Введение в физику лазеров - Мейтленд А., Данн М.

Автор: Мейтленд А. Данн М.

Теги: оптика физика электротехника лазеры приборостроение

Год: 1978

Похожие

Оптический резонанс и двухуровневые атомы

Принципы нелинейной оптики

Нелинейнал лазерная спектроскопия сверхвысокого разрешения

Принципы лазеров

Текст

А.МЭЙТЛЭНД, М.ДАНН
ВВЕДЕНИЕ
В ФИЗИКУ ЛАЗЕРОВ
перевод с английского
В. Л БАТ АНОВА
под редакцией
СИ. АНИСИМОВА
ИЗ9tOO
МОСКВА «НАУКА.>
ПИВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1978

635
M 97
УДК 535
LASER PHYSICS
BY A. MAITLAND AND M. H. DUNN
Lecturers in Physics,
University of St. Andrews,
Scotland
NORTH-HOLLAND PUBLISHING
COMPANY
AMSTERDAM — LONDON 19ti9
Введение в физику лазеров, Мэйтлэнд А., Дани М., перевод с
англ. Баталова В. А. под ред. Липатова С. И., Издательство «Наука»,
Главная редакция физико-математической литературы, 1978 г.
В книге, служащей вводным курсом основ лазерной физики, подробно
изложены вопросы теории взаимодействия излучения с веществом, элементы
теории резонаторов и волновых пучков. Обстоятельно освещены физические
принципы, лежащие в основе работы газовых лазеров, в частности, изла-
гается теория Лэмба. Дано описание понятии когерентности и модовой струк-
туры излучения, обсуждаются способы селекции мод в квантовых генераторах.
Весь необходимый дополнительный материал для изучения Курса приведен в
приложениях.
Таблщ 3, рис. ]33, библ. назв. ]87.
ЯК05 —
Перевод на русский вэын, Главная редакция
фнзнко-матечатнчес'-.ой литературы
1S78

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие редактора русского перевод! 7
Предисловие Э
Глава 1. Лазер 11
§ 1. Введение 11
§ 2 Обычны? источники лпнемчлтого спеьтра . 11
2 1 Фаьторы. влияющие на форму линии (Ц). 2 2. Факторы, влияющие
на когерентность (it»)
^ 3. Оптический резонатор 18
^ 4. Вынужденное испускание 24
§ 5. Профиль усиления и пороговые условия для однородно jши-
ренной линии перевода 26
§ 6 Ширина спектра 1енераднн лазера 29
S 7. Эффекты 1 а тяг ив а кия моды 30
| 8 Неоднородно \ширенная линия лазерного перехода 32
§ 9 Насыщение усиления 34
Глава 2, Оснозы теории цзл)чения 35
§ 1. Введение 35
? 2 Ипучеппс в наку\ ме . . . . 35
2 1 Интенсивность нзл>чения Cj) 2 2 Поток (течения C6) 2 1 Плш-
ность энергии изллчегшя (Л). 2 4. Давление пчп}чения ДОЛ 2 5 Tetc-
зор давления взл^чеимч D1>,
§ 3. II лучение в резонаторе 43
Ч 1 Типы колебаний в )аьрытом резонаторе E11. 3 2 11з11ч<"чт[е черног»
тела в отдельной поперечной моде Dj) 3.3 Число фотонов в определенном
ьпчттовом состоянии, испускаемых черным телом D7)
§ 4 Нпучение н вещество 47
4 1 Массовый i оэффнциент плпощення A7) 4 2 Атомный коэффициент
попощенпя Drti 4 1 ^Ькло актов поглощения в единицу времени D8)
'• 1 Класспчесьля теория излучения D9) К 5 Классическая теория
взаимодействии атомов с элек1ромагннтным иацченпсм Ei>* 4 в Диф-
фереици.пьные i оэффидленгы Эйнпгтейна C,i) 4 7. Коэффициенты Эйн-
штейьа (>7) 4 i Соотношение ме»ЛУ ьоэффпцнентом попощешш и кояф-
фщдиекточ Эйнштейна (fiO) 4 9 Время н>тчн во!бт^денны\ состояний
(СО) 4 10 Показатель преломления и дисперсионные соотношении (Glj
Глава 3 Излучение и атомные системы 05
§ 1 Введении (S5
§ 2. Основные постулаты квантовой механики !>*»
S 3 Пыпмоич'цтвие атомов с излучением 78
3 1 Дв>^уровнес!-1я атомная система G7) 3 2. Пере\оды под действием
¦чеьтромапгитного поли в двухуровневой системе (80) 3 3 Эпеьтрочэгнит-
иые переходы (шкроьцй спектр излучения) (82). 3 'i Элечтром)пшткыв
переходы прп наличии затухания (приближение слабого енгиэ ui) (80).
3 5 Приближение сн гыюго сигнала (89).
§ 4. Открытые квантовоме\анпческие систеиы 94
4 1. Матрица плотности (91). 4 2 Когерентность состояний {9'i).

ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава 4. Оптические резонаторы 102
5 1. Роюнатопы для лазеров (введение) 102
i 2. Открытый резонатор 103
§ 3. Число Френеля 108
§ 4. Свойства резонатора и фотоны ПО
§ 5. Добротность резонатора ill
5 1. ширина пшпш излучения лазера A12). 5.2. Влияние потерь ля доб-
гюпгость резонатора (ИЗ). 5.3. Постоянная времени пассивного резона-
тора A15).
§ G. Наблюдаемые модовые конфигурации 116
Глава 5. Оптические резонаторы (геометрическое приближение) И<>
§ 1. Введение 110-
5 2. Резонатор с плоскими зеркалами ПО-
§ 3. Резонатор с пртчоп полного внутреннего отражения 122
3 I. Сгоячнс BO.nii.i в резонаторам с нрышеоб разными отражателями A23).
§ 4. Резонатор со сферпчеекпии зеркалами 125
4 1. Комбинации плоского к сферического зеркал A26). 4 2. Комбинация
двух сфернчесь|1\ зепкал A28). 4 3. Общие jcjiobiih устойчивости A28).
§ 5. Рассмотрение резонатора как последовательности линз 130
5 1. Условие устойчивости A32). 5.2. Матричное рассмотрение последова-
тельности TOHhH\ Л1ШЗ AK).
§ 6. Диаграмма устойчивости 133
§ 7, Геометрическое рассмотрение потерь в неустойчивых резонаторах 13rj
Глава 6. Оптические резонаторы (волновая теория) 142
§ 1. Многоходовые конфокальные резонаторы 142
§ 2. Поле в конфокальном резонаторе 151
§ 3. Нсконфокалмши ре юна гор с вопктымп зеркала vn 153
3 1. Межмодовые интервалы и вырождение (ГL).
§ 4. РеюнАТоры о цилиндрической сничетрин! 154
4 1. Kpjh.hbie зеркала A54). 4.2. Кольцевые сферические ееркала A56).
Глава 7. TajccoBCKiie пучки 163-
5 1. Введение 163
i 2. Распространение л свободном пространство 164
§ 3. Преоораювапне в лише 1Ь8
3 1 Матрица передачи л^ча A70). 3 2. Применение и случаю гауссовских
пучков A71).
§ 4. Граничные jciOBirn д ш резонатора 172
§ 5. Согласование реюиаторов 175
5 1. Эффекты рассогласования резонаторов A78).
§ 6. Геометрическая аналогия 18,3
§ 7. Моды более высокого порядка 185
Глава 8. Усиление и эффенты насыщения 187
§ 1. введение 187
§ 2. Насыщение ycinoiwn 187
2 i. Теория аффекта насыщения усиления A88).
§ 3. Сужение контура jc-иления 192:
§ 4. Характеристики квантового 5силнтеля 195
§ 5. Насыщение в лазерах с бол мним усилением 197
Ъ I. Влкжше насыщсшi« усиления на «одм B"().
§ 6. Иыходная мощность 2U3-
Si. Одппчодоный ре/кии B04). 6 2. Пропускание еепнал н сщимизацня
мощности B06).

ОГЛАВЛЕНИЕ
5 7. Эффекты «выгорапия дыр*> 203
7 1. Ширина дыры B10). 7.2. Влияние вырождения мод на выходную мощ-
ность газового лазера B11). 7.3. Выгорание дыр и .тамбовский провал B15).
§ 8. Насыщение в усилителях при наличии выгорания дыр и кросс-
релаксации 215
§ 9. Затягивание мод 222
Глава 9. Лэмбовская теория лазера 226
§ 1. Введение 226
§ 2. Поле в активном ре.Юнаторе 228
§ 3. Макроскопическая поляршацня 233
§ 4. Теория для неподвижных атомов 235
4 1. Уравнение дщььенпя для матрицы тотности с учетом возбуждения
B3"i). 4 2. Приближение первого порядка (неподвижные агомы) B38). 4.3.
Нелинейная теория (неподвижные атомы) B43).
§ 5. Теория для движущихся атомов 246
5 1. Матрица плотности » макроскопическая поляризация с учетом дви-
жения атомов B4й). 5.2. Основные уравнения, описывающие поле излу-
чения и Аигявную среду B48). 5.3. Решение уравнений Ллмба методом ите-
раций B49).
§ 6.* Приближение первого порядка 251
|) 7. Нелинейная теория 258
7 1. Приближение третьего порядка Bi8). 7 2. Одномодовый режим B60).
7 3. Населенность B61). 7 4. Лэмбовскнй провал и выгорание дыр BЬ5).
§ 8. Многомодовый режим 267
Глава 10. Когерентность 272
§ 1. Введение 272
5 2. Элементарные принципы и определения 272
| 3. Классическая волновая теория когерентности 278
$ 4. Вероятностное описание классического поля излечении . . . 284
5s 5. Когерентность второго порядка и функция взаимной когерент-
ности 280
§ 6. Переходные когерентные процессы 291
§ 7. Расгс рос гранение функции взаимной когерентности 292
§ 8. Когерентный свет 294
§ 9. Развитие пространственной когерентности в оптическом ре-
зонаторе .... 295
§ 10. Эффекты когерентности более высокого порядка в случае теп-
лового излучения 298
§11. Шум лазера 302
§ 12. Статистика лазерного излучения при наличии только фазовых
флуктуации 307
§ 13. Статистика лазерного излучения с амплитудными флуктуаци-
ями 309
Глава 11. Техника резонаторов 3l3
I I. Введение 313
i) 2. Лазерные окна 3l4
2 1. Брюстеровскне окна C14). 2 2. Перпендикулярные выходные ои-
на C1Ь>.
§ 3. Дисперсионные резонаторы 316
i) 4. Кубический уголковый и крышеобразныи отражатели .... 318
4 1. Моды с бегущей волной C19). 4 2. Моды со стоячей волной C20)
§ 5. Объем моды 322
Ь 1. Точности осевой центровки труб газовых лазеров C24),

6 ОГЛАВЛЕНИЙ
§ 6. Точности юстировки зеркал 325
§ 7. Частотные эффеыы 327
7.!. Причины изменений частоты C27). 7.2. Влияние активной среды ira
формирование типа колебаний C29). 7.3. Частоты биений между модами
C30).
§ 8. Селекция мод 331
8 I. Введшие C31). 8.2. Селекция поперечные типов колебаний наклон-
ными зеркалами C32). 8.3. Селекция мод с помощью круглой диафраг-
мы C32). 8.-4. Селекция мод в лазерах с большая длиной C33). 8.5. Се-
лекция мод с помощью призмы C37).
§ 9. Стабилизация частоты в одномодовых лазерах 339
§ 10. Многослойные плсшш 341
Приложении 351
А. Комплексное интегрирование 351
Б. Гамильтониан ,ин заряженной частицы в электромагнитном поле 356
В- Свнль между векторным потенциалом и плотностью энергии элект-
ромагнитного поля 358
Г. Косое падение электромагнитных волн на поверхность диэлектрика 359
Д. Теория матриц 361
Е. Скалярная теория дифракции света 371
Ж. Интегральные уравнения 374
3. Полиномы Эрмчта 376
И. Ортогональные функции 377
К. Доплеровское и естественное уширение .$&$
Л. Действительные корреляционные функции и функция взаимной
когерентности 391
М. Элементы теории электромагнитных вочн 392
Н. Плоские во.чиы в цилиндрических координатах 393
О. Дисперсионная функция плазмы 394
П. Гауссовское распределение для двух переменных 3%
Литература 398
Предметный указатель 403

ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА РУССКОГО ПЕРЕВОДА
Первые лазеры появились в физических лабораториях около
пятнадцати лет назад. Благодаря исключительно быстрому разви-
тию лазерной физики и техники, за эти годы обтасть применения
лазеров чрезвычайно расширилась и в настоящее время включает
практически все важнейшие направления современной экспери-
ментальной физики, многие области техники, химии, биологии и
медицины. С появ!ециеч лазеров важные качественные изменения
произошли в оптике- возобновился интерес к классическим ее
раздетач, стремите хьное развитие получили новые современные
направления — такие, например* как нелинейная оптика и голо-
графия Резко возросло количество публикаций. Существенно,
что этот рост происходил одновременно с быстрым расширением
крлга специалистов — ученых и инженеров,— использующих ла-
зерные методы для решения самых разнообразных фундаменталь-
ных и прикладных задач Научные интересы значительной части
отих специалистов лежат достаточно далеко от физики лазеров^
оптики, спектроскопии, чго, конечно, в большей и ш меньшей сте-
пени мешает им правильно ориентироваться в обширной периоди-
ческой литературе по лазерам, следить за новейшим развитием
эгон области
Предлагаемая вниманию читателей в русском переводе книга
А Мэйтлэнда и М. Данна имеет цетыо хотя бы частично устранить
упомянутые трудности Она чО/ьет служить хорошим вводным
Kjf)C°4 по многим разделам физики лазеров для весьма широкого
кр\га читатетей Для чтения книги достаточно знакомства со стан-
дартным курсом общей физики. Все необходимые в процессе чте-
ния сведения, выходящие за пределы такого курса, авторы приво-
дят в специальном справочном отдете в конце книги, избавляя, та-
образом, читателя от необходимости обращаться к моногра-

8 ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА РУССКОГО ПЕРЕВОДА
фиям и статьям специального характера. Материал книги очень
удачно подобран и изложен. Авторы прежде всего стремятся объяс-
нить качественную картину изучаемых явлений. Вывод необходим
мых формул обычно дается со всеми подробкостячн; при этом
существенно, что авторам удалось почти полностью избежать слож-
ных, громоздких расчетов, сохранив достаточную строгость изло-
жения
В русском переводе книги неправлены отдельные мелкие неточ-
ности и добавлены ссылки на ряд работ, полезных для более глу-
бокого понимания вопросов, затрагиваемых в книге. Эти добавле-
ния ни в коей мере не являются попыткой как-то изменить систе-
му цитирования, избранную авторами книги.
Актуальность проблемы, удачный выбор материала и способа
изложения дают основание надеяться, чго книга А. Мэнтлэнда и
М. Данпа будет полезна самому широкому кругу читателей^ чья
деятельность в той или иной степени связана с применением ла-
зеров.
С. Аписимов

ПРЕДИСЛОВИЕ
Эта книга знакомит читателя с основами лазер-
ной физики. Ее цель — дать возможность читателям
с достаточной подготовкой в области физики или
электроники ориентироваться в большей части лите-
ратуры по лазерам, основанной на полуклассиче-
ском подходе.
Поскольку книга имеет вводный характер, мы
попытались сделать изложение замкнутым и вклю-
чили в книгу ряд приложений, содержащих материал,
важный для понимания основного текста, который
обычно нельзя найти в какой-то одной книге.
Рассматриваемый нами круг проблем имеет
уклон в сторону газоразрядных лазеров, причем
основное внимание мы уделяем общим принципам,
а не описанию деталей работы лазеров различных
типов. Одно из следствий такого подхода состоит в
том, что в книге даны ссылки только на те источники,
которыми мы непосредственно пользовались. Огром-
ное количество литературы, составляющей основу
для цитируемых нами работ, осталось по отмечен-
ным, за что мы приносим свои извинения.
За очень немногими исключениями в своем изло-
жении понятий лазерной физики мы исходим из
«первых принципов) и приводим все промежуточные
шаги, связанные с физикой рассматриваемых явле-
ний; опущена только алгебра. Ог такого способа
изложения мы отступали только в том случае, когда
физические принципы или результаты представля-

10 ПРЕДИСЛОВИЕ
лись важными, по их детальный вывод требовая
громоздких выкладок или специального подхода
(как, например, высшие порядки теории Лэмба).
Что касается извечной проблемы выбора единиц,
то различные дисциплины, составляющие лазерную
физику, уже выработали свои удобные системы, и мы
предполагаем, что читатель уже знаком с ними.
Используемые нами единицы варьируются в соот-
ветствии с общепринятой практикой в зависимости
от обсуждаемой темы.

Глава 1
ЛАЗЕР
§ 1. Введение
Б этой главе мы намерены изложить некоторые физические
идеи, касающиеся действия лазера, характеристик лазерного
излучения и iex его особенностей, которые отличают лазер от
других источников излучения в оптическом диапазоне спектра.
Здесь же мы приведем ссылки на другие главы книги, где зти во-
просы итожены более строго и значительно иодробнее. Таким об-
разом, одна из задач этой главы состоит в томг чтобы нарисовать
общую, хотя и схематичную, картину, показывающую, как рас-
пределено содержание книги по главам и как отдельные главы
связаны между собой.
Приближение, которое используется на протяжении всей кни-
ги, известно как «полуклассическая теория». В этом приближении
поле оптического излучения рассматривается как классический
объект, подчиняющийся уравнениям Максвелла, тогда как пове-
дение атомов активной среды описывается законами квантовой
механики. Пол у классическая теория позволяет формулировать
вадачи различной степени сложности, в частности, различающиеся
способом описания взаимодействия между полем излучения и
атомами активной среды. Мы рассмотрим различные приближения
более полно в главе Зг а пока пачпем с того, что разберем npociefi-
шую возможную картину, совместимую с идеями полуклассиче-
ской теории В качестве первого шага, однако, мы кратко изло-
жим некоторые свойства обычных источников линейчатого спектра
видимого диапазона, чтобы опираясь иа них можно было далее
развивать концепции, лежащие в основе действия лазера.
§ 2. Обычные источники линейчатого спектра
2.1. Факторы, влияющие на форму линии. Рассмотрим случай,
когда атомы источника находятся в газовой (или парообразной)
фазе, так что приближенно их можно считать невзаимодействую-
щими друг с другом! а за характеристические уровни энергии

12 Г Л I ЛАЗЕР
можно принять уровни отдельных атомов Для возбуждения ато-
мов на энергетические уровни, лежащие выше основного состояния,
и систему должна бьпь введена энергия, скажем, п>тем пропуска-
ния электрического тока через газ Какие уровни реально возбуж-
даются в лом процессе — сложным образом зависит от парамет-
ров разряда (давления и температуры газа размеров газоразряд-
ной камеры, эпектрнческого тока и величины поля и т д ), а так-
же от параметров, описывающих атомные состояния (от сечений
возбуждения электронами, ионами или нейтральными атомами,
сьоростей релаксации рассматриваемых состояний и т. д ) Вообще
говоря, чтобы описать населенность различных возбужденных
уровней в системе, нам следует найти распределение кинетической
энергии электронов, атомов и ионов в разряде и зависимость его
от параметров разряда, а затем использовать эт> информацию
вместе с атомными параметрами (сечениями возбуждения, завися-
щими от кинетической энергии частиц, скоростями релаксации
при радиационных распадах и т. д ) для определения населенно-
стей агомов на различных энергетических уровнях. Разумеется*
дтя некоторых энергетических уровней могут оказаться важными
и другие эффекты (например, резонансные^ существенно изменяя
населенность этих уровней по сравнению с той, которая ожидает-
ся в таком простейшем приближении.
Когда атом, находящийся в возбужденном состоянии, спонтан-
но переходит на нижний уровень, возникает излучение, частота
которого связана с энергетическим интервалом между уровнями
соотношением
Интенсивность излучения на этой частоте линейно зависит от ве-
роятности спонтанного перехода Лтп, т е. от вероятности того,
что атом из верхнего возбужденного состояния (т) спонтанно пе-
рейдет в нижнее состояние (п) в единицу времени Вероятность
перехода для конкретной пары состоянии определяется квантово-
ыеханическими методами с использованием волновых функций,
описывающих эти два состояния. Если же некоторое возбужден-
ное состояние может распадаться со спонтанным излучением на
несколько нижних состояний, то полная скорость изл^чательного
перехода вычисляется путем суммирования вероятностей спонтан-
ного nepexoflaj связанных с этими переходами:
Ym = 2^mp. A2)
р
С полученной скоростью распада можно свячать «время жизни»
возбужденного состояния, распадающегося <*а счеъ спонтанного

5 2 ОБЫЧНЫЕ ИСТОЧНИКИ ЛИНЕЙЧАТОГО СПЕКТРА 13
излучения.
Когда мы рассматриваем относительную интенсивность компо-
пент излучения, обусловленные переходами из различных верх-
них состояний, необходимо учитывать и населенность этих состоя-
ний. Интенсивность излучения, испускаемого при определенном
переходу таким образом, дается выражением
/mn = KXmAmnhvmnt A.4)
гдо К — некий геометрический фактор.
Из нашего обсуждения видно, что излучение, испускаемое ис-
точником, состоит из компонент с дискретными частотами, кото-
рые связаны с расстоянием между энергетическими уровням»!
излучающих атомов соотношением A.1). Интенсивность компо-
нент зависит как от атомных параметров (через Лтп), так и от па-
раметров разряда (через Nm) и дается выражением A.4).
Поскольку вероятность нахождения атома в верхнем для дан-
лого перехода эиергешческом состоянии уменьшается со време-
нем, вследствие процессов радиационного распада, то волновой
цуг, соответствующий этому переходу, затухает. Изменение амп-
литуды цуга мон<е1 быть записано в виде
exp(-yt'2)sinBnvmilt). A.5)
Для определения спектра частот, соответствующего волново-
му цугу A.5), воспользуемся преобразованием Фурье. Мы полу-
чим так называемую (нормированную) функцию Лоренца (см. при-
ложение К), описывающую распределение интенсивности по про-
филю линии:
ff(v,Vm»> = TKn2(v - vmflJ-{- (т'2)Ч-1. A.6)
В случае спонтанного испускания различные атомы излучают
независимо друг от друга, так что распределение интенсивности,
обусловленное всеми атомами источника, которые пребывают в со-
ответствующем возбужденном состоянии, определяется суммиро-
ванием распределений интенсивности A 6) для индивидуальных
атомов. Ясно, что выражение A.6) описывает распределение интен-
сивности источника как целого, которое регистрируется, напри-
мер, с помощью спектрометра.
Теперь возникает вопрос о значении постоянной распада в
0-6). Казалось бы, можно считать эту константу связанной с верх-
ним состоянием перехода и, следовательно, определяемой соотно-
шением A.2). Однако» с помощью детального квантовомеханиче-
ского рассмотрения можно показать! что она зависит также от

J4 ¦ ГЛ. 1. ЛАЗЕР
скорости распада нижнего уровня перехода и равна
Укорочение времени жизни нижнего состояния может, таким
образом, ушнрять линию перехода. Тип уширения, который мы
обсуждали выше, обычно называют однородным. Каждый атом,,
находясь в соответствующем верхнем состоянии, излучает линию-
с полной шириной, так что связать определенную частотную ком-
поненту внутри линии с определенным атомом в источнике невоз-
можно. До сих пор мы рассматривали однородное уширение,
определяемое скоростями радиационного распада состоянийу
участвующих в переходах (естественное уширение). При опреде-
ленных обстоятельствах, обусловленных внешним окружением
атома, эти состояния могут разрушаться с большими скоростями
в результате снятии возбуждения прн соударениях, нежели бла-
годаря радиационным процессам. В этих случаях изменяется и
выражение для скорости распада A.7). Однородная ширина линии
перехода, следовательно, может быть и функцией параметров
разряда, а не только одних лишь атомных параметров, как это
было в рассмотренном выше случае радиационного распада.
Однородная ширина линии Av0№ (определенная как полная
ширина иа половине максимальной интенсивности) может быть
легко пол учеиа из A.6):
Avob* =V'2=*. A.8)
Для перехода между уровнями со времеиамнжизнн порядка 10~8с
однородная ширина линии порядка 30 МГц. Интересно заметить,,
что выражение для ширины линии A-8) можно получить, исполь-
зуя принцип неопределенности. Поскольку время существования
осциллятора при радиационной распаде равно т= у-1, то в соот-
ветствии с принципом неопределенности неопределенность в энер-
гии осциллятора должна составлять
&Е~%у. A.9)
Наблюдение испущенного нзлучения позволяет измерить энергию
осциллятора, поскольку частота излучения дается соотношением
A.1). Следовательно, частота испущенного излучения определена
б точностью до величины A.8).
В рассмотренном выше газовом разряде излучающие атомы на
самом деле не являются неподвижными, как предполагалось выше,
а обладают кинетической энергией. Во многих случаях распреде-
ление кинетической энергии среди атомов соответствует тепловому-
равиовесию н, следовательно, описывается распределением Макс-
велла — Больцмана (см. приложение К). Излучеиие1 нспущепное.

* 2. ОГ.ЫЧНЫЕ ИСТОЧНИКИ ЛИНЕЙЧАТОГО СПЕКТРА 15.
движущимся атомом, в лабораторной системе отсчета сдвинуто по
частоте из-за эффекта Доплера. Если v — составляющая скорости
атома в направлении наблюдателя, то частота излучения дается
соотношением
v = va(l + v'c)9 ¦ A.10)
где v0 — частота излучения неподвижного атома (здесь мы пред-
полагаем, что v <С с). Таким образом, вследствие доплер-эффекта
ширина спектральной линии (измеряемая в лабораторной системе
координат) увеличивается, поскольку излучающие атомы имеют
соответствующее их температуре распределение скоростей.
Для того чгобы получит!, форму спектральной линии, поделим
излучающие атомы (т. е. те. которые находятся на верхнем уровне
перехода) на группы в зависимости от ве.шчнны составляющей
скорости и, в направлении наблюдателя. Предположим, что коли-
чество атомов с компонентами скорости, лежащими в интервале
or v до и + Ьи% равно 6.Vm(i'). Тогда эта группа атомов излучав
однородно уширенную линию, описываемую выражением A.0),
однако центральная частота теперь смещена от хтп (от резонанс-
ной частоты, соответствующей неподвижному атому) н дается дру-
гой величиной v'mn(u) нз A.10). Интенсивность излучения, связац-
ная с этой группой атомов, таким образом, определяется как
6/(v, х'тп) = const-&iVm(v)Amnhvmng(vt v'mri). A.11)
Для того чтобы получить профиль линии, A.11) следует просум-
мировать по всем группам bNm(v). Пользуясь распределением
Максвелла — Болыдмана, мы легко можем определить для этих
групп число атомов в верхнем состоянии. Далее с помощью A.10)
для каждой из групп легко вычислить наблюдаемые резонансные
-частоты vmn, определяемые через их скорости. Для атомов, види-
мые резонансные частоты которых лежат в интервале от vmn до
Vmn + 6vmn, получаем
6-Vm (vmn) = Nm$> (y'mn, vmn) bv'mn. A.12)
Вид функции 3){у'тп, vmri) приведен в приложении К.
После подстановки A.12) в A.11) и интегрирования получаем
следующее выражение, которое описывает профиль линии излу-
чения, испускаемого движущимися атомами:
/(v, vmn) =con9t-iVm^mrlAvmn J S>(\'mn, vmn)^(v, v'mn) dvmn.
A.13)

16 ГЛ. I. ЛАЗЕР
Во многих случаях ушпрение линии, описываемое функцией
3){у'тп, vmnV превышает уширение, в которое входит функция
g(v,Vm«). В таких ситуациях о линии говорят как об уширенной
неоднородно. Важное различие между однородным и неоднород-
ным уширением заключается в следующем. В первом случае, как
мы видели выше, каждый атом (разумеется, в соответствующем
состоянии) лзлучаег полный профиль линии, так что невозможно
приписать определенную частотную компоненту определенному
атому, в то время как во втором случае различные атомы излуча-
гог в различных частях профиля линии и возможна идентификация
определенной группы атомов но определенному диапазону частот
в пределах профиля линии. Ширину профиля с функцией 3) (vffln,
\',„„) можно легко выразить через температуру излучающих ато-
мов, их массу и т. д. (см. приложение К)
AvHeofln = 2vmn УЪкТ In 2,'mc2. A.14)
Типичная величина Дгцеодн в оптическом диапазоне спектра для
газа с атомным весом 40 с температурой 800° С составляет 1 ГГц.
2.2. Факторы, влияющие на когерентность. Выше при опи-
сании линейчатого спектра мы нашли распределение энергии излу-
чения по частоте. Здесь мы кратко остановимся иа рассмотрении
вопроса о когерентности спонтанно испущенного излучения.
Поскольку различные атомы источника излучают независимо,
волновые нуги от разны\ атомов не связаны между собой ни по
фазе, ни по амплитуде.
Определим поле излучения в объеме пространства Ду, находя-
щемся на расстоянии R от источника площадью ААВ. Выберем,
в частности, две точки в этом объеме и рассмотрим фазовое соотно-
шение между полями излучения в выбранных точках в какой-либо
момент времени. Можно показать с помощью простых физических
соображений (см. гл. 10, § 2), что если указанный объем, содержа-
щий выбранпые точки, меньше некоторого Д VH0T, называемого
объемом когерентности, то в среднем возможно определить сохра-
пяющееся во времени фазовое соотношение между полями в двух
точках. Это фазовое соотношение можно иапти из рассмотрении
иитерферепционных эффектов. Если мы будем удалять наши точ-
ки друг от друга так, что содержащий их объем станет больше
объема когерентности, то фазовое соотношение между полями
излучения в точках начнет случайным образом флуктуировать во
времени. При этом наблюдать интерференционные эффекты уже
невозможно. Разумеется, представление о подобной резкой грани-
це является лишь приближенным, поскольку в действительности
имеется плавный переход от одного состояния к другому. Объем
когерентности может быть связан с размерами источника и с

5 2 ОБЫЧНЫЕ ИСТОЧНИКИ ЛИНЕЙЧАТОГО СПЕКТРА
шириной линии излучения Av соотношением A0.16)
Это выражение показывает, что при удалении от источника
объем когерентности возрастает (пропорционально Я2). Поскольку
при этом плотность энергии поля излучения меняется как #~а,
энергия излучения в объеме когерентности остается постоянной;
на больших расстояниях от источника она распределяется по еще
большему объему.
До сих пор при обсуждении понятия объема когерентности для
обычного источника мы молча подразумевали,, что этот объем мо-
жет иметь произвольную форму. Далее будет показано, однако
(гл. 10, § 2), что для геометрии, которую мы рассматривали, объем
когерентности характеризуется размером ,sKor вдоль направления
распространения, называемым длиной когерентности и равным по
порядку величины c/Av, а в поперечном направлении — площадью
когерентности, имеющей порядок Я2Л2/ДЛ3. Если мы выберем
наши две точка так, чтобы они лежали в плоскости, перпендику-
лярной направлению распространения, то мы будем сравнивать
поля излучения в точках, принадлежащих одному волновому
фронту, и наблюдаемая таким способом когерентность называетсц
пространственной. Пространственная когерентность характери-
зуется, таким образом, площадью когерентности.
Если же выбрать две точки вдоль направления распростране-
ния, то для описания свойств когерентности следует воспользо-
ваться длиной когерентности. В этом случае можно рассмотреть
вопрос о когерентности другим способом. Предположим, что наши
две точки совмещены в пространстве. Пусть нас интересует фазо-
вое соотношение между полями излучения в этой одной точке
пространства, но в два момента времени, разделенные интервалом
т (скажем, в Моменты t и t + т). Мы бы обнаружили, что если %
меньше некоторой величины тког, называемой временем когерентно-
сти излучения, то определенное фазовое соотношение сохраняется
во времени. Если же временной интервал больше этой величины
то фазовое соотношение случайным образом флуктуирует во вре-
мени.
В первом случае мы смогли бы наблюдать эффекты интерфе-
ренции, во втором их иет. Далее, поскольку излучение распрост-
раняется параллельно оси, на которой определена длина когерент-
ности, то эта величина простым образом связана с временем коге-
рентности через скорость распространения излучения (sKor =*
= стког). Рассмотрение излучения в дв\х точках пространства вдоль
направления распространения в один и тот же момент времени
эквивалентно рассмотрению излучения водной точке пространства,
* А. Мэйтлэнд, М Дани

ГЛ. I. ЛАЗЕР
но в разные моменты времени, при том условии, что временной и
пространственный интервалы связаны скоростью распространения
излучения. Когерептность такого типа пазываехся временной
когерентностью.
§ 3. Оптический резонатор
Оптический резонатор лазера отличается от других известных
типов резонаторов (например, микроволновых;) тем, что имеет боль-
шие размеры по сравнению с длиной волны генерируемою излу-
чения. Если мы рассматриваем закрытый оптический резонатор
(рис, 1.1,, а) длиной d и площадью поперечного сечения At то число
а)
Закрытый мтсчес/гий резвншар
' (\3)
е)
г)
Открытый, anmms
5вльшие патера
Геометрическое прибшжжя
яотзри
Простейшая золтаая теория
) VV/ Дифрящимт
-*- v
1
Поперечные моду
Рис. 1.1. Пассивный оптический резона юр.
типов колебаний эюго резонатора, лежащих в частотном интерва-
ле от v до v + bv% в соответствии с B.20), равно
8nv2Vbv'c\
где V = Ad. После подстановки типичных для оптического резо-
натора величин d = 100 см, Л = 1 см2 и v =1015 Гц получаем,
что число мод, лежащих внутри типичной линии с неоднородно
уширенным црофплеч Fv ~ 1000 МГц) в действительности очень
велико и по порядку величины составляет 10й.
Специфической особенностью опгического резонатора лазера
является то, что он имеет открытую структуру, состоящую из двух
далеко разнесенных зеркал с большим коэффициентом отражения.

5 3 ОПТИЧЕСКИЙ РЕЗОНАТОР 19
С\сма резонатора показана иа рис. 1.1, б. Вследствие такой гео-
метрии подавляющее число мод, определяемое выражением
B.20), имеет очень большие потери и лишь для относительно не-
большого числа мод потери невелики. В случае лазера источником
энергии для поля излучения служит «активная» среда, помещае-
мая внутрь открытого резонатора. Далее мы обсудим свойства
активной среды более подробно. Сейчас же пеобходимо чолько
подчеркнуть, что активное вещество возбуждается так, чтобы оно
могло передавать энергию в моды резонатора, час готы которых
лежат внутри линии лазерного перехода. Процессом, посредством
которого вводится энергия, являеюн вынужденное излучение.
Скорость вклада энергии в моду путем вынужденного излучения
пропорциональна интенсивности поля излучения моды. Сущест-
венно также, что при увеличении возбуждения активной среды
достигается такое состояние, при котором скорость нарастания
вынужденного излучения в моде с малыми потерями превышает
скорость потерь в ней. В этой ситуации поле излучения моды воз-
растает по интенсивности, вызывая рост вынужденного испуска-
ния (т. е. происходит генерация) до тех пор, пока в некоторый мо-
мент интенсивность поля излучения не достигнет насыщения (гл. 8).
Моды с наименьшими потерями достигают порога генерации рань-
ше других. Поэтому выход энергии из активного вещества осу-
ществляется предпочтительно в модах с малыми потерями.
Когда оптический резонатор содержит активное вещество, его
называют активным. Далее в этом параграфе мы главным образом
будем касаться свойств лишь пассивного резонатора (в котором
источник энергии отсутствует). Это облегчит понимание механиз-
ма возникновения мод с большими и малыми потерями.
Открытый резонатор удобно рассматривать, считая его фильт-
ром. Пусть до какого-то произвольного момента времени t0 внутри
рьзонатора существует возбуждаемое некоторым способом произ-
вол ьвое поле излучения. Предположим, что в момент t0 все источ-
ники энергии, поддерживавшие это иоле, изъяты из резонатора-
Рассмотрим теперь поле излучения, оставшееся в резонаторе,
в более поздние моменты времени. Ясно, что с течением времени
моды резонатора с малыми потерями начнут все сильнее и сильнее
греобладагь над остальными, и мы можем считать резонатор
фильтром в том смысле, чго он выделяет из произвольного поля
излучения компоненты, соответствующие модам с низкими потеря-
ми. Если рассматривать резонатор с точки зрения геометрической
оптики (это приближение справедливо, поскольку Л^> Я,2), то мы
сразу увидим, чго типы колебаний с малыми потерями соответст-
вуют излучению, распространяющемуся вдоль оси резонатора
(рис. 1.1, в). И наоборот, излучение, которое распространяется
поперек оси, имеет высокие потери. С этой точки зрения относи-
тельная доля тех типов колебаний закрытого резонатора (см. B.20)),
2*

20 ГЛ I. ЛА1ПР
которые в открытом обладали бы низкими потерями, определяется
телесным углом, под которым видна поверхность зеркал из цетра
резонатора, а именно
А'зкР ~ 10-*.
Проведя геометрический анализ, мы можем также сделать и дру-
гие заключения относительно резонатора. В общем случае зеркала
резонатора могут обладать кривизной (по причинам, которые мы
кратко изложим ниже). И для того чтобы в открытом резонаторе
существовали моды с малыми потерями, с очевидностью должно
выполняться одно условие — а именно должно существовать вы-
деленное направление распространения излучения, такое, чтобы
после повторных отражений назад и проходов вперед между зер-
калами излучение сне выходило» за нределы резонатора. Ясно,
что это требование налагает ограничения па соотношение между
радиусами кривизны зеркал резона юра и его длиной. Подобные
ограничения известны под названием условий устойчивости. О ре-
зонаторе говорят, что он устойчив, если излучение не покидает
его после повторных отражении, и неустойчивым — в противном
случае. Мы получим условия устойчивости в гл. 5, п. 5.1, где
рассматриваются геометрические свойства резонаторов. (Уход
излучения из резонатора может не оказывать сильного влияния в
случае систем с высоким уровнем усиления, гл. 5, § 7.)
Подход к вопросу о лазерном резонаторе с позиций геометри-
ческой оптики выявляет условия существования мод с высокими
и низкими потерями и налагает определенные ограничения на
геометрию открытого резонатора. Однако мы ничего пока пе ска-
зали ни о конфигурацияy поля и о частотах, которые cooTBeicjBy-
гот основным модам с малыми потерями, ни об оценках самих
потерь в этих модах. Выше мы пренебрегали дифракционными эф-
фектами, которые приводят к потерям поля излучения при каж-
дом проходе открытого резонатора Роль дифракционных эффек-
тов оценивается с помощью числа Френеля Л открытого резона-
тора
N = А1Ы%
которое представляет собой число зон Френеля, видимых на по-
верхности одного зеркала нз центра другого.
Таким образом, мы должны показать, что для открытого резо-
натора устойчивые моды с малыми потерями существуют и при
наличии дифракционных потерь. Возможны различные подходы
к поставленной проблеме. Они подробно изложены в следующих
главах, здесь же мы кратко сформулируем то, о чем пойдет речь:
1 Используя скалярную формулировку принципа Гюйгенса,
мы получим вырад\ениег которое связывает конфигурацию поли,

§3 ОПТИЧЕСКИЙ РЕЗОНАТОР 21
поз пикающую на поверхности одного зеркала, с определенной
конфигурацией на поверхности другого. Эта процедура начинается
с предположения о произвольной конфигурации поля и затем
повторяется для сотен проходов излучения между зеркалами. Она
позволяет определи!ь, становится ли результирующая полевая
конфигурация действительно самовоспроизводящейся после ко-
нечного числа проходов. Под «самовоспроизведением» мы имеем
в виду ситуацию, когда распределения амплитуды и фазы поля
после прохождения от одного зеркала до другого и назад остаются
неизменными с точностью до постоянного множителя, учитываю
щего общие потери и фазовый сдвиг за проход. Такая самовос-
производящаяся конфигурация поля представляет собой попереч-
ною моду открытого резонатора. Этот подход был предложен
Фоксом и Ли в работе [1 ]
2. В качестве альтернативы для случая A) можно указать
другое приближение, также основывающееся на принципе Гюй-
генса. Возможен вывод уравнения, связывающего конфигурацию
поля на одном из зеркал с конфигурацией, которую оно создает
после прохождения к друюму зеркалу и обратно. Отыскивая ре-
шения, для которых эти две конфигурации совпадают с точностью
до упомянутого выше множителя, учитывающего сдвиг фазы и
потери, мы получим самовоспроизводящуюся конфигурацию поля.
Это — подход Бонда и Гордона 12], который мы подробно обсудим
в гл. 6.
3. В третьем подходе непосредственно используются уравне-
ния Максвелла. Имеются решения этих уравнений, которые опи-
сывают узкие распространяющиеся пучки. Фазовые фронты таких
лучков согласуются с кривыми поверхностями зеркал путем
варьирования определенных параметров пучка. Когда выполнены
псе необходимые действия, отраженный назад пучок точно совпа-
дает с падающим и, следовательно, описывает самовоспроизводя-
щуюся конфигурацию поля в резонаторе. Это приближение мы
обсудим при описании гауссовских пучков в гл. 7 *).
Набег фазы после двойного прохода дается интегралом, крат-
ным 2л, и nojTOMy каждой поперечной моде в резонаторе соот-
ветствует серия продольных мод. Поскольку поперечные моды
открытого резонатора приближенно можно считать плоскими
волнами, мы можем легко определить примерные частоты, соот-
ветствующие различным продольным модам, из следующего усло-
вия (см. рис. 1.1, г):
(Kq/2)q = d, vq =qc'2d. A.15)
*) Соответсгв$ ющее приближенное решение уравнений Максвелла было
впервые получено М. А. Лсонтовнчсм в 1944 г В нелинейной оптике это
приближение использовалось при исследовании самофокусировки излучения
(см работу [о 1) (прим. ред).

22 ГЛ. I. ЛАЗЕР
Продольные моды обычно обозначаются индексом д, указывающим
число узлов между зеркалами резонатора. Продольпые моды,
соответствующие одной и той же поперечной моде, расположены
эквидистантно на оси частот. Их частотное удаление друг от дру-
га обратно пропорционально расстоянию, разделяющему зеркала
резонатора. В типичном лазерном резонаторе {d ~ 1 м) продоль-
ные моды резделены промежутком около 150 МГц.
Поперечные моды представляют собой различные (самовос-
производящиеся) конфигурации поля иа поверхности зеркал
резонатора. Мы рассмотрим картины этих конфигураций и способ
их обозначения в гл 4, § 6. Более подробно этот вопрос обсуждает-
ся в гл. 6. Различные поперечные моды, соответствующие данной
продольной моде, имеют разные частоты и разные потери на одно
полное прохождение через резонатор. Первые определяются ра-
диусами кривизны зеркал, в то время как вторые зависят также
и от числа Френеля резонатора (гл. 4, § 3, п. 5.2; гл. 6, § 1). В ре-
зонаторах, в которых расстояние между зеркалами мало по срав-
нению с их радиусами кривизны, частотный интервал между раз-
личными поперечными модами, соответствующими определенной
продольной моде, мал по сравнению с частотным интервалом,
разделяющим продольные моды, т. е. поперечные моды группи-
руются вместе вблизи частот, определяемых соотношением A.15).
Эта ситуация отражена на рис. 1.1, д. При других конфигурациях
резонатора частотное разделение поперечных мод может быть
большим, а в случае конфокального резонатора (в котором рас-
стояние между зеркалами равно радиусу кривизпы зеркал) они
становятся вырожденными вместе с продольными модами в том-
смысле, что частотный интервал чежду соседними поперечными
модами вдвое меньше интервала между соседними продольными.
Мы уже упоминали, что различным поперечным модам соот-
ветствуют разные дифракционные потери. Дело в том, что различ-
ные поперечные моды описываются разными распределениями
энергии по сечению зеркал резонатора. Дифракционные потери
для моды, в которой большая часть энергии сосредоточена в
центральной области зеркал резонатора, меньше, чем для моды,
имеющей более высокую концентрацию энергии вблизи края
(см. однако гл. 8, п. 5.1 об эффектах, связанных с наличием актив-
ной среды).
Дифракционные потери являются функцией радиусов кривиз-
ны зеркал, а также их площади и расстояния между ними. Это
особенно важно для лазерного резонатора, поскольку, используя
фокусирующие свойства вогнутой зеркальной поверхности, мож-
но значительно уменьшить дифракционные потери по сравнению
с тем уровнем, который следует из простого подсчета числа Френе-
ля. Эффект фокусировки вогнутым зеркалом уменьшает срасплы-
вание» поля из-за дифракционных эффектов. Если в качестве

§ 3 ОПТИЧЕСКИЙ РЕЗОНАТОР 23
примера взять два резонатора (имеющих одно и то же число Фре-
неля, равное единице), один из которых образован круглыми
плоскими зеркалами, а другой — конфокальными сферическими,
то в первом случае потери мощности из-за дифракции в определен-
ной поперечной моде за проход составят 20%, в то время как во
втором случае они уменьшаются до 0,0% (гл. 6).
Детальная дифракционная теория открытого резонатора пока-
зывает, что если выполнены определенные требования устойчи-
вости, то резонатор имеет ряд поперечных модсиизкими потерями.
Каждой поперечной моде соответствует несколько продольных
мод (различающихся числом узлов вдоль оси резонатора). В общем
случае различные поперечные моды имеют разные частоты и раз-
вые дифракционные потери. Как частоты, так и потери опреде-
ляются параметрами резонатора. В случае пассивного резонатора
моды с малыми потерями «отфильтровываются» спустя определен-
ное время из произвольной конфигурации поля в процессе рас-
пространения излучения и дифракции.
Если вернуться к случаю активного резонатора, то очевидно,
что при увеличении уровня возбуждения активной среды лазера
при прочих одинаковых условиях моды с низкими потерями начи-
нают излучаться первыми. В общем же случае развитие определен-
ной продольной моды (из общего числа продольных мод, связан-
ных с данной поперечной модой), которая первой достигает порога
генерации, определяется зависимостью усиления активного ве-
щества от частоты. Мы возвратимся к этому вопросу в§ 5 этой гла-
вы. Путем соответствующего подбора параметров резонатора и
активной среды можно получить генерацию на одной моде резо-
натора.
При обсуждении вопроса о модах открытого резонатора с ма-
лыми потерями мы предполагали, что существенными являются
лишь геометрические и дифракционные потери. На практике же
существуют также поглощение и выходные .потери в зеркалах
резонатора. Благодаря выходным потерям осуществляется вывод
полезной энергии из резонатора. Поскольку эти потери на зерка-
лам воздействуют на все поперечные моды одинаково, они не изме-
няют соответствующие им полевые конфигурации или частоты,
как это было в случае дифракционных эффектов. Однако, к диф-
ракционным потерям в каждой моде теперь должны быть добавле-
ны дополнительные потери на зеркалах. Если полная потеря энер-
гии излучения за один проход резонатора есть /, то уменьшение
интенсивности в моде пассивного резонатора вычисляется из
уравнения
так что
A.17)

24 ГЛ. I. ЛАЗЕР
По аналогии с теми соображениями, которые мы приводили при
определении формы однородно уширенной линии перехода A.8),
для пассивного резонатора мояшо связать ширину лилии с зату-
ханием моды:
A.18)
и ввести величину добротпости Q (гл. 4г § 5)
Q = 2ndv!fc. A.19)
Поскольку амплитуда и фаза па волновом фронте поперечной
моды полностью определены, то весь волновой фронт является ко-
герентным {т. е. площадью когерентности, введенной в п. 2.2, яв-
ляется как раз площадь волнового фронта моды). В гл. 10, § 9 мы
покажем в более общем виде, что процесс распространения и диф-
ракции (который происходит в открытом резонаторе) ведет к про-
странственной когерентности излучения в результате «отфиль-
тровываиня» из первоначально некогерентного поля. Временная
когерентность излучения, выходящего из пассивного резонатора,
определяется шириной линий его мод. Время когерентности есть
просто обратная ширина линии резонатора (т. е. постоянная вре-
мени излучения в резонаторе)
тког -d'fc A.20)
В § 6 мы рассмотрим, как меняется временная когерентность мод
в активном резонаторе при введении энергии в поле излучения че-
рез спонтанное и вынужденное испускание.
Если для пассивного резонатора потери очень велики, то
ширина линии затухающей моды может быть больше, чем частот-
ный интервал между соседними модами, которые в результате
теряют свою индивидуальность. С точки зрения подхода, приня-
того в работе [1], это эквивалентно ситуации, когда поле излуче-
ния не в состоянии выдержать значительного числа проходов до
момента окончательного затухания и поэтому процессы распро-
странения и дифракции не успевают «отфильтровать» моды.
§ 4. Вынужденное испускание
В 1917 г. Эйнштейн показал, что состояние термодинамическо-
го равновесия между излучением и веществом, при котором рас-
пределение энергии излучения по частоте подчиняется закону
Планка, а распределение атомов по различным возбужденным со-
стояниям описывается больцмановским распределением, можно
объяснить, постулируя следующие процессы, связывающие излу-
чение с веществом;

S 4. ВЫНУЖДЕННОЕ ИСПУСКАНИИ 25
1. Атом может претерпевать переход с верхнего уровня на
нижний благодаря процессу спонтанного испускания. В этом
случае вероятность в единицу времени перехода атома с верхнего
>ровня на нижний не зависит от интенсивности поля излучения,
а определяется только параметрами атомных состояний, участ-
вующих в переходе. Эта вероятность может быть охарактеризо-
вана коэффициентом Атп, таким, что скорость распада атомов с
верхнего уровня (т) па нижний (п) равна NmAmn, где Л'т —
населенность верхнего уровня.
Выше мы уже обсуждали вопрос о природе излучения, испус-
каемого при спонтанных процессах.
2. Атом в верхнем энергетическом состоянии может также из-
лучать при вынужденном процессе. В этом случае вероятность
перехода в единицу времени пропорциональна плотности энер-
гии поля излучения (в единице объема в единичном частотном ин-
тервале) на резонансной частоте, которая соответствует двум атом-
ным состояниям, участвующим в переходе. Скорость вынужден-
ного испускания равна
где индекс, относящийся к плотности энергии излучения, указы-
вает, что здесь рассматривается случай термодинамического рав-
новесия.
3 Атом в нижнем состоянии может поглощать энергию излу-
чения, переходя на более высокий уровень. Этот процесс анало-
гичен предыдущему процессу B), так что скорость поглощения
может быть написана в виде
NnBnmpr (vnm).
Поскольку тепловое равновесие есть стационарное состояние,
то между процессами, обусловливающими заселение и опустоше-
ние различных энергетических состояний атомов, должно суще-
С1вовать детальное равновесие. Поэтому можно написать
Л-
nfr (\-тп) = NnBnmpT (vmn).
Используя распределение Больцмаиа, позволяющее найти отно-
шение Nm/Nn, а также формулу Планка для излучения, которая
дает величину рг (v), можно показать, что описанных выше пр>-
цессов достаточно для объяснения наблюдаемых при тепловом
равновесии распределений. Можно также jcraiioBHTb соотношение
между введенными здесь коэффициентами:
nlg
A.21)

26 ГЛ. 1. ЛАЗЕР
тде gm и ?л — статистические веса двух состоянии (гл. 2, пп. 4.6,
4.7).
В случае лазера, как мы видели при обсуждении свойств опти-
ческих резонаторов (§ 3), речь идет о поле излучения с высокой
монохроматичностью, которое распространяется в строго задан-
ном направлении вдоль осп резонатора. Коэффициенты Эйнштей-
на были выведены для совершенно других условий, а имеиио для
случая теплового равновесия, где мы имеем дело с изотропным
полем излучения, интенсивность которого меняется с частотой
очень медленно. В этом случае интенсивность излучения постоянна
в диапазоне частот, в котором оно, взаимодействуя с атомом, ин-
дуцирует переход между двумя уровнями (т. е. плотность излу-
чения постоянна в зоне «функции отклика» атома). В случае же
лазера интенсивность поля излучения приближенно дается дель-
та-функцией, поскольку изменяется с частотой сильнее, чем
«функция отклика» атома. Если предположить, что скорости пе-
рехода при вынужденном испускании, соответствующие различ-
ным частотным компонентам излучения черного тела, аддитивны,
то скорости перехода, связанные с монохроматическим излуче-
нием интенсивностью /v на частоте v, можно записать следующим
образом:
Bmn{Ivfc)g(v, vmn), A.22)
где g(v, vmn) — некоторая приведенная функция отклика атома
(для резонансной частоты vmn). Условия справедливости предпо-
ложения, из которого следует A.22), а также строгий вывод A.22)
из полуклассической теории даны в гл. 3. Приведенная функция
отклика атома на монохроматическое излучение фактически опи-
сывается выражением A.6), которое мы написали для однородно-
го уширения линии при спонтанном испускании. Обращение к
классическому рассмотрению взаимодействия излучения с веще-
ством с использованием лоренцевской теории электрона (гл. 2,
п. 4.5) также приводит к функции отклика в виде A.6). Процесс
вынужденного испускания оставляет неизменными фазу, длину
волны, плоскость поляризации и все остальные параметры поля
излучения, вызывающего этот процесс. Эффект состоит в увели-
чении энергии поля.
§ 5. Профиль усиления и пороговые условия
для однородно ушнреииой линии перехода
Теперь мы можем приступить к выводу формулы для про-
филя усиления в случае однородно уширенной линии. Ес-
ли населенность верхнего атомного уровня на единицу объе-
ма есть Л'т, а нижнею — Л'„, то возрастание интенсивности

$ 5 ПРОФИЛЬ УСИЛЕНИЯ И ПОРОГОВЫЕ УСЛОВИЯ 27
монохроматического излучения при прохождении расстояния
бг в среде равно
6/v - (ВтпХт - Bnmb\)g(v, VmnWvfc) hvbz. A.23)
Используя соотношения между коэффициентами Эйнштейна A.21),
формулу A.23) можно написать в виде
1 dl А с3 ' Я \
^ & Ыт - ~ -Vn j ff (v, vmn) = *0Д11(у), A.24)
поэтому
/ =* /оехр KJfI(vJ].
Для того чтобы среда усиливала излучение (т. е. чтобы вынужден-
ное испускание преобладало над поглощением), необходимо
Гхли выполнено это условие, то говорят, что между двумя уровня-
ми, участвующими в переходе, существует «инверсия населенно-
сти». Для среды, находящейся в тепловом равновесии, распреде-
ление Больцмана дает
Лгт<ф.\\, A.26)
6 п.
Другими словами, поглощение всегда преобладает над вынужден-
ным испусканием. Этого и следовало ожидать, поскольку здесь
дополнительно присутствует процесс спонтанного испускания и
в условиях теплового равновесия полная скорость ухода атомоа
с верхнего уровня на нижний благодаря вынужденной и спонтан-
ной .эмиссии находится в равновесии со скоростью возбуждение
с нижнего на верхний уровень за счет поглощения излучения.
В активном веществе лазера, следовательно, населенности уров-
ней лазерного перехода должны быть выведены и.1 состоя-
ния теплового равновесия.
Профиль усиления в активной среде лазера при наличия
однородного уширенпя описывается лорепцевской функцией A.6).
При предварительном обсуждении свойств оптического резонато-
ра мы видели, что в ней существуют конфигурации поля с малыми
потерями (слабозатухающие моды резонатора), определяемые
граничными условиями. Когда усиление за проход в активной
веществе для такой слабозатухающей моды превышает потери
(на зеркалах резонатора или обусловленные дифракцией), тогда
энергия в этой моце будет возрастать до тех пор. пока эффекты
мшешцения усиления» не начнут ограничивать ее величину (мм

28 ' ГЛ. 1. ЛАЗЕР
обсудим этот вопрос в гл. 8). Другими словами, лазер начинает
генерировать на этой моде. Пороговое условие генерации легко
вывести из формулы A.24) для усиления активной среды и из
A.16), которая -характеризует потери в резонаторе:
Эта формула может быть переписана через добротность резонатора
A.19);
iVm
gjlv2 liVm „
\
n
Когда при увеличении возбуждения активной среды инверс-
вая населенность перехода возрастает, первой достигает порога и
начинает излучаться поперечная мода с самыми низкими потеря-
ми, которая соответствует ближайшей к резонансной частоте атом-
ного перехода продольной моде резонатора. Дальнейшее увеличе-
ние уровня возбуждения приводит к достижению порога другими
поперечными и продольными модами. По этот процесс зависит
от параметров резонатора (частотного интервала между модами)
и от атомных характеристик (ширины атомного резонанса). По-
скольку в случае однородно уширенной линии перехода различ-
ные моды получают энергию от одних и тех же атомов, следует
скидать возникновения эффектов взаимодействия мод между со-
бой. В результате их нельзя рассматривать как полностью неза-
висимые осцилляторы.
Вероятность вынужденного испускания в моде пропорциональ-
на интенсивности излучения в ней, поэтому энергия, подводимая
к активному веществу для создания инверсной населенности, пред-
почтительно «перекачивается» в генерируемые моды. С этой точки
ярения лазерный генератор интересно сравнить с каким-либо
устройством, в котором спонтанное излучение, скажем, от источ-
ника линейчатого спектра фильтруется с помощью пассивного
резонатора. В последнем случае резонатор может отфильтровать
узкую полосу частот (шириной Avpe3), однако остальная часть
энергии поля излучения отбрасывается и, следовательно, теря-
ется. В случае же лазера, где внутри резонатора находится актив-
ное вещество, процесс вынужденного испускания приводит к пред-
почтительному вводу энергии в моды резонатора с малыми поте-
рями. Кроме того, как мы еще увидим, спектральная ширина из-
лучения лазера (теоретически) на много порядков меньше по срав-
*) В выражениях A.27) и A.28) мы ограничили наше рассмотрение
поведением продольных мод, соответствующих некоторой поперечной моде.

§ 6. ШИРИНА СПЕКТРА ГЕНЕРАЦИИ ЛАЗЕРА 29
веншо с шириной спектра излучения, которое может быть отфиль-
тровано из спонтанно испущенного света с помощью обычного
пассивною резонатора.
Взаимосвязь оптического резонатора и активной среды можно
сформулировать следующим образом.
1. В процессе распространения за счет дифракции пассивный:
резонатор сообщает излучению пространственную когерентность
благодаря эффекту фильтрации.
2. При повторных отражениях излучения от зеркал резонато-
ра световая энергия, заключенная в модах с .малым затуханием,
остается риутри объема активного вещества, что делает домини-
рующим процесс вынужденною испускания, зависящий от ин-
тенсивности поля излучения.
3. Вынужденное испускание, которое при достижении в актив-
ном веществе инверсной населенности преобладает над процессом
поыощепия, осуществляет передачу энергии от активной среды
в моды резонатора. Этот процесс поставляет в резонатор энергию
излучения, которое по фазе, амплитуде и т. д. скоррелировано с
полем излучения, вызывающим процесс вынужденного испус-
ианпл.
4. Инверсная населенность должна быть довольно большой,
для того чтобы усиление моды в активной среде достаточно сильно
превышало потерн в резонаторе. При этих обстоятельствах поле
излучения в моде резонатора может усиливаться. Условие, при
котором усиление точно равно потерям в резонаторе, называют
пороговый условием.
§ 6. Ширина спектра генерации лазера
Для вывода порогового условия генерации на определенной
моде мы приравнивали потери в резонаторе усилению в активной
среде. При таком подходе добротность резонатора, включающая
как отрицательные потери (усиление), так и положительные, бес-
конечна. Это означает, что спектральная линия активной моды
бесконечно узка (т. е. представляет собой дельта-функцию). Если
возвратиться к процедуре вывода выражения для добротности
(или же ширины спектральной линии) пассивпого резонатора
A.10), то мы можем теперь считать, что усиление в активном ве-
ществе поддерживает амплитуду гармонического выходного сиг-
нала, препятствуя его затуханию, но не внося, тем не менее, воз-
мущений в его фазу. Это, разумеется, эквивалентно описанию час-
тотного спектра дельта-функцией.
До сих пор мы не учитывали влияние спонтанного испускания,
через которое также осуществляется ввод энергии в моду резо-
натора. Поскольку генерация не может нарастать неограничен-
но, усиление (за счет вынужденного испускания) должно быть

?Л ГЛ. 1. ЛАЗЕР
меньше, чем потери в резонаторе, а именно
{Усиление в активной среде! -f [Спонтанная эмиссия! =
= [Потери в резонаторе];
{[Усиление] — [Потери]} со (Г1. A.29)
Теперь добротность колебаний хотя и может быть очень большой,
однако уже не обращается в бесконечность и, следовательно, ши-
рина спектра генерации имеет конечную величину. Обращаясь к
электрической аналогии, можно сказать, что лазерный генератор
является ре1енеративным (с положительной обратной связью)
усилителем шума, обусловленного спонтанным испусканием.
Можно рассматривать влияние спонтанного испускания также
с точки зрения классической теории когерентности. Так как вве-
дение энергии в поле излучения за счет спонтанных процессов не
скоррелировано с самим полем, спонтанное излучение тем самым
вносит случайные флуктуации в амплитуду и фазу, что проявля-
ется в конечной ширине спектра.
В гл. 4, п. 5.1 ширина спектра генерации лазера получена про-
стыми методами с использованием величины Q для активного ре-
зонатора. Формула имеет вид
6v =
где Р — мощность когерентного излучения, выходящего из резо-
натора. Это выражение было получено в статье [3] по аналогии с
более ранней формулой, для ширины линии мазера, выведенной
в работе [4]. Мы рассмотрим это выражение, а также обсудим влия-
ние насыщения усиления (гл. 8) на амплитуду и фазу флуктуации
излучения лазера более подробно в гл. 10, §§ И — 13.
Из A.30) видно, что ширина линии генерации лазера зависит
от мощности когерентного излучения, выходящего из резонатора.
Чем больше выходная мощность, тем при данных параметрах ре-
зонатора уже линия. Этого следовало ожидать и из предыдущего
рассмотрения, поскольку чем выше выходная мощность, тем боль-
ше интенсивность излучения внутри резонатора, а, следовательно,
тем сильнее вынужденное испускание преобладает над спонтан-
ным в механизме передачи энергии в моду резонатора.
§ 7. Эффекты затягивания моды
Активное вещество обладает зависящим от частоты профилей
усиления. Обращаясь к дисперсионным соотношениям, можно
показать, что оно обладает также и зависящим от частоты по-
казателем преломления. В гл. 2, п. 4.5. где рассматривается ло-
ре нцевская теория электрона, мы выведем следующее выра-
жение B.62) для показателя преломления среды, состоящей из

5 7. ЭФФЕКТЫ ЗАТЯГИВАНИЯ МОДЫ 31
классических электронных осцилляторов:
= 1 4- ЛГе"л Vfi — v
Можно переписать A.31) через коэффициент поглощения B.69)
в такой среде. Это соотношение между показателем преломления
н коэффициентом поглощения имеет более широкую область при-
менимости, чем классическая лоренцевская теория электрона
(гл. 2, п. 4.10.1). Поэтому мы также можем заменить в окончатель-
ном выражении коэффициент поглощения на коэффициент уси-
ления активной среды a(vq) из A.24) и получить формулу
ct (vA (v — vAc
11 Vff — 1 . il.OA)
Г \ 41 v у f \ I
где знак минус появился из-за введения отрицательного поглоще-
ния, т. е. усиления.
На пороге генерации можно приравнять коэффициент усиле-
ния потерям в резонаторе и, используя A.8), A.18), A.24) и A.27),
ваписать показатель преломления через параметры резонатора
Av
ц (Vq) = 1 - t Рез (Vmn _ Vg). A.33)
q одн
В активном резонаторе частоты типов колебаний даются фор-
мулой A.15), которая, будучи переписана с учетом показателя
преломления активной среды, имеет внд
.0 _ Г __ VQ
- -Г-х. A-34)
™t-\'qf \* (Vq)
где v^ соответствует условию генерации. Комбинируя A.33) и
A.34) и несколько преобразуя результат, получим следующее вы-
ражение, описывающее линейное затягивание моды в активном
резонаторе вблизи порога: •
{v°q — Vg)/(vmn — vfl) = ДГрез/ДУодн = СТ. A.35)
Затягивание пассивной моды происходит всегда по направлению
к цептру линии vmn и является линейным в том смысле, что затя-
тваиие пропорционально расстоянию моды vq пассивного резо-
натора от центра линии. О коэффициенте о" в приведенной выше
формуле, представляющем собой отношение ширины линии резо-
натора к ширине однородной линии, говорят как об «отношении
стабилизации». Его типичная величина лежит между 0,1 и 0,01.
Ситуация аналогична той, которая имеет место в случае двух про-
стых связанных гармонических осцилляторов с различными

32 гя. i. лазер
резонансными частотами vq, vmn, когда один из иих затухает более
медленно, чем другой. Частота колебаний определяется, в основ-
ном, осциллятором с меньшим затуханием, однако она затягива-
ется в направлении частоты другого осциллятора.
§ 8. Неоднородно уширенная линия лазерного перехода
Выше мы уделяли внимание только лазерному переходу с од-
нородно уширенной линией (т. е. случаю, когда все атомы имеют
одинаковые резонансные частоты vmn). В наиболее же часто встре-
чающихся реальных условиях атомы- обладают распределением
резонансных частот. К примеру, в случае газового разряда, рас-
сматривавшегося в п. 2.1, атомы обладают распределенпем наблю-
даемых резонансных частот, соответствующим распределению
атомов по тепловым скоростям.
Для того чтобы вывести пороговые условия генерации лазера
в этом случае, поделим атомы на верхнем и нижнем лазерных
уровнях на группы в соответствии с их наблюдаемыми резонанс-
ными частотами vmn. По аналогии с A.12) населенность атомов на
верхнем лазерном уровне с наблюдаемой резонансной частотой
в интервале от vmn до v'mn -f- 6vmfl есть
6Л'т (v'mn) = Nm3) (vmn, Vmn) Ь\'тп A.36)
и иа нижнем уровне
() => Nng> (Vmn, Vmn) 6vm«. A-37)
Здесь мы предполагаем, что атомы как на верхнем, так и на нижнем
лазерных уровнях характеризуются одним и тем же тепловым
распределением.
Полное увеличение интенсивности монохроматического излу-
чения с частотой v для этих населенностей, по аналогии с A.23),
можно представить в виде
- [BmnbNm (x'mn) - BnmbNn (v'mn)] = g (v, v'mn) {Ivfc) hv 8z. A.38)
Чтобы получить полное усиление, обусловленное всеми атомами
на верхнем и нижнем лазерных уровнях, A.38) следует просум-
мировать по всей неоднородной, ширине линии. Окончательно
получим
id/ А <"*/ S \ С
7-^7 = -^Т Л'т—f*Vn J Si*, v;nJ>(v^n, Xmn) dv'mn =
- A-39)

5 8. НЕОДНОРОДНО УШИРЕННАЯ ЛИНИЯ 33
В случае, когда неоднородная ширина линии Avueoaw намного
больше, чей однородная ширина Д\'одН, входящая в интеграл ве-
личина jZ> (vmrl1 vmn) фактически является константой в диапазоне
изменения v'mrl, поэтому
«неодн (V) = ^ Ыт ~ ^Nn\ 0 (v, Vmn)- A.40)
Сравним это выражение для усиления при неоднородно уши-
ренном переходе с тем, которое было получено для однородно уши-
ренного A.24). Если для простоты рассмотреть случай, когда ча-
стота монохроматического излучения соответствует центру линии
(vmn), то мы будем иметь
Последний результат поддается простой физической интерпре-
тации. В случае неоднородно уширенной линии перехода излу-
чение взаимодействует только с теми атомами, видимые резонанс-
ные частоты которых отстоят от частоты излучения не далее чем
на величину однородно уширенной линии. Так как часть атомов,
удовлетворяющая этим условиям, дается отношением ширины
однородной к ширине неоднородной линии, то усиление на неод-
нородно уширенном переходе по сравнению со случаем чисто од-
нородно уширенного ниже во столько же раз.
Пороговое условие прн неоднородном ушнренни перехода по
аналогии с A.28) дается формулой
5(v.vmn)>^. A.42)
&IV*
Линейное затягивание моды при этом описывается следующим
выражением:
= ?SS2~- A-43)
Эго выражение можно сопоставить с формулой A.35) для ли-
нейного затягивания моды при однородно уширенном переходе.
В гл. 9, § 6 мы получим соотношение для линейного затягивания
вблизи порога для неоднородно уширенного перехода и покажем,
что это только лишь первый член разложения в ряд, которое опи-
сывает также и нелинейные эффекты.
3 А. МэйтЛЭнд, М Цаин

84 гл. 1. ллзер
§ 9. Насыщение усиления
До сих пор мы ограничивались рассмотрением пороговых усло-
вий генерации лазера, которые мы получили, приравнивая уси-
ление за проход активного вещества к потерям в резонаторе. Те-
перь возникает вопрос, что же происходит, когда инверсная на-
селенность продолжает возрастать дальше и усиление для одной
из мод в активной среде превышает потери? Полученные нами
выражения для усиления в этих условиях предсказывают беспре-
дельное возрастание интенсивности излучения. Ясно, что на прак-
тике этого произойти не может. Когда достигнута определенная
интенсивность поля, усиление должно уменьшаться нли насыщать-
ся, сравниваясь с потерями в резонаторе.
Как и во всех генераторах, усиление в лазере перестраивается
ва счет эффектов, нелинейных по интенсивности излучения. Выше
мы вывели соотношения, показывающие, что усиление представ-
ляет собой линейную функцию интенсивности в том смысле, что-
blv = a(v)/v 8z. Это — приближение слабого сигнала, а более
общее описание включает в себя члены, нелинейные по интенсив-
ности: 8/v = [a (v) /v — р (v) /v] 62. Физический мехапнзм, кото-
рый приводит к появлению нелинейных членов в выражении для
усиления, заключается в следующем. Активное вещество передает
энергию в поле излучения л поддерживает его, восполняя по-
тери в резонаторе. Вклад энергии возможен благодаря тому, что
переходы с верхнего лазерного уровня на нижний превалируют
над переходами в обратном направлении. Этот дополнительный
механизм потерь перехода уменьшает инверсную населенность,
которая при его учете начинает зависеть от интенсивности поля
излучения. Другими словами, усиление становится нелинейным
по интенсивности, поскольку инверсная населенность есть функ-
ция напряженности поля. Приравнивая уровень насыщенного
усиления потерям в резонаторе, можно определить интенсивность
при насыщении (стационарное состояние генерации).
Чтобы вывести соотношения, описывающие насыщение усиле-
ния, необходимо написать скоростные уравнения для инверсной
населенности как функции интенсивности и зате.м подставить
полученное для нее выражение в формулу усиления.
В гл. 8 мы рассмотрим насыщение усиления как в случае од-
нородно, так и неоднородно уширенной линии лазерного перехода
м получим в явном виде выражения для выходной мощности лазер-
ного генератора как функции параметров резонатора и характе-
ристик разряда. Зависимость уровня насыщения усиления or
длины приводится в гл. 9 прн обсуждении формализма лэмбов-
ской теории.

Г л а в а 2
ОСНОВЫ ТЕОРИИ ИЗЛУЧЕНИЯ
§ 1. Введение
Изучение электромагнитного излучения относится к одной из
¦интереснейших и плодотворных областей физики. Оно сыграло
значительную роль в развитии таких важных концепций, как тео-
рия относнтельности и квантовая теорня, которые, в свою очередь,
привели Эйнштейна в 1917 г. к формулировке постулатов о про-
л,ессах вынужденного испускания. Последние явились ключевыми
¦прн открытии и разработке лазеров. Действие лазера основано на
взаимодействии атомов с полем излучения и между собой. Возни-
кающее излучение может обладать такой большой интенсивностью,
что позволяет наблюдать новые
интересные эффекты. В следующих
параграфах приводится обзор тех
разделов теории излучения, кото-
рые имеют отношение к нашей
теме.
§ 2. Излучение в вакууме
2.1. Интенсивность излуче-
ния. Интенсивность излучения,
распространяющегося в опреде-
Pitc. 2.1. Плотность потока из-
лучения есть энергия, протека-
ющая через единичную перпен-
лесном угле в единичном час-
тотном интервале ja единицу вре-
мени .
ленном направлении (называемая дикуляриую к направлению по-
также плотностью потока), есть тока площадку в единичном те-
энергия, которая протекает через
единичную площадку, перпендику-
лярную к направлению потока,
в единичном телесном угле в единичном частотном интервале в
единицу времени. Согласно рис. 2.1 интенсивность в точке Р оп-
ределяется как
Iv = dEJ{da cos 9 dm dv dt), B.1)
тде dEy — количество лучистой энергии в частотном интервале

86 ГЛ. 2. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ИЗЛУЧЕНИЯ
(v, v -f dx), проходящей через площадку da внутри телесного угла
dm за время dt.
Излучение, распространяющееся внутри угла dm, на рис. 2.1
показано в виде узкого луча.
Интенсивность монохроматического излучения, будучи проин-
тегрирована по частоте, дает интегральную интенсивность.
В полярных координатах с осью г, направленной по внешней
нормали к площадке do, имеем
dm = sin G <Ю dtp. ' B.2)
Средняя по всем углам интенсивность равна
я 2л
Для осесимиетричного поля излучения, как эго имеет место в слу-
чае лазера,
B.4)
Поле излучения однородно, если / — одна и та же в любой
точке; оно изотропно, если / не зависит от направления в любой
точке. Если / одинакова во всех точках и во всех направлениях,
то поле излучения однородно и изотропно.
Равенство B.1) можно использовать для сравнения излучения
лазеров с излучением обычных источников. Однако такое сопо-
ставление следует проводить всегда с позиции ясного понимания
цели сравнения и физики данной проблемы. Из-за чрезвычайно
узкой спектральной лннни лазерного излучения B.1) может дать
такие величины, из которых следует вывод о желательном приме-
нении лазера в ситуации, где узкая линия излучения не является
необходимой или не может быть использована.
Кроме того, следует заметить, что в B.1) не входит поляриза-
ция, которая является важной характеристикой лазерного пзл>-
чсния.
2.2. Поток излучения. Потоком излучения называется ско-'
pocib протекания энергии через площадку do вблизи точки Р,
рассчитанная на единицу площади и единичный частотный интер-
вал. Поток выражается формулой
-^_ B5)
dad\dt* K '
где интегрирование производится по исему телесному углу. Из

i, 5 2. ИЗЛУЧЕНИЕ В ВАКУУМЕ 37
B.1) имеем
Fv = j/v cos 6 dw. B.6)
Используя полярные координаты с осью z вдоль направления
внешней нормали н площадке do~, получаем
я 2л
Fy = J f / F, ц) cos В sin G dQ dtp = я#\. B.7)
о о
(Для черного тела при температуре Т полный поток п9— constX
X Г4.) Как и в электростатике, множитель к введен для удобства.
При интегрировании монохроматического поюка по частотному
интервалу получим интегральный поток.
Введем декартову систему координат в поле излучения и рас-
смотрим соответствующие потоки излучения через элементарные
площадки, перпендикулярные осям. Если косинусы углов, под
которы.ми распространяется излучение, равны lL, l2, /3, а Fx обоз-
начает поток, протекающий в единицу времени через единичную
площадку, нормальную к оси х, и Fy, Fz — такие же потоки для
осей у и 2, то (для удобства опуская индекс v) будем иметь
Ft = J ILJa. B.8)
Поток через элементарную площадку, ориентированную под уг-
лом 6 к направлению распространения излучения с направляю-
щими косинусами ти т2, т3 в выбранной декартовой системе
координат, есть
F ~ \ I cos 6 did ~ \ I {1\гп1 + l2ni2 -f l3ina) d(s> = mL \ Ilx dm +
4- т2 \ Il2d(o 4- m3\ll3da> — mxFx -\- m2Fy 4- 'n~Ft = F-n, B.9)
где п — единичный вектор нормали к элементарной площадке.
Лазерное излучение обычно обладает осевой симметрией, так что
л
я#\ - 2л f /v (в) sin G соз 6 dO. B.10)
о
Поток и интенсивность часто путают между собой. При отсут-
ствии поглощения интенсивность в луче остается постоянной вдоль
его пути, даже если луч расходящийся, а поток уменьшается по
закону обратного квадрата.
2.3. Плотность энергии излучения. Некоторая область, че-
рез которую проходит электромагнитное излучение, в любой

33
ГЛ. 2. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ИЗЛУЧЕНИЯ
момент времени будет содержать определенноеколичество протекаю-
щей лучистой энергии. Плотность энергии и излучения есть элект-
ромагнитная анергия, содержащаяся в единице объема:
и =
Я3)/8л,
где Е и Н — соответственно электрическое и магнитное поля.
Связь этой величины с интенсивностью иллюстрируется рис. 2.2.
Пусть Р — точка в поле излучения, в
которой нужно определить плотность
энергии излучения. Рассмотрим выпук-
лую поверхность а с малыми линейными
размерами, окружающую точку Р. До-
пустим, что этот небольшой объем v на-
ходится в центральной области объема V,
ограниченного другой выпуклой поверх-
ностью 2 с намного большими линейны-
ми размерами, который, однако, настоль-
ко близок к v, что Iv можно считать по-
Стояпной вдоль всего объема V. Пусть луч
проходит через эту систему, входя в объ-
ем V через элемент d'Z н в v — через da
и вырезая часть объема dv из v. Энергия,
проходящая через do за время dt внут-
ри телесного угла dat в частотном интер-
вале (v, v + dv), в соответствии с B.1)
есть
Рис, 2.2, Плотпость энер-
гии излучения в обла-
сти, содержаще» точку
Р, определяется удель-
ной интенсивностью
излучения.
dEv = /„ do cos 6 dt dm dv.
B.12)
Если вместо dt подставить Не — время пересечения излучением
объема v, то энергия, присутствующая в dv в любой момент вре-
дгени, равна
dEv = /v do cos 9 c?o) dv Vcy
no / do cos 6 = dv, поэтому
dEv = /v dco dv dvfe.
Излучение со всех направлений, присутствующее в у в любой
момент времени, получается путем интегрирования этого равенства
по всем телесным углам и по всему объему и:
— j dv \da 1Ч = — dv \/vcfc).
Разделив обе части равенства на v и dv, мы получаем искомую

5 2. ИЗЛУЧЕНИЕ В ВАКУУМЕ 39
плотность энергии в единичном частотной интервале
vrfa>. B.13)
Плотность в равенстве B.13) складывается из плотностей излу-
чения во всех направлениях, в то время как лазеры обычно дают
поле излучения в виде узкого пучка с телесным углом До). В этом
случае плотность энергии излучения равна
wv = IvA<a'c. B.14)
Для изотропного излучения
uv = Anlvlc. B.15)
Для заданного спектрального интервала можно выразить и
через частоту или длину волны, учитывая, разумеется, что u^dv=
= uKd% и dvN = \d\i\\. Комбинируя эти равенства, получим
, ,1a uvv = икХ, B.16)
где v и Я, могут быть выражены в произвольных единицах, но их
произведение равно скорости света.
Иногда полезно перевести частоту в длину волны, используя
соотношение \d\\ = c\dX\ik2.
2.4. Давление излучения. Типичные твердотельные лазеры
обычно дают выходную мощность 107 — 108 Вт. Уже достигнуты
уровни 10э — 1010 Вт. При таких уровнях мощности интересно
оценить роль давления излучения в процессах взаимодействия
излучения с веществом, в частности, для рассмотрения движения
частиц в фокальной области при фокусировке луча лазера с мо-
дулируемой добротностью.
Классическая теория Максвелла показывает, что электромаг-
нитное излучение обладает линейным импульсом а направлении
распространения волны. Если плотность энергии излучения есть
и, нмнульс равен и/с, а его направление совпадает с направлением
распространения излучения. Этот результат можно получить, ис-
пользуя соотношение из теории относительности, связывающее
массу и энергию. Энергии и соответствует масса и'с2 и, следова-
тельно, импульс равен ис/с2 или и/с, что совпадает с приведенным
выше *). С точки зрения квантовой теории атом, поглотивший
квант hv из луча, приобретает импульс hv/c в том же направлении.
*) Приведенное рассуждение недостаточно строгое. Авторы не объяс-
пяют, в частности, импульс какого объекта они вычисляют и почему при этом
вычислении можно использовать соотношения классической механики.
Более аккуратное рассмотрение можно найти в книгах 17, 8] (прим. ред.).

40 ГЛ. 2. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ИЗЛУЧЕНИЯ
Атом, который поглотил фотон, возбуждается и может спонтапн»
испустить его по истечении определенного времени. При этом
он приобретает импульс отдачи hv/c в направлении, противопо-
ложном направлению фотона. Спонтанное испускание возбужден-
ными атомами никак не связано с направлениями движения
других фотонов, присутствующих в системе, и поэтому оно про-
исходит в любмх направлениях. Однако фотон hv может провзан-
модействовать с возбужденным атомом и вынудить его испустить
идентичный фотон hv. Вынужденное излучение всегда происхо-
дит в направлении падающего на атом фотона и поэтому атом по-
лучает импульс отдачи всегда в противоположном направлении.
В общем случае, когда атом поглощает или излучает фотон, он
либо увеличивает, либо теряет количество движения.
Поскольку излучение, падающее на систему, может вызывать
в ней изменения количества движения, его можно рассматривать
как силовое воздействие на систему. Возникновение силы проис-
ходит при изменении импульса поля излучения. Рассмотрим груп-
пу атомов, которые поглощают излучение из пучка и спонтанно
испускают. Так как спонтанное испускание атомов происходит
в случайных направлениях, то среднее изменение количества
движения системы равно нулю. Однако при этом фотоны уходят
из луча и тем самым обусловливают изменение нмиульса в направ-
лении луча, что проявляется как воздействие силы на систему.
Идеальный поглотитель, расположенный перпендикулярно к
пучку электромагнитных волн с плотностью энергии », поглощает
в единицу времени единицей поверхности энергию ис. Так как
количество энергии, которая проходит через единичную площадку,
нормальную к направлению распространения электромагнитного
излучения, определяется вектором Пойнтпнга Р, мы имеем ис =Р.
Если электромагнитные волны с плотностью энергии и падают
под углом 9 на абсолютно поглощающую поверхность с площадью
ri<r, то импульс, поглощаемый поверхностью за секунду (т. с. ско-
рость передачи импульса на поверхность), равен (ис da cos B)'c =»
=» uda cos 6 и, следовательно, р, давление излучения на поверх-
ность, дается выражением
р = и cos 6 = (Р'с) cos 0.
При нормальном падении на идеальный поглотитель давление из-
лучения равно плотности энергий.-Давление составляет одну ат-
мосферу, если Луч обеспечивает 109 Вт/см3. Эта величина легко
Достижима при фокусировке лазерных пучков.
Сила воздействия излучения на поверхность в направлении
луча есть и cos 6 da. Сила, направленная перпендикулярно к
поверхности, таким образом, равна и do cos3 6, а тангенциальная
составляющая uda cos 8 sin 6. Когда излучение изотропно, сред-

S 2. ИЗЛУЧЕНИЕ В ВАКУУМЕ 41
няя сила, нормальная к поверхности, есть и do/З, а тангенциальная
равна нулю, поскольку средняя по сфере величина cos2 6 равна
1/3, а усреднение cos 8 sin 8 дает нуль.
Рассмотрим случай нормального падения излучения с плот-
ностью энергии и на идеальный отражатель. Давление иа отража-
тель за счет потери импульса падающего луча есть и. Давление
из-за импульса отдачи отраженного луча также равно и, поэтому
суммарное давление равно 2и, что в точности соответствует полной
плотности излучения на отражателе. В общем случае произволь-
ной поверхности часть энергии поглощается, часть отражается
и часть проходит через нее. Здесь мы имеем и = иПогл + "отр +
+ ипр. Как uOTpi так н ипр дают давление отдачи. Полное дав-
ление на передней поверхности есть иа = и -f- иотр. Полное
давление на задней поверхности есть цпр.
Пользуясь терминологией интенсивности /v, имеем для энер-
гии, проходящей через do, величину/v cos 8 du> dv da dt. Эта энер-
гия обладает импульсом в направлении луча, равным
/v cos 6 dm dv da dt-'c. Полный импульс, протекающий через da,
есть } ^v cos2 6 ^° dx'/c.
4Я
Выражая d(x) через полярные координаты, получаем давление
pv в единичном частотном интервале, обусловленное излучением
в частотном диапазоне dv:
2я л
pv dv = I /v dv cos2 8 sin 6 dQ rftp c.
0 0
Для изотропного излучения имеем
л
Pv = 2n/v J cos2 8 sin ddb/c = 4n/v'3c.
6
Из B.15) получаем
рч = uv/3.
Электромагнитное излучение может также переносить угловой
момент, начиная с нулевого для плоской поляризации и кончая
максимальным для круговой, равным отношению //ос, где / —
интенсивность, а (о — угловая частота.
2.5. Тензор давления излучения. Передача импульса через
поверхность создает давление в системе либо путем переноса им-
пульса излучением, как в рассмотренном выше случае, либо аа
счет движения частиц в газе. Когда излучение неизотропно или
несимметрично распределение молекул по скоростям, то соответ-
ствующее давление в системе теряет свой «гидростатический»

42 ГЛ. 2. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ИЗЛУЧЕНИЯ
характер и начинает изменяться и соответствии с рассматривае-
мым местоположением и направлением.
Плотности энергии лазерного излучения могут быть настолько
высокими, что при рассмотрении процессов взаимодействия излу-
чения с веществом радиационное давление становится существен-
ным. Кроме того, поля излучения, которые мы будем рассматри-
вать, являются анизотропными. Энергия в них переносится в на-
правлении распространения лазерного луча. Поэтому лазерное
излучение вызывает возникновение сил в том же направлении,
как это было описано в п. 2.4. Пусть излучение с интенсивностью
/ в точке Р имеет направление, задаваемое направляющими ко-
синусами 1и 1%, 13 в декартовой системе координат. Допустим, что
направление нормали к элементу поверхности do идеального по-
глотителя вблизи точки Р дается косинусами mj, m2, т3, а угол
между нормалью и направлением распространения излучения
равен 6, причем
COS 6 = Ъпц + 1гШ% -\~ 1яП1ъ.
Энергия, протекающая через da в секунду в телесном угле dbi,
есть I cos Q do* da. Импульс, сообщаемый поверхности за секунду,
равен /cos Odtodafc и направлен вдоль излучения. Результирую-
щая сила, отнесенная к единице поверхности, имеет составляющие
lx \ I cos 6 doifc, 1г \ I cos 0 dw/c, l3 \ I cos 6 da)!с
вдоль осей х, у, z соответственно. Если поверхность расположена
перпендикулярно к оси х, то cos 6 = lt и сила, действующая на
единичную площадку, имеет три составляющие
где один индекс указывает направление нормали к рассматривае-
мой поверхности, а другой — направленно состав л ягогцой силы.
Аналогично имеем
\ Il%ltda)!c^ pzx) \ Пц1г d(o/c = pz(h J
Таким образом, тензор давления излучения записывается следую-
щим образом:
"хх "хУ "хг
Р,
Р ==
где ри еж Iltlj dale.
Ух
1\х

§ 3. ИЗЛУЧЕНИЕ В РЕЗОНАТОРЕ 43
§ 3. Излучение в резонаторе
3.1. Типы колебаний в закрытом резонаторе. Плоская волна,
распространяющаяся в далном направлении, может быть представ-
лена в виде
А = Ло cos {at — 6 — к-г). B.17)
В этом равенстве Ао — амплитуда, 0 — фазовый угол, не завися-
щий от положения и времени и определяющийся выбором начала
системы координат, к — волновой вектор, указывающий направ-
ление распространения (о его величине речь пойдет ниже), а г —
радиус-вектор произвольной точки на волновой поверхности, про-
веденный из начала выбранной системы координат. Пусть расстоя-
ние от начала координатной системы вдоль направления распро-
странения есть s. Для точек, лежащих на этом расстоянии, к-г =
= ks. Длина волны Я — это расстояние между соседними макси-
мумами Лт = Ай. Максимумы расположены в точках sm и sm + К*
поэтому
cos (tof — 6 — ksm) = 1 и cos (tat — 6 — к (sm -f- к)) — 1<
Тот же результат получается при прибавлении 2т
cos {<x>t — 6 — {ksm + 2л)) = 1.
Следовательно, мы имеем ksm + /Л = ksm -j- 2л, откуда
ft = 2п/Ь. B.18)
В свободном, ничем не ограниченном пространстве могут рас-
пространяться электромагнитные волны с любой длиной волны.
В закрытом объеме, ограниченном хорошо проводящими (для
простоты) стенками, излучение отражается от них и в результате
интерференции образуются стоячие волны. Разрешенная длина
стоячих волн диктуется граничными условиями, которые требуют
равенства нулю тангенциального электрического и нормального
магнитного полей на стенках. Каждая система стоячих волн — это
тип колебаний (мода) резонатора. Чтобы вычислить число мод,
предположим, что резонатор имеет прямоугольную форму со сто-
ронами а, Ь и с (не следует путать последнее обозначение — бук-
ну с — со скоростью света).
Разрешенные длины волн вдоль направлений а, Ь и с соответ-
ственно равны
fc/2 = all, h'2 = Ь'т, V2 = dn,
где I, m и п — положительные целые числа. Таким образом, воз-
можные значения составляющих волнового вектора к в этих

44 ГЛ. 2. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ИЗЛУЧЕНИЯ
направлениях равны
А-?. m, n = 2л!'2а, 2лт/2Ь, 2л л'2с B.19)
и каждое значение I, m, n соответствует отдельной иоде. Для пол-
ноты картины следует учесть существование двух взаимно перпен-
дикулярных поляризаций i ~ 1, 2.
Перейдем теперь к системе координат в ^.-пространстве, в ко-
тором записаны величины А*;, т< п. В этом пространстве расстоя-
ние между модамп равно
ДА-/ = к1+ 1, „, п — &i. m, n = 2л'2л.
Аналогично имеем
Акт = 2п/2Ь и Д/.-п = 2л/2с.
Таким образом, каждый тип колебаний занимает объем BпKЯаЬо
в А;-пространстве. Плотность типов колебаний есть $abc'BлK.
В общем случае плотность типов колебаний дли любого объема
равна 8X объем'BлK. Допустим, что в резонаторе существуют
частоты в диапазоне от 0 до v. Это соответствует интервалу волно-
вых векторов 0 -+¦ 2п/к = 2nv!c. Последнее означает, что в к-
пространстве эти тины колебаний заключены в объем, составляю-
щий восьмую часть сферы с радиусом Invlc, поскольку в А-нро-
странстве присутствуют только эти величины к. Полное число мод
в указанном объеме есть
N = 2(объем сферы/8) X плотность мод.
Появление коэффициента 2 связано с наличием двух поляризаций.
Имеем далее
8 3 I с I Bл)*'' 6 с*
Число мод р в единице реального объема (плотность мод) в единая
ном частотном интервале равно
р = A/V) dN/dv = 8nvVc\ B.20)
Число мод, приходящееся на реальный единичный объем в еди-
ничном частотном интервале в телесном угле 5Q, составляет, таким
образом:
(р/4п)бй = 2va5Q/c*.
Плотность ы энергии излучения черного тела в еди-
ничном частотном интервале равна произведению pECfi, где Еср —
средняя энергия, приходящаяся на тип колебаний, которую

S г. излучении в резонлторв 45
агожно получить из закона Планка:
^nhvexp(—nhv/kT)
B.21)
^СЕ» ^ t-xtH/iv/AT) —1'
Отсюда
в =^ \ . B 22)
c* exp (Av/ АГ) — Г v ' '
Будучи записана через длину вольты, эта формула имеет вид
и = ^2 ! .. B 23)
Отношение коэффициентов Эйнштейна (см. п. 4.7) равно
Л/S = 8лЛу»/с». B.24)
¦Слрловательчо, имоем
Л = /ivpS. B.25)
При Л = uBt т. в. в случае равриства скоростей спонтанного и
вынужденно со испускании, получаем
• i и = Л\-р. B.2«)
Таким образом, в этих условиях плотность энергии складывается
из фотонов, каждый из которых приходится на одну моду.
3.2. Излучение черного тела в отдельной поперечной моде.
Для того чтобы сравнить излучение лазера с излучением дру-
гих источников^ нам следует проанализировать типы коле-
<баиий. В п. 3.1 мы описывали излучение черного тела, пользуясь
понятием типов колебаний закрытого резонатора. Здесь мы рас-
смотрим излучение черного тела в одной поперечной моде опти-
ческого резонатора. Такое излучение может спонтанно возникать
s активной среде.
Число фотонои, излучаемых в моде с индексами m, nt qt равно
-1], B.27)
тда коэффициент 2 соответствует двум плоскостям поляризации,
индексы тип относятся к поперечным модам, a q — к продоль-
ным модам (гл. 4, § 6). Каждая поперечная мода складывается
из полного набора продольных мод. Общая энергия в такой попе-
речной моде получается суммированием B.27) под и умножением
на hv. В резонаторе длиной L частотный интервал между про-
дольными модами равен Av — c!2L, Число мод, разделенных
отрезком Av4 в единичном частотном интервале равно 1/Av =*

46 ГЛ. 2. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ИЗЛУЧЕНИЯ
•= 2L'c. Последнее совпадает с производной dq'd\\ которая есть
dg'dv = 2Vc.
Таким образом, полная энергия в отдельной поперечной моде
составляем
п= \gmnqhv2Ld\lc.
6
Следовательно,, энергия в одной поперечной моде тп резонатора
равна
«о
L h\ dv
,) с exp(h\JkT) — l'
о
Обозначая hv.'kT = х и заменяя d\ = (kT!h)dxx получаем
J
О
Последний интеграл представляет собой функцию Римана от
аргумента 2 и имеет величину л2,'6.
Таким образом, энергия на единицу длины резонатора есть
EmJL = ртп - 2п2{кТ)ЧЪЫ. ь , ,( B.28)
Энергия, проходящся в секунду через поперечное сечение резона-
тора вдоль его оси в данном направлении, равна
W = pmnc/2 = п\кту№. B.29)
Можно привести ето равенство к более привычному виду, выразив
среднюю энергию кТ через среднюю энергию фотонов кТ = h\t
откуда Я = hc.'kf. Последнее соотношение может быть записано
в виде , _
{kTVhcf = 1. ' " B.30)
Помножив B.29) па B.30)г окончательно получаем
W = аГEХ2/2л8), B.31)
где а — постоянная Стефана — Больцмана.
Формула B.31) дает мощность излучения черного тела, содер-
жащуюся в отдельной поперечной моде оптического резонатора.
Она была получена в работе [1 ] при сравнении лазеров и тради-
ционных излучателей.

§ 4. ИЗЛУЧЕНИЕ И ВЕЩЕСТВО 47
3.3. Число фотонов d определенном квантовой состоянии,
испускаемых черным телом. Фотоны в данном квантовом состоянии
занимают одну и ту же ячейку в фазоволг пространстве. Числ>
фотонов в данном состоянии равно параметру вырождения б.
Для числа фотонов, занимающих одиу ячейку в фазовом про-
странстве, не существует предела, как не существует предела для
интенсивности поля в классической теории. Число фотонов в дан-
ном состоянии определяется числом квантов, проходящих пло-
щадь когерентности АИГ)Г за время когерентности тког (гл. lOfr
§ 2). Из A0.1) следует, что
Тког = 2л/Да>. - B.32)
Из закона Планка (гл. 2, п. 3.1) можно получить число фото-
лов с частотой в диапазоне (to, to -J- До), излучаемых площад-
ной ААЙ черного тела за секунду во всех направлениях. Из
tB.22) для этого числа имеем
r) —Г
Насть фотоповк которая проходит через площадь когерептпостн
~^когт удаленную на расстояние R% составляет Лког/АпЙ2. Поэто-
41 у число fi фотонов, пересекающих Лког за время ТКОГ4 Дается
выражением
2«а я*са ехр (Аш/АГ)— I* V-.ou/
Пользуясь соотношениями A0.16), A0.15) и A0.1)я можяо
показать, что Лког = Я2Л2/ДЛЯ. Подставляя последнее в B.33),
-получаем B.27), т. е. параметр вырождения и число фотонов в мо-
де совпадают. Таким образом, объедг когерентности, ячейка фазо-
вого пространства и тип колебаний являются эквивалентными
.понятиями. Число фотонов в определенном кваптовоу! состоянии,!
«спускаемых лазером, есть просто Ртког'Йо>, где Р — мощность
излучения в одной моде.
§ 4. Излучение и вещество
4.1. Массовый коэффициент поглощения. Взаимодействие
между излучением и веществом обычно описывают, прибегая к
понятиям испускания и коэффициента поглощения. Различные
процессы, которые приводят к упшрению линий испускания, ока-
зывают также влияние и на процесс поглощения. Поэтому как
параметры испускания, так и коэффициент поглощения суть
Функции частоты.

48 ГЛ. 2. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ИЗЛУЧЕНИЯ
Пучок излучения с интенсивностью /v, нормально падающий
на поверхность поглотителя, при прохождении толщины dh ос-
лабляется по интенсивности на величину dlv. Пока мы не подчерки-
ваем различий между возможными типами поглощения и включаем
в это понятие все процессы потерь, так как сейчас иам необходи-
мо вычислить лнщь ослабление интенсивности. Уменьшение ее про-
порционально /v и dh. Константа пропорциональности есть коэф-
фициент поглощения. При введении в этот коэффициент плот-
ности материала р получаем массовый коэффициент поглощения
кМх. Энергия, поглощаемая за секунду на толщине dh в единице
поперечного сечения, равна
dlvdv = -IvdvkMvpdh. B.34)
Коэффициент кт можно вычислить квантовомеханическими
методами.
Если начальная интенсивность равна /v0, а толщина погло-
щающего слоя h, то путем интегрирования последнего уравнения
можно определить интенсивность пучка после прохождения рас-
стояния h в веществе:
Ivh = /voexp I - |?fthvpdfc j. B.34a)
Это равенство можно записать в виде
AA = /veexp(-T?)( B.35)
где tv — оптическая толщина.
4.2. Атомный коэффициент поглощения. Пусть т — масса
атома, an — число атомов в единице объема. Используя соотно-
шение р = тпг имеем
d/v dv = —Iv dv кМчтп dh.
Атомный коэффициент поглощения определяется равенством
*av = ^Mvm- B-36)
Получаем далее
dl4 = —I,kavndh. * ' B.37)
Коэффициент /cav имеет размерность [см2].
4.3. Число актов поглощения в единицу времени. Рассмотрим
элементарный объем поглощающего вещества плотностью р„
имеющий форму цилиндра с основанием dA и высотой dh. До-
пустим, что излучение распространяется вдоль оси цилиндра
г.нутри телесного угла dto, а его частота лежит в интервале
dv вблизи v. Энергия^ поглощаемая за время dt в объеме

§ 4. ИЗЛУЧЕНИЕ И ВЕЩЕСТВО . 49
\
dV = (UidA, есть
dVAE = —fv1$№vpdJidAdvd(udt.
Но pdhdA — это масса материала в элементарном цилиндре,
поэтому
Д? = —Ivkavnndv deadly
где пп — число поглощающих атомов в едшшце объедка. Число
актов поглощения квантов энергии hv в секунду в едипице объ-
ема! приводящих к переходу с уровня п на уровень mt равно
AE/hv dt — — h kavnnd(x) dv/hv, B.38)
' ¦ *¦- nn~*mdv = nnkavdv j /v tto/hv. B.39)
Подставляя в B.39) плотность энергии излучения, получаем
пп-+т dv— n;i/rav dvcuv/h\\ B.40)
4.4. Классическая теория излучения. Осциллирующий ди-
поль, состоящий из электрона и ядра (лоренцевский осциллятор)*
излучает энергию в соответствии с соотношением
dt'dt = -2е>J/3с% B.41)
где е — заряд электрона (в системе СГСЭ), v — его ускорение.
Потери энергии можно приравнять работе силы реакции излу-
чения за секунду:
F . v = —2e2(i;J/3c3. B.42)
Среднюю за период силу можно получшь следующим способом.
Интегрирование по частям дает
Разность t2 ~ tt можно выбрать равной периоду, с тем чтобы член
в квадратных скобках принимал одно и то же значение при tt и
t . Таким образом, правая часть обращается в нуль и
Пусть смещение электрона в диполе равпо х. Скорость v = x и
v = х. Уравнение движения электрона (с массой т) таково:
2 е* ¦¦•
тх = — Кх + -j- — х, B.44)
А Майтлэнд, М Даны

50 ¦ ГЛ. 2. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ИЗЛУЧЕНИЯ
где (—Кх) — возвращающая (кулоновская) сила дипольного ос-
циллятора. Сила, обусловленная реакцией излучения, намного
меньше, чем возвращающая. Поэтому смещение х приблизительно
равно х яй а;оехр(—1щ1), откуда х =—щх. Поскольку о)о =>
= (К'т) '*л окончательно получаем
+ ух + соо-г = 0, B.45)
где у — классический коэффициент затухания излучения^ да-
ваемый соотношением
V - 2е2ы2?3с3т. B.46)
Так как коэффициепт 7 мал, решение уравнения B.45) предста-
вимо в виде
х =
Скорость энергетических потерь, усредненная за период,, может
быть получена из B.41)^ что дает
?4?-Y0. ¦,.. B.47)
Последнее показывает, что средняя скорость изменения энергии
излучения диполя пропорциональна квадрату дипольного мо-
Аюнта. Ясно, что т = Ну можно определить как время затухания
или излучательное время жизни осциллятора. Формула B.47)
дает для видимого диапазона спектра времена жизнц~ 10~8с.
4.5. Классическая теория взаимодействия атомов с электро-
магнитным излучением. Классические осцилляторы были хорошо
изучены еще до возникновения квантовой теории. Многие идеи и
аспекты классической теории нашли отраженна и в квантовой тео-
рии благодаря принципу соответствии. Здесь мы приведем одна
из таких примеров — классическую теорию поглощения и про-
демонстрируем связь классической теории с квантовой, введя
понятие силы осциллятора^ которое широко используется в спек-
троскопии.
Б классической теории Лоренца атомы рассматриваются как
гармонические осцилляторы, в которых электроны в простейшем
случае осциллируют с частотой о>о. Рассмотрим монохроматиче-
скую электромагнитную волну с длиной^ много большей, чем
размеры атома, так что в объеме атома поле можно считать одно-
родным. Допусти^ эта волна падает на лоренцевскин атом в
единственным электроном. Мы пренебрежем эффектами, обуслов-
ленными магнитным полем,; поскольку величина силы, с которой
оно действует на электрон, в vie раз меньше силы воздействия на
электрон электрического поля. Пусть электрическое поле задано

как
5 4. ИЗУЧЕНИЕ И ВЕЩЕСТВО 5*
Е = EQe\v(-iat). B.48)
Воздействие электрического поля проявляется в смещении элек-
трона из положения равновесия в направлении вектора Е. Урав-
нение движения электрона с массой т и зарядом —е таково:.
тх = — eJ0oexp(—i&t) — Кх — gx, B.49)
где Кх — возвращающая сила, a gx — сила, обусловливающая
ватухание, по предположению пропорциональная скорости.
Пусть gjm = у. Тогда, поскольку К'гп = «о, мы получаем
х + Тж + <АХ = {— eEjm) exp (— Ш). B.50)
Отбросим решения этого уравнения, которые описывают переход-
ные процессы, и рассмотрим решение в виде х =xQ exp{—ttoi).
(Выбор этого решения вызван тем, что смещение электрона, каза-
лось бы, должно следовать за приложенным полем.) Подставляя
нто выражение в B.50), получим
X = — еЕ0/т ' " ' *:
Таким образом,
х — — (e?/m)/[(<i)§ — to2) — iyo)]. B.51)
Комплексная форма величины ж0 появляется в связи с наличием
члена, онисывающего затухание, и означает, что смещение элек-
трона находится не в фазе с прикладываемым полем.
Из элементарной теории известно, что дипольный момент р
aTOMat возникающий нод действием поляг равен
р = аЕъ _ B.52>
где константа а есть поляризуемость атома. В результате полу-
чаем
— ех = р = аЕ = {е%Е/т)/[{®1 — о>2) — i>»],
а - l{eV)/[(g ю2) i] '
Квантовая теория дает следующее выражение для поляризуе-
мости (в отсутствие затухания):
Р = /я« <*я/*)/(а>2« - to2)- B.54)
Мы видим, что классическое выражение отличается от квантово-
механического множителем fnm. Этот множителц представляющий
4*

S2 ГЛ. 2 ОСНОВЫ ТЕОРИИ ИЗЛУЧЕНИЯ
собой эффективное число электродов в классической системе,
называется силой осциллятора.
Если число диполей на единицу объема равно 7Vt диполт.иьш
¦тмент единичного объема Р газа получается простым суммиро-
ванием всех диполышх моментов (что справедливо только для
газов):
Р = Np = — Nex. B.55)
Используя соотношения в = 1 -f faiNa и ]*% = е, где р — ди-
длвктрическая постоянная^ а цс — показатель преломления сре-
ды, получаем
е = $ = 1 4- ^Ag'/w ^ ^ 56
(cor — о>л) — ivw - '
Диэлектрическая постоянная (как и показатель преломления)
является комплексной величиной. Это означает, что среда погло-
щает излучение. Выделим действительную и мнимую части пока-
зателя преломления:
цс = р, + Ы% B.57)
Г, , Ая№/т 11/2 .. cnv
(i + ix = 1 4- -7—5 ^ • B.58)
L ¦• J
Второй член в квадратных скобках в случае газов мал по сравне-
нию с единицей. Разлагая правую чзсть B.58) в ряд и оставляя
лишь первые два члена разложения, имеем
~~- B-59)
Разделяя инимую и действительную частиг получаем
1 + VИ
B.G0)
Вблизи резонанса w « соОг поэтому можно заменить о)о — и1
«а 2со((оа — о))( что дает
И - 1 + (<tt0_M), + Tv4 » <22>
Выведем соотношение между к я массовым коэффициентом
поглощения frMV (гл. 2^ п. 4.1) для среды плотностью р. Рас-

\
S 4. ИЗЛУЧЕНИЕ И ВЕЩЕСТВО 53
смотрим плоскую электромагнитную волну« распространяющуюся
в веществе в направлении оси х. Пусть начальная интенсивность
равна /(„ а интенсивность в точке х есть 1Г что соответствует
напряженности* электрического поля Еа и Е. Волновое уравнение
для Е имеет вид д1Е'дх1 = (\'v2)d'E dt*'r где и — фазовая скорость.
Решение этого уравнения дается формулой ¦
Е = ?0expl-fo>(* - x!v)\ B.64)
Так как скорость и = e!\iCl это решение можно переписать в виде
Е — ?оехр(—<axx!c)exp[iio(t —~ \ix'c)]. - B.05)
Множитель ехр(—ыкх'с) показывает» что амплитуда волны умень-
шается по мере распространения волны через среду. Поскольку
интенсивность пропорциональна квадрату амплитуды, мы имеем
/ = /0ехр<-2ожя'с). B.A6)
Сравнивая это соотношение с B.34а)г которое мы здесь
запишем в виде
/ = /eexp(-/.MpJ-)) B.G7)
получаем
к„р = 2ож/с. B.68)
Нчееи, таким образом^
Учитывая, что /смр есть коэффициент поглощения, отнесенный
к единице объема, а Л' — число связанных электронов в единич-
ном объеме, колеблющихся с собственной частотой «,,, получаем
для осциллятора классический атомный коэффициент поглощения
(классическое поперечное сечение поглощения aTovm) kd:
Па частоте, для которой о>о — о> — у'2( коэффициент поглощв-
иия составляет но.ювину его величины при частоте о>о. Следова-
тельно, величина у представляет собой полную полуширину кон-
тура коэффициента поглощения. Профиль линии* описываемый
равенством B.70),— лоренцевскин.
Затухание, связанное с множителем у, может быть обусловле-
но излучением или соударениями. Что касается первой причины,
то влияние радиационного затухания было рассмотрено в п. 4.4
настоящей главы. Анализ показывает, что в величину у входит
также затухание классических осцилляторов из-за столкновений.
Однако этот анализ слишком обширен^ чтобы его можно было

М ГЛ. 2. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ИЗЛУЧЕНИЯ
вдесь привести. Интересующегося читателя можно отослать к ра-
боте [2], в которой показано, что .,
У = 7«т + Т.тг B-71)
где Уест обусловлено затуханием при излучении (естественным
ватухашиш)г а уст — затуханием за счет соударений (столкно-
вений).
Анализ основан на предположении о том, что в процессе стол-
кновений происходят произвольные изменения фазы и амплитуды
колебаний в лоренцевском атоме. В этом случав уст — 2/тст, где
тгт — среднее время между соударениями (множитель 2 возни-
кает вследствие того, что каждое соударение ограничивает время
жизни сразу двух осцилляторов; предполагается, что присутст-
вуют только возбужденные осцилляторы). Среднее время между
столкновениями равно l!v, где I —средняя длина свободного пробе-
га, v — средняя скорость. Для поперечного сечения до2 при давле-
нии р средняя длина свободного пробега 1 = кТ/(Ц/^2ло2р); сред-
няя скорость v = (8А*Г/лЛ/I/2.Таким образом, уст можно полу-
чить из уравнения
.. _ 32/noV_
За длительность столкновения можно принять время, требующе-
еся соударяющимся частицам для пролета нескольких диаметров.
Это время ~10-8/10sc= 10~13 с включает в себя много периодов
оптических колебаний.
4.6. Дифференциальные коэффициенты Эйнштейна. Эйнштей-
новские коэффициенты характеризуют вероятность переходов меж-
ду энергетическими уровнями атомных и молекулярных систем.
Здесь мы будем различать понятия энергетические состояния и
внергетические уровни. Энергетический уровень определяется
набором 2/ -j- 1 энергетических состояний с существующим или
снятым вырождением. Линия излучения соответствует всем воз-
можным переходам между состояниями, принадлежащими двум
уровням. Линия складывается из компонент, относящихся к не-
реходам между парами состояний. В обычных источниках света
населенности состояний, отвечающих некоторому уровню, равны
между собой, поскольку процессы возбуждения и снятия возбуж-
дения носят довольно случайный и изотропный характер. Это
естественное возбуждение рассмотрено в [3]. В случае лазера ин-
тенсивное поляризованное однонаправленное поле излучения
осуществляет анизотропное снятие возбуждения (или «селектив-
ное опустошение») путем вынужденного испускания. В результа-
те возникают большие отклонения от распределения населен-
ности, соответствующего естественному возбуждению. Дифферен

§ 4. ИЗЛУЧЕНИЕ И ВЕЩЕСТВО 55
диальные коэффициенты Эйнштейна являются существенными при
анализе такого рода проблем. Они позволяют рассматривать влия-
ние направления распространения и поляризации излучения
Привлечение этнх коэффициентов возможно только в случав ши-
рокополосного излучения, т. е. там, где плотность энергии излу-
чения чрезвычайно слабо зависит от частоты в пределах всей ли-
нии поглощения атома B,70).
Рассмотрим переход (например, в атоме), происходящий
между уровнями типе такими энергиями, что Ет > Еп и Ет —
— En=fni), где to—частота фотона. Под влиянием различных про-
цессов происходит срасплывание» частоты на интервал dto вблизи
точки to, соответствующей испущенному фотону. Фотон, испу-
щенный при переходе т ~н п, вылетает в определенном направле-
нии в телесный угол dQ и имеет определенную поляризацию а.
Поскольку любую поляризацию можно представить двумя поля-
ризациями, направленными под прямым углом друг к другу, то
а = 1, 2. Допустим, чго dpcn — вероятность спонтанного пере-
хода т --»- п в единицу времени в единичном частотном интервале.
Вероятность испускания в интервале rfw в окрестности частоты ы
в угол dQ фотона с поляризацией а пропорциональна dQ и t/to:
dpcn "w == amn dQ doit
ОЛИ
dpcn = атп dQ. B.73)
Фотон, родившийся при переходе т sn, пролетая вблизи друго-
го атома, может поглотиться им, в результате чего произойдет
переход п ~ч т. Если же атом уже находится на уровне т, то
фотон может стимулировать переход т ~ч п. Пусть соответствую-
щие вероятности процессов поглощения и вынужденного испуска-
ния в секунду на единичный частотный интервал равны е^ПО1,л и
dpB исп- Эти вероятности пропорциональны числу фотонов с энер-
гией ftto, присутствующих в единице объема (плотности фотонов)
в любой заданный момент времени. Плотность энергии излучения,
распространяющегося в угле dQ, с поляризацией а и частотой,,
лежащей в интервале (о>, о> + doi), естьи2{й)йййо), так что плот-
ность фотонов равна «о (Q)dQ rfto/Йо). Таким o6pa3OMv снова опуская
<?«,, мы имеем
dp л = bnmiia (Q) dQ B.74)
и
dpB исп = bmnu% (Q) dQ. B.75)
Постоянные а^п, Ь^т Ь„т представляют собой дифференциальные
коэффициенты Эйнштейна.

16 ГЛ. 2, ОСНОВЫ ТЕОРИИ ИЗЛУЧЕНИЯ
Энергетические уровни обычно вырождены, и несколько раз-
личных состояний данного уровня могут быть заняты с равной
вероятностью. (Вырождение может сниматься ври наложении
электрического или магнитного иол я.) Если полная плотность
атомов, находящихся на энергетическом уровне тг есть Nш,
а плотность в одном из состояний уровня т равна пт, то
gmnm =« Nm% B.76)
где gm — степень вырождения, или статистический вес, уровня т.
Если число атомов в энергетических состояниях гп и п в единице
объема составляет соответственно пт и пп, то число испущенных
в секунду фотонов при переходе т -*• п есть nm(dpca -\- йрЪт исп),
а число поглощенных в секунду при переходе п -> т равно
nndpaQTn. Когда населенность уровня т достигает стационарной
величины» скорости поглощения и испускания должны сравни-
ваться. В этом случае из B.73)t B.74) и B.75) находим
"nC^<S) =- "т[Ы(й) + яУ. B.77)
Излучение черного тела не зависит от конкретных свойств веще-
ствз,. с которым оно находится в равновесии. Поэтому, анализи-
руя систему в условиях теплового равновесия с использованием
дифференциальных эйнштейновских коэффициентов,, можно полу-
чить соотношения между коэффициентам^ которые справедливы
и в общем случае.
Для системы, находящейся в тепловом равновесии,
XJXn = {gJgn)exV{-{Em - ЕлIкТ\. B.78)
Привлекая далее B.76) н подставляя B.77)т окончательно полу-
чаем (использование B.78) в B.77) предполагает приближение,
в котором линяя поглощения является узкой)
ul{Q) = alJ\blmWv{rmikT) -bljblm\\. B.79)
Закон Планка для излучения поляризации а в направлении
вблизи Q выражается формулой
Более привычная форма закона Планка получается из B.80) ин-
тегрированием по углу Q = 4л, и суммированием но двум поля-
ризациям а = lt 2:
_ йы3 1
и<л ~ ласэ exp{h(a, кТ) — 1'

§ 4. ИЗЛУЧЕНИЕ И ВЕЩЕСТВО 57
Для того чтобы заменить угловую частоту на обычную» напомним,,
что 2nv = и и 2п (/v = do>. При замене <о на v плотность энергии
излучения не меняется: uado> = uvdv. Следовательно, 2nuw = «v.
Формула Планка B.22L будучи выраженной через частоту,
имеет вид
v сз exp {hv/kT) — Г
да
Плотность энергии излучения U = \ ишд<л.
6
Сравнивая B.79) и B.80), находим
/Л = }>а па /}>1Х =//(.vVRjtV С1? ЯП
Cnnt (/rnrij "mn/ "тгг — «uj /ил с . y^.oi I
Полученные дифференциальные коэффициенты Эйнштейна можно
применять для рассмотрения индивидуальных состояний, отно-
сящихся к вырожденному уровню, по отдельности. Они описы-
вают переходы между энергетическими состояниями и справедли-
вы независимо от того,, находится система в равновесии или иет.
4.7. Коэффициенты Эйнштейна. Плотность энергии излуче-
ния на частогэ ы = o>mn с заданной поляризацией, включающая
в себя все направления! в которых присутствует поле излучения,
есть
t{Q)dU. B.82)
Если поле излучения таково, что его направление, как в случав
лазерных пучков, лежит внутри небольшого угла dQt то плот-
ность и«{п) близка к б-функции угла Q. Соответствэнно, интегри-
руя B.74) с учетом всех возможных направлений, получаем ве-
роятность поглощения в единицу времени
Рпогп = &nm"ci- ' B.83)
Равенство B.83) применимо в случае луча с плоским волновым
фронтом и для расходящихся пучков.
Вероятность перехода с уровня п на (невырожденный) уровень
m в единицу времени определяется равенством (см. в гл/4 а. З.Ь
формулу C.88)е а также приложение, (В.2))'~
Рпогл = «2 ?г I Dmn \2 cos2 Qmnt B.84)
где Dmn — матричный элемент электрического 'момента, Qmn —
угол между вектором Dmn и электрическим вектором излучения

58 ГЛ. 2. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ИЗЛУЧЕНИЯ
(т. е. направлением поляризации). Оба равенства, B.83) й
B.84), дают вероятность перехода между уровнями п и т в едини-
цу времени, из них мы находим
>wn]8cosa6mn. B.85>
Выфстсе
направление
поляризации
Рассмотрим пучок излучения, распространяющийся в направ-
лении AQ., и вектор Dmn, как показано на рис. 2,3. Пусть одно из
выбранных направлений поляризации
(а = 1) нормально к направлению оси
пучка и лежит в плоскости, содержащей
центральный луч пучка и вектор Dmn.
Предположим, что направление другой
поляризации (а = 2) перпендикулярно к
этой плоскости. Так как угол между
направлением поляризации ct = 1 и век-
тором Dmn есть 0тп, а ц>тп — угол меж-
ДУ -Dmrt и направлением распространения
поглощаемого излучения, то мы имеед*
Гис. 2.3. Классическое
представление об отно-
сительной ориентации
влектрического диполя
и вектора электрического
поля излучения.
Рассматривая направление а =
мощью B.85) находим
с по-
B.86)
Для направления а = 2 @т7( = я/2) из B.85) мы имеем
b!S - о.
Вероятность спонтанного испускания фотона с поляризацией а
в угол dQ получаем, комбипируя B.81), B.73) и B.86), которые
дают для излучения, поляризованного в направлении а = 1:
Dmn |2 sin2
0
B.87)
B.88)
для поляризации в направлении а = 2.
Если уровни т, п вырождены, мы должны взять сумму по
всем переходам т ~> п. Спонтанное излучение возникает во всех
направлениях, поэтому волную вероятность спонтанной эмиссии
в секунду получаем после интегрирования по всем направлениям:
B.89)

5 4. ИЗЛУЧЕНИЕ И ВЕЩЕСТВО
59
Это выражение дает коэффициент Эйнштейна для спонтанного
испускания на частоте а>тп. Равенство B.89) выводится следую-
щим образом. Используя рнс. 2.4, мы имееи
du = rdcprsintpdij/r3,
откуда dQ = c&psintpdip. Следовательно,
о о
и мы получаем B.89),
Коэффициент Эйнштейна для поглощения изотропного неполя-
ризовашюго излучения с частотой ытп есть
B.90)
4л
где суммирование ведется по всем переходам п -»- т и по двум
поляризациям а = I, 2. Эйнштейноьский коэффициент для вы-
нужденного испускания равен
На практике, вообще говоря, поле излучения характеризуется
неким распределением частот и, следовательно., вероятность вы-
нужденного излучения или поглощения р =
= Ви следует записывать более аккуратно,
а именно как J В (х) и (v) dv, где В{\)~ коэф-
фициент Эйнштейна, а и(у) — плотность
энергии как функция частоты. Эти вели-
чины могут быть как медленно меняющи-
мися функциями, так и сильно зависеть от
частоты в пределах ширины линии. Если по-
ле излучения обладает большей частотной
полосой по сравнению с шириной атомных
уровней, характеризующихся функцией B(v)Ti
можно считать u(v) константой и вынести
©гу величину за знак интеграла: р = и(х) X Рис- 2.4. Элемонтар-
С цый телесный
К \ B{v)dv. Если же излучение имеет очень угол dQ.
узкую ширину спектраг как например в
случае лазера, то можно написать р = В (v) J u(x)dv. Более
строго эти вопросы рассмотрены в гл. Зх пп. 3.1 — 3.5.

W ' ГЛ, 2. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ИЭЛ* ЧЕЯИЯ
4.8. Соотногаение между коэффициентом поглощения и коэф-
фициентом Эйнштейна. Предположим, что пп и пт — числа
¦атомов в единице объема на нижнем и верхнем уровнях, нахо-
дящихся в поле излучения плотностью wv. Число поглощенных в
секунду квантов с частотой» лежащей в интервале dv% есть
nnBVJlm«vdv. Из B.40) имеем
j mn. B.92)
В соответствия с последними равенствами интеграл от коэффи-
циента поглощения является константой и не зависит от цроцес-
сов, уширяющих линию.
4.8.1. Сечение фотовозбуждения. Рассматривая захват излу-
чения и многие другие проблемы, связанные со взаимодействием
излучения со средой, через которую оно проходит, полезно иметь
возможность оценить порядок величины поперечного сечеиия
фотовозбуждения. Это сечение связано с коэффициентом погло-
щения соотношением ov = к\>У, Коэффициент поглощения в
центре линии v = v0 даегсн формулой
где п — нижнее, а т — верхнее состояние, Дуд — доплвровская
ширина линии на половине высоты и тгп — естественное излуча-
тельное время жизни для перехода. При v — va, пренебрегая
вынужденным испусканием, так что Nn = Nt мы имеем
1Л I*
4л
1 ""Д*СП sn
Для типичных величин тсп = 10~8 с, Д\'д = 109 Гц, Л = К)-4 см
в предположении, что gm = gn = 1, получаем о ж 4-Ю-11 см2.
Найденную величину поперечного сечения можно сравниль
с атомным сечением (модель твердой сферы), которое обычно
имеет порядок Ю-13 — Ю-16 см2.
4.9. Время жизни возбужденных состояний. Рассмотрим
систему возбужденных невзаимодействующих атомов, пренебре-
гая эффектами, связанными с присутствием в системе фотонов.
Возбужденные атомы спонтанно излучают. Пусть число их в
состоянии Ет в момент времени t равно Nт. Среднее число атомов,,
претерпевающих спонтанный переход т —>- п га время dtt есть
dNm = -AmnNmdt. - B.93)
Это уравнение дает
Лгт — JV2, елр (— t/Tmr,),

5 4. ИЗЛУЧЕНИЕ И ВЕЩЕСТВО 61
где ттп, равное
тшл - МАтп% B.94)
есть среднее врсия жизни атома в возбужденном состоянии т.
Если имеется два нижних энергетических состояния п и />, иа
которые могут произойти спонтанные переходы из состояния mt
то среднее число агомов, в которых осуществляюica эти процессы
ва интервал dtx равно
dNm = ~{Атп + Am]l)Nmdt.
Эго уравнение дает
Среднее время жизни атома в состоянии т есть т, вричем
l't = l'xmB + 1/ттр. B.95)
4.10. Показатель преломления и дисперсионные соотношения.
Из B.57) и B.59) имеем
цс = ц -f \у. = \ + -т-2 , B.96)
(«у — «2J— гущ
что может быть переписано как
и 1 « 1^5. Л^! rf—±~. B.97)
Соотношение B.97) можно записать в другом виде (А.12):
ИсН - 1 - Я(и) + ^(о>)г B.98)
где
^1 !B.УУ)
B^ 0
Мы видим, что и,(м) — 1 в соответствии с B.96) представляет
собой функцию леременного о> = а>' -f/w'\ олределеинучо на комп-
лексной плоскости, с полюсами в нижней ее половине в точках,
являющихся корнями уравнения <о0 — (о2 — iyta = 0, и без по-
люсов в верхней полуплоскости, если у не зависит от to *). Полюса
*) Соотношение B-46) показывает, что полюса соответствуют корням
скорее кубического, чем квадратного уравнения. Относительно полюсов,
появляющихся в верхней полуплоскости из-за зависимости у от ш в случае
классического а.1ентрона, см. работу [4].

<}2 ГЛ. 2. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ИЗЛУЧЕНИЯ
возникают при
Г 2 / л oil/?
Заметим также, что при Jwj ->- оо \цс (со) — 1J —*- 0.
Используя методы, которые изложены в пункте приложения А,
касающегося дисперсионных соотношений, мы находим, чтотребуе-
тный контур интегрирования, по которому следует обходить полю-
са в нижней полуплоскости, лежит в верхней половине, и нам
достаточно рассмотреть только ту часть контура, которая совпа-
дает с действительной осью. Исследование выражения B.97) по-
казывает, что [Дс (о)) = р.с(— to), т. е. оно подчиняется соотношению
перекрестной симметрии (приложение А), что позволяет использо-
вать формулу (А.136).
Из B.98)', B.99) и (А.136) получаем
1.101)
где через Ш и & обозначены действительная и мнимая части и
о>! есть частота вдоль действительной оси. Уравнение B,101)
представляет собой одну из форм уравнения Крамерса — Кронига.
С помощью B.96) уразненпе B.101) можно записать в виде
<2-102>
Так как через B.68) коэффициент поглощения />\, связан с х, то
равенство B. L02) позволяет вычислить действительную часть
показателя преломления для определенной частоты, есян коэффи-
циент поглощения известен для всех частот. С другой стороны,
поскольку мнимая часть показателя преломления связана с пол-
ным сечением поглощения соотношением
где Лг —число атомов в единице объема, а а„(<а) — полное радиа-
ционное поперечпое сечение атома на частоте (ог то aim ложем
написать

§ 4. ИЗЛУЧЕНИЕ И ВЕЩЕСТВО 65
Следует заметить, что поскольку мы рассматривали опреде-
ленную модель взаимодействующего с излучением атома, то полу-
ченное нами равенство не содержит сразу всех деталей происходя-
щего процесса взаимодействия. Дисперсионные соотношения были
выведены Крамерсом и Кронигом для показателя преломления и
коэффициента поглощения, но они получили значительно более
широкое применение. Важная роль дисперсионных соотношений
заключается в том, что они могут быть установлены для любого
причинного события. Обсуждение вопроса о дисперсионных
соотношениях и причинности проводится в работе [5]. Диспер-
сионные соотношения можно получить для любых величин, до-
пускающих аналитическое продолжение на комплексную плос-
кость. Мы используем эту методику в п. 4.10.2 при выводе уравне-
ния для смещения фазы за проход в лазерной среде с учетом фор-
мы линии. Это уравнение, как было показано в [6], является важ-
ным для понимания процесса затягивания моды.
4.10.1. Фазовый сдвиг и форма линии. Рассмотрим излучение
в резонаторе лазера, работающего в режиме малого усиления на
линейном его участке. Мы хотнм здесь вычислить смещение фазы
на проход с учетом формы линии. Так как форма линии связана
с амплитудой (как функцией частоты), то фактически мы отыски-
ваем соотношение между амплитудой и фазой. Искомая связь со-
держится в дисперсионном: соотношении. Сформулируем задачу,
пользуясь такими величинами, которые позволят иам использо-
вать это соотношение.
Поскольку при распространении от одного зеркала резонатора
до другого излучение проходит через активное вещество, оно усили-
вается и претерпевает добавочное смещение по фазе, обусловлен-
ное средой. Как н в работе^}, мы введем усиление в дотюлвителъ-
ыое фазовое смещение на одном проходе в относительную комп-
лексную величину усиления амплитуды в среде К(<х>) следующим
образом:
1 + К(<м) = [1 + tfo(w)]exp[i(p(<i>)]t ' B.103)
где К0(ы)— относительное усилепие за проход, а <р(ю)— дополни-
тельное смещение фазы на одном проходе за счет усиливающей
среды. Рассматривается случай, когда К, Ко <?; 1, т. е. усиление
невелико. Логарифмируя B.103), после разложения в ряд полу-
чаем
К(<а) ж Кй(<л) + *ф(ю). B.104)
Относительное приращение энергии за проход есть
?о(о>)^ 2Л:0(о>). B.105)
Если предположить, что процесс усиления подчиняется принципу
причинности то К(ы) является аналитической функцией &

ГЛ. 2. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ИЗЛУЧЕНИЯ
ерхией половине комплексной плоскости, при этом можно
оспользоваться формулой (А.14), чтобы связать действительную
мнимую части B.104). Получаем
ФК) = -— J -ZTZ^-' : . _ B.10G)
величину &>(,, входящую в B.106), мы уточним далее. Для лорея-
евской линии рассмотрение соотношения B.70) показывает, что
!>нкция А'0((о) может быть представлена в виде
A' (i<o)*
TM4(a_M).- B-107)
Гндекс т относится к центру лингин, где усилергие энергии макся-
сально, До) — ширина линии на уровне половины от максниадь-
юго усиления.
Из B.100) и B.107) получаем
)та функция имеет полюса при со о и (w
Интеграл B.108) можно взять по контуру в направлении про-
ив часовой стрелки вдоль действительной оси <м над полюсом в
очке (!>0 и по полуокружности бесконечного радиуса в верхней
юловине комплексной плоскости, исключая таким образом по-
кос в точке (com — iAoyty. Интеграл равен
2л/[вычет в (wm — i&(u?2)-\- х/2(вычет в (О0I.
Гаким образодг, воспользовавшись формулой (А.1) для
;ления вычетов, получаем
ф (w0) = д^ . B.109)

Глава 3
ИЗЛУЧЕНИЕ II АТОМНЫЕ СИСТЕМЫ
§ 1. Введение
Настоящая глава посвящена изучению взаимодействия поля
излучения с атомными системами в полуклассическом приближе-
нии. В этом приближении поле излучения рассматривается с точ-
ки зрения классических представлений, а атомная система —
с позиций квантовой механики. Влияпие излучения на атомную
систему описывается дополнительным членом (рассматриваемым
обычно как возмущение) в гамильтониане системы, а воздействие
атомных систем на поле излучения описывается зависящей от
времени поляризацией, которая входит в уравнения Максвелла
(и. 3.4).
В полуклассическом приближении и, в частности, при рассмот-
рении полей, частоты которых лежат в оптической области, обыч-
но переходят к дальнейшим аппроксимациям, связывая с процес-
сами излучения (нли поглощения) света атомными системами неза-
висящую от времени вероятность перехода, которая определяется
из «золотого правила Ферми»:
где р((о)— спектральная плотность энергии излучения, a Dab —
матричный элемент, соответствующий двум уровням, а и Ъ (п. 3.1).
Тогда вероятность обнаружить атомную систему в одном из двух
состояний, отвечающих переходу, описывается экспоненциальной
функцией с постоянной времени, обратная величина которой есть
вероятность перехода C.1). В п. 3.3 будет показано, что такое при-
ближение справедливо лишь в случае, когда время когерентпости
излучения мало по сравнению с этой постоянной времени. Для
лазерного излучения обычно выполняется противоположное усло-
вие, поэтому приближение C.1) неприменимо. В этом случае сле-
дует обратиться к уравнениям C.61) и C.G2), которые вытекают
из представления поля излучения как возмущения в уравнении
5 а МэЛтлэнд, М Дани

66 ГЛ. 3. ИЗЛУЧЕНИЕ И АТОМНЫЕ СИСТЕМЫ
Шредингера для атомной системы. В п. 3.1 мы найдем такие урав-
нения для двухуровневой атомной системы, находящейся в моно-
хроматическом поле излучения.
Распад состояння из-за процесса спонтанного испускания мож-
но описать не зависящей от времени вероятностью перехода„
которая выводится из C.1) термодинамическими методами (гл. 2Г
п. 4.6). Для учета копечного времени жизни уровней в пашей
двухуровневой системе, обусловленного их распадом за счет спон-
танной эмиссии, мы используем меюдику U ], виодя в уравнения
C.61) и C.62) феноменологические константы затухания (п.3.1).
В отсутствие монохроматического поля излучения эти уравнения
описывают экспоненциальный распад уровней. Константы затуха-
ния можно использовать для описания не только спонтанного излу-
чения, но и других явлений. Например, ими пользуются при рас-
смотрении вынужденных процессов радиационного распада, к ко-
торым применимо правило Ферми, а также релаксации за счет
соударений.
В п. 3.5 мы получим решения уравнений C.61) и C.62) в при-
ближении «сильпого сигнала», которые иллюстрируют поведение
двухуровневой системы в монохроматическом поле излучения при
различпых величинах констапт затухания в резонансных и нере-
зонансных условиях.
В п. 3.4 мы выведем уравпения (для двухуровневой системы)
в такой форме, которая особенно удобна для представления в виде
матрицы плотности, используемой в лэмбовской теории. Метод
описания через матрицу плотности принят в теории Лэмба в связи
с тем, что он удобен для усреднепия по всем взаимодействующим
с полем излучения атомным системам активной среды. В п. 4.1
настоящей главы мм введем матрицу плотности к обсудим некото-
рые из ее свойств, в частности, связанные с эффектами когерент-
ности (п. 4.2).
Эта глава начинается с обзора (§ 2) тех элементов квантовой
механики, которые особенно необходимы для понимания содержа-
ния последующих параграфов н других глав, где излагаются раз-
личные теоретические аспекты физики лазера *). Первые параграфы
служат также для описания математического аппарата.
§ 2. Основные постулаты квантовой механики
Здесь излагаются основы аппарата квантовой механики, ко-
торый мы намерены использовать в дальнейшем. Специально для
этого мы введем важнейшие постулаты квантовой механики и на
*) Имеется целый ряд прекрасных учебников квантовой механики,
поэтому детальное изложение общих принципов кваптовой мехакики в дан-
ной книге едва ли целесообразно, Необходимые сведения можво найти»
например, в книгах [4—6] (прим. ред.).

Ъ 2, ОСНОВНЫЕ ПОСТУЛАТЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ Qf
основании их получим те пыражеиия, которые потребуются в сле-
дующих параграфах. Мы примем представление Шредингера
и определим волновую функцию в конфигурационном пространст-
ве C.3).
При изучении явлепий, требующих не классического, а квая-
товомеханического описания, невозможно указать четко опреде-
ленные значения для всех связанных с системой переменных
в каждый момент времени, поскольку присутствие измерительного
прибора, вообще говоря, возмущает динамическое состояние систе-
мы непредсказуемым образом. В общем случае возможно лишь
сопоставить каждой из переменных, описывающих систему, стати-
стическое распределение ее значений. Соответственно можно ввести
для системы с / степенями свободы плотпость вероятности
д2, . . ., qh t) dgi... dq, =~W(g, t) dq, C.2)
которая представляет собой вероятность нахождения системы &
момент времени t в области с коордипатами от дх до qx + dqx и т. д.
Плотпость вероятности по самому своему определению должпа
быть действительной и положительной величиной. Это обеспечи-
вается, если выразить ее как квадрат модуля амплитуды вероятно-
сти (впредь мы будем называть эту амплитуду волновой функцией),
которая в общем случае может быть комплексной. Таким образом,
W(g,t) = \Y(g, 0I2 = Y*fct tmg, t) C.3)
(звездочкой мы будем обозначать комплексно-сопряженную функ-
цию). Поскольку система обязательно находится в каком-нибудь
состоянии, то плотность вероятности является нормированной
функцией, т. е.
j W (q, t)dq = \ ?* (?f t) Y (q, t) dq = 1. C.4)
Здесь мы приняли конфигурационное представление волновой
функции, которое предполагает зависимость только от координат
(д) системы и времени. Альтернативный подход состоит в опреде-
лении волновой функции, зависящей от импульсов (р), и построен
нии на этой основе формализма, в точности подобного развивае-
мому ниже.
Постулируется, что среднее значение (или математическое
ожпдание) любой характеризующей систему физической величины
F(g,p,t), которая в общем случае является функцией как коорди'
нат (q)t так и импульсов (р), находится нз соотношения
<F (ф = j ^* (?, О F (?, -f -i.f) ? (д, t) dq, C.5)
5*

GS ГЛ. 3. ИЗЛУЧЕНИЕ II АТОМНЫЕ СИСТЕМЫ '
где F (д, (H/i)dfdg, t)—линейный оператор, который действует толь-
ко на координаты (д). Вид оператора определяется из классическо-
го выражения для наблюдаемых физических величин с помощью
следующих замен:
Яг^Яг\ Р-^-Т^ ('=1,2,...,/). C.0)
Однако во избежание двусмысленностей, пти замены следует про-
водить только определенным образом. Во-первых, классическое
выражение записывают в декартовых координатах. Когда оно
представлено в таком виде, следует сгруппировать члены, квадра-
тичные по р (но ие зависящие от д), которые заменяют в соответст-
вии с правилом
p}-*-h2? <r = l,2 /), C.7)
а также члены, содержащие только д, которые оставляют неизмен-
ными, и по возможности выделить члены вида
2 [Яг/г Gi 7/)Ь
г
которые записывают в симметричной форме
rM7i,---. 7;) + /r(<?i,-.., д/)рт] C.8)
перед тем, как произвести замену C.6).
Операторы, соответствующие наблюдаемым физическим вели-
чинам, являются линейными и эрмитовыми. Оператор F эрмитов,
если
I /* G) $8 G) dg = j g (д) [Ff {qfldq. C.9)
Одна из причин требования эрмитовости операторов становится
понятной при обращении к соотношению C.5). Чтобы среднее
значение физической величины, определяемое этим равенством^
было действительным, необходимо
так что
j Y (д, t) [FY (?, t)Ydq = J ^* (?, t) FV (q, t) dq. (ЗЛО)
Последнее равенство и представляет собой условие того, что опера-
тор F эрмитов.
Волновая функция полностью описывает динамическое состоя-
ние системы. Зная ее значение в определенный момент времени,.

§ 2. ОСНОВНЫЕ ПОСТУЛАТЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ 6Э
можно сделать все предсказания относительно системы в этот
момент. Для того чтобы проследить за изменениями состояния
системы во времени, требуется уравнение, описывающее времен-
ную эволюцию волновой функции. Таким уравнением является
нестационарное уравнение Шредингера
n(r!,t)W(g,i) + ~~ng,t) = O, C.11)
где ff(g,t) — оператор Гамильтона, полученный из классического
гамильтониана системы на основании изложенных выше правил.
Это уравнение линейно и однородно, поэтому если ХУ1 и Yi —
некоторые его решения, то любая линейная комбинация этих
решений
Y = Й1Ч'Х + йяТ„ C.12)
также является решением C.11). В этом заключается свойство
суперпозиции. Таким образом, возможно рассматривать систему
в состоянии х? как частично пребывающую в состоянии Yt и час-
тично в *F2. Пользуясь C.12), можно предсказать относительные
вероятности обнаружения системы в одном из состояний при про-
ведении соответствующего экспериментального наблюдения. По-
скольку плотность вероятности определяется произведением вол-
новой функции на комплексно-сопряженную с ией( то мы имеем
W^UfliH^p + le.l'IY.H + ^ajY^ + K. с]. C.13)
Между состояниями Ч', и 4% возникают интерференционные эф-
фекты, в результате чего величину ожидания, соответствующую
состоянию XV, в общем случае нельзя рассматривать как склады-
вающуюся из взвешенных средних величин, соответствующих
состояниям % и *F2 (п.4.2).
Уравнение имеет первый порядок по времени, откуда следует,
что если волновая функция известна в некоторый начальный мо-
мент времени, то уравнение однозначно предсказывает ее поведе-
ние в любой последующий момент времени. Это, разумеется, нахо-
дится в согласии с нашим требованием о полном определении ди-
намического состояния системы путем задания волновой функции.
Классический гамильтониан характеризует энергию системы
и, следовательно, для консервативной системы, в которой энергия
есть интеграл движения, гамильтониан не зависит от времени.
Соответственно, кваптовомеханическин оператор Гамильтона для
консервативной системы не содержит времени в явном виде.
В этом случае уравнение Шредингера можно проинтегрировать и
получить следующее соотношение, которое показывает, какую
операцию необходимо произвести над волновой функцией Yfg, tQ)

70 ГЛ. 3, ИЗЛУЧЕНИЕ И АТОМНЫЕ СИСТЕМЫ
в начальный момент t0, чтобы получить функцию 4;(g, t) в последую-
щий момент t:
(q, g. C.14) •)
Будем искать решения этого уравнения в виде * •
Y = i](g) exp (~iEt/h), '\ C.15)
где Е — действительная постоянная. Подстановка C.15) в C,14)
(или в C.11)) приводит к следующему уравнению:
Щ(д) = ЕЦд), C.16)
известному как уравнение Шродингера для стадиоларных состоя-
ний. Поскольку функция \]-(<?) должна быть однозначной, непре-
рывной и конечной во всем интервале изменения д, то значения,
которые может принимать константа Е, ограничены. Эти величины
составляют спектр собственных значений. Он может быть непре-
рывным, дискретным или смешанным. Остановимся на случае,
когда спектр собственных значений полностью дискретен, и обоз-
пачимих через Еп(п = 1, 2, ...). Воспользуемся уравнением C.16)
для отыскания соотношения между собственными значениями а
соответствующими им собственными функциями ип(д) (п = \, 2, ...):
ffujq) = Enun(g). C.17)
Если одному и тому же определенному собственному значению
соответствует более чем одна собственная функция, то о таких
фупкциях говорят как о вырожденных. Собственные функции,
принадлежащие различным собственным значениям, обязательно
ортогональны, а любой набор вырожденных функций можно орто-
гонализировать выбором подходящих линейных комбинаций. Соб-
ственные функции являются также нормированными, так что,
вообще говоря, мы имеем
*т (?) ип (q) dq = 6nm, C.18)
где 8nm — символ Кропекера.
Собственные функции, соответствующие любой наблюдаемой
физической величине, образуют полпый набор ортопормированных
функций, так что мы можем, например, разложить волновую функ-
цию, взятую в данный момент времени, по собственным функциям
*) Один из способов попользовать C.14) — это разложить в ряд экс-
поненту и вычислить каждый член разложения.

§ 2. ОСНОВНЫЕ ПОСТУЛАТЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ 71
где ат — постоянные коэффициенты, определяемые из условий
ортогональности собственных функций
S, (?)*(?, to)dq. C.20)
Если разложение C.19) подставить в C.14), мы получим следую-
щее выражение для волновой функции замкнутой системы л содер-
жащее зависимость ее от времени:
?(?,/) = 2 ffm«m(?)exp[-ii?m(t-te)/A]. C.21)
По своей форме это разложение аналогично C.19), что обусловле-
но линейностью уравпения Шредингера.
Коэффициенты ат можно найти, используя волновую функцию,,
взятую в произвольный момент времени t, с помощью соотношения,
аналогичного C.20), а именно
«m = J и*т (?) ехр [1Ет (t - to)fh] ? (?, t) dq. C.22)
Выше собственные величины Ет были введены как константы, что
привело к уравиению C.17) для собственных функций. Здесь мы
покажем их физический смысл, определив ожидаемую величину
энергии системы, которая описывается волновой функцией вида
4'(g, t) = um(q) exp (-tEmt/%). C.23)
Подставляя C.23) в C.5) и применяя оператор FaMHflbToHaj мы
видпм, что
j * (Ъ t) IF? (g, t) dq = Em. C.24)
Собственные значения, таким образом, представляют собой энер-
гию системы,— т. е. система в состоянии с собственной функцией
um{q) имеет среднюю энергию, равную соответствующему собст-
венному значению Ет. Выше мы определили только среднюю ве-
личипу энергии. Предположим, что нам необходимо произвести
оценку неопределенности в энергии системы, описывающейся вол-
новой функцией C.23). Эта величива характеризуется средним
квадратом отклонения от среднего значения
<Е;ГУ. C.25)
Используя C.5) в вычислениях, после подстановки C.24) получаем
dq - 2 <?> I u; {g) tum (q) dq + «?»*;
C.26)

72 ' ГЛ. 3, ИЗЛУЧЕНИЕ И АТОМНЫЕ СИСТЕМЫ
Таким образом, мы показали, что для системы, волновая функ-
ция которой есть собственная функция оператора Гамильтона,
энергия является строго определенной величиной и совпадает с
собственный значением, соответствующим этой функции. Из фор-
мулы C.23) для волновой функции системы видно, что связанная
с лей плотность вероятности не зависит от времени, потому что
W{q) = ibn{q)um{q), C.27)
а, следовательно, и распределение координат также не зависит от
времени. Можно продемонстрировать, что это же относится и к ко-
личеству движения системы. Таким образом, результат измерения
положения или количества движения системы не зависит от време-
ни. О такой системе говорят, что она находится в стационарном
состоянии. Система в стационарном состоянии обладает строго
определенной энергией.
Кроме того, мы показали, что в общем случае волновая функ-
ция замкнутой системы может быть найдена с помощью суперпо-
зиции собственных функций гамильтониана в виде C.21). Рас-
смотрим волновую функцию системы, являющуюся суперпозицией
только двух собственных функций ua{q) и иь(д). Тогда мы имеем
"?{д, t) = aua(q) cxp ( - iEjfti) + bub(q) exp ( - iEbt/ti). C.28)
Если воспользоваться выражением C.24) для вычисления среднего
значения энергии, то мы получим, что
<#> = аа*Еа + ЬЬ*ЕЬ. C.29)
Средняя энергия замкнутой системы не зависит от времени и опре-
деляется значениями энергии в собственных состояниях, взяты-
ми с соответствующими статистическими весами. Однако, если
аналогичным C.2&) способом вычислить среднеквадратичное откло-
нение энергии, то мы найдем
<(ДЯJ> - aa*bb*(Ea - Ebf, C.30)
откуда видно, что в этом случае энергия более не является строго
определенной величиной. Также и плотность вероятности системы
уже не является не зависящей от времени, что легко влдеть мз
уравнения
W (q, t) - aa* [ ua (q) [* + 66* | ub (g) j2 +
+ 2Я \a*bul [g) ub[g) exp [i [Ea - Eb) tfh\). C.31)
Анализ формулы C.31) показывает, что плотность вероятности

§ 2. ОСНОВНЫЕ ПОСТУЛАТЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ 73
существенно изменяется па отрезке времени
, ,,A т - П/(Еа - Еь). C.32)
Если измерение производится за время, малое по сравнению
с этим характерным временем, то средние значения измеряемых
величин будут очень близки между собой. Когда же измерение
занимает отрезок времени, сравнимый с характерным временем,
средние величины будут значительно различаться между собой.
Привлекая C.30) и C.32), можно связать неопределенность изме-
ренной в системе энергии ¦((Д./?JI/2 с временным интервалом т,,
в течение которого свойства системы существенным образом изме-
няются (соотношение неопределенности для времени и энергии).
До снх пор мы рассматривали разложение волновой функции
только по собственным функциям оператора Гамильтона системы
(т. е. по фупкциям энергии). Благодаря исключительной роли,,
которую играет этот оператор в уравнении движения C.И), такое
разложение, без сомнения, является важным. Однако волновая
функция допускает разложение в ряд также по собственным функ-
циям, соответствующим какой-либо другой физической величине,,
поскольку собствепиые функции оператора любой такой величины
по предположению образуют полный набор. Рассмотрим случай,,
когда оператор F не содержит времени в явном виде. Допустим,,
что его собственные функции составляют полный набор и удовлет-
воряют уравпению
F(q)vm(q) = Fmvm(q), m = 1,2, . . .„ C.33)
где Fm — собственное значение, соответствующее функции vm(q)t
которая при этом является однозначной, конечной и т. д. Волно-
вую функцию можно тогда представить через эту функцию в виде
y?{q,t) = ?ibm{t)vm{q). C.34)
in
Подстановка C.34) в C.5) приводит к среднему значению физи-
ческой величины, выраженному через ее собственные значения:
<^> = Slum Wl^i». C-35)
т
Если известна волновая функция, то коэффициенты bm(t), входя-
щие в ее разложение, легко вычислить, привлекая свойства орто-
гональности собственных функций;
*(q,t)vm{q)dq. C.36)
При выводе C.35) мы предполагали, что наблюдаемая величина
не является явной функцией времени. Поэтому собственные функ-

74 ГЛ. 3. ИЗЛУЧЕНИЕ И АТОМНЫЕ СИСТЕМЫ
ции (как и собственные значения), определяемые из C.33), остают-
ся, постоянными во времени. В этом случае разложение волновой
функции C.34), применимое также к любому моменту времени,
содержит зависящие только от времени коэффициенты bm(t) и соб-
ственные функции vm(q), которые являются функциями только
координат. Если, с другой стороны, наблюдаемая величина есть
явная функция времени, то разложение C.34) следует производить
для заданного момента времени, используя собственные функции,
найденные из C.33) для этого момента. Выражение для среднего
значения физической величины C.35) применимо лишь в заданный
момент времени. Изменение этого значепия во времени в такой
ситуации носит более сложный характер в том смысле, что и коэф-
фициенты, и собственные значения суть функции времени.
Так как волновая функция представима в виде ряда по любому
набору ортонормированиых собственных функций, нам необхо-
димо установить способ перехода от одного набора к другому. Для
этого рассмотрим разложение волновой функции по двум полным
наборам ортонормированных собственных функций в форме
п р
Поскольку собственные функции образуют полные наборы, то лю-
бая функция координат допускает разложение по этим собствен-
ным функциям. В частности, можно разложить собственные функ-
ции одного набора по функциям другого:
.. "V ,, г. С> QQ\
Vf — ^^ ^l^lrt \O.Oo)
и, следовательио,
i/ — V и ч~,1 П °М\
111 ^^Ufbrl • \O.OiJJ
г
Эти соотношения определяют матрицу перехода для двух наборов
собственных функций, составленную из коэффициентов slr. Далее
из C.38) на основании определения C.3G) мы получаем, восполь-
зовавшись свойством ортонормированности собственных функций:
п п г
их следовательно, мы имеем
п
Умножая обе части C.37) на и* и интегрируя по q, находим
slr =^
C.42)

§ 2 ОСНОВНЫЕ ПОСТУЛАТЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ 75
Аналогично, умножая равенство, комплексно-сопряженное с C.38),
на vr и интегрируя по д, приходим к
{s7iXY =* ) u]vrdq, C.43)
откуда вытекает следующее свойство матрицы преобразования:
sl = s7tK C.44)
Такую матрицу называют унитарной, а преобразование, осущест-
вляемое сю, унитарным преобразованием.
Эту матрицу моншо использовать для преобразования матрич-
пых элементов оператора в одном представлении
nFumdq C.45)
в матричные элементы в другом представлении
vFv4dq, C.46)
поскольку мы имеем
&$= ^ulS;pF^ulSiqdqt
1 г C.47)
1 !'1 ~~ 4*ьр1 ' 1г й t qt
что в матричной форме можно записать как
Р<2) = s-^^S. C.48)
Скорость изменения среднего значения физической пеличины,
характеризующей систему, может быть получена из C.5) на осно-
вании нестационарного уравнения Шредингера C.11). В случае,
когда физическая величина не зависит явно от времени, дифферен-
цмрование C.5) дает
^<F> = ^n' + V*t!lyq. C.49)
При подстановке (З.И) с учетом свойств эрмитовых операторов
мы получаем
Это соотношение можно переписать в виде
C.51)

7G i ГЛ. 3. ИЗЛУЧЕНИЕ И АТОЫНЫГ; СИСТЕМЫ г
где скобки [,] обозначают коммутатор // и F:
[Я, F\ = ilF - FII. ( C.52)
Выражепия типа C.50) будут попоены для нас ниже, ког-
да мы приступим к рассмотрению матрицы плотности
(п. 4.1).
Выше мы показали, как квантовомехапичоскую систему можно
полпостьго описать полно вой функцией, временной ход коюрой
определяется нестационарным урапнепием Шредипгера C.11).
Мы также продемонстрировали возможность нахождения среднего
значения физической величины в некоторый момент времени с
помощью известной волновой функции \Ъ.Ъ), отнесенной к этому
моменту.
Теперь нам следует более подробно изучить последствия
проведения измерения какой-либо характеризующей систему не-
личины как для самой измеряемой величины, так и для дальнейше-
го дипамического состояния системы. Однако, нам предварительно
необходимо ввести понятие об идеальном эксперименте. Идеаль-
ным является эксперимент, в котором можно учесть все поддаю-
щиеся расчету возмущения, вносимые в систему самой измеритель-
ной аппаратурой, после чего в системе в предельном случае остают-
ся лишь возмущения, не поддающиеся контролю (и причинно
непредсказуемые), носящие квантовый характер.
При проведении над системой идеального эксперимента по из-
мерению физической величины F единственны лги значениями, ко-
торые могут дать эти измерения, являются собственные значения
соответствующего оператора F, определяемые соотношением C.33).
При любом таком измерении, производимом над единственной
системой, результатом всегда будет одно из собственных значений.
Но если измерения производятся с большим числом идентичных
систем, то, хотя в каждом отдельном случае результатом всегда
будет одно или другое собственное значение, средняя по всем ре-
зультатам величина соответствует формуле C.5) Из соотношения
C.35), которое дает среднюю величину, выраженную через собст-
венные значения, становится очевидным, что в единственном изме-
рении вероятность появления одного определенного собственного
значения в качестве результата просто равна квадрату модуля
коэффициента перед соответствующей собственной функцией в
разложении по ним волновой функции C.34).
Сразу же после проведения измерения волновой функцией
системы является собственная, отвечающая определенному по-
лученному при измерении собственному значению. Последующие
изменения волновой функции, как и выше, описываются завися-
щим от времени уравнением Шредингера. Измерение, следователь-
но! можно рассматривать как некий процесс «фильтрации» в том

§ 2 ОСНОВНЫЕ ПОСТУЛАТЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ fj
смысле, что если оно дает собственное значелие Fmi то через него
«проходит» только та часть волновой функции, которая соответст-
вует собствешюй функции vm(q), принадлежащей этому значе-
нию.
Из приведенных выше соображений относительно влияния
измерения па квантовомеханическую систему следует, что если
две физические величины имеют общий набор собственных функ-
ций, то они обе измеримы одновременно с абсолютной определен-
ностью.
После измерения одпой из них система будет находиться
в состоянии, описываемом собственной функцией, которая при-
надлежит полученному при измерении собственному значению.
Так как эта функция является собственной и для другой физиче-
ской величины, то результат ее измерения с определенностью
предсказуем и представляет собой собственное значение, соответст-
вующее той же собственной функции. Последнее измерение также
не вносит возмущений в состояние системы, постольку, поскольку
это состояние описывается той же самой собственной функцией.
Так что если первое измерение повторить, мы получим тот же пер-
воначальный результат.
Изложенное выше, вообще говоря, справедливо постольку,
поскольку все описанные измерения проводятся в один и тот же
момент времени, илн одно непосредственно сразу после другого-
Это обусловлено эволюцией системы в промежутке между измере-
ниями, которая вытекает из нестационарного уравнения Шредив-
гера C.11). Хотя сразу после проведения измерения система и
описывается собственной функцией измеряемой физической вели-
чины, волновая функция системы после измерения изменяется в
соответствии с C.11) и становится смесью собственных функций
оператора Гамильтона. И лишь только когда физическая величи-
на имеет те же самые собственные фупкции, что и гамильтониан
системы, результат ее измерения оказывается не зависимым от
времени.
Можно показать, что необходимым и достаточным условием,
при котором два оператора имеют одинаковые собственные функ-
ции, является их коммутативность, т. е.
2(ВЧ) ^В(АЧ). C.53)
Когда это условие выполняется, соответствующие операторам фи-
зические наблюдаемые величины могут быть одновременно и точно
измерены.
Из соотношения для скорости изменения среднего зна-
чения наблюдаемой величины во времени C.50) следует, что когда
оператор, соответствующий этой величине, коммутирует с гамиль-
тонианом, то скорость изменения среднего значения равна нулю,
разумеется^ и следовало ожидать.

78 ; гл. з. излучении и атомный: системы
§ 3. Взаимодействие атомов с излучением
3.i. Двухуровневая атомная система. Здесь мы намерены
подробно остановиться на взаимодействии атомной системы с по-
лем излучения. В следующих параграфах этой главы нас будет
интересовать вопрос только о влиянии поля излучения на атомную-
систему. Изучение вопроса об изменении самого поля излучения
в процессе взаимодействия мы отложим до следующих глав. Для
простоты мы предположим, что исследуемая атомная система
обладает только двумя уровнями энергии и именно между ними
происходят переходы под действием поля излучения. Если
двухуровневая система в отсутствие поля излучения яв-
ляется консервативной, то собственные значения и собственны©
функции определяются из уравнения Шредингера для стациопар-
ных состояний
H(q)u(q) = Eu{q)t
где H(q) — не зависящий явно от времени оператор Гамильтопа
для изолированной системы. Если собственные значения для двух
энергетических уровней суть Еа и Еь, а соответствующие собст-
венные функции ua{q) и ub(q) (мы предполагаем, что система яв-
ляется невырожденной), то волновая фупкция изолированной
системы по апалогии с C.15) есть
Y = aua(q) exp (—iEj/h) + bub(q) exp {—iEbt!h), C.54>
где постоянные а и Ъ не зависят от времепи, а определяются началь-
ными условиями, налагаемыми на волновую функцию (например
в процессе измерения). Мы уже обсуждали вопрос о поведении
системы, описываемой волновой функцией вида C.54), и, в част-
ности, показали, что среднее значение энергии такой системы ио
зависит от времени (см.C.29)).
Несмотря на то, что мы намерены рассматривать только Двух-
уроиневую систему, нам следует чисто феноменологически принять
во внимание и переходы, которые могут происходить с этих двух
уровней на некоторые другие, которые мы не будем учитывать в
янном виде. Эти переходы могут быть чисто радиационными или:
вызываться столкновениями, но в обоих случаях их роль сводится
к ограничению времени жизни двух рассматриваемых уровней.
Очевидно, что при переходе к случаю лазера подобные эффекты
начинают играть важную роль как для верхнего лазерного уровня,
где они выступают в качестве релаксационного механизма, конку-
рирующего с вынужденным испусканием, так и для нижнего уров-
ня, где они способствуют поддержанию инверсной населенности в
присутствии излучения, осуществляющего заселение. Эти эффекты
играют важную роль при формировании однородно уширенной
линии перехода.

§ 3. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ АТОМОВ С ИЗЛУЧЕНИЕМ 79
Как следует из работы 111, механизмы распада учитываются
путем введения постоянных затухания уа и уь в волновую функ-
цию. Для двухуровневой системы в таких предположениях она
принимает вид
Т = аиа(д) exp [(-iEj/h) - (yat/2)\ +
+ bub(q) exp [(—lEbt№) - (ybt/2)l C.55)
Такая волновая функция является решением нестационарного
уравнепня Шредингера, записанного в форме
Ч ~ ~ = 0, C.50)
где оператор у определяется как
УиЛч) = 7аиа(?) и Уиь{$) = Уъиь(я)- C.57)
Физический смысл каждой постоянной затухания по отдельности
выявляется при вычислении вероятности пребывания системы на
одном определенном энергетическом уровне как функции времени.
Для уровня а, например, эта вероятность следует из C.36):
1 о
и*а(д)у?(д, t)dg\ = оо* exp (— yat). C.58)
Другими словами, мы предполагаем, что уровень распадается экс-
поненциально и время жизни определяется величиной, обратной
уа. В п. 3.3 мы покажем, что допущение об экспоненциальном
затухании является правомерным, когда переходы с уровней обу-
словлены широкополосным излучением или происходят спонтанно.
Для случая, когда переходы между двумя уровнями вызваны мо-
нохроматическим полем излучения, сделанное выше допущение
уже не применимо и нам необходимо рассматривать взаимодейст-
вие в рамках нестационарной теории возмущений.
Перейдем к этому случаю и исследуем влияние на систему внеш-
него зависящего от времени возмущения. Соответствующее урав-
нение Шредингера приобретает вид
(Й9 + Й^ + ±^ = 0, ' C.59)
где //0 — гамильтониан невозмущенной системы (включающий^
однако, затухание), а 1{г — гамильтониан, описывающий возму-
щение. Используя методы теории возмущений, предположим, что
волновая функция возмущенной системы является линейной ком-
бинацией невозмущенных собственных функций изолированной
системы:
ЧГ = a{t)ua(q) + b(t)ub(q). C.60)

БО ГЛ. 3. ИЗЛУЧЕНИЕ П АТОМНЫЕ СИСТЕМЫ
Коэффициенты здесь уже могут быть я иными функциями вре-
мени и характеризовать развитие системы во времени под дей-
ствием возмущения. (Для удобства мы также включили в них гар-
монические и экспоненциальные временные множители, входящие
в явном виде в C.55). Однако входящие в C.55) постоянные а и b
теперь могут быть функциями времени.) Подставим введенную вы-
ше волновую функцию в зависящее от времени уравнение Шре-
дингера C.11). Умножая обе части полученного уравнения па
иа и интегрируя его по всей области изменения координат д, мы
можем далее воспользоваться соотношениями ортогональности
для собственных функций и в результате получить следующее
уравнение для a(t):
я h С *^ п С *-~- аЕ
* ? а<*> = -f J пк + ) ДМ +
Для коэффициента b(t) аналогичным образом находим
*1пь ^ *= х I "b#iM? + х 1 u^iM? + Ь-^~1^Ь' C-С2>
3.2. Переходы под действием электромагнитного поля в двух-
уровневой системе. В этом пункте мы рассмотрим случай, когда
члены C.61), содержащие Нх и описывающие возмущение, обу-
словлены электромагнитным полем. В приложении Б показано,
что гамильтониан для заряженной частицы в электромагнитном
поле дается выражением (в единицах СГС)
е'?' C.63)
где ф и Л — скалярный и векторный потенциалы приложенною
поля. Мы можем выбрать калибровку потенциалов ср и А таким
образом, что
Ф = О, V-Л - 0, C.64)
и в этом случае после разложения C.63) находим
& t- <3-65>
Последний член в этом выражении намного меньше, чем пре-
дыдущие. Если им пренебречь, то гамильтониан возмущения при-
обретает вид
Остановимся теперь на случае, когда рассматриваемая двух-
уровневая система представляет собой аюм с одним внешним элект-

§ з. взаимодействие атомов с излучением 8!
роном и с электромагнитным полем взаимодействует только одна
частица. Это делает последующее построение менее сложным, но
результаты можно легко распространить на случай многих элект-
ронов. Нам необходимо преобразовать гамильтониан C.G6) в опе-
ратор с помощью соотношений, приведенных в § 2. Рассмотрим,
как член, описывающий возмущение р-А, действует, например,
на одну из собственных функций невозмущенной системы. Вы-
полняя преобразования, имеем
р.(Аиа) =, ± у.(Аиа) = ± (V-4) «а + ~ ^(V»«) C-67)
и, так как у-А = 0, отсюда следует, что
р-А = А-р,
т. е. операторы р и А коммутируют между собой. Поэтому
оператор возмущения можно представить в виде
#!=—4-V- C.68)
1 тс v ч '
Таким образом, мы имеем
^ = -^j u*b{A-y)ubdq. C.69)
J
Длины волн в оптической диапазоне существенно больше, чем
типичные атомные размеры. Поэтому можно предположить, что
А постоянно в иределах объема рассматриваемой атомцой системы.
В таком приближении сохраняется информация о поглощении, обу-
словленном наличием электрического диаолыюго момента. Из
рассмотрения, однако, выпадает намного более слабое поглощение,
связанное с мтиишым дипольным и электрическим квадруполь-
пым моментами, ij этом приближении
ulfliUadq= ™ A U*b\uadq. C.70)
Теперь требуется показать, что
— -—] u*byuadq = (Eb — Ea) u*bruadq. C.71)
Для этого рассмотрим коммутатор
]щ[Н, r]uadq= j и*ь[Нг~гН} uadq^- ^rua{Hub)*dq—
— Еа j Щ>гиа dq= {Eb — Еа) j ubrua dq. C.72)
6 А. Мэш.ипд, М. Данн

¦82 ГЛ 3. ИЗЛУЧЕНИЕ И АТОМНЫЕ СИСТЕМЫ1
Гамильтониан иевозмущепной системы есть
где V — потенциальпая функция, описывающая взаимодействие
внутри самого атома. Если оператор координаты г коммутирует
с V, то
С Г t-n 1 С
1 * " i> I J /Г- 17 \ 1 * J
\ иь\ —т\— V, f]uaaq = (tf, — ?„) I ubrua dq
J L *m J J
и, следовательно,
(,{\7 \rua) — *"у*иа) dq = {&b — La) \ ubrua aq. (o./o)
Используя хорошо известное тождество
мы легко получаем выражение C.71) из C.73). Окончательное
соотношение дли члена, соответствующего возмущению, имеет вид
j ubHlUa dq=~ {Ea — Еъ) А• J иьгил dq. C.74)
В уравнениях C.61) и C.02) нам следует также рассмотреть
члены #ида
Легко понять, что в простейшей теории возмущений такие члены
соответствуют сдвигу энергетических уровней вследствие наличия
какого-либо момента, которым обладает атомная система, пре-
бывающая на определенном уровне. В приведенном выше ди-
иольном приближении эти члены описывают сдвиг за счет постоян-
ного диполыюго момен] а. Далее мы будем предполагать, что в рас-
сматриваемой системе такими членами можно пренебречь, и в
последующие уравнения их не будем включать.
3.3. Электромагнитные переходы (широкий спектр излучения).
Начнем с изучения случая, когда возмущающее электромагнит-
ное поле представляет собой плоскую монохроматическую волну
А = До cos ((at — k-r). C.75)
Поскольку мы не учитываем направления излучения и считаем
длину волны мпого большей, чем размеры атомной системы^ то
член к-г можно опустить и преобразовать C.75) к виду
А « Ао cos 2nvt = Л0[ехр Bnivt) ~\- ехр (—2пЫ)]/2. C.76)

§ 3 ВЗАИЫОДЕЙСТВИЬ АТОМОВ С ИЗЛУЧЕНИЕМ 83"
Пренебрежем в C.61) и C.62) феноменологическими членами, опи-
сывающими затухание, и предположим, что в момент «включения»
поля излучения 2 = 0 атомная система находится на уровне а,
так что
\a(t = 0)|3 = 1, \b(t = 0)|3 = 0. C.77)
Если считать далее, что взаимодействие между полем излучения
и атомной системой является слабым, в связи с чем населенность
уровня Ь возрастает незначительно и остается примерно постоян-
ной, то C.61) полно переписать в виде
откуда
a(t) = a(t =* 0) evp (—iEj/Гь) = exp (-iEat/h). C.79>
Подставляя эту величину в C.02), находим
i(E —Е
lb %
X[e\p{2nt\t) + exp(— 2nivt)] + bEb/1it C 80)
где
&ъа = }u*Q{er)uadq. (
В соответствии с C 55) можно написать
b{t) = bo(t) exp (~iEbt/h), C 82>
так что C.80) преобразуется в следующие соотношение:
6о @ = 1лГ Ло-*>ъа{е4> l^ni (v-vab) «]-г е\р [-2ш (v + vab) <]},
C 83).
где
v0& = (Ea - Eb)lh. C.84)
Интегрируя C.83) от ( = 0 до ( = t, получаем
ехр [2ш (v. -\- v) (| — 1
е\р 12.41 (v, — л\ /1 ii
1 Ут] 'C.85),
Если ?ь > ?¦<,, то vba — положительная ве-шпиня, п когда часто-
та излучения v близка к |vbaj, второй член в C.85) становится-
6*

84
ГЛ. 3. ИЗЛУЧЕНИЕ И АТОМНЫЕ СШЛ'ЕМЫ
доминирующим. Под действием излучения происходит переход
С уровня а на Ь, при котором атомная система поглощает энергию
поля. Если, с другой стороны, Еа ~> Еъ и vba отрицательна,
то при приближении v к |v6a| основным оказывается первый член.
В этом случае переход опять-таки осуществляется с уровня а па
уровень Ь, но он уже сопровождается испусканием энергии атом-
ной системой, которая передается полю (вынужденное испу-
скание).
Вероятность того, что переход осуществится, пропорциональна
вероятности нахождения атомной системы на уровне Ь, так как
перед приложением поля излучения этот уровень предполагается
незанятым. Вероятность поглощения (с учетом только доминирую-
щего члена), таким образом, есть
)(j
C.86)
Уравнение C.86) относится к одной частоте v возмущающего элек-
тромагнитного поля и дает вероятность того, что излучение такой
частоты индуцирует переход с уровня а па уровень Ь в результате
взаимодействия с атомной системой в течение времени t. На рис. 3.1
представлена вероятность \b(t)\2 кап функция v в предположении,
чго член и фигурных скобкам C.86) меняется слабо. Видно, что
те частоты, которым соответству-
\Ht)\
ет большая вероятность индуци-
рованного перехода, лежат в
интервале от vba — {ft до vba-f-
При выводе C.86) мы рас-
сматривали гармоническое воз-
мущение, действующее на атом-
ную систему в течеппе конеч-
ного промежутка времени. Та-
кое возмущение не является
строго монохроматическим в
том смысле, что обладает конеч-
ной шириной спектра Av вслед-
ствие ограниченной продолжи-
тельности цуга t. Ширина линии и длительность связаны со-
отношением (гл. 10, § 2)
Vba-2/t
Рис. 3.1. Соотношение между ве-
роятностью и частотой, даваемое
формулоп C 80).
Другими словами, из рис. 3.1 вытекает, что электромагнитное
ноле взаимодействует с атомной системой лишь постольку, по-
скольку ее резонансная частота vba лежит в пределах ширины спек-
?ра поля. Если временной интервал, на котором поле взаимодей-

§ 3 ШАЛМОДГ.ЙСТВНЕ АТОМОВ С ИЗЛУЧЕНИЕМ 85
¦ствуст с атомной системой, увеличивается, то, как следует из
C.86) и рис. 3.1, вероятность осуществления перехода на резо-
нансной частоте квадратично возрастает. В то же время частотный
интервал, где взаимодействие проявляется наиболее сильно, умень-
шается вследствие сужения эффективной ширины линии излуче-
ния. Из-за того, что в приближении, использовавшемся при вы-
воде C.8G), мы положили величину |Ь(()|3 много меньшей единицы,
неограниченно расширять временной интервал взаимодействия и
получить бесконечно узкую ширину спектра невозможно. (Мы
рассмотрим отот случай более подробно в п. 3.4, где уравнения ре-
шетил без привлечения этого приближения.)
На практике ширина линии излучения большинства тепловых
источников намного превосходит ту, которая определяется дли-
тельностью взаимодействия с атомной системой. Другими словами,
спектральная плотность энергии эффективно является постоян-
ной в интервале частот, показанном на рис. 3.1. Кроме того, раз-
личные частотные компоненты можно рассматривать как имеющие
случайные фазы по отношению друг к другу (гл. 10, § 4). Для
определения суммарного воздействия широкополосного (теплово-
го) излучения на систему нам следует, таким образом, проинте-
грировать C.8G) по всем частотам:
+ 00
v „ , С sin'fnfv , -f- vW]
I L /,\ B a". ( А . П \2-,2f2
с п
где введено предположение, что величина \А0\2, отнесенная к еди-
ничному частотному интервалу излучения, постоянна в диапазоне
частот, которые дают основной вклад в интеграл. Чтобы вычислить
.этот интеграл, сделаем замены В = n{vah + \')t, d\ = dti'nt u
подставим их в формулу C.87), откуда следует
Величина этого интеграла равна я, и мы получаем
2
\°\Ч\ — 7w (Ao'Vba) П 1- @.
Из C.88) вытекает важный результат, а именно: вероятность
перехода пропорциональна протекшему времени. Это позволяет
связать зависящую от времени вероятность перехода с поглоще-
нием, которое индуцировано слабым широкополосным излучением.
Величина (A0-DbaJ равна (A0Dba cos О)'2, где G — угол между
векторами До и Dlin, а Ао и Dba — значения векторов. Если из-
лучение tie поляризовано^ то направление Ао варьируется ел у-

86 ГЛ. 3. ИЗЛУЧЕНИЕ И АТОМНЫЕ СИСТЕМЫ
чайным образом и усреднение по Э дает (AQDba)V3. Далее, мът
можем связать величину векторного потенциала Ао со спектраль-
ной плотпостью энергии p(v), используя формулу (В.2):
Произведя упомянутые выше подстановки в C.88), окончательно
получаем соотношение
которое позволяет определить вероятность перехода в единицу
времени для единичной спектральной плотности энергии
Bab = Bnf3ti2)D2ba. C.89)
3.4. Электромагнитные переходы при наличии затухания
(приближение слабого сигнала). Теперь мы обратимся к реше-
ниям C.61) и C,62), с учетом членов, содержащих затухание, ис-
пользуя, как и ранее, предположение о слабом взаимодействии
излучения с атомом. Развиваемый подход будет несколько отли-
чаться от изложенного в п. 3.3. Однако он дает представление о
методике, используемой в лэмбовской теории (гл. 9) взаимодейст-
вия между полем излучения в резонаторе и активной средой лазе-
ра. В частности, здесь мы проанализируем влияние двухуровневой
атомной системы на монохроматическое поле излучения.
Вследствие переходов, которые поле излучения индуцирует
в атомах, оно само претерпевает изменение в процессе взаимодей-
ствия, либо усиливаясь (при стимулированном испускании), либо-
ослабляясь (при поглощении). Кроме того, из дисперсионных соот-
ношений, полученных в гл. 2, п. 4.10, следует, что поле испыты-
вает и сдвиг по фазе.
Для описания изменений, происходящих в поле, мы свяжем
с атомами наведенные полем дипольпые моменты. При этом ре-
вультирующее поле складывается из суммарного поля от всех
диполей и исходного поля. Остановимся на скалярном варианте*
когда излучение поляризовано, а дипольный момент представляет
собой скалярную величину. Дипольный моменту связанный с од-
ним (двухуровневым) атомом, равен
Р = <г>, C.90)
где
<г> = j ?*/•? dq. C.91)
Разложим последнее выражение по собственным функциям двух-

§ 3. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ АТОМОВ С ИЗЛУЧЕНИЕМ 87
уровневой системы. Если предположить, что постоянный диполь-
ный момент, соответствующий невозмущенным состояниям^ отсут-
ствует, то мы получаем
Р = е [a*b [ u*,rub dq -f «Ь* J u*brua dq). C.92)
Можно выбрать фазы иа и иь п соответствующие фазовые множи-
тели в коэффициентах ои 6 таким образом, что интегралы в C.92)
будут действительными, В результате найдем
Р =* Dab(a*b + ab*)% C.93)
где
Dab = j u*aerub dq =Dba. C.94)
Еслд электрическое поле, характеризующее излучение, пред-
ставить как
Е - ?0cos (att C.95)
то соответственный векторный потенциал есть
А = (сЕо/о>) sin (at. C.96)
Из C.74), C.95) и C.90) получаем
^HiUbdq^ ~i^EoDabsino^t C.97)
где
o>aft = (Еа - ЕьI%. C.98)
В случае, когда поле излучения близко к резонансу, C.97) упро-
щается:
j *#iwb dq= — г (EbDub) sin cot. C.99)
Уравнения C.61) и C.62), описывающие поведение атома в при-
сутствии поля излучения, можно, следовательно, привести к виду
= —ibE0Dab sin o>f -Ь аЕа — ihyaa/2b
C.100)
tub = +iaEQDab sin Ш + bEb — ihybb/2.
Если отыскивать решения в виде
a(t) = ao{t) exp (-iEat/h - yatf2),
C.101)
b{t) = bo{t) exp {-iEbt/Ti - ybt/2),

88 ГЛ. 3. ИЗЛУЧЕНИЕ И АТОМНЫЕ СИСТЕМЫ
то уравнения C.100) упрощаются:
sin o>?,
C.102)
%ib0 = H-iaoEo^abCxpl— ia>abt 4- (y& — 4^t!2\ sin Ы.
Заменим sin ш в C.102) в соответствии со следующей формулой:
sin Ш = (t?!u)( — e-iwt)/2l.
После этого пайде.ч, что правые части C.102) содержат один член,,
осциллирующий с частотой |о>аЬ — соj (низкочастотный резонанс-
ный член), и другой, осциллирующий на частоте |(опЬ -f- o>| <иы-
сокочастотный нерезонанспый члеп). Усреднение нерезоианспено
члена на любом с физической точки зрения интересном отрезке
времени дает нуль и мы пренебрежем им, воспользовавшись из-
вестным «приближением вращающейся полны» *), В этом прибли-
жении уравнения C.102) приобретают вид,
а0 = —iVb0 exp 1/(о>дй — со)/ + (уа — yb)t/2],
C.103)
Ьо = —iVa0 exp |i(o> — o>ab)f -f (yu — Yu)^2 ],
где
V = E0Dabl2h (V — действительная величина). C.104)
Теперь мы располагаем выражениями, описывающими поведение
атома но времени. Их следует связать с величиной поляризации
атома, которая определяется из C.90). После дифференцирования
C.93) получаем
Р = Dab(a*b + a*b + b*a + b*a). C.105)
Если подставить сюда соотношения C.103) и C.101), то после не-
которых перестановок находим
2FDab(aa* - bb*) sin Ы + ia>abDah(a*b~ab*),
C.106)
где уаЬ = (Ya + 7ь)/2-
На этом этапе мы воспользуемся приближением слабого сиг-
нала и допустим, что вероятность нахождения атома в его перво-
начальном состоянии не зависит от времени, т. е. мы предполага-
ем, что
aa*{t) — bb*{t) = aa*{t0) — bb*(t0) = const = N. C.107)
*) Этот термин происходит от представления синуса в виде двух про-
тивоположно вращающихся с частотой to векторов на диаграмме Аргаида.

§ 3. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ АТОМОВ С ИЗЛУЧЕНИЕМ 89
Продифференцируем C.10G) еще раз с учетом сделанных предпо-
ложений.
После подстановки C.106) и C.103) в полученное этим способом
выражение мы приходим к следующему окончательному соотноше-
нию, которое характеризует изменение поляризации со временем:
=DabVN [2(w -f o>a;,)cos at + yQb sin ©*]. C.108)
Таким образом, мы видим, что поляризация атома в поле нзлу-
тгения ведет себя подобно простому затухающему гармоническому
осциллятору, возбуждаемому полем. Параметры самого гармони-
ческого осциллятора (ого постоянная затухания уаЬ и собственная
частота о>аЬ) являются характеристиками атома. Он возбуждается
двумя компонентами, одна из которых находится в фазе с электри-
ческим полем излучения, а другая сдвинута относительно него на
90Q. Будем отыскивать решения C.108) для стационарного состоя-
ния в виде
Р = Р, cos G>t -f Р2 sin tot C.109)
(компонента /*, совпадает по фазе с электрическим полем, а Р2
сдвинута на 90°).
Если ввести следующие допущения:
в>аЪ + СО СЫ 2@, Vau ^ »ай,
то после подстановки C.109) ъ C.108) п разделения членов^ содер-
жащих синусы и косинусы, мы получаем
Р, = const-Йь^ Кь -®)/[(©вЬ - ©)я + v5bl, C.110а)
Р2 = const-Йь?вЛг7вЬ/[Кь -iof + уа26]. C.1106)
3.5. Приближение сильного сигнала. Рассмотрение, проведеп-
иос нами в пп. 3.3 и 3.4, основывалось на приближении «слабого
сигнала» постольку, поскольку предполагалось, что вероятность
обнаружения атома на верхнем уровне остается постоянной в те-
чение времени взаимодействия излучения с атомной системой.
Б основе аппроксимации п. 3.3 лежало предположение, что вре-
менная зависимость коэффициента, описывающего верхний уро-
вень, определяется только мнимой экспонентой (см. уравнение
C.78)). Далее вычислялась вероятность нахождения атома на
нижнем уровне и для случая широкополосного излучения было
найдено, что с переходом с иерхнего на нижний уровень можно
связать не зависящую от времени вероятность перехода. В п. 3.4
влияние атома на монохроматическое поле излучения было про-
анализировано в рамках представления о наведенной поляризации

90 " ГЛ. 3. ИЗЛУЧЕНИЕ II АТОМНЫЕ СИСТЕМЫ
атома. В это рассмотрение было включено и затухание, однако
при этом лее еще предполагалось, что вероятность обнаружения
атома на верхнем уровне не зависит от времени, в связи с чем раз-
иость аа* — 66* считалась постоянной величиной (см. уравнение
C.107)).
В этом пункте мы остановимся на случае, когда такое прибли-
жение более не является правомерным либо по причине слишком
ишененнного поля излучения, либо из-за большой величины по-
стоянной затухания уа. Теорию для сильного сигнала используют
с целью определения временной зависимости вероятности пре-
бывания атома на верхнем или на нижнем уровнях.
Если C.1026) продифференцировать по времени, то после пе-
регруппировки членов получим
К + 1г((ояЬ - о)) + (уа - yb)/2}b0 + V*b0 = 0. C.111)
Будем искать решения C.111) в форме
60 = exp [;(,li + ty)t], C.112)
где и. и у — действительные параметры, подлежащие вычислению.
Подстановка C.112) в C.111), а также выделение вещественной
и мнимой частей приводят к следующим двум уравнениям, вклю-
чающим эти параметры:
-Ця + 73 - (о)вЬ - ©)ц - у(уа - уьУ2 + F2 - 0, C.113а)
-2Vu. - (©flb - <u)y + ji(Va - 7ь)/2 = 0. C.1136)
После перегруппировок C.1136) можно использовать для на-
хождения связи j.i и 1':
V = li(Ta - Уь) 212и. + (a>ab - <йI. C.114)
При подстановке C.114) в C.113а) приходим к уравнению для
^¦=°- <3-115>
Это общее уравнение квадратично по |i, и может быть решено в
некоторых специальных: случаях, которые мы сейчас рассмотрим.
Прежде всего остановимся на случае, когда и уа, и уь равны
нулю (т. е. при отсутствии феноменологического затухания). Для
такого условия C.115) упрощается:
и2 + (соаь - o>)[i - F2 = 0. C-116)

§ 3. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ АТОМОВ С ИЗЛУЧЕНИЕМ 91
Решениями C.116) являются
-I <ш - ©вЬ) ± [(со - Щь) + 4Г*11/2- C.117)
Поскольку 7 также равна нулю, то общее решение для bo(t) имеет
вид
bo(t) = Л exp (f^t) -f j? exp (i^t). C.118)
Постоянные Л и В определяются из печальных условий. Так как
мы имеем
bQ(t = 0) = 0, C.119)
то из C.118) следует, что
А + В = 0. C.120)
Из C.1036) вытекает соотношение
К (* = 0) = - (Та0 (f = 0). C.121)
В началышн момент атом находится па верхнем уровне, так что
модуль коэффициента а0 ранен единице, поэтому
ao(t = 0) = exp AФо). C.122)
На основании C.121), C.118) и C.122) получаем
ЦгА + \i2B = — i7 exp (нр0). C.123)
Из граничных условий C.122) и C.123) мы находим ниже-
следующие величины для коэффициентов А и В, входящих
л (З.Ы):
А =¦ -Ve^liH - Иг), * = + ^1Фо/(Цг - И8). C.124)
ТТодстаполка C.121) в C.118) приводит к следующему выражению
для bo(t);
К (t) = УеЩо (ечч - е^.')/(Ц1 - ц2). C.125)
Возводя модуль bo(t) в квадрат и подставляя в него величины \it
я ц2 из C.117), получаем следующую формулу для вероятности
лребыванйя атомной системы на нижнем уровне:
\Ь([ \Ь (п\
1°^Л l^oUM — (ш—ш ^а —4И '
Эта вероятность, таким образом, представляет собой периодиче-
скую функцию с резонансной частотой (ш = о)аЬ), которая опре-

92 гл. з. нзлучыше и атомные системы ¦
деляется интенсивностью взаимодействия между атомной систе-
мой и полем излучения (т. е. величиной V2 = ?J>Da?)/4fi.z). Эффек-
тивная ширина полосы, в которой монохроматическое излучение*
с частотой to взаимодействует с системой, обладающей резонанс-
ной частотой «„;,, также определяется интенсивностью взаимо-
действия между атомной системой и полем излучения. Чем боль-
ше поток излучения, тем шире полоса, в которой оно взаимо-
действует с системой. Поведение функции вероятности во времена
иллюстрирует рис. 3.2, а.
Рис. 3.2. Плотность вероятности для нижнего уроиня как функция времени:
в) в отсутствие затухания; б) при наличии затухания, случай сильного ноли
(V2 > Y2)i е) т0 1К« самое, что и б), по для случая слабого поля (V* < у*).
Отыщем теперь решения уравпепия C.113) в присутствие фе-
номенологического затухания. Для облегчения этого процесса
остановимся на случае резонанса (когда ш = <ааЬ). В этой ситуа-
ции C.113) можно переписать в виде
Для
У2 - и.2 + Т(Тб - TJ/2 + V'2 = 0.
C.127а)
C-1276)

1 5 3. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ АТОМОВ С ИЗЛУЧЕНИЕМ Q3
так что решением для [i является
= ±(V2-y2)m, , C.128)
где "у дается формулой C.1276).
Граничные условия находятся таким же образом, как и ранее,
и в данном случае приводят к соотношениям
А + В = 0, C.129)
v Dh - V) А + (НЧ - V) в = - ^«1Ve.
так что решение для Ьо(?) есть
b0 (t) ^Vewe-v* (ew*i — е^>1)/ (щ — ц2), C.130)
где ц, и jx3 определяются теперь из C.128). Так как \хл и ц2 п0
определению должны быть действительными, полученное выше
решение C.130) справедливо только при условии V2 > 72- После
подстановки C.12S) вероятность нахождения атома на нижнем
уровне можно записать в виде
I bit)|2 = | Ъо@Рe-v*' = -^^. sin [(F* - f I/2«], C.131)
где у дается формулой C.1276).
Как и в предыдущем случае, эта вероятность колеблется,
но теперь огибающая колебаний затухает со скоростью, которая
характеризуется постоянной затухания, соответствующей нижнему
и верхнему уровням (рис. 3.2, б).
Следует также найти решение для случая, когда V2 < у2. Это
решение можно получить, если положить jx = 0, т. е. если рас-
смотреть случай, который мы ранее отбросили в C.1276). Подстав-
ляя |л = 0 в C.1276), для решении, отвечающего граничным усло-
виям, находим
+ ехр (- 2 Vt - VH) - 2], C.132)
где у, как и выше, дается выражением C.1276). Функция вероят-
ности в этих условиях после первоначального возрастания экспо-
ненциально спадает без каких-либо осцилляции, имевших место
в предыдущих случаях (рис. 3.2, в).
Решения, которые мы получили для взаимодействия двухуров-
невого атома с монохроматическим резонансным излучением на
основе теории сильного сигнала, иллюстрируют два важных мо-

94 ГЛ. 3. ИЗЛУЧЫШЕ И АТОМНЫЕ СИСТЕМЫ
мента. Во-первых, при тех условиях, когда скорость изменения
атомных характеристик под влиянием поля излучения велика по
сравнению со скоростями затухания, соответствующими уровням
(т. е. когда У2 > у2), атом колеблется, пребывая то на одном, то
на другом уровне (т. е. происходит пульсация населенности между
двумя уровнями). Во-вторых, процесс взаимодействия атома с
излучением увеличивает ширину линии, в пределах которой это
взаимодействие может иметь место (мощпостное уширение).
§ 4. Открытые квантовомеханические системы
4.1. Матрица плотности. Особая необходимость в матрице
плотности в нашем случае возникает в связи с описанием взаимо-
действия поля излучения с активной средой, состоящей из боль-
шого числа атомных систем. Мы уже рассмотрели с квалтовомела-
нической точки зрения процесс взаимодействия отдельной атом-
ной системы с излучением в рамках предположения о иаличип
только двух эпергетнческих уровней. При этом существование
других уровней энергии учитывалось путем введения феномено-
логических членов, содержащих затухание. В этом случае мы име-
ли возможность описать отдельную атомную систему с помощью
волновой функции, если известны были граничные условия.
Однако когда мы переходим к изучению взаимодействия боль-
шого числа атомов с полем излучения, связать волповую функцию
с системой как целым (т. е. с активной средой) оказывается уже
невозможно. Атомные системы попадают на один или на другой
эпергетический уровень в разные моменты времени посредством
механизмов возбуждения, которые в общем случае различаются
при переходе от одной точки к другой в пределах активного веще-
ства. Если мы не располагаем полным набором уравнений, описы-
вающих дкиженпе активной среды (а это потребовало бы подроб-
ной информации о граничных условиях в ней), то невозможно
поставить правильные граничные условия для каждой конкретной
атомной системы. В лучшем случае мы можем говорить только о ве-
роятности для атомной системы в данный промежуток времени и
данном объеме пространства попасть на один из своих двух энерге-
тических уровней и обладать при этом составляющей скорости в
определенном интервале. Обычно полная информация о поведении
среды как целого фактически не является необходимой, поскольку
ее влияние на поле излучения получается в результате усреднения
по всем атомным системам, из которых опа состоит. Использование
матрицы плогностп представляет собой удобный метод для прове-
дения процедуры такого усреднения.
Следует особо подчеркнуть, что когда мы имеем дело со ста-
тистическими свойствами квантовомехапической системы, воз-
можны два различных способа усреднения. Квантовомеханичес-

5 4 ОТКРЫТЫЕ КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ 95
кое описание до своей сущности является статистическим в tov
смысле, что даже когда волновая функция системы строго опреде-
лена, некоторые наблюдаемые параметры системы можно харак-
теризовать только лишь вероятностями. Это должно быть ясно из
выражения C.5), использовавшегося для нахождения среднего
значения физической величины по известной волновой функции.
Подобное усреднение вытекает из самого статистического харак-
а ера, присущего квантовомеханическому описапию. II если мы
в состоянии найти значение наблюдаемой величины с такой сте-
пенью точности, то мы считаем, что располагаем максимумом ин-
формации о системе. Практически, однако, наша информация о
системе не является столь полной, поэтому нам потребуется про-
лести дальнейший процесс усреднения, аналогичный проводимому
для чисто классической системы. И после того, как мы привлечем
оба этих типа усреднения, мы воспользуемся представлением мат-
рицы плотности. Эта процедура станет более ясной из дальпейше-
го при получении уравнений, определяющих матрицу плотности.
Подытоживая изложенное выше, отметим, что представление
через матрицу плотности используют, когда не располагают исчер-
пывающими сведениями о волновой функции (об амплитуде вероят-
ности), описывающей квантовомеханическую систему. Поэтому
для нахождения интересующих средних значений физических
величин требуются статистические методы. Использовать представ-
ление матрицы плотности для описания квантовомеханической
системы можно самыми различными способами, в зависимости от
цели исследования. Три основных формулировки были очень крат-
ко даны в работе [2] в виде ответа на вопрос «Что же такое матри-
ца плотности?» Мы цитируем [2]: «Это — кваитовомеханический
аналог классической функции распределения (статистическая
точка зрения), или это — метод наиболее полного описания от-
крытой квантовомеханической Системы, т. е. такой системы, кото-
рую нельзя описать волновой функцией (квантовомеханическая
точка зрения), или, наконец, это — наиболее удобный способ со-
брать все параметры, которые интересны для данного эксперимен-
та, и описать их поведение (операционная точка зрения)».
Здесь мы рассмотрим общие свойства матрицы плотности и,
принимая статистическую точку зрения, введем ансамбль для
описания интересующей нас физической системы. В данном раз-
деле мы не будем уточнять свойства этой системы. Далее, в гл. 9,
§ 3 мы проведем рассмотрение частного случая активной среды
в поле излучения *).
Предположим, что ансамбль состоит из N систем, каждая из
которых описывается нормированной волновой функцией V.
*) О статистических применениях матрицы цлотностн см. [7, 8 ]
{прим. ред.).

?6 * ГЛ. 3. ИЗЛУЧЕНИЕ И АТОМНЫЕ СИСТЕМЫ
Введем набор ортопормированных собственных функций ип и
разложим по ним волновые функции
Wk — "У, аки (к = i 2 JV\ {^ 1 ч*^
п
Рассмотрим некоторую физическую величину F, характеризую-
щую систему, и попытаемся найти ее значение в случае ансамбля
систем. Для каждого из членов ансамбля средняя величина <(Fy
находится по известной волновой функции с помощью формулы
llYF4kdq. C.134)
Такое определение среднего значения является следствием при-
сущего квантовой механике статистического характера описания.
Если теперь провести усреднение по всему ансамблю, то мы полу-
чим ожидаемое значение наблюдаемой величины для рассматри-
ваемой системы
= iV 2 \(ЧкУРУЫд. C.135)
Используя C.133), можно разложить волновую функцию в ряд
по выбранному набору собственных функций, так что C.135) пре-
образуется в
N
</-¦> = Л 2 2 (аУ*а?^тп, C.136)
й=1 т,п
rje
lmFundq. C.137)
Поменяем порядок суммирования в формуле C.136) и введем мат-
рицу плотности, элементы которой мы определим следующим
образом:
N
р«т = л'-12(<40*«п C.138)
(отметим, что порядок расположения тшжних индексов в левой
части — обратный по сравнению с правой). Теперь мы можем пред-
ставить C.136) в виде
<F>- 2р*Л^> -. , C-139)
ила в матричной записи
<Т> = Sp (PF). . C.140)

§ 4. ОТКРЫТЫЕ КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ 97
Подчеркнем еще раз, что при выводе окончательного выраже-
ния для среднего значения физической величины системы была
использовапы два способа усреднения. Первый, введенный форму-
лой C.134), соответствует квантовомеханическому представлению.
Второй (формула C.135)) является следствием недостаточно пол-
ной информации о системе и представляет собой аналог процедуры
усреднения в классической статистике. При проведении усредне-
ния и такой форме привлекается определение матрицы плотности.
Из определения C.138) видно, что матрица р является эрми-
товой; •¦
Ртп = Рпт, {SAM)
а также нормированной на единицу:
Sp (р) = N~l 2 2 №У в* = 1. C.142)
к :¦
Отсюда сразу следует, что диагональные элементы являются дей-
ствительными, а пх сумма равна единице.
Вид матрицы плотности C.138) зависит от конкретного пред-
ставления, в рамках которого мы проводим анализ (другими сло-
вами, она определяется набором собственных функций, которые
мы выбираем для разложения волновой функции). Рассмотрим про-
цедуру, с помощью которой можно перейти от одного представле-
ния (с собственными функциями ип) к другому {с функциями vn).
Выражение C.133) можно записать через новые собственные функ-
ции в виде
п, учитывая, что переход от одного представления к другому осу-
ществляется через матрицу унитарного преобразования Snr (§ 2)
",=Е«Лг, C.144)
п
где
Slr=-S7n, C.145)
мы получаем
«1 = 25дРь;. C.146)
р
Привлекая C.145), имеем
tf = 2<AUr." " C.147)
п
Искомая преобразованная матрица плотности определяется как
Ргр = Л-12(ь;Г«, . C.148)
h
7 А Мэйтлэнд, М. Дайн

98 ГЛ, 3. ИЗЛУЧЕНИЕ И АТОМНЫЕ СИСТЕМЫ
а из C.146) и C.147) видно, что , . ^
ргр= 2 S^npmnS,iP. C.149)
В матричной записи преобразование выглядит следующим образом:
р' =SpS- C.150)
Следовательно, матрица плотности преобразуется таким же обра-
зом, как и оператор. Путем подстановки C.150) с использованием
эквивалентного выражения для преобразовгйгия оператора
F C.48) можно убедиться, что среднее значение F физической вели-
чины, определяемое формулой C.140), не зависит от конкретного
применяемого представления.
Найдем теперь вид матрицы плотности в предельном случае,
когда она описывает систему с определенной волновой функцией.
О такой системе говорят как о находящейся в «чистом состоянии»,
в противоположность случаю «смешанного состояния», когда вол-
новая функция не известна. Ясно, что для чистого состояния все
системы внутри ансамбля описываются одной и той же волновой
функцией, например 4го, и при определении значения физической
величины фактически используется только один процесс усредне-
ния — квантовомеханическшг. Для каждого чистого состояния
можно провести «полпый эксперимент» [3] в том смысле, что его
результат является предсказуемым с полной определенностью,
если он выполнен для системы, находящейся в подобном состоянии.
Это можно понять, если вспомнить, что с наблюдаемым значением
параметра системы связан эрмитов оператор, так что постановка
полного эксперимента эквивалентна нахождению оператора, ко-
торому в качестве собственной функции соответствует волновая
функция чистого состояния. Необходимое и достаточное условие
того, что матрица плотности р описывает чистое состояние, выра-
жается равенством
р2 = р.
Для доказательства этого утверждения рассмотрим случай,
когда матрица р (а, следовательно, и р2) диагональна. Тогда р^ =
— рга и поэтому р„ = 0, 1. Отсюда, а также из условия иормиров-
ки для матрицы плотности следует, что одна из величин рп, ска-
жем pj, равна единице, в то время как остальпые равны пулю:
Pi-2l«?!2 = i> p» = 2I«SI2-o (Дляп#1),
k h
и, следовательно,
Wh ~ u1 exp (icph). " ¦ "
Таким образом, все системы ансамбля описываются одной и той:

§ 4. ОТКРЫТЫЕ КВАНТОВОМЕХАПИЧЕСКПЕ СИСТЕМЫ
99
же волновой функцией с точностью до (несущественного) фазового
множителя и результат «полного эксперимента» определяется
оператором, имеющим их в качестве собственной функции.
Чтобы вывести уравнение движения для матрицы плотности,
предположим, что волновые функции систем в ансамбле удовлет-
воряют уравнению Шредингера C.11)
i dt
и могут быть разложены в ряд по собственным функциям, состав-
ляющим полный ортонормировашшй набор:
!"№) = —г2Ят(в?. C.151)
Из свойств эрмитовости оператора // сразу следует, что
-§Г [«)* «Ц = тг2 К(«?)* Н1п - Нт1а1 («»)*].
Последнее выражение, будучи усреднено по апсамблю, дает
*'ftpmn = [H, plmn, C.152)
или в матричной форме
ifcp = fH, p|, C.153)
где квадратные скобки означают коммутатор, смысл которого был
объяснен выше (см. C.72)).
4.2. Когерентность состояний. Рассмотрим более подробно
недиагональные элементы матрицы плотности. Заметим прежде
всего, что при физическом измерении невозможно установить раз-
личие между двумя системами, описываемыми волновыми функ-
циями, которые отличаются лишь фазовыми множителями. На-
пример, если в определенный момент времени две системы харак-
теризуются волновыми функциями $! и гр2, такими, что
(i9), C.154)
где 8 — действительная величина, то
Последнее показывает, что ожидаемое значение физической вели
чины F одинаково для обеих систем. Если же теперь выразить вол-
новую функцию через некоторый набор собственных функций

1(M) ¦ ГЛ. 3 ИЗЛУЧЕНИЕ И АТОМНЫЕ СИСТЕМЫ } ?
то мы можем паиисать
^) = 2SMrafnm = 2lMn^n-b 2 (a*namFnm + K. с).
п тп я п,тп
C.155)
В случае, когда ип являются собственными функциями опера-
тора наблюдаемой величины F, то, как мы уже отмечали в § 2,
вторая часть равенства C.155) равна нулю. Для общего случая
разложения, это, разумеется, не так. Рассмотрим пример, когда
F описывает возмущение, действующее на систему. Пусть разло-
жение в ряд производится по невозмущенным собственным функ-
циям системы, а недиагональные элементы Fnm теперь могут быть
не равны нулю.
Если комплексиые коэффициенты выписать в виде
то становится очевидным, что хотя абсолютные величины фаз ф„
и ие играют роли, но их разности следует учитывать в случает
когда в выражение для математического ожидания входят неди-
агоиальные элементы.
Предположим, что мы теперь рассматриваем ансамбль, обра-
вованпый большим числом N идентичных систем типа описанной
выше. Диагональный элемент матрицы плотности, соответствую-
щий этому ансамблю, есть действительная величина вида
N
которая представляет собой вероятность того, чю произвольная
система в ансамбле находится в состоянии, описываемом собствен-
ной фупкцией ип. Поэтому мы можем Припять величину Л'рпп
как «населенность» этого состояния в ансамбле.
Рассматривая далее недиагональиый элемент матрицы плот-
ности
" N { h h\
о = N~l У a*kak = iV У \а II a ISKVn-vm)
Vnm 1Ч ^-1 umun — J* *_J | um I I un \ c i
мы видим, что это есть среднее значение, в общем случае, комплек-
сных величин. Можно представить эти комплексные величины
векторами на комплексной плоскости (рис. 3.3). Угол ср^™, кото-
рый образует даииый вектор с действительной осью, есть разпость
фаз между комплексными коэффициентами ат и ап для определен-
ной системы ансамбля, в то время как амплитуда вектора зависит
от вероятностей пребывания системы в одном из двух состояний.

4 ОТКРЫТЫЕ КВЛПТОВОМЕХАНИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
101
Если все величины ср„т равновероятны, то среднее значение
с^а„ длн ансамбля равно нулю и неди а тональные элементы в
матрице плотности отсутствуют. Тогда возможно описание ансам-
бля с помощью одних только «населенностей» состояний. Если же,
напротив, не все величины ф„т равновероятны, то усреднение по
ансамблю дает не равные нулю величи-
ны недиагональных элементов в матри-
це плотности. В этом случае говорят,
что в ансамбле имеется «когерентность»
между двумя состояниями. Когерент-
ность возникает в результате опреде-
ленного процесса, который приводит к
одной и той же разности фаз между
состояниями для всех систем в ансам-
бле. Таким процессом может быть ко-
герентное возбуждение состояний {на-
пример, под действием когерентного
оптического излучения) или «смеши-
вание» состояний при воздействии радиочастотного поля и т. д.
В гл. 9, | 3 мы сможем оценить важную роль «когерентности»
состояний, когда будем использовать лэмбовскую теорию для
описания принципов действия лазера. В этой теории волновая
функция определенной (двухуровневой) атомной системы в актив-
ной среде разлагается в ряд по невозмущенным энергетическим
собственным функциям системы. Поле излучения лазера при этом
рассматривается как возмущение и приводит к появлению недв-
агональных членов в выражении, подобном C.155). Именно эти
недиагональные члены и описывают поведение источников поля,
поэтому то, что при усреднении по всей активной среде их величи-
ны являются отличными от нуля, очевидно является важным
фактом.
р
стИаСвлени;
матричных
элемевтов.

Глава 4
ОПТИЧЕСКИЕ РЕЗОНАТОРЫ
§ 1. Резонаторы для лазеров (введение)
Назначение резонатора в лазере состоит в том, чтобы много-
кратно пропустить в прямом и обратном направлении через актив-
ную среду излучение, возникающее в ней, и достичь уровня, когда
усиление за счет индуцированного излучения превышает потери.
(Отражательные системы» используемые для оптической накачки,
вдесь пе рассматриваются.) В зависимости от геометрии выбранной
системы в резонаторе устанавливаются стоячие или бегущие вол-
ны, либо оба этих типа волн. Стоячие волны, например, возникают
в резонаторах, образованных длоскопараллельпыми и сфериче-
скими зеркалами. Использование уголковых отражателей приво-
дит к образованию системы бегущих волн в резонаторе. Амплитуды
бегущих волн, распространяющихся в противоположных направ-
лениях по одному и тому же пути, никак не связаны друг с дру-
гом. В случае стоячих волн имеются постоянные фазовые и ампли-
тудные соотношения, связывающие волны,, которые распространи
ются в противоположных направлениях.
Мода (или тип колебаний) есть распределение поля, которое
при распространении волны между зеркалами резонатора воспро-
изводится в пространстве и по фазе, но не по амплитуде. Вообще
говоря,, амплитуда не воспроизводима из-за дифракционных по-
терь, а также из-за потерь при отражении. Вследствие этих не-
избежных потерь данная мода имеет конечное время жизни. Оно
обычно определяется как время,, в течение которого амплитуда
в моде уменьшается в е раз по сравнению с начальной величиной.
Моды классифицируют на продольные и поперечные. Продоль-
ные моды обозначают числом узлов, укладывающихся вдоль оси
резонатора между зеркалами,, поперечные моды — числом узлов
в плоскости зеркала^ т. е. в плоскости перпендикулярной оси
лазера.

§ 2. ОТКРЫТЫЙ РЕЗОНАТОР J03
§ 2. Открытый резонатор
Размеры резонаторов, которые работают на одной или несколь-
ких модах в микроволновом диапазоне {% ~ 1 см), порядка длины
волны. Они достаточно удобны и для изготовления, и в работе.
На оптических частотах ситуация меняется. Резонаторы здесь
становятся существенно многомодовыми (миллионы типов колеба-
ний). Однако число мод может быть и ограничено, когда требуется
высокая добротность только для одного направления. (Определе-
ние добротности приводится ниже, в § 5.) В этом случае рассмотре-
ние удобно проводить на примере двух параллельных зеркал*
разделенных некоторым расстоянием, которые образуют открытый
резонатор Фабри — Перо.
Рассмотрим резонатор без боковых стенок, состоящий из пло-
скопараллельных абсолютно отражающих зеркал, и пренебрежем
дифракционными и другими потерями. Такой резонатор впервые
был предложен Прохоровым [1J и затем в [2, 3]. Излучение, рас-
пространяющееся в противоположных направлениях между зер-
калами, формирует систему стоячих волн. Для образования сто-
ячих волн излучение должно пройти из точки А в точку В и воз-
вратиться назад в точку А {рис. 4.1) с определенной фазой. Тре-
бование о соответствии фазы выполняется только для излучения
с определенными частотами. Поэтому в резонаторе могут существо-
вать лишь эти частоты и каждая из
них является частотой возможного
продольного типа колебаний резона-
тора (поперечные моды мы рассмот-
рим ниже). Между зеркалами лазе- Ь* d *\
ра {длиной от нескольких сантимет-
ров до нескольких метров) обычно Ряс. 4.1. Плоские зеркала,
укладывается 10*—107 длин волн. удаленные друг от друга на
Пусть Т — полное время про- расстояние d.
хождения световой волной пути
АВА% т — период колебания в волне, a v — частота. Если число
длин волн, укладывающихся на отрезке ABA есть д, то Т = gv
и число q обозначает порядок моды. Другие моды имеют порядок
9 ± 1, g ± 2 и т. д.
Если с' — скорость распространения излучения в среде внутри
резонатора, мы имеем
Id = с' Т и V,, = qc'/2d,
где d — расстояние между зеркалами.
Частотный интервал между модами равен
Vq _ Vq_t = 6v = [д - (q - \)\c'I2d = с'Ш. D.1)

104 ГЛ. 4. ОПТИЧЕСКИЕ РЕПОПАТОРЫ
Межмодовып частотный интервал можно найти также и другим
путем. Набег фазы в волне на одном проходе резонатора, запол-
ненного веществом с коэффициентом преломления |я, при фазовой
скорости с1ц за время t составляет <р = ы?, где ы — угловая ча-
стота излучения. Поскольку ы — 2nv, a t = d\i/c, то мы полу-
чаем
ср = 2nvd\i'C. '
Дисперсия резонатора dy'dv равна
= 2ы}ц'с. D.2)
Для стоячих волн соседние моды имеют фазы ф — 2nvd\i'c и
Ф+ я = 2n{v + 6v)d\xlc. Производя вычитание, находям оконча-
тельно
6v = ci'2d\i,. D.3a)
Резонатор, который образован вогнутыми зеркалами одинако-
вого радиуса кривизны, отстоящими друг от друга па расстояние,
равное их радиусу* является конфокальным, поскольку фокусы
зеркал совпадают. В таком резона-
торе (рис. 4.2) стоячие волны могу?
устанавливаться при распростране-
нии излучения по пути ЛВС В А.
Если Т% как и выше, —полное время
Рис. 4.2. Ход лучей между прохождения пути ЛВС В А, то мы
вогнутыми зеркалами. получаем Ad—c'T. Если число волн,
укладывающихся на отрезке АВСВА%
есть 2д, то Т = 2qn. Частотный интервал, разделяющий продоль-
ные моды, таким образом, равен
V4 — vq~i= 6v = [2q — 2{q - I)lc74d = c'/2d. D.36)
Случай поперечных мод требует более детального рассмотрения
иа основе волновой теории резонаторов, которая дает (см. гл. 6,
§ 1) следующее условие резонанса;
Ы1Х = 2q + (m +. n + 1)» D-4)
где д относится к продольной моде, a m и п — к поперечный
модам. Из этого равенства следует, что частотный интервал 6v
между модами с порядком пг и m — i составляет с'1Ы.
Геометрические параметры других широко используемых ре-
вонаторов приведены в табл. 4.1.
Два основных требования для лазера — это наличие резона-
тора и активной среды внутри него. Активная среда испускает
излучение и сама усиливает его до уровня, необходимого для уста-

§ 2. ОТКРЫТЫЙ РЕЗОНАТОР
105
новления колебаний в резонаторе. Резонатор называют «пассив-
ным», если он не содержит активное вещество, и «активным», если
содержит. Активное тело обычно имеет вид стержня из люминес-
центного материала, возбуждение которого осуществляется опти-
ческой накачкой, или выполнено в виде трубки, наполненной r;i-
вом, возбуждаемым электрическим разрядом. Длина резонатора
Таблица 4.1
Резонаторы со сферическими зеркалами
Тип резопатра
Конфокальный
Плоснепараллельный
Концентрический
Полуконфокальный
Полуионцентричесшш 1
Полусферический /
Без названия
1'адиусы
зеркал
R
со
R
R, со
R, ОО
Расстояние между зерка-
лами
Н
любое
2R
Я/2
R
любое вплоть до Е1-\-В2
диктуется продольными размерами рабочего тела, которые обычно
составляют 5—20 диаметров в случае стержней и 10—200 диамет-
ров в случае газоразрядных трубок.
Активное вещество испускает и усиливает излучение лишь
в ограниченном частотном интервале Av. Этот интервал определя-
ется шириной спектральной линии. Число возможных продольных
мод в этом интервале есть
N = Av/6v. D.5)
Такое число мод будет возбуждено, если для них выполнены ус-
ловия усиления (гл. 8). Другими словами, в системе возбуждают-
ся колебания на тех частотах, которые для резонатора и активной
среды являются общими. Вообще говоря, для возбуждения колеба-
ний одновременно в нескольких модах усиление в лазере должно
довольно сильно превышать порог генерации. Следует учитывать
также и тип уширения линии (однородное или неоднородное,
гл. 8, § 2).
о
Ширина линии неона F328 А) в гелий-неоновом лазере обус-
ловлена эффектом Доплера (см. приложение К). Ее типичная ве-
о
личина составляет около 1500 МГц (т. е. 0,02 А). Если в таком ла-
зере используются конфокальные зеркала с радиусом 1 м, то D.3)
и D.5) дают N = 20. На рис. 4.3 показаны моды, возбуждение ко-
торых возможно в пределах профиля рассматриваемой спекграль-

106
ГЛ. 4. ОПТИЧЕСКИЕ РЕЗОНАТОРЫ
ной линии, если усиление достаточно для возникновения генера-
ции. Здесь же приведены ширины различных линий. В видимом
диапазоне доплеровская ширина может быть в 102—103 раз больше
естественной ширины.
Каждая из продольных мод возбуждается независимо. Они не
конкурируют между собой в пределах контура неоднородно уши-
ренной линии, а межмодовые интервалы велики по сравнению
с естественной шириной линии. Моды сбиваются друг с
Естественная
ширина -»j
линии
Ширина
рбзанансхвй.
линии
резоттор/z
излучение
лизерд,
Рис. 4.3. Профили спектральных линий различных типов колебаний лазер-
ного резонатора [4].
и поэтому на выходе лазера наряду с дискретными частотами мод
всегда присутствуют частоты этих биений. Исключение составляет
случай, когда размеры резонатора подобраны так, что N = 1.
Чтобы с уверенностью получить только одну продольную моду,
когда ширина линии более 1500 МГц, длину резонатора следует
выбирать менее iO см, если он стабилизирован к центру линии*
и менее 5 см, если стабилизация отсутствует. При такой ограни-
ченной длине мощность генерации в одномодовом режиме около
1 мВт. Подбор длины резонатора является простейшим способом
модовой селекции (гл. i\, § 8). Этим методом легко получить одно-
модовый режим в случае газовых лазеров, обычно имеющих узкую
атомную линию. В твердотельных лазерах ширина линии намного
больше, в результате чего даже при малой длине резонатора они
являются, как правило, многомодовыми.
На практике в резонаторе существует множество видов потерь,
поэтому если развитие моды не поддерживается излучением из ак-
тивной среды, то она затухает. Этот процесс можно описать, если
с излучением в резонаторе связать среднее «время жизни» (гл. 4,
п. 5.3). Время, требующееся для развития или затухания моды»
меняется случайным образом, поэтому между различными неза-
висимыми модами не существует фазовой корреляции. Таким обра-
зом, и биения мод случайным образом флуктуируют^ складываясь
с шумовым спектром прибора.

§ 2. ОТКРЫТЫЙ РЕЗОНАТОР JOT
В этих простейших соображениях полностью игнорировались
дифракционные потери, происходящие на каждом проходе в откры-
том резонаторе. В работе 15], а также в [6] (гл. 6) рассмотрен
важный вопрос о том, возможно ли существование устойчивых
типов колебаний при наличии дифракционных потерь в таком ре-
зонаторе. Авторы [5] изучили несколько типов резонаторов, вклю-
чая резонатор с круглыми плоскими зеркалами радиуса а,, находя-
щимися на расстоянии d друг от
друга {рис. 4 4), с точки зрения ди-
фракционных потерь и их влияния
на модовую структуру при распро-
странении волны в прямом и обрат-
ном направлении между зеркалами.
Вопросы, которые требовали ответа, Рис. 4.4. Круглые плоские
были следующими: а) приближается зеркала радиусом а, удалеп-
^ ' г ные друг от друга ва рас-
ли относительное распределение по- ^ стояние d.
ля после многих проходов к стацио-
нарному состоянию; б) если имеются такие стационарные
состояния то сколько их; в) каковы потери. Однородная
плоская волна, ушедшая от одного зеркала, геряет некото-
рую долю энергии на периферийных областях из-за дифрак-
ции, прежде чем она достигает второго зеркала. Точно так же
часть волны, которая отражается вторым зеркалом, теряет энер-
гию до того, как возвратится назад, на первое зеркало. В резуль-
тате многократного повторения этого процесса поле на волновом
фронте на краях становится слабее. Для вычисления распределе-
ния поля на зеркале В начальный волновой фронт на зеркале А
был поделен иа некоторое число элементарных источников и к каж-
дому из них был применен принцип Гюйгенса с тем, чтобы найти
полный вклад в поле от каждого источника в каждой точке на
зеркале В. Полученное распределение использовалось затем в каче-
стве начального волнового фронта при вычислении результиру-
ющего распределения для волны, отраженной от зеркала В и при-
шедшей назад на зеркало А. Этот процесс вычисления был повто-
рен для сотен проходов. Было показано, что окончательно полу-
ченное распределение уже оставалось неизменным на дальнейших
проходах. Подобное устойчивое распределение поля волны
движущейся в прямом и обратном направлении между зеркалами,
и есть мода. На рис. 4.5 показаны результаты машинных расчетов,,
выполненных в [51, для зеркал в виде бесконечных полос. С прак-
тической точки зрения геометрия зеркал несущественнаf фунда-
ментальным является установленный в этих расчетах принцип.
На рис 4 5 приведено также распределение амплитуды поля (нор-
мированное таким образом, что амплитуда в центре равна едини-
це), полученное после первого прохода волны, которая на первом
аеркале обладала одиородиьш плоский фронтом. С каждым после-

103
ГЛ. 4 ОПТИЧЕСКИЕ РЕЗОНАТОРЫ
дующим проходом флуктуации амплитуды в определенной точке
х по отношению к амплитуде в центре зеркала постепенно умень-
шаются и, наконец, после 300 проходов они становятся меньше
0,03% от окончательной сред-
ней величины. Это распреде-
ление воспроизводит себя и тем
самым образует устойчивую
моду.
Резюмируя результаты ра-
боты [5 ], отметим следующее.
В качестве исходной была рас-
смотрена волна с плоским фрон-
том, уходящая от одного зерка-
ла, и прослежена ее эволюция
при распространении вперед и
назад между зеркалами. С по-
мощью этой методики было по-
казано, что в итоге в системе
должен окончательно сформи-
роваться устойчивый тип коле-
баний. Как выяснилось, это
связано с тем, что основная мо-
да характеризуется полями,
существенно меньшими на кра-
1
s
I
I
I*
%«
0,6
0,4
0,3
i i i i i
Л
- Лшс Ж
/rpoxoitoa
Y
_ а = 25Л
d=fO0A
a?/dA=6,&
—i—\—i—i—
/ \
Лертй \
tJpoxoS \
\ s
\
\
\ -
\
\
-1. 1—1 1
о
о,г
0,8 1,0
Рис. 4.5. Относительная амплитуда
поля для случая зеркал в ви-
де бесконечных полос (исходная
волна имеет однородное распреде-
ление) 15 J.
на порядок
плоских воли
меньше,
чем
ях зеркал, чем в центре. В ре-
зультате дифракционные потери
предсказывает простое рассмотрение
§ 3. Число Френеля
Рассмотрим резонатор, образованный Двумя плоскопараллель-
иыми круглыми зеркалами А и В с радиусом а, удаленными друг
от друга на расстояние d. Параллельный пучок излуче-
ния с длиной волны >., падающего на зеркало Л, отражается
и дифрагирует в угол порядка У а {диск Эйри, содержащий около
84% энергии). Половина угла, под которым видно зеркало В из
центра А% есть aid. Излучение, распространяющееся под йтим
*) Предложенный в [51 итерационный способ решения интегрального
уравнения для открытого резонатора дает иесьма наглядную картину фор-
мирования собственных типов колебаний, но не вполне удобен для практи-
ческих расчетов ввиду плохой сходимости, особенно в практически инте-
ресном случае малых дифракционных потерь. Исследованию интегральных
уравнений Фокса и Ли посвящена обширная литература. Эффективные
аналитические и численные методы описаны, в частности, в работе [10]
{прим. ред.).

fc 3, ЧИСЛО ФРЕНСЛЯ 109
углом к оси резонатора, пройдет через нею только один раз и за-
тем покинет резонатор. В лазерном резонаторе излучение должно
проходить туда и обратно между зеркалами много раз Если число
проходов излучения через систему равно п, то максимальный угол
между направлением распространения излучения и осью резона-
тора равен alnd. Таким образом, для малых потерь
a/nd>Xla. D.6)
Практически радиус а равен радиусу активного тела, находяще-
гося между зеркалами. Величину aVXd называют числом Фре-
неля N:
N = аУЫ. D.7)
С точки зрення чистой дифракции должно выполняться усло-
вие, чтобы каждое зеркало «перехватывало» как можно больше
излучения, выходящего с поверхности другого зеркала. Для этого
угол, под которым видно одно зеркало из центра другого, должен
быть бо.и.ше чем угол, соответствующий Дифракционной картине
от другого зеркала в дальней зоне. В связи с этим N приблизи-
тельно равно числу перекрываемых зон Френеля. Для сисгемыа
состоящей из зеркал с радиусами at и а3, мы имеем
N = а^а^Ы.
В типичной ситуации в резонаторе осуществляется несколько
деся!кор или сотня проходов прежде, чем излучение ослабляется
за счет различных механизмов потерь (при прохождении зеркал„
дифракции на рассеивающих центрах, ухода из резонатора и т. д.)
в е раз по сравнению с начальной интенсивностью. Когда число
Френеля «Л00, дифракционные потери несущественны и систему
можно описывать с достаточной точное 1ью с помощью геометриче-
ской оптики. Дифракционные потери следует принимать в рас-
смотрение в случае, когда они становятся сравнимыми с потерями
при отражении *).
Числа Френеля для рубиновых лазеров и аналогичных им си-
стем обычно порядка 100, для газовых лазеров они порядка 10.
Это видно из двух следующих примеров.
Типичный рубиновый стержень имеет размеры 10 сч в длину и
1 см в диаметре,, зеркала напылены на его торцах. Длина волны
излучения рубинового лазера при комнатной температуре равна
о
6943 А при показателе преломления рубина 1/76 В соответствии
*) Метод геометрической оптики применялся к расчету собственных
типов колебаний в работе [11J. В [12, 131 различными методами вычислялись
дифракционные потери в предельном случае больших чисел Френеля
(прим. ред.).

НО ГЛ. 4 ОПТИЧЕСКИЕ РЕЗОНАТОРЫ
с D.7) число Френеля '—625. Для аргонового лазера длина резо-
натора порядка 50 см при внутреннем диаметре газоразрядной
о
трубки ~2 мм. Длина волны излучения равна 4880 А. Число Фре-
неля здесь составляет ~-'20.
Часть энергии af теряемая за счет дифракции за один проход»
в предположении об однородном распределении поля и фазы при
дифракционном угле 8 = "к/а (см. рис. 4.4) равна отношению пло-
щади кольца с разностью внешнего и внутреннего диаметров
х (х = Ы) к площади зеркала радиусом а
2лахЫа2 = Ы!а2 = UN. D 8)
Чем больше число Френеля, тем меньше дифракционные по-
тери. В гл. 6 будет показано, что когда в резонаторе устанавлива-
ется стоячая волна, распределение поля не является однородным»
а дифракционные потери существенно меньше, чем здесь предска-
зывается. Наименьшими дифракционными потерями среди всех
типов резонаторов обладает конфокальный. Основная мида явля-
ется модой с наименьшими потерями.
Дифракционные потери становятся существенным^ когда ак-
тивная среда лазера обладает низким усилением.
§ 4. Свойства резонатора и фотоны
Условие малости дифракционных потерь из лазерного резона-
тора можно сформулировать на языке фотонов, используя прин-
цип неопределенности. Местоположение фотонов, падающих па
зеркала А и В (см. рис. 4.4), можно определить по отношению
к осям х% у, zT где z совпадает с осью резонатора. Когда фотон от-
ражается назад в резонатор, например, зеркалом А и мы наб-
людаем за ним, то его положение на оси х можно определить с точ-
ностью
Ах ~ а.
В соответствии с принципом неопределенности это означает»
что импульс фотона в направлении оси х определен с точностью до
\рх ~ hi а.
Таким образом, в направлении движения фотона от зеркала А
имеется неопределенность
Д9 --•' Apxlpz ~ c/avr где рг = hvlc
Величина Д9, полученная этим способом, совпадает с той, кото-
рая была выведена с помощью классического волнового рассмот-
рения процесса дифракции. Чтобы свести к минимуму дифракци-

§ 5. ДОБРОТНОСТЬ РЕЗОНАТОРА Щ
^рнные потери на зеркале В, оно заведомо должно преграждать
йуть фотонам, поэтому его диаметр следует выбирать достаточно
большим с учетом величины неопределенности. Когда фотон дости-
гает зеркала В% его положение будет определено с точностью до
величины а!Д6, причем ЙД6 «<а. YcflOBHej которое должно быть
выполнено^ таково:
§ 5. Добротность резонатора
Колебательные системы (например ?С-контуры, микроволно-
вые и оптические резонаторы) обычно характеризуют добротностью
(J. Мы рассмотрим этот параметр, используя величины, удобные
с точки зрения понимания принципов действия оптических резо-
наторов лазера. Возьмем резонатор с такими размерами, которые
необходимы для поддержания колебаний в частотном интервале
dvpe3 вблизи центральной частоты vpe3 в одной из его мод. Доброт-
ность резонатора можно определить несколькими способами, экви-
валентными для больших величин Q:
резонансная частота
* спектральная ширина резонанса на полувысоте
или4
^ 2лХзапасениая энергия колебанпй
или
энергия, теряемая за период ' \ • )
л энергггя. эаггасенная в генераторе // л л-.
L/ — (ОХ ' 1 I !¦ 11)
v онергия, теряемая в сеиунду v4 '
где (о = 2nv.
При рассмотрении лэмбовской теории лазера (гл. 9) для описа-
ния всех потерь в резонаторе используется проводимость о. Инте-
грируя {9.9)i мы получаем электрическое поле излучения в резо-
цаторе
¦ Е =я EQn exp (—ot/2sQ).
Таким образом! энергия поля излучения в единице объема в резо-
наторе равна • " "
'Переписывая D.11) через единичный объем резонатора, полу-
чаем для колебаний с угловой частотой Qn
Q = anE2QjEln[l - exp (- о/е0)]; Q - йпе0/ст. D.1 la)

ГЛ. 4. ОПТИЧЕСКИЕ РЕЗОНАТОРЫ
5.1. Ширина линип излучения лазера. Мода резонатора в он/-
тпческом генераторе не только запасает в себе энергию когеренгу-
ного излучения* но и отдает ее ь результате различных процессов
диссипации. В этом случае определение добротности для моды вы'-
глядит следующий образом: у
2луХзапагенная энергия
^ ^
" ~" суммарные потери энергии кснеренгного н^л^чеипя в секунду *
Допустим, что Рког — скорость, с которой когерентная энергия
вкладывается в моду (при вынужденном испускании), а Р^г —
скорость потерь энергии когерентного излучения при прохожде-
нии через зеркала (предполагается единственный ме?сапизм по-
терь). Тогда мы будем иметь
псргпя
^ p<n) _ p@
КОГ КОГ
В стационарных условиях полная скорость поступления энер-
гии в моду, складывающаяся из скорости ввода когерентной энер-
гии (через вынужденное испускание) в из скорости ввода некоге-
рентной энергии (через спонтанное испускание), должна быть
равна полной скорости диссипации энергии в генераторе. В этом
случае
n<i) , p(i) _ n(O)^, „@)
и приведенное выше соотношение превращается в
п 2луХзапасенная .энергия
Чтобы вычислить Рнрноп заметим, что отношение скоростей для
вынужденного и спонтанного излучения в данной моде равно чис-
лу фотонов, присутствующих в ней. Это число можно связать с ин-
тенсивностью 1 поля в моде внутри резонатора, или с выходной
мощностью Р(°>;
Np = ladlchv = P<°)d!ao-TV)chvt D.12a)
где а — площадь поперечного сечения моды, d — длина резона-
тора, а аотр — коэффициент, учитывающий потери при прохожде-
нии зеркал. Скорость вынужденного испускания в моде легко най-
ти из A.24). Она равна
BmnNmg(v, vmn)fhvad/c, D.12б>
так что Рнеког получается путем деления D.126) на D.12а):

i I 5. ДОБРОТНОСТЬ РЕЗОНАТОРА ЦВ
рнергия, запасенная в моде^ есть Nphv и, следовательно^ доброт-
рость для моды равна
2P@)d,, .2 .
где 6v — ширина линии на "выходе генератора.
На пороге генерации A.28) дает
vOTp"
d
1
TV
I пор
Подставляя это в D.12в) и используя D.15а), находим
. DЛЗа)
p
В обычных условиях» когда Nт*%> Nnt последнее выражение
упрощается до
6v = 2л(ДурезJЫР<0>. D.136)
Линия генерации в моде становится все уже по мере возраста-
ния мощности излучения, выходящего из резонатора. Мы еще вер-
немся к более полному рассмотрению вопроса о ширине линии ге-
нерации лазера в гл. 10, § 11.
Приведенное соотношение впервые было получено в [7], а так-
же в [3]. Применяя D.136) к случаю гелий-неонового лазера с bw-
ходпой мощностью 1 мВт, мы получаем Av ~ 5 • 10~* Гц, если
о
пропускание зеркал составляет 1 % на длине волны 6328 А, а длина
резонатора равна 1 м (метод вычисления AvpP3 описан в следующем
пункте). Из A0.1) следует, что AvAi = 1 (а ДГ в этом случае
есть время установления устойчивого режима), поэтому создание
резонатора, обладающего достаточно стабильными размерами и
способного реализовать такую узкую линию излучения, оказыва-
ется невозможным. В качестве примера можно указать работу
[8], в которой были проведены эти классические измерения.
5.2. Влияние потерь на добротность резонатора. Для вывода
излучения из резонатора лазера необходимо использовать зерка-
ла с коэффициентом отражения, меньшим 100%. Обозначим часть
мощности в данном типе колебаний с длиной волны X, которая ухо-
дит из резонатора при отражении от зеркала и из-за дифракции
на нем, через а, а через U — полную энергию в моде, присутству-
ющую в резонаторе. Если зеркала находятся на расстоянии d
друг от друга (d ~%> X), то теряемая в секунду энергия равна
Uac/d, где с — скорость света в веществе внутри резонатора.
С А. Мэйтлэнд, М. Даны

Ш ГЛ. 4. ОПТИЧЕСКИЕ РЕЗОНАТОРЫ
Из равенства D.11) получаем для пассивного резонатора
Q = 2nvU!(Uac/d) = 2nd'aK. D.14)
Величину Q можно поднять путем увеличения d, однако прп раз-
ведении зеркал вклад дифракционных потерь в ос также возрастает.
Верхний предел для Q достигается при условии, когда дифракци-
онные потери и потери на отражение примерно одинаковы; при
больших значениях d добротность Q уменьшается.
Полная частотная полоса резонатора на уровне половины мак-
симума резонансной характеристики получается из D.9) и D.14):
Л^рез — ca!2nd. D.15а)
Для резонатора с d — 1 м и а = 2-10~2 величина Avpe3 составляет
около 1 МГц. Из D.15а) и D.2) имеем
a'Avpea = ду!д\ш D.156)
Добротность резонатора Фабри — Перо в принципе определяется
потерями на отражение и дифракцию. Потери при отражении
обусловлены поглощением и пропусканием зеркал, а дифракцион-
ные потери есть результат конечности их апертуры Вычислим
добротность Q по отдельности для каждого иэ этих механизмов.
На рис. 4.4 показаны два зеркала радиусами 2а, разделенные
расстоянием d. В результате дифракции излучение будет рас-
пространяться от зеркала В под углом в = Х12а к оси и часть его
пройдет мимо зеркала на расстоянии х = Qd. Таким образом,
при одном проходе теряется излучение, падающее на кольцо
с внутренним радиусом а и внешним а + х. Если и — плотность
энергии поля излучения,, то из D.10) следует
^дифр = 2nvna2udj{2naxuc) =* 2ла2Д2. D.16)
Если потери при отражении есть аотр, то мы можем сравнить ве-
личины Ql даваемые выражениями D.14) и D.16):
<?отр 2nd Ха Id
отр =
О
Для d == 100 см, аотр = 10-2л а = 1 см,, К = 5000 А отношение
Чготр'хдифр = и,-"*-
Из зависимостей, полученных в [4 ]1 следуем что дифракцион-
ные потери можно представить в виде - ¦
аГИфр = К{Ы'а*р, ¦ ' D.17)
где К и р — постоянные, определяющиеся выбором резонатора.

§ 5. ДОБРОТНОСТЬ РЕЗОНАТОРА
D.14) и D.17) находим
Дифференцирование Q по d показывает^ что добротность максималь-
на при следующих условиях:
аотр = адифр ф - 1), d =* X [ж^=1)]1/Э- <4Л8>
Для плоских круглых зеркал К ж 0,2, р1 да 1,4, в то время, как
для конфокального резонатора К ~ 10 и E ~ 10. Поскольку
наименьшие достижимые не личины аотр порядка 0,1%, то величи-
на d определяется( в основном,, отношением а2 А. Отсюда видно, что
в оптическом диапазоне достижимы не встречавшиеся в практике
величины d.
5.3. Постоянная времени пассивного резонатора. При рас-
пространении излучения между зеркалами резонатора имеют
место потери^ обусловленные отражением, дифракцией и т. д.,
в результате чего поле излучения затухает. Допустим, что плот-
ность энергии излучения равна и, скорость его распространения
в среде сг длина резонатора d, а потери за один проход равны а.
Скорость уменьшения плотности энергии за счет потерь в резона-
торе дается уравнением
и = ~co.nl d. D.19)
Решая его, мы получаем
и — Uq exp (—catld). D.20)
Время* за которое энергия в резонаторе уменьшается до значе-
ния, составляющего е-1 ее первоначальной величины, есть время
жизни трсз излучения в резонаторе. Оно равно
Трез — d CO.. D-21)
Например, при d = 100 см, о. =* 1О1 с — 3-Ю10 см/с значение
тр,.3 соста вляет 3 -10~7 с.
Из D.9), D.20) и D.21) можно получить
Q = 2JL- _ & 2л -^- = 2nvTpe3, D.22)
где т — период, a v — частота колебаний.
15 приведенном выше примере при v ~ 4,8* 1014 Гц добротность
Q — 10й. Часть потерь в резонаторе обусловлена также погло-
щением и рассеянием. При прохождении лучом расстояния Z в-

110 ГЛ. 4. ОПТИЧЕСКИЕ РЕЗОНАТОРЫ
резонаторе его интенсивность снижается в соответствии с урав-
нением
Sf = Sf« ехр (- апогл I). D.23)
Время, за которое интенсивность Э\ уменьшается до величины
Э\1е, равно времени, в течение которого луч пройдет расстояние
/ — Иапогл. Это время есть
1ПОгл = 1/«погл С. ' D-24)
Соответствующая величина добротности даегся равенством
<?ногл = 2лу апогл с D.25)
В общем случае величина <хПОгл включает в себя любые виды по-
терь и каждый из них дает свой вклад в характеристическое время
резонатора, поэтому D.21) можно переписать в виде
х[1От = d'cali0T. D 26)
Если все виды потерь, например, дифракция, отражение и погло-
щение, присутствуют одновременно^ общее время затухания в ро-
зоаагоре равно
а добротность Q определяется из равенства
iQ = i (>д,.фр + 1 (>ит„ + 1'Опогл. D.28)
Рассматривая замкнутую лазерную систему с зеркалами как
один осциллятор и применяя к нему соотношение AvAf ~ 1, мы
видим, что Д? совпадает с грез- Используя затем D.21)t получаем,
что Avpe3 ~ cad. Последнее согласуется с D.15).
§ С. Наблюдаемые модовые конфигурации
Здесь мы обсудим структуру конфигураций мод газоразрядных
лазеров. Модовые картины от других, например, рубиновых лазе-
ров обычно искажены вследствие неодиородностей показателя
преломления» часто присутствующих в активных телах этих лазе-
ров. В газовых лазерах как правило, используются высококаче-
ственные оптические элементы, а их актиьное вещество является
однородным что позволяет наблюдать неискаженную модовую
структуру. Конфигурации мод приведены на рис. 4.6. Здесь же да-
пы их обозначения. Подобные картины устанавливаются в случае
плоских или сферических зеркал и наблюдаются в плоскости, пер-
пендикулярной оси лазерного луча. Это — поперечные электро-

§ 6. НАБЛЮДАЕМЫЕ МОДОВЫЕ КОНФИГУРАЦИИ
117
йагиитные моды, в связи с чем их обозначают как TEMmnq*).
(Теоретические основания для описания мод числами тип изло-
жены в гл. 6.) Число изменений направления поля (т. е. число об-
ластей нулевой интенсивности или узлов) на наблюдаемой картине
обозначается буквой т вдоль оси х и буквой п вдоль оси у; плос-
кость поляризации проходит через ось у, ТЕМтПд-моды являются
ТЕМ,
00
б»
ТЕМ,
• I»
1И1
¦iff
ТЕМ*
'so
«I»
ТЕМ,
'07
TBMg3 TEM0S TEM2;
ТЕМ
'22
Рис. 4.6. Конфигурация поперечных мод и их обозначения.
неаксиальиыми модами. Величина q относится к продольной моде,
характеризующейся числом нулей интенсивности в стоячей волне
вдоль оси лазера, и в обозначении моды обычно опускается, по-
скольку лежит в интервале 10* —107. Продольные моды отлича-
ются друг от друга только частотой колебаний; поперечные же мо-
ды различаются между собой как по частоте, так и по распределе-
нию поля в плоскости, перпендикулярной оси лазера.
Иногда несколько поперечных мод возбуждаются одновремен-
но. На рис. 4.6 показаны образующиеся и результате модовые кон-
фигурации для ТЕМ&0-,
ТЕМ07-мод. Излучение во
всех модах поляризовано в
одном направлении, опре-
деляемом ориентацией брю-
стеровскик окон лазера.
Существуют также моды
с аксиальной симметрией.
Они обозначаются как
ТЕМР1Ч, где р указывает чис-
ло нулей (узлов) в радиаль-
ном направлении, а / дает число нулей в азимутальном
(т. е. половину числа нулей по углу, см. рис. 4.7). Иногда эти мо-
ды обозначают ТЕМгр?. Моды с круговой симметрией, помеченные
звездочкой, представляют собой комбинацию двух вырожденных
мод с I ¦= 1, смешанных в пространстве, с фазами, сдвинутыми на
90°. Некоторые типичные конфигурации осесимметричиых мод при-
ТЕМ,
00
тщ)
ТЕМЛ
«19
ТЕМ,
'02
ТЕМ,, ТЕМ,
ТЕМ»
Рис. 4.7. Конфигурации осесимметрич-
ных поперечных мод и их обозначения.
*) Сокращение от английского названия Transverse Electromagnetic
Mode {прим. перев.).

118 ГЛ. 4 ОПТИЧЕСКИЕ РЕЗОНАТОРЫ
ведены на рис. 4.7. Эти конфигурации также возникают на плоских
или сферических зеркалах, однако для их получения требуется до-
вольно тщательная юстировка лазера, позволяющая создать,
аксиальную симметрию, которая необходима для возбуждения
таких мод. Методика получения осесимметричных мод описана
в работе [9].
Можно показать, что линейная комбинация мод с одинаковыми
величинами т -j- n идентична с модой, для которой в цилиндриче-
ских координатах 2р + I = т + л. Для строго симметричного
резонатора без потерь оба метода описания являются эквивалент-
ными. Однако в реальных резонаторах азимутальная симметрия
не идеальна и при перемене тип вырождение снимается.

Глава 5
ОПТИЧЕСКИЕ РЕЗОНАТОРЫ
(ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ)
§ 1, Введение
Резонаторы с очень большими числами Френеля (~100) харак-
теризуются очень малыми дифракционными потерями, в связи
с чем для изучения определенных вопросов можно воспользовать-
ся геометрической оптикой. Одним из важных аспектов является
влияние многократных отражений от сферических зеркал, кото-
рые образуют резонатор лазера.
В настоящей главе мы собираемся рассмотреть свойства све-
товых лучей в лазерных резонаторах с различной геометрией,
используя метод параксиальных лучей. Для выяснения этих
вопросов мы выберем матричный метод, так как он является наи-
более эффективным с точки зрения возможности учета многократ-
ных проходов луча в резонаторе. При этом мы воспользуемся
некоторыми разделами теории матриц, такими как представление
уравнений в матричном виде и перемножение матриц. Краткие
выдержки из соответствующих разделов теории матриц приведе-
ны в приложении Д. Полезный обзор по применению матричных
методов в теории оптических резонаторов содержится в работе [11-
§ 2. Резонатор с плоскими зеркалами
Рассмотрим резонатор, образованный двумя плоскими зерка-
лами, которые расположены перпендикулярно к его осн на рас-
стоянии d друг от друга, как показано на рис. 5.1, а. Для изу-
чения поведения пучка, последовательно отражающегося от пер-
вого и второго зеркал, нам следует знать положение пучка на
одном из них, а также ориентацию пучка. Выберем систему коорди-
нат, как доказано на рис. 5.1, б. Начало системы находится в цен-
тре зеркала (рис. 5.1, а), ось z совпадает с осью пучка в резонато-
ре. Допустим, что начало пучка находится на зеркале 1 в точке
Pi(xu tfi). Пусть направление его распространения задается угла-

120
ГЛ 5 ОПТИЧЕСКИЕ РЕЗОНАТОРЫ (ГЕОМЕТРИЯ)
ми 6i = в и фх = ф, которые образует пучок с нормалью к зерка-
лу в плоскостях xz и г/г соответственно. Углы 8 и ф малы, поэтому
мы можем положить тангенсы ранными самим углам. Угол в будем
считать положительным, если он лежит по ту сторону от нормали,
которая соответствует положительному направлению оси х. То же
Рис. 5 1. Координатная система, вводимая дчя изучения резонатора,
который образован двумя прямоугольными плоскими зеркаламя, перпенди-
кулярными к его оси и удаленными друг от друга на расстояние d.
самое примем и для угла ф в направлении оси у. Пучок попадает
на зеркало 2 в точку с координатами х2, ys, определяемыми из
соотношений
х2 = Xi -\- Bd, у3 = у, + фс/.
Углы, под которыми луч попадает на зеркало 2, равны 0а1 = — 0
и Фаг = —Ф- В результате прохода луча от зеркала / к зеркалу 2
его местоположение на зрркале перемещается из точки (х\, yt)
в точку (х2, у2). Этот процесс можно описать с помощью матриц
¦12
передачи Тх" и Ту следующим образом:
р
a2
¦ 12) У1
где
•12
т» Г1 d
Отметим, что в этих обозначениях расположению нижних и верхних
индексов не следует придавать большого значеЕшя. Перед тем как
уйти от зеркала 2, луч отравится от нею и этому процессу соответ-
ствует последующая операция, котораи определяется соотноше-
ниями
= - е
У г =
<Pd2 =

§ 2 РЕЗОНАТОР С ПЛОСКИМИ ЗЕРКАЛАМИ jgl
где 9d4 и tpd2 — углы, под которыми пучок уходит от зеркале.
Эти равенства можно представить с помощью матриц отражении
Rx a Ryi
где
Переход от зеркала 2 к аеркалу 1 описывается матрицами пере-
дачи TV u Ту1
1
О —
После следующего отражения цикл заканчивается и луч снов»
уходят от зеркала 1 к зеркалу 2. Этот полный цикл можно предста-
вать матрицей, которая для рассматриваемой геометрии имеет вид
*-=к-=Го -!Н-
откуда мы имеем
-К ?]•
Матрица, соответствующая п циклам, есть
«--К 2Г! w
Пусть ж( и 9( — начальные значения величии х и 0, л хп и
6ft — значения после п циклов. Из E.2) получаем
откуда
*»=**i + 2nd6It вл = 9,. E.4)
Для вычисления максимального значения 9, при котором лучи
еще остаются в пределах резонатора, образованного зеркалами
со сторопой а и разделенными расстоянием d, заметим, что хп = а
и Zf = 0. Тогда из E.4) получаем а = 0 + 2dn9max, 0max —
- а'2nd.

122
ГЛ. 5. ОПТИЧЕСКИЕ РЕЗОНАТОРЫ (ГЕОМЕТРИЯ)
§ 3. Резонатор с призмой полного внутреннего
отражения
Для модуляции добротности часто используют вращающуюся
90-градусную призму. Кроме того, в некоторых рубиновых лазе-
рах применяют стержни, один конец которых обработан в виде та-
кой 90-градусной призмы, другой же является плоским. Для ана-
лиза подобной системы можно применить матричный метод.
На рис. 5.2 показаны конфигурация такого резонатора и исполь-
зуемая система координат. Матрицы относятся к плоскостям 1 а.2-
Рис. 5.2. Координатная система для резонатора, состоящего из прямоуголь-
ной призмы и плоского зеркала.
С учетом только первого порядка величин ср матрицы отражения
для призмы имеют вид
p*
_f-i о]
l -,*(ГУ5]
I -1 J'
Лучи, лежащие в плоскостях, перпендикулярных к грани призмы,
отразятся в направлении, параллельном первоначальному. Лучи,
составляющие угол <р с плоскостью xz, быстро расходятся за ис-
ключением случая, когда \xt\ = 0. Для лучей с <р = 0 матрица,
цикла в резонаторе с зеркалом и призмой имеет вид
откуда мы получаеА!
Для п циклов
E.5)
E.6)

§ 3. РЕЗОНАТОР С ПРИЗМОЙ ПОЛНОГО ОТРАЖЕНИЯ
123
Используя E.6), по аналогии с E.2) можно показать, что если
.размер активной среды в направлении оси х есть а, то |8max| =
= aflnd.
Для лучей с ф^О матрица цикла такова:
м R Ti2R T2i __ ("l d]h d)h
» f ' Pf ' [о — iJLo — iJLo
откуда следует
M
о -i
. _\i 2d+V2\x.
Для п циклов находим
Это дает | фтах j = {b/2n)[d -\- {| xt -)- 2ndO; |)/К 2 ], где Ь — раз-
мер активной среды по оси у.
3.1. Стоячие волиы в резонаторах с крышеобразными от-
ражателями. В работе [2J были проанализированы условия
возникновения мод со стоячими волнами между крышеобразными
отражателями. При этом рассматривался не ход лучей в резона-
торе, как выше, а сдвнг фазы. Для установления стоячей волны
требуется, чтобы набег фазы в
результате цикла составлял
2щ, где q — целое ч:исло. До-
пустим, что резонатор образо-
ван двумя крышеобразными от-
ражателями, расположенными
на расстоянии d друг от друга
и ориентированными так, что ?
их ребра перпендикулярны оп-
тической оси, однако разверну-
ты на угол Э друг относительно
друга, в соответствии с рис. 5.3.
~-Ребра -
Отражатель А Отражатель 3
Рис. 5.3. Два крытеобразшлх реф-
лектора, расстояние между кото-
рыми равно d, с ребрами, перпенди-
кулярными оси резонатора и раз-
вернутыми иа угол 0.
Пусть оси х и у расположены
так, как показано на этом ри-
сунке, а положительное нап-
равление оси 2 совпадает с нап-
равлением от В к Л. Рассмотрим однородную плоскую волну с
произвольной поляризацией, падающую на отражатель А. Бу-
дем считать составляющие вектора полиризации по осям z я у
равными соответственно ий и и0. Составляющие в отраженной вол-
не на отражателе Л есть щ и Vt. Имеем, таким образом:
О
ехр (— ic
E.7)

124 ГЛ. 5. ОПТИЧЕСКИЕ РЕЗОНАТОРЫ (ГЕОМЕТРИЯ)
где фу и ф± обозначают запаздывание по фазе составляющих
щ н 1?0 ПРИ выходе из отражателя А. В процессе распространении
от А к В обе волны испытывают дальнейшее запаздывание по фа-
ве, составляющее ф0 — 2nd/Xt где X — длина волны излучения
в среде между отражателями. Имеем далее
Ы_Г«р(-«Ро> ° 1ГИЛ ¦
U.J i 0 exp(-"Po)JkJf { }
где и2 и и2 — составляющие по осям на отражателе А. Теперь оси
повернуты на угол —В, так что новые составляющие для волнм
на отражателе В параллельны и перпендикулярны его ребру.
Таким образом, получаем
cos 0 — sin 6
После отражения иа В находим
*]_Гехр(-.фи) О ПК!
J-L о «p(-»vi)JUJ- Eл0>
Преобразуя это выражение опять к первоначальной системе осей,
мы имеем
cos0 *n
Теперь обе волны бегут назад к отражателю А, достигая его с за-
паздыванием по фазе ф0, чему соответствует
Если волна является собственной модой резонатора, она должна
удовлетворять требованию самосогласованности, а именно
ехр(—1ф) О
О ехр(—
,!::]¦
Последовательная подстановка E.12), E.11), E.10), E-9), E.8) и
E.7) в E.13) дает
cos 0 sin О]Гехр(— iff Л 0 ircos0 —sin 0
sjn0 cosoj[ 0 exp(+(9)J[i0 o
где % = ехр Г/Bф0 + 2фа — ф)), а фа = (Фи + ф±)/2 и

Ь 4. РЕЗОНАТОР СО СФЕРИЧЕСКИМИ ЗЕРКАЛАМИ
125
«= (Фи — ф±)/2. Из E.14) мы получаем систему уравнений
[cos 26 ехр(—2«pd) + sin2 6 — Х\и0 -
— sin 8 cos 8[1 — exp B«pd)]i?e = 0t E.15)
sin 8 cos 8A — exp {—2i4pd)l"<> +
+ [cos2 8 exp Bfcpd) + sin2 в - >Лий = 0, E.16)
откуда следует уравнение
X2 — 2X(sin2 8 + cos3 8 соз2фа) + 1-0,
которое дает
cos^ — 2(ф„ + фаI = sin2 0 -f- cos2 G cos 2-pd.
Два значения, найденные из решения квадратичного по "к уравне-
ния, при подстановке в E.15) и E.16) дают две собственных поля-
ризации (отношения и к v) для резонатора. Существование реше-
ний, которые удовлетворяют требованию оамосогласованности,
означает, что в резонаторах, образованных крышеобразными отра-
жателями, должны присутствовать моды со стоячими волнами,
обладающие определенной поляризацией.
§ 4. Резонатор со сферическими зеркалами
¦ Матричная методика применима и к описанию резонаторов,
состоящих из сферических зеркал. Рассмотрим луч, падающий на
сферическое зеркало с радиусом г. Радиус вогнутого зеркала бу-
дем считать положительным, раднус выпуклого — отрицатель-
ным. Допустим, что ось 2 совпадает с осью резонатора, а начало
Рис. 5.4. Падение луча на сферическое зеркало радиусом г.
координат лежит в центре зеркала. Так как резонатор симметри-
чен относительно осн г, мы будем рассматривать только коорди-
нату х. Пусть луч приходит на зеркало в точку х, как показано
иа рис. 5.4, а, 6. Угол падения на вогнутое зеркало
а + 6 ^ х'г + 0

126 гл- &• ОПТИЧЕСКИЕ РЕЗОНАТОРЫ (ГЕОМЕТРИЯ)
и на выпуклое
а — 8 « xlr — 6.
Углы отражения соответственно равны xlr + 8 и xlr — 8. Следо-
вательно, отражение на зеркалах можно описать с помощью сле-
дующих уравнении:
вогнутое х = х, выпуклое х = х,
зеркало Qd = — 2x!r — 8; зеркало Bd = 2cch — 8.
Будучи представленными через матрицы отражения, этн уравне-
ния имеют вид
= Or"L0J И L°l=
аг]
0J' '
где
Если учесть, что радиус выпуклого зеркала отрицателен, то обе
матрицы отражения можно объединить в одну
=[-!/r -l] B
которая применима к обоим типам сферической отражающей по-
верхности.
Матрицы передачи Т12 и Т21 в этом случае имеют вид
' E.19)
4.1. Комбинация плоского и сферического зеркал. Полусфе-
рический резонатор состоит из вогнутого и плоского зеркал, ко-
торые разделены расстоянием, равным радиусу кривизны вогну-
того зеркала. Матрица цикла для этой системы такова:
СЛ-КТ КсферТ -|^0 _1J[Q _^[_2!г _iJ|q _lj'
откуда
с --
Для п циклов имеем

Ь 4. РЕЗОНАТОР СО СФЕРИЧЕСКИМИ ЗЕРКАЛАМИ 127
Рассмотрим теперь вопрос об устойчивости этой системы. Пусть
xt и 6j — начальные значения, а хп и 6„ — значения после п цик-
лов, соответствующие расстоянию от центра зеркал и углу
между направлением луча и осью резонатора.
В окончательном виде матрица такова:
Следовательно, мы получаем
хп = (-1)" xit Qn = (-1)" [{2п/г)хк + в(].
Отсюда видно, что если хг = О, хп — 0, а 6„ = {—l)n6f, то это
означает, что лучи не выходят из резонатора и при этих условиях
он является устойчивым. Если же зг;^ 0, то 6„ может достичь
значения а/г, где а — радиус апертуры зеркала. Предельным яв-
ляется условие
|0maxl< air.
Поэтому число полных циклов в резонаторе при xt ф. О опреде-
ляется неравенством
• ' Bn/r)Xi + 6, < а/г. E.21)
(Например, число полных циклов в полусферическом»резопаторе
с зеркалами диаметром 2 см и радиусом кривизны 1 м при Qt = О
и xt = 1 мм равно 5.)
Проанализируем теперь более общий случай плоского и вогну-
того зеркал, удаленных на расстояние d. Матрица цикла есть
И 01 Г1 <ПГ 1 01 Г1 rfj
Производя умноженпе, находим
C* = U2/r i-2d,r\ <5-22>
Применяя эту матрицу для определения значений х и в после од-
ного цикла, мы получаем
х = Xi(l — 2d/r) + QtBd — 2d2/r),
6 = -2хг1г + 6,A - 2d/r). El23>
Исследование E.23) показывает, что х не зависит от 6( при d = г.
Кроме того, уравнения показывают, что величина х минимальна,.

12S ГЛ. 5. ОПТИЧЕСКИЕ РЕЗОНАТОРЫ (ГЕОМЕТРИЯ)
когда d — г/2. После подстановки этого значения d в E.22) имеем
с ~Г ° г/21
я для п циклов .-J
п m
E.24)
Поскольку зависимость от х и 0 здесь отсутствует, резонатор яв-
ляется устойчивым по отношению к уходу всех лучей, выходящих
из центра плоского зеркала с О; ^ aid = lair,
4.2. Комбинация двух сферических зеркал. Матрица цикла
для вогнутых зеркал радиусом г, разделенных расстоянием d,
имеет вид
_[ 1 01] i <Л Г 1 0U1 \'*
СВОГн-[_2/г _
откуда мы получаем
C
Г l-2d/r 2d—2dz,'r I
O(tt = [_ 4'г + 4d г* 1 + 4d»/r« - 6d/rJ"
Анализ показывает, что д- не зависит от 8г нри d= r, т. е. в конфо-
кальном случае. В этом случае матрица для одного цикла есть
С Л
Для п циклов
Сконф-(-1)"[о J]. E-26)
что свидетельствует о высокой устойчивости конфокального резо-
натора, поскольку зависимость от х и 6 отсутствует.
4.3. Общие условия устойчивости. Вычислив матрицу Rn
для п циклов, мы можем затем использовать ее для анализа устой-
чивости резонатора. Под устойчивостью имеется в виду такая си-
туация, когда величины \х\, \у\, |8| и |ср| не превышают своих на-
чальных значений после любого числа циклов. Возможность дости-
жения таких условий в данном резонаторе можно проверить пу-
тем анализа элементов матрицы Rn. Наиболее простой путь для
этого заключается в диагонализации Rn, после чего нам остается
оперировать только диагональными элементами, а остальные бу-
дут равны нулю. Для диагонализацни Rn мы воспользуемся

§ *. РЕЗОНАТОР СО СФЕРИЧЕСКИМИ ЗЕРКАЛАМИ 129
матрицей преобразования А, такой, что
. А^А = В, E.27)
где В — диагонализнрованиая матрица
Диагональные элементы ?„, н Х.2, представляющие собой собствен-
ные значения Rn, определяются из уравнения
I2 - аХ + р" - 0, E.29)
где а — сумма диагональных элементов Rrt (иначе, след или
шпур), я р — определитель этой матрицы. Как след, так и опреде-
литель инвариантны, т. е. не меняются при преобразовании матри-
цы. Корни квадратных уравнений обладают известным свойством
^ -|- Х2 = а и ХД3 - р*. E.30)
Для того чтобы \х\, \у\, |8| и |ср| не превышали своих начальных
значений, величины |^| и \Х«\ должны быть меньше единицы.
Таким образом, резонатор устойчив, если матрица цикла удовлет-
воряет следующим условиям:
Sp Rn< 2 и Det Rn< 1. E.31)
Эти условия необходимы, но не достаточны. Однако мы не будем
обсуждать этот вопрос, поскольку проводимое рассмотрение, тем
не менее, является адекватным для резонаторов, которые мы изу-
чали. {Более полный анализ можно найти в работе [1 ].)
Выведем теперь условия устойчивости резонатора, образован-
ного двумя вогнутыми зеркалами с радиусами гг и га, находящи-
мися на расстоянии d друг от друга. Матрица цикла в этом случае
имеет вид
~-=l_-2/rt -iJlp -lJL-2/г, -lJlO -1
Производя умпожение, находим
rs - 2/r, - 4d/rt ^
Для устойчивости пеобходимо, чтобы
Sp R - 2 - 4d/r, - Ulrx + if/V, < 2.
После прибавления 2 к обеим частям этого неравенства, деления
* А, Мвйтлввд, II, Данк

130 ГЛ 5 ОПТИЧЕСКИЕ РЕЗОНАТОРЫ (ГЕОМЕТРИЯ)
его на 4 и введения обозначений
gL - 1 - dirx и gl = 1 - tf/ra E.32)
получаем * ? *>w
ffiga<l. E-33)
Неравенство E.33) представляет собой условие устойчивости, ко-
торое будет выведено также в гл. 7, § 4 и в п. 5.1 настоящей главы.
' Ч
§ 5. Рассмотрение резонатора как последовательности липа
При изучении геометрии повторных отражений лучей па сфе-
рических зеркалах лазерного резонатора методами геометрической
оптики нас не интересовали направления этих лучей. Мы лишь
выясняли, сходятся они пли расходятся. С этой точки зрения тог
же самый эффект, что и сферическое зеркало, дает линза. Поэтому
ыы можем заменить зеркала периодической последовательностью-
линз, каждая нз которых соответствует одному отражению*). Ось
цилиндрической симметрии проходит через центры линз. Такая
последовательность линз составляет оптическую линию передачи.
Если зеркала имеют одинаковую кривизну и апертуру, то им соот-
ветствуют линзы с одинаковым фокусным расстоянием / и с одина-
ковой апертурой радиусом а. Пуси, линзы находятся друг от дру-
га на расстоянии d, как показано на рис. 5.5. (Зеркала с разной
Рис. 5.5. Последовательность лши, эквивалентная открытому резонатору,
кривизной представимы в виде последовательности линз с фокус-
ными расстояниями /, и /2, в которой каждую пару можно скомби-
пи ропать таким образом, что она будет образовывать одну эквива-
лентную лннзу с фокусным расстоянием/.) Допустим, что луч вы-
ходил из n-й линзы на расстоянии хп от оси под углом 6П к ней.
Требуется определить условие, при котором xh <C a (k= 1, 2,3,...)
для всех значений к; т. е. условие того, чго луч не пройдет мимо
*) Преимущество этого метода заключается в том. что луч бежит в одной
Ьаправлеиии. Это позволяет избежать сложностей при учете знаков.

$ 5 РГПОНЛТОР КЛК ПОСЛЕДОВ ЧТЕЛЬНОСТЬ ЛИНЗ J31
линзы. Если это условие будет выполнено, тогда выбором соот-
ветствующего масштаба мы сможем сделать величину \хк\<^\.
При прохождении через систему луч пересекает плоскость каждой
линзы на расстоянии хк от оси. Если привлечь матричное представ-
ление для описания движения луча через последовательность линз
(п. 5.2), то мы увидим, что положение хп луча на п-й линзе опре-
деляется полиномом п-й степени некоторой функции параметров
системы d и /. На этом этапе нам достаточно лишь отметить, что
число п определяет как порядок полинома, так и положение конк-
ретной рассматриваелгой линзы в последовательности. Найдем
теперь полином, которым можно описать характеристики устойчи-
вою резонатора, т. е. такого, что [vh \ ¦< 1.
Рассмотрим полиномы Чебышева (см. [3])*)
Тп(у) = cos(n cos-V), E.34)
где п = 1,2,3. Они обладают тем свойством, что все полиномы
Тп(у) степени п имеют наименьшую максимальную величину в
интервале —-1 <! ys^.\, т. е. отклонение от нуля минимально.
(Доказательство этого утверждения приведено в приложении И.)
Эго именно ют тип характеристики, который нам нужен для рас-:
¦сматриваемого луча. Из тригонометрии известна формула
cos(n -]- 1)(р -|- cos(n — 1)ф — 2cosn<pcosq>.
Подточу
Тп+1(у) + Тя_1(у) = 2уТ1г(у). E.35)
Возвращаясь опять к последовательности линз на рис. 5.5,
заметим, что при прохождении через линзу расстояние луча от оси
не меняется, а угол по отношению к оси изменяется на —x/f, по-
этому мы получаем
хп = хп-х + 0 „_!<*, E.3G)
хл+г -х„ + 9nd, E.37)
- . 0п = ем - хп/Д . . . . . E.38)
Комбинируя E.36), E.37) и E.38), находим
Д-n+i + ^п-г = B — d!f)xn. . ., E.39)
Сравнение E.35) и E.39) показывает, что если оба эти соотношения
описывают одно и то же условие устойчивости, то Тп+г(у) и Тп„г(у)
соответствуют хп+1 и ?„_!, а 2г/ = 2 — d/f. Отсюда видно, что чле-
ны Тп(у) являются полиномами по A — dl2j). Так как у = 1 —
*) О свойствах полиномов Чебышева см. [9] (прим. ред.).
9*

132
: Ь ОПТИЧКСНИЕ РЕЗОНАТОРЫ (ГЕОМЕТРИИ)
— d/2/ и |(/|<! I, то мы получаем условие устойчивости в виде
0< <///<4. E,40)
5.1. Условие 5стомчивостн. Рассмотрим резонатор с зеркала-
ми, которые имеют радиусы кривизны >\ и г2 соответственно. Фо-
кусные расстояния эквива-
лентных тонких линз ранни
/, = г\Г1 и /2 = г2/2, а резо-
натор можно продставть по-
следовательностью тякнх
линз, разделенных расеюн-
нием d, равным длине резо-
Hii! ора. Эта после-довател ь-
иость показана па рис. 5.0.
Хоротно известно, что пару
тонких липа, удаленных на
расстояние <1, можно пред-
ставить в виде одной топкой
линзы с фокусным расстоя-
Гис. 5.6. Последовательность линз,
экиияялрятнйя резонатору со сферичо-
скиыи зоркллями, фокугние расстояния
которых различны.
иием, которое определяется на формулы
1// = 1/Д J-
E-41)
Главные плоскости эквивалентной тонкой лин.ш расположены на
))аситояииях hx = df/f2 и h2 -= с?///, от соответствующих линз.
Эффективное расстояние между эквивалентными тонкими лянзами:
можно определить как
L = d -h Л, + К E-42)
Скомбинируем соотношения E.41), E.42) и выражения для ky u /г2.
По.чучил!
E.43)
Дли последовательности топких линз E/@) имеет вид
0 < /,// < 4. E.44)
Пользуясь условием устойчивости E.44) и E.43), можно показать,
что границы областей устойчивости определяются Соотношением
0 < {й!гг - i)(d/r2 - 1)< 1. , E.45)
Ото условие устойчивости будет получено нами в гл. 7, § 4 при
изучении распространения гауссовского пучка в резонаторе. Сле-
дует заметить, что неустойчивому резонатору соответствует усло-
вие г1 <; d <. г3.

5 в. ДН \ГРЛМЛГА УСТОЙЧИВОСТИ 133
5.2. Матричное рассмотрение последовательности тонких линз*
Допустим, что через последовательность топких линз, расстояние
между которыми равно d, распространится параксиальный луч.
Как и в § 5, предположим, что луч выходит из п-п линзы на рас-
стоянии хп от оси под углом 8„. Перепишем E.Ж>) и E.38) следую-
щим образом:
хп = хп_х -1- 0 „_!<*, E.46)
В матричной форме E.ЛГ>) vi E.47) имеют вид
Квадратная матрица в E.48) и матрица, обратная ей, соотносятся
между собой как
[с d\A-C 4^D-BO-\ C.49)
Поскольку световые лучи взаимно обратимы, определитель равен
единице:
AD — ВС - 1. E.50)
Это — полезный способ для проверки произведения матриц, соот-
ветствующего многим операциям над оптической системой. Матри-
ца для полной последовательности, состоящей из п линз, есть
Авторы 14] получили следующее значение для м-й степени квад-
ратной матрицы, детерминант которой ранен единице:
1А #j" j f Л sin nip— sin (n — I) (p Wsin «ip 1
[c d\ ~ sm ф [ с sin лф /?ain й(р — sin (я — i) ф J' ^'J' ^'
где cos tp = (Л -]- D)/2. CooTiromeune E.52) следует из (Д.3'1а)
и (Д.36).
§ 6. Диаграмма устойчивости *)
В работе [5] показано, что устойчивость резонаторов, образо-
ванных двумя зеркалами, находящимися на расстоянии d, с радиу-
сами кривизны гх и г2 (положительными в случае вогнутых зеркал
н отрицательными для выпуклых), можно представить графически
*) Свойства неустойчивых резонаторов обсуждаются в статье:
Ю. А. Ананьев, УФН 103, 705 A97Ц (прим. рев.).

134
ГЛ. 5. ОПТИЧЕСКИЕ РЕЗОНАТОРЫ (ГЕОМЕТРИЯ)
в координатах gt и g2, где gl = 1 — dlrx и gs = 1 - d/r2. Такая
диаграмма приведена на рис. 5.7. Авторы [в \ выбрали другие
эквивалентные переменные d/rl и d/r2. Каждая точка на диаграмме
соответствует определенной геометрии резонатора. Точки внутри
затушеванных областей относятся к усюйчнвым системам. Под
d
r1
¦ •! 1
i
9
a
и
X
W
\->
\
1
i_d_
r2
8
4'
if*
\
1 z
1
0
-1
\H
^1-
/
7
J
/
/J
& =
ft
rt
I
9,11
Рис. 5.7. Диаграмма устойчивости для резонаторов со сферическими агр-
калами (области устойчивости затушеваны, номерами помечены коиф|1Гура'-
ции резонаторов и соответствующие им области на диаграмме устойчивости).
устойчивой мы имеем в виду систему, свободную от такого вида
потерь, которые можно вычислить в рамках геометрической опти-
ки, Другими словами, если зеркала рассматривать как периоди-
ческую фокусирующую систему, то луч в устойчивом резонаторе
остается в ею пределах после многократпых проходов, в то время
как из неустойчивого он быстро уходит. Границы между областя-
ми устойчивости и неустойчивости проходят по осям координат и
по гиперболам, определяемым уравнением gLg% = 1.
Конфокальному резонатору с идентичными зеркалами соответст-
вует точка в начале координат. Легко видеть, что небольшие
отклонения (например, из-за недостаточно точного изготовления
зеркал) делают систему неустойчивой и могут привести к значи-
тельным потерям. По этой причине лучше избегать работы в этом
режиме.

§ 6 ДИАГРАММА УСТОЙЧИВОСТИ
135
Как в устойчивых, так и неустойчивых резонаторах, кроме
геометрических потерь присутствуют еще и дифракционные, при-
чем оказывается, что эти потери намного больше для неустойчи-
вой геометрии, чем для устойчивой. Это связано с тем, что поле
моды в устойчивых резонаторах сконцентрировано вблизи оси, в то
время как поле в неустойчивых постепенно расплывается к пери-
ферии зеркал, где дифракционные потери еще больше.
Таким образом, об областях диаграммы устойчивости более
правильно говорить как об областях малых или больших потерь.
Резкие границы, присущие чисто геометрическому случаю, дости-
гаются в системах с большими числами Френеля, а для систем с
малыми числами, в которых дифракционные потери более значи-
тельны, границы между областями выражены менее отчетливо.
Фокс и Ли [5, 71 использовали свой метод итераций для расче-
та основной ТЕМ0-моды и ее функции потерь в системе с двумя
Рис. 5 8. Контурная диаграмма функции потерь для основной моды в ин-
lUDtbenOMCipdX с зеркалами и виде бесконечных кривых цо-шс (расчет при
N = 0,5) [5].
вер калами1 в виде бесконечных полос, имеющими неравные радиу-
сы кривизны, но одинаковую ширину. Результаты этих вычисле-
ний для /V = 0,5 приведены на рис. 5.8. Кошурные линии пред-
ставляют собой линии одинаковых потерь и дают величину сред-
ней мощности, теряемой за один проход. Она вычислялась из пол-
ных потерь за один цикл. Средняя величина взята по той причине,

C6 ГЛ 5 ОПТИЧЕСКИЕ РЕЗОНАТОРЫ (ГЕОМЕТРИЯ)
что потери на двух зеркалах пе одинаковы, поскольку пе одинако-
вы их радиусы кривизны. Потери, соответствующие началу коор-
динат, равны 1,9%. При увеличении числа Френеля контурные ли-
нии сдвигаются по направлению к границам между областями вы-
соких и низких потерь, соответствующим чисто геометрическому
случаю.
Геометрическое рассмотрение потерь было проведено в 18 J
и эти результаты буд>т обсуждены в § 7.
§ 7. Геометрическое рассмотрение потерь
в неустойчивых резонаторах
В § G было показано, что когда дифракционными потерями мож-
но пренебречь (N = оо), резонатору, образованному зеркалами
с радиусами Н1 и /?2, отстоящими на расстояние d, соответствует
единственная точка на плоскости gyg2, где gx = 1 — dfRx н g2 =
=* 1 — d/R2- Устойчивость резонатора можпо определить по поло-
жению эти точки па диаграмме, причем области устойчивости
отвечает условие 0<!?,?2<;1. Если резонатор лежит внутри
области устойчивости, то моды низшего порядка имеют очень
незначительные дифракционные потери. Вблизи границ области
устойчивости эти потери возрастают.
Поле излучения после отражения волны от зеркала распреде-
лено в соответствии с законами дифракции, рассматриваемыми
в гл. 5. Второе зеркало имеет ограниченною апертуру и поэтому
какая-то часть излучения выходит из резонатора. Таким образом,
потери в общем случае можно всегда классифицировать как диф-
ракциоппые. Тем пе менее, резонаторы удобно рассматривать с
точки зрения геометрической оптика, считая лучи, выходящие за
пределы зеркал, источниками геометрических потерь. Резонаторы,
лежащие в области неустойчивости, обладают геометрическими
потерями, которые тесно связаны с дифракционными потерями в
устойчивых резонаторах. Неустойчивые резонаторы и геометри-
ческие потери в них изучались в работе (81. Здесь мы приведем
результаты этой работы. Па рис, 5.9 показаны некоторые тины
неустойчивых резонаторов.
Допустим, что дифракционными потерями можпо пренебречь
(т. е. число Френеля велико), и поэтому зеркала заполнены одно-
родно. Рассматривая геометрические условия, показанные на
рис. 5.10, предположим также, что волна, уходящая от зеркала
Зи является сферической с центром в точка Ри которая пе обяза-
тельно должна совпадать с центром кривизны зеркала 3А. Час гг.
этой волны отразится от зеркала 32, остальная часть пройдет мимо
него. Отраженная волна исходит как бы из точки Р8 и достигает
зеркала 3lt где снова претерпевает отражение. Для выполнения
требования самоеогласованности точки Р1 и Р2 должны являться

5 7. ПОТЕРИ В НЕУСТОЙЧИВЫХ РЕЗОНАТОРАХ 137
изображениями друг друга в соответственных зеркалах. Выбор
8пака при использовании безразмерных расстояний гх и га произ-
водится так, что расстояния считаются положительными, если
рассматриваемая точка находится вне резонатора, н отрицательны-
ми, если внутри пего (т. е. между двумя зеркалами)» Радиус R зер-
кала отрицателен, если рассматриваемый центр лежит вне резо-
натора, и положителен, если находится внутри него. Поскольку
Рис. 5.9. Некоторые типы веустоачивых реэопаторов и их моды [8].
Рис. 5.10. Геометрия анализируемого неустойчивого оптического резо-
автора [8J.
Pi и Р2 должны быть изображениями друг друга при отражении
на соответственной сферической поверхности, то ил элементарной
геометрической оитики мы имеем
ltrx - V(rt + 1) - -2LIRX = 2(Sl - 1},
i/r2 - l/(r, + 1) = ~2LiR% = 2(gt - 1).
Совместное решение этих уравпеиий дает
E.53)
Г*"~ ^TfTTTf^

138 ГЛ. 5 ОПТИЧЕСКИЕ РЕЗОНАТОРЫ (ГЕОМЕТРИЯ)
Чтобы выбрать нужный знак, рассмотрим влияние небольшого
смещения дгг точки Р\ из положения самосогласования. Если
взять отрицательное значение квадратного корня, то последующие
значения Ьгг будут еще больше и центр кривизны сферической
волны уходит дальше от положения самосогласованности и система»
таким образом, неустойчива. Если же выбрать положительную ве-
личину, последующие значения 6rx оказываются меньше; система
устойчива.
Описанный выше метод исследования свойств резонаторов,
основанный на простом геометрическом рассмотрении волн со сфо-
рическнм фронтом в соответствии с рис. 5.9, дает возможность по-
л>чнть весьма полезную и простую физическую картину, из кото-
рой \отя и выпадают некоторые детали процесса дифракции, одна-
ко заметно упрощаются вычисления.
Потери энергии за один проход связаны с той частью волны,
которая минует зеркало, как показано на рис. 5.9. Пусть 1\ и Г2—
часть энергии, ушедшая от одпого зеркала, которая отражается
от другого. Часть энергии, оставшейся после полного цикла, есть
Г2 = Г\Г2. Если усиление волны при одном проходе в лазере равно
G, то порог генерации определяется из соотношения
G2V1T2 = G-Y* = 1. E,54)
Рассмотрим параллельные зеркала в виде полос бесконечной
длины с ширинами 2ах и 2а2 соответственно. Из элементарной гео-
метрии для частей отраженной энергии имеем
Для цикла получаем ¦ '
Г = ГГ = V
Важно отметить, что в случае неустойчивых резонаторов потери
не зависят от размеров зеркал. Автор 181 показал, что йто также
справедливо для зеркал произвольной и несимметричной формы
при условии, что поверхности зеркал имеют протяженность в обо
стороны от центральной линии резонатора. Физическая причина
этого заключается в том, что уменьшение размеров одного зеркала
приводит к пропорциональному уменьшению углов раствора для
волн в обоих направлениях, в результате чего относительные по-
перечные размеры, а с ними и доли теряемой мощности остаются
неизменными. Подставляя значения rt и г2 из E>53) в E.об), мож-
но выразить Га через ?х и ?2:
U M1'2
(

7. ПОТЕРИ В НЕУСТОЙЧИВЫХ РЕЗОНЛТОРЛХ
139
з г го* 5 г 10 5 if
ГО'3 2 5 1Ог 2 S 10 1 2 J 7
Рис. 5.11. Потери при одном проходе в пол уси мметр пчных и симмитрпчш.цо
ре^оиатордх с зеркалами в вид« дисков н uojiog \&\.
700
ео
40
I 20
I 10.
I 6
z1
-
-
-
-
-
^^
[5, 7h\
0,8 \
\
ff = §\
\ i\
\
V
\
>
i [ i
1,2
/ V
1,05
\
\
У *
\У
А
J
А
I Г|
1,01
0,1 0,2 0,4 0,6 1 Z 4 6 W 20 40
Рпс. 5.J2. Мощность в основной моде, теряемая за один проход, в зависи-
мости or числа Френеля для резонаторов с кривыми зеркалами в виде бес-
«оиичиых полос 18]. Дается сравнение геометрического приближения 18J
с результатами более падробиот анализа [51.

140
ГЛ. 5 ОПТИЧЕСКИЕ РЕЗОНАТОРЫ (ГЕОМЕТРИЯ)
Положительный знак соответствует значениям g в первом и треть-
ем квахфантах на рис. 5.7, отрицательный — и двух остальные.
На рис. 5.11 даны величины геометрических потерь за одни
проход и полусимметричных (?х = 1, g.2 = g) и симметричных:
(ёг = ?з — ё) резонаторах. Каи можно видоть, уровень этих по-
терь не закрывает возможности применения подобного рода резо-
наторов в определенных лазерных системах с большим коэффи-
циентом усиления.
Авторы E,7] применили свою итерационную методику для
исследования устойчивых и неустойчивых резонаторов. Для гео-
метрии зеркал, соответствующей точкам на линии g± = g2 рис 5.7,
-60%
Рис. 5. П. Контуры равных потерь па диаграмме устойчивости для резо-
наторов с зеркалами » виде бесконечных полис. Дисковые зеркала характе-
ризуются существен»» Солее высокими потерями [8],
они получили результаты, представленные иа рис. 5.12. Здесь же
для сравнепия приведены данные [8]. Видно, что в области боль-
ших чисел Френеля метод [81 для вычисления геометрических
потерь дает хорошее согласие с результатами более детального
рассмотрения E, 7].

§ 7. ПОТЕРИ В НЕУСТОЙЧИВЫХ РЕЗОНАТОРАХ {41
В работе [8) были рассчитаны контуры потерь для областей
неустойчивости диаграммы рис. 5.7 н случае зеркал в виде беско-
нечных полос. Эти контуры показаны на рис. 5.13.
Линии равных иотерь на плоскости g ыожею получить из E.57):
__ A + СK
—A+ CV '
где С — Геолог-- Семейстло гипербол для нескольких значений
средних потерь за проход показано на рис. 5.13. Проверка, прове-
денная автором [8] на эксперименте с рубиновым лазером, пока-
зала, что изложенная выше теория дает хорошие результаты и
первом порядке для низших мод неустойчивого резонатора. По-
лезное качество резонаторов этого типа состоит в том, что излуче-
ние лазера может быть обусловлено геометрическими потерями.
Этот способ вывода излучения обычно называют «дифракцион-
ным», хотя в данном случае он имеет скорее «геометрическую» при-
роду, нежели дифракционную.
Размеры резонаторов и коэффициенты отражения зеркал мно-
гих (например, рубиновых) лазеров, как правило, таковы, что
поперечные моды достаточно высокого порядка возбуждаются
прежде, чем дифракционные потери начнут превышать потери прн
отражении. Использование геометрических потерь является удоб-
ным методом дискриминации таких мод высокого порядка.

Глава 6
ОПТИЧЕСКИЕ РЕЗОНАТОРЫ (ВОЛНОВАЯ ТЕОРИЯ)
До сих пор мы изучали многие свойства лазерных резонаторов
с помощью подхода, развитого в главах 4 и 5, однако мы еще но-
касались тех характеристик, которые могут быть описаны метода-
ми волновой теории поля излучения в резонаторе. Пожалуй, наи-
более очевидна необходимость волнового подхода для объяснения
наблюдаемых модовых конфигураций (гл. 4, § б). Здесь мы рас-
смотрим резонаторы лазеров с точки зрения скалярной теории
электромагнитного поля, описывающей дифракцию Френеля. Ос-
новы этой теории приведены в приложении Е.
§ 1. Многомодовыс конфокальные резонаторы
Изучение этого фундаментального аспекта лазерной физики:
началось с классических статей [1] н [2]. Оин явились наиболее
важными и составили основу для многих последующих работ по
исследованию резонаторов.
Здесь мы будем близко
придерживаться подхода
[2] и использовать терми-
нологию авторов этой ра-
боты .
Рассмотрим конфокаль-
ный резонатор с квадрат-
ными сферическими зерка-
лами (со стороной 2а),
г, & л а- х. - г- который показан па
Рис. 6.1. Конфокальный резонатор, of]- с \ с
разованный сферическими квадратными Рыс- о.1. Среда резонато-
веркалами со стороной 2а и радиусом ра пассивна, т. е. не об-
кривизпы, равным расстоянию d между ладает способностью усл-
зеркалами. лепня. Апертуры зеркал,
радиусы кривизны и дли-
на резонатора намного больше, чем длина волны. Допустим, что
поле излучения линейно поляризовано в направлении оси у.
Предположим, что его распространение в прямом и обратном

. - $ i. МНОГОМОДОВЫЕ КОНФОКАЛЬНЫЕ РЕЗОНАТОРЫ 143
направлении сопровождается очень малыми потерями за каждый
проход, так что постоянная затухания резонатора (гл. 4, п. 5.3)
намного больше, чем период колебания поля, и систему можно
рассматривать, как находящуюся в стационарном состоянии.
Возьмем начальное поле излучения, распределенное по зер-
калу Ау и рассмотрим его после отражения волпы от В
и возвращения назад к А. Пусть поле излучения, рас-
пределенное по зеркалу А, есть Ел, на зеркале В оно
равно Ев- Когда волна возвращается назад к А, то по предполо-
жению поле будет составлять некую постоянную часть от ЕА (что
«вязано с потерями при обходе резонатора). Поле на одном зерка-
ле выражается через поле на другом с помощью уравнения ди-
фракции Кирхгоффа — Френеля, которое далее сводится к инте-
1ральному уравнению. Собственные функции последнего представ-
ляют собой модовые конфигурации, а собственные значения
.задают условия резонанса. Пусть поле сразу после отражения на
зеркале А описывается функцией Eofm(x')gn{y'), где Ео — постоян-
ный амплитудный множитель, a fm(x') и gn(y') учитывают измене-
ние поля по апертуре. Индексы тип суть целые числа, относя-
щиеся к осям х и у соответственно. В резонаторе возможно сущест-
вование только определенных распределений поля и, как следует
из уравнений, онн различаются значениями целочисленных ин-
дексов т и п, т. е. вид функцнй/т(д:'), gn{y') зависит от т и п; эти-
ми числами и обозначается мода. Поле в точке Р(х, у) на поверх-
ности другого зеркала (В) можно рассчитать путем суммирования
вкладов от бесконечно малых гюйгеисовских источников во всех
точках Р'(х', у'). Результатом этой процедуры является уравне-
ние Кирхгоффа — Френеля (см. приложение Е)
m {x') ga (/) dS\ F.1)
e
S'
тле р — расстояние между Р и Р', В — угол между линией РР'
i\ нормалью к поверхности зеркала в точке Р\ а к = 2т% — пос-
тоянная распространения в среде между зеркалами. Электромаг-
нитные волны в резонаторе отклоняются от направления оси t
только лишь на малые углы, поэтому электрическое поле в плос;
кости xz очень близко к нулю. Таким образом, мы исследуем по-
перечные электромагнитные моды (ТЕМ). Рассмотрим случай,
когда длина резонатора d намного больше, чем размеры зеркал 2а.
-Это условие означает, что 0 —*-0. Некоторая часть излучения,
уходящая с зеркала А, теряется за счет дифракции, остальная
часть достигает В. Распределение поля в модах или собственные
¦функции резонатора воспроизводятся с точностью до постоянного
множителя (связанного с дифракционными потерями) на каждом
последующем зеркале. Чтобы определить, возможно ли это в на-

ГЛ 6. ОПТИЧЕСКИЕ РЕЗОНАТОРЫ (ВОЛНОВАЯ ТЕОРИЯI
шем случае, рассмотрим, что же последует далее, если потребовать
выполнения равенства Е = EJm(x)gn(y), где Ех - - отопЕ0. Коэф-
фициент пропорциональности отоп, двойной ввиду наличия двух
направлений х и у, в общем случае является комплексным и вклю-
чает в себя как амплитудные, так и фазовые изменения. (В даль-
нейшем с помощью этого множителя мы сможем получить условие
резонанса и вычислить потерн энергии при одном отражетги, обус-
ловленные дифракционными эффектами.) Уравнение F.1) приоб-
ретает вид
= E0omoJm{x)gn{y)= j j ^-i
Следовательно, мы имеем
Для зеркал с малой апертурой d ж р. Такая аппроксимация до-
статочно приемлема с точка зрения
амплитуды. Однако фазовый мно-
житель ехр( — г7ф) нельзя рассмат-
ривать таким образом, поскольку
расстояния, представляющие ос-
^р новноё инчерес, составляют при этом
лишь часть длины волны. Величина
р (рис. й.2) дается формулой
р* = (d- Д- Д'J [- {х' - *)» +
+ (У' ~ УJ- F.3)
Из простых геометрических расчетов
следует, что для зеркал с радиусом
Рис. E.2. Координатная сие- кривизны 6
тона и соответствующие рас-
стояния для анализируемого
конфокального резонатора, об- и
разованиого квадратными сфе- Д' ¦= Ь (ба г'*I'2
рическими зеркалами. v '
Комбинирование двух воследпих равенств с F.3) дает
Д -^ 6 (Ъ2 г2I/2
r'% f^b
+ члены, которыми мы пренебрегаем. F.4)
Рассмотри» случай, когда d — fc, т. е. случай конфокального резо-

§ 1. МНОГОМОДОВЫЕ КОНФОКАЛЬНЫЕ РЕЗОНАТОРЫ 145
натора. Условие, при котором можно пренебречь членами, опу-
щенными в F.4), вытекает из следующих соображений. Наиболь-
шая возможная разница между р и 6 реализуется, когда х = а,
у --- а, х — — а & у' — —а. При этом мы имеем р2 — б3 + 4а2,
откуда
р/6 - A + 4aWO2.
Поскольку этот ряд — сходящийся и знакоперемеппый, то ошибка
при отбрасывании всех членов, кроме нескольких, не превышает
величины первого отброшенного члена. Поэтому, если мы пред-
ставим фазовый множитель F.2) в виде
ехр(—ifcp) = expl—ik{b -\- AaVb — 4а W)],
то условие, при котором третьим члепом в квадратных скобках
можно пренебречь, есть %каА ^ Ь3, откуда следует
(а*/Щ < F2/а2). F.5)
Считая это условие выполненным, мы можем получить более общее-
выражение
ехр(— ikp) = exp{—ifc6[l — {хх' -\- у
Таким образом, на оспованви F.2) мы находим
¦—a —-a
Вводя безразмерные переменные
X ~хУс/а, У = yVc/a, с^а*к/Ъ = 2лЛГ F.7)
(N — число Френеля, равпоо аЧЬ'к) и полагая Fm(X) = fm(x)
и т. д., получаем из F.6)
<v,/« (*)G* (У) = h e'ihb § § F™(X'>elX*' x
ал ax » (o.b)
Общий пеконфокальный случай зеркал одинаковой кривиз-
ны 6 исследовался в работе [31. Автор [3) воспользовался вы-
ражением F.4) для вывода формулы, аналогичной F.8), мотора»
Ю А, Мвйтдэнд. U. Дайн

-146 ГЛ G ОПТИЧЕСКИЕ РЕЗОНАТОРЫ (ВОЛНОВАЯ ТЕОРИЯ)!
соответствует некопфокалыюму резонатору:
—Ус
+\ГС
X
где с = a2k'd. Автор решал это уравнение численными методами.
Мы не будем более подробпо останавливаться на этом, а возвра-
тимся опять к конфокальному случаю.
Пусть %ту,п ~*ymQJ'ie~'tb• Разделим (С.8) на два уравнения (это
можно сделать, поскольку отсутствуют перекрестные произведе-
ния):
V+V3"
(C.9)
п
Так как эти уравнения по форме идептичпы, то мы будем рассмат-
ривать только F.9). Оно представляет собой однородное уравне-
ние Фредгольмэ второго рода с функцией Bп)~1/2егХХ' в качестве
ядра (см. уравнение (Ж. 2)).
Величина с для гелий-неонового лазера с конфокальным резо-
натором дл-иной 1 м при полезном размере зеркал a = 0,2 см и pa-
ct
(ючей длиной волпы 6328 А составляет около 40. Для большинства
лазерных систем Типичны большие значения с. Для этого случая
и вблизи оси лазера можно получить приближенное решение
уравнения F.9). Сопоставление F.9) с A1.37)*) показывает, что
F.9) удовлетворяется, если положить
¦¦ Fm(X) - exp(-Xa/2)/7m(X) , , ¦ , F.11)
и
' 3U = im. F.12)
¦ . ¦ j
*) При устремлении пределов пптогрировапия к бесконечности мы
предполагаем, что вкладалга в интегралы от точок, удаленных от оси, можно
пренебречь, т. е. что поле в модах сосредоточено 'вблизи оси резонатора»

§ 1. МНОГОМОДОБЫЕ КОНФОКАЛЬНЫЕ РЕЗОНАТОРЫ J.J7
Собственные функции Fm{X) дают распределение поля (т. е. модо-
вые конфигурации гл. 4, § 6) на поверхностях зеркала. Потери
и условие резонанса можно получить из собственных значений-
Для резонанса необходимо выполнение фазового условия, которой
состоит в том, что сдвиг фазы за один проход должен составлять
2лд, где q — целое число. Условие для фазы выводится из рз-
ьенства
Из F.12) п F.13) следует
1е~'кЬ. F.14)
Вспоминая, что г = ехр (ш/2), нз F.14) можно выделить информа-
цию о фазе, и получить условно
2\(т + п + 1)я/2 — кЬ\ = 2пд.
Множитель 2 в левой части появляется из-за наличия двух отра-
жений. (Мы рассматриваем поле сразу после отражения от зерка-
ла А.) Условие резопанса, таким образом, есть
Ш1 = 2q + (m -j- n -j- 1). F.15)
Резонанс будет существовать только для таких значений X, ко-
торые удовлетворяют этому равенству. Если46'Х— четное число,
то (т + п) должно быть нечетным и наоборот. Поскольку сущест-
вует множество комбинаций нз m, n, q, которые даюг одно и то же
целое число, то для данного значения X имеется многократное вы-
рождение. Например, при увеличении (т + п) на 2 п одновремен-
ном уменьшении q на 1 получаем ту нее самую величину 2q + A -J-
+ т -\- п). Следовательно, мода ТЕМ00G характеризуется той же
частотой, что и мода TEM02(g_i). Это вырождение снимается, если
расположение зеркал не коифокально, но вместо него при других
определенных положениях появляются другие вырождения.
Полная спецификация моды есть ТЕМтП1Э, где числа т, п—
= 0, 1, 2, 3,... относятся к различным распределениям по направле-
ниям х и у п таким образом характеризуют поперечные моды,
a q ~ 10й — 107 указывает число полуволи в папраллешш оси 2
Другие аспекты, связанные с модами ТЕМт„ч, были обсуждены 1*
гл. 4, § 6.
Доля эпергии, теряемая за один проход вследствие дифракции,
есть
а - 1 - |отов|» = 1 - \xmtnie~ikb? = 1 - \XmXn?- F.16>
Величины дифракционных потерь для различных ТЕМт„9-мод 1*
конфокальном н плоскопараллелыгом резонаторах приведены п^
10*

143
ГЛ. В. ОПТИЧЕСКИЕ РЕЗОНАТОРЫ (ПОЛНОВАЯ ТЕОРИЯ)
рис. 6.3. Эти потери быстро возрастают ари увеличении значений
т и п, т. е. с увеличением порядка моды. Любым изменением,
обусловленным порлдком продольной моды, можно полностью пре-
небречь. На рисунке показаны ташке дифракционные потери »
алоскоиараллельнои резонаторе, расечташше для простейшего
s ia~* г 5 a'3 z s iff2 г s
I iic. fi.3. Дифракционные потер» в конфокальном м плоскопаралдсльнои
рс «татарах [2| (л — углы дифракции фраучггифера (простейшие вы-
Ч1кмо||ия, гл. 4, % 3); в — кругоная поляризация, симметричная мода; с —
линейная поляризация, симметричная мода).
y
F.11)
ji, который бил рассмотрен в гл. 4, § 3. Собственные функции
можно представить в виде
1т (¦*) = const- Нт [х Bя/6ХI/2] ехр (- nx*fbk). F.17)
означает, что собственная функции (т. е. конфигурация моды)
вблизи оса лааера раина нормировочной постоянной, помножен*
«ой на произведение нолинома Эрмита порядка m и гауссовской
функции. (Зеркалам круглой формы соответствует аналогичное
пром:(нсдсние полинома Лагерра п функции Гаусса, см. F/i2).)
О>Гк;твеш1ые функции мод иррдстаклнют собой функции Эрмита —
Гаусса только лишь для случая N *= сю, т. в. для бесконечной
апертуры (моды с малыми потерями). Для зеркал конечной апер-
туры эта аппроксимация дяет хорошие результаты, если энергия
моды сконцентрирована R пределах апертуры зеркала. Нормиро-
вочная постшшняи Х-1НПСПТот величин тип и, таким образом, со-
дгрящт информацию о ми до вой структуре.

§ i. МНОГОМОДОВЫЕ КОНФОКАЛЬНЫЕ РЕЗОНАТОРЫ \$Q
Если говорить более точно, то собственные функции уравнения
F.9), которые использовали авторы 121, совпадают с функциями,
найденными в |41:
Fm{c, T])*)Sem(r, л). X™ = BW/2«m/*iH(cf 1).
«1 = 0,1,2,..., (G.18)
где 5(hm(c, т]) и Нш {с, 1) — соответственно угловая и радиальная
волновые функции в вытянутых эллипсоидальных координатах
E1, а г\ = Х/[/с = х[а. Так как собственные функции действи-
тельны при вещественном \\ (что было подтверждено антором 15]),
то поля в модах на поверхностях отражении имеют постоянную
фазу. Равенство F.18) приводит к тому же резонансному условию,
которое следует из F.14), а именно, к F.15). Для данной величи-
ны с существует бесконечное число собственных функции и соот-
ветствующих собственных зпачепий, удовлетворяющих F-9).
В [5] приведен вид некоторых функций для с ^ 5. Разложения п
ряды вытянутых эллипсоидальных волновых функции, получен-
ные и протабулпровангше в [5] для описал и я собственных функ-
ций, аримевпмы только для" значений с начиная с нуля и примерно
до десяти. Диапазон с, в котором применимы эти разложения,
изменяется и зависимости от п при заданном т. Для больших зна-
чении с необходимо асимптотическое разложение эллипсоидаль-
ной волновой функции. Равенство F.17) представляет собой хоро-
шую аппроксимацию для параксиальных условий, которая одна-
ко быстро теряет смысл, если рассматриваемая точка уходит от
центра зеркала.
Вспоминай вид произведения Fm(X)Gn(Y)t из которого мы
исходили, для функции Гаусса окончательно получаем
ехр[-(х* + у*)п'Ьк[. F.19)
Рис. 6.4 показывает распределение поля*) на зеркале для неко-
торых поперечных мод низкого порядка. Распределение в основ-
ной моде TEM0{)(m = 0, п = 0) является гауссовским, поскольку
На — 1. Моды более высокого порядка описываются полипомами
Эрмита, помноженными па ту же гауссовскуго функцию- Отрица-
тельные величины Е (х) свидетельствуют об обращении фазы.
В результате возникает мода, приведенная на рис. 6.4. Фаза в
мо до вон конфигурации изменяется па ттротивоположную при пере-
ходе от одного пятна к другому. Более подробно вопрос о карти-
нах мо до во го распределения и об обозначении мод обсуждается
в гл. 4, § 6. Наглядная демонстрация наличия 180-градусиого
*) Напомни*, что картины от лазерного пуча, наблюдаемые на экране,
соответствуют распределению ннтенсваиости \Fm(X)Gn(Y)i*. '

150
ГЛ. 6 ОПТИЧЕСКИЕ РЕЗОНАТОРЫ (ВОЛНОВАЯ ТЕОРИЯ) ""
фазового сдвига между соседними лепестками данной модовой диа-
граммы была предложена Я игом, который использовал для этого
метод двух источников, предстакляющих собой очень маленькие
отверстия. Когда эти два отверстия находятся в пределах одного
ТЕМ*
Рис. 6.4. Распределение амплитуды поля по зеркалу для некоторых попе-
речных типов колебаний низкого порядка. Картины, наблюдаемы о при ос-
вещении экрапа лучом лазера, представляют собой распределение! интенсив-
ности, т. е. функцию \Fm (X)Gn(Y)\2.
р того же лепестка, наблюдается определенная система интерфе-
ренционных полос. Если же отверстия располагаются в соседних
лепестках, то яркие полосы становятся темными, и наоборот, что
Свидетельствует о наличии переброса фазы.
Радиус области вокруг центра зеркала, на граниде которой
интенсивность спадаег в е раз по сравнению с ее значением в цена-
ре, ш — ws> где ш* = х2 4- У2, в соответствии с F.19) ращ>н
ws = {ЬХ/п)
1/2
F.20)
Следует заметить, что этот- радиус, обычно называемый «размеролг
пятна» («spot-siie>>), либо «радиусом луча», ограничивает область^

v . §2 ПОЛЕ В КОНФОКАЛЬНОМ РЕЗОНАТОРЕ i J51
где сконцентрировала основная энергия, и не зависит от апертуры
.зеркала. Увеличение апертуры приводит лишь к уменьшению
дифракционных потерь и не влияет на размер пятна.
§ 2. Поле в конфокальном резонаторе
Используя описанную в § 1 методику, мы сможем исследовать
распределение поля в произвольной точке внутри или вне резона-
тора. Поле в любой точке внутри резонатора есть поле стоячей
волны (образованной двумя волнами, бегущими в противополож-
ных направлениях). Вне резонатора — это поле бе1ущей волны
с амплитудой, уменьшенной на коэффициент пропускания зеркала.
Если рассматриваемая точка имеет координаты х, у, 2, где z отме-
ряется от центра резонатора, то мы можем ввести безразмерный
параметр
I == z/(b/2) =* 2z/b.
Внутри резонатора 0 < ? <С 1. Вне его s > 1. Поле в точке совпа-
дает с полем бегущей волны, поскольку волиы исходят от одною
из зеркал. Как и выше, для больших значений с (т. е. при больших
числах Френеля N, см. F.7)) поле можно аппроксимировать функ-
циями Эрмита — Гаусса в случае прямоугольных зеркал и функ-
циями Лагерра — Гаусса в случае круглых. Поле волны, бегущей
от одного из зеркал, в некоторой точке для конфокального резо-
натора с квадратными зеркалами получено в работе [2];
E{x,y,z) B \1/2Г(т/2-М)Г(п/2+1) Г Иг* 1
'Jfi!"' ¦ ¦ _|_ —1_ api _ (i _(_ m _|_ n) /"jl _ <pjjl F.2i)
где iv2 = x2 + у2 и tgrp — A — ?)/(l + ^). Фазовый множитель в
фигурных скобках описывает изменение интенсивности по оси г.
Поперечную стоячую волну в резонаторе можно получить пу-
тем замены экспоненциальной фазовой функции в F.21) на соот-
ветствующую синусоидальную.
Из фазовой функции можно также пайти вид поверхности-
постоянной фазы. Возьмем точку с координатами ж, у, z на этой
поверхности и допустим, что она пересекается с осью 2 в точке.
^0, 0, 20). Если пренебречь небольшим изменением ф при измене-
вии г, то для поверхности постоянной фазы мы получаем

152
ГЛ. 6 ОПТИЧЕСКИЕ РЕЗОНАТОРЫ (ВОЛНОВАЯ ТЕОРИЯ)
откуда вытекает, что
2 — Zft Ж —
6 *
F.22)
Таким образом, вблизи оси поверхность постоянной фазы есть
сфера. Ее радиус кривизпы равен
Ь' =
5а
Ь.
F.23)
Дифференцирование F.23) по | показывает, что поверхности ми-
нимального радиуса кривизны находятся на расстояниях z =
= ±Ь/2, т. е. иа поверхпостях зеркал. На рис. 6.5 дано положе-
ние зеркал и нескольких сферических поверхиостей одинаковой
Ев-яш на оси ж
Рис. 6 г). Вогпутыс сферические зеркала я сфервческие поверхвоств одина-
ковой фазы внутри огибающей ТЕМщщ -моды, которая ограничивает область,
где амплитуда ноля надает в е раз но сравнению со значением иа оси.
фазы резонатора в пределах огибающей моды ТЕМмд, которая
ограничивает область, где распределение спадает до уровня \!е
от его значения на оси.
Распределение поля в произвольной рассматриваемой точке,
как вытекает из F.21), уменьшается в е раз па радиусе
u?3= [№{1+ ?*)/2я] ' . F.24)
Наименьшему значению радиуса луча соответствует | = 0, т. е»
фокальная плоскость конфокальной системы. Для лазера, работа-
ющего на волне приблизительно 6000 А с конфокальным резонато-
ром длиной 1 м, радиус луча в фокальной плоскости составляв!
около 3-10"8 см. На зеркалах он в ]/2 раз больше.
Будучи выраженным через радиус луча (размер пятна), рас-
пределение амплитуды поля, входящее в F.21), имеет вид
@.21а)

$ 3 РЕЗОНАТОР С ВОГНУТЫМИ ЗЕРКАЛАМИ 153
§ 3. Некопфокальный резонатор с вогнутыми зеркалами
Мы видели, чпо поле в конфокальной резонаторе построено
из сферических поверхностей равной фазы. Любую из этих по-
верхностей можно заменить зеркалами такого же радиуса кри-
визны и это не приведет к изменепию электромагнитного поля
внутри нового резонатора по сравнению с первоначальным. Част-
ный вид такого резонатора, в котором плоское зеркало располо-
жено в точке О, являющейся центром резонатора, пазывается
¦«полусферическим». Волновые фронты одинаковой кривизны рас-
полагаются симметрично относительно плоскости, проходящей
через точку О. Когда положение зеркал с равной кривизной сим-
метрично по отношению к плоскости г = 0, результирующая
мода также симметрична. Однако, зеркала могут бить располо-
ложмш и несимметрично, при этом моды также песимметричиы.
Этот случай и рассматривается пиже. Резонансные частоты по-
вого резонатора определяются фазовым условием. Мы можем
формальпо замепить резонатор, в которой расстояние между зер-
калами не совпадает с радиусом Ъ' (причем Ь' ^ d/2), эквивалент-
ным конфокальным резонатором с расстоянием между зеркалами
и радиусом кривизны, равными Ьшл. Подставляя ? = й'Ъшл
в F.23), мы находим
&L = 2(й'- <Р. (G.25)
Из этого квадратного уравпения следует, что для данных dt и dt
возможны два значения Ьэкв и Ъ' расстояния между зеркалами;
Отсюда размер пятна на зеркалах есть
и»; - (dX/nf2 [2dlbr - {dib'f\~v\ @.27)
Соотношение F.27) показывает, что для данного расположения
зеркал размер пятна минимален в случае конфокального резо-
натора, т. е. при Ь' — d.
Для введенных выше обозначений мы имеем:
d sa расстояние между зеркалами, Ь ==з радиус кривизны (или
же расстояние между зеркалами в копфокальном случае), Ь' ез
—радиус кривизны поверхности постоянной фазы (используется
также для обозначения радиуса кривизны зеркал в пеконфокаль-
ном резонаторе), bwtt ^ радиус кривизны зеркал, образующих
конфокальный резонатор, который эквивалентен реальному.
Понятие эквивалентного конфокального резонатора можпо
использовать для вычисления размера пятиа основной йоды в не-
конфока.:ьиой системе. Размер пятна в центре, когда зеркала

154 ГЛ. 6. ОПТИЧЕСКИЕ РЕЗОНАТОРЫ (ВОЛНОВАЯ ТЕОРИЯ)
имеют одинаковую кривизну, следует из F.24) и равен •*- ?
и?о = (&вквЬ/2лI/2. . , F.28)
Размер пятна па расстоянии d/2 от центра есть
w't = wo(i- d*/6iuB)i/2. ¦' F 29}
Поверхности одинаковой фазы на рис. 6.5 симметричны относи-
тельно плоскости z = 0, что связано с симметричным по oiноше-
нию к ной расположенном зеркал.
3.1. Межмодовые интервалы и вырождение. Условие резо-
нанса для исконфокалыюй системы можно получить, рассмат-
ривая член в фигурных скобках F.21), который дает фазовый
угол. Как и при выводе F.15), потребуем, чтобы набег фазы при
одном замкнутом цикле нроходов составлял 2пд. Окончательное-
условие есть
? = lq + A + т + п) Л _ A arctg.^LliV F.30)
Когда Ьаив ж d, F.30) переходит в
-^l-f)! @.31)
Сопоставляя F.30) и F.15), мы видим, что величина 4X (рас-
стояние между зеркалами)/^ в конфокальном случае обязательно
должна быть, целым числом, что не относится к неконфокальному
резонатору. Важное следствие, этою состоит в том, что, в проти-
воположпость коифоиальпону резоиаюру, л/оды пркоифоналыю-
го не вырождены по (пг + я), хотя другие вырождения и могут
иметь место. Интервалы мен;ду модами составляют
)} @-32>
§ 4. Резонаторы с цилиндрической симметрией
4.1, Круглые зеркала. До сих пор в этой главе мы проводили
анализ, пользуясь декартовой системой координат. Па практике
большинство зеркал имеет круглую форму и для них более удобно-
внести соответственные цилиндрические координат].!. Как и выше-
(гл. Ь\ § 1), мы рассмотрим зеркала А и В. Перепишем соотноше-
ние F,1) для поля на зеркале В в этих координатах f
о 2я '

§ 4. РЕЗОНАТОРЫ. С ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ СИММЕТРИЕЙ ]55
Поле в волне сразу же поело отражения зеркалом Л есть
EJipiri, фО, где Ео — постоянный амплитудный множитель,
a fiV(r\, фО —- изменение поля излучения по апертуре. Индексы
I и р являются целыми числами, обозначающими тип колебаний,
п относятся соответственно к радиальному и азимутальному па-
правлениям. Перед тем, как излучение достигнет зеркала А, его
амплитуда утратит некоторую часть х1р вследствие потерь. Сле-
довательно, условие самосогласования для излучения иа зеркале
А имеет вид -.-¦».,
а 2Я
*ipfiP (r2, Фа) = J J 4к "V"
0 0
Это выражение можно упростить, используя рис. 6.1 и замечая,
что р = [Ь\ + Л + т\ - 2r,r, cos (ф, — ф2I1/а, Ьл - Ь - Д, -
— Дэ, а также, что для конфокальных сферических зеркал
А, — b — (Ь2; — г^I/2, i = 1, 2. Если, отношение &/а велико, то
лы имеем
и при условии, что (a2fbk) <^ (b'aJ (как и в F.5)), окончательно
получаем
*ipfip(rz> Фг)= :
a zn
О О
Предположим, что изменения поля по азимуту описываются си-
нусоидальной функцией, так что
fir (г„ ф|) = ^р (г,) ехр (- ifcp?), i = l,2. F.33а)
Пл'.еем далее
а , 2л
ь \
Используя (Н-9) и отождествлия net, паходим .
i ¦ а
ihb f / fr_._ \
J /if-^J ^рО-О/уй^. F.34а)

156
ГЛ. в. ОПТИЧЕСКИЕ РЕЗОНАТОРЫ (ВОЛНОВАЯ ТЕОРИЯ)
Умпожая обе части последнего равенства на ]/Va и вводя обозна-
чение yip ~ xlp exp (—ikb), мы находим
а
(гз) Vr% = J kip (ri>
R
ip
и аиалегично
где
i*+lk
IP
Л
h.2. Кольцевые е<]^ерические зерьала. Резонаторы с отвер-
стиими длн вывода излучения применяются в лазерах, работаю-
щих в инфракрасном диапазоне Типы колебаний в симметрич-
ном цилиндрическом конфокальном резонаторе лазера и возмуще-
ния, вносимые в них выходными отверстиями, были вроанали-
зированы в Hi]. Здесь мы нрипе-
дом резулыаты этой работы. Для
удобства мы будем придержи-
ваться терминологии автора |Н1.
На рис. 6.6 показан рассматрива-
\
Рис. 6.6. Цилвндричгскнй ре- Рис. 6.7. Координатная система и соот-
яопатор, образованный сфс])ичо- вотствующио расстояния для
скими кольцевыми аерка.чами.
pyi'Moro конфо!сал ыюго рс.шиатора,
обрааииатюги сфери'юекммм кольцевы-
ми зеркалами.
емый резонатор. Кольцоние зеркала идентичны и имеют 100-
процеитное отра;кепие между радиусами а0 и ат. Проанализи-
руем прежде всего собственные моды резонатора в отсутствие
выводных отверстий (т. е. нри «0 = 0), а затем рассмотрим,
как влияет их присутствие.
Амплитуду поля на зеркалах для типичной моды можно вы-
разить в радиальных и угловых координатах (р, ц>) в соответствии
с рис. 0.7, используя целочисленные значения I и р;
F.336)

5 4. РЕЗОНАТОРЫ С ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ СИММЕТРИЕЙ 15?
Равенство F.336) представляет собой переписанное соотношение-
F.33а). Число р дает угловую (азимутальную) зависимость моды,
а I — радиальную. Поскольку система симметрична, а зеркала
идентичны, то поле на одном зеркале с точностью до константы
равно полю на другом.
Как и в гл. 6, § 1, мы воспользуемся скалярной формулиров-
кой принципа Гюйгенса, который совместно с требованием само-
согласованности приводит к следующему соотношению;
(Р) = т?
где /| (г) — функция Бесселя порядка |/|. Уравнение F.346)
можно получить из F.34а). Собственное значение х,^ дает дифрак-
ционные потери а за проход в /р-моде
о = 1- |х;р|а. F.35)
С фазой собственного значения связана резонансная длина волны
X (ср. с гл. 6, § 1I
X = АлЬ[A -J- 1)я — 2Arg к1р — 2Я1»]"*1, F.36>
где п — целое число.
Оцределим чясло Френеля как
N(p) s г3 = Р8/Я6 F.37>
и выразим через него радиусы отверстия и зеркала!
No = r$ = аЦХЪ, Nт = гт = йж/ЯЬ.
Как и в гл. 6, § 1, введем новую функцию
gtp(r)t=flP{rVU). F.38)
Теперь уравнение F.346) можно представить в виде
glp (г') tlr\ F.39)
Автор 16] использовал разложение функции Бесселя в ядре в
степошюй ряд
°° т—1
J (%\ s= f 1 ?
' v ' I 2 j *^ (m -r I— I)! (m — 1
который оборван на Л/~м члепе. В результате интегральное ха-

153
ГЛ. 6. ОПТИЧЕСКИЕ; РЕЗОНАТОРЫ (ВОЛНОВАЯ ТЕОРИЯ)
рактористическое уравнение F.39) для собственной величипы
упрощается до Л1-мерного матричного характеристического урав^
пения. Последнее было численно решено с помощью диагонали-
зацпи для чисел Френеля в интервале
В отсутствие отверстия, т е. при
Л^ = О, потери мощности вследствие
дифракции за проход F.35) имеют
вид, показанный на рис. 6.8.
Графики зависимости интенсив-
ности поля gip от г, полученные в
161, представлены иа рис. 6.9—6.12.
Они свидетельствуют о том, что в
модах более высокого порядка за
пределами зеркала остается большая
часть интенсивности, чем в случае
мод более низкого порядка. Так как
ингенсивпость излучения, выходяще-
го за пределы диаметра, теряется,
то мы видим, что потери мощности
за один проход возрастают с увели-
чением порядка моды. Отличной от
пуля интенсивностью при г = 0 об-
ладают лишь моды, не зависящие от
угла (с / = 0). Это означает, ч\о
моды с I — 0 более чувствительны
к налпчию выходного отверстия,
расположенного в г = 0, чеи моды
с 1ф0.
Собственные значения и собст-
венные функции для бесконечных
-+¦ оо, Лг0 = 0) таковы!
р = ( - 1)р F.41)
IP 2,0
Ун ело Френеля Nm
Рис. G 8 Потери мощности
нследстпие дифракции при
одном проходе между сфери-
ческими круглыми зеркалами,
соответствующие модам с ыа-
лыча потерями,в отсутствие от-
иоргтия для вывода излучения
и при небольших числах
Френеля JVm для зеркала |6].
зеркал без отверстий (Nm
где Llp(z) — полипомы Лагерра,
ezz-x a?
(QA2)
, F.43)
Знак собственного значения определяет фазу.

§ 4 РЕЗОНАТОРЫ С ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ CHMMFTPHEfi
159
Рис. 6 9. Распределение ин-
тспсшшостц поля как функ-
ции г для 00-, 01- и 03 мод
при Nm = 0,8 ii JV0 — 0 [fa].
0,4
Рис. 6 10. Распределение ин-
тенсивности поля как функ-
ции г для 00-, 01-и 03-мод
при Л'т = 1,6 и Лг0 = 0 [Ь].
4
2,0
to
-
- r\13 i
¦
"Л
О
О.4
1,2 г
Рис. 6.11. Распределение интен-
сивности поля как функции г для
— - --i-j «—¦ Рис. 6.12. Распределение интенсивности
10-, 11-, 13-мод при Nm = 0,8 н поля как функции г для 10-, И- и 13-
Л
0 [6].
МОД При Л'т =s 1,6 U JVe = 0 [Ь].

160
ГЛ. 8 ОПТИЧЕСКИЕ РЕЗОНАТОРЫ {ВОЛНОВАЯ ТЕОРИЯ)
Результаты для конечных величия Nm непрерывно переходят
в решения, даваемые соотношениями F.41) и F.42). Исследова-
ние произведения x,p#ip(r) показывает, что амплитудная функ-
ция имеет р нулей в интервале О <С г < гт. Обратимся к ин-
терпретации ыодовой структуры конфокальных резонаторов че-
рез величины I и р, как и в
гл. 4, § 6.
Продемонстрировав воз-
можность получения опреде-
ленных собственных типов
колебаний низшего порядка
и некоторых их характерис-
тик при No ~ 0, перейдем
к рассмотрению влияния от-
верстия с радиусом «0 и зер-
кале, центр которого лежит
на оси резонатора, так что
г0 ф 0 (рис. 6.13). Обозна-
чение мод теперь должно
быть связано с теми типа-
ми колебаний, которые бы-
ли получены при нулевом
„ ,п „ диаметре отверстия и ужо
Рис. 6.13. Распределите интенсивности 1 гк ,,J ,,.
поля как фупкшш г для 00- я 02-мод изучены нами. Моды с N^0
при Nm = 1,6 и No = 0,01 16]. обозначаются индексами, ко-
торые принадлежали бы этим
модам, если их деформировать непрерывным образом от значе-
ния Nn — 0. Потери мощности за проход в модах с N9 = 0 при
р ^ 0 возрастают с увеличением р. Для мод с Nliф 0 это не
так: моды более высокого порядка могут либо обладать, либо
не обладать большими потерями мощности.
13 F] показано, что наличие круглых отверстий приводит
к смешиванию мод, но моды с различными значениями I, однако,
не смешиваются. Смешивание наиболее сильно происходит среди:
мод с одинаковой р-четиостью (—1)р. (Если резонатор составлен
из неодинаковых зеркал, т. е. когда отверстие для вывода имеется
только в одном из них, как это обычно бывает в случае СО8-лазс-
ров, то между модами с нечетными и четными р существует зна-
чительное смешение.)
Рис. 6.14 иллюстрирует влияние размера отверстия на потери
в модах пизшего порядка. Для данного р моды с небольшими зна-
чениями I более чувствительны к присутствию отверстия, чей
моды с большими значениями /.
Сравнение распределений интенсивности в 00- и 02-модах для
Nm = 1,6 и No ¦= 0,01 и распределений в тех же модах при JV9 =»
*=¦ 0 приведено 'на р"ис. 6.13. Интенсивность в 00-моде существенно

4. РЕЗОНАТОРЫ С ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ СИММЕТРИЕЙ
1GI
2 7Г* 5!ff-J $ff-z 5W'f
Числа Фм*&7я //а М*.
Рис 6.14. Потери мощности яа один проход и аашкчшости от числа Френеля
А'в для отнерстия в модах с малыми потерями с Nm = 1,1» Iti] .
' 34
0,3 f,0 12 1,4 79
Число Фречеля Nm
Рис. 0.15 Поторп мощности за один
щюх.йд в зависимости от числа Фре-
неля Nm для зеркала в некоторых мк-
дах низшего порядка npir разных кис-
лах Френеля Хо для отверстия [6 J.
4. ШЙТЛ9Р1Д. М ДДГГЕГ
Рпс, 6.16. Число Френеля Л"вкр
для критического отверстия, со-
ответствующего равенству ди-
фракцио'П1ык потерь в 00-и в Ю-
модах, в завпеплюсти от числа
Френеля А'т ;[,ля ^ерЕхала. Для
каждого значений \т приведе-
ны Taif>f;e потери it[ni одном щ>(*-
м>;и>, когда Ло = Л'огч» [Ь].

162 ГЛ. В. ОПТИЧЕСКИЕ РЕЗОНАТОРЫ (ВОЛНОВАЯ ТВОРИП)
уменьшается в диапазоне г = 0 при наличии отверстия, в го врем»
как интенсивность02-моды возрастает. Увеличение интенсивности
па диаметре отверстия свидетельствует о том, что большая часть
излучения в 02-моде уйдет через отверстие. Таким образом, мож-
но ожидать более высоких потерь в 02-моде в присутствии отвер-
стия в центре зеркала. Рис. 6.14 показывает, что это реализуется
при значениях iV0 ^: 10~3. Величина теряемой мощности на одном;
проходе в некоторых модах при фиксированном размере отверстия
показана на рис. 6.15. Обозначим отверстие, для которого потери
в 00-моде равны потерям в 10-моде, через Nailf). Отверстие с таким
размером выделено тем, что при прочих неизменных условиях
лазер излучает на 00-моде при ЛГО < Лг01ф н на 10-моде при iVfl >
>* JV01tp нлп на какой-либо другой моде, если No очень велико.
1*ис. 6.16 иллюстрирует соотношение между ;V0KP и Nm.

Г л з в а 7
ГАУССОВСКПЕ ПУЧКИ
§ 1. Введение
В главе 6 мы воспользовались скалярной теорией дифракция
света и показали, что распределение электрического поля в основ-
ном типе колебании (ТЕМ|H) устойчивого резонатора является
гауссовским *). С точки арония подхода, развитого Фоксом а Ли
(ом. гл. 4, § 2), луч, многократно прошедший путь между зер-
калами, в конечном счете приобретает гауссовское распреде-
ление. В основе процесса лежит тот факт, что при каждом от-
ражении происходит фурье-преобразованпе распределения, а
фурье-преобразонание функции Гаусса приводит к этой же
функции.
Отправным пунктом для анализа, проведенного в гл. 6, яв-
ляется уравнение Кирхгоффа — Френеля (ВЛ), которое, в свою
очередь, вытекает пз скалярной теории электромапштного и злу-
чеиня. В этой теории электрическое (или магнитное) поле описы-
вается одной скалярной функцией и (см. приложение Е). Это
эквивалентно рассмотрен ню единственной компоненты электри-
ческого поля. Луч считается плоско-поляризованным, а электри-
ческий вектор направлен, например, вдоль оси л; и равен Ех. Ска-
лярная теория приводит к скалярному волновому уравнению
{Гельмгольца)
уги + кги = 0, G.1)
где к = 2л/А. — константа распространения о свободном простран-
стве. Мы используем уравнение G.1) в качестве исходного и пока-
жем, что гауссовскип пучок есть его решение. При этом мы вы-
ведем уравнение, описывающее распространение луча посред-
ством определенных «параметров пучка». Затем мы свяжем эти
*) Цлоскопараллелыши и концентрическим зеркалам соответствуют
распределения интенсивности, которые в поперечном сечении луча описы-
ваются гармоническими функциями.
11*

164 ГЛ. 7, ГАУСС0ВС1ШЕ ПУЧКИ
параметры пучка с граничными условиями, определяемыми резо-
натором, и покажем, как они преобразуются при прохождении
луча через оптические элементы (такие, как линзы). С помощыа
полученных результатов мы проаиалшнруем условия согласова-
ния резонаторов между собой.
Достаточно полный обзор литературы по лазерным пучкам и
резонаторам содержимся в работе [1].
§ 2. Распространение в свободном пространстве
В этом параграфе мы выведем параметры, которые описывают
распространенно гауссовского пучка в неограниченной среде. Чи-
татель, разумеется, уже знаком с характеристиками распростра-
нения плоской и сферической волн. В плоской волне (т. е. волне
с плоским фазовым фронтом) амплитуда иа электрического поля
не зависит от положения рассматриваемой точки в плоскости ху,
а также не зависит от z-положения рассматриваемой плоскости.
Аналогично, в сферической волне амплитуда электрического поля
однородна на сферической поверхности, которую можно провести
вокруг центра распространения, однако она зависит от расстоя-
ния, на которое поверхность удалена от центра. Гауссовский луч»
выходящий из лазера, отличается как от плоской, так и от сфе-
рической волн по ряду ва,кных признаков. Мы видели в гл. 6, § 2,
что волны, распространяющиеся вблизи осп лазера (оси г), при-
ближенно сферичны, причем степень отличия от сферичности
возрастает с увеличением расстояния от оси. Анализ соотношения
F.23) показывает, что центр сферического волнового фронта не
является фиксированной точкой, как это имеет место для обычных
сферических воли, и, кроме юго, амплитуда электрического поля
есть гауссовскан функция расстояния ог оси z @.21).
Известно, что уравнение G.1) имеет решения в виде плоских
и сферических волн; найдем теперь те требования, при выполне-
нии которых гауссовский пучок также будет удовлетворять этому
уравнению.
Выше мы видели, что амплитуда гауссовского пучка
есть функция координат х, у и z, и поэтому можно предположить
следующий характер решения:
и = uoxCr, У, г) ехр (—i7»z), G.2)
ГДС "/ — неизвестная амплитудная функция. Если бы мы исполь-
зовали G.2) не для гауссовского, а для какого-либо другого вол-
нового фронта, мы пашли бы в итоге, что функция % содержит
также и информацию о фазе. Дли определения вида %(х, у, z)
подставим G.2) в G.1) и упростим полученное уравнение, выдви-
нув разумное предположение, что для лазерных пучкоь (вследст-

§ 2 Р \СИГОСТРЛНЕНИЕ В СВОБОДНОМ ПРОСТР \HCTBE 165
их малой расходимости) %(х, у, z) есть медленно меняю-
щаяся функции z, в связи с чем можно пренебречь производ-
ной dyf/dz1.
В результате мы получаем
Предположим, что решение обладает свойствами функции Гаусса,
II определим условия, которые должны при этом удовлетворяться.
Пусть решение имеет вид
X = e.vp [Ft{z) - {х* + y'i/FMl G-4)
Функция F,(z) описывает дисперсию (т. е. ширину луча) и можно
О/кидать, что она соответствует двум возможностям, Первая —
это изменение ширины луча с расстоянием вдоль оси лазера z,
а вторая — сдвиг фазы в плоскости ху, связанный с изменением
кривизны волнового фронта при изменении ширины. Функция
/\(г) должна описывать как изменение амплитуды на оси пучка
(где х2 + у'1 = 0) из-за изменения его ширины, так и дополни-
тельный фазовый сдвиг при его распространении. Подстановка
G,4) в G.3) дает уравнение
W\ i^]°' G-5)
где штрих обозначает дифференцирование по z.
Чтобы написанное выше уравнение удовлетворялось для всех
х н г/, величины в обеих квадратных скобках должны быть равны
ny.no. Решая эти уравнения и производя интегрирование, мы на-
ходим два следующих соотношения:
Ft{z) = А -Ь 2z/ik, G.6)
где /1 — постоянная (вообще говоря, комплексная), определяемая
ьелиминой Fj(z = 0), и
F2(z) = —In B + iAk>2) -Ь В, G.7)
где В — комплексная постоянная, определяемая величиной
I'\(z = 0). Таким образом, мы показали, что при введенных выше
предположениях гауесовскнй пучок является решением волново-
го уравнения. Выражения для I'\(z) и F2(z) описывают путь, по
*) > равнение типа G.3) впервые было выведено и исследовано в рабо-
тах М. А. Леонтовнча [9]. Ие/шненпын вариант этого уравнения широко
исполыоиался при изучении многих проблем нелинейной оптики (см., иап-
и, в частности, ямтня самофоку&лро»нн1П, 12} {прим. реп.).

166 l- ГЛ. 7. ГАУССОВСКИЕ ПУЧКИ
которому распространяется этот пучок. Перепишем теперь по-
лученные функции более ясной форме, которая позволит глубже
проникнуть в природу пучка.
Рассмотрим, во-первых, функцию Fi{z). Соответственным вы-
бором начала оси z мы можем сделать постоянную А действитель-
ной, после чего функция приобретает вид
F,{z) = (А2 + 4z2/ft2)/(A + 2lz'k). G.8)
Выделение действительной части в написанном выше соотно-
шении приводит к следующему выражению для амплитудного
множителя, входящего в у G.4):
ехр [-А(х2 + у2)'(А2 + Az2!k2)l G.9)
Для фиксированного значения z, таким образом, отношеяио
(А2 4- Az2!k2)/A представляет собой масштаб расстояния от оси
2 в плоскости ху, на котором пучок ослабевает в е раз по сравне-
нию со значением на оси (что составляет удвоенную дисперсию
гауссовской функции). Кроме того, это отношение описывает
изменение «ширины пучка» с расстоянием вдоль оси распростра-
нения. (Физический смысл имеет только решение с А > 0)
В точке г = 0 пучок имеет минимальную ширину, известную как
«шейка пучка», радиусом
wl = A. G.10)
Особо подчеркнем, что па данном этапе величина го0 является
произвольной. Когда же пучок определен граничными условиями
в резонаторе, то величина и?0 а его положение становятся фикси-
рованными. На расстоянии z вдоль оси распространения пучок
обладает шириной
w2(z) = wl[i + Bz,'kwlJ], G.11)
Параметр w называют радиусом пучка или «размером пятна».
Мнимая часть /\(z) дает фазовый множитель, входящий в выра-
жение для X' в ВИДО
Волновой фронт есть поверхность постоянной фазы, и нэ основа-
нии G.2), G.4) и G.12) он определяется как
frz + ffc(a;!^ya\2, = const. G.13)
2л [I -H (^gfc/2=JJ

2. РАСПРОСТРАНЕНИЕ В СВОБОДНОМ ПРОСТРАНСТВЕ
167
Здесь мы предполагали, что фазовый множитель, введенный
функцией Ft{z), изменяется очень медленно с координатой z,
в связи с чем им можно пренебречь.
Используя свойство симметрии волнового фронта, мы можем
получить радиус его кривизны путем простого дифференцирова-
ния G.13), положив у = 0.
В исследуемой точке волнового фронта на оси z радиус его
кривизны есть
G,14)
В гагике пучка (z = 0) волновой фронт является плоским,
в то время как для больших z по форме он приближается к фрон-
ту волны от точечного источни-
ка, расположенного в начале ко-
ординат.
Рассмотрим теперь член
F2(z), входящий в формулу
G.7), которую .мы перепишем в
виде
Шейт
G.15)
где
Рис. 7.1. В дальней зоне фронт гаус-
совского пучка приближается к сфе-
рнчоскому волновому фронту, рас-
ходящемуся от точки на оси в месте
расположения шейки пучка.
Ф ^=avctg(kwl/2z). G.16)
Это приводит к следующему
члену в выражении для */ G.4):
(шо/ш) ехр (—1ф). Мы нашли условия для гэуссовского пучка,
при выполнении которых он удовлетворяет скалярному вол-
новому уравнению G.1). При этом мы получили следующие
важные параметры пучка!
Ф - arctg (kwl/2z)f G.17)
' 2l G-18)
]¦ G-19)
Угол расходимости б гауссовского пучка на очень боль-
ших расстояниях z (рис. 7.1) определяется из условия
tg 0 = w'E ~ б, которое дает
6 = 2*ки?0. G.20)
Параметры пучка R(z) и w(z) одинаковы для мод всех порядков.

168
ГЛ. 7. ГАУССОВСКПЕ ПУЧ1.1Г
Параметры, характеризующие гауссовский пучок, сведены вмесю
на рис. 7.2. *1 ¦
Si'икающая для урзмя Еа/е
Рис. 7.2. Распределение интенсивности, волновые фронты и огибающая гаус-
совского пучка.
Полное выражение для гауссовского распределении поля име-
ет вид
ф) _ (,» + Л f (-L _ ^]. G.21)
Ех = Ех. % ехр [- г (*
Основание дтя записи этого равенства в таком частном виде мы
обсудим в следующем параграфе.
§ 3. Преобразование в линзе
Прежде чем рассмотреть воздействие таких оптических эле-
ментов, как линзы, на гауссовские лучи, мы вкратце напомним
об аналогичных свойствах сферических волн и о влиянии на
них этих компонент. Рассмотрим сферические волны, распро-
страняющиеся от стационарного точечного источника. Радиусы
любых двух фазовых фронтов, разделенных расстоянием ъ вдоль
оси распространения, перпендикулярной этим фронтам, связаны
между собой соотношением
R2 = Я, -'- 2. G.22)
Ь настоящей ыаве мы будем пользоваться правилом, что радиус R
положителен, когда волновой фронт является выпуклым со сто-
роны 2 = 4- оо. Когда сферическая волна проходит через тон-
кую линзу с фокусным расстоянием/(положительным, если линза
переводит плоский волновой фронт в вогнутый), ее сферическая
форма сохраняется, однако радиус ее кривизны Лх изменяется на

§ 3 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ В ЛИНЗЕ jg9
В2 в соответствии с соотношением
1/Дя = 1/Й! - 1//. G.23)
Таким образо.м, задавшись целью выяснить, как влияет на сфе-
рический волновой фронт прохождение через линзу и как он пре-
образуется ею, мы значительно упростим проблему, если будем
рассматривать изменение только одного характеризующего волну
параметра, а именно радиуса кривизны волнового фронта. Это
простейшее рассмотрение даст нам возможность оперировать со
сферическими волнами и предсказывать их поведение с адекват-
ной точностью (геометрическое приближение).
Рассмотрим теперь гауссовский пучок, описываемый выраже-
нием G.21). Параметры В и w полностью определяют его гео-
метрию и, зная их, мы можем вычислять поле в любой точке
(х, у, г) пучка излучения с длиной волны X и амплитудой Ехо
с помощью G.21). Минимальная ширина пучка w0, выраженная
через величины w n В, дается выражением
a wOf в свою очередь, определяет ср. Как и в случае сферической
волны, для решения большинства задач нам вовсе не обязательно
знать поле. Достаточно иметь лить параметры пучка R и w и
информацию о том, как опи преобразуются в процессе распро-
странения через оптические элементы. Рассмотрим распростра-
нение в свободном пространстве и через топкую линзу. В обоих,
этих процессах гауссовский характер пучка остается неизменным.
Как и в случае сферической волны, для оперирования пучком нам
желательно иметь только один параметр. Вся сложность заклю-
чается в том, что гауссовский пучок характеризуется двумя пара-
метрами. Однако, величина в квадратных скобках G.21) содержит
оба параметра, которые разделены надлежащим образом, входя
соответственно в ее действительную и мнимую части. Это сразу
наводит на мысль представить члены в круглых скобках в виде
одного:
ilq = 1/Я - 2i/hw2; G.24)
д называется комплексным параметром пучка. Эта подстановм
оказывается весьма плодотворной, причем д в гауссовской волне
играет такую же роль, как и радиус кривизны в сферической,
что показано ниже. Иногда д называют комплексным радиусом
кривизны. На рис. 7.3 проводится аналогия между процессами
распространения сферической и гауссовской волн.
Для свободно распространяющейся гауссовской волны, если
комплексный радиус кривизны в одной точке равен дг, а в другой

170
ГЛ. 7. ГАУССОВСК1ГЕ ПУЧКИ
на расстоянии z равен tj2, выражения G.18), G.19) и G.24) пока-
зывают, что
Я* = 9i + 2- G.25)
Рассмотрим теперь преобразовапие гауссовского пучка при
прохождении через линзу, поочередно изучая ее воздействие на
Рис. 7.3. Сравнение воздействий линзы па сферическую и га>ссовскую
полны,
каждый параметр пучка. Если линза тонкая, то ширина луча не
меняется при проходе через нее, в связи с чем ширина пучка на
левой поверхности линзы юх равна ширине w2 на правой:
w, = и',. G.20)
Кривизна волнового фронта гауссовского пучка в параксиаль-
ном приближении является сферической (гл. 0, § 2) и преобразует-
ся точио так же, как сферическая волна в соотпетствип с G.2,3),
где /?! и Н2 — радиусы кривизны фронта до и после прохождения
линзы, соответственно.
На основании уравнений G.23) и G.26) можно получить соот-
ношение, описывающее преобразование луча топкой линзой с
фокусным расстоянием /
I/ft = 1/I7i ~ 1/Л G-27)
где qt и q2 — соответственно входной и выходиой параметры.
3.1. Матрица передачи луча. Рассмотрим оптическую систему
со входной (индекс 1) и выходной (индекс 2) плоскостями, пер-
пендикулярными оптической оси, и допустим, что параксиальный
луч пересекает эти плоскости на расстояниях ху и х* от оси под
углами G: и Q2 к цеп. Чтобы получить общее соотношение между

§ 3. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ В ЛИНЗЕ l?i
входными и выходными параметрами, допустим, что х2 и 62 зави-
сят от хх и 6i, причем эти зависимости имеют вид
хг = Ахг — BQlt 02 = Схх + DBlt
где Л, В, С и D — функции, характеризующие данную рассматри-
ваемую оптическую систему. Будучи записанными в матричной
форме, эти уравнения имеют вид
где матрица ABCD представляет собою матрицу передачи луча-
Пример 1. Матрица передачи для луча, проходящего оп-
тический путь d между двумя плоскостями в однородной среде,
есть
1 d
О 1
Пример 2. В тонкой линзе входная и выходная плоскости
совпадают и, таким образом, матрицу передачи луча можно пред-
ставшь в виде
-iff
П р и м е р 3. Матрицу передачи луча в случае, когда входная
плоскость находится на расстоянии d от выходной плоскости,
в которой расположена тонкая линза, можно получить умноже-
нием матриц передачи, приведенных выше (в примерах 1 и 2):
И dir 1 01 Г1 —
[о iJL-i// О L -
— dlf d
Изменение направления распространения луча на обратное приво-
дит к перестановке диагональных элементов матрицы передачи.
3.2. Применение к случаю гауссовских пучков. Напомним,
что лучи, рассматриваемые в геометрической оптике, нормальны
по отношению к волновому фронту. Если волны являются сфери-
ческими и имеют радиус кривизны R, то для параксиальных
лучей мы имеем
х - RQ.
На основании выведенных выше уравнений можно найти связь
радиусов кривизны на выходной и входной плоскостях
R2 = (ДЛ, + B)I{CRX + D). G.27а)

172 гл. 7. глуссовские пучки
Как уже было Показано в настоящем параграфе, комплексный
параметр q гауссовского пучка формально эквивалентен радиусу
кривизны В. сферической волны. Поэтому для определения ре-
зультатов воздействия оптической системы па 1ауссовский пучок
можно применить преобразование G.27а):
Чг = {АЧх + ВУ(СЧ1 + О). G.276)
Уравнение G.276) было названо автором [2\ законом ABCD.
§ 4. Граничные условия для резонатора
Рассмотрим гауссовский пучок как моду лазерного резона-
тора, который образован двумя сферическими зеркалами (с ра-
диусами кривизны Л л и ^b)i находящимися на расстоянии d
друг от друга. Предположим, что резонатор обладает бесконечной
апертурой, поэтому дифракционными эффектами на зеркалах
можно пренебречь. Мода является самосогласованной конфигу-
рацией поля, и если мы Хотим представить ее в виде пучка, рас-
пространяющегося в прямом и обратном направлении внутри
резонатора, то это требует, чтобы параметры пучка оставались
неизменными после замкнутого цикла проходов. Удобный и на-
глядный метод для решения такого рода задач — это «развернуть*
резонатор, заменив его (с точки зрения вычислений) последова-
тельностью линз (см. гл. 5, § 5). Фокусные длины линз определяют-
ся радиусами кривизны заменяемых ими зеркал, а их располо-
жение — расстоянием между зеркалами. После этого можно
свести проблему к изучению распространения пучка через перио-
дическую последовательность линз.
Допустим, что гауссовский пучок, отраженный зеркалом А
(линза А), вблизи его поверхности характеризуется комплексным
параметром qx. Когда пучок достигает зеркала В, его комплексный
napaueip уже равен
Чг = Ч\ "Г й.
После отражения от зеркала В (или после прохождения через
линзу В) мы имеем
+ d) - 2/Дя.
При повторном падении на зеркало А (па этот раз с противополож-
ного направления)
Ча = Чз -г- d-
После отражения зеркалом А получаем *
?5 пв 1'м - 2rf) - 2 (Нл -г ии) {'л -г <*> -г w (vi -г <Т * '" '

§ 4. ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ ДЛЯ РЕЗОНАТОРА 173
Поскольку луч теперь завершил полный цикл проходов
резонатора, можно найти условие для самосогласованной конфи-
гурации поля (а следовательно, и условие того, что гауссовский
лучок является модой). Оло таково:
Чъ - </i- G-21))
Из G.28) и G.29) получаем квадратное уравнение для парамет-
ра луча
dRA(RB - d)(b'giy- + ЩПв - d)(i/ffi) + 2(ДД + RB - 2rf) « 0.
.которое имеет следующие решения;
, Г (ПА -\- RB—2d) ItA ~[Vl
7ГТ i <R,. — d\d
Так как реальные гауссовские пучки имеют ненулевую ши-
рину, то комплексный параметр должен обладать отличной от
нуля мнимой частью (которая по определению содержит информа-
цию о ширине пучка). Отсюда получаем
(Да -т- Дв - 2<*)Да/ 1(Дв - d)d\ > 1.
Посколр>ку выбор зеркала для формирования пучка произво-
лен, то отсюда следует
(Да -г Дв - 2(})Пе/ [(П.х - d)d] > 1.
С помощью алгебраически^ преобразований написанные выше два
выражения можно свести к одному
0< A _ d'lij(l - d'RB)< i. G.30)
Таким образом, мы нашли пределы для параметров резонатора,
при которых в нем возможно поддержание устойчивой моды.
Это уравнение имеет очень важное значение.
Если обозначить g1 = 1 — d/RA и g, = 1 — d/R# и затем
построить график зависимости между g2 и gu как показано на
рнс. 5.7, то каукдая ючка на плоскости будет соответствовать
определенной конфигурации резонатора. Ограничению в правой
части неравенства G.30) отвечает гипербола на этой плоскости.
Неравенство удовлетворяется во всех точках, лежащих ниже верх-
ней кривой и выше нижней кривой. Левая часть неравенства вы-
полняется для всех gx н g, c одинаковыми знаками. Следовательно,
областью устойчивой конфигурации резонатора в плоскости gvgi
является та, которая затушевана на диаграмме устойчивости.
Па рис. 5.7 показаны также различные конфигурации резонато-
ров. Они соответствуют пронумерованным точкам иа этой диаграм-

174 ГЛ. 7. ГАУССОВСКИЕ ПУЧКИ
ие. Величины g% и g2 играют также важную роль в геометрической
теории резонатора (гл. 5, п. 4.3).
Продолжим теперь исследование параметров пучка для гаус-
совской моды резонатора. Из G.23) ясно, что радиусы кривизна
гауссовского пучка па зеркалах должны согласовываться с соот-
ветствующими радиусами кривизны зеркал. Требуемая ширина
в\чка па зеркалах определяется мнимой частью выражения
G.24). После некоторых алгебраических преобразований с учетом
G.29а) ее можно переписать в виде
_ А
к (ltA
Для решения проблем, связанных с согласованием резонато-
ров, удобно выразить гауссовскую моду через положение ее шей-
ки (внутри или вне резонатора) и через ее диаметр. Эти параметры
можно получить, если вспомнить, что в месте положения шейки
волновой фронт представляет собой фронт плоской волны (имею-
щий бесконечный радиус кривизны) и, следовательно, комплекс-
ный параметр пучка является чисто мнимой величиной. Если
z^a есть, расстояние от шейки до зеркала Л, то мы имеем
zwA = ЩдА)- G.32)
Используя это соотношение, можно найти положение н диаметр
шейки
Zwa = d(RB - d)/(RA + RB - 2d) G.33)
и
Таким образом, мы получили параметры пучка (в двух видах)
в гауссовской моде резонатора, выраженные через характеристики
самого резонатора. Располагая этими параметрами, с помощью
G.33) и G.34) можно исследовать закономерности распростране-
ния гауссовского пучка как внутри, так и вне резонатора. Мы сно-
ва возвратимся к полученным здесь выражениям при рассмотре-
нии вопроса о согласовании резонаторов с помощью оптических,
элементов в § 5*).
Чтобы найти условия резонанса, нам следует дополнить вы-
геденные выше формулы еще одним соотношением. Оно вытекает-
*) Распространенне гауссовсквх пучков в активной среде и теория.
газового лазера с гауссоиским профилем поля рассмотрены в работе [13].
Авторы установили ряд интересных особенностей в структуре поля излуче-
ния Лэмбовский провал (см. гл 8} в случае гауссоиского профиля иола
сказался асимметричным (прим. ред.).

§ 5. СОГЛАСОВАНИЕ РП )ОН \TOPOB 175
¦из требования о том, чтобы набег фазы при проходе луча от одно-
го зеркала до другого был равен целому числу, помноженному
на л, поскольку лишь в таком случае внутри резонатора устанавли-
вается поле с че[ко определенной фазовой структурой (стоячая
волна).
Используя G.17) и фазовый член соотношения G.21)
для вычисления набега фазы за проход, для оси z получаем сле-
дующее условие резонанса:
Ы + arclg (kwU2zllA) + arclg [ktvl/2 (d - zwA)] = л (p + 1), G.35)
где p — целое число, равное количеству узлов в установившейся
стоячей волне.
Значения к, которые удовлетворяют написанному выше урав-
нению, дают частоты продольных мод резонатора (последние обо-
значаются посредством величин р). Из выражений G.33) и G.34)
для zwA и w\ ясно, что вторые два члена в левой части G.35) из
зависят от к, в связи с чем частотный интервал между соседними
продольными модами (основная частота биений) зависит только от
расстояния между зеркалами и определяется по формуле
v0 = c/2d. G.35a)
После подстановки выражений G.33) и G.3^) для zwA и w|,
а также равенства G.35а) в G.35) последнее после перегруппиров-
ки членов можно переписать в виде
v/v0 = р + 1 + A/л) arccos [(I ~ dlliA) {i-d,RB)\^. G.31»)
При выводе G.30) мы использовали соотношение
arctg х -}- arctg у = arctg[(^ + y)({\ — ху)\ для ху <1.
Заметим, что здесь мы снова сталкиваемся с условиями устойчи-
вости резонатора, поскольку член под знаком квадратного корпя
может быть только действительной величиной, а его модуль Дол-
жен быть меньше единицы, если выполняется условие G.30).
Квадратным корнем определяется знак каждого из подкоренных:
сомножителей.
§ 5. Согласование резонаторов
Теперь, когда мы имеем возможность вынести параметры iayc-
совского пучка с помощью известных параметров резонатора,
рассмотрим согласование гауссовской моды одного резонатора с
модой другого посредством такого оптического элемента, как
линза. Подобного рода проблемы возникают, например, когда мы

17G ¦ ГЛ. 7. ГАУССОВСКИЕ ПУЧКИ ^
намерены использовать пассивный резонатор в качестве интер-
•реромегра для исследования структуры продольной моды излу-
чения, выходящего из резонатора лазера (гл. 4, § 2). Вообще го-
воря, когда пучок, соответствующий моде одной системы, вводят
в другую, модовые параметры этих двух систем должны быть со-
гласованы. Если же они не согласованы, то одиночная мода от
одной системы (например, от лазера) будет взаимодейсг-
ьовать с несколькими модами другой,— возникнет преобразова-
ние моды.
Существует несколько способов подхода к проблеме согласо-
вания в зависимости от вида известных параметров. Мы можем,
например, оперировать величиной шейки пучка для вычисления
фокусного расстояния и положения требуемой линзы, используя
и качестве критерия тот факт, что линза преобразует положение и
размер шейки пучка одного резонатора в положение и размер
шейки во втором.
В другом случае можно использовать величину размера
пятна на зеркалах—и тогда требование заключается в том»
чтобы линза преобразовывала размер пятна в моде и радиус кри-
низны (равный радиусу кривизны зеркала) для одного резонатора
в эти же параметры для другого.
Мы рассмотрим более подробно согласование двух резонаторов
в условиях, когда известны относительные положения и диаметры
шеек пучков (рис. 7.4). Предположим, что диаметр шейки в одном
из резонаторов равен wt. а его расстояние от согласующей лиизы
Лазер Линза Интерферометр
А
Рис. 7.4. Согласование гауссовскоги пучка лазерного резонатора с вучком
в интерферометре.
есть z1 (w\ зависит только от параметров резонатора, в то время
как Zj определяется также расстоянием от одного из зеркал резо-
натора до линзы). Пусть соответственные величины для другого
резонатора суть и?2 и z.2. В шейках пучков оба комплексных
параметра qt и q2 чисто мнимые (поскольку радиус кривизны пуч-
ка в этих точках бесконечен):
2, g2 = tnwlk/2. G.37)

§ 5. СОГЛАСОВАНИЕ РЕЗОНАТОРОВ 177
На основании уравнений преобразования G.25) и G.27) для
комплексных параметров пучка получаем
+Za. G.38)
Так как обе величины qx и q* являются чисто мнимыми, мы мо-
жем разделить написанное выше уравнение на вещественную и
мнимую части:
G.39)
?8</ - Ч) ~ Qiif ~ Ч) = 0. G.40)
Найдем теперь, например, величину s3 для линзы с заданным
фокусным расстоянием путем исключения zx. При этом получим
следующее квадратное уравнение:
z\ - 2fz2 -q\-f (?2/?i - 1) = 0. G.41)
Очевидно, что оно имеет действительное решение для z2 только
ври условии
/>/о, где /o = (|3iN?2!I/2 = ^«'^2. G.42)
Уравнения G.39) и G.40) могут быть представлены в виде
(/ - zx)/(f - z2) = (wjw2)\ G.-53)
(z.-/)(z*-/) = /2-/o2. G.44)
Второе уравнение имеет сходство с формулой линзы Ньютона
из геометрической оптики, отличие состоит в члене /ц (при устрем-
лении длины волны к пулю, /о также стремится к нулю).
В заключение этого параграфа приведем численный пример
согласования резонаторов. При этом мы воспользуемся большин-
ством формул, описывающих гауссовские пучки, которые были
получены нами в этом и предыдущих параграфах.
Лазерный резонатор длиной 50 см (однометровые зеркала)
необходимо согласовать с резонатором интерферометра (одно-
о
метровые зеркала) па длине волны 5000 А (рис. 7.4).
Шсйкн пучков расположены в центрах соответствующих ре-
зонаторов и имеют величины, определяемые соотношением G.34).
Лазер: и\ = 1,7-10~2 см.
Интерферометр: и\2 = 1,05-10~2 см.
Минимальная фокальная длина используемой для согласова-
ния линзы находится из неравенства G.42): />»11,2 см.
Если выбрана линза с фокусным расстоянием 50 см, то на ос-
новании выражений G.43) и G.44) получаем положения центров
12 л. Мэйтдэнд. М. Дани

|78 ГЛ. 7. ГАУССОВСКИЕ ПУЧКИ
резонаторов лазера и интерферометра: z/50 = 1 ± 1,58, zJbO =
= 1 dh 0,6.
Лазер: zv — 130 см.
Интерферометр: z2 =¦= 80 см.
Для того чтобы два резонатора были согласованы друг с дру-
гом, выходное зеркало лазера должно располагаться па расстоя-
нии 105 см ио одну сторону от линзы, входное зеркало интерфе-
рометра — на 75 см по другую сторону от нее.
Лазерные зеркала обычно представляют собой многослойную
диэлектрическую структуру, нанесенную на подложку из плавлен-
ного кварца. Подложка ведет себя как плоско-вогнутая линза,
вследствие чего параметры выходящего пучка отличаются от те^,
которые характеризуют пучок внутри резонатора (последний опре-
деляется параметрами резонатора). При расчетах, относящихся к
реальной Системе, необходимо принимать во внимание, что как
зеркала лазера, так и зеркала интерферометра выполняют еще и
функцию линз.
5.1. Эффекты рассогласования резонаторов. Когда выходной
луч лазера требуется ввести в другой резонатор или же когда
имеется передающая линия, составленная из последовательности
линз, возникает вопрос о модах, которые возбуждаются в новой
системе введенным лучом, если две системы не согласованы.
Одиночная мода лазера может взаимодействовать с несколькими
модами новой системы. Взаимодействие между модами лазерного
луча и модами той системы, в которую он вводится, является пред-
метом изучения в настоящем пункте. Теория этого эффекта была
построена в работе [3]. Быте мы рассматривали согласованные
системы, в которых мода одной системы возбуждает точно такую
же моду в другой, куда она вводится.
Для прямоугольной геометрии приближенное поперечное
(по х, у) распределение поля ТКМт„-модът дается произведенном
Чт(хЦп{у), где
2 \1/2 1 ]1/2 „ 1.ггл х\ ( ** ., Х*
) l 'Ч1 2)M!(™~ 'Щ
а функция tyn{y) вводится аналогичным равенством; амплитуда
поля нормировали к единичной мощности
-J-00
J iWti»W^ = i, G.4Й)
где звездочка означает комплексное сопряжение, а IIт{х) и II „(у) ~
полиномы Эрмита. Эти модовые функции являются приближен-
ными, и в таком виде образуют полный ортогональный набор.
Нижеследующее рассмотрение правомерно лишь в таких ситуа-

5 5. СОГЛАСОВАНИЕ РЕЗОНАТОРОВ 17$
цнях, когда это приближение является применимым, например,
в случае больших апертур зеркал или линз и при малых значе-
ниях т и п.
Рассмотрим опорную плоскость на левой границе системы,
в которую мода входит слева. Пусть входящая мода имеет пара-
метры пучка w н Н слева от плоскости и w и R — справа ог нее.
Волны, бегущие по направлению к наблюдателю, который нахо-
дится справа, имеют положительный раднус кривизны, если он
видит их фазовый фронт выпуклым. Допустим, что слева входит
ТЕМ——мода, обладающая единичной мощностью. Если система
и входящий пучок не согласованы, эта мода возбудит в ней набор
ТЕМтп-мод с полями С—тпфт1|>п, где С—тл — коэффициент
взаимодействия, введенный автором [3]. Для характеристического
импеданса, равного единице, мощность в моде TEMmil равна
с Г—
^ nmmn mnntn'
Приравнивая распределения поля на базовой плоскости, мы
имеем
Ут (х)' Уп 00 = 2 2 СШтп$т ix)' Фп (*/)• G.47)
Поскольку распределение поля по координате х не зависит от
распределения по координате у, то коэффициент взаимодействия
можно выразить в виде произведения точно таким же образом,
как это было раньше сделано для коэффициента пропорциональ-
ности ото„ (гл. 6, § 1):
Теперь равенство G.47) можно заягеннть двумя; мы рассмотрим
одно из них, ко j о рое относится к координате х. Умножая его на
%п(х) и интегрируя, получаем
-J-OO -J-OO
m(x)dx= j 'E
¦—оо '
-J-OO
Используя G.40), а также свойство ортогональности модовых
функций, находим
I 'sr(^)^W^. G-49)
Такое же уравнение можно вывести и для с-п- Комбинируя G.45)
12*

180 ГЛ 7. ГАУССОВСКИЕ ПУЧКИ
и G.49), получаем
G.50)
где а, Р и у определяются следующими соотношениями:
а = 2/^2, $ = 2/ir\ G.51)
д =я 1/пГ2 + 1/w2 -\-1/2ik(l/R — 1/Д). G.52)
Анализ выражения G.50) и свойства полиномов Эрмита (при-
ложение 3) показывают, что если сумма т -\- т нечетна, тогда
подынтегральное выражение есть нечетная функция х и мы по-
лучаем с- = 0. Это говорит о том, что взаимодействие нечетных
мод с четными отсутствует.
Интегрирование в G.50) дает [4] для случая, когда оба числа т
и т четны и т = 2v, т = 2и,
, ( 2 у/2 BМ ^-2v)l .- г,н
eJ5« = Л+(^) (u + v)l(-}tl2v!)'^1 ( О)
а для нечетных tn и //г, где /?i = 2v + 1 и m = 2;i -f- 1,
С- = А_ I^Y
тде
M-v( a)v(
/ j \M-v( a)v( р)ц Г
=t 1 -^ ;—— — /I — V — U — V — II +¦
и i7 — пшергеометрнческий ряд, определяемый формулой
Ниже приведены коэффициенты взаимодействия для некоторых
мод пмлпего порядка:
а) сю = B/^н'?I/2, Д) си = cm,
б) с02 = %(^ с?, - l), e) сп =
*"!Ч ' _ G.55)
в) с20 = ^| ^=-c50 - 1 j, ж) с81 = V 5
г) с32 =^ A/Соо) (соо -1- cu3rM), з) саз =

5 5. СОГЛАСОВАНИЕ РЕЗОНАТОРОВ
18t
Для неидеальпого согласования |сО01 < 1 и, следовательно,
|t-u| = |соо|
Это показывает, что основная мола менее
чувствительна к рассогласованию, чем мода следующего более
высокого порядка.
Доля х мощности, участвующей во взаимодействии основной
йюды (TFM0o) одной системы с основной модой другой, равна
Из G.55а) и G.52) следует, что
к = 4 [{wlw + Tvlw)* + {Tw
Последнее выражение можно переписать в виде ¦
•л = 4[(и>/п> -f- wlwf -f- p2 w^lw3]-1. G.57)
Онюшение wlw интерпретируется в [31 как рассогласование ра-
диуса пучка, а
IJ
G.58)
как рассогласование между радиусами кривизны двух фазовык
фронтов. Множитель а = nw-kR
называют «параметром системы».
f.O
8 tO
(W/w)g
Рис. 7.5. Параметр системы Рис. 7.6. Доля мощности к, участвующей
о[д\. во взаимодействии между основными мо-
дами [3].
Для симметричного неконфокального резонатора длиной d с
зеркалами радиусом R мы имеем
- 1)-V2. G.59)
Когда системы идеально согласованы, w «= w и R ~ R. Для
резонатора с плоским выходным зеркалом (/? = оо), комбинируя
G.58) и выражение для а, получаем р = kw2/XR. График уравне-
нии G.59) построен на рис. 7.5. Из него видно, что системы с»

182
ГЛ. 7. ГАУССОВСКИВ ПУЧКИ
значениями d, меньшими, чем конфокальное, относительно
нечувствительны к рассогласованию по кривизне фазового
фронта.
На рис. 7.6 показана величина и как функция (ш/ш)8 для раз-
личных величии ^ р. Как можно видеть, в случае рассогласова-
ния кривизны фазового фронта_(р ф 0) максимальные величи-
ны и соответствуют значениям (w/w) <; 1.
Например, для резонатора, образованного зеркалами с ра-
диусами 100 см, которые удалены друг от друга на расстояние
40 см, имеем о = 0,5. Если Ft = 2/?, то р = а. Прн отличии ра-
диусов пучков примерно на 41% (w = 1,41 w) 80% мощности
входящего пучка участвует во взаимодействии с основной модой
резонатора. _ ^
Иногда вместо w, w. Ft и Ft удобно пользоваться величинами
расстояний s и 2 (рис. 7.7) от шеек двух пучков до базовой пло-
скости, а также радиусами этих шеек w0 и w0. Необходимая для
базовая плоскость
Рис. 7.7. Параметры пучка: R п R — радиусы кривизны фазовых фронтов
на опорной плоскости, а ш н ш — соответствующие радиусы пучков; <г0
и "о — радиусы пучков в их шейках, где фазовые фронты являются плос-
ким» [3].
этого связь содержится в соотношениях G,18) и G.19). После
некоторых алгебраических преобразований мы находим
9 = =i
— ikz/л wf, — ikz/n
к = 4
Последнее равенство показывает, что к зависит только от вели-
чины шеек пучка w0 и ;г0 и от расстояния между ними.

6. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ АНАЛОГИЯ J83
Доля мощности моды ТЕМ—-, участвующая во взаимодействии
с модой TEMmn, есть
Из G.55) получаем
-|2.
Легко отыскать условия, когда мощность, которой обменива-
ются моды различного порядка, достигает максимума. Максимум
преобразования мощности из моды ТЕМ02 в моду ТЕМ00 реализу-
ется при у. = 1/2 и в этом случае С кое Is 1соо |2)шаж ~ 1/8.
§ 6. Геометрическая аналогия
Как было показано (см. G.24) и G.25));
\!q = цп _ 2ilkw%
?> = ?! + Z.
Предположим, что мы выбрали начало оси г в шейке пучка.
Тогда второе уравнение можно записать в форме
д = ikwl/2 + г. G.60)
Исключая д из этих уравнений, мы получаем следующее
соотношение, описывающее распространение гауссовского пучка
через его диаметр и радиус кривизны:
B/7ш2 + i/R)(kwo}2 — ''2) - I. G.61)
Каждый сомпожнтель этого уравнения является комплексной
переменной, а само уравнение определяет конформное преобра-
зование.
На этом уравнении основано несколько графических методов
представления гаугсовских пучков. Первый—это метод круговых
диаграмм, предложенный Коллинзом [5], который позволяет
<¦ вязать диаметр пучка и радиус кривизны фазового фронта в лю-
бой точке на осп пучка с минимальным его диаметром и местопо-
ложением точки.
Диаграмма Коллинза имеет две эквивалентные формы, пайдеи-
ные авторами [6] н [71. Для гауссовских пучков в работе [71
введен аналог комплексного коэффициента отражения, исполь-
зуемого в теории линий передачи. В результате оказалось возмож-
ным применить диаграмму Смита комплексных коэффициентов
рассогласования для решения проблем рассогласования пучков.
Другие возможные виды диаграмм пучка, описанные в литера-
туре, обсуждаются в работе [81.

184
ГЛ. 1, ГАУССОВСКИЕ ПУЧКИ
Здесь мы более подробно остановимся па круговой диаграмме
Коллинза. Возьмем X = 2/kw2 иУ= 1/7? в качестве переменных
па осях в комплексной плоскости (рис. 7.8). Подставляя эти ве-
личины в полученное выше уравнение и разделяя в нем действи-
тельную и мнимую части, мы получаем
Y
G.62)
G.63)
Пучку на комплексной плоскости соответствует кривая, па
которой величина w0 постоянна. Из G.62) видно, что эта крива»
представляет собой окружность, проходящую через начало ко-
ординат, диаметр которой лежит на оси X. Этот диаметр задается
Оцружност постоянного z
Увеличение г
(X' V) дат? параметры пума
— \У' *\1 Шейка % при данном г
Окружность постоянного щ
Увеличение ws
Z=oo
X=Z/kw2 z<0
Шейка пучт B=0
Рис. 7.8. Описание распространения гауссовского пучка с помощью кру-
говой диаграммы Коллинза.
величиной w0 и равен 2!w\jk. Таким образом, на комплексной пло-
скости XY распространение гауссово кого пучка описыва-
ется окружностью, диаметр которой определяется шейкой
пучка.
Для того чтобы иметь возможность связать конкретный набор
значений параметров пучка с определенной точкой z на линии его
распространения, мы проанализируем соотношение G.НЗ). Из
этого уравнения можно видеть, что кривая, соответствующая
параметрам пучка, при неизменной величиве z, есть окружность,
проходящая через начало координат. Диаметр ее совпадает с
осью Y и определиется в этом случае величиной г, будучи ран-
ным 1/z.
Можно построить диаграмму, нанеся иа плоскость XY се-
мейство окру?кностей, соответствующих постоянным z и и0.

§ 7. МОДЫ БОЛЕЕ ВЫСОКОГО ПОРЯДКА
185
Распространение определенного гауссовского пучка описывается
окружностью постоянного радиуса ш0, а его параметры в конкрет-
ной точке вдоль направления распространения — координатами
точки пересечения окружности пучка с соответствующей ок-
ружностью для г.
С помощью круговой диаграммы можно описать преобразова-
ние пучка линзой. Линза преобразует радиус кривизны, но ос-
тавляет неизменной ширину пучка, и поэтому ей отвечает отрезок
А В
I !
Рис. 7.9. Описание с помощью круговой диаграммы процесса передачи
гауссовского пучка (шейка и-а) линзой (фокусное расстояние /), рас-
положенной на расстоянии г от шейки. Прообразованный пучок имеет
шейку и>9', расположенную на расстоянии z enpaua от линзы.
длиной 1// на линии, параллельной осп Y. Положение конца
вертикального отрезка линии по отношению к окружностям
постоянных z и w0 указывает значение параметров преобразо-
ванного пучка (рис. 7.9).
Круговая диаграмма позволяет проводить графический расчет
распространения гауссовского пучка через сложную структуру
линз и, следовательно, является весьма полезной при решении
проблем согласования резонаторов (когда даже учет простого
влияния зеркал резонатора, выполняющих также функцию линз,
усложняет анализ).
§ 7. Моды более высокого порядка
Полученное нами решение уравнения G.3), описывающее
распространение простого гауссовского пучка, в действительно-
сти является членом низшего поридка в семействе решений этого
уравнения. Если вместо предположения о том, что решение имеет

186 ' ГЛ. 7. ГАУССОВСКИЕ ПУЧКИ
вид G.4), искать его в виде
мы бы нашли, что искомые функции а и Р таковы, что
где Нт и IIп — полиномы Эрмита (см. приложение 3) порядка
т и п. Эти решения образуют полный ортогональный набор.
Каждое ju них составлено комбинацией двух полиномов Эрмита с
функцией Гаусса и обозначается индексами поперечной моды
(т и п).
Можно показать, что параметр пучка R{z) одинаков для всех
решений, однако дополнительный набег фазы (по сравнению с
плоской волной) зависит от т и п:
= (т -\~ п
1) arctg B
Соответственно и поперечные люди резонатора, имеющие различ-
ный порядок, обычно обладают разными резонансными частотами,
как это было показано в гл. 6.

Глава 8
УСИЛЕНИЕ И ЭФФЕКТЫ НАСЫЩЕНИЯ
§ 1. Введение
Активная среда лазера и усилителя состоит из атомов (ионов ити
молекул), каждый из которых может излучать в частотном интерва-
ле, определяющемся возмущением его энергетических уровней иод
илиянием окружения, а также нх естественной шириной линии.
Центральная частота для каждого атома также зависит от ско-
рости атома и от свойств окружающей среды (например от кри-
сталлических полей, полей заряженных частиц в газово.м раз-
ряде, от столкновений и так далее). Под действием этих эффектов
частотный диапазон, в котором активная среда обладает усилением,
становится шире, чем диапазон отдельного атома. Кроме того,,
излучение, входящее в усилитель или генератор, имеет распре-
деление по частоте. Перечисленные выше три частотные распре-
деления или формы линии (т. е. формы линии отдельных атомов,
активной среды н усиливаемого излучения^ играют наиболее
важную роль при изучении взаимодействия между излучением
я активным веществом.
§ 2. Насыщение усиления
Когда поле излучения достигает стационарной величины,
говорят, что усиление лазера находится в насыщении. Насыщение
возникает в результате потерь, обусловленных вынужденным
излучением в системе с инверсной населенностью. Это весьма
наглядно продемонстрировано в теории Лзмба (гл. 9). Одним из
следствий эффекта насыщения является конкуренция мод,, т. е.
снижение усиления для данной моды под влиянием насыщения
в какой-либо другой моде. Характеристики лазера в присутствии
насыщения очень сильно зависят от типа уширения* имеющегося
и сис(еме. Если з'птнренне обусловлено процессами, ограничнваго-
щпми время жизни возбужденного состояния, или же в системе
существуют поля, флуктуирующие с периодом, намного болоа
коротким^ чем соответствующее переходу время, го уширениа

188
ГЛ 8 УСИЛЕНИЕ И ЭФФЕКТЫ НАСЫЩЕНИЯ
однородно. Некоторые из этих процессов приводят к тому, что
анергия поглощается из поля излучения в данном переходе и рас-
пределяется ме,кду другими присутствующими частицами. В дру-
ги\ же ситуациях частота излучения атома ие зависит ог времени
в рассматриваемом временном масштабе. Это, например, ичеег
место, когда время между столкновениями намного больше из j у
чагельного времени жизни или когда локальные поля — cia-
тические. Тогда энергия поглощается только темп атомами, ко-
торые удовлетворяют резонансным условиям, и не распределяется
за время поглощения. В этих случаях ушнрение является не-
однородным.
Друишп словами, однородно уширенная линия — это такая,
в которую на всех частотах вносят вклад все атомы, населяющие
рассматриваемый уровень. Неоднородно уширенной является та-
кая линия, различные частоты которой соответствуют различным
группам атомов. Эффект Доплера, например, приводит к неод-
нородному ушнренпю линии в газах.
2.1. Теория эффекта насыщения усиления. Рассмотрим на-
сыщение усилении в газовом разряде. Это явление можно описать
четырехуровневой системой, уровни 3 и 2 которой являются верх-
ним и нижним уровнями лазер-
ного перехода. Доп > стим, ч го
атомы, возбужденные на уровень
3, имеют такое распределение
скоростей, что линия излучения,
возникающего при переходе на
уровень 2, имеет доплеровскиц
контур с центром на частоте vrt
и с по 1уширнной ла половине
максимальной ип генсивност п
Д\'д/2. Сама же реальная часто-
та, излучаемая данным атомом,
лежит где-то в предетах профиля
естественной линии, полуширина
которого на половице макси-
мальной интенсивноегн равна
AvecT/2, а центральная частота v'
соответствует скорости конкрет-
ного атома. В уширен ие этого
профиля линии могут давать
вклад процессы соударений. Частота излучения, на которой
тниикаег насыщение усиления, т. е. частота лазера, есть v. На
рис. 8.1 схематически показаны контуры линий и характерные
частоты.
Рассмотрим теперь процессы, вызывающие засетепие н обед-
нение уровней 3 и 2, которые являются верхним и нижним лазер-
Гнс. 8.1. Частотами профиль
интенсивности для догп<ровсього
и естественного j ширеипи.

$ 2. НАСЫЩЕНИЕ УСИЛЕНИЯ JS&
ними уровнями. При этом мы будем пользоваться обозначениями
и методикой, принятыми в работе [1 ],. а также основными прин-
ципами, содержащимися в 12].
Пусть скорости накачки на уровни 3 и 2 за счет всех процес
сов, за исключением тех, которые мы уточним ниже, равны S3i2.
Под действием накачки атом переходит в возбужденное состояние
'Л илн 2, обладая при этом такой скоростью, что центральная
частота, на которой он излучает или поглощает, равна v'. Эта
частота лежит в пределах доплеровского контура. Величины
Sj и Sg имеют доплеровский профиль, описываемый формулой
St = Si0 exp {- [2 (v' - vo)/Av4]a In 2}. (8.1)
Объемные плотности атомов на уровнях 3 п 2 в единичном
интервале частот вблизи v' в плоскости z на осп разряда мы обоз-
начим через nhl.
Допустим, что интенсивность излучения на частоте v в плоско-
сти z равна /.
Пусть полные эффективные скорости спонтанного распада
(коэффициенты Эйнштейна) cyib Л3 и Л2. Сюда включен процесс
захвата излучения Когда захватывается излучение, соответст-
вующее переходу в основное состояние, атомы, находящиеся
в этом состоянии, снова возбуждаются на уровень, с которого
произошел первоначальный переход.
Предположим, что скорость спонтанного испускания с уровня
3 на уровень 2 есть Алг.
Коэффициент Эйнштейна, который дает скорость вынужден-
ного испускания для атома с доплеровской резонансной часто-
той v\ при частоте вынужденного излучения v обозначим через
#32-
Скорость поглощения излучения на частоте v для атомов с ре-
зонансной доплеровской частотой v' равна В'^з, где
Естественный контур линии испускаемого излучения с цент-
ром на частоте v' описывается лоренцевской кривой. (Это было
показано как классическим методом в гл. 2, так и квантовоме-
хиническим в гл. 3.) Таким образом, соотношение между различ-
ными коэффициентами В выглядит следующим образом:
В-32 - - Я23 = B3Z _______ (8.2)
— С1атнстические веса.

190 ГЛ. 6, УСИЛЕНИЕ II ЭФФЕКТЫ НАСЫЩЕНИЯ
Скоростные уравнения для уровней 3 и 2 имвю'1 вид
и, = S3 - п.А \АЛ + В'гг —J + п2В'ы -L,
( ¦ 1\ I ¦ / \ (8'3)
Рассмотрим излучение в частотном интервале dv в окрестил-
сти v, распространяющееся вдоль оси разряда о поперечным
сечением А через заполненный атомами объем A dz, который со-
держит точку z. Пренебрегая аффектом сионтанного излучения
в связи с тем, что оно происходит во всех направления\х для
изменении энергии излучения имеем
dl dv А = В'ъгп^Ай%к\-г~ dv — B'2^n2Adzhv j—dv. (8.4)
Упрощая и интегрируя (8.4) по всему контуру v\ мы получаем
о
Величины п-х и п2 не доступны прямому измерению. Поэтому,,
чтобы взять этот интеграл, нам необходимо представить подын-
тегральное выражение через измеримые параметры. Найти щ
и п2 можно с помощью решения уравнений (8.3) для стационарного
состояния, когда п.л = п2 = 0. При предположении что населен-
ности достигли стационарных значений, мы пренебрегли эф-
фектом «пульсаций населенности», предсказываемых Лэмбоч
(гл. Q)t которые проявляются в случае возбуждения более чем
одной моды- пульсирующие компоненты населенностей верхнего
и нижнего лазерных уровней соответствуют частотам биения мод.
После некоторых алгебраических преобразований получаем
1 4- \rr
(8.0)
4л
Подставляя (8.1), (8.2) и (8 6) в \Н.5) и виодя следующие обоз-
начения)

§ 2. НАСЫЩЕНИЕ УСИЛЕНИЯ 19J
мы окончательно приходим к уравнению
1 dl 7 Г B/лДУест) ехр {- [2 (у' - уо)/ДудJ In 2} dv'
I rfz~A°J l-r\2(v-V)/Avn-r2x)-' ¦
J
Путем настройки резонатора можно добиться того, чтобы
лазер работал в центре линии, где усиление максимально, по-
этому в (8.9) можно положить v = v0. Равенство (8.9) упрощается
следующими подстановками:
х = 2 (v' — vo)/A v^ dV = Д v
3 = 2цГт^кг = /До. dl - (дДуест/2п) ^, (8.10)
которые дают
Величину 10 называют параметром насыщения. Этот параметр
играет очень важную роль, он является мерой интенсивности,
требуемой для достижения данной степени насыщения. Наиболее
важным является также параметр е, поскольку он содержит
информацию о типе уширения линии. Мы рассмотрим два пре-
дельных случая: е-> 0 и е—»~оо. Когда е -^*- 0, линия уширена
исключительно за счет доплеровского процесса, это — случай
неоднородного уширения. Когда e-voo, лоренцевское уширение
намного больше доплеровского, это — случай однородного уши-
рения. Таким образом, е характеризует собой степень неоднород-
ности уширения. Чтобы взять интеграл (8.11), сделаем подста-
новку у = х3, dx = Aу,2уг/2. После эюго получаем интеграл
ехр (— е»у) dy
который является табличным [19]. Уравнение (8.11) теперь имеет
вид
}fi^1 + J>!/2el}l (8Л2)
где Кг' — функция ошибок. В пределе к -> 0 (т. е. для чисто
неоднородного уширения) Erf [ A -Ь ^)Mel-v 0 и из (8.12)

\02 ГЛ 8 УСИЛЕНИЕ II ЭФФЕКТЫ НАСЫЩГ.Н1Щ
следует
В пределе е-»-°о (т. е. в случае чисто однородного уширеиия)
Пользуясь этим выражением, из (8.12) находим
_1Ё?-_^ L- /ri/v
Выражая (8.13) и (8.14) через лшеислвпошь / с помощью (8.1A),
получаем
где /0 = nAvecr/2n.
Коэффпциоггг усиления g mojkho определять и;з уравноння
dl = g/d2. (8.17)
Таким образом, для неоднородного и однородного ушпрения мы
можем представить (8.15) и (8.16) в виде
^нродв = ^неоднО (I + 1/!о)~1/2, (8.18)
*од.. = *оД„ otl-r///,,)-1. (8.10)
В начальный момент интенсивность / поля излучения лазера
равна нулю и усиление в системе в этом случае характеризуйся
неличиной g,t -~ ненасыщенным коэффициентом усиления пли
коэффициентом усиления слабого сигнала. Равенство (8.18) по-
казывает, что при интенсивности излучения / = /|( коэффициент
.усиления уменьшается до значения ?11С0Д|10'2. В (8.19) при / —
= /0 коэффициент g0 снижается до gam JV'l
Предсказания изложенной выше теории были проверены па
эксперименте авторами [11. Было показано, что теория находится
в хорошем согласии с опытом.
§ 3. Сужение контура усиления
Квантовый усилитель состоит из активной среды, в которой
ме;кду двумя уровнями существует инверсная населенность
и стимулированное излучение может усиливать вводной луч на
соответствующей частоте. Предположим, что линия спонтанного

§ 3. СУЖЕНИЕ КОНТУРА УСИЛЕНИЯ 193
испускания па переходе в усилителе неоднородно уширена (доп-
леровское уширение). Возникает вопрос о том, является ли дон-
леровская ширина линии усилителя также и окончательной ши-
риной линии выходящего hj него излучения. В этом контексто
важно провести различие между дифференциальным и суммарным
усилением. Дифференциальное усиление характеризуется вели-
чиной (Ml)dlidz и относится к элементу длины dz усиливающей
среды; суммарное же усиление дается отношением /вых'/вх и опи-
сывает увеличение интенсивности излучения при прохождении
всей длины среды. В случае дифференциального усиления в ка-
честве ширины линии можно пользоваться доплеровской шири-
ной, что вонсе не обязательно для суммарпого. В [Я] было про-
ведено исследование изменения усиления в пределах линии
усиления неона на длине волны 3.39 мкм Es' [1/2 ]x -v Ар' [3/2]9)
с использованием лазера с фиксированной частотой н однопро-
ходного усилителя с веемановской настройкой Авгор обнаружил
сужение контура ycnneHHHv согласующееся о приводимой ниже
теорией.
Мы начнем о рассмотрения выражения (8.9) для относительного
усиления на единицу длины, полученного в [11. Упрощая это
уравнение подстановками
Q = 2(^2)^^' - уо)/Дуд, ю = 2 (In 2) (v -Ув)/Дуд,
v _ v' = дУд (о — Й)/2(In 2)!/2, dv' = Av^dQ/2(In 2I/2, (8.20)
mf,[ приходим к следующему:
-f-00 , Д
±01 = ^0 Г
I dz h 8o
Последнее уравнение можно привести к более простому виду
посредством подстановок
(o.Zl)
а = аA -f- 2//A)|/2
которые дают
-—аа
13 v Млйтлэнд, М Данн

J94 ГЛ. 8. УСИЛЕНИЕ И ЭФФЕКТЫ НАСЫЩЕНИЯ
©гнуда мы получаем
'- ' 1 ¦ '• в g0 ~~ л J а2 -\- {ш— L2J* ^ ' *
— ОС
Для величин а =?^ 10"* интегрирование (8,22) [21 дает
¦ ¦^-^• = ехр(-аа)--^11-2й^(о))Ь (8.23)*>
""-j72 —-т^[1 —2ioF((o)]. (8.24)
Если AvPCT <§; Дуд, то можно пренебречь вторым членом в правой
Ч1о дает
Положим /;/ft — Р, rfp — (Ш/о и затем проинтегрируем (8.25) по L,
Окончательно будем ичегь
''2_
(8.26)
Для коэффициента усиления слабого сигнала, когда ра — ftj <Г
< 1, (8.26) дает
gnL ехр (-ш2) = In (рУР,) = In <?в(ю), (8.27>
где G0(ro) — ненасыщенный коэффициент усиления3 определяемый
как
В центре линии v — v0 = 0* поэтому со = 0 и G0(co) = Go@),
Усиление Eй(ю) уменьшается в обе стороны ог центра линии
до величины, которая зависит от значения разности v — v0 иа рас-
сматриваемой частоте. Определим частоту, на которой величина
G,t(oi) падает от Gtt@) до 6г0@)/2. Пусть значение ыл при котором
ато происходит, равно ji. Тогда
= In Go@); (8.28)
eoL exp (-ti*) - Jn lG0@)/2]. (8,29)
*) F И = С~Ш'j <?*ax = j e~l* &iU 2w( dt-

§ i. ХАРАКТЕРИСТИКИ КВАНТОВОГО УСИЛИТЕЛЯ
195
После деления (8.28) на (8.29) получаем
ехр (и3) = In <?e@)'In \G0(Q) 2]. (8.30)
Используя (8.20) ц предполагая,, что симметричная линия имеет
гттттп 1—гттптт] 1—г
W'5 юJ
на ewjg, Зт/с»г
!'кс. 8.2. Свяяь между полушириной контура усиления па выводе и ин-
тенсивностью на входе [3]. Штриховой линией показаны результаты на-
мерения доилеровекоii ширины.
ширину на уровне половины максимального усиления Ь = 2(v —
— v0), когда ji => F/Дуд)Aп 2I/1, мы н.кодим
б = 1,2Дуди. (8.31)
В эксперименте [31 при усилении ^„@) = 5000 и доллеровской
ширине 340 МГц величина полуширины б контура усиления
на выходе, даваемая соотношениями (Й.Р.О) и (8,31), оказалась
равной 119 МГц. Иа рис. 8.2 представлен график изменения б с ин-
тенсивностью на входэ.
§ 4. Характеристики квантового усилителя
Актор статья [\] воспользовался выведенным в п. 2.1 урав-
нением для изучения характеристик усиления в квантовом уси-
лителе при больших пнтенеппностях луча. Здекь мы проанали-
зируем его результаты. Рассмотрим параллельный пучок из-
лучения с однородной интенсивностью, который лгы назовем
сигналом. Доиустим. что сигнал распространяется в направлении
оси z через активную среду, характеризующуюся средним коэф-
фициентом потерь а (за счет поглощения, рассеяния и т. д.) и об-
ладающую однородным уширением. Суммарный коэффициент уси-
ления есть
&A -Ь i:i9)~l-a - A I)dl'dz. (8.32)

496
ГЛ. 8. УСИЛЕНИЕ И ЭФФЕКТЫ НАСЫЩЕНИЯ
Обозначим приведенную иитенсивиосгь излучения через р1 = ///„;
dl ¦= /orfp. После перестановки членов в (8.32) получим
(8.34)
gndz -
Когда параметр потерь a!g0 = 0, мы
g^z - <*р Р -f dp.
Будучи проинтегрированным по L, длине усиливающей среды,
последнее уравнение даег
= Ы (рУр\)
(8.35>
где индексы 1 и 2 относя гея ко вчоду и выходу соотпетствеино.
Па рис. 8.3 показаны графики зависимости (8.3о) для нескольких
величин приведенной мощности Р, па входе.
w гв ж
Усиление, §5
Рис. 8.3. По оси ординат иг.южсна длина оптического нуги L, требуемая
для получения определенного значения усиления в инаиговом усилителе
с однородно уширенной линией, имеющем коэффициент ненасыщенного
усиления g0, при раадични.ч уровнях плотности мощности на входе pi=
= /[//о и ралшх величинах параметра распределенных потерь algu 15 h
Когда входящий в усилитель
упрощается:
In (
мал, формула (8.35)

5. НАСЫЩЕНИЕ В ЛАЗЕРАХ С БОЛЬШИМ УСИЛЕНИЕМ
197
§ 5. Насыщение в лазерах с большим усилением
В работе [51 рассчитана интенсивность излучения, которую
можно получить с помощью лазеров, обладающих большим уси-
лением, высоким» потерями и характеризующихся однородным
уширением линии, причем форма линии не меняется при насыще-
нии усиления. В процессе движения в прямом и обратном на-
правлениях между зеркалами резонатора излучение усиливается
при каждом проходе через активную среду с длиной Ь и испы-
тывает потери на зеркалах. Мы пренебрежем потерями,
существующими в активной среде г и предположим, что
все потери происходят на
зеркалах. Разберем слу-
чай стационарного состо- te4tj м ) 4тиет.ч_среса
янйл, которое устанавлу- *~
ваегся при совместном
действии механизмов уси-
ления и потерь. Пусть
осью лазера является ось
\РгЧ
z, а приведенные интен-
сивности излучения в по-
ложительном и отрица-
тельном пап равления X
равны соответственно {$+
и р*_. Если мы положим
/ = /+ + U в (8.34), то
в итоге будем иметь
'А+/-!
(8.30)
в
L
причем
?<>дн =
Рис. 8.4. Схематическая диаграмма, пока-
зывающая ход приведенных плотностей
= потока в обоих направлениях в асим-
(8 37) мстричном квантовом гинераторе 151.
поскольку усиление изотропно. Рассматривая плоскость, про-
ходящую череа произвольную точку г между точками 0 и L, ин-
тегрируя (8.37) и выделяя произведение приведенных интенсив-
ностей, получаем
Р+Р-
(8.38)
где с — постоянная.
На рис. 8.4 показано расположение зеркал с коэффициентами
отражения г, и г2, соответственно, и активная среда. Когда из-
лучение достигает зеркала, часть его t проходит сквозь зеркало

193 ГЛ. 3. УСИЛЕНИЕ П ЭФФЕКТЫ НАСЫЩЕНИЯ ~ >
и часть а теряетси вследствие рассеяния, поглощении и т. д.;
таким образом^ коэффициенты отражения находя1Ся из соотно-
шений
О i г, = 1 — а, — t, при z = 0; ,
г2 = 1 — сг2 — (j при z = L. *
Рис. 8,4 демонстрирует также нарастание приведенпой интенсив-
ности в процессе каждого прохода, потерн в зеркале; когда излу-
чение достигает его, и суммарную приведенную интенсивность
излучения, распространяющегося в обоих направлениях в ак-
тивной среде (со знаками -Ь и —). Рассматривается случай,
когда г2 Ф Гц т. е. лазер асимметричен. Пользуясь рис. 8.4 и оп-
ределением коэффициента отражения, мы имеем
Ра«Гар. О fa =r,pv ;/' (8.Щ
Из (8.38) и (8.40) получаем ," '"' '"'
Р\Р\ = № = с и г4р4-гар1. (8.41)
Таким образом*
Р*'Э* = (гж'г.)» «. C.42)
Комбинирование (8.36), (8.37) и (8.38) дает
' ' . - -L J-± h . /ft /Q\
Интегрируя C.4Л) по длине L, находим
= Id (P./PO + p,- рЧ- ^A/^-1/^,), , . (8.44)
лс жо образом для усиления в отрицательном направлении
получаем
g,L = In (рл/^) + р,-р3- сA р, - 1 ря). (8.45)
Складывая (8. И) и (8.45)к с учетом (ЗЛО) и (S.41) имеем в окон-
чательном виде
f}2 = [g,L -Ь In (rire)*/2| r\/2/[(r[/2 + r?2) [1 - (Plre)i'2||. (8.4G)
Из (S.42) налодим
P/[(r\f% + rln)\i -(rir2)V2]]. (8.47)
Лазерные резонаторы, как правило, образованы многослой-
ными диэлектрическими зеркалами с отличным от нуля пропуска-

§ 5. НАСЫЩЕНИЕ В ЛАЗЕРАХ С БОЛЬШИМ УСИЛЕНИЕМ |99
лием, поэтому излучение выходит с обеих сюрон резонатора.
Полная интенсивность излучения, выходящего из двух зеркал,
есть
V/» +/*7в = РЛ + РЛ. (8-48)
Если потери на каждом зеркале равны между собой, at = а.г =
= а, то из (8.39) имеем
tt = 1 — а — г,, t2 = 1 — а — г2. (8.49)
Следовательно,
JJh 4- /*''/» = lg.? -г In (r^VRl - а - (/yJVM'U -
- (i-,ra)VM. Ю.50)
Если одно из зеркал непрозрачно п потери ка нем отсутствуют
{tl = 0 и г, --= 1), то выходная интенсивность определяется про-
изведением (8.40) и t^.
/Л = РЛ - Ut>L + In (г,)* М/8'(яа + *.). (8.51)
Коэффициент пропускания зеркала для оптимального выводя
излучения соответствует максимальному значению отношения
/2//0. Вспоминая, что гг = 1 — сг2— ia, и дифференцируя (8.51)
по t2, мы получаем условие оптимального вывода излученик
t.a = (g0Z/ -t- In r]/2J(i - й — t),'(a -f 0- (8-52)
Здесь мы опустили индекс 2, В результате комбинирования
(8.51) с (8.32) имеем
2/270 = tV[a(\ - а - t)]% (8.53)
где t — оптимальный коэффициент пропускания выходного зер-
кала.
Па рис, 8.5 представлены кривые максимальной приведенной
интенсивности выходного излучения, реализующейся при оп-
тимальных выходных параметрах (8.53) для данных величин а
при однопроходном усилении 4,343 g^L.
При выведении излучения из резонатора можно ожидать»
что эти потери, а также эффекты насыщения в активной среде,
приведут к изменению интенсивности излучения внутри резона-
тора вдоль длины активного элемента. Найдем отношение интен-
сивности в средней точке к интенсивности на зеркалах как функ-
л,кю коэффициента отражения зеркала для случая симметричного
резонатора, в котором гх = г.. — г и г = 1 — а — /. Поскольку
резонатор симметричен., то fig — рь $t = fi2 и из (8-41) следует,
что р2 = с% = с/р,.

200 ГЛ. 8. УСИЛЕНИЕ II ЭФФЕКТЫ НАСЫЩЕНИЯ
Интегрируя (8.43) от 0 до Ы2, мы получаем
ft.L'2 = In (р+/рж) + (Р+ ~ с'р+) + р\ - pt.
В точке L '2 потоки в обоих направлениях имеют одну и ту
величину, в связи с чем
Р+ - р_ = с/р+.
Это приводит к соотношению
goL!2 = In (p+/p,) + р,
(8.54)
(8.55)
20 4U SO 83 700 №
Ненасыщенное у сале ние, J5
40
Рис. 8.5. Оптимальный иоэффнциепт пропускания fom-, соответствующий
максимальной выходной мощности генератора, пак функция коэффициента
потерь а и ненасыщенного усиления 4,343 gof. [5 ]. Сплошные линии пред-
ставляют собой точные решения, штриховые — приближенный, вариант.
Для данного рассматриваемого случая (8.44) имеет вид
goL - In (pYp\) -f 2ф2 - p,). (8.56)
Комбинируя (8.55) и (8.56), имеем , , , н;ч, -,
inCP+zpO = 1,й1в(Р/р1) = 1а г. (8.57)

§ 5. НАСЫЩЕНИЕ В ЛАЗЕРАХ С БОЛЬШИМ УСИЛЕНИЕМ
201
Из уравнений (8.44) и (8-57) находим
р_ *= р* = (fcpJV».
Обращаясь к рис. 8.4 и вспоминая, что мы рассматриваем сим-
метричный случай, когда E4 = р% и р3 — Pi) получаем, что отно-
шение суммарной по двум направлениям интенсивности в точке
z = L 2 к интенсивности в z = 0 или z = L равно
(PiP2I/2 2г
1/2
to г
(8.58)
Иа рис. 8.6 приведена зависимость отношения 2r1'3,(\ -f /¦} от г.
Изменение интенсивности
вдоль оси сопровождается
изменением насыщенного ко- §
эффициента усиления. От-
ношение его величины в точ-
ке L'2 к величине в точке О
или L определяется соотно-
шением
' + Р2
(8.59)
0,8 1,0
Коэффициент отражения г
Рис. 8.6. Отношение плотности потока
в средней плоскости (з — LI2) к плот-
ности на границах (г — О, L) для
лазера с однородно уширенной линией
как функция коэффициента отражения
зеркала [5].
5.1. Влияние насыщения
усиления иа моды. Боль-
шинство исследований про-
цесса формирования мод в
оптических резонаторах бы-
ло проведено при упрощаю-
щем предположении, что
резонатор является пассив-
ным. В этом случае высшие моды устойчивых резонаторов,
составленных из вогнутых сферических зеркал, имеют более
значительные потери. Однако, когда присутствует активная
среда, обладающая усилением», моды высшего порядка ие
обязательно должны характеризоваться самыми большими по-
терями, поскольку установление типа колебаний теперь зависит
or способности атомов усиливать излучение. Для атомов в цент-
ральной области все моды являются конкурирующими, но по-
скольку моды более высокого порядка занимают большие объемы
в активной среде, они имеют возможность получать энергию
от тех aroAioBj которые не доступны для мод более низкого по-

2П2 ГЛ 8 >СИЛСНШ. И ЭФФГКТЫ НЛ.СЫЩГШ1Я
рядка, и, таким образом, даже могут стать доминирующими *).
Пространственной ьросс-релаксациеи поперек оси лазера обычно
можно пренеброчь, так как перед тем, как спонтанно ипучшь,
аю« проходит расстояние vt (— 1U1* >¦' 1(Н* см) В работе К>|
экспериментально найдено, что в почти ьопфоьальпы^ резона-
торах мода самого высокого порядка, существование которой
только доп^сьают апертх рм, обычно является доминирующей.
Вычисления» проведенные в [7], также подтвердит этот
рез> тьтаг
Теория пассивного резонатора применима к расчету порою-
вых условии генерации лазера. Выше же порога важное значение
приобретают такие параметры, как относит ел ьное усиление и по-
тери и модах, насыщение усиления и изменение показа 1еля пре-
ломления с мощностью Кстн линия перехода уширена однородно*
то дисперсия насыщавши так же, как и усшение Однако, эют
эффект является слабым, посьолъку максима 1ьное запаздывание
фазы дтя лоренцевской линии равно 3,3 градуса на децибе п
усиления [71, причем это значение представляет собой макси-
мальное изменение фачы при по шом насыщении. Если линий
перехода уширена неоднородно, то аффекты насыщения не при-
водят к изменениям диллектрическои постоянной (показатет
прелом гения) в первом порядке. Па основании изложенною в
дальнейшем мы будем касаться только вопроса об изменения*
усиления вследствие неоднородного насыщения и влияния lit
на формирование мод.
Одной из первых проб ieu, возникающих при расчете форми-
рования моды в резонаюре с аьгивнои средой, усиление которой
обладает способностью насыщаться, являегся нелинейность эти
среды Для определения тля на поверхности зеркала в случаэ
пассивного резонатора можно применить формулировку Фре-
неля — Кярхтоффа принципа Гюйгенса Однаьо, мы не получит
pea ibiioro поля на зеркале. Чтобы рассчтать это реальное по ie(
мы дотжны учесть вклады в излучение от всех элементов объема
активного вещества между зеркалами. Эга сложная проблема
не поддается решению, поэтому авторы 17], сделав те же самые
предположения, что и авторы работы [8], рассмотрели задачу*
в которой ак!явное вещество сконцентрировано в дв> к бесконеч-
но топких сюях, располо/ьенпых вблизи поверхностей зеркал.
Получающееся при атом интегральное уравнение не допускает
разделения переменных х и у (гл б, §§ 1, 2), поскольку в любой
*) В с~1>чае реюнаторов с вогнутыми зеркачамк, в ьогорых частоты
поперечных мо i разнесены до во [ьно широко, моды не являются ьонку-
рнр^ющимк д,1я о (них и тех же атомов В плоскопараллтыюч раюнаторе
частоты поперечных мод леа^ат близко друг к Друг> ц конкурируют между
собой дтя одшк и тех же атомов В ре*ультате поперечны? моды nmuieiu
порядка станоиятся преооладающпмн, not польку их потер» мщмно.

§ 6 ВЫХОДНАЯ МОЩНОСТЬ 203
точке насыщение усичспия определяется полным полем излу-
чения, которое взаимодействует с атомами среды. Координаты
х и у «завнзыванлся» атомами. Авторы 18] разделили интеграль-
ное уравнение на два независимых уравнения для случая круг-
лых зеркал и мод, имеющих круговую симметрию распределений
интенсивности, введя цилиндрические координаты Для решения
полученных интегральных уравнений они воспользовались своим
методом последовательных приближений.
Результаты [7] заключаются в том, что как для однородно,
так и для неоднородно уширенной линии распределение ампли-
туды поля по зеркалу, дифракционные иотерп ц набег фазы при
одном проходе существенно не меняются иод действием насы
тени я Распределение фазы на зеркалах изменяется незначитель-
но Таким образом, для генераторов с малым усилением все
предыдущие результаты вычислений, относящихся к случаю пас-
сивны v резонаторов (содержащих линейную среду), остаются
в силе
§ 6. Выходная мощность
Вопросы, которые следует рассиотреть в связи с расчетом
выходной мощности газового лазера, это — доплеровская ши-
рина линии, уширенпе «естественной» линия под влиянием дав-
ления, эффекты насыщении усиления, потери в резонаторе и воп-
рос выведения излучения из него. Начнем с уравнения (8.22):
+ 00
_«__?__ _о_ С ехр (
Qa) dQ
Иигеграл в правой частя равен
а ехр (— Q2) dQ
яВец?((» + »О), (8.61)
где Re w(z)— действительная часть функции ошибок от ком-
плексного аргумента: w(z) = [1 + Erf(tz)!cxp (—г2).
Ил основании (8 ?>0) и (8.61) после подстановки величин из
гл 8, § 3 мы находим *)
(8.62)
*) Величина Дгд = BkTlm№I/2 использовалась в работе [9]; здесь
мы по-1ьзуемся величииои Дуд = 2(in 2I/2{2kTJmX2I/2. Величина
= 2V' [9].

204 ГЛ. 8. УСИЛЕНИЕ И ЭФФЕКТЫ НАСЫЩЕНИЯ
Для лазера длиной L усиление за один проход при малых
уровнях усиления равно gL. Ненасыщенное усиление есть уси-
ление при нулевой интенсивности, а максимум От имеет место
при v = v0. Следовательно, из (8.62) мы получаем
Gm =* g0L Re w [0 + i (In 2) Дуест/Дуд], (8.63)
что дает максимальную величину ненасыщенного усиления при
одном проходе.
Генерация в лазере устанавливается на уровне интенсивно*
сти It, при котором усиление равно потерям. Так же, как и в ра-
боте [9], мы введем здесь параметр возбуждения i}, который
представляет собой отношение максимального ненасыщенного
усиления (8.03) к полным потерям за один проход. Поскольку
усиление при насыщении равно потерям, то, предполагая, чго
величина g(v) постоянна по сечению газоразрядной трубки лазо-
ра, мы можем mumcaib
Reu'[Q-b.-(b2I/2M-pcT/Avff]
2{In2I/2, ~~ <(l.i2)^2Avp
(8.64)
Автор [9] применил соотноптение (8.fi4) для описания одномодово-
го и мпогомодового режимов. Мы рассмотрим здесь случаи одной
моды.
6.1. Одномодовый режим. Па центральной частоте генерации
v = v0 излучение, распространяющееся в каждом направлении
лазерного резонатора, взаимодействует с одной и той же группой
атомов и полная интенсивность равна 21. Из (8.0Л) следует,, что
1 '•> ±Ч»*"^1 ^'
На рис. 8.7 приведена зависимость отношения IJIq при v — уй
от 1] для различны* величин Д\есТ полной ширины естественной
линии, уширенной за счет столкновений, на половине максималь-
ного значения. Видно, что AvP0T оказывает весьма заметное влия-
иие на прннеденную интенсивность 1^1п. Используемая в рас-
четах доплеровская ширина соответствует температурам в ин-
тервале 300—500 К [9] и дается формулой Дуд = {2кТ'тХ2I!1.
Автор [9] проверил изложенную выше теорию на опыте. Он иа-
шел величину 1] из экспериментально измеренной пороговой
частоты vnop с помощью (8.64) при 1к = 0. Определив таким

ч§ 6 ВЫХОДНАЯ МОЩНОСТЬ
205
т?
23
24
20
rs
8
\
—Ц 1 г г-
режим /
1
~ / /
1//у/,
48 J
/ /38 "
/ Am
/f'^ 240 МГц ~
-
__1
J 2 J 8 8 13 Л
Рис. 8.7. Теоретические кривые приведенной интенсивности Ijl^ иллучения
одпомодовою лазера как функции параметра возбуждения г| для различных
величии шпршил линии у' = Д\'ест/2 [9].
!
Труэт W7J j
Шагомодовый, I
_ ^ 1
/ '
//
V i
oo /
V
/
7
режим
i
Рис 88 Результаты экспериментальных пзмерспий f9l интенсивности ла-
8f|Jiioio излучения как ф^пщни параметра возбуждения Т| для определен-
ной ritjopthipmuon трубки в одпомодовом а многомодовом режиме. Сплош-
ндя линия — теоретическая кривая для Д?ест = 13 Г

206 ГЛ. 8. УСИЛЕНИЕ И ЭФФЕКТЫ НАСВДЦЬНИЯ
способом % он измерил интенсивность 1\ на чистоте v = v0 как
функцию ц. Эти величины интенсивности были затем пронорми-
рованы путем деления на параметр насыщения /0 (равный, в соот-
ветствии с результатами эксперимента, 7,5 Вт'см'2). На рис. 8.8
показано отношение Д /0 как функция т]. Сплошная кривая —
ото график уравнения (8.Н5) для Avpc.T = 180 МГц. Величины /п
и AvfCT были определена в предыдущих экспериментах 110].
6.2. Пропускание зеркал и оптимизация мощности. Усиление
в лазере определяется процессами вынужденного испускания
и активной среде резонатора, а поскольку это испускание, в свою
очередь, зависит от плотности энергии (или интенсивности) поля
излучения в резонаторе, усиление также является функцией
плотности энергии. Таким образом, мощность, выводимая из
резонатора, влиЯет иа условия усиления. В этой связи и возни-
кает вопрос об оптимизации.
Выражение для коэффициента усиления в однородно уширен-
ной линии есть (см. формулу (8.10))
ГДС ёа — коэффициент ненасыщенного усиления, а /0 — параметр
насыщении, равный значению плотности мощности, при котором
коэффициент усиления падает до величины gn!2. Проблема оп-
тимизации изучалась в статье [И ].
Рассмотрим лазер, длина активной среды которого равна /,
а пропускание его зеркал и потери составляют (,, t2, а, н а2 соот-
ветственно. Кроме потерь в зеркалах, существуют также потери
при рассеянии, долю которых на единицу длины в среде мы обоз-
начим через р. Таким образом, усиление есть g' = g — р. В ста-
ционарном состоянии интенсивность получения в резонаторе не
изменяется после одного замкнутого цикла проходов в нем. Если
интенсивность перед началом цикла есть /, то в конце его мы
имеем
/exp [l(g - рIA - t, - а,) ехр [l(g - рIA - t% - а2) = I.
В первом порядке при а = g^ + а, + 21$ и t — ?t + Ь% находим
• A _ а — t) exp B/?/) - 1. (8.67)
Выходная мощность Р пропорциональна коэффициенту пропуска-
ния и плотности энергии в резонаторе
Р - clt (8.№)
где с — коэффициент пропорциональности. Комбинируя (8.06)
и (8.67) н разрешая полученное уравнение относительно /, по-
лучаем
/ = -70[1 + 2lgJ\n A-t- a)]. (8.69)

Рис. 8.9. Оптимальный
ыиффнциснт пропуска-
ния как функция '±lga
для нескольких величии
потерь а [11].
Рис. 8.10. Выходная
мощность как функция
оптимального коэффи-
циента пропускания для
нескольких величин ии-
терь а II П.
§ А выходная мощность
Рис. 8.11. Выходная
мощность как функции
оптимального ко,*ффи-
цнеита пропускания для
нескольких величин
2lga Ш1

208 ГЛ. 8. УСИЛЕНИЕ Н ЭФФЕКТЫ НАСЫЩЕНИЯ
Подставляя последнее выражение в (8.68), можно затем оп-
ределить максимальную величину Р по t, откуда получаем
Здесь через tm обозначено значение t, для которого выходная
мощность максимальна. Рис. 8.9 показывает величину 2/g0 как
функцию tm для нескольких значений а, а иа рис. 8.10 и 8.11
приведены зависимости мощности Р от tm для типичных величин
2lg0 п а соответственно. Системы, к которым наиболее применим
проведенный выше апализ,— это установки с большим усилением
и высокой выходной мощностью, такие, как СО2-лазер. Резуль-
таты, полученные иа таких cucTeMaXj обсуждаются в [11].
§ 7. Эффекты «выгорания дыр»
Инверсную населенность можно описать, задав ее простран-
ственное распределение, распределение скоростей, ориентацию
ее элементов по отношению к данному направлению (в качестве
которого обычно выбирают направление поляризации поля излу-
чения), пли посредством некоторых других характеристик. Тер-
мин «выгорание дыр» употребляют для описания селективного
обеднения населенности. Подобный процесс может, например,
вызвать обеднение населенности атомов со скоростями в интервале
между v и v + do [12, 13]. В другом случае этот эффект обуслов-
ливает выведение атомов из определенного энергетического сос-
тояния в пределах уровня и так далее. Чтобы зарегистрировать
выгорание дыр, необходимо иметь возмолшость отождествлять
атомы, излучающие в данном частотном интервале. Это означает,
что процесс обмена энергией, происходящего между ними (кросс-
релаксациониые процессы), должен длиться во времени больше,
чем излучательные времена жизни для вынужденного испуска-
ния. Если скорости процессов соударения (например) больше,,
чем скорость вынужденного излучения, выжечь дыру в частотном
распределении инверсной населенности невозможно. Выгорание
дыр происходит, главным образом, в неоднородно уширенных
линиях. В газовых генераторах или усилителях кросс-релакса-
ция в пределах однородной линии идет медленнее, чем излучатель-
ные процессы. В твердотельных системах (например в неодимо-
вом стекле) линия люминесценции неоднородно уширена благода-
ря взаимодействию с полями ионов и кросс-релаксационные
процессы протекают быстро.
Выгорание дыр под действием вынужденного испускания про-
исходит на частотах, близких к частотам осцилляции мод, а глу-
бина и ширина дыр зависят от мощности в люде и от естественной

§ 7. ЭФФЕКТЫ «ВЫГОРАНИЯ ДЫР»
209
ширины линии рассматриваемого перехода. Типичная ширина
л еж и г в пределах 3—30 ЦГц. Существенным является то обсто-
ятельство, что в стационарном состоянии усиление равпо поте-
рям, т. е. g(y) = а. Это и обусловливает выгорание дыр в не-
однородно уширенных линиях переходом. Если ненасыщенный
коэффициент усиления есть g0, то глубина дыры в контуре уси-
ления равна go(v) — а- Когда линия уширена неоднородно, а ес-
тественная ширина линии меньше, чем частотный интервал между
модами резонатора, атомы, передающие запасенную энергию
в колебания данной моды, ие могут взаимодействовать с полем
излучения атомов, которые дают вклад в другую моду. Таким
образом, лазер может генерировать одновременно п независимо
на нескольких модах, число которых зависит от условий усиления
для каждой из инх. Вследствие выгорания дыр используется
только часть запасаемой в системе энергии. В случае однородно
уширенной линии (как, например, в рубине при комнатной тем-
пературе) усиление в различных областях линии обеспечивается
одними и теми же атомами. Поэтому снятие возбуждения в атомах
под действием вынуждеппого испускания снижает и число воз-
бужденных атомов, создающих усиление на других частотах.
В результате этого происходит равномерное насыщение усиления
Усиление ¦
Усиление
Парсг
Частота,
а)
Частота,
Ф
Рис. 8.12. Влияние генерации лазера (вынужденного испускания) на кон-
Tjp линии, обусловленный процессами неоднородного уширения (а), и па
контур, соответствующий процессам однородного уширения (б).
по всей населенности, обусловливающей профиль линии. И когда
одна мода начинает возбуждаться, она обедняет сразу всю насе-
ленность, препятствуя тем самым возникновению других мод.
Рис. 8.12, а и 8.12, б иллюстрируют влияние вынужденного ис-
пускания на контуры линий, обусловленные процессами соот-
ветственно неоднородного и однородного уширення.
14 а. Майтлэнд. М. Данн

210 ГЛ 8 УСИЛЕНИЕ И ЭФФЕКТЫ НАСЙЩГ.НИЯ
7.1, Ширина дыры. Ширила дыры, выжжепной в контуре
усиления неоднородно уширенной лилии, раина ширине спект-
ральной облает, в которой а гоми взаимодействуют с полей
излучетшя лазера интенсивностью /. Так как именно и этой области
атомы и обеспечивают усиление в системе па рассматриваемой
отрезке длин волн, то мы можем получить ширину дыры, ны-
чнелиа усиление. Возвратился к соотношению (8.4) и уясни»
ситуацию, которую опо огран.аег. Перепишем это соотношение:
dl dv А = {В'32п3А dz hvldv — В'2%п2А dz hvldv)/&n.
Его можно привести к виду
-Г7Г = ?№^-^п3). (8.71)
После алгебраических преобразований и использования подста-
новок (8.0) — (8.8) и (8.17) для коэффициента усиления находим
(8.72)
Ото выражение дает усиление иа частоте v. Максимальной вели-
чине усиления gIMnx соответствует v = v', где v' фиксирована
условиями резонанса в резонаторе и любым присутствующий
затягиванием мод. Частоту, иа которой усиление равно gmav /2,
легко получить из (8.72). Если Д\'д,— полная ширина на поло-
вине максимального значения, то мы окончательно имеем
Дуд = AveiT(l + IlhY11- (8.73)
На пороге генерации ширина дыры есть просто естественная
ширина линии (при этом может иметь место некоторое уширен но
за счет соударений). При возрастании интенсивности поля из-
лучения лазера ширина дыры уменьшается. Межмодовый частот-
ный ин!ервал дается формулой Ду = c/2d D.1). Для того чтобы
достичь максимального уровня выходной мощности, когда одно-
временно излучается несколько продольных мод, необходимо
убедиться, что дыры перекрываются. Условием этого является
равенство Av = Дуд, откуда
c/2d = ДуРСТ A + IIIoytK (8.74)
Например, если ///0 = 8 a AvWT =* iO8 Гц, то длипа лазера(
при которой дыры перекрываются, равна 50 см.

. § 7 ЭФФЕКТЫ «ВЫГОРАНИЯ ДЫР» 211
7.2. Влияние вырождения мод на выходною мощность га-
зового лазера. При опреде lemibiv конфигурациях резонатора
резонансные частоты некоторых «од совпадаю!, т. е. они являются
вырожденными по частоте. Лазер с большим усилением активной
среды обычно 1енерируег на многих модах, продольных и noire-
речных, лежащих внутри профиля линии, коюрая соответствует,
лазерному переходу. Если уширение линии дотеровское, каж-
дая возбуждающаяся мода насыщает усиление и выжшает дыру
в контуре. Когда ширина дыры бочьше, чем удаление мод друг
от друга, вся линия выше порога насыщается, т. е. профиль вы-
жигается целиком. Выходная мощность при этом достигает мак-
симума, поскольку агомы во всей области контура усиления,
соответствующей превышению пороги, оiдают свою энергию в по-
ле излучения. Однако, если ме^модонып интервал больше ши-
рины дыры, что возможно, когда большинство мод вырождено, то
участки контура между модами не являются насыщенными.
И связи с этим атомы, которым принадлежат указанные интер-
валы контура усиления, не в состоянии взаимодеиствовать с но-
лем излучения, и выходная мощность для данного числа мод
ишжается. Ого явление изучалось в работе [14]. Кроме снижения
выходной мощности, оно характеризуется неустойчивостями, свя-
занными с конкуренцией между вырожденными по частоте модами
внутри каждой группы.
На рис. 8.13 приведен частотный профить лсиленин для не-
однородно уширенной линин и спектр мод имеете с изображе-
ниями каждой моды, отражающейся на центре линии {12, 13),
для дв^\ случаев: вырожденного распо южения мод, соответ-
ствующе! о снижению выходной мощности (я) и произвольного
расположения, соответствующего максимальной выходной мощ-
ности (б). Чтобы с уверенностью использовать всю верхнюю часть
доплеровского контура усиления, частотный интервал между
аксиальными модами c!2d путем простою уве шчения длины
резонатора можно уменьшать до тех пор, пока он не сравняется
с шириной дыры. В этом случае инверсная населенность снижает-
ся во всем диапазоне возбуждающихся частот.
Условие вырождения можно получить из рассмотрения не-
которых продольных мод внутри поперечных мод низшею поряд-
ка Привлечем резонансное условие 115)
X" = Я + 4-*1 + т + и) «ccoste.ftI'2. (8-75)
Уравнение (8.75) относится к ТЕМтп(/-чоде. Та же самая величина
отношения 2d X соответствует и ТЕМ , ,-моде, так что
? + 4-(i i- т -Н гс) arccos ('/2
|4*
- д' + ~ A -+• т' + "') arccos

212
ГЛ. 8. УСИЛЕНИЕ И ЭФФЕКТЫ НАСЫЩЕНИЯ
Пять
_L
Шесть nmepevwx
а)
Шесть поперечны*
9
Рис. 8.13. Частотный профиль усиления, спектры ягод п отображений, об-
ра-юяатщые пятью продольными порядками шести ноперсчпыл мод: а)
случай вырождения, соотвгтетвующпн наличию провалов; б) произвольные
межмочовые интервалы, сооизстстеующпе максимальной выходной мощно-
сти 1П].

\
§ 7. ЭФФЕКТЫ «ВЫГОРАНИЯ ДЫР»
213
Положим q — q' *= nh a (mf + «') — (m + п) = л,, где я, и л,—
целые числа. Условие вырождения получаем в виде
* = «i/n(. (8.76)
Если желательно получить максимальную выходную мощность,
го выполненнн этого условия следует набегать.
Рис. 8.И. Конфигурации резонаторов, соответствующие вырождеиню мод
(загнтрихованы области высоких потерь) [14].
Па рис. 8.14 приведена диаграмма устойчивости, построенная
в координатах glt g2. На ней указаны конфигурации резонаторов,
для которых проявляется вырождение мод. Если изменять рас-
стояние между двумя зеркалами paimoro радиуса кривизны, то на
килграмме устопчиносги это будет соответстиовать перемещению
кдоль линии gt = g->. Провалы в выходной мощности мпогомодо-
вого лазера возникают в местах пересечения этой линии с гипер-
болами. Результаты экспериментальной проверки, предпринятой
авторами 1141, даны на рис- 8.15, Использовались зеркала, одно
из которых- было плоским, а радиус кривизны второго составлял
2П0 см. Теория подтверждается также опытами, в которых для
контролирования числа возбуждающихся понеречных мод при-
менялись диафрагмы (рис. 8.10).

/
ГЛ. 8. УСИЛЕНИЕ Н ЭФФЕКТЫ НАСЫЩЕНИЯ
128 130 Щ 750 16S 770 180
Расстояние между зеркалами, см
Ш 2/0
Рис. 8.15. Выходная мощность в зависимости от расстояния между зеркала-
ми. Стрелками обозначены расчетные положения провалов [14J.
185 130 195 200 205 210 215
Расстояние между зеркалами, см
Рид. 8 16. Влияние диафрагм в конфокальном резонаторе, образованной
двухметровыми зеркалами, на форму провала. Внутренний диаметр Tpj.V
ки лазера составлял 0 мм. Стрелка указывает расчетное положение —"¦
лов [14 J.

§ 8. НАСЫЩЕНИЕ В УСИЛИТЕЛЯХ ПРИ ВЫГОРАНИИ ДЫР
215
7.3. Выгорание дыр и лэмбовский провал. В газоразрядном
лазере уширение линии обусловлено эффектом Доплера и явля-
ется неоднородным. Поэтому вклад в энергию колебаний резона-
тора дают только ато\ш с такими скоростями, при которых испус-
каемое ими вынужденное излучение подчиняется условиям резо-
нанса. Поскольку колебаниям соответствуют волны, движущие-
ся в обоих направлениях вдоль оси ла-
зера, вклад в излучение на данной ча-
стоте могут давать атомы с двумя со-
ставляющими скорости: +i> н — v. Та-
ким образом, каждый тип колебаний
обедняет населенности двух групп ато-
мов — одной группы со скоростью +i;
и другой — со скоростью —v. В случае
уеркал с одинаковыми коэффициентами
отражения это приводит к выгоранию
дыр в контуре усиления, расположение
которых симметрично относительно
центра (рис. 8.J7).
Рис. 8.17. Симметричное
выгорание дыр в контуре
усиления.
Для всех резонансных частот при превышении порога каждой
частоте соответствуют две дыры, за исключением случая, когда
частота совпадает с центральной. При этом, разумеется, возникает
только одна дыра. Выходная мощность пропорциональна полной
населенности, обусловливающей вклад энергии в поле излучения.
Площадь дыры на кривой усиления есть мера соответствующей на-
селенности, а ее ширина вблизи порога почти не зависит от мощ-
ности. В окрестности центра контура усиления две дыры начина-
ли перекрываться и, таким образом, приводят к возникновению
провала в выходной мощности лазера. Таково качественное объяс-
пение лэмбовского провала (гл. 9). Провал расположен в центра
линии и может использоватьси в методе стабилизации мод [161 *).
§ 8. Насыщение в усилителях при наличии выгорания дыр
и к росс-релаксации
Как было отмечено во введении к этой главе, мы имеем дело с
тремя типами липин — линией усиливаемого излучения (сигнала),
активного вещества (усилителя) и линией отдельных атомов уси-
лителя. Строгое рассмотрение насыщения усиления в усилителях
1! присутствии выгорания дыр и кросс-релаксации проведено в ра-
боте [171, результаты которой мы изложим ниже.
*) Использованию лэмбовского провала для стабилизации частоты
латера посвящены работы [20—241. В статьях [25, 26| изучается вопрос
о смещении и флуктуация* центральной частоты (прим, ред.).

216 ГЛ. 8. УСИЛЕНИЕ И ЭФФЕКТЫ НАСЫЩЕНИЯ
Рассмотрим усилитель с неоднородно уширенной лпндей актив-
ной среды, обладающий цилиндрической симметрией относитель-
но оси z и равномерным распределением усиления по радиусу.
Число фотонов в усилителе, проходящих через единичную пло-
щадку плоскости 2 в секунду на единичный частотный интервал,
есть ^(v). Пусть инверсная населенность в усилителе на единицу
объема в единичном частотном интервале равна tt(v). В отсутствие
обратной свнзи и в пренебрежении потерями за счет рассеяния и
поглощения условия усиления описываются соотношением
¦ , 0
где с — скорость света в усилителе, <j(v, v') — поперечное сече-
ние вынужденного испускания для атомной линии с центром на
частоте v\ a v — частота вынужденного излучения. Атомная ли-
ния узка по сравнению с неоднородно уширенной линией среды,
поэтому можно предположить, что она представляет собой мини-
мальный частотный интервал, в котором кросс-релаксационные
процессы протекают бесконечно быстро (это и есть ширина дырыя
рассмотренная в п. 7.1).
Допустим, чго мы имеем четырехуровневую систему, в кото-
рой конечный уровень опустошается мгновенно. Скорость изме-
нения инверсной населенности дается формулой
со
?0М = —n(v)\o (v, v') 3 (v') dv' — An (v) +
о
+ W [Nog (v, va) - n (v)] + F \g (v, va) J n (V) dv' - n (v)
L о
. (8.78)
Первый член в правой части описывает потери вследствие вынуж-
денного испускания, а второй — вследствие спонтанного- В треть-
ем члене Лга— это полная плотяоеть частиц, а распределение
g(v, v,)), имеющее центральную частоту va и нормированное на
единицу, есть доля частиц, подвергающихся действию накачки.
Таким образом, число накачанных частиц равно jV0#(v, Va) — re(v).
Скорость накачки W имеет ту же размерность, что и эйнштейнов-
ский коэффициент А и коэффициент F, входящий в последний член
и дающий спорость кросс-релаксации. Полное число инвертирован-
ных атомов в единице объема есть
N = \ n(v)dv.

§ 8 НАСЫЩЕНИЕ В УСИЛИТЕЛЯХ ПРИ ВЫГОРАНИИ ДЫР 217
В стационарном состоянии (8.77) приобретает вид
д& {x)ldz = 3 (v) f a (v, v') n (vf) dvr. (8.79)
it
Производя интегрирование по частоте, мы получаем
со Гэо "I
d&fdz = f Sf (v) j a (v. v') n (v') dv' dvt (8.80)
00
где & = \ ^ (v) dv — поток в любой точке 2 на оси усилителя.
о
Лспоминая, что выражение в квадратных скобках относится к
вынужденному испусканию в пределах контура атомной линии и
что ^(v) есть усиливаемый сигнал, рассмотрим случай, когда
Avc <g_ Avtt (рис. 8.18). В этом случае величина в квадратных
линия
Гаушвмш праф&
Лорещеввкай профиль
/1лос/гш спето
Г
I Линия иона
Л0р?#4<?#мип пря/
Плоский еттр
Рис. 8.18. Спектры неоднородно уширегшой линии, линия иона и входной
сигнал [17J.
скобках измеияетсн значительно медленнее с v, чемУ^). В связи
с этим ее можно аппроксимировать константой и вынести за знак
интеграла:
= & [ о (vc, v') n (v') dv't
(8.81)

218 ГЛ. 8. УСИЛЕНИЕ И ЭФФЕКТЫ НАСЫЩСНИЯ
где vc — центральная частота сигнала. Аналогично находим
о (v, v') 3 (V) (IV = о (v, vc) 3, (8.82)
с
так что в стационарном состоянии интегрирование (8.78) по часто-
те v' дает
О " - n (v) a (vt vc) 2f - {А + TV) n (v) + WN,t (v, vB) +
+ fU(v,\d)'V-»(v)). (8.83)
Интегрируя но v, нол>чаеч
0 = — f n (v) о (v, vc) ^rfv — J (Л + Й ) n (v) dv +
t) 0
^b WN0 f g (v, va) rfv + F j [^ (v, Va) N - и (%)] «?v.
(I 0
oo
Вспоминая, что \g(\\ va) = 1, и пользуясь формулой (8.81),
с
окончательно приходим к соотношению
JV= (Н'Л'О — йЗЩ1А\ (8.84)
тде Л' = А -\- W. Подстановка этой величины .V в (8.83) приводит
к формуле
~Т~~ .г (.44- л "Зг" ff(v*v«)
n (v) - -1 ——1—
Подставляя, в свою очередь, последнее выражение в (8.81), на-
ходим
F
A' "A'iA'^-t) d\
Теперь мы имеем возможность исследовать насыщение усиления
ь системах с различными профилями g(v, vA) и a(v, vt). Рассмотрим,
следля [17], неоднородные линии различной формы (постоянная
А определяется иэ условия нормировки функции g(Vj va) на
единицу):

§8 И ХСЫЩЕНКЕ В УСИЛИТЕЛЯХ ПРИ ВЫГОРАНИИ ДЫР 2(9
гауссовская форма
где к = Dл In 2I,Vn;
лоренцевская форма
-41п2(^2-| L (8.87)
где /г = 2'л;
плоский спектр
?К va) = A-, Avd для (v4 — Avd/2) < v < (va + Av/2),
(8.89)
где к = 1.
Рассмотрим также следующие распределения для отдельных
атомов:
лоренцевское
tf(v, vM) = aj{i + 4[{v - vJ'AvJ2}; C.90)
плоский спектр
a(v, ve) = а, для (vn - AvH/2) < v < (va + AvH/2). (8.9i)
Результаты для плоского спектра оказываются весьма полезными
при изучении ряда предельных случаев.
Когда а томная линия имеет лореицевскую формуг интеграл
в выражении (8.80) равен
?(va, ^)(n/2)aaAvJ[\ + оАЗП{А' + F)]1/* (8.92)
для случая, когда vc ж v, и Avr < Av,,. Из анализа формул
(8.87), (8.88) и (8.89) следует, что значение функции g(vt va), вхо-
дящей в (8.86), 1аково:
ff(vJt v,,) = A-/Ava. (8.93)
Используй (8.93) и величину интеграла (8.92), из (8.8G) находим
Определим теперь поперечное сечение вынужденного испускания
для усилителя Oj как
(8.05)

220 ГЛ. 8. УСИЛЕНИЕ И ЭФФЕКТЫ НАСЫЩЕНИЯ
Для слабых сигналов {Э -*- 0) и для сечения аа, определенного
формулой (8.95), уравнение (8.94) приобретает вид
{\l&)d&ldz = WN0oJA'. (8.96>
Это уравнение можно теперь проинтегрировать по длине усили-
теля. Получаем
1п 3В1Л% - In ^„ = WN0oJIA'. (8.97)
Мы можем также ввести следующее определение усиления Gz3
для слабого сигнала в стационарном состоянии:
1пСи= WN0oJIA'. (8.98)
Определим и две другие необходимые величины, а именно
А -\- F ' A Ava v
Параметр / называется коэффициентом кросс-релаксации для узкой
полосы. В этих обозначениях (8.94) можно переписать как
Уравнение, описывающее насыщение усиления для лоренцевской
линии, можно найти из (8.J00) интегрированием по длине усили-
теля. Его окончательный вид таков:
V/2 ± i —
fef , (8.101)
— безразмерное усиление в стационарном состоянии для
входного сигналами, а & § — безразмерный входной сигнал. Это
уравнение можно решить численно. На рис. 8.19 показаны реше-
ния (8.101) с коэффициентом узкополоснон кросс-релаксации /
в качестве параметра. Предельному случаю отсутствия кросс-ре-
лаксации соответствует / -*- 0, дли бесконечно быстрой кросс-рс-
лаксацип f-^-oo.
Уравнения можно легко распространить на случай, когда и
неоднородная линии, и атомные линии представляют собой пло-
ский спектр. На рис. 8.20 приведены их решения с коэффициен-
том / в качестве параметра. Сопоставление рисунков 8.19 и 8.20
показывает, что форма атомной линии играет очень важную рольа
когда кросс-релаксация происходит медленно (/< 1).

8. НАСЫЩЕНИЕ В УСИЛИТЕЛЯХ ПРИ ВЫГОРАНИИ ДЫР
221
В 0,4 0,8
безразмерный входной поток,
Рис. 8.19. Решения уравнения (8.101) для насыщения усиления с коэф-
фициентом узкополосной к росс-релаксации / в качестве параметра A7].
Линия иона имеет лоренцевскую форму, а неоднородная — гауссовскуИ).
О 0,4 0,8
безразмерный зхо0?/ой потек,
Рис. 8.20. Решения для случая, когда и неоднородная линия, и атомные ли-
нии имеют вид плоского спектра [17]. Коэффициент кросс-релаксацив /
является параметром <j'a = AouM'jiMva.

¦222 ГЛ 8 УСИЛЕНИЕ И ЭФФЕКТЫ НАСЫЩЕНИЯ •*
§ 9. Затягивание мод ¦ • ' -*.'
Основываясь на работах [12,131, мы рассмотрим здесь затягива-
ние мод в резонаторе произвольной геометрии. Мы пренебрежем
эффектами взаимодействия между одновременно осциллирующи-
ми модами, которые обусловлены нелинейности ми среды. Фазовый
сдвпг в волне, распространяющейся от одного зеркала к другому,
ранен
Ф = at = 2лл-6ц./с, (8.102)
где р, — показатель преломления в среде, заполняющей резона-
тор, Ь — длина резонатора, v — резонансная частота и с — фазо-
вая скорость, которая может варьироваться в зависимости от
геометрии резонатора. Пашей целью является исследование влия-
ния среды н усиления в neii на резонансную частоту.
Изменение фазового сдвига с частотой, или дисперсия резона-
тора, вычисляется по формуле
ду'дч = 2лЬц./<\ ' ' ч (8.103)
Когда резонатор является пассивным (и и. = 1), он возбуждается
на частоте va. Из D.15) следует, что
Ava = ca!2nb, (8.104)
где Дл'„ есть полная ширина резонанспой характеристики* пассив-
ного резонатора на уровне половины максимальной интенсивности.
Таким образом^
dqt/dv =: a/Avn. \ (8.105)
Введение усиливающей среды приводит к изменению показате-
ля преломления, а следовательно, и длины оптического пути, так
что система начинает генерировать на другой частоте va. Под влия-
нием этого мода, осциллировавшая в пассивном резонаторе на
частоте vn, изменяет частоту на va для активного. Изменение по-
казателя преломления частично вызвано наличием певозбужден-
ных частиц в среде, частично — присутствием возбужденных.
На частотах, близких к частоте лазерного или прочих перехо-
дов, возникает аномальная дисперсия. На других переходах сре-
да поглощает, в то время как яа лазерном она обладает усилением
(отрицательным поглощением). Профили поглощения и усиления,
а также крниые связанной с ними аномальпоп дисперсии показа-
ны на рис. 8.21. Мы рассмотрим только частоты, близкие к часто-
те лазерного перехода Уд. Как легко видеть, при резонансных ча-
стота.1^ меньших гд, частота резонатора под влиянием усиливаю-

§ 9. ЗАТЯГИВАНИЕ МОД
223
л(.еи среды увеличивается, в то время как для резонансных частот,
превышающих v^, она уменьшается. Окончательный результат
таков, что частота резонатора затягивается к центру линии лазер-
ного перехода.
Полное изменение фазы, вызванное внесением активной среды,
определяется соотношением
n - va) = AO>m(va),
(8.106>
где ДФт(\1а) — полное изменение фазоиого сдвига при одном
проходе на частоте генерации, которое вызвано введением актив-
ной среды. Выше было отмечено, чго показатель преломления вне-
сенной среды можно рассматривать как состоящий из двух частей.
Пеглщеше
Усиление
Рис. 8.2!. Профили поглощения и усиления и соответствующие кривые
аномальной дисперсии.
Первая (Циоаг) включает в себя вклады от всех возбужденных со-
стояний кроме тех, которые соответствуют лазерному переходу.
Нторая обусловлена именно лазерным переходом. Таким образом,
иоллый фазовый едннг равен
(8.107)
Па основании (8.104) — (8.107) находим
V,. &У„

224 . ГЛ. 8. УСИЛЕНИЕ И ЭФФЕКТЫ НАСЫЩЕНИЯ
Это выражение можно упростить, вводя следующие обозначения:
Vn/И-возГ» = Vp03 И Avu/flBoau = AvpM,
после чего имеем
va = vke3 — Avpe3A(pm(va)/a. (8.108)
Изменение фазового сдвига Дф(уя) зависит от формы линия
перехода в усиливающей активной среде. Усиление при одном
проходе можно связать с фазовым сдвпгом за проход с помощью
соотношений Крамерса — Кронига, как это было Показано в
гл. 2, п. 4.10.2.
Для лоренцевскон линии результат таков:
A<P™(va) = -g(vj(vm - va)fkvmf (8.109)
где vm — частота в центре линии (т. е. в линии спонтанного ис-
пускания), a Avm — полная ширина линии на уровне половины
максимального относительного усиления.
В стационарном режиме генерации лазера относительпоо
усиление на одном проходе насыщается, достигая уровня отно-
сительных потерь, так что
g(vj = a. (8.110)
В случае однородного утпиреиия в усиление дают вклад сразу
все частицы на всех частотах в пределах профиля линии, поэтому
при выполнении (8.110) происходит пропорциональное уменьшение
усиления на всех частотах. Частота генерации при этом всегда
равна ее значению на пороге, а зависящее от мощности затягива-
ние частоты отсутствует.
Комбинируя (8.108), (8.109) и (8.110), для однородно уширен-
ной лоренцевской линии находим
va = (vpeaAvm -f- vmAvpc3)/(Avm + \vve3). (8.111)
При Avpea <C Avm равенство (8.111) приводит к
Va =Vpea -f (vm—Vpe3 )Avpe3/Avm. (8.1B)
Частота биений между двумя модами Va и v3 равна
vl — va = (v'pe3 — Vpe3) A — Avpe3/Avm). (8.113)
В системе, характеризующейся неоднородным уширением, при
превышении над порогом происходит выгорание дыр. Строгое

§ 9 ЗАТЯГИВАНИЕ МОД 225
рассмотрение эффектов затягивания мод и выгорания дыр прове-
дено в работах [12, 13, 18 К Для гауссовскои линии при пороговых
условиях в указанных работах показано, что когда для частот
вблизи центра линии выполняется неравенство AVpea'CAvm, то ча-
стота Vd дается соотношением
va « vpp3 -f- (vm — vpe3)-0,94 Avpe3/Avm.
Это на 6% ниже, чем коэффициент затягивания для лорен-
цевской линии (8.112).
В [121 измерены частоты биений в гелий-неоновом лазере.
Было найдено, что интервал между ними меньше величины с/2Ь
на 1/800. Условия эксперимента были таковы: Avpe3 я=: 1 МГц,
а доплеровская ширина kvm ж 800 МГц. Как мы видим, (8.113)
объясняет наблюдаемое расхождение.
\ Мэйтлэнд. М Дана

Глава 9
ЛЭМБОВСКАЯ ТЕОРИЯ ЛАЗЕРА
§ 1. Введение
Лэмбом 11] была предложена теоретическая модель многолю-
дового лазера, основанная на классическом рассмотрении элек-
тромагнитного поля как суперпозиции мод с высокой добротностью
и на квантовомеханическом описании активной среды при помощи
матрицы плотности. Связь электромагнитного поля со средои а
этой теории вводится через макроскопическую величину электри-
ческой поляризации, которая в соответствии с уравнениями Маь-
свелла играет роль источника поля в среде. Такая модель оказа-
лась чрезвычайно плодотворной для анализа свойств газовых;
лазеров, в частности, при исследовании влияния какой-лноо харак-
теристики активной среды на поле излучения. В теорию включе-
на величина нелинейной поляризации, что позволяет рассматри-
вать такие явления как насыщение, затягивание, уход и синхро-
низация частоты, а также конкуренция мод.
Однако, эта теория имеет границы применимости, которые
мы кратко сформулируем ниже. Во-первых, поскольку ноле рас-
сматривается в виде классических типов колебаний, обладающие
вполне определенными амплитудой и фазой, то эффекты, обусло] ~
ленные статистическими флуктуациями (например, такие ка:с
спонтанное испускание) из анализа исключаются *). Вследствие
этого теория не в состоянии предсказать предельную теоретическую
ширину линии моды лазера, а также не позволяет описать свойст-
ва когерентности поля. Во-вторых, теория применима только
в случае слабого сигнала, так как связь между полем и средой опи-
сывается низшими порядками теории возмущений. Хотя теория и
рассматривает эффекты насыщения^ но они не проявляются вплоть
*) Более последовательный подход, учитывающий квантовый характер
поля излучения и позволяющий, в частности, рассмотреть особенности
поведения лазера на пороге генерации, был предложен и развит и рабитах
А. П. Казанцева (см. [32)) (прим. ред.).

§ i. ВВЕДЕНИЕ 227
до третьего порядка, а именно эиш порядком и ограничиваются
расчеты
В оригинальной статье Ллмба рассмотрен случай, когда уши-
ренио линии испускания из-за эффекта Доплера намного больше
по сравнению с естественной шириной линии (причем эта ширина
обусловлена радиационным распадом), вклад в генерацию вносят
только два атомных состояния, а электромагнитное поле является
скалярным (эффекты поляризации не учитываются).
Обобщение теории Лэмба с целью снятия двух последних огра-
ничений способствовало проведению значительного числа исследо-
ваний, так как в присутствии постоянных магнитных полей верх-
ний и нижний лазерные уровни расщепляются па соответствующие
магнитные подуровни, которые в различной степени взаимодейст-
вуют с излучением лазера в зависимости от его поляризации. Наи-
более подробно и наглядно этот анализ проведен в работах 12, 3],
хотя и более ранние работы 14—8] внесли существенный вклад
и изучение различных аспектов этой проблемы.
Уширение естественной линии вследствие соударений также
рассматривалось многими авторами в попытке распространить
теорию Лэмба на некоторые конкретные экспериментальные си-
туации, которые мы кратко обсудим ниже. И лишь авторам [9]
удалось провести исчерпывающий теоретический анализ этой
проблемы.
Авторы 110, 11] расширили границы теории с третьего до пя-
того и более высоких порядков разложения *). В работе 112] тео-
рия Лэмба была применена к исследованию поведения газового
лазера в режиме модуляции потерь резонатора, а также реакции
лазера на введение небольших mieirraux сигналов (обусловленных,
например, спонтанным испусканием), в частности, для изучения
синхронизации мод и внутреннего шума лазера.
Наряду со своей основополагающей статьей 11] Лэмб опубли-
ковал еще несколько небольших работ, полезных с точки зрения
понимания основ теории. В одной из пих 113], предшествующей
публикации [1! и касающейся квантовых усилителей, содержатся
элементы классической н полуклассической теорий испускания п
поглощения излучения, когерентного возбуждения, теория сла-
бого и сильного сигналов и т. д. Две другие работы были опубли-
ковапы приблизительно в одно и то же время. Первая [14] по-
священа исключительно развитию теории в упрощенном виде,
*) В работе [30] был предложен сравнительно простой метод учета
эффектов высших порядков и вычисления работы [101 были продолжены до
членов девятого порядка по полю включительно. Для оценки точности и пре-
делов применимости различных приближений, используемых в теории ла-
зера, весьма полезными оказываются точные частные решения, полученные
в рачках полукласекческой теории для ряда предельных случаев [31]
{прим ред.).

228 гл- 9 ЛЭМБОВСКАЯ ТЕОРИЯ ЛАЗЕРА
в то время как содержание второй статьи [15] носит более общий
характер.
Что же касается прямой или косвенной экспериментальной:
проверки предсказаний теории Лэмба, то ниже приводится пере-
чень, хотя далеко не полный, наиболее важных работ на эту тему.
В [16] исследовался эффект насыщения коэффициента усиления
для перехода в пеоне на длине волны 1,15 мкм и проводилось срав-
нение экспериментальных результатов с выводами лэмбовскоп
теории (см. (9.157)). Авторы [17] изучали «лэмбовсквй провал»
(п. 7.4) на длине волны 1,15 мкм в гелий-кеоновом лазоре кик с
естественным, так и изотонически обогащенным составом неона.
Авторы статьи [18] продолжили свою более раннюю работу, про-
ведя полное исследование влияния соударений на характеристики
насыщения перехода в неоне на длине волны 1,15 мкм, а также на
частоту и форму «лэмбовского провала». В [19] исследовался эф-
о
фект насыщения для перехода с длиной волны 6328 А в гелий-
пеоновом лазере с учетом влияния соударений (аналогичные экспе-
рименты для этого перехода были выполнены ранее в работе 1201^
однако сравнение результатов с теорией Лэмба в ней не прово-
дилось).
Перечисленные выше работы выполнялись в одномодовом ре-
жиме, в то время как авторы [21] использовали одновременную
генерацию на двух аксиальных модах для измерения интенсивно-
сти в них и частот биения. Они сравнили результаты опытов с мо-
дифицированной теорией Лэмба, учитывающей эффекты соударе-
ний. В [22 — 24] наблюдалась модуляция выходной мощности
одномодового генератора на длине волны неона 1,15 мкм, осуще-
ствлявшаяся модулированием либо потерь в резонаторе, либо
процессов возбуждения. Используя подход Лэмба, авторы этих
работ объясняют полученный эффект малым коэффициентом уси-
о
ления и насыщением перехода. Для переходов 6328 А [25] и
1,15 мкм [26] в неоне измерены частоты биений на «комбинацион-
ных тонах», которые предсказывает лэмбовская теория в третьем
порядке (§ 8).
Выводы теории для случая слабого аксиального магнитного
поля экспериментально проверялись в работе 127], а также 128],
однако здесь следует упомянуть и более раннюю работу 129].
§ 2. Поле в активном резонаторе
Мы начнем обсуждение теорин Лэмба с вывода волнового урав-
нения Максвелла в том виде, который соответствует описанию
поля внутри активного резонатора (в этой главе мы будем
пользоваться рационализованной системой единиц). Хорошо
известно волновое уравнение для распространения в свободном

§ 2. ПОЛЕ В АКТИВНОМ РЕЗОНАТОРЕ 229
пространстве
rotrotE + iys.-^^O. (9 1)
В резонаторах обычного типа для поперечных мод пиэшего по-
рядка быстрые изменения электрического поля в плоскости xyt
перпендикулярной направлению z распространения излучения,
отсутствуют (д2/дх2 «О и т, д.). Если рассматривать излучение,,
поляризованное только в направлении, перпендикулярном на-
правлению его распространения, то можно упростить приведен-
ное выше векторное уравнение, сведя его к соответствующему
скалярному
г12 F. P&F.
-^" + ^0^ = 0. (9.2)
В случае, когда уравнение (9.2) удовлетворяет граничным ус-
ловиям в резонаторе, решениями являются его нормальные не-
затухающие типы колебаний. Продольные моды описываются соб-
ственными функциями (стоячими волнами) вида
Еп = Еоп sin (Knz) cos (Qnt)s (9.3)
где для резонатора длиной L
Кп = пл/L (9.4)
и п — большое целое число, характеризующее моду (в гл. 4, § 6
этот индекс продольной моды мы обозначали буквой д). Подста-
новка (9.3) и (9.4) в (9.2) дает угловую частоту п~й моды Qn
Qn = лпс/L. (9.5)
Любую произвольную конфигурацию поля можно разложить
по этим продольным модам, поскольку они представляют собой
полный набор ортогональных функций (см. приложение И). Та-
ким o6pa3OMj имеем
Е « 2 ЕОп sin (Knz) cos (Qnt). (9.6)
n
Выше мы пренебрегали потерями в поле излучения (обуслов-
ленными, например, дифракцией илн выводом излучения из ре-
зонатора). В теории Лэмба это затухание поля учитывается путем
введения омической проводимости а для среды резонатора. Такой
метод рассмотрения потерь как объемных позволяет избежать
сложных граничных задач, однако при этом мы теряем информа-
цию о пространственном изменении поля, связанном с тем, что по-
тери преимущественно обусловлены выходом излучения через

230 ГЛ 9, ЛЭЫЕОВСКАЯ ТЕОРИЯ ЛАЗЕРА
зеркала резонатора (гл. 4, п. 5.2; гл. 8, § 5). Вводя в (9.2) член,
учитывающий проводимость, получаем
^ И^^+ИЛ^ = 0. (9.7)
Допуская, что затухание поля мало, выберем решение, выра-
женное через нормальные моды, в виде (9.6), в котором одна-
ко амплитуды ЕОп положим медленно меняющимися функциями
времени:
Е = S ^оп @ sin (Knz) coa (Qnt). (9.8)
Подставляя (9.8) в (9.7) и учитывая, чго моды являются неза-
висимыми, находим
EOn(t) = -оЕппA)/2е0. (9.9)
Здесь ми пренебрегли такими членами, как Eun(t) и оЁ0пA). При-
ближенное решение уравнения (9.7) имеет вид
= S Епп ехр (— оЦ2^) sin (Knz) cos {Qnt). (9 10)
С затуханием мы можем связать величину добротности Q, опре-
деленную (см. гл. 4, § 5) как
Q = e«Qn/o. (9.11)
Вообще говоря, затухание изменяется от моды к моде, так что
более общим решением является
Е = S ЕОп ехр (- Qnt/2Qn) sin (ад cos (?V). @.12)
n
Рассмотрим теперь пропесс возбуждения электрического поля
активной средой резонатора. Как мы уже отмечали (§ l)t в ллмбов-
ской теории для этого в волновое уравнение вводится величина
макроскопической поляризации P(z1 /), в результате чего урав-
нение приобретает вид (см. приложение М)
-&г + ^°аГ + ^е°^ = "^-зг.. (9.13) )
Как и в случае члена, включающего проводимость, предполо-
жим, что поляризационный член мал но сравнению с ео?, так что
*) Поляризационный член обусловлен: а) постоянными дппольыымп
моментами, которые могут быть связаны с отдельными состояниями, и б)
дипольными моментами, связанными с переходами между шшп.

5 2. ПОЛЕ В АКТИВНОМ РЕЗОНАТОРЕ 231
мы мшкем выбрать решение в виде суммы нормальных модовых соб-
ственных функций, соответствующих пассивному резонатору.
Величина поляризации, возбуждающей поле, значительна в пре-
делах частотного диапазона, соответствующего ширине липни пе-
рехода в активной среде, и достигает максимума в центре линии.
Следовательно, вообще говоря, эффективная частота возбуждения
отличается от частот мод Й„ пассивного резонатора. Поэтому мы
допустим, что частоты мод а>п активного резонатора несколько
отличаются от модовых частот в отсутствие активной среды. На-
ряду с введенными раиее медленно меняющимися амплитудными
множителями, введем в собственные функции также дополнитель-
ные, зависящие от времени, медленно меняющиеся фазовые множи-
тели. Таким образом, ыы будем отыскивать решение в виде
Е = 2 Еоп @ sin (Knz) cos [©„« + ф„ («)]. (9,14)
п
Можно видеть, что такое решение описывает квазистационар-
яые вынужденные колебания системы: стационарные в том смысле,
что их можно разложить по нормальный (не вынужденным) типам
колебаний пассивного резонатора и квазистационарные — в том,
что вынуждающая сила может возмущать амплитуду, фазу и ре-
зонансную частоту нормальных мод.
Подставляя (9.14) в (9.13), умножая обе части уравнения иа
sin (/Cmz), интегрируя затем по z (L — длина резонатора) и ис-
пользуя свойства ортогональности нормальных мод, находим
Ьт т дР
KlE^ + ИЛ -дг + Мо V = - И»-^, (9.15)
где
Ет @ = Еот @ cos [amt + Фт @1, (9.16)
L
@ = т 1Р& <>Bin <*««) dz- (9-17)
Макроскопическая поляризация P(z, t) создается всеми воз-
бужденными модами, а уравнение (9.17) дает компоненту Pm(t)
поляризации P(z, t)t которая воздействует на определенную
(т-ю) моду. Уравнение (9.17) показывает, что если P(z, t) разло-
жить в ряд Фурье по координате, то определенная компонента
атого разложения, оказывающая влияние на определенную моду,
(.¦сть именно та, которая в пространстве имеет такой же вид, что и
сама мода.
Так как частотный спектр поляризации, в основпом, определя-
ется формой спектральной линии возбуждающего перехода*
то он приблизительно монохроматнчен (на оптических частотах)

232 ГЛ. 9. ЛЭМБОВСКАЯ ТЕОРИЯ ЛАЗЕРА
в том смысле, что если с поляризацией связать частоту о), то ее
вторую производпую по времени, входящую в (9.15), можно
аппроксимировать величиной — ы2РтA) для всех мод. Опре-
делим также добротности различных мод, выраженные через (о
(гл. 4, § 5):
# . , (9.18)
после чего (9.15) приобретает вид
Предположим теперь, что Pm(t) складывается нз двух ком-
понент, одна из которых находится в фазе с полем резонатора,
а другая сдвинута относительно него на я/2 (мы вводим это пред-
положение, поскольку не можем считать, что наведенная поля-
ризация остается в фазе с полем). В результате получаем
Pm(t) = Ст cos Umt + Фт@1 + Sm(t) sin ]<*mt + Фт@Ь (9.20)
Предполагая такой вид выражепия для поляризации Pm(t),
мы полностью пренебрегли ее частотными компонентами, которые-
далеки от резонансных частот резонатора. Это является разумным
приближением, поскольку (см. гл. 4, п. 5.2) в любой лазерной си-
стеме частотный интервал между модами (•--'150 МГц) обычно го-
раздо больше ширины линии самой моды резонатора (¦--'1 МГц).
Подставляя (9.20) и (9.16) в (9.19) и разделяя множители, содержа-
щие синус и косинус, мы получаем два уравнения, которые свя-
зывают амплитудные н фазовые множители для поля с амплитуда-
ми двух компонент поляризации.
При выводе этих уравнений используются следующие прибли-
жения. Во-первых, пренебрегается величинами порядка (j)Eom/Qm>
'/@m И ВТОРЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ ПО времени; ВО-
вторых, отношение com/w считается приблизительно равным еди-
нице и, в-третьих, эффективная частота моды активного резона-
тора сат + фт принимается очень близкой к частоте моды пас-
сивного Qm, так что (шт + ФтJ — Qli & 2пт(а>т + фт — Йт).
Уравнения, которые мы находим1 называют уравнениями само-
согласованности:
Ёот + lU(®/Qm)Ean - -V,(W/e0Mm(/); (9.21)
<<*„ + Фт - Qm)^om = -1 /Z((O'Е0)Сm(t). (9.22)
Первое уравнение описывает влияние затухания и активной сре-
ды на амплитуду моды. Если сдвинутая на л/2 компонента поля-

§ 3. МАКРОСКОПИЧЕСКАЯ ПОЛЯРИЗАЦИЯ 233
ризацшг равна пулю, то ялтлитуда экспоненциально затухает, как
в случае пассивного, обладающего потерями резонатора (см. (9.9)).
Эта компонепта представляет собой усиление, обеспечиваемое
активной средой, которое, превосходя потери в резонаторе, при-
водит к возникновению генерации. Второе уравнение соответству-
ет синфазной компоненте поляризации и показывает, какую роль
она выполняет в мехапизме отклонения частоты поля от собствен-
ной частоты пассивного резонатора. Это уравнение, следовательно,
описывает эффекты ухода и затягивания частоты и т. д.
Чтобы проиллюстрировать изложенное, интересно рассмотреть
случай, когда поляризация является линейной функцией электри-
ческого поля:
Сш = в„ЯОтх', (9.23)
Sm = ео?0тх". (9.24)
Поело подстановки этих соотношений в уравнение (9.21) и
(9.22) находим
«и + Фт — Qm = — VafflXm, (9.25)
( J Еш. (9.26)
Первое уравнение показывает, что частота осцилляции отли-
чается от собственного значения Qm для моды иа величину —w%m/2,
обусловленную присутствием диэлектрика. Из второго уравнения
видно, что, если Хт > 0, то диэлектрик вносит свои добавки к уже
существующему затуханию. С другой стороны, если %т < (—Qm)-1,
то ураннение описывает экспоненциальное нарастание колебаний
и на этой стадии для учета эффекта насыщения в среде необходимо
принять во внимание члены более высокого порядка (поскольку,,
вообще гоиоря, поляризация пе является линейной функцией поля).
§ 3. Макроскопическая поляризация
Выше мы проводили описание поля в резонаторе, используя
макроскопическую поляризацию активной среды. Теперь необхо-
димо связать эту поляризацию как функцию электрического поля
со свойствами атомов активной среды. Установив такую связь,
уравнения (9.21) и (9.22) можно использовать как соотношения
самосогласоваиности для системы и исследовать поведение ампли-
туды и фазы поля.
Предположим, что активпая среда состоит из набора двух-
уровпеных агомгшх систем и волновая функция для каждой отдель-
ной системы имеет вид C.60)
W - в(*К + b{t)ub. (9.27)

234 ГЛ 9. ЛЭШЮВСКАЯ ТЕОРИЯ ЛАЗЕРА
Выше мы уже нашли уравнения движения для коэффициентов
а и Ь C.61) в случае взаимодействия двухуровневой системы с
монохроматическим излучением, когда конечные времена жизни
уровней, вследствие процессов распада на другие уровни, не
рассматриваются в явном виде, а учитываются путем введения
констант распада. Эти уравнения имеют вид
= aV + ЬЕЬ — \^Ъ%
(9.28)
ia — bV + aEb — iyafiai2.
Вскоре мы увидим, что необходимыми для нас величинами яв-
ляются ад*, ЬЬ*, a*b, ab* (аа* и bb* равны соответственно вероят-
ностям нахождения системы на верхнем и нижнем уровнях, в то
время как а*Ь и ab* входят в поляризацию). Нам также потребу-
ется провести всевозможные усреднения по всем системам в актив-
ной среде, так как эти системы возбуждаются в различные момен-
ты времени и обладают различными составляющими скоростей.
В связи с этим удобно воспользоваться аппаратом матрицы плот-
ности (гл, 3, п. 4.1), для чего введем следующую матрицу:
Хаа* Ь*аЛ Гр р ,1
Уравнения (9.28), будучи подставлены в (9.29), приводят к
уравнениям движения в виде
(J*. р = Нр - рН - -i- (Гр + РГ), (9.30)
Напомним, что хотя мы и ввели аппарат матрицы плотности,
однако, уравнение (9.30) еще не содержит никаких усреднен mi
и описывает поведение отдельной атомной системы (а не активной
среды в целом). Следует отметить сходство уравнения движения
для матрицы плотности (см. гл. 3, п. 4.1) и уравнения (9.30).
Последнее содержит дополнительные члены, учитывающие умень-
шение вероятности нахождения системы в одном из двух рассмат-
риваемых в явном виде энергетических состояний, в то время как
при выводе уравнения движения для матрицы плотности C.153)
предполагалось, что мы учитываем все возможные состояния сис-
'темы. Другими словами, в результате того, что мы ограничива-
емся только двумя состояниями, мы вынуждены иметь дело с не-
нормированной матрицей плотности, что и отражает дополни-
тельный член в правой части уравнения (9.30).

5 к TFOPHfi Л,ЛЯ НРПОЛЕИГКНЫХ АТОМОВ 235
Средний (скалярный) дипольный момент двухуровнего атома
есть
P = e<r> = ej4r*r4rrf<7. (9 31)
Если предположить, что постоянный дипольпый момент в атоме,
связанный с любым из его двух состояний, отсутствует, то с по-
мощью (9.27) средний дипольный момент можно представить
в виде (см. C.93))
Р = е<г> = ?{9аЬ + Vba), (9.32)
где
9> = е j u.,rubdq. (9.33)
В гл. 2 и 3 .^обозначалось как Dmn.)
На оспованив (9.29) дннольный момент также выражается
в матричной фирме
е(г> = Sp(^p). (9.34)
§ 4. Теория для неподвижных атомов
4.1. Уравнение движения для матрицы плотности с учетом
возбуждения. Выше мы рассмотрели двухуровневую атомную
систему, которая взаимодействует с монохроматическим полем
излучения и затухает вследствие процессов, учитываемых посто-
янными затухания Мы также продемонстрировали удобный спо-
соб записи уравнений, описывающих развитие такой системы во
времени, в матричном виде. Эго позволило нам определить поля-
ризационный член, который появляется в уравнениях для поля
излучения (9.21) и (9.22) в случае взаимодействия отдельной атом-
ной системы с этим полем.
Включим теперь в наш анализ взаимодействие поля излучения
со всей активной средой. Для этого необходимо рассмотреть мак-
роскопическую совокупность всех двухуровневых атомных сис-
тем, содержащихся в активной среде. Так как мы не располагаем
всеми возможными данными об активной среде и не намерены
определять время, положение конкретной атомной системы в мо-
мент возбуждения, ее соответственные компоненты скоростей
и т. д., то мы воспользуемся средними значениями указанных
величин. Вследствие этого связать определенную волновую
функцию с макроскопической системой мы не можем и матрица
р приобретает характер матрицы плотности.
Рассмотрим различные виды усреднений, которые могут нам
понадобиться для конкретной активной среды;

236 ГЛ. 9. ЛЭМБОВСКАЯ ТЕОРИЯ ЛАЗЕРА
* а) усреднения по времени и координатам, соответствующим
возбуждению атомных систем на один из двух энергетических
уровнен;
б) усреднения по составляющим скоростей атомных систем.
Поле излучения, воспринимаемое движущейся атомной системой,
отличается от поля, которое воспринимает покоящаяся система,
вследствие чего изменяется ее взаимодействие с полем;
в) усреднения по различным характеристикам окружающей
среды, в которой находятся атомные системы.
Усреднения типа (б) и (в) соответствуют неоднородному ушпре-
нню. Ниже мы рассмотрим случай (б), относящийся к доплеров-
скому уширению (п. 5.1). В настоящем же параграфе мы ограни-
чимся усреднением, связанным с возбуждением атомных систем,
основываясь на предположении, что все они неподвижны. Следо-
вательно, все системы воспринимают ноле излучения одинаковым
и описываются одним и тем же членом взаимодействия в уравне-
нии (9.28), что позволяет применить приближение вращающейся
волны (см. гл. 3, п. 3.4).
Допустим, что Xn(f0)d@ есть среднее число атомов в единице
объема, возбужденных в состояние а па отрезке времени (t0,
ta -j- dt0). Пусть р(а, tQ, t) есть матрица, описывающая один нз
этих атомов в последующий момент времени t. Разумеется, в этот
момент атом не обязательно должен находиться только в чистом
состоянии а. Уравнение движения (9.30) для р(а, t0, t) остается
в силе.
Скорость возбуждения Яп(/0) может быть функцией координат
внутри активной среды, но на данном этапе мы не станем рассмат-
ривать эту связь в явном виде. Если предположить, что возбуж-
дается только состояние а, то матрица плотности для активной
среды определяется путем суммирования по всем интервалам вре-
мени, предшествующим времени наблюдения, т. е.
t
р(а, *)= J K(to)p{a, tu, t)dt0. (9.35)
— 00
Полученное уравнение соответствует уравнению C-138), ко-
торое мы использовали ранее для определения матрицы плотно-
сти. Однако вместо усреднения по ансамблю, проводившегося на-
ми первоначально, в данном случае мы привлекаем макроскопи-
ческое временное усреднение по совокупности атомных систем,
возбужденных в разные моменты времени.
Дифференцирование (9.35) дает
0 = *а (О Р К «о, *о) + f К (Q 4 [р К U, /)] dfe, (9.3G)

§ 4. ТЕОРИЯ ДЛЯ ПЕПОДВИЖНЫХ АТОМОВ 23?
где
Р(а, «о, *o) =
Если (9.30) умножить на Яа(@), проинтегрировать по t0 в пре-
делах от —оо до t, используя уравнение (9.36) *), то, полагая,
что Н не зависит от jf0, для матрицы плотности р(а, t) получил!
следующее уравнение движения:
*^-рК0 = а«Р(а) + нР(а' 0 -р К 0 н -
~-^-1Гр(а, 1) + Р(М)Г]. (9.38)
Отличие уравнения (П.38) от (9.30) состоит в том, что (9.38)
включает в себя дополнительный член, описывающий скорость
возбуждения в состояние а.
Если теперь допустить, что возбуждение происходнт как в со-
оояпие а, так и в состояние Ь, то матрица плотности приобретает
вид
р@ - р(а, t) -f P(b, t), (9.39)
a Xa(l) заменяется матрицей
Ч')=[ив °J (9.40)
Перегсрестньге члены отсутствуют вследствие того, что мы пренеб-
регли когерентным возбуждением (гл. 3, п. 4.2). Уравнение (9.38)
теперь приводится к виду
i ± p (t) - а + Нр @ -9{t)H--L. [Гр (Г) - р @ Г]. (9.41)
Полностью это уравнение приведено в приложении Д.
Следует отметить, что представление р(() как «матрицы плот-
ности», вероятно, является не вполне удовлетворительным. Не-
< мотря на то, что р(?) н обладает основными чертами матрицы плот-
ности, описанными в гл. 3, п. 4.1, в том отношении, что она
получена в результате макроскопического усреднения, выполненно-
го над квантовомеханической системой, однако, матрица не нор-
мирована, а след ее не является константой. Тем не менее, введе-
ние этой терминологии представляется удобным, если помнить,
что не все из первоначально определенных свойств матрицы плот-
ности применимы в данном случае.
*) Мы используем частные производные, поскольку р(л, t0, t) теперь
является функцией нескольких переменных. Так как атомы системы не-
подвижны, то подстановка (9.36) при переходе от (9.30) к (9.38) допустима.

233 ГЛ. 9. ЛЭМБОВСКЛЯ ТЕОРИЯ ЛАЗЕРА
Проанализируем теперь решения уравнений (9.21), (9.22)
и (9.41) для различных режимов (одномодового, мпогомодового
и т. д.), используя различные приближения. Перпое приближе-
ние основано на предположении о том, что разность паселеннос-
топ двух уровней не зависит от времени. Найдем решения упро-
щенных уравнений для одномодового режима.
4.2. Приближение первого порядка (неподвижные атомы).
Если выписать уравнение для диагонального элемента матрицы
плотности р(?), используя уравнение (9.41), то мы будем имет:>
(см. приложение Д)
где
<о«ь = (Еа - Eb)ih, у = (уа + уь)/2. (9.43>
Для получения решения этого уравнения в первом порядке
приближения предположим, что разность населенностей Двух со-
стояний постоянна во времени. Поэтому первый член может быть
записан как
9аа — Ръъ = Л'(г), (9.44)
т. с. инверсная населенность является функцией только коорди-
нат в активной среде. Уравнение (9-42) приобретает вид
Р«Ь = + V N (^ ~ ^'W«b + V) Раб- (9'45>
Из C.74) для величины У находим
V = ШаЬА&>. (9.46)
В § 2 мы вывели уравнения, которые описывают конфигура-
цию электромагнитного поля внутри резоватора, выраженную
через скалярное электрическое поле. Будучи записано через элек-
трическое поле, (9.46) имеет вид
V = —РЕ. "(9.47)
Здесь мы рассматриваем одномодовый режим, в котором формула
(9.14) дает дл я т-й моды
EM(t) = Eom(t) sin (Kmz) cos (©mt + <pm), (9.48)
где ЕОтA) и фт@ соответственно удовлетворяют уравнепиям
(9.21) и (9.22). Следовательно, для члена взаимодействия (9.47)
имеем
V = ~&Ebm{t) sin (Kmz) cos (o)mt -f <pm). (9.49>

§ 4. ТЕОРИЯ ДЛЯ НЕПОДВИЖНЫХ АТОМОВ 239
Уравнение (9.45) описывает простой гармонический осцилля-
тор с затуханием у, возбуждаемый (первый член) на частоте, при-
мерно равной <от, близкой к собственной частоте <оай. Если пре-
небречь членом, обусловливающим вынужденные колебания, то
мы получим решение в виде
Раь = pff ехр [— {io)ab + у) t]. (9.50)
В присутствии вынуждающего члена мы сохраним решение в том
же виде, считая, однако, р'^ функцией времени. Прн этом под-
становка (9.50) в (9.45) дает
А
XT' / i\ fj7t х . „ / Т^ \ ij ' j \ i 1 IV? /_\ \ *
I Г ¦ т^ ЦП п 71 ОУП ff (г\ _ _. Л11Г1 /V 171 \г
X ~- [ехр (tomt + щт) — ехр (— i®mt — мрт)]. (9.51)
Пренебрежем в этом уравнении изменением величин EOm(t) и
*l>m(t) во времени по сравнению с другими множителями в экспо-
нентах (пользуясь тем самым предположением о квазимонохро-
матичности). Отбросим также нерезонансный член и члены, опи-
сывающие переходные процессы. Тогда решение для раЬ приоб-
ретает вид
Е
п
/к
1
N^exP{'kl^1 -i(p«)- <9-52)
V т ab)
Определим теперь на основании уравнений (9,33) и (9.52)
макроскопическую поляризацию!
g* N(z)Eamit) sin (KmZ)
X [2 (wa6 - com) cos {u>mt -f фт) 4- 2v sin (wm* -f Фт)]. (9.53)
Поскольку рассматривается т-я мода, то нам следует восполь-
зоваться пространственной фурье-компоиентой P(z, t), соответ-
ствующей этой моде, которая согласно уравнению (9.17) имеет
вид
о
4" ]
'. 0 - - К E»m (t)\'T\N (z) sin2 (^m«) d2 I X
2(<o
- to
m a

240 ' гл. а. лоыбовская теория лдзера
Сравнивая зто уршнение с (9.20), мы, Следовательно, имеем
Ст = - ~ EQm (t) N К, - <от)/[К, - <оаЬJ + Л 0.55)
Sm = - ~ Еот @ МуЦ(ыт - coabJ + T2j, (9.56)
где
N = A j" N {z) sin2 (/CPjls) dz. (9.57)
b
Отметим, что в предположении о постоянстве инверсной насе-
ленности макроскопическая поляризация является линейной
функцией электрического поля. Этот случай мы уже обсуждали
в § 2. Подстановка (9.56) в уравнение самосогласованности (9.21)
приводит к следующему уравнению, описывающему характер
изменения амплитуды поля EOm(t) во времени:
р _ ( ы ,
Если амплитуда во времени нарастает, а не затухает экспонен-
циально за счет потерь в резонаторе, то (9.58) показывает, что
4~- . (9-59)
и К )п ab> ' ' 1 vm
Если поставить знак равенства, то это выражение описывает
пороговое условие возникновения генерации лазера и, в частно-
сти, при настройке резонатора на резонансную частоту (wm —=
= <оаь) пороговое значение инверсной населенности для т-й
моды iVnop определяется формулой
^V"noi,,(eofcV) - tQ,*. (9.60)
Из этого выражении ипдно, что сшылчшя порогового значения:
инверсной населенности в определенной ангинной ср^дс можно
добиться путем увеличения вероятности перехода (пропорцио-
нальной f?2) для лазерных уровней и уменьшения постоянной за-
тухания у (для чего однородно уширенная линия лазерного пере-
хода должна быть узкой).
В случае, когда инверсная населенность превышает пороговое-
значение, уравнение (9.58) дает экспоненциальное и в иснользу-
емом приближении неограниченное нарастание амплитуды поля
в моде. Практически, конечно, этого не происходит, так как с уве-
личением амплитуды поля населенность верхнего уровня умень-

§ 4. ТЕОРИЯ ДЛЯ НЕПОДВИЖНЫХ АТОМОВ 241
шается (вследствие вынужденного испускания) и в то же время
увеличивается населенность нижнего уровня, а именно этими
эффектами мы пренебрегали в первом приближении. Если уравне-
ния решать без предположения о постоянстве инверсной населен-
ности, то макроскопическая поляризация становится нелинейной
функцией электрического поля и дает члены более высокого по-
рядка, которые обусловливают насыщение амплитуды электриче-
ского поля. Мы рассмотрим нелинейные свойства макроскопиче-
ской поляризации и эффекты насыщения в п. 4.3. Что касается
поведения амплитуды электрического поля, то наша теория в пер-
вом порядке может дать только пороговое условие для лазера,
но не в состоянии описать процесс перехода системы в стационар-
ное состояние при превышении порогового уровня.
Рассмотрим теперь решение второго уравнения самосогласо-
ванности (9.22), которое описывает влияние активной среды иа
частоту моды. Производя подстановку (9.55) в (9.22) и пренебре-
гая величиной фт, находим
i /л ф% ~\т (ы l — <*> ^
abf
Если рассматривать пороговый режим, то в (9.59) можно по
ставить знак равенства и подстановка в (9.61) дает
)- (9-62)
Введем теперь фактор стабилизации о, который являете»
отношением спектральной ширины моды в резонаторе u>/2(?m
к естественной ширине линии лазерного перехода:
а = af2Qmy. (9.63>
С учетом этого фактора (9-Н2) преобразуется к виду
шт = (Qm + ooe6)/(l + о). (9.64>
Для типичных газовых лазеров величина о лежит в пределах
от 0,1 до 0,01.
Частота колебаний в моде определяется выражением типа
«центра инерции», включающим в себя частоту Qm колебаний
пассивного резонатора и центральную частоту ыаЬ атомного пе-
рехода, причем весовые множители обратно пропорциональны со-
ответствующим ширинам линий. Частота колебаний затягивается
к центру линии активной среды на величину, пропорциональную-
расстройке резонатора От — шаЬ относительно этой центральной
частоты.
Анализ выражений (Р.55) и (9.56) для синфазной и сдвинутой
на л/2 компонент макроскопической поляризации показывает,.
1*> Л. Ыайтлэнд. М. Данн

242. ГЛ. 9. ЛЛ1Б0ВСКАЯ ТЕОРИЯ ЛАЗЕРА '
что они связаны дисперсионными соотношениями, которые мы
обсуждали в гл. 2, п. 4.10 (и, в частности, дисперсионным соот-
ношением для лоренцевскон формы линии, выведенным в гл. 2,
п. 4.10.1). Этого, разумеется, и следовало ожидать, так как сдви-
нутая компонента описывает изменение амплитуды ноля при рас-
пространении в среде (9.21), а синфазная компонента дает соот-
ветствующее изменение фазы (9.22).
Если мы обобщим теорию в приближении первого порядка
па случаи превышения порога несколькими модами, то обнару-
жим, что в этом приближении моды ведут себя независимым обра-
зом и каждая из них описывается уравнениями, аналогичными
<9.55) и (9.56).
Для того чтобы продемонстрировать это, заметим, что выраже-
ние для возмущения V в случае многомодового режима имеет вид
V=- & 2 ЕОп (/) sin (Knz) соь (ohlt + ф„), (9.65)
где сумма берется по всем модам, для которых выполнены поро-
говые условия. Подставив это выражение в (9.45), получаем
Л'М ~ V-^n (t) sin (К г)
Р.ь = Чг ¦? 2 („'"-a J'.j °хр [ - i (<М + ф.)], (9-66)
откуда для макроскопической полярплации находим
V ^о» № sin (У„з)|2 (o)fl6 - оп) с,^ (ио< ± Vn) + 2y sin (a>Bt + <pu)]
X
(9.67)
Вычислим теперь пространственную фурье-компоненту этой
поляризации, которая соответствует определенной интересующей
нас (например, m-ii) моде. С учетом ортогональных свойств гар-
монических функций имеем
ь
о
., еш f) I2 CU - ют) соь (b>mf + ^) + 2Т МП (<йт< 4- Фт)] ¦
(со -
Л
ab)
Поскольку это выражение включает в себя величины/ относя-
щиеся только к т-й моде, то мы видим, что в таком приближении
моды являются независимыми.

§ 4 ТЕОРИЯ ДЛЯ НЕПОДВИЖНЫХ АТОМОВ 243
В заключение отметим, что в этом пункте, посвященном при-
ближению первого порядка в теории Лэмба, мы ознакомились
с методом решения некоторых уравнений, описывающих поле
в резонаторе и активную среду. Предсказания теории в этом при-
ближении, однако, применимы лишь к пороговым условиям и
поэтому для того, чтобы описать надпороговый режим, а также
эффекты насыщения, нам следует рассмотреть приближения бо-
лее высокого порядка.
4.3. Нелинейная теория (неподвижные атомы). Для описания
эффектов более высокого порядка при взаимодействии излучения
с активной средой мы должны учесть влияние стимулированного
излучения на населенности лазерных уровней. Если из (9.41)
извлечь диагональные члены, то мы получим два следующих
уравнения, описывающих населенности верхнего и нижнего ла-
зерных уровней соответственно!
Раа = — УаРаа + ^а + ~/f (Pab ~ Pba)i
lV (9-69>
Pbb = — УьРьЬ "Г К + X (Р*а — Pab)-
В каждом из этих уравнений первый член в правой части опи-
сывает распад уровня вследствие феноменологического затухании,
второй член учитывает увеличение его населенности из-за воз-
буждения под действием накачки, а третий член описывает влия-
ние поля излучения на населенность уровней. Для решения урав-
нений (9.69) принят метод, основанный на подстановке медиаго-
нальных элементов тех решений (9.66), ноторые были получены
б предположении, что величина раа — р6& является пе зависящей
от времени. В данном случае, однако, раа — оьь нельзя положить
равной N(z), поскольку нам необходимо отыскать новое аацио-
нарное значегше этой величины в присутствии излучения. После
этого уравнения (9.69) принимают вид скоростных уравнений,
в которые входят только диагональные компоненты (т. е. лишь
населенности):
Раа — —УаРаа + ^п + ШрЬЪ ~ Раа)> (9.70)
Pbb — — УьрЬЬ + kb + Щраа ~ pfcft),
где
у<р* Е\т rfn»gm*
Мы ограничились рассмотрением только случая одномодо-
вого режима. Третий член в правой части уравнений (9.70) опи-
спвает суммарное действие накачки, обусловленной излучением
при переходе с более населенного уровня па менее населевный.

2'Л ГЛ. 9. ЛЭМБОВСКЛЯ ТЕОРИЯ ЛАЗЕРА
Этот процесс зависит от интенсивности излучения, от ширины
однородной линии перехода у, от удаления частоты моды (от
от центральной ыаЬ, а также от вероятности перехода между
двумя уровнями (пропорциональной ОР2). Стационарное решение
для разности паселенностей двух состояний в присутствии поля
излучения легко получить из (9.70)]
Рее Рьь — i-t-2^Wv v ~
а , п/ уа <ь 1 , -n/ "
где
Лнасыщ = УаУъЪЪ (9.73)
Величина ЛНасыщ есть мера скорости, с которой в системе про-
исходит насыщение, т. е. той скорости, с которой разность насе-
лешюстей «следит» за воздействием поля излучения.
Для того чтобы оценить воздействие такого изменения разно-
сти паселенностей на поле излучения, величину раа — р^ь» най-
денную в (9.72), следует теперь подставить в выражение для
раЬ (9.42). Это дает возможность вычислять поляризацию до более
высокого (третье! о) порядка:
С помощью последнего выражения путем сравнения его с (9.17)
можно получить пространственную фурье-компоненту поляри-
зация, соответствующую одной моде:
[г. п
2 (ы , — о) ) cos (ы М- ф \ -+- 2у sin (a> t + ф \
СО) — (й . \^ -f- \г • \ т )
Продолжая дальнейший анализ найденного решения, предпо-
ложим, чго насыщение в системе невелико в том смысле, что
-Я *С Япасыщ- Это дает возможность разложить в ряд знаменатель
в подынтегральном выражении (9.75), так что после подстановки
величины R из формулы (9.71) мы окончательно имеем
(9'77>
"IV ab m) ' г
где
—¦ ?р *-* От/ К ** Уп Va f \ "/

§ 4. ТЕОРИЯ ДЛЯ НЕПОДВИЖНЫХ АТОМОВ 243
представляет собой безразмерный параметр, характеризующий
эффективность изменения населенностей уровней под влиянием
ноля излучения, а
^(Wm - <овЬ) - [у2 + (<от - (о^K]-1. (9.79)
В (уже сделанном) предположении о слабом насыщении этя
выражения можно переписать в несколько иной форме:
Ст =
Ф2Е
Подставим теперь вновь полученные выражения для поляри-
зации в уравнения самосогласованности для поля излучения
(9.21) и (9.22). В случае уравнения (9.21), описывающего поведе-
ние амплитуды поля, мы приходим к следующему выражению,
которое определяет интенсивность генерации в стационарном
{кОт = 0) состоянии:
iv (о> , — со J1
^ no,. »"- J
где величина iVnnP уя« была определена (9.60) как инверсная
населенность, соответствующая порогу. Когда частота моды сов-
ладает с центром линии, (9.82) упрощается:
Л'
Лпор
Отметим, что для данного превышения величины инверсной
населенности над порогом, интенсивность, при которой происхо-
дит насыщение поля излучения, обратно пропорциональна ве-
роятности З*'1 лазерного перехода и прямо пропорциональна ско-
рости распада верхнего лазерного уровня. Отсюда следует, что
при прочих равных условиях те переходы, для которых коэффи-
циент распада мал, насыщаются более высокой мощностью при
данном превышении инверсной населенности над порогом генера-
ции. Конечно, если коэффициент распада невелик из-за малой
величины вероятности перехода между лазерными уровнямит
то пороговое зпачение инверсной населенности A^nopt определяемое
формулой (9.60), соответственно увеличивается.
Ниже приводятся полученные нами паиболее важные соотно-
шения, касающиеся интенсивности излучения. Они применимы
только в случае, когда собственная частота резонатора совпадает
с центром лишш. >

24G - ГЛ 0. ЛЭМБОВСКЛЯ ТЕОРИЯ ЛАЗЕРА
Пороговое значение инверсной населенности (9.60)
Инверсная населенность в отсутствие поля излучения
Интенсивность генерации па одной моде при насыщении в.
третьем порядке (9.83)
^r 1
[[Op
Если, используя (9.00) и (9.84), заменить разлгпшыр
входящие в (9.83), и предположить, что уь ^> уа, а Хь ^ Я„»
то мы поручим следующее выражение для интенсивности излуче-
ния внутри резонатора:
(9.85)
Это выражение показывает, что в третьем порядке интенсивность-
генерации прямо пропорцнопальна скорости накачки верхнего
лазерного уровня, в то время как эффективность снижения ин-
тенсивности генерации, обусловленного наличием второго члена
в скобках, обратно пропорциональна коэффициенту распада для
перехода. Следует, однако, особо подчеркнуть, что выражения
для интенсивности генерации применимы только в случае превы-
шения над порогом (когда N?Nnop <&; 1).
Если возвратиться к уравнению самосогласованности (9.22),
описывающему поведение фазы излучения, то мы обнаружим, что
выражение (9.62), выведенное в линейном приближении, является
применимым, а именно
Причина этого заключается в том, что сдвинутая на л/2 компонен-
та поляризации определяется добротностью резонатора. Посколь-
ку синфазная компонента связана со сдвинутой на л/2 дисперси-
онными соотношениями, то решение для стационарного состоя-
ния (9.25) остается тем же самым.
§ 5. Теория для движущихся атомов
г.-с
5.i. Матрица плотности и макроскопическая поляризация
с учетом движения атомов. Выше при обсуждении ламбовской
теории мы ограничивались лишь исследованием случая покоящих-
ся атомов, так что рассматриваемая ширина линии была обуслов-

§ 5. ТЕОРИЯ ДЛЯ ДВИЖУЩИХСЯ АТОМОВ 247
лепа только однородным у шире пнем, связанным с каждым от-
дельным атомом.
Теперь мы обратимся к случаю, когда атомы находятся в
движении и с совокупностью атомов как с целым связана до-
плеровская (неоднородная) ширина линии.
Находясь в движении, атом воспринимает электрическое поле
измененным. Оно отличается от электрического поля в лаборатор-
ной системе координат (9.14) и зависит от составляющих скорости
движения атомов. Поскольку взаимодействие отдельного атома
<* полем в резонаторе теперь зависит от его скорости, то процеду-
ру суммирования, описанную в п. 4.1, следует изменить с учетом
рассмотрения возбуждения атомов, обладающих распределением
скоростей.
В § 6 мы покажем, что в первом порядке изменение взаимодей-
ствия между атомом и полем резонатора можно представить как
доплеровскнн сдвиг атомной резонансной частоты; таким образом,
для совокупности атомов, составляющих активную среду, су-
ществует распределение наблюдаемых резонансных частот. Эта
картина позволяет привлечь простые физические понятия для
интерпретации некоторых результатов, полученных в первом по-
рядке теории. Однако она не приемлема для более высоких по-
рядков теории (§ 7).
Вернемся к уравнению движения для матрицы плотности
(9.30), полученному в § 3 для отдельного атома:
P = -ilH.pl-Va(rp + РГ).
Ксли атом возбуи;дается в точке г0 в состояние а (а = а, Ь) в мо-
мент времени t0, имея скорость V, то для некоторого момента вре-
мени t (t ^ t0) моишо написать его матрицу плотности р(а, r0, t,t,
v, t). Эта матрица удовлетворяет уравнению движения (9.30),
но вследствие движения атома величина V(t) в (9.30) сложным об-
разом зависит от времени. Электрическое поле, которое воспри-
нимает атом в некоторый момент времени t, теперь есть E{r0 -j-
-*--v{t — ^о)' 0 — поле в точке rn -\- v(t — t0) в момент времени t.
Это электрическое поле заменяет то, которое первоначально было
введено соотношением (9.14) и входило в уравнение для V(t) (9.49).
Если в момент времени t0 в точке пространства г0 скорость возбуж-
дения состояния а в единице объема в единицу времени для атомов
со скоростью v есть Яа(г0, tQ, v), то макроскопическая поляриза-
ция в точке г в момент времени t, обусловленная возбуждением
атомов со скоростями в диапазоне от v до v + dv на временном
отрезке t0, t,t -f- dt0, определяется по аналогии с (9.32) как
dP(r,t) = ^ 2 {l/»uu(a. ro,to,v, О + Рьа(а. г0, *„, v, t)\ X
a <t,h
Xb[r-ro-v(t~ t0)] ka (r0) tQ, v) drodt0dv}. (9.86)

248 ГЛ. 9. ЛЭМБОВСКАЯ ТЕОРИЯ ЛАЗЕРА
Появление дельта-функции в этом выражении вызвано тем,
что вклад в макроскопическую поляризацию в точке дают только-
атомы, скорость v, точка г0 и время возбуждения t0 которых свя-
заны таким образом, что в момент времени tони находятся в точке
г. Средняя макроскопическая поляризация в точке г в момент
времени t, создаваемая всеми атомами, находится после соответ-
ствующего интегрирования соотношения (9.86)
vXa(rOyto, v)[pab(a,rQ,t0, v, *)-f-
+ Рьа («, г0, t0, v, t)) 6 [г - r0 - р (f - fo)]|. (9 87)
Можно предположить, что ka(r0, t0, v) является медленно ме-
няющейся функцией координат в том смысле, что она примерно
постоянна на расстояниях, сравнимых со средней длиной npo6eia
атома до его релаксации под действием затухания. Тогда эту ве-
личину можно заменить в (9.87) на Xa(r, t0, v) и при интегрирова-
нии по г0 вынести за знак интеграла. Интегрирование выражения
(9.87) по г0 дает
P(rtt)=& 2 f rf,
X [pnft (a, r — pt + ri0, f0, p, f) + к. cl}. (9 88)
5.2. Основные уравнения, описывающие поле излучения и ак-
тивную среду. Теперь мы располагаем всеми уравнениями, не-
обходимыми дтя полною описания поля излучения, активной
среды и взаимодействия между ними. Эти уравнения для удобства
снова перечислены ниже; там же даны их краткие характеристики.
1. Поле излучения в резонаторе, выраженное через нормаль-
ные типы колебаний:
Е B, 0^2 Ет (t) sin (Knz) cos [aat + Ф„ (/)], (9.14)
где
Кп = rrn'L. (9.4>
2. Соотношения между не зависящими от времени амплитуд-
ными и фазовыми членами уравнения (9.14) и величиной макро-
скопической поляризации активной среды (уравнения самосогла-
сованное! и)
Sjt); (9 21>
CmKt)t (У.22>

$ 5 ТЕОРИЯ ДЛЯ ДВИЖУЩИХСЯ АТОМОВ 249
где
Qm = nmcIL, (9.5)
Ст — компонента макроскопической поляризации, которая со-
ответствует т-\\ моде и находится в фазе с электрическим нолем,
a Sm — компонента, сдвинутая по отношению к нему на л/2.
3. Соотношение между макроскопической поляризацией я
матрицей плотности отдельных атомов в активной среде
Р (г, I) = & 2 f Ло f & *•* {г, toy v) X
X [pab (а, г - vt + pf0) fOl г, t) -f к. с.]}. (9 88)
4. Уравнение движения для матрицы плотности отдельного
атома активной среды в присутствии поля излучения и при нали-
чии затухания
р = -ifH, pi - 72(Гр -'г рГ), (9.30)
где
ПО] ("V 0
Матричное уравнение можно заменить системой уравнений для
каждою элемента
РаЬ = — «АаЬРаЬ — VPflb + 1^ (Раа ~ Pbb), (9-89)
РОа ^ - VaPaa + ~^(Ра6 ~ Рйа), (9-90)
Рьь « - УьРьь - ^ (Раь ~ Рьо), (9.91)
PbQ = Pab
5. Для атома, описываемого матрицей плотности p(a, r0, f0»
», 0i член взаимодействия V(t) в (9.30) включает в себя электри"
ческое поле ?{г0 4-•"(* — ^о)' О н имеет вид
Vi(*) = ^?{r0 + v (t - t0), t). (9.92)
5.3, Решение уравнений Лэмба методом итераций. Уравнения,
выписанные в предыдущем пункте, могут быть решены итераци-
онными методами. В нулевом порядке можно пренебречь влия-
нием поля излучения на населенности уровней роа, рьь, поэтому
матричные элементы рдл н pbb для атомов, возбужденных в мо-
мент времени t0, находятся из уравнения (9.90):
р'аа' (a, r0! v, t) - exp [ - уа (t — fe)l,
piVФ, r0, v, t) -= exp [— 7ь {t - ?u)].

250 ГЛ 9. ЛЭЫБОВСКАЯ ТЕОРИЯ ЛАЗЕРА
С" учетом этих решений уравпеппе (9.89) можно использовать
для вычисления раЬ и рйа в первом порядке:
PI J J У „ ж Л\
1 (П I* Т 11 П —'
/;лл .¦ -a nA^ in r* t и А -J- ^—— evn ( v it / )] Ш Q^Y
Аналогичным образом вычисляется p!,S,F, r0, '«, f. t) и т. д. Ин-
тегрирование (9.94) дает
i
pii'tfl, r0, /„, г, 0 ,-jL У&'7@е.\р [(у + i©eb)(*'-0-r-Va('o -OI-
( . -w ¦ •.> (9.9Г,>
Полученное решение можно опять подставить в (9.90), что дает
возможность вычислить раа(я, г0, ?<ь f, t) во втором порядке;
pS (а, г0, ?0, f, /") — — Удры? (д, /*oi fu, г' '") — ' ^
|'^ 1
—5— | I A1 У \1
(9.90>
Интегрирование последнего уравнения приводит к соотношеншо
V Г
'${а, Го, U, v, f) =-%2 \dt"ldt'"V{t")V{t>") X
U 1
V Г
\
X {exp [(Y + ito«h)(l'" ~ П + Т« Со - П + Va (/" - *')! + к. с.}.
(9.97>
Аналогичным образом можно найти решение для р^ (а, г0, t0, v, t)
по втором порядке:
V Г
РЙ1 (в, г„, to, ", '') = Ъ~2 j df j Л'' (О У (Г"){ехр [Ть (Г - О +
i 'о 'о
' '-f (Y + «»вЬ)(Г - О -г Va (^ - *'")] + «. с-}- (9.9S)
Чтобы провести вычисление раЬ в третьем порядке, решения вто-
рого порядка для paa и рЬ6 следует иодставить обратно в (9.8У):
t
fb (a, r0, /0, v, t) = itr1 \ dt'V (?) ечр [(у -{- шаЬ)(*' - /I x
x[pL?(«, r0) i0, Г, О-РЙ'(а, '"о, 'a- Г, О]-

§ б. ПРИБЛИЖЕНИЕ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 2Г>1
Итерационные решения, полученные в этом пункте, описывают
поведение одного атома, а сам метод позволяет найти решения
уравнений (9.30) во втором порядке для раа, р^ н в третьем по-
рядке для pafn рЬа. Эти решения теперь необходимо просуммиро-
вать по всем атомам активной среды с учетом их распределения
по скоростям и по различным моментам возбуждения tQ. Для на-
хождения макроскопической поляризации активной среды это
суммирование следует проводить по формуле (9.88), выведен-
ной в п. 5.2.
В следующем параграфе мы рассмотрим решения первого по-
рядка. В этом приближении используются нулевые порядки ве-
личин иаселепностсй раа, ръь* т. е. тем самым предполагается,
что поле излучения на них не влияет. Недиагональные же члены
вычисляются в первом порядке. Таким образом, макроскопиче-
ская поляризация определяется в первом порядке.
§ 6. Прпблпжепие первого порядка
Вклад в недиагоиальные элементы pW матрицы плотности
б момент времени t в точке г от всех атомов, возбужденных в сос-
тояние а и обладающих скоростью V, независимо от момента и
точки возбуждения, определяется соотношением
*
iff (а, г, v, t) = \ dt0 Xa (rQ = r — vt -f '*o, v, t0) X
X plS {a, ro = r-vt+ c@, t0, v, t). (9.100)
Кслп "ka{rn, v, tf,) есть медленно меняющаяся функция време-
ни (также, как п координат) в том смысле, что она существенно
не изменяется за время, необходимое атому, для того чтобы прой-
ти от точки возбуждения г0 до точки г, в которой вычисляется
матрица плотности, то ее можно ааменить на Я,а(г, о, J) и в выра-
жении (9.100) вынести за знак интеграла. Взаимодействие в мо-
мент временв V с атомом, движущимся со скоростью v а возбуж-
денным в точке г0 в момент ?0, описывается величиной
V(t') = -&Е{гь 4- v(f - t0), t'}. (9.101)
В (9.101) атомы характеризуются точной возбуждения
г0 = г — p(f — tn),
так что взаимодействие в момент t' для этих атомов может
быть представлено как
V{V) = —&Е{г - v(t - Г), t'}. (9.102)

252 ГЛ. 9. ЛОМБОВСКАЯ ТЕОРИЯ ЛАЗЕРА
С учетом (9.102) соотношение (9.95) приобретает вид
t
РдУ (а, Гц^г — vt + of, «о, о, t) = ИГ1 J &'#» X
X E{r - с (t -('), О ехр I(у + iffl^Xf - 0 + Ve Co - «')]. (9.103)
После подстановки (9.103) в (9.100) мы находим
Р& (а, г, v, t) = - m"'Aa (г, v, t) J df0 j dt'^ x
— oo Io
X ? {r-D («-(').*'> expUv + ifflabKi'-O + Va Co-Ob (9-104)
Поменяем порядок интегрирования в (9.104) следующим образом:
t t ( С
J dt^dt'Fitit',^)^ J d(' J
(9.105)
(обращаясь к рис. 9.1, мы видим, что оба двойных интеграла
в (9.105) имеют одну и ту ;ко область интегрирования на плоско-
сти tut'). В этом случае дюжно про-
извести интегрирование по t0 а
получить
paV («, Г, Р, «) = — (HHi) К (Г, V, t) X
t
X
X ехр[(у -f- шаЪ){1' - t)]. (9.106>
г
Область
'интегри-
Пда разложения электрического
поля по типам колебаний, ирове-
денном в § 2, нами учитывалась-
Рис. 9.1. Область интсгрн- только пространственно одномерная
зав иснмость. Соответственно и »
дальнейшем мы ограничимся тол1^
ко одномерным случаем, предпола-
гая, что характеризующие активную среду величины постоян-
ны в плоскости ху. В этом случае подстановка электрического
поля, выраженного через типы колебаний, в (9.106) дает (дла
удобства мы опускаем индекс 0 в обозначении Е1Ш)
t
плоскости t'tQ.
(О, Z, V, t) = -
X exp [(v + i
*a B, V, t) 2
m
X
[z-v(t- l')}} x
(9.107)
где v есть составляющая v вдоль оси г.

§ 6. ПРИБЛИЖЕНИЕ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 255
Воспользуемся приближением вращающейся волны (гл. 3,
л. 3.4) и предположим далее, что величины Em(t') и (рт(Г), вхо-
дящие в (9.107), являются медленно меняющимися функциями
времени в том смысле, что они сильно не изменяются за времена,
сравнимые с у'1, и в результате могут быть вычислены в момент г.
В этом приближении после замены т' = t — t' соотношение
(9.107) принимает вид
Яа (z, и, t) 2 Ет (t) X
X ехр[— io)mt — iq>m{t)] j dx' sin [Km(z — vx')]X
о
X exp [~ yx' ~ i {<aab - wM) г']. (9.108)
Подстановка (9.108) в (9.86) позволяет определить макроскопи-
ческую поляризацию, обусловленную атомами с составляющими
скорости v и первоначально возбужденными в состояние а:
Pll) (a, z, <;,() = - (^a/2ftVe) К (*, ^ 0 S {^m @ X
X ехр[— ia>mt — 1фт((I l^'sin [АГт(з — vt')] X
о
X ехр [- ус' - i (соаЬ - со J т'1 + к. с.}. (9.109)
Теперь нам необходимо определить вклад в поляризации
от атомов, возбужденных в состояние Ь. Так как это состояние
лежит ниже состояния я, то оно может заселяться в результате
спонтанного распада состояния а. Поэтому функция возбужденна
состояния b должна иметь вид Яь(г, v, t) + fya pao(z, v, t),
где / — коэффициент распада, характеризующий собой часть на-
селенности состояния я, которая спонтанно распадается в состо-
яние Ь. Однако здесь мы отбросим последний член, отложив рас-
смотрение его влияния до п. 7.4. В этом приближении вклад
атомов, возбужденных в состояние Ь, оценивается точно таким же
соотношением, как и (9.109), в котором лишь следует произвести
замену а на Ь и изменить знак. ,
Предположим далее, что распределение атомов, возбужденных
в состояние Ь, по скоростям аналогично распределению для воз-
бужденных в состояние я, на основании чего функции возбужде-
ния можно записать в виде
Яа(г, v, t) = Ла(з, t)W{v) для а = а, Ъ. (9.110)
Полная макроскопическая поляризация в точке z в момент вре-
мени t, создаваемая всеми атомами в этой точке в указанный мо-
мент, независимо от составляющих их скоростей и состояний,

254 ГЛ. 9. ЛЭМБОВСКАЯ ТЕОРИЯ ЛАЗЕРА ¦
в которые они первоначально были возбуждены, равна
I*" (з, 0 - - (i^/2ft) [Лв (z, t)lya - Аь (г, t)fyb] X
-(-00 00
x2{?m(()exp[-/co^-i(pm(O] J dwfdT'W((;) X
m —oo 0
X siniA'm (s - t*')] exp [- ут' - i (coab - com) г'] + к. с.}. (9.111)
Первый член в квадратных скобках в правой части уравнения
описывает инверсию населенностей между состояниями а и h
в отсутствие поля излучения. Мы обозначим его через N(z, t)
(но терминологии Лэмба N(z, t) есть плотность возбуждения).
Для исследования влияния макроскопической поляризации на
отдельную (например, /?-ю) моду, требуется найти пространствен-
ную фурье-компоненту выражения (9.111), соответствующую даы-
пой моде. На основании (9.17) имеем
о
При подстановке (9.111) в (9.17) в ишеграле появляются члены
вида
sin {Knz) sin [Km{z — v-c')],
которые можно преобразовать, применяя стандартные тригоно-
метрические формулы, следующим образом:
sin {Knz) sin [Km (z - т')} = V2 cos [{Kn -Km)z +
+ Kmvx'\ - J/2cos [{Kn + Km)z- Kmv%'\. (9.112)
При изменении z второй член правой части (9.112) быстро осцил-
лирует, поскольку соответствующая ему длина волны лежит в оп-
тическом диапазоне. Так как N{z, t) на расстояниях порядка опти-
ческой длины волны меняется лишь в малой мере, то йклад этого
члена в интеграл в среднем близок к нулю и им, следовательно,
можно пренебречь. Если, далее, первый член в правой части
разложить по формуле
V.cos \(Kn~Km)z + KmVT'] =
- Va cos \(Kn — Km)z] cos {Kmvx') —
- V2 sin [{Kn — Km)z] sin {Kmm'), (9 113)
то. поскольку функция распределения по скоростям W(u) обычно
является четной функцией v, вклад в интеграл по v дает только та
часть (9.113), которая также четна по v. Следовательно,
sin (Knz) sin [Km(z — vx')]

§ С. ПРИБЛИЖЕНИЕ ПГРВОГО ПОРЯДКА * 255
можно замепнть в @.112) па
Va cos ЦКа — Kni)z\co4 (Кит1).
В последней части этого выражения мы опустили индекс при еол-
полом числе, поскольку все рассматриваемые моды имеют пример-
но одинаковые частоты (К = ы/с). Таким образом, мы имеем
Л" B, t)=-(i^t/2L%)Il{Em(t)e\p\-i<limt-i4fm(t)] X
m
L +°° °°
X j dz j do j d%'N B, t) \V (u) cos |{Л'„ - A'm) z] X
X cos{Kvx')esp[~ yx' — i (o)ab — com) x'] -f к.с.}. (9.114)
Теперь можно произвести интегрирование по т':
'm @ exp [- mmt - щт @) X
+ 00
X7Vn_m@ j dv\V(u)Z>(o>ab-am-\-Ki;) - к. о.}, (О.НГ>)
i—OO
где
ЛГ„_т(О= 4"( dzN(z,t)cos[{Kn-Km)z]. (9.117)
о
Ограничимся здесь изучением случая, когда распределение по
скоростям описывается максвелловскоп функцией
W(v) = (ил1'2)-1 exp (-v2lu2), (9.118)
где и = BкТ/тI12, Т — температура, am — масса атома.
Для этого случая интегрирование по v удобнее произвести
прежде, чем по т'. Вернувшись к (9.114) и подставляя в него
W(v) из (9.118), мы получим следующий пптеграл:
+ 00 +О0
f dvex\>(-?¦) cos (Ких') = j rfyexp f- -?¦ + iA>x'V (9.119)
¦—OO —OO
Этот интеграл представляет собой фурье-преобразование функции
распределения по скоростям. Поскольку в нашем случае распре-
деление описывается гауссовской функцией, то ее фурье-образ
также является гауссовской функцией, которую легко можно
вычислить для последнего выражения: ил.1'2 exp (— 1/iK-u-x't).

256 ГЛ. 9. ЛЭМБОВСКАЯ ТЕОРИЯ ЛАЗЕРА
Таким образом, (9.114) принимает вид
Р<» (t) = -[Р*/BПКи)\ S {Em (t) exp [- mmt - tym (t)) X
т
X Nn_m(t)Z(<.*m~aaf)) + K. с.}, (9.120)
где
(9.121)
(штрих при т здесь опущен). Последняя функция является комп-
лексной и хорошо известна из теории Доплеровского уширения.
Ее вещественная Zr{com — coa&) и мнимая Z(-(wm — wab) части
подробно протабулированы (см. приложение О). В случае, когда
плотность возбуждения N(zt t) не зависит от координат внутри
резонатора и, следовательно, может быть обозначена как N(t),
мы имеем
tab) =
Z(mn
00
0
зхр[/(о),
V.
7(
Ku)=*
— (Hnl)) % — 7T —
tfn_m @ = 41]dz cos К^ - к^ 31 = F<0 6«-«- <9-122)
о
При этом виражепие для компоненты макроскопической поляриза-
ции приобретает следующий вид:
р«> (t) = - [&*/{2%Ки)] Еп (t) N @ ехр [ - UoJ - щп (()] Z (соп -
-<ваЬ) + к.с. (9.123)
Таким образом, в данном приближении на компоненту макро-
скопической поляризации, возбуждающую определенную моду
в резонаторе, другие моды, для которых превышены пороговые
условия, воздействия не оказывают, т. е. моды независимы друг
от друга. Подстановка (9.123) в уравнения самосогласованности
(9.21) и (9.22) позволяет определить влияние активной среды иа
амплитудную и фазовую характеристики моды:
{аа - <овЬ)- lfta/Qn}En, (9.124)
<о„ + in ~ Qa= V, <<о/ев) [^/(ЙЙГи)] NZr К - (оаЬ). (9.125)
Для стационарного решения амплитудного уравнения далее имеем
(со„ - <овь) = (?"'. (9.126)
J3 случае, когда у -С Ки, дисперсионную функцию плазмы
Z,(bin — шаь) можно разложить (см. приложение О) таким

§ а. приближение первого порядка 257
образом, что (9.12G) преобразуется к виду
2п1/2 [еЧ(Алео%с)\ {с(и) (&fe)* IN exp [ - К - ааЬJ/{Ки)Ч = (С1,
(9.127)
где X — 2п/К, а еУ(Апь'0Тгс) — постоянная тонкой структуры (рав-
ная 1/137). Приведенное выше соотношение фактически выражает
собой пороговое условие, поскольку влияние ноля излучения иа
Лг здесь учтено ие было, а в таком виде оно аналогично соотноше-
нию, выведенному для покоящихся атомов в §4. В этом случав,
однако, когда связанная с активной средой общая форма линии
я влип си существенно допетровской (т. е. 7 -С К и), зависимость
nopoia от интервала между частотой моды и центром линии а>аЬ
следует гауссовскому закону, и моя полуширину, определяемую
доплеровской шириной линии Ки.
В этом пределе приближения первого порядка пороговое усло-
вие допускает простую физическую интерпретацию.
Атомы активной среды, которые могут взаимодействовать
с определенной модой, имеющей частоту сот, обладают наблюда-
емыми в лабораторной системе отсчета резонансными частотами,
которые лежат в пределах однородной ширины линии 7 моды.
Число атомов, наблюдаемые резонансные частоты которых вслед-
ствие доилеровского сдвига находятся в интервале от ш до w -fc-
-\- ufto, равно
const-ЩКи)~1 ехр [-(со — в>аЬ)Ч(Ки)*Ыо}, (9.128)
откуда число атомов, которые могут взаимодействовать с модой
(при условии, что у <С Агы), приблизительно равно
(со — ааЬ)Ч(КиJ\. (9.129)
Если (9.129) подстанитъ в пороговое условие для покоящихся
атомов (9.60) вместо полной инверсной населенности, то мы полу-
чим пороговое условие для движущихся атомов (9.127). Интерес-
но отметить, что в последнее условие уже не входит зависимость
от однородной ширины линии 7-
Из фазового уравнения (9.125) можно получить частоту моды
в присутствии активной среды в предположении, что (р„ = 0,
которое ие приводит к потере общности:
con- о)аЬ). (9.130)
Испо.п.зуя найденное ранее пороговое условие (9.127), величину
./V можно выразить через Qn, и уравнение (9.130) переходит в сле-
дующее:
<вп - Qn + 1/2(^Qn)Zr(<an - ffleb)/Z((Mll - о>а6). (9.131)
Л МэЯтлэид, М Даин

258 ГЛ. 9. ЛЭМБОВСКАЯ ТЕЮРИЯ ЛАЗВРА
В том же, что и ранее, приближении у -< Ки иа основании данных
приложения О для (У.131) находим
*«
«)„ = Qn — ((o/ni'^B) f e*dx, (9.132)
в
где
fcn — (°Ъ» — <0o(J/Aw. (У.loo)
Иптеграл в (9.132) можно разложить до различных порядков по
(<о„— (даЬ)!Ки. В первом порядке мы получаем следующее соот-
ношение, которое описывает линейное затягивание:
(о>„ - Оя)/(о)аЬ - соп) = (о (nU2QnKu)-i = а. (9.134)
Под линейностью мы подразумеваем то, что величина «затягива-
ния» частоты активной моды соп относительно частоты пассивной
Qn прямо пропорциональна частотному удалению моды от центра
линия <йаЬ, Из последнего выражения следует, что мода всегда за-
тягивается ио направлению к центру линии. Это выражение
отличается от (У.(>2), которое было выведено для покоящими:
томов. Б перко« случае коэффициент стабилизация представ-
лял собой отношение ширины линии резонатора к естественной
(однородной) ширине линии, в то время как в настоящем случае
этот коэффициент есть отношение ширины линии резонатора
к доплеровскон (неоднородной) ширине. Если интеграл в (9.132)
разложить до второго порядна по (<о„ — маЬ)/Ки, то мы обнару-
жил/, что в этом порядке присутствует также член, дающий нели-
нейный вклад в затягивание: w _ ' ,
К - Qn)!(<»ab - ая) = [l -Ь -^ <йя ~ ааъJ/(Ки)*} о. (9.135)
Это выражение справедливо также лишь при условии у <с Ки и
показывает, что частота активной моды затягивается к центру
линии еще ближе, чем ото следует на линейного приближения.
§ 7. Нелинейная теория
7.1. Приближение третьего порядка. Добавки третьего по-
рядка p^,'(z, v, t) кпедиагональным элементам матрицы плотности
по аналогии с (9.100) равны
plV (г, v, t) =
'1
= 2 Яа(г, v, t) frf/opff (a, zo = z-ut + vlоЛо, v, О- (

& 7. ПЕЛНШ.ЙНЧЯ ТЕОРИЯ ?69
Подстановка (9.99) и (9.97) в (9.136) приводит к интогралам вида
( t f Г
К (г, v, О П~* J d(e ' dt' j dr ,' tff" F <*') Г (Г) V (Г)ехр [(Y +
—*j (a (, (,
+ i^ab) (*' - 0 I (V + Къ) ('"' - О + V* Co - П + ya (t" - t%
(9.137)
По аналогии с процедурой, использовавшейся нами при вычисле-
нии двойного интеграла в (9.КМ), в последнем выражении можно
пронести повторное изменение порядна интегрирования. Это по-
зволяет проинтегрировать но ?и, после чего интегралы приводятся
к виду
K(z, v, Oft~V j dt' J dt" j dt'"V {t')V {f)V {t'") X
— OO —00 ¦—»
X exp [(у + i*»ab) W ~ * + V" ~ П + Y« (f" - 01- (Э-138)
Заменил! здесь каждый член впаимодеиствия F(/) в соответствии
с соотношением (9.92) и подстаним затем электрическое ноле,
выраженное через моды. Поело этого мы получаем следующее
выражение для p?J(s, и, t):
X {exp [ — itopt -у- topt — mat ~ iy^ (t) -f i(pp (() — i'(jpe @1 X
X Id*' \d\" I dx"f&\n[K.b(z — vx')\ X
6 6 6
X sin[/CpB — vx' — irr")]sin[A'a<z — их' — vx" — vV")\ x
X exp [— (y — i«n -|- /to,, — iu)o + (о)яЬ) ¦%' — (ya 4- /м(, — шо) т" — ,
! + exp [— toy — шрг -
T'"sm[/^(j-tV)] X
0 0 0
X sin [Kp (з— ct' — vx")\ sin [Л'о (а — it' — vx' — vx'")\ X
X exp [ — (y — lov — /o)p + t(.H -f iit)ah) t/ —
— (Va — «op -f ia)o) t'' — (v — шаЪ + to»o) x'"|} +
-f то же самое, но с уъ вместо yai (9.139)
где нерезонансные члепы, как и ранее, отброшены.
Ограничимся теперь случаем одномодового режима. К рас-
смотрению мпогомодрвого режима мы вернемся ниже (в § 8).
И*

260 ГЛ. 9. ЛПМБОБСНАЯ ТЕОРИЯ ЛАЗЕРА
7.2. Одномодовый режим. В режиме одной моды формула
(9.139) сильно упрощается. Однако, как мм уже видели выше, для
того чтобы вычислить макроскопическую поляризацию, возбужда-
ющую моду, следует проинтегрировать (9.139) по распределению
скоростей W(v) и далее, используя (9.17), найти соответствующую-
моде пространственную фурье-компоценту. Очевидно, что при
нахождении фурье-компоненты появятся интегралы следующего
вида:
L
2 С
-j- J da tf (г, t) sin (Knz) sin [Kn (z — vx')] X
b ¦ '. '
X sin [Kn (z — vx' — vx")] siu [Kn {z — vx' ~ vx" — vx"% (9.140)
Метод вычисления подобных интегралов мы уже приводили в § 6
при рассмотрении приближения первого порядка. В данном слу-
чае мы имеем
sin (Knz) sin [Kn(z — vx') ] да 1/.i cos (Knvr'),
sin [Kn(z — vx' — vx")] sin \Kn{z — vx' — vx" — vx'")] да
да V2 cos (ЙГпут'"), (9.141)
где, как и ранее, пренебрегаетсн зависящими от координат чле-
нами, длины волн в которых соответствуют оптическим частотам.
Интеграл (9.140) приводится к виду
1UN{t) cos (Knvxr) cos (Knvx'"), . (9.142)
t
iz N{z, t). ¦ (9.143)
Таким образом, получаем
P*3* /t\ =z Цф*И(\Ъ3\ /V (f\ КЯ Pvn f— /crt / — fit) /Л1У
ft It/ **- tC-чУ /Iv.'f»' I a ? 111 iJ «tAU I ' *t ^ тЛ I JJ
-)-00 OO OO 00
X f do f dx' f dx" \ dx'" cos (A'ntV) cos {Knvx'a) x
-oo b b b
X (un1/2) exp (— v2iu2) exp [— (y + iwob — ico7i) т' — YAt"| X
X {exp [— (v -}- ШаЬ — uoA) г'"] -h exp [— (y -f io>n — icoab) т'"]} f-
. -\- то же самое, но с уь вместо уа \-
+ ком11лексно-со11])яжениие члены. (9.144)
Проведем теперь интегрирование по v. Для этого зомепим и по-
следней формуле множители, содержащие косинусы, комплексны-

i 7. НЕЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ
ни экспонентами. Для интегралов имеем рьтражеттие
± I*
(9.145)
которое описывает фурье-преобразоваиие распределения по ско-
potisiM и которое мы уже обсуждали в § 6. Эти интегралы могут
быть заменены соответственно па
{ехр [- гиК2и2 (т' - т'У\ +
— Х/Д2«2 (т' + г"У\}> (9.146)
в результате чего после интегрирования по г" (9.144) приводится
к виду
Р%} (О = (/^732ft3vJ -^ (О Е-1 ехр [- mat - (ф„ @1 X
X J th' j (/т'"{о\р 1— V4A:2/r (т' — х'"J1 -Ь
о о
-I- ехр [- V«A?«8 (х' + х'"J!} {охр [-(у -h й)вЬ - иа„) т' -Ь
+ *-'xpl— (V + iwn — i<'»«(>)t'"l}exp[ — (v -r-iwnf> —i«O"«'l +
-f- то же самое, но с yh вместо уа -\~
-\- комплексно-сопряженные члены. (9.147)
Продолжая далее процесс решения написанного выше уравне-
нии, мы перейдем к предельному случаю, когда Ки ^> у (т. е. ког-
да доплероискаи ширина .ишии намного больше, чем однородная).
Этот случай известен как «донлеровский предел», причем
ехр [_74/W(t'-t'"J1
играет примерло ту же роль, что и дельта-функция аргумента
(т' — т"'). Следовательно,
) dx' \ d\'"G{i', xw)exp [- V* (КиJ (xw - т'J1
h
Членами, содержащими ехр \—Ул{Ки)г(т" -}- т')а] в (9.147)
можно пренебречь, поскольку максимум данного гауссовского

262 гл. о. лэмьовскля 1'iioimH
множителя находится вне области интегрирования. В доплеров-
ском продело можно перейти к итерированию но т' в (У. 117)
и полечить окончательно
1? @ = (ш/№) &А (У/Ки) (YaYfr) * @ X
X \3> @) + до (оя6 - <¦>„)] ?» е\р [— i(o,,f — (ф„ 0I +
¦ . -f комплексно-сопряженные члены. (9.149)
На основании последнего соотношения мы находим следующие
выражения для синфазной и сдлип^чон на л/2 компонент, ьоторые
следует подставить в уравнения самосогласованности (9.21) и
(9.22):
У) ^N (t) {Киуауь)-] (совЬ - ©
(9.150)
Л9)(/)=- * ' "
- (л'/2/8Й3) ^ 3V @ (КиупУьГ1 [1 + V^ (маЬ - »„I ??„ (9.151)
где
5'(©вЬ-й)п)=1Тв+(о)вЬ-(оп)я|-Ч (9.152)
Уравнение, описывающее поведение амплитуды моды, таково*
/'« = I1/. Ие0) {&*1%Ки) N 2г(соп - ааь) - '/2 (о)/(?п)| ?п -
^ ь)~' [1 + у2^ (<вв* - «„)] Й. (9.153)
Отыскав решение этого уравнения для стационарного состо-
яния (Еп = 0), мы можем определить интеисивность поля излу-
чения в резонаторе, соответствующею возникновению насыщения
в лазере, т. в. интенсивность, для которой снижение инверсной
населенности, обусловленное влиянием самого поля излучения на
населенности верхнего и нижнего уровней, является уже сущест-
венным и вызывает уменьшение усиления в активной среде до
уровня, когда оно сравнивается с потерями в резонаторе.
Обычно (9.153) принято выражать через величину «относитель-
ного возбуждения», виоднмую как
/С - ЛУЛ^р, (9.151)
где Лгпор — иттверспая населенность (нли возбуждение), требуемая
для возникновений пороговой генерации а цешре аииич (Ип =»

§ 7. ПЕГШНГС1ШАЯ ТЕОРИЯ 263
«= «„(,), определяемая в приближении первого аорядка (9.127)
н равная
Дг = е %Ки\О &1Zi(Q*)\ (9 155)
Таким образом, (9.153) можно представить как
1: ш — w ,1
Л1,2^2(О j^ /Q) \{\tl2Q у
откуда интенсивность поля при насыщении
Vtll\ I ^- f<t>._ — (о
X
. (9.156)
В данном случае, когда у -С Ки, дисперсионную функцию плазмы
^i(<°n — 0)аь) можно разложить (см. приложение О) таким обра-
вом, что (У.1.Г)Н) принимает вид
который будет проанализирован в п. 7.4.
Us соображений удобства (У. 15A) можно переписать, введя
коэффициенты ап и р*„, следующим образом;
?2-ал/рп1 (9.158)
где
в
Р» ^ '/ib^^» Qn)U^Wb f а
(9.160)
Поведение частоты в присутствии насшцения можно проана-
лиуиронать, производя подстановку соотношений (9.150) и (9.123)
в уравнение самосогласованности (У.22), в результате которой
мы нардем такой вид решения ((frt мм опять положим равным
нулю);
ы„ ~ пп + сп + VllEflt (9.161)
где
(@) (9-162)

264 ГЛ 9 ЛЭМЬОВСКАЯ ТЬОРИЯ ЛАЗЕРА
И
(9.103)
При выводе выражений для этих двух коэффициентов (о„ и рп)
мы воспользовались приближением, основанным на замене соп ил
S}n. Па пороге (jf =» 1) формула (9.101) упрощается до выраже-
ния (У.Ш)) для затятвапия частоты в первом порядке теории.
Последний член (9.161), который зависит от интенсивности поля
излучения внутри резонатора, описывает эффект ухода частоты
в нем. Как показывает исследование соотношения (9.163), присут-
ствие этого члена обусловливает сдвиг резонансной частоты в на-
правлении ог центра линии. Поскольку первый член описывает
уже изученный нами аффект затягивания частоты, ю направление
сдвига резонансной частоты (к центру линии или от него) при
нарастании возбуждения зависит ог относительных величин
данных двух членов. Анализируя соотношения (9.161), (9.158),
(9.162) и (9.163), легко показать, что если прн увеличении возбуж-
дения выполняется неравенство
(9.164)
ю .резонансная часюта сдвигается от центра линии.
7.3. Населенность. Ясно, что выражением (9.97) можно вос-
пользоваться для исследования влияния поля оптического излу-
чгния ла населенности верхнего и нижнего лазерных состояний.
Иктегрирование (9.97) но времени t0 возбуждения состояния и по
распределению скоростей, проведенное в соответствии с описанной
выше siejoAHKoif, дает следующую формулу для полной населен-
ности верхнего (или нижнего) состояния:
t-h vt9) X
X 5] Я B„ ti,, v) р (а, 2п, ?„, v t). (9.165)
а=а,Ь
Подставляя сюда формулу (9.97) для Р^М», «о, 'о- и-> О И вычисляя
интегралы, мы приходим к следующему соотношению для случая
одиочастотного режима:
РааB) 0 " Aa(z, t)/\a — [ЛаB, t)Iya —
(9.166)

% 7. НШШНЬЙН'кЯ ТСОРИП 265
В режиме двух частот, вследс1вие того, что изменения постоян-
ного уровня населенности, обусловленные каждои модой, проис-
ходит независимо и имеют вид (9.101)), в изменении населенности
присутствует также «пульсирующая» компонента, связанная с по-
лем оптического излучения и имеющая частоту, коюрая близка
к разности час ют Д дв^х мод. В случае, жида у ~ уа ~3> Л <.Ки,
формула (9.Ш)) имеет вид
pua(z, t) = Aa{z, t)/ya—[Aa(z, t)lya - Ah(z, t)/yb\ X
X [aA'i + p^ h Y^i?2sin(A-0] (9.167)
и величина пульсирующей компоненты по отношению к постоян-
ной равна
уЕ.Е2 2Е.Е2 V,, лг - „„
^-^-4^^rCQS~r- (9-168)
7.4. Лэмбовскин провал и выгорание дыр. Вернемся теперь
к рассмотрению поведения и птенец иное ги ноля при насыщении,
используя формулу (9.150) или (9.158). Коэффициент ап, явля-
ющийся числителем @.158), принимаю г максимальное значение
в центре лш'чи (Qn = ыаЬ). Знаменаюлем в (9 158) служит коэф-
фициент $п. При сравнении (9.158) с выражением (9.124) становит-
ся ясно, чю ап представляет собой профиль линейного усиления.
Ширина этого профиля определяется тон частью доплеровского
контура, который лежит выше порогового уровня и, следователь-
но, зависит от относительного возбуждения. Знаменатель $п опи-
сывает характеристики насыщения, ширина коюрого существенно
обусловлена однородной шириной линии у. Таким образом, ясно,
что кривая, отражающая поведение интенсивности генерации как
функции расстройки резонатора от центра линии, вообще юворя,
имеет уплощенную вершину в центре линии, а при достаточно
большом относительном возбуждении в ней может появиться пио-
вал, лежащий между двумя максимумами. Этот провал называют
лэмбовским провалом. На основе (9.158) можно показать, что усло-
вия для возникновения двойного максимума таковы: во-первых,
расстройка от центра линии должна приводить к срыву генерации,
а разность Q*n — (оаЬ удовлетворять следующему неравенству:
Ч211 - е\р [- (Й - (лаЬJ/{Ки)*]\ > {ylKuf; (9.109)
и, во-вторых, относительное возбуждение должно превышать
определенный уровень, определяющийся из условия
Л9 > 1/A -2 №«)]'}. (9.170)
Из этих выражении ясно, что чем больше доплеровская ширина

266
ГЛ 9 JUMbOCCKAH ТЬОРНЯ ЛАЖРЛ
по сравнению с однородной шириной линии, тем лехче происходит
возникновение лэчбовского провала. Рис. 9.2 иллюстрирует фор-
му такою провала. В гл. 8 обсуждалось также явление выгорания
дыр. Это явление связано с зависимостью разности населенности
Рао — Рьь °т скорости. В присутствии поля оптическою излучении
профиль кривой, описывающей эту функцию, отчитается от обыч-
ного (доплеровского) профи ?я, соответствующего не возмущенный
атомам, тем, что имеет в случае одночастотпого ptvMiMa две выж-
женные дыры, появление коюрых связано с эффектом насыщения.
Положение этих; двух: Дыр опреде-
ляется из уравнения Ки _з ±(ion —'
— йяй). Если в решениях вюрого
порядка для рпп и phfc, которые ис-
следовались в и. 7.3, не проводя
интегрирования но скорости, пост-
роить зависимость от нее разности
паселениосгеЙ, ю эффект выгорании
дыр в профиле скоростей станет со-
иертепно ядцьпг. Прнтипл вшора-
Ш1Я Д]1>к дыр в профиле заключа-
ется в том, что поле оптческою
излучения в резонаторе носит ха-
рактер стоячих волн. Если член
возмущения для подвиичшх аюмов
((.t 92) выразить не через стоячую
волну, а через две бегущих, ю бу-
дет ясно, чго атом, движущийся со
скоростью, которая имеет составля-
ющею и, воспринимает поле излу-
чении на двух частотах юп ± Ки.
Взаимодействие аюма с полем излу-
чения становится значительным, ко-
гда одна из этих частот лежит при-
мерно в пределах однородной шири-,
ны линии резонансной частоты ато-
ма toaf,. Следовательно, существуют
два значения скорости, при которых соответствующие атомы
сильно взаимодействуют с полем излучения, в результате чего
их населенности изменяются под действием этою поля. Эти зна-
чения таковы: Ки => =fc(<on — 0)аГ)). В случае, когда резонансная
частота резонатора лежит довольно далеко (удалена более, чем
на однородную ширину линии) от центра доплеровского контура,
две дыры, соответствующие различным паселешюстям, появляют-
ся независимо. Однако при приближении резонансной частоты к
центральной две дыры начинают перекрываться и в общем слу-
чав доля инверсной населенности, участвующая во взаимодей-
Рис. 9.2. Относительная ин-
тенсивность генерации i,,n;
функция pacci ройки частот ы
от центра линии. Оплошная
крииня построена д ш пара-
метров jV ™ 2Wa и Ки - 4у
и сскнветствует соотношению
(9.157). Прерывистая ьривак
отражает доилерови.ии про-
филь усиления для числте*(Я
(9.157) Щ.

« g шюгочюдорыя putaiM 267
ствии с полем излучения, уменьшается, как и интенсивность по-
ля при насыщении. Ломбовскии провал и выходной мощности в
цешмо липни можно, мним образом, связать со слиянием дыр,
в профиле скорости.
§ 8. Многоходовый режим
13 паши намерения не входит В1>1Вод подробные решений (9.139)
для ел>чан многомодового режима. Чи ыиыь, интересующийся
этим вопросом, может ознакомиться с оригинальной статьей
Лэмба [1 ], Однако, из соображении полноты изложения мы кратко
сформулируем основные результаты этого анализа.
И случае двухмодовой генерации дифференциальные \равне-
ния, полученные на основании (9.139) и описывающие поведение
амплитуд Ех и Е2 мед, таковы:
Коэффициенты аи а2 и р\, P2 в приведенных уравнениях, каждый
из которых соошетствует только одной из мод, имеют вид (У.159)
н (9.160), характерный для случая одномодового режима. Каж-
дый из коэффициентов 0,, и 021 зависит от часгог обеих мод, ха-
рактеризуя изменение интенсивности одной моды, обуслонленное
ирис,\тствпем друюй (т. е. взаимодействие ыеичду модами). Если
ле принимать во вгги^гапие последний член и правых частях диф-
ференциальных уравнений (9.171), то в них можно узнать урав-
нения, аналошчные выведенным дли с!>чая одтючасготного
режима.
Обозначая
Х = Е\ и У=Л1, (9.172)
С1.1])ажепия (9.171) можно переписать как
к = 2Х (а, - fVY - 012Г), Y - 2Г (а, - ^Y - 0лХ). (9.173)
Условия, соответствующие стационарному состоянию генера-
ции, находятся из (9.173), если положить X = О, У = 0. Очевнд-
ио, что одномодовому режиму соответствуют два возможных ре-
шения, а именно
X = 0, Y = а2/ра;
(9.174)
г = о, х - в1/р1(

268 ГЛ. 9. ЛОМБОВСКАЯ ТЬОРИЯ ЛА.ЧГ.РА
в то время как третье возможное решение имеет вид
(9.175)
Каждое из уравнений (9.175) описывает прямую линию (Lj и
L2) в плоскости XY, и если точка пересечения этих двух прямых
лежит в верхнем правом квадранте плоскости, то она соответ-
ствует возможному решению для двух мод. На рис. 9.3 — 9.5
Рис. 9.3. Фазовые кривые, описывающие подоходные режимы для двухмодо-
вой генерации. Прямые линии Ll и Ьг, задаваемые выражениями (9.175),
построены для значений коэффициентов а, — 1, сса = 0,4, (^ = ря — 2,
f*ia = 621 = 1. Хотя пороговые условия и превышены для обеих мод, бла-
гоприятные условия генерации X в состоянии подавить генерацию У [lj.
отражены эти решения для различных значений параметров ас,
Р, 0]2 и т. д. При определенных условиях (рис. 9.3) возможен
только одномодовыи режим, в то время как для других условии
(рис. 9.4 и 9.5) допустима генерация либо на одной, либо на мно-
гих модах.
Для того чтобы определить, которое из различных стацио-
нарных решений соответствует устойчивым состояниям генерации,
необходимо исследовать устойчивость этих решений. Пользуясь

Рис. 9.'t. То же само;;, что и на рис. 9.3, за исключением параметра усиле-
ния а2 для BTOpoii моды, который увеличен до а8 = 1. Происходит одновре-
менна! генерация на обеих частотах при наличии еднпствеиишо устойчивого
стащюиариого состояния [1].
Рис. 9.5. Фазовые кривые, описывающие переходные режимы для двухып-
довон генерации. Прямые линии Lt и L, (У.175) построены для значений
коэффициентов ott = а3 = 1, р\ = рв = 1, 91Я = 9Я1 = 2 (сильное взаимо-
дейсюие). Имеется два возможных устойчивыт стационарных состояния,
каждое из которых соответствует одночодоному релшму. Ь'онкретно до-
стижимое состояние зависит от начальных условий [1].

270 гл- 8- ЛОМБОВСИАЯ ТЕОРИЯ ЛА it:РА
методом графического интегрирования дифференциальных урав-
нений (9.173), Лэмб достаточно наглядно смог проиллюстрировать
устойчивость различных решений для стационарного сосюяння.
Результаты такого анализа отражены на рис. 9.И — У.5 в виде фа-
зовых кривых, помеченных стрелками. Кривые соответствуют пе-
реходным характеристикам в состоянии К'нерации и описывают ei>
начальный нестационарный период в процессе приближения к ста-
ционарным условиям.
Па рис, д.'Л все фазовые кривые сходятся к решению для ста-
ционарного состояния (Y = 0, X = 0,5). соответствующему одно-
подовой генерации. Это означает, что «история» установления ге-
нерации ие мграет роли и что найденное решение представляет
собой единственно возможное состояние генерации. В случае
}шс. 9.4 кривые носят сходный характер, однако здесь устойчивое
решение соответствует генерации па двух модах. В ситуации ни1,
отраженной на рис. 9.5, фазовые кривые сходятся к диум. стацио-
нарным решениям, каждое из которых соответствует одиомодово-
иу режиму. Оба этих состояния являются, таким образом, устой-
чивыми, но стационарная генерация, па которую выходит поло
оптического излучении в конкретной ситуации, определяется исто-
рией системы (т. е. местонахождением начала переходного состо-
яния на плоскости XY).
Частоты генерации в случае двух мод даются соотношениями
Vl = Q, + ffl + Pitf? -f Tl2?i,
о 9 (U. l-(l>
Q + E + Е
Как и для одмомодового режима, каждый из коэффициентов
О[, с2 и р,, (t2 относится только к одной моде и имеет иид (9.102),
(У.ЮЗ). Взаимодействие между модами описывается последним
членом в правой части (9.17E), каждый из коэффициентов G]3 и
0л зависит от частот (Qt и й4) обеих мод.
Анализ (9.139) показывает, что поляризация активной среды
в третьем порядке имеет компоненты, которые осциллируют
на всех возможных частотах вида (ыц — ыр + оH), и, следова-
тельно, даже в случае двухчастотпого режима в пей присутствуют
компоненты с частотами ыз -» 2ша — <Oj и «о ™ 2(ох — ш2. Эти
компоненты расположены очень близко к резонансным частотам
основных мод резонатора, меньших Qi(Qfl) и больших Q2(Q3).
Из уравнений Максвелла следует, что если в поляризации при-
сутствуют эти компоненты, а их частоты лежат вблизи основных
резонансных частот резонатора, то они также существуют как по-
ля излучения внутри него.Это — так называемые комбинацион-
ные тона. Квазитрехчастотный режим может возникнуть даже
в случае, когда линейное усилении аэ, соответствующее третьей

$ 3. ВШОГОМОДОВЫЙ РЕЖИМ 271
моде, отрицательно. Например, для наблюдения комбинацион-
ного тона со' настройку резонатора следует произвести таким
образом, чтобы его резонансная частота Q2 несколько превышала
резонансную частоту атома ыаь- При этом можно с уверенностью
ожидать, что с увеличением уровня возбуждения среды пороговые
условия генерации начнут выполняться для моды резонатора
с частотой ?>х прежде, чем для моды с частотой Qa. В этом случае
наблюдение комбинационного тона, лежащего вблизи резонансной
частоты Q3, возможно вплоть до состояния, при котором линейное
усиление, соответствующее этой частоте, не станет положитель-
ным и не возникпет ужо настоящая трехмодовая генерация.

Глава 10
КОГЕРЕНТНОСТЬ
§ 1. Введение
4
В последние годы классическая теория когерентности достигла
значительных успехов в попытке более точного определения кон-
цепции когерентности, а также в описании более широкого кр>ы
когерентных явлении. В основе этих достижении лежит как
проведение оригинальных экспериментов с тепловыми источни-
ками, так и появление лазера, излучение которого имеет статисти-
ческую природу, or тчающуюся от природы тепловых источни-
ков. Для изучения оптической когерентности применимы и клас-
сические, и кнаиговомеканичеекие методы. Однако, квантовое
рассмотрение (основанное на использовании матрицы плошости)
требует более полной спецификаций системы, чем классическое
приближение. Хотя в развити квантовой теории когерентности
и был достигнут значительный прогресс, тем не менее классиче-
ское приближение предоставляет несколько более легкою воз-
можное! ь для получения результатов.
Настоящая глава начинается с введения в современную (клас-
сическую) теорию. Вводимая здесь более точная терчино ютия
иллюстрируется разбором некоторых известных и хорошо понят-
ных экспериментов но исследованию когерентности. Обс\/ьдаюгся
также основные отличия лазерного излучения от теплового и вли-
яние этих различий па результаты более сложных экспериментов
по когереншосги
§ 2. Элементарные пришп им и определения
Понятие временной koi орет нос ги можно ввест и в процессе
рассмотрения схемы интерферометра Майкельсона (рис 10 1).
Непрерывный световой луч от небольшого источника // делится
(по амплитуде) частично прозрачным посеребренным зеркалом 3
на два луча. Эти лучи проходят различные по длине пути, после
чего вновь перекрываются в плоскости Я. Если внесенная таким

ut
*.
Z
/
/S ¦ 1
1
5 2 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРИНЦИПЫ II ОПРЕДЕЛЕНИЯ 273
образом в лучи разность хода меньше определенной величины
«,@,, с которой связана относительная временная задержка
fitor = ^кт^! то в плоскости П наблюдаются интерференционные
полосы. Факт образования полос означает, что в фиксированной
точке свегопого луча существует корреляция между оптическим
возмущением в момент tx и оп-
тическим возмущением в мо-
мент t2 при условии, что \ty —
— ?2! ^ тког- Временное запаз-
дывание тког известно как ере-
мя когерентности света, а раз-
ность хода Snor —как длина ко-
еерептпости.
Полную интенсивность све-
та можно рассматривать как
сумму различных частотных
компонент в диапазоне oi v до
v + Av. Между временем ко- Рис. 10.1. Интерферометр Манкель-
герентности и эффективной ши- сона.
рииой линии света Av сущест-
вует простая связьг которую можно установить следующим об-
разом.
Свет является когерентным во времени в некоторой точке
только на протяжении определенного отрезка времени At, такого,
что число проходящих максимумов с частотой v не превышает
больше чем на единицу число проходящих максимумов с часто-
той v + Av, т. е. А? представляет собой время, в течение которого
различные максимумы интенсивности остаются синхронными.
Потому
{v + Av)A/ — vAf ^ 1, Av At <! 1. {10.1)
Равенство в A0.1) определяет время когерентности тког. Свет
называют квазимонохроматическим, если
Av/v < 1. A0.2)
Квазимонохроматический пучок {который предполагается ли-
иейяо поляризованным) можно представить действительной функ-
цией вида
E(r, t) = A{r, t) cos (<p(r, t) — 2nvt]. {10.3)
Па отрезке времени, большом по сравнению со временем ко-
герентности, величины А и ф следует рассматривать как случай-
ные функции времени, а для временных интервалов, коротких
по сравнению со временем когерентности, А и ф остаются при-
близительно постоянными.
•" А Мэйгдэпя М Дани

.274
ГЛ 10 КОГЕРЬНТПОСТЬ
странства
понятие
Рис 10.2 Схема эксперимента Юнга
Наблюдение таких интерференционных эффектов, как ш интер-
ферометре Майкельсона, укашваег на существование фазовой
связи между перекрывающимися лучами, и, следовлельно, в ин-
терферометре за время запаздывания в величины А и ф в средне*
вяося1ся лишь незначительные флуктуации
Выше мы обсуждали понятие когерентности, основываясь не
корреляции поля излучения в два разтичные момента времени, ио
в фиксированной точке про-
Введем теперь
пространственной
рассматривая
корреляцию поля излучения
в двух различных точках
пространства в один и тот
же момент времени на при-
мере эксперимента Юнга со
щелевыми диафраг мамк
(рис. 10 2) Предположим,
410 протяженный свеипции-
ся источник располо/ьоп на
расстоянии R, большом по сравнению с ею протяженностью
Д^х, от экрана, в котором выречапы две диафрагмы Si и Si%
уда генные друг от дру1а на расстояние Lx (Диафра[мы выре-
заны поперек во шовою фроша ) Д ш исследования простран-
ственной коюрещиоспс поля излучения изуча гась корреляция
между полями в точках Sy и S% в фиксированный момент
времени Наиболее удобным методом для такою исс 1едования
является наблюдение интерференционных полос от полей, неро-
ьрывающичся в точке О, которая находится на одинаковом рао-
сюяиии от Sx и S, Появление по toe считается доказательством
наличия KorepeiiiHociH
Выводя точку О и"* симметричного положения, можно иссле-
довать корреляцию между полем излучения в точке S\ в момент
времени tx н полем излучения в точке S2 в момент /., причем
I/ / I = i—1- I/O? ОЧ I МП й\
Условие пространственной когерентности между ичлу чеииеи
в Sf и S2 выводится следующим образом. Рассматриваемый ис-
точник состоит из совокупности независимых осин 1ляторов(
каждпи из которых излучает в обе щели. Для опредетенного
осциллятора Яг между излучениями, достигающими 52 и S2, име-
ется ра)ность хода i\Sx—PiSy Коюренпюсть между St и 5а й«-
блюдается при условии, что изменение эюя разности хода в про-
цессе перехода от какого-либо одного элемента источника к дру-
гому меньше, чем эффективная длина волны излучения Только

$ 2. ЭЛЕМЕНТАРНЫ В ПРИНЦИПЫ И ОНРВДЕЛВНИЯ 275
для :эгого условия сохраняется фазовое соотношение между по-
лями в Si и S-i при суммировании по всем источникам. Имеем
Следовательно,
\P1S1 - P^j » MXLJR. A0.6)
Разность хода при симметричном расположении равна нулю
и поэтому д.чя пространственной когерентности на щелях должны
выполняться условия
Мх LJ11 < X, Д|„ ДО,, < X. A0.7)
Выше при рассмотрении временной и пространственной ко-
герентности припленалось волновое описание поля излучения.
Однако полезно проанализировать те же самые эксперименты для
фотонов. Для этого требуются соотношения неопределенности для
фотонов, которые можно написать в следующем виде:
АрхАх ~ h, ApuAy ~ ht ApLAz ~ h. A0.8)
Поло;кслие осей показано на рис. 10.1 и 10.2 (ось z выбрана
ва направление распространения).
Рассмотрим сначала эксперимент Юнга, использовавшийся
вами дли определения пространственной когерешпости. Наблю-
дая излучение от источника, мы тем самим локализуем место-
положение фотонов с точностью, которая определяется размера-
ми итого источника (А1Х, Д/„). Первые два соотношения можно
теперь использовать для нахождения неопределенности в х-
я (/-составляющих импульса фотона, с которыми связана угловая
неопределенность в направлении его испускания. Последняя,
если рассматривать только отклонение но оси ху есть
Д0^ - VMX, A0.9)
так как
Pi - h/X. A0Л0У
Если щели лежат в пределах угловой неопределенности, то
установить, через какую из них проходит фотон, невозможно.
Как уже было показано, именно при этом условии наблюдаются
пшерфереициониые полосы и поле излучения на двух щелях
является пространственно когерентным. Если же щели удалены
Друг от друга больше, чем на величину угловой неопределенности,
to можно указать, через какую щель прошел определенный фо-

27A ГЛ. 10. КОГЕРЕНТНОСТЬ
тон. Это, как тоже было показано, соответствует случаю, ког-
да поле излучения на двух щелях пространственно нскоге-
рентно.
Эксперимент с интерферометром Майкельсона также можно
рассмотреть с позиций принципа неопределенности. Третье соот-
ношение можно написать в несколько ином виде! если использо-
вать формулу
¦ АЕ - Apjc - h Av A0.11)
и выразить Az через временную неопределенность ' •
с At = Az. A0.12)
Подстановка A0.11) и A0.12) в третье соотношение неопределен-
ности дает
At Av ~ 1. A0.13)
Величина Av определяется природой источника (и может быть
связана со временем жизни излучающих частиц или со стабиль-
ностью генератора). Если схема эксперимента такова, что в ней
отсутствует относительное запаздывание по времени между
двумя лучами, превышающее обратную величину ширины спект-
ра источника, то в соответствии с принципом неопределенности
нельзя обнаружить фотои конкретно в одном или, наоборот, в дру-
гом плечах интерферометра (без проведения дополнительных
экспериментов, которые однако привели бы к исчезновению эф-
фекта). Таким образом, следует считать, что фотон движется
и обоих плечах. Мы уже показали, что соотношение, аналогичное
A0.13), является условием формирования полос и для случая вре-
менной когерентности. Когда разности хода настолько велики, что
становится возможным локализовать фотон в одном или в другом
плече, то полосы более не образуются и временная когерентность
исчезает.
На основании результатов двух описанных выше экспери-
ментов можно сделать следующее общее утверждение: две точки
(и пространстве нли во времени) поля излучения когерентны
только в случае, если с учетом принципа неопределенности не-
возможно указать, в какой из этих двух точек находится данный
фотон. По словам П. Дирака, «каждый фотон интерферирует
только с самим собой. Интерференции между двумя разными
фотонами никогда не происходит» [1].
Пользуясь соотношениями неопределенности, можно ввести
понятие о ячейке в шестимерпом фазовом пространстве фотонов,
объем которой даетси выражением
ApxApvApLAxAyAz = A3. A0.14)

5 2. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРИНЦИПЫ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ 277
Эга ячейка есть наименьший объем фазоиого пространства,
доступный экспериментальному наблюдению предел, вытекаю-
щий из принципа неопределенности. Можно локализовать фотон
в определенной ячейке, но нельзя определить его положении
внутри нее. Сказанный с ячейкой в фазовом пространстве объем
когерентности есть
AVkop = СТКОгЛкоп {10.15}
где т|ПГ —время когерентности, а Атг — площадь когерентно-
сти (которую можно ввести как обобщение использовавшегося
выше одномерного аргумента). Объем когерентности представляет
собой пространственный объем, соответствующий элементарной
ячейке фазового пространства фотонов.
Pjic. 10.3. Соотношение! между объемом когерентности и элементарной
ячейкой фазового простраиства.
Т1то5ы это продемонстрировать, рассмотрим эксперименталь-
ную схему, показанную на рис. 10.3. В точках наблюдения Рг
и Р2 объем когерентности излучения, исходящего от источника
площадью ДЛ5, можно найти, подставляя {10.1) и {10.7) в {10.15):
&Vmr = %2П*с/(АЛ3 Ах). A0.16)
Воспользуемся теперь принципом неопределенности при из-
мерениях, проводимых в двух точках наблюдения, />, и Р2, кото-
рые разделены расстояниями Asx, &$u, Д,чг. Определение местопо-
ложения фотона п одной из точек наблюдения соответствует
измерению его х- (и.чи у-) составляющей импульса с неопределен-
ностью
A0.17)
Неопределенность импульса в направлении оси z, как и paHeet
есть
APi = h Ыс. A0.18)
Таким образом^ в плоскости наблюдения
Apxbpy&pt = А3ДЛвД\7(ХгЛгс). A0.19)

278 ГЛ. 10. КОГЕРЕНТНОСТЬ
Простраяствеппыя объем в точках наблюдения, соответствующий
алементарпой ячейке фазового пространства, находится путем
нодспшовки выражения A0.19) в A0.14):
AxAyAz = x2r2c/(aas&x). A0.20)
Сравнение A0.1(>) с A0.20) приводит к соотношению между
объемом когерентности и пространственным обьемом элементар-
ной ячейки. Для того чтобы излучение было когерентным о двух
точках, должно выполняться условие
Д5аДяиД^< ДГКОГ = AxAy&z. v ' A0.21)
Число фотонов в одной ячейке фазового пространства (которое
соответствует числу фотонов в объеме когерентности в реальном
пространстве) известно как параметр вырождения излучения б.
По своей природе фотоны являются тождественными чнстица-
ми (подчиняющимися статистике Бозе — Эйнштейна). Два фо-
тона можно отличить между собой лишь тогда, когда они занимают
различные положении в пространстве или обладают разными
импульсами. Невозможно определить положение п импульс фо-
тона с большей точностью, чем позволяет ячейка фазового прост-
ранства, содержащая этот фотон. Следовательно, два фотона,
которые принадлежат одной и той же ячейке фазового прост-
ранства, полностью тождественны и никакой эксперимент не
v состоянии обнаружить различие между ними. Таким образом»
предыдущее утверждение теперь можно обобщить следующим
образом: каждая ячейка в фазовом пространстве интерферирует
только сама с собой.
Наибольшие значения параметра вырождения, которые могут
бычь получены в. случае тепловых источников, порядка 10~3г
в то время как для лазерных источников эти параметры достигают
епаченин 1014. Когда б < 1, излучение является невырожденным,
ври 6 ^> 1 оно имеет высокую степень вырождения.
§ 3. Классическая волновая теория когерентности
Математический аппарат для анализа когерентных явлений
с помощью классической волновой теории был разработан, в ос-
HORiroM, в работах [2], где для описания реального поля использу-
ется представление аналитического сигнала (мы поясним это ни-
же), и 13]. Мы рассмотрим только скалярную формулировку
этой теории, воспользовавшись однако представлением аналити-
ческого сигнала, поскольку это приближение обычно применяется
в наиболее фундаментальных работах (хотя для простей-
ших задач адекватным является и представление реального
поля). 5 v - ¦

5 3. КЛАССИЧЕСКАЯ ВОЛНОВАЯ ТЕОРИЯ КОГЕРЕНТНОСТИ 279
Предположим, чп> поле излучения в некоторой точив г в м«-
мспг времени t может быт], описано действительной скалярной
функцией V'(r, t), которая, например, представляет собой вели-
чину одной составляющей электрического или магнитного поля.
Па самом дело для полного описания поля часто требуется при-
влечение векторной функции, но в связи с тем, что мы собираемся
рассматривать распространение излучения только под малыми
углами и не будем учитывать поляризации, скалярное прибли-
жение является вполне удовлетворительным для разработки
большинства фундаментальных допросов классической теории
когерентности. Для знакомства с векторной формулировкой чи-
татель может воспользоваться работой 14].
Введем комплексную аналитическую функцию (аналитиче-
ский сигнал) V(r, t), связанную с Vr(r, t) следующим образом.
Предположим, что фурье-образ функции Vr(t)(a которой мы
опустим пространственную переменную, оставип лишь время)
есть V'(v), Тогда
Гг(/)= j V(v)exp(—2niW)dv. A0.22)
Па основании теоремы об обращении имеем
Vr(v)= j Vr(t)oxyBnivt)dt. ' ' A0.23)
Если в последнем равенстве заменить v на —v, тэ
\ -2.-iivl)dv= [Vr(v)}\ A0.24)
где звездочка обозначает комплексно-сопряженную величину.
Это показывает, что компоненты V'(v) с отрицательной частотой
ке несут дополнительной информации по сравнению с той, которая
содержится в компонентах с положительной частотой (т. е. вся
«информация» о действительной функции содержится либо в од-
них юлько компонентах с положительной частотой! либо в од-
них — с отрицательной).
Следовательно, мы можем отбросить отрицательные компо-
ненты Fr(v), пе теряя при этом информации о полех и определить
комплексный аналитический сигнал как
V (t) = j V (v) exp (- 2пЫ) dv, A0.25)

280 ¦ ¦ гл, ю, когерентность
где &**
p(v) = 2V>(v). A0.26)
Допустим, что V(v) имеет форму
¦ ¦ a(v)exp [гФ(\'I, A0.27)
где а(\) и Ф(у) — вещественные функции. Тогда, если заменить
в A0.22) v на — v ¦
j niv0dv ' ' A0.28)
и сложить полученное выражение с исходным, то мы найдем
V(t)= \a(v)cosl—2nvt + <&(v)]dv. A0.29)
о
Это показывает, насколько удобным является представление ана-
литического сигнала. Приведенное выше уравнение описывает
действительную полевую функцию как суперпозицию различных
(действительных) частотных компонент, имеющих разные ампли-
туды и фазы, и в самом общем виде определяет полихроматическое
иоле излучения. Представление аналитического сигнала позво-
ляет связать комплексную экспоненциальную функцию с дейст-
вительной гармонической функцией и тем самым обобщить мето-
дику, обычно применяемую при рассмотрении монохроматиче-
ского излучения, на полихроматическое (в случае монохрома-
тического излучения аналитическим сигналом, соответствующим
реальному сигналу а0 cos Bnvt)y является а0 ехр Bnivt)). Кромо
того, отпадает проблема отрицательных частот (которые несу г
избыточную информацию). Как будет показано niijrte, аналити-
ческий сигнал особенно удобен для рассмотрения квазимонохро-
матического излучения.
Между аналитическим и реальным сигналами существует про-
стое соотношение. Если мы введем еще определение другой дейст-
вительной функции
00
Ff(/)= f a (V) sin I — 2я\* + ф (v)] dv, A0.30)
о
то, иомбинируя A0.20) и A0.30), можно убедиться в том, что
V(t) = V(t) + iVl(t). A0.31)

§ 3. КЛАССИЧЕСКАЯ ВОЛНОВАЯ ТЕОРИЯ КОГЕРЕНТНОСТИ ЭД
Действительная функция, следовательно, представляет собой
вещее i венную часть аналитического сигнала. Для того чтобы по-
лучить аналитический сигнал по известному реальному,, восполь-
зуемся следующим преобразованием:
V(t) = V'(t) + UI[Vr(t)]t A0.32)
где II[V>(t)] — преобразование Гильберта функции V'(t)
П?Жг ^ A0.зз)
а Р обозйачает главное значение интеграла при t' = t (см. при-
ложение А о преобразованиях Гильберта).
Теорема об обращении аналитического сигнала гласит:
J V (t) exp Bni\t) dt для v > 0.
A0.34)
Па основании A0.25L A0.29L A0.30) и теоремы Парсеваля
можно noKaaaTbj что
J [vr(t)]4t J J
. A0.35)
J
Аналитический сигнал имеет особенно удобную форму для
квазимонохроматического излучения (Av <^ v). Допустим^ что
аналитический сигнал можно записать как
V(t) = a(t) exp [~2nivt + i<b(t)], A0.36)
где a(t) а Ф(г) вещественны. Соответствующий реальный сигнал
есть
\rr(t) = a(t) cos [—
Воспользовавшись формулой A0.23), находим
во
a (t) exp [/Ф (t)] = j F (v) exp [ - 2д/ (v — v) t] dv. A0.38)

282 ' ; ГЛ. 10. КОГЕРЕНТНОСТЬ • *
Заменим v ~ v на ц и обозначим g(ji) = V(\i -f v). Тогда
во
)]= J g(\i)exp{—2ni[U)dii. A0.30)
Условие квазимонохроматичности состоит в той, что функция
) существенно отлична от нуля только для значений ||л| ^ Av,
где Av ¦< v. В этом случае очевидно, что выражение в левой
части последнего равенства содержит компоненты с частотами,
много меньшими, чем средняя частота поля v. Функцию a(t), таким
образом, можно рассматривать как амплитудную огибающую,
которая медленно меняется на отрезках времени, Сравнимых
с v-1, и которая модулирует волну частотой V. Когда a(t) содер-
жит частотные компоненты, сравнимые с v, понятие огибающей
утрачивает свою ценность, хотя соотпошепия A0.36) и AU.39)
и продолжают оставаться справедливыми. Фазовая функция Ф({)
в этом ириближеиии также является медленно меняющейся функ-
цией времени. Следующие соотношения позволяют найти реаль-
ный сигнал по аналитическому:
Мы показали, что a(t) и Ф(() меняются медленно за времена»
сравнимые с v-1. Однако очевидно, что они начинают заметно
меняться за времена, сравнимые с Av-1, поскольку содержаг
компоненты с частотами порядка Av. С величиной Av мы связы-
вали время когерентности:
т1ЮГ ~ Av-1;
следовательно, время когерентности представляет собой верхний:
предел интервала, на котором амплитуда и фала квазимонохрома-
тнческой волны эффективно являются постоянными.
Перед тем как перейти к рассмотрению классической теории
когерентности с использованием аналитического сигнала, необ-
ходимо в этом контексте более внимательно подойти к условиям
применимости фурье-аналнза. В A0.34) предполагалось, что
функции Vr(t) определена для всех значений (, в то время как
в дейстннтелышеш она конечна (или может быть измерена) только
иа некотором интервале времени — Т ^. t^. Т. И большом числе
случаев Т обычно велико по сравнению с такими фи.шчески важ-
ными временными интервалами, как v-1 и тког, так что в пределе
удобно взять 71—»-оо. В этом пределе, однако, такие величины,

5 3. КЛАССИЧЕСКАЯ ВОЛНОВАЯ TkOfUtt KGI ЬРЫШЮСТИ 283
как средняя по времени интенсивность на этом отрезке, тоже
должны стремиться к конечному пределу. Другими словами,
предел
-If
Iim J- \lVr(t)fdt A0.41)
-т
должеп быть конечен, откуда очевидно, что ] [Vr(t)]2dt рас-
— то
ходшея. В то нее время условие того, что функция предстакима
в виде интеграла Фурье, состоит в том, что она должна быть
квлдратичпо иптегрируомоп. Чтобы преодолеть эту трудпость
и иметь возможность использовать анализ Фуры^ введем сле-
дующую «обрезанную» функцию:
r{t) ЛЛЯ ]t]<T> ПО 421
0 для |t|>r. A° г)
интеграл Фурье от которой есть
КбрМ^ J Vor,P(v)oxp(-2nivt)dv. A0.43)
— за
Аналогичным образом определим «обрезанный» аналитический
сигнал
ЕЮ
Уобр @ = |" Vonp (v) exp (- Znivt) dv, A0.44)
о
где V06p(v) = 2Prtfp(v), как и вышо.
Для обрезанной функции справедливо соотношение^ подобное
A0.33):
f \ ^\^ M dv-
A0.45)
еде ' ' •
GWl) (v) - Говр (v) V«P(v)'2r. A0.4G)
Последним шагом является переход к пределу Г-*-оо. Во
многих представляющих интерес случаях выясняется, что пра
переходе к эюму пределу функция Gu6p(v) u« стремится к ой-

284 ГЛ. 10. КОГЕРЕНТНОСТЬ
редел сипом у значепиго, а осциллирует. Для преодолеппя тготт
трудности к фупкдии G06P(v) прнмепягот метод «сглэжибппня»,
в основе которого лежит присущая полю излучения статистиче-
ская природа. Мы оставим дальнейшее рассмотрение этого про-
цесса до того момента, ко1да будут изложены статистические
понятия, на когоры\ базируется классическая теория когерентно-
сти. Ото будет сделано в следующем параграфе. Далее мы не-
будем каждый раз явно пользоваться обрезанной функцией, но
соответствующие выражения для нее можно легко получить из
тех, которые будут приведены.
§ к. Вероятностное оннсание классического
ноля излучении
Поскольку первоначально классическая теория когерентности
была сформулирована для описании света от тепловых источников,
в данном параграфе мы основной упор сделаем на анализе раз-
личии между гаьим светом и изучением лазера. При этом станет
ясной ограниченное!ь некоторых меюдон, использующихся для
описания излучения топ юных источников. Обсуждение вопроса
о том, как следует модифицировать традиционную теорию, чюбы
попытаться описать различные статистические характеристики
света от лазера, мы отложим до следующею параграфа.
Свег, испускаемый тепловыми источниками, можно рассмат-
ривать как состоящий из последовательности случайных полко-
вых цугов (различные волновые ц>1И испускаются разными
независимыми излучателями, из которых состоит источник).
Таким образом, поскольку Vr(l) есть суперпозиция большого
числа независимых друг о г друга фурье-кочпоненг, то она ял-
ляется флуктуирующей функцией времени [5—7] и предеглвима
га>ссовской случайной функцией времени с нулевым средним
18]. (Пока мы рассматриваем только реальную функцию, ниже
мы обобщим наши представления и на аналитический сигнал.)
В случае лазерного света фурье-комноненгы не шияются
полностью независимыми, так как атомные источники почя воз-
действуют друг на друга {вынужденное испускание). Однако»
ядесь существуют определенные случайные флуктуации, обуслов-
ленные присутствием спонтанного испускания. В дальнейшем
в § 12 мы вернемся к этому вопросу, ко[да будем рассматривать
лазерное излучение как суперпозицию гармонически* номиопепс
(мод) с фиксированными амплитудами и случайными фа ымн
с гауссовскими компонентами, соответствующими снопинпом у
испусканию (а такте теплоиым и механический неустойчивоегям).
В общем случае, следова(ельио, амплитуда волны Vr(t) флук-
туирует случайным образом и ее поведение никогда пе яьияется
полностью вредскл j> о м ым. С> щестну ет д на пути на \ ол* донн я

5 4. ВЕРОЯТНОСТНОЕ ОПИСАНИЕ ПОЛЯ ИЗЛУЧЕНИЯ 285
среднего эпачепия для Vr(t). Мы можем рассматрииать эту ве-
личину как типичный элемент ансамбля, состоящего из всех
возможных значений амплитуд поля. Каждому элементу при-
надлежит своя плотность вероятности
p[VT(t)]d[VT(t)}f A0.47)
являющаяся вероятностью того, что в момент t амплитуда поля
(в определенной точке) имеет значение, лежащее между Vr(t)
и {V(t) + t2[Vr(?)]}- Для теплового излучения эта плотность
вероятности имеет гауссовский вид. Статистическое среднее (по
ансамблю) от Vr(t) таково:
VT(t)p[Vr(t)]d[V'(t)]. A0.48)
В другом случае мы можем взять среднее по времени от V1 (t)
+г
<У (()>вр = lim ± С Vr @ dt. {ЮМ)
т—<• Z1 j!T
Для света от тепловых источников плотность вероятности
не зависит от выбора начального момента времени (такие поля
иазмиаюг стационарными) и, если сделать предположение об
эргодичности, то
. (Ю.50>
Эти статистические представления можно обобщить, и ведя
условные шютности вероятности, такие, чго
является вероятностью того, что поле в точке rt в момент tx имеет
величину, заключенную между Fi(/|) и {F,(/,) + ^[F,{f,)]}T
в точке г2 в момент /г — между V2(t2) и {V2(t2) -f- c/iV2(f2)]J и т. д.
Если F[V$t$, ^2(^I ¦ • ч ^п(*пI — некоторая функция полей
в этих пространственно-временных точках, то мы можем внести
средние значения утоп функции чем же способом, что и ранее:
= lim Y
Y ^li^^MUI AL (,o.r,3>
J 2 Г

2tfG гл. ю. kofkpchthoctl
§ 5. Когерентность второго порядки и функция
взаимной когерентности
Из предыдущего обсуждения вопроса о связи между когерент-
ными свойствами снега и эффектом образования иптерференцигш-
ных полос в интерферометрах различного типа мы могли видеть,
что традиционно когерентность связана со способностью двух
световых лучей давать интерференционные полосы при их совме-
щении. Эти два снеговых луча могут испускаться одной точкой
в пространстве в два разных момента времени (как в интерферо-
метре Майкельсона) из днух пространственных точек в одни
и тот же момент (симметричное положение в эксперименте Юнга)
или из двух различных точек в пространстве в разные времена
{произвольное расположение в опыте Юнга). Когерентные явле-
ния такого рода классифицируют как эффекты второго порядка,
поскольку они описываются плотностями вероятности второго
иорядка *).
Как пространственные, так и временные когерентные эффекты
второго порядка характеризуются одной функцией — функцией
взаимной когерентности 12]. Как было найдено, за исключением
особых случаев, ;>ти дна рода эффектов не являются независимы-
ми. Если аналшическиЙ сшнал, представляющий собой светоноо
возмущение в точке г1 в момент времени f + т, равен V^t -f т)м
а в точке г2 в момент t равен V2(t), то функция взаимной когерет-
ности определяется как
+т
Г» (т) = Q\ (t + х) V\ (фар = lim ± f \\ {t + т) Vl (t) dt.
. ._ t (Ю.54)
Предполагая, что система эргоднчна и стационарпа, ми также
имеем экнииалентаое определение
Г12(т)^<^(г4-т)^@>а,1С- \ \ Vi(t + x)Vl(t)X
— оо —оо
X р [V, (t -1 ¦ т), V2 @1 d \\\ (t Ч- т)] d[\\ (/)|, A0.55)
которое содержит плотность иероятпостн второго порядка,
В свя.чн с функцией взаимной когерентности находится нор-
мированная функция, известная как «комплексная степень кого-
¦) Мы придерживаемся здесь классификации, принятой я [9\. Неко-
торые авторы определяют эти когерентные эффекты кик эффекты первою
яорядка.

5 5. КОГЕРЕНТНОСТЬ ВТОРОГО ПОРЯДКА
287
рентности» или как «комплексный фактор когереитиости*3 которую
определяют как
TiaW = Г1в (т)/КГи@)Г22@). A0.50)
Для того чтобы продемонстрировать важную роль функции
взаимной когерентности, рассмотрим ее операционное определе-
ние с точки ярения опыта Юнга и для случая квазимонохромати-
ческого излучения свяжем зна-
чения, которые она может прини-
мать, с появлением наблюдаемых
полос. Рассмотрим теперь полосы
в произвольной точке О па вкра-
не (рис. 10.4). Пусть поле на од-
ной щели (Sj) равно Vx(t), а на
другой (SJ равно Va(f). Тогда
мгновенное значение поля в точ-
ке О экрана, обусловленное из-
лучением от двух щелей, таково:
\(t,
A0.57)
Рис. 10.4. Эксперимент Юнга
(общая схема).
t
, t ~ (, - („ a A'j в Кг определяются гео-
где tt =
метрией.
Мгновенная интенсивность берется как V(t, t)V* (i, т). Она
¦е всегда прямо пропорциональна квадрату реального сигнала.
(Тем не менее, легко видеть, что для кБазимопохроматического
излучения мгновенная интенсивность равна удвоенному среднему
от квадрата реальною сигнала по нескольким средним периодам.
Это, разумеется, и наблюдается на оптических частотах с помощью
любого квадратичного детектора. Будучи усреднена по времени,
мгновенная интенсивность, как следует из A0.35), эквивалентна
среднему по времени ог квадрата реального сигнала.) Таким
образом, мы находим
2 Re
x (t - ty) Vt (t - Q\. A0.58)
Средняя но времени мгновенная интенсивность в точке О
равна
I(i) = \K1\4l^ \К2\Ч2 ьгпфС.ЙГ^т)], A0.59)
и интенсивности теперь можно связать с квадратом реального
сигнала. При нахождении этого среднего по времени мы полагали
иоле сгациошфныч.

1'Л. 10. КОГЫ'КНТНОСТЪ
Первые два члена в A0.59) представляют собой интенсивности
в точке наблюдения имен ею от двух щелей по отдельности, и, та-
ким образом, наложение лучей приводит к возникновению ин-
терференционных эффектов только тогда, когда |Ги(т)| отлично
от нуля. Абсолютная величина комплексного фактора когерентно-
сти у лежит между 0 и 1; первое значение соответствует тому, чю
обычно считается некогерентностью, второе означает полную
когерентность Промежуточные значения отвечают условиям час-
тичной когерентности. Временная и пространственная когерент-
ности описываются соответственно величинами |yii(t)| и IVu(^)l-
При выводе A0.59) усреднение мгновенных значений мы про-
вели по всем временам. Подобный сигнал получают с приемника,
время отклика которого велико по сравнению и со средним пе-
риодом излучения и со временем его когерентности. Если посто-
янная времени приемника мала по сравнению с этими временами,
то возможно наблюдение переходных интерференционных эффек-
тов (§ 6).
Проанализируем далее вид функции Г12(т)» разложив анали-
тические сигналы по их частотным компонентам. Здесь наиболее
целесообразно в явной форме воспользоваться обрезанными
функциями
J
ri2(T) = Iim^ J
"¦ — U l . LO
A0.60)
Изменяя порядок интегрирования, находим
^ia(T)~ lim -^^ \ Fiorm(v)F2o6peitp(—2ntvt)dv. A0.61)
В § 3 мы уже отмечали, что " '
яе всегда имеет определенное значение, а может осциллировать.
Bit избежание этого мы провели процедуру сглаживания, сос-
тоящую в предварительном нахождении среднего по ансамблю
от случайных функций V\(i) и Va(t) до перехода к пределу. В та-
ком случае мы можем написать
Г12 (т) = f Glt (v) exp (— 2nivx) dv, A0.62)

§ 5 КОГЕРЕНТНОСТЬ ВТОРОГО ПОРЯДКА 289
где
G19(v) = hm [^юврМ^обр^аес/гг]. A0.63)
Г—*то
В частности,
то
Гц (т) = f G (v)exp (- 2лtvx) dx, A0 64)
о
где
G (v) = Iim [<F06!> (v) Г;бр (v))aHC/2r] A0.65)
является функцией, которую мы вветя выше (в § 3),
В соответствии с терминологией вероятностных процессов
Ги(т) известна под названием автокорреляционной функции для
V,(/)T Г12(т) — кросс-корреляционной функции для Уг(г) и V2(t),
G(v) — под названием спектра мощности (спектральной плот-
нос ги) V\{?), a Gl2(v) — перекрестной (или взаимной) спектраль-
ной плотности V^t) и V2(t)> Если аналитический сигнал Vt{t) отож-
дествлять с электрическим полем, то G(v) представляе!1 собой
спектр электрической энергии н*л\чения.
Из предыдущих уравнении видно, что Ги(т) и G{\), а такжо
Г12{т) и Gu(v) составляют пары фурье-образов. Вместо того чтобы
для определения G(v) и Gl2(\) испотьзовать процедуры сглажива-
ния, чы можем определить Э1и величины из обратного преобразо-
вания Фурье дтя Ги(т) и 1\г(т) соответственно
г, Г12(т)е^рBлг\т)t/т для v~>0.
A0 66)
0 для v <^ 0;
и.
J Tn(x)e\pBni\x)dx для v>0, (ю.67)
0 для v
G(v) =
Выражения A0.62) и A0 66) вместе с опредечениями величии
Gl3(v) я Г1а(т) составляют содерл;аиие теоремы Винера — Хин-
чина.
Есля соотношение A0 62) исследовать более тщательно, то
можно убедиться, что функция взаимной когерентности принима-
ет особенно простои вид для квазимонохроматического излучения,,
так как в ,ггом стучав G]4(v) отлична от нуля лишь в узком частот-
ном интервале dv в окрестности v (причем dv <C v). Экспонен-
циальный множитель, следовательно, можно вынести за знак
19 д Мэйтлэнд М Дана

290 гл. ю. когерентность
интеграла, так что в общем случае имеем
Г12(тг) = Г14(Т!) exp \2nt7{x2 - т^] для |(т2- т,)] < т1(Ог. A0.68)
Аналогично, для комплексной степени когерентности
Тм(*в) = УиЫ exp ПшЦх, — тА)] для |(т2 — Tj)| < тког. A0.69)
Рассмотрим теперь вопрос о практической значимости ком-
плексной степени когерентности, связав ее с контрастностью
иаблюдаемых полос. Перепишем A0.59) в виде
/ (т) = А0) + Ло) + 2[А0)]'/2 [if] Re [т., (т)], A0.70)
где мы объединили величину }Кх\2 с /^ так что /(,0) — это ин-
тенсивность в точке О от источника 5Х и т. д. Представим Yi2(T)
в следующей форме:
Ти(т) = IViaWl e\p [ia,2(t) —2ni7x]t ¦ A0.71)
где
а,2(т) = arg Ivia(x)] + 2лvt, A0.72)
a v — эффективная частота света.
Подстановка в A0.70) дает
A0.73)
В небольшой области в окрестности точки наблюдения О ве-
личины /i и /г' изменяются медленно Как было показано
выше, это также относится и к IVi2(T)! и ai2(T) ПРИ условии, что
спет является квазимоиохроматическич и что изменения т в ре-
зультате изменения положения точки О малы по сравнению с вре-
менем когерентности тког. Однако член в A0.73), содержащий
косинус, меняется быстро, поскольку в него входит частота v.
Таким образом, максимальная и минимальная интенсивности
вблизи точки О равны
Контрастность полос определяется как

§ 5 ПЕРЕХОДНЫЕ КОГЕРЕНТНЫЕ ПРОЦЕССЫ 291
м,, следовательно! равна
2[/<°Ч1/2[40)Г/2
Т - /@) + /@; I Vl2 KV |- A0.76)
Модуль комплексной функции когерентности характеризует
контрастность полос Когда интенсивности в точке наблюдения
от каждого отдельного источника равны между собой, то конт-
растность есгь просто |"Yi2(t) I- Для полностью когерентного света
максимальное по т значение |у12(т)| равно единице. Легко уста-
новить связь аргумента у12^т) с положением максимумов интен-
сивности на интерференционной картине( однако эгот вопрос
мы не будем здесь рассматривать.
§ 6. Переходные когерентные процессы
Предположим, что мы анализируем вид функции взаимной
когерентности для двух монохроматических источников с раз-
личными частотами \\ и va. Тогда
Г12 (т) = lim ±= \ ага2 ехр [2л:/ (vt — v2) t\ exp Bniv1T) dt. A0.77)
a-* l ?T
При переходе к пределу значение Г12(т) стремится к нулю.
Однако, можно доказать, что между двумя источниками сущест-
вует определенное фазовое соотношение и что, таким образом,
они когерентны, хотя и обладают разными частотами. Причина
обращения в нуль функции взаимной когерентности состоит в том,
что, как мы уже определили выше, она служит мерой лишь ли-
нейной зависимости между двумя переменными. И хотя фазы свя-
заны линейно, это не характерно для соответствующих экспонен-
циальных членов. Если A0.77) проинтегрировать на конечной
отрезке времени
t+T
Ги (т, Т, t) = JL j V, (t' + т) Vl (?) dt\ A0.78)
t-т
то для монохроматических источников получим
Г» (Т' Г' V = Я1П2«^-^ГГ1 еКР Bjl?VlT) 6XP [2Ki (Va ~ Vl) tl
A0.79)
Когда вречн наблюдения Т меньше, чем величина,, обратная
разности частот4 то Г12(с, Z\ t) конечна и возможно наблюдение
1У*

' ГЛ. 10. КОГЕРЕНТНОСТЬ
переходных интерференционных процессов. Если же мы рассмат-
риваем не монохроматические источники, а квазимонохромати-
ческие, то должно выполняться дополнительное требование —
а именно, чтобы время наблюдения было меньше обратной шири-
ны полосы.
Возможность наблюдения подобных эффектов возникла с по-
явлением газовых лазеров, поскольку они позволяют иметь два
отдельных источника с шириной линии порядка двухсот герц,
средние частоты которых разнесены примерно на килогерц Пе-
реходные интерференционные эффекты можно наблюдать на про-
тяжении времен порядка миллисекунды (такие эффекты доступны
регистрации не только с помощью фотоэлектрических приемни-
ков, но также и фотографическими методами). В случае тепловых
источников ограничения, обусловленные самой шириной поло-
пл, обычно создают трудности при наблюдении переходных ин-
терференционны s процессов, так как для этого требуются прием-
инки, обладающие очепь высокой скоростью.
§ 7. Распространение ф;нкции взаимной когерентности
В работе ]2] было показано, что функция взаимной когерент-
ности в вакууме удовлетворяет двум волиовьщ уравнени-
ям вида
где индекс i обозначает дифференцирование по координатам
одной из точек пространства (Г| или г2). С помощью этого уравне-
ния можно исследовать поведение функции взаимной когерент-
ности во всей поле оптического излучения. Распространением
функции взаимной когерентности объясняется то, почему в общем
случае нельзя независимо рассматривать временную и прост-
ранственную когерентности. Дело в том, что один тип когерентно-
сти может преобразовываться в другой в результате распростра-
нения поля. Кроме того, в процессе распространения прост-
ранственно некогерентнын свет может превратиться в частично
когерентный. Например, свег от звезд, испускаемый совокуп-
ностью независимых излучаiелей, образующих звезду, и, следо-
нательно, являющийся первоначально пространственно неко-
1срентным, при распространении к Земле становится нространст-
пенно когерентным и в телескопе формирует резкие диф-
ракционные полосы. (Это иллюстрируется выражением для
объема когерентности, выведенным в § 2, из которого видно, что
i*tot объем расширяется по мере увеличения расстояния в на-
правлении распространения.) В § 9 мы рассмотрим вопрос о юм

$ 7. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ФУНКЦИИ ВЗАИМНОЙ КОГЕРЕНТНОСТИ 293
как пассивный открытый резонатор сообщает полную простран-
ственную когерентность квазимонохроматическому свету, перво-
начально полностью пространственно некогерентному, благода-
ря только процессам распространения и дифракции.
Для этого нам необходимо воспользовался весьма удобным
соотношением, полученным в работе [10] на основании урав-
нения A0.80) и описывающим рас-
пространение функции взаимной коге-
рентности о г конечного плоского ис-
точника о; оно особенно полезно при
рассмотрении задач, связанных с плос-
кими апертурами:
1 С Г ens A, cos92
X
X
О (Su
где
iV - *¦ "
liT-(R1-R2)/c)dS1dS2,
A0.81)
.*> *&*>?. (Ю.82)
p
Pjic. 10.5. Обозвачение ве-
личин, входящих в выра-
жение A0.81), для рас-
пространения функции
взаимной когерентности от
плоского источника.
Точки 5г и 5г расположены на плоском источнике о, а точки Рх
и /\ находятся в поле волны (объем р). Обозначения других ве-
личин приведены на рис. 10.5.
Если а является тепловым источником, то излучение, испус-
каемое его различными элементами, можно считать полностью
11вногерентным. Другими словами,
ГоE„ 52, т) ~ b(Sl - 5г)/(т, St). A0.83)
Если далее предположить, что излучение квазимопохроматич-
во, го мы можем воспользоваться выражением A0.08), которое
даег
TgiS^ S2, т) ^- /ENE, — 5г) ехр (—2nivx) для jx| -С тног, A0.84)
где 7E) — усредненная ннгенстшость, приходящаяся на еди-
ничную площадку.
Если 6, it 0., малы и
w iff /?,V'-M <?i тт
то A0.81) можно упростить:
A0.85)

294 гл. to. когерентность
По своей форме это уравнение аналогично соотношениям
Гюйгенса — Френеля, используемым в скалярной теории диф-
ракции, и отражает математическую формулировку теоремы
Ван Ситерта — Цернике [И, 121. В дальнейшем (в § 9) мы вос-
пользуемся этим уравнением для того, чтобы продемонстрировать
развитие пространственной когерентности в лазерном резонаторе.
Однако предварительно нам необходимо рассмотреть другие эк-
вивалентные способы определения когерентности в поле излучения.
§ 8, Когерентный евет
При исследовании излучения от лазера мы, в частности, имеем
дело со светом, который обладает высокой степенью пространст-
венной и временной когерентности. На языке комплексной функ-
ции когерентности полностью когерентный свет должен удов-
летворять условию
' max | у12 (т) I = 1 (I0.8G)
т
для всех пар точек (г1и г2), лежащич в пределах светового луча.
Возьмем максимальное по т значение модуля, поскольку, яообщв
говоря, он является функцией т, а именно этим максимальным
значением и определяется контрастность полос.
Можно показать, что введенное выше определение представи-
мо в двух эквивалентных формах:
1. Для любых пар точек rL и г2 в пределах полностью коге-
рентного поля излучения существует ряд относительных времен-
ных задержек тп, таких, что выполняется равенство
У lit + xn)/YTL - Vt(t)/VTt =* W (f, т№), (Ю.87)
где среднее значение по времени от квадрата модуля разностной
функции W(t, тп) стремится к нулю при увеличении интервала
усреднения! т. в.
+г
lira— f lW(UTn)fdt = O. A0.88)
Эквивалентность этого условия условию A0 86) можно до-
казать, умножая обе части A0.87) на соответствующие комплекс-
но-еопряженные величины и переходя затем к пределу для их
средних по времени при бесконечном увеличении интервала
усреднения.
Это условие, в частности, полезно с той точки зрения, что
показывает, что для полной когерентности возмущение вовсе не
должно быть ни строго периодическим, ни обладать чрезвычайно

§ 9 РАЗВИТИЕ ПРОСТРАНСТВГННОЙ КОГЕРСНТНОСТИ 295
узкой спектральной полосой. Мы еще раз рассмотрим это условие
ниже после того, как получим формы аналитического сигнала,
описывающего лазерное излучение.
2. Для полностью когерентного света функция взаимной ко-
герентности имеет вид
Г1,(т) - ?/1?/JexpBnivx), A0-89)
если интервал значений т является коротким по сравнению со
временем когерентности тКОг- Здесь L\ и U2 представляют собой
функции одних лишь координат точек rt и г2 соответственно и не
вависят от т. Мы еще воспользуемся этим условием ниже при
рассмотрении пространственной когерентности, развивающейся
в световом луче в результате распространения его в пассивном
резонаторе. Более подробное обсуждение представленной в таком
виде функции взаимной когерептности для полиостью когерент-
ного света содержится в 1
§ 9. Развитие пространственно» когерентности
в оптическом резонаторе
Рассмотрим теперь, каким образом квазимонохроматическое
излучение, будучи первоначально пространственно некогерент-
ным, достигает состояния полной пространственной когерентно-
сти после достаточно большого числа проходов внутри пассив-
ного резонатора. Процесс развития пространственной коге-
рентности в резонаторе можно проанализировать, используя
соотношение A0.81) в упрощенной форме, которое описывает
распространение функции взаимной когерентности от конечной
плоской области а.
Если взлучепие предполагается квазимонохроматическим, то
ГE„ 52, т) ~ ГE„ 5,, 0) evp (-2л-7т). A0.90)
Подставляя эсо выражение в A0.85) и считая все размеры
большими по сравнению со средней длиной волны излучения,
а углы 0! и 6г — малыми, находим
(Л, Pt) ~ (~J J J Го (Su S2) -^ ехр [ЩН, - Я 2)] dS.dS,.
a
A0.91)
Все параметры, входящие в эту формулу, уже были определены
выше (см. рис. 10.5).
Сходство этого уравнения с уравнением Гюйгенса — Френеля*
использовавшимся Фоксом и Ли для исследования типов коле-

296
ГЛ. 10. КОГЕРЕНТНОСТЬ
— d
баний в открытых резонаторах (гл. G( § 1), указывает метод на-
хождения стационарных решений.
Рассмотрим случай плоскопараллельиого резонатора Фабри —
Перо, применив аналогию линии передачи (гл. 5, § 5), согласно
которой резонатор заменяется периодической структурой, со-
стоящей из идентичных эквидистантных непрозрачных экранов,
расположенных на расстоянии друг
от друга, равном расстоянию между
зеркалами резонатора, и имеющих
диафрагмы с размерами, совпадаю-
щими с размерами зеркал (рис. 10.6).
Воспользуемся теперь соотношением
A0.91) и проследим за процессом рас-
пространения функции взаимной ко-
герентности от одной плоской диа-
фрагмы к следующей.
™ ir, г. . В основе анализа Фокса и Ли ла-
Рис. 10.6. Аналог резонатора VUfttd н tSlH ло
для иселедовагшя распростра- жало предположение о том, что свет
нення фупкции взаимной коге- полностью монохроматнчен и обя-
рентности. зательно полностью когерентен.
Влияние распространения и дифрак-
ции иа когерентность излучения при прохождении им резонатора,
таким образом, не учитывалось. Здесь же мы предполагаем что
спет является кназимонохрочатнчныч и что первоначально он
пространственно пекогерентен.
Функция взаимной когерентности после распространения
к (п + 1)-й диафрагме, будучи выражена через функцию взаимной
когерентности на и-й диафрагме, имеет вид
11
a(n)
A0.92)
Будем отыскивать для функции взаимной когерентности после
распространения через большое число диафрагм стационарны»
решения в том смысле, что для эквивалентных пар точек на двух
соседних диафрагмах выполняется равенство
Г(В+1) (Л, Л) = 4" Г<»> <рь -Р.). (Ю.93)
где а — постоянная (которая может быть комплексной), харак-
теризующая ослабление светал его фазовый сдвиг и т. д. при-
прохождении от одной диафрагмы до другой. Эти решения соот-
ветствуют рвшеииич Фокса и Ли, методика получения которых

§ 9. РАЗВИТИЕ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ КОГЕРЕНТНОСТИ 297
требует, чтобы картина возмущения волны воспроизводилась от
одно и диафрагмы к другой.
Подстановка A0.93) в A0.92) приводит к
A0.94)
Можно показать, что это уравнение имеет собственные функ-
ции и собственные значения вида
Г. ЛЯ, Р \ = U¦ (РЛТ1* (Р \ « ¦ = ft ft* МП <\\\
где U и р являются Соответственно собственными функциями
и собственными значениями следующего уравнения (которое
появляется также в анализе Фокса и Ли):
(Л)——jk dS. A0.9b)
Решения образуют полный ортогональный набор, поэтому ис-
ходную функцию взаимной когерентности можно разложить по
йтим собственным функциям:
ГA»(Л,^)-2>.^(Л)^(^)- (Ю.97)
i.)
Подстановка A0.97) в итерационное уравнение A0.93) приво-
дит к следующему решению:
Г(») (Р» Рг) = 2 hi («w)A-n) ?U (pi> Л)- (Ю.98)
Если в качестве ctn выбрать наименьшее собственное значение
(т. е. такое, которое имеет наименьший модуль), то для достаточно
больших значений
Г(„, {Ри Р.) - Хи (Р^У1-11* U, (P0 V] (Р3). A0.99)
Таким образом, мы видим, что безотносительно к исходной
форме функция взаимной когерентности после достаточно боль-
шого числа проходов излучения в резонаторе разлагается на про-
изведение двух функций, каждая из которых зависит от коор-
динат только одной из точек. В § 8 мы уже отмечали, что это
характеризует полностью когерентное поле. Таким образом»
мы показали, что распространение и дифракция излучения
в пассивном резонаторе сообщают полю пространственную коге-
рентность. Высокая степень пространственной когерентностих

298 гл- 10 когерентность
присущая лазерному излучению, является следствием только
свойств резонатора Активное вещество благодаря вынуждепяому
испусканию компенсирует потери и поддерживает поле излу-
чения в процессе его распространения от одного зеркала резона-
тора к другому, по не наменяет пространственной когерентности
поля (ии снижая, пи увеличивая ее).
§ 10. Эффекты когерентности более высокого порядка
в случае теплового излученик
Выше при исследовании когерентных эффектов для вычисле-
ния таких функции, как функция взаимной когерентности, мы
пользовались средними по времени. В § 4 было отмечено, что
этот метод усреднения эквивалентен нахождению среднего по
ансамблю при условии, что система стационарна и эргодичш*.
Усреднение по времени особенно удобно в случае, когда излуче-
ние состоит из конечного числа периодических компонент (как,
например, квазимоно\роматическое излучение) или когда око
может быть представлено во времени в виде стационарной слу-
чайной временной последовательности. Однако, в этом параграфе,
в котором мы рассматриваем когерентные эффекты более высокого
порядка, мы убедимся в том, что отчасти удобнее пользоваться
усреднением по ансамблю.
Для проведения усреднения по ансамблю необходимо знать
плотности вероятности, соответствующие различным состояниям
системы. Как мы уже указывали, тепловое излучение описывает-
ся гауссовской случайной временной функцией от пудового
среднего. Приведем здесь эту функцию:
где </> — среднее значение интенсивности волны, соответству-
ющей аналитическому сигналу Vr(t). Выше подчеркивалось, что
такое описание непригодно для лазерного излучения. Поэтому
здесь мы рассматриваем только тепловое излучение. Мы покажем»
что в случав такою излучения когерентные эффекты более вы-
сокого порядка можно описать, привлекая функцию взаимной:
когерентности второго порядка. Это обусловлено тем, что n.ioi-
ности вероятности более высокого порядка представляют собой
гауссовские распределения многих переменных и как таковы»
полностью характеризуются их членами второго порядка. (Более
ясным это станет ниже, в данном параграфе, когда мы приступим
к рассмотрению конкретного примера.) Другими словами, вся
статистическая информация о тепловом излучении содержится
в теории второго порядка. Эксперименты по исследованию ко-
герентности болеэ высокого порядка не дают какой-либо до-

§ 10. КОГЕРЕНТНОСТЬ БОЛЕЕ ВЫСОКОГО ПОРЯДКА 29Э
полнигельной информации по сравнению с тойм которая полу-
чена в опытах по изучению когерентности второго порядка, хотя
и демонстрируют более удобные способы измерения функции
взаимной когерентности. В частности, мы проанализируем здесь
корреляционные функции для интенсивностей и для флуктуации
интенсивности, так как они характеризуют хорошо известные
типы интерферометров.
В § 13 мы применим статистический подход к изучению ла-
зерного излучения. Мы покажем, что хотя функция взаимной
когерентности и остается адекватной для описания экспериментов
второго порядка (того типа, о котором мы уже упоминали), это
нельзя утверждать об опытах более высоного порядка. В част-
ности, мы противопоставим ожидаемые результаты по корреля-
ции флуктуации интенсивности тем, которые получены в опыта*
на интерферометре, предложенном авторами [14, 15].
Прежде всего мы проанализируем корреляцию интенсивностей
света в двух различных пространственно-временных точках в поле
теплового излучения. Определим корреляционную функцию ин-
тенсивности через мгновенные интенсивности в каждой точке:
c. A0.101)
Поскольку Vr(t) представляет собой гауссовский случайный
процесс, a V'(t) можно получить из этой величины с помощью
преобразования Гильберта (которое является линейным преоб-
разованием), то отсюда следует, что V%(t) также есть гауссовскин
случайный процесс с тем же нулевым средним. Можно показать
[8], что автокорреляционные функции для Vr(t) и Vl(t) равны
между собой и что в один и тот же момент времени Vr(t) и К*(?)
взаимно нескоррелировапы (так называемое «приближение слу-
чайной фазы», используемое в радиофизике). Разложение A0.101)
по реальному сигналу» таким образом, дает
<Л (t + Т) h (*)>аес = <\Yi (t + T)]2 [V\ («)]2>анс +
+ <[Vl{t + T)]2 [^(f)]2>aec + <,[V\(t +T)]2 [У?(*)]2>ане +
+ <H(t + T)]2[*l@]2W (Ю.102)
Для вычисления различных членов A0.102) нам требуется
привлечение гауссовского распределения для двух, не обяза-
тельно независимых, случайных неременных хгпх2. Когда оба сред-
них для двух случайных переменных равны нулю, это распре-
деление в нормированном виде таково (см. приложение П):
Р (*1,*2) = [^Оз A - р2)]-1 ехр {- A - р3)-1 [*2/Bо?) +
+ 4/Bо|) - РЗД/@ь02)]} A0.103)

300 ГЛ. 13 КОГЕРЕНТНОСТЬ
где
о] = <*?>, ol = Orb, p = (XiT^fia^).
Параметр р является мерой корреляции между двумя случай-
ными переменными (в теории вероятности ои изнестен под на-
званием коэффициента корреляции). Ясно, что этот параметр
связан с функцией взаимной когерентности, если случайные ие-
ременные связаны с Vх (или с Кс). Аналогично, дисперсии связаны
со средними интененвностями. Каждый tu членов выражения
A0.102) приводит к интегралу вида
+ ЭО +00
У j x2irlpUu2i)dxldrt, A0.101)
¦— эо — jo
который имеет величину aio^fl -l 2p2).
Если теперь с переменными х{ и х.> соответствующим образом
связать либо V, либо У\ то вычисление различных членов
A0.102) дает выражение вида
(IO.IOj)*)
Действительные корреляционные функции можно связать
с функцией взаимной когерентности (приложение Л) посредством
следующих соотношений:
<V\ (t + т) VI («)> = <V{ (t -f- т) Г' (()> = V2 Re [Г„ (т)], {Шщ
<V\ (t + т) V\ (ф = - (V\ (t 4- т) Vr2 (t)> - - V3 Im [Tu (т)]'.
Подстановка A0.105) и A0.100) в A0.102) приводит к окон-
чательному результату
+ |Г12(т)|а. A0.107)
Таким образом, мы продемонстрировали, что функция вза-
имной когерентности характеризует корреляции интенсивно-
сти при условии, что излучение есть гауссовский случайный
процесс.
Если флуктуации интенсивности определить как
д/ ^ /-</>„ A0.108)
то нз соотношения A0.107) легко можно видеть, что корреляция
*) Мы более не делаем различий между усреднением по ансамблю в ус-
реднением по времени (см. § 4).

10 КОГЕРЕНТНОСТЬ БОЛЕЕ ВЫСОКОГО ПОРЯДИ V
301
яо флуктуация* интенсивности равна
A0.101»
Следовательно, в принципе, nyie\i измерения корреляций
янтенсивноетей или флуктуации интенсивности функцию взаим-
ной когерентности можно найти, не прибегая к обычным экспери-
ментам по исследованию интерференции второго порядка, которыа
основаны на наблюдении по-
лос. Измерения корреляция f j
во фл> Ki'i ациик интенсивно-
сти лежат в основе ишерфе-
рометра, описанного в П4„
151. Этот иптерферочетр пер-
воначально использовался
для исследования корреля-
ций в радиочастотном излу-
чении от астрономических:
объектов ]li], но в дальней-
шем стал применяться и и
оптическом диапазоне спект-
ра [151.
Оптическая схема экспе-
римента показана на
рис. 10.7. В качестве при-
Рис. 10 7. Схема эксперимента [l.'i|:
1 — ртутная лампа, 2 — жидкост-
ный фильтр, 3 — прямоугольная
диафраима, 4 — интерференционный
филыр, 5 — полупрозрачное cepi-u-
ряние зеркало, 6, 8 — фоэоумноя.и-
тели, 7 — подвижка, 9, 11 — уси-
лители, 10 — коррелятор, 12 — ин-
тегрирующий двигатель.
емников излучения служи-
ли два фотоумножителя,
электрические выходные сиг-
налы or которых были про-
порциональны интенсивности падающего света. Фотоумножителя
регистрировали излучение ртутной лампы, после того как оно бы-
ло поделено на два луча полупрозрачным серебряным зеркалом.
Один из фотоумножителей передвигалси поперек луча и с помощью
соответствующих: схем обработки сигнала в различных положе-
ниях осуществлялись измерения корреляций во флуктуациях
интенсивности. Полученные данные сравнивались с теорв1нче-
скими значениями |Г12(т)|2, найденными с учетом геометрии опыта,
характеристик спектрального источника и т. д. Между теорией
я экспериментом было обнаружено разумное согласие, однако
экспериментальные результаты содержали большие статистиче-
ские ошибки. В проиеденном теоретическом анализе не были
лчтены следующие два acneKiar флуктуации интенсивности обыч-
«о содержат высокочастотные компоненты, за которыми схема
электронного коррелятора не в состоянии уследить. Поэтому
реально измеряемая величина есть не (Al^t + т)Д/2(())., а соот-
ветствующая корреляционная функция» в которой мгновенные

802 ¦ ГЛ. 10. КОГЕРЕНТНОСТЬ
интенсивности заменены на их кратковременные средние значе-
ния. Кроме того, квантовая природа поли излучения (фотон-
ный шум) и флуктуации эмиссии фотоэлектронов в фотоумножителе
(дробовой шум) приводят к дополнительным флуктуациям фото-
токов, поступающих в коррелятор.
§ 11. Шум лазера
В главе 1, § 6, где мы впервые привели выражение, дающее
спектральную ширину линии (одномодового) квантового гене-
ратора, работающего в области выше порога, было отмечено,
что конечная ширина линии является следствием флуктуации
интенсивности и фазы, вызванных спонтанным испусканием.
В главе 4 это выражение было выведено на основании простых
соображений, связанных с добротностью активного резонатора.
В последних параграфах настоящей главы мы рассмотрим как
амплитудные, так и фазовые флуктуации одномодового квантово-
го генератора более подробно и свяжем эти флуктуации с функ-
циями когерентности, описывающими классическое поле.
В случае флуктуации, связанных с квантовым генератором,,
важно провести рассмотрение нелинейных эффектов. На ампли-
тудные флуктуации, например, оказывает влияние нелинейное
явление насыщения усиления в активной среде, которое стре-
мится уменьшить такие флуктуации, когда генератор работает
с достаточным превышением над порогом. Другими словами*
для описания шума, присутствующего в выходном излучении
лазера, необходимо детально исследовать процессы, происходя-
щие в генераторе, которые видоизменяют введенный шумовой
сигнал.
Мы начнем с рассмотрения того, как можно изменить уравие-
ние, описывающее простой затухающий гармонический осцил-
лятор:
+ l + й!я °. (io.uo)
с тем, чтобы его можно было применить к квантовому генератору.
Имеются следующие дополнительные явления, которые необхо-
димо принять во внимание: усиление небольшого сигнала ак-
тивной средой, учитываемое коэффициентом а; эффекты насы-
щеиия усиления, которые снижают усиление'активной среды
в режиме генерации на величину, зависящую от интенсивности
поля излучения ( — $Е2). Включение этих дополнительных членов
в A0.110) приводит к уравнению
О, A0.111,
где 7 описывает потери в генераторе. Вид члена в A0.111),, учи-

- § 11. ШУМ ЛАЗЕРА 303
тывающего насыщение» был обоснован в работе 1161; скобки
означают, что оставлены лишь низкочастотные члены {щ),г высоко-
частотные же члены C«о) отброшены.
Шум, начинающийся в квантовом генераторе и, следовательно,
вносящий н него возмущения, можно теперь цвести в правую
часть A0.111) как неоднородный вынуждающий член:
д + (V - a) f + fS (е> f )н, + 4 Е = olN {t). A0.112)
Что касается величины N(t), то для ее описания доступной яв-
ляется лишь статистическая информация (а именно средняя мощ-
ность шума и его частотный спектр).
Приведенное выше уравнение было впервые получено в [171
в связи с исследованием генератора на триоде и зател! стало при-
меняться для описания генераторов других типов, например,
кварцевых часов. В [101 оно использовалось при анализе про-
цессов в газовых лазерах. В работе {181 содержится вывод уран-
нения для флуктуации интенсивности в лазере и его решение.
Здесь мы рассматриваем реальный сигнал и будем отыскивать
решения A0.112) в виде
Е (t) = Еп cos [щ1 + ф (t)] + еш (t). A0.113)
Амплитуда Е9 когерентного выходного сигнала не зависит от
времени и не подвержена флуктуацияч. Функция q>(t) является
случайной функцией, описывающей фазовые флуктуации. Она
такова, что корень из среднеквадратичной ее величины меняется
медленно по сравнению с щг. Функция ешA), имеющая цент-
ральную частоту (iH, учишвает флуктуации интенсивности и ко-
рень нз среднеквадратичной ее величины по предположению намно-
го меньше, чем Ёа.
В случае узкополосного inyMaj который обусловлен спонтан-
ным испусканием (когда ширина полосы определяется шириной
линии оптического перехода)* шумовой член в A0.112) можно
записать в виде
N(t) = n^t) соз щг + n.2(f) sin ido?s A0.114)
где щ и п.г — случайные функции.
Подстановка A0.114) и A0.113) в A0.112) приводит к следую-
щим выражениям для Е9, ф и еш, если пренебречь членами по-
рядка ц>ь (фJ и т. д.:
El = 4 (а - v)/P - 4<«?и>вр, A0.115)
)^& A0.116)
A0.117)

804 ГЛ. 10. КОГЕРЕНТНОСТЬ
С учетом A0.115) выражение A0.116) можно переписать через
среднеквадратичные флуктуации амплитуды
еш + (а — у — 20 <<?ш>вр) е,и + *>и*ш = wgn2 (t) sin w0*. A0.118)
Уравнения A0.116) и A0.117) справедливы как выше {Ей > 0},
так и пиже (Ео = 0) порога. Ниже порога соотношение A0.115)
у;ке неприменимо, п, следовательно, A0.118) описывает только
иадпороговый режим.
Уравнение A0.115) характеризует амплитуду когерентного
выходного излучения и показывает, как его энергия уменьшается
вследствие присутствия шумового члена. Так как уравнение
A0.118) является линейным, то для нахождения спектральной
плотности (§ 5) флуктуации амплитуды при превышении над
порогом мы можем воспользоваться преобразованием Фурье
и получить
G J
где
A0.120)
и Сш — спектральная плотность вынуждающего шума, которая
предполагается равномерной в пределах спектра еш. Это при-
ближение разумно до тех пор, пока в качестве ширины спектраль-
ной плотности вынуждающего шума служит ширина линии ла-
зерного перехода. Спектр амплитудного шума, такнм образом,
описывается функцией Лоренца, ширина которой зависит от
среднеквадратичной величины амплитудных флуктуации.
Ниже порога EQ = 0 и из A0.118) видно, что ширина шумово-
го спектра также описывается лоренцевскон функцией, но теперь
она равна
6 = у — а. A0.121)
Если лазер настроен таким образом, что к порогу мы при-
ближаемся снизу, то а возрастает и, следовательно, 6 уменьшает-
ся. Это говорит о том, что ниже порога ширина полосы умень-
шается при приближении к порогу. Указанный эффект известен
как сужение контура усиления (гл. 8, § 3).
Бериемся теперь к надпороговому режиму. Можно выразить
ширину полосы шума, связанного с амплитудными флуктуация-
ми, через его полную среднеквадратичную амплитуду. Поскольку
И d®> ' <10' 122>

5 11 ШУМ ЛАЗЕРА 305
то на of нова ии и A0.119) мы находим
W
¦ , Рш = <е2^вр = -^. A0.123)
CWqW
Мы располагаем также другим соотношением, связывающим b
и <еи>вр, а именно формулой A0.120). Поэтому, подставляя
A0.123) в A0.120), мы получаем следующие выражения для
ширины полосы 6 и мощности Рш амплитудного шума:
, , • Ь = ^вРРиог - ^'ш/МРног), A0.124)
/'ш = ^„/(грм^ог), A0.125)
где Ртт — мощность когерентного выходного излучения гене-
ратора в отсутствие шума, т. е.
РИог = 2(а- v)P. A0.126)
Как следует из A0.125), средняя мощность шума уменьшается
при возрастании мощности когерентного излучения генератора
(т. е. при увеличении усиления в активной среде). Это уравнение
также иллюстрирует влияние параметра насыщения 0: чем силь-
нее проявляются эффекты насыщения в активном веществе, тем
при заданном уровне когерентной мощности меньше средняя
мощность шума. Из A0.121) мы видели, что ширина полосы шума
уменьшается при приближении к порогу снизу. Выше порога
ширина полосы зависит от уровня когерентной мощности гене-
ратора и при превышении определенного уровня этой мощности
ширина полосы становится пропорциональной ей.
Рассмотрим теперь фазовые флуктуации, которые описывают-
ся выражением A0.117). Требуется вычислить среднеквадратич-
ную фазовую флуктуацию как функцию времени, т. е. <Д(р2)*).
Формулу A0.117) можно представить в виде
6Ф(Г) = —[щщ{ГI2Еп]Ы', A0.127)
и, воспользовавшись тем, что 6[ф2(Г)] = 2<p(i'N<p(O, мы далее
находим
J
о
Интегрирование по V от 0 до ? приводит к среднеквадратичной
*) Поскольку мы рассматриваем здесь стационарный случайный про^
Цесс, средняя величина может являться либо средним по ансамбтю, либо
средним по времени.
^ А Мэйтлэнд, М. Данн

зое
ГЛ. 10 КОГЕРЕНТНОСТЬ
фазовой флуктуации как функции ?:
t(¦
Q / "'О \
о а
A0.128)
Постольку, поскольку функция n^t) описывает стационарный
случайный процесс, ее аятокорреляционная функция {^(t'^n^t1)}
симметрична относительно оси
t" = t' и на основании рис. 10.8
выражение A0.128) можно пе-
реписать как
и о
«, (О х
t'. A0.129)
Рис, 10.8. Вычисление интеграла
{10.128). Интегрирование по V и t"
обозначено буквой А, а по ? и т) —
буквон Й. Плотность точек грубо
соответствует величине автокорре-
ляционной функции а рсиличпых
областях плоскости интегрирования.
Произведем следующую замену
переменны*:
после чего A0.129) принимает
вид
<ДФ8> = 5|Г
X
с —;
A0.130)
Автокорреляционная функция отлична от нуля только в области,
в которой Г) ~ 0 (т. е. там, где V ~ t"), и при условии, что t боль-
ше, чем корреляционное время шума, пределы интегрирования
по г\ можно расширить, взяв их от —оо до 4-оо (рис. 10.8 ил-
люстрирует изложенные выше соображения). Обращаясь к A0.Н7),
мы видим, чго теперь интеграл по г\ определяет спектральную
плотность шумового процесса rii(t) на нулевой частоте, поэтому
вычисление A0.130) дает
A0.131)
Среднеквадратичная фазовая флуктуация на отрезке времени
t пропорциональна величине t, которая характеризует процесс
случайного блуждания. Можно считать, что фаза лазера случаи-

5 12 ИЗЛУЧЕНИЕ ПРИ НАЛИЧИИ ТОЛЬКО ФАЗОВЫХ ФЛУКТУАЦИИ 307
ным образом диффундирует во времени, причем скорость Диф-
фузии зависит как от интенсивности когерентного сигнала, так
и от возмущающего шума.
Поскольку случайный шумовой процесс nx(t) связан со спон-
танным испусканием, то спектральная плотность Gni(a> = 0)
пропорциональна вероятности спонтанного перехода, соответст-
вующей лазерному переходу.
§ 12. Статистика лазерного излучения при наличии
только фазовых флуктуации
В данпом параграфе мы уделим внимание случаю, когда ла-
зерное излучение испытывает возмущение только за счет фазовых
флуктуации. Мы рассмотрим, какое влияние они оказывают на
функцию взаимной когерентности и на спектральную плотность,
характеризующие такое излучение. Описание, которое мы дадим,
применимо, следовательно, только при тех обстоятельствах, когда
насыщение усиления ограничивает влияние амплитудных флук-
туации.
По причинам, которые вскоре станут ясными, здесь удобно
пользоваться аналитическим сигналом. Выражение A0.113), опи-
сывающее поле излучения через реальный сигнал, таким образом,
заменяется на
V(t) = а ехр [—2nivot — iy(t)] = а ехр ( — ity), A0.132)
где а — постоянная, а ф (и, следовательно, ф) случайно флук-
туирует. На комплексной плоскости сигнал можно представить
вектором длиной а, который образует угол ф с действительной
осью. Проекции а на действительную и мнимую оси являются
соответственно вещественной и мнимой частями аналитического
сигнала (рис. 10.9). Найдем теперь распределение вероятности
реального сигнала. Вероятность того, что фазовый вектор со-
ставляет с действительной осью угол, заключенный между ф и
ур -f- diji, равна
dty>2n, A0.133)
так как все фазовые углы равновероятны. Реальный сигнал,
соответствующий фазовому углу ф, есть
VT = a cos $ A0.134)
и, следовательно,
dVr = a sin ф д$ = d$ [а2 - (ГJ]1/2. A0.135)
Как легко видеть, плотность вероятности для реального сигнала
2G*

308
ГЛ. 10. КОГЕРЕНТНОСТЬ
такова: >•<
(,(V) = л"М</> — (Vyr112, A0.136)
где / — мгновенная интенсивность. На рис. 10.10 сопоставляются
плотности вероятности для тепловою и лазерного излучения.
Очевидно так/ье, что VT и V1 не являются более статистически
независимыми, поскольку, как следует из рис. 10.9, объединенная
Рис. 10 9. Представ юиие вы-
ходного ла1ерцого сигнала на
векторной
Рис. 10 10. Распределения вероятности,
ссютнетствующие тепловому излучению
и излучению идеального лазера [8(.
плотность вероятртсти математически может быть выражена как
дельта-функция вида
p(V\ V1') = n~lb\(Vy + (Vlty- - </>!. A0.137)
Так как распределение вероятности бт.по потучено на осно-
вании использования амплитудно-стабилизирова иного сигнала,
то ясно, что корреляционная функция флуктуации интенсивности
(соответствующая случаю интерферометра, показанного на
рис. 10.7) равна нулю и отлична от нуля только в случае реального
лазерного излучения, постольку, поскольку в нем присутствуют
амплитудные флуктуации (§ 13). В § 11 мы показали, что пове-
дение среднеквадратичных фазовых флуктуации янляет собой
процесс случайного блуждания, для которого среднеквадратичная
фт\тктуация на времениоч интервале t есть (см. A0.131))
<Д«12> = тХ, A0.138)
где
A0.139)

i 13 ИЗЛУЧЕНИЕ С АМПЛИТУДНЫМИ ФЛУКТУАЦИЯМИ 309
фазовые флуктуации представляют собой гауссовский случайный
процесс, поэтому плотность их: распределения описывается фор-
мулой
Bа1)Ь A0.140)
где дисперсия а равна
а = (хХ)ЧК A0.141)
Воспользуемся этой функцией распределения для вывода
автокорреляционной функции
После подстановки A0.140) и A0.141) в A0.152) мм наводим
— 2ле\от) <ехр (— t
—2яг\ус) f evp[— i'AiJj — (Ar(f/Ba2)] rf(At^) A0.142)
и, следовательно,
Гф(г) = а3 охр (—2лгЧ,т - А.т/2). A0.143)
Для т <С X автокорреляционная функция припнмает вид,
который первоначально относился к квазимонохрочатичес^очу
излучению. Используя A0.67)» мо/К<ю получить спрктралкнув>
плотность лазерного излучения с учеточ влияния фазовых флук-
туации
Gv{v) ел [4n3(v - ха)* 4- (У2KГ1, A0.144)
где к определяется соотношением A0.139). Ширина линии об-
ратно пропорциональна интенсивности когерентного выходного
излучения.
§ 13. Статистика лазерного излечения с амплитудными
флуктуация ми
В этом параграфе мы опять будеч пользоваться представле-
нием аналитического сигнала. В свяли с этим заменим выражения
для выходного сшнала A0.113) соответствующим аналитическим
*) Здесь naoftxojviMO усреднение по ансамблю, поскольку, хотя Дф
и определяется гауссовскнм случайным процессом, этого нельзя утвер-
и о V{t).

ГЛ. 10. КОГЕРЕНТНОСТЬ
сигналом
V(t) =- Eoexp[ — 2nivot — iy (t)] + е'ш (t), A0.145)
где e'm(t) представляет собой аналитический сигнал, связанный
с ешA). Прежде всего мы определим автокорреляционную функ-
цию, соответствующую амплитудным флуктуацням e'm(t)t которая
дается формулой
Г*ш(т) = (e'Jt + т)С @>. ¦ г. (Ю-146)
Так как еш{1) представляет собой стационарный случайный про-
цесс, то усреднение в A0.146) может производиться либо по вре-
мени, либо по ансамблю. Эту автокорреляционную функцию можно
вывести из уже полученной в A0.119) спектральной илотности
em(t), используя A0.64)
Подставляя сюда A0.119) и вычисляя интеграл в A0.64), по-
лучаем
Гв,и (т) = 2 /е^) ехр [ -2nivor - Ът/2\. (Ю.147)
Поскольку мы имеем дело со стационарным случайным про-
цессом, то мы можем применить соотношение A0.107), чтобы оп-
ределить корреляционную функцию интенсивности для этого
процесса, выраженную через автокорреляционную функцию:
С + *К @ С (*)> = 4 <бш> + I Геш (Т) |2. A0.148)
Теперь можно определить автокорреляционную функцию,
описывающую полный сигнал и даваемую выражением A0.145),
как
<V (t + т) V* (t))mc = Eh-23liVoX <e
<' >, A0.149)
где мы ввели предположение, что фазовые и амплитудные флук-
туации нескоррелированы. При нахождении этой автокорре-
ляционной функции следует взять среднее по ансамблю (см. § 12),
однако после разложения во вторых угловых скобках в правой
части его можно заменить средним по времени в соответствии
с нашим замечанием о том, что еш@ является стационарной слу-
чайной функцией. Первые скобки в правой части A0.149) — это

§ П. ИЗЛУЧЕНИЕ С АМПЛИТУДНЫМИ ФЛУКТУАЦИЯ5Ш 311
автокорреляционная функция, полученная в § 12 и описывающая
фазоные флуктуации, в то время как вторые скобки — автокор-
реляционная функция для амплитудных флуктуации. Следова-
тельно, соотношение A0.349) можно выразить чере.5 комплексные
факторы когерентности A0.56) как
Vr(x)= [Ръ01 ГФ(т) + Ршугш(т)]/(РК0Г + Рш). A0.150)
Перейдем теперь к вычислению корреляционной функции
для флуктуации интенсивности, которую определим как
<&/(« +т)Д/A)>аНс, A0.151)
где
п M(t) = /@ - </> A0.108)
/ = FF*. A0.152)
Подставляя выражение A0.145) для V{t -f т) в A0.152), мы по-
лучим
AI(t + т) = еш{1 + т)*ш V + х) -2<4> -f
-Ь [E^it + т)ехр[шо(( + т) -V- щA + хI + к. с-1. A0.153)
Если амплитудные и фазовые флуктуации опять считать незави-
симыми, то подстановка формулы A0.153) и эквивалентного вы-
ражения для Д/(() в A0.151) и последующее разложение при-
водят к следующему соотношению:
<М (t + х) М @>.„с = | Г,ш (т)|2 4- [г;ш (т) Гф (т) 4- к. с] -
ш(т)| + 2|Гф(т)|]. (J0.154)
Будучи записано через комплексные факторы когерентности,
это соотношение приобретает вид
<М (t + т) М (f)KHC Рш | Увт <т) | [Рм 17ещ(т) j + 2РКОГ | уф (т) Ц
A0.155)
Если pacc^faтpнвaть случай, ко!'да т <С Ь'2 и т <С ^1, то
A0.155) имеет особенно простую форму, а ичонио
<А/(^ + т)Д/@>яте ^,-L2/J..-or^
Первый член описывает биения шума с самим собой, в то время
как второй член — биения шума с когерентным сигналом. Когда

312 * ¦¦ ГЛ. 10. КОГЕРЕНТНОСТЬ Ш. '> ^
когерентный сигнал является очень большим по сравнению с шу-
мовым сигналом (Рког S> Рт), выражение A0.156) упрощается до
Рш'Ркот- Это означает, что в соответствии с изложенным в § 12
корреляция во флуктуациях интенсивности становится исчезающе
малой. Множитель 2 появляется в формуле A0.156) из-за того,
что мы рассматривали случай, когда спектральная плотность
шума описывается лоренцевскои функцией. Можно показать, что
в случаях, когда спектральная плотность является гауссовской
(ми прямоугольной, этот множитель заменяется соответственно на
\/~й и 1. Из сравнения A0.155) и A0.150) можно заключить, что
соотношение между автокорреляционной функцией и флукту-
ационной функцией интенсивности, которое мы вывели для теп-
лового излучения A0.109), неприменимо к случаю лазерного
излучения.

Глава 11
ТЕХНИКА РЕЗОНАТОРОВ
§ 1. Введение
В этой главе мы обсудим некоторые аспекты резонаториоя
техники. В разработке техники оптимизации и: управления: ли
зерным излучением были предприняты огромные усилия. Эти
усилия были также направлены на изучение взаимодействия ла-
зерного излучения как с оптическими элементами самою резо-
натора, так и с внешними элементами. В быстром достижении ус-
пехов сыграла большую роль изобретательность многих >ченых.
Литература, посвященная этим вопросам, очень обширна и
содержит слишком подробное описание, чтобы ее можно было
адекватно рассмотреть в одной главе. Однако краткое описание
принципов, лежащих в основе конструкций лазерных резонатороп,
является необходимым. Мы стремились охватить основные ас-
пекты и, рассматривая по мере изложения некоторые, не обя-
зательно основные, вопросы, дать определенное представление
о технических приемах, которые могут быть использованы для
проектирования резонаторов и для контроля характеристик луча.
Мы рассмотрим особенности брюстеровскнх н перпендикуляр-
ных окоп, а также дисперсионные реюнаторы. Поскольку часто
возникает вопрос об альтернативе сферический и плоским зеркалам
для резонаторов (см. гл. 4, 5, 6), то здесь обсуждаются кубический
уголковый и крышеобразнып отражатели, а такл;е рассматри-
ваются соответствующие им моды е бегущей и стоячей волнами.
Объем моды, точность юстировки зеркал и активного элемента
являются важными характеристиками со многих точек зрения,
включая устойчивость и оптимизацию мощности. Мы такжв
обсудим вопросы селекции и стабилизации мод. Удачно, что ла-
зеры появились в то время, когда уже была разработана техно-
логия изготовления зеркал с высокой отражательной способ-
ностью на основе многослойных диэлектрических пленок. Изло-
жение теории таких зеркал завершает данную главу.

314 гл. ii. техника резонаторов
§ 2. Лазерные окна -
2.1. Брюстеровские окна. Зеркала резонатора первых газовых
лазеров размещались внутри той же колбы, что и активная газо-
вая среда. Это создавало неудобства и, кроме того, приводило
к порче зеркал. В настоящее время зеркала обычно располагают
отдельно от активного элемента. Вследствие этого окна в колбе
с активным веществом вносят неоднородности показателя пре-
ломления, на которых в соответствии с формулами Френеля
(Г.2) при каждом проходе резонатора могут происходить потери
энергии.
В работе 111 было показано, что потери на отражение для
одной поляризации можно снизить до нуля путем использо-
вания на концах газоразрядной трубки окон, наклоненных к оси
под углом Брюстера (см. рис. Г.2). Неточность установки в соот-
ветствии с (Г.2) приводит к потерям на отражение (см. рис. Г.2);
их допустимая величина зависит от условий генерации конкретной
системы. Излучение лазера, в котором используются окна, рас-
положенные под углом Брюстера, плоскополярнзовано, а электри-
ческий вектор ложпт в плоскости падения. Если окна ориентиро-
ваны под углами, отличными от угла Брюстера, то выходное из-
лучение лазера поляризовано по эллипсу. Другим аспектом,
который может оказаться важным для некоторых применении,
является то, что брюстеровские окна вносят в резонатор определен-
ный астигматизм. Это становится еще более важным в случае
большой угловой расходимости мод высших порядков.
Для получения максимальных мощностей в лазерном резона-
торе материал, из которого изготовляются окна, должен быть
прозрачен для лазерного излучения и обладать высокой опти-
ческой однородностью, т. е. быть свободным от напряжений,
которые приводят к вращению плоскости поляризации. Окон-
чательный выбор материала зависит от конкретных требований.
Окна гелий-неоновых и аргоновых лазеров обычно изготовляют
из оптически высококачественного кварца, так как в одном случае
система обладает низким коэффициентом усиления, а в другом,
как правило, требуется получение наибольших возможных мощ-
ностей. Окна для инфракрасных СО2-лазеров A0,6 мкм) могут
быть выполнены из NaCl. Лазеры, работающие в видимой области
спектра и обладающие большим усилением (например, импульс-
ные лазеры), работают с окнами, изготовленными из стекла хо-
рошего качестве.
В случае лазеров на таких кристаллах, как рубин, просвет-
ляющее покрытие на торцах стержня может разрушаться при
высоких значениях мощности излучения, поэтому в мощных
системах также применяют стержни, торцы которых срезаны под
углом Брюстера. Недостаток стержней этого типа состоит в том,

§ 2, ЛАЗЕРНЫЕ ОКНА 315
что их несколько труднее выставить по отношению к другим
элементам системы, чем стержни с торцами, перпендикулярными
к нх оси.
Оптические элементы можно вводить и внутрь резонатора с ну-
левыми потерями (свободного от поглощения и рассеяния) при
условии, что излучение падает на них под углом Брюстера. Часто
таким элементом является призма, которая обеспечивает одно-
частотный режим работы лазера (см. гл. 11, § 3). Другими эле-
ментами могут служить кристаллы для модуляции и ячейки, за-
полненные жидкостями.
Для снижения выходной мощности или для выведения неко-
торой части излучения из резонатора можно использовать по-
мещаемую в него плоскопараллельную стеклянную пластину.
Введение плоскопараллелыюй стеклянной пластины в резонатор
согласно формуле (Г.2) и рнс. Г.2 приводит к потерям на отра-
жение, но в соответствии с результатами работы [2] потери могут
снижаться в результате интерференции между пучками, отражен-
ными от дву.*с поверхностей пластины. В указанных эксперимен-
тах исследовался гелий-неоновый лазер с длиной волны генерации
1,152 лгки. Схема опыта приведена яа рис. 11.1. Резояатор обра-
зован сферическим зеркалом 1 с радиусом кривизны 4 м и пло-
ским зеркалом 2, расстояние между которыми равно 2,2 м. Ла-
зерная трубка 3 имеет внутренний диаметр 10 мм и длину 80 см.
Поперечные моды подавляются с помощью диафрагмы 4. Плоско-
параллельная стеклянная
пластина 5 толщиной й=9мм
с показателем преломления / i г\
ц. = 1,5 установлена таким D--|—:Ч ¦ ¦ ~^-~:^у-— Vт"^
образом, что возможно точ- & \ " I \> ?
иое измерение угла поворо- 1 4 S g
та ф. Выходное излучение
лазера регистрируется фото- Рис- иЛ- °пыт с введением плоско-
1 г i t j *г параллельной стеклянной пластины
приемником 6. Поворот пла- в ре<|ОяатОр гелий-неокового лазера B).
стппы скалывался на мощ-
ности выходного излучения лазера, что отражено на рис. 11.2.
Генерация наблюдалась, когда пластина была ориентирована
под углом в пределах 1 — 1,5' относительно нормали к оси
лазера. При повороте ее на 6—7° было получено до 50 мак-
симумов.
Увеличение толщины пластины приводило к раз движению
максимумов. Отражение от пластины в максимумах мощ-
ности лазерного излучения полностью не ослаблялось, а его
относительная величина возрастала с увеличением угла ф.
Выходная мощность лазера при ф = 0 примерно такая
же, как и в случае, когда пластина установлена под углои
Брюстера.

316
ГЛ. 11, ТЕХНИКА РЕЗОНАТОРОВ
Условие минимального отражения, подтверждающееся в экс-
перименте, таково:
(sin2 ф/ц2)]1'2 = B* + i)V2, ft = 0, 1, 2, , . . (H.l)
2.2. Перпендикулярные выходные окна. Брюстеровские окна
приводят к поляризации выходного лазерного излучения и, по-
скольку возможна генерация излучения только с одной плоскостью
поляризации, получаемая мощность снижается. Ь работе [31
гелий-неоновый лазер успешно работал с окнами, плоскости ко-
торых были перпендикулярны к оси газоразрядной трубки.
II
3 j
3D'
Рис. И.2. Влияние ориентации стеклянной пластины, рас поло; но ни of r в ре-
аолаторе гелий-неонового лазера, на его выходную мощность [2].
Длина лазера составляла 24 см. На окна с каждой стороны были
нанесены двухслойные диэлектрические просветляющие покры-
тия, обеспечивающие пропускание каждосо окна, равное 99,5%
на длине волны 1,15 мкм. Окна были выставлены параллельно
с- точностью ±1'. С помощью призмы Николя было установлено,
что модовые конфигурации поляризованы. Результирующая вы-
ходная модовая конфигурация складывается из поляризованных
конфигураций. Поляризация внеаксиальных мод сопровождалась
различными фазовыми изменениями для двух плоскостей по-
ляризации при отражении от зеркал резонатора в случае косою
падения.
§ 3. Дисперсионные резонаторы
Лазеры с недисперсионным резонатором могут одновременно
генерировать на нескольких частотах. Это происходит как в ар-
тоновых, так и в гелпй-иеоиовых лазерах. В случае смеси гелия
о
с неоном лазерные переходы для волн 6328 А и 3,39 мкм имеют
общий верхний уровень 3ss, вследствие чего между этими компо-
нентами существует конкуренция. Подавление одной из них
приводит к увеличению выходной мощности на другой длине
волны. В аргоновом лазере н*?т конкурирующих переходов, но
для многих целей желательно ограничить выходное излучение

5 3 ДИСПЕРСИОННЫЕ РЕЗОНАТОРЫ
317
именно одной длиной волпы. Простым методом обеспечения
режима работы лазера только на одной длине волны является
использование дисперсионного резонатора, который образуется
и» обычного посредством введения в него призмы [41. Для умень-
шения потерь, связанных е внесением прнзчы, ее конструируют
таким образом, что излучение падает на нее под углом Брюстера
(рис. 11.3).
Угод призмы легко рассчитать по
данным рис. 11.4: при минимальном
отклонении луча он проходит через
Рис. 11.3. Призма в резонаторе лазера для
б генерации только на одной
длине волны.
Рис. 11.-4. Схема д.|я расчета
yr.ia ирнзмы.
призму симметрично: 6 и <р — углы падения и преломления,
» Л — угол призмы. Угол Э должен быть равен углу Брюстера,
определяющемуся равенством tg 0 = \i. Из подобия треугольни-
ков следует, что А12= <р. Таким образом,
sin e/sin (Л/2) = ц. = tg 0 — sin 6/cos 6, sinD/2) = cos 9. A1.2)
Эти равенства позволяют вычислить угол призмы. На рис. 11.5
приведена зависимость величины Л/2 от u.: sin (Л/2) = (ц.2 + I)/2.
Призму можно объединить с зерка-
^ лом в одном элементе, как показано
на рис. 11.6. В этом случае угол
призмы равен А,2У а зеркало на ней
Дижтрачемве
1,3
1,5 iff 7,7 1,8 ft
Гнс. И.5. Половинный угол призмы
дисперсионного резонатора лазера как
функция показателя преломления ма-
териала лризми.
Рис. И.6. Комбинация приз-
мы и н.юского зеркала для
дисперсионного резонатора ла-
зера.
образовано соответствующим диэлектрическим покрытием {око-
ло 15 слоев). При работе на фиксированной длине волны для уст-
ранения лишних поверхностей раздела, на которых происходит

313
ГЛ. II. ТЕХНИКА РЕЗОНАТОРОВ
рассеяние, этот элемент может быть впаян в конец газоразрядной
грубки и таким образом будет служить одновременно в качестве
брюстеровского окна, призмы и зеркала.
В работе [5] было показано, что для использования в конфо-
кальном резонаторе отражающую поверхность призмы можно
сделать сферической, однако для этого необходимо исправить ее
астигматизм путем придания ли-
цевой преломляющей поверхности
цилиндрической формы, как пока-
зано на рис. 11.7. Радиус дается
соотношением
R — s/(icos0B, (И-3)
где s — геометрический радиус
кривизны отражающей поверх-
ности, а 0б — угол Брюстера.
Исправленная отражающая приз-
ма имеет «оптический» радиус
Дилцмдриштя
- г
Рис. 11.7. Комбинация призмы
и сферическою зеркала для дис- КривиЗНЫ равный s/u.
персиоиного резонатора лазера. * _ ' * 1
Выставичь призму в резона-
торе достаточно просто. Один нз
методов, удобный для видимого диапазона длин волн, состоит в
том, что в резонатор в промежуток Л (см. рис. 11.3) вставляют
белый экран с небольшим отверстием диаметром около 2 мм, не
нарушая при этом генерации лазера. Ближайшее к экрану зерка-
ло убирают и помещают призму так, чтобы свет, выходящий из
отверстия в экране, проходил через призму с наименьшим откло-
нением. Затем зеркало устанавливают: в положение С и настраи-
вают его так, чтобы отраженный луч совпадал с отверстием. Обыч-
но система начинает генерировать сразу, как только убирают
экран. Для систем с высоким усилением, таких, например, как
аргоновый лазер, призму достаточно лишь установить на одном
уровне и передвигать ее далее вручную, хотя для некоторых це-
лей очевидно необходимо осуществлять точный механический
контроль и реализовать стабильность.
§ 4. Кубический уголковый и крышеобразиын отражатели
Кубическая уголковая призма образуется при срезании угла
куба. Кубическая уголковая и крышеобразная призмм показаны
на рис. 11.8. Угол ф крышеобразной призмы обычно имеет значе-
ния между 180 и 90°. Действие обеих призм основано на полном
внутреннем отражении, благодаря которому они отражают луч
назад вдоль направления его падения. Это свойство позволяет
использовать подобные призмы в лазерных резонаторах. Резона-

5 4. УГОЛКОВЫЙ И КРЫШЕОБРЛЗНЫЙ ОТРАЖАТЕЛЯ
319
Рис. 11.8. Крышеобразная я ку-
бическая уголковая призмы.
тооы могут быть образованы плоскопараллельными зеркалами,
к/бпчесними уголковыми отражателями, крышеобразнымм отра-
экате1ями либо комбинациями отих элементов. Резонатор, состав-
ленный из двух кубических уголковых отражателей, можно вы-
ставить, контролируя систему через делительную пластину и вра-
щая отражатели вокруг их
главных осей до совпадения
Граней. Продольные моды этих
резонаторов образуются либо
бегущими волнами, либо стоя-
чими (гл. 5, п. 3.1).
Поскольку лучи падают
на отражающие поверхности
под косым углом, то набеги
фаз зависят от поляризации
света. Подробное рассмотрение этого явления проведено в Lol.
При обсуждении вопроса об установлении системы мод в про-
цессе многократных отражений и о влиянии юстировки отражате-
лей мы будем пользоваться, как и в работе [7 ], простыми геометри-
ческими соображениями.
4.1. Моды с бегущей волной. На рис. 11.9 изображено, как
выглядит кубическая уголковая призма, если смотреть на нее
вдоль оси резонатора. Ее можно представить более удобно в виде
круга с секторами. На рис.
11.10 показано два таких
круга, соответствующих
резонатору из кубических
уголковых призм. Свет,
падающий в сектор 1 при-
Рис. 11.9. Кубическая
уголковая призма. Вид
вдоль оси резонатора.
Рис. 11.10. Резонатор из кубических
уголковых отражателей и ход луча в сис-
теме.
змы А отражается по замкнутому пути 1, 3, 4, 4', 3 , 1 , 1 между
поверхностями призм Л и В, образуя набор типов колебании, для
которых изменение фазы на одном замкнутой цикле равно
2пд где q — целое число. Свет может распространяться по
этому замкнутому пути также в противоположном направлении.

"ЗЙ& ' ГЛ. 11, ТЕХНИКА РЕЗОНАТОРОВ
Когда лyq саета отражается от поверхности, его состояние
поляризации изменяется (см. приложение Г) и, следовательно,
моды являются поляризованными. Если поляризация остается
неизменной после прохождения света по замкнутому пути, то
ее называют собственным состоянием резонатора. Автор [61
подробно рассмотрел эту задачу и показал, что плоскополяризо-
ванные собственные состояния возникают, когда призмы выстав-
лены точно. Легко показать, что существуют две другие системы
мод. Каждой моде соответствует замкнутый путь после одного
полного прохода резонатора. При расстройке призм на 60° возни-
кают три набора мод для путей, отличных от случая полного сов-
мещения призм, причем эти .моды являются совершенно различны-
ми (рис. 11.11). Когда уголковые отражатели рассогласованы
таким образом, как это показано на рис. 11.12, то в резонаторе
присутствуют все шесть типов мод, один набор которых соответст-
вует светлой области, а другой — затушеванной. Следовательно,
рассогласование приводит к уменьшению площади, доступной
для формирования данной моды, и к увеличению hv числа.
Резонатор, состоящий из кубического уголкового отражателя
и согласованного с ним крышеобразного, представлен на рис. 11.13,
на котором также показан ход лучей для двух наборов мод. Для
первой моды путь замыкается двумя контурами, для второй —
только одним.
Две крышеобразные призмы образуют резонатор. Когда они
рассогласованы, го число контуров, необходимых для получения
замкнутого пути и формирования моды, равно результату деления
180° на угол рассогласования. Если это число не является целым,
путь моды не замыкается и она не может существовать. Ориента-
ции, при которых имеются небольшие отклонения от целочислен-
ного значения, приводят к возникновению потерь, обусловленных
уходом излучения из резонатора.
4.2. Моды со стоячей волной. Если одно из зеркал резонатора
является плоским, тогда между волнами, бегущими в противопо-
ложных направлениях по одному и тому же пути, существует оп-
ределенное амплитудное и фазовое соотношение. В этом случае
возможно установление мод только со стоячей волной. В резонато-
ре, образованном двумя крышеобразными отражателями, могут
существовать моды со стоячей волной для двух поляризаций. Это
было доказано в гл. 5, п. 3.1. Резюмируя изложенное выше, сле-
дует отметить, что резонатор е плоским зеркалом имеет моды толь-
ко со стоячей волной; в резонаторе, образованном двумя кубиче-
скими уголковыми отражателями или уголковым и крышеой-
разным отражателями, существуют моды с бегущей волной; в
резонаторе с двумя крышеобразными отражателями всегда имеются
стоячие волны, а при соответствующих ориентациях таких отра-
жателей в резонаторе присутствуют также и бегущие волны.

XoJ мча.
Рис. 11.11. Резонатор из кубических уголковых отражателе», разисрпушх
друг относительно друга на <jO", и код луча в ш'М.
Рис 11.12. Рассоглаголяшшс кубические уголковые отражатели.
L
д Ход лу/а
Ход луча
Рис. И.13. Резонатор, образованный комбинацией крынтсюбразного и ну-
бического уголкового отра;катслеи; показаны две возможные ориентация
и ход лучей для них,
21 А, Майтланд, М, Дани

ГЛ. 11, ТЕХНИКА РЕЗОНАТОРОВ
§ 5. Объем моды '
Объем моды V можно определить как произведение размера
пятна на зеркалах на расстояние между ними:
V ~ nwnd. (И-4)
Б этом определении не учтено изменение диаметра моды вдоль
ее оси, однако оно является полиостью адекватным для некоторых
целей. Мощность, получаемая в данной моде (например, в ТЕММ),
зависит от объема содержа-
щегося в ней активного ве-
щества (рис, 11.14), так что эта
величина является важной ха-
рактеристикой резонатора [81.
Можно показать, что конфо-
кальная система обладает наи-
меньшим объемом моды. Влия-
ние радиуса кривизны зоркая
на объем моды иллюстрирует
рис. 11.15. В модах высшего
порядна эффективный объем
увеличивается. Эти же сообра-
жения о согласовании объема
моды с объемом активного ве-
щества пригодны в случае, ког-
да активное вещество впу гри
конфокального (или иного) ре-
зонатора используется в качест-
ве усилителя.
Рис.
11.14. Выходная мощность в
oo"M°Ae B зависимости от от-
носительного объема моды для ро-
гонатора, близкого к полусфериче-
скому (эксперимент) [8].
При расчете минимального
объема лазерного материала
следует также учитывать и
дифракционные потери. Для
того чтобы эти потери в основ-
ной моде составляли менее одного процента, необходимо, чтобы
а?!Ь% ^ 1.
Минимальный объем лазерного вещества, удовлетворяю-
щий этому зребовалию, равен
где а — диаметр, а Ь — длина объема с лазерным веществом.
Чем меньший диаметр активного элемента используется, тем
более необходимо, чтобы его ось совпадала с осью зеркал. Юсти-
ровка лазеров с длинными и топкими активными элементами явля-
ется трудоемкой процедурой.

§ 5. ОБЪЕЛ ЫОДЫ
323
Ofi
UJ -
"|Н~! ГТ1Т 1 Т~1 I I HTj Г I I И 11
Радиус труб/fu=Змм
Длина трубш - 1м
Расе/тяте межёу зеркалами = 1м
0,1 1 10
Paffuyc зерьала, м
Рис. 11.1Г). Относительный объем мод и в зависимости от радиуса кривизны
зеркал дли трубки диаметром I) мм, длиной 1 м мрн расстоянии между лер-
каламл 1 ьг кривая А — [нмонатор с двумя иошутымп зеркалами; В —
резонатор с п.юским и иогнушч нс|)кал.шп, С— 1)о;юиатор с вогнутым и вы-
i, р.щи^с иыиуклого равен 50 см 18].
/тусферашшцу
О 0,2 0,4 &8
Рис. ИЛ6. Точность юстировки в яаннсимости от относительного объема
ыоды для трубка диаметром У мм и длиной 1 м ири расстоании между зерка-
дами 1 м [81.
21*

324.
ГЛ. 11 ТЕХШГКЛ РЕЗОНАТОРОВ
/ Iff
Pafyys зеркала, м
т
Автор [8] рассчитал объемы моды и'точности юстировки для
ТЕМш-моД в газовых лазерах с резонаторами, состоящими из
двух вогнутых, вогиутого и плоского, а также вогнутого и выпук-
лого зеркал. Предполагалось, что объем моды равен объему двух
усеченных конусов, основаниями которых служат пятна на двух
зеркалах, а иятно минимального размера находится внутри резо-
натора. На рис. 11.10 показаны результаты этих вычислений для
длины волны 0,6 мкм. Отно-
сительный объем моды равен
абсолютному ее объему, де-
ленному на объем трубки.
В рассмотрение вопроса о не-
обходимом объеме моды сле-
дует включить аиализ точ-
ности юстировки.
5.1. Точности осевой цент-
ровки труб газовых лазеров.
Осью системы лазерных зер-
кал является линия, соеди-
няющая центры их кривиз-
ны. Для юстировки газового
лазера требуется, чтобы ось
данных идеально выставлен-
ных зеркал проходила через
лазерную трубку и была рас-
положена достаточно далеко
от ее стенок, чтобы была воз-
можна генерация па ТЕМAЦ-
моде. Выходные диафрагма
системы, которые принима-
ются в расчет при вычне.чо-
нии точностей юстировки,
расположены на концах труб-
ки и имеют радиус rTp—wIITp, где гтр — радиус трубки, а
*"п тр — размер пятна на ее конце (па самом деле за этот размер
нрашшаетси размер пятна на зеркалах). Рис. 1L.15 показывает,
что для данного объема моды из всех резонаторов со сферичес-
кими зеркалами наиболее легко поддается юстировке резонатор,
близкий к полусферическому. Максимальный относительный объ-
ем моды для пего равен 1/3- Влияние радиуса кривизны зер-
кал иллюстрирует рис. 11.17.
1 Простейший метод избежать затруднений при юстировке
лазеров с длинными топкими активными элементами, под-
верженными сильным изгибам,—это растянуть ватную полосу
вдоль оси трубки, затем зажать трубку, удалить вату и уплотнить
окна.
Рис. 11.17. Точность гостпроикп и ча-
нпсимости от радиуса вогнутого зажи-
ла для трубки диаметром (i мм длиной
1 м при расстоянии Mt/иду зеркалами
1 ы: кривая А — резонатор с двумя
вогнутыми зеркалами; В — резонатор
с плоским и вшнутьш зеркалами;
С— резонатор с вогнутым и выпуклым
верка ламп, крннан а соответствует вы-
пуклому зеркалу, кривая Ь — вогну-
тому, радиус выпуклого зеркала jja-
ueu 50 см [8].

§ С. ТОЧНОСТИ ЮСТИРОВКИ ЗЕРКАЛ
325
§ 6. Точности юстировки зеркал
К юстировке зеркал можно подходить с трех точек зреиия, соот-
ветствующих совершенно различным степеням точности. Полезно
ознакомиться с этими подходами.
Простейшая идея заключается в том, чтобы удержать излуче-
ние в пределах границ поверхностей отражения при многократ-
ных проходах его через активное вещество. Другими словами, луч
не должен уходить за пределы резоиатора (рис. 11.18). Рассмо-
трение этого процесса при помощи простых геометрических диа-
грамм показывает, что сферические зеркала, образующие вогнутый
резонатор, благодаря фокусирующим свойствам не нуждаются
в такой точной юстировке, как плоскопараллельные зеркала.
Ъ,9
Рис. 11.18. Разъюстировна пло-
ских зеркал приводит к уходу Рис. 11.19. Геометрия расстроенных
излучения из резонатора. вогнутых зеркал [9].
В работе [9] эта задача рассматривалась с точки зрепия под-
держания основной моды. Б идеально выставленной системе эта
мода всегда расположена симметрично относительно линии, сое-
диняющей центры двух зеркал (т. е. вдоль оси лазера). При на-
клонении зеркала дифракционные потери моды быстро возраста-
ют, а диаметр пятна уменьшается, оставаясь, однако, распреде-
ленным симметрично относительно оси лазера. Объем основной
моды идеально выставленной системы можно рассматривать как
величину, характеризующую пределы области допустимых ориен-
тации оси лазера. Па рис. ПЛ9 показана обсуждаемая система
зеркал. Углы 6 и ф малы, следовательно,
hz
Таким образом,
}Ч = Ъх{Ъг
1 -f Ъг - d), Нг =
Какая из величии, hx или h2, является большей, зависит от того,
какое зеркало наклонено. В качестве наибольшего угла наклона
8т, при коюром может существовать генерация на основной моде,
взят такой угол 6, что kli% = w1<2; величина Qm определяется из

328
ГЛ. It. tEXOTKA РЕЗОНАТОРОВ
соотношения
Wl/Q =
(И .6)
0,
Ъг*& dt
Примеры.
1. КоЙфокальные веркала. В этом случае hx
Для Ъ — 1 М, w & 0,5 мм мы находим 6т = 1,5'.
2. Зеркала с большим радиусом. В этом случае Ьг
6М= 2w]b, откуда 9М« 10".
3. Полусферический резонатор. Плоское зеркало наклонено
(Ьх =• оо)} величина Нг - (Ь2 — dN, h% = b$. Сферическое зер-
кало наклонено (Ь2 = оо); величина h± « 6,0. Чувствительность
к юстировке такая же, как и для конфокального резонатора.
Среди всевозможных конфигураций резонаторов конфокаль-
ный и полусферический резонаторы являются наименее чувствие
тельными К погрешностям юс-
тировки.
Третьим является прибли- ^
гкение, рассмотренное в [10],
где использовалась итерацион-
ная методика, описанная нами
в гл. 4, § 2. В этом приближе- - $
нии отыскание условий сущест-
вования стационарного состоя- § 5
ни# производится путем много-
кратных вычислений формы
волнового фронта при движении
волны в прямом и обратном
№
н
2а
\
I
>§¦¦
4$-
\1
0,1
J Ml
- >.
\
-
-
-
:
-
I ] I I I I III I' I L
ВтряямаЗа иизшш ~-
поряЗш TEAff I
Mafa »asa/g
\ л/7ряд/га ТЕ
ч
^ N,
z
1 X/4^
\
ПИ I t I М 111
6^A/72 -
\ i i
OJ 7
5
S/T*
Рйс 11.20. Разъюстированные пло- Рис. 11.21. Потери мощности на
ские зеркала. одном проходе для наклоненных
зеркал в виде бесконечных полос
в зависимости от числа Френеля
для нескольких значений угла на-
клона [10]
направлениях между эеркалами, наклойбнйшга ,пй\ угол
Ыа (рис, И.20). Угол наклона предполагался малым Й одинако-
вым для обоих зеркал. В этой методике относительные величины
собственных еначений характеризуют скорость, с которой сходят-
ся итерационные решения. Авторы [101 обнаружили, что если по-

§ 7. ЧАСТОТНЫЕ ЭФФЕКТЫ 327
тери для мод высшего порядка велики, то эти моды быстро распа-
даются. Если потери для двух мод низшего порядка приблизи-
тельно равны и являются намного меньшими, чем для других мод,
то после того, как другие моды погибают, эти две моды сбиваются
друг с другом. Относительные величины и фазы собственных зна-
чений двух остающихся мод определяют характеристики биений.
Авторы [10] нашли, что при наклоне зеркал потери в этих двух
модах низшего порядка стремятся уравняться, что и приводит к
эффекту биения. Для больших значений числа Френеля и (или)
угла наклона Ь'а несколько мод обладают близкими значениями
потерь. Такие моды дают сложные картины биений. Потери мощ-
ности на одном проходе для наклонных зеркал в виде бесконеч-
ных полос приведены на рис. 11.21. (Трехмерную задачу о пря-
моугольных зеркалах можно упростить до двумерной для зеркал
в виде бесконечных полос.)
§ 7. Частотные эффекты
7.1. Причины изменений частоты. Теоретический предел
стабильности оптических квантовых 1еяераторов порядка 10~14.
Существует несколько причин, по которым достижимая на прак-
тике величина стабильности ниже предельной,
1. В полосе частот, определяемой профилем линии спонтанно-
го перехода, на котором происходит генерация, одновременно
может быть возбуждено много продольных и поперечных мод. Это
связано с тем, что резонансные линии резонатора намного уже,
чем линии атомного резонанса. В результате ыногомодовое выход-
ное излучение занимает частотный диапазон примерно такой гке
ширины, как и источник спонтанного излучения.
2. Поскольку резонансный профиль резонатора пампого уже,
чем атомный резонанс, то его частотная стабильность зависит от
стабильности размеров резонатора. Длина резонатора вследствие
вибраций и тепловых флуктуации изменяется. Очевидно, что чем
больше длина резонатора, тем сложнее становится эта проблема.
о
Изменение положения зеркала на 4Ав резонаторе длиной 20 см
о
для лазера, работающего на волне 6328 А, приводит к смещению
частоты на 1 МГц.
3. В оптическую длину резонатора ц1 входит показатель пре-
ломления и. активной среды. При изменении показателя преломле-
ния ла Х/21 происходит изменение оптической длины на Х/2, Это
приводит к смещению резонансной частоты резонатора на вели-
чину с/21. Такие изменения в величине \i возможны даже в газах
при низком давлении. На практике во многих лазерных системах
определенная часть х оптического пути между зеркалами лежит
в атмосфере. Пыль, присутствующая в воздухе, нриводит к воз-

328 ГЛ. 11 ТЕХНИКА РЕЗОНАТОРОВ
пикновеншо шума в лазерном резонаторе. В результате изменений
окружающих температуры и давления происходят медленно уста-
навливающиеся смещения частоты. Это иллюстрируется некото-
рыми рисунками, приведенными в работе [11]. Смещение частоты
Av, обусловленное изменением давления и температуры, прибли-
зительно равно
|Ду| ж vQ(aAT + 3,63-10-7Др.г), A1.7)
где а. — коэффициент линейного расширения распорок резонатора,
AT — изменеиие температуры (°С), Ар — изменение давления
(в торах), a v0 — центральная частота резонанса. В типичных
условиях в резонаторах с нескомпенсированными распорками из
иявара и с х = 0,1 происходит смещение 500 МГц/Х и 20 МГц/тор
при % = 6328 А.
Автор [11 ] оценил влияние расстройки, связанной с конвекцией
воздуха и наличием звуковых волн в зоне оптического пути, и на-
шел, что для лабораторного помещения оио характеризуется ве-
лнчииой смещений, по-виднмому, меньшей 0,5 МГц.
Другой причиной частотных изменении являются скачки мод.
В пределах профиля определенного прохода, как правило, одно-
временно возбуждено несколько мод. Генерация на некоторой
моде приводит к опустошению населенности, поддерживающей
генерацию. И поскольку процессу накачки обычно подвергаются
совершенно случайные атомы, то возбужденных атомов, необходи-
мых для поддержания данной моды, может не оказаться, в резуль-
тате чего мода угасает. По этой причине установление и угасание
мод происходит совершенно случайным образом.
4. Многие газоразрядные лазеры работают в таких условиях,
в которых присутствующие магнитные поля превышают величину
в несколько гаусс. Такие поля вызывают зеемановское расщепле-
ние. Лампы-вспышки, используемые в лазерах с оптической на-
качкой, также могут создавать магнитные поля, приводящие к
нежелательным веемановским эффектам.
5. Ширина линии генерации импульсных лазеров по меньшей
мере равна 1/Дт, где Дт — длительность импульса.
7.1.1. Показатель преломления в газовых разрядах (за счет
свободных электронов). В теории открытых резонаторов модовые
структуры рассматривались в предположении об однородности
вещества, которое определяет длину оптического пути между зер-
калами (равную показателю преломления, умноженному на рас-
стояние между зеркалами). Одним из факторов, влияющих на
показатель преломления \i, является плотность электронов
(i = [1 - Алеута1)]1/*, A1.8)
где оз — частота, п — средняя электронная плотность, а е и т —

§ 7. ЧАСТОТНЫЕ ЭФФЕКТЫ 829
соответственно заряд и масса электрона. Изменение электронной
плотности вызывает изменение оптической длины резонатора,
а следовательно, длина волны, соответствующая резонансу дан-
ного резонатора,также меняется. Смещение длины волны можно
вычислить с помощью соотношений A1.8) и D.3а).
7.2. Влияние активной среды иа формирование типа колебаний.
Типы колебаний оптических резонаторов обычно изучались в пред-
положении, что резонатор заполнен однородным пассивным веще-
ством . Это предположение ие соответствует действительности.
Если резонатор содержит в себе активное вещество, потери
компенсируются усилением, что увеличивает эффективную доб-
ротность резонатора (гл. 4, § 5). Когда усиление превышает
суммарные потери, в системе возникает генерация (т. е. такая си-
стема начинает функционировать как лазер). Моды низших поряд-
ков обладают более низкими дифракционными потерями и поэтому
начинают возбуждаться первыми. При дальнейшем увеличении
усиления возникают моды высшего порядка. Интенсивность в мо-
дах низших порядков (обычно в ТЕМ00) увеличивается до тех пор,
пока не достигает насыщения. При насыщении распределение
доля начинает отличаться от гауссовского (гл. 7), возрастая быст-
рее на краях, чем в центре, что приводит к относительно более
высоким дифракционным потерям. При этом начинают возбуждать-
ся моды более высоких порядков, поскольку в таких условиях они
обладают меньшими потерями, чем моды низшего порядка, достиг-
шие насыщения. Подобное перераспределение мощности в другие
моды обусловлено нелинейными свойствами среды.
Усиление в лазере зависит от накачки. В лазерах с оптической
накачкой, вследствие поглощения света накачки при прохожде-
нии его в веществе, поверхностные области в активном элементе
получают фотонов больше, чем внутренние. В газовых разрядах
(в которых накачка в конечном счете осуществляется электронами)
электронная плотность и температура изменяются по поперечному
сечению трубки, становясь вследствие потерь на стенках обычно
выше в центре и ниже на периферии. Так как накачка, вообще
говоря, не однородна по поперечному сечению активного элемен-
та, то усиление тоже не является однородным.
Кроме неоднородности накачки, существует также проблема
насыщения усиления. Для того чтобы лазер был в состоянии ге-
нерировать излучение, в активном веществе необходимо создать
такую инверсную населенность, при которой усиление равно по-
терям или превышает их. Амплитуда генерации может нарастать
только за счет этой населенности, которая восполняется накачкой.
Следовательно, когда инверсная населенность достигает стацио-
нарного состояния, характеризующегося наличием баланса между
накачкой и потерями, усиление насыщается. Амплнтуды мод зна-
чительно изменяются в зависимости от нх положения внутри

S90 ГЛ. И. ТЕХНИКА РЕЗОНАТОРОВ
резонатора и в соответствии с этим мепяется степень насыщения
усиления.
Влияние эффекта насыщения усиления на деформацию мод
теоретически исследовалось в работе [121.
7.3. Частоты биений между модами. Рассмотрим резонатор,
состоящий из двух вогнутых зеркал с радиусами кривизны Ъ± и Ь2,
расстояние между которыми равно d. Пусть конфигурация резо-
натора такова, что он является устойчивым (см. гл. 5, §§ 4, 6).
Как было показано в гл. 6, § 3, резонансные частоты для различ-
ных мод в декартовой системе координат даются выражением
v = [д + A + т + n)/]c/2d, A1.9)
где
/ = A/я) arccos [A - d/b^l - d/b2)V/2. A1.10)
Продольные моды обозначаются индексом д, а поперечные индек-
сами тип. Когда значение (т + п) фиксировано, то, как мы ви-
дели в гл. 4, § 2, интервал между продольными модами, соответст-
вующий Ад = 1, равеп 6v = c/2d. При фиксированном q разность
частот Av между поперечными модами, соответствующая разности
Д(то -f- n), такова:
Av =fA(m + n)c/2d. A1.11)
Для устойчивых систем величина / заключена между 0 и V2. Каж-
дому значению (т + п) соответствует набор продольных частот
(мод), а каждому значению д — набор поперечных.
Для газовых лазеров типичны числа Френеля, приблизительно
равные 50, дифракционные потери для этих значений малы и при-
ближения, используемые в A1.9), обоснованы. Для того чтобы
формула A1.9) оставалась применимой и к резонаторам, работаю-
щим вблизи границ области устойчивости, требуются большие
числа Френеля. Резонатор Фабри — Перо, будучи плоскопарал-
лельным, имеет величину / = 0 и, следовательно, в этом случае
значение т -\- п не оказывает влияния на частоту. Однако, как
отметил автор [13], экстраполяция кривых [14] дает / = 4-10~3
для N «= 60 и при d = 1 м, 6v = 150 МГц интервал между модами
ТЕМооз н ТЕМ01д равен D-10~3)(l50-10G) = 0,6 МГц, что согла-
суется с экспериментальной величиной, полученной в [15],
Нерегулярности, присутствующие в резонаторе, приводят к
снятию вырождения, что проявляется в небольшом расщеплении
частот мод, однако отклонение этих компонент от ТЕМтп(Гмод
резонатора без потерь мало.
В цилиндрических координатах резонансные частоты имеют
вид [161
v - [q + A + 2р + l)f]c/2d. A1.12)

§ 8. СЕЛЕКЦИЯ МОД
331
Частоты мод характеризуют свойства лазерных систем и поэтому
ясно, что они не зависят от типа используемых координат. В ра-
боте [17] было отмечено, что можно найти линейную комбинацию
1МоД с одним и тем же значением т + п, тождественную о модой,
для которой в цилиндрических координатах 2р -\- I «* m -f n.
Если резонатор является симметричным и не имеет потерь, то
безразлично, какая из систем коорди-
нат — декартова или цилиндрическая —
используется. В реальном резонаторе
всегда присутствуют всевозможные дефек-
ты в зеркалах, окнах и т. д., которые
делают его асимметричным в азимуталь-
щом направлении.
В этом случае используют прямоуголь-
ную систему координат.
Для того чтобы наблюдать частотные
'биения между различными модами, одно-
временно возбужденными в пределах кон-
|тура усиления лазера, можно подать луч
лазера на катод фотоумножителя, выход-
ной сигнал которого поступает в спек-
следовательно, гасят се-
бя на фотоумножителе.
Для наблюдения биений
необходимо отсечь поло-
вину лазерного лущ
вдоль центральной стрел-
ки, показанной па ри-
сунке J13].
Рис. 11.22. Наложен-
ные друг на друга моды
ТЕМ109 и ТЕМ00A. Поля
в двух половинах
TEMmq-моды имеют про-
тивоположные направ-
ления и поэтому дают
с ТЕМоод-модой биения,
которые находятся не ц
(Троанализатор (см., например, 1141 или фазе друг с другом и,
, [13]). Один из интересных аспектов, ко-
торый иллюстрирует общую картину,
описан в работе [13]. На рис. 11.22 пока-
вана мода ТЕМ00G и перекрывающаяся с
ней мода ТЕМ]0G. Вспоминая то, что бы-
ло изложено в гл. 6, § 1 в связи с опро-
кидываниями фазы, происходящими в
'Поперечных модах, мы видим, что поле
(В одной половине асимметричной [моды перевернуто. Это при-
водит к тому, что ее биения с симметричной модой также пе-
'ревернуты по фазе и в сумме на фотоумножителе дают нулевой
вффект.
Биения частоты наблюдаются, когда половина картинки за-
крыта и не попадает на фотоумножитель. Они в общем случае
(являются настоящими биениями между поперечными модами.
§ 8. Селекция мод
8.1. Введение. Населенности энергетических уровней актив-
ного вещества могут быть достаточно неоднородно уширенными,
.что дает возможность независимого возбуждения некоторого числа
продольных и поперечных мод, которые независимо насыщаются.
В связи с'этим выходное излучение лазера может состоять (и обыч-
но состоит) из множества дискретных частот. В большинства

332 ГЛ 11 ТЕХНИКА РЕЗОНАТОРОВ
случаев (до некоторого приближения) моды не взаимодействуют
между собой. Иногда желательно ограничить число мод, длячего ис-
пользуют методы, различные по своей сложности в зависимости
от точности, необходимой для конкретного эксперимента. Важней-
шими областями, где подавление мод и контроль над ними пред-
ставляют актуальную задачу, являются оптическая связь и голо-
графия.
Основная проблема при разработке методов селекции мод за-
ключается в обеспечении селекции с минимальными потерями по-
лезной мощности.
8.2. Селекция поперечных типов колебаний наклонными зер-
калами. Вскоре после того как появился лазер, было обнаружено,
что наклон зеркал приводит к значительным изменениям в на-
блюдаемой модовой структуре. Осью резонатора является линия,
проходящая через центры кривизны обоих зеркал. Для того чтобы
объем моды в активном веществе был максимален, с зтой осью сов-
мещают ось активного элемента (гл. 11, § 5). При наклоне зеркал
ось резонатора сдвигается, а это может повлиять на усиление,
так как объем активного вещества уменьшается для одной моды
и увеличивается для другой. Тот факт, что используются различ-
ные области активного вещества, сказывается также па усилении
и, поскольку в поперечном сечении активного элемента, как пра-
вило, присутствуют градиенты инверсной населенности, это может
приводить к любопытным эффектам. Различные области на зерка-
лах и на брюстеровских окнах образуют резонатор и поэтому лю-
бые нерегулярности коэффициента отражения в пропускания и
т. д. вызывают изменение добротности. Атмосферная пыль такн-о
оказывает влияние на моды и может причинять массу неудобств,
являясь источником шума в выходном излучении.
8.3. Селекция мод с помощью круглой диафрагмы. Экран
с круглым отверстием, диаметр которого равен диаметру луча
моды ТЕМоси подавляет моды более высокого порядка, внося в то
же время очень малые потери в основную моду. Такую диафрагму
можно расположить как внутри, так и вне резонатора. Находясь
внутри резонатора, она помогает ослабить эффекты, вызванные
конкуренцией мод; впе резонатора ее можно установить в фокусе
лиизы, через которую пропущен луч (такая система используется
для «очистки» луча в голографии или шлирен-фотографии).
В работе [18] изучалась возможность выделения осесимметрич-
ных мод TEMpi гелий-неонового лазера методом подбора диамет-
ра диафрагмы, размещенной точно на оптической оси одного из
зеркал.
Автор [18] обнаружил, что основная (ТЕМ00) мода воз-
буждается первой, однако, при постепенном увеличении отвер-
стия она деформируется и плавным переходом заменяется на сле-
дующую моду более высокого порядка. Этот процесс поочередно

§ 8 CFЛЕКЦИЯ МОД 333
повторяется для каждой осесимметрпчной моды. Было отмечено,
что лазер генерировал в моде самого высокого порядка, который
только был возможен при данном уровне дифракционных потерь
на отверстии диафрагмы и при том усилении, которое в состоянии
обеспечить лазер. Это явление нельзя объяснить на языке линей-
ной теории мод. Автору удалось выделить моды с азимутальной
периодичностью (I = 1, 2, 3, 4). Для этого он использовал две
прямые нити, пересекающие оптическую ось под соответствующи-
ми углами.
В [19] проведено теоретическое исследование селекции мод
отверстием, ограничивающим концентрический открытый резо-
натор, не содержащий активного вещества (в отсутствие усиления).
Автор решал интегральные уравнения методом итераций.
8.4. Селекция мод в лазерах с большой длиной. Поперечные
моды лазера легко подавить с помощью диафрагмы (п. 8 3) При
этом в излучении остаются одна поперечная и продольные моды.
Если не принимать никаких дополнительных мер, то в пределах
контура усиления активной среды будут поддерживаться колеба-
ния на некотором числе частот, разделенных интервалом с 2A
(гл, 4, § 2). Проблема состоит в том, чтобы получить одночастот-
ную генерацию, не уменьшая величины d (поскольку это приводит
к снижению получаемой от лазера мощности).
В статье [20] было предложено два метода селекции мод, пер-
вый из которых реализуется вне резонатора, второй — внутри
него.
8 4 1. Внешняя селекция мод [20] Многочастотное выходное
излучение газоразрядного лазера направляют в сферический ин-
терферометр Фабри — Перо, продольные резокансы которого раз-
несены но частоте дальше, чем ширина полосы генерации лазера.
Этот метод тлюстрируется рис. 11 23. Здесь вновь используется
Зсловие 6v = c/2d, однако в данном случае резонатором является
пассивный интерферометр Фабри — Перо, настроенный таким обра-
зом, что он пропускает только одну моду, содержащуюся в много-
модовоч выходном излучении лазера, и отражает все остальные.
Чтобы предотвратить взаимодействие отраженных мод с модами
лазера, необходимо использовать развязку, в качестве которой,
может служить четвертьволновая пластинка и призма Глапа —
Томпсона (рис. 11.24). Необходимо также согласовать выходной
гауссовский пучок лазера с резонатором Фабри — Перо в соот-
ветствии с граничными условиями на нем, как описано в гл. 7, § 13.
Для этой цели служит согласующая линза, показанная па
рис. 1124.
Система обратной связи на рис. 11.24 нужна для стабилизации
выходного лазерного излучения. Резонансная частота опорного
резонатора модулируется путем изменения его длины с помощью
яьезокерачики, возбуждаемой звуковым генератором. Воздействие

334
ГЛ 11, ТЕХНИКА РЕЗОНАТОРОВ
ВшоЗное \
излучение
мазера
ру
интерферометрач
y
на выходе из
интерферометр^
Рис. 11.23. Частотпыв
профили ылходного из-
лучения лазера, про-
пускания интерферомет-
ра и выходящего из него
излучения. Как показа-
но на рисунке, интерфе-
рометр настроен на про-
пускание одной частоты,
лежащей вблизи центра
контура усиления лазе-
ра [20].
Зь/ходнее
излучение
..ilk.
¦э-
I »--—
Рис. 11.24. Блок-схема анпаратуры «внешнего селектора мод» для полу-
чения одночастотного выходного излучения [20]: / — фотоприемник, 2 —
звуковой генератор, 3 — фазовый детектор, 4 — усилитель постоянного
тока, 5 — пьезоэлектрическая керамика, 6 — лазерная трубка, 7 — диа-
фрагма, 5 — развязка, 9 — согласующая линза, 10 — резонатор интерфе-
рометра, 11 — пьезоэлектрическая керамика.
Резонансная
jrapattmepmrrv/ra
олорнога
резонатора
Уптвж
излучеяи*
Рис. 11.25. Резонансная
характеристика опорного
резонатора каи функция
частоты. При таком ноло-
жении частоты выходного
излучения, как указано на
рисунке, модуляция дли-
ны опорного резонатора
приводит к модуляции
амплитуды выходного из-
лучения.

§ 8. СЕЛЕКЦИЯ МОД
335
¦модуляции на выходной сигнал регистрируется фотоприемни-
ком. Когда зеркала резонатора колеблются, амплитуда выходного
^сигнала также осциллирует, проходя через пик интенсивности,
как показано на рис, 11.25. Если частота выходного излучения ла-
зера смещается к одному из краев резонансной характеристики
опорного резонатора, то амплитуда выходного сигнала модули-
руется с частотой звукового генератора. При резонансе сигнал
Рис. 11 26. Схема селекции продольпых мод, Три зеркала, 32, 33, 34, обра-
зуют перестраиваемый отражатель для резонатора лазера [20].
{его частота равна удвоенпой частоте звукового генератора) на зву-
ковой частоте отсутствует. На противоположном крыле опорной
резонансной характеристики вырабатывается сигнал с противо-
положной фазой. Таким образом, используемый в схеме фазовый
детектор, настроенный на эту звуковую частоту, может выделять
из выходного излучения лазера сигнал, амплитуда которого про-
порциональна отклонению от центра характеристики опорного
резонатора, а знак зависит от направления отклонения.
8.4.2. Внутренняя селекция мод [201. В [20] описан весьма
остроумный способ внутренней селекции мод. В используемой
¦схеме одно из зеркал лазерного резонатора заменяется тремя зер-
калами 32, 33, 34, как показано на рис. 11.26. Эти три зеркала
вместе образуют вторичный резонатор, являющийся перестраивае-
мым. С точки зрения резонатора лазера такое устройство ведет
себя подобно одному зеркалу, коэффициент отражения которого
на данной частоте можно плавно менять. Вторичный резонатор
настраивают на отражение той моды, которую желательно полу-
чить в основном резонаторе лазера.
Зеркала 33 и 34 являются полностью отражающими, поэтому
ширина резонансов определяется коэффициентом отражения зер-
кала 32 (напомним, что ширина резонансов в эталоне Фабри —
Перо зависит от коэффициентов отражения зеркал). Характери-
стика отражения трехзеркального селективного отражателя при-
ведена на рис. 11.27. Следует заметить, что по своей эффективно-
сти данный принцип селекции не уступает тому, на котором осн<ь
.ван метод селекции мод посредством внешнего резонатора.

836
ГЛ. 11. ТЕХНИКА РЕЗОНАТОРОВ
Длина вторичного резонатора равна Ь2 + Ь3, п ею опреде-
ляется интервал между резоиансами этого резонатора. Следова-
тельно, для того чтобы частотный интервал между резоиансалш
трехзеркального резонатора был больше, чем ширина полосы
генерации лазера, величина Ьг + L3 должна быть мала. Как и
в случае внешнего резонатора, необходимо также, чтобы и вторич-
ный, и основной резонаторы были согласованы между собой
(см. гл. 7, § 5, где описаны условия согласования и соответствую-
щие расчеты).
Зь/ссо$ное
излучение .
лазера \
Отражательная
характеристика t
селектора мод I
Резонатор
с обычным
зеркалом
Выгодное \
излучение
лазера
Резонатор
с селективным
¦ зеркалом
Рис. 11.27. Частотные профщн выходного излучения лазера с обычным от-
ражателем в резонаторе, эффективного коэффициента отражения трехзеркаль-
ного селектора мод и выходного излучения лазера с трех зеркальным реф-
лектором. Селектор мод настроен таким образом, что л а дер генерирует яа
одной моде вблизи центра контура его усиления [20].
Автор [20] исследовал селекцию мод в гелий-неоновом лазере.
Расстояния между зеркалами Lx -f- L2 — 150 см, L2 -\- L3 = 7.5 см,
радиусы кривизны зеркал ^ ¦= 2 м, Rt — оо, R3 == оо, /?4 =
= 10 м. Лазер работал при давлении 1 тор. Оценка ширины ли-
нии, уширенной за счет давления, дает 150 МГц; интервал мек;ду
продольными модами (c/2L) был равен 100 МГц. Ситуация являет-
ся совершенно обычной и, как во всякой такой ситуации, моды
конкурируют между собой для атомов с инверсией населенности.
Выделение единственной моды обычно должно приводить к увели-
чению выходной мощности в ней, поскольку конкурирующие моды
устранены. Другие соображения касаются шума. Когда моды яв-
ляются конкурирующими для одних и тех же атомов, амплитуды
отдельных мод подвержены флуктуациям, поскольку атомы обес-
печивают энергией вначале одну моду, затем другую п т. д.
Из этих соображений ясно, что внутренний метод селекции мод
более предпочтителен, чем внешний.

§ 8. СЕЛЕКЦИЯ МОД
ЗЭ7
На рис. 11.28 показана блок-схема установки для получения
стабилизированного одночастотного выходного излучения.
8.5. Селекция мод с помощью призмы. Из-за недостаточной
дискриминации внеосевых типов колебаний угловая расходимость
выходного излучения многих газовых лазеров с высоким усиле-
нием, а также твердотельных лазеров, на один или два порядка
Даштричееш
Pirc. 11.28. Блок-схема аппаратуры «вяутрегшего селектора мод» для полу-
чения одночастотиого выходного излучения B0): 1 — фотонриемник, %
л б — пьезоэлектрическая керамика, 3 — усилитель постоянного тока,
4 — фазовый детектор, 5 — диафрагма, 7 — звуковой генератор.
лревышает минимальную дифракционную расходимость. Дифрак-
ционные потери в системах с низким усилением помогают удер-
жать генерацию в пределах мод самого низкого порядка. Для
оптимизации выходной мощно-
сти в системах с большим уси-
лением применяют зеркала с
малым коэффициентом отраже-
ния, в результате чего дифрак-
ционные потери для неаксиаль-
ных мод являются существен-
но меньшими, чем потери на
зеркалах. В таких системах
следует использовать методы
селекции мод, основанные не Рис 1|2fl Пряицнп дискришШа-
на дифракции, а на других ции виеосевых лучей при.шеииыи
принципах. В [21 \ предложен селектором мод 12.11.
резонатор, имеющий в качестве
одною из отражателей призму, в которой могут происходить
многократные внутренние отражения. В основе принципа селек-
ции мод здесь лежит эффект сильной зависимости коэффициента
отражения от угла падения в области, близкой к критическому
углу. Призма обладает высоким отражением только для узкого
22 А. Майтлэчд, U Данн

833
ГЛ. Н. ТЕХНИКА РЕЗОНАТОРОВ
диапазона углов (—Г) вблизи выбранного направления оси.
На рис. 11.29 показаны центральный и крайний лучи расходяще-
гося пучка, падающего на призменный селектор мод. Угол приз-
иы 6пр равен критическому углу 6кр или несколько превы-
шает его. Можно видеть, что внеосевые лучи имеют сильную тен-
денцию к уходу из пучка.
Кроме того, падая на по-
верхность Si под углами,
отличными от критического,
они подвержены более высо-
ким потерям при отражении
от нее. В то же время осе-
вые лучи, отражаясь под.
критическим углом от Si, па-
дают нормально на поверх-
**-15 -10 -5 0 5 10
Угол naffeffi/я в? мим
15
иость S2 (которая покрыта
диэлектрическим зеркалом)
и затем, снова отражаясь под,
критическим углом от Slt
возвращаются назад по ис-
ходному пути.
Рис. 11.30. Относительная интенсив-
ность отраженного света впризменном
селекторе мод с ц = 1,64 для поля-
ризаций, параллельной и перпендику-
лярной плоскости падения внутри приз-
мы, епр = йкр [21].
раженного света для единич-
ных амплитуд падающего света с параллельной и перпендикуляр-
ной поляризациями по отношению к плоскости падения соот-
ветственно равны
Амплитуды Rи и R, от-
Ля =1 —
ая -*-**(! — (*• sin» в
2A — u.2sin3Bj)l/2
>кр>
A1.13)
где (г — показатель преломления материала призмы относительно-
окружающего воздуха, а Йпад — угол падения.
В приближении, в котором вводится угол 6 = 6кр — 9пад <?С 1»
мы имеем
ЛI = 1 -
На рис. 11.30 приведена относительная интенсивность отра-
женного света, рассчитанная по A1.13) для призмепного селектора
мод с ц = 1,64 для поляризаций, параллельной и перпендикуляр-
вой плоскости падения внутри призмы, при 6пр = 6кр. Если угол
6Пр несколько больше, чем 6кр, то коэффициент отражения приз-
мы для диапазона углов 2Fпр— 6кр) примерно равен 1,0. Регули-
рование величины 6пр— 6Кр можно осуществлять путем измене-

§ 9. СТАБИЛИЗАЦИЯ ЧАСТОТЫ В ОДНОМОДОВЫХ ЛАЗЕРАХ
33»
ния температуры призмы. (Так, например, увеличение температу-
ры на 50°С приводит к увеличению разности 6пр — 0ир для флинза
примерно на 1".)
Призма, которая была описана выше, используется для дискри-
минации внеосевых лучей только в плоскости рисунка. Для осу-
ществления селекции в вертикальной плоскости к ней следует
добавить вторую призму, как показано на рис. 11.31. Полуволно-
вая пластинка введена для того, чтобы направления поляризации
при обоих отражениях были параллельны плоскости падения,,
селекция в которой осуществляется более эффективно.
/Ъризошальтй
' * 'х Вертикальный
селектор Mad
Поиуволнавая
пластинка
Рис. 11.31. Составной призменпый селектор мод для дискриминации вне-
осевых лучей в двух направлениях [21 ].
- Использование такой призмы позволило авторам [21 ] добиться
вначительногоуменьшешш 'ширины пучка и увеличения интенсив-
ности излучения вл его центральной области. Наибольший выиг-
рыш получен для параллельной поляризации.
§ 9. Стабилизация частоты в одномодовых лазерах \
В работе [22] для стабилизации частоты газоразрядных: лазе-
ров был успешно применен метод, в котором отсутствует внешний
резонатор (§ 8). Основой принципа стабилизации является исполь-
зование самого лазерного перехода. Лазерный луч пропускают
через ячейку, содержащую газ, на котором работает лазер. В ячей-
ке поддерживается разряд и, таким образом, она либо усиливает»
либо поглощает излучение. Когда к разрядному промежутку
прикладывается магнитное поле, возникает зеемаиовское расщеп-
пение и вещество становится дихроичным для света, поляризован-
ного по кругу (рис. 11.32). Если свет, распространяющийся вдоль
поля, имеет правую круговую поляризацию (ЯЯЯ), то он взаимо-
22*

340
ГЛ. 11. ТЕХНИКА РЕЗОНАТОРОВ
действует с теми атомами, которые дают вклад в низкочастотный
контур поглощения (усиления); если же свет обладает левой
круговой поляризацией (ЛКП), то он взаимодействует с теми из
атомов, которые соответствуют высокочастотному контуру. Чтобы
Рис. 11.32. Экспериментальная система контроля с обратной связью для
стабилизации частоты газового лазера с длиной волны излучения 6328 А
(.22): 1 —усилитель постоянного напряжения, 2 — пьезоэлектрический
о
преобразователь, 3 — одномодовый лазер, X = 6328 А, 4 — четвертьвол-
новый электрооптическпй переключатель, 5 — поглощающая ячейка, 6 —
фильтр, 7 — фотоумножитель, 8 — резонансный усилитель переменного
тока, 9 — фазовый детектор, 10 — генератор прямоугольных импульсов
напряжения.
использовать это явление, нлоскополяризованное выходное излу-
чение лазера с помощью четвертьволновой пластинки превращают
в поляризованное по кругу. Магнитное поле не оказывает влияния
на частоту выходного излу-
чения лазера и она остается
в диапазоне около vu; задача
~" состоит в том, чтобы стаби-
AM=+f лизировать частоту как мож-
но ближе к vu. Таким обра-
зом, выходной сигнал с при-
емника, расположенного за
поглощающей (усиливающей)
ячейкой, благодаря зеема-
новскому расщеплению, за-
висит от смещения частоты.
Если при фиксированном маг-
нитном поле поляризацию
лазерного луча сменить с
ПКП на ЛКП, то для часто-
ты излучения, равной vu, сигнал с приемника останется неиз-
менным. Но если частота лазера есть v, то, как следует из рис.
11.33, смена поляризации приведет к изменению выходного сигнала
Рис. 11.33. Чувствительный к полярп-
вации двойной контур поглощения,
создаваемый магнитным полем [22].

§ 10 МНОГОСЛОЙНЫЕ ПЛЕНКИ
341
Па рис. 11.32 показана схема установки, использовавшейся
авторами [221. Электроошическим переключателем служил KDP.
Поглощающая ячейка была заполнена неоном-20 (применение ко~
торого позволяло избежать изотопических смещении) при давле-
нии 5 тор и функционировала при разрядном токе 20 — 50 мА.
Аксиальное магнитное поле составляло около 350 Гс, при этом кон-
чуры поглощения раздвигались иа 1,2 ГГц. Фотоумножитель S20
а
был закрыт узкополосным (~10 А) фильтром. Согласно оценкам
среднее во времени изменение частоты ja 5 мин около ±1 Мгц с.
§ 10. Многослойные пленки
Многослойные пленки с периодической структурой исполь-
зуются для получения коэффициентов отражения, больших, чем:
00%. Такие пленки необходимы для изготовления зеркал резона'
тора лазера. Они играют важную роль в технологии лазерной
оптики, поскольку позволяют получить покрытие с практически
любыми требуемыми характеристиками отражения или пропуска^
ни я на данной длине волны. В [23] приведен полезный обзор тсс
рии и методов расчета оптических тонких пленок.
Остановимся па изучении свойств пленок, состоящих тп ди-
электрических слоев, в которых отсутствуют потери. Слои, имею-
щие бесконечную протяженность, являются плоскими и взаимно
параллельными, каждый из них однороден и изотропен. Пусть
"aetq
валт
J-1 J
т-7 т
Рис. И.34. Схематическое изображение mhoi ослойпой пленки. Каждый
слои имеет толщину d} а 1юка.)дим>. преломления п}, где/=1, 2, . . ., т. Ин-
дексы «внеши» и *ш;ш,» относятся и внешней среде и к веществу подложки*
ось z служит нормалью к плоскости слоев. Рассмотрим нормально
падающие монохроматические плоскополяризовапные электромаг-
нитные волны, бегущие в направлении оси z. Такая многослойная
С1руктура схематически изображена па рис. 11.34. На каждой
ионерхпости раздела происходит некоторое отражение, поэтому
в каждом слое существуют волны, бегущие в противоположный
направлениях,. Амплитуды электрическою и машинного поле!*
в /-м слое да loi с я выражениями
?{z) exp (Ш) =
а} exp [t{oit
-\- ay)] -f bj exjt[i{<at -f- fcnyz -j- py)), A1.15)

342
ГЛ. 11. ТЕХНИКА РЕЗОНАТОРОВ
H{z) exp {mi) = n}{a.j exp[i(mt — kn}z -[- a.})\ — о
— 6;exp[i(tof + knfi + p,)]}, A1.10)
где a^, bj, o.} и р*7 — постоянные, определяемые из условия, что
при пересечении любой границы E(z) и H(z) остаются непрерывны-
ми. Применяя это условие к грапице раздела между /-м и (у -f- 1)-м
слоями, мы получаем , ,,
а} exp [i(a,j — krijZj) ] -j- й; exp [i(^ -(- hrijZj) ] =
A1.17)
exp
— fry exp
A1.18)
Эти уравнения можно упростить, если принять обозначения,
приведенные на рис. 11.35. В этих обозначениях отраженная вол-
на помечена штрихом, а прошедшая не помечена. Мы будем обо-
значать знаком плюс ту сторону границы, которая лежит ближе к
Сторона.- ?mgpmi+ С/м/рет- Сторот*
J-7 J-
Рис. 11.35. Падающее и отраженное поле в /-м слое. Рисунок иллюстри-
руит o6o-Jua4L'iiUH, используемые при выводе соотношений A1,19) —
(И.22) и в последующих расчетах.
области
zy, и знаком минус—ближайшую к области
Поскольку мы имеем дело только с усредненными по времени и
относительными величинами, то мы можем опустить множители,
зависящие от времени, и положить амплитуду на т-й границе
равной единице. Таким образом,
— kn}z})], A1.19)
bj— = а^ехр [цау
Е'}- = ^ехр[1ф}
,_,.,= а, exp [i (а.
A1.20)
A1.21)
A1.22)

§ 10. МНОГОСЛОЙНЫЕ ПЛЕПКИ 343
Из A1.19) и A1.21) находим
¦?(,_!)+ = aJ ехР {М«у — knj (z} — d})]} = Я;_ ехр (ifcn/Jy) ^
= Я}_ехр((Фу). A1.23)
Точно так же на основании A1.20) и A1.22) получаем
< ;-1'Ф,), (И.24)
где (/) = 2j — z^_t есть геометрическая толщина /-го слоя, аФ,-
фазовая толщина.
Применяя эти обозначения к A1.17) и A1.18), имеем
Ег- + Е;-=*Ег+ + Е'^ A1.25)
(Ц.26)
Для (/ — 1)-й границы в A1.25) и A1.2G) вместо / мы подста-
вим /' — 1:
Комбинируя A1.27) и A1.28) с A1.23) и A1.24), находим
?(,_!,- "I" ^,-i,- = ?,- с-^Р (»'*i) -r E,- ехр (- (фу), A1.29)
Я(,_„_ - ^_1(_ = -^- [/?;_ ехр A'Ф,) - ?;_ ем, (- 1ф7)]. A1.30)
Ренгая эти уравнения относительно ?\у_п_ и /?*._, получаем
^O-i,- = V. A + nj/nj^) ?_ О\р ((Фу) +
+ Vt A - nj/n^) Е\_ ехр (- 1ф,-), A1.31)
?<i-D- = '^ t1 " V»y-i> ?;- охр (гФ,) 4-
+ V2 A Ч- «,/">-.) ^;_ ехр (— гФ7). A1.32)
Формулы Френеля для нормального падения па (j — 1)-ю гра-
ницу раздела дают
+ П/) и //_! = 2nJ-_1/(n^_l + пу). A1.33)
Для наших целей эти уравнения более удобпо представить в

ГЛ. 11. ТЕХНИКА РЕЗОНАТОРОВ
следующем виде:
Ш
-г =V,A + n//n^-i)
A1.34)
A1.35)
Возвратившись к уравнениям A1.31), A1.32) и скомбинировав
их с A1.34), A1.35), можно перейти к записи в матричной форме:
ехр(гФу) гу_, ехр{— (Фу.)
).) ехр(-«Ф;)
4-х
Е
У
Е'
L J-J
. A1.30)
Если обозначить амплитуды результирующих долей да /-Й гра-
нице через Еу и Ну, то мы будем иметь
Ej^E^ + lS]- и Н, = п,Я,_-п,-Я;1.
В матричном виде эти уравнения таковы:
ГКу1 Г1 |.
[llyj [nj -n,
Следовательно, мы получаем
1/2„,|ГЕ/
r
A1.38)
Уравнение A1.37), будучи паписанным для (/' — 1)-й границы,
принимает вид
0-1)-
L 0-D-
A1.39)
Комбиннруя A1.39), A1.3G) п A1.38), мы находим
"j-l —
]-i "j^i j
ехр
Произ-водя умпожение, имеем
j) Sill Фу
еозФ,
1/2
ГЕ.
h,J-
A1.40)

§ 10. МНОГОСЛОЙНЫЕ ПЛЕНКН 345
Определитель квадратной матрицы второго порядка в A1.40)
равен единице. Некоторые свойства этих матриц, имеющие отно-
шение к дальнейшему анализу, описываются в приложении
Д. Матрица второго норядка в A1.40) является матрицейпередачи
для слоя. Обозначим ее через М,-
Результирующие поля па {/ — 2)-н границе можно определить
из A1.40) следующим образом:
J-2J
м. , _'~М = м. ,м
V. '-1 Чну
Продолжая этот процесс, мы видим, что соотношение между поля-
ми на первой и на последней границах описывается уравнением
[н„] =
м
A1.41)
Приравнивая амплитуду Ет единице, это уравнение можно про-
нормировать:
Ет = Ят+=1, A1.42)
н, следовательно,
Нга = /!,?„+ = п.. A1.43)
Комбинирование A1.41), A1.42) и A1.43) приводит к соотношению
Отметим, что, как следует из A1.40), матрица My зависит только
от толщины и показателя преломления /-го слоя.
Проведенный выше анализ применим к пленкам, состоящим
из многих слоев, между которыми отсутствуют какие-либо особые
соотношения, и при решении A1.44) оказывается, что другого
способа, кроме последовательного составления произведения мат-
риц, не существует. Однако пленки, используемые для фильтров
и лазерных зеркал, зачастую имеют простую периодическую струк-
ТУРУ' состоящую попеременно из различных четвертьволновых
слоев с низким (Н) и высоким (В) показателями преломления:
НВНВ...ВНВ. Как показано в [24], для пленок, состоящих из
множества периодических слоев, вычисления могут быть значи-
тельно упрощены, если воспользоваться полиномами Чебышева.
Этот метод описывается ниже.
Если две многослойные пленки на данной длине волны предста-
одной и той же матрицей, то говорят, что они являются

3^6 гл- И- ТЕХНИКА РЕЗОНАТОРОВ
эквивалентными на этой длине волны. Автор [25] показал, что
любая многослойная пленка на одной длине волны эквивалентна
некоторой воображаемой (фиктивной) двухслойной пленке. Если
комбинация слоев имеет вид абв...вба, т. е. если излучение «видит»
ту же самую последовательность толщин и индексов с каждой сто-
роны пленки, то она является симметричной и эквивалентной не-
коему фиктивному монослою. Даже в случае, когда многослойная
яленка является чисто диэлектрической (с вещественным показа-
телем преломления), эквивалентный фиктивный моиослой или
двойной слой могут иметь комплексный показатель. При исследо-
вании периодической многослойной пленни эти выводы можно
применить к основному периоду слоев. Допустим, что двойной
слой для основного периода описывается произведением матриц;
АаАь, и пусть Dioi период повторяется т раз. Из A1.44) имеем
A1.45)
I ¦ ]
Если многослойная пленка асимметрична», то
F "I
Если такая пленка содержит (т ~\- 1/2) основных периодов,
то она называется «периодически-симметричной». Для этого случая
мы находим ' , „ , , , .у
В уравнения A1.45) и A1.40) входят матрицы второго порядки.
Как показано в приложении Д, такую матрицу можно выразить
через ее элементы и полиномы Чебышева второго рода, используя
соотношение (Д.36). Пусть элементами матрицы основного периода
являются
Тогда аргументом полиномов Чебышева служит величина
- ,- X = ап + Чг- A1.48)
Произведение АаА;> для двух фиктивных (эквивалентных) слоев
а и Ь равпр
cos Фь (ifnb) sin ф?
inb sin Фь cos Ф(
вт Ф„

§ 10. МНОГОСЛОЙНЫЕ ПЛЕНКИ 347
Используя A1.47) и A1.48), мы получаем
2 I 2
X = 2 cos Фа cos Фй — ~-~ sin Фа sin Ф6. A1.49)
<х Ъ
Если каждый из фиктивных слоев имеет одну и ту же оптиче-
скую толщину, то мы имеем
Фа -Ф6 = Ф, A1.50)
и A1.49) приобретает вид
Х = 2- „' ь) sin2 Ф. (U.51)
папЬ
Для периодически-симметричной многослойной пленки матри-
ца фиктивного тройного слоя есть
созФ (i/na)sinO"| Г сояФ (i/пЛ sin Ф
in sin Ф cos Ф I I in. siu Ф cos Ф
созФ
х1
для которой после умножения находим
АаАьАа = ХАа - А^1, A1.52)
где
а-1
Ila основании (Д.25) и (Д.30) имеем
[АвАь)« Ae = Sm^ (X) АаАьАа - Sm-2(X) |Аа,
что с учетом (Д.31) и A1.52) дает
Аа = Sm (X) Аа - 5т_, (X) АГ1. A1.54)
Отсюда следует важный результат, что для вычисления матрицы
передачи периодически-симметричной многослойной пленки тре-
буется всего лишь две основные матрицы Ао и Аь фиктивных сло-
ев и соответствующие полиномы Чебышева (приложение И) при
условии, что фиктивные слои имеют ту же самую оптическую тол-
щину. Необходимое для вычисления [АоА&]тАа перемножение,
если оно производится без привлечения правой части равенства

3'i8
ГЛ. 11. ТЕХНИКА РЕЗОНАТОРОВ
A1.54), является очень утомительной процедурой и дорогой в
смысле использования машинного времени.
Периодически-симметричной многослойной структуре соответст-
вует эквивалентный монослой с толщиной Ф1 и с показателем
преломления пх. Следовательно, мы можем написать
1 v ] A1.55)
Из A1.53) и A1.54) имеем
cosO
а= Sm{X)
sin Ф
соэФ
соьФ — (!'«b) sm Ф
Сопоставление элементов в A1.55) и A1.56) дает
cosO^ - [Sm(X) - Sm.
n\ =
A1.56)
A1.57)
A1.58)
Если многослойная пленка является чисто диэлектрической и
если отдельные матрицы Аа и А^ соответствуют отдельным слоям,
то аргумент X является действительным числом. Это относится к
пленкам, состоящим из четвертьволновых слоев (для Яо), с попе-
ременно низким и высоким показателями преломления. Имеем
далее
.1 - фв = фь = ф =-«-*2. * A1.59)
sin2
*anb
A1.60)
является действительной величиной.
В общем случае коэффициент отражения Н для интенсивности
можно определить как
2 A1.61)
а коэффициент пропускания Т как
Т =
Е
A1.62)
где Re обозначает вещественную часть.

§ 10 МНОГОСЛОЙНЫЕ ПЛЕНКИ 349
Подставляя j =0в A1,38) и используя полученное уравнение
и A1.61), A1.62) (напомним при этом, что Ет+ принята равной еди-
нице), мы находим
2 A1.63)
- nu\K0-rUjn(lr * '
Пример. Для того чтобы продемонстрировать возможность
применения приведенного выше анализа, рассмотрим лазерное
зерка ю, используемое в системах на аргоне П, и проведем расчет
о
коэффициента отражения на длине волны 4880 А для многослой-
ною покрытия, состоящего из слоев, каждый из которых является
о
четвертьволновым на 5145 А. Пусть система имеет И чередующих-
ся слоев из сульфида циика и фтористого магния, нанесенных на
стекло. В этом случае
щ = 1(возду\), nb = l,38(MgF2),
па = 2,3(ZnS), ns = 1,52(стекло).
Из A1.59) получаем ф = 1.65631 и, следовательно, созф=*
*= „о,08540, smrp = 0.99634.
Используя A1.46) и A1.56), находим
fE"l I" Y I — O,OS54O 0,99634i/2,3>
[н0] = [ е^ Ч2-3-0,99Ь34* —0,08540
— 0,08540 —0,9%34(/1,38\"|Г 1
— 0,08540
Аргумент X полиномов Чебышева S(X) определяется из A1.60),
х -= —2,23540 Воспользовавшись соотношением (Д.33), вычислим
далее Sa(X) и
S.a = -17,84927, S, = +10,98192.
Окончательно находим
ГЕ01 Г 2,46219 + 0,2989711
[h0J = [— 25,80359t + 3,74253j*
откуда
Ео = 2,46219 + 0,29897г, Но =* 3,74253 ~ 25,80359/.
Подставляя эти величины в A1.61) и A1.62), получаем коэффи-
циешы отражения и пропускания для данного многослойного

350
ГЛ. II. ТЕХНИКА РЕЗОНАТОРОВ
покрытия на длине волны 4880 А:
Л = 99,12% и Т = 0,8895.
На рис. 11.30 показан коэффициент отражения зеркал как
о
функция длины волны для Хр = 3250 А. Подложки зеркал выпол-
нены из плавленого кварца, сами зеркала образованы соответст-
венно 17 и 11 слоями окиси титана и окиси кремния. В расчетах
20
Длина.
Рпс. 11.36. Коэффициент отражения для многослойного диэлектрического
о
покрытия как функция длины волиы, имеющей центр на 3250 Л,
использовались следующие значения показателей преломления п;
2,2 — для TiO и 1,65 — для SiO. Так как показатели преломле-
ния меняются в зависимости от условий процесса испарения,
то для вычислений были выбраны их средние величины. Поглоще-
нием сренебрегалось.

ПРИЛОЖЕНИЯ
А. Комплексное интегрирование
Для вычисления интеграла того типа, который встречается в дисперсион-
ных соотношениях и в преобразованиях Гильберта, используется интегри-
рование ni> контуру в комплексной плоскости. Из интегральной теоремы Ко-
ша следует, что интеграл от любой аналитической функции, взятый вдоль
любои лачкнутой кривой (по контур}), гнлностью лежащей в области анали-
тичности, равен нулю Рассмотрим функцию F{z) = }{z)lp(z), где f{z) авали-
тична, a p{z) — многочлен степени п. Если корни многочлена суть аи . . .
.. ., ап, мы имеем }{z)l{z—ах) . . (з—ап) и F(z) не является аналитической в
точках г = aj. . . ., егп. Говорят, что функция F(z) #меет полюса в точка\
г = а,, . . ., ап. Так как корни ai но обязательно являются действительными,
то они могут быть представлены любыми точками на комплексной плоскости.
Длн вычцслепия интеграла важным является вычет функции в полюсе.
Если полюс находится в точке z = at, то вычет получают, умножая функцию
j(z)lp(z) на (г — й() и полагая далее г = аг, таким образом, вычет в полюсе
а определяется выражением
/К)
(", - )(". - «*) (а« - flt-l)(*i ~ аг+1) •¦•(ai- aa)' (А 1)
Дисперсионные соотношения. Отправным пунктом при выводе дис-
персионных соотношении служит интегральная формула Коши. Если функ-
ция /(г) комплексного переменного z является аналитической всюду внутри
и вдоль замкнутого контура С, то значение /(г) в любон точке а полностью оп-
ределяется ее значениями на любои замкнутом контуре! окружающем точку а.
Имеем, таким образом,
\ ? / (г) dz f/(a), если а внутри С,
ВНе С'
2)
i D ?.f(z)dz „
~ZT Ф ~; 7 = / (а). если а лежит на С,
с
где Р —> главное значение интеграла (см. нилю). Контур С на рис. А.1 мож-

852
ПРИЛОЖЕНИЯ
но выбрать простирающимся от — со до + со вдоль действительной оси с по-
луокружностью бесконечного радиуса в верхней полуплоскости, возвращаю-
щейся в —со (т. е. производить интегрирование против часовой стрелки).
Пусть а лежит очень близко к действительной
i оси на рис. А.1, так что
XgU
Рнс. АЛ.
а = ха ± IE (?> 0.)
(А.З)
Тогда, поскольку хл -+- 'Е лежит внутри кон-
тура интегрирования, а ха — is вне его, ми
имеем
(знак +),
(знак —),
(А.4)
Если вклад в этот интеграл от полуокружности обращается в нуль при ус-
тремлении радиуса к со, то можно пренебречь полуокружностью. В резуль-
тате получаем
A.
2ju
f{x)dx
x — (xa±i&)
(знак—).
(A.5)
Найдем теперь предел при е -*- 0, что соответствует действительным значе-
ниям z. Это непосредственно следует из того, что правая часть (А.5) дает
f(xa). Чтобы получить этот предел при е -*- 0 для левой части равенства, возь-
мем контур С2 от —со до -^-са, как и раньше. Однако теперь мы обои дом точ-
ку ха (е = 0) путем введения в контур небольшой полуокружности радиуса
г, которая проходит либо выше, либо ниже точки ха, как это показано на
рис. А.2. Найдем предел, к которому стремится интеграл по контуру при
г -*- 0. Имеем
С I V °С \
'*Т» ^^ ч л XTTI I I 1 I V V
Оили2л
(A.G)
В пределе при г -*¦ 0 первые два интеграла в правой части образуют ин-
теграл, называемый главным вначением Когии, который обозначается бук-
вой Р:
Г / И dx = ]i
J а;—а: г

А. КОМПЛЕКСНОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
353
Третий интеграл в правой части (А.6) можно получить из рассмотрения
рис. А.З, отьуда cpady следуег, что
s — а = r(cos 6 + i sin в) = reiQ, dz = ireiQd0. (A.8)
Верхний предел 0 соответствует контуру, цроходящему над точкой ха, а пре-
дел 2п — KOHTjj.-y иод ха.
Рис. А 2. Рнс. А.З.
В пределе при е -*¦ 0 п г -*¦ О из (А.5), (А.6) и (А.7) находим
/ (х) dx > J_f /x \ /знак +),
Сложение (А.9) и (Л.10) приводит к формуле
Пусть /{я) — комплексная функция, определяемая соотношением
(А.11) и (А.12) получаем
-|-оо
.— 00 —ОО
Приравнивая веществепныс и мнимые части, имеем
л J х ха
-¦f-oo
dx
(А-9)
(ЛЛ0>
(А.11)
(A.12)
(А.13а)
(А.14)
23 а. МэЙтлэнД, М Данн

354 ПРИЛОЖЕНИЯ
Эти соотношения между действительной и мнимой частями функции пред-
ставляют собой дисперсионные соотношения. Они справедливы, когда Б верх-
ней полуплоскости отсутствуют полюса.
Если функция /(#) такова, что она удовлетворяет соотношению перекрест-
ной симметрии
где звездочка обозначает комплексное сопряжение, то на основании (А.12)
мы имеем
/(~х) = Ж-*) + iJ(-x) и /•(*) = Я (.г) - iJ[x).
Приравнивание действительных и мнимых часто» дает
&{-х) = &{х) и У(~х) = -У(х),
откуда видно, что 31 и У являются соотвсгстпенно четной и нрчртной фун-
кциями.
Интеграл в (А. 13) теперь можно записать следующим обризои;
-|-оо 0
У (х) dx _ f .7 (х) dx , f J (х)
x~xa j *—*a
ii, используя свойство нечетности функции У, получаем
со
- , . 2 п ( х.7 (х) dx , . ,_„,
'О га форма дисперсионного соотношения непосредственно применима к фи-
зическим величинам, которые не могут быть отрицательными, например,
к таким, как частота.
Преобразования Гильберта. Преобразование Гильберта функции f(x),
которое можно обозначить через H[f(x)\, вводится следующим соотношением:
я {/(*)] = -L
л
где главное значение интеграла берется в случае, когда обе величины х п а
действительны. Обратное преобразование даст
+ 00
(а) =_ Я [ff (z)l = --! I lMJll
и J x — а.
Равенства (А.13) и (А.14) показывают, что действительная и мнимая части
функции f(x) представляют собою преобразования Гильберта друг в друга.

Л. КОМПЛЕКСНОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЯ 355
В теории когерентности встречается интеграл внда
~ixadx
(А.17)
J * —°
¦—00
Этот интеграл имеет величину
+ 00
С e-ixad [^ я/в-"* ДЛЯ Ы > О,
Р \ ? «={ д ' (А. 18)
J я - <* 1лнв-1а<в для ш < 0.
¦—оо
Разложение комплексных функций в ряд. Если функция /(г) является
аналитической всюду внутри круга с центром в точке а, то ее можно разло-
жить в ряд Тейлора. Круг, содержащий точку а, внутри которого /(г) анали-
¦¦ична, есть круг сходимости ряда Тейлора. Разложение дается формулой
/(*)= 2 cn{z-a)n, (A.19)
коэффициенты сп в котором равны
cn = f-?l. (A.20)
Если /(г) не является аналитической в точке а, но аналитична вдоль двух
концентрических окружностей Сх а С2 с центром вен между ними, то следует
пользоваться более общим случаем разложения н ряд Лорана. Это разложе-
ние дается формулой
где коэффициенты сп даются выражением
1 Г Uz)dz
с 7)
а С — любой замкнутый контур, проходимый против часовой стрелки вокруг
точки а внутри кольцевой области между окружностями Ct и Сг- Радиус внут-
ренней окружности, описанной вокруг точки а, может быть бесконечно мал.
Интегральное представление функций Бесселя. Представление функции
Бесселя первого рода n-го порядка в виде интеграла использовалось прн аы-
ведении соотношения F.34а). Этот интеграл можно получить следующим об-
разом. Производящая функция (И.28) для функции Бесселя Jn(x) имеет вид
23*

858 ПРИЛОЖЕНИЯ
где Jn(x) определена в области 0 «s х < со. Разложение, определяемое вы-
ражением (А.23), представляет собой ряд Л орана и коэффициенты Jn{x) мож-
но найти с помощью (А.22), откуда ,
/ (#) = я—:
с ¦ ¦' ;1*
В качестве контура С вокруг точки г = 0 выбирается окружность единично-
го радиуса в плоскости t, где t = exp A8). В результате имеем
ХР {{х (р'° — е~'9)/2] };" exp (;0) dU
[exp (iO)j"+1
н, паконец,
2Л
1 exp[i (х sin G — пв)] dQ. (A.24)
t)
о
Б. Гамильтониан для заряженной частицы
в электромагнитном поле
Сила, действующая на частицу с зарядом q и массой т, которая движется
со скоростью v n электромагнитном поле, выраженная в гауссовых единицах,
есть
? + vxB . „ _ (К U
"i
Эта сила называется лорещевской.
Максвелловские уравнения имеют вид
1 дВ
7~"ёГ = 0' У-° = 4лр, (Б.2а, б)
1 3D 4л/
Т" "тГ = » V-B — 0. (Б.2в г!
Видно, что, когда присутствует изменяющееся во времени магнитное поле,
Е не является градиентом скалярной функции, аак как ух Е Ф 0. Однако
V-# = 0, поэтому В можно представить как ротор вектора А — магнитного
векторного потенциала:
В = V X А. (Б.З)
Таком образом, из (Б.2а) находим
&._.._/-. 1 дА\ .
(Б.4)

Е, ГАМИЛЬТОНИАН ДЛЯ ЗАРПЖЕШЮТ1 ЧАСТИЦЫ 357
На основании уравнения (Б.4) мы можем ввести скалярный потенциал ф,
такой, что
J_dA _
откуда -¦ .-
1 РА
Е = _уф_-— —. (Б.5)
Формулы (Б.1), (Б.З) и (Б.5) можно скомбинировать так, что мы получим
/ 1 О А 1 \
*¦ = ? -УФ- ~-^+ — vx[VxA] . (Б.6)
\ /
Чтобы на основании (Б.6) найти лагранжиан, мы должны выразить члены
векторного потенциала в несколько ином виде. Когда частица движется в
электромагнитном поле, изменяющемся во времени, величина А в данной
точке ноля, а с ней в положение частицы также изменяются со временем.
Относящаяся к данному случаю величина А есть та, которая соответствует
местоположению частицы. Если бы частица покоилась, то мы бы имели дело
только с изменяющемся во времени величиной А, т, е. с производной dA,'dt.
Однако, поскольку А меняется независимо, движение частицы также отра-
жается на полном изменении А во времени. Следовательно, полная произ-
водная величины А по времени есть
dA дА
Использование элементарной векторной алгебры приводит к следующему
выражению для другого члена векторного потенциала (Б.6):
Подставляя теперь (Б.7) и (С.8) в (Б.С), имеем
Последнее можно переписать в виде
где (в декартовых координатах)
+/J. + *,
dv ov,, c'u
X II
Информацию, необходимую для построения лагранжиана, можно теперь по-
лучить из (Б.9;, полагая
U = ?ф ~ {qk)v.A. (Б.10)

358 . ПРИЛОЖЕНИЯ
Для ar-компопенты имеем соотношение, полученное комбинацией формуя
(Б.9) и (БЛО):
Fx~ дх "т" dt dv •
Мы видим, что U есть обобщенный потенциал [1 ] н, следовательно, лагран-
жиан для заряженной частицы в электромагнитном поле есть
? = Г — tf=r —4<р + -?- с-А. (Б.И)
Отсюда для электрона находим
гт>% е
L = -?- 4- щ - — о- Л. (Б.12)
Введем обобщенные координаты р и §, которые для составляющих
i = х, у, z определяются как
vi=1i B Pt=~= mvt — Аг ' (БЛЗ)
По определению гамил1>тониан системы есть
На основании (Б.12) мы находим
(е \ im
Соотношение (БЛЗ) дает
В. Связь между векторным потенциалом и плотностью
энергии электромагиитного поля
Допустим, что плоское электромагнитное поле описывается уравнением
А = Aocos Bтч). (В.1>
Из (Б.5) с учетом того, что ф = 0, мы имеем
I дА 2nvA0
Таким образом,
4лЧМ? .
?1 = __J sin» Bnvi).

Г. КОСОЕ ПАДЕНИЕ ВОЛН^ЦА ПОВЕРХНОСТЬ ДИЭЛЕКТРИКА
350
В случае, когда энергия в поле излучения распределена на конечном интер-
вале частот, величина \Е\2 уже относится к единичному частотному интер-
валу излучения, так что \E(v)\2dv есть интенсивность поля, которая соот-
ветствует интервалу dv, включающему частоту v. Следовательно,
p(v) =* #2(v)/4rc, (В.2)
где p(v) — спектральная плотность энергии в единичном частотном интервале.
Г. Косое падение электромагнитных волн на поверхность
диэлектрика
Рассмотрим луч света, падающий иа поверхность прозрачного материала.
Луч проходит из среды с меньшим показателем преломления в среду с боль-
шим. Кри нормальном падении на плоскою поверхность часть света отража-
ется (около 4% при (д. = 1,5), а ос-
тальная часть проникает в вещество.
Электрический вектор излучения па-
раллелен поверхности, поэтому со-
ображения симметрии приводят иас
к выводу, что отраженный и пре-
ломленный лучи имеют такие же,
как и у падающего луча, поляриза-
ционные характеристики. В случае
зке косого падения симметрия исче-
зает и при определении состояния
лолярызацин отраженного и пре-
ломленного лучей начинает играть
важную роль ориентация плоскости Рис. Г.1.
колебания электрического вектора
относительно поверхности раздела (т. е. эти лучи имеют поляризационные
характеристики, отличные от характеристик падающего луча).
Пусть Е \\ и Ь\ — составляющие электрического вектора плоской вол-
ны, падающей на плоскую поверхность (рис. Г.1). Индексы «над», «отр» и« пр»
пи рис. Г.1 относятся к падающему, отраженному и прошедшему (прелом-
ленному) лучам.
Формулы Френеля для отражения п преломления имеют оид
Ео
X
Л/711
2со'ч0пад81'пвпр
падл
О
up
чад!
(°
пад
(Г.1)
Е
пр II _
2С°авпая8*пвпр
отр || 'в гпад "mi
¦"падЦ о \"пад "т" "up
Интенсивность равна квадрату амплитуду, а коэффициент отражения опре-
деляется как отношение интенсиваостен отраженного и падающего свеы.

SCO
Отсюда
Л |
.' ПРИЛОЖЕНИЯ
= tg2 (Йпад - 9np)/tg2 (Опзд + Gnp)
— 8np)/sina (9пад + 6Пр).
(Г.2)
Интенсвввость преломленного луча пропорциональна \i и Е2. Кроме того,
при преломлении изменяется также поперечное сечение луча.
Связь коэффициентов отражения Нц и И± с коэффициентом отражения
R для электрического вектора, разложенного на указанные составляющие,
определяется соотношением
Л = Я || cos2 a + Л± sin2 a,
(Г.З)
где а — угол между электрическим вектором и плоскостью падения.
При нормальном падении (т. е. при малых углах) уравнения (Г.2) упро-
щаются:
ко
О JO Sff SO
Угол прения,
так как для чалых углов Опап ^ (яОпр.
Уравнение (Г.2) показывает, что коэффициент
Л'\ равен нулю, когда йпад + Эпр = 90°, посколь-
ку tg@nafl + 9пр) = оэ. Следовательно, мы имеем
М- = *«
где 0иадБ — угол, для которого параллельная со-
ставляющая не отражается. Эгот угол называется
углом Б рюстера.
Кривые для В± и Л tl, полученные на основа-
нии (Г.2), приведены на рис. Г.2. Они определяют
верхний и нижний пределы коэффициентов отраже-
ния, между которыми лежат коэффициенты отраже-
ния, соответствующие всем другим ориентациям
электрического вектора. Для угла Б рюстера па-
раллельная составляющая не отражается вовсе, в
то время как для перпендикулярной составляющей:
отражение приблизительно равно 15%.
Анализ рис. Г.2 показывает, что излучение с
поляризацией, при которой электрический вектор
лежит в плоскости, составляющей с плоскостью па-
денин небольшой угол, может иметь достаточно
евзкие потерн на отражение.
Прн нормальном падении параллельная в перпевдвкулярная составляю-
щие равны между собой. В случае скользящего падения обе составляющие
полностью отражаются.
В ситуации, когда луч проходит из среды с большим показателем прелом-
лепия в среду с меньшим показателем, формулы Френеля (Г.1) также при-
менимы. В них только следует поченять местами углы бпад и 8пр.
Углы бпадБ в бпрБ остаются прежними, т. е., луч, падающий под тем же
Рис. Г.2. Зависи-
мость коэффициента
отражения от угла
падения для двух
плоскостей поляри-
зации. Коэффициент
отражения при угле
Б рюстера для ком-
поненты R и равен
нулю.

\
Д ТЕОРИЯ МАТРИЦ 361
углом 9прБ, но выходящий из оптически более плотной среды в менее плот-
ную, преломляется на угол бпадБ- Прн критическом угле коэффициент отра-
жения равен 100°6. Для случая углов падения, превышающих критический,
формулы Френеля содержат мнимые величины, но их мы здесь не рассматри-
ваем. Прн нормальном падении коэффициент отражения составляет около-
4% для р = 1,5.
Д. Теория матриц
Программы физических и инженерных факультетов обычно включают
в себя курс теории матриц, однако детали этих курсов имеют тенденцию бы-
стро забываться. Читателя, не знакомого с этой теорией, можно отослать к
соответствующей литературе (см., например, [2—4]). Здесь же мы рассмотрим
только те вопросы теории матриц, которые имеют непосредственное отношение
к течам данной книги.
Представление системы уравнений в матричном виде, а также правила
перемножении матриц содержатся в нижеследующих примерах:
1.
X
у'
¦а
Iе
= ах
= сх
ь\\
d\[
+
+
х-
У .
by
dy
л
X
_
Га
"У Г [с
Yea
[ga
h
+
/в
he
eb~
gb~
b\
(-/d
f hd
_|(
~[(
\x
If
11
ea
ga
1
]'
x'
У.
+
-j-
}c)x
¦ he) x
(eb
(gb
Ad)»
Умножение матрицы на скалярную величину состоит в умножении на
нее каждого элемента матрицы. Множитель, общин для каждого элемента
матрицы, мо/hHO выносить за знак матрицы. К примеру
т
Va 61 Una тЬЛ
[с d\ [me md\
Правила сложения и вычитания матриц иллюстрирует следующий пример:
\а ь] \к Ч _Га ± к ь ± 1 ]
[с d\ ~~ \_т п\ 1с + т d ± п]
Если элементы матрицы зависят от времепи, то производную матрицы
паходят путей замены каждого элечепта его пропзводпоп по времени;
d
а Ь
at \c d, c d
где точка обозначает дифференцирование по времени.

362
ПРИЛОЖЕНИЯ
° hi ' А I V ЕЪ
j[Po« Pab]\]'a V
h [pfta p6(jj [f ?6
p p
Уравнение (9.41) представляет собйй полезный пример применения изло-
женных выше правил. Переписывая его в полном виде, мы имеем
(±\Раа Pab] [К 0] . i Г*. ПК* ?аЬ
dt
Va О"
0 V
X
'ba l ЬЬ
2
Для каждого элемента этого матричного уравнения можно выписать отдельное
уравнение.
При выводе (9.42) мы умножаем матрицы и получаем элементы, соот-
ветствующие величине раъ, аатем находим нужное уравнение
Это дает
где
= (Уа
Матричный элемент, расположенный в i-ir строке в /-м столбце, оСозна-
"чаотся через а... Матрица, транспонированная с матрицей А, обозначается
как А п получается путем симметричной замены столбцов строками, а строк
столбцами с соблюдением порядка их расположения, т. е. А = ]а-Л после
транспонирования переходит в А = [а..]. Чтобы получить алгебраическое до-
полнение элемента ai}, следует отбросить строку п столбец, содержащие этот
элемент, найти определитель полученной матрицы {п — 1)-го порядка и
помножить его на (—l)l+J. Для нахождения сопряженной с А матрицы за-
меняют каждый элемент в А его алгебраическим дополнением и затем траи-
сионируют полученную матрицу. Матрица, обратнод квадратной матрице А,
есть А и определяется, например, как (сопряженная с А/определитель А)
с d
- be) — bf(ad — bi)
— с/(ad — be) a/(ad -~ be)
Возьмем квадратную матрицу А порядка п. Если применить ее к какой-
либо матрице х в виде столбца с п элементами, то образуется новая столбцо-
вая матрица. Можно так выбрать х, что каждый элемент результирующей
столбцовой матрицы будет пропорционален каждому элементу х, т. е.
Ах = >.х, (Д.1)

Д. ТЕОРИЯ МАТРИЦ 063
где Я, — коэффициент пропорциональности. Если выполняется это равенство,
то X является собственным вектором матрицы А, а X — ее собственным вна~
пением *). Пусть порядок матрицы А равен 2. Переписывая уравнение (Д.1}
для этого случав в полном виде, мы получаем
а22х2 = Л.г3.
Преобразуем эти уравнения перенесением членов нз правой части в левую:
(a,i — К)х, -+¦ aiesr» = 0.
" I 3 ' (Д-3>
Эта однородная система линейных уравнении имеет нетривиальное (т. е. не-
нулевое) решение в том, и только том, случае, если определитель, составлен-
ный нэ коэффициентов, равен нулю:
hi
=о.
Раскрывая определитель (Д.4), мы получаем характеристическое уравнение1
матрицы А (в общем случае — многочленное). Собственные значения матри-
цы А являются корнями характеристического уравнения
Mi2> = 0-
Это уравнение можно представить как **)
У? — (След А)Х + (Определитель А) = 0. (Д.5>
Если корнями являются Я,! а К2, то из элементарной теории квадратных урав-
нений следует, что
А* + А, = Sp А и A-jAg = Det А. (Д.6>
Иногда удобно преобразовать одну матрицу в Другую. Такое преобразо-
вание можно произвести следующим образом. Пусть столбцовая матрица у
получена при применении квадратной матрицы А к столбцовой х:
У = Ах. (Д.7>
Допустим, что мы решиля получить х нз какой-то другой столбцовой
матрицы х', используя квадратную матрицу В, а также получить у из у',,
пользуясь той же самой матрицей В, т. е.
х = Вх', у = В/. (Д.8)
*) Другая терминология для собственного вектора: скрытый вектор
п характеристический вектор; для собственного значения: скрытое значение,
скрытый корень, скрытое число и характеристическое число.
**) След, или шпур, квадратной, конечной матрицы есть сумма ее диаго-
нальных элементов.

364 ПРИЛОЖЕНИЯ
Тогда пз равенств (Д.7) и (Д.8) имеем
By' == ABx',
откуда
у' - В^АВх'. (Д.9)
Матрица В—'АВ есть матрица преобразования матрицы А матрицей В, Мы
назовеи се матрицей С:
С = В^АВ.
Можно показать f5J, что собственные значения матрицы С идентичны с соб-
ственными значениями А, а также, что шпур п определитель матрицы явля-
ются инвариантами, т. е. не изменяются в результате преобразования.
Существует несколько типов квадратных матриц; здесь мы познакомим
читателя с терминологией и приводом некоторые из этих матриц. Главной
(или ведущей) называется диагональ матрицы, проходящая из верхнего ле-
вого угла в нижний правый, В единичной (или тождественной) матрице все
элементы на главной диагонали равны единице, а все ее не диагональные эле-
менты равны нулю, пли а . = б ,, где fi , — симвои Кронекера. Диагональная
матрица имеет элементы на главной диагонали, которые могут отличаться
друг от друга, и недиагоаальные элементы, каждый из которых равен нулю:
я = а ;6 ,. Симметричной называют матрицу, в которой а,} — а,,, т. е.
А — А. Матрица кососимчетрична, если а,. =—я.., т. е. А = —А. Все диа-
гональные элементы такой матрицы равны нулю. Ортогональной называют
матрицу, для которой АА = АА = I, т. е. А = А. Если столбцы ортого-
нальной матрицы обозначить через а;, то а а = б(,. Строки имеют то же са-
мое свойство. Например, каждая из приведенных ниже матриц ортогональна:
1
} <Г У в 2
2O —2|2 О
Ортогональность каждой матрицы легко установить, заметив, что для каж-
дого столбца (или строки) скалярное произведение самого на себя с учетом
соответственного множителя A/4 или 1/5) равно единице, в то время как ска-
лярное произведение любого столбца (или строки) иа другой столбец (строку)
есть нуль.
Элементы матрицы могут быть комплексными величинами. Матрица А
эрчитова, если а^ = я*,, т. е.,еслн (А)* = А. Например, следующая матра-
ца является эрмитовой:
[3 l+2i 4 + 3; "I
1_2( 4 3—i I.
4— 3* 3-И 5 J
Матрицу, комплексно-сопряжевную к транспонированной с А, иногда обозна-

Д. ТЕОРИЯ МАТРИЦ
365
чают А+в отличие от (А)*. Унитарной является такая матрица и, что (и}* =
= и. Следовательно, для такой матрицы I = uiT1 = uu * и I = u-Iu =
— "и *и, или ии+ = и+и = I. Если элементы и равны Uij, то и* имеет элемен-
ты u*it и мы получаем
",-&"* =
.2 uhiuhJ =
этом слУчав
h h
¦строки образуют взаимно ортогональный набор единичных векторов
так же, как и столбцы. Унитарное преобразование описывает преобразование
ноординат при повороте координатных осей. Как эрмитовы, так и унитарные
матрицы имеют чрезвычайно важное зкаченне в квантовой механике.
Типы матриц подытожены ниже.
По шпоны, содержащие матрицы. Матричные полиномы и их пред-
ставление через полиномы Чебышева использовались при рассмотрении много-
¦слойных диэлектрических плеиок в гл. 11, § 10.
А =
А
A L-
A"J
(А)*
UU + =
Матрица
1
А
- А
= А
= А*=А
= и+и ^1
Свяаь
«i/
ait
а и
at aj
axj
2aik a
h
между цементами
= «,i
= a,/ btj
— a si
= «.,
Тип матрицы
тождественная, пли единичная,
матрица
диагональная матрица
симметричная матрица
косое имметрнчная матрица
ортогональная матрица
эрмитова матрица
унитарная матрица
Если элементы матрицы А являются полиномами от скалярной величины
х, то мы можем разложить А, как показано в следующем примере:
V — 2х — 1 ж2 + 4
А =
В общем случае имеем
А ~ А
2x
ГО 0] 10 О
3 1 0 ^
J.
П 1
[о о
0
Г-! 41
L о 3j.
Ао.
Полипомы от квадратной матрицы А порядка п можно определить сле-
дующей формулой:
/(А) == сАт +
foL
(Д.
где/(А) обозначает функцию, коэффициенты ш, . . ., с„ являются скалярами,
а I — единичная матрица порядка п. Алгебра для полиномов от квадратной
матрицы А со скалярными коэффициентами точно такая, как и известная ал-
гебра скалярных полиномов.

366
ПРИЛОЖЕНИЯ
Любая квадратнан матрица А порядка п удовлетворяет мпогочлеппому
уравнению вида
АИ ? - А А 1 I
' U *
я-1
со| = О,
(Д.Н>
где к < п и ch , . . ., с0 — скаляры. Так, матрица третьего порядка всегда
удовлетворяет кубическому, квадратному илн линейному уравнению.
Например, для матрицы
легко показать, что при сг = —5 и с0 = 10 многочлен А2 + c:A -f- co\ обра-
щается в нулевую матрицу, н тем самым удовлетворяется уравнение (Д.11).
Последовательность действий такова:
Г- 5-101
[ 15 foJ
-¦-Г0 °1
Рассматривая соответственные элементы, при которых получается нулевая
матрица, мы находим приведенные выше значения сх и с0.
Связанная с матрицей А = [а ] характеристическая матрица определя-
ется как
а., — к й
... й.
12 • • • -l,i
л»-, — X ... ал„
,1 пп2 •••апп ->
где X — произвольная скалярная величина. Определитель |А —А.1| явля-
ется характеристической функцией А, а уравнение [А — 7.11 =0 — харак-
теристическим уравнением матрицы А, корни которого Ях, Х2, . . ., X пред-
ставляют собой собственные зпачения А. Раскрывая определитель |А — XII,
получаем
|А - М] з (-
PJ-
Если в характеристической функции (Д.13) заменить X на матрицу А, то
полученный многочлен обращается в пулевую матрицу
Pj.A -f р2А
Ап
Например, пусть
+
1 2
-3 4
Рп' = О.
(Д.14)
тогда
А - Я11 =
-Х 2
4-Х
= 10 - Ъ\ +

Д ТЕОРИЯ МАТРИЦ
867
Следовательно,
a2-;
5 10
15 Ю
1 2
-3 4
о i
o o
Вообще, каждая квадратная матрица А удовлетворяет своему характеристи-
ческому уравнению. Это утверждекпе составляет теорему Коли — Га-
лшльтона.
Из теоремы Кэли — Гальмильтопа следует, что рациональная функция
квадратной матрицы А порядка п может быть выражена в виде полинома
по А, наибольшая степень которого равна п — 1. Например, если /(А) есть
полином степени к > п, то па основании (Д. 14) мы получаем
Таким образом, матрицу Aft можно заменить многочленом степени к — 1, что
соответствует снижению степени /(А) от к до к — 1. Тем же способом можпо
снизить степень до значения к — 2 и так далее, вплоть до к = п — 1, когда
мы имеем А™~1= A'n~~1J~"An. Следовательно, если/(А) есть полипом лю-
бой стенепи от квадратной матрицы А, то всегда можно написать
/(А) =
* +С2АП'2 + . . . 4- Сп\.
(Д. 13)
Рассмотрим теперь интерполяционный полином Лаграпжа — Силь-
вестра. Поскольку каждое собственное значение /.s матрицы А удовлетворяет
тождеству |А — Я|| = 0, то мы находим ил (Д.13)
\= — Pih — Pi's ~—---—Pn- СД-16)
Следовательно, па основании изложенного выше можно упростить полином
ДЛ{,), сведя его к виду
•^ (^я) == I^s ~Т~ ^j^-s Н~ • • • ~\~ С,,! (Д. 17)
i т,е коэффициенты С — те же самые, что п в (Д.15) для s = 1, 2, . . ., п.
Эти п уравнений (Д.17) совместно с (Д.15) образуют систему п -f- 1
\ равнения (с условием, что все значения Я8различпы между собой). Исключая
I и С2, . . ., Сп из этой системы, мы находим
п — 1 in-2
/(А)
1 п — 1
—2
... Я,
1П-1
J71-2
п
... I.
1
— О.
(Д-iS)
Раскрывая определитель, пз первого столбца получаем
/(A)D0 = /(^)D, + /(Я2)О2 -J-... + /(?.n

868
ПРИЛОЖЕНИЯ
где Do — определитель (типа, который называется альтернантом), даваемый
выражением f
Л1
л 71—1
яг1
a?~2...
5я-3
*2
К
1
1
1
/1 1 \ /1
Лз) * * - (/^1 — л
Для доказательства этого равенства положим Ях = Яа, после чего первая и
вторая строки становятся идентичными. Это означает, что (Хг — Х2) является
множителем определителя Do. Другие множители получаются аналогичным
образом.
Анализ (Д. 18) покалывает, что определитель Dt подчиняется соотношению
Di
71-1
п-2
... А I
...А, 1
71—1
п- 2
-(А~Я21)(А —Я30 ... (А — %Г1\)
(Я2-Я3)... (Я2-Яп)
Следует заметить, что последнее можпо получить нз Do, заменяя Я: на А.
Определители D2, . . ., 0п находятся путем поочередной замены А3, ...
...,?. па А. Поделив (Д. 19) ira?)Ol сократив общие множители и положив
L = D /DOi мы получим
/(А) =
где
(А-Я21)(А-Я,1> ... (А — 1п\)
(Д.20)
(Д.21)
3 =
(Л2 —
Л2 —
После перемножения каждая матрица Ц, L2, . . ., Цобрачуст полином по А
степени п — 1. В гл. И, § 10 мы сталкивались с тем, то при рассмотрении
оптических свойств диэлектрических многослойных покрытий встречаются
матрицы степени т. Если /(А) = А, где т — положительное целое число,
то мы имеем
А711
А —
-J- Ay Lj -f- ... -\- a, L .
Пользуясь формулами (Д.21), можно переписать (Д.22) в виде
(Д-22)
Ат =
(Д-23)
г=1

Д, ТЕОРИЯ МАТРИЦ 369
Матрицы, встречающиеся при изучений диэлектрических многослоипых пле-
нок, имеют порядок 2. Для этого случая (Д.23) даст
¦откуда
Г\ ¦ л я Л /li'ba II1» I Д,^11
Aj — Л2 Л) — Л2
Матрицы в теории диэлектрических покрытий а для последовательности
линз (гл. 5, п. 5.2) имеют определитель, равный единице. Поскольку в этом
случае AjX3 — 1, из (Д.24) следует, что коэффициент перед А есть многочлен
степени т — 1, а коэффициент перед I — многочлен степени т — 2. Поэтому
п данном случае
7/7—1 7/7—2 '^ '
где .9 п и S — многочлены степени т — 1 п т— 2 соответственно.
В работах [6, 7] показано, что когда А есть матрица второго порядка
t определителем, равным единице, степени А можно представить в виде
полиномов Чебышева (более подробная информация об этих полиномах со-
держится в приложении И).
Разложим матрицу А следующим образом*):
А = Г" 3 I = аи0 + Ьаг + са2 -f Жг,. (Д.26)
~U oj' ffa~U 0J1
Га + rf Ь—(el
Lft-r-w а — dj'
1де
ч 01 го п го —О Г1 о
Легко показать, что
откуда следует
аи + °22 = 2а = X (например} (Д-27)
и
Возводя матрицу А в квадрат и замечая, что а$ = ff| = ts\ = а\ — щ, o0ai =
- U\, O"flffa ^^ О2Оп = ff2) °A° == °Ч°~О := °3- fflCT2 == 'ff3i °° == *ffH
= (ff2, ff2ff[ = —iffj, а3аг = —га,, ff,ff;( = —iff3) окончательно находим
A2 = 2aA - ff0. (Д.28)
*) Всякая матрица второго порядка может быть выражена в виде ли-
нейной комбинации едипкчнпй матрицы ст„ и матриц Паулн alt a3, а3.
24 д Мэйтлэнд, М. Данн

370 ПРИЛОЖЕНИЯ
Получаем далее после умножения (Д-25) на А с учетом (Д.28)
(Д-29>
Уравнение для А можно также найти прямо из (Д.25):
ЛтпА ^m-i*7»»* (Д-^>
Из сравнения киоффпциеитов в (Д^29) и (Д^ЗО), пользуясь формулой (Д.27),
мы имеем
Положим т = 2 в (Д-25) и приравняем коэффициенты к тем, которые входяг
а (Д.28). Отсюда
So = i и S,(A") = X. (Д.32>
^'равнения (Д.31) н (Д.32) дают следующие величины для многочленов S (X);
s, - .V, 5^ = х5 — ах* л- ах,'
°г - А — L> oe — л ¦— ол -г ол 1, (Д-Л-Л;
О а "^— -1 —^ -^ Л щ И 1 , Д.
Общая формула для этих многочленов имеет вид
im'2)
где (m'2) обозначает наибольшее целое число в пределах величины (щ'2).
Например E/2) соответствует числу 2.
Сопоставляя (Д.ЗЗ) с (М.43), а также используя (И.44) и A1,45), мы ви-
дим, что, если X = 2xt то выражения для Sm (Д.ЗЗ) совпадают с полинома-
ии Чебышева второго рода. Следовательно,
Sm(X) = sin l(m + ijei.'sin в, X = 2 cose, (Д.34а>
Sm(X) = sh((m+ l)q)]/»hip, Л" = 2сЫр. (Д-34б>
Форму пи (Д.34а, б) можно также переписать в виде, аналогичном (И/tG),
[Л' -4- (Д-» - 4I/2Г+' - U - (Ха - 4)'/2Г+'
Для дейетвмтезплшх X эти полиномы 1акже действительны.
Если 0 и <р действительны, то (Д.34а) применимо в случав \Х\ < 2t
а (Д.346) — в случае |Л'| > 2.

Е. СКАЛЯРНАЯ ТЕОРИЯ ДИФРАКЦИИ СВЕТА 371
Матрица А™, будучи выражена через ее элементы и полиномы Чсбншева,
¦имеет вид
откуда
Am= '"-' П m~2 «-I " t (Д.38)
О л С л С ^
E. Скалярная теория дифракции света
Свет, будучи электромагнитной волной, характеризуется двумя связан-
пыми векторными полями. Объяснение дифракционных картин иа основе ре-
шения уравнений Максвелла представляет собой чрезвычайно трудную зада-
чу и оказалось успешным лишь для небольшого числа специальных случаев.
Дифракционную картину можно рассчитать значительно более сростнми ме-
тодами к с адекватной точностью, допуская упрощение, состонщее в представ-
лении световой волны скалярным полем *) и применении формулировки Кирх-
гофа к теории дифракции Френеля, Вопросы о плотностях зарядов и токов
на границах преграды, обуславливающих дифракцию, отпадают прн исполь-
зовании скалярного приближения. Представим и электрическое, и магннткое
поле одной скалярной функцией и. Это эквивалентно рассмотрению одной
компоненты векторного поля в области, где токи и заряды отсутствуют.
Волновое уравнение для распространения рассматриваемой скалярной во-
личшш есть
V2« — A/с*)Э*и/д(* = 0. (Е.1)
Как и в электромагиитиой теории, в скалярной содержится принцип супер-
позиции, который гласкт, что если щ и ы2 — Две волны, удовлетворяющие
уравнению (Е.1), то благодаря свойству линейности этого уравнения комби-
шция ы( + щ также является его решением.
Скалярная волна, удовлетворяющая (Е.1), есть
u(r, t) = (Ah) exp [i(kr — a,t)], (E.2)
где А = Ao exp (Ш), A- = 2л/Я = <a'e, а сама волна испускается точечным
источником. В точке Р, не совпадающей с источником, в момент времени t
величину и(Р, t), обусловленную многими источниками, можно рассчитать
но положениям, амплитудам и фазам этих источников методом наложения
воли от каждого us них. Однако получить необходимую подробную информа-
цию об источниках не всегда представляется возможным. В связи с этим для
вычисления и(Р, t) нам удобнее воспользоваться принципом Гюйгенса —
Френеля, согласно которому наждая точка на волновом фронте рассматрива-
*} В связи с тем, что физические размеры резонатора лазера обычно
намного больше, чем длина волны генерируемого излучения, это упрощение
приводит к очень точным результатам.

S72
ПРИЛОЖЕНИЯ
ется как источпик элементарных сферических волп, а также интегральной
теоремой Кирхгофа. На основании этой теоремы решение однородного волно-
вого уравнения в точке Р можно выразить через решение и его пространствен-
ную производную в направлении нормали во всех точках на произвольно
выбранной замкнутой, поверхности S вокруг точки Р, не содержащей однако
в себе какие-либо источники. Теорема выводится следующим образом.
Рассмотрим тс решения (Е.1), в коюрых можно выделить пространствен-
ную и зависящую от времени части, а именно
и = и ехр (—iat). (E.3)
Подстановка этой величины и в (Е.1) приводит к уравнению
V2«p + k*up = 0, (Е.4>
являющемуся уравнением Гелъмгольца.
Рассмотрим объем, ограниченный замкнутой поверхностью S, и какую-
либо точку Р внутри него, окруженную сферой S' радиуса е (рис. Е.1),
Теорема Грина, примененная к объему у между 5 и S', дает для любых про-
извольных скалярных полей U п V
SS'
аи
on
dS=
(Е.5)
где д/дп — производная в направления внешней нормали к S ft dS. Вычис-
лим, пользуясь теоремой Грина, поле в точке Р, обусловленное приходящими
в лее волнами от источников с внешней стороны поверхности S. Пусть V есть
функция и , а (/имеет внд U = A/г)х
Хехр (;/»¦), где г — расстояние от точ-
ки Р. Функция U имеет особенность в
точке Р, где г равно нулю. Для того
чтобы избежать связанного с этим на-
рушения условий теоремы Грина, и вво-
дится сфера S' вокруг Р. На поверхно-
сти сферы S' внешняя нормаль и объему
v направлена противоположно радиу-
су, так что д/дп = —д/'дг- Вычислим
интегралы, входящие в (Е.5), в преде-
ле е -»- 0. Подстановка величин U и V
в (Е.5) показывает, что величина, сто-
ящая под знаком интеграла со объему»
равна нулю во всем объеме ('(посколь-
ку U» V удовлетворяют (E.i)). Отсюда мы получаем
Гнс. ЕЛ.

СКАЛЯРНАЯ ТЕОРИЯ ДИФРАКЦИИ СВЕТА
37а
где г — расстояние от элемента поверхности (dS, dS') до точки Р. Интеграл
со S' переходит в
' г дг
Мы можем выразить сто через телесный угол, привлекая соотношение dSf =
= r2dQ. Кроме того, переходя к пределу, при г = 8 = 0, мы находим, что вто-
рой и третий члены обращаются в нуль, a exhT st 1. Интегрирование дает
АхиЛР). В результате уравнение (Е.6) приобретает вид
JL
д
дп
Это п есть интегральное уравнение Кирхгофа.
Воспользуемся теперь этим уравнением для определения амплитуды
в точке Р, в которую излучение из точки Ра прлходит.дифрагнруя на отверс-
тии в непрозрачном экране, расположепном между Р и Ро (рнс.Е.2).Допустнм,
что линейные размеры отверстия значи-
тельно больше длины волны, но намного
меньше, чем расстояния от Ро и Р до эк-
рана. Замкнутая поверхность, по которой
берется интеграл Кирхгофа, для удобства
разбита иа три области, А, В к С
(рнс. Е.2). Областью А является само от-
верстие; область В совпадает с частью
непрозрачной плоскости на теневой сто-
роне, область С имеет центром точку Р
и радиус ее очень велик. Уравнояие (Е.7)
для этого случая имеет вид
its
VP да
,irh
' *. _J?Us. (E.8)
Рис. Е.2.
Поскольку величины ир и ди !дп на А, В, С точно не нзвестпы, то иа этом
этапе вводятся граничные условия, составляющие основу дифракционной
теории Кирхгофа. Кирхгоф предположил, что величины и и ди !дп в области
А при наличии экрана являются темп же, что и без него, а в области В оии
равны нулю. Эти предположения являются совершенно точными в описыва-
емых условиях. Что же касается области С, то, если ее радиус велик, интеграл
по С обращается в нуль. (Этот вопрос подробно обсуждается в [8] н [У].)

374 ' ПРИЛОЖЕНИЯ
Источник испускает сферические волпы, амплитуда которых на площадке
dS есть ыр = (A^i) exp (ikr^.
Так как дгх1дп = cos 8ц a дгг1дп = cos 82, то можно написать
ди ди
t
717
¦J- [~r eihT*\ = cos 9a ( - ~ + -y- J elftr'.
Подставляя эти выражения в (Е.8) и пренебрегая членами 1/г2 и l/г^, которые
малы по сравнению с k (прнблинсенне является высокочастотным), находим
iAk f е*е-»+^>
и_ (Р) = — —г- \ (cos Э3 — cos 0.) US л. (Е.9)
Р 4Л J г,га л
А
Это соотношение называют дифракционным уравнением Френеля — Кирх-
гофа.Множитель (cos Q2 — cos 8j) есть множитель наклона, Поле в отвер-
стии от воля, исходящих lu iitrouHHbd Ро, равно ира= {Ahj) exp {Ikrj). Сле-
довательно, поле в точке Р можно выразнть через поле на отверстии и с по-
ыощыо соотношения
А
Ж- Интегральные уравнения
Многие разделы теории лазерных резопаторов посвящены методам реше-
ния полученных интегральных уравнений. Назначение настоящего прило-
жения состоит в том, чтобы сообщить элементарные сведения об этих уравне-
ниях и об ах отношении к открытым резонаторам.
Интегральным является уравнение, содержащее интеграл, подынтеграль-
ное выражение которого включает в себя неизвестную отыскиваемую функ-
цию f(x). Разумеется, уравнение может содержать и другие члены, как под
знаком интеграла, так и вне его. Пусть F{x) н К(х, у) — известные фуикцни.
В качестве объектов обсуждения мы выберем только два следующих тииа
интегральных уравнении:
Ь
(Ж.2)
где X — численный множитель (в общем случае, комплексный).
Известная функция К{х, у) под интегралом есть ядро интегрального
у]авпеи1щ п должка быть определена в прямоугольнике а ^ х ^ Ь, а <

Ж ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 3/5
< у ^ Ь. Функции /''(г) и/(а-) должны оыть определены в интервале
Интегральное уравнение является линейным, если неизвестная функция
входит в него линейно. Оба приведенных выше уравнения представляют
собой линейные интегральные уравнения. Если оба предела интегрирования
постоянны, то уравнение называется интегральным уравнением Фредгоъьма.
Уравнение, в которое неизвестная функция входит только под знаком ин-
теграла, определяют как интегральное уравнение первого рода; (Ж.1) яв-
ляет собой пример такого уравнения. Интегральное уравнение второго ро-
да — это уравнение, в котором неизвестная функция присутствует и под
знаком интеграла, и вне его; (Ж.2) — пример такого уравнения. Если урав-
нение таково, что каждый член содержит неизвестную функцию, то оно
представляет собой, однородное интегральное уравнение. Если в уравнение
входит члев, не содержащий неизвестную функцию, то оио является неод-
нороднъш. Так, (Ж.2) есть пример однородного уравнения Фредгольма вто-
рого рода. Решение интегрального уравнения основывается на обращении
линейного интегрального преобразования (Ж.1) с целью нахождения f{y)
или иа отыскании функции f(%), входящей в (Ж.2). Одним из важных
уравнений первого рода является интегральное уравнение Фурье
V 2л J
В этом уравяепнп ядро есть A/1/2л) ехр {— ivy).
Уравнение (Ж.2) представляет собой тот тип уравнений, который встре-
чается в теории лазерных резонаторов, приведенной в гл. 6. Каждое значе-
ние к (оно может быть комплексным), для которого интегральное уравнение
имеет непрерывные ненулевые решения есть собственное значение однородного
интегрального уравнения или собственное значение ядра К(х, у). Соответст-
венные решения называют собственными функциями интегрального уравне-
ния илн ядра для собственного значения Я. Строгое доказательство существо-
вания собственных значений и собственных фуякцнй для пекоторых уравне-
ний с ядром, описывающим оптический резонатор, дано в работах [10—12].
Собственные функцтг дают распределение поля на зеркалах для каждого-
из возможных тяпов колебаний, а собственное значение, соответствующш
моде, дает множитель (в общем случае комплексный), иа который умень-
шается поле в моде в результате дифракционных потерь при одном проходе.
Фаза собственного значения определяет расположение зеркал, при котором
будут поддерживаться колебания на данной частоте.
Ядра, которые встречаются в теория открытых реюнаторов, обычно
являются комплексно-симметричными, но не эрмитовыми, а именно
К(х, у) = К(у, х), K(v, у) ф К*(у, х). (Ж.4)
Интегральные уравнения второго рода с симметричными ядрами могут быть
решены методом Шмидту н Гильберта, основанном на разложении в ряд.}
Эту методику использовали авторы [13]. Решения интегральных уравнений

J3ite ПРИЛОЖЕНИЯ
ы^жно найти также методом последовательных приближений (основы ко-
торого разработаны Нейманом, Лиувиллем н Вольтерра), описанным в [14J.
Этот метод дает f{x) в виде степенного ряда по Я с коэффициентами, являю-
щимися функциями от х. Он особенно эффективен, когда полученный ряд
быстро сходится; в этом случае методика аналогична итеративному процессу
[15], который был огшсаа в гл. 4, § 2.
Собственные функции однородного интегрального уравнения с стгиет-
ричньщ ядром ортогональны. Это означает, что
ь
I /п И fm И <** = 0, пфт, (Ж.5)
а
где
а
Для дока затея ьства этого утверждения предположим, что k *fc Я , и,
умножив (Ж.6) на ^т/т (х), а (Ж.7) —на Яп/П (х), вычтем одно получен-
ное равенство па другого. После интегрирования находнм
ь ьь
(К - К) j In О fm И Л* = КК J 11 A' I3"' ^ /п <У} /» (*) ^
a an
"K(x,y)fm(x)fn(x)]dydx.
Правая часть этого равенства равна нулю, в чем можно убедиться путем
перестановки переменных интегрирования во второй части двойного ин-
теграла с учетом того, что К(х, у) = К(у, э-). Так как Я =j= Я , то отсюда
следует, что собственные функции ортогональны.
3. Полиномы Эрмита
Несколько первых полиномов Эрмцта имеют вид
Ihix) = i,
Нх{х) = 2х,
Нг{х) = 4а;2 ~ 2,
1 Н3{х) = Sx3 — 12a:,
Нл(х) = 16а:4 — 48а:2 + 12,
Ht(x) = В2хь — 160«з _|_ 120г,
Н6(х) = 64а;в — 480г4 + 720а;2 — 120.

И ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ 377
II. Ортогональные функции
Ортогональные функции и полиномы играют чрезвычайно важную роль
в чистой и прикладной математике, им посвящена обширная литература.
Мы коснемся оснопыых аспектов н рассмотрим тс из них, которые имеют
приложение к О[к[и,[тыи резонаторам и квантовой теории, используе-
мой Н.ШН.
Две действительные функции f(x) и g(x) называют ортогональными
друг к другу и iiiriepin.io а ^ х ^ 6, если
ь
$f(x)g(X)dx = 0. (ИЛ)
а
Попятно ортогональности основано па аналоши с векторной теорией, гд»
(в трс\ плмерешшх) два вектора Л и В называют ортогональными, когда
А-В = Л,ВХ + A2Bi + Л3Й3 = 0.
N
В пространство с N измерениями векторы ортогональпы, если ^ А,В. = 0.
В пространстне с 6ect;oHe4ii)jM числом измерении, в котором А. и В. имеют
непрерывное распределение, i становится непрерывной переменной (х),
а ~У\ Л В. переходит в I А [х) В(х) их. Таким образом, мы перевели мояятио
i
функции в понятно вектора в бесконечномерном пространстие. Если интеграл
равен нулю, то функции Л{х) а В(х) ортогональны. Отсюда видно, что нн-
(IL2)
определяет скалярное произведение в функциональном пространстве. В та-
ком пространство скалярное (внутреннее) произведение можно определить
точно так же, как и в конечных векторных пространствах и, следова-
тельно, таким то способом можно определить и ортогональность. Если
риссм.п |!нваемыо функции комплексны, то по определению мы имеем
i Ь
j.g*~l*.g=lf*(x)gix)dx. (И.З)
а
Функция f*(x) ортогональна к g(x), если /*-,?= 0.
Норма функции }{х) (которая может быть комплексной) определяется как
ь
Лг(/)=/./ = ||/(х)|=^1 (И.4)
а
и функцию назмвают нормированной, если норма равна единице. Набор

Ив ¦ приложения
функций/j, /г, . . ., /и ортогонален, если
^fl(x)fj(x)dx = hi6iJt (И.5>
ц
где 6;J *= 1, когда i = /, и 6\^ = 0, когда / Ф /.
Мошво определить новую функцию, такую, что
и получить далее
U
Фуннции <р|(ж) ортонормнровани я получоны из /. путем нормировки. Орто-
гональную систему всегда можно сделать ортоиормированнов. Если функции
иомнлекевы, то мы имеем
< - • * -
' U
Важный пример ортонормированного набора, определенного s любом ин-
тервал© длиной 2л, являют собой функции
1 etisx Pin x cos nx sin nx
У2л' Уп* ^л'" Уя ' Уя*"*'
Другой пример комплексного ортоиормироваиного иаоора в интервале 0<х^
< 2л:
4 „-Нж --1 1ЯХ
v V 2я ' V 2я " ' ¦' V 2я *
Функции /,, /2, . . ., /п являются линейно зависимыми, если линсЛная
зависимость ^, с / — 0 справедлива д.чя всех г, когда с. — ненулевые ко,>ф-
1 -1
фнциенты. Функции, входящие в ортогональную систему, всегда ли но и но
иевависимы, поскольку умножение суммы ^] с J. ~ 0 на /. и интегрирование
V—1
по области определения дают с, — 0.
Набор О(цонормированных функций (полиномов) можно шчшлыивать
для аппроксимации произвольной функции. Ортояормировлниьге функции
вначительно лучше подходят для атон цели, чем линейно независимые функ-
ции более общею вида, поскольку матрица их коэффициентов диагональна
и единична (см., например, [1В]), т. е. коэффициенты легко поддаются вы-
числению. Положение о том, чго Н]кшзвольную функцию можно иредставшь

и ортогональный функции
97»
и.юор ортонориированных функции, выдвинуто в аппроксимационной
Вейерштрасса. Теорема утверждает, что произвольную неирерыи-
ную функцию /(г), определенную на конечном отрезке я < х < Ь, во всем
интервале (а, Ь) веода можно аппроксимировать с любой желаемой точно-
стью cieпсиным полиномом достаточно высокой степени. (Доказательство
атой теоремы содержится, например, в книге [17].) Допустим, аппроксими-
руемая функция есть/(.г), а ортонорчированнын набор ф0 {*), cpi(#),. . ., ф (х)
определен на оощои интервале а ^ х ^ Ь. Воспользуемся методом наимень-
ших квадратов и покажем, что
может представить f(x) с такой точностью, что среднеквадратичная онтибка
формулой
Л
tfr. (И.О)
Для нахождения значений коэффпциеятон разложения с., которые соответст-
вуют минимальной величине М, мы поступим следующим образом. Интмри-
1<ун (И.Я), находим
V
J
1-0
ХДО
а
Последнее можно переписать клг;
'=0
i=0
(И. 10}
откуда видно, что М минимально, когда с, = а,. При этом ми чмоеи
h
Это есть iirpfttfitrmtn Яссгеля, которое вииолннетгя Для всех ортонормиронап-
иы\ систем, и, поскольку оно справедливо для всех п, n.t него следует, что
квадратов коэффициентов разложения вам да сходи гея.

880 - приложения
Ортопормированный набор ф1, фа, . . ., <рп является полным, если
п
(х)- У, ал
i
i=0
]Im J
а
что с учетом (И.10) приводит к
ос
UI4 1 ^'
Последняя формула называется равенством Парссва i ч и является соотно-
шением полноты. Равенство A1.13) показывает, что ортояорммрованныя на-
бор щ полон, ко!да
Коэффициенты о. являются фурье-коэффицнектами функции f(x) для набора
Подводя итог, еще раз подчеркнем, что любая функция /(ж), для которой
ь
существует | f (x) |a dx, может быть представлена полным ортонормирован-
а
bum набором функций ср( в виде
где
а. = j / (ar) ф*Gаг. (И.16)
Если с самого начала предположить, что f(x) может быть точно представ-
лена в виде разложения по полному набору ортонормированных функции
ц (х), то мы очень быстро приходим к (Л.15) и (И.16), т. е.
/ И = яо<Го (*) + fliTi И "Ь «2Фг (*)+...+ й,Ф| (я:) + -..
Умножая последнее равенство на Ц-*,{т) и производя интегрирование (помня
при втом, что члены, для которых / Ф i, равпы нулю), получаем (И.16)
Ь b
f / (х) <F* (*) ^ = «, j ф^ (х) ф* (a:) di - я..
Некоторые наборы функций Fo, Flt ... но ортпгопллг.ньт, но для
лсиныа важнейших цеортогональных ф>икций иноьда мо;кио наши такую-

"И ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ 381
функцию w{x) (см., например, {18]), что ва интервале {а, Ь) мы будем иметь
ъ
J w (х) F. (х) F. (х) dx = O {1ф}). (И.17)
а
Функция w{x) есть весовая функция, н набор {F.} по отногцеппю к ней орто-
гонален. Если один или оба предела интегрирования бесконечны, то введе-
нием весовой функции можно избежать расходимости интеграла (И.17), Нор-
ма F. определяется формулой
ь
Л' (F.) = С w (x) Fj (at) их. ' (И.18)
а
Если норма каждой функции F; есть 1, то набор является ор то нор миро ван-
ным по отношению к w{x). Ясно, что можно определить набор функций g,
равенством g. = Т^ш F, и получить
ь
Если функции g, дол-кны быть действительными, то ю(х) > 0.
Ортогоналнзацнп. Если дана произвольная нспрерьишая на отрелко
(а, Ь) функция j{x) и мы хотим разложить ее по набору заданных линейно
я
/•
независимых функции /Дг), для которых существует I I /, {%} I2 dx, то чы мо-
ь
п
жем в среднем аппроксимировать се линейной совокупностью V c.fAx).
Однако, как было отмечено выше, коэффициенты с, при этом определить
Солее сложно, негнел и в случае, когда наш набор является ортонормнронан-
ным. Опишем методику получения набора ортонормированных функции из
данного набора {/г(ж)}, т. е. ею ортогонализацню. В этом процессе фракции
/if-4)' fzix)' ¦ • м /п(а;)> • • " заменяются тем же числом новыч функции ф^ж),
Ф2(э),. .., уп(х), . . ., каждая из которых есть линейная комбинация прежних
функций, т. е.
Ф„ (х) = cf(n)A [») 4- (f2n)/2 fx) 4- ... 4- СЧ^яг)- (И.20)
Эта процедура известна иод названием метода ортовопализации Грамма —
Последовательные Операции процедуры состоят в следующем. Выбрав tpIt
мы находим нормированную функцию ф3, которая ортогональна к ф,. Следую-
щей получаем нормированную функцию ф3, которая Ортогональна к ф] и ф3,

$82 приложения
и так далее до завершения построения требуемого ортонорчированвого
набора.
Процесс Ортогоналилацни можно применить в соответствии с описанной
выше методикой к функциям, заданным на интервале (а, Ь) или иге на конту-
ь „
ро С. В последней случае каждый интеграл \ заменяется на J. Выведем
теперь соотношение, которое последовательно дает ty\{x),. . ., ф„(^). Начнем
с функции ц>х{х), которая имеет вид а/,(е), где коэффициент а получен ил ус-
ь
ловия I ф?<?в = 1. Имеем
/ь
4i(x) = ii[x) 1 \ | /i (у) I3 dx . (И .21)
Найдя первые п функций (pt{x), ф2(-г), . . ., Ф^М, мы приходим к функции
<рп+ (а-), которая должна быть линейной комбинацией этих функции, а также
функции /„ + ](з")- Следовательно,
Чтобы определить константы а{, уиполшм (A.22) н.1 ф {х) и проинтегрируем
полученное выражение, помня, что функции ф](.г), . . ,, ф {х) opTUioHdJimu.
Имеем
ь
°1 4- в j /n-f-i (») Ф? W rfa: = °- (И-23»
о
Найденвое таким образом соотвошевие для ai мы подставим в (И.22); условно
ь
\ Фп-М^х = * ^ает К09ФФи".иснт а. Окончатольио получаем
Это уравнение позволяет последовательно пычнслшь ф,(г), , . ., ф far).
Л более наглядной форме это выражение предстает, будучи запнсанвым
через определители:
(/,-/i) ifffi)... (fi'fn-i)
(/„¦/.) (/n-/V-"(/«-/n-i)
,1/2
(И.25)

где Ап —
IT ОРТОГОП \ЛМГЫЕ ФУНКЦИИ
. Грамма для функции (и /г, . , .,
д =
•*(/»¦ U
383
(И .26)
Функции /j(^), /2(^I • <¦ -1 / (-с) в наборе линепно не шшскми, если д не об-
ращается в нуль (доказательство см. в A91).
В качестве примера рассмотрим функции 1, х, х'2, х3 в интервале 0 < х <
<1. Определитель Грлмма находится из формулы для скалярного произве-
дения A1.2) при введении обо-шачении /, = 1, /2 = х, /3 = xi, /4 = х1' н
iiMt't'T ВИД
1
V,
V*
Чь
V,
V.
1
1
1
I
/4
/•
Так как этот определитель но равен нулю, то функции 1, ж, а,3, х3 линейно
независимы на отрезке 0 < а; < 1. В более «*>1цеч i.ij чае можно показать,
что набор {>¦"}, определенный в любом лпнечком интервале а < х < Ь,
является линейно независимый. Kent умнол;ить кангдый член наборд {хп}
на Vu'(=e)) гДе ш(х) —полоиште.и.ная весовая функция, томи получаем
Ywi%)> xYw (^). х* ~VU> (-p)i- - ч которые так;ке лппенио независимы.
Путем ортогонализации ф\т:цпп yw{x), x\ w (х), хг ~\/w [х),... в ин-
тервале а < х < Ь ми no.ij чаем орюнорчировацньш набор tffi, ф„ ф2, ...
. . . , фп. • ¦ •, в котором
ФЙИ = ^^1^„(*) (И.27)
и &п{х) — полином степени п. Одними нз важнейших наборов полиномов
являются полиномы Лежандра, Чебышева, Якоб и (гннерп'ометрическнй),
Лагерра м Эрмита. Их находят (с точностью до постоянного множителя)
О[)тоюиал1шцнеи при сле;Еующих условиях:
Лежандра
Чебышева
Лагерра
Ормита
тином
г» И
Ьеюва'1 функции
i
Интервал
q>0, p
(¦г)
q > -
~x
< 1
< м
"
•— оо < х < оо
ф\икцнв. Полиномы могут быть получены из произ-
водящей функции. Прои^нодящей называют такую функцию g(x, t), которая,

ПРИЛОЖЕНИЯ
будучи разложена в степенной ряд по t, дает полный набор требуемых функ-
ций ь виде коэффициентов нри последовательных степенях t:
где ф (х) — одна из требуемых функций, а а — не зависящий от х и I коэф-
фициент. В качестве примера рассмотрим полиномы Эрмита, производящей
функция для которых имеет вид
g{x, t) = t-\p <-!* + 2d) - exp (хг) ехр [-(? - *)>]. (Ц.29)
Для атой функции
V _J!^5 tn. (H.30)
n-0 "'
Дифференцирование последнего соотношения n раз uo ( для левой части дает
ехр (а;") — ехр (- [t - xf\ = е.чр t^-д- 1)" — ехр [- {t - я:)"],
г>1 ОХ
а в правой части получаем
Полагая t & 0, имеем
dn
'••'¦' ' ¦ Нп (х) = <-1)п ехр (*») — ехр (-*«), (И.31)
поскольку
ft
ехр [- (( - xY\ - - — ехр [- (( - х)*].
Таким образом, ге-кратмои дифференцирование функции ехр (—х*) приводит
к полиномам Я (я).
Если (И.29) продифференцировать по х, то мы найдем, что
8g(x, t)fdx =» 2(^(xT 0.
откуда следует
ОС f ДО
^ Н_ Гл:1! .. ж-ч f/ (X) п
-if-: (n, A1.32)
ГД* ^(ж) обозначает производную от Я (х) но х. Приравнивая коэффициен-
ты при !п в (И.82), получаем
г). (И.ЗЗ)

И 0РГ01 ОВАЛЬНЫЕ ФУНЬЦИИ 363
Рекуррентные соотношения. Рекуррептноо соотношение дает
вость вычислить нес полиномы данною типа по дь\ и нерным Рекуррентное
соотношение для ночнномов Эрмита можно выжчти следующим образом.
Продифференцируем A1.29) по t;
dg/di = —2(t~x)U{x, t),
n=0
и, на коне ц, имеем окончательно
Ifnjx) - 2хПп(х) > 2nIIn^(x) - 0. (И 34)
Из ([1 4 3) и (И 34) мы находим дифференциальное уравнение
Н"п {х) ~ ЪНП (х) + 2лЯп(яг) =0, л = 0, 1, 2,. . .. (И 35)
Из (И ?5) следует, что функции и = Яп(х) является частным решением ли-
utiiifoio дифференциального уравнения второго порядка
и" ~ Zxu' -f 2ni* = 0. (И 36)
Полиномы Эрмита. Теперь ми воспользуемся производящей функцией
я покаяам, что полипами Эрмита удовлетворяют простым интегральный
уравпеяиям с ^нмметричнцми ядрами. Заменяя х на у в разложении \И 30),
умножая затем результат на охр (txy — у*/2) и П|юи1водя интегрирование,
j ta ^)
n=0
Интегрирование левой части и изменение последовательности интегрирования
и суммирования на обратную в цравой части дает
оо oo -f со
^ Я" <*> = 2 ? J е
' 0
Так кдк ^то соотношение справедливо itoit всех -uiawiiiiflx ^ то козффиц,иевты
при соответственных степенях г равны м«МУ собой. На этом основании ин*ен
+<«
25 л МоПттэнл М Дани

38В приложения
Ото есть однородное интегральное уравнение Фредгольма второго рода (Ж.2):
Подобное интегральное уравнише пстреч.н-юя при анэлтг процесса распро-
странения излучения внутри резонатора (см. гл. С). Его решение, как мы ви-
дели, дается полиномами Дрчита,
Полиномы Чешлшева. Полиномы Чебышсна первого рода даются фор-
мулами
Те = 1» Т (х) = cos (я arccos х), , J^ , (И.38л)
где п = 1, 2, 3, ... Они образуют ортогональный набор с весовой функцией
и>{х) = 1/A — I3I/2 в интервале —1 г? х ^ 1, поскольку подстановка 0 =•
= arccos х приводит к равенству
-И *
J Тп (*) Тт (г) * ш = ] cos лВ cos mB dd =0 (m ф п).
™*-1 U
Для того чтобы показать, что члены Тп{х) явлнютец полнпомамн, напомним
теорему Муавра, согласно которой ' ?
cos «ф + i sin пц> = (cos ф -\- i sm ф)п-
Газлагаи бином, выделяя действительные части в обеих сторонах равенства
и заменяя четные степени sin ф на . . . >
мы получим, что cos иер есть полином степени п по соч ф. Следовательно,
поскольку cos (arccos x) = х, то становится яснмм, что функция Тп{х) (рав-
пая cos (п arccos х)) является полиномом степени л но х.
Полиномы Чебышеиа обладают тем важный свопстном, что среди всех
полиномов степенв п они имеют наименьшую максимальную величину в ин-
тервале — 1 < х < 1. Для доказательства этого свойства рассмотрим точки
Ж) = cos (kit/n), где ft = 0, 1, ...»«, в которых отличие Т (х) от нуля мак-
симально. Для В = 0, л/«, 2л/п, . . ., л ми имеем Тн{хк)=(—1)к. Предпо-
ложим, что существует полином Рп(х) = хп + «7lla:n -J- . , ., для кото-
рого отклонение от нуля в интервале —1 ^ х ^ 1 меньше, чем для Г (х).
Рассмотрим рациональную функцию Тп(х) — ^*n(«) в точках zft. Для этой
функцив получаем
Гп(э:0) - />п(а:0) > 0, 7^*,) - PJXl) < 0,
Т-п{х2) - Рп(ха) > 0, Тп(х3) - i>n (x3) < О
в т. д.

И ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ 387
Видно, что она попеременно положительна и отрицательна и имеет, но край-
ней мере, п корней. По поскольку Тп(х) — РЛХ) имеет, самое большее, сте-
пень п — 1, она не может иметь более чем п — 1 корней. Поэтому Р <х) не
должна быть меш.шо, чем Тп{х), Это свойство наименьшей максимальной ве-
личины у полиномов Чебышена в интервале —1 ^ х ^ 1 испольчова.юсь
нами в гл. 5, § 5 при рассмотрении резонатора как последовательности линз.
Полипомы Чебышева нторого рода определяются как
Ъ\ ~ 1, Un(x) = sin (n arccos x), (И.386)
где л = 1, 2, 3, . . .
Полиномы Чебышева можно также написать в виде
У 1 - *'2)п + U - ( v'T^^)"!, (и.30)
Эти форму 1Ы можно вывести, положив х = cos 0, представив тригонометри-
ческие функции в экспоненциально» форме и применяя т^оре-му Муавра,
После этого заменяют cos 0 на х, a sin 0 на ([ — я2I/2.
Биномиальное разложение в соотношениях (И.39) и (IT.40) приводит
к уравнениям, которые можно нспо-и.аовать для вычисления нескольких пер-
вых полиномов Чебышева. Эти уравнения таконы."
(я—D/2
г-О
Полученные полиномы имеют вид , -
ад = 1, иа{х) = о,
Тг{х) = хх Ux(x)^ ([ -x'-)h\
Tt{x) ¦= 2л2 — 1, Ut(x) = A - ^)',^jt, (П.43)
Г,(х) = 4j3 — Зх, t/s(x) = (I — aHI/" Di« - 1),
7ь{х) =1Йх" — 0л* + 5x; U5(x) = ^ — ^^(lex* — 12*1 -f i).
*1гобы избавиться от множителя A — х2}1/2, полиномы Чебышева второго
рода иногда представляют как
sin \(п -\-
«> "
Полагая arccos x = fl, мы можем переписать (П.44) в виде
t^;i(x) = sin [(n -[- iH1/siu 9. (И.45)
25*

888 ПРИЛОЖЕНИЯ
Полиномы Чебышева выражаются также через гиперболические функция
Тп(х) = ch {п Arch х) (A.46)
н
Un{x) = sh (n ЛгсЬ х). A1.47)
Из уравнении (II.46) и A1.47) вытекают уравнения A1.39) и (II.-50). Это можно
показать, если положить х = ch ф, представить гиперболические функции
в экспоненциальном виде, заметив, что ch ф -f- sli ф — е* и ch ф — sh ф = е"ф.
После этого необходимо заменить ch ф на х, a sh ф на (х2 — II/2.
Будучи представлено в гиперболической форме, A1.45) аацисывается как
Ч1п{х) = sh l(n + 1)91/81! ф, ' A1.48)
где Arch х = ф.
Для отрицательных аргументов находят %п(\х\) и нсполг.зуют соот-
ношение
^rt(-^) = (-l)"^nW- A1-49)
К. Доилоровское и естественное ушпрснис
Доплеровское уширение. Доплсровскоо уширстше является одиин
вз важнейших процессов для газоразрядных лазеров, поскольку при исполь-
зуемых малых давлениях эффектом Доплера определяется профиль усиления.
Влияние давления следует принимать во внимание только при рассмотрении
выгорания дыр. Для низких давлении, которые обычно выбирают, время
между столкновениями больше, чем излучательное время жизни.
Рассмотрим газ, неподвижные атомы (молекулы, ноны) которого излу-
чают или поглощают на частотах, лежащих внутри очень узкой полосы с мак-
симумом в v0. (Эта узкая полоса обусловлена естественным уширепиеми ею
можно пренебречь.) Для движущихся атомов наблюдаемые частоты сдвига-
ютсн под влиянием доплер-эффокта. При этом для пас важны только скорости,
направленные вдоль линии наблюдения. Пусть составляющие скорости ато-
мов этой линии есть и, а с есть скорость света. Наблюдаемая частота (в нер-
вом порядке по и'с) равна
v- vo(t ± и/с), _ ¦ (К.1)
где знак плюс относится к приближающимся атомам и минус — к удаляю-
щимся. Из (К.1) находим
и =- (v — vo)c/vo и da — {c/vo)dv. (K-2)
Вероятность того, что атом массой m в гапс при температуре Т имеет ско-
рость между и и u_-f- du, дается мацсвелловсгшм распределением скоростей,
которое применимо к составляющим в одном направлении:
у/2

К. ДОПЛЕРОВСКОЕ И ЕСТЕСТВЕННОЕ УШИРЕНИВ 389
Строго говоря, максвелловское распределение справедливо только нрв
теп.човоМ равновесии. Тем но менее отклонение от него для излучающих час-
тиц (атомов, молекул или ионов) в газовом разряде в условиях, интересующих
нас с точки зрения лазеров, обычно незначительно даже для населсшгостей
частиц, которые возбуждены на верхний лазерный уровень. Вероятность то-
го, что частота, излучаемая в направлении и, лежит в шпервале v, v -f- dv,
на основании (К.2) и (К.З) равна
^j |j (К.4)
Это есть часть от общего числа атомов, которая излучает илв поглощает в
направлен»» наблюдения. Поскольку интенсивность пропорциональна числу
взл> чающих частиц, то отсюда следует, что
У = у0 ехр
где У^ — интенсивность при v = v0. Форма доплеровской уширеивой ляани
описывается функцией Гаусса,
Ширину линии ДГд определяют как частотное удаление точек, в которых
интенсивность равна половине ее максимальной величины (иля где р состав-
ляет половину от максимума). Отсюда следует
У \ те*
•?о * 2к1 у*
BkT
В длинах волн (в Л) имеем ' ' * *
ДЯдМо = 1,16-10-7{Т/ЛГ)Ч\ (К.7)
о
где М — молекулярный вес. Например, для неона при ^ == 6328 Л, М =* 20t
Т = 300 К ДХд да 1,в-10-" А.
Уравиеиив (К.4) часто записывают через доплеровскую ширину;
усиления (поглощения) пропорционален соответственной ва-
солснности. Относительное увеличение интенсивности на единице длины
*) В гл. 1, п. 2.1 мы использовали обозначение 0(Улш, Vmn) вместо
p(v — v0), поскольку для опорироааняя двумя рассматриваемыми ширинами
линий требовались более точные обозначения.

?90 ПРИЛОЖЕНИИ
енределяется ка* g(v) -= {{U)dj:dx а равно
f4In2)(v-va)»
Естественнее уширение. Выше мы jх;е видели, что получение от систе-
мы движущихся частиц распределено в частотном диапазоне, величину кото-
рого можно вычислить из рассмотрения аффекта Доплера. Рассмотрим теперь
сионтанное излучение, испускаемое единственной изолированной частицей, и
иохажем, что оно тоже распределено на определенном частотном интервале.
Процесс, которого мы коснемся, называется естественным уширение.ч и ми
воспользуемся здесь классическим приближением, пак н в гл. 2, п. 4.4. 1(а
основании B.45) имеем
х + ух т-<ф = 0, г f3f
где ы0 — угловая частота колеблющегося электрона, а у — классическая
постоянная затухания излучения. Решенном этого уравнения является
х = А ехр (—yt/2) сл-р (toif), (К.Щ
где ы\ = Wq — (¦у/2J, а А — произвольная амплитуда. Поскольку интсисни-
ность испущенного излечения пропорциональна квадрату амплитуды, то ин-
тенсивность изменяется в соответствии с лаконом ехр ( — у/) и падает до иии-
ч«иия е~1 от еи начальной величины .iy время т, которое равно
* = Т"д- (К. И)
(Па языке квантовой механики т Н]>едставляет собой среднее время жи.шн
воабуяаденного состояния.) Найдем дпапл.юи частот, входящих в состав из-
лучения, которое испускается классическим осциллятором в процессе aaiy-
, отн'ыиаеьин'О формулой (К.10) для i > О,
формулы преобразования Фур[,е , ., <,
1 {'
\ W (К.12)
Полагая /(i) = А ехр (— 7г''2) <-'Щ {гЩ*) и пользуясь формулой (K.t:>), чы
иинходим к соотношению
о
А
~ ^ "h i (Wl "" W) f J dt ^
yt'2) fxpfi (to, — o>) t]
— ы f-

Л. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ КОРРЕЛЯЦИОННЫЕ ФУНКЦИЯ 3*И
Это BUpaWtPffHe относится к амплитуде. Распределение интенсивности как
функции частоты дается уравнением 3 = ?{ы)?*{ы). Отсюда находим
Читатель йог бы построить графики функций f(t) и |?{ы)|а и убедиться, что
последняя представляет собой резонансную кривую с максимумом на частоте
Ы[, спадающую до уровня полонииы пиковой величины при частотах
со = Mi ± у!2.
Полная ширина кривой па половине максимальной величины равна у.
Множество друг"" типов уширения наряду с обсуждаемыми здесь было
рассмотрено в целом ряде работ {см., например, [20]),
Л. Действительные корреляционные функции и функция
взаимной когерентности
Здесь ми воспользуемся результатами работи f2 I ] для нывода соотноше-
ний между действительными корреляционными функциями и функцией взаим-
ной когерентности.
Па определения аналитического сигнала следует, что функцию взаимной
Когерентности можно разложить следующим обра.юч:
1\2 (х) = V{{> (t + т) V({> (() Н- V\l) {t Н- т) \%1>
+ 1\'\г) {t -f т) V\;'a) — i\ y> a -J- т) IV' (t). (ЛЛ)
Т]»ебуется показать, что
^ l ^ -гт) l'e<o = 0. (Л.2)
lie.in последнее1 равенство щяиолнястся, то, разделяя аналитические сигналы
в (Л.2) иа действительные и мнимые части, мм получаем следующие два тож-
дества:
[t + т) У'У ' (t) = VV1 (t -t- x) V{21> (t).
В этом случав требуемые соотношения тштгкают пз подстановки (Л.З) в
{ЛЛ) после разделения действительной ц мнимой частей:
И,г> (( + т) V*/1 (О = Г\<> (t -г т) Т'!;1 (О - V, Не[ Ги (т)],
__ (Л ',)
V\%> (t + 1) V$){t) = -l4'(t+4 T'Bu(O=VaIm[rIt(T)].
Для того чтобы докалатг. енраведлтюсть {Л .2), па основа пил предполо-
жения об эргодичности случайиых проц«ссоц замииим среднее по ансамблю

ПРИЛОЖЕНИИ
ив среднее во времени:
+Г/2
— 1 V ti (t -f т) VoT (t) dt. (Л.5>
¦* J
-1/2
Вводя фурье-образы ^1T(vK V т(\) аналитических сигналов V <j{(),
ViT(t), можно переписать (Л-5) в нпде
4- i /2 °о оо
I
Ух (* + т) ^8 @ = Hm -I- \ f \ ^it (v) Г'2т (v')X
—Т/2 О О
X схр {2я; |\т + (v + v')/]) (/v (h'dt, (Л.6>
Изменяя порядок интегрирования в {Л.О) и интегрируя по t, ыы прихо-
дим к соотношению , , ч
OO 00
*4(* + t) V2 @ = lim \ V\t (v) >'2T (vw— v)X
Xexp B.t(vt)- ^ -d\"dv (Л.7>
iv' 'V
где v" = v -f- v'.
Если У->со, то <з!п {flv'TJ/f-tv'T) -»- 0 при v" = 0. Однако в это»
случае ViT(v" — \) обращается в нуль, таи кап по определению V2t(v)
и V1r{v) равпииулю для отрнцательныч нл« нулевок частот. Отсю ;а, таким
образом, следует, что в пределе нрнведенныц выше интеграл обращается в
нуль н требуемое тождество выполняется. Соотношения (Л.4) между дейст-
вительными корреляционными функциями » функцией взаимной когерентно-
сти справедливы, следовательно, для случайных процессов, когда Применима
эргодическая гипотеза.
М. Элементы теории электромагнитных волн
В рационализврованной системе единиц (СИ) уравнения Максвелла для
раенроетралеаня электромагнитных вилл имоют вид
V X Е = -В, (МЛ)
V к // = / + Ъ, (М.2)
V XZ» = р, (М.З)
V X В = О, (М.4>
где р —плотность свободных аарядов.
По закону Ома плотность тока J и проводимость а связаны между собой
соотношением
/ — оЕ. (М.5)

V
^ ПЛОСКИЕ ВОЛНЫ В ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ КООРДИНАТАХ Э9Э
Векторы» Е, D, В п Я, входящие в уравнения Маисвелла, связаны между со-
бой СООТЦОШеНИЯМИ
D = еаЕ + Р, (М 6>
//= Л/цо+ Л/, (М.7)
где Р (поляризация) и Л/ (намагниченность) представляют собой суммарные
дипольные моменты единицы объема. Дифференцируя (М.2) по времени, ум-
ножая на ц0 и используя (М.5) и (М.6), мы находим
ЭН дЕ <РЕ
Поскольку в средах, представляющих интерес для лазеров, величиной М
можно пренебречь, то на основании (МЛ) и (М.7) получаем
/ дЕ д*Е д*Р\
vXVXb' = — I \if,a-^- + Ново-^р+Merri-
ll рименяя тождество
V X V X Е =
в замены я, что в свободном пространстве V ¦ Е == 0, иы приходям к уравнению
Ve^ = Moo ~ + ^0fU ^f + Но ^- (М.9)
Это уравнение можно использовать для вывода соотношений (9.1), (9.7)
и (9.13).
Н. Плоские волны в цилиндрических координатах
Рассмотрим плоские электромагнитные волны, распространяющиеся в
направлении единичного вектора л, составляющие ьоторого вдоль осей х, у,
я равны пх, п , п . Векторы Е и II лежат в плоскостях, перпендикулярных К
п, таких, что
п-г = пхх-\-пуу + пгг = const, (H.I)
где г —радиус-вектор, проведенный из начала координат в точку на рлесиат-
риваемон плоскости. Допустим, что плоскость расположена на расстоянии ?
ет начала координат по направлению л. Это поперечное электромагнитное
иоле можно представить скалярной функцией ф, в простейшей виде равной
ф = exp [t(kZ ~ «О], (И.2)
где к и ы — постоянная распространения в угловая частота колебаний полл
соответственно. Эти величины, вообще говоря, могут быть комплексными.
Ориентация единичного вектора п но отношению к осям определяется
углами аиР (рис. Н.1), Отсюда следует
п == sin a cos Р, п = sin а sin р, п = cos а. (Н,3>

391
ПРИлЮЖРНИЯ .
U точке па оси распространения пг = ?н при учете этого равенства (Н.1),
A1,2) и (U.3) дают
ехр \{{къ cos a — «01 схр ft?,- s'm а(г cos ^ ~Ь у sin
(Н4)
Вводом полярные коорднпаты г, У н г. При эюм
х = г соз в, у = r sin 0, г = г '
и мы можем написать (Н.4) в виде v
\р = ехр [г{/гг соз а — wf) ] X
X exp [ikr stii а cos (9 — р)]. (U.5)
В точке ( = г=0 имеем
i|> = ехр [г&г sill а соз {9— р) J =/{r, 9).
(H.G)
Заметим, что /{г, 9) есть периодическая
функция по в и может быть рааложеяа
в ряд Фурье, коэффициенты которого
являются функциями одного только г
[2А\. Таким образом, находим
Рис. 11.1. Направление оси С
совпадает с направлением оди-
шшгого вектора.
Мг)Г,/в(г)
о
= _L j1 /(г, 9)<
д о
отну да
2я
/ (г) = -L Г exp [ikr sia a соз @ — $) — m9]
(Н.7)
На основании (Н.7) и (А.24) получаем
2л
е\р "»(-j-~pj|/n (Arsin а) = — ( exp [ftrsin а cos @ — р) — mGjrfO.
L V / .1 а
Это выражение имеет вид
/ne-mP/ /х) = _L Г eip [ix COS (в — Р) —
гп J
О, Днсперсноввая фувкцвя плазмы
(П.8)
(H.9J
Когда в теории Лэмба мы рассматриваем случай неоднородно угппроп-
нон липни лазерного перехода {т. е. когда учитывается и лорсчщенская функ-
ция, описывающая одяородвую линию (у), и гауссовская, относящаяся к не-

о диспьрсионнля функция пллэмы 395
|й линии (А'«)), уравнение
ы — б) _ г — * х2 я а"]
- '" '"'')т т т "т j
@.1)
содержит интеграл. Эту функцию иожяо выразить через следующие функция
одной Комплексной переменной ?:
— ос
где
(-. С = ? "Ь *П» ? "- (*>m — wu6)'A'w, г) « у'^"- @.3)
Функция @.2) и)вестна как дисперсионная функция плазмы, поскольку она
«стр^ш тея глъже при и.1>чснии распространения электромагнитно!» из-
лучения в n.iajMe. Эквивалентность @.2) и @.1) ири условии выполнения
@.3) можно щюдс-монстрироват!, с помощью вычисления интеграла в @.2)
по следующему lijTH в комплексной плоскости ( (см. ириложгнве А):
I
t \ ехр(— /а) dt" д.т.м Г = — оо,
"° - . @.4>
-л
ехр (— i1) dt' для t" — \,
ехр(— t*)dt =¦
где ( = t' -\- it".
Первый интеграл в правой части этого соотношения рален нулю, а вто-
рой при подстановке в (О 2) щшнодит к @.1), если иходящие в него величи-
ны вычисляются в соответствии с @.3).
Дисперсионная функция пла.шы хорошо изучена и для различных ве-
.;ичип ? составлены таблицы 12.1],
В случае, когда у •< /Си (т. е. в доплеронском пределе), х\ — 0 и Z@
ИIевращается в функцию вещественного переменною (I). Для этого случая
ионию покалат»., что
Z{\) - /л'/* елр (-5я) - ПУ&), @.5)
где
\
У (I) = Целр (— ?а)]/?} Г exp t*dt. @.6)
Мнимая часть функции Z{?) дается формулой
Z. Ц) = л1'2 ехр (- ?*) -^ л1/2 (API- (wn - шв )«((Ям)*). @.7)

396 - ПРИЛОЖЕНИЯ
Именно этой величиной Z.{|) мы пользовались при выведении соетношеяил
(9.127). В рассматриваемом предельном случае, кроме того, на основания
@.5) и @.6) легко получить, что
гт {\)IZt (g) = - 2я~1/2 \ ехр («Л. @.8)
Ь
Используя это соотношение, мы вывели формулу (9.132) из (9.131).
П. Гауссовское распределение для двух переменных*)
Для того чтобы получить гауссовское распределение A0.103) для двуж
(пе обязательно независимых) переменных xt и х2, мы пачием с рассмотрения
плотности общей, вероятности дан двух статистически независимых гауссов,-
ских случайных переменных yt и у2 с дисперсиями \i± и ji2, соответственно.
Так как переменные независимы, то плотность общей вероятности является
просто произведением дву* плотностей вероятности, соответствующих каж-
дой отдельной переменной, т. е. ' '
Введем две новых случайных переменных xt и хг, используя вращатель-
ное преобразование:
xi =" У1 соэ 9 — 1/2 s'n 9. Х2 ~ г/i siri 9 + уз с°3 9* (П.2)
Поскольку средние от у2 и у2 равны нулю, то средние значения xt и хя
также равны нулю. Дисперсии of и о|, соответствующие ^ и г2| можно
найти на основании {П.2) следующим образом:
Следовательно,
а\ - |ii cos* 9 + цЛ sin9 в. " (П.З)
Аналогично
о^ = (ij sin" в
Степень корреляции между двумя функциями xt и хг можно ввести пооредст-
вои коэффициента корреляции
р = <х1х3>/{а1(т,). (Н.51
Из этого определения следует, что —1 < р < 1.
В соответствии с (II,2) и {П.5) мы находим
Р = <(У1 соз 9 — yt sin ejt^sin 9 + у% соз B)>t(axoJ =
| | {^ — р,3)соз9 sin 0/fato2). (П.6)
*) Для произвольного числа переменных простое рассмотрев^ имеется
в [24] {прим. ред.).

П ГЛУССОВСКОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ДЛЯ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫЕ
Из {П.2) для ух и у2 имеем
S/t = xt cos 9 + *а sin 9, уг = — Xi sin 9 + x% cos 9. f П.7)
Якобиан этого преобразования есть
1Л =
= 1.
(П.8)
Поэтому после подстановки значений yt и у3 из {П.7) и замены щ, цг и cos 9,
sin 6 в соатнотстЕшн с (П.З), (ИЛ) и A1.6) мы получаем из (П.1) следующее
выражение:
(х.аг») =
exp —,
—Р*
2o'f
(П.9)
которое представляет собой пл»тность общей вероятности для двух зависи-
мых случайных дореиеыных х1 и х%.

ЛИТЕРАТУРА
К главе 1
1. FoxA.G., Li Г., RellSyst.Teeh. J. '.О, '.53 (lOfil),
2. BoydG. D., Gordon J. P., Bell Syst. Tech. J. 40, 489 (Iflfil).
3. Sthuwlow A. L., Toimes С. П., Phys. Rev. 112, 1940 A<t.r>8).
4. Gordon /. P., Zeiger H. J., Toivnes С. //., Phys. Kev. 99, Jt»4 A9Г.5).
5. Ды/«коЛ. И., Прохоров А. Л/., Луговой В. Я., ЖЭТФ 64, 128 A971).
К главе 2
1. liempel R. С, Optical Properties of T.a«!Prs Compared to Conventional Radi-
ators, Laser Technical Bulletin Number 1, Sjpectra PIijmcs, Inc. Mountain
View, Calif., June, 1903, p. 0. ,
2. Stone J. M., Radiation and Optics, McGraw-Hill, New ^ orK, 1963.
3. Condon E. ('-, Shortley G. H., Tlie Theory of Atomic Spectra, CamhriHce
rniv. Press, London, 1!W5, p. 97.
4. Го(//. S., Durlorof PTiilosopdy Tliosis, Princeton T'niv., 10Л2.
5. Го» /. S., Phys. Hfev. 104, 17«0 A950).
0. Bennett W. R., Appl. Optics, Supplement on Optical Makers, I9C2,
pp. 24-61.
7. Фейнман Р., Леитоп Р., Сэндс М., Фейнмановгкне локп,ии по физике»
т. 3, 1964, стр. 151.
8. Тамм И. Е., Основы теории электричества, Гостехиздат, 1957, стр. 495,
К главе 3
1. Weisskopf Г., n'igner E., Ъ. \. Pliys. 63, 54 A9.30).
2. Ter UaarD.y Hep. Ргоц. Phy?. 2ri, .04 A961).
3. Fa»o Г/., Rev. Mod. Pliys. 29, 74 A9.17).
4. Ландау Л. /(., Лифшиц Е. М., Ь'ванювая механика, *lfajKa», 1Я74.
5. Фок В. А., Наняла квантовой механики, «Наука», 1it7f5.
(к Шифф //., Квинтовая механика, ИЛ, 1959.
7. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М., Статистическая филина, ч. I, Шаука%
1970.
8. Кубп Р., Статистическая механика, «Мир», 1967.
К главе 4
1. Прохоров А. М., ЖЭТФ 7, 1140 A958).
2. Dich-e R. И., U. S. Patent 2851—632, i*!K)8.
3. Srhaa-Iew A. L., Tonnes С. H., VUya. Hov. A2, 1940 A958).
4. llemott D. R., J. Opt. Soc. Am. 52, :U A9UJ).
5. /'ол ,4. G., i( Т., Bell Syst- Tech. J. 40, 453 AЯ61).
0. Boyd G. D., G«M«,i /. P., Bell Sy?t. Tech. J. 40, 489 A961).
7. Gor(/an /. P., Zeigrr 11. J., Tou-nes С. Н., Pliys. Rev. 99, 1264 A955).
8. JavanA., Ballik E. A., Bond W. L., J. Opt. Soc. Am. 52, Ш A962). '
fi. Rigrod W. W., Appl. Phys. Lett. 2, 51 A963).
10. Сб. «К»а.шоптики», «Мир», !90ti.

ЛИТ! PAT* PA 399
i\ Выков II II , ЖЭТФ 64, 128 A971)
12 Ваипштечп Л. А , Открытые резонаторы и открытые волноводы, «Со-
нет ское pa iho>, 1966.
13 6 ызянов С 10 , Out. и сиекгр. 26, 128 A973).
[{ главе 5
1 ПегШоШ М , Nuovo Timento 32, 1242 A96i).
2 HobroffD. L., Appl. Opt. 3, 1485 A964)
A ( ourant Я , Hubert!) , Methods of Mathematical Pti>sica, Vol (, Inters-
rttnee Publishers, Inc, Now ^ ork, 1953, pf> 87—88
4 hogetrnk II , Li T , Appl Opt 5 1^0 A96b)
r) I ox A G , L( 7\ Proc I F Ь. Е 51 8O(l%3>
ti lioyd G. D , Kogelnic Я , Bell b>sl Itcli J 'i|, IVi? A%2)
7 I ox A G , Li T , Modes in a m.istr interferometer with curved гшггогч.
In «Grivot, P. and N Blot tnbciyen, eds , Oudittuin blectioniCb IH»,
< olumbia Imv. Press, New ^ ork 19b^, pp 12b 1 — Ы7О
8 Si^^man^ E , Proc I E E H 53, 277 (I%3)
9 Ьеитмап /\, Эрдеии А , Высшие трансцендентные функция, т 2, «На-
\ка», 1965
10 с еге Г , Ортогональные многочлены, Фиччатгиз, 1962
[{ главе 6
1 / ox A G , Li Т , BellSyst I eoli Г 40, 45* A9bl)
J flUi/dG Z> , 6'o^on /. P , BellS>*t 1(cli J 40,489A961).
1 SoohooR Ь , Proc I ], E 1, 5i,70(I%3)
A S epianD , Pollah II O,B(llS>bt Tecl] J 40,43A961)
5 Hammer С , Spheroidal V\ ave Functions, Stanford Umv. Press, Calif.,
44O.
6 Met umber D E , Btll Syst Tech J. 44, 333 A905).
/"¦j* г шве 7 i
1 hogelmk II , Li T , Appl Opt 5 Г>г>0 A96(>)
2 Kogelmk It., Bell byst Tech J' 44, 4^5 (I%r>)
3 hogelnik II , Coupling and Comersiou ( oi fficiouls for Optical Modea,
In «Proc Sj mp, on Quasi Optics», Polytechnic Picss, Brooklyn, 1964,
|ip 333—347
4 I rdelt/i A et al , Tables of integral transforms, \oh 1, 2, McGraw-Hill
Hook Си, Inc, New ^ork, Wo^
ri tollinsS A , J Opt Soc Am 5J, 1319A96?)
b fi T , Appl Opt 3, l!ir> A1Ж4)
7 Lhu T S , Boll Sjsl Tech J Л5 287 (l%fi)
8 kogelmh II , Modes in Onticd Htson-ilors In «lc\mt, А К , ed , lasers,
\ol I», ArnoM, london, 1%о, pp Z'>~>— \W
(> [еоптович M A , II ш АИ ((.( I», сер физ 8, 10 A944).
1М Луговой Н II , ЗКЭ1Ф 65, 881) A973)
! I Та чанов И И , Письма и !ЬЛФ 2, 218 (!%">)
U Захарове Г, (.обо ни В Б , ( нилх К ( , ЗЬЗТФ 60, 136 A971).
13 1/аЫя Л , Shimoda A , J Appl I'li>s 4b, 12J5 A975)
8
? / , White A D , Rigden J D , Gam Saturation at 3 39 Microns
m the He-Ne Maser, In «Proceedings of the bytupostnm on Optical Masera»,
Poljtecluuc Ргсьч, Brooklyn, I\ew York, 1903, pp. 309—3(8
Mitchell А С G, Zemansht/ Д/ W , Resonance Radiation and Excited
Moms Second Impression, Cambridge Univ. Ргечз, London, 1961,
pp. 94 — 9b
llotz D b , Ajipl Opt 4, 527 A965)

400 ЛИТЕРАТУРА
4. Rlgrod W. W., i. Appl. Phys. 34, 2602 A963).
5. Rigrod W. W. i. Appl. Pliys. 36, 2487 (\<.)Щ,
6. Rtgrorl W. W., Isolation of Axi-Syirirnclrir.il Optical-Reponaior Modes,
lir *Рг0С1ч'Aшц of Hit? Third IrUernatiotiaI Congress on Quantum Electro-
nics», Columbia Univ. Press, ]\ew ^ork, 196'», pp. 1285 — 1290.
7. Fox A. G., Li Т., 1. E. Б. E. J. Quantum Klwlronics QE-2, 774 A966).
8. Statl Я., Tang Г. /,., J. Appl. l'hy*. 36, I81B AЯ6Д).
9. Smith P- W., I. E. E. E. J. Quantum Electronics QE-2, G2 A966).
10. Smith P. W., J. Appl. Phys. 37, 2ttftt) A966).
11. Meneeiy С. Т., Appl. Opt. 6, 1434 {VMM).
12. Bennett W. R., Phys. Kev. 126, 580 (UK>2).
13. Bennett IV. В., Appl. Optics, Supplement on Optical Masers, 1962,
pp. 24 - 61.
14. {fan/ing G. ()., Li Т., J. Appl. Phys. 35, 475 A964).
15. lioyd G. D., Kogelnlk It., Bell Sybt. Tech. i. h\, 1347 A9E2). -
16. Bloom A. L., Wright}). L., Proc. I, E. K. E 5^, 1290 A9H6).
17. CabezasA. Г., Treat B. P., J. Appl. Phys. 37, .'J356 A'tfiB).
18. Bennett W. R., Relaxation MeeliaiH?ms, Dissociative Excitation Transfer,
antl Mode Polling Effects in Gas (.a^'f.s, In «Proceedings of the Third In-
ternationa! Congress on Quantum Electronics», Columbia Univ. Press,
I\ew \ork, 1!t6i, pp. 441—458.
19. Беитмап }'., Ордена А., Таблицы интегральных преобразований, т. i,
«Hayica», 1970.
20. ЛетоховВ. С, Письма в ЖЭТФ 6, Г>97 A%7).
21. Burger H. L., Hull J, f,., Phys. Hv\ . 1.еИ. 22, 4 A969).
22. Lee P. П., Skotntte M. L., Appl. Phys. I.ef t. 10. 303 fl%7).
23. Maeila //., Slumoda K., J. Appl. Phys. 47, 1069 A976).
24. Mneda It., Shtmoda K., J. Appl. Phys. 46, 12.15 A975).
25. Shimoda A"., Japan J. Appl. Phys. B, 1222A973).
26. Shwwda K., ibid., 1393 A973).
К главе 9
1. Lamb W. E., Phys. Rev. C4, A1429 — 50 A964). * ' '
2. Sargent M., Lamb W, E., Fork B. L.\ Phys. Hev. 164, 436 —40 A9Й7).
3. Sargent M., Lamb IV. E., Fork H. L-, Phys. Hev. 164, 450 — 63 A967).
4. liter C. V., Graft B. i>., Phys. Hev. 140, A1083 A965).
5. Fork B. /,., Sargent M., Proc. of the International Conference on the Phy-
sics of Quantum Electronic*, ed. P. L. Kelley, B. [,ax and P. E. Tannen-
»alit, McGraw-Hill, Npv, \ork, l'.Hiti, pp. (ill — 111.
6. Дьяконов М. И., Фридрихов А. С, УФН 90, 565 A066).
7. DurandG., 1. Б. E. E. J. Ouanlum Electronics QE-2, 448-55 A966).
8. Van Haenngen Ii'., Phys. Rev. 158, 2.06 — 72 AШ.7).
9. Gyorffy B. L., Boremtetn M., Lamb \V. E., Phys. fiev. 169, 310 —
359 A968).
10. Uthara A'., Shimoda K., Japan J. Appl. Phys. 4, 921 A965).
11. Cuhhaie W., Pliys. Hev. 164, 320 —39 A067).
12. Ucluda Т., I. E. E. E. J. Quantum Electronics QE-3, 7 — 16 A967).
13. Lamb W. E., Lectures in Theoretical Physics ed. W. E. Bnltm and
B. \V. Downes (lnterscience), I960, pp. 435 — 83.
14. Lamb W. E., Interriational School of Physics, Enrico Fermi, Course XXXI,
Quafituni Electronics and Coherent Light, Academic Pa-??, 1У64,
pp. 78 — 110.
15. Lamb W. E., Quantum Optics and Electronics, Les Honrhes ЮН4, еЛ.
do Witt C, Blandin A. and Colicn-Tannoudji С (Gordon and Breach),
1964, pp. 331 — 81.
16. Szohe A., Javan A,, Phys. Rev. Lett. @, 521 — 4 A963).
17. McFarlane B. A,, Bennett W. R., Lamb W. E., Appl. Phys. Lett. 2, 189 —
190 A963).

ЛИТЕРАТУРА 401
18. Szoke Л., Javan Л., Phys. Пру. 1*5, 137 — 47 A906).
19. Smith P. W., J. o{ Appl. Phys. 37, 2089 — 93 A96A). ¦
20. Alpert S. S., White A. D., Proo. I. E. E. E. 51, 1005 — fi A963).
21. Fork R. L.% Pollack M. A., Pliys. Rev. 139, 1408 — 14 A905).
22. liolu-ijn P. Т., Pliys. Lett. 13, 311 A964).
23. Bchrijn P. Т., Pliys. Lett. 19, 381 — 5 A9E5).
24. Jiohrijn P. Т., J. Appl. Phys. 37, 4487 — 92 A906).
25. Boersrh H., et al. Pliys. I-t-lt. 24A, 227 — 8 A907).
26. HaUma J., Bouu-huis G., Pbys. Rev. Lett. 12, 287 — 9 A964).
27. Tomltnson W. J., Fork R. L., Pliys. Rev. 164, 466 — 83 A907).
28. Settles R. A., HeerC. V., Appl. Pliys. Lett. 12, 350 — 2 A968).
29. Gulthaw W., Kannelaud J., Phys. Rev. 1*5, 257 — 67 A966).
30. Shimoda K., Uehara A'., Japan J. Appl. Pliys. Ю, 400 (№1).
31. I'ehara K., Shimoda K., Japan J. Appl. Pliys. Ю, 623 A1*71).
82. Казанцев А. П., Автореферат доит, диссертации, НТФ им. Ландау
АН СССР, М., 1976.
К главе 10
1. Dirac P. A, M., Tlie Principles of Quantum Mcclianics, 4-th Edition,
Oxford Univ. Press, London, 19.r»8T p. 9.
2. Wolf E., Proc. Roy. Soc. A230, 246 A955).
3. (labor D., J. Inst. Elec. Епц. 93. part 111, 429 (IQ'ifii.
4. Mundel L., Wolf E., Hev. Mod. Pliys. 37. 231 — 87 A965).
5. Einstein A., Ann. der Pliys. 47, 879 A915).
6. Hoot W. L., Pitcher T. S., Ann. Malli. Statist. 26, 313 A955).
7. Janassy L., Nnovo Cimcnto 6, 111 A957).
8. Mandet L., Progress in Optics, Vol. 2, North-Holland Publishing Company,
Amsterdam, ЯШ, pp. 181 — 248.
9. Wolf E., Proc. of Sym. on Optical Mascrs, Polytechnic Brooklyn, 1963.
10. Parrent G. В., J. O. S. A. 49, 787 A959).
11. Cittert P. II. Van, Pliysira 6, 1129 A930).
12. Ztrnilte F., Pliysica 5, 785 A9Л8).
13. Jieran M. J., Parrent G. В., Theory of Partial Coherence, Prentice-Hall,
I\c\v Jersey, 1964, pp. 53—5.
14. Ilanbiiry-Brou-n Д., Ticiss Я. Q., Proe. Roy. Soc. A242, 300 A957).
15. lltinlHirfrBrown Д., Tiriss R. Q., Proc. Hoy. Soc. A243, 291 A957).
10. Lamb W. E., Pbys. Rev. 134, 1429 A904).
17. Van der Pol fi., Pliil. May. 3, B.ri A9^7).
18. Armstrong J. A., Smith A. \V., progress in Optics, Vol. 4, North-Holland
Publishing Co., 1967, p. 213.
К главе. 11
1. Rigrod W. W., KogeJnik H., Brangaccio D. /., Harriott D. R., J. Appl.
Pliy?. 33, 743 A902).
2. Kolomnikov Yu. D., Troiishiy Yu. V., Chebotnrev V. P., HaJio Engng.
Electronic Pliys. (CSA) 10, 312 A965).
3. Mielenz K. D., NeffJen K. /'., Glllilland K. ?,, Appl. Opt. 3, 785 A904).
4. Bloom A. L., Appl. Pliys. Lett. 2, 1Ш A9O;J).
5. White A. D., Appl. Opt. 3, 431 A964).
6. Peck E. П., 1. Opt. Soc. Am. 52, 253 A902).
7. Bobroff D. L., Appl. Opt. 3, 1485 A964).
8. Sinclair D. C, Appl. Opt. 3, 1067 (lWi'O.
9. Bloom A. L., Spectra-Pliysics, Inc., Mountain View, Calif., Laser Techni-
cal Bulletin No. 2, Properties of Laser Resonators Giving Uniphase Wave
Fronts, 1963.
10. Fox A. G., Li Т., Proc. I. E. E. E. 51, 80A963).
11. White A. D., 1. E. E. E. J. Quantum Electronics, QE-i, 349A965).
26 А. МэЙтлэнд, М. Данн

ЛИТЕРАТУРА
12. Stats И., Tang С. L.t 3. Appl. Pliys. 36, 1816 A905).
13. Goldshorough J. P., Appl. Opt., 3, 267 A964).
14. Fox A. G., Li Т., Bell Syst. Tech. J. 40, 4,13 A961).
15. Javan A., Bennett W. R., Jlerriott D. Я-, Phys. Rev. Ы1. 6 lOfi A9flh
10. Royd G. D., Kogelntk //., Bell Syst. Tech. J. 41, Ш7 (i%2).
17. YanvA., Gordon J. P., Proc. I. E. E. E. 51, 4 A9«.1).
18. Hi^rfld W. W., Isolation ol Axi-Symmetrical Optical llesonator Modes,
In «Proceedings of the Thin! International Congress on Quantiiiii Eleclro-
nios», Columbia {'niv. Press, New Wk, 1904, ;m. 1285 — 1290.
19. Li Т., Boll Syst. Tech. J. 42, 2609 A«Ш).
20. Л'па/Л P. W., 1. E. E. E. J. Quantum Electronics QE-1, 343 A905).
21. CiordmaineJ.A., Kaiser W., J Appl. Phys. 35t 3440 A964)
22. (V/iiK -4. D., GorAin ?. /., /.aburfa E. f., Appl. Pltys. Kott. 5, 07 A%4).
23. Kerning P. H., Tlieory and Calculations of Optical Tliin Film, In «Pli\sica
of Tliin Films», Vol. 1, Academic Press, ЛЧ-w \огк, 19ЙЗ, pp. (И) — lit.
24. Mtelenz K. Z>., J. Urs. Nail. Виг. Standanl.s (A) 63A, 297 A959).
25. Herpin A., Compt. Hund. Acad. Sci. 225, 182 A947).
К приложениям
1. Goldstein 1]., Classical Mechanics, Addison-Wesley Press, Camliriiko,
Massachusetts, 195".
2. Gantmacher F. П., Matrix Theory, Vol. I, New York, 1У5Я.
3. Bowman F., Iniroihiction to Determinants and Matrices, English I niv.
Press, London, 1902.
A. Schwartz J. Т., Introduction to Matrices ami Vectors, \e\v York, 19C1.
5. Heading J., Matrix Theory for Physicists, London, 1У58, p 54.
6. Abeli» F., Ann. phys. A2) 5, 7(Ш A1M0).
7. Mielenz K. D., J. IK'S. Nafl. Bur. Standards (Л) 63А, 297 A959).
8. Stone J. ДЛ. Uadiatlon and Optics, McC.raw-llill, New Yorfc,
pp. 159 — 100.
9. Born M., Wolf E., Prtnciplcs of Optics, 2nd Edition, Pergamon
Oxford, 1904, pp. :MH — ;m
10. СосЛгяд ^. Л., Bell Sjst. Tfch. J. 44, 77 A965).
11. Neumann D. J., Morgan S. P., Bell. Syst. Tecli. J. 43, 113A964).
12. UochstaM //., МЛМ Hcv. 8, fi2 (li)fiU).
13. Stretjer II'., Gamo //., On tin* sctimidt Kxpansion for Optical Ke^
Modes, In «Proceedings of I lie Synipusiuin on Quasi-OpUos, Poly[e<
Institute of Brooklyn», Brooklyn, Now York, 1964, pp. 451 — ,465.
14. lliidebram! /¦'. Я., Methods of Applied Mathematics, Prentice-Hall, Ецц1с-
wood Cfifts, New Jersey, 1952, p. 421.
15. Лкг Л. С, Li 7\, Bell Syst. Tech. J. 40, 458 A961).
10. Rice J. Я., The Approximation of Functions, AddibOn-WVfeley Piihli^liin?
Co., Heading, Massjiclinsetis, 1904, pp. 34 — 40.
17. Courant R., Hubert})., Methods of Mathematical Physics, Vol. I, liitoiMri-
pnre Publishers, New S orl., 195Л, pp. W> —68.
18. Lanc:os C, Applieil Analy.M^, Pitman and sons Ltd., London, 1957, p. 3fi(i.
19. Sansone G., Orthoyonaf Functions, Interbcience Publiblitis, New "lurk,
1«5U, pp. 2 — 3.
20. Brfent ft. G., Rev. Mod. Phys. 29, 94 A957).
21. Mantle! L., Progress In Optics, Vol. 2, ^North-Holland Publishing Company,
Amsterdam, 1903, pp. 184 — 2Л4.
22. Stratton J. A., Eleclroiiiiitniettc Theory, N. Y., 1941, pp. ,471 — .T72.
23. Fried R. D., Conte S. D., The Plasma Dispersion Function, llilbt'rt Trans-
form of (he Gaussian, Academic, Press, Inc., New York, 19C1.
24. Ландау Л, Д., Лифшиц Е. Af., Статистическая филниа, «llaytfa», 1976.

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Автокорреляционная функция 289,
лоб, зю
Активное вещество 19, 105, 329
— —-, показатель преломления 31,
52, G1, 222. 327
Аналитический сигнал 278, 288, 391
Аномальная дисперсия 222
Г.иенио мод 224, 225, 327, 330
J «рюстера угол 314, 360
Вороятяость перехода вынужденною
25, 84, 92
спонтанного 25, 58
— поглощения 25
Имимная когерентность 292, 296
Ьиаичо^ействие мод 180
Волнован функция 07
Болновое уравнение 163, 220, 292,
371
Иремя жизни возбужденного состо-
)шия 12, 13, 61, 390
— шмерентмосги 17, 273, 282, 293
выгорание дыр в контуре ус».юаня
208, 2J5, 205
1'ынужлешк№ испускание 24, 2о, 243
И мод 22, 118, 117, 10i,
— фогоион 47, 278
Гамильтониан заряженной частицы
69, 80, 350
Гармонический осциллятор 49, 239,
302
Гауссовскал матрица передачи 170
I'ayccoBCKiif гфугоныо диаграммы 183
— параметры 107, 113У
26»
Гауссояские пучки 163
Гаусгонской преобразование в линзе
168, 171
Генерации, оптимизация мощности
199. 206
—, пороговые условия 28, 33, 224.
240. 262
—, р^жкм двух:модовый. стационар-
ны» 207, 21)8
—, — мно]омо,(опый 267
—, — одномодовын 204, 238, 213.
260
—, — одночастотиын 317
—, — переходный 2(>8
—, спектр 20, 112
— стационарная 197, 224, 245, 262,
21*7
Главное значение интеграла 352
Давление излучения 39
— —, тен-зор 41
Двухмодовая генерация 267, 263
Двухуровневая атомная система 77,
Диаграмма устойчивости I.ii, 135,
140, 213
Дшю н.иый момс-нг М. 8В, 235
Дисперсионная функция нла.шы
2КЗ, 3!И
Дисперсионные ре.юиаторы 31-4
— соотношения (И, 353
Дисперсии открытого резонатора 222
Дифракционные потери в открытых
peaoiuiOTiax 20, 22, 107, 114, 139,
148
Дифференциальное усиление 193
Длина когерентности 17, 273
Добротность резонатора 24, 30, 111,
Доплера аффект 15

404
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Затухания коэффициент 49, 53, 79
Затягивание мод 30, 33, 222, 233, 241
Излучение вынужденное 24, 25
—, давление 39
¦—, интенсивность 35, 105
—, когерентность 10, 17, 18, 272,
294
—, плотность энергии 37
—, поглощение 25, 47, 48
—, поток 36
¦— спонтанное 12, 25, 58
—, фильтрация в открытом резона-
торе 19, 24, 29
—, частога 12
— черного тела 45, 46, 47, 56, 284
Инверсная населенность 27, 243, 25'i
257, 264
Интенсивность лазерного нзлучетшя
1Я5
Интерференция 273
Интерферометр Майкельсона 272
Источники линейчатого спектра II
Квантовый усилитель 195
Когерентность взаимная 202, 296
— в открытом резонаторе 295
¦— временная 18
—, время 17, 273, 282, 293
— второго порядка 286
—, длина 17, 273
—, объем 16, 277
— переходная 288, 291
—, площадь 17, 47, 211
.— пространственная 17, 274
— состояний 9У
~, степень 286, 288, 290
Когерентный свет 294
Комбинационные тона 228, 270
Конкуренция мод 202
Контрастность ннтерференцпопных
полос 290
Конфигурация мод 202
Конфокальный ре.юнатор 20, 22,
142, 145, 148, 1Г>1, 322
Коэффициент затухании 49, 53
— корреляции 300
— к росс-релаксации 220
— поглощения излучения атомный
48
. массовый 47
— усиления 192
— — ненасыщенный 194
К росс-корреляционная функция 289
Кросс-релаксация 202, 209, 215
— узкополосная 220
Круговые диаграммы 183
Лазерные октга 314, 316
Линия генерации Ц2
— иона 217
¦— неоднородно уширенная 15, 32,
188, 217, 227, 257, 261, 388
— оинородно уширенная 14, 15, 26,
188, 390
— усиления 2G, 192, 208, 224, 266,
304
Лэмбовский провал 215, 228, 265
Матрицы 3f>l
— передачи луча 170
— плотности 97, 234, 249,'362
Метол итераций 21!)
Многомодовыи режим генерации 2G7,
268
Многослойные пленки 341
1— —, периодически-симметричные
Моды активного ре.юнатора 202
~, биение 221, 225, 327, 330
—, взаимодействие 180
¦—, влияние насыщения усиления
201
.—, вырождение 22, 118, 147, 154,
330
—, добротность 230, 232, 210, 257,
262
—, затягивание 30, 33, 229, 258,
2C4
—, конкуренция 202
—, конфигурация 202
— неустойчивого резонатора 136
— нормальные 22!), 248
—, объем 322
.— объемного резонатора 4^
— открытого резонатора 18
—, плотность 44
~- поперечные 18, 21, 117, 113, 117,
15A, 178
— продольные 18, 21, 147, 220
— с бегущей волной 310
—, селекция 331, 333, 337
—, синхронизация 227
Мощность выгодная в одночюдовом
режиме 204
— — в режиме насыщения 203

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
405
Мощность выходная в стационарной
состоянии 1<O, 224, 245, 246
¦— — при вырождении мод 211
— — при кросс-релаксации 209
— — при наличии дыр в контуре
усиления 215
Населенность инверсная 27, 243,
246, 254, 257, 262, 264
— состояния 100
Насыщение усиления 34, 187, 244,
262, 329
Насыщения коэффициент 192
— параметр 101
Насыщенный коэффициент jсиления
194, 201
Неравенство Бесселя 379
Поляризация макроскопическая 226,
230, 231, 233, 239, 242, 244, 246,
247, 253, 256
Поляризуемость ятома 51
Пороговая населенность 240, 246»
2C2
Пороговые условия генерации 28,
33, 240, 262
Постоянная затухания 79, 115, 240
— распада 13, 253
Потери в открытом резонаторе 19,
20, 22, 107, 114, 139, 148
Поток излучения 36
Преобразование Гильберта 281, 354
— Фурье 390
Приближение вращающейся волны
88, 253
— случайной фалы 299
Проводимость 229
Объем когерентности 16, 277
— моды 322
Одномодовый режим 204, 238, 243,
260
Одночастотный реяшм 317
Оператор Гамильтона 69
Определитель Грамма 383
От имизация выходной мощности
199, 206
Ортогональные 'функции 377, 381
Параметр вырождения фотонов 47,
278
—- насыщения 191
~ системы 181
Переходные когерентные нроцесси
~ режимы генерации 268
Планка закон 511
Плотность возбуждения в среде 254,
255, 262
— энергии излучения 37
Площадь s когерентности 17, 47,
277
Поглощение излучения 25, 47, 48
— —, сечение 53
Показатель преломления пктивной
среды 31, 52, 61, 222, 327
Поле в активном резонаторе 228
Полиномы Лагерра 148, 151
г- Чебышева 131, 346, 370
— Эрмита Н8, 151, 178, 186, 376,
384, 3S5
Размер пятна 150, 1Г>6
Распространение функции взаимной
когерентности 292, 296
Реальный сигнал 280, 282, 307
Режимы генерации 204, 238, 267»
268
Ре.шнатор активный 19, 23, 105,
201, 202, 327
—t диаграмма устойчивости 134»
135, 140, 213
— дисперсионный 314
—, дисперсия 222
—, дифракционные потери 20, 22Г
107, И4, 13!), 148
—, добротность 24, 30, 111, 115*
116, 2;;о
—.закрытый 18, 43
— конфокальный 22, 142, 145, 148,
151, 322
— неустойчивый 130 ?
— открытый 18, 10.}, 119
— пассивный 18, 23, 105, 115, 176,
222
—, постоянная затухания 115
— с кольцевыми сферическими вер-
калами 156
— с круглыми зеркалами 154
—, согласование 175, 178
— со сферическими зеркалами 125*
128, 146, 152, 153, 181
— с плоским и сферическим зерка-
лами 12С
— с призмой полного внутреннего
отражения 122, 318
— с уголковыми отражателями 31&

ПРИДМИТНЫЯ УКАЗЛТКЛЬ
op фильтрация ишучеиия lfj,
9
1ровка 32i, 335
'нтные соотношения 385
1Я мод поперечных 331, 337
юдольник S43
1 поглощения атома 53
возбуждения (Ю
циллятора Г?
аилдция мод 227
ные уравнения 190, 253
сигнал 220
iciHHe мод 1С0
ныыэ вначеня 70, 143, 15!,
158
уииодш 70, 96, 143, 148, 151,
178
ванне резонаторов 175, 178
иелие неопределенности 15,
275
оты 380
генерации 20, Ц2
ряжении 21'Л
212
[.остей 219
иьная плотномь мощности
1НЫЙ переход 12, 25, 58
«ация частоты лазера 339
.ность частоты лазерного из-
¦ния Ъ'Л
¦нческая природа теплового
ення 298, 301, 308
парная генерация 197, 221
262, 267
нарное воле 285
. когерентности 286, 288, 2ГЮ
te KOHivpa усиления 19J, 304
iHoe усиленно lrjj, 19j
д аздучекая 41
эе излучение 45, 40, 47, 56,
ное преобразование 73, 97
нив волно воо 1 &3, 24% 292,
•мгольда 372
кхофа 37^
хгофа—Френеля ИЗ, 374
Уравнение Фредюлмга 140, 375, 386
— Фурье 373
— Шродишера 09
Уравнения Маьснрлла 229, 226, 392
— сам(ко1ласованн(К1и 226, 229, 392
— сьороиные 190, 24d
¦усиление 26, 23-'»
— дифференциальное 193
—, насыщение 34, 187, 2И, 262,
329
—, непасыщеяный коэффициент 104
—, положение дыр на ьонтуре 26G
— при вшоранин дыр 208
— при неоднородной уширении лн-
1ши 224
—, сужение коптура 192, 304
— суммарное 193, 195
Усилитель квантовый 19">
Условие jitohhhihkth открытого ре-
зонатора 20, 128, 130, 1J2, 17,',,
175
Уширенне1 доплеровс^ое 15, 188, 2-7,
1л1. 261, 388
— пинии и-ш>чат<?лиюго нерехода
II
— неоднородное 32. 2l7
— однородное 14, 15, 26, 188, 390
Фааошле флуктуации в лазере 309
Фактор стабилизации 2-41
Фильтрация излучения в открытом
резонаторе 19, 24, 29
Форма линии перехода 1J, 219
¦ усиления 26
Фотон и ПО, 275
—, вырогкдепле 47, 270, 278
Френеля формулы 359
— число 20, 109, 330
Фунидня автокорреляционная 289,
306, ЗЮ
— Ьесселя 157, 355
-- вчиичнои 1;огереитпости 280, 295,
297, 300. .191
— вол нона я 137
— Taj eta 148, 151, Ш. 168, 186
— дисперсионная плачча 26\!, 394
— i.pocc корреляционная 289
— нрои,(водящая 383
— распределеняя атомов по скоро
стяч 255
— «кюкеиная 70, 96, 143, 148, 151»
158, 178

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
407
Центровка труб газовых лазеров 324
Частота затягивания 233, 241, 258,
264
— шлучателъцого перехода 12
— мод 103, 104
-— — продольных 21, 175
Четырехуровневая система 216
Шейка пучка 106
Ширина дыры в контуре усиления
209
Шум лалера 302, 305, 310
Эйнштейна коэффициент 25, 45, 57,
59, 189
— — дифференциальный ТА
Электромагнитные переходи 82
Элементарная ячейка пространетъ»
фотонов 270
Энергетические состояния 54
— уровни 54
Энергия излучения 37
Эргодическая гипотеза 285
Юнга эксперимент 274
Юстировка резонатора 324, 325

А. Мэйтлэид, М. Дапп
ВВЕДЕНИЕ В ФИЗИКУ ЛАЗЕРОВ
М., 1978 Г., 408 стр. с илл.
Редактор Л, Н. Русакова
Техн. редактор С, Я. Шкляр
Корректор Л. С Сомооа
ИС Кг 2-131
Сдано в набор У..02 79. Подписало в печати 0'i 0Э.78.
бумага 60 X 907,., тип. Л1 1
Обыкновенная гарнитура. Высокая печать.
Услопн. печ. л. 25,5- Уч.-изд. л. 24,32.
Тираж 10000 экз. Заказ Лг 68. Цена книги 2 р. 10 к.
Издательство лНауня»
Главная редакция физико-математической япературн
117071, Москва, В-71, Ленинский проспект, 1Ь
4-я типография издательства «Наукая]
НоаосиОирск, П, Станиславского. 25