stereometria-nachala10-1982

Теги: геометрия топология

Похожие

Аналитическая геометрия

Дифференциальная геометрия, топология, тензорный анализ. Сборник задач

Динамика тела, соприкасающегося с твердой поверхностью

Задачник-практикум по аналитической геометрии и высшей алгебре

Текст

Библиотека учителя математики

А. Д. АЛЕКСАНДРОВ,
А. Л. ВЕРНЕР,
В. И. РЫЖИК

НАЧАЛА
СТЕРЕОМЕТРИИ,
10

ПРОБНЫЙ УЧЕБНИК

МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ОЗНАКОМЛЕНИЯ

Рекомендован Министерством
просвещения СССР.

МОСКВА «ПРОСВЕЩЕНИЕ» 1982
ББК 22.151.Оя72

Л46

Условные обозначения

К — окончание доказательства теоремы

* — необязательный материал

Александров А. Д. и др.

А46 Начала стереометрии, 10: Проб, учебник. Материалы для ознакомле-
ния/ А. Д. Александров, А. Л. Вернер, В. И. Рыжик. — М.: Просвещение,
1982. — 191 с. — (Б-ка учителя математики).

Пробный учебник для X класса — развернутое изложение второй части учебни-
ка. Учебник издан с целью ознакомить учителей с возможным вариантом построе-
ния школьного курса стереометрии.

В настоящее время он проходит экспериментальную проверку в ряде школ.
Первая его часть (лробный учебник для IX класса) вышла в свет в 1981 г.

ББК 22.151.Оя72

513 (075)

4306010400 — 776
А-----——-------~— подписное

103(03) — 82

Вторая часть книги, соответствующая курсу X класса, состоит
из четырех разделов: «Координаты и векторы», «Углы. Скалярное
произведение», «Перемещения», «Длина, площадь, объем». ААате-
риал главы VI «Координаты и векторы» авторы рассматривают как
повторение в двух планах. Во-первых, прямоугольные координаты
и векторы уже изучались в курсе восьмилетней школы, и в стерео-
метрии рассматриваются вопросы, во многом аналогичные тем, что
изучались в планиметрии. Во-вторых, при изучении координатной
системы в пространстве и линейных операциях с векторами повто-
ряется весь материал о параллельности и перпендикулярности пря-
мых и плоскостей, важнейшей темы IX класса.

Как уже говорилось в предисловии ко всей книге, тема «Век-
торы» излагается, включая скалярное произведение, геометрически,
с исходным более наглядным представлением о векторе, чем о па-
раллельном переносе, но в логическом согласии с ним. Векторы ис-
пользуются затем при определении углов между прямыми и пло-
скостями в главе VII.

Перемещения изучаются в главе VIII более подробно, чем в
других школьных курсах геометрии. Эта глава состоит из двух
частей: § 47—52 содержат программный материал, а § 53—55 —
дополнительный. Но этот дополнительный материал придает теме
«Перемещения» завершенность, так как дает возможность сформу-
лировать основные классификационные теоремы о перемещениях
в пространстве, которые показывают, что никаких других переме-
щений, кроме рассмотренных в § 49—53 переносов, симметрий
и т. д., нет.

По аналогичной причине — дать завершенность рассматривае-
мому вопросу об измерении геометрических величин — включен в
главу IX «Длина, площадь, объем» § 60 «Длина кривой». Осталь-
ные параграфы этой главы содержат лишь программный материал,
изложенный с применением интегрального исчисления.

Завершается книга историческим очерком, составляющим гла-
ву X.
Глава VI.

КООРДИНАТЫ И ВЕКТОРЫ

§ 36. ПРЯМОУГОЛЬНЫЕ КООРДИНАТЫ

36.1. Определение прямоугольных координат

Координатами вообще называют числа, определяющие положе-
ние точки. Вы знакомы с прямоугольными координатами на пло-
скости, а также с географическими координатами — широтой и дол-
готой. В пространстве к двум координатам присоединяется третья;
например, положение точки на Земле определяется широтой, долго-
той и высотой над уровнем моря (или глубиной под ним).

В науке пользуются разными координатами, или, как говорят,
системами координат. Рассмотрим самые употребительные и про-
стые координаты в пространстве, называемые прямоугольными1.

Выберем раз и навсегда какую-либо единицу длины и будем
измерять ею все длины и расстояния, так что под длиной и расстоя-
нием будет подразумеваться число — численное значение длины
при выбранной единице длины.

Возьмем какую-либо плоскость а и введем на ней прямоуголь-
ные координаты ху у. Любой точке М в пространстве отнесем три
координаты: координаты %, у — ее проекции на плоскость а и
третью координату z, которую определим так: |z| равен расстоянию
от точки М до плоскости а, причем z > 0 с одной какой-нибудь
стороны от плоскости а и z < 0 с другой стороны, а на самой пло-
скости z = 0 (рис. 36.1). Если плоскость а представлять как го-
ризонтальную, то считают z > 0 над ней, a z < 0 под ней.

Итак, каждой точке пространства однозначно отнесены три
координаты х, у, z; координата х считается первой, у — второй,
z — третьей.

Обратно, если заданы любые
три числа в определенном по-
рядке х0, у0, z0, то при задан-
ной системе координат найдет-

1 Их называют еще декартовыми
по имени Декарта (1596—1650) —фран-
цузского ученого и философа, впервые
введшего координаты в геометрию (на
плоскости). Заметим, что географичес-
кие координаты употреблялись и до
Декарта.
ся, и притом единственная, точка М с координатами х = х^
У -= Уи, 2 - ?0.

Действительно, возьмем на плоскости а точку N с коорди-
натами х = х0, у = у0. Затем возьмем точку 7И, проектирую-
щуюся в точку N (т. е. лежащую на прямой, проходящей через
N перпендикулярно плоскости а). При этом точку М возьмем
на расстоянии от плоскости а, равном |г|, и с той стороны, кото-
рая соответствует знаку z. Точка М оказывается однозначно-
определенной. (Если z0 = 0, то М = ЛЛ)

Таким образом, оказывается, что не только каждой точке
соответствуют определенные значения координат, но и обрат-
но: каждым трем числам, взятым в определенном порядке, со-
ответствует точка с такими значениями координат. Точку М с
данными координатами х0, у0, z0 обозначают М (х0, у0, г0), нап-
ример /И (3, —2, 7) или просто (3, —2, 7).

36.2. Другое определение прямоугольных координат

В изложенном определении прямоугольных координат координа-
та z занимает особое положение. Однако можно определить те же
координаты так, чтобы все три играли одинаковую роль. Это де-
лается так.

Выберем в пространстве какую-нибудь точку О и проведем через
нее три взаимно перпендикулярные прямые. Перенумеруем их в
каком-нибудь порядке и введем на каждой из них координату с
началом (нулем) в точке О (рис. 36.2). Эти координаты назовем:
на первой прямой—х, на второй—у, на третьей—z. Соответ-
ственно считаются и номера координат: х — первая, у — вторая,
z — третья.

Проведенные прямые называются осями координат: ось х,
ось у, ось z. Плоскостью ху называется плоскость, проходящая через
оси х и у. (В предыдущем пункте плоскость ху называлась плоско-
стью а и с ее выбора начиналось введение координат в простран-
стве.) Аналогично определяются плоскости xz и yz.

Определим координаты любой точки М следующим образом.

Точке М соответствуют ее проекции на осях: Мх, Му, Mz
(рис. 36.3). Их координаты на осях сопоставляются точке Л/ как
ее координаты х, у, z. Таким образом, координатами точки в про-
странстве называются координаты ее проекций на осях координат.

Вместе с тем эти координаты представляют расстояния до ко-
ординатных плоскостей, взятые с соответствующим знаком: напри-
мер, координата z — это расстояние до плоскости ху со знаком
«плюс» в том полупространстве, где лежит положительная полуось
г, и со знаком «минус» в противоположном полупространстве, а
также z = 0, если точка М лежит в плоскости ху.

Принято изображать оси и плоскости так, как на рисунке 36.2.
Ось z представляется вертикальной, а плоскость ху — горизон-
тальной, ось х представляется направленной вперед. На рисунке
36.4 показано построение точки М с координатами х0, у0, z0.

Изображенная на рисунке 36.2 система координат называется
правой. Если представить себе винт, ввинчивающийся в направле-
нии стрелки на оси z, то головка винта должна вращаться от поло-
жительной полуоси х к положительной полуоси у. Если изменить
направление оси х на противоположное, то получится другая си-
стема координат, которая называется левой. Ей соответствует не
обычный, а левый винт (чтобы такой винт шел в направлении оси z,
его надо поворачивать от положительной полуоси у к положитель-
ной полуоси х). В геометрии совершенно безразлично: выбирать
правую или левую систему координат.

36.3. Формула для расстояния между точками

Пусть даны две точки Р (хх, ух, zx) и Q (х2, Уг, z2) и пусть Рх,
Ру, • ••, Qz — их проекции на оси координат. По пространственной
теореме Пифагора квадрат расстояния между Р и Q, т. е. квадрат
длины отрезка PQ, равен сумме квадратов длин его проекций на
любые три взаимно перпендикулярные прямые. Стало быть,

IW = |/\QJ2 + \PyQy I2 + |РА12- (1)

Расстояние между точками на прямой, где введена координата,
равно, как известно из планиметрии, модулю разности координат.
Поэтому

= |х2 - xj, \PyQy I = |у2 - yj, |РА| = |z2 - zj, (2)
и из формулы (1) следует:

IPQI = Г(*2 - Xi)2 + (У2 - У1)2 + (Z2 - 2j2. (3)

Это важная формула! Выразите ее словами, как теорему.
36.4. Замечание о применении координат

В геометрии, так же как в теоретических вопросах механики
и физики, чаще всего пользуются прямоугольными координатами.
Их определяю!' как в п. 36.2, когда оси играют одинаковую роль,
поскольку все направления в пространстве равноправны.

Однако в тех или иных конкретных условиях направления мо-
гут быть вовсе не равноправными. На каждом участке земли, ко-
торый можно считать плоским, выделяется вертикальное направ-
ление. Тогда естественно определять координаты, как сделано в
п. 36.1. На топографических картах изображаются сравнительно
небольшие участки земной поверхности и третьей координатой
является высота над уровнем моря. Аналогично делается на кар-
тах, где даются глубины в заливах, гаванях и др., при изображении
геологических разрезов.

Координаты на плоскости служат для графического изображе-
ния функций одной переменной — зависимости одной величины от
другой. Координаты в пространстве могут служить для графиче-
ского изображения функций двух переменных — зависимости одной
величины от двух других, как, например, давление газа зависит
от объема и температуры. Тогда масштабы на осях выбираются про-
извольно из соображений удобства и наглядности изображения.
В математике же, когда функции числовые, масштабы по осям бе-
рутся одинаковыми.

ЗАДАЧИ К § 36

1. В данной системе координат нарисуйте точки А (1, 1, —1),
В(1, —1, 2), С (—2, 1, 0), D (— 1, —2, —1), К(0, 0, —3),
L (—1, —1, 1). Нарисуйте отрезок с концами в двух данных точках.
Пересекает ли он какую-либо координатную плоскость? Ось
координат? Проходит ли он через начало координат?

2. Даны точки А (—1, 1, 0) и В (2, —1, —3). Найдите координа-
ты их проекций на каждую из координатных плоскостей, на каждую
из координатных осей.

3. Дан куб ABCDA^CJ)! с ребром 2. Какие координаты имеют
его вершины, если:

а) начало координат находится в точке В, а положительные лучи
осей координат — В А, ВС, ВВ^

б) начало координат находится в точке О — центре нижнего
основания, а положительные лучи осей координат—ОА, OD, ООЬ
где точка Ох — центр верхнего основания?

4. Даны четыре вершины куба: А (1, 1, 1), В (2, 1, 1), С (2, 2, 1),
D (1, 2, 1). Какие координаты имеют его остальные вершины?

5. Найдите координаты середины отрезка АВ, если: а) А (0,0,0),
В (2, 3, 4); б) А (—1, 1, 1),В (1, 1, 1); в) А (1, 2,-3), В (—2, —4,6);
0 А (хъ уь zj, В (х2, у2»

6. Какая из точек ближе к началу координат: А (5, —1, 3),
В (1, 2, —6) или С (—3, 3, 2)?
7. Определите вид треугольника (по сторонам

и углам), если

его вершинами являются точки:

а) Л (-1,2,3), В(3, —1, 2),

б) Л (3, —1,6), В(—1,7, — 2),

в) Л (0, 0, «), В (0, а, 0),

С (2, 3, -1);

С(1, —3, 2);

С (а, 0, 0).

8. Вычислите расстояние от точки Л (—1, —1, 0) до прямой
проходящей через точки В (—1, 1, 1) и С (—1, 1, —1).

9. Лежат ли на одной прямой такие точки:

а) /1 (0, 0, 0),
б) Л (0, 0, 6),
в) Л (—1, 1, 1),
г) Л (—2, 3, 4),
д) Л (-1, 3, 5),
е) А (—1, 2, 3),

В (0, 0, 1),

В (0, 1, 1),

В (0, 0, 0),

В (0, 3, 5),

В (1, —2, —3),

С(0, 0, 2);

С (0, 1, 2);

С (1, 1, 1);

С (2, —3, —4);

0(1, 3, 5);

0(1, 1, 1)?

10. Найдите координаты какой-нибудь точки, удаленной от
начала координат на 3 и: а) па 1 от оси х; б) на 1 от плоскости ху:
в) на 1 от оси х и на 1 от плоскости yz; г) на 1 от оси х и на 2 от
оси у; д) на 1 от плоскости ху и на 1 от плоскости yz; е) на 1 от
оси х, на 1 от осн у, на 2 от оси z; ж)# на 1 от плоскости ху, на 1
от плоскости yz, на 1 от плоскости xz.

11. Точки Л (1,0, 0) и В (—1, 0, 0) являются вершинами пра-
вильного тетраэдра, основание которого лежит в плоскости ху.
Можете ли вы найти координаты двух других его вершин?

§ 37. МЕТОД КООРДИНАТ

37.1. Задание сферы и шара в системе координат

С выводом уравнения окружности в прямоугольных координатах
на плоскости вы знакомы. Сейчас мы выведем уравнение сферы.
Оно аналогично уравнению окружности.

Предположим, что в пространстве введены прямоугольные ко-
ординаты х, у, z и задана сфера S с центром А (а, Ь, с) и радиусом
г > 0. Эта сфера есть множество точек М, для которых расстояние
от А равно г, т. е.

ИМ | = г. (1)

Пусть х, у, z — координаты точки М. Согласно формуле (3)
п. 36.3 равенство (1) равносильно равенству

V (х — а)2 + (у — £>)2 + (z — с)2 = г

ИЛИ

(х — а)2 + (у — Ь)2 + (г — с)2 = г2. (2)

Это и есть уравнение сферы S с центром в точке А (а, Ь, с) и
радиусом г, т. е. множество точек, координаты которых удовлетво-
ряют уравнению (2), представляет собой сферу S. Это так, потому
что уравнение (2) равносильно равенству (1), которым определя-
ется сфера.

Если центр А находится в начале координат, т. е. а — b = с —
= 0, то уравнение получает простой вид:

х2 4- у2 -|- z2 = г2. (3)

Сравните (2) и (3) с уравнениями окружности с центром в любой
точке (а, Ь) и в начале координат:

(х — а)2 + (у — Ь)2 — г2 и х2 + у2 = г2.

Теперь рассмотрим шар с центром А (а, Ь, с) и радиусом г. По
определению это множество точек М, для которых

|ЛЛЦ<г, (4)

т. е. \АМ |2 < г2. Выражая расстояние |ЛЛ1| через координаты
точки М (х, у, г), получим:

(х — а)2 + (у — Ь)2 + (г — с)2 < г2. (5)

Это неравенство задает шар с центром А (а, Ь, с) и радиусом г,
так как оно равносильно неравенству (4), задающему такой шар по
самому его определению.

Если центр в начале координат, то (5) упрощается:

х2 + у2 + г2 г2. (6)

Аналогично круг радиуса г в прямоугольных координатах на пло-
скости с центром А (а, Ь) или в начале координат задается неравен-
ствами

(х — й)2 + (у — Ь)2 г2 или х2 + у2 г2.

37.2. Задание фигур уравнениями и неравенствами

Кроме уравнения окружности, вы знакомы с уравнениями мно-
гих линий — прямой, параболы, гиперболы, синусоиды и др. в
прямоугольных координатах на плоскости. Напомним, что если
линия задана уравнением вида у — f (х), то она служит графиком
функции f.

Если дано уравнение, то можно перенести все его члены в ле-
вую часть, оставив справа нуль. Поэтому уравнение можно считать
заданным в виде Ф = 0. В частности, уравнение с двумя перемен-
ными х, у можно записать в виде

Ф(х, у) = 0. (1)

Например, уравнение окружности с центром в начале координат:
х2 + у2 — г2 = 0, уравнение прямой с угловым коэффициентом А:
у — (Ах + Ь) = 0.

Если х, у понимать как прямоугольные координаты точки на
плоскости, то уравнение (I) «задает некоторую фигуру». Это значит
следующее.
Говорят, что фигура F на плоскости задается в некоторой си-
стеме прямоугольных координат х, у уравнением Ф (х, у) = О,
если эта фигура есть множество точек, координаты которых удов-
летворяют этому уравнению. Говоряттакже, что уравнение Ф (х, у)=
= 0 есть уравнение фигуры F.

Как обычно, говорят, что координаты точки М (х0, Уо) удовлет-
воряют уравнению Ф (х, у) = 0, если равно нулю значение функ-
ции Ф (х, у) при х = х0 и у = уо, т- е- верно равенство Ф (х0, у0) =
~ 0. Например, уравнение синусоиды у — sin х = 0 удовлетво-
ряется при X = у = 1.

Сказанное о задании фигур на плоскости повторяется для фигур
в пространстве. Именно, говорят, что фигура F в пространстве за-
дается в некоторой системе прямоугольных координат х, у, Z урав-
нением

Ф<Л’, у, £> = 0, (2)

если она представляет собой множество точек, координаты кото-
рых удовлетворяют этому уравнению.

Говорят также, что Ф (х, у, г) = 0 есть уравнение этой фигу-
ры. Так мы и говорили в п. 37.1 об уравнении сферы.

Если фигуры Fx и F2 задаются уравнениями = 0 и Ф2 = 0,
то пересечение фигур Fx Q F2 задается этими двумя уравнениями,
взятыми совместно, т. е. системой этих уравнений. Это значит, что
фигура F± П F2 является множеством точек, координаты которых
удовлетворяют обоим уравнениям.

Задание круга и шара неравенствами показывает, что фигуры
могут задаваться неравенствами. Говоря о неравенстве в общем
виде, можно представлять себе, что все его члены перенесены в одну
часть, так что неравенство будет иметь вид Ф 0 (Ф 0) или
Ф > 0 (Ф < 0). Поскольку неравенства Ф 0 или Ф < 0 равно-
сильны неравенствам —Ф 0 или —Ф > 0, то в дальнейшем мы
рассматриваем лишь неравенства вида Ф 0 или Ф > 0.

Например, внутренность шара с центром (0, 0, 0) задается не-
равенством г2 — (х2 + у2 + z2) > 0, а шар — неравенством г2 —
— (х2 т у2 + z2) 0.

Совершенно так же, как о задании фигур уравнениями, гово-
рят о задании фигур неравенствами.

Фигура F в пространстве задается в некоторой системе коорди-
нат х, у, z неравенством Ф (х, у, Оили Ф (х, у, z)>0, если
она представляет собою множество точек, координаты которых
удовлетворяют этому неравенству.

Аналогичный смысл имеет утверждение, что фигура на плоско-
сти задается неравенством Ф (х, у) 0 или Ф (х, у) >0.

Два условия в виде равенств или неравенств задают пересе-
чение фигур, заданных каждая одним из этих условий: например,
х2 + у2 + z2 г2, z = с задают сечение шара плоскостью (если
|с| < г, а что если |с| г?).
Замечание. Хотя уравнение в координатах на плоскости
пишут в общем виде Ф (х, у) = 0 и в пространстве Ф (х, у, г) — О,
но левая часть может не содержать все координаты явно, как, на-
пример, самое простое уравнение х ~ 0. Какую фигуру оно зада-
ет? На плоскости (в прямоугольных координатах)— прямую (ось у).
А в пространстве — плоскость yz.

Из этого простого примера ясно, что само по себе уравнение
никакой фигуры не задает. Только если все три координаты входят
в уравнение явно, то оно определенно относится к пространству.
Иначе нужно оговорить, относится ли уравнение к пространству
или к плоскости.

37.3. Метод координат

Суть метода координат имеет две стороны. Во-первых, задавая
фигуры уравнениями и выражая в координатах различные гео-
метрические соотношения, мы применяем алгебру и анализ к реше-
нию геометрических задач, к доказательству геометрических тео-
рем.

Мы как раз начали с того, что, введя прямоугольные координа-
ты, выразили через них основное геометрическое понятие — рас-
стояние между точками. Это был первый шаг в применении метода
координат.

Применение координат в соединении с алгеброй составляет раз-
дел геометрии, называемый аналитической геометрией.

Второе направление метода координат, можно сказать, прямо
противоположно первому; оно состоит в том, чтобы, пользуясь ко-
ординатами, истолковывать алгебраические и аналитические со-
отношения и факты геометрически и так применять геометрию к
алгебре и анализу. Графическое изображение функций — первый
пример такого применения метода координат.

Через метод координат геометрия и алгебра с анализом, сое-
диняясь и взаимодействуя, дают более богатые плоды, которые они
не могли бы дать, оставаясь разделенными. Их взаимное влияние
составляет одну из главных внутренних пружин развития матема-
тики от Декарта и Ньютона до наших дней.

37.4. Уравнение плоскости

Обе стороны метода координат мы еще раз проиллюстрируем,
выведя уравнение плоскости в пространстве. Как вы знаете, в си-
стеме прямоугольных координат х, у на плоскости каждая прямая
задается уравнением вида

ах + by + с = 0, (1)

причем коэффициенты а и b не обращаются в нуль одновременно,
т. е. а2 + Ь2 > 0. Верно и обратное утверждение: каждое уравне-
ние вида (1) при условии, что а2 + Ь2 > 0, задает на плоскости в
системе прямоугольных координат х, у прямую.

Для плоскости в пространстве верен аналогичный результат.

Т е о р е м а 37.1. Плоскость в пространстве задается в сис*
теме прямоугольных координат х, у, z уравнением вида

Ах *4“ By 4“ Сz *-}“ D — 0 (2)

при условии, что

А2 + В2 + С2>$,

(3)

т. е, коэффициенты А, В, С не обращаются в нуль одновре-
менно.

Верно также и обратное утверждение: уравнение
вида (2) при условии (3) задает в пространстве плоскость в
системе прямоугольных координат.

Доказательство. Докажем первое утверждение тео-
ремы. Введем в пространстве систему прямоугольных координат
х, у, г, и пусть а — некоторая плоскость. На любой прямой, перпен-
дикулярной плоскости а, возьмем любые две точки Р и Q, одинаково
удаленные от плоскости а. Тогда а является множеством точек,
равноудаленных от точек Р и Q, т. et для каждой точки X € а

\РХ\ = I QXI, (4)

и |РУ| =Н= | QY\ для каждой точки Y £ а.

По существу, равенство (4) уже и есть уравнение плоскости а.
Нам осталось лишь записать его в координатах.

Пусть Р (alt Ьъ q), Q (я2, b2, с2), X (х, у, г). Тогда из формулы (3)
п. 36.3, имеем:

К (X — gj2 + (у — ^1)- + (г — q)- =

= f (x — а2)2 + (У — Ьг)г + (г — с2)2, (5)

или, что равносильно (5),

х2 — 2щх + а2 + у2 — 2&iy + Ь2 + г2 — 2ctz + с2 =

= х2 — 2а2х + а2 + у2 — 2b2y + b2 + z2 — 2c2z + с2. (6)

Упрощая (6), окончательно получаем, что плоскость а задается
уравнением

2 (а2 — а^х + 2 (b2 — bjy + 2 (с2 — cjz + (а2{ + b{ + cf) —
— (а2> + Ь2 + d>) = 0. (7)

Оно имеет вид (2), если ввести обозначения

А = 2 (а2 — aj, В = 2 (b2 — &J, С = 2 (с2 — q),
D == (а2 + bi + с2) — (а2 + Ь2 + с2). (8)

Коэффициенты А, В, С одновременно в нуль не обращаются,
поскольку точки Р bx, q) и Q (а2, Ь2, с2) — различны, т. е. вы-
полняется условие (3). Первое утверждение теоремы доказано.
Докажем второе ее утверждение. Пусть дано уравнение (2)
и выполняется условие (3). Можно считать тогда, что, например,
А =/= 0.

Если мы найдем две точки Р и Q, для которых (2) является урав-
нением множества равноудаленных от них точек, то мы и докажем,
что (2) задает плоскость.

Возьмем точки Р (А — В, С) и Q (—А —, —В, —С).
л л

Тогда плоскость, состоящая из точек, равноудаленных от точек
Р и Q, задается уравнением

(П \ 2 / Л \ 2

х - А + -j} + (у - В)2 4- (Z - С)2 = (х + А + ± I +
+ (у + В)2 + (г + С)2. (9)

Упрощая его

+ л2 + — — 2Ах + 2х — — 2D + у2 — 2Ву + В2 +
Л2 А

+ г2 — 2Cz + С2 = х2 + А2 + + 2Ах +

+ 2х — + 2D + у2 + 2Ву + В2 + г2 + 2Сг + С2,
А

получим уравнение (2), т. е. (2) задает плоскость. Н

Замечание 1. Точки Р и Q, от которых все точки плоско-
сти, заданной уравнением (2), равноудалены, можно выбирать по-
разному. Попробуйте найти другую пару точек Р и Q.

Замечание 2. Рассмотрим случай, когда уравнение (2)
плоскости содержит не все координаты, например имеет вид
Ах + By + D = 0, т. е. С = 0. Если такому уравнению удовлет-
воряют координаты (х0, у0, 0) некоторой точки 7И0 плоскости ху,
то ему удовлетворяют и координаты любой точки М (л*0, у0, z), про-
ектирующейся на плоскость ху в точку Л40, т. е. координаты любой
точки прямой /, проходящей через Мо и перпендикулярной пло-
скости ху. Поэтому в рассматриваемом случае плоскость а содержит
эту прямую, т. е. а параллельна оси z, если D 0, и проходит че-
рез ось z, если D = 0. Рассмотрите самостоятельно случаи обра-
щения в нуль других коэффициентов в уравнении (2).

37.5 *. Другие системы координат

Координаты на плоскости и в пространстве можно вводить бес-
конечным числом разных способов. И, решая ту или иную геоме-
трическую и физическую задачу методом координат, можно исполь-
зовать различные координатные системы, выбирая ту из них, в
которой данная задача решается проще, удобнее. Рассмотрим не-
которые координатные системы, отличные от прямоугольных.
Начнем с еще одной координатной системы на плоскости.
Рис. 37.1

1) Полярные координаты. Возьмем на плоскости точку О и
проведем из нее луч а и отметим направление отсчета углов от это-
го луча (рис. 37.1). Каждой точке М плоскости (отличной от О)
сопоставим в качестве ее координат г, ф расстояние г = | ОМ | и
угол <р, образованный лучом ОМ с лучом а. Для точки О расстоя-
ние г = | ОО| = 0, а угол ф не определен.

Такие координаты называются полярными; точка О называется
их полюсом. Этими координатами особенно удобно пользоваться,
когда рассматривают движение тела вокруг какого-либо центра,
как, например, движение планет вокруг Солнца.

Координаты эти «криволинейные», потому что линии, на кото-
рых г = const, кривые; они окружности. В связи с этим можно за-
дать «загадку»: что представляет уравнение х = 1? Ответ: «Вы ду-
мали— прямую; нет — окружность... в полярных координатах
... радиус, как хочу, так и обозначаю».

Эта шутка поучительна. Она напоминает, что, во-первых, обо-
значения условны и не нужно слишком привязываться к привыч-
ным обозначениям, а во-вторых, говоря о фигурах, задаваемых
уравнениями, нужно указывать, где и какие координаты имеются
в виду.

2) Цилиндрические координаты. В пространстве возьмем какую-
нибудь плоскость а и введем на ней полярные координаты г, ф с
центром в какой-либо точке О. Через эту точку проведем прямую
a _L а, на ней введем координату z с нулем в точке О. Каждой точке
пространства сопоставляются в качестве ее координат полярные ко-
ординаты г, ф ее проекции на плоскость а и координата z ее проек-
ции на прямую а (рис. 37.2).

Координаты эти называются цилиндрическими, так как поверх-
ности г = const > 0 представляют собой бесконечные цилиндры.
Направление обхода на плоскости а и направление на оси z могут
образовывать либо правый, либо левый винт. В цилиндрических
координатах удобно задавать поверхности вращения.

3) Сферические координаты. На Земле вводят известные гео-
графические координаты — широту ф и долготу X. Положение лю-
бой точки М относительно Земли можно определять тре-
мя координатами: расстояни-
ем г = |07И | от центра Земли
О и широтой и долготой того
места на Земле, где луч ОМ
«протыкает» поверхность Зем-
ли (рис. 37.3).

В геометрии так называе-
мые сферические координаты
определяют сходно, но нем-
ного иначе.

Возьмем в пространстве
какую-либо точку О и опи-
шем вокруг нее какую-нибудь
сферу S. На ней отметим ка-
кую-нибудь точку N — «Се-
верный полюс». Большая ок-
ружность, лежащая в плос-
кости, которая проходит
через центр О перпендикуляр-
но (ON), будет «экватором».
На ней отметим какую-ни-
будь точку А и направле-
ние обхода. На сфере S вво-
дятся две координаты: поляр-
ное расстояние 6 и долгота ф.
Полярное расстояние точки
М € S — это угол между лу-
чами ON и ОМ (рис. 37.4).
Если точка М отлична от по-
люса N и диаметрально про-
тивоположной ему точки, то
для определения долготы про-
водим через луч ОМ полуплоскость,

Рис. 37.4

ограниченную прямой ON.

Проведенная полуплоскость пересечет «экватор» в некоторой

точке В. Угол между лучами ОА и ОВ, отсчитанный в указанном
на «экваторе» направлении, и будет долготой точки М.

Точке М пространства сопоставляются три координаты: рас-
стояние г = | ОМ | от точки О, полярное расстояние 6 и долгота
той точки <р на сфере S, где ее пересекает луч ОМ. Цля точек пря-
мой ON долгота не определена: она характеризуется координатой
г; 0 = 0 на луче ON, и 0 = л на противоположном луче.

37.6 *. Координатная сеть

Определяя координатами положение точки на плоскости (или
на другой поверхности, например на сфере), мы во всех рассмот-
ренных случаях задавали пару чисел — координат точек. Но ока-
зывается, что такое задание точки равносильно ее заданию как точ-
ки пересечения двух линий—так называемых координатных линий.
Примерами таких координатных линий являются параллели и мери-
Рис. 37.5

дианы на земной поверхности.
Точка, имеющая, скажем, коор-
динаты 29э восточной долготы
и 60"северной широты, лежит
на пересечении соответствую-
щих меридиана и параллели.
Вся поверхность Земли ока-
зывается покрыта двумя се-
мействами таких линий —
параллелей и меридианов.
Они образуют сеть, называе-
мую координатной сетью
(рис. 37.5). Любая точка по-
верхности Земли (за исключе-
нием полюсов) является пе-
ресечением одного меридиана
и одной параллели, а друг с
другом две параллели (или
два меридиана) не пересека-
ются. Задание одной координатной линии положение точки
не определяет (вспомните роман Ж. Верна «Дети капитана Гран-
та», где путешественники, разыскивающие капитана Гранта, зна-
ли лишь, что он находится в точке, имеющей одной из координат
37° южной широты). Другой пример: назначая место встречи, вы
часто говорите: «Встретимся на углу таких-то улиц». Здесь сеть
улиц в городе тоже является примером координатной сети.

Если в прямоугольной системе координат на плоскости точка М
имеет координаты а и Ь, то она является пересечением прямых,
заданных уравнениями х = а и у ~ Ь. Для прямоугольной систе-
мы координат сеть координатных линий состоит из прямых, пер-
пендикулярных осям х и у. Их уравнения имеют соответственно
вид х = а и у — b (рис. 37.6).
r-const

Рис. 37.8

Рис. 37.9

Для полярной системы координат координатная сеть состоит
из лучей, исходящих из полюса, и концентрических окружностей
с центром в полюсе (рис. 37.7).

Для координатных систем в пространстве координатные сети
состоят из трех семейств поверхностей, на каждой из которых по-
стоянна одна из трех координат. Для прямоугольной и цилиндри-
ческой систем координат координатные сети изображены на ри-
сунках 37.8 и 37.9.

задачи к § 37

1. Напишите уравнения плоскостей, перпендикулярных осям
координат и проходящих через точки: а) А (1, 0, 0); б) В (1, 1, 0);
в) С(1, 1, 1).

2. Напишите уравнения плоскостей, удаленных на 2 от какой-
либо из координатных плоскостей.

3. Напишите уравнение плоскости, удаленной на 1 от оси х
и от оси у.

4. Нарисуйте плоскость, уравнение которой: а) х=0; б) х= 1;
в) у = —1; г) z = 2; д) х — у = 0; е) у + z = 1; ж) х + У +
+ г = 1.

5. Напишите уравнение какой-нибудь плоскости, перпендику-
лярной: а) оси х; б) оси у; в) оси г; г) плоскости ху; д) плоско-
сти хг; е) плоскости уг; ж) плоскости хг и плоскости yz.

6. Пересекаются ли плоскости: а) х = 1 и х = 2; б) у = 1 и
х= 1; в) х + у = 1 иг = 1; г) х + у = —1 и у + z = —1?

7. Напишите уравнение прямой, которая: а) совпадает с осью
х; б) параллельна оси х и проходит через точку Л (0, 1, 1); в) па-
раллельна оси у и проходит через точку В (—1, —1, 2); г) парал-
лельна плоскости ху и плоскости zy, а также проходит через точку
С (1, 1, -1).

8. Напишите уравнение какой-либо прямой, которая параллель-
на: а) одной из координатных плоскостей; б) плоскостям ху и
хг; в) оси у.
9. Напишите уравнение какой-либо прямой, которая перпенди-
кулярна: а) одной из координатных плоскостей; б) оси х; в) оси х
и оси у.

10. Плоскость а перпендикулярна оси х и проходит через точ-
ку Л (1, 0, 0). Плоскость р перпендикулярна оси у и проходит че-
рез В (0, 1, 0). Напишите уравнение прямой, по которой пересе-
каются эти плоскости.

11. Как расположены между собой прямые: а) прямая а, урав-
нение которой (х = 5, и прямая Ь, уравнение которой
ty = 3

(у = 2; б) прямая а, уравнение которой (х + у = 1, и прямая
(г = 1 |z = 1

&, уравнение которой (х + г = 1

[у = 1?

12. Как расположены прямая, заданная в виде (х = 1,
[у = 1
и плоскость, уравнение которой х — у — 1?

13. Нарисуйте фигуру, уравнение которой: а) ху=0; б) xyz=0;
в) х2 + у2 + z2 = 0; г) |х| — 2; д) j|x| — 1;е) |х — 1| — 1;

tlyl = 1

ж) |х| = |у| = |z| = 1; з) |z — 1|*= |z + 1|; и) х = у = г;

к) /ха + у2 — 1; л) (х — 1) (у — 1) (г — 1) = 0.

I z=l

14. Нарисуйте фигуру, координаты которой удовлетворяют
условиям:

а) (х 2
у >2
1г> 2;

б) (х>2

г)

(х = 2
у >2
(г = 2

^х > 2

У = 2
z < 2;

15. Напишите уравнение плоскости, равноудаленной от двух
точек А и В, координаты которых соответственно: а) (—1, 0, 0)
и (1,0,0); б) (0, а, 0) и (0, —а, 0); в) (0, 1, —2) и (0, —1, 2);
г) (а, Ь, с) и (—а, Ь, с); д) (1,1, 1) и (2,2,1); е) (—1,2, 3) и
(1, —2, —3); ж) (—1, 2, —3) и (2, —1, 0).

16. Какая фигура определяется следующими условиями:

х2 + у2 + г2 = 9 и а) х = 0; б) х = 1; в) х = 2; г) х = 3;
д) У — —1; е) z = —4; ж) |у| = 2; з) |г| = 3; и) х + у = 1;
к) у — z = 2; л) z — х2 + у2; м) х = —2, у = —1?

17. Фигура F задается уравнением (х — 2)а + (у + 2)2 + г2 = 1.
Найдите координаты точки этой фигуры: а) ближайшей к точке О;
б) самой далекой от точки О; в) ближайшей к каждой из коорди-
натных плоскостей; г) самой далекой от каждой из координатных
плоскостей; д) ближайшей к каждой из координатных осей; е) са-
мой далекой от каждой из координатных осей; ж) ближайшей к
точке (2, 2, 2); з) самой далекой от точки (2, 2, 2).
18. Фигура F задается таким уравнением:

а) х + у + z = 5; б) х2 + у2 + г2 = 5;

в) хуг = 5; г) у2 = хг.

Какая фигура получится в сечении данной фигуры F плоско-
стью 1) х = 1; 2) у = 1?

19. Вычислите расстояние от начала координат до фигуры,
заданной такими условиями: а) х + у — г = 2;

б) (х 5

У > 5;

[г > 5

в) (х2 + у2 = 1
(z > 1;

г) 1 < х + у < 2;

д) (х - I)2 + (у - I)2 + (г - I)2 = 2; е) х = у2 +г2 + 1.

§ 38. НАПРАВЛЕННЫЕ ОТРЕЗКИ. НАПРАВЛЕНИЕ

Существенным дополнением метода координат служит вектор-
ное исчисление. С его элементами на плоскости вы знакомы из кур-
са планиметрии. Теперь мы займемся ими в пространстве. Векторы
изображают и задают направ-
ленными отрезками. С них мы
и начнем.

38.1. Направленные отрезки

Направление указывают про-
тянутой рукой или указателем
со стрелкой (рис. 38.1). Такой
указатель в отвлеченном виде
представляется направленным
отрезком — отрезком со стрел-
кой (рис. 38.2). Однако «стрел-
ка» — это наглядное, но не ма-
тематическое понятие. Поэтому
в геометрии направленный от-
резок определяют так.

Направленным отрезком на-
зывают отрезок, у которого ука-
зан порядок концов: первый
конец считают началом, второй —
концом направленного отрезка.

Рис. 38.1

Рис. 38.2
) Рисовать направленные отрезки мы бу-
А'/ ^в' / дем, как это общепринято, со стрелкой,

/ / направленной от начала к концу, и обоз-

ЛУп / начать направленный отрезок с началом Л
о/ а/ и концом В будем так: АВ. Все это, как

—-----в планиметрии.

Замечание. Хотя направленный

Рис. 38.3 отрезок — это не отрезок, а другой объект —

отрезок с указанием порядка его концов,
но мы будем говорить, что направленный отрезок лежит на прямой
или направленный отрезок перпендикулярен {параллелен) прямой и
т. п., если соответствующий ему отрезок лежит на прямой или пер-
пендикулярен (параллелен) прямой и т. п. Точно так же мы гово-
рим о длине направленного отрезка, имея в виду длину соответст-
вующего ему отрезка.

Протянутая рука дает хорошее представление о направленном
отрезке: начало у плеча, конец на концах пальцев; она указывает
направление. Но что значит, что два указателя или два направлен-
ных отрезка, расположенные в разных местах, указывают одно и
то же направление? Ответ заключен в следующем определении:
два направленных отрезка, не лежащие на одной прямой, называ-
ются сонаправленными или одинаково направленными, если вы-
полнены два условия:

1) они параллельны (т. е. лежат на параллельных прямых);

2) они. лежат в одной полуплоскости, ограниченной прямой,
проходящей через их начальные точки (рис. 38.3). (Заранее не нужно
предполагать, что отрезки лежат в одной плоскости, так как это
следует из первого условия: параллельные прямые по определению
лежат в одной плоскости.)

Для направленных отрезков на прямой можно считать само со-
бой понятным, что значит, что они сонаправлены, или одинаково
направлены. На прямой есть два взаимно противоположных на-
правления, соответствующих, например, возрастанию или убыва-
нию заданной на прямой координаты. Направленные отрезки на
прямой одинаково направлены, если они задают на ней одно и то
же направление, т. е. при переходе от начала к концу на них коорди-
ната (на обоих) возрастает или (на обоих) убывает (рис. 38.4).

- ' >

Для сонаправленных отрезков АВ и CD применяется обозначе-
ние АВ ft CD.

Замечание. Можно еще сказать так. Направленные отрез-
ки на прямой одинаково направлены, если из двух лучей, прове-
денных из их начальных точек через их концы, один содержится в

О А В А' В1 X

Рис. 38.4
другом. Это соответствует определению, данному в планиметрии.
Там сначала определялись сонаправленные лучи, а потом сонаправ-
ленные отрезки. Но это равносильно определениям, данным здесь.

38.2. Признак сонаправленности

Теорема 38.1.Два направленных отрезка, сонаправлен-
ные с третьим, сонаправлены.

Доказательство. Пусть направленные отрезки А А'
и ВВ' сонаправлены с направленным отрезком СС'. Докажем, что
АА' и ВВ' сонаправлены. Если все три направленных отрезка АА',
- > •• ►

ВВ' и СС лежат в одной плоскости, то это следует из соответствую-
щего результата планиметрии. Поэтому предположим, что они не
лежат в одной плоскости. Тогда по теореме о том, что две прямые,
параллельные третьей, параллельны, следует, что они лежат на
параллельных прямых а, Ь, с. Точки Л, В, С не лежат на одной
прямой, так как иначе отрезки лежали бы в одной плоскости вопре-
ки предположению. Следовательно, через точки А, В, С проходит
определенная плоскость а (рис. 38.5). Рассматриваемые направлен-
ные отрезки по предположению не лежат в одной плоскости и, зна-

чит, не лежат в а.

Отрезки А А' и СС' параллельны и, значит, лежат в некоторой
плоскости. Она пересекает плоскость а по прямой АС. Так как AA'J
и СС' сонаправлены, то они лежат по одну сторону от этой прямой.
Тем самым они лежат с одной стороны от плоскости а.

Точно так же заключим, что ВВ' и СС' лежат с одной стороны
от плоскости а. Значит, отрезки А А' и ВВ' лежат с одной стороны
от плоскости а (с той, где лежит СС').

Так как отрезки А А' и ВВ' параллельны, то лежат в одной пло-
скости. Эта плоскость пересекает плоскость а по прямой АВ. И
так как отрезки А А' и ВВ' ле-

жат с одной стороны от а, то они
лежат с одной стороны от
(АВ) —в одной полуплоскости.

——►

Значит, АА' и ВВ' сонаправ-
лены. И

Следствие. Направленные
отрезки, сонаправленные с
некоторым направленным от-
резком, все сонаправлены
друг с другом.

Действительно, по теореме
38.1 любые два из них сонап-
равлены. Поэтому можно гово-
рить просто о сонаправленных
отрезках не обязательно попар-
но, а в любом числе.
>8.3. Направление

В жизни всегда понимают, о чем идет речь, когда говорят об
одинаковых или различных направлениях и о направлении вообще.
Ясно, что значат фразы типа: «Стрелка компаса направлена на Се-
верный полюс», «Сила тяжести направлена к центру Земли» и т. д.

Направление можно обозначать по-разному: указателем — на
дорогах; протянутой рукой — когда вы объясняете, куда надо ид-
ти; створами и маяками — для плывущих по воде; последователь-
ностью пирамидок из камней — для путников в горах и даже прос-
то словами, как на известной картине «Витязь на распутье», и т. п.
И трудно перепутать одно направление с другим, хотя четко ска-
зать, что такое «направление» вообще было бы затруднительно. Точ-
но так же мы отличаем предметы один от другого по форме, цвету,
вкусу, запаху и при этом обходимся без соответствующих опре-
делений.

В геометрии в связи с направленными отрезками, а затем и век-
торами также используется термин «направление». Для верного его
понимания, как и в жизни, вполне достаточно наглядного представ-
ления. При доказательстве теорем, решении задач, правда, потре-
буется совершенно четкое понимание, что такое «одинаковое на-
правление» и «разные направления» у двух направленных отрезков
(а затем у двух векторов). Но для этого у пас есть специальные опре-
деления и доказана теорема 38.1. Основываясь на этой теореме,
легко разъяснить, в каком смысле в геометрии может использовать-
ся термин «направление». Про любое число сонаправленных отрез-
ков можно говорить, что они имеют «одно направление». Иными сло-
вами, иметь «одно направление» — это значит иметь свойство, общее
для любого числа сонаправленных отрезков.

38.4. Равенство направленных отрезков

Говорят, что два направленных отрезка равны, если их длины
равны и они сонаправлены, т. е. АВ = CD, если |ЛВ| = |CD| и
АВ Н CD (рис. 38.6).

Из этого определения и теоремы 38.1 следует, что равенство на-
правленных отрезков обладает обычным свойством: два нап-
равленных отрезка, равные третьему направленному отрезку,
равны.

Действительно, если АВ — MN и CD = MN, то, во-первых,
|ЛВ| = |А4АГ| и |СО| = | ЛГЛЧ, т. е. |ЛВ| = | CD|, и, во-вторых,
ЛВ ft MN и CD ff MN, т. e. AB ff CD. Так как |ЛВ| = |CD| и
ТВ ff CD, то ЛВ = CD.

Если задан направленный отрезок АВ и дана некоторая точка М,
то найдется единственная точка N такая, что MN = АВ, т. е.
Рис. 38.8

Рис. 38.6

Рис. 38.7

от любой точки в пространстве можно единственным образом
отложить направленный отрезок, равный данному.

Действительно, если точка М не лежит на прямой АВ, то, по-
строив параллелограмм ABNM (рис. 38.7), найдем искомую точ-
ку N. Если точка М лежит на прямой АВ, то на том луче прямой
АВ, который имеет начало в точке М и сонаправлен с лучом АВ,
откладываем отрезок MN, равный отрезку АВ. В обоих случаях
точка W единственная.

Отметим простой признак равенства направленных отрезков,
вытекающий из планиметрии, так как любые два сонаправленных
отрезка лежат в одной плоскости.

Лемма 38.1. Равенство AB=CD имеет место тогда и

—>• —
только тогда, когда выполняется равенство AC =BD.

Если точки А, В, С и D не лежат на одной прямой, то эта лемма
вытекает из хорошо известных свойств параллелограммов (рис. 38.8).

А вс В

Рис. 38.9

Случай, когда эти точки лежат на одной прямой, следует рассмат-
ривать отдельно. Мы иллюстрируем его рисунком 38.9.

§ 39. ВЕКТОРЫ

39.1. Понятие вектора

Вы знакомы с примерами разных величин: массой, энергией,
силой, скоростью, длиной, площадью, объемом и т. д. Легко заме-
тить, что все эти величины делятся на величины двух видов. К
первому из них относятся такие величины, как масса, энергия, дли-
на, площадь и т. д. Ко второму — такие величины, как сила, ско-
рость и т. д. Если мы измерили одну из величин первого вида и
знаем, например, что масса какого-нибудь предмета равна 50 кг,
то мы про эту массу знаем все, что нужно. Если же измерена вели-
чина второго вида, например известно, что скорость поезда равна
50 км/ч, то надо бы еще знать, куда этот поезд идет, т. е. знать на-
правление его движения. Аналогично, если лежащий предмет,
например мяч или шайбу, ударили с некоторой силой, то надо еще
знать и направление этого удара. (Вспомните, как часто футболи-
сты бьют «сильно, но не точно».)

Величины первого вида (масса, энергия, длина и т. д.) вполне
определяются своими численными значениями при данных едини-
цах измерения. Они называются скалярными величинами или, коро-
че, скалярами.

Чтобы задать величину второго вида (силу, скорость, ускоре-
ние и т. д.), надо задать не только ее численное значение (опять-
таки при выбранной единице измерения), но и ее направление. Та-
кие величины называются векторными величинами или, короче,
векторами.

Условно можно сказать, что векторная величина состоит из
двух частей: одна часть та, которая может быть измерена, — ее
скалярная часть; другая часть — ее направление.

Таким образом, задавая векторную величину, мы должны задать
одновременно ее скалярную величину (или численное значение при
выбранной единице измерения) и ее направление. Поэтому можно
сказать, что векторная величина — это «единство скалярной
величины и направления».

Данное описание векторной величины необходимо еще допол-
нить указанием о правиле сложения векторов. Действительно, не
любые величины, имеющие скалярную часть (т. е. такую, которую
можно измерить) и имеющие направление, можно складывать: на-
пример, потоки автомашин на улицах города.

Итак, окончательно: векторные величины или векторы — это
величины, которые имеют скалярную часть, направление и склады-
ваются по правилу параллелограмма (или, что то же самое, по пра-
вилу треугольника).

В геометрии изучаются те векторы, скалярные части которых
есть расстояния. Примером такого вектора является параллельный
перенос плоскости: его скалярная часть — расстояние между дву-
мя соответствующими точками.

В геометрии скалярная часть вектора называется длиной (или
модулем) вектора.

Для обозначения векторов, как вам известно из планиметрии,
употребляются стрелки: а. b и т. п.; для длины вектора употребля-
ется знак модуля: |а|, |fe| и т. п.

Так как вектор задается длиной и направлением, то равенство
двух векторов означает, что эти два вектора имеют равные длины
и одинаковые направления.

Особое место занимает нулевой вектор (или нуль-вектор): его
длина равна нулю, а направления он не имеет.
39.2. Изображение векторов направленными отрезками

С векторами вы знакомы из курса физики и из планиметрии и
помните, конечно, что векторы изображаются направленными отрез-
ками. Длина направленного отрезка равна длине вектора, а его
направление указывает направление вектора.

Нулевой вектор изображается одной точкой.

Часто векторами называют сами направленные отрезки. Это не
совсем точно: предмет и его изображение не одно и то же. Но в
обыденной речи, показывая, например, слона на фотографии, гово-
рят: «Это слон», и никто не говорит: «Это изображение слона».
Так и в геометрии с вектором: рисуя направленный отрезок, го-
ворят, что нарисовали вектор, хотя это только изображение
вектора.

Поэтому если направленный отрезок АВ изображает вектор а,
то пишем АВ ••= а и про направленный отрезок АВ говорим: «Век-
тор ЛВ».

Равные векторы изображаются равными направленными
отрезками.

39.3. Векторы и перемещения точек

Самая простая из векторных величин — это перемещение мате-
риальной точки. Оно определяется расстоянием, на которое точка
переместилась, и направлением. Для данной материальной точки
ее перемещение изобразится направленным отрезком АВ из точки Л,
где находилась данная материальная точка, в ту точку В, куда она
переместилась. Для разных материальных точек перемещение одно
и то же, если оно происходит на одно и то же расстояние в одном и
том же направлении.

Сказанное соответствует определению равенства векторов:
векторы равны, если у них равны длины и одно и то же направление.

Само слово «вектор» латинское и в примерном переводе означает
«переносчик» (переносящий, несущий). В геометрии этому и со-
ответствует то, что вектор можно представлять как переносчик то-
чек: начало направленного отрезка АВ — точку Л он как бы пере-
носит в его конец — точку В.

Так как вектор переносит любую точку, то его можно опре-
делить как одинаковый перенос всех точек пространства (или всей
плоскости, как было сделано в курсе планиметрии).

39.4. Откладывание вектора

Отложить данный вектор а от точки А — это значит постро-
ить направленный отрезок АВ, который изображает вектор а,
т. е. АВ = а. Если вектор а не нулевой, то это построение сводится
к построению такого направленного отрезка АВ, который имеет
данную длину | АВ\ = |а| и заданное направление — направление
вектора а. (Оно задается некоторым направленным отрезком MN.)
Как показано в § 38, такое построение всегда можно осуществить,
и притом единственным образом, Если а — 0, то вектор а, отложен-
ный от точки А, изображается самой точкой А: А А = а — 0.

39.5. Параллельность векторов

Параллельность векторов прямым, плоскостям или друг другу
определяется аналогично тому, как была определена в § 38 парал-
лельность направленных отрезков.

Говорят, что ненулевой вектор параллелен данной прямой,
если изображающие его направленные отрезки параллельны этой
прямой или лежат на ней.

Аналогично определяется параллельность вектора и плоскости,
а также параллельность (коллинеарность) двух векторов.

Параллельность вектора v прямой а и плоскости а обозначается
так: v || а и у || а.

Мы будем употреблять и выражения вектор лежит на прямой и
вектор лежит на плоскости в тех случаях, когда изображающий
его направленный отрезок лежит на прямой или на плоскости.

Аналогично параллельности определяется перпендикулярность
двух векторов и перпендикулярность вектора прямой или
плоскости.

Нулевой вектор по определению считается параллельным лю-
бой прямой, любой плоскости и любому вектору.

Если ненулевые параллельные векторы имеют одинаковые на-
правления, то они называются сонаправленными. Они изображают-
ся, конечно, одинаково направленными отрезками.

О двух не нулевых параллельных векторах, направления кото-
рых различны, говорят, что они противоположно направлены.
Для параллельных, сонаправленных и противоположно на-
правленных векторов а и b применяются соответственно обозначе-
ния: а || b. a ff b, a b.

ЗАДАЧИ К § 39

1. ABCDA^CJdi — параллелепипед, точка О — центр парал-
лелепипеда, точка К — центр симметрии грани BB^fi. точка L —
середина ребра DC.
—- >

1) Укажите вектор, равный: а) АВ\ б) DiD; в) ВХС; г) Лхв;

Д) ад

2) Отложите вектор, равный СД, от точки: а) б) А; в) К;
3) Равны ли векторы: а) АХВ и ВгС\ б) Вх0 и 0Dx; в) ОК и
ДА?

2. РАВС — тетраэдр.
-----------------------------

1) Отложите вектор, равный РА, от точки: а) В; б) А.
—

2) Нарисуйте вектор, равный ВС и лежащий в плоскости:
а) АВС; б) РАС.

3. Какую фигуру образуют концы равных векторов, отложенных
от всех точек: а) прямой; б) отрезка; в) плоскости; г) треуголь-
ника; д) круга; е) тетраэдра; ж) шара?

4. АВСА1В1С1 — треугольная призма. Точка К — середина

—>•

ребра АС. От всех точек призмы откладывается вектор А±К. Какую
фигуру в призме образуют его концы?

5. РА BCD — правильная пирамида. От всех ее точек отклады-
>

вается вектор AQ, где точка Q — центр основания. Какую фигуру
в пирамиде образуют его концы?

6. От каждой точки X сферы с центром О отложили вектор XY,
—

равный ОХ. Какую фигуру образуют точки У?

7. Из каждой точки X поверхности правильного многогранника
проводится вектор XY = ОХ, где точка О — центр многогранника.
Какую фигуру образуют точки У?

8. Середины двух отрезков АВ и CD совпадают. Какие вектор-
ные равенства вы можете записать?

- > —►

9. Могут ли выполняться такие равенства: а) АВ — В А;
б) АС = CD п AD = DC?

10. Докажите, что равенство АВ = CD и равенство ВА =
= DC равносильны.

11. Докажите, что равенство АВ = DC и равенство AD = ВС
равносильны.

12. Точки Хх и Х2 лежат на прямой а, точки Y2 и Y2 лежат на
прямой Ь. При этом оказалось, что Х^— X2Y2. Как расположены
между собой прямые ап Ь? Решите аналогичную задачу, если точки
Хх и Х2 лежат на прямой а, а точки Кх и Y2 лежат на плоскости а.
Решите аналогичную задачу, если точки Хх и Х2 лежат на плоско-
сти а, а точки Ух и Y2 лежат на плоскости 0.

§ 40. СЛОЖЕНИЕ ВЕКТОРОВ

40.1. Определение сложения векторов

Если материальная точка переместилась из точки А в точку В,
а потом из В в С, то получается перемещение из А в С1. Поэтому

1 Здесь перемещение мы понимаем так, как его понимают в физике.
говорят, что направленные отрезки Л В и
ВС, характеризующие эти перемещения,
складываясь, дают направленный отрезок
АС (рис. 40.1). Это записывается так:

АВ + ВС АС. (1)

Направленные отрезки АВ, ВС и АС
представляют некоторые векторы а, b и
с, отложенные соответственно из точек А,
В и А. Если векторы а и b заданы, то пос-
ле выбора точки А такое построение век-
тора с определено однозначно. Изменит-
ся ли результат, если его начать с любой
другой точки Лх? А именно если отложить
от точки А± вектор а ~ А^, затем от-
ложить от точки Вг вектор Ь = В£г и
найти сумму Л^ = А1В1 + В±С{, то бу-
дет ли — ЛС? Ответ положительный.

Действительно, пусть А^ВХ = ЛВ, B£Y = ВС (рис. 40.2).
Тогда по лемме 38.1 АА1 = ВВЪ ВВг - ССГ Следовательно, ЛЛг =
= CQ. А тогда по той же лемме А^ — АС.

Доказанное означает: пусть даны векторы а и Ь: отложим а
от какой угодно точки Л, а затем от его конца отложим вектор Ь\
тогда получается один и тот же вектор с независимо от выбора
точки Л.

Вектор с, получаемый таким образом по векторам а и Ь, называ-
ется их суммой и записывается с = а + Ь.

Операция получения этого вектора с по векторам а и b называ-
ется их сложением по правилу треугольника.

Для непараллельных (неколлинеарных) векторов операция сло-
жения векторов может быть определена не только правилом тре-
угольника, но и известным вам правилом параллелограмма. Согласно
этому правилу, чтобы найти сумму векторов а и Ь, надо отложить их
от одной точки: а — АВ и b = AD, затем построить на отрезках Л В
и AD параллелограмм A BCD, и идущий по его диагонали вектор АС
и будет суммой векторов а и b: АС = а + b (рис. 40.3).

Действительно, поскольку ABCD — параллелограмм, то b =
= AD = ВС, и потому АС = АВ + ВС = а + Ь.
Правило параллелограмма более при-
меняется в физике, когда складываются
векторы, приложенные к одной точке.
Например, тело (материальная точка) мо-
жет совершать одновременно два переме-
щения, как, скажем, предмет на плывущем
корабле может перемещаться по палубе и
двигаться вместе с кораблем. Его резуль-
тирующее перемещение за какое-то время
сложится из этих двух по правилу парал-
лелограмма.

40.2. Свойства сложения векторов

Свойства операции сложения векторов в стереометрии те же
самые, что и в планиметрии, и доказываются они точно так же, как
в планиметрии. Перечислим эти свойства, сопровождая их рисун-
ками, из которых ясно, как эти свойства доказываются.

1. Переместительное свойство, или коммутативность: а-[-Ь
= Ь+а для любых векторов а и &(рис. 40.4).

2. Сочетательное свойство, или ассоциативность:

с = а (Ь + с) для любых векторов а, Ь, с (рис. 40.5).

3. Свойство нуль-вектора: а + 0 а для любого вектора а
(рис. 40.6).

4. Существование и единственность противоположного вектора:
для каждого вектора а существует, и притом единственный,
«противоположный» ему вектор — а такой, что а -{- (—а) — 0
(рис. 40.7).

Замечание. Эги четыре свойства сложения векторов при-
сущи не только векторам. Сложение целых чисел, рациональных
чисел, действительных чисел имеет те же свойства.

Убедитесь, что такими же свойствами обладают и другие дейст-
вия с другими математическими объектами: умножение на множе-

Рис. 40.6

Рис. 40.7
стве действительных чисел без нуля (но в этом случае роль нуля
играет единица), композиция на множестве всех параллельных пе-
реносов плоскости, композиция всех поворотов плоскости вокруг
данной точки (в последних двух случаях роль нуля играет тожде-
ственное перемещение).

В этом одна из могущественных особенностей математики:
устанавливать сходство и единство там, где его, казалось бы, и
быть не может; сложение чисел и повороты, сложение векторов и
умножение чисел вовсе различны, а свойства у них одни.

Но не следует думать, что всегда выполняются эти свойства.
Например, их нет у вычитания на множестве действительных чи-
сел или у операции возведения в степень положительных чисел.

40.3. Правило параллелепипеда

По правилу параллелограмма сумма двух векторов, не парал-
лельных одной прямой, представляется диагональю параллелограм-
ма, построенного на данных векторах, отложенных от одной
точки. Аналогично сумма трех векторов, не параллельных одной
плоскости, представляется диагональю параллелепипеда, построен-
ного на данных векторах, отложенных от одной точки, как на реб-
рах (рис. 40.8).

40.4. Разность векторов

Разностью векторов а и b называется такой вектор г, что Ь +
+ с = а. Разность а и b обозначается а — Ь. Из полученных ранее
свойств сложения векторов следует, что

а — b = а + (—д),
так как (а + (—b)) + Ь = а + ((—Ь) + Ь) = а + б*= а.

Из сказанного выше вытекает, что если ОА = а и ОВ = Ь,
то а — b — ВА (рис. 40.9).

ЗАДАЧИ К § 40

1. ABCD/41B1C1D1 — параллелепипед. Нарисуйте вектор АХ,
если:
a) AX = AB + AD + ВС; д) AX = ABX + ЛОХ;

б) ЛХ = AB + AC + ед; e) AX = ABt + AC + ЛВг;

в) AX = AAt + BC + Ё\ВХ; ж) ЛХ = AB — CDr— Л^;

г) AX = ABt + ВС + CA; з) AX = BJ>—D^B-A^C-ACt.

2. АВСОА^С^ — параллелепипед. Докажите, что равны

векторы:

DA + АВ + ВВЪ
DC + CCj + ед,
DA1 + СВХ + ЛХС,

DCt — ЛС1 + ЛВЬ
— BA + СВ A CCV

3. РАВС — тетраэдр. Нарисуйте вектор:

а) РХ = РА + PC; г) СХ_ = РВ — РА;

б) ВХ = ВА + ВС; д) АХ = ВС + РВ — РА.

в) РХ = РА + РВ + PC;

4. ЛВСЛ1В1С1 — призма. Нарисуйте точку X, если:
а) ВХ = ВС + Л7вх + CAi,

б) АВ + ВХ = АС,, — В^;

в) ХС = BCj. — АСг.

5. ЛВСОЛ1В1С1О1 — параллелепипед. Укажите такую точку X,
что верно равенство ХА + ХВ -|- ХС + XD + XAi + ХВх +
+ ХСх + XDi = 0.

Решите такую же задачу для правильного октаэдра. Единствен-
на ли такая точка?

6. ABCDAiBjCiD! — параллелепипед. Докажите, что для вся-
кой точки О выполняется равенство ОА + OCt = ОВг + OD =
= ОАг + ОС.

7. а) ЛВСДЛ1В1С1Д1 — параллелепипед. Рассматриваются все
векторы, заданные его ребрами (на каждом ребре — по одному век-
тору). Можно ли из них составить сумму, равную 0?

б) Решите такую же задачу, если дан тетраэдр.

в) Решите такую же задачу, если дан правильный октаэдр.

8. АВ = CD, АВ = EF. Докажите, что ЕС = FD.

9. Докажите, что ХхВ — Х^А = Х^В — Х^А.

10. Проиллюстрируйте на параллелепипеде векторные
равенства:

а) а + (Ь — F) — (а + Ь) — с = (а — с) + Ь;

б) а — (Ь + с) = (а — Ь) — с = (а — с) —- Ь;

в) а — (Ь — с) = (а — Ь) + с = (а + с) — Ь.
11. Откуда следует неравенство \а + |а| 4- |Ь|? Как вы-

глядит его обобщение? Дайте ему геометрическое истолкование
для случая трех векторов, не лежащих в одной плоскости.

12. Может ли выполняться равенство для трех не нулевых век-
торов а, Ь, с, не лежащих в одной плоскости:

а) | я + b + с| = \ а + Ь — с|;

б) | а + b + с| = | а + b — с| = | а — b — с|?

§ 41. РАЗЛОЖЕНИЕ ВЕКТОРА НА СОСТАВЛЯЮЩИЕ

41.1. Определение составляющих

Самолет пошел на снижение. Его смещение состоит из двух
составляющих: вертикальной и горизонтальной; первая пока-

зывает, на сколько он снизился, вторая — на сколько и в каком
направлении он сместился над землей за время снижения
(рис. 41.1).

Груз лежит или движется по наклонной поверхности. Вес
разлагается на две составляю-

щие: та, что направлена по пер-
пендикуляру к поверхности,
— это давление на нее, а та, что
направлена вдоль поверхности,
тянет вниз, — это «скатываю-
щая сила» (рис. 41.2).

Вес груза, висящего на тре-
ноге, разлагается на три состав-

Рис. 41.2

Рис. 41.3
Устойчивость прочных мос-
тов, куполов и сводов зданий и
других строительных конструк-
ций основана на расчете раз-
ложения силы тяжести на сос-
тавляющие, проходящие через
точки опоры. Вспомните, нап-
ример, знаменитого «Медного
всадника», опирающегося лишь
на три точки (рис. 41.4).

Это только немногие приме-
ры из множества самых разно-
образных случаев, когда суще-
ственную роль играет разложе-
ние вектора на составляющие.
Определим точно, что значит

«разложение на составляющие». Рис. 41.4

Коротко говоря, составляю-

щими данного вектора называют-

ся такие векторы, сумма которых равна этому вектору. Он «состав-
ляется» из них, как сумма из слагаемых, и разлагается на них,
как на слагаемые. Поэтому говорят о разложении на составляющие.
Мы рассмотрим два случая: один, когда вектор разлагается на две
составляющие, параллельные данной прямой и плоскости, и дру-
гой, когда вектор разлагается на три составляющие, параллель-
ные трем данным прямым. (В плоскости вектор разлагается на две
составляющие, параллельные двум прямым.) Для краткости гово-
рят: «составляющие» по прямой и плоскости или по данным прямым.

Рассмотрим эти разложения, когда упомянутые прямые или
прямая и плоскость взаимно перпендикулярны.

41.2. Разложение вектора на перпендикулярные составляющие

1. Разложение вектора в плоскости. Это построение уже про-
водилось в планиметрии. Напомним его. Пусть в плоскости даны
две взаимно перпендикулярные прямые а и Ь, пересекающиеся в
точке О. Возьмем какой-нибудь заданный вектор v и отложим его
от точки О (рис. 41.5), так что OV = v.

Спроектируем точку V на прямые а и Ь. Пусть А и В—ее проек-
ции. Получаем два направленных отрезка: ОА и ОВ.

Если точка V не лежит ни на прямой а, ни на й, то получаем
прямоугольник OAVB, и по правилу параллелограмма

r 0V = ОА + ОВ. (1)

Векторы va == О А и vb ~ОВ являются составляющими вектора
v = OV по прямым а и b: va + vb — v, va параллелен a, vb па-
раллелен b.
Если же точка V лежит, скажем, на прямой а, то А = V,
В = О и (1) тоже верно, только ОА = OV, ОВ = ОО = б. Зна-
чит, векторы va — ОА и vh = ОВ и здесь являются составляю-
щими вектора v = OV по прямым а и Ь. Так как а _!_ Ь, то va J_ vb.
Поэтому и говорится о разложении на перпендикулярные сос-
тавляющие.

2. Разложение вектора в пространстве на составляющие по
данной прямой и плоскости. Пусть данная прямая а, перпендику-
лярная плоскости а, пересекает ее в точке О. Возьмем какой-
нибудь вектор и и отложим его от точки О, так что OV = и (рис. 41.6).

Спроектируем точку V на прямую а и на плоскость а. Пусть
А — ее проекция на а, а В — ее проекция на а. При любом распо-
ложении точки V

OV = ол + OB.

(2)

Векторы va = О А и иа = ОВ являются составляющими вектора
v = OV по прямой а и плоскости a: v При этом va па-

раллелен a, va параллелен а и va _L va.

Если же точка V лежит на прямой а или на плоскости а, то (2)
также верно, только либо А V и ОВ = 0, либо В = V и ОА
= 0. Поэтому и в этом случае получаем составляющие va = ОА
и va = ОВ, только одна из них нулевая.

Пример разложения вектора по прямой и плоскости представ-
ляет разложение перемещения снижающегося самолета на верти-
кальную и горизонтальную составляющие.

3. Разложение по трем прямым. Пусть даны три взаимно пер-
пендикулярные прямые а, Ь, с, пересекающиеся в точке О. Возьмем
какой-нибудь вектор v и отложим его от точки О (рис. 41.7), так что
ОК = v.

Спроектируем точку V на прямую а и плоскость а, проходящую
через прямые b ис. Так как a _L b и a _L с, то a _L а. Поэтому,
Рис. 41.8

ссылаясь на предыдущее построение, можно сказать, что мы полу-
чили составляющие va = ОА и va — OD по прямой а и плоскости
а и

V = va + va. (3)

Теперь в плоскости а разложим вектор va по прямым b и с.
Получим составляющие vb = ОВ и ve — ОС, и va — vb + vc.
Соединяя это с (3), получаем:

V = Va + vb + VC.

И так как по построению va || a, vb || b, vc || с, это и есть разложение
вектора v на составляющие по прямым а, Ь, с. Эти прямые взаимно
перпендикулярны, и потому мы говорим о разложении вектора на
взаимно перпендикулярные составляющие.

Замечание. В этом пункте мы решили три задачи на по-
строение составляющих данного вектора. При этом составляющие
во всех трех случаях получились путем проектирования точки V,
—►> —►

служащей концом вектора OV = v, начало которого — точка О —
лежит на данной прямой или данной плоскости. Из свойства орто-
гонального проектирования ясно, что если начало вектора не лежит
на этих прямых или плоскостях, то при построении его составляю-
щих можно проектировать и начало, и конец направленного отрез-
ка OV (рис. 41.8), причем результат не зависит от выбора точки О.

41.3. * Составляющие в общем случае

Теперь укажем построение составляющих в общем случае.

1. Разложение вектора в плоскости по двум пересекающимся

прямым а и Ь. Откладываем данный вектор v от точки О их пересе-

——*

чения: OV = о. Если V не лежит ни на а, ни на Ь, то проводим
(УЛ) || b и (VB) || а (рис. 41.9). Векторы О А и ОВ являются состав-
——*
ляющими вектора v по а и Ь. (Если, например, V С а, то OV = v —
составляющая по а, а составляющая по b — нулевая.)

2. Разложение вектора по прямой а и пересекающей ее плоско-
сти а. Откладываем вектор v от точки О пересечения а с а:
OV = v (41.10). Проводим через прямую а и луч OV плоскость |3.
Она пересекает а по некоторой прямой Ь. Разлагая OV на составляю-
щие по прямым а и Ь, получим разложение по а и а. Можно посту-
пить и так: пусть точка В — проекция точки V в направлении пря-
мой а на плоскость а. Тогда OV = ОВ + BV. Так как BV || а,
то на а можно отложить от точки О вектор О А = BV. Получаем
искомое разложение: OV = О А + ОВ.

3. Разложение по трем прямым а, &, г, не параллельным одной
плоскости. Будем считать, что а, Ь, с пересекаются в одной точ-
ке О. Отложим от О данный вектор OV = v (рис. 41.11). Приняв
плоскость, проходящую через прямые Ь, с, за а, разложим вектор
по прямой а и плоскости а. Получим составляющую va по прямой а
и иа по плоскости а. Ее разложим по прямой b и с, получим vb и
К

Ясно, рассматриваемый третий случай не сводится к первым
двум лишь тогда, когда точка V не лежит на прямых а, &, с, т. е.

когда вектор v не параллелен ни одной из прямых а, Ь, с.

Если v\\ a, v\\ b и oft с, то построение составляющих vb и
ос сводится к построению параллелепипеда, диагональю которого
является отрезок ОV и ребра которого, исходящие из точки О, лежат
на прямых а, 6, с (рис. 41.12). Три плоскости граней этого парал-
лелепипеда определяются тремя парами пересекающихся прямых:
а и Ь, а и с, b и с, а три другие плоскости его граней параллельны
этим плоскостям и проходят через точку V.

Замечание. Как построения составляющей, проведенные в
п. 41.2 для случая взаимно перпендикулярных прямых и плоско-
стей, использовали ортогональное проектирование, так построе-
ния, проведенные в этом пункте, опираются на параллельное про-
ектирование, и как ортогональное проектирование является част-
ным случаем параллельного проектирования, так построения, про-
веденные в п. 41.2, являются частным случаем проведенных здесь
построений.

41.4. * Теорема существования и единственности составляющих

В предыдущих пунктах мы решали три задачи на построение
составляющих. Решение задачи на построение дает, как мы знаем,
доказательство существования объекта, который строится. По-
этому мы доказали три теоремы существования.

Теоремам существования составляющих соответствуют теоремы
единственности; в каждом случае разложение на составляющие для
данного вектора только одно: каким бы способом ни строили сос-
тавляющие данного вектора в каждом из трех указанных случаев,
скажем, на три данные прямые, а составляющие получаются те же
самые. Выразим это в теореме, и притом для общего случая, когда
не требуется перпендикулярность прямых.

Теорема 41 Л.Всякий вектор допускает, и притом един-
ственное, разложение на составляющие в каждом из трех слу-
чаев:

1) по двум пересекающимся прямым в плоскости, если он
параллелен данной плоскости (этот случай — теорема планиметрии);

2) по пересекающимся прямой и плоскости;

3) по трем прямым, не параллельным одной плоскости.

Доказательство. Как было сказано, существование
всех трех разложений уже доказано их построением. Докажем их
единственность.
Рассмотрим последовательно все три случая.

1) Допустим, мы получили двумя способами два разложения
вектора v по двум пересекающимся прямым а и b так, что

V = va + vb = va’-\- w.

Тогда

“ vb-

Вектор va — v'a параллелен прямой а. а а — vb параллелен пря-
мой Ь. Поэтому они не могут быть равны, кроме того случая, когда
оба нули: va — v'Q = 0 и v'b — vb = 0, т. е. va = v'a и vb = v'b
Два разложения оказались одинаковыми. Значит, разложение одно-
значно.

2) В случае разложения по прямой а и плоскости а доказатель-
ство совершенно такое же: если va + va = v’a + , то va — va =

= v'a — va. Один из этих векторов параллелен прямой а, а другой —
плоскости а. Поэтому va — v'a ~ — va = 0, т. е. va = v'a и

и = v'
а а

3) Допустим, мы получили два разложения по трем прямым а,
Ь, с, т. е. va 4- vb + vc = v'a + vb + vc. Тогда vb + vc и v‘b + v'c
параллельны плоскости a. Поэтому, как доказано во втором слу-
чае, va = v'a и vb + vc = vb + vc. Но тогда согласно первому слу-
чаю vb = Vb, vc = Vc.

Итак, во всех случаях разложение единственно.: И

Замечание. По построению составляющих во всех трех
случаях видно, что оно происходит однозначно. Однако можно бы-
ло бы допустить, что какое-нибудь другое построение составляющих
дало бы другой результат. Теоремы единственности показывают,
что это невозможно. Всякое другое построение даст те же состав-
ляющие.

В частности, можно отложить данный вектор v от любой точки
провести через нее прямую аг и плоскость параллельные
данным а и а, и провести то же построение, которое указано в
п. 41.3. Оно даст те же векторы va и va — составляющие вектора v.

Аналогичное верно и в отношении составляющих по трем пря-
мым.

Из доказанной теоремы о существовании и единственности со-
ставляющих легко вытекает следующая теорема.

Теорема 41.2. При сложении векторов их соответствую-
щие составляющие (по прямой или плоскости) складываются.

Доказательство. Докажем эту теорему, например,
для случая разложения вектора по прямой а и пересекающей ее
плоскости а (для разложения по трем прямым доказательство ана-
логично). Возьмем любые векторы и и и, и пусть вектор w = и +
+ v. Разложим векторы и, v и и» на составляющие по а и а: и =
= иа + иа, v = va + Va и w = wa + wa. Так как w = и + vt
TO W = иа + иа + va + va = (иа 4- va) + (иа + va). Поскольку

|| а и va || а, то (иа + va) || а. Аналогично (wa + va) II а. Итак,
векторы иа + va и иа + va являются составляющими вектора w
по прямой а и плоскости а. В силу единственности разложения
на такие составляющие получаем, что wa = иа + va и ша — иа +
+ va, т. е. при сложении векторов их соответствующие составляю-
щие складываются.

ЗАДАЧИ К § 41

1. ABCDA1B1C1Dl — куб, точка К — центр грани АВВ^.
Разложите на перпендикулярные составляющие по прямой и плос-
кости АВС такие векторы: а) АВХ\ б) CAf, в) DXB\ г) D/C.

Выберите в качестве исходной плоскости плоскость другой
грани куба и решите те же задачи.

2. РАВС — правильный тетраэдр, точка О — центр тетраэдра,
точка Q — центр его основания, точка /С— середина ребра АС.
Разложите на перпендикулярные составляющие по прямой PQ
—>• —>• ——►

и плоскости АВС такие векторы: а) Р/С; б) АР\ в) ВО\ г) CL,
гд! точка L — центр противоположной грани тетраэдра.

3. ABCDAyB^CxD^ — прямоугольный параллелепипед, точка
/С — середина ребра ВВЪ точка L — центр симметрии грани
CCyDJJ. Разложите на составляющие по трем перпендикулярным
прямым такие векторы: а) АСХ\ б) BJ)-, в) г) KL*, д) LM.
где АМ = СВ + CD.

4. PABCD — правильная четырехугольная пирамида с равны-
ми ребрами, точка Q — центр основания, точка К — середина реб-
ра CD, точка L — центр грани РАВ. Разложите на перпендикуляр-
ные составляющие по прямым PQ, QA, QD такие векторы: а) РК\
б) ~KL\ в) QL\ г) PC.

5. РАВС — тетраэдр, точка /С — середина ребра РВ, точка
L — точка пересечения медиан в грани АРВ, точка М — середина
ребра ВС, точка Q — точка пересечения медиан основания. Раз-
ложите на составляющие по прямой PC и плоскости АВС такие
векторы: а) С/С; б) CL; в) РА; г) РМ; д) PQ.
6. АВСА^ВуСу — наклонная призма, точка К — середина реб-
ра ВВЪ точка L — центр симметрии грани ВС^В^ точка М —
точка пересечения медиан грани АВС, точка N — середина ребра
BjCp Разложите на составляющие по прямой ЛЛХ и плоскости АВС
такие векторы: а) ЛСр б) Л7(; в) AL; г) ВХС; д) ВС\; е) BjAf;
ж) AN.

7. ABCDA1B1C1D1 — параллелепипед. Разложите на три со-
ставляющие по прямым АВ, AD и ЛЛХ такие векторы: а) Г^Л;
б) D£; в) D^B.

Эти же векторы разложите на составляющие по прямым АВ,
ВС и BBi, D±A, DjD и DiQ.

8. РАВС — правильный тетраэдр, точка Q — центр его осно-
вания, точка К — середина ребра АС, точка L — центр грани
А PC, точка М — центр грани РВС. Векторы PQ, PK,KQ, LM раз-
ложите на составляющие по прямым РА, РВ и PC; АВ, АС и АР.

§ 42. УМНОЖЕНИЕ ВЕКТОРА НА ЧИСЛО

Напомним определение умножения .вектора на число, данное
еще в планиметрии.

Пусть даны ненулевой вектор а и действительное число х=#0.
Произведением вектора а на число х называется такой вектор ха,
который, вогпервых, имеет длину |х| |а| и, во-вторых, сонаправ-
лен с вектором а, если х> 0, и направлен противоположно векто-
ру а, если х < 0.

Итак, если b = ха, причем х#=0, а =# 0, то: 1) |&| = |х| |а|
и 2) b ff а, если х > 0, и b а, если х < 0 (рис. 42.1).

(-х)а________ Ма _

“вГ Q .8

Рис. 42.1

Если же а = 0 или х = 0, то полагают, что вектор ха = 0.
Следующие пять свойств операции умножения вектора на число
непосредственно вытекают из определения этой операции.

Свойство I. х(уа) = (ху)а.

Свойство 2. Если ха = уа и а=£0, то х = у.

Операции сложения векторов и умножения вектора на число
связаны двумя распределительными (или дистрибутивными) зако-
нами.

Свойство 3. (х + У)а = ха +!/<*•
Свойство 4. х(а -ф Ь) = ха 4- хЬ.

Оба эти свойства известны из планиметрии и относятся к плани-
метрии, так как выполняющиеся в них действия производятся с
векторами, параллельными одной плоскости (если отложить эти
векторы от одной точки, то изображающие их направленные отрез-
ки окажутся лежащими в одной плоскости). Более того, свойство 3
касается лишь векторов, параллельных одной прямой. Оно непо-
средственно вытекает из определений сложения векторов и умноже-
ния вектора на число. Мы еще напомним следующий признак па-
раллельности векторов, доказанный в курсе планиметрии.

Теорема 42.1 (признак параллельности векторов). Не-
нулевые векторы а и Ъ параллельны тогда и только тогда, ког-
да найдется такое число х, что Ъ — ха. При этом число х
определено единственным образом.

Эта теорема вместе с результатами предыдущего параграфа
позволяет выразить каждый вектор в пространстве через любые
три вектора, не параллельные одновременно никакой плоскости.

А именно пусть заданы три таких вектора а, &, с и задан неко-
торый вектор и. Векторы а, Ь, с ненулевые, так как они не парал-
лельные одной плоскости.

Пусть а, Ь, с — три прямые, параллельные соответственно век-
торам а, Ь, с. Эти прямые не параллельны одновременно никакой
плоскости. Поэтому вектор v можно разложить на составляющие
по прямым а, Ь, с:

V = va + vb + vc. (1)

Так как va || a, vb || b, ис || с и векторы а, Ь, с ненулевые, то по тео-
реме 42.1

va = ха, vb = yb, vc = ZC.

Подставляя эти равенства в (1), выразим вектор v через векторы
а, Ь, с следующим образом:

v = ха + yb + zc. (2)

Равенство (2) называют разложением вектора v по векторам
а, Ь, с. Итак, каждый вектор в пространстве может быть раз-
ложен по любым трем векторам, не параллельным одновремен-
но ни одной плоскости. Докажите, что такое разложение един-
ственно, вспомнив доказательство теоремы 41.1.
ЗАДАЧИ К § 42

1. ABCDA1BiClDl — параллелепипед. Нарисуйте точку X та-
кую, что:

а) СХ = -СВ. — -СА; г) ВХ = -BD + -ВЛ. + -BCf,
' 2 2 2 2* 2

б) СХ = 2СВ + |СО; д) С^Х = + 2СВ — |л!с.

в) СХ = — -|сЛ + 2C% — СВ;

2. РАВС— тетраэдр. Нарисуйте вектор:

а) РХ = 2РА — -PC; в) СХ = — 2СА — —СВ + —СР;

2 ' 2 2

б) ВХ =-ВА +-ВС —-ВР; г) АХ = 1ДР + -ЛС + —АВ.

1 2 2 2 7 3 3 3

3. ABCDAXB£J\ — параллелепипед, точка К — середина реб-
ра А^ръ точка L — середина ребра CD, точка Bt — середина от-
резка MCV Разложите по вектора^ АВ, AD и AAt следующие век-
торы: а) СК; б) BrL; в) LM; г) XL; д) DM; е) XN (N — середина
ребра ВС).

4. РАВС — тетраэдр, точка X — середина ребра АС, точка Q —
точка пересечения медиан треугольника АВС, точка L — середина
ребра РВ, точка М — точка пересечения медиан в грани РАВ.
Разложите по векторам РА, РВ и PC следующие векторы: а) РХ\
б) PQ; в) XL; г) QM.

5. Точки А, В, С не лежат на одной прямой. Какую фигуру обра-
—► —► - ►

зуют точки X такие, что: а) АХ = аАВ + АС, где 0 а 1;
б) АХ = аАВ + АС, где а 0; в) АХ = аАВ + АС, где а €
С R; г) АХ = аАВ + рДС, где 0 < а < 1, 0 < 0 < 1; д) АХ =
= аАВ + 0ЛС, где а > 0, 0<р<1; е) ЛХ = аЛВ + РЛС,
где сф 0; ж) АХ = аАВ + РЛС, где а € В, Р € В?

6. РАВС — тетраэдр. Какую фигуру образуют точки X такие,
что: а) РХ = аРЛ + РВ + PC; б) РХ = аРА + рРВ + PC;
в) РХ. = аРА + рРВ + уРС (0 < а < 1, 0 < р < 1, 0 < у <
< 1)? _ _ _

7. Докажите, что: а) ОК = уОЛ ф уОВ, где точка К — сере-
дина отрезка АВ, а точка О — любая; б) OL=— ОД + — ОВД-

3 3

-J- —ОС, где точка L — точка пересечения медиан треугольника
АВС, а точка О — любая; в) ОМ — —ОА 4- — ОВ + —ОС + — 0D,
4 4 4 4

где точка М лежит на отрезке DL, причем | DM | : | ML | — 3:1,
точка L — точка пересечения медиан грани АВС тетраэдра ABCD,
а точка О — любая. Сформулируйте и проверьте обратные ут-

верждения.

8. АВ = xCD. а) Докажите, что прямые АС и BD лежат в од-
ной плоскости, б) При каком значении х они параллельны? в) При
каком значении х они пересекаются?

9. ABCD и AB1CD1—два параллелограмма. Установите вза-
имное положение прямых ВВГ и DDr.

10. РАВС — тетраэдр. Точка X лежит на ребре АР, причем

|ЛХ| = — |ЛР|, точка Y лежит на ребре СВ, причем |CY\ =

= — |СВ|. Докажите, что существует плоскость, параллельная
3

прямым AC, XY, РВ. Обобщите задачу.

11. АС и BD—два произвольно расположенных отрезка.
По ним движутся с одинаковой скоростью точки X и Y (точка X
otD к В, точка У от Л к С). Докажите, что прямая XY параллельна
одной и той же плоскости.

12. АВСА1В1С1 — призма. Могут ли диагонали трех ее боковых
граней быть параллельны одной и той же плоскости?
Глава VII.

УГЛЫ. СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ

Эта глава посвящена измерению углов между прямыми и плос-
костями в пространстве. Измерять их постоянно приходится в прак-
тике, в жизни: угол наклона плоскости орбиты спутника к плоско-
сти экватора Земли, угол падения луча света на отражающую по-
верхность, угол наклона орудийного ствола при выстреле, угол
наклона ската крыши и другие подобные примеры говорят о важ-
ности этих понятий.

Мы начнем изучение их с угла между векторами. Это понятие
встречается, например, при решении задачи о работе силы (рис.
VII.1).

§ 43. УГОЛ МЕЖДУ ВЕКТОРАМИ И ПРЯМЫМИ

43.1. Угол между векторами

Определение. Углом между непараллельными направлен-
—

ными отрезками ОА и ОВ называется величина выпуклого угла
АОВ (рис. 43.1), т. е.

(ОА, ОВ) = АОВ. (1)

->- ---►- ---------------------->. ->

Если О A ff ОВ, то полагают, что (ОД, ОВ) = 0°, а когда

Рис. VII.1

ОА ОВ, то считают, что

(ОД, ОВ) = 180°.

Легко проверить, что угол
между направленными отрез-
ками не зависит от точки, от
которой отложены эти отрезки,
т. е. если

ОД - 071' и ОВ = О7^', (2)
то

(ОД, ОВ^О^А'. OB'). (3)

Действительно, так как АВ = ОВ —
—ОА и А' В' ~ О'В' —О' Д', то из равен-
" ►

ства (2) вытекает, что АВ — А'В'
(рис. 43.2). Поэтому, если ОА и ОВ — не
параллельны, то треугольники АОВ и
А'О'В' равны (по трем сторонам), и потому

АОВ = АТУ В'. (4)

т. е. имеет место равенство (3). Если же
ОД ff ОВ, то и О'Д'ff О'В', а в том слу-
чае, когда О A ОВ, то и О'Д' |f О' В'.
Поэтому и для этих случаев выполняется
равенство (3).

Сказанное выше позволяет определить
угол между векторами.

Определение. Углом между не-
нулевыми векторами называется угол
между изображающими их направленными
отрезками, отложенными от одной точки.

Ввиду доказанного этот угол не зави-
сит от того, от какой точки отложены нап-
равленные отрезки, а значит, он опреде-
ляется только самими векторами. Для
угла между ненулевыми векторами а и
b употребляется обозначение (а, Ь). Если
один из векторов нулевой, то угол между
векторами не определен.

При замене одного вектора на проти-
воположный угол заменяется на дополни-
тельный до 180° (рис. 43.3).

Угол между ненулевыми векторами за-
висит только от направлений векторов,
но не от их длин. т. е. если a ff а' и
feff b'. то (а. Ь) = (а .!)').

Рис. 43.1

Если векторы а и b параллельны, то это утверждение вытекает

из признака сонаправленности (теорема 38.1). Если же а и b не
параллельны, то, будучи отложенными от одной точки, как векто-
ры а. Ь. так и векторы а. Ь' определяют один и тот же выпуклый

угол (рис. 43.4), т. е. (а. Ь) (а . Ь').
43.2. Угол между лучами

Независимость угла между ненулевыми векторами от их длин
позволяет определить угол между лучами в пространстве, не обя-
зательно имеющими общее начало.

Определение. Углом между лучами ТИР и NQ называ-

—" - ►

ется угол между векторами МР и NQ (рис. 43.5).

Определенный таким образом угол между лучами МР и NQ
не зависит от выбора па них точек Р и Q. Действительно, если на
них взять соответственно другие точки Р± и отличные от М и Af,
—► • ► ~►

то, поскольку вектор МР сонаправлен с MPlt а WQ сонаправлен с
Ж,

(МР, /VQ) = (МРЬ М^).

Угол между лучами р и q обозначается символом (р, q).

43.3. Угол между прямыми

Теперь мы можем определить угол между любыми двумя пря-
мыми в пространстве.

Определение. Углом между двумя прямыми называется
меньший из двух углов между векторами, параллельными этим пря-
мым (рис. 43.6).

Из данного определения следует, что угол между параллельны-
ми прямыми равен нулю градусов.

В том случае, когда прямые пересекаются, угол между ними
равен величине вертикальных нетупых углов, образованных эти-
ми прямыми.

Если же прямые скрещиваются, то, чтобы найти угол между
ними, можно поступить так: через любую точку провести прямые,
параллельные данным, и найти угол между этими прямыми (рис.
43.7).

В частности, мы теперь можем говорить о взаимно перпенди-
кулярных скрещивающихся прямых (а также лучах), если угол
между ними равен 90°. Взаимно перпендикулярными прямыми на-
зываем и отрезки, лежащие на взаимно перпендикулярных прямых.
ЗАДАЧИ К § 43

1. Рассматриваются всевозможные образующие конуса. Вычис-
лите граничные значения угла между ними, если радиус основа-
ния конуса равен 1, а образующая конуса равна 2.

2. Дан луч АВ. Какой фигурой является множество всех лу-
чей АХ, составляющих с лучом АВ: а) угол ср; б) угол меньший,
чем ср?

3. Лучи а и b с общим началохМ образуют угол ср. Луч х с тем
же началом образует с лучом а угол ср^ Можно ли определить угол
между лучом х и лучом Ь?

4. Два луча а и b имеют общую вершину О и образуют угол ср.
Всегда ли существует луч х с вершиной в точке О, образующий с
лучом а угол срь а с лучом b угол ф2? Если не всегда, то при каких
дополнительных предположениях?

5. Докажите, что диагональ куба образует равные углы с его
ребрами, выходящими из той же вершины.

6. Существует ли внутри многогранника точка, из которой все
его ребра видны под одним и тем же углом, если этот многогранник:
а) куб; б) правильный октаэдр; в) правильный тетраэдр; г) пра-
вильная пирамида; д) правильная призма?

7. Прямоугольный треугольник СХВА (В = 90°) является про-
екцией треугольника СВА на плоскость а. а) Сколько на ри-
сунке прямоугольных треугольников? б) Докажите, что
cos САВ = cos С^АВ • cos Ср4С. в) Докажите, что cos СХВС =
= tg С^АВ : tg САВ.

8. В прямоугольном параллелепипеде боковое ребро составля-
ет с диагональю угол фъ а с диагональю боковой грани угол ср2.
Найдите угол ср, который составляет с диагональю боковой грани
диагональ параллелепипеда. (Все три отрезка выходят из одной
вершины.)

9. ABCDAyB^CJ^ — куб. Вычислите угол ср, который обра-
зует луч AD с лучами: а) ССР б) А^, в) ВГС\ г) BCf, д) CD^
е) АгВ\ ж) DBy\ з) DlB-, и) СА±: к) ДСР

10. Все ребра правильной призмы равны. Рассмат-

риваются лучи ВС, АГС, СхВ, АВх, А^. Какие углы они образуют
между собой?

11. Нарисуйте два вектора внутри куба, угол между которыми
равен: а) 30°; б) 45°; в) 60°; г) 120°; д) 150°.

12. РАВС — правильный тетраэдр. Нарисуйте вектор с нача-
лом в точке Р, который образует с вектором РА: а) острый угол;
б) прямой угол; в) тупой угол. Нарисуйте два вектора с началом
в точках В и С соответственно, которые образуют между собой:
а) острый угол; б) прямой угол; в) тупой угол.

13. Векторы а, Ь, с не параллельны одной плоскости и образуют
между собой равные углы. Вектор а + Ъ 4- с образует с каждым
вектором а, Ь, с угол ср. Можете ли вы найти этот угол?

14. Прямая перпендикулярна: а) двум сторонам параллело-
грамма; б) двум сторонам правильного треугольника; в) двум сто-
ронам правильного многоугольника. В каком случае она перпенди-
кулярна плоскости, в которой лежит указанная фигура?

15. Прямая а параллельна плоскости а. Проверьте равносиль-
ность двух утверждений: 1) b _L а и 2) b а.

16. Проверьте равносильность двух утверждений: 1) прямая а,
лежащая в плоскости а, перпендикулярна прямой b и 2) прямая а
перпендикулярна проекции прямой b на плоскость а.

17. Нарисуйте куб ABCDA^BfiiD^ а) Сколько пар перпендику-
лярных прямых вы можете насчитать на рисунке? б) Нарисуйте
несколько прямых, перпендикулярных прямой АВ и проходящих
через точку Сг. в) Нарисуйте несколько прямых, перпендикуляр-
ных прямой ВХС и проходящих через точку А. г) Нарисуйте не-
сколько прямых, перпендикулярных прямой АХС и проходящих
через точку А.

18. Нарисуйте прямоугольный параллелепипед АВСОА1В1С1О1.
Проведены отрезки AC, BD, АХС, А^. Укажите на этом рисунке
прямые, перпендикулярные: а) (ЛЛХ); б) (BD); в) (АС); г) (ABJ;
д) (В^); е) (АХС).

19. Равнобедренный треугольник АВС вращают вокруг основа-
ния АВ. Точки К и L —два положения его вершины. Докажите,
что (АВ) JL (/(В).

20. Нарисуйте правильную пирамиду РАВС. Точка Q — центр
ее основания. Проведен отрезок PQ. а) Сколько пар перпендикуляр-
ных прямых вы можете насчитать на рисунке? б) Нарисуйте не-
сколько прямых, перпендикулярных прямой ВС. в) Нарисуйте
несколько прямых, перпендикулярных прямой PQ. г) Нарисуйте
несколько прямых, перпендикулярных прямой AQ и не лежащих в

плоскости основания.

21. Точка А не лежит на прямой а. Какуюфигуру образуют все
прямые, проходящие через точку А и перпендикулярные прямой а?

22. ABDC и ABKL — два квадрата, (PQ) _1_ (АВ). Есть ли ошиб-
ка на рисунке 43.8?

23. Верно ли, что диагональ прямоугольного параллелепипеда
перпендикулярна скрещивающейся с ней диагонали его грани?

24. Углы АВС и KBL таковы, что (В А) I

<yD _1_ (ВЛ), (ВС) J_ (BL). Равны ли эти углы?

/\р\ 25. Вычислите угол между скрещиваю-

С\ \ \ щимися диагоналями граней куба.

\ I \В 26. ABCDAlBlCiD1 — прямоугольный

\ К паРаллелепипеД- Его ребра AD, АВ, ААх

/ равны соответственно 1,2, 3. Вычислите
4 угол <р между прямыми: а) (АВ) и (B^J;

Рис. 43.8 б) ВАГ и ВХС; в) BAi и BrD.
27. РАВС — правильный тетраэдр, точка Q — центр его осно-
вания, точка К — середина ребра РВ, точка L — середина ребра
АС. Вычислите угол <р между прямыми: а) АР и ВС; б) АР и CQ;
в) АР и СК; г) АК и ВС; д) АК и PL.

28. В правильной четырехугольной пирамиде PABCD, все
ребра которой равны, вычислите угол <р между прямыми: а) РА
и CD; б) РА и BD; в) РК и AD; г) РА и KL; д) КТ и РА; е) LM
и КТ; ж) РА и DL; з) РК и DL (К — середина ребра CD, L —
середина ребра АВ, Т — середина ребра PC, М —середина реб-
ра РА).

29. a _L а, b _1_ р. Докажите, что угол между прямыми а и b
не зависит от выбора этих прямых.

30. Постройте: а) неплоскую замкнутую ломаную из пяти зве-
ньев, у которой четыре звена равны, а угол между каждыми дву-
мя соседними звеньями прямой; б) неплоскую замкнутую ломаную
из пяти звеньев, у которой все звенья равны, а четыре угла между
соседними звеньями прямые; в) неплоскую замкнутую ломаную,
у которой все звенья равны и все углы между соседними звеньями
прямые.

31. Две плоскости перпендикулярны. Конус с углом <р в осе-
вом сечении располагается так, что его вершина лежит на прямой
их пересечения, а сами плоскости являются опорными к конусу.
При каком угле <р это возможно?

§ 44. СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ

44.1. Определение скалярного произведения

Из курса механики вам известно, что механическая работа А,
—>- —>•

совершаемая постоянной силой F при перемещении тела S, опре-
деляется как произведение

Д = | F 11 S | cos (?, S). (1)

Число, определяемое для векторов F и S правой частью равен-
ства (1), называется скалярным произведением этих векторов. А
именно дается следующее определение.

Определение. Скалярным произведением двух ненуле-
вых векторов называется произведение их длин на косинус угла
между ними.

Скалярное произведение векторов а и b обычно обозначают
а • Ь.

Таким образом, по определению

а • b = | а 113 | cos ф, <р = (а, &). (2)
Если хотя бы один из векторов а, Ь равен нулю, то считается по
определению, что а • Ь = 0.

Произведение, стоящее в (2) справа, равно нулю, если а = 0
или b = 0, независимо от значения cos <р. Поэтому формулу (2)
можно принять за определение скалярного произведения для всех
векторов, не исключая нулевых.

Отметим сразу же два важных частных случая.
-> _> _> _>2

1. Если а = Ь, то из (2) следует, что а • а — |а| . Произведение
а • а обозначается а2 (оно называется скалярным квадратом век-
тора). Итак, а2 = |а|2.

2. Для ненулевых векторов а, b их скалярное произведение
а • b — 0 тогда и только тогда, когда a J_ b. Действительно, как
следует из (2), если а #= 0 и b Ф 0, то |а| #= 0 и |д| =/= 0, и равенство
а • b = 0 равносильно тому, что cos <j> = 0, т. е. a JL Ь.

44.2. Скалярное произведение и проекции

Пусть даны два ненулевых вектора а и Ь. Отложив их от какой-
либо точки О, получим ОА = а и ОВ = b (рис. 44.1).

Проведем прямую а = (ОА) и спроектируем на нее ОВ. Получим
направленный отрезок ОВ'. Проекцией вектора b на вектор а на-
зывается число, которое равно |ОВ'|, если OB' а или 0= В',
и которое равно —|ОВ'|, если OB' а. Это число обозначается
пр-b. Для него выполняется формула

пр^Ь = 1cost, ф = (а, Ь). (3)

Действительно, по определению числа
пр^д его модуль |пр~Ь |—это длина отрез-
ка ОВ'. Поэтому |пр^6| = |ОВ| cos <р, ес-
ли <р — (рис. 44.1), и |пр<Г Ь| = |ОВ|Х
xcostjp, если Ф > у (рис. 44.2), т. е.

|пр*6| = |6| |cos <р|. (4)

Если np^ft #= 0, то по определению чис-
—► 1 ► —►

ла оно положительно, когда OB' ff а,
и отрицательно, когда OB' а.
А это как раз соответствует знаку cos ср.
Вместе с равенством (4) это доказывает
равенство (3).

Из доказанного следует

Лемма 44.1. Для ненулевых векто-
ров а и Ь имеет место формула

а • О = | а | пр_, Ь. (5)

Доказательство. По определению а • b = |а| |Z?| cos ср.

А по формуле (3) np^b = |b| cos ср. Поэтому верна формула (5).

Введенными в этом пункте обозначениями воспользуемся и
при доказательстве следующей леммы.

Лемма 44.2. Если вектор а =^0, то для любых векторов
Ь и с

пр^ (Ь + с) = пр^ b + пр^ с. (6)

а а а

Доказательство. Пусть е = — единичный на-

I «I

правляющий вектор прямой а. Построим по правилу треугольника
сумму векторов b = ОВ и с = ВС и спроектируем ОВ, ВС и ОС ==
= ОВ + ВС на прямую а (рис. 44.3). Получим векторы ОВ'
— (пр^Ь)е, В'С — (пр^с) е и ОС = (пр-* (Ь + с))е. Так как ОС
= OB' + &с, то

(пр^ (Ь + с))е = (пр-ftje + (пр-с)е = (пр-b + пр-ф,
откуда и следует утверждение леммы.

44.3. Свойства скалярного произведения

Скалярное произведение имеет следующие свойства.

1) й‘ Ь— Ь- а (перестановочность, или коммутативность).

2) (ха) • b = х(а • Ь) для любого числа х.

3) Для всяких трех векторов а, Ь, с

а • (& + с) = а b + а • с

(дистрибутивность, или распределительное свойство).

Свойство 1 ясно из определения по формуле (2).

Для всех случаев, когда в свойствах 2 и 3 хотя бы один из век-
торов нулевой, их справедливость очевидна. Поэтому проведем их
доказательства для случаев, когда все участвующие в них векторы
ненулевые.
Докажем свойство 2. Из определения скалярного произведения
и вектора ха следует, что

(ха) • b = |ха| \b\ cos у = |х| |а| \b\ cos у,

где у — угол между ха и Ь. Если х > 0, то ха а и у = ср = (а, Ь).
Поэтому (ха) • b = х |а| \b \ cos ф = х (а • Ь).

Если же х < 0, то ха а, так что у = л — ф и cos у = —cos ф.
Поэтому

(ха) • b = И |а| \b\ cos у = —И |а| \b\ cos ф = х (а • b). И

Докажем свойство 3. По лемме 44.1 а • b == \а\ пр^б, а • с =
= |а| ПрГ£.

Поэтому

а • b + а • с = |а| (пр^б + пр^ с). (7)

С другой стороны, полагая Ь + с = d, имеем:

а • (Ь + с) = |а| np-d. (8)

По лемме 44.2

np-d = np;b + пр-с. (9)

Поэтому из (8) и (9)

а • (Ь + с) = |а| (пр-b + пр-с).

Сравнивая с (7), получаем:

а • (Ь + £) = а, • b + а • с. й

Замечание. Если в свойстве 3 понимать векторы b и с
как силы, действующие на тело, а вектор а как перемещение этого
тела, то доказанное свойство можно истолковать так: работа, со-
вершаемая результирующей силой b + с при перемещении а, рав-
на сумме работ, совершаемых соответственно силами Ъ и с при том
же перемещении а. (Напомним, что работу «производит» проекция
силы на путь.)

Доказанные правила вместе с правилами сложения векторов
позволяют производить выкладки со скалярным произведением
сумм векторов по обычным правилам алгебры. Например,

(а + Ь)2 = (а + Ь) • (а + Ь) = а2 + а • b + b • а + Ь2 =
= а2 + 2а • b + fc2.

44.4. Применения скалярного произведения

Операция скалярного умножения векторов позволяет нахо-
дить углы между ненулевыми векторами (точнее, косинусы этих
углов) и длины векторов. Из формулы (1) следует, что для ненуле-
вых векторов а и b

cos (а, Ь) = , (10)

1«|1Н

а для длины вектора а получаем формулу

|а| = /а2. (И)

ЗАДАЧИ К §44

1. Докажите равенства:

а) (а 4- ft) • (с + d) = а • с 4- b • с 4- а • d 4- b • d;

б) (а 4- Ь) • (а — Ь) = а2 — ft2;

в) (а — Ь)ъ = а2 — 2а • & 4- ft2;

г) а • Ь =1 ((а 4- ft)2 — а2 — ft2) (а2 4- ft2 — (а — ft)2);

д) (а 4- ft 4- с)2 = а2 4- ft2 4- с2 4~ 2а • 4- 2а • с 4- 2& • с.

2. Упростите выражения:

а) (а 4- 2ft) . (За — ft);

б) (—-а — ft^ . (—-а 4- ft);

в) (а — ft) • (а — с) 4- (ft — а) • (Ь — с);

г) (а — ft)2 (а + ft) 4- (а 4- ft)2 (а — ft);

д) (а 4- ft 4- с) - (а + Ь — с).

3. Дайте геометрическое истолкование равенству:

(а 4- Ь)* 4- (а — ft)2 = 2а2 4- 2ft2.

4. Векторы а, ft, с — единичные (имеют длину, равную 1).

(а, ft) = 30°, (а, с) = 45°, (Ь, с) = 60°. Вычислите:

а) (а 4- ft — с) • а;

б) (а — ft 4- с) • (ft — d)',

в) (а 4- ft — с) • (а — ft — с);

г) (2а — 3ft) • (3ft — с);

д) (а 4- ft 4- с)2.

5. Найдите скалярное произведение векторов а и ft, если: а) угол
между ними равен <р, |а| = 1, |ft| = 2; б) [а] = 1, |ft| = 2,
|^4-&|г=3; в)|а| = 3, |ft| = 4, |а —ft| = 5; r)Ja + ft| =
= |а- ft|; д) jia 4~ ft| = 2, — ft| = 1; e) ja 4- 2ft| = |a - 2ft| = k\

ж) |a 4- 2ft| = |2a 4- &|.
6. Может ли выполняться такое равенство а (Ь • с) = (а • Ь) с?

7. а) Следует ли из а • b = а • с, что b = с? б) Пусть для каж-
дого вектора х верно, что а • х = b • х. Верно ли что а = Ь?

8. Треугольник АВС — равносторонний со стороной 1. Вычис-
лите такие скалярные произведения: а) АВ • АС-, б) АВ • ВС;
в) АХ • BL, где точка X — середина стороны ВС, а точка L —
середина стороны АС; г) АХ • BY, где точка X лежит на стороне
ВС, причем |ВХ| : |ХС| — 1 : 2, а точка Y лежит на стороне АС,
причем |ЛУ| : |УС| =1:2.

9. ABCD — ромб, сторона которого равна 1, а острый угол
при вершине А равен 60°. Вычислите: а) |ЛС|; б) ((ЛС), (BD));

в) ((B/Q, (BL)), где точка X — середина стороны AD, а точка L —
середина стороны CD; г) ((BL), (AD)).

10. ABCD — параллелограмм, IAB | = 1, \AD | = 2, А = 45°.
Точка X лежит на стороне ВС, причем |В/С| : |ХС| =1:2; точка L
лежит на стороне AD, причем |ЛЛ| : \LD | = 2:1; точка М. —се-
редина отрезка XL. Вычислите: a) |XL|;*6) |СЛ4|.

11. ABCD — параллелограмм. Докажите, что сумма квадра-
тов его диагоналей равна сумме квадратов всех его сторон. Из
полученного равенства выведите формулу для длины медианы тре-
угольника.

12. РАВС — правильный тетраэдр с ребром 1. Вычислите:
а) РА • РВ; б) РА • АС; в) Л4 • ВС; г) РА • ВХ, где точка X —
центр грани А PC; д) РА • LM, где точка L — середина отрезка АС,
а точка М — середина отрезка РВ.

13. PABCD — правильная пирамида с ребром 1. Какие значе-
ния принимает скалярное произведение векторов, заданных ее
вершинами?

14. В кубе ABCDAxB1ClDl с ребром 1 точка X лежит на диаго-
нали AtD, причем \DX| : |ХЛх| =1:2, точка Y лежит на диаго-
нали 1\С, причем |£\У| : |УС| =1:2. Вычислите: а) |ХУ|;

б) ((ХУМА^)); в) ((ХУМЛР)); г) ((ХУМЛСх)).

15. В правильном тетраэдре РАВС с ребром 1 точка X лежит
на ребре РА и |РХ| : |ХЛ| =1:2, точка У лежит на ребре ВС
и |СУ| : |УВ| = 1 : 2. Вычислите: а) |ХУ|; б) ((ХУ)С(РЛ));
в) ((XY^ lPC)).

16. В правильной пирамиде PABCD с ребром 1 точка X — се-
редина ребра РА, точка L—середина ребра CD. Вычислите:
a) |XL|; б) ((К£)?(РЛ)); в) ((KLMCD)); г) ((XL)AAC)).

и
17. Докажите, что для любых точек Л, В, С, D выполняется
равенство AD • ВС — АС • BD + АВ • CD = 0. Какие следст-
вия вы можете получить из этого равенства?

18. Докажите, что в правильной треугольной пирамиде про-
тивоположные ребра перпендикулярны.

19. Докажите равносильность двух свойств тетраэдра: 1) все
его высоты пересекаются и 2) его противоположные ребра перпен-
дикулярны.

20. Докажите, что равносильны два утверждения: 1) (АВ) _L
_L (CD) и 2) |ЛС|2 + \BD |2 = \AD\2 + \BC\2.

21. В основании пирамиды PABCD лежит прямоугольник.

а) Верны ли равенства 1) РА • PC = РВ • PD и 2) РА х
X РВ = PC • PD7

б) Пусть в этой пирамиде вам известны расстояния от вершины
пирамиды до трех вершин основания. Можете ли вы найти расстоя-
ние до четвертой вершины основания?

22. Даны длины трех ребер параллелепипеда, выходящих из
одной точки, и углы между ними. Найдите длину диагонали парал-
лелепипеда, выходящей из той же точки.

23. Докажите, что в параллелепипеде сумма квадратов диаго-
налей равна сумме квадратов всех его ребер.

24. ABCDA1B1ClD1 — прямоугольный параллелепипед. На-
рисуйте в плоскости АВС прямую, перпендикулярную: а) (ЛСХ);
б) (Л/<); в) (AL); г) (KL). Точка /С— середина ребра В^, точка
L — центр грани CCJ^D:

25. Прямые а, Ь, с — три попарно пересекающиеся прямые
одной плоскости. Прямая х образует с каждой из них один и тот
же угол. Как она расположена по отношению к данной плоскости?

26. \а + ~b + с| = \а + b — с| = |а — b + с| = \Ь + с — а|.
Можно ли по этим данным узнать углы между ненулевыми векто-
рами а, Ь, с?

§ 45. УГОЛ МЕЖДУ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТЬЮ

В главе II мы уже подробно изучили два важных случая распо-
ложения прямой и плоскости: перпендикулярность прямой и плос-
кости и их параллельность.

Если прямая перпендикулярна плоскости, то она перпендику-
лярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Поэтому естест-
венно считать, что угол между взаимно перпендикулярными
прямой и плоскостью равен 90°.

Если же прямая параллельна плоскости (или лежит в ней), то
угол между ними считается равным 0°.

Рассмотрим общий случай, когда прямая а пересекает пло-
скость а, но не перпендикулярна ей, т. е. случай прямой, наклон-
ной к плоскости. В этом случае, характеризуя их взаимное рас-
Рис. 45.2

положение, часто указывают, насколько
прямая отклонилась от перпендикуляра
к плоскости. Например, в оптике гово-
рят про угол падения луча света на
плоскую поверхность, т. е. про угол меж-
ду прямой и перпендикуляром (нормалью)
к данной плоскости (рис. 45.1). Но в гео-
метрии, оценивая наклон прямой к пло-
скости, чаще рассматривают не этот угол,
а дополняющий его до 90°. А именно
дается следующее определение.

Определение. Углом между плос-
костью и не перпендикулярной ей прямой
называется угол между этой прямой и ее
проекцией на данную плоскость (рис. 45.2).

Ясно, почему это определение исклю-
чает случай, когда прямая перпендику-
лярна плоскости: в этом случае проек-
цией на плоскость является точка. Если
же прямая параллельна плоскости, то ее
проекция параллельна данной прямой,
т. е., как говорилось, угол между прямой
и плоскостью в этом случае равен 0°.

ЗАДАЧИ К §45

1. Какой фигурой является множество всех лучей ОХ, где а,
каждый из которых составляет с плоскостью а один и тот же угол?

2. (а, а) = ф, (а, 0) = ф, а || 0. Из каких двух утверждений
следует третье?

3. (а, а) = ф, (&, а) = ф, а || Ь. Из каких двух утверждений
следует третье?

4. (а, а)=фх, b_L а, (а, й)~ф2- Установите связь между фх и ф2.

5. Проверьте равносильность двух утверждений: 1) в пирамиде
все боковые ребра равны и 2) в пирамиде все боковые ребра оди-
наково наклонены к основанию.

6. Треугольник АВС равносторонний, причем (AC) cz а. Тре-
угольник вращается вокруг (АС). Определите угол о, который со-
ставляет с плоскостью а: а) высота треугольника, проведенная из
точки В; б) высота треугольника, проведенная из точки А, когда
сторона АВ составляет с плоскостью а угол ф.

7. Проекцией равностороннего треугольника АВС на плос-
кость, параллельную (АС), является прямоугольный равнобедрен-
ный треугольник А^Ср Вычислите углы, которые составляют с
этой плоскостью стороны треугольника АВС.

8. Отрезок АВ имеет длину 1 и упирается концами в две перпен-
дикулярные плоскости а и 0, причем А б а, В б 0, ((АВ), а) = фп
((ЛВ), Р) = <р2- а) Найдите длину про-
екций отрезка АВ на каждую из
плоскостей и на прямую их пересе-
чения. б) Найдите угол ср между (ЛВ) и
прямой пересечения плоскостей.

9. Две перпендикулярные плоскости
пересекаются по прямой а. Прямая Ь об-
разует с каждой из данных плоскостей
один и тот же угол. Хватает ли вам дан-
ных, чтобы его найти? Если нет, то какие
данные вы бы добавили для решения
задачи?

10. На рисунке 45.3 изображен пря-
моугольный параллелепипед. Каждый
занумерованный угол запишите как угол
прямой с плоскостью.

11. ABCDA1B1C1D1— куб. Точка Л—
центр грани ЛЛ1В1В, точка L — середи-
на ребра BiCi.

I) Вычислите углы, которые образуют
с гранями куба: a) (DCJ; б) (OBJ;
в) (DJQ; г) (DL).

2) Вычислите углы, которые образу-
ют с плоскостью АВ1С1 прямые: а) Л^;
б) ЛХС.

3) Вычислите углы, которые образуют
с (BDCJ прямые: а) ЛхО; б) В^-, в) ЛС;
г) ВХРХ; д) СВг.

12. Дан прямоугольный параллелепи-
пед. Его диагональ равна 1 и составля-
ет с боковыми гранями углы и ср2.
Найдите: а) длину бокового ребра; б) пло-
щадь того сечения параллелепипеда, кото-
рое является квадратом, стороной которо-
го является боковое ребро.

13. Установите зависимость между уг-
лами, которые диагональ прямоугольного

Рис. 45.3

параллелепипеда составляет с плоскостями трех попарно смеж-
ных граней.

14. На рисунке 45.4 изображена правильная пирамида РАВС.
Каждый из занумерованных углов запишите как угол прямой с плос-
костью. (Точки К и L—середины ребер, точка Q — центр осно-
вания.)

15. На рисунке 45.5 изображена правильная пирамида PABCD.
Точки Ki, Лг, Кз — середины сторон основания, точка Q—центр
основания. Каждый из занумерованных углов запишите как угол
прямой с плоскостью.

16. В правильной n-угольной пирамиде высота равна стороне
основания. Определите угол, который составляет с плоскостью
основания: а) боковое ребро; б) апофема боковой грани; в) пер-
пендикуляр из некоторой точки высоты пирамиды на ее боковое
ребро; г) перпендикуляр, проведенный из некоторой точки высоты
пирамиды на боковую грань.

17. Существует ли правильная n-угольная пирамида, у которой
угол при вершине равен углу, который составляет боковое ребро
с основанием?

18. Треугольник АВС — равносторонний, (АС) с а, В £ «а,
точка X — переменная точка отрезка АС. Нарисуйте ту из прямых
ВХ, которая составляет с плоскостью а наибольший угол, наимень-
ший угол.

19. Дана окружность с центром О. В плоскости этой окружности
взята точка А, из которой проведен перпендикуляр АХ к этой пло-
скости. Какая из прямых KL, где точка L принадлежит кругу, со-
ставляет с плоскостью наибольший (наименьший) угол, если:
а) А лежит на окружности; б) А € (ОВ), где точка В —точка ок-
ружности, отличная от Л; в) А лежит на касательной к окружности;
г) А — середина одной из хорд окружности?

20. Через точку А шара проведена к нему опорная плоскость.
На прямой ОА, где точка О — центр шара, взята точка /С, не при-
надлежащая шару, и из нее проведены касательные прямые к шару.
Докажите, что все они образуют с опорной плоскостью равные углы.
Попробуйте сформулировать верные обратные утверждения.

21. Шар радиуса 1 лежит на плоскости а. Из центра шара О
проведена наклонная ОВ длины 2. Из точки В проведена касатель-
ная к шару под углом ср к плоскости а. а) На какой высоте над а
находится точка касания? б) При каком угле ср точка касания на-
ходится выше всего?

22. Известный греческий математик Фалес Милетский (ок.
625'—ок. 547 до н. э.) смог измерить высоту египетской пирамиды
по ее тени. А вы смогли бы это сделать?

23. Как найти скорость самолета, летящего над Землей на
одной и той же высоте? Рассмотрите два случая: а) его высота из-
вестна; б) высоту еще надо как-то найти.

(В любой момент времени можно определить расстояние до са-
молета и его угол над горизонтом.)

24. Из наблюдательного пункта установили, что расстояние
до самолета увеличивается, а угол, под которым он виден над го-
ризонтом, уменьшается. Взлетает этот самолет или снижается?
Решите задачу: а) если расстояние увеличилось в 1,5 раза, а угол
над гор нзонтом уменьшается с 60° до 45°, с 60° до 30°; б) в общем
виде.

25. Дана модель тетраэдра. Как найти угол между боковым реб-
ром и основанием, если можно проводить измерения только на его
поверхности?
§ 46. ДВУГРАННЫЙ УГОЛ. УГОЛ МЕЖДУ плоскостями

46.1. Двугранный угол

Представление о двугранных углах дают двускатные крыши

домов, приоткрытые двери, ровные склоны насыпи железнодорож-
ных путей и т. п., т. е. фигуры, образованные двумя полуплос-
костями, имеющими общую границу. Соответственно этому и дается

определение.

Определение. Фигура, образованная в пространстве двумя

полуплоскостями, имеющими общую гра-
ничную прямую и не лежащими в одной
плоскости, называется двугранным углом
(рис. 46.1). Сами полуплоскости, называ-
ются гранями двугранного угла, а их об-
щая граничная прямая — его ребром.

Измеряют двугранные углы следую-
щим образом. Возьмем на ребре т дву-
гранного угла о с гранями аир точку О.
Проведем из точки О в его гранях направ-
ленные отрезки ОА и ОВ. перпендикуляр-
—►- '' >

ные ребру т: ОА в грани а и ОВ в грани р
(рис. 46.2).

Величиной двугранного угла о назы-
вается угол между О А и ОВ^т. е.(ОЛ, ОВ).

Хотя в этом определении величины
двугранного угла указана некоторая точ-
ка на его ребре, эта величина не зависит
от выбора такой точки. Действительно,
возьмем другую точку О' € т и проведем
в гранях аир направленные отрезки
О'Л*’ J__ т и О'В' _L т (рис. 46.3).

Поскольку О А и О'Л' лежат в одной
полуплоскости а и перпендикулярны реб-
——>•

ру т, то О А и О'Л' сонаправлены. Анало-

——>• —►

гично получаем, что ОВ О'В'. Но тогда

(ОЛ, ОВ) = (О'Л', О'В'),

т. е. рассматриваемая величина не зависит

от выбора точки О ребра двугранного угла о. Рис. 46.3
Pile. ^G.4

Более того, из определения угла между
векторами (§ 43) следует, что величина
двугранного угла равна углу между век-
юрами на его гранях, перпендикулярны-
ми его ребру и направленными от ребра.

Если величина двугранного угла равна
90°, то он называется прямым. Плоскости
граней прямого двугранного угла пер-
пендикулярны друг другу. Легко видеть,
что если при пересечении двух плоскостей
один из четырех образованных ими дву-
гранных углов прямой, то и остальные

три — прямые.

Линейным углом двугранного угла называется выпуклый угол,
вершина которого лежит на ребре данного двугранного угла, а
стороны лежат на его гранях и перпендикулярны его ребру
(рис. 46.4).

Из определений угла между направленными отрезками и вели-
чины двугранного угла следует, что величина двугранного угла
равна величине любого его линейного угла.

Если две полуплоскости образуют двугранный угол, то его
величина называется также углом между этими полуплоскостями.

46.2. Угол между плоскостями

Переход от измерения двугранных углов к углам между пло-
скостями аналогичен переходу от углов между лучами к углам меж-
ду прямыми.

Определение. Если две плоскости пересекаются, то уг-
лом между ними называется величина наименьшего из образован-
ных ими двугранных углов. Угол между двумя параллельными пло-
скостями полагается равным нулю градусов.

Согласно данному определению, а так-
же определениям величины двугранного
угла и угла между прямыми угол между
пересекающимися плоскостями равен уг-
лу между прямыми, лежащими в этих
плоскостях и перпендикулярными к ли-
нии их пересечения (рис. 46.5). Ясно, что
этот угол не зависит от выбора в каждой
плоскости прямых, перпендикулярных к
линии пересечения, так как в каждой плос-
кости все эти прямые параллельны друг
Другу.
Замечание. Подобно тому как в планиметрии углом мож-
но назвать часть плоскости, ограниченную двумя лучами, имею-
щими общее начало, и сами эти два луча, так и в стереометрии дву-
гранным углом можно называть и часть пространства, ограничен-
ную двумя полуплоскостями, имеющими общую граничную прямую,
и сами эти две полуплоскости. Мы в качестве определения дву-
гранного угла выбрали второй вариант, как более удобный для
рассматриваемых нами вопросов. Но в ряде случаев может оказать-
ся, что более удобным будет первый вариант определения, когда
двугранным углом считается тело, ограниченное двумя полупло-
скостями.

ЗАДАЧИ К § 46

1. Как расположить два двугранных (в этой задаче — два тела)
угла, чтобы их пересечением являлись: а) неограниченная призма
(треугольная, четырехугольная); б) двугранный угол; в) тетраэдр?

2. ABCD и CDLK— два квадрата. Z MTP — линейный угол
двугранного угла при ребре CD. Есть Ли ошибка на рисунке 46.6?

3. ABCD и BCLK.—два параллелограмма. Л.ТРЕ — линей-
ный угол двугранного угла при ребре ВС. Есть ли ошибка на ри-
сунке 46.7?

4. ABCD и АМКЕ — ромбы, причем (BD) || (ME). Нарисуйте
линейный угол двугранного угла, определяемого этими ромбами.

5. (а, р) = ср. Луч а лежит в плоскости а, луч b лежит в пло-
скости р. Найдите граничные значения для (а, Ь).

6. Какой из занумерованных углов в прямоугольном параллеле-
пипеде ABCDAlBiC1Dl (на рис. 46.8) можно записать как линейный
угол некоторого двугранного угла в этом параллелепипеде?

7. На рисунке 46.9 изображен правильный тетраэдр РАВС.
Точки Кг, К3 — середины его ребер. Точка Q — центр основа-
ния. Какой из занумерованных углов можно записать как линейный
угол двугранного угла в этом тетраэдре?

8. РАВС — правильный тетраэдр. Нарисуйте линейные углы
двугранных углов при ребрах: а) АС; б) AD; в) PQ, где точка
Q — центр основания.~
Рис. 46.10

9. На рисунке 46.10 изображена пра-
вильная пирамида PABCD, все ребра ко-
торой равны. Точки /<!, К2, К3, К.1, К6—
середины ребер пирамиды, точка Q — центр
ее основания. Запишите каждый зануме-
рованный угол как линейный угод двугран-
ного угла пирамиды.

10. В пирамиде PABCD все ребра
равны. Нарисуйте линейные углы таких
двугранных углов: а) при ребре AD;
б) при ребре PD; в) между плоскос-
тями граней PAD и РВС.

11. Две вершины А и В треугольника
АВС лежат в плоскости а. Найдите угол
Ф между плоскостью АВС и плоскостью
а, если: а) треугольник АВС равносто-
ронний со стороной d и |Са|=(4; б) тре-
угольник АВС прямоугольный равнобед-
ренный с гипотенузой d, причем: 1) С =
= 90°; 2) /Г=90°; в) треугольник АВС
прямоугольный с гипотенузой d, причем:
1) С = 90°, А = 30°; 2) /С= 90°, £= 30°.

12. ABCDAiBiCjt)! — куб. Вычислите

углы, образованные плоскостями: а) АВ^ и АВС; б) BB1D1 и
ААгС; в) АВ^ и АВС; г) АВ^г и BBJ); д) DA^ и BA^i,
е) C,BD и А А1С1; ж) AB.D и CBJ); з) CDAt и ADCV

13. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1BLC1D1\ АА±\ =
= 1, |ЛВ|= 2, |Л£)| = 3. Вычислите угол, который образует с
основанием и боковыми гранями плоскость BC^D.

14. Дан правильный тетраэдр. Вычислите угол, образованный:
а) плоскостями граней тетраэдра; б) плоскостью, проходящей че-
рез ребро и высоту тетраэдра, и плоскостью боковой грани; в) пло-
скостью, проходящей через две апофемы боковых граней, и плос-
костью основания; г) плоскостью, проходящей через две апо-
фемы боковых граней, и плоскостью боковой грани; д) плоскостью,
проходящей через две апофемы боковых граней, и другой такой же
плоскостью.

15. В правильной треугольной пирамиде угол при вершине
равен ф. Выразите через него: а) двугранный угол при основании;
б) двугранный угол при боковом ребре.

16. В треугольной пирамиде РАВС ребро РВ перпендикулярно
грани АВС. Треугольник АВС — равносторонний. Как вы будете
искать угол между: а) (РАВ) и (РВС); б) (РАС) и (ВАС); в) (РАС)
и (РВС)?

17. В правильной четырехугольной пирамиде плоский угол
при вершине равен ф. Выразите через него: а) двугранный угол при
основании; б) двугранный угол при боковом ребре; в) двугранный
угол между противоположными гранями.

18. PABCD — четырехугольная пирамида, в основании кото-
рой квадрат и (РВ) J_ (АВС). Как вы будете искать угол между:
а) (РАВ) и (АВС)} б) (PAD) и (АВС)} в) (PCD) и (АВС)} г) (РАВ)
и (РВС)} д) (PAD) и (PCD)} е) (PAD) и (PCВ)} ж) (РАВ) и (PCD)?
Изменится ли ваш способ, если в основании будет не квадрат, а
прямоугольник, ромб, параллелограмм?

19. АВСОА^С^! — куб. Точка X — переменная точка от-
резка: а) ВВг} б) BiCp в) BDi, г) BtD} д) BCV Как изменяется угол
между: 1) (АСХ) и (АВС)} 2) (АСХ) и при движении точки
X от одного конца отрезка к другому?

20. a _L 6, (у, а) = ф, (у, Р) = ср. Можете ли вы найти ср?

21. На плоскости а лежат два шара радиусов и Т?2. Вычислите
граничные значения угла, который составляет с а их другая общая
опорная плоскость.

22. a _L а, b _1_ р, (а, р) = (п, Ь). Из каких двух утверждений
следует третье?

23. (а, Р) = срь (а, Р) = ср2, a JL а. Установите связь между
<Р1 и ср2.

24. Равносторонний треугольник АВС со стороной 1 вращают
вокруг (ЛС). Выразите расстояние от переменной точки В до (АВС)
как функцию от х, где х — угол, на который повернулась пло-
скость.

25. Прямая лежит внутри двугранного угла величиной ср.
Известны расстояния от нее до каждой из граней, которые ей па-
раллельны. Можете ли вы найти расстояние от нее до ребра двугран-
ного угла?

26. На сфере радиуса R провели два сечения одинакового ра-
диуса г под углом ф друг к другу. Они имеют единственную общую
точку. Установите связь между 7?, г, ф.

27. Шар радиуса R лежит на плоскости а. К нему проведены
две опорные плоскости, образующие между собой угол ф, а с пло-
скостью а равные углы. Найдите угол между каждой из них и пло-
скостью а.

28. Два шара лежат на плоскости а и касаются между собой.
К ним проведены две общие опорные плоскости, составляющие с
плоскостью а равные углы. Можете ли вы определить, какой угол
с плоскостью а составляет прямая пересечения этих плоскостей,
если их радиусы равны R?

29. В правильной треугольной пирамиде угол между боковой
гранью и плоскостью основания равен ф. Сторона основания рав-
на 1. Найдите расстояние: а) от вершины пирамиды до основания;
б) от вершины основания до боковой грани.

30. РАВС — правильный тетраэдр, ребро которого равно 2.
а) Пусть (PA) _L a, (BC) || a. Вычислите |Ba|. 6) A € a, |Ba| =
= |Ca| = 1. Найдите |Pa|.

31. Постройте биссектральную плоскость данного двугранного
угла. (Биссектральная плоскость делит двугранный угол на два
равных угла.)

32. Вычислите угол между биссекторами двух смежных дву-
гранных углов, образованных пересекающимися плоскостями.
(Биссектор двугранного угла — это лежащая внутри него часть бис-
сектральной плоскости этого угла.)

33. Какой фигурой является множество биссектрис всех линей-
ных углов данного двугранного угла?

34. Докажите, что в правильной пирамиде биссектральные пло-
скости двугранных углов при боковых ребрах имеют общую прямую,
биссектральные плоскости двугранных углов при ребрах основа-
ния имеют общую точку.

35. Треугольник АВК — проекция треугольника АВС на пло-
скость а. Докажите, что площадь треугольника АВК равна пло-
щади треугольника АВС, умноженной на cos <р, где ф — угол меж-
ду (АВС) и (АВК).

36. В правильной треугольной призме АВСА1В1С1 с ребром 1
через сторону основания ВС проводится сечение под углом ф
к основанию, а) Выразите площадь сечения как функцию от ф.
б) Вычислите площадь сечения при ф = 30°, 45°, 60°.

37. Через сторону АС основания правильной пирамиды РАВС
с ребром в основании 2 и высотой 2 проведено сечение, составляющее
с основанием угол ф. Найдите его площадь, если: а) ф = 30°;
б) плоскость сечения делит пополам двугранный угол при ребре
АС; в) сечение проходит через середину ребра РВ.

38. Высота прямой призмы равна 1, в ее основании прямоуголь-
ник со сторонами 2 и 1. Через каждую сторону основания прове-
дено сечение под углом 30° к основанию и сечение под углом 60°
к основанию. Какое из них имеет большую площадь? Решите ту же
задачу, если высота призмы равна d.

39. a _L р. Треугольник проектируется на эти плоскости в виде
равностороннего треугольника со стороной 1. Можете ли вы вы-
числить площадь данного треугольника?

40. Как вы думаете, почему колбасу режут наискосок?

41. Даны солнечный день и футбольный мяч. Какой фигу-
рой является тень от него на Земле? Можете ли вы найти ее пло-
щадь?

42. Как вычислить величины двугранных углов треугольной
призмы, если можно делать замеры только на ее поверхности?

43. Дан тетраэдр. Как вычислить величину двугранного угла
при каком-либо его ребре, если можно делать замеры только на его
поверхности?
Глава VIII.

ПЕРЕМЕЩЕНИЯ

§ 47. ПОНЯТИЕ О ПЕРЕМЕЩЕНИИ И ПОДОБИИ

47.1. Отображения

например, происходит
точке Y проекции F'
в нее точки (все, ко-
проходящей через У,

Главу о перемещениях в пространстве мы начнем с напомина-
ния о том, что известно про отображение вообще.

Во-первых, напомним, что отображение / какого-либо множе-
ства М в некоторое множество N состоит в том, что каждому эле-
менту из М сопоставляется элемент — один единственный — из ЛГ,
т. е. отображением множества М в множество N называется со-
ответствие каждому элементу из М единственного элемента из N.

Об элементе X', соответствующем в данном отображении f
элементу X, говорят, что он является образом элемента X, и
пишут X' = f (X). Множество элементов X' называется образом
множества М и обозначается М' = f (Л4).

Если образом М является все множество N, т. е. f (Л1) = N,
то говорят об отображении f множества М на множество N.

Отображение по определению сопоставляет элементу един-
ственный элемент. Однако отображение может сопоставлять один
и тот же элемент разным элементам. Так,
при проектировании на плоскость: одной
фигуры F отвечают все проектирующиеся
торые лежат на проектирующей прямой,
рис. 47.1).

Если этого в данном отображении нет,
т. е. разным элементам соответствуют раз-
ные, то отображение называют взаимно-
однозначным.

Итак, отображение называется взаимно-
однозначным, если при этом отображении
образы каждых двух различных элементов
различны.

Пусть у нас есть взаимно-однозначное
отображение f множества М. на N. Тогда
каждый элемент X' множества X является
образом только одного (единственного)
элемента X множества М. Действитель-
но, в противном случае отображение f пе-
реводило бы в один и тот же элемент X'
два различных элемента Хг и Х2 множе-
ства Л1, что невозможно, поскольку отоб-

Рис. 47.1
ражение f взаимно-однозначное.
Поэтому каждому элементу
Х'€ N вы можете поставить в
соответствие тот единственный
элемент X € М, образом кото-
рого при отображении f явля-
ется элемент X'. Определенное
таким образом отображение
множества N на множество М
называется обратным для отображения f и обозначается f-1. Если
отображение f имеет обратное, то оно называется обратимым.

Из данных определений непосредственно следует, что если
отображение f обратимо, то обратное ему отображение f"1 так-
же обратимо и (j1)-1 = /. Поэтому отображения f и f-1 называ-
ются также взаимно-обратными.

Пусть заданы два отображения: отображение f множества
М в множество N и отображение g множества N в множество Р.

Если при отображении / элемент X € М перешел в элемент
X' — f (X) € N, а затем X' при отображении g перешел в эле-
мент X” € Р, то тем самым в итоге X перешел в X" (рис. 47.2).
Эго записывается так: X” = g° f (Х)%

В результате получается некоторое отображение h множества
М в множество Р. Поскольку при отображении h образом каждого
элемента является элемент X" = go f (X), то пишут, что h = g ° f.

Отображение h называется композицией отображения /с после-
дующим отображением g. Композицией называется и операция
последовательного отображения и результирующее отображение.

Если данное отображение f обратимо, то, применяя его, а по-
том обратное ему отображение f~l, приведем, очевидно, все эле-
менты в исходное положение, т. е. получим тождественное ото-
бражение, такое, которое каждому элементу сопоставляет этот же
элемент.

Обозначая тождественное отображение множества М через
Ем, можно записать: f~l о f = Емн f о f~* = EN.

В этой главе мы будем рассматривать только отображения
фигур в пространстве. Никакие другие отображения в этой главе
не рассматриваются, и потому слово «отображение» означает со-
ответствие точкам точек.

47.2. Определение перемещения

Перемещением называют отображение, сохраняющее расстояния.
Перемещения уже рассматривались в планиметрии; теперь мы об-
общаем понятие «перемещения» на любые фигуры в пространстве.

Определение. Перемещением фигуры называется такое
ее отображение, при котором каждым двум се точкам А и В соот-
ветствуют такие точки А' и В' что |A'B'f = |Д/?| (рис. 47.3).
Очевидно, перемещением явля- \

ется тождественное отобра- м / д \ \ м'

жение такое, которое каждой [ / ] / \___

точке сопоставляет эту же \ / I I -

точку. // / \4'» . • Яу

Мы уже встречались с пере- / 6 /—х. У*
мещениями, хотя и не называ'я '—' х

их явно; например, в определе- Рис- 47.3

нии равенства фигур (п. 4.1 гл. I)

фигура М' называется равной фигуре М, если существует отобра-
жение фигуры М на М', сохраняющее расстояние.

Теперь мы можем это выразить так.

Определение. Фигура М' называется равной фигуре М,
если она может быть получена из М перемещением.

Геометрическое понятие «перемещения» соответствует реальным
движениям тел. В нем только не учитывается тот процесс движе-
ния, которым тело из одного положения переходит в другое, при-
нимается во внимание только результат: соответствие между ста-
рым и новым положением тела или фигуры. Это и выражено в сло-
вах: «фигура М' получается из М перемещением».

Для наглядности можно представлять себе реальное движение
фигуры М на место М’. Говорят: «Точки фигуры М перемести-
лись» и т. п. Однако нужно вместе с тем понимать, что это не сов-
сем точно. Строго говоря, точки пространства не перемещаются,
а только сопоставляются одна другой, это подобно тому, что про-
исходит при отражении в зеркале: предмет, отражаясь в зеркале,
не переходит за зеркало, а изображается в нем; его точкам соот-
ветствуют точки изображения. Этой наглядной картине и соот-
ветствуют термины «отображение», «образ», «прообраз».

Отражение в зеркале как раз представляет реальный пример
перемещения в геометрическом смысле (как отображение, сохра-
няющее расстояния). Но его нельзя получить в процессе непре-
рывного движения, как нельзя превратить правую перчатку в
левую в процессе непрерывного движения; в зеркале же она изо-
бражается как левая.

Словом, перемещения в геометрическом смысле бывают двух
видов: одни могут быть осуществлены движением, другие — нет.
На этом важном факте мы еще остановимся подробнее. Сейчас
же мы отмечаем это, в частности, затем, чтобы не возникла мысль,
будто геометрическое перемещение всегда соответствует реально-
му перемещению тел.

Замечание. То, что названо у нас перемещением, т. е.
отображение, сохраняющее расстояния, называют также движе-
нием. Но мы сохранили слово «движение» для обозначения про-
цесса перемещения тела из одного положения в другое.
47.3. Механическое и геометрическое перемещение

Выясним более подробно связь того перемещения, которое опре-
делено в геометрии, с реальным движением тел.

Представим себе какое-нибудь реальное тело Т в некотором
определенном положении. Каждая его частица занимает опреде-
ленное положение — находится в определенной точке X про-
странства. Допустим, предмет изменил свое положение. Это зна-
чит, каждая его частица заняла некоторое новое (или, в частно-
сти, старое) положение. Данная частица X заняла положение
в точке пространства X', тем самым движение предмета устанав-
ливает соответствие между точками пространства: точка X' соот-
ветствует точке X. (Можно сказать еще так: месту X, где находи-
лась частица, соответствует место X', где она теперь находится.)

В механике тело называется твердым или даже абсолютно твер-
дым, если оно не допускает никаких деформаций, так что рассто-
яния между его частицами неизменны. Поэтому, если при движе-
нии такого тела две его частицы из точек X и ¥ перешли в точки
X' и Y’, то расстояния сохраняются, т. е. происходит перемещение,
как мы его определили геометрически.

В геометрическом понятии «перемещения» удерживают только
сопоставление одного положения тела с другим, вовсе отвлекаясь
от процесса движения. Сам этот процесс мы, как уже было ска-
зано в п. 47.2, будем называть движением. Напомним только, что
не всякое перемещение может быть получено движением.

Оказывается, однако, — и это доказывается в геометрии, —
что геометрическое перемещение, которое нельзя получить меха-
ническим движением, можно получить сочетанием механического
движения с отражением в плоскости (отражение в плоскости мы
рассмотрим в § 51).

Подведя итог, можно сказать: перемещение, как оно понима-
ется в геометрии, представляет собой либо отвлеченный образ
реального движения твердого тела, когда учитывается только то,
из каких точек пространства в какие точки переходят частицы
тела, т. е. учитывается только соответствие одних точек другим,
либо геометрическое перемещение представляет сочетание этого
отвлеченного образа реального движения с отражением в плос-
кости.

Замечание. Только что сказанное о перемещениях при-
надлежит не самой геометрии, а ее связям с физикой. Можно ска-
зать, что геометрия выступает здесь как первая глава механики,
трактующая механическое движение. Без движений геометрия не
могла бы существовать. В самом деле, уже сравнение отрезков
и измерение длин основано на движении предметов, когда один
прикладывается к другому. И должно быть понятно, почему Нью-
тон в предисловии к своему великому труду «Математические на-
чала натуральной философии» писал, что геометрия основывает-
ся на механике.
47.4. Подобие

Вместе с равенством фигур было определено (в п. 4.1 гл. I)
их подобие: фигура F' называется подобной фигуре F, если суще-
ствует такое отображение F на F', при котором все расстояния из-
меняются в одно и то же число раз. Такое отображение называется
подобием. А именно дается следующее определение.

Определение. Подобным преобразованием фигуры, или,
коротко, подобием, с коэффициентом к (к > 0) называется такое
отображение фигуры, при котором каждым двум ее точкам X и Y
сопоставляются такие точки X' и У', что |Х'У'| = к |XY|.

В частности, если k= 1, то IX'Y’I — |ХУ|,такчто перемещение
есть частный случай подобия.

С перемещениями и подобиями мы встречались при рассмотре-
нии цилиндров и усеченных конусов. Одно основание цилиндра по-
лучается из другого перемещением; его можно представить как
реальное движение вдоль образующих. Основания же усеченного
конуса подобны: одно получается из другого подобным преобра-
зованием. Так же конус, отсекаемый от данного при получении
усеченного конуса, подобен данному (докажите и рассмотрите
соответствующие отображения одного на другой).

Подобие, а значит, в частности, перемещение, является взаи-
мно-однозначным отображением. Действительно, если точки X и Y
отображаются на X' и Y', то

IX'Y'I = k IXY\. (1)

Когда X Y, расстояние | XYI =# 0 и потому также | Х'У'| #= 0,
т. е. X' Y'.

Поэтому подобие, и в частности перемещение, отображаю-
щее фигуру F на фигуру F', обратимо.

Теорема 47. 1. Композиция подобий с коэффициентами
кхик2есть подобие с коэффициентом кгк2. Отображение, обрат-
ное подобию с коэффициентом к, есть подобие с коэффициентом

Л’

Доказательство. Пусть фигура F подвергается по-
добному преобразованию с коэффициентом klt так что любые две
ее точки X и Y переходят в такие точки X' и Y', что

IX'Y’I = kJ XYI.

Подвергнем теперь фигуру F’, в которую перешла F, подобию
с коэффициентом k2. Тогда точки X’ и Y' перейдут в такие точки
X” и Y", что

|Х”У'| = k2 |Х'У'|.

Вместе с предыдущим равенством это дает

|Х"У"| = |ХУ|.

И так как это верно для любых точек X и У фигуры F, то пер-
вое утверждение теоремы доказано. Второе же очевидно: при
подобии | X'Y' | = k | XYI, а значит, при обратном ему отображении
получаем, что | XY\ = — | X'Y1]. м

С л е д с тв не 1. Композиция перемещений есть перемеще-
ние. Отображение, обратное перемещению, есть перемещение.

Следствие 2. Композиция двух подобий с коэффициен-
тами ku — есть перемещение.

Замечание. Когда с реальным телом совершают сначала
одно, а затем другое движение, то понимают так, что второе дви-
жение происходит с тем же телом. В геометрии же это не так!

Если геометрическая фигура подвергнута перемещению или
любому иному отображению и получается фигура F', то второе
отображение применяется к F'.

Для исходного F оно может быть и не определено, так как
второе отображение перемещает точки фигуры F\ но не F (если
у F есть точки, не принадлежащие Г'). Так происходит при вто-
ричном отражении в зеркале, когда отражается не сам предмет,
а его отражение в первом зеркале.

§ 48. СВОЙСТВА, СОХРАНЯЮЩИЕСЯ ПРИ ПЕРЕМЕЩЕНИЯХ

48.1. Сохранение прямолинейности

Перемещения сохраняют расстояния и потому сохраняют все
геометрические соотношения, поскольку они определяются рас-
стояниями. Эго общее заключение выражается, в частности, в
следующем. предложении.

Лемма 48.1. При перемещении три точки, лежащие на
прямой, переходят в три точки, лежащие на прямой, причем
точка, лежащая между двумя другими, переходит в точку, ле-
жащую между образами двух других точек,

Доказательство. Из планиметрии известно, что три
точки А, В, С лежат на прямой тогда и только тогда, когда одна
из них, например точка В, лежит между двумя другими — точка-
ми А и С, т. е. когда выполняется равенство

|ДВ| + |ВС| = | (1)

При перемещении расстояния сохраняются, а значит, такое же
равенство выполняется и для точек А', В', С':

|Д'В| + |В'С'| = |Д'С'|. (2)

Таким образом, точки Д', В', С' лежат на одной прямой и
именно точка В' лежит между Д' и С'<

48.2. Общие свойства перемещений пространства

Изучать перемещения произвольной фигуры не очень удобно
(например, фигура может не содержать отрезка, соединяющего
две ее точки Д и В, и тогда нельзя сказать, что отрезок АВ пере-
ходит в отрезок А'В'). Проще рассматривать перемещения, опре-
деленные на всем пространстве, когда про каждую точку известно,
на какую она отображается. Тогда можно утверждать следующее

Теорема 4&Л .Перемещение пространства отображает:

1) отрезок на равный ему отрезок;

2) прямую на прямую;

3) луч на луч;

4) треугольник на равный ему треугольник;

5) плоскость на плоскость, причем параллельные плоско-

сти на параллельные плоскости;

6) полуплоскость на полуплоскость;

7) все пространство на себя;

8) полупространство на полупространство*

Доказательство. Рассмотрим какое-нибудь перемещен
ние пространства. Возьмем каком-либо отрезок АВ, пусть его
концы отобразились А на Аа В на В'.

Любая точка X отрезка АВ отобразится в какую-то точку Хг
отрезка А'В', как это следует из леммы 48.1.

При этом образом отрезка АВ будет именно отрезок А'В\
а не какая-то его часть. В самом деле, любая точка Y' отрезка
А'В' является образом некоторой точки Y отрезка АВ, именно
той его точки У, которая удалена от точки А на расстояние | А'У'|.

Следовательно, отрезок АВ отобразился на отрезок А'В'.

Прямая может быть представлена как объединение неограни-
ченно расширяющихся в обе стороны отрезков: АХВХ d ASB2 d
c A3B3 d ... (рис. 48.1). Поэтому из доказанного об отрезках
следует, что при перемещении прямая отображается на прямую.

Аналогичное заключение верно и для луча. Достаточно за-
метить, что луч с начальной точкой А есть объединение неограни-
ченно удлиняющихся в одну сторону отрезков ABj d АВ2 d
d АВ3 d ... (рис. 48.2).

Треугольник АВС (вместе с внутренне
бою объединение отрезков АХ с концами
перемещении отрезки отображаются на
отрезки, и потому треугольник отобра-
жается на треугольник. Длины сторон
сохраняются по определению перемеще-
ния, а углы (точнее, величины углов)
сохраняются, так как они выражаются
через длины сторон (по теореме косину-
сов).

Плоскость можно представить как
объединение неограниченно расширяющих-
ся треугольников (рис. 48.3). Поэтому
при перемещении и плоскость отобража-
ется на плоскость (а не на какую-либо
ее часть).

Полуплоскость можно представить как
Рис. 48.3.

объединение неограниченно расширяю-
щихся треугольников, у которых одна
сторона лежит на прямой (рис. 48.4).
Поэтому полуплоскость отобразится на
полуплоскость.

Поскольку перемещение сохраняет рас-
стояния, то расстояние между фигурами
при перемещении не изменяется. Отсюда
следует, в частности, что при перемещении

параллельные плоскости переходят в параллельные.

Тетраэдр РАВС представляет собой объединение отрезков
РХ с концами X в треугольнике АВС. При перемещении от-
резки отображаются на отрезки, и поэтому тетраэдр отображает-
ся на тетраэдр.

Пространство можно представить как объединение неограни-
ченно расширяющихся тетраэдров, поэтому при перемещении
пространство отображается на пространство.

Полупространство можно представить как объединение неог-
раниченно расширяющихся тетраэдров, у которых основания ле-
жат в граничной плоскости полупространства. Поэтому при пере-
мещении образом полупространства будет полупространство. (SS

Т е о р ема 48.2. При перемещении пространства углы сох-
раняются, т. е. всякий угол отображается на угол того же вида
и той же величины. Аналогичное верно и для двугранных углов.

Доказательство. При перемещении полуплоскость
отображается на полуплоскость. Так как выпуклый угол есть пе-
ресечение двух полуплоскостей, а невыпуклый угол есть объ-
единение полуплоскостей, то при перемещении выпуклый угол
переходит в выпуклый угол, а невыпуклый угол соответственно в
невыпуклый угол. Аналогично, двугранный угол тоже есть объ-
единение двух полуплоскостей (но уже не лежащих в одной плоско-
сти) и потому при перемещении переходит в двугранный угол.

Пусть лучи а и Ь, исходящие из точки О, отобразились на лу-
чи а' и Ь', исходящие из О'. Возьмем треугольник ОАВ с вер-
шинами А € а и В € Ь (рис. 48.5). Он отобразится на равный
треугольник, и, значит, углы между лучами равны. Поэтому при
перемещении величины углов сохраняются.

Следовательно, сохраняется перпендикулярность прямых и,
значит, перпендикулярность прямой и плоскости. Поэтому, вспо-
миная определения величины двугранного угла и угла между пря-
мой и плоскостью, получим, что величины этих углов сохра-
няются.

48.3 *. О распространении перемещения на пространство

Чтобы понять, насколько проще рассматривать перемещения
всего пространства, попробуйте, например, доказать, что пере-
мещение дуги окружности дает дугу окружности. Дуга берется
при этом сама по себе, так что про отрезки, соединяющие ее точ-
ки, ничего нельзя сказать: их отображение не определено.

Почему образом дуги при перемещении должна обязательно
быть плоская фигура? Нет ли таких перемещений фигуры, кото-
рые не входят в те, что получаются при перемещениях всего про-
странства?

Оказывается, что таких перемещений нет. Выполняется сле-
дующая теорема.

Теорема 48.3. Любое перемещение любой фигуры может
быть распространено на любую объемлющую фигуру и, в част-
ности, на все пространство.

При этом то, что данное перемещение фигуры F «распростра-
няется» на фигуру G о F, означает следующее: существует такое
перемещение фигуры G, при котором фигура F претерпевает данное
ее перемещение.

Можно сказать, что перемещение части геометрического тела
распространяется на все тело, как движение части какого-нибудь
предмета передается на весь предмет (рис. 48.6).

48.4 . Свойства, сохраняющиеся при подобиях

Все полученные здесь результаты, касающиеся перемещений,

выполняются и для подобных преобразований с любым коэффици-
ентом k за тем исключением, что отрезки и треугольники не пере-

ходят в равные отрезки и треугольники (если &=/=!). Выводы

основаны прежде всего на лемме 48.1, которая выполняется и для

подобий; в формуле (2) при пе-
реходе от точек А, В, С к
А', В', С появится лишь мно-
житель k.

Сформулируйте самостоя-
тельно соответствующие тео-
ремы и докажите их.

ЗАДАЧИ К § 48

1. а) Докажите, что в ре-
зультате перемещения пересе-
чение двух фигур переходит в
пересечение их образов, б) Докажите, что в результате пере-
мещения объединение двух фигур переходит в объединение их
образов, в) Верны ли утверждения а) и б) для подобий? г) Вер-
ны ли утверждения а) и б) для произвольных отображений про-
странства на себя?

2. В результате перемещения треугольник АВС перешел в
треугольник А^В^.

1) Найдите образ: а) медианы А К’, 6) точки пересечения ме-
диан; в) биссектрисы AL; г) точки пересечения биссектрис; д) вы-
соты АМ’, е) точки пересечения высот; ж) центра описанной ок-
ружности.

2) Изменится ли способ нахождения образа, если вместо пе-
ремещения взять подобие?

3. Какой фигурой является в результате перемещения образ:
а) круга; б) окружности; в) параллелограмма; г) квадрата; д) мно-
гоугольника? А в результате подобия?

4. Пусть плоская фигура имела: 1) центр симметрии; 2) ось
симметрии, а) Докажите, что ее образ при некотором перемещении
обладает тем же свойством, б) Сохранится ли это свойство в ре-
зультате подобия?

5. Докажите, что при любом перемёщении и подобии: а) вы-
пуклая фигура переходит в выпуклую; б) невыпуклая фигура —
в невыпуклую; в) ограниченная фигура — в ограниченную; г) не-
ограниченная фигура — в неограниченную.

6. Докажите, что перемещение сохраняет: а) расстояние от
точки до фигуры; б) расстояние между фигурами.

7. Докажите, что в результате перемещения: а) выпуклый мно-
гогранник переходит в выпуклый многогранник; б) замкнутая
область — в замкнутую область; в) тело — в тело.

Изменится ли результат, если вместо перемещения взять
подобие?

8. Докажите, что в результате перемещения (подобия): а) шар
переходит в шар; б) цилиндр переходит в цилиндр; в) конус пе-
реходит в конус.

9. В результате некоторого отображения сфера перешла в
другую сферу, а) Является ли это отображение перемещением?
б) Является ли оно подобием? в) Ответьте на те же вопросы, если
сфера отобразилась на себя.

10. Пусть плоскость а является опорной к фигуре F. В резуль-
тате некоторого перемещения плоскость а перешла в плоскость
а', а фигура F — в фигуру F'. а) Будет ли плоскость а' опорной
к фигуре F'? б) Изменится ли результат, если вместо перемещения
взять подобие?

11. Тело F’ получено из тела F перемещением. Они имеют
единственную общую точку, а) Существует ли плоскость, опор-
ная к каждому из них и проходящая через эту точку? б) Будет
ли такая плоскость единственной? в) Изменится ли результат,
если взять не произвольные, а выпуклые тела?
12. При перемещении f две точки А и В перешли в себя, а) До-
кажите, что каждая точка прямой АВ перешла в себя. (Такие точ-
ки, которые переходят в себя при некотором отображении, назы-
ваются неподвижными.) б) Основываясь на результате этой за-
дачи, ответьте на вопрос: «Может ли перемещение пространства
иметь ровно две неподвижные точки?»

13. В результате некоторого перемещения три точки, не ле-
жащие на одной прямой, остались неподвижными, а) Докажите,
что в этом перемещении остается неподвижной некоторая плоскость,
б) Может ли перемещение пространства иметь ровно три непод-
вижные точки?

14. Перемещение f имеет неподвижную точку, а) Имеет ли не-
подвижную точку перемещение f'1? б) Имеет ли неподвижную точ-
ку перемещение f о /?

15. При перемещении f оказалось, что f (А) в В и f (В) = А.
Имеет ли неподвижные точки перемещение f © /?

§ 49. ПАРАЛЛЕЛЬНЫЙ ПЕРЕНОС

49.1. Определение и основные свойства
параллельного переноса

Определение. Параллельным переносом, или, короче,
переносом, фигуры называется такое ее отображение, при котором
все ее точки смещаются в одном и том же направлении на равные
расстояния (рис. 49.1), т. е. при переносе каждым двум точкам X
и Y фигуры сопоставляются такие точки X' и К', что

XX' = YY'. (1)

Теорема 49.1. Параллельный перенос сохраняет расстоя-
ния и направления, т. е. любым двум точкам X, Y соответству-
ют такие точки Х\ Y', что

ICY' = XY. (2)

Доказательство. По определению переноса выпол-
няется равенство (1), тогда по лемме 38.1 о равенстве направленных
отрезков выполняется и (2). Н

Замечание. Выполняется теорема, обратная теореме 49.1:
если отображение сохраняет расстояния и направления, то оно
есть параллельный перенос. Fr

Для доказательства ее достаточно за- <—

метить, что из (2) следует (1). / X -4—— /

По определению отображение, сохра- / / _____X- , /

няющее расстояние, есть перемещение. / У / 7 у /

Поэтому теорема 49.1 может быть сфор- Ч J —J

мулирована и так: Рис. 49.1
Teop ема 49.1a. Параллельный перенос есть перемещение,
сохраняющее направления.

Когда передвигают предмет с одного места на другое, толкая
его прямо, то и происходит параллельный перенос: предмет пре-
терпевает реальное параллельное смещение, а соответствие меж-
ду прежним и новым его положением и является параллельным пе-
реносом, понимаемым как геометрическое отображение.

Параллельный перенос фигуры определяется смещением одной
точки, т. е. указанием одной пары соответствующих точек: если
указано, в какую точку А' переходит данная точка А, то извест-
но, в какую точку переходит любая точка X фигуры; она перехо-
дит в такую точку X', что

XX' = АА'. (3)

--►

Можно сказать: перенос задается вектором АД', и вектор-
ное равенство (3) означает, что все точки смещаются на один
и тот же вектор. Следовательно, всякий перенос задается некото-
рым вектором а, так что XX' = а для всех точек X.

Параллельный перенос любой фигуры можно распространить
на все пространство, стоит лишь сместить все его точки на тот
же вектор, на который смещаются точки фигуры.

49.2. Композиция переносов

Теорема 49.2. Композиция переносов есть перенос. Под-
робнее: композиция переносов на векторы а и b представляет
собой перенос на вектор а + Ь. Перенос, обратный данному,
есть перенос на противоположный вектор.

Доказательство. Рассмотрим какую-либо фигуру F.
Возьмем в ней любую точку X; при переносе на вектор а получим
- > —►

такую точку X', что XX' = а (рис. 49.2). При последующем пере-
носе на вектор Ь получим из X' такую точку X", что Х'Х" = Ь.
Композиция этих переносов переводит X в X". Вместе с тем по
самому определению суммы векторов

XX" = XX' + }СХ" = а + Ь.

Итак, оказывается, что любая точка фигуры F совершает пере-
нос на вектор а + Ь. Тем самым композиция переносов на векторы
а и b есть перенос на вектор а + Ь.

Рассмотрим теперь перенос, обратный данному переносу на
какой-либо вектор а. Пусть F' — фигура, полученная из F данным
переносом (рис. 49.3). Тогда для любой точки X' € F' имеется та-
76
Рис. 49.3

кая точка X € F, что XX' = а. При обратном переносе X' пере-
ходит в X. Но Х'Х = —XX' =— а. А это и значит, что происхо-
дит перенос на вектор —а. Ц.

Таким образом, если фигура F' получается из F переносом,
то F тоже получается из F' переносом. О таких фигурах мы гово-
рили раньше, что они равны и параллельно расположены.

49.3. Векторы и параллельные переносы

Между векторами и переносами есть полное соответствие:
1) каждый вектор определяет перенос и, обратно, каждый перенос
задается вектором; 2) сложение векторов соответствует компо-
зиции переносов и противоположный вектор — обратному перено-
су (как говорит теорема 49.2).

Это позволяет даже отождествить векторы с переносами, как
это сделано в курсе планиметрии.

ЗАДАЧИ К §49

1. ABCDAlB1ClD1 — куб. Перенос задается вектором ВХО,
где точка О — центр куба, а) Нарисуйте образы всех вершин куба,
б) Нарисуйте образ самого куба, в) Нарисуйте объединение исходно-
го и полученного кубов.

2. Дан куб и некоторая точка X. Нарисуйте все образы этой
точки при переносах, задаваемых векторами: а) начала и концы
которых являются вершинами куба; б) начало которых находится
в точке О, а концы которых — в вершинах куба. (Точка О — центр
куба.) Могут ли эти точки быть вершинами куба?

3. Дан куб. Из него с помощью нескольких переносов хотят
получить куб, в два раза больший данного. Сколько для этого
понадобится переносов?

4. В результате некоторого переноса куб перешел в такой куб,
что пересечение исходного и полученного кубов оказалось кубом.
Можете ли вы указать такой перенос? Будет ли он единственным?
5. ЛВСЛ1В1С1 — правильная призма. Перенос задается век-
тором: а) б) АО, где точка О — центр нижнего основания.
Нарисуйте образ призмы при этом переносе. Нарисуйте объеди-
нение исходной и полученной призм.

в. Дана правильная треугольная призма с ребром 2. Нари-
суйте отрезок длиной К2, один конец которого находится в центре
верхнего основания призмы, параллельный боковой грани приз-
мы и лежащий внутри призмы.

7. В кубе ЛВСОЛ1В1С1Р1 точка О — центр грани А В CD. Вы-
числите угол ср между: а) (ВгО) и (ССХ); б) (ВХО) и (CDX); в) (ВуО)
и (CCjD); г) (BjO) и (A&D).

8. PABCD — пирамида, в основании которой лежит ромб.
(РВ) ± (ЛВС). Площадь грани РВС равна S. Через середину реб-
ра AD проводится сечение, параллельное (РАВ). Какова его пло-
щадь?

9. В правильной четырехугольной усеченной пирамиде проти-
воположные грани перпендикулярны. Разность сторон их основа-
ний равна 1. Вычислите высоту этой усеченной пирамиды.

10. На плоскости стоят два неравных конуса. Существует ли
плоскость, которая пересекает их по равным кругам?

11. Оси двух неравных конусов находятся на одной прямой.
Докажите, что в них есть два равных круговых сечения.

12. Докажите, что в результате переноса: а) прямая пере-
ходит в параллельную ей прямую; б) плоскость переходит в па-
раллельную ей плоскость (если вектор переноса не параллелен
данной прямой и плоскости).

13. Каким переносом можно совместить две параллельные:
а) прямые; б) плоскости?

14. Один из двугранных углов получен из другого переносом.
Докажите, что их биссекторы параллельны или лежат в одной
плоскости.

15. Даны два равных круга. При каком их положении один из
них может быть получен из другого переносом?

16. Докажите, что если есть два равных шара, то один из них
можно получить переносом другого. Верно ли это для равных
цилиндров? Верно ли это для равных конусов?

17. Разделите куб на восемь равных многогранников.

18. В кубе проводится сечение: а) перпендикулярное ребру
через его середину; б) диагональное. Один из образовавшихся
многогранников переносом переводится в такое положение, когда
он имеет с другим из них общую грань. Нарисуйте полученный в
результате многогранник.

19. Нарисуйте многогранник, который можно разделить на два
таких многогранника, что один из них получается переносом дру-
гого. Сделайте это для выпуклого и невыпуклого многогран-
ников.

20. Дана наклонная треугольная призма АВСА^С^. Про-

п
водится перпендикулярное сечение этой призмы KLM. Много-
гранник ABCK.LM подвергается переносу, задаваемому вектором
ААг. Какой фигурой является объединение его образа и много-
гранника КЬМАъВ^С^

21. Некоторое тело перешло в себя в результате переноса.
Докажите, что оно не является ограниченным.

22. Можно ли равными параллелепипедами заполнить все про-
странство? (Общей частью этих параллелепипедов могут быть
только грани или их части.)

23. Используя свойства переноса, докажите, что:

а) два перпендикуляра к одной плоскости параллельны;

б) две плоскости, перпендикулярные одной прямой, парал-
лельны;

в) если прямая параллельна прямой, перпендикулярной плос-
кости, то она тоже перпендикулярна этой плоскости;

г) линейные углы двугранного угла равны между собой.

§ 50. ЦЕНТРАЛЬНАЯ СИММЕТРИЯ

Центральная симметрия известна в планиметрии для плоских
фигур. В пространстве она определяется совершенно так же. Нач-

нем с определения симметричных точек
для пространства.

Определение. Точки А и А'
называются симметричными относитель-
но точки О, если она делит отрезок А А'
пополам (рис. 50.1). Точка О считается
симметричной сама себе (относительно
О).

Определение. Две фигуры на-
зываются симметричными относительно
точки О, если они состоят из попарно
симметричных точек, т. е. если для каж-
дой точки одной фигуры есть симметрич-
ная ей относительно О точка в другой
фигуре и обратно (рис. 50.2).

В частности, фигура может быть
симметрична сама себе относительно не-
которой точки О. Тогда для каждой ее
точки в ней есть точка, симметричная
относительно О. Эта точка О называет-
ся центром симметрии фигуры, а фигу-
ра — центрально-симметричной (рис.
50.3).

Рис. 50.1
Рис. 50.4

Мы уже встречались с центрально-
симметричными фигурами. Например, на
плоскости это параллелограмм, круг и др.

Можно заметить, что шар имеет центр
симметрии; им, очевидно, служит центр
шара. Далее, всякий параллелепипед
имеет центр симметрии: им служит точ-
ка пересечения его диагоналей (рис. 50.4).

Определение. Центральной сим-
метрией фигуры с центром О называет-
ся такое отображение этой фигуры, кото-
рое сопоставляет каждой ее точке точку,
симметричную относительно О.

Отношение между симметричными точ-
ками взаимно: если Д'симметрична Л, то Л
симметрична А' относительно того же
центра. Поэтому отображение, обратное
центральной симметрии всего простран-
ства, есть она же сама. Из определения
симметричных друг другу фигур следует,
что центральная, симметрия с центром в
точке О отображает фигуру на симмет-
ричную ей относительно точки О. В ча-
стности, то, что фигура имеет центр
симметрии О, означает, что центральная
симметрия с центром О отображает ее
на себя.

Т ео р ема 50.1. Центральная сим-

метрия сохраняет расстояние, а направ-
ление изменяет на противоположное.
Иначе говоря, любым двум точкам X и
Y фигуры F соответствуют такие точки
X' и Y', что

Рис. 50.5 }CY'— — XY. (1)

Доказательство. Пусть при
центральной симметрии с центром в точке
О точки X и Y отобразились на X' и Y'. Тогда, как ясно из опре-
деления центральной симметрии (рис. 50.5),

ОХ' = — OX, OY' = —OY.

Вместе с тем

XY = OY — OX, XY' = OY' — OX’.

Поэтому из (2)

XT' = —OY + OX = —XY. T

(2)

Отображение, сохраняющее расстояние, — это перемещение,
поэтому теорема 50.1 равносильна следующей.
Теорема 50 la.Центральная симметрия является пере-
мещением, изменяющим каждое направление на противополож-
ное ему.

Центральная симметрия фигуры определяется указанием одной
пары соответствующих точек: если точка А отображается на А',
то центр симметрии — это середина отрезка А А' или точка А,
если Л' = А.

Центральная симметрия любой фигуры естественно распрост-
раняется на все пространство: каждой точке сопоставляется сим-
метричная ей относительно того же центра.

ЗАДАЧИ К §50

1. Дан куб. Нарисуйте куб, центрально-симметричный данно-
му, если центр симметрии находится: а) в вершине куба; б) в се-
редине ребра куба; в) в центре грани куба; г) в некоторой точке
диагонали куба.

2. Дан правильный тетраэдр. Нарисуйте тетраэдр, который
получается из данного центральной симметрией относительно се-
редины высоты. Нарисуйте объединение и пересечение исходного
и полученного тетраэдров.

3. Дана правильная пирамида PABCD. Нарисуйте пирамиду,
центрально-симметричную данной относительно: а) Р; б) точки
К — середины высоты пирамиды.

В последнем случае нарисуйте многогранник, являющийся
объединением исходной пирамиды и ее образа.

4. Даны точка А и фигура F. Рассмотрим все точки, симметрич-
ные А относительно точек фигуры F. Какую они образуют фигу-
ру, если фигура F: а) прямая; б) плоскость; в) шар; г) куб?

5. Из двух правильных четырехугольных пирамид образова-
ли многогранник, имеющий центр симметрии. Нарисуйте его.

6. Нарисуйте многогранник, имеющий центр симметрии, но
не призму и не правильный многогранник. Можете ли вы нарисо-
вать невыпуклый многогранник, имеющий центр симметрии?

7. Многогранник Р является объединением двух равных ку-
бов. Нарисуйте его, если дополнительно известно, что он: а) имеет
центр симметрии; б) не имеет центра симметрии.

Решите ту же задачу, если он является объединением двух
неравных кубов.

8. Докажите, что если две прямые центрально-симметричны,
то они лежат в одной плоскости.

9. Отрезки АВ и CD центрально-симметричны. Верно ли, что
отрезки АС и BD центрально-симметричны?

10. Докажите, что плоскость, полученная из данной плоско-
сти центральной симметрией, параллельна данной или совпадает
с ней.

11. Докажите, что объединение двух плоскостей является
центрально-симметричной фигурой.
12. Два круга центрально-симметричны и не лежат в одной
плоскости. Верно ли, что они: а) принадлежат одному цилиндру,
б) принадлежат одному шару?

13. Даны два равных шара, а) Докажите, что они централь-
но-симметричны. б) В каком случае центрально-симметричны два
равных цилиндра? в) В каком случае центрально-симметричны
два равных конуса?

14. Два равных шара касаются. Через их общую точку прове-
дена плоскость, пересекающая каждый шар по кругу. Докажите,
что эти круги равны.

15. Докажите, что центральная симметричность цилиндра рав-
носильна центральной симметричности его основания. (Здесь
речь идет о цилиндре общего вида.)

16. а) Может ли центр симметрии фигуры не принадлежать ей?
б) Может ли центр симметрии тела не принадлежать ему?

17. а) Будет ли сечение центрально-симметричного тела, про-
ходящее через его центр симметрии, центрально-симметричным?
б) Сформулируйте и проверьте обратное утверждение.

18. Тело центрально-симметрично. Будет ли центрально-сим-
метрична его ортогональная проекция на: а) какую-либо плос-
кость; б) на данную плоскость?

Сформулируйте и проверьте обратные утверждения.

19. Тело задано тремя ортогональными проекциями (рис.

50.6). Может ли такое тело иметь центр симметрии?

20. Докажите, что у ограниченного тела не может быть боль-
ше одного центра симметрии.

Рис. 50.6
21. Каждое из двух тел центрально-симметрично. Будет ли
центрально-симметричным их: а) объединение; б) пересечение?

Составьте и решите обратную задачу.

22. Центрально-симметричное тело разделили плоскостью. Од-
на его часть оказалась центрально-симметричной. Будет ли и
другая его часть центрально-симметричной?

Составьте и решите обратную задачу.

23. Тело имеет центр симметрии. Верно ли, что с ним совпа-
дает: а) центр наибольшего шара, принадлежащего телу; б) центр
наименьшего шара, содержащего данное тело?

24. Тело центрально-симметрично телу F. Будет ли цент-
рально-симметричной фигурой их: а) объединение; б) пересечение?

25. Фигура F2 центрально-симметрична фигуре Fx. При пере-
носе фигура Fi перешла в фигуру Фх, а фигура F2 — в фигуру Ф2.
Докажите, что фигура Ф2 центрально-симметрична фигуре Фх.

26. Каждая из двух фигур центрально-симметрична. Известно,
что их можно совместить переносом, а) Верно ли, что их можно
совместить центральной симметрией? б) Сформулируйте и прове-
рьте обратное утверждение.

27. Фигуры F2 и Fi центрально-симметричны между собой и
имеют единственную общую точку, а) Докажите, что эта общая
точка является центром симметрии их объединения, б) Верно
ли, что через эту точку проходит плоскость, опорная к каждой
из них?

28. Фигура F центрально-симметрична. Ее образом в некотором
перемещении является фигура Fx. Верно ли, что: a) Fx центрально-
симметрична; б) объединение F и Fx центрально-симметрично?

29. Точка А принадлежит фигуре F. Рассматриваются все
переносы фигуры F, при которых точка А остается в фигуре F.
Докажите, что точка А является центром симметрии объединения
всех фигур, полученных из F такими переносами.

§51. ОТРАЖЕНИЕ В ПЛОСКОСТИ (ЗЕРКАЛЬНАЯ СИММЕТРИЯ)

51.1. Определение и общие свойства

{Определение. Точки А и А' называются симметричными
относительно плоскости а, если отрезок А А' перпендикулярен
этой плоскости и делится ею пополам. Любая точка плоскости
а считается симметричной самой себе относительно этой плоскости
(рис. 51.1).

Определение. Две фигуры F и F' называются симметрич-
ными относительно данной плоскости, если они состоят из точек,
попарно симметричных относительно этой плоскости, т. е. если
для каждой точки одной фигуры есть симметричная ей точка в
другой фигуре и обратно (рис. 51.2).

Возможно, что F' = F, т. е. фигуры F и F' — это одна фигур а.
В этом случае говорят, что фигура симметрична относительно дав-
ной плоскости и что эта плоскость является ее плоскостью симметрии
(рис. 51.3).

Симметричные тела встречаются повсюду: чайники, чашки,
ложки, автомобили, дома, корабли, тела животных (хотя внутрен-
нее строение не вполне симметрично, рис. 51.4).

Определение. Отображение фигуры, при котором каждой
ее точке соответствует точка, симметричная ей относительно дан-
ной плоскости, называется отражением фигуры в этой плоскости
(или симметрией относительно этой плоскости).

Отношение между симметричными точками, как в случае цент-
ральной симметрии, взаимно: если А' симметрична А относитель-
но плоскости а, то А симметрична А' относительно той же плоско-
сти а. Поэтому отображение, обратное отражению в плоскости
всего пространства, есть оно само.

Ясно, что при отражении в плоскости фигура отображается
на симметричную ей фигуру.

Рис. 51.4
Теорема 51.1. Отражение в плоскости сохраняет расстоя-
ния и, стало быть, является перемещением.

Доказательство. Пусть дана плоскость а. Возьмем
любые две точки Л и В и построим симметричные им относительно
плоскости а точки А' и В' (рис. 51.5). Покажем, что \АВ\ = | А'В' |.

Если точки Л и В не лежат в плоскости а, то оба отрезка А А*
и ВВ' перпендикулярны плоскости а и делятся ею пополам. По-
этому прямые А А’ и ВВ' либо параллельны, либо совпадают. В
обоих случаях оба отрезка А А' и ВВ' лежат в одной плоскости
Р, причем Р ± а. Так как отрезки А А' и ВВ' перпендикулярны
прямой а = a Q р и делятся ею пополам, то точки Л и Д', а так-
же В и В' симметричны в плоскости р относительно этой прямой.
А так как осевая симметрия в плоскости является перемещением,
то |АВ\ = \А'В'\.

Доказательство для случая, когда хоть одна из точек А, В
лежит в плоскости а, лишь упрощается. Проведите его самосто-
ятельно. Ц

Отражение в плоскости можно распространить на все простран-
ство, сопоставляя каждой точке ей симметричную.

При отражении в данной плоскости
а прямые и плоскости, перпендикулярные
ей, отображаются на себя. В каждой пло-
скости р, перпендикулярной а, происхо-
дит отражение в прямой а = a Q р
(рис. 51.6).

51.2. Отражение в плоскости и отраже-
ние в зеркале

Представляется довольно очевидным
и можно сказать, что отражение в плос-
кости нельзя осуществить непрерывным
движением. В этом смысле отражение не
является таким перемещением, которое
можно проделать реально с реальным те-
лом. Тем не менее оно осуществляется
при отражении в зеркале, точнее гово-
ря, в плоском зеркале.

По закону отражения луч, падающий и
луч отраженный лежат в одной плоскости
с перпендикуляром к зеркалу в точке па-
дения и образуют с ним равные углы.

Лучи, идущие из точки А, отражаясь
от плоскости зеркала, расходятся так,
как если бы они исходили из точки Д',
симметричной А относительно плоскости
зеркала. Этот факт, хорошо известный из
Рис. 51.7

Рис. 51.8

оптики, вы можете легко доказать, исходя
из закона отражения. (На рисунке 51.7
видно, что лучи, т. е. полупрямые, иду-
щие из точки А и точки Д', ей симмет-
ричной, образуют с плоскостью зеркала
равные углы.)

Таким образом, каждая точка изобража-
етсяв зеркале симметричной ей точкой, и,
стало быть, всякая фигура — симметрич-
ной ей фигурой. Отражение в зеркале
представляет в этом смысле геометричес-
кое отражение в плоскости.

51.3*. Скользящее отражение

Определение. Скользящим от-
ражением называется отображение, пред-
ставляющее собой композицию отражения
в некоторой плоскости и переноса ( «сколь-
жения») вдоль этой плоскости (т. е. пе-
реноса на • вектор, параллельный этой
плоскости).

Легко убедиться, что порядок, в ко-
тором производится здесь отражение и
перенос, безразличен (рис. 5К.8).

Скользящее отражение задается двумя
данными: плоскостью отражения а и век-
тором переноса а || а. Отражение можно
рассматривать как частный случай сколь-

зящего отражения, когда а = 0.

Можно доказать, что композиция любого переноса и отраже-
ния в плоскости всегда есть скользящее отражение (но, вообще
говоря, уже относительно другой плоскости).

ЗАДАЧИ К §51

1. ABCDA1B1C1D1 — куб. Нарисуйте точку, симмр^йчную точ-
ке А относительно: a) (CDD^; б) (BDDjj; в; (BC/1J; г) (BDA^;
д) (BDQ; е) (DA&).

2. АВСА1В1С1 — правильная призма с равными ребрами.
Нарисуйте многогранник, симметричный ей относительно: а) (ДСС^;
б) (АВС); в) г) плоскости, параллельной (ДСХС) и прохо-

дящей через середину ребра А^.

3. Дан правильный тетраэдр. Плоскость проведена перпенди-
/*к^^ряуг>его высоте через ее середину. Нарисуйте тетраэдр, сим-
метричный данному относительно этой плоскости. Нарисуйте
объединение и пересечение исходного и полученного тетраэдров.

4. Два равных отрезка: а) параллельны; б) имеют ровно одну
общую точку; в) не имеют общих точек.
Будут ли они симметричны относительно какой-либо плоскости?

5. Два отрезка симметричны друг другу относительно двух
плоскостей. Какую фигуру образуют их концы?

6. Через прямую а проведены всевозможные плоскости. Точ-
ка Л не лежит на прямой а. Какую фигуру образуют все точки,
полученные из А при отражении от этих плоскостей?

7. Вектор b получен из вектора а отражением от плоскости а.
Как расположен по отношению к этой плоскости вектор: а) а + 6;
б) а —3?

8. В кубе окрасили одним цветом: а) две грани; б) три грани.

Сколько плоскостей симметрии у окрашенного таким образом
куба?

9. Сколько плоскостей симметрии может иметь многогранник,
являющийся объединением двух равных кубов?

Решите аналогичную задачу для прямоугольных параллелепи-
педов.

10. Существует ли многогранник, имеющий любое наперед
заданное число плоскостей симметрии?

11. Нарисуйте многогранник, имеющий центр симметрии и:
а) одну плоскость симметрии; б) две плоскости симметрии; в) три
плоскости симметрии.

12. Нарисуйте два тела, которые можно совместить централь-
ной симметрией, отражением в плоскости, но нельзя совместить
переносом. Решите аналогичную задачу для другой комбинации
этих перемещений.

13. Рассматривается тело, являющееся объединением: а) двух
шаров; б) трех шаров.

Сколько оно может иметь плоскостей симметрии?

14. Нарисуйте ограниченное невыпуклое тело, которое имеет
бесконечное множество плоскостей симметрии.

15. Докажите, что центр симметрии фигуры лежит в плоско-
сти ее симметрии.

16. Две, «.равные правильные треугольные призмы имеют:
а) общую боковую гр а;,в; б) общее основание. Сколько плоскостей
симметрии имеет многогранник, полученный в их объединении?
А если они не будут правильными?

17. Сколько плоскостей симметрии может иметь тетраэдр?

18. Два равных прямоугольных тетраэдра имеют общую грань.
Сколько плоскостей симметрии у многогранника, являющегося
их объединением?

19. В основании пирамиды РАВС правильный трс'тольчиг'
«При этом: а) (РАС) ± (АВС); б) (РАС) ± (АВС), (РАВ) ± (АВС).
Из двух таких равных пирамид составляется многогранник (одна
грань прикладывается к другой). Какие плоскости симметрии
имеет полученный многогранник?
20. Две равные правильные четырехугольные пирамиды имеют
общую грань: а) основание; б) боковую грань. Сколько плоско-
стей симметрии имеет составленный из них многогранник?

21. Верно ли, что наклонный параллелепипед, две грани ко-
торого перпендикулярны основанию, имеет плоскость симметрии?

22. Проверьте утверждение: «Если параллелепипед имеет пло-
скость симметрии, то среди его граней есть прямоугольники».

23. Является ли параллелепипед прямоугольным, если он име-
ег: а) одну; б) две; в) три плоскости симметрии?

24. Как разрезать куб на три равные пирамиды?

25. В правильном тетраэдре РАВС на его ребрах отложены
равные отрезки РК. и PL (точка К. на ребре РА, точка L на ребре
PC), АМ и CN (точка М на ребре АВ, точка N на ребре СВ). До-
кажите, что |Л4£| = | KN\.

26. Прямая Ь симметрична прямой а относительно плоскости
а. Докажите, что эти прямые лежат в одной плоскости.

27. Прямая b получена из прямой а отражением в плоскости а.
Эти прямые имеют общую точку. Докажите, что она лежит в пло-
скости а.

28. Плоскость Р симметрична плоскости а относительно пло-
скости у. Как они расположены по отношению друг к другу?

29. Верно ли, что два круга, симметричные относительно пло-
скости, принадлежат одному шару?

30. Два круга, не лежащие в одной плоскости, симметричны от-
носительно плоскости а и имеют единственную общую точку. До-
кажите, что прямая, по которой пересекаются плоскости этих кру-
гов, перпендикулярна плоскости, в которой лежат диаметры этих
кругов, проходящие через их общую точку.

31. Две равные сферы с центрами Ох и О2 имеют общую окруж-
ность. Докажите, что прямая ОгО2 перпендикулярна плоскости, в
которой лежит эта окружность. Изменится ли результат, если
сферы не будут равными?

32. Пусть у — биссектор двугранного угла, образованного
полуплоскостями аир. Пусть плоскость 6 перпендикулярна пло-
скости 7. а) Верно ли, что (6, а) = (б, Р)? б) Докажите, что
((б П а)?(а П ₽)) = ((б Л Р)?(аП ₽)).

33. Центр куба отражается от плоскости каждой его грани,
а) Докажите, что полученные точки являются вершинами правиль-
ного октаэдра, б) Принадлежит ли данный куб этому октаэдру?

34. Дан правильный тетраэдр ABCD. Каждая его вершина
отражается от плоскости противоположной грани. Докажите, что
полученные точки Лх, Bi, Clt D1 являются вершинами правиль-
ного тетраэдра. Нарисуйте многогранник, являющийся объеди-
нением и пересечением исходного и полученного тетраэдров.

35. Дана правильная треугольная призма. Каждое боковое
ребро отражается от плоскости противоположной гранидДокажите,
88
что полученные отрезки являются ребрами правильной призмы.
Нарисуйте многогранник, являющийся объединением исходной и
полученной призм.

36. Может ли иметь плоскости симметрии тело F, заданное
тремя своими проекциями (рис. 50.6)?

37. Тело задано тремя проекциями (рис. 50.6).

Нарисуйте три проекции тела, симметричного данному отно-
сительно горизонтальной плоскости проекций.

38. Ограниченное тело имеет несколько плоскостей симметрии.
Докажите, что все его плоскости симметрии имеют общую точку.

39. Две фигуры Fr и F2 симметричны относительно плоскости
а. В результате переноса (центральной симметрии) плоскость
F перешла в плоскость 0. Как расположены образы фигур Fi и
а2 в результате этого перемещения относительно плоскости 0?

40. Могут ли два тела быть симметричными относительно двух
различных плоскостей?

41. Тело имеет плоскость симметрии. Верно ли, что лежит
в этой плоскости: а) центр наименьшего шара, содержащего тело,
б) центр наибольшего шара, принадлежащего телу?

42. Какими треугольными призмами можно заполнить про-
странство?

43. РАВС — правильный тетраэдр. Точки К и L — центры
его граней А PC и ВРС. Какова кратчайшая ломаная KXL, где
точка X лежит в одной из других граней?

§ 52. ПОВОРОТ ВОКРУГ ПРЯМОЙ

52.1. Определение и общие свойства поворота вокруг прямой

Вы открываете дверь и входите в комнату. Дверь совершает
вращение в пространстве. Любой вращающийся предмет, например
пропеллер, вал турбины, ворот колодца и т. п., дает представле-
ние о повороте в пространстве (рис. 52.1).

Прежде чем дать определение пово-

рота в пространстве, напомним, что в
результате поворота фигуры F в плоскос-
ти вокруг точки О на угол ср (рис. 52.2)
каждая ее точка поворачивается на угол
<р вокруг О в одном и том же направле-
нии (т. е. по часовой стрелке или против
часовой стрелки). Это означает, что каж-
дая точкаХ € F переходит в такую точку Y
плоскости, что | ОУ| = | ОХ|, a X0Y = <р
(учитывается знак угла <р). Точка О на-
зывается центром поворота, угол ср — уг-
лом поворота.

Рис. 52.1
Рис. 52.2

Перейдем теперь к определению поворота в пространстве.

Определение. Поворотом фигуры вокруг прямой а на
угол <р называется такое отображение, при котором в каждой плос-
кости, перпендикулярной прямой а, происходит поворот вокруг точ-
ки ее пересечения с прямой а на одиИ и тот же угол ф в одном и
том же направлении (рис. 52.3). Прямая а называется осью пово-
рота, а угол ф — углом поворота.

Уточнение 1. Поскольку имеется в виду поворот какой-
либо фигуры F, то поворот во всякой плоскости а, перпендику-
лярной оси, относится к пересечению ее с фигурой. Поэтому ес-
ли плоскость а не имеет общих точек с фигурой F, то о повороте
в этой плоскости нет речи.

Уточнение 2. Что значит, что поворот в плоскостях,
перпендикулярных оси, происходит в одном и том же направле-
нии, можно уточнить следующим образом. Пусть через две какие-
нибудь точки А и В, не лежащие на оси, проходят полуплоскости
аир, ограниченные осью а (рис. 52.4). При повороте вокруг
а точки А и В переходят в точки А' и В'. Через них проходят та-
кие же полуплоскости а и Р'. Говоря, что поворот происходит на
один и тот же угол ф, мы имеем в виду, что двугранные углы
между а и а', а также р и Р' равны углу поворота ф: (а, а') =

= (М') = ф.

Итак, полуплоскости поворачиваются в одном и том же направ-
лении на один и тот же угол (а, а*) = ф. (Кроме того, напомним,
что при повороте вокруг оси, как он был определен, каждая точ-
ка А переходит в точку А', лежащую в той же плоскости, пер-
пендикулярной оси а.)

Уточнение 3. Поворот задается осью, углом и направле-
нием поворота. Направление его можно задать на любой из пло-
скостей, перпендикулярных оси, так же как это делается в пла-
a

ниметрии. Тем самым оно будет определено для полуплоскостей,
ограниченных осью.

Так же как в планиметрии, удобно считать угол в одном на-
правлении положительным, а в другом — отрицательным. Тогда
специально направление поворота задавать не нужно: оно уже оп-
ределено знаком угла поворота.

Т е о р е м а 52.1. Поворот вокруг прямой сохраняет расстоя-
ния, т. е. является перемещением.

Доказательство. Пусть при повороте вокруг оси а
точки А и В перешли в точки А' и В". Опустим перпендикуляры
ЛО и ВР из точек А и В на ось а (рис. 52.5). Тогда можно напи-
сать векторное равенство

~АВ = АО 4- ОР + РВ. (1)

Так как ОА ± ОР и РВ ± ОР, то, возводя (1) в квадрат, по-
лучим:

|ЛВ|2 = |Л0|2 + |РВ|2 + |ОР|2 + 2ЛО • ~РВ. (2)

Угол между векторами ОА и РВ равен углу между полуплос-
костями аир, ограниченными осью а и проходящими через точ-
ки Л нВ. Поэтому

~АО • РВ = —ОА • ~РВ = —\ОА\\РВ\cos <р. (3)

Следовательно,

|ЛВ|2 = |0Л|2 + |РВ|8 — 2 |ОЛ| |РВ| cos <р + |ОР|2. (4)

При повороте ни расстояния от оси, ни угол не изменяются.
Поэтому

|0Л| = |0Л'|, |РВ| = |РВ'|, (ОА, РВ)= (ОА', РВ'). (5)
Так же как равенство (4), получаем равенство

|Л'В'|2 = |ОА'|2 + |РВ'|2 — 2 |ОА'| |РВ'| cos <р+|ОР|2. (6)

Из (4), (5) и (6) следует, что |ЛВ| = |Л'В'|, т. е. расстояния
при повороте вокруг прямой сохраняются.

52.2. Фигуры вращения

Определение. Фигура называется фигурой вращения,
если существует такая прямая, любой поворот вокруг которой сов-
мещает фигуру саму с собой, другими словами, отображает ее саму
на себя. Такая прямая называется осью фигуры.

Ясно, что фигура является фигурой вращения с данной осью
тогда и только тогда, когда она представляет собой объединение
окружностей, лежащих в плоскостях, перпендикулярных оси, с
центрами на оси, а также некоторого множества точек, лежащих
на оси (рис. 52.6).

Из определения фигуры вращения непосредственно следует,
что все ее сечения полуплоскостями, проходящими через ось,
совмещаются друг с другом поворотами. Поэтому, пользуясь пред-
ставлением о непрерывном движении, йожно сказать, что фигура
вращения получается в результате вращения плоской фигуры во-
круг какой-нибудь оси, лежащей в той же плоскости. О фигурах
вращения так и говорят: фигура, полученная вращением такой-то
плоской фигуры вокруг такой-то оси.

Например, шар получается вращением полукруга вокруг огра-
ничивающего его диаметра, сфера — вращением полуокружности.
Вообще говоря, фигура, получающаяся вращением линии, назы-
вается поверхностью вращения. Тело, являющееся фигурой вра-
щения, называют телом вращения.

Простейшие тела вращения — это шар, прямой круговой ци-
линдр и прямой круговой конус (рис. 52.7). Вспомните, вращением
каких фигур получаются конус и цилиндр.
52.3. Осевая симметрия в пространстве

Частным случаем поворота вокруг прямой является поворот
на 180°. При повороте вокруг прямой а на 180° каждая точка А £ а
переходит в такую точку А', что прямая а перпендикулярна от-
резку АА’ и пересекает его в середине (рис. 52.8). Про такие точ-
ки А и А' говорят (как и в планиметрии), что они симметричны
относительно прямой а. Поэтому поворот на 180° вокруг прямой
является также симметрией относительно этой прямой. (Вспом-
ните, что в планиметрии поворот на 180° является центральной
симметрией.)

52.4* . Винтовое перемещение

Определение. Винтовым перемещением называется ото-
бражение, представляющее композицию поворота и переноса на
вектор, параллельный оси поворота.

О таком переносе можно сказать, что он происходит вдоль
оси поворота. Это соответствует тому, что происходит, когда пред-
мет, насаженный на стержень, может вращаться и скользить
вдоль него (рис. 52.9). Представление о винтовом перемещении
дает ввинчивающийся или вывинчивающийся винт. Отсюда его
название.

То, что винтовое перемещение действительно есть перемеще-
ние, т. е. сохраняет расстояния, следует из того, что оно есть ком-
позиция перемещений — поворота вокруг оси и переноса. По-
рядок, в котором происходят перенос и поворот в винтовом пе-
ремещении, не имеет значения — результат от этого не зависит
(потому что перенос вдоль оси только переносит плоскости, пер-
пендикулярные оси).

Поворот и перенос можно считать частными случаями винтово-
го перемещения: с нулевым переносом или поворотом.

При композиции винтовых перемещений с общей осью повороты
сочетаются с поворотами, переносы — с переносами. Композиция
поворотов дает поворот. Его угол равен сумме углов сочетаемых
поворотов (с точностью до слагаемых, кратных 2л или 360°, как
в планиметрии). Композиция переносов в винтовых перемещениях
дает перенос.

Рис. 52.9

Рис. 52.8
Замечание. При данной оси возможны два типа винто-
вого перемещения в зависимости от направлений переноса и по-
ворота. В практике это выражается в том, что различаются пра-
вый винт и левый винт. Один тип винтового перемещения отли-
чается от другого направлением поворота или переноса. Если
у винта изменяется направление переноса или направление по-
ворота, то тип винта изменится. Если у винта изменяются сразу
и направление переноса, и направление поворота, то тип винта не
изменится (подумайте почему).

ЗАДАЧИ К § 52

1. РАВС — правильный тетраэдр. Точка Q — центр основания.
Рассмотрим поворот с осью PQ и углом 120°. Нарисуйте образы:
точки К — середины отрезка АС; точки L—середины ребра РА;
точки М, если точка В середина отрезка АМ; отрезка CL; пря-
мой KL; треугольника K.LM.

Нарисуйте образы тех же фигур в результате поворота с той
же осью, но на угол 60°.

2. Прямая а перпендикулярна плоскости а. Рассмотрим по-
ворот с осью а на угол 90°. Нарисуйте, образы: а) точки, лежащей
в плоскости а; б) точки, не лежащей в плоскости а; в) прямой,
лежащей в плоскости а; г) прямой, параллельной плоскости а;
д) прямой, перпендикулярной плоскости а; е) плоскости, перпен-
дикулярной плоскости а; ж) отрезка, пересекающего ось пово-
рота; з) отрезка, пересекающего плоскость а.

3. Найдите для данного поворота неподвижные: а) точки;
б) прямые; в) плоскости.

4. Даны две точки, а) При каком повороте одна из них отобра-
жается на другую? б) При каком повороте каждая из них отобра-
жается на другую? в) Какую фигуру образуют оси всех искомых
поворотов в этих случаях?

5. В кубе закрасили две грани. В результате некоторого пово-
рота он перешел в себя, а) Может ли в таком повороте одна из них
оказаться на месте другой? б) Может ли в таком повороте и вто-
рая грань оказаться на месте первой?

6. В основании пирамиды РАВС равнобедренный треугольник
(|ВА1 = |ВС| = 1), все боковые ребра равны 2. Найдется ли та-
кой поворот, при котором она перейдет в себя и грань РАВ перей-
дет в грань РСВ?

7. а) Сколькими поворотами шар можно отобразить на себя?
б) А если из шара выколоть одну точку? в) А если выколоть две
точки? г) А если выколоть три точки?

8. Имеются два равных шара, а) При каком повороте первый
из них отобразится на второй? б) Найдется ли такой поворот,
при котором и второй отобразится на первый?

9. На поверхности шара закрасили два равных сфери-
ческих сегмента, а) Каким поворотом можно один из них отобра-
зить на другой? б) Найдется ли такой поворот, при котором и вто-
рой сегмент совместится с первым?

10. Из точки А проведены к плоскости а перпендикуляр АВ
длиной 1 и наклонная АС длиной 2. Отрезок СХ, перпендикуляр-
ный АС, имеющий длину 1, вращается вокруг (АС). Вычислите
граничные значения для |Ха|.

11. В правильном тетраэдре РАВС с ребром 2 рассматривается
переменное сечение плоскостью, вращающейся вокруг ВХ, где
точка X— середина ребра АС. Вычислите граничные значения
площади сечения.

12. Правильный тетраэдр повернули вокруг высоты на 60°.
Нарисуйте его образ в этом повороте. Нарисуйте пересечение и
объединение исходного и полученного тетраэдров.

13. Даны два равных правильных тетраэдра. Можно ли их сов-
местить поворотом, если: а) они имеют общую вершину, их основа-
ния лежат в одной плоскости и сами они лежат в одном полупрост-
ранстве? б) они имеют общее ребро? в) они имеют общую грань?
(Других общих точек у них нет.)

14. Тело задано тремя проекциями (рис. 50.6). Может ли та-
кое тело при некотором повороте переходить в себя?

15. Дан правильный тетраэдр. Его боковые грани совершили
поворот на один и тот же угол во внешнюю сторону. При этом
получился многогранник с шестью вершинами, а) Может ли он
быть правильным? б) Если может, то при каком угле поворота?

16. РАВС — правильный тетраэдр. Точки X, L—середины
его противоположных ребер. Докажите, что при повороте вокруг
(XL) на угол 180° тетраэдр переходит в себя.

17. Через биссектрису угла проведена плоскость. Докажите,
что стороны угла образуют с ней одинаковые углы.

18. На плоское зеркало под углом 45° падает луч света. Зер-
кало поворачивается на угол 45° вокруг проекции луча на зер-
кало. На какой угол отклонится луч света?

19. Две фигуры являются фигурами вращения. Является ли
фигурой вращения их: а) объединение; б) пересечениё?

20. Нарисуйте фигуру Вращения, полученную в результате
вращения отрезка вокруг оси: а) перпендикулярной к нему и
проходящей через один из его концов; б) пересекающей его в од-
ном из его концов и не перпендикулярной к нему; в) пересекающей
его во внутренней точке; г) параллельной ему; д) скрещивающейся
с ним.

21. Равносторонний треугольник вращается вокруг: а) высоты;
б) стороны; в) прямой, параллельной высоте и проходящей: 1) че-
рез его вершину; 2) вне треугольника; 3) внутри треугольника.

Нарисуйте в каждом случае получившееся тело вращения.
Является ли оно известным для вас телом или какой-нибудь их
комбинацией?

22. Квадрат вращается вокруг: а) стороны; б) средней линии;
в) прямой, параллельной стороне и проходящей вне квадрата;
г) диагонали; д) прямой, параллельной диагонали и проходящей:
1) через вершину квадрата; 2) вне его; 3) внутри его.

Нарисуйте в каждом случае полученное тело вращения. Явля-
ется ли оно телом, известным вам, или их комбинацией?

23. Прямоугольник вращается вокруг: а) диагонали; б) пря-
мой, параллельной диагонали и проходящей: 1) через его вершину;
2) вне его.

Нарисуйте полученное при этом тело вращения. Комбинацией
каких известных вам тел оно является?

24. Ромб вращается вокруг: а) стороны; б) прямой, перпен-
дикулярной стороне и проходящей: 1) через его вершину; 2) вне
его; в) прямой, перпендикулярной его диагонали и проходящей:
1) через его вершину; 2) вне его; 3) внутри его.

Нарисуйте полученное тело вращения. Комбинацией каких из-
вестных тел оно является?

25. Трапеция а) прямоугольная; б) равнобедренная вращается
вокруг каждой из своих сторон. В каждом случае нарисуйте по-
лученное тело вращения. Комбинацией каких известных тел оно
является?

26. Сектор круга с центром О и хордой АВ вращается вокруг:
а) крайнего радиуса; б) среднего радиуса; в) диаметра, параллель-
ного (ЛВ); г) диаметра, не параллельного (АВ).

В каждом случае нарисуйте полученное тело вращения. Комби-
нацией каких известных тел оно является?

27. Сегмент круга с хордой АВ вращается вокруг: а) (АВ);
б) диаметра, перпендикулярного (АВ); в) диаметра, параллельного
(АВ); г) опорной прямой, параллельной (АВ).

Нарисуйте полученное тело вращения. Комбинацией каких
известных тел оно является?

28. Нарисуйте тело, полученное при вращении куба вокруг:
а) ребра; б) диагонали.

29. Нарисуйте тело, полученное при вращении: а) правиль-
ного тетраэдра вокруг ребра; б) конуса вокруг прямой, паралле-
льной оси и проходящей вне его.

30. Можно ли считать тор (тело, на которое похожи бублики)
телом вращения?

31. Всегда ли, вращая выпуклую плоскую фигуру, мы полу-
чим выпуклое тело? А когда получим?

32. Докажите, что если ограниченное выпуклое тело имеет
две оси вращения, то оно является шаром.

33*. Нарисуйте образ правильного треугольника АВС в ре-
зультате винтового перемещения, ось которого перпендикулярна
ЛВС и проходит через центр треугольника, а угол поворота ра-
вен 60°.

34*. PABCD — правильная пирамида, точка Q — центр ее
основания. Нарисуйте ее образ в результате винтового переме-
щения с осью PQ, углом поворота 45° и вектором, равным QP.
$ 53.* ЗЕРКАЛЬНЫЙ ПОВОРОТ

Определение. Зеркальным поворотом вокруг оси а на
угол <р называется отображение, являющееся композицией поворо-
та вокруг оси а на угол ф и отражения в плоскости, перпендикуляр-
ной оси поворота (рис. 53.1).

Так как поворот и отражение — перемещения, то и зеркаль-
ный поворот — перемещение.

Говоря о композиции перемещений, нужно, вообще говоря, ука-
зывать порядок, в котором они совершаются. Результат в об-
щем случае зависит от порядка: рассмотрите, например, компо-
зицию двух отражений, взятых в различном порядке, относительно
двух неперпендикулярных плоскостей. Но для зеркального по-
ворота безразличен порядок составляющих его перемещений: про-
извести ли сначала поворот, а потом отражение или наоборот —*
результат будет тот же.

Действительно, посмотрим, как отображается при повороте
и отражении любая точка А (рис. 53.2). Пусть поворот происходит
вокруг оси а, а отражение — в плоскости а _1_ а. Пусть В — точка,
симметричная точке А относительно плоскости а. Поворот вокруг
оси а происходит в плоскостях, перпендикулярных а и, значит,
параллельных а. Поэтому при повороте точки А и В переходят в
точки С и D, тоже симметричные относительно плоскости а.

Если сначала происходит отражение, а потом поворот, то точ-
ка А сначала отображается в точку В, а потом в точку D. Если же
происходит сначала поворот, а потом отражение, то точка А сна-
чала отображается на С, а потом на D. Таким образом, результат
не зависит от порядка, в котором происходит поворот и отраже-
ние. (Перестановочность здесь имеет место благодаря тому, что
а _1_ а, иначе результат зависит от порядка.)

Зеркальный поворот любой фигуры естественно распространя-
ется иа все пространство.

Отражение в плоскости можно рассматривать как частный слу-
чай зеркального поворота — с нулевым углом поворота.

Противоположный отражению случай представляет зеркальный
поворот с максимальным возможным углом, т. е. с поворотом на
180°. Этот зеркальный поворот будет, оказывается, центральной
симметрией с центром в точке пересечения плоскости отражения
и оси поворота. Убедитесь в этом (рис. 53.3)!

Интересным примером фигуры, которая совмещается сама с со-
бой при зеркальном повороте, является многогранник, называю-
щийся антипризмой. Он строится так..

Возьмем правильный n-угольник Gr и проведем через его центр
симметрии прямую а, перпендикулярную содержащей его плос-
кости av Возьмем любую плоскость а || ах и произведем зер-
кальный поворот, являющийся композицией симметрии относи-
360°
тельно плоскости а и поворота вокруг оси а на угол <р = --

(в любую сторону). Такой зеркальный поворот f переведет Gx в
правильный многоугольник G2, лежащий в плоскости а2 || а и
имеющий центр симметрии в точке 02 = а П а2 (рис. 53.4). Лег-
ко проверить, что и Gx = f (G2).

Соединяя вершины многоугольников
Gx и G2 так, как показано на рисунке
53.5, получим сеть ребер многогранни-
ка, ограниченного двумя основаниями
Gx и G2 и еще 2п треугольниками. Та-
кой многогранник называется анти-
призмой. Он самосовмещается при зер-
кальном повороте f.

Примером фигуры, допускающей
зеркальные повороты, может служить
еще, скажем, колесо с выступами на
нем попеременно на одной и на другой
стороне (рис. 53.6).

Произведя зеркальный поворот,
совмещающий фигуру саму с собой,
можно затем повторить его и т. д. При
двух зеркальных поворотах содержа-
щиеся в них отражения «взаимно уничто-
жаются» и получается просто поворот.
Так, для фигуры F, состоящей из основа-
ния Gr и G2 антипризмы, один зеркаль-
ный поворот поменяет Gx и G2 местами, а
второй опять поменяет их местами, т. е.
вернет их на прежнее место, но только
уже повернутыми на удвоенный угол
2Ф= 2 •
2/г п

Если произвести еще раз зеркальный
поворот, то отражения опять появятся и
получится зеркальный поворот на угол Зф.

Выясняется общее правило. Зеркальный

53.6

Рис.

поворот на угол ф,

повторенный четное число 2т раз, дает поворот на угол 2ту. Тот
же зеркальный поворот, повторенный нечетное число 2т + 1 раз,
дает зеркальный поворот.

Сказанное представляет собою частный случай общей теоремы.

Композиция двух зеркальных поворотов с общей осью и об-
щей плоскостью отражения представляет собою поворот вок-
руг этой же оси на суммарный угол. Композиция зеркального
поворота с поворотом вокруг той же оси представляет собою
зеркальный поворот с той же осью и той же плоскостью отра-
жения и с суммарным углом. (При этом в обоих утверждениях
суммарный угол берется, понятно, с учетом знака, т. е. направле-
ния поворота, и с точностью до слагаемых, кратных 360°.)

ЗАДАЧИ К §53*

1. ABCDAlBlClD1 — куб. Рассматривается зеркальный пово-
рот, полученный в результате комбинации поворота на 90° вокруг
OOL (О — центр нижнего основания, а Ох — центр верхнего осно-
вания куба) и отражения в плоскости, перпендикулярной ООХ и
проходящей через середину OOV а) Найдите образы точек Аъ
С, К — середины ребра ААЪ L — середины ребра А^. б) Найдите
точку, образом которой в данном зеркальном повороте являются
точки Alr С, К, L. в) Найдите образ отрезка AD, CD±, BDY, LM,
где точка М — середина ребра CD. г) Найдите образ треугольника
ABD, грани ВВХСХС, сечения BCAJ)^ тетраэдра D^AB^.

2. РАВС — правильный тетраэдр. Рассмотрим зеркальный по-
ворот с осью поворота PQ (точка Q — центр основания), углом по-
ворота 120° и отражением в плоскости, перпендикулярной (PQ)
в ее середине. Нарисуйте пересечение и объединение исходного
тетраэдра и его образа.

3. Прямая Ь получена из прямой а зеркальным поворотом.
Могут ли эти прямые быть: а) параллельными; б) пересекающимися;
в) перпендикулярными?
4. Дан зеркальный поворот с осью поворота а, углом пово-
рота <р и отражением в плоскости а. Найдите неподвижные в этом
зеркальном повороте: а) точку; б) прямую; в) плоскость; г) шар;
д) цилиндр; е) куб.

5. Даны две фигуры. Всегда ли существует зеркальный пово-
рот, который переводит одну фигуру в другую, если эти фигуры:
а) точки; б) прямые; в) плоскости; г) равные шары; д) равные ци-
линдры; е) равные тетраэдры?

6. Даны две точки, а) Существует ли зеркальный поворот, ко-
торый каждую их них переводит в другую? б) Сколько существует
таких зеркальных поворотов? в) Изменится ли результат, если
вместо точек взять две равные фигуры?

7. а) Нарисуйте фигуру, которая переходит в себя в некотором
зеркальном повороте, б) Будет ли такой поворот единственным?
в) Нарисуйте фигуру, которая переходит в себя в результате фик-
сированного числа зеркальных поворотов, например в результате
пяти зеркальных поворотов.

8. Из шара выкололи точку. Можно ли полученную фигуру ото-
бразить на себя зеркальным поворотом?

9. Дана треугольная антипризма АВСА^С^ с ребром 1. а) Опи-
шите, как она получена из призмы, б) Является ли она выпуклым
многогранником? в) Есть ли в ней параллельно расположенные
ребра? г) Есть ли в ней параллельно расположенные грани?
д) Имеет ли она плоскость симметрии, центр симметрии? е) Нари-
суйте ее сечение, являющееся квадратом.

Попытайтесь ответить на те же вопросы для антипризмы дру-
гого вида-или даже в общем случае.

10. Две равные правильные пирамиды PXABCD и P^ABCD
имеют общее основание ABCD. Докажите, что:

а) ((рД?(Р2В))=((Р2ВМР1Д));б) ((ЛВМР2СО)) =((Р2Д)?(Р1ВС));
в) ((PiAB^PzAD)) = ((PzADjClPiCD))-, г) |KAf | = |LM|, где
точка К — середина ребра РХВ, точка L — середина ребра
Р2Д, точка М — точка пересечения медиан в грани ADP, точка
N — точка пересечения медиан в грани CDP\ д) расстояние от К.
до (CDP2) равно расстоянию от L до (РХВС).

§ 54. * СИММЕТРИЯ

54.1. Общее понятие симметрии

Мы уже встречались со многими симметричными фигурами и
симметричными реальными предметами. Такими фигурами, на-
пример, являются те, у которых есть плоскость симметрии
(рис. 54.1). Такие фигуры совмещаются сами с собой при отра-
жении в плоскости.
Симметрией фигуры вообще называется свойство фигуры, состо-
ящее в том, что существует ее (нетождественное) перемещение,
совмещающее ее саму с собой.

Симметрией обладают правильные призмы и пирамиды (они
совмещаются сами с собой, например, поворотом вокруг прямой,
проходящей через центр их основания перпендикулярно его плос-
кости, рис. 54.2). Симметрией обладают и антипризмы (рис. 54.3).
(А как они самосовмещаются?)

Любой параллелепипед обладает симметрией: у него есть центр
симметрии.

Симметрией обладают фигуры вращения.

Слово «симметрия» происходит от греческого и означает «сораз-
мерность». В таком общем смысле симметрия играет огромную роль
в искусстве, особенно ясную в орнаментах и архитектуре, где по-
стоянно встречается симметрия в достаточно точном геометриче-
ском смысле — как совмещаемость частей при самосовмещаемости
целого (рис. 54.4).

Учение о симметрии составляет важную и обширную часть гео-
метрии особенно в той ее части, которая касается симметрии кри-
сталлов. Здесь она включается в науку, называемую геометрической
кристаллографией.

Из физики известно, что атомы в кристаллах образуют крис-
таллическую решетку, т. е. некую правильную систему фигур, сов-
мещающихся одна с другой переносами и другими перемещениями
(рис. 54.5).

Помимо кристаллов, симметрия в природе наблюдается у рас-
тений и живых организмов. У растений наблюдается симметрия
цветов, симметрия расположения листьев, в частности винтовая
(рис. 54.6). У животных особенно примечательны в этом смысле
морские звезды.
В последнее время общее учение о симметрии приобрело боль-
шое значение в физике; с ним связаны основные законы природы.

Чем больше перемещений, совмещающих фигуру саму с собой,
тем она симметричнее. Установите сами, какая фигура «богаче»
симметриями: цилиндр, конус или шар. Самая симметричная фи-
гура — это все пространство. Любое перемещение совмещает его
с собой. Фигурами, допускающими бесконечное число самосов-
мещений, являются фигуры вращения.

54.2. Группа симметрии

Для перемещений, совмещающих фигуру саму с собой, выпол-
няется следующая основная теорема.

Теорема 54.1 (о симметрии). Если перемещения совме-
щают фигуру саму с собой, то их композиция (в любом поряд-
ке) тоже совмещает эту фигуру саму с собой. Если какое-либо
перемещение совмещает фигуру саму с собой, то обратное пе-
ремещение тоже совмещает ее саму с собой.

Доказательство. Пусть два перемещения f и g по от-
дельности совмещают фигуру М саму с собой. Когда мы произвели
одно из них, скажем /, то фигура совместилась сама с собой. По-
этому к ней можно применить перемещение g, которое опять сов-
мещает ее саму с собой. В результате получим композицию g о /,
совместившую фигуру саму с собой.

Композиция перемещений есть перемещение. Поэтому g о f
есть перемещение, совмещающее фигуру саму с собой.

Покажем это и для обратного перемещения. Пусть перемещение
f совмещает фигуру саму с собой. Произведем его, а потом обратно
перемещение f~l. Оно производится с той же фигурой, поскольку
она совместилась сама с собой. Вместе с тем так как — об-
ратное отображение, то оно вернет фигуру в прежнее положение.
Тем самым оно совмещает ее саму с собой.

Перемещения фигуры, совмещающие ее саму с собой, называют
преобразованиями симметрии этой фигуры.

Совокупность всех преобразований симметрии данной фигуры
(включая тождественное преобразование) называют ее группой
симметрии. (При этом принимается в расчет то, что установлено тео-
ремой 54.1: композиция любых двух преобразований симметрии и
преобразование, обратное данному преобразованию симметрии,
тоже являются преобразованиями симметрии.)

54.3. Элементы симметрии

Теорема 54.1 показывает, в частности, что данное преобразо-
вание симметрии можно повторить, т. е. брать его композицию са-
мого с собой. Совместив фигуру саму с собой, например, поворотом,
можно этот поворот повторить.
Ось, вокруг которой происходит поворот, совмещающий фигуру
саму с собой, называется ее осью симметрии. Число поворотов вок-
руг этой оси, которыми фигура совмещается, называется порядком
оси (тождественный поворот включается в это число, но ось, вок-
руг которой возможен лишь тождественный поворот, не считается,
понятно, осью симметрии). Например, правильная n-угольная приз-
ма имеет ось n-го порядка. У фигур вращения ось бесконечного по-
рядка.

Аналогично определяется ось зеркальной симметрии, или, ко-
роче, зеркальная ось, и ее порядок. У n-угольной антипризмы есть
зеркальная ось порядка 2п. Эга ось одновременно является осью
(поворотной) симметрии 2п-го порядка, так как дважды повто-
ренный зеркальный поворот равносилен повороту на удвоенный
угол.

Оба вида осей вместе с плоскостями симметрии и центром сим-
метрии, если они есть у фигуры, называются ее элементами сим-
метрии.

Кроме этих элементов симметрии, у неограниченных фигур мо-
гут быть еще другие, связанные с параллельным переносом. На-
пример, фигура может совмещаться сама с собой повторением не-
которого переноса: простейший пример — точки на прямой на
равных расстояниях. Или фигура может иметь винтовую симметрию,
совмещаясь сама с собой винтовым перемещением. Реальные пред-
меты ограничены и потому не могут в точном смысле иметь ни пе-
реносной, ни винтовой симметрии. Однако одни части их могут
допускать совмещения с другими частями переносами или винто-
выми перемещениями, так что при мысленном бесконечном про-
должении получается фигура с переносной или винтовой симмет-
рией. В этом смысле переносной симметрией обладают многие
орнаменты, решетки оград, ряды кресел в зале и другие ряды оди-
наковых предметов (рис. 54.7). Атомы или их комплексы в кристал-
лах образуют кристаллическую решетку, которая тоже обладает
Рис. 54.9

переносной симметрией (рис. 54.8). Примеры винтовой симметрии
можно видеть на винтовой лестнице и на расположении листьев у
многих растений (рис. 54.9).

54.4. Симметрия правильных многогранников

Согласно определению, данному в § 35, правильным называется
выпуклый многогранник, у которого все грани — равные правиль-
ные многоугольники и во всех вершинах которого сходится одно
и то же число ребер. Существует только пять типов таких много-
гранников (рис. 54.10): а) правильный тетраэдр; б) куб; в) ок-'
таэдр; г) додекаэдр; д) икосаэдр.

Правильные многогранники характеризуются тем, что они
самые симметричные из всех многогранников. Это означает следую-
щее. Если мы возьмем на таком многограннике какую-нибудь вер-
шину А, подходящее к ней ребро а и грань а, подходящую к это-
му ребру, и еще любой такой же набор Д', а', а', то существует
такое самосовмещение многогранника, которое вершину А отобра-
жает на Д', ребро а — на а , грань а — на а'.

Покажем это. Так как любые две грани правильного много-
гранника равны, то существует перемещение, которое одну из них
переведет в другую. В результате его (поскольку двугранные углы
равны) многогранник самосовместится или перейдет в многогран-
ник, симметричный исходному относительно плоскости второй гра-
ни. В последнем случае отражение в плоскости этой грани завер-
шает процесс самосовмещения правильного многогранника.

Для нахождения элементов симметрии правильного многогран-
ника полезно сделать из проволоки модель сети ребер этого правиль-
ного многогранника или склеить модель его поверхности из бу-
маги.

Укажем элементы симметрии куба.

I. Центр симметрии —- центр куба.

Рис. 54.12

II. Плоскости симметрии (рис. 54.11):

1) 3 плоскости симметрии, перпендикулярные ребрам в их
середине.

2) 6 плоскостей симметрии, проходящие через противополож-
ные ребра.

III. Оси симметрии (рис. 54.12):

1) 3 оси 4-го порядка, проходящие через центры граней.

2) 6 осей 2-го порядка, проходящие через середины противо-
положных ребер.

3) 4 зеркальные оси 6-го порядка, проходящие через противо-

положные вершины.

Это самый интересный и не сразу видный элемент симметрии
куба. Сечение куба плоскостью, проходящей через его центр пер-
пендикулярно диагонали, представляет собой правильный шести-
угольник; его вершины лежат в серединах шести ребер (рис. 54.13).
При повороте куба вокруг диагонали на — • 360° = 60° этот шести-
6

угольник отображается на себя, а куб в целом нужно еще отразить
в плоскости этого шестиугольника.

Октаэдр двойствен кубу, и потому у него те же элементы сим-
метрии с той разницей, что плоскости симметрии и осп, проходящие
у куба через вершины и центры граней, у октаэдра проходят на-
оборот: через центры граней и вершины. Так, зеркальная ось 6-го

порядка проходит у октаэдра через центры противоположных гра-
ней. При этом заметим, что октаэдр яв-
ляется антипризмой с треугольными осно-
ваниями. Положите его модель гранью на
стол, и это станет видно особенно ясно.

Теперь рассмотрим элементы симмет-^—.
рии тетраэдра:

6 плоскостей симметрии, каждая про-
ходит через ребро и середину противо-
положного ребра;

4 оси 3-го порядка, проходящие через

вершины и центры противоположных им Рис. 54.13
граней;
3 зеркальные оси 4-го порядка, проходящие через середины
противоположных ребер.

У тетраэдра есть квадратное сечение плоскостью, перпендику-
лярной такой оси. Найдите его. Как расположены вершины квад-
рата? Что происходит при зеркальных поворотах с этим квадратом
и с ребрами?

В куб можно вписать два правильных тетраэдра. При пере-
мещениях куба, совмещающих его с собою, эти тетраэдры либо
отображаются каждый на себя, либо друг на друга. Рассмотрите,
при каких отображениях куба происходит одно, а при каких дру-
гое. Убедитесь, что получаются все отображения каждого тетра-
эдра на себя, так что симметрия куба включает симметрию тетра-
эдра (группа симметрии тетраэдра является подгруппой группы
симметрии куба).

Рассмотрите сами элементы симметрии додекаэдра и икосаэдра,
вспомнив, что они двойственны. У них есть зеркальные оси 10-го
и 6-го порядка. Как они проходят? Сколько тех и других? Обра-
тите внимание, что икосаэдр может быть составлен из пятиуголь-
ной антипризмы и двух пятиугольных пирамид, поставленных на
ее основание. Найдите десятиугольные сечения икосаэдра и доде-
каэдра.

ЗАДАЧИ К §54*

1. В результате каких перемещений переходит в себя: а) от-
резок; б) Прямая; в) круг; г) квадрат; д) правильный многоуголь-
ник; е) ромб; ж) плоскость; з) двугранный угол?

Ответьте на тот же вопрос, когда из данной фигуры выкалы-
вается точка, две точки.

2. В результате каких перемещений переходит в себя правиль-
ная пирамида: а) четырехугольная; б) п-угольная?

3. В результате каких перемещений переходит в себя объеди-
нение двух равных n-угольных (п > 4) правильных пирамид с об-
щим основанием?

4. В правильном тетраэдре закрасили одну грань, а) В резуль-
тате каких перемещений он самосовмещается? б) А если закрасить
одним цветом две грани?

5. В результате каких перемещений переходит сам в себя куб,
у которого окрашена одним цветом: а) одна грань; б) две грани;
в) три грани; г) четыре грани; д) пять граней?

6. В результате каких перемещений переходит сам в себя куб,
у которого срезаны по углам равные правильные треугольные
пирамиды: а) с одного угла; б) с двух углов; в) с трех углов?

7. Все равные правильные тетраэдры покрасили так, что каж-
дая грань стала окрашена одним из четырех цветов. Существуют
ли среди них различные тетраэдры? Составьте и решите аналогич-
ную задачу для куба.
8. В результате каких перемещений переходит в себя тетраэдр
РАВС, у которого: а) |РВ| - |РС| - |АС| - \АВ\; б) \РВ\ -
= |РС| = |ЛС| - |ЛВ|, \РА | - |ВС|?

9. Приведите пример такого тетраэдра, который переходит в
себя в результате таких перемещений, не считая тождественного:
а) одного отражения в плоскости; б) одного поворота на 180°;
в) трех поворотов на 180°.

10. Середины всех ребер куба являются вершинами некоторого
многогранника. Докажите, что любая вершина этого многогранни-
ка может быть совмещена с любой другой его вершиной в резуль-
тате его самосовмещения.

11. Может ли множество самосовмещений некоторого много-
гранника содержать ровно три перемещения?

12. Тело является объединением двух шаров (но не шаром).
Какими перемещениями оно отображается на себя?

13. Вы имеете два равных цилиндра. Их основания произволь-
но расположены на одной плоскости. Какими перемещениями пере-
водится в себя их объединение?

Решите такую же задачу для конуса.

14. Проверьте, что в правильном многограннике число само-
совмещений делится на 2 и даже на 4. Поищите связь между числом
его самосовмещений и числом каких-либо его основных элементов.
Сформулируйте гипотезу. Сможете ли вы ее доказать?

§ 55. * ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ О ПЕРЕМЕЩЕНИЯХ

55.1. Классификация перемещений

Мы изучили разные виды перемещений. А могут ли быть еще
какие-нибудь? Оказывается, нет.

Об этом говорит основная теорема о перемещениях.

Теорема 55.1. Всякое перемещение любой фигуры есть
либо винтовое перемещение, либо зеркальный поворот, либо
скользящее отражение (причем в винтовое перемещение вклю-
чены перенос и поворот как его частные случаи, так же как в
зеркальный поворот включены отражение в плоскости и цент-
ральная симметрия).

Сформулированная теорема представляется замечательной, ес-
ли понять ее смысл, который выступает в другой ее формулировке:
какую фигуру ни взять и как ее ни крутить, ни переносить, ни от-
ражать, а результатом будет перемещение одного из указанных
трех видов: либо винтовое перемещение, либо зеркальный пово-
рот, либо скользящее отражение.

Винтовое движение, не сводящееся к повороту, и скользящее
отражение, не сводящееся к отражению в плоскости, не имеют не-
подвижных точек (т. е. таких точек, которые отображаются сами
на себя).
Поэтому из теоремы 55.1 следует

Теорема 55.2.Если перемещение имеет неподвижную точ-
ку, то оно является либо поворотом, либо зеркальным пово-
ротом.

Иначе говоря, если одна точка фигуры закреплена, то как ни
крути, ни отражай фигуру, а в результате получится либо ее пово-
рот, либо зеркальный поворот.

55.2. Два рода перемещений

Теорема 55.3 (вторая основная теорема о перемещениях).
Перемещение любой фигуры, получающееся в результате како-
го бы то ни было ее непрерывного движения, всегда оказывает-
ся винтовым перемещением. В частности, перемещение с непод-
вижной точкой, осуществляемое как бы то ни было непрерыв-
ным движением, всегда оказывается поворотом.

Всякое винтовое перемещение можно получить непрерывным
движением, как это непосредственно очевидно: достаточно пред-
ставить себе непрерывно ввинчивающийся винт. Теорема 55.3
утверждает вместе с тем, что никакое перемещение, кроме винто-
вого, — ни зеркальный поворот, ни скользящее отражение —
нельзя получить никакими непрерывными движениями. В самом
деле, они необходимо включают отражение, при котором фигура
должна была бы перескакивать через плоскость (если бы можно
было представить себе отражение не только как соответствие од-
них точек другим, а как реальную перемену положения).

Винтовые перемещения называются перемещениями первого рода
а все остальные перемещения — перемещениями второго рода.

Равные фигуры определяются как такие фигуры, которые ото-
бражаются одна на другую посредством перемещения. Разделение
двух видов перемещений соответствует поэтому разделению двух
видов равенства фигур. В одном случае фигура отображается на
равную ей посредством непрерывного движения, в другом — это
невозможно. В одни положения фигуру можно перевести непре-
рывным движением, в другие нельзя, а можно только, если к не-
прерывному движению добавить отражение. В первом случае го-
ворят, что фигуры допускают совмещение или что они равны (кон-
груэнтны) в собственном смысле; во втором случае говорится, что
они зеркально равны (как правая и левая рука или перчатки, как
правый и левый винт и др.).

Из теоремы 55.3 следует, что всякое тело можно перевести
из одного положения в другое, в какое оно вообще может перейти
реально, непрерывным путем, следующим образом. Берем в теле
любую точку А и параллельно переносим тело так, чтобы она за-
няла нужное положение А'. После этого она может оставаться на
месте, и потому телу можно будет придать нужное положение
поворотом вокруг оси, проходящей через точку Д'.
55.3. Представление перемещений отражениями

Теорема 55.1 оказывается равносильной следующей, в которой
фигурируют одни зеркальные отражения.

Теорема 55.4 (о представлении перемещений отражениями).
Всякое перемещение является композицией либо четырех, ли-
бо трех зеркальных отражений. Если исключить случай, когда
два отражения взаимно-обратны и потому уничтожают друг
друга, то можно сказать, что всякое перемещение представля-
ется не более чем четырьмя зеркальными отражениями: их мо-
жет быть 4, 3, 2, 1 и 0 (тождественное перемещение).

Плоскости названных отражений всегда можно считать располо-
женными следующим образом. Если отражений четыре, то две
плоскости параллельны, а две другие им перпендикулярны и
пересекаются. Если отражений три, то две плоскости перпенди-
кулярны третьей и либо пересекаются, либо параллельны. При
этом не исключено совпадение плоскостей. Если же это исключить
и говорить лишь о различных плоскостях, то их может быть две,
одна или ни одной.

Перенос можно осуществить отражениями в двух параллельных,
а поворот — в двух пересекающихся плоскостях. Поэтому зер-
кальный поворот и скользящее отражение служат композицией
отражений в трех плоскостях, из которых одна перпендикулярна
двум другим; эти другие две плоскости пересекаются в случае
зеркального поворота и параллельны при скользящем отраже-
нии.
Г лава IX.

ДЛИНА, ПЛОЩАДЬ, ОБЪЕМ

§ 56. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЛОЩАДИ И ОБЪЕМА

56.1. Простые фигуры

Каждый имеет представление о площади и объеме и умеет из-
мерять их в простейших случаях. Но наша задача состоит в том,
чтобы дать их точное определение. При этом исходят из того, что
ясно и без геометрии. Ясно, например, что одинаковые участки
земли имеют одну и ту же площадь, и когда участок составляется
из двух, то их площади складываются. Совершенно так же одина-
ковые тела имеют один и тот же объем, и когда из двух тел состав-
ляют одно, то объемы их складываются.

Однако любые мыслимые в геометрии плоские фигуры и тела
могут быть настолько сложно устроенными, что приписать им всем
площадь и объем с указанными свойствами нельзя. Поэтому вы-
делим простые фигуры.

Определение. Фигура называется простой, если она огра-
ничена, граница ее не имеет внутренних точек и каждая прямая
пересекает ее границу по конечному числу отрезков и отдельных
точек, либо вовсе не пересекает.

Очевидно, всякая ограниченная выпуклая фигура, содержащая
свои граничные точки, простая', любая прямая пересекает ее гра-
ницу либо по одному отрезку, либо в одной или двух точках, либо
вовсе ее не пересекает.

Так же очевидно, что простыми фигурами являются все много-
угольники и многогранники.

Наконец, можно заметить, что всякое реальное тело можно счи-
тать простым: пересечение границы тела с прямой по бесконечному
числу отдельных отрезков и точек мыслимо лишь для идеального
геометрического тела.

Простейшим примером непростой фигуры является любая огра-
ниченная последовательность точек, лежащая на отрезке. Пример
непростой замкнутой области изображен на рисунке 56.1.

56.2. Определение площади и объема

Теперь можно дать определение пло-
щади, включив в него лишь те два свой-
ства, о которых говорилось в примере об
участках земли.

Определение. Площадью про-
стой замкнутой области называется положительная величина,
определенная для каждой простой замкнутой области так, что:

1) равные простые замкнутые области имеют равные площади;

2) если простая замкнутая область составлена из конечного
числа простых замкнутых областей, то ее площадь равна сумме их
площадей.

Говоря, что фигура составлена из нескольких фигур, мы имеем
в виду, что она является их объединением и любые две данные фи-
гуры не имеют общих внутренних точек. Относительно внутренних
точек возможны три различных случая. Когда говорится, что тело
составлено из некоторых тел, то любые два из этих тел не имеют
внутренних точек относительно пространства. Когда же говорится
о замкнутых областях или отрезках, то имеются в виду внутренние
точки относительно плоскости и прямой.

Определение объема вполне аналогично определению площади.

Определение. Объемом простого тела называется по-
ложительная величина, определенная для каждого простого тела
так, что:

1) равные простые тела имеют равные объемы;

2) если простое тело составлено из конечного числа простых
тел, то его объем равен сумме их объемов.

Для сравнения обратим еще внимание на то, что длина отрезка
характеризуется такими же свойствами: это положительная вели-
чина, определенная для каждого отрезка так, что:

1) равные отрезки имеют равные длины;

2) если отрезок составлен из конечного числа отрезков, то его
длина равна сумме длин этих отрезков.

Сравнивая свойства влощади, объема и длины, видим полное
их сходство, хотя это разные величины, так как относятся к раз-
ным объектам: длина —- к отрезкам, площадь — к замкнутым об-
ластям, объем — к телам.

Соответственно длины, площади и объемы измеряются в разных
единицах. Эти единицы согласуют друг с другом следующим обра-
зом. Пусть выбрана единица длины — единичный отрезок, т. е.
такой, длина которого считается равной единице. Тогда за еди-
ницу измерения площади принимают площадь единичного квадра-
та, т. е. квадрата, стороной которого служит единичный отрезок.
За единицу объема принимается объем единичного куба, т. е. куба,
ребром которого служит единичный отрезок.

Так принято в геометрии и в физике. На практике же приме-
няют разные единицы: длину измеряют метрами, миллиметрами,
дюймами, футами и т. д.; площади — квадратными метрами, гек-
тарами, акрами; объемы — литрами, галлонами, баррелями, ку-
бическими метрами, бушелями и т. д.1.

1 Это единицы объема, применяемые в США и в Англии. Бушелями измеряют
объемы зерна, баррелями — нефти, галлонами — бензина.
В самом понятии площади и объема единица их не играет роли,
и совершенно не обязательно, например, считать за единицу объема,
скажем, объем единичного куба. Можно было бы принять за еди-
ницу объема объем любого другого многогранника. Только это
было бы не так удобно.

Ради простоты мы выберем раз навсегда единичный отрезок, а
вместе с ним — единичный квадрат и единичный куб. Тогда под
длинами, площадями и объемами будем понимать их численные зна-
чения в этих единицах.

56.3. Существование площади и объема

Длина отрезка была определена еще в начале курса планимет-
рии как расстояние между его концами. Что же касается самого
расстояния, то оно определено аксиомами (см. § 1, гл. I). Но о пло-
щади и объеме в аксиомах не говорится, а из определения площади
и объема никак не следует, что такие величины в самом деле су-
ществуют. Их существование нужно еще доказать, и это действи-
тельно доказывается. Так, в отношении объема выполняется сле-
дующая теорема:

Теорема 56.1. При выбранном единичном кубе каждому
простому телу соответствует, и притом единственное, положи-
тельное число так, что выполнены свойства 1 и 2, указанные в
определении объема.

Это число — численное значение объема при данной едини-
це— изменяется с изменением единицы по правилу: если бе-
рется в k раз меньший (больший) единичный отрезок, то чис-
ленное значение объема увеличивается (уменьшается) в k3 раз.

Аналогичная теорема выполняется для площади простых замк-
нутых областей.

Теорема 56.2.При выбранном единичном квадрате каж-
дой простой замкнутой области соответствует, и притом един-
ственное, положительное число так, что выполнены свойства
1 и 2, указанные в определении площади.

Это число — численное значение площади при данной еди-
нице — изменяется по следующему правилу: если берется в k
раз меньший (больший) единичный отрезок, то численное зна-
чение площади увеличивается (уменьшается) в k2 раз.

Доказывать эти теоремы мы не будем.

Вообще, вопрос о площади фигур и особенно об объемах труд-
ный, он не может быть изложен в нашем курсе вполне строго. То
же относится к вопросу о площади поверхности и длине кривой.
Все эти вопросы принадлежат, по существу, к трудным разделам
высшей математики. Поэтому мы и не будем стремиться к особой
строгости, а установим нужные результаты, руководствуясь больше
наглядными соображениями.

Отметим еще, что площадь и объем можно определить не только
для простых замкнутых областей и тел, но определение их для
других фигур более сложно.
§ 57. ОБЪЕМ ПРЯМОГО ЦИЛИНДРА

57.1. Теорема об объеме прямого цилиндра

дальше мы будем иметь дело только с простыми телами и про-
стыми замкнутыми областями, но для краткости не будем постоянно
упоминать об этом. В частности, в этом параграфе речь идет о ци-
линдре, являющемся простым телом (каждая прямая пересекает
его по конечному числу отрезков и точек). Поэтому его основание
является простой замкнутой областью.

Согласно теоремам 56.1 и 56.2 такие тела имеют объем, а замк-
нутые области — площадь. Сейчас мы будем решать вопрос о том,
как находить объемы некоторых тел, выражая их через другие
величины, характеризующие эти тела.

При этом будем считать единицы измерения заданными, как ус-
ловлено в § 56, и соответственно будем понимать под длиной, пло-
щадью и объемом их численные значения. Тогда можно сформули-
ровать следующую теорему.

Теорема 57.1. Объем прямого цилиндра равен произведе-
нию площади его основания на высоту.

Замечание. У прямого цилиндра высота равна длине об-
разующей, но здесь лучше говорить о высоте, потому что, как бу-
дет доказано, объем не только прямого, но и всякого цилиндра ра-
вен произведению площади основания на высоту.

До того, как доказать эту теорему, рассмотрим следующие два
простых утверждения; в них заключается идея ее доказательства.

1) Объем прямого цилиндра пропорционален высоте^ пг. е. длине
его образующей.

Представим себе прямой цилиндр как бревно постоянного сече-
ния. Будем распиливать его на чурки (рис. 57.1). Зная длину чур-
ки, мы можем судить об ее объеме. Во сколько раз длиннее отпи-
ливаем чурку, во столько раз больше будет ее объем, т. е. объем
чурки пропорционален ее длине. Но что такое ровно отпиленная
чурка, как не прямой цилиндр? Теперь поставим ее на землю
(рис. 57.2) и увидим, что объем прямого цилиндра пропорциона-
лен длине образующей, т. е. высоте.

2) Объем прямого цилиндра пропорционален площади его осно-
вания.

Рис. 57.2 Рис. 57.3

Рис. 57.1
Для того чтобы убедиться в этом, будем колоть напиленные
нами чурки. Раскалывая чурку, мы ударяем ее по верхнему основа-
нию. Какую долю площади верхнего основания чурки отделим,
такую же долю ее объема получим (рис. 57.3). Полено, если оно
ровное, тоже цилиндр. Таким образом, какую долю составляет
площадь его основания, такую же долю составляет и его объем
от объема всей чурки: во сколько раз больше отделим площади,
во столько же раз отколем больше объема. А это и значит, что
объем пропорционален площади основания.

Итак, объем прямого цилиндра пропорционален и площади
основания, и высоте. Следовательно, пропорционален их произ-
ведению.

Обозначая объем V, площадь основания S, высоту Я, можно
написать: V = aSh, где а — коэффициент пропорциональности,
т. е. некоторое число.

В частности, прямым цилиндром является единичный куб. У
него V = 1, S = 1, h = 1. Поэтому необходимо а = 1.

Следовательно, V = Sh, как и утверждает теорема.

57.2. Доказательство теоремы об объеме
прямого цилиндра

Прямой цилиндр С однозначно определяется его основанием
В и высотой Н (отрезком, а не его длиной). Поэтому объем V (С)
цилиндра С зависит только от В и Н, т. е. является их функцией:
V (С) = V (В, Н).

Покажем, что эта функция при фиксированном Н обладает
свойствами площади, а при фиксированном В — свойствами длины.

Рассмотрим цилиндры с основаниями на какой-нибудь данной
плоскости с данной высотой Н (рис. 57.4). Тогда объем такого
цилиндра зависит только от основания, так что можно написать
V (С) =* f (В). Если основания В и В’ таких цилиндров С и С*
равны, то и цилиндры равны, и, стало быть, равны их объемы:
V (С) = V (С), т. е. f (В) — f (В'). Значит, если фигуры В и В'
равны, то f (В) — f (В').

Если основание В составлено из замкнутых областей Вг и В2,
то цилиндр С составлен из Cj и С2, и, значит V (С) = V (Сх) -т
+ V (С2), т. е. f (В) = f (Bt) + f (В2).

Таким образом, величина f (В) удовлетворяет двум условиям:
1) если плоские фигуры В и В' равны, то f (В) = / (В’);

2) если В составлена из В, и В2, то f (В) — f (Вг) + f (б2).

Но этими свойствами характеризуется площадь, только, может
быть, с другой единицей измерения. Поэтому величина f (В) про-
порциональна численному значению площади S (В) (при выбран-
ной нами единице измерения), т. е. f (В) = kS (В).

Для каждой фиксированной высоты Н коэффициент пропор-
циональности k будет свой, зависящий от Н, поэтому f (В) =
'•= k (H)S (В), т. е.

V (С) = V (В, Н) = f (В) = k (Н) S (В). (1)

Равенство (1) доказывает, что объем прямого цилиндра пропор-
ционален площади его основания. Покажем теперь, что он пропор-
ционален и высоте.

Рассмотрим прямые цилиндры С с единичным квадратом Вв в
основании, т. е. призмы с единичным квадратом в основании. Для
такой призмы S (Во) = 1, и потому по формуле (1) ее объем

V (С) = k (И).

Если высоты Н и Н' таких призм равны, то и сами призмы
С и С равны, поэтому для них V (С) = V (С), т. е.

k (И) = k (//').

Если призма С с высотой Н составлена из призм Ct и С2 с вы-
сотами Нг и Н2, то V (С) = V (СО + V (Сг), т. е. k (Н) = k (Ht) +
+ k (Н2).

Таким образом, величина k (Н) обладает двумя свойствами:

1) если отрезки Н и Н' равны, то k (Н) — k (Н');

2) если отрезок Н составлен из Я1 и Н2, то

k (Н) = k (Ях) + k (Н2).

Но этими свойствами характеризуется длина отрезка, только, мо-
жет быть, с другой единицей измерения. Поэтому величина k (Н)
пропорциональна длине h высоты Н (при выбранной нами единице),
т. е. k (Н) = ah, где а — множитель пропорциональности.

И так как k (Я) — это объем V (С) призмы С, то

V (С) = k (Я) = ah.

Поскольку С — призма с единичным квадратом в основании,
то при h — 1 она оказывается единичным кубом, т. е. при h = 1
значение V (С) = 1 и# значит, а = 1. Таким образом, k (Н) = Л,
и из (1) для объема любого прямого цилиндра получаем:

V (С) = hS. Е

3 А Д А Ч И К § 57

В задачах, говоря «цилиндр», мы имеем в виду прямой круговой
цилиндр.

1. Как вы будете делить на равные части торт, имеющий форму
цилиндра?

2. Сколько понадобится цилиндрических бочек длиной 1,5 м
и диаметром 0,8 м, для того чтобы разлить содержимое цилиндри-
ческой цистерны длиной 4,5 м и диаметром 1,6 м?

3. На земле лежат два бревна цилиндрической формы. Одно
из них в два раза длиннее другого, но в два раза тоньше его. Из
какого из них выйдет больше поленьев одинаковых размеров?

4. На плоскости стоит закрытый цилиндрический сосуд, в ко-
тором высота равна диаметру основания, — такой цилиндр на-
зывают равносторонним. В него до половины налита вода. На
какой высоте над плоскостью будет е4е уровень, если: а) сосуд по-
ложить на плоскость его образующей; б) сосуд укрепить так, чтобы
диагональ его осевого сечения была перпендикулярна плоскости?

5. В цилиндрическом сосуде находится жидкость. Предложите
различные способы, чтобы узнать, больше или меньше половины
объема сосуда налито.

6. Можете ли вы объяснить, почему суживается струя воды,
текущая из крана вертикально вниз?

7. Бумага свернута в цилиндрический рулон. Какие нужно сде-
лать замеры на рулоне, чтобы узнать, сколько квадратных метров
бумаги намотано?

8. В цилиндрический сосуд была налита доверху вода. Сосуд
наклонили на некоторый угол. Можете ли вы узнать, какой объем
воды вылился из сосуда, не возвращая его в прежнее положение?

9. Объем жидкости в цилиндрической цистерне можно измерить
с помощью вертикального прута. На чем это основано? Проведите
какие-либо конкретные вычисления.

10. Найдите граничные значения объема цилиндра, у которого:
а) диаметр (т. е. диагональ осевого сечения) равен 1; б) площадь
осевого сечения равна S.

11. В прямоугольном параллелепипеде с ребрами 1, 1, 2 про-
ведено сечение под углом 45° к основанию, не являющемуся квад-
ратом. В каком отношении оно делит объем параллелепипеда?

12. Известна диагональ прямоугольного параллелепипеда. Ка-
кие достаточно знать углы, чтобы найти его объем?

13. а) Можно ли найти объем прямоугольного параллелепи-
педа, зная площади двух его неравных граней? б) А трех его не-
равных граней?
14. Два шара радиуса 1 лежат в прямоугольном параллеле-
пипеде так, что каждый из них имеет общую точку с пятью его гра-
нями. Каков наименьший объем такого параллелепипеда?

15. Докажите, что любое сечение куба, проходящее через его
диагональ, делит его объем пополам. Есть ли еще в кубе отрезки
с таким же свойством? Есть ли такие же отрезки в прямоугольном
параллелепипеде? В цилиндре?

16. Как вы разделите куб на: а) 8 равновеликих кубов; б) 6
равновеликих пирамид; в) 3 равновеликие пирамиды; г) 4 равно-
великие треугольные призмы; д) 6 равновеликих треугольных призм;
е) пять равновеликих прямоугольных параллелепипедов? (Равно-
великие фигуры — это равные по объему.)

17. Через каждое ребро куба проведена плоскость, составляю-
щая одинаковые углы с плоскостями граней, содержащих это реб-
ро. При этом она не проходит через его внутренние точки. Во сколь-
ко раз объем полученного многогранника больше объема куба?

18. Известна приближенная формула (1 + х)3 ж 1 + Зх при
малых значениях х. Дайте ей геометрическое истолкование.

19. Два шара радиуса 1 расположены в кубе так, что они ка-
саются друг друга и каждый из них имеет единственную общую
точку с тремя соседними гранями куба. Вычислите наименьший
и наибольший объемы такого куба.

20. Какие измерения вы сделаете на поверхности прямого
параллелепипеда, чтобы вычислить его объем?

21. Можете ли вы найти объем прямого параллелепипеда, если
известны: а) площади трех неравных его граней; б) расстояния
между каждой парой противоположных граней?

22. Прямой параллелепипед имеет две плоскости симметрии,
проходящие через диагонали его оснований. Известны длины этих
диагоналей и высота параллелепипеда. Можете ли вы найти его
объем?

23. В параллелепипеде ABCDA^fi^D^ грани ABCD и AAtBxB—-
квадраты со стороной d. ArAD = <р —острый. Найдите объем па-
раллелепипеда. Изменится ли результат, если угол <р будет тупым
или прямым?

24. Дана правильная треугольная призма. Нарисуйте сечение
этой призмы, делящее пополам ее объем и проходящее через: а) бо-'
ковое ребро; б) ребро основания; в) вершину основания; г) произ-
вольную точку внутри основания; д) произвольную точку внутри
боковой грани.

25. ABCDA1BlC1D1 — прямоугольный параллелепипед. В его
грани BBjCiC проведен отрезок параллельно BBV Зная объе-
мы призм ABKA^Ky и CDKCJ}^, найдите объем параллеле-
пипеда.

26. ABCDAyB^yDy — куб с ребром 1. Через (АВ) проводится
сечение куба под углом <р к плоскости основания. Найдите объем
той части куба, которая содержит его центр.
a) S) 6)

г)

Рис. 57.5

27. ABCA^Bfi^ — правильная тре-
угольная призма с объемом V. Точки X
и Xi находятся на прямой ССЪ причем
СХ — CjXi. Найдите объем многогранни-
ка ABXA&Xi.

28. A BCD — равнобедренная трапеция.
|АВ\ =| ВС| = |СО| = 2, |AD\ = 4,
(АВК) _L (ABC), (CLD) _L (АВС), тре-
угольники А КВ и CLD равносторонние и
лежат с одной стороны от плоскости тра-
пеции. Вычислите объем многогранника
ABCDKL.

29. ABCAJ^Ci — правильная призма.
Через точку К — середину ребра ССХ
проведено сечение AKBV В каком отно-
шении оно разделило объем призмы?

30. Квадрат A BCD вращается вокруг
стороны AD. Его сторона равна 1, ВХСХ—
некоторое положение стороны ВС. Вы-
числите наибольшее значение объема те-
ла ABCDC&.

31. Площадь боковой грани правиль-
ной треугольной призмы равна 1. Вычис-
лите граничные значения ее объема.

32. Прямоугольник со сторонами 3 и
1 является разверткой боковой поверх-
ности прямой треугольной призмы, основа-
нием которой является равнобедренный
треугольник. Вычислите граничные зна-
чения ее объема.

33. В прямой четырехугольной призме
основанием является трапеция. Площади
ее боковых граней равны 1, 2, 3, 4. Расстояние между параллель-
ными гранями с площадями 1 и 4 равно 1. Вычислите объем
призмы.

34. Многогранник задан тремя проекциями (рис. 57.5). Какие
надо сделать замеры на этих проекциях, чтобы найти его объем?

35. Контейнер для мусора имеет такие три проекции (рис.
57.6). Вычислите его объем.

§ 58. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ОБЪЕМА ИНТЕГРАЛОМ

Т еорема 58.1. Пусть простое тело Т лежит между парал-
лельными опорными плоскостями а и р и у(х)— плоскость, ле-
жащая между ними и удаленная на расстояние х от а(рис. 58.1).
Пусть сечения Q (х) тела Т плоскостями у(х)— это замкнутые
области, причем Q (х), а также их площади S (х) непрерывно
зависят от х. Тогда объем V (Т) тела Т выражается формулой

V(T) = \S(x)dx, (1)

где h — расстояние между аир.

Пояснение. Понятие непрерывной зависимости сечения
Q (х) тела Т можно определить, например, так: если значения х
и х' достаточно близки, то для любой точки каждого из двух се-
чений Q (х) и Q (х') в другом из них найдется достаточно близкая
к ней точка.

Доказательство. Пусть V (х) — объем тела Т (х),
которое составляет часть тела Т, лежащая между плоскостями а
и у (х). Смещая плоскость у (х) на Дх, получим тело Т (х + Дх).
Это тело отличается от Т (х) на слой ДТ между плоскостями
у (х) и у (х + Дх) (рис. 58.2). Объем слоя V (ДТ) равен абсо-
лютной величине приращений ДТ объема V (х): V (Д /) == |ДУ| =
= | V (х + Дх) — V (х)|. Не исключено, что Дх < 0, а тогда и
ДУ < 0; поэтому V (ДТ) = | ДУ|.

Рис. 58.2

1 Именно здесь мы пользуемся условием непрерывной зависимости Q (а)
от х.
Если Д х мало, то сечения тела Т в пределах данного слоя
мало отличаются от сечения Q (х) при данном х1 Соответственно
слой мало отличается от прямого цилиндра с основанием Q (х)
и той же толщины, т. е. высоты | Дх|. Поэтому объем слоя будет

V (ДТ) = (S (х) + s) | Дх|, (2)

где s — малая величина, поскольку любое сечение слоя ДТ мало
отличается от сечения Q (х) с площадью S (х). И когда Дх стремится
к нулю, поправка s тоже стремится к нулю. Так как V (ДГ) =
= |ДУ|, а ДИ и Дх одного знака, то из (2) следует, что -—=
дх
= S (х) + s. Отсюда при Дх, стремящемся к нулю, получим:

Нги — = S (х), те К' (х) = S (х).

дх->оДх

Следовательно, объем V (х) есть первообразная функция
S (х). При этом И (0) = 0, а V (h) есть объем V (Т) всего тела Т.

Поэтому V (Г) - V (Л) — V (0) = J S (х) dx. ®

§ 59. ОБЪЕМЫ НЕКОТОРЫХ ТЕЛ

Применим теорему предыдущего параграфа к нахождению объе-
мов произвольного конуса, шара и некоторых других тел.

59.1. Объем цилиндра

В § 57 мы нашли объем прямого цилиндра; тот же результат
верен для любого цилиндра.

Теорема 59.1. Объем цилиндра равен произведению пло-
щади основания на высоту:

V = Sh.

Доказательство. Пусть Q (х) — сечение данного ци-
линдра плоскостью, параллельной плоскости основания и про-
веденной на расстоянии х от нее.

Расстояние х меняется от 0 до высоты h. Площади S (х) всех
сечений Q (х) равны площади основания S: S (х) = S. Кроме того,
сечения Q (х) непрерывно зависят от х. Поэтому теорема 59.1
применима, и по формуле (1) § 58

h h h

V = j S (x) dx = j Sdx = S dx = Sh. И

6 on
59.2. Объем конуса

Теорема 59.2. Объем конуса, и, стало быть, в частности
пирамиды, равен одной трети произведения площади основа-
ния на высоту:

V = —Sh.

Доказательство. Сечение конуса плоскостью, парал-
лельной основанию, подобно основанию. Если плоскость прохо-

дит на расстоянии х от вершины, то коэффициент подобия равен у
(рис. 59.1). Поэтому площадь сечения Q (х) такой плоскостью будет
S(x) = ^p,

где S — площадь основания. Сечения и их площади зависят от х
непрерывно, так что теорема 58.1 применима.

По формуле (1) § 58 объем конуса К будет
h h

V m = j S M dx J x’-dx - - (-) |o = -5Л.
о b

Следовательно,

59.3. Объем шара

Теорема 59.3. Объем шара радиуса
R выражается формулой

V = -л/?3.

Доказательство. Рассмотрим
шар радиуса R. Удобнее взять полу шар—
часть шара, ограниченную плоскостью,
проходящей через центр. Плоскость, па-
раллельная ей и проходящая от нее на
расстоянии х, пересекает шар по кругу
радиуса г = V R2 — х2 (рис. 59.2). Пло-
щадь S (х) этого круга будет равна S (х) =
~=л (R2 — х2). Объем полу шара равен, оче-
видно, половине объема V шара, а рас-
стояние h равно R в формуле (1) § 58. По-
этому эта формула дает:

jV = nJ(£2-x2)dx.

О
Вычисляем:
я я я

J (Z?2 — х2) dx = J* R-dx — J x2dx = — |* = Itf3.

o bo

Следовательно, — V = —л/?3, V = -л#3.
2 3 3

д)

Рис. 59.3

59.4*. Объем тел вращения

Шар есть частный случай тела вращения без полостей внутри,
т. е. состоящего из кругов (плюс, конечно, полюсы — концы оси
тела).

Рассмотрим какое-нибудь такое тело. Введем на его оси коор-
динату х, отсчитываемую от одного конца оси до другого. Через
концы оси проходят перпендикулярные ей опорные плоскости.
Пусть h — расстояние между ними.

Пусть г (х) — радиус круга, по которому тело пересекается
плоскостью, перпендикулярной оси и проходящей через точку с
координатой х. Площадь этого круга равна лг2 (х). Поэтому, если
сечение тела и его площадь непрерывно зависят от х, то, применяя
формулу (1) § 58, получаем для объема тела выражение

V — л (г2 (х) dx.
о

При выводе формулы (1) § 58 предполагалось, что сечение тела и
его площадь непрерывно зависят от г.
В случае тела вращения это значит,
что радиус г (х) должен быть непреры-
вной функцией х.

Тело вращения без полостей полу-
чается вращением фигуры, которая пред-
ставляет собою половину его сечения
плоскостью, проходящей через ось вра-
щения. Эта фигура ограничена с одной
стороны меридианом, его уравнение в
прямоугольных координатах имеет вид
У = г (х).

Обратно, пусть на плоскости введе-
ны прямоугольные координаты х, у и в
них задан график неотрицательной не-
прерывной функции f (х), определенной
на каком-либо промежутке [а, Ь] (рис.
59.3), Этот график вместе с отрезком
[а, 6] оси х и проведенными в его концах
отрезками, перпендикулярными оси х,
ограничивает некоторую замкнутую
область — «криволинейную трапецию»
(хотя она может мало походить на тра-
пецию, поскольку ее «основания» могут
вырождаться в точки (рис. 59.4).
Вращая эту «трапецию» вокруг оси х, получим тело вращения
(см. рис. 59.3).

Для него г (х) — f (х), и так как х изменяется в промежутке
[о, &], то объем полученного тела

V = п J Р (х) dx.

ЗАДАЧИ К §59

Задачи к пункту 59.1

1. В основании призмы ABCA^Ct лежит равносторонний
треугольник со стороной 2. Ее боковое ребро равно 1. Найдите ее
объем, если: а) боковое ребро составляет с основанием угол <р;
б) ребро AAi составляет с ребрами АВ и АС углы 60°; в) грань
ВСВ^Сх — прямоугольник, плоскость которого наклонена к ос-
нованию под углом 30°; г) она имеет плоскость симметрии, прохо-
дящую через (ЛЛ!), и площадь сечения призмы этой плоскостью
равна S; д) грань ЛЛ1С1С перпендикулярна основанию, а угол
ЛХЛС равен 45°; е) две боковые грани перпендикулярны основа-
нию.

2. АВСАуВуС^ — наклонная треугольная призма. | ЛВ| =| ЛС|,
Л1ЛС = ЛХЛВ. Какие вы сделаете измерения на ее поверхности,
чтобы вычислить ее объем?

3. ABCA^Bfii — треугольная призма. Ее грань АВА^ при-
нята за основание параллелепипеда, боковым ребром которого
является ребро призмы ВС. Сравните объем призмы и объем по-
строенного параллелепипеда. Отсюда получите формулу для вы-
числения объема призмы через площадь одной из ее боковых гра-
ней и расстояние от плоскости этой грани до прямой, проходящей
через противоположное ребро призмы. Какие следствия вы мо-
жете получить из этой формулы?

4. Дана модель наклонной треугольной призмы. Какие измере-
ния вы сделаете на ее поверхности, чтобы найти ее объем?

5. ABCDA1B1C1Dl — параллелепипед. Нарисуйте его сече-
ние плоскостью, делящей пополам его объем и проходящей через:
а) ребро CCi, б) ребро CD; в) отрезок АгВ; г) диагональ Bj^D;
д) отрезок KL, где точка К лежит на отрезке AD, а точка L лежит
на отрезке CjiV

6. В параллелепипеде все грани — ромбы со стороной 1 и
острым углом: а) 60°; б) <р. Найдите его объем.

7. Ромб ABCD со стороной 1 и острым углом 60° при вер-
шине А вращают вокруг (AD). Вг — некоторое положение точки В.
Вычислите граничные значения объема параллелепипеда, пост-
роенного на отрезках АВ, AD, АВ! как на ребрах.
8. Боковое ребро параллелепипеда равно 1, площади граней,
содержащих это ребро, равны ST и S2. Найдите наибольшее зна-
чение его объема.

9. Четыре грани параллелепипеда — квадраты. Сторона квад-
рата равна 1. Вычислите наибольшее значение его объема.

10. Докажите, что объем произвольной призмы равен произве-
дению площади ее перпендикулярного сечения и длины бокового
ребра. Как использовать полученный результат для нахождения
объема модели наклонной треугольной призмы? Параллелепипеда?

11. Изменится ли объем призмы, если верхнее основание сдви-
нуть относительно прежнего положения, оставив его в той же
плоскости?

Задачи к пункту 59.2

В задачах, говоря «конус», мы имеем в виду конус вращения,
если нет особых оговорок.

12. За сколько рейсов трехтонный самосвал перевезет кучу
песка, имеющую коническую форму, если окружность основания
кучи имеет длину 25 м, а ее образующая имеет длину 5 м? (1 м3
песка имеет массу 2 т.)

13. Как провести сечение в конусе, чтобы получить конус,
объем которого в два раза меньше объема данного конуса? А в три
раза меньше?

14. Вода в коническом сосуде была налита доверху, а) На
сколько понизился ее уровень, когда отлили половину имевшейся
воды? б),Какая часть объема осталась, когда уровень воды пони-
зился в два раза?

15. Радиус основания конуса равен 2, а его высота равна 1.
Вычислите отношение объемов некруговых конусов, полученных
в данном после проведения в нем сечения: а) образующего угол 45°
с его высотой; б) образующего угол 60° с его основанием; в) явля-
ющегося прямоугольным треугольником; г) являющегося равно-
сторонним треугольником.

16. В конический сосуд, стоящий на столе, налили воду и сде-
лали отметку ее уровня на его поверхности. Потом сосуд перевер-
нули вершиной вниз, и оказалось, что уровень воды достиг той же
отметки. Какую часть от объема конуса составлял объем налитой
в него воды? В каком отношении поставленная отметка делила об-
разующую конуса? Изменится ли ваше решение задачи, если вместо
конуса взять другой сосуд?

17. Из всех конусов с данной площадью осевого сечения най-
дите тот, у которого объем достигает граничных значений.

18. Образующая конуса равна 1. Вычислите граничные значе-
ния объема такого конуса.

19. Найдите объем усеченного конуса, у которого известны:
а) радиусы обоих оснований и образующая; б) радиусы обоих осно-
ваний и высота; в) образующая, ее угол с большим основанием и
126
площадь осевого сечения; г) образующая и отношение площадей
оснований.

20. Дождь идет равномерно и долго. Можете ли вы за неболь-
шой промежуток времени узнать, за сколько времени наполнится
дождевой водой ведро, имеющее форму усеченного конуса?

21. Объясните, каким образом из формулы для объема усечен-
ного конуса, полученной вами в задаче № 19, можно получить фор-
мулу для объема цилиндра и формулу для объема конуса.

22. Найдите объем правильной треугольной пирамиды, у ко-
торой известны: а) сторона основания и высота; б) сторона осно-
вания и боковое ребро; в) сторона основания и плоский угол при
вершине; г) сторона основания и двугранный угол при основании;
д) боковое ребро и его угол с основанием; е) боковое ребро и угол
между боковыми гранями; ж) высота и плоский угол при вершине.

23. Сторона основания прямоугольного тетраэдра с равными
боковыми ребрами равна d. Найдите его: а) объем; б) высоту.

24. В основании пирамиды равнобедренный прямоугольный
треугольник с катетом 1. Боковые ребра пирамиды равны 2. Вы-
числите объем пирамиды.

25. Стороны основания пирамиды равны 5, 6, 7. Все боковые
ребра наклонены к основанию под углом 45°. Вычислите объем пира-
миды.

26. Боковые ребра треугольной пирамиды имеют длину 1.
Два плоских угла при вершине равны <рх, а третий угол равен ф2.
Вычислите объем пирамиды, если: а) Ф1 = ф2 = 60°; б) Фг = 90°,
ф2 = 120°; в) Ф1 = 60°, ф2 = 90°; г) Ф1 - 30°, ф2 = 60°; д) Ф1 =
= 120°, ф2 = 45°.

27. В пирамиде РАВС основанием является правильный тре-
угольник со стороной 1. АР В = ВРС ~ СР А = 60°. Вычислите
объем пирамиды.

28. В пирамиде РАВС (РАВ) J_ (РВС). (АВ) _±_ (ВС), \АВ\ -
= |РВ| = 2, |ВС| = 3, |РС| = 4. Вычислите объем пирамиды.

29. Два прямых двугранных угла, ребра которых перпендику-
лярны, пересекаются. При этом ребро каждого из них образует
равные углы с гранями другого двугранного угла. Расстояние
между ребрами двугранных углов равно 1. Вычислите объем мно-
гогранника, полученного в пересечении этих углов.

30. Треугольник АВС — равносторонний. Через его центр Q
проведена прямая, перпендикулярная его плоскости. На ней взя-
ты две точки Р± и Р2 с одной стороны от (АВС) так, что из точки
Р± все стороны треугольника видны под углом 60°, а из точки Р2
все стороны треугольника видны под углом 90°. Объем пира-
миды PlABC равен V, Найдите объем многогранника Р1Р2АВС.

31. В тетраэдре две боковые грани — прямоугольные равно-
бедренные треугольники. Их гипотенузами являются стороны
основания пирамиды. Какие надо сделать измерения на его поверх-
ности, чтобы найти его объем?
ж к 32. Как найти объем модели тетраэд-

/ \ ра, делая замеры на его поверхности?

/ \ 33. Докажите, что объем правильной

Z——А -------------треугольной пирамиды равен—Sd, гдес!—

v-------7 длина ребра основания, aS — площадь

\ / сечения пирамиды, проходящего через

\ / боковое ребро перпендикулярно основа-

\/ иию.

34. В треугольной пирамиде проведено
Рис. 59.5 сечение через сторону основания и сере-

дину противоположного ребра. Сравните
объемы полученных пирамид.

35. Правильный тетраэдр разделили всевозможными плоско-
стями, проходящими через ребро и середину противоположного
ребра. На сколько частей разделился тетраэдр? Можете ли вы
найти, какую часть от объема всего тетраэдра составляет объем
каждого из полученных при этом многогранников?

36. Нарисуйте сечение тетраэдра, делящее пополам его объем
и проходящее через: а) две его вершины; б) ровно через одну его
вершину; в) мимо всех его вершин; г) через данную точку внутри
тетраэдра.

37. Многогранник задан своими проекциями (рис. 59.5). Какие
надо сделать замеры на проекциях, чтобы вычислить его объем?

38. Разверткой правильного тетраэдра оказался правильный
треугольник со стороной 2. Вычислите объем тетраэдра.

39. Разверткой треугольной пирамиды является квадрат со
стороной 2. Вычислите объем этой пирамиды.

40. Дан правильный тетраэдр с ребром 1. а) Плоскость про-
ходит через середину его высоты перпендикулярно к йей. Нари
суйте тетраэдр, симметричный данному относительно этой плос-
кости. Нарисуйте объединение и пересечение данного и получен-
ного тетраэдров. Вычислите объемы полученных многогранников,
б) Нарисуйте тетраэдр, симметричный данному относительно сере-
дины его высоты. Нарисуйте объединение и пересечение исход-
ного и полученного тетраэдров. Вычислите объемы полученных
многогранников.

41. Отрезок CD длиной 1 движется по прямой, перпендику-
лярной (АВ). |ЛВ| = 1. Расстояние между прямыми АВ и CD
равно 1. а) Меняется ли при этом движении объем тетраэдра ABCD?
Если изменяется, найдите граничные значения объема этого тет-
раэдра. б) Ответьте на тот же вопрос, если отрезок CD вращается
вокруг общего перпендикуляра АС к прямым АВ и CD.

42. Правильный тетраэдр с объемом V срезан по углам плос-
костями так, что на каждой грани образовался правильный много-
угольник: а) треугольник; б) шестиугольник. Найдите объем остав-
шегося многогранника.

43. Куб с ребром 1 срезан по углам плоскостями так, что на
каждой грани образовался правильный многоугольник. Вычисли-
те объем образовавшегося многогранника.

44. В правильной треугольной призме АБСА^Съ точка К —
середина ребра AAV Найдите объем пирамиды если объем

призмы равен V.

45. Разделите прямую треугольную призму на три равнове-
ликих тетраэдра.

46. A BCD — квадрат со стороной 2, А В К и CDL — равно-
сторонние треугольники в одном полупространстве, |К£|=1,
(KL) || (АВС). Вычислите объем многогранника ABCDKL.

47. ABCD — квадрат со стороной 1, (РА) _1_ (АВС), |РД| = 2,
(QC) - I (ABC), |QC| == 2, точки Р и Q лежат с одной стороны от
(АВС). Вычислите объем многогранника PQABCD.

48. ABCDA1BlClDl — параллелепипед с объемом V. Какую
часть от него составляют объемы тетраэдров: a) A±ABD’, б) В±ВОС\
в) DA^ByC^ г) CAAJSi, д) Л1£>7)151; е) А^АВ^О^, ж) ABJ^C',
з) K^KL, где точки К и L делят на три равные части отрезок АС,
а точки Ki и делят на три равные части отрезок BjPJ

49. ABCD — квадрат со стороной 4. Треугольники ВКС и
ALD лежат в плоскостях, перпендикулярных плоскости квадрата
с одной стороны от нее. |СК\ = \ AL\ = 2, \ВК\ = \DL\ = 3.
Вычислите объем многогранника с вершинами в точках А, В, С,
D, К, L.

50. Три точки А, В, С лежат на сфере данного радиуса. Где
находится на этой сфере точка X такая, что объем тетраэдра ХАВС
наибольший?

51. Из всех треугольных пирамид с боковым ребром 1 и рав-
ными плоскими углами при вершине найдите ту, которая имеет
наибольший объем.

52. Равносторонний треугольник АВС со стороной 1 вращается
вокруг (АВ). С\ — некоторое положение точки С. Вычислите
наибольшее значение объема пирамиды СуАВС.

53. Равнобедренный прямоугольный треугольник АВС с ги-
потенузой АВ, | АВ\ = 2, вращается вокруг (АВ). С± — некоторое
положение точки С. а) Вычислите наибольшее значение объема
пирамиды CjABC. б) Решите такую же задачу, если треугольник
вращается вокруг одного из катетов.

54. а) В тетраэдре все ребра, кроме одного, имеют длину 1.
Вычислите наибольшее значение объема тетраэдра, б) Решите ту
же задачу, если четыре ребра тетраэдра имеют длину, равную 1,
а 2 оставшихся равны, в) Можете ли вы решить задачу б) без усло-
вия равенства двух оставшихся ребер?

55. В тетраэдре три ребра имеют длину, равную 2, а два реб-
ра имеют длину, равную 3. Вычислите наибольшее значение объема
тетраэдра.

56. В тетраэдре РАВС (РВС) _L (АВС). В основании лежит
равносторонний треугольник со стороной 1. | РА | =«= d. Найдите
наибольшее значение объема тетраэдра.
57. В тетраэдре РАВС (PC) _L (АВС). Треугольник РАВ—
прямоугольный равнобедренный с гипотенузой АВ, равной 1.
Вычислите наибольшее значение объема такого тетраэдра.

58. Площадь боковой грани правильной треугольной пирамиды
равна 1. Вычислите наибольший объем такой пирамиды.

59. ABCDA1B1C1D1 — куб. Через точки D, К — середину реб-
ра A1D1 и L — середину ребра C1D1 проведено сечение. Рассмот-
рим тетраэдр XKLD, где точка X лежит на ребрах куба. Когда его
объем достигает граничных значений?

60. Найдите объем правильной четырехугольной пирамиды по
данным, приведенным в задаче № 22 этого параграфа.

61. В четырехугольной пирамиде PABCD в основании лежит
квадрат со стороной 2, |РС| = \РВ\ = \PD\ = 2. Вычислите
объем пирамиды.

62. В основании пирамиды ромб ABCD. |ЛС| = 2. \BD\=
= \ ВР\ = \PD \ = 1. (BPD) JL (АВС). Вычислите объем пирамиды
PABCD.

63. В основании пирамиды квадрат со стороной 1. Две про-
тивоположные грани пирамиды — равнобедренные треугольники,
в основании которых лежат стороны квадрата, а углы при их вер-
шинах срх и ф2- Можете ли вы найти объем пирамиды?

64. В правильной четырехугольной * пирамиде противополож-
ные боковые грани перпендикулярны между собой. Ребро основа-
ния равно 1. Вычислите объем пирамиды.

65. В основании пирамиды PABCD лежит прямоугольник.
(РА) _L (AD), (РВ) _L (АВ), (PD) _L (CD). Известны площади
всех граней.- Найдите объем пирамиды.

66. В основании пирамиды лежит прямоугольник. Длины трех
боковых ребер пирамиды равны. Какие достаточно знать размеры
пирамиды, чтобы вычислить ее объем?

67. В основании пирамиды PABCD лежит параллелограмм.
| РА | =| РС|, | РВ\ — | PD\. Какие надо сделать замеры на поверх-
ности пирамиды, чтобы найти ее объем?

68. Две боковые грани пирамиды перпендикулярны основанию,
которое является трапецией с площадью S. Какие надо сделать
замеры на поверхности пирамиды, чтобы найти ее объем?

69. Разделите правильную четырехугольную пирамиду на два
равновеликих многогранника сечением, проходящим через: а) бо-
ковое ребро; б) вершину пирамиды; в) точку внутри ребра осно-
вания; г) ребро основания; д) точку на ребре параллельно основа-
нию.

70. В правильной пирамиде PABCD через (АВ) и (KL) — сред-
нюю линию противоположной грани проведено сечение. С какой
стороны от него находится многогранник большего объема?

71. Через середины трех ребер правильной четырехугольной
пирамиды, выходящих из одной вершины, проведено сечение. Ка-
кую часть от объема данной пирамиды составляет объем отсечен-
ной пирамиды?
72. Как разделить параллелепипед на: а) 6 равновеликих пира-
мид; б) 3 равновеликие пирамиды?

73. Четырехугольная пирамида имеет объем 3 и высоту 1. На-
рисуйте ее развертку, если: а) в основании квадрат и одна боковая
грань перпендикулярна основанию; б) в основании квадрат и две
боковые грани перпендикулярны основанию; в) в основании квад-
рат, а боковые грани равнонаклонены к основанию; г) в осно-
вании прямоугольник, а боковые ребра равнонаклонены к осно-
ванию.

74. В прямом параллелепипеде с объемом V центры двух ос-
нований соединены с вершинами противоположных граней. Внутри
параллелепипеда образовался многогранник. Какую часть состав-
ляет его объем от V?

75. PABCD — пирамида, в основании которой лежит квадрат
со стороной 1. (РВ) _]_ (АВС). Двугранный угол при ребре PD
равен 120°. Вычислите объем этой пирамиды?

76. Найдите объем правильной усеченной пирамиды (треуголь-
ной, четырехугольной) по таким данным: а) сторонам двух осно-
ваний и высоте; б) сторонам двух оснований и углу между боко-
вым ребром и большим основанием; в) сторонам двух оснований
и углу между боковой гранью и большим основанием; г) площадям
каждого из оснований и площади боковой грани.

77. Вычислите объем усеченной пирамиды ABCDAjB^Dn
в которой ABCD — квадрат со стороной 2, A^^C^D^ — квадрат
со стороной 1, (ВВг) | (ABC), = 1.

78. Длина бокового ребра правильной четырехугольной пира-
миды равна 1. Вычислите наибольшее значение ее объема.

79. В пирамиде основанием является прямоугольник, у кото-
рого одна сторона в два раза больше другой. Каждое ее боковое
ребро равно d. Найдите наибольшее значение ее объема.

80. Равнобедренный треугольник АВС, в котором |ВС\ = 2,
|ДС| = |АВ\ = 3, вращается вокруг прямой, параллельной (ВС)
и проходящей через A. — некоторое положение отрезка ВС.
Вычислите объем получающегося многогранника АВСВ1С1 тогда,
когда угол поворота равен: а) 90°; б) <р. Вычислите наибольшее
значение его объема.

81. Докажите, что при любом положении точки внутри выпук-
лого многогранника, все грани которого равновелики, сумма рас-
стояний от нее до плоскостей всех его граней постоянна.

Задачи к пункту 59.3

82. Из 1000 металлических шариков радиуса 1 сделали один
шар. Каков его радиус?

83. Шар радиуса 100 переплавили в шары радиуса 10. Один из
них переплавили в шары радиуса 1. Каких шаров больше: радиуса
10 или радиуса 1?
Рис. 59.6

84. Что бы вы предпочли: съесть арбуз радиуса
15 см вчетвером или съесть арбуз радиуса 20 см
ввосьмером?

85. Какая часть объема шара радиуса 7? содер-

жится между двумя концентрическими сферами (сфе-
рами с одним центром) радиусами 0,9 R и R? Каким

взять радиус меньшей сферы, чтобы между ними за-
ключалась ~ объема шара? объема шара?

86. Из одной и той же массы мыльной жидкости

можно делать мыльные пузыри разных размеров.
Как меняется их толщина при увеличении их радиу-

са? Попробуйте произвести соответствующие расче-
ты, можно приближенные. Пусть радиус мыльного пузыря уве-
личился в два раза. Как изменилась его толщина?

87. Из свинцового шара радиуса 10 мм делают цилиндрический
диск толщиной 1 мм. Каков его диаметр?

88. Какие надо сделать замеры на указанных видах, чтобы вы-
числить объем детали (рис. 59.6)?

89. Как вычислить радиус металлического шарика, используя
линейку ,и прозрачный цилиндрический сосуд с водой?

90. а) Можно ли в каком-нибудь цилиндре объемом 2 раз-
местить шар объемом 1? б) А два шара объемом 1?

91. Какую часть от объема шара составляет наибольший объем:
а) прямоугольного параллелепипеда; б) правильной треуголь-
ной пирамиды; в) правильной четырехугольной пирамиды; г) пра-
вильной треугольной призмы; д) цилиндра; е) конуса, которые
умещаются в этом шаре?

92. Из деревянного куба сделали шар наибольшего объема.
Сколько процентов материала пошло в стружку?

93. Вычислите объем наибольшего шара, расположенного: а) в
прямоугольном параллелепипеде с ребрами 1, 2, 3; б) в правильном
тетраэдре с ребром 1; в) в правильной треугольной призме с реб-
ром 1; г) в правильной четырехугольной пирамиде с ребром 1;
д) в правильном октаэдре с ребром 1; е) в наклонном параллелепи-
педе с ребром 1 и острым углом 60° в каждой грани при одной вер-
шине; ж) в наклонной треугольной призме с ребром 1, одна грань
которой — квадрат, а противоположное ей ребро образует с ос-
нованием угол 45°; з) в конусе, осевое сечение которого — прямо-
угольный равнобедренный треугольник с гипотенузой 1; и) в ци-
линдре, осевое сечение которого — квадрат со стороной 1.

94. В основании пирамиды PABCD квадрат со стороной 2, ее
высота равна 1. Какая из таких пирамид содержит наибольший по
объему шар: а) правильная четырехугольная; б) пирамида, у ко-
торой вершина проектируется в середину ребра основания; в) пи-
рамида, у которой вершина проектируется в вершину основания?

95. В шаре радиуса R провели через центр две плоскости, обра-
зующие между собой угол: а) 90°; б) ср. На какие по объему части
они разбили шар?

96. В шаре радиуса /? провели три радиуса: ОА, ОВ, ОС, из
которых каждые два перпендикулярны. (О — центр шара.) Какая
часть объема шара ограничена четвертями больших кругов шара
ОАС, ОВС, ОАВ и поверхностью шара?

Задачи к пункту 59.4

97. ОАВ — сектор круга радиуса R с центром О, меньший
четверти круга, точка D — проекция точки В на радиус ОА. Обо-
значим | AD | через И. Выведите формулу через R и Н для объема
тела, получающегося от вращения вокруг (ОЛ): а) сектора ОАВ
(шарового сектора); б) части сектора ABD (шарового сегмента).
Изменится ли результат, если сектор будет больше четверти круга?
Как из полученных формул можно прийти к формуле для объема
шара?

98. В шаре радиуса 2 провели сечение. От диаметра шара
оно отсекло отрезок длиной 1. Вычислите отношение объемов
полученных частей шара.

99. В шаре радиуса R провели два параллельных сечения на
расстоянии Н между собой. Как вы будете искать объем части
шара (шарового пояса), заключенной между ними?

100. Колечко ограничено цилиндрической и сферической по-
верхностью. Какие вы проведете измерения, чтобы узнать, сколь-
ко металла пошло на его изготовление?

101. Тело, называемое тором, может быть получено в резуль-
тате вращения круга около прямой, лежащей в его плоскости и
не имеющей с ним общих точек. Можете вы найти его объем?

102. Как вы будете искать объем тела вращения в задачах
№ 22—27 из § 52?

§ 60. * ДЛИНА КРИВОЙ ЛИНИИ

60Л. Определение длины

Длина ломаной по определению равна сумме длин образующих
ее отрезков. Кроме длины ломаной, вам известна длина окружно-
сти 2л R и длина любой дуги окружности <р R, если дуга стяги-
вает угол в ф радианов. Теперь определим, что называется дли-
ной вообще для любой линии.

Человек издревле мерил длину пути, скажем длину извилистой
тропинки, шагами. Длину любой линии можно измерить, откла-
дывая на ней малые отрезки, настолько малые, что искривление
линии на каждом из них не ощутимо (рис. 60.1). Так можно, на-
пример, оценить путь по железной дороге, считая промежутки —
отрезки между телеграфными столбами. Последовательные от-
резки, концы которых лежат на данной линии, образуют вписан-
ную в нее ломаную. Длина такой ломаной, если отрезки — звенья
ее очень малы, и дает приближенно длину линии. Это и приводит
к точному определению.

Ломаная называется вписанной в данную линию, если она обра-
зована отрезками, концы которых лежат последовательно на этой
линии от одного конца линии до другого. Если же линия замкну-
тая, то любую ее точку можно принять за совпавшие ее концы.

Длиной линии называется предел длин вписанных ломаных при
условии, что звенья ломаной становятся все короче так, что длина
наибольшего звена стремится к нулю. (Этот предел, как можно
доказать, не существует, только если длины ломаных неограни-
ченно возрастают.)

Это определение применяется ко всем линиям, в частности не-
зависимо от того, содержится ли линия в какой-нибудь плоскости
или нет.

Замечание 1. В определении длины нет речи об описан-
ных ломаных, потому что для линии, не укладывающейся в плос-
кости, нельзя разумно определить, какую ломаную нужно назы-
вать описанной. Но для плоских выпуклых линий их длина равна
пределу длин описанных ломаных, т. е. ломаных, образованных
отрезками опорных прямых (рис. 60.2).

Замечание 2. Строго говоря, надо было бы дать опреде-
ление того, что называется линией (или, как говорят, кривой).
Можно сказать так: линией называется фигура, описываемая точ-
кой при непрерывном движении, причем на линии учитывается
порядок прохождения ее точек.
60.2. Винтовая линия

Винтовой линией называется линия, которую описывает точка,
совершающая равномерное винтовое движение, т. е. движение, сла-
гающееся из равномерного движения параллельно данной прямой
и равномерного вращения вокруг этой прямой. Эта прямая назы-
вается осью винтового движения и, соответственно, осью винтовой
линии (рис. 60.3)7

Если v — скорость движения вдоль оси, то за время t точка
перемещается в направлении оси на расстояние Z = vt.

Если w — угловая скорость вращения, то за время t будет опи-
сан угол ср = wt. Точка остается на постоянном расстоянии от
оси; обозначим его г. Длина дуги, описываемой на окружности
радиуса г, будет за время t равна р — г = г ($t.

Винтовая линия лежит на круговом цилиндре с той же осью и
радиусом основания г.

Найдем длину дуги винтовой линии. Возьмем на данной винто-
вой линии две близкие точки Л, В со значениями t и t + Д/ (счи-
тая Д t >0). Пусть В' — проекция точки В на плоскость, перпен-
дикулярную оси и проходящую через точку Л (рис. 60.4). Тогда
треугольник АВВ' — прямоугольный, так что

| ЛВ|2 - \АВ' |2 + |В'В|2. (1)

Отрезок ВВ' дает смещение точки вдоль оси, так что

\BB'\ = v&t. (2)

Точка В' лежит на том же расстоянии г от оси, что В. Поэтому
длина дуги АВ' равна /тоД/, а хорда АВ' относительно мало от-
личается от дуги, так что

| АВ'\ = г шД/. (3)

Сопоставляя (1), (2), (3), получаем:

\АВ\ ж /и2 + г2 о2 М.

Поэтому длина ломаной с малыми звеньями будет

2 | АВ\ ж ]Л2 + г2 (о2 2 Д/ = Ги2 + г2 со2 (/2 — /х),
где 4 и /2 — значения, соответствующие начальной и конечной точ-
кам дуги. В пределе получим длину дуги

s = V'v2 + г2 о2 (/2 — 4). (4)

Величина h = v (/2 — tj есть смещение точки вдоль оси, а
р = г о (/2 — — длина дуги, описанной на окружности ра-

диуса г. Поэтому из (4)

s2 = h2 + р2

Это аналогично теореме Пифагора. Эга связь выясняется, если
цилиндр, на котором лежит винтовая линия, развернуть на плос-
кость. Тогда дуга винтовой линии р1азвернется (отобразится) в
гипотенузу прямоугольного треугольника с катетами длины h и р.

Если катить цилиндр по плоскости, по которой проведена пря-
мая линия, то след ее на цилиндре даст винтовую линию (если пря-
мая проведена чернилами, которые не высохли).

§ 61. ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ

61.1. О понятии площади поверхности

Площадь поверхности многогранника естественно считается
равной сумме площадей его граней. Вообще площадь фигуры, состав-
ленной из попарно неперекрывающихся фигур, считается равной
сумме их площадей. Вопрос состоит в определении площади искрив-
ленной поверхности.

Напомним, что под поверхностью мы понимаем границу тела
или ее часть (область на границе тела). Соответственно выпуклая
поверхность — это граница выпуклого тела или ее часть, а мно-
гогранная поверхность — это граница многогранника или ее часть,
состоящая из многоугольников.

Площадь поверхности определяют так. Разбивают поверхность
на такие куски, которые уже мало отличаются от плоских. Затем
находят площади этих кусков, как если бы они были плоскими.
Например, можно заменить их проекциями на некоторые плоско-
сти, от которых поверхность мало отклоняется (если поверхность
выпуклая, то на опорные плоскости). Сумма их площадей и даст
приближенно площадь поверхности. Так поступают на практике:
площадь поверхности купола получается как сумма площадей
покрывающих его кусков листового метал-
ла (рис. 61.1). Еще лучше это видно на
примере земной поверхности. Она искрив-
лена — примерно сферическая. Но участ-
ки, небольшие в сравнении с размерами
всей Земли, измеряют как плоские.

В математической теории — в геомет-
рии добавляют условие, что куски по-
верхности безгранично измельчаются, и
берут предел сумм площадей их проек-
ций.

61.2. Описанные многогранники
и определение площади
выпуклой поверхности

Рис. 61.1

Для выпуклых поверхностей можно применить другой способ
определения их площади. Он состоит в том, что вокруг выпуклой
поверхности описывают близкую к ней многогранную поверхность.
Ее грани будут приближенно представлять куски выпуклой поверх-
ности, а ее площадь даст приближенно площадь самой искривлен-
ной выпуклой поверхности. При этом многогранная поверхность
называется описанной вокруг выпуклой поверхности, если ее
грани лежат в опорных плоскостях данной выпуклой поверхности
и она располагается по ту же сторону от каждой такой плоскости
что и данная поверхность. Аналогично, многогранник называется
описанным вокруг выпуклого тела, если его грани лежат в опор-
ных плоскостях этого тела и он располагается по ту же сторону
от каждой такой плоскости, что и данное тело (тем самым много-
гранник выпуклый и содержит данное тело).

Теперь можно дать следующее определение.

Определение. Площадью выпуклой поверхности назы-
вается предел площадей описанных вокруг нее многогранных по-
верхностей при условии, что все точки этих многогранных поверхно-
стей становятся сколь угодно близкими к данной выпуклой по-
верхности.

В следующих пунктах этого параграфа вычисляются площади
простейших выпуклых поверхностей. При этом вычисление пло-
щади сферы основано на следующем интересном предложении.

Лемма 61.1. ОбъемУ (Р) выпуклого многогранника Р,
описанного вокруг шара радиуса R, и площадь S (Р) его по-
верхности связаны соотношением

V(P)^1~S(P)R. (1)

Доказательство. Опишем вокруг сферы какой-либо
многогранник Р. Разобьем его на пирамиды Tq с общей вершиной
в центре О и с гранями Q многогранника Р в основаниях (рис. б! .2).
Рис. 61.2

Каждая такая грань Q ле-
жит в опорной плоскости сфе-
ры и, значит, перпендикулярна
радиусу сферы в точке каса-
ния. Стало быть, этот радиус
есть высота пирамиды Tq. Поэто-
му ее объем будет

V(TQ) =1S(Q) R,

где S (Q) —- площадь грани Q.
Сумма этих площадей дает пло-
щадь многогранника S (Р). А
сумма объемов пирамид Tq —
его объем V (Р). Поэтому

У(Р) =

61.3. Площадь сферы

Теорема 61.1. Площадь сферы радиуса R выражается
формулой

S = 4л R2. (2)

Доказательство. Пусть дан шар U радиуса R, Возь-
мем на его сфере п точек, не лежащих в одной полусфере, и проведем
через них опорные плоскости к шару. Эти плоскости ограничат
многогранник Рп, описанный вокруг шара U, Будем увеличивать
число выбранных точек и брать их на сфере все гуще и гуще. Тогда
поверхности многогранников Рп будут приближаться к данной
сфере. Их объемы V (Рп) будут стремиться к объему шара {/, т. е.

Ит V (Рп) = |л Я3, (3)

П->оо О

а согласно определению площади выпуклой поверхности их пло-
щади S (Р„) стремятся к площади S данной сферы, т. е.

lim S (Ря) = S. (4)

П->оо

Но по лемме 61.1

К(РЯ) = {5(РП)/?. (5)

Переходя в (5) к пределу и используя (3) и (4), получаем:

4 лЯ’ = ±SR, (6)

О о

откуда следует, что

S = 4л R2.
61.4* . Площадь части сферы

Рассмотрим какую-либо сфе-
ру и на ней фигуру F. Назо-
вем шаровым сектором с основа-
нием F фигуру, образованную
радиусами, проведенными во
все точки фигуры F (рис. 61.3).

Теорема 61.2. Площадь S
фигуры на сфере радиуса R
и объем V шарового сектора,
основанием которого служит
данная область, связаны фор-
мулой

V=±SR. (7)

Доказательство. Рис. 61.3

Пусть на сфере дана фигура F и

пусть U — шаровой сектор с основанием F. Опишем вокруг шара
многогранник и вырежем из него «сектор» пирамидой с вершиной
в центре шара, заключающей шаровой сектор U. Если Sp — пло-
щадь поверхности, вырезанной из многогранника, a Vp — объем,
то, так же как в лемме 61.1,

V, = у S.R.

Поэтому в пределе, когда Vp -> V и Sp -> S, получим формулу
(7). Зная эту формулу, можно находить площади некоторых час-
тей сферы.

Замечание. Величина угла на плоскости служит мерой
множества лучей, исходящих из вершины угла, или, что равносиль-
но, мерой множества соответствующих направлений. Аналогично
мерой множества лучей, исходящих из одной точки в пространстве
(или, что равносильно, мерой множества направлений), служит
телесный угол.

Рассмотрим какой-либо «конус лучей» — множество лучей, ис-
ходящих из одной точки О; этот конус пересекает единичную сфе-
ру с центром О (т. е. сферу радиуса 1) по некоторой фигуре F. Пло-
щадь этой фигуры и принимается за меру данного множества лу-
чей. Соответственно телесным углом конуса называется площадь
фигуры, по которой конус пересекает единичную сферу с цент-
ром в вершине конуса.

Как полный угол вокруг точки на плоскости равен 2л, так
полный телесный угол равен 4л, и как угол с дуговой мерой 1
называется радианом, так телесный угол с мерой 1 называется
стерадианом (стереорадиан от греческого «стереос» — телесный).

Понятие телесного угла как меры множества лучей важно, на-
пример, в оптике.
Площадь фигуры, вырезаемой на сфере данным конусом лучей
с вершиной в центре сферы и телесным углом <о, равна $ = <о R*.

Объем же соответствующего сектора V = — ю R3.

61.5. Площадь поверхности усеченного конуса,
конуса и цилиндра

Конус и цилиндр можно рассматривать как предельные случаи
усеченного конуса. Конус получается, когда одно основание усе-
ченного конуса стягивается в точку; цилиндр — когда основания
становятся равными и образующие — параллельными (рис. 61.4).

Теорема 6\.3. Площадь боковой поверхности усеченного
конуса вращения с радиусами оснований R и г и длиной об-
разующей I выражается формулой

S - л (Я + г) Z. (8)

Для конуса вращения г = 0, потому площадь его боковой по-
верхности

S = лЯ/. (9)

Для цилиндра вращения г = Я, и потому площадь его боковой
поверхности
Доказательство. Рассмотрим усеченный конус вра-
щения F с радиусами оснований R, г и центрами оснований О,
О' (рис. 61.5). Опишем вокруг нижнего (большего) основания пра-
вильный п-угольник. Пусть А19 Л2, Ап —точки, где его сто-
роны а19 a2l ап касаются окружности основания. Каждый ра-
диус OAk перпендикулярен стороне ak. Радиус основания служит
проекцией образующей того конуса, из которого получен данный
усеченный конус (рис. 61.6). Поэтому по теореме о трех перпенди-
кулярах образующая ЛЛЛ1 рассматриваемого усеченного конуса
перпендикулярна стороне ak.

Пусть ak — плоскость, в которой лежат отрезки ak и AkAk .
Плоскости аь а2, ..., ап опорные к F вдоль его образующих AkAk .
Вместе с плоскостями оснований они ограничат усеченную пирамиду
Рп, описанную вокруг F. Боковая поверхность этой усеченной пи-
рамиды состоит из трапеций Tk с нижними основаниями ak и верх-
ними ak (рис. 61.7). Высотой такой трапеции служит образующая
АкАк (так как (Л/гЛ^) JL ак). Так как |Л/гЛ^| = /, то площадь
трапеции Тк равна

(11)

где dk и d'k — длины отрезков ak и ak.

Складывая равенства (11) и обозначая периметры оснований
Р через рп и р'п, получим для площади боковой поверхности Рп
формулу

S(pn) = ₽2±^/. (12)

При п -> оо площадь боковой поверхности S (Рп) усеченной
пирамиды Рп буд&т сходиться к площади S боковой поверхности
усеченного конуса: S (Рл) -> S (площади полных поверхностей
Рп сходятся к площади полной поверхности F по определению,
а площади оснований Рп — к площадям оснований F, поэтому и
площади боковых поверхностей сходятся).

Периметры оснований сходятся к длинам окружностей осно-
ваний F: рп 2л/? и р'п -> 2лг. Поэтому из (12) в пределе полу-
чаем:

S = lim S (/>„) = lim I = + 2nr I = n(R + r)l.

Таким образом, формула (8) доказана.

Приведенный ее вывод применим также к конусу вращения и к
цилиндру вращения. Разница лишь в том, что в случае конуса
вместо описанной усеченной пирамиды строится пирамида и ее
грани вместо трапеций будут треугольниками (рис. 61.8). А в слу-

чае цилиндра строится описанная призма; грани ее — прямо-

угольники (рис. 61.9). Соответственно по-
лучаются формулы (9) и (10). Проведите
их вывод сами.

61.6*. О понятии поверхности

Мы рассматривали поверхность в ос-
новном как границу тела, но это совер-
шенно не обязательно: сферу, цилиндри-
ческие, конические, любые многогранные
поверхности можно рассматривать само-
стоятельно. В практике сплошь и рядом
встречаются такие вещи, как листы бума-
ги, части одежды, консервные банки и
другие вещи, настолько малой толщины,
что их можно считать протяженными

только в двух измерениях, как поверх-
ности тел. Такие вещи и служат реаль-

ными поверхностями.

Это наглядное представление и лежит
в основе того, как чаще всего определяют
поверхность в геометрии. Сейчас мы изло-
жим это определение. Но и без него вы мо-
жете иметь наглядное представление о по-
верхностях: как о тонких пленках — иде-
ально «толщиной» в одну точку.

Простейшими поверхностями являются
многоугольники и вообще плоские области
(замкнутыеобласти). Простой поверхностью
можно назвать фигуру, которая получает-
ся из плоской области в результате ка-
Рис. 61.11

кой-либо ее деформации (взаимно-однозначного, непрерывного
отображения, рис. 61.10). Поверхностью будет любая фигура,
составленная из таких простых поверхностей, подобно тому как
многогранная поверхность составляется из многоугольников
(рис. 61.11).

Словом, поверхности «склеиваются» из кусков, каждый из кото-
рых получается деформацией плоской области, совсем как портной
шьет одежду из кусков материи. Простейший пример из геометрии:
поверхность цилиндра «сшивается» из оснований и боковой поверх-
ности, которая сама может быть получена из прямоугольника, ес-
ли его согнуть в трубку и склеить края. Примерами могут служить
также развертки многогранных поверхностей, здесь деформации
плоских многоугольников сводятся к их сгибаниям по ребрам.

Замечание. Можно построить такие геометрические тела,
граница которых не составляется из простых поверхностей. Сло-
вом, общее и точное определение того, что называют в геометрии
поверхностью, затруднительно. Сказанное здесь о поверхности еще
не дает ее точного определения, хотя бы потому, что мы не опре-
делили точно, что значит поверхность «составляется» из кусков.
Но нам это и не нужно. В частных случаях оно ясно.

ЗАДАЧИ К §61

Задачи к п. 61.1

1. Куб с ребром 1 разрезали на п3 кубиков, равных между со-
бой. Во сколько раз общая площадь поверхности полученных
кубиков больше площади поверхности данного куба?

2. Докажите, что площадь боковой поверхности прямой призмы
равна произведению периметра основания и высоты.

3. Прямоугольный параллелепипед поставили на одну грань,
и оказалось, что площадь боковой поверхности равна Sx. Потом
его поставили на другую грань, и оказалось, что площадь боковой
поверхности равна S2- Потом его поставили на третью грань, и
оказалось, что площадь боковой поверхности равна S3. Среди
этих граней не было равных. Можете ли вы найти площадь поверх-
ности параллелепипеда?

4. Имеются два равных прямоугольных параллелепипеда с реб-
рами 1, 2, 3. Как из них составить многогранник: а) с наиболь-
шей площадью поверхности; б) с наименьшей площадью поверхно-
сти? (При составлении многогранника параллелепипеды приклады-
ваются гранями или их частями.)

5. Докажите, что площадь боковой поверхности наклонной
призмы равна произведению периметра ее перпендикулярного се-
чения и длины бокового ребра.

6. В основании параллелепипеда лежит квадрат со стороной
Одна из вершин верхнего основания проектируется в центр ниж-
него основания. Боковое ребро параллелепипеда равно d2. Найдите
боковую поверхность параллелепипеда.

7. АВСА1ВаС1 — правильная треугольная призма. Проведите
сечение призмы так, чтобы площадь ее поверхности разделилась
пополам и при этом сечение прошло бы через: a) (CCJ; б) Вг па-
раллельно (ДС); в) (АС) параллельно (Л^).

8. Какие надо сделать замеры на* проекциях многогранника,
(рис. 57.5), чтобы вычислить площадь его поверхности?

9. АВСА1В1С1 — правильная треугольная призма. Ребро ос-
нования равно 1, а высота равна 2. Через (АС) проведено сечение
под углом ср к основанию (ср = 30°, 45°, 60°). а) Вычислите пло-
щадь поверхности образовавшихся частей призмы, б) Под каким
углом <рх надо провести такое сечение призмы, которое разделит
площадь ее поверхности пополам?

10. Объем правильной треугольной призмы равен V. Найдите
граничные значения площади ее поверхности.

11. В треугольной призме известны расстояния между прямыми,
которые проходят через ее боковые ребра, и длина бокового ребра.
Можете ли вы по этим данным определить у этой призмы: а) пло-
щадь боковой поверхности; б) площадь поверхности; в) объем?

12. В основании призмы АВСА1В1С1 треугольник со сторонами
10, 10, 12. |Д1Д| = |Д1В| = |Д1С| = 13. Вычислите площадь
поверхности призмы.

13. В призме АВСА1В1С1 |АВ| = |ДС| = 7, |ВС| = 6, |ДД1|=

— 10, AXAB — AjAC. Вычислите наибольшую площадь поверх-
ности такой призмы.

14. В прямой треугольной призме боковые грани с площадями
и S2 образуют между собой прямой угол. Найдите наибольшее
значение площади ее боковой поверхности.

15. Около шара радиуса R описан прямой параллелепипед.
Найдите граничные значения площади его поверхности.

16. В тетраэдре РАВС \РА\ = \РВ\ = \РС\ = du |ЛВ| =
= I ВС I = d2. Какие углы достаточно знать, чтобы найти пло-
щадь его поверхности?

17. Существует ли плоскость, которая делит пополам площадь
поверхности правильного тетраэдра и проходит через: а) две вер-
шины; б) ровно через одну вершину; в) мимо всех вершин?

18. В правильном тетраэдре найдите сечение, которое делит
пополам: а) площадь поверхности и объем; б) только площадь по-
верхности; в) только объем.

19. Две плоскости проводятся параллельно одной из граней
тетраэдра. Одна из них делит пополам его объем, а другая делит
пополам площадь его поверхности. Какая из этих плоскостей бли-
же к указанной грани?

20. Докажите, что площадь боковой поверхности правильной
пирамиды равна произведению полупериметра основания и длины
апофемы пирамиды.

21. Через вершину правильной треугольной пирамиды провели
сечение, которое делит пополам площади двух его боковых граней.
Рассмотрим отношение площади поверхности полученной треуголь-
ной пирамиды к площади поверхности исходной пирамиды, а) До-
кажите, что оно больше б) Будет ли оно больше, чем -i? в) По-
пробуйте сами оценить это отношение.

22. Известны площади трех граней тетраэдра. Можно ли, из-
меряя только углы на его поверхности, найти площадь его поверх-
ности?

23. Дан прямоугольный тетраэдр. Достаточно ли знать’длину
каких-либо его трех ребер, чтобы найти площадь его поверхности?

24. В основании тетраэдра РАВС равнобедренный треуголь-
ник АВС. (| АВ| = | ДС|), (РВ) J_ (АВС). Точка X лежит на ребре
ВС. причем (РХ) _1_ (ДХ). Сравните площади поверхностей
пирамид ХАРС и ХАРВ.

25. В тетраэдре РАВС |РС| = |ДВ|, \РА\ = \РВ\ = [ВС| =
= |ДС| = 1. Вычислите наибольшую площадь его поверхности.

26. В тетраэдре пять ребер равны 1. Вычислите наибольшее
значение площади его поверхности.

27. Все плоские углы при вершинах Д, В тетраэдра РАВС
равны <р, |АВ\ == 2. а) Найдите площадь поверхности тетраэдра,
б) Каковы ее граничные значения? _

28. Объем правильной треугольной пирамиды равен 9J/2.
Вычислите наибольшее значение площади его боковой поверхности.
Попробуйте решить задачу в общем виде, а затем составьте обрат-
ную задачу.

29. В тетраэдре РАВС |АВ\ = 1, \РВ\ = 2, |РС|= 3. Объем
тетраэдра равен 1. Вычислите площадь поверхности тетраэдра.

30. В тетраэдре РАВС (РВ) _L (ABC). (АВ) _L (ВС), а) Через
точку К — середину ребра РВ провесе но сечение АКС. Сравните
площади поверхностей получившихся ьирамид. б) Найдите такую
точку X на ребре РВ, чтобы площади поверхностей пирамид
ХА ВС и ХА PC были одинаковы.

31. Высота пирамиды, в основании которой находится квад-
рат, проходит через его вершину. Какие замеры на ее поверхности
вы сделаете, чтобы вычислить площадь поверхности? А если в ос-
новании ромб?

32. В основании пирамиды прямоугольник, ее боковые ребра
равны. Какие надо сделать измерения на ее поверхности, чтобы
вычислить площадь поверхности?

33. В основании пирамиды ромб, все ее грани равнонаклонены
к основанию. Какие надо сделать замеры на ее поверхности, чтобы
вычислить площадь поверхности?

34. В основании пирамиды ромб со стороной 10 и углом <р.
Каждое боковое ребро пирамиды равно 15. Вычислите площадь
поверхности пирамиды.

35. а) Может ли внутри правильной призмы находиться одно-
именная правильная пирамида с большей площадью поверхности?
б) А произвольная пирамида? в) Составьте обратную задачу.

36. Докажите, что площадь боковой поверхности правильной
усеченной пирамиды равна произведению полусуммы периметров
ее оснований на длину ее апофемы.

37. В правильной n-угольной усеченной пирамиде стороны
оснований равны dt и d2. Найдите площадь ее боковой поверхно-
сти, если: а) боковое ребро равно d3; б) угол бокового ребра с ос-
нованием равен <р; в) угол между боковой гранью и основанием
равен ср; г) высота равна h; д) она является частью правильной
пирамиды с площадью поверхности S.

38. Через* какую точку высоты усеченной пирамиды проходит
сечение, параллельное основанию, которое делит площадь ее боко-
вой поверхности пополам?

39. Можете ли вы найти объем правильной п-угольной усе-
ченной пирамиды, если известна площадь ее боковой поверхности
и площадь каждого основания?

40. Правильная n-угольная пирамида высотой Н вписана в
шар радиуса 7?. а) Найдите площадь ее поверхности, б) Докажите,
что с ростом п она увеличивается, в) Будет ли увеличиваться пло-
щадь боковой поверхности одноименной правильной пирамиды,
вписанной в шар радиуса R, при увеличении /7? г) А площадь
полной ее поверхности?

Задачи к пункту 61.2

41. Докажите, что около сферы можно описать: а) правильный
многогранник; б) правильную пирамиду.

42. Каким условиям должны удовлетворять: а) прямая тре-
угольная призма; б) прямая n-угольная призма; в) наклонный па-
раллелепипед; г) правильная усеченная пирамида для того, чтобы
в них можно было вписать сферу?
43. Многогранник имеет: а) центр симметрии; б) плоскость
симметрии. Как расположен по отношению к ним центр вписан-
ной сферы, если такая существует для этого многогранника?

44. Вычислите радиус сферы, вписанной в: а) куб; б) правиль-
ный тетраэдр; в) правильный октаэдр; г) правильную п-угольную
пирамиду со стороной основания d± и боковым ребром d2; д) пра-
вильную n-угольную призму со стороной основания и высотой
d2; е) треугольную пирамиду, в основании которой лежит равно-
сторонний треугольник со стороной 1, а одно из боковых ребер,
равное 2, перпендикулярно основанию; ж) треугольную пирами-
ду, в основании которой лежит равнобедренный треугольник,
две стороны которого равны dlf а угол между ними равен ср, и в
которой высота, равная й, проектируется в середину основания
равнобедренного треугольника; з) четырехугольную пирамиду, в
основании которой лежит квадрат со стороной 1, а высота лежит в од-
ной из боковых граней, равна 1 и проектируется: 1) в вершину
квадрата; 2) в середину стороны квадрата; и) параллелепипед, все
грани которого ромбы со стороной d и острым углом 45° при одной
вершине; к) правильную n-угольную усеченную пирамиду со сто-
ронами оснований di и d2 и высотой h.

(В задачах а), б), в) сторона многогранника равна 1.)

Задачи к пункту 61.3

45. Докажите, что скорость изменения площади сферы пропор-
циональна ее радиусу.

46. Краски хватает, чтобы покрасить один шар радиуса /?.

а) На сколько шаров ее хватит, если они будут иметь радиус —,

а толщина слоя краски та же самая? б) Предположим, что вы реши-
ли красить шары слоем краски, в два раза более толстым. На сколь-
ко шаров радиуса ~ хватит краски теперь? в) Предположим, что

вы решили красить шары радиуса R слоем краски, в два раза более
тонким. На сколько шаров хватит краски теперь?

47. Из шара с площадью поверхности 1 см2 сделали какое-то
число одинаковых шариков. Может ли суммарная площадь их
поверхностей быть больше, чем 1 м2?

48. Может ли сфера находиться внутри тела с меньшей площадью
поверхности, если это тело: а) правильная треугольная пирамида;
б) правильная треугольная призма; в) прямоугольный параллеле-
пипед; г) цилиндр; д) конус?

49. Можно ли внутри данного шара разместить некоторое чис-
ло не пересекающихся и равных между собою сфер, суммарная
площадь поверхностей которых больше: а) площади поверхности
данной сферы; б) площади поверхности любой сферы?

50. Могут ли внутри шара находиться тела с большей площадью
поверхности, если это: а) правильная треугольная пирамида;
б) правильная треугольная призма; в) прямоугольный параллеле-
пипед; г) цилиндр; д) конус; е) произвольное тело?

Задачи к пункту 61.4

51. Выведите формулу 3 = 2л RH для площади поверхности
таких частей сферы: а) сферического сегмента; б) сферического
пояса. (Здесь S — площадь части сферы, R — радиус шара, Н —
высота сегмента или пояса.)

52. Площадь сферической поверхности полушара равна 3.
Чему равна площадь поверхности всего полушара?

53. На высоте Н над Землей находится спутник. Какая часть
поверхности Земли с него видна?

54. На какой высоте над Землей и сколько спутников доста-
точно иметь, чтобы с них можно было видеть всю Землю?

55. На Земле находятся два круглых озера. Длина окружности

одного из них в два раза больше длины окружности другого. Во
сколько раз одно из них имеет большую площадь водной поверх-
ности? (Для получения результата достаточно произвести при-
ближенные вычисления.)

56.

между

Два шара радиуса R расположены так, что расстояние
з

их центрами равно у R. Найдите площадь поверхности и

объем их пересечения.

57. Из шара радиуса 3 вырезали шаровой пояс, у которого ра-
диусы кругов равны 1 и 2. Найдите площадь его сферической по-
верхности и объем.

58. На полусфере взяли два сферических пояса с одинаковой
площадью поверхности. Равны ли объемы соответствующих шаро-
вых поясов?

59. Существует ли в данном шаре такой шаровой сектор, у ко-
торого: а) площадь его сферической поверхности равна площади
его конической поверхности; б) площадь его поверхности равна
площади сферической поверхности полушара?

60. Площадь сферической поверхности некоторого шарового
сектора составляет — от площади всей сферы. Какую часть состав-
4

ляет объем этого сектора от объема шара? Обобщите задачу.

61. Какие вы сделаете замеры на шаровом сегменте, чтобы
вычислить его площадь поверхности и объем? А на шаровом
поясе?

62. Сечение шара, площадь поверхности которого равна 3,
разделило его на две части, площади которых Зт и S2. Каков был
радиус этого шара?

63. От шара отсекли сегмент. Известно, какую часть состав-
ляет площадь его сферической поверхности от площади сферы. Мож-
но ли узнать, какую часть составляет его объем от объема шара?
Можно ли решить обратную задачу?
64. Известно, что если растают все льды Гренландии, то уро-
вень воды в Мировом океане поднимется примерно на 10 м. Как мог-
ло получиться такое число? Может быть, вы проведете и свои под-
счеты?

65. На сфере даны: а) 2; б) 3; в) 4 точки. Найдите сегмент наи-
меньшей площади, накрывающий эти точки.

66. Ребро прямого двугранного угла проходит через центр сфе-
ры. а) Какая часть площади сферы находится внутри него? б) Ре-
шите ту же задачу для двугранного угла величиной ср.

67. В вершине прямоугольного тетраэдра с боковым ребром 2
находится центр сферы радиуса 1. Какая часть площади сферы на-
ходится внутри тетраэдра?

68. В шар вписан: а) правильный тетраэдр; б) куб. На какие
по площади части разделилась его поверхность плоскостями гра-
ней этих многогранников?

Задачи к пункту 61.5

69. Настольная лампа имеет абажур в виде боковой поверхно-
сти усеченного конуса. Как узнать, сколько материала пошло на
его изготовление?

70. Известно, во сколько раз площадь поверхности усеченного
конуса больше площади каждого из оснований и площади боковой
поверхности. Можете ли вы узнать площадь поверхности усеченного
конуса?

71. Пусть высота цилиндра постоянна. Будет ли скорость из-
менения площади его боковой поверхности пропорциональна его
радиусу? А площадь его поверхности? А его объем? Решите такую
же задачу, предположив, что постоянен радиус цилиндра, а из-
меняется его высота.

72. Плоскость делит пополам объем цилиндра, а) Делит ли она
пополам площадь его поверхности? б) Сформулируйте и проверьте
обратное утверждение.

73. В цилиндре проведены два взаимно перпендикулярных сече-
ния, параллельные оси. Известны их площади. Можно ли найти:
а) площадь боковой поверхности цилиндра; б) площадь поверхно-
сти цилиндра; в) объем цилиндра?

74. Рассмотрим три величины: объем цилиндра, площадь его боковой поверх- ности и площадь поверхности. Можете ли £ вы, зная две из них, найти третью? 75. Из двух равных цилиндров сделали такое тело (рис. 61.12). Как вы найдете площадь поверхности этого тела? 76. Объемы двух цилиндров равны. Докажите, что площади их боковых по- верхностей обратно пропорциональны их радиусам. 2 о Рис. 61.12
77. Равны ли два цилиндра, у которых равны: а) площади боко-
вых поверхностей и площади поверхностей; б) объемы и площади
боковых поверхностей; в) объемы и площади поверхностей?

78. а) Могут ли цилиндр и шар иметь одинаковые объемы и
площади поверхностей? б) Ответьте на тот же вопрос для конуса
и шара.

79. Объем цилиндра равен 1. Вычислите граничные значе-
ния: а) площади его поверхности; б) площади его боковой поверх-
ности.

80. Найдите граничные значения объема цилиндра, у которого
известна: а) площадь поверхности; б) площадь боковой поверхно-
сти.

81. Основание цилиндра радиуса 1 находится на основании
цилиндра радиуса 2, и больше общих точек у них нет. Их высоты
равны 2 и 1 соответственно. При каком их взаимном положении
площадь поверхности тела, являющегося их объединением, будет
наибольшей? Наименьшей?

82. Разверткой боковой поверхности цилиндра является пря-
моугольник с диагональю d. Найдите наибольшее значение
площади боковой поверхности цилиндра.

83. Может ли внутри цилиндра находиться: а) правильная
n-угольная пирамида; б) произвольная пирамида; в) правильная
n-угольная призма; г) произвольная призма; д) цилиндр; е) ко-
нус с большей площадью боковой поверхности? А с большей пло-
щадью поверхности?

84. Пусть высота конуса постоянна. Будет ли скорость измене-
ния площади его боковой поверхности пропорциональна его радиу-
су? А площадь его поверхности? А его объем? Решите такую же
задачу, предположив, что постоянным является радиус конуса,
а меняется его высота. Решите такую же задачу, предположив, что
постоянным является угол в осевом сечении конуса, а меняется его
образующая.

85. а) Плоскость делит пополам объем конуса. Следует ли из
этого, что она делит пополам площадь его поверхности? б) Плоскость
делит пополам площадь боковой поверхности конуса. Следует ли
из этого, что она делит пополам его объем?

86. Осевое сечение конуса — равносторонний треугольник со
стороной 1. Вычислите площадь его поверхности.

87. Может ли площадь боковой поверхности конуса быть равна
площади его основания?

88. В конусе с образующей 1 нашлись три попарно перпенди-
кулярные образующие. Вычислите площадь его поверхности.

89. Рассмотрим три величины: объем конуса, площадь его боко-
вой поверхности и площадь его поверхности. Можете ли вы, зная
две из них, найти третью?

90. Имеются два конуса. Может ли один из них иметь большую
площадь боковой поверхности, а другой — большую площадь
поверхности?
91. Равны ли два конуса, у которых равны: а) площади боковых
поверхностей и площади поверхностей; б) объемы и площади бо-
ковых поверхностей?

92. Два конуса расположены так, что вершина каждого нахо-
дится в центре основания другого. Как вы будете искать площадь
поверхности тела, являющегося их: а) пересечением; б) объедине-
нием?

93. Оси двух конусов лежат на одной прямой, их основания на-
ходятся в одной плоскости, а сами они — в одном полупространст-
ве. Радиус первого конуса равен 2, его высота равна 1. Радиус вто-
рого конуса равен 1, его высота равна 2. Вычислите площадь по-
верхности их объединения.

94. Может ли внутри конуса находиться: а) правильная и-
угольная пирамида; б) произвольная пирамида; в) правильная п-
угольная призма; г) произвольная призма; д) цилиндр; е) конус,
имеющие большую площадь боковой поверхности? А большую пло-
щадь поверхности?

95. В шар радиуса 2 вписан конус, у которого плоскость осно-
вания удалена от центра шара на 1. Вычислите площадь поверхности
конуса.

96. Поверхность бидона состоит из круга, боковых поверхно-
стей двух цилиндров и боковой поверхности усеченного конуса.
Как вы узнаете, сколько металла пошло на его изготовление? Не
экономнее было бы сделать его боковую поверхность только ци-
линдрической?

97. Если в конусе провести сечение, параллельное основанию,
то он разделится на меньший конус и усеченный конус. Докажите,
что площадь боковой поверхности усеченного конуса равна раз-
ности площадей боковых поверхностей большего и меньшего кону-
сов.

98. Образующая конуса равна 1. Вычислите граничные
значения: а) площади боковой поверхности; б) площади поверх-
ности.

99. Площадь боковой поверхности конуса равна S. При ка-
ком значении его радиуса достигает граничных значений: а) его
объем; б) площадь его поверхности?

100. Объем конуса равен V. При каком отношении образую-
щей к диаметру основания достигает граничных значений его:
а) площадь боковой поверхности; б) площадь поверхности?

101. Тело является объединением конуса и полушара. Они рас-
положены так, что основание конуса совпадает с большим кругом
полушара и других общих точек у них нет. Образующая конуса
равна 2. При каком значении радиуса шара достигаются граничные
значения площади поверхности этого тела?

102. Разверткой боковой поверхности конуса является: а) чет-
верть круга радиуса 1; б) полукруг радиуса R. Найдите площадь
его поверхности.
103. Разверткой боковой поверхности конуса является сектор
радиуса 1. Вычислите граничные значения: а) площади его бо-
ковой поверхности; б) площади его поверхности; в) его объема.

104. Цилиндр, конус и шар одинаковой высоты
уч и одного радиуса, стоящие на одной плоскости,
] \ рассекли рядом плоскостей, параллельных этой пло-

/ \ скости, находящихся на одинаковом расстоянии меж-

L------д ду собой. При этом одна из них проходит через вер-

шину конуса. У какого из тел части поверхности,
-------заключенные между параллельными плоскостями,
//'ТХ \ имеют равные площади?

-Т-+ Ч—+ + 105. Тело задано двумя проекциями (рис. 61. 13).

VJ Какие надо сделать замеры на этих проекциях, чтобы
вычислить площадь поверхности тела?

„ п 106. Как вы будете искать площадь поверхнос-
ис’ ' ти тела вращения в задачах № 21—27 из § 52?
Г лава X.*

ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК

§ 62. ОТ НАЧАЛА ДО ЛОБАЧЕВСКОГО

62.1. Эпоха практической геометрии

Первоначальные геометрические понятия зародились у людей
в глубочайшей древности и постепенно расширялись и уточнялись
с развитием практической деятельности, когда люди оценивали
расстояния, делали прямые копья и стрелы, сравнивали их по дли-
не и т. д. Но сама геометрия зародилась тогда, когда с развитием
земледелия были выработаны в практике и осознаны первые пра-
вила измерения земельных участков для посева, правила для
нахождения объема сосудов, для строительства зданий и др. Эти
простые правила сравнения фигур, нахождения геометрических
величин, простейших геометрических построений и составили на-
чало геометрии как пока еще чисто прикладной науки, как собра-
ния правил решения практических задач.

Такие зачатки геометрии складывались в древних землевладель-
ческих обществах (в Египте, в Вавилоне, в дельте Инда, в Китае),
раньше всего, по-видимому, в Древнем Египте. Самое древнее до-
шедшее до нас в отрывках собрание правил решения геометричес-
ких задач из Египта относится к XVII в. до н. э., и оно, конечно,
не было первым. Так что возраст геометрии надо оценивать не ме-
нее, чем в 4—5 тысяч лет. Но тогда она не была еще математичес-
кой наукой. Египтяне знали многие факты геометрии, как, напри-
мер, теорему Пифагора, приближенное выражение объема шара
и др., но именно как опытные факты, а не логически доказанные
теоремы. Математика, как мы ее теперь понимаем, сложилась
много позже.

62.2. Формирование теоретической геометрии

Практические правила, найденные из опыта, постепенно приво-
дили в систему, и одни правила стали выводиться из других. Воз-
никло доказательство, правила стали превращаться в теоремы, в
предложения, которые доказываются рассуждением без ссылок на
опыт; появились также задачи и выводы, имеющие умозрительный,
теоретический интерес; оформились представления об идеальных
геометрических фигурах — о точках без всяких измерений, о пря-
мых без ширины и толщины и т. п. Геометрия становится, таким
образом, теоретической наукой, как мы ее теперь понимаем. Тогда
Фалес

Пифагор

же сложилась теоретическая арифметика — начала теории чисел, так
что в целом возникла чистая математика. Как происходил этот
процесс, точно не известно. Но, во всяком случае, известно, что
геометрия оформилась в Древней Греции в период VII— V в. до
н. э. В этом сыграли существенную роль, в частности, греческие мы-
слители, известные вам по названиям теорем, — Фалес (ок. 625 —
ок. 547 г. до н. э.) и Пифагор (ок. 580—ок. 500 г. до н. э.). Несколь-
ко позже другой великий греческий философ и ученый — Демо-
крит (ок. 460 — ок. 370 г. до н. э.) создал прообраз интегрального
исчисления, находя объемы суммированием тонких слоев; ему же,
по-видимому, принадлежит вывод связи между объемом и площа-
дью поверхности шара в теореме 61. 1. Он представил шар как со-
стоящий из очень тонких пирамид с общей вершиной в центре.
Высота такой пирамиды равна радиусу /?, так что ее объем
V = — /?3, где 3 — площадь основания. Складывая, получим

для объема всего шара

v = 4 /?$.
О

В конце V в. до н. э. греческий геометр Гиппократ Хиосский
(т. е. из Хиоса) создал сводное сочинение по геометрии — «На-
чала», до нас, однако, не дошедшее. Он же, как и другие греческие
геометры того времени, занимался тонкими теоретическими вопро-
сами геометрии.

Таким образом, в то время геометрия, несомненно, уже сложи-
лась как наука с ее системой выводов и с чисто теоретическими за-
дачами.

Этот процесс формирования геометрии от правил измерения
земельных участков до логической системы теорем кратко охаракте-
ризован в следующих замечательных словах греческого ученого
Евдема Родоского (IV в. до н.э.):

«Геометрия была открыта египтянами и возникла при измерении
Земли. Это измерение было им необходимо вследствие разливов
реки Нила, постоянно смывавшего границы. Нет ничего удиви-
тельного в том, что эта наука, как и другие, возникла из потреб-
ностей человека. Всякое возникающее знание из несовершенного со-
стояния переходит в совершенное. Зарождаясь путем чувственного
восприятия, оно постепенно становится предметом рассмотрения
и, наконец, делается достоянием разума».

62.3. Расцвет геометрии в Греции

Одним из важнейших событий в геометрии того времени —
в V в. до н. э. — было открытие несоизмеримых отрезков. Диаго-
наль квадрата несоизмерима с его стороной: у них нет общей ме-
ры, т. е. нет такого отрезка, как бы мал он ни был, который уклады-
вался бы и в стороне и в диагонали по целому числу раз. Говоря
нашим современным языком, если сторона квадрата равна а, то
диагональ по теореме Пифагора равна ]^2а (рис. 62.1), а ]^2—
число иррациональное. Поэтому нет такой величины b и таких
целых чисел т и и, чтобы а = mb и У 2а = nb.

Раньше думали, что отношение любых величин можно выразить
рациональным числом, т. е. как отношение целых чисел, и вот выяс-
нилось, что это неверно. Выяснилось тем самым, что рациональных
чисел недостаточно для выражения отношения любых величин. Но
до обобщения понятия числа — до иррациональных чисел греки,
однако, не додумались. Поэтому то, что мы теперь выражаем по-
средством алгебры, они выражали геометрически. Как уже было
сказано в связи с теоремой Пифагора (§ 19), сначала была геомет-
рия — алгебра появилась потом. Например, квадратное уравнение
х2 + ах = b выражалось примерно так: найти такой отрезок х,
что квадрат, на нем построенный, вместе с прямоугольником, по-
строенным на этом отрезке и данном отрезке, дают площадь, рав-
ную данной.

Вместо действительных чисел вообще
рассматривались отношения величин. Тео-
рию этих отношений построил в IV в. до
н. э. Евдокс, один из величайших древних
греческих ученых. И в настоящее время
его теория является образцом строгого ло-
гического построения. Кроме того, он
положил начало методу нахождения объ-
емов, более строгому, чем метод Демок-
рита, так называемому «методу исчерпы-
вания», который потом особенно успешно
применял Архимед. Евдокс создал
также первую модель движения
небесных тел (с Землею в центре ),
можно сказать, первую математи-
ческую теорию естествознания:
она послужила прообразом более
поздней «системы Птолемея». Ос-
новные достижения геометрии были
систематизированы и изложены в
логической последовательности
Евклидом в его обширном труде,
известном под названием «Нача-
ла». Евклид жил в Александрии
(примерно от 365 до 300 г. до
и. э.) уже в другую эпоху гречес-
кой истории, последовавшую за
походами Александра Македонско-
го, — «эпоху эллинизма». Расска-

зывают, что, когда правивший в Александрии царь сказал
Евклиду, чтобы тот специально для него изложил геометрию, Ев-
клид отвечал: «В геометрии нет царского пути». Истина, наука —
для всех одна.

«Начала» Евклида содержат только основы геометрии того вре-
мени, ио, например, известные тогда результаты о конических се-
чениях в них не излагаются. Кроме того, «Начала» содержат
элементы теории чисел и геометрически изложенной алгебры, так
что в целом они представляют собой изложение основ математики
того времени. Открываются «Начала» определениями основных
понятий и формулировками основных положений геометрии —
«постулатов» и «аксиом», затем следуют в широкой последователь-
ности «предложения» — теоремы и решения задач на построение;
каждый новый раздел «Начал» начинается тоже с нужных опреде-
лений. Причины разделения основных положений на «постулаты»
и «аксиомы» в настоящее время не вполне понятны и им не прида-
ют значения; теперь основные положения всякой теории называют
вообще аксиомами.

Эта структура «Начал» послужила образцом научного изложе-
ния на две тысячи лет, и ему, например, следовал Ньютон в своих
«началах» — в «Математических началах натуральной философии».
Учебники же школьной геометрии до самого последнего времени
повсеместно представляли, по существу, популярные изложения
«Начал» Евклида.

Со времен Евклида все учили геометрию по его «Началам»,
а предшествовавшие им сочинения, как упомянутые в п. 62. 2 «На-
чала» Гиппократа Хиосского, были забыты.

После Евклида греческие ученые развивали данные способы
нахождения площадей и объемов (Архимед — ок. 287 — ок 212 г.
до н. э.), глубоко изучили конические, сечения (Аполлоний —
ок. 262 — ок. 190 г. до н. э.), положили
начало тригонометрии (Гиппарх — ок. 180—
ок. 125 г. до н. э.), положили начало гео-
метрии на сфере (Менелай I—II вв. н. э.)
и др.

62.4. От греков к Декарту

Затем развитие геометрии, однако, затор-
мозилось, почти вовсе остановилось. Это
произошло не столько из-за падения Гре-
ции с ее духом научного исследования, как
потому, что дальнейшее развитие геометрии
требовало новых идей и методов, необходи-
мо было развитие понятия числа, развитие
алгебры. Оно и началось в Греции в работах
Диофанта (III в. н. э.) и шло дальше в Индии,

Архимед

откуда мир получил, не считая других, три великих достижения:
позиционную десятичную систему счисления, понятие об отрица-
тельных числах, понятие об иррациональных числах с зачатками
алгебры. Дальше развитие алгебры шло особенно быстро в Сред-
ней Азии. Собственно, ее основателем можно считать жившего в

IX в. Мухаммеда аль Хорезми (из Хорезма). От названия его со-
чинения произошло само слово «алгебра» (переделанное арабское
слово «ал джабр» — название алгебраической операции перене-
сения членов уравнения из одной части в другую), а от его прозви-
ща (фамилии) аль Хорезми образовалось слово «алгоритм», или
«алгорифм».

Позже великий персидско-таджикский поэт и ученый Омар
Хайям (ок. 1048—ок. 1131) дал общее определение числа как от-

ношения любых величин вообще. Это
же определение было дано Ньютоном
в его «Всеобщей арифметике» спустя
600 лет после Хайяма.

Западная Европа стала превосходить
в развитии математики Среднюю Азию
и арабские страны только в XVI в.,
когда были найдены решения уравне-
ний 3-й и 4-й степеней и открыты комп-
лексные числа. В геометрии же прин-
ципиально новые шаги были сделаны в
XVII в. прежде всего в связи с ал-
геброй, а потом с созданием математи-
ческого анализа.

Знаменитый французский философ
и математик Рене Декарт (1596—1650) в
известном смысле завершил развитие
элементарной алгебры, введя в нее

Декарт
обозначения, принятые и поныне (аль Хорезми, например,
выражал словами то, что теперь пишут формулами). Вместе
с тем Декарт опубликовал в 1637 г. сочинение «Геометрия», в
котором ввел метод координат на плоскости, и, связав таким пу-
тем геометрию с алгеброй, включил в предмет геометрии любые
кривые, представимые алгебраическими уравнениями.

62.5. Анализ и геометрия

Развитие науки в Европе, начавшееся с середины XVI в. систе-
мой Коперника, пошло в XVII в. с энергией, дотоле невиданной.
Совершенно преобразуется одна из старейших наук — астрономия,
создается механика как наука о движении (у греков была лишь
статика), в физике закладывается учение об электричестве и ма-
гнетизме и физическая оптика, возникает физиология, начинает
складываться как наука химия и т. д.

Вместе с этим движением естествознания получает совершенно
новое развитие также математика: неограниченно расширяется ее
предмет и методы. Возникают четыре ее могущественных метода:
координаты, бесконечные ряды, дифференциальное и интеграль-
ное исчисление. В предмет математики включаются в принципе
любые функции и фигуры, которце могут быть представлены и
исследованы посредством этих методов, например любые функции,
представимые бесконечными рядами, и любые кривые, представи-
мые в декартовых координатах уравнениями с такими функциями.
Исследование функций посредством рядов, дифференциального и
интегрального исчисления вместе с разработкой самих этих ме-
тодов образовало новую область математики, получившую назва-
ние «математический анализ», «анализ бесконечно малых», или, ко-
ротко, «анализ». Создание его ос-
нове XVII в. явилось общим де-
лом многих математиков и было
завершено решающим вкладом
Исаака Ньютона (1643—1727)
и Готфрида Лейбница (1646—
1716)

Общее исследование движе-
ния требовало соответствующих
общих понятий и методов. Путь,
пройденный телом, есть вообще
функция времени. Скорость —
производная от пути по времени.
Путь, восстановленный по ско-
рости движения, —это ее интег-
рал. Ньютон, можно сказать, был
вынужден выработать эти ма-
тематические понятия и открыть

связь между ними, чтобы выра- Ньютон

зить в общей и точной форме за-
коны механики и методы решения
ее задач.

Греки тоже изучали движение и
функции, но то были конкретные
движения небесных светил и конкре-
тные функции, как, скажем, синус
угла (или длину хорды, стягивающей
углы, таблицы которых они вычисли-
ли). Но у них не было ни общей
теории движения, ни соответственно
исчисления функций. Именно соедине-
ние идеи движения с методом алгебры
и задачами геометрии, как вычисление
объемов, послужило тем основанием,
на котором вырос математический
анализ.

Он не только занял в математике Лейбниц

центральное положение, но проник
в ее более старые области — в геомет-
рию, в теорию чисел, в алгебру, так что математика стала в пода-
вляющей части анализом и его применениями. Главное же состоя-
ло в том, что с момента своего возникновения и тем более в пос-

ледующем развитии он дал могущественные средства формулиров-

ки законов и решения задач точного естествознания и техники.

Если с небольшим преувеличением можно сказать, что у гре-
ков математика была геометрией, то также можно сказать, что
после Ньютона математика стала анализом.

В геометрии главным стало обес-
печенное методом координат прило-
жение алгебры и анализа; первое да-
ло так называемую аналитическую
геометрию, второе — дифференциаль-
ную геометрию, т. е. общую теорию
кривых и поверхностей, развиваемую
методом анализа. Представленные в
школьном курсе элементы метода ко-
ординат и, скажем, задачи проведе-
ния касательной к кривой и вычисле-
ния площади «под кривой» представ-
ляют только самые простые и началь-
ные моменты этих двух теорий —
аналитической и дифференциальной
геометрии. Последняя была выделена
в особую область геометрии в конце
XVIII в. французским математиком
Гаспаром Монжем (1746—1818); его
сочинение так и называлось: «При-
ложение анализа бесконечно малых

Монж
к геометрии». (Монж был министром в период французской ре-
волюции и организовал обеспечение революционной армии
вооружением.)

Однако в геометрии, так же как и в алгебре, и теории чисел
оставались области и проблемы, не подвластные анализу (как,
например, основанная еще в XVII в. так называемая проективная
геометрия). Именно эти проблемы побудили совершенно новое раз-
витие геометрии (а также алгебры) в XIX в. В чем оно состояло,
будет сказано в следующем параграфе.

§ 63. СОВРЕМЕННАЯ ГЕОМЕТРИЯ

63.1. Коренное отличие современной геометрии

Если в одной фразе постараться выразить коренное отличие
современной геометрии от той, какой она была до середины
прошлого века и элементы которой мы изучаем в нашем курсе,
то можно сказать так.

Раньше была одна геометрия — геометрия одного единствен-
ного пространства, она изучала фигуры в этом единственном про-
странстве, теперь же геометрия охватывает «геометрии» бесконеч-
ного множества разных воображаемых пространств, она изучает
свойства самих пространств и фигур в них.

В отличие от всех прочих пространств то пространство, гео-
метрию которого мы изучали, называют трехмерным евклидовым
пространством. Наряду с ним мыслятся теперь и изучаются прост-
странства любого числа измерений — «евклидовы» и «неевклидовы»,
пространства Лобачевского, римановы и обобщенные римановы и
и не только n-мерные, но даже бесконечного числа измерений (по-
верхности тоже могут считаться пространствами — двумерными).

Что же представляют собой эти пространства, как их опреде-
ляют, какой их реальный смысл?

Вспомним определение, данное еще в § 1 главы I: «Простран-
ством элементарной геометрии называется множество точек, удов-
летворяющее сформулированным аксиомам», точки — это прос-
то элементы этого множества. Совершенно так же можно определить
любое другое пространство: это множество каких-то элементов
«точек», удовлетворяющее соответствующим аксиомам — какие бе-
рутся аксиомы, — такое определяется пространство. Название
«пространство» указывает только то, что оно по своим свойствам,
которые определяются аксиомами, похоже более или менее на обыч-
ное пространство элементарной геометрии.

Например, если из аксиом, принятых нами в § 1 главы I, ис-
ключить аксиомы 3,5, то оставшиеся определяют вообще «евкли-
дово пространство» произвольного числа измерений. Фиксировать
число измерений можно условием: число измерений пространства
равно п, если в нем существует п и не больше взаимно перпенди-
кулярных прямых. Так что, например, четырехмерное евклидово
пространство — это множество точек, где выполняются наши ак-
сиомы 1, 2, 4 и еще такая: существует 4 и не больше взаимно пер-
пендикулярные прямые (можно заметить, что тут выполняются
все теоремы § 2 главы I: через две пересекающиеся прямые про-
ходит плоскость, и поэтому перпендикулярность определяется,
как на плоскости).

Другой пример. Метрическим пространством называется мно-
жество, в котором каждой паре элементов (точек) X, Y отнесено
число |ХУ| с известными нам условиями:

(1) |ХУ| = 0 тогда и только тогда, когда X = Y;

(2) |ХГ| = |УХ|;

(3) |ХУ| + |Г2|>|Хг|.

Эго аксиомы метрического пространства.

Рассмотрим, например, любые непрерывные функции f, g на
отрезке [0, 1]. Определим расстояние между двумя функциями:

Ifel = max (x) — g (х)|.

* f [0.1]

Вы можете проверить, что все три аксиомы (1) — (3) выполня-
ются. Стало быть, рассматриваемые функции с так определенным
расстоянием между ними образуют метрическое пространство —
пространство непрерывных функций.

Другие примеры, а их много, мы рассмотрим дальше.

Итак, пространство в современной математике определяется
как множество каких-либо элементов — «точек», наделенное той
или иной структурой — теми или иными свойствами, по которым
дно более или менее сходно с обычным пространством. Свойства
его задаются теми или иными аксиомами.

Это общее понятие пространства сложилось в начале нашего
века в итоге развития геометрии и математики в целом. Рассмотрим
исходные пункты этого развития и вместе с ними простейшие
примеры пространств с их геометриями, их реальный смысл и зна-
чение.

63.2. Геометрия на поверхности

Планиметрия — это геометрия на плоскости, и, занимаясь ею,
рассматривают плоскость саму по себе, отвлекаясь от окружаю-
щего пространства. Совершенно так же можно изучать геометрию
на любой поверхности.

Представим себе какую-нибудь поверхность. Будем измерять
расстояние между ее точками по самой поверхности—по кратчайшей
линии от одной точки до другой (рис. 63.1). Такие линии играют на
поверхности роль прямолинейных отрезков, их называют корот-
ко кратчайшими. Так мы определили расстояние между точками
Рис. 63.1

Рис. 63.2

и отрезки — кратчайшие. Их можно обозначить, так же как в
планиметрии, АВ и т. п. , а расстояние | АВ\ и т. п.

Теперь можно, например, определить треугольник как фигуру
из трех кратчайших АВ, ВС, АС (не имеющих других общих то-
чек, кроме концов) или как часть поверхности, ограниченной та-
кими кратчайшими (рис. 63.2).

Можно определить окружность: окружностью с центром О и ра-
диусом г называется множество точек, удаленных от О на расстояние
г; совсем как на плоскости, только теперь имеются в виду точки дан-
ной поверхности и расстояния, измеренные на поверхности (рис.
63.3). Радиусом окружности называют также кратчайшую от цент-
ра до точки на окружности.

Можно определить длину окружности и вообще любой линии
как предел длин вписанных ломаных, составленных, понятно, из
кратчайших (рис. 63.4). Можно определить угол между кратчай-
шими, но мы сделаем это чуть позже.

В общем, возникает возможность развивать геометрию на
данной поверхности в принципе ничуть не хуже, чем на плоскос-
ти. Эта геометрия на поверхности называется ее внутренней гео-
метрией.
Докажем первую основную теорему
внутренней геометрии поверхностей.

Т е о р е м а 63.1. Расстояние на поверх-
ности обладает обычными свойствами:

1) |АВ|>0 и |АВ| = О тогда и толь-
ко тогда, когда А — В\

2) |АВ = |ВА1;

3) |АД| + |ДС|>|АС|.

Доказательство. Расстояние |АВ[ определено как
длина самой короткой кривой, соединяющей точки А и В. Ясно,
что если точки А и В различны, то длина такой кривой не может
обратиться в нуль, так что |АВ| > 0. Если же точки А и В совпа-
дают, то соединяющая их кратчайшая кривая сама сводится к
точке, так что |АВ| = 0. Итак, свойство 1) доказано.

Свойство 2) очевидно, так как длина кривой от одного конца А
до другого В та же, что от В до А.

Если есть три точки А, В, С и мы берем кратчайшие линии АВ,
ВС, то они вместе соединяют А с С (рис. 63.5). Расстояние же
| АС| считается по самой короткой кривой, соединяющей А и С.
Поэтому линия, состоящая из АВ и ВС, никак не может быть
короче, а ее длина равна |АВ| + |ВС|. Значит,

|АВ| + |ВС|>|АС|.

Вспомнив общее определение метрического пространства, мож-
но доказанную теорему выразить так:

Поверхность в смысле ее внутренней геометрии представ-
ляет собою метрическое пространство.

Самый простой и самый важный пример геометрии на поверх-
ности, не считая, понятно, плоскости, представляет геометрия на
сфере. Поверхность Земли является, в довольно хорошем прибли-
жении, сферой, поэтому тут речь идет практически о геометрии
на Земле, рассматриваемой в больших масштабах. Над Землей
простирается «небесная сфера», та воображаемая сфера, на которой
нам представляются движения небесных светил. Их видимое вза-
имное расположение подчиняется, стало быть, геометрии на сфе-
ре. Поэтому эта геометрия, как ее еще называют сферическая гео-
метрия, составляет геометрическую основу наблюдательной ас-
трономии. Именно в этой связи начала сферической геометрии
были разработаны еще греческими геометрами, о чем уже было
упомянуто в п. 62. 3.

На сфере кратчайшими линиями являются дуги больших ок-
ружностей, понятно, кратчайшая — это меньшая из двух дуг боль-
шой окружности (рис. 63.6). В частности, дуга большой окруж-
ности короче дуги параллели, отличной от экватора — линии по-
стоянной широты — между теми же точками на земной поверх-
ности (рис. 63.7). Поэтому при дальних полетах и дальних пла-
ваниях, если возможно, летят или плывут не по постоянной широте,
а в северном полушарии забирают на север — по дуге большой
окружности. Например, кратчайший полет из Москвы до Хаба-
ровска проходит над далеким севером Сибири.

Геометрия на сфере существенно отлична от геометрии на плос-
кости прежде всего тем, что плоскость не ограничена, а сфера ог-
раничена: расстояния на ней не превосходят длины большой полу-
окружности. Роль прямых на сфере играют большие окружности, но
каждые две из них пересекаются в двух диаметрально противо-
положных точках. На плоскости же* две прямые либо пересека-
ются только в одной точке, либо вовсе не пересекаются.

Окружность на сфере в смысле ее внутренней геометрии явля-
ется также обычной окружностью (рис. 63.8). Носе центр, в смыс-
ле внутренней геометрии лежит на самой сфере, а радиус — это
дуга большой окружности, но вовсе не прямолинейный отрезок.

Длина окружности при возрастании радиуса растет, но не про-
порционально радиусу; она достигает максимума, дойдя до большой
окружности, а потом убывает до нуля, когда окружность сжимается
в точку, диаметрально противоположную центру (рис. 63.9). Мож-
но сказать, у окружности на сфере два противоположных центра.

С одной стороны, между геометрией на сфере и геометрией на
плоскости есть много общего. На сфере так же выполняются тео-
ремы о равнобедренном треугольнике, о равенстве треугольников,
о точках пересечения биссектрис и медиан, о перпендикулярности
радиуса и касательной к окружности и др. Главное здесь то, что
на сфере возможно свободное перемещение фигур в такой же сте-
пени, как на плоскости.

С другой стороны, соотношения между сторонами и углами тре-
угольника на сфере другие, чем на плоскости. Главное свойство
здесь то, что сумма углов треугольника больше л, именно:

О
а + Р + У = л + -,

где S — площадь треугольника,

7? — радиус

сферы

о —

.R2

телесный угол конуса лучей, идущих из центра через точки тре-
угольника), а, р, у — углы треугольника.

Замечание 1. Если проводить лучи из центра О сферы
через точки фигур на ней, то будем получать бесконечные конусы.
Так, треугольнику АВС на сфере соответствует трехгранный угол
с ребрами ОА, ОВ, ОС. Плоские его углы соответствуют сторонам
треугольника, а двугранные углы — углам треугольника. Поэтому

соотношения между сторонами и углами сферического треуголь-

ника — это то же, что между гранями и двугранными углами трех-
гранного угла.

Замечание 2. Мы говорили об углах и площади сферы.
Угол между дугами больших окружностей, исходящих из одной
точки,—это угол между их касательными (рис. 63.10). Некаса-
тельная не лежит на сфере и, значит, не относится к ее внутренней
геометрии. Стало быть, величину угла надо определить во внутрен-
ней геометрии иначе.

На плоскости угол можно измерить стягиваемой им дугой —
отношением ее длины к радиусу: это отношение не зависит от радиу-
са, так как длина дуги пропорциональна радиусу. Но на сфере,
как мы убедились, это не так. Поэтому величину угла разумно
определить как предел отношения длины дуги I к радиусу г, ког-
да г ->• 0:

<р = lim—.
г-»о г

Рис. 63.10
Гаусс

Это же определение можно при-
нять для величины угла между крат-
чайшими и вообще между линиями,
исходящими из одной точки на любой
поверхности.

Площадь фигур во внутренней гео-
метрии сферы можно определить бук-
вально так же, как на плоскости;
вспомните определение, данное в § 56
(на любых поверхностях определение,
вообще говоря, более сложно).

Таким образом, все сказанное о гео-
метрии на сфере можно строго выра-
зить в понятиях именно ее внутрен-
ней геометрии.

Как было сказано, фигуры на
сфере допускают столь же свободное
движение, как на плоскости. Сфера
геометрически однородна: геометрия

ее в одной ее части такая же, как в любой другой.

Но другие поверхности, вообще говоря, геометрически неодно-
родны. Посмотрите, например, на овальную поверхность на рисун-
ке 63.11. Длина окружности с центром в точке А растет с радиу-
сом медленно, а с центром в точке В — быстрее. Тем более на по-
верхности могут быть острия, как, скажем, вершины многогранной по-
верхности и другие особенности. Понятно, что геометрия вокруг
вершины отлична от геометрии внутри грани (заметим, что геомет-
рия внутри грани, а также в окружности внутренней точки ребра
в малом такая же, как на плоскости).

Словом, внутренняя геометрия поверхностей может быть очень
разнообразной.

Основы внутренней геометрии поверхности были созданы ве-
ликим немецким математиком Карлом Гауссом (1777—1855) в ра-
боте 1828 г., но несколько иначе, чем здесь изложено. Такой более
общий подход и более общая теория были развиты советскими
геометрами 30—40 лет назад.

63.3. Возможная теория реального пространства

Внутреннюю геометрию поверхности можно понимать как та-
кую, которую развивали бы люди, живущие в самой этой поверх-
ности.

В самом деле, представим себе какую-нибудь поверхность и
живущие в ней существа, не имеющие никакого понятия об окру-
жающем пространстве. Они могли бы измерять на поверхности
расстояние шагами или протянутыми нитями (рис. 63.12), проводить
кратчайшие линии и делать другие и построения и измерения. В об-
щем, они создали бы свою геометрию, отражающую свойства поверх-
ности, в которой они живут. Это
и была бы внутренняя геомет-
рия данной поверхности.

Вместе с тем, это была бы
геометрия того пространства, в
котором они живут, потому что
вне его для них ничего нет.

Это только картинное опи-
сание того факта, что внутрен-
няя геометрия поверхности пол-
ностью определяется измерени-
ем длин на самой поверхности.
Поверхность имеет разную внут-

Рис. 63.12

реннюю геометрию, и можно пред-

ставить себе наших двумерных людей на одной или на другой по-
верхности — в одном или другом пространстве. Можно вообра-
зить, что поверхность, где они живут, деформируется, так что
геометрия ее изменяется со временем.

Все сказанное только картинное описание того факта, что вну-
тренняя геометрия поверхности по понятию полностью определя-
ется измерением длин на самой поверхности, что у разных поверх-
ностей она может быть разной и может изменяться с деформацией
поверхностей. Однако в этой картине или в сказке о поверхностных
людях есть глубокий смысл.

Мы живем в своем трехмерном пространстве, измеряем в нем
длины, находим геометрические соотношения, делаем построения.
Все это на самом деле, в нашей материальной деятельности. В ней
люди обнаружили общие закономерности, выраженные потом в от-
влеченной идеализированной форме в евклидовой геометрии. Но
почему мы должны быть убеждены, что она абсолютно точно соот-
ветствует действительности? Ведь ниоткуда, кроме как из наших
привычек и способности представления, не следует, чтобы ника-
кие отношения, отличные от евклидовых, не были возможны. На-
пример, почему теорема Пифагора не могла бы выполняться только
приближенно или длина окружности была бы не в точности пропор-
циональна радиусу? И если в пределах обычного земного опыта
эти отличия ничтожны, то почему бы они не могли обнаружиться
в звездных или атомных масштабах?

Таких вопросов не задавал никто, они могли казаться нелепы-
ми и невозможными, пока их не задали себе в начале прошлого
века независимо друг от друга два великих математика — Гаусс,
о котором мы уже говорили, и Николай Иванович Лобачевский.
Попытки обнаружить отклонения от евклидовой геометрии не
дали тогда никакого результата. Но сто лет спустя их догадки оп-
равдались: теперь можно считать установленным, что в космических
масштабах геометрия реального пространства отлична от евклидо-
вой. Идеи Гаусса и Лобачевского были связаны, однако, с дру-
гими вопросами внутри евклидовой геометрии.
63.4. Геометрия Лобачевского

Среди аксиом Евклида была аксиома о параллельных. От дру-
гих она отличалась своей сложностью: в принятой теперь формули-
ровке она говорит о всей бесконечной прямой, не пересекающей
данную, а в формулировке самого Евклида была гораздо сложнее
остальных. Не мудрено поэтому, что сразу же возникли попытки
вывести ее из остальных предпосылок геометрии. Этим занимались
на протяжении более 2000 лет многие математики, но все напрасно.
Многим казалось, что они достигли цели, но потом выяснилось,
что они лишь заменяли аксиому Евклида другой равносильной
аксиомой.

Пытались доказать аксиому параллельных от противного: прий-
ти к противоречию, предполагая противоположное ей утверждение.
Но противоречия не получалось.

Наконец в начале XIX в. одновременно у нескольких математи-
ков возникла мысль, что противоречия не может получиться, что
мыслима геометрия, в которой выполняется аксиома: на плоскости
через точку, не лежащую на данной прямой, проходят по край-
ней мере две прямые, не пересекающие данную.

Первым выступил с этой идеей Н. Ц. Лобачевский (1792—1856),
в 1826 г. он прочел об этом доклад в Казанском университете (где
он учился и работал всю жизнь). В 1829—1830 гг. вышла его пер-
вая обширная работа, посвященная новой геометрии. В 1832 г.
была опубликована работа венгерского математика Яноша Больяи
(1802—1860) с теми же, в общем, результатами. Гаусс, придя од-
новременно, к тем же выводам, не решился их опубликовать, опа-
саясь, как он сам объяснял, быть не понятым и подвергнуться на-
падкам. Опасения были справедливыми. Лобачевский и Больяи
остались не понятыми почти всеми мате-
матиками того времени; Лобачевский под-
вергался насмешкам, и некоторые считали ------

его чуть ли не сумасшедшим. Однако он
имел силу убеждения и мужество развивать

новую геометрию и опубликовать все бо- с

лее развернутые ее изложения. В послед-_____________________

ние годы, уже ослепший, он диктовал еще

одну книгу по новой геометрии. Когда же Рис. 63.13
после его смерти она была наконец понята,

ее во всем мире стали называть геометрией Лобачевского, а один
английский математик сравнил Лобачевского с Коперником, и
справедливо, потому что Лобачевский произвел в геометрии вели-
чайший переворот. До него веками без тени сомнения было
принято всеми, что есть и мыслима только одна геометрия —
та, основы которой изложены у Евклида. А Лобачевский же
опрокинул.это всеобщее убеждение: наряду с евклидовой геометрией
он поставил другую — неевклидову.

Не такая уж редкая судьба гения: непонимание при жизни,
а потом всемирное признание и слава.

Но нельзя очень порицать современников. Можете ли вы пред-
ставить себе, чтобы через одну точку проходили две прямые, па-
раллельные данной? Посмотрите на рисунок 63.13: ну конечно,
прямые а и b пересекут прямую с. Значит, геометрия Лобачев-
ского чепуха, быть такой не может. Однако это заключение слиш-
ком поспешно. Сам Лобачевский исходил из убеждения, что, как
уже было сказано в п. 63.3, реальные пространственные отношения
могли несколько отличаться от того, что дает евклидова геометрия.
Но у Лобачевского это была только гипотеза; возможный реальный
смысл его «воображаемой» геометрии
оставался неясным, и оставалось, стро-
го говоря, не доказанным, что в ней
нет никакого логического противоречия
(мало ли что оно не было обнару-
жено, а может быть, еще обнаружится.)

Существуют поверхности, на кото-
рых выполняется геометрия Лобачев-
ского — точнее, геометрия в области на
плоскости Лобачевского. И Гаусс по
своим исследованиям внутренней гео-
метрии мог бы это заметить, но ни он,
ни кто другой этого не замечали, пока
это не понял итальянский геометр
Эудженио Бельтрами (1835—1920) в
1863 г. почти через 40 лет после появ-
ления первой работы Лобачевского.
Вскоре после этого были найдены дру-

гие простые модели геометрии Лобачев- Риман
ского на плоскости и в пространстве. В общем, выяснилось, что ни-
чего невообразимого и невозможного в ней нет; нужно только пра-
вильно ее понять. Тогда же она была включена в гораздо более
общую теорию, созданную немецким математиком Бернхардом
Риманом (1826—1866).

63.5. Многомерное пространство

Идея пространства с числом измерений больше трех зародилась
еще до XIX в., но основы геометрии таких пространств были соз-
даны к середине этого века.

В прямоугольных координатах в обычном пространстве точка
задается тремя координатами. Представим себе точки, задаваемые
каждая п координатами (хи х2, .... хп). Между ними можно опре-
делить расстояние буквально так же, как в обычном пространстве'—
как корень из суммы квадратов разностей координат:

|ЛВ| = /(^- У1)а + (х2 - у2)а + ... 4- (х„ - у„)а.

Так получается л-мерное евклидово пространство. Его геомет-
рия аналогична с обычной стереометрией — геометрией трехмер-
ного евклидова'пространства.

Можно определить расстояние иначе, и тогда будут получаться
другие n-мерные пространства.

63.6. Топология

Путь, по которому шло обобщение геометрии, пролегал еще че-
рез разделение разных свойств фигур. Самое основное из них —
прикосновение. На это указал еще Лобачевский, когда писал, что
«прикосновение составляет основное свойство тел и дает им назва-
ние геометрических, когда удерживает это свойство, отвлекаясь от
всех остальных». (Например, разные части целой фигуры прикасают-
ся друг к другу, фигура прикасается к своим граничным точкам.)
Со свойствами фигур, основанных только на прикосновениях их час-
тей, мы встречались в теореме Эйлера и в связи с правильными
многогранниками. Там речь шла о сетях, образуемых отрезками,
хотя бы кривыми. Форма отрезков и ограниченных ими областей не
играла там никакой роли. Важно было только прикосновение:
по скольку отрезков сходится в вершине сети и по скольку отрез-
ков «прикасаются» к областям, прошивая их. Мы можем деформи-
ровать сеть любым способом, лишь бы эти свойства сохранялись.

Свойства фигур, основанные на прикосновении, — это такие
их свойства, которые сохраняются при любых обратных и непре-
рывных (в обе стороны) отображениях. Образно говоря, при ото-
бражениях происходящих без склеиваний и разрывов.

Со временем эти свойства фигур стали предметом специальных
исследований и учение о них выделилось в особую область геомет-
рии, названную топологией, а сами указанные свойства получили
название топологических. В начале нашего века возникло общее
понятие топологического пространства как такого, где определено
только прикосновение фигур (или для любой фигуры — ее «точки
прикосновения»; прикосновение фигур определяется тем, что одна
содержит точки прикосновения другой).

Топология приобрела большое значение и рассматривается
как особая область математики, выделенная из геометрии. Зна-
чение ее основано на том, что она изучает самые коренные свой-
ства пространства и других математических объектов — свойства
непрерывности.

Геометрия возникла из задач измерения, а изучение геометри-
ческих величин, их соотношений составляет главный предмет эле-
ментарной геометрии. Но в топологии измерение не играет в прин-
ципе никакой роли; она является не количественной, а качествен-
ной частью математики.

63.7. Другие геометрии

Еще раньше, чем топология, в геометрии определились другие
ее части, тоже основанные на особых свойствах фигур.

Например, при параллельном проектировании с одной плос-
кости на другую длины, вообще говоря, изменяются, но параллель-

ные прямые переходят в параллельные, отношения параллельных

отрезков сохраняются, а вместе с ними сохраняются все зависящие
от них свойства фигур. Учение об этих свойствах выделяется в
особую область, называемую аффинной геометрией.

При проектировании из точки, называемом центральным про-

ектированием, параллельность уже не сохраняется, но все же
прямые переходят в прямые и сохраняются связанные с этим (рис.
63.14) свойства фигур. Такие свойства называют проективными.
Учение б них образует так называемую проективную геометрию.
Она имеет значение в связи с изображением фигур в перспективе.

Пока речь шла о параллельном или центральном проектиро-

вании с плоскости на плоскость и соответственно об аффинной и

проективной геометрии плоскости. Но можно их обобщить на про-

странство, и притом любого чис-
ла измерений. Именно к аффин-
ной геометрии относятся те свой-
ства фигур, которые сохраняются
при преобразованиях, переводя-
щих прямые в прямые и парал-
лельные в параллельные, а к
проективной геометрии отно-
сятся свойства, сохраняющиеся
при преобразованиях, перево-
дящих прямые в прямые без

Рис. 63.14

условия сохранения параллель-
ности. (Книга «О проективных свойствах фигур» французского
геометра Жана Понселе (1788—1867) вышла в 1822 г.) Соот-
ветственно определяют пространство — аффинное и проективное.

63.8. Основания геометрии

Если какое-либо пространство определяется аксиомами, или,
как говорят, системой аксиом, то необходимо встает вопрос: воз-
можно ли такое пространство, нет ли в принятых аксиомах проти-
воречия?

В отношении пространства элементарной геометрии вопрос не
вставал, потому что оно представлялось уже данным и речь шла о
его изучении. Но когда Лобачевский заменил аксиому параллель-
ных на противоположную, вопрос возник со всей остротой: а нет
ли тут противоречия, возможна ли, в самом деле, неевклидова
геометрия? Вопрос был решен положительно предъявлением соот-
ветствующей модели; первую дали поверхности, внутренняя гео-
метрия которых совпадает с геометрией Лобачевского (в области
на его плоскости).

Таким образом, первое, обязательное условие для любой си-
стемы аксиом — это ее непротиворечивость. Она доказывается
предъявлением модели, в которой реализуются данные аксиомы.

Второе условие состоит в том, чтобы аксиомы действительно
давали основание, соответствующее теории, т. е. чтобы все свой-
ства того пространства или тех пространств, которые рассматри-
ваются в теории, вытекали из аксиом, а не примысливались поми-
мо аксиом.

Конечно, нельзя все абсолютно выразить явно в аксиомах, но
то, что подразумевается, должно быть, по крайней мере, общепри-
знанным, чтобы уже не требовать определения в аксиомах. Напри-
мер, мы говорим: через две точки проходит прямая, подразумевая,
что смысл слова «две» общепризнан. Вообще обычно в геометрии
подразумевают понятие вещественного числа известным.

Конечно, необходимо стремиться к тому, чтобы подразумевать
как можно меньше и чтобы подразумеваемое можно было действи-
тельно считать не требующим определения, как общепризнанное
и общепонятное.

У Евклида и всех геометров до конца прошлого века многое
подразумевалось как само собой понятное, как, например, свой-
ства расположения точек на прямой и плоскости, что точка раз-
бивает прямую на два луча, что из трех точек прямой одна и толь-
ко одна лежит между двумя другими, что прямая разбивает плос-
кость. Никакой мысли выразить это явно в аксиомах не возникало,
это стали делать лишь к концу XIX в., и в 1899 г. немецкий мате-
матик Давид Гильберт (1862—1943) дал полную с современной
точки зрения систему аксиом евклидовой геометрии.

У него уже ничего не подразумевается, кроме основных логи-
ческих понятий. Его «основания геометрии» начинаются словами:
«Мы мыслим три вида вещей, которые
называем точками, прямыми, плоско-
стями». Тут ничего не подразумевает-
ся, кроме самого общего понятия
«вещь» как то, что обозначается в
языке именем существительным.
Дальше называются основные отно-
шения, как «точка лежит на прямой»
и др., и опять ничего не подразуме-
вается, кроме общего понятия отно-
шения. Свойства отношений явно
формулируются в аксиомах, и на-
глядный их смысл совершенно не
подр азу мевается.

Система аксиом Гильберта была
потом усовершенствована и были
даны также другие системы аксиом в
том же строгом духе.

Когда предмет аксиом не подра-
зумевается и речь идет о «некоторых
вещах», «некоторых отношениях», то

Гильберт

встает вопрос о непроти-

воречивости. Он решается указанием модели на основе вещественных
чисел (точка плоскости — это пара чисел (х, у), прямая — это урав-
нение ах + by + с = 0 с точностью до общего множителя и т. д.).

Второй вопрос касается так называемой полноты системы аксиом:
вполне ли она определяет одно пространство, так что к ней уже
ничего нельзя добавить — никаких новых аксиом.

Третий вопрос — о независимости аксиом: нет ли среди них
лишних, которые можно было бы вывести из других. Это требование
у Гильберта сначала еще не было выполнено; его систему довели
до совершенства позже.

Теперь имеется непротиворечивая полная система независимых
аксиом элементарной геометрии, в которой подразумеваются толь-
ко основные логические понятия (и даже это обходят посредством
символической записи, где уже ничего понимать не надо, кроме
как различать разные и отождествлять одинаковые знаки и дей-
ствовать с ними по определенным правилам).

Однако при всех этих уточнениях и, можно сказать, ухищре-
ниях все же что-то подразумевается, и потому вопросы о дальней-
шем уточнении системы аксиом не могут быть полностью сняты.
Так же не решается до конца вопрос о непротиворечивости, потому
что его решение опирается на какие-то предпосылки, которые са-
ми требуют доказательства непротиворечивости, и т. д. Хотя Гиль-
берт доказывал непротиворечивость аксиом числовой моделью,
но сама теория вещественных чисел нуждается в доказательстве
непротиворечивости. Словом, нет ни в какой науке, даже в самой
строгой математике, окончательной непротиворечивости, окон-
чательной абсолютной истины. Математика, как все человеческое
познание, движется не только в ширь новых открытий и резуль-
татов, не только в высь новых теорий, ио и в глубину оснований,
и за одной достигнутой их глубиной лежит еще другая. Самодо-
вольные, близорукие ученые могут думать, что вот они достиг-
ли полной строгости, но приходят другие, более глубоко мысля-
щие, и задают новые вопросы и ищут новые решения. Во всякой
утвержденной истине есть момент заблуждения, поскольку она не
является совершенно окончательной и потому не может утверждать-
ся без малейшей доли сомнения. Любимым девизом Маркса было:
«Все подвергай сомнению!» — чтобы двигаться вперед ко все более
совершенному знанию и пониманию.

В современной геометрии та или иная система аксиом опреде-
ляет сплошь и рядом не одно единственное пространство, а класс—
некоторый вид пространств, как, например, метрические прост-
ранства. Тут полноты системы аксиом заведомо нет, к ней можно
добавлять новые аксиомы, выделяя другие классы пространств,
как из всех метрических пространств можно выделить, например,
евклидовы, а из них именно трехмерное евклидово пространство
элементарной геометрии.

63.9. Геометрия и действительность

Отношение геометрии, как и всей математики, к опыту, к дан-
ной в нем реальной действительности сложно.

Геометрия возникла из практики как практическая опытная
наука о пространственных формах и отношениях реальных тел.
Она явилась, можно сказать, первой главой физики, за которой
следовала как вторая глава механика — наука и движение тел:
геометрия трактует расположение тел, а механика — его изме-
нение.

Однако геометрия постепенно отделилась от опыта, ее предмет
составили уже не реальные, а идеальные фигуры. Обращение к
опыту, даже к чертежу было исключено из аргументов; доказатель-
ство теоремы дается путем одного рассуждения. Это понятно: с
идеальными фигурами нельзя ставить опыты, их нельзя ни сделать,
ни нарисовать; их, в их идеальности, можно только мыслить.

Это отделение геометрии от действительности особенно четко
проявилось, когда греки открыли несоизмеримые отрезки.

Содержание теоремы Пифагора было известно задолго до Пифа-
гора как опытный факт, как закон реальной геометрии, подобно
любому закону физики. По этому закону площадь квадрата, постро-
енного на диагонали данного квадрата, имеет в два раза большую
площадь. Отношение диагонали к стороне квадрата равно К2.
Диагональ и сторона квадрата несоизмеримы: нет отрезка, укла-
дывающегося в них по целому числу раз.

Но это последнее утверждение не имеет смысла, проверяемого
на опыте, потому что абсолютно точное измерение невозможно.
Оно вообще не имеет реального смысла, потому что, как теперь
известно, никакие реальные предметы не имеют абсолютно точных
размеров, никакая реальная длина не может быть абсолютно точно
фиксирована, поскольку тела состоят из частиц, не имеющих
вполне определенных размеров.

Таким образом, исходя из твердо установленного опытного
факта, геометрия делает вывод, не имеющий реального смысла.
Физики отбросили бы такой вывод как ненужный и бессмысленный,
а математики удержали его, и мало того: они построили теорию
отношений несоизмеримых величин, потом истолковали эти отно-
шения как новый вид чисел, как иррациональные числа, потом
на этой почве развили математический анализ и т. д.

Что тут происходило? Во-первых, выводу из опыта был придан
абсолютно точный смысл. Во-вторых, из него был сделан логичес-
кий вывод, и затем на этом выводе шло восхождение к новым от-
влеченным понятиям.

Такова сущность и особенность математики вообще. Всякой на-
уке свойственна абстракция, но во всех других науках их абстрак-
ции сверяются с опытом, им не придается самостоятельного зна-
чения. В математике же они принимаются в их идеальном существо-
вании.

Евклидова геометрия сложилась, таким образом, как наука об
идеальных фигурах, а вместе с тем оказалось, она абсолютно точно
соответствует свойствам реального пространства — реальным про-
странственным отношениям. Однако это утверждение было подверг-
нуто сомнению Лобачевским и Гауссом и опровэргнуто современ-
ной физикой — ее выводами из общей теории относительности
Эйнштейна. Евклидова геометрия, возникнув из опыта и отделив-
шись от него в своей идеальной точности, пришла с ним в некоторое
несоответствие.

Но это ничуть не затрагивает ее как часть чистой математики,
потому что в этом смысле она представляет собою систему логичес-
ких выводов из аксиом, независимо от их возможного отношения
к действительности.

Произошло раздвоение единой геометрии на чисто математи-
ческую геометрию с ее единственным условием логической точнос-
ти и на геометрию как физическую теорию, как учение о свойствах
реального пространства, сверяемое с опытом, как присуще всякой
физической теории. Эту геометрию реального пространства в кос-
мических масштабах трактует космология, основанная на общей
теории относительности и известных из наблюдений данных о строе-
нии Вселенной.

Во всем этом есть как бы противоречие: идеально точная ев-
клидова геометрия оказалась неточной. Возникнув как опытная
наука, она превратилась, можно сказать, в собственную противо-
положность — в науку, которая сама по себе не заботится о соот-
ветствии с опытом. Такие реальные противоречия, такие переходы
в противоположность, такое раздвоение единого — единой геомет-
рии — охватывается общим понятием диалектики. В. И. Ленин
писал: «Раздвоение единого и познание противоречивых частей
его ... есть суть диалектики. ... Правильность этой стороны со-
держания диалектики должна быть проверена историей науки»
(Поли. собр. соч., т. 29, с. 316).

Мы и видим, как в истории науки единая геометрия раздвои-
лась на противоречивые части, разошедшиеся в чистую математику
и физику.

Сочетание двух взаимно противоположных сторон геометрии
проходило через весь наш курс с самого его начала. Мы постоянно
ссылались на опыт и вместе с тем старались вести строго логичес-
кие выводы из аксиом без ссылок на опыт, чертежи и пр.

Всякая теория чистой математики, взятая именно в этом ее ка-
честве чисто математической теории, является системой логических
выводов, и ее собственная математическая истинность состоит толь-
ко в ее непротиворечивости. Но вместе с тем, она имеет смысл и
значение только в меру того, насколько она так или иначе, прямо
или косвенно через другие теории служит познанию действитель-
ности и овладению ею в практике.

Математические теории можно уподобить станкам, значение ко-
торых состоит в том, чтобы делать нужные людям вещи, сами же
по себе они не нужны. Но как станку нужна точная и прочная
структура, так и чистой математике нужна логическая строгость—
прочность ее структуры. В станке непосредственно работает один
резец, но без станка в целом он не будет хорошо работать. Так и в
математике непосредственно применяться в практике могут отдель-
ные ее части и выводы, но, чтобы обеспечить точность этих приме-
нений, нужны целостные математические теории, вся логическая
структура математики в целом.

Сказанное определяет отношение к действительности геометрий
разных пространств: они служат теоретическим средством для дру-
гих наук.

Представим себе, например, какую-нибудь физическую систему,
будь то машина, газ в данном сосуде, атом кислорода или даже
отдельная частица — электрон. Система может находиться в
разных состояниях. Множество всех ее возможных состояний об-
разует то, что в физике называется фазовым состоянием системы.
Оно, понятно, существенно характеризует свойство системы. Для
его теоретического описания, для выводов, его касающихся, по-
лезной и важной оказывается подходящая «геометрия» из арсена-
ла отвлеченных геометрий разных пространств. (Пространство
состояний квантовой системы даже бесконечномерно.) В частности,
общее понятие метрического пространства оказывается полезным,
когда определяют «расстояние» между «вещами» или явлениями
одного и того же рода, как меру того, насколько одно отлично от
другого. Например, определяют «расстояние» между двумя цветами
(ощущениями цвета), характеризуя им степень их различия. Мно-
жество всех цветов (цветовых ощущений) оказывается, таким об-
разом, некоторым метрическим пространством. Это пространство
на самом деле рассматривают в науке — в цветоведении; оно ха-
рактеризует цветовое зрение человека. Кстати, оно трехмерно,
так как каждое ощущение цвета — цвет — можно получить как
комбинацию трех основных ощущений-цветов: красного, зеленого,
синего. Это записывается в виде U — хК. + уЗ + гС, где х, у, г—
интенсивности красного, зеленого, синего в каких-либо единицах.

Но самый яркий пример применения отвлеченной геометрии—
это общая теория относительности, математическим аппаратом ко-
торой послужила общая теория пространств, начала которой за-
ложены немецким математиком Риманом в 1854 г. — за 60 с лишним
лет до создания общей теории относительности. Выросшая на поч-
ве математических абстракций, теория вернулась к исходной гео-
метрической действительности как орудие ее более глубокого по-
знания.

Так вся история геометрии доказывает справедливость общих
положений, высказанных В. И. Лениным о пути познания и его
сложности: «Мышление, восходя от конкретного к абстрактному,
не отходит — если оно правильное...—от истины, а подходит
к ней... все научные (правильные, серьезные, не вздорные) аб-
стракции отражают природу глубже, вернее, полнее. <Ут жи-
вого созерцания к абстрактному мышлению и от него к практике—
таков диалектический путь познания истины, познания, объектив-
ной реальности» (Поли. собр. соч., т. 29, с. 152—153). «Познание
есть отражение человеком природы. Но это не простое, не непосред-
ственное, не цельное отражение, а процесс ряда абстракций, фор-
мирования, образования понятий, законов etc., каковые понятия,
законы etc... и охватывают условно, приблизительно универсаль-
ную закономерность вечно движущейся и развивающейся приро-
ды...» (Поли. собр. соч., т. 29, с. 163 —164).

Движение познания бесконечно...
ЗАДАЧИ ПО ВСЕМУ КУРСУ

1. Дано п точек. Докажите, что существует плоскость, которая
не проходит ни через одну из них.

2. Докажите, что существует сколько угодно таких точек, что
никакие четыре из них не лежат в одной плоскости.

3. Докажите, что существует сколько угодно точек таких, что
все расстояния между ними различны.

4. На какое наибольшее число частей могут разбить простран-
ство четыре плоскости; п плоскостей?

5. На плоскости а лежит равносторонний треугольник
Он является ортогональной проекцией треугольника АВС, Какого
вида (в зависимости от сторон и углов) может быть треугольник
ЛВС?

6. а) а |р6, а || 0, а ± а, а ± 0, b ± а, b ± 0; б) а || а, а || 0,
b || а, Ь || р, а ± 0, а ± Ь, Возьмите любые три из этих утвержде-
ний и установите, какие из оставшихся будут из них следовать.

7. Ребро правильного тетраэдра равно 1. Плоскость движется
параллельно самой себе и пересекает тетраэдр. Докажите, что пе-
риметр сечения меньше 3. Докажите, что периметр любого четырех-
угольного сечения больше 2.

8. В правильной четырехугольной пирамиде PABCD точка К—
середина ребра ЛО, точка L — середина ребра CD, Через (/<£)
проводится сечение, параллельное (АС), Известны все ребра пира-
миды. Найдите граничные значения площади такого сечения.

9. В правильной треугольной призме проводятся сечения, пер-
пендикулярные диагонали одной из ее граней. Когда площадь
такого сечения достигает наибольшего значения?

10. Постройте неплоскую замкнутую ломаную, у которой все
звенья равны и все углы между соседними звеньями равны.

11. Могут ли пять лучей в пространстве расположиться так,
чтобы угол между каждыми двумя из них был тупой?

12. Из вершины D четырехугольника ABCD проведен пер-
пендикуляр к его плоскости. Точка К — переменная точка этого
перпендикуляра. |В/С| = х.
Выразите как функцию от х расстояния:
а) от К до (AD), б) от К до (CD), в) от К до (АС), г) от В до (АКО),
д) от А до (KDC), е) от (ВС) до (ADK), ж) от (АВ) до (СК), з) от
(АК) до (BD). При этом рассмотрите такие виды четырехугольни-
ка A BCD: 1) прямоугольник со сторонами и d2; 2) ромб со сто-
роной d и острым углом <р при вершине А.

13. Пусть РАВС — тетраэдр, в котором углы АВС и ВСР
прямые, |РА| = | РВ|. Сколько надо сделать измерений на его
поверхности, чтобы вычислить расстояние: а) от Р до плоскости
основания; б) от Р до основания?

14. Ребра прямоугольного параллелепипеда известны. Найдите
расстояние от его вершины до плоскости, проходящей через три
соседние с ней вершины.

15. Где находится точка, равноудаленная от всех ребер: а) пра-
вильной n-угольной призмы; б) правильной n-угольной пирамиды,
в) правильного многогранника?

16. В кубе ABCDAxBiC^Pi с ребром 1 проведено сечение через
вершину D, параллельное (АС). Вычислите граничные значения его
площади.

17. Через диагональ основания правильной четырехугольной
призмы проведена плоскость. Вычислите наибольшее значение пло-
щади этого сечения, если: а) высота призмы равна 2, а длина диа-
гонали основания равна 6; б) высота призмы равна 4, а длина диа-
гонали основания равна 18.

18. Прямые а и b скрещиваются. Ах € а, А2 € а, | Ах61 = dlt
| А26| = d2. Отрезок KL — общий перпендикуляр этих прямых
(К € a, L € Ь). Докажите равносильность двух утверждений:
a) dx = d2 и б) |/САх| = | КАа|.

19. В двух перпендикулярных плоскостях лежат два равных
круга, не имеющих общих точек. Как найти расстояние между
ними?

20. Три цилиндра расположены так, что каждые два имеют
единственную общую точку. Их оси попарно перпендикулярны.
Радиус каждого цилиндра равен R. Найдите радиус шара, который
уместится в зазоре, образованном цилиндрами.

21. Стол имеет цилиндрическую крышку и три цилиндрические
ножки. Какие замеры надо сделать, чтобы выяснить, можно ли его
пронести через дверной проем? А если у стола четыре такие же нож-
ки?

22. Сверните лист бумаги в цилиндрический рулон и разрежь-
те его наискосок. Какая линия получилась после того, как лист
развернули?

23. На боковой поверхности цилиндра (конуса) лежат вершины
прямоугольника. Как расположена его плоскость по отношению к
плоскости основания?

24. Основание конуса радиуса 1 и высотой 2 лежит на плос-
кости а. На расстоянии. 1 от конуса в этой плоскости укреплен
вертикально штатив, на котором на расстоянии 4 от плоскости на-
ходится точечный источник света. Вычислите площадь тени, от-
брасываемой конусом на плоскость. Можно ли увеличить или
уменьшить площадь тени до нужных вам размеров, перемещая шта-
тив по плоскости и источник света на нем?

25. Каждое сечение некоторого тела является кругом. Дока-
жите, что это тело является шаром.

26. Замкнутая четырехзвенная ломаная расположена так, что
на каждом ее звене находится ровно одна точка сферы. Докажите,
что общие точки сферы и ломаной лежат в одной плоскости.

27. | АВ | = 1, | CD | = 1. Верно ли, что для каждой точки X
на отрезке АС найдется такая точка Y на отрезке BD, что | XY |

28. Выпуклое тело проектируется на две перпендикулярные
плоскости. Его проекциями оказались два круга. Докажите, что
эти круги равны.

29. Дан правильный тетраэдр. Внутри него взят отрезок. До-
кажите, что из любой вершины он виден под углом, не большим 60°.

30. В тетраэдре есть ребра длины 1 и есть ребра длины d. В
каких границах лежит d в каждом из возможных случаев?

31. Две высоты тетраэдра пересекаются. Докажите, что другие
две тоже пересекаются.

32. Дан тетраэдр. Он имеет одно из следующих свойств: а) все
грани — равные треугольники; б) все грани равновелики; в) каж-
дые два противоположных ребра равны; г) центры вписанного и
описанного шаров совпадают; д) полный угол при каждой вершине
один и тот же (т. е. сумма плоских углов при каждой вершине).
Возьмите какое-либо из этих свойств и попробуйте вывести ос-
тальные.

33. Докажите, что площадь каждой грани тетраэдра меньше
суммы площадей остальных его граней.

34. Пирамида PABCD имеет одно из следующих свойств: а) око-
ло нее можно описать шар; б) в нее можно вписать шар, в) всякое се-
чение, проходящее через ее высоту PQ, является равнобедренным
треугольником; г) все ребра пирамиды равны; д) точка Q равноуда-
лена от всех граней; е) двугранные углы при основании равны;
ж) двугранные углы при боковых ребрах равны. Возьмите какое-
либо свойство и попробуйте его вывести из какого-либо другого.

35. Для каждой из следующих пирамид найдите диаметр (наи-
меньшее расстояние между параллельными опорными плоскостями),
радиус наименьшего шара, содержащего пирамиду, радиус наиболь-
шего шара, лежащего в пирамиде: а) правильной треугольной пира-
миды со стороной основания 1 и высотой 1; б) прямоугольного те-
траэдра, у которого ребра, составляющие прямой угол, равны 1,
2, 3; в) треугольной пирамиды, в основании которой равнобедрен-
ный прямоугольный треугольник с катетом 1, а боковые ребра рав-
ны 2; г) треугольной пирамиды, у которой одна пара скрещиваю-
щихся ребер равна 2, другая пара скрещивающихся ребер равна 3,
а третья пара скрещивающихся ребер имеет длину 4; д) правильной
четырехугольной пирамиды, у которой все ребра равны 1; е) четы-
рехугольной пирамиды, у которой в основании прямоугольник со
сторонами 1 и 2, а высота, равная 1, проектируется в точку пересе-
чения диагоналей; ж) четырехугольной пирамиды, у которой в
основании квадрат со стороной 1, а высота, равная 2, проектирует-
ся в середину стороны основания; з) четырехугольной пирамиды,
у которой две соседние грани перпендикулярны основанию, высота
равна стороне и равна 1, а острый угол в основании равен 60°;
и) правильной треугольной усеченной пирамиды, у которой ребра
оснований равны 2 и 1, а высота равна 3.

36. Через каждое боковое ребро треугольной пирамиды прово-
дится плоскость, перпендикулярная противоположной грани. До-
кажите, что эти плоскости имеют общую прямую. Какое положение
занимает эта прямая в правильной треугольной пирамиде?

37. В четырехугольной пирамиде все плоские углы при верши-
не равны. Докажите, что плоскости, проходящие через ее проти-
воположные боковые ребра, перпендикулярны.

38. В параллелепипеде A BCD A проведены сечения

AjB^ и CDjBi. Докажите, что эти сечения лежат в параллельных
плоскостях. В каком отношении они делят диагональ ЛС\? Через
какие точки в этих сечениях проходит диагональ ЛСХ?

39. Параллелепипед имеет одно из следующих свойств: а) в
его основании лежит ромб; б) все его ребра равны; в) все его диаго-
нали равны; г) все его грани равновелики; д) все его грани — рав-
ные параллелограммы; е) в него можно вписать шар; ж) около него
можно описать шар; з) у него ровно одна плоскость симметрии.
Возьмите какое-либо из этих свойств и попробуйте вывести его из
каких-либо остальных.

- 40. Определите вид параллелепипеда, у которого: а) все диа-
гонали равны; б) все грани равны; в) все перпендикулярные се-
чения — равные между собой квадраты; г) около него можно опи-
сать шар; д) в него можно вписать шар; е) через каждое ребро
можно провести сечение, являющееся квадратом.

41. В прямоугольном параллелепипеде длина диагонали рав-
на 1. Через нее проводятся всевозможные сечения. Вычислите гра-
ничные значения площади и периметра такого сечения.

42. Диагональ прямоугольного параллелепипеда образует с
его ребрами углы фх, ф2, Фз- Докажите, что их сумма меньше, чем л.

43. Из произвольной точки сферы проведены три попарно пер-
пендикулярные ее хорды, длины которых 1, 2, 3. Вычислите ра-
диус сферы.

44. Дан куб с ребром 1. На расстоянии 2 от плоскости его осно-
вания и на расстоянии 4 от центра куба находится источник света.
При каком их взаимном положении тень от куба будет наибольшей?

45. Куб освещается параллельным пучком света. При каком
его положении относительно плоскости, перпендикулярной пучку
света, тень от куба будет наибольшей?

46. Дан куб с ребром 1. Какой кратчайший путь по его поверх-
ности: а) из центра грани в центр соседней грани; б) из центра гра-
ни в центр противоположной грани; в) из вершины в противополож-
ную вершину; г) из середины ребра в середину параллельного реб-
ра другой грани; д) из середины ребра в середину скрещивающегося
ребра.

47. Про многогранник известно, что он обладает таким свойст-
вом: а) вокруг него можно описать шар; б) в него можно вписать
шар; в) существует шар, касающийся всех его ребер. Выясните,
является ли такой многогранник выпуклым. Какими свойствами,
обладают грани такого многогранника? Где по отношению к много-
граннику находится центр указанного шара?

48. Является ли тетраэдр правильным, если у него: а) угол
между ребром и гранью, в которую он упирается, один и тот же;
б) все двугранные углы равны; в) все высоты равны; г) совпадают
центры вписанного и описанного шаров; д) существует шар, ка-
сающийся всех его ребер; е) вписанный в него шар касается всех
его граней в точке пересечения их высот (серединных перпендику-
ляров, биссектрис, медиан)?

49. х + у + z = а. Докажите, что х2 + у2 + г2 >

БО. Докажите, используя векторный аппарат, что: а) существу-
ет общий перпендикуляр двух скрещивающихся прямых; б) его
длина равна расстоянию между ними.

51. Пусть е2, е3 — единичные векторы на осях координат.
Пусть также а = ххех + у^2 + b = x2er + у2е2 + z2e3.

Чему равны: а) |а|, б) а • Ь\ в) (а, &)? При каком условии а±&,
all W

52. Пусть А19 Л2, ..., Ап — произвольные точки пространства.
Докажите, что существует такая точка О, что сумма всех векторов
—► — ► ——► —►

ОАг, ОА2, .... ОАп равна 0. Докажите, что она единственна. (Та-
кая точка О называется центроидом системы точек Alt А2, .... Ап.)

53. Пусть есть две системы точек: Alt А2, ..., Ак и Blt В2, ...
..., Ве. Их центроиды 7\ и Т2 соответственно. Центроид всех данных
точек обозначим Т. Докажите, что Т лежит на отрезке ТхТ2. В
каком отношении точка Т делит этот отрезок?

54. Пусть дан тетраэдр. Докажите, что общую точку имеют
отрезки: а) соединяющие середины его противоположных ребер;
б) соединяющие вершины тетраэдра с центроидами противополож-
ных граней. В каком отношении эта общая точка делит каждый из
отрезков?

55. Докажите, что центроид любого многогранника можно най-
ти, зная центроиды его ребер или граней.

56. Постройте тетраэдр, зная середины его ребер.

57. Даны четыре единичных вектора, причем углы между каж-
дыми двумя равны. Вычислите: а) их сумму; б) угол между ними.

58. Дан многогранник, у которого п граней и в который можно
вписать шар. Докажите, что сумма косинусов его двугранных
углов не превосходит

59. Дана треугольная пирамида. Известны плоские углы при
ее вершине. Найдите двугранные углы при ее боковых ребрах.

60. Дана треугольная пирамида. Рассмотрим отношение синуса
плоского угла при ее вершине к синусу противолежащего двугран-
ного угла. Докажите, что для всех плоских углов при вершине оно
одно и то же.

61. Угол между двумя зеркалами равен <р. Луч света падает
на одно из них под углом <рх. Под каким углом он отразится от дру-
гого зеркала? Какой угол составят между собой луч исходный и луч
отраженный от второго зеркала?

62. Дан двугранный угол величиной <р. Вершина конуса нахо-
дится на его ребре, плоскости его граней являются опорными для
конуса. Угол в осевом сечении конуса равен фР Найдите угол меж-
ду образующими конуса, лежащими в гранях двугранного угла.

63. а) Известны расстояния от трех вершин правильного те-
траэдра до некоторой плоскости. Как найти расстояние до этой
плоскости от его четвертой вершины? б) Известны углы, которые
составляют с данной плоскостью три ребра правильного тетраэдра.
Как найти углы, которые составляют с этой плоскостью другие его
ребра? в) Известны углы, которые составляют с некоторой плоско-
стью две грани правильного тетраэдра. Как найти углы, которые
составляют с этой плоскостью другие его грани?

64. Даны две скрещивающиеся прямее. Какими перемещениями
можно одну из них отобразить на другую?

65. Каким перемещением является композиция: а) двух цен-
тральных симметрий; б) двух отражений в плоскости; в) двух по-
воротов с разными осями; г) двух зеркальных поворотов с одной
плоскостью симметрии; д) отражения в плоскости и центральной
симметрии относительно точки, лежащей в этой плоскости; е) трех
отражений в трех попарно перпендикулярных плоскостях; ж) трех
осевых симметрий, если оси симметрии попарно перпендикулярны?

66. При некотором реальном движении фигуры F одна ее точка
осталась неподвижной. Докажите, что F имеет ось поворота.

67. Выпуклое ограниченное тело имеет плоскость симметрии,
параллельную любой заданной плоскости. Докажите, что оно яв-
ляется шаром.

68. Две сферы радиусами Ri и Rt пересекаются. Найдите объем
тела, заключенного между ними.

69. Докажите, что развертка сферы невозможна.

70. Разверткой пирамиды является правильный пятиугольник
со стороной d. Найдите объем пирамиды.

71. Правильный тетраэдр повернули вокруг оси симметрии на
угол ф (ф 90°). Объем тетраэдра равен V. Чему равен объем об-
щей части исходного и полученного тетраэдров?

72. Дан куб ABCDAyB^Dx с ребром 1. Проведено сечение че-
рез вершину А и центры граней А^С^ и В^СВ. Чему равна
площадь сечения? В каком отношении она делит его объем?

73. На диагоналях граней ABlt АС, АОг параллелепипеда
АВСОА&С^Р! построен новый параллелепипед. Найдите отноше-
ние объемов данного и полученного параллелепипедов.

74. Куб с ребром 1 поворачивают: а) вокруг прямой, соеди-
няющей середины двух его параллельных ребер, не лежащих в
одной грани, на 90°; б) вокруг диагонали на острый угол <р. Вычис-
лите объем общей части исходного и полученного кубов.

75. Куб вращается вокруг своей диагонали. Найдите объем
тела вращения, если ребро куба равно 1.

76. Вычислите объем правильного: а) октаэдра; б) икосаэдра;
д) додекаэдра, если их ребро равно 1.

77. В треугольной пирамиде два противоположных ребра рав-
ны 2, а остальные 4. Вычислите расстояние между центрами вписан-
ного и описанного шаров этой пирамиды.

78. В четырехугольной пирамиде основанием является квадрат
со стороной 3. Все ее боковые грани являются прямоугольными
треугольниками. Наименьшее боковое ребро равно 4. Вычислите
радиусы вписанного и описанного шаров у этой пирамиды.

79. В основании четырехугольной пирамиды квадрат со стороной
2. Вычислите ее радиусы вписанного и описанного шаров, если:
а) ровно одна ее грань равносторонний треугольник и ровно одна
прямоугольный треугольник; б) ровно одна ее грань равносторон-
ний треугольник и ровно две прямоугольные треугольники; в) две
ее грани — равносторонние треугольники.

80. В кубе расположено шесть пирамид. Вершина каждой из
них находится в центре одной грани, а основание каждой совпадает
с противоположной гранью. Какую часть от объема куба составляет
объем пересечения этих пирамид?

81. Две четырехугольные пирамиды имеют общим основанием
квадрат со стороной 1. Их вершины находятся с одной стороны от
плоскости основания и удалены от него на расстояние 1. Вычис-
лите объем общей части этих пирамид, если вершины проектируются:
а) на две соседние вершины квадрата; б) на две противоположные
вершины квадрата; в) на середины двух соседних сторон квадрата;
г) на середины двух противоположных сторон квадрата.

82. Дана правильная четырехугольная пирамида. Четыре вер-
шины куба лежат на ее основании, а еще четыре вершины куба ле-
жат на боковых гранях. Найдите отношение объема куба к объему
пирамиды.

83. Шаровой сектор, являющийся объединением шарового сег-
мента и конуса, является частью шара радиуса 1. При каком угле
в осевом сечении конуса, являющегося частью этого сектора, выпол-
няется следующее: а) площадь боковой поверхности конуса больше
площади сферического сегмента; б) объем конуса меньше объема
шарового сегмента; в) достигает граничных значений площадь по-
верхности сектора; г) достигает граничных значений объем сектора?
84. Шар касается всех ребер: а) куба; б) правильного тетраэд-
ра. В каком отношении делится объем и площадь поверхности шара
поверхностью данного многогранника?

85. Внутри конуса находится сфера. Может ли площадь ее по-
верхности быть равна: а) площади основания конуса; б) площади
боковой поверхности конуса?

86. Многогранник описан около сферы радиуса г и вписан в
сферу радиуса /?. Эти сферы концентричны. Докажите, что число
его граней больше, чем

87. Проверьте, что для шара с объемом V и площадью поверхно-
сти S выполняется соотношение S3 : V2 = 36л, а для остальных изве-
стных вам тел S3 : V2 > 36л.

88. Известны объемы вписанного и описанного шаров для:
а) цилиндра; б) конуса; в) усеченного конуса; г) правильного
тетраэдра; д) прямоугольного параллелепипеда; е) правильной
треугольной призмы; ж) правильной n-угольной пирамиды. Можно
ли по этим данным найти объем этих тел?

89. Дан правильный тетраэдр с ребром 1. Вычислите наиболь-
ший объем правильной треугольной призмы, три вершины которой
находятся на основании пирамиды, а другие три — на ее боковых
гранях.

90. В прямоугольном тетраэдре, у которого перпендикулярные
ребра имеют длину 1, расположен куб наибольшего объема. При
этом вершина куба совпадает с вершиной тетраэдра. Чему равен
этот объем?

91. В основании пирамиды РАВС находится равносторонний
треугольник со стороной 1. (РВ) ± (ЛВС), | РВ | = 1. Две вершины
правильной треугольной призмы находятся на ребре РВ, две — на
ребрах АВ и ВС, две — на ребрах РА и PC. Вычислите наибольший
объем такой призмы. Вычислите граничные значения площади ее
поверхности.

92. В данной правильной четырехугольной пирамиде находится
прямоугольный параллелепипед наибольшего объема. Какую часть
его объем составляет от объема пирамиды? Каковы граничные зна-
чения площади его поверхности?

93. Основание куба лежит на плоскости а. Его ребро равно 1.
Его хотят заключить в правильную четырехугольную пирамиду,
основание которой также находится в плоскости а. Чему равен
наименьший объем такой пирамиды?

94. Дан правильный тетраэдр с ребром 1. В нем находится пра-
вильная треугольная пирамида. Три ее вершины—на боковых
гранях тетраэдра, а одна — в центре основания. Вычислите гра-
ничные значения ее объема и площади поверхности.

95. Заготовка имеет вид куба, на верхней грани которого на-
ходится правильная четырехугольная усеченная пирамида. Боль-
шее ее основание совпадает с гранью куба. Ребро куба равно 2.
Ребро меньшего основания усеченной пирамиды равно 1, Боковое
ребро пирамиды наклонено к плоскости основания под углом 45°.
Из этой заготовки нужно сделать прямоугольный параллелепипед,
причем отходы при его изготовлении должны быть наименьшими.
Как этого добиться?

96. Докажите, что из всех правильных треугольных пирамид,
описанных около данного шара, наименьший объем имеет правиль-
ный тетраэдр.

97. Дан шар радиуса /?. Найдите граничные значения объема
описанных около него: а) правильной n-угольной пирамиды;
б) конуса; в) усеченного конуса.

98. Дан полушар. Какую часть от его объема составляет наи-
больший объем находящихся в нем: а) прямоугольного параллеле-
пипеда; б) правильной треугольной призмы; в) правильной четы-
рехугольной пирамиды; г) цилиндра; д) конуса?

99. Из конуса, у которого радиус основания равен высоте,
хотят сделать прямоугольный параллелепипед наибольшего объема.
Будет ли он кубом?

100. Из равностороннего конуса высотой Н делают цилиндр
наибольшего объема. Чему равен этот объем?

101. Угол в осевом сечении конуса равен 2<р, радиус конуса
равен R. Чему равна наибольшая поверхность цилиндра, распо-
ложенного в этом конусе?

102. Дан конус с образующей 1. Чему равен наибольший объем
расположенных в нем: а) прямоугольного параллелепипеда; б) пра-
вильной треугольной призмы; в) правильной треугольной пира-
миды; г) цилиндра; д) шара; е) конуса; ж) полушара?

103. Из'усеченного конуса делают цилиндр наибольшего объема.
Сколько процентов заготовки пойдет в отходы?

104. Дан шар. Чему равен наибольший объем расположенного в нем:
а) тела, являющегося объединением цилиндра и конуса с об-
щим основанием; б) тела, являющегося объединением двух кону-
сов с общим основанием?

105. На основании цилиндра находится полушар, большой круг
которого совпадает с основанием цилиндра. Из заготовки та-
кого вида хотят сделать цилиндр наибольшего объема. Как это
сделать? '

106. Дан шар с объемом V. Можно ли его уместить в таких телах
с объемом 2Vt а) кубе; б) прямоугольном параллелепипеде; в) пра-
вильной треугольной призме; г) правильном тетраэдре; д) пра-
вильной четырехугольной пирамиде; е) цилиндре; ж) конусе;
а) усеченном конусе?

107. Корыто имеет форму полуцилиндра. Его емкость равна V,
толщина Стенок равна ft, удельный вес материала, из которого
оно сделано, равен у. Какими надо выбрать его размеры, чтобы его
масса была наименьшей?
Ответ ы к задачам

§ 36. 4. Возможны два случая^ (1, 1, 0), Вх (2, 1, 0), Сх (2, 2, 0), Dx (1,
2, 0) и А2 (1, 1, 2), В2 (2, 1, 2), С2 (2, 2, 2), D2 (1, 2, 2). 5. Указание. Вос-
пользуйтесь формулой -1 У'2-, —1 *2-j. 8. 2. 11. Возможны

четыре случая.

§ 37. 1. а) х = 1, у = 0, г ~ 0. 3. |z] = 1. 6. а) Нет; б) да; в) да; г) да.

7. а) у = г = 0; б) у = z = 1; в) х = — 1, z = 2; г) х = 1, z — — 1. 10. х =

= у = 1. 11. а) Скрещиваются; б) пересекаются. 12. Параллельны. 16. а) —

в) Окружность; г) точка; д) окружность; е) пустое множество; ж) две окруж-

ности; з) две точки; и) окружность; к) окружность; л) окружность; м) две точки.

/ 1 1 \ 2

17. а) (2 - у=, —2 + 0J; ж) (2, -2 + у=, 0). : 18. 1 ,а) Прямая;

2 — —

1,6) окружность; 1,в) гипербола; 1,г) парабола. 19. а)—б) 5}^3; в) \2;

_ г $

Г) Д) /з - /2? е) 1.

§ 39. 3. Такую же. 4. Треугольник в нижнем основании. 5. Четырехуголь-
ную пирамиду. 6. Сферу с центром О. 7. Такого же вида правильный многогран-
ник. 12. Прямые а и b параллельны.

§ 40. 5. Середина диагонали параллелепипеда. Центр правильного октаэ-
дра. Такая точка единственна. 7. а) Да; б) нет; в) да. 12. а) Да; б) да.

§ 42. 3. а) — АВ — у ДР + AAi; 6) — ± АВ + AD — АА^, в) -

— 2AD + AA1, т) ±АВ + ±AD — AAi, д) АВ — 2AD + AAt. 4.РА +

+ ft, Ф ~РА + ±РВ + ±РС; в) - |₽Д + ±РВ —±РС, г) - PC.

Z О о О £ £ £ о

5. а) Отрезок; б) луч; в) прямую; г) параллелограмм; д) часть полосы; е) два вер-
тикальных угла; ж) плоскость АВС. 6. а) Отрезок; б) параллелограмм; в) па-
раллелепипед. 8. б) При х = 1; в) если х— любое вещественное число, кроме
1 и 0. 9. Параллельны. 12. Нет.

§ 43. 1. Наибольшее значение 60°. 2. а) бесконечная коническая поверх-
ность, в частном случае плоскость или луч; б) бесконечный конус или пролупро-
странство, или все пространство за вычетом бесконечного конуса. 3. Вообще го-

COS фх

воря, нет. 4. Не всегда. 6. а) — в) Да; г) и д) не всегда. 7. а) 4. 8. cos ф = -♦

COS ф2

9. а) 90°; б) 90°; в) 45°; г) 45°; д) 90°; е) 90°; ж) cos ф = з), и), к) cos Ф =

1 'З

= —I** Если эти стороны пересекаются; б) всегда; в) если эти стороны
не являются параллельными. 17. а) 48. 20. а) В общем случае шесть. 21. Пло-
скость. 22. Есть. 24. В общем случае не равны. 25. 60°. 26. a) tg <р = —;

5 ч 9

б)со5ф=Ж в)С05ф==т 27,

а) 90°;

б) COS Ф =

/3.

6 ’

в) COS ф =
== -ЬД; г) cos ф = ; д) cos ф = 28. а) 60°; б) 90°; в) cos ф —

6 6 3 уз

г) 60°; д) 60°; е) 90°; ж) cos ф = -IpL; з) cos ф = -г—.-

10 У 1о

§ 44. 5. б) 2; в) 0; г) 0; д) е) 0. 6. Может для параллельных векторов
4

а и с, если среди них нет нулевых. 7. а) Нет; б) да. 9. а) /3; б) 90°; в) 60°;
г) 30°. 21. а) да; 2) нет. 25. Перпендикулярна плоскости. 26. Да.

§ 45. 1. Плоскость, боковая поверхность двух неограниченных конусов с
вершиной О или прямая. 2. Можно вывести первое и второе утверждения.
3. Можно вывести первое и второе утверждения. 4. Сумма углов равна 90°.
л . 2вшф . sin ф

6. a) sin о = "у^ ’ 6) sin <«> = уу^- 7‘ ° и 45 . а) cos Ф* cos Фх»

/cos2 ф2 — sin2 ф!; б) cos ф = /cos2 ф2 — sin2 ф!. 12. a) Y1— sin2
13. Сумм а квадратов косинусов этих углов равна

Ф1 — sin2 ф2.

21. а) /3 sin ф; б) 60°.
2d.

§ 46. 5. 0° и 180°. 11. a) sin ф = -т-Л=-. 21. 0°,
т ау 3

24. IxL sin х. 26. г — R cos 28. 0° или 90°. 29. а)
At At

или ^3 te2<P . 30. а) 1. 36. а) Если 1§ф

17. Да.

90°. 23. Ф1 + Ф2 = 90°.

tg ф; б) iX sin ф

О __ 2

с /3
, то S = : cos ф.

2
Если tg ф > "Т—, то

§ 48. 1. в) Да; г)
10. а) Да; б) нет. 11.
15. Не всегда.

S= V3 ctg ф — ctg2 ф .

/3 cos ф

нет. 2. Нет. 3. Такой же. 4. б) Да. 9. Необязательно,
а). Не всегда. 12. б) Нет. 13. б) Нет. 14. а) Да; б) Да.

3 1

§ 49. 8. —’S. 9. —. 10. Не всегда. 15. Их плоскости параллельны или сов-

падают. 22. Да.

§ 50. 9. Да. 12. а) Не всегда. 16. а) Да; б) да. 17. а) Да. 21. а) Не всегда;
б) не всегда. 22. Не всегда. 23. а) Нет; б) да. 24. а) Да; б) да. 26. а) Да. 27.
6) Не всегда. 28. а) Да; б) не всегда.

§ 51. 4. а) — в) Не обязательно. 5. Вершины прямоугольника, в котором
данные отрезки являются диагоналями. 6. Окружность. 7. а) Лежит в ней;
б) перпендикулярен ей. 8. а) 2 или 5, б) 1 или 2. 10. Да. 17. 1, 2, 3 или 6. 20.
а) 5; б) 2. 21. В общем случае неверно. 23. я) Не обязательно; б) да; в) да.
32. а) Не всегда. 33. б) Нет. 41. б) Неверно.

§ 52. 4. б) При повороте на 180°; в) плоскость. 5. а) Да; б) не всегда.
6. Да. 7. а) Бесконечное множество; б) бесконечное множество; в) бесконечное
множество или один; г) в общем случае таких поворотов нет. 8. б) Да.
9. б) Не обязательно. 10. 0 и —/3. 11. Наибольшее значение/3, наименьшее зна-
чение ~ /66. 18. 60°.

§ 53. 3. а), б), в) Да. 5. а) — г) Да; д), е) не всегда. 6. а) Да; б) бесконеч-
ное множество; в) такой зеркальный поворот может не существовать. 8. Да.
9. б) Да; в) да. _

§ 57. 10. а) Наибольшее значение —.У . 11. 1:1 или 1 : 3. 13. а) В общем
18

случае нет; б) да. 14. 16. 17. В два раза. 19. 64 и L^A(/3-f- 1)3. 23. сРвшф.
1 1

26. 1 — ~fg ф или 1 — —- ctg ф. 27. V. 28. 3 1^3. 29. 1 : 1. 31. Их нет 32.
£

Наибольшее значение -if?. 33. 2,5.
4

§ 59. 6. а) б) 2 sin^- j/*cos2

8. SjS,. 9. I. 14. 6) —. 17.

—- cos2 ф или 2 cos

^]/sin+~ cos2<P-

Такого конуса нет.

18. Наибольшее значение

25. 17,5. 27. J-1. 28. 1^. 29. 4- 30.—. 35.-^-. 38. Z2. 39. —.40.
27 12 2 3 2 24 12 3

а) 7 /2, — У 2.41. Наибольшее значение42. а) —б) '^’0^2— 0- 44.
V 5 4 111 1 1

46. —/11. 47. j. 48. а)-.) «)-; а) -. 50. .54. .) -^) 11

или 4 Уз. 55. 4/6? 50. 44 ~l/ <Р. — 1. 57. -. 58. 62. X3. 64. —.

27 3 12 Г 4 48 3 6 6

1111 14 г— 161/3 16

71.— или —. 74. —. 75. —. 77. 2—. 78. — У 3. 79. —80. б) — sin ф>

16 8 12 3 3 27 ' 135 3 v

2 21Лз 16 3 1 8

82. 10. 90. а), б) да. 91. а) —б) £L2_; в) —; г) —; д) е) -.
Л УЗ 9л 27л 4л уз 27

93. а)—; 6)2^6; в) ; г) ; д) <1. 8л/б } _?/б

' 6’ ' 216 ' 54 'з(1+/з)3’А> 27 ’ 27 1 (/io _|_ 2)3

JT / . \ о Л _ СР ЭТ ф

з) -(/2 —1)3; и) 94. Первая пирамида. 95. б) —V и V.

6 6 2л 2л

§61. 1. 6л. 6. 4dj </2 _ 9. б) Ctg ФХ = 42+/? 4+/3~2\

10. Наименьшее значение ^77-V2'3. 12. 492.13. 130 + 12^10. 14. Si + S2+
/------------- т/"

+ |/ S^ + S^’ 15. Наименьшее значение 24/?2. 17. а) — в) Существует. 24. 1.

25. 2. 26. l + Z3. 27. a) tg <p (sec <р + 2). 28. 27. 29. 4 + 3/5 + /13. 35. а)

3 „ 2л/?2//

Нет; б) да. 46. а) 100; б) 50. 49. а), б) Да. 52. —• S. 53. -55. В 4 раза.

2 7? + Н

1 Ф 1 II

59. а), б) Да. 60. —-. 66. б) 67. 68. а) и — часть площади поверхно-

4 2л 8 6 18

сти сферы. 72. а) Да. 77. а), б) Да. 78. а), б) Да. 79. а) Наименьшее
1 $

Зу^2л. 80. а) Наибольшее значение — ]/"бл . S2 . 82. —-. 85. а), б)
3 2

^“(б + Г^б). 90. Да. 91. а) Да. 98. а) Их нет; б) наибольшее
3

значение

Нет. 88.

значение

2 Г S

—Уз л. 99. а) Наибольшее значение при R = ”1/---б) их нет. 100. а),

27 У лУЗ

б) Их нет. 101. Наибольшее значение при R = —V 1 + У11. 103. б) Их нет;
О

в) наибольшее значение ~ У Зя.
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ

Антипризма 98

Вектор 24

— нулевой (нуль-вектор) 24

— , параллельный плоскости 26

— , — прямой 26

— перпендикулярный плоскости 26

— , — прямой 26

векторы параллельные (коллинеарные)
26

— перпендикулярные 26

— , противоположно направленные 26

— сонаправленные 26

величина векторная 24

— двугранного угла 59

— скалярная 24

винт левый 94

— правый 94

винтовая линия 135

— симметрия 104

винтовое перемещение 93

Грань двугранного угла 59
группа симметрии фигуры 103

Двугранный угол 59

длина кривой 134

Зеркальная симметрия 83

зеркальный поворот 97

Композиция отображений 66

координатная сеть 15
координаты 4
— полярные 13

— прямоугольные (декартовы) 4

— сферические 14

— цилиндрические 14

Линейный угол двугранного угла 60

Многогранник, описанный вокруг те-
ла 137

Направление 22

направленный отрезок 19

Объем конуса 122

— пирамиды 122

— призмы 122

— простой фигуры 113

— прямого цилиндра 115

— тела вращения 124

— шара 123

описанный многогранник 137

осевая симметрия в пространстве 93

оси координат 5

ось зеркальной симметрии фигуры по-
рядка п 104

— поворота 90

— симметрии фигуры порядка п 104

— фигуры 92

отображение 65

— взаимно однозначное 65

— обратимое 66

— тождественное 66

отображения взаимно обратные 66

отражение в плоскости 83

Параллельный перенос 75

перемещение второго рода 110

— первого рода 110

— фигуры 66

плоскость симметрии 84

площадь боковой поверхности конуса

вращения 140

----------- усеченного 140

-------- цилиндра 140

— поверхности 137

— простой фигуры 112

— сферы 138

подобие 69

поворот фигуры вокруг прямой 90

преобразование симметрии 103

простая фигура 112

Равные фигуры 67

разность векторов 30

ребро двугранного угла 59

Симметрия винтовая 104

— зеркальная 83

— переносная 104

— фигуры 101

— центральная 79

система координат 4

скаляр 24

скалярное произведение векторов 49

скалярный квадрат вектора 50

скользящее отражение 86

сонаправленные направленные отрез-
ки 20

составляющие вектора 33

стерадиан 139

сумма векторов 28

Угол между векторами 44

----- лучами 46

-----плоскостями 60

-----полуплоскостями 60

-----прямой и плоскостью 56

— — прямыми 46

— поворота 90

умножение вектора на число 40

уравнение плоскости 11

— сферы 8

— фигуры 10

Фигура вращения 124

Элементы симметрии 103
ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие ........................................................ 3

Глава VI. Координаты и векторы

§ 36. Прямоугольные координаты ..................................... 4

§ 37. Метод координат .............................................. 8

§ 38. Направленные отрезки. Направление ........................... 19

§ 39. Векторы ..................................................... 23

§ 40. Сложение векторов ................................. 27

§ 41. Разложение вектора на составляющие .......................... 32

§ 42. Умножение вектора на число .............................. 40

Глава VII. Углы. Скалярное произведение

§ 43. Угол между векторами и прямыми............................... 44

§ 44. Скалярное произведение ...................................... 49

§ 45. Угол между прямой и плоскостью............................... 55

§ 46. Двугранный угол. Угол между плоскостями...................... 59

Глава VIII. Перемещения

§ 47. Понятие о перемещении и подобии.............................. 65

§ 48. Свойства, сохраняющиеся при перемещениях..................... 70

§ 49. Параллельный перенос......................................... 75

§ 50. Центральная симметрия ....................................... 79

§51. Отражение в плоскости (зеркальная симметрия)................. 83

§ 52. Поворот вокруг прямой '...................................... 89

§ 53. Зеркальный поворот .......................................... 97

§ 54. Симметрия .................................................. 100

§ 55. Общие теоремы о перемещениях................................ 109

Глава IX. Длина, площадь, объем
j 56. Определение площади и объема................................ 112

§ 57. Объем прямого цилиндра ................................. . 115

§ 58. Представление объема интегралом ............................ 121

§ 59. Объемы некоторых тел ....................................... 122

§ 60. Длина кривой линии ......................................... 133

§61. Площадь поверхности ........................................ 136

Глава X. Исторический очерк

§ 62. От начала до Лобачевского ................................. 153

§ 63. Современная геометрия ...................................... 160

Задачи по всему курсу............................................. 178

Ответы к задачам ................................................. 187

Предметный указатель ............................................. 190
Александр Данилович Александров
Алексей Леонидович Вернер
Валерий Идельевич Рыжик
НАЧАЛА СТЕРЕОМЕТРИИ

Пробный учебник для 10 класса

Редактор Н. И. Никитина
Художник обл. Б. Л. Николаев
Художественный редактор Е. Н. Карасик
Технический редактор М. М. Широкова
Корректоры Л. П. Михеева, Л. Г. Новожилова

ИБ № 6096

Сдано в набор 19.01.82. Подписано к печати 03.09.82. Формат 60Х90‘/1в. Бумага типограф.
№ 2. Гарн. литер. Печать высокая. Усл. иеч. л. 12. Усл. кр.-отт. 12,19. Уч.-изд. л. J1.7.
Тираж 241 300 экз. Заказ № 6542. Цена 45 коп.

Ордена Трудового Красного Знамени издательство :«Просвещенне> Государственного коми-
тета РСФСР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли. Москва, 3*й проезд
Марьиной рощи, 41.

Отпечатано с матриц Саратовского ордена Трудового Красного Знамени полиграфического
Комбината в областной типографии управления издательств, полиграфии и книжной тор-
говли Ивановского облисполкома, 153628, г. Иваново, ул. Типографская, 6.
Школьные учебники (((Р

SHEBA.SPB.&U/SHKOLA