внутреннем цилиндре Q, получаем из (1.12)
или (12.3) для напряженности электрического поля в зависимости
от г (расстояния от оси симметрии)
2Q
1г ‘
493

Для разности потенциалов находим
И = 0.
Откуда
2 \п г2/г{
Таким образом, энергия, излученная линией,
с
(2/R)2 ln(r2/rt)
Обозначая
In — = х,
П
получаем, что для частного случая с = 2/R, надо найти минимум
у = х + 1/х. Приравнивая нулю производную, получаем минимум
при х = 1, т. е. при
Для цепи, изображенной на рис. 12.11, с замкнутым ключом
и разомкнутым К2 найдем величину нагрузочного сопротивления,
при котором в случае заполнения пространства между проводника¬
ми коаксиального кабеля диэлектриком с диэлектрической прони¬
цаемостью е = 2 электрическая и магнитная энергии в диэлектрике
окажутся одинаковыми, если (№ 12.65)
Используя (12.3), получаем Е = А/г. Постоянную А находим из
условия для разности потенциалов
5. = е = 2,718.
п

Поэтому
Е- v!r
Из (5.2) магнитное поле
Так как получилась одинаковая зависимость полей от г, то энер¬
гии в пространстве между проводниками одинаковы, если равны
плотности энергий, определяемые (3.75) и (6.5), т. е. гЕ2 = Я2, или
Обратим внимание, что соотношение между электрическим и
магнитным полем при такой нагрузке, которая называется согласо¬
ванной, такое же, как в бегущей плоской волне (12.21).
Рассмотрим отрезок коаксиального кабеля длиной /, подклю¬
ченного к входу усилителя с очень высоким входным сопротивле¬
нием, другой конец которого замкнут накоротко, а пространство
между проводами заполнено диэлектриком (е) с малой удельной
проводимостью о. Найдем наименьшую резонансную частоту vmin и
добротность Q контура, эквивалентного отрезку данного кабеля,
считая, что потери связаны только с проводимостью диэлектрика
(№ 12.43). В отрезке кабеля возникнет стоячая волна, в которой
благодаря высокому входному сопротивлению на входе пучность на¬
пряжения и узел тока, а на замкнутом конце узел напряжения и
пучность тока. Длина отрезка соответствует четверти длины стоячей
волны для наименьшей резонансной частоты / = Х/4. Для мини¬
мальной частоты имеем в соответствии с (12.19)
Учитывая гармоничность волны и используя для обозначения
объема букву V, находим для средней электрической энергии за
период
у/гЕ = Н. Используя это, находим
= 127 Ом.
1 V с с
min т X Ve*. Vi/'

/
Потери за период на джоулеву тепло¬
ту из (4.12) и (4.7)
н
© Iе -L
Wm=!d,\S\oE'dV.
т
О V
Шу	ш>
Добротность системы в соответствии
с (9.29)
Рис. 12.12
■	р
шах _ 	&
2 7V
Электромагнитный импульс, описываемый (12.24), можно наблю¬
дать в системе, изображенной на рис. 12.12, где заряженный конден¬
сатор, в котором электрическое поле Е, помещен внутрь соленоида
прямоугольного сечения, находящегося вместе с батареей постоян¬
ного тока и ключом, который включает ток в соленоиде и первона¬
чально разомкнутый, на платформе, которая без трения может дви¬
гаться по горизонтальным рельсам. Найдем импульс системы после
замыкания ключа (№ 12.12, 12.11). На рис. 12.12 показаны электри¬
ческое Е и магнитное Н поля (после включения тока). В соответ¬
ствии с (12.24) в объеме конденсатора Vпоявляется электромагнит¬
ный импульс
Для неизменности полного импульса системы, которого до
включения тока в соленоиде не было, платформа должна двигать¬
ся в направлении, противоположном Р.
Найдем вектор Пойнтинга, при распространении в свободном
пространстве цилиндрического электронного пучка радиусом R с кон¬
центрацией электронов п и кинетической энергией каждого элект¬
рона Е. Предполагая, что скорость электронов не очень большая
(нерелятивистский случай), получаем для скорости
где m — масса электрона. Обозначая заряд электрона е, для плотно¬
сти тока в пучке получаем j = nev. Используя (1.12), получаем элек¬
трическое поле внутри пучка Еш = Inner и вне пучка
[ЕН]К
4яс
Еех = 2 nR2n~,
г
496

где г — расстояние от оси симметрии пучка. Из (5.6) для магнитного
поля внутри пучка
Hin = 2 пг— = 2 я леи-
с	с
и для магнитного поля вне пучка
Нех = 2 л R2 — = 2 л R2ne — .
гс	гс
С помощью (12.23) получаем плотности потоков энергии:
внутри пучка
Sjn = nwVw2
и вне (№ 12.29)
Sa = лЛ4л2е2
г
Видно, что поток энергии идет со скоростью пучка.
Рассмотрим цилиндрический электронный пучок с концентрацией пе
и продольной скоростью электронов v, проходящий сквозь газ положи¬
тельных неподвижных ионов с концентрацией, подобранной таким об¬
разом, чтобы скомпенсировать силы взаимодействия электронов в
поперечном направлении. Найдем величину и направление вектора
Пойнтинга внутри пучка, а также концентрацию ионов (№ 12.35).
Из (12.1) находим азимутальную составляющую напряженности
магнитного поля
2лгЯф = 4л
-еп, vnr
Нт = -v2nre—.
Из условия равновесия электрических и магнитных сил
Е = -v —— = О
с
получаем
Er = -v22nre^j.
Из (12.23) находим
Нт
"г 4л
ь.
4л
S = сЕг -г2- = v-т2- = пе2п}г2 -
з
Г-
497

Чтобы найти концентрацию ионов пп вычислим Ег по теореме
Гаусса (1.12) или (12.3) 2nrlEr = 4ne{nj — пе)пг21. Подставляя сюда Ег,
полученное ранее из равновесия сил, находим
В случае распространения в свободном пространстве электрон¬
ного пучка «ножевой» геометрии, т. е. имеющего вид тонкого плос¬
кого слоя (№ 12.31), вектор Пойнтинга можно найти тем же спосо¬
бом, что и в случае цилиндрического пучка. На рис. 12.13 показаны
векторы полей и потоков энергии. Используя (1.12), получаем элек¬
трическое поле внутри пучка Ejn = Annex и вне пучка Еех = 4ппеа, где
х — расстояние от плоскости симметрии пучка. Границы пучка при
х = ±а. Из (5.6) для магнитного поля внутри пучка
С помощью (12.23) получаем плотности потоков энергии: внут¬
ри пучка Sjn = 4nn2e2vx2 и вне Sex = 4nn2e2va2. Видно, что поток
энергии идет со скоростью электронов в пучке.
Найдем величину и направление вектора Пойнтинга в произ¬
вольной точке внутри проводника (ц = 1), имеющего форму плоской
ленты (толщина много меньше ширины), по которой течет ток плот¬
ностью j, а носителями тока являются электроны (заряд — е) с кон-
(
1 v
п,=пе 1	г .
с )
Н: = 4nj — = 4 ппе -
с	с
и для магнитного поля вне пучка
Рис. 12.13
Рис. 12.14

центрацией и (№ 12.34). Координату у будем отсчитывать от сред¬
ней плоскости ленты в перпендикулярном направлении (рис. 12.14).
Из (12.1) для магнитного поля получаем Нх — 4njy. Благодаря эф¬
фекту Холла (силе Лоренца) устанавливается электрическое поле,
определяемое равновесием сил
neEy(y) = jHxf
Из (12.23) для вектора Пойнтинга находим
Н
S = -*4
;2 У
с2пе
Следует обратить внимание на то, что вектор j направлен проти¬
воположно скорости движения электронов. Энергия идет туда, куда
летят электроны.
Если по цилиндрическому проводнику течет ток, то, как следует
из (8.1), в направлении радиуса создается электрическое поле (эф¬
фект Холла). В случае однородной по сечению проводника плотнос¬
ти тока j = env, где е — заряд электрона; п — концентрация элект¬
ронов проводимости; v — их скорость, предполагая для проводни¬
ка диэлектрическую и магнитную проницаемости, равными единице
(е = jii = 1) и обозначая расстояние от оси проводника г, получаем из
(5.7)	магнитное поле
Я = 2nj~,
с
а из (8.1) электрическое поле
E = 2nj2-^.
епс
На рис. 12.15 показаны направления векторов. Из (12.23) следу¬
ет, что вектор Пойнтинга направлен по току и равен (№ 12.30)
S = nr2-^T.
пес
Рассмотрим заряженный тонкостенный цилин¬
дрический ковденсатор с радиусом внешнего элек¬
трода R, висящий в вакууме на упругой нити с
модулем кручения / в магнитном поле Я, парал¬
лельном нити и тонкому внутреннему электроду
конденсатора. В соответствии с (12.24) система
Рис. 12.15
499

обладает электромагнитным моментом количества движения М. Обо¬
значая заряд конденсатора Q его длину /, из (1.16) находим электри¬
ческое поле в зависимости от расстояния от оси конденсатора г:
Получаем
Е
2Q
1г '
Если конденсатор нагреть, то он быстро разряжается за счет тер¬
моэмиссии. В результате электромагнитный момент быстро переда¬
ется конденсатору, который приобретает кинетическую энергию
вращения
W =	= Q2H2 J-.
2J	4 Jc2
где J — момент инерции конденсатора.
Эта кинетическая энергия переходит в упругую энергию закру¬
ченной на угол ф нити
Откуда (№ 12.13)
W-f\.
Ф = 0Я
R2
2 c{Jf)1’2 ‘
В случае описания начальных или граничных условий гармони¬
ческими функциями (синусами и косинусами) решения волнового
уравнения (12.17), т. е. функции /, и f2, входящие в (12.18), также
будут гармоническими.
Рассмотрим подробнее гармонические бегущие волны. Удобно вве¬
сти круговую частоту, связанную с периодом гармонической волны,
и волновое число, связанное с длиной волны,
(12.25)
_ 2я _ 2я
-Т ~vT‘
(12.26)
500

Для волны, бегущей в положительном направлении оси х, имеем
Еу = A cos (со/ — кх).	(12.27)
Для магнитного поля из (12.21)
Я.
eV/2
- ylcosfof - кх).
VJ
(12.28)
Для скорости распространения фазы (фазовой скорости) получаем
dx
v =
dt
со
Т'
(12.29)
Как видно из (12.19), фазовая скорость зависит от характерис¬
тик среды, по которой распространяется волна, и, в частности, эти
характеристики определяются зависимостью со(А:) — дисперсионным
соотношением. При постоянной фазовой скорости говорят об отсут¬
ствии дисперсии.
Для волны, распространяющейся в пространстве в направлении
вектора г с декартовыми координатами х, у и z, вместо волнового
числа в (12.27) надо использовать волновой вектор (или вектор рас¬
пространения) к. В таком случае
kr = кхх + куу + kzz.	(12.30)
Рассмотрим отражение бегущей волны (12.27) и (12.28) от бес¬
конечной плоской поверхности идеального проводника, перпенди¬
кулярной к направлению распространения волны (рис. 12.16). Ось z
направлена к читателю. Для удовлетворения условия отсутствия элек¬
трического поля в идеально проводящей среде необходимо суще¬
ствование отраженной от плоскости х = 0 волны, бегущей в проти¬
воположном направлении:
Е'у = —A cos (со/ + Ах).	(12.31)
Щ = (Л cos (со/+ Ах).	(12.32)
Здесь использовано, что обозначенный на рис. 12.16 вектор к' = — к.
В диэлектрике над проводящей поверхностью получаем
Еу + Е'у = A [cos (со/ - кх) - cos (со/ + Ах)] = 2A sin кх sin со/;
( е Y/2 г	( е
Нг + #' = [- J A [cos (со/ — кх) + cos (со/ + Ах)] = 21 -1 A cos Ах cos со/.
501

Это стоячие электромагнитные волны. При х — 0 имеем узел
электрического поля и пучность магнитного. Внутри проводника
магнитного поля нет. Изменение магнитного поля на границе (от
величины в пучности до нуля) связано с токами проводимости вдоль
границы.
Аналогичным образом можно рассмотреть падение электромаг¬
нитной волны на плоскую поверхность идеального проводника под
углом а (рис. 12.17). Электрическое поле в волне направлено парал¬
лельно оси у, которая направлена к читателю. Уравнение падающей
волны из (12.27) и (12.30)
ЕуХ = A cos (со/ - кхх — kzz),	(12.33)
где ку = 0; кх = к cos a; kz = A: sin а.
Отраженную волну записываем в виде
ЕуХ = y4'cos(w/ - к'хх - k'zz + <р).
Условия при х = z = 0 требуют отсутствия электрического поля,
поэтому А' = А, <р = я, непрерывность компоненты магнитного поля
касательной к границе, поэтому угол падения равен углу отражения
и, следовательно, кх = кх и kz = -kz. Следовательно,
Eyl =-Acos(oit - кхх + kzz).	(12.34)
Волна над проводящей стенкой представляет сумму (12.33) и (12.34)
Еу = Eyi + Eyl = -2,4sin(A?z)sin(on- кхх). (12.35)
Для этой волны выполняется условие отсутствия электрическо¬
го поля при z — 0. Это же решение годится в случае установления
502

проводящей плоскости, параллельной плоскости z — 0 на расстоя¬
нии нескольких половин длин волны, определяемых kz и равном
Z = —I = ~пЧг = ~п~~ (я = 1, 2, з, ...).
(12.36)
Отсюда для kz имеем
/ 71
кг=п7.
Из (12.30) и (12.29) в данном случае получаем
42"|V2 Г/ \2	/ \21*/2
К =
Н'т) -(тМт)
(12.37)
(12.38)
где с — фазовая скорость электромагнитной волны в вакууме, рав¬
ная скорости света.
Подставляя (12.37) и (12.38) в (12.35), получаем соотношение
для волны, распространяющейся между двумя параллельными про¬
водящими плоскими поверхностями, представляющими плоский
волновод:
Еу(х, z, t) = 2v4sin^rtnyjsin(a>/ - кхх).	(12.39)
Волна, соответствующая определенному п, называется «модой»
волновода. Конфигурация электрического поля для каждой моды
своя. На рис. 12.18 показано распределение электрического поля
между проводящими стенками для п = 1 (а) и для п = 2 (б). Распро-
503

ч
странение фаз в направлении х вдоль волновода происходит с фазо¬
вой скоростью
_ ббс _ со 		(О
с	с	<12-40>
~ [l - я2 /(2/)2 ]'/2 ~~ (ш2/с2 - со^р/с2)1/2 *
где К0 — длина волны в вакууме, Л0 = 2пс/а>; значение ю дано далее
в (12.43).
Из (12.40) следует, что фазовая скорость в волноводе больше
скорости света в вакууме. Напомним, что в теории относительности
для фазовой скорости нет ограничения. Для длины волны в волно¬
воде получаем
1	_ 2л _
А*. — .	—
[l - л2 xl
/(2/)2]
|1/2
> Лп
(12.41)
Для того чтобы происходило распространение волны, кх должно
быть действительным числом, т. е. должно выполняться
(?М?Г-
(12.42)
Критической (или граничной) частотой является
ПС
Юкр Y'
(12.43)
Критическая длина волны
Хкр = 21.
(12.44)
Критическим условиям отвечает угол а = л/2. Образуется сто¬
ячая волна.
В отличие от безграничных плоских волн, о которых говорилось
ранее, здесь электрическое поле меняется на конечном интервале.
Вычисляя циркуляцию магнитного поля вокруг электрического,
получаем, что при электрическом поле, имеющем только компо¬
ненту вдоль у, магнитное поле имеет компоненты вдоль z и х, т. е. и
в направлении распространения волны. Если у электрического поля
есть только компоненты, перпендикулярные направлению распрос¬
транения электромагнитной волны, то такой тип волн называется
504

поперечным электрическим (сокращенно ТЕ —
transverse-electric). Магнитное поле в волне та¬
кого типа имеет компоненту в направлении рас¬
пространения волны. На рис. 12.18 показаны
пунктиром, для примера, две силовые линии
магнитного поля, лежащие в плоскости (х, z)■
Если в электромагнитной волне магнитное поле
в ограниченном пространстве имеет только
составляющие в плоскости, перпендикулярной
направлению распространения волны, то та¬
кой тип волн называется поперечным магнитным (сокращенно ТМ —
transverse-magnetic). При этом у электрического поля есть составля¬
ющая и в направлении распространения волны.
Найдем вектор Пойнтинга, описывающий плотность потока энер¬
гии в волноводе квадратного сечения (сторона квадрата равна а) с
идеально проводящими стенками и вакуумным наполнением при
распространении бегущей электромагнитной ТЕ — волны с мини¬
мальной частотой при заданном волновом числе кг (№ 12.50). Ось z
направлена вдоль волновода, вектор Е параллелен оси х, а амплиту¬
да поля равна Е0 (рис. 12.19).
Из (12.39), учитывая минимальность частоты (п = 1) и переиме¬
нование осей, для напряженности электрического поля в волне имеем
Ех = Е0 sin	J sin (соt-kzz).
Из (12.10) и (5.11) получаем
1ЭН
с bt
= rotE =
(12.45)
=it = ~Е*кг sin(v)cosH - М;
1 ЭЯ ЭЕ Г к (ку\ . (	*	\
Интегрируем, учитывая, что постоянных составляющих в волне нет,
\Н> = £o^sin(^)sin(o>'-M);
=~Е°	" М-
505

tl
Используя (12.23) и (5.10), находим
= с
2
Е2
4ясо
j2|-sin^2n^jsm2(ow- kz) + кАг sin2 Гя—jcos2 (<i)t - k?z)
Для частоты из (12.38) имеем
"=* =
2 Л1/2
к2 + —
Кг + 2
а J
Рассмотрим волновод с металлическими стенками квадратного
сечения со стороной а = 5 см, который возбуждается модулирован¬
ными колебаниями
Ex(t) = Е0(\ + cos Q/) cos ©0/,
где
= 3001 МГц; £ = 4 МГц.
2я	2я
Пренебрегая потерями бегущих волн в волноводе, найдем, по
какому закону меняется поле EBbix(t) на выходе волновода длиной L.
Поле Е перпендикулярно оси волновода и параллельно одной из
стенок (см. рис. 12.19). Определим также, чему равна фазовая ско¬
рость волны с частотой ш0 (№ 12.45). Из (12.43) следует, что гранич¬
ной частотой для данного волновода является
^=1Т = 5-2998 МГ“-
Из имеющихся в спектре модулированной волны гармоник
(ш0 - £1, о)0 и о)0 + Q) проходят только две. Из (12.38) находим
*го =
(ю0 + Slf
-ег
-т
Имея в виду, что
Ex{t) = Е0 (1 + cos Sit) cos ю0/ = Е0 cos© 0t + Е0 cos £lt cos ш0/ =
1_
2
= E0 cos ©0/ + ^ E0 cos(Q - ©0) / + ^ £0 cos(Q + ©0)/,
506

т. е. амплитуды боковых волн вполовину меньше, получаем поле на
выходе из волновода
Ех вых (0 = Ео cos(oу - kz0L) +1Е0 cos[(o>0 +Q.)t- kziL\.
Из (12.40) фазовая скорость волны с частотой со0 равна
v =	~	£	=	£	= 22 4с.
кг0 [l - (ттс>2/(to0«)2 ]7	[l-^/coo)2]7
Если волна с несущей частотой v0 имеет амплитудную модуляцию
с частотой vM, то в соответствии с (11.12) появляются еще волны с
частотами (v0 — vM) и (v0 + vM). Прохождение волн через волновод
определяется его размером. Для волновода квадратного сечения со
стороной, равной а = 5 см, из (12.43) (№ 12.46)
vKp = Ya = 2998 мг«-
Если задана несущая частота 2995 МГц, то она не проходит. Тем
более не проходит волна с частотой, равной разности частот. Чтобы
превзойти критическую частоту, частота модуляции должна быть
больше 3 МГц. Для фазовой скорости из (12.40) при частоте моду¬
ляции 5 МГц получаем
*Ф =
[l-v2Kp/(v0 +vM)2]
1/2
27,4с.
Рассмотрим распространение монохроматической волны слож¬
ной пространственной структуры в прямоугольном волноводе, изоб¬
раженном на рис. 12.20. Электрическое поле Е в волне перпендику¬
лярно широкой стенке волновода размером а. Такую волну можно
представить как суперпозицию собственных мод волновода типа Н0т,
поле Е которых в плоскости z имеет вид:
Ех{у, 0, /) = XCmSin(mn£jcos(cof + am).
Предположим, что для всех мод вы¬
полнено условие т » 2а/Х0, где А,0 — дли¬
на волны в свободном пространстве.
Докажем, что распределение амплитуды
колебаний по поперечному сечению вол¬
новода Е(у, z) воспроизводится (повто-
Рис. 12.20
507

/А
ряется) через определенное расстояние Дz, Е(у, z) = Е(у, z + Az), и
найдем Дг (№ 12.69).
Используя (12.41) и (12.45) для произвольного z, имеем
Для совпадения распределений амплитуд необходимо Д<р = 2лп
(где п — целое число) для любых от, и от2. Отсюда
В подобном прямоугольном волноводе со сторонами а и b на
входном торце заданы колебания электрического поля, представля¬
ющие суперпозицию мод типа H0i и #,0. Распределения поля Е по¬
казаны на рис. 12.21. В моде Я01 поле Е (при z — 0) имеет только х-
компоненту
ЕХ(У, z, /) = XCmSinfOTn^Jcos(co?-^ + a„,),
т
где
Разность фаз для некоторых двух мод тх и т2 равна
А<Р = {kvn\ ~ kzm2)z = |(/«22 - ml)k0 jl-
так как (rr% - mj2) — всегда какое-нибудь целое число п.
о
а У
0 Е а
Рис. 12.21
508

а в моде Я10 — только ^-компоненту
Еу = Е0 sin^Jtyjcosco/.
Считая, что частота много больше критических частот обеих
о» » я—, л х, найдем, при какой минимальной длине волновода ори-
а о
ентация вектора Е в любой точке (х, у) выходного сечения совпада¬
ет с его ориентацией во входном сечении (в точке с теми же коор¬
динатами х, у) (№ 12.70).
Как видно из (12.40) фазовые скорости мод типа #01 и Я10 различ¬
ны. Во входном сечении z — 0 моды в одинаковой фазе. Волна линей¬
но поляризована. При распространении волны происходит сдвиг фаз
составляющих компонент. Они снова будут в фазе при условии
где
Л<Р = l(^)0i - (£г),0У = 2я,
(*<)oi
(^До
2я
^■о
1-
1‘/2
Так как со » я-, я^- и> следовательно, Хп « а, Ь, то совпадение
а о
фаз произойдет при
Откуда и находим I.
Энергия, посылаемая через волновод к некоторой нагрузке, мо¬
жет частично поглотиться, а частично отразиться. Обозначая коэф¬
фициент отражения амплитуды а через г, для амплитуды отраженной
волны имеем аг. В результате отражения получаем подобие стоячей
волны с отношением максимальной напряженности (в пучности) к
минимальной (в узле)
К =
а + аг
а - аг
1 + г
1-г'
Если заданы посылаемая мощность N0 и поглощаемая в нагруз¬
ке NH, то, учитывая, что мощность пропорциональна квадрату амп¬
литуды, имеем

\
Рис. 12.22
Это уравнение подставляем в предыдущее соотно¬
шение (№ 12.52).
Волновод превращается в объемный резонатор,
если вход в него и выход из него закрыты проводя¬
щими стенками.
Найдем резонансные частоты двух наинизших мод
объемного резонатора в виде прямоугольного па¬
раллелепипеда со сторонами а = 1 см, Ь = 2 см, / = 3 см (рис. 12.22).
Из (12.38), подставляя аналогично (12.37) кх = тп/b и беря наи¬
меньшие значения п = 1 и т = 1, чтобы получить наименьшее зна¬
чение со, имеем (№ 12.68)
(12.46)
Здесь взяты наибольшие стороны (Ъ и /), чтобы со было меньше.
Следующая наинизшая мода соответствует тому, что на наиболь¬
шей стороне укладывается не половина длины волны, а целая длина
волны
Предполагая, что электрические параметры воздуха, заполняю¬
щего резонатор, не зависят от частоты, а потери энергии определя¬
ются удельной проводимостью р, найдем отношение добротностей
резонатора при со и со, (№ 12.68). Потери на джоулеву теплоту в
единице объема за период Т при плотности тока j и напряженности
электрического поля Е равны
AW ~ j2pT ~ Е2-.
Р
Запасенная энергия W ~ Е2. Поэтому добротность
Тогда
0_
Qi
Е2 Р
Е2Т
1
— ~ со
т
(0
СО,
Волну в волноводе (12.45) можно записать в комплексном виде
Ех = Е0 sin (куу) exp [/(cor - kzz)].	(12.47)
510

В трехмерном пространстве волновое уравнение имеет вид
эЧ , эЧ ,	1 эЧ
Эх2 Эу2 Эг2 с2 Эt2 '
(12.48)
Подставляя сюда (12.47) и учитывая, что Ех не зависит от х, т. е.
при изменении х не меняется, получаем
^r = k2y+k2z,
(12.49)
что согласуется с (12.37), (12.38) и (12.46).
Найдем вектор Пойнтинга S(/, х, у, г) как функцию координат и
времени в резонаторе, который представляет собой кубик со сторо¬
ной а, с идеально проводящими стенками и вакуумным наполнени¬
ем и в котором возбуждена основная мода электромагнитных коле¬
баний, причем электрическое поле с амплитудой Е0 ориентировано
по оси z (№ 12.47). Для основной моды электрического поля в дан¬
ном резонаторе имеем
Е = ezE0 sin^n^-jsin^n^jcoso)/,
где ег — единичный вектор в направлении оси z■ Далее будут упот¬
ребляться единичные векторы вдоль осей х и у ехи еу.
Из (12.10) получаем
^ = -crotE =
Э t
= -cEo j[e, sin(^)cos(^)-e, cosj^jsinj^
COS (jit.
Отсюда можно найти выражение для поля Н. Из (12.46) частота
основной моды в резонаторе
(О = с
Используя (12.23), находим
л2 я2
У а2 а2
1/2
= СП
(2)
1/2
S(t, X, у, z) =
=ciiki*x sin(2*f )sin2 Н)+е>sin2 И )sin(2" *)]sin 2ш-
Найдем максимальную напряженность Е0 электрического поля в
прямоугольном резонаторе с проводящими стенками объемом V,
511

л
добротностью Q, в котором полностью поглощается энергия от ге¬
нератора электромагнитного излучения мощностью Nc длиной вол¬
ны А, настроенного на основную моду резонатора (№ 12.48).
Учитывая связь эффективной напряженности с максимальной
’ _ £0
Эф ~ (2)1/2 ’
для энергии в резонаторе получаем
Так как из (9.27)
W =
£рУ
16я
а потери
Q = 2n
W
AW’
A W = NT =
NX
то
= 8QN-.
0	Vc
Если стенки резонатора изнутри покрыты сверхпроводником,
то для избежания пробоя (достижения критического магнитного
поля) электрическое поле всюду не должно превышать Е0. Измере¬
ния для прямоугольного резонатора (в горизонтальном сечении,
имеющем форму квадрата со стороной а и высотой h < а) на низ¬
шей резонансной частоте показали добротность Q. Найдем, какую
мощность N можно подводить непрерывно к резонатору на этой
частоте, чтобы поддерживать колебания с максимально допусти¬
мой амплитудой (№ 12.49). Средняя энергия в объеме резонатора
за период, учитывая гармоническое изменение напряженности поля
и (3.69),
и,-5*г*я-
Из добротности (9.29) получаем для потерь за период
Q ~и 8nQ
AW = 2я^ = £?/»/
512

Частота определяется из (12.46)
1 1
Откуда период
Т
2л	(2)1/2
— = а——.
О)	с
Подводимая мощность
Волновод может быть заполнен слабо проводящей (удельная про¬
водимость X) диэлектрической средой (диэлектрическая проницае¬
мость в). Найдем добротность отрезка такого волновода с запаян¬
ными торцами (прямоугольного резонатора с ребрами а < b < I) для
самой низкой возможной резонансной частоты vmin, считая, что по¬
тери связаны только с проводимостью диэлектрика (№ 12.44). Учи¬
тывая, что средняя энергия электрического поля за период Т равна
половине И^тах, получаем
Потери за период
о v
Добротность резонатора
q _ 2л	_ в
^ W	2 ТХ'
Период надо выразить через самую низкую возможную частоту в
резонаторе. Из (12.19) для фазовой скорости в диэлектрической среде
имеем с/(е)1/2. Подставляем ее вместо с в (12.46) с учетом необходи¬
мости получения наименьшей частоты. Период Т = 2л/со.
Оценим силы, оказываемые электромагнитным полем на стен¬
ки объемного резонатора, имеющего в плоскости XOY квадратное
сечение со стороной а = 3 см, в направлении оси OZ сторона рав¬
на b = 1 см в условиях, когда СВЧ-генератор непрерывно подводит
513

\\
к резонатору мощность N = 1 Вт на наинизшей моде резонатора,
добротность резонатора Q = 103 (№ 12.76). Из (12.46)
со = -Jin-.
а
Из (9.29) энергия в резонаторе за период
Потери за период
W =
Q
A W
2п
AW = NT = N-.
со
Давление вдоль оси Z равно
где объем V = а2Ь.
Рассмотрим распределение переменных токов по сечению про¬
водников — скин-эффект. Так как в проводниках, по крайней мере
в металлах, можно пренебречь токами смещения по сравнению с
токами проводимости, то из (12.8) и (12.1) получаем
rotH = 4яаД.	(12.50)
Учитывая (12.7) и (12.50), находим
.	а ЭrotH	, цА. ЭЕ
rot rotЕ =	— = -4я^-—.	(12.51)
с dt	с2 at
Рассматрим однородный проводник с постоянными А., р, е.
Непосредственным вычислением в декартовых координатах мож¬
но получить
rot rot Е = grad div Е — V2E.
При отсутствии в проводнике свободных зарядов из (12.11) и
(12.6)	получаем
V2E = 4я*^^.	(12.52)
с1 ot
Подобным же способом можно найти
У2Н = 4я^^.	(12.53)
С1 vt
514

Рассмотрим поля
Е = Е0(х, у, г)е'“', Н = Н0(х, у, г)е'“'.	(12.54)
Здесь амплитуды Е0 и Н0 могут быть комплексными векторами,
но от времени не зависят.
Подставляя (12.54) в (12.52) и сокращая на временной множи¬
тель, находим
V2E0 =4п4^Е0 =^§2-,	(12.55)
С	6
где введено обозначение
(2яцЛш)^2
(12.56)
Предполагаем, что проводник занимает полупространство z > О,
так что его поверхность совпадает с плоскостью z — 0, а электричес¬
кое поле, следовательно, и ток направлены по оси х параллельно
граничной поверхности (Еу = Ez = 0), причем напряженность поля
зависит только от расстояния z рассматриваемой точки проводника
от его поверхности, но не зависит от х и у. Из (12.55) получаем
V2E0, =
э2е,
Ох
Эг
Общее решение этого уравнения
(12.57)
Е0х = Aekz + Be~kz,
где А и В — постоянные интегрирования; к — корень уравнения:
к2
т. е.
Таким образом,
1 + <
82
Е0х = Aez/Se'zl& + Btzl&tizl&.	(12.58)
Отметим, что в соответствии с (12.56) 5 — вещественная вели-
чина.
515

Для ограниченности решения надо считать А =
0. В результате
Ех = Е0хе'ш1 = Ве~фе‘(ш-ф).
(12.59)
Опуская мнимую часть, получаем
Ех = ВеГ1/ъ cos ^со/ - .
(12.60)
Для плотности тока находим
Л = Щ -f)>
(12.61)
где j0 — ХВ — амплитуда плотности тока на поверхности провод¬
ника.
Таким образом, амплитуды напряженности поля и тока убывают
в глубь проводника по экспоненциальному закону. Можно считать,
что поле и ток сосредоточены в слое толщиной 8, который называют
скин-слоем.
При достаточно больших частотах электрическое поле в провод¬
ник фактически не проникает. Воспользовавшись (12.53) и (12.54),
то же самое можем получить и для магнитного поля. Это похоже на
отсутствие проникновения в сверхпроводник. При этом поле на
проводник оказывает давление, определяемое (7.12), с учетом того,
что усреднение cos2 со/ дает 1/2.
Капля ртути на несмачиваемой горизонтальной поверхности стола
похожа на «блин». Если эту поверхность, предполагая, что она из
непроводящего и немагнитного материала, поместить в высокочас¬
тотное (но удовлетворяющее квазистатичности юI <к с , где / — ха¬
рактерный размер, а с — скорость света) магнитное поле, то на кап¬
лю, кроме поверхностного натяжения, будет действовать магнитное
давление, и она окажется менее сплющенной. Известно, что до по¬
мещения в магнитное поле В= BQ cos со/ диаметр «блина» был равен
d = 10 см. Найдем, какой должна быть амплитуда поля В0, чтобы на
частоте v = 1 МГц диаметр блина уменьшился в два раза (№ 12.8).
Используя (12.56), получаем толщину скин-слоя 8 = 0,005 см. Для
вычисления высоты «блина» до помещения в магнитное поле мож¬
но воспользоваться решением, приведенным в книге 2, с. 342. Для
оценки приравниваем давление за счет поверхностного натяжения
на краях «блина» среднему давлению в капле. Откуда
516

При коэффициенте поверхностного натяжения о = 0,465 Н/м =
= 465 дн/см, р = 13,5 г/см3 и g = 980 см/с2 получаем А = 0,375 см.
Из сохранения массы капли (и объема) высота возрастет в 4 раза
А, = 1,5 см. Для равновесия
Отсюда В0 = 683 Гс.
Системой Лехера называют систему из двух параллельных про¬
водов, для которой при распространении по ним переменных токов
высокой частоты условие квазистационарности выполняется по от¬
ношению к поперечным размерам и не выполняется по отноше¬
нию к продольному. Это значит, что расстояние между проводами
должно быть мало по сравнению с длиной волны, а продольное
расстояние (длина проводов) может составлять много длин волн.
Вследствие этого сила тока / и линейная плотность электрического
заряда д существенно меняются вдоль проводов. На рис. 12.23 изоб¬
ражен участок системы (провода параллельны оси х, токи в них
одинаковы по величине и противоположно направлены) с беско¬
нечно малым элементом (от х до х + dx). Через конец А за время dt
внутрь рассматриваемого элемента входит электрический заряд I(x)dt,
а через D выходит заряд I(x + dx)dt. Обозначая изменение линейной
плотности заряда со временем q' (производная по времени), полу¬
чаем изменение (сохранение) заряда
q'dxdt = [/ (х) - / (х + <&)] dt = -dxdt.
Таким образом,
<12-62>
Для электрического поля между проводами Е и разности потен¬
циалов V имеем
I Edl = U(x + dx), j Edl = V(x);
DC	BA
| Edl - U(x + dx)-U(x) = -£-dx;
dc+ba	°x
J Edl = RI(tc,
AD + CB
В
c
A
/
D
+
+ + + +
+
Рис. 12.23
517

<1
где Rdx — суммарное сопротивление элементов проводов AD и СВ.
Используя эти соотношения и обозначая магнитный поток, прони¬
зывающий контур A BCD,
Ф= f Bds = LI,
ABCD
где L — индуктивность единицы длины линии, из (12.2) получаем
^- + RI = -- ф' = -4^.	(12.63)
дх	с	с2 дt
Вводя С = q/U — емкость на единицу длины линии, из (12.62)
имеем
Е. = -С —
дх	д t '
При R — 0 из (12.63) получаем
dU
дх
Э/
с2 dt ’
(12.64)
(12.65)
Из последних двух уравнений следуют волновые уравнения
Э2/ с2 Э2/ Л. d2U с2 d2U л
^ Л г-т	—
dt2 CL дх2
Фазовая скорость волн
dt2 CL Эх2
v =
(CL)
1/2 •
(12.66)
В бегущей волне напряжение и ток связаны соотношением, сход¬
ным с законом Ома:
t/= ±WI.
Здесь введено волновое сопротивление линии
(12.67)
(12.68)
Сходство с законом Ома чисто внешнее, так как разность потен¬
циалов берется не вдоль проводов, как в законе Ома, а между про¬
водами.
518

Для тонких цилиндрических проводов радиусом а на расстоя¬
нии h в среде с диэлектрической проницаемостью е и магнитной
проницаемостью р имеем
с-41
Поэтому из (12.66) получаем
V =
м1/2 •
(12.69)
Эта фазовая скорость совпадает с фазовой скоростью электро¬
магнитной волны в свободном пространстве.
При распространении гармонической волны, как следует из
(12.67) и (12.68), ток и напряжение колеблются в одинаковых фазах.
Так как в бегущей волне электрический и магнитный векторы пер¬
пендикулярны проводам, вектор Пойнтинга параллелен проводам и
направлен от источника энергии.
Соединим провода лехеровой системы в некоторой точке мос¬
тиком из последовательно соединенных катушки индуктивности,
омического сопротивления и емкости (с импедансом мостика Z).
Волновое сопротивление до мостика W и после мостика W' могут
быть разными. Падающая на мостик волна может частично прохо¬
дить, а частично отражаться. Найдем у мостика отраженную (7Г) и
прошедшую (Id) волны тока, а также ток через мостик /, если ток
падающей волны равен 1е. Напряжение в падающей Ve, отраженной
Vr и прошедшей Vd волнах у мостика:
К= Vr=-W/r; Vd = W'Id.
Минус показывает, что отраженная волна идет назад.
Пользуясь правилом Кирхгофа для токов, имеем
I+I.
Напряжения между концами мостика можно записать
ZI= V +
К= Кг
Выражая напряжения через токи, получаем
ZI— W(Ie - /г), ZI= W'Id.
519

Решая эти уравнения вместе с уравнением для токов, находим
lr _ WW' + (W - W')Z . Id _ 2WZ .	I _ 2WW'
h~	д	’ le " A ’ /, “ д ’
где Д = WW' + (W+ W')Z.
Для мостика, поставленного в конце линии, получаем в случае
отсутствия прошедшей волны (W' = °°)
Л =(W-Z)
W + Z ’
2 WIe
W + Z'
При закороченной линии (Z = 0) и со свободными концами
(Z = °°) в обоих случаях отражение полное, но с разными фазами в
первом случае пучность, во втором узел. При чисто реактивном со¬
противлении (Z = iX) отражение также полное |/е| = \1Г\, а наличие
реактивного сопротивления сказывается только на положении уз¬
лов и пучностей.
В стоячей волне, которая образуется при полном отражении, узлы
тока являются пучностями напряжения, а узлы напряжения — пуч¬
ностями тока. В узлах вектор Пойнтинга равен нулю. Электромаг¬
нитная энергия колеблется между узлами, не переходя через них.
Отраженной волны нет, если
Z= W	(12.70)
По системе распространяется только бегущая волна. Такое со¬
противление называется согласованным.
Рассмотрим систему Лехера, в которой между проводами (диа¬
метр 2а, расстояние между ними А) поставлен плоский лист прово¬
дящей пленки толщиной 8 с удельным сопротивлением р. Исполь¬
зуя соотношения для индуктивности на единицу длины провода
i = 4 **ll”(j)
и емкости на единицу длины провода
4	In (h/a)
при е = 1 и р = 1, получаем для волнового сопротивления системы
с
520

При определении сопротивления из (4.23) емкость надо взять на
расстоянии 8. В итоге имеем сопротивление между проводами
R = Р
4л8С ’
В случае отсутствия отраженной и проходящей волн Z = R= W.
Откуда (№ 12.75)
Если для передачи электромагнитной энергии от генератора вы¬
сокочастотных колебаний к нагрузке используется длинная линия,
состоящая из двух плоских шин (ширина их /, расстояние между
ними Л), расположенных параллельно друг другу, то на единицу
длины емкость равна
С
/
4лh ’
L = 4л j,
так как для потока
ф = 4 nI- = L-.
cl с
Из (12.66) фазовая скорость волны v= с. Для отсутствия отражен¬
ной волны должны выполняться (12.70) и (12.68), т. е. (№ 12.67)
~	1 L . h
Z = -- = 4п-т.
с С cl
Торец линии можно закрыть пленкой толщиной 8 из полупро¬
водникового материала с удельным сопротивлением р. Найдем,
при каком отношении р/8 не будет отраженной и проходящей
волн (№ 12.74). Так как
*-P5-z-
то в соответствии с полученным ранее
р 4 л
С
8 Т'
~ IJcos со/
V(xy t)
На рис. 12.24 показана система Лехера, нахо¬
и
f D
дящаяся в емкостной связи с генератором сину¬
соидальных колебаний, который поддерживает
ЧЦг-
1
между концами A ia В переменное напряжение
Рис. 12.24
521

V0 cos (at (V0 и © — постоянные), а концы Си Z) закорочены. Длина
лехеровой системы АС = BD = /. Найдем распределение напряжения
V(x, t) между проводами как функцию координаты х и времени /,
предполагая, что колебания установились, а активное сопротивле¬
ние всех проводов равно нулю (№ 12.42). В системе установится
стоячая волна, представляющая сумму волн, бегущих в противопо¬
ложных направлениях,
V (х, t) = у cos (ю/ - кх - 8) + у cos (ш + кх + 5) =
= A cos ш/ cos (кх + 5).
При х = / напряжение должно равняться нулю, поэтому
А:/ + 8 = я|л + ^| при п = 0, 1, 2, ....
Откуда
8 = n^n + ^j- kl.
Амплитуду колебаний находим из условия на АВ
V(0, t) — V0 cos оit = A cos ой cos 8.
Полностью ионизованная плазма состоит из электронов и тя¬
желых положительных ионов, которые можно считать неподвиж¬
ными. Допустим, что плазма находится между двумя плоскостями
(например, перпендикулярными оси х), заряд электронов е и число
их в единице объема п. Если все электроны сместятся из положе¬
ния равновесия на расстояние х, то возникнет электрическое поле
Е = Annex. Сила, действующая на электрон, F = 4тше2х. Обозначая
производную по времени штрихом, получаем уравнение движения
электрона тх" = —F. Это уравнение колебаний электрона с так на¬
зываемой плазменной частотой
-	(12.71)
Эта частота зависит от числа электронов в единице объема
плазмы. Когда по плазме распространяется электрическое поле
522

Е = Е0е~'<ш~ Ь), то смещение электрона г описывается уравнением
тг" = —еЕ. Дважды интегрируя, получаем
-i{wl-kx)
г = еЕ0	—
ты
еЕ
ты2
Из (3.8), (3.1) и (12.71) находим
g2	(Од
е = 1 -4дл—у = 1—§-.	(12.72)
ты	ы
Такое изменение диэлектрической проницаемости надо учиты¬
вать, например, при пропускании электронного пучка через про¬
странство между пластинами конденсатора, заполненное диэлект¬
рической средой (е = 1). Если конденсатор входит в колебательный
контур с резонансной частотой о)0, то она изменится. Найдем, во
сколько раз изменится резонансная частота, предполагая, что пучок
сечением S с энергией электронов Wи полным током / идет парал¬
лельно пластинам конденсатора, полностью заполняя пространство
между ними (№ 12.56). Для плоского конденсатора емкость, как
следует из (3.56), увеличится в е раз. При этом, как следует из (9.8),
новая резонансная частота
Из (12.72)
(О =
ю0
е
1/2 •
е(со) = 1 -4лп
пт
со
Откуда
со = (00 (1 + af1,
где
а = 4л/—		грг.
5o)q {mW)ll
Если через волновод прямоугольного сечения со сторонами а < b
распространяется волна низшего типа (т. е. Я01), возбуждаемая ге¬
нератором микроволнового излучения с частотой со, то для трехмер-
523

ного (пространственного) случая, учитывая диэлектрическую про¬
ницаемость е, из (12.17) получаем
Ч г(дгЕ дгЕх
2	{ Эх2 ду2
дЧ
dz2
(12.73)
Обозначим ось волновода, по которой распространяется волна, z-
Для бегущей волны Ех = Еcos (cot — кг) с учетом (12.30) находим
= к2 + к; + к2
'Z ’
где к, - к = 2п/Х.
Для волны, имеющей наименьшую возможную частоту для дан¬
ного волновода, при а < Ь должно быть т = 0 и /= 1. Таким образом,
^- = ^ + к2.	(12.74)
с" о
Известно, что воздух, для которого можно считать е = 1, остав¬
шийся в волноводе после его вакуумирования, превращается в плазму,
для которой е определяется (12.72). Найдем концентрацию электронов
в плазме (л), если известно, что длина волны в волноводе после иониза¬
ции удваивается Х2 = 2Х, и соответственно к2 = kj2 (№ 12.54). Из
(12.74) для воздуха
для плазмы, с учетом (12.60) и того, что частота генератора не ме¬
няется,
е2 1
1 -4ял—j
то ,
(О
Следовательно,
л = Зт
со
-К2с2/Ь2
16пе2
Рассмотрим плазму со средней концентрацией электронов и
ионов л0 и температурой Т, находящуюся между пластинами плос¬
кого конденсатора, расстояние между которыми равно а, а разность
потенциалов У0. Пренебрегая током через плазму, краевыми эффекта-
524

ми и считая eV0 « кТ (к — постоянная Больцмана; е — заряд
электрона), найдем зависимость потенциала в плазме между плас¬
тинами от координаты, перпендикулярной пластинам V(x) (№ 12.55).
В поле конденсатора энергия электронов (—eV), а энергия ионов
(eV). В соответствии с распределением Больцмана концентрация
электронов
пе = п0ееУ/кт = «о
1 eV
Х + кТ
; п, = «о 1 -
еУ
кТ
Плотность заряда
р = 4пе(пе - ttf) =
V
кТ
Здесь введена важная характеристика плазмы — дебаевский
размер (или радиус), который определяет размер экранировки
или расстояние, на котором электрическая энергия порядка теп¬
ловой
1а =
кТ
8 тш0е2
ч!/2
Из (2.11) имеем уравнение Пуассона
Его решение
<rV__V_
dx2 " l\ ‘
V - Vx exp — +V2 exp
Vfl J
)
(12.75)
Граничные условия: при x = О V— 0, при х — a V= V0. Откуда
Уо=Г1
Окончательно
ехр
)
-ехр
V )
= 2VX sh
л
у - у Sh(x/lz)
525

Когда по длинному плазменному цилиндру диаметром 2R течет
ток /, то образующееся магнитное поле (5.2)
в соответствии с (7.12) создает давление
Н2 I2
Р 8п 2kc2R2 '
Если ток сосредоточен в поверхностном слое, а давление внутри
цилиндра в плазме больше магнитного давления, то плазменный
цилиндр будет расширяться (№ 12.57).
Рассмотрим плазменный шнур (Z-пинч), вдоль оси которого
течет ток /. Считаем, что плазма нейтральна с однородным рас¬
пределением плотностей частиц и тока по поперечному сечению
пучка и что магнитное давление собственного магнитного поля
пучка уравновешивается газокинетическим давлением плазмы. При
этом температура меняется по сечению пучка. Оценим темпера¬
туру Т плазмы на оси пучка (№ 12.58). Из закона Ампера плот¬
ность силы магнитного давления в зависимости от расстояния г
от оси пучка
f (г) = — [ jB].
с
Эта сила действует на объем dV, представляющий собой тонкое
кольцо толщиной dr, высотой / (dV= Inlrdr). Из (5.7), следующего
из теоремы о циркуляции,
В = Н = 2nj -.
с
Магнитное давление, действующее на стенки элементарного объе¬
ма (боковую стенку цилиндра радиусом г),
dp = -fdr = -lnj2r —.
С
Здесь надо поставить минус, так как f направлено противоположно г.
Интегрируя, найдем распределение магнитного давления внутри
плазменного пучка
dr
г—
с
= nR2]2
(
V
526

Таким образом,
p(r) = p(R) + I2— f-jp •
с nR
Магнитное давление, направленное к центру шнура, уравнове¬
шивается газокинетическим давлением плазмы р(г) = пкТ(г). Пред¬
полагается, что для электрически нейтральной плазмы можно вос¬
пользоваться уравнением состояния идеального газа. Следовательно,
r\-P(R) , ,2 1 —'У*2
' пк c2nR2nk '
Первый член в этой формуле — температура на периферии шну¬
ра T(R), которой можно пренебречь по сравнению с температурой
на оси. Тогда
/2
c2nR2nk
При заданной температуре можно найти необходимый ток или
магнитное поле (№ 12.59).
Этой же формулой можно воспользоваться, если задано число
частиц на единицу длины плазменного шнура N = rmR (№ 12.62).
При быстром сжатии плазменного шнура сохраняется магнит¬
ный поток. Когда по тонкой цилиндрической плазменной оболочке
течет ток /, то магнитное поле определяется (5.2)
и.
сг
Если внутри оболочки предварительно создано продольное маг¬
нитное поле Я0, то внешним магнитным полем оболочка будет сжи¬
маться от начального радиуса R до некоторого радиуса г, при кото¬
ром внешнее магнитное поле станет равным магнитному полю внут¬
ри, которое получается в результате сохранения магнитного потока:
Н = H0~y =
г
]_
сг'
Откуда получаем (№ 12.61)
В цилиндрическом пропорциональном счетчике пучок частиц
вызывает объемную ионизацию. Найдем время собирания ионов в
527

таком счетчике, наполненном аргоном при нормальном давлении.
Радиус катода R, радиус анода а « R. Разность потенциалов между
анодом и катодом U. Подвижность положительных ионов аргона b
(№ 12.60). В случае цилиндрической симметрии электрическое поле
Е = А/r, где А — постоянная величина; г — расстояние от оси сим¬
метрии. Разность потенциалов
U = \Edr = А\п
R
Перемещение иона описывается уравнением
dr = , U{l/r)
dt	In {Rid)'
Интегрируя, найдем время перемещения иона на расстояние
порядка R
Т =
R
In (R/a)
2bU '
Если известно, что после накопления в резонаторе плазмы, об¬
разующейся в результате ионизации оставшегося после откачки воз¬
духа, частота наинизшей моды колебаний удваивается, то можно
найти концентрацию электронов плазмы (№ 12.53). Используя
(12.73), (12.72) и (12.71), находим в случае воздуха (е = 1)
+
в случае плазмы
С помощью (12.71) получаем
п = Зяте2
\Jb2 + l/t2
4е2
Оценим силы Fx, Еу и Fz, оказываемые электромагнитным по¬
лем на стенки объемного резонатора, имеющего размеры в плос¬
кости XOY: а, = а2 = а = 3 см, по оси OZ: b= 1 см, в условиях, когда
СВЧ-генератор непрерывно подводит к резонатору мощность N= 1 Вт
на наинизшей моде резонатора. Добротность резонатора Q = 10
528

(№ 12.76). Из (9.29) для энергии за период имеем W= QN/iо. Плот¬
ность электромагнитной энергии в объеме V равна
w= W/V= QN/iaV.
В соответствии с (7.12) эта энергия определяет давление.
Из (12.46) наименьшая частота
V2
0) = СП	.
а
Электромагнитное поле представляет двумерную стоячую волну.
Энергия w распределяется на четыре бегущие волны. На стенках,
перпендикулярных Хи Y, складываются две волны. Поэтому
FX = F= \wab =	= 0,037 дин.
* у 2 2(оа
По оси Z волны не идут, поэтому F = 0.

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Амплитуда вынужденных коле¬
баний 363
Амплитудная модуляция 426
Апериодичность 321
Баллистический гальванометр 377
Бетатрон 275
Вектор
—	магнитной индукции 173
—	намагничивания 173
—	Пойнтинга 481
—	поляризации 64
—	электрической индукции
(смещения) 65
Векторная диаграмма 368
Векторный потенциал магнит¬
ного поля 160
Вихревое электрическое поле 201
Волноводы 503
Волновое уравнение 480
Волновой вектор 501
Время релаксации 322
Гармоническая бегущая
волна 500
Гармоническая волна 481
Гистерезис 172, 186
Гиромагнитное отношение 272
Глубина модуляции 426
Градиент 30, 148
Давление поля 223
—	магнитного 223
—	электрического 109, 112, ИЗ
Дебаевский радиус 524
Декремент затухания 322
Диамагнетики 172
Дивергенция 20, 148
Диполь 11, 25, 62, 63
Дисперсионное соотношение 501
Диэлектрик 64
Диэлектрическая проницае¬
мость (диэлектрическая посто¬
янная) 66
Добротность колебательного
контура 322
Дробовой шум 459
Емкость 87
Закон Ампера 196
—	Биб—Савара—Лапласа 141
—	Джоуля—Ленца в диффе¬
ренциальном виде 119
—	Джоуля—Ленца в интег¬
ральном виде 120
—	Кулона 7, 66
—	Ома в дифференциаль¬
ном виде 118
—	Ома для цепи тока 120
—	сохранения заряда 117
—	сохранения энергии 316
—	Фарадея 171
—	электромагнитной ин¬
дукции 170
Замороженная поляризация 82
Зацепленный поток 165
Избирательность контура 392
Изолятор 64
Импеданс (полное сопротив¬
ление) 365
Индукционный ток 200
Интеграл Фурье 425
530

Квадруполь 13
Комплексная амплитуда 367
Коэрцетивная сила 183
Коэффициент взаимной ин¬
дукции 167
—	затухания 315
—	размагничивания 186
—	самоиндукции (индуктив¬
ность) 165
Критическая (граничная) час¬
тота 504
—	длина волны 504
—	температура 188
Критическое поле 188
—	сопротивление	321
Кулон 8
Ларморовская частота 272
Линейчатый спектр 426, 430
Логарифмический декремент
затухания 322
Магнитная восприимчивость 174
—	«ловушка» 268
—	постоянная 164
—	проницаемость 174
—	«термоизоляция» 269
Магнитно-гидродинамический
генератор 298
Магнитное поле бесконечно¬
го прямолинейного провода
с током 141
	витка с током 142
	соленоида 162
Магнитный диполь 142
Материальные уравнения 465
Метод электрических изобра¬
жений 36
Модуляция фазы 427
Молекулярные токи 172
Момент диполя 11
Монополь Дирака 296, 466
Мощность переменного тока 371
—	тепловых потерь 205
Набла 30
Напряженность электрического
поля 9
—	магнитного поля 141
Несущая частота 426
Обобщенный закон Ома в диф¬
ференциальном виде 119
Оператор Лапласа 31
Остаточная намагниченность 183
Отключение цепей 355
Парамагнетики 172
Параметрический резонанс 456
Переменный ток 365
Плазма 521
Плазменная частота 284, 522
Плоская поперечная электромаг¬
нитная волна 479
Плоский конденсатор 18, 109, 110
Плотность тока 117
—	энергии магнитного поля 223
		электрического поля 103
Показатель преломления
среды 480
Поляризация 64
Поляризуемость 64
Пондеромоторные силы 106
Потенциал 29
—	диполя 33
Потенциальная энергия 28
Поток вектора магнитной ин¬
дукции 164
Правила Кирхгофа 120, 368
Правило Ленца 200
Преобразование Фурье 425
Пьезоэффект 64
Размагничивающий фактор 186
Расстройка 392
Реактивное сопротивление
(релактанс) 365
Резонанс напряжений 394
—	токов 395
531

Резонансная частота 363
Резонаторы 509
Ротор 148
Ряд Фурье 424
Сверхпроводимость 188
Сверхпроводник первого рода 188
—	второго рода 189
Свободные затухающие коле¬
бания 320
—	незатухающие колебания 316
Связанные заряды 65
Система Лехера 516
Сила Ампера 196, 201, 224
—	Лоренца 200, 256
Силовая линия 9
Скин-эффект 515
Скорость дрейфа 281
Собственная частота колеба¬
тельного контура 315
Согласованная нагрузка 495
Согласованное сопротивление 519
Солнечный ветер 258
Соотношение неопределен¬
ности 430
Сопротивление провода 120
Спектральный анализ 426
Суперпозиция 9
Сферический конденсатор 88
Теорема взаимности 167
—	Гаусса 15, 20, 65
—	Ирншоу 10
—	о среднем 47, 68
—	о циркуляции 148, 173
Типы электромагнитных волн
(ТЕ и ТМ) 504
Ток смещения 465
—	намагничивания 172
—	Фуко 475
Толщина скин-слоя 515
Трансформатор 401
Удельная проводимость
(электропроводность) 118
Удельное сопротивление 118
Уравнение гармонических ко¬
лебаний (гармонического ос¬
циллятора) 316
Уравнения Максвелла 465
Уравнение Пуассона 31
—	силовых линий точечного
диполя 12
Фазовая скорость 480
Фазовый сдвиг 378
Ферромагнетики 172
Формула Эйлера 366
Циклотронная частота 257
Циклотронный (ларморовский)
радиус 257
Цилиндрический конденсатор 93
Ширина резонансной кривой 392
—	спектра 430
Шумы 459
Экранировка 35
Электризация 7
Электромагнитные волны 479
Электромагнитный импульс 482
Энергия в конденсаторе 98, 103
Эффект Мейснера 188
Эффективные значения пара¬
метров переменного тока 371

СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие	3
Введение	5
1.	Электрический заряд и напряженность электрического поля.
Диполь. Теорема Гаусса	7
2.	Потенциал. Метод электрических изображений	28
3.	Электрическое поле в веществе. Энергия электрического поля.
Энергетический метод вычисления пондеромоторных сил	64
4.	Постоянный ток. Токи в неограниченной среде	117
5.	Магнитное поле. Закон Биб—Савара—Лапласа. Теорема
о циркуляции в вакууме. Индуктивность проводников.
Теорема взаимности	141
6.	Магнитное поле в веществе. Векторы В и Н. Теорема
о циркуляции в веществе. Сверхпроводник в магнитном поле	 172
7.	Электромагнитная индукция. Энергия и силы в магнитном поле.
Сохранение магнитного потока в сверхпроводящих контурах	200
8.	Движение заряженных частиц в электрическом и магнитном полях.
ЭДС Холла. Движение при наличии пондеромоторных сил	249
9.	Переходные процессы в электрических цепях. Свободные
колебания	314
10.	Вынужденные колебания. Резонанс. Метод комплексных
амплитуд	362
11.	Элементы спектрального анализа. Автоколебания.
Параметрический резонанс. Шумы	424
12.	Уравнения Максвелла. Электромагнитные волны. Волноводы
и резонаторы. Плазма	465
Предметный указатель	530

Учебное издание
Корявое Владимир Павлович
МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ В ОБЩЕМ КУРСЕ ФИЗИКИ.
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ
Редактор О. А. Кузнецова
Внешнее оформление Н.Е. Ильенко
Изд. N® 036. Подп. в печать 06.04.11. Формат 60x88 ‘/6.
Бум. офсетная. Гарнитура «Ньютон». Печать офсетная.
Объем 32,83 уел. печ. л., 33,57 уел. кр.-отг.
Тираж 1500 экз. Заказ N® 352.
ООО «ТИД» «Студент».
109004, г. Москва, ул. Земляной Вал, д. 64, стр. 2, офис 717 (31).
Тел. (495) 915-80-41; (495) 915-08-96.
Отпечатано ООО «Великолукская городская типография».
182100, Псковская область, г. Великие Луки, ул. Полиграфистов, 78/12.