t
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ
ЛОГИКА
И ОСНОВАНИЯ
МАТЕМАТИКИ
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 19 7 5
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ
ЛОГИКА
Дж. ШЕНФИЛД
Перевод с английского
И. А. ЛАВРОВА и И. А. МАЛЬЦЕВА
Под редакцией
Ю. Л. ЕРШОВА
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 1975
В17
Ш47
УДК 519. 9
20203-116
Ш------------ 67-75
053 (02)-75
JOSEPH R. SHOENFIELD
MATHEMATICAL
LOGIC
ADDISON-WESLEY
PUBLISHING COMPANY
19 6 7
© Перевод на русский язык,
Главная редакция
физико-математической литературы
издательства «Наука», 1975 г.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие редактора ....................................   7
Предисловие ................................................ 9
Глава 1. Природа математической логики...................... 11
1.1. Аксиоматические системы (11). 1.2. Формальные системы
(13). 1.3. Синтаксические переменные (19).
Глава 2. Теории первого порядка ........................... 23
2.1. Функции и предикаты (23). 2.2. Функции истинности (25).
2.3. Переменные и кванторы (28). 2.4. Языки первого по-
рядка (31). 2.5. Структуры (37). 2.6. Логические аксиомы
и правила (40). Задачи (44).
Глава 3. Теоремы в теориях первого порядка................... 47
3.1. Теорема тавтологии (47). 3.2. Результаты о кванторах (54).
3.3 Теорема дедукции (56). 3.4. Теоремы эквивалентности и
равенства (58). 3.5. Пренексная форма (62). Задачи (65).
Глава 4. Проблема характеризации............................ 67
4.1. Теорема редукции (67). 4.2. Теорема полноты (70).
4.3. Теорема непротиворечивости (79). 4.4. Теорема Эрбрана
(84). 4.5. Добавление функциональных символов (90).
4.6. Расширения с помощью определений (93). 4.7. Интерпре-
тации (98). Задачи (103).
Глава 5. Теория моделей.................................... 108
5.1. Теорема компактности (108). 5.2. Изоморфизмы и под-
структуры (111). 5 3. Мощность моделей (122). 5.4. Совместная
непротиворечивость (124). 5.5. Полные теории (128). 5.6. Кате-
горичность (138). Задачи (144).
Глава 6. Неполнота и неразрешимость .....................
6.1. Вычислимость (162). 6.2. Рекурсивные функции (165).
6.3. Явные определения (168). 6.4. Номера последовательно-
стей (174). 6.5. Тезис Чёрча (180). 6.6. Номера выражений
(185). 6.7. Представимость (190). 6.8. Теорема Чёрча и теорема
о неполноте (196). 6.9. Неразрешимость (201). Задачи (206).
162
6
ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава 7. Теория рекурсии.................................. 215
7.1. Частичные функции (215). 7.2. Функционалы и отношения
(220). 7.3. Свойства рекурсивных функционалов (226). 7.4. Ин-
дексы (234). 7.5. Арифметическая иерархия (239). 7.6. Относи-
тельная рекурсивность (244). 7.7. Степени (252). 7.8.. Анали-
тическая иерархия (258). 7.9. Гиперарифметические отношения
(262). 7.10. Теорема характеризации (267). 7.11. Теоремы о
базисе (276). Задачи (283).
Глава 8. Натуральные числа................................ 300
8.1. Арифметика Пеано (300). 8.2. Теорема о доказательствах
непротиворечивости (307). 8.3. Доказательство непротиворечи-
вости (315). 8.4. Применения доказательства непротиворечи-
вости (327). 8.5. Арифметика второго порядка (334). Задачи (343).
Глава 9. Теория множеств ................................. 348
9.1. Аксиомы для множеств (348). 9.2. Систематическое постро-
ение теории множеств (352). 9.3. Ординалы (359). 9.4. Карди-
налы (369). 9.5. Интерпретации теории множеств (379). 9.6. Кон-
структивные множества (393). 9.7. Аксиома конструктивности
(401). 9.8. Вынуждение (408). 9.9. Доказательства независи-
мости (422) 9.10. Большие кардиналы (436). Задачи (452).
Приложение I. Проблема тождества слов..................... 459
Приложение II. Неразветвленное вынуждение ................ 482
Предметный указатель...................................... 520
ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА
В настоящее время интерес к математической логике и
теории алгоритмов непрерывно растет. Все большее число
высших учебных заведений включает в обязательную про-
грамму обучения курсы математической логики, теории
алгоритмов или их фрагменты. Специалисты в области
ЭВМ начинают осознавать, что эти разделы математики
являются фундаментом для построения настоятельно необ-
ходимой сейчас хорошей теории математического обеспе-
чения и теории вычислений. Многие специалисты далеких
от математики разделов науки начинают сознательно зна-
комиться с достижениями математической логики. За по-
следние годы вышли переводы многих хороших книг по
математической логике и теории алгоритмов, однако ни
эти переводы, ни довольно бедный ассортимент отечествен-
ных книг не могут полностью удовлетворить запросы чита-
телей. Предлагаемая вниманию читателей книга сочетает в
себе (относительную) простоту изложения с почти энцикло-
педической полнотой содержания. Ее выход в русском пере-
воде будет полезен широкому кругу советских читателей.
Книга Дж. Шенфилда «Математическая логика» вышла
в США в 1967 г. и в настоящее время, после прошествия
семи лет, становится ясным, что она завоевала постоянные
симпатии специалистов и стала, в определенном смысле,
«канонической» книгой. Это проявляется, например, в том,
что ссылки на нее в журнальных статьях делаются чаще,
чем на какие-нибудь другие систематические изложения
основ математической логики. Чем это можно объяснить?
Прежде всего краткостью, полнотой и тщательностью от-
бора материала. Полнота изложения книги весьма впечат-
ляюща. При сравнительно небольшом объеме она содер-
жит практически все теоремы, заслужившие всеобщее при-
знание специалистов, в области математической логики,
теории моделей и теории алгоритмов. Так, например, книга
8
ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА
содержит: теорию счетно категоричных теорий, решение
проблемы Поста о степенях неразрешимости, основные
результаты о независимости в аксиоматической теории
множеств и многое, многое другое. Впервые в такой книге
изложено гёделевское доказательство непротиворечивости
арифметики, использующее функционалы высших типов.
Краткость книги достигнута многими авторскими наход-
ками в способе подачи материала. Многие важные резуль-
таты излагаются в упражнениях, которые составляют необ-
ходимую органическую часть книги. К сожалению, стрем-
ление к краткости иногда приводит и к некоторым потерям.
Написанная довольно понятно в целом, книга в некоторых
местах становится трудно понимаемой.
Ряд важных теорем книги снабжен указаниями на их
авторство. В основном эти указания точны, но имеются и
досадные упущения. Так не отмечено, что теорема полноты
и теорема компактности в полном объеме (для любой сигна-
туры) принадлежат выдающемуся советскому математику
академику А. И. Мальцеву.
Книга имеет 9 глав и 2 приложения. Главы 1—5, 9 и
приложение II переведены И. А. Лавровым, главы 6—8
и приложение I — И. А. Мальцевым.
Автор любезно предоставил в распоряжение редактора
и переводчиков список замеченных опечаток и неточностей
и высказал пожелание в присоединении в качестве второго
приложения статьи автора «Неразветвленное вынуждение».
Редактор благодарен Дж. Шенфилду за полезное сотрудни-
чество. Пожелание автора о включении статьи «Неразвет-
вленное вынуждение», содержащей замечательное упроще-
ние изложения результатов о независимости в аксиомати-
ческой теории множеств, выполнено. При переводе были
исправлены замеченные опечатки и неточности (указанные
и не указанные автором) без всяких особых указаний на это.
В переводе имеется совсем немного примечаний, сделанных,
редактором и переводчиками. При этом сознательно подав-
лялось возникающее иногда желание делать замечания,
основной целью которых являлась бы демонстрация того,
что редактор (переводчик) понимают то, о чем идет речь
в книге. Как показывает опыт, чтение книг, снабженных
многочисленными такими примечаниями, оказывается до-
вольно мучительным делом.
Ю. Л. Ершов
Посвящается
КЛИФФОРДУ СПЕКТОРУ
(1930— 1961)
ПРЕДИСЛОВИЕ
Редко бывает, чтобы автор учебника по математике не
жаловался на недостаток места для изложения своего пред-
мета. Сегодня невозможно описать во вводных курсах
анализа, алгебры или топологии даже все центральные
направления исследований. Это в какой-то мере возможно
в математической логике, но и здесь приходится отбрасы-
вать многие интересные разделы. Поэтому я пытался со-
брать главные результаты только в кажущихся мне цен-
тральными направлениях математической логики: теории
доказательств, теории моделей, теории рекурсии, аксио-
матической теории чисел и теории множеств. При этом
я не хочу создавать предубеждения против многозначных
логик, типов рекурсивной эквивалентности и других спе-
циальных вопросов; читатель должен изучать их где-
нибудь в другом месте. Особенно важной из опущенных тем
является интуиционизм; наличие соответствующих учеб-
ников и некомпетентность автора в этом вопросе являются
главными моими оправданиями.
Но и главные направления не могут быть описаны пол-
ностью; однако я пытался предложить несколько нетри-
виальных теорем и доказательств в каждом из этих напра-
влений. Число результатов значительно увеличено благо-
даря задачам. Это не шаблонные упражнения, а важные
результаты, доказательства которых часто требуют значи-
тельного обобщения методов, изложенных bs тексте книги.
Я надеюсь, что сделанные указания будут достаточными
ДЛЯ того, чтобы хороший студент решил эти задачи, но он
не должен быть обескуражен, если многие из этих задач
покажутся ему очень трудными.
Математическая логика всегда была тесно связана с фи-
лософией математики. Я обычно избегаю философских рас-
суждений, за исключением тех мест, где они тесно связаны
С математическим материалом. Иногда, излагая некоторую
10
ПРЕДИСЛОВИЕ
точку зрения, я не буду при этом извиняться за то, что
я не отмечаю противоположной точке зрения, также широко
распространенной.
Эта книга значительно расширена по сравнению с кон-
спектом курса математической логики, прочитанного не-
сколько раз, начиная с 1958 г., в университете имени Дьюка.
Часть материала взята из курса по теории рекурсии, про-
читанного в Стенфордском университете в 1964—1965 гг.
Включенный материал несколько больше, чем я обычно
читаю в одногодовом курсе.
Так как я предназначаю эту книгу в качестве учебника
для аспирантов первого года обучения, то от читателя
требуется достаточная математическая зрелость. С другой
стороны, необходим лишь ограниченный запас математиче-
ских знаний. Достаточно знания простейших свойств нату-
ральных чисел и множеств, а также некоторого знакомства
с современной алгеброй. Но некоторые задачи требуют зна-
комства с более сложными темами.
Только небольшая часть результатов книги принадле-
жит автору. Я не стремился указывать автора каждого
результата; имена, данные важнейшим теоремам, просто
дают читателю представление о людях, создававших эту
науку. Я также опускаю все библиографические ссылки.
Но одну книгу, имеющую для меня особое значение, я хотел
бы отметить: это книга Клини «Введение в метаматематику».
Наряду с имеющимися опубликованными источниками
я использовал беседы и переписку со многими логиками.
Я хотел бы, в частности, поблагодарить Джона Аддисона,
Соломона Фефермана, Азриэля Леви, Анджея Мостовского,
Ричарда Платека, Хартли Роджерса, Дэна Скотта, Клиф-
форда Спектора, В. В. Тейта и Роберта Воота. Этот список
не исчерпывающий, но я надеюсь, что многие другие при-
мут мою общую благодарность за их содействие.
Особенно я обязан Георгу Крайзелю. Именно в дискус-
сиях и переписке с ним за многие годы я пришел к выводу,
что математическая логика является не собранием разроз-
ненных результатов, а действенным методом изучения неко-
торых наиболее интересных проблем, стоящих перед мате-
матиками. Я считаю, что успех этой книги будет зависеть
от того, насколько онр передаст эту идею читателю.
Дарем, Северная Каролина
Май 1967
Д. Р. Ш.
ГЛАВА 1
ПРИРОДА МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ
1.1. Аксиоматические системы
Логика изучает умозаключения, а математическая ло-
гика изучает те типы умозаключений, которыми пользуются
математики. Поэтому, чтобы найти правильный подход
к математической логике, мы должны исследовать методы,
которыми пользуются в математике.
Отличительной чертой математики, в противополож-
ность другим наукам, является использование доказа-
тельств, а не наблюдений. Физик может выводить физиче-
ские законы из других физических законов, но как окон-
чательное подтверждение физического закона он обычно
рассматривает согласованность с экспериментом. Математик
может при случае использовать наблюдение: например, он
может измерить углы многих треугольников и прийти
к выводу, что сумма этих углов всегда равна 180°. Однако
он признает этот факт как математический закон только
тогда, когда это будет доказано.
Несмотря на это, ясно, что невозможно доказать все
математические законы. Самые первые законы, которые
принимаются, не могут быть доказаны, так как нет более
ранних законов, из которых они могут быть выведены.
Поэтому мы должны выбрать некоторые начальные законы,
называемые аксиомами, которые принимаются без доказа-
тельства; остальные законы, называемые теоремами, дока-
зываются, исходя из аксиом.
На каком основании мы принимаем аксиомы? Здесь мы
могли бы пытаться применить наблюдение, но это не очень
практично и не в духе математики. Поэтому мы пытаемся
выбрать в качестве аксиом такие законы, которые, как мы
полагаем, очевидны по самой природе рассматриваемых
понятий.
Так мы сводим большое число законов к небольшому
числу аксиом. Похожее сведение происходит и с матсмати-
12
ГЛ» I, ПРИРОДА МАТЕМАТИЧЕСКОЙ логики
ческими понятиями. Мы обнаруживаем, что можно опре-
делить некоторые понятия в терминах других понятий.
Но опять-таки самые первые понятия, которые мы исполь-
зуем, не могут быть определены, так как нет более ранних
понятий, в терминах которых их можно было бы опреде-
лить. Поэтому мы выбираем некоторые понятия, называе-
мые основными понятиями, которые остаются неопределен-
ными; остальные понятия, называемые производными поня-
тиями, определяются в терминах основных. К основным
понятиям, так же как и к аксиомам, предъявляется требо-
вание; они должны быть столь просты и ясны, что мы
можем понимать их без точного определения.
В любом утверждении можно заменить производные
понятия основными понятиями, в терминах которых они
определены. В частности, это можно сделать для аксиом.
Поэтому можно предполагать, что все понятия, которые
встречаются в аксиомах, являются основными.
Теперь можно следующим образом описать то, что делает
математик. Он предлагает нам некоторые основные понятия
и некоторые аксиомы об этих понятиях. Затем он объясняет
нам эти понятия, пока мы не поймем их достаточно хорошо,
чтобы увидеть, что аксиомы являются истинными. Далее он
переходит к определению производных понятий и доказы-
вает теоремы об основных и производных понятиях. Здание,
которое он строит, состоящее из основных Понятий, произ-
водных понятий, аксиом и теорем, называется аксиоматиче-
ской системой. Это может быть аксиоматической системой
для всей математики или для некоторой части математики
такой, как планиметрия или теория действительных чисел.
До сих пор мы предполагали, что описываем какие-то
заранее подразумеваемые понятия. Но даже в этом случае
можно придумать и другие понятия, которые делают наши
аксиомы истинными. В этом случае все доказанные теоремы
будут также истинными для этих новых понятий. Это при-
водит математиков к построению аксиоматических систем,
аксиомы которых являются истинными для многих поня-
тий. Типичным примером является множество аксиом для
групп. Мы называем такие аксиоматические системы совре-
менными, в противоположность классическим аксиоматиче-
ским системам, о которых говорилось раньше. В действи-
тельности, конечно, разница не в самой аксиоматической
системе, а в замысле ее построения.
1.2. ФОРМАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ
13
Руководствуясь этими замечаниями, мы начинаем изуче-
ние математической логики с изучения аксиоматических
систем. В итоге это приведет нас к разнообразным пробле-
мам, ряд которых будет лишь косвенно связан с аксио-
матическими системами.
1.2. Формальные системы
Аксиома (или теорема) может рассматриваться с двух
точек зрения. Мы можем воспринимать ее как некоторое
предложение, т. е. объект, находящийся на бумаге, когда
мы записали эту аксиому, или интересоваться смыслом
этого предложения, т. е. фактом, который выражен этой
аксиомой. Казалось бы, последнее кажется более важным.
Очевидная цель предложения — выражать смысл это-
го предложения ясно и точно. Это очень полезная
цель, но, по-видимому, мало чего дающая для оснований
математики.
При этом существуют два важных довода в пользу изуче-
ния аксиом и теорем именно как предложений. Во-первых,
если мы удачно выберем язык для выражения аксиом, то
структура предложения будет до некоторой степени отра-
жать смысл аксиомы. Поэтому можно изучать понятия,
входящие в аксиоматическую систему, изучая структуру
предложений, выражающих аксиомы. Это особенно ценно
для современных аксиоматических систем, так как для них
наше интуитивное понимание основных понятий может быть
очень слабым.
Второй довод состоит в том, что понятия математики
обычно очень абстрактны и поэтому трудны для понимания.
Между тем предложение является конкретным объектом;
таким образом, изучая аксиомы как предложения, мы
подходим к абстрактному через конкретное.
Бесспорно одно: мало пользы в изучении конкретных
объектов (в отличие от абстрактных), если мы не подходим
к ним конкретно или конструктивно. Например, когда
мы хотим доказать, что некоторый конкретный объект
с каким-то свойством существует, мы должны фактически
построить такой объект, а не просто показать, что несу-
ществование такого объекта привело бы к противоречию.
О доказательствах, которые оперируют с конкретными
объектами конструктивно, говорят, что они финитны.
14
ГЛ. 1. ПРИРОДА МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ
Другое описание этого термина, предложенное Крайзелем,
состоит в следующем: доказательство финитно, если мы
можем сделать его обозримым. Конечно, ни одно из этих
описаний не является очень точным, но мы можем при-
менять их во многих случаях для решения того, будет
данное доказательство финитным или нет.
Поскольку фундаментальное различие между конкрет-
ными и абстрактными объектами принято во внимание,
появляются разнообразные вопросы, на которые можно
ответить, лишь изучая финитные доказательства. Например,
Гильберт, первым начавший такое изучение, считал, что
только финитная математика может быть безоговорочно
оправдана нашей интуицией. Абстрактная же математика
вводится для получения более легких или элегантных
доказательств финитных результатов. Поэтому Гильберт
предложил программу с целью показать, что всю обще-
признаваемую абстрактную математику (или ее сущест-
венную часть) можно рассматривать подобным образом.
Вопрос о том, как далеко можно продвинуть эту программу,
представляет очевидный интерес даже для тех, кто не
разделяет точку зрения Гильберта на абстрактную ма-
тематику.
Изучение аксиом и теорем как предложений называется
синтаксическим изучением аксиоматических систем; изу-
чение смысла этих предложений называется семантическим
изучением аксиоматических систем. По причинам, изло-
женным выше, мы будем часто различать синтаксический
и семантический аспекты наших исследований. Когда это
возможно и достаточно удобно, наши синтаксические иссле-
дования будут финитными. Мы всегда будем рассматри-
вать аксиомы и теоремы как предложения и, следо-
вательно, как синтаксические объекты; когда мы хотим
изучать их семантически, мы говорим о смысле аксиом
или теорем.
Введем понятие формальной системы, которое будет
сопровождать нас в нашем синтаксическом изучении.
Грубо говоря, формальная система представляет собой
синтаксический аспект аксиоматической системы. Дадим
точное определение.
Первой частью формальной системы является ее язык.
Как указывалось раньше, язык должен быть выбран так,
чтобы структура предложений по возможности отражала
1.2. ФОРМАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ
15
их смысл. По этой причине, как, впрочем, и по другим,
для наших формальных систем обычно будут использо-
ваться искусственные языки.
Чтобы определить язык, нужно прежде всего опреде-
лить его символы. В случае русского языка *) символами
будут буквы, цифры и знаки препинания. Большинство
наших искусственных языков будет иметь бесконечно
много символов.
Любая конечная последовательность символов языка
называется выражением этого языка. Понятно, что символ
может несколько раз появляться в выражении; каждое
такое появление называется вхождением этого символа
в данное выражение. Число вхождений символов в выраже-
ние называется длиной этого выражения. (Таким образом,
русское выражение ботинок имеет длину 7.) Мы допускаем
в качестве выражения пустую последовательность; это
единственное выражение длины 0.
Одно выражение может встречаться внутри другого
выражения. Каждое такое появление называется вхожде-
нием первого выражения во второе. Например, русское
выражение он имеет 2 вхождения в русское выражение
понтон. Однако вхождениями не считаются те случаи,
когда символы первого выражения встречаются во втором
выражении в другом порядке или разделяются другими
символами. Таким образом, он не имеет вхождений в выра-
жения нос или война.
Большинство выражений в алфавите русского языка
не имеет смысла. Среди осмысленных выражений имеются
(повествовательные) предложения, которые приблизительно
могут быть описаны как выражения, которые утверждают
некоторый факт. Мы будем требовать, чтобы в каждом
языке, некоторые выражения языка выделялись как формулы
этого языка; под ними будем подразумевать такие выра-
жения, которые утверждают некоторый факт.
Язык считается полностью определенным, когда опре-
делены его символы и формулы. Это делает язык чисто
синтаксическим объектом. Конечно, большинство наших
языков будут иметь определенную семантику (возможно,
не единственную), но эта семантика не считается частью
*) В оригинале, естественно, всегда речь идет об английском
языке. — Прим, перев.
16
ГЛ. 1. ПРИРОДА МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ
языка. Язык формальной системы F будем обозначать
через L (Т).
Следующей частью формальной системы являются ее
аксиомы. Наше единственное требование состоит в том,
чтобы каждая аксиома была формулой языка формальной
системы.
Нам нужна также третья часть формальной системы,
которая позволит нам получать теоремы из аксиом. Это
достигается с помощью правил вывода, которые часто будут
называться просто правилами. Каждое правило вывода
утверждает, что при некоторых условиях одна формула,
называемая заключением правила, может быть выведена из
некоторых других формул, называемых посылками правила.
Как же определить теоремы формальной системы К?
Очевидно, они должны удовлетворять следующим двум
законам:
(i) аксиомы системы F являются теоремами системы F;
(ii) если все посылки некоторого правила системы F
являются теоремами системы F, то заключение этого пра-
вила является теоремой системы F.
Более того, желательно, чтобы формула была теоремой
системы только тогда, когда это следует из этих двух
законов. Поэтому мы можем определить теорему системы F
как формулу, которая является теоремой на основании
законов (i) и (ii).
Можно дать более явное описание теорем системы F,
Пусть So — множество аксиом; это формулы, о которых
можно заключить, что они являются теоремами на осно-
вании закона (i). Пусть Sx — множество формул, которые
являются заключениями правил, посылки которых нахо-
дятся в множестве So; это формулы, о которых можно
заключить, что они являются теоремами на основании
закона (ii). Пусть S2 — множество формул, которые явля-
ются заключениями правил, посылки которых находятся
в множествах So и S'x; это также теоремы на основании
закона (ii). Таким же путем строятся множества S3, S4, ...
Пусть — множество формул, которые являются заклю-
чениями правил, посылки которых находятся по крайней
мере в одном из множеств So, Slt ...; это опять-таки теоремы
согласно закону (ii). Продолжаем этот процесс до тех пор,
пока по закону (ii) нельзя будет получить новых теорем;
вот теперь мы имеем все теоремы.
1.2. ФОРМАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ
17
Определение только что описанного типа называется
обобщенным индуктивным определением. Обобщенное индук-
тивное определение семейства- объектов С состоит из неко-
торого множества законов, каждый из которых говорит
о том, что при подходящих предположениях некоторый
объект х лежит в С. Некоторые из этих предположений
могут говорить о том, что какие-то объекты, определенным
образом связанные с х, лежат в С. Когда дается такое
определение, всегда подразумевается, что объект лежит
в С, только если это следует из данных законов. Можно
дать более явное описание С, аналогичное сделанному
выше.
В качестве другого примера предположим, что мы
определили 0 и последователь и хотим определить нату-
ральные числа. (Натуральные числа — это неотрицатель-
ные целые числа 0, 1, 2, ... Последователем натурального
числа является следующее большее натуральное число.)
Можно дать такое обобщенное индуктивное определение:
(i) 0 есть натуральное число;
(ii) если у есть натуральное число, то последователь у
есть натуральное число.
Чтобы доказать, что каждая теорема системы F имеет
некоторое свойство Р, достаточно доказать, что формулы,
имеющие свойство Р, удовлетворяют законам, указанным
в определении теоремы.. Другими словами, достаточно
доказать, что:
(i') каждая аксиома системы F имеет свойство Р\
(ii') если все посылки некоторого правила системы F
имеют свойство Р, то заключение этого правила имеет
свойство Р.
Из (f) и (ii') следует, что каждый элемент множеств So,
Si, ... , Sa, ... , построенных выше, имеет свойство Р;
поэтому каждая теорема имеет свойство Р. Данное таким
способом доказательство называется доказательством индук-
цией по теоремам-, предположение в (ii'), что все посылки
правила имеют свойство Р, называется индуктивным
предположением.
Более общо, предположим, что семейство С определено
с помощью обобщенного индуктивного определения. Тогда,
чтобы доказать, что каждый объект семейства С имеет
свойство Р, достаточно доказать, что объекты, имеющие
свойство Р, удовлетворяют законам данного определения,
18
ГЛ. 1. ПРИРОДА МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ
Такое доказательство называется доказательством индук-
цией по объектам семейства С. Упомянутые в этих законах
предположения, что некоторые объекты принадлежат семей-
ству С, превращаются в таком доказательстве в предполо-
жение о том, что некоторые объекты имеют свойство Р; эти
предположения называются индуктивными предположе-
ниями. Читатель легко заметит, что если С есть семейство
натуральных чисел, полученное с помощью обобщенного
индуктивного определения, данного выше, то доказатель-
ство индукцией и индуктивное предположение имеют их
обычный смысл.
Правило формальной системы F называется конечным,
если оно имеет только конечное число посылок. Почти
все правила, которые мы будем рассматривать, будут
конечными.
Пусть F — формальная система, все правила которой
конечны. Под доказательством в системе F мы понимаем
конечную последовательность формул, каждая из которых
есть либо аксиома, либо заключение правила, посылки
которого предшествуют этой формуле в доказательстве.
Если А есть последняя формула доказательства Р, то мы
говорим, что Р есть доказательство формулы А.
Покажем, что формула А системы F является теоремой
тогда и только тогда, когда существует доказательство
формулы А. Прежде всего, как следует из законов (i) и
(ii), каждая формула доказательства является теоремой;
следовательно, если формула А имеет доказательство, то
она является теоремой. Обратное докажем индукцией по
теоремам. Если А — аксиома, то сама формула А является
доказательством формулы 4; следовательно, А имеет
доказательство. Теперь предположим, что А может быть
выведена из формул , Вп по некоторому правилу
системы F. По индуктивному предположению каждая из
формул Bi имеет доказательство. Если мы поместим эти
доказательства одно за другим и добавим формулу А
в конце этой последовательности, то получим доказательство
формулы А.
Будем писать в качестве сокращения для ...есть
теорема системы F. Если не возникает путаницы, нижний
индекс F опускаем.
Основные понятия аксиоматической системы будут соот-
ветствовать некоторым символам или выражениям формаль-
1.3, СИНТАКСИЧЕСКИЕ ПЕРЕМЕННЫЕ
19
ной системы, связанной с данной аксиоматической системой.
Производные понятия, так как они определяются в терминах
основных понятий, в общем случае будут соответствовать
более сложным выражениям. Если важному производному
понятию соответствует весьма сложное выражение, может
оказаться желательным ввести новый символ как сокраще-
ние этого выражения. Мы можем также пожелать ввести
сокращения, чтобы сделать некоторые выражения более
короткими или более удобными для чтения.
По этим причинам мы позволяем себе вводить в любой
язык новые символы, называемые определяемыми символами.
Каждый такой символ может комбинироваться опреде-
ленным способом с символами данного языка и ранее опре-
деляемыми символами, чтобы образовать выражения, назы-
ваемые определяемыми формулами. Каждая определяемая
формула является сокращением некоторой формулы языка.
(В этой терминологии сокращение не обязано быть более
коротким, чем выражение, которое оно сокращает.) Для
каждого определяемого символа мы должны дать определение
этого символа; это должно быть правилом, говорящим, как
строить определяемые формулы с новым символом и как
для каждой такой определяемой формулы найти формулу
данного языка, которую она сокращает.
Подчеркиваем, что определяемые символы не являются
символами языка, а определяемые формулы не являются
формулами языка. Более того, когда мы говорим что-либо
о некоторой определяемой формуле, мы в действительности
говорим о формуле языка, которая была сокращена (при
условии, что имеется какое-нибудь отличие). Так, длина
определяемой формулы не есть число вхождений символов
в определяемую формулу, а есть число вхождений символов
в формулу, которую данная определяемая формула со-
кращает.
1-3. Синтаксические переменные
Рассматривая формальные системы, мы будем изучать
выражения точно так же, как в анализе изучаются действи-
тельные числа. В обоих случаях исследования проводятся
IJa русском языке, с добавлением некоторых специальных
символов, приспособленных к исследованию. Рассмотрим
некоторые специальные символы, используемые в анализе,
20
ГЛ, 1. ПРИРОДА математической логики
и введем аналогичные специальные символы для исследова-
ния формальных систем.
Прежде всего в анализе используются имена для неко-
торых действительных чисел, например, 3, — л. Нам также
нужны имена для выражений. Мы находимся в благоприят-
ной ситуации, так как мы можем дать имя каждому выра-
жению при соглашении, что каждое выражение должно
использоваться как имя для самого себя. Это соглашение
неудобно для тех, кто пишет учебники по анализу, имя
должно быть выражением, а действительное число не
является выражением.
Однако при этом соглашении возникает одна опасность.
Выражение может (в языке, который мы до сих пор рас-
сматривали) быть именем какого-либо объекта, теперь оно
стало также и именем для самого себя. Так, Бостон является
именем некоторого города, но в связи с нашим соглашением
это выражение есть также имя некоторого слова в русском
алфавите. Мы избавлены от этого неудобства, потому что
мы будем изучать лишь искусственные языки и при их
изучении будем пользоваться русским языком. Так, если
выражение входит в контекст искусственного языка, оно
есть имя некоторого объекта; когда же выражение входит
в контекст русского языка, оно есть имя самого этого
выражения *).
Другим важным типом символов, используемых в ана-
лизе, являются переменные. В противоположность имени,
которое имеет только одно значение, переменная имеет
много значений. В анализе переменная может означать
любое действительное число; или, как мы будем говорить,
область изменения переменной есть совокупность действи-
тельных чисел. Однако переменная сохраняет постоянное
значение на протяжении некоторого контекста. Формула,
содержащая переменные, также имеет много значений —
одно значение для каждого распределения действительных
чисел как значений переменных, входящих в формулу.
Например, х = х может означать 2 = 2 и л = л; х = у
имеет эти же значения, а также 2 = 5. Когда в анализе
*) Во избежание какой-либо путаницы в некоторых книгах наше
соглашение заменено другим: выражение ставится в кавычки, если
оно используется в качестве имени самого этого выражения.
1.3. СИНТАКСИЧЕСКИЕ ПЕРЕМЕННЫЕ
21
утверждается какая-то формула, содержащая переменные,
то подразумевается, что все значения этой формулы явля-
ются истинными.
Подобным же образом мы будем использовать синтакси-
ческие переменные, только вместо действительных чисел их
область изменения будет состоять из выражений изучае-
мого языка. Поэтому синтаксическая переменная может
означать любое выражение языка, но значение этой пере-
менной остается фиксированным на протяжении некоторого
контекста. Формула, содержащая синтаксические перемен-
ные, имеет много значений — одно значение для каждого
распределения выражений как значений каждой синтакси-
ческой переменной, входящей в формулу. Если такая фор-
мула утверждается, то подразумевается, что все значения
этой формулы являются истинными.
Чтобы дать пример использования синтаксических пере-
менных и выражений как имен для самих себя, предполо-
жим, что х есть символ формальной системы F. Предполо-
жим также, что мы получаем некоторую новую формулу
системы F всякий раз, когда добавляем символ х справа
к некоторой формуле системы F. Условившись использо-
вать символ и в качестве синтаксической переменной,
можно выразить это следующим образом: если и есть фор-
мула, то выражение, полученное добавлением х справа к и,
есть формула.
В анализе некоторые переменные имеют область измене-
ния, состоящую только из части всех действительных чисел.
Например, обычно область изменения i и / состоит только
из натуральных чисел. Мы часто будем использовать син-
таксические переменные, область изменения которых состоит
лишь из некоторых выражений рассматриваемого языка.
Если А используется в качестве синтаксической перемен-
ной, область изменения которой состоит из формул, то
утверждение в конце предыдущего абзаца может быть сокра-
щено до следующего: выражение, полученное из А добавле-
нием справа символа х, есть формула.
В анализе ху обозначает результат умножения х на у.
Если и и ® — синтаксические переменные, то мы будем
использовать запись ичз для выражения, полученного
сцеплением и и®, т. е. написанием к и затем написанием с
сразу после и. Такое же соглашение используется для дру-
гих синтаксических переменных. Оно же может использо-
22
ГЛ. L ПРИРОДА МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ
ваться и в комбинации синтаксических переменных с име-
нами выражений. Например, утверждение в конце преды-
дущего абзаца может быть сделано более коротким: Ах есть
формула.
Для синтаксических переменных будут использоваться
полужирные буквы. В частности, и и ® будут означать
синтаксические переменные, область изменения которых
состоит из всех выражений; А, В, С и D будут означать
синтаксические переменные, область изменения которых
состоит из формул. Другие синтаксические переменные
будут введены позднее. При использовании полужирных
букв для синтаксических переменных будем иметь в виду,
что можно образовывать новые синтаксические переменные
добавлением штрихов и индексов и эти новые синтаксиче-
ские переменные будут иметь ту же область изменения, что
и старые переменные. Таким образом, А' и Аг являются
синтаксическими переменными, область изменения кото-
рых состоит из формул.
В заключение добавим еще пару слов. Во-перрых, если
две различные синтаксические переменные встречаются
в одном контексте, они не обязательно означают разные
выражения (аналогично в анализе х и у не обязательно
означают различные действительные числа). Во-вторых,
синтаксические переменные не являются символами рас-
сматриваемого языка; они являются символами, добавлен-
ными к русскому алфавиту, чтобы помочь исследованию
этого языка.
ГЛАВА 2
ТЕОРИИ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
2.1.	Функции и предикаты
Как уже отмечалось, мы хотим изучать формальные
системы, в которых структура языка связана с подразуме-
ваемым смыслом языка. Теперь мы выберем класс фор-
мальных систем, обладающих этим свойством, который
достаточно широк, чтобы включать в себя формализации
обычных аксиоматических систем математики.
Наша первая задача — описать языки, которые будут
использоваться в этих формальных системах. Перед тем,
как это сделать точно, мы неформально исследуем понятия,
которые встречаются в математических аксиоматических
системах, и введем для них некоторые обозначения. Некото-
рые из этих понятий являются общими для всех аксиомати-
ческих систем. Мы называем их логическими понятиями;
они будут рассматриваться в следующих двух параграфах.
В этом параграфе мы рассматриваем природу осталь-
ных понятий, которые называются нелогическими поня-
тиями.
Начнем с примера. Предположим, что мы хотим по-
строить язык для изучения натуральных чисел. Типичной
формулой в таком языке была бы формула 2 + 1 < 4.
Что означает каждый символ в этой формуле?
Ясно, что 2, 1 и 4 представляют конкретные натураль-
ные числа. Можно думать, что символ -J- представляет
объект, который связывает с каждой парой (а, Ь) натураль-
ных чисел третье натуральное число, а именно, сумму а и Ь.
Можно считать, что символ < представляет некоторый
объект, который отличает пары натуральных чисел (а, Ь),
у которых а меньше Ь, от тех пар (а, 6), для которых а не
меньше Ь. Поэтому мы будем использовать этот символ для
представления семейства всех пар (а, Ь) таких, что а
меньше Ь.
24
ГЛ. 2. ТЕОРИИ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
Можно объяснить это короче, вводя терминологию тео-
рии множеств *). Множество или класс есть семейство неко-
торых объектов. Пусть Л и В — множества; отображе-
нием из А в В называется сопоставление каждому объекту
из А некоторого объекта из В. Если F обозначает отобра-
жение и F сопоставляет элемент b из В элементу а из Л,
то мы говорим, что Ь является значением F для аргумента а,
и пишем F (а) вместо Ь. п-кой в Л называется последова-
тельность из п (не обязательно различных) объектов из Л.
n-ку, состоящую из объектов аг, а2, ... , ап в указанном
порядке, мы обозначаем через (ах, а2, ... , а,г). Отображе-
ние из множества n-ок в Л в В называется п-арной функ-
цией из А в В. Подмножество множества n-ок в Л назы-
вается п-арным предикатом на А. Если Р обозначает такой
предикат, то Р (ах, ... , «„) будет обозначать, что п-ка
(аъ ... , дл) принадлежит Р. Вместо 1-арный мы говорим
унарный, а вместо 2-арный — бинарный. Заметим, что
унарная функция из Л в В есть Отображение из Л в В,
а унарный предикат на Л есть подмножество множества Л.
Условимся также, что существует ровно одна 0-ка в Л
и обозначим ее через ( ). 0-арная функция из Л в В пол-
ностью определена своим значением для аргумента ( ).
Мы будем отождествлять эту функцию с этим значением.
Это означает, что 0-арная функция из Л в В есть просто
некоторый элемент из В.
Возвратимся к нашему примеру; пусть N — множество
натуральных чисел. Тогда представляет бинарную функ-
цию из N в N, а < — бинарный предикат на JV. Мы также
можем считать, что 1, 2 и 4 представляют 0-местные функ-
ции из N в N.
В математической аксиоматической системе мы будем
иметь некоторое множество объектов, играющее такую же
роль, как и множество натуральных чисел в вышеприве-
денном примере. Это множество называется универсумом
аксиоматической системы, а его элементы — индивидами
системы. Функции из универсума в универсум называются
*) Этот параграф не нужно рассматривать как введение в эле-
ментарную теорию множеств; мы предполагаем, что читатель с ней
уже знаком. Наша цель здесь—лишь ввести ее терминологию и
понятия. Аксиоматическое изложение теории множеств будет дано
в главе 9; до этого будут использоваться дищь элементарные ре-
зультаты-
2.2. ФУНКЦИИ ИСТИННОСТИ
25
индивидными функциями', предикаты на универсуме назы-
ваются индивидными предикатами. Среди символов, кото-
рые нужны для формализации аксиоматической системы,
находятся имена для некоторых индивидов, индивидных
функций и индивидных предикатов. (С точки зрения нашего
истолкования 0-арных функций первое есть частный слу-
чай второго.)
Можно было бы подумать, что для некоторых аксиома-
тических систем необходимо иметь несколько универсумов.
Например, в планиметрии мы должны иметь множество
точек и множество прямых. Однако можно взять за универ-
сум множество всех точек и прямых, а затем ввести сим-
волы для множества точек и множества прямых (рассма-
тривая каждый как унарный индивидный предикат).
Мы ограничиваемся аксиоматическими системами, в ко-
торых универсум не пуст, т. е. содержит по крайней мере
один индивид. Это является техническим соглашени-
ем; оно, очевидно, не исключает ни одного интересного
случая.
Для любого множества А мы можем построить бинар-
ный предикат, который состоит из всех пар, у которых
первый и второй элементы являются одним и тем же эле-
ментом из А. Этот предикат называется предикатом равен-
ства на А. Мы будем использовать символ = для обозначе-
ния предиката равенства на универсуме.
Рассмотрение, которое было проведено, предполагало,
что мы формализуем какую-то классическую аксиомати-
ческую систему. Для современной аксиоматической системы
результаты будут те же, за исключением того, что мы
имеем в виду несколько различных универсумов. Так,
если мы формализуем теорию полей, то возможными
универсумами являются различные поля. Нам следовало
бы затем ввести символы для функций сложения и умно-
жения в поле и т. д.
2.2.	Функции истинности
Символы, которые рассматривались в предыдущем пара-
графе, позволяют нам строить некоторые простые формулы.
Введем еще некоторые символы, которые помогут нам
строить более сложные формулы из этих простых формул.
Например, мы введем символ & и будем понимать его
26
ГЛ. 2. ТЕОРИИ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
как союз и. Тогда мы можем построить формулу 2<4&
&6=3 из формул 2 <4 и 6 = 3.
Примечательной особенностью формулы А &В является
то, что для того, чтобы узнать, будет ли А & В истинной
или ложной, нужно лить знать, будет ли А истинной
или ложной и будет ли В истинной или ложной; нам
не нужно знать, что означают А и В. Мы можем выра-
зить это проще, введя следующую терминологию. Выберем
два объекта, И и Л, которые назовем истинностными
значениями. Не имеет значения, чем являются эти объекты,
важно лишь то, что они отличаются друг от друга. Затем
мы приписываем истинностное значение каждой формуле
следующим образом: мы приписываем И каждой истинной
формуле и Л каждой ложной формуле. Тогда мы видим,
что истинностное значение А&В определяется истинно-
стными значениями А и В.
Функцией истинности называется функция из множе-
ства истинностных значений в множество истинностных
значений. Вышеприведенное замечание можно переформу-
лировать так: существует бинарная функция истинности
Н& такая, что если а и Ь — истинностные значения А и
В соответственно, то Н& (а, Ь) есть истинностное значение
А&В. Эта функция истинности задается с помощью
равенств:
Н& (И, И) = И,
Н& (И, Л)=Н& (Л, И)=Н& (Л, Л) = Л.
Затем мы вводим символ V, понимая его как союз
или. Будет ли истинностное значение А\/В определяться
по истинностным значениям ЛиВ? Конечно, А\/ В ложна,
когда А и В обе ложны, и истинна, когда в точности
одна из Л и Я истинна. Если А и В обе истинны, то
в повседневной речи мы можем считать, а можем и
не считать А или В истинным; но в математике это вы-
ражение всегда считается истинным. Именно такой мате-
матический смысл союза или мы придаем символу \/. Так,
если а и b — истинностные значения Л и В соответственно,
то истинностное значение А\/В есть Ну (а, Ь), где Ну —
бинарная функция истинности, определенная следующим
образом:
И)=ЯУ(И, Л) = Яу(Л, И) = И,
Ну (Л, Л) = л.
2.2. ФУНКЦИИ ИСТИННОСТИ
27
Теперь введем символ ->, понимая его как союз
если , то\ таким образом, Д ->7? означает если А, то В.
В математике мы считаем утверждение если А, то В не-
верным только в случае, когда А истинна, а В ложна.
Если А ложна, то если А, то В является верным, хотя
и не интересным утверждением. Символу -> мы придаем
именно такой математический смысл союза если ..., то.
Тогда символу -> соотносится, аналогично вышерассмо-
тренному, функция истинности 77-., определенная так:
77_,(И, И) = Я_(Л, И) = 77_(Л, Л) И,
Л) = Л.
Теперь введем символ *+ , понимая его как тогда и
только тогда. Ясно, что А *-> В истинна, если А и В обе
истинны или обе ложны, а в остальных случаях А *-» В
ложна. Следовательно, символу *-> соотносится функция
истинности И.., определенная так:
Н^(Н, И) = 77,. (Л, Л) = И,
77,. (И, Л) = /7„(Л, И) Л.
Далее мы введем символ понимая его как частицу
не; таким образом, “] А означает не А. Если А имеет
истинностное значение а, то “] А имеет истинностное
значение 77-] (а), где 77-]—унарная функция истинности,
определенная так:
77-](И) = Л, 77-](Л) = И.
Простые рассуждения показывают, что некоторые из
этих символов могут быть определены в терминах других.
Например, А-э-В означает, что или А ложна или В
истинна; следовательно, А-*-В означает то же самое,
что и -|Д У В. Более формально это можно сделать так.
Если а и Ь — истинностные значения А и В соответственно,
то истинностное значение Д—>7? есть Н^{а, Ь), а истин-
ностное значение ПД У В есть 77у(77-](а), Ь). Но для
любых а и Ь
Н_.(а, Ь) = НУ (Н-\(а), Ь),
в чем мы можем убедиться, перебирая все возможности.
Таким же образом мы видим, что А&В означает то же
самое, что и П (Д-> ~1 7?), и что А В означает то же
самое, что и
(4->Я)&(Я->Д).
28
ГЛ. 2. ТЕОРИИ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
Следовательно, все наши символы определяются в терми-
нах “| и \/. (Можно показать, что каждый символ, имею-
щий некоторую функцию истинности, сопоставленную
с ним, как в рассмотренных выше случаях, можно опре-
делить в терминах “| и V> см- задачу 1.)
2.3.	Переменные и кванторы
Применяя введенные выше понятия, мы можем выра-
зить довольно сложные факты о конкретных натуральных
числах. Однако мы не сможем выразить даже такой про-
стой общий закон, как: каждое натуральное число равно са-
мому себе.
Для этой цели введем индивидные переменные. Они
подобны переменным из анализа, рассмотренным ранее,
но их область изменения представляет собой индивиды,
а не действительные числа. Таким образом, индивидную
переменную можно понимать как любой индивид, но ее
значение остается фиксированным на протяжении всего
контекста. Формула, содержащая индивидные переменные,
имеет много значений — одно значение для каждого распре-
деления индивидов как значений каждой индивидной пере-
менной в формуле. Если мы утверждаем такую формулу,
то мы утверждаем, что все ее значения истинны.
Так как в наших языках будут встречаться лишь
индивидные переменные, мы будем называть их просто
переменными. В качестве переменных мы будем употреб-
лять символы х, у, z и w, добавляя к ним штрихи для
образования новых переменных, если они понадобятся.
Так, если универсум есть множество натуральных чисел,
то мы можем утверждать, что каждое натуральное число
р авно са мому себе, утвер жд ая спра ведли вость фор мулы х = х.
Хотя теперь мы можем утверждать, что каждый
индивид имеет некоторое свойство, у нас нет формулы,
означающей, что каждый индивид имеет это свойство.
Чтобы показать неудобство этого, предположим, что мы
высказали утверждение х=0. Мы бы тогда утверждали
ошибочно, что каждое натуральное число равно 0. Можно
надеяться сделать это утверждение справедливым, поставив
перед ним символ “]. Но утверждать “] (х = 0) — это значит
утверждать, что каждое натуральное число не равно 0;
а это также неверно.
2.3. ПЕРЕМЕННЫЕ И КВАНТОРЫ
29
Чтобы преодолеть эту трудность, введем символ V,
который будет означать для всех индивидов. Таким образом,
Vx(x = 0) означает для всех. натуральных чисел х имеем
х = 0, т. е. каждое натуральное число равно 0. Теперь,
чтобы получить правильное утверждение, что не каждое
натуральное число равно 0, мы утверждаем “|Vx(x = 0).
Большинство наших предыдущих замечаний о перемен-
ных ложны, если они применяются к переменной х в
Vx(x = 0). Эта формула имеет только одно значение, в
то время как х = Ь имеет много значений. Мы получаем
конкретное значение для х = 0, подставляя 2 вместо х;
однако если мы подставляем 2 вместо х в Vx(x = 0),
то получаем бессмысленное выражение V2 (2=0). С дру-
гой стороны, если мы подставим у вместо х в Vx(x=0),
то получим формулу Уу(у=0), которая имеет тот же
смысл, что и Vx (х = 0) (а именно, что каждое натуральное
число равно 0). В противоположность этому х = 0 и у=0
не обязательно имеют одинаковые значения; это зависит
от выбора значений для х и у.
Чтобы разделить эти два случая, мы называем вхож-
дение переменной х в х = 0 свободным вхождением, а
вхождения переменной х в Vx(x = 0) — связанными вхож-
дениями. Если мы воспользуемся описанными выше особен-
ностями, для того чтобы отличать свободные и связанные
вхождения переменных, то мы увидим, что связанные
вхождения переменных имеются и в анализе. Рассмотрим
1
переменную х в sinxdx. Это выражение имеет единствен-
о
ное значение, и оно равно некоторому действительному
числу. Если мы подставим 2 вместо х, то получим бес-
смысленное выражение $sin2d2. Если мы подставим у
1 0
вместо х, то получим \ sin ydy, которое имеет тот же
’ о
смысл, что и jsinxdx (хотя в этом иногда трудно убе-
о
дить студентов первого курса). Другим примером свя-
занного вхождения переменной является вхождение пере-
k
менной п в У, хп.
л = 1
30
ГЛ. 2. ТЕОРИИ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
Теперь введем символ В, означающий для некоторого
индивида. Таким образом, Вх(х=0) означает для неко-
торого натурального числа х имеем х—0, т. е. некото-
рое натуральное число равно 0. Мы можем также читать
Эх как существует индивид х такой, что-, например,
Вх(х=0) означает, что существует натуральное число
х такое, что х = 0. Если применять вышеприведенный
критерий, то мы видим, что вхождение х в Вх(х=0)
является связанным.
Вхождение выражения Vx или Эх влияет только на
те свободные вхождения переменной х в формуле, которая
написана за ним. Таким образом, в формуле
Vx (х = 5) V Эх (х < 2) V х=7
первые два вхождения х не связаны со следующими
двумя вхождениями, а последнее вхождение не связано
с первыми четырьмя. Аналогично, в формуле
Vx (х = 5 -> Эх (х < 7))
первые два вхождения х не связаны с последними двумя.
Мы можем всегда избежать таких формул, переименовав
переменную. Так мы могли бы заменить первую формулу на
V«/(t/ = 5) V Вг(?<2)\/х = 7,
а вторую на
Vx (х=5->Вг/ (г/<7)).
Однако не всегда удобно совершенно исключать такие
формулы. Если Vx или Эх поставлено перед формулой,
у которой нет свободных вхождений х, то смысл этой
формулы не меняется.
Необязательно брать в качестве неопределяемых сим-
волов оба символа V и 3; мы можем определить V в тер-
минах В. Вначале заметим, что Вх-|(х = 0) означает, что
некоторое натуральное число не равно 0. Следовательно,
~]Вх”!(х = 0) означает нет натурального числа, не рав-
ного 0, т. е. каждое натуральное число равно 0. Это оз-
начает то же, что и формула Vx(x=0). Такие же рас-
суждения показывают, что VxA всегда означает то же,
что и “| Эх А; следовательно, можно определить VxA
как “iBx^A. (Аналогично мы можем определить ЗхА
как "I Vx 1А.)
2л. ЯЗЫКИ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
31
2.4.	Языки первого порядка
Теперь мы имеем все необходимое, чтобы перейти
к точному определению того типа языка, который мы хо-
тим рассматривать.
Язык первого порядка имеет следующие символы:
(а)	переменные
х, у, z, w, х', у', г', ш', х",...;
(б)	п-арные функциональные символы и п-арные преди-
катные символы для каждого п;
(в)	символы 1, V и В.
Для каждого п число n-арных функциональных сим-
волов может быть равно 0 или не равно 0, конечно или
бесконечно. То же самое и для предикатных символов,
за исключением того, что среди бинарных предикатных
символов должен быть символ равенства =.
Любой 0-арный функциональный символ называется
константой. Функциональный символ или предикатный
символ, отличный от =, называется нелогическим символом;
остальные символы называются логическими.
Для ссылок иногда будет удобно иметь фиксирован-
ный порядок переменных. Тот порядок, в котором они
перечислены выше, мы называем алфавитным порядком.
Заметим, что мы не включили скобки и запятые, ко-
торые мы использовали в предыдущих параграфах для
указания группировки символов. Оказывается группи-
ровка символов однозначно определяется и без них, если
сделать одно изменение в наших обозначениях: писать
\J АВ вместо A\J В. Конечно, мы можем затем ввести
обозначение А V В по определению.
Мы применяем х, у, Z и ни как синтаксические пе-
ременные, областью изменения которых являются пере-
менные; f и g как синтаксические переменные, областью
изменения которых являются функциональные символы;
Р и q как синтаксические переменные, областью измене-
ния которых являются предикатные символы; е как син-
таксическую переменную, областью изменения которой
являются константы.
Предположим, что мы имеем семейство символов, опи-
санных выше. Определим термы с помощью обобщенного
индуктивного определения.
32
I Л. 2. ТЕОРИИ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
(i) Переменная есть терм.
(ii) Если «х.. «„ — термы и f— n-арный символ, то
fux. .. «„ — терм.
В частности, по правилу (ii) константа есть терм.
Ясно, что термы —это как раз те выражения, значе-
ниями которых являются индивиды. Мы будем применять
а, Ь, с и d как синтаксические переменные, областью
изменения которых являются термы.
Атомная формула —это выражение вида ра^... ап, где
р — n-арный символ. Определим формулы с помощью сле-
дующего обобщенного индуктивного определения:
(i)	всякая атомная формула есть формула;
(ii)	если и —формула, то "|«— формула;
(iii)	если и и © — формулы, то \/ «© — формула;
(iv)	если и —формула, то Зхи — формула.
Для этих двух обобщенных индуктивных определений
мы имеем соответствующие формы доказательств по ин-
дукции. Однако обычно проще использовать индукцию
по длине терма или формулы. Иногда мы будем приме-
нять индукцию по высоте формулы, где высота опреде-
ляется как число вхождений символов "]» V и 3 в фор-
мулу.
Язык первого порядка определяется как язык с симво-
лами и формулами, описанными выше. Таким образом,
язык первого порядка полностью определяется своими
нелогическими символами. Этими символами могут быть
любые символы, которые еще не выбраны для других
целей. Однако мы договоримся, что если некоторый сим-
вол используется как n-арный функциональный символ
в одном из языков первого порядка, то он может быть
использован в другом языке первого порядка только как
n-арный функциональный символ; аналогично для преди-
катных символов. Отсюда следует, что если два языка
первого порядка имеют одинаковые нелогические символы,
то они совпадают.
Указателем называется выражение, которое является
либо термом, либо формулой. Как видно из определений
терма и формулы, каждый указатель имеет вид «©х...©„,
где и — символ, ©х,..., ©„ —указатели, а « — натуральное
число, определяемое по и. Например, если и —перемен-
ная, то п = 0; если и — й-арный функциональный символ,
то n—k; если и есть 3, то п—2. Назовем п индексом «,
2,4. ЯЗЫКИ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
33
Скажем, что два выражения сравнимы, если одно из
них может быть получено из другого добавлением к нему
справа некоторого выражения (возможно, пустого). Если
uv и u'v' сравнимы, то и и и' сравнимы; если uv и uv'
сравнимы, то о и сравнимы.
Лемма 1. Если «!........и’п — указатели, а
th... unuu'i... и’п. сравнимы, то щесть u'i для t=l.п.
Доказательство. Проведем индукцию по длине
Запишем иг как ©Oj...©*, где V — символ индек-
са k, a Vr.vk — указатели. Так как и{ начинается с V,
то оно имеет вид v'k, где v,....— указатели. Зна-
чит, «1 сравнимо с u'lt а ©р.. vk сравнимо с
По индуктивному предположению v{ есть v't для- i= 1,...
...,k\ следовательно, есть и\. Отсюда следует, что «2...
...«„сравнимо с и'2...и'п и по индуктивному предполо-
жению и, есть u'i для z = 2,...,n.
Следующая теорема является точной формулировкой
нашего утверждения о том, что в языке первого порядка
запятые и скобки не обязательны для восстановления
группировки символов.
Теорема построения. Каждый указатель можно
записать единственным способом в виде U‘ul...,un, где и —
некоторый символ индекса п, a	— указатели.
Доказательство. Нужно доказать только един-
ственность. В этом случае и должен быть первым симво-
лом указателя; следовательно, и и п определяются одно-
значно. Остается показать, что если u‘u1...,un совпадает
с uv\...<o'n и V!,..., v„,	Vn — указатели, то Vi есть v'i
для /=1,...,п. Это следует из леммы 1.
Лемма 2. Каждое вхождение любого символа в
указатель и начинает вхождение некоторого указате-
ля в и.
Доказательство. Проведем индукцию по длине и.
Запишем и как <o<o1...,ok, где V — символ индекса k, а
vk — указатели. Если рассматриваемое вхождение
символа есть начальное V, то оно начинает и. В против-
ном случае это вхождение есть вхождение в некоторое
и по индуктивному предположению начинает вхождение
некоторого указателя в О/. Следовательно, оно начинает
вхождение некоторого указателя и в и.
Теорема о вхождении. Пусть и — символ индекса
п> a ©1( ..., vn —указатели. Тогда любое вхождение
2 Дж. Шенфилд
34
ГЛ. 2. ТЕОРИИ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
указателя v в uvlt ., vn есть либо всё uvlt , vn, либо
часть одного из V,.
Доказательство. Предположим, что начальный
символ вхождения v есть начальное и в ичн.. .vn, Тогда
v есть uv'i ... v’n, где ...,	—указатели. Так как v
сравнимо с	... vn, то ... v'n сравнимо с ^ ... vn.
По лемме 1 V, есть ©• для Z= 1, п; так что v есть
всё uvr ... vn.
Теперь предположим, что начальный символ вхожде-
ния v находится внутри чу. По лемме. 2 этот символ начи-
нает вхождение некоторого указателя ч)' в &/. Ясно, что ч)
и ч)г сравнимы, тогда по лемме 1 ч) есть ч/. Следовательно,
v есть часть чу.
Дадим теперь точные определения свободных и свя-
занных вхождений. Вхождение х в А связано в А, если х
входит в часть А вида 3x1?*); в противном случае это
вхождение свободно в А. Скажем, что х свободно (связано)
в А, если некоторое вхождение х в А свободно (связано).
(Заметим, что х может быть как свободным, так и свя-
занным в А.) Как следует из теоремы о вхождении, если
у отлично от х, то свободные вхождения х в “]А, V АВ
и Э_уА — это в точности свободные вхождения х в А и
в В. Конечно, х не имеет свободных вхождений в ЗхА.
Будем обозначать через Ьх[а] выражение, полученное
из b заменой каждого вхождения х на а; будем обозна-
чать через Ах [а] выражение, полученное из А заменой
каждого свободного вхождения х на а. Используя индук-
цию по длине b и А, легко доказываем, что Ьх[а] есть
терм, а Ах [а] есть формула.
Вообще говоря, А* [а] утверждает про индивид, обо-
значенный через а, то же самое, что А утверждает про
индивид, обозначенный через х, но это верно не во всех
случаях. Так, предположим, что А есть Зу (х = 2у), х
есть х, а а есть г/+1. Тогда А утверждает, что х — чет-
ное число; но А* [а], которое есть Зу (у-\-1 = 2у), не
утверждает, что у + 1 — четное число. Эта трудность воз-
никла, конечно, потому, что у в подставляемом терме
у + 1 стало связанным. Мы хотим исключить такие воз-
можности.
*) Напомним, что В —синтаксическая переменная для формул,
так что ЗхВ—подформула формулы А. — Прим. ред.
2,4. ЯЗЫКИ ПЕРВОГО ПОРЯДКА.
35
Будем говорить, что а допустим для подстановки
вместо х в А, если для каждой переменной у, входящей
в а, в А нет части вида ЗуВ, содержащей вхождение х,
которое свободно в А. Теперь условимся, что если встре-
чается выражение Ах[а], то А, х и а таковы, что а
допустим для подстановки вместо х в А. Заметим, что
это условие наверняка выполняется, когда а не содержит
переменных, или когда А не содержит переменных, или
когда А не содержит связанных вхождений переменных.
Теперь обобщим это понятие на случай нескольких
переменных. Пусть Ьх^...х^ [а1( ..., ап] обозначает терм,
полученный из b заменой всех вхождений хг, ..., хп на
ап соответственно; пусть Ах t x [alt ..., ап]
обозначает формулу, полученную из А заменой всех сво-
бодных вхождений xlt ..., хп на а1( ..., ап соответст-
венно. Эти понятия используются при ограничении, что
х1( ..., хп — различные переменные. Если встречается
/Ц, ...,	., ап], то A, xlf ..., хп, ait .... ап та-
ковы, что щ допустим для подстановки вместо xt в А
для i=l, ..., п. Мы будем опускать нижние индексы
xlt ..., хп, если они будут несущественны или ясны из
контекста.
Введем теперь некоторые определяемые символы. Во
всех теориях (A\J В) есть сокращение для \JАВ\ (Л->
-> В) — сокращение для (~]А\/В); (Л & Я) — сокращение
для "I (Л ~\В)-, (Л <-» В) — сокращение для ((Л->!?)&
&(Я->Л)); VxЛ — сокращение для ЗЭхПЛ. Если и —
бинарный предикатный или функциональный символ, то
(aub) есть сокращение для uab-, если « — бинарный пре-
дикатный символ, то (attb) есть сокращение для ~\(aub).
В каждом случае определяемые формулы —это те выра-
жения, которые получаются из формул, когда определяе-
мые символы заменяются согласно только что указанным
правилам.
Можно показать, что скобки, введенные в определе-
ниях, приведенных выше, достаточны для определения
гРуппировки символов. Однако, так как мы не намерены
изучать определяемые символы, такой общий результат
нам не нужен. Нам нужно только, чтобы каждая опре-
деляемая формула, которую мы пишем, была сокраще-
нием единственной формулы языка. По этой причине мы
2*
36
ГЛ. 2. ТЕОРИИ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
будем опускать скобки, когда они не являются необхо-
димыми для определения группировки символов; напри-
мер, мы пишем х=у -+у = х вместо
((х=_У)->(.У = х)).
С другой стороны, мы можем для удобства чтения упо-
треблять и лишние скобки и запятые. Так мы часто будем
писать и (а1( .... ап) вместо иаг ... ап, если и есть функ-
циональный или предикатный символ. Следующее согла-
шение поможет нам опускать еще больше скобок: если
имеется выбор, то мы предпочитаем записывать формулу
в виде Л->Я или А^В, чем в виде А\/В или А&В.
Следовательно, Л->В\/С должна читаться как
Л->(Я\/С),
а Л & В *-> С должна читаться как (Л & В) *-> С.
Мы также вводим соглашение правого сочетания опу-
щенных скобок. Это означает, что А\/В\/С должно
читаться как ЛV(^VC); A\JB\JC\/D должно читаться
как A\J(B\/(C\/D)) и т. д. То же соглашение исполь-
зуется для последовательности формул, связанных сим-
волом &, или последовательности формул, связанных
символом Заметим также, что Лг\/...\/Лп означает,
что по крайней мере одна из Л1? ..., Ап истинна: Лх&...
... &Ап означает, что все Л1( .... Ап истинны; и Аг ...
Ап->В означает, что если все Л1? .... Ап истинны,
то В истинна. Во всех случаях мы допускаем и п=1.
Если мы пишем Лх-> Ап-^В, то мы даже допу-
скаем, что п может быть равно 0; в этом случае это
просто формула В.
Мы называем "]Л отрицанием A; A\J В — дизъюнкцией
А и Я; Л & В — конъюнкцией Л и Л; Л -> В — имплика-
цией В из Л; Л *-> В — эквивалентностью А и В; ЗхА —
подтверждением А с помощью х; VxA — обобщением А
с помощью х. Мы также называем Лх\/.  Л/Ап дизъюнк-
цией Л1, ..., Ап, а Лх & ... & Ап — конъюнкцией Л1(..., Ап.
Однако если мы просто говорим, что формула есть дизъюнк-
ция или конъюнкция, то мы подразумеваем, что это
дизъюнкция или конъюнкция двух формул. Выражения
Зх и Vx называются кванторами по х; первый есть
квантор существования, а второй — квантор всеобщности.
2.5. СТРУКТУРЫ
37
2.5.	Структуры
Теперь приступим к строгому описанию семантики
языков первого порядка. Как уже указывалось, семан-
тика языка первого порядка состоит из универсума и
содержательного смысла каждого нелогического символа.
Записывая это детально, мы приходим к следующему
определению.
Пусть L— язык первого порядка. Структура оА для L
состоит из следующего:
(i)	непустого множества \о^\, называемого уни-
версумом е^; элементы из | оЛ | называются индивидами
структуры
(ii)	n-арной функции из |	| в |	1 для каждого
n-арного функционального символа f из L (в частности,
вл является индивидом из для каждой константы е
из L);
(iii)	n-арного предиката рл на | orf | для каждого
n-арного предикатного символа р из L, отличного от =.
Мы хотели бы, чтобы формула А была истинной в ,
если все ее значения истинны в оА. Поэтому было бы
удобно, если бы для каждого значения А мы имели фор-
мулу, которая выражает именно это значение. Так как
значения А получаются с помощью задания значений
индивидов для каждой свободной переменной формулы А,
то ясно, что нам нужны имена для индивидов. Это при-
водит нас к следующим определениям.
Пусть оЛ — структура для L. Для каждого индивида
а из мы выбираем новую константу, называемую име-
нем индивида а. При этом подразумевается, что разные
имена выбираются для разных индивидов. Язык первого
порядка, полученный из L добавлением всех имен инди-
видов из <2^, обозначим через L(e^). Мы используем /
и j в качестве синтаксических переменных, областью
изменения которых являются имена.
Выражение называется свободным от переменных, если
оно не содержит переменных. Определим теперь индивид
(а) из а# для каждого терма а из	свободного
от переменных. Определение дается индукцией по длине
а- Если а —имя, то 2.4 (а) — индивид, для которого а
является именем. Если а —не имя, то (так как он сво-
боден от переменных) он имеет вид /а1? ... ап, где f—
38
ГЛ. 2. ТЕОРИИ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
функциональный символ из L. Тогда полагаем (а)
равным (eZ («i), ..., eZ («„)).
Замечание. В вышеприведенном определении мы
неявно применяли теорему построения, когда считали,
что а может быть записано в виде faY ... ап единствен-
ным образом. Мы будем часто так неявно использовать
теорему построения в определениях индукцией по длине
терма или формулы.
Формула А называется замкнутой, если в ней нет
переменных, свободных в А. (Это означает, что А имеет
только одно значение.) Мы определим теперь истинностное
значение оЛ (Л) для каждой замкнутой формулы А языка
£(о^). Определение дается индукцией по длине А. Если
А есть а = Ь, то а и b должны быть свободными от пере-
менных (так как А замкнута). Положим
<2^ (Л) = И тогда и только тогда, когда (а) =	(Ь)
(т. е. тогда и только тогда, когда оЛ (а) и -Л (Ь) одина-
ковы). Если Л есть раг... ап> где р отлично от =, то
положим
<г^(Л) = И тогда и только тогда, когда рл (оЛ (а-^...,
. . . , Q/& (Рп))
(т. е. тогда и только тогда, когда n-ка («1),-  <?Л (ап))
принадлежит предикату р^). Если Л есть "] В, то (Л)
есть Я-] (<^/(Я)). Если Л есть В\/С, то (Л) есть
Ну(<2/# (В),	(С)). Если Л есть ЗхВ, то а^(Л) = И
тогда и только тогда, когда <2^ (Вх [/]) = И для некото-
рого I ИЗ ЦоЛ).
Ясно, что <2^(Л->Я) = Я_> (е^ (Л), <2^ (В)) и анало-
гичное справедливо для & и *-». Имеем
^(Л1у...у^п)=и тогда и только тогда, когда
®^(Лг) = И по крайней мере для одного i,
и
(Л1 & ... & ЛП) = И тогда и только тогда, когда
<2^(Л/) = И для всех i.
Также
(УхЛ) = И тогда и только тогда, когда еЛ (Л* [/]) =
= И для каждого i из L (й^/).
Если Л—формула языка L, то 2.^-частным случаем
формулы Л назовем любую замкнутую формулу вида
Л[/п .... in} языка L(<27^). Формула Л языка L называ-
ется истинной в если (Л') = И для каждого
2.5. СТРУКТУРЫ
39
-частного случая Л' формулы А. В частности, замкну-
тая формула А языка L истинна в erf тогда и только
тогда, когда (Л) = И.
Докажем лемму, показывающую, что Ьх[а] и Лл[«]
имеют должные значения.
Лемма. Пусть erf — структура для L, а —терм
языка L (е^), свободный от переменных, i — имя для orf (а).
Если b — терм языка L(orf), в котором нет переменных,
за исключением х, то orf Фх [«]) = erf (^х[Л). Если А —
формула языка L(erf), в которой нет свободных перемен-
ных, за исключением х, то erf (Лх [а]) = erf ИД/]).
Доказательство. Первое утверждение докажем
индукцией по длине Ь. Если Ь — имя, то Ьх[а] и Ьх [/]
оба представляют собой Z?; таким образом, утверждение
очевидно. Если Ь — переменная, то она должна быть х\
тогда Ьх[а] есть а и bx[i] есть /. Но (a)=erf (/) по
выбору /. Если b есть fbx... bn, где/—функциональный
символ из L, то, используя индуктивные предположения,
получаем
erf(b[a])=erf(fb1[a]...bn[a])
=/л (erf (Ьг [«]),..., erf (М«]))
=$л (orf (br [/]), ..., eZ (Ьп [/]))
№[/]• МЛ)
= erf(b[i]).
Докажем второе утверждение индукцией по длине Л.
Если Л есть Ь = с, то, применяя первое утверждение,
получаем
erf (Л [а]) = И <-> erf (Ь [а]) = erf (с [а])
*+erf (Ь [/]) = erf (с [/])
->^(Л [/•]) = и.
Если Л есть рЬх... bn, где р отлично от =, то доказа-
тельство подобно предыдущему. Если Л есть "| В, то
orf (Л [a]) = ff1(erf(B[a]))
=H~(erf (Я [/']))
= (Л [/']).
Если Л есть В\/С, то доказательство аналогично. Пусть Л
есть ЗуВ. Мы можем предполагать, что у отлично от х,
40
ГЛ. 2. ТЕОРИИ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
так как в противном случае ДДа] и 4x[z] равны А.
Тогда
оЛ (Ах [а]) = И <-> от/ (ЗуВх [а]) = И
+->а^(Вх, у [а, у])=И для некоторого J
*-» о/? (Вх< у [z, /])= И для некоторого j
(ЭуВх [/]) = И
<-><^(АД/]) = И.
2.6.	Логические аксиомы и правила
Если мы формулируем классическую аксиоматическую
систему в языке первого порядка L, то мы имеем в виду
конкретное значение языка L, т. е. конкретную струк-
туру «ат/ для L. Мы хотим, чтобы все теоремы нашей
формальной системы были истинны в оЛ. Чтобы гаранти-
ровать это, мы требуем, чтобы все аксиомы были истинны
и все правила были таковы, что истинность заключения
следует из истинности посылок, или, как мы будем гово-
рить, заключение есть следствие посылок.
Некоторые формулы языка L истинны просто по смыслу
логических символов; они истинны в каждой структуре
для L. Например, х = х имеет такое свойство. Про такие
формулы говорят, что они являются логически истинными.
Некоторые из наших аксиом, называемые логическими
аксиомами, будут логически истинными. Другие аксиомы,
называемые нелогическими аксиомами, будут истинными
из-за конкретных свойств структуры orf.
Мы говорим, что А есть логическое следствие множе-
ства формул Г, если она есть следствие Г по смыслу
значений логических символов, т. е. если А истинна
в каждой структуре для L, в которой истинны все фор-
мулы из Г. Можно ожидать, что правила также разде-
лятся на два класса: логические правила, у которых
заключение является логическим следствием посылок, и
нелогические правила, у которых заключение является
следствием посылок только благодаря специфическим свой-
ствам структуры «ат/. Однако мы можем совсем обойтись
без нелогических правил. Так, предположим, что мы
хотим иметь возможность вывести В из Дх, ..., Ап.
Тогда В будет следствием .... Дп; следовательно,
—> ... —> Ап —> В является истинной и ее можно при-
2.6. ЛОГИЧЕСКИЕ АКСИОМЫ И ПРАВИЛА
41
пять в качестве нелогической аксиомы. Но В является
логическим следствием формул Д1( .Ап и Д],-»-...
.>ДП—таким образом, если мы имеем достаточно
много логических правил, то мы можем вывести В из
At....Ал и аксиомы Д1-> ...-> ДП->Я.
Теперь опишем логические аксиомы и правила. Пусть
L — язык первого порядка. Пропозициональная аксиома
есть формула вида	Аксиома подстановки есть
формула вида Дх[й]->ЗхД. Аксиома тождества есть
формула вида х = х. Аксиома равенства есть формула вида
Xi=^i-> ... ->хп = уп yfxr... xn=fy1 ...уп
или вида
Xi=ji	хп=уп ~^рхг ...хп —*~pyt ...уп.
Логическая аксиома есть формула, являющаяся пропози-
циональной аксиомой, аксиомой подстановки, аксиомой
тождества или аксиомой равенства.
Покажем теперь, что логические аксиомы являются
истинными. Пусть orf — структура для L. ет^-частный
случай пропозициональной аксиомы имеет вид “]Д\/Д;
имеем
е^(~] Д\/Д) = Яу(Яп(<г^(Д)), е^(Д)) = И.
«^-частный случай аксиомы подстановки имеет вид
Дх[а]->ЗхД. Пусть оЛ (Дх [«]->- ЗхД) = Л. Тогда
«й' (Дд-[а]) = И и orf (ЗхД) = Л. Если I есть имя orf (а),
то из последнего равенства следует, что оЛ? (ДХ[/]) = Л,
хотя из первого равенства и леммы из § 2.5 следует,
что (Дд.[/]) = И. Получаем противоречие, е^-частный
случай аксиомы тождества имеет вид z = z; следовательно,
<.v£	(z),	(/ = /) = и. Доказательство для аксиом
равенства оставляем читателю.
Введем теперь пять правил вывода. (Заметим, что эти
правила конечны.)
Правило расширения. В\] А следует из Д.
Правило сокращения. А следует из ДVД.
Правило ассоциативности. (А\/В)\/С сле-
дует из А\/(В\/С).
^Правило сечения. В\/С следует из Д\/В и
Правило 3-введения. Если х не является сво-
бодной в В, то Эх А -> В следует из Д В.
42
ГЛ. 2. ТЕОРИИ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
Мы хотим сейчас показать, что заключение каждого
правила есть логическое следствие посылок этого пра-
вила. Проверим это только для последних двух правил,
оставляя читателю доказательство для первых трех.
Предположим, что А\/ В и 1 А V С являются истин-
ными в Пусть В'\/С является ^-/-частным случаем
формулы В\/С. Очевидно, мы можем выбрать ^-част-
ный случай А' формулы А так, что Аг\/В' есть ^-част-
ный случай формулы А\/В, а	есть ©^-частный
случай формулы 1 А V С. Тогда
(А' V В') =	("| А’ V С) = И.
Следовательно, (Л') = И или (/?') = И, а (Л') = Л
или	(С) = И. Отсюда следует, что или (5') = И или
оД (С) = И (в соответствии с тем, будет ли (Л') = Л
или esf (А') = И). Следовательно, (В' VС') = И.
Предположим, что А->В истинна в , а перемен-
ная х не является свободной в В. ^-/-частный случай
формулы ЗхА^-В имеет вид Зх/Г->!?'. Предположим,
что оЛ (ЗхЛ'-> Я') = Л. Тогда (ЗхЛ') = И и (S') =
— Л. Из первого следует, что [/]) = И для неко-
торого /; следовательно, (A'x[i]^>~В') = Л. Это невоз-
можно, так как [/]->!? является ет^-частным случаем
формулы Л -> В.
Теперь можно определить класс формальных систем,
которые мы собираемся изучать. Теорией первого порядка
или просто теорией называется формальная система Т
такая, что
(i) языком формальной системы Т является язык пер-
вого порядка;
(и) аксиомами формальной системы Т являются логи-
ческие аксиомы языка L (Т) и некоторые другие аксиомы,
называемые нелогическими аксиомами]
(Ш) правилами формальной системы Т являются пра-
вило расширения, правило сокращения, правило ассоциа-
тивности, правило сечения и правило 3-введения.
Для того чтобы задать теорию, мы должны задать
лишь ее нелогические символы и ее нелогические аксиомы;
все остальное дано по определению теории. Заметим также,
что логические аксиомы и правила определены, как только
язык выбран; они не зависят от нелогических аксиом.
2.6. ЛОГИЧЕСКИЕ АКСИОМЫ И ПРАВИЛА
43
Приведем два примера теорий. Первая теория, кото-
рую мы обозначим через N, формализует классическую
систему аксиом для натуральных чисел. Нелогическими
символами для N будут константа 0, унарный функцио-
нальный символ S (который обозначает функцию следо-
вания), бинарные функциональные символы 4- и •, бинар-
ный предикатный символ <. Нелогическими аксиомами N
являются:
Nl. Sx#=0.
N2. Sx = Sy->x = y.
N3. x+0 = x.
N4. x + Sy=S(x-\-y).
N5. х-0=0.
N6. х  Sy = (x-у)-\-х.
N7. "J (х<0).
N8. x<Sy ++ х<.у\/ х=у.
N9. х<.у\/х~у\/у <,х.
Наш второй пример теории формализирует современ-
ную аксиоматическую систему для групп. Она называется
элементарной теорией групп и обозначается через G.
Единственным нелогическим символом теории G является
бинарный функциональный символ •. Нелогические аксиомы
теории G следующие:
G1.	(x-z/)-z=x-(r/z).
G2. Bx(Vy(xy=y)& VyBz(z-y=x)).
Под моделью теории Т мы понимаем структуру для
L(T), в которой все нелогические аксиомы являются
истинными. Формула является истинной в Т, если она
является истинной в каждой модели теории Т или, что
эквивалентно, если она является логическим следствием
нелогических аксиом теории Т.
Примеры.
1. Мы построим модель для N, взяв в качестве уни-
версума множество натуральных чисел и обычные значе-
ния индивидов, функций и предикатов в качестве нело-
гических символов N. Эта модель называется стандарт-
ной моделью для N и обозначается через
2. Структура для L(G) может быть описана как непу-
стое множество (универсум) вместе с бинарной операцией
(Функцией, соответствующей символу •). Такая структура
будет моделью теории G тогда и только тогда, когда она
есть группа.
44
ГЛ. 2, ТЕОРИИ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
Теорема истинности. Если Т — теория, то каж-
дая теорема теории Т является истинной в Т.
Доказательство. Применяем индукцию по теоре-
мам. Если А — нелогическая аксиома, то утверждение
верно по определению модели. Если А — логическая аксио-
ма, то утверждение мы уже доказали выше. Если А —
заключение правила, то утверждение следует из индук-
тивных предположений и фактов, доказанных ранее.
Если, формулируя нелогические аксиомы, мы имеем
в виду определенную структуру или несколько структур,
мы обязательно выберем эти аксиомы так, чтобы они были
истинными в этих структурах. Тогда эти структуры явля-
ются моделями для теории, и в силу теоремы истинности
все теоремы рассматриваемой теории будут истинными
в этих структурах. Таким образом, мы видим, что наши
логические аксиомы и правила являются корректными.
Теперь возникает вопрос: можем ли мы получить
больше выгоды, если добавим другие логические аксиомы
или правила? Один из путей установить, что это не так,
состоит в доказательстве обращения теоремы истинности:
каждая формула, истинная в Т, является теоремой тео-
рии Т. Тогда, если новая логическая аксиома или пра-
вило дают новую теорему, то эта теорема не должна
быть логическим следствием нелогических аксиом, и сле-
довательно, новая аксиома или правило должны быть
некорректными. Мы установим это обращение теоремы
истинности позднее; сначала нам придется исследовать
некоторые следствия логических аксиом и правил.
Задачи
1.	n-арная функция истинности Н называется определимой в тер-
минах функций истинности Я1( ..., //*, если Н имеет определение
Н (th...оп) = ...,
где правая часть построена из //х, ..., ах.ап, а также запя-
тых и скобок.
(а)	Пусть На,п. ~ функция истинности, определенная так:
На,п(О1	оп) — И тогда и только тогда, когда а^ = И по крайней
мере для одного i;
пусть функция истинности Нс,п определена так:
Нс,п(а1< = И тогда и только тогда, когда ах = И для всех i.
Показать, что каждая функция истинности определима в терминах Н^
и некоторых из На,п и Нс,п.
ЗАДАЧИ
45
(б)	Показать, что каждая функция истинности определима в тер-
минах Н-у и //у. [Использовать (а).]
(в)	Показать, что каждая функция истинности определима в тер-
минах и Н^. [Использовать (б).]
(г)	Показать, что каждая функция истинности определима в тер-
минах //_] и Н&. [Использовать (б).[
(д)	Показать, что Н^ не определима в терминах Ну, Н_>, Н&
и
2.	(а) Пусть На — функция истинности, определенная так:
На (а, Ь) — И тогда и только тогда, когда а=Ь = Л.
Показать, что каждая функция истинности определима в терминах /7^.
[Использовать 1 (б).[
(б)	Пусть Hs — функция истинности, определенная так:
Hs(a, Ь)=Л тогда и только тогда, когда а = Ь = И.
Показать, что каждая функция истинности определима в терминах Hs.
[Использовать 1 (б).]
(в)	Функция истинности Н называется сингулярной, если сущест-
вуют функция истинности Н' и некоторое I такие, что Н (aL,	, ап) =
Н’ (а,-) для всех ах, ... , ап. Показать, что если Н сингулярна, то
каждая функция истинности, определимая в терминах Н, является
сингулярной.
(г)	Показать, что если Н — бинарная функция истинности такая,
что каждая функция истинности определима в терминах Н, то Н
есть На или Hs. [Показать, что Н (И, И) = Л и Н (Л, Л) = И,
и использовать (в).[
3.	Показать, что если и® и vv'— указатели, то либо V, либо v'
является пустым выражением.
4.	Показать, что результат замены а на х в терме есть терм,
и что результат замены а на х в формуле есть формула.
5.	Пусть Т — теория, у которой нет нелогических символов
и нелогических аксиом.
(а)	Показать, что "| ”| (х = х) V (*=*) является теоремой тео-
рии Т, не доказуемой без пропозициональных аксиом. [Пусть f —
отображение из множества формул в множество истинностных значе-
ний такое, что f (А) = И, если А атомная; f("| А) = Л; f (A \J В) =
-=цву, /(ЗхА) = И. Показать, что если А доказуема без пропози-
циональных аксиом, то f (А) = И.[
(б)	Показать, что х = х->3х(х = х) является теоремой теории Т,
не доказуемой без аксиомы подстановки. [Поступать, как и в (а),
положив /(А) = И для атомных A; f ("| A)--=H-j (f (A)); f (А \/ В) =
— Hy(f(A), f(B))-, /(ЗхА)=Л.[
(в)	Показать, что х = х есть теорема теории Т, не доказуемая
без аксиомы тождества. [Пусть /(А) = Л для атомных A; f П А) =
= ^-1(/(Л)); / (А V B) = Hv(f(A), f(B)y, /(ЗхА)=/(А). Для про-
верки аксиомы подстановки доказать, что f(Ax [а[) = /(А).[
(г)	Показать, что х =	—z->x = x->i/ = z есть теорема тео-
рии т, не доказуемая без аксиомы равенства. [Образуем L' из L (Т)
добавлением констант е2, е3. Для замкнутой формулы А языка L'
46
гл. 2. теории первого порядка
определим /(А) так:
/ (ег = е;) = И - </;
/п А)=Я_, (/(А));
/(А V	f(B));
/(ЗхА) = И^/(Ах[е.]) = И для некоторого i.
Показать, что если А доказывается в Г без аксиом равенства, то
/(А') = И для каждой формулы А', полученной из А заменой каж-
дой переменной на некоторое et во всех свободных вхождениях этих
переменных.]
(д)	Показать, что х=х V (х ^х \J х = х) есть теорема теории Т,
не доказуемая без правила расширения. [Пусть /(А) = И для атом-
ных А;
ИП А) = /7.1(/(А));
f(A \/ B) = H„(f(A),H^ (f(B)))-,
/ (ЗхА) =/(А).]
(е)	Показать, что ”| ”| (х = х) есть теорема теории Т, не доказуе-
мая без правила сокращения. [Пусть /(А) = И для атомных А;
f QA) =/ (ЗхА) = Л; / (А V В) = И. Чтобы доказать ”| ”| (х = х) в Т,
получить х = х V (* = *) как заключение правила сечения и затем
использовать правило сечения для доказательства ”| ”| (х — х) V
V “I “I (*=*)•]
(ж)	Показать, что ”| (х=^х \/ х^х) есть теорема теории Т, не
доказуемая без правила ассоциативности. [Пусть [—отображение
из множества формул в множество целых чисел такое, что
/(А) = 0 для атомных А;
/п А) = 1—/ (А);
f(A V^f(A)-f(B)-(l-/(AW(B));
f(3xA)=f(A).
Показать, что если А выводима без правила ассоциативности, то
f(A) = O.]
(з)	Показать, что ”| ~|(х = х) есть теорема теории Т, не доказуемая
без правила сечения. [Пусть f (А) = И для атомных A; f (”| А) = И,
если ДА) = Л или А атомная, f (”| А)=Л в противном случае;
/(A V5)=/7v(/(A), /(В)); / (ЗхА)=/(А).]
(и)	Показать, что Зу (х =# х) -> х =/= х есть теорема теории Т, не
доказуемая без правила 3-введения. [Пусть/(А) —И для атомных А;
f(-| А) = Л-1 (/(/)); f (A V В) = Яу(/(А), /(В)); /(ЗхВ) = И.]
ГЛАВА 3
ТЕОРЕМЫ В ТЕОРИЯХ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
3.1. Теорема тавтологии
На протяжении всей этой главы будем предполагать,
что теория Т фиксирована, и будем исследовать те тео-
ремы, которые могут быть доказаны в Т.
В следующей главе мы покажем, что если В есть логи-
ческое следствие Дх, ..., Ап и Дх, ..., Ап — теоремы, то
1? —теорема. В этом параграфе мы докажем некоторый
частный случай этого результата. Грубо говоря, это
такой случай, в котором то, что В есть следствие
Дх, ..., Ап, выясняется с использованием лишь правил
для вычисления истинностных значений "| С и С V D по
истинностным значениям С и D.
Формула называется элементарной, если она атомная
формула или подтверждение. Истинностной оценкой тео-
рии Т называется некоторое отображение из множества
всех элементарных формул теории Т в множество истин-
ностных значений.
Пусть V — истинностная оценка теории Т. Будем опре-
делять истинностное значение V (А) для каждой формулы А
теории Т индукцией по длине А. Если Д—элементар-
ная формула, то V (Д) уже определено. Если А есть “| В,
то V (Д) = Я-] (]7 (В)). Если А есть В \/ С, то V (Д) =
= Ну (V (В), V (С)). Из этого определения и определе-
ний ->, & и «-> мы видим, что V (В->- С) = Н^ (V (В),
V (С)) и аналогично для & и «-►. Кроме того, имеем
V (Д1 \/ ... V Ап) = И тогда и только тогда, когда
V (Дг) = И по крайней мере для одного i,
и
V (Дх &... & Д„) = И тогда и только тогда, когда
У(Д/) = И для всех I.
Скажем, что В — тавтологическое следствие А х,..., А„,
если У(В)=И для каждой истинностной оценки V такой,
что У (Дх)=...= У(ДЛ) = И. Формула А называется тав-
тологией, если она есть тавтологическое следствие пустой
48
ГЛ. з: ТЕОРЕМЫ В ТЕОРИЯХ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
последовательности формул, т. е. если У(Д) = И для
каждой истинностной оценки V. Легко видеть, что В —
тавтологическое следствие Дх, Ап тогда и только
тогда, когда AiАп^-В — тавтология.
Покажем теперь, что для данных Дх, ..., Ап, В можно
в конечное число шагов определить, будет В тавтологи-
ческим следствием Дх, ..., Ап или нет. В связи с послед-
ним утверждением предыдущего абзаца достаточно пока-
зать, что для данной формулы А мы можем определить,
будет А тавтологией или нет. Используя индукцию по
сумме длин Ai, покажем, как определить, будет ли
Дх \/ ... \/ Ап тавтологией; при п=1 получается выше-
названный результат.
Вначале предположим, что каждое А{ — элементарная
формула или отрицание элементарной формулы. Мы
утверждаем, что V • • • V Л„ — тавтология тогда и только
тогда, когда некоторое Aj есть отрицание некоторого А;.
Если это условие выполняется, то для каждой истинно-
стной оценки V или У(Д/) = И, или У(Д7) = И; таким
образом, У (Лг V - - - V Л) = И. Предположим, что данное
условие не выполняется. Определим истинностную оценку
У, положив У(Л) = И тогда и только тогда, когда "| А
есть некоторое А;. Легко видеть, что У (А) = Л для всех i;
таким образом, У (Дх V • • • V Дл) — Л.
Предположим, что некоторое А{ не является элемен-
тарной формулой и не является отрицанием элементар-
ной формулы. Поскольку
У (Лх V---V An) = V(Ai V... V Ап V Д1 V ... VA-1)
для всех истинностных оценок У, то Дх V ... V Ап — тав-
тология тогда и только тогда, когда
AV ...V Апу Лх V ...v Ли
является тавтологией. Следовательно, мы могли бы сразу
предположить, что Дх не является ни элементарной фор-
мулой, ни отрицанием элементарной формулы. Тогда Дх
есть или дизъюнкция или отрицание; а в последнем слу-
чае Дх есть отрицание отрицания или отрицание дизъюнк-
ции. Предположим, что Дх есть В\/ С. Поскольку
У(ДХ7... \j An)=V{B \jc V»aV-..V»J
3.1. ТЕОРЕМА ТАВТОЛОГИИ
49
для каждой истинностной оценки V, то А1 Ап —
тавтология тогда и только тогда, когда
в v с v а2 v... v ап
является тавтологией. Итак, достаточно определить, будет
ли ВУ СУ А2у ... V Л тавтологией; а это может быть
сделано по индуктивному предположению.
Предположим, что А2 есть "| "| В. Тогда для каждой
истинностной оценки V имеем У(Д1) = У(^) и, следова-
тельно, V (At У ... V Ап) = V (В У А2у ...у А„). Отсюда
следует, что достаточно определить, будет ли В У А2 У ...
...у Ап тавтологией; а это может быть сделано по
индуктивному предположению.
Предположим, что А2 есть ~\(ВУ С). Тогда для каж-
дой истинностной оценки V имеем
У(Л1) = И тогда и только тогда, когда
У(-|Я) = У(-|С) = И;
таким образом,
V(A V...V л„)=и
тогда и только тогда, когда
У(-| В У А2у = V (~[С уА2у...уАп) = И.
Поэтому достаточно определить, будут ли
~]ВУ А2у...уАп и 1CVAV-VA>
тавтологиями; а это может быть сделано по индуктивному
предположению.
Обратимся к основному результату этого параграфа.
Теорема тавтологии (Пост). Если В — тавтоло-
гическое следствие Alt ..., Ап и. [— А2, ..., [— Ап, то |-В.
Следствие. Каждая тавтология является теоремой.
Наш первый шаг —свести теорему к следствию.
Лемма 1. Если |- А У В, то |- В У А.
Доказательство. Поскольку "1 А У А — пропози-
циональная аксиома, то |-Л У В и |-“|Д У А. Следова-
тельно, \-В У А по правилу сечения.
Правило отделения. Если |- А и \-А-+В,
то ' В.
Доказательство. Из р-мы получаем \-В У А
по правилу расширения и, значит, А У В по лемме 1.
Из р А У В и р”* А —> В мы получаем В \J В по
50
ГЛ, 3. ТЕОРЕМЫ В ТЕОРИЯХ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
правилу сечения (и определению-»-); следовательно, |- В по
правилу сокращения.
Следствие. Если |- Лх, ..., |—Лл и |-Ах^-...
... -> В, то \-В.
Доказательство. Индукцией по п.
Ясно, что теорема тавтологии следует из следствия
к теореме тавтологии и следствия к правилу отделения.
Таким образом, осталось лишь доказать, что каждая тав-
тология есть теорема. V (Л V Л) = V (А) для каждой
истинностной оценки V; таким образом, если Л — тавто-
логия, то Л V Л — тавтология. С другой стороны, из
(— Л V Л следует Л по правилу сокращения. Следова-
тельно, нам нужно только показать, что если Л V Л —
тавтология, то Л V Л—теорема. Это есть частный случай
следующего результата.
Лемма 2. Если п^2и Лх V ... V Ап есть тавтология,
то НЛХ V ... V А„.
Наше доказательство леммы 2 ведется индукцией по
сумме длин Ai и параллельно методом, описанным выше.
В процессе доказательства мы будем отмечать результаты,
в которых мы нуждаемся, и позднее их докажем.
Сначала предположим, что каждая Л( является эле-
ментарной формулой или отрицанием элементарной фор-
мулы. С помощью метода, описанного выше, получаем,
что некоторое Aj является отрицанием некоторого А;.
Тогда |- Aj V Ai по пропозициональной аксиоме. Тогда
получаем |- Лх V ... V Ап по
(А)	Если	т^\, числа ix, ..., im находятся
среди чисел 1, ..., п и
то
|-AiV...VAra,
l-AV... \J Ап.
Теперь предположим, что некоторое А, не является
элементарной формулой и не является отрицанием эле-
ментарной формулы. По (А) |- Ах V ... у Ап тогда и только
тогда, когда |— Л, V ... V Ап \/ Ах V ... У Af_x. Поэтому
так же, как и раньше, можно предполагать, что Ах не
является элементарной формулой и не является отрица-
нием элементарной формулы. Как и раньше, это разбива-
ется на три случая.
3.1. ТЕОРЕМА ТАВТОЛОГИЙ
51
Предположим, что Ах есть В \J С. Тогда В V С V
V А2 V ... V Ап — тавтология и, следовательно, по индук-
тивному предположению — теорема. Поэтому |- Аг V ...
... \/ Ап по правилу ассоциативности.
Предположим, что А± есть "| ") В. Тогда В V А2 V • • •
... V Ап — тавтология и, следовательно, по индуктивному
предположению — теорема. Тогда мы получаем ]— Ах V • ♦ •
... V Ап по
(Б) Если |- А \/ В, то |- “| “| А \/ В.
Наконец, предположим, что Ах есть "| (В V С). Тогда
-]ВЦ А,У ...\/ Ап и ~\С\/ Аг\/...\/ Ая
— тавтологии и, следовательно, по индуктивному предпо-
ложению—теоремы. Тогда получаем |- Ах V • • • V Ап по
(В)	Если |- 1А V С и |-П В V С, то |-“| (Л V В) V С.
Теперь докажем (А) индукцией по т. Вначале пред-
положим, что m5s3. Пусть А есть Ах V ... V Ап. Из
посылки (А) и ассоциативного закона имеем
l-(Ax V Л-2) V А, У.ЛЛ,
Следовательно, |- (А,, V At-J V А по индуктивному
предположению. Применяя лемму 1 и ассоциативный закон,
получаем НА V AJ V ; таким образом, |— (А V Аг,) V
V А по индуктивному предположению. Снова применяя
лемму 1 и ассоциативный закон, получаем 1-М V ») V
V Ait; таким образом, по индуктивному предположению
имеем |—(А V А) V (А V А). Теперь два применения пра-
вила сокращения дают |-А.
Теперь предположим, что т=1, и пишем i вместо tx.
По правилу расширения получаем
; (Af+1 v... V А„) V Аг,
таким образом, по лемме 1 имеем |- А/ V    V Ля. При-
меняя i — 1 раз правило расширения, получаем |- Ах V ...
Л/ Ап.
Остается случай, когда т = 2. Если ix = t2, то |-А/, V А,а
Дает |-А/, по правилу сокращения, и мы возвращаемся
к случаю, когда т = 1. Случай ix > i2 сводится к случаю
г1<г2 по лемме 1. Итак, остается доказать
(А') Если 1 i < / п и |- Ai \/ Ay, то |- Ах V  • • V Ап.
Докажем (А') индукцией по п. Если п = 2, то доказы-
вать нечего; поэтому предположим, что м^З. Положим
52
ГЛ. 3. ТЕОРЕМЫ В ТЕОРИЯХ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
В вместо Л3 V ... V Ап, тогда доказываемый результат*
будет Н Лх V А2 V В.
Если iSs2, то I— Л2 V В по индуктивному предполо-
жению; таким образом, |- Лх V Л2 V В по правилу рас-;
ширения. 	;
Если i=l и /5s3, то |- Лх\/ В по индуктивному,
предположению. По лемме 1 и правилу расширения полу- ,
чаем Л2 V В V Лх. По правилу ассоциативности и лем-
ме 1 получаем Лх V Л2 V В. Если i=l и / = 2, то
I- лх v л2 по предположению. Следовательно, В \/
V А V А2 по правилу расширения. Применяя правило 
ассоциативности и лемму 1, имеем НЛ2 V В V Лх. Пр име-
нение правила ассоциативности и леммы 1 снова дает.
I-лх V a2\j в.
Теперь докажем (Б). Так как "| "| Л V "| Л —пропози-
циональная аксиома, то |-"| Л \/~| "| Л получаем по лемме 1.
Из [- Л V В и |-П Л \/П 1 А по правилу сечения полу-
чаем В V’] “| Л. Следовательно, “| "| Л V В по
лемме 1.
Теперь докажем (В). Так как ~\(А\/В) \JA\J В —
пропозициональная аксиома, то [— Л V В V “| (Л V В) полу-
чаем по (А). Отсюда и из “| Л \J С по правилу сечения
получаем (В У“| (Л V В)) V С. Отсюда по лемме 1 полу-
чаем |- С V В V (Л V В); таким образом, |- В V С V
V“| (Л у В) по (А). Отсюда и из \-~\B\/ С по правилу
сечения получаем |-(С V ~| (Л V В)) V С. Применение
леммы 1 дает С V С V "| (Л \/ В\, таким образом,
|-"| (Л V В) V С по (А). Это завершает доказательство
теоремы тавтологии.
Когда мы будем утверждать, что некоторая формула
есть тавтологическое следствие других формул или что
некоторая формула есть тавтология, мы обычно будем
оставлять доказательство этого читателю. Как правило,
он быстрее будет находить непрямое доказательство. Так,
чтобы показать, что Л & Л—тавтология, предполо-
жим, что существует истинностная оценка V такая, что
К(Л&В^Л) = Л. Тогда К(Л&В) = И и У(Л) = Л. Из
первого имеем К(Л) = К(В) = И. Поскольку имеется два
разных значения для V (Л), то мы получаем противоре-
чие. С накоплением опыта читатель будет все больше
убеждаться в том, что как только он может увидеть, что
В истинна (или является следствием Лх, .... Л„) лишь
3.1. ТЕОРЕМА ТАВТОЛОГИИ
53
по смыслу “|, у, & и «->, то В является тавтологией
(или тавтологическим следствием Дх, Ап).
Замечание. Предположим, что с каждой формулой
А мы связали формулу Д* так, что (“| Д)* есть ^Д*
и (Д V В)* есть Д* V В*. Если В — тавтологическое
следствие Дх, .... Д„, то В* — тавтологическое следствие
Д*, .... А’п. Чтобы убедиться в этом, предположим, что
1/ — некоторая истинностная оценка. Определим новую
истинностную оценку V так: V (Д) = У (Д*) для элемен-
тарных формул Д. Тогда легко проверить, что V' (Д) =
= К(Д*) для всех А. Следовательно, если
У(Д*)- . =У(Д*) = И,
то
V (ДХ) = ,,. = У' (ДЯ) = И;
таким образом, V' (В) = И; следовательно, V (В*) = И.
Выпишем часто применяемые случаи теоремы тавтоло-
гии (отличные от правила отделения):
(i)	Если |- А «-> В, то |- А тогда и только тогда, ког-
да |- В.
(ii)	Если рД->Ви \-В-+С, то Д->-С.
(iii)	Если |-Д«->В и \-В >-+€, то Д«-»С.
(iv)	[— А & В тогда и только тогда, когда |- А и В.
(v)	[— А~В тогда и только тогда, когда \-А-+В
и В->-А.
(vi)	[— А-+В тогда и только тогда, когда |-"| А.
Кроме того, теорема тавтологии может заменить при-
менение пропозициональных аксиом и правил расшире-
ния, сокращения, ассоциативности и сечения. Другими
словами, мы можем определить теоремы теории Т с
помощью следующего обобщенного индуктивного опре-
деления:
(i)	каждая аксиома подстановки, аксиома тождества,
аксиома равенства и нелогическая аксиома является
теоремой;
(ii)	если Дх, .... Ап (п0) — теоремы и В —тавтоло-
гическое следствие Дх, ..., Д„, то В —теорема;
(iii)	если Д —теорема и В может быть выведена из А
с помощью правила Д-введения, то В —теорема.
Это приводит нас к доказательству индукцией, кото-
рое мы также называем доказательством индукцией по
54
ГЛ. 3. ТЕОРЕМЫ В ТЕОРИЯХ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
теоремам. По этому методу мы доказываем, что каждая
теорема имеет свойство Р, доказывая, что:
(i) каждая аксиома подстановки, аксиома тождества,
аксиома равенства и нелогическая аксиома имеют свой-
ство Р;
(И) если Лх, ..., Ап имеют свойство Р и В —тавтоло-
гическое следствие Лх, ..., Ап, то В имеет свойство Р\
(iii)	если А имеет свойство Р и В может быть выве-
дена из А с помощью правила Д-введения, то В имеет
свойство Р.
3.2.	Результаты о кванторах
Теперь выведем некоторые правила для оперирования
с кванторами.
Правило V-введения. Если \-А^-В и х не
является свободной в А, то \-- А^-^хВ.
Доказательство. Из |-Л->В с помощью тео-
ремы тавтологии получаем	А. Тогда |-Дх“|В->-
“| А по правилу Д-введения; следовательно, |-Л->
“I Эх “I В по теореме тавтологии. По определению V
это есть А^ЧхВ.
Правило обобщения. Если |-А, то |-УхЛ.
Доказательство. Из |-Л по теореме тавтологии
имеем |-"| УхЛ->Л. Тогда по правилу V-введения полу-
чаем |-“| УхЛ^УхЛ; следовательно, |-УхЛ по теореме
тавтологии.
Скажем, что А' есть частный случай формулы Л, если
Л' имеет вид Л^..Xfi [ах, ..., ап].
Правило подстановки. Если |-Л и А'—част-
ный случай формулы А, то |-Л'.
Доказательство. Вначале предположим, что А'
есть Ах[а]. Из |-Л по правилу обобщения получаем
|-УхЛ, то есть |-1 Дх~| Л. По аксиоме подстановки
получаем |-"| Лх[«]->Вх 1 Л. Следовательно, 1-ЛДа]
по теореме тавтологии.
Теперь предположим, что А' есть АХ1.....х [alf .... а„].
Пусть _ух, .... уп — п новых переменных (т. е. перемен-
ных, которые не входят в Л или Л'). Применяя первую
часть доказательства, мы последовательно получаем
Мж, ЬгД, н AXt, Xi [_ух, _у2], ..., I- АХ1.Хп [_ух, ... ,у„].
3.2. РЕЗУЛЬТАТЫ О КВАНТОРАХ
55
Начиная с последнего и снова применяя первую часть
доказательства, последовательно получаем, что
...X/l[alf у2, ..., _у„]*),
I-••• . хп #2» •••» .Ул]»
Н ... , хп [йХ, #2» •••> Яп].
(Читатель должен заметить, что применение у{ в выше-
приведенном доказательстве действительно необходимо.
Начиная с А, мы могли бы получить AXt [ах], но мы не
смогли бы тогда получить AXlt Х1 [alt а2], если бы х2
входило .в ах.)
Теорема подстановки.
(а)	|-ЛЖ1.хп[<к, ..., ап]^Эх1...ЭхпА;
(б)	|-Vxx... XfxnA АХ1.xn[alt .... ал].
Доказательство. По аксиомам подстановки по-
лучаем
)-С^ЗхС	(1)
и ;дС-»-ЗхПС. Из последней формулы с помощью
теоремы тавтологии и определения V получаем
|-VxC->C.	(2)
Ввиду (1)
|- Зхл.х... ЗхпА	3x,3x(L... ЗхпА
для 1 = 1, .... п. Отсюда с помощью теоремы тавтологии
получаем |- А -> Зхх... ЗхпА, а из последней формулы
мы получаем (а) по правилу подстановки.
Аналогично, мы можем применить (2) для получения
-Vxx... хпА -> А и затем получить (б) по правилу под-
становки.
Правило дистрибутивности. Если \-А^-В,
по |-ЗхЛ->ЗхВ и Х/хЛ -> VxB.
Доказательство. По аксиоме подстановки полу-
чаем \-В ->ЗхВ. Отсюда и из |-Л->В получаем |-Л->
—>~ЗхВ по теореме тавтологии; таким образом, |-ЗхЛ ->-
~^ЗхВ по правилу 3-введения.
*) Заметим, что имеет место Ах х [ах, уг, ..., уп] =
= 4, г 1У1»	•••» УлЕ, [а^.-Прим. ред.
Х1..хп
56
ГЛ. 3. ТЕОРЕМЫ В ТЕОРИЯХ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
По теореме подстановки получаем УхЛ->Л. Отсюда
и из [—Л->В получаем |-УхЛ->В по теореме тавтоло-
гии; таким образом, [—УхЛ->УхВ по правилу V-вве-
дения.
Пусть Л —формула и х1У ..., хп — переменные, пере-
численные в алфавитном порядке, которые свободны в А.
Формула Vxi... VX/гЛ называется замыканием формулы Л.
Ясно, что замыкание формулы Л замкнуто и что если Л
замкнута, то замыкание формулы Л есть А.
Теорема замыкания. Если А' —замыкание фор-
мулы А, то А' тогда и только тогда, когда [—Л.
Доказательство. Если Л, то [— Л' по правилу
обобщения. По теореме подстановки получаем [—Л'->Л;
следовательно, если |—Л', то Л по правилу отде-
ления.
Следствие. Если А' — замыкание формулы А, то
А является истинной в структуре тогда и только
тогда, когда А’ является истинной в ost.
Доказательство. Предположим, что Л является
истинной в оЛ. Если Т имеет формулу Л в качестве
своей единственной нелогической аксиомы, то — модель
теории Т. По теореме замыкания получаем уЛ'; сле-
довательно, Л' является истинной в е/ по теореме ис-
тинности. Обратное доказывается аналогично.
3.3.	Теорема дедукции
Если математик желает доказать утверждение если Р,
mo Q, то он обычно предполагает Р и затем доказывает
Q. Мы покажем, что в теориях существует подобный
метод доказательства теорем.
Обозначим теорию, полученную из Т добавлением Лх,...
..., Ап в качестве новых нелогических аксиом, через
Т [Лх, ..., Лл]. Тогда аналогом вышеописанного метода
для теорий будет следующее: если мы желаем доказать
Л->В в Т, то мы стараемся доказать В в Т[Л]. Пока-
жем, что если мы добьемся этого и если Л замкнута, то
Л -> В действительно является теоремой теории Т.
Теорема дедукции. Пусть А—замкнутая фор-
мула теории Т. Для каждой формулы В теории Т имеем
\- тА—>-В тогда и только тогда, когда В является тео-
ремой теории Т[Л].
3.3. ТЕОРЕМА ДЕДУКЦИИ
57
Доказательство. Если \-тА^-В, то А и А^-В
являются теоремами теории Т[Л]; следовательно, В —
теорема теории Т [Л] по правилу отделения. Докажем
теперь, что ГА^-В для каждой теоремы В теории
Г [Л], применяя индукцию по теоремам (в форме, опи-
санной в § 3.1).
Предположим, что В —аксиома теории Т[Л]. Если В
есть А, то Д->В есть тавтология и, следовательно, тео-
рема теории Т. В противном случае В есть аксиома
теории Т; поэтому |- В; тогда \~тА^-В по теореме тав-
тологии.
Предположим, что В — тавтологическое следствие фор-
мул Сх, ..., Сп. Тогда А -> В — тавтологическое следствие
Л->СХ, ..., Л->С„. По индуктивному предположению
гЛ->Сх, ..., ТА^-Сп; следовательно, [— тА-^В
по теореме тавтологии.
Предположим, что В выведена по правилу Д-введения;
например, В есть ДхС->Р и выводится из С->Р, где
х не является свободной в D. По индуктивному предпо-
ложению т А С -> Р; следовательно, по теореме тав-
тологии имеем \—tC^-A^-D. Так как х не является
свободной ни в Л, ни в D, то т ЗхС -> А -> D по пра-
вилу ' Д-введения; следовательно, ГА^-В по теореме
тавтологии.
Следствие. Пусть Лх....... А п —замкнутые фор-
мулы теории Т. Для каждой формулы В теории Т
имеем I—уЛх^-..Л„->В тогда и только тогда, когда
В— теорема теории 71[ЛХ, ..., Лл].
Доказательство. Индукцией по п.
Теорема дедукции ложна, если не требовать, чтобы Л
была замкнутой. Так, если мы добавим х = 0 в качестве
аксиомы к N, то мы можем доказать z/ = 0 по правилу
подстановки. Но x = O->z/ = O не является теоремой N,
так как она не является истинной в модели Чтобы
обойти эту. трудность, докажем теорему, которая позволит
нам заменять Л->В на импликацию с замкнутой по-
сылкой.
Теорема о константах. Пусть Т' получена из Т
добавлением новых констант (но не новых нелогических
аксиом). Для каждой формулы А теории Т и каждой
последовательности elt ..., еп различных новых констант
имеем |— т А тогда и только тогда, когда |— т< А [^х,..., еп].
58
ГЛ. 3. ТЕОРЕМЫ В ТЕОРИЯХ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
Доказательство. Если ТА, то |-т' А; следо-
вательно, г* A [elt .... еп] по правилу подстановки.
Теперь предположим, что мы имеем доказательство
А [>!, ..., еп] в Т'. Мы выберем п переменных уъ ..., уп,
не встречающихся ни в доказательстве, ни в А, и заме-
ним elt ..., еп во всем доказательстве на ylt ...,уп-
Это не затронет нелогических аксиом (которые не содер-
жат никаких новых констант). Легко видеть, что каждая
другая аксиома становится аксиомой того же типа, а каж-
дое применение правила становится новым применением
того же правила. Отсюда следует, что мы получим дока-
зательство А [_у1,' ..., в Т. Таким образом,
|~г Л [.ух, ..., у„];
следовательно, [— т А по правилу подстановки.
Теперь возвратимся к проблеме доказательства Л->В
в Т. Пусть Xi, хп — переменные, свободные в А.
Строим Т' из Т добавлением новых констант elt ..., еп.
По теореме о константах имеем
т А -> В тогда и только тогда, когда
Н-т'Л[^1, ...,	..., еп].
Так как А[е1г ..., еп] замкнута, то теорема дедук-
ции показывает, что для этого достаточно доказать
В01, ..., е„] в Т [ЛOn ..., *?„]].
3.4.	Теоремы эквивалентности и равенства
Результаты этого параграфа могут быть приблизительно
сформулированы как следующие: эквивалентные формулы
и равные термы взаимозаменяемы.
Теорема эквивалентности. Пусть А' получена
из А заменой некоторых вхождений Blt ..., Вп на В{, ...
..., В'п соответственно. Если
|- B^Bi, ..., |- Вп - Вп,
то
|-Л ~ А'.
Доказательство. Рассмотрим вначале один спе-
циальный случай: существует только одно такое вхожде-
ние и оно есть всё А. Тогда А есть В{ и А’ есть В'{ для
некоторого г, следовательно, Л «-> Л' по предположению.
3.4. ТЕОРЕМЫ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ И РАВЕНСТВА
59
Докажем теперь теорему индукцией по длине Д. Если
Д — атомная формула, то любое вхождение формулы в А
есть всё А по теореме о вхождении. Следовательно, если
это не специальный случай, то никакое вхождение не
заменяется и А' есть Д. Тогда 'А-^А' по теореме тав-
тологии.
Предположим, что А есть П С. По теореме о вхожде-
нии любое вхождение формулы в А или есть всё А или
целиком содержится в С. Отсюда следует, что если это
не специальный случай, то Д' есть ~|С', где С полу-
чается заменами из С так, как описано в теореме. По
индуктивному предположению |—	следовательно,
Д «-> Д' по теореме тавтологии.
Если А есть С V D, то доказательство аналогично.
Теперь предположим, что А есть ЗхС. Если это не спе-
циальный случай, то Д' есть ЗхС, где \—С++С по
индуктивному предположению. Тогда |—С->С' и
по теореме тавтологии. По правилу дистрибутивности
имеем [—Д->Д' и |-Д' ->Д; следовательно, Д«->Д'
по теореме тавтологии.
Мы уже замечали, что формула не меняет своего зна-
чения, если связанную переменную заменить другой пере-
менной. Как применение теоремы эквивалентности дока-
жем теперь синтаксический вариант этого замечания.
Скажем, что Д' — вариант формулы А, если Д' может
быть получена из Д с помощью последовательных замен
следующего типа: заменяем часть ЗхВ на	где
у — переменная, не являющаяся свободной в В.
Теорема о варианте. Если А’ — вариант фор-
мулы А, то Д ** А'.
Доказательство. Ввиду теоремы эквивалентности
и теоремы тавтологии нам нужно лишь показать, что
в обозначениях предыдущего определения |- ЗхВ ++
«-* ЗуВх [>г]. Пусть В' есть вх [Л По теореме подста-
новки |- В’ -> ЗхВ, следовательно, по правилу Д-введения
|- ЗуВ' -+ ЗхВ.	(1)
Учитывая то, что у не является свободной в В, видим,
что By [л:] есть В. Следовательно, по теореме подстановки
В^-ЗуВ', таким образом, |- ЗхВ -^ЗуВ’ по правилу
Э-введения. Отсюда и из (1) получаем |- ЗхВ ЗуВ'
по теореме тавтологии.
60
ГЛ. 3. ТЕОРЕМЫ В ТЕОРИЯХ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
Варианты применяются, когда у нас имеются труд-
ности, связанные с тем, что терм а не является допусти-
мым для подстановки вместо х в А. Мы можем тогда
найти вариант А' формулы А, в котором ни одна пере-
менная из а не является связанной. Тогда а будет до-
пустимым для подстановки вместо х в А', и мы можем
заменить А на А'.
Теорема симметрии. \-a = b++b = a.
Доказательство. По аксиоме равенства имеем
Н х .у—-х х—>-х~-х^>-у~-х.
Таким образом, по аксиомам тождества и теореме тавто-
логии х=у^>-у = х. По правилу подстановки |— а =
= b ^- Ь — а и ba^-ab; следовательно,	а = b
^b — а по теореме тавтологии.
Теорема равенства. Пусть Ь' получен из b заме-
ной некоторых вхождений alt ..., ап на а!, ..., а'п соот-
ветственно, и пусть А’ получена из А заменой некоторых
вхождений alf ..., ап, не находящихся в областях дейст-
вия кванторов, на ai, а'п соответственно. Если ах =
= а!,..., ап~а’п, то \- Ь = Ь' и 1-Л^Л'.
Доказательство. Вначале докажем, что b = Ь'.
Если единственное заменяемое вхождение есть всё Ь, то
для некоторого i терм b есть щ и терм Ь' есть аг, сле-
довательно, |— Ь=Ь' по предположению. Мы исключаем
теперь этот специальный случай и проведем индукцию
по длине Ь. Если Ь — переменная, то нет вхождений,
которые можно заменить (так как специальный случай
исключен). Следовательно, Ь' есть b и b==b' по акси-
оме тождества и правилу подстановки. Теперь предполо-
жим, что b есть /(?!...Q. Тогда Ь' есть fci...c'k, где
|—б’/ = б’? для i = l, ..., k по индуктивному предположе-
нию. По аксиомам равенства и правилу подстановки имеем
Н Ci = c'i ck- c'k -+b = b'.
Следовательно, |— b = b' по правилу отделения.
Докажем теперь, что |—Л*+Л', индукцией по длине
Л. Если Л —атомная формула pc^.-.Ck, то по первой
части доказательства А' есть pc'i...c'k, где \-Ct~c'i для
i=l, ..., k. По теореме симметрии |— c't = Ct для i = 1, ...
..., k. По аксиомам равенства и правилу подстановки
|— С1 = с[	Ckт= —> Л —Л'
3.4. ТЕОРЕМЫ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ И РАВЕНСТВА
61
И
|- d =	с* = А' -+А.
Следовательно, |— А*-» А' по теореме тавтологии. Остав-
шиеся случаи рассматриваются так же, как и в доказа-
тельстве теоремы эквивалентности.
Следствие!. |— =	..->ал = «„->&[«!,.=
Ь[а{, ..., а'„].
Доказательство. Заменяем каждую переменную,
входящую в at или в а\, новой константой. Предположим,
что a^a't и b превращаются в cit cl и d. Формулой, кото-
рую надо доказать, является
c1 = c'i^~...^~cn = c'n^-d[c1, ..., cn] = d[ci, ..., с„].
Ввиду результатов последнего параграфа достаточно доба-
вить C{ = Ci в качестве аксиом и доказать ..., сп] =
==d[c'i, ..., с'п]. Это можно сделать с помощью теоремы
равенства.
Следствие 2.	ах = а’\	(Д [«i, ...
..., ап]++А[а!, ..., а„]).
Доказательство. Аналогично доказательству след-
ствия 1.
В приложениях теорема и оба следствия будут назы-
ваться просто теоремой равенства.
Следствие 3. Если х не входит в а, то
Ах[я]*^3х (х а & А).
Доказательство. По теореме равенства
Н х = а-ДА ~ АДД);
следовательно, по теореме тавтологии и правилу
3-введения
|- Зх (х = а & А)-> Ах[а].	(2)
По теореме подстановки
Н (а = а& АДа])—-Зх (х — а& А).	(3)
По аксиомам тождества и правилу подстановки
|— а а.	(4)
По теореме тавтологии следствие получается из (2), (3)
и (4).
62
ГЛ. 3. ТЕОРЕМЫ В ТЕОРИЯХ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
3.5.	Пренексная форма
Теперь покажем, что каждая формула эквивалентна
формуле, находящейся в некоторой специальной форме.
Формула называется открытой, если она не содержит
кванторов. Формула А находится в пренексной форме,
если она имеет вид Oxi... QxnB, где каждое Ох, есть
или Эх^ или Vхг, Xi, ..., хл различны и В открыта.•
В этом случае Oxi... Qxn называем приставкой, а В —
матрицей для А. Мы допускаем случай, когда приставка
пуста, другими словами, считаем, что открытая формула
также находится в пренексной форме.
Наше определение пренексной формы содержит опре-
деляемый символ V. Как и во всех таких случаях, в опре-
делении, на самом деле, упоминаются формулы, получен-
ные устранением определяемых символов. Однако, имея
дело с пренексной формой, вообще лучше не предполагать
определяемый символ V устраненным.
Введем теперь некоторые операции, называемые пре-
нексными операциями. Это операции, которые могут быть
произведены над формулой А, возможно, содержащей
определяемый символ V; результатом операции является
другая такая формула. Пренексными операциями являются:
(а)	замена А некоторым вариантом;
(б)	замена части "| QxB в Л на Q'xlB, где О'х
есть Vx, если Ох есть Эх, и О'х есть Эх, если Ох
есть Vx;
(в)	замена части QxB \/ С в Л на Ох (В V С) ПРИ
условии, что х не является свободной в С;
(г)	замена части В V ОхС в Л на Ох (В V С) при
условии, что х не является свободной в В.
Вначале покажем, что если А' — результат, получен-
ный из Л при помощи некоторой пренексной операции,
то |— А++А'. Для (а) это следует из теоремы о вари-
анте. Для (б) достаточно, имея в виду теорему эквива-
лентности, показать, что |— "| QxB <-> О'х "| В. Таким
образом, мы должны показать, что .
“| ЭхВ <-> Vx “| В
и
1 VxB«-»3x“| В
3.5. ПРЕНЕКСНЛЯ ФОРМА
63
являются теоремами. Если устранить V, то получим
1 ЗхВ ^~3х 11 В и 11 Зх 1В ++ Зх 1 В.
Они следуют из теоремы эквивалентности и теоремы тав-
тологии.
Обращаясь к (в), достаточно доказать, что |— ОхВ \/ C++
<+0tx(B V С). Это будет следовать из теоремы тавтоло-
гии, если мы докажем
RQxB->Qx(B V С),	(1)
И C->Qx(BV С),	(2)
ь Qx(В V С) ->QxB V С.	(3)
Мы получаем (1) из тавтологии В->В\/ С по правилу
дистрибутивности. Если Ох есть Зх, мы получаем (2)
из аксиомы подстановки B\J С-+ Зх (В \/ С) по теореме
тавтологии. Если Ох есть Vx, мы получаем (2) из
тавтологии C-+BXJC по- правилу V-введения. Те-
перь из аксиомы подстановки В-+ЗхВ мы получаем
|— В V С-+ЗхВ V С по теореме тавтологии; следовательно,
к Зх (В V С)-> ЗхВ V С по правилу 3-введения.
Это есть (3), когда Ох есть Зх. По теореме подстанов-
ки имеем Vx(B V C)-*-B\J С; следовательно, по тео-
реме тавтологии и правилу V-введения имеем
I- Vx(B v C)& C^VxB.
Отсюда по теореме тавтологии получаем |— Vx (В V С) ->
->-VxB\/ С, которое есть (3), когда Ох есть Vx.
Обращаясь к (г), достаточно показать, что В V ОхС ++
++ Ох (В V С), если х не является свободной в В. По
сказанному выше имеем |— ОхС V В++ Ох (С \/ В), и
желаемый результат следует по теореме эквивалентности
и теореме тавтологии.
Теперь покажем, что каждая формула может быть пре-
образована в формулу в пренексной форме с помощью
Применения пренексных операций. Доказательство ведется
индукцией по длине А. Если А — атомная формула, то
она уже в пренексной форме. Предположим, что А есть
I В. По индуктивным предположениям мы можем преоб-
разовать В в формулу В' в пренексной форме с помощью
Пренексных операций. Те же операции преобразуют А в
I В'. Но ясно, что “I В' может быть преобразована в
64
ГЛ. 3. ТЕОРЕМЫ В ТЕОРИЯХ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
формулу в пренексной форме последовательным применением;
операции (б).
Теперь предположим, что А есть В V С. По индуктив-
ному предположению мы можем преобразовать В и С
в формулы В' и С' в пренексной форме. Имея в виду
операцию (а), мы можем далее предполагать, что пере-’
менные в приставке В' отличны от переменных в при-
ставке С' и что переменные в обеих приставках отличны
от переменных, свободных в В' и С'. Мы можем тогда
преобразовать А в В' V С'; с помощью операций (в) иг
(г) мы можем преобразовать В' V С' в формулу в пре-
нексной форме.
Наконец, предположим, что А есть QxB. Мы можем;
преобразовать В в формулу В' в пренексной форме; мы
можем предполагать, что переменные в приставке В'
отличны от х. Тогда А может быть преобразована в
OlxB' , которая находится в пренексной форме.
Под пренексной формой формулы А мы понимаем фор-
мулу в пренексной форме, в которую А может быть пре--
образована с помощью пренексных операций. Мы уже;
видели, что каждая формула имеет пренексную форму и,
что если А' — пренексная форма А, то |— А++А'. Заме-
тим, что пренексные операции не зависят от теории,
в которой мы работаем.
Наш метод получения пренексной формы формулы А тре-
бует от нас устранения определяемых символов, отличных
от V. Мы можем избежать устранения ->и & с помощью/
введения следующих дополнительных пренексных операций:.
(д)	замена части QxB-+C в Л на Q'x(B->C), где
Q'х означает то же, что и в (б), при условии, что х
не является свободной в С;
(е)	замена части B-+QxC в Л на Qx(B->C) при
условии, что х не является свободной.в В;
(ж)	замена части QxB&C в Л на Qx(B&C) при
условии, что х не является свободной в С;
(з)	замена части В & QxC в Л на Qx (В & С) при
условии, что х не является свободной в В.
Можно видеть, как и раньше, что этих операций
достаточно, чтобы преобразовать любую формулу, содер-
жащую и &, в пренексную форму. Чтобы убедиться,
что формула, полученная в результате этих операций,
эквивалентна формуле, над которой операции производи-'
ЗАДАЧИ
65
дись, заметим, что каждая операция по устранении
определяемого символа становится некоторой последо-
вательностью операций (б), (в) и (г). Например, предпо-
ложим, что мы используем (д) для замены ЗхВ-^С на
Ух (В -> С). Устраняя видим, что мы заменили
“| ЗхВ \/ С на Vx (~| В V С). Это можно сделать, вначале
применяя (б) и затем применяя (в). Мы не можем полу-
чить подобного правила для если мы устраним ++ и
применим (а) —(з), то обнаружим, что не можем вер-
нуться к
В заключение приведем пример шагов преобразования
формулы из N в пренексную форму;
Эх (х=у) -> Эх (х = 0 V ~\3у(у< 0)),
Эх (х=у) -> 3z (z = 0 V “| Э w (w < 0)),
Эх (х=у) -> 3z (z = 0 V (w<. 0)),
Эх (x—у) -> ЭгУо» (г = 0 V ~|(^<0)),
УхЭгУгя> (х=у-> г = 0 V ~1 (^ < 0))-
Задачи
1.	Показать, что если А —формула, доказуемая без использова-
ния аксиом подстановки, нелогических аксиом, аксиом тождества,
аксиом равенства и правила 3-введения, то А — тавтология.
2.	Пусть Т — теория без нелогических аксиом. Для каждой фор-
мулы А теории Т пусть А*—формула, полученная из А опусканием
всех кванторов и заменой всех термов новой константой е. Показать,
что если Hj’A, то А*—тавтологическое следствие формул вида а = а.
Вывести, что не существует формулы А такой, что Н ТА и |— г~| А.
3.	(а) Ь-Ух (А-» В)-» ЗхА-» УхВ.
(б)	н Зх(А^В)-» УхА-> ЗхВ.
4.	(а) I- Зх (А V В) — ЗхА V ЗхВ.
(б)	Н Ух (А & В) — Ух А & УхВ.
(в)	н- Зх (А & В) -> ЗхА & ЗхВ.
(г)	Ь VxA V УхВ Vx (А V В).
(д)	Привести примеры формул из W вида
Vx(A V В)-> VxA V УхВ и ЗхА&ЗхВ-> Зх(А&В),
которые не являются истинными в
5.	Показать, что если х не является свободной в А, то |- ЗхА — А
и 1- Ух А — А.
6.	(а) н ЗхЗуА — ЗуЗхА.
(б)	VxVyA — VyVxA.
(в)	ь ЗхУуА -> УуЗхА.
(г)	Привести пример формулы из N вида УхЗуА — ЗуУхА,
которая не является истинной в
3 Дж. Шенфилд
66
ГЛ. 3. ТЕОРЕМЫ В ТЕОРИЯХ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
7.	(а) Пусть А' получена из А заменой некоторых вхождений В
на В'. Пусть xlt , хп включают в себя все те переменные, кото-
рые имеют вхождение внутрь этих вхождений В и В', свободное
в В или В' и связанное в А или А'.
Показать, что
Н Ух1...Ух„(В-В')->(А« Д').
[Использовать метод из § 3.3 и теорему эквивалентности.]
(б)	Привести пример формул А, А', В и В' из Л/, удовлетворяющих
условию (а) таких, что (В В') -> (А -* Д') не является истинной
в
8.	(а) Пусть А' получена из А заменой некоторых вхождений а,
не находящихся в областях действия кванторов, на а'- Пусть х±, ...
..., х„ включают в себя все те переменные, которые имеют вхожде-
ние внутрь этих вхождений а и а', связанное в А или Д'. Пока-
зать, что
I-	VXj... Ух„ (а = а') -> (А — Д').
[Подобно 7 (а).]
(б	) Привести пример термов а и а' и формул Д и Д' из Л/,
удовлетворяющих условию (а), таких, что а = а'-> (Д -► Д') не
является истинной в
9.	Пусть Т — теория. Пусть Т'—формальная система, получен-
ная из Т опусканием аксиом равенства и добавлением в качестве
новых аксиом всех формул х—у -> А -> Ах [>] для атомных формул А.
Показать, что Т и Т' имеют одни и те же теоремы.
10.	(а) Показать, что если х не входит в а, то
Ь- Ах [а] -- Ух (х = а -> Д).
(б)	Привести примеры формул из N вида
Ах [а]- -Зх (х = а & А) и Ах [а] -- Ух (х = а -> А),
которые ие являются истинными в
11.	(а) Формула находится в дизъюнктивной форме, если эта
формула есть дизъюнкция конъюнкций формул, которые являются
элементарными формулами или отрицаниями элементарных формул.
Показать, что для каждой формулы А существует формула Д',
находящаяся в дизъюнктивной форме, такая, что A *— А' — тавтология.
(б) Формула находится в конъюнктивной форме, если эта
формула есть конъюнкция дизъюнкций формул, которые являются
элементарными формулами или отрицаниями элементарных формул.
Показать, что для каждой формулы А существует формула А',
находящаяся в конъюнктивной форме, такая, что А-* А' — тавтология.
[Начать с формулы В в дизъюнктивной форме такой, что ”| А--В
является тавтологией.]
12.	Пусть А — формула, возможно, содержащая определяемые
символы & и V. Пусть А” получена из А следующим образом: для
каждого вхождения атомной формулы В в А, если В непосредственно
следует за ”], то опускаем ”|; в противном случае вставляем ”| перед
В. Пусть А* получена из А0 заменой всех V> Э и Y иа &, V> V
и 3 соответственно. Показать, что I— А* П А. [Использовать ин-
дукцию по длине А.]
ГЛАВА 4
ПРОБЛЕМА ХАРАКТЕРИЗАЦИИ
4.1. Теорема редукции
Главная цель формальной системы — служить основой
для доказательства теорем. Поэтому особенно важной
проблемой для любой формальной системы F является
следующая: найти необходимые и достаточные условия
того, чтобы формула системы F была теоремой системы F.
Эта проблема называется проблемой характеризации для F.
Мы предполагаем изучить проблему характеризации для
теорий.
Имеется тривиальное решение проблемы характериза-
ции для любой теории Т: формула является теоремой
тогда и только тогда, когда эта формула имеет доказа-
тельство. Такое решение проблемы является неудовлет-
ворительным, потому что условие, что А —теорема, зави-
сит от всех формул, которые могут встретиться в дока-
зательстве формулы А. При удовлетворительном решении
условия должны зависеть только от А и формул, тесно
связанных с А.
Если мы ищем решение проблемы характеризации, под-
ходящее для всех теорий, мы должны немного изменить
это требование. Будет ли А теоремой теории Т или нет,
очевидно, сильно зависит от нелогических аксиом тео-
рии Т. Поэтому мы должны ожидать, что условие,
согласно которому А —теорема теории Т, будет учитывать
не только А, но также и нелогические аксиомы теории Т.
Если эти нелогические аксиомы достаточно просты, то
это не должно создавать каких-либо неудобств. Для
теорий со сложными нелогическими аксиомами необходимо
отказаться от общих решений и искать решение, приспо-
собленное к частной теории.
Существуют несколько простых результатов, относя-
щихся к проблеме характеризации для различных теорий.
Чтобы рассмотреть их, введем некоторые понятия, кото-
рые часто применяются при изучении теорий.
з*
68
ГЛ. 4. ПРОБЛЕМА ХАРАКТЕРИЗАЦИИ
Язык первого порядка L' называется расширением
языка первого порядка L, если каждый нелогический :
символ из L является нелогическим символом из L'. :
(Учитывается соглашение из § 2.4 относительно применс- ।
ния нелогических символов в двух различных языках.) ;
Теория Т' называется расширением теории Т, если :
ЦТ') — расширение языка L (Т) и каждая теорема теории Т ’
является теоремой теории Т'. Ясно, что для последнего ,
необходимо и достаточно, чтобы каждая нелогическая
аксиома теории Т была теоремой теории Т', но не обя-
зательно, чтобы каждая нелогическая аксиома теории Т
была нелогичсской аксиомой теории Т'.
Консервативным расширением теории Т называется рас-
ширение Т' теории Т такое, что каждая формула теории
Т, являющаяся теоремой теории Т', также является тео-
ремой теории Т. Например, если мы получаем Т' из Т добав-
лением некоторых новых констант, то по теореме о констан-
тах Т' является консервативным расширением теории Т.
Теории Т и Т' называются эквивалентными, если
каждая из них есть расширение другой, т. е. если они
имеют одинаковый язык и одинаковые теоремы. Отсюда
следует, что эти теории являются консервативными рас-
ширениями одна другой. Если Т' является (консерватив-
ным) расширением теории Т, то любая теория, эквива- :
лентная Т', является (консервативным) расширением лю-
бой теории, эквивалентной Т.
Если Т' — консервативное расширение теории Т, то
формула теории Т является теоремой теории Т тогда
и только тогда, когда она является теоремой теории Т'\ :
таким образом, решение проблемы характеризации для Т'
дает решение аналогичной проблемы для Т. В частности, ’
если Т и Т' эквивалентны, то проблемы характеризации
для Т и Т' эквивалентны.
Если Г — множество формул теории Т, то пусть Т [Г] —
теория, полученная из Т добавлением всех формул из Г
в качестве новых нелогичсских аксиом.
Теорема редукции. Пусть Г — какое-то мно-
жество формул теории Т и А — некоторая формула тео-
рии Т. Тогда А является теоремой теории Г [Г] тогда
и только тогда, когда существует теорема теории Т
вида В^-ь-. ..-+Вп->- А, где каждое Bt есть замыкание
некоторой формулы из Г.
1.1. ТЕОРЕМА РЕДУКЦИИ
69
Доказательство. Если такая теорема теории Т
существует, то по теореме замыкания Bi..Вп и
. ,.~>Вп-+ А являются теоремами теории У [Г]; таким
образом, по правилу отделения А — теорема теории Г [Г].
Теперь предположим, что А имеет доказательство в Г [Г],
и пусть Bi, .... В,t — замыкания тех формул из Г, кото-
рые используются в доказательстве в качестве нелогиче-
ских аксиом. Применяя снова теорему замыкания, получим,
что А — теорема теории Т [Вь ..., В„]; следовательно, по
теореме дедукции BiВп->А — теорема теории Т.
Теорема редукции сводит проблему характеризации
для У [Г] к проблеме характеризации для Т. Далее, лю-
бая теория Т" есть У [Г], где Т получена из Т" опуска-
нием всех нелогических аксиом, а Г — множество нелоги-
ческих аксиом теории Т". Поэтому для того, чтобы решить
проблему характеризации для всех теорий, достаточно
решить ее для теорий, у которых нет иелогических
аксиом. Конечно, тогда решение для Т" зависит от нело-
гических аксиом теории Т'\ но мы уже видели, что это
неизбежно.
Теория Т называется противоречивой, если каждая
формула теории Т является теоремой теории Т\ в против-
ном случае Т называется непротиворечивой. Проблема,
будет Т непротиворечивой или нет, является специальным
случаем проблемы характеризации для Т. Это важно
потому, что, как мы увидим в следующем параграфе, Т не-
противоречива тогда и только тогда, когда она имеет модель.
Если для некоторой формулы А обе формулы А и "| А
являются теоремами теории Т, то Т противоречива; дей-
ствительно, каждая формула есть тавтологическое след-
ствие формул А и “| А. Мы часто будем молчаливо исполь-
зовать этот факт в рассуждениях о непротиворечивости.
Если Т' — расширение теории Т и Т' непротиворечива,
то Т непротиворечива; действительно, если А — любая
формула теории Т, то одна из формул А и "| А не
является теоремой теории Т' и, следовательно, не
является теоремой теории Т. Если Т' — консервативное
расширение теории Т, то Т' непротиворечива тогда
и только тогда, когда Т непротиворечива. Действительно,
если Т непротиворечива и А — формула теории Т, то
одна из формул А или “| А не является теоремой теории Т
и> следовательно, не является теоремой теории Т'.
70
ГЛ. 4. ПРОБЛЕМА ХАРАКТЕРИЗАЦИИ
Теперь переформулируем теорему редукции примени-
тельно к непротиворечивости.
Теорема редукции для непротиворечи-
вости. Пусть Г — непустое множество формул теории Т.
Тогда Т [Г] противоречива тогда и только тогда, когда
существует теорема теории Т, которая есть дизъюнкция
отрицаний замыканий различных формул из Г.
Доказательство. Если такая формула ~| Д1 V • • •
... V “| Ап существует, то каждая из Alt ..., Ап, ~| At V ...
... V ”1 Ап является теоремой теории У [Г]; следовательно,
по теореме тавтологии каждая формула есть теорема тео-
рии У [Г]. Теперь предположим, что Т [Г] противоречива,
и пусть В —любая формула теории Т. Тогда В&~\В —
теорема теории Т [Г]; следовательно, по теореме редукции
ГД1Д„-> В & 1 В, где каждое Дг- является за-
мыканием некоторой формулы из Г. Ясно, что можно
предполагать, что п>0 и что Д,- различны. По теореме
тавтологии имеем |— г ~1 Д1 V • • • V ”1 Ап-
Сл ед ств и е. Пусть Д' — замыкание формулы А. Тогда
А является теоремой теории Т тогда и только тогда,
когда 7'[“|Д'] противоречива.
Доказательство. По теореме 7'[“|Д/] противоре-
чива тогда и только тогда, когда 7“|_|Д,• По теореме
тавтологии и теореме замыкания это выполняется тогда
и только тогда, когда |— ТА.
4.2. Теорема полноты
Нашим первым решением проблемы характеризации
является результат, уже упоминавшийся в главе 2.
Теорема полноты, первая форма (Гёдель).
Формула А теории Т является теоремой теории Т тогда
и только тогда, когда А является истинной в Т.
Эта теорема имеет вторую форму, относящуюся к не-
противоречивости.
Теорема полноты, вторая форма. Теория Т
непротиворечива тогда и только тогда, когда она имеет
модель.
Вначале покажем, что из второй формы теоремы
полноты следует первая. Ввиду теоремы замыкания и ее
следствия достаточно доказать первую форму для замкну-
той формулы Д. По следствию к теореме редукции для
4.2. ТЕОРЕМА ПОЛНОТЫ
71
непротиворечивости А есть теорема теории Т тогда
и только тогда, когда Т [~| Л] противоречива. По второй
форме теоремы полноты это выполняется тогда и только
тогда, когда Т [1 Л] не имеет модели. Далее, так как Л
замкнута, то модель для 7'[“|Л] есть просто модель
для Т, в которой Л не является истинной. Следовательно,
А является теоремой теории Т тогда и только тогда,
когда Л является истинной в каждой модели теории Т.
Одна часть второй формы теоремы полноты следует из
теоремы истинности. Предположим, что Т имеет модель
Если Л — замкнутая формула теории Т, то (Л & ~| Л) =
-- Л; таким образом, Л & “| Л не является истинной в
и, следовательно, не является теоремой теории Т. Таким
образом, Т непротиворечива.
Дадим теперь доказательство Генкина другой части
второй формы теоремы полноты. Начнем с некоторых за-
мечаний о структурах и расширениях.
Предположим, что язык первого порядка L' является
расширением языка первого порядка L, и пусть —
структура для L'. Опуская некоторые функции и преди-
каты из р^', мы получим структуру оЛ для L. Мы
называем структуру сЛ обеднением структуры оЛ' до L
и обозначаем оЛ через	Мы также говорим, что
структура является обогащением структуры до L'.
Если является обогащением структуры q/Z до L',
то o/g и имеют одни и те же индивиды. Поэтому мы
используем одну и ту же константу в качестве имени
индивида а в L (а/?) и L'Легко проверить, что
(Л) = а/?'(Л) для каждой замкнутой формулы Л языка
L (&#). Отсюда и по следствию к теореме замыкания
получаем, что одни и те же формулы языка L являются
истинными как в а/?, так и в Отсюда и по теореме
истинности мы получаем следующий результат.
Лемма 1. Если Т' — расширение теории Т и —
модель для Т', то обеднение до ЦТ) является моделью
теории Т.
Возвращаясь к теореме полноты, мы сталкиваемся со
бедующей проблемой: как мы найдем модель для данной
непротиворечивой теории Т? Поскольку дана только тео-
рия, то мы должны строить нашу модель из синтакси-
ческих материалов. Далее, выражения теории Т, которые
обозначают отдельные индивиды, являются термами, сво-
72
ГЛ. 4. ПРОБЛЕМА ХАРАКТЕРИЗАЦИИ
бодными от переменных. Основная идея — взять эти термы
в качестве индивидов, и пусть теоремы говорят нам, что
будет истинным для этих индивидов. Фактически инди-'
видами будут множества термов, свободных от перемен-
ных; это необходимо, потому что теоремы теории могут
вынуждать два терма, свободных от переменных, пред-
ставлять один и тот же индивид.
Пусть Т — теория, содержащая константы. Определим
структуру которую мы называем канонической струк-
турой для Т. Если а и Ь — термы теории Т, свобод-
ные от переменных, то мы определяем а Ь, означающее
|— та = Ь. Имеем ' та = а и
Р та = Ь-> (а с<->Ь с)
по аксиомам тождества и теореме равенства. Следова-
тельно,
а^а и а ^- Ь-•>-(а ^- с < > Ь -^ с).
Полагая с равным а в последнем выражении и исполь-
зуя первое выражение, получаем
arb^b a.
Итак, является отношением эквивалентности.
Пусть ]	| — множество всех классов эквивалентности
по Класс эквивалентности, содержащий терм а, обо-
значим через а0. Мы полностью определяем структуру ,
полагая
А (а?.....а«) = (/»!•..ая)°,
• ••> ««) тогда и только тогда, когда ртрах...ап.
Мы должны показать, что правые части зависят
только от а], а не от at. Для этого предположим, что
аа1 = Ь" для /=1, ..., п. Тогда рг«/=&/; следовательно,
по теореме равенства имеем
р rftti... an=fbi... bn,
,;pa1...ar,‘>pb}...br,.
Итак,
(fa!.. .an)° = (fb1.. .bn)°
и
Р rptti •  a,i тогда и только тогда, когда трЬх.. .Ьп.
А это как раз то, что мы хотели доказать.
4.2. ТЕОРЕМА ПОЛНОТЫ
73
Теперь покажем, что
(а) = а°
(1)
для каждого терма а теории Т, свободного от перемен-
ных. Используем индукцию по длине а. Поскольку а
свободен от переменных, он должен иметь вид far...an.
Следовательно, применяя индуктивное предположение,
получаем
оЛ	(«1), • • •,	(ап))
а°п)=а°.
Отсюда следует, что если А — атомная формула, свобод-
ная от переменных, то (Л)---И тогда и только тогда,
когда тА. Действительно, для этого предположим,
что А есть ра^... ап, где р отлично от = . Тогда
(Л) = И	(«1)....(ап})
*+рл(а\......а'п)
л> [— тА.
Теперь предположим, что Л есть а = Ь. Тогда
(Л) = И <-> оД (а) = о.Д (Ь)
^а^Ь
*-* [— тА.
Мы показали, что атомная формула, свободная от
переменных, истинна в тогда и только тогда, когда
опа является теоремой. Это не обязательно верно для
всех замкнутых формул по двум причинам. Во-первых,
может оказаться, что термов, свободных от переменных,
недостаточно; может быть, существует теорема, которая
утверждает, что какой-то индивид имеет некоторое свой-
ство и не существует терма, свободного от переменных,
представляющего такой индивид. Во-вторых, теоремы
могут не определять истинность или ложность всех замк-
нутых формул; может быть, существует замкнутая фор-
мула Л такая, что ни Л, ни "| Л не являются теоремами.
Теперь мы введем некоторые допущения о теории Т,
которые устраняют эти трудности.
Теория Т называется теорией Генкина, если для
каждого замкнутого подтверждения ЗхЛ теории Т суще-
ствует константа е такая, что уЗхЛ -> Ах [е].
74
ГЛ. 4. ПРОБЛЕМА ХАРАКТЕРИЗАЦИИ
Формула А теории Т называется неразрешимой в Т,
если ни А, ни "| А не являются теоремами теории Т\
в противном случае А называется разрешимой в Т. Тео-
рия Т называется полной, если она непротиворечива
и каждая замкнутая формула теории Т разрешима в Т.
Это можно переформулировать так: Т~ полная теория,
если для каждой замкнутой формулы А теории Т в точ-
ности одна из формул А и “| А является теоремой теории Т.
Позднее мы изучим в деталях полные теории. Заме-
тим только, что неразумно требовать, чтобы каждая
формула была разрешимой. Например, ни х=^0, ни
не являются истинными для всех значений переменных;
следовательно, мы не должны надеяться, чтобы какая-
нибудь из них была теоремой.
Лемма 2. Пусть Т~ полная теория Генкина, о/Г —
каноническая структура для Т, А—замкнутая формула
теории Т. Тогда рЛ (А)=И тогда и только тогда,
когда А является теоремой теории Т.
Доказательство. Используем индукцию по вы-
соте А. Для атомных формул А результат уже был
доказан. Предположим, что А есть “| В. Тогда р/Г (Д) = И
тогда и только тогда, когда ааК(В) = Л; следовательно,
по индуктивному предположению тогда и только тогда,
когда В не является теоремой теории Т. Так как Т
полная, то это выполняется тогда и только тогда, когда А
является теоремой теории Т.
Предположим, что А есть В\/С. Если а# (Д) = И, то
р/Г (В) = И или рЛ (С) = И; следовательно, по индуктив-
ному предположению одна из формул В или С является
теоремой теории Т. По теореме тавтологии А — теорема
теории Т. Теперь предположим, что (Д)=Л. Тогда
р.Д (В) —	(С) = Л;
следовательно, ни В, ни С не являются теоремами тео-
рии Т. Ввиду полноты имеем | -Т~\В и г"! С; следова-
тельно, [—г“| Л по теореме тавтологии. Ввиду непротиво-
речивости теории Т формула А не является теоремой
теории Т.
Предположим, что А есть ЗхВ. Тогда a-f (4) = И
тогда и только тогда, когда (Bx[i]) = H для некото-
рого /. Каждое Z есть имя индивида а°. Так как р/Г (а)
= а°, то по лемме из § 2.5 следует, что (Вх [/]) =.
4,2. ТЕОРЕМА ПОЛНОТЫ	75
-  / (ВД«])- Следовательно, <?Л (Л)^И тогда и только
тогда, когда о/Г (Вх[а]) = И для некоторого терма а, сво-
бодного от переменных. По индуктивному предположению
это выполняется тогда и только тогда, когда ?Вх[а]
для некоторого терма а, свободного от переменных. По-
этому мы должны доказать, что это последнее условие
эквивалентно ТА. Вх[а]->-А есть аксиома подстановки;
следовательно, если	для некоторого а, то [—4
по правилу отделения. Теперь предположим, что А.
Так как Т — теория Генкина, то существует е такое, что
\ А-+Вх[е]; следовательно, |- Вх[е] по правилу отде-
ления.
Следствие. Если Т является полной теорией Ген-
кина, то каноническая структура для Т является моделью
теории Т.
Доказательство. Пусть А — нелогическая аксиома
теории Т, и пусть Д' - замыкание формулы А. Тогда
'—тА'; следовательно, А' является истинной в а/Г по
лемме; поэтому А является истинной в а/Г.
Наша следующая проблема — посмотреть, как получать
теории Генкина. Для этого введем некоторые определения.
Пусть L — язык первого порядка. Определим специаль-
ные константы уровня п индукцией по п. Предположим,
что специальные константы всех уровней, меньших п, уже
определены. Пусть ЗхА — замкнутое подтверждение, обра-
зованное из этих констант и символов языка L. Если
п>0, то предположим также, что ЗхА содержит по
крайней мере одну специальную константу уровня п— 1.
Тогда символ, состоящий из буквы с с нижним индек-
сом ЗхА, есть специальная константа уровня п, назы-
ваемая специальной константой для ЗхА.
Язык, полученный из L добавлением всех специальных
констант всех уровней, обозначим через Lc. Если ЗхА —
замкнутое подтверждение языка Lc, то в Lc существует
единственная специальная константа для ЗхА; ее уровень
есть наименьшее натуральное число, большее уровней
всех специальных констант, входящих в ЗхА. Мы исполь-
зуем г, s и t в качестве синтаксических переменных,
областью изменения которых являются специальные кон-
станты. Если г—специальная константа для ЗхА, то
Формула ЗхА -> Ах [г] называется специальной аксиомой
для г.
7G
ГЛ. 4. ПРОБЛЕМА ХАРАКТЕРИЗАЦИИ
Пусть Т — теория языка L. Обозначим через Тс тео-
рию, язык которой есть Lc и нелогическими аксиомами
которой являются нелогические аксиомы теории Т и спе-
циальные аксиомы для специальных констант из Lc. Оче-
видно, что Тс есть теория Генкина.
Лемма 3. Тс является консервативным расширением
теории Т.
Доказательство. Пусть Тг получается из Т до-
бавлением специальных констант (но не новых аксиом).
По теореме о константах Т' является консервативным
расширением теории Т; таким образом, достаточно будет
показать, что каждая формула А теории Т, являющаяся
теоремой теории Тс, есть теорема теории Т. По теореме
редукции получаем, что	.->Bk-> А, где
Вг, ..., Вк — различные специальные аксиомы. Теперь
применим индукцию по k. Если /г = 0, то нечего доказы-
вать. Пусть k > 0. Можно считать, что уровень специаль-
ной константы г, для которой Вг есть специальная
аксиома, по крайней мере такой же большой, как уровни
специальных констант, для которых В2, ..., Вк являются
специальными аксиомами. Тогда г не входит в В2,..., Вк
и, конечно, в А. Отсюда по теореме о константах сле-
дует, что если Bi есть ЗхС -> Сх [г] и у — новая пере-
менная, то
(-- тг (ЗхС —> Сх [_у]) —> В2 —>

Следовательно, по правилу 3-введения
Н т-By (ЗхС -> Сх [j]) -> в2 Bk -+ А.
Теперь по теореме о варианте Дт-'ЗхС->3_уСх[_у]; та-
ким образом, с помощью пренексных операций получаем
|—r'3j7 (ЗхС->Сх[у]). Следовательно, |-г,В2->...
по правилу отделения; таким образом, [- г-Л
по индуктивному предположению.
Теперь нам нужен метод для получения полных тео-
рий. Для этого нам будет нужен один результат из теории
множеств, который мы приведем без доказательства. (Набро-
сок доказательства см. в задаче 4 главы 9.)
Пусть Е — множество и пусть J — какой-то класс под-
множеств множества Е. Скажем, что J имеет конечный
характер, если для каждого подмножества А множества Е
множество Л принадлежит J тогда и только тогда, когда
4.2. ТЕОРЕМА ПОЛНОТЫ
77
каждое конечное подмножество множества А принадле-
жит J. Множество А в J называется максимальным эле-
ментом из J, если А не является подмножеством ника-
кого другого множества из J.
Лемма Тейх мюллера — Тью к и. Если J — непу-
стой класс подмножеств множества Е, имеющий конеч-
ный характер, то J содержит максимальный элемент.
Расширение Т' теории Т называется простым расши-
рением, если Т и Тг имеют один и тот же язык.
Теорема Линденбаума. Если Т — непротиворе-
чивая теория, то Т имеет полное простое расширение.
Доказательство. Пусть Е — множество формул
теории Т. Пусть J — класс всех подмножеств А множе-
ства Е таких, что Т [Л] непротиворечива. Покажем, что J
имеет конечный характер. Если А принадлежит J, то
каждое подмножество А' множества А находится в J, так
как Т[Л] является расширением теории Т[ЛЛ].
Предположим, что А не принадлежит J, так чтоТ[Л]
противоречива. Выберем формулу А теории Т и доказа-
тельства формул А и П А в Т [Л]. Пусть Л' —множество
формул из Л, которые используются как нелогические
аксиомы в этих доказательствах. Тогда Л' —конечное под-
множество из Л и, значит, Т [Л'] противоречива; следо-
вательно, Л' не принадлежит J.
Пустое множество находится в J; следовательно, по
лемме Тейхмюллера — Тьюки существует максимальный
элемент Л из J. Ясно, что Т [Л] — непротиворечивое про-
стое расширение теории Т; покажем, что оно полное. Мы
должны показать, что если А — замкнутая формула тео-
рии Т, которая не является теоремой теории Т [Л], то
ПЛ —теорема теории Т [Л]. Пусть А' получается добав-
лением П Л к Л. По следствию к теореме редукции для
непротиворечивости получаем, чтоТДЛ'] непротиворечива;
следовательно, А' принадлежит/. Ввиду максимальности Л
отсюда следует, что Л —Л'; таким образом, “| А принад-
лежит Л. Следовательно, ПЛ —теорема теории Г [Л].
Теперь легко доказать теорему полноты. Предположим,
что Т — непротиворечивая теория. Тогда по лемме 3
Тс— непротиворечивая теория. По теореме Линденбаума
существует полное простое расширение U теории Те. Так
как U — простое расширение теории Тс, то U сама яв-
ляется теорией Генкина. Следовательно, по следствию
78
ГЛ. 4. ПРОБЛЕМА ХАРАКТЕРИЗАЦИИ
к лемме 2 U имеет модель. Так как U — расширение тео-
рии Т, то Т имеет модель по лемме 1.
Комбинируя наши леммы, можно также получить один
результат, который будет полезен позднее.
Лемма 4. Пусть Т — теория и U — непротиворечи-
вое простое расширение теории Тс. Тогда U имеет модель оЛ
такую, что каждый индивид из orf есть (г) для беско-
нечного множества специальных констант г.
Доказательство. По теореме Линденбаума су-
ществует полное простое расширение U' теории U. По-
скольку U'— теория Генкина, то каноническая струк-
тура для U' есть модель теории U' и, следовательно,
по лемме 1 модель для U. По (1) каждый индивид а из orf
есть (а) для некоторого терма а, свободного от пере-
менных. По аксиомам тождества и теореме подстановки
получаем К Дх (лг=а); таким образом, если г—спе-
циальная константа для Эх (х='а), то	Отсюда
следует, что <?Л	=	(а) —а. Заменяя х другими пе-
ременными, мы можем найти бесконечно много других
специальных констант с тем же свойством.
Каждая форма теоремы полноты устанавливает экви-
валентность между некоторым синтаксическим понятием и
некоторым семантическим понятием. Из них можно полу-
чить много других таких же эквивалентностей. Дадим
один пример.
Следствие. Пусть Т и Т' — теории с одним и тем
же языком. Тогда Т есть расширение теории Т' тогда и
только тогда, когда каждая модель для Тг есть модель
для Т. Следовательно, Т и Т' эквивалентны тогда и
только тогда, когда они имеют одни и те же модели.
Доказательство. Условие необходимо ввиду
леммы 1. Если условие выполняется, то каждая формула,
истинная в Т, является истинной и в Т'; таким образом,
каждая теорема теории Т есть теорема теории Т' по пер-
вой форме теоремы полноты.
Укажем одно применение этого следствия. Как хорошо
известно, существует большое количество множеств аксиом
для групп, отличных от тех, которые мы формализовали в G.
Предположим, что мы формализуем одно из этих множеств
в теории G' с тем же языком, что и у G. Тогда G и G'
имеют одни и те же модели (а именно, группы) и, сле-
довательно, являются эквивалентными.
4.3. ТЕОРЕМА НЕПРОТИВОРЕЧИВОСТИ
79
4.3.	Теорема непротиворечивости
Проблема характеризации имеет дело только с конк-
ретными объектами. Решение проблемы характеризации,
данное с помощью теоремы полноты, использует, однако,
модели, которые являются абстрактными объектами. По-
этому естественно поискать финитное решение проблемы
характеризации для теорий. Мы дадим такое решение
в этом и следующем параграфе.
Теория называется открытой, если все ее нелогиче-
ские аксиомы открыты. В этом параграфе мы рассмотрим
специальный случай проблемы характеризации для тео-
рий, а именно, проблему непротиворечивости для откры-
тых теорий.
Пусть г—специальная константа для ЗхД. Формула
относится к г, если она является специальной аксиомой
языка L (Тс) для г или замкнутой аксиомой подстановки
вида Ах[а]-+ЗхА. Обозначим через А (Т) множество
всех формул теории Тс, которые относятся к специаль-
ным константам или являются замкнутыми частными слу-
чаями аксиом тождества, аксиом равенства или нелоги-
ческих аксиом теории Т.
Лемма 1. Если [- ТА и А' —замкнутый частный
случай формулы А языка L(TC), то А' есть тавтологи-
ческое следствие формул из А (Т).
Доказательство. Используем индукцию по тео-
ремам (в форме, описанной в § 3.1). Если А — аксиома
подстановки, то Д' —замкнутая аксиома подстановки и,
следовательно, принадлежит Д(Т). Если А является
аксиомой тождества, аксиомой равенства или нелогической
аксиомой, то ясно, что Д' принадлежит Д(Т). Если А —
тавтологическое следствие Въ ..., Вп, то Д'—тавтологи-
ческое следствие замкнутых частных случаев В\, ..., В'п
формул Bi, ..., Вп соответственно. По индуктивному пред-
положению В{, ..., В'п — тавтологические следствия фор-
мул из Д(Т); следовательно, такова же и Д'. Наконец,
предположим, что А есть ЗхВ->-С и А выводится из
В->С по правилу 3-введения. Тогда Д' есть ЗхВ' -> С'.
Если г — специальная константа для ЗхВ', то
—замкнутый частный случай формулы В-+С, и,
следовательно, по индуктивному предположению, есть
тавтологическое следствие формул из А (Т). Поскольку
80
ГЛ. 4. ПРОБЛЕМА ХАРАКТЕРИЗАЦИИ
Л'— тавтологическое следствие Bi [г] -> С и специаль-
ной аксиомы 3xB'->Bi[r], то А' есть тавтологическое
следствие формул из Д(Т).
Формула называется квазитавтологией, если она есть
тавтологическое следствие некоторых частных случаев
аксиом тождества и аксиом равенства.
Теорема непротиворечивости (Гильберт —
Аккерман). Открытая теория Т является противоречивой
тогда и только тогда, когда существует квазитавтоло-
гия, которая представляет собой дизъюнкцию отрицаний
некоторых частных случаев нелогических аксиом теории Т.
Доказательство. Предположим, что “]Аху...
. . .У"]А„ является такой квазитавтологией. Тогда все
Ах, ..., Ап и "| Аху.. .у “] А„ являются теоремами тео-
рии Т‘, следовательно, по теореме тавтологии Т противо-
речива.
Теперь предположим, что Т противоречива. Пусть г —
любая специальная константа в Тс. Тогда гфг есть
частный случай теоремы х-=^х теории Т\ следовательно,
по лемме 1 существуют формулы Ах, ..., А* из Д (Т)
такие, что формула АхAft->r^r является тав-
тологией. Поскольку г=г принадлежит Д(Т), можно
предположить, что это есть одна из Аг. Тогда ”] Аху ...
... V “] А/i — тавтология.
Рангом специальной константы для ЗхА называется
число вхождений 3 в формулу ЗхА; ранг по крайней
мере равен 1. Пусть Д„ (Т) — множество, полученное из
Д (Т) опусканием формул, относящихся к специальным
константам ранга, большего п. Таким образом, До (Т)
состоит из свободных от переменных частных случаев
аксиом тождества, аксиом равенства и нелогических аксиом
теории Т в языке L(TC).
Мы называем Ах, .... А1; специальной последователь-
ностью, если “| Ах\/.. .у П Ад, —тавтология; т. е. если
не существует истинностной оценки V такой, что V (А,)— И
для всех i. Мы уже видели, что существует специальная
последовательность, все формулы которой принадлежат
Д (Т) и, следовательно, все принадлежат Д„ (Т) для неко-
торого п. Предположим, что мы имеем специальную по-
следовательность формул из Д0(Т). Заменяя каждую спе-
циальную константу новой переменной, мы получаем спе-
циальную последовательность, формулы которой являются
4.3. ТЕОРЕМА НЕПРОТИВОРЕЧИВОСТИ
81
частными случаями аксиом тождества, аксиом равенства
и нелогических аксиом теории Т в языке L (Т). Если
Лх, Л^ — все частные случаи нелогических аксиом,
входящих в эту последовательность, то ясно, что "| Лх\/ ...
. ,.\/”]ЛА является квазитавтологией. Отсюда следует,
что доказательство сводится к доказательству следующей
леммы.
Лемма 2. Если п > 0 и существует специальная по-
следовательность, состоящая из формул, принадлежащих
Дя (Т), то существует специальная последовательность,
состоящая из формул, принадлежащих Д„_х (Т).
Доказательство. По предположению существует
специальная последовательность, состоящая из формул,
принадлежащих Д„_Х(Т), и формул, относящихся к спе-
циальным константам ранга п. Докажем заключение леммы
индукцией по числу этих констант ранга п. Если таких
констант нет, то доказывать нечего; поэтому мы предпо-
ложим, что существует по крайней мере одна такая кон-
станта. Пусть г —та константа, которая имеет наивысший
из возможных уровней, и пусть гх, ..., /^ — остальные
константы ранга п. Мы построим специальную последова-
тельность, состоящую из формул, принадлежащих Д„_Х(Т),
и формул, относящихся к гх, ..., /у, ввиду индуктивного
предположения доказательство теоремы будет завершено.
Пусть Лх, ..., Аг — все формулы из данной специаль-
ной последовательности, которые принадлежат Д„ х (Г)
или относятся к одной из констант гх, ..., rs. Пусть
остальными формулами из данной специальной последо-
вательности будут специальная аксиома ЗхВ-+ Вх[г]
для Г и формулы
Вх [«/]-> ЭхВ, f=l, . . ., р.
Покажем, что среди Лг нет формулы, содержащей вхож-
дения ЗхВ. Это сразу ясно в случае, когда Ai является
частным случаем аксиомы тождества, аксиомы равенства
ИЛИ нелогической аксиомы, так как тогда Лг открыта.
Предположим, что Л, является формулой НуС -> Су [$]
или Су [а]-> Ну С, относящейся к $. Поскольку ранг г
не меньше ранга $, то ЗхВ содержит не меньше вхож-
дений символа Н, чем НуС. Следовательно, ЗхВ не может
входить в Су [s] или в Су [а]. ЗхВ не может входить
82
ГЛ. 4. ПРОБЛЕМА ХАРАКТЕРИЗАЦИИ
в ЭуС, кроме случая, когда ЗуС есть ЗхВ. Но это не-
возможно, так как s отлично от г.
Если в нашей данной специальной последовательности
мы заменим каждое вхождение ЗхВ на то мы по-
лучим новую специальную последовательность. (Это сле-
дует из замечания в § 3.1.) Эти замены не затронут Дг.
При них ЗхВ-+ Вх[г] перейдет в тавтологию Я* [<]->-
-+Вх[г], а Вх [«/]-* Эх В — в Вх [at] Вх [г]. Отсюда
следует, что
А1} .Аг, ЯДО'+ЯИ''],	(1)
является специальной последовательностью.
Пусть для каждого выражения и языка L (Тс) выра-
жение получается из и заменой г везде (в том числе
и внутри нижних индексов у специальных констант) на а(.
Если Ci...... С/i — специальная последовательность, то
такова же и С{1}, .... (по тому же замечанию из § 3.1).
Применяя это к (1) и замечая, что	есть Вх[а,],
потому что г не встречается в В, получаем специальную
последовательность
Д1°_____ Д?’,
(2)
Теперь мы утверждаем, что последовательность, со-
стоящая из всех Ai и всех Д^’ (t = 1, ..., г;/ = 1, ..., р)
является специальной последовательностью. Для этого
предположим, что существует истинностная оценка V,
дающая значение И для всех этих формул. Согласно (2)
для каждого i оценка V будет давать значение Л неко-
торой формуле Вх [О/]и) -> Вх [aj. Таким образом,
V (Bx[at]) = JY для всех i; следовательно, V дает значе-
ние И каждой формуле Вх [оД -> Вх [г]. Это невозможно
по (1).
Теперь достаточно показать, что каждая Д/'* либо при-
надлежит Дд-1 (Т), либо относится к одной из констант
Гх, ..., rs. Если Д —частный случай аксиомы .тождества,
аксиомы равенства или нелогической аксиомы теории Т,
то такова же Д^. Теперь предположим, что Д; —пред-
ложение 3yC->C,[s] или	, относящееся к s.
Тогда Д^ есть
ЗуС^-+С{’} [s('>]
4.3. ТЕОРЕМА НЕПРОТИВОРЕЧИВОСТИ
83
или
[а^]->ЭуС<".
Поскольку s отлично от г, то ясно, что — специаль-
ная константа для ВуС(/\ Следовательно, ДР — предло-
жение, относящееся к Ясно, что s и имеют оди-
наковый ранг. Следовательно, если А{ относится к (Т),
то такова же и Д^’. Предположим, что s есть одно из
.....rs. Поскольку уровень г не меньше уровня s, то г
не входит в ЭуС и, следовательно, не входит в s. Зна-
чит, s(j?) есть 5 и относится к одной из констант
Комбинируя то, что ©С есть модель для теории
с теоремой полноты, получаем доказательство непротиво-
речивости теории АГ Теперь укажем, как можно пре-
вратить это доказательство в финитное доказательство
непротиворечивости теории АС Сначала заменим все инди-
виды из ©А'"' конкретными объектами. Для этого доста-
точно заменить натуральное число п выражением, состоя-
щим из п черточек. Затем замечаем, что если даются сво-
бодные от переменных терм а или формула Д, то мы в дей-
ствительности можем вычислить &^(а) или (Д). Отсюда
следует, что в некоторых случаях можно дать финитное
доказательство того, что некоторая открытая формула А
языка L (N) истинна в 4^, В частности, можно доказать,
что каждый частный случай нелогической аксиомы тео-
рии N является истинной формулой в и каждая от-
крытая квазитавтология является истинной в Теперь
ясно, что невозможно найти открытые формулы Аг.....Ап
такие, что все Аг,..., Ап и “] Д1 V V ”1 Д« являются
истинными в следовательно, по теореме непротиво-
речивости теория А/ непротиворечива.
Итак, мы имеем два доказательства непротиворечиво-
сти теории АГ одно финитное и одно нефинитное. Так
как финитное доказательство более длинное, то естествен-
но спросить: какие дополнительные выгоды мы можем
извлечь из финитного доказательства?
Прежде всего, как упоминалось ранее, финитные до-
казательства могут пролить свет на природу конкретного
и абстрактного. Например, финитное доказательство не-
противоречивости теории N показывает, что точка зрения
Гильберта на абстрактную математику, обсуждавшаяся
84
ГЛ. А. ПРОБЛЕМА ХАРАКТЕРИЗАЦИИ
в § 1.2, подходит для М. Можно считать, что формулы
теории N, свободные от переменных, выражают конкрет-;
ные результаты, а кванторы являются абстрактными по- :
нятиями, введенными для доказательства конкретных ре-
зультатов. Тогда наше доказательство непротиворечиво-
сти показывает, что любой такой конкретный результат
является правильным, т, е. что любая формула А,
свободная от переменных и доказуемая в N, является ;
истинной в В противном случае ""] А должна быть :
истинной в и вышеприведенное доказательство пока- '
зывало бы, что М[“]Л] непротиворечива, что противоре- *
чит следствию к теореме редукции для непротиворечиво- .
сти.
Далее, финитное доказательство часто дает больше
информации, чем абстрактное доказательство, просто по- .
тому, что ограничение финитными методами часто застав- ?
ляет пас доказывать больше, чем пужпо для того, чтобы :
получить требуемый результат. Например, паше абстракт-
ное доказательство непротиворечивости теории N основа-
но на доказательстве того, что каждая теорема теории N
является истинной. Так как истинность формулы теории N
не является финитным понятием, финитное доказатель-
ство должно доказывать нечто более сильное о теоремах
теории N. Если мы более внимательно проанализируем
доказательство, то найдем, что можно действительно по- :
строить формулу, которая является истинной, но не имеет
этого более сильного свойства. Таким образом, мы полу-
чаем истинную формулу теории М, которая не является
теоремой теории N. Мы не будем сейчас рассматривать
эту конструкцию, так как подобный результат про другую ;
теорию будет рассмотрен в главе 8.	i
4.4.	Теорема Эрбрана
Перейдем теперь к финитному решению проблемы ха-
рактеризации для теорий. Так как доказательство теоремы 1
редукции финитно, достаточно дать решение этой проб-
лемы для теорий, у которых нет нелогических аксиом. :
Ввиду результатов из § 3,5 достаточно дать решение для
формул в пренексной форме. Мы даже можем ограни- .
читься замкнутыми формулами в пренексной форме; это
следует из теоремы замыкапия и того, что замыкание ;
1/1. ТЕОРЕМА- ЭР15РАНА
85
формулы в пренексной форме находится в пренексной
форме.
Формула в пренексной форме называется экзистен-
циальной, если все кванторы в ее приставке являются
кванторами существования. Начнем с решения проблемы
характеризации для замкнутых экзистенциальных формул.
Лемма 1. Пусть Т — теория, не имеющая нелоги-
ческих аксиом. Замкнутая экзистенциальная формула А
является теоремой теории Т тогда и только тогда, когда
существует квазитавтология, являющаяся дизъюнкцией
частных случаев матрицы формулы А.
Доказательство. Предположим, что А есть 3X1...
. ..Зх„В, где Я—открытая формула. По следствию к тео-
реме редукции для непротиворечивости А является теоре-
мой тогда и только тогда, когда теория 7Д-] Д] является
противоречивой. Применяя пренекспые операции и теорему
замыкания, получаем, что теория 7Д“| Д] эквивалентна
теории Т[Й Я]. Следовательно, А является теоремой тогда
и только тогда, когда теория 7,[”|Я] противоречива.
По теореме непротиворечивости это выполняется тогда и
только тогда, когда существует квазитавтология-] “] Bi \j ...
... V 1 ”1 Вп, где каждое Bt есть некоторый частный слу-
чай формулы В. Поскольку “| П Я1 V ••• V ”11 Вп — квази-
тавтология тогда и только тогда, когда формула Bi V ...
... V Вп является квазитавтологией, мы получаем доказа-
тельство леммы.
Перед тем как дать полное решение проблемы харак-
теризации, мы вводим одно расширение Т'с теории Тс.
Под специальной аксиомой равенства мы понимаем формулу
Vx (Д B)-+r=s,
где г и s являются специальными константами для ЗхА
п ЗхВ соответственно. Мы получаем теорию Т'с из теории
Тс добавлением всех специальных аксиом равенства в ка-
честве новых нелогических аксиом.
Лемма 2. Теория Т'с является консервативным рас-
ширением теории Т.
Доказательство. Допустим, что Т [г1(..., гп] — тео-
рия, полученная из Т добавлением констант
специальных аксиом и специальных аксиом равенства, ко-
торые содержат только эти специальные константы. Как
и в доказательстве леммы 3 из § 4.2, всё сводится к
86
ГЛ. 4. ПРОБЛЕМА ХАРАКТЕРИЗАЦИИ
доказательству следующего: если уровень не превосходит
уровня г для i— то Т гп, г] является кон-
сервативным расширением теории T[t\.......гп]. Покажем,
что если формула А теории	г„] имеет доказа-
тельство в теории 7,[г1,..., гп, г], то формула А имеет такое
доказательство, которое не использует специальных ак-
сиом равенства, содержащих Г\ тогда мы можем завершить
доказательство леммы так же, как и в лемме 3 из § 4.2.
Заметим, что для каждой специальной константы, встре-
чающейся в левой части специальной аксиомы равенства,
существует специальная константа более высокого уровня,
встречающаяся в правой части. Отсюда следует, что спе-
циальная аксиома равенства в нашем данном доказатель-
стве формулы А может содержать г только в правой
части. Можно предполагать, что все эти аксиомы имеют
вид Vx (Я о С)->r=s; действительно, Vx (С *+ В) =
= г можно вывести из Vx (В<->	по теореме
эквивалентности. Можно также предполагать, что ни одна
из этих аксиом не имеет правую часть вида Г=Г; такую
аксиому можно было бы вывести из аксиом тождества.
Пусть Vx(fioC)->r=s является одной из этих спе-
циальных аксиом равенства в данном доказательстве фор-
мулы А. Пусть Т"—теория, полученная из 7'[г1,..., гп]
добавлением константы г и двух аксиом r=s и Vx(B*->
о С). Покажем, что А является теоремой теории Т'. Для
этого достаточно доказать в Т' все те нелогические ак-
сиомы из данного доказательства формулы А, которые
содержат г. Прежде всего мы можем вывести В^С и,
следовательно, Вх [г] о Сх [г] из аксиомы Vx(B^-C).
Из Вх [г] *-> Сх [г] и r—s мы выводим по теореме равен-
ства Вх [г] о Сх [$]• Затем мы можем по теореме эквива-
лентности вывести специальную аксиому 3xZ?->	[г]
для г из специальной аксиомы ЭхС -> Сх [$] для s. Те-
перь рассмотрим специальную аксиому равенства Vx(Z?o
«-* D) -*-r=t, входящую в данное доказательство фор-
мулы А. Мы можем вывести ее по теоремам эквивалентно-
сти и равенства из специальной аксиомы равенства Vx (С <->
о D)-+s = t (которая не содержит г).
Так как т>А, то по теореме дедукции и теореме о
константах следует, что формула
у Vx (Я о С) -> А
<4. ТЕОРЕМА ЭРБРАНА
87
является теоремой теории 7'[г1,..., Гп]. Подставляя s вместо
у и используя аксиомы тождества, получаем, что форму-
ла Ух(Я~С)->Д является теоремой теории T[rt........гп].
По теореме тавтологии отсюда следует, что П (Ух
о C)->r=s) ->Д доказуемо в T[r\,..., гп, г] без приме-
нения нелогических аксиом, содержащих г.
Теперь пусть Di,...,Dk — специальные аксиомы равен-
ства, содержащие г и используемые в данном доказатель-
стве формулы А. По теореме дедукции формула /?!->...
... -> Dk -> А имеет доказательство, не использующее спе-
циальные аксиомы равенства, содержащие г. Мы только
что показали, что каждая формула	также имеет
такое же доказательство. Таким образом, по теореме тав-
тологии и А имеет такое же доказательство.
Сделаем следующее замечание о теории Т'с. Пусть г —
специальная константа для формулы Зх”]Д. Тогда
Зх“| А -> “| Ах [г]—аксиома теории Т'с. Приводя левую часть
к пренексной форме и используя теорему тавтологии,
получаем
Нг,Дх[г]->УхД.	(1)
Теперь возвратимся к проблеме характеризации. Мы
свяжем некоторую замкнутую экзистенциальную формулу
Ан с каждой замкнутой формулой А, находящейся в пре-
нексной форме. Если А — экзистенциальная формула, то
Ан есть А. В противном случае А имеет вид Зхр...
... хпУуВ (пУ^О). Вводим новый л-арный функциональный
символ/, и пусть А* будет ЗхР.. Эхп By [Др.. хп]. Тог-
да А* имеет на один квантор всеобщности меньше, чем А.
Если Д* —не экзистенциальная формула, то строим Д**,
Д*** и т. д., пока не придем к экзистенциальной фор-
муле. Эта экзистенциальная формула и есть Ан.
Теорема Эрбрана. Пусть Т—теория, не имею-
щая нелогических аксиом и А — замкнутая формула тео-
рии Т, находящаяся в пренексной форме. Тогда А является
теоремой теории Т тогда и только тогда, когда сущест-
вует квазитавтология, являющаяся дизъюнкцией частных
случаев матрицы формулы Ан.
Доказательство. Пусть Т' получена из Т добав-
лением новых функциональных символов из Ан- Покажем,
что |— ТА тогда и только тогда, когда |—г-Д/л тогда по
лемме 1 будет сразу следовать теорема.
88
ГЛ. 4. ПРОБЛЕМА ХАРАКТЕРИЗАЦИИ
Применяя обозначения, используемые при определении
Ан, по теореме подстановки получаем |— т> Чу В -> By [fxt...
и, следовательно, по правилу дистрибутивности >
|—г'Л->Л*. Аналогично получаем |— г-Л*-> Л**,
Н Т’А** -> Л*** и т. д.; следовательно, |— т> А -> А}1.
Если |— ТА, то [—г'Л; следовательно, по правилу отделе-
ния |— r'Aff.
Доказывая обратное утверждение, для простоты пред-
положим, что А есть 3xVy3zVwB с открытой форму-
лой В. (Однако метод доказательства будет совершенно
общим.) Когда В записывается с квадратными скобками,
то подразумевается, что переменными в этих скобках яв-
ляются х, у, z, W. Поэтому можно А переписать в виде
3xV_y3zVw/? [х, у, z, w],
а формулой Aff будет
ЗхЗг/?[х, fx, z, g(x, г)].
Введем теперь следующее обозначение: если а и ft-
термы теории Т'с, свободные от переменных, тогда г (а) —
специальная константа для
З.у “| 3zVvuB [а, у, z, w]
и s (a, ft) — специальная константа для
3w "1 В[а, г (a), ft, w].
Из (1) и теоремы подстановки получаем в Т'с:
\- В[а, г (a),b, s (a, ft)] -> VwB[а, г (a), ft, ту],
|- VwB[a, г (a), ft, ту] ->ЗгУту/?[«, г (a), z, ту],
(-3zVzwZ?[a, г(а), z, ту] -> V_y3zVTy/?[«,_y, z, w],
pVy3zVwB \a,y, z, ту] -> Зх'УуЗгМшВ[x,у, z, w].
Следовательно,
r (a), ft, s (a, ft)]-> A.	(2)
Имеем также
a-=a'-^r{a) = r (a')	(3) ,
и
}-a = a'->6 = ft'->s(a, ft)--=s(a', ft')-	(4) ,
Чтобы доказать (3), используем специальную аксиому :
4.4. ТЕОРЕМА ЭРБРАНА
89
равенства
У.у (ПЗг V wB[a, у, z, w]< > | 3z^ wB[a', у, 2, w])->
->r(a)=r(a')
и теорему равенства. Чтобы доказать (4), используем (3),
специальную аксиому равенства
г (a), b, w]*+~lB[a', г (a'), b', w])->
->s(a, b)=s (a', b')
и теорему равенства.
Теперь предположим, что |— т'Ац. По лемме 1 суще-
ствует квазитавтология
B[at, falt blt gaJh] V • • • V B[an, fan, bn, ganbn], (5)
где at и bt — термы языка L(T'). Теперь изменим (5) сле-
дующим образом. Во-первых, заменим каждую перемен-
ную некоторой специальной константой. Затем выберем
часть вида fa или gab, где а и b не содержат f или g.
Если выбранная часть есть fa, то заменим ее везде
на г (а)\ если выбранная часть есть gab, заменяем ее
везде на $ (а, Ь). Продолжаем делать такие замены до тех
пор, пока мы не устраним все вхождения f и g. Полу-
чим окончательную формулу
B[a't, r(a't), b\, s(a[, &!)] V •••
... V В[а'п, г (а'п), b’n, s (а’п, Ь'п)]	(6)
теории Т'с. Покажем, что (6) является теоремой теории Т'с.
Тогда по (2) и теореме тавтологии получим, что А явля-
ется теоремой теории Т'с и, следовательно, по лемме 2
теоремой теории Т.
Формула (5) является тавтологическим следствием
частных случаев Сх, .... Сг аксиом тождества и равен-
ства. Если мы проделаем те же преобразования над
Сь ..., Сг, которые мы делали, чтобы получить (6) из (5),
мы получим формулы С\, ..., С г. По замечанию из § 3.1
формула (6) является тавтологическим следствием фор-
мул Ci, .... С'/, следовательно, нам нужно лишь дока-
зать формулу С'с в теории Т'с. Но Ci — снова частный слу-
чай аксиомы тождества или равенства, если только Ci
ие является частным случаем аксиомы равенства
х = х' ^fx fx’ или х = х' -+у=у' -+gxy = gx'y'.
В этом случае C'i является теоремой по (3) и (4). Это
завершает доказательство теоремы Эрбрана.
90
ГЛ. 4. ПРОБЛЕМА ХАРАКТЕРИЗАЦИИ
4.5.	Добавление функциональных символов
Существует такой тип рассуждений, часто используе-
мый в математике, который мы еще не рассматривали.
Для его иллюстрации допустим, что мы рассматриваем
натуральные числа, и доказали, что для каждого числа х
существует простое число у такое, что yz>%- В ходе
более позднего доказательства мы могли сказать: пусть у
будет простым числом таким, что	В оставшейся
части доказательства мы должны помнить, что у зависит
от х. Если мы желаем указать эту зависимость с помощью
какого-то обозначения, то вместо этого мы могли бы ска-
зать: для каждого х пусть f (х) будет простое число,
большее х. Конечно, f должен быть новым символом,
не встречающимся в том утверждении, которое мы хотим
доказать. Наш следующий результат показывает, что
аналогичный метод, примененный к теории Т, не приво-
дит нас к утверждениям, которые не могут быть дока-
заны в Т.
Теорема о функциональных расшире-
ниях. Пусть х, yt, ..., уп — различные переменные и
ЗхА — теорема теории Т, в которой нет свободных
переменных, отличных от ylt ...,уп. Пусть Т' —теория,
полученная из Т добавлением нового п-арного функцио-
нального символа f и новой нелогической аксиомы Ax[fyi...
. ...уД. Тогда теория Т' является консервативным расши-
рением теории Т.
Доказательство. Ввиду теоремы замыкания доста-
точно доказать, что каждая замкнутая формула В тео-
рии Т, являющаяся теоремой теории Т', является теоремой
теории Т. По теореме редукции существует доказатель-
ство (не использующее нелогических аксиом) формулы
^yi..^ynAx[fy1...yn]-^Cl-^...-^Ck-^B,	(1)
где каждое С; есть замыкание некоторой нелогической
аксиомы теории Т. Пусть С является пренексной
формой формулы	. -+Clt-+B. Тогда формула
является пренексной формой
формулы (1), и следовательно, эта формула доказуема
без нелогических аксиом.
Пусть D — формула .. Зуп УхС. Тогда D не
содержит f. Если мы используем f в качестве нового
4.0. ДОБАВЛЕНИЕ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ СИМВОЛОВ
91
функционального символа при образовании D*, как это
делалось в последнем параграфе, то D* есть
таким образом, D* доказуема без нелогических аксиом.
Так как Dri~ то же самое, что и Dh, то из теоремы
Эрбрана следует, что D также доказуема без нелогиче-
ских аксиом и, следовательно, есть теорема теории Т.
Отсюда и из теоремы эквивалентности получаем
\-тЗу1...Зуя Vx (ДЯ).
Поэтому с помощью пренексных операций получаем
тVyt... Vyn3xА -> Ci ->... -> Ck -> В.
Поскольку V yv... Vyn3xA, Clt..., Cfe — теоремы теории Т,
то по правилу отделения получаем, что Я —теорема
теории Т.
Формула называется универсальной, если она нахо-
дится в пренексной форме и все кванторы в ее приставке
являются кванторами всеобщности. Мы свяжем некоторую
замкнутую универсальную формулу Дз с каждой замкну-
той формулой Д, находящейся в пренексной форме.
Если Д — универсальная формула, то Д5 есть Д. В про-
тивном случае А имеет вид VXi... Vxn3yB (n>=0). Вво-
дим новый n-арный функциональный символ /, и пусть
4° будет Vxj,.. .VXnBylfXi... хп]. Тогда Д° имеет
на один квантор существования меньше, чем А. Если
Л° — не универсальная формула, то строим Д°°, Доо° и
т. д. до тех пор, пока не придем к универсальной фор-
муле. Это универсальная формула и есть Дз.
Применяя несколько раз теорему о функциональных
расширениях, получаем, что если А — замкнутая формула
в пренексной форме, являющаяся теоремой теории Т,
и если Т' получена из Т добавлением функциональных
символов из формулы Дз и новой нелогической акси-
омы Дз, то теория Т' является консервативным расши-
рением теории Т. Заметим также, что формула Дз->Д
доказуема без нелогических аксиом. Очевидно, для этого
Достаточно показать, что так может быть доказана
92
ГЛ. 4. ПРОБЛЕМА ХАРАКТЕРИЗАЦИИ
формула А° -> А. Теперь в вышеприведенных обозначениях
By [ Ai... х„] -> By в является аксиомой подстановки; еле-
довательно, по правилу дистрибутивности получаем
Д°->Д.
Теорема Скулема. Каждая теория имеет откры- .
тое консервативное расширение.
Доказательство. Пусть Т — теория. Пусть 7\
получена из Т заменой каждой нелогической аксиомы
на замыкание одной из ее пренексных форм. По § 3.5
и теореме замыкания 7\ эквивалентна Т. Далее, полу-
чаем Т2 из 7\ следующим образом: для каждой нелоги-
ческой аксиомы А теории 7\ добавим функциональные .
символы из Д.5 и добавим Дз в качестве новой аксиомы. 
Применяя предыдущие результаты и то, что любое дока-
зательство в Т2 может использовать только конечное
число новых функциональных символов и аксиом, видим,
что теория Т2 является консервативным расширением
теории 7\. Далее, получаем Т3 из Т2, отбрасывая нело-
гические аксиомы теории 7\. Поскольку Д5->Д дока-
зуема без нелогических аксиом, эти отброшенные аксиомы
доказуемы в Т3; следовательно, Т3 эквивалентна Т2.
Нелогические аксиомы теории Т3 являются универсаль-
ными формулами. Затем получаем Т4 из Т3 заменой каж-
дой нелогической аксиомы ее матрицей. Тогда А —откры-
тая теория и по теореме замыкания Т4 эквивалентна Т3,
а следовательно, теория Tt является консервативным рас- .
ширением теории Т.
Одним из приложений теоремы Скулема является полу-
чение финитного доказательства непротиворечивости для
теорий, не являющихся открытыми. Для такой теории Т
строим консервативное открытое расширение Т' теории Т 
и затем доказываем, что Т' является непротиворечивой -
теорией, с помощью метода из § 4.3. Если нелогические '
аксиомы теории Т достаточно просты, этот метод вполне ;
эффективен. Однако если теория Т имеет сложные нело-.
гические аксиомы, то теория Т может быть так сложна, 
что не существует модели теории Т', которую можно'
описать финитным образом; может случиться также, что
все такие модели так сложны, что обращаться с ними
неудобно.
1.6. РАСШИРЕНИЯ С ПОМОЩЬЮ ОПРЕДЕЛЕНИИ
93
4.6.	Расширения с помощью определений
Теперь перейдем к проблеме определения в теории
новых функциональных и предикатных символов. Для
иллюстрации проблемы предположим, что мы хотим ввести
< в jV. Мы можем сделать это с помощью соглашения,
что	является сокращением для a<Zb\J а = Ь.
Имеется одна трудность, которая состоит в том, что
тогда ==С является определяемым символом и поэтому
не является предикатным символом.
Более удовлетворительная процедура состоит в обра-
зовании расширения N' из N добавлением нового бинар-
ного предикатного символа ==С и новой аксиомы
^х<у V х=у.
Из этой новой аксиомы можно доказать
а<Ь<>а<Ь\/ а = Ь
по правилу подстановки, а затем мы можем применять
теорему эквивалентности для замены а^Ь на а<С
<Ь\/ а = Ь и наоборот.
Мы хотим показать, что переход от N к N' является
не более чем введением определяемого символа в N.
Чтобы сделать это строго, допустим, что А — формула
теории N'. Если мы считаем «с определяемым символом
в N, то А — определяемая формула теории N, которая
сокращает некоторую формулу Д* теории JV. Мы хотим
показать, что |— N>A тогда и только тогда, когда |—>уД*.
Теперь рассмотрим общую ситуацию. Мы имеем тео-
рию Т, различные переменные х5> ..., хп и формулу D
теории Т, в которой нет свободных переменных, отлич-
ных от Xi, .... хп, Образуем Т' из Т добавлением
нового n-арного предикатного символа р и новой нело-
гической аксиомы pxt... хп «-» D, которую мы называем
определяющей аксиомой для р.
Для данной формулы А теории Т' мы получаем фор-
мулу Д* теории Т, называемую переводом А в Т, сле-
дующим образом. Выбираем вариант D' формулы D,
в котором никакая переменная из А не является свя-
занной, и заменяем каждую часть pat...an из А на
....Хп [^1> • • • > &п]-
94
ГЛ, 4. ПРОБЛЕМА ХАРАКТЕРИЗАЦИИ
Некоторый произвол при выборе не страшен; при разных
выборах D' получаются различные ответы для Д*, но
эти ответы являются вариантами один другого.
Покажем теперь, что |— тА тогда и только тогда,
когда |— тА*. Для этого достаточно доказать, что
(i)	|-рД-*Д*;
(ii)	Т' является консервативным расширением теории Т.
Действительно, тогда по (i) тА в том и только в том
случае, когда |—?>Д*, и 'г-М* в том и только в том
случае, когда тА* по (ii).
Сначала докажем (i). Ввиду теоремы эквивалентности
достаточно показать, что (при вышеприведенных обозна-
чениях)
т'ра^...аГ1<> D'X1.Хп[«1, .... а„].
Это следует из определяющей аксиомы для р по теореме
о варианте и правилу подстановки.
Если Д —формула теории Т, то Д* есть А. Поэтому
для доказательства (ii) достаточно показать, что |—тД*
для каждой теоремы Д теории Т. Докажем это индук-
цией по теоремам (в форме, описанной в § 3.1).
Предположим, что Д —аксиома подстановки Вх[а]->-
->ЗхВ. Легко доказать индукцией по длине В, что
* есть	Значит, А* — аксиома подстановки
Вх [я] ЗхВ*. Если Д —аксиома тождества или аксиома
равенства, не содержащая р, то А* есть Д. Если А —
аксиома равенства
У1	• -+Уп =У'п ^РУг- Уп^РУ[  • -У»,
то Д* есть
Л =У'1 -^  ^Уп =^У'пD' [Ji,
Уп\^В'[у\, .... у'].
Она следует из следствия 2 к теореме равенства. Если
Д — нелогическая аксиома теории Т, то А* есть Д.
Если Д — определяющая аксиома для р, то А* есть
D' D, которая является теоремой по теореме о варианте.
Если Д — тавтологическое следствие Въ ..., Вп, то Д*
—’Тавтологическое следствие В*,..., В*', поэтому А* явля-
ется теоремой по индуктивному предположению и тео-
реме тавтологии. Если А есть ЗхВ-^С и выводится
из В-+С по правилу 3-введения, то А* есть ЗхВ*-+С*.
По индуктивному предположению имеем \— В* -+-С*, и
1.6. РАСШИРЕНИЯ С ПОМОЩЬЮ ОПРЕДЕЛЕНИИ
95
поскольку х не является свободной в С, то х не явля-
ется свободной в С*. Значит, |— ЗхВ* -^С* по правилу
3-введения.
Теперь допустим, что мы рассматриваем аналогичную
проблему для функциональных символов. Например,
предположим, что мы рассматриваем теорию, содержа-
щую •, индивиды которой являются положительными
действительными числами, и мы хотим определить функ-
цию извлечения квадратного корня У'~\ Мы могли бы
добавить в качестве нового унарного функциональ-
ного символа и добавить новую аксиому
y=Vх	-у=х.
Перед тем, как это сделать, мы могли бы доказать
в нашей теории, что каждый индивид имеет один и
только один квадратный корень, т. е. мы могли бы до-
казать
~1У (УУ=х)
и
у- у = х&.у’ -у’ = х-+у=у’.
Допустим, что все это сделано. Как можно перевести
формулу ...	., содержащую новый символ, в перво-
начальную теорию? Один путь —перевести эту формулу
следующим образом:
?У (у-у=х&...у...).
Теперь можно описать общую ситуацию. Мы имеем
теорию Т, различные переменные xt, ..., хп, у, у' и фор-
мулу D, в которой нет свободных переменных, отлич-
ных от хи ..., хп, у. Имеем
^T3yD	(1)
и
7/М.ОДУ]^.у=у.	(2)
Образуем Т" из Т добавлением нового и-арного функцио-
нального символа f и новой нелогической аксиомы
У — fxt...xn^D, которую мы называем определяющей
аксиомой для f. Мы называем (1) условием существования
и (2) условием единственности для /.
Теперь определяем формулу А* теории Т, соответ-
ствующую формуле А теории Т". Сделаем это только для
96
ГЛ. 4. ПРОБЛЕМА ХАРАКТЕРИЗАЦИИ
атомных формул А; в общем случае А* получается заме-
ной каждой атомной части В формулы А на В*. Наше
определение дается индукцией по числу вхождений f
в А. Если таких вхождений не существует, то Л* есть А.
В противном случае А может быть записано как
Вх [fill •  «я], где «1, ..., ап не содержат f и В — атом-
ная формула, содержащая на одно вхождение f меньше,
чем А. Выбираем вариант D' формулы D, в котором
никакая переменная из А не является связанной, и пусть
А* будет
Мы снова хотим показать, что т>А тогда и только
тогда, когда [-гЛ*. Снова достаточно доказать, что
(i) Нт'ЛоЛ*;
(И) теория Т является консервативным расширением
теории Т.
Достаточно доказать (i) для атомных А. Сделаем это
индукцией по числу вхождений / в А. Если таких вхож-
дений нет, то А *-» А* является тавтологией А *-» А.
Теперь предположим, что f входит в Л, и применим
вышеприведенные обозначения. Из определяющей аксиомы
для fi теоремы о варианте и правилу подстановки по-
лучаем
h z fib ...an<>D' [an ..., ап, z].
Следовательно, по теореме эквивалентности имеем
Н Sz (z=fai...an&B*)	А*.
Поскольку по индуктивному предположению \-В<->В*, то
Н Bz (z^fa^.. .ап& В) Л*;
следовательно, по следствию 3 к теореме равенства по-
лучаем
Вх [fai... ап]<> Л*.
т. е. |— Л «-» Л*.
Доказывая (ii), допустим, что Т" получена из Т
добавлением f и новой аксиомы
Dy [fi^-l •  •	(3)
По (1) и теореме о функциональных расширениях теория
Т" является консервативным расширением теории Т.
Поэтому достаточно доказать, что Т' и Т" эквивалентны.
4.6, РАСШИРЕНИЯ С ПОМОЩЬЮ ОПРЕДЕЛЕНИЙ
97
Можно доказать (3) в Т", подставляя fX!...xn вместо у
в определяющей аксиоме для f и применяя аксиомы
тождества. Теперь по теореме равенства получаем
НТ'У=fX! . . xn^(D< >Dy [fXj....хп]),	(4)
в то время как по (2) и правилу подстановки имеем
I- т-D & Dy [fxi ...хп] -+y=fx1 ...хп.	(5)
Из (3), (4) и (5) мы можем получить определяющую
аксиому для f по теореме тавтологии.
Замечание. Эквивалентность теорий Т" и Т" пока-
зывает, что мы могли бы с тем же успехом принять (3)
в качестве новой аксиомы. Поэтому мы иногда называем
(3) также определяющей аксиомой для f.
Особым случаем, часто встречающимся, является слу-
чай, когда D есть у = а, где а —терм, не содержащий
переменной, отличной от xlt , хп. Определяющая
аксиома для f (в виде (3)) тогда становится формулой
fxt.. .хп~а. В этом случае условия существования и
единственности всегда доказуемы. Условие существования
Зу(у=а) следует из а = а и аксиомы подстановки;
условие единственности
= а &у'~а->у=у'
следует из
у'=а^(у=у' *+у = а),
а это есть один из случаев теоремы равенства.
Скажем, что теория Т является расширением теории
Т с помощью определений, если Т' получается из Т с по-
мощью конечного числа расширений двух описанных ти-
пов. В этом случае мы имеем для каждой формулы А
теории Т' формулу Д* теории Т (перевод А в Т) такую,
что [~г'А тогда и только тогда, когда |— тА*. Кроме
того, теория Т' является консервативным расширением
теории Т; следовательно, Т" непротиворечива тогда и
только тогда, когда Т непротиворечива.
Теперь предположим, что теория Т' является расши-
рением теории Т с помощью определений и а# — модель
теории Т. Мы утверждаем, что существует единственное
обогащение orf' модели , являющееся моделью теории
Т'. Ясно, что достаточно это проверить, когда Т' содер-
жит только один нелогический символ, не содержащийся
4 Дж. Шенфилд
98
ГЛ. 4. ПРОБЛЕМА ХАРАКТЕРИЗАЦИИ
в Т. Если этот символ есть предикатный символ р с оп-
ределяющей аксиомой
рхг... хп о D,
то
P^’{aV • • • »	• • • ’ Zn]) = И,
где Zt,..., in — имена для alt ...,ая. Если новый символ
есть функциональный символ / с определяющей аксио-
мой fxt.. .хп=у <-> D, то /л'(^i. ..., ап) есть единствен-
ное b такое, что
<s^ (Dxv , хп, y[ij, • • , in, j]) = И,
где 4,..., in, J—имена для ап, b. То, что такое
b существует и единственно, следует из того, что усло-
вия существования и единственности для f являются
истинными в orf.
4.7.	Интерпретации
До сих пор все структуры описывались на русском
языке. Мы могли бы, конечно, перевести целиком всё
описание на любой язык, в котором существует достаточ-
ная теоретико-множественная система обозначений для
рассмотрения функций, предикатов и т. д.
Однако если мы хотим изучать лишь какую-нибудь
частную структуру orf для L, то необязательно иметь
такой богатый язык. Достаточно иметь язык L', который
имеет какой-то символ для универсума и какие-то
символы для каждой функции и предиката из orf. Это
приводит к одной незначительной трудности: функции
и предикаты, обозначенные символами из L', используют
все индивиды из L' в качестве своих значений аргумен-
тов, хотя функции и предикаты из orf используют в ка-
честве значений своих аргументов только индивиды из оЛ.
Эта трудность преодолевается, если разрешить символу
из L' обозначать любую функцию (или предикат), кото-
рая (ый) является расширением функции (или предиката)
из ez^.
Пусть L и // — языки первого порядка. Интерпрета-
ция I языка L в языке L' состоит из
(i)	унарного предикатного символа Uj из L', называе-
мого универсумом для I;
4,7, ИНТЕРПРЕТАЦИИ
99
(ii)	/г-арного функционального символа ft из L' для
каждого /г-арного функционального символа f из L\
(iii)	/г-арного предикатного символа pi из L' для каж-
дого /г-арного предикатного символа р из L, отличного
от =.
Интерпретацией языка L в теории Т" называется ин-
терпретация I языка L в языке L (Т') такая, что
\~T'3xUjX	(1)
и
T’UJxl^...^UIxn^UJfIxl...xn	(2)
для каждого f из L. Первое условие требует, чтобы уни-
версум был непустым; второе условие требует, чтобы fj
представляло функцию, ограничение которой до универ-
сума для I принимает значения в универсуме для I. (Оба
условия (1) и (2) выполняются при любом наборе пере-
менных; ясно, что если (1) выполняется для одного х и
если для каждого f выполняется (2) для одного набора
xlf...,xn различных переменных, то (1) и (2) выполня-
ются при любом выборе переменных.)
Пусть / — интерпретация языка L в языке L'. Будем
определять для каждой формулы А языка L формулу Д{/)
языка L', называемую интерпретацией формулы А с по-
мощью I, означающую, что А является истинной в рас-
сматриваемой структуре. Допустим, что Ду —формула язы-
ка L', полученная из Д с помощью двух следующих
шагов:
(а)	заменяем каждый нелогический символ и на U[\
(б)	заменяем каждую часть ЗхВ на Зх (UiX & В).
Тогда Д<;> есть
UiXi-^ ...—> UiXn-± А/,
где xlt хп — все переменные, свободные в А (и, зна-
чит, в Ду), взятые в алфавитном порядке. Если а — терм
языка L, то пусть «у обозначает терм, полученный из а
с помощью правила (а), данного выше.
Теперь можно определить понятие, в данной ситуации
соответствующее модели. Интерпретацией теории Т в тео-
рии Т называется интерпретация / языка L(T) в теории
Тг такая, что ^-7'Д(/) для каждой нелогической аксиомы
Д теории Т.
Наш следующий результат является аналогом теоремы
истинности в данной ситуации.
4*
100
ГЛ. 4. ПРОБЛЕМА ХАРАКТЕРИЗАЦИИ
Теорема об интерпретации. Если I является
интерпретацией .теории Т в теории Т', то [— для
каждой теоремы А теории Т.
Доказательство. Нам нужны два предваритель-
ных результата. Во-первых, если а —терм теории Т и
Xi, ..., хЛ — все переменные из а, то
Н Ufa ... -> Ufa Uiah	(3)
(Здесь й в последующем [— означает (—т'-) Доказатель-
ство (3) проводится индукцией по длине а с использова-
нием (2). Оставляем детали читателю.
Второй предварительный результат состоит в том, что
если среди хг, .... хп имеются все переменные, свобод-
ные в А, и если
\-Ufa-+...^Ufa-+Ah	(4)
то [— Из (4) по теореме тавтологии получаем
^Ufa^...^Ufa-+AW,	(5)
где у1г ..., yk — различные переменные, не свободные
в А, и, значит, не свободные в Применяя правило
3-введения к (5) и затем используя (1) и правило отде-
ления, получаем
Далее просто повторяем этот шаг k — 1 раз.
Докажем теперь теорему об интерпретации индукцией
по теоремам теории Т (в виде, описанном в § 3.1). Пред-
положим, что А— аксиома подстановки Вх[а]->ЗхВ и
у1г Уь~ переменные, отличные от х, свободные в В
и а. По (3) имеем
Н Ufa Ufa -> Uiah
По теореме подстановки получаем
Н (U[ai & (Я/)х [aj) Зх (UjX & В/}.
Из этих результатов по теореме тавтологии получаем
Н Ufa Ufa	(В{)х [а{]	Зх (U[X & Bi},
т. е.
Н Ufa-+	Ufa-*-Ai.
4.7. ИНТЕРПРЕТАЦИИ
101
Следовательно, |— Л(/> по второму предварительному
результату.
Если Д —аксиома тождества или равенства, то такова
же и Ар, следовательно, |— А/ и, значит, Д<;>. Если
Д — нелогическая аксиома, то Д(/) по предположению.
Предположим, что А — тавтологическое следствие фор-
мул By, ..., Bk. По замечанию из § 3.1 А/ — тавтологи-
ческое следствие формул (By)i,(Bk)i. Отсюда следует,
что если хх, .... хп — все переменные, свободные в А,
Blt..., Bk, то (4) есть тавтологическое следствие фор-
мул В^\ .... яр. Следовательно, (— Д<;> по индуктив-
ному предположению, теореме тавтологии и второму пред-
варительному результату.
Предположим, что А есть ЗхВ-*-С и выведено из
В^С по правилу 3-введения. Пусть хг, ..., хп — все
переменные, свободные в Д. Тогда х отлично от X/.
По индуктивному предположению и теореме тавтологии
получаем
Н UiXy	UyXn UyX -^Ву^ Ci.
Следовательно, по теореме тавтологии и правилу 3-вве-
дения получаем
I- Зх (UiX & Bi) -> UiXy	UiXn -> Ci,
из которой по теореме тавтологии следует Д<;).
Следствие. Если I — интерпретация теории Т
в теории Т и Т является непротиворечивой, то Т явля-
ется непротиворечивой.
Доказательство. Предположим, что Т является
противоречивой, и пусть Д—некоторая замкнутая фор-
мула теории Т. Тогда |-тА и |-т~|Д. Поскольку (П Д)(/)
есть ПД(/), то Д(/) и “1 Д{/) являются теоремами теории
Тг, что противоречит непротиворечивости теории Т.
Так как доказательство теоремы об интерпретации
финитно, то мы можем использовать это следствие для
финитных доказательств непротиворечивости.
При образовании Д/ и Д<7) мы предполагали, что
определяемые символы устранены. Однако ясно, что необя-
зательно устранять & и <-». Если А содержит часть
vxB, то она превращается в ПЗхПЯ при устранении V
и» значит, дает часть
1 Зх (£Дх & 1 В)
102
ГЛ. 4. ПРОБЛЕМА ХАРАКТЕРИЗАЦИИ
в А/ и . По теореме тавтологии и теореме эквива-
лентности эта часть эквивалентна
1 Зх 1 (U/X-+B),
т. е.	Следовательно, мы можем просто
заменить часть УхЯ на Vx(U/X^B).
Пусть I — интерпретация теории Т в теории Т и U —
расширение теории Т с помощью определений. Мы соби-
раемся показать, что при подходящих предположениях I
может быть расширена до интерпретации теории U в рас-
ширении теории Тг с помощью определений.
Сначала предположим, что U получается из Т добав-
лением нового предикатного символа р с определяющей
аксиомой
РХ!... хп <> D.	(6)
Строим расширение U' теории Т с помощью определений,
добавляя новый предикатный символ р' с определяющей
аксиомой
p Xi ...хп <>/),.	(7)
Затем расширяем I, полагая, что есть рг. Чтобы убе-
диться, что I является интерпретацией теории U в тео-
рии U', мы должны доказать, что интерпретация формулы
(6) выводима в U'. Эта интерпретация есть формула
UiXr Utxn (p'Xi ...xn^Di)
и, значит, выводима из (7).
Когда мы действуем с функциональными символами,
появляется одна новая проблема. Если /есть новый функ-
циональный символ в расширении теории Т с помощью
определений, то / обозначает единственную функцию на
универсуме нашей модели, и мы должны расширить эту
функцию до универсума теории Т'. Наше решение этой
проблемы состоит в том, что мы выбираем индивид из Т'
и считаем его значением функции для всех новых мно-
жеств аргументов.
Поэтому предположим, что некоторая константа е
в Тг фиксирована. Пусть U получена из Т добавлением
нового функционального символа / с определяющей ак-
сиомой
fx1...xn=y^D.
(8)
ЗАДАЧИ	ЮЗ
Строим расширение U' теории Т с помощью определений,
добавляя новый функциональный символ f с определяю-
щей аксиомой
fXi    хп—у {U[Xi & ... & UiXn &D/& Uiy)
\J^(Ulx1&...&UIxn)&y = e).	(9)
Легко проверить, что условия существования и единст-
венности для f следуют из интерпретаций условий суще-
ствования и единственности для f. Мы снова расширяем I,
полагая, что /у будет f. Мы должны тогда доказать
IhXi	U[Xn UifXr ...хп.
Это следует из (9). Интерпретация формулы (8) есть фор-
мула
U/Xi	... -> U/Xn	U/у	(fxj. ...хп=у ++ D/),
которая также следует из (9).
Скажем, что Т интерпретируема в Тг, если сущест-
вует интерпретация I теории Т в некотором расширении
теории Тг с помощью определений. Из следствия к тео-
реме об интерпретации мы видим, что если Т интерпре-
тируема в Т и Т' является непротиворечивой, то Т явля-
ется непротиворечивой. (Доказательство этого факта пол-
ностью финитно.) Ввиду вышеприведенного рассуждения
мы видим, что если теория Т интерпретируема в теории
Т и если в Т или в расширении теории Т с помощью
определений существует некоторая константа, то каждое
расширение теории Т с помощью определений интерпре-
тируемо в теории Г.
Задачи
1.	Доказать теорему Линденбаума для теории Т, имеющей только
счетное число нелогических символов, не применяя лемму Тейхмюл-
лера — Тьюки. [Показать, что существует только счетное число фор-
мул теории Т- Если А1г А2, ... — все замкнутые формулы, выберем
индуктивно так, что В/ есть либо 4/, либо А/ и Т [fij, В/]
непротиворечива. Добавим все В/ к Т в качестве новых аксиом.]
2.	Пусть/. — язык первого порядка, содержащий константу. Мно-
жество Г формул языка L свободных от переменных, называется
тавтологически противоречивым, если существует квазитавтология,
которая представляет собой дизъюнкцию отрицаний предложений
из Г; в противном случае Г называется тавтологически непротиво-
речивым. Если Г является тавтологически непротиворечивым и для
104
ГЛ. 4. ПРОБЛЕМА ХАРАКТЕРИЗАЦИИ
каждой формулы А, свободной от переменных, либо А, либо “] А
принадлежит Г, то Г называется тавтологически полным.
(а)	Показать, что каждое тавтологически непротиворечивое мно-
жество является подмножеством тавтологически полного множества.
[Показать, что любое максимальное тавтологически непротиворечивое
множество является тавтологически полным, и использовать лемму
Тейхмюллера — Тьюки.]
(б)	Показать, что если Г является тавтологически полным, то
существует структура для L такая, что каждая открытая фор-
мула А является истинной в тогда и только тогда, когда каж-
дый частный случай формулы А, свободный от переменных, принад-
лежит Г. [Выбрать подобно канонической структуре для теории,
заменив множество теорем теории множеством Г.]
(в)	Используя (а), (б) и теорему Скулема, дать новое доказа-
тельство теоремы полноты.
(г)	Используя (а), (б) и теорему полноты, дать новое доказа-
тельство теоремы непротиворечивости.
3.	(а) Пусть язык L (Т') является расширением языка L (Т).
Показать, что теория Т' является расширением теории Т тогда и
только тогда, когда обеднение до L (Т) каждой модели теории Т'
является моделью теории Т.
(б)	Показать, что если теория Т' является расширением теории Т
и каждая модель теории Т имеет обогащение, являющееся моделью
теории Т', то теория Т' является консервативным расширением теории Т-
4.	(а) Доказать теорему о функциональных расширениях посред-
ством моделей. [Использовать 3(6).]
(б)	Используя лемму 1 из § 4.4 и (а), дать новое доказательство
теоремы Эрбрана.
5.	Пусть Г —множество формул языка L и Ж (Г) — множество
отображений из Г в множество истинностных значений. Мы рассмат-
риваем Ж (Г) как произведение пространств ТА, где_каждое Т А
лег
есть множество истинностных значений. Если мы наделяем каждое
ТА дискретной топологией, то по теореме Тихонова £ (Г) становится
компактным хаусдорфовым пространством. Пусть ЖЖ (Г) — множество
таких V из Ж (Г), что V (~| Л) = Я-| (У (Л)), как только А и "] А при-
надлежат Г, и V (Л \/В) = Ну (У (Л), V (В)), как только Л, В и
A\JВ принадлежат Г.
(а)	Показать, что для любой формулы Л из Г множество таких
V из £ (Г), что V (Л) = И, является открытым и замкнутым.
(б)	Показать, что пространство Ж® (Г) является замкнутым в Ж (Г)
и, следовательно, компактным. [Использовать (а).]
(в)	Используя (а) и (б), дать новое решение задачи 2(a). [Ис-
пользовать свойство центрируемое™.]
6.	Дизъюнкты формулы А определяются индукцией по длине А
следующим образом: если А не является дизъюнкцией, то единст-
венным дизъюнктом формулы А является сама А; если А есть В\/ С,
то дизъюнктами формулы А являются дизъюнкты формулы В и
дизъюнкты формулы С.
Пусть Т — некоторая теория, и пусть Т' будет следующей фор-
мальной теорией. Языком теории Т' является язык теории Т- Аксио-
ЗАДАЧИ
105
мами теории Т' являются аксиомы тождества, аксиомы равенства,
нелогические аксиомы теории Т и все формулы “| А V А, где А —
атомная формула. Правилами теории Т' являются:
(i)	V-правило: В следует из А, если каждый дизъюнкт формулы А
является дизъюнктом формулы В;
(ii)	"[^-правило: Ц А\/В следует из А\/В\
(iii)	-правило: ~\(A\JB)\IC следует из ~ДВ\[С и “] А \/С;
(iv)	3-правило: ЗхА\/В следует из Ах [aJV^J
(v)	~] Ч-правило: “| 4xA\fB следует из “| А\/В при условии,
что х не является свободной в В;
(vi)	правило сечения.
Показать, что теории Т и Тг имеют одни и те же теоремы.
7.	Пусть теории Т и Т' такие же, как в задаче 6. Пусть L'
будет языком, полученным из языка L добавлением бесконечного
числа новых констант. Пусть U будет следующей формальной систе-
мой. Язык системы U есть L'. Аксиомы системы U являются замк-
нутыми частными случаями языка L' аксиом теории Т'. Правила
системы U те же, что и правила теории Т', за исключением того,
что в каждом правиле требуется, чтобы посылки и заключение были
замкнутыми формулами, а также “| П-правило исправлено следую-
щим образом: “| 3xA\JВ следует из “| Ах [е] \/В при условии, что е
есть новая константа, которая не встречается в “]ЭхА\/5. Пока-
зать, что каждый замкнутый частный случай языка L' теоремы тео-
рии Т есть теорема системы U.
8.	Пусть Т — открытая теория, a U такая же, как в задаче 7.
Систему и' получаем из системы U заменой правила сечения на
слабое правило сечения: В\/С следует из A\Z-Sh~|A\/C при усло-
вии, что А свободна от переменных (а В и С замкнуты). Формула А
системы 17' называется секущей формулой, если для каждой пары
замкнутых формул В и С таких, что \-ц,А\/В и Ну, 1 А\/С, мы
имеем l~u’B VС.
(а)	Показать, что если Ну,А и ех, ..., еп — новые константы,
то существует доказательство А в U' такое, что
(i)	каждая формула в доказательстве, за исключением последней,
используется ровно один раз в качестве посылки правила для вывода
последующей формулы;
(ii)	если “] Э-правило используется для вывода “| ЗхВ\/С из
~]вх иус, то е не является одной из ev ... , е
(б)	Показать, что если l-^А и А' получается из А заменой
везде новой константы е термом а, свободным от переменных, то
Ну,Д'. [Использовать (а).]
(в)	Показать, что если формула А не является свободной от
переменных и 11 А\/В, то \-ц,А\/В. [Начать с доказательства
11 А\/В, данного по (а). В каждой формуле этого доказательства
заменить Ц А в некоторых местах, где эта формула встречается как
дизъюнкт, на А.] Затем показать, что если А—секущая формула,
то и А — секущая формула.
(г)	Показать, что если А\/В не является свободной от перемен-
ных и Ну, 1 (AVfl)Vc> то Ну, 1AVC и Ну,15\/С- [Подобно
106
ГЛ. 4, ПРОБЛЕМА ХАРАКТЕРИЗАЦИИ
(в).] Вывести, что если А и В являются секущими формулами, то
Д\/Я —секущая формула.
(д)	Показать, что если нц, “| 3хА VС и е — новая константа, не
встречающаяся в ВхД\/С, то \-ц, “| Ах [е]\/С. [Подобно (в).]
(е)	Показать, что если Ах [а] является секущей формулой для
каждого терма а, свободного от переменных, то ВхД является секу-
щей формулой. [Предположим, что Ь-у/ЗхД\/^ и ЗхА\/С.
Начать с доказательства ЗхА\/В, как описано в (а), и заменить
подходящие вхождения ЗхА на С. Использовать, что если Ну, Ах [а] V
\/D, то \-u,C\!D по (д) и (б).]
(ж)	Показать, что каждая теорема системы U есть теорема си-
стемы U'. [Использовать (в), (г) и (е) для доказательства того, что
каждая замкнутая формула является секущей формулой.]
(з)	Используя (ж) и задачу 7, дать новое доказательство теоремы
непротиворечивости. [Заметим, что доказательство формулы системы
U', свободной от переменных, удовлетворяющее (а), может не содер-
жать кванторов.)
9.	Пусть Т — открытая теория и А — формула теории Т, нахо-
дящаяся в пренексной форме. Показать, что НГД тогда и только
тогда, когда существует дизъюнкция частных случаев матрицы, кото-
рая является тавтологическим следствием частных случаев аксиом
тождества, аксиомы равенства и нелогических аксиом теории Т-
[Использовать теорему редукции и теорему Эрбрана.]
10.	Показать, что если А есть теорема теории Т, то существует
доказательство формулы А, в котором не встречаются нелогические
символы, за исключением тех, которые есть в А и в нелогических
аксиомах теории Т. [Использовать теорему редукции и теорему
Эрбрана.]
11.	Пусть А — открытая формула и п— число термов, входящих
в А. Показать, что А является квазитавтологией тогда и только
тогда, когда А является истинной в каждой структуре, имеющей не
более п индивидов. [Показать, что мы можем предполагать, что А
свободна от переменных. Если А не является квазитавтологией, то
получить структуру в которой А не является истинной, с по-
мощью конструкции, подобной той, которая применяется для пост-
роения канонической структуры для теории, заменяя теоремы теории
на формулы, которые имеют значение И при подходящей истинност-
ной оценке.]
12.	Теории Т и Т’ называются слабо эквивалентными, если неко-
торое расширение теории Т с помощью определений эквивалентно
некоторому расширению теории Т' с помощью определений.
(а)	Показать, что для каждой теории Т существует теория Т',
не содержащая функциональных символов, слабо эквивалентная тео-
рии Т- [Получить расширение U теории Т с помощью определений,
добавляя для каждого f в Т предикатный символ р с определяю-
щей аксиомой рх1 ... ХпУ^/Хг ... х„=у. Выбрать теорию Т' так,
чтобы у=/Х1 ... хп~~*pxi ... ХпУ могло быть использовано как опре-
деляющая аксиома для /.]
(б)	Показать, что если Т является открытой теорией, то суще-
ствует теория Т', слабо эквивалентная теории Т, такая, что Т' не
содержит функциональных символов и нелогические аксиомы тео-
ЗАДАЧИ
107
рии Т' являются экзистенциальными. [Подобно (а).] Если Т имеет
только одну нелогическую аксиому, то показать, что Т' может быть
выбрана так, что она имеет только одну аксиому.
(в)	Формула А называется выполнимой в А, если А является
истинной в некоторой модели, имеющей А своим универсумом. Фор-
мула находится в скулемовской форме, если она находится в пре-
нексной форме, не содержит функциональных символов и все ее
кванторы всеобщности предшествуют кванторам существования. Пока-
зать, что для данной формулы А можно построить замкнутую фор-
мулу В в скулемовской форме такую, что А выполнима в А для
каждого А тогда и только тогда, когда В выполнима в А. [Исполь-
зовать (б).]
13.	Пусть L — язык первого порядка.
(а)	Пусть — структура для L, имеющая конечное число инди-
видов, и Q—конечное множество нелогических символов языка L.
Предположим, что нам дано оД (а) для каждого терма а вида
... in, где f принадлежит Q, и (Д) для каждой формулы А
вида plj ... in, где р принадлежит Q. Показать, что можно вычис-
лять М) для каждой замкнутой формулы языка L (Д), все нело-
гические символы которой принадлежат Q.
(б)	Показать, что для данной формулы Д языка L и любого
числа п можно решить, будет ли А истинной в каждой структуре
для L, имеющей п индивидов.
(в)	Предположим, что Д—экзистенциальная формула языка, не
содержащая функциональных символов, отличных от констант. Пока-
зать, что если А не является логически истинной, то существует
структура, в которой А не является истинной, имеющая не более п
индивидов, где п—число переменных и констант в А.
(г)	Показать, что для данной экзистенциальной формулы Д, не
содержащей функциональных символов, отличных от констант, можно
решить, будет А логически истинной или нет. [Использовать (б)
и (в).]
ГЛАВА $
ТЕОРИЯ МОДЕЛЕЙ
5.1. Теорема компактности
Цель теоремы полноты — показать, что каждое логи-
ческое следствие множества нелогических аксиом может
быть выведено из этих нелогических аксиом посредством
логических аксиом и правил. Однако может показаться,
что следствия теоремы зависят от нашего выбора логи-
ческих аксиом и правил, и следовательно, эта теорема
ничего не говорит нам про природу моделей. Это не так,
потому что логические аксиомы и правила, которые мы
выбрали, имеют два простых свойства, а то, что множе-
ства логических аксиом и правил с этими свойствами
достаточно для получения всех логических следствий
каждого множества нелогических аксиом, имеет важные
следствия.
Первое свойство выражается в следующем утвержде-
нии: если мы имеем метод для решения, будет ли формула
нелогической аксиомой или нет, то мы имеем и метод для
решения, будет ли последовательность формул доказатель-
ством или нет. Мы изучим это свойство и его следствия
в следующей главе.
Второе свойство состоит в том, что логические пра-
вила являются конечными. Мы собираемся вывести одно
важное следствие из этого.
Теория Т называется частью теории Т', если Т и Т'
имеют один и тот же язык и каждая нелогическая аксиома
теории Т является нелогической аксиомой теории Т".
Теория Т называется конечно аксиоматизируемой, если
она имеет только конечное число нелогических аксиом.
Теорема компактности. Формула А теории Т
является истинной в Т тогда и только тогда, когда А
является истинной в некоторой конечно аксиоматизиру-
емой части теории Т.
Доказательство. Ввиду теоремы полноты нам
нужно показать лишь, что формула есть теорема теории Т
тогда и только тогда, когда эта формула есть теорема
5.1. ТЕОРЕМА КОМПАКТНОСТИ
109
в некоторой конечно аксиоматизируемой части теории Т.
Это очевидно, так как в любом доказательстве может
использоваться лишь конечное число нелогических аксиом.
Следствие. Теория Т имеет модель тогда и только
тогда, когда каждая конечно аксиоматизируемая часть
теории Т имеет модель.
Доказательство. Беря в качестве теоремы фор-
мулу хфх, замечаем, что х#=х в любой структуре не
является истинной.
Теорема компактности не зависит от логических аксиом
и правил, так как в ней ничего не говорится про них.
Возможно, это будет яснее, если мы сформулируем эту
теорему в несколько другой форме: формула А является
логическим следствием множества формул Г тогда и только
тогда, когда А является логическим следствием некото-
рого конечного подмножества множества Г. Можно дать
доказательство, которое не использует логических аксиом
и правил (см. задачу 30), но такое доказательство не
будет тривиальным.
Дадим некоторые применения теоремы компактности
к элементарной теории полей. Эта теория, которую мы
обозначаем через FL, имеет в качестве нелогических сим-
волов 0, 1 и—1 и бинарные функциональные символы +
и •. Нелогическими аксиомами FL являются:
FL1.	(х + г/) + г=х+(у+г).
FL2. х+° = х.
FL3.	х + (—1-х) = 0.
FL4. X-i-y=y-\-x.
FL5. (x-y)-z = x-(y-z).
FL6. х-1=х.
FL7. х+=0->Э//(х-//= 1).
FL8. х-у=у-х.
FL9. x(r/+z) = (x-r/) + (x-z).
FL10. 0^1.
Теория FL имеет такое же отношение к полям, как
и теория G к группам. Говоря коротко, моделями FL
являются в точности ПОЛЯ.
Можно получать элементарные теории некоторых спе-
циальных типов полей, добавляя дополнительные нелоги-
ческие аксиомы. Так, пусть Ап есть формула
1 + 1+...+ 1=0,
по
ГЛ. 5. ТЕОРИЯ МОДЕЛЕЙ
где имеется п вхождений 1 в левую часть (и мы исполь-
зуем соглашение правого сочетания скобок). Добавляя
нелогические аксиомы
1Д2, 1Д3, ...» Ап,
получаем элементарную теорию FL (д) полей характерис-
тики п(п^-2). Чтобы получить элементарную теорию
FL (0) полей характеристики 0, добавляем все формулы
"] Ап в качестве нелогических аксиом. Так как каждое
поле имеет характеристикой 0 или простое число, то, как
следует из теоремы полноты, теория FL (д) является
противоречивой, если д составное.
Покажем теперь, что если А является истинной в
FL(0), то существует д0 такое, что А является истинной
в FL (д) для каждого д^=д0. По теореме компактности
А является истинной в некоторой конечной части Т
теории FL (0), и мы должны лишь выбрать д0, большее
всех д таких, что "] Ап является нелогической аксиомой
теории Т. ’Следствием этого результата является то, что
мы не можем заменить бесконечное число аксиом, добав-
ленных к FL, чтобы получить FL (0), некоторым конеч-
ным числом этих аксиом. Если бы мы это могли сделать,
то конъюнкция этих аксиом была бы истинной в поле
нулевой характеристики, но не в других полях. Выбирая,
как и раньше, д0, мы должны были бы заключить, что
не существует полей характеристики больше д0, что
является абсурдным.
Можно было бы попытаться построить элементарную
теорию конечных полей, т. е. можно было бы поискать
простое расширение Т теории FL, моделями которого
являются в точности конечные поля. Однако это сделать
нельзя. Чтобы убедиться в этом, допустим, что Вп есть
формула, которая утверждает, что существуют по край-
ней мере д индивидов. (Например, В3 есть
3x3r/3z (х -£ у & х z & у	г}.)
Предположим, что мы имеем такую теорию Т, и пусть
Т' получается из Т добавлением всех Вп в качестве
нелогических аксиом. Тогда Т' не имеет модели; таким
образом, некоторая конечно аксиоматизируемая часть Т"
теории Т не имеет модели. Выбираем д0 большим любого
5.2. ИЗОМОРФИЗМЫ И ПОДСТРУКТУРЫ
ш
п такого, что Вп является нелогической аксиомой теории
Т“, и выбираем конечное поле имеющее более п0
элементов. Тогда а/t является моделью теории Т", что
противоречит выбору Т".
5.2. Изоморфизмы и подструктуры
Пусть — некоторая структура. Можно получать
структуры, подобные ©z^, с помощью следующего про-
цесса: заменяем каждый индивид из оЛ новым индивидом
(различные индивиды заменяются различными индиви-
дами), но во всем остальном оставляя функции и преди-
каты неизменными. Опишем теперь этот процесс
точнее.
Пусть ф —некоторое отображение из А в В. Мы
говорим, что ф инъективно (или 1 — \-отображение),
если для каждых а и а' из Л из ф(й) = ф(й') следует
а = а'. Мы говорим, что ф сюръективно (или отображе-
ние на), если для каждого b из В существует а из А
такое, что <р(а) — Ь. Мы говорим, что ф биективно (или
взаимно однозначно), если оно инъективно и сюръективно.
Теперь пусть ©z^—некоторая структура для L и ф —
некоторое биективное отображение \orf\ в В. Определяем
структуру е® для L с универсумом В следующим обра-
зом. Если &i, ... , Ьп принадлежат В, то существуют одно-
значно определенные индивиды alt ..., ап, принадлежа-
щие ©zf, такие, что ф (й1) = &1, .... <p(an) = bn. Положим
.... &„) = ф(Д(й1, ...» ап)),
Psb (&1. ...» ьп) <-*рл (а1г ..., ап).
Если & строится из erf описанным выше способом, то
мы говорим, ЧТО ©zf изоморфно & И ф' является изомор-
физмом между ©z^ и Другими словами, изоморфизм
между oz^ и а® есть биективное отображение ф из |©^|
в |s® | такое, что для а1г ... , ап, принадлежащих |©^ |,
имеем
А(ф(й1). ф(ал)) = ф(А(аь •••, ап)) (1)
и
Ря (ф («1), • • •, Ф (ап)) ^р^(а1г ..., ап). (2)
Пример. Если ©/^ и — группы, рассматриваемые
как модели теории G, то изоморфизм между ©^ и в
112
ГЛ. 5. ТЕОРИЯ МОДЕЛЕЙ
описанном выше смысле является изоморфизмом между
od и а® в обычном теоретико-групповом смысле.
Тождественное отображение из | оД | в |	! (т. е. ото-
бражение ср такое, что ф(д)==а для всех а, принадле-
жащих | I) является изоморфизмом между оД и еЛ.
Если ф—изоморфизм между и то обратное ото-
бражение для ф является изоморфизмом между и od.
Если ф — изоморфизм между о,4 и а®, а ф — изоморфизм
между а® и то композиция отображений фф является
изоморфизмом между о,4 и Из этих утверждений
следует, что изоморфизм является отношением эквивален-
тности на структурах для L.
Пусть о,# и некоторые структуры для L и ф —
некоторое отображение из [ orf | в | & |. Если I — имя инди-
вида а из структуры , то мы используем № для обо-
значения имени индивида ф (д) из структуры <$. Если
и —выражение языка L(o^), то и$ — выражение, полу-
ченное из и заменой каждого имени I на /ч>.
Лемма 1. Пусть ф — некоторый изоморфизм между оЛ
и Тогда ф (а)) = е® (дч>) для каждого свободного от
переменных терма а языка и а^(Д) = ^(Д<₽) для
каждой замкнутой формулы А языка L(e/£).
Доказательство. Докажем первую часть индук-
цией по длине а. Если а —имя, то результат очевиден.
В противном случае а есть fax...an, где f принадлежит
L. Используя (1) и индуктивное предположение, получаем
Ф	(а)) = ф (Р (о^ (ах), ...,	(ап))
= (ф («1))> • • • - ФМ («я)))
(а*), .... & (а*)) = (а*).
Теперь докажем вторую часть индукцией по длине А.
Если А — атомная формула рах...ап, где р отлично от =,
то по (2) и первой части получаем
(4)	И < > рл (Oi), ... ,	(«„))
*+Ря (ф (е^ («1)), .... ф (е^ (ая)))
...» <^(«’))
^^(Дф)=и.
Если А есть а = Ь, то так как ф является инъективным,
5.2. ИЗОМОРФИЗМЫ И ПОДСТРУКТУРЫ
113
имеем
Q-Д (Л) = И <-» (ii) =	(£>)
-ф(^(а))=ф(^(&))
^(Дч>) = И.
X
Если А есть отрицание или дизъюнкция, то резуль-
тат легко следует из индуктивного предположения. Теперь
предположим, что А есть ЗхВ. Так как ф является
сюръективным, то каждое j из L(&®) есть № для неко-
торого i из £(©^). Следовательно, по индуктивному
предположению имеем
(Л) = И <-* Q7^ (Вя [/]) = И для некоторого I из Це£)
«-> а® (Я«р [Z'P]) = И для некоторого I из L(©^)
для некоторого J из L(©®)
е» <^9(Л<Р) = И.
Две структуры и для L называются элемента-
рно эквивалентными, если одни и те же формулы языка
L являются истинными в от^ и Очевидно, отсюда
следует, что ©т^ и &В являются моделями для одних и
тех же теорий.
Следствие к теореме замыкания показывает, что если
одни и те же замкнутые формулы истинны в ©т^ и а®, то
и являются элементарно эквивалентными. Следо-
вательно, по лемме 1 изоморфные структуры являются
элементарно эквивалентными.
Пусть и — некоторые структуры для L. Вложе-
нием od в называется инъективное отображение ф из
I | в |gS8| такое, что (1) и (2) выполняются для всех
нелогических символов f и р из L и для всех alt ..., ап
из |	]. Если | оЛ | — подмножество множества | а® | и
тождественное отображение из | ©т/ | в |	| является вло-
жением orf в <33, то оЛ называется подструктурой струк-
туры s®, а <£% — расширением структуры оЛ. В этом слу-
чае (1) и (2) превращаются в
А(«п ...» ал)=/®(а1, ...» ая),	(3)
ря((Ч, .... ап) *+р& (аъ .... ап).	(4)
Если и а® являются моделями некоторой теории, то
Мы иногда говорим подмодель вместо подструктуры.
114
ГЛ. 5. ТЕОРИЯ МОДЕЛЕЙ
Пример. Если erf и а® являются группами (рас-
сматриваемыми в качестре моделей теории G), то erf
является подмоделью модели тогда и только тогда,
когда erf является подгруппой группы <Ж
Пусть а®— некоторая структура для L и Л—непустое
подмножество множества |<^|. Если существует подструк-
тура erf структуры а® с универсумом А, то она един-
ственна, так как она определяется с помощью (3) и (4).
Ясно, что (3) и (4) определяют структуру erf тогда и
только тогда, когда А удовлетворяет следующему усло-
вию: если «1, ..., ап принадлежат А и /—функциональ-
ный символ из L, то	ап) принадлежит А.
Пусть erf и ^ — структуры для L такие, что \erf\-
подмножество множества | rfB [. Если а — индивид из erf,
то мы используем одно и то же имя для а в L (erf) и
L(a^). Следовательно, язык L(rf3) является расширением
языка L (erf).
Лемма 2. Пусть erf и некоторые структуры
для L и у —некоторое отображение из \erf\ в [	1.
Тогда <р является вложением erf в rfi тогда и только
тогда, когда erf (А) — <& (А4*) для каждой свободной от
переменных формулы А языка L(erf).
Доказательство. Доказательство того, что дан-
ное условие выполняется, если <р — вложение, в точности
такое же, как и доказательство в лемме 1. Теперь пред-
положим, что данное условие выполняется. Пусть alt ...
..., ап — индивиды структуры erf и Л, ...» 1п — имена
индивидов a-i,..., ап соответственно. Тогда erf (plx ... /„) =
= & (pi* ... i*y Отсюда следует (2). Если /—имя инди-
вида	, ап), то
Отсюда следует (1). Наконец, если ф(«1)=ф(«2)» то
erf = /2) = (i* = i*} = И;
следовательно, й1 = й2- Таким образом, ф инъективно.
Следствие. Пусть erf и <& —структуры для L
такие, что | erf | — подмножество множества | <г% |. Тогда erf
является подструктурой структуры & тогда и только
тогда, когда erf(A) = rf$(A) для каждой свободной от
переменных формулы А языка L(&rf).
5.2. ИЗОМОРФИЗМЫ И ПОДСТРУКТУРЫ
115
Пусть Г —множество формул языка L и ©^ — струк-
тура для L. Тогда через Г (©т^) будем обозначать множе-
ство ©т^-частных случаев для формул из Г. Таким обра-
зом, если Г есть множество всех открытых формул языка L,
то Г (©т^) есть множество всех свободных от переменных
формул языка L (©т^), а если Г есть множество всех фор-
мул языка L, то Г (©т^) есть множество всех замкнутых
формул языка L(©t^).
Пусть и s% —структуры для L такие, что |	|
является подмножеством множества |<^|, и Г —некоторое
множество формул языка L. Мы говорим, что есть
Г-подструктура структуры а®, а & есть У-расширение
структуры ©т^, если для каждой формулы А из У (osf) из
(Л) = И следует <ЙДЛ) = И.
Если отрицание каждой формулы из Г принадлежит Г,
то это же самое справедливо и для Г(е^г). Отсюда сле-
дует, что если оД — Г-подструктура структуры s®, то
(А) = <& (А) для каждой формулы А из Г (©т^). Дей-
ствительно, если е^(Л) —Л, то ^(ПЛ) = И; следова-
тельно, а®("|Л) = И; таким образом, <^(Л) = Л.
Из только что сделанного замечания и следствия
к лемме 2 мы видим, что если Г есть множество откры-
тых формул языка L, то любая Г-под структур а есть просто
подструктура, а любое Г-расширение есть просто расши-
рение. Если Г — множество всех формул языка L, то мы
говорим об элементарной подструктуре вместо Г-подструк-
туры и элементарном расширении вместо Г-расширения.
Далее, если — элементарная подструктура структуры а®,
то мы имеем orf (Л)—а^(Л) для каждой замкнутой фор-
мулы Л языка L; следовательно, и элементарно
эквивалентны.
Если есть произвольная Г-подструктур а струк-
туры sSS, то ©т^ является Д-подструктурой структуры э®
Для каждого подмножества Д множества Г. Если подмно-
жество Д состоит из формул языка L', имеющего L своим
расширением, то ©т^ | L' есть Д-подструктур а структуры
е% | L'.
Лемма 3. Если в Г имеется формула х^-е и —
некоторая Г-подструктура структуры то<^ (е) =
Доказательство. Если / — имя индивида ©т^(е),
То в Г (ет^) имеется формула I — е и (i = e) — H.
116
ГЛ. 5. ТЕОРИЯ МОДЕЛЕЙ
Следовательно, э®(/ = е) = И; таким образом, <£% (е)=-
= а® (/) = orf (I) =. orf (е).
Пусть erf и s% —структуры для L такие, что | orf |
является подмножеством множества | & |. Обогащаем &3 до
структуры для L(eirf) следующим образом: если Z —
имя индивида а из erf, то значением символа I в струк-
туре является а.
Пусть L' = L (erf) — язык для а® л» тогда имя I в L'
играет в L' (rfferf) двоякую роль; это какая-то константа
из L' и имя некоторого индивида из Мы утверждаем,
что по крайней мере для получения истинностных значе-
ний (Л) это различие не играет никакой роли. Чтобы
убедиться в этом, допустим, что мы временно считаем
любое такое имя Z константой из L' и используем i'
в качестве имени соответствующего индивида из
Тогда z' — имя индивида g$U(Z). Если А' получается
заменой i на i' из А, то (Л) = а^л (Л') по лемме
из § 2.5.
Пусть Г — множество формул языка L и erf — струк-
тура для L. Y-диаграммой структуры erf, обозначаемой
через Dr (erf), называется теория, язык которой есть
L(erf), а нелогическими аксиомами являются формулы А
из Г (erf) такие, что erf (Л) = И. Если Г — множество
открытых формул, то мы пишем D (erf) вместо Dr (erf);.
если Г—множество всех формул, то мы пишем De (erf)
вместо Dr (erf).
Лемма о диаграмме. Пусть Г — множество фор-
мул языка L, a orf и <& — структуры для L такие, что
| erf | является подмножеством множества | е%! Тогда erf
является Г-подструктурой структуры rffo тогда и только
тогда, когда является моделью теории Dr (erf).
Док азательство. Для замкнутых формул Л
языка L(erf) имеем а® л (Л) = ^(Л), потому ЧТО .
является обогащением структуры Лемма следует тогда
из определений Г-подструктуры и Г-диаграммы.
j Множество формул Г языка L называется регулярным,
если каждая формула вида х—у или xrf=y принадле-
жит Г и для каждой формулы Л из Г каждая формула
вида Л[хъ .... хп] принадлежит Г.
Теорема о расширении модели (Кислер).
Пусть erf —структура для L, Т — теория языка L, Г —
некоторое регулярное множество формул языка L. Тогда
5.2. ИЗОМОРФИЗМЫ И ПОДСТРУКТУРЫ
117
имеет Г-расширение, являющееся моделью теории Т,
тогда и только тогда, когда каждая теорема теории Т,
являющаяся дизъюнкцией отрицаний некоторых формул
из Г, является истинной в orf.
Доказательство. Предположим, что такое Г-рас-
ширение существует. Мы должны показать, что если
h<MiV VI Л,
где каждое А/ принадлежит Г, то 1 V •  • V П
является истинной в ed. Если это не так, то существует
а^-частный случай П V V~Mn формулы "MiV
... V14„ такой, что (Л/) = И для i= 1, .... п. По-
скольку является Г-расширением структуры о./? и Д}
принадлежит Г (а^), то & (Д;) = И. Следовательно,
v  7пд;)=л. Это невозможно, так как
1 А{ V	является «^-частным случаем некоторой
теоремы теории Т и & является моделью теории Т.
Теперь предположим, что условие выполнено. Обра-
зуем Т' из Т добавлением всех имен языка L (о^) в каче-
стве новых констант; образуем Т" из Т' добавлением всех
нелогических аксиом теории Dr (а^) в качестве новых
аксиом. Покажем, что Т“ является непротиворечивой.
Если это не так, то по теореме редукции для непротиво-
речивости мы имеем
Ьт'пд; v vm;,
где каждая А", есть формула из Г такая, что (Д^) = И.
Следовательно, по теореме о константах имеем
V ••• V~i Ап,
где А{ получается из Ас заменой имен новыми перемен-
ными. Тогда Ai получается из некоторой формулы, при-
надлежащей Г, подстановкой переменных и, следовательно,
ввиду регулярности Г, принадлежит Г. Следовательно, по
предположению "] Дх\/ ... является истинной в .
Отсюда следует, что (П Д[ V ... 7ПДл) = И; таким обра-
зом, (Д<)==Л для некоторого г, получили противоречие.
По теореме полноты Т" имеет модель <$'. Если i и j—
имена различных индивидов из е^, то i Ф j является
формулой из Г (а^) (так как множество Г регулярное)
И D(zV/) = H. Следовательно, i =£j является аксиомой
Те°рии Dr (е^); таким образом, s®'(/#=/) = И и, значит,
118
ГЛ, 5. ТЕОРИЯ МОДЕЛЕЙ
<$?'(/)	<$?'(j). Заменяя S3' на изоморфную структуру,
легко заметить, что мы можем предполагать, что для
каждого имени I языка L (©^) S3' (/) является индивидом,
именем которого является I. Это означает, что если S3
есть обеднение структуры S3' до L, то S3M = S3'. Так
как а®' есть модель теории £>г (а^), то, как следует из
леммы о диаграмме, S3 есть Г-расширение структуры
в то время как S3 есть модель теории Т по лемме 1
из § 4.2.
Следствие. Пусть Г — регулярное множество фор-
мул языка L и Д — множество формул, содержащее каж-
дую формулу ... Vx„4, где А—дизъюнкция отрица-
ний некоторых формул из Г. Если erf — структура для L
и S3 — расширение структуры о?#, то существует Г-
расширение & структуры S3, которое является элемен
тарным расширением структуры оД.
Д о к а з а т ел ь ст во, Пусть Г' — множество формул
A [Zi,..., /*], где А из Г и ilt ..., in — имена языка L (&/?).
Покажем, что существует Г'-расширение структуры SJ>^,
которое является моделью теории £>е(е^). По теореме
нам нужно лишь показать, что если А1г ..., Ап из Р и
1 41V ... V ”1 Ап является теоремой теории	то
1 41V ... V "] Ап является истинной в S3M, Замыкание В
формулы "] 41\/... V "] 4„ является теоремой теории
£)е (©>/); таким образом, по лемме о диаграмме Q..S; (В) =
—	(Я) = И. Поскольку В принадлежит Д(а^), то
она является аксиомой теории (а/); таким образом,
по лемме о диаграмме снова имеем S3M (Я) = И. Следо-
вательно, "] ^iV ... является истинной в 33л.
Пусть —Г'-расширение структуры S3^, которое
представляет собой модель теории De (а/), и пусть & =
=	| L. Поскольку Г является подмножеством множе-
ства Г', то есть Г-расширение структуры S3. Если I —
имя индивида а из &S, то (/) = <Дд/) = д по лемме 3.
Отсюда следует, что	следовательно, по лемме
о диаграмме ^ — элементарное расширение структуры а/.
Применим наши результаты для решения следующей
проблемы: каким условиям должны удовлетворять мо-
дели теории Т, чтобы Т была эквивалентна теории, нело-
гические аксиомы которой принадлежат Г? Мы решим эту
проблему в том случае, когда Г — множество открытых
формул и когда Г —множество экзистенциальных формул.
5.2. ИЗОМОРФИЗМЫ И ПОДСТРУКТУРЫ
119
Лемма 4. Пусть Г —множество формул языка ЦТ)
и Г' — множество всех тех формул аз Г, которые являются
теоремами теории Т. Если каждая структура для ЦТ),
в которой все формулы из Г' являются истинными,
является моделью теории Т, то Т эквивалентна теории,
нелогические аксиомы которой принадлежат Г.
Доказательство. Пусть У'—теория языка L (Т),
нелогические аксиомы которой являются формулами из Г'.
Ясно, что теория У —расширение теории У'. По предпо-
ложению каждая модель теории У' представляет собой
модель теории У; поэтому по следствию к теореме пол-
ноты теория Т' является расширением теории У. Значит,
У эквивалентна У'.
Теорема Лося — Тарского. Теория У эквива-
лентна открытой теории тогда и только тогда, когда
каждая подструктура произвольной модели теории У
является моделью теории У.
Доказательство. Предположим, что У эквива-
лентна открытой теории У'. По следствию к теореме пол-
ноты достаточно показать, что каждая подструктура
произвольной модели & теории У' является моделью
теории У'. По следствию к лемме 2 каждая открытая
формула, истинная в <$?, является истинной в сле-
довательно, оЛ является моделью теории У'.
Предположим, что условие теоремы выполняется. По
лемме 4 достаточно показать, что если каждая открытая
теорема теории У является истинной в еД, то ©^ — мо-
дель теории У. По теореме о расширении модели оД имеет
расширение, являющееся моделью теории У; следовательно,
по условию теоремы —модель теории У.
Последовательность	структур для L назы-
вается цепью, если для каждого п структура е^ге+1
является расширением о^п. Для каждой такой цепи мы
определяем структуру оЦ которую мы называем объеди-
нением цепи. Универсумом структуры является объе-
динение универсумов структур отЦ Если а1г ..., ak при-
надлежат этому объединению, то существует п такое, что
все alf ak— индивиды структуры о^п. Положим
/л(On •••> йй)=Ал(йь ..•> ak),
Рл{й1....ak)^P^n{alt ..., ak).
120
ГЛ. 5. ТЕОРИЯ МОДЕЛЕЙ
Используя определение цепи, легко заметить, что это
определение не зависит от выбора п, а также, что еД
является расширением каждой структуры п.
Элементарной цепью называется цепь	...
такая, что для каждого п структура az/n+1 является эле- :
ментарным расширением структуры п.
Лемма Тарского. Если ^2, ... — элементар-
ная цепь, то объединение оЛ цепи является элементар-
ным расширением каждой структуры п.
Доказательство. Мы должны показать, что если '
Л— замкнутая формула языка то (Л) —а>/(Л).
Используем индукцию по длине А. Если Л —атомная, то'
„(Л) —(Л) по следствию к лемме 2. Если Л —отри-
цание или дизъюнкция, то результат непосредственно еле- .
дует из индуктивного предположения. Теперь предполо-
жим, что Л есть ЗхВ. Если (Л) —Л, то оЛ (Вх [/]) — Л ’
для всех z из L (<=>/). По индуктивному предположению 1
^п(Вх[1])^Л для всех i из	следовательно,^
<=>/„(Л) = Л. Если <=>/(Л) = И, то оЛ (Вх [/]) = И для ;
некоторого I из L(o^). Выберем k так, чтобы kz>n и i
являлось именем из L(&£k). По индуктивному предполо-
жению Q^k (BX[Z]) —И; следовательно, k (Л)«И. По-,-
скольку o^k — элементарное расширение <=>/„, то отсюда
следует, что зт/п (Л) = И.
Теорема Чжана—Лося—Сушк о. Теория Т
эквивалентна теории, нелогические аксиомы которой экзи-
стенциальны, тогда и только тогда, когда для каждой
цепи моделей теории Т объединение этой цепи является
моделью теории Т.
Доказательство. Предположим, что теория Т
эквивалентна теории Т', нелогические аксиомы которой;
экзистенциальны. По следствию к теореме полноты доста-
точно доказать, что объединение оЛ цепи	....
моделей теории Т' является моделью теории Т". Пусть;
3X1... ЭхлЛ — a^-частный случай некоторой нелогиче-
ской аксиомы теории Т'. Для достаточно большего k
3Xi... Эх„Л является ет^-частным случаем этой аксиомы;:
следовательно, (Эхх... Эх„Л) = И. Отсюда следует,
что
o^k(A [z'i, ..., /„]) — И
для некоторых ..., Z„ из L(@^k). По следствию1
5.2. ИЗОМОРФИЗМЫ И ПОДСТРУКТУРЫ
121
к лемме 2 получаем
(Л [Л, ..., /„]) = И;
следовательно,
<г^ (3X1 ... ЭхлЛ) = И.
Итак, мы показали, что является моделью теории Т'•
Теперь предположим, что для каждой цепи моделей
теории Т объединение этой цепи является моделью тео-
рии Т. По лемме 4 достаточно показать, что если —
структура, в которой каждая экзистенциальная теорема
теории Т является истинной, то erf является моделью
теории Т. Построим цепь	... такую, что =
= оЛ, 2^2п является моделью теории Т, а s=J/2„+3 является
элементарным расширением структуры зх/2„+1. Предполо-
жим, что это уже сделано, и пусть — объединение этой
цепи. Тогда ^ — объединение цепи а^2, а^4. моделей
теории Т и, следовательно, является моделью теории Т.
Но е® также есть объединение элементарной цепи
е^3, ...Следовательно, по лемме Тарского ^ — элемен-
тарное расширение структуры	и, значит, эле-
ментарно эквивалентна оЛ. Отсюда следует, что оЛ —
модель теории Т.
Теперь определим о^п. Предположим, что уже
определена и a^2n-i является элементарным расширением
структуры = а^; строим а^2„- и а^2л+1. Пусть Г —
множество универсальных формул языка L; покажем, что
существует Г-расширение ет/2„ структуры a^2„-i, кото-
рое является моделью теории Т. По теореме о расшире-
нии модели достаточно показать, что если |— т А, где
Л —дизъюнкция отрицаний некоторых универсальных
предложений, то А является истинной в Пусть Л
имеет экзистенциальную пренексную форму В. По пред-
положению В является истинной в оЛ и, следовательно,
в	Значит, a^2n-i является моделью теории, у кото-
рой В —единственная нелогическая аксиома. Так как Л —
теорема этой теории, то Л истинна в a^2„-i-
Так как каждая открытая формула принадлежит Г,
т° (^„—расширение структуры a^2„-i- По следствию
к теореме о расширении модели существует расширение
^гпн структуры <г^2„, которое является элементар-
ным расширением a^2„-i. Это завершает доказательство
теоремы.
122
ГЛ. 5. ТЕОРИЯ МОДЕЛЕЙ
Если мы применим эту теорему к теории G и исполь-
зуем хорошо известный факт, что объединение цепи групп
есть группа, то мы выводим отсюда, что G эквивалентна
теории, у которой нелогические аксиомы экзистенциаль-
ны. Аксиомы такой теории также хорошо известны: они со-
стоят из ассоциативного закона и аксиом Зх {х • у = г) и
3x(yx=z).
5.3.	Мощность моделей
В этом параграфе мы предполагаем известными неко-
торые элементарные результаты о мощностях. Доказа-
тельства можно найти в главе 9 или в любом учебнике
по теории множеств.
Под мощностью структуры erf мы понимаем мощность
ее универсума | сЛ | *). Мы будем говорить, что erf конечна
или бесконечна, счетна или несчетна, если | сЛ | имеет
соответствующее свойство.
Пусть in — произвольная бесконечная мощность. Язык
первого порядка L называется т-языком, если мощность
множества нелогических символов языка L не превосхо-
дит ш. Теория Т называется т-теорией, если L (Т) — т-язык.
Мы говорим счетный язык и счетная теория вместо Ко-языка
и Ко-теории.
Лемма. Если m — бесконечная мощность и L — т-язык,
то Lc содержит самое большее m специальных констант.
Доказательство. Покажем индукцией по п, что
существует самое большее m специальных констант уровня д;
отсюда будет следовать, что существует самое большее
Ко  m = in специальных констант. Так как L содержит
только счетное число логических символов, то L содержит
самое большее Ko + m = m символов. Если Q —множество
всех символов языка L и всех специальных констант
уровня, меньшего п, то по индуктивному предположению
мощность Q не превосходит m + nm = m. Следовательно,
для каждого k число выражений длины k, образуемых
с помощью символов из Q, не больше mft = ni; таким обра-
зом, число всех выражений, образуемых с помощью сим-
волов из Q, не превосходит Ко-м — ш. Отсюда немедленно
*) В главе 9 мы вместо «мощность множества» говорим «кардинал
множества». — Прим, перев.
5.3. МОЩНОСТЬ МОДЕЛЕЙ
123
следует, что число специальных констант уровня п не
больше ш.
Теорема о мощности (Тарский). Пусть in— бес-
конечная мощность и Т — т-теория, имеющая бесконечную
модель. Тогда Т имеет модель мощности ш.
Доказательство. Строим U из Т следующим обра-
зом: добавляем множество новых констант мощности m
и, если е и е' — различные новые константы, добавляем
аксиому е^е'. Покажем, что U имеет модель. Ввиду
следствия к теореме компактности достаточно показать,
что каждая конечная часть U' теории U имеет модель.
Пусть ., ek— новые константы, встречающиеся в нело-
гических аксиомах теории LT. Пусть — бесконечная
модель теории Т и .....ak — различные индивиды мо-
дели Обогатим до структуры для U', при-
давая е, значение а{ и новым константам, отличным от
еи ..., вь, произвольные значения. Ясно, что является
моделью для U'.
Число нелогических констант в U не превосходит
in-]-ni = m; следовательно, U— m-теория. По лемме Uc
содержит самое большее m специальных констант. Из
сказанного выше и леммы 3 из § 4.2 получаем, что Uc
непротиворечива. Следовательно, по лемме 4 из § 4.2 Uc
имеет модель е^, мощность которой не больше т. Аксиомы
теории U гарантируют, что (е) Ф оЛ (е'), если е и
е’ — различные новые константы; следовательно, мощ-
ность в точности равна т. Обеднение структуры
доЛ(Д) является моделью теории Т мощности т.
Следствие (Лёвенгейм—Скулем). Если Т — счетная
теория, имеющая модель, то Т имеет конечную или счет-
ную модель.
Существуют несколько парадоксов, впервые указанных
Скулемом, получающихся из теоремы о мощности и тео-
ремы Лёвенгейма—Скулема. Мы наверняка можем форма-
лизовать достаточно большую часть математики в счетной
теории, чтобы доказать, что множество действительных
чисел несчетно. Как же может такая теория иметь счет-
ную модель? Объясним это. Множество действительных
чисел в модели на самом деле счетно, и, значит, суще-
ствует биективное отображение этого множества в множе-
ство натуральных чисел. Но это отображение не находит-
ся в этой модели; поэтому теорема теории, утверждающая,
124
ГЛ. 5. ТЕОРИЯ МОДЕЛЕЙ
что не существует биективного отображения множества
действительных чисел в множество натуральных чисел, не
опровергается.
Другой парадокс возникает из аксиом Пеано. Имеется ,
хорошо известное доказательство того, что любое множество.
объектов, удовлетворяющее этим аксиомам, изоморфно
множеству натуральных чисел и поэтому счетно. Если же"
мы формализуем аксиомы Пеано в L (N), то теорема о мощ-
ности показывает, что полученная теория имеет несчетные
модели. Трудность здесь состоит в том, что мы не можем
полностью выразить аксиому индукции (являющуюся одной
из аксиом Пеано) в L(N). Мы обсудим эту ситуацию
более подробно в главе 8.
5.4.	Совместная непротиворечивость
Пусть Т и Т' — некоторые теории. Объединением тео-
рий Т и Т’, обозначаемым через TU Тг, называется тео-
рия, нелогическими символами которой являются нелогиче-
ские символы теории Т и нелогические символы теории Т', .
а нелогическими аксиомами которой являются нелоги-
ческие аксиомы теории Т и нелогические аксиомы тео- >
рииТ'.
Теория Т[)ТГ может быть противоречивой, даже если ;
теории Т и Т' обе непротиворечивы; действительно, может
существовать формула А такая, что ]— ТА и ]— ~1 А.
Мы покажем, что если не существует такой формулы А,
то Т[]ТГ непротиворечива. Это показывает, что любое ’
противоречие в TUT' может быть «локализовано» в фор-
муле А, являющейся формулой обеих теорий Т и Т'.
Теорема о совместной непротиворечивости
(Крейг—Робинсон). Пусть Т и Т'—некоторые теории.
Тогда Т U Т' противоречива тогда и только тогда, когда '
существует замкнутая формула А такая, что Нт Л и
Нт'ПЛ.
Доказательство. Если такая формула А суще-
ствует, то Л и “| Л—теоремы теории Т[]Т'-, таким обра-
зом, Т U Т' противоречива. Предположим, что такой фор-
мулы А не существует, и докажем, что Т U Т' непротиво-
речива.
Пусть Г —множество замкнутых формул языка L(T),
которые являются теоремами теории Т'. Тогда Т[Г] не-
5.4. СОВМЕСТНАЯ НЕПРОТИВОРЕЧИВОСТЬ	.125
противоречива. Действительно, в противном случае, как
следует из теоремы редукции для непротиворечивости,
существует формула А теории Т, являющаяся дизъюнк-
цией отрицаний некоторых замкнутых теорем теории Т'.
Тогда НтЛ и ]— что противоречит нашему пред-
положению.
Пусть L— язык первого порядка, нелогические сим-
волы которого являются нелогическими символами, общими
для ЦТ) и L(T'). Будем строить- элементарную цепь
&/1, е^2, ...моделей теории Т и элементарную цепь
<2^'2, ••• моделей теории Т’ таких, что
I L, е£*\Ь, ... является элементарной цепью.
Пусть — произвольная модель теории Т[Г]. Пусть
А —множество всех формул языка L. Тогда А регулярно.
Пусть Si — обогащение структуры e^i|L до L(T'). Тогда
одни и те же формулы языка L истинны в и S3.
Если формула языка L является теоремой теории Т', то
ее замыкание принадлежит Г и, следовательно, является
истинным в значит, сама формула истинна в
а следовательно, иве®. Как следует из теоремы о рас-
ширении модели, существует модель теории Т',
которая является A-расширением структуры S3. Тогда
| L — элементарное расширение структуры S31 L =
^r\L.
Опишем теперь конструкцию для е^„ при 1; кон-
струкция для о^'п аналогична. Пусть ^ — обогащение
структуры е^л-х | L до ЦТ). Тогда | L — элементарное
расширение структуры	следовательно, есть
Л-расширение структуры е^л-х. Ввиду следствия к тео-
реме о расширении модели существует A-расширение е^„
структуры CS, являющееся элементарным расширением
структуры &SТогда является элементарным рас-
ширением структуры и, следовательно, моделью тео,->
рии Т. Очевидно, что сЛ п \L — элементарное расширение
структуры \L = o^n..1\L.
Пусть — объединение цепи е^х» е^2» • • .и —
объединение цепи	... По лемме Тарского струк-
тура является элементарным расширением струк-
туры и, значит, моделью теории Т. Аналогично,
структура е^' является моделью теории Т'. Теперь
\L — &3S \ L, так как они обе являются объединением
Цепи ez^xl L, &S\\L, j L, | L, ... Из этого сразу
126
ГЛ. 5. ТЕОРИЯ МОДЕЛЕЙ
видно, что существует структура о® для Т U Т' такая,
что о® | L (Т) = <г^ и 331L (Т') =&£'. Тогда о® —модель
теории TUT'; таким образом, TUT' непротиворечива.
Следствие (интерполяционная лемма Крейга).
Пусть Т и Т' — некоторые теории и Д -> В являете
теоремой теории Т\)Т' такой, что Д — формула теории Т
а В —формула теории Т'. Тогда существует формула
такая, что \-тА^-С и	В.
Доказательство. Вначале предположим, что Д и
В замкнуты. В теории Т [Д] (J Tf [~| Z?] мы можем доказать Д
~| В и Д -> В-, следовательно, по теореме тавтологии тео-
рия Т [Д] и Т' [1Z?] противоречива. По теореме Крейга—
Робинсона существует замкнутая формула С такая,:
что С является теоремой теории Т [Д], a "j С является
теоремой теории Т' [~| Z?]. По теореме дедукции ГД->С
и [— Т‘ "IВ -> “| С; следовательно, по теореме тавтоло-
гии г С -* В.
В общем случае, подставляя новую константу вместо
каждой переменной, свободной в Д или В, получим фор-
мулы Д' и В'. Из сказанного выше следует, что для
подходящей формулы С' имеем \~и Д' ->С' и Р и>С' -+В',
где теории U и U' получены соответственно из теорий
и Т' добавлением констант. По теореме о варианте С'
может быть выбрана так, чтобы ни одна из переменных,
связанных в С', не была свободной в Д или В. Заменяя
новые константы первоначальными переменными, получим
формулу С, обладающую ввиду теоремы о константах:
требуемыми свойствами.
Укажем одно применение интерполяционной леммы.
Пусть Q —некоторое множество нелогических символо
теории Т. Предикатный символ р, не принадлежащий Q
называется определимым в терминах Q в Т, если суще
ствует формула Д, не содержащая нелогических символов
не принадлежащих Q, такая, что \-тРХ± ... хп-^ А (гд
х1г ..., хп различны). Функциональный символ/, не при
надлежащий Q, называется определимым в терминах Q в Т
если существует формула Д, не содержащая нелогически
символов, не принадлежащих Q, такая, что т_у= /гх ...
... Хп-^- А (где Xj,.хп, у различны).
Пусть <2^ и о® —структуры для L, и — нелогически”
символ языкаТ, а<р — биективноеотображение из | аЛ | в | 331.
Мы говорим, что ср есть и-изоморфизм между &3 и
5.4, СОВМЕСТНАЯ НЕПРОТИВОРЕЧИВОСТЬ
127
если ф —изоморфизм между обеднениями структур и
до языка с единственным нелогическим символом и.
Теорема определимости (Бет), Пусть Q — неко-
торое множество нелогических символов теории Т, а и —не-
логический символ теории Т, которого нет в Q. Тогда и
определим в терминах Q в Т тогда и только тогда, когда
для каждой пары моделей и теории Т и каждого
биективного отображения ф из \е^\ в | <331, которое
является v-изоморфизмом для каждого v из Q, отображе-
ние ф является и-изоморфизмом.
Доказательство. Предположим, что « — преди-
катный символ р; если « — функциональный символ, то
доказательство по существу такое же. Предположим, что
мы имеем ]— трхг... хп++А, где 4 не содержит нелоги-
ческих символов, не принадлежащих Q. Пусть оЛ, о® и ф
таковы, как в условии теоремы. Если Д, ..., in — имена
языка L (е^) и В есть AXl....хп [4. • • » in], то
(р/х ... in В) = И,
& (pif ...	#ч>) = и,
е^(Л) = <^ (£<₽).
Поэтому
... ^).
Отсюда следует, что
Рл («1,	**Р<® (Ф fax)» • • •. <Р (йл))
Для «х....ап из |	|; следовательно, ф есть р-изомор-
физм.
Теперь предположим, что условие теоремы выполняется.
Для каждого n-арного функционального или предикатного
символа v из Т, которого нет в Q, вводим новый п-арный
Функциональный или предикатный символ Мы полу-
чаем Т' из Т, заменяя каждое v на с' (оставляя сим-
волы из Q неизменными). Покажем, что рх± ... хп ->
~>р' хг ... хп является теоремой теории Т\}Т'. По теореме
полноты нам нужно лишь показать, что эта формула
является истинной в каждой модели	теории Т\]Т'.
q^\L{T) и &£\L(T') являются моделями теорий Т и Т'
соответственно. Строим структуру о® для L (Т), беря
| = | 0^1 ,	= ДЛЯ V ИЗ Q И	ДЛЯ С, кото-
рого нет' в Q. Так как | ЦТ') есть модель теории Т’,
128
ГЛ, 6. ТЕОРИЯ МОДЕЛЕЙ
то очевидно, что & есть модель теории Т. Ясно так-
же, что тождественное отображение из &£\ЦТ) в &
есть ©-изоморфизм для с из Q; следовательно, это отобра-
жение есть р-изоморфизм. Отсюда получаем, что рл =
= р^=р'л\ а из последнего равенства следует, что
рХг ... Хп -> р'х 1... Хп является истинной в
Применим интерполяционную лемму Крейга к теореме
рХг . . Хп -^р'Х! ... Хп
теории TU7’'- Получим формулу Д такую, что
|—трХг... х п —>- Д и |—т'А—^р х^..  хп.
Так как Д принадлежит как Т, так и Т', то она не
содержит нелогических констант, не принадлежащих Q.
По выбору Т' из
hr А-^p'Xr ...хп
следует
Н т Д —^рх± ... хп,
поэтому имеем
Н трХ1... хп *-* Д
по теореме тавтологии.
5.5.	Полные теории
Мы уже использовали понятие полной теории при
доказательстве теоремы полноты. Кроме этого, существует
несколько других важных приложений полных теорий.
Для первого приложения предположим, что нам дана
структура для L. Теорией структуры , обозначае-
мой через Th (&/), называется теория, язык которой
есть L, а нелогические аксиомы которой являются форму-
лами языка L, истинными в &/. Ясно, что — модель
для Th (е^); следовательно, по теореме истинности теоре-
мами теории Th (е^) являются в точности те формулы,
которые истинны в .
Теория Th(e^) обычно трудно поддается изучению,
потому что нам неизвестны ее нелогические аксиомы.
Поэтому желательно найти простую аксиоматизацию тео-
рии Th (е^), т. е. найти теорию Т, эквивалентную Th (е^),
нелогические аксиомы которой просты. Мы будем, конечно,
рассматривать только аксиомы, являющиеся истинными
5.5. ПОЛНЫЕ ТЕОРИИ	129
в е^, т. е., мы будем рассматривать только теории Т,
имеющие своей моделью. Следующая лемма показы-
вает, что всякая такая теория, являющаяся полной, экви-
валентна теории Th (&/).
Лемма 1. Для непротиворечивой теории Т следующие
условия эквивалентны-.
(а)	Т —полная теория-,
(б)	каждые две модели теории Т элементарно эквива-
лентны-,
(в)	для каждой модели orf теории Т теория Т эквива-
лентна теории Th(e^).
Доказательство. Вначале покажем, что из (а)
следует (б). Мы должны доказать, что если и ^ — мо-
дели теории Т, то каждая замкнутая формула Д либо
является истинной и в &£, иве®, либо не является
истинной ни в е^, ни в Д Но первое выполняется, если
Нт Л, а последнее выполняется, если НтПД; следова-
тельно, одно или другое выполняется по (а).
Покажем теперь, что из (б) следует (в). Ясно, что
теория Th (е^) — расширение теории Т. По (б) каждая
модель теории Т элементарно эквивалентна erf и, следо-
вательно, есть модель теории Th (©^); таким образом, по
следствию к теореме полноты теория Т — расширение
теории Th(e^).
Покажем теперь, что из (в) следует (а). Пусть — не-
которая модель теории Т. Если Д—замкнутая формула,
то либо Д, либо П истинна в orf и, следовательно,
является теоремой теории Th(&/). Таким образом,
Th (е^) — полная теория; следовательно, по (в) Т — полная
теория.
Второе наше приложение также связано с леммой 1.
Предположим, что Т — полная теория, и допустим, что
мы уже показали, что Д выполняется в некоторой модели
теории Т. Согласно (б) из леммы 1 мы можем заключить,
что Д выполняется в каждой модели теории Т.
Третье приложение полных теорий будет рассматри-
ваться в главе 6. Эти приложения показывают важность
нахождения методов доказательства того, что некоторые
специальные теории полны. Мы даем один такой метод,
другой будет дан в следующем параграфе.
Скажем, что формула Д эквивалентна формуле В в Т,
если \-тА++В. Мы скажем, что теория Т допускает
б Дж. Шенфилд
130
ГЛ. 5. ТЕОРИЯ МОДЕЛЕЙ
элиминацию кванторов, если каждая формула теории Т
эквивалентна в Т некоторой открытой формуле. Ясно, что
если Т допускает элиминацию кванторов, то тем же свой-
ством обладает и каждое простое расширение теории Т. ,
Лемма 2. Предположим, что теория Т непротиворе-
чива, Т допускает элиминацию кванторов, Т содержит
какую-то константу и каждая формула теории Т, свобод-:
ная от переменных, разрешима в Т. Тогда Т полна.
Доказательство. Если Д—замкнутая формула-
теории Т, то ]— ?А<->В для некоторой открытой фор-
мулы В. Так как мы можем подставить константу вместо
переменных, свободных в В, то можно предполагать,
что В свободна от переменных. Тогда В разрешима в Т\
таким образом, 4 разрешима в Т.
Практически трудно проверить в посылке леммы 2,
что Т допускает элиминацию кванторов. Мы докажем
теорему, дающую достаточные условия для этого случая.
Формула называется простой экзистенциальной, если она
имеет вид 3x4, где 4—открытая формула.
Лемма 3. Если каждая простая экзистенциальная
формула эквивалентна в Т открытой формуле, то Т допу-
скает элиминацию кванторов.
Доказательство. Докажем индукцией по длине 4, 
что 4 эквивалентна открытой формуле. Если Д — атомная
формула, то все ясно. Если Д —отрицание или дизъюнк-
ция, то результат следует из индуктивного предположения '
и теоремы эквивалентности. Теперь предположим, что 4
есть Зх/?. По индуктивному предположению В эквива-
лентна некоторой открытой формуле В1', следовательно,
по теореме эквивалентности 4 эквивалентна простой экзи-.
стенциальной формуле ЗхВ'. Так как ЗхВ' эквивалентна
открытой формуле, то такова же и 4.
Лемма 4. Пусть А—замкнутая формула теории Т.
Предположим, что Т содержит какую-то константу и
для каждых двух моделей сЛ и теории Т таких, что
erf (В} — а^' (В) для каждой свободной от переменных
формул В теории Т, имеем <зЛ (4) — (4). Тогда 4
эквивалентна в Т формуле, свободной от переменных.
Доказательство. Пусть Г —множество теорем
теории Т[4], свободных от переменных. Достаточно пока-
зать, что 4 —теорема теории Т [Г]. Действительно, отсюда
по теореме редукции следует, что р-гД,
5,5, ПОЛНЫЕ ТЕОРИИ
131
где каждая B-L принадлежит Г. Так как В; принадлежит
Т, то теорема дедукции показывает, что Hr Д-> Bt.
Тогда ввиду теоремы тавтологии имеем
Нт-4
и формула Z?x &... & Вп свободна от переменных.
Предположим, что А не является теоремой теории Т [Г].
По теореме полноты существует модель теории Т [Г]
такая, что orf (Д) —Л. Пусть А —множество формул, сво-
бодных от переменных, которые истинны в е/Л Пусть
г?/'—любая модель теории Т [А]. Для каждой формулы
В, свободной от переменных, имеем сЛ (В)~erf' (В).
Действительно, если erf (В) —И , то В принадлежит А и,
следовательно, erf ' (В)— И; если же erf (Я) = Л , то ~| В
принадлежит А и, следовательно, '(Л)=Л. Отсюда
следует, что (A) = erf (А) = Л; таким образом,
("|4) = И. Мы показали, что "| Д истинна в Г [А].
По теореме полноты ~|Д — теорема теории Т [А]; таким
образом, по теореме дедукции
]— т С, —* • • • —> Ст —* П А,
где Сх, ..., Ст принадлежат А. Тогда по теореме тавто-
логии
НтД->КС1&...&Ст);
таким образом, "| (Сх &... & Ст) принадлежит Г. Поэтому
заключаем, что все формулы
Сх, ...,Ст и П(С1&...&Ст)
истинны в erf, а это невозможно.
Скажем, что Т удовлетворяет условию изоморфизма,
если для каждых двух моделей erf и erf' теории Т и
каждого изоморфизма ф подструктуры модели erf и под-
структуры модели erf' существует расширение изомор-
физма ф, которое является изоморфизмом между подмо-
делью модели erf и подмоделью модели erf'. Скажем,
Чго Т удовлетворяет подмодельному условию, если для
каждой модели С® теории Т, каждой подмодели мо-
дели и каждой замкнутой простой экзистенциальной
формулы Д языка L (е^) имеем erf (Д) — <£8(Д).
Лемма 5. Пусть Т' получается из Т добавлением
Новой константы е. Если Т удовлетворяет условию изо-
морфизма (подмодельному условию), то такова же и Т'.
Б*
132
ГЛ. 5. ТЕОРИЯ МОДЕЛЕЙ
Доказательство. Предположим, что Т удовлетво-
ряет условию изоморфизма. Пусть и — модели
теории Т', и пусть <р — некоторый изоморфизм между
подструктурой е® модели &S и подструктурой s®' модели
aSS. Тогда <р можно расширить до изоморфизма ф' между
подмоделью модели | L (Т) и подмоделью ' модели
| L (Т). Обогащаем до структуры для L (Т'), полагая
= это даст нам подмодель модели Подобным
же образом получаем подмодель модели erf'. Так как
ф(е^) = е^', то ф'— изоморфизм между этими подмоде-
лями.
Предположим, что Т удовлетворяет поДмодельному
условию. Пусть е*® — модель теории Т', ©^ — подмодель
модели е® и А— замкнутая простая экзистенциальная
формула языка L{erf). Пусть А’ получается из А под-
становкой имени индивида erf (е) вместо е. По лемме из
§2.5 имеем
erf (A') = erf(A) и S$(A')=S$(A).
Применяя подмодельное условие для Т к erf\L(T) и
Si\L(T), находим, что erf (Д') = а® (Д'); таким образом,
е^(Д) = ^(Д).
Лемма 6. Если Т удовлетворяет условию изоморфизма
и подмодельному условию и содержит некоторую константу,
то каждая замкнутая простая экзистенциальная формула
теории Т эквивалентна в Т формуле, свободной от пере-
менных.
Доказательство. Пусть Д —замкнутая простая
экзистенциальная формула. По лемме 4 достаточно про-
верить, что если erf и ©^' — модели теории Т такие, что
(В) = ©^"(/?) для каждой В, свободной от переменных,
то erf (Д) = ат^' (Д). Пусть В —множество всех erf (а)
для термов а, свободных от переменных. Так как Т содер-
жит константу, то В непусто; ясно, что f^(alf ..., ап)
принадлежит В, если alt ..., ап принадлежат В. Отсюда
следует, что В —универсум подструктуры Si модели erf.
Пусть Si’ — соответствующая подструктура модели erf'.
Мы утверждаем, что существует изоморфизм ф между Si
и Si', определенный так: ф (©^ (а)) = ©^'(а). То, что
отображение ф корректно определено и биективно, сле-
дует из равенства erf (а = Ь)=erf’ (а=Ь). Тогда то, что
5.5, ПОЛНЫЕ ТЕОРИИ
133
Ф — изоморфизм, следует из равенств
<2^(fa1...an=b)=<2^'(far...an=b) и
(раг...ап)=е^' (рек...ап).
По условию изоморфизма ф можно расширить до изо-
морфизма между подмоделью модели аЛ и подмоделью
модели . Так как А — простая экзистенциальная
формула, то из подмодельного условия следует, что
е^(4) = ^(4) и <^'(4)=^'(4). Но g’(4) = ^'M)> так
как & и изоморфны; таким образом,	(4) = &^' (4).
Теорема об элиминации кванторов. Если
Т удовлетворяет условию изоморфизма и подмодельному
условию, то Т допускает элиминацию кванторов.
Доказательство. Ввиду леммы 3 достаточно дока-
зать, что каждая простая экзистенциальная формула 4
теории Т эквивалентна в Т открытой формуле. Пусть 4'
получается из 4 заменой каждой свободной в 4 пере-
менной на новую константу; пусть Т' получается из Т
добавлением этих констант (или добавлением одной новой
константы, если 4 замкнута). По леммам 5 и 6 4' экви-
валентна в Т' формуле, свободной от переменных; следо-
вательно, по теореме о константах 4 эквивалентна в Т
открытой формуле.
Чтобы проверить, что Т удовлетворяет подмодельному
условию, достаточно проверить, что следующее условие
выполняется для каждой модели Si теории Т и каждой
подмодели orf модели а®: если 4Х, ..., 4„ — атомные фор-
мулы языка L (ez^), в которых нет свободных переменных,
за исключением х, a j— имя языка L (Si), то существует
имя i языка L(&£) такое, что
Si И/ [Л) =	Иг L/]) Для * — 1.....п.
Пусть это проверено, и пусть 3x4 — замкнутая простая
экзистенциальная формула языка L(o^). Очевидно, что
из (3x4) = И следует е®(Зх4) = И; мы должны дока-
зать обратное. Предположим, что (3x4) = И, и выбе-
рем имя J языка L (Si), так, чтобы Si (4Ду]) = И. Выбе-
рем, как и выше, I, где 4Х....4Я —атомные формулы,
входящие в 4. Тогда
(4 [/])=Si (4 [ z ])=Si (4 [/]) - И;
таким образом,
е^(3х4) = и.
134
ГЛ, 5. ТЕОРИЯ МОДЕЛЕЙ
Применим наши результаты для нахождения систем
аксиом для поля комплексных чисел и поля действитель-
ных чисел. (Эти системы аксиом найдены Тарским.)
Поле комплексных чисел алгебраически замкнуто, т. е.
каждый многочлен, отличный от константы, с коэффици-
ентами из поля имеет корень в этом поле. Мы получаем
элементарную теорию ACF алгебраически замкнутых полей
из теории FL добавлением для каждого п^1 аксиомы,
утверждающей, что каждый многочлен степени п имеет
корень. Например, аксиомой для п = 2 является
у Ф 0 -> Зх {у • х • х + z • х + w=0).
Используем теперь теорему об элиминации кванторов,
чтобы показать, что ACF допускает элиминацию кванто-
ров. Любая подструктура поля содержит 0, 1 и —1 и
замкнута относительно сложения и умножения; таким
образом, она есть подкольцо, содержащее 1. Следова-
тельно, условие изоморфизма для ACF сводится к следу-
ющему: если и erf' — алгебраически замкнутые поля
и ср — изоморфизм между подкольцом поля erf, содержа-
щим I, и. подкольцом поля , содержащим 1, то ф
можно расширить до изоморфизма между алгебраически
замкнутым подполем поля аЛ и алгебраически замкнутым
подполем поля . Чтобы получить это расширение,
вначале расширяем ф до изоморфизма между наименьшими
подполями полей оЛ и orf’, включающими эти подкольца,
а затем полученный изоморфизм расширяем до изомор-
физма между наименьшими алгебраически замкнутыми
подполями, включающими эти подполя. То, что такие два
расширения могут быть сделаны, доказывается в стан-
дартных учебниках алгебры.
Предположим, что <?Л — поле и а —терм языка L(e^),
не содержащий переменных, отличных от х. Тогда су-
ществует многочлен ра с коэффициентами из erf, который
представляет а в следующем смысле: если @50 —расшире-
ние поля orf и J— имя индивида & из то е® (а* [/]) =
= ра (&). Доказательство проводится индукцией по дли-
не а\ детали оставляются читателю. Теперь предпо-
ложим, что Ь— другой такой терм, и пусть г=ра — рь-
Если А —атомная формула а=Ь, то SB (АХ[/]) = И тогда
и только тогда, когда г(Ь) = 0,
5.5. ПОЛНЫЕ ТЕОРИИ
135
Если мы скомбинируем эти замечания с замечаниями,
данными после теоремы об элиминации кванторов, то мы
увидим, что для того, чтобы доказать, что ACF удовлет-
воряет подмодельному условию, достаточно доказать сле-
дующий результат: если —алгебраически замкнутое
поле, оЛ — алгебраически замкнутое подполе поля <$?,
..., гп — многочлены с коэффициентами из и b
принадлежит <£®, то существует а из такое, что
г,- (а) = 0 *-> г/ (&) = 0 для всех Е Мы можем предполагать,
что ни один из Г/ не является постоянным многочленом О,
так как такое г, можно выбросить из списка. Если не-
которое Г/(&) есть-0, то Ь — алгебраический элемент над
е/ и, следовательно, принадлежит аЛ; таким образом,
мы можем взять а = Ь. В противном случае мы находим
й из s/ такое, что гг(<2)#=0 для всех i. Так как много-
член имеет только конечное число корней, то достаточно
показать, что оЛ бесконечно. Но если бы аг....ak были
всеми элементами из е^, то многочлен
(X — Я1) •... • (X + 1
не имел бы корней в erf.
Пусть ACF (и) —теория ACFUFL(n). Покажем, что
если п равно 0 или простому числу, то ACF (и) полна.
Так как теория ACF (и) имеет модель, то она непротиво-
речива, а так как она есть простое расширение теории
ACF, то она допускает элиминацию кванторов. Следова-
тельно, по лемме 2 нам нужно лишь доказать, что каж-
дая формула теории ACF (и), свободная от переменных,
разрешима в ACF (и). Ввиду теоремы полноты для этого
Достаточно доказать, что если А — формула теории ACF (и),
свободная от переменных, то истинностное значение erf (А)
одинаково для всех моделей теории ACF (и). Если
^=- 0, то пусть @50 —поле рациональных чисел; если п —
простое число, то пусть & —- поле целых чисел по мо-
дулю п. Каждая модель erf теории ACF (и) имеет под-
структуру, изоморфную а®; таким образом, ©V (Д) = е®(Д)
Для всех моделей erf теории ACF (и) по следствию
к лемме 2 из § 5.2.
Отсюда следует, что ACF (0) эквивалентна теории поля
Комплексных чисел. Ввиду нашего второго приложения
полных теорий отсюда следует, что каждая формула тео-
рии FL, истинная в поле комплексных чисел, является
136
ГЛ. 5. ТЕОРИЯ МОДЕЛЕЙ
истинной в каждом алгебраически замкнутом поле харак-
теристики 0. Значение этого состоит в том, что мы имеем
много средств, не пригодных в других полях (таких, как .
интегрирование по контуру), для того, чтобы доказывать, ;
что некоторая формула является истинной в поле ком- s
плексных чисел.
Имея дело с полем действительных чисел, лучше рас- :
сматривать предикат <. Поэтому мы вводим теорию OF
упорядоченных полей. Она получается из FL добавлением
предикатного символа <; и аксиом
OF1. 1 (х<х).
OF2. х<Zy —>~у <Zz—>~ х<Lz.
OF3. x<.y\J х==у \] у <Zx.
OF4. х <.у	x-\-z<.y-\-z.
OF5. 0<х->0<г/-+0<.х-у.
В дальнейшем изложении будем предполагать известными
основы теории упорядоченных полей.
Упорядоченное поле действительных чисел является
вещественно замкнутым. Это означает, что из каждого.
положительного элемента извлекается квадратный корень.
и каждый многочлен нечетной степени имеет корень. Мы
получаем элементарную теорию RCF вещественно замкну-
тых полей из теории OF добавлением аксиомы
0<х-»Зг/ (у-у = х)
и для каждого нечетного п такой же аксиомы, как мы.
добавляли, чтобы получить ACF.
Теперь применяем теорему об элиминации кванторов
для того, чтобы показать, что RCF допускает элиминацию
кванторов. Условие изоморфизма теперь говорит следую-
щее: если ©т/ и — вещественно замкнутые поля и ср —
изоморфизм между подкольцом поля , содержащим 1,
и подкольцом поля , содержащим 1, то <р можно рас-
ширить до изоморфизма между вещественно замкнутым
подполем поля и вещественно замкнутым подполем
поля оЛ-'. (Конечно, этот изоморфизм должен сохранять
порядок.) Опять-таки мы вначале расширяем ср до изо-,
морфизма между наименьшими подполями, включающими
эти подкольца, а затем полученный изоморфизм до изо-
морфизма между наименьшими вещественно замкнутыми
подполями, включающими эти подполя.
5.5. ПОЛНЫЕ ТЕОРИИ
137
Мы видим, как и ранее, что проверка подмодельного
условия сводится к доказательству следующего: если е® —
вещественно замкнутое поле, оД — вещественно замкнутое
подполе поля а®, гх....гп — многочлены с коэффициен-
тами из <=>/, b принадлежит <33, то существует а из
такое, что
Г/(а) = 0	и (&) = 0 и г{ (а) < 0 «-► г{ {Ь) < 0.
Снова мы можем предполагать, что ни один из г,- не
является постоянным многочленом 0. Если г; (&) = 0, то & —
алгебраический элемент над и, следовательно, при-
надлежит таким образом, мы могли бы взять а = Ь.
Поэтому мы можем предполагать, что Г/ (6) для всех t.
Предположим вначале, что существует корень с неко-
торого многочлена гг и корень d некоторого многочлена
г, такие, что c<Zb<Zd. Так как многочлен имеет только
конечное число корней, то можно предполагать, что ни
один из многочленов rlt гп не имеет корней между
с и d. Тогда каждый из многочленов гъ ..., г„ имеет
один и тот же знак в каждой точке из е® между cud.
(Это происходит потому, что многочлен в вещественно
замкнутом поле, положительный в некоторой точке и
отрицательный в некоторой другой точке, имеет корень
между этими точками.) Ввиду сказанного выше с и d
принадлежат ; таким образом, мы можем взять а =
= ^(c+d).
Теперь предположим, что никакой корень каждого
многочлена г{ не превосходит Ь. Тогда знак многочлена г;
во всех точках, больших	такой же, как его знак
в точке Ь. Знак многочлена г; при больших значениях
аргумента определяется по знаку коэффициента много-
члена г; при высшей степени и, следовательно, один и
тот же в <г^ и в 3%. Таким образом, если мы выберем а
из достаточно большим, то каждое rt (а) будет иметь
тот же знак, что и гД&). Подобное доказательство можно
провести и в том случае, когда ни один корень любого
многочлена rt не меньше Ь.
Так как упорядоченное поле всегда имеет упорядочен-
ное подполе, изоморфное упорядоченному полю рацио-
нальных чисел, то можно, как и раньше, показать, что
каждая формула теории RCF, свободная от переменных,
138
ГЛ, 5. ТЕОРИЯ МОДЕЛЕЙ
разрешима в RCF; следовательно, теория RCF полна.
Таким образом, RCF эквивалентна теории упорядочен-
ного поля действительных чисел. Из этого легко можно
получить аксиомы для поля действительных чисел (см. за-
дачу 17).
5.6.	Категоричность
Скажем, что теория Т категорична, если любые две
модели теории Т изоморфны. Например, пусть Т — теория
без нелогических символов и с единственной нелогической
аксиомой х = у. Тогда каждая модель теории Т содержит
только один индивид, и легко видеть, что любые две
такие модели изоморфны.
Можно дать и более сложные примеры, чем этот; но
все эти примеры имеют только конечные модели. Дей-
ствительно, если Т имеет бесконечную модель, то теорема
о мощности показывает, что Т имеет модели многих раз-
ных мощностей, а две модели с различными мощностями
не могут быть изоморфными.
Это приводит нас к обобщению нашего определения.
Пусть ш —некоторая бесконечная мощность. Теория Т
называется m-капгегоричной (или категоричной в мощно-
сти т), если каждые две модели теории Т мощности ш
изоморфны. Тогда мы имеем следующие возможности:
(i)	Т является m-категоричной для каждой in. При-
мером служит теория без нелогических символов и без
нелогических аксиом.
(ii)	Т не nt-категорична ни для какой ш. Примером
служит теория без нелогических аксиом и только с одним
унарным предикатным символом в качестве нелогического
символа. Известно также, что этим свойством обладает
теория RCF.
(iii)	Т является ^-категоричной, но не ш-категорич-
ной ни для какой несчетной ш. Например, пусть един-
ственным нелогическим символом теории Т является унар-
ный предикатный символ Р. Пусть нелогические аксиомы
теории Т утверждают, что для каждого натурального
числа k существуют по крайней мере k индивидов, при-
надлежащих множеству Р, и по крайней мере k индиви-
дов, не принадлежащих множеству Р. Другой пример
приводится в задаче 23.
5.6. КАТЕГОРИЧНОСТЬ
139
(iv)	Т является m-категоричной для несчетной т,
по не №о’категоричной. Например, пусть нелогическими
символами теории Т будет бесконечная последовательность
констант Ci, е2...... а нелогичсскими аксиомами будут
е> ej для I ф j. Известно также, что этим свойством
обладает теория ACF.
Для счетных теорий имеются только эти возможности,
так как теорема Морли утверждает, что если счетная
теория ш-категорична для какой-то несчетной ш, то она
ш-категорична для всех несчетных ш. Так как доказа-
тельство этой теоремы довольно длинное, то оно здесь
не приводится.
Полезность понятия категоричности показывает сле-
дующая
Теорема Лося —Boot а. Пусть некоторая
бесконечная мощность. Если Т — непротиворечивая т-тео-
рия, имеющая только бесконечные модели, и Т является
т-категоричной, то Т полна.
Доказательство. Предположим, что существует
замкнутая формула А, которая неразрешима в Т. По
следствию к теореме о редукции для непротиворечивости
обе теории 7" [Д >1] и Т[“|”|Л] непротиворечивы. Поэтому
обе эти теории имеют модели и эти модели бесконечны,
потому что каждая модель теории Т бесконечна. По тео-
реме о мощности существует модель теории Т[ПЛ]
мощности m и модель @50 теории Т[~П Л] мощности ш.
Так как Т является m-категоричной, то е/ и й изо-
морфны. Это невозможно, так как (Л)=Л и (Л) = И.
Вместе с результатом, упомянутым в (iv), эта теорема
дает новое доказательство полноты теории ACF.
Теперь будем исследовать Хо'категоРичность- В остав-
шейся части этого параграфа zlt z2t ... будут означать
переменные, расположенные в алфавитном порядке. Пи-
шем Л[«1( ..., ап} вместо Л^.....л-л[«ь «^.Обозна-
чим через 5Л(А) множество формул языка А, в которых
нет свободных переменных, отличных от zr.......zn.
Пусть — некоторая структура для А и alt ...» ап —
некоторые индивиды из оЛ. Типом п-ки (а1г ..., ап) на-
зывается множество всех формул Л из Sn (L) таких, что
ГЛ (Л [/1( ..., /л]) = И,
гДе /1( ..., 1п — имена индивидов alt ..., ап соответст-
140
ГЛ, 5. ТЕОРИЯ МОДЕЛЕЙ
венно. п-типом в называется тип некоторой n-ки инди-
видов из . Так, единственным 0-типом в orf является
множество замкнутых формул, истинных Ве/. Если Т —
теория, то мы пишем 5Л(Т) вместо 5Я(Л(Т)) и каждый
/г-тип в модели теории Т называем п-типом в Т.
Отметим несколько простых фактов про типы. Если Г
есть /г-тип в структуре для L и А принадлежит Sn(L),
то в точности одна из формул А или А принадлежит Г.
Отсюда следует, что если один /г-тип включается в дру-
гой, то эти два /г-типа совпадают. Если
HMi V • • - V
где Alt ..., Ak принадлежат Sn(T), то каждый /г-тип
в Т содержит по крайней мере одну из формул At. Если
|— рА^ —>... —> Ak —* В, где формулы А^, ..., Ak, В при-
надлежат Sn(T), то отсюда следует, что каждый /г-тип
в Т, содержащий Alt .... Ak, также содержит и В.
Лемма. Пусть Т — счетная теория и Г — непустое
множество формул из Sn (Т) такое, что никакая дизъюнк-
ция отрицаний формул из Г не является теоремой тео-
рии Т. Тогда существует п-тип в конечной или счетной
модели Т, содержащий Г.
Доказательство. Образуем Т' из Т добавлением
и новых констант elt .... еп и добавлением А [е1(..., еп]
в качестве аксиомы для каждой А из Г. По предполо-
жению, по теореме редукции для непротиворечивости и по
теореме о константах теория Т' непротиворечива. По
теореме полноты и по теореме Лёвенгейма —Скулема Т'
имеет конечную или счетную модель orf. Пусть ai = &£ (в/).
Тогда о^\Ь(Т) является конечной или счетной моделью
теории Т и тип /г-ки (ах, .... ал) в этой модели содер-
жит Г.
Следствие. Если Т — счетная теория и Г есть п-тип
в Т, то Г есть п-тип в конечной или счетной модели тео-
рии Т.
До казательство. Если Alt ..., Ak принадлежат Г,
то не может выполняться Н т П A V • -  V П Л*; отсюда сле-
довало бы, что некоторая i At принадлежит Г. По лемме
некоторый /г-тип в конечной или счетной модели теории Т
содержит Г и, следовательно, равен Г.
Пусть Г —некоторое множество формул из 5Л(Т). Фор-
мула А из Sn (Т) называется образующей для Г, если "| А
5.8. КАТЕГОРИЧНОСТЬ
141
не является теоремой теории Т и (— ТА-+В для каждой
формулы В из Г. Если Г имеет какую-то образующую,
то назовем множество Г главным.
Если А — образующая для /г-типа Г, то А принадле-
жит Г. Иначе "| А принадлежала бы Г; поэтому (— тА->
следовательно, по теореме тавтологии (— т~\А.
Отсюда следует, что Г —множество всех формул В из
S,t (Т) таких, что (— тА->В. Это показывает, что главный
«-тип определяется любой своей образующей.
Теорема Эренфойхта. Пусть Т — счетная непро-
тиворечивая теория и Г —некоторое подмножество множе-
ства Sn(T), не являющееся главным. Тогда существует не
более чем счетная модель теории Т такая, что ника-
кой п-тип в <гЛ не содержит Г.
Доказательство. По лемме из § 5.3 Тс содержит
только счетное число специальных констант. Поэтому мы
можем расположить множество /г-ок различных специаль-
ных констант из Тс в последовательность.
Определим индуктивно последовательности Alt А2, ...
замкнутых формул из Тс так, что
(а)	Т^Т^..........Ак\ непротиворечива;
(б)	Ак есть	.... гл], где А принадлежит Г и
(г1( .... гл) —&-я по порядку /г-ка в вышеуказанной по-
следовательности. Прежде всего Т непротиворечива; следо-
вательно, То = Тс непротиворечива по лемме 3 из § 4.2.
Теперь предположим, что Alt ..., Akl уже выбраны,
и пусть Л —множество формул А из Sn(T) таких, что
4[г1( •••> гл]-теорема теории Для любой такой А
формула
А[гъ .... гл]
по теореме дедукции является теоремой теории Тс. Из
Доказательства леммы 3 из § 4.2 мы видим, что эта формула
имеет доказательство в Тс, которое использует специаль-
ные аксиомы только для г1( ..., гл и специальных кон-
стант, входящих в Alt ..., Akl. Отсюда следует, что
если В — конъюнкция.этих специальных аксиом и А1г ...
Дй-1, то В->-4[Г1, .... гл] выводима в Тс без спе-
циальных аксиом для каждой А из А.
Можно записать В как C[/*i, ..., /*т], где т^п,
ri, ..., гт различны и формула С принадлежит Sm(T).
По теореме о константах (— ТСА для каждой А из А.
142
ГЛ. 5. ТЕОРИЯ МОДЕЛЕЙ
Если С' — формула Згл+1... 3zmC, принадлежащая Sn (Т),
то по правилу 3-введения	для каждой А из А.
Так как С[г1г ..., rmj — теорема теории Tk.-lt то по
теореме подстановки и правилу отделения С [л,..., г„] —
теорема теории Tk-r. Так как Тft_j непротиворечива, то
П С l/i....г„] не является теоремой теории Tft_i; таким
образом, “| С' не является теоремой теории Т. Но С' не
является образующей для Г; таким образом, должна су-
ществовать формула А в Г такая, что С -> А не является
теоремой теории Т. Тогда А не принадлежит А. Пусть
Ak есть П А [/*!, ..., г„]. Тогда по следствию к теореме
редукции для непротиворечивости Th непротиворечива.
Образуем Т', добавляя все 41, Д2> ... в качестве но-
вых аксиом к теории Тс. Каждая конечная часть теории Т’
имеет некоторую 7\ в качестве своего расширения и поэ-
тому непротиворечива. Следовательно, по теореме компакт-
ности и теореме полноты теория Т' непротиворечива. Как
следует из леммы 4 из § 4.2 Т' имеет модель такую,
что каждый индивид из а/l есть аД (г) для бесконечно
многих г. Такая модель, конечно, не более чем счетна.
Пусть <21, ..., ап — индивиды из оА. Тогда можно найти
различные специальные константы rlt .... гп такие, что
&Д (г2) = а1г ... , аД (гп) = ап. Для некоторой А из Г фор-
мула "|4[Ai, .... является аксиомой теории Т' и,
следовательно, истинной в оА. Применяя лемму из § 2.5,
заключаем, что “] А находится в типе /г-ки (ai, ..., а„);
таким образом, Г не содержится в типе /г-ки , ап).
Это показывает, что Г не содержится в /г-типе в а/.
Теорема Рылль-Нардзевского. Пусть Т —
полная счетная теория, имеющая только бесконечные мо-
дели. Тогда следующие условия эквивалентны:
(а)	Т является ^-категоричной;
(б)	для каждого п теория Т имеет лишь конечное число
п-типов;
(в)	для каждого п каждый п-тип в Т главный.
Доказательство. Предположим, что Т имеет
n-тип Г, не являющийся главным; покажем, что тогда (а)
и (б) ложны. По теореме Эренфойхта существует счетная
модель аД теории Т, в которой Г не является /г-типом,
в то время как по следствию к лемме существует счетная
модель теории Т, в которой Г является /г-типом. Так
как аД и не изоморфны, то (а) ложно.
6.6. КАТЕГОРИЧНОСТЬ
143
Теперь покажем, что (б) ложно. Так как п-тип Г не
главный и так как конъюнкция формул из Г принадле-
жит Г, то по индукции можно выбрать формулы Л1Г
Д2, ... теории Т такие, что для каждого k формула
(/ij &... & Л*. j) -> Ak не является теоремой теории Т.
Тогда формула "| Ai V ... V 1 ^л-i V "I 1 А не является
теоремой теории Т. Следовательно, по лемме существует
п-тип Г* в Т, который содержит Ai,	, Д*^, "| Л*. Ясно,
что n-типы Г* различны.
Теперь предположим, что (в) верно и докажем (а) и
(б). Начнем с (б). Фиксируем п. Для каждого n-типа в Т
выберем образующую, и пусть эти образующие будут Д1(
Л2, ... Тогда никакой п-тип не может содержать все фор-
мулы 1 Д1, “| Л2, • • • Следовательно, по лемме 2 и теореме
тавтологии существует k такое, что Аг\] ...\J Ak является
теоремой теории Т. Тогда каждый п-тип в Т содержит Л,-.
Но если некоторый п-тип содержит Л/, то он содержит
и п-тип с образующей А, и, следовательно, совпадает
с этим п-типом. Таким образом, n-типами являются лишь
n-типы с образующими Дп .... А/г.
Теперь докажем (а). Пусть оЛ и <£& — модели теории Т
мощности Ко- Расположим все элементы множеств I |
и |е®| в последовательности различных элементов. Будем
располагать их в новые последовательности alf а2, ... и
blt b2, ... так, чтобы для каждого п (щ, ..., ап) и
(blf ..., Ьп) имели одинаковый тип. Вначале мы должны
показать, что это выполняется для п = 0, т. е. что пустая
последовательность имеет одинаковый тип и в оЛ, и в е%!.
Это означает, что одинаковые замкнутые формулы истинны
в вЛ и е®, а это выполняется по лемме 1 из § 5.5.
Теперь предположим, что элементы о1( ..., п„_1( Ьъ ...
..., bn.i уже выбраны. Сперва предположим, что п чет-
ное. Пусть ап — первый индивид в старой последователь-
ности индивидов из <?.#, которого нет среди .....ап_л.
Пусть Г —тип п-ки ((?!, ..., ап}, а А — образующая для Г.
Тогда Э^Л принадлежит типу п — 1-ки .......а„.л) и, сле-
довательно, типу п — 1-ки (bi..............bn а). Отсюда следует, что
мы можем выбрать Ьп в | & | так, что А принадлежит
типу n-ки (Ь^ ..., bn). Тогда тип n-ки (Ьг...Ьп) вклю-
чает Г и поэтому должен быть равен Г. Более того,
bnT^bi для z<n; действительно, и, следовательно,
формула zn^Zi принадлежит Г.
144
ГЛ. 5. ТЕОРИЯ МОДЕЛЕЙ
Если п нечетно, то пусть Ьп — первый индивид из ста-
рой последовательности индивидов из «®, которого нет
среди blt ..., bnl. Мы можем тогда выбрать ап, как и-
выше. Первые п членов старой последовательности эле-
ментов из встречаются среди Пц .... я2л; таким обра-
зом, каждый индивид из erf есть а,. Аналогично, каждый
индивид из <£% есть &z. Поэтому мы можем определить:
биективное отображение <р из | erf | в | е® | следующим
образом: ф (аг) По лемме 2 из § 5.2 ф — изоморфизм.
В качестве приложения теоремы Рылль-Нардзевског
покажем, что Th(©<T) не является К0-категоричной. В дей-
ствительности легко видеть, что если i и / — различные
натуральные числа, то тип I отличается от типа /. Таким
образом, Th(®^°) имеет счетные модели, не изоморф-'
ные ©^*.
Задачи
1.	Пусть Г —множество замкнутых формул языка L. Пусть,
Ж (Г) — такое же множество, как и в задаче 5 из главы 4, и пусть
Ж® (Г) — множество таких V, принадлежащих Ж (Г), что для некото-
)0й структуры от/ для L имеем V (A) = 3rf (А) для всех А из Г.
Доказать, что (Г) замкнуто в Ж (Г) и, следовательно, компактно.
Применить теорему компактности.)
2.	Пусть 3 — класс структур для L. Если существует формула А
языка L такая, что 3 — класс всех структур, в которых А является
истинной, то 3 называется элементарным классом. Если существует
теория Т языка L такая, что 3 — класс всех моделей теории Т, той на-
зывается обобщенно элементарным классом *).
(а)	Показать, что класс структур для L является элементарным
классом тогда и только тогда, когда он является классом всех моде-
лей некоторой конечно аксиоматизируемой теории языка L.
(б)	Показать, что класс структур для L есть обобщенно элемен-
тарный класс тогда и только тогда, когда он является пересечением .
некоторого семейства элементарных классов.
(в)	Пусть А — некоторое семейство обобщенно элементарных
классов и 3 — элементарный класс, содержащий пересечение всех эле-
ментов из А. Показать, что существует конечное подсемейство А'
семейства А такое, что 3 содержит пересечение всех элементов из Д'.
[Применить теорему компактности.)
(г)	Пусть 31, 3», ... — последовательность элементарных классов
таких, что.для всех п класс Злц есть собственный подкласс класса .
Зл. Показать, что пересечение всех Зл не является элементарным ;
классом. [Применить (в).]
*) В советской литературе принят термин аксиоматизируемый
класс. — Прим. ред.
ЗАДАЧИ
145
(д)	Пусть 3 — обобщенно элементарный класс, 3' — класс струк-
тур для L, которые не принадлежат 3. Показать, что 3 — элементар-
ный класс тогда и только тогда, когда 3' является обобщенно эле-
ментарным классом. [Применить (б), (в) и (а).]
3.	(а) Пусть — структурадля L и В — непустое подмножество
множества |	|. Показать, что ‘ существует наименьшее подмноже-
ство С множества | q-З |, включающее В и являющееся универсумом
некоторой подструктуры структуры Я7/. Подструктуру с универсу-
мом С мы называем подструктурой, порожденной множеством В.
(б)	Пусть <33 — подструктура структуры е^, порожденная мно-
жеством В. Показать, что если nt — наибольшая из следующих мощ-
ностей: Ко, мощность множества В и мощность множества функцио-
нальных символов языка L,—то мощность структуры а® не превос-
ходит nt. В частности, если L — счетный язык и множество В счетно,
то структура а® счетная.
(в)	Структура называется конечно порожденной, если суще-
ствует конечное подмножество В множества |	| такое, что под-
структура структуры , порожденная множеством В, совпадает
с (Vg. Показать, что структура имеет расширение, являющееся
моделью теории Т, тогда и только тогда, когда каждая конечно по-
рожденная подструктура структуры имеет расширение, являю-
щееся моделью теории Т. [Если не имеет такого расширения, то
по теореме о расширении модели существует открытая теорема А
теории Т, не являющаяся истинной в ©т/. Показать, что А не яв-
ляется истинной в некоторой конечно порожденной подструктуре
структуры 3>/.J -
(г)	Показать, что структура для открытой теории Т является
моделью теории Т тогда и только тогда, когда каждая конечно по-
рожденная подструктура структуры является моделью теории Т.
[Применить (в) и теорему Лося — Тарского.}
(д)	Группа называется полной, если для каждого положи-
тельного целого числа п и каждого индивида а из существует
индивид Ь из	такой, что Ьп = а. Показать, что каждая абелева
группа изоморфна подгруппе некоторой полной абелевой группы.
[Всякая циклическая группа изоморфна некоторой подгруппе муль-
типликативной группы отличных от нуля комплексных чисел, а эта
группа является полной. Обобщить результат на конечно порожден-
ные абелевы группы и затем применить (в).]
4.	(а) Пусть Г —регулярное множество формул языка В и ,
—структуры для L такие, что каждая дизъюнкция отрицаний фор-
мул из Г, истинных в , является истинной в а®, Показать, что
существует Г-расширение структуры 33, изоморфное некоторому эле-
ментарному расширению структуры . [Обогатить <33 до структуры
для L (я>/). Найти Г-расширение структуры 3i', являющееся
моделью теории Пг(3>/).[
(б)	Показать, что если и — структуры для L, то и <33
элементарно эквивалентны тогда и только тогда, когда они имеют
изоморфные элементарные расширения. [Применить (а).[
5.	Пусть и — структуры для L и Г — некоторое множество
Формул языка L. Г-морфизмом из в <33 называется отображение ф
из I оЗ | в |а®| такое, что для каждой формулы А, принадлежащей
1 (аЗ), из а//(Д) = И следует <33 (ДЧ) = И.
146
ГЛ. 5. ТЕОРИЯ МОДЕЛЕЙ
(а)	Показать, что если |	| — подмножество множества | а® |,
то <vg есть Г-подструктур а структуры тогда и только тогда,
когда тождественное отображение из |	| в |	| является Г-мор-
физмом.
(б)	Показать, что если х~е принадлежит Г и ф —Г-морфизм
из дД в Д тоф («Д (е)) = й$? (е).
(в)	Если ф —отображение из | дД | в | а® |, то мы обогащаем ДЗ
до структуры для L (аД), придавая значение ф(а) имени инди-
вида а. Показать, что ф является Г-морфизмом тогда и только тогда,
когда йЗЭф является моделью теории ь>г(дД). [Вначале показать,
что (А) = ДЗ([1(АЧ:) = ДЗ (А'Р) для любой замкнутой формулы А
языка L («Д).]
(г)	Множество формул Г называется инвариантным, если для
каждой формулы А из Г каждая формула А [jq, , х„] принадле-
жит Г. Показать, что если Г инвариантно и L (T) = L, то Г-морфизм
из дД в некоторую модель теории Т существует тогда и только
тогда, когда каждая теорема теории Т, являющаяся дизъюнкцией
отрицаний формул из Г, является истинной в дД. [Аналогично до-
казательству теоремы о расширении модели.]
(д)	Пусть Г — инвариантное множество формул, содержащее х = у,
Д—множество формул, содержащее каждую формулу Vjq... Vx„А,
где А —дизъюнкция отрицаний некоторых формул из Г, ф—Д-мор-
физм из «Д в <£$. Показать, что существует Г-морфизм ф из <£$ в не-
которое элементарное расширение Д структуры дД такой, что фф
есть тождественное отображение из | дД' [в | & |- [Аналогично дока-
зательству следствия к теореме о расширении модели.]
6. Формула называется позитивной, если она находится в пре-
нексной форме и ее матрица построена из атомных формул с по-
мощью нескольких применений дизъюнкций и конъюнкций. Формула
называется негативной, если она есть отрицание позитивной фор-
мулы. Если Г —множество атомных (позитивных, негативных) фор-
мул, то вместо Г-морфизма мы будем говорить о гомоморфизме (по-
зитивном гомоморфизме, негативном гомоморфизме).
(а)	Показать, что отображение ф из | дД | в | Д? | является гомо-
морфизмом тогда и только тогда, когда для всех нелогических сим-
волов f и р и для всех ai, ..., ап из | дД |
<Р (Де («1...an)) (ф (01)........Ф (ол))
И
Рл («1.....о„)	-> (Ф (at).....Ф (а„)).
Показать, что в этом случае ф («Д' (а)) — <2^3(а^) для каждого сво-
бодного от переменных терма а языка L («Д).
(б)	Показать, что сюръективный гомоморфизм является позитив-
ным гомоморфизмом.
(в)	Показать, что если ф —негативный гомоморфизм из «Д' в Д?,.
то существует позитивный гомоморфизм ф из в некоторое эле-,
ментарное расширение структуры «Д такой, что фф является
тождественным отображением | дД | в | [Применить 5 (д).]
(г)	Пусть ф —позитивный гомоморфизм из дД в <33. Показать,
что существует элементарное расширение «Д' структуры «Д и не-
гативный гомоморфизм ф из ДЗф в о^'л. [Применить 5 (г) для по-
ЗАДАЧИ
147
лучения негативного гомоморфизма из в некоторую модель тео-
рии De(aS)]
(д)	Пусть ф —позитивный гомоморфизм из aS в S3. Показать,
чго существуют элементарные расширения aS' и S3' структур и
./? соответственно и позитивный гомоморфизм ф' из PS' в S3',
являющийся расширением гомоморфизма ф, такие, что ф' (aS')
включает [S3]. [Выбрать qS', как в (г), и использовать (в) для
нахождения позитивного гомоморфизма ф' из aS'jt в некоторое эле-
ментарное расширение структуры S3^. Положить S3' = г&\L.J
(е)	Скажем, что структура S3 есть голоморфный образ струк-
туры aS, если существует сюръективный гомоморфизм из qS в S3.
Показать, что если существует позитивный гомоморфизм из aS'
в то некоторое элементарное расширение S3 структуры S3'
является гомоморфным образом некоторого элементарного расшире-
ния aS структуры pS'. [Взять aS и S3 как объединения элемен-
тарных цепей, построенных с использованием (д).[
(ж)	Показать, что теория Т эквивалентна теории, нелогические
аксиомы которой позитивны тогда и только тогда, когда каждый го-
моморфный образ модели теории Т является моделью теории Т. [Для
доказательства части «только тогда» использовать (б). Предположим,
что S3—структура, в которой каждая позитивная теорема теории Т
является истинной. Показать, что если Г — множество негативных
формул, истинных в &%?, то теория Т [Г] непротиворечива. Поль-
зуясь 5 (г), найти позитивный гомоморфизм из модели aS теории
Т [Г] в некоторое элементарное расширение структуры S3- Затем
применить (е), чтобы показать, что S3 — модель теории T.J
7. Пусть aS i будет структурой для L для каждого i из непу-
стого множества I. Прямым произведением aS = | J aSi называется
i I
структура для L, определенная следующим образом. Универсум
структуры aS есть множество ] [ | aSi I и
ie I
....ОЛ))/=/л.((О1)«....... (Oi),
•••• ап) -	((«1);...(«„)/)	Для ВСеХ Л
(а)	Пусть Л/ (a) = (a)i для а из | aS Показать, что л;—сюръек-
тивный ГОМОМОрфизМ ИЗ aS В aSi-
(б)	Показать, что если А — формула языка L (aS), свободная
от переменных, то aS (А) = И тогда и только тогда, когда
с/,- (дП0 = И для всех i из I. [Применить (а) и 6 (а).[
(в)	Назовем формулу формулой Маккинси, если она представляет
собой дизъюнкцию формул, каждая из которых является либо атом-
кои, либо отрицанием атомной формулы, и самое большее одна из
этих формул атомная. Показать, что если А — замкнутая формула
•Маккинси языка L (aS) такая, что aS i (дП‘) = И для всех i из I,
то qS (Д) = И. [Предположить, что aS (А) = Л, и применить (б).]
(г)	Назовем формулу формулой Хорна, если она находится в пре-
иексной форме и ее матрица есть конъюнкция формул Маккинси. По-
казать, что результат из (в) обобщается на формулы Хорна.
148
ГЛ, 5. ТЕОРИЯ МОДЕЛЕЙ
[Применить индукцию по числу кванторов.] Вывести, что если формула
Хорна является истинной в каждой структуре ру/,-, то она является;
истинной и в .
(д)	Пусть Т — теория такая, что каждое прямое произведение,
моделей теории Т есть снова модель теории Т. Пусть • “] A1\J...'
Ап\/B1\J.. , \JBm — теорема теории Т, где ш > 0, а А,- и
Zf/ —атомные. Показать, что для некоторого ; формула ”] А^\1... V ~] Ал V
\jB} является теоремой теории Т. [Предположить, что такого J не
существует. Найти модель теории Т такую, что “] AjV---
...VI	не является истинной в д^,-, и показать, что
“I AjV-’-Vn Ап\/B-iV.-Л/Вп не является истинной в прямом произ-
ведении структур rpfj.J
(е)	Показать, что теория Т эквивалентна теории, у которой
аксиомы являются формулами Маккинси, тогда и только тогда, когда1
каждая подструктура модели теории Т является моделью теории Т и.
каждое прямое произведение моделей теории Т является моделью-
теории Т. [Применить теорему Лося —Тарского, (в), задачу 11 (б)
из главы 3 и (д).]
8.	Класс 3 структур для L называется замкнутым, если каждая
подструктура структуры из 3 находится в 3, каждый гомоморфный
образ структуры из 3 находится в 3 и каждое прямое произведение
структур из 3 находится в 3. Обозначим через At (Г') множество-
атомных формул, которые являются истинными в каждой структуре
из 3.
(а)	Пусть 3 — замкнутый класс структур для L, L' получается
из L добавлением непустого множества новых констант и 3' — мно-
жество обогащений до L' структур из 3, Показать, что 5' замкнут-,
и At (3)— подмножество множества At (3')-	;
(б)	Пусть обозначения такие же, как и в (а), и пусть А — фор-
мула языка L', свободная от переменных, не являющаяся частным,
случаем формулы из At (3). Показать, что существует из 3'
такая, что (А)=Л, и такая, что каждый индивид из есть,
(а) для некоторого свободного от переменных терма а языка L'.
[Выбрать структуру е® в 3' так, чтобы (А) = Л, и взять любую;
подструктуру.]
(в)	Пусть обозначения такие же, как и в (а). Показать, что су-
ществует структура из 3' такая, что
(i)	каждая атомная формула языка L', свободная от переменных,
истинная в есть частный случай некоторой формулы из At (3);;
(ii)	каждый индивид из оД есть (а) для некоторого свобод-
ного от переменных терма а языка L'. [Применить (б) и 7 (б).]
(г)	Пусть 3—некоторый замкнутый класс структур для L. По-
казать, что если с®—структура для L, в которой каждая формула
из At (3) является истинной, то <£$ принадлежит 3. [Пусть L' будет
и такая же, как в (в). Если А —атомная формула
языка L', свободная от переменных, то из «^(А) —И следует,
&$(А)=И. Определим сюръективный гомоморфизм <р из в
полагая (а)) = ^Эж (a).J
(д)	Показать, что класс 3 структур для L замкнут тогда и-
только тогда, когда этот класс является классом всех моделей тео-
рии языка L, нелогические аксиомы которой атомные. [Для доказа-
тельства части «только тогда» применить (г).J
ЗАДАЧИ
149
9.	Если У — теория, язык которой есть расширение языка L, то
обеднением, теории Т до L назовем теорию, язык которой есть L и
нелогические аксиомы которой представляют собой формулы языка L,
являющиеся теоремами теории Т.
(а)	Пусть / — обеднение теории Т' до L. Показать, что струк-
тура для L является моделью теории Т тогда и только тогда,
когда какое-то обогащение некоторого элементарного расширения
структуры является моделью теории Т'. [Пусть — модель
теории Т\ применить теорему о совместной непротиворечивости, чтобы
показать, что Т' \JDe(prf) непротиворечива.]
(б)	Привести пример теории Т', обеднения Т теории Т' и мо-
дели теории-Т, не имеющей обогащения, являющегося моделью
теории Т' [Пусть Т‘ имеет в качестве нелогических символов кон-
станты elt eit ... и в качестве нелогических аксиом все формулы
e-^ej для j. Получить Т отбрасыванием ev]
(в)	Пусть У' —расширение теории Т. Показать, что Т' является
консервативным расширением теории Т тогда и только тогда, когда
для каждой модели теории Т какое-то обогащение некоторого
элементарного расширения модели является моделью теории Т'.
[Применить (а).]
(г)	Пусть У —теория, язык которой есть расширение языка L и
3 — класс обеднений моделей теории Т до L. Предположим, что каж-
дая подструктура произвольной структуры из 3 находится в 3. По-
казать, что 3 есть множество всех моделей обеднения Т' теории Т до L и
что Т' эквивалентна открытой теории. [Применить (а) и теорему
Лося —Тарского.]
(д)	Пусть У —открытая теория, язык которой получается из L
добавлением предикатных символов. Пусть grf —структура для L.
Показать, что имеет обогащение, являющееся моделью теории Т,
тогда и только тогда, когда каждая конечно порожденная подструк-
тура структуры gig имеет обогащение, являющееся моделью тео-
рии т, [Пусть 3 такое же, как в (г); показать, что каждая под-
структура структуры из 3 находится в 3. Затем применить (г) и
3(в).[
(е)	Гипотеза четырех красок утверждает, что любую карту можно
раскрасить четырьмя красками так, что никакие две соседние страны
не будут иметь одинаковый цвет. Показать, что если гипотеза четы-
рех красок справедлива для карт с конечным числом стран, то она
справедлива для всех карт. [Будем рассматривать карту как струк-
туру, индивидами которой являются страны, и с бинарным преди-
катом быть соседней страной к стране. Показать, что карту можно
раскрасить четырьмя красками тогда и только тогда, когда эта
карта имеет обогащение до модели подходящей открытой теории,
содержащей четыре унарных предиката. Затем применить (д).]
10.	Обозначим через ЗГ множество всех формул 3Xj ... ЗхлА,
где А из Г, и через УГ множество всех формул Vj^, ... хпА, где А
113 Г. Определим Зл и Ул индуктивно следующим образом: 30 и Уо —
множество всех открытых формул, 3Лт1 = ЗУл, УЛ+1 = УЗЛ. Пусть
множество формул, полученных из формул в Зл и Ул с по-
мощью применения отрицаний и дизъюнкций.
(а)	Пусть Г —некоторое множество формул языка L, а® —струк-
тУРа для L, (Vg— подструктура структуры Показать, что если
150
ГЛ. 5. ТЕОРИЯ МОДЕЛЕЙ
некоторое элементарное расширение структуры есть Г-расшире-
ние структуры е®, то а5@ есть УГ'-расширение структуры 3>/,
где Г' —множество отрицаний формул из Г.
(б)	Показать, что каждая формула из Вп имеет пренексную
форму, находящуюся в Зл+1, и пренексную форму, находящуюся
в Ул14. Показать, что отрицание формулы из Зл (V„) имеет пренексную
форму, находящуюся в V„ (Зл).
(в)	п-сандвичем для L называется последовательность 3?/0.cv^n
структур для L таких, что ц — расширение структуры Ci/gi для
i<Zn и	— элементарное расширение структуры для
i<Zn— 1. Пусть е®— расширение структуры . Показать, что <£$
есть Ул-расширение структуры (Vg тогда и только тогда, когда су-
ществует (п+1)-сандвич, первыми двумя структурами которого
являются оД и а®. [Применить (а), (б) и следствие к теореме о рас-
ширении модели.}
(г)	Показать, что теория Т эквивалентна теории, нелогические
аксиомы которой находятся в Зл, тогда и только тогда, когда для
каждого (n-f- 1)-сандвича для ЦТ), если вторая структура в санд-
виче— модель теории Т, то первая структура в сандвиче—модель
теории Т. [Для доказательства части «только тогда» применить (в)
и (б). Пусть условие выполняется и д>^— структура, в которой все
теоремы теории Т из Зл являются истинными; использовать (б) и
теорему о расширении модели для получения Ул-расширения для ,
являющегося моделью теории Т. Затем применить (в).}
11.	(а) Пусть д^1( q.7^2, ... — цепь структур для L такая, что
для каждого k структура есть Ул-расширение структуры ь-
Показать, что объединение цепи есть V „-расширение каждой
структуры [Аналогично доказательству леммы Тарского.}
(б)	Пусть Т и Т' — теории одного и того же языка, нелогические
аксиомы которых находятся в Зл. Показать, что для п^Л теория
TUT' противоречива тогда и только тогда, когда существует замк-
нутая формула А из Вп такая, что f—j.A и |— т. А. [Предполо-
жим, что такой формулы А не существует. Пусть Г —множество
замкнутых формул из Вп, являющихся теоремами теории Т; опре-
делим Г' подобным же образом. Показать, что Т [Г'] и Т' [Г] непро-
тиворечивы и что одни и те же формулы из Вп_г являются доказуе-
мыми в Т [Г'} и в Г [Г}. Используя теорему о расширении модели,
найти цепь д^1( дд/а, ... такую, что	Вл_грасширение
структуры	— модель теории Т [Г'} и — модель тео-
рии Т' [Г}. Использовать (а), чтобы показать, что объединение цепи
есть Ул-расширение каждой структуры д^* и, следовательно, модель
теории Т U Т'-] Если п = 0, то это же утверждение справедливо при
условии, что мы отказываемся от требования, чтобы А была замк-
нутой, [Применить теорему о непротиворечивости.]
(в)	Пусть \-гА -> В, где А из V„+1, а В из Зл+1- Предположим,
что все нелогические аксиомы теории Т принадлежат 3„. Показать,
что существует формула С из Вп такая, ,что |— ТА -> С и |— ТС В,
[Доказывать аналогично интерполяционной лемме Крейга, исполь-
зуя (б).}
(г)	Пусть Т — теория, нелогические аксиомы которой находятся
в Зл. Показать, что если А эквивалентна в Т формуле из Зл+1 и
ЗАДАЧИ
151
эквивалентна в Т формуле из V„+1, то А эквивалентна в Т формуле
из Вп. [Применить (в).[
12.	(а) Пусть 333 — такое расширение структуры o/g, что для
каждой замкнутой формулы ЗхА языка L {pS} такой, что S3 (ВхА) =
= И, существует такое / в L (pS), что S3 (Ах [/[) = И. Показать,
что S3 — элементарное расширение структуры eS
(б)	Пусть ш —бесконечная мощность, L—m-язык, «^ — струк-
тура для L мощности in и В — подмножество множества | (Sg I мощно-
сти sg: m. Показать, что существует элементарная подструктура S3
структуры (Vg, имеющая мощность ш, такая, что В — подмножество
множества [&®|. [Определить индуктивно последовательность Во, Blt...
подмножеств множества | (Vg | таких, что (i) В0=В; (ii) ес-
ли а±, ..., ап принадлежат то ............... ал) принадлежит
Bk+1 для всех /; (iii) если «^/ (ЗхА [/х......./Л[)=И,	где А —
формула языка L и /1( ... , /„ — имена индивидов из В*, то
c>S (А [/, i1t .... I л[) = И для некоторого имени / индивида из Bft+1;
(iv) Bh имеет мощность m для k ~> 0. Взять в качестве | S3 | объеди-
нение множеств В^ и применить (а).]
(в)	Пусть m—бесконечная мощность, L —m-язык и «^ — беско-
нечная структура для L мощности, не превосходящей ш. Показать,
что ««/ имеет элементарное расширение мощности ш. [Применить
теорему о мощности к De (««/).[
13.	Пусть ат/ —структура для L, Ах и А.,—подмножества мно-
жества | «г/ | • Изоморфизмом между Ах и Аа в называется биек-
тивное отображение <р из Ах в Аа такое, что ««/ (А) = а/ (А'Р) для
каждой замкнутой формулы А языка L (pS) такой, что все имена
из А являются именами некоторых индивидов из АР Автоморфиз-
мом структуры аг/ называется изоморфизм между «г/ и ««/.
(а)	Показать, что биективное отображение из | «т/ | в | ««/1
является автоморфизмом структуры ««/ тогда и только тогда, когда
это отображение является изоморфизмом между I ««/ | и | «т/ | в ««/.
(б)	Пусть <р— изоморфизм между Ат и Аа в «J/. Показать, что
существует элементарное расширение <$? структуры ««/ и изомор-
физм <р' между | ат/ | и некоторым подмножеством множества | S3 |
в S3, расширяющий <р. [Для каждого имени I языка L (««/) ввести
новое имя /'; для каждой формулы А языка L (^) пусть А' полу-
чается из А заменой каждого I на /'. Получить Т' из De (««/) за-
меной каждого I на V. Получить Т из De (««/) следующим путем:
если Z—имя индивида из А1( то добавить константу /' и аксиому
/' = /(₽. Обогатить «т/^ до структуры ««/' теории Т, полагая
cvZ'(/') = ©?/(/ф). Показать, что &S'— модель теории Т и что если
А' —замкнутая формула теории Т, то
е/Г (А') = ««/' (А<₽) = ««/(А).
Вывести, что если |— ТА', то А истинна в ««/. Использовать это и
теорему о совместной непротиворечивости, чтобы показать, что TUT1'
непротиворечива. Пусть <5 — модель теории Т\}Т' такая, что <5? (/) =
= cz/ (0 Для имени / языка L («у/)- Пусть S3 будет S | L, и пусть
<р'(е^(0) = ^ (И !
(в)	Пусть <р —изоморфизм между Aj и Аа в Q/g. Показать, что
существует элементарное расширение S3 структуры «?/ и изомор-
физм <р' между некоторым подмножеством множества | S3 | и множе-
152
ГЛ. 5. ТЕОРИЯ МОДЕЛЕЙ
ством | о/? | в а®, который расширяет <р. [Применить (б) для полу-
чения обратного отображения для <р.]
(г)	Показать, что каждый изоморфизм между подмножествами
множества | erf | в может быть расширен до автоморфизма неко-
торого элементарного расширения структуры оД. [Образовать эле-
ментарную цепь, начинающуюся с аД, в которой элементы полу-
чаются попеременно по (б) и (в).]
(д)	Показать, что если Т имеет бесконечную модель, то Т имеет
модель, в которой существуют два различных индивида, имеющие
одинаковый тип. [Достаточно доказать непротиворечивость теории Т',
полученной из Т добавлением двух констант е и е', аксиомы ефе'
и аксиомы А [е] -> А [е'] для каждой А из S± (Т). Если Т' проти-
воречива, то
t-г (Л1 - [у]) •  • -* (Ап ~ Ап [у]) г1 =3*.
где Ах, ... , Ап из Sx (71)- Вывести, что никакая модель теории Т
не имеет более 2п индивидов.]
(е)	Показать, что если Т имеет бесконечную модель, то Т имеет
модель, в которой есть автоморфизм, отличный от тождественного
отображения. [Применить (д) и (г).]
14.	Пусть Т—теория, р—предикатный символ теории Т и Q—
некоторое множество нелогических символов из Т, не содержащее р.
Скажем, что р дизъюнктивно определим в терминах Q в Т, если
существует теорема теории Т, которая представляет собой дизъюнк-
цию замыканий формул вида рхх  А, где ... , хп раз-
личны и А не содержит нелогических символов, не принадлежа-
щих Q.
(а)	Показать, что если р не является дизъюнктивно определи-
мым в терминах Q, то существует модель оД теории Т такая, что
для каждой формулы А, не содержащей нелогических символов,
не принадлежащих Q, формула рхх... хп А не является истин-
ной в . [Пусть Г —множество отрицаний замыканий таких фор-
мул; показать, что Т [Г] непротиворечива.]
(б)	Показать, что р дизъюнктивно определим в терминах Q
тогда и только тогда, когда для каждой модели ©т/ теории Т
и каждого биективного отображения <р из I Я7/ | в |(/являюще-
гося й-изоморфизмом для каждого а из Q, <р является р-изоморфизмом.
[Если р не является дизъюнктивно определимым в терминах Q, то
берем такую же, как и в (а), и применяем теорему об определи-
мости, чтобы получить модели а® и © теории Th (яя/) и биективное
отображение <р из | а® | в | <<? [, являющееся й-изоморфизмом для
всех й из Q, но не являющееся р-изоморфизмом. После замены
на изоморфную модель применить 4 (б), чтобы получить общее эле-
ментарное расширение для и и применить 13 (г).]
(в)	Обобщить результаты этой задачи на функциональные сим-
волы.
15.	Будем предполагать известной следующую теорему: если
— поле и р — многочлен, отличный от константы, с коэффициен-
тами из , то существует расширение поля оД, являющееся полем,
в котором р имеет корень.
(а)	Показать, что для каждого поля существует расширение
а® поля , являющееся полем, в котором каждый многочлен, отлич-
ЗАДАЧИ
153
ный от константы, с коэффициентами из имеет корень. [Получить
Т из FL (J D (от/) добавлением для каждого многочлена р, отлич-
ного от константы, с коэффициентами из аксиому, утверждающую,
что р имеет корень. Применить теорему компактности, чтобы пока-
зать, что Т имеет модель.]
(б)	Показать, что каждое поле qS! является подполем некоторого
алгебраически замкнутого поля. [Построить по (а) цепь полей, начи-
нающуюся с от/, и применить теорему Чжана — Лося — Сушко.]
16.	Теория Т называется модельно полной, если для каждой
модели а® теории Т каждая подмодель модели является элемен-
тарной подмоделью модели
(а)	Показать, что если Т допускает элиминацию кванторов, то Т
модельно полна. Показать, что если Т — модельно полная открытая
теория, то Т допускает элиминацию кванторов. [Применить теорему
об элиминации кванторов.]
(б)	Предположим, что для каждой модели S3 теории Т каждая
подмодель модели S3 есть Угподмодель модели S3. Показать, что Т
модельно полна. [Пусть &S — подмодель модели е®. Применяя индук-
цию по п и 10(b), показать, что существует n-сандвич, двумя пер-
выми структурами которого являются и S3. Затем снова исполь-
зовать Ю(в).]
(в)	Показать, что если оД и S3— структуры для L такие, что
| orf | — подмножество множества | а® то — элементарная под-
структура структуры S3 тогда и только тогда, когда о/?л элемен-
тарно эквивалентна SS^,
(г)	Показать, что теория Т модельно полна тогда и только
тогда, когда для каждой модели теории Т теория
полна, [Применить (в), лемму о диаграмме и лемму 1 из § 5.5.]
(д)	Модель от/ теории Т называется простой, если каждая
модель теории Т имеет подмодель, изоморфную . Показать, что
если Т модельно полна и имеет простую модель, то Т полна.
17.	Пусть Т получается из FL добавлением аксиом
Зу(ц-у = х\/ уу = —х),
х  х #=— 1,
Зг (г-г = х- х+у у)
и для каждого нечетного п аксиомы, утверждающей, что каждый
многочлен степени п имеет корень.
(а)	Показать, что если — модель теории Т и для а и b из
|	| формула а <Ь означает, что а=6-|-с3для некоторого ненуле-
вого с из | <37/ [, то <зт/ становится вещественно замкнутым полем.
(б)	Показать, что некоторое расширение теории Т с помощью
определений эквивалентно RCF. [Применить (а), следствие к теореме
компактности и полноту RCF.] Вывести, что Т полна и, следова-
тельно, эквивалентна теории поля действительных чисел.
(в)	Показать, что Т не допускает элиминации кванторов. [Пока-
зать, что если А—открытая формула теории Т, в которой нет сво-
бодных переменных, за исключением х, Р—множество действитель-
ных чисел а таких, что А является истинной, когда х принимает
значение а, то либо Р конечно, либо все действительные числа, за
исключением конечного числа, принадлежат Р. Вывести, что 3</ (х =
~ У  У) не эквивалентна в Т никакой открытой формуле.]
154
ГЛ, 5. ТЕОРИЯ МОДЕЛЕЙ
18.	Пусть — поле и S3—кольцо многочленов от п неизвест-
ных с коэффициентами из qS 
(а)	Пусть fi, , fk — многочлены из S3, одновременно обращаю-
щиеся в нуль для некоторого набора аргументов в некотором рас-
ширении поля qj#. Показать, что fi, ... , fk одновременно обращаются
в нуль для некоторого множества аргументов в каждом алгебраически
замкнутом расширении поля . [Применить 16(a) и 16 (г), чтобы
показать, что ACF|JD(g;^) полна*); затем применить лемму 1 из
§ 5.5 и лемму о диаграмме.)
(б)	Показать, что если I — собственный идеал кольца S3, то все
многочлены из Z одновременно обращаются в нуль для некоторого
набора аргументов в некотором поле , являющемся расширением
поля qS . [Применить лемму Цорна, чтобы найти максимальный
идеал J, включающий I. Заметить, что S3/J— поле и естественное
отображение из S3 в S3IJ есть изоморфизм на Взять изоморф-
ным S3 U.]
(в)	Пусть —алгебраически замкнутое поле, являющееся рас-
ширением поля д/fT, и пусть fi, ..., fk — многочлены из S3, одновре-
менно не обращающиеся в нуль для любого набора аргументов из ё.
Показать, что идеал кольца S3, порожденный многочленами Ц, ..., fk,
есть S3. [Применить (а) и (б).]
(г)	Пусть f, gi, ..., ^ — многочлены из е®. Предположим, что
существует алгебраически замкнутое поле являющееся расшире-
нием поля такое, что все общие корни многочленов gi, ...,gk
в являются корнями многочлена f. Показать, что некоторая сте-
пень многочлена f принадлежит идеалу кольца S3, порожденному
многочленами gi, ..., gk (теорема Гильберта о корнях). [Пусть Z —
новая неизвестная. Вывести из (в), что \=higi~f-...-[-hkgkSh (1 — Zf)
для подходящих многочленов hi, ... , hk, h. Подставить у вместо Z
и освободиться от дробей.)
(д) Если f, gi,..., gk такие же, как и в (г), то = Ajgi + • • •
. • • + hkgk для подходящих т, hi,...,hk. Показать, что существуют
границы для т и степеней многочленов А/, которые зависят только
от п и степеней многочленов f и gt. [Для данного п и степеней мно-
гочленов f, gi, ..., gk построить формулу А теории FL такую, что
если jq, ... , xs — данные значения коэффициентов многочленов
f, gi, ...,gk, то А является истинной в некотором расширении ё
поля qS тогда и только тогда, когда все общие корни многочленов
gi, ••• । gk в ё’ являются корнями многочлена f. Пусть В—открытая
формула, эквивалентная формуле А в ACF. Пусть Сг — формула,
которая при тех же значениях п> ..., xs является истинной тогда
и только тогда, когда
f'n = higi + --- + hkgk
для некоторого т
Тогда если ...
и некоторых многочленов hi, hk степеней
, es~-новые константы, то “| В [^....ej —
*) 16 (г) здесь неприменимо, так как не является, вообще
говоря, моделью ACF. Нужно применить 16 (д) и теорему о существо-
вании и единственности алгебраического замыкания.—Прим. ред.
ЗАДАЧИ
155
логическое следствие нелогических аксиом теории FL и формулы
"] Cr [fii,.... ej. Применить теорему компактности.]
19.	Пусть — упорядоченное поле.
(а)	Пусть Д......fu — многочлены от п неизвестных с коэффи-
циентами из , которые одновременно обращаются в нуль для
некоторого множества аргументов упорядоченного поля, являющегося
расширением поля . Показать, что /х,..., одновременно
обращаются в нуль для некоторого множества аргументов в
каждом вещественно замкнутом расширении поля orf. [Подобно
18(a)]
(б)	Многочлен f от п неизвестных с коэффициентами из поло-
жителен в расширении а® для erf, если f принимает только неотри-
цательные значения для аргументов из <£/3. Показать, что если f
положителен в некотором вещественно замкнутом расширении поля
orf, то / положителен в каждом вещественно замкнутом расширении
поля '<27^. [Подобно 18(a).]
(в)	Теорема Артина—Шрайера утверждает, что если а® — расши-
рение поля Qrf и b— индивид из <S3, который не может быть пред-
ставлен в виде	. + cka^ где — положительные индивиды из
orf, то существует упорядочение <£$, превращающее rf в упорядо-
ченное поле, расширяющее порядок поля orf и такое, что 6<0.
Предполагая, что это верно, доказать следующую теорему Артина.
Пусть /—многочлен от п неизвестных с коэффициентами из
положительный в некотором вещественно замкнутом расширении
поля orf. Тогда	где — положительные эле-
менты из orf, а ^ — рациональные функции с коэффициентами из
. Более того, если orf— вещественно замкнутое поле или поле
рациональных чисел, то вместо q могут быть взяты 1. [Предположим,
что / не может быть записан в такой форме. Применяя теорему
Артина — Шрайера, упорядочить поле рациональных функций так,
чтобы f<0, и показать, что это противоречит (б).]
(г)	Показать, что в теореме Артина существует граница для k
и для степеней числителей и знаменателей функций gi, которая зави-
сит только от п и степени f. [Подобно 18 (д).]
20.	Пусть и 5$? —структуры для L, аг ап — индивиды из
orf, а фх, ... , Ьп — индивиды из &%?. Определим т-эквивалентность
(ох> , ап) и (Ьх,	, Ьп) индукцией по т следующим образом. Ска-
жем, что n-ки (ах	ап) и (blt ..., 6„) являются О-эквивалентными,
если типы п-ок (а1( ...,ал) и (blt...,bn) содержат одни и те же
атомные формулы. Скажем, что п-ки (alt ..., ап) и (Ь1г ... , Ьп) явля-
ются (m-ф ^-эквивалентными, если для каждого а из | orf | сущест-
вует b из | rfl | такое, что n-ки {alt ..., ап, а) и (Ь1г ... ,Ьп, Ь) будут
«-эквивалентными, и для каждого Ь из | Ф® j существует а из | orf |
такое, что n-ки , ап, а) и (bit ... ,bn,b) будут /и-эквивалент-
ными. Показать, что если n-ки (а1г ..., ап) и (blt ..., bn) являются
«-эквивалентными, то типы п-ок ........ап) и (bi, ... , bn) содер-
жат одни и те же формулы высоты т. [Использовать индук-
цию по т.] Вывести, что если n-ки (Дх> •••. ап) и {blt ..., bn) яв-
ляются /«-эквивалентными для каждого т, то они имеют одинако-
вые типы.
21.	Пусть EQ — теория, у которой единственным нелогическим сим-
волом является бинарный предикатный символ а нелогическими
156
ГЛ. 5. ТЕОРИЯ МОДЕЛЕЙ
аксиомами являются
X X,
х~у -> у ~х,
Х'-'-'У -у у ~ г-> x~z.
Тогда всякая модель Qrf теории EQ состоит из непустого мно-
жества | erf | и отношения эквивалентности на | erf |.
(а)	Для каждых тип показать, что существует замкнутая фор-
мула Ат.п, которая истинна в модели erf теории EQ тогда и только
тогда, когда erf имеет по крайней мере т классов эквивалентности,
содержащих п элементов, и замкнутая формула Вт.п, которая истинна
в модели от/ теории EQ тогда и только тогда, когда prf имеет по
крайней мере т классов эквивалентности, содержащих по крайней
мере п элементов.
(б)	Если erf и а® —модели теории EQ, то мы пишем erf ~33,
когда
orf (Ат,п) = 33 (Ат,п) и erf (В т,п) = 33 (В т,п) для всех тип.
Предположим, что erf = 33, (oij, , ал) —n-ка из | erf |, 0-эквива-
лентная n-ке fa, ..., bn) из | <й?|, и что для х = 1, ... , п либо классы
эквивалентности для и bi имеют одно и то же число элементов,
либо оба эти класса эквивалентности имеют больше т-[-п элементов.
Показать, что n-ка fa, ... ,ап) будет m-эквивалентна n-ке fa,..., Ьп).
[Применить индукцию по т.]
(в)	Показать, что если erf и а® —модели теории'EQ, то erf = е®
тогда и только тогда, когда erf элементарно эквивалентна 33-
[Использовать (б) и задачу 20.]
22.	Пусть L— язык, нелогическими символами которого являются
лишь унарные предикатные символы plt ..., рп.
(а)	Показать, что для каждого подмножества I множества
{1, ..., п} и каждого т существует замкнутая формула Af т) истин-
ная в структуре grf для L тогда и только тогда, когда существуют
по крайней мере т индивидов а из erf таких, что [i | (/>;)^(а)] = /.
(б)	Если erf и а® —структуры для L, то мы пишем erf ^33,
если erf (-4/ m) = e®(.4z т) для всех I и т. Покажем, что если
orf = е®, то любая n-ка из erf и любая n-ка из 33, которые ((-экви-
валентны, являются m-эквивалентными для всех т. Вывести, что
erf ~ 33 тогда и только тогда, когда erf и 33 элементарно эквива-
лентны. [Использовать задачу 20.]
23.	Пусть DO —теория, единственным нелогическим символом
которой является <, а нелогическими аксиомами —аксиомы OF1 —
— OF3 теории OF и
х <у — 3z (х < z & z <«/),
Зх (х<у),
Эх(у<х).
(а)	Пусть erf и 33— модели теории DO и fa, ... , пл) —n-ка из
| erf |, которая О-эквивалентна n-ке fa, ... b^} из | 33 |. Показать,
что fa	ал) и (£>!, .... Ьл) имеют одинаковый тип. [Показать, что
они m-эквивалентны для каждого т, и использовать задачу 20.]
ЗАДАЧИ
157
(б)	Показать, что DO полна. [Использовать (а) и лемму 1
из § 5.5.]
(в)	Показать, что DO является Ко'категоРИЧн°й- [Использовать
(а), (б) и теорему Рылль-Нардзевского.]
(г)	Доказать (в), не применяя (а) или (б). [Для данных моделей
о// и мощности Ко выбрать последовательности а3, ... и blt
Ьг, , как в доказательстве теоремы Рылль-Нардзевского так, чтобы
ai<Zaj тогда и только тогда, когда b;<Zbj.] Получить новое доказа-
тельство (б).
(д)	Показать, что если ш —мощность множества действительных
чисел, то DO не является ш-категоричной. [Построить модель теории
DO, начав с рациональных чисел и заменяя каждый .элемент линейно
упорядоченным множеством, изоморфным множеству действительных
чисел *). Показать, что эта модель не изоморфна множеству действи-
тельных чисел.]
24.	Пусть нелогическими символами теории Т являются унарный
предикатный символ р и две бесконечные последовательности кон-
стант е2, ... и е[, е!,, ... Пусть нелогическими аксиомами теории Т
будут р(е,) и “| p(et) и все е^е' для различных констант е и е'.
Показать, что Т — полная теория, не являющаяся т-категоричной
для любой бесконечной мощности от. [Использовать метод из § 5.5.]
25.	Показать, что если Т— полная теория и Т имеет конечную
модель, то Т категорична. [Предположим, что оЛ? — конечная модель
и $3 — модель, не изоморфная . Пусть 	/„	— имена индиви-
дов из . Если <р— биективное отображение |.| в |а®|, то
существует формула из S„ (Т) такая, что
..../„]) = И и ^(Дф[/у........../’])	= Л.
Пусть В —КОНЪЮНКЦИЯ формул Дф, формул Zi ф Zj ДЛЯ 1 i < j sg п
и формулы
VZ„+1 (z„+i = Zi \/... V £„+1 = Z„).
Тогда (3zi... ЭгпВ) = И и (Jzj ... Зг„В)=Л.]
26.	Пусть Т— счетная полная теория, имеющая только беско-
нечные модели, и — счетная модель теории Т. Скажем, что
слабо насыщена, если для каждого п каждый n-тип в Т есть п-тип
в Скажем, что насыщена, если для каждых alt .... a„_j
из I | и каждого n-типа Г в Т, содержащего тип (п — 1)-ки
(а±,	, a„_i), существует ап из |	[ такое, что Г—тип n-ки (alt..., а„).
Скажем, что однородна, если, как только aY, ... , ап, bit ..., bn
являются индивидами из такими, что типы n-ок (ах............а„)
и (Ь1....Ь„) одинаковы, существует автоморфизм <р структуры
такой, что q(a^) = b\..ф(о„) = Ь„. Скажем, что универсальна,
если каждая счетная модель теории Т изоморфна некоторой элемен-
тарной подструктуре структуры
(а)	Показать, что всякая насыщенная модель теории Т уни-
версальна. [Пусть а® —счетная модель с индивидами bY, bz, ... Выбе-
рем индивиды а1( аъ,... из^^ индуктивно так, чтобы n-ки (а1( ...,а„)
и	6„) имели одинаковые типы. Показать, что at являются
* .Проще заменить только один элемент. — Прим. ред.
158
ГЛ. 5. ТЕОРИЯ МОДЕЛЕЙ
индивидами некоторой элементарной подструктуры структуры
изоморфной &®.]
(б)	Пусть qt$ и л® —насыщенные модели теории Т. Пусть,
а±, ..., ап — индивиды из qt$ и blt ... , bn — индивиды из еЙ? такие,
что n-ки (а,, ..., ап) и (Ь±,	, Ьп) имеют одинаковые типы. Показать,
что существует изоморфизм <р между qt$ и <33 такой, что
<p(ai) = bi. . ф(ал) = 6л.
[Подобно доказательству теоремы Рылль-Нардзевского.] Вывести, что
любые две насыщенные модели теории Т изоморфны и что всякая
насыщенная модель однородна.
(в)	Показать, что всякая универсальная модель слабо насыщена.
[Использовать лемму из § 5.6.]
(г)	Показать, что всякая слабо насыщенная однородная модель
насыщена.
(д)	Пусть от$ — счетная модель теории Т, alt ..., ап_1— индивиды
из от$, Г —п-тип в Т, включающий тип (п—1)-ки (ах.........ал_1)-
Показать, что существует счетное элементарное расширение <33 мо-
дели от$ и элемент ап из | <33 | такой, что Г — тип n-ки (at, ... , ал).
[Пусть ii,..., in-i— имена индивидов а1, ... , ап^. Получить Т'
из De (от$) добавлением новой константы е и для каждой формулы А
из Г новой аксиомы А [71( .... in_i, е].
Если ......А^ принадлежат Г, то Згл (Д^... & Д*) принадлежит
типу (п — 1)-ки (alt .... ал_!), так как ее отрипание не может принадле-
жать этому типу. Вывести, что Т’ непротиворечива, и взять в ка-
честве <33 обеднение некоторой модели теории Т'.]
(е)	Допустим, что для каждого п теория Т имеет только счетное
число n-типов. Показать, что Т имеет насыщенную модель. [Пусть
от$ — любая счетная модель; применить (д) и лемму Тарского, чтобы
получить элементарное расширение 33 модели от$ такое, что зак-
лючение (д) выполняется для каждого выбора Г и а., ..., ал_1-
Скомбинировать этот результат с леммой Тарского.]
(ж)	Показать, что следующие условия эквивалентны:
(i)	для каждого п теория Т имеет только счетное число л-типов;
(ii)	Т имеет насыщенную модель;
(iii)	Т имеет универсальную модель;
(iv)	Т имеет слабо насыщенную модель.
[Применить (е), (а) и (в).]
27.	Пусть Т — некоторая счетная полная теория. Используя обо-
значения задачи 5 из главы 4, отождествим каждое подмножество Г
из Sn(T) с элементом V из S (S„ (Т)) так, что У(Д) = И тогда и
только тогда, когда А принадлежит Г. Множество n-типов в Т
является тогда подпространством пространства Ж (Sn (Т)); обозначим
это подпространство через (Т).
(а)	Показать, что элемент V из S (Sn (71)) принадлежит (Т)
тогда и только тогда, когда V принадлежит О (Sn(T)) и И(Д) = И
для каждой формулы А из Sn (Т), явлющейся теоремой теории Т.
[Использовать лемму из § 5.6.] Вывести, что Хрл(7’) замкнуто
в Ж® (S„ (Т)) и, следовательно, компактно.
(б)	Для формулы А из Sn (Т) пусть Фл будет множеством эле-
ментов V из Трл (Т) таких, что Р(Д) = И. Показать, что Фл обра-
ЗАДАЧИ
159
зует базу для £рл (Т) и что Фл непусто тогда и только тогда,
когда I-	А.
(в)	Пусть Г с: Sn (Т), и пусть Ф будет множеством всех п- типов
в Т, включающих Г. Показать, что формула А из Sn (Т) является
образующей для Г тогда и только тогда, когда Фл— непустое под-
множество множества Ф. Вывести, что n-тип является главным тогда
и только тогда, когда этот тип является изолированной точкой про-
странства (Т).
(г)	Показать, что если — модель теории Т, то n-типы в обра-
зуют плотное подмножество пространства (Г). [Использовать (б).]
Вывести, что n-тип в Т является главным тогда и только тогда
когда этот тип есть n-тип в каждой модели теории Т. [Использо-
вать (в) и теорему Эренфойхта.)
(д)	Пусть R — множество типов в Т таких, что для каждого п
R Л (Т) нигде не плотно в	Показать, что существует
счетная модель теории Т такая, что никакой тип в не нахо-
дится в R. [Аналогично теореме Эренфойхта, используя (в).]
(е)	Допустим, что и — счетные бесконечные модели тео-
рии Т, и предположим, что каждый n-тип в является главным.
Показать, что изоморфна некоторой элементарной подмодели
модели [Пусть alt а%, ... — индивиды из grff. Как и в доказа-
тельстве теоремы Рылль-Нардзевского, выбрать индивиды blt b2, ...
из <£$ так, чтобы n-ки (а1( ..., ап) и (blt ..., bn) для каждого п имели
одинаковый тип. Затем действовать, как в 26(a).) Кроме того, пока-
зать, что если каждый тип в а/д является главным, то и./й1 изо-
морфны. [Аналогично теореме Рылль-Нардзевского.)
(ж)	Модель erf? теории Т называется элементарно простой, если
каждая модель теории Т изоморфна некоторому элементарному рас-
ширению модели дт/. Показать, что модель теории Т является
элементарно простой тогда и только тогда, когда gjg счетиа и каж-
дый тип в gjg главный. [Использовать теорему Лёвенгейма—Скулема,
теорему Эренфойхта, задачу 25 и (е).]
(з)	Показать, что любые две элементарно простые модели теории Т
изоморфны. [Использовать (е) и (ж).]
(и)	Показать, что Т имеет элементарно простую модель тогда
и только тогда, когда для каждого п множество главных п-типов
является плотным в (Т). [Использовать (ж), (г), (д) и (в).]
28.	Пусть U—класс подмножеств некоторого непустого простран-
ства I. Скажем, что U— ультрафильтр над I, если
(i)	U является центрированным классом *);
(ii)	для каждого подмножества J пространства I либо J, либо Jc
(дополнение J в /) принадлежит U.
(а)	Показать, что если ^ — центрированный класс подмножеств
пространства I, то Ш содержится в некотором ультрафильтре над I.
[Использовать лемму Тейхмюллера—Тьюки.)
(б)	Пусть U — ультрафильтр над/. Показать, что если J s U
и J сц К, то К е U. Показать, что пересечение любых двух элемен-
тов из U есть элемент из U.
*) Напомним, что класс множеств называется центрированным.,
если пересечение любого конечного числа множеств из этого класса
непусто. — Прим, перед.
160
ГЛ. 5. ТЕОРИЯ МОДЕЛЕЙ
29.	Пусть U— ультрафильтр над непустым пространством 1. Для
каждого i из / пусть будет структурой для L, и пусть
S3 — JJ aS i- Для а и b из | а® | пусть а~Ь означает, что
[/1 (afftbM <= U.
(а)	Показать, что ~—отношение эквивалентности.
(б)	Пусть А — множество классов эквивалентности по ~ и
Ф (6) — класс эквивалентности, содержащий Ь. Показать, что мы можем
определить структуру с универсумом А следующим образом:
Ле(ф(а1).....ф (ал)) = ф (Л® (“1..ап)),
ЛИфОи). ••• . ф (ап)) р | pj. ((аД-...(ал),)] <= U.
Мы называем aS ультрапроизведением структур oSi и обозначаем
через
ie/
(в)	Пусть а —терм языка L (S3), свободный от переменных;
показать, что qS (аф) =ф (а)).
(г)	Пусть Д —замкнутая формула языка L (&%?) и л(- определя-
ется так: Л/(Ь) = (6),-; показать, что qS (ДЧ’) = И тогда" и только
тогда, когда [/1 e^i (дя0=и] s U. [Использовать индукцию по длине
А и 28 (б).] В частности, замкнутая формула А языка L является
истинной в qS тогда и только тогда, когда [i | oSi (Д) — И] е U.
Вывести, что если каждая структура aSi есть модель теории Т,
то qS есть модель теории Т.
(д)	Если все структуры qSi равны 2?, то orf называется ультра-
степенью структуры gf. Показать, что в этом случае структура
изоморфна некоторой элементарной подструктуре структуры aS ~
[Отобразить индивид с из на класс эквивалентности, содержащий Ь
из | ея? |, для которого (b)i=c для всех i, и использовать (г).]
30.	(а) Использовать ультрапроизведения, чтобы доказать теорему
компактности, не применяя теоремы полноты. [Предположим, что
замкнутая формула А не является истинной в никакой конечно
аксиоматизированной части теории Т. Пусть I — класс формул
1 А & AiSt ... & Ап, где Дг..А„ — нелогические аксиомы теории Т.
Для В из I пусть &S в — структура, в которой В является истинной,
и пусть JB—множество всех В' из I таких, что В является истин-
ной в в,. Используя 28 (а), найти ультрафильтр U над /, содер-
жащий каждое Jв. По 29 (г) каждая В из I является истинной
в в/ U.]
(б) Пусть и S3— структуры для L. Показать, что qS; элемен-
тарно эквивалентна S3 тогда и только тогда, когда qS изоморфна
некоторой элементарной подструктуре некоторой ультрастепени струк-
туры S3. [Часть «тогда» следует из 29 (д). Предположим, что qS
и S3 элементарно эквивалентны. Пусть / — множество замкнутых
формул А языка L(aS) таких, что oS (А) = И. Если А принад-.
лежит Д то мы можем определить отображение <рл из |	| в | S3 |
так, что S3 (Д фл) = и. Пусть JA = [В | S3 (ДФ®) = И]. Найдем ультра-
фильтр И, содержащий все JА. Пусть S3 А = S3, = П^л/и- Для а
ЗАДАЧИ
161
из | erf | пусть <р (а) —класс эквивалентности из j ^ |, содержащий
элемент b такой, что ЬА — <рл (а) для А из /. Использовать 29 (г),
чтобы показать, что ?’(Д'₽) = И для А из /.]
(в) Показать, что класс 3 структур для L является обобщенно
элементарным классом тогда и только тогда, когда каждое ультра-
произведение структур из 3 принадлежит 3 и каждая структура,
элементарно эквивалентная структуре из 3, принадлежит 3- [Для
доказательства части «только тогда» использовать 29 (г). Предполо-
жим, что условия выполняются. Пусть нелогические аксиомы теории Т
являются замкнутыми формулами, истинными в каждой структуре
из 3- Пусть оД — модель теории Т и / — класс замкнутых формул,
истинных в  Для каждой А из / выберем &$А из 3 так, чтобы
а®л(Л) = И. Пусть Qa — множество Виз/ таких, что ^ЯМ) = И,
и U — ультрафильтр, содержащий все фл. Показать, что элемен-
тарно эквивалентна
6 Дж. Шенфилд
ГЛАВА 6
НЕПОЛНОТА И НЕРАЗРЕШИМОСТЬ
6.1.	: Вычислимость
Разрешающим методом для формальной системы F на-
зывается такой метод, с помощью которого для любой
данной формулы из F мы можем за конечное число шагов
решить, будет она теоремой из F или нет. Проблема разре-
шимости *) для F состоит в следующем: найти разрешаю-
щий метод для F или доказать, что такого метода не
существует.
Хотя решение проблемы разрешимости для F дает
решение проблемы характеризации, обратное утверждение
не всегда верно. Например, если Г —теория, в которой
нет нелогических аксиом, то теорема Эрбрана не дает
решения проблемы разрешимости. Решая с помощью тео-
ремы Эрбрана, является данная формула теоремой или
нет, мы должны проверить для бесконечного множества
формул, являются ли они квазитавтологиями, а это не-
возможно сделать за конечное число шагов. Разумеется,
теорема полноты также не дает решения проблемы разре-
шимости, так как мы не можем установить с ее помощью,
верна ли данная формула в Т.
Можно сформулировать еще более общую проблему,
чем проблема разрешимости для формальных систем. Пред-
положим, что А — подмножество множества Е. Разрешаю-
щим методом для А в Е называется такой метод, с по-
мощью которого для каждого данного элемента а из Е
мы за конечное число шагов можем решить, принадлежит
элемент а множеству А или нет. Проблема разрешимости
для А в Е состоит в следующем: найти разрешающий
метод для А в Е или доказать, что такого метода не
существует.
Разрешающий метод для формальной системы F явля-
ется частным случаем, в котором Е — множество формул
*) Часто говорят также проблема, разрешения. —Прим. ред.
6.1. вычислимость
163
из F, а А — множество теорем из F. В математике возникло
много аналогичных проблем. Например, еще не решена
десятая проблема Гильберта*): найти метод, с помощью
которого можно узнавать, разрешимо ли данное диофанто-
во уравнение. Здесь Е — множество диофантовых уравнений,
а А — множество тех диофантовых уравнений, для которых
существует решение. Еще один пример рассматривается
в приложении I.
Чтобы наше определение разрешающего метода для А
в Е имело смысл, каждый элемент из Е должен быть
таков, что он может быть задан нам за один шаг. Это
означает, что элементами множества Е должны быть кон-
кретные объекты. В приведенных выше примерах элемен-
тами множества Е были выражения некоторого языка;
такое выражение может быть нам задано, если оно выпи-
сано перед нами. Если Е — множество натуральных чисел,
то мы можем, как и в § 4.3, заменить натуральное число п
символом, состоящим из п черточек, а затем действовать
в том же духе. Не было бы никакой разницы, если бы
натуральное число п было задано десятичной записью,
так как у нас есть метод перехода к выражению, состоя-
щему из п черточек.
Мы можем сформулировать аналогичную проблему для
отображения F из множества А в множество В. Разре-
шающим методом для F называется метод, с помощью
которого по заданному элементу а из Л мы можем за
конечное число шагов получить F(a). Здесь как элементы
множества А, так и элементы множества В должны быть
конкретными объектами. Проблема разрешимости для F:
найти разрешающий метод для F или доказать, что такого
метода не существует.
Проблема разрешимости для функций является обоб-
щением проблемы разрешимости для множеств. Действитель-
но, предположим, что Л — подмножество множества Е. Опре-
делим отображение F из множества Е в множество нату-
ральных чисел, полагая F(a) = 0, если а принадлежит Л,
и -Г(а)=1, если а не принадлежит Л. В таком случае
Разрешающий метод для F давал бы разрешающий метод
*) Эта проблема решена отрицательно Ю. В. Матиясевичем
в 1970 г, —Прим. перев.
6*
164
ГЛ. 6. НЕПОЛНОТА И НЕРАЗРЕШИМОСТЬ
для Л в £ и наоборот, так что проблема разрешимости
для F эквивалентна проблеме разрешимости для Л в £.
До сих пор наши определения были очень неточны
в одном отношении: мы не указывали точно, что такое
метод. Делая шаг к объяснению этого, мы отмечаем, что
метод должен быть механическим. Возможно, лучший спо-
соб разъяснить последнее замечание —это привести нес-
колько примеров методов, которые при этом исключаются.
Во-первых, исключаются методы, содержащие вероятност-
ные процедуры; бросая монетку, мы не можем решить,
принадлежит элемент а множеству Л или нет. Во-вторых,
исключаются методы, использующие магию; мы не можем
установить, принадлежит а множеству Л или нет, вопро-
шая гадалку. В-третьих, исключаются методы, требующие
интуиции; мы не можем пользоваться методом, который
требуется нам для решения проблемы, если этот метод
не содержит указаний для решения этой проблемы. Оче-
видно, эти исключения неизбежны, если мы хотим уметь
давать отрицательные решения проблемы разрешимости.
Например, мы не можем привести математическое доказа-
тельство того, что гадалка не в состоянии указать, при-
надлежит элемент а множеству Л или нет.
В качестве более позитивного указания, механический
метод — это метод, который можно реализовать при по-
мощи соответственно сконструированной машины. Разу-
меется, мы подразумеваем идеальную машину, не ограни-
ченную, подобно реальным машинам, проблемами размера,
механической прочности и т. д. Машина для вычисления F
будет иметь входное устройство, в которое мы можем
вводить аргумент а; затем она вычислит F (а). Разумеется,
сама машина не должна зависеть от а. Это подразумева-
ется в понятии метода; если мы по-разному вычисляем F (а)
для разных а, то мы будем иметь всё, что угодно, только
не метод.
До сих пор мы еще не дали точного определения ме-
тода. Действительно, кажется совершенно безнадежным
описать, скажем, всевозможные механические методы
отображений натуральных чисел в натуральные числа.
Однако мы утверждаем, что это не является необходимым
для решения проблем разрешимости.
Сначала предположим, что мы хотим дать положитель-
ное решение проблемы разрешимости. Тогда мы просто
6.2. РЕКУРСИВНЫЕ ФУНКЦИИ
165
укажем разрешающий метод и проверим, что он механи-
ческий и что он всегда приводит к правильным ответам.
Множество или отображение вычислимо, если оно имеет
разрешающий метод. Таким образом, отрицательное реше-
ние проблемы разрешимости заключается в доказательстве
того, что какое-то множество или отображение невычис-
лимо. Несомненно, для этого достаточно дать точное
определение вычислимости. Может показаться, что от
этого мало пользы, так как неочевидно, что мы можем
определить вычислимость без того, чтобы вначале опреде-
лить метод. Однако мы увидим, что это можно сделать
по крайней мере в некоторых случаях.
В оставшейся части этой главы мы будет придержи-
ваться следующей процедуры. Мы введем класс функций
из натуральных чисел в натуральные числа. После неко-
торого изучения этого класса мы приведем аргументы
в пользу того, что этот класс в точности совпадает
с классом вычислимых функций из натуральных чисел
в натуральные числа. Затем мы воспользуемся этим дл^
получения точной формулировки проблемы разрешимости
для теорий. Наконец, мы укажем методы получения ре-
шений проблем разрешимости для теорий.
6.2.	Рекурсивные функции
Мы примем некоторые соглашения, которые значительно
сократят изложение наших результатов. В этой главе,
если не оговорено противное, число означает натуральное
число, множество означает множество натуральных чисел,
функция означает функция из множества натуральных
чисел в множество натуральных чисел, предикат означает
предикат на множестве натуральных чисел.
Мы будем применять строчные латинские буквы для
обозначения натуральных чисел. Для обозначения функций
и предикатов мы будем использовать прописные латинские
буквы, обычно F, G и Н для функций и Р, Q и R для
предикатов. Символы из N будем употреблять в наших
рассуждениях неформально в их обычном значении. Таким
образом, запись
VxP(a, х) \/ F (a, k) = 2
означает или Р (а, х) для всех чисел х, или F(a, k)^=2.
166
ГЛ. 6. НЕПОЛНОТА И НЕРАЗРЕШИМОСТЬ
Понятия о свободном и связанном вхождении переменной
"Будут употребляться в том же смысле, что и в § 2.3;
вхождение х свободно, если значение выражения зависит
от значения х.
Строчные готические буквы мы будем употреблять для
обозначения конечных последовательностей различных
латинских букв. Так, мы можем писать F(a) вместо
F («1.... а„).	Если две различные готические буквы,
скажем я и Ь, встречаются в одном и том же контексте,
то подразумевается, что буквы в последовательности, обо-
значенной через а, полностью отличны от букв в после-
довательности, обозначенной через Ь. Если некоторая готи-
ческая буква встречается как аргумент функции или
предиката, то предполагается, что обозначенная этой буквой
последовательность имеет соответствующее число букв. Так,
если F— n-арная функция и мы пишем F(a), то мы подра-
зумеваем, что а — последовательность, состоящая из п
букв. Если а означает alf ..., ап, то мы обозначаем
... через Зя и Vax ... через Va.
Пусть Р — n-арный предикат, определим п-арную
функцию /Ср следующим образом:
О, если Р (я),
1, если "I Р (я).
Функцию Кр мы называем представляющей функций пре-
диката Р. Как мы отметили в предыдущем параграфе, пре-
дикат вычислим тогда и только тогда, когда его пред-
ставляющая функция вычислима.
Приведем теперь несколько примеров вычислимых
функций. Пусть IsCt’sCn, определим функцию /" следу-
ющим образом:
/ ni(alt .... ап) = а{.
Кр(<9 =
Ясно, что I" вычислима. Бинарные функции + и • вы-
числимы; разрешающие методы для этих функций изу-
чаются в элементарной школьной арифметике. Бинарный
предикат < вычислим, так как вычислима его представ-
ляющая функция
Теперь укажем два способа получения вычислимых
функций из других вычислимых функций. Первый: пред-
положим, что мы определили функцию F следующим
6.2. РЕКУРСИВНЫЕ ФУНКЦИИ
167
образом:
F(a) = G(H1(a), .... Hk(a)),
где G, Hlt .... Hk — вычислимые функции. Тогда F
вычислима. Действительно, F(a) может быть вычислена,
если сначала вычислить значения Я1(а) = &1, ..., Я* (я) =
=^bk, а затем вычислить G(&x.....bk).
Чтобы изложить второй метод, нам надо ввести неко-
торые обозначения. Если ... х... —утверждение, истинное
для некоторого х, то рх(...х...) означает наименьшее х,
для которого ...х... истинно. Например, рх(х = а) = а.
Как видно из этого примера, значение рх(...х...) не
зависит от значений х; это означает, что вхождение х
в рх (... х ...) связанное. Выражение рх мы называем
^-оператором.
Теперь предположим, что мы определили F следующим
образом:
F(a) = px(G(a, х) = 0),
где G — такая вычислимая функция, что для каждого а
существует такое х, что G(a, х) = 0. (Это последнее усло-
вие необходимо для того, чтобы гарантировать, что F (а)
определена для всех я.) Тогда F вычислима. Действи-
тельно, мы можем вычислить F(a), последовательно
вычисляя 0(я, 0), G(a, 1), ... до тех пор, пока мы не
получим нулевое значение.
Теперь мы определим рекурсивные функции с помощью
обобщенного индуктивного определения, состоящего из
трех правил Rl —R3.
R1. It, +. • и Л< рекурсивны.
R2. Если G, Hlt .... Hk рекурсивны, a F определена
следующим образом:
Г(я) = О(Ях(я).....ЯЛ(<0).
то F рекурсивна.
R3. Если G рекурсивна и VaBx(G(a, х) —0), a F
определена следующим образом:
F(a) = px(G(a, х) = 0), .
то F рекурсивна.
Чтобы доказать, что каждая рекурсивная функция
имеет некоторое свойство Р, достаточно доказать, что
— R3 остаются справедливыми, если слова рекурсивные
168
ГЛ. 6. НЕПОЛНОТА И НЕРАЗРЕШИМОСТЬ
функции заменить на функции, имеющие свойство Р.
Такое доказательство называется доказательством индук-
цией по рекурсивным функциям. Используя предшеству-
ющие рассуждения, мы можем доказать индукцией по
рекурсивным функциям, что каждая рекурсивная функция
вычислима. Обратное не очевидно; мы вернемся к этому
в § 6.5.
Предикат называется рекурсивным, если его представ-
ляющая функция рекурсивна. Вследствие сказанного
выше каждый рекурсивный предикат вычислим. Рассмот-
рение обратного утверждения мы снова отложим до § 6.5.
6.3.	Явные определения
Пополним список правил Rl—R3 новыми правилами
образования рекурсивных функций и предикатов.
R4. Если Q, Нъ .... Hk рекурсивны, а Р определен
следующим образом:
Р^СЦН^о).........ЯИ<0),
то Р рекурсивен.
Доказательство. Мы имеем
/^(я^/СД/Ма)......ЯА(я)).
следовательно, Р рекурсивен по R2 и по определению
рекурсивного предиката.
R5. Если Р рекурсивен и УяВхР(я, х), a F опреде-
лена следующим образом:
F(a) = pxP(a, х),
то F рекурсивна.
Доказательство. Так как/7 (я) = рх (Кр (я, х) = 0),
то F рекурсивна по R3.
Мы уже встречали определения вида F(a)~... или
Р (я) ++_, где ... и_содержат только ранее опреде-
ленные символы. Такое определение называется явным
определением. Используя Rl —R5, мы можем доказать
рекурсивность функций и предикатов, заданных какими-то
явными определениями. Проиллюстрируем это.
Предположим, что F определена следующим образом:
F(a, b, c) = G(H(b, с), K(G(b, с, с), а), с),
где G, Н и /С — ранее определенные рекурсивные функции.
6.3. ЯВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ
169
Мы будем последовательно проверять, являются ли всё
большие и большие части выражения справа рекурсивными
фуйкциями от a, b, с. С этой целью мы определяем
Fi (а, Ь, с) = а,
F2 (а, Ь, с) = Ь,
F3(a, b, с)=с,
Ft (а, Ь, с)=Н(Ь, с),
F5 (а, b, c) = G(b, с, с),
F9(a, b, c) = K(G(b, с, с), а).
Функция Fi есть If и, следовательно, рекурсивна по R1.
Аналогично, функции F2 и F3 рекурсивны. Далее,
F4(a, b, с)=Н (F2(a, b, с), F3 (а, Ь, с)),
так что F4 рекурсивна по R2. Аналогично, F3 рекур-
сивна. Так как
F(. (a, b, с) = К (F3(a, b, с), Л (а, Ь, с)),
то F3 рекурсивна по R2. Наконец,
F (a, b, c) = G (F4(a, b, с), Fs (a, b, с), F3(a, b, с));
следовательно, F рекурсивна по R2.
Аналогичная техника применяется к предикатам. Если
в правой части встречаются связанные вхождения пере-
менной, то некоторые из используемых в доказательстве
функций и предикатов могут иметь эту переменную
в качестве аргумента, а некоторые нет. Так предположим,
что Р определен следующим образом:
Р (a, b)++Q(b, [ixR(x, F(b, а))),
где Q, R и F рекурсивны и таковы, что pxR(x, F(b, а))
определено для всех а и Ь. Затем определим
Л(а, b, x) = F(b, a) = F(F2(a, b, х),	(a, b, х)),
Pt(a, b, x)«->R(x, F (b, a))^R(/I(a, b, x), Л(а, b, x)),
F2(a, &) = pxR(x, F (b, а)) = рхРх(а, b, x),
P(a, b)++Q(I?i(a, b), F2(a, b)).
Используя Rl—R5, убеждаемся, что все эти функции
и предикаты рекурсивны.
Наши наблюдения мы можем подытожить следующим
образом: функция рекурсивна или предикат рекурсивен,
170
ГЛ. 6. НЕПОЛНОТА И НЕРАЗРЕШИМОСТЬ
если она (он) имеет явное определение, использующее
только переменные, символы рекурсивных функций и ре-
курсивных предикатов и р-операторы. (Подразумевается,
что эти р-операторы применяются только тогда, когда
они определены для всех значений переменных.) Осталь-
ные результаты этого параграфа дадут возможность рас-
ширить класс символов, которые могут быть использо-
ваны в таких определениях.
R6. Каждая константная функция рекурсивна.
Доказательство Пусть Fk — n-арная функция
с постоянным значением k\ докажем индукцией по k, что
Fk рекурсивна. Для k = 0 мы имеем явное определение
Fo (а) = рх(/лф1 (я, х) = 0);
в то же время для k = r-\-1 мы имеем явное определение
Р*(я) = рх(Рг(я)<х).
Заметим, что последнее определение законно, так как
предикат < рекурсивен по R1.
Вследствие R6 мы можем использовать константные
функции в явных определениях рекурсивных функций
и предикатов.
Обозначим через “| Р предикат, определенный следую-
щим образом: (“| Р) (я)	“| Р (я). Определим Р V Q следую-
щим образом:
(PVQ) (я)-Р(я) VQ(«),
аналогично определим Р ->Q, P&Q и P++Q.
R7. Если Р рекурсивен, то “| Р рекурсивен. Если Р
и Q рекурсивны, то Р V Q, P-+Q, P&Q и P++Q рекур-
сивны.
Доказательство. Мы имеем явные определения
К-1р(я)=К<(0, КР(я)), frVQ(a)=KP(aHQ(a).
Отсюда и из определения рекурсивного предиката мы
видим, что предикаты 1Р и Р V Q рекурсивны. В ос-
тавшихся случаях мы пользуемся тем, что P->Q
есть “|P\/Q, P&Q есть _|(P->_|Q), a P-^-Q есть
(P->Q)&(Q->P).
Вследствие R7 мы можем употреблять “|> V>
и «-> в явных определениях рекурсивных функций и пре-
дикатов.
6.3. ЯВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ
171
R8. Предикаты <,	>, и — рекурсивны.
Доказательство. По R1 предикат < рекурсивен.
Остальные предикаты имеют следующие явные опреде-
ления:
a sg b “| (Ь < а),
а >• b ++ b < а,
а^ b ++ Ь^а,
а — Ь a &.b а.
Теперь мы введем модифицированный тип р-оператора,
который будет свободен от недостатка иногда быть неопре-
деленным. Предположим, что ___х — — формула, а ...—
выражение, не содержащее х и представляющее некоторое
число. Затем определим
рхх<... (—х—) = рх (—х— V х=...).
Ясно, что правая часть всегда определена. Значе-
нием рхх<... (___х___) является наименьшее х, мень-
шее ... и такое, что ___х___ истинна, если только та-
кое х существует, если же такого х не существует,
то рхх<... (__х___)=... Заметим, что вхождения х в
pxx< .(___х___) связанные. Мы называем рхх<... ограни-
ченным ^.-оператором, в отличие от неограниченного
[i-onepamopa рх. (Однако ^.-оператором будет по-преж-
нему называться неограниченный ц-оператор.)
Из определения ограниченного р-оператора и пред-
шествующих результатов следует
R9. Если Р рекурсивен, a F определена следующим
образом:
F (а, я) = рхх<(2Р(а, х),
то F рекурсивна.
Вследствие этого мы можем употреблять ограниченный
Ц-оператор в явных определениях рекурсивных функций
и предикатов.
Позднее мы увидим, что, используя кванторы, мы
можем явно определять нерекурсивные предикаты. Поэтому
мы введем модифицированные кванторы, которые могут
употребляться в явных определениях рекурсивных функ-
ций и предикатов.
172
ГЛ. 6. НЕПОЛНОТА И НЕРАЗРЕШИМОСТЬ
Пусть ____х___ и ... имеют прежнее значение. Мы
определяем
Зхх<... (.„-х—)^[тхх<... (—х—)<...
И Vxx<... ( х )**“|3хх<... П(—х—).
В таком случае 3xx<...(._ х —) истинна тогда и только
тогда, когда., х... истинна для некоторого х, меньшего ... ,
и Vxx<... (_х____) истинна тогда и только тогда, когда
— х— истинна для каждого х, меньшего ... Таким обра-
зом, мы можем представить себе Bxx<„. как квантор
существования по переменной, областью изменения кото-
рой являются все числа, меньшие ..., аналогично можно
объяснить Vxx<.... Мы называем Вхх<... и Vxx<„. огра-
ниченными кванторами, первый есть ограниченный кван-
тор существования, а второй — ограниченный квантор
всеобщности. Напротив, Зх и Vx называются неограни-
ченными кванторами. (Однако квантор по-прежнему озна-
чает неограниченный квантор.)
Из определений ограниченных кванторов и предшест-
вующих результатов следует
R10. Если R рекурсивен, а Р и Q определены следую-
щим образом:
Р(а, а)^Зхх<аР(л, х),
Q (a, d)oVxx<aR(a, х),
то Р и Q рекурсивны.
Вследствие этого мы можем употреблять ограниченные
кванторы в явных определениях рекурсивных функций
и предикатов.
Иногда мы будем использовать х С... в качестве
нижнего индекса при рх, Зх или Vx, считая это сокра-
щением для х<...+ 1. Вследствие сказанного выше мы
можем употреблять эту запись в явных определениях.
Обычная функция вычитания не является функцией
в нашем понимании, так как ее значениями не всегда
являются натуральные числа. Поэтому мы определяем
модифицированную функцию вычитания —:
а — Ь = а — Ь, если а^Ь,
в противном случае а-- 6 = 0.
R11- Функция — рекурсивна.
6.3. ЯВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ
173
Доказательство. Мы имеем явное определение
а — Ь = ц,х(Ь-\-х = а\/ a<Zb).
Некоторым обобщением явного определения является
определение разбором случаев. Здесь значения функции
или предиката в различных случаях задаются по-разному.
Примером является приведенное выше определение функ-
ции -• -.
R12. Пусть Gi, ..., Gk — рекурсивные функции,
а /?1, .... Rk~ такие рекурсивные предикаты, что для
каждого а в точности одно из .... Rk (а) истинно.
Если F определена следующим образом:
F(a) =
' Gi (а), если R3 (а),
если Rk (а),
то F рекурсивна.
Доказательство. Мы имеем явное определение
F (a) ~Gi (л) • К-.в, (л) + • • - +	(а)  К~\ uk (а)-
R13. Пусть Qi...... Qfe — рекурсивные предикаты,
и пусть Ri, ..., Rk — такие рекурсивные предикаты, что
для каждого а в точности одно из Ri(a), ...» Rk (л)
истинно. Если Р определен следующим образом:
<?! (а), если Ri (а),

Qft(a), если Rk(a),
тоР рекурсивен.
Доказательство. Мы можем определить КР сле-
дующим образом:
KQ1 (а), если Ri (ci).
Кр(л) —
KQft (а), если Rk (а).
Следовательно, Р рекурсивен по R12.
Обычно Glt .... Gk, Ri, •••. Rk из R12 и Qx....Qft,
Ri, Rk из R13 заменяются явными определениями
этих функций и предикатов. Так как Rk есть “| (RiV •••
\/Rk-i), то мы иногда вместо Rk пишем просто
174
ГЛ. 6. НЕПОЛНОТА И НЕРАЗРЕШИМОСТЬ
в остальных случаях. Так, типичным определением, исполь-
зующим R12, является
F(a, b) =
а, если а<&,
Ь-\-2, если Ь^а&а=4,
2 в остальных случаях.
Разумеется, мы можем применять полученные резуль-
таты к множествам (т. е. к унарным предикатам). Так,
согласно R7 объединение и пересечение двух рекурсивных
множеств рекурсивно и дополнение рекурсивного множе-
ства рекурсивно. Кроме того, каждое конечное множество
А рекурсивно. Действительно, если А пусто, то оно имеет
явное определение
А (а) ++ а< а,
если же А содержит элементы kx,	, kn, то оно имеет
явное определение
А (а) <-> a = ^iV- • -\J a=kn.
Здесь мы сделаем предупреждение относительно упот-
ребления многоточий в явных определениях. В приведен-
ном выше примере выражение, изображаемое многоточием,
зависело от А; если бы мы знали, что за множество есть
А, то мы могли бы полностью его выписать. Однако мы
не должны употреблять многоточия, если изображаемые
ими выражения зависят от значения какого-нибудь аргу-
мента. Так,
Р (a, b)++a = F(O)\/a = F(l)\/...\/a = F(b)
не является правильным явным определением, так как
изображаемое многоточием выражение зависит от зна-
чения Ь.
6.4.	Номера последовательностей
Следующая наша цель —так сопоставить число каждой
конечной последовательности чисел, чтобы соответствующие
функции и предикаты были рекурсивны. Это будет связано
со следующим результатом.
Лемма (Гёдель). Существует такая бинарная рекурсив-
ная функция р, что
Р (a, i) -С а ’ - 1
6.4. НОМЕРА ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ
175
для любых а и i, и такая, что для любых чисел а0,	 
a„^ существует такое число а, что р (а, 1) = а{ для
любого i < п.
Для доказательства леммы нам понадобятся несколько
простых фактов из теории чисел. Так как позже нам надо
будет убедиться в том, что эти факты доказуемы в неко-
торой теории, то приведем подробные доказательства.
Будем писать Div (а, Ь}, если а делится на Ь, т. е.
если Зх (а=Ь • х). Если а и b отличны от 0 и VxfDivRzx,
b) -> Div (х, Ь)), то мы говорим, что а и b взаимно просты,
и пишем RP(a, b). Тогда
RP(a, b)->RP(b, а).	(1)
Действительно, допустим, что RP(a, b) и что Div(bx, а),
тогда Ьх = уа для некоторого у. Отсюда Div(ay, b),
что Div (у, Ь) и y = bz для некоторого г. Вследствие этого
bx = abz и потому x = az; таким образом, Div (х, а).
Предположим, что alt а'п, Ьх, ..., Ьт отличны от О
и 1 и что RP(a{, bj) для всех I и j. Тогда существует
число с, которое делится на каждое а,- и не делится ни
на какое bj. Мы докажем это индукцией по п. Если
п=0, то положим с—1. Если же п Ф 0, то существует
такое с', которое делится на ах, ..., ап^ и не делится
на blt ..., bm\ тогда положим с=апс'.
Далее докажем, что
k ф 0 & z Ф 0 & Div (г, fe)->RP(l + (/ + /e)z, 1 + jz). (2)
Прежде всего мы имеем
Div(x + x/z, z)->Div(x, z) для всех х,
так что RP(l+jz, z). Из (1) получаем RP(z, l+M).
Теперь предположим, что
Div (х + х (/ + &)z, 1-Ьк).
Тогда ясно, что Div(x£a, 1+jz). Вследствие RP (г, 1+jz)
мы имеем
Div (х/г, 1
Так как Div (г, k), то отсюда следует, что Div (xz, \-\-jz).
Вновь, используя RP(z,	получаем Div(x, 1+/г).
Отсюда следует (2).
Введем функцию ОР:
ОР (а, Ь) = (а + Ь)-(а4-Ь)-|-а+ 1.	(3)
176
ГЛ. 6. НЕПОЛНОТА И НЕРАЗРЕШИМОСТЬ
Тогда
ОР(а, &) = ОР(а', b') -+а~а’ & b~b’.	(4)
Действительно, предположим, что левая часть верна.
Если а-\-Ь<а' + &', то
ОР(а, b) С (a-\-b + I)2 С (а' -\-Ь')2 <ОР (а', Ь’),
что невозможно. Аналогично, невозможно а + &'<« + &,
так что а-\-Ь-=а' -\-Ь'. Отсюда и из ОР (а, &) = ОР(а', Ь')
получаем а~а', а из этого и из
а-}-Ь~ а -\-Ь'
получаем b-=b'.
Теперь определим р следующим образом:
Р (а, 0 = Н^<а-13^<аЭгг<а(а=ОР(г/, г) &
& Div (г/, 1+(ОР (х, г)+1) • г)). (5)
Из этого явного определения видно, что если мы докажем
рекурсивность Div и ОР, то Р рекурсивна. Однако Div
имеет явное определение
Div (а, Ь)	(а~х  Ь),
а ОР имеет явное определение (3). Ясно также, что
Р (a, i) а — 1.
Пусть теперь даны a0, ах, ..., a„_x; найдем то а,
о котором говорится в лемме. Пусть с—наибольшее из
OP (ai, t)+l, и пусть г — не равное нулю число, делящееся
на все числа, меньшие с. Если ]<.!<. с, то из (2) при
k = I — j следует RP(1 +/z, l+/z). Из полученного выше
результата следует, что существует такое число у, что
при j<Zc число у делится на l+/z тогда и только тогда,
когда j есть одно из OP (ait i) + 1. Мы полагаем а=ОР (у, г).
Из определения ОР мы имеем ai<Zy<a и z<a.
Вследствие (4) у и г — единственные числа, удовлетворяю-
щие равенству а = ОР(//, г). Следовательно, чтобы дока-
зать, что р (a, i) = fln достаточно показать, что at есть
такое наименьшее число х, что
Div (г/, 1 + (ОР(х, 0+1) .г).
Для этого достаточно доказать, что если х<аг, то
ОР(х, i)<.c и ОР (х, 0 отлично от любого ОР(а7, /).
Однако OP (х, i)=cOP(az, 1)<с и ОР(х, i) отлично от
любого OP (а7, /) вследствие (4).
6.4. НОМЕРА ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ
177
Далее мы будем предполагать, что Р —функция, опре-
деленная в (5). Однако все свойства функции, которыми
мы воспользуемся, указаны в лемме. Отметим, что из
р (a,	1 мы получаем
Р(0, 0 = 0	(6)
и
а^0->Р(а, 0<а.	(7)
Теперь мы сопоставим каждой n-ке (ах,..., ап) такое наи-
меньшее число а, что р (а, 0) = п и р (а, 0 = а,- для
4=1, ..., п. Согласно лемме такое число существует.
Это число мы назовем номером последовательности (alt ...
..., ап) и обозначим его через (ах, ..., аП). Мы допускаем
также случай п = 0; в соответствии с (6) мы имеем ( ) = 0.
Для каждого фиксированного п (ах, ..., ап) является
рекурсивной функцией от а1г , ап. Действительно, мы
имеем явное определение
(fli, ..., ал) = рх(Р(х, 0) = п&Р(х, 1) =
= ах&...&Р(х ,п) = ал).
Кроме того, по (ах, ..., ап) можно найти п, ах, ..., ап
с помощью рекурсивных функций. Более конкретно, опре-
делим явно две рекурсивные функции
lh(a) = P(a, 0),
(a)t = P(a, i'4-l).
Тогда, если а есть (а0, ..., ал..х), то мы имеем n=lh(a)
и (a)f = a; при i<n. Вместо ((<ДД будем сокращенно
писать (a)itj. Из (7) получаем
а^( ) -> lh (а) < а & (а)/ < а.	(8)
Введем некоторые другие рекурсивные функции и
предикаты, связанные с номерами последовательностей.
Множество номеров последовательностей обозначается че-
рез Seq. Оно рекурсивно, так как имеет явное опреде-
ление
Seq (а) <-* Vxx<a(lh (х) lh (a)V30<ih(a) ((х)г
Мы определим In так, чтобы
1п((ах, ..., ап), i) = (a1, ..., аД
при i -С п:
In (а, 0 = |ах(1Ь (х) = / & V//<(((x)y = (a)0).
178
ГЛ. 6. НЕПОЛНОТА И НЕРАЗРЕШИМОСТЬ
Наконец, мы так определим *, чтобы
<«ь	ап, bi,
Явное определение функции *:
a*b — рх (lh (х) = lh (а) + lh (&)
& Vil<ih(a)((x)i = (a)I-)
& Vii <lh (fe) ((x)ih (a) + i — (b)i)).
Одним из применений номеров последовательностей -
является замена n-арных функций и предикатов унарными
функциями и предикатами. Если F — некоторая п-арная .
функция, то мы определим унарную функцию (F), назы-
ваемую сверткой функции F, следующим образом:
(F>(a)=F((a)0, ..., (а)„ х).	(9)
По (F) мы можем восстановить F;
F (а!....an) = (F}((a!, ., ап)}.	(10)
Пусть Р — n-арный предикат; определим унарный преди-
кат (Р), называемый сверткой предиката Р, следующим
образом:
(P>(a)~P((a)0, .... (а)л1).	(11)
По (Р) мы можем восстановить Р:
Р(й1, .... «„)<-> <Р)((Й1, .... ап)).	(12);:
(9)—(12) мы называем формулами свертывания-, из них'
следует, что F рекурсивна тогда и только тогда, когда
(Г) рекурсивна, и что Р рекурсивен тогда и только тогда,1
когда (Р) рекурсивен. Заметим также, что (Кр) = К(Р).
Теперь мы увидим, как номера последовательностей
могут применяться для индуктивного определения рекур-:
сивных функций и предикатов. Пусть F — n-арная функ-
ция и п 0, определим новую n-арную функцию F сле-
дующим образом:
F (a, a) = (F(0, a), F(l, а), ..., F (а— 1, а)). (13)'
Грубо говоря, F (а, а) содержит всю информацию о зна-
чениях F(i, л) при К а.
Мы покажем, что F рекурсивна тогда и только тогда,
когда F рекурсивна. Предположим, что F рекурсивна.
Мы не можем использовать (13) в качестве явного опре-.
6.4. НОМЕРА ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ
179
деления, так как изображаемое многоточием выражение
зависит от а. Однако мы имеем такое явное определение:
F (a, a) = px(lh (х) = а& Vi(<a((x)z = F(i, а))). (14)
Если F рекурсивна, то для F мы имеем явное определение
F (a, a) = (E(a+l, а))а.	(15)
Предположим теперь, что G — (/г + 1)-арная функция.
Равенство
F(a, a)=G (F (а, а), а, а)
дает значение F (а, а), когда известны значения F(i, а)
для i < а. Поэтому это правильное индуктивное опреде-
ление функции F.
R14. Если G рекурсивна, a F определена индуктивно
следующим образом:
F(a, a) = G(F(a, а), а, а),
то F рекурсивна. '
Доказательство. Определим Н следующим образом:
Н (a, (i) = px(Seq(x)&lh(x) =
= Vij<a((x)z = G (In (х, i), i, а))). (16)
Тогда ясно, что Н совпадает с F, так что мы можем
определить F следующим образом:
F (a, a)-=G (Н (а, а), а, а).	(17)
Из явных определений (16) и (17) мы видим, что F рекур-
сивна.
На практике при употреблении R14 функция G имеет
явное определение или определение разбором случаев.
Поэтому равенство, определяющее F, имеет вид явного
определения или определения разбором случаев, за исклю-
чением того, что F (а, а) может появляться в правой
части. Так, мы можем определить рекурсивную функцию F
следующим образом:
F(a, b) = F(a, b) + K(b) + at
где /С —некоторая ранее определенная рекурсивная функ-
ция. При определении разбором случаев мы даже можем
Допустить появление в правой части некоторых выраже-
ний вида F (..., а). Например, предположим, что G и Н
180
ГЛ. 6. НЕПОЛНОТА И НЕРАЗРЕШИМОСТЬ
рекурсивны, и определим F следующим образом:
м f Ь), если G(a)<a,
г (а, Ь) = <
( Н [а, Ь) в остальных случаях.
Чтобы представить это в форме R14, заметим, что из
G (а) < а следует
F(G(a), b) — (F(a, b))GW,
так что мы можем заменить в первой строке F(G(a), b)
на (F(а,	Общим условием является следующее:
в случае употребления F (..., а) мы должны суметь дока-
зать, что ... < а. Часто встречается следующий тип
индуктивного определения:
F(0, a) = G(a), F(a+1, a} = H(F(a, a), at a),
где G и H определены ранее. Чтобы убедиться, что оно
подпадает под правило R14, мы перепишем его в виде
( G(a), если а = 0,
F (а,	= { и /г/ lx ii
( л (/Да-1-1, а), а-ь 1, а) в остальных случаях.
При явном определении предиката Р (а, а) мы можем
использовать справа Кр (а, а). Действительно, если опре-
деление имеет вид Р (а, а) , то мы можем опреде-
лить Кр индуктивно следующим образом:
( 0, если ...,
Кр(а, а)=Д .
( 1 в остальных случаях.
Подобное же замечание справедливо в отношении опреде-
ления разбором случаев. В таком определении мы также
можем употреблять справа Р (..., а), если мы можем
показать, что при этом ... < а. Действительно, мы можем
заменить Р (..., л) на Кр(---, л) = 0, а затем поступать
так, как объяснено выше.
6.5. Тезис Чёрча
Чтобы использовать рекурсивность при исследовании
проблем разрешимости, мы должны быть убеждены в истин-
ности следующего утверждения: каждая вычислимая функ-
ция рекурсивна и каждый вычислимый предикат рекур-
сивен. Это утверждение известно как тезис Чёрча.
6.5. ТЕЗИС ЧЁРЧА
181
В проведении доказательства тезиса Чёрча имеется
очевидная трудность: у нас нет точного определения вычи-
слимости. Это не обязательно является непреодолимой
трудностью: в § 6.2 мы доказали, что каждая рекурсив-
ная функция вычислима и каждый рекурсивный предикат
вычислим, не пользуясь подобным определением. Если мы
проанализируем это доказательство, то увидим, что мы
использовали только такие свойства вычислимых функций
и предикатов, которые были очевидны даже при на-
шем туманном описании вычислимости. Возникает
вопрос, сможем ли мы таким же способом доказать тезис
Чёрча?
Очевидно, что мы сможем доказать тезис Чёрча для
предикатов, если предположим истинность тезиса Чёрча
для функций, так как предикат вычислим или рекурсивен
тогда и только тогда, когда его представляющая функция
вычислима или рекурсивна. К несчастью, еще никому не
удалось доказать тезис Чёрча для функций или хотя бы
выделить те свойства вычислимых функций, которые были бы
необходимы для такого доказательства. Но и не имея та-
кого доказательства, мы все же надеемся найти аргументы
в пользу того, что тезис Чёрча справедлив. Известно
много подобных аргументов, так много, что почти все логи-
ки считают тезис Чёрча верным. Изложим вкратце эти
аргументы.
Прежде всего показана рекурсивность огромного коли-
чества вычислимых функций. Некоторые из них рассмат-
ривались в предшествующих параграфах. Функции, встре-
чающиеся в элементарной теории чисел, обычно опреде-
лены по индукции и могут рассматриваться в духе
последнего параграфа. Например, аь можно определить
индуктивно следующим образом: а0 = 1, a6il = a6-a. Уже
обсуждавшимися методами можно показать рекурсивность
некоторых вычислимых функций, встречающихся в ана-
лизе (см. задачу 3). Еще один класс вычислимых функ-
ций, рекурсивность которых может быть доказана, будет
Рассмотрен в следующем параграфе. В дополнение к этим
положительным аргументам имеется сильный отрицатель-
ный: еще никто не сумел построить вычислимую функ-
цию, рекурсивность которой нельзя было бы доказать,
или хотя бы указать правдоподобный метод построения
такой функции.
182
ГЛ. 6. НЕПОЛНОТА И НЕРАЗРЕШИМОСТЬ
- Следующим аргументом в том же направлении служит
то, что, как было показано, многие общие методы полу-
чения вычислимых функций из вычислимых функций при
применении к рекурсивным функциям дают рекурсивные
функции. Некоторые такие методы мы уже рассматривали,
а другие рассмотрим позднее. И снова имеется дополни-
тельный аргумент: еще никто не указал метода, для кото- .
рого было бы видно, что, будучи применен к вычислимым .
функциям, он дает вычислимые функции, и для которого
не было бы показано, что, будучи применен к рекурсив-
ным функциям, он дает рекурсивные функции.
Мы получим еще больше аргументов, если попытаемся
непосредственно определить понятие вычислимый. Для про-
стоты рассмотрим унарную вычислимую функцию F. Ра-
зумно предположить, что вычисление заключается в выпи-
сывании выражений на листе бумаги (или что оно может ,
быть к этому сведено). Как станет ясно из следующего.,
параграфа, не теряя общности, можно предположить, что
выписываемые выражения являются числами (точнее, выра-
жениями, обозначающими числа). Поэтому мы пишем а0,
а1г ..., ап, где а0 есть а и ап есть F(a). Теперь разре-
шающий метод указывает нам, как получить at из ай, .. /
... или, что эквивалентно, из (о0, •••, Ui-i)- Следова-
тельно, существует некоторая вычислимая функция G та-
кая, что G ((а0, .... Qj-i) )=а/. Разрешающий метод также
указывает нам, когда вычисление закончено, поэтому суще-
ствует некоторый вычислимый предикат Р такой, что
Р ((а0, ... , ai)) ложен при i<Zn и истинен при i = n.
Наша попытка определить понятие вычислимости закон-
чилась порочным кругом, так как G и Р должны предпо-
лагаться вычислимыми. Тем не менее G должна быть очень
простой вычислимой функцией, потому что она описывает,
единственный шаг в вычислении; то же самое относится
и к Р. Поэтому, основываясь на прочих доводах в пользу
тезиса Чёрча, мы можем ожидать, что G и Р рекурсивны.
Предполагая это, мы можем доказать, что F рекурсивна.
Действительно, если мы определим
а,	если i = 0,
G(H(i, а)) в остальных случаях,
К(а) = цхР (Н (х + \, а)),
Н (I, а) —
6.5. ТЕЗИС ЧЁРЧА
183
ТО
F (а)—Н (К (а), а).
Дальнейшие аргументы (в пользу тезиса Чёрча) даются
нам различными точными определениями, которые предла-
гались для вычислимых функций. Для каждого из этих
определений очевидно, что подпадающие под них функции
вычислимы, и обратное кажется очень правдоподобным.
(В некоторых случаях можно привести весьма убедитель-
ные аргументы в пользу этого обратного.) Имеется много
типов таких определений. В некоторых утверждается, что
функция может быть вычислена на машине определенного
типа. В других говорится, что функция может быть вы-
числена в формальной системе подходящего вида. Третьи
похожи на определение из предыдущего абзаца, но с точно
определенными возможностями для G и Р. Четвертые ана-
логичны определению, которое мы давали. Имеются также
и другие типы определений, и для каждого типа имеются
несколько отличающихся друг от друга определений.
Из этих определений аргументы в пользу тезиса Чёрча
получаются двумя путями. Во-первых, можно показать,
что все функции, подпадающие под эти определения,
рекурсивны. Поэтому любой аргумент в пользу того,
что все вычислимые функции подпадают под одно из этих
определений, становится и доводом в пользу тезиса Чёрча.
Во-вторых, класс функций, задаваемый каждым из этих
определений, в точности совпадает с классом рекурсивных
функций. Это несомненно наводит на мысль, что этот класс
функций является весьма естественным классом; последнее
очень трудно объяснить, если этот класс не совпадает
В точности с классом вычислимых функций.
Впредь мы будем принимать тезис Чёрча. Он никогда
не будет использоваться в наших теоремах и доказатель-
ствах, потому что они не будут опираться на вычисли-
мость. Его значение будет заключаться в том, чтобы
показывать, что наши теоремы являются решениями по-
ставленных нами проблем. Так, если мы докажем, что
множество А не рекурсивно, то нам понадобится тезис
Чёрча для того, чтобы убедиться, что мы дали отрица-
тельное решение проблемы разрешимости для А.
Существует и другой способ применения тезиса Чёрча.
Мы можем определить функцию, а затем утверждать, что
184
ГЛ. 6. НЕПОЛНОТА И НЕРАЗРЕШИМОСТЬ
так как очевидно, что эта функция вычислима, то она
рекурсивна вследствие тезиса Чёрча. Такое использование
тезиса Чёрча хотя и является очень удобным при опре-
деленных условиях, не является на самом деле необхо-
димым. Читатель, не желающий принимать тезис Чёрча,
может доказать, что рассматриваемая функция рекурсивна,
используя методы этой и следующей глав.
Мы можем воспользоваться тезисом Чёрча для уста-
новления другой связи между вычислимостью и рекур-
сивностью. Мы говорим, что предикат Р позитивно вычис-
лим, если существует метод, который, будучи применен
к л, приведет к заключению, что Р (л) истинно, если
такое заключение верно, и не даст результата, если Р (л)
ложно. Мы утверждаем, что предикат Р позитивно вычис-
лим тогда и только тогда, когда существует такой вычис-
лимый предикат Q, что для всех л
Р(л)*>3х<)(л, х).
Действительно, если такой предикат Q существует, то мы
можем вычислить Р в указанном ранее смысле, последо-
вательно вычисляя Q(a, 0), Q(a, 1), ... до тех пор, пока
не придем к такому i, что Q(a, i) истинно, и тем самым
к заключению, что Р (л) истинно. Обратно, предположим,
что Р позитивно вычислим, и пусть Q (л, х) означает,
что х шагов в вычислении Р (л) приводят к заключению,
что Р (л) истинно. Тогда Q вычислим и
Р (л) 3xQ (л, х)
для всех л.
Предикат Р называется рекурсивно перечислимым, если
существует такой рекурсивный предикат Q, что Р (л) «->
<->Зх<2(л, х) для всех л. Из сказанного выше и вычисли-
мости рекурсивных предикатов мы видим, что каждый
рекурсивно перечислимый предикат позитивно вычислим.;
Если к тому же мы принимаем тезис Чёрча, то мы можем'
заключить, что предикат позитивно вычислим тогда и только
тогда, когда он рекурсивно перечислим.
Каждый рекурсивный предикат Р рекурсивно перечис-
лим; действительно, Р (л) «-> 3xQ (л, х), где Q — рекурсив-
ный предикат, определенный следующим образом: ф(л, х)
*-* Р (л). Как мы увидим позже, обратное неверно.
6.6. НОМЕРА ВЫРАЖЕНИЙ
185
6.6. Номера выражений
Прежде чем рассмотреть проблему разрешимости для
какой-то формальной системы, мы должны точно знать,
какие символы имеются в этой формальной системе. В слу-
чае теории это означает, что мы должны знать нелоги-
ческие символы, так как остальные символы фиксированы.
В простейшем случае число нелогических символов конечно;
тогда мы можем просто дать список этих символов. Поэтому
в оставшейся части этой главы мы будем предполагать,
что все языки и теории первого порядка имеют только
конечное число нелогических символов. Читатель увидит, что
большинство результатов на самом деле применимо и при
некоторых более общих условиях.
Теперь покажем, как проблема разрешимости для тео-
рий связана с рекурсивными функциями. Пусть L — неко-
торый язык первого порядка (удовлетворяющий приведен-
ному выше условию). Каждому символу языка L мы
сопоставим некоторое число. Число, сопоставленное сим-
волу и, называется номером символа и и обозначается
через SN (и). Если z0, zr, ... — переменные, расположен-
ные в алфавитном порядке, то мы полагаем SN (zt) рав-
ным 21. Остальным символам (число которых конечно) мы
сопоставляем произвольные номера символов, удовлетво-
ряющие лишь следующему условию: различным символам
должны быть сопоставлены различные номера символов.
Впредь мы будем предполагать, что сопоставление номеров
символов для каждого рассматриваемого языка первого
порядка фиксировано.
Теперь мы сопоставим число каждому указателю языка L.
Число, сопоставленное указателю и, называется номером
выражения*) и и обозначается через Ги\ Оно опреде-
ляется индукцией по длине и. По теореме построения и
есть vvY...vn, где ю — некоторый символ индекса п,
а ©1,.. ,,vn — указатели. Затем мы полагаем
rw-| = (SN(®),	....
Ясно, что различные указатели имеют различные номера.
Так как функции (аг, .... ап) вычислимы, то мы можем
*) Часто, если это не вызывает недоразумений, вместо номер
символа или номер выражения мы будем говорить просто номер. —
“Рим. перев.
186
ГЛ. 6. НЕПОЛНОТА И НЕРАЗРЕШИМОСТЬ
фактически вычислить ГдП, если и задано (при условии,,
что мы имеем список нелогических символов и их номе-
ров). Обратно, если нам дано число а, то мы можем уста-;
новить, является ли это число номером какого-либо выра- .
жения, и если это так, то мы можем найти указатель
с этим номером. Как это сделать, мы покажем индукцией;
по а. Вначале мы установим, является ли а номером:
последовательности, отличным от ( ); мы можем это еде-.
лать, потому что множество Seq вычислимо. Если это не -
так, то а не является номером никакого выражения. Если же
это так, то мы найдем такие числа п0, alt , ап, что;
а = (а0, аи ..., это мы можем сделать, таккакфунк-(
ции lh и (х); вычислимы. Теперь посмотрим, является ли
а0 номером символа v индекса п. Если не является, то а
не является номером никакого выражения. Если же это
имеет место, то мы посмотрим, является ли at номером
указателя Vi (i=l, 2, ..., п). Это мы можем сделать по 
индуктивному предположению, потому что at <Z а согласно
(8) из § 6.4. Предполагая, что все это выполнено, остается
лишь взглянуть на выражение Wi ... vn, чтобы увидеть, ;
является ли оно указателем.
Теперь предположим, что Т — некоторая теория языка L,;
и пусть Thru/- —множество номеров теорем теории Т. Мы
покажем, что Т имеет разрешающий метод тогда и только''
тогда, когда множество Thmy- вычислимо.
Предположим, что мы имеем разрешающий метод для Т.
Для каждого данного числа а мы можем следующим обра-
зом установить, принадлежит ли а множеству Thm?-.?
Вначале выясним, является ли а номером некоторого,
выражения. Если не является, то а не принадлежит мно-
жеству Thm/-. Если является, то мы найдем такой ука-;
затель и, что а — <~и">. Тогда а принадлежит множеству.
Thmy- в том и только в том случае, когда и является,
некоторой формулой и и является теоремой теории Т.
Теперь предположим, что множество Thmy- вычислимо.
По данной формуле А теории Т мы установим, является,
формула А теоремой теории Т или нет, вычислив ги
установив, принадлежит ли это число множеству Thmr.:
Мы говорим, что теория'Г разрешима, если множе-
ство Thmy- рекурсивно, в противном случае мы говорим,
что теория Т неразрешима. Соединяя предшествующие
рассуждения с тезисом Чёрча, мы видим, что Т имеет
6.6. НОМЕРА ВЫРАЖЕНИЙ
187
разрешающий метод тогда и только тогда, когда Т раз-
решима. (Можно показать, что разрешимость Т не зави-
сит от конкретного сопоставления номеров символам;
см. задачу 6.)
Выше мы показали, что множество всех номеров выра-
жений вычислимо. То же самое можно показать для дру-
гих важных множеств номеров выражений. Согласно тезису
Чёрча отсюда следует, что эти множества рекурсивны.
Мы проверим это для некоторых из указанных множеств.
Помимо того, что это даст дополнительные аргументы
в пользу тезиса Чёрча, эти результаты позднее нам пона-
добятся.
Продолжим определение некоторых функций и преди-
катов. Сначала мы для каждой функции и каждого пре-
диката дадим формальное определение (явное, разбором
случаев или по индукции), которое покажет, что эта
функция рекурсивна или этот предикат рекурсивен. Это
определение мы сопровождаем объяснением того, что озна-
чает данная функция или данный предикат. Иногда это
объяснение неполно, и касается лишь тех случаев, кото-
рые представляют интерес. Символы всех этих функций
и предикатов должны бы быть снабжены нижним индек-
сом Т, чтобы показать, что они относятся к теории Т,
однако мы его опускаем здесь и в других случаях, когда
рассматривается только одна теория.
(A) Vble (а) ++ а = <(а)0> & Эуу а ((а)0 = 2  у).
Vble (а) означает, что	для некоторой перемен-
ной х. (Ограничение у^а следует из (8) из § 6.4; от-
туда же следуют некоторые ограничения в дальнейших
определениях.)
Определения (Б) и (В) мы дадим для специального
случая теории N, однако ясно, что этот метод является
вполне общим.
(Б) Term (а)
О = 0, если а = (SN (0)),
Term ((а)!), если a = (SN (S), (a)i),
Term ((a)i) & Term ((а)2),
если а = (SN (+), (а)ь (а)2> V
Va = <SN(-), (а)ь (а)2>,
Vble (а) в остальных случаях.
Term (а) означает, что а = г«п для некоторого терма а.
^то определение является индуктивным определением,
имеющим вид, описанный в § 6.4.
188
ГЛ. 6. НЕПОЛНОТА И НЕРАЗРЕШИМОСТЬ
(В) AFor(a)~a = <(a)0, (а)ъ (а)2> & ((а)0 = SN (=) V
v (a)o = SN (О) & Term ((a)r) &_Term ((а)2).
для некоторой атомной
Ar or (а) означает, что а =
формулы А.
(Г)
For(a)«->
For ((оД),	если
For ((a)1)&For((a)2), если
Var ((аД)&For ((а)2), если
AFor (а)	в ос
a=<SN(-|>, Ш,
a=<SN(V), (a)i, (а)2>,
a = (SN(3), (а)ь (а)2),
гальных случаях.
For (а) означает, что а = <~А~1 для некоторой формулы А,
Следующие три определения мы дадим для теории, -
в которой имеются только унарные и бинарные функцио-
нальные и предикатные символы, однако метод опять
является вполне общим.
(Д) Sub (а, Ь, с) =
с,	если Vble (а) & а = Ь,
<	(а)о, Sub((a)i, b, с)>, если а=<(а)0, (а)1>,
<	(а)0, Sub ((a)i, b, с), Sub ((а)2, Ь, с)>,
если а= <(а)0, (а)ъ (а)2> & (а)0 SN (3),
<	(а)0, (a)i, Sub ((а)2, Ь, с)),
если a = (SN(3), (а)ь (а)2) & (а)1 Ф Ь, ’
а
(Е)
Fr(a,&)
в остальных случаях.
Sub(i"a“l, тхп) г£>п) = гад&]-1;
5иЬ(гд-1, гх~], га-1) = глх[а]-1.
а = &, если Vble (а),
Fr((a)1, &), если а=<(а)0, (а)г>,
Fr ((а)г, b) VFr((a)2, b),
если а = ((а)0, (а)1( (а)2> & (а)0 SN (3)
Fr((a)2, &) & (а)! ф b в остальных случаях.
Fr(F Д~1, Гх~1) означает, что переменная х свободна в А
(Ж)	............. .................
Subtl (а, b, с)
Subtl ((аД, Ь, с), если а = ((а)0,
Subtl ((a)i, b, с) & Subtl ((а)2, Ь, с),
если а = <(а)0, (а)1, (а)2> & (а)о Ф SN (3),
Subtl ((а)2, b, c)&(~|Fr((a)2, &)V
VHFr(r, (аД)Д
если a = (SN (3), (аД, (а)2> & (a)r b, /
.0—0 в остальных случаях.
6.6. НОМЕРА ВЫРАЖЕНИЙ
189
Subtl (ГАП, гхп, Га-!) означает, что а допустим для
подстановки вместо х в А.
(3)	РАх (а) «-> ЗхА < а (For (х) & а =
= (SN(V),.<SN(n), х>, х».
РАх (а) означает, что а является номером пропозицио-
нальной аксиомы. Следующие три определения соответ-
ствуют аналогичным образом аксиомам подстановки, аксио-
мам тождества и аксиомам равенства.
(И) SAx (а) Зхх < аЭуу < а3г2 < а (Vble (х)&
 & For (у) & Term (z) & Subtl (у, х, z)&
&a = <SN(V), <SNQ), Sub (г/, x, z)>,
<SN(3), x, z/»).
(K) lAx (a) -M- 3xx<a (Vble(x)&a = (SN (—), x, x>).
(Л) EAx (a)	...
Мы предоставляем читателю заполнить правую часть
в (Л) для теории N и убедиться, что метод является общим.
(М) ER (a, &) «->& = <SN (V), (Ь)ъ а).
ER(r~4-’, ГВ“1) означает, что В выводима из А по
правилу расширения. Следующие четыре определения
подобным же образом соответствуют правилу сокращения,
правилу ассоциативности, правилу сечения и правилу
3-введен ия.
(Н) CR (a, &) «-> a = (SN (V)» b, b).
(О) AR (a, b) ~ (a)0 = SN (V) & (a)2,o = SN (V )&
&& = <SN(V), <SN(V), (a)i, (a)2>1>, (a)2>3>.
(П) TR (a, b, c)~(a)o = SN(V)&(&)o = SN(V)&(&)i =
= <SN(1), (a)1>&c = <SN(V),	(b)^.
(P) IR (a, b) ~ (a)0=SN (V) & (a)i,o = SN (1)&
& ~|Fr ((a)2, (&)i,i,i)&
&& = <SN(V), <SN(1), <SN(3),	(a)i>>, (a)2>.
Множество номеров нелогических аксиом теории Т
обозначается через NLAx?-. Так как это совершенно про-
извольное подмножество множества For у-, то оно не обя-
зано быть рекурсивным. Если же оно рекурсивно, то мы
говорим, что теория Т рекурсивно аксиоматизированная.
Остальные определяемые нами функции и предикаты будут
Рекурсивны только при предположении, что Т рекурсивно
аксиоматизированная.
190
ГЛ. ii. НЕПОЛНОТА И НЕРАЗРЕШИМОСТЬ
Каждая конечно аксиоматизируемая теория является
рекурсивно аксиоматизированной; в частности, рекурсивно 
аксиоматизированной является теория N. Можно доказать,
что теории ACF и RCF также рекурсивно аксиоматизиро-
ванные, приведя, в каждом случае (аналогично вышепри-
веденным определениям) определение множества NLAx.
(С) Ах (а) -м- РАх (а) V SAx (а) \/1Ах (а) V ЕАх (а) V
VNLAx (а).
Ах является множеством номеров аксиом.	?
Теперь мы сопоставим некоторое число каждой конеч-
ной последовательности выражений, сопоставляя последо-
вательности W1, ..., ип число (Гй;-1, ...»
(Т) Prf (а) ++ Seq (а) & lh (а)	0 & Vi,< Ih (а) ((Ах ((а),) V
V 3/z< [36k < i (ER ((а)7, (a)i) \/
VCR((a)y, (a);)VAR((a)y, (а)г) V
VTr((a)7, (a)k, (a)£)VIRM-, (а)0))&For((а)£))..
Prf является множеством номеров доказательств.
(У) Pr(a, b) Prf (&) &0! = (&)ih(6)-i.
Рг(гЛЛ b) означает, что b является номером доказа-
тельства формулы А.	-
Теперь мы можем определить Thm следующим образом:
Thm (а) ++ Зх Рг (а, х).
Так как здесь имеется неограниченный квантор, то мы,
не можем утверждать, что множество Thm рекурсивно.'
Однако мы можем утверждать следующее.
Теорема. Если Т — рекурсивно аксиоматизированная
теория, то множество Thm?- рекурсивно перечислимо.
В заключение мы приведем еще одно определение, отно-
сящееся к теории N, которое будет полезно позднее.
(Ф) Num(0) = <SN(0)>,
Num (а+1) = (SN (S), Num (а)).
Num (а) является номером выражения, состоящего из а
символов S, после которых следует 0, т. е. выражени
теории N, обозначающего а.
6.7. Представимость
Теперь мы покажем, что каждая рекурсивная функций
и каждый рекурсивный предикат могут в известном смысл .
быть вычислены в теории N. (Фактически нелогически !
аксиомы теории N выбраны именно для этой цели.) В это
параграфе означает |— N.
6.7. ПРЕДСТАВИМОСТЬ
191
Термы О, SO, SSO, ... называются цифрами. Мы упот-
ребляем kn как имя цифры, которая имеет п вхождений
символа S. Таким образом, цифрами являются kQ, Лх, Л2,...
Пусть F — /г-арная функция, Л —формула теории N,
х1г ..., хп, у — различные переменные. Мы говорим, что
А от Xi, ..., Хп, у представляет F, если для любых
Qi, ..., ап
. хп [Лар •••’ йаД+^У — кь,
где b = F(ar, ..., ап\ Мы говорим, что функция F пред-
ставима, если для некоторых A, xlf ..., хп, у формула А
от Xi, ... , Хп, у представляет F.
Пусть Р — /г-арный предикат, Л—формула теории N,
x-l, ..., хп — различные переменные. Мы говорим, что Л
от Xi, ..., хп представляет Р, если для любых alt ..., ап
Р (Я1»  • • »	->|—	...хп [foip • • • , kan]
И
”1 Р (аЪ •••> ап) -, хп [Лар •••» Лал].
Мы говорим, что предикат Р представим, если для неко-
торых Л, Xi, ..,, хп формула Л от хг, ..., хп представ-
ляет Р.
Если F представима, а хг,.... хп,у—различные перемен-
ные, то существует такая формула Л, что Л от хг,..., хп,у
представляет F. Действительно, предположим, что А' от
Xi, ..., Хп, у' представляет F. Ввиду теоремы о варианте
мы можем предположить, что xlf ..., хп, у не связаны
в Л'. Тогда мы можем взять в качестве А формулу
А'х[...х'п.у'[Х1,	Хп, J/].
Аналогичное замечание можно сделать и о представимых
предикатах.
Пусть F — /г-арная функция, а —терм теории N, хг, ...
 хп — различные переменные. Мы говорим, что а от
хъ ..., хп представляет F, если для любых .............
1~~&х ... , X [Лар . • • , Ла ] = Л*,
где b — F(av, ..., ап). Если это имеет место и у — новая
переменная, то из теоремы равенства следует, что фор-
мула у~а от Xi, ..., хп, у представляет F.
192
ГЛ. 6. НЕПОЛНОТА И НЕРАЗРЕШИМОСТЬ
Теперь рассмотрим несколько примеров. Сначала мы
покажем, что х — у от х, у представляет =. Для этого
нам надо доказать, что
|— km—kn, если т = п,	(1)
\-km^=kn, если т^=п.	(2)
Действительно, (1) следует из аксиом тождества. Ввиду
теоремы симметрии достаточно доказать (2) при т>п.
Мы сделаем это индукцией по п. Если п = 6, то (2) сле-
дует из N1. Если п>0, то |— km = kn-> km-i = kn-i по
N2 и km -i #= kn -i по индуктивному предположению, сле-
довательно, \--km^=kn по теореме тавтологии.
Покажем теперь, что х-\-у от х, у представляет Д-.
Нам надо показать, что
Н Д'	— km+n 	(3)
Докажем это индукцией по п. Если п = 0, то (3) следует
из N3. Предположим, что (3) выполняется для некото-
рого п. Тогда по теореме равенства
|—S (km-\- kn) — km+n+l-
Отсюда, из теоремы равенства и из N4
Н*т Д’ ^п+1 — km+n+1,
а это есть утверждение (3), в котором п заменено на п Д-1.
Аналогичные рассуждения, использующие N5, N6 и (3),
показывают, что
I ^п'^п—^тп‘	(4)
Поэтому х • у от х, у представляет •.
Теперь мы покажем, что х<.у от х, у представ-
ляет С. Нам надо доказать, что
Н”1
если
если
т<.п,
т^>п.
(5)
(6)
I
Докажем это индукцией по п. Если п = 0, то (5) невоз-
можно и (6) следует из N7. Предположим теперь, что для
некоторого п (5) и (6) выполняются. Вследствие N8
\-km<kn+l*+(km<kn V km = kn). (7)
Предположим, что /п<пД-1. Если т<п, то y~km<kn
по индуктивному предположению, если же т = п, то
6.7. ПРЕДСТАВИМОСТЬ
193
km = kn вследствие (1). В обоих случаях \-km<.kn+1
вследствие (7) и теоремы тавтологии. Предположим теперь,
что tn^n^ 1. Тогда |— "| (ЛОТ<ЛП) по индуктивному пред-
положению и I ~l (Кт — Ьп.) вследствие (2). Отсюда
|— “I (km < kn+l) вследствие (7) и теоремы тавтологии.
Лемма 1. Любой предикат Р представим тогда и
только тогда, когда Кр представима.
Доказательство. Предположим, что А от Xi, ...
... , хп представляет Р. Пусть В есть
(Л = Лг0) V CI4&J=^).
Мы утверждаем, что В от х1У , хп, у представляет Кр.
Предположим, что
Кр («1, . • -, ап) = 0.
Тогда Р(аг, ..., а„); следовательно, |— A^kOi, .... Лдл].
Отсюда и по теореме тавтологии получаем
|— Z? [ЛОр ..., ka^^y — ko.
Аналогичное доказательство справедливо и при
KP(alf ..., ап)= 1.
Предположим теперь, что А от xlt ... , хп, у пред-
ставляет Кр. Покажем, что АДО]'от хг, ..., хп пред-
ставляет Р. Если Р (Qi, ..., ап), то Kp(Oi, ..., а„) = 0
и потому
|— А [Лар ...» Лдл] *-><У = kf).
Подставляя Ло вместо у и применяя (1) и теорему тавто-
логии, получаем
|- А [Лар . . . , Лал, Л0].
Если “I Р (аъ ..., ап), то мы рассуждаем аналогично, поль-
зуясь (2) вместо (1).
Теорема о представимости. Каждая рекур-
сивная функция и каждый рекурсивный предикат предста-
вимы.
Доказательство. Вследствие леммы 1 достаточно
доказать это для функций. Мы сделаем это индукцией по
рекурсивным функциям, т. е. покажем, что представимые
функции удовлетворяют правилам RI — R3.
Ясно, что х, от Xi, ..., хп представляет Мы ви-
дели, что +, • и < представимы, поэтому К< предста-
7 Дж. Шенфнлд
194
ГЛ. 6, НЕПОЛНОТА И НЕРАЗРЕШИМОСТЬ
вима в силу леммы 1. Это обеспечивает выполнение пра-
вила R1.
Теперь предположим, что F определена следующим
образом:
F(ai, ..., ал) = G (Я1 (Ci, а„), ..., Hk (alt ..., а„)),
где G, Hi, , Hk представимы. Пусть Xi, ..., хп, yrt ...
..., J*» 2 — различные переменные. Выберем такие А(,
что Аг от хх, ..., хп, У; представляет Н{, и выберем В
так, что В от уъ , yk, z представляет G. Пусть С
есть
Мы покажем, что С от х3, ...» хп, z представляет F.
Пусть F (ai, ..., ап) = с. Тогда Hi(cii, ..., ап) = &(- и
G(fo, ..., bk)=c. Пусть A'i и С' получены из Л, и С
подстановкой kai, ..., кап вместо хг, ..., хп. Ввиду вы-
бора At имеем
|— At «-» yi = kbi.
Вследствие теоремы эквивалентности
I- С' ++ 3 Ji...yk (Ji - kbl &. • • &yk = kbk & В).
Повторно применяя теорему эквивалентности и следствие 3
теоремы равенства, мы получаем, что
|— С' В^.....yk [fop ..., foj.
По выбору В и по теореме тавтологии
|— С *-* z == кс.
Прежде чем перейти к R3, нам надо доказать еще
две леммы.
Лемма 2. |— Av[fo]Ax[kn l]-+х< kn-^ А.
Доказательство. Мы пользуемся индукцией по п.
При п = 0 утверждение, которое надо доказать, превра-
щается в х<0->Д, а это следует из N7. Теперь пред-
положим, что лемма верна при некотором п. Вследствие
N8
|—X	kn+i *"* х fo V х = kn-	(8)
По теореме эквивалентности
|— х = kn —»- (Л «-» Ах [fo]).	(9)
6.7. ПРЕДСТАВИМОСТЬ
195
Из (8), (9) и индуктивного предположения по теореме
тавтологии получаем
I— Ддс [*о] —>-... —> Ах	—> Ах [*п] ~X < kn+i -* А,
а это является утверждением леммы, в котором п заме-
нено на «4-1.
Лемма 3. Если "| Ах [Л{] для каждого i <Zn и
 Ax[kn], то
I- А & \fy (j < x -> 1 Ax [j]) ++ x = kn.
Доказательство. Пусть В —левая часть доказы-
ваемой эквивалентности. По теореме равенства
'rx = kn-^>-(B <-> Ax[kn]&\/y (y<kn-+l A4j]))- (10)
По лемме 2, правилу отделения и правилу обобщения
получаем
НЧусу<лл-*пл4.у]).	(И)
Из (10),- (11) и Н4Х[£Л] по теореме тавтологии полу-
чаем
[-x = kn-+B.	(12)
По теореме подстановки
I-Чу Су < * -> п ах [ j]) ->(£„<* ->п ах [лл]).
Отсюда и из |- Ах [fin]
Н^->П(Ал<х).	(13)
По лемме 2 и правилу отделения |— х<.kn-+ "| А, по-
этому
Ь-В^П(х<*л).	(14)
Вследствие N9
|-Х<Лл V x = kn V #„< х.	(15)
Из (12), (13), (14) и (15) мы по теореме тавтологии полу-
чаем, что \-В х —kn.
Теперь мы покажем, что представимые функции удов-
летворяют правилу R3. Предположим, что F определена
следующим образом:
F (аъ ..., an) = |xx(G(ax, ..., ап, х) = 0),
7*
196
ГЛ. 6. НЕПОЛНОТА И НЕРАЗРЕШИМОСТЬ
где G представима. Пусть А от Xi, ...» хп, у, z пред-
ставляет G. Пусть w — новая переменная, и пусть В есть
4,J0]&Vw(‘a><<y->_| Ay. г[и>, 0]).
Покажем, что В от xit , хп, у представляет F.
Пусть F (alt ..., an) = b-, положим сг G (alt ..., ап, i).
Пусть формулы А' и В’ получены из формул А и В
подстановкой кО1, kan вместо xlt ..., хп. Тогда по
выбору А
Ay[ki]<^z=kc..
Отсюда
O]^ko = kc..	(16)
Если i<Zb, то с/т^О, так что из (16) и (2) получаем
|-“|Лу>г[Л£, 0] для i<_b.	(17)
Так как сь = 0, то из (16) и (1) мы имеем
Н Ау, г [kb, 0].
Отсюда, из (17) и по лемме 3 получаем |— В’ <-+y = kb.
6.8. Теорема Чёрча и теорема о неполноте
Теперь мы в состоянии применить наши результаты
для решения проблемы разрешимости для теорий.
Пусть Р — некоторый бинарный предикат. Определим .
для каждого числа b унарный предикат Р(Ь} следующим
образом:
P{b} (а) ++ Р (а, Ь).
Следующая простая лемма играет фундаментальную роль.
Диагональная лемма (Кантор). Пусть Р —би-
нарный предикат, a Q — унарный предикат, определенный
следующим образом: Q(a)++~[P(a, а). Тогда Q отличен
от всех Р(Ь).
Доказательство. Если Q совпадает с Р(6), то
P(b, b)~P{b}(b)~Q(b)~lP(b, b)-,
получаем противоречие.
Пусть г—некоторая фиксированная переменная (на-:
пример, первая из переменных, расположенных в алфа- .
битном порядке). Пусть Т является расширением теории N.
6.8. ТЕОРЕМА ЧЕРЧА И ТЕОРЕМА О НЕПОЛНОТЕ
197
Для каждой формулы А теории Т через Е (Л) обозна-
чается множество таких п, что |— 7А^[к„]. Если Т про-
тиворечива, то каждое множество Е (Л) совпадает с мно-
жеством всех чисел. Покажем, что если Т непротиво-
речива, то каждое рекурсивное множество совпадает
с некоторым множеством £(Л). Пусть Л — рекурсивное
множество, выберем в соответствии с теоремой о предста-
вимости такую формулу Л, что Л от z представляет Л.
Тогда если п принадлежит А, то уЛг[А?п], поэтому
: - 7 Аг [fcn], следовательно, п принадлежит Е (Л). Если п
не принадлежит Л, то |— _у“| Лг[Лл], поэтому ГЯ Аг[кп].
Ввиду непротиворечивости Т п не принадлежит Е (Л).
Теперь определим
Р (а, Ь) -м- Thmr (Sub (b, rz~\ Num (а))).
Тогда если & = ГЛ“|, то Р{Ь} совпадает с Е (Л). Если мы
определим Q следующим образом: Q (а) Я Р (а, а), то
по диагональной лемме это Q отлично от всех Е (Л) и
поэтому не рекурсивно. Далее, Q имеет явное опреде-
ление
Q (а)	“| Thmr (Sub (а, Гz~\ Num (а))),
и функции Sub и Num рекурсивны. Вследствие этого
Thmr не рекурсивно. Таким образом, мы доказали сле-
дующую теорему.
Теорема Чёрча*). Если Т — непротиворечивое рас-
ширение теории N, то теория Т неразрешима.
В частности, неразрешима теория N. (Ввиду теоремы
из § 6.6 это доказывает, что Thiriy является рекурсивно
перечислимым нерекурсивным множеством.) В следующем
параграфе мы увидим, что теорема Чёрча может быть
использована для доказательства неразрешимости многих
Других теорий. А сейчас мы применим теорему Чёрча для
получения очень важного утверждения о полноте.
Теорема об отрицании. Предикат Р рекурсивен
тогда и только тогда, когда как Р, так и Я Р рекур-
сивно перечислимы.
*) Чёрчу принадлежит более слабый результат. Конечно аксио-
матизируемые подтеории арифметики, имеющие свойство, указанное
в теореме, найдены А. Тарским и А. Мостовским, теория, близкая А,
найдена Р. Робинсоном. — Прим. ред.
198
ГЛ. 6. НЕПОЛНОТА И НЕРАЗРЕШИМОСТЬ
Доказательство. Если Р рекурсивен, то Р
также рекурсивен, поэтому и Р и Р рекурсивно пере-
числимы. Теперь предположим, что Р и Р рекурсивно
перечислимы, и пусть
Р (а) <-> 3xQ (а, х) и 1 Р (а) о 3xR (а, х), где Q и R
рекурсивны. Для любого а либо Q(a, х), либо R(a, х),
поэтому существует такое х, что либо Q (а, х), либо R (а, х).
Следовательно, мы можем определить рекурсивную функ-
цию F следующим образом:
F(a) = px(Q(a, x)\/R(a, х)).
Мы утверждаем, что	,
P(a)~Q(a, F(a)).	(1)
Действительно, если Q(a, F(a)), то 3xQ(a, х), и поэтому
Р(а). Если же ~]Q(<b Е(а)), то R(a, F(а)), поэтому >
Зх/? (а, х) и потому “|Д(а)- Из явного определения (1) .
мы видим, что Р рекурсивен.
Лемма. Если Т — рекурсивно аксиоматизированная и '
полная теория, то Т разрешима.
Доказательство. Определим рекурсивные функ-
ции F и К следующим образом:
F (0, а) = а,
F(n+1, a) = <SN(-|), <SN (3), <2n>, <SN(1), F(n, a))»,
К (a) = F (a + 1, a).
Если а = то K(a) =rVz0Vzi... V^a4“l, где z0, ,
zlt ... — переменные, расположенные в алфавитном по- :
рядке. Если z{ входит в А, то i <	<; гди = а, еле- ;
довательно, VZoVZj... VzaA замкнута; по правилу обоб- :
щения она является теоремой тогда и только тогда, •
когда А является теоремой. Тогда ввиду полноты Т фор- 
мула А не является теоремой тогда и только тогда, когда
формула
“I VzoVZi... VzaA
является теоремой. Таким образом, мы имеем
“I Thm (а) -м- “I For (a) V Thm ((SN ("|), К (a)))
~3f/CFor(a) VPr«SN(n), K(a)>, y)).	.
Вследствие этого “|Thm рекурсивно перечислимо. Так
6.8. ТЕОРЕМА ЧЕРЧА И ТЕОРЕМА О НЕПОЛНОТЕ
199
как Thm рекурсивно перечислимо, то по теореме об отри-
цании Thm рекурсивно. Таким образом, Т разрешима.
Эта лемма указывает третье применение полных теорий,
упоминавшихся в § 5.5. Вместе с предыдущими резуль-
татами их можно использовать для того, чтобы показать,
что RCF и все ACF (п) разрешимы.
Из леммы и теоремы Чёрча мы получаем следующий
результат.
Теорема о неполноте (Гёдель — Россер). Если
Т является рекурсивно аксиоматизированным, расширением
теории N, то теория Т неполна.
Теорема о неполноте имеет важные следствия, касаю-
щиеся аксиоматического метода. Идея аксиоматического
метода состоит в том, что, имея различные понятия, мы
вводим язык для выражения утверждений об этих поня-
тиях, а затем вводим аксиоматическую систему для дока-
зательства утверждений об этих понятиях. Аксиоматиче-
ская система должна быть такой, чтобы все теоремы ак-
сиоматической системы были истинными, и мы надеемся,
что она будет такова, что все истинные предложения
этого языка будут теоремами. Во всяком случае, нам,
конечно, нужно, чтобы аксиомы и правила аксиоматиче-
ской системы были такими, чтобы мы могли решить, что
является и что не является доказательством. (В против-
ном случае мы могли бы достигнуть нашей цели, просто
выбрав в качестве аксиом все истинные предложения.)
Теперь предположим, что эти понятия берутся из
и что избранный язык есть L(N). Предположим далее,
что мы хотим, чтобы наша аксиоматическая система была
формализуема как теория. Требование, чтобы мы могли
опознавать доказательство, означает, в частности, что
когда мы видим какую-либо нелогическую аксиому, мы
Должны уметь ее опознать. Ввиду тезиса Чёрча это озна-
чает, что наша теория Т должна быть рекурсивно аксио-
матизированной. Если доказуемыми в Т являются истин-
ные предложения из и только они, то Т должна быть
эквивалентна Th (©^) и, следовательно, должна быть пол-
ным расширением теории А. Однако это невозможно по
теореме о неполноте.
Рассуждая менее формально, мы можем увидеть, что
О1'раничение на теории или на язык L (N) несущественно
Для доказательства. Предположим, что мы имеем аксиома-
200
ГЛ. 6. НЕПОЛНОТА И НЕРАЗРЕШИМОСТЬ
тическую систему, в которой каждая замкнутая формула
А теории А/' выражена формулой А*, и предположим, что
мы можем фактически построить Л*, если дана форму- ,
ла А. Предположим также, что А* доказуема в нашей
аксиоматической системе тогда и только тогда, когда А
истинна в Наконец, предположим, что наша аксиома-
тическая теория удовлетворяет требованию, что мы можем
опознавать доказательство. Тогда мы в состоянии решить,
истинна А или ложна. Единственно, что мы должны де-
лать, — это просматривать все последовательности формул .
из нашей аксиоматической системы до тех пор, пока мы
не придем к такой последовательности, которая является
либо доказательством А*, либо доказательством ("| Л)*.
Если она является доказательством Л*, то Л истинна;
если она является доказательством (”| Л)*, то Л ложна.г
Таким образом мы получили разрешающий метод для
Th(&f'), что невозможно по теореме Чёрча. Поэтому
мы приходим к такому заключению: не существует .
корректной аксиоматической системы, в которой мы
могли бы доказать все истинные факты о натуральных
числах, выразимые в L(W); этих фактов много меньше,
чем всех математических истин.
Это важное ограничение должно быть правильно понято.
Здесь не утверждается, что существует некоторая мате-
матическая истина, которую нельзя доказать ни в какой
корректной аксиоматической системе. Ясно, что это не так,
потому что мы можем получить новую корректную си- <
стему, присоединяя эту истину в качестве аксиомы. Проб-;
лема заключается в следующем: может ли каждая мате1-
матическая истина (или хотя бы каждая математическа 1
истина, выразимая в L (2V)) быть доказана из аксиом,
истинность которых очевидна. Однако мы не можем на-
деяться достигнуть большого прогресса в решении этой
проблемы до тех пор, пока мы не представим себе более четко,
что же означает на самом деле «быть очевидно истинным».
Теорема о неполноте показывает нам, что если Т яв:
ляется непротиворечивым рекурсивно аксиоматизирован-'
ним расширением теории 2V, то некоторая замкнутая фор-
мула Л теории Т неразрешима в Т. Отсюда следует, что
если мы внимательно проанализируем детали доказатель-
ства, то обнаружим, что если Т задана, то мы можем
фактически построить формулу Л.
6.9. НЕРАЗРЕШИМОСТЬ
201
6.9. Неразрешимость
Теперь мы изложим несколько новых методов доказа-
тельств неразрешимости теорий. Эти методы могут соче-
таться с леммой из § 6.8 для доказательства неполноты
теорий.
В этом параграфе мы возвратимся к первоначальному
интуитивному описанию проблемы разрешимости для тео-
рий. Чтобы превратить наши доказательства в формаль-
ные доказательства, надо просто проверить, что исполь-
зуемые функции и предикаты рекурсивны.
Наш план заключается в следующем: скомбинировать
теорему Чёрча с основным методом, чтобы показать, что
неразрешимость одной теории влечет за собой неразреши-
мость другой. Основной метод заключается в следующем.
Предположим, что каждой формуле А теории Т соответ-
ствует такая формула Л* теории Т', что |— т А тогда и
только тогда, когда |— т'А*. Предположим также, что мы
имеем какой-то метод построения формулы Л* по данной
формуле Л. Ясно, что тогда разрешающий метод для Т'
приводит к разрешающему методу для Т, поэтому если Т
неразрешима, то Т' также неразрешима.
Конечным расширением теории Т называется такое
простое расширение Т1 теории Т, что в Т' существует
только конечное число нелогических аксиом, не являю-
щихся теоремами теории Т. Интерпретация I теории Т
в теории Т' называется точной, если для каждой фор-
мулы Л теории Т из |— г'Л<Г) следует |— ТА.
Теорема 1. Если Т' — консервативное расширение
теории Т и Т неразрешима, mo Т неразрешима. Если
Т — конечное расширение теории Т' и Т неразрешима,
mo Т' неразрешима. Если Т —расширение теории Т'
с помощью определений и Т неразрешима, mo Т' нераз-
решима. Если I — точная интерпретация теории Т в тео-
рии Т' и Т неразрешима, mo Т' неразрешима.
Доказательство. В каждом случае мы определим
формулу Л* для использования основного метода. Если
Т' — консервативное расширение теории Т, то Л* есть А.
Если У —конечное расширение теории Т', то Л* есть
Л, где Bi, ..., Вп — замыкания тех нело-
гических аксиом из Т, которые не являются теоремами
теории Т'\ тогда по теореме редукции имеем |— ТА тогда
202
ГЛ. 6. НЕПОЛНОТА И НЕРАЗРЕШИМОСТЬ
и только тогда, когда т> А*. Если Т — расширение тео-
рии Т' с помощью определений, то Л* —перевод А в Т".
Если I — точная интерпретация для теории Т в теории Т',
то Л* есть Л(7).
В качестве примера рассмотрим теорию Т языка N,
не имеющую нелогических аксиом. Тогда N является
конечным расширением теории Т, и вследствие теоремы 1
и теоремы Чёрча Т неразрешима.
Структура называется строго неразрешимой, если
неразрешимой является каждая теория, для которой sz^
является моделью.
Теорема 2. Структура строго неразрешима.
Доказательство. Пусть з#' —модель теории Т.
Тогда ©/Г является моделью теории T\JN и потому тео-
рия T\JN непротиворечива. Вследствие теоремы Чёрча
T{JN неразрешима. Так как Т U N — конечное расшире-
ние теории Т, то Т неразрешима вследствие теоремы 1.
Если Т — обогащение теории Th (sz^) с помощью опре-
делений, то существует единственное обогащение струк-
туры sz^, являющееся моделью теории Т. Такое обога-
щение структуры sz^ называется обогащением струк-
туры с помощью определений.
Лемма. Если & является обогащением структуры
с помощью определений и <£% строго неразрешима, то <?Л
также строго неразрешима.
Доказательство. Пусть является моделью
теории Т; нам надо показать, что Т неразрешима. Мы
знаем, что является моделью расширения U теории
Th (sz^) с помощью определений. Образуем 7\ из Т, при-
соединяя в качестве новых нелогических аксиом условия
существования и единственности, необходимые для опре-
деляющих аксиом теории U. Тогда sz^ будет моделью
теории ТД. Кроме того, 7Д является конечным расшире-
нием теории Т (так как мы допускаем только конечное
число нелогических символов), поэтому вследствие тео-
ремы 1 достаточно доказать, что Т' неразрешима.
Пусть (Д — расширение теории 7\ с помощью опреде-
лений, полученное присоединением новых нелогических
символов из U вместе с их определяющими аксиомами.
Так как является моделью теории Т1} то Th (а^)
является расширением теории Tlt и поэтому U является
расширением теории иг. Вследствие этого является
6.9. НЕРАЗРЕШИМОСТЬ
203
моделью теории Ui, и потому теория Ui неразрешима. По
теореме 1 теория 7\ неразрешима.
Интерпретация I языка L в языке L' называется про-
стой,. если И/ совпадает с и для каждого нелогического
символа и языка L. Предположим, что I является про-
стой интерпретацией языка L в теории Т', где L(T')~L',
и что оЛ является моделью теории Т'. Из истинности
в утверждений (1) и (2) из § 4.7 мы видим, что
является универсумом некоторой подструктуры
структуры Структура <£fi\L обозначается через й^;.
Так как каждый индивид из имеет одинаковое
имя как в А(й^т), так и в L' (е^), то мы можем рас-
ширить 1 до простой интерпретации языка L (й^ц) в языке
Тогда (Л) = а^ (Л;) для каждой замкнутой
формулы Л языка L(a^y). Доказательство ведется индук-
цией по длине формулы Л. Если формула Л атомная, то
Л/ есть Л и й^'у(Л) = е® (Л) —е./ (Л). Если Л является
отрицанием или дизъюнкцией, то результат следует не-
посредственно из индуктивного предположения. Предпо-
ложим теперь, что Л есть ЗхВ. Используя индуктивное
предположение и вспоминая, что
l^| = (^U
получаем
a^i(A) = U *+e^j(Bx[i]) = M для некоторого I из £(й^;)
<-» й^ <(Я/)ЛЛ)=и для некоторого I из L (е^j)
(U}i & (Bj)x [/]) = И для некоторого / из
L (й^)
(Зх (UjX & Bj)) = И
Пусть теперь Л — предложение языка !., а В — замы-
кание Л. Тогда Bj является замыканием Л(/). Отсюда и
вследствие равенства orf; (В) = <?Л (Bj) мы получаем, что Л
истинна в erfi тогда и только тогда, когда Л(/) истинна в erf.
Мы говорим, что предикат на | erf ] или функция из
I [ в ]й^| определим (а) в й^, если он (она) входит
в некоторое обогащение структуры erf с помощью .опре-
делений. Вследствие этого предикат р на | erf | опре-
делим в й^ тогда и только тогда, когда существует такая
формула D, что
раг ... ап <-> erf (D [Zi, ...,	= И,
204
ГЛ. 6. НЕПОЛНОТА И НЕРАЗРЕШИМОСТЬ
где ilt /„ — имена индивидов alt ап; и функция f
из I | в : оЛ | определима в erf тогда и только тогда,
когда существует такая формула D, что
... an = b<->erf (D [Л, ..., /„, /]) = И,
где /\, ..., /’„, j— имена индивидов а1г ..., ап, Ь. (Легко
заметить, что последнее условие гарантирует, что нужные
условия существования и единственности истинны в erf
и потому являются теоремами теории Th(sz^).)
Структура erf определима в структуре если мно-
жество |е/| является подмножеством множества |а®|,
определимым в и каждая функция и каждый преди-
кат из являются ограничением на  erf ’ соответствую-
щих функций или предикатов, определимых в rf’.
Предположим, что структура orf определима в струк-
туре <г%. Тогда мы можем найти такое обогащение
структуры rf’ с помощью определений, что | erf | является
предикатом р% структуры <?, и такое, что каждая функ-
ция и каждый предикат из erf являются ограничением
на | I каких-то функций или предикатов из Мы
можем предполагать, что обозначения выбраны так, что Мл
является ограничением и<% для каждого нелогического
символа и языка структуры erf. Пусть теперь 1 является
простой интерпретацией языка структуры erf в языке
структуры , в которой и;=р. Тогда 1 является интер-
претацией языка структуры в теории Th (<?) и =
Теорема 3 (Тарский). Если структура erf опреде-
лима в структуре и erf строго неразрешима, то е5Э
строго неразрешима.
Доказательство. Пусть "ё и I определены, как
ранее. Вследствие леммы достаточно показать, что
строго. неразрешима.
Пусть структура является моделью теории Г; нам
надо доказать, что Т неразрешима. Образуем Т\ из Т,
присоединив к Т аксиому BxUjX и для каждого функ-
ционального символа f языка L (языка структуры sz^)
аксиому
UjX! UjXn LhfX! ...хп,
где хх, ..., хп различны. Тогда теория 7\ является
конечным расширением теории Т, так что в силу тео-
ремы 1 достаточно доказать, что неразрешима. Так
6.9. НЕРАЗРЕШИМОСТЬ
205
как I является интерпретацией в теории Th(®’), то при-
соединенные аксиомы истинны в и потому © является
моделью теории Т\.
Пусть (/ — теория языка L, нелогическими аксиомами
которой являются такие формулы А, что	Для
каждой такой А формула Л(1) истинна в &, поэтому А
истинна в =	. Таким образом, является моделью
теории U, и потому U неразрешима. Очевидно, I является
точной интерпретацией теории U в теории Tlt так что 7\
неразрешима по теореме 1.
Укажем теперь некоторые применения этих результа-
тов. Пусть — кольцо целых чисел, рассматриваемое
как структура языка FL. Мы утверждаем, что струк-
тура @//“ определима в структуре а-/. Труднее всего пока-
зать, что множество определимо в структуре .
Для этого воспользуемся теоремой Лагранжа: каждое
натуральное число представимо в виде суммы четырех
квадратов натуральных чисел. Таким образом, если А есть
Зу 3z3y' 3z' (х = у  у +z  z +у' у' +z'-г')
и / — имя индивида а из <?Л, то tz# (Ax[i]) = H тогда и
только тогда, когда а является натуральным числом.
Замечая, что S(a) = a+1 и что a<Zb тогда и только
тогда, когда а+с+1=Ь для некоторого натурального
числа с, мы легко покажем, что 0, S, +, • и < являются
ограничениями функций и предикатов, определимых
в структуре
Вследствие теорем 2 и 3 структура sz^ строго нераз-
решима, поэтому любая теория языка FL, имеющая мо-
делью sz^, неразрешима. Среди этих теорий находятся
элементарные теории колец, коммутативных колец и обла-
стей целостности.
Пусть теперь еЛ определена, как прежде, а а® —поле
рациональных чисел. Тогда структура определима
в структуре <£&. Единственной трудностью является сле-
дующая: показать, что 	| определима в а®. Это сде-
лала Джулия Робинсон, использовав теорию квадратич-
ных форм. (Мы не будем здесьч излагать это решение.)
Вследствие теоремы 3 структура а® строго неразрешима.
Отсюда мы можем вывести неразрешимость FL, FL(0) и
других теорий.
206
ГЛ. 6. НЕПОЛНОТА И НЕРАЗРЕШИМОСТЬ
Задачи
Предполагается, что все теории имеют лишь конечное число
нелогических символов.
1.	Примитивно рекурсивные функции определяются с помощью
следующего обобщенного индуктивного определения.
PR1. Константные функции, функция следования S(x)=x-|-1
и функции примитивно рекурсивны.
PR2. Если G, Hlt ..., Яд примитивно рекурсивны, a F опреде-
лена следующим образом:
Л(а) = С?(Я1(11)...Яд G0).
то F примитивно рекурсивна.
PR3. Если G и Я примитивно рекурсивны, a F определена
следующим образом:
F(0, fl) = GGi).
F(a-|--1, а) = Н (F (а, а) а, и),
то F примитивно рекурсивна.
Предикат примитивно рекурсивен, если его представляющая функ-
ция примитивно рекурсивна.
(а)	Показать, что Rl, R2, R4 и R6 —R13 верны, если рекурсив-
ный заменить на примитивно рекурсивный. [Последними доказывать
R9 и R10.]
(б)	Показать, что |3 примитивно рекурсивна.
(в)	Показать, что существует такая примитивно рекурсивная
функция F, что если
/I OL ,	d > • • • ,	_j Cl,
то существует такое x<zF(a), что р (х, /) = а; при i < п.
(г)	Показать, что	, ап), lh (a);, Seq, In и * примитивно
рекурсивны. [Воспользоваться (в) и R9.] Показать, что R14 спра-
ведливо, если рекурсивна заменить на примитивно рекурсивна.
(д)	Показать, что если множество NLAxr примитивно рекур-
сивно, то функции и предикаты, определенные в § 6.6, примитивно
рекурсивны.
2.	Пусть Я и Я—рекурсивные функции, и пусть F и G опреде-
лены индуктивно следующим образом:
F (а, а) —И (F (a, a), G (а, а), а, а),
G (a, а) = К (F (а+1, a), G (а, а), а, а).
Показать, что F и G рекурсивны. [Пусть L (a, a) = (F(a, a), G (a, a));
пользуясь R14, показать, что L рекурсивна.]
3.	Действительное число а рекурсивно, если существуют такие
Гекурсивные функции F и G, что при п 0 мы имеем G(n) #= 0 и
\a\-F{ri)!G (n)|<l/n.
(а)	Показать, что каждое рациональное число рекурсивно.
(б)	Показать, что е и л рекурсивны. [Воспользоваться подходя-
щими разложениями в ряд е и л вместе с оценками скорости сходи-
мости этих рядов.]
ЗАДАЧИ
207
(в)	Показать, что если а и b рекурсивны, то а-\-Ь а — Ь и а-b
рекурсивны. Если к тому же Ь 0, то показать, что а/b рекурсивно.
[Следовать доказательствам непрерывности этих функций.]
(г)	Пусть Ра(т, п) означает, что п^Ои т!п < | а |. Показать,
что а рекурсивно тогда и только тогда, когда Р,е рекурсивен. [Пред-
положим, что а рекурсивно и иррационально. Тогда
т[п < | а | тогда и только тогда, когда
mjn < F (k)/G (k) — \/k для некоторого k,
и
т/п > | а | тогда и только тогда, когда
т/п > F (k)/G (/г) 1 /к для некоторого k,
где F и G определены выше.]
(д)	Показать, что действительное число а рекурсивно тогда и
только тогда, когда существует такая рекурсивная функция F, что
7?(n)<g9 при п =£ 0 и | а | = 2 (п) ~ Ю~"- [Если а рекурсивно и
иррационально, то F определена неравенствами | а | —10~* <
k
< 2 КГ" < | а |.]
п ~ 0
4.	Унарная функция F перечисляет множество А, если элемен-
тами множества А являются в точности элементы последовательности
F (0). Г(1),
(а)	Показать, что непустое множество А рекурсивно перечислимо
тогда и только тогда, когда оно перечисляется рекурсивной функцией.
(б)	Показать, что каждое бесконечное рекурсивно перечислимое
множество перечисляется инъективной рекурсивной функцией.
(в)	Показать, что бесконечное множество А рекурсивно тогда
и только тогда, когда оно перечисляется такой рекурсивной функ-
цией F, что F (n) < F (п+ 1). Для всех п.
(г)	Показать, что каждое бесконечное рекурсивно перечислимое
множество имеет бесконечное рекурсивное подмножество. [Восполь-
зоваться (б) и (в).]
5.	Теория называется рекурсивно аксиоматизируем й, если она
эквивалентна рекурсивно аксиоматизированной теории.
(а)	Показать, что Т рекурсивно аксиоматизируема тогда и
только тогда, когда Thm^ рекурсивно перечислимо. [Пусть Thm^
рекурсивно перечислимо, выбрать F такую же, как и в 4 (а). Пред-
положить, что нелогическими аксиомами из Т' являются Ао& Дх ...
...& Ап, причем ।	= и применить 4 (в).]
(б)	Привести пример рекурсивно аксиоматизируемой теории, не
являющейся рекурсивно аксиоматизированной.
6.	Пусть символам теории Т сопоставлены номера двумя раз-
личными способами, и пусть ' и ‘и’ являются соответствующими
номерами выражений и. Показать, что существует такая рекурсив-
ная функция F, что F =‘а’ для любого указателя и. Дока-
зать, что теория Т является разрешимой (рекурсивно аксиоматизиро-
ванной) при одном способе сопоставления номеров символам тогда
и только тогда, когда она является разрешимой (рекурсивно аксио-
матизированной) при другом способе сопоставления.
208
ГЛ. 6. НЕПОЛНОТА И НЕРАЗРЕШИМОСТЬ
7.	Теория называется численной, если она содержит символы 0
и S. Представимость в такой теории мы определяем так же, как
и в N.
(а)	Показать, что если Т—рекурсивно аксиоматизированная чис-
ленная теория и если Tkm — kn влечет т--=п для любых тип,
то каждая представимая в Т функция рекурсивна и каждый пред-
ставимый в Т предикат рекурсивен. Доказать, что функция рекур-
сивна (предикат рекурсивен) тогда и только тогда, когда она (он)
представима (представим) в некоторой конечно аксиоматизируемой
численной теории такой, что |— т km = kn влечет т = п для любых тип.
(б)	Показать, что если теория Т является расширением теории А/,
то функции, представимые в Т, удовлетворяют R1 — R3. Затем пока-
зать, что если Т непротиворечива, то Thin т не представима в Т.
[Воспользоваться доказательством теоремы Чёрча.]
(в)	Формула А численной теории Т называется определением
истинности, если \~Т	для каждой замкнутой фор-
мулы В теории Т. Показать, что если теория Т является непротиво-
речивым расширением теории N, то не существует определения
истинности в Т. [Применить (б) и теорему Линденбаума.]
8.	Пусть Т—численная теория. Формула А от различных пере-
менных ..., хп слабо представляет Р, если для любых ах, ... , ап
I" Т Axt...хп [kav - kan] О Р ... , Ял).
Предикат Р является слабо представимым в теории Р, если он слабо
представим в Т некоторой формулой от некоторой последовательно-
сти переменных.
(а)	Показать, что если теория Т непротиворечива, то каждый
представимый в теории Т предикат является слабо представимым
в теории Т.
(б)	Пусть Р и Q — п-арные рекурсивно перечислимые предикаты.
Показать, что существуют формула А из Л/ и различные переменные
xt, .... хп такие, что]
Р(ах, ... , ап) & П Q(aj...ап) => Ид, A [kai....kan\t
Q(a^, ... , ап) & ~| Р (а1,	, ап) —> I— д> П А ...»
[Взять в качестве А формулу Их (В & Vy (у < х -» "] С)), где В пред-
ставляет такой предикат Рг, что Р (п) ЗхРх (п, х), а С представ-
ляет такой предикат Qx, что Q (а) -► 3xQx (п, х).]
(в)	Показать, что если Т~непротиворечивое рекурсивно аксио-
матизированное расширение теории N, то каждый рекурсивно пере-
числимый предикат Р слабо представим в теории Т. [Выбрать такой
рекурсивно перечислимый предикат Q, что для всех А
Q (аг ..., ап, 1 Д"1) о А^........у[\’	’ kan’ йГа"1]-
Выбрать А такую же, как и в (б), и взять в качестве В формулу
АУ 1*ГлП].]
(г)	Показать, что если теория Т рекурсивно аксиоматизирован-
ная, то каждый слабо представимый в теории Т предикат рекурсивно
перечислим. Затем показать, что предикат рекурсивно перечислим
ЗАДАЧИ
209
тогда и только тогда, когда он слабо представим в некоторой конечно
аксиоматизируемой численной теории. [Использовать (в).]
9.	Пусть Сп—формула, утверждающая, что существует ровно п
индивидов.
(а)	Пусть теория Т конечно аксиоматизируема. Показать, что
существует разрешающий метод для формул вида Сп -> А. [Исполь-
зовать 13 (б) из главы 4.]
(б)	Показать, что если теория Т конечно аксиоматизируемая и
ш-категоричная для некоторого бесконечного кардинала tn, тоТ разре-
шима. [Пусть теория Т' получена из Т присоединением в качестве аксиом
всех "] Сп. Используя теорему Лося —Воота и лемму из § 6.8, пока-
зать, что Т’ разрешима. Показать, что по данной замкнутой тео-
реме А из Т\ мы можем найти такое п, что н г ”] Cj	Сл -» А.
Затем использовать (а).]
<в) Показать, что (б) будет ложно, если конечно аксиоматизи-
руемая заменить на рекурсивно аксиоматизированная. [Пусть А —
нерекурсивное рекурсивно перечислимое множество. Выбрать в каче-
стве Т теорию, в которых нет нелогических символов и не логиче-
скими аксиомами которой являются “] Сп для п из А, и воспользо-
ваться 5 (а).]
10.	Структура о,называется неразрешимой, если теория Th (а/)
неразрешима.
(а)	Показать, что если неразрешима, то любое обогащение
структуры о/g неразрешимо.
(б)	Показать, что если структура является обогащением
структуры с помощью определений и неразрешима, то
неразрешима. [Показать, что расширение с помощью определений
полной теории является полным. Пользуясь леммой 1 из § 5.5, пока-
зать, что теория Th (о5Э) эквивалентна расширению теории Th (о^)
с помощью определений.]
(в)	Показать, что если структура а/ определима в структуре
и ат/ неразрешима, то неразрешима. [Показать, что теория
Th (дт/) имеет точную интерпретацию в теории Th («$?).]
11.	Непротиворечивая теория Т называется существенно нераз-
решимой (строго неразрешимой), если каждая модель теории Т не-
разрешима (строго неразрешима).
(а)	Показать, что если теория Т непротиворечива и разрешима,
то Т имеет полное разрешимое простое расширение. [Воспользоваться
доказательством теоремы Линденбаума, описанным в задаче 1 из
главы 4.]
(б)	Показать, что непротиворечивая теория Т существенно не-
разрешима тогда и только тогда, когда каждое непротиворечивое
простое расширение теории Т неразрешимо. [Использовать (а) и
лемму 1 из § 5.5.]
(в)	Теория Т' совместима с теорией Т, если L(T') = L(T) и тео-
рия ТОТ' непротиворечива. Показать, что непротиворечивая тео-
рия Т строго неразрешима тогда и только тогда, когда каждая сов-
местимая с Т теория неразрешима.
(г)	Показать, что если теория Т конечно аксиоматизируема и
существенно неразрешима, то Т строго неразрешима. [Воспользо-
ваться доказательством теоремы 2 из § 6.9.] Затем показать, что N
строго неразрешима. [Использовать (б).]
210
ГЛ. 6. НЕПОЛНОТА И НЕРАЗРЕШИМОСТЬ
(д)	Показать, что если теория Т существенно неразрешима (строго
неразрешима), то каждое непротиворечивое расширение теории Т
существенно неразрешимо (строго неразрешимо). [Показать, что
любое обогащение строго неразрешимой структуры строго неразре-
шимо, а затем воспользоваться этим и 10 (а).]
(е)	Показать, что если теория Т' является расширением теории Т
с помощью определений и Т’ существенно неразрешима (строго не-
разрешима), то Т существенно неразрешима (строго неразрешима).
[Использовать 10 (б) и лемму из § 6.9.]
(ж)	Показать, что если теория Т интерпретируема в непротиво-
речивой теории Т' и Т существенно неразрешима (строго неразре-
шима), то Т' существенно неразрешима (строго неразрешима). [Вслед-
ствие (е) мы можем предположить, что существует интерпретация
теории Т в Т'. Показать, что если е5Э является моделью теории Т',
то некоторая модель теории Т определима в структуре <?50. Затем
воспользоваться 10 (в) н теоремой 3 из § 6.9.]
12.	Непустое множество Г замкнутых формул теории Т назы-
вается базой теории Т, если для каждых двух моделей н тео-
рии Т выполняется условие: если (А) = е50 (А) для всех А из Г,
то и элементарно эквивалентны. Через © (Г) мы обозначим
множество дизъюнкций формул, являющихся либо формулами из Г,
либо отрицаниями формул из Г, а через ® (Г) — множество конъюнк-
ций формул из © (Г).
(а)	Показать, что если Г является базой теории Т, то
каждая замкнутая формула теории Т эквивалентна в Т фор-
муле из Щ (Г). [Воспользоваться доказательством леммы 4 нз
§ 5.5.]
(б)	Предположим, что теория Т рекурсивно аксиоматизирован-
ная, Г является базой теории Т, и мы имеем метод решения вопроса
о том, принадлежит ли данная формула множеству Г. Показать, что
для данной замкнутой формулы А теории Т мы можем найти фор-
мулу из Щ (Г), эквивалентную А в Т.
(в)	Пусть теория Т рекурсивно аксиоматизированная и Г—база
теории Т- Предположим, что мы имеем метод для решения вопроса
о том, принадлежит данная формула множеству Г или нет, и метод
для решения вопроса о' том, является ли данное предложение из'
© (Г) теоремой теории Т. Показать, что теория Т разрешима. [Ис-
пользовать (б).]
(г)	Показать, что теория EQ разрешима. [Использовать (в) и
задачу 21 из главы 5.]
(д)	Показать, что если теория Т конечно аксиоматизируемая и
все нелогические символы теории Т являются унарными предикат-
ными символами, то Т разрешима. [Показать, что мы можем пред-
полагать, что Т не имеет нелогических аксиом, и использовать (в)
и задачу 22 из главы 5.]
13.	Множество 7? отделяет, множество Р от множества Q, если Р
является подмножеством множества Р, и Q и 7? не пересекаются.
Непересекающиеся множества Р и Q называются рекурсивно неотде-
лимыми, если не существует рекурсивного множества, отделяющего Р
от Q. Теория Т рекурсивно неотделима, если множество Thm^
является рекурсивно неотделимым от множества номеров отрицаний
теорем теории Т-
ЗАДАЧИ
211
(а)	Пусть Р н Q—непересекающнеся множества, и пусть Т —
такая численная теория, что для каждого рекурсивного множества А
существует формула А теории Т такая, что для любого п справед-
ливо Р (^А [йл]^), если п принадлежит А, и Q (ПА [^П]П), если п
нс принадлежит А. Показать, что Р и Q рекурсивно неотделимы.
[Пусть/? отделяет PotQ, обозначить через Е' (А) множество таких п,
что 7? (Г-A [£п]^), и вести доказательство аналогично доказательству
теоремы Чёрча.]
(б)	Показать, что если каждое рекурсивное множество слабо
представимо в теории Т, то Т неразрешима. [Использовать (а).]
(в)	Показать, что если теория Т непротиворечива и каждое
рекурсивное множество представимо в Г, то Т рекурсивно неотде-
лима. [Использовать (а).] Затем показать, что существуют рекур-
сивно неотделимые рекурсивно перечислимые множества.
(г)	Показать, что если теория Т рекурсивно неотделима, то Т
существенно неразрешима. [Использовать 11 (б).]
14.	Теория Т называется наследственно неразрешимой, если
каждая теория, для которой Т является простым расширением,
неразрешима.
(а)	Показать, что az^ строго неразрешима тогда и только тогда,
когда Th (<□//) наследственно .неразрешима.
(б)	Показать, что если теория Т имеет строго неразрешимую
модель, то Т наследственно неразрешима. Затем показать, что строго
неразрешимая теория наследственно .неразрешима.
(в)	Показать, что элементарная теория колец является наследст-
венно неразрешимой, однако не является существенно неразрешимой.
[Использовать (б) и 11 (б).]
(г)	Пусть А и В —рекурсивно неотделимые рекурсивно перечис-
лимые множества [см. 13(в)]. Пусть Ал>й определена так же, как
в задаче 21 (а) из главы 5. Пусть теория Т получена из теории EQ
присоединением в качестве аксиомы Alt k для каждого k из А и при-
соединением в качестве аксиомы	Для каждого k из В. Пока-
зать, что теория Т рекурсивно аксиоматизируема и существенно
неразрешима. [Использовать 5(a) и 13 (г).] Показать, что каждая
конечная часть теории Т разрешима, а затем показать, что Т не
является наследственно неразрешимой. [Использовать 12 (г) и тео-
рему 1 из § 6.9.]
15.	(а) Показать, что если теория Т рекурсивно аксиоматизи-
руема и имеет только конечное число неэквивалентных полных про-
стых расширений, то Т разрешима. [Показать, что если А —замкнутая
Формула и если теории Т (А) и Т (“| А) разрешимы, то Т разрешима.
Затем воспользоваться индукцией по числу неэквивалентных полных
простых расширений.]
(б) Показать, что существует рекурсивно аксиоматизируемая не-
разрешимая теория, имеющая только счетное число неэквивалентных
полных простых расширений, каждое из которых разрешимо. [Исполь-
зовать пример из 9(в).]
16.	(а) Показать, что существует строго неразрешимая структура
Для языка, который имеет единственный нелогический символ—4-ар-
пый предикатный символ 7?. [Пусть |	| является множеством нату-
ральных чисел, и пусть Р^ — множество всех четверок вида (1, т, п,
т + п) и (0, т, п, т - п). Замечая, что Р (т, т, т, т) тогда и только
212
ГЛ. 6. НЕПОЛНОТА И НЕРАЗРЕШИМОСТЬ
тогда, когда т=0, показать, что структура ©J'’ определима в струк-
pype оЛЛ
(б)	Обогащение структуры orf называется несущественным,
если символами языка структуры не являющимися символами
языка структуры , являются лишь константы. Показать, что если
структура о® является несущественным обогащением структуры
и Р® строго неразрешима, то строго неразрешима. [Пусть —
модель теории Т. Получить Т' из Т, присоединяя новые константы
из о®, и применить теорему о константах.]
(в)	Показать, что существует строго неразрешимая структура
для языка, единственным нелогическим символом которого является
бинарный предикатный символ Р. [Пусть структура такая же,
как в (а). Пусть | Р® | состоит из элементов \orf\, упорядоченных
пар элементов |	| и некоторого нового элемента и. Пусть
состоит из следующих упорядоченных пар элементов |	[ (где а, Ь,
cud означают элементы из | orf |): все ((a, b), (с, d)) такие, что
Рл (а, Ь, с, dy, все (а, (а, Ь)); все ((а, Ь), &); все (и, а) и все ((а, Ь), и).
Показать, что структура orf определима в несущественном обогаще-
нии структуры и воспользоваться (б).]
17.	(а) Пусть Т — теория, единственным нелогическим символом
которой является бинарный предикатный символ Р, а нелогическими
аксиомами—1 Р (х, х) и Р (х, у) - > Р (у, х). Показать, что Т имеет
строго неразрешимую модель. [Пусть структура удовлетворяет
условиям задачи 16 (в). Пусть для каждого элемента а из |	|
множество [ о® | содержит три элемента alt а3, и пусть | Р® I
содержит еще два элемента и и v. Пусть Р.я состоит из всех пар
(Ор а2у (а2, а3),(и, аУ), (у, а2); всех пар (а^, Ь3) таких, что (а, Ь) при-
надлежит Р^, и пар, им обратных. Показать, что структура
определима в несущественном обогащении структуры о5Э.]
(б)	Пусть РО —теория, единственным нелогическим символом
которой является < и аксиомами которой является ~| (х < х)
и х <Zy -» у < z -> х < г. Тогда моделями для РО являются частично
упорядоченные множества. Пусть теория LT — расширение теории
РО, полученное присоединением аксиом, утверждающих, что каждые
два элемента имеют наименьшую верхнюю грань и наибольшую ниж-
нюю грань. Показать, что LT имеет строго неразрешимую модель.
[Пусть orf удовлетворяет условиям задачи (а). Пусть Е состоит из
элементов из |	| и упорядоченных пар из Рл. Пусть | Р® | явля-
ется классом всех таких подмножеств F множества Е, что если (а, Ь)
принадлежит F, то а и & принадлежат F. Показать, что объединение
и пересечение любых двух членов из | о® | принадлежит | о® |. Далее,
пусть E<aF', если F — собственное подмножество множества F’.
Показать, что некоторая структура, изоморфная структуре , опре-
делима в структуре о®-]
(в)	Показать, что существует строго неразрешимая структура
для языка, нелогическими символами которого являются лишь два
унарных функциональных символа. [Пусть orf удовлетворяет усло-
виям задачи (а). Пусть | о® | состоит из индивидов из orf и пар из
рл- Пусть
f# ((а. ь\)=а, &л((а, b)) = b,	(а) = а
ЗАДАЧИ
213
для а, b из |	[, Показать, что структура определима в струк-
туре ай?.]
18.	Пусть orf — множество биективных отображений множества
целых чисел в себя. Мы рассматриваем orf как группу и, следова-
тельно, как модель теории G с композицией функций в качестве
групповой операции. Пусть S — элемент из orf, определенный сле-
дующим образом; S(t) = i’+1.
(а)	Показать, что отображение, сопоставляющее числу t отобра-
жение S‘, является биективным отображением множества целых чисел
в множество индивидов структуры orf, перестановочных с S. [Если
отображение F перестановочно с S, то F (S‘ (0)) = S‘ (F (0)).]
(б)	Показать, что для любых чисел t и j число j делится на i
тогда и только тогда, когда SJ перестановочно с каждым индивидом
структуры qz^, с которым перестановочно S‘. [Пусть 1'^Ои условие
выполняется; ’ применить его к F, определенному следующим обра-
зом: F(k) = k-\-i, если k делится на t, F (k) = k в противном случае.]
(в)	Пусть структура о® определена следующим образом: | о® | —
множество целых чисел, 1Д—целое число 1, -[-^ — функция сложе-
ния, a предикат делимости (это означает, что (i, j) тогда
и только тогда, когда t делится на /). Показать, что структура о®
строго неразрешима. [Показать, что кольцо целых чисел определимо
в структуре о®. Для этого заметить, что I2 является единственным
целым числом j таким, что /-|-i является наименьшим общим крат-
ным чисел i и i-]-1, a j — i является наименьшим общим кратным
чисел i и t — 1; затем определить I- j с помощью равенства (* + /)2 =
= t2 — i •/ + /•/ + /2.]
(г)	Показать, что структура erf строго неразрешима. [Пользуясь
(а) и (б), определить в несущественном обогащении структуры orf
модель, изоморфную структуре ой?.]
19.	Пусть Jo — теория, полученная из теории W заменой аксиом
Х2 и N8 следующими тремя аксиомами: S0#=0,
Sx=£ х -> Sy =£у -> Sx — Sy -> х = у,
Sx =/= х -> (у < Sx у < х V у = х).
Пусть теория J получена из теории Jo присоединением в качестве
новых аксиом всех предложений йЯЧ1=Лйл.
(а)	Показать, что если т =£ п, то
Н 1	“*	^п-
(б)	Показать, что если функция F рекурсивна, то существуют
Формула А и различные переменные Xi, ..., хп, у такие, что если
F (th, ... , ап)-=Ь, то
.....kan
1-уЛ [Йа1, .... ka^ ~У = kb.
[Следовать доказательству теоремы о представимости. Если F есть
Кто взять в качестве А
*-*-П Xj -> Sx2 =/= х2 -> (Xj х2 & у = йо) V (~"| (Jtj <1 х.^ &у = й1).
При рассмотрении R3 учесть, что G можно выбрать так, что
и (Л. b) 1, так как мы можем заменить G (а, Ь) на /Q. (G (a, b), 1).]
214
ГЛ. 6. НЕПОЛНОТА И НЕРАЗРЕШИМОСТЬ
(в)	Показать, что если предикат Р рекурсивный, то существуют
формула А и различные переменные Лц .... хп такие, что
P(ai..........................4L
Я р(а1.....ап)^ я А [/Ц-----------fceJ.
[Использовать (б).]
(г)	Показать, что теория J строго неразрешима. [Пусть теория
Т совместима с теорией J. Пусть Р и А те же, что и в (в), и пусть
В является коныонкцией замыканий нелогических аксиом теории Jo.
Показать, что В - > А слабо представляет Р в теории Т и воспользо-
ваться 13 (б) и 11 (в).]
(д)	Показать, что каждая конечно аксиоматизируемая часть тео-
рии J имеет конечную модель. [Для каждого натурального числа п
рассмотреть структуру с индивидами 0, 1, .... п, в которой
Зл (a) = min (а-|- 1, n), a-|-^& = min (а— Ь, п),
а • ^&=min (а • Ь, н), а <л Ь —► а < £>.]
(е)	Пусть Т — теория языка L(N), нелогическими аксиомами
которой являются все предложения, истинные в каждой конечной
структуре для этого языка. Показать, что теория Т неразрешима.
[Использовать (г), (д), И (в) и теорему компактности.]
ГЛАВА 7
ТЕОРИЯ РЕКУРСИИ
7.1.	Частичные функции
Отображение F множества А в множество В полностью
определяются любым разрешающим методом для F: зна-
чением F (а) должен быть элемент из В, полученный при
применении метода к а. Однако произвольный метод полу-
чения элементов множества В из элементов множества А
может не быть разрешающим методом для отображения
из А в В, так как этот метод может не давать ответа
для некоторых а из А. Например, метод может требовать
решения некоторого множества уравнений, а уравнения
могут не иметь решения для некоторого а. К тому же
может существовать такое а, для которого вычисление
прямым способом никогда не окончится. Это произойдет,
например, если мы попытаемся найти рх/?(а, х) обычным
методом, а а таково, что Vx“|/?(a, х).
Все это приводит к новому определению. Частичным
отображением F из А в В называется отображение неко-
торого подмножества множества А, называемого областью
определения отображения F, в В. Таким образом, отобра-
жение А в В — это частичное отображение А в В, областью
определения которого является А. Если мы хотим проти-
вопоставить отображения частичным отображениям, то мы
говорим всюду определенное отображение вместо отобра-
жение.
Разрешающим методом для частичного отображения F
из Л в В называется метод, который, будучи применен
к произвольному элементу а из А, даст значение F (а),
если а принадлежит области определения отображения F,
и не даст результата, если а не принадлежит области
определения отображения F. Мы говорим, что F вычислимо,
если оно имеет разрешающий метод. Эти определения
согласуются с данными ранее, если отображение F всюду
определенное.
216
ГЛ. 7. ТЕОРИЯ РЕКУРСИИ
Может показаться неестественным требование, чтобы
метод, будучи применен к элементу из А, не принадле-
жащему области определения отображения F, не давал
результата. Однако это гарантирует, что разрешающий
метод для частичного отображения F полностью опреде-
ляет F. Действительно, область определения отображе-
ния F — это множество таких а, что метод, будучи при-
менен к а, дает результат, и F (а) для такого а является
значением, полученным при применении метода к а.
Отсюда видно, что каждый метод получения элемента из
множества В по заданному элементу из множества А явля-
ется разрешающим методом для некоторого однозначно
определенного частичного отображения из А в В. Если
какой-то метод дает результат F (а) для каждого а из
области определения отображения F, то соответствующее
этому методу частичное отображение является продолже-
нием F, так что на самом деле мы при нашем ограниче-
нии ничего не теряем.
Частичное подмножество А множества Е состоит из
некоторого подмножества множества Е, называемого об-
ластью определения множества А, и указания для каж-
дого элемента из области определения, находится ли этот
элемент в А или вне А. Таким образом, частичное под-
множество множества Е может быть задано указанием
области определения и подмножества области-определения,
состоящего из тех элементов, которые принадлежат ча-
стичному подмножеству. Любое подмножество множества
Е — это просто частичное подмножество множества Е,
областью определения которого является Е. Мы говорим
всюду определенное подмножество вместо подмножество,
если мы хотим подчеркнуть различие с частичными под-
множествами.
Разрешающим методом для частичного подмножества А
множества Е называется метод, который, будучи приме-
нен к любому элементу области определения множества А,
покажет нам, лежит ли этот элемент в А или вне А, и
который, будучи применен к любому элементу из Е, не
принадлежащему области определения множества А, не
дает результата. Частичное подмножество вычислимо, если
оно имеет разрешающий метод.
Эти понятия обобщаются на функции и предикаты.
Так, п-арной частичной функцией из А в В называется
7.1. ЧАСТИЧНЫЕ ФУНКЦИИ
217
частичное отображение множества n-ок элементов, при-
надлежащих А, в В, а п-арным частичным предикатом
на А называется частичное подмножество множества п-ок
элементов из А. И снова мы говорим всюду определенная
функция и всюду определенный предикат вместо функция
и предикат.
В этой главе мы будем придерживаться соглашений,
сформулированных в начале § 6.2 и дополненных следую-
щими: частичная функция означает частичная функция
из множества натуральных чисел в множество натураль-
ных чисел, а частичный предикат означает частичный
предикат на множестве натуральных чисел.
Буквы, использовавшиеся ранее для обозначения функ-
ций и предикатов, будут теперь использоваться для обо-
значения частичных функций и частичных предикатов.
Вследствие этого некоторые выражения теперь не имеют
значения или, как мы будем говорить, не определены при
некоторых значениях переменных. Так, F (а) не опреде-
лено, если а не принадлежит области определения функ-
ции F. Также и Р (я) не определен, если а не принадле-
жит области определения предиката Р. (Если а принад-
лежит области определения предиката Р, то Р (а) исти-
нен, если а принадлежит Р, и ложен, если а не принад-
лежит Р.)
Мы условимся, что сложное выражение определено
только тогда, когда определены все его части. Так,
F (G (а)) определено тогда и только тогда, когда а принад-
лежит области определения функции G и G (я) принадле-
жит области определения функции F. Аналогично, Р [а)\]
\JQ (а) определен тогда и только тогда, когда а принадле-
жит как области определения предиката Р, так и области
определения предиката Q.
Если мы попытаемся явно задать частичную функцию F
равенством F(a) = G (Н («)), где функции G и Н частич-
ные, то мы столкнемся с трудностями. Если G (И (а)) не
определено, то F (a) = G (И («)) не определено и потому
не может ничего сообщить нам об F (а). Мы обойдем это
затруднение, введя новый символ. Если — и ... — выра-
жения (обозначающие числа), которые могут быть не опре-
делены, то __~ ... означает, что или как ., так и ...
определены и имеют одинаковые значения, или — и ...
оба не определены. (Это является исключением из уста-
218
ГЛ. 7. ТЕОРИЯ РЕКУРСИИ
новленного ранее правила; ___ ~ ... всегда определено,,
даже если одно из ___ или ... не определено.) Теперь мы
можем явно определить частичную функцию F следующим
образом: F (а) ~ G (Н (а)). Это означает, что область опре-
деления функции F состоит из таких а, что G (Н («))
определено, и что для этих а справедливо F (а)=G (Н («)).
Мы введем еще один символ, употребляемый в
явных определениях частичных предикатов. Если____и ...
— предложения, которые могут быть не определены, то
__ <-»... означает, что или как .___, так и ... опре-
делены и истинны, или оба определены и ложны, или оба
не определены. Таким образом, мы можем явно опре-
делить частичный предикат Р следующим образом:
P(a)~Q(F(a))
(где Q и F частичные).
Обычно мы будем избегать пользоваться связанными
переменными в выражениях, которые могут быть не опре-
делены. Тем не менее мы хотим придать смысл выраже-
нию рх (... х ...), где ... х ... — предложение, не опреде-
ленное при некоторых значениях х. Мы хотим сделать
это таким способом, чтобы если 7? вычислим и F опре-
делена следующим образом:
F (а) ~рх7? (а, х),
то F была вычислима. Предположим, что мы вычисляем
F (а) таким же способом, как если бы К был всюду опре-
делен, т. е. мы вычисляем 7? (а, 0), 7? (а, 1), .... пока мы
не найдем такое а, что 7? (а, а) истинно, а затем делаем
вывод, что F(a) = a. Тогда мы получим а как значение
для F (а) в том и только в том случае, если а есть такое
наименьшее х, что 7? (а, х), и 7? (а, х) определен для всех х,
меньших этого а. Поэтому мы определяем рх (... х ...)
как наименьшее число а такое, что ... а ... определено
и истинно, при условии, что ... х ... определено для
всех х, меньших этого а. Если это последнее усло-
вие не выполнено или если не существует такого а, что
... «... определено и истинно, то рх (... х ...) не опре-
делено. Заметим, что это согласовывается с нашим преж-
ним определением, когда ... х ... определено для всех х.
Представляющей частичной функцией Кр частичного
предиката Р называется частичная функция, область
7.1. ЧАСТИЧНЫЕ ФУНКЦИИ
219
определения которой совпадает с областью определения
предиката Р и которая следующим образом определена
для аргумента а в этой области определения: /<р(а) = 0,
если Р (а), и Кр(Л)=1, если 1Р (а). Очевидно, Р вычис-
лим тогда и только тогда, когда Кр вычислима.
Если F — n-арная частичная функция, то графиком F,
обозначаемым через ®F, называется (п+1)-арный всюду
определенный предикат, определенный следующим образом:
®F(a, а) F (а) а.
Вследствие этого мы имеем
F (а) ~рх®/г(а, х),
так что F может быть восстановлена по ®F.
Покажем, что F вычислима тогда и только тогда,
когда ®F позитивно вычислим. Предположим, что F вы-
числима. Мы вычисляем ®F(a, а) следующим образом:
по данным а и а вычисляем F (а); если мы получаем
некоторое значение и это значение есть а, то мы делаем
заключение, что ®F(a, а) истинно. Ясно, что это дает
правильный ответ, если ®F(a, а), и не дает ответа, если
П®Иа» о), поэтому ®F позитивно вычислим.
Чтобы доказать обратное утверждение, заметим вна-
чале, что
у) **3x7? (а, у, x))-+F (а)~(рг7?(а, (г)0, (г)^.
(1)
Действительно, если F (а.) определена, то пусть y = F(&),
и выберем такое х, что R (а, у, х). Полагая г —(у, х),
получаем R (a, (z)0, (z)i), поэтому
(нг/?(а, (г)0, (г)Д)0
определено. Предположим теперь, что
(а, (z)0,
определено, и пусть
u = pzR(a, (г)0, (z)i).
Тогда R (а, (и)0, отсюда 3x7? (а, (и)0, х), так что
®/ (а, (и)о), и потому 'F (а) = (и)0. Это доказывает (1).
Теперь предположим, что ®F позитивно вычислим. Тогда
существует такой вычислимый предикат R, что
®Яа» У) ** Эх/? (а, у, х)
220
ГЛ. 7. ТЕОРИЯ РЕКУРСИИ
для любых а и у. Поэтому вследствие (1)
F (л) ~ (цгТ? (а, (г)0, (г)О)о.
Ввиду вычислимости (а)г отсюда следует, что F также
вычислима.
Частичная функция F рекурсивна, если ее график
рекурсивно перечислим. Частичный предикат Р рекурси-
вен, если рекурсивна его представляющая частичная функ-
ция. Ввиду сказанного выше, а также вследствие тезиса
Чёрча частичная функция рекурсивна тогда и только
тогда, когда она вычислима, частичный предикат рекур-
сивен тогда и только тогда, когда он вычислим.
Так как каждая всюду определенная функция явля-
ется частичной функцией, то мы теперь имеем два опре-
деления рекурсивности для всюду определенных функций.
Чтобы установить, что они совпадают, мы должны дока-
зать следующее: всюду определенная функция рекурсивна
(в старом смысле) тогда и только тогда, когда ее график
рекурсивно перечислим. Действительно, если F всюду
определена, то имеет явное определение
®^(а, а) ♦+ F (а) = а.
Поэтому если F рекурсивна, то рекурсивен и, следо-
вательно, рекурсивно перечислим. Предположим теперь,
что рекурсивно перечислим, например,
®И<Ь У) «-> 3x7? (а, у, х)
для всех а и у. Тогда по (1)
Г(а) = (цг/?(а, (г)0, (г)1))0,
и поэтому F рекурсивна. Отсюда сразу же следует, что
два определения понятия рекурсивный для всюду опреде-
ленного предиката совпадают.
Прежде чем рассматривать свойства рекурсивных ча-
стичных функций и предикатов, мы введем еще одно
обобщение понятия рекурсивности.
7.2.	Функционалы и отношения
Мы рассматривали проблему разрешимости для отобра-
жения А в В только в случае, когда элементами мно-
жеств А и В были конкретные объекты. Теперь мы обсу-
дим случай, когда элементы множеств А и В являются
7.2. ФУНКЦИОНАЛЫ И ОТНОШЕНИЯ
221
простейшим типом абстрактных объектов, а именно, функ-
циями.
Можно считать, что каждая /г-арная функция F состоит
из бесконечного числа частей, каждая из которых есть
значение функции F для одной /г-ки чисел. Каждую часть
можно заменить конкретным объектом, например равен-
ством, дающим значение функции F для этой /г-ки. Однако
мы не можем заменить F единственным конкретным объектом.
Предположим, что Ф — отображение множества А кон-
кретных объектов в множество В /г-арных функций. Ясно,
что мы не можем найти по данному элементу а из А
бесконечно много частей Ф (а) при финитном вычислении.
Самое большее, чего мы можем достигнуть, — это полу-
чить в качестве результата вычисления разрешающий
метод для Ф(а). Поэтому мы определим разрешающий
метод для Ф как метод, с помощью которого по данному
элементу а из А мы за конечное число шагов можем
найти разрешающий метод для Ф(а). (Разумеется, такой
метод может существовать только тогда, когда все зна-
чения Ф —вычислимые функции.)
Предположим, что у нас есть разрешающий метод
для Ф. Для данного элемента а из А и данной /г-ки
чисел %!, ..., хп мы можем вычислить значение Ф (а)
от хг, ,,.,хп. Если мы обозначим это значение через
Ф'(а, xlt ,.,,хп), то это значит, что мы имеем разре-
шающий метод для Ф'. Итак, ясно, что вместе с разре-
шающим методом для Ф нам дается разрешающий метод
для Ф\
Мы можем воспользоваться этим, чтобы определить
разрешающий метод для отображения Ф произвольного
множества А в некоторое множество В /г-арных функций.
Определим Ф', как ранее, и определим разрешающий
метод для Ф как разрешающий метод для Ф'. Таким
образом, мы всегда можем переходить к случаю отобра-
жений в множество натуральных чисел.
Рассмотрим теперь отображение Ф множества А /г-ар-
ных функций в множество натуральных чисел. Чтобы
представить себе, как информация об F используется
в вычислении Ф(Е), мы рассмотрим характерный пример.
Пусть /г = 1, и пусть
Ф(Е) = 2Е (F (0)4-2).
222
ГЛ. 7. ТЕОРИЯ РЕКУРСИИ
Чтобы найти мы сначала должны узнать значение
F(0). Предположим, что оно равно 3. Прибавим к нему 2,
получим 5. Чтобы продолжить вычисления, мы должны
знать значение F(5). Предположим, что оно равно 4.
Тогда, умножив его на 2, получим 8. Делаем вывод, что
Ф(Р)=~-8. Заметим, что для вычисления безразлично, как
мы получили F(0) и F (5); если только F (0) = 3 и F(5) =
= 4, то мы получаем ®(F) = 8.
Таким образом, мы видим, что функция F использу-
ется в вычислении Ф (F) путем использования значений
функции F для некоторых n-ок (аъ ап). В некоторых
случаях аъ ..., ап даются в указаниях к вычислению
Ф(Е), в других случаях alf ..., ап вычисляются в про-
цессе вычисления, возможно, используя другие значения
функции F. В нашем примере значение аргумента 0 было
дано как указание к вычислению, тогда как значение
аргумента 5 было вычислено с использованием значения
F(0) = 3.
Как мы упоминали, для описания разрешающего метода
несущественно, как получены значения F. Чтобы как-то
пояснить это, предположим, что с начала вычисления
Ф (F) у нас имеется некий объект, который, если его
снабдить какой-то n-кой чисел, выдаст значение функции F
на этой п-ке. Этот объект не может быть машиной, так
как F может быть невычислимой. Следуя Тьюрингу, мы
называем такой объект оракулом для F (потому что он
дает правильный ответ, обходясь без какого-либо явного
способа сделать это). Таким образом, мы можем сказать,
что разрешающий метод для Ф — это такой метод, с по-
мощью которого, имея оракул для F, мы можем за конеч-
ное число шагов вычислять Ф (F).
Оракул для F может быть заменен оракулом для (F)
и наоборот, так как мы можем найти F(a), вычисляя (а)
и спрашивая оракул для (F) об (F) ((a)), и мы можем
найти (F) (а), вычисляя (а)0, ..., (а)п-1 и спрашивая ора-
кул для F об F((a)0, ..., (ц)п-1). Вследствие этого без
потери общности мы можем ограничиться рассмотрением
только множеств А унарных функций.
Таким образом, мы приходим к следующим определе-
ниям. Пусть Nmi п — множество (/п + п)-ок («1, .... ат,
Яь . • •, 0П)» где «1, ...» «и — унарные всюду определенные
функции, а аъ ап — числа, (т, п)-арным частичным
7.2. ФУНКЦИОНАЛЫ И ОТНОШЕНИЯ
223
(всюду определенным) функционалом является частичное
(всюду определенное) отображение Nm.n в множество чисел.
Всюду определенный функционал называется просто функ-
ционалом. Очевидно, (0, п)-арные частичные (всюду опре-
деленные) функционалы — это просто n-арные частичные
(всюду определенные) функции.
(т, п)-арным частичным (всюду определенным) отноше-
нием называется частичное (всюду определенное) подмно-
жество множества Nm,n. Всюду определенное отношение
называется просто отношением. (О, п)-арные’ частичные
(всюду определенные) отношения — это просто n-арные ча-
стичные (всюду определенные) предикаты.
Буквы, употреблявшиеся ранее для обозначения ча-
стичных функций и частичных предикатов, будут теперь
употребляться для обозначения соответственно частичных
функционалов и частичных отношений. Строчные грече-
ские буквы мы применяем для обозначения всюду опре-
деленных унарных функций. Эти буквы будут называться
функциональными переменными, если они употребляются
в качестве переменных; употребляемые в качестве пере-
менных строчные латинские буквы будут называться чи-
словыми переменными. Мы будем пользоваться прописными
готическими буквами для обозначения таких конечных
последовательностей различных греческих и латинских
букв, в которых греческие буквы (если они есть) пред-
шествуют всем латинским буквам (если они есть). Если
две различные готические буквы встречаются в одном кон-
тексте, то предполагается, что обозначенные ими после-
довательности не имеют общих букв. Как и при употреб-
лении строчных готических букв, мы предполагаем, что
число букв в последовательности выбрано в соответствии
с контекстом. Так, если функционал F является (т, п)-ар-
ным и мы пишем Ё(21), то мы предполагаем, что 21 состоит
из т греческих букв и п латинских букв.
Мы ограничили аргументы (т, п)-ками, в которых т
Функций предшествуют п числам. Очевидно, что на самом
Деле при таком ограничении общность не теряется. Для
Удобства обозначений мы можем иногда писать некоторые
из функциональных символов после некоторых числовых
символов. Если это имеет место, то подразумевается, что
символы функций должны быть поставлены перед симво-
лами чисел без какого-либо другого изменения порядка
224
ГЛ. 7. ТЕОРИЯ РЕКУРСИИ
символов. Например, если мы пишем Е(3(, 33), то подра-
зумевается, что функциональные переменные из 33 должны
быть передвинуты вперед числовых переменных из 31.
Представляющим частичным функционалом Кр частич-
ного отношения Р называется частичный функционал,
область определения которого та же, что и у Р, и кото-
рый следующим образом определен для аргументов 31
в этой области определения: К7>(3() = 0, если Р (31), и
КР(31) = 1, если П^Р('Л).
Мы говорим, что нам дана (т, п)-ка 31, если нам даны
п чисел из 31 и оракулы для т функций из 31. Это дает
нам право использовать определения из предыдущего па-
раграфа для определения разрешающего метода и вычисли-
мости для частичных функционалов и частичных отноше-
ний. Ясно, что частичное отношение вычислимо тогда и
только тогда, когда его представляющий частичный функ-
ционал вычислим.
Всюду определенное отношение Р позитивно вычислимо,
если существует такой метод, который при применении
к 31 установит, что Р (31) истинно, если это действительно
так, и не даст никакого результата, если Р (31) ложно.
Мы покажем, что это понятие можно свести к понятию
вычислимого всюду определенного предиката. Сначала вве-
дем следующее обозначение: если 3( есть аь ..., ат,
alt .... ап, то 31 (х) есть*) аг(х), ..., ат(х), alt ..., ап.
Тогда мы утверждаем, что (т, п)-арное всюду определен-
ное отношение Р позитивно вычислимо тогда и только
тогда, когда существует такой вычислимый (m + /i+l)-ap-
ный всюду определенный предикат Q, что
Р (31) 3xQ(3l (х), х)
для всех 31.
Для простоты предположим, что 31 есть а, а. Пусть
отношение Р позитивно вычислимо. Определим разрешаю-
щий метод для 3-арного всюду определенного предиката Q.
Чтобы вычислить Q (&, а, х), сделаем х шагов в вычисле-
нии Р (а, а). Однако мы не будем пользоваться оракулом
для а. Вместо этого, когда нам нужно значение <x(i), мы
пользуемся значением (&),-, если г<х, и прекращаем
вычисление, если i^x. Если это вычисление дает ответ,
*) Определение а (х) см. в (13) из § 6.4. — Прим. ред.
7.2. ФУНКЦИОНАЛЫ И ОТНОШЕНИЯ
225
что Р (а, а) истинно, то Q (Ь, а, х) истинно; в противном
случае Q(b, а, х) ложно. Теперь вычисление Q(a(x), а, х)
есть просто часть правильного вычисления Р (а, а), так
что если 3xQ(a(x), а, х), то Р (а, а). Наоборот, предпо-
ложим, что Р (а, а). Выберем х настолько большим, чтобы
для вычисления Р (а, а) требовалось менее х шагов и
чтобы все аргументы, для которых в вычислении требу-
ются значения а, были меньше х. Тогда Q(a(x), а, х).
Теперь предположим, что существует такой вычисли-
мый предикат Q, что Р (а, а) «-» 3xQ (а (х), а, х) для всех
а и а. На х-м шаге в вычислении Р (а, а) мы пользуемся
оракулом для а, чтобы вычислить а (х), а затем вычис-
ляем Q(a(x), а, х). Если Q(a(x), а, х) истинно, то мы
решаем, что Р (а, а) истинно; в противном случае мы
переходим к следующему шагу. Ясно, что это дает пра-
вильный ответ, если Р (а, а), и не дает ответа, если
П Р (а, а).
(т, п)-арное всюду определенное отношение Р рекур-
сивно перечислимо, если существует такой рекурсивный
(m + «+ 1)-арный всюду определенный предикат Q, что
P(9f)~3xQ(91(x), х)
для всех 91. Вследствие сказанного выше, а также вслед-
ствие тезиса Чёрча отношение рекурсивно перечислимо
тогда и только тогда, когда оно позитивно вычислимо.
Заметим, что наше определение согласуется с данным
ранее определением рекурсивной перечислимости для пре-
дикатов.
Пусть F— (т, п)-арная частичная функция; определим
(т, п+1)-арное всюду определенное отношение ®F, назы-
ваемое графиком F, следующим образом:
Sf(9l, o)~F(91)~fl.
Мы можем распространить (1) из § 7.1 на этот случай:
У) - ЗхР (91, у, х))	(91) ~
^(ргР(91, (г)0, Ш)о. (1)
Как в случае частичных функций, мы можем доказать,
что частичный функционал вычислим тогда и только
тогда, когда его график позитивно вычислим.
Частичный функционал рекурсивен, если его график
рекурсивно перечислим. Частичное отношение рекурсивно,
8 Дж. Шенфилд
226
ГЛ. 7. ТЕОРИЯ РЕКУРСИИ
если его представляющий частичный функционал рекур-
сивен. Вследствие сказанного выше, а также вследствие
тезиса Черча частичный функционал рекурсивен тогда
и только тогда, когда он вычислим, частичное отношение
рекурсивно тогда и только тогда, когда оно вычислимо.
7.3.	Свойства рекурсивных функционалов
Мы начинаем с рассмотрения некоторых правил обра-
зования рекурсивно перечислимых отношений.
RE1. Если Q рекурсивно перечислимо, а Р опреде-
лено следующим образом:
Р («1.....«я,	я) <-> Q (а/х.a{r, Fi (а), ..., Fk (а)),
где числа ilt ..., ir находятся среди 1, ..., т, a Flt ...
..., Fk — всюду определенные рекурсивные функции, то Р
рекурсивно перечислимо.
Доказательство. Для некоторого рекурсивного
предиката R
Q (3() о 3x7? (Й (х), х).
Отсюда
Р («1,..., ат, а) о 3x7? (а^ (х),..., aZ/. (х), Fi (а),..., Fk (а), х)
<-> 3x7?' (cq (х), .... ат (х), а, х),
где 7?' —рекурсивный предикат, определенный следующим
образом:
7?' (Ьъ .... bm, a, x)<->R(bCi, .... Ь1г, F^a).Fk(a), х).
Таким образом, Р рекурсивно перечислимо.
Предположим, что отношение Р имеет явное опреде-
ление, использующее только переменные и символы рекур-
сивно перечислимых отношений и рекурсивных функций.
Предположим также, что функциональные переменные
встречаются только как аргументы рекурсивно перечис-
лимых отношений, а символы рекурсивных функций
не встречаются в качестве аргументов этих отношений.
Тогда Р рекурсивно перечислимо. Действительно, опре-
деление должно иметь вид
Р (ах, ..., ага, а) о Q (aZi, ..., а^,	.Ak)t
где Ai состоит из числовых переменных и символов рекур-
сивных функций. Тогда мы определяем Fi(a) = Ai и при-
меняем RE1.
7.3. СВОЙСТВА РЕКУРСИВНЫХ ФУНКЦИОНАЛОВ
227
В частности, каждое рекурсивное отношение Р рекур-
сивно перечислимо, так как Р (21) о (21, 0), а ®кР
рекурсивно перечислимо.
Если 21 есть ап ..., ат, а1г ап, то мы пишем
In ('Л (х), у) вместо *)
1п(а2(х), у), .... 1п(ат(х), у), аъ ..., ап.
Тогда, если у^х, то In (21 (х), у) есть в точности 21 (у).
RE2. Если Q рекурсивно перечислимо и Р определено
следующим образом:
P(2f)~3xQ(2l, х),
то Р рекурсивно перечислимо.
Доказательство. Мы имеем
<2(21, х)~ЭуХ(П(у), х, у),
где R рекурсивно. Тогда
P(%)~BxByR(My), х, у).	(1)
Теперь, если г пробегает все числа, то ((г)0, (?)i) про-
бегает все пары чисел (х, у). Следовательно, мы можем
переписать (1) следующим образом:
Р (21) - ЗгЯ (Л (Ш, (г)0, (г)х).	(2)
Так как согласно (8) из § 6.4 (г)1«сг, то
Л ((г)х) = 1п(Й (г), (г)х).
Отсюда
Р(21) ~ ЗгД (In (27 (г), (г)г), (г)0, (г)г)
ЗгД' (>д (г), г),
где R' — рекурсивный предикат, определенный следую-
щим образом: R' (а, г) <-* R (In (а, (z)i), (г)0, (г)г). Таким
образом, Р рекурсивно перечислимо.
Переход от (1) к (2) называется свертыванием кванто-
ров. Он может также применяться для свертывания
(замены) двух смежных соседних кванторов всеобщности
одним квантором всеобщности.
Вследствие RE2 мы можем употреблять кванторы
существования по числовым переменным в явных опреде-
лениях рекурсивно перечислимых отношений.
*) Определение функции In см. в § 6.4—Прим. ред.
8*
228
ГЛ. 7. ТЕОРИЯ РЕКУРСИИ
RE3. Если Q и R рекурсивно перечислимы, то Q V R
и Q&R рекурсивно перечислимы.
Доказательство. Пусть Р есть Q \/ R. Пусть
где Qi и
Ri рекурсивны. Тогда при помощи пренексных операций
и свертывания кванторов получаем
Р (2() 3xQi (24 (х), х) V (Й (у), у)
-	ЭхЭу (Qi (21 (х), х) V *1 &(у), У))
-	Зг (Qi (21 ((г)0), (г)0) V Ъ (24 (Ш, (z)J)
-	Зг (Qi (In ('Л (г), (г)0), (г)„) V Ri (In (21 (г),
(Z)i), (z)i)).
Следовательно, Р рекурсивно перечислимо. С Q&R мы
поступаем аналогично.
Вследствие RE3 мы можем использовать V" и &
в явных определениях рекурсивно перечислимых отно-
шений.
Отметим, что
Ухх<аЭуР (х, у, а) <-> BzVxx<aP (х, (z)x, а).	(3)
Действительно, обе части утверждают, что существуют
такие числа у0, ylt ..., ya-i, что Р (х, ух, а) для всех
х < а.
RE4. Если Q рекурсивно перечислимо и Р определено
следующим образом:
Р(а, 21) <-» Vxx<aQ (21, х),
то Р рекурсивно перечислимо.
Доказательство. Пусть Q (21, х) 3yR (24 (у), х, у),
где R рекурсивно. Тогда, используя (3), получаем
Р (а, 21) о Vxx<a3yR (24 (у), х, у)
^ЗгУхх<Д?(24((г)Д, х, (г)Д
** BzVxx<aR (In (24 (г), (г)Д, х, (г)Д.
Отсюда следует, что Р рекурсивно перечислимо. Вследст-
вие RE4 мы можем употреблять ограниченные кванторы
всеобщности в явных определениях рекурсивно перечис-
лимых отношений.
Теперь мы обобщим Rl—R14 на частичные функцио-
налы и отношения. Так как эти обобщения включают
7.3. СВОЙСТВА РЕКУРСИВНЫХ ФУНКЦИОНАЛОВ
229
предшествующие результаты, то мы снова назовем их
RI — R14. В случае прямых обобщений мы опустим дока-
зательства, а иногда и формулировки правил.
Пусть	п; определим (щ, п)-арный функционал
Iil,n следующим образом:
гГП, П i	\
h (ап ... , ат, ai...an) = aL.
Определим также (1,1)-арный функционал Ар:
Ар (а, а) = а(а).
R1. Функционалы 1Т’п, +, •, и Ар рекурсивны.
Доказательство. Нам надо рассмотреть лишь
/Г’” и Ар. Обозначая /Г’ п через I, имеем
ага, alt ..., ап, b)^at = b.
Таким образом, (&г рекурсивно перечислимо. Аналогично,
®ар («, а, Ь) ++ а (а) = b
<->Эх(х>а&(5 (х))а—-Ь),
поэтому ®АР рекурсивно перечислимо.
R2. Если G, Нг, ..., Hk рекурсивны, a F определен
следующим образом:
Е(а1г .... ага, a)~G(ati, .... а^, Hi (аь ..., ат, а), ...
.... Hkfa, • аот, п)),
где числа ......ir находятся среди 1, .... т, то F
рекурсивен.
Доказательство. Мы имеем
<Mai.....am, а, а) о Згг ...
... 3zfe(®H,(ai.am, a, ...
....am, a,	(a,i(..., alr, z{,...,zk, a)).
Из полученных ранее результатов следует, что ®р рекур-
сивно перечислимо.
R3. Если G рекурсивен, а F определен следующим
образом:
F (Л) ~ цх (G ('Л, х) = 0),
ТО F рекурсивен.
Доказательство. Мы имеем
Sf(2[, а) о &G (Л, а, 0) & Vxx<e3z/ (у > 0 & ®G (Л, х, у)).
230
ГЛ. 7. ТЕОРИЯ РЕКУРСИИ
Из полученных ранее результатов следует, что рекур-
сивно перечислимо.
R4. Если Q, Hi,	, Hk рекурсивны, а Р определено
следующим образом:
P(Oi.....ага, a)^Q(aZi......о^,	(о^....ат, а), ...
.... Яй(аь ..., ат, а)),
где числа ilt .... ir находятся среди 1.т, то Р рекур-
сивно.
R5. Если Р рекурсивно, а F определен следующим
образом:
F (ЭД) ~ цхР (ЭД, х),
то F рекурсивен.
Применяя Rl—R5, мы можем почти точно так же,
как и ранее, показать, что явно определенные частичные
функционалы и отношения рекурсивны. Например, пред-
положим, что F определен следующим образом:
F (а, р, х) ~ Р (G (а, х) + а (х)),
где G рекурсивен. Тогда мы можем последовательно опре-
делить рекурсивные частичные функционалы:
Fi (a, р, x)~G(a, x)~G(a, У?’1 (a, р, х)),
F2 (a, р, х) ~ а (х) ~ Ар (а, х),
F3(a, Р, x)~G(a, х) + а (х) Л (а, Р, х) + Е2(а, Р, х),
F (а, Р, х) ~ Р (G (а, х) + а (х)) ~ Ар (Р, F3 (а, р, х)).
В обобщении R7 подразумевается, что Р V Q опреде-
лено следующим образом:
(PVQ) (ЭД)-Р(Ю VQW,
и поэтому определено на ЭД тогда и только тогда, когда
как Р (ЭД), так и Q (ЭД) определены. Поэтому мы имеем
КрУо(ЭД)~Кр(ЭД).^(ЭД).
Аналогичные замечания применимы к "1 Р, P-*-Q, P&Q
и P^Q.
Мы можем трактовать ограниченные ц-операторы и
ограниченные кванторы так же, как ранее. Однако огра-
ниченный ц-оператор или ограниченный квантор по х
имеет свое обычное значение только тогда, когда после-
дующее выражение определено для каждого х.
7.3. свойства рекурсивных функционалов
231
R12. Пусть Gi....Gk рекурсивны. Пусть Rlt ..., Rk—
либо рекурсивные частичные отношения, либо рекурсивно
перечислимые отношения такие, что для каждого 21
не более чем одно из отношений Ri (21)....(21) опре-
делено и истинно. Если F определен следующим образом:
Gi (21), если Ri (21),
Е(21)^
Gk (21), если Rk (21)
(где подразумевается, что Е(21) не определен, если ника-
кое из отношений Ri (21)...Rk (21) не будет определено
и истинно), то F рекурсивен.
Доказательство. Если — рекурсивное частич-
ное отношение, a Ri определено следующим образом:
(3G 0),
то Ri рекурсивно перечислимо и Ri (21) истинно тогда
и только тогда, когда R{ (21) определено и истинно. По-
этому мы можем предположить, что — рекурсивно пере-
числимое отношение. Тогда
(51, а) - (®Cj (2), а) & R, (2))) V •  • V (&Gk (21, а) & Rk (2)));
поэтому рекурсивно перечислимо.
R13. Пусть Qlt ... ,Qk рекурсивны. Пусть Rt..Rk —
или рекурсивные частичные отношения, или рекурсивно
перечислимые отношения такие, что для каждого 21
не более чем одно из отношений Ri(2(), ..., Rfe(21) опре-
делено и истинно. Если Р определено следующим образом:
' Qi (21), если Ri (21),
Р(2()
Qk (21), если Rk (21)
(где подразумевается, что Р (21) не определено, если
ни одно из отношений Ri(2l), .... Rfe(21) не будет опре-
делено и истинно), то Р рекурсивно.
Определим F следующим образом:
F (Ь, 21) (F (0, 21)....F (b - 1,21)).
Явное определение (14) из § 6.4 все еще корректно, по-
этому, если F рекурсивен, то F рекурсивен. Определение
(15) из § 6.4 не имеет силы, если функционал частичный.
232
ГЛ. 7. ТЕОРИЯ РЕКУРСИИ
Мы можем очевидным образом обобщить R14 на рекур-
сивные частичные функционалы.
Заметим, что
Ар (а, а) = а (а);
следовательно, употребляя Ар таким же образом, как
мы прежде использовали Ар, мы видим, что надчеркну-
тые функциональные переменные можно употреблять
в явных определениях рекурсивных частичных функцио-
налов и отношений.
Следствием наших результатов о явных определениях
является то, что если G ($Й, х) и Н (Л) рекурсивны и мы
подставим Н (Л) вместо х в G (Л, х), то мы получим рекур-
сивный частичный функционал от Л. Мы намерены дока-
зать подобное правило подстановки вместо функциональ-
ных переменных. Очевидно, мы не можем подставить Н (’Л)
вместо а, потому что //(Л) —число. Поэтому мы сначала
введем некоторое обозначение.
Пусть ... х ... — выражение, которое, когда оно оп-
ределено, представляет число. Тогда мы используем
кх...х... для обозначения унарной частичной функции F,
определенной следующим образом: F (х)	. х... Отметим,
что х в Кх...х... связано. Например, Хх(х + у) — это
функция F, определенная как F (х) = х-\-у, это функция,
зависящая от значения у, но не зависящая от значения х.
Частичная функция Кх...х... всюду определена, если
... х ... определено для всех х.
Теорема о подстановке. Пусть G и Н — рекур-
сивные частичные функционалы', тогда существует такой
рекурсивный частичный функционал F, что
F (Л) ~ G (АхЯ (х, Л), Л)
для всех таких Л, что КхН (х, Л) является всюду опреде-
ленной функцией.
Доказательство. Определим F' следующим об-
разом:
F' (Л) ~ G (ХхЯ (х, Л), Л).
Пусть R — такой рекурсивный предикат, что
(«, Л, У) *+ 3x7? (а (х), Л (х), у, х).
Тогда, если 21 таково, что КхН (х, Л) всюду определена, то
©г- (Л, у) *-► 3x7? (Я (х, Л), Л (х), у, х);
7.3. свойства рекурсивных функционалов
233
поэтому вследствие (1) из § 7.2 получаем, что
F' (3()~(цг/? (Я((г)1( ЗГ), Й (Ш, 21))0.
Следовательно, мы можем явно определить F, полагая
F ('?() равным правой части последнего выражения.
Замечание. Если 31 таково, что кхН (х, 31) опре-
делена не всюду, то F' (31), конечно, не определен, однако
F (3() может быть определен.
Теперь рассмотрим явное определение
^(3()~__Хх(...х...)._,	(4)
содержащее X, и предположим, что для всех остальных
имеющихся символов уже было показано, что они могут
употребляться в явных определениях рекурсивных час-
тичных функционалов.
Мы можем определить рекурсивные частичные функ-
ционалы G и Н следующим образом:
G (а, 3()--= а—;
Н (х, 31)	... х...
Тогда (4) превращается в
F(W)^G(hxH(x, 31), 31).
Мы не можем сделать вывод, что функционал F рекур-
сивен; однако по теореме о подстановке существует такой
рекурсивный функционал F, что (4) имеет место, если
...х... определено для всех х. Если ...х... определено
при всех значениях х и 31, то мы можем сделать вывод,
что определенный в (4) функционал F рекурсивен. Спра-
ведливы точно такие же замечания об употреблении Л
в явных определениях рекурсивных частичных отношений.
Функцию Хха({/, х)) мы обозначаем через (а);. Ввиду
сказанного выше (<х)г может применяться в явных опре-
делениях рекурсивных частичных функционалов и отно-
шений. Если а0, «1, ... — бесконечная последовательность
Функций, то существует такое а, что (а)/ = аг для всех/,
потому что мы можем определить а следующим образом:
aW = aWo((x)i).
234
ГЛ. 7. ТЕОРИЯ РЕКУРСИИ
7.4. Индексы
Теперь мы сопоставим каждому рекурсивному частич-
ному функционалу число таким образом, чтобы по это-
му числу можно было восстановить этот частичный функ-
ционал.
Пусть Zit Z%, ... — переменные теории N, расположен-
ные в алфавитном порядке. Если А — формула теории N,
то пусть Еп (Д) — множество таких я-ок (оь ап), что
...гп[Ц, fcaj.
Точно так же, как и в § 6.8, мы можем показать, что
каждый рекурсивный о-арный всюду определенный преди-
кат есть Еп (Д) для некоторого Д.
Теперь мы получим явное определение Еп (Д). Опреде-
лим рекурсивную функцию Sn следующим образом:
Sn(e, o) = Sub(e, (2n), Num (а)).
Тогда
§„(ГД-1, а) = гд,л+1[лаг.
Теперь мы определим такую рекурсивную функцию Sbn,
что
5Ь„(гд->, а1, ..., о„) = гд...z\ka. ...,
1.	Т1 I. X	П 1
Пользуясь индукцией по п, определяем
Sb0 (е)—е
и
Sb„+1(e, ai, ..., ап+1) = Sb„(S„(е, ап+1), а1г .... ап). (1)
Тогда мы имеем
(оь .... ап)<=Еп (Д)^ЗоРглг(5Ь„ (ГД'!,	.... о„), о). (2)
Пусть теперь F — рекурсивный (т, о)-арный частичный
функционал. Тогда мы можем выбрать такой рекурсивный
предикат R, что
®^(ЗЛ, у) ++ 3wR (у, ш, ?((щ)).
Выберем А такое, что R есть Ет+п+2(Д), и пусть ^=ГД~1,
Тогда, свертывая кванторы, вследствие (2) имеем
®г(31, у) 3^3uPr;V(Sbm,1+2 (/, у, vd, ЗЦщ)), о)
— Зх Pry (Sb«+„+2 (f, у, (х)о,	(Wo)), W1).
7 А. ИНДЕКСЫ
235
Вследствие (1) из § 7.2
F (21) ~ (рг Ргдг (Sbm+n+2 (А (г)0, (г)1>0, <((г)х,0)), (г)1Д))0.
Определим рекурсивное отношение Тт, п и рекурсивную
функцию U следующим образом:
21, г) ~ Рг„ (Sbm+n,2 (А (г)0, (г)1>0, 2Г((г)1>0)), (г1Л)),
Щг) = (г)0
(вместо Т0>п мы пишем Тп). Тогда мы имеем
^(’Л)-6/(ргТт>п(А 21, г)).	(3)
Число f называется индексом (tn, я)-арного частичного
функционала F, если (3) верно для всех 21. Мы доказали,
что каждый рекурсивный частичный функционал имеет
индекс. Обратно, если f является индексом функционала F,
то функционал F имеет явное определение (3) и поэтому
рекурсивен. Таким образом, мы имеем следующий ре-
зультат.
Теорема о нормальной форме (Клини). Ча-
стичный функционал рекурсивен тогда и только тогда,
когда он имеет индекс.
Каждое число f является индексом единственного
(т, я)-арного частичного функционала, а именно, того F,
который определен в (3). Этот частичный функционал мы
обозначим через	опуская верхние индексы, если
это не вызывает путаницы. Таким образом,
« (21) ~ t/(ргТт> „ (А 51, г))	(4)
и, следовательно,
{AffI,n(2() определено „ (А 5(, г).	(5)
Вследствие (4) {Д (2() является рекурсивным частичным
функционалом от аргументов А 21. Отсюда видно, что мы
можем употреблять {Д (21) в явных определениях рекур-
сивных частичных функционалов и отношений. Отсюда
также видно (ввиду определения рекурсивного частичного
функционала), что {Д (21) ~ b является рекурсивно пере-
числимым отношением от аргументов А 21, Ь.
Пусть теперь Р — рекурсивно перечислимое (т, ц)-арное
отношение, например,
Р (21) «-* Зх₽ (21 (х), х),
236
ГЛ. 7. ТЕОРИЯ РЕКУРСИИ
где R рекурсивно. Определим рекурсивный частичный
функционал F следующим образом: F (Л) ~ pxR ('Л (х), х),
и пусть р является индексом функционала F. Тогда зна-
чение {р} (Л) определено тогда и только тогда, когда Р (Л).
Отсюда и из (5) имеем
Р(Л)<->Зг7\„(р, Л, г).	(6)
Число р называется RE-индексом (т, Аграрного отно-
шения Р, если (6) справедливо для всех Л. Мы видели,
что каждое рекурсивно перечислимое отношение имеет
RE-индекс. Отношение Р, имеющее RE-индекс р, имеет
явное определение (6) и потому рекурсивно перечислимо.
Отсюда получается
Теорема о перечислении (Клини). Отношение
рекурсивно перечислимо тогда и только тогда, когда оно
имеет RE-индекс.
Каждое число р является RE-индексом единственного
(т, я)-арного отношения Р, определенного в (6). Мы обо-
значим это отношение через W™'n, опуская верхние ин-
дексы, если это не приводит к путанице.
Пусть F — (т, « + А)-арный частичный функционал; для
каждой А-ки а определим (т, ц)-арный частичный функ-
ционал F^ следующим образом:
Е(а) (Л)~Е(Л, я).
Пусть Р есть (т, « + А)-арное отношение; для каждой
А-ки Л мы определим (т, ц)-арное отношение Р^ следую-
щим образом:
Р(а}(Л)~Р(Л, я).
(Мы могли бы дать аналогичное определение для частич-
ного отношения Р, однако оно нам не потребуется.) Мы
говорим, что (т, п + 1)-арное отношение Р перечисляет
класс (т, ц)-арных отношений, состоящий из Р(0), Р(1), ...
Теперь мы покажем, что существует такая рекурсивная
функция Sm>n>b, что
Tm,nrk(f, Л, я, z)^Tnt,n(S„t,n,k(f, я), Л, г).	(7)
Мы можем положить ,г> 0 (/) = /. Сравнивая (1) и опре-
деление Тт мы видим, что мы можем определить
Sm. п, 1 (Л а) = Sm+n+2 (Л а)'
7.4. ИНДЕКСЫ
237
Далее, проводя индукцию по k, определяем
Зт, п, 6+1 (/» О) "Sfft, п, k n+k, 1 (f> fl)» Л)>
Иногда мы опускаем нижние индексы у Sm, п, k-
Из (7) мы получаем
{/Г "+*(«, ^^{Sm,n,k(f, a)}W
и
V(Я.	(8)
Вследствие этого, если f является индексом функционала
F, то S (f, я) является индексом функционала если р
является RE-индексом отношения Р, то S (р, а) является
RE-индексом отношения Р(а).
Теперь мы используем индексы для получения еще
одного метода определения рекурсивных частичных функ-
ционалов. В неявном определении частичного функцио-
нала F значение Е (21) дается в терминах F и 21. Таким
образом, мы полагаем
F (2()~Ф(Е, 21),	(9)
где Ф — отображение, значениями которого являются
числа. Конечно, это на самом деле не определяет функ-
ционал F, это просто означает, что мы искали такой функ-
ционал F, что уравнение справедливо для всех 2(. Это
уравнение может не иметь решения, или иметь единствен-
ное решение, или много решений.
Мы хотим показать, что при подходящих предположе-
ниях о Ф существует по крайней мере одно рекурсивное
решение. Мы не можем предполагать, что отображение Ф
рекурсивно, так как Ф не является функционалом. По-
этому мы заменим в правой части (9) функционал F на
индекс функционала F. Иначе говоря, мы определим ча-
стичный функционал Ф' следующим образом:
Ф' (/, 21)~Ф({Д, 2().
Теперь мы можем предполагать, что Ф' рекурсивен. Мы
хотим показать, что существует такой рекурсивный функ-
ционал F с индексом f, что F (21) ~ Ф' (/, 21) для всех ’Л.
Теорема о рекурсии (Клини). Пусть G — рекур-
сивный (т, п-\-\)-арный частичный функционал-, сущест-
вует такой (т, п)-арный частичный функционал F с
238
ГЛ. 7. ТЕОРИЯ РЕКУРСИИ
индексом f, что
f)
для всех Л.
Доказательство. Определим рекурсивный функ-
ционал Н следующим образом:
Я (Л, е)^О(Л, Sm,n,i(e, е)),
и пусть h — индекс функционала Н. Пусть F есть Я(А) и
f—Sm, п, 1 (h, h). Тогда f есть индекс функционала F и
F(W)^H(W, h)
^0(Л, Sminil(h, h))
^G(fl, f).
Теорема о рекурсии является ценным средством для
доказательства рекурсивности частичных функционалов.
По данному функционалу F мы пытаемся построить ото-
бражение Ф так, чтобы (9) имело в качестве единствен-
ного решения F, и так, чтобы соответствующий функцио-
нал был рекурсивен. Тогда мы можем заключить, что F
рекурсивен. Примером такой техники служит задача 1.
При употреблении теоремы о рекурсии мы обычно бу-
дем говорить: определим рекурсивный частичный функ-
ционал F с индексом / следующим образом:/•’(Л)~С(Л, f).
Конечно, в общем случае F и f не являются единствен-
ными; мы подразумеваем, что какие-то F и f, обладающие
этими свойствами, могут быть выбраны. Обычно функцио-
нал G будет задаваться явным определением или опреде-
лением разбором случаев. Поэтому F (Л) ~ G (’Л, f) будет
иметь вид явного определения функционала F или опре-
деления функционала F разбором случаев, за исключением
того, что индекс f функционала F может встречаться в пра-
вой части. Мы также будем допускать появление выра-
жений F (...) в правой части; такое выражение считается
сокращением для {/} (...). Мы можем определить
если Р('Л)’
( К ('Л, f) в остальных случаях,
где Н и К — рекурсивные частичные функционалы, а Р —
рекурсивное отношение.
Мы можем также использовать теорему о рекурсии для
того, чтобы определить рекурсивное частичное отношение Р
следующим образом: Р (Л) Q ('Л, р), где р — индекс функ-
7.5, АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ИЕРАРХИЯ
239
ционала Кр; действительно, это определение эквивалентно
определению Кр	('Л, р). И снова в общем случае Q
может быть задано явным определением или определением
разбором случаев. Тогда мы допускаем наличие в правой
части выражений Р (...); такое выражение считается со-
кращением для {р}(. ..) = 0.
7.6. Арифметическая иерархия
Мы уже видели, что применение кванторов в явных
определениях выводит за пределы класса рекурсивных
отношений. Мы собираемся изучить отношения, которые
могут быть получены навешиванием кванторов на рекур-
сивные отношения. В этом параграфе мы рассматриваем
только кванторы по числовым переменным, кванторы по
функциональным переменным будут рассмотрены позже.
Отношение Р называется арифметическим, если оно
имеет явное определение
Р(Л)~Ох1...Ох„/?(Л, хь .... хп), (1)
где R — рекурсивное отношение и каждое Охг есть либо
Зх,-, либо Vx,-.
Два квантора имеют одинаковый вид, если они оба
являются кванторами существования или оба являются
кванторами всеобщности. Если нам дано определение (1),
в котором имеются два смежных квантора одинакового
вида, то мы можем воспользоваться свертыванием кванто-
ров для замены их одним квантором. Так, если первона-
чальным определением является
Р (Л) <-> ЗхУуУгЗшР ('Л, х, у, z, пи),
то мы имеем новое определение
Р (Л) *-► 3x^v3wR' (Л, х, v, о;),
где R' — рекурсивное отношение, определенное следующим
образом:
R' (Л, х, v, w)<^R(W, х, (у)о,	ш).
Если п 1, то отношение называется отношением рода
2п(Пп), если оно имеет явное определение (1), где отно-
шение R рекурсивно, нет двух смежных кванторов одина-
кового вида и где первый квантор — квантор существования
240
ГЛ. 7. ТЕОРИЯ РЕКУРСИИ
(всеобщности). Таким образом, мы видим, что каждое
арифметическое отношение либо рекурсивно, либо является
отношением рода или П„ для некоторого rcSsl. Эта
классификация арифметических отношений называется
арифметической иерархией.
Мы дадим несколько правил получения отношений рода
и П°.
А1. Если отношение Р рекурсивно, то Р — отношение
рода 2„ и П„ для любых п. Если Р — отношение рода
2m или Пт, то Р — отношение рода 2„ и Щ для любых
п^>т.
Доказательство. Используется добавление лиш-
них кванторов. Предположим, например, что Р — отноше-
ние рода 2.2 и имеет определение
Р (Д) *-► 3xVyR (Д, х, у).
Покажем, что Р —отношение рода 2д и Щ. Действительно,
Р (Д) 3x\/y3zR (Д, х, у)
V?3xVz/P ('Л, х, у).
А2. Если Q — отношение рода 2„ (Щ) и Flt ..., Fr,
Glt ..., Gk — рекурсивные функционалы, то отношение Р,
определенное следующим образом:
Р (?[) <-> Q (AxPj. (2[, х), ..., АхРг (Ш, х), Gi (Д).Gk (?[)),
является отношением рода 2„(Щ).
Доказательство. Предположим, что Q — отноше-
ние рода 2.2 и имеет определение
3yVzR (Д, у, z).
Тогда Р (Д) <-> 3yYzR' (Д, у, г), где R’ — рекурсивное от-
ношение, определенное следующим образом:
R' (Д, у, z) ++ R(АхР2(Д, х),..., АхРДД, х),
01СЛ).Gk(W),y,z).
АЗ. Если Q — отношение рода 2„ и отношение Р опре-
делено следующим образом: Р (Д) 3xQ (Д, х), то Р —
отношение рода 2„. Если Q — отношение рода Щ и отно-
шение Р определено следующим образом: Р (Д)^> VxQ (Д, х),
то Р — отношение рода Щ.
Доказательство. Используется свертывание кван-
торов. Так, если Q — отношение рода 2£ и определено
7.5. АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ИЕРАРХИЯ
241
следующим образом:
Q (Л, х) ++ ByVzR (Л, х, у, г),
то
Р (Л) BxByVzR ('Л, х, у, г),
и, следовательно, Р —отношение рода 2£, если свернуть
кванторы.
А4. Если Р и Q — отношения рода 2^ (Щ), то Р \/ Q
и Р & Q — отношения рода 2„(Пп)-
Доказательство. Предположим, что Р и Q — отно-
шения рода 2g, например, что
Р (Л) ЭхЧуРг (Л, х, у), QW^Bz^wQ^, z, w).
Свертывая кванторы, видим, что Р V Q — отношение ро-
да
А5. Если Р —отношение рода 2„ (Щ), то ~[Р — отно-
шение рода Щ (2„).
Доказательство. Используются пренексные опе-
рации. Например, если Р —отношение рода 2^ и имеет
определение
Р (Л) ~ BxVyR (Л, х, у),
то
П Р (Л) П BxVyR (Л, х, у)
*-► Vx3z/1 R (Л, х, у).
Для изучения ограниченных кванторов нам необходимы
следующие эквивалентности:
 Эхх<аЭуР(х, у,	а}++ЭуЭхх<аР(х,	у, а),	(2)
Чхх<аУуР (х, у,	а) <-+ЧуЧхх<аР (х,	у, а),	(3)
Ухх<аЭуР(х, у,	а)^ЭуУхх<аР(х,	(у)х, а),	(4)
Эхх<аУуР(х, у,	а)++УуЗхх<аР (х,	(у)х, а).	(5)
Первые две очевидны, а (4) есть (3) из § 7.3. Чтобы полу-
чить (5), мы в (4) заменим Р на “| Р и вынесем знаки
отрицания вперед с помощью пренексных операций. Мы
получим, что отрицания обеих частей в (5) эквивалентны,
отсюда следует (5).
Аб. Если Р—отношение рода 2„(Щ), а отношения Q
и R определены следующим образом:
Q(a, Л)^Эхх<«Р(Л, х), R(a, Л) Ухх<аР (Л, х),
то Q и R— отношения рода 2„ (Щ).
242
ГЛ. 7. ТЕОРИЯ РЕКУРСИИ
Доказательство. Предположим, что Р — отношение
рода Sj, например, что
Р(21, х) «-> SyVzR (21, х, у, z).
Тогда вследствие (2) и (5) имеем
Q(a,	2() «-> 3xx<a3z/Vz/? (21,	х,	у,	z)
^3y3xx<aVzR('X,	х,	у,	z)
<^3yMz3xx<aR^A,	х,	у,	(z)x).
Эти результаты могут применяться	для	доказательства
того, что различные явно определенные отношения яв-
ляются отношениями рода 2£ или Щ; при этом техника
такая же, как при употреблении рекурсивных частичных
отношений и рекурсивно перечислимых отношений.
Отношения рода 2J — это в точности рекурсивно пере-
числимые отношения. Действительно, отношение рода 2°
рекурсивно перечислимо в силу результатов из § 7.3,
а обратное очевидно.
Если Р — отношение рода 2J, имеющее хотя бы один
функциональный аргумент, то Р имеет определение
Р(а, 21) «-> Зх/? (а (х), 21),	(6)
где отношение R рекурсивно. Действительно, так как Р
рекурсивно перечислимо, то
Р (а, 21) *+ BxQ (а (х), 21 (х), х),
где Q рекурсивно, а тогда мы можем определить R сле-
дующим образом:
R(a,	21 (lh (a)), lh (а)).
Отсюда и из А5 мы видим, что если Р — отношение рода
П,, имеющее хотя бы один функциональный аргумент, то
Р(а, 21) 3xQ (а (х), 21),
где отношение Q рекурсивно. Применяя пренексную опе-
рацию к правой части, мы видим, что Р имеет явное
определение
Р (а, 21) «-> Vx/? (а (х), 21),	(7)
где R рекурсивно.
Теорема об арифметическом перечисле-
нии (Клини). Для любых типи любого k 1 сущест-
7.5. АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ИЕРАРХИЯ
243
вует (т, п-\-\)-арное отношение рода 2£(Щ), которое
перечисляет множество (т, п)-арных отношений рода
22 (Ш).
Доказательство. Предположим, например, что
k — З. Если Р — отношение рода 2g, то
Р (з?1) «-> 3xVy3zR (х, у, г, 21),
где R рекурсивно. По теореме о нумерации существует
такое р, что
3zR(x, у, z, ^<^ЗгТт<п^{р, х, у, 21, г),
так что
Р (21)	Зх\ уЗгТ т<	(р, х, у, 21, г).
Наоборот, определенное этой эквивалентностью отношение
Р имеет род 2g. Поэтому перечисляющее отношение для
отношений рода 2з определяется следующим образом:
<2(21, р) 3xVy3zTm< л+2 (р, х, у, 21, z).
По А5 отношения рода Щ— это в точности отрицания
отношений рода 2g. Вследствие этого ~|<2 является пере-
числяющим отношением для отношений рода Пд.
Теперь мы можем показать, что единственными соот-
ношениями между отношениями рода 2£ и Щ являются
соотношения, полученные по А1.
Теорема об арифметической иерархии
(Клини). Для каждого п^зД существует унарный преди-
кат Р рода 2£, который не имеет рода Щ и, следова-
тельно, не имеет рода 2^ или при m<Zn. Кроме
того, “I Р имеет род Щ, но не 2£ и, следовательно, не
2^ или при m<in.
Доказательство. Пусть Q —бинарный предикат
рода 2£, перечисляющий множество унарных предикатов
рода 2£, определим Р следующим образом: Р (а) *-> Q (а, а).
Тогда Р имеет род 2^ по А2, в то время как П Р не имеет
рода 2^ по диагональной лемме. Поэтому требуемое за-
ключение следует из А5 и А1.
Отношение Р имеет род А^, если оно одновременно
имеет род 2^ и Щ. Согласно А5 Р имеет род А^ тогда
и только тогда, когда как Р, так и “| Р имеют род 2£, и
тогда и только тогда, когда как Р, так и “| Р имеют
род Щ. В частности, Р имеет род Д° тогда и только
тогда, когда как Р, так и "] Р рекурсивно перечислимы.
244
ГЛ. 7. ТЕОРИЯ РЕКУРСИИ
Следовательно, по теореме об отрицании предикаты рода
А? — это в точности рекурсивные предикаты. Мы можем
легко использовать доказательство теоремы об отрицании,
чтобы показать, что отношения рода А} —это в точности
рекурсивные отношения; на этот результат мы будем
также ссылаться как на теорему об отрицании. В сле-
дующем параграфе мы получим аналогичную характери-
зацию предикатов рода А£ для 1.
7.6.	Относительная рекурсивность
Пусть Ф — некоторое множество всюду определенных
функций. Определим функции, рекурсивные в Ф (или ре-
курсивные относительно Ф) с помощью обобщенного опре-
деления, состоящего из четырех правил RO®, R1®, R2®
и R3®. Последние три правила получены из Rl, R2 и
R3 заменой слова рекурсивные на рекурсивные в Ф. Пер-
вое правило:
RO®. Каждая функция из Ф рекурсивна в Ф.
Пусть теперь Ф — некоторое множество всюду опреде-
ленных функций и предикатов, и пусть Ф' — множество,
состоящее из функций, принадлежащих Ф, и из представ-
ляющих функций предикатов, принадлежащих Ф. Мы
говорим, что функция рекурсивна в Ф, если она рекурсивна
в Ф'. Если Ф состоит из Flt ..., Fm, Rlt ..., Rn, то мы
говорим «рекурсивна в Flt , Fm, Rlf ..., Rn» вместо
«рекурсивна в Ф».
Так как все понятия теории рекурсии определены
в терминах понятия рекурсивной функции, то мы можем
из каждого из этих понятий получить новое понятие отно-
сительно Ф заменой слова рекурсивно на рекурсивно в Ф-
в определении старого понятия. Это приводит к следую-
щим определениям.
Предикат рекурсивен в Ф, если его представляющая
функция рекурсивна в Ф (очевидно, отсюда следует, что
каждый предикат, принадлежащий Ф, рекурсивен в Ф).
Отношение Р рекурсивно перечислимо в Ф, если сущест-
вует рекурсивный в Ф предикат R такой, что
Р(21)«-ЗхЯ(Й (х), х)
для всех 21. Частичный функционал рекурсивен в Ф, если
его график рекурсивно перечислим в Ф. Частичное отно-
7.6. ОТНОСИТЕЛЬНАЯ РЕКУРСИВНОСТЬ
245
шение рекурсивно в Ф, если его представляющий частич-
ный функционал рекурсивен в Ф. Мы предоставляем чи-
тателю самому определить арифметичность, 2£, Щ и Ад
в Ф.
Многие доказанные нами результаты зависят только
от того обстоятельства, что рекурсивные функции удов-
летворяют правилам R1—R3. Очевидно, эти результаты
также справедливы в релятивизованном случае (когда
используется понятие относительной рекурсивности). Та-
ким способом обобщаются правила R1—R14 (в обоих
вариантах) и RE1—RE4, а также теорема о подстановке.
Обобщаются правила Al—А6, а также утверждения о том,
что каждое арифметическое отношение рекурсивно, имеет
род 2^ или Щ, и утверждение о том, что отношения
рода 2J— это в точности рекурсивно перечислимые отно-
шения. Теорема об отрицании также обобщается. Разу-
меется, результаты, доказываемые индукцией по рекур-
сивным функциям (подобно теореме о представлении),
не могут быть обобщены столь просто.
Если Ф пусто, то функции, рекурсивные в Ф, — это
в точности рекурсивные функции. Таким образом, реля-
тивизованная теория рекурсии содержит в себе как част-
ный случай обычную теорию рекурсии.
Пусть Т —другое множество всюду определенных функ-
ций и предикатов. Мы говорим, что Ф рекурсивно в Т,
если каждый элемент, принадлежащий Ф, рекурсивен в ¥.
Лемма о транзитивности. Если Ф рекурсивно
в Т, то каждая функция, рекурсивная в Ф, рекурсивна в Т.
Доказательство. Используется индукция по
функциям, рекурсивным в Ф.
Следствие 1. Всякая функция, рекурсивная в Ф,
рекурсивна в каждом множестве, включающем Ф.
В частности, каждая рекурсивная функция рекурсивна
в Ф для любого Ф.
Следствие 2. Если функция F рекурсивна в мно-
жестве, каждый элемент которого либо реккурсивен, либо
принадлежит Ф, то F рекурсивна в Ф.
Лемма о транзитивности обобщается для частичных
рекурсивных функционалов и отношений, рекурсивно пе-
речислимых и арифметических отношений, а также отно-
шений рода 2^, Щ и Д£. Это значит, например, что
если Ф рекурсивно в Т, то каждое отношение, арифме-
246
ГЛ. 7. ТЕОРИЯ РЕКУРСИИ
тическое в Ф, является арифметическим в Чт. Следствия
также могут быть обобщены для этих случаев.
Лемма о конечности. Если функция рекурсивна
в Ф, то она рекурсивна в некотором конечном подмно-
жестве множества Ф.
Доказательство. Используется индукция по функ-
циям, рекурсивным в Ф.
Лемма о конечности обобщается также для всех рас-
смотренных выше понятий.
Теперь мы рассмотрим случай, когда Ф конечно. При
этом полезно предположить, что элементы множества Ф
каким-то образом упорядочены, так что Ф является ко-
нечной последовательностью, а не конечным множеством.
Затем мы определим унарную функцию Ф*, называемую
сверткой Ф, следующим образом. Пусть Fo, .F^—
последовательность, полученная из Ф заменой каждой
функции ее сверткой и каждого предиката сверткой его
представляющей функции, тогда
Ф* (a) = <F0 (а), .... Fk Да)>.
Очевидно,
Л (х) = (Ф*(х))/.
Эти равенства показывают, что функция Ф* рекурсивна
в Fo, ..., Fkl и что каждая функция Fi рекурсивна в Ф*.
Из формул свертывания следует, что каждый член из Ф
рекурсивен в Fo, ..., Fk г и что каждая функция Ft ре-
курсивна в Ф. Комбинируя эти факты с леммой о тран-
зитивности, получаем, что Ф* рекурсивна в Ф, и наобо-
рот. Тогда по лемме о транзитивности функции, рекур-
сивные в Ф, — это в точности функции, рекурсивные в Ф*;
аналогичные утверждения справедливы для рекурсивных
частичных функционалов, рекурсивно перечислимых отно-
шений и т. д.
Лемма о замене. Частичный функционал F рекур-
сивен в конечной последовательности Ф тогда и только
тогда, когда существует такой рекурсивный частичный
функционал F', что F (’Л) F' (Ф*, Л) для всех Л. Отно-
шение Р рекурсивно перечислимо в конечной последова-
тельности Ф тогда и только тогда, когда существует
такое рекурсивно перечислимое отношение Р', что Р (М)
++ Р' (Ф*, для всех Л.
7.6. ОТНОСИТЕЛЬНАЯ РЕКУРСИВНОСТЬ
247
Доказательство. Если такой функционал F' су-
ществует, то явное определение
F(2l)~F' (ХхФ* (х), 21)
показывает, что функционал F рекурсивен в Ф* и, сле-
довательно, в Ф. Утверждение «тогда» во второй части
леммы доказывается аналогично.
Теперь мы докажем утверждение «только тогда» для
случая, когда F является всюду определенной функцией.
Так как F рекурсивна в Ф*, то мы можем воспользо-
ваться индукцией по функциям, рекурсивным в Ф*. Рас-
сматривая правило RO®*, заметим, что
Ф*(а)=Ар(Ф*, а).
Доказательство для правила R1®. тривиально. Так как
правила R2®» и R3®» рассматриваются аналогично, то
мы рассмотрим лишь последнее из них. Предположим,
что функция F определена следующим образом; F (а) =
— px(G(a, х) = 0). По индуктивному предположению
G(a, х) = С'(Ф*, а, х)
для некоторого рекурсивного частичного функционала G'.
Определяя F' следующим образом:
F' (a, a)~px(G'(a, а, х) = 0),
мы получаем, что Е(а)=/:’'(Ф*, а).
Предположим теперь, что Р рекурсивно перечислимо
в Ф, и пусть
Р (21) 3xR (21 (х), х),
где R рекурсивно в Ф. Выберем рекурсивный функцио-
нал F' так, что
х)=А'(Ф*, а, х).
Тогда
Р(21)«-Зх(Г'(Ф*, 21 (х), х) = 0)
«->Зх®^(Ф*, Й(х), х, 0).
Определяя Р' следующим образом:
Р' (а, 21) «-> 3x®f' (а, 2( (х), х, 0),
МЫ убеждаемся, что Р' рекурсивно перечислимо и Р (21) <»
21).
248
ГЛ. 7. ТЕОРИЯ РЕКУРСИИ
Наконец, пусть F — частичный функционал, рекурсив-
ный в Ф. Пользуясь только что доказанным результатом
и тем, что рекурсивно перечислимые отношения имеют
род мы получаем, что
®рСЛ, а)«-Зл7?'(Ф*, 21, а, х),
где R'— рекурсивное отношение. Тогда вследствие (1)
из § 7.2 имеем
Р(21)~(И?Я'(Ф*, 21, (г)0, Ш)о;
поэтому мы можем определить F' следующим образом:
F'(a, 21) =-	(а, 2Г, (г)0, Ш)о.
Следствие 1. Частичное отношение Р рекурсивно
в конечной последовательности Ф тогда и только тогда,
когда существует такое рекурсивное частичное отноше-
ние Р', что Р (21) Р’ (Ф*, 21) для всех 21.
Следствие 2. Отношение Р является арифметиче-
ским отношением рода 2ЦЩ) в конечной последователь-
ности Ф тогда и только тогда, когда существует такое
арифметическое отношение Р' рода 2^(Щ), что Р (21)
<^-Р'(Ф*, 21) для всех 21.
Доказательство. В случае 2J это следует из
теоремы (потому что 2J означает то же самое, что и ре-
курсивно перечислимое). Затем мы получаем случай Пр
используя отрицания. Оставшиеся случаи получаются из
этих двух навешиванием кванторов.
Замечание. Подобные утверждения неверны для
рекурсивных всюду определенных функционалов, рекурсив-
ных всюду определенных отношений и отношений рода Апп;
см. задачи 11 (г) и 21 (б).
Теперь мы используем понятие относительной рекур-
сивности, чтобы охарактеризовать предикаты рода Д£ при
1.
Лемма. Предикат Р имеет род 2«+i тогда и только
тогда, когда он рекурсивно перечислим в множестве пре-
дикатов рода Щ.
Доказательство. Если Р имеет род 2£+1, то
Р (а) BxQ (а, х), где Q имеет род Щ, поэтому Р рекур-
сивно перечислим в множестве предикатов рода Щ. Теперь
предположим, что Р рекурсивно перечислим в указанном
множестве. Формулы свертывания показывают, что свертка
7.6. ОТНОСИТЕЛЬНАЯ РЕКУРСИВНОСТЬ
249
предиката рода Щ имеет род ГЦ и что каждый предикат
рекурсивен в своей свертке. Таким образом, Р рекурсивно
перечислим в множестве унарных предикатов рода ГЦ и
по лемме о конечности — в некоторой конечной последо-
вательности Ф таких предикатов. Пусть Ф состоит из
предикатов Ru , Rk, и пусть Q,- является графиком/Ст?..
Тогда
Qi (a, ft) ~ (Ri (а) & 6 = 0) VC] Ri (а) & b= 1),
поэтому Qi имеет род 5Ц+1 вследствие А1—А6. Далее,
®ф* (а, b)*+b =
'	= <(6)0, ..., (&)А_г> & Q, (а, (6)0) &...&& (а, (6)^);
поэтому ®ф» имеет род 5Ц-+ь
По лемме о замене существует такой рекурсивный пре-
дикат М, что
Р (21) ~ ЗхМ (Ф* (х), а, х)
ЗхЗу (у = Ф* (х) & М (у, а, х))
~ ЗхЗу (Seq (у) & lh (у) =
= х& Угг<х@ф. (z, (r/)z) & М (у, а, х)).
Следовательно, по А1—А6 Р имеет род 2Ц + 1.
Комбинируя лемму с релятивизованной теоремой об
отрицании, мы получаем такой результат.
Теорема Поста. Предикат имеет род A^+i тогда
и только тогда, когда он рекурсивен в множестве преди-
катов рода ГЦ.
Используя А5 и то, что каждый из предикатов Р и
“I Р рекурсивен в другом, мы видим, что в теореме Поста ГЦ
можно заменить на 2Ц.
Пусть Ф — конечная последовательность. Число f
является индексом (т, п)-арного частичного функционала F
по Ф, если для всех 21
F (21) ~ {/}"«+ '-«(Ф*, 21).	(1)
Вследствие теоремы о нормальной форме и леммы о за-
мене частичный функционал рекурсивен в Ф тогда и
только тогда, когда он имеет некоторый индекс по Ф.
Каждое число f является индексом по Ф единственного
(w, ц)-арного функционала F, а именно, того F, который
определен в (1). Этот функционал F обозначим через {/}ф.
250
ГЛ. 7, ТЕОРИЯ РЕКУРСИИ
Пусть снова Ф — конечная последовательность. Число р
является RE-индексом (т, п)-арного отношения Р по Ф,
если для всех 31
Р (3() ^1Гр+1’ п (Ф*, 31).
Тогда отношение является рекурсивно перечислимым в Ф
в том и только в том случае, когда оно имеет некоторый
RE-индекс по Ф. И снова каждое число р является
RE-индексом по Ф единственного отношения; это отноше-
ние мы обозначим через W®.
Мы имеем
{/}ф (31, a)^{Sm+i<n,k(f, а)}ф (31),
»'? (Я,
/Л+11 n,kxr '
Далее мы можем сформулировать релятивизованный ва-
риант теоремы о рекурсии.
Частичный функционал называется функционально ре-
курсивным, если он рекурсивен в множестве всех всюду
определенных функций. Аналогично мы определяем функ-
ционально рекурсивное частичное отношение и понятия
функционально рекурсивно перечислимого и функционально
арифметического отношения. Отношение имеет род 2л,
если оно имеет род 2л в множестве всех функций; ана-
логично мы определяем отношения рода Щ и Ал- Оче-
видно, каждая функция функционально рекурсивна и
каждый предикат функционально рекурсивен.
Предположим, что F — функционально рекурсивный
(т, п)-арный ‘ частичный функционал. По лемме о конеч-
ности F рекурсивен в некоторой конечной последователь-
ности Ф. Пусть /—индекс F по Ф, а а —функция, опре-
деленная равенствами а(0)=/, а (n-ф 1)=Ф* (п). Тогда
F(3l) ~{a(0)}m+i. «(Axa(x-H), 31).	(2)
Функциональным индексом функционала F мы называем
такую унарную функцию а, что (2) выполняется для
всех 31. Так как определенный в (2) функционал F рекур-
сивен ван потому функционально рекурсивен, то мы
видим, что частичный функционал функционально рекур- .
сивен тогда и только тогда, когда он имеет некоторый :
функциональный индекс. Каждая унарная функция а
является индексом единственного (т, п)-арного частичного
7.6. ОТНОСИТЕЛЬНАЯ РЕКУРСИВНОСТЬ
251
функционала F, а именно, того функционала F, который
определен в (2). Этот функционал F мы обозначаем через
{а}"1, п или, проще, через {а}.
Из (2) следует, что
{a}-."(?I)~t/(pzTOT+li„(a(0), Ьха(х+1), 21, г)).
Определим рекурсивный функционал Гот, п следующим
образом:
Тт,п(а, 31, г) „(а(0), Аха(х+1), 31, г).
Тогда
Нт- П (91) ~ и (pzTm п (а> ?Г> г)).	(3)
Функциональным RE-индексом отношения Р мы назо-
вем такую функцию а, что для всех 21
Р (21) ЭгТт, п (а, 4, г).
Используя доказательство теоремы о нумерации, мы по-
кажем, что отношение функционально рекурсивно пере-
числимо тогда и только тогда, когда оно имеет некоторый
функциональный RE-индекс.
Если Р является (m-f-l, п)-арным отношением, то мы
для каждой функции а определим (т, п)-арное отноше-
ние Р(а) следующим образом:
Р(а) 04) - Р (2Г, а).
Мы говорим, что Р функционально перечисляет класс
Отношений, СОСТОЯЩИЙ ИЗ Р(а.)-
Теперь мы можем получить аналог теоремы об ариф-
метическом перечислении для случая функциональной
перечислимости. Отсюда мы получим аналог теоремы об
арифметической иерархии для (1, 0)-арных отношений.
(Разумеется, мы не можем получить подобный аналог
для унарных предикатов, так как каждый предикат
функционально рекурсивен.)
Лемма о проекции. Если F^ функционально
рекурсивен для каждого а, то F функционально рекурсивен.
Доказательство. Пусть aa является функцио-
нальным индексом F[a} для каждого а; выберем а так,
что (а)а = аа для всех а. Определим рекурсивный функ-
ционал G следующим образом:
<?(₽, 21, a)^{(P)a}(2I).
252
ГЛ. 7. ТЕОРИЯ РЕКУРСИИ
Тогда
F(2I, a)~Fw(%)
(Ю
~G(a, 21, а).
Таким образом, F рекурсивен в а, а отсюда и по лемме
о замене он функционально рекурсивен.
Лемма о проекциях обобщается на функционально
рекурсивные частичные отношения, потому что (Кр)(а)
является представляющим частичным функционалом
для Р(а). Она обращается также на отношения рода S£
(в частности, на функционально рекурсивно перечисли-
мые отношения), отношения рода Щ и отношения
рода Д£, а потому и на функционально арифметические?
отношения. Например, предположим, что Р(а} имеет
род SB для всех а. Тогда
Р(а)(Л)<^3%\/у7?а(Л, х, у),
где Ra функционально рекурсивно. Определим
R ('Л, х, у, а) «-> Ra (Л, х, у).
Тогда R(aj=Ra функционально рекурсивно для каждого а,,
поэтому R функционально рекурсивно. Также имеем
Р(Л, а) <-> 3xVyR (Л, х, у, а)\	‘
поэтому Р имеет род SB.
7.7.	Степени
Пусть Ф — множество всех всюду определенных функций
и предикатов. Мы говорим, что два элемента из Ф экви-
валентны, если каждый из них рекурсивен в другом..
Пользуясь леммой о транзитивности, мы легко проверим,
что это отношение эквивалентности. Классы эквивалент-
ности называются степенями рекурсивной неразрешимо--,
сти или просто степенями. Для обозначения степе-
ней мы пользуемся полужирными строчными латинскими
буквами.
Грубо говоря, два элемента из Ф эквивалентны, если^
их одинаково трудно вычислять. Таким образом, степень
функции или предиката является мерой трудности ИХ:
вычисления.
7.7. СТЕПЕНИ
253
Очевидно, Р эквивалентен /СР и F эквивалентна
Следовательно, каждая степень содержит и функцию и
предикат. Формулы свертывания показывают, что каждая
функция и каждый предикат эквивалентны своей свертке,
поэтому каждая степень содержит унарную функцию и
множество. По этой причине мы часто имеем дело только
с множествами.
Пусть а и Ь — степени; запись означает, что
существуют множество А в а и множество В в b такие,
что А рекурсивно в В. Если это так, то по лемме
о транзитивности любая функция и любой предикат из а
рекурсивен в любой функции и любом предикате из Ь.
Пользуясь этим, а также леммой о транзитивности, мы
легко проверим, что обладает основными свойствами
частичного порядка:
a<za,
a<b^b<a->a=b,
a <~b^>~b
Мы пишем а < Ь, если а^~Ь и а=^=Ь.
Очевидно, множество всех рекурсивных функций и
предикатов является степенью, эту степень мы обозначим
через 0. Для любых а мы имеем 0 sg а; это значит,
что 0 является наименьшей степенью.
Мы говорим, что а рекурсивно перечислима в Ь, если
существуют множество А в а и множество В в b такие,
что А рекурсивно перечислимо в В. В таком случае по
лемме о транзитивности А рекурсивно перечислимо
в каждом множестве из Ь. Степень а рекурсивно пере-
числима, если она рекурсивно перечислима в 0, иначе
говоря, если она содержит некоторое рекурсивно пере-
числимое множество. Если а рекурсивно перечислима
в b и Ь^-с, то а рекурсивно перечислима в с по лемме
о транзитивности. В частности, каждая рекурсивно пере-
числимая степень рекурсивно перечислима в любой сте-
пени.
Среди рекурсивно перечислимых в а степеней имеется
наибольшая. Действительно, пусть А— множество из а,
и пусть
В (а) 3xTltl ((а)0, КА, (a)lf х).
Тогда степень Ь, содержащая В, рекурсивно перечислима
в а. Мы покажем, что среди таких степеней она является
254
ГЛ. 7. ТЕОРИЯ РЕКУРСИИ
наибольшей. Пусть с рекурсивно перечислима в а.
В таком случае с содержит множество С, которое рекур-
сивно перечислимо в Л. По релятивизованной теореме
о нумерации существует такое е, что для любых а
С (а) ++ 3xTi, j (е, КА, а,х)
В «е, а».
Таким образом, С рекурсивно в В; следовательно, с^Ь.
Наибольшая рекурсивно перечислимая в а степень
называется скачком а и обозначается через а'. Таким
образом, 0' является наибольшей рекурсивно перечисли-
мой степенью. Если а^Ь, то а' рекурсивно перечислима
в а и, следовательно, в Ь, поэтому а'^Ь'. Так как
каждое множество, рекурсивное в А, рекурсивно пере-
числимо в А, но не наоборот (вследствие релятивизован-
ной теоремы об арифметической иерархии), то мы имеем
а<а'. Отсюда следует, что не существует наибольшей
степени.
Сказанное выше наводит на два вопроса. Первый:
является ли множество степеней линейно упорядоченным?
Второй, известный как проблема Поста: существуют ли
рекурсивно перечислимые степени, отличные от 0 и О'?
Сейчас мы докажем теорему, отвечающую на оба вопроса.
Теорема Фридберга —Мучника. Существуют
такие рекурсивно перечислимые множества А и В, что А
не рекурсивно в В и В не рекурсивно в А.
Предположим, что теорема верна, и пусть а и b —
степени, содержащие А и В соответственно. Тогда неверно
как а^Ь, так и Ь^:а, поэтому множество степеней
не является линейно упорядоченным. Так как для каж-
дой рекурсивно перечислимой степени с О С с С О', то
а и b являются рекурсивно перечислимыми степенями,
отличными от 0 и О', этим решается проблема Поста.
Вначале мы дадим общую схему доказательства. Мы
будем строить Л и В по этапам. На каждом этапе мы
либо ничего не будем делать, либо добавим в точности
одно число в А или в В. По данному п можно будет
в точности установить, что происходит на п-м шаге.
Вследствие этого А и В будут позитивно вычислимыми,
а потому и рекурсивно перечислимыми.
Чтобы быть уверенным, что В не рекурсивно в А,
мы должны быть уверены, что Кв отлична от всех {е}л.
7.7. СТЕПЕНИ
255
Наша идея состоит в следующем. Мы непрерывно ста-
раемся ВЫЧИСЛИТЬ {е}Л(х2е) ДЛЯ НеКОТОрОГО ЧИСЛа Х2е.
Если нам это удастся и значением будет 1, то мы отно-
сим х2е к множеству В. Таким образом, /Св(х2е) —О тогда
и только тогда, когда {г}А (х2е) ~ I, поэтому Кв отлично
от {е}л. Аналогично, мы гарантируем, что Ка отлично
от {г}в, относя некотврое число х2е+1 к множеству А тогда
и только тогда, когда (х2е+1) ~ I.
Трудностью в проведении этой идеи является то, что
на п-м этапе нам еще не известно множество А, а известно
только конечное множество Ап чисел, которые были отне-
сены к А до n-го этапа. Поэтому мы пытаемся вычислить
{е}Л/1 (х2е); если это нам удастся и значение равно 1, то
мы относим х2е к множеству В. Однако неприятность
заключается в том, что позже мы можем отнести к мно-
жеству А еще несколько чисел и, таким образом, изме-
нить значение {<?}Л (х2е) наО; тогда мы получим {е}А (х2е) =
-= Кв (х2₽). Мы можем исправить положение, допуская,
что хе может измениться. При вычислении
{е}Ап (х2е)=1
мы используем только конечное число значений функ-
ции Кап- Пусть у больше любого из значений этих аргу-
ментов. Если мы никогда в дальнейшем не будем отно-
сить к множеству А числа, меньшие у, то всё будет
в порядке. Далее, к множеству А причисляются лишь
числа х2/+1. Следовательно, мы просто изменяем все
числа х2у+1 так, чтобы они были больше у.
Имеется еще одно затруднение. хе может изменять
свое значение бесконечное число раз, так что мы никогда
не решим, какое же значение хе нам взять. Мы обойдем
это затруднение, изменив нашу процедуру; если мы
относим х2е к В, то мы изменяем x2;+i только в том
случае, если 2/+1>2е. Таким образом, х2/+1 может
изменять значение только из-за конечного числа значе-
ний х2е, где 2е<2/-|-1, поэтому оно изменяет свое зна-
чение только конечное число раз. Но что можно сказать
0 *2/+i> где 2/ф- 1<2е, которое мы не изменяем? Если
*2/+i никогда не будет отнесено к А, то это не приведет
ни к каким трудностям. Если же оно отнесено к А, то
мы одновременно изменяем х2е, потому что 2е >2/4-1.
Таким образом, тот факт, что мы для прежних значений
256
ГЛ. 7. ТЕОРИЯ РЕКУРСИИ
х2е можем иметь {е}-4 (х2е) = /<в (х2₽), не имеет никакого-
значения.
Теперь мы приведем доказательство. Если F (сх, е, а) ~
~ {е}“ (а), то F рекурсивен, поэтому рекурсивно
перечислим и потому имеет род St Согласно (6) из § 7.5
существует такой рекурсивный предикат 7?, что
{e}a(a)c^&^3//7?(a(z/),e, а, Ь).
Множества Ап и Вп и функции Fn мы определим
индукцией по п. (Fn (е) будет значением хе до n-го этапа.)
В качестве До и Во мы возьмем пустые множества и
положим F0(e) = 2e. Теперь предположим, что Ап, Вп и
Fn уже выбраны. Допустим вначале, что (п)0 четно, '
например, (п)0 = 2е. Мы ищем такое число у, что
у<п&я(КЛп(у),е, Fn(2e), 1) & Fn (2е) ф Вп. (1)
Если такого у не существует, то Ап+1 = Ап, Вп+1 — Вп, i
Fn+1~Fn. В противном случае мы выберем среди таких
у наименьшее. Отнесем Fn (2е) к Вп+1 и положим
F„+1(2f+l) = 3«+i-F„(2f+l)
для 2/+1>2е. Во всем остальном Ап+1, Вп+1 и Fn+1
совпадают с Ап, Вп и Fn. Теперь предположим, что (п)0
нечетно, например, что (n}0 = 2fA-1. Тогда мы опять ,
поступаем так, как написано выше, меняя местами А и В
е и f, 2е и 2f + 1.
Мы утверждаем, что /(лл(х), Квп (*) и Fn(x) явля-
ются рекурсивными функциями от л и х. Это очевидно;
вследствие тезиса Черча. Простейший способ дать точное:
доказательство — положить G (п, х)~(Кап (*), Квп (х), F (х))
и определить G с помощью теоремы о рекурсии. Мы предо-,
ставляем это читателю.
Теперь мы покажем, что для каждого е значение’
Fn (е) изменяется только конечное число раз. Доказатель-:
ство ведется индукцией по е. Если Fn+i (е) Ф Fn (е), то.
мы имеем Fn(f) е Ап+1 и Fn(f) Ап для некоторого f<Ze.
(Это верно для четного е; если е нечетно, то мы должн
поменять местами А и В.) По индуктивному предполо-
жению число значений Fn(f), где f<Ze, конечно. Следо-
вательно, Fn(e) может изменяться только конечное чис
ло раз.
7.7. СТЕПЕНИ
257
Пусть Л — объединение всех Лл, а В — объединение
всех Вп. Так как
А (х) <-> Зп (Кап (х) = 0)
и аналогичное выражение верно для В, то Л и В рекур-
сивно перечислимы. Пусть хе — заключительное значение
Fn(e). Мы покажем, что х2геВ тогда и только тогда,
когда {е]А (х2с) — 1. Это доказывает, что В не рекурсивно
в Л, а симметричное рассуждение доказывает, что Л
не рекурсивно в В.
Предположим, что {е}л (х2е) ~ 1. Тогда существует
такое у, что
К(Ка(у), е, х2е, 1).
Далее, существует бесконечно много п, для которых
(/г)0=2е. Выберем одно из этих п такое, что п>у,
Fn(2e) = x2e и Клп (у)=Кл (у). Тогда либо х2е принадле-
жит Вп, либо оно отнесено к Вп+1. Следовательно, х2е^В.
Теперь предположим, что х2е^В. Выберем такое п,
что х2ееВяН и х2е^Вп. Тогда мы получим, что (п)0 =
= 2е & Fn (е) = х2е и (1) будет истинно для некоторого у.
(Мы воспользовались тем, что Fn (е) всегда имеет вид
2,?Зг и потому для разных е принимает разные значения.)
Если Кап (у) = Ка (у), то из (1) следует, что {е}А (х2е)~1.
В противном случае существует такое число г, что z<Zy
и Клп (г) -ф Ка (г). Это означает, что существует такое
т^>п, что z Ат+1, гфАт. Тогда мы имеем
(m)0=2f+l и г = Еот(2/+1).
Если при этом 2f+ 1 > 2е, то мы получим
г = Еот(2/+1)^Ея+1(2/+1)-3^+1.Ел(2/+ !)>#,
т. е. противоречие. Следовательно, 2f+l<2e, поэтому
Fm i (2е) > Fm (2е) Fn (2е) - х2е.
Однако это невозможно по определению х2е.
С помощью развитой выше техники могут быть дока-
заны многие другие утверждения b степенях, однако мы
че будем здесь этим заниматься.
9 Дж. Шепфилд
258
ГЛ. 7. ТЕОРИЯ РЕКУРСИИ
7.8.	Аналитическая иерархия
Теперь мы изучим результат навешивания кванторов;
по функциональным переменным на рекурсивные отно-
шения.
Отношение Р называется аналитическим, если оно
имеет явное определение вида
P(2l)~Qi ... Qft/?(3l, 33),	(1)
где отношение R рекурсивное, a Qb .... Qft—кванторы,
по одному на каждую переменную из 33.
Мы говорим, что два квантора имеют одинаковый вид,.
если они оба являются кванторами существования или?
оба являются кванторами всеобщности. Мы говорим, что-
два квантора имеют одинаковый тип, если они оба свя-
зывают функциональные переменные или оба связывают
числовые переменные.
Теперь предположим, что мы имеем определение вида
(1), и перечислим некоторые упрощения, которые можно
делать в цепочке кванторов Qi ... Qft. В каждом случае;
подразумевается, что упрощение требует замены отношения
R новым рекурсивным отношением (как это было при
свертывании кванторов в арифметическом случае).
(i)	Числовой квантор может быть заменен функци-
ональным квантором того же вида.
Это следует из эквивалентностей
ЗхР (х) <-> ЗаР (а (0)),
VxP(x)<^ VaP(a(0)).
(ii)	Два смежных квантора одинакового вида и типа;
могут быть заменены одним квантором того же вида-
и типа.
Для числовых кванторов это является свертыванием,
кванторов. Для функциональных кванторов мы поль-
зуемся тем же методом, заменяя (а); на (оф.
(iii)	Если функциональный квантор следует непосред-
ственно за числовым квантором, то он может быть пере-;
ставлен вперед этого числового квантора.
Это следует из эквивалентностей
ЗхЗаР (а, х) ЗаЗхР (а, х),
У!хМаР \а, х)*-* VaVxP (а, х),
Vx3aP (а, х)<^ 3aVxP ((а)Л, х),
3xVaP(a, х)«^ Va3xP ((а)^, х).
7.8. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ИЕРАРХИЯ
259
Первые две из них очевидны, а две другие доказываются
так же, как (4) и (5) из § 7.5.
Приставка CG...CU в (1) называется нормализованной,
если	QbQfe j — функциональные кванторы,
а О^ —числовой квантор и все кванторы чередуются по
видам. Мы покажем, что, исходя из определения (1),
в котором имеется хотя бы один функциональный кван-
тор, мы можем упростить приставку до нормализованной
приставки. Сначала мы переставим все функциональные
кванторы вперед согласно (iii). Если теперь найдутся чис-
ловые кванторы того же вида, что и последний функцио-
нальный квантор, то мы элиминируем каждый из этих
кванторов, начиная с первого, следующим образом: мы
заменяем этот квантор функциональным квантором соглас-
но (i), переносим его вперед всех числовых кванторов
согласно (iii) и свертываем его с последним функциональ-
ным квантором согласно (ii). Теперь все числовые кван-
торы находятся в конце и все имеют вид, противополож-
ный виду последнего функционального квантора. Если же
таких числовых кванторов не найдется, то мы добавим
в конце фиктивный числовой квантор вида, противопо-
ложного виду последнего функционального квантора.
Если мы теперь выполним все возможные свертывания
согласно (ii), то получим нормализованную приставку.
Заметим, что мы могли бы получить тот же самый конеч-
ный результат, если бы мы поступили следующим образом:
вычеркнули все числовые кванторы, выполнили все воз-
можные свертывания согласно (ii) и присоединили в конце
новый числовой квантор вида, противоположного виду
последнего функционального квантора.
Отношение имеет род ^(П^) при	если оно
Удовлетворяет определению (1), в котором приставка нор-
мализована, число функциональных кванторов равно п и
первым стоит квантор существования (всеобщности).
Отсюда мы видим, что каждое аналитическое отношение
либо является арифметическим, либо имеет род Sn или
1L при некотором п. Эта классификация аналитических
отношений называется аналитической иерархией.
Теперь мы приведем аналоги утверждений Al—А6.
Если при этом не дается доказательства, то это доказа-
тельство такое же, как и в арифметическом случае.
9*
260
ГЛ. 7. ТЕОРИЯ РЕКУРСИИ
Y1. Если отношение Р — арифметическое, то Р имеет
род SA и Щ для каждою п. Если Р имеет род или
Пт, то Р имеет род %1п и Щ для каждого п^>т.
Доказательство. Используется добавление фик-
тивных кванторов с последующим упрощением, как это
было показано ранее. Так, если Р — отношение рода S.i,
то
Р ('»() ++ BaVfiBxR ('Л, а, р, х)
<-> VylaVfHxP ('Л, а, р, х)
«-> 3aV^3y3xP ('?(, а, |3, х).
После упрощения вторая строка показывает, что Р — отно-
шение рода П|, а третья строка показывает, что Р — отно-
шение рода
Y	2. Если Q — отношение рода	a Flt Fr,
G1} ..., Gk — рекурсивные функционалы, то отношение Р,
определенное следующим образом: Р (X) (kxFt (Л, х), ...
KxFr{il, х), Gjffl), ..., Gft('X)), имеет род
Y	3. Если Q — отношение рода Д, а отношение Р опре-
делено следующим образом: Р (Й) <-> 3aQ (’Л, а), то Р
имеет род 2^. Если отношение Q — отношение рода Щ,
а отношение Р определено следующим образом: Р (Й)«-»
«-» VaQ (X, а), то Р имеет род Щ.
Y	4. Если Р и Q — отношения рода	то Р V Q
и Р &Q — отношения рода 2^(Щ).
Y	5. Если Р — отношение рода 2^(Щ), то ~\Р — отно-
шение рода Щ(2д).
Y	6. Если Р — отношение рода 2^(Щ), а отношения Q
и R определены следующим образом: Q (Й) ++ ЗхР (X, х)
и Р(Й)<> VxP(X, х), то Q и R — отношения рода 2А(Щ).
Доказательство. Проводится при помощи упро-
щения, как это описано выше.
Отметим, что из Y6 следует аналогичный результат
для ограниченных кванторов, так как мы можем переписать
Зхх<ьР(Й, х) и Ухх<ьР (Й, х) как Зх(х<Ь&Р(Й, х))
и Мх (х < b -> Р (X, х)).
Если Р имеет род П{, то Р (Я) «-> VaQ (Й, а), где
Q имеет род SL Поэтому вследствие (6) из § 7.5 Р опре-
деляется формулой
Р (й) ~ Va3xP (а (х), X),	(2)
где Р рекурсивно. Аналогично, применяя (7) из § 7.5,
мы видим, что любое отношение Р рода S1 определяется
7.8. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ИЕРАРХИЯ
261
формулой
Р(Л)^НаУ%Д(а(%), 21),	(3)
где 7? рекурсивно.
Теми же самыми методами, что и в арифметическом
случае, можно доказать теорему об аналитическом пере-
числении и теорему об аналитической иерархии. Мы пре-
доставляем это читателю.
Отношение имеет род ДА, если оно имеет как род
так и род Щ. Вследствие Y5 Р имеет род тогда и
только тогда, когда как Р, так и П Р имеют род SA, и
тогда и только тогда, когда как Р, так и Р имеют
род Щ.
Мы определим понятие аналитичности в Ф, рода SA
в Ф, рода ПА в Ф и рода ДА в Ф с помощью обычного
метода определения релятивизованных понятий. Например,
отношение Р является аналитическим в Ф, если оно опре-
деляется формулой вида (1), где отношение Р рекурсивно
в Ф. Утверждение, что каждое аналитическое отношение
является арифметическим, либо имеет род SA или Щ для
некоторого п, обобщается на релятивизованный случай
по образцу Yl — Y6. Теорема об аналитическом перечис-
лении и теорема об аналитической иерархии обобщаются
при условии, что Ф —конечная последовательность. При
этом условии истинны также лемма о транзитивности и
лемма о конечности. Лемма о замене истинна для поня-
тий аналитичности в Ф, рода SA в Ф и рода ПА в Ф
(но не для рода ДА в Ф).
Отношение Р называется проективным (отношением
рода 2А, ПА, ДА), если оно аналитично (имеет род SA,
ПА, ДА) в множестве всех функций. Мы можем обобщить
теорему об аналитическом перечислении и теорему об
аналитической иерархии на этот случай, пользуясь функ-
циональной перечислимостью точно так же, как и в ариф-
метическом случае. Лемма о проекциях обобщается на
все эти понятия. Следствием является то, что если мы
определим Р следующим образом:
P(2l)~3xQx (Л),
гДе каждое Qx — отношение рода 2А(ПА), то Р — отношение
Рода 2А(ПА). Действительно, если мы определим Q
262
ГЛ. 7. ТЕОРИЯ РЕКУРСИИ
следующим образом:
то по лемме о проекциях Q — отношение рода
а затем мы можем применить Y6.
7.9. Гиперарифметические отношения
Теорема об отрицании говорит нам, что отношения
рода А?, для определения которых, казалось бы, тре-
буются кванторы, на самом деле рекурсивны и потому
могут быть определены без кванторов. Это наводит на
мысль поискать такую характеризацию отношений рода А1,
которая показывает, что эти отношения, для определения
которых, казалось бы, требуются кванторы по функциям,
могут на самом деле быть определены без кванторов.
Вначале можно было бы предположить, что отношения
рода А} —это в точности арифметические отношения;
однако оказывается, что арифметические отношения обра-
зуют собственный подкласс отношений рода А1. Чтобы
получить действительную характеризацию отношений
рода А1, мы должны обобщить арифметическую иерархию.
Так как любое отношение является подмножеством
множества Nm,n, то мы можем выполнять теоретико-мно-
жественные операции над отношениями. Таким образом,
А4 и А5 могут рассматриваться как правила, показыва-
ющие, что получается из арифметических отношений при
взятии объединений, пересечений и дополнений. Кроме
того, каждое отношение рода (Щ+i) является объ-
единением (пересечением) счетного числа отношений рода
Например, если Р — отношение рода S£_|_i, то
существует такое отношение Q рода Щ, что
Р (21) ** 3xQ (31, х)
*>3xQw(2l).
Таким образом, Р является объединением отношений
a Q(x) — отношение рода Щ, потому что Q(X} (81) *-»Q (81, х).
Тем не менее только очень простые объединения и пере-
сечения счетного числа арифметических отношений яв-
ляются арифметическими. Например, каждое множество
является объединением счетного числа конечных, а потому
рекурсивных множеств.
7.9. ГИПЕРАРИФМЕТИЧЕСКИЕ ОТНОШЕНИЯ
263
Мы будем получать гиперарифметические отношения,
отправляясь от рекурсивно перечислимых отношений и
неоднократно беря дополнения и некоторые объединения
счетного числа множеств. Чтобы описать эти объединения,
мы сопоставим каждому гиперарифметическому отношению
некоторый индекс. Тогда если А является рекурсивно
перечислимым множеством индексов, то мы берем объеди-
нение тех отношений, индексы которых принадлежат А.
Три следующие правила образуют обобщенное индук-
тивное определение Н-индекса:
II.	(О, е) является //-индексом для каждого е.
12.	Если е является //-индексом, то (1, е) является
//-Индексом.
13.	Если каждое число из W1 * * * * * является //-индексом,
то (2,е) является //-индексом.
Для каждого //-индекса i мы определяем (т, п)-арное
отношение </Г‘я следующим образом. Если z = (0, е), то
есть W™'n. Если i = (1, е), где е — некоторый //-ин-
декс, то есть	Если z = (2, е), где каждое
число из является //-индексом, то является
объединением отношений Jx’n, где х принадлежит We"1, т. е.
(1)
Нам надо показать, что это является законным мето-
дом определения J™,n. Чтобы определить эти отношения,
очевидно, достаточно определить для каждых тип мно-
жество Фт>„ пар (z, </£т-я). Теперь три части приведенного
выше определения могут рассматриваться как три пра-
вила в обобщенном индуктивном определении множества
Фт,га. Например, правилом, соответствующим случаю i =
= (2, е), является следующее: если z = (2, е) является
некоторым //-индексом, если (х, Рх) принадлежит Фтл
Для каждого х из W7®’1 и если Р является объединением
всех Рх, то (i, Р) принадлежит Фт,„.
(т, п)-арное отношение Р является гиперарифметическим,
если P = J4l'n для некоторого //-индекса z; при этом вся-
кое такое z называется Н-индексом отношения Р.
Теперь мы установим некоторые правила получения
гиперарифметических отношений и //-индексов таких отно-
264
ГЛ. 7. ТЕОРИЯ рекурсии
шений. Если это не вносит путаницы, то мы опускаем
верхние индексы у We и J(.
Hl. Если R — рекурсивно перечислимый предикат, то
существует такая рекурсивная функция F, что
J(Ю *+ Эх (R (х, а) & Jx (31))
всякий раз, когда а такова, что для каждого х из R (х, а)
следует, что х является //-индексом.
Доказательство. Выберем е так, что R есть We.
Имеем
Wsu.a)(*)~UUx, Я).
Полагая Е(я) = (2, S (е, а)), мы для а, описанного в Н1,
имеем
й)(х)&Л(Ю)
<^3х(/?(х, а) & Jx (31)).
Н2. Пусть Ft, Fr, Gi, ..., Gk — рекурсивные функ-
ционалы. Тогда существует такая рекурсивная функция
Н, что для каждого //-индекса i
я) (31) ++ J; (LxFi (31, а, х), ...
..., ХхЕг(31, а, х), Gx(31, а).Gk (31, а)).
Доказательство. Сначала мы докажем эквивалент-
ность, замечая, какие свойства Н необходимы, а затем
мы определим Н, обладающую этими свойствами.
Доказательство эквивалентности мы будем вести индук-
цией по //-индексам. Вместо множества аргументов у Jt
в правой части эквивалентности мы будем писать ... Тогда
We (...) является рекурсивно перечислимым отношением
от аргументов 31, а, е по А1. Следовательно, по (8)
из § 7.4 существует такая рекурсивная функция L, что
^(а, е)(Ю-^е (•••)•
Тогда, если i==(0, е), то
А(...)-^£(а, e)W
L(a, е))№).
Следовательно, чтобы получить эквивалентность
^H(i, a) W **	(• • •) в этом слУчае, достаточно иметь
H(i, а) = (0, £(а, (i)i)>, если (г)о = 0.	(2)
7.9. ГИПЕРАРИФМЕТИЧЕСКИЕ ОТНОШЕНИЯ
265
Пусть теперь i == (1, е). Тогда, используя индуктивное
предположение, мы получаем
Л(...)~-|Л(...)
** 1 JН (е, л) ('О
* х ^(1, Н(е, л)> W-
Следовательно, в этом случае достаточно иметь
Н (I, д) = (1, Н ((i)i, а)), если (i)0 = 1.	(3)
Теперь пусть i = (2, е). Тогда, пользуясь индуктивным
предположением, мы получаем
Л(...)~Зх(№е(х)&Л (..))
~Bx(We(x)&JH^ л) (Ю)
**3«/(3х(№е(х)&77 (х, а) = у)& 7У(21)).
Пусть /г —некоторый индекс функции Н. Тогда из ска-
занного выше следует, что
J (...)<- 3// (Зх (We (х) & {h} (х,а)=у) & Jtj (20).
Далее, Зх (We (х) & {Л} (х, а) = у) является рекурсивно пере-
числимым предикатом от аргументов у, е, h, а. Следова-
тельно, по Н1 существует такая рекурсивная функция
К (не зависящая от Н и h), что
•М—)** JK(e, h, л) $).
Таким образом, в этом случае достаточно получить
Н (I, ci)=K((i)1, h, а), если (i)0 > 1.	(4)
Остается определить такую рекурсивную функцию Н
с индексом h, что (2), (3) и (4) выполняются. По тео-
реме о рекурсии мы можем так определить рекурсивную
частичную функцию Н с индексом h, что (2), (3) и (4)
выполняются, если — заменено на Далее, вследствие
(8) из § 6.4 мы имеем в (3) (i)j < i. Пользуясь этим,
легко доказать индукцией по i, что Н (I, а) определена
Для всех i и а. Это завершает доказательство.
НЗ. Существует такая рекурсивная функция F, что
есть 1 Jt для всех 77-индексов i. Существует такая
рекурсивная функция G, что Jett,}) есть J,VJ] Для всех
^-индексов i и /. Существуют аналогичные функции
для & и
266
ГЛ. 7. ТЕОРИЯ РЕКУРСИИ
Доказательство. Мы можем положить F (i) = (1, i).
Далее,
(JiV Jj) W ~ Зх ((x = z\/x = /) & Jx («)).
Отсюда и no Hl мы получаем G. Остальные функции
получаются, если воспользоваться определениями &
и *-» в терминах 1 и V- Например, функция Н для —>
определена следующим образом: Н (i, j) = G (F (i), /).
H4. Существуют такие рекурсивные функции Н и К,
что
/я (О (Ю ** 3xJz (И, х),
^(о(Л)<-УхЛ(Л, х)
для каждого Я-индекса I.
Доказательство. По Н2 существует такая рекур-
сивная функция G, что 7g (£ ,х) (Л)	(Л, х). Тогда
Эх(Л, х) ++ SxJG ц. х) (Л)
++ 3z/(3x(//=G (i, х))& (Л)).
Затем нужную функцию Н мы получим по Н1. Чтобы
получить К, положим K(i) = F(H (F(i)))> где F — такая же,
как и в НЗ.
Н5. Каждое арифметическое отношение является гипер-
арифметическим.
Доказательство. Индукцией по п мы покажем,
что каждое отношение рода или Щ является гипер-
арифметическим. Любое отношение рода 2“ является рекур-
сивно перечислимым и, следовательно, гиперарифметичес-
ким, поэтому любое отношение рода П® является гипер-
арифметическим по НЗ. Шаг от п к п+1 следует из Н4.
Замечание. Обращение Н5 ложно; см. задачу 22.
Так как определение гиперарифметичности использует
RE-индексы, то мы не можем для произвольного множества \
Ф получить релятивизованный вариант этого определения,
поэтому мы сначала рассмотрим конечную последователь- '
ность Ф. Мы определим Н-индекс по Ф и J9 для 7У-индек-
са i по Ф так же, как и прежде, за исключением того,
что We заменено на W7®. Мы говорим, что Р является >
гиперарифметическим в Ф, если существует такое i, что
Р есть тогда всякое такое i называется Н-индексом :
отношения Р по Ф. Затем мы можем релятивизовать :
Н1-Н5.
7.10. ТЕОРЕМА ХАРАКТЕРИЗАЦИИ
267
Пусть теперь Ф является некоторым классом всюду
определенных функций и отношений. Мы говорим, что Р
является гиперарифметическим в Ф, если оно является
гиперарифметическим в некоторой конечной последователь-
ности элементов из Ф. Отношение называется борелевским,
если оно является гиперарифметическим в классе всех
функций.
7.10. Теорема характеризации
Теперь мы можем перейти к характеризации отноше-
ний рода Д},
•Пусть J (i, 21) означает, что i есть //-индекс и что
имеет место (81). (Мы опускаем верхние индексы.) Мы
хотим получить явное определение для J.
Пусть Q (21, а, Р, е) — конъюнкция утверждений
а«°.е» = 0»
Р «0, е» = 0~ We (ЭХ),
а (е) = 0 -> а ((1, е)) = 0,
а«1,е» = 0 + (Р«1,е» = 0~Р(е)#0),
Vx (We (х) -> а (х) = 0) а ((2, е)) = 0,
а «2, е» = 0 (Р «2, е)) = 0 ~ Зх (We (х) &Р (х) = 0)).
Покажем, что
J (/, ’Л) VaVP (Ve(? (Л, а, р, е) ->
->a(i) —0 & Р (/) = 0).	(1)
Предположим, что имеет место J (i, 8J). Пусть а и р та-
ковы, что выполняется VeQ (Л, а, р, е). Пользуясь индук-
цией по //-индексам, мы получим, что а(/) = 0 и р (/) = 0 ++
Jj (Л) для каждого //-индекса /. Полагая j = i, мы убеж-
даемся, что a(Z) = P(i) = O. Теперь предположим, что
правая часть (1) истинна. Пусть а—представляющая функ-
ция множества //-индексов, и пусть р — представляющая
Функция множества таких //-индексов /, что справедливо
У/(Л). Очевидно, что Q (Л, а, р, е) для всех е; следова-
тельно, по предположению a(t) = P (f) = 0. Вследствие этого
имеем J (I, Л).
Так как отношение Q — арифметическое, то вследствие
(1) J —отношение рода П}. Если i есть //-индекс, то
Ji (Л) <-* J (/, Л) для всех Л и, следовательно, —отно-
268
ГЛ, 7. ТЕОРИЯ РЕКУРСИИ
шение рода ГЦ. Таким образом, каждое гиперарифмети-
ческое отношение имеет род ГЦ. Если отношение Р — ги-
перарифметическое, то и отношение Ц Р — гиперарифмети-
ческое, поэтому Р и Ц Р оба имеют род ГЦ. Отсюда
получается
Лемма 1. Каждое гиперарифметическое отношение
имеет род Д{.
Номер последовательности ...........ап) называется рас-
ширением номера последовательности	если
п^т и ai = bi при Z=1.......т. Если к тому же п^>т,
то мы говорим, что (ai,..., ап) — собственное расширение
(Ьъ ...,Ьт). Мы будем писать a<Z*b, если а — собственное
расширение Ь.
Очевидно,
a<*b-+b<* с-+а<*с.
(2)
Предикат <* рекурсивен, так как он имеет явное опре-
деление
а<* b <^Seq (a) &3xx<ih(Q) (Ь = 1п (а, х)).
Последовательностью, убывающей относительно <*,
называется такая бесконечная последовательность a0,ai,...,
что	ал для любого п. Множество А, состоящее
из номеров последовательностей, называется деревом, если
не существует последовательности, убывающей относи-
тельно <*, все члены которой содержатся в А. Ясно,
что каждое подмножество дерева является деревом.
Обозначим через SS класс представляющих функций
множеств, состоящих из номеров последовательностей,
а через Тг —класс представляющих функций деревьев.
Оба они являются (1,0)-арными отношениями. Мы имеем
явные определения
SS (а) Vx (а (х)	1) &Vx (а (х) = 0 -> Seq (х)),
Тг (а) ++ SS (а) & 1 ЗР Vx (а (р (х)) = 0 &р (х + 1) <* р (х)).
Вследствие этого SS имеет род ГЦ, а Тг—род ГЦ.
Теорема о дереве. Если Р — отношение рода ГЦ,
то существует такой рекурсивный функционал F, что для
всех VI имеем SS (XxF (Л, х)) и
Р (Л) ++ Тг (cxF (Л, х)).
7.10. ТЕОРЕМА ХАРАКТЕРИЗАЦИИ
269
Доказательство. Вследствие (2) из § 7.8 суще-
ствует такое рекурсивное отношение R, что
Р (Л) ++ VaBxR (а (х), Л).	(3)
Пусть U (’Л) — множество номеров последовательностей
(х0...хл-1) таких, что
“I R ((х0.Л) для всех i s^n.
Мы утверждаем, что
3aVx П R (сс (х), Л) <=> U (Л) не является деревом. (4)
Предположим, что верна левая часть, и выберем такое а,
что ~\R(a.(x),^) для всех х. Тогда a(0), а(1), ... — убы-
вающая последовательность из U (Л). Предположим теперь,
что а0, fy, ... — убывающая последовательность из U (Л).
По определению < * существует такая функция а, что
каждая а (х) имеет в качестве доопределения некоторое ah
Так как принадлежит U (Л), то мы имеем ЧАДсЦх), Л).
Если в (4) мы перенесем знак отрицания вперед при
помощи пренексных операций, возьмем отрицание обеих
частей и воспользуемся (3), то получим
Р (Л) о U (Л) является деревом.
Поэтому достаточно выбрать такой рекурсивный функ-
ционал F, что Хх/ДЛ, х) — представляющая функция U (Л).
Такой функционал определяется следующим образом:
F х) = ( °’ еСЛИ Seq & V‘£ <lh« П R (In
' ’ ' | 1 в остальных случаях.
Если А~ множество номеров последовательностей и а
принадлежит А, то А[а] — множество таких b из А, что
b < * а. Вследствие (2)
Ь е Л[а]-> Л[а][*] = Л[б].	(5)
Мы также определим
( а(Ь), если Ь<*а&а(а) —О,
аГа] №) = {	,
1 J (	1 в остальных случаях.
Тогда если a — представляющая функция множества А и
а принадлежит А, то a[a] — представляющая функция мно-
жества Л[а]. Заметим, что a[a] есть KxF (а, а. х) для неко-
270
ГЛ. 7. ТЕОРИЯ РЕКУРСИИ
торого рекурсивного функционала F и поэтому может
использоваться в явных определениях рекурсивных частич-
ных функционалов и отношений.
Далее мы будем предполагать, что читатель знаком
с элементарными свойствами ординалов. (Весь необходи-
мый материал можно найти в главе 9.) Для обозначения
ординалов мы используем буквы о, т и р.
Для каждого ординала о мы при помощи трансфинит-
ной индукции по о определим класс ТО (о) множеств
номеров последовательностей. Множество номеров после-
довательностей А принадлежит ТО (о), если Л[а] принад-
лежит ТО(т) для некоторого т<о и для каждого а из А.
Ясно, что
о-Ст—>-ТО(о) сг ТО(т).	(6)
Теперь мы покажем, что множество принадлежит неко-
торому ТО (о) тогда и только тогда, когда оно является
деревом. Докажем сначала при помощи траисфииитиой
индукции по о, что каждое множество из ТО (о) является
деревом. Предположим, что некоторое множество А из
ТО (о) имеет убывающую последовательность а0, alt ...
Тогда Д[а0] принадлежит ТО(т) для некоторого т<о и
вследствие (2) alt аг, ... — убывающая последовательность
из Л[а„]. Это противоречит индуктивному предположению.
Теперь предположим, что А не принадлежит ни одному
ТО (о). Мы покажем, что А — не дерево, определив индук-
тивно такую убывающую последовательность а0, аъ...
из А, что каждое Лр ] не принадлежит ни одному ТО (о).
Предположим, что а{ выбрано при i<Zn. Пусть В = А,
если п = 0, и пусть B = A[Ofl j в противном случае. Вслед-
ствие (5) достаточно так выбрать ап из В, что Вр ] не
принадлежит ни одному ТО (о). Если это невозможно, то
для каждого а из В существует такое оа, что В[а] <= ТО (оа).
Выбирая о больше любого из оа, мы получим, что В е ТО (о);
это противоречит тому, что В не принадлежит ни одному
ТО (о).
Если А — дерево, то наименьший ординал о такой, что
А е ТО (ок называется ординалом дерева А и обозначается
через ||Л||. Запись [| А || -С о означает, что Л—дерево и
|| Л [| о, аналогично используется запись || Л ||<о. Тогда
ЛЕТО(а)о|Л|<а.	(7)
7.10. ТЕОРЕМА ХАРАКТЕРИЗАЦИИ
271
То, что из левой части следует правая, очевидно. Если
Л—дерево, то А е ТО (|| А ||); поэтому если ||Л||<ст, то
Л i= ТО (ст) вследствие (6). Из (7) и из определения ТО
мы получаем
|Л||<ст~Ух(Л(х)-ЯЛм||<ст)	(8)
для каждого множества А номеров последовательностей.
Отсюда следует, что если Л — дерево, то
Л(х)-»|Иы1КМ1-	(9)
Мы также имеем обратное к (9): если Л—дерево, то
ст<1| Л ||->Зх(Л (х)&ст = || Лм||).	(10)
Мы докажем это трансфинитной индукцией по || Л ]|. Если
ст <|| Л |1, то вследствие (8) существует такое х, принадле-
жащее Л, что ст<|| Л[х]||- Если ст = || Л[х] ||, то всё доказано.
В противном случае ст < || Л[Х] II < IIЛ || вследствие (9), поэтому
по - индуктивному предположению и вследствие (5) суще-
ствует такое у, принадлежащее Л[Х], что ст==|| А[Х] [&] ||=|| Л^] ||.
Пусть Л и В —множества номеров последовательностей.
Отображение F множества Л в В является монотонным,
если для любых а и а' из А
а<* a’~+F(a)<* F(a').
Лемма 2. Пусть А—множество номеров последова-
тельностей, а В — дерево. Тогда || Л ||<||В || тогда и только
тогда, когда существует монотонное отображение А в В.
Доказательство. Мы воспользуемся трансфинит-
ной индукцией по ||В||. Предположим, что F — монотонное
отображение Л в В. Если а принадлежит множеству А,
то некоторое ограничение отображения F является моно-
тонным отображением Л[а] в B[F(Q)], поэтому ||Л[а]||<
i 5[F(a>]|| вследствие (9) и индуктивного предположения.
Отсюда, а также из (9) и (8) мы получаем || Л || <||В ||.
Теперь предположим, что |Л 1| < |В|. Фиксируя а из А,
мы вследствие (9) имеем || Л [а] < ,| Л | < | В ||. Вследствие (10)
Для некоторого Ъ из В справедливо || л4[в] |] = || В[&]'L Вслед-
ствие (9) и индуктивного предположения существует моно-
тонное отображение Fa множества Л[а] в В[Ь], а потому
11 в В. Если мы положим Fa(a) = b, то Fa будет моно-
тонным отображением Аа в В, где Ла — множество рас-
ширений а, принадлежащих Л.
272
ГЛ. 7. ТЕОРИЯ РЕКУРСИИ
Элемент из А называется максимальным, если он не
является собственным расширением никакого элемента
из А. Очевидно, каждый элемент из Л принадлежит Аа
для единственного максимального элемента а из А. Следо-
вательно, существует такое отображение F множества А
в В, что для каждого максимального элемента а ограни-
чение F на Аа есть Fa. Если а и а' —различные макси-
мальные элементы, то никакой элемент из Аа не может
быть расширением элемента из Аа>. Отсюда следует, что
F монотонно.
Если а — представляющая функция дерева А, то вместо
|Л| мы пишем |а||. Мы-пишем |’а'|^а или || а || < о, под-
разумевая, что а — представляющая функция дерева.
Следствие. Существуют такие отношения и
рода 2}, что если Тг (|3), то
р)<> а'-< Р|
и
Г<(а, Р)«|'«||<[?[.
Доказательство. Согласно лемме мы можем поло-
жить
7< (а, р) ++ SS (а) & Зу (Vx (а (х) = 0	0 (у (х)) = 0)
& VxV у (а (х) = 0->а(г/)=--0->х< *г/->у(х)< *у(г/))).
Вследствие (10) мы можем положить
?<(«, Р)^Зх(р(х) = 0&7’<(а, Рм)).
Оба отношения имеют род 2} вследствие Yl—Y6.
Ординал о называется рекурсивным, если ст—|'j4 || для
некоторого рекурсивного дерева А. Каждый ординал,
меньший некоторого рекурсивного ординала, рекурсивен.
Действительно, пусть т<о = ||Д||, где А — рекурсивное
дерево. Вследствие (10) т = |' Aw || для некоторого а из А.
Однако Л[а] — рекурсивное дерево, так как
А[а] (х) <-> А (х) &х < * а.
Первый нерекурсивный ординал обозначается через k.
Согласно только что доказанному утверждению ординал ре-
курсивен тогда и только тогда, когда он меньше k.
Замечание. Мы имеем es<zk. Чтобы это доказать,
обозначим через А множество всех таких (а1г ..., ап},
7.10. ТЕОРЕМА ХАРАКТЕРИЗАЦИИ
273
что ^>а2 > • • • Легко заметить, что Л—дерево,
и оно рекурсивно, потому что
А (а) ++ Seq (а) & VC < lh (о) Vj7- < , ((а),. < (а)Д.
Фиксируя п, положим а< = (п, п — 1, ..., г) для i^n.
Тогда at принадлежит А и
/7 «г" * л е'' *	* л
ао \ «1	... <ц ап.
Вследствие (9) и (5)
Отсюда следует, что п < || А 1|. Так как это верно при
всех п, то отсюда следует, что ю=~Д|| Л |< х.
Для каждого о мы определяем
Тга (а) ++ ] а || < о,
Тгд(а) <^ || а || < о.
Вследствие (8)
Тга (а) ++ SS(a) & Vx (а (х) = 0->Тга (ам)).
Отсюда и из Hl — Н5 следует, что существует такая рекур-
сивная функция L, что если ТГд есть Jh то Тга есть
Лемма 3. Если о рекурсивен, то отношения Тга и
Тгд гиперарифметические.
Доказательство. Из только что доказанного утвер-
ждения следует, что нам достаточно рассмотреть лить Тга.
Пусть Л—такое рекурсивное дерево, что о = ||Л |, и пусть
для х из Л ординал ох~'|Л|>]|'. Вследствие (9) и (10)
Тг; (а) Зх (Л (х) & ТrOjt (а)).
Мы покажем, что существует такая рекурсивная функ-
ция F, что для каждого х из Л отношение Тгад. есть JF(X>.
Отсюда будет следовать, что
ТГд (а) ++ Зх (Л (х) & JF (Jt) (а))
Зу (Зх (Л (х) & F (х) = у) & Jи (а)).
Поэтому отношение Тга гиперарифметическое по Н1.
Сначала трансфинитной индукцией по вх мы докажем,
что ТГах есть замечая, какие свойства F необхо-
димы, а затем мы определим F с этими свойствами. Вслед-
ствие (9), (10) и (5) ординалами, меньшими ох, являются
°у для у из А и y<Z*x. Следовательно,
ТГох (а) ++Зу(А (у) & у <* x&JF (е) (а))
274
ГЛ. 7. ТЕОРИЯ РЕКУРСИИ
по индуктивному предположению. Если / — индекс функ-
ции F, то мы можем записать
Тг^ (а) ++ Зг {Зу (Д (у) & г/ < * х & {f} {y)^z)&J, (а)).
По Н1 отсюда следует, что существует такая рекурсивная
функция М (не зависящая от F и /), что
Тг^(а) ++ JM[f. х) (а)-
Если L та же, что и раньше, то
ТгОл. (а) J/, (м (f, х)) (а)-
Следовательно, чтобы заключить, что ТгОд. есть доста-
точно иметь F{x)=L{M{f, х)). Теперь, пользуясь теоре-
мой о рекурсии, мы можем определить такую рекурсивную
частичную функцию F с индексом f, что
F (х) ~ L {М {f, х))
для всех х. Так как функции L и М — всюду определен-
ные, то функция F также всюду определена и F (х) =
= W, *))•
Теорема ограниченности. Если Р —подкласс
рода 2{ класса Тг, то существует такой рекурсивный
ординал о, что Р — подмножество множества Тга.
Доказательство. Мы предположим, что такого о
не существует, и докажем, что каждый унарный преди-
кат Q рода П{ имеет род 2}; это будет противоречить
теореме об аналитической иерархии. По теореме о дереве
существует такая рекурсивная функция F, что
Q (а) «-> Тг (ХхЕ {а, х)).	(И)
Мы покажем, что
Q {а) ++ За{Р (а) & {"kxF{a, х), а)),
отсюда будет следовать, что Q —предикат рода 2}.
Предположим, что имеет место Q{a). Тогда вследствие
(-11) получаем Тг(ХхЕ(а, х)). Пусть a=||XxF(a, х)||. Так
как F рекурсивна, то ординал о рекурсивен, поэтому в Р
существует такая а, что “|Тга(а). Тогда мы имеем Тг(а)
и о^||а||, поэтому T^{hxF{a, х), а). Теперь предположим,
что в Р существует такая а, что 7’<(ХхЕ(а, х), а). Тогда
Тг(а) и, следовательно, Тг(ХхЕ(а, х)). Следовательно, по
(11) выполняется Q{a).
Пусть Р, Q и R — {т, п)-арные отношения. Мы гово-
рим, что Р и Q не пересекаются, если "| (Р(21) &Q ('?()) для
7.10. ТЕОРЕМА ХАРАКТЕРИЗАЦИИ	275
всех Л. Мы говорим, что /? отделяет Р от Q, если
Р (Л) ->/? ('Л) для всех Л и R и Q не пересекаются; оче-
видно, отсюда следует, что Р и Q не пересекаются.
Теорема отделимости (Лузин — Аддисон). Если
Р и Q — непересекающиеся отношения рода то суще-
ствует гиперарифметическое отношение R, отделяющее Р
от Q.
Доказательство. По теореме о дереве существует
такой рекурсивный функционал F, что
“I Q (Л) ++ Тг(ХхЕ (Л, х)).
Пусть S —класс всех ХхГ(Л, х), где Л таково, что Р(Л).
Так как Р и Q не пересекаются, то 5 — подмножество
множества Тг. Так как
S (а) ** ЗЛ (Р (Л) & Vx (а (х) = F (Л, х))),
то S имеет род £}. По теореме ограниченности отсюда
следует, что существует такой рекурсивный ординал о,
что S является подклассом класса Тга. Мы определим R
следующим образом:
R (Л) ++ Тга (ХхР (Л, х)).
Так как класс Тга —гиперарифметический по лемме 3,
то отношение R — гиперарифметическое. Если Р (Л), то
ХхГ(Л, х) принадлежит S и, следовательно, классу Тга,
поэтому /?(Л). Если ф(Л), то ХхЕ(Л, х) не принадлежит
множеству Тг и, следовательно, не принадлежит классу Тга,
поэтому П R (Л). Таким образом, R отделяет Р от Q.
Теорема характеризации (Суслин — Клини).
Отношение имеет род А{ тогда и только тогда, когда
оно гиперарифметическое.
Доказательство. Если отношение Р — гиперариф-
метическое, то оно имеет род А} по лемме 1. Если Р — отно-
шение рода Д{, то Р и “| Р — непересекающиеся множества
рода 2{. По теореме отделимости существует гиперариф-
метическое отношение R, отделяющее Р от "| Р. Отсюда
следует, что R = P, поэтому Р — гиперарифметическое
отношение.
Для любой конечной последовательности Ф мы можем
релятивизовать все рассуждения этого параграфа. Из реля-
тивизованной теоремы характеризации и леммы о конеч-
ности следует, что отношение имеет род А{ тогда и только
тогда, когда оно борелевское.
276
ГЛ. 7. ТЕОРИЯ РЕКУРСИИ
Получив такой аналог теоремы об отрицании, соблаз-
нительно предположить истинность следующего аналога
теоремы Поста: предикат имеет род Д^ц тогда и только
тогда, когда он является гиперарифметическим в классе
предикатов рода Щ. Однако это неверно; предикаты, гипер-
арифметические в классе предикатов рода Щ, образуют
собственный подкласс класса предикатов рода Д^и (за-
дача 18). Известны некоторые полезные характеристики
предикатов рода Д;] (см. задачу 27), однако при п >-2
подобные характеристики предикатов рода Д„ неизвестны.
7.11. Теоремы о базисе
Функция имеет род	Д^), если ее график имеет
род 2^(]Т, AjJ (где 1 = 1 или i = 0). Далее, для любой
всюду определенной функции F имеем
йНу(а, х)).
Следовательно, если F — функция рода 2„, то ~|®г имеет
род 2'„ и потому F — функция рода Д„, тогда как если
F — функция рода 2„ или Щ, то “j ®/- имеет род 2„ или
Щ соответственно и F — функция рода Д„. По этой при-
чине мы будем рассматривать только функции рода Д‘„.
Функция F имеет род Д, тогда и только тогда, когда
S/.- рекурсивен (по теореме об отрицании), и, следовательно,
тогда и только тогда, когда F рекурсивна. Функция F
имеет род Д{ тогда и только тогда, когда гиперариф-
метический (по теореме характеризации); в этом случае
мы говорим, что функция F — гиперарифметическая.
Нас интересует следующая проблема. Предположим,
что Р — некоторый класс унарных функций, т. е. некото-
рое (1,0)-арное отношение. Предположим, что нам что-
нибудь известно о классификации Р в одной из иерархий.
Что можно сказать о классификации функций из Р? Мы
не можем надеяться узнать что-либо о всех функциях
из Р; например, если Р —множество всех функций, то Р
рекурсивно, однако некоторые элементы из Р не имеют
классификации. Самое большее, что мы можем надеяться
доказать, — это что если Р имеет простую классификацию,
то некоторый элемент класса Р имеет простую класси-
фикацию.
7.11, ТЕОРЕМЫ О БАЗИСЕ
277
В соответствии с этим мы приходим ’к следующему
определению. Класс В унарных функций *) называется
базисом совокупности Ф классов унарных функций, если
для каждого Р из Ф
ЗаР (а) -> За (В (а) & Р (а)).
Пример. Класс функций, равных пулю везде, кроме
конечного числа значений аргумента, является базисом
совокупности функциональных классов рода 2, *). Действи-
тельно, предположим, что Р есть непустой класс рода 2®.
Имеем Р (а) BxR (а (х)) для некоторого Р. Так как класс
Р — непустой, то существует такой номер последователь-
ности s, что P(s). Полагая a(x) = (s)x при x<lhs и
а(х) = 0 при xJSs lh (s), мы получаем, что а принадлежит Р.
Отметим, что если В является базисом совокупности
функциональных классов рода IIJ, то класс функций (у)0,
где у принадлежит В, является базисом совокупности
функциональных классов рода 2}. Действительно, пусть
класс Р имеет род 2{ и непуст. Тогда Р (a) ++ 3|3Q (а, |3),
где Q имеет род П?. Определим отношение R рода П?
следующим образом: Р (у) ++ Q ((у)0, (y)i). Так как класс Р
непуст, то Q непуст, поэтому непустым является R. Таким
образом, R содержит функцию у из В, а (у)0 является
функцией из Р. Аналогичным способом мы убеждаемся,
что если В является базисом совокупности функциональ-
ных классов рода Щ, то класс функций (у)0, где у при-
надлежит В, является базисом совокупности функциональ-
ных классов рода 2^.
Для произвольного класса функций Р через 1Р мы
обозначим множество всех чисел а (х), где а принадлежит Р,
а х произвольно. Оно имеет явное определение
/P(a)«->3a(P(a)&a(lh(a))=a).	(1)
Лемма. Если Р —непустой функциональный класс
рода П“, то Р содержит функцию, рекурсивную в 1Р.
Доказательство. Определим F индуктивно сле-
дующим образом:
F (л) ~ рг/p {F (л) * (z>).
*) Термины «класс функций» и «функциональный класс» упо-
требляются как синонимы ради удобства. — Прим. ред.
278
ГЛ. 7, ТЕОРИЯ РЕКУРСИИ
По R14F рекурсивна в 1Р. Индукцией по п мы покажем,.,
что F (я) определено и принадлежит 1Р. Так как Р непуст,
то F(0)={ ) принадлежит 1Р. Теперь предположим, что:
F (п) определено и принадлежит 1Р. Тогда F (я) = а (я).
для некоторого а из Р. Так как
IР (а (п + 1)) и а (п + 1) = а (п) * (а, (я)),
то F (я) определено и IP (F (п) * (F (я))). Следовательно,
F (п -|- 1) определено и принадлежит 1Р.
Остается показать, что F принадлежит Р. Для неко-
торого предиката R мы имеем Р (а) ++ VxR (а (х)). Оче-
видно, _1Р является подмножеством множества R, поэтому.
VxR(F(x)) и, следовательно, F принадлежит Р.
Теорема Клини о базисе. Класс функций, рекур-.
сивных в классе всех предикатов рода 2{, является базисом'
совокупности функциональных классов рода П, и, следова-
тельно, совокупности функциональных классов рода 2J.
Класс гиперарифметических функций не является базисом
совокупности функциональных классов рода П?.
Доказательство. Если Р имеет род П?, то вслед-
ствие (1) /Р имеет род 2}, поэтому первое утверждение-’
следует из леммы. Чтобы доказать второе утверждение,^
достаточно показать, что класс Н всех гиперарифмети-
ческих функций не является базисом совокупности функ-
циональных классов рода 2}. Так как “| Н непуст и н ’
содержит элементов из Н, то достаточно показать, что;
“| Н имеет род 2}, или, что равносильно, что Н имеет;
род П]. Для этого мы воспользуемся явным определением’
/7 (a)^-HiVxVz/((a(x)==z/-> J (/, х, //))&
& (а (х)	«1, i), х, г/))). (2)
(Отметим, что из правой части следует, что I являете
//-индексом, потому что она означает, что J (i, х, у) дл
некоторых х и у.)
Мы также можем применить наши соображения к клас
сам множеств. Чтобы не вводить новую терминологию^
мы вместо этих классов рассматриваем классы представ-
ляющих функций множеств, т. е. унарных функций, зна
чениями которых являются только 0 и 1. В качеств
переменных, изменяющихся на множестве таких функций ;
мы используем строчные греческие буквы со звездочкой
7.11. ТЕОРЕМЫ О БАЗИСЕ
279
Лемма бесконечности (Брауэр — Кёниг). Для
любого предиката Р
3a*VxP (a* (х)) ++ Vn3a*Vxx^„P (a* (х)).
Доказательство. Очевидно, что из левой части
вытекает правая. Предположим, что правая часть истинна.
Пусть А — такое множество номеров последовательностей
(а0, ..., ап), что й;^1и Р «Оо, .... а()) для всех i^n.
Индукцией по х мы так определим а* (х), что а* (х) для
всех х имеет бесконечно много расширений в А; отсюда
следует, что VxP(a*(x)). Из правой части эквивалентно-
сти следует, что а*(0) = ( ) имеет бесконечно много рас-
ширений в А. Теперь предположим, что а* (х) определено
и имеет бесконечно много расширений в А. Каждое соб-
ственное расширение а* (х) в А есть расширение либо
а*(х)*(0), либо а*(х)*(1). Отсюда следует, что при
подходящем выборе а* (х)
а* (х+ 1) = а* (х) * (а (х))
имеет бесконечно много расширений в А.
Следствие. Если Р имеет род IIJ, a Q определено
следующим образом'.
Q(31)~3a*P(3(, а*),
то Q имеет род П".
Доказательство. Мы имеем P(3I, a) Vx/? (а (х),
'Л), где R рекурсивно. Отсюда по лемме получаем
Q (31) ++ Vn3a*Vxx<n/? (а* (х), 31).
Поэтому достаточно доказать, что часть, следующая за
Vn, является рекурсивным отношением от 31, п.
Определим рекурсивную функцию F следующим образом:
П0) = < >,
F(n+ l) = nzV//^F(n) (У* (0>^z&z/* <l>^z).
Тогда если ai 1 при i < п, то мы имеем (а0, ..., ап-^)
^F(n). Поэтому
3a*Vxx^„/?(a* (х), 31) — (Seq (s) & lh (s) =
= n&Vif<„((s)^l)&V/f<„/?(In(s, 0, 31)).
Это дает нужный результат.
280
ГЛ. 7. ТЕОРИЯ РЕКУРСИИ
Теорема Крайзеля о базисе. Класс функций
рода АЗ является базисом совокупности классов рода П}
представляющих функций.
Доказательство. Пусть Р — непустой класс рода
П1 представляющих функций. Из (1) и из следствия
к лемме бесконечности вытекает, что 1Р имеет род П“. ;
По лемме и по теореме Поста Р содержит функцию рода А’. ;
Если Р — класс, единственным элементом которого
является унарная функция F, то мы говорим, что Р
неявно определяет F. Тогда F имеет род тогда и только
тогда, когда Р имеет род Л1п. Действительно, предполо-
жим, что Р имеет род А„ и, следовательно, 2'п. Так как
в/.- (а, Ь) ++ За(Р(а) &а(а) = 6)
<» Va (Р (а) -> а (а) = Ь),
то F имеет род Л1п. Теперь предположим, что F имеет
род А„. Тогда ©г и “|в/- имеют род Так как
Р(а)*+ \/х\/у(а(х) — y<+®F(x, у))
++ Vx\fу Ца, (х)=--у& ®F(x, у)) V (а	-f- у & 1 &F(x, у))),-
то Р имеет род А^.
Отсюда следует, что для того, чтобы доказать, что-
функциональный класс рода является базисом сово-
купности Ф, достаточно доказать, что каждый непустой
класс из Ф содержит функцию, неявно определенную
классом рода AJ,, или, что эквивалентно, что в каждом
непустом классе из Ф имеется подкласс рода AJ,, содер-
жащий в точности одну функцию. Мы воспользуемся этим,
методом, чтобы показать, что функциональный класс рода.
Aj является базисом совокупности функциональных клас-
сов рода П}.
Теорема униформизации (Новиков — Кондо —.
Аддисон). Если Р — отношение рода П}, то существует
такое отношение Q рода П}, что для всех 'X, а и 0
(a)	Q(a, ЭД)->/>, 21),
(б)	Q(a, ЭД)&<Ж ЭД)—а = ₽,
(в)	ЗаР(а, ЭД)->За<2(а, ЭД).
Доказательство. Так как ЭД остается фиксиро
ванным, то для простоты обозначений мы будем его опу.
скать. По теореме о дереве существует такой рекурсивны
функционал F, что Р (a) Тг (ZxF (а, х)). Мы буде
писать Fa вместо ZxF(a, х) и Fa<rt вместо
7.11. ТЕОРЕМЫ О БАЗИСЕ
281
Если отношение Р пусто, то Q мы возьмем также
пустым. Теперь предположим, что Р непусто. Индукцией
по п мы определим для каждого п непустой подкласс Рп
из Р. Пусть о —наименьший из ординалов ||Га|], где а
принадлежит Р, и пусть Ро — класс таких а из Р, что
|'Ёа||=а. Теперь предположим, что Рп уже определен.
Пусть «„ — наименьшее из чисел а (п), где а принадлежит
Рп, и пусть сг„ — наименьший из ординалов .где а
принадлежит Рп и a(n) = s„. Тогда в качестве Р„+1 мы
возьмем множество таких а из Pnt что a(«) = s„ и
Иа,л||=огл- В таком случае мы имеем
а <= Рп & а (ц) -С s„ & || Fa< „ || -С а„ а е= Рп+1.	(3)
Возьмем в качестве Q пересечение всех Рп. Свойство
(а) очевидно. Если а принадлежит Q, то a(n) = sn для
всех п, это доказывает (б). Чтобы доказать (в), нам надо
показать, что Q непусто. Выбирая а в Р„+2, мы получаем,
что аеР„ч1, поэтому а (ц-j-1) = Sn+i и a(«) = s„. Следо-
вательно s„+1 является расширением s„. Так как к тому
же lh(s„) = ft, то существует единственная функция у
такая, что y(n) = sn для всех п. Покажем, что у принад-
лежит Q.
Сначала мы покажем, что
FY(m) = FY(«) = 0&m<*7z-^ffm<a„.	(4)
Так как функционал F рекурсивен, то мы имеем F (а, а) ~
а, Ь). Отсюда и из того, что FY(m) =
= Еу(ц) = 0, мы видим, что существует такое число
что если a(k)~y (k), то Fa (m) = Fa (дг) = О. Мы можем
также предполагать, что k>m, k>n. Выберем а в Pk+i-
Тогда a(k) = sk = y (k), поэтому Fa (m) = Fa (n) = 0. Отсюда
и ИЗ т<*п мы получаем ||Fa,m ||=-[| (Fa,„)[OT]||-< ||Fa,„ ||.
Так как а принадлежит Рт+1 и Р„+1, то это неравенство
превращается в	Аналогичное (однако несколько
более простое) доказательство показывает, что
FY(«) = 0->or„<ff.	(5)
Далее, мы покажем, что у принадлежит Р. В против-
ном случае существовала бы такая убывающая последо-
вательность т0, т1г ..., что FY(m() = 0 для всех /.Тогда
вследствие (4) ато > crmi >..., что невозможно.
282
ГЛ. 7. ТЕОРИЯ РЕКУРСИИ
Теперь трансфинитной индукцией по стя мы докажем,
что .
Fy(n) = Q->\\Fy<n\\^on.	(6):
Если Fy>n (т) = 0, то Fy (т) = 0 и т < *л, поэтому от < о„
вследствие (4). Следовательно, по индуктивному предпо- •
лбжению
II (Fy, п)[т] II= J Fy, т II	От <Z.On.	;
Вследствие (8) из § 7.10 отсюда вытекает, что Ц Fy> п | «С оя.
Вследствие (5) и (6) ||EY ||^о, поэтому у принадлежит’
Ро. Если у принадлежит Рп, то из (3) и (6) следует, что 
у принадлежит Pn+i. Таким образом, по индукции у при- “
надлежит всем Рп и, следовательно, Q.	|
Остается показать, что Q —отношение рода Щ. Вслед- -
ствие (3) мы имеем
Лг(0) —[|Ер[|<о& Vmm<„(0 (т) ^sm&lF^m^um).
Следовательно, если а принадлежит Рп, то
Рп (₽) ~	(Ер, Ей) & Утт< „ (₽ (т) ^а(т)& 74(Fp,m, Fa>m)),
Правую часть этой эквивалентности можно переписать
как R (а, 0, п), где R — отношение рода SJ. Тогда для
а из Рп
1 Рп+1 (а) 30 (Рп (0) & [0 (л) < а (л) V (Р (п) =
= а(л)&|Ер,„||<Иа,п||)])
-30 (R (а, 0, л) & [0 (л) < а(л)< (0 (л)=	.
= а (л) & 74 (Ер>„, Ей,„))])
— R' (а, л),
где R' — отношение рода SJ. Отсюда
Q(а) Ро (a) &Vn~\R' (а, л)
— Р (а) & V0 1 71< (Fp, Fa)&Vn~[R' (а, л).
Таким образом, Q — отношение рода П|. Если Р и Q
пусты, то мы можем использовать такое же определение
для Q.
Следствие 1. Класс функций рода	является
базисом для совокупности функциональных классов рода П}.
Следствие 2. Класс функций рода	является
базисом для совокупности функциональных классов рода Sj.
ЗАДАЧИ
283
Следующей задачей должна бы быть такая: найти базис
совокупности функциональных классов рода Щ. Однако
Леви показал, что при обычных аксиомах теории множеств
нельзя доказать, что класс функций, определимых в теории
множеств, является базисом этой совокупности. Так как
среди определимых функций содержатся, например, все
функции, рекурсивные в множестве аналитических пре-
дикатов, то мы видим, что эту проблему нельзя удовлет-
ворительно решить, не рассматривая новые аксиомы.
С другой стороны, Аддисон показал, что предположение
о том, что класс функций рода AJ является базисом
совокупности функциональных классов рода Щ, не про-
тиворечит имеющимся аксиомам.
Так как теперь мы, очевидно, далеко ушли от проб-
лемы разрешимости, которая вначале привела нас к рекур-
сивным функциям, то естественно спросить, чего мы
надеемся достичь при изучении иерархий? Одним из отве-
тов является такой: мы надеемся прояснить понятие мно-
жества. С этой точки зрения мы рассматриваем иерархии
как классификацию некоторых важных множеств в соот-
ветствии со сложностью их определения. Поэтому не
является неожиданным, что, как только что было указано,
многие из нерешенных проблем в теории иерархий связаны
с проблемами в аксиоматической теории множеств.
Задачи
1.	(а) Пусть F определена индуктивно следующим образом:
F(0, a) = G(a),
F(b + 1, a) = H(F(b, K(F(b,a), b, a)) b, a),
где G, H и К—рекурсивные функции. Показать, что F рекурсивна.
[Определить с помощью теоремы о рекурсии рекурсивную частичную
функцию F', удовлетворяющую равенствам, в которых = заменено на
, а затем доказать индукцией по Ь, что F' (b, a)^F {Ь, а).[
(б) Показать, что существует такая бинарная рекурсивная функ-
ция F, что для каждой л-арной примитивно рекурсивной функции G
существует такое число g, что f<g) = (G). [Сопоставить индекс g
каждой примитивно рекурсивной функции G. Положить F (a, g) =
== (6) (а), если g является индексом функции G, и F (а, g)=0, если
g не является индексом. Пользуясь методом из (а), показать, что F
рекурсивна.] Затем показать, что F не является примитивно рекур-
сивной. [Показать, что функция Н, определенная следующим образом:
л (а) = F (а, а)-|-1, не является примитивно рекурсивной.]
284
ГЛ. 7. ТЕОРИЯ РЕКУРСИИ
2.	(а) Показать, что область определения любого рекурсивного.
частичного функционала рекурсивно перечислима.
(б)	Пусть F — рекурсивный частичный функционал, а А—неко-
торое подмножество области определения функционала F. Пока-,
зать, что ограничение функционала F на А рекурсивно тогда и'
только тогда, когда А рекурсивно перечислимо. [Использовать (а)
и 7?12.]
(в)	Пусть Р — такой рекурсивный предикат, что УхР (х, а) не
является рекурсивно перечислимым предикатом от а. Пусть Н (х, а) ~
a), G(a, а) = 0, F (а) ~ G (КхН (а, х), а). Показать, что F
не рекурсивна. [Использовать (а)].
3.	Частичный функционал F называется селектором для отноше-
ния Р, если для любых 3£ таких, что ЗхР (х, 31), F (31) определено
и Р (F (31), 91).
(а)	Показать, что если отношение Р рекурсивно перечислимо, то
для Р существует рекурсивный селектор. [Если Р (х, 31) —
— 3yR(x, 31, у), то пусть F (31) ~ QizT? ((z)0, 31, (z^)),}-]
(б)	Показать, что можно найти такое рекурсивно перечислимое
отношение Р, что селектор цхР (х, а) для Р не рекурсивен. [Опре-
делить Р следующим образом: Р (х, a)-~R(a) V х—\, где отноше-
ние Р рекурсивно перечислимо, ио не рекурсивно.]
(в)	Предположим, что отношение Р рекурсивно. Показать, что
существует рекурсивный всюду определенный функционал, являю-
щийся селектором для Р тогда и только тогда, когда ЗхР (х, 31)
является рекурсивным отношением от 31.
(г)	Пусть Flr Fn, — рекурсивные частичные функционалы.
Показать, что существует такой рекурсивный функционал F, что F (31)
для каждого 31 определено тогда и только тогда, когда хотя бы
одно из Г, (31) определено, и в этом случае F (}() = Fi (31) для неко-
торого I. [Использовать (а).]
4.	Рекурсивная частичная функция F называется креативной
функцией для множества А, если для каждого г такого, что А и Wе
не пересекаются, F (е) определено и не принадлежит ни А, ни Wе.
Рекурсивно перечислимое множество А креативно, если оно имеет
креативную функцию. Рекурсивно перечислимое множество Л назы-
вается простым, если его дополнение бесконечно, но не содержит
никакого бесконечного рекурсивно перечислимого подмножества.
(а)	Показать, что креативное множество существует. [Рассмот-
реть А (е) — We (е).]
(б)	Показать, что креативное множество не может быть рекур-
сивным. [Воспользоваться теоремой об отрицании.]
(в)	Показать, что каждое креативное множество А имеет всюду
определенную креативную функцию. [Ввести рекурсивную функцию G,
областью определения которой является множество таких е, что пере-
сечение множеств We и А непусто, и воспользоваться 3 (г).]
(г)	Показать, что простое множество существует. [Ввести Р (х, е) •»*
We (х) & х > 2е. Пусть F является рекурсивным селектором для Р,
и пусть Л—множество значений функционала F. Показать, что для
каждого k в А найдется не более k чисел, не превосходящих 2k.]
(д)	Показать, что простое множество не может быть рекурсивным.
[Воспользоваться теоремой об отрицании.]
(е)	Показать, что простое множество не может быть креативным.
ЗАДАЧИ
285
5.	Множество А называется много-односводимым к множеству В,
если существует такая рекурсивная функция F, что для каждого а
А (а) В (F (а)).
Если к тому же можно F выбрать так, что она окажется инъектив-
ной (биективной), то А называется одно-односводимым к В (соответ-
ственно рекурсивно изоморфным В).
(а)	Показать, что если множества А и В рекурсивно изоморфны,
то каждое из них одно-односводимо к другому.
б)	Пусть А рдно-односводимо к В, и пусть R (а, £>) означает, что
a={alt а„), Ь = (Ьг, .... bn), at = aj > - bi = bj для всех i, j
и A (ai) В (Ь,). Показать, что существует такая рекурсивная функ-
ция G, что
R (a, b)~>R (а* (х), b* (G (а, Ь, х))).
[Пусть А (а)— В (F (а)), где F инъективна. Если x—ait то пусть
G(a, b, x) — bi- В противном случае, если F (х) не равно В,, то
пусть G (a, b, x) = F (х); если F (x) = b-t и F (а- ) не равно Ь[, то
пусть G (a, b, x) = F (a[t) и т. д.]
(в)	Показать, что если каждое из множеств А и В одно-односво-
димо к другому, то А рекурсивно изоморфно В. [Использовать (б)
и технику доказательства теоремы Рыль-Нардзевского.]
(г)	Показать, что существуют такие рекурсивно перечислимые
множества А и В, что А одно-односводимо к В, В много-односводимо
к Л и В не одно-односводимо к А. [Взять в качестве А простое
множество и сформировать В, исключив из А некоторое, бесконечное
рекурсивное подмножество.]
6.	(а) Показать, что если Р — рекурсивно перечислимый предикат,
то существует такая рекурсивная функция Н, что ^н(ху^а)"
Р (а, х, Н (х)) для любых анх. [Определить такую рекурсивную
функцию G с индексом g, что G (а, х) — 0, если Р (а, х, S (g, х)),
и G (а, х) не определена в противном случае, и положить Н (х) —
= S(gf, х).]
(б	) Показать, что если А креативно, а Р рекурсивно перечислим,
то существует такая рекурсивная функция F, что Р (х, F (х)) - ►
'►Л (Е(х)) для всех х. [Пусть G —всюду определенная креативная
функция для А. Выбрать Н из (а) так, чтобы
№H^Ja)--a = G(tf (х))&Р(х, G(tf(x))),
и положить F (x) = G (Н (х)).]
(в	) Показать, что если А креативно, то существует такая всюду
определенная креативная функция F для А, что если пересечение А
с We непусто, то Л (/’(e)). [Ввести Р (е, у) We (у) V Iх (W е (х) &
&Л<х)) и применить (б).]
Дг) Пусть А креативно. Показать, что существует такая рекур-
сивная функция F, что если А (х), то	а если “| А (х),
то бесконечно и не пересекается с А. [Использовать (в).]
(д	) Показать, что если А креативно, то существует такая рекур-
сивная функция F, что F (х, у)^ у и Л (х) - ► Л (Е (х, у)) для всех х
и у. [Использовать (г) и 3(a).]
(е)	Показать, что если А креативно, а В много-односводимо
к Я, то В одно-односводимо к А. [Пусть F рекурсивна, пользуясь
286
ГЛ. 7. ТЕОРИЯ РЕКУРСИИ
(д), определить индуктивно такую инъективную рекурсивную функ-
цию F', что A (F (а)) — A (F’ (а)).]
(ж)	Показать, что для рекурсивно перечислимого множества А
следующие утверждения эквивалентны:
(i)	А креативно;
(ii)	каждое рекурсивно перечислимое множество миого-одиосво-
димо к А;
(iii)	каждое рекурсивно перечислимое множество одио-одиосво-
димо к А.
[Использовать (б), (е) и 4(a).]
7.	Два иепересекающихся множества А и В эффективно рекур-
сивно неотделимы, если существует такая рекурсивная частичная
функция F, что если A с We и В cz Wf,. то F (е, [) определено и ие
принадлежит ни We, ин W/.
(а)	Показать, что эффективно рекурсивно неотделимые множества
рекурсивно неотделимы. [Использовать теорему об отрицании.]
(б)	Показать, что существуют эффективно рекурсивно неотделим
мые рекурсивно перечислимые множества. [Ввести
А (х) — Зу (7\ ((х)г, х, у)	((х)0, х, г)),
В (х) — Зу (?! ((х)0, X, у) & Угг<у 1 Л ((х)р X, г))
и F (е, f) = {e, /).]
(в)	Показать, что если А и В —эффективно рекурсивно неотде-
лимые рекурсивно перечислимые множества, то А, В и A \j В кре-
ативны.
(г) Показать, что существуют рекурсивно неотделимые рекурсивно
перечислимые множества А и В, ие являющиеся эффективно рекур-
сивно неотделимыми. [Построить А и В следующим образом. На
n-м шаге положить е—(п)0, х=(п)1. у = (га)а. Если условие
7\(е, х, г/)&х>3е ие выполняется, то на этом шаге больше ничего
не делать. Если же оно выполняется, то отнести число х к А, если
оно не было отнесено к В и никакое число не было отнесено к А
на шаге т<л, где (т)0 = е. В противном случае отнести х к В, если
оно ие было отнесено к А и никакое число ие было отнесено к В иа
шаге m<Zn, где (т)0 = е. Показать, что А V В является простым
и что если We & “| (Д V В) бесконечно, то каждое из множеств А и В
содержит элемент из We. Использовать (в) и 4 (е),]
8.	Пусть Ux означает для бесконечно многих х. Предикат Р на-
зывается предикатом рода U„ (V„), если
Р (а) —UXi... Ux„7? (а, х1( ..., х„),
где предикат 7? рекурсивен (рода П£).
(а)	Показать, что каждый предикат рода имеет род П-jn
и что каждый предикат рода V„ имеет род П-зп-)-1.
(б)	Пусть Р— предикат рода Пп-ы; показать, что Р (а)
—► UxQ (а, х) для предиката Q рода [Воспользоваться эквивалент-
ностью УгТ? (г) — ишУг2<[ИТ? (о>).]
(в)	Пусть Р — предикат рода Пд-|-2(Па); показать, что
P(a)«Ux(P1(a. х)&Р,(«> х)),
ЗАДАЧИ
287
где Pj — предикат рода ПА (рекурсивный), а Р£—предикат рода Sn
(рекурсивный). [Использовать (б) и эквивалентность
Ux4yQ(x, у) ~ Uz (Q ((г)0, (г\) & Vu>(0<(z)i“| Q ((г)0, о>)).
(г)	Пусть Р —предикат рода + показать, что Р(а)—>
« UxPHa, х), где Pj—предикат рода П«. [Использовать (в) и экви-
валентность
Ux (Нг/Q (х, у) & VvR (х, о)) —
~Uz(Q((z)0, (z)J & Vww< (zh“| Q ((z)0, u>) & VuP ((г0), о)).]
(д)	Пусть Р—предикат рода ПА. Показать, что если п = 2т, то
Р —предикат рода UOT, а если n = 2m-|-l, то Р —предикат рода Nm.
[Воспользоваться (в), (г) и индукцией по т.]
9.	Полным множеством рода S« (П«) называется такое множе-
ство Л рода S« (П«), что каждое множество рода Sn(IIn) много-одио-
сводимо к Л.
(а)	Пусть Р —бинарный предикат рода Sn (Пп), перечисляющий
класс унарных предикатов рода SA (ПА), и пусть Л (а) — Р ((а)0, (а)г).
Показать, что Л —полное множество рода Sn(lln)'
(б)	Показать, что множество таких е, что We бесконечно, явля-
ется полным множеством рода Щ. [Использовать 8 (д).]
(в)	Показать, что множество таких е, что “] We бесконечно,
является полным множеством рода Щ. [Использовать 8(a) и 8 (д).]
(г)	Показать, что множество таких е, что We рекурсивно, явля-
ется полным множеством рода S£. [Пользуясь теоремой об отрицании,
показать, что это множество рода SJ. Пусть Л — нерекурсивное рекур-
сивно перечислимое множество. Определить такую рекурсивную функ-
цию F, что
WF(e} (Х )~ (U7e ((х)0) & (x)j = 0) V ((Х)о < (X)! & Л ((х)0)) V
V ((х^О&^ЛхЮ).
Показать, что Wрекурсивно тогда и только тогда, когда “| Wе
конечно, и использовать (в).]
10.	Множество Л таблично сводимо к множеству В, если сущест-
вуют рекурсивная функция F и рекурсивный предикат Р такие, что
Л (х) — Р (Кв (F (х))) для всех х.
(а)	Показать, что если Л миого-одиосводимо к В, то Л таблично
сводимо к В.
(б)	Показать, что для каждого рекурсивно перечислимого мно-
жества Л существует такое простое множество В, что Л таблично
сводимо к В. [Мы мвжем предполагать, Что “] Л бесконечно. Пусть
С—такое простое множество, что для каждого п в С существуют
самое большее п чисел, меньших 2п-^2, Пусть Ьп — множество таких х,
что 2"^х<2"+1, а В—объединение множеств С и Dn, где п при-
надлежит множеству Л.] Затем показать, что обращение (а) ложно
Даже для рекурсивно перечислимых множеств. [Использовать 4 (е).]
(в)	Показать, что Л таблично сводимо к В тогда и только тогда,
когда существует такой всюду определенный функционал F, что
288
ГЛ. 7. ТЕОРИЯ РЕКУРСИИ
КА (x) = F(Кп, х) для всех х. [Предположим, что такой функционал/7
существует. Выберите такой рекурсивный предикат R, что
©^(а, х, а) -- "2zR (a (z), х, а). Обратите внимание на то, что для
каждого х	___
4a*3zR(a* ((г)й), х, (г)^,
и воспользуйтесь леммой о бесконечности.]
11.	Рекурсивно перечислимое множество А называется гиперпрос-
тым, если дополнение множества А бесконечно и не существует такой
рекурсивной функции F, что Ух~5у (“] А (у) & x<_y<_F (х)).
(а)	Показать, что если А гиперпросто, то А просто и потому
ие рекурсивно.
(б)	Предположим, что креативное множество А таблично сводимо
к рекурсивно перечислимому множеству В. Показать, что В не может
быть гиперпростым. [Пусть А (а) — Р (Кп (F (х))), где Р и F рекур-
сивны. Выберем рекурсивную функцию G из 6 (б) так, что A (G (е)) —-
*— We (G (е)). Пусть Jn (х) = (п)х, если х < lh (п), Jn (х) — 0 в противном
случае. Выберем рекурсивную функцию Н так, что
WH{n}(a)~^P(Jn(F(a))).
Пусть L(n) = F (G (Н (п))). Показать, что
^P(jn(L(n)))~P(KB (L(n))),
а затем показать, что Jn (I) Ф Кд (О для некоторого i<L(n).
Используя L, определить такую рекурсивную функцию М, что
УхЧу П В (у) & х < у <М (х)). ]
(в)	Показать, что для каждого нерекурсивного рекурсивно пере-
числимого множества А существует такое гиперпростое множество В,
что В таблично сводимо к Л и А рекурсивно в В. [Пусть У7 —инъек-
тивная рекурсивная функция, перечисляющая А; определить В сле-
дующим образом:
В (а) — Эх (а < х & F (х) < F (а)).
Показать, что дополнение множества В бесконечно и что
1 В (w)&F (u>)> х->(Л (х)^Эг2<ю (x=F(z))).
Предположим, что G —такая рекурсивная функция, что УхЭг/ (“| В (у) &
& х < у <G (х)). Показать, что мы можем установить, принадлежит
ли а множеству А, отыскивая такое х, что
а < min (F (х), F (х+1), ..., F (G (х))).]
(г)	Показать, что существуют такие рекурсивно перечислимые
множества А и В, что А рекурсивно в В, однако не является таб-
лично сводимым к В. [Использовать (б) и (в).] Затем показать, что
лемма о замене неверна для рекурсивных всюду определенных функ-
ции и предикатов. [Использовать 10 (в).]
12.	Пусть класс всех рекурсивных унарных частичных функ-
ций. Подкласс 5' класса S называется вполне рекурсивно перечислимым
(вполне рекурсивным), если множество индексов частичных функций
из рекурсивно перечислимо (рекурсивно). Отображение Ф из под-
класса S' класса % в множество чисел называется эффективной one-
ЗАДАЧИ
289
рацией, если существует такая рекурсивная частичная функция F,
что (а) ~ Ф ({е}), как только {е} принадлежит S'.
(а)	Показать, что если S' вполне рекурсивно перечислим, то каж-
дое расширение любой частичной функции из S', принадлежащее S,
принадлежит S'. [Предположим, что G принадлежит S', а ее расши-
рение Н не принадлежит ему. Пусть А —нерекурсивное рекурсивно
перечислимое множество, и пусть Ft и F2 определены следующим
образом:
Л(*. у)=^Н (х), если А (у),
F2(x, y)^G(x).
Определим F так же, как в 3 (г), и выберем рекурсивную функцию К
так, что {/< (г/)} (х) ~ Л (х, у). Показать, что {К (у)} принадлежит S'
тогда и только тогда, когда “] А (у).]
(б)	Показать, что если S' вполне рекурсивно перечислим и G
принадлежит S', то G является расширением некоторой частичной
функции G' из S', имеющей конечную область определения. [Предпо-
ложим, что такой функции G' не существует. Выберем такое е, что
We нерекурсивно. Определим F следующим образом:
F(y, x)^G (х), если "] 1гг<хТг (е, у, г),
и выберем такую рекурсивную функцию К, что {К (у)} (х) F (х, у).
Показать, что {К (у)} принадлежит S' тогда и только тогда, когда
(«/)•]
(в)	Пусть Ss, t,n — множество таких G из б, что G ((s),) 2^ (t)t
при i < п. Показать, что подмножество S' множества S вполне рекур-
сивно перечислимо тогда и только тогда, когда существует такой
рекурсивно перечислимый предикат Р, что S' является объедине-
нием Ss, /, „, где s, t и п таковы, что Р (s, t, п). [Использовать (а) и (б).]
(г)	Показать, что вполне рекурсивными подклассами класса S
является лишь S и пустой класс. [Использовать (а) и теорему об
отрицании.]
(д)	Показать, что отображение ф вполне рекурсивно перечисли-
мого класса S' в множество чисел является эффективной операцией
тогда и только тогда, когда существует такая рекурсивная частичная
функция Н, что для F из S'
Ф (F) а 3s3/3n (F eS4, tt п& Н (s, t, п)=^а).
[Если Ф —эффективная операция, то множество таких F, что Ф(£)^а,
вполне рекурсивно перечислимо. Пользуясь этим, скопируйте дока-
зательство (в).]
(е)	Показать, что условие в (д), говорящее, что S'—вполне
рекурсивно перечислимое множество, нельзя заменить условием, гово-
рящим, что каждая «астичная функция из S'всюду определена. [Пусть
Ф (Л) = 0, если F (х) = 0 для всех х, и ф (F) = 1, если F — рекурсивная
всюду определенная функция и Зх (х sg е & F (х) =£ 0) для каждого
индекса е из F. Показать, что для каждого k существует такая F,
что F (х) = 0 при х<:& и ф (/')= 1.]
13.	Пусть 91 — класс всех рекурсивных унарных функций. Под-
класс 91' класса 91 называется тотально рекурсивно перечислимым
(тотально рекурсивным), если существует такое рекурсивно перечис-
лимое множество А (существуют непересекающиеся рекурсивно перечис-
10 Дж. Шепфилд
290
ГЛ. 7. ТЕОРИЯ РЕКУРСИИ
лимые множества А и В), что {е} е 91' <=> А (е) (и {е} ф 91' <=> В (е))
как только {е} всюду определена.
(а)	Пусть класс 91' тотально рекурсивно перечислим. Показать,
что для каждой G из 91' и каждого г существует такая G' из 91',
что G' (x) = G (х) при x<z и G'(х) = 0 везде, кроме конечного числа
значений х. [Доказывать подобно 12(6).]
(б)	Пусть Ф —отображение некоторого тотально рекурсивно пере-
числимого класса 91' в множество чисел. Показать, что Ф является
эффективной операцией тогда и только тогда, когда оно имеет расши-
рение, являющееся рекурсивным частичным функционалом. [Предполо-
жим, что Ф —эффективная операция, например, F (е)=^ Ф ({е}), где {е}
принадлежит 91'. Пусть К —такая рекурсивная функция, что
{/С (л)} (х) = (л)х, если Seq (п)&х < lh (п), и {К(л))(х) = 0 в против-
ном случае. Пользуясь 3(a), определить такую рекурсивную частич-
ную функцию М, что М (f, у) является таким числом л, что (К (п)}
принадлежит 91' и является расширением -[/'}((/), и F (f) =/= F (К («)),
если только такое п существует. Выберем такую рекурсивную функ-
цию L, что
{L (е, Л} (х)^( Ш (Х)’ еСЛИ УУ^<Х П Т1 (вг £’ У)>
I (М (f, цу7\ (е, е, у)))х в противном случае.
Если ДМ7в(е), то {L (е, /)} = {/}; если у = р.у7\ (е, е, у) и М (f, у)
определено, то
{L(e, /)} = {/< (Ш «/))}.
Выберем рекурсивную функцию N так, чтобы являлось мно-
жеством таких е, что F (L (е, /)) F (J). Показать, что если {/} е 91',
то N (f) <= WN(fy Если F (f) определено и
«/=^(^0). (f),y),
a G принадлежит 91' и G (y) = {f] (у), то (D(G)—F(f)\ действительно,
в противном случае М (J, у) определено по (а), поэтому F (L (N (/)), f) =
— F(K(M(f, у))) =/= F (f) и потому N(fit£WN{fy Пусть Q(/=, а)
означает, что существует такое у, что F (f) определено, у=ууТ1 (N (/),
W (/)• У) и а (У)={?} (У)- Пусть Н — рекурсивный селектор для Q.
Показать, что Ф (a) — F (И (а)) для а из 91'.)
(в)	Показать, что подкласс 91' класса 91 тотально рекурсивен
тогда и только тогда, когда существуют такие непересекающиеся
рекурсивно перечислимые множества Л и В, что для а е 91 имеем
а е 91' ЗхА (а (х)) и а 91' ЗхВ (а (х)).
[Пусть 91' тотально рекурсивен, пользуясь (б), найти такую рекур-
сивную функцию Н, что Н (а) = 0, если а принадлежит 91', и Н (а)==
= 1, если а рекурсивна и не принадлежит 91'. Выразить на языке
рекурсивных предикатов.]
(г)	Показать, что если А рекурсивно перечислимо, то множество
таких а из 91, что ЗхА (а (х)), является тотально рекурсивно пере-
числимым. Показать, что не каждый тотально рекурсивно пере-
числимый класс может быть получен таким образом. [Пусть F из 91
принадлежит9Г, если либо Vx(F (х) = 0), либо 3ee<zVxx^2 ({е} (х) =
ЗАДАЧИ
291
= F (х)), где z = [и (Л (х) ф 0). Показать, что если (Н принадлежит
9( и {/} (х) = 0 при х~<), то {f[ принадлежит 9Г, а затем показать,
что 91' тотально рекурсивно перечислим. Показать, что для каж-
дого k существует функция F, принадлежащая 91, но не принадле-
жащая 91', такая, что для всех x^k F (х) = 0.]
14.	(а) Показать, что если а и Ь — степени, то множество, состоя-
щее из а и Ь, имеет наименьшую верхнюю грань (относительно
частичного упорядочения степеней [Пусть А и В —множества из
а и b соответственно, и пусть с —степень множества С, определен-
ного следующим образом;
С (х) — А ((х)0), если (x)j = 0,
С (х) -- В ((х)0) в противном случае.]
Эту степень мы обозначим через a (J Ь-
(б)	Пусть А и В — непересекающиеся рекурсивно перечислимые
множества, имеющие степени а и b соответственно. Показать, что
A (J В имеет степень a (J Ь.
(в)	Показать, что если 0' а, то существует такая степень Ь,
что a = ft'=>ftU0'- [Пусть Л—множество из а. Выберем рекурсивный
предикат 7? так, что
ЗхГы ((а)о, a, (a)lt xj 3x7? (а (х), а),
и положим
Q (s, а) «• 3/ (1 < * s & 7? (t, а)).
Положим G (0) = ( ) и	"
ц/(7<*С(а)*(Кд(а)>&/?(/,а)),
если Q(G(a)*(KA (а)), а),
в противном случае.
G(a+1) =
6 (а) » (КА (а))
Пользуясь тем, что Q рекурсивен в А, показать, что G и Д эквива-
лентны. Пусть
F(a) = (G(a+l))e,
и пусть Ь — степень функции F, Показать, что 3x7? (f (х), а) рекур-
сивен в G, а затем показать, что Ь'^а. Показать, что G рекур-
сивна в F и Q, а затем показать, что а 6U0'.]
15.	(а) Пусть Л—нерекурсивное рекурсивно перечислимое мно-
жество. Показать, что существуют непересекающиеся рекурсивно
перечислимые множества До и Д1» объединение которых А нерекур-
сивно ни в До, ни в ДР [Пусть F— инъективная рекурсивная функ-
ция, перечисляющая А, и пусть предикат 7? такой же, как и в дока-
зательстве теоремы Фридберга —Мучника. Определим До и Дг по
шагам, одновременно определяя множества Bk. Пусть Д/,„ —множе-
ство чисел, отнесенных к Д/ до n-го шага, и пусть Dn — множество
значений функции F (х) при х < п. На л-м шаге для / < п и i = 0, 1
пусть xj,i является таким наибольшим числом, меньшим п, что для
всех x<x/j имеем
?yv<nR(KA[iM’ /
10»
292
ГЛ. 7. ТЕОРИЯ РЕКУРСИИ
Если х<ху,то отнесем каждое число, меньшее
х+^/?(ЛГл	(«/),/, х, KD (х)),
ь п	п
к	Теперь выберем такое наименьшее что F (п) принад-
лежит множеству и отнесем F (п) к A^.i или, если F (п) не
принадлежит отнесем F (п) к Ло. Показать, что если {)}Л/ =£КА,
то конечно. Затем индукцией по 2/-J-i доказать, что {j}A‘ КА,
следующим образом. Показать, что существует шаг п0, после кото-
рого уже никакое число Ву^ не относится к Лг. Предположить, что
{/} { — КА, и показать, что КА (х) можно вычислить, проверяя на
шаге п > п0, выполняется ли x<x{j, и полагая KA(x)=KD (х).[
(б)	Показать, что каждое нерекурсивное рекурсивно перечисли-
мое множество является объединением двух непересекающихся нере-
курсивных рекурсивно перечислимых множеств. [Использовать (а)
и 14 (б).]
(в)	Показать, что если а —отличная от 0 рекурсивно перечисли-
мая степень, то существует такая рекурсивно перечислимая степень
Ь, что 0<&<а. [Использовать (а) и 14 (б).]
16.	Зададим на каждом множестве Nm<n топологию следующим
образом. Зададим на No>1 дискретную топологию. Рассматривая Nb0
как произведение счетного числа копий множества /Уол, зададим на
нем топологию произведения. Рассматривая Nm,n как произведение
т копий множества Л\,о и п копий множества /VOrl, зададим на нем
топологию произведения.
(а)	Пусть Bs — класс все таких 91 из Nm,n, что 91 ((s)0) = ((s)lt ...
••• > (s)m+n)- Показать, что Bs образуют базу для Nm,n-
(б)	Показать, что подмножество Р множества Nm,n открыто тогда
и только тогда, когда оно представляет собой отношение рода 2?.
[Если Р открыто, то согласно (а) Р есть объединение всех Ва(п>
для некоторого а. Если Р имеет род 2J, то Р (91) — Зх/? (а (х), 91(х))
для некоторых R и а.]
(в)	Показать, что отображение Ф множества Nm>n в 0 непре-
рывно тогда и только тогда, когда функционал F, определенный сле-
дующим образом: F ('Л, Ь) = (Ф (91)) (Ь), является функционально
рекурсивным. [Если F функционально рекурсивно, то использовать
(б), чтобы доказать, что множество, являющееся прообразом откры-
того множества относительно Ф, само является открытым. Если отоб-
ражение Ф непрерывно, то показать, что график функционала F
открыт, и использовать (б).]	„
(г)	Показать, что класс (т, п)-арных борелевских отношений явля-
ется наименьшим классом подмножества множеств Nm,n> содержащим
открытые множества и замкнутым относительно взятия дополнений
и счетных объединений. [Использовать (б).[
17.	(а) Показать, что если Р — множество рода 2}, то существует
такое рекурсивное отношение /?, что
Р (91) — 3a*Vx3i//? (91, а*, х, у).
[Пусть Р (91) — 3aVxQ (91 (х), а (х)), где Q рекурсивно. Тогда Р (91)
ЗАДАЧИ
293
в том и только в том случае, когда существует а*
ся представляющей функцией для некоторого /®.\
являющая-
такого, что
Vx3i/(a* «х, у)) = 0 & Q (?1 (х), i/)).]
(б)	Показать, что если Р определено следующим образом: Р (21) 
<  За/? (21, а), где отношение R рекурсивно, то Р рекурсивно пере-
числимо. [Записать правую часть так: 3a3xQ(2(,a (х)), где Q ре-
курсивно.]
18. (а) Показать, что если Ф —конечная последовательность
предикатов рода Д^, то Ф* — предикат рода Д^_
(б)	Предположим, что Р — предикат рода (ПЛ в множе-
стве всех предикатов. Показать, что если k^n, то Р — предикат
рода Е^(П£,Д^), и что если k < п, то Р — отношение рода Д^_
[Заметим, что если Р (21) — ф(Ф*, 21) и R — класс, единственным чле-
ном которого является Ф*, то
Р (21) - 3a (R (а) & Q (а, /?))
-* Va (R (а) -> Q (а, 2()).
Воспользоваться этим, леммой о конечности и (а).]
(в)	Показать, что каждое гиперарифметическое в множестве гипер-
арифметических предикатов отношение является гиперарифметическим.
[Использовать (б) и теорему характеризации.]
(г)	Показать, что предикаты, гиперарифметические в множестве
предикатов рода П^, образуют собственный подкласс класса преди-
катов рода Д^_|_1- [Показать, что существует предикат Р рода
в котором рекурсивен каждый предикат рода 1Ц, и выбрать преди-
кат, имеющий род П| в Р, однако не имеющий рода S] в Р. К этому
предикату применить (б) и релятивизированную теорему характери-
зации.]
19. Реляционное множество состоит из множества А и бинарного
предиката <д. Убывающей последовательностью в таком реляцион-
ном множестве является такая последовательность a0, alt ... элементов
из А, что ап_11<дап Для всех п. Реляционное множество вполне
фундировано, если в нем нет убывающих последовательностей. Таким
образом, дерево является вполне фундированным реляционным мно-
жеством с предикатом <*. Реляционное множество называется вполне
упорядоченным, если оно вполне фундировано и <д линейно упоря-
дочивает А. Если х принадлежит А, то является множеством
таких у из А, что 1/<дх, рассматриваемым в качестве реляционного
множества с предикатом <д.
(а)	Показать, что ординалы можно сопоставить вполне фундиро-
ванным реляционным множествам таким же образом, как и деревьям.
Ординал, сопоставленный вполне фундированному реляционному мно-
жеству А, обозначается через | А ].
(б)	Если А — реляционное множество, то DS (Л) является мно-
жеством всех таких чисел .......ап), что ап <д ап1 <д ... <д а1#
Показать, что А вполне фундировано тогда и только тогда, когда
DS(X) является деревом, и что в этом случае | A | = ||DS (Л)|[.
[Пусть А вполне фундировано и a=(a!.....ап) принадлежит DS(A),
294
ГЛ. 7. ТЕОРИЯ РЕКУРСИИ
показать трансфинитной индукцией по I Afa , I, что I Ata ,! =
= lDS(>l)t01|.|	! '"П	! IJ
(в)	Показать, что для каждого счетного о существует дерево,
имеющее ординал о. [Использовать (6).J
(г)	Реляционное множество А называется рекурсивным (гиперариф-
метическим), если рекурсивными (гиперарифметическими) являются
как множество А, так и предикат <д. Показать, что если Л —вполне
фундированное гиперарифметическое реляционное множество, то | А |
рекурсивно. [Показать, что DS (Л) —гиперарифметическое множество,
и применить теорему ограниченности к классу, неявно определяющему
^DS (Л)-]
(д)	Если а и Ь — номера последовательностей, то а<°Ь означает,
что либо а<*Ь, либо существует такое /, что / < lh (a), i<Va(b),
(а)/<(Ь)у и Vi(<j ((a).= (b)z). Показать, что если а0, av ... — такая
последовательность, что <°ап для всех п, то существует такая
убывающая относительно <* последовательности Ьо, ..., что для
каждого п при всех достаточно больших т мы имеем ат<* Ьп.
[Определить Ьп индукцией по n.J Показать, что <° линейно упоря-
дочивает множество Seq.
(е)	Пусть Л — реляционное множество; рассмотрим DS (Л) как
реляционное множество с предикатом <°. Показать, что А вполне
фундировано тогда и только тогда, когда DS (Л) вполне упорядочено,
и что в этом случае | А | sS | DS (Л) |. [Использовать (д) и метод из
(б).[ Затем показать, что рекурсивные ординалы —это в точности
ординалы рекурсивных вполне упорядоченных реляционных множеств.
(ж)	Показать, что если ординалы о и т рекурсивны, то о + т и
о т также рекурсивны. [Использовать (е).[ Затем показать, что х
является предельным числом.
20.	Два предиката называются Н-эквивалентными, если каждый
из них является гиперарифметическим в другом.
(а)	Показать, что //-эквивалентность является отношением экви-
валентности. [Использовать релятивизованный вариант 18 (в).[ Классы
эквивалентности называются гиперстепенями. Определим для гипер-
степеней отношения sS и < так же, как и для степеней. Показать,
что класс гиперарифметических предикатов является гиперстепенью 0
и что O sCa для каждой гиперстепени а.
(б)	Гиперстепень а имеет род П[ в гиперстепени Ь, если сущест-
вуют множество Л из а и множество В из 6 такие, что А имеет
род ГЦ в В. Показать, что отсюда следует, что А имеет род П}
в каждом множестве из Ь. Показать, что среди гиперстепеней, имею-
щих род ГЦ в а, существует наибольшая. Она называется гиперскач-
ком а и обозначается через а'. Показать, что a^b-+a'^b’ и
что а < а'.
(в)	Для произвольной конечной последовательности Ф обозна-
чим через хф наименьший не рекурсивный в Ф ординал. Показать,
что если о —гиперстепень, то хЛ один и тот же для всех множеств А
из а. [Использовать релятивизованный вариант 19 (г).[ Этот орди-
нал обозначается через х“. Показать, что а=^&-»х“^х6.
(г)	Показать, что если а имеет род П[ в Он х“ = х, то а = 0.
[Пусть Л —множество рода Щ из а. Тогда A (a)-— Тг (kxF (а, к)),
ЗАДАЧИ
295
где F рекурсивна. Как и в доказательстве теоремы отделимости, по-
казать, что существует такой рекурсивный в А ординал о, что
А (а) Тга (Zx F (а, х)). Заметить, что ординал о рекурсивен, и по-
казать, что множество А гиперарифметическое.}
(д)	Показать, что х“ ф х** 0' а. [Если х<х“, то Тгх яв-
ляется гиперарифметическим в каждом множестве из а. Пользуясь
теоремой о дереве, показать, что О'^а. Чтобы доказать обратное
утверждение, заметить, что по (г) х<х° , и применить (в).]
(е)	Показать, что степенями, имеющими род П] в 0, являются
лишь 0 и О'. [Использовать (г) и (д).[
21.	(а) Показать, что если ординал о рекурсивен, то сущест-
вует такое гиперарифметическое множество А, что для любой ре-
курсивной функции F неверно, что А (а)Тга (ХхЕ (а,- х)) для
всех а. [Пусть Q (е, а) означает, что {е}0,2 всюду определена и что
Тга(Хх{е[(а, х)). Показать, что Q — гиперарифметический предикат,
и применить диагональную лемму.}
(б) Показать, что лемма о замене не верна для гиперарифмети-
ческих отношений. [Пользуясь 19 (в), выберем Ф так, что хф > х.
Предположим, что Р (а) — Р' (Ф*, а), где Р' — гиперарифметический
предикат. Выберем такой рекурсивный функционал F, что
Р' (а, а) —* Тг (ХхЕ (а, а, х)).
Как и в доказательстве теоремы отделимости, показать,
что Р' (а, а) ~ Тгх (ХхГ(а, а, х)) и, следовательно, Р(а}^
Trx (kxF (Ф*. а, х)), и применить релятивизованный вариант (а).}
22.	Определим Ln индуктивно следующим образом:
L0(a)^a=a, Ь„+1 (а) - ЗгТ; х ((а)0, (а)г г).
Введем L (n, a) ^Ln (а).
(а)	Показать, что если множество Р рекурсивно перечислимо
в Ln, то Р рекурсивно в Ln+1. [Использовать релятивизованную
теорему о нумерации.}
(б)	Показать, что каждый арифметический предикат рекурсивен
в L. [Используя (а), индукцией по п показать, что каждый преди-
кат рода S« рекурсивен в Ln.] Затем показать, что предикат L не-
арифметический. [Воспользоваться теоремой об арифметической иерар-
хии и теоремой Поста.]
(в)	Показать, что существует такая рекурсивная функция F,
что F (п) является //-индексом предиката Ln для каждого п.. Затем
показать, что предикат L гиперарифметический. [Использовать Н1.]
23.	Пусть Q—такое (1,1)-арное отношение, что для любых мно-
жеств А и В
А с Vx(Q(Ka, x)->Q(Ks, х)у
Множество А называется Q-замкнутым, если Vx (Q (КА, х) -> Л (х)).
Пусть Л —множество всех чисел, входящих в каждое Q-замкнутое
множество.
(а)	Показать, что А является Q-замкнутым.
(б)	Показать, что
А (а) Va (Vx (Q (а, х) -> а (х)= 0) —> а (а) = 0).
Затем показать, что если Q имеет род П|, то Л имеет род П[.
296
ГЛ. 7. ТЕОРИЯ РЕКУРСИИ
(в)	Показать, что в эквивалентности из (б) мы можем а заме-
нить на а*. Затем показать, что если Q рекурсивно перечислимо,
то А рекурсивно перечислимо. [Использовать следствие леммы беско-
нечности.}
(г)	Применяя трансфинитную индукцию по о, определим для
каждого о множество Аа следующим образом:
Ла (а) Зт (т < а & Q (Ках> а))-
Показать, что о -> Ла ст Ах, азатем показать, что существует
такой счетный ординал о, что Лст = Лст+1. Пусть р—наименьший
среди таких ординалов. Показать, что Аа = А при о^р.
(д)	Показать, что Ло —пустое множество, что Лст+1 является мно-
жеством таких а, что Q(KA , а}, и что если о—предельный орди-
нал, то Аа— объединение всех Ах при т < о.
(е)	Показать, что если Q рекурсивно перечислимо, то р^со.
[Заметить, что для некоторого 7?
Q (КА, а) — 3x7? (КА (х), а),
и воспользоваться (д), чтобы показать, что XQ41czXQ.J
(ж)	Пусть для каждого о дано отношение Ра; мы говорим, что
Ра является Неравномерным по о, если существует такое отношение
Р' рода П{, что Л|Вц (9() — Р‘ (Кв, 9() для каждого дерева В. По-
казать, что если Q—отношение рода П[, то Аа будет П[-равномер-
ным по о. [Для произвольного дерева В определим Рв следующим
образом:
Рц (0> а) в || (а)>
Pfl(fr+l, a)~B(fr)&X|B[b]li(a).
Показать, что для подходящего П[-отношения QB множество (Рв)
является множеством чисел, принадлежащих каждому Qg-замкну-
тому множеству, и воспользоваться эквивалентностью из (б).]
(з)	Если Ра является П’-равномерным по о и
V913g (о < k & Ра (91)),
то существует такой рекурсивный ординал т, что
V91 За (о < т & Ра (91)).
[Пусть V(a)->391 VG(G<fe&PCT(9I) — ||a||^G). Применить к V
теорему ограниченности.}
(и)	Пусть
7?а (а, а) ~ (Vx (Ла (х) -> а (х) = 0) -> Q (а, а)).
Показать, что о -> Ra (а, а) -> 7?т (а, а).< Показать, что
4(Hi(a)—Va7?a(a, а)
и что для предельного ординала о
7?ст (а, а) -> Зт (т < о & 7?т (а, а)).
[Использовать (д).} Показать, что если Q — отношение рода П[, то 7?ст
является П[-равномерным по о. [Использовать (ж).}
ЗАДАЧИ
297
(к)	Показать, что если Q —отношение рода П[, то р sg k- [Поль-
зуясь (и), (з) и 19(ж), показать, что А&+1 ст Лд,.} Затем показать, что
если Q — отношение рода П}, то Аа имеет род П[ для всех ст. [Ис-
пользовать (ж), (г) и (6).J
24.	(а) Показать, что если Р — отношение рода П’, то сущест-
вует такое П[-отношение Q, что
Q(x, 91)->Р(х, 91),
Q(x, 91)&Q(j/, 9l)->x = i/
и
ЗхР(х, 9l)->3xQ(x, 91).
[Использовать теорему униформизации.)
(б)	Показать, что если Р — отношение рода П[ и УхЗуР (у, х), то
существует такая гиперарифметическая функция а, что VxP(a(x), х).
[Используя (а), показать, что существует такая а, что VxP (а (х), х)
и @а имеет род TI’.J
(в)	Показать, что если Р — отношение рода П{ и если для
каждого х существует такая гиперарифметическая функция а, что
Р (а, х), то существует такая гиперарифметическая функция а, что
VxP((a)x, х). [Пусть Q(i, х) означает, что i является //-индексом
графика такой функции а, что Р (а, х). Показать, что Q — отношение
рода П[. Выбрать согласно (б) гиперарифметическую функцию 0 так,
что VxQ (Р (х), х), и, используя р, построить такую функцию а, что
VxP((a)x, х) и @а — отношение рода П*.]
25.	Пусть ^—совокупность подклассов некоторого пространства,
4>с —совокупность дополнений классов из Мы говорим, что $
удовлетворяет принципу редукции, если для каждой пары А и В
классов из ф существуют такие непересекающиеся классы Ai и Вг
из ф, что Ai cz А, В± с В и Л11|В1 = Л LIB- Мы говорим, что $ удов-
летворяет принципу отделимости, если каждую пару непересекаю-
щихся классов из ф можно отделить с помощью класса, принадле-
жащего одновременно ф и фс.
(а)	Показать, что если ф удовлетворяет принципу редукции, то
фс Удовлетворяет принципу отделимости.
(б)	Показать, что совокупность подмножеств рода S* множества
Nт, п удовлетворяет принципу редукции. [Пусть А (91) —► ЗхР (91, х),
В (91) — 3xQ (91, х). Определить
А, (91) - Зх (Р (91, х) & Ууу < х "J Q (91, у))
и аналогично определить Blt заменив < на
(в)	Показать, что совокупность подмножеств рода П{ множе-
ства N т, п удовлетворяет принципу редукции. [Пусть А (91)
-- Тг (XxF (91, х)), В (91)-» Тг (a.xG (91, х)). Определить
Л1 (91) Тг (XxF (91, х)) & 1 Г< (ZxG (91, х), kxF (91, х))
и аналогично определить В1г заменив < на =g.]
(г)	Показать, что совокупность подмножеств рода Si множества
Nm,n Удовлетворяет принципу редукции. [Пусть
Л (91) Эр Тг (XxF (91, ₽, х)),
В (91) — 3₽ Тг (XxG (91, ₽, х)).
298
ГЛ. 7. ТЕОРИЯ РЕКУРСИИ
Положить
ДИ'Х) — Зр [Тг (A.xF ('?(, р, хН&ПЗаТ^ (A,xG(?(, а, х), Хх/Д'Х, р, х)).]
(д) Показать, что совокупность подмножеств рода (П[, S^)
множества Nn, 2 не удовлетворяет принципу отделимости. [Пусть Р—
бинарный предикат рода перечисляющий класс унарных преди-
катов рода Z°k. Пусть А (а, Ь)~Р(а, (6)0), В (а, Ь)-*Р(а, (б^).
Возьмем Л1 и Вп о которых говорится в определении принципа ре-
дукции. Если некоторый предикат рода А^ отделяет Ai от В1г то он
должен перечислять класс унарных предикатов рода А£. Однако это
невозможно по диагональной лемме.}
26.	(а) Показать, что класс функций, степени которых меньше О',
является базисом для совокупности классов рода Щ представляющих
функций. [Пусть Р — непустой класс рода Щ представляющих функ-
ций. Пусть Q — класс таких а*, что если (3 = (а*)0 и ? = («*)!, то
Р (В) и у (е) #= {е} (р, е), как только {е} (Р, е) определено. Применить
к Q теорему Крайзеля о базисе.}
(б)	Показать, что класс функций, гиперстепени которых меньше
О', образуют базис для совокупности функциональных классов рода П?.
[Пусть Р — непустой функциональный класс рода П{. Пусть Q—класс
таких а, что если р = (а)0 и ? = («)!, то Р (Р) и у(е)#=К^(е) при
условии, что е является //-индексом для R по р. Пользуясь реляти-
визованным вариантом J, показать, что Q имеет род 2}, и применить
теорему Клини о базисе.]
(в)	Показать, что существует такая гиперстепень а, что 0<а<0'.
[Использовать (б) и теорему Клини о базисе.]
(г)	Показать, что класс представляющих функций рекурсивно
перечислимых множеств не является базисом для совокупности клас-
сов рода П» представляющих функций. [Показать, что если Р и Q
рекурсивно перечислимы, то класс представляющих функций мно-
жеств, отделяющих Р от Q, имеет род П“, и применить 7(6).]
27.	Для произвольного //-индекса i определим А; следующим
образом:
х=/ V -4(0 (х),	если (i)0=l.
At (х) —  x=i V 3«/(уеГ(1.)1&Д(/(х)), если (t)0=2,
, x=i	в остальных случаях.
(а)	Показать, что существует такая рекурсивная функция F, что
Для кажД°го //-индекса I. [Использовать теорему о ре-
курсии.]
(б)	Пусть для произвольного //-индекса i
Ji(j, a)^Ai(j)&J (j, x).
Показать, что существует такое арифметическое отношение Q, что
Q(i) неявно определяет {Kj.} для каждого //-индекса /. [Использо-
вать (а).]	г
(в)	Показать, что каждый гиперарифметический предикат рекур-
сивен в некоторой функции, неявно определенной некоторым ариф-
метическим классом. [Использовать (б).]
ЗАДАЧИ
299
(г)	Показать, что если F неявно определена классом рода
то F рекурсивна в функции G, неявно определенной классом рода
П§„_ 1- [Положить а = F Vx2yR (а, х, у) и ввести G (х) =
= W- pyR (F, х, у)).]
(д)	Показать, что предикат является гиперарифметическим тогда
и только тогда, когда он рекурсивен в функции, неявно определен-
ной классом рода П£. [Использовать (в) и (г).]
(е)	Показать, что предикат имеет род Д^ тогда и только тогда,
когда он гиперарифметический в функции, неявно определенной клас-
сом рода П}. [Чтобы доказать часть «тогда», применить 18(6)- Пред-
положим, что
Р (а) •— За?? (а, а) и "] Р (а) —» 3aQ (а, а),
где R и Q имеют род П}. По теореме униформизации мы можем пред-
полагать, что для каждого а существует единственное аа такое, что
/?(аа, а) V Q(“a> а)- Выбрать F так, что (F)a = aa Для всех а, и
показать, что Р имеет род Д} в F.]
28.	Пусть предикат J (i, а) такой же, как и в § 7.10, и пусть
// — множество //-индексов.
(а)	Показать, что J — негиперарифметический предикат. [Приме-
нить диагональную лемму.}
(б)	Показать, что И имеет род П}, однако не является гипер-
арифметическим. [Использовать (а) и эквивалентности
//(!) —Эх (У (i, х) V -40>	*))•
J (i, а) И (i) & ~\ J «1, i>, a).J
ГЛАВА 8
НАТУРАЛЬНЫЕ ЧИСЛА
8.1.	Арифметика Пеано
До сих пор мы изучали общую теорию аксиоматических
систем. В этой и следующей главах мы будем изучать
аксиоматические системы для двух фундаментальных мате-
матических понятий: натурального числа и множества.
Теория N не совсем подходит для изучения натураль-
ных чисел. Она содержит лишь немногие из основных
функций и предикатов теории чисел и даже для них она
содержит лишь некоторые из очевидных аксиом. В част-
ности, отсутствует аксиома индукции, которая необходима
для большинства доказательств из теории чисел. Мы пока-
жем, что, присоединив аксиому индукции в подходящем
виде, мы получим более удовлетворительную теорию.
Одним из вариантов аксиомы индукции является утвер-
ждение о том, что если множество содержит 0 и содержит
последователь для каждого натурального числа из этого
множества, то оно содержит каждое натуральное число.
Мы не можем выразить это утверждение в языке L(M),
потому что у нас нет переменных, областью изменения
которых являются множества натуральных чисел. В дру-
гой форме аксиома индукции утверждает, что если 0 обла-
дает некоторым свойством и если последователь каждого
натурального числа, обладающего этим свойством, сам
обладает этим свойством, то этим свойством обладает каж-
дое натуральное число. Мы также не можем это выразить
в языке L(M), так как у нас нет переменных, область
изменения которых состоит из свойств натуральных чисел.
Однако мы можем это выразить для каждого свойства
натуральных чисел, которое может быть выражено в языке
L(M).
Если А —формула языка L(M), то формула
АД0]&Ух(А-> Дл [5х])->Д	(1)
называется аксиомой индукции. Теория, полученная из N
8.1. АРИФМЕТИКА ПЕАНО
301
выбрасыванием аксиомы N9 и присоединением в качестве
новых нелогических аксиом всех аксиом индукции, на-
зывается арифметикой Пеано и обозначается через Р.
Нашим первым наблюдением является то, что многие
обычные доказательства, использующие индукцию, могут
быть формализованы в Р. В качестве примера мы дока-
жем в Р аксиому N9, доказав тем самым, что Р является
расширением теории N. Пусть формула А есть 0=_у \/0<.У-
Тогда по аксиоме тождества | - Ау [0]. Вследствие N8
имеем)— А «-> 0< Sy, поэтому )-Ау [5_у]. Следовательно,
|— А по аксиомам индукции. Пусть теперь В есть х <.у
-► Sx < Sy. Тогда | - Ву [0] по N7. По N8
| - Ву [S_y] <-> (х <у V х - у Sx < Sy Sx-Sy).
Отсюда и из теоремы равенства мы получаем )- Я->Яу[5_у].
Таким образом, по аксиомам индукции \-В. Пусть теперь
С есть х<у V х=у V У <х. Из |-Д мы получаем
н СДО]. Из |- Я и N8
[- х <Zy->Sx<Zy \J Sx=y,
\-y<x\J у=х -+у < Sx.
Отсюда |—[Sx]. Следовательно, |— С по аксиомам
индукции.
Теперь заметим, что в Р могут быть доказаны неко-
торые обычные следствия аксиомы индукции. Так, мы
имеем принцип полной индукции
\ ^х(^у(у<х->Ах[у])->А)->^хА	(2)
при условии, что у отлично от х и не встречается в А.
Для доказательства обозначим Vy(j> < х-> ДД.У]) через В.
Тогда | - Вх [0] по N7. Из N8 с помощью элементарных
преобразований получаем
|-ЯД5х]~Я\/ А.	(3)
Если теперь С есть левая часть в (2), то по теореме под-
становки
\-С-*В^А.	(4)
Из (3), (4) и правила V-введения
| C->Vx (Я->Ял[5х|).
302
ГЛ 8. НАТУРАЛЬНЫЕ ЧИСЛА
Отсюда, из Вх[0] и из аксиом индукции следует \С-+В.
Используя это, (4) и правило V-введения, мы получаем (2).
Теперь мы можем получить принцип наименьшего числа'.
ЗхД->2х(Д& Vy(_y<x->- ЛА [_у])),	(5)
где у отлично от х и не встречается в А. Для этого мы
в (2) заменим А на “| А и произведем некоторые элемен-
тарные преобразования.
Заметим, что (1), (2) и (5) истинны также в каждом
расширении теории Р с помощью определений. Действи-
тельно, перевод формулы вида (1) в теорию снова имеет
вид (1), аналогично для (2) и (5).
Теперь рассмотрим проблему введения новых функций
и предикатов. Предположим, что при неформальном по-
строении теории чисел из аксиом Пеано мы имеем опреде-
ление новой функции или нового предиката и. Если это
определение может быть выражено в Р, то мы можем
ввести расширение Р' теории Р с помощью определений,
в котором некоторый новый нелогический символ и обо-
значает и\ определяющая аксиома для и будет формально
выражать данное неформальное определение символа и.
Тогда мы скажем, что мы ввели и в Р'. Неформальные
доказательства свойств и можно тогда заменить формаль-
ными доказательствами в теории Р' при условии, что тех-
ника доказательства не выходит за пределы того, что
возможно в Р'. (Разумеется, при этом существенно фор-
мализовать данное неформальное определение символа и
или хотя бы формализовать некоторое неформальное опре-
деление, о котором можно доказать в Р', что оно экви-
валентно данному.)
Мы покажем, что многие фундаментальные функции и
предикаты из теории чисел можно ввести в специального
типа расширение теории Р с помощью определений. Прежде,
чем описать этот тип расширения, мы введем формальный
аналог р-оператора.
Предположим, что Р' — расширение теории Р с помощью
определений и что А — формула теории Р', в которой нет
свободных переменных, отличных от xlt ..., хп, у. Пред-
положим также, что \-p3yA. Тогда мы можем получить
расширение Р" теории Р' с помощью определений, вводя
n-арный символ f и определяющую аксиому
Ду [/*!...хл] & Vy (у <fxt...хп->Д).	(6)
8.1. АРИФМЕТИКА ПЕАНО
303
Чтобы убедиться в этом, нам надо доказать условия
существования и единственности для / в Р'. Условие
существования следует из |— рЗуА и (5); условие един-
ственности является простым следствием аксиомы N9.
Обычно мы сокращаем (6)'до
fXi...xn — yyA	(7)
и называем ЗуА условием существования для /.
Под рекурсивным расширением теории Р мы понимаем
расширение теории Р с помощью определений, в котором
определяющие аксиомы для предикатных символов откры-
тые, а определяющие аксиомы для функциональных сим-
волов имеют вид (7), где формула А открытая. Простым
следствием результатов из § 6.3 является то, что функ-
ции и предикаты, введенные в рекурсивных расширениях
теории Р, рекурсивны. Теперь мы покажем, что в таких
расширениях можно ввести большое количество важных
рекурсивных функций и предикатов.
Вначале мы заметим, что условие существования для
определения
fxr... хп = [IX (х=а)
есть Зх(х = а), доказуемое в силу аксиом тождества и
теоремы подстановки. Кроме того, из этой аксиомы сле-
дует, что
fx!...xn = a.	(8)
Обычно мы будем просто говорить, что мы вводим f
с помощью аксиомы (8).
Теперь мы проверим Rl—R14. Делая это, мы позво-
лим себе употреблять все латинские буквы (возможно,
с верхними индексами) так, как если бы они были пере-
менными теории Р. Если функции или предикату нефор-
мально было дано имя, то мы пользуемся этим именем
как нелогическим символом, обозначающим эту функцию
или этот предикат.
Сначала мы отметим, что если R уже введен, то KR
можно ввести с помощью аксиомы
KR(rzi, ..., an) = px((R (alt .... a„)&x = 0)V
V(^(flll .... a„)&x=l))
(где 1 является сокращением для SO). Условие сущест-
вования для KR легко доказывается. Из аксиомы для KR
304
ГЛ. 8. НАТУРАЛЬНЫЕ ЧИСЛА
мы можем доказать
R(alf ап)-^Кк(а!,	ап)=0,
...» an)^KR(ai, .... а„)=1.
Если KR уже введена, то мы можем ввести R с помощью
аксиомы
R(alt a„)^KR(a1, ..., а„) = 0.
I" мы можем ввести с помощью аксиомы
Я (ап .... a„) = af.
Мы уже имеем +, • и <, поэтому мы можем ввести К<.
Если F определена следующим образом:
F (alt	an) = G(H1(a1, .... ап), Hk(alt .... ап)), (9)
где G, Hlt Hk уже введены, то мы можем использо-
вать (9) в качестве аксиомы, чтобы ввести F. Аналогично
мы рассматриваем R4. Если F определена следующим
образом:
F (<h, ....	=	an, х)=0),	(10)
где G уже была введена, и если формула
..., ап, х)=0)
(которая утверждает, что F корректно определена) дока-
зуема, то мы можем использовать (10) как аксиому, чтобы
ввести F. R5 мы рассматриваем аналогично.
Очевидно, каждую константную функцию можно ввести
с помощью определения
F (^i> • • • > ап) km.
Ясно также, что если Р и Q уже введены, то можно
ввести ~\Р, Р V Q, P->Q, P&Q и P++Q. У нас уже
имеются предикаты < и —, оставшиеся предикаты из
R8 можно ввести с помощью определений, данных в дока-
зательстве R8.
Если F определена следующим образом:
F(b, «1, ..., a„) — jxxx<(,/?(«!, ..., а„, х),
где R уже введен, то мы можем ввести F следующим
образом:
F(b, alt ..., a,2) = jxx(/?(«!, ..., а„, х) V x = b). (11)
8.1. АРИФМЕТИКА ПЕАНО
305
Условие существования для F доказуемо из аксиом тож-
дества и теоремы подстановки.
Если Р определен следующим образом:
P(b, alt ..., an)^3xx<bR(a1, ...» ап, х),
где R уже введен ранее, то мы вводим F с помощью (11),
а затем вводим Р следующим образом:
Р(Ь, аъ ..., an)^F(b!, ait ..., an)<b.
Затем мы можем доказать
P(b, alf ....	..., ап, х)).
Мы вводим ограниченные кванторы всеобщности, опреде-
ляя их в терминах ограниченных кванторов существова-
ния так же, как и в § 6.3.
Мы вводим — следующим образом:
х — y = \iz (у + г=х\/ х<у);
условие существования Зг (y-\-z = x V х<.у) можно дока-
зать в Р при помощи индукции по у.
Теперь предположим, что F определена следующим
образом:
Gi(«i, ..., ап), если Рг(аъ ..., ап),
F(alt ..., ал) =
. Gk(alt .... ап), если ..., ап),
где Glt ..., Gk, Plt ..., Pk уже были введены. Предпо-
ложим также, что
Р1(аь ..., ал)	...» ап), (12)
1(Л(О1, .... an)&Pj(alt ..., ал)), l^Kj^k, (13)
доказуемы. Тогда вводим F следующим образом:
F (аь ..., a„) = jix ((Pi (Оь ..., ап)&х = Gi (ab ..., ал)) V • • •
• ••V	•••, an)&x = Gk(al, ..., ал))).
Условие существования для F следует из (12), а исполь-
зуя (13), мы можем доказать
Pi(alt ..., an)-+F(alt ..., a„) = GI-(a1, ..., ап).
Если R определен следующим образом:
' Qi («i, ..., ал), если Р^, ..., ал),
R («1> • • •, ап)
Qkkh, !>•••> ап), если Р^, ..., ап),
306
ГЛ. 8. НАТУРАЛЬНЫЕ ЧИСЛА
где Qb .... Q/;, Plt Pk введены ранее, а (12) и (13)
доказуемы, то мы вводим R следующим образом:
7?(аь	а„) ((Pj(ai, ..., o^&QJon ..., an])\j ...
..•V (Рй(01. •••. «„)&Q*(«1, .... ол))).
С помощью явных определений, данных в § 6.4, мы
можем ввести OP, Div и |3. Основное свойство функции |3
можно выразить следующим образом:
3xVy(_y<z->P(x, У) = а),	(14)
где х, у и z различны, а х и z не входят в а. Это
можно доказать, формализовав доказательство, данное
в § 6.4. Это дает условие существования для введения
функций («1, ..., ап). Остальные функции и предикаты,
связанные с номерами последовательностей, можно ввести
без всяких трудностей.
 Если F уже введена, то мы вводим F, пользуясь
явным определением (14) из § 6.4. Опять же (14) дает
нам условие существования. Предположим, что F опреде-
лена следующим образом:
F(b, аи .... an) = G(F(b, alt ..., ап), b, а1г ..., ап), (15)
где G уже была введена. Тогда мы вводим F, пользуясь
определениями (16) и (17) из § 6.4. Затем, пользуясь
элементарными свойствами используемых там функций,
мы можем доказать (15). В дальнейшем мы будем просто
говорить, что мы ввели F с помощью аксиомы (15).
Если F определена следующим образом:
F (0, Qi, ...,	=	•••> ^л)>	.
F(b + 1, аъ ..., an) = H(F (b, аг,..., ап), b, alt ..., ап), '
где G и Н введены ранее, то мы можем ввести F с помо-
щью определения вида (15), как это изложено в § 6.4;
затем мы можем доказать (16).
Этими средствами мы можем вводить функции из обыч-
ной теории чисел (экспоненты, факториалы и т. д.) и
формализовать наиболее элементарные доказательства,
данные в учебниках по теории чисел. Фактически можно
формализовать и много более сложных доказательств,
если их несколько модифицировать. Так, многие доказа-
тельства в теории чисел используют контурные интегралы
в комплексной плоскости. Такие доказательства зачастую
8.2 ТЕОРЕМА О ДОКАЗАТЕЛЬСТВАХ НЕПРОТИВОРЕЧИВОСТИ 307
можно формализовать, заменяя интегралы подходящими
аппроксимирующими римановыми суммами. Мы не будем
вдаваться в подробности, а лишь отметим, что такие
методы можно применить с тем, чтобы усилить утвержде-
ния, доказанные в оставшейся части этой главы.
8.2.	Теорема о доказательствах непротиворечивости
Мы видели, что значительная часть теории чисел может
быть формализована в теории Р. Теперь мы изучим свой-
ства теории Р.
Очевидно, что является моделью теории Р. Мы
называем ее стандартной моделью теории Р и говорим,
что формула теории Р истинна, если она истинна в .
Теперь применим результаты главы 6. Так как ©Т"
является моделью теории Р, то Р является непротиворе-
чивым расширением теории N, поэтому по теореме Чёрча
теория Р неразрешима. Легко привести явное определе-
ние множества номеров аксиом индукции, которое пока-
зывает, что это множество рекурсивно, а отсюда следует,
что теория Р рекурсивно аксиоматизированная. Таким
образом, по теореме о неполноте теория Р неполна. Эти
результаты непосредственно обобщаются на рекурсивные
расширения теории Р.
Пусть Р' — некоторое рекурсивное расширение теории Р,
а — обогащение модели до модели теории Р'. Мы
говорим, что формула теории Р' истинна, если она
истинна в . Таким образом, каждая теорема теории Р'
истинна. Если Л—замкнутая формула теории Р', то
либо А, либо 1 А истинно. Поэтому ввиду неполноты тео-
рии Р' существует истинная формула теории Р', не
являющаяся теоремой теории Р'. Мы изучим эту ситуа-
цию подробнее.
Пусть Р' — некоторое рекурсивное расширение теории Р.
Определим R-фор мулы теории Р’ с помощью обобщенного
индуктивного определения.
(i)	Каждая формула вида /хг... хп=у, или pXi... хп,
или ]pxi ... хп является R-формулой.
(ii)	Если А и В — R-формулы, то А\/В и А&В
являются /^-формулами.
(iii)	Если A — R-формула, а х и у различны, то
У х (х <Z у	А) является R-формулой.
308
ГЛ 8. НАТУРАЛЬНЫЕ ЧИСЛА
(iv)	Если А является /^-формулой, то ЗхА является
R -формулой.
Лемма 1. Если теория Р' является рекурсивным рас-
ширением теории Р, то каждая экзистенциальная фор-
мула теории Р' эквивалентна в Р' некоторой R-формуле.
Доказательство. Сначала мы докажем это для
формул вида х = а, пользуясь индукцией по длине а.
Если а —переменная, то х = а является /^-формулой.
В противном случае а есть fa!...an. Тогда по след-
ствию 3 теоремы равенства
ь- х=а^3уг... ЗуАу^
= ar& ...&yn=an&x=fy1 ...уп).
По индуктивному предположению формула у^сц экви-
валентна некоторой /^-формуле, а по теореме симметрии
формула x=fyL...yn также эквивалентна некоторой R-
формуле. Таким образом, формула х = а эквивалентна
некоторой /^-формуле по теореме эквивалентности.
Очевидно, достаточно доказать, что каждая открытая
формула А эквивалентна некоторой R-формуле. Мы дока-
жем это индукцией по длине формулы А. Если А — атом-
ная формула раг ... ап, то
Н А ~3У1 ... Зуп(у1 = а1&...&уп = ап&ру1...уп).
Так как по доказанному выше формула y^ffi эквива-
лентна некоторой R-формуле, то формула А эквивалентна
некоторой /^-формуле. Аналогичное доказательство спра-
ведливо и тогда, когда А является отрицанием атомной
формулы* *). Осталось рассмотреть случаи, в которых А
есть ППД, 1 (В V С) и В\/ С. Если А есть ~] ~]В, то
формула В эквивалентна некоторой R-формуле по индук1
тивному предположению; так как А эквивалентна В, то
она эквивалентна некоторой /^-формуле. Если А есть
1W) , то А эквивалентна ПД&ПС. По индуктив-
ному предположению формулы ~] В и ~] С эквивалентны
/^-формулам, поэтому по теореме эквивалентности фор-
мула А эквивалентна некоторой /^-формуле. Аналогичное
доказательство справедливо, если А есть B\JC.
*) Если А —отрицание атомной формулы вида "| (/(ар .... ап) =
= Ь), то 1- А—Зу2 ... 3^лЗг1Зг2((/1 = а1&...&^л = ал&/См1, ...
• . Уп) = 21 & ?г = Ь & 1 (г1 = г2)). — Прим. ред.
8.2 ТЕОРЕМА О ДОКАЗАТЕЛЬСТВАХ НЕПРОТИВОРЕЧИВОСТИ 309
Л е м м а 2. Если Р' — рекурсивное расширение теории Р,
то каждая R-формула теории Р' эквивалентна в Р' неко-
торой R-формуле теории Р.
Доказательство. Очевидно, достаточно показать,
что если Р' получена из Р" присоединением одного нового
пелогического символа, то каждая R-формула теории Р'
эквивалентна некоторой /^-формуле теории Р". Также
достаточно рассмотреть только -формулы вида fXi ...
  хп =у, или рх, ... хп, или П рхг ... хп, где f или р —
новый нелогический символ. Из вида определяющей ак-
сиомы для р, правила подстановки и теоремы эквива-
лентности мы видим, что pXi-.Xn и ~\pXi... хп экви-
валентны открытым формулам теории Р". Вследствие этого
по лемме 1 они эквивалентны /^-формулам теории Р". Ана-
логично, формула fxl...xn=y эквивалентна некоторой
формуле теории Р" вида А & Vz (z<y -> Д'), гДе Ф°Р’
мулы А и А' открытые. Таким образом, по лемме 1 и
теореме эквивалентности она эквивалентна некоторой R-
формуле теории Р".
Численным, частным случаем формулы А называется
замкнутая формула вида
A[kai, ..., kan].
Лемма 3. Если А — R-формула теории Р, то каж-
дый истинный численный частный случай формулы А
является теоремой теории Р.
Доказательство. Мы пользуемся индукцией по
длине формулы А. Если А есть 0=_у, то единственным
численным частным случаем является 0 = 0, и он дока-
зуем. Если А есть Sx=y, то каждый истинный числен-
ный частный случай имеет вид kn+i = kn+1 и потому дока-
зуем. Если А есть х-\-х'=у, х х'=у, х=у, х^=у,
х<у или l(x<j), то утверждение следует из (1) —(6)
из § 6.7. Если А есть В\/ С или В&С, то утверждение
следует из индуктивного предположения и теоремы тавто-
логии. Предположим, что А есть Vx (х <Zy -> В). Истин-
ный численный частный случай ч формулы А имеет вид
Vx (х <Zkn->-В'). Для каждого 1<п формула В' [Л/]
является истинным численным частным случаем формулы
В и, следовательно, доказуема по индуктивному пред-
положению. Таким образом, [—Vx (х <ЛЛ->Я) по лем-
ме 2 из § 6.7, правилу V-введения и правилу отделения.
310	гл. 8. НАТУРАЛЬНЫЕ ЧИСЛА <	It
Наконец предположим, что А есть ЗхВ. Истинный числен-
ный частный случай формулы А имеет вид ЗхВ'. Так’
как формула ЗхВ' истинна, то при некотором i истинна'
формула Bx[ki]. Так как она является численным част-:
ным случаем формулы В, то по индуктивному предполо-;
жению она доказуема. Следовательно, по теореме подста-'
новки [— ЗхВ’.	;
Комбинируя эти три леммы, мы получаем следующий’
результат.
Теорема. Если Р' — рекурсивное расширение теории Р,
то каждая истинная замкнутая экзистенциальная фор-
мула теории Р’ является теоремой теории Р'.
Мы покажем, что это утверждение нельзя распростра-
нить на универсальные формулы. Наша методика получе-
ния истинной, но недоказуемой формулы основана на:
доказательстве теоремы Чёрча. В этом доказательстве мы
строим предикат Q, отличный от всех Е (Д). Мы построим
такую формулу А, что А [Лл] истинно тогда и только
тогда, когда Q(n). Так как Q=#£(4), то существует
такое п, что [—рД[#л] не эквивалентно Q(n). Так как
доказуемые формулы истинны, то A[kn] истинна и недо-
казуема.
Напомним, что Q был определен следующим образом:
Q (а) о И Thmp (Sub (а, г z~\ Num (а))).
Тогда если а = ГДП, то Q (а) истинен тогда и только
тогда, когда A [ka] не является теоремой теории Р.
Пусть теперь Р' является рекурсивным расширением
теории Р, в котором введены все функции и предикаты
из § 6.6 (для теории Р). Пусть В есть формула
И Эу РгР (Sub (г, Num (г)), у)
(где у отлично от z), и пусть Д — перевод формулы В
в Р. Тогда В [kл] и Д[йл] истинны тогда и только тогда,
когда Q(n). Если а = гДп, то А [йа] истинна тогда и
только тогда, когда Q (а), и потому, ввиду сказанного выше,
тогда и только тогда, когда А [Ла] не является теоремой
теории Р. Так как все теоремы теории Р истинны, то
отсюда следует, что А [йа] истинна и не является теоре-
мой теории Р. Следовательно, B[ka] истинна и не является
теоремой теории Р'. Тогда пренексной формой формулы
B[ka] является некоторая истинная универсальная фор-
мула теории Р', не являющаяся теоремой теории Р'.
8.2 ТЕОРЕМА О ДОКАЗАТЕЛЬСТВАХ НЕПРОТИВОРЕЧИВОСТИ 311
Наше доказательство того, что Д[йа] истинна, зави-
сит от того факта, что теоремы теории Р истинны. Поль-
зуясь нашими леммами, мы вместо этого можем дать дру-
гое доказательство, основанное на непротиворечивости
теории Р. Согласно леммам 1 и 2 существует некоторая
R-формула С теории Р, эквивалентная в Р' формуле
ПЯ[Ла]. В таком случае С эквивалентна ~] A [ka] в Р'
и, следовательно, в Р. Таким образом, если A[ka] ложна,
то С истинна, поэтому по лемме 3 |— РС и потому
I—р“|Д[йа]. Однако если A [ka] ложна, toQ(g) ложен
и потому (— рА[/га]. Из этих двух результатов и непро-
тиворечивости теории Р ’мы заключаем, что A[ka] истинно.
Формализуем эти шаги в теории Р'. Пусть Thmp(a)
является сокращением для 3_уРгр(«, у). Пусть
[Ло]-1. Тогда утверждение если A [ka] ложно, то С
истинно превращается в
ПД[Ла] + С.	(1)
Утверждение если С истинно, то \~РС превращается в
C->Thmp(*c).	(2)
Утверждение если [~РС, то (—p~M[fca] превращается в
Thmp(fcJ~>ThmP(Neg(fcd)), _	(3)
где Neg (а) является сокращением для <fcsN(“|),«). Утвер-
ждение если А [Ла] ложно, то Р А [Ла] превращается в
1 Д [йа]-> ThmP (йй).	(4)
Утверждение (молчаливо использованное) если |— PA[ka]
и 'г- р"| А [йа], то теория Р противоречива превращается в
Thmp (kd) Thmp (Neg (kd))	~] СопР, (5)
где Сопр является сокращением для Vx (ForP (х) ->
->Thmp(x)). Заключительный вывод о том, что если тео-
рия Р непротиворечива, то А [#а] истинно превращается в
СопР->Д[йа].	(6)
Покажем, что все эти утверждения доказуемы в тео-
рии Р'. Для (1) это следует из того, что А [Ла] экви-
валентна С. Рассмотрение (2) мы ненадолго отложим.
Рассматривая (3), заметим, что так как |— Р СИ А [йа],
312
ГЛ. 8. НАТУРАЛЬНЫЕ ЧИСЛА
ТО
Thmp«fcSN(V), Neg(fccj, Neg (*rf)>)	(7)
является истинной замкнутой экзистенциальной формулой
теории Р' и, следовательно, теоремой теории Р'. Если мы
также формализуем доказательство правила отделения
в Р', то (3) мы можем получить из (7). Чтобы доказать
(4), заметим, что
fcd = Sub(fca, й|-2-|, Num(£a)J
является истинной свободной от переменных формулой
теории Р' и, следовательно, теоремой теории Р'. Поэтому
мы получаем (4) по теореме равенства и по выбору фор-
мулы А. Доказательство (5) в Р' является просто фор-
мализацией очень простой синтаксической леммы. Нако-
нец, (6) является тавтологическим следствием (1) —(5).
Теперь рассмотрим доказательство (2). Пусть S (а, Ьг)
является сокращением для
Sub (a, krXt-i, Num^));
S (a, blt b2) является сокращением для
Sub (S (a, b^,	, Num (ft2))
и т. д. (Разумеется, S зависит от выбора xlt x2,
однако мы не считаем нужным отмечать это с помощью
специальных обозначений.) Докажем, что если D — некото-
рая P-формула теории Р, а Хх...хп — переменные, свобод-
ные в D, то
H₽'P->Thmp(S(fcrp-i, Xi........х„));	(8)
тогда (2) получается отсюда как частный случай. Дока-
зательство проводится индукцией по длине формулы D.
Поскольку оно является просто формализацией доказа-
тельства леммы 3, то мы лишь кратко рассмотрим не-
сколько случаев.
Предположим, что D есть 0 = х. Опираясь на свой-
ства Sub, мы можем доказать
x) = <*sn(=>, Num(O), Num(x)).
Следовательно, нам надо доказать
O==x->ThmP(<fcsN(=)> Num(O), Num(x)».
8.2 ТЕОРЕМА о ДОКАЗАТЕЛЬСТВАХ НЕПРОТИВОРЕЧИВОСТИ 313
Ввиду теоремы равенства достаточно доказать
Thmp«AfSN(=), Num(O), Num(O))).
Однако это истинная замкнутая эксистенциальная фор-
мула, и потому она доказуема.
Предположим, что D есть x-\-y — Z. Как и выше,
достаточно доказать
х-~у-
^г-xThm «fcSN(=), <fcSN(+), Num (x), Num (y)>, Num (г))),
а для этого достаточно доказать
Thmp«fcSN(=), <AfsN(+), Num(x), Num (y)), Num (x
Это формализованный вариант (3) из § 6.7, доказываемый
индукцией по у.
Предположим, что D есть 3zD'. Если а есть
Sхг,	, хп), то по свойствам Sub имеем
hS(fcrDn- Х1......xJ = <ftsN(3), Лг2п, а}.	(9)
По индуктивному предположению
|- D' ThmP (Sub (а, кГг-[, Num (г)));
следовательно, по правилу дистрибутивности
i- D-> Зг ThmP (Sub (a, krz-y, Num (г))).	(10)
С другой стороны,
I - Зг Thmp (Sub (а, krz~\, Num (г)))
—>• ThmP ((/?sn(з), ку-z-1,	(11)
действительно, это просто формальное утверждение, гово-
рящее, что если Z)z[kn] для некоторого п, то i— 3zD'.
Из (10), (11) и (9) получаем (8). В остальных случаях
следует действовать аналогично, используя формализацию
леммы 2 из § 6.7, где D есть >/г (г <х;->£)').
Итак, мы показали, что Сопр->Д[/га] является тео-
ремой теории Р'. Так как А [ка] не является теоремой
теории Р', то отсюда следует, что СопР не является
теоремой теории Р', Если мы будем называть перевод
формулы Сопр в Р формулой теории Р, утверждающей,
что теория Р непротиворечива, то получим следующий ре-
зультат.
314
ГЛ. 8. НАТУРАЛЬНЫЕ ЧИСЛА
Теорема о доказательствах непротиво-
речивости (Гёдель). Формула теории Р, утверждаю-
щая, что теория Р непротиворечива, не является тео-
ремой теории Р.
Как и теорему Чёрча и теорему неполноты, это утверж-
дение можно обобщить на более общие теории, и, не вполне
строго говоря, мы можем утверждать, что оно обобщается
на более общие аксиоматические системы. Основным выво-
дом является то, что если некоторая аксиоматическая
система содержит теорию чисел в том же объеме, что и Р,
то мы не можем доказать непротиворечивость этой аксио-
матической системы из аксиом этой системы.
Теорема о доказательствах непротиворечивости накла-
дывает ограничения на типы доказательств непротиворе-
чивости, которые мы можем дать для теории Р. Чтобы
они имели какое-нибудь значение, нам надо знать, что
некоторые типы доказательств непротиворечивости можно
формализовать в Р. Разумно предполагать, что каждое
финитное доказательство непротиворечивости можно фор-
мализовать в Р (или, что эквивалентно, в некотором
рекурсивном расширении теории Р). Во-первых, финитное
доказательство имеет дело только с конкретными объек-
тами, а их можно заменить натуральными числами, сопос-
тавляя такое число каждому объекту (как мы это про-
делали с выражениями). Во-вторых, это доказательство
имеет дело с такими объектами конструктивным способом,
поэтому мы можем ожидать, что возникающие функции
и предикаты могут быть введены в некоторых рекурсив-
ных расширениях теории Р.
Изучение конкретных финитных доказательств непро-
тиворечивости подтверждает это предположение. Например,
приведенное в главе 4 доказательство непротиворечивости
теории М может быть формализовано в Р. Формализация
доказательства теоремы непротиворечивости является скуч-
ным, но элементарным упражнением. Затем следует про-
верить, что множество номеров истинных свободных от
переменных формул теории N можно ввести в некотором
рекурсивном расширении теории Р; это также несложно.
Конечно, мы не можем гарантировать, что каждое
финитное доказательство непротиворечивости можно фор-
мализовать в Р, поскольку мы не указали точно, какие
методы являются финитными. Можно попытаться доказать
8,3. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО НЕПРОТИВОРЕЧИВОСТИ
315
это утверждение из тех аксиом, описывающих финитные
методы, которые очевидны даже при нашем неточном опре-
делении, но в этом направлении не было достигнуто боль-
шого прогресса. Однако исследованиями Крайзеля было
показано, что в тех доказательствах непротиворечивости,
которые нельзя формализовать в Р, должны бы исполь-
зоваться некоторые принципы, полностью отличные от
принципов, использующихся в известных финитных дока-
зательствах.
Мы пришли к заключению, что разумно отказаться
от попыток отыскать финитное доказательство непротиво-
речивости теории Р. Однако это не означает, что мы
должны удовлетвориться доказательством непротиворе-
чивости посредством стандартной модели. Основной непри-
ятностью в таком доказательстве является не то, что оно
не финитно, а то, что оно столь неинформативно. Дока-
зательство непротиворечивости теории N из главы 4 сопро-
вождалось побочными результатами, которые в конечном
счете вели к решению проблемы характеризации. Дока-
зательство непротиворечивости теории Р посредством стан-
дартной модели не содержит таких побочных результатов.
Оно даже не увеличивает наше понимание теории Р,
потому что не содержит ничего такого, чего бы мы
не заложили в Р с самого начала.
Существует вторая причина для продолжения поисков
доказательства непротиворечивости теории Р. Любое финит-
ное доказательство имеет две характерные черты: оно
имеет дело с конкретными объектами, и оно обращается
с ними конструктивным способом. Теперь мы можем
надеяться найти некоторое доказательство непротиворе-
чивости, имеющее дело с абстрактными объектами, однако
по-прежнему конструктивное. Первое такое доказательство
было найдено Генценом; позднее было найдено несколько
других доказательств. Мы приведем одно из таких дока-
зательств, принадлежащее Гёделю.
8.3.	Доказательство непротиворечивости
Теперь мы введем формальную систему Р', являю-
щуюся фактически только видоизменением теории Р.
Символы системы Р' те же самые, что и символы теории Р,
за исключением того, что 3 заменен на V. Термы и
316
ГЛ 8. НАТУРАЛЬНЫ г: ЧИСЛА
формулы, свободные и связанные вхождения перемен-
ных определены так же, как и в Р, только опять 3 за-
менен на V.
Аксиомы и правила системы Р' получены из анало-
гичных аксиом и правил теории Р с тремя изменениями.
Во-первых, аксиомы подстановки теории Р заменены
на аксиомы подстановки системы Р', которые являются
формулами вида VxA-> А Да]. Во-вторых, правило 3-вве-
дения заменено на следующее правило V-введения: из Ау В
выводима Vx А У В, если только х не входит свободно в В.
В-третьих, аксиомы индукции заменены правилом индукции:
из АДО] и А->АД5х] выводима А.
Очевидно, что теорема тавтологии истинна в Р', потому
что модифицированные правила и аксиомы теории Р
не используются в ее доказательстве.
Мы вводим 3 как сокращение в Р', считая ЗхА
сокращением для “] Vx “] А. Тогда каждая формула
теории Р является определяемой формулой системы Р'.
Покажем, что если [-РА, то ]-р'А. Очевидно, для этого
достаточно показать, что аксиомы подстановки теории Р
и аксиомы индукции доказуемы в Р' и что правило
3-введения справедливо в Р'.
Согласно аксиомам подстановки системы Р’ имеем
Ьр'Ух -|А-Д А Да]. Тогда по теореме тавтологии
/ 'И Vx П А, т. е. |-р'Аа [«]->ЭхА.
Предположим, что ^’А->В и что х не входит сво-
бодно в В. По определению -> и по правилу V-введения
]-P'Vx“] А\/В. По теореме тавтологии ]-/>» “] Vx А->2?,
т. е. |—Р'ЗхА->2?.
Предположим, что А является аксиомой индукции
Вх [0] & Vx (В Вх [Sx]) В.
Легко заметить, что АДО] и А-э-АД5х] доказуемы в Р
без использования аксиом индукции, следовательно, как
уже было доказано, они являются теоремами системы Р'.
По правилу индукции р'А.
Теорема о доказательствах непротиворечивости пока-
зывает, что каждое доказательство непротиворечивости
теории Р должно использовать что-нибудь такое, что
не формализуемо в Р. В доказательстве Генцена исполь-
зована трансфинитная индукция. Мы вместо этого вое-
8.3. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО НЕПРОТИВОРЕЧИВОСТИ
317
пользуемся функционалами высших типов, которые мы
теперь и опишем.
Определим типовые символы при помощи обобщенного
индуктивного определения:
(а)	о —типовой символ;
(б)	если г и s —типовые символы, то (г->s)— типовой
символ.
Теперь мы для каждого типового символа г индук-
цией по длине символа г определим функционалы типа г.
Функционалом типа о является натуральное число. Функ-
ционалом типа (r->s) является отображение множества
функционалов типа г в множество функционалов типа s.
Впредь функционал будет означать функционал некото-
рого типа.
Если F — функционал типа (r-> (s->/)), а х — функ-
ционал типа г, то F (х) является функционалом типа
поэтому если у — функционал типа s, то F (х) (у)
является функционалом типа t. Более общо, если F —
функционал типа
(Г1^(Г2->...^(ГЛ^5)...)),	(1)
a Xi, ..., хп — функционалы типов гь ..., гп соответст-
венно, то Ё(Х1)...(х„) является функционалом типа s.
Если мы положим
F' (xi...хл)=Е(Х1) ... (х„),
то получим отображение F’ множества А, состоящего
из всех n-ок (хх....хл), где хг имеет тип rt при i =
= 1, ..., п, в множество В всех функционалов типа s.
Кроме того, каждое отображение множества Л в В может
быть получено таким способом из единственного функ-
ционала F типа (1). Поэтому мы отождествим F и F'.
В смысле обозначений это означает, что вместо F (xi)...
• ••(хл) мы можем писать F (xi...хл). Чтобы подчерк-
нуть это отождествление, мы будем иногда записывать
тип (1) как (rj..гл—>s).
Ясно, что (т, п)-арный функционал в смысле опре-
деления из предшествующей главы является функциона-
лом типа
(Т1...rm, Si.....sn-^o),
тде каждое г{ есть (о->о) и каждое s; есть о.
318
ГЛ. 8. НАТУРАЛЬНЫЕ ЧИСЛА
Теперь для рассматриваемых функционалов мы введем
язык У. Язык Y имеет следующие символы.
(i)	Для каждого типового символа г переменные типа г
xr, yr, zrt wr, x'r, ...
(ii)	Для каждого типового символа г константы, типа г.
Они будут описаны ниже.
(iii)	Символы Ар, =, “] и \/.
Переменные типа г будут изменяться на множестве ;
функционалов типа г. Каждая константа типа г будет .
обозначать конкретный функционал типа г, как это будет
разъяснено ниже. Символ Ар мы вводим для того, чтобы
обозначать результат применения какой-либо функции
к ее аргументу; так, мы сокращаем Ар uv до а (г») и -*
и (©i) ... (г»л) до а(©1, ..., ©л). Символы =, “] и \J имеют
свой обычный смысл.
Мы применяем х, у и Z в качестве синтаксических
переменных, областью изменения которых являются пере-
менные языка Y.
Константы и термы языка Y определяются при
помощи следующего обобщенного индуктивного опреде-
ления.
(а)	Символ 0 является константой типа о, символ S -
является константой типа (о->о).
(б)	Каждая переменная или константа типа г является
термом типа г.
(в)	Если « — терм типа (r->s), а <0 — терм типа г, то
а(©)—терм типа s.
(г)	Предположим, что Хх, ..., хп — различные пере-
менные типов Г1.....г„ соответственно и что а—терм
типа s, в котором нет вхождений переменных, отличных
от Xi..... хп. Мы вводим новую константу v типа
(Г1, ...,	-> s) с помощью определяющего равенства vxi...
...хп=и.
(д)	Предположим, что х — переменная типа о, а — кон-
станта типа г, а а' —константа типа (г, о->г). Мы вво-
дим новую константу v типа (о -> г) с помощью определяю-
щих равенств ®(0) = а и o(S(x)) = a' (о(х), х).
Константа 0 обозначает натуральное число нуль, а
константа S обозначает функцию-последователь. Значения
остальных констант даются их определяющими равенствами.
8.3. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО НЕПРОТИВОРЕЧИВОСТИ
319
(Это является единственным назначением определяющих
равенств. Они не являются определениями в смысле § 1.2,
потому что константы не являются определяемыми симво-
лами.)
Мы употребляем f,gnh в качестве синтаксических
переменных, областью изменения которых являются конс-
танты; а, b и с —в качестве синтаксических переменных,
областью изменения которых являются термы.
Атомной формулой называется выражение а = Ь, где
а п b имеют тип о. Формулы определяются при помощи
следующего обобщенного индуктивного определения:
(i)	любая атомная формула является формулой:
(ii)	если и —формула, то и 1 и —формула;
(iii)	если и и г» —формулы, то и у аг» —формула.
(Отметим, что определяющие равенства, вообще говоря,
не являются формулами, потому что они являются равен-
ствами между термами, не обязательно имеющими тип о.)
Поскольку мы разъяснили значение всех символов
языка Y, то должно быть ясно, что подразумевается, когда
говорят, что некоторая формула языка Y истинна при
каких-то значениях ее переменных. Мы пишем J-уД для
обозначения того, что А истинна при любых значениях
ее переменных, опуская иногда нижний индекс.
Подходящие сокращения, применявшиеся в теориях,
можно применять и в языке Y. Чтобы избежать ссылок
на типы констант, мы примем следующее соглашение:
типы всех переменных и констант таковы, что все выра-
жения, в которых они встречаются, образованы в соот-
ветствии с правилами образования термов, формул и опре-
деляющих равенств. Так, например, если мы упоминаем
о формуле f(x) = a, то подразумевается, что для некото-
рого г символ / имеет тип (г->о), х имеет тип г, а а
имеет тип о.
Через их [а] мы обозначим выражение, полученное из и
заменой всех вхождений х на а. Если встречается такой
символ, то подразумевается, что х и а имеют одинаковый
тип. Аналогично мы употребляем иХх.......^[«1, ..., ап].
Заметим, что существует по крайней мере одна кон-
станта каждого типа. Действительно, 0 является констан-
той типа о, и если / имеет тип s, а х является перемен-
ной типа г, то мы можем ввести некоторое g типа (r->s)
с помощью определяющего равенства g(x)—f.
320
ГЛ. 8. НАТУРАЛЬНЫЕ ЧИСЛА
Пусть х1г ..., хп, у, Z — различные переменные, причем
у имеет тип о. Пусть а и Ь— такие термы типа о, что а
не содержит переменных, отличных от х1г ..., хп, а b
не содержит переменных, отличных от х±,.... хп, у, Z.
Тогда мы можем найти такую константу /, что
Нг/(0, Xi, .... хп) = а,
\-Yf(S(y), xlt .... xn} = bz[f(y, х1г .... х„)].
Для этого мы введем f при помощи определяющих равенств
f(ty=g> f(S(y))=h(f(y), у), где g и h имеют опре-
деляющие равенства
g-(Xi, .... Хп)^а,
h(w, у, xlt .... xn) = bz[w (х1} .... x„)].
Если мы выбрали некоторое f, удовлетворяющее (2),
то мы говорим, что мы ввели f при помощи (2). В част-
ности, мы вводим + следующим образом:
0 + х = х,
5 («/) + x = S (% + «/),
а затем вводим • следующим образом:
0х=0,
S(y)-x=(yx) + x.
Кроме того, мы введем Р следующим образом:
Р(0) = 0,
Р (5 (у))=у,
а затем введем L следующим образом:
L (0, х) = х,
L(S(y), x)=P(L(y, х)).
После этого сократим выражение L(a, &)#=0 до а<.Ь.
Очевидно, это придает символу < его обычное значение.
Переменные из Р' мы отождествляем с переменными
типа о языка Y. Тогда каждый терм из Р’ является тер-
мом типа о языка Y, а каждая открытая формула из Р'
является (возможно, определяемой) формулой языка Y.
Кроме того, такая формула имеет в Р' то же значение,
что и в У.
Теперь заметим, что для каждой формулы А языка Y
существует такой терм а типа о, все переменные которого
8.3. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО НЕПРОТИВОРЕЧИВОСТИ
321
ВХОДЯТ В А, ЧТО
|— уА «-> а = 0.
Мы легко можем получить а, воспользовавшись индукцией
по длине формулы А, если мы имеем такие константы Е,
N и D, что
a b<> Е (а, &) —О,
а #= 0	N (а) = О,
а = 0\/ b = 0*+ D (а, &) = 0.
Последние можно ввести следующим образом:
Е(х, y) = L(x, у) + Цу, х),
М(0)=1, M(S(z/)) = 0,
D(x, у)=х-у.
По данным различным переменным х1г ...» хп, среди
которых находятся все переменные, входящие в A, анЬ,
мы можем найти такую константу f, что
Н	..., хп)=а,
Н 1 A-+f(xt, ...» хп) = Ь.
Действительно, воспользовавшись сказанным выше, выбе-
рем с так, что А ++с = 0, и введем / с помощью опре-
деляющего равенства
f(xlf .... xn) = a-N (c} + b-N
Если мы выбрали f, удовлетворяющую (3), то мы гово-
рим, что мы ввели f при помощи (3).
Обобщенной формулой называется выражение Vxi...
...	где Xi, ..., хт, ylt ...,у„ различны,
а А — формула языка Y. Разумеется, оно не является вы-
ражением языка Y (исключая случай т = « = 0), однако
ясно, что оно должно означать. Две обобщенные формулы
мы считаем одинаковыми, если они отличаются только
выбором подкванторных переменных (т. е. если они являют-
ся вариантами).
Для удобства изменим порядок употребления синтак-
сических переменных до конца этого параграфа. Мы будем
употреблять х, у и Z для обозначения последовательно-
стей (возможно, пустых) различных переменных. (Областью
изменения для w будут по-прежнему переменные из Д'.)
Если х и у встречаются в одном контексте, то переменные,
11 Дж. Шенфнлд
322
ГЛ. 8. НАТУРАЛЬНЫЕ ЧИСЛА
входящие в х, отличны от переменных, входящих в у;
аналогично и для других пар синтаксических перемен-
ных. Если х есть последовательность х1г .... хп, то Зх
есть	и Vx есть VXi ...Vx„. Мы приме-
няем а, b и с для обозначения последовательностей (не
обязательно различных) термов, a f, g и h для обозна-
чения последовательностей констант. (Областью изменения
для d по-прежнему являются термы из Р'.) Если а есть
последовательность а1г ..., ап, а b есть последовательность
Ьъ Ьт, то а (Ь) есть последовательность
«1(^1, •••, Ьт), ...» ап(Ьъ ..., Ьт).
Аналогичное значение будут иметь f(a), b(x) и т. д.
Если а есть последовательность а1г ..., ап, а b есть по-
следовательность bi,..., bn, то а~Ь означает последова-
тельность равенств ax=blt..^, an = bn. Таким образом,
мы можем ввести некоторую последовательность констант/
с помощью последовательности определяющих равенств
/(х)-«.
Чтобы сократить число нижних индексов, мы бу-
дем записывать обобщенную формулу VxSjA в виде
Vx3yA[x, у, г], где z состоит из переменных, свобод-
ных в А, и, возможно, переменных, не встречающихся в А.
Далее, мы пишем А [а, Ь, с] вместо Ах,у г[а, Ь, с]. По-
скольку мы разрешаем переменным, не встречающимся в
А, входить в Z, и так как мы можем изменять подквантор-
ные переменные, не меняя обобщенной формулы, то
мы видим, что любые две обобщенные формулы можно запи-
сать в виде Vx3_yA [х, у, z] и Vx'3y'B[x', у', г] с обыч-
ным соглашением, что все переменные, входящие в х, у,
х', у' и z, различны.
Теперь мы сопоставим каждой формуле А из Р' неко-
торую обобщенную формулу А*. Определение формулы А*
производится индукцией по длине формулы А.
(i)	Если А —атомная формула, то А* есть А.
(ii)	Если А есть “| В и В* есть У/хЗуВ' [х, у, г],
то А* есть Vj'Sxl В' [х, у' (х), г], где у' — последова-
тельность новых переменных соответствующих типов.
(iii)	Если А есть В\/ С, В* есть У/хЗуВ' [х, у, z]
и С* есть У/х'Зу'С [х', у', г], то А* есть
У/хУ/х'ЗуЗу'(В' [х, у, z] V С' [х', у', г]).
8.3. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО НЕПРОТИВОРЕЧИВОСТИ
323
(iv)	Если А есть VwB и В* есть УхЭуВ' [х, у, г],
то А* есть VwVxByB' [х, у, г].
Хотя это и не будет использоваться в нашем доказа-
тельстве, легко заметить, что формулы А и А* имеют оди-
наковое значение. Это является очевидным, быть может,
за исключением случая (ii). В случае (ii) заметим, что В*
имеет то же самое значение, что и Зу'УхВ' [х, у ' (X), 2],
поэтому А имеет то же самое значение, что и
“I Эу'УхВ [х, у' (X), 2], а затем воспользуемся пренексными
операциями.
Если формула А открытая, то А* есть А. Индукцией
по длине формулы А легко проверить, что
есть AZ[d].
Обобщенная формула УхЗ.уЛ [х, у, 2] называется вер-
ной, если существует такая последовательность термов а,
что |— УА [х, а, г]. (Разумеется, отсюда следует, что эта
обобщенная формула будет истинной для всех значений
своих переменных.)
Теорема. Если Р’А, то А* верна.
Доказательство. Воспользуемся индукцией по
теоремам Р'. Сначала предположим, что А является
пропозициональной аксиомой “| В V В. Если В* есть
V хЗуВ' [х, у, 2], то (1 В)* есть (после замены переменных)
Уу'Зх' ~]В'[х', у' (х'), 2], поэтому А* есть
V.y'Vx3x'3_y (Я В' [х', у' (х'), г] V В' [х, у, г]).
Таким образом, мы должны найти такую последовательность
термов а и Ь, что
Н “I В' [а, у' (а), г] V В’ [х, Ь, г].
Положим а равным х и b равным у' (х).
Теперь предположим, что А является аксиомой под-
становки	Если В* есть
УхВуВ' [X, у, 2, w],
то (1 Удав)* есть
Vy'3w3x' 1 В' [х', у' (w, х'), 2, w]
и	есть
Vx3_yS'[x, у, 2, с?].
Следовательно, А* есть
4y'Vx3w3x'3_y (B'fx'.y (w, x'),2,w]-+B'[x,y, 2,d]).
11»
324
ГЛ. 8. НАТУРАЛЬНЫЕ ЧИСЛА
Нам надо найти такой терм а и такие последовательности
термов b и с, что
 В'[Ь, у’(a, b), z, а]->В'[х, с, z, d\.
Положим а равным d, b равным х и с равным у' (а, &).
Если А. является аксиомой равенства, аксиомой тож-
дества или одной из аксиом Nl—N8, то формула А
открытая и, следовательно, А* есть А. Очевидно, [— УА.
Предположим, что А получена из В по правилу рас-
ширения, например, что А есть С у В. Если В* есть
УхЭуВ' [х, у, г] и С* есть Чх'Зу’С' [х', у', г], то А*
есть
Vx'Vx3_y'3_y (С' [х', у', z] V &'[*> у, г]).
По индуктивному предположению В* верна, поэтому суще-
ствует такая последовательность термов а, что [— В’ [х, a, г].
Таким образом, для любой последовательности термов'Ь
Н С [х', Ь, г] \/ В' [х, а, г].
Отсюда следует, что А* верна.
Теперь предположим, что А получена из А V А по пра-
вилу сокращения. Если А есть Vx3jM'[x, у, г], то
(Л V Л)* есть
VxVx'3_y3_y' (Л' [х, у, г] V А'[х', у', г]).
Так как (Л V Л)* верна, то существуют такие последова-
тельности термов а и а', что
 А'[х, a, z]\/A'[x', а', г].
Подставляя х вместо х', для подходящих b и Ь’ имеем
Н Л'[х, b, z] V Л'[х, Ь', г].	(4)
С помощью (3) мы можем найти такую последовательность
термов с, что
А'[х, b, z]->c = b,
“| Л' [х, b, z]->c = b'.
Отсюда и из (4) следует, что |— Л'[х, с, г]. Таким обра-
зом, Л* верна.
Предположим, что А получена из В по правилу ассо-
циативности. Тогда матрица формулы Л* может быть полу-
чена из матрицы формулы В* по правилу ассоциативности.
8,3. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО НЕПРОТИВОРЕЧИВОСТИ
325
Отсюда сразу следует, что из верности формулы В* следует
верность формулы Л*.
Предположим, что А получена по правилу сечения, на-
пример, что А есть СУ D, и получена из формул В \/ С
и 1 В V D. Пусть В*, С* и D* имеют вид
Vx3_yfi'[x, У> *]» Vx'Sy'C' [х', у', z]
и
Vx"By"D' [хя, у", z].
Тогда (В У С)* есть
VxVx'3y3y' (В1 [х, у, г] V С'[х', у', г]),
а (1 В V В)* есть
ЧуУх'ЗхЭу" (1 В' [х,	(х), г] V & [х", у", г]).
Поскольку обе они верны по индуктивному предположению,
то мы имеем такие последовательности термов а, а’, b
и Ь', что
В'[х, a, z] V С [х', a', г],	(5)
Н 1 В' [*,	(b), z] V D' [хя, Ъ', г].	(6)
Можно предполагать, что а не содержит переменных, не
встречающихся в х, z или х'\ действительно, такие пере-
менные можно было бы заменить константой такого же типа.
Далее, мы можем ввести последовательность f при помощи
определяющих равенств f (х', г, х) = а. Полагая в (5) а
равным /(х', Z, х), получаем
|- В' [х, /(х', z, х), г] У С'[х', а', г].	(7)
Подставляя в (6) /(х', Z) вместо уъ получаем
Ь -| в' [Ьь /(х', г, Ьг), г] у D' [Xя, Ь[, z].	(8)
Подставляя в (7) вместо х, имеем
В'[bt, fix', z, bi), г] V C'[x', аъ z].	(9)
Из (8) и (9) получаем
Н С'[х', аъ z]y D'[хя, Ь\, г].
Так как Л* есть
Vx'Vx*3.y'3y'(C'[x', у', z] у D'[x", у", г]),
то отсюда следует, что Л* верна.
326
ГЛ. 8. НАТУРАЛЬНЫЕ ЧИСЛА
Теперь предположим, что А получена из В \/ С по пра-
вилу V-введения. Тогда А есть VwB V где w не сво-
бодна в С. Легко проверить, что А* есть Vw((B V С)*).
Таким образом, если (В V С)* верна, то верна и А*.
Наконец, предположим, что А получена из Л«,[0]
и Л->Л«,[5а>] по правилу индукции. Пусть Л* есть
УхЗуА' [х, у, z, w]. Тогда (Л«,[0])* есть
УхЗуЛ' [х, у, Z, 0];
поэтому по индуктивному предположению существует такая
последовательность термов а, что [— Л' [х, а, z, 0].
Как и выше, мы можем определить последовательность g
следующим образом: g(z, х) — а, и получить, что
}-А'[х, g(z, х), z, 0].	(10)
Теперь (Л->Л«,[5г])* есть
Vy'Vx3x'By (А' [х',у' (х'), z, w]-> Л' [х, у, z, 5(w)]).
По индуктивному предположению существуют такие после-
довательности b и с, что
|- Л' [Ь, у’(b), z, w]-+A'[x, с, z, 5(w)].
Подставляя х'(z) вместо у', получаем, что
l-A-[b', х'(z, b'), z, w]-+A'[x, с', z, S(w)].
Как и ранее, мы можем переписать это следующим образом:
I- A'[b', х' (z, b'), z, ад]-^Л'[-«, b(x', w, z, х), z, S(w)].
(Н)
Пусть f имеет определяющие равенства /(0)==gr,
/(5(w)) = A (/(w), w). Тогда (10) превращается в
Н Л'[х,/(0, z, х), г, 0];	(12)
в то же время, подставляя /(w) вместо х1 в (11), получаем
A’[bi, f(w, z, bi), z, w]->
-+A'[x, f(S(w), z, x), z, 5(w)]. (13)
Теперь покажем, что A'[x, f(w, z, x), z, w];
отсюда будет следовать, что Л* верна. Мы хотим пока-
зать, что для каждого п если w имеет значение п, то
А'[х, f(w, z, х), Z, w] истинна при всех значениях х и Z.
Докажем это индукцией по п. Для п = 0 это верно вслед-
8.4. ПРИМЕНЕНИЯ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА НЕПРОТИВОРЕЧИВОСТИ
327
ствие (12). Теперь предположим, что это верно для неко-
торого п. Если w имеет значение п, а х и z имеют про-
извольные значения, то
A'[blt f(w, z, bi), z, w]
истинна; таким образом, вследствие (13)
А' [х, /(8(411)), г, х), Z, 5(w)]
истинна. Отсюда следует, что если w имеет значение n+ 1,
а х и z имеют произвольные значения, то А’ [х,
f(in), Z, х), Z, w] истинна. Это завершает доказательство.
Наше доказательство данной теоремы было конструк-
тивным. Действительно, мы показали, как построить после-
довательность а, показывающую, что А* верна, по дока-
зательству формулы А в Р'.
Теперь доказательство непротиворечивости стало про-
стым. Пусть А есть 0	0. Если |— Р А, то [— Р> А, поэтому
А* верна. Однако А* есть 0	0, которая не верна, следова-
тельно, 0 ф 0 не является теоремой теории Р, и потому
теория Р непротиворечива.
8.4. Применения доказательства непротиворечивости
Ранее мы уже отмечали,, что финитное доказательство
часто дает больше информации, чем нефинитное, потому
что оно требует от нас доказать больше, чем на самом
деле сформулировано. Это верно и по отношению к кон-
структивным доказательствам непротиворечивости; хорошим
примером служит наше доказательство непротиворечивости
теории Р. По смыслу стандартной модели из .доказатель-
ства непротиворечивости мы получаем необходимое условие
того, что А является теоремой теории Р, а именно, А
должна быть истинной. Из нашего конструктивного дока-
зательства мы получаем другое необходимое условие,
а именно, А* должна быть верной. Далее, если А* верна,
то она истинна, и, следовательно, истинна А, однако
обратное не всегда выполняется (см. задачу 9(6)). Таким
образом, наше конструктивное доказательство привело
к дополнительной информации неконструктивного характера.
Достаточное условие того, что А является теоремой
теории Р, можно рассматривать как частичное решение
328
ГЛ. 8. НАТУРАЛЬНЫЕ ЧИСЛА
проблемы характеризации для Р. Полученное нами решение
не является вполне удовлетворительным в одном отноше-
нии: если формула А очень сложная, то отношение между А
и верностью формулы А* не вполне ясно. Мы увидим,
как можно преодолеть это препятствие.
Как обычно, достаточно рассмотреть замкнутые фор-
мулы, находящиеся в пренексной форме. Пусть Л —такая
формула, и пусть Ро и Р'о получены из Р и Р' присоеди-
нением новых функциональных символов из формулы Ац.
Доказывая теорему Эрбрана, мы показали, что формула
А -> Ац доказуема без использования нелогических аксиом.
Отсюда следует, что если РЛ, то Ац является теоремой
теории Ро, а потому и системы Р\.
Теперь будем смотреть на каждый из новых функцио-
нальных символов из Ац как на переменную языка Y
соответствующего типа. Тогда можно определить В* для
произвольной формулы В из Рц, как это делалось прежде,
и доказать для Р'о теорему из предыдущего параграфа.
Мы приходим к выводу, что если Р А, то Л*у верна.
Предположим, что fi, ..., fn — новые функциональные
символы из Ац и что Ац есть Зл^ ... ЗхтВ, где фор-
мула В открытая. Легко заметить, что А*/ есть 3X1...
... ЗхтВ', где В' получена из В приписыванием к ней
слева 2m знаков отрицания. Отсюда следует, что если
|-рЛ, то существуют такие термы а1г .... ат языка Y,
что \-YB' [«1...ат], и, следовательно, \-YB [аг,..., ат].
Мы можем предполагать, что а{ не содержит переменных,
отличных от fi, ..., fn, а тогда мы можем ввести некото-
рую константу Fi при помощи определяющего равенства
Fdfi, ...,fn) — ah Отсюда
d?B[Fi(fi, ...,fn), ...,Fm(fi,
Мы называем функционал функционалом рекурсивного
типа, если он обозначен некоторой константой языка Y.
Утверждение, которое мы доказали, можно сформулировать
следующим образом.
Интерпретация опровержением контрпри-
мера (Крайзель). Пусть А—замкнутая формула в пре-
нексной форме, являющаяся теоремой теории Р. Пусть
формула Ац есть 3Xj ... ЗхтВ, где формула В откры-
тая, и пусть	— новые функциональные символы
из Ац. Тогда существуют такие функционалы Flt ..., Fm
8,4. ПРИМЕНЕНИЯ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА НЕПРОТИВОРЕЧИВОСТИ 329
рекурсивного типа, что
в,....хтГ1(/1......./»)....F.ifi....../„)]
истинна при любом выборе символов flt , fn.
Чтобы пояснить, что это означает, предположим, что
А есть
3xVy3zVwB [х, у, z, о>].
Тогда Ан есть BxBzBfx, f(x), z, g(x, Z)]. Отсюда сле-
дует, что если то существуют такие функционалы F
и G рекурсивного типа, что
B[F(f,g),	G(/,g), g(F(f,g), G(f,g))]. (1)
Далее, “| А эквивалентна формуле Vx3_yVz3w“| В[х,
у, Z, w], поэтому А ложна тогда и только тогда,
когда существуют такие функции fug, что для всех х и Z
-]В[х, /(х), z, g(x, 2-)].
Подобные функции f и g мы будем называть контрпри-
мером к А. Далее, А истинна тогда и только тогда, когда
не существует контрпримера к А, т. е. тогда и только
тогда, когда для любых f и g мы можем найти такие
F(f, g) и G(f, g), что (1) истинно. Дополнительная инфор-
мация, которую мы получаем, когда А доказуема в Р,
заключается в ’том, что F и G можно выбрать среди функ-
ционалов рекурсивного типа.
Замечание. Если А истинна, то существуют такая
константа е и такая функция /, что В[е, у, f(y), z] для
всех у и Z. Кажется правдоподобным, что если А дока-
зуема, то функцию f можно выбрать рекурсивной. Однако
это неверно; см. задачу 9.
Мы расширим интерпретацию опровержением контрпри-
мера на рекурсивные расширения теории Р. Очевидно, для
этого достаточно распространить наше доказательство непро-
тиворечивости на такие расширения. (Отметим, что такое
обобщение доказательства непротиворечивости бессмысленно
для доказательства собственно непротиворечивости, потому
что непротиворечивость каждого рекурсивного расширения
теории Р следует из непротиворечивости теории Р ввиду
предшествующих результатов.)
Очевидно, достаточно предположить, что мы распростра-
нили доказательство непротиворечивости на рекурсивное
330
ГЛ. 8. НАТУРАЛЬНЫЕ ЧИСЛА
расширение Р', и показать, что его можно распространить
также на рекурсивное расширение Р", содержащее на один
нелогический .символ больше, чемР'. Сначала предположим,
что присоединяемый символ есть предикатный символ р
с определяющей аксиомой рхг ... хп *-» А. Тогда формула А
открытая, поэтому А* есть А. Мы вводим р в качестве
определяемого символа языка Y, считая pai ... ап сокра-
щением для A [аг, ..., а„]. Очевидно, р имеет в Y такой же
смысл, что и в Р". Кроме того, (рХ! ... хп«-»Л)* есть
рхг ... хп*+ А, которая наверняка верна; таким образом,
наше доказательство непротиворечивости обобщено.
Теперь предположим, что новым неЛогическим симво-
лом является функциональный символ f с определяющей ак-
сиомой
fXi ... хп = цуА.	(2)
Тогда формула А открытая и [— РЗуА. Поскольку наше
доказательство непротиворечивости было обобщено на Р',
то (Зд>А)*, которая есть не что иное, как 3_у~П А, верна.
Отсюда следует, что существует такой терм а, что
hг~П Ау[а] и> следовательно, |— уАу[а]. Если g имеет
определяющее равенство
g-(xb .... хп)=а,
то мы получаем, что
Н Y-Ay [ff (•£ 1» •••>	(3)
Введем теперь константу h следующим образом:
A-+h(y, w, xlt ..., х„)=у,
~lA-+k(y, w, xlt .... x„)=S(w),
и константу f следующим образом:
/(О, х1г .... х„) = 0,
f (3 (w), Xi,..., x„) = h ( f (w, xlt..., x„), w, xlt..., x„).
Тогда
Ну Ay [f (w, xlt ..., x„)]V/ (w,	..., xn) = w, (4)
\~Yy<f(w, X!.......х„)->ПЛ.	(5)
Будем считать f константой языка Y с определяющим
равенством
f(xlt ...» Xn)=f(g(Xi, ...» хп), х1г ...» xn).
8.4. ПРИМЕНЕНИЯ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА НЕПРОТИВОРЕЧИВОСТИ 331
Тогда из (3), (4) и (5) получаем, что
Н Y-Ay [f(xlt ..., x„)],	(6)
A.	(7)
Отсюда следует, что f имеет в Y тот же смысл, что ив/3".
Нам еще надо показать, что если В есть аксиома (2),
то В* верна. Однако В есть
[fxr ... xn]&'^y(y<fxl ...	->П Л);
поэтому В* есть
Чу (Ay [f (хь ...» х„)] & (у </(хь ..., х„) -> 1 Л)).
Она верна вследствие (6) и (7).
В процессе расширения доказательства непротиворечи-
вости мы показали, что каждая функция, которую можно
ввести в некотором рекурсивном расширении теории Р,
имеет рекурсивный тип. Теперь мы увидим, что, наоборот,
каждую функцию рекурсивного типа можно ввести в неко-
тором рекурсивном расширении теории Р.
Введем формальную систему F. Символами системы F
являются константы языка Y и символы Ар и —. Сокра-
щение а(©! ..., ©„) мы вводим так же, как и в У. Термы
системы F определены при помощи следующего обобщен-
ного индуктивного определения:
(а)	константа типа г является термом типа г;
(б)	если а —терм типа (r->s), а © — терм типа г, то
д(©) —терм типа s.
Синтаксическими переменными /, g, h, а, b и с мы
пользуемся так же, как и в Y. Формулами системы F
являются выражения. а = Ь, где а и b имеют одинаковый
тип.
Каждая формула а = а является аксиомой системы F.
Если f имеет определяющее равенство
/(х1( .... хп)=а,
a gi> gn имеют тип Xi, .... хп соответственно, то
f(gi..................gn)=a[glt .... g„]
является аксиомой системы F. Если f имеет определяющие
равенства /(0) = g и f (5 (x)) = Zt (/(х), х), то /(0) = g
является аксиомой системы F и все формулы /(Лл+1) *=
— h(f(kn), kn) являются аксиомами системы F. Этим мно-
жество аксиом системы F исчерпывается. Единственным
332
ГЛ. 8. НАТУРАЛЬНЫЕ ЧИСЛА
правилом системы F является следующее правило: В выво-
дима из А и а — Ь, если В получена из А заменой неко-
торого вхождения а на b или наоборот.
Определим понятие сводимого терма типа г индукцией
по длине г. Терм а типа о является сводимым, если
Н Fa = kn для некоторого п. Терм а типа (r->s) является
сводимым, если а (Ь) является сводимым для каждого сво-
димого терма b типа г.
Докажем теперь некоторые простые факты о сводимости.
(i)	Если каждая входящая в а константа сводима, то
а сводим. Докажем это индукцией по длине терма а. Если
а —константа, то утверждение тривиально. В противном
случае а есть b (с), где b и с сводимы по индуктивному
предположению. Тогда а сводим по определению своди-
мости для Ь.
(ii)	Если \~а-=Ь и b сводим, то а сводим. Восполь-
зуемся индукцией по типу терма Ь. Если b имеет тип о,
то [— b = kn для некоторого п, и, следовательно, |— a = kn
по' правилу системы F. Таким образом, а сводим. Пусть b
имеет тип (r->s), и пусть с —сводимый терм типа г. Так
как [— а(с) = а(с) и \-а=Ь, то получаем, что [—а(с) =
= fe(c). Поскольку терм b сводимый, сводимым будет и
b (с), так что а (с) сводим по индуктивному предположению.
Таким образом, а сводим.
(iii)	Если a{kn) сводим для каждого п, то а сводим.
Действительно, пусть b — сводимый терм типа о, тогда
\—b — kn для некоторого п. Так как \~ a(b) = a(b), то
a (b) = a (kn). Терм а (Ь) сводим по условию и (ii).
Теперь индукцией по константам покажем, что каждая
константа сводима. Очевидно, константа 0 сводима. Так
как 5 (kn) есть Л„+1, то она сводима, следовательно, 5 сво-
дима по (iii). Пусть f имеет определяющее равенство
f(xlt ..., хп) = а, где каждая константа из а сводима.
Очевидно, чтобы доказать, что f сводима, достаточно пока-
зать, что f(gi, gn) сводима для всех сводимых констант
gi, gn*)- Однако
gn)=a [gi, ..., g„]
*) Действительно, если &t-—сводимый терм, то, вводя константу g(
определяющим равенством gi = bi, имеем по (ii), что ^ — сводимая
константа. Далее, из \~f{blt ..., bn)—f{gx, ... , gn) следует по
(ii), что из сводимости f (gx, ... , gn) следует сводимость f(bx, ..., bn).
— Прим. ред.
8.4. ПРИМЕНЕНИЯ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА НЕПРОТИВОРЕЧИВОСТИ 333
и #[Si -, §«] сводима по (i). Отсюда следует, что
f(gi, , gn) сводима по (ii).
Пусть теперь f имеет определяющие равенства/(0) = gr,
/(x) = Zt (/(х), х), где g и h сводимы. Индукцией по п
покажем, что f(kn) сводима, тогда сводимость f будет сле-
довать из (iii). Так как \-f(ty = g, то /(0) сводима
в силу (ii). Далее, предположим, что f(kn) сводима.
Из сводимости h следует сводимость h{f(kn)). Ввиду
сводимости kn отсюда следует, что h (f(kn), kn) сводима.
Так как
Н/(^+1) = Л(/(Л„), kn),
то из (ii) следует, что f(kn+1) сводима.
Следующим шагом является сопоставление номеров выра-
жениям системы F и введение определений, аналогичных
определениям, введенным для F в § 6.6. Поскольку в этом
нет ничего нового, то мы это пропустим. Пусть /—кон-
станта, обозначающая некоторую n-арную функцию рекур-
сивного типа, тогда мы можем определить такой предикат R,
что R(alt ..., ап, Ь) означает, что b есть номер доказа-
тельства формулы вида fka ... kan = kc, и такую функцию 6,
что если b является номером такого доказательства, то
G(b) = c. Так как f сводима, то для всех аъ ..., ап мы
имеем BbR(at, ..., ап, Ь), и ясно, что
G (pbR (at, ..., ап Ь))	(8)
является как раз функцией, обозначенной через /.
Воспользовавшись результатами из § 8.1, мы можем
ввести R и G в некотором рекурсивном расширении Р'
теории Р. Чтобы ввести функцию (8), мы должны уметь
доказать в Р' условие существования Зу/?(хъ ..., хп, у).
По существу это означает, что мы должны уметь доказать
сводимость / в Р'.
Для каждого типового символа г в некотором (нерекур-
сивном) расширении системы Р' с помощью определений
мы можем ввести такой предикат Redr, что Redr(x) озна-
чает, что х является номером какого-то сводимого терма
типа г. Затем мы можем доказать (i) отдельно для каждого
типа, т. е. для каждого г мы можем доказать формулу,
утверждающую, что (i) истинно для всех термов а типа г.
Аналогично, (ii) и (iii) можно доказать отдельно для каж-
334
гл. в. натуральные числа
дого типа. Затем индукцией по константам мы можем пока-
зать, что если а —номер некоторой константы типа г, то
Н Red, (ka).
Полагая а равным номеру константы /, мы получаем
нужный результат *).
8.5. Арифметика второго порядка
Мы убедились в том, что не существует аксиоматической
системы, в которой можно доказать все истинные формулы
теории Р и ни одной ложной. Однако весьма естественно
искать такой способ расширения теории Р, который позволит
нам доказать больше истинных утверждений о натуральных
числах. Один из способов сделать это —это присоединить
переменные, областью изменения которых являются функ-
ционалы высших типов. Мы рассмотрим несколько упро-
щенную систему, в которой мы присоединяем переменные,
областью изменения которых являются множества чисел;
это разъяснит возникающие проблемы и в то же время
позволит избежать некоторых трудностей.
Наиболее естественным путем было бы присоединение
к Р нового вида переменных. Однако при этом мы не полу-
чили бы теории, а потому не могли бы воспользоваться
полученными ранее результатами. Вместо этого мы будем
придерживаться процедуры, предложенной в § 2.1 для
работы с двумя видами индивидов.
Опишем теорию 5, называемую арифметикой второго
порядка. Нелогическими символами теории 5 являются
нелогические символы теории Р, бинарный предикатный
символ е и унарные предикатные символы и С. Примем
соглашение, что Nx будет означать, что х есть некоторое
число, и что Сх будет означать, что х есть некоторое мно-
жество чисел.
Договоримся применять строчные латинские буквы так,
как если бы они были переменными из S. Кроме того, мы
вообще будем предпочитать использовать буквы из этого
алфавита в тех случаях, когда переменная обозначает число,
*) Нам нужно получить доказательство ЗуТ? (jq.хп, у) в Р'.
Для этого замечаем, что Redr (fta) -> 3yR (х1( .... хп, у) доказуема
в рассматриваемом расширении Р', тогда и 3yR (jq, .... хп, у)
доказуема в этом расширении. Но это расширение консервативно
(см. § 4.6), поэтому нр, 3yR (хг, ... , хп, У). — Прим. ред.
8.5. АРИФМЕТИКА ВТОРОГО ПОРЯДКА
335
а не множество. Это соглашение вводится только затем,
чтобы облегчить чтение, и имеет неофициальный характер.
Наши первые две нелогические аксиомы утверждают,
что каждый индивид есть либо число, либо множество,
но не то и другое одновременно:
Nx\/Cx,	(1)
~](Nx&Cx).	(2)
Следующие три аксиомы говорят о том, что некоторые
индивиды являются числами или множествами:
М),	(3)
Na-^NSa,	(4)
a<=x-+Na&Cx.	(5)
Определим интерпретацию I языка L(P) в языке L(5),
считая, что Ui есть N и что Ui есть и для нелогического
символа и теории Р. Тогда в качестве новых нелогических
аксиом мы возьмем интерпретации аксиом Nl —N8 относи-
тельно I.
Аксиомой индукции теории 5 является
Сх & 0 <= х &Va (Na & а е х -> Sa s х) -> Na (Na -+а х).
Аксиомой объемности является
Сх &Су & Va (я е х а<=у) -+х = у\
она утверждает, что два множества, имеющие одни и те же
элементы, совпадают.
Теперь нам нужны такие аксиомы, которые позволят
нам получить некоторые множества. Основной способ полу-
чить некоторое множество — это взять множество всех чисел,
имеющих некоторое свойство. Введем некоторые аксиомы,
называемые аксиомами выделения, которые показывают,
что множества, определенные таким способом, существуют.
Ими являются все формулы вида
Зу (Су & Nx (х еу *+ Nx & Л)),
где у отлично от х и не встречается в А.
Так как функция, обозначенная некоторым функцио-
нальныхМ символом, должна быть определена для всех инди-
видов, то Зх должна иметь смысл даже тогда, когда"х
является множеством. В этом случае мы положим Зх = 0.
336
ГЛ. 8. НАТУРАЛЬНЫЕ ЧИСЛА
Аналогичное соглашение мы примем и относительно пове-
дения +, • и < , если их аргументами являются не
числа. Это выражается следующими аксиомами:
Сх->Зх = 0,	(6)
Сх V + = 0&x-y=0&~\(x<Zy).	(7)
Этим лаш список нелогических аксиом теории 3 завер-
шается.
Построим модель ©4'” теории 3 следующим образом.
Пусть N^p> является множеством натуральных чисел,
а является множеством всех множеств натуральных
чисел. Обозначим через | ©У4 | объединение и С^>.
Пусть а <= ^х истинно, если а является числом, х
является множеством и а х. Пусть «— нелогический
символ теории Р, придадим то же самое значение,
что и и^, если аргументами являются числа, и значение,
данное согласно (6) и (7), при других аргументах. Ясно,
что на самом деле является моделью теории 3. Мы
называем ее стандартной моделью теории 3 и говорим,
что формула теории 3 истинна, если она истинна в .
Изучим теперь некоторые синтаксические свойства
теории 3. Предположим, что Xi...хп, у — различные
переменные, и среди них находятся все свободные пере-
менные формулы А. Тогда мы можем ввести новый функ-
циональный символ / с помощью определяющей аксиомы
Cfxi...xn&Vy(y&fx1...xn*+Ny&A).	(8)
Действительно, условием существования для / является
аксиома выделения, а условие единственности является
простым следствием аксиомы объемности и (5). Из акси-
омы индукции следует, что
НО е/Хг... хп & Vy (Ny&у ^fxi... хп->
->Sjy е/хх... хп) -> Ny (Ny -^yt=jx1... хп),
поэтому вследствие (8) и теоремы эквивалентности полу-
чаем
НМО & Ау [0] & Ny (Ny & А -> NSy & Ау [Sj]) ->
А).
Ввиду (3) и (4) это можно упростить до
н Ау [0] & Ny (Ny & А -> Ay [Sjy]) -> Ny (Ny А). (9)
8.5. АРИФМЕТИКА ВТОРОГО ПОРЯДКА
337
Отсюда мы получаем правило индукции: если |— Ау [0]
и \-Ny& Л->Лу[Зу|, то \-Ny-+A.
Теперь докажем, что I является интерпретацией тео-
рии Р в теории 3. Вследствие (3)
|— SaNa.	(10)
Интерпретациями аксиом N3 и N4 являются
Na -> а + 0 = а,
(И)
Na-+Nb-+a-\-Sb = S(a-\-b).	(12)
Вследствие (12) и (4)
Н А&->(Аа->А(а + &))->(Аа->А(а + 36)). (13)
Из (11), (13) и правила индукции получаем, что
\-Nb-+Na-+N («+&).	(14)
Аналогично, используя (14) и интерпретации аксиом N5
и N6, получаем, что
\-Nb-*-Na-*-N (a-b).	(15)
Вследствие (10), (3), (4), (14) и (15) I является интер-
претацией языка L(P) в теории 3. Остается показать,
что интерпретация аксиомы индукции теории Р доказу-
ема в 3. Эта интерпретация имеет вид
Nyt Nyn -> (Лх [0] & Vx (Nx -> А -+АХ [Зх])) ->
->Ух(Ах->Л)
и, таким образом, доказуема вследствие (9).
Комбинируя это с результатами из § 4.7, мы видим,
что I можно расширить до интерпретации любого рекур-
сивного расширения теории Р в некотором расширении
теории 3 с помощью определений. Таким образом, те
функции и предикаты, которые могут быть введены
в рекурсивном расширении теории Р, могут быть также
введены в расширении теории 3 с помощью определе-
ний. Иногда мы будем молчаливо предполагать, что неко-
торые из этих функций и предикатов уже введены.
Разумеется, эти результаты позволяют вводить лишь
те функции, значениями которых являются числа. Ука-
жем, как можно вводить функции, значениями которых
являются множества, если они определены индуктивно.
Для простоты рассмотрим лишь унарные функции.
338
ГЛ. 8. НАТУРАЛЬНЫЕ ЧИСЛА
Предположим, что в некотором расширении 5' теории 3
с помощью определений имеется константа А и бинарный
функциональный символ 6 и что мы можем доказать С (4)
и С (6 (х, а)). Мы покажем, что в некотором расширении
теории 5' с помощью определений можно ввести функ-
циональный символ F и доказать
F (0) = Л,
Na-+F (Sa) = G (F (a), a).
Используя (8), определим функциональный символ Cut
определяющей аксиомой
V&(&sCut(x, а) Nb&(a, &)sx).
Тогда мы можем выписать определяющую аксиому для
функционального символа Н, говорящую следующее. Если
х — множество, то Н (х) = 0. Если а — число, то Н (а) —
множество чисел вида (Ь, с), где Ь^а. Кроме того,
Cut (Я (а), 0) — А и для каждого b<Za выполняется
Cut(7/(a), Sb) = G (Cut (H (a), b), b). Условие существо-
вания и единственности для Н мы можем доказать индук-
цией, используя аксиомы выделения при доказательстве
существования и аксиому объемности при доказательстве
единственности. Воспользовавшись индукцией по Ь, мы
можем также доказать, что Cut (Я (3tz), &) = Cut (Н (а), Ь)
при b а. Введем F с помощью определяющей аксиомы
F (a) = Cut (Н (а), а). Тогда
F (0)=Cut (Я (0), 0) = 4,
F (Sa) = Cut (Я (Sa), Sa) = G (Cut (Я (За), а), а) =
= С(СиЦЯ(а), а), a) = G(F(a), а).
Правильный путь «доказать» формулу А теории Р
в теории 3 —это доказать 4(/). Мы видим, что каждую
теорему теории Р можно доказать в этом смысле в 3.
Как уже говорилось в начале этого параграфа, не каж-
дая истинная формула теории Р может быть доказана
в 3 (см. задачу 10). Однако существуют истинные фор-
мулы теории Р, которые недоказуемы в Р, но доказуемы
в 3. Мы проиллюстрируем это, набросав. план доказа-
тельства C6n(pz> в 3.
Идея заключается в формализации* доказательства
непротиворечивости теории Р с помощью стандартной
8.5. АРИФМЕТИКА ВТОРОГО ПОРЯДКА
339
модели. Другими словами, мы индукцией по теоремам
докажем, что каждая теорема теории Р истинна, и придем
к заключению, что 0	0 не является теоремой теории Р.
Сделать это очень просто, как только мы получим опре-
деление истинных формул теории Р. Для этого доста-
точно определить истинные замкнутые формулы. Это можно
сделать индукцией по высоте формулы после того, как
мы определим истинные свободные от переменных атом-
ные формулы. Однако множество номеров истинных сво-
бодных от переменных атомных формул можно определить
в некотором рекурсивном расширении теории Р, а потому
и в 5. Тогда описанным выше методом мы можем ввести
такое F, что F (а) является множеством номеров истин-
ных замкнутых формул высоты, не превосходящей а.
Затем легко определить множество номеров истинных
замкнутых формул.
Замечание. Разумеется, это доказательство нельзя
провести в Р. Причиной является то, что истинность
истинного замкнутого подтверждения зависит от истинности
или ложности бесконечного числа формул меньшей высоты.
Мы не можем определить в Р функцию, если ее значения
зависят от бесконечного числа прежних значений.
Перейдем теперь к моделям теории 5. Если ©^ — модель
теории 5, то (в обозначениях из § 6.9) — структура
для L(P). Если А — аксиома теории Р, то [—поэтому
истинна в е^, следовательно, А истинна в ©^/. Таким
образом, — модель теории Р.
Модель ©^ теории 5 называется регулярной, если С л
является множеством подмножеств множества и а <=.лХ «->
a s х, где а принадлежит Мл, а х принадлежит Сл.
Мы покажем, что каждая модель ©^ теории 5 изоморфна
некоторой регулярной модели. Заменяя ©^ на какую-нибудь
изоморфную модель, мы можем предполагать, что никакой
элемент из j ©^ | не является подмножеством множества | ©^ |.
Определим отображение ф следующим образом: если а при-
надлежит Мл, то <р (а) = а; если х принадлежит С л, то ф (х)
является таким множеством элементов а из Мл, что а <^лх.
Используя (1), (2) и аксиому объемности, мы видим,
что ф — биективное отображение |	| в некоторое мно-
жество. Отсюда следует, что существует такая модель ей?,
что ф является изоморфизмом между ©^ и ей?. Очевидно,
<£% регулярна.
340
ГЛ. 8. НАТУРАЛЬНЫЕ ЧИСЛА
Регулярная модель полностью определяется по
и Сл. Действительно, определяет Мл = |е^/| и значе-
ния функций и предикатов, отличных от для аргу-
ментов из Nji. Согласно (1) |е^| должно быть объедине-
нием и Сл, а (5) и условие регулярности определяют
Остальные функции и предикаты для аргументов, не при-
надлежащих ДГЛ, определены согласно (6) и (7).
Лемма. Модель теории Р изоморфна тогда
и только тогда, когда каждый индивид модели оД есть
оЛ (kn) для некоторого п.
Доказательство. Очевидно, условие необходимо.
Предположим, что оно выполнено. Определим сюръектив-
ное отображение ф из | | в | оЛ | следующим образом:
Ф (n) = e^ (kn). Если т #= п, то \-pkm^kn, поэтому
оЛ (km) Ф оЛ (Л„). Это показывает, что ф инъективно.
Теперь условие изоморфизма следует из леммы 3 из § 8.2.
Например, чтобы доказать, что
ф(т)+лф (п) = ф(ш + п),
заметим, что [— Pkm + kn = km+n и потому
(^т) 4"	(^m+n)-
Если — регулярная модель теории S, то (kn) =
= e^i(kn) для всех п. Отсюда и из леммы 2 следует, что
о^1 изоморфна тогда и только тогда, когда каждый
элемент из |е^/| — есть (kn) для некоторого п. Если
это так, то мы говорим, что является а>-моделью
теории 5.
Регулярная модель оД теории 5 называется тоталь-
ной, если Сл является множеством всех подмножеств мно-
жества Покажем, что каждая тотальная модель тео-
рии 5 изоморфна о/Г'. (Это является известным доказа-
тельством того, что аксиомы Пеано категоричны.) Пусть
оЛ — тотальная модель теории 5, и пусть х — множество
всех orf (kn). Тогда Ол *= х, и если а <= х, то S^a х.
По аксиоме индукции отсюда следует, что а е= х для каж-
дого а из поэтому является сч-моделью. Вследствие
этого мы можем предполагать, что	Но тогда
С^ = С^' и потому о/? =	.
Теперь мы получим синтаксическую характеризацию
тех формул, которые являются истинными в каждой сч-мо-
дели. Формальная система 5а получена из 5 добавлением
8.5, АРИФМЕТИКА ВТОРОГО ПОРЯДКА
341
следующего (о-правила: из А [Ло], A [/fj, ... выводима
Nx->A. Заметим, что в отличие от всех рассматривав-
шихся нами ранее правил, (о-правило не конечно; для
получения заключения требуется бесконечно много посылок.
Теорема Генкина —Оре. Формула теории S
является теоремой системы Sa тогда и только тогда,
когда она истинна в каждой (£>-модели теории S.
Доказательство. Чтобы доказать, что каждая
теорема системы За истинна в каждой «-модели orf тео-
рии 5, достаточно показать, что если все посылки ы-пра-
вила истинны в ©>/, то и заключение истинно в а/, а это
очевидно.
Предположим теперь, что Д —не теорема системы Sa.
Пусть 5'—теория языка L(S), нелогическими аксиомами
которой являются все теоремы системы Sa. Тогда каждая
теорема теории S' будет теоремой системы За, поэтому
А — не теорема теории 5'. Отсюда следует, что если А' —
замыкание формулы А, то Т = S' [“] Д'] непротиворечива.
Пусть Г — подмножество множества 31(Т), состоящее
из формулы Nz-l и всех формул zt #= kn. Покажем, что
множество Г не является главным. Предположим, что В —
образующая для Г. Для каждого п имеем ,1— TB->Zt ^kn.
Подставляя kn вместо zx и используя аксиомы тождества,
получаем, что [- Я B[kn]. По теореме дедукции “|Д'->
В[Л„] — теорема теории S', а потому и системы 5а.
По (о-правилу	Д' ->”1 В — теорема системы За,
а потому и теории S'. Таким образом, |— tNz-l -> В.
Однако [— TB-^NZi, поэтому |— Г~] В по теореме тавтоло-
гии. Это невозможно по определению образующей.
Из теоремы Эренфойхта следует, что существует такая
модель теории Т, что никакой 1-тип из ©^ не вклю-
чает Г. Мы можем предполагать, что модель ©^ регуляр-
ная. Тогда является «-моделью теории S, в которой
А не является истинной.
Если А — истинная формула теории Р, то для каждой
«-модели а/l мы имеем
©^ (Д(')) =	(Д) = N (Д) = И,
поэтому Д(/)— теорема системы Sa. Это не противоречит
выводу, который мы сделали из теоремы о неполноте,
поскольку За не является аксиоматической системой в упо-
мянутом там смысле.
342
ГЛ. 8. НАТУРАЛЬНЫЕ ЧИСЛА
Формула А теории S является теоремой системы Sa
тогда и только тогда, когда она принадлежит каждому
классу Г формул теории S такому, что
(i) каждая аксиома системы Sa принадлежит Г;
(ii) если все посылки некоторого правила из Sa при-
надлежат Г, то и заключение этого правила принадлежит Г,
Если мы заменим все формулы их номерами, то мы смо-
жем сформулировать это определение в теории S, Другими
словами, существует такая формула D теории S, что D[k„]
истинна тогда и только тогда, когда п является номером
некоторой теоремы системы Sa. Пользуясь этим, мы так
же, как и в § 8,2, можем доказать следующее утвер-
ждение.
Теорема Россера. Существует истинная формула
теории S, не являющаяся теоремой системы Sa.
В заключение сделаем несколько замечаний о доказа-
тельствах непротиворечивости теории S. Если исключить
тривиальные доказательства, то единственное такое доказа-
тельство принадлежит Спектору. Это доказательство по
существу является обобщением доказательства непротиво-
речивости, проведенного нами для Р. Для того чтобы
позаботиться об аксиомах выделения, необходимо присоеди-
нить к Y новые константы. То, что определяющие равен-
ства для них определяют функционалы, не так очевидно,
как в рассмотренных ранее определяющих равенствах. Это
можно доказать довольно легко, однако доказательство не
конструктивно. Таким образом, чтобы сделать доказатель-
ство конструктивным, надо дать конструктивное доказа-
тельство того, что эти равенства определяют функционалы.
Недавние исследования показывают, что это вряд ли воз-
можно. Таким образом, в настоящее время неизвестно,
существует ли конструктивное доказательство непротиворе-
чивости теории S.
Все сказанное вызывает следующий более общий вопрос:
что такое, собственно говоря, конструктивное доказательство
и каковы свойства таких доказательств? Это главный
вопрос, изучаемый интуиционизмом. Хотя пока окончатель-
ные ответы на эти вопросы не найдены, в этом направле-
нии достигнуты значительные успехи. Однако мы не будем
здесь углубляться в этот предмет.
ЗАДАЧИ
343
Задачи
Предполагается, что все теории имеют только конечное число
нелогических символов.
1.	Предикатный символ р из расширения Р' теории Р с помощью
определений называется P-символом, если рхх... хп эквивалентно
некоторой 7?-формуле теории Р.
(а)	Показать, что если предикат Q можно ввести как некоторый
7?-символ в Р', то QXf.-Xn от хх........ хп слабо представляет Q
в Р . [Использовать лемму 3 из § 8.2.] Затем показать, что Q рекур-
сивно перечислим.
(б)	Показать, что каждую примитивно рекурсивную функцию
(примитивно рекурсивный предикат) можно ввести в некотором рекур-
сивном расширении теории Р. В частности, так можно ввести Тп.
(в)	Показать, что каждый рекурсивно перечислимый предикат
можно ввести как 7?-символ в некотором расширении теории Р с по-
мощью определений. [Использовать (б) и теорему о нумерации.]
2.	Пусть Т — такая теория, что NLAxr рекурсивно перечислим.
Согласно 1 (в) NLAxr можно ввести как R-символ в некотором рас-
ширении теории Р с помощью определений. Тогда мы строим Thm)r
и Сопг подобно Thnip и Сопр, используя NLAxr вместо NLAXp-
(Заметим, что Thmr и Сопг зависят не только от Т, но также и
от выбора 7?-символа NLAxr)
(а)	Показать, что Thmr является /^-символом.
(б)	Введем NLAx^. с помощью определения
ГЧЬАхд, (х) — x = k V ... V х = ka .
J	1	п
Показать, что (8) из § 8.2 выполняется, если Thmp заменить на Thm^,
(в)	Показать, что если Т — расширение теории N, то Ь- Thn^ (х)—►
-> Thmr (х).
(г)	Показать, что если Т — непротиворечивое расширение тео-
рии Р, то Сопг не является теоремой теории Т. [Следовать доказа-
тельству из § 8.2, используя (а) — (в).]
3.	(а) Пусть S и Т — такие теории, что NLAx5 и NLAxr ре-
курсивно перечислимы. Предположим, что S имеет интерпретацию I
в Т. Показать, что для каждого выбора Р-символа NLAxr можно
так выбрать R-символ NLAxs, что Ь- Сопг -> Cons. [Ввести такую
функцию Г, что Г (‘-Д”1) = ГА(/П в некотором рекурсивном расши-
рении теории Р. Ввести NLAxs как R-символ и определить новый
R-символ следующим образом:
NLAx^ (х) — NLAxs (х) & Thmr (/' (х)).
Следуя доказательству теоремы об интерпретации, показать, что
HThm^ (х) -> Thmr (/' (х)).]
(б) Пусть Т — такая теория, что NLAxr рекурсивно перечислим.
Показать, что если теория Т непротиворечива, то Р [Сопг] не интер-
344
ГЛ. 8. НАТУРАЛЬНЫЕ ЧИСЛА
претируема в Т. [Предположить, что это не так, и, пользуясь (а) и
1 (г), показать, что Р [Сопг] противоречива, и, следовательно, что
Сопг ложен.]
(в) Пусть Т — такая теория, что NLAxr рекурсивно перечислим.
Показать, что если теория Т непротиворечива и если / является ин-
терпретацией теории Р в теории Т, то Сол?/' не является теоремой
теории Т. [Использовать (б).[
4.	(а) Показать, что если Q — унарный ^-символ из Р', то су-
ществует такая замкнутая 7?-формула А, что Ь- Р,А — Q (fer^n).
[Взять в качестве А формулу Bz [ferBl]> гДе & есть ^-формула, эк-
вивалентная Q (Sub (z, Num (г))).]
(б)	Показать, что если В — замкнутая формула теории Р такая,
что Н pThm (k'~B-i)^B, то имеем н рВ. [Определим Q (а) о
оТЬгПр (Imp (а, Гр-1)), где Imp (Гд-I, Г= Г~Д -> В~\ Введем Q как
7?-символ, и пусть А такая же, как и в (а), Показать, что
Ь A -»Thm (Агл"1) Thm (ft[-B~l) и нА -> Thm (ft[-^~l)>
а затем последовательно доказать, что Н А-+В, Н<2(ЛглП)> Ь А,
ЬЛ]	'
(в)	Показать, что если Q есть Thm^ и А такая же, как в (а), то
Н рА. [Использовать (б).]
5.	Пусть А — не разрешимая в Р замкнутая формула.
(а)	Пусть В — множество номеров теорем теории Р[А], не яв-
ляющихся теоремами теории Р. Показать, что В не является рекур-
сивно перечислимым. [Предположить обратное и воспользоваться
теоремой об отрицании, чтобы показать, что теория Р ["] А] разре-
шима.]
(б)	Пусть F — рекурсивная функция. Показать, что существует
такая теорема В теории Р, что если тип —наименьшие номера до-
казательств теоремы В в Р и Р [А] соответственно, то m>/?(/i).
[Предположить обратное и прийти к противоречию с (а).]
6.	Пусть — такая модель теории Р, что |	| = |	|, од-
нако не изоморфна ©^. По лемме из § 8.5 существуют элементы
из I |> отличные от (£„); такие элементы называются беско-
нечными элементами.
(а)	Показать, что если х является бесконечным элементом из | I,
то о/ё (Ьп)<.дХ Для всех п. [Использовать N9 и лемму 2 из § 6.7.]
(б)	Показать, что если в А нет свободных переменных, за исклю-
чением х, то
3z3t/Vx (х < w —>'(3х' (t/ = x' • (1+х) • г)-- А)).
[Аналогично лемме из § 6.4.]
(в)	Пусть Ф — последовательность всех функций и предикатов
из • Показать, что если в А нет свободных переменных, за исклю-
чением х, то множество А таких п, что (Ал [£„]) = И, является
рекурсивным в Ф. [Показать, что orf (й„), рассматриваемая как
функция от п, рекурсивна в Ф. Взять бесконечный элемент w, и
ЗАДАЧИ
345
выбрать г, у, г' и у' согласно (а) и (б) так, чтобы в выполнялось
Зх' (у = х' -(I+e^ MHWtU
Зх' (у' = хг- (1 + е^ (Лл))  z') ** "] А [Л„].
Воспользоваться теоремой об отрицании.]
(г)	Показать, что любые два непересекающиеся рекурсивно пе-
речислимые множества могут быть отделены некоторым множеством,
рекурсивным в Ф. [Использовать (в) и задачу 8 (б) из главы 6.] Затем
показать, что некоторый элемент из Ф является нерекурсивным.
[Использовать задачу 13 (в) из главы 6.]
(д)	Показать, что если элементарно эквивалентна ©^. то неко-
торый элемент из Ф не является арифметическим. [Показать, что каж-
дое арифметическое множество представимо в Th (@/Р°) и потому
вследствие (в) рекурсивно в Ф. Затем применить теорему об ариф-
метической иерархии]
7.	P-теорией называется такое расширение теории Р, в котором
каждая формула вида
Ах [0] ->Vx(A Ах [Sx])-*A
является теоремой. Пусть Т — некоторая P-теория; определим рекур-
сивные расширения так же, как и для Р, тогда мы можем доказать
все результаты из § 8.1.
(а)	Показать, что всякое расширение P-теории с помощью опре-
делений является Р-теорией.
(б)	Унарный функциональный символ f доминирует над п-арным
функциональным символом g в P-теории Т, если
< X -> ... -+ Хп < X > gX! ... Хп <fX.
Показать, что если Т — P-теория, то существует расширение Т'
теории Т с помощью определений, содержащее функциональный сим-
вол /, доминирующий над каждым функциональным символом теории
Т. [Пусть g — л-арный функциональный символ теории Т, определить
ftj, ..., hn в рекурсивном расширении теории Т так, что
Н	...-^xl<yl-^ gxl...xn<hyi...yixM...xn.]
(в)	Пусть Т — P-теория. Показать, что в подходящем расширении
Т' теории Т с помощью определений существует бинарный ‘функ-
циональный символ g такой, что если « — терм теории Т, содержащий
самое большее m функциональных символов, a .......... хп	— все
переменные из а, то
Н т, Xi < х	хп<х-> a <g(x, km),
и такой, что
Нг<у<2-»£(.х, y)<g(x, z).
[Используя f из (б), индукцией по у определить g(x, j).]
(г)	Пусть Зу!А —теорема некоторой P-теории Т, и пусть
xi> хп — все переменные, свободные в Зу>А. Показать, что суще-
ствует функциональный символ f из расширения Т' теории Т с помо-
щью определений такой, что Н?-, Ау [/Х! ... х„]. [Использовать
принцип наименьшего числа.]
346
ГЛ. 8, НАТУРАЛЬНЫЕ ЧИСЛА
(д)	Показать, что если существует конечно аксиоматизируемая
непротиворечивая P-теория, то существует конечно аксиоматизируе-
мая непротиворечивая открытая P-теория. [Доказывать аналогично
доказательству теоремы Скулема, используя (г).]
(е)	Пусть <2^ — модель некоторой P-теории; элемент х из
такой, что (kn)=£x для всех п, называется бесконечным элемен-
том. Показать, что если х — бесконечный элемент, то q/F (к^)<лх
для всех п. [Подобно 6(a).] Показать, что если Т— непротиворечи-
вая P-теория, то Т имеет модель, содержащую бесконечный элемент.
[Использовать теорему о мощности.]
(ж)	Показать, что не существует конечно аксиоматизируемой
непротиворечивой P-теории. [Предположим, что Т — такая теория.
Вследствие (д) мы можем предполагать, что теория Т открытая.
Согласно (е) существует модель теории Т, имеющая бесконечный
элемент х. По теореме Лося —Тарского мы можем предполагать, что
каждый элемент из | o/F | есть (а), где а—-свободный от пере-
менных терм языка L (а?/), не содержащий имени, отличного от
имени х. Выберем g и Т' так же, как и в (в), и обогатим а?/ до
модели теории Т'. Показать, что у <лёл (Зл (х), х) для каждого
индивида у из а^-1
8.	(а) Пользуясь теоремой из § 8.3, показать, что не существует
замкнутой теоремы VwA теории Р такой, что н pAw [йд] для
всех п. [Предположим противное, и пусть А* есть Vx3yA' [х, у, г].
Тогда существуют такие функции f, g и hw рекурсивного типа, что
“М' [/(у')- y'(f(y')' g(y'))> ё(У')]
и
А' [х, hw (х), w]
истинны при всех у', х и w. Получить противоречие при помощи
подходящего выбора у', х и w.]
(б) Показать, что существует такая замкнутая теорема За>А
теории Р, что Aw[ft„] не является теоремой теории Р для каждого
п. [Пусть В является такой P-формулой, что VwB истинна, но не
доказуема в Р, и пусть А есть ""] B\/VwB.]
9.	(а) Показать, что существует такая бинарная рекурсивная
функция F, что каждая унарная функция рекурсивного типа есть
Р(е) для некоторого е. [Использовать (8) из § 8.4.] Затем показать,
что существует унарная рекурсивная функция, не являющаяся
функцией рекурсивного типа. [Взять G (х) = Р(х,х)-|-1.]
(б)	Показать, что существует предикатный символ Р из некото-
рого рекурсивного расширения Р' теории Р такой, что Vx3i/P (х, у)
истинно, но такой, что для каждой унарной функции рекурсивного
типа F существует такое х, что Р (х, F (х)) ложно. [Положить
Р (х, у)-'-Т1(е, х, у), где е — индекс рекурсивной функции, не
являющейся функцией рекурсивного типа.] Затем показать, что
Vx3i/P (х, у) неразрешима в Р'.
(в)	Показать, что существует предикатный символ Р из рекур-
сивного расширения Р' теории Р такой, что I—p,Vx3(/VzP (х, у, г),
но такой, что не существует такой рекурсивной функции F, что
Р (х, F (х), г) истинно для всех х иг. [Пусть Р (х, у, г) —	(х, х, у) V
ЗАДАЧИ
347
Vl^fx, х, г). Если существует такая рекурсивная функция/7,
что VxVz 7? (х, F (х), г), то 1у1\ (х, х, у) является рекурсивным
предикатом от х, а это противоречит диагональной лемме.]
10.	(а) Показать, что если Т имеет точную интерпретацию
в некоторой рекурсивно аксиоматизированной теории, то Т рекур-
сивно аксиоматизируема. [Использовать задачу 5 (а) из главы 6.]
(б)	Показать, что если полная теория Т имеет интерпретацию
в непротиворечивой рекурсивно аксиоматизированной теории Т', то
Т разрешима. [Показать, что интерпретация должна быть точной, и
воспользоваться (а) и леммой из § 6.8.] Затем показать, что Th (@^°)
не может иметь интерпретации в непротиворечивой рекурсивно
аксиоматизированной теории.
(в)	Показать, что существует такая истинная формула А теории
Р, что не является теоремой теории S. [Использовать (б).]
11.	(а) Показать, что если Q есть (1, п)-арное арифметическое
отношение, то существует такое предложение А теории S, что для
каждой ©-модели имеем (А [/, kai,, kan)] = И тогда и только
тогда, когда t —имя такого множества А, что Q (Л^,	....ап),
[Свести к случаю, когда Q рекурсивно перечислимо. Затем заметить,
что
Q (а, а) —- 3x7? (а (х), а)
— ЗхЗг/ (у=а (х) & 7? (у, а)),
где 7? рекурсивно. Воспользоваться тем, что/? представим в теории S.]
(б)	Показать, что каждый предикат рода П} слабо представим
в Sw. [Использовать (а), задачу 17 (а) из главы 7 и теорему Ген-
кйна — Оре.]
(в)	Показать, что множество номеров теорем системы Sw имеет
род П}. Вывести, что каждый слабо представимый в Sw предикат
имеет род П}.
12.	Множество натуральных чисел А находится в ©-модели
(где = если А принадлежит Сл.
(а)	Показать, что если А представимо в Sw, то А находится
в каждой ©-модели. [Использовать аксиому выделения и теорему
Генкина —Оре.]
(б)	Показать, что каждое гиперарифметическое множество пред-
ставимо в Sw. [Использовать 11 (а), задачу 27 (б) из главы 7 и теорему
Генкина —Оре.]
(в)	Пусть Г—счетная непротиворечивая теория, и пусть Г и
А — подмножества множества St (Т)> ни одно из которых не является
главным. Показать, что существует счетная модель теории Т
такая, что никакой 1-тип из не включает либо Г, либо А.
[Подобно теореме Эренфойхта.]
(г)	Показать, что множество А, находящееся в каждой ©-модели,
является гиперарифметическим. [Пусть S' и Г такие же, как и
в доказательстве теоремы Генкина —Оре, и пусть А состоит из Czlt
где пеА, и kn <£ zlt где п^А. Используя (в), показать,
что А имеет образующую. Используя это и 11 (в), показать, что А
и "] А имеют род П[.]
ГЛАВА 9
ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ
9.1.	Аксиомы для множеств
Обратимся теперь к исследованию теории множеств.
Большой интерес к множествам отчасти вызван той важ-
ной ролью, которую они сыграли в современной матема-
тике. Но даже без этого понятие множества так естест-
венно, что оно само привлекает внимание исследователя.
Множество (или класс) есть некоторое семейство объ-
ектов. Этими объектами могут быть числа, функции, физи-
ческие объекты или даже множества. Так как нет никаких
ограничений на объекты, которые могут быть элементами
множеств, то могло бы показаться, что мы можем задать
множество, если укажем для каждого объекта из универ-
сума, будет данный объект элементом множества или нет.
Однако это сразу приводит нас к парадоксу Рассела.
Зададим множество А следующим образом: объект х яв-
ляется элементом А тогда и только тогда, когда х есть
множество и х не является элементом множества х. Итак,
А является элементом А тогда и только тогда, когда А
не является элементом А; приходим к противоречию.
Внимательный анализ этого парадокса показывает, что
здесь в действительности нет противоречия с интуитивным
понятием множества. Согласно этому понятию для обра-
зования множества А мы собираем вместе некоторые объ-
екты, которые в своей совокупности и составляют един-
ственный объект, являющийся множеством А. Следова-
тельно, перед тем, как множество А образовано, мы
должны иметь в распоряжении все объекты, которые яв-
ляются элементами А. Отсюда следует, что множество А
не является одним из возможных элементов А; следова-
тельно, парадокс Рассела исчезает.
Поэтому мы приходим к следующему описанию постро-
ения множеств. Мы начинаем с некоторых объектов, не
являющихся множествами и не использующих множеств
в своем построении. Назовем эти объекты праэлементами.
9.1. АКСИОМЫ ДЛЯ МНОЖЕСТВ
349
Затем мы образуем множества последовательно по шагам.
На каждом шаге мы имеем в распоряжении праэлементы
и множества, образованные на более ранних шагах, тогда
мы образуем новые множества как всевозможные семейства
этих объектов. Семейство считается множеством, если оно
образовано на каком-то шаге этой конструкции.
Мы можем провести эту конструкцию с любым семей-
ством праэлементов. Если мы проводим эту конструкцию
без праэлементов, то получающиеся множества называются
чистыми множествами. Оказывается, для математических
целей этого достаточно; этого также достаточно для фор-
мулировки всех проблем, которые возникают в общем
случае. Поэтому мы ограничиваемся лишь этим случаем
и впредь под множеством или классом понимаем чистое
множество.
В каких случаях некоторое семейство множеств обра-
зует множество? Для каждого множества х из этого се-
мейства обозначим через шаг, на котором х было
образовано. Мы можем образовать множество из этого
семейства тогда и только тогда, когда существует шаг S,
следующий за всеми S*. Однако такого шага может и не
быть, например, тогда, когда среди шагов содержатся
все шаги. Поэтому нам нужен ответ на следующий вопрос:
при каких условиях для данного семейства шагов сущест-
вует шаг, следующий за каждым шагом из этого семей-
ства?
Так как мы хотим допустить в качестве множеств по
возможности произвольные семейства, то условимся, что
такой шаг должен существовать всякий раз, когда это
будет возможно, т. е. когда мы можем представить себе
ситуацию, в которой все шаги этого семейства проделаны.
Это несколько неясный принцип, но мы можем вывести
из него некоторые точные результаты. Например, для
данного шага S должен существовать шаг, следующий
за S. Если семейство состоит из бесконечной последова-
тельности шагов Si, S2, .... то мы можем представить
себе ситуацию, когда все эти шаги проделаны; таким
образом, должен существовать шаг после всех S„.
Другой важный пример состоит в следующем. Предпо-
ложим, что мы имеем множество А и мы указали шаг Sa
для каждого элемента а из Л. Поскольку мы можем пред-
ставить семейство А как единый объект (а именно,
350
ГЛ. 9. ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ
множество Л), мы можем также представить это семейство
шагов как единый объект, поэтому мы можем представить
себе ситуацию, когда все эти шаги проделаны. Тогда дол-
жен существовать шаг, который следует за всеми шагами
Sa. Это соглашение носит название принципа конфиналь-
ности.
Применим теперь эти принципы к построению теории.
Эта теория называется теорией множеств Цермело — Френ-
келя и обозначается через ZF.
Единственным нелогическим символом теории ZF яв-
ляется бинарный предикатный символ е. Подразумеваем,
что индивидами теории ZF будут (чистые) множества и
х е у будет означать, что х есть элемент у.
Первая нелогическая аксиома ZF утверждает, что если
два множества имеют одни и те же элементы, то эти мно-
жества равны. Этой аксиомой, называемой аксиомой объ-
емности, является
Vz (z х ++ z е у) -> х=у.
Следующая нелогическая аксиома — аксиома регуляр-
ности:
Зу (у <= х) -> Зу (у <= х& “I 3z (z <= х & z <= у)).
Она утверждает, что если х имеет какой-то элемент, то х
имеет некоторый элемент у, который не пересекается с х
(т. е. х и у не имеют общих элементов). Такой элемент
множества х будем называть минимальным элементом
множества х. Чтобы увидеть, что аксиома регулярности
справедлива, предположим, что х —непустое множество,
и пусть у — элемент множества х, образованный на самом
раннем из возможных шагов. Так как элементы множе-
ства у должны быть образованы на ещё более ранних
шагах, то они не являются элементами множества х. Сле-
довательно, у есть минимальный элемент множества х.
Оставшиеся аксиомы относятся к существованию мно-
жеств. Прежде всего, имеем аксиомы подмножеств. Это
все формулы вида
3zVx (х е z ++ х <= у & 4),
где л:, у и z различны, а у и z не входят в 4. Чтобы
понять, что это означает, положим х, у и z равными
х, у и z, и пусть 4 есть ... х ... Тогда аксиома утверж-
9.1. АКСИОМЫ ДЛЯ МНОЖЕСТВ
351
дает, что существует множество, элементами которого
являются в точности все элементы х из у такие, что ... х...
Чтобы проверить, что это справедливо, предположим,
что S есть шаг, на котором у построено. Тогда каждый
элемент х из у такой, что ... х ..должен быть построен
до шага S; значит, z может быть построено на шаге S.
Мы используем Set.* А как сокращение для
3yV.r (Л
(Переменная у должна быть отличной от х и не входить
в А. В остальном выбор у произвольный ввиду теоремы
о варианте.) Ясно, Set*...x... означает, что существует
множество у, содержащее каждое х такое, что . ,.х...
Аксиомами замены являются все формулы вида:
ЧхЗхЧу (Л ++у 2) -> Sety Зх (х w & 4),
где х, у, 2 и чя) различны, 2 и w не входят в Л. Чтобы
понять, что это означает, предположим, что х, у, 2 и из
представляют собой х, у, г и и пусть А будет ...х...
...у... Посылка утверждает, что для каждого х сущест-
вует множество zx, состоящее из всех таких у, что ...х...
... у... Заключение утверждает, что существует множество z
(зависящее от о>), содержащее каждое у такое, что ...х...
... у... для подходящего х из w.
Для того чтобы проверить это, предположим, что Sx
есть шаг, на котором построено zx. По принципу конфи-
нальности существует шаг S после всех шагов Sx для
х g w, Если х е w и ... х... у.... то у е zx, следовательно,
у построено до шага Sx и поэтому до шага S. Тогда на
шаге S мы можем построить множество всех у таких,
что ...х...у... для некоторого хе&'.
Аксиомой степени является
Sety Vz (z <= у -> z <= х).
Она утверждает, что для данного множества х существует
множество, которое содержит каждое подмножество мно-
жества х. Предположим, что х построено на шаге S.
Тогда каждый элемент из х построен до шага S; значит,
каждое подмножество множества х может быть построено
на шаге S. Поэтому на любом шаге, следующем за S,
мы можем построить множество, содержащее все подмно-
жества множества х.
352
ГЛ. 9. ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ
Нам нужна еще одна аксиома, гарантирующая суще-
ствование бесконечного множества. Это будет аксиома
бесконечности:
Зх (Ву (y<=x&Vz(z<£ у)) &
& Vy (у х ->3г (г е х & Vw (w г <-> w у V w = «/)))).
Она утверждает, что существует множество х такое, что
пустое множество 0 есть элемент х, и такое, что если
у <= х, то множество S (у), элементами которого являются
само у и все элементы из у, также будет элементом х.
Ясно, что если у построено на некотором шаге, то S (у)
может быть построено на следующем шаге. Поэтому су-
ществуют шаги So, Si, S2, .... на которых мы можем по-
строить О, S (0), S(S(0)), ... На шаге S, следующем за
всеми шагами So, Sj, S2, ..., мы можем построить мно-
жество х, элементами которого являются 0, S (0),
S (S (0)), ... Ясно, что это множество обладает требуемыми
в аксиоме бесконечности свойствами.
Этим завершается описание теории ZF. Позднее будут
рассмотрены некоторые другие аксиомы, которые могут
быть добавлены к ZF.
9.2.	Систематическое построение теории множеств
Мы предполагаем, что читатель знаком с результатами
элементарной теории множеств. Мы будем развивать тео-
рию, в основном исходя из следующих двух соображений:
а)	чтобы такие основные понятия, как упорядоченная
пара, функция и натуральное число, могли быть опреде-
лены в ZF;
б)	чтобы в ZF можно было доказать существование всех
множеств, использующихся в элементарной теории множеств.
Мы часто будем прибегать к расширению ZF с помощью
определений. Для того чтобы не рассматривать их как
расширения нашей теории, мы считаем новые нелогические
символы определимыми символами. Тогда каждая формула
такого расширения будет некоторой определимой формулой
теории ZF, сокращением ее перевода в ZF. Далее, мы
можем рассматривать определяющую аксиому для нового
функционального или предикатного символа как определе-
ние этого символа. Конечно, в доказательствах мы рас-
сматриваем эти определимые функциональные или преди-
9.2. СИСТЕМАТИЧЕСКОЕ ПОСТРОЕНИЕ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ
353
катные символы так же, как мы рассматривали бы обыч-
ные функциональные и предикатные символы; мы будем
относиться к ним, как к функциональным и предикатным
символам теории ZF.
Определения и доказательства будут даваться на рус-
ском языке; мы предполагаем, что читатель знает, как
перевести их на язык теории ZF. Для большего удобства
чтения мы используем все строчные латинские буквы
(иногда со штрихами или индексами) в качестве перемен-
ных теории ZF. При неформальном изложении мы ограни-
чиваем области изменения некоторых из этих переменных
специальными семействами множеств.
'Мы хотим избежать использования синтаксических
переменных, так как их применение в русском контексте
предполагало бы, что мы говорим про ZF, а не о переводе
языка Л (ZF) на русский язык. Поэтому мы будем допус-
кать такие утверждения, как: если Q — предикатный сим-
вол, то... Это будет означать, что все, что доказано npoQ,
выполняется для всех предикатных символов. Иногда мы
будем использовать Q для специального предикатного сим-
вола, который не настолько важен, чтобы ему давать по-
стоянное имя. В некоторых контекстах мы используем R,
U и М таким же образом, как и Q. Мы используем F,
G и Н аналогично, за исключением того, что они должны
быть функциональными символами.
Подходящее использование этих букв позволяет нам
обходится без синтаксических переменных для формул.
Например, рассмотрим какую-то аксиому подмножества
3z^x (х z <-> х у & А).
Предположим, что х, у и Z представляют собой х, у и г.
Определим Q следующим образом:
Q(x, щ, .... vn) <->А,
где щ, .... vn — все другие переменные, свободные в А.
Тогда аксиома примет вид
(х z <-♦ х у &Q (х, vlt ..., ^л))-
Обратно, каждая формула такого вида есть некоторая
аксиома подмножества. Соответствующий вид для аксиом
12 Дж. Шенфилд.
354
ГЛ. 9. ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ
замены таков:
ЧхЗгЧу (Q (х, у, vlt .... ип) у ее г)
-> Sety3x (х & w & Q (х, у, У1, .... vn)).
В обоих случаях переменные vlt .... vn называются пара-
метрами. Так как они обычно остаются неизменными во
всем доказательстве, мы часто не будем их писать.
Предположим, что Q определен, и мы хотим опреде-
лить F так, чтобы F(pi, .... vn) было множеством всех
таких х, что Q(x, Vi, .... vn). Для этого нам нужна опре-
деляющая аксиома
\/x(x^F(vlt .... vn) -Q(x, vlt .... vn)).	(1)
Условие единственности для этой аксиомы легко следует
из аксиомы объемности. Условием существования является
3z¥x (х <= z <->Q(x, Vi, .... vn)).	(2)
Покажем, что (2) может быть доказано из
SefxQ(x, vlt .... vn).	(3)
Мы опускаем параметры vlt .... vn. Предположим (3) и
выберем множество w такое, что Q (х) -> х w для всех х.
В силу аксиомы подмножества существует множество z
такое, что для всех х
xez<->xGKi&Q(x).
Так как Q(x) ->х w, то это эквивалентно следующему:
xsz<->Q(x). Это доказывает (2).
Будем называть (3) условием существования для (1).
Когда (3) доказано, мы будем записывать определение (1)
в виде
F(vl, v„) = [x|Q(x, t>i, у„)].	(4)
Мы можем также использовать [х|Q(х, t>i, .... w„)] как
терм в определении или доказательстве. Это будет пони-
маться как сокращение для F (vlt .... vn), где F опреде-
лено с помощью (4). Кроме того, мы можем использовать
[х|__х____], где __ х ___ есть формула, в качестве тер-
ма; это будет означать сокращение для [х | Q (х, t>i,..., vn)],
где Q определено так:
Q (х, щ, ..., v„) <-> — х —
9.2. СИСТЕМАТИЧЕСКОЕ ПОСТРОЕНИЕ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ
355
Конечно, [х |х ____] может использоваться как сокра-
щение только при условии, что условие существования
для SetA.__х_____доказано. Заметим, что это всегда имеет
место, если __х____ есть хе ... или х ... & ________,
где ... — некоторый терм, не содержащий х.
Определим
хс//<-> Vz(zex->ze//).
Тогда xczy означает, что х есть подмножество множе-
ства у. Определим
условие существования для этого определения есть в точ-
ности аксиома степени. Мы называем Р (х) множеством
степени множества х; это есть множество всех подмно-
жеств множества х.
Мы используем [F (х, vlt ..., v„) | Q (х, vlt .... о„)]л
как сокращение для
\У | Зх (Q(x, vu .... v„)&y=F (x, vlt .... o„))].
Так, например, опуская параметры, [F (х) | Q (х)]л означает
множество всех F (х) для х таких, что Q(x). Обычно мы
будем опускать индекс х. Мы часто будем писать
[... х ... | — х_]; это будет сокращением для [F (х, Oi,...
.o„)|Q(x,	.... о„)], где F и Q определены следую-
щим образом:
F(x, оь ..., о„)=... х ....
Q(х,_ 01, ..., vn)<->— х — .
Покажем, что из SetxQ(x, vlt ..., vn) следует условие
существования для [F(x, vlf ..., vn) | Q (х, Oi, .... о„)].
Параметры опускаем. Имеем F(x)cF(x); таким образом,
F (х) Р (F (х)); следовательно,
V// (у = F (х) -> у е Р (F (х))).
Из этого получаем VxSet^ (z/ = F(x)), что, как было пока-
зано выше, влечет
Vx3zVz/ (у <=z <-> y=F (х)).
Из этого по аксиомам замены следует
Setv3x (х (= [х | Q (х) J &y=F (х)),
12*
356
ГЛ. 9. ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ
которое эквивалентно
Se ty Зх (Q (х) & у=F (х)).
А это и есть требуемое условие существования.
Пустое множество 0 определяется следующим образом:
0 = [х | х т^х].
Условие существования 3z/Vx (х х->х е у) следует из
аксиом тождества.
Определим неупорядоченную пару {х, у}, состоящую
из множеств х и у, следующим образом:
{х, y}=[z\z=x\/z=y].
Чтобы доказать условие существования, определим F так,
чтобы F(0)~х и F(z) = z/ для г^О, (Мы опускаем пара-
метры х и у как аргументы F.) Пусть
^ = [^(г) | z ^Р(Р(0))].
Достаточно будет показать, что Vz(z = x\/z = z/->z и?)
или, что эквивалентно, х w & у s w. Далее 0 cz Р (0),
поэтому 0^Р(Р(0)) и, значит, x = F(0)^ty. Кроме того,
Р(0)сР(0), поэтому Р (0) Р (Р (0)). Далее, 0 Р (0)
и 0 ф 0, поэтому Р(0)#=0. Отсюда y=F(P (0)) s w.
Определим одноэлементное множество (х|, состоящее
из множества х, следующим образом:
{х} = {х, х}.
Определим
Un (х) = [у | Зг (г s х&у г)].
Чтобы доказать условие существования, отметим, что
Vz3uVz/ {у <= v «-> у <= г), поэтому по аксиомам замены
Seti/Зг (г х & у г). Мы называем Un (х) объединением х;
это есть объединение (в обычном смысле) всех элементов
множества х.
Определим теперь операции объединения, пересечения
и разности множеств следующим образом:
x[Jz/=Un({x, у}),
xr\y=[z\zf=x&zt=y],
х — у=[г [ г	х & г ф у].
9.2. СИСТЕМАТИЧЕСКОЕ ПОСТРОЕНИЕ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ 357
Условия существования для двух последних операций
доказаны, потому что они имеют вид [г|гех&...].
Определим теперь упорядоченную пару (х, у), состоя-
щую из множеств х и у, следующим образом:
(X, У> = {{х}, {х, г/}}.
Докажем основное свойство упорядоченных пар:
(х, у) = (х', у')	х=х'&у = у'.	(5)
Импликация справа налево тривиальна. Предположим, что
(х, у) = (х>, у’). Тогда {х} лежит в (х, у) и, следова-
тельно, в (х', у’), поэтому {%} = {/} ИЛИ {х} = {х', у'}.
В любом случае х' {х}, поэтому х = х', Далее, {х, у}
лежит в (х, у) = {хг, у'), поэтому {х, г/} = {х'} или {х, у} =
— {/, у'}. Таким образом, у лежит в {х'} или в {х', у'},
поэтому у — х' или у = у'. В силу симметрии у’=х или
у' = у. Если мы предположим, что у фу', то получим
г/ = х' = х=г/', поэтому мы должны иметь у —у'.
Если х = (г/, г), то положим лх(х) = г/ и л2(х) = г; эти
операции корректно определены в силу (5). Так как функ-
циональные символы должны быть определены для всех
аргументов, то мы должны определить значения лх (х) и
л2(х), когда х не является упорядоченной парой. Поло-
жим это значение равным 0. И вообще, если мы не опре-
деляем значение некоторого функционального символа для
некоторых аргументов, то будем считать, что это значе-
ние есть 0.
Определим декартово произведение хху множеств х
и у следующим образом:
хху = [г | ЭаЭЬ (а	х&b у & г = (а, &))].
Чтобы доказать условие существования, заметим, что
a (=x&b (=у-+{а} (= P(x\Jy)&{a, b} (= Р (хIJ£/)
->(а, b) (= Р (Р (x\J у)).
Следовательно,
ЭаЭЬ (а е х & b е у & г = (a, b)) -> z Р (Р (х U у)).
Определим теперь (хх, ..., х„) для каждого' п. Про-
водя индукцию по п, полагаем для /г^З
<Х1, .... Х„) = (Х1, <ха, •	х„>).
358
I Л. 9. ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ
Чтобы включить и случай п=1, полагаем
(х) = х.
Тогда мы имее*м
<Х1, ..., хп, (уи £/*» = <X1, хп. У!........Ук), (6)
что легко доказать индукцией по п. Применяя (5) и ин-
дукцию по п, получаем
<Х1....Xn) = {ylt уп) <-> х1 = у1&...&хп=уп.	(7)
Мы можем поэтому определить функциональные символы
л" (1 i < п) так, чтобы
Ki    > Х„)) == X}.
Мы также обобщаем понятие декартова произведения на
случай более чем двух сомножителей, полагая
ХХХ. . .ХХ„ = ХхХ(ХаХ...ХХ„).
Тогда ххх...Хх„ есть множество всех таких (ах......ап),
что ах е хх, .... ап х„.
Пусть
Р U......Хп' Vv • • • > Vm) [ Q (*1.Xn'Vl............
(8)
является сокращением для
[у | Зхх... Зхп (Q (xlt х„, vlt.... vm)&y =
=F(xlt .... хп, vlt .... om))]..
Индексы обычно будут опускаться. Опустив параметры,
имеем, что
[^(хХ....хп) |Q(xx.....х„)]
есть множество F (хх.....хп) для хх.....хп таких, что
Q (хх, .. , хя).
. Используем обозначение
.....Хп> и1....Vm)
в качестве сокращения для
3twx... 3^„Vxx... Vx„(Q(xx....хп, vlt um)->
Покажем, что из (9) следует условие существования для
9.3. ОРДИНАЛЫ
359
(8). Определим функциональный символ (F) следующим
образом:
(F)(z) = F(n"(z), ...» л"(г)).
Т огда
Ffx!.....xn) = (F) «хъ ...» х„».
Предполагая (9), получаем, что для подходящих wlt ...
.... Wn
3*1... Зх„ (Q (xi..хп) & у = F (X!...х„))	->
У [<^> (2) Iz е х • • • х wn].
Это дает нам требуемое условие существования. Поэтому
мы'называем (9) условием существования для (8).
Будем отождествлять функцию с множеством упоря-
доченных пар (а, Ь), где а есть значение функции для
аргумента Ь. Определим область определения Do(x) и
область значений Ra (х) для х следующим образом:
Do(x) = [n2(у)\у еех].
Ка(х) = [Л1(г/)|г/<=х].
Мы будем говорить, что х есть функция, и записывать
это Func(x), если х cz Ra (х) х Do (х) и если из (а, Ь),
(а', Ь) х следует а = а'. Ясно, как определить инъек-
тивную функцию; мы пишем IFunc(x), если х есть инъек-
тивная функция. Используем обозначение х‘а для значе-
ния функции х для аргумента а. Мы рассматриваем ‘ как
бинарный функциональный символ: в соответствии с нашим
соглашением х‘а = 0, если х не является функцией или
если а не находится в области определения для х. Раз-
личные понятия, связанные с отображениями, могут быть
теперь определены обычным образом.
В следующем параграфе мы получим определение на-
турального числа в теорий ZF. Затем мы получим все
необходимое, чтобы приступить к любой из обычных кон-
струкций действительных и комплексных чисел.
9.3. Ординалы
Для каждого шага S конструкции из § 9.1 мы выбираем
некоторое множество х$, которое впервые строится на
шаге S. Можно предполагать, что хТ Уже выбрано для
каждого шага Т, предшествующего S. Пусть означает
360
ГЛ. 9. ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ
множество всех хт Для шагов Т, предшествующих шагу S.
Это множество может быть впервые построено лишь на
шаге S, так как S —первый шаг, на котором имеются
все его элементы.
Определим в теории ZF свойство быть одним из мно-
жеств xs- Скажем, что множество транзитивно, и пишем
Trans (х), если каждый элемент множества х есть некото-
рое подмножество множества х, или что эквивалентно,
если Vz/Vz (z/<= х& г е z/->г <= х). Скажем, что х есть
ординал, и пишем Ordx, если множество х транзитивной
каждый элемент множества х также транзитивен. Пусть
областью изменения ст, т и р будут ординалы. (Эти сим-
волы будут считаться дополнительными переменными тео-
рии ZF.)
Легко видеть, что каждое множество xs транзитивно,
а из этого следует, что каждое множество xs есть орди-
нал. Обратное будет доказано после того, как будут полу-
чены некоторые свойства ординалов.
Имеем
х е ст-> Ord (х).	(1)
Действительно, пусть хе ст. Тогда множество х транзи-
тивно. В силу транзитивности ст имеем х ест, поэтому
каждый элемент множества х есть элемент множества ст
и, следовательно, транзитивен. Поэтому множество х есть
ординал.
Определим
CT<T«CTGT.
(Заметим, что xsCxr тогда и только тогда, когда шаг S
предшествует шагу Т.) Имеем
ст<т&т<р—>ст<р	(2)
в силу транзитивности р. Далее
Я (ст < ст).	(3)
Это есть частный случай такого результата:
х^х.	(4)
Чтобы доказать его, заметим, что {х} имеет минимальный
элемент, которым должен быть х. Тем самым xQ{x} —0,
поэтому х х. Из (2) и (3) получаем
П(ст<т&т<ст).	(5)
9.3. ОРДИНАЛЫ
361
Имеем
3ctQ(ct, vlt .... vn)—>-
->3ct(Q(ct, vr, vn)& Vt (т< ct-> Q (t, Vi..................vn))).
Параметры в доказательстве опускаем. Предположим, что
3ctQ(ct), и выберем ст так, чтобы Q(ct). Если Vt(t<ct->
-►"IQCO)» т0 а~ требуемый ординал. В противном слу-
чае [x|x<ct&Q(x)] непусто и, следовательно, имеет ми-
нимальный элемент р. Так как р е ст, то р —ординал
в силу (1). Ясно, что Q (р); покажем, что т<р->Ю(т).
Предположим, что т < р. По (2) имеем т < ст. По выбору р
имеем t^[x|x<ct&Q (х)]; таким образом, Q (т).
Ординал ст такой, что Q (ст, Vi, ..., vn) и Q (т, Vi,, vn)
для всех т<ст, называется минимальным ординалом ст
таким, что Q(ct, vr...w„). Мы можем также говорить
о минимальном ординале ст таком, что ... ст ...; это есть
минимальный ординал ст такой, что Q(ct, t^, ..., vn),
где Q определяется следующим образом:
Q(CT, Vi, ..., Vn) — ...ст...
Перед тем как предположить, что минимальный ординал ст
такой, что ... ст ..., существует, мы должны доказать, что
Зст(... ст...).
Теперь докажем, что
ст < т\/ст = т\/т< ст.
(6)
Сократим эту формулу до С (ст, т). Предположим, что
ЗстЗт~|С(ст, т), и придем к противоречию. Пусть ст —
минимальный ординал такой, что Зт~]С(ст, т), и пусть
т —минимальный ординал такой, что С (ст, т). Сперва
докажем, что тест. Пусть р ет, тогда р — ординал
в силу (1). По выбору т имеем С (ст, р), поэтому, чтобы
доказать, что р ест, достаточно показать, что ст = р\/ст<1р
приводит к противоречию. Так как из р<тист^р\/ст<
< р по (2) следует, что ст < т, то мы имеем противоречие
с Й С (ст, т).
Так как тест и “] С (ст, т), то существует р в ст —т.
По (1) р есть ординал. По выбору ст имеем С (р, т). Так
как р ф т, то отсюда следует, что t<pVt = P- Отсюда
следует в силу (2), что т<ст, а это противоречит тому,
что “| С (ст, т).
362
ГЛ. 9. ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ
Теперь мы можем доказать, что каждый ординал есть
некоторое множество xs. Предположим, что о —множество,
впервые построенное на шаге S. Так как х$ также впер-
вые строится на этом шаге, то афх$ и xs Ф о. Так как
оба множества ст и Xs являются ординалами, то по (6)
отсюда следует, что a = xs.
Другим следствием формулы (6) является то, что если
3ctQ(ct, Vi, ..., ст„), то минимальный ординал ст такой,
что Q (ст, г?!.vn), единствен. Мы называем его первым
ординалом ст таким, что Q(ct, .....стл), и обозначаем
его через рст()(ст,	у„).
Определим
ст<т«ст< т\/ст — т.
Обычные порядковые свойства могут быть выве-
дены из свойств С, доказанных выше. Сверх этого имеем
ст<юстст.
(7)
Действительно, если ст<т, то ст ст в силу транзитив-
ности т, поэтому ст<т->стст. Теперь предположим, что
(ст с т). По (6) имеем т< ст, но в силу (3) имеем (т< т).
Поэтому тсст-т; следовательно, (ст с: т).
Принцип трансфинитной индукции. Если
Vct(Vt(t<ct->Q(t, Уд, ..., v4))->Q(ct, vlr ..., v„)),
mo VoQ(o, vY....vn).
Доказательство. Если заключение ложно, то су-
ществует первый ординал ст такой, что	....vn).
Но это противоречит посылке.
Принцип трансфинитной индукции утверждает, что
если мы хотим доказать Q(ct, ....vn), то достаточно
доказать
Vct(Vt(t<ct->Q(t, иХ1 ..., vn))^Q(a, vlt .... ст„)).
Другими словами, при доказательстве Q(ct, .... vn) мы
можем предположить, что Q(t, Vj......vn) для всех ст.
Доказательство с помощью этого метода называется дока-
зательством трансфинитной индукцией по ст; предполо-
жение, что Q (т, Vi, .... vn) для всех т<ст, называется
индуктивным предположением.
Можно также доказывать формулу ... ст ... трансфинит-
ной индукцией, определяя Q следующим образом:
9.3. ОРДИНАЛЫ
363
Q (a, ulf ...» vn) ++... a ...; индуктивное предположение
тогда состоит в том, что ... т ... для всех т <ст. .
Имеется также некоторый способ индуктивного подхода
к доказательствам фактов про множества (вместо рассмот-
ренных доказательств только про ординалы). Будем назы-
вать Н ординальным функциональным символом, если *)
•—Ord (//(%!, ..., х„)). Предположим, что это имеет место.
Тогда, чтобы доказать
<2(Х1....хп, vY, ..., vm),
достаточно доказать это при предположении, что
Vz/i '...	..., yn)<H(xi, хп)—>
-+$(Уъ , Уп, Vi.....ит)).
Если мы доказали это при таком предположении, то мы
можем доказать
Vx^ . . . VXn (// (Xi,  •  , Хл) СТ —> Q (Xi, . . . , Хт СТ1,   • t CTm))
трансфинитной индукцией по ст, а из этого мы сможем
доказать
Q (Х1...хп, vY,
Если п — натуральное число и S —(пф- 1)-й шаг кон-
струкции, то множество xs имеет в точности п элементов.
Мы намерены отождествить п с этим множеством xs. Так,
например, 0 отождествляется с пустым множеством. Затем
мы должны определить операцию следования и свойство
быть натуральным числом.
Определим
5(ct) = ct(J{ct}
и назовем S (ст) последователем ординала ст. Имеем
S (ст) = S (т) -> ст = т.
Действительно, предположим, что 3(ст) — S (т) и сту=т.
Тогда ст ст J {ст} = т (J М, поэтому стет. Аналогично
т (ее ст. Это невозможно по (5).
*) Заметим, что утверждение о том, что Н есть ординальный
Функциональный символ, является утверждением о доказуемости
в теории ZF, а не, является утверждением теории ZF. И вообще,
если мы приписываем какое-то свойство функциональному или пре-
дикатному символу, мы делаем некоторое утверждение о доказуе-
мости в теории ZF.
364
ГЛ. 9. ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ
Теперь покажем, что 5 (о) является некоторым орди-
налом. Если z/eeS(ct), то у е ст или у = а, поэтому у
транзитивно и у cz ст cz S (ст). Ясно, что ст < 5 (ст). Кроме
того, 5 (ст) есть первый ординал т такой, что ст<т. Дей-
ствительно, если т<5(ст), то т<ст\/т = ст и, значит,
1 (ст < т).
Пусть х — некоторое множество ординалов. Тогда
Un (х) — некоторый ординал. Действительно, если у е
el’n(z), то у е ст для некоторого ст е х. Следовательно, у
транзитивно и у cz ст cz Un (х). Используя (7), видим, что
Un(x) есть первый ординал т такой, что ст<т для каж-
дого стех.
Если х —множество, то существует ординал, больший
каждого ординала из х. Действительно, если у — множество
ординалов из х, то 5 (Un (у)) — такой ординал. Из этого
мы можем доказать
Set.v3CT (х = F (ст)) -> ЗстЗт (т < ст & F (т) = F (ст)).	(8)
Действительно, пусть G (х) = рст (F (ст) =х), если Зст (F (ст) =
= х), и G(x) = 0 в противном случае. Предположим, что
SetxЗст(х = 7’(ст)), и выберем w так, чтобы F(o)<=w для
всех ст. Выберем ст не принадлежащим множеству
[G (х) | х Е w], Тогда G(F(ct))^ct, поэтому существует т
такое, что т<ст и F(t) = F(ct).
Ординал называется предельным ординалом, если он
не 0 и не является последователем ни для какого орди-
нала.ЧДокажем, что предельный ординал существует. По
аксиоме бесконечности существует множество х такое, что
О ex и V//(j/ex->S(//) ex). Пусть z — множество орди-
налов из х, и пусть ст = ип(г). Имеем S(0) ех и, сле-
довательно, 0<5 (0)--Сст; таким образом, ст^О. Предпо-
ложим, что ст = 5(т). Тогда T<CT = Un(z), следовательно,
т< р для некоторого рег. Отсюда следует, что ст = 5 (т)
s=ip<S(p). Но 5 (р) Е z, поэтому 5(р)=Сст. Это проти-
воречие показывает, что ст —предельный ординал.
Первый предельный ординал обозначим через со. Эле-
менты множества со (т. е. ординалы, меныпие со) назы-
ваются натуральными числами. Ординал называется ко-
нечным или бесконечным в зависимости от того, является
этот ординал натуральным числом или нет. Так, напри-
мер, со —первый бесконечный ординал.
9.3. ОРДИНАЛЫ
365
Теперь легко доказать аксиомы Пеано. Ясно, что 0 —
первый ординал и, следовательно, натуральное число.
Если ст — натуральное число, то ст<<в, поэтому 5(ст)^<в.
Так как <в не является последователем, то 5(ст)<<в; та-
ким образом, 5 (ст) — натуральное число. Ясно, что 5 (ст)т^О,
a 5 (ст) = 5 (т) —>ст = т уже было доказано. Пятая аксиома
говорит, что если х — множество такое, что Oez и
Vct (ст<щ&сте S(ст) g х), то х содержит каждое на-
туральное число. Докажем, что ст < <в->ст е х, трансфи-
нитной индукцией по ст. Если ст = 0, то стех. В осталь-
ных случаях, так как ст меньше, чем первый предельный
ординал, мы должны иметь ст = 5(т). Так как т<ст, то
1<(оитЕХ по индуктивному предположению. Отсюда
следует, что ст = 5(т)едх.
Теперь мы можем определить 1, 2, ... следующим обра-
зом: 1=5(0), 2 = 5(1), ...
Теперь обратимся к определениям по трансфинитной
индукции. Идея состоит в том, что мы хотим определить
F (ст) в терминах ст и значений F (т) для ординалов т<ст.
Добавляя параметры, мы приходим к следующей ситуа-
ции: имея определение G, мы хотим определить F так,
чтобы
F (ст, уь ..., vn) =
= G(o, [<F(t, г?!......vn), т>|т<ст], уь ..., vn). (9)
Покажем, как это может быть сделано.
Как обычно, опускаем параметры. Пусть GJ<a есть
сокращение для
G(ct, [</‘т, т>|т<ст]).
Пусть Q (/, ст) означает, что f есть функция, область опре-
деления которой включает ст, и для каждого т<ст имеем
/‘t = G/iT. Ясно, что
Докажем, что
Q(f,	т).
(Ю)
Q(f, a)&Q(g, o)^G/ta = Gg,a,	(Н)
трансфинитной индукцией по ст. Для т<ст имеем Q(f, т)&
&Q(g, т) по (10), поэтому Gf X = Gg't по индуктивному
предположению; следовательно, /‘т = GA т = Ggi t = g‘x.
Отсюда следует, что Gft a=Ggi 0.
366
ГЛ. 9. ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ
Определим теперь F следующим образом. Если сущест-
вует функция f такая, что Q(f, ст), то F(ct) = G/>cj, в про-
тивном случае F(ct) = 0. Функция F корректно определена
в силу (11). Кроме того,
ct)->F(ct) = G(ct, [<F(t), т>|т<ст]).	(12)
Действительно, выберем f так, чтобы Q(f, ст). Для каж-
дого т<ст имеем Q(f, т) по (10), поэтому Г(т)=/‘т.
Отсюда
F^) = Gf.a=G(o,[{F(x), т>|т<ст]).
В силу (12) осталось лишь доказать, что 3fQ(f, ст).
Докажем это трансфинитной индукцией по ст. Пусть f =
= [(F(t), т) | т < ст]; покажем, что Q (/, ст). Ясно, что / —
функция с областью определения ст. Если т<ст, то
F(t) = G(t, [<F(p), р> | р < т])
в силу (12) и индуктивного предположения. Следовательно,
/‘t = F(t) = G(t, [<F(p), p>|p<t]) = G/jT.
Мы называем (9) определением F с помощью трансфи-
нитной индукции по ст. На практике правая часть опре-
деления, возможно, не будет иметь точно такого вида, ко-
торый имеет правая часть (9), нужно будет еще должным
образом определить G, чтобы добиться этого. Так мы
могли бы определить
F(ct) = //([F(t)|t<ct]).
Это принимает должный вид, если мы определим G сле-
дующим образом:
G(ct, f) = H(Ra(f)).
Теперь предположим, что // — ординальный функциональ-
ный символ такой, что
SetXi...xn(H(xlt ..., х„)<ст).
Мы можем тогда определить функциональный символ F так,
что
F(xlt ..., х„) =
= G (хь .. • , хп, [(/^ (У1> • • • , Уп)> У it • • • > Уп) |
H(ylt .... уя)<Н(Х1, ...» х„)]).	(13)
9.3. ОРДИНАЛЫ
367
Чтобы получить такое F, определим
F(xb .... хп) = ЦН(Х!.....хл))*<хь ..., хл> (14)
для подходящего I. Мы хотим, чтобы I (ст) было функ-
цией с областью определения
[<*i,	хп)\Н(х1, ..., хл)=ст],
значением которой при (х±.........х„) являлось бы
F (хъ ..., хп). Поэтому мы определим с помощью транс-
финитной индукции
/(o) = [(G(x1, .... х„, Un([/(т) |т<ст])),
-	хъ ХЛ>|Н(Х!.........хл) = ст].
Из этого определения и (14) мы можем тогда доказать (13).
Определение вида (13) (или аналогичное определение с па-
раметрами) будет называться определением с помощью
индукции по Н (xlf ..., хп).
Мы можем также определять предикаты по индукции.
Для простоты рассмотрим одноместный предикат. Пусть
Н — ординальный функциональный символ такой, что
|-Setx(/7 (х) гСст). Для данного Q мы хотим определить R
так, чтобы
R(x)~Q(x, [у | Н (у)< Н (х)&/?(//)]).	(15)
Сначала определим функцию Kq(x, z), равную 0, если
Q(x, z), и 1 в противном случае. Используя индукцию
по Н(х), определим
Kr(x) = Kq(x, [y\H(y)<H(x)&KR(y) = 0]).
Затем определим
/?(х)^Кд(х)-0.
Тогда легко вывести (15). Определение такого вида также
может содержать параметры.
Теперь установим соответствие между ординалами и
упорядоченными парами ординалов. Вначале определим
Мах ((ст, t)) = ct(Jt. Тогда по (7) Мах ((ст, т)) = т, если
ст<т, и Мах ((ст, т)) = ст, если тгСст.
Определим теперь МР (х) следующим образом. Пусть
ст —первый ординал такой, что -|(стхстс:х). Такой ор-
динал должен существовать, так как в противном случае
Ra (х) содержало бы все ординалы. Пусть т — первый та-
кой ординал, что (т, р) ф х для некоторого р Е ст, и пусть
368
ГЛ, 9. ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ
р—первый ординал такой, что (т, р)^х. Положим
МР(х) = (т, р).
Ясно, что МР (х) — упорядоченная пара ординалов,
не находящихся в х. Если ст такое, как раньше, то
Мах (МР (х)) < ст, поэтому по выбору ст имеем
Max (МР (х)) X Max (МР (х)) cz х.	(16)
Если стих такие же, как и выше, и т^О, то (0, р)ех
для всех р<ст, поэтому и для р = Мах (МР (х)). Таким
образом,
зтх (МР (х)) Ф 0 -> <0, Max (МР (х))> Е X (17)
Теперь определим К с помощью трансфинитной индукции
следующим образом:
К(ст)=МР ([К(т) | т<ст]).
Тогда К (ст) — упорядоченная пара ординалов, не находя-
щаяся в [К (т) | т < ст]; таким образом, К (ст) ф К (т) для
т<ст. Из этого получаем
афт;^ К(о)ф	(18)
В силу (16) имеем
Мах (К (ст)) х Мах (К (ст)) cz [К (т) | т < ст]. (19)
Используем это, чтобы показать, что каждая упорядочен-
ная пара ординалов х есть К (ст) для некоторого ст. По
(18) и (8) имеем "| Sets Эст (г = К (ст)). Следовательно, су-
ществует ст такое, что
К (ст) ф S (Max (х)) х S (Мах (х)).
Из этого легко следует, что
х е Мах (К (ст)) х Мах (К (ст)),
а тогда требуемый результат следует из (19).
Имеем
Мах (К (т)) <Мах (К (ст)) -> т <ст. (20)
Из левой части и (19) следует, что К (т) е [К (р) | р <ст],
а из этого и (18) следует, что т<ст.
Далее мы докажем
Мах (К (ст)) ст	(21)
трансфинитной индукцией по ст. Предположим, что
ст < Мах (К (ст)). Выберем т так, чтобы К (т) = (0, ст). Тогда
9.4. КАРДИНАЛЫ
369
Мах (К (т)) = ст < Мах (К (ст)); таким образом, т < ст по (20).
Следовательно, по трансфинитной индукции Мах (К (т)) т.
Поэтому ст<т<ст; получили противоречие.
Наконец, докажем, что
Л1 (К (ст))	0->Мах (К (ст)) < ст.	(22)
Предположим, что лг (К (ст)) ф 0. По (17) существует т < ст
такое, что
К(т) = <0, Мах (К (ст))).
Тогда Мах (К (ст)) = Мах (К (т)) ==£ т < ст по (21).
9.4. Кардиналы
Мы говорим, что хну подобны, если существует биек-
тивное отображение из х на у, символически
Sm (х, у) «-> B/(IFunc (/) &x=Do (f)&y = Ra (/)).
Легко проверить, что подобие является отношением экви-
валентности, т. е.
Sm (х, х),	(1)
Sm (х, у) Sm (у, х),	(2)
Sm(x, y)&Sm(y, 2)->Sm(x,	г).	(3)
Мы намерены сделать так, чтобы кардинал множества
служил какой-то мерой величины этого множества; поэтому
мы хотим, чтобы два множества имели один и тот же кар-
динал тогда и только тогда, когда эти множества подобны.
Это подсказывает, что кардиналом множества х должен
быть класс эквивалентности множества х по отношению
подобия. Однако этот класс эквивалентности не будет
множеством. Поэтому мы выбираем в качестве кардинала
множества х некоторый конкретный элемент этого класса
эквивалентности, а именно, первый ординал в этом классе
эквивалентности. Конечно, мы должны быть уверены, что
каждый класс эквивалентности содержит некоторый орди-
нал, а это требует новой аксиомы.
Мы говорим, что f есть функция выбора на множестве х,
если / — функция с областью определения Р(х) — {0} и та-
кая, что f‘y^y для каждого у в области определения
370
ГЛ. 9. ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ
функции /. Символически,
CF (/, х) ++ Func (/) & Do (/) =
= Р (х) - {0} & \f у (у е Do (/) ^f‘y е у).
Аксиомой выбора называется формула
Vx3/CF(/, х);
она утверждает, что для каждого множества х существует
функция выбора на х.
Аксиома выбора справедлива при нашем понимании
множеств. Действительно, выберем для каждого непустого
подмножества у множества х элемент zy из у, и пусть f —
семейство упорядоченных пар (zy, у). Так как каждая
такая пара находится в ххР(х), то / — множество; ясно,
что / — некоторая функция выбора на х.
Теория, получающаяся из теории ZF добавлением ак-
сиомы выбора, обозначается через ZFC. Все дальнейшие
результаты этого параграфа доказываются в теории ZFC.
Теорема о вполне упорядоченности (Цер-
мело). Для каждого множества х существует биективное
отображение из некоторого ординала на х.
Доказательство. Пусть ^ — функция выбора на х.
Определим с помощью трансфинитной индукции
F(o)=g‘ (х —[F(t)|t<ct])
(здесь опущены параметры g и х как аргументы F). Так
как
F(o)eRa(g)U{0},
то мы имеем
5е1гЗст(Е(ст) = а).
Поэтому по (8) из § 9.3 существуют ординалы ст и т та-
кие, что т<ст и Е(т) = Е(ст). По определению Е(ст) и вы-
бору g отсюда следует, что х cz [F (т)! т < ст].
Пусть ст —наименьший ординал такой, что х cz
CZ [F(T) I 17 < ст], и пусть
f=4<F(T), т>|т<ст].
Тогда / — функция с областью определения ст и xczRa(/).
Если т < ст, то отсюда следует по выбору ст, что х —
— U7 (р) IР < т] =# 0; таким образом,
Е(т) <=х-[Е(р)|р<т].
9.4. КАРДИНАЛЫ
371
Отсюда получаем, что Ra(/)crx, поэтому Ra(/) = x. От-
сюда также следует, что
таким образом, f является инъективной функцией.
Замечание. Мы также показали, что если g есть
функция выбора на х, то существует биективное отобра-
жение f из некоторого ординала на х такое, что для каж-
дого ст е Do(f)
х - [f‘ Т I Т < ст] Ф О & ст = g‘ (х - If* т I т < ст]).
Теперь докажем, что
х cz ст->Вт(т^ст& Sm(т, х)).	(4)
Пусть х cz ст. Для непустого подмножества у множества х
положим g‘y = px (т е у). Тогда g- —функция выбора на х.
Ввиду, замечания существует биективное отображение из
некоторого ординала т на х такое, что
Гр = цст' (ст' е= х - [f‘p' | р' < р])
для р < т. Мы завершим доказательство, показав, что
т<:ст.
Предположим, что ст<т. Тогда /‘стех, откуда имеем
f‘a<Zo, так как х с: ст. Пусть р —первый ординал такой,
что /‘рСр. Так как функция / инъективная, то
f‘P EX-[f‘p' Ip' </‘р].
Но f‘f‘p — первый ординал в этом множестве, поэтому
f‘f‘p^f‘p, Так как /‘рСр и функция / инъективная, то
/7‘Р </‘Р- Но это вместе с/‘р < р противоречит выбору р.
Кардиналом множества х, который будем обозначать
через Card(x), называется первый ординал, подобный х.
Ввиду теоремы о вполне упорядоченности это определение
корректно. Будем говорить, что ст есть кардинал, и запи-
сывать Cd (ст), если ст есть кардинал некоторого мно-
жества.
Применяя (1) —(3), получаем
Card (х) = Card (g) Sm (х, у).	(5)
Из (1) имеем
Card (ст) -С ст.	(6)
Более того,
Cd (ст)	Card (ст) = ст.	(7)
372
ГЛ. 9. ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ
Импликация справа налево получается немедленно, Если
CcL(ct), то CT = Card(x) для некоторого х, Тогда Sm(o, х),
поэтому Card (ст) = Card (х) = о по (5).
Имеем
х cz y->Card (х) -С Card (у).	(8)
Действительно, пусть ст = Card (у). Так как у подобно ст,
то множество х подобно некоторому подмножеству орди-
нала ст, поэтому по (4) множество х подобно некоторому
ординалу т ст. Тогда Card (х) -С т -С ст.
Имеем
Func (/) -> Card (Ra (/)) С Card (Do (/)).	(9)
Действительно, пусть g — функция выбора на Do(/), и
пусть h — функция с областью определения Ra(/), опре-
деленная следующим образом:
h‘z = gl [t/| у е= Do (f)&f‘y = z].
Тогда h. — биективное отображение из Ra (/) на некоторое
подмножество w множества Do(/), поэтому, используя (8),
получаем
Card (Ra (/)) = Card(ay) -С Card (Do (/)).
Теперь покажем, что
Sm (S (ст), 5(т))->5ш(ст, т).	(10)
Действительно, пусть / — биективное отображение из S (ст) —
= ст U {ст} на S (т) = t|J {т}. Изменяя, может быть, два зна-
чения /, можно предполагать, что f‘a = x. Тогда ограни-
чение функции f до ст есть биективное отображение ст на
т, поэтому Sm (ст, т).
Теперь докажем, что
ст е со-> "| Sm (ст, S(ct)),	(11)
индукцией (обычной) по ст. Случай ст = 0 легкий, а шаг
от ст к S (ст) следует из (10).
Теперь можно доказать
ст е со -> Cd (ст)	(12)
индукцией по ст. Случай ст = 0 может быть выведен из (6)
и (7). Теперь предположим, что Cd (ст) для ст е со. Из (7)
и (8) имеем ст = Card (ст) -С Card (S (ст)). Но Card (S (ст)) ф
7^Card(CT) по (И), поэтому ст < Card (S (ст)), и отсюда
S (ст) < Card (S (ст)). Используя (6) и (7), получаем Cd (S (ст)).
9.4. КАРДИНАЛЫ
373
Таким образом, доказано, что каждое натуральное
число есть кардинал. Далее, со есть кардинал, Если бы
это было не так, то было бы Card (со) < со по (6) и (7).
Поэтому Card (со) есть некоторое натуральное число ст,
Так как S (ст) -с со, то имеем S (ст) = Card (S (ст)) -С Card (со) =
= ст. Приходим к противоречию.
Множество называется конечным или бесконечным в за-
висимости от того, конечным или бесконечным является
его кардинал. Множество называется счетным *), если его
кардинал есть некоторое натуральное число или со. Теперь
могут быть приведены все обычные доказательства элемен-
тарных свойств конечных и счетных множеств.
Определим
ст-'г т —Card ((ст х {0}) IJ (тх{1})),
ст • T=Card (о х т).
Легко проверить, что
х П У = 0 -> Card {х U у) = Card (х) + Card (у),	(13)
Card(xX«/)=-Card(x) Card (у).	(14)
Записывая xUf/=xlJ (у — х) и применяя (13) и (8), по-
лучаем
Card(xUy)'S^Card(x) + Card(y).	(15)
Кроме того, имеем
Cd (ст) & Vy (у е х -> Card (у) -С ст) ->
-> Card (Un (х))-С Card (х) • ст. (16)
Сначала заметим, что если f есть биективное отображение
из Card (у) на у, где у <= х, то f Р (Un (х) х ст). Поэтому,
используя функцию выбора на P(Un(x)XCT), получаем
функцию g с областью значений х такую, что gly для
у е х — биективное отображение Card (у) на у. Пусть г —
множество всех (г/, т) таких, что г/ех и T<Card(«/);
пусть h — функция с областью определения г, определен-
ная следующим образом: (у, x) = (g‘y) ‘т. Тогда /г —
сюръективное отображение из г на Un(x). Используя (9)
и (8), заключаем
Card (Un (х)) Card (г) х: Card (х X ст) = Card (х)  ст.
*) Распространено также и выражение «не более чем счетно». —
Прим. ред.
374
ГЛ. 9. ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ
Применяя (13) к ст = ст (J О и S (ст) = ст J {ст}, получаем
Card (ст) = Card (ст) + 0,	(17)
Card (S (ст)) = Card (ст) + 1.	(18)
Из определений также имеем
ст-|-ст = ст-2.	(19)
Если ст и т — натуральные числа, то
ст+0=ст,
ст + S (т) = S (ст + т),
ст-0 = 0,
ct.S(t) = (ct.t) + ct.
(Читатель легко может провести доказательства.) Из этих
равенств индукцией по т получаем
ст, т со->ст-|-т, ст. те со.	(20)
Из (8) получаем
ст-С т & ст' -С т'-> ст-|-ст' -С т +т' & ст  ст' -с т • т'. (21)
Мы записываем Inf Cd (ст) для обозначения того, что ст —
бесконечный кардинал. Используя (21), (17) и (19), по-
лучаем
Inf Cd (ст) -> ст = ст 4- 0 -с ст + 1 -с ст + ст = ст • 2 -С ст  ст. (22)
Ввиду результатов из § 9.3 [(/((т), т) | т < ст] — биек-
тивное отображение из ст на [/((т) [ т < ст]. Следовательно, .
Card (ст) = Card (|7С (т) | т < ст]).
Применим это к доказательству
Irif Cd (ст) &Мах (К (ст))=ст->ст-ст = ст. (23) \
Ввиду (22) нам нужно лишь показать, что ст-ст-ест. По
предположению и (19) из § 9.3 получаем ст х ст cz
cz [/С(т) | т< ст]. Переходя к кардиналам и используя пре-
дыдущее равенство, получаем ст  ст «с ст,
Теперь докажем, что
Inf Cd (ст) ->Мах (Д' (ст)) = ст,	(24)
трансфинитной индукцией по ст. Сначала покажем, что из
индуктивного предположения следует
р<ct->S(р) S(р)<ст.	(25)
9.4. КАРДИНАЛЫ
375
Если рею, то S (р)  S (р) < со=С а по (20). Теперь пред-
положим, что а-Ср. Положив T = Card(p), получим со =
= Card (со) < т -С р < ст. Из индуктивного предположения
следует, что Мах(К(т)) = т, а из этого и (23) следует,
что тт = т. По (18) и (22) имеем Card (S (р)) = т+ 1 — т,
поэтому S- (р)  S (р) = т • т = т < ст.
Возвращаясь к (24), предположим, что Мах (К (ст)) =£ ст.
Тогда
р = Мах (К (ст)) < ст
по (21) из § 9.3. Если т<ст, то
Мах (Д' (т)) -С Мах (К (ст)) < S (р)
по (20) из § 9,3, поэтому К (т) е S (р) х S (р). Из этого и
(25) видим, что
. CT=Card (ст) -С Card (S (р) xS (р)) < ст.
Приходим к противоречию.
Комбинируя (23), (24) и (25), получаем
Inf Cd (ст)->ст • ст = ст & ст-|-ст = ст.	(26)
Из этого мы заключаем, что
Inf Cd (ст) & Inf Cd (т)->ст • т=ст + т=Мах ((ст, т)). (27)
Действительно, пусть р = Мах((ст, т)). Тогда, применяя
(21), находим, что
р = Мах ((ст-)-0, ОЦ-'с))-Сст4-т-ср + р = Р,
р = Мах((стД, 1 • т))-С ст. т-С р • р = р..
Имеем также
InfCd (ст) & Card (да)
-CCT->Card([E(x1, ..., хл)|%1....хл<=да])--Сст. (28)
Действительно, определяя (F), как в § 9.2, имеем
[F(Xi, ..., хл)|хг, .... х„еда] = [(Г)(а)|аедах...хда].
Поскольку Card (дах...хда)ст •...  ст=ст, то требуемый
результат следует из (9).
Будем говорить, что множество х является F-замкну-
тым, если для каждых уь ..., уп ех имеем F(yr, ..., уп) ех,
Теорема замыкания. Пусть Ft................ Fk —функ-
циональные символы. Для данного множества х и бесконеч-
376
ГЛ. 9. ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ
ного кардинала т такого, что Card(x)=CT, существует
множество у такое, что х czy, Card (у) Ст и у является
Fi-замкнутым для i = 1, .... k.
Доказательство. Определим
Gi(z) = [FI(ay1, ..., wn)\wt.wnt=z],
G(z) = G1(?)U...UM<).
Определим Н с помощью трансфинитной индукции следую-
щим образом: Н (0)=х, Н (о) = G (Н (р)), еслист = 5(р);
Я (ст) = Un ([Н (р) | р< ст]), если .ст — предельный ординал.
Мы утверждаем, что у=Н (со) обладает требуемыми свой-
ствами. Очевидно, что х cz у. Если wJt wn <= у, то
wlt ..., wn <= Н (а) для некоторого ст < со; следовательно,
Fi(wlt .... wn) <=G(/7(ct)) = /7(S(ct)) czy.
Используя (28) и (15), получаем Card (г) CT->Card(G(z))CT.
Используя это, мы легко доказываем индукцией, что ст <
<со->Card (Н (ст)) Ст, Тогда по (16) имеем Card (у) С
Ст- со-С т • т —т.
Рассмотрим теперь операцию, которая позволит нам
получать кардиналы,' большие со. Определим
2° = Card (Р (ст)).
(Здесь 2— функциональный символ и не связан с ранее
введенной константой 2. О причинах введения такого обо-
значения см. в задаче 7.) Так как Sm (х, ст) -> Sm (Р (х),
Р (ст)), то мы имеем
Card (х) = ст-> Card (Р(х)) = 2а.	(29)
Следующий результат известен как теорема Кантора'.
Cd (ст)ст <2°.	(30)
Прежде всего существует биективное отображение f из ст
на подмножество из Р (ст), которое отображает т в {т}.
Таким образом, ст<23; поэтому достаточно доказать, что
предположение 2а —ст приводит к противоречию. Предпо-
ложим, что g1 — биективное отображение из ст на Р (ст). Пусть
Х = [т|тЕСТ&Т^ £-‘т].
Тогда х<н:Р(ст), поэтому существует т такое, что §‘т=х.
По определению множества х имеем
т е х < > т g‘x < > т х;
получаем противоречие.
9.4. КАРДИНАЛЫ
377
Более общо, имеем
ст<2а.
(31)
Действительно, если 2а^ст, то, применяя (29), получаем
2Card (а) = Card (Р (ст)) = Card (2а) -с Card (ст),
что противоречит теореме Кантора. Как следствие (31) мы
заключаем, что для каждого ординала существует больший
кардинал. Отсюда следует, что для любого множества
х ординалов существует кардинал, больший каждого эле-
мента множества х. Более того, можно предположить, что
этот кардинал бесконечный,, так как если бы он был ко-
нечным, то мы могли бы заменить его большим кардина-
лом (В.
Из только что сделанного замечания мы видим, что
можно определить функциональный символ К с помощью
трансфинитной индукции следующим образом:
К (ст) = цт (InfCd (т) & т [К (р) | р </ст]).
Мы обычно будем писать Ко вместо К (ст). Тогда Ка —бес-
конечный кардинал. Далее,
п<т^Ка<Кг-	(32)
Действительно, пусть ст<т. Тогда Кг по определению
отлично от Ка и' не лежит в [Kp|p<°T Так как Ка —
наименьший бесконечный кардинал с последним свойст-
вом, то Ка<Кг-
Покажем теперь, что каждый бесконечный кардинал
есть Ка для некоторого ст (и, следовательно, по (32) для
единственного ст). Вследствие (32) и (8) из § 9.3 имеем
Setx3CT(x=Ka)- Поэтому если т—бесконечный кардинал,
то существует ст такое, что Ко фъ. Таким образом,
Если выполняется равенство, то всё доказано. Предположим,
что т <Ка- Так как Ка —первый бесконечный кардинал, не
лежащий в [Кр IР < и] , то имеем т е [Кр | Р < ст], что дает
требуемый результат.
Ясно, что Ко = ® и по (32) Ks (а) — первый бесконечный
кардинал, больший Ка- Из этого и теоремы Кантора по-
лучаем
Ks (а) 2Ка.	(33)
Формула
Уст(2«а=К*(а))’
378
ГЛ. 9. ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ
которая утверждает, что в (33) всегда выполняется равен-
ство, называется обобщенной гипотезой континуума. Фор-
мула
2K°=Ni,
выражающая один частный случай этого равенства, назы-
вается гипотезой континуума.
Хотя было предпринято большое число попыток решить,
будут эти две формулы истинными утверждениями о мно-
жествах или нет, проблема до сих пор не решена. Логи-
ческие исследования показали по крайней мере, почему
эта проблема так трудна: ни одна из этих формул не может
быть доказана или опровергнута в теории ZFC.
Мы посвятим доказательству этого факта несколько
следующих параграфов. Вначале отметим одно затрудне-
ние. Если мы, например, докажем, что гипотеза конти-
нуума не является теоремой теории ZFC, то отсюда будет
следовать непротиворечивость ZFC. Следовательно, по тео-
реме о доказательствах непротиворечивости никакое такое
доказательство не может быть проведено внутри теории
ZFC. Поэтому это доказательство должно быть очень не-
конструктивным и, возможно, не будет признано многими
математиками.
Мы обходим эту трудность, предположив заранее непро-
тиворечивость теории ZF. Это разумный подход, так как
даже если кто-то сомневается в непротиворечивости тео-
рии ZF, то он должен признать, что эта проблема непро-
тиворечивости сильно отличается от проблемы независимо- 
сти гипотезы континуума. Мы увидим, что возможно дать 
финитное доказательство такого утверждения: если теория
ZF непротиворечива, то ни (обобщенная) гипотеза конти- =
нуума, ни ее отрицание не могут быть доказаны в тео- ,
рии ZFC.
Мы докажем также один родственный результат: если 
теория ZF непротиворечива, то ни аксиома выбора, ни ее
отрицание не могут быть доказаны в теории ZF. Кое-кто
может спросить: почему эта проблема представляет инте- .
рес, ведь аксиома выбора, конечно, справедлива для мно-
жеств? Один из ответов состоит в том, что аксиома выбора
имеет специфическую природу. Множества, существование
которых утверждается в аксиомах существования теории ZF
(такие, как множество подмножеств некоторого множества),
9.5. ИНТЕРПРЕТАЦИИ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ	' 379
могут быть точно описаны в теории ZF; в действительно-
сти -эти аксиомы имеют вид [x|Q(x,	....ил)]. С другой
стороны, нет причин предполагать, что для каждого мно-
жества v существует функция выбора на v, которая может
быть описана подобным путем. Следовательно, можно пред-
ставить, что при некотором понимании множества, при
котором допускаются только семейства, которые могут быть
описаны, аксиомы теории ZF являются истинными, в то
время как аксиома выбора ложна. Конечно, это может
случиться, лишь если аксиома выбора не является теоре-
мой теории ZF.
Другим основанием для доказательства такого резуль-
тата я'вляется то, что он сводит трудную проблему полу-
чения в некотором смысле приемлемого доказательства
непротиворечивости теории ZFC к аналогичной и, возможно,
более легкой проблеме получения такого доказательства
для теории ZF.
9.5. Интерпретации теории множеств
Утверждение о том, что формула А не доказуема в тео-
рии ZF, в силу следствия к теореме редукции для непро-
тиворечивости эквивалентно утверждению о том, что какое-
то расширение ZF' теории ZF непротиворечиво. Поэтому
те результаты, которые мы хотим доказывать, имеют
вид: если теория ZF непротиворечива, то теория ZF' не-
противоречива. По следствию к теореме об интерпретации
это может быть доказано с помощью построения некоторой
интерпретации теории ZF' в теории ZF. По этим причинам
мы начинаем с изучения интерпретаций теории ZF и дру-
гих родственных теорий.
Удобно слегка обобщить понятие интерпретации. Интер-
претация языка L (ZF) в теории Т будет теперь содержать
некоторый унарный предикатный символ U; такой, что
-3xUiX, и два бинарных предикатных символа G/и —h
Мы строим Ai и Д(/), как и раньше, за исключением того,
что мы заменяем также = на =/. Интерпретация языка
£(ZF) будет называться интерпретацией теории ZF, если
интерпретации аксиом тождества, аксиом равенства и нело-
гических аксиом теории ZF являются доказуемыми. Тогда,
как и раньше, мы можем доказать теорему об интерпрета-
ции и ее следствие. Если =/ есть = , то мы получаем ранее
380
ГЛ. 9. ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ
рассмотренный случай. При этом интерпретации аксиом
тождества и аксиом равенства всегда доказуемы.
Напомним, что если Q определяется следующим образом:
♦ Q(xn .... xn)~D,
то Qy определяется следующим образом:
Qi(xlt x„)^Di.
Мы можем принять это определение даже тогда, когда / —
некоторая интерпретация языка L (ZF) в расширенном
смысле. Тогда при образовании Д/ или Д<7) мы просто за-
меняем Q на Qi.
Мы будем брать наши интерпретации в некоторой тео-
рии Т, являющейся расширением теории ZF. Более того,
будем предполагать, что все символы теории Т, не являю-
щиеся символами теории ZF, представляют собой константы.
Это означает, что каждая из аксиом подмножества или за-
мены для теории Т есть частный случай аксиомы подмно-
жества или замены для теории ZF и, следовательно, может
быть доказана в теории Т. Поэтому все результаты, дока-
занные для теории ZF, также выполняются для теории Т.
Все доказательства мы собираемся проводить в теории Т,
если не оговорено противное.
Так как всякая интерпретация является некоторым фор-
мальным аналогом структуры, то многие понятия, относя-
щиеся к структурам, имеют соответствующие аналоги в тео-
рии интерпретаций. Рассмотрим аналог понятия изомор-
физма.
Пусть / и / — интерпретации языка L(ZF) в теории Т.
Изоморфизмом между 1 и J называется унарный функцио-
нальный символ F теории Т такой, что
1;-n7(£/)o3x(n/(x)&f/-F(x)),	(1)
'-Ui(x)&Ui(y)^(x^iy^F(x) G=jF(y)),	(2)
\-Ui(x)&UI(y)^(x=Iy^F(x) =jF(y)).	(3)
Лемма 1. Пусть I и J — интерпретации языка L (ZF)
в теории Т, F —некоторый изоморфизм между I и J,
Q — некоторый предикатный символ теории ZF. Тогда
\-UiXi &... & UiXn (Qi (хъ ..., х„) о Qj (F (Xj), F (x„))).
Доказательство. Используем индукцию подлине
правой части А определения Q. Если А — атомная формула,
9.5. ИНТЕРПРЕТАЦИИ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ
381
то Q определяется следующим образом:
Q(Xl.....x„)^Xi^xf
или
Q(X1( .... X„)++Xt=X;,
и этот результат следует из (2) и (3). Если А — отрицание
или дизъюнкция, то Q определяется следующим образом:
Q (хг, ..., хп)^ —R (х1( .... хп),
где лемма выполняется для R, или следующим образом:
Q (хп ..., хл) ++ 7?i (хь .... х„) V (хъ ..., хп),
где 'лемма выполняется для 7?! и R2. В каждом из этих
случаев лемма для Q легко следует из индуктивного пред-
положения.
Если А — подтверждение, то Q определяется так:
Q(xlt xn}++3yR(y, xt, xn),
где по индуктивному предположению имеем
U^Xi &... & U]Xn &. Uj у ->
Xi, .... xn)++Rj(F(y), F(Xi), .... F(x„))).
Следовательно, при предположении, что игхг&... & UiXn,
имеем
Зг/ (Ui (у) & Rj {у, х^ ..., хл))**
^3y(UI(y)^RJ(F(y), F(Xi), ..., F(xn))).
Левая часть этой эквивалентности есть Qj(Xi, ..., хп),
поэтому нам нужно лишь показать, что правая часть экви-
валентна Qj(F(Xi), ..., F(xn)). Опуская F(Xi), ..., F(xn),
в силу (1) имеем
Зг/ (Ui (у) & Rj (F (у))) о By (Ui (у) & Зг (г — F (у) & Rj (г)))
о Зг (By (UI(y)&z = F (у)) & Rj (г))
**3г([/у(г) &Rj(z)).
Правая часть есть Qj(F(Xi), ..., F(xn)).
Доказательство, что все предикатные символы имеют
некоторое свойство, с помощью индукции вышеприведенного
типа будет называться доказательством индукцией по пре-
дикатным символам.
Если М — некоторый унарный предикатный символ тео-
рии Т такой, что ЗхА1(х), то мы можем построить интер-
382
ГЛ. 9. ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ
претацию 1 языка L(ZF), беря М за U;, е за Е/ и =
за =[. Мы называем эту интерпретацию ^-интерпрета-
цией М и пишем Ам и Л(М) вместо А/ и Л</} соответст-
венно. Множества х такие, что М(х), будут называться
М-множествами.
Пусть Л —некоторая константа теории Т такая, что
[— А =# 0. Определяя М следующим образом: М (х) о х е А,
получаем [—Зх44(х). ^-интерпретацией А будет назы-
ваться ^-интерпретация 44; будем писать Лд и Л(Л) вместо
Ам и Л<М). е-интерпретация 44 называется транзитивной,
если
Н44(х)&у gex->44(z/).
Тогда, если Л —константа, то ^-интерпретация А транзи-
тивна в том и только в том случае, когда [—Trans (Л).
Покажем, что всякая интерпретация, удовлетворяющая
подходящим условиям, изоморфна транзитивной е-интер-
претации. Предположим, что I — интерпретация языка L (ZF)
такая, что =; есть =, и такая, что интерпретация аксиомы
объемности выполняется. Предположим, далее, что сущест-
вует некоторый ординальный функциональный символ Н
такой, что
t-Set* (Н (х) а)
и
\-уе-1х-+Щу)<Н (х).
Определим
F ^У>=\Р (к) | Ui (х) & х б=/ у]
индукцией по Н(у), а затем определим
44 (х) Зу (Ui (у) & х=F (у)).
(4)
Ясно, что [-3x44 (х), поэтому 44 есть ^-интерпретация.
Более того, 44 — транзитивная интерпретация. Действи-т
тельно, предположим, что 44(х)&гех. Тогда x — F(y)
для некоторого у, поэтому z<=F(y)-, а тогда z — F(w)
для некоторого w такого, что Ui(w)-, следовательно, 44 (г). :
Покажем, что F — изоморфизм между I и е-интерпре-
тацией 44. Мы должны доказать (1) —(3), когда J есть 44. '
(1) есть в точности (4). Для (3) мы должны доказать
х=у F (x)=F (у)
при условии Ui(x) и Ui(y). Используем индукцию по Н (х).
9.5. ИНТЕРПРЕТАЦИИ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ
383
Импликация слева направо получается сразу. Из интер-
претации аксиомы объемности относительно I имеем
Vz ([//(z)->(ze/x«*ze/г/))->х=у,
поэтому достаточно показать, что если F (х) = F (г/) и Uj (г),
то z^[X<^z^iy. Предположим, что z^sx. Тогда
F (z) е F(x) = F(y); следовательно, F(z) = F(w) для неко-
торого w такого, что Uj(w) и w^jy. По индуктивному
предположению z = w; следовательно, z^jty. Импликация
z у -> z ^[Х доказывается аналогично.
Для (2) мы должны доказать
x^Jy^F{x')^F{y)
при условии U[(x) и U[(у). Импликация слева направо
доказывается сразу. Если F (х) еF(y), то F(x) = F(z)
для некоторого z такого, что Ui(z) и z^sy. Как и
раньше, имеем x = z, поэтому x^jty.
Теперь мы переходим к получению некоторых доста-
точных условий, при которых интерпретации аксиом тео-
рии ZF относительно некоторой транзитивной е-интер-
претации были бы выводимы.
Лемма 2. Если М — транзитивная интерпретация
языка L(ZF), то интерпретации аксиомы объемности и.
аксиомы регулярности выполняются.
Доказательство. Интерпретацией аксиомы объ-
емности является
М (х)-^М (y)-*-Vz(M (?)->(? ex«z е</))->х = (/.
Допустим, что посылки верны. Если z е х, то М (г) ввиду
транзитивности М, поэтому z е у. Подобным образом из
z е у следует ге/; таким образом, х = £/.
Интерпретацией аксиомы регулярности является
М. (х) -> Зу (М(у) &. у (= х)—>
-+Эу(М (у) & t/e х& "| Зг(М (г) & г е х& г е у)).
Допустим, что обе посылки верны. Тогда х имеет некото-
рый минимальный элемент у, который является М-мно-
жеством ввиду транзитивности М. Следовательно, у удов-
летворяет заключению.
Функциональный символ F теории Т называется М-инва-
риантным, если
'r-М (хг) &... & М (х„) -+M(F (xi, ..., хл)).
384
ГЛ. 9. ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ
Лемма 3. Пусть М. — некоторая транзитивная ^-ин-
терпретация языка L (ZF) такая, что для каждого пре-
дикатного символа Q из L (ZF) функциональный символ F,
определенный так:
F(y, fn	fn) = [x|x<=y&QM(x, vh .... ил)],
является M - инвар иантным. Тогда выполняется интерпре-
тация каждой аксиомы подмножества из теории ZF.
Доказательство. Всякая аксиома подмножества
имеет вид
Зг Vx (xgez«-»xs«/&Q (х))
(здесь мы опустили параметры). Ее Л1-интерпретацией
является
М (у) -> Зг (А4 (г) & Vx (М (х) ->
->(хег«хе</&ДД|(х)))).	(5)
Для данного М-множества у положим z=F(y), где F
таков, как в лемме. Тогда г есть М-множество и для всех
Л4-множеств х имеем х е г «-» х е у &Qm (х). Таким обра-
зом, (5) выполняется.
Лемма 4. Пусть М — некоторая транзитивная ^-ин-
терпретация языка L (ZF) такая, что для каждого М-
инварианпгного функционального символа F
М (w) & М (t^) &... & М (v„) ->
-> Зг (А4 (z) & Vx (х е w -> F (х, vt, .... vn) cz г)).
Тогда выполняется интерпретация каждой аксиомы замены
из теории ZF.
Доказательство. Всякая аксиома замены имеет вид
Vx3zV# (г/ е z«Q(x, г/)) -> Sety Зх (х е w & Q (х, у))
(здесь мы опустили параметры). Ее Л4-интерпретация имеет
посылку
М (w) & Vx (М (х) -> Зг (М (г) & Vy(M (у) ->
(у е г ~ QM (х, г/))))	(6)
и заключение
Зг (М (г) & Vy (М (у) ->
-> Зх (А4 (х) & х е w &Qai (х, г/)) -> г/ е г)).	(7)
Определим F следующим образом:
F(x) = [//',M (y)&QM(x, //)],
9.5. ИНТЕРПРЕТАЦИИ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ
385
если множество в правой части существует и является
М-множеством, и F(x')=x в противном случае. Тогда F
является Л4-инвариантным. Допустим (6). Тогда для каж-
дого Л1-множества х существует Л4-множество г такое, что
У У (М (у)-+(у<=2++ QM (х, у)).
Теперь у е г -> М (у) ввиду транзитивности Af; таким обра-
зом, г = [у | М (у) & Qm (х, г/)]. Отсюда следует, что
М (х) -> F (х) = [у | М (у) & Qm (х, у)].	(8)
По предположению теоремы мы можем выбрать Л4-мно-
жество z такое, что Vx(xe w->F(x) cz г). Чтобы дока-
зать (7), мы должны показать, что
М (у) & М (х) & х е и/ & Qm (х, у) -> у е г.
Ввиду (8) посылка влечет y^F{x)\ таким образом, имеем
г/ег.
Лемма 5. Пусть М — некоторая транзитивная ^-ин-
терпретация языка L(ZF) такая, что
М (у) -> Bw (М (w) & [х | М (х) &х cz у\ cz w).
Тогда интерпретация аксиомы степени выполняется.
Доказательство. Интерпретацией аксиомы степени
является
М (у) -> Bw (М (w) & Vx (Л1 (х) ->
-> Vz (Л1 (z)-> z ех-> г еу) ->х е w)).	(9)
Если М(х), то zex->7H(z) ввиду транзитивности М.
Поэтому в (9) мы.можем опустить часть Л1(г)->. Тогда
(9) выполняется ввиду предположения леммы.
Лемма 6. Если М — транзитивная интерпретация
языка L(ZF) такая, что М (со), то интерпретация акси-
омы бесконечности выполняется.
Доказательство. Так как М (со), то мы имеем
М (о) для каждого натурального числа о ввиду транзи-
тивности М. Тогда легко доказать, что -со есть 7Й-мно-
жество, удовлетворяющее условиям, требуемым для интер-
претации аксиомы бесконечности.
Теперь предположим, что М — некоторая фиксированная
транзитивная е-интерпретация теории ZF. Тогда мы можем
образовывать Fm для каждого функционального символа F
из ZF. (Это требует выбора константы в Т; мы можем
13 Дж. Шенфилд
386
ГЛ. 9. ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ
выбрать константу 0.) Пусть теперь А— формула, содер-
жащая определимые нелогические символы, и пусть 4* —
ее перевод в язык теории ZF. Тогда	в теории
ZF; следовательно,
(-Л1 (Xi) &... & М (х„) -> (4Л ~ М)
(где Xi, .... хп — переменные, свободные в 4). Отсюда сле-
дует, что 4(Л1) тогда и только тогда, когда 4*(Л4).
Это показывает, что при образовании 4(Л4) нам не нужно,
элиминировать определимые символы, а мы можем заме-
нять Q и F на Qm и FM-
Далее, формула 3y(y=F(xlt х„)) доказуема в
теории ZF. Ее Л4-интерпретацией является
M(x1)&...&M(xn)-+3y(M(y)&y = FM(x1, х„)).
Это показывает, что Fm есть Л4-инвариантный функцио-
нальный символ.
Если F определяется следующим образом:
F (fi, • • •, v„) = [х | Q (х, vlt ..., ол)],
то
FutVi, .... ол)=[х| M(x)&Qm(x, vlt .... iQ] (10)
для любых Л4-множеств vlt ..., vn. Действительно, интер-
претация определяющей аксиомы для F утверждает, что
для таких Vi, , vn
Чх (М (х) -> (х e FM (Vi, .... v„)+*Qm (х, Vi, .... ил))).
Так как является Л4-инвариантным функциональным
символом, то Fm(vi, .... v„) является Л4-множеством, по-
этому имеем
xsFM(vh ..., v„)-+M (х)
ввиду транзитивности Л1. Комбинируя эти два результата,
получаем (10).
Если F определяется следующим образом:
F(vlt .... y„) = [G(x, Vi, ..., t»n)|Q(x, Vi, .... цл)],
TO
Fm(vi, .... vn) =
= [Gxt(x, vlt ..., vn) | M (x) & QM (x, vlt ..., цл)] (11)
для любых Л1-множеств vlt ..., v„. Действительно, в силу
9.5. ИНТЕРПРЕТАЦИИ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ
387
(10) имеем
ил)=[г/|Л1(г/)&Зх(Л1(х)&г/ =
-=GM(x, Vi.....vn)&QM(x, vlt .... цл))].
Используя Л4-инвариантность Gm, получаем (11).
Будем говорить, что предикатный символ Q теории ZF
является абсолютным для М, если
Н М(Х1)&...&Л4 (хп)~>(Q(x1( .... х„) Qm (Х1, .... хл)). (12)
Будем говорить, что функциональный символ F теории ZF
является абсолютным для М, если
НА1(Х1)&...&Л1(хл)-^Г(х1, .... xn)=FM{xlt .... хл).
Когда М фиксировано, мы говорим просто абсолютно
вместо абсолютно для М.
Если Q абсолютно, то мы можем заменять Qm на Q
всякий раз, когда условия обеспечивают, что аргументы
для Qm являются Al-множествами; аналогично для функ-
циональных символов. Это полезно при изучении интерпре-
таций аксиом.
Если F — абсолютный функциональный символ, то F
является Л4-инвариантным функциональным символом — это
следует из того, что Fm является Л4-инвариантным функ-
циональным символом.
Теперь рассмотрим методы для доказательства того, что
нелогические символы абсолютны. Ясно, что е и = абсо-
лютны. Если Q определяется так:
Q(xlr ...» хл)~_,	(13)
где __ состоит из xlt .... хп и абсолютных нелогических
символов, то Q абсолютен. Действительно, интерпретация
для (13) утверждает, что
..., хп)^{—)м
Для Л4-множеств х19 ..., хп. Далее, все термы в (—)м
строятся из Xi и функциональных символов Gm- Так как
последние ЛГинвариантны, то из условия, что Xi являются
М-множествами, следует что эти термы представляют
-множества. Следовательно, по сделанному выше замеча-
нию мы можем заменить каждое GM или в (—на G
13*
388
ГЛ. 9. ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ
или R. Поэтому мы получим
Qm (-Vi» • < •» хп) ** —»
которое вместе с (13) дает (12).
Теперь покажем, что если F определяется следующим
образом:
F(xlf xn)=y++Q(y, xlf х„),	(14)
где Q — абсолютный символ, то F — абсолютный символ.
Допустим, что х1( ... , х„ — А4-множества. Подставив
Fm(xi, ..., хп) вместо у в (14), получаем
F(Xj,   , Хп) = Fm(xi,..., хп) *“* Q(Fm (лу,..., хп), х^, ..., хп).
Таким образом, нам нужно лишь доказать правую часть
этой эквивалентности. Ввиду абсолютности Q и М-инвари-
антности Fm это эквивалентно
Qm(Fm(Xi, .... хп), хъ ..., хп).	(15)
Теперь по (14) Q(F(x1, ..., хп), xlt ..., хп) доказуема
в ZF. Беря ее интерпретацию, мы получаем (15).
Частный случай возникает, когда F определяется сле-
дующим образом:
F(x1( .... хп) = —,
где __ состоит из xlf ..., хп и абсолютных функциональ-
ных символов. Действительно, это определение эквивалентно
(14), где Q определяется следующим образом:
QQj, xi, .... хп) ++у=~_;
а мы видели выше, что такой символ Q абсолютен.
Если Q определяется следующим образом:
Q(xi, .... xB)«1/?(xi, .... хп),
где R — абсолютный символ, или следующим образом:
Q(xi, .... Xn)++Ri(xt, ..., хп)\/ R2(xi, ..., х„),
где Ri и R2 — абсолютные символы, то Q — абсолютный
символ; это легко доказать. Из этого мы получаем анало-
гичный результат для & или <-> вместо V •
Будем говорить, что Q полно для М (или просто полно),
если
\-M(y1)&...&M(yn)&Q(x, У1,	Уп)^М(х).
9.5. ИНТЕРПРЕТАЦИИ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ
389
Например, ясно, что = полно и е полно в силу транзи-
тивности ’ М. Мы иногда будем говорить, что _____ х .__
полно в х; это означает, что Q, определенное следующим
образом:
Q(x, vlt ..., vn)*+—х—,
является полным. Таким образом, в силу полноты е полу-
чаем, что
х е у &___х___
и
“I (х <= у -> — X —)
ЯВЛЯЮТСЯ ПОЛНЫМИ В X.
Если Q определяется следующим образом:
Q(*i, , xn)^3yR(y, xn х„),	(16)
где R — абсолютный и полный символ, то Q — абсолютный
символ. Действительно, пусть х1г ..., хл — М-множества.
Из интерпретации для (16) получаем
Qm (xi, .... хл) «-> Зу (М (у) & Rm (У,	хл)).
Ввиду абсолютности R мы можем заменить Rm на R,
а затем в силу полноты R мы можем опустить часть М (у) &.
Комбинируя этот результат с (16), получаем (12). Отсюда
следует, что если Q определяется следующим образом:
Q(*i, ..., хл) *-» VyR(y, Xi, ..., хл), (17)
где R — абсолютный символ и *] R полно, то Q — абсолют-
ный символ.
Если F определяется следующим образом:
F(t»!, ..., u„) = [x|Q(x, Vi, ..., ил)],
где Q — абсолютный и полный символ, то F — абсолютный
символ. Действительно, если vlt ..., vn — М-множества,
то (10) выполняется. Как и раньше, мы можем вначале
заменить Qm на Q, а затем опустить часть М(х)&. Из
этого получаем
Fm (fi, • • •, vn) — [х | Q (x, Vi, ..., t>„)],
откуда следует, что F — абсолютный символ. Подобное
доказательство, использующее (11), показывает, что если F
390
ГЛ. 9. ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ
определяется следующим образом:
F(vit .... v„) = [G(x, vt..vn)'Q(x, vlt ...,’ил)],
где G и Q абсолютны и Q полный, то F абсолютен.
Будем использовать эти результаты, чтобы показать,
что многие нелогические символы, которые мы определили,
являются абсолютными. Для каждого нелогического сим-
вола мы будем давать определяющую аксиому. Мы остав-
ляем читателю большую часть проверки того, что здесь
применимы вышеприведенные результаты, указывая лишь
некоторые менее очевидные шаги. Иногда определяющая
аксиома, которую мы даем, несколько отличается от (но,
очевидно, эквивалентна) определяющей аксиомы, которую
мы использовали раньше.
А. х с= у <> V? (г е х-> г е у).
Применение правил в этом случае использует то, что
“| (г е х —>• г е у) полно в г.
Б. 0 = [х|х=#х]-
Ясно, что х#=х полно в х.
В. {х, у}=[г\г = х\/г = у].
Г. {х} = {х, х}.
Д. Un (х) = [у | Зг (г <= х & у (= г)].
Ясно, что г ех&г/ е z полно в г. Мы должны также
показать, что Зг(гех&г/ег) полно в у, т. е.
М (х) & Зг (г е х & у е г) -> М (г/).
А это следует из транзитивности М.
Е. xU*/ = Un({x, у]).
Ж- хр г/=[г | г s х&г s г/].
3. х— г/=[г | г е х & г у\.
И. (х, г/> = {{х}, {х, г/}}.
К. Зг/(х=<лг(х), г/»\/(ПЗг/Зг(х = (г/, г»&я1(х) = 0).
Необходимая полнота для этого определения следует из
Af «а, ЬУ)->М (а)&М (&).	(18)
А это следует из транзитивности М, так как а, b е {а, Ь}
и {a, b} е (a, b). С я2 поступаем аналогичным образом.
Л. хху= [г | ЗаЗб (а е х& Ь е у& z = (а, &))].
9.5. ИНТЕРПРЕТАЦИИ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ
391
Для этого нам нужно доказать, что
ЗаЗЬ (йе x&b еy&.z = (a, ft))	(19)
полно в г. Допустим, что (19) выполняется, когда х и у
являются Л4-множествами. Тогда а и b являются Al-мно-
жествами. Так как символ ( ) абсолютен, то он Л4-инва-
риантен, поэтому г = (а, Ь) есть Л4-множество.
М. (%!....xn) = {xlt <х2, ..., хл».
С л? поступаем подобно л[ф
Н. Do(x) = [n2 (у) | у(=х].
О. Ца(х) = [л!(г/) |г/ех].
П. F ипс (х) «-»х cz Ra(x)xDo(x)&
& МаМЬ (а е х & b е х & л2 (а) = л2 (ft) -> а = Ь).
Р. IFunc (х) «-> Func (х) &
& МаМЬ (йе x&ft е х& л2 (а) = Л! (ft)->a=ft),
С. (Func (х) & у е Do (х) & (х‘у, у) е х) V
V (“I (Func (х) & у е Do (х)) &х‘г/=0).
Т. Trans (х) «-» Му (у е х-> у cz х).
У. Ord (х) «-» Trans (х) & Му {у е х-> Trans (г/)).
Ф. о<т«оет.
X. а==ст«-»а<т\/а = т.
Если F определяется следующим образом:
Е(хп ..., x„) = poQ(o, хъ ..., хл),
где Q абсолютен, то F абсолютен. Определяющей аксиомой
для F является
F (хъ ..., хп)=у R (у, Xi, ..., хл),
где R определяется следующим образом:
R (у, х1(	х„) Ord (у) &Q(y, хъ ..., хл) &
& Vz(z Е г/->“|С(г, хь ..., хл))
и, следовательно, абсолютен.
Ц. S(a) = aU{a}.
Ч. to = pa (a #=0 & “| Эх (Ord (х) &a — S (х))).
Полнота Ord (х) & о = S (х) в х следует из импликации
c = S (х)->х е a.
Ш. l-S(O), 2 = 5(1), ...
392
ГЛ. 9. ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ
Теперь докажем, что если F определяется трансфинит-
ной индукцией в терминах абсолютного функционального
символа, то F абсолютен. Как обычно, параметры опускаем.
Итак, пусть F определяется следующим образом:
F(o) = G(o, [<F(t), т>|т<а],
где G абсолютен. Положим
Я(а) = [(/г(т), т)|т<а].
Тогда F может быть определен следующим образом: F (а) =
= Н (S (а))‘а, поэтому достаточно показать, что Я абсо-
лютен. Мы можем определить Я следующим образом:
Я (x)=y^Q(y, х),
где Q определяется так:
Q(y, *)«-(Ord (х) & Func (у) & Do (у)=х&
& Vz (z е х->у'г = б (г, [(tfw, w) | w е г])))
v (“I Ord(x)&^=0).
Тогда Q абсолютен, значит, и Я абсолютен.
Щ. Мах (х) = Лц (х) U л2 (х).
Э. МР (х) = (МР (х)), п2 (МР (х))) &
& Лх (МР (х)) = рт (Зр (р е ра (“| (ахасгх)) &(т, р) ^ёх))&
& лг(МР(х)) = рр(<Я1(МР(х)), р> х).
А'. Я(а) = МР(Ца([(Я(т), т)|т<а])).
Будем говорить, что М супертранзитивно, если оно
транзитивно и с полно для М, т. е.
Н М (у) &х с: у -> М (х).
Теперь допустим, что М супертранзитивно, и докажем,
что следующие нелогические символы абсолютны.
Б'. Р (х) = [г/1 у с х].
В'. Sm(x, у) *+ 3/ (IFunc (/) &x = Do (/) & у= Ra (f)).
Для полноты мы должны показать, что
М (х) & М (у) & IFunc (/) &х= Do(/) & у= Ra (/) -+М (f).
Так как х абсолютно, а значит, Л4-инвариантно, то из
посылок следует, что М(ухх). Так как из них также
следует, что fczyxx, мы имеем M(f) в силу супертран-:
зитивности М.
9.6. КОНСТРУКТИВНЫЕ МНОЖЕСТВА
393
Г'. CF (/, х) ~ Func (/) & Do (/) = Р (х) - {0} &
& Vr/ (у е= Do (f)-+f*y еу).
Заметим также, что CF полно. Для этого заметим, что
CF (/, х)->/ ст ххР (х),
и далее поступаем, как раньше.
Оставшиеся нелогические символы связаны с кардина-
лами. Поэтому мы будем предполагать, что М — некоторая
супертранзитивная интерпретация теории ZFC.
Д'. Card (х) = цо (Sm (а, х)).
Е'.' Cd (х) «-> х = Card (х).
Ж'. InfCd (х) «-> Cd (х) & х <а.
3'. 2CT=Card (Р (а)).
И'. К (o) = p,T(InfCd (т) & т Ra («К (р), Р> | Р <<]))•
9.6. Конструктивные множества
Мы собираемся построить транзитивную е-интерпре-
тацию L теории ZF в теории ZF. Мы будем делать это,
сопоставляя каждому ординалу некоторое множество; так
построенные множества будут называться /.-множествами.
Элементами каждого /.-множества будут более ранние
/.-множества (т. е. /.-множества, сопоставленные меньшим
ординалам); это обеспечит транзитивность интерпретации
L. Отсюда, в частности, будет следовать, что выполняются
интерпретации аксиомы объемности и аксиомы регуляр-
ности.
Так как остальные аксиомы являются аксиомами суще-
ствования, дальнейшие проблемы будут состоять лишь
и том, чтобы доказать существование достаточного числа
/.-множеств. В частности, мы хотим обеспечить, чтобы
существовали достаточно большие /.-множества. Чтобы
Достичь этого, мы будем определенным ординалам в каче-
стве /.-множества сопоставлять множество всех более ран-
них /.-множеств. Более того, будут существовать произ-
вольно большие ординалы а, для которых это будет
сделано. Отсюда будет следовать, что каждое множе-
ство /.-множеств будет включаться в некоторое /.-мно-
жество.
394
ГЛ. 9. ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ
Далее, мы должны быть уверены, что существует доста-
точное число малых L-множеств, т. е. если а есть L-mho-
жество, то достаточное число подмножеств множества а
является L-множествами. Аксиомы подмножеств требуют,
чтобы для каждого Q множество всех х в а таких, что
Qi(x), было /.-множеством (и аналогично в случае пара-
метров). Чтобы достичь этого, мы многократно применяем
некоторые определенные операции к /.-множествам, уже
полученным, и множества, получающиеся в результате
этого, добавляем к /.-множествам. Основания для точного
выбора таких операций будут выявлены в ходе доказа-
тельства, сейчас мы дадим только одну идею, откуда эти
операции появляются.
Мы намерены доказать индукцией по предикатным
символам, что все требуемые множества являются L-мно-
жествами. Если Q определен в терминах R, то R может
иметь больше аргументов, чем Q. Следовательно, неудобно
пытаться иметь дело только с унарными предикатными
символами. Поэтому мы будем вынуждены доказывать,
что если а есть /.-множество, то множество n-ок (хп ...
..., хп) таких, что хъ ..., хп е а и QL (хп ..., хп), есть
/.-множество. По этой причине мы должны иметь возмож-
ность образовывать упорядоченные n-ки. Так как они
образуются с помощью повторных построений неупорядо-
ченных пар, то одной из наших операций будет операция.
образования неупорядоченных пар.
Допустим, мы рассматриваем наиболее трудный шаг
в индукции, а именно, когда Q определяется так: Q(x)^-
3yR (у, х). (Для простоты берем здесь предикат Q унар-
ным.) Тогда
QL (х) ^>3у (L (г/) & Rl (у, х))
для /.-множества х. Таким образом, каждое х такое, что
Qi(x), есть, второй элемент в упорядоченной паре (у, х)
такой, что Rbiy, х). Это наводит на мысль, что множе-
ство [х|х е a&Qi (х)] может быть получено как область;
определения множества [{у, х)\у, х <=b &RL(y, х)]. Нет
никакой трудности в выборе операций так, чтобы область
определения /.-множества была /.-множеством; вопрос со-
стоит только в том, как найти это множество Ь. Мы хотим
знать, что b содержит а и что для каждого х в а, если
существует L-множество у такое, что Ri(y, х), то такое
9.6. КОНСТРУКТИВНЫЕ МНОЖЕСТВА
395
L-множество у существует также и в Ь. Применяя аксиомы
замены, мы можем легко построить множество b L-мно-
жеств с таким свойством; затем мы можем увеличить b
до L-множества.
Определим бинарные функциональные символы & для
z=I, ..., 9 следующим образом:
81 (х, У)=[{а, Ь)\(а, Ь')^х&а£ &],
82 (X, у) = [(а, а)\(а, а)ех],
8з(х, у) = [(а, 6) j (а, Ь) <=х&а<= у],
84(х, «/) = [<«» b}\(a> Ь) еех&Ь е= у],
у) = [(а, Ь} | (а, Ь) ех&'Ь, а) ^у],
8с (х, у) = [(а, Ь, с) | (а, b, с) е= х & (b, а, с) ge у],
87 (х, у) = [<а, Ь, с) | (а, b, с) ge х & (с, a, b} ge у],
Ы*, У)=х-у,
У) =х л Do (г/).
(Аргумент у включен в и g2 для того, чтобы сделать
все операции бинарными.) Заметим, что (х, у) се х для
i = I, .... 9.
Определим также
Л{о) = л1(/<(а)),
Л (o)=n!^(n2 (К(о)))),
Л(о) = л2(/С(л2(/С(о)))).
Тогда для любых о0, Oj и а2 существует о такое, что
/г(а) = ау для z = 0, I, 2. По (21) и (22) из § 9.3 полу-
чаем
J0(o)=/=0-> J1(o)<o& J2(of)<of. (I)
Теперь определим функциональный символ С трансфи-
нитной индукцией следующим образом:
С(а) =
[С (т) | т < о], если Jo(a) = O,
&(£(Л(а)), С(Л(а)))> если Jo (a) = i, г= 1
{С (Л (о)), C(J2(o))}, если 9< Jo_(o).
-,9,
Нам нужно условие (I), чтобы увидеть, что это действи-
тельно определение трансфинитной индукцией. Положим
также
С*(о) = [С(т)|т<о].
396
ГЛ. 9. ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ
Определим
L(x)^ За (х = С(а)).
Множество называется конструктивным, если оно есть
L-множество. Если х конструктивно, то первый ординал а
такой, что х=С(а), называется порядком множества х
и обозначается через Od(x).
Докажем теперь, что конструктивные множества обла-
дают требуемыми свойствами.
Лемма I. Если х конструктивно и у ех, то у кон-
структивно и Od (у) <Od (х).
Доказательство. Применяем трансфинитную индук-
цию по a = Od(x). Если Jo(a) = O, то
x=C(a) = C*(a).
Отсюда г/=С(т) для некоторого т<а, поэтому Od(z/)=sS
sCt<o. Если Jo (a) = z (t = 1, ..., 9), то x = fo (С (^ (a)),
С(72(0)) <=C(7i(a)). Так как Л(а)<а по (1), то индук-
тивное предположение показывает, что у конструктивно^
и Od (у) < 7Х (а) < а. Если 9<70(а), то y = C(Jt (а)) для
i = 1 или 1 = 2. В любом случае у конструктивно и Od (г/) «С
(а) < а.
Лемма 2. Если каждый элемент множествах конст-
руктивен, то х содержится в некотором конструктивном,
множестве.
Доказательство. Пусть a — ординал, больший каж-
дого ординала в [Od {у) | у ех]; выберем т так, чтобы
ДДт) = (0, а). По (21) из § 9.3 имеем а=Ст. Отсюда сле-
дует, что
х с: С* (а) с: С* (т) = С(т).
Имеем
L(x)&L(z/)->L(fi,-(x, у)), i=l.....9.	(2)
Действительно, пусть х = С (о), у=С(х)-, выберем р так,
чтобы 70 (р).= г, Л(р) = а, 72(р) = т. Тогда С (р) = & (х, у).,
Аналогично
L (x)&L(z/)->L({x, у}),	(3
откуда следует, что
L(x1)&...&L(x„)->L«Xi, ..., хл».	(4
L(x)&L(t/)->L(xxz/).	(5
9.6. КОНСТРУКТИВНЫЕ МНОЖЕСТВА
397
Действительно, по (4), лемме 1 и лемме 2 существует кон-
структивное множество z такое, что х х у с: г. Тогда
xXz/ = ^4(a3 (z, х), у),
поэтому хху конструктивно по (2).
Определим
xXi«/=[(a, Ь, с) | b s х& (а, с) s у],
хх2у= [<а, Ь, с) | с s х & (а, Ь) е у\.
Тогда
L(x)&L(y)-+L(xx1y)&.L(xx2y).	(6)
Действительно, по (4), лемме 1 и лемме 2 существует кон-
структивное множество z такое, что х х ху cz г, тогда
xXi«/=?e(?!, хху). Доказательство для хх2у аналогичное,
но использует $7 вместо ftG.
Положим
Cv(x) = [(a, b) | (Ь,
Тогда
L(x)->L(Cv(x)).	(7)
Действительно, если мы выберем конструктивное множество
2 такое, что Cv (х) с: г, то Cv(x) = $5(z, х). Из (2) полу-
чаем
L(x)&LQ/)->L(x-r/).	(8)
Отсюда
L(x)&L(r/)->L(xU«/)&T(xH У).	(9)
Действительно, по лемме 2 мы можем выбрать конструк-
тивное множество 2 такое, что х U У <= z, и тогда
x\}y=z-((2-x)-y) и хр у=х-(х-у).
Имеем также
L(x)->L(Do(x)).	(10)
Прежде всего заметим, что если aeDo(x), то существует
b такое, что (а, Ь)&с. Так как а е {а} & {а} е (а, Ь),
то отсюда по лемме I следует, что L (а). Следовательно,
по лемме 2 существует конструктивное множество г такое,
что Do(x)czz; тогда Do(x) = 59(z, х).
Лемма 3. Пусть	Если а и b
конструктивны, то существует конструктивное множе-
ство с такое, что для всех хг, , хп из а
(Xi, Xj) GE Ь (хг, . . . , Хл> GC.
398
ГЛ. 9. ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ
Доказательство. Вначале предполагаем, что i</,
и доказываем это индукцией по п. Сначала пусть I.
По индуктивному предположению существует конструктив-
ное множество d такое, что для лу, ..., хп из а
(xit х/)'е b (%2, .... е d.
Тогда для хг, ..., хп из а
(xit х}) £b^(xlt .... хп) е а х d.
Положим c = axd и, применяя (5), доказываем, что с кон-
структивно.
Пусть теперь и />2. По индуктивному предпо-
ложению существует конструктивное множество d такое,
что для хъ xs, ...,.хп из а
(Xi, Xj) <=b^ <xu x3, .... e= d.
Тогда для xx, ..., xn из a
(xh xj) eb^{xlt .... i= ax^d.
Берем c — aXid, используя (6).
Наконец, пусть i=l, j = 2. Тогда для х1г ..., хп из а
(xi, xj) eb о <лу, .... хп) е ап~2 х2Ь
(где ап~2 = ах... Ха с п — 2 сомножителями). Берем с =
= ап~2Х2Ь, применяя (5) и (6). (Конечно, если п — 2, то
берем с=Ь.)
Теперь предположим, что j<.i. По (7) и доказанному
выше существует конструктивное множество с такое, что
для xlf ..., хп из а
(Xj, xi) Е Cv (b) (xlf .... xj) е с.
Тогда
(Xi, Xj) eb^(xlt ..., xj)ec.
И наконец, пусть i=j. Тогда для хг, ..., хп из а
(xit xj)eb~XteDo($2(b,b))
«-> <лу,..., xj) s= а'"1 х Do ($2 (b, Ь)) х ап~< 
Лемма 4. Пусть Q — предикатный символ теории ZF.
Для каждого конструктивного множества а существует
конструктивное множество b такое, что для х1г ..., х„
из а
< *1, ..., хп) e b ^Ql (хг, ..., хп).
9.6. КОНСТРУКТИВНЫЕ МНОЖЕСТВА
399
Доказательство. Используем индукцию по преди-
катным символам. Предположим, что
Q (х1г . . . , Хп) Xi Е Xj
или
Q (*1, ... > Xn)^Xi=Xj.
Тогда QL (хъ ..., хп) Q (хх, ..., хп). Ввиду леммы 3
достаточно будет найти конструктивные множества с и d
такие, что
(х, у)Ес^х£у
и
(х, y)zd^x=y
для х и у из а. Возьмем c=?V1(aXa, a), d = $2(axa, а).
Предположим, что Q определено следующим образом:
Q (хх, ..., хя) “| R (х1г ..., х„),
так что
Ql (хъ ..., х„)	1 RL (хь .... х„).
По индуктивному предположению существует конструктив-
ное множество с такое, что для хп ..., хп из а
<•4....х„>	есо/?г (хъ .... х„).
Берем Ь = ап — с.
Если Q определен следующим образом:
Q Ui....хп) Rx (хг, ..., х„) V R2 (хп ..., х„),
то мы берем множества сх и с2, соответствующие и R2,
и полагаем Ь = с1[]с2.
Теперь предположим, что Q определяется так:
Q (хъ , хп)++ 3yR {у, хъ ..., х„),
так что
Ql Ui, • • •, х„) о Зу (L (у) & Rl (у, хъ ..., х„)).
Определим функциональный символ F следующим образом.
Если 3y(L(y)&RL (у, хп ..., х„)), то F (хъ .... х„) —кон-
структивное множество у наименьшего порядка такое, что
Rl (У, xlt ..., х„);
с противном случае F (хь .... х„) = С(0). Пусть
с = [F (xi.хп) | X]. е а &... & хп s а].
400
ГЛ. 9. ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ
По лемме 2 существует конструктивное множество d такое,
что ajcczd. По индуктивному предположению существует
конструктивное множество е такое, что для у, xlt ..., хп
из d
<у, хи .... х„) ее Rl (у, Xlt .... хп).
Заменяя е на e('\dnil, можно предположить, что е е dn+1.
Тогда для xlt ..., хп из а
<хъ ...,x„) еDo(e)~3(/ (</g d&(j/, Xi,   •, хп) е е)
++Эу(уе d&RL(y, xlt .... хп))
— By(L(y)&RL(y, xlt ..., хп))
++Ql(xl, .... хп).
Поэтому мы можем взять b = Do(e).
Теперь мы можем доказать, что L — интерпретация тео-
рии ZF в теории ZF. Ясно, что 3xL(x). По лемме 1 L
транзитивно, поэтому по лемме 2 из § 9.5 интерпретации
аксиомы объемности и аксиомы регулярности выполняются.
Чтобы доказать интерпретации аксиом подмножества,
достаточно по лемме 3 из § 9.5 показать, что если
у, vx, .... уп конструктивны, то множество
\x\xey&QL(x, щ, .... у„)]	(11)
конструктивно. По лемме 2 существует конструктивное мно-
жество, включающее у и содержащее элементы ..., vn.
Поэтому по лемме 4 существует конструктивное множество z
такое, что х е у
(х, vlt ..., v„) е z++QL (х, vlt .... v„).
Заменяя г на z П {у	}), имеем для всех х
х eRa(z) ++ х е у &QL(x, vlt ...,vn).
Следовательно, множество (11) есть R а (?) = Do (Cv (?))
и поэтому оно конструктивно.
Чтобы доказать интерпретации аксиом замены, доста-
точно по лемме 4 из § 9.5 показать, что если F является
L-инвариантным и w, vb ..., v„ конструктивны, то сущест-
вует конструктивное множество z такое, что F (х, vlt ....
..., vn) cz z для всех х ew. Пусть и = Un ([F (х, vlt ...
..., у„)|хе&у]). По лемме 1 каждое множество из и кон-;
структивно. Поэтому по лемме 2 существует конструктивное.'
множество z такое, что и ez. Тогда для х е w	'
F (х, У1, ..., оя) с и с г.
9.7. АКСИОМА КОНСТРУКТИВНОСТИ
401
Чтобы доказать интерпретацию аксиомы степени, доста-
точно по лемме 5 из § 9.5 показать, что если у конструктивно,
то существует конструктивное множество, которое содержит
множество [х | L (х) & х с: у\. Это следует из леммы 2.
Чтобы доказать интерпретацию аксиомы бесконечности,
достаточно по лемме 6 из § 9.5 показать, что со конст-
руктивно. В действительности мы докажем, что каждый
ординал конструктивен.
Прежде всего напомним, что мы доказали в теории ZF
Зх (Ord (х) & х у).
При доказательстве *) не использовалась аксиома бесконеч-
ное™, поэтому интерпретация этой формулы
L (у) -> Зх (L (х) & Ord£ (х) & х ф у)
доказуема. Далее, Ord абсолютно для L (так как наше
доказательство абсолютности не требовало интерпретации
аксиомы бесконечности). Поэтому
L (у) ->3х (L (х) &Ord (х) & х у).	(12)
Теперь мы можем доказать L (о) трансфинитной индукцией
по о. Индуктивное предположение показывает, что каж-
дый элемент из а конструктивен, поэтому по лемме 2
существует конструктивное множество у такое, что а с: у.
По (12) существует конструктивный ординал т такой, что
х<Фу. Имеем а==^т, поэтому а = т или а е т. Так как L
транзитивно, то отсюда следует, что а — конструктивное
множество.
9.7. Аксиома конструктивности
Формула VxL(x), которая утверждает, что каждое мно-
жество конструктивно, называется аксиомой конструктив-
ности. Теория, полученная из теории ZF добавлением
этой аксиомы, обозначается через ZFb.
Мы вовсе не намерены принимать аксиому конструк-
тивности в качестве аксиомы теории множеств, так как
нет причин верить, что она истинна. Однако она полезна
при исследованиях непротиворечивости, как показывают
следующие две теоремы Гёделя.
*) Можно взять x=S (Un [г | Ord (г)&г = у]). — Прим. ред.
402
ГЛ. 9. ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ
Теорема 1. Если теория ZF непротиворечива, то
теория ZFL также непротиворечива.
Теорема 2. Аксиома выбора и обобщенная гипотеза
континуума являются теоремами теории ZFL.
Отсюда следует, что если теория ZF непротиворечива,
то ни отрицание аксиомы выбора, ни отрицание обобщенной
гипотезы континуума не доказуемы в теории ZF (и даже
в теории ZFC).
Чтобы доказать теорему 1, мы покажем, что L есть
е-интерпретация теории ZFL в теории ZF. Так как мы
уже показали, что L есть интерпретация теории ZF, то
необходимо только доказать интерпретацию аксиомы кон-
структивности.
Вначале покажем, что С абсолютно (для всех транзи-
тивных ^-интерпретаций теории ZF). Абсолютность 5, сле-
дует из результатов § 9.5. Чтобы увидеть это, лучше всего
переформулировать определения, используя л". Так, на-
пример,
^(х, y) = [z\zt=x& z = <fo(z), л t (?)>],
5e(*. y) = [z\z ^x&z = (nl(z), л’(г), л|(г)>&
& (л|(г), л](г), njJ(?)>eEZ/].
Абсолютность Jt получается сразу. Итак, С определяется
следующим образом:
' C(o) = G(o, [<С(т), т>|т<о])
для определенного G; мы должны показать, что G абсо-
лютно. Мы можем определить G так:
G(^. f)=y++R(y, °, f),
где 7? определяется следующей формулой:
R(y, о, /)^(J0(o) = 0&i/=Ra(/)) V
V (Jo (а) = 1 & у = (ГЛ (о), f Л (о)) V-..
...V (9 <4 (а)	(о), /‘Л (а)}).
Тогда R абсолютно, поэтому и G абсолютно.
Теперь докажем, что L абсолютно для L (но не для
всех транзитивных ^-интерпретаций). Имеем
L (х) *-> Зу (Ord (у) & х=С (z/)).
Поэтому достаточно показать, что Ord (у) & х = С (у) полно
9.7, АКСИОМА КОНСТРУКТИВНОСТИ
403
в у для L. Но это следует из того, что каждый ординал
конструктивен.
L-интерпретацией аксиомы конструктивности является
Vx(L(x)-^Lr(x)).	(1)
Абсолютность L для L означает, что
L(x)^(L(x)oLr (х));
а из этого, очевидно, следует (1).
Теперь обратимся к доказательству теоремы 2. Дока-
зательство аксиомы выбора в теории ZFL совершенно про-
стое. Определим
Ch (х) = С (ро (х	0 -> С (о) е х)).
Аксиома конструктивности показывает, что функция Ch
корректно определена и
х 0->Ch (х) е х.
Из этого следует, что функция выбора на х определяется
следующим образом:
[<Ch(4/), у) I у Е Р (X) - {0}].
Чтобы доказать обобщенную гипотезу континуума, вна-
чале установим соотношение между кардиналами и кон-
структивными множествами, показав, что
Card(C*(Ka)) = Ka-	(2)
Так как [(С(т), т)|т<Ка] является сюръективным ото-
бражением из Ка на С* (Ка), то Card (С* (Ка)) =CCard (Ка) =
= Ка- Чтобы доказать обратное неравенство, достаточно
определить инъективное отображение Ка на С* (Ка)- Пусть
F (т) будет (единственный) ординал такой, что К (F (т)) =
(0, т); пусть /‘т=С (F (т)) для т е Ка- Если т<Ка, то
Мах(К(Г(т))) = т<Ка=Мах(А(Ка)) по (24) из § 9.4,
поэтому F (т) < Ка по (20) из § 9.3. Таким образом, / —
отображение из Ка в С* (Ка)- Предположим, что т, т' е Ка
и т#=т'. Тогда F(t) t^F(t'). Если F (т) <F (т'), то
Гт = С (F (т)) еС* (F (т')) = С (F (?')) = Г?'.
Аналогично, если F (т')	(т), то /*т. В любом
случае	по (4) из § 9.3. Следовательно, f инъек-
тивно.
404
ГЛ. 9. ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ
По (29) из § 9.4 и (2)
Card (В (С* (&,)))== 2*4	(3)
Мы докажем, что
Р(С*(Ка))<=С*(Кз<а)).	(4)
Из (4), (3) и (2)
имеем
2K°-<Ks(o).
Из этого и (33) из § 9.4 мы получаем обобщенную гипо-
тезу континуума.
Доказательство (4) основано на следующей лемме,
являющейся формальным аналогом теоремы о мощности.
Лемма. Пусть Т — теория, полученная из теории ZFL
добавлением константы В и аксиомы Trans (В). Тогда
в подходящем консервативном расширении Т' теории Т
мы можем определить константу А и доказать
В^А,
Тгапз(Л),
Card (В) Ка Card (Л) < Ка
и А <-> Аа для каждой замкнутой формулы А теории ZFL.
Доказательство. Чтобы построить Т' из Т, доба-
вим константу D и аксиомы
B<=D,	(5)
Card (В) -С Кс -* Card (D) Ка	(6)
и
xlt ..., xn^D-+F(xlt ..., xn)^D (7)
для каждого функционального символа F теории ZFL.
Сначала докажем, что Т' является консервативным рас-
ширением теории Т. Предположим, что Л—формула тео-
рии Т, доказуемая в теории Т'. Пусть Т1 получается из
теории Т добавлением константы D. По теореме редукции
|--т,В->Л, где В —конъюнкция замыканий аксиом (5),
(6) и (7). По теореме о константах и правилу В-введения
|-г ЗхВ' -> А, где В' —результат замены D в В на новую
переменную х. Но |— тЗхВ' по теореме замыкания; сле-
довательно, 1~гА.
Теперь покажем, что
| т-Xi, ....	«= D -> (Q (хъ .... rB)oQD(xj, ..., х„))
9.7. АКСИОМА КОНСТРУКТИВНОСТИ
405
для каждого предикатного символа Q теории ZFL. Исполь-
зуем индукцию по предикатным символам. Если Q опре-
делено'[следующим образом: Q (х1( .... хп) <-> x^Xj или
Q(xb .... хп) Xi^Xj, то Qn есть Q и результат очеви-
ден. Если Q определяется как отрицание или дизъюнкция,
то результат следует из индуктивного предположения.
Теперь предположим, что Q определяется следующим
образом:
Q(xlt .... xn)^3yR(y, xlt .... хп).
По индуктивному предположению
xltf.... хл, y^D -+(R (у, xlt .... хп) ++Rd (у, xlt.хп));
таким образом, при условии, что xlt .... xtl^D, имеем
Зу (у е= D & R (у, xlt .... х/г) о
о Зу (у е= D & Rd {у, xltхл)).
Правая часть есть Qo(xi, .... хл); таким образом, нам
нужно лишь доказать, что левая часть эквивалентна
Q(%], ..., хп). Для этого достаточно доказать (при усло-
вии, что %1, .... xn^D)
ByR (у, xlt .... xn)^3y(y^D&R(y, xlt .... x„)).
Определим F (хъ ..., хп) как множество у наименьшего
порядка такое, что R (у, xlt .... хп), если такое у суще-
ствует, и 0 в противном случае. Если
хь .... хп),
то
/?(Е(хъ .... хл), х1г .... х„).
Но F(xlt xn)sD по (7), следовательно, 3y(y^D&
&R(y, xlt .... хп)).
Пусть теперь А — замкнутая формула теории ZFL,
определим 0-местный предикатный символ Q с помощью
(?оД. Как и раньше, |поэтому |-Л ** Лр. Из
этого мы заключаем, что D есть ^-интерпретация тео-
рии ZFL в Т'. Действительно, пусть В—некоторая аксиома
теории ZFL и Л — замыкание формулы В. Тогда Ап — замы-
кание формулы B{D~>. Мы последовательно приходим к за-
ключению, что В, А, Ао и В^ доказуемы в теории Т.
В частности, интерпретация аксиомы объемности отно-
сительно D доказуема. Далее, у е хOd (у) < Od (х) по
406
ГЛ. 9. ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ
лемме 1 из § 9.6; Od — ординальный функциональный сим-
вол такой, что Setv (Od (х) s<a), так как Od (х) а-> х е
sC*(S(a)). Поэтому мы можем применить результаты из
§9.5. Определим
F (У) = Р7 W I х D & х е= у]
и
Л = [Г (x)|xeD].
Мы приходим к выводу, что А транзитивно и F — изомор-
физм е-интерпретаций D и А. Отсюда следует, что
Card (Л) = Card (D), поэтому в силу (6) получаем
Card (В) Ка Card (Л) < К„.
Используя лемму 1 из § 9.5 (примененную к 0-местным
предикатным символам), покажем, как и раньше, что |- AD «->
«-> Аа для произвольной замкнутой формулы Л теории ZFL.
Следовательно, |- Л Аа для такой формулы Л.
Осталось доказать, что Вс=Л. Для этого достаточно
показать, что
х EZ В -> F (х) = х.
Докажем это индукцией по Od(x). Пусть х^В. Если
у е х, то Od (у) <Od (х) и у В ввиду транзитивности В.
Следовательно, по индуктивному предположению и вклю-
чению В <^D имеем
F (х) = [В (у) | у е= D & у е= х]=[у | у е= х] = х.
В обозначениях доказываемой леммы Л есть е-интер-
претация теории ZFL в теории Т'\ доказательство этого
факта аналогично соответствующему доказательству для D.
Определение
Od (х) = ра (х = С (а))
вместе с абсолютностью С показывает, что Od абсолютно
для Л. (Конечно, аксиома конструктивности нужна для
выполнения определяющей аксиомы для Od.) Отсюда сле-
дует, что Od будет Л-инвариантным. Из этого и транзи-
тивности Л получаем
х е Л -> Od (х) cz Л ->
->Card (Od (x))=cCard (Л).
9.7. АКСИОМА КОНСТРУКТИВНОСТИ
407
Используя это вместе с В с Л, Card (В) Ка -> Card (Л) «с
=СКа. получаем
Card (В) Ка & х е В -> Card (Od (х)) < Ка-
Из правой части следует, что геС* (Ks<a)). Действительно,
если х(^С* (Ks(a))> то Ks(a> <Od(x), поэтому
Ка < Ks (а) = Card (Ks <а>) < Card (Od (х)).
Поэтому формула
Card (В).<Ка->В<=С* (KS(a))
доказуема в теории Т. По лемме эта формула доказуема
в теории Т. Следовательно, по теореме дедукции и теореме
о константах получаем, что формула
Trans (&)& Card (&)-< КаС* (Ks<a>)	. (8)
доказуема в теории ZFL.
Теперь мы можем доказать (4). Пусть аЕР(С*(Кс)),
т. е. пс=С*(Ка)- Пусть b = C* (Ка) U {а}. По лемме 1 из
§9.6 С* (Ка) транзитивно. Из этого и из того, что tzcz
<=С*(КаЬ мы видим, что b транзитивно. Также
Card (&) <Card (С* (КД) + Card ({а}) = Ка + 1 - Ка
по (2). Следовательно, b cz С* (Ks<a>) по (8); таким образом,
йеС*(^(и)).
Это завершает доказательство теоремы 2.
Закончим этот параграф применением доказанной леммы
к выводу формального варианта теоремы Левен гейм а— Ск у -
лема. Пусть ZFL^ —теория, полученная из теории ZFL
добавлением константы А и аксиом
Trans (Л),
Card (Л)-С Ко
и Л «-> Аа для каждой замкнутой формулы А теории ZFL.
Докажем, что теория ZFL^ является консервативным рас-
ширением теории ZFL.
Для доказательства возьмем теории Т и Т', как в лемме,
и пусть Т" получается из теории Т' добавлением аксиомы
В = 0. Тогда все аксиомы теории ZFL^ будут доказуемы
в теории Т", поэтому достаточно будет показать, что тео-
рия Т” является консервативным расширением теории ZFL.
408
ГЛ. 9. ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ
Предположим, что А — некоторая формула теории ZFL,
доказуемая в теории Т". По теореме дедукции В = 0 -> А
доказуема в теории Т' и, следовательно, в теории Т. По
теореме дедукции и теореме о константах формула
Trans(b)&b = 0-> А доказуема в теории ZFL. Подставляя
0 вместо Ь, видим, что А доказуема в теории ZFL.
Мы можем показать, как и раньше, что А есть е-ин-
терпретация теории ZFL в теории ZFL^. Таким образом,
мы имеем счетную транзитивную е-интерпретацию теории
ZFL в ее консервативном расширении ZFL^.
9.8. Вынуждение
Теперь мы опишем один метод построения интерпрета-
ций теории ZFC, которые будут применяться для доказа-
тельства независимости аксиомы выбора и гипотезы кон-
тинуума *).
Мы будем строить расширение теории ZFL, в котором
будет даваться эта интерпретация. Предположим, что фик-
сирована константа CD теории ZFL такая, что [— zflOgCD.
(Фактический выбор CD будет зависеть от приложения.)
Элементы множества CD называются условиями. Мы счи-
таем, что областью изменения р, q и г являются условия.
Если р <^q, то мы говорим, что условие q есть расшире-
ние условия р.
Каждому условию будет соответствовать некоторое
(частичное) описание интерпретации /. Кроме того, описа-
ние, соответствующее любому расширению условия р, будет
содержать описание, соответствующее условию р. Однако
не все эти описания будут корректными описаниями интер-
претации /. Мы будем отличать некоторые условия, кото-
рые будем называть корректными условиями, и строить /,
соединяя описания, соответствующие корректным условиям.
Чтобы обеспечить существование по крайней мере одного
корректного условия, потребуем, чтобы 0 было корректным
условием. Чтобы обеспечить непротиворечивость описаний,
соответствующих двум корректным условиям, мы требуем,
чтобы условие р U q было корректным, если только усло-
вия р и q корректны.
*) Приведенное здесь доказательство по существу есть первона-
чальное доказательство Коэна, хотя в нем используются некоторые
упрощения, найденные Феферманом, Скоттом и Соловеем.
9.8. ВЫНУЖДЕНИЕ
409
Имеется еще третье требование, которое выражает наме-
рение обеспечить, насколько это возможно, чтобы каждое
множество содержало некоторое корректное условие. Ситуа-
ция, в которой это оказывается невозможным, состоит
в следующем: мы выбрали р в качестве корректного усло-
вия, но не существует условия q в множестве х такого,
что р J q является условием. Это наводит на мысль, что
это требование должно состоять в следующем: для каж-
дого множества х существует корректное условие р такое,
что либо р находится в х, либо никакое расширение усло-
вия р не находится в х.
Строим теорию ZFLCor из теории ZFL, добавляя унар-
ный 'предикатный символ Сот и четыре новые нелогические
аксиомы:
Cori. Сот (р) р е CD.
Сог2. Сог(О).
Сог3. Cor (р) & Cor (q) -> Cor (р U q).
Cor4. Зр (Cor (р) & (р <= х\/ \fq (р cz q & q eCD -> g^x))).
Заметим, что мы не добавили аксиом подмножеств и
замены, содержащих новый символ Сог, поэтому мы не
можем применять наши результаты об образовании мно-
жеств к формулам, содержащим этот символ.
Наша первая задача— доказать, что если теория ZF
непротиворечива, то теория ZFLcor непротиворечива. Из
непротиворечивости теории ZF следует непротиворечивость
теории ZFL и, следовательно, ее консервативного расши-
рения ZFL^. Более того, А есть интерпретация теории ZFL
в теории ZFL^. Мы расширим эту интерпретацию до ин-
терпретации языка L (ZFLcor), определяя Согл в теории
ZFLjj. Затем мы докажем интерпретации всех новых аксиом,
показав тем самым, что мы имеем интерпретацию теории
ZFLcor в теории ZFL^. Это даст нам требуемый результат.
Пусть область изменения р, q и г в теории ZFL^
есть СЭЛ. Подмножество с множества СОЛ будет назы-
ваться генерическим, если оно удовлетворяет следующим
трем требованиям:
Оес,
p^c&q<^c-+p\jq^c,
Ух (хе А -> Эр (р е с &
&(р<=х'У 'iqip^q&q е= СОЛ -> q ф х)))).
410
ГЛ. 9. ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ
Вначале докажем, что генерическое множество суще-
ствует. Пусть все элементы А расположены в последова-
тельности х0, х1г ... Определим индуктивно последователь-
ность р0, plt ... элементов множества СЭЛ. Пусть ро=О.
Теперь предположим, что рп уже выбрано. Если суще-
ствует q такое, что pn<^q и <? ето пусть рл+1 будет
таким q. (Чтобы точно указать q, мы можем считать, что
это q имеет наименьший порядок.) Если такого q не суще-
ствует, ТО ПУСТЬ Рп+l^Pn- ЯСНО, ЧТО МНОЖеСТВО [/?„| П Eft)]
генерическое.
Определим константу G с помощью аксиомы, утверждаю-
щей, что G — генерическое множество, имеющее наимень-
ший порядок. Затем определим
Согл (р) — р е= G.
Так как СОлеЛ и А транзитивно, то каждый элемент
множества СОЛ находится в А. Используя это и абсолют-
ность 0, U и с, находим, что интерпретации Соп — Сог4
эквивалентны формулам
Согл (р)->р еСОл,
Согл(0),
Согл (р) & Согл (<?) -> Согл (р U q),
х s Л -> Эр (Согл (р) &
&(р е / \/ V<?(p с е СОл х))).
А эти формулы следуют из того, что G генерическое.
Теперь возвратимся к построению нашей интерпрета-
ции теории ZFC в теории ZFLCor. Вначале мы должны
точно определить описание /, соответствующее условию р.
Мы определим, что означает для каждого предикатного
символа Q теории ZFC выражение: р вынуждает Q (xi х„).
Тогда описание, соответствующее условию р, будет по
определению утверждением, что Qj(%i.......хп) истинно,
в случае, когда р вынуждает Q(xi, ..., хп).
Сначала рассмотрим случай, когда Q есть е. Мы
хотели бы иметь возможность строить множество у так,
чтобы для каждого условия р множеством всех таких х,
что р вынуждает х ^у, было бы заранее определенное
множество 2Р. Мы можем сделать это, взяв в качестве у
множество всех пар (х, р) таких, что х s zp, а затем
определить, что «р вынуждает х е р» означает (х, р} е у.
9.8. ВЫНУЖДЕНИЕ
411
Это определение должно быть изменено так, чтобы
описание, соответствующее любому расширению условия р,
включало описание, соответствующее условию р. Поэтому
мы определяем
х^ру^ Vq (p<=q-> (х, q)^y).
Ясно, что
х еру & р cz q -> хе^дУ	(1)
и
Ra(z/).	(2)
Мы хотим, чтобы р вынуждало х ^у, как только х <= ру.
Естественно также считать, что р вынуждает х ^у, когда р
вынуждает x = z для некоторого z такого, что z s ру.
Опишем последовательный отбор корректных условий,
где каждое корректное условие будет расширением всех
предыдущих. Если q выбрано и z е qx, то z должно будет
находиться в х. Если никакое расширение условия q не вы-
нуждает z е у, то мы не сможем никогда вынудить, чтобы z
находилось в у. Поэтому х и у будут неравными. То же
выполняется, если z s qy и никакое расширение условия q
не вынуждает z е х. В обоих случаях мы говорим, что q
препятствует х = у. Тогда мы хотим, чтобы р вынуждало
х=у, если никакое расширение условия р не препятствует
Таким образом, мы приходим к следующим определе-
ниям.
А. Условие р вынуждает х е у, если для некоторого z
имеем z^py, и р вынуждает х =
Б. Условие р вынуждает х~у, если для каждого z и
каждого расширения q условия р выполняется следующее:
(i) если z (= qx, то некоторое расширение условия q
вынуждает z е у\
(ii) если z^.qy, то некоторое расширение условия q
вынуждает z е х.
Мы должны показать, как можно устранить порочные
круги в этих определениях. Будем рассматривать А как
определение множества | х s у | условий, вынуждающих
хе у, и Б как определение множества \х = у\ условий,
вынуждающих х=у. Тогда Б определяет в терми-
нах	и \z<^.y\, где
3q(ze=qx\/zf=.qy).
(3?
412
ГЛ. 9. ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ
Если мы заменим | г ед х | и | г ед у ' на их определения
в соответствии с А, то мы получим определение Б' для
\х = у\ в терминах = где
Bq(w ^Qx\/w^r)y}.	(4)
Теперь
z ед Ra (х) ->0с1 (г) <Od (х).	(5)
Из посылки следует, что (г, ед х для некоторого ш;
так как
г ед {г} и {г} ед (г, ш),
то мы имеем Od (г) < Od (х) по лемме 1 из § 9.6. Из (2),
(3), (4) и (5) получаем
Max ((Od (г), Od (w))) < Max ((Od (x), Od («/)))-
Поэтому мы можем рассматривать Б' как определение с по-
мощью индукции по Max((Od(x), Od(y)>). Для этого мы
должны доказать
Set%i,/(Max((Od(x), Od(y)»<o),
но это следует из
Max((Od(x), Od (у))) о-> х, у ед С* (5(a)).
Поэтому мы можем принять Б' в качестве определения
х=у\. Если мы затем примем А в качестве определения
хеду|, то мы можем доказать Б из Б' и А.
Теперь определим р вынуждает Q (xlf ..., хп) индукцией
по предикатным символам следующим образом.
(i)	Если Q (хь ..., х„) ++ X/ ед х;, то р вынуждает
Q (х1( ..., хя), если р вынуждает х^едху.
(ii)	Если Q(xn ..., хп) Xj = Xj, то р вынуждает
Q (xj	хя), если р вынуждает xt = Xj.
(iii)	Если Q(Xi.....хл) ++ “| R (хь .... х„), то р вынуж-
дает Q(Xi.............хя), если никакое расширение условия р
не вынуждает R(xj.....хя).
(iv)	Если
QUi......xJ^R(Xj.........xn)\JR'(xlt .... хл),
то р вынуждает Q (xi..х„), если р вынуждает R (xj....х„)
или р вынуждает R’ (xj.....хл).
(v)	Если Q (Xi...хп)++ ByR {у, хг......хл), то р вы-
нуждает Q(xi..............................хл), если для некоторого у условие р
вынуждает R(y, xi.....хл).
9.8. ВЫНУЖДЕНИЕ
413
Если эти определения давать формально, то «р вынуж-
дает Q (хь х„)» будет (п + 1)-местным предикатным
символом от аргументов р, Xi...хп. Заметим, что эти
определения не используют новый символ Сог, поэтому мы
можем применять наши результаты о существовании мно-
жеств к предложениям о вынуждении.
Скажем, что Q (xlt хп) вынужденно, если некоторое
корректное условие вынуждает Q(xi.хя). Теперь опре-
делим нашу интерпретацию следующим образом:
х е ly «-> х е= у вынужденно,
x = iy++x=y вынужденно,
Ui(x)<+x^x.
Мы иногда будем говорить, что р вынуждает _; это
означает, что р вынуждает Q{xr, ..., хя), где Q опреде-
ляется следующим образом:
Q(*i.....
Мы интерпретируем ___ вынужденно аналогичным путем.
Лемма 1. Если р вынуждает Q (хь .... хя), то каж-
дое расширение условия р вынуждает Q(xr...хп).
Доказательство проводится индукцией по преди-
катным символам, используя (1), когда Q есть & Детали
оставляются читателю.
Лемма 2. Если Q (xi....хя) и R (хъ .... хп) вынуж-
денны, то существует корректное условие р, которое вы-
нуждает .........хп) и R(xlt .... хя).
Доказательство. Выбираем корректное условие q,
вынуждающее Q(xi.....хя), и корректное условие г, вы-
нуждающее R(xlt хп). Тогда p = q[)r корректно по
Сог3, р вынуждает Q (xi, , хп) и R (xi хп) по лемме 1.
Лемма об истинности. Для каждого предикат-
ного символа Q теории ZFC
Qi(x-i..Хл) тогда и только тогда,
когда Q(xt....х„) вынужденно.
Доказательство. Используем индукцию по преди-
катным символам. Если Q (xi..... хл) *-> х, <= х/ или
.......%л)	Xi = X}, то результат следует из определе-
ний е/ и =], а также пунктов (i) и (ii) определения.
414
ГЛ. 9. ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ
Предположим, что Q (хх, .... х„) «-> “| 2? (хь .... хп).
Тогда по индуктивному предположению
Qi (%ъ •  , х„) ++ 1R] (%!.хп)
*-> R (хь .... хп) не вынужденно.
Следовательно, нам нужно показать только, что в точности
одно из R (xi, ..., хп) и 1R (%!....хп) вынужденно. По
Сог4 существует корректное условие р такое, что либо р
вынуждает R (хь ..., хп), либо никакое расширение усло-
вия р не вынуждает R (xi.......хп) *). Отсюда следует,
что по крайней мере одно из R (хъ ..., хп) и “| R (хг.хп)
вынужденно. Теперь предположим, что они оба вынужден-
ны. По лемме 2 некоторое условиер вынуждает R(xlt .. .,хп)
и “|2?(Х1, ..., х„). Это невозможно в силу пункта (iii) опре-
деления.
Если Q(%!...... xn}++R(xi, .... xn)\JR'(xi.........хл),
то по индуктивному предположению и пункту (iv) опреде-
ления
Q/U1.....X^-Rl^..........XnWR'jlX!......хп)
++ R (%i...х„)	вынужденно или
R' (хх, ..., х„) вынужденно
*-> Q (хь ..., Хп) вынужденно.
Если Q(%i, .... хп) *-> ByR (у, xlt .... хп), то по индук-
тивному предположению и пункту (v) определения
....Хп) ByRi (у, ’хг.......хп)
** By (R (у, xlt..., Хп) вынужденно)
*-»Q(%i, ..., х„) вынужденно.
Ясно, что
р вынуждает х = у-^р вынуждает у=х. (6)
Докажем
г е Рх-^р вынуждает г <= х	(7)
и
р вынуждает х = х	(8)
индукцией по Od (х). Если z е рх, то Od (г) <Od (х) по (2)
и (5), поэтому р вынуждает z = z по индуктивному пред-
*) В качестве х в формуле Сог4 нужно взять множество
| R (xi, ..., хп) | всех условий, которые вынуждают Р(х^, .... хп).—
Прим. ред.
9.8. ВЫНУЖДЕНИЕ
415
положению; следовательно, р вынуждает г^х. Теперь,
если p^q и z е qx, тогда, как только что было доказано,
q вынуждает z ^х, поэтому р вынуждает х=х.
Далее мы докажем, что
р вынуждает х=у и р вынуждает y = z ->р
вынуждает х = z, (9)
индукцией по Od (г). Ввиду симметрии достаточно пока-
зать, что если р с q и а е qx, то некоторое расширение
условия q вынуждает a^z. Так как р вынуждает х=у,
то некоторое расширение г условия q вынуждает а е у.
Тогда г вынуждает а = Ь, где Ь^гу. Так как р вынуж-
дает’//— z, то некоторое расширение г' условия г вынуж-
дает b^z. Тогда условие г' вынуждает Ь = с, где
По (2) и (5) Od (с) <Od (г), а по лемме 1 условие г' вы-
нуждает а — Ь. Следовательно, по индуктивному предполо-
жению условие г' вынуждает а=с. Отсюда следует, что
условие г' вынуждает ае г.
Теперь перейдем к доказательствам интерпретаций аксиом
теории ZFC. Интерпретация аксиомы тождества есть х = рс.
Так как 0 корректно по Сог2 и 0 вынуждает х=х по (8),
ТО Х = ]Х.
Интерпретация аксиомы равенства для=есть
х=1У -> z = jW	х = iZ -+у = jW.
Это легко доказать из
x=iy-+y = ix	(10)
и
x = Iy&.y = Iz-^x=^Iz.	(11)
Но (10) следует из (6). Чтобы доказать (11), допустим
х = ;г/ и y = iz. По лемме 2 существует корректное усло-
вие р, вынуждающее х=у и y = z. По (9) условие р вы-
нуждает x=z', следовательно, х = &.
Интерпретация аксиомы равенства для е есть
X = 1У -> Z = jW -> X	}Z -> у jW.
Эта формула следует из
x = iy&x^jz-+y ^jz	(12)
и
x = iy &z ^jX->Z e iy.	(13)
416
ГЛ. 9. ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ
Чтобы доказать (12), допустим, что x = iy и
По лемме 2 существует корректное условие р, вынуждаю-
щее х=у и тег. Следовательно, для некоторого w имеем,
что р вынуждает x=w и w^pz. По (6) и (9) р вынуж-
дает y~w, следовательно, р вынуждает i/ez; таким обра-
зом,
Чтобы доказать (13), допустим, что x=iy и z е/X, и
выберем корректное условие р, вынуждающее х=у и z е/.
Тогда для некоторого w имеем, что р вынуждает z — w и
w (= рх. Для каждого расширения q условия р имеем w е
е qx и, следовательно, некоторое расширение условия q
вынуждает w^y. Это показывает, что условие р вынуж-
дает	Следовательно, Ц (ш е по лемме об
истинности. Таким образом, w <= Так как имеем также
то z<=iiy в силу (12).
Так как мы уже доказали интерпретации аксиом тож-
дества и аксиом равенства, то мы можем сделать заклю-
чение, что интерпретация теоремы равенства выполняется.
Таким образом, мы имеем
x=iy-+(Qi(x, Уь	*>i> > vn)). (14)
Интерпретацией аксиомы объемности является
Vz(2G/xoze/i/)->/=;y	(15)
Пусть а будет множеством всех условий р таких, что
3z ((г <= Рх&р вынуждает г у)У (г „у & р вынуж-
дает г ф х)).
Сначала предположим, что а содержит некоторое корректное
условие р. Тогда существует z такое, что, например,
z ерХ и р вынуждает г^у. По (7) и лемме об истин-
ности г <= /Х&“I (г е [у)\ поэтому левая часть (15) ложна.
Теперь предположим, что а не содержит корректных усло-
вий. По Сог4 существует корректное условие р, не имеющее
расширений в а. Тогда р вынуждает х = у, следовательно,
x=;z/.
Имеем
х е Зг (x=fz& z <= Ra (у)).	(16)
Действительно, выберем корректное условие р, выну-
ждающее х е у. Тогда р вынуждает х~г и герудля
некоторого г. Следовательно, x=]Z&z <= Ra (у).
9.8. ВЫНУЖДЕНИЕ
417
Лемма 3. Пусть р —некоторое корректное условие,
вынуждающее Зу (уех). Тогда существует у и корректное
расширение q условия р такое, что q вынуждает у^х и
q вынуждает z фх для каждого z такого, что Od (г) <
<Od(z/).
Доказательство. Пусть а — множество расширений
q условия р таких, что
Зу (q вынуждает у <=x&\/z (Od (г) < Od (г/) -> q выну-
ждает гфх)).
Мы хотим показать, что а содержит некоторое корректное
условие. Предположим, что это не так. По Сог4 существует
корректное условие q, не имеющее расширений в а. По
Сог3 условие р (J q корректно и по лемме 1 р (J q выну-
ждает г/«=х для некоторого у. Таким образом, множество
таких у, что
Br(pUpc:r &г вынуждает г/<=х),
непусто. Пусть у — элемент этого множества, имеющий
наименьший порядок, и пусть г —расширение для p\]q,
вынуждающее i/ех. Так как г фа, то существует г
такое, что Od (г) <Od (г/) и условие г не вынуждает z ф х.
Поэтому некоторое расширение условия г, а значит, и
условия р (J q вынуждает z е х. Это невозможно по выбору у.
Интерпретацией аксиомы регулярности является
. Зг/ (у <= ix) -> Зу (у <= /X & “| 3z (z е= jx & z <= ///)).
Предположим, что Зу (z/e /х). По лемме об истинности
существует корректное условие р, вынуждающее Зу (у е х).
Выберем у и q, как в лемме 3. Тогда у е /X. Предположим,
что z е 7г/; мы должны показать, что 1(ze;x). По (16)
и (14) можно предположить, что zeRa(z/), поэтому
Od (г) <Od (г/) по (5). Таким образом, q вынуждает z ф х;
следовательно, Дге/х) по лемме об истинности.
Лемма 4. Если
z~ [(и, р) | и е Ra (г/) & р вынуждает и^у&р
вынуждает Q(u, vb ...,ия)], то для всех х
x^iz^x^ iy&Qi(x, .... vn).
Доказательство. Параметры опускаем. По лемме
1 и е pz -о- (и, р) <= z.
14 Дж, Шенфилд
418
ГЛ. 9. ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ
Следовательно, х е [Z эквивалентно
ЗрЗи (Сот (р) & р вынуждает х= и &. (и, р) z),
а значит, и
ЗрЗи (Сот (р) & р вынуждает х=и&и е Ra (г/) &
& р вынуждает Q (и) & р вынуждает и е у).
По лемме об истинности и лемме 2 это эквивалентно
Зи (х= [U & и е Ra (z/) & и е $ & Qi (и)).
По (14) это эквивалентно
Зи (x=[U&u е Ra (у) &х е ,у &Q, (х)).
Но это в силу (16) эквивалентно х &Qi(x).
Интерпретация аксиомы подмножеств имеет вид
BzVx(x<=;z^xeE/z/&Q/(x, vlt ..., vn)).
А это следствие леммы 4.
Имеем
х <= I (z/xCD) -о- 3z (z е у &x=[Z).	(17)
Импликация слева направо следует из (16). Теперь пред-
положим, что
Z У&Х= iZ,
и выберем корректное условие р> вынуждающее x = z.
Тогда 2sp(yxCD), поэтому р вынуждает xe(z/xCD);
следовательно, хе/(z/xCD).
Интерпретация аксиомы замены имеет посылку
VxBuVz/(z/e/UoQ/(x, у))	(18)
и заключение
BzVz/(Bx(xe/йу&Q/(x, z/))-> z/е/г).	(19)
(Здесь мы опустили все параметры.) Пусть F (х, р) будет
множеством и наименьшего порядка таким, что
р вынуждает \fy (у е и Q (х, у)),	(20)
при условии, что такое и существует. Допустим (18).
Тогда для каждого х существует и такое, что 'Vyty^.
[U ++Q[(x, у)), поэтому по лемме об истинности суще-
ствует корректное условие р такое, что (20) выполняется.
Отсюда следует, что (20) выполняется для u = F(x, р).
Таким образом, используя снова лемму об истинности,
9.8. ВЫНУЖДЕНИЕ
419
получаем
VxB/?Vz/ (у е= ZF (х, p)~Qz(x, у)).	- (21)
Для данного w положим
2 —Un ([Ra (F (х, р))\х^ Ra (&y)]XrP) xCD.
Чтобы доказать (19), мы должны показать, что
x<=rw&Qf(x, у)-+у
По (16) и (14) мы можем предположить, что x«=Ra(ay).
Выбирая р по (21), мы имеем уегР(х, р). По (16) у —д'
для некоторого у' из Ra(F(x, /?)), поэтому у е jZ по (17).
Интерпретацией аксиомы степени является
' 3w Vx(Vz (г е {x->z е zz/) ен ,w).
Пусть w = Р (Ra (у) xCD) xCD. Допустим, что Уг(ге
е ix-^z е /у), и положим
v= [(и, р) | и е Ra (у) &р вынуждает и ^у&р выну-
ждает иех].
По лемме 4 мы имеем для всех z
Z G ]V <-> Z {у & Z [X
« ze [X.
Ввиду интерпретированной аксиомы объемности х=/У.Так
как v с Ra (z/)xCD, то xs{w по (17).
Пусть ZF0 — теория, полученная из теории ZF опуска-
нием аксиомы бесконечности.
Лемма 5. Пусть J —некоторая интерпретация
теории ZF0 в теории ZFLcor « О — функциональный сим-
вол такой, что в теории ZFLcor
Н Uj(O (а)),	(22)
(- х е jO (а) Эт(т<а&х=7О (т)).	(23)
Тогда J — интерпретация теории ZF. Более того, интер-
претацией формулы х~ «о относительно J является
x=jO (to).
Доказательство. Определим (в теории ZF0)
Zer (%)*-» Vу (у <£х),
Suc(x, у)«-» Vz (z е x<r+ z е y\Jz = y).
Из (23) имеем
Zerj(0(0)),	(24)
Sue, (О (S (a)), 0(a)).	(25)
14«
420
ГЛ. 9. ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ
Используя эти формулы, а также (22) и (23), получаем
Зг/ (UjjO (со) & Zer,(г/)),	(26)
Vy (Uj(y)&ye jO(co) -> 3z {Uj (z) & z e= jO (co) & Sue,(г, г/))).
(27)
Аксиома бесконечности есть формула
Зх (Зу (у е х& Zer (г/)) & Уг/ (г/е x->3z (г е х& Sue (г, г/)))).
Ее интерпретация легко следует из (26), (27) и (22).
Теперь определим
Nn (х) <-> х со.
В теории ZF мы можем доказать
Зу (у е w & Zer (у)) &Vy(y ->Эг (г е w & Sue (г, г/))) &
&Nn(x)->xe w.
Если мы возьмем интерпретацию этой формулы, подставим
О (со) вместо w и применим (26) и (27), то мы получим
(7j(x)&Nn/(x)->x^ jO(to).	(28)
Мы можем также доказать в теории ZF формулы
Zer (х) -> Nn (х),
Nn (х) & Sue (у, х) Nn (у).
Беря их интерпретации и применяя (24) и (25), получим
NnJ(0(0)),	(29)
Niv(O(cr))->Nn/(O(S(cr))).	(30)
Теперь допустим, что
3x(t7j(x)&xejO(to)&nNnj(x)).	(31)
В теории ZF	в силу аксиомы регулярности мы можем
доказать
Вх (х е w & “I Nn (х)) ->
Зх(хе w& “I Nn(х)& Vz(z ex&z е ®->Nn (г))).
Беря интерпретацию этой формулы, подставляя О (to) вме-
сто w и применяя (31), получим, что существует х такое,
что
Uj(x)&x е jO(w) &“| Nny(x),
и такое, что для всех г
Uj(z)&z е jx&z SjO(со)->Nnj(z).	(32)
9.8. ВЫНУЖДЕНИЕ
421
По (23) x=jO(p) для некоторого натурального числа ст,
поэтому ввиду интерпретированной теоремы равенства мы
можем предположить, что х есть О (о). Из П№ь(О(ст)),
(29) и (30) получаем, что o = S (т), где П Nnj(O (т)). Полагая
О (т) вместо z в (32) и используя (22) и (23), получаем
Nnj (О(т)). Итак, мы получили противоречие с (31). Из
этого и (28) получаем
Uj (х)	(Nnj (х) х е jO (to)).	(33)
В теории ZF формула х = а> эквивалентна Vy(y^x<r+
«-»Nn (х)). Отсюда следует, что интерпретация формулы
х = со эквивалентна
У У {Uj (.У) -> (у е JX о Nnj (х))).
По (33) это эквивалентно
Vy\Uj{у)^{у^ jX^y^ jO (to))).
А это эквивалентно х = /0(ш) в силу интерпретированных
аксиом равенства и объемности.
Чтобы применить лемму к нашему случаю, определим
трансфинитной индукцией по ст
О (ст) = [О (т) | т < ст] х CD.
Тогда (22) очевидно, а (23) следует из (17).
Аксиомой мультипликативности называется следующее
утверждение: если 0 г и если каждые два различных
элемента множества z не пересекаются, то существует
множество у, имеющее в точности один общий элемент
с каждым элементом множества г. В теории ZF. из этой
аксиомы следует аксиома выбора. Действительно, пусть х
дано, для а сх пусть
га = [<&, а)\Ь(=а].
Пусть z = [za | а<= Р (х) — {0}] и множество у таково, как
утверждается в аксиоме мультипликативности. Тогда y(\z
является функцией выбора на х.
Отсюда следует, что нам нужно только доказать
интерпретацию аксиомы мультипликативности. Пусть, сле-
довательно, нам дано z такое, что
w е {Z -> За (а /ш)	(34)
и
• w е iz & а е /w & w' е yz & а е iw'	(35)
422
ГЛ. 9. ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ
Мы собираемся найти у такое, что
w е /г -> За (а /W & а е zz/)	(36)
и
w fz &. а<^. № м &.Ь <= № &Ь <= !у-+а== ft. (37)
Возьмем в качестве у множество всех пар {а, р) таких,
что для некоторого -w условие р вынуждает w е z и а е w,
а также р вынуждает b ф w для всех b таких, что Od (&) <
<Od(rz). Тогда а<=ру++(а, р}^у по лемме 1.
Вначале докажем (36). Пусть w^jz. По (34) и лемме
об истинности существует корректное условие р, выну-
ждающее w^z и Эа(а^<^). Следовательно, по лемме 3
существует а и корректное расширение q условия р такое,
что q вынуждает а е w и q вынуждает b w для всех b
таких, что Od(b)<Od(a). Тогда (a, q')^y, поэтому
а е qy, отсюда условие q вынуждает а е у. Поэтому
а е jw & а е 7г/.
Теперь докажем (37). Допустим, что посылка верна и
выберем корректное условие р, вынуждающее а е у.
Тогда для некоторого с условие р вынуждает а=с и
(с, р} е у. Поэтому для некоторого w' условие р вынуж-
дает w' е z, c^w' и d ш' для всех d таких, что
Od(d)<Od(c), откуда
a = jc&w' <= {г&с е jw' & Vd(Od (d)<Od (с)->--|(^^/^')).
По (35) имеем w=Jw,t поэтому
a=jc &с е jw&Vd (Od (d) <Od (c) (de jw)).
Подобным образом найдем d такое, что
b = zd & d е jw & Vc (Od (с) < Od (d) -> “| (c e jw)).
Из этого мы получаем Od(c)=Od(d), поэтому c = d. Так
как a = ic и b = jd, то отсюда следует, что a = jb.
9.9. Доказательства независимости
Теперь мы переходим к доказательству двух следующих
теорем Коэна.
Теорема 1. Если теория ZF непротиворечива, то
гипотеза континуума не является теоремой теории ZFC.
9.9. ДОКАЗАТЕЛЬСТВА НЕЗАВИСИМОСТИ
423
Теорема 2. Если теория ZF непротиворечива, то
аксиома выбора не является теоремой теории ZF.
Для доказательства теоремы 1 мы хотим выбрать над-
лежащим образом константу CD, а затем показать, что
выполняется интерпретация отрицания гипотезы контину-
ума. В действительности мы докажем интерпретацию
предложения, из которого следует отрицание гипотезы
континуума. Определим (в теории ZFC)
Im (/, х, у) ++ (у, х) е /,
Sur (a, b) <-> В/Vc/ (у е b ->Вх (х е а & Im (f, х, у)&.
&Vz(Im(/, х, z)-+z=y))).
Тогда Sur (а, b) означает, что существует сюръективное
отображение из а на Ь. Имеем
0 & Card (&) Card (а) -> Sur (a, b).	(1)
Действительно, из посылки следует, что существует
биективное отображение из некоторого подмножества мно-
жества а на Ь\ это отображение может быть расширено до
сюръективного отображения из а на Ь. Теперь допустим,
что выполняется гипотеза континуума, и пусть
О a cz b cz Р (со).
Если Card (а) =СКо> тоSur (со, а) по (1). Если <Card (а), то
Card (а) Card (&) Card (Р (со)) = 2^° = Ki-
Следовательно, Card (а) = Card (&), поэтому Sur (а, Ь) по
(1). Таким образом, из гипотезы континуума следует
VaVb (а 0& a cz b &. b cz Р (со) -> Sur (со, a)\JSur (а, &)).
Поэтому отрицание гипотезы континуума следует из
ЗаЗЬ (a^Q&aczb&.bczP(ti))&.~\ Sur (со, а) & “| Sur (а, Ь)).
Перепишем это так:
ЗаЗЬЗс (с=со & Вх (х е а) & a cz & & Vx (хе b-+xcz с) &
&“|Sur(c, а) & “I Sur (а, &)).
Беря интерпретацию этой формулы и применяя лемму 5
из § 9.8, получаем
ЗаЗЬЗс (с	&3x(x^/a)&acz/b &
& Vx(x ezb->x cz:/c) & П Surz (с, а) & "| Surz (а, b)).
424
ГЛ. 9. ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ
Используя интерпретированную теорему равенства, видим,
что достаточно определить константы А и В и доказать
А. Нх(№/А).
Б. A cz/B.
В. х ^[В CZ[O (со).
Г. П5пг/(О(со), А).
Д. ПБигДД, В).
Пусть CD — множество всех отображений из конечных
подмножеств из сох^2 в {0, 1}. Пусть область изменения i
и / составляют натуральные числа. Определим
AZ(a) = [<O(i), p)\p‘(i, о>=1],
A=pV(a)|a<Ni]xCD,
В = [AZ (a) | a < ^2] x CD.
Тогда А и Б следуют по (17) из § 9.8.
Чтобы доказать В, мы должны показать
х^В&у х -+у	(ш).
По (17) из § 9.8 и интерпретированной теореме равенства
можно предположить, что x = N (а). По (16) из § 9.8
y=iO(i) для некоторого i; так как О (Г) О (со) по (17)
из § 9.8, то у <=! О (со).
Чтобы доказать Г и Д, нам будут нужны несколько
лемм.
Лемма 1. Пусть х —множество условий такое, что
для всех р и q из х из p^q следует, что p[)q не является
условием. Тогда х счетно.
Доказательство. Определим индуктивно последо-
вательность х0, х1г ... конечных подмножеств множества х.
Пусть ап — множество (i, г) из {0, 1}х(сох|<2) таких, что
(1—1, г) находится в некотором условии из x0J ...
Так как каждое условие — конечное множество- и ...
... U — конечное множество условий, то ап конечно.
Мы можем, следовательно, выбрать конечное подмноже-
ство хп множества х такое, что для каждого р е х суще-
ствует q^xn такое, что р f) ап = q [) ап.
Теперь достаточно будет показать, что каждое р из х
находится в некотором хп. Так как р конечно и ап cz ал+1,
то можно выбрать п так, чтобы рПа„ = р[)ал+1. Выберем'
q^xn так, чтобы рf) ап = q П ап. Если (i, г) есть в q, то
9.9. ДОКАЗАТЕЛЬСТВА НЕЗАВИСИМОСТИ
425
(I— i, z) есть в аплЛ — q, Так как
Р П an\i = q П ап,
то отсюда следует, что (1—i, z)^p. Из этого следует,
что р U q — некоторое условие; следовательно, по предполо-
жению p=q.
Лемма 2. Если р вынуждает Q(x, vlt .... vn) и
Vz(Q(z, Vi, ..., vn) -+z=y), то p вынуждает x=y.
Доказательство. Параметры опускаем. Пусть
q — расширение условия р. Тогда q не вынуждает
Зг “I (Q (г) -> г=у) и, следовательно, не вынуждает “| (Q (х) ->
->x=ii/), поэтому некоторое расширение г условия q вы-
нуждает Q(x)->x = i/. Это означает, что г ъыъужжвл либо
“|Q(x), либо х=у. Первое невозможно, потому что усло-
вие г, как расширение условия р, вынуждает Q (х). Поэтому
условие г вынуждает х = у.
Чтобы доказать, что условие р вынуждает х = у, допу-
стим, что р cz q и, например, г х. Выберем условие г,
как и раньше. Так как условие г вынуждает х = у и
z<=rx, то существует некоторое расширение условия г,
вынуждающее z <=у. Поэтому некоторое расширение усло-
вия q вынуждает z е у.
Множество а называется отделимым, если
VpVxVi/(x, у <= а & р вынуждает х=г/->х=г/).
Лемма 3. Если Surz(axCD, b xCD), где Card (а) бес-
конечен, а множество b отделимо, то Card (&) sCCard (а).
Доказательство. По предположению и (17) из
§ 9.8 существует f такое, что для каждого у^Ь суще-
ствует х такое, что
xcszaxCD & 1т7(Д х, г/)& Vay(Imz(/, х, оу) =/У).
Отсюда следует, что существует x s а такое, что
1т7(Д х, у) & Vw (Imz (Д х, w) -+w =iy).
Тогда по лемме об истинности существует корректное усло-
вие р такое, что
р вынуждает Im (Д х, у) и Vay(Im(/, х, w) -+w = y). (2)
Для хеа пусть ^ — множество всех у^Ь таких, что (2)
выполняется для некоторого условия р (не обязательно
корректного). Мы показали, что 6 = Un ([6X | х е а]). Пока-
426
ГЛ. 9. ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ
жем, что Ьх счетно, из этого будет следовать, что Card (b)
«С Card (а) • со=Card (а). Для каждого у^.Ьх пусть ру
будет такое р, что (2) выполняется. Предположим, что
у, z^bx и
р = руЦрг
есть условие. Тогда р вынуждает
Im(f, х, у) и Vtfl(Im (/, х, w) -+w = z).
По лемме 2 р вынуждает г/ = г; следовательно, y=z, так
как множество b отделимо. Это показывает, что ру = рг ->
-+y = z, поэтому чтобы показать, что Ьх счетно, достаточно
показать, что [ру\у <= Ьх] счетно. Но это следует из леммы I
и только что доказанного результата.
Докажем теперь трансфинитной индукцией по т, что
ст<т->р не вынуждает О(ст) = О(т).	(3)
Так как о < т, то О (а) О (т). Если р вынуждает О (а) =
= О (т), то отсюда следует, что некоторое расширение q
условия р вынуждает О (ст) О (ст). Тогда q вынуждает
О(ст) = О(р) для некоторого р<ст. Но это противоречит
индуктивному предположению.
Из (3) имеем
р вынуждает О (т) = О (а) -> т - - а.	(4)
Используем это, чтобы показать, что
р вынуждает N (т) = N (а) -> т = а.	(5)
Действительно, предположим, что т ст. Выберем i таким
большим, чтобы ни одна пара (i, р) не находилась в области
определения условия р. Пусть ^ — расширение условия р
такое, что (z, т) и (z, а) находятся в области определения
условия q и
q' (i, т)= 1, q‘ (z, ст) = 0.
Из первого следует, что О (i) е QN (т). Поэтому некоторое
расширение г условия q вынуждает О (z) е N (а). Отсюда
следует, что для некоторого / условие г вынуждает О (z) = О (/)
и О (j) N (а). По (4) i = j, поэтому г'(i, ст)=1. Это
невозможно, так как г — расширение условия q.
Из (4) и (5)
т Ф <3 -> 0 (т)	0 (ст) & N (т) N (ст).
9.9. Доказательства независимости
427
Следовательно,
Card ([О (i) 11 е со]) = Но,
Card ([AZ (о) | о < Hi]) = Hi,
Card ([AZ (о) | о<&]) = №.
Кроме того, множества [AZ (о) | о< Hi] и [AZ (о) | о < Иг]
отделимы по (5). Вспомнив, что
О (со) = [О (i) | i е со] х CD,
видим, что Г и Д следуют из леммы 3.
Заметим, что многие обобщения теоремы 1 могут быть
доказаны этим же методом. Например, мы можем доказать,
что теория ZFC остается непротиворечивой при добавлении
аксиом 2^°--=Н1 и 2^1 = Из-
Теперь перейдем к доказательству теоремы 2. Пусть
CD — множество всех отображений из конечных подмножеств
множества сох со в {0, 1}. Тогда строим I, как и раньше.
Построим новую интерпретацию J теории ZF в теории ZFLcor
так, чтобы выполнялась интерпретация отрицания аксиомы
выбора.
Под перестановкой мы понимаем любое биективное ото-
бражение из со на со. Пусть областью изменения f и g
будут перестановки. Применяем следующие обозначе-
ния: f°g для композиции f и g (так что (f°g)‘i = f‘ (g‘ (i)), f*
для обращения f (так что /*‘ (i) = j тогда и только тогда,
когда /7 = 0 и / для тождественной перестановки (так
что I‘i = I). Скажем, что f есть k-перестановка, если f'i = i
для i-^k.
Положим
^/(р) = [<7 /,	£> е= р].
(Таким образом, л —бинарный функциональный символ,
один из аргументов которого записывается в индексе.)
Ясно, что Лу (р) — условие; мы имеем л/ой (р) = Л/ (л^ (р))
и л7(р) = р.
Определим
П/ (х) = [<П; (у), л; (р)> | {у, р) е= х].
Это определение индукцией по Od(x). Имеем П/»й(х) =
= 1МПИх)).
Говорим, что х инвариантно, и записываем Iv (х), если
существует такое k, что Пу(х) = х для каждой й-переста-
новки f. Отсюда, очевидно, следует, что П/(х) = х.
428
ГЛ. 9. ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ
Если х инвариантно, то Пу (х) инвариантно. Действи-
тельно, выберем k так, чтобы (х) = х для каждой ^-пере-
становки g. и выберем k' так, чтобы i kfli k'. Пред-
положим, что g есть k'-перестановка. Тогда f*°g°f есть
^-перестановка, поэтому
Пг(Пе (Пу (х))) = х.
Применяя к обеим частям Пу, получим 11g. (П; (х)) = Пу (х).
Определим Uj индукцией по Od (х) следующим образом:
Uj(x) ++ Iv(x)& Vr/(r/GE Ra (х)-> t/j (г/)).	(6)
Теперь завершим определение интерпретации J, взяв Sj
такое же, как и и =j такое же, как и =/.
Для каждой открытой формулы А формула Aj та-
кая же, как и Aj следовательно, если |— Л<7>, то Л^’.
Из этого получаем интерпретацию аксиом тождества и
равенства относительно J. Тогда легко доказать
x=ji/->’(Qj(x, ylf .... vn)++Qj(y, vj, .... y„))	(7)
индукцией по предикатным символам. По (16) из § 9.8
и (6) получаем
Uj(y)&x<= jy-+3z(Uj(z)&x = jZ). (8)
Интерпретация аксиомы объемности относительно J есть
Uj (x)&Uj(y)&Vz (Uj (z) —> (z e jx^z €Ejy))-+x = jy.
Предположим, что посылка выполняется, а заключение
ложно. Применяя интерпретацию аксиомы объемности от-
носительно /, находим, что существует z такое, что
“I (z е jx <-> z е j у). По (8) и (7) это z может быть вы-
брано так, чтобы Uj(z), а это противоречит посылке.
Интерпретация аксиомы регулярности относительно J
есть
Uj (х) & Зу (Uj (у)&У^ JX)
-+3y(Uj (y)&yt=jx& ~\3z (Uj (z)&z^jx&z^jy)).
Допустим посылку. По интерпретации аксиомы регуляр-
ности относительно / существует у такое, что у <^jx и
1 Зг (z t=jx&г ^jy)- Но по (8) й (7) мы можем такж
предположить, что Uj(y).
Теперь введем понятие J-вынуждения. Определим р
J-вынуждает Q (хъ .... хп) точно так же, как р вынуждает,'
9.9. ДОКАЗАТЕЛЬСТВА НЕЗАВИСИМОСТИ
429
Q (xt...х„)> за исключением случая, в котором
Q (Хъ , хп) ++1yR (У, xt.х„).
В этом случае р J-вынуждает Q(xt...хп), если для не-
которого у имеем Uj(y) и р /-вынуждает R (у, х1( .... хп).
Скажем, что Q(Xi....хп) является /-вынужденным, если
некоторое корректное условие /-вынуждает Q(x2...х„).
Леммы 1 и 2 последнего параграфа выполняются для
/-вынуждения. Лемма об истинности также выполняется:
Qj(xt...хп) ++ Q (хъ .... хп) является /-вынужденным.
Докажем, что
Uj(x)-^Uj(nf(x)),	(9)
индукцией noOd(x). Если у е Ra (Пу (х)), то р=Пу(г)
для некоторого zeRa(x). Тогда Uj(z), поэтому Uj(y)
по индуктивному предположению. Как было доказано
раньше, П; (х) инвариантно, поэтому {/7(Пу(х)).
Теперь докажем, что
р /-вынуждает Q (хг, .... хп)++к} (р) /-вынуждает
mto)..................................Пу(х„)),	(10)
индукцией по предикатным символам. Для атомных фор-
мул мы должны доказать, что
р /-вынуждает ХЕр«->Лу(р) /-вынуждает Пу(х)ЕПДр),
(11)
р /-вынуждает х=у <-> Лу (р) /-вынуждает Пу(х) = Пу(р).
(12)
Допустим, что (12) выполняется, когда Od(x)<a и
Od (р) < а. Покажем, что (11) выполняется, когда Od (х) < а,
Od(p)sCa. По определению р /-вынуждает х^у экви-
валентно
Bz(p / -вынуждает х — z & z Ер р).	(13)
Имеем г <=р у -> Od (z) < Od (р) а. Поэтому по предполо-
жению и определению ер (13) эквивалентно
Bz (лу (р) /-вынуждает П, (х) = Пу (z) & Пу (z) е я (р) Пу (х)).
(14)
Теперь, если г' Е9Пу(р), то z'е Ra (Пу (р)), и поэтому
430
ГЛ. 9. ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ
?' = Пу(г) для некоторого z. Таким образом, (14) эквива*
лентно
Зг'(Лу(р) J-вынуждает Пу(х) = z & г' еЯ/(р) Пу (р)),
а поэтому эквивалентно
Лу (р) /-вынуждает Пу (х) е Пу (у).
Теперь покажем, что при тех же предположениях, (12)
выполняется для Od(x)^o и Od (г/) -; ' ст. Тем самым (12)
будет доказано индукцией по Max«0d(x), Od(p))), а (11)
будет следовать из ранее доказанного.
По определению р /-вынуждает х=у тогда и только
тогда, когда
VpVz (р cz р& z х-> Зг (р cz г & г /-вынуждает z^p)),
(15)
и такое же выражение выполняется, если х и у поменять
местами. Из только что доказанного следует, что (15) экви-
валентно
VpVz (Лу (р) cz лу (р) & Пу (z) е=Я/ «р Пу (х) -+
-> Зг (лу (р) cz Лу (г) & Лу (г) /-вынуждает Пу (z) е Пу (р))).
(16)
Теперь, если р принимает все условия в качестве значений,
то Лу (р) принимает все условия в качестве значений (так
как р= Лу (л^ (р))). Поэтому, как и раньше, (16) эквива-
лентно
VpVz'(лу (р) с р & z'Пу (х)
->3r(pcz г & г /-вынуждает г' е Пу (р))). (17)
Из эквивалентности (15) и (17) и соответствующего резуль-
тата, когда х и р меняются местами, получаем (12).
Теперь вернемся к (10). Случай, когда Q — отрицание
или дизъюнкция, совершенно простой. Теперь предположим,
что Q (хъ .... Хп) «-* 3yR (у, Xi, ..., хп). Тогда «р /-вынуж-
дает Q (хх, ..., х„)» эквивалентно
3y(Uj(y)&p /-вынуждает 7? (р, хъ .... х„)),
которое по индуктивному предположению эквивалентно
Зр (Uj (у) & Лу (р)
/-вынуждает /?(Пу(р), Пу (xi), ..., П,(х„))). (18)
9.9. ДОКАЗАТЕЛЬСТВА НЕЗАВИСИМОСТИ
431
Мы хотим показать, что это эквивалентно
Зр' (Uj (у') & nf (р) J-вынуждает R (у', Пу (.аД, ..., Пу (х„))).
(19)
Теперь по (9) из (18) следует (19). Если (19) выполняется
для некоторого у', то положим y=Hf*(y'). Тогда Uj(y)
по (9) и Пу (р) = П/(р') = р', потому что у' инвариантно.
Поэтому (18) выполняется.
Лемма 4. Пусть у, vlt ..., vn —Uj-множества, по-
ложим
г = [{и, р) | и е Ra (у) & р J -вынуждает и <=у& р
J-вынуждает Q(u, vlt и„)].
Тогда z есть Uj-множество и для всех х
x<=jz++ x<=jy&Qj(x, Vi, ..., vn).
Доказательство. Доказательство эквивалентности,
если использовать (7), такое же, как в лемме 4 из § 9.8.
Так как Ra (z) cz Ra (у), то каждый элемент множества Ra (z)
есть Uj-множество. Поэтому нам нужно лишь показать,
что z инвариантно.
Выберемkтак, чтобы Пу(р) = у, Пу(уД —, Пу(у„) — vn
для каждой Zj-перестановки f. Тогда для ^-перестановки f
Пу (z) = [(Пу (и), Лу (р)) | и е Ra (у) & р J-вынуждает и^у
& р J-вынуждает
Q(u, vlt уД].
Используя (10), получаем
ny(z) =[<Пу(и), лу (р)> | и е Ra(p) &Лу (р) J-вынуждает
nf (и) е П/ (у) & лу (р) J-вынуждает Q (Пу (и),
Пу(У1), .... Пу(уД)]. (20)
Если область изменения р состоит из всех условий, то
область изменения Лу(р) состоит из всех условий. Если
область изменения и состоит из всех элементов множества
Ra(p), то область изменения Пу (и) состоит из всех элемен-
тов множества
[Пу (ы) | w е Ra (р)] = Ra (Пу (у)) - Ra (у).
Поэтому (20) показывает, что nz(z) = z.
432
ГЛ. 9. ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ
Интерпретация аксиомы подмножества относительно J
есть
Uj(y)&Uj(vl)&...&Uj(vn)-+-
->3z(Uj(z)&Vx(Uj(x)->(xejZ^xeji/&Qj(u, ...» у„)))).
Она следует из леммы 4.
Определим
3 (2) = Un [Пу (г) | f — перестановка].
Тогда
Uj(x)&x^jZ-+x<=j3(z).	(21)
Действительно, по предположению существует корректное
условие р такое, что р J-вынуждает х е г. По (10)
л;(р) J-вынуждает Пу (х) П; (г).
Так как х инвариантно, это означает, что р J-вынуждает
х^Пу(г). Поэтому для некоторого у условие р J-вынуж-
дает х — у и г/ерПу(г). Тогда г/^р3(2); следовательно,
р J-вынуждает х 3(2); таким образом, xSj3(2).
Теперь
Щ(3(2)) = [<ПДх), пе(р)) | <х, p)f=3(2)]M
=№(*)> ле(р)) | <х, р) ^nf(z)]X'Pi/
= [<nffo/(x), лео/(р)|<х, p>^z]x,Pi/
-Д<Пу(х), Лу(р)|<Х, p)E2]A.pij=j(z).
(Здесь мы использовали то, что если область изменения f
состоит из всех перестановок, то область изменения g°f со-
стоит из всех перестановок.) Поэтому 3(2) инвариантно.
Из этого
Vу (у е= Ra (г) -> Uj (у)) Uj (3 (г)).	(22)
Действительно, если х е Ra (3 (2)), то х е Ra (Пу (г)) для
некоторого /; поэтому х=Пу(г/) для некоторого z/eRafz);
следовательно, Uj(x) по (9).
Интерпретация аксиомы замены относительно J имеет
посылки Uj(w) и
Vx (Uj (х) Зи (Uj (и) & Vi/ (Uj (у) -+ (у SBjU ++ Qj (х, у)))))
(23)
и заключение
Зг (Uj (z) &Vy(Uj (у) -> Зх (Uj (х) & х еjW & Qj (х, у)) ->
-+yt=jz))	(24)
9.9. ДОКАЗАТЕЛЬСТВА НЕЗАВИСИМОСТИ
433
(здесь опущены параметры). Пусть F (х, р) равно элемен-
ту и наименьшего порядка такому, что Uj {и) и р /-вынуж-
дает Vi/ {у е и (х, у)), если такое и существует. Как
и в предыдущем параграфе,
Vx(Uj(x)-+3pVy(Uj(y)-+(ye=jF(x, p')^Qj(x, у)))). (25)
Положим
г —3 (Un ([Ra (F(x, р))|хе Ra(w)]x>p) x CD).
Так как Uj(F(x, p)), то каждый элемент из Ra(F(x, p))
есть t/j-множество. Из этого и (22) имеем Uj(z). Остается
показать, что
Uj (У) &Uj(x) &XC=jW& Qj (х, у) ->у е=jZ.
Допуская посылки, выберем условие р, как в (25). Тогда
yt=jF(x, р). По (16) из § 9.8 y=jy', где/е Ra(F(x, р)).
По (17) из § 9.8 и (21) у' <=jZ‘, следовательно, у <^jz.
Интерпретацией аксиомы степени относительно J является
Uj (у) (Uj (w) & Vx (Uj (х) ->
Vz (Uj (z) -> Z <=jX -> z <=jy) -> X (= jW)).
Пусть
w = 3 ([у I Uj (v) & v cz Ra (у) X CD] x CD).
Тогда Uj(w) no (22). Предположим, что Uj(x) и z^jX->
-+z^jy для каждого t/j-множества z. Пусть
у = [(u, p) | и (= Ra (y) & p J-вынуждает и e у & p
/-вынуждает мех].
Имеем Uj(v) по лемме 4, и для каждого f/j-множества z
Z ^.jV Z <=}у & Z ^jX
++Z<=jX.
Таким образом, v = jx ввиду интерпретированной аксиомы
объемности. Так как v cz Ra (у) х CD, то v^jw по (17)
из § 9.8 и (21); поэтому x<=jw.
Имеем
Пу (О (о)) = [П, (О (т)) | т < о] х CD.
Из этого легко получаем
Пу (О (о)) = 0(о)	(26)
434
ГЛ. 9. ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ
трансфинитной индукцией по а. Поэтому О (а) инвариантно.
Используя это, докажем
UАО (а))	(27)
трансфинитной индукцией по о. Каждый элемент из Ra(O (а))
есть 0(т) для некоторого т<о и поэтому есть t/j-мно-
жество по индуктивному предположению. Поэтому О (а) есть
Uj-множество. Интерпретация аксиомы бесконечности сле-
дует из (27) и леммы 5 из § 9.8.
Остается доказать интерпретацию отрицания аксиомы
выбора. В действительности мы докажем интерпретацию
формулы
lBzCF(z,	(28)
(Отметим, что в противоположность этому BzCF (г, to) явля-
ется теоремой теории ZF. Действительно, чтобы получить
функцию выбора z на со, положим z‘x наименьшему нату-
ральному числу в х для х Р (со) — {0}.)
Лемма 5. Пусть р —некоторое корректное условие
и k<Li. Тогда существует k- перестановка f такая, что
f‘i и (р) имеет корректное расширение.
Доказательство. Пусть а — множество всех расши-
рений условий Лу(р), где f есть ^-перестановка такая, что
fli ф /. Мы хотим показать, что а содержит некоторое кор-
ректное условие. Предположим, что это не так. Тогда
по Сог4 существует корректное условие q, не имеющее рас-
ширений в а. По Cor3 р U q есть условие. Выберем /таким
большим, что i < j и никакое (х, /) не находится
в Do (р) U Do (9); пусть / — перестановка, меняющая мес-
тами i и / и оставляющая на месте все другие натураль-
ные числа. Ясно, что л,(р) U q — условие. Это противоречит
выбору q, так как / есть ^-перестановка и f‘i =# I.
Если CF (г, Р (со)), то
a cz Р (to) & а =# 0 Зх (х е а & Im (г, а, х) &
&Vt/(Im(z, а, у)-+у=х)).
Поэтому (28) следует из
VzStz (a cz Р (со) & а =# 0 & "| Вх (х е а & Im (г, а, х) &
&Vt/(Im(z, а, у)-+у^-х))).
Тем самым нам нужно лишь доказать интерпретацию этого
предложения. Если мы строим эту интерпретацию с помощью
методов, уже применявшихся в этом параграфе, то мы
5.S. Доказательства независимости
435
видим, что для каждого Uj-множества z должны построить
Uj-множество а такое, что
Uj (х) & х <^ja-+x <^j0 (со),	(29)
Эх (Uj(x) &х	(30)
и такое, что не существует Uj-множества х, для которого
х GE7a&Imj(2, а, х) & Vy(Uj(y) -> Im, (г, a, y)-+y^=jx).
(Ы)
Определим
(0 = [<О(/)» Р>|Д </> О = 11-
Как и'раньше, из того, что р J-вынуждает N (i) — N (j),
следует i — /; поэтому
N(i) = jN(j)-+i = j.	(32)
Кроме того, применяя (26) и определение л/* (7), получаем
ПДА/ (0) = [<О(/)> Мр)Др‘</, 0-1]
= [<О(/), <7>>*(<7)‘</. 0=1]
= [<О(/).	00 = 1];
поэтому
=	(33)
Отсюда следует, что N (t) инвариантно. Из этого и (27)
получаем
Для данного {/j-множества z выберем k так, чтобы
П^(г) — г для каждой ^-перестановки f, и положим
а — [W (0 \k < t] х CD.
Каждый элемент из Ra(a) есть некоторое N (i) и, следо-
вательно, {//-множество. Применяя (33), видим, что
ПДй) = д для каждой ^-перестановки /, поэтому а инва-
риантно и, следовательно, является {//-множеством. Дока-
зательство (29) подобно доказательству Б. Так как
N (S (i)) ^ja, то мы имеем (30).
Теперь допустим, что существует {//-множество х,
удовлетворяющее (31). В силу x^ja имеем x=?jN(i) для
некоторого i > k. С таким же успехом мы можем предпо-
ложить, что х есть N (I). По лемме об истинности выбе-
рем корректное условие р так, чтобы р /-вынуждало
Vt/(Im(z, а, у) -> y = N (i)). Выберем f, как в лемме 5,
И пусть q — корректное расширение для лДр). Так как
436
ГЛ. 9. ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ
П/(г) = г, nf(a)=a и Пу (N (i)) = N то по (10) имеем
q вынуждает Vi/(Im (г, а, у) -> у = N (f‘i)).
Следовательно, по лемме об истинности
Vy(Uj(y)-+Imj(z, a, y)-+y=JN (J4)).
Подставляя N (i) вместо у и применяя (31), получаем
N (i) = jN (fi). Так как i=£fi, это противоречит (32).
9.10.	Большие кардиналы
Так как аксиомы теории ZFC не решают гипотезу кон-
тинуума и аксиому конструктивности, естественно поискать
аксиомы, которые делают это. И гипотеза континуума и
аксиома конструктивности ограничивают число множеств.
Так, недоказуемая часть гипотезы континуума утверждает,
что число подмножеств множества со не превосходит Ki-
Поэтому если мы надеемся доказать эти результаты, то мы
должны найти новые аксиомы, которые ограничивают число
множеств.
Аксиома объемности показывает, что индивид опреде-
ляется своими элементами и поэтому может быть отожде-
ствлен с семейством, членами которого являются эти элементы.
Еще одно единственное ограничение, которое мы бы хотели ,
сделать, относится к тому, что индивиды должны быть мно-
жествами, т. е. должны встречаться на некотором шаге.
нашей конструкции. Но мы покажем, что это может быть
в действительности доказано в теории ZFC.
Напомним, что на каждом шаге строится ровно один
новый ординал. Пусть Sa — шаг, на котором строится о,
и пусть Stg (a) — множество всех множеств, которые могут
быть построены на шаге Sa. Мы можем определить Stg
в теории ZFC трансфинитной индукцией следующим образом:
Stg(a) = P(Un([Stg(T)iT<a])).	(1)
Результат, который мы хотим доказать, состоит тогда
в следующем:
За (хе Stg(а)).	(2)
Сначала докажем, что существует транзитивное множество,
содержащее х. Определим трансфинитной индукцией
F(a) = Un[Un(F(T)) [J W |т<а].
9.10. БОЛЬШИЕ КАРДИНАЛЫ
437
Ясно, что x^F (а). Если z^Ffa), то z е Un (F (/)) U {*}
для некоторого/. Тогдаз^Е(5(/)), поэтому г с Un (F
следовательно, zcF(w). Это показывает, что F (to) тран-
зитивно.
Теперь докажем (2). Пусть а — некоторое транзитивное
множество, содержащее х, и пусть b — множесто элементов
множества а, которые не принадлежат ни одному из Stg (а).
Если b пусто, то доказательство закончено. В противном
случае пусть у — минимальный элемент множества Ь. Если
® е г/, то гг е й в силу транзитивности а, но w b по
выбору у. Следовательно, w е Stg (о№) для некоторого ow.
Пуст;ь а больше, чем любой ординал в [ow | w е У\- Из (1)
следует, что уе Stg(а), а это противоречит тому, что у^Ь.
Ввиду этого, по-видимому, остается мало надежд дока-
зать гипотезу континуума или аксиому конструктивности,
не изменяя нашего понятия множества. Если же мы пыта-
емся опровергнуть гипотезу континуума и аксиому конст-
руктивности, то ситуация оказывается многообещающей.
Ведь для этого нам нужны аксиомы, гарантирующие су-
ществование большого количества множеств. Но аксиомы
существования из теории ZFC в некоторых отношениях
являются совершенно недостаточными для этого. Например,
аксиомы подмножеств в действительности не гарантируют
существования всех подмножеств множества х, а только
тех подмножеств, которые могут быть описаны в теории ZFC
(используя параметры). Если бы мы ввели символы для
новых операций, которые не могут быть определены в тео-
рии ZFC, то у нас возросла бы возможность описывать
множества и, следовательно, возросла бы сила аксиом
подмножеств (и аксиом замены). По-видимому, это очень
естественный подход, но до сих пор никто не смог пред-
ложить подходящих операций.
Более обещающим в данный момент является следую-
щий подход — более полно использовать наш принцип
существования шагов: если мы можем представить ситуа-
цию, когда все шаги некоторого семейства выполнены, то
должен существовать шаг после шагов из этого семейства.
В теории ZFC мы использовали лишь некоторые специаль-'
ные случаи этого принципа. Но существование дальнейших
шагов эквивалентно существованию больших ординалов
или, так как для любого ординала существует больший
кардинал, существованию больших кардиналов. Поэтому
438
ГЛ. 9. ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ
мы должны поискать аксиомы, гарантирующие существо-
вание кардиналов, больших чем те, существование которых
может быть доказано в теории ZFC. Такие аксиомы будут
называться обобщенными аксиомами бесконечности.
Рассмотрим, как мы можем получать кардиналы в тео-
рии ZFC. Мы получаем Ко из аксиомы бесконечности. По-
лучив бесконечный кардинал а, мы можем получить боль-
ший кардинал, переходя к 2°. Другой метод состоит в том,
чтобы взять Un(x), где х— некоторое множество кардина-
лов. Конечно, это может рассматриваться как метод полу-
чения нового кардинала только тогда, когда Un (х) больше,
чем каждый элемент из х, и больше также, чем Card(x).
Так может случиться; например, х может быть [Ка | о е со],
так что Un(x) = K<d-
Скажем, что кардинал недостижим, если он не может
быть получен этими методами. Точнее кардинал а недо-
стижим, если
(i)	to<a;
(ii)	т < a -> 2х < а для каждого кардинала т;
(iii)	Card (х) < a -> Un (х) < а для каждого подмноже-
ства х из о.
Нашей первой обобщенной аксиомой бесконечности
будет аксиома недостижимости, утверждающая, что су-
ществует недостижимый кардинал. Сразу не ясно, что это
действительно новая аксиома; может быть, мы можем дока-
зать ее в теории ZFC, используя конструкции, отличные
от рассмотренных выше. Однако мы докажем, что это не
так: если теория ZFC непротиворечива, то аксиома недости-
жимости не является теоремой ZFC. Чтобы доказать это,
строим интерпретацию теории ZFC в теории ZFC, для
которой выполняется интерпретация отрицания аксиомы
недостижимости.
Рангом множества х назовем первый ординал а такой,
что х е Stg (а):
rk (х) = |.ш(х£ Stg (а)).
Тогда
х е у -> rk (х) < rk (у).	(3)
Имеем у^ Stg(rk(i/)), поэтому если х е у, то по (I)
хе Stg(а) для некоторого a<rk(i/). Следовательно,
rk(x)sSa<rk (у). Кроме того, Set* (rk (х) sS а), так как
rk (х) a ->х е Un ([Stg (т) | t==s a]).
9.10. БОЛЬШИЕ КАРДИНАЛЫ
439
Таким образом, мы можем давать определения индукцией
по rk(x).
Мы пишем Inac(а) для обозначения того, что а — недос-
тижимый кардинал. Скажем, что множество х достижимо,
если Card (х) меньше, чем каждый недостижимый кардинал:
Ас(х) ** Va (Inac (а) -> Card (х) < а).
Затем определяем М. индукцией по г к (х) следующим об-
разом:
М (х) «-> Ас(х) & Vi/ (у е х <-> М (у)).	(4)
Ясно,, что М (0), поэтому ЗхМ (х) и, следовательно, М
есть ^-интерпретация. М транзитивно по (4). Так как
подмножество достижимого множества достижимо, то из (4)
следует, что М супертранзитивно.
Лемма I. Если х достижимо и каждый элемент
множества х достижим, то Un (х) достижимо.
Доказательство. Пусть Inac(а). Тогда Card (х) <а
и Card (у) < а для каждого элемента у множества х.
Отсюда следует, что
Card (Un (х)) а • а = а.
Поэтому мы можем предположить, что Un (х) — подмно-
жество кардинала а. Если у е х, то у cz а и Card (у) <а,
поэтому Un(i/)<a. Так как Card ([Un (у) | у е х]) 'С
iC Card (х) < а, то
r = Un ([Un(i/) |i/GEx])<a.
Если р Un (х), то р е у для некоторого у е х, поэтому
р Un (у) ^Ст. Отсюда следует, что Un(x)czS(r); следо-
вательно,
Card (Un (х)) С Card (S (т)) =
=Card (т) + 1 С Max ((Card (т), со))<о.
Теперь докажем интерпретации всех аксиом теории ZF
посредством лемм из § 9.5. Интерпретации аксиом объем-
ности и регулярности выполняются, потому что М тран-
зитивно. Для аксиом подмножеств мы должны показать,
что если у, vlt ...» vn являются ЛЕмножествами, то
г = [х|х^ i/&Qjw(x, vx, ..., vrt)]
есть ЛЕ множество. Так как z cz у, то это следует из
супертранзитивности М.
440
ГЛ. 9. ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ
Для аксиом замены достаточно показать, что если F
является М-инвариантным и w, vlt ., vn являются
М-множествами, то
z = Un ([F (х, vlt ..., vn) | х е до])
есть М-множество. Из транзитивности М и М-инвариант-
ности F находим, что каждый элемент множества z есть
М-множество. По лемме 1 множество z достижимо. Поэ-
тому z является М-множеством.
Для аксиомы степени мы должны показать, что если у
есть М-множество, то
Z = [х | М. (х) & X CZ у]
есть М-множество. Очевидно, что каждый элемент мно-
жества z есть М-множество, поэтому нам нужно только
показать, что z достижимо. Пусть а — недостижимый
кардинал. Тогда Card (у) < а, поэтому
Card (г) 'С Card (Р (у)) = 2Card М < а.
Если а меньше, чем каждый недостижимый кардинал,
то а есть М-множество; это легко доказывается трансфи-
нитной индукцией. Поэтому М(со). Это дает интерпретацию
аксиомы бесконечности.
Так как CF абсолютно, то интерпретацией аксиомы
выбора является
Vx (М (х) Эу (М (у) & CF (у, х))).
Так как CF полно (для супертранзитивных интерпретаций),
то эта формула эквивалентна
Vx (М (х) Bz/CF (у, х)).
Но это — следствие аксиомы выбора.
Мы должны еще доказать интерпретацию отрицания
аксиомы недостижимости. Определяющей аксиомой для
Inac является
1пас (а) «-> Cd (<т) & со < а& Vt (т< а & Cd (т) ->2t <а)&
& Vx (х cz а & Card (х) < а Un (х) < а).
Используя результаты из § 9.5, выводим, что Inac абсо-
лютно для супертранзитивных интерпретаций. Так как
отрицание аксиомы недостижимости есть
И Вх Inac (х),
9.10. БОЛЬШИЕ КАРДИНАЛЫ
441
то интерпретация этой формулы эквивалентна
"| Вх (М (х) & Inac (х)).
Это очевидно, так как если М (х) & Inac (х), то х =
= Card (х) < х.
Аксиома недостижимости, хотя и недоказуемая в тео-
рии ZFC, удовлетворяет нашим общим принципам, так как
мы можем, конечно, представить ситуацию, в которой
операции, описанные выше для получения новых карди-
налов, были проделаны до тех пор, пока новые кардиналы
не перестанут получаться этим способом. Мы можем даже
надея'ться доказать непротиворечивость этой аксиомы.
Точнее, мы можем надеяться доказать, что если теория
ZFC непротиворечива, то такова же и теория ZFI, полу-
ченная из ZFC добавлением аксиомы недостижимости.
Однако такое доказательство не может быть проведено
в теории ZFC по причинам, которые мы теперь кратко
обсудим.
Суть заключается в том, что непротиворечивость теории
ZFC может быть доказана в теории ZFI. Пусть в теории
ZFI о означает первый недостижимый кардинал. Тогда
rk (х) < о для каждого /И-множества х, что легко дока-
зать индукцией по rk (x). Отсюда следует, что Set^M (х).
Это означает, что в теории ZFI мы можем построить
структуру теории ZFC, универсум которой есть [х | М. (х)]
и е-отношением является обычное е-отношение. Мы можем
по существу использовать только что данное доказательство,
чтобы доказать, что эта структура является моделью тео-
рии ZFC. Затем мы можем доказать теорему истинности
в теории ZFI и вывести, что ZFC непротиворечива.
Предположим, что утверждение если теория ZFC
непротиворечива, то теория ZFI непротиворечива дока-
зуемо в теории ZFC или даже в теории ZFI. Тогда непро-
тиворечивость теории ZFI была бы доказуемой в теории
ZFI; тогда отсюда по теореме о доказательствах непротиво-
речивости следовало бы, что теория ZFI противоречива.
Следующий и наиболее важный вопрос состоит в следу-
ющем: могут ли гипотеза континуума и аксиома конструк-
тивности быть доказаны или опровергнуты в теории ZFI?
К сожалению, ответ отрицательный. Доказательство в основ-
ном такое же, как и для теории ZFC. Новым является
442
ГЛ. 9. ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ
лишь доказательство аксиомы недостижимости, а для этого
не требуется ничего существенно нового.
Имеется много обобщенных аксиом бесконечности подоб-
ного типа. Например, мы могли бы предположить сущест-
вование двух недостижимых кардиналов. Можно доказать,
как и раньше, что эта аксиома недоказуема в теории ZFI.
Мы могли бы предположить более сильные аксиомы; напри-
мер, что кардинал множества недостижимых кардиналов
сам недостижим. Однако никакая из таких аксиом не
годится для решения вопроса о справедливости гипотезы
континуума или аксиомы конструктивности.
Теперь мы введем одну аксиому, которая приводит
к опровержению аксиомы конструктивности. Перед тем,
как привести эту аксиому, нам будут нужны некоторые
определения.
Под измеримым идеалом на множестве х мы понимаем
подмножество у из Р (%) такое, что
(i)	для каждого подмножества z множества у такого,
что Card (г) < Card (х), выполняется Un(z)ez/;
(ii)	для каждого подмножества z множества х либо
z е у, либо х — z е у,
(iii)	Un(z/) = x;
(iv)	х<£у.
Можно считать, что измеримый идеал на х разделяет под-
множества множества х на маленькие и большие подмно-
жества: подмножества из измеримого идеала являются
маленькими, а оставшиеся подмножества являются боль-
шими.
Множество х называется измеримым, если оно несчетно
и существует измеримый идеал на х. Ясно, что каждое
множество, подобное измеримому множеству, измеримо,
поэтому мы можем рассматривать только измеримые карди-
налы. Аксиома измеримости утверждает, что существует
измеримый кардинал.
Сразу неясно, что аксиома измеримости является обоб-
щенной аксиомой бесконечности. Однако мы увидим, что
измеримые кардиналы чрезвычайно большие, значительно
больше, чем любой из кардиналов, которые мы до сих пор
рассматривали. С другой стороны, исследования не выявили
противоречий или даже неправдоподобных результатов,
следующих из этой аксиомы. Это по крайней мере наводит
на мысль, что аксиома измеримости является просто очень
9.10. БОЛЬШИЕ КАРДИНАЛЫ
443
сильной обобщенной аксиомой бесконечности. А если это
так, то было бы разумно допустить эту новую аксиому.
Пусть ZFM —теория, полученная из ZFC добавлением
аксиомы измеримости. Пусть ZFM* — теория, полученная
из ZFM добавлением двух констант % и V и аксиом,
утверждающих, что % —несчетный кардинал и V — изме-
римый идеал на %. По теореме о функциональном рас-
ширении теория ZFM* является консервативным расши-
рением теории ZFM. Докажем теперь некоторые результаты
в теории ZFM*.
x<=V&yczx->-y(=V.	(5)
Действительно, если у<£ V, то % — у е V по (ii); поэтому
% = (% —z/) U-K V по (i), что противоречит (iv).
х с х & Card (х) <•/-> х е V.	(6)
Если о <х, то {ст} е V по (iii) и (5). Тогда (6) полу-
чаем из (i).
xcx->(xgV«z-x^V).	(7)
Ввиду (ii) нам нужно лишь вывести противоречие из
хе V и х — xeV. Но из них следует хs Е по (i), что
противоречит (iv).
x(=x&yczx->-(x(]ye=V++xe= V \/yeV').	(8)
Если xeV или у е V, то x[\y^V по (5). Теперь
предположим, что x[\y^.V, x^V и у . По (7) и (i)
X = (*riZ/)U(x —*)U(X~Е, что противоречит (iv).
Теорема Банаха —Улам а. Кардинал х недости-
жим.
Доказательство. Пусть ст —некоторый кардинал
такой, что ст<х; мы должны показать, что 2СТ<Х- Пред-
положим, что х^2ст. Тогда существует инъективное отобра-
жение f из х в Р (ст). Для т < ст положим
гг = [р!р<х&те=Гр]-
Пусть yx = zx, если zx^V, и yx = x — zx в противном
случае. Тогда ух е V по (7). Так как Card (ст) ст < х,
имеем Un ([z/t | т < ст]) е V по (i). Покажем, что самое
большее один элемент из х не находится в Un ([z/T | т < ст]).
Вместе с (6) и (i) это дает х s Е, что противоречит (iv).
444
ГЛ. 9. ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ
Предположим, что р не принадлежит ни одному ух.
Тогда для каждого т
т еf‘p op е гт
^Ух = Х-гх
^zx^V.
Следовательно, /*р=[т|т<ст&гт V]. Это определяет /‘р
и, следовательно, р.
Теперь пусть xczx и Card(x)<x; мы должны пока-
зать, что Un(x)<X- Каждый элемент из х есть некоторый
ординал, меньший х> и поэтому является подмножеством
из х» кардинал которого меньше X- По (6) каждый элемент
из х лежит в V; следовательно, Un(x)eV по (i). Тогда
Un (х) х по (iv). Так как ясно, что Un(x)<x> т0 мы
имеем Un (х) < %.
Теперь обратимся к определению интерпретации теории
ZFM в теории ZFM*. Интерпретация / определяется так:
[о io<x & х‘ст z/‘ct] s V,
x=/Z/«-»[a|o<x & х‘ст # у‘а] е V,
Ui (х) <->х = х.
Вначале докажем, что для каждого предикатного символа
Q теории ZFM
Qi {xlt .... х„) [а | а < х & “I Q (х\а, .... х‘ст)] f= V. (9)
Используем индукцию по предикатным символам. Если
Q (хъ ..., Хл) *-» X; GE Xj
или
Q(*i, ..., хл)«-» х,-=Ху,
то результат следует из определений и =z. Предполо-
жим, что
Q(xb .... хл) (хь ..., х„).
Тогда по индуктивному предположению и (7)
Qz(Xi, ..., хл) "j Ri (xi, ..., хл)
«-»[ст|ст<х&~|# (х‘1П, ..., х^ст)] V
[стI Ст <Х & "1Q (х\о, .... xiff)jeV.
Если Q — дизъюнкция, то доказательство аналогично, только
используется (8) вместо (7). Теперь предположим, что
Q(xb ..., хл) <-> 3yR (у, хъ ..., х„).
9.10. БОЛЬШИЕ КАРДИНАЛЫ
445
Тогда
Qi (Х1,..., хп) «-> 3yRi (у, хь .... хп)
х‘,ст,.... хло)] е V).
Положим
=	xjo, ..., х^ст)],
а=[ст |о <%&“| 3zR (г, xJct, .... х„ст)].
Мы должны показать, что 3z/ (ау е V) тогда и только
тогда, когда аеУ. Так как а с: ау для всех у, то
Зу (ау е V) -> а е V
по (5). f Теперь предположим, что a^V. Если ст<%
и о а, то существует гст такое, что R (za, х$ст, ..., хлст).
Пусть у таково, что г/‘ст = гст для ст<х и а фа. Тогда
ау с: а, поэтому ау V по (5).
Из (9) следует, что
Qi ({М} XX, ..., {x„}xx)**[a|a<x&"]Q(x1, ..., хл)]е=У.
Теперь [о| ст<х& ”|Q(Xi, ..., хл)] есть 0 или х в соот-
ветствии с тем, выполняется ли Q (хь ..., хл) или "| Q (хь ...
..., хл). Так как ОеУих^Упо (iv) и (7), то
Q/({*x}XX.	k«}xx)*->Q(xi, .... хл). (10)
В частности, отсюда следует, что Qi«-> Q для 0-местного Q.
Как мы видели в § 9.7, отсюда следует, что / — интерпре-
тация теории ZFM.
Теперь мы собираемся показать, что / изоморфна тран-
зитивной е-интерпретации. Ввиду результатов из § 9.5
достаточно показать, что / изоморфна интерпретации J,
где =j есть = и существует ординальный функциональ-
ный символ Н такой, что Set* (Н (х) ст) и xeji/->
-+Н(х)<Н(у).
Имеем
х=/х,	(И)
X ^1У-*У =1Х,	(12)
х =iy^y =,z-^x =iZ.	(13)
Действительно, эти формулы являются интерпретациями
теорем теории ZF.	Хотя =/ имеет	свойства отношения
эквивалентности, мы не можем использовать классы экви-
валентности в их обычном смысле, так как они не являются
множествами. Поэтому мы определяем класс эквивалент-
446
ГЛ. 9. ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ
ности ЕС (%) как множество всех у е Stg (о) таких, что
x=iy, где о —первый ординал такой, что Зу (у
eStg(o)&x=/Z/). (Такой ординал существует в силу (11).)
Используя (11)—(13), легко доказать основное свойство
классов эквивалентности:
ЕС (х) = ЕС (г/) «-> х —, г/.	(14)
Теперь определим интерпретацию J так:
х у ++ Зх'Зу' (х= ЕС (х') & у= ЕС (у') & х' е/ у'),
х =Jy^x=y,
Uj (х) Зх' (х = ЕС (х')).
Мы утверждаем, что ЕС — изоморфизм между I и J. Ввиду
(14) и определения Uj для этого необходимо лишь дока-
зать
х ^iy^> ЕС(х) ge7EC(z/).	(15)
Импликация слева направо очевидна. Предположим, что
ЕС(х) ejEC(z/). Тогда ЕС(х) = ЕС(х'), ЕС (z/) = ЕС (г/')
и x'^/Z/'. По (14) х—ix’ и у=1у’. Поэтому нам нужно
доказать только
х —J х‘ & у =1 у’ & х' у' -> X S/у.
Но это интерпретация теоремы теории ZF.
Мы должны еще определить Н. Сначала определим
трансфинитной индукцией
Z (о) = [х| хе Stg (о) & Чу (у EEjX-+3x(x<v&у eeZ (т)))].
Мы покажем, что каждое множество принадлежит некото-
рому Z(o). Тогда определим
Н (х) = р.о (х е Z (о)).	(16)
Тогда Setjp (Н (х) sg о), потому что
Я (х) о х е Un ([Z (т) | т < S (о)]);
и x(^jy-^H (х)<Я (у) следует из определения Z.
Допустим, что х не находится ни в одном из Z (о),
и придем к. противоречию. Если ~]Uj(x), то 4y(y^jx)
и поэтому xeZ(rk(x)). Таким образом, t/Дх); следов а -
тельно, x=EC(z/) для некоторого у. Выбираем о большим
каждого кардинала в [гк (г) | г е Ra (г/)]. Тогда если ге
е Ra (г/), то г е Stg (гк (г)) с Stg (о). Поэтому, если г/'=
9.10. БОЛЬШИЕ КАРДИНАЛЫ
447
= Z/D(Stg (ст) Х%), то мы имеем у'=тУ и, следовательно,
А' = ЕС (//')• Это показывает, что множество
а=[ЕС(«) \и cz Stg(ст)хх]
содержит элемент, не находящийся ни в одном из Z (ст).
Далее мы заметим, что если у <= а и z ^jy, то z е а.
Действительно, мы имеем z/ = EC(w), где и с Stg (ст) х%.
По (15) г^ЕС(ст), где v Пусть v‘ —множество (ст‘т, т),
где т<% и у'теы'т. Ясно, что v' =jV, поэтому z =
= ЕС(ст'). По (3) и'с: Stg(ст)хх; следовательно, геа.
Если у а и у не находится ни в одном из Z (г), то
существует г е а такое, что г (^jy и г не находится ни
в одном, из Z (г). Действительно, предположим, что это не
так. Тогда для каждого z<=jy имеем геа, и поэтому
zeZ (tz) для некоторого xz. Выберем т большим каждого
ординала в [тг | z <=.}у & z е а] и большим rk (у). Тогда
у <= Z (т), что противоречит предположению.
Применяя доказанные результаты и аксиому выбора,
найдем последовательность у<„ у[, ... элементов из а таких,
что y't не находится ни в одном из Z (т) и <^jy. Тогда,
если yl = EC(z/,-), то по (15)
ys(i) 1У1
и
[р [ Р < X & ysu> Р Ф 1/‘р] е V
Для всех i. Так как со<х, то объединение этих множеств
находится в V и, следовательно, не равно X- Поэтому
существует р<х такое, что y‘s(i)P <=yip Для всех i. Это
означает, что множество \ylр | i е со] не имеет минимального
элемента. Таким образом, мы добились требуемого проти-
воречия.
Мы делаем вывод, что существует транзитивная е-интер-
претация М и изоморфизм G между / и М. Определим
F (х) = 6({х}хх).
Тогда из (10) и того, что G — изоморфизм, имеем
Qm(F(Xi), .... F(xn))^Q(Xi, ..., x„).	(17)
F (Xi), ..., F (хп) являются /И-множествами, поэтому, когда
Q абсолютно для М, мы можем опускать индекс М. В част-
ности,
f(A-)Gf((/)«A'ei/,	(18)
Ord(E(x))~Ord(y).	(19)
448
ГЛ. 9. ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ
Имеем
G (у)eF (х) &Card (х) <%->Эг (г е х& G (y) = F(z)). (20)
В самом деле, допустим посылку. Так как G —изомор-
физм, то
z/ej {х}хх,
поэтому
[о I о < х & Z/‘O е х] ф V
по (7). Но
[о | о < х & у‘о е х] = Нп [аг | г е х],
где
аг=[о|о<х&г/‘о=г].
Так как Card (х) < х, то из (i) следует, что для некоторого
гех имеем az<^V. Из этого и (7) имеем 1/ = ;{г}хх-
Применяя изоморфизм G, имеем G (y) = F (г).
Используем это, чтобы доказать
Card (х) <х& Vz(z е x->F (г) = г)(х)=х. (21)
Допустим, что посылка верна. Если гех, то F (z) — z по
предположению и F(z)^F(x) по (18); следовательно, ге
^F(x). Это доказывает, что xcrF(x). Теперь пусть не
^F(x). Так как имеет место М (F (х)) и М транзитивно,'
то и есть /И-множество, поэтому и = G (у) для некого-'
рого у. По (20) u=F(z) для некоторого гех. HoF(z) =
= г по предположению, поэтому чех. Следовательно,'
F (х) с: х.
Из (21) мы легко доказываем трансфинитной индукцией,
что
<y<X^F(G)^a.	(22).
С другой стороны, мы докажем, что	,
Х<^(Х)-	(23)
Действительно, пусть / = [(о, о)|о<х]- Тогда ясно, что
i е/{х}хх- Применяя G, получим G(!)eF(x). Так как'
F (х) — ординал по (19), то G(i) — ординал и
G(O<^(X).	(24)
Теперь предположим, что о<х- Тогда
[т|т<Х&О(=ё 1‘т] = ои{<Д
и aJ{o}eV по (6) и (i). Следовательно, {о}ххе/(. При-;
меняя G, получим F (о) s G (i). Используя (22), получаем.
9.10. БОЛЬШИЕ КАРДИНАЛЫ
449
o<G(i). Таким образом, о	<G (г). Подставляя
G(i) вместо о, видим, что x^G(i). Из этого и (24) полу-
чаем (23).
Лемма 2. Пусть М ~транзитивная интерпретация
теории ZFC. Тогда
М (о) & Inac (о) Тпасд! (о).
Доказательство. Взяв интерпретацию определяю-
щей аксиомы для Sm и используя наши результаты об
абсолютности, получаем
Sttjaj (х, у) «-» Зг (714 (г) & IFunc (г) & Do (г) = х & Ra (г) = у)
для 714-множеств х и у. Поэтому
714 (х) & 714 (z/) & Sm/i (х, z/)->Sm(x, у).	(25)
Взяв интерпретацию теоремы
Ord (Card (х)) & Sm (Card (х), х)
и используя (25), получаем
714 (х) Ord (Card/i (х)) & Sm (Card/i (х), х),
поэтому
714 (х) ->Ord (CardAf (х)) & Card (х) s^Card^ (х).	(26)
Интерпретация теоремы о Card (о) Cd (о) дает
о Card/j (о) Cd/f (о)
для 714-множества о. Если Cd (о), то
о=Card (о) Card/i (о)
по (26); следовательно,
714 (о) & Cd (о) ->Cd/f (о).	(27)
По (10) из § 9.5 и абсолютности cz имеем
Рм(х) = [у\М(у)&у <=х]
для 714-множества х; следовательно,
714 (х)->-Ли (х) cz Р (х).	(28)
Интерпретация определяющей аксиомы для Inac утверж-
дает, что для 714-множества о
Inac/f (о)«-» Cd/f (о) & со < о
& Vt (Cd/f (г) & г < о Card/f ,(Р/И СО) < о)
& Vx (М (х) & х с: о & Card/! (х) < о Un (х) < о).
15 Дж- Шенфилд
450
ГЛ. 9. ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ
Мы должны показать, что если о недостижимо, то правая
часть выполняется. По (27) Cd^ (о) и ясно, что
Предположим, что СблДт) и т<о. Тогда Card (т) < о,
поэтому
Card (Р (т)) = 2Card< о.
Следовательно, по (28) Card (Рм (т)) <о. Из этого и (25)
следует, что
*] Зу (М 1уЦуа Рм (т) & Зтл, (о, у)).
Если мы возьмем интерпретацию теоремы
П Зу (у с: Р (т) & Sm (о, у)) & Cd (о) ->Card (Р (т)) < о,
то мы получим, что CardAf (Рм (т)) < о.
Наконец, предположим, что М (х), х с о и Card^ (х) <
<о. По (26) Card(x)<o; следовательно, Un(x)<o.
Теорема Ханфа —Тарского. Кардинал множе-
ства всех недостижимых чисел, меньших %, есть %.
Доказательство. Определим Q так:
Q(t, a) Vo (Inac (о) & о <т->о е а).
Из (17) имеем
Qm(P(k), F(a))^Q(%, а),
т. е.
Vo (TH (о) & 1пасЛ1 (о) & о < F (%) о е F (а)) «-»
«-» Vo(Inac (о) & о<%->о s а).
Взяв в качестве а множество всех недостижимых кардина-
лов, меньших %, находим, что правая часть, конечно,
выполняется, поэтому левая часть также выполняется. Под-
ставляя % вместо о, получаем
М (%)&InacAf(%)&x<E(x)^-xe/7(4z).
Теперь по (23) имеем х<^(х)- Так как 7И(Е(х)) и М
транзитивно, то из этого следует М (х). Также 1пасЛ1(х)
по лемме 2 и теореме Банаха — Улама. Таким образом, мы
имеем х е F (а). Но х Ф я; следовательно, F (а) а. Если
х е а, то х —кардинал, меньший х; следовательно, F(x) =
= х по (22). Из этих фактов и (21) заключаем, что X‘=S
Card (а). Так как асх, то мы имеем Card(a) = x.
Вышеприведенная теорема является обещанным резуль-
татом, показывающим, как велики должны быть измеримые
кардиналы. В действительности, теми же методами были
9.10. БОЛЬШИЕ КАРДИНАЛЫ
451
доказаны еще более сильные результаты в этом же направ-
лении.
Теорема Скотта. Отрицание аксиомы конструк-
тивности является теоремой теории ZFM.
Доказательство. Добавим к теории ZFM*аксиому,
утверждающую, что %— первый измеримый кардинал. Это
будет всё еще консервативным расширением теории ZFM,
поэтому вышеприведенные результаты остаются справед-
ливыми.
По (19) Ord (F (о)) для всех о. Кроме того, o==cF(o)
для вс£х о. Так как иначе существовал бы первый орди-
нал о такой, что Е(о)<о. По (18) F (F (о)) <F (о). Это
и Е(о)<о противоречат выбору о. Из o^F(o) и тран-
зитивности М выводим, что М (о) для всех о. Далее, С
является абсолютным и, следовательно, /И-инвариантным,
поэтому М (С (о)) для всех о. Это показывает, что каждое
конструктивное множество является М-множеством.
Поэтому достаточно будет получить противоречие из
предположения Vx7H(x). Из этого предположения следует,
что Qaj (х) < > Q (х) для всех Q и х. Следовательно, по (17)
имеем Q (F (х)) Q (х) для всех Q и х. Если Q (х) будет
означать, что х— первый измеримый ординал, то Q (F (х)) <->
<-»Q(x) для всех х; следовательно, Q (F (%)) *-* Q (%). Но
Q(%) истинно, хотя Q(F(%)) ложно по (23). Это и есть
требуемое противоречие.
Так как измеримые кардиналы являются очень боль-
шими, можно было бы предположить, что неконструктив-
ные множества, полученные с помощью аксиомы измери-
мости, должны были бы очень далеко отстоять от множеств,
обычно используемых в математике. Однако Роуботтом дока-
зал в теории ZFM, что существуют неконструктивные мно-
жества натуральных чисел; в действительности доказано,
что существует только счетное число конструктивных мно-
жеств натуральных чисел. Известно несколько дальней-
ших обобщений теоремы Скотта в этих направлениях.
Теперь можно было бы надеяться получить решение
гипотезы континуума с помощью аксиомы измеримости.
Однако Леви и Соловей показали, что гипотеза контину-
ума и ее отрицание недоказуемы в теории ZFM (при усло-
вии, что теория ZFM непротиворечива).
Имеется несколько других известных обобщений акси-
ом бесконечности и для некоторых из них доказаны резуль-
15*
452
ГЛ. 9. ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ
тэты, подобные вышеприведенным. Однако ни одна из них
не решает гипотезу континуума.
В настоящее время ситуация в этой области может
быть описана следующим образом. Мы имеем некоторые
аксиомы, из которых следует отрицание аксиомы конст-
руктивности. Имеются некоторые основания, что эти ак-
сиомы истинны, хотя это еще открытый вопрос. Но мы не
имеем разумных аксиом, которые решали бы гипотезу кон-
тинуума.
Хотя эти результаты могут показаться несколько огра-
ниченными, ситуация, в действительности, весьма много-
обещающая, в особенности при сравнении ее с ситуацией,
имевшейся несколько лет назад. Мы знаем, что гипотеза
континуума не может быть решена на основе имеющихся
сейчас аксиом, но мы имеем некоторую идею, какого сорта
новые аксиомы нужно искать. Оптимист хотел бы наде-
яться, что гипотеза континуума, которая не поддается
математикам почти в течение века, будет доказана в тече-
ние нескольких ближайших лет.
Задачи
1.	(а) Пусть теория ZFt получается из теории ZF опусканием
аксиом подмножеств и замены и добавлением аксиомы
Setx3z (х е г & г i= у)
и всевозможных аксиом
Vx3zVy (Л ->у=z) -> 3®Vy (у g	е го & Л)),
гДе x, у, z, v n w различны и z, v и w не встречаются в А. Пока-
зать, что теория ZFX эквивалентна теории ZF.
(б)	Пусть теория ZF2 получается из теории ZF опусканием
аксиомы бесконечности и добавлением аксиомы
Зх (Зу (у е= х) & Уу (у е= х -» 3z (z е= х & у cz г & у Ф г))).
Показать, что теория ZF2 эквивалентна теории ZF- [В теории ZF2
определить натуральное число как ординал, который меньше, чем
каждое предельное число. Доказать трансфинитной индукцией, что
никакое натуральное число не подобно меньшему натуральному
числу. Пусть х таково, как в последней аксиоме. Доказать, что мно-
жество всех натуральных чисел, подобных подмножествам элементов
множества х, существует, и это множество содержит все натуральные
числа.]
2.	Пусть теория ZF' получается из теории ZF опусканием аксиомы
регулярности. Множество а называется регулярным, если каждое
непустое подмножество множества а имеет минимальный элемент.
ЗАДАЧИ
453
(а)	Определим х как ординал, если х транзитивно и регулярно
и каждый элемент из х транзитивен. Показать, что все результаты
из § 9.3 могут быть доказаны в теории ZF'.
(б)	Показать, что если теория ZF' непротиворечива, то теория
ZF непротиворечива. [Пусть М (х) -*-► За (х е Sig (а)). Показать, что
М—интерпретация теории ZF в теории ZF'-]
3.	Пусть Е — некоторый бинарный предикат теории ZF такой,
что
h 0 -> 3i/ (у е л & Зг (г е х &гЕу))
и
Н Set*, (хЕу).
Показать, что существует ординальный функциональный символ Н
такой, что и- Setx (Я(х) <:а) и ь хЕу -> Н (х) <Н (у). [Аналогично
методу, который используется в § 9.10 для Ef.]
41	Множество а называется цепью, если УхУу (х, у е а—> х cz
cz у V У cz х). Множество а называется индуктивным, если Un (ft) е а
для каждой непустой цепи Ь, содержащейся в а. Максимальным элемен-
том множества а называется элемент множества а, не входящий ни
в один элемент из а. Лемма Цорна утверждает, что если а — непустое
индуктивное множество, то а имеет максимальный элемент.
(а)	Доказать лемму Цорна в теории ZFC. [Предположим, что а —
непустое индуктивное множество, не имеющее максимального эле-
мента. Показать, что а не является цепью. Затем показать, что
существует функция выбора g на а такая, что если b cz а и Ь — цепь,
то Un (ft) cg‘ (а — ft). Пусть f таково, как в замечании после теоремы
о вполне упорядоченности. Показать, что ст < т —►/‘ст cz/‘т для а,
те Do(/), и прийти к противоречию.]
(б)	Доказать в теории ZFC лемму Тейхмюллера — Тьюки. [При-
менить (а).]
(в)	Показать, что в теории ZF аксиома выбора следует из леммы
Тейхмюллера—Тьюки. [Для данного множества х пусть z— множе-
ство функций f, где Do (f) cz Р (х) и f‘y ^у для у е Do (/). Выбрать
максимальный элемент из z.]
5.	Пусть у — некоторое подмножество из ххх, будем писать
а<уЬ вместо {а, 6) ^у. Если гсх, то у-первым элементом из z
называется элемент а из z такой, что а <УЬ для всех ftez —{а}.
Скажем, что у вполне упорядочивает х, если ~| (а <уа) для всех а
и каждое непустое подмножество из х имеет у-первый элемент.
(а)	Пусть у вполне упорядочивает х. Показать, что если a, ft е х,
то выполняется в точности одно из а<уЬ, а = Ь и ft <уа. Показать,
что если а <УЬ и Ь<уС, то а <ус. Показать, что каждое непустое
подмножество из х имеет единственный у-первый элемент.
(б)	Пусть / — отображение из а в а' такое, что т < р < ст —► /‘т <
</*р. Показать, что т^/‘т для т<ст. [Использовать трансфинит-
ную индукцию.] Доказать, что ст=йст'.
(в)	Пусть у вполне упорядочивает х. Показать, что существует
единственное биективное отображение f ординала а на х такое, что
т < р < ст —► /*т <yf‘p- [Использовать замечание, данное после теоремы
о вполне упорядоченности, и (б).]
(г)	Убывающей у-последовательностью в х называется последова-
тельность а0, аг, ... элементов х такая, что	для всех t.
454
. ГЛ. 9. ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ
Доказать в теории ZFC, что подмножество у из хХх вполне упоря-
дочивает х тогда и только тогда, когда у является линейным поряд-
ком х и не существует убывающей ^-последовательности в х.
6.	(а) Показать, что Card' можно определить в теории ZF так,
чтобы Card' (x)=Card' (у)-—-Sm (х, у). [Подобно определению ЕС из
б)	Определим х^ 'у ЗаЗб (x = Card' (а) & у = Card' (6) & a cz b).
Доказать (в теории ZF), что
За (x = Card' (а)) х s^x,
х ^'у & у s^'z х ^'г.
(в)	Доказать в теории ZF, что если существует инъективное
отображение f из а в Ь и инъективное отображение g из Ь в а,
то а подобно Ь- [Пусть
d = [c|ccza&Vx(xeft& g‘x е с	"Эу (у е с & х=f‘y))] 
Пусть ax = Un(d), a2 = a — ai, bi = [f‘x j x e aj], 62 = 6 —ftr Показать,
что ai e d, и вывести, что g отображает ft2 B <h- Пусть e —множество
элементов из а, не представимых в виде g‘x, где х е ft2. Показать,
что е е d, и вывести, что g отображает 62 на aj.] Вывести, что
х ^’у & у s^'x х = у.
(г)	Показать, что для каждого множества х существует множе-
ство ординалов, подобных подмножествам множества х. [Заметить,
что существует множество множеств, вполне упорядочивающих
подмножества множества х, и применить 5 (в).]
(д)	Показать, что формула
Vx Vy (3a (х = Card' (a)) & 3ft (y= Card' (ft)) -> x 'у V У ’*)
эквивалентна аксиоме выбора. [Допустив эту формулу, применить (г),
чтобы доказать теорему о вполне упорядоченности, и вывести ак-
сиому выбора.]
7.	В теории ZFC определим (У1 как кардинал множества отобра-
жений из т в о.
(а)	Доказать, что 2СТ при этом определении имеет такое значение,
как и при старом определении.
(б)	Для кардиналов о, т и р показать, что
at+P = at • оР,
(jT-P=(at)P,
(a • т)Р = оР • тР.
(в)	Показать, что
a о' & т т' -> от a'v.
(г)	Показать, что
a т —>	= 2^т.
[Использовать (б) и (в).]
8.	Для кардинала о пусть cf (о)—первый кардинал т такой, что
Зх (х cz a & Un (х) = a & Card (х) =т).
Кардинал о называется регулярным, если cf(a) = a, и сингулярным,
если cf(a)<a. Кардинал Ka называется слабо недостижимым, если
он регулярный, и о — предельное число.
ЗАДАЧИ
455
(а)	Показать, что cf(a)=^a.
(б)	Показать, что Ks ltJ)—регулярный кардинал.
(в)	Показать, что каждый недостижимый кардинал является слабо
недостижимым. Показать, что из обобщенной гипотезы континуума
следует, что каждый слабо недостижимый кардинал является недо-
стижимым.
(г)	Показать, что если теория ZF непротиворечива, то утвержде-
ние о том, что слабо недостижимый кардинал существует, не может
быть доказано в теории ZFC. [В теории ZFL определим М, как в (4)
из § 9.10, только недостижимость заменим на слабую недостижимость.
Использовать (4) из § 9.7, чтобы доказать интерпретацию аксиомы
степени.]
(д)	Показать, что
cf
[Допустим, что r = cf(a) и = Пусть
х а Кст. Card (х) = т, Un (х) = Ха,
и пусть р->/р—биективное отображение из Ка на множество отобра-
жений из х в Для каждого vex выберем f‘v в [fpv ' р < v].
Показать, что f не является /р.]
(е)	Показать, что
cf	2**^ Ха-
[Использовать (д).] Вывести, что 2^°=^^ш.
9.	(а) Доказать в теории ZFL
со р & а е С* (р) & р < Card (т) -> а е С* (т).
[Пусть Card(p) = Kr; применить (8) из § 9.7 к b =С* (р)(J {а}.]
(б)	Доказать в теории ZFC
L (а) &а с С* (Xs (а)) &Card (а)	-> а <= С* (Ks (а)).
[Взять интерпретацию теоремы из (а) относительно L и применить
(26) из § 9.10 и 8 (б).]
(в)	Доказать в теории ZFC, что каждое конструктивное подмно-
жество из со и каждое конструктивное отображение из со на со имеет
счетный порядок. [Применить (б).] Вывести, что нз формулы
Vx (х cz со -> L (х)) следует гипотеза континуума.
10.	(а) Показать, что существует арифметический предикат Р
такой, что для любого дерева А
Р(КА, с,/)~Л(0&ри]|| = /.
(б) Показать, что существует арифметический предикат Р такой,
что если Л—дерево, то Р (КА, а) неявно определяет	где
РА (1, /, k) - A (I) & A (j) &A(k)&K (|| Л гп ||) = <|| А[п ||, || A[ft] ||>.
Вывести, что существует гиперарифметическое отношение Q такое,
что для любого дерева А
Q(Ka, i, j, k) — RA(i, j, fe).
456
ГЛ. 9. ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ
(в) Показать, что существуют арифметические отношения Рх — Pi
такие, что если А есть дерево и СА определяется следующим об-
Ра30М' СА (I, j) - A (i) & А (/) & с (|| Д[Л ||) е= С (|| А[Л ||),
Pi(*A’ <«сА>- ь 0 —0)(/)г&С(||Л[Л|=)=с(||Л[Л]|),
Р2 (*А> <*СА)- ’> /> k)~A (0 & А U) & Л (£) & С (|| Л [Л ||) =
= {с(И[/]1;)> c(P[d)b
рз(Ка> <«са>- /- k) - А (0 & А (П & Л (fe) & С (|| A w |.) =
=<с(11л[/]|:)- С(11М1)>*
р4(Кд’ <«сА)' i’ k’ m)~
- А (0 & А (/) & А (А) & А (т) & С (|| /[f] ||) =
=<Ч1лш11)’ с(11л^11)- C(IIW>-
(г)	Показать, что существует гиперарифметическое отношение Р
такое, что для дерева А и СА, как в (в), Р (КА, а) неявно опреде-
ляет [Применить (а), (б) и (в).]
(д)	Показать, что существует арифметическое отношение Р такое,
что если А есть дерево, то для СА, как в (в),
Р(^’ <ксА> «&с(11лш11)=/-
(е)	Показать, что существует гиперарифметическое отношение Р
такое, что для дерева А
Р(КА, a, i}~A(i)&CQ\Al(^=a.
[Применить (г) и (д).]
(ж)	Показать, что класс конструктивных множеств натуральных
чисел является множеством рода ЗД. [Применить (е) и 9 (в).]
(з)	Показать, что если аир конструктивны, то либо а имеет
род Д1 в р, либо р имеет род Д» в а. [Предположим, что Od (а) <
< Od (р). Пусть Р таково, как в (е). Применить 9 (в) и теорему уни-
формизации, чтобы найти у такое, что Тг(у)&3<Р(у, р, г) и у имеет
род в р. Показать, что а гиперарифметическое в у.]
11.	Допустим аксиому конструктивности. Пусть а < £р означает,
что Od (а) < Od р.
(а)	Доказать, что <L — (2, 0)-местное отношение рода Д^. [При-
менить 10 (е) и 9 (в).]
(б)	Доказать, что для 0 2 класс функций рода Дл + i является
базисом для семейства функциональных классов рода Пл. [Если Р
имеет род Пл и непусто, то пусть а —элемент из Р наименьшего
порядка; применить (а).]
(в)	Доказать, что для п S3 3 семейство подмножеств рода 2л из
N т, k удовлетворяет принципу редукции. [Подобно задаче 25 (б)
из главы 7, применяя (а).]
ЗАДАЧИ
457
12.	(а) Пусть М —транзитивная ^-интерпретация теории ZF; Q
и Q' — предикатные символы, абсолютные для 7И; 7? —предикатный
символ такой, что
----Хп) -3yQ(y, Хг.......Хп),
....*n)-VyQ'(y< .........*„)•
Показать, что 7? абсолютно для М. [Взять интерпретации этих двух
теорем.]
(б)	Пусть We {у, х) означает, что у вполне упорядочивает х.
Показать, что We абсолютно для всех транзитивных Е-интерпрета-
ций теории ZF. [Применить (а) и 5 (в).]
(в)	Показать, что существует интерпретация J теории Р в тео-
рии ZF такая, что для каждого определимого предикатного символа
Q из Р для всех транзитивных е-интерпретаций теории ZF Qj аб-
солютна. Вывести, что каждый рекурсивный предикат может быть
представлен в теории ZF предикатным символом, абсолютным для
всех транзитивных ^-интерпретаций теории ZF. Обобщить этот ре-
зультат на арифметические отношения. [Использовать метод из за-
дачи 11 (а) главы 8.]
(г)	Показать, что любое (2, 1)-местное отношение рода П} может
быть представлено в теории ZF предикатным символом Q, опреде-
ленным следующим образом:
Q(a, р, 7)-* We (F (a, р, i), G (а, р, 0)>
где F и G абсолютны. [Применить задачу 19(e) главы 7.J Вывести,
что Q абсолютно. [Применить (б).]
(д)	Показать, что если Q такое же, как в (г), и R определяется
следующим образом:
7? (a, О'- 3pQ(a, р, i),
то R абсолютно для L. [Применяя 5 (в), получим
R (а, 0 — Зр 3/ 3a (IFunc (f) & Do (f) = co & Ra (f) cz a &
& Vj Vk (j, k e G (a, p, i) ((j, k) eF (a, p, 0
Пусть f / — ограничение f на /; перепишем эту формулу так:
R (a, 0 —- 3/ 3a (Func (/) & Do (/) =
= со & Ra (/) cz а х со & V/R' (/ [> /, а, а, »)),
где R' абсолютно. Используя идею из доказательства (г) и вполне
упорядоченность a X со, доставляемую К, перепишем эту формулу
так:
R (а, 0 — За “| We (//t (а, а, 7), Н2 (а, а, 7)),
где Hi и Н2 абсолютны, и применим (б), не забывая, что VaL(a).]
(е)	Показать, что каждый предикат рода или Щ конструкти-
вен. [Определить R, как в (д), опуская а; использовать абсолют-
ность 7?.]
(ж)	Ординал а называется ординалом рода Л1, если он конечен
или существует биективное отображение f из со на а такое, что
/‘7 </*/ —предикат рода Д£. Показать, что порядок всякого преди-
458
ГЛ. 9. ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ
ката рода AJ представляет собой ординал рода AJ. [Применить след-
ствие к теореме униформизации.]
13.	Пусть теория ZFy получается из теории ZF добавлением
константы Y и аксиом У си и “| L (У). Определим CY подобно С,
за исключением того, что добавляется новая операция ®10 (х, у) =
= хПу; определим C*Y и LY аналогично. Пусть теория ZFLy полу-
чается из теории ZFy добавлением аксиомы VxLy(x).
(а)	Показать, что если теория ZF непротиворечива, то теория
ZFy непротиворечива. [Применить теорему 1 из §9.9 и 9 (в).]
(б)	Показать, что LY — интерпретация теории ZF в теории ZFy
и имеет место VoLy (о).
(в)	Показать, что L абсолютно для LY и L(x) —Ly(x). [Заме-
тить, что С абсолютно для LY и, следовательно, 7,у-инвариантно,
и применить (б).] Вывести, что LY (Y) имеет место. [Применить ана-
лог леммы 2 из § 9.6.]
(г)	Если М есть е-интерпретация теории ZF в теории ZFy та-
кая, что имеет место М (У), то мы расширяем М до интерпретации
языка L (ZFy), беря YM вместо Y. Показать, что М — интерпретация
теории ZFy. Определим абсолютность для М нелогических символов
теории ZFy, как раньше. Показать, что Y абсолютно и что если М
транзитивно, то CY абсолютно.
(д)	Показать, что LY абсолютно для LY. Вывести, что LY — ин-
терпретация теории ZFLy в теории ZFy.
(е)	Доказать аксиому выбора в теории ZFLy.
(ж)	Доказать в теории ZFLy
Y е b & Trans (&) & Card (&) sg Ха -> Ь cz С* у (Xs ) •
[Подобно (8) из § 9.7. В доказательстве леммы заметить, что F (у) = у]
(з)	Доказать обобщенную гипотезу континуума в теории ZFLy.
[Подобно теореме 2 из § 9.7. В доказательстве аналога для (4) из
§ 9.7 взять Ь = С*(Ка)и{а}и-(У}исо.]
(и)	Пусть теория ZFC' получается из теории ZFC добавлением
обобщенной гипотезы континуума. Показать, что если теория ZF
непротиворечива, то Vx (х cz со > L (х)) не является теоремой теории
ZFC'. [Применить (а), (д), (е) и (з).]
14.	^-идеалом на множестве х называется подмножество у из Р(х),
удовлетворяющее условиям (ii), (iii) и (iv) определения измеримого
идеала и дополнительному условию: (i'J Un (г) е у для каждого счет-
ного подмножества г множества у. Предположим, что у есть кар-
динал, у есть 6-идеал на / и не существует никакого о-идеала на
любом кардинале, меньшему. Показать, что у —измеримый идеал.
[Допустим, что это не так. Пусть о —первый кардинал такой, что
Card (г) = <т для некоторого подмножества г множества у и Un (г) у.
Показать, что это г может быть выбрано таким, что Un (г) =х.
Пусть / — биективное отображение из о на г и w— множество всех под-
множеств о из о таких, что Un ([/‘т | т е о]) ф у. Показать, что w
есть 6-идеал на о.]
ПРИЛОЖЕНИЕ I
ПРОБЛЕМА ТОЖДЕСТВА СЛОВ
Мы собираемся рассмотреть одну проблему разреши-
мости, возникшую в теории групп. Мы будем предпола-
гать, что читатель знаком с группами, заданными обра-
зующими и соотношениями, и со свободными произведе-
ниями. Напомним нужные нам понятия.
Единичный элемент любой группы обозначается через е.
Мы называем {е} единичной подгруппой и называем элемент
неединичным, если он отличен от е. Через {Л} мы обозна-
чаем подгруппу, порождаемую множеством А. Если ф—
отображение, то ф | А означает ограничение отображения ф
на множество А. Если G —группа, то Gj будет обозна-
чать изоморфную копию группы G при изоморфизме, отобра-
жающем g в gi, образ множества А при этом изоморфизме
будет обозначаться через Аг.
Свободная группа [Л] над множеством Л есть группа,
содержащая множество Л и обладающая следующим свой-
ством: каждый элемент из [Л] может быть единственным
способом записан в виде
где ai принадлежат Л и никакое а не является смежным
с а-1. (Мы допускаем случай л = 0; это дает выражение
для е.) Такие выражения называются словами в Л. Мы
можем рассматривать их как элементы группы [Л]. Два
слова мы умножаем, выписывая их последовательно, а за-
тем вычеркивая выражения вида сит1 и trtz до тех пор,
пока не получим слово; этот процесс вычеркивания назы-
вается сокращением. Справедливо [Л] = {Л}. Более общо,
если Вс Л, то {В} состоит из слов в В и может быть
отождествлена с [В].
Если ф является отображением из Л в группу G, то су-
ществует и единственно продолжение ф' отображения ф
до гомоморфизма [Л] в G, и ф' сюръективно тогда и только
тогда, когда ф (Л) порождает G. В частности, если Л —
порождающее множество группы G, то существует един-
460
ПРИЛОЖЕНИЯ
ственный гомоморфизм [Л] в G, тождественный на Л, и
этот гомоморфизм является сюръективным. Таким обра-
зом, G естественно изоморфна некоторой фактор-группе
группы [Л]. Отсюда следует, что каждая конечно порож-
денная группа изоморфна некоторой фактор-группе сво-
бодной группы над конечным множеством.
Подмножество Л группы G свободно, если гомоморфизм
[Л] в G, тождественный на Л, инъективен. В этом случае
мы можем отождествить подгруппу {Л} группы G с [Л].
Пример. Если z А, то множество всех ХгХ~х из
[Л, г], где X — слово в А, свободно.
Соотношением на Л называется выражение X = Y,
где X и У —слова в А. Это соотношение истинно в фак-
тор-группе [Л]/К, если X и Y находятся в одном и том
же смежном классе по К, или, что эквивалентно, если
ху-г<=К.
Пусть R — некоторое множество соотношений на Л.
Соотношение на Л называется следствием множества R,
если оно истинно в каждой фактор-группе группы [Л],
в которой истинны все соотношения из R. Множество
следствий множества R обозначается через С (R). Сущест-
вует лишь одна фактор-группа [Л]/К^ группы [Л], в ко-,
торой все истинные соотношения являются следствиями
множества 7?; Кц является нормальной подгруппой, по-
рожденной XY-1 для X = Y из 7?. Мы называем [Л]//Сгг
группой с множеством образующих А и множеством опре-
деляющих соотношений R и обозначаем ее через [Л; 7?]/
Обобщим обозначение [Л; 7?], допуская несколько об-
разующих или множеств образующих перед точкой с за-
пятой и несколько соотношений или множеств соотношений
после точки с запятой. Так, [Л, t\ R, X — У] имеет мно-
жество образующих Л U {/} и множество определяющих
соотношений 7?и{^ = У}- При этом подразумевается, что
ни одна из образующих не повторяется; таким образом
в приведенном выше примере должно быть t А. Если А,
находится перед точкой с запятой, а а —после точки с за-
пятой, то подразумевается, что областью изменения для
служит Л; аналогично для других букв. Например, в
[Л, Л, at = td\ определяющими соотношениями являются вс
at = ta для а из А.
Так как [Л] является подгруппой группы [Л, В],
а является подгруппой группы Knus, то существует
I. ПРОБЛЕМА ТОЖДЕСТВА СЛОВ
461
естественный гомоморфизм из [А; 7?] в [А, В; R, S], отобра-
жающий смежный класс *) из [Л; Я], содержащий неко-
торое слово в Л, в смежный класс из [А, В; R, S], содер-
жащий это же слово. Если этот гомоморфизм биективен,
то мы отождествляем эти две группы. Это наверняка про-
изойдет в следующем случае: S состоит из соотношений
вида Ь = Х, где X — слово в Л, по одному для каждого b
из В.
Напомним, что каждая группа G естественным образом
отождествляется с фактор-группой группы [G] и, следова-
тельно, с группой [6; ад, где Ro — множество всех соот-
ношений на G, истинных в этой фактор-группе. Если G
находится перед точкой с запятой, то подразумевается,
что соотношения из Rq принадлежат множеству опреде-
ляющих соотношений, даже если они не появляются в яв-
ном виде после точки с запятой.
Пример. Группа [G, Н\ gh=hg] является прямым
произведением групп G и Н. (Мы предполагаем, что G и
Н не пересекаются, в противном случае их вначале сле-
дует заменить на изоморфные группы.)
Пусть G и G'— группы, и пусть <р — изоморфизм под-
группы Н группы G и подгруппы Н’ группы G'. Рассмот-
рим группу
G*q)G' = [G, G'; h — cp(/i)].
Естественные отображения групп G и G' в G*q>G' инъек-
тивны, поэтому мы отождествляем G и G' с их образами
при этих отображениях. Тогда Ц и Н’ отождествляются
посредством изоморфизма ср. Мы имеем G*q)G' = {G, G'} и
G["|G'=f7 = //'. Группа G-s^G' называется свободным про-
изведением групп G и G’ с объединенной подгруппой GQG'.
Пусть Т содержит по одному элементу из каждого пра-
вого смежного класса в G по Н, отличного от самой Н,
и пусть Т' сформировано аналогично при помощи Н' и G'.
Слово в G U G' находится в нормальной форме, если оно
имеет вид ht^ где h^H, tlf t2, tn^T\]T' и
tt s T тогда и только тогда, когда ti+1 <= Т' при 1 i < п.
Тогда теорема Шрайера утверждает, что каждый смежный
*) Здесь и ниже, говоря о смежном классе, автор подразумевает
представление группы в виде фактор-группы свободной группы и на-
зывает ее элементы смежными классами (без указания подгруппы) —
Прим. ред.
462
ПРИЛОЖЕНИЯ
класс из	содержит в точности одно слово, нахо-
дящееся в нормальной форме.
Пусть К и К' — такие подгруппы групп G и G' соответ-
ственно, что
Ф(ЯПД)=Ф(Я)ПД.
(Это означает, что в G * ФО' подгруппы К и К.' имеют
одно и то же пересечение с объединенной подгруппой.)
Тогда ограничение ф = ф | (Н р К) является изоморфизмом
между Я р/С и ф(//)П Д. Таким образом, мы можем обра-
зовать группу	причем существует естественное
отображение % группы К * в G * фд', при котором
образом является {Д, Д'}. Мы покажем, что % инъективно.
Так как элементы из разных смежных классов по Я ПК
в К находятся в разных смежных классах по И в G, то
мы можем предполагать, что Т содержит по одному эле-
менту из каждого смежного класса по Н П Д в Д, отлич-
ного от Н П К- Также можно предполагать, что Т выбрано
аналогично. Тогда слова в ДО Д', находящиеся в нормаль-
ной форме, содержатся в множестве слов в GJG', нахо-
дящихся в нормальной форме. Так как % отображает смеж-
ный класс, содержащий некоторое слово, в смежный класс,.
содержащий то же самое слово, то по теореме Шрайера %
инъективно.
Таким образом, мы можем отождествить Д*^Д'
с {Д, К'} czzG*^'. Тогда
Gn{K, К'}=К.	(1)
Для доказательства достаточно показать, что левая часть
содержится в правой. Нормальной формой элемента g из G
является h или ht, где t е Т. Если это является также
нормальной формой элемента из {Д, Д'}, то Ле Яр Д и
t е Д, поэтому g е Д.
Если ф является изоморфизмом единичных подгрупп, то
вместо G * фО' мы пишем G * G' и называем G * G' сво-
бодным произведением групп G и G'. Таким образом,
G*G' = [G, G']. Нормальные формы становятся произве-.
дениями неединичных элементов, выбранных поочередно
в G и в G' (если мы опустим начальное е). Тогда описан-
ные ранее Д и Д' могут быть любыми подгруппами групп G
и G'.
Пусть G и G'— подгруппы группы L. Пусть H = G(]G'
и ф — тождественное отображение из Н на //.Тогда сущест-
I. ПРОБЛЕМА ТОЖДЕСТВА СЛОВ
463
вует единственный гомоморфизм группы О*ФО' в L, тож-
дественный на G и G'; при этом образом является {G, G'}.
Если этот гомоморфизм инъективен, то мы отождествляем
G*q)G' и {G, G'} и говорим, что {G, G'} является свобод-
ным произведением групп G и G' с объединенной подгруп-
пой И (не упоминая об И, если Я —единичная подгруппа).
Пример. Если Л — неединичный элемент из И, то
в группе G*H подгруппа {G, hGh1} является свободным
произведением групп G и hGhr1', это легко следует из тео-
ремы Шрайера.
Группа называется конечно определенной, если она изо-
морфна tгруппе [Л; /?], где А и R конечны. Прямое про-
изведение двух конечно определенных групп является конечно
определенной группой, так как
[Л; Я]х[В; 5] = [Л, В; R, S, ab = ba].
Свободное произведение двух конечно определенных групп
с конечно порожденной объединенной подгруппой является
конечно определенной группой. Действительно, пусть произве-
дением будет [Л; 7?]*Ф[В; S], причем область определения
отображения ср содержит конечное число образующих ...
..., hn. Пусть Xi — слово в Л из смежного класса, содер-
жащего hs, и пусть У, — слово в В из смежного класса,
содержащего ф(Л,). Тогда
[Л; Я]*Ф[В; 3] = [Д, В; R, S, Х^У^ ..., Хп=Уп].
Пусть R — некоторое множество соотношений на конеч-
ном множестве Л. Проблемой тождества слов для R назы-
вается проблема разрешимости для C(R). Так как С (R)
является множеством соотношений, истинных на [Л; 7?], то
эту проблему мы называем также проблемой тождества
слов для [Д; 7?].
Чтобы перевести эту проблему на язык теории рекур-
сии, мы отождествим символы а и аг1 {а е Л) и символ =
с натуральными числами. Тогда каждое слово в Л и каж-
дое соотношение на Л становятся конечными последова-
тельностями натуральных чисел, и потому имеют некоторый
номер (последовательности). Множество Р слов или соот-
ношений называется рекурсивным (или рекурсивно пере-
числимым), если множество номеров элементов множества Р
рекурсивно (или рекурсивно перечислимо). Легко проверить,
что это определение не зависит от выбора чисел, с кото-
464
ПРИЛОЖЕНИЯ
рыми были отождествлены символы, поэтому проблема тож-
дества слов для 7? разрешима тогда и только тогда, когда
С (R) рекурсивно.
Соотношение X = Y принадлежит множеству С (7?) тогда
и только тогда, когда ХУ-1 принадлежит а X при-
надлежит Kr тогда и только тогда, когда Х — е принадле-
жит множеству С(/?). Отсюда следует, что подгруппа KR
рекурсивна (рекурсивно перечислима) тогда и только тогда,
когда множество С (R) рекурсивно (рекурсивно перечислимо).
Кроме того, если 7? рекурсивно перечислимо, то С (R)
рекурсивно перечислимо. Действительно, множество J таких
XY х, что соотношение X—Y принадлежит 7?, рекурсивно
перечислимо. Мы получим все слова из KR, сокращая выра-
жения Ху^-хХ~х •.. XnY-'-xX-x, где Y. принадлежит J.
Отсюда следует, что подгруппа KR рекурсивно перечислима,
и потому множество С (R) рекурсивно перечислимо.
Группа называется рекурсивно определенной, если она
изоморфна группе [Л; 7?], где А конечно, а 7? рекурсивно
перечислимо. Очевидно, каждая конечно определенная
группа является рекурсивно определенной. (Как известно,
обратное неверно.)
Предположим, что [Л; 7?] вложена в [В; S] (где А и
В конечны). Выберем для каждого а из А такое слово Ya
в В, что смежные классы, содержащие а и Ya, соответст-
вуют друг другу при этом изоморфизме. Для каждого
слова X в А пусть X' будет словом в В, полученным из X
заменой а на Ya и аг1 на Ya1 и последующим сокраще-
нием. Тогда при упомянутом изоморфизме смежные классы,
содержащие X и X', соответствуют друг другу, поэтому:
X=Y истинно в [Д; 7?] тогда и только тогда, когда X' =
= Y' истинно в [В; S]. Первым следствием этого явля-j
ется то, что если проблема тождества слов разрешима для'
В; S], то проблема тождества слов разрешима и для
А; 7?]. Вторым следствием является то, что если C(S
эекурсивно перечислимо, то и С (7?) рекурсивно перечне
лимо. Так как [Д; 7?] = [Д; С (7?)], то отсюда следует, чт
каждая подгруппа рекурсивно определенной группы буд
рекурсивно определенной.
Если G —конечно порожденная группа, то G изоморфн'
группе [Д; Я], где А конечно. Мы говорим, что проблем
тождества слов для G разрешима или неразрешима, в за
висимости от того, будет ли разрешимой или неразреши
I. ПРОБЛЕМА ТОЖДЕСТВА СЛОВ
465
мой проблема тождества слов для [Л; /?]. Согласно только
что доказанному утверждению это не зависит от выбора
представления [Л; Я].
Нашей основной целью является доказательство сле-
дующего утверждения.
Теорема Новикова. Существует конечно опре-
деленная группа, для которой проблема тождества слов
неразрешима.
Мы получим рекурсивно определенную группу с нераз-
решимой проблемой тождества слов следующим образом.
Пусть А — рекурсивно перечислимое множество, а И —
подгруппа группы G = [a, &], порожденная элементами
апЬа~п' где п е А. Пусть ср—тождественное отображение из Н
на И. Тогда О*ФО есть
[a, b, alt Ьг; anba~n = aib1aYn Для пеЛ],
и потому она является рекурсивно определенной. Далее,
соотношение anbarn — а^Ь^а—11 истинно в G * ФО тогда и
только тогда, когда пеЛ. Действительно, если это соот-
ношение истинно, то апЬа~п принадлежит объединенной под-
группе Н\ так как множество {атЬа~т} свободно, то отсюда
следует, что пеЛ. Таким образом, проблема разреши-
мости для А сводима к проблеме тождества слов для
О*ФО. Если мы выберем множество А нерекурсивным,
то отсюда будет следовать, что С*ФО имеет неразреши-
мую проблему тождества слов.
Для того чтобы доказать теорему Новикова, достаточно
вложить группу G*<pG в какую-нибудь конечно опреде-
ленную группу. Мы сделаем это с помощью следующей
теоремы.
Теорема Хигмена. Конечно порожденная группа
вложима в конечно определенную группу тогда и только
тогда, когда она является рекурсивно определенной.
У теоремы Хигмена имеется одна замечательная черта.
Назовем группу группой Хигмена, если она является
конечно порожденной и вложима в некоторую конечно
определенную группу. Это является чисто алгебраическим
понятием. По теореме Хигмена оно совпадает с понятием
рекурсивно определенной группы, которое определено с по-
мощью теории рекурсии.
Утверждение «только тогда» в теореме Хигмена три-
виально. Каждая группа Хигмена изоморфна некоторой
16 Дж. Шепфилд
466
ПРИЛОЖЕНИЯ
подгруппе конечно определенной, а потому и рекурсивно
определенной группы, поэтому она рекурсивно определен-
ная. Оставшаяся часть этого приложения посвящена дока-
зательству обратного утверждения.
Лемма I. Если G и Н — группы Хигмена, то GxH —
группа Хигмена.
Доказательство. Очевидно, GxH = {G, Н} явля-
ется конечно порожденной группой. Если G и Н вложимы
в конечно определенные группы L и М, то GxH вложима
в LxM., которая является конечно определенной группой.
Лемма 2. Если G и G' — группы Хигмена, а ср —изо-
морфизм некоторой конечно порожденной подгруппы груп-
пы G в G', то G * qG'— группа Хигмена.
Доказательство. Очевидно, группа G*VG' =
= {G, G'} является конечно порожденной. Если G и G'
вложимы в конечно определенные группы К и К', то
G*(pG' вложима в K*qK', которая является конечно
определенной группой.
Изоморфизмом в группе G называется изоморфизм неко-
торой подгруппы И группы G в G. Пусть ф —такой изо-
морфизм, положим
G(p = [G, /;
Чтобы изучить G(p, мы вложим ее в большую группу.
В группе [G, r] = G*[r] подгруппа {G, гНг1} является
свободным произведением групп G и гНг г. Аналогично,
в группе [Gi, s] подгруппа {Glt 5ф(Н)15“1} является сво-
бодным произведением групп Gi и 5ф (H)i s *. Следовательно,
существует изоморфизм ф между {G, гНг и {Gb 5ф(//)15-1},
определенный следующим образом: ф(£)=£ь ф (rhr *) =
= ST (h)i s'1. Тогда
[G, r]*<p[Gi, s] = [G, Gn r, s; g=glt rhr г = 5ср (h)t зг]
= [G, r, s; rhr1 = s(p(h)s~1]
= [G, r, s, t; rhr 1 = sq> (h) s r, / = s-1r]
= [G, t, s, r; tht * = ф (h), r = s/]
= [G, t, s; tht * = Ф (/i)] = G(p *[s].
Таким образом, существует изоморфизм из группы G^ в
[G, г]*ф[Ог, s], отображающий смежный класс, содержа-
щий g, в g, и отображающий t в s-1r.
Отсюда следует, что различные элементы из G лежат
в различных смежных классах в G(p, так что естественное
I. ПРОБЛЕМА ТОЖДЕСТВА СЛОВ
467
отображение из G в Gv инъективно. Поэтому мы отождест-
вляем G с некоторой подгруппой группы 0ф. Мы также
отождествляем t с содержащим его смежным классом из Gv
и называем t ф-элементом. Тогда G(p порождается G и t,
и tht * —ф(й) для h<=H.
Так как {G, rGr Ч является свободным произведением
групп G и rGr 1, то вследствие (1) мы имеем
{G, гНг ЧП rGr 1-^rHr 1.
Аналогично,
{Gn 5ф (//)i S Ч П SG1S 1 = 5ф(//)15 1.
Отсюда следует, что подгруппа {rGr Ч sGiS Ч —{rGr 1, sGs1}
является свободным произведением групп rGr 1 и sGs 1
с объединенной подгруппой гНг Ч Применяя внутренний
автоморфизм, определенный элементом г Ч и вспоминая,
что г xs~t, мы видим, что {G, trGt\ является свободным
произведением групп G и t~4jt с объединенной подгруп-
пой Н. Отсюда
(2)
Пусть G, ф и Н такие же, как и ранее. Подгруппа К
группы G инвариантна относительно ф, если	=
= ф (//) П К- (Это означает, что h е К *-» Ф (h) е К для
h^H.) Если К инвариантна относительно ф, то ф' ~
= ф | (Н П К) является изоморфизмом в /С. Покажем, что
естественное отображение из /Сф- в G^ является вложением.
Для этого достаточно показать, что естественное отображе-
ние из [К, г]*фДК1, s] в [G, г]*ф[Сг, s] является вложе-
нием (здесь ф' определено так же, как и ф). Это отобра-
жение является вложением [/(, г] в [G, г] как {К, г},
а [Ль s] в [Gi, s] как {/<1, s}. Следовательно, мы должны
проверить, что {К, г} и {Ль s} имеют одно и то же пере-
сечение с объединенной подгруппой. Однако
{К, г} П {G, гНг Ч = {К, г(Н(]К) r-Ч- (3)
Чтобы доказать это, заметим, что нормальная форма любого
элемента из свободного произведения {G, гНгл} имеет вид
 •  gifh-iT 1g2rh2r 1 ... Это является также нормальной фор-
мой в свободном произведении [G, г], и этот элемент при-
надлежит {К, г| = [Л, г] тогда и только тогда, когда все
gt и hi принадлежат К- Отсюда следует (3). Аналогично,
{Ль S} n {G1( ^ф S ч = {K1> s (Ф h n Ki) S Ч- (4)
16*
468
ПРИЛОЖЕНИЯ
Так как ф (Н f] К.) = Ф (//) П К, то правые части в (3) и (4)
соответствуют друг другу при отображении ф, как и тре-
бовалось.
Таким образом, мы можем отождествить /Сф- с подгруп-
пой {К, t] группы Gqj. Из (1) также следует, что
{К, г, s}("|{G, г} = {К, г}.	(5)
Применяя (1) к {К, г} = К*[г], рассматриваемой в каче-
стве подгруппы группы G *[г], мы получаем, что
{К, г}ПС=^.
Отсюда и из (5) следует, что [К, г, s} f| GaK, и потому
В Gq,
{К, 0DG-K.	(6)
Предположим, что мы задали множество ф, ф, ... изо-
морфизмов в G. Тогда
G<f, ф, ...	[G, /ф, tty, ..., t(fhtф	ф(/i), ...].
Существует естественное вложение G в Gv, .... Действи-
тельно, если это не так, то найдется некоторое соотноше-
ние g = gr, истинное в Gv. ф, ..., но ложное в G, причем
оно должно быть следствием конечного числа определяю-
щих соотношений. Таким образом, нам надо рассмотреть
лишь случай, когда существует только конечное число изо-
морфизмов. Этот случай легко доказывается индукцией,
потому что
G’i....’’и- ч’п+х ......ф„)фп+1-
Если К является подгруппой группы G, инвариантной
относительно всех ф, ф, ..., то
{К, /ф, tty, =	(7)'
Правая часть содержится в левой. Так как любой элемент
из {К, t^, tty, ...} порождается подгруппой К и конечным
числом элементов вида t, то нам надо доказать лишь
обратное включение для конечного числа изоморфизмов.
Мы сделаем это индукцией по числу изоморфизмов п. Слу-
чаем п=1 является (6). Если п>1, то по индуктивному
предположению
{К, tlt..., tn.l}()G = K.
Отсюда следует, что {К, Д, , /„-Д инвариантна относи-
тельно ф„, поэтому вследствие (6)
{К, tlt ..., tn] р GVii t ч>п1 = {К, ti, . .,
1. ПРОБЛЕМА ТОЖДЕСТВА СЛОВ
469
Рассматривая пересечение обеих частей с G и снова поль-
зуясь индуктивным предположением, получаем
{Д,	/„} ПОН-
ЕСЛИ ф является тождественным отображением из И в Н,
то вместо G(p мы пишем G/y. Тогда любая подгруппа Д
группы G инвариантна относительно ф и Д//п/< вложима
В Gyy.
Пусть G —группа Хигмена. Изоморфизм ф в G назы-
вается мягким, если G^ — группа Хигмена. Подгруппа Н
группы G называется мягкой, если GH — группа Хигмена,
т. е. если тождественное отображение из Н в Н является
мягким. Заметим, что G([i и GH — обязательно конечно по-
рожденные группы (потому что такова G).
Лемма 3. Если G —группа Хигмена, а ф — изомор-
физм некоторой конечно порожденной подгруппы Н груп-
пы G в G, то ф является мягким в G.
Доказательство. Группы [G, г] и [Gb s] явля-
ются группами Хигмена по лемме 2. Так как группа
[G, гНг *] конечно порожденная, то [G, г]*ф[Gn s] —
группа Хигмена по лемме 2, и потому ее конечно порож-
денная подгруппа G(p является группой Хигмена.
Следствие. Каждая конечно порожденная подгруппа
группы Хигмена G является мягкой в G.
Лемма 4. Пусть К— группа Хигмена, a G —под-
группа Хигмена группы К. Тогда изоморфизм ф в G явля-
ется мягким в G тогда и только тогда, когда он мягкий
в К, поэтому подгруппа группы G является мягкой в G
тогда и только тогда, когда она является мягкой в К.
Доказательство. Предположим, что Дф~ группа
Хигмена. Тогда 0ф вложима в Дф и потому является груп-
пой Хигмена. Теперь предположим, что Gv — группа Хиг-
мена. Если ip(g-)=g-1, то G(p *— группа Хигмена по
лемме 2. Далее, если Н — область определения изомор-
физма ф, то
[6,
G,
[Д1,
Сф * фДх
t, Ki, tht r = q(h),
t, Kr, th1t-1 = ^(h)1, g = gt]
t; //11/-1 = ф(й1)]с^Дф.
Мы будем часто неявно использовать лемму 4, не ого-
варивая особо, в какой именно группе Хигмена изомор-
физм или подгруппа являются мягкими.
470
ПРИЛОЖЕНИЯ
Лемма 5. Если И и К—мягкие подгруппы группы
Хигмена G, то 77 Q А7 и \Н, 7Q являются мягкими в G.
Доказательство. Предположим вначале, что одна
из подгрупп, например /С, является конечно порожденной
и, следовательно, группой Хигмена. Тогда Кнпк вложима
в GH и потому является группой Хигмена, поэтому под-
группа мягкая. В G/у подгруппа {G, t 1Gt} является
свободным произведением групп G и t rGt с объединенной
подгруппой H~t~lHt. Так как {Н, К} и t rGt включают
объединенную подгруппу, то вследствие (1) мы имеем
[И, К, t1Gt}r\G={H, К},
откуда следует, что
{К, t Hit\{\G = {H, К}.	(8)
Обе группы слева конечно порожденные, поэтому их пере-
сечение {Н, К} мягкое.
В общем случае имеем G ftt^Gt = Н в GH, поэтому
дпк=сп(/-^пю.
Так как G и t ЧИ — конечно порожденные и потому мяг-
кие группы (согласно следствию из леммы 3), то два рас-
смотренных частных случая показывают, что Н (]К —
мягкая группа. Равенство (8) все еще выполняется. Со-
гласно рассмотренному частному случаю {К, t'Gt} — мяг-
кая группа. Таким образом, {Н, 7Q является пересечением
двух мягких подгрупп и, следовательно, сама мягкая.
Лемма 6. Пусть ф — гомоморфизм группы Хигмена G
в группу Хигмена Н. Если L — мягкая подгруппа группы G,
то (L) — мягкая подгруппа группы Н. Если М —мягкая
подгруппа группы Н, то ф 1 (М) — мягкая подгруппа
группы G.
Доказательство. По лемме 1 GxH — группа Хиг-
мена. Пусть Q — подгруппа группы GxH, состоящая из
всех (g, ф(Я)). Тогда Q изоморфна G (при отображении
(g, ф (g'))-^g). Таким образом, группы G, Н и Q конечно
порожденные и, следовательно, мягкие в GxH. Так как
<₽(£)-{{£, /7} HQ, G}CI//,
Ф-1(М) = {{М, G} HQ, H}(]G,
то утверждение леммы следует из леммы 5.
I, ПРОБЛЕМА ТОЖДЕСТВА СЛОВ
471
Лемма 7. Если ф — изоморфизм группы Хигмена G
в G и Н — мягкая подгруппа группы G, то ф | Н мяг-
кий в G.
Доказательство. По лемме 3 ф является мягким
в G,. поэтому Gq> — группа Хигмена. Отсюда следует,
что Н — мягкая группа в и потому (G^)# —группа Хиг-
мена. Однако
(G<fb = [G, s, /; sgs1 = ^(g), tht l=h]
= [G, s, t, r; sgs л = ф (g), stht~1s1 = (p (h), r = s/]
= [G, r, s, t; rhr 1 = ф (h), sgs 1 = ф (g), / —s-1r]
= [G, r, s; г/гг-^ф^), sgs-1 — ф(£)] = (Gq>iH)4>.
Таким образом, G^h вложима в группу Хигмена и, сле-
довательно, сама является группой Хигмена.
Множество ф, ф, ... изоморфизмов в группе Хигмена G
называется мягким, если G^ ф,... может быть так вложена
в некоторую группу Хигмена Н, что {^ф,	...} является
мягкой подгруппой группы Н. Любое конечное множество
мягких изоморфизмов в G является мягким, так как мы
можем ввести H-G^, ф,... и воспользоваться следствием
из леммы 3.
Лемма 8. Пусть G —группа Хигмена, Н —мягкая
подгруппа группы G, ф, ф, ... — мягкое множество изомор-
физмов в G, К—наименьшая подгруппа группы G, содер-
жащая Н и инвариантная относительно ф, ф, ... Тогда К •
является мягкой.
Доказательство. Вложим G(p, ф,.. в группу Хиг-
мена L так, что {£<р, /ф, ...} является мягкой. Покажем,
что
/<₽, /ф, ...}.
Тогда лемма будет следовать из леммы 5. Очевидно, пра-
вая часть инвариантна относительно ф, ф, ... и потому
включает Д. Вследствие (7)
/ф, ...}cGD{^	/ф.
Пусть А — конечное множество, выберем элемент г,
не принадлежащий А. Если Р — множество слов в А, то
через Ер обозначим подгруппу группы [А, г], порожден-
ную словами ХгХ~г, где X принадлежит Р. Так как слова
XzX1, где X— слово в А, образуют свободное множество,
то XzX-1 Ер тогда и только тогда, когда X s Р.
472
ПРИЛОЖЕНИЯ
Подмножество Р группы [Л] называется мягким в [Д],
если ЕР является мягкой в [Д, г]. Отсюда получается два
определения мягкости, если Р является подгруппой
группы [Д]; мы должны показать, что они совпадают. Пред-
положим, что множество Р мягкое как подгруппа, тогда
по лемме 5 {Р, г} является мягкой в [Д, г]. Далее, £qaj
является наименьшей подгруппой группы [Д, г], содержа-
щей г и инвариантной относительно внутренних автомор-
физмов, определенных элементами из Д. Вследствие лемм 3
и 8 £[д] является мягкой. Покажем, что£р — {Р, г}("|£[д],
тогда из леммы 5 будет следовать, что Ер мягкая. Оче-
видно, Ер с: [Р, г}("|£[Д]. Далее, Ер содержит г и инва-
риантна относительно внутренних автоморфизмов, опреде-
ленных элементами из Р, поэтому она является нормальной
подгруппой группы {Р, г}. Так как ге£р, то есте-
ственное отображение из £ в {£, z}/Ep сюръективно. Следо-
вательно, если х е {£, г}, то х=ру, где реР, у^Ер.
Гомоморфизм ф группы [Д, г] в [Д], определенный равен-
ствами ф(а) = а, ф(г) = е, отображает £[Л] в единичную
подгруппу. Поэтому если х=ру принадлежит £[др то е —
— ср (х) — (р)<р (у) — (р) = р. Отсюда х==у, поэтому
х е Ер.
Теперь предположим, что ЕР мягкая; мы должны дока-
зать, что Р~мягкая подгруппа. Пусть с и d— новые эле-
менты и для каждого слова X в Д пусть фх — изоморфизм
между {с} и {dX}, определенный следующим образом:
Фх(с) = о!Х. Мы хотим показать, что множество всех фх,
где X принадлежит Р, является мягким. Если это так, то
наименьшая подгруппа содержащая с и d и инвариантная
относительно фх, где X принадлежит Р, является мягкой.
Этой подгруппой является {£, с, d}. Так как
£ = {£, с,
то Р является мягкой по лемме 5.
Пусть £ = [Д, с, d](px. <ру,... (здесь использованы все
слова в Д). Тогда
£ = [Д, с, d, tx, tY, ...; txctx=dX,
Для доказательства достаточно вложить Н в такую группу
Хигмена, в которой подгруппа, порожденная элементами tx,
где X принадлежит Р, является мягкой. Предположим,
что А —	..., ап}. Определим автоморфизм ф,- группы
I. ПРОБЛЕМА ТОЖДЕСТВА СЛОВ
473
[Л, с, d, tx, ty, ...] следующим образом: ф, (а) = а, ф/ (с) =с,
ф/ (d) = dah ф,- (tx) = ta.x- Применяя ф( к соотношению
txctxl = dX, получаем ta.xcta'x ==da.X. Таким образом, ф2
переставляет определяющие соотношения группы Н и по-
тому индуцирует некоторый автоморфизм группы Н. Сле-
довательно, мы можем вложить Н в группу К с образую-
щими А, с, d, всеми tx и а,, ..., а'п и с определяющими
соотношениями
txdx =dX,	(9).
a'taa’i л = а,	(10)
t	a'ica'i~l^c,	(11)
a'ida'i l = dah	(12)
а'({хаГ1 =ia.x-	.	(13)
Пусть t = te, и пусть для слова X в А слово X'
является словом, полученным из X заменой каждого а,
на a'i. Вследствие (13) X’tX' 1 = tx. Из леммы 6 и из пред-
положения, что Ер мягкая, мы видим, что подгруппа К,
порожденная X’tX' 1 = tx для X <^Р, является мягкой.
Равенство X'tX' 1 = tx показывает, что мы можем исключить
образующие tx, отличные от t, заменяя (9) на
(X'tX'~l)c(X'tX’~ly1 = dX	(9')
и опуская (13). Мы хотим показать, что (9') является
следствием из (10), (И), (12) и = отсюда будет
следовать, что конечно определенная группа и потому
является группой Хигмена. Из (10), (11) и (12) мы полу-
чаем Х'сХ' l=c, X' dX' =dX. Поэтому, применяя внут-
ренний автоморфизм, определенный X', к tct~l = d, мы
получаем (9')1
Основная лемма. Если А конечно, а Р — рекур-
сивно перечислимое, множество слов в А, то Р мягкое.
Сначала посмотрим, каким образом основная лемма
позволяет нам завершить доказательство теоремы Хигмена.
Рекурсивно определенную группу можно записать как G/K,
где G — свободная группа над конечным множеством, а Д' —
рекурсивно перечислимая нормальная подгруппа группы G.
По основной лемме подгруппа К мягкая, поэтому мы мо-
жем вложить GK в конечно определенную группу И. В GK
подгруппа {G, является свободным произведением
474
ПРИЛОЖЕНИЯ
групп G и t^Gt с объединенной подгруппой K = t~1Kt.
Естественное отображение из G в G/7C и отображение из t *Gt
в единичную подгруппу группы G/7C согласовано с объеди-
ненной подгруппой, поэтому мы имеем гомоморфизм <р
подгруппы {G, t lGt} в G/7C такой, что 4>lg) = gK,
Ч> (t~lgt) — eK. Определим, гомоморфизм ф подгруппы
{G, t^Gt] в HxGlK, полагая ф(х) = (х, ф(х)). Тогда ф
является изоморфизмом в HxG/К. Так как G/К вложима
в (HxG/K)^,, то для доказательства достаточно показать,
что последняя группа является конечно определенной.
Группа И имеет конечное число образующих и опре-
деляющих соотношений. Добавляя, если это необходимо,
новые образующие, мы можем предполагать, что это мно-
жество образующих включает t и множество образующих
группы G. Чтобы получить образующие для (AxG/JC)^,
мы присоединим к нему конечное число образующих
группы Gi и какой-нибудь ф-элемент s. Кроме определяю-
щих соотношений группы Н, нам нужны в качестве опре-
деляющих соотношений группы (HxG/K)^ соотношения,
утверждающие, что элементы из Ki равны е, соотношения,
утверждающие, что образующие группы Н перестановочны
с образующими группы Gi, и соотношения, которые дают
значения shs \ где h — образующая группы {G, t 1С/}.Мы
покажем, что соотношения, утверждающие, что элементы
из Kt равны е, излишни; тогда мы будем иметь дело с ко-
нечным числом определяющих соотношений.
Пусть Хг — слово в множестве образующих группы Gn
представляющее некоторый элемент из Ki- Равенства для
значений shs 1 дают sXs1 = X-X1 и st lXtsЛ = Х. Так
как X принадлежит К, то соотношения в Н влекут t lXt =
= X. Из этих трех равенств мы получаем, что Хг = е.
Теперь мы докажем несколько лемм о мягких множест-
вах слов. При этом предполагается, что А и В конечны.
Лемма 9. Каждое конечное подмножество элементов
из [Л] является мягким в [Л].
Доказательство получается из следствия к лемме 3.
Лемма 10. Если А с В и Р — множество слов в А,
то Р является мягким в [Л] тогда и только тогда,
когда Р является мягким в [В].
Доказательство по лемме 4.
Лемма И. Если Р и Q — мягкие подмножества эле-
ментов из [Л], то Р и Р [JQ мягкие.
t. ПРОБЛЕМА ТОЖДЕСТВА СЛОВ
475
Доказательство. Так как XzX 1 свободны, то
EPnQ — ЕР [\Eq и Ep\\q = {Ep, Eq}. Теперь воспользуемся
леммой 5.
Спутником отображения <р группы [Л] в [В] назы-
вается такой гомоморфизм ф группы [Л, г] в [В, г], что
ф (XzX *) = ф (X) ztp (Х)~г, где X —-слово в Л. Если ф—
гомоморфизм, то он имеет спутника. Действительно, мы
можем продолжить ф до гомоморфизма ф группы [Л, г]
в [В, г], полагая ф(г) = г, и тогда ф является спутником
гомоморфизма ф.
Биективное отображение группы [Л] в [Л] называется
точным, если оно имеет спутника, являющегося автомор-
физмсМ группы [Л, г]. Очевидно, композиция двух точных
отображений является точным отображением. Всякий авто-
морфизм ф группы [Л] является точным; действительно, Ф
можно продолжить до автоморфизма ф группы [Л, г],
если положить ф(г) = г, и ф является спутником отобра-
жения ф.
Для каждого слова У в Л мы определяем отображе-
ния Ly и Ry группы [Л] в [Л] следующим образом:
LY (X) = Y • X, Ry (X) = X • Y. Эти отображения являются
точными. Действительно, определенный Y внутренний авто-
морфизм является спутником отображения LY, а спутник ф
отображения RY определен следующим образом: ф(д) =а,
<p(z) = YzY г.
Лемма 12. Пусть ф — отображение группы [Л] в [В],
имеющее спутника. Если Р —мягкое подмножество эле-
ментов из [Л], то ф (Р) — мягкое подмножество элементов
из [В].
Доказательство. Если ф — спутник отображения ф,
то Ещр) = ф(Ер). Теперь воспользуемся леммой 6.
Пусть Р и Q — подмножества элементов из [Л], и
пусть ф —отображение группы [Л] в [Л]. Мы говорим,
что Р является (ф, (^-инвариантным, если для каждого X
из Q имеем ХеР тогда и только тогда, когда ф(Х)еР.
Если ф = [Л], то вместо (ф, Оринвариантно мы говорим
инвариантно относительно ф.
Лемма 13. Пусть Р, Qb .... Qn —мягкие подмноже-
ства элементов из [Л], Ф1, .... фл — точные отображения
группы [Л] в [Л], R — наименьшее подмножество элемен-
тов из Л, включающее Р и являющееся (ф,-, СЕ)-инвариант-
ным при 1 = 1, .... п. Тогда R мягкое..
476
ПРИЛОЖЕНИЯ
Доказательство. Пусть ф/ — автоморфизм группы
[А, г], являющийся спутником отображения <рг. По лемме 7
отображение ф,-1 Eq. мягкое. Следовательно, по лемме 8
наименьшая подгруппа, включающая Ер и инвариантная
относительно ф, | Eq., является мягкой. Мы покажем, что
этой подгруппой является Ер. Элемент g из £Q/ является
произведением слов Xz±]X г, где X принадлежите?,. Чтобы
получить ф/ (g), заменим каждое X на <р; (X). Тогда g<= Ер
тогда и только тогда, когда ф, (£•)<=£;?. Таким образом,
Er инвариантно относительно фг' £д.. Далее, всякий эле-
мент из R получается из элемента из Р многократным
применением ф, и ф£ с соблюдением условия, что ф/ при-
меняется только к словам из Q;, а ф,1 применяется только
к словам из ф; (Qi). Отсюда следует, что если X^R, то
XzX 1 принадлежит каждой подгруппе, включающей Ер
и инвариантной относительно фг | Eq.. Отсюда следует нуж-
ное утверждение.
Так как [Л] является мягкой в качестве подгруппы,
а следовательно, и в качестве подмножества, то в лемме 13
мы можем заменить (ф/, ^-инвариантно на инвариантно
относительно ф!.
Лемма 14. Пусть Ь1 = Ь1аЬ~1, и пусть Р —множество
всех таких слов b^b^... Ь^, что	in-
Тогда Р — мягкое подмножество элементов из [zz, &].
Доказательство. Пусть Н, Н+ и //' — подгруппы,
порожденные соответственно всеми всеми bh для которых
/	0, и всеми bh для которых i^sO. Покажем, что эти
подгруппы мягкие. Так как Н является наименьшей под-
группой, содержащей а и инвариантной относительно внут-
реннего автоморфизма, определенного Ь, то по лемме 8 она
мягкая. Далее, Н' = {Н+, а}, поэтому вследствие леммы 5
достаточно рассмотреть Н+.
Определим гомоморфизмы ф и % группы [zz, &] в [а, 6]
следующим образом:
Ф(а)==<2, %(a)~bab~1, q> (b)~%(b) = b2.
Легко заметить, что ф и х инъективны, поэтому по лемме 7
Ф | Н и % | Н мягкие. Следовательно, по лемме 8 достаточно
показать, что Н+ — наименьшая подгруппа, содержащая
и инвариантная относительно ф |Н и %\Н. Имеем ф(&/) =
= ^2/,-X (^) = ^2Z+i- Индукцией по t легко проверить, что
I. ПРОБЛЕМА ТОЖДЕСТВА слов
477
любая подгруппа, содержащая Ьг и инвариантная относи-
тельно ф | Н и х | Н, должна содержать bh где i > 0. Любой
элемент х из Н равен произведению элементов bi и обрат-
ных к ним, и х е Н+ тогда и только тогда, когда для всех
использующихся bi имеем i>0. Отсюда мы видим, что
х е Н+ ф (х) е Н+ ++ х (х) е Н+. Это доказывает, что Н+
инвариантна относительно ф | Н и х I Н.
Пусть теперь ф — автоморфизм группы [tz, &], определен-
ный следующим образом:
ф {а) = bab~\ ф (b) = b.
Тогда, ф (&;)— Принимая во внимание лемму 13, до-
статочно показать, что Р — наименьшее подмножество, кото-
рое содержит е и является (La, //+)-инвариантным и
(ф, /£)-инвариантным. Покажем, например, что Р является
(La, Н+)-инвариантным. Элемент h из Н+ есть bpj ... b{^, где
it положительны. Тогда La(h) есть	Вспоминая,
что bt свободны, мы видим, что они оба принадлежат Р,
если все показатели равны ф-1 и <Z...<Zin, и оба не
принадлежат Р в противном случае.
Слово в А позитивно, если оно не содержит сг1 ни для
какого а из А.
Лемма 15. Множество всех позитивных слов в А яв-
ляется мягким.
Доказательство. Пусть А — {аъ ..., ап\. Опреде-
лим автоморфизм ф группы [Л, г] следующим образом:
Ф (ai) = ai+i для 1<п, ф(ал)=О1, ф(г) = г.
Тогда по лемме 3 [А, г]<р — группа Хигмена. Пусть t —
ф-элемент, а ф — гомоморфизм из [а, Ь, г] в [Л, г]ф, опре-
деленный следующим образом:
ф («) = «!, ф (&)=/, ф(г) = г.
Если Р то же, что и в лемме 14, то легко заметить, что
ф (Р) совпадает с множеством Q позитивных слов в Л. Тогда
ф(£р) = £ф и потому Eq мягкая вследствие лемм 14 и 6.
Отождествим каждую k-ку натуральных чисел с по-
зитивным словом в [а, Ь}, отождествляя хъ ..., х* с
а^Ьа^Ь. . Ьахь. Тогда можно говорить о том, что ^-местный
предикат мягкий. Мы изучим некоторые свойства мягких
478
ПРИЛОЖЕНИЯ
предикатов. Обозначим через IF множество позитивных слов,
а через Wb множество слов из W, начинающихся с Ь. Из
лемм 15 и 12 следует, что эти множества мягкие (потому
что Wb — Lb (W)). Везде далее предполагается, что число i
целое, а числа т и п натуральные.
А. Предикаты =, и мягкие.
Доказательство. Наименьшим множеством, содер-
жащим b и инвариантным относительно Аа7?а, является мно-
жество всех albal. Его пересечение с W является множест-
вом всех апЬап, а это множество есть предикат —. Наи-
меньшим множеством, содержащим Lb(=) и инвариантным
относительно LaRa, является множество всех a1banbai+n;
пересечение этого множества с W есть С5+.
Наименьшим множеством слов в {а, Ь, с}, содержащим b
и инвариантным относительно LaRc, является множество
всех а'Ьс'. Если мы возьмем пересечение этого множества
с IF и рассмотрим его образ при Lcb, то получим множе-
ство Q всех cbanbcn. ПуЬгь ф — автоморфизм группы [а, Ь, с],
определенный следующим образом:
ф(<2) = <2, ф (Ь) = Ь, ф(с)=С<2.
Если мы возьмем пересечение наименьшего множества, вклю-
чающего Q и инвариантного относительно ф, с IF, то полу-
чим множество Р всех cambanb (сат)п. Если ф — гомоморфизм
группы [<2, Ь, с] в [<з, &], определенный следующим обра-
зом: ф (а)=--а, ф (b) = b, ф(с) = е, то ф(Р) = ®. .
Б. Если предикат Р мягкий, а предикат Q определен,
следующим образом: Q(a, х) —Р (х, я), то предикат Q
мягкий.
Доказательство. Мы можем предполагать, что я
непуста, так как в противном случае Q совпадает с Р.
Наименьшим множеством, включающим Rb (Р) и инвариант-
ным относительно La tRa, является множество всех а’1 ‘ЬХЬа*,
где апЬХ принадлежит Р. Если мы возьмем пересечение
этого множества с Wb и рассмотрим его образ при Lb i,
то получим Q.
В. Если предикат Р мягкий, а предикат Q определен
следующим образом: Q(x, я)<=>Р(я), то Q мягкий.
Доказательство. Взять пересечение наименьшего
множества, включающего Lb (Р) и инвариантного относи-
тельно La, с W.
I. ПРОБЛЕМА ТОЖДЕСТВА СЛОВ
479
Г. Если предикат Р мягкий, а предикат Q определен
следующим образом1. Q (л) <-> ЗхР (%, л), то предикат Q
мягкий.
Доказательство. Взять пересечение наименьшего
множества, включающего Р и инвариантного относительно
La, с Wb и рассмотреть его образ при Z.&-1.
Д. Если предикат Р мягкий, а предикат Q определен
следующим образом;
Q(x, a) ++Ууе<хР(у, а),
то Q мягкий.
Доказательство. Множество всех а мягкое; это
доказывается индукцией по числу переменных- в а, исполь-
зуя В. Применяя Lb, мы получим, что предикат R, опре-
деленный следующим образом: R(x, п)<^х==0, является
мягким. Тогда Q — наименьшее множество, которое вклю-
чает R и является (La, Р)-инвариантным.
Теперь мы покажем, что некоторые явные определения
предикатов дают мягкие предикаты. Предположим сначала,
что в определении используются только переменные и сим-
волы мягких предикатов. Тогда оно имеет вид
P(xi,	..., хУр),
где Q мягкий. Мы можем переписать его следующим образом:
P(Xi, ..., хк)~
— 3y1...'3yp(y1=x/1&...&yp=x/p&Q(y1, ..., ур)).
Чтобы показать, что Р мягкий, достаточно доказать, ввиду
леммы 11 и Г, что yr~xjr и .... ур) являются мяг-
кими предикатами от уъ ..., ур, хг, ..., xk. Однако это
легко следует из Б и В, так как = и Q мягкие.
Вследствие леммы 11, Г и Д в явных определениях
мягких предикатов мы можем применять \/, &, кванторы
существования и ограниченные кванторы всеобщности. Мы
можем также применять константы. Например, мы можем
заменить ...0... на Зх (х= 0&.. .х...), а затем отметить,
что по лемме 9 х = 0 — мягкий предикат.
Лемма 16. Если F — рекурсивная функция, то ®г
мягкий.
Доказательство. Воспользуемся индукцией по
рекурсивный функциям. Если F есть то утверждение
следует из А, Б и В. Если F есть + или •, то оно еле-
- 480
ПРИЛОЖЕНИЯ
дует из А. Далее, предикат х^О мягкий, потому что он
является образом предиката х = х при La. Отсюда и из
явных определений
х^у ~3z®+(x, z, у),
х<у— Зг (г =# 0 & ®+(х, у, г))
мы видим, что -С и < мягкие. Следовательно, если F есть
Д<, то мы имеем явное определение
&F(x, у, г) ~ (х<г/&г = 0)\/ (у^х&г= 1).
Предположим, что F определена следующим образом:
P(a) = G(tfx(a)................ДДа)),
где G, Hi, ..., Нh мягкие. Тогда ®F имеет явное опре-
деление
®f(a, х)~
—	yk)&®Q (уъ ..., ук, х)).
Предположим, что F определена следующим образом:
F (n) = px(G (а, х) = 0),
где G мягкая. Тогда ®F имеет явное определение
®f(rt, х) —®0(а, х, 0)&У^<хЗг(г=/=0&®о(а, х, г)).
Лемма 17. Каждый рекурсивно перечислимый преди-
кат мягкий.
Доказательство. Вследствие Г достаточно рас-
смотреть рекурсивный предикат Р. Так как Р (а)о®Кр(а, 0),
то Р мягкий по лемме 16.
Лемма 18. Если Q — рекурсивно перечислимое множе-
ство позитивных слов в А, то Q мягкое.
Доказательство. Пусть Р такое же, как в лемме 14,
a ф такой же, как в доказательстве леммы 15. Так как ф (Р)
является множеством позитивных слов в Я, то
ФСФ"1 (Q)fl^) = Q
и потому
Ф (Ety-HQ)[\p) = EQ.
Поэтому достаточно показать, что ф 1 (Q) П Р мягкое. Так
как очевидно, что ф 1 (Q) П Р рекурсивно перечислимо, то
достаточно доказать, что каждое рекурсивно перечислимое
подмножество R множества Р мягкое.
I, ПРОБЛЕМА ТОЖДЕСТВА СЛОВ
481
Пусть ф — гомоморфизм группы [а, z] в [а, г], опреде-
ленный следующим образом: ф(я) = а2, ф(г) = г. Тогда
отображение ф инъективно. По лемме 3 [я, г]ф — группа
Хигмена. Пусть b является ф-элементом, а % является
естественным отображением группы [a, b, z] в [а, г]((.
В обозначениях леммы 14 имеем х(&/) = яа* при Сле-
довательно, если X = bi1...bln является словом в Р, то
X (X) = ах, где х=2zi +... + 2\ поэтому х (ХгХ~г) = axza~x.
Теперь число х может быть записано в виде +... + 2г",
где 0 ц <... < in, только одним способом. Вследствие
этого х инъективно на ЕР, поэтому ER=EP П X”1 (Х-(Д?))-
ТакикГ образом, достаточно показать, что %(ER) мягкое.
Далее, х(£/?) =	(/?)> где %(R) является множеством пози-
тивных слов в {<□:}. Так как R рекурсивно перечислимо, то
X (7?) рекурсивно перечислимо. Это означает, что х (7?) яв-
ляется рекурсивно перечислимым унарным предикатом. Сле-
довательно, по лемме 17 %(R) мягкое.
Теперь мы можем доказать основную лемму. Пусть Р —
рекурсивно перечислимое множество слов в А. Пусть А'
состоит из элементов а' для каждого элемента а из А, и
пусть ф — гомоморфизм группы [Л, Л'] в [Л], определен-
ный следующим образом: ф(<2) = <2, ф (а') = сг1. Пусть, на-
конец, Р'— такое множество позитивных слов X в Ли Л',
что ф (X) е Р. Тогда множество Р' рекурсивно перечисли-
мое и в силу леммы 18 мягкое. Так как P = q>(Pr), то Р
мягкое по лемме 12.
ПРИЛОЖЕНИЕ II
НЕРАЗВЕТВЛЕННОЕ ВЫНУЖДЕНИЕ*)
1. Введение
Метод вынуждения был придуман Коэном для решения
некоторых классических проблем независимости. Как только
стало ясно, что сам метод применим в гораздо более общих
случаях, специалисты по теории множеств упростили и
обобщили этот метод. Одним из результатов таких попыток
являются булевозначные модели, исследуемые в статье
Скотта и Соловея**).
Характерная черта булевозначного подхода состоит в том,
что использование разветвленной иерархии конструктивных
множеств становится ненужным. Так как модели вынуж-
дения могут быть получены из булевозначных моделей, то
очевидно, что эта иерархия не нужна также и для моде-
лей вынуждения.
Одна из целей настоящей статьи—дать прямую -конст-
рукцию моделей вынуждения, не использующую разветв-
ленную иерархию. В дополнение к этому я попытался дать
сводку некоторых упрощений и обобщений теории вынужде-
ния, упомянутой выше. Многие из этих результатов в на-
стоящее время содержатся лишь в малодоступных источ-
никах.
Было бы невозможно перечислить всех лиц, добившихся
каких-либо продвижений в этой проблематике. Наши исто-
рические справки будут по крайней мере указывать, кем
были получены основные результаты. Общая картина за-
имствована из заметок Скотта и Сильвера**) и лекций
Роуботтома в Калифорнийском университете, прочитанных
осенью 1967 г. Беседы с Чжаном и Роуботтомом были также
очень полезны.
*) J. R. S h о е и f i е 1 d, Unramified forcing, Proc. Symp. Pure
Math. 13, № 1 (1971), 357—380.
**) Статьи Скотта и Соловея, Скотта и Сильвера публикуются
в Proc. Symp. Pure Math. 13, №1, №2.
II. ПЕР АЗВЕТВЛЕГШОЕ ВЫНУЖДЕНИЕ
483
2. Предварительные сведения
Здесь мы перечислим основные результаты теории мно-
жеств, которые нам нужны.
Обозначим через ZF аксиоматическую систему Церме-
ло —Френкеля (аксиомы объемности, регулярности, беско-
нечности, объединения, замены и степени), а через ZFC
систему ZF с аксиомой выбора. При рассмотрении функ-
ций как некоторых множеств упорядоченных пар мы счи-
таем, что значение функции есть первая, а аргумент функ-
ции—вторая компонента упорядоченной пары. Таким обра-
зом, областью значений (областью определения) f является
множество первых (вторых) элементов упорядоченных пар
из f. Обозначения: U (х) — объединение всех множеств из х,
S (х) — множество степени множества х, (х, у) — упорядо-
ченная пара, Ra (х) — область значений множества х, Do(x) —
область определения множества х, ху — множество всех ото-
бражений из множества х в у.
Мы отождествляем ординал с множеством предшествую-
щих ординалов, а кардинал с наименьшим ординалом, имею-
щим заданную мощность (таким образом, Кх=соа). Гре-
ческие буквы используются для обозначения ординалов,
а готические — для обозначения бесконечных кардиналов
(или бесконечных мощностей моделей). Через | х | будем обо-
значать мощность (кардинал) множества х и через ш+ — сле-
дующий за ш кардинал. Напомним, что cf (а) означает
наименьшее 0 такое, что существует отображение 0 на кон-
финальное подмножество из а. Бесконечный кардинал ш
называется регулярным, если cf(ni) = in, и сингулярным,
если cf(in)<m. В любом случае cf (а) всегда равно 1 или
является регулярным кардиналом. Если ш — регулярный
кардинал, то объединение < in множеств, мощность каж-
дого из которых <1п, имеет мощность <ш. Через S,,, (х)
обозначаем [у | у cz х & | у | < ш].
V (а) (иногда используется обозначение (а)) опреде-
ляется трансфинитной индукцией следующим образом:
V(a)= (J S(V(0)).
₽<а
Рангом множества х, обозначаемым через гк (х), называется
наименьшее а такое, что хе V(a-j-l). Это понятие всюду
484
ПРИЛОЖЕНИЯ
определено и из хе у следует гк (х) < гк (у). Более того,
гк (а) = а.
Мы предполагаем известными некоторые факты элемен-
тарной арифметики кардиналов. Напомним, что
\ХУ\ = \У\[Х',	|S(x)| = 21-i.
Теорема Кёнига утверждает, что cf (2m) >> m. Обозначим
через GCH обобщенную гипотезу континуума: Vn(2" = n+).
Слабые степени определяются следующим образом:
шп)= У, ш1’.
р<п
(Здесь мы допускаем случай, когда р конечны, но эти члены
могут быть опущены, если пЖо-) Тогда mnh) = mn. Так
как каждое подмножество множества х мощности р явля-
ется областью значений некоторого элемента из Чг, то мы
имеем | Sn (х) I | х |п)-
Имеем
n<cf (m) & Vp<m(2v^in)->mn = in.	(2.1)
Действительно, из n<cf(m) следует nm= (J па. Однако
а<т
| па | = | a |n eg 2ia|’n eg т по предположению, поэтому mnsg
=Cni-m = m. Если GCH выполняется, то утверждение (2.1)
сводится к n<cf (m)->mll = m. Из (2.1) следует, что
ш регулярное &Vp <m (2*’ < m) ->rnm)= m.
Так, например, если m есть {<0, то mni) = m является сильно
недостижимым, и если GCH выполняется, то 1П1п) = шдля
всех регулярных ш.
Обратимся теперь к моделям теории множеств. Модель
называется транзитивной, если ее универсум является
транзитивным множеством и ее предикат принадлежности
является обычным предикатом принадлежности, ограниченным
до ее универсума. Метод сжатия Мостовского [8] показы-
вает, что каждая вполне фундированная модель аксиомы
объемности изоморфна транзитивной модели. В дальнейшем
под моделью мы будем понимать транзитивную модель и
будем отождествлять модель с ее универсумом.
Пусть М — некоторая модель. Чтобы отметить, что ка-
кой-то объект рассматривается в модели М, мы будем до-
II. НЕРАЗВЕТВЛЕННОЕ ВЫНУЖДЕНИЕ
485
бавлять фразу «в М» или верхний индекс М. Так, если
Ф — предложение (возможно, содержащее имена . элементов
из М), то будем сокращать фразу «Ф истинно при ин-
терпретации в М» до «Ф выполняется в М» или просто
до Ф^.
Кардиналом в М называется элемент а из М такой,
что «а есть кардинал» выполняется в М. Через со^ мы обо-
значаем элемент а из М такой, что Ф(а)м, где Ф(х) —
предложение теории множеств, утверждающее, что х есть
сох. Подобным же образом интерпретируются и другие при-
меры.
Классом в М называется множество [«| а е 7И&Ф (а)м],
где Ф (х) содержит только символы языка теории ZFC и
символы для множеств из М. Каждое множество из М есть
класс в М. Если М — модель теории ZFC, то каждый класс
в М, который включается в некоторое множество из М,
сам является множеством из М. Функционалом в М на-
зывается функция F такая, что для некоторой формулы
Ф(х,у) описанного выше типа F(a)—b тогда и только
тогда, когда a, b е М и Ф (а, Ь)м . Если М — модель тео-
рии ZFC, то образ множества из М относительно функцио-
нала в М есть множество из М.
Лемма 2.1. Каждое транзитивное множество М,
удовлетворяющее следующим четырем условиям, является
моделью теории ZF.
(а)	со е М.
(б)	Каждый класс в М, который включается в некоторое
множество из М, сам является множеством из М.
(в)	Для каждого функционала F в М и каждого мно-
жества а из М, включенного в область определения функ-
ционала F, множество U ([F (b) | b е а]) включено в некото-
рое множество из М.
(г)	Для каждого множества а из М множество S (а) П М
включается в некоторое множество из М.
Предикатный символ Р, определяемый в теории ZFC,
называется абсолютным, если для каждой модели М тео-
рии ZFC предикат Рм совпадает с Р на аргументах из М.
Подобное определение вводится для функциональных сим-
волов (в том числе и для констант как функциональных
символов с нулевым числом аргументов). Большинство
символов, введенных при изучении ординалов, абсолютны,
за исключением S. Детали смотри в [9] или в данной
486
ПРИЛОЖЕНИЯ
книге. Если F абсолютный, то F принимает значения из М
(так как FM таков). Из абсолютного предиката « ... есть
ординал» следует, что ординалы в М являются настоящими
ординалами, принадлежащими М.
Аксиома конструктивности (см. [5]) утверждает, что
каждое множество конструктивно. Отсюда следует, что су-
ществует определяемое вполне упорядочение универсума
и что выполняется GCH. Если М — модель теории ZFC, то
конструктивные множества в М образуют модель теории
ZFC с аксиомой конструктивности. Каноническая функция,
отображающая ординалы на конструктивные множества,
абсолютна, поэтому конструктивные множества в некоторой
модели М теории ZFC являются образами ординалов в М
относительно этой функции. Таким образом, если М и N
имеют одинаковые ординалы, то они имеют и одинаковые
конструктивные множества.
3.	Понятия вынуждения
Предположим, что М — модель теории ZFC и а, Ь еМ.
Мы хотим расширить М до модели N, в которой существует
отображение F множества а на b. Чтобы избежать очевидных
трудностей, допустим, что а бесконечно и b 0.
Пусть С — множество всех отображений всевозможных
конечных подмножеств множества а в Ь. Тогда С е М
в силу абсолютности. Множество G всех конечных под-
множеств множества F будет подмножеством множества С,
но оно не обязательно будет в М. Наша идея состоит в том,
чтобы, во-первых, подобрать G, а затем, используя G,
построить N.
Каждое р е С дает некоторое условие, которому должно
удовлетворять F, чтобы р было в G, а именно, мы должны
иметь р ciF. Еслиptzq, то условие q дает больше инфор-
мации, чем условие р. Тогда мы говорим, что q есть рас-
ширение р, и пишем q^p. (Такое обозначение должно
намекать на то, что q допускает меньше моделей N, чем р.)
Тогда С является частично упорядоченным множеством
с наибольшим элементом 0.
Имеются три очевидных условия, которым должно удов-
летворять G: (а) 0 <= G; (б) если р <=G и р ~sP q, то 7 <= G;
(в) любые два элемента из G имеют общее расширение в G.
Если G удовлетворяет этим условиям, то F=U(G) будет
II, НЕРАЗВЕТВЛЕННОЕ ВЫНУЖДЕНИЕ
487
отображением некоторого подмножества множества а на не-
которое подмножество множества Ь.
Для того чтобы получить Do(.F)=a и Ra^) — b, мно-
жество G должно, кроме того, пересекаться с некоторыми
множествами, а именно, с каждым множеством [р I х е Do (р)]
для т еа ис каждым множеством [р I у <= Ra (р)] для ysb.
Эти множества являются множествами в М и имеют следую-
щее свойство: каждое условие из С имеет расширение в каж-
дом таком множестве. Поэтому мы будем требовать, чтобы
G пересекалось с каждым множеством в М, имеющим это
свойство.
Теперь обобщим эти понятия. Понятие вынуждения есть
частично упорядоченное множество С, имеющее наибольший
элемент. Мы обозначим этот порядок через -Сс или -с,
а наибольший элемент через 1с или 1. Элементы множества
С называются условиями. Обычно условия будут обозна-
чаться через р, q и г. Если p^q, то мы скажем, что р
есть расширение q. Подмножество D множества С назовем
С-плотным (или просто плотным), если каждое условие
из С имеет расширение в D.
Пусть С — некоторое понятие вынуждения, а М — не-
которое множество. Подмножество G множества С назы-
вается С-генерическим над М (или просто генерическим), если
справедливы следующие утверждения:
(Gl) leG;
(G2) для каждых р е G и q P^p имеем q <= G;
(G3) для каждых р, q^G условия р и q имеют общее
расширение в G;
(G4) для каждого плотного множества D в М имеем
GfWO.
Теорема существования. Пусть С — некоторое
понятие вынуждения, М — счетное множество,реС. Тогда
существует С-генерическое над М множество G, содержащее р.
Доказательство. Пусть <70, ах, ... — элементы М.
Выбираем рп индуктивно следующим образом: р0 —р, р„ц —
некоторое расширение условия рп из ак, если такое рас-
ширение существует, и рл+1=рл в противном случае.
Тогда множество G=[(/l Зп (р«^<7)] имеет требуемые
свойства.
Замечание. Это единственное место, где мы прямо
используем счетность М. Очевидно, достаточно было бы
предположить, что М |~| S (С) счетно.
488
ПРИЛОЖЕНИЯ
Пусть Яш (Л; В)—множество всех отображений р все-
возможных элементов множества Sm (Л) в В. Если р, q^.
В), то мы пишем p^q вместо qap. Тогда
ЯП1 (Л; В) есть понятие вынуждения с наибольшим элементом 0.
Мы пишем Н (Л; В) вместо Я^о(Л; В). Заметим, что Я (Л; В)
абсолютно.
Теперь предположим, что М — модель теории ZFC,
а, b<=M, b^Q, ш— бесконечный кардинал в М такой,
что m | а | в М, С=Н^{а\ b), G — С-генерическое над
М множество и F = U(G). Тогда замечания в начале параг-
рафа показывают, что F — отображение из а на Ь. (Нам нужно
m < | а | в М. для того, чтобы гарантировать, что для каж-
дого у<^Ь множество [р | у е Ra (р)] плотно.) Таким обра-
зом, если мы можем построить расширение N модели М,
содержащее G, то мы получим расширение, в котором суще-
ствует отображение из а на Ь.
Замечание. Это показывает, что если а счетно и беско-
нечно и b несчетно, то не существует С-генерического мно-
жества над М. Поэтому требование счетности в теореме
существования не может быть опущено.
Историческая справка. Основные идеи этого
параграфа принадлежат Коэну [1], [2]. Понятие плотного
множества принадлежит Соловею.
4.	Построение модели
Теперь предположим, что С —понятие вынуждения*)
в некоторой счетной модели М теории ZFC и G —С-ге-
нерическое множество над М. Мы собираемся построить
расширение модели М, содержащее G.
Вначале определим структуру, универсумом которой
является М, а отношение принадлежности определяется
следующим образом: a <=ab<+Bp е G ({а, р) е Ь)
(здесь и в дальнейшем а, Ь, с и d обозначают элементы
множества М). Теперь мы применим метод сжатия, чтобы
переделать (М, s<j) в транзитивную модель. Сначала за-
метим, что
a <=0 b -+а е Ra (b)	(4.1)
*) Понятие вынуждения С лежит в некоторой модели М, если
множество С и отношение лежат в М.
II. ПЕРЛЗВЕТВЛЕННОЕ ВЫНУЖДЕНИЕ
489
и, следовательно,
£f=Q6->rk(a)<rk(6).	(4.2)
Затем мы определяем
Ка(Ь)=[Ка(а)\а(=аЬ].
По (4.2) это есть правильное определение индукцией по
г к (Ь). Наконец, определим
М [G] = [7<q (а) ] а е М].
Главная теорема. Пусть М — счетная модель тео-
рии ZFC, С — некоторое понятие вынуждения в М, G —
некоторое С-генерическое над М множество. Тогда М [G] —
счетная модель теории ZFC, расширяющая М и содержа-
щая G, и это есть наименьшая такая модель.
Доказательство этой фундаментальной теоремы будет
дано здесь и в следующих двух параграфах. Мы предпо-
лагаем, что всюду дальше в этой статье М, С и G удов-
летворяют условиям основной теоремы, за исключением
специально оговоренных случаев. Мы будем писать а
вместо Ка(а).
Начнем с некоторых простых замечаний. Из определе-
ния М [G] и счетности М видно, что М [G] счетно и тран-
зитивно. Теперь определим
индукцией по rk(6). Это определение может быть дано
в М, поэтому отображение, переводящее а в а, есть функ-
ционал в М. В частности, а<=М, Простая индукция
(использующая (G1)) показывает, что /<й(б) = 6; таким
образом, М cz М [G], Теперь положим (обозначая несколько
неправильно)
О = [(р, р)\ре=С].
Тогда G^M и /(q(G) = G. Следовательно, Gi=7M[G].
Итак, М [G] — счетное транзитивное множество, расширяю-
щее М и содержащее G. Проверка того, что это есть мо-
дель теории ZFC, требует одного нового понятия, к кото-
рому мы сейчас и переходим.
490
ПРИЛОЖЕНИЯ
5.	Вынуждение
Введем язык, называемый языком вынуждения, подхо-
дящий для исследования М [G]. Символами языка вынуж-
дения являются символы теории ZFC и все элементы *)
множества М. Каждый элемент а множества М считается
константой, которая отмечает элемент а из М [G]; мы
называем а именем элемента а. Если Ф — предложение
языка вынуждения, то |—оФ означает, что Ф истинно
в М [G],
Пусть р^С и Ф — предложение языка вынуждения.
Скажем, что р вынуждает Ф, и записываем это р ||— Ф,
если |— 0Ф для каждого множества G, являющегося С-ге-
нерическим над М и содержащего р.
Цаша первоочередная задача—доказать три леммы
о вынуждении.
Лемма определимости. Если Ф (хх, ..., хп) —
формула теории ZFC, содержащая только указанные сво-
бодные переменные, то
[<Р, аъ ..., ап} Ь Ф(ах, ..., ая)]
является классом в М.
Лемма о расширении. Если р ||— Ф и q^p, то
q II— Ф.
Лемма об истинности. Если G генерическое, то
|— q Ф тогда и только тогда, когда Зр <^G (р ||— Ф).
Наш метод состоит в следующем. Мы определим видо-
измененное понятие вынуждения, обозначаемое через р ||— * Ф.
Затем докажем, что эти три леммы выполняются при за-
мене ||— на ||—*. Далее мы покажем, что
р ||—Ф *->р II—* 11Ф.	(5.1)
Затем, беря эти три леммы для ||—* и заменяя Ф на ЦФ,
получим леммы для ||—.
Вначале укажем неопределяемые символы языка вынуж-
дения. Считаем, что "| и V — неопределяемые пропозици-
ональные связки и 3 — неопределяемый квантор. В качестве
неопределяемых символов отношений мы берем ед и =#.
*) Те, кому нс нравится использование множеств в качестве
символов, могут ввести некоторое повое множество символов, которое
находится во взаимно однозначном соответствии с М.
II. НЕРЛЗВЕТВЛЕ1ПЮЕ ВЫНУЖДЕНИЕ
491
Конечно, х ф у определяется как ~\(х^у), х = у опреде-
ляется как ~\(хф=у).
Теперь определяем р '|— *Ф с помощью следующих пяти
пунктов.
(а)	р ||— *а^Ь, если 3c3q^р ((с, q) b &р}-* а=с).
(б)	р\\-*а^=Ь, если 3c3q^zp (<с, q))ea&p\\-*c ^Ь)
или 3c3q 2? р ({с, q} <^b & р ||— * с фа).
(в)	р II— *"]Ф, если Vq ^р "] (q |р* Ф).
(г)	р II— *Ф V Чг, если р ||—* Ф или р II— *4f.
(д)	р||—*ЭхФ(х), если 3b (р II—* Ф(6)).
Сначала мы должны убедиться, что в этом определении
нет порочных кругов. Если мы проанализируем определе-
ние р\\—*аф=Ь, то найдем, что оно определяется в тер-
минах р'||— * а'и р' ||— * Ь' а', где гк (а') < гк (а)
и гк (&') <гк(&). Тем самым мы можем определить р;|— *аф=Ь
индукцией по шах (гк (а), гк(6)). Затем мы применяем (в)
для определения р ||— * а = Ь, (а) для определения рII— *а^.Ь
и (в) для определения р||— *ах=£Ь. Тогда мы можем получить (б).
Это определяет р\\— *Ф для атомных формул Ф. Затем
применяем (в), (г) и (д) для определения р\\— * Ф для всех
Ф индукций по длине Ф.
* Лемма определимости для ||—* тривиально доказывается
индукцией по длине Ф(%1, ..., хп) (замечая, что область
действия кванторов в (а) — (д) есть М или множество С
в М). Конечно, определение класса [(р, а, Ь)\ р||—* аф=Ь]
должно быть проведено трансфинитной индукцией в М так,
как описано выше.
Мы докажем другие две леммы, доказывая их для пред-
ложений в левых частях (а) — (д) при предположении, что
эти леммы являются истинными для предложений в пра-
вых частях; как мы видели выше, это правильный метод
доказательства. Лемма о расширении совсем тривиальна,
поэтому мы рассмотрим лишь лемму об истинности.
Вначале покажем, что если лемма об истинности вы-
полняется для Ф, то
а ^аЬ & |—0Ф <->
— Эре G3q^s-p((a, q) s b &p ||—* Ф).	(5.2)
Если левая часть выполняется, то существуют q, г е G
такие, что (a, q) е= b и г ||— *Ф. Выбирая общее расшире-
492
ПРИЛОЖЕНИЯ
ние р для q и г в G по (G3), получаем р'\— *Ф ввиду
леммы о расширении. Обратно, пусть правая часть (5.2)
выполняется для р и q. Тогда |— 0Ф ввиду леммы об
истинности. Также q^G ввиду (G2), следовательно,
а^0Ь.
Теперь обратимся к пяти случаям леммы об истинности.
(а) \-оа^Ь эквивалентно Зе (с b & |— 0 а^с) по
определению Ь. По предложению и (5.2) это эквивалентно
ЗсЗр ^GBq^ р ((с, q) <^b & а=с)
и, следовательно, эквивалентно Зр е G (р ||— * а е 6).
(б) Ясно, что \—Qa^b тогда и только тогда, когда
или Зе (с <=а а & |— 0 с ф Ь), или Зс(се06 & i— ас ф а).
По предположению и (5.2) это эквивалентно
3c3peG3^>sp ((с, q) е а & р ||— * с ф b) V
V ЗсЗр е GBq Ss р ((с, q} е b & р Ц-* с ф а)
и, следовательно, эквивалентно Зр е G (р ||— * а Ь).
(в) По предположению f—g ~1 Ф тогда и только тогда,
когда П Зр <= G (р ||— * Ф). Поэтому мы должны доказать,
что выполняется в точности одно из двух: Зр е G (р ||—* Ф)
или Зр е G (р II— * П Ф). Чтобы доказать, что по крайней
мере одна из формул выполняется, по (G4) достаточно
показать, что О=[р|р||— *Ф или р ||— * "] Ф] является
плотным множеством в М. По лемме определимости мно-
жество D является множеством в М, поэтому мы должны
лишь показать, что каждое р имеет расширение в D.
Но либо р имеет расширение q такое, что q *Ф и, сле-
довательно, q^D, либо р II— * “] Ф и, следовательно, р
само находится в D.
Теперь предположим, что существуют р, q <=G такие,
что р II— *Ф и р II— * "| Ф. По (G2) р и q имеют общее рас-
ширение г, а по лемме о расширении г ||— * Ф. Это проти-
воречит тому, что q II— * "I Ф.
Легкие доказательства (г) и (д) оставляем читателю.
Теперь докажем (5.1). Предположим, что р \\— * "| "] Ф.
Если множество G генерическое и р е G, то по лемме об
истинности |— о Ф» поэтому }-аФ. Таким образом, р ||— Ф.
Теперь предположим, что “| (р ||— * "| "| Ф). Тогда q * “1 Ф
для некоторого q^p. Выберем такое генерическое мно-
жество G, чтор^О. Ввиду леммы об истинности I—с~|Ф,
а по (G2) peG, Следовательно, 1 (р |Н Ф).
II, НЕРАЗВЕТВЛЕННОЕ ВЫНУЖДЕНИЕ
493
Таким образом, мы показали все наши леммы. Подстав-
ляя 11Ф вместо Ф в (в), получаем
р ||— П Ф тогда и только тогда, когда	II— Ф).
(5.3)
Заменяя Ф на "] Ф и замечая, что р ||— "|"] Ф эквива-
лентно р II— Ф, получаем
р II— Ф тогда и только тогда, когда Vg =Ср "] (q ||— "] Ф).
(5-4)
Историческая справка. По существу понятие
вынуждения Коэна есть наше ||— *. Часть (в) определения,
которая упрощает определение Коэна, введена Скоттом.
Наше понятие вынуждения введено Феферманом [4],
который назвал его слабым вынуждением. Все три фун-
даментальные леммы доказаны Коэном.
6.	Завершение доказательства
Покажем, что М [G] — модель теории ZF, доказав,
что М [G] удовлетворяет всем условиям леммы 2.1. Так
как со е М cz М [G], то условие (а) выполняется.
Лемма 6.1. Пусть А—класс в М [G] такой, что
A cz а. Тогда Ле7И[0] и А имеет имя с такое, что
с cz Ra (cz) х С.
Доказательство. Существует формула Ф(х) языка
вынуждения такая, что
|—сФ (Ь)	(6.1)
для всех Ь. Положим
с=[<6, р) | b е Ra (cz) & р 1|- Ф (6)].
Ввиду леммы определимости с есть класс в М. А так как
cczRa(cz)xC, то се74.
Мы должны показать, что
b е с b е А.
Если Ь е с, то мы можем предположить, изменив Ь, но
не изменяя Ь, что Ь с. Тогда для некоторого peG
имеем (6, р)ес и, следовательно, р\\—Ф(Ь). Таким
образом,_ |— 0Ф(6), поэтому b А в силу (6.1). Пусть
теперь Ь^А. Тогда Ь^а, поэтому мы можем предполо-
жить, что Ь^.ои. Ввиду (4.1) ft е Ra (cz). Ввиду
494
ПРИЛОЖЕНИЯ
(6.1)	р 0 Ф(&), поэтому по лемме об истинности некоторое
p^G вынуждает Ф(Ь). Тогда (Ь, р}^с, поэтому b <=ас,
таким образом, b е с.
Из леммы 6.1 следует, что утверждение (б) леммы 2.1
выполняется.
Лемма 6.2. Если х cz М [G] и каждый элемент из х
имеет имя в а, то х включается в некоторое множество
в М [G],
Доказательство. Пусть b = ах{1}. Любой эле-
мент из х есть с для некоторого сеа, Но с^аЬ в силу
(G1), следовательно, с^Ь. Таким образом, х cz b.
Теперь докажем, что утверждение (в) леммы 2.1 выпол-
няется. Пусть F — функционал в М [G] и а —множество
в М [G], входящее в область определения для F. Суще-
ствует формула Ф (х, у) языка вынуждения такая, что
для всех Ь, с имеем
F(b) = c++ \-аФ(Ь, с).
Выберем множество d в М со следующим свойством: для
каждого р (== С и каждого 6eRa(a), если существует с
такое, что р\\— Ф(Ь, с), то существует такое же множество
в d. Заменяя d его транзитивным замыканием, мы можем
предполагать, что d транзитивно.
Теперь покажем, что каждый элемент х из U ([F (b) | b е
ей]) имеет имя в d; ввиду леммы 6.2 на этом наше дока-
зательство будет закончено. Имеем x^F(b), где йей.
Мы можем предположить, что b Пусть с будет име-
нем F (Ь). Имеем ]—0Ф(&, с), поэтому некоторое p<=G
вынуждает Ф(Ь, с). Следовательно, для некоторого с' <=d
имеем р\\—Ф(Ь, с'). Тогда ]-аФ(Ь, с'), поэтому F(b) = С'.
Следовательно, хе с', откуда х = а' для а' <^ас', а поэ-
тому a'eRa(c'). Так как с'ed и d транзитивно, то
а' е d, что и требовалось.
Наконец, докажем, что утверждение_ (г) леммы 2.1
выполняется. Пусть_ а е М [G], и пусть b е 3 (a) Q М [G],
Ввиду леммы 6.1 b имеет имя с такое, что ccRa(a)xC
и, значит, с eSM (Ra (а) хС). Требуемый результат теперь
следует из леммы 6.2. Тем самым М [G] является моделью
теории ZF.
Лемма 6.3. Если N -модель теории ZF, расширяю-
щая М и содержащая G, то существует функционал в N.
ограничением которого на М является Ка.
II, НЕРАЗВЕТВЛЕННОЕ ВЫНУЖДЕНИЕ
495
Доказательство. Определим (в N)
х g* у<-> Bp е G ((х, р)еу),
К* (у) = [К* (х)\х<=*у]
(индукцией по rk (у)). Легко видеть (используя транзитив-
ность М), что е* и К* совпадают соответственно с
и Ко для аргументов из М.
Из леммы следует, что Ка (а) е К для всех а^М,
так что A4[G]czW. Поэтому М [G] является даже наи-
меньшей моделью теории ZF, расширяющей М и содержа-
щей G. Далее, можно применить лемму 6.3 к М [G], Мы
получим функцию К в М [G], ограничение которой на М
есть Ка-
Пусть теперь а е М [G], Тогда в М и, значит, в М [G]
существует отображение некоторого ординала на Ra(a).
Комбинируя К с этим отображением, получим в М [G]
отображение некоторого ординала на
[К(х) | х е Ra (а)] = [b | b Ra (а)].
Но ввиду (4.1) это множество включает а. Поэтому в
М [G] выполняется следующее: для каждого х существует
отображение некоторого ординала на некоторое множество,
содержащее х. Из этого следует, что аксиома выбора
выполняется в A4[G], Итак, мы завершили доказатель-
ство главной теоремы.
Историческая справка. Большинство идей этого
параграфа принадлежит Коэну. Доказательство того, что
аксиома степени выполняется в 7И [G], по существу при-
надлежит Соловею; оно проще, чем доказательство Коэна.
. if
7.	Аксиома конструктивности
Для наилучшего применения фундаментальной теоремы
нам нужна информация про отношение между М и 44[G],
Следующий простой результат часто бывает полезен.
Лемма 7.1. М и М [G] имеют одинаковые ординалы-.
Доказательство. Так как 7Ис=7И[О], то нам
нужно лишь показать, что каждый ординал а из М [G]
есть в М. Простая индукция показывает, что гк (а) =сгк (а)
для всех а. Пусть а будет именем а, тогда а = гк(а)^
--Сгк(а). Так как гк абсолютно, то гк(а)е7И, поэтому
tzeAl в силу транзитивности М.
496
ПРИЛОЖЕНИЯ
Следствие. М и М [G] имеют одинаковые конструк-
тивные множества.
Пусть теперь М — счетная модель теории ZFC, и
пусть С=Н(а>; 2). В силу абсолютности, С лежит в М.
Возьмем G генерическим над М и положим F = U(G).
Как мы видели в § 3, К — отображение из со на 2. Очевидно,
М [G]; мы утверждаем, что F^M. Чтобы показать
это, допустим, что f — произвольное отображение из со на 2,
лежащее в М. Тогда [р| Зп е со (и е Do (р) & р (п)
/(п))]— множество в М, которое является, как легко
видеть, плотным. Поэтому оно содержит некоторое р е G,
а отсюда следует, что F f.
Поэтому множество А, характеристическая функция
которого есть F, лежит в 7И [G] — М. По следствию А не
является конструктивным в Al [G]. Поэтому 7И [G] — это
модель теории ZFC', где теория ZFC'— теория ZFC с
дополнительной аксиомой: существует неконструктивное
подмножество множества со.
Мы показали, как построить модель теории ZFC' из
счетной модели М теории ZFC. Существование М может
быть показано следующим образом. Мы начинаем с любой
модели N теории ZFC. Применяя теорему Левенгейма —
Скулема для того, чтобы получить счетную подмодель,
и применяя технику сжатия, мы получим счетную модель
М теории ZFC.
К несчастью, существование (транзитивной) модели N
теории ZFC не может быть доказано в теории ZFC даже
в предположении, что теория ZFC непротиворечива.
Поэтому, если мы хотим иметь финитное доказательство
относительной непротиворечивости теории ZFC' по отно-
шению к теории ZFC, то мы должны сделать небольшие
изменения. Добавим к теории ZFC константу N и аксиомы,
которые утверждают, что N транзитивно и непусто и
каждая аксиома теории ZFC выполняется в N. Принцип
отражения (см. [6]) показывает, что это будет консерва-
тивным расширением теории ZFC. Затем определим М и
М [G], как раньше. Наше доказательство будет тогда
показывать, что каждая аксиома теории ZFC' выполняется
в М [GJ. Немного другой метод изложен в данной книге.
Мы можем получить более сильный результат с помощью
«сжатия» кардинала в М. Допустим, что М удовлетворяет
аксиоме конструктивности. (Мы можем получить такую
II. ПЕРАЗВЕТВЛEIIIIOE ВЫНУЖДЕНИЕ
497
модель из любой счетной модели N теории ZFC, взяв
множества, конструктивные в N.) Возьмем С=НЩ0; К^)-
Тогда в М [G] существует отображение из Ко на таким
образом, счетно в М [G]. Существует одно-однозначное
соответствие между SM (со) и которое лежит в М, и,
следовательно, в М [G], поэтому 8 м (со) счетно в М [GJ. Но
в силу следствия каждое подмножество множества со, кото-
рое конструктивно в М [G], есть в М и, следовательно,
в 8м (со). Таким образом, в М [G] существует только
счетное число конструктивных подмножеств множества со.
Историческая справка, Независимость аксиомы
конструктивности была доказана Коэном. Кардинальное
сжатие’ введено Леви.
8.	Произведения
Пусть Ci и С2 — некоторые понятия вынуждения в
М. Мы будем снабжать индексами 1 или 2 все ранее
введенные понятия, чтобы отличать, что относится к
а что к С2; например, —некоторый элемент из Clr G2—
некоторое С2-генерическое множество. Будем писать
М [Gi, G2] вместо (М (GJ) [G2J.
Определим частичный порядок на Ci х С2 следующим
образом:
<Р1, Р2><<91, ?2>
Ясно, что CiXC2 является понятием вынуждения в М с
наибольшим элементом (11( 12).
Теорема о произведении. Пусть Сх и С2—
произвольные понятия вынуждения в М. Если Gx является
С^генерическим над М, a G2 — С2-генерическим над М [GJ,
то GxxG2 является (С1ХС2)-генеричвским над М, и
М [Gi xG2] = A4[G1, G2]. Каждое множество, являющееся
(CiXC^-генерическим над М, получается таким путем.
Доказательство. Легко проверить (Gx), (G2) и (G3)
длй GiXG2. Пусть D — произвольное (СххС2)-плотное
множество в М. Мы должны показать, что (Gx xG2) Q D =#0,
т. е. что G2 Q D2 Ф 0, где
O2 = [p2|3pieG1«p1, рг),еО)].
Так как D2 е М [GJ, то достаточно показать, что D2
является С2-плотным.
17 Дж, Шепфилд
498
ПРИЛОЖЕНИЯ
Пусть </2 е С2; мы должны найти p2^q2 и Pi^G
такие, что (рь p2}e.D. Другими словами, мы должны
показать, что Gx Q	где
Ol = [Pi | Зр2^^2 «Pi, P2>eD)].
Так как DL^M, то достаточно показать, что D± является
Ci-плотным. Пусть qr е Сп и выберем (plt р2) =с (ft, q2)
так, чтобы (plt р2) е D. Тогда pr qr и рг е Dr.
Равенство М [Gx X G2] — М [Gj, G2] выполняется, потому
что оба множества являются наименьшими моделями теории
ZFC, расширяющими М и содержащими Gi и G2.
Пусть теперь G будет (Сх хС2)-генерическим над М,
a Gi и G2- проекции G на Ci и С2 соответственно. Ясно,
что G <^G1xG2. Чтобы доказать, что G^=G1xG2, допустим,
что (рх, p2)^.G1xG2. Для некоторых qr и q2 имеем
(Pi, ft), (ft, Рг) s G. Поэтому они имеют общее расшире-
ние (гх, г2) в G. А так как (rx, r2)^(pi, р2), то полу-
чаем (ръ р2)^С.
Проверка (G1), (G2) и (G3) для Gi и G2 совсем легкая.
Чтобы проверить (G4) для Gn допустим, что Ох является
Сг плотным множеством в М. Тогда ОгхС2 является
(Сх х С2)-плотным множеством в М. Поэтому GR^iXC^t^
=# 0; таким образом, Gx Q D± Ф 0.
Чтобы проверить (G4) для G2, допустим, что D2-C2-
плотное множество в М [0х]. Пусть а—имя О2, и пусть
Ф — предложение языка вынуждения, утверждающее, что
а является С2-плотным.
Покажем, что
D = [<Pi, Pi) I Pi IH Ф -> р2 е а]
плотно. Пусть дано (qlt q^). Выберем G1 Ci-генерическое
над М так, чтобы ftsG[. Если Кг, (а) является С2-плот-
“1
ным, то выберем p2^q2 так, чтобы p2^KG^(a], в против-
ном случае положим p2 = q2. В любом случае имеем
р-с'Ф->Рг а- Поэтому некоторое pr s GJ вынуждает
ф_>р2<=а, а по (G3) и лемме о расширении мы можем
предположить, что Pi^qi. Тогда {ръ	и
(pi, р2) D.
Так как D^.M, то отсюда следует, что
Пусть (plt p2)^G^\D. Поскольку е Gx и pxll-Ф -*-
[I. НЕРАЗВЕТВЛЕННОЕ ВЫНУЖДЕНИЕ
499
->р2ес!, то мы имеем 01 Ф-> р2 Я- Но |— С,Ф,
поэтому р2 е а = D2. Но р2 е G2, следовательно, G2 Q D2 Ф 0.
Следствие. Пусть Сх и С% — произвольные понятия
вынуждения в М. Пусть Gx —Сггенерическое множество
над М, a G2 — С2-генерическое множество над TWfGi].
Тогда Gx является С г генерическим над М [G2] и М [G2, GJ —
= THtGi, G2],
Доказательство. По предыдущей теореме GxxG2
является (Ci хС2)-генерическим над М. Применяя очевид-
ный изоморфизм между СххС2 и С2хСг, получаем, что
G2xGx является (C2xCJ-генерическим над М. Снова при-
меняя теорему, получаем, что Gx является Ci-генерическим
над М [G2]. Имеем
М [G2, Gi]^Al[Gi, G2],
так как оба эти множества являются наименьшими моделями
теории ZFC, расширяющими М и содержащими Gx и G2.
Рассмотрим только один пример бесконечных произве-
дений, так называемую слабую степень. Если С —понятие
вынуждения, а / — произвольное множество, то С7—мно-
жество всех отображений р множества / в С таких, что
множество [t | i е I &.р (i)	1] конечно. Пусть p-^q озна-
чает Vt е / (р (t) =С q (i)). Ясно, что С — понятие вынужде-
ния, наибольший элемент которого— функция, тождественно
равная 1с. Если Си/ принадлежат модели М теории ZFC,
то и С1 принадлежит модели М\ именно для этого мы
ограничиваемся конечностью.
Если J и К — не пересекающиеся подмножества мно-
жества / такие, что = то С изоморфно CJxCK
естественным образом. В частности, если is/ и J = I —
— {i}, то С естественно изоморфно CJxC. В обоих слу-
чаях мы можем применять теорему о произведении.
9.	Аксиома выбора
Под автоморфизмом понятия вынуждения С мы пони-
маем автоморфизм частично упорядоченного множества С.
Лемма 9.1. Пусть я — некоторый автоморфизм поня-
тия вынуждения С, который находится в М. Тогда л (G)
является С-генерическим над М и М [G] = /W [л (G)].
Доказательство. Так как л отображает множества
из М в множества из М, то первое утверждение тривиально.
17*
500
ПРИЛОЖЕНИЯ
Поскольку М [G] содержит бил, оно также содержит и
л [G], поэтому в силу фундаментальной теоремы М [л (G)] cz
cz М [G]. Подставляя л(О) вместо Сил1 вместо л, полу-
чаем М [G] cz М [л (G)]. Таким образом, М [G] = A4[n (G)].
Пусть ЭД — некоторое множество автоморфизмов С такое,
что ЭД е М. Элемент а множества М называется ^(-инва-
риантным, если Ка (а) = КЛ(а) Для каждого леЭД.
Например, каждое а инвариантно, так как /<0(а) =
= Кя (О) (я) = а- Предложение Ф языка вынуждения назы-
вается -инвариантным, если каждая константа в Ф яв-
ляется ^-инвариантной.
Пусть ЭД — некоторое множество автоморфизмов С. Ска-
жем, что С является ^-однородным, если для каждых р,
q с С существует л е ЭД такое, что л 1 (р) и q имеют общее
расширение. Если ЭД —множество всех автоморфизмов С,
то мы говорим об однородности вместо ЭД-однород-
ности.
Если Л — бесконечное множество, то Н (Л; В) одно-
родно. Для данных р, q е Н (Л; В) мы выбираем переста-
новку а множества Л такую, что о (Do (р)) Q Do (7) —О, и
определим автоморфизм л так: л (г) = г«а. Тогда л-1 (р) J Я —
общее расширение для л 1 (р) и q.
Лемма 9.2. Пусть ЭД — некоторое множество авто-
морфизмов С такое, что ЭД е М и С является Ж-однород-
ным. Пусть Ф — некоторое предложение языка вынужде-
ния, являющееся ^-инвариантным. Тогда |— 0Ф тогда и
только тогда, когда 1 11— Ф.
Доказательство. Так как 1 eG, то из 1 |'-— Ф сле-
дует |— 0Ф. Теперь предположим, что |-0Ф, н0 ”1(11|— ®)-
В силу первого некоторое р вынуждает Ф, а в силу по-
следнего и (5.4) некоторое q вынуждает "] Ф. Выберем
л е ЭД так, чтобы л-1 (р) и q имели общее расширение.
Ввиду теоремы существования и (G2) существует генери-
ческое множество G', содержащее л г(р) и q. По лемме 9.1
л(О') генерическое. Так как рел(О') и q^G’, полу-
чаем |-л(б') Ф и 1-6'1 Ф. Но 7И [л (G')] = 7И [G'] по лемме
9.1, а константы в Ф представляют одинаковые множества
в этих двух моделях. Поэтому |— л<б')Ф тогда и только
тогда, когда |— с'Ф; получили противоречие.
Мы предполагаем, что читатель знаком с OD (орди-
нально определимыми) и HOD (наследственно ординально
II. НЕРАЗВЕТВЛЕННОЕ ВЫНУЖДЕНИЕ
501
определимыми множествами *)). Мы нуждаемся в неболь-
шом обобщении этих понятий.
Скажем, что и OD через vlt ., vk, если существует а
такой, что vlt ..., vk V (а) и и определимо в (V (а),
е, vlt .vk). Скажем, что и OD над w, если и OD
через Vi, ..., vh, w для некоторых vlt ..., vk<=w. Ска-
жем, что и HOD над w, если и OD над w и каждый
элемент из и HOD над w. Это определение индукцией по
гк (и).
Основные результаты про OD и HOD множества пере-
носятся на эту ситуацию. Так, например, каждый ординал
OD через любые vlt ..., vk и, следовательно, OD над
любым w. Если	ит OD над vlt ..., vk (или над цу),
то p(«i, ..., uk) такое же (где ц — терм, определимый
в теории ZFC). Класс всех множеств HOD над w является
моделью теории ZF (но не обязательно аксиомы выбора).
Также ясно, что каждый элемент из -w OD над w.
Лемма 9.3. Пусть %[ —некоторое множество авто-
морфизмов С такое, что	и- предположим, что С
является ^[-однородным. Пусть и OD через vlt ..., vk
в М [G] w ..., vk имеют ^[-инвариантные имена.
Тогда и рТИ еМ.
Доказательство. Существует формула Ф(х) языка
вынуждения, содержащая только имена для vlt .... vk и
некоторое а е М [G] такое, что
а <^и «-> |— 0Ф(а)	(9.1)
для всех а. Так как аеТИ по лемме 7.1, то а является
?1-инвариантным; поэтому мы можем предположить, что
каждое имя в Ф (х) является ?(-инвариантным. Тогда,
полагая а вместо и в (9.1) и применяя лемму 9.2, получим
а е и <-» 0 Ф (а) <-» 1 ||- Ф (а).
Таким образом, и Р)Л4 = [а | 11|— ф (а)] — класс в М. Но
если p = rk(w), то и Q М cz V (0) П М = Vм (0); следова-
тельно, и Q М — множество в М.
Теорема 9.1. Пусть С — однородно в М. Если и OD
в М [G], то и Q М е М; если и HOD в М [GJ, то и^М.
*) J. М у h i 11 , D. S с о 11, Ordinal definability, Proc. Symp.
Pure Math. 13, № 1 (1971), 271—278.
502'
ПРИЛОЖЕНИЯ
Доказательство. Первое утверждение есть спе-
циальный случай леммы 9.3. Второе легко следует из пер-
вого индукцией по rk (и).
Пусть теперь М удовлетворяет аксиоме конструктивно-
сти, и пусть С = /7(со; 2). Применяя теорему 9.1, след-
ствие леммы 7.1 и тот факт, что каждое конструктивное
множество HOD, мы видим, что в М [G] конструктивные
множества совпадают с HOD множествами. Как мы видели
в § 7, существует подмножество множества со, не являю-
щееся конструктивным в М [G]. Так как каждый элемент
из со HOD, то отсюда следует, что такое множество не OD
в М [G]. Из этого следует, что в М [G] не существует OD
отображения какого-либо ординала на S (со), ибо если бы F
было OD, то таким же было бы каждое F(a).
Теперь предположим, что	2)“. Пусть G; —
множество z-x координат элементов из G, и пусть Н =
= [G/1 i е со]. Пусть N — множество всех множеств, являю-
щихся HOD над Н в М. [G]. Тогда N — модель теории ZF.
Сейчас мы покажем, что N не является моделью аксиомы
выбора; в действительности мы покажем, что в N не суще-
ствует отображения какого-либо ординала на S(co).
Предположим, что такое отображение F существует.
Тогда F OD через Go, Gb ..., Gn^, Н для некоторого п
(в М. [G]). Каждый элемент из S(®)QJV есть F (а) для
некоторого а в М [G] и, следовательно, OD через Go,
Gi, , G„_b И.
Рассмотрим С как произведение С х С", где С' — Н (со; 2)я
и С" = //(со; 2)и-л. Пусть Gr и G" — проекции G на Сг и
С" соответственно. По теореме о произведении G' является
С'-генерическим над М, G" является С"-генерическим над
M' = M[G'] и ЛГ [G"] = M [G]. Снова применяя теорему
о произведении, получаем, что Gn будет Н (со; 2)-генери-
ческим над М'. Поэтому множество А, имеющее U (Gn)
своей характеристической функцией, является подмноже-
ством множества со, не лежащим в М'. Так как Аcz со cz Мг,
то A QM' = A; следовательно, A Q М' не лежит в М’.
Завершим доказательство, применив лемму 9.3, чтобы
показать, что А[\М' ^М'. Для каждой перестановки л
множества со — п определим автоморфизм л* множества С"
следующим образом: (л* (p))f = prt(/). Пусть 31 —множество
всех л* для л из М. Ясно, что 31еЛГ. Заметив, что
каждая перестановка множества со — п, которая передвигает
II. НЕРЛЗВЕТВЛЕПНОЕ ВЫНУЖДЕНИЕ
503
только конечное число элементов, содержится в М', мы
видим, что С" будет ^-однородным. Теперь A OD через G„
и, следовательно, лежит в N. Таким образом, A OD через
Go, Glt .... Gn-j, Н в M[G] = M'[G"]. Поэтому нам нужно
лишь показать, что Go, Gi, ..., Gn^, Н имеют ЭД-инва-
риантные имена в М'.
Так как Go, Gi, .... G„_i лежат в М', то они имеют
^-инвариантные имена Go, Gn ..., Gnl- Положим
ai = Git
если i<Zn,
а;=1(Р1, p)\p^Cr'],
a = [at | i e co] x {1}.
если i^n,
Легко видеть, что a, — имя G,-, a a — имя H. В M' [л* (G")]
at есть имя G;, если г<и, и имя л* (G'r)i — Gn i^, если
i^n; таким образом, а —имя Н. Это показывает, что а
будет ЭД-инвариантным.
Историческая справка. Независимость аксиомы
выбора доказана Коэном. Модели теории ZFC, в которых
нет OD отображений никакого ординала на S (со), были
впервые построены Феферманом [4]. Теорема 9.1 при-
надлежит Леви [7].
10.	Сохранимость кардиналов
Теперь обратимся к исследованию отношения между
кардиналами в М и кардиналами в М [G].
Лемма 10.1. Каждый кардинал в М [G] является кар-
диналом. в М.
Доказательство. Пусть ш — некоторый кардинал
в М. [G], По лемме 7.1 nt —ординал в М. Если nt не
является кардиналом в М, то существует отображение
некоторого ординала, меньшего ш, на ш, которое лежит
в М и, следовательно, в М [G]. Но это невозможно.
Так как 0, 1, ..., со абсолютны, то они являются кар-
диналами как в Л4, так и в М [G]. С другой стороны,
несчетные кардиналы в М. не обязаны быть кардиналами
в М [G], как мы видели в предыдущем параграфе.
Если а —ординал в М, то, так как М cz М [G], имеем
ДАПбЦа^сИ (а).	(10.1)
504
ПРИЛОЖЕНИЯ
Равенство выполняется, когда cfM (а)=Ссо, так как свой-
ства «быть предельным ординалом» абсолютно. И опять-
таки предыдущий параграф показывает, что равенство
может нарушаться, когда cf (а) несчетно в М.
Теперь мы получим некоторые достаточные условия
для того, чтобы достигалось равенство.
Пусть С — понятие вынуждения и р, q е С. Будем
говорить, что р и q совместны, если они имеют общее
расширение; в противном случае называем р и q несов-
местными. Будем говорить, что С удовлетворяет условию
т-цепи, если каждое множество попарно несовместных
элементов в С имеет кардинал Cm.
Лемма 10.2. Пусть ш — регулярный кардинал в М
такой, что С удовлетворяет условию т-цепи в М. Тогда
(а)	если а е М и mCcfAf(a), то cfM (а) = с^ (а);
(б)	каждый кардинал в М, который 5зт, есть карди-
нал в М [G].
Доказательство. Пусть х(у) — z — формула теории
множеств, которая утверждает, что % —функция, значе-
ние которой для аргумента у равно z. Будем говорить,
что у есть возможное значение а в fJ, если некоторое р
вынуждает а(|3)=у. Мы утверждаем, что множество воз-
можных значений а в р имеет кардинал Ст. Для каж-
дого такого возможного значения у пусть ру вынуждает
а(р)=у. Ясно, что достаточно показать, что если
то ру и рь несовместны. Предположим, что они имеют
общее расширение q. Выберем генерическое G' такое, что
q^G'. По лемме о расширении q вынуждает a(p) = Y и
а(^) = 6; тогда по лемме об истинности |-G'a(p) = ? и
|—G'a(p) = S. Следовательно, у = й(Р) = 6.
Теперь пусть а таково, как утверждается в (а). Пусть
п^сР*(а). Тогда п —некоторый кардинал в М [G] и,
следовательно, в М. Пусть а — отображение из п на конфи-
нальное подмножество множества а. Пусть Ь — множество
возможных значений а среди ординалов Сн. Ясно, что
fee М. Если осп и а(ст) = т, то некоторое p^G вынуж-
дает а(а) — г’, таким образом, т —возможное значение а
в а. Поэтому Ra (а) о Ь; таким образом, Ь конфинально
в а. Следовательно, cf (a) С | b | в М.
В силу вышеприведенного результата, Ь — объединение
и множеств в М, кардинал каждого из которых < т.
II. НЕРАЗВЕТВЛЕННОЕ ВЫНУЖДЕНИЕ
505
Если ii<in, то | b | < in в М (так как ш регулярен в М).
Это невозможно, так как ш -С cf (а) -С | b | в М. Таким
образом, m-Сп, поэтому |&|^ш-п = н в М. Следова-
тельно, cf (а) -С | b\ п в М, т. е. cfAI (а)--СсР1^ (а).
Применяя (10.1), получаем равенство.
Пусть теперь п — кардинал в М такой, что щ^п.
Покажем индукцией по п, что п — кардинал в М [G]. Если
п — регулярный в М, то cf711 (n) = n ш, тогда cf м (п) =
= cf^ (п) — п по (а); следовательно, п — кардинал в М [G].
Если п сингулярный в М, то п —точная верхняя грань
множества кардиналов р в М таких, что in^cpcn. Так
как цсе они являются кардиналами в М [G], а точная
верхняя грань множества кардиналов является кардина-
лом, то п —кардинал в M[G].
Следствие. Если С удовлетворяет условию fa-цепи
в М, то ciM =0^|6J, а М. и М. [G] имеют одинаковые
кардиналы.
Мы хотим применить эти результаты к Нт (Л; В). Сна-
чала заметим, что для каждого Р < m (включая конечные р)
существует самое большее IA подмножеств D множества А
таких, что | D | =р, и для каждого такого D существует |В|’>
отображений из D в В. Поэтому
\Нт(А; В)!<:	|Л|1' Вг;
v < in
таким образом,
(Ю.2)
Лемма 10.3. Велм nin,) = m и |B|sSjn, то Нт (Л; В)
удовлетворяет условию т -цепи.
Доказательство. Пусть I — множество попарно не-
совместных элементов из Нт(А\ В). Индуктивно определим
подмножество Аа множества Л для каждого а. Пусть Лй = 0;
для предельного числа а положим Аа— U Лр. Пусть те-
Р <а
перь Ла выбрано. Для каждого р е Нт (Ла; В) выберем
q е I, ограничение которого до Аа есть р, при условии,
что такое q существует. Пусть Ла+1 будет объединением Ла
и областей определения всех таких q.
Докажем индукцией, что | Аа | m для asgm. Случай
тривиален, когда а = 0 или а —предельный ординал.
506
ПРИЛОЖЕНИЯ
Предположим, что |Ла|Оп. По (10.2)
|Яш(Ла; В)! < (ш • | В |)’")= mul) = m. (10.3)
Теперь ясно, что
I Л<а+11 < | Ла I +1 Нт (Ла; В)| • m < nt + nt  tn = nt.
В частности, |ЛП1|^ш; таким образом, | Нт (Лт; В) j < m
по (10.3).
Завершим доказательство, показав, что I cz Нт (Л1П; В).
Пусть pel. Так как |Do(p)|<in, то существует а<ш
такое, что-Do (р) |~|	—Do(p) П Лаи. Выберем q е / так,
чтобы р и q имели одинаковое ограничение до Ла и Do (<?) cz
<= Лаи. Если ,r eDo(p) П Do(9), то хеА^; тогда
,reDo(p) f| ЛаН1<=Ла, поэтому p(x) = q(x). Отсюда сле-
дует, что р и q совместны. Так как р, q е I, то p = q.
Поэтому Do (р) cz Аа+1 cz Лш и, следовательно, ре
е#1П(Л1П; В).
Условия, при которых выполняется tnm) = tn, см. в § 2.
Подмножество D множества С называется сечением, если
каждое расширение условия из D лежит в D.
Лемма 10.4. Пусть D — сечение в М. Если D П G' =£0
для каждого G', являющимся С-генерическим над М, то D
плотно.
Доказательство. Для данного р выберем G' гене-
рическим так, что р е G'. Выберем qz^D П G', и пусть
г —общее расширение р и q. Тогда г <ср и г е D.
Понятие вынуждения С называется т-замкнутым, если
для каждого а < m и для каждой убывающей последова-
тельности {рр}р<а условий в С существует р еС такое,
что р<рр для всех Р<а. Например, если ш регулярно,
то Нт(А; В) будет tn-замкнутым; действительно, мы можем
взять р — U рр.
Р<а
Лемма 10.5. Если С является т-замкнутым в М,
а <ш и {Ор}р<а — последовательность плотных сечений
в М, то Q Ор плотно.
р<а
Доказательство. Для данного р мы можем опреде-
лить индуктивно в М убывающую последовательность
{рр}р<а такую, что рр е Dp и рр<р. (Мы должны исполь-
зовать предположение о том, что С является т-замкнутым
II. НЕРЛЗВЕТВЛЕННОЕ ВЫНУЖДЕНИЕ
507
в случае, когда 0 — предельный ординал.) Выбирая q так,
чтобы q С для всех 0 < а, получаем q р и q е Q Пр.
₽<а
Лемма 10.6. Пусть С является т-замкнутым в М
и a<Zm. Тогда (?а)м = (“a)7111GJ для каждого а^М,
а также SM (a) = S7WlG1 (а).
Доказательство. Ясно, что (ad)M cz (“а)71*!6’]. Пусть
теперь b е (“а)711 [G]. Пусть Ф (%, у) будет
Зг (г е а & (г, у) е Ь) -> (%, у) е Ь,
и для каждого 0 < а положим
D& =[р | Эс(р |Н Ф(с,^))].
Тогда Пр —сечение в М. Применим лемму 10.4, чтобы
доказать, что оно плотно. Пусть G' генерическое. Тогда
для некоторого с а имеем б'Ф(г. 0); таким образом,
по лемме об истинности Op |"| G' =/= 0.
По лемме 10.5 множество D= Q Пр плотно. Поэтому
р»
существует q е G р D. Если ?НФ(с, ^), то с=6(0).
Следовательно, b (0) — единственное с такое, что
q j- Ф (с, 0). Отсюда легко следует, что b е М.
Последнее утверждение доказывается, если взять а = 2
и использовать соответствие между множеством и его харак-
теристической функцией.
Следствие. Пусть С является т-замкнутым в М.
Тогда
(а)	если kg М и cf7W(a):<m, то clM (a) = cf7WlG’l (а),
(б)	каждый кардинал п в М, который -С m, есть кар-
динал в М [G].
Доказательство, (а) Если утверждение ложно, то
cfM [6] (а) < cfM (а)	)п. Пусть f — отображение из cfM СО (а)
на конфинальное подмножество а в М [G], По лемме f е М;
таким образом, cf7111G) (а) ';=--с[м (а), и мы получили проти-
воречие. (б) Если утверждение ложно, то существует ото-
бражение f ординала <п на п в М [G]. По лемме
а это невозможно.
Отметим, что во всех утверждениях этого параграфа,
если мы доказали, что М и M[G] имеют одинаковые кар-
диналы, то всегда оказывалось, что cf711 =cf7W IGJ. В связи
с этим возникает одна проблема: можно ли выбрать С так,
508
ПРИЛОЖЕНИЯ
чтобы М и М [G] имели одинаковые кардиналы, но cfAf=#
ф cfм [°1? Прикри показал, что это возможно, если сущест-
вует измеримый кардинал в М.
Историческая справка. Результаты о nt-замкну-
тых понятиях принадлежат Соловею, а остальные резуль-
таты принадлежат Коэну.
II.	Гипотеза континуума
Вначале исследуем величину множества степени в М [G].
Лемма 11.1. Пусть С удовлетворяет условию т-цепи
в М. Тогда для каждого бесконечного кардинала п в М
| S (п)	: ((' С in'))n)M.
Доказательство. Для а s М и а<п пусть
срл (а) = [р | р [- а (= а]. Тогда
a cz п & Ь а: п & <ра = <рй	а = Ь.
Ввиду симметрии достаточно показать, что а с: Ь. Пусть
а е а. Тогда некоторое р ezG есть в фа (а) и, следовательно,
в Фй (а); таким образом, аа<=Ь, а поэтому as b.
Отсюда следует, что
|5(п)|^0^|[фа|«еЛ1]Г
Далее, фа — отображение из п в Q, где Q — множество всех
множеств [р | р ||— Ф]. Поэтому достаточно будет доказать,
что IQ'	| С |в М.
Пусть a s Q. Применяя лемму Цорна, выберем макси-
мальное подмножество b множества а, состоящее из попарно
несовместных элементов. Тогда а может быть восстановлена
из b с помощью следующей эквивалентности:
р s а <-> -С рЗг s b (q и г совместны).
Импликация слева направо выполняется в силу леммы
о расширении и максимальности Ь. Предположим рфа.
Если а [р | р F Ф]. то по (5.4) существует q-jcp такое,
что ^J-ПФ- По (5.3) и лемме о расширении элемент г,
совместный с q, не может вынуждать Ф, поэтому такого
г не может быть в Ь.
Отсюда следует, что |Q| равно самое большее числу
подмножеств Ь из С, состоящих из попарно несовместных
II. НЕРЛЗВЕТВЛЕННОЕ ВЫНУЖДЕНИЕ
509
элементов. Так как |&|<ш для каждого такого Ь, то
IQ К' sllt (Qi^ici111).
Пусть теперь m и п—кардиналы в М. Можно ли
выбрать С так, чтобы М и М [G] имели одинаковые карди-
налы и 2,п = п в М [G]? Если это можно сделать, то
пт —(2’п)ш = 21П = п
в М [G]. Так как С"»)711 с (”ln)JMtcl, а М и М [G] имеют
одинаковые кардиналы, то мы имеем (п”1)711 «5 (nm)M [С].
Следовательно, = п в М.
[Поэтому предположим, что п'“ = п в М. Для того
чтобы получить 2”’ = п, нам необходимо ввести п подмно-
жеств in. Фактически мы введем отображение F из пхш
в 2 и возьмем [01F (а, 0) = О] в качестве а-го подмно-
жества из ш. Пусть С = Н (пхш; 2). Положив F= U р,
p^G
видим, что F — отображение в М [G] из пхш в 2. Для
а<п положим Ла = [0 | 0 < m &F (а, 0) = О]. Тогда Аа —
подмножество ш в 7H[G], Кроме того, а а' -> Ла Аа-;
это следует из того, что
[р | 30 (р (а, 0)&р(а', 0) определены и не равны)]
— плотное множество в М.
По лемме 10.3 й следствию к лемме 10.2 cfjM = cfjM[°l
и, кроме того, М и М [G] имеют одинаковые кардиналы.
В частности, ш и п являются кардиналами в М. [G]. Так
как мы указали п различных подмножеств ш в М. [G], то
2mS^n в М [G]. По лемме 11.1
| С |Ко))ш)л1.
Подсчитывая в М, имеем по (10.2)
(С | (ш • п)Ко>= п
(так как из п’" = н следует ш < п); поэтому
(|С|^))”' = |С|’"йСпт = п.
Отсюда 2ш = п в М [G]. Это доказывает следующую теорему.
Теорема 11.1. Пусть man-бесконечные кардиналы
в М такие, что п'” = п в М. При подходящем выборе С
510
ПРИЛОЖЕНИЯ
имеем cf711 =cfM M и M[G] имеют одинаковые карди-
налы и 2"' = п в М [G].
Теперь предположим, что мы определили константу Г
в теории ZFC и доказали в теории ZFC, что Г — карди-
нал. Мы хотели бы показать, что 2^о—г совместно с тео-
рией ZFC. В силу теоремы Кёнига мы требуем, чтобы
cf (Г) > ы было доказуемым в теории ZFC. Допустим это
и возьмем М удовлетворяющим аксиоме конструктивности,
а значит, и GCH. Из 'GCH и cf (Г)>ы мы можем доказать
Г^о —Г, поэтому (Г^о)м рм Выбирая С, как в тео-
реме 11.1, имеем 2^° — ГЛ1 в M[G], Затем мы получим
требуемый результат, если докажем, что Гм —Вспо-
миная, что М и М [G] имеют одинаковые кардиналы и
одинаковые функции cf, мы видим, что равенство выпол-
няется, если Г, скажем, или или первый слабо не-
достижимый кардинал (при условии, что существует слабо
недостижимый кардинал в М).
Предположим теперь, что GCH выполняется в М. Если
2111 = и в М [G], то 2*-’ для р^ш, поэтому GCH может
быть ложной в М [G] выше т. Покажем, что можно со-
хранить GCH ниже т, если т регулярно в М.
Теорема 11.2. Пусть GCH выполняется в М. Пусть
т и п — бесконечные кардиналы из М такие, что ш регу-
лярно в М и cf(n)>in в М. При подходящем выборе С
имеем cfAI = cfAI|Y'\ М и М [G] имеют одинаковые карди-
налы, 2т = п в Al [G] и Vp (р < т ->21’ = рн) выполняется
в М [G].
Доказательство. Возьмем С = Н^ (tn X п ; 2). Усло-
вия теоремы показывают, что rnm) = rn в М. Поэтому леммы
10.2 и 10.3 и следствие к лемме 10.6 показывают, что
cfAi = cfM[G]( a М и М [G] имеют одинаковые кардиналы.
Доказательство того, что 2П1 = п в М [G], по существу та-
кое же, как раньше (отметим, что из cf (n) > m и GCH
следует, что п,п = п). Если р<т, то SM (p) = SMFO(p)
по лемме 10.6. Так как М и М [G] имеют одинаковые кар-
диналы и 21’ = р+ в М, то мы видим, что 21’ = р'г в
M[G],
Неизвестно, выполняется ли теорема 11.2, когда ш син-
гулярна в М. Простейшей нерешенной проблемой является
II. НЕРАЗВЕТВЛЕННОЕ ВЫНУЖДЕНИЕ
511
следующая: будет ли совместным с теорией ZFC предполо-
жение, что Уп(п<ы->2^л = ^„н1) и 2^“ =£ &ои?
Историческая справка. Теорема 11.1 принадле-
жит Коэну, теорема 11.2 принадлежит Соловею.
12.	Вынуждение с классами
До сих пор мы предполагали, что С —множество в М.
Но иногда мы можем строить модели вынуждения и тогда,
когда С —просто класс в М. Так как общая ситуация еще
не исследована полностью, рассмотрим лишь одну частную
профгему.
Эта проблема является обобщением результатов преды-
дущего параграфа. Предположим, что И — отображение мно-
жества бесконечных кардиналов из М в себя, которое явля-
ется функционалом в М. хотим выбрать С так, чтобы
М и М [G] имели одинаковые кардиналы и чтобы для каж-
дого бесконечного кардинала ш в М было 2П}—Н (ш) в M[G].
Очевидно, мы должны иметь
ш =сп(in) (п).	(12-1)
Кроме того,
m<cf(tf(m))	(12.2)
должно выполняться в М. Действительно, это выполня-
ется в М [G] по теореме Кёнига, а потому и в М по (10.1).
Будем предполагать дополнительно, что М удовлетворяет
аксиоме конструктивности*). В этом случае мы покажем,
что М и М [G] для подходящего С имеют одинаковые кар-
диналы, сГ =cfAI [G] и 2т — Д (in) в М. (G) для каждого
регулярного кардинала in в М.
Замечание. Снова не очень много известно про син-
гулярные кардиналы. Ясно, что на Н должны быть нало-
жены дополнительные условия, если бы мы хотели включить
в рассмотрение и этот случай. Например,
Vn «= ш (2#^^!)
Действительно,
2^ = 2^^ = П2^= K^0|.L = (2^)Ко_=2^о = =КИ.Н.
*) Используется только GCH и вполне упорядоченность универ-
сума, а можно обойтись и без последнего. Однако это не существенно
для вопросов непротиворечивости.
512
ПРИЛОЖЕНИЯ
Теперь опишем С. Пусть областью изменения ш и п
будут регулярные кардиналы из М. Положим
<2П1 = [(п> а> Р) 1«<п)&а<Я(п)&0<п].
Пусть С —множество всех функций р в М таких, что
Ra (р) cz 2, Do (р) cz JQtll и [Do (р) Q Qtll | < in в М для каж-
m
ДОГО Ш.
Для р, q^.C пусть р-С <7 означает qczp. Очевидно,
что С — понятие вынуждения, которое является классом в М.
Естественно потребовать, чтобы генерическое множество
пересекалось со всеми плотными классами в М. Поэтому
мы выбираем G С-генерическим над М', где М'— множе-
ство всех классов в М. Так как М' счетно, то это может
быть сделано по теореме существования.
Теперь определим М [G], как раньше. Точно так же,
как и раньше, мы доказываем, что М [G] счетно и транзи-
тивно и MczM[G]. При попытке обобщить результаты
§ 5 возникают трудности: индуктивное определение р 1Н*а =£-
ф. b уже не может быть дано в М. Поэтому мы будем дей-
ствовать по-другому.
Пусть
= [Р IР е С & Do (р) cz Qm](
С"1 = [р IР е С & Do (р) П Q,n = 0].
Как Сп1, так и СП1 содержат 1 и, следовательно, являются
понятиями вынуждения. Кроме того, Ст является множе-
ством в М; функция, которая переводит ш в Сш, — функ-
ционал в М, а С”1—класс в М.
Для р <=С пусть рт будет ограничением р до Qin
и пусть рт = р — рт. Легко проверить, что р->(рп1, рт) —
изоморфизм между С и СшхСт, обращение которого пере-
водит (q, г) bq\]r. Пусть Gia = [pm jp еб], Сш = [рп,|ре
е G]. Тогда по теореме о произведении *) Gm является
Сш-генерическим над М, a Gm — Ст-генерическим над M[Gm].
*) Строго говоря, теорема о произведении здесь неприменима,
но нужная часть доказательства переносится без затруднений.
II. НЁРЛЗВЕТВЛЕННОЕ ВЫНУЖДЕНИЕ
513
Кроме того, G соответствует G,u X G1" при этом изоморфиз-
G = [p U<71р е Gm & q е G1"].	(12.3)
Отсюда следует, что
GflCm = Gm.	(12.4)
Заметим, что С — объединение всех Сш, тогда мы можем
определить Д (Ь) в М индукцией по гк (Ь) следующим обра-
зом: Д (&) есть наименьшее ш такое, что Д (а) ш для каж-
дого ае Ra(i) и р е С1п для каждого р е Do (b). Докажем
индукцией по гк (6), что
Д(&)^п>->^(&) = ^т(&).	(12.5)
Если {а, р}^Ь, то Д (а) <: Д (&) < ш, гк (а) <гк (6),
поэтому Kq (а) ~ Kg (я) по индуктивному предположению.
Кроме того, р еСт, поэтому peG^peGm по (12.4).
Отсюда Ко (й) = ^G|tl (b).
Теперь определим
tf(n,) = [(&(l”), р) | (Ь, р) «= а&р е=С1П].
Опять это есть функционал в М. Докажем
KQ(a^) = KGm(a)	(12.6)
индукцией по гк (а). По индуктивному предположению
и (12.4)
Кс (с№) = [К0 (b^)\3p<=G((b, р} еи&реС„,)]=
(&) i Зр е Gm «&, Р> ео)] =
= Квт(а).
Простая индукция показывает, что
Д (a<m)) ш.	(12.7)
Из (12.5) и (12.6) получаем
M[G]=|JM[Gm].	(12.8)
tn
Кроме того,
ЛЦО„]сЛЦО„].
(12.9)
514
ПРИЛОЖЕНИЯ
Действительно,
^Gm(a) = Ka(a(^ = KG>l (>>)
по (12.6), (12.7) и (12.5).
Все СП1 имеют такой же язык вынуждения, как и С.
Определим р 1Н*ПФ для СП1, как раньше. Затем положим
Д (а, &) = шах(Д(л), Д (&)) и определим
р!'г-*а<=Ь, если рМа, ьу li-д (а, ьу а «= Ь,
p'i—*a^b, если р^(а. Ь) 1Нд(а, ьу а Ь.
Лемма определимости и лемма о расширении тривиальны.
Чтобы доказать лемму об истинности, скажем для а е Ь,
мы имеем для щ = Д(и, Ь):
НоД b |~с д е b по (12.5)
~ Эр е Gin (р IH* а «= Ь)
Др е G (рш |Н* а е Ь)
Др е G (р |н* Де Ь).
Теперь можно определить р — *Ф для неатомных Ф и
доказать все три леммы о вынуждении, как раньше.
Далее мы заметим, что Ст удовлетворяет условию
ш+-цепи (в М). Действительно, по лемме 10.3 Нт (Qm; 2)
удовлетворяет условию ш+-цепи. Но Cm cz HUi (Qra; 2) и
элементы (из Сш), совместные в Нт (Qm; 2), являются
совместными и в Сш, так как их объединение лежит в Ст,
Это дает требуемый результат. Также отметим, что С”1
будет 1И+-замкнутым в М.
Будем говорить, что |Dp|(i<111 есть последовательность
классов в М, если множество пар (р, |3) таких, что р е Dp,
является классом в М. Отметим, что лемма 10.4 обоб-
щается на классы в М, а лемма 10.5 обобщается на
последовательности классов в М.
Лемма 12.1. Пусть (Dp|p<ni — последовательность -
классов в М такая, что каждое Dp — плотное сечение в С. !
Тогда существует q е G1" такое, что
Va < шДр е Gnl (р U р s Da).
и. перлзветвленпое вынуждение
515
Доказательство. Для q е С" положим
Da = [P \Р е	& Р U q е £>а].
Достаточно выбрать q е G111 так, чтобы D’ было Сш-плот-
ным для каждого а < m. Поэтому, полагая
Оа —1	С"1 &Z)’ является Сш-плотным^,
достаточно будет показать, что Q Од плотно. Ввиду
а <ш
вышеприведенных замечаний нам нужно лишь показать,
что Од плотно.
Пусть q' еС"1. Выберем гр индуктивно в М так,
чтобы	и для всех у<|3 имело место
неравенство (гр)1" (гу)т и (гр)ш и (rY)ni были несовместны.
Если существует много таких Гр, то используем опре-
делимое вполне упорядочение на Da, имеющееся вследствие
аксиомы конструктивности, для того чтобы выбрать одно
такое гр; если такого гр не существует, то Гр не определено.
Так как СП1 удовлетворяет условию ш+-цепи в М, то
мы видим, что наименьшее Р такое, что не определено,
существует и удовлетворяет 1131 «С ш в М. Поэтому суще-
ствует q е Ст такое, что q (rY)m для всех у < |3 и q s=^qr.
Мы должны показать, что q е Da, т. е. что D’ плотно.
Пусть р<=Ст. Тогда р U q имеет расширение г в Оа.
Так как г не является возможным значением для гр, то
гп1 совместно с некоторым Пусть р'— общее рас-
ширение для rm и (гДщ. Тогда р’^гт^р и р' U q
^(гу)ш U (Д)1П = Д, поэтому р' U q е Da и, следовательно,
Р'
Лемма 12.2. Пусть F —функционал в М [G] такой,
что ni содержится в области определения F. Тогда огра-
ничение f функционала F до m находится в М [G]. Если
[F (a) j а < nt] содержится в некотором множестве из
М Gm], то f находится в M[Gni],
Доказательство. Пусть Ф(х, у)— формула языка
вынуждения такая, что
F(a) = b++ НаФ(а, Ь).	(12.10)
516
ПРИЛОЖЕНИЯ
Для каждого а < m положим
Оа = [р| 3&(р||- ЗхФ(а, х)->Ф(а, &))].
Тогда {Оа} — последовательность классов в М. Применяя
лемму 10.4, мы видим, что Da — плотное сечение. Поэтому
по лемме 12.1 существует q<=Gm такое, что
Va<m3p«=Gni(pU<7S=Da). (12.11)
Для а<ш и р е СП| пусть Да,р — множество всех таких
Ь, что
р U q II— ЗхФ (а, х)->Ф(а, &)•	(12.12)
Пусть g — функция в М, область определения которой
представляет собой множество пар (а, р) из ш ХС|П таких,
что Аа<р^0 и g((a, р))еДа,р для каждой такой пары
(а, р).'
Покажем, что
f=[(K0(&), a)|3peGm(& = g((a, р»)]. (12.13)
По (12.11) для каждого a<m существует такое peGni>
что Да,р т^О, и, следовательно, такое, что q(/a, р}) опре-
делено. Поэтому мы должны показать, что если р е Gin и
b = g((a, р}), то K0(b)=f(a). Так как (12.12) выпол-
няется и p\Jq<=G по (12.3), то г-0ЗхФ(а, х)->Ф(а, Ь).
Отсюда и из (12.10) F(a)=/C0(&), поэтому f(а) = Л'0(Ь),
Выберем п так, чтобы ш^п и A (b) п для b е Ra (g).
По (12.4) и (12.5) мы можем записать (12.13) следующим
образом:
f=[(Kan(b), а) | Зр е Gn(& = g((a, р»)].
Так как Gn е М [Gn] и существует функционал в М [0п],
совпадающий с Кап на аргументах в М, то отсюда следует,
что f е Л4 [Gn]. Следовательно, f е М [G],
Теперь предположим, что [F (a) | а < m] cz КоП1 (я); мы
хотим показать, что можно взять n = m. Переделаем Drj
на множество таких р, что
3b е Ra (д(|П)) [р Зх (х е afin) & Ф (а, х)) Ф (а, &)],
II. НЕРЛЗВЕТВЛЕШЮЕ ВЫНУЖДЕНИЕ
517
Для доказательства того, что оно плотно, мы должны
отметить, что каждый элемент из Ko(df^) имеет имя
в Ra (nW) по (4.1).
Из того, что
г03.г(.ге»&Ф(а,.г))->Ф(а, Ь),
получаем
F(a) = K0(&).
Далее используется (12.6).
Мы можем теперь предположить, что каждое b в
Ra (g) содержится в Ra(^in)) и поэтому имеет вид У (П1\
Но Д (&'(’")) in; таким образом, действительно можно
ВЗЯТЬ П = П1.
Лемма 12.3. Если а е М [G] и а^О, то сущест-
вует ш такое, что а еМ [Gm], и отображение f из ш
на а, которое содержится в М [Gm]
Доказательство. Выберем п по (12.8) так, чтобы а <=
<= М [Gn]. Выберем m так, чтобы п in и | а | ш в М [Gn],
Тогда существует f в М [Gn], отображающая ш на а, и
a, f е М [G3II по (12.9).
Теперь проверим, что М [G] удовлетворяет условиям
леммы 2.1. Так как а» е М с М [G], то (а) выполняется.
Пусть теперь а е М [G], а=£0 и выберем ш и [, как
в лемме 12.3. Предположим, что А— класс в М [G] такой,
что Аса и Д # 0. Так как f е М [G], то легко опреде-
лить функционал F в М [G] с областью определения m и
областью значений А. По лемме 12.2 FeM[Gm]; таким
образом А е М [GIU] cz М [G], Это доказывает (б). Это
также показывает, что каждое подмножество из й в М [G]
содержится в М [Gm] и, следовательно, в множестве сте-
пени для а в М [Gin]. Это доказывает (г).
Пусть теперь F — функционал в М [G], и пусть а —
непустое подмножество области определения F. Снова пусть
ши/ таковы, как в лемме 12.3, и Fx — функционал,
определенный следующим образом: Ft (a) = F (f(a)). Тогда
Ft е М [G] по лемме 12.2. Поэтому для некоторого п
имеем Fi е М [Gn], а также U (Ra (Fx)) s М [Gn] cz M [G],
Ho U (Ra (Fi)) — U ([F (x) |x s а]). Итак, мы доказали (в).
518
ПРИЛОЖЕНИЯ
По лемме 2.1 М [G] — модель теории ZF. Используя
лемму 12.3, получаем, что М [G] — модель теории ZFC.
Теперь покажем, что cf^ =cfjM[C]. Если это не так,
то мы имели бы	(а) для некоторого
а. Положим m = cfjM СС] (а). Это есть бесконечный карди-
нал в М, а так как in — cf^1^ (in)-==; cf(in)s^m, то он
регулярен в М. Пусть / — отображение из m на конфиналь-
ное подмножество из а такое, что/eMfG]. По лемме 12.2
/е М [G,,,]. Следовательно, cf"'1''0'"1 (офсш. С другой сто-
роны, из m < cfM (а) следует m+ cf711 (a), поэтому
cfjM(a) = cf [С|п1 (a) по лемме 10.2. Таким образом, m<
Ccf^ (a) = cfM tG|l|] (a)s^m; получаем противоречие.
Из cfjM = cfjM[C] следует, что М и М [G] имеют оди-
наковые кардиналы; доказательство этого подобно доказа-
тельству леммы 10.2(6).
Каждое непустое подмножество из ш в УИ [G] есть
образ ш относительно некоторого функционала в М [G] и
поэтому по лемме 12.2 содержится в M[Gm]. Тем самым
SM С<7] (m) = S jMtG|nl (т), поэтому, чтобы доказать 2"* = Н (in)
в М [G], достаточно доказать это в М [Gmj. Полагая F =
= U (G,,,) и
Ла = [Р |P<m&F(ni,a, р) = 0]
для	мы доказываем, как и раньше, что все Ая
дают Н (ш) различных подмножеств ш. Используя (12.1),
имеем в М
|Qnil^m.H(m).m = H(m)
(так как (12.2) дает ш<Я(ш)). Так как СП1 <= Нт (Qtll; 2),
получаем
!С1П|<Я(п1)|») = Я(т)
по (Ю.2) и (12.2)*). Тогда по лемме 11.1
| S (in) nCm] (И (ш)1111 ш)м = И (in).
Таким образом, 2п, = Я(ш) в М [G,,,].
Историческая справка. Все результаты этого
параграфа принадлежат Истону [3].
*) И по (2.1), так как это можно вычислять в М, а в М вы-
полнена GCH.— Прим. ред.
II. НЕРЛЗВЕТВЛЕННОЕ ВЫНУЖДЕНИЕ
519
ЛИТЕРАТУРА К ПРИЛОЖЕНИЮ II
[1]	Р. J. Cohen, The independence of the continuum hypothesis,
Parts I, II, Proc. Nat. Acad. Sci. U. S. A. 50 (1963), 1143—1148;
51 (1964), 105—110.
[2]	P. J. Cohen, Set theory and the continuum hypothesis, Benja-
min, New York, 1966. (Русский перевод: П. Дж. Коэн, Теория
множеств и континуум-гипотеза, «Мир», 1969.)
[3]	W. Easton, Powers of regular cardinals, Thesis, Princeton,
University, 1964.
[4]	S. F e f e r m a n, Some applications of the notion of forcing and
generic sets, Fundam. Math. 56 (1965), 325—345.
[5]	K. Gode 1, The consistency of the axiom of choice and of the gene-
ralized continuum hypothesis with the axioms of set theory, Ann.
of Math. Studies, No. 3, Princeton University Press, Princeton, N. J-,
1940. (Русский перевод: К- Гёдель, Совместимость аксиомы выбо-
ра и обобщенной континуум-гипотезы с аксиомами теории множеств,
УМН 3, № I (1948), 96—149.)
[6]	A. Levy, Axiom schemata of strong infinity in axiomatic set
theory, Pacific J. Math. 10 (1960), 223—238.
[7]	A. Levy, Definability in axiomatic set theory. I. (Proc. 1964
Intemat. Congr.) Logic, Methodology and Philosophy of Science,
North-Holland, Amsterdam, 1966.
[8]	A. M о s t о w s k i, An undecidable arithmetical statement, Fundam.
Math. 36 (1949), 143—164.
[9]	J. C. Shepherds on, Inner models for set theory, Part I, J.
Symbolic Logic-16 (1951), 161 —190.
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Автоморфизм (automorphism) 499
Аксиома (axiom) II, 16
—	бесконечности (axiom of infinity)
352
—	— обобщенная (generalized axiom
of infinity) 438
—	выбора (axiom of choice) 370
—	выделения (comprehension axiom)
335
—	замены (replacement axiom) 351
—	измеримости (axiom of measurabi-
lity) 442
—	индукции (induction axiom) 300,
335
—	конструктивности (axiom of con-
structibility) 401, 486
—	логическая (logical axiom) 40, 41
—	мультипликативности (multiplica-
tive axiom) 421
—	недостижимости (axiom of inacces-
sibility) 438
—	нелогическая (nonlogical axiom)
40, 42
—	объемности (extensionality axiom)
335, 350
—	определяющая (defining axiom) 93.
95, 97
—	подмножеств (subset axiom) 350
—	подстановки (substitution axiom)
41, 316
—	пропозициональная (propositional
axiom) 41
—	равенства (equality axiom) 41
—	регулярности (regularity axiom)
350
—	специальная (special axiom) 75
---равенства (special equality axiom)
85
—	степени (power set axiom) 351
—	тождества (identity axiom) 41
Аналитичность в (analitlcal in) 261
Арифметика второго порядка (second-
order arithmetic) 334
—	Пеано (Peano arithmetic) 301
Арифметичиость в (arithmetical in)
245
База (base) 210
Базис (basis) 277
Вариант (variant) 59
Вид квантора (kind of a quantifier)
239, 258
Вложение (embedding) I 13
Вхождение выражения (occurence of
an expression) 15
—	свободное (free) 29, 34
—	связанное (bound) 29, 34
—	символа (occurence of a symbol) 15
Выводимость по правилу 16
Вынуждение (forcing) 410, 412, 413,
490
—	слабое (weak forcing) 493
Выражение (expression) 15
—	, свободное от переменных (variable-
free) 37
Выражения сравнимые (compatible
expressions) 33
Высота (height) 32
Вычислимость (calculability) 165, 181,
182, 215
Гиперскачок (hyperjump) 294
Гиперстепень (hyperdegree) 294
Гипотеза континуума (continuum hy-
pothesis) 378
—	— обобщенная (generalized conti-
nuum hypothesis) 378
—	четырех красок (four-color con-
jecture) 149
Гомоморфизм (homomorphism) 146
—	негативный (negative) 146
—	позитивный (positive) 146
График (graph) 219, 225
Группа (group) 43
—	конечно определенная (finitely pre-
sented) 464
—	полная (divisible) 145
—	рекурсивно определенная (recursi-
vely presented) 464
—	свободная (free) 459
—	Хигмена (Higman’s group) 465
Дерево (tree) 268
Дизъюнкт (disjunct) 104
Дизъюнкция (disjunction) 36
Длина выражения (length of an ex-
pression) 15
Доказательство (proof) 18
—	индукцией (by induction) 17, 18,
53, 168, 381
—	обозримое (visualize) 14
—	траисфинитной индукцией (by
transfinite induction) 362
—	финитное (finltary) 13
—	формулы 18
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
521
Заключение правила (conclusion of
a rule) 16
Замыкание (closure) 56
Значение возможное (possible value)
504
—	истинностное (truth) 26
—	отображения (value of a mapping)
24
Идеал измеримый (measure ideal) 442
Иерархия аналитическая (analytical
hierarchy) 259
—	арифметическая (arithmetical) 240
Изоморфизм (isomorphism) III, 151
—	интерпретаций (of interpretations)
380
—	мягкий (benign) 469
Импликация (implication) 36
Имя выражения (name of an expression)
20
—	индивида (of an individual) 37
—	элемента (of an element) 490
Индекс (index) 32, 235
— no (from) 249
— функциональный (functional) 250
Индивид (individual) 24, 37
Индукция по объектам (induction on
objects) 18
—	— предикатным символам (on pre-
dicate symbols) 381
—	— теоремам (on theorems) 17
Интерпретация опровержением контр-
примера (no counterexample in-
terpretation) 328
—	простая (simple) 203
—	теории в теории (of a theory in a
theory) 99
— точная (faithful) 201
—	транзитивная (transitive) 382
—	формулы (of a formula) 99
—	языка в теории (of a language in
a theory) 99
—	— — языке (in a language) 98
Кардинал (cardinal) 371
—	в M (in M) 485
— недостижимый (inaccessible) 438
— регулярный (regular) 454, 483
— сингулярный (singular) 454, 483
— слабо недостижимый (weakly inac-
cessible) 454
Категоричность (categoricity) 138
Квазитавтология (quasi-tautology) 80
Квантор (quantifier) 36
— всеобщности (universal) 36
—	для бесконечно многих (for in-
finitely many) 286
—	неограниченный (unbounded) 172
—	ограниченный (bounded) 172
— существования (existential) 36
Класс (class) 24, 348
—	аксиоматизируемый 144
—	в M (in M) 485
—	замкнутый (closed) 148
—	обобщенно элементарный (gene-
ralized elementary) 144
—	центрированный (satisfies the finite
intersection property) 159
—	элементарный (elementary) 144
Константа (constant) 31, 318
— специальная (special) 75
Конъюнкция (conjunction) 36
Лемма бесконечности (infinity
lemma) 279
—	диагональная (diagonal lemma)
196
—	интерполяционная Крейга (Craig
irtterpolation lemma) 126
—	об истинности (truth lemma) 413,
490
—	о диаграмме (diagram lemma)
116
—	— замене (replacement lemma) 246
—	— конечности (finiteness lemma)
246
—	определимости (definability lemma)
490
—	о проекции (projection lemma) 251
—	— расширении (extension lemma)
490
—	— транзитивности (transitivity
lemma) 245
—	Тарского (Tarski’s lemma) 120
—	Тейхмюллера — Тьюки (Teich-
miller— Tukey lemma) 77
—	Цорна (Zorn's lemma) 453
Матрица (matrix) 62
Метод (method) 164
—	механический (mechanical) 164
—	— разрешающий (decision method)
162, 163, 215, 216, 221, 224
—	сжатия (collapsing technique) 484
Множества миого-одиосводимые (ma-
ny-one reducible sets) 285
—	одио-односводнмые (one-one redu-
cible) 285
—	подобные (similar) 369
—	рекурсивно изоморфные (recur-
sively isomorphic) 283
—	— неотделимые (recursively in-
separable) 210
—	таблично сводимые (truth-table
reducible) 287
—	эффективно рекурсивно неотдели-
мые (effectively recursively insepara-
ble) 286
Множество (set) 24, 348
—	автоморфизмов 31-однородное
(31 -homogeneous set of automorphisms)
500
—	бесконечное (infinite) 373
—	вполне упорядоченное (well-
ordered) 293
—	— упорядочивающее (well-ordering)
453
—	— фундированное (well-founded)
293
—	вычислимое (calculable) 165
—	гиперпростое (hypersimple) 288
—	достижимое (accessible) 439
—	измеримое (measurable) 442
—	изоморфизмов мягкое (benign set
of isomorphisms) 471
522
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Множество инвариантное (inva-
riant) 427
—	индуктивное (inductive) 453
—	конечное (finite) 373
—	конструктивное (constructible) 396
—	креативное (creative) 284
— наследственно ординально опре-
делимое (hereditarily ordinal-
definable) 500
— одноэлементное (unit set) 356
— ордийально определимое (ordinal-
definable) 500
— отделимое (separated) 425
—	отделяющее (separating) 210
—	полное (complete) 287
—	простое (simple) 284
—	иустос (empty) 356
—	регулярное (regular) 452
— реляционное (relational) 293
— — гиперарифметическое (hyper-
arithmetical relational) 294
— — рекурсивное (recursive relati-
onal) 294
— слов рекурсивное (recursive set
of words) 463
— — рекурсивно перечислимое (re-
cursively enumerable) 463
—	степени (power set) 355
—	счетное (countable) 373
—	транзитивное (transitive) 360
—	чистое (pure) 349
— формул главное (principal set of
formulas) 141
— — инвариантное (invariant) 146
— — регулярное (regular) 116
— — тавтологически непротиворе-
чивое (tautologically consistent) 103
— — — полное (tautologically com-
plete) 104
— — — противоречивое (tautologi-
cally inconsistent) 103
—	F-замкиутое (F-closed) 375
—	Q-замкиутое (Q-closed) 295
Модель простая (prime model) 15
—	регулярная (regular) 339
—	стандартная (standard) 43, 307,
336
—	теории (model of a theory) 43
—	тотальная (total) 340
— транзитивная (transitive) 484
— элементарно простая (elementarily
prime) 159
Мощность структуры (cardinal of a
structure) 122
Мягкоеть (benign) 469, 471
Номер (number) 185
— выражения (expression number) 185
— последовательности (sequence num-
ber) 177
— символа (symbol number) 185
Обеднение (restriction) 71, 149
Область значений (range) 359
— изменения переменной (a variable
varies through) 20
— определения (domain) 215, 216,
359
Обобщение (generalization) 36
Обогащение (expansion) 71
— несущественное (inessential) 212
— с помощью определений (expan-
sion by definitions) 202
Образ гомоморфный (homomorphic
image) 147
Образующая (generator) 142
Образующие группы (generators)
460
Объединение (union) 356
— теорий (of theories) 124
— цепи (of a chain) 119
Однородность (homogeneous) 500
Операция пренсксная (prenex opera-
tion) 62
— эффективная (effective) 288
Определение истинности (truth
definition) 208
— неявное (implicit) 237, 280
обобщенное индуктивное (genera-
lized inductive) 17
— разбором случаев (by cases) 173
символа (of symbol) 19
— с помощью индукции (by induc-
tion) 367
— траисфииитиой индукцией (by
transfinite induction) 356
явное (explicit) 168
Оракул (oracle) 222
Ординал (ordinal) 360
—	бесконечный (infinite) 364
—	дерева (of a tree) 270
—	конечный (finite) 364
—	минимальный (minimal) 361
—	первый (first) 362
—	предельный (limit) 364
—	рекурсивный (recursive) 272
—	рода Д1 (Д1 ordinal) 457
Отношение (relation) 233
—	аналитическое (analytical) 258
—	арифметическое (arithmetical) 239
—	борелевское (Borel) 267
—	всюду определенное (total) 223
— вычислимое (calculable) 224
— гипер арифметическое (hyperarith-
metlcal) 263
— — в (in) 266, 267
— отделяющее (separating) 275
— перечисляющее (enumerating) 236
— позитивно вычислимое (positively
calculable) 224
— проективное (projective) 261
— рекурсивное (recursive) 225
— — частичное (recursive partial)
225
---в (in) 245
— рекурсивно перечислимое (recur-
sively enumerable) 225
---— в (in) 244
— рода 239, 259, 261
— функционально арифметическое
(functionally arithmetical relation)
250
— — перечисляющее (enumerating)
251
— — рекурсивное (recursive) 250
— — — в (in) 245
— — рекурсивно перечислимое (re-
cursively enumerable) 250
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
523
Отношение частичное (partial) 223
— Неравномерное (П| uniformly)
296
Отношения пспересскающисся (disjo-
int relations) 274
Отображение (mapping) 24
—	биективное (bijective) 111
—	взаимно однозначное 111
—	всюду определенное (total) 215
— вычислимое (calculable) 165, 205,
215
—	инъективное (infective) 111
—	монотонное (monoton) 271
—	на (onto) 111
—	сюръективное (surjective) 111
—	точное (nice) 475
—	частичное (partial) 215
—	1 — 1 (one — one) 111
Отрицание (negation) 36
Оценка истинностная (truth valua-
tion) 47
Пара неупорядоченная (unordered
pair) 356
—	упорядоченная (ordered) 357
Парадокс Рассела (Russel paradox) 348
Параметр (parameter) 354
Перевод (translation) 93
Переменная (variable) 20, 28, 31, 318
—	индивидная (individual) 28
—	свободная (free) 34
—	связанная (bound) 34
—	синтаксическая (syntactical) 21
—	функциональная (function) 223 -
—	числовая (number) 223
Пересечение (intersection) 356
Перестановка (permutation) 427
Подгруппа единичная (zero subgroup)
459
—	инвариантная (invariant) 467
—	мягкая (benign) 469
—	объединенная (amalgam) 461
Подкласс вполне рекурсивно пере-
числимый (completely recursively
enumerable subclass) 283
—	— рекурсивный (completely recur-
sive) 288
— тотально рекурсивно перечисли-
мый (totally recursively enumerable)
289
— — рекурсивный (totally recursive)
289
Подмножество всюду определенное
(total subset) 216
— вычислимое (calculable) 216
— генерическое (generic) 409, 487
—	инвариантное (invariant) 475
—	мягкое (benign) 472
—	плотное (dense) 487
—	свободное (free) 460
—	частичное (partial) 216
—	С-геиерическое (C-generic) 487
—	С-плотнос (C-dense) 487
Подмодель (submodel) 113
Подструктура (substructure) 113
—	.порожденная множеством (gene-
rated by set) 145
—	элементарная (elementary) 115
Подтверждение (instantiation) 36
Поле алгебраически замкнутое
(algebraically closed field) 134
— вещественно замкнутое (real closed
136
Понятие вынуждения (notion of a
forcing) 487
— — m -замкнутое (in-cZosed notion
of a forcing) 506
—	логическое (logical concept) 23
—	нелогическое (nonlogical con-
cept) 23
—	основное (basic concept) 12
—	производное (derived concept) 12
Порядок алфавитный (alphabetical
order) 31
—	множества (order of a set) 396
Последователь (successor) 17, 363
Последовательность классов (sequen-
ce of classes) 514
—	специальная (special) 80
—	убывающая (descending) 268, 293
Посылка правила (hypothesis of the
rule) 16
Правило ассоциативности (associa-
tive rule) 41
—	вывода (rule of the inference) 16
—	— конечное (finite rule) 18
—	дистрибутивности (distribution) 55
—	индукции (induction) 316, 336
—	логическое (logical) 40
—	иелогическое (nonlogical) 40
—	обобщения (generalization) 54
—	отделения (detachment) 49
—	подстановки (substitution) 54
—	расширения (expansion) 41
—	сечения (cut) 41
—	— слабое (weak cut) 105
— сокращения (contraction) 41
— V-введеиия (\j-introduction) 54, 316
—	з-введеиия (^-introduction) 41
Праэлемеит (urelement) 348
Предикат (predicate) 24
—	бинарный (binary) 24
—	всюду определенный (total) 217
—	дизъюнктивно определенный (dis-
junctively definable) 152
—	индивидный (Individual) 25
—	определимый (definable) 203
— позитивно вычислимый (positively
calculable) 184
—	представимый (repres en table) 191
—	примитивно рекурсивный (primi-
tive recursive) 206
—	равенства (equality) 25
—	рекурсивно перечислимый (recur-
sively enumerable) 184
—	рекурсивный (recursive) 168
—	— в (in) 244
—	— частичный (recursive partial)
220
—	слабо представимый (weakly
representable) 208
—	унарный (unary) 24
—	частичный (partial) 217
Предикаты эквивалентные (equiva-
lent predicates) 252
—	Н-эквивалеитиые	(H-equivalent)
294
Предложение §£-иивариаитиое (S9-
invarlant sentence) 500
524
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Предположение индуктивное {Induc-
tion hypothesis) 17, 18, 362
Препятствует {prevents) 411
Принцип конфинальности {principle
of cofinality) 350
—	наименьшего числа {least number)
302
—	отделимости {separation principle)
297
—	полной индукции {principle of
complete induction) 301
—	редукции {reduction principle) 297
—	траисфииитиой индукции {prin-
ciple of transfinite induction) 362
Приставка {prefix) 62
—	нормализованная {normalized)
259
Проблема Гильберта {Hilbert’s prob-
lem) 163
—	разрешимости {decision) 162, 163
—	тождества слов {word) 463
—	— — неразрешимая {unsolvable)
464
—	— — разрешимая {solvable) 464
— характеризации {characterization)
67
Программа Гильберта {Hilbert's
program) 14
Произведение декартово {Cartesian
product) 357
—	свободное групп {free product
of groups) 462
—	— — с объединенной группой
{with the amalgamation) 461
—	прямое {direct product) 147
Равенство определяющее {defining
equation) 318
Разность множеств {set difference)
356
Ранг {rank) 80
— множества {of a sei) 438, 483
Расширение конечное {finite extension)
201
—	консервативное {conservative) 68
—	номера {of a number) 268
—	простое {simple) 77
—	рекурсивное {recursive) 303
—	с помощью определений {by defini-
tions) 97
—	структуры {of a structure) 113
—	теории {of a theory) 68
—	условия {of a condition) 408. 487
—	элементарное {elementary) 115
—	языка {of a language) 68
Рекурсивность {recursive) 220
Род 261
Сандвич {sandwich) 150
Свертка {contraction) 178, 246
Свертывание кванторов {contraction
of quantifiers) 227
Селектор {selector) 284
Семантический {semantical) 14
Сечеиие {section) 506
Символ {symbol) 15
—	абсолютный {absolute) 387, 485
Символ доминирует {dominates)
345
— логический {logical) 31
— иелогический {nonloglcal) 31
— определяемый {defined) 19
— — в терминах {definable in terms
of) 126
—	ординальный функциональный
{ordinal function) 363
—	полный {complete) 388
—	предикатный {predicate) 31
—	равенства {equality) 31
—	типовой {type) 317
—	функциональный {function) 31
—	— M-инвариантный (M-invariant)
383
Синтаксический {syntactical) 14
Система аксиоматическая {axiom
system) 12
—	— классическая {classical) 12
—	— современная {modern) 12
—	формальная {formal) 14
Скачок {jump) 254
Следствие {consequence) 40, 460
—	логическое {logical) 40
—	тавтологическое {tautological) 47
Слово {word) 459
—	позитивное {positive) 477
Случай частный {instance) 38. 54
—	— численный {numerical) 309
Сокращение {reduction) 459
Соотношение {relation) 460
—	истинное {hold) 460
—	определяющее {defining) 460
Сочетание скобок правое {association
to the right) 36
Спутник отображения {associate of a
mapping) 475
Степень {degree) 252
— рекурсивной неразрешимости {of
recursive unsolvability) 252
— рекурсивно перечислимая {recur-
sively enumerable) 253
--------в {in) 253
— слабая {weak power) 484, 499
Структура {structure) 37
—	каноническая {canonical) 72
—	конечно порожденная {finitely
generates) 145
—	насыщенная {saturated) 157
—	неразрешимая {undecidable) 209
—	однородная (homogeneous) 157
—	определимая (definable) 204
—	слабо насыщенная	(weakly
saturated) 157
—	строго неразрешимая (strongly
undecidable) 202
— универсальная (universal) 157
Структуры изоморфные (isomorphic
structures) 111
— элементарно эквивалентные (ele-
mentarily equivalent) 113
Тавтология (tautology) 47
Тезис Чёрча (Church, thesis) 181
Теорема (theorem) 11, 16
— Артина — Шрайера — (Artin —
Schreter theorem) 155
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
525
Ill III II I I I I I I Illi III II III
Банаха — Улама (Banach — Ulam
theorem} 443
Генкина — Ope (Henkin — Orey
Теорема theorem) 341
Гёделя (theorem of Godel) 402
Гильберта о корнях (Hilbert's
N ullstellensatz) 154
главная (principal theorem) 489
дедукции (deduction theorem) 56
замыкания (closure theorem) 56,
375
истинности (validity theorem) 44
Кантора (Cantor’s theorem) 376
Кёнига (KBnig's theorem) 484
Клини о базисе (КЛеепе basis
theorem) 278
компактности (compactness theo-
rem) 108
Крайзеля о базисе (Kreisel basis
theorem) 280
Лёве!Ггейма — Скулема (Lowen-
heirn — Skolem theorem) 123
Лиидеибаума (Lindenbaum’s theo-
rem) 77
Лося — Воота (Los — Vaught theo-
rem) 139
Лося — Тарского (Los — Tarski
theorem) 119
Морлн (theorem of Morley) 141
непротиворечивости (consistency
theorem) 80
Новикова 465
о варианте (variant theorem) 59
— вполне упорядоченности (well-
— ordering theorem) 370
— вхождении (occurence theorem) 33
— дереве (tree theorem) 268
— доказательствах непротиворе-
чивости (theorem on consistency
proofs) 314
— — коистаитах (theorem on con-
stants) 57
— — мощности (cardinality theorem)
123
— — неполноте (incompleteness theo-
rem) 199
— — нормальной форме (normal form
theorem) 235
— — перечислении (enumeration theo-
rem) 236
— — подстановке (substitution theorem)
232
— — представимости (representabi-
lity theorem) 193
— — произведении (product theo-
rem) 497
— — расширении модели (model ex-
tension theorem) 116
— — рекурсии (recursion theorem) 237
— — совместной непротиворечивос-
ти (joint consistency theorem) 124
— — функциональном расширении
(theorem on functional extension) 90
— об аналитической иерархии
(analttical hierarchy heortem) 261
— — аналитическом перечислении
(analitical enumeration theorem) 261
— — арифметической иерархии (ari-
thmetical hierarchl theorem) 243
Теорема об арифметическом перечне Ле-
нин (arithmetical enumeration the-
orem) 242
— — интерпретации (interpretation
theorem) 100
— — отрицании (negation theorem)
197. 244
— — элиминации кванторов (quanti-
fiers elimination theorem) 133
— ограниченности (boundedness theo-
rem) 274
— определимости (definability theo-
rem) 127
— отделимости (separation theo-
rem) 275
— подстановки (substitution theorem)
5 5
— полноты (completeness theorem) 70
— Поста (Post's theorem) 249
— построения (formation theorem) 33
— равенства (equality theorem) 60
— редукции (reduction theorem) 68
— — для непротиворечивости (redu-
ction theorem for consistency) 70
— Россера (Rosser's theorem) 342
— Рылль-Нардзевского (Ryll-Nard-
ziewski's theorem) 142
— симметрии (symmetry theorem) 60
— системы (theorem of the system) 18
— Скотта (Scott's theorem) 451
— Скулема (Skolem’s theorem) 92
— существования (existence theorem)
487
— тавтологии (tautology theorem) 49
— уинформизации (uniformization
theorem) 280
— Фридберга — Мучника (Frldberg —
Muchnik theorem) 254
— Хайфа — Тарского (Hanf — Tar-
ski theorem) 450
— характеризации (characterization
theorem) 275
— Хигмена (Hlgman’s theorem 465
— Чёрча (Church's theorem) 197
— Чжана — Лося — Сушко (Chang-
Los — Suszko theorem) 120
— Шрайера (Schreler’s theorem) 461
— эквивалентности (equivalence theo-
rem) 59
— Эрбрана (Herbrand theorem) 87
— Эренфойхта (Ehrenfeucht's theorem)
141
Теории сиабо эквивалентные (weakly
equivalent theories) 106
— совместимые (compatible) 209
— эквивалентные (equivalent) 68
Теория (theory) 42
— Генкина (Henkin theory) 73
— групп элементарная (elementary
theory of grourps) 43
—, допускающая элиминацию кван-
торов (admits elimination of quan-
tifiers) 129
— интерпретируемая (interpretable)
103
— категоричная (categorical) 140
— в мощности (categorical in power)
138
- m-категоричная (m-categortcal) 138
526
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Теория конечно аксиоматизируемая
{finitely axiomatized) 108
— множеств Цермело — Френкеля
(Zermelo — Fraenkel set theory) 350
— модельно полная {model-complete)
153
—	наследственно неразрешимая {he-
reditarily undecidable) 211
—	непротиворечивая {consistent) 6 9
—	неразрешимая {undecidable) 186
—	открытая {open) 79
—	первого порядка {first-order) 42
—	полей элементарная (elementary
theory of fields) 109
—	полная (complete) 74
—	противоречивая (inconsistent) 69
—	разрешимая (decidable) 186
— рекурсивно аксиоматизнроваииая
(axiomatized) 189
— — аксиоматизируемая (axioma-
tizable) 207
— структуры (of a structure) 128
— совместимая (compatible) 209
— строго неразрешимая (strongly
undecidable) 209
— существенно неразрешимая (es-
sentially undecidable) 209
— счетная (countable) 122
—, удовлетворяющая подмодельиому
условию (satisfies submodel condi-
tion) 131
—, — условию изоморфизма (satis-
fies isomorphism condition) 131
— упорядоченных полей элементар-
ная (elementary theory of ordered
fields) 136
— численная (numerical theory) 208
Терм (term) 31, 318
—, допустимый для подстановки (sub-
stitutible) 35
—	представляет (represents) 191
—	сводимый (reducible) 332
Тип кванторов (type of quantifiers) 258
—	n-кн (type of a n-tuple) 139
Указатель (designator) 32
Ультрапроизведение (ultraproduct) 160
Ультрастепеиь (ultrapower) 160
Ультрафильтр (ultrafilter) 159
Универсум (universe) 24, 37, 98
—	интерпретации (of an interpretation)
98
Уровень специальной коистаиты (le-
vel of a special constant) 75
Условие (condition) 408, 487
—	единственности (uniqueness condi-
tion) 95
—	изоморфизма (Isomorphism) 131
—	корректное (correct) 408
—	подмодельиое (submodel) 131
—	существования (existence) 95, 303,
354, 359
—	nt -цепи (.11 -chain) 504
Условия совместные (compatible con-
ditions) 504
Форма дизъюнктивная (disjunctive
form) 65
—	конъюнктивная (conjunctive) 65
—	пренексная (prenex form) 62, 64
—	скулемовская (Skolem form) 107
Формула (formula) 15, 32, 319
—	атомная (atomic) 32, 319
—	верная (valid) 323
—	выполнимая (satisfiable) 107
— замкнутая (closed) 38
— истинная (true) 38, 43, 307, 319
— логически истинная (logically
valid) 40
—	Маккинси (McKinsey) 147
—	негативная (negative) 146
—	неразрешимая (undecidable) 74
—	обобщенная (generalized) 321
—	определяемая (defined) 19
— открытая (open) 62
—, относящаяся к специальной конс-
танте (belong to special constant) 79
— позитивная (positive) 146
— представляет (represents) 191
— простая экзистенциальная (simply
existential) 130
—	разрешимая (decidable) 74
—	свертывания (contraction) 178
—	секущая (cut) 105
—	слабо	представляет	(weakly
represents) 208
—	универсальная (universal) 91
—	Хорна (Horn) 147
—	экзистенциальная (existential) 85
—	элементарная (elementary) 47
Формулы эквивалентные (equivalent
formulas) 129
Функции эквивалентные (equivalent
functions) 252
Функционал (functional) 223, 317
—	в M (in M) 485
—	всюду определенный (total) 223
—	вычислимый (calculable) 224
—	представляющий частичный (repre-
senting partial) 224
—	рекурсивного типа (type recursive)
328
—	рекурсивный частичный (recursive
partial) 225
—	— в (recursive in) 224
—	типа r (of type r) 317
—	функционально рекурсивный (fun-
ctionally recursive) 250
—	частичный (partial) 223
Функция (function) 24. 359J
—	всюду определенная (total) 217
—	выбора (choice) 369
— гнперарнфметнческая (hyperarith-
metical) 276
—, имеющая свойство (having pro-
perty) 168
—	индивидная (individual) 25
—	инъективная (injective) 359
—	истинности (truth) 26
—	креативная (creating) 284
— определимая (definable) 44, 203
—, перечисляющая множество (enu-
merates a set) 207
— представимая (representable) 191
—	представляющая (representing) 166
—	— частичная (representing partial)
218
—	примитивно рекурсивная (pri-
mitive recursive) 206
— рекурсивная (recursive) 167
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
527
— — в (recursive in) 244
Функция рекурсивная частичная
(recursive partial) 220
— сингулярная (singulary) 45
— частичная (partial) 217
Характер конечный (finite character) 76
Цепь (chain) 11 9, 453
— элементарная (elementary) 120
Цифра (numeral) 191
Часть теории (part of a theory) 108
Число действительное рекурсивное
(recursive real number) 206
— натуральное (natural) 17, 359, 304
Эквивалентность (eqult>alence) 36
Элемент бесконечный (infinite element)
346 ,
— максимальный (maximal) 77. 272,
453
— минимальный (minimal) 350
— иеедниичиый (nonzero) 459
— р-первый (у-first) 453
Элиминация кванторов (elimination
of quantifiers) 130
Язык (language) 14
— вынуждения (forcing) 490
— первого порядка (first-order) 31,
32
— счетный (countable) 122
Н-индекс (Н-index) 263
— по (H-index from) 266
./вынуждение (J-forcing) 428
fe-перестановка (k-permutation) 427
М-множество (M-set) 382
л-ка (n-tuple) 24
л-сандвнч (n-sandwich) 150
л-тнп (n-type) 140
7?-снмвол (fl-symbol) 343
7?-формула (R-formula) 307
^S-индекс (RE-index) 236, 251
— no (RE-index from) 250
«изоморфизм (и-isomorphism) 126
//-последовательность (у-sequence) 453
Ill-теория (m-theory) 122
nt-язык (^-language) 122
Г-днаграмма (Г-diagram) 116
Г-морфизм (Г-morphlsm) 145
Г-подструктура (Г-substructure) 115
Г-расширеине (Г-extension) 115
б-идеал (6-ideal) 458
ц-оператор (\x-operator) 167
— неограниченный (unbounded) 171
— ограниченный (bounded) 171
ф-элемент (^-element) 467
со-модель ((й-model) 340
& интерпретация (^-interpretation)
382
— транзитивная (transitive) 382
“Ггправнло (“П-гиМ 105
TV-правнло (~f\l-rule) 105
Ц-правило (~jj-rule) 105.,
V-правнло (V-rule) 109
3-правило (j-rule) 105
Джозеф Шенфилд
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА
(Серия: «Математическая логика
и основания математики»)
М., 1975 г., 528 стр.
Редактор В. В. Донченко
Техи. редактор С. Я. Шкляр
Корректор Е. Я. Строева
Сдано в набор 27/Х11 1974 г. Подписано к печати
31/V11 1975г. Бумага 84хЮ81/зг. Физ. печ. л. 16,5.
Услови. печ. л. 27,72. Уч.-изд. л. 27,48. Тираж
25 000экз. Цена книги 2 р. 16 к. Заказ № 1815
Издательство «Наука»
Главная редакция физико-математической
литературы
1 17071, Москва, В-71, Ленинский проспект, 15
Ордена Трудового Красного Знамени Ленинград-
ское производственно-техническое объединение
«Печатный Двор» имени А. М. Горького Союз-
полиграфпрома при Государственном комитете
Совета Министров СССР по делам издательств,
полиграфии и книжной торговли. 197136, Ленин-
град, П-136, Гатчинская ул., 26.