Г. К. Клейн
СТРОИТЕЛЬНАЯ
МЕХАНИКА
СЫПУЧИХ ТЕЛ
УДК 624.131.5
Печатается по решению секции литературы по строитель-
ной физике и конструкциям редакционного совета Стройиз-
дата
Клейн Г. К. Строительная механика сыпучих тел. Изд. 2-е,
перераб. и доп. М., Стройиздат, 1977. 256 с.
В книге освещены основные вопросы статики сыпучих тел
применительно к грунтам, зерну, цементу и другим материалам.
Рассмотрены свойства сыпучих тел и их напряженное состоя-
ние, расчет оснований сооружений иа прочность н откосов иа
устойчивость, определение давления сыпучего тела иа подпор-
ные стены, на стенки хранилищ и иа заглубленные сооружения,
а также другие вопросы. Для облегчения практических расче-
тов приведены вспомогательные таблицы н графики, а также
числовые примеры.
Книга предназначена для инженерно-технических работни-
ков в качестве пособия по проектированию различных соору-
жений, взаимодействующих с грунтами н другими сыпучими
телами. Она будет также полезна для научных работников,
аспирантов и студентов.
Табл. 26. Рис. 168. Список лит.: 155 назв.
30205—472
* 047(01)—77
106-76
© Стройиздат, 1977
ПРЕДИСЛОВИЕ
В соответствии с «Основными направлениями развития народного хозяй-
ства СССР на 1976—1980 гг.», утвержденными XXV съездом КПСС, предстоит
осуществить проектирование многих промышленных, гидротехнических, тепло-
энергетических, транспортных и специальных сооружений. При этом необходи-
мо решать рнд сложных вопросов, связанных с определением давления грунта
на сооружение и с установлением несущей способности грунта под действием
различных нагрузок. Поставленные задачи по расширению вместимости храни-
лищ сельскохозийствеиных продуктов и развитию производства цемента и про-
дуктов химической промышленности говорят о необходимости решения вопро-
сов, касающихся давления зерна и различных сыпучих материалов на ограж-
дающие поверхности хранилищ.
Ответы на эти, а также иа многие другие вопросы дает строительная
механика сыпучих тел, которая за последние десятилетия и особенно за по-
следние годы обогатилась рядом крупных исследований, результаты которых
пока еще недостаточно широко внедрены в проектную практику. Это объяс-
няется отчасти тем, что огромное число работ, опубликованных в различных
монографиях, журнальных статьях и сборниках трудов организаций, остают-
ся недостаточно известными широким кругам инжеиерио-техиических работни-
ков и ие выполняют той роли, которую они могли бы играть в ускорении тех-
нического прогресса и снижении стоимости строительства.
В предлагаемой книге содержатся краткое и доступное для широкого кру-
га специалистов изложение основных вопросов строительной механики сыпу-
чих тел и ее практическое приложение. При этом автор ограничился рассмот-
рением вопросов только статики и кинематики сыпучих тел, так как нопросы
динамики детально разработаны в монографии Г. А. Гениева и М. И. Эстрийа,
вышедшей в 1972 г. [24], а также в книгах Н. К. Снитко [112] и Г. И. Глуш-
кова [28].
При рассмотрении каждого вопроса в книге сначала приводятся строгие
в математическом смысле решения, а затем их упрощенные варианты, полу-
чившие широкое практическое распространение. Такая последовательность из-
ложения облегчает оценку тех дополнительных допущений, па которых построе-
ны различные упрощенные решения.
По сравнению с первым изданием, вышедшим в свет в 1956 г., книга ко-
ренным образом переработана и дополнена с учетом развития механики сыпу-
чих тел за истекшие 20 лет.
Автор приносит благодарность д-ру техи. наук, пр оф. Г. А. Гениеву за цен-
ные замечания, сделанные при рецензировании рукописи.
ВВЕДЕНИЕ
§ 1. ПРЕДМЕТ И ЗАДАЧИ СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКИ
СЫПУЧИХ ТЕЛ
Существует ряд физических тел, состоящих из множества от-
дельных более или менее однородных частиц (песчаные и гравелис-
тые грунты, дробленый уголь, цемент и другие зернистые и порош-
кообразные материалы), которые по физическим свойствам занимают
промежуточное положение между твердыми телами и жидкостями
и называются сыпучими телами или просто сыпучими.
Сыпучие тела отличаются от твердых подвижностью частиц,
способностью сохранять форму только в известных пределах, свой-
ством оказывать давление на ограждающую поверхность, неспособ-
ностью или незначительной способностью сопротивляться растяже-
нию и тем, что их способность сопротивляться сдвигающим усили-
ям находится в зависимости от действующих сжимающих сил. Жид-
кости отличаются от сыпучих тел большей подвижностью частиц,
отсутствием постоянной формы я еще меньшей способностью со-
противляться сдвигающим усилиям.
Частицы сыпучего тела могут быть однородными или разнород-
ными по материалу, размерам и форме, иметь все три измерения
одного или разных порядков, гладкую или шероховатую поверх-
ность. Частицы могут находиться в упругом или пластическом со-
стоянии и обладать той или иной степенью прочности. Форма частиц
сыпучего может быть самой различной. Промежутки между части-
цами, называемые порами могут быть заполнены воздухом, водой
или каким-либо цементирующим веществом.
Механика сыпучих тел занимается изучением взаимодействия
их с другими физическими телами, а также взаимодействием их
частиц и возникающих при этом сил и перемещений.
Строительная механика сыпучих тел содержит изложение
способов определения давления и сопротивления сыпучего тела при
различных воздействиях на него со стороны сооружения и нагрузки.
Как известно, в механике твердых упругопластических тел раз-
личают два основных иаправлеиия. Первое, принятое в сопротивле-
нии материалов и строительной механике, характеризуется введе-
нием некоторых упрощающих допущений, которые позволяют ре-
шать ту или иную задачу элементарным путем, не прибегая к слож-
ному математическому аппарату. Для второго направления, при-
нятого в теории упругости и пластичности, характерно выдвижение
на первый план возможно большей математической строгости реше-
ния, что в большинстве случаев требует применения сложных и
точных математических методов.
В механике сыпучих тел также можно наметить два направления.
К первому следует отнести теории, построенные на допущении о той
или иной форме поверхности скольжения, позволяющие получить
4
решение многих важных практических задач элементарным путем.
Второе направление, которое назовем теорией сыпучей среды, ис-
ходит из дифференциальных уравнений равновесия и условий со-
стояния для каждой точки рассматриваемого объема сыпучей среды.
Граница между этими двумя направлениями механики сыпучих тел
не может быть четко проведена и не стабильна. Некоторые решения
задач механики сыпучих тел занимают промежуточное положение
между указанными двумя направлениями и могут быть отнесены
к любому из них.
По мере развития механики сыпучих тел решения теории сыпу-
чей среды, подтверждающиеся опытом, должны переходить в об-
ласть строительной механики сыпучих тел, заменяя решения, по-
строенные на более грубых допущениях. Однако отказаться от них
совсем было бы неправильным по следующим причинам.
Во-первых, применение на практике многих решений теории
сыпучей среды оказывается чрезмерно сложным и приводит в то же
время к результатам, очень мало отличающимся от тех, которые по-
лучаются при расчетах элементарными методами.
Во-вторых, преследуя цель сохранить математическую строгость
решения, теория сыпучей среды не всегда отражает все основные
стороны физических явлений, происходящих в реальных сыпучих
телах. Учесть же все эти явления, подвергнув их строгому матема-
тическому описанию, оказывается слишком сложным. Поэтому стро-
гая теория сыпучей среды во многих случаях не дает ответа на во-
просы, поставленные строительной практикой, или расходится
с действительностью; в этих случаях неизбежно приходится поль-
зоваться упрощенными решениями, приближенно учитывающими
ряд важных факторов и оправдывающими себя на практике.
Параллельно с развитием теории сыпучей среды будут разви-
ваться н упрощенные методы строительной механики сыпучих тел.
При этом они не могут ограничиваться изучением сыпучих тел,
находящихся в состоянии предельного равновесия, как это было
до последнего времени. Необходимо исследовать сыпучие тела в со-
стоянии стационарного, т. е. устойчивого или упругого, равновесия
а также в состоянии движения. В этом направлении уже сделаны
первые шаги, имеющие большее практическое значение.
При решении задач предельного равновесия по существу рассма-
тривается стадия разрушения сыпучего тела, поэтому в механике
твердых деформируемых тел этой категории задач соответствуют
задачи, исследуемые в теории предельного равновесия н в теории
пластичности. При этом решение оказывается в большинстве слу-
чаев возможным без рассмотрения деформаций и перемещений сыпу-
чего тела. В качестве основных механических характеристик по-
следнего в расчетные формулы входят значения объемной массы,
внутреннего трения и сцепления. Типичной задачей этой катего-
рии будет задача об определении давления иа подпорную стену,
получившую незначительное смещение, вследствие которого сыпучее
тело, поддерживаемое подпорной стеной, пришло в движение.
5
Решение задач теории упругого равновесия сыпучего тела, во-
обще говоря, невозможно без рассмотрения его деформаций и пере-
мещений, т. е. без принятия того или иного закона упругости.
К числу таких задач относится определение давления сыпучего на
подпорную стену или на подземное сооружение, находящееся в со-
стоянии упругого равновесия.
Так же как и остальные разделы механики, механика сыпучих
тел опирается на опыты, которые позволяют осветить физическую
сторону явлений и процессов, происходящих в сыпучих телах, и
обосновать те или иные предпосылки и допущения. Следует иметь
в виду, что только из опыта могут быть получены для разных сыпу-
чих тел числовые значения физико-механических характеристик,
входящих в расчетные формулы. Значение опыта в механике сыпу-
чих тел еще большее, чем в других разделах механики, так как яв-
ления и процессы, происходящие в сыпучих телах, сложнее, чем
в твердых или жидких, и менее изучены.
Строительная механика сыпучих тел, являясь одним из разделов
строительной механики, раньше была составной частью предмета
строительной механики стержневых систем. С развитием механики
грунтов и ее выделением в самостоятельную дисциплину механика
сыпучих тел прочно вошла в нее как один из методов исследования
механических явлений, происходящих в грунтах.
В современной механике грунтов кроме расчетной механиче-
ской модели сыпучего тела находит применение также и ряд других
моделей, например упругое тело, пластическое тело, грунтовая
масса и др. Отсутствие единой расчетной модели в механике грунтов
объясняется многообразием свойств природных грунтов и их спо-
собностью приходить в различные состояния в зависимости от влаж-
ности, температуры, нагрузки и др. Применение той или иной меха-
нической модели зависит от рода и состояния грунта.
Однако хотя роль механики сыпучих значительно шире, чем
изучение одной из механических моделей, используемых в механи-
ке грунтов, грунты являются важнейшими объектами, к которым
применяют методы механики сыпучих тел.
Кроме грунтов решения строительной механики сыпучих тел
применяют и к другим сыпучим материалам и продуктам сельского
хозяйства, например к цементу или зерну при расчете хранилищ.
§ 2. КРАТКИЙ ОЧЕРК РАЗВИТИЯ
СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКИ СЫПУЧИХ ТЕЛ
Возникновение и развитие механики сыпучих тел, так же как
и других разделов механики, связано с развитием техники.
Известно, что начало строительной механики как самостоятель-
ной дисциплины положено работами Леонардо да Винчи (1452—
1519 гг.) и Галилео Галилея (1564—1642 гг.). Несколько позднее,
в XVII в., зарождается и механика сыпучих тел, связанная с зада-
чами строительства и фортификации.
6
Новые задачи возникли перед строительной механикой, в част-
ности перед механикой сыпучих тел, начиная с 30-х гг. XIX столе-
тия в связи с возникшими требованиями железнодорожного транс-
порта, обусловленными строительством мостовых опор и возведе-
нием насыпей для железнодорожного полотна. В течение второй
половины XIX в. строительная техника продолжала совершенство-
ваться в направлениях, которые требовали дальнейшего интенсив-
ного развития механики сыпучих тел (строительство плотин, боль-
ших мостов, набережных и зданий).
В Советском Союзе строительная механика сыпучих тел полу-
чила большее развитие в связи с задачами, поставленными перед
строителями пятилетними планами, для выполнения которых по-
требовалось решение ряда сложных проблем, относящихся к грун-
там и другим сыпучим телам.
Огромное влияние иа развитие механики сыпучих тел оказало
гидротехническое строительство, начатое по плану ГОЭЛРО, при-
нятому на VIII съезде Советов (22/ХП 1920) по инициативе В. И. Ле-
нина. Возведение крупнейших по тому времени гидроэлектростан-
ций: Волховской, Земо-Авчальсксй, обеих Свирских, Днепровской
и др., строительство Беломорско-Балтийского канала, канала имени
Москвы, крупнейших водозаборных сооружений, а также быстрое
развитие промышленного и транспортного строительства вызвали
необходимость дальнейшей разработки механики сыпучей среды
в направлении изучения давления грунта иа подпорные стены и ус-
ловий устойчивости откосов и прочности оснований. Опыт специа-
листов — строителей и проектировщиков обогатил теорию сыпучих
тел и особенно механику грунтов, которая начиная с 20-х гг. стала
быстро развиваться и достигла больших успехов. При этом теоре-
тическая разработка механики сыпучих тел в СССР шла параллель-
но с экспериментальными исследованиями.
Первые опубликованные исследования по механике сыпучего
тела относятся к концу XVII в. Эти исследования проводились
с целью определить давление, оказываемое засыпкой иа подпорную
стену. Одной из первых работ в этом направлении была работа
М. Бюлле (1691 г.). В ией принято допущение, что при сдвиге стены
сползет некоторая часть сыпучего тела по плоскости естествен-
ного откоса, проходящей через заднее нижнее ребро степы. Несмо-
тря на очевидную ошибочность этого допущения, в самом методе
содержатся и рациональные положения — о сдвиге стены, о сполза-
нии некоторой части сыпучего тела и о плоскости скольжения, ко-
торые, несомненно, помогли Ш. Кулону достаточно точно решить
эту же задачу в 1773 г. Ш. Кулон базировался иа этих допущениях
и, кроме того, использовал принцип предельного равновесия, при-
мененный в 1638 г. Г. Галилеем для определения несущей способно-
сти балок при изгибе, а также закономерности статического трения,
установленные опытным путем А. Амонтоном в 1699 г.
Для частного случая, когда засыпка ограничена горизонталь-
ной плоскостью, а задняя грань стены вертикальная и абсолютно
7
гладкая, Ш. Кулон предложил определять давление земли на стену
исходя из предельного равновесия призмы, сползающей по неко-
торой плоскости, наклон которой выбирается из того условия,
чтобы реакция стены оказалась наибольшей. При этом Ш. Кулон
не столько стремился найти истинную плоскость скольжения,
сколько заботился о том, чтобы не преуменьшить расчетное дав-
ление на стену по сравнению с фактическим. Работа Ш. Кулона,
представляющая собой синтез предложений Г. Галилея, М. Бюле
и А. Амонтона, была большим шагом вперед и не потеряла своего
зачения до настоящего времени.
Теория III. Кулона впоследствии развита Ж- Понселе (1840 г.),
К. Кульманом (1866 г.), Г. Ребханом (1871 г.) и М. Леви (1883 г.),
которые распространили ее иа случай шероховатой стены с на-
клонной и ломаной ограждающей поверхностью при произвольном
очертании поверхности засыпки. В своих исследованиях они пре-
имущественно использовали графический метод. Эта теория получи-
ла завершение в работах А. И. Прилежаева (1908 г.), В. П. Скрыль-
никова (1927 г.), И. П. Прокофьева (1928 г.), Н. И. Безухова
(1934 г.), В. В. Синельникова (1946 г.), И. А. Симвулиди (1934 г.),
Г. А. Дубровы (1947 г.), М. Г. Бескина (1954 г.) и др.
Различные пространственные задачи, связанные с давлением
грунтов на ограждения, решены Б. Н. Жемочкиным (1951 г.),
Г. И. Глушковым (1951 г.), В. И. Титовой (1951 г.), Б. В. Бобрико-
вым (1952 г.), П. В. Дергачевым (1959 г.) и др.
Наряду со всесторонней разработкой теории давления сыпу-
чего тела, основанной на допущениях Кулоиа—Понселе, разрабо-
таны и другие методы определения давления на подпорные стены.
Среди них особого внимания заслуживают предложения Е. А. Гав-
рашенко (1937 г.), Ф. М. Шихиева (1955 г.) и М. Е. Кагана (1960 г.),
которые рассматривали условия равновесия элементарного слоя сы-
пучего тела за подпорной стеной и получили криволинейные эпюры
давления на ограждения. Дальнейшее уточнение в этом направ-
лении сделано 3. В. Цагарели (1962 г.), который принял объемлю-
щую поверхность скольжения криволинейной и в наибольшей сте-
пени приблизил расчетные эпюры давлений к экспериментальным.
Развитие строительной техники привело к увеличению давлений,
передаваемых на грунт от сооружений. В ряде случаев возникла
необходимость возводить их на слабых грунтах. Это поставило
перед специалистами по механике сыпучих тел новую задачу —
определение глубины заложения фундамента из условия прочности
основания.
Приближенное решение этой задачи предложено в 70-х гг. про-
шлого столетия Г. Е. Паукером. Пионером в области эксперимен-
тального исследования этого вопроса был В. И. Курдюмов, который
в 1889 г. впервые произвел опытное исследование движения частиц
песка под загруженной моделью фундамента и рядом с ней. Опыты
В. И. Курдюмова и его последователей, среди которых в первую оче-
редь необходимо отметить Н. П. Пузыревского (1929 г.) и И. В. Яро-
8
польского (1933 г.), показали, что формула Г. Е. Паукера приво-
дит к неверным результатам, так как Паукер не учел такой важный
фактор, как ширину фундамента. Вопрос о прочности грунта
под фундаментом требовал дальнейшей разработки, и формула
Г. Е. Паукера последовательно заменялась более совершенными
формулами, предложенными П. К. Янковским, Н. П. Пузыревским
С. И. Белзецким, Н. М. Герсевановым и др.
Дальнейшее развитие теория прочности оснований получила
в работах В. В. Соколовского (1939 г.), В. Г. Березанцева (1952 г.),
М. И. Горбунова-Посадова (1939 г.), М. В. Малышева’ (1951 г.),
П. Д. Евдокимова (1956 г.), В. С. Христофорова (1951 г.), А. С. Стро-
гонова (1968 г.) Н. Н. Маслова и др.
Вопросы устойчивости откосов, важные для гидротехнического,
железнодорожного и автодорожного строительства и для горных
работ, рассмотрены в 1930 г. Г. Креем и В. Феллениусом, которые
предложили, в частности, принимать поверхность скольжения круг-
лоцилиндрической. Одиако для нахождения наиболее «опасной
поверхности скольжения» они дали только способ повторных по-
пыток. Коренное упрощение расчетов путем составления таблиц
и графиков сделано М. М. Сокольским в 1937 г. В дальнейшем раз-
витие этого вопроса дано в работах М. Н. Гольдштейна (1938 г.),
Г. М. Шахунянца (1948 г.), Б. М. Ломизе (1954 г.) Н. Н. Маслова.
Советскими учеными детально разработай и другой важный для
гидротехнического и дорожного строительства вопрос о расчете
тонких и массивных заглубленных стен, рассмотренный ранее
Г. Креем. Следует отмстить работы И. П. Прокофьева, а также
А. А. Каншина и Н. И. Буданова, положившие в 1928 г. начало тео-
рии расчета заглубленных стен под действием горизонтальных сил.
Эта теория развита и дополнена С. С. Давыдовым (1937 г.),
И. В. Урбаном (1939 г.), Д. В. Ангельским (1937 г.), С. М. Кудри-
ным (1936 г.), Б. Н. Жемочкиным (1948 г.), Л. М. Емельяновым
(1948 г.), Г. И. Глушковым (1951 г.), В. Б. Гуревичем (1961 г.),
В. С. Кирилловым (1963 г.), В. С. Христофоровым (1948 г.),
Г. С. Шпмро (1962 г.) и др.
Большой вклад в теорию расчета тонких и массивных заглублен-
ных стен сделан Н. И. Безуховым (с 1934 г.), который в ряде работ
дал общее решение задачи об устойчивости, прочности и жесткости
таких стен при произвольном их профиле, при произвольной форме
в плане и при любом законе изменения коэффициента постели грун-
та по глубине.
В этих работах уже содержатся в четко оформленном виде основ-
ные идеи современной методики предельных состояний о рассмотре-
нии трех различных предельных состояний сооружения и расчлене-
нии коэффициента запаса на его составные части. Интересно, что
эта плодотворная идея зародилась именно в строительной механике
сыпучих тел.
Задача об определении давления на дно и стены цилиндриче-
ского или призматического хранилища сыпучего впервые решена
9
X. Янсеном в 1895 г. на основе допущения, что в каждой горизон-
тальной плоскости вертикальное давление распределено равно-
мерно. Более точные решения даны Л. М. Емельяновым (1940 г.),
Е. М. Гутьяром (1935 г.). Я- Б. Львиным (1957 г.), Н. П. Плато-
новым (1959 г.) и др.
Динамические явления, происходящие в сыпучем теле при исте-
чении его из отверстия, впервые обнаружены С. Г. Тахтамышевым
в 1940 г.
Проблема определения нагрузок на подземные сооружения тесно
связана с механикой сыпучих тел. Первая попытка определения
нагрузки на подземные сооружения на основе гипотезы о возник-
новении над выработкой разгружающего свода непосредственно из
породы, воспринимающего давление вышележащих масс ее, принад-
лежит В. Риттеру (1879 г.). Дальнейшее развитие эта гипотеза по-
лучила в работах Ф. Энгессера, О. Коммереля и особенно
М. М. Протодьяконова (1908 г.), который применил к горным по-
родам методы механики сыпучих тел.
Начало другому направлению в механике сыпучих тел, которое
будем условно называть теорией сыпучей среды, положено в 1857 г.
В. Ревкиным. Он рассмотрел предельное напряженное состояние
весомого сыпучего тела, занимающего половину пространства,
т. е. образующего бесконечный в трех направлениях массив, огра-
ниченный сверху плоскостью. Результатами, полученными для од-
нородного массива сыпучего тела, В. Ренкин без достаточного на
то основания предложил пользоваться н в тех случаях, когда эта
однородность нарушена устройством подпорной стены. Некоторые
дополнения к теории В. Ренкина даны в работах М. «Леви (1883 г.),
Е. Винклера, О. Мора и А. Фельми (1937 г.).
Дальнейшее развитие эта теория получила в работах Ф. Кёттера
(1909 г.), который свел задачу о разыскании действительной
формы поверхности скольжения к вариационной задаче, и в работах
Л. Прандтля (1920 г.), Г. Рейснера (1925 г.), А. Кано (1934 г.)
и др. К этому же направлению в механике сыпучих тел примыкает
и оригинальная работа Н. П. Пузыревского (1929 г.), в основу
которой он положил дифференциальные уравнения равновесия
плоской задачи теории упругости. При этом вместо условия нераз-
рывности деформаций он ввел допущение о том, что касательное на-
пряжение в данной точке будет некоторой функцией полярного уг-
ла, определяющего положение этой точки по отношению к началу
координат.
Таким образом, в работе Н. П. Пузыревского уже содержится
идея простого радиального распределения напряжений в грунте,
развитая впоследствии Н. Н. Ивановым, Ж- Гриффисом, О. Фрели-
хом и др.
Впервые высказав мысль о динамическом характере давления
грунта, изменяющегося во времени, Н. П. Пузыревский вывел про-
стые расчетные формулы для определения давления грунта в состоя-
10
нии наибольшей разрыхленности и в стационарном состоянии. Эти
формулы приводят к результатам, достаточно хорошо отвечающим
данным опытов и наблюдений. Работы Н. П. Пузыревского продол-
жены И. В. Яропольским, который в 1933 г. экспериментальным
путем установил, что давление, оказываемое сыпучим телом на под-
порную стену, зависит от ее перемещения. Обработав эксперимен-
тальные данные, ои установил математическую зависимость меж-
ду этими величинами. Аналогичные исследования проведены в боль-
шом масштабе К- Терцага.
К концу 30-х гг. текущего столетия почти все важные в прак-
тическом отношении задачи предельного равновесия сыпучего тела
были решены методами строительной механики, т. е. на основе раз-
личных допущений относительно формы поверхности скольжения.
Несмотря на это, общий метод строгого решения задач теории пре-
дельного напряженного состояния сыпучей среды, начало которой
положено В. Ревкиным, в это время еще ие был разработан. Даль-
нейшие шаги и а этом пути сделаны в 1936—1941 гг. К. В. Самсо-
новым и В. И. Новоторцевым, которые, не прибегая к сложному
математическому аппарату, получили ряд важных решений. В част-
ности, В. И. Новоторцев разработал метод расчета устойчивости
оснований сооружений при действии вертикальных и горизонталь-
ных сил и наличии пригрузки иа поверхности рядом с сооружением,
т. е. решил задачу в более широкой постановке, чем она была
в 1920 г. решена Л. Прандтлем. Работы В. И. Новоторцева, разви-
тые П. Д. Евдокимовым, положены в основу метода расчета устой-
чивости оснований сооружений, рекомендованного СНиП II-Б.3-62
(Основания гидротехнических сооружений).
В 1942 г. В. В. Соколовский опубликовал монографию «Статика
сыпучей среды» [115], представляющую собой обобщение ряда его
статей, вышедших в свет в 1939 г. В работах В. В. Соколовского
содержится разработка общего метода решения основных задач ста-
тики сыпучей среды, находящейся в предельном напряженном со-
стоянии. Показав, что задачи о давлении земли иа подпорную сте-
ну и об устойчивости оснований и откосов представляют собой
частные случаи одной задачи, В. В. Соколовский свел решение
к интегрированию системы дифференциальных уравнений. Для ре-
шения этой системы уравнений В. В. Соколовским использован
метод характеристик, разработанный С. А. Христиановичем.
В 1945—1948 гг. С. С. Голушкевичем (291 разработан графиче-
ский метод решения основных задач предельного равновесия сыпу-
чей среды, основанный на графическом интегрировании дифферен-
циальных уравнений. Метод С. С. Голушкевича может рассматри-
ваться как синтез методов теории предельного напряженного состоя-
ния сыпучей среды и графических методов строительной механики
сыпучего тела.
Успешно продолжена и развита теория В. В. Соколовского в тру-
дах В. Г. Березанцева [3], Г. А. Гениева [24], М. В. Малышева [841,
К- В. Руппенайта [104], С. А. Строганова [117] и многих зарубеж-
11
Пых ученых — Е. Дембицкого, Ю. Кравченко, Р. Негре, Р. Си-
биля, Б. Монтеля, П. Ститца, Ж- Биареза, Ж. Жнру и др.
Значительное развитие графических методов и построений, пред-
ложенных С. С. Голушкевичем, и распространение их на многие
важные и сложные частные случаи сделано в ряде работ Ф. М. ТПи-
хиевым и П. И. Яковлевым, которые, кроме того, получили нз этих
построений значительно более удобные и точные аналитические
решения.
Теория предельного равновесия сыпучей среды, даже в ее стро-
гом варианте, отражала лишь одну статическую сторону проблемы
и исключала из рассмотрения деформации и перемещения. Такая
теория оказывалась мало пригодной для расчета сооружений по
перемещениям и на трещиностойкость.
Некоторые задачи теории деформаций сыпучего тела впервые
поставлены в 1876 г. Ж- Буссинеском, сделавшим попытку опреде-
лить давление сыпучего тела на подпорную стену, находящуюся
в состоянии упругого равновесия с учетом ее перемещений.
П. А. Миняевым в 1916 г. впервые иа основе эксперименталь-
ных данных показано, что теория упругости может быть применена
для определения напряжений и деформаций сыпучих тел. Подня-
тые им вопросы получили (начиная с 20-х гг.) решение в работах
К- Терцаги, Н. М. Герсеванова, Г. И. Покровского, Н. А. Цыто-
вича [137], В. А. Флорина [127], Д. Е. Полыпина [26], И. И. Черкасо-
ва [138], Ф. М. Шихиева [1411 и др. Своими экспериментальными
и теоретическими исследованиями они осветили ряд узловых
вопросов физики и механики грунтов, связанных с деформациями
последних.
Для определения давления грунта в состоянии покоя и от вре-
менной нагрузки на его поверхности Е. А. Гаврашенко (1937 г.),
В. Е. Головенчицом (1940 г.), Г. И. Глушковым (1954 г.), П. П. Ар-
гуновым, О. Я- Шехтер, Т. А. Маликовой и др. использованы ре-
шения теории упругости для полупространства, полуплоскости и
четвертьплоскости.
Для определения давления засыпки в зависимости от перемеще-
ний подпорной стены различные способы предложены Н. Н. Дави-
денковым (1933 г.), Г. И. Покровским (1937 г.), В. Н. Быковским
(1958 г.), Г. А. Дубровой (1963 г.), Р. В. Лубеновым и П. И. Яков-
левым (1964 г.), В. Ф. Раюком (1965 г.) и др.
Учет совместности перемещений стены, ее основания и засыпки
впервые разработан Н. К- Снитко (1959 г.) на основе допущения,
что в состоянии упругого равновесия в засыпке возникает плоскость
скольжения, соответствующая теории III. Кулона. Другое решение
этой же задачи, в котором последнее допущение ие было использо-
вано, предложено автором в 1963 г. и развито И. М. Беспрозванной
в 1967 г.
Наиболее полный учет всех действующих при этом факторов сде-
лан в работе В. Т. Бугаева, выполненной под руководством
Ф. М. Шихиева в 1972 г.
12
Однако в кинематической теории сыпучего тела, так же как и
в теории предельного равновесия, сыпучее тело рассматривается
в качестве сплошной среды, что дает право пользоваться в расчетах
понятием о напряжении, дифференциальными уравнениями рав-
новесия и условиями неразрывности деформаций.
Другой путь состоит в рассмотрении дискретной зернистой
структуры сыпучего тела и применении к его исследованию стати-
стического метода. На этой основе Г. И. Покровским (1937 г.)
создана так называемая «контактная теория», позволившая уста-
новить связь между давлением, производимым на сыпучие тела,
и их деформациями. Эта теория развита М. Н. Троицкой в 1947 г.
Исследованию механических свойств сыпучего тела на основе
экспериментов, теории систем с односторонними связями и стати-
стической механики посвящены работы М. С. Бернштейна и А. Г. Им-
мермана [6], Р. А. Муллера [88], И. И. Кандаурова [60], и И. Т. Сер-
геева [105]. Ими изучены явления, происходящие в местах кон-
тактов структурных элементов сыпучего тела, и дано описание
этих явлений иа основе формул математической статистики. Так
решены задачи о распределении давлений в сыпучих телах, о дав-
лении их на ограждения и др.
Несмотря на большие успехи, достигнутые в дискретной теории
сыпучего тела, она пока еще ие находит широкого практического
применения, так как, во-первых, еще ие свободна от ряда положений
и допущений, взятых из теории сплошной среды, и, во-вторых,
пока еще нет достаточно надежных способов экспериментального
определения значений механических характеристик сыпучего тела,
входящих в расчетные формулы дискретной теории. Это заставляет
отдать предпочтение более разработанной и лучше освоенной теории,
в которой сыпучее тело рассматривается в качестве сплошной
среды.
Несмотря иа свою более чем двухвековую историю, механика
сыпучих тел еще находится в периоде интенсивного развития и еще
не свободна от многих «белых пятен» и противоречий как в области
основных положений, так и в практических методах расчета.
Глава 1
МЕХАНИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА СЫПУЧИХ ТЕЛ
§3.	КРУПНОСТЬ, ФОРМА ЧАСТИЦ,
зерновой состав и однородность сыпучих тел
Крупность частицы сыпучего тела характеризуется наибольшим
ее размером — длиной с, выраженной в миллиметрах. Так, напри-
мер, крупность зерен ржи составляет в среднем 7,86 мм, а пшени-
цы — 6,84 мм.
Форма частицы определяется соотношением между ее длиной а
и поперечными размерами b и с. Для зерен ржи последние два раз-
мера составляют в среднем 2,64 мм, а для пшеницы — 3,27 мм.
Кроме того, различают частицы угловатые, или острокромчатые,
и округленные.
Зерновым или гранулометрическим составом сыпучего тела на-
зывается относительное содержание в нем частиц различной круп-
ности, выраженное в процентах от общего веса пробы. Зерновой со-
став сыпучего тела устанавливается последовательным просеиванием
или грохочением взятой пробы через ряд решет или сит с отверстия-
ми разной величины. При этом взятая проба разделяется на фрак-
ции, каждая из которых включает все частицы между установлен-
ными для данной фракции наименьшим и наибольшим размерами.
Класс фракции определяется размерами отверстий двух сит: того,
через которое прошла данная фракция, и того, иа котором она
задержалась. Процентное содержание фракций, лежащих выше сита
с отверстиями данного размера, в общем
весе взятой пробы называется выходом дан-
ной фракции сверху.
Таким образом, зерновой состав сыпу-
чего тела выражается процентным весовым
содержанием отдельных фракций. Он мо-
жет быть изображен в виде графика
(рис. 1), на котором по оси абсцисс от-
кладываются размеры отдельных фракций
или их логарифмы (иногда в процентах от
размера наибольшей частицы), а по оси ор-
динат— выход сверху отдельных фракций
в процентах от веса всей пробы.
Совокупность частиц размером от наи-
большего Gmax Д° 0,8 стах называется
группой наибольших частиц. Процентное
содержание этой группы в исследуемой
пробе обозначено на рис. 1 буквой А.
По степени однородности состава раз-
личают рядовые сыпучие тела, когда от-
14
ношение размеров наиболь-
ших и наименьших частиц
-£55 > 2,5, и сортированные,
Cmln
когда < 2,5.
йго!п
В каждом сыпучем теле
имеются частицы, размер ко-
торых наиболее типичен для
данного сыпучего тела. Наи-
более типичными размерами
рядовых сыпучих тел счи-
таются:
размер, составляющий 0,8
от наибольшего размера ча-
стиц, если группа наиболь-
ших частиц составляет ме-
нее 10%:
£Хт=0,8аП1ах,	(1-1)
наибольший размер ча-
стиц, если группа наиболь-
ших частиц превышает 10%
(йт = Стах)*
Для сортированных сыпу-
чих тел типичным будет сред-
ний размер частиц
flmax+^mln ..
.	(1.2)
В зависимости от разме-
ров частиц сыпучие тела раз-
деляются на категории, при-
веденные в табл. 1.
Пылеватые сыпучие тела
не могут быть разделены на
фракции просеиванием. Для
этого применяется гидравли-
ческий анализ.
Для грунтов принята сле-
дующая классификация ми-
неральных частиц по их
крупности (табл. 2).
Крупнообломочные и пес-
чаные грунты в зависимости
от гранулометрического со-
става подразделяются в СНиП
11-15-74 на виды, указанные
в табл. 3.
ТАБЛИЦА 1. КЛАССИФИКАЦИЯ
СЫПУЧИХ ТЕЛ ПО КРУПНОСТИ
ЧАСТИЦ
Сыпучие тела	Типичный размер частиц, мм
Крупнокусковые .	Более 160
Среднекусковые	160—60
Мелкокусковые . .	60—10
Зернистые ..."	10-0,5
Порошкообразные	0,5—0,05
Пылеватые ....	Менее 0,05
ТАБЛИЦА 2. КЛАССИФИКАЦИЯ
МИНЕРАЛЬНЫХ ЧАСТИЦ ГРУВТОБ
ПО КРУПНОСТИ
Частицы	Размер частиц, мм
Галечные ....	Более 20
Гравелистые . . .	20—2
Крупные песчаные	2—0,5
Средние	»	0,5—0,25
Мелкие	» Крупные пылева-	0,25—0,05
тые		0,05—0,01
Мелкие пылеватые	0,01-0,005
Глинистые ....	Менее 0,005
ТАБЛИЦА 3. виды КРУПНООБЛО-
МОЧНЫХ И ПЕСЧАНЫХ ГРУНТОВ
Грунты	Распределение частиц по крупности» % от веса
Щебенистый (га-	
лечниковый) . . Дресвяный (гра-	Крупнее 10 мм более 50
вийный) ....	Крупнее 2 мм более 50
Гравелистый песок	Крупнее 2 мм более 25
Крупный	» Песок средней	Крупнее 0,5 мм более 50
крупности . . .	Крупнее 0,25 мм более 50
Мелкий песок . .	Крупнее 0,1 более 75
Пылеватый песок	Крупнее 0,1 менее 75
15
§ 4.	ПОРИСТОСТЬ, ВЛАЖНОСТЬ
И ОБЪЕМНАЯ МАССА СЫПУЧИХ ТЕЛ
Промежутки между частицами или зернами, из которых состоит
сыпучее тело, называются порами. Объем пор, выраженный в до-
лях от общего объема сыпучего тела, принятого за единицу, назы-
вается пористостью. Иногда пористость выражают в процентах.
Пористость сыпучих тел зависит от их гранулометрического соста-
ва, т. е. от относительного содержания частиц различной крупно-
сти, от формы и взаимного расположения частиц и от испытывае-
мого давления.
Отношение объема пор к объему твердого вещества называется
коэффициентом пористости.
Между пористостью и коэффициентом пористости существует
такая зависимость:
или
п
где п — пористость; е — коэффициент пористости.
Коэффициент плотности укладки определяется по формуле
К=1—п=1/1-|-е.	(1.5)
Для воображаемого сыпучего тела, частицы которого представ-
ляют собой шары одинакового диаметра и уложены с наибольшей
возможной плотностью, характеризующейся тем, что каждый шар
расположен в вершине тетраэдра (рис. 2, п) и касается 12 других,
пористость и коэффициент пористости соответственно равны:
п = 0,258, е = 0,352.
Если же шары уложены так, что каждый из них расположен
в вершине куба и соприкасается с другими в шести точках, из кото-
рых четыре лежат в плоскости (рис. 2, б), то п = 0,476 и в = 0,923.
Укладка шаров в первом случае называется плотной, а во втором —
рыхлой.
Могут быть и другие значения коэффициентов пористости при-
родных сыпучих тел, состоящих из частиц неправильной формы-
иногда с разными размерами. Так, например, М. С. Бернштейн и
А. Г. Иммерман [6], производя опыты по варьированию структуры
насыпного песка, получили значе-
ния коэффициента пористости для
песка крупностью 0,2—3 мм, не
рассеянного по фракциям, в пре-
делах от 0,475.до 0,78. Для выде-
ленной фракции !•—3 мм им удава-
лось довести коэффициент пористо-
сти до 0,812 и более.
16
Наиболее плотная структура достигалась, когда песок в виде
«дождя» падал на сосуд, в котором поверхность песка все время
оставалась почти горизонтальной.
Наиболее рыхлая структура песка'"получилась при отсыпании
его с малой высоты из передвижного бункера.
Предельные значения коэффициентов пористости воздушно-
сухого песка также установлены экспериментально Н. В. Костыле-
вой [72]. Наибольший коэффициент пористости — 1,012 в пылева-
том песке при предельно рыхлом состоянии, а наименьший —
0,415 в крупном песке в предельно плотном состоянии. Для приве-
дения песка в предельно рыхлее состояние его отсыпали через во-
ронку в цилиндрический сосуд, а для приведения песка в предель-
но плотное состояние его уплотняли постукиванием в конусо-
образном сосуде, расширяющемся книзу.
Наименьшая пористость в предельно рыхлом состоянии наблю-
дается в неоднородных по гранулометрическому составу песках
средней крупности с окатанными и полуокатанными зернами изо-
метрической формы. В то же время такие пески при уплотнении
сохраняют большую пористость, чем пески с остроугольными и
бесформенными зернами.
Вода, заполняющая целиком или частично промежутки между
частицами сыпучих тел, может быть связанной, свободной или паро-
образной.
Связанная, или гигроскопическая, вода поглощается из окружаю-
щего воздуха и удерживается на поверхности частиц сыпучего
тела в виде пленки силами молекулярного притяжения. Перемеще-
ние этой воды от одной частицы к другой под влиянием давления,
передаваемого сыпучему телу, невозможно.
Свободная вода находится вне радиуса действия молекулярных
сил, связывающих ее с поверхностью частиц сыпучего тела. Эта
вода может перемещаться под действием силы тяжести и сил поверх-
ностного натяжения. Количество свободной воды, содержащейся
в сыпучем теле, зависит от испытываемого им давления.
Парообразная вода, или водяной пар, образуется в порах сыпу-
чего тела и заполняет их даже при самом малом количестве сво-
бодной воды. Кроме того, в самих частицах сыпучего тела может
еще находиться так называемая конституционная влага.
Сыпучие тела, содержащие свободную воду, называются влаж-
ными.
Когда сыпучее тело длительное время находится на открытом
воздухе, свободная вода испаряется и тело переходит в состояние
естественной влажности. Удаление связанной воды возможно
высушиванием сыпучего тела при температуре 105°С до достижения
им постоянного веса. В таком состоянии сыпучее тело называется
сухим.
Влажностью сыпучего тела называется отношение веса содер-
жащейся в нем свободной и связанной воды к весу твердых частиц.
17
Влажность определяется по формуле
г=-3^,
с2
(1.6)
где Gx — вес данного объема сыпучего тела до просушивания; Ga — вес
этого же объема после просушнваиня.
Степень водонасыщенности, т. е. доля заполнения объема пор
водой, определяется по формуле
^РЧ
ерв *
(1.7)
где W — влажность сыпучего тела; е — коэффициент пористости в естествен-
ном состоянии; рв — плотность воды; рч — плотность материала частиц,
которая для органических веществ колеблется в пределах от 1,2 до 1,4 г/см3,
а для большинства минералов, входящих в состав грунта, составляет 2,4—
2,8 г/см3.
Объемной массой сыпучего тела называется масса 1 м3 его в ки-
лограммах. Объемная масса сыпучего тела зависит от плотности
частиц, от пористости и от степени заполнения его водой.
Объемная масса сыпучего тела с порами, заполненными воздухом,
выражается такой формулой:
/1 X Рч
р=р, (!-»)=—-
(1.8)
Объемная масса сыпучего тела с порами, заполненными водой,
Р1=Рч(1— я)4-рвп=
Рч~ЬеРв
1+е ’
(1.9)
Объемная масса сыпучего тела с порами, частично заполненными
водой и частично воздухом,
p8=p,(I-n)(l + W)=&yi±^-).
Ч-е
(1.Ю)
При полном погружении сыпучего тела в воду оно взвешивается
и теряет часть своего веса. Однако потеря в весе составляет не
9,81 яа 10 кН на каждый кубический метр, а меньше, так как вода
вытесняется из занимаемого ею объема только твердыми частицами.
В результате условная объемная масса сыпучего тела, взвешенного
в воде, составляет:
Рв8В = (Рч—Рв) (1—П)= Р.'1 Р” —Р------ту—.	(1. 11)
1-J-E	1+е
Объемные массы различных сыпучих тел с порами, заполненными
воздухом, приведены в табл. 4 (см. ниже, § 6).
18
§ 5.	ДЕФОРМАЦИЯ СЫПУЧИХ ТЕЛ
Как известно, силой в механике называется величина, являю-
щаяся мерой механического взаимодействия материальных тел,
в результате которого происходит изменение кинематического со-
стояния этих тел. Изменение кинематического состояния сыпучего
тела при действии на него каких-либо других тел проявляется в его
деформации, т. е. в изменении его объема и формы.
Следует различать деформации сыпучего тела двух основных
видов — структурные и упругие.
Структурные деформации сыпучего тела заключаются в пере-
мещениях его частиц или их агрегатов как отдельных твердых тел.
Такие перемещения обусловливаются изменяемостью сыпучего
тела как системы, составленной из отдельных элементов при недо-
статочном числе связей у этих элементов, или же разрушением
имеющихся связей. При этом минимально необходимое число свя-
зей для каждой частицы, расположенной внутри сыпучего тела,
равно шести, а каждый контакт между частицами эквивалентен
трем связям. Наибольшее же возможное число связей для частицы
сыпучего тела составляет 12 (если принять, что она, как и другие
его частицы, шарообразной формы).
После приложения нагрузки происходит или переход частиц
сыпучего тела в новое, более устойчивое положение равновесия, или
разрушение сыпучего тела как. системы в результате разрушения
связей между частицами.
Структурные деформации необратимы и носят разрывной харак-
тер, т. е. ие являются непрерывными функциями координат. От
пластических деформаций структурные отличаются тем, что первые
возможны при неизменном объеме, а вторые связаны с изменением
объема.
Упругие деформации сыпучего тела обусловлены обратимыми
и необратимыми деформациями непосредственно зерен. Упругие
деформации неразрывны в пределах объема, занимаемого каждым
зерном. В общем случае упругие деформации могут быть нелиней-
ными.
Соотношение между величинами деформаций различных видов
зависит от материала и формы частиц, а также от степени уплот-
нения сыпучего тела. Так, для сыпучих тел с жестким скелетом,
например для песка, наибольшую величину обычно имеют струк-
турные деформации.
Необходимо отметить, что данный вопрос, впервые рассмотрен-
ный П. А. Миняевым (1914 г.) и Г. И. Покровским (1937 г.), зна-
чительно развитый в последнее время в работах М. Н. Гольдштейна,
Н. Я- Денисова, И. И. Черкасова и Ф. М. Шихиева, еще нуждается
в дальнейшей разработке и требует специального эксперименталь-
ного исследования различных сыпучих тел, в первую очередь зер-
новых.
19
Испытывают сыпучее тело на сжатие в сосуде с жесткими стен-
ками, исключающими возможность бокового расширения. Увеличе-
ние давления на поверхность сыпучего тела приводит к его уплот-
нению, выражающемуся в уменьшении пористости.
Зависимость между давлением, производимым на сыпучее тело,
и его коэффициентом пористости изображается кривой, которая
носит название кривой уплотнения.
В общем случае эта кривая достаточно точно описывается таким
уравнением:
е=С—А (рс+р)1	(1.12)
где р — давление, производимое на сыпучее тело; в — коэффициент пори-
стости; А, С, рс и п — параметры, определяемые из опыта.
Если параметр п оказывается равным единице, то вместо урав-
нения (1.12) нужно применять следующее:
е=С—А 1п(рс-Рр).	(1.13)
Пользуясь формулами (1.12) и (1.13) н выбирая то или иное
значение параметра п, можно получить уравнение прямой (п = 0),
параболы (0 < п < 1), логарифмической кривой (и = 1), обобщен-
ной гиперболы (1 < п < 2) или простой гиперболы (п == 2) (рис. 3).
Логарифмическая зависимость между нагрузкой и деформацией,
пропорциональной изменению коэффициента пористости, представ-
ляет собой лишь одну из математических зависимостей, которые
могут быть использованы для описания компрессионного процесса.
Процесс уплотнения сыпучего тела необратим, так как он связан
главным образом со структурными деформациями. Поэтому кривая
разгрузки, носящая название кривой набухания, не совпадает
с кривой уплотнения, а проходит ниже ее. При повторных загруже-
ниях после разгрузок наблюдается явление гистерезиса вследствие
того, что кривые повторных нагружений не совпадают с кривыми
предыдущих разгрузок, а образуют петли. Это отчетливо видно на
рис. 4, где изображена полученная автором кривая сжатия пшена.
Следует иметь в виду, что частицы сыпучего тела соприкасают-
ся одна с другой не по всей их поверхности, а в отдельных точках
контакта. Поэтому действительные напряжения в этих точках или,
вернее, по этим площадкам во много раз превосходят те средние
напряжения, которые получаются в результате расчета, в основу
которого положена модель сплошной среды. В большинстве случаев
даже при небольших средних расчетных напряжениях действитель-
ные напряжения в контактах настолько велики, что деформация
должна носить пластический характер.
Так, например, по подсчетам И. И. Черкасова 1138], при сред-
нем напряжении в массиве песка 0,1 МПа наибольшее контактное
напряженке будет порядка 2000 МПа. При этом поверхность кон-
тактов между частицами не остается постоянной, а возрастает с
увеличением действующих сил. Все это приводит к нелинейной за-
висимости между силами, действующими на сыпучее тело, него
деформациями и перемещениями.
20
Совершенно другой характер но-
сит зависимость между нагрузкой и
деформацией сыпучего тела при сжа-
тии его в условиях возможности бо-
кового расширения, например при
давлении штампа, установленного на
поверхности сыпучего тела или на
некоторой глубине от нее.
Типичная кривая многократного
нагружения и разгрузки штампа диа-
метром 100 мм, полученная И. И. Чер-
касовым в лабораторном опыте с люберецким песком, представ-
лена на рис. 5.
Осадка штампа при нагружении и разгрузке изображается не-
прерывной кривой с характерными петлями гистерезиса. Если песок
предварительно не уплотнен, то начальный участок кривой всегда
обращен выпуклостью в сторону оси нагрузок и не имеет точек пе-
региба.
При разгрузке штамп несколько поднимается вверх под дейст-
вием упругих сил сыпучего тела, причем возвратное перемещение
характеризуется также кривой линией, кривизна которой, однако,
невелика н непостоянна. Это возвратное движение штампа было
особенно ясно заметно в полевых опытах, где относительная точ-
ность измерений была в 10 раз выше; они подтвердили правильность
результатов лабораторных опытов. Кривые последующих нагру-
жений резко отличаются по виду от кривой первого нагружения
штампа. Их начальные участки почти прямолинейны н наклонены
под большим углом к оси осадок. Прямолинейность графика со-
храняется на всем его протяжении от значения нагрузки, равной
21
нулю, до значений нагрузки, несколько мёиыией той, которая была
приложена к штампу в предшествующем цикле. Далее обнаружи-
вается крутое падение кривой, и осадка штампа при нагрузках,
превышающих предшествовавшую, быстро возрастает, причем опыт-
ные точки ложатся на продолжение кривой первого нагружения.
Общая зависимость между давлением на сыпучее тело и его де-
формацией может быть установлена исходя из самых простых пред-
положений относительно картины передачи давления от одной
частицы к другой через контакты между ними.
Основоположник так называемой контактной теории —
Г. И. Покровский. Его идеи впоследствии развиты М. Н. Троицкой
[1231. Проведенные ею в Дорнии теоретические и эксперименталь-
ные исследования имели целью выяснить зависимость между силой,
действующей па грунт, и его деформациями. Однако прн обработке
экспериментального материала обнаружено, что один из парамет-
ров кривой уплотнения оказывается для данного грунта постоян-
ным лишь в определенном интервале пористости.
Это указывает на недостаточную общность исходного дифферен-
циального уравнения н побуждает сделать попытку дальнейшего
обобщения контактной теории.
В качестве рабочей гипотезы принимается, что в сыпучем теле
давление от одной частицы к другим передается при помощи си-
стемы точек контакта. Чем больше число контактов, тем больше со-
противление сыпучего тела действию сил, т. е. тем меньше деформа-
ции при действии данной силы. Число же точек контакта изменяет-
ся в зависимости от величины силы, увеличиваясь при увеличении
силы благодаря уменьшению пористости и уменьшаясь при возник-
новении различных форм нарушения структуры сыпучего тела.
При сжатии без бокового расширения возможно только умень-
шение пористости, сопровождающееся увеличением числа точек
контакта, т. е. упрочнением системы. Наоборот, при сдвиге увели-
чение силы приводит к уменьшению числа точек контакта и паде-
нию сопротивления сыпучего тела.
Таким образом, увеличение числа точек контакта приводит,
с одной стороны, к увеличению приращения давления dp, необхо-
димого для дальнейшего приращения относительной деформации de,
а с другой — к уменьшению этого приращения давления. В про-
стейшей, но достаточно общей форме этот процесс может быть выра-
жен таким дифференциальным уравнением
de=44(d^+(^bj4	(,М)
где L — величина, характеризующая жесткость сыпучего тела; е — отно-
сительная деформация; рс — начальное уплотнение; р3 — предел несущей
способности.
Дифференциальное уравнение (1.14) отличается оттого, которое
было принято М. Н. Троицкой, лишь наличием показателей степе-
22
нн т н /г, что, однако, делает его более общим и гибким, позволяя
достигнуть лучшего совпадения с данными опытов.
При повторных нагружениях н разгрузках кривизна и наклон
ветвей разгрузки постепенно уменьшаются, петли гистерезиса со-
кращаются, а начальные участки кривых нагружений все бо-
лее выпрямляются. В результате последовательных нагружений
и разгрузок сыпучего тела происходит коренное изменение его
структуры — оно приобретает свойство упругости в большом диа-
пазоне нагрузок. Это явление, названное И. И. Черкасовым упроч-
нением, весьма сходно с явлением так называемого наклепа в ме-
таллах. Интересно, что вибрационное воздействие на песок хотя
и приводит к весьма значительному его уплотнению, но не дает
упрочнения. Наоборот, вибрация снимает упрочнение, созданное
ранее приложенными нагрузками.
Упрочнение возникает исключительно в связи с процессами,
происходящими в контактах, во-первых, вследствие разрушения
острых контактов и замены их тупыми н, во-вторых, благодаря
увеличению при структурных деформациях общего числа контактов
в первом нагружении и более равномерному распределению нагруз-
ки между контактами при последующих нагружениях. Увеличение
числа тупых контактов происходит из-за поворотов н смещений
зерен, стремящихся перейти в более устойчивое положение.
Для завершения структурных деформаций необходимо несколь-
ко последовательных циклов нагружения н разгрузки. Вибрация
же вызывает беспорядочное движение зерен н приводит к изменению
их взаимного расположения. При этом ранее образовавшиеся кон-
такты исчезают и возникают новые. В вибрнруемом сыпучем теле
происходит более плотная укладка зерен, но упрочнение, созданное
предшествовавшим нагружением, снимается, и для его восстанов-
ления требуется после вибрации повторное многократное загру-
жен ие.
Упрочнение в песке возникает и под действием силы тяжести.
В глубинных слоях песок оказывается весьма сильно упрочненным
давлением вышележащей толщи, когда нет бокового расширения.
Сопротивление сыпучего тела растягивающим усилиям обуслов-
лено сцеплением и внутренним трением, действующими между ча-
стицами.
Модуль деформации сыпучего тела выражается как производная
р _ dp — г (Рс+рУ1 (Ps — P)m	.. .г.
de (Pc+p)n+(Ps-P)M ’	’
Интегрирование дифференциального уравнения (1.14) при на-
чальных условиях р = 0, е==0 оказывается возможным лишь для
конкретных значений m н п н приводит при tn^=\ и 1 к сле-
дующему результату:
'"мЬ?	0-16)
23
Частные случаи зависимостей (1.15) и (1.16) изображены на
рис. 6.
а)	Компрессия, т. е. сжатие при невозможности бокового рас-
ширения (рл -> со),
Ec=L(pc-\-p)\	(1.17)
Эта формула показывает, что модуль деформации увеличивается
при увеличении давления
(118)
Это уравнение на рис. 6 изображается кривой 1.
Выразим относительную деформацию через коэффициент пори-
стости при помощи зависимости геометрического характера
где ес — коэффициент пористости, отвечающий давлению рс, т. е. началь-
ный коэффициент пористости; в — коэффициент пористости, отвечающий лю-
бому давлению р.
Получим
е=гс+Л[р‘-"-(Ро + Р)1_"].	(1-20)
где
L(l-n) ’
Введя обозначение для постоянной величины
С=ес+Лрд~л,	(1.21)
получаем уравнение (1.12) кривой уплотнения, соответствующее
экспериментальным данным.
б)	Сдвиг несжимаемого сыпучего тела (рс —> со)
Ея=— d /|	3	 // 27 А /	/ 'V о И—		 РИС. 6	- = L(pB—рУ>.	(1.22) Это выражение показывает, что при сдвиге модуль деформации сыпу- чего тела уменьшается с увеличением давления e“L(m-l)I(Pe“P)l m~~pl	(L23> Этому уравнению соответствует кривая 2 на рис. 6. в) Пластическая деформация (Р = Ре) dp Ет=-^-=0; е-» со (прямая 3 на рис. 6)
24
г) Линейная деформация (рс и рв достаточно велики по срав-
нению с р):
Еу=--------=const;	(1.24)
р?+р?
р Рс+р? _ р
L РЖ е*‘
(1.25)
Эта зависимость изображается прямой 4 на рис. 6, а случаю
одновременного действия сжатия и сдвига соответствует кривая 5.
Интегрирование дифференциального уравнения (1.14) при т = 1
н п = 1 приводит к формулам, предложенным М. Н. Троицкой,
которые сохраняются в силе для данного частного случая.
а)	Сжатие при невозможности бокового расширения:
е ' ln£s±£.	(1-26)
ь Рс
е=С—Л In (Рс+.р),	(1.27)
где
Z = i±^.	(1.28)
б)	Сдвиг несжимаемого сыпучего тела
е=4~1п—(1.29)
L р,—р
в)	Пластическое течение
е -> оо.
г)	Линейная деформация
Так как при вдавливании штампа в сыпучее тело происходят
одновременно сдвиг и сжатие, то модуль деформации, естественно,
оказывается меньшим, чем в случае сжатия при невозможности
бокового расширения.
Исходя из формул (1.17)—(1.25) можно сделать вывод, что мо-
дуль деформации сыпучего тела — величина переменная, изменяю-
щаяся в зависимости от давления и вида деформации в пределах
от 0 до со, а точнее —до значения модуля деформации непосредст-
венно зерен сыпучего тела.
Все зависимости, полученные в этом параграфе, хорошо под-
тверждаются данными опытов. Что касается параметров, входящих
в эти зависимости, то в настоящее время мы пока еще не располагаем
достаточным опытным материалом для того, чтобы можно было
рекомендовать определенные численные значения этих параметров
25
для конкретных сыпучих тел. В этом направлении требуется еще
большая научно-исследовательская работа.
Формулой (1.16) устанавливается в достаточной мере сложная
нелинейная зависимость между деформациями сыпучего тела и дей-
ствующим на него давлением. При использовании этой зависимости
для решения практических задач строительной механики сыпучих
тел встречаются непреодолимые в настоящее время затруднения.
Поэтому целесообразно, .так же как это делается в отношении
твердых тел, заменить действительный график деформации сыпу-
чего тела упрощенным, показанным на рис. 6 пунктирной линией.
Он состоит из двух участков: наклонного, изображающего упругую
стадию сопротивления сыпучего тела, н горизонтального, изобра-
жающего стадию предельного равновесия.
§ 6. СОПРОТИВЛЕНИЕ СЫПУЧЕГО ТЕЛА СДВИГУ.
ВНУТРЕННЕЕ ТРЕНИЕ И СЦЕПЛЕНИЕ
Прочность сыпучего тела, т. е. его сопротивление разрушению,
в основном определяется его сопротивлением сдвигу или срезу.
Сопротивление сыпучего тела растяжению связано с его сопротив-
лением сдвигу, а сопротивление сжатию зависит от прочности ча-
стиц н от тех давлений, которые возникают в местах контакта и
которые, как указано выше, могут достигать очень больших значе-
ний.
Простейший способ определения сопротивления сыпучего тела
сдвигу (срезу) состоит в следующем. Сыпучее тело помещают
в обойму, состоящую из двух частей: неподвижной ннжней и верх-
ней, которая может смещаться в горизонтальном направлении по
сечению I—I под действием сдвигающей силы Т (рис. 7). Нормаль-
но к сечению I—I прикладывается сила Д'. Для измерения горизон-
тальных перемещений устанавливается индикатор. Часто подвижной
делают нижнюю часть, а неподвижной — верхнюю.
Каждый опыт производится при постоянном значении силы N
и при постепенном увеличении силы Т до тех пор, пока не произой-
дет сдвиг одной части сыпучего тела по другой. Опыт повторяется
для различных значений силы Л; и для каждого из них находится
предельное значение сдвигающей силы, т. е. силу сопротивления
сыпучего тела сдвигу Твр.
Результаты опытов показывают, что зависимость между сопро-
тивлением сыпучего тела сдвигу Тпр н силой нормального давления
N имеет вид кривой линии, изображенной на рнс. 8. Так как в этой
линии на всем ее протяжении, кроме начального участка, очень
небольшая кривизна, то для практических целей ее заменяют пря-
мой (показанной на рис. 8 пунктирной линией). Это равносильно
принятию закона Амонтона—Кулона, согласно которому сила со-
противления сыпучего тела сдвигу, складывающаяся из сил вву-
треннего трення и сцепления, выражается формулой
Тщ>=Щ+сГ,.	(1.31)
26
где f — коэффициент внутреннего трения сыпучего тела, равный тангенсу
угла <р внутреннего трення, т. е. f = tg ф нли ф = arc tg f; с — удельное
сцепление, т. е. сила сцепления, приходящаяся на единицу площади F,
по которой происходит сдвиг. Эта величина выражается в кПа или в МПа.
Для получения удельного сопротивления сдвигу нужно отнести
силу сопротивления сдвигу, равную сдвигающей силе Т (1.31),
к единице площади сдвига (F)
tnp = -^E- = otg<p+c=o' tg ф,	(1.32)
Г
где о = -р —давление, нормальное к поверхности сдвига; <г —	—при-
веденное нормальное давление, т. е. с учетом давления, обусловленного вну-
с
тренннми силами сцепления, называемое давлением связности", ио=^-^ —
давление связности.
Зависимость (1.32) может быть изображена графически в виде
графика сдвига, как это показано на рис. 9. При этом, поскольку
величина <то отложена в сторону отрицательных значений о, она
характеризует сопротивление сыпучего тела всестороннему равно-
мерному растяжению. Условие прочности сыпучего тела против
сдвига выражается так:
т •< тпр,	(1.33)
где х — действующее касательное напряжение, принимаемое равномерным
по всей площади сдвига.
Производя геометрическое сложение сил W и Т, как это сделано
на рис. 7, найдем их равнодействующую Р, которая отклоняется
от нормали к поверхности сдвига на угол б. Этот угол называется
углом отклонения.
Тогда Т = N tg б или т = о tg б и условие (1.33) можно пред-
ставить в виде
utgC otg<p-f-c.
Разделив обе части этого выражения на ст, получим
tg б < tg =-^-tg ф.	(1.34)
Для несвязногб сыпучего тела с = 0, и в этом случае формулы
(1.32) и (1.34) переходят в такие:
Тщ)=о1Яф; С < ф.
Для состояния предельного равновесия нли предельного напряжен-
ного состояния в выражениях (1.33) и (1.34) сохраняются только
знаки равенства.
Таким образом, для несвязного сыпучего тела, находящегося
в предельном напряженном состоянии, угол отклонения равен углу
внутреннего трения.
Значения углов внутреннего трения и удельного сцепления раз-
личных сыпучих тел приведены в табл. 4.
27
Опыты с тем же прибором, снабженным индикатором для измере-
ния перемещений, показывают, что до достижения касательными
напряжениями т их предельного значения тпр зависимость между
т и перемещениями сдвига А при постоянном нормальном давлении
а носит характер, близкий к линейному, подобно тому, как это будет
в отношении деформаций упругих тел, т. е.
(1.35)
где А?т — коэффициент пропорциональности, выражающийся в Н/см8.
Зависимость (1.35) изображена графически на рис. 10.
После достижения касательными напряжениями их предельного
значения, которое выражается формулой (1.32), происходит срыв
верхней части прибора с заполняющим ее сыпучим телом, носящий
характер пластической деформации.
28
Применяется и другая аппроксимация закономерности сопро-
тивления сыпучего тела сдвигу, предложенная Н. И. Безуховым
и Г. И. Глушковым н изображенная на рнс. II. Она отличается от
предыдущей тем, что по вертикальной оси откладывается отвлечен-
ная величина отношения т/о, в котором о — постоянная величина.
В пределах первого участка ломаной, соответствующего услов-
ной упругой стадии сил сопротивления сдвигу, принимается сле-
дующая зависимость:
—=иД,	(1-36)
а
где р. = tg Pi — так называемый модуль сопротивления сыпучего тела
сдвигу, имеющий размерность см-1 и зависящий от величины нормального
давления по поверхности контакта.
При достижении некоторого предельного значения величиной,
равной отношению т/о, она принимается постоянной:
— = tg<p+—.	U-37>
а	о
Однако на основании своих опытов Г. И. Глушков пришел к
выводу, что модуль р в сильной степени зависит от величины дав-
ления о по поверхности сдвига, поэтому использование формулы
(1.36) в практических расчетах затруднительно.
Исходя из экспериментальных данных Ф. М. Шихиевым приня-
та зависимость между отношением напряжений т/о и углом сдвига
у, показанная на рис. 12. При этом для предельного угла сдвига
Тпр угол отклонения достигает величины угла внутреннего тре-
ния <р.
В допредельном состоянии принята линейная зависимость между
углом отклонения и углом сдвига, которая, однако, приводит к
нелинейному закону упругости, связывающему четыре константы —
угол внутреннего трения <р, удельное сцепление с, коэффициент бо-
кового давления £0 н критический угол сдвига упр.
Возникновение внутреннего трения в сыпучих телах объясня-
ется, во-первых, тем, что одни частицы входят в углубления между
другими частицами н зацепляются друг за друга, а во-вторых, тем,
что менаду частицами непосредственно на поверхности контакта
возникают силы трения скольже-
ния н прилипания. Трение в массе
сыпучего тела определяется не
только скольжением частиц, а в
значительной мере их качением.
Поэтому угол внутреннего тре-
ния сыпучего тела существенно
отличается от угла статического
сухого внешнего трения скольже-
ния между отдельными твердыми
частиЦамн сыпучего тела.	рис. 12
29
Величина угла внутреннего трения зависит от ряда причин и в
первую очередь от плотности укладки частиц сыпучего тела, от
их формы, размеров, однородности, характера их поверхно-
сти и др.
Более детальные исследования показывают, что сопротивление
сыпучего тела сдвигу находится в зависимости от плотности, влаж-
ности и крупности частиц, а также от величины перемещения.
В начальной стадии, названной М. Н. Гольдштейном стадией
неустановиешегося сдвига, непрерывно изменяется соотношение меж-
ду трением скольжения, трением качения и зацеплением. При этом
область изменения пористости увеличивается при увеличении пере-
мещения. Поэтому и зависимость между сдвигающей силой Т и нор-
мальной силой 7V иа начальном участке графика (рис. 8) носит слож-
ный характер.
Во второй стадии — стадии установившегося сдвига — область
изменения пористости уменьшается и сдвиг происходит только
в пределах тонкого пограничного слоя.
Сопротивление сдвигу по какой-либо площадке F в этой стадии
достаточно точно выражается уравнением (1.31).
Таким образом, внутреннее трение и сцепление сыпучего тела —
величины такого же рода, что и предел текучести или предел проч-
ности твердого тела. Эта аналогия между силами трения и силами
внутреннего сопротивления материалов отмечена Б. В. Дерягиным
[43].
Экспериментальные исследования Г. И. Глушкова [28] показа-
ли, что она идет еще дальше. В опытах Г. И. Глушкова прямоуголь-
ный металлический лоток размером в плане 150 X 52 см и высотой
55 см наполняли песком. На поверхность песка укладывали бе-
тонный блок или металлическую рамку, наполненную песком, ко-
торым давали дополнительную нагрузку сверху, различную в раз-
ных опытах. К блоку нлн рамке посредством троса ступенями при-
кладывали горизонтальное усилие, создаваемое реечным домкра-
том и регистрируемое динамометром. Для измерения перемещений
блоков или рамки применяли индикаторы часового типа, допускав-
шие измерение с точностью до 0,01 мм.
Все без исключения опыты показали, что по мере увеличения
горизонтальных сдвигающих сил наблюдается непрерывный рост
горизонтальных перемещений. Когда эти перемещения достигали
определенной величины, чаще всего 2—3 мм, происходил срыв бло-
ков, после чего наблюдалось равномерное движение их при постоян-
ном значении сдвигающей силы. Зависимость между горизонталь-
ной сдвигающей силой, которая по условию равновесия должна
быть равна силе трения, и величиной горизонтального перемещения
А показана на рнс. 13, где приведены результаты одного из многих
хорошо согласующихся опытов. Из рисунка видно, что при разгруз-
ке блок во всех случаях получал небольшое обратное перемеще-
ние. Это указывает на наличие упругих сил в общем составе сил
трения.
30
В тех опытах, где вместо бетонного блока применяли рамку
с песком, наблюдалось значительное уменьшение сдвигающей силы
после достижения ею предельной величины.
На основании этих опытов Г. И. Глушковым и были предложены
зависимость (1.36) н график, изображенный на рис. 11.
Опыты Н. В. Костылевой [72] с песками разной крупности пока-
зали, что угол внутреннего трения увеличивается с увеличением
плотности песка и с увеличением крупности его зерен. В песках,
однородных по гранулометрическому составу, и в песках с окатан-
ными зернами углы внутреннего трения меньше, чем в песках раз-
нородного состава и песках с неокатаниыми зернами.
Если поры сыпучего тела заполнены каким-либо цементирующим
веществом, то между частицами возникают силы сцепления, препят-
ствующие как взаимному отрыву одной части сыпучего тела от дру-
гой, так и их взаимному сдвигу.
Сцепление между частицами возникает также н в том случае,
когда поры сыпучего тела частично заполнены водой. При этом
у поверхности воды, ограниченной вогнутыми менисками, возника-
ют силы поверхностного натяжения, притягивающие одну частицу
к другой. Поверхностное натяжение и обусловленное им сцепление
тем больше, чем меньше размеры пор.
Некоторое сцепление между частицами сыпучего тела может быть
и в том случае, если поры его заполнены воздухом. Это сцепление,
называемое зацеплением, возникает благодаря тому, что частицы
зацепляются друг за друга своими неровностями и заклинивают друг
друга. Влияние зацепления возрастает с увеличением плотности
сыпучего тела.
Сопротивление сыпучего тела сдвигу в пристенном слое у по-
верхности сооружения подчиняется весьма сложным закономер-
ностям. Поэтому, принимая угол трения между сыпучим телом и
поверхностью сооружения равным углу сухого трения между соот-
ветствующими материалами, необходимо иметь в виду, что это лишь
первое приближение.
Угол трения сыпучего тела о твердое тело не может превосходить
угла внутреннего трения, в противном случае поверхность, ограж-
дающая сыпучее тело, была бы
столь шероховатой, что сдвиг дол-
жен был бы происходить не по
этой поверхности, а по проходя-
щей в непосредственной близости
от нее поверхности внутри сыпу-
чего тела. То же самое относится
и к величине сцепления.
При плотном состоянии тела
сопротивление трения возникает
как результат царапания высту-
пающих острых краев его частиц
по ограждающей поверхности.
РИС. 13
31
Если сыпучее тело рыхлого сложения, то отдельные его частицы
при движении изменяют взаимное положение и сопротивление тре-
ния в этом случае связано с перекатыванием частиц по поверхности
скольжения.
Коэффициент трения стали о грунт нарушенного сложения со-
ставляет, как показывают опыты Ю. А. Ветрова [19], примерно 2/3
от коэффициента трения о грунт ненарушенного сложения.
При изменении нормального давления коэффициент трения не
остается постоянным; он несколько уменьшается с увеличением дав-
ления для грунтов ненарушенного сложения и несколько увеличи-
вается с увеличением давлений для грунтов нарушенной структуры.
Влажность грунта, как показали эти опыты, наиболее существенно
влияет на значение коэффициента трения. В пределах изменения
влажности от воздушно-сухого состояния до максимальной капил-
лярной влагоемкости коэффициент трения стали о грунт может
уменьшиться в два раза и более. Зависимость коэффициента трения
стали о грунт от влажности выражается по предложению Ю. А. Вет-
рова, следующим уравнением:
где W — влажность грунта, %; f0 и А — постоянные параметры, которые,
например для суглинка, будут: f0 ~ 1,01; А = 4,08.
В табл. 4, составленной по различным литературным источни-
кам, приведены некоторые данные об объемных массах, углах тре-
ния и величинах сцепления для различных сыпучих тел.
§ 7. УГОЛ ЕСТЕСТВЕННОГО ОТКОСА,
КОЭФФИЦИЕНТ БОКОВОГО ДАВЛЕНИЯ
И КОЭФФИЦИЕНТ ПУАССОНА
Степень подвижности частиц сыпучего тела зависит от величины
внутреннего трения и сцепления между частицами; она характери-
зуется углом естественного откоса н коэффициентом бокового дав-
ления.
Как известно, твердое тело принимается в механике в качестве
сплошного, обладающего постоянной формой; считается также, что
частицы его неподвижны. Отношение между главными напряжения-
ми в твердом теле может быть каким угодно. В противоположность
этому жидкость обладает весьма значительной подвижностью ча-
стиц, не имеет собственной формы и, будучи налита -на горизонталь-
ную плоскость, растекается. Она принимает форму сосуда, в кото-
рой налита, и оказывает гидростатическое давление на его стенки.
Отношение между главными напряжениями в жидкости равно еди-
нице , так как давление, произведенное на жидкость, передается
одинаково во все стороны.
Сыпучее тело по физическим свойствам занимает промежуточ-
ное положение между твердым телом н жидкостью. Оно обладает
32
Т 1БЛ ИЦА 4. НЕКОТОРЫЕ ФИЗИКО-МЕХАНИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
СЫПУЧИХ ТЕЛ
Сыпучее тело	Объемная масса р, т/ма	Угол внутрен- него тре- ния <р, град	Удельное сцепление в кПа	Угол трения фо, град		
				Материал		бетон
				сталь	дерево	
Агломерат железной ру- ды 		1,7—2	45				
Бобы 		0,6—0,8	32	—	20—25	18—27	24
Гипс крупный . .	1,5	30	—	31—38	—	—
» мелкий .	1,3	40							
Глина мокрая	1,9—2,2	15—25	1	17—20	14	11
» влажная . .	1,7—1,9	25—35	20	22—35	—	17—18
» сухая ...	1,6—1,7	40—45	200	35—45	—	32—33
Глинозем ....	1,1—1,3	28—30	—	23—28	24—26	—.
Горох 		0,8	25—28	—	15—18	15—19	16—19
Гравий мокрый		1,9—2	25—35	—	—	—	22
» сухой 		1,8	35—45	—	37—40			24—31
Гречиха 		0,6—0,7	35	—-	17—27	20—30		
Земля растительная мок- рая 		1,7	28—30	1					...
Земля влажная	. .	1,6	30—45	5	—			—
» сухая 		1,2—1,5 0,85—1,3	28—35	50	37—45			—
» формовочная . . .		30—36	—	25—35					
Зола 		0,4—0,7	40-50			з5~-40			—.
Известь обожженная . .	0,8—1,1	30—45	—	—			
» гашеная в по- рошке 		0,6—0,7	30—45						
Известняк дробленый	1,4—1,7	35—55	—	29 -45	35		
Камень 		1,3—2	37								
Карбид		0,9	28	—.	—				
Клинкер 		1,3—1.5	33			—				
Кокс 		0,35—0,7	30—50			25—28	40		
Конопляное семя . . .	0,5—0,6	30—38			14—24	17—26		
Криолит		0,85—1	30—37	.—	29—35	30—34	
Кукуруза неочищенная	0,7—0,75	28—40	—	20	17—19	23
Крупа манная		0,68	30—35	—	.—.				
Лузга подсолнечная	0,3	50					.				
Льняное семя .	. .	0,65-075	25			19	17—22	22
Мел дробленый	1,4	39					
Мука ржаная ...	0,4—0,55 0.45—0.65	35—50			26—33				
» пшенччная .. ...		30—45			—				
Нефелиновый концентрат	1,1—1,3	31—40	—	27—34	30—31		
Овес ...	0,4—0,5	28-35			22—30	20—38	25
Опилки древесные . . .	0,15—0,3	30—55			21—40			
Отруби ....	0,18—0.45	55			45—55			
Окалина 		1,9—2,1	30—35			. __				
Песок мокрый . .	2	20—25					19	24
» влажный	1,7—1,8	40	—	18	21	25
» сухой* . . .	1,5—1,7 0,42	30—45			25—39	24	29—40
Подсолнух ....		33—45			26			
Просо		0.65—0.85	22—25				17	18		
Пшеница 		0,65—0,8	25—35				22—33	20—30	24
Пыль угольная ....	0,7	15								
Рис ......	0,5-0,8	40			.						
Рожь 		0,65—0,8	25—35	—	18—30	20—35	30
Руда железная ....	2.1-2,“	35—37	—	30—40	—	
2 Зак. 1169
33
Продолжение табл. 4
Сыпучее тело	Объемная масса Р. т/м3	Угол внутрен- него тре- ния ф, град	Удельное сцепление в кПа	Угол трення ф0, град		
				Материал		
				сталь	дерево	бетон
Руда медная 		1,9											
Сахар 		0,7—0,9	50	—	40—45	—	—
Свекловичное семя . . .	0,27—0,2	38	—	—	—	
Селитра 		6,8—1,1	40	—	—	—	—
Сода кальцинированная	0,5—1,25	35-45	—	25—35	—	—
Солод 		0,32—0,56	22	—	—	—	—
Соль поваренная ....	6,7—1,3	30—50	—	26	—	—
Спек дробленый ....	1,4	43—50	—	27—35	31—36	—
Суглинок мокрый . . .	2,1	20-25	1	—	—	—
» влажный . . .	1,9	15-20	10	—	—	.—
» сухой ....	1.6	20—40	100	——	—	—
Сульфат аммония . . .	0,8—0,9	40	—	—	—	—
Торф 	 Уголь каменный несор-	0,3—0,7	45—50	—	27—37	19—39	—
тированный		0,95	27—32	—	16—40	40—45	—
Уголь дробленый . . .	0,8	35	——	—	-—	—
» бурый 		0,6—0,65	30-45	—	—	—	—
Фосфоритная мука . . .	1,3—1,8 0,8—0,9	40-45	—	—	—	—-
Фтористый аммоний . .		33—40			30	27	—
Цемент 		1,0—1,6	27—40	—	24—33	17—30	—
Чечевица 		0,6—0,85	25—35	—	—.	24	—
Шлак		0,6—1	30—50	—•	22—50	17	—
Щебень		1,3—2	40—45	—	25—32	17—31	—
Штыб		3,84—0,89	34—44	—	27—36	—	—
Ячмень 		0,43—0.75	27—45	—	20—25	18—23	24
ограниченной подвижностью частиц и может сохранять форму лишь
в том случае, если ограничено поверхностями, образующие кото-
рых — откосы — составляют с горизонтальной плоскостью угол, ие
превосходящий определенного предела (рис. 14). Этот предельный
угол ре называется углом естественного откоса, так как свободно
отсыпаемое сыпучее тело принимает форму конуса, образующие ко-
торого составляют с горизонтом именно этот угол. Сыпучее тело, по-
мещенное в сосуд, оказывает давление на его стенки относительно
меньшее, чем гидростатическое. Отношение между главными напря-
жениями сыпучего тела не может превосходить некоторой величины
£, называемой коэффициентом бокового давления, который, так же
как и угол естественного откоса, характеризует подвижность частиц
сыпучего тела и зависит от внутреннего трения и сцепления между
его частицами.
Для установления зависимости между углом естественного отко-
са и углом внутреннего трения сыпучего тела рассмотрим какую-
либо часть его весом G, находящуюся на поверхности откоса; кру-
тизна последнего характеризуется углом естественного откоса ре
(рис. 15). На выделенную часть сыпучего тела весом G в направ-
лении откоса действуют две равные и направленные в противопо-
34
ложные стороны силы: сдвигающая Q = G sin ре и удерживающая,
равная сумме сил трения и сцепления TDp = G cos ре tg ср 4- cF
(F — площадь контакта между рассматриваемой частью сыпучего
тела и откосом). Приравнивая эти силы одну к другой, получаем
G sin pe=G cos tg ф-J-cF.
Разделим уравнение на G cos р е:
cF
tg₽e=tg<p-|-----(1.39)
G COS Ре
Отсюда следует, что угол естественного откоса связного сыпу-
чего тела больше угла его внутреннего трения у свободной поверх-
ности. Для несвязного сыпучего тела угол естественного от-
коса по этому подсчету получается равным углу внутреннего
трения.
П. А. Миняев в 1916 г. на основании опытов пришел к выводу,
что угол естественного откоса равен углу трения лишь для слоев,
лежащих очень близко от свободной поверхности сыпучего тела.
Для слоев, лежащих в глубине сыпучего тела или находящихся под
давлением, угол внутреннего трения больше угла естественного от-
коса, так как здесь частицы плотно вклиниваются в промежутки
между другими частицами, вследствие чего угол внутреннего трения
больше, чем угол трення скольжения. П. А. Миняев нашел из опыта
для песка средней крупности угол внутреннего трення ср = 39°40',
угол естественного откоса оказался равным р е = 32°. Н. В. Неми-
лое произвел многочисленные измерения этих углов для рыхлых
песчаных и гравелистых грунтов н нашел, что для них в сухом со-
стоянии ф = 46°, а р е = 33°.
Основываясь на том, что плотность сыпучего тела у поверхно-
сти откоса меньше, чем в глубине, М. С. Бернштейн £111 пришел
к выводу, что угол внутреннего трення вблизи откоса должен быть
меньше угла внутреннего трения внутри сыпучего тела, а следова-
тельно, угол естественного откоса несвязного сыпучего тела должен
быть меньше угла его внутреннего трения.
П. Н. Платонов [94] предложил следующую приближенную зави-
симость между углом естественного откоса и углом внутреннего тре-
РИС. 14
РИС. 15
2*
35
ния сыпучего тела:
tg ре = tg <р—а  ------.	(1.40)
Ащах—Amin
где а — некоторая постоянная; Д’ — коэффициент плотности укладки частиц
сыпучего тела; Ктах » Kmin — наибольшее и наименьшее возможное значе-
ния этого коэффициента.
Из формулы (1.40) следует, что равенство углов естественного от-
коса н внутреннего трения сыпучего тела может быть только при
К = Amin, т. е. когда его плотность наименьшая. А это может быть
только на поверхности сыпучего тела. Во всех остальных случаях
угол естественного откоса должен быть меньше угла внутреннего
трения несвязного сыпучего тела.
Однако исходя из того,-что при отсыпании конуса сыпучего тела
пористость его сказывается не наибольшей, М. Н. Гольдштейн
[31] пришел к противоположному выводу, что угол естественного
откоса песка даже в предельно рыхлом состоянии несколько больше
угла внутреннего трения.
У плотно уложенного сыпучего тела угол естественного откоса
больше, чем у рыхлого. Так, например, М. С. Бернштейном и
А. Г. Иммерманом установлено, что при объемной массе песка
1,7 т/м3 угол естественного откоса равен 39°, а при объемной мас-
се 1,45 т/м3, соответствующей более рыхлой структуре, угол есте-
ственного откоса достигает только 35°.
Наличие двух противоположных точек зрения относительно то-
го, что больше — угол внутреннего трения илн угол естественного
откоса сыпучего тела, свидетельствует о том, что вопрос этот тре-
бует еще дополнительного исследования.
Необходимо иметь в виду, что величина угла естественного от-
коса зависит также от высоты откоса и от степени шероховатости
той поверхности, на которую он ссыпается. Таким образом, угол
естественного откоса зависит от ряда факторов и, строго говоря,
не может рассматриваться в качестве физической постоянной сыпу-
чего тела.
Для целей же практики можно считать (как это делалось до на-
стоящего времени), что для сыпучего тела, лишенного сцепления,
угол естественного откоса при отсыпке конуса равен углу внутрен-
него трения, а для сыпучего тела, обладающего сцеплением, —
больше угла внутреннего трения.
Опытами установлено, что при сжатии сыпучих тел, когда не-
возможно боковое расширение, всякое приращение давления на сы-
пучее тело в одном направлении вызывает пропорциональное увели-
чение давления непосредственно сыпучего тела на жесткую стенку
в перпендикулярном направлении. Этот закон выражается таким
уравнением:
dpx=^dPz,	(1.41)
где pz — давление, производимое на сыпучее тело; рх — давление сыпучего
тела на стенку сосуда в перпендикулярном направлении; — коэффициент
пропорциональности, названный коэффициентом бокового давления, в со-
стоянии покоя.
36
После интегрирования выражения (1.41) получим:
Px=lo Pz+Px,
(1-42)
где рх—постоянная интегрирования, являющаяся начальным давлением сы-
пучего тела при его уплотнении. Для рыхлого сыпучего тела рх = 0.
Для различных грунтов опытным путем разными исследователя-
ми (В. Г. Булычевым, Н. В. Лалетиным, Г. И. Покровским, И. И. Эр-
лихом, К. Терцаги и др.) по-
лучены средние значения ко-
эффициентов бокового давле-
ния, приведенные в табл. 5.
Закон, выражаемый урав-
нением (1.42), может рассмат-
риваться как обобщение за-
кона Паскаля. При этом для
ЖИДКОСТИ Во = 1 И Рх = 0.
Г. И. Покровский, поль-
зуясь методами статистиче-
ской механики, установил
связь между коэффициентом
ТАБЛИЦА 5. КОЭФФИЦИЕНТЫ
БОКОВОГО ДАВЛЕНИЯ Ео ДЛЯ ТИПИЧНЫХ
ГРУНТОВ
Г руиты
Коэффициент боко-
вого Давления |0
для грунтов
сухого
влаж-
щенно-
го
бокового давления сыпучего
Пески ..........
Суглинки . . . .
Глины...........
0,4 0,45
0,5 0,55
0,6 0,7
0,45
0,6
0,7
тела, углом его внутреннего трения, величиной сцепления и дав-
лением, испытываемым сыпучим телом. Эта связь выражается
формулой
1—0,74 tg ф—1,52/рг.
(1-43)
Для исследования коэффициента бокового давления Ж- Б наре-
зом, М. Орлиаком, X. Ремн и Б. Томасом [147] сконструирована
установка с обоймами разной жесткости, в которую помещали пе-
сок или условное сыпучее тело в виде шариков. При измерении
бокового давления, вызванного вертикальным давлением, получе-
ны следующие результаты.
В случае очень деформируемых обойм коэффициент бокового дав-
ления очень близок к расчетному по формуле, предложенной
В. Репкиным:
1—sinq)
1 -J-sin
В случае очень жесткой обоймы коэффициент бокового давле-
ния оказывается даже больше, чем по формуле, предложенной
М. Жаки, |0 = 1 — sin <р и иногда достигает величины £(J =
1—sin ср „
= ~cos у  Впрочем ни та, ни другая формула не имеют достаточно
строгого обоснования.
В теории твердых деформируемых тел большую роль играет
коэффициент поперечной деформации или коэффициент Пуассона,
т. е. отношение поперечного сужения (расширения) к продольному
37
удлинению (укорочению) материала. При этом предполагается, что
этот коэффициент является одной из механических постоянных мате-
риала н не зависит от условий его деформирования или от условий
постановки опыта для определения величины этого коэффициента.
Для несвязных сыпучих тел такое понимание коэффициента Пуас-
сона лишено физического смысла, т. к. нет возможности их испытать
на растяжение, а работать на сжатие они могут только в усло-
виях стесненного бокового расширения.
Таким образом, в механике сыпучих тел коэффициент Пуассона
должен рассматриваться в качестве условной величины, связанной
с коэффициентом бокового давления некоторой математической за-
висимостью, основанной на ряде допущений.
Во-первых, принимается, что образец сыпучего тела, помещенный
в кольцо компрессионного прибора, ведет себя так же, как сплошное
твердое деформируемое тело.
Во-вторых, допускается, что зависимости между напряжениями
и деформациями сыпучего тела подчиняются уравнениям обобщен-
ного закона Гука, два из которых выражают деформацию бокового
расширения, которая благодаря жесткости кольца может быть при-
нята равной нулю, т. е.
еХ=еу— г? [Рх* Но (Pl/4-Pz)] =0,
£
где р2 и рх — Ру — соответственно вертикальное н боковое давления, испы-
тываемые образцом сыпучего тела; Е — модуль деформации, который можно
считать величиной постоянной или переменной.
Так как	0, то равно нулю выражение, стоящее в прямоуголь-
ных скобках. Это позволяет получить
Но t
Рх — Ру— |	Рх— ёо Pz-
1 Но
Отсюда
Величина бокового давления рх при данном вертикальном дав-
лении pz может быть найдена измерением.
Совершенно ясно, что при наличии некоторой боковой подвиж-
ности образца грунта давление рх будет иметь другое значение
так же, как и значения Во н р0. Поэтому последние две величины
могут относиться только к условиям, когда отсутствует боковое
расширение сыпучего тела. Это н было подтверждено описанными
опытами.
Расчетные значения коэффициентов Пуассона для различных
грунтов и соответствующие значения коэффициентов бокового дав-
ления грунта в состоянии покоя приведены в табл. 6.
38
Если принять что £0 =
= 1 — sin <р, то отысканием
соответствующей величины
sin <р легко определить вели-
чины |а н Иа» которые также
приведены в табл. 6. Этими
величинами естественнее н
пользоваться для расчетов в
тех случаях, когда имеется
возможность бокового расшн-
ТАВЛИЦА 6. ЗНАЧЕНИЯ
КОЭФФИЦИЕНТОВ рв, go, ца и ga
Грунты	р0 Ее ца Еа
Крупнообломочные	0,27	0,37	0,19	0,23
Пески		0,29	0,41	0,2	0,26
Супеси 		0,31	0,45	0,23	0,29
Суглинки . . . .	0,37	0,59	0,29	0,42
Глины		0,41	0,7	0,35	0,54
рення сыпучего тела.
Вследствие большой роли пористости и структурных деформа-
ций значение коэффициента Пуассона ни в какой мере не характе-
ризует сжимаемость сыпучего тела, т. е. его способности изменять-
ся в объеме при действии внешних сил. Как известно, твердые
упругопластическне тела с коэффициентом поперечной деформации,
близким к 0,25, более сжимаемы, чем те, у которых этот коэффициент
близок к 0,5. Что касается сыпучих тел, то очень часто встречаются
песчаные грунты с совершенно незначительной сжимаемостью при
коэффициенте поперечной деформации 0,25—0,3 и, наоборот, силь-
но сжимаемые глинистые грунты со значительно большим коэффи-
циентом поперечной деформации, доходящим до 0,4—0,45. В этом
заключается одна из особенностей сжатия сыпучего тела.
§ 8. РАСЧЕТНЫЕ МОДЕЛИ СЫПУЧИХ ТЕЛ
Для упрощения исследования в механике сыпучих тел, как и
в других разделах механики, прибегают к научной абстракции, т. е.
оперируют не непосредственно материальным объектом, подлежа-
щим изучению, а его упрощенной схемой или моделью. При этом,
сохраняя основные свойства реального сыпучего тела, отвлекаются
т некоторых его свойств, не играющих существенной роли в изу-
чаемом явлении или рассматриваемой задаче. Метод абстракции игра-
ет в механике сыпучих тел весьма важную роль; отвлекаясь от всего
частного, случайного, индивидуального, свойственного различным
сыпучим телам, легче установить общие закономерности, которым
они подчиняются.
Как известно, в механике твердого тела пользуются различными
расчетными моделями: абсолютно твердого тела, упругого тела,
пластического тела н др. В механике жидкостей расчетной моделью
будет идеальная жидкость.
Единственный критерий правильности тех или иных расчетных
моделей сыпучего тела —опыт, практика. Только та расчетная мо-
дель может считаться верной (т. е. достаточно точно отражающей
и объясняющей явления, происходящие в сыпучих телах), которая
хорошо согласуется с действительностью, с наблюдениями.
В настоящее время в механике сыпучих тел используют две рас-
четные модели: сплошную (континуальную) и зернистую (дискрет-
39
ную) среды. В качестве основной расчетной модели реального сыпу-
чего тела используют сплошную среду, обладающую способностью
сопротивляться растяжению и сдвигу только в пределах сил внут-
реннего трения и сцепления. Такая расчетная модель называется
связной сыпучей средой.
Среда, в которой отсутствует сцепление, называется идеально
сыпучей средой или несвязанной сыпучей средой, а среда, в которой
отсутствует внутреннее трение, — идеально пластической.
7 Другая расчетная модель сыпучего тела — зернистая среда,
' / |Т. е. среда, состоящая из соприкасающихся твердых зерен правиль-
11 ной формы. Такая среда может быть безраспорной и распорной.
|11 Взаимодействие зерен подчиняется вероятностным законам.
Для сыпучих тел может быть еще принят тот или другой закон
упругости, что дает возможность решать задачи не только предель-
ного, но и упругого равновесия.
Преимущество сплошной модели сыпучей среды состоит в том,
h что она дает возможность пользоваться понятием о напряжении как
' интенсивности внутренних сил и применять дифференциальные
Г уравнения равновесия в той же самой, уже привычной для инженера
форме, в которой они применяются в теории упругости и пластич-
ности. Использование допущения о сплошности позволяет заменить
все разнообразные сыпучие тела единой расчетной моделью, свойства
которой могут быть охарактеризованы небольшим числом постоян-
ных, определяемых из опытов, методика проведения которых уже
хорошо отработана.
Однако всех этих доводов в пользу модели сплошной среды было
бы недостаточно для ее обоснования, если бы она не приводила к ре-
зультатам с приемлемой для практикй“точнбстью.
Этот вопрос был исследован еще в 1898 г. Ф. С. Ясинским, ко-
торый показал, что степень точности определения напряжений на
основе допущения о сплошности составляет
J- = l/jL,	(1.45)
т V А
где А — порядок линейных размеров тела, в котором определяются напряже-
ния; а — порядок линейных размеров элемента тела, сохраняющего еще все
физические свойства данного тела.
Если считать, что расчеты, связанные с сыпучими телами,
должны обеспечить точность порядка 10%	=0,1^ и наименьшее
значение величины а составляет 10a.s (где av —средний размер ча-
стиц), то гипотезу о сплошности можно применять для сыпучего
тела с размерами не менее
Л=отЗ= 10-102 От= 1 000а.г.
Например, для песка при типичном размере частиц аТ = 2 мм
А — 2000 мм = 2 м.
Следует, однако, помнить, что в этом подсчете имеются в виду
только средние напряжения сжатия, действующие в массиве сыпу-
40
чего тела. В действительности же имеются контактные напряжения,
возникающие в течках соприкосновения зерен, которые, как это
указано выше, весьма велики даже при относительно малых сред-
них напряжениях в массиве сыпучего тела.
Расчетная модель идеальной сыпучей среды весьма хорошо со-
ответствует действительной природе таких сыпучих тел, как зерно,
мука, крупа, цемент и т. п.
Разнообразные грунты, встречающиеся в природе, по свой-
ствам далеко не всегда укладываются в рамки одной расчетной моде-
ли. Критерием применимости той илн иной расчетной модели к дан-
ному грунту следует считать характер его основных связей.
Расчетная модель идеальной сыпучей среды достаточно хорошо
отвечает свойствам песчаных и крупиообломочных грунтов, части-
цы которых связаны только контактами.
Расчетная модель связной сыпучей среды пригодна для глини-
стых и суглинистых грунтов в сухом состоянии. Частицы этих грун-
тов связаны не только контактами, но также и цементирующим ве-
ществом, обусловливающим сцепление, которое в ряде случаев
может быть принято постоянным.
Модель зернистой среды, позволяющая учесть действительную
гранулометрическую структуру сыпучего тела и изучить поведение
отдельных частнц и их совокупностей на основе принципов стати-
стической механики, имеет то преимущество, что она свободна от
заведомо феноменологического допущения о сплошности.
С. А. Фрнд [129] справедливо отмечает, что в песчаных, граве-
листых и галечных грунтах условие сплошности не выполняется
даже прн малых перемещениях в состояний устойчивого (непре-
дельного) равновесия и что к несвязным грунтам применима теория
напряжений механики сплошной среды, но не применима теория
деформаций.
Однако взамен допущения о сплошности в механике зернистых
сред приходится прибегать к ряду других, относящихся к идеализа-
ции формы частиц и к условиям их контактирсвания. Величины не-
точностей, вносимых этими допущениями, еще не выяснены. Кроме
того, пока еще ие существует методики экспериментального опре-
деления тех постоянных величин, которые характеризуют механи-
ческие свойства сыпучих тел как дискретной среды
Поэтому в дальнейшем будем в основном пользоваться представ-
лением о сыпучем теле как о сплошной среде и при рассмотрении
его напряженного состояния заменять действительные силы, дей-
ствующие на отдельные его частицы в точках их контакта,
воображаемыми силами, непрерывно распределенными по любому
сечению сыпучего тела.
Напряжением сыпучего тела будем называть, как и в теории
сплошных сред, предел отношения
ДР
(1.46)
где ДР — усилие, действующее на элементарную площадку Др -» 0.
41
Полное напряжение р раскладывается на нормальное к площадке
и и касательное к ней т.
Для скальных пород можно пользоваться расчетной моделью
упругого или упругопластического твердого тела.
При применении определенной расчетной модели к тому или
другому грунту следует не только исходить из общих свойств этого
грунта, но также учитывать пределы изменения нагрузки и то со-
стояние, в которое приходит грунт при действии этой нагрузки.
Так, например, любой грунт, доведенный до состояния предель-
ного равновесия, соответствующего механическому разрушению
связей, уподобляется сыпучему телу и может быть принят для рас-
чета в качестве сыпучей среды. И, наоборот, даже песчаный грунт,
находящийся в состоянии допредельного равновесия, может при
известных условиях рассматриваться в качестве упругого тела.
Глава II
ТЕОРИЯ НАПРЯЖЕНИЙ СЫПУЧЕГО ТЕЛА
§ 9. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ
1. Общий случай пространственной задачи
Рассматриваем элементарный параллелепипед, выделенный
из сыпучей среды (рис. 16), в системе координат х, у, z. Такая си-
стема в механике сыпучих тел оказывается наиболее удобной, так
как при расположении начала координат иа поверхности сыпучей
среды ось z направляется в глубь ее и совпадает с направлением си-
лы тяжести.
Нормальные напряжения обозначаются буквой о с одним ин-
дексом, показывающим, какой оси координат перпендикулярна та
площадка, на которую действует нормальное напряжение. В то же
время индекс показывает, какой оси параллельно это напряжение.
Касательные напряжения обозначаются буквой т с двумя индексами.
Первый из них указывает, какой оси перпендикулярна площадка,
по которой действует касательное напряжение, а второй — какой
оси параллельно это напряжение. Так, тк? обозначает касательное
напряжение, действующее по площадке, перпендикулярной оси х,
и направленное параллельно оси z.
Нормальные напряжения считаются положительными при сжа-
тии и отрицательными при растяжении. Касательное напряжение
считается положительным, если оно совпадает с направлением оси
и если при этом направление сжимающего напряжения по той же
площадке совпадает с положительным направлением соответствую-
щей оси.
Если же сжимающее напряжение направлено противоположно
положительному направлению оси, то положительное касательное
напряжение направлено в сторону, обратную направлению оси.
42
Положительные направления напряжений, действующих на вы-
деленный из сыпучего тела элементарный параллелепипед, показа-
ны на рис. 16. Эти напряжения заменяют действие на выделенный
параллелепипед отброшенных масс сыпучей среды и при переходе
от левой грани к правой, от задней к передней и от верхней к ниж-
ней получают приращения, представляющие собой функции коор-
динат х, у и г. При переходе от левой стороны параллелепипеда
к правой нормальное напряжение их, являющееся функцией коорди-
нат х, у и г, изменяется только в зависимости от изменения коорди-
наты х на величину dx и на правой грани становится равным их -р
+ ~ dx, где	— частная производная сх по х. Точно также
устанавливаются приращения нормальных напряжений ov и oz
и касательных тху, тх2, тгх, и тгу.
Кроме напряжений, действующих по его граням, на выделенный
элементарный параллелепипед действует еще объемная сила тяже-
сти, приложенная в его центре тяжести и равная ydx dy dz,
где у = pg — объемная масса р сыпучей среды, умноженная
на g = 9,81 « 10 м/с2.
Для выделенного элементарного параллелепипеда можно соста-
вить шесть уравнений равновесия:
2Х=0; ХУ=0; SZ=Oj 1
SMx=0‘,	SMz=0. J	(
Из трех последних, составленных в виде уравнений моментов
всех сил относительно осей координат, проходящих через центр
РИС. 16
43
тяжести параллелепипеда, после приведения подобных членов и от-
брасывания бесконечно малых третьего порядка получаем:
xyz—xzy'> Тгх — и-щ — ТуХ.
(2.2)
В этом заключается известное из сопротивления материалов
свойство парности или взаимности касательных напряжений, поз-
воляющее менять порядок индексов у г.
Из первых трех уравнений (2.1) после приведения подобных
членов и использования соотношений (2.2) получаем три дифферен-
циальных уравнения равновесия:
д^ху дт2т __
дх	ду	dz
^+-^- + -^=0:	(М
дх	ду	dz
&rzx , dr>;z	daz
дх	ду	dz
Полученные уравнения (2.3) содержат шесть неизвестных функ-
ций:	Оу, oz, хХу, xvz, н т 7Х. Для нахождения этих функций не-
обходимо составить еще три уравнения, связывающие напряжения
сыпучего тела.
Если перемещения всех точек тела должны быть непрерывными
функциями координат, т. е. если любая прямая, мысленно выделен-
ная внутри тела, не должна иметь после деформации переломов или
уступов, то этим недостающим уравнением будет уравнение нераз-
рывности деформаций, в котором деформации выражены через на-
пряжения посредством физической зависимости. Неразрывность
деформаций не следует отождествлять со сплошностью тела, ибо
последнее свойство характеризует лишь отсутствие в нем пустот.
Сплошность тела и неразрывность деформаций часто сопутствуют
одно другому, но можно привести примеры, когда тело допустимо
считать сплошным, а его деформации нельзя принять неразрывными,
и наоборот. Так, например, дисперсное тело типа губки не может
считаться сплошным, но перемещения его точек—непрерывные
функции координат, следовательно, неразрывны. С другой стороны,
жидкость может рассматриваться как сплошное тело, но перемеще-
ния ее частиц могут и не быть непрерывными функциями координат.
Являясь достаточно верным для твердых тел в упругой стадии их
работы, условие неразрывности деформаций в большинстве случаев
не выполняется в сыпучих телах, деформации которых в основном
структурного характера. Кроме того, некоторые растягивающие
I и касательные напряжения могут достигнуть предела прочности
(сыпучего тела. Поэтому, применяя решения классической теории
упругости к сыпучим телам, нужно отдавать себе отчет в том, что эти
решения далеко не всегда дают правильное представление о дейст-
вительных напряжениях и перемещениях сыпучего тела.
1и
Изучение сыпучего тела в состоянии упругого равновесия на
основе нелинейного закона упругости с учетом структурных де-
формаций представляет собой, как это уже указывалось, весьма
сложную задачу. Эту задачу обычно заменяют более простой в ко-
торой деформации совершенно не рассматриваются, а напряженное
состояние принимается таким, какое бывает в начальный момент
движения сыпучего тела, и характеризуется тем, что в каждой точ-
ке сыпучего тела возникает сдвиг. Таксе напряженное состояние
сыпучего тела называется предельным.
2. Плоская задача
В случае плоской деформации сыпучей среды, т. е. для такого со-
стояния, когда все ее точки могут перемещаться только в двух на-
правлениях, или, иначе говоря, в одной плоскости xOz, а напря-
жения — в направлении, перпендикулярном этой плоскости, не
изменяются, координату у из рассмотрения исключаем. Для этого
сторону параллелепипеда в направлении оси принимаем равной
единице. Для полученной таким образом элементарной призмы из
трех уравнении равновесия (SX = 0; ZZ = 0; ZM = 0) получа-
ются два дифференциальных уравнения равновесия:
дох . дхХ2
дх + дг~
до2 t дтХ2
dz дх
(2.4)
Кроме того, из условия, что относительная деформация в направ-
лении оси у отсутствует, можно найти
(ст.х“Ь°г)>	(2.5)
где р0 — коэффициент Пуассона, связанный с коэффициентом бокового дав-
ления Ео условной зависимостью (1.44).
Дифференциальные уравнения (2.4) содержат три неизвестные
функции ох, gz и txz, для определения которых достаточно соста-
вить еще одно уравнение, связывающее напряжения сыпучей среды.
3. Осесимметричная задача
Осесимметричную задачу удобнее всего рассматривать в цилин-
дрических координатах гиг; ось г, являющаяся осью симметрии,
направляется вниз.
Двумя меридиональными плоскостями, двумя цилиндрическими
поверхностями и двумя плоскостями, перпендикулярными оси г,
из сыпучего тела выделяется бесконечно малый объем (рис. 17).
Любая меридиональная плоскость zOr есть плоскость симметрии,
поэтому касательные напряжения в меридиональных плоскостях
равны нулю. Любая площадка, совпадающая с меридиональной
плоскостью, будет главной площадкой. Главное напряжение о2,
действующее по этой площадке, обозначается ое; напряжение,
45
действующее по площадке цилиндрической поверхности, обозна-
чается О>.
Проектируя на оси гиг все силы, действующие на элементарный
объем, получаем после преобразований и сокращений два дифферен-
циальных уравнения равновесия:
. &ХТг , xrz
ъг+^г+т=1
дсГ dtrz —°е
dr dz r
(2.6)
В этих двух уравнениях содержатся четыре неизвестные функции
gz, ог, ое и тг2, поэтому необходимо составить еще два дополнитель-
ных уравнения.
§ 10. НАПРЯЖЕНИЯ ПО НАКЛОННЫМ ПЛОЩАДКАМ
1. Пространственная задача
Чтобы подойти к изучению предельного напряженного состоя-
ния сыпучего тела, рассмотрим напряжения, возникающие по на-
клонным площадкам любого сплошного тела.
Для площадки, наклонной по отношению к граням элементар-
ного параллелепипеда и имеющей нормаль v (рис. 18), составляю-
щие напряжений, параллель-
ные координатным осям, вы-
ражаются следующими фор-
мулами:
Pyv =хух 14- оу m-Ь п;
Pzv =Ъх I 4-t2I/ tn-\-az п,
(2.7)
где I = cos (х, и); т = cos (у,
и); п = cos (z, и) — направля-
ющие косинусы.
РИС. 17
РИС. 18
46
Полное напряжение, действующее по рассматриваемой наклон-
ной площадке, выражается так:
(2-8)
Нормальное напряжение по наклонной площадке
<Xv = Oac	^2+Gz п2+2тзф Z/n+2r&z тя4-2т2э; nl. (2.9)
Касательное напряжение по той же площадке
(2.10)
Через каждую точку напряженного тела всегда можно провести
три взаимно перпендикулярные плоскости, по которым касательные
напряжения отсутствуют, а нормальные о1 >• сг2 >» сг3 имеют
экстремальные значения (максимум, минимакс и минимум). Такие
плоскости называются главными площадками, а действующие по
ним нормальные напряжения — главными нормальными напряже-
ниями. Последние определяют решением кубического уравнения
с тремя действительными корнями:
оз_& (Стх+аи_|_аг)4_о (ох ауЧ-0у o2+oz ах—tzxy—т^) — (ож gv о24-
+2тж& Tjf2 Tzx—T^z	Xzx—°Z	= Й •	(2.11)
При ЭТОМ
°1 Ч- °2 “I- °з=4“ = 3acp,
где ocp — среднее нормальное напряжение в данной точке.
По трем парам площадок, делящим пополам двугранные углы
между главными площадками, действуют такие главные касательные
напряжения:
Gj—оЕ
тм=± -	;
г31=±
Пз—°1
2
Наибольшим из них по абсолютной величине будет касательное
напряжение тзъ которое равно полуразности наибольшего и наи-
меньшего главных нормальных напряжений.
Четыре площадки, равно наклоненные к главным плоскостям,
называются октаэдрическими. Направляющие косинусы для этих
площадок I = т = п — "^- ^0,578 и соответствуют углу 54°44'.
Полное напряжение по каждой октаэдрической площадке выра-
жается через главные нормальные напряжения формулой
Рокт= J/^~^-(oi4''0a4_ai)-	(2.13)
47
Нормальное и касательное напряжения по той же площадке:
°окт	(°1+°2-Ь Оз) = оср;	(2.14)
Токт —	V(°1—«а)84- (°а— аз)а+(°з — Oj)2=— Д/т|2 Д-т|3 -|-т| j. (2.15)
Кроме того, в теории пластичности находит применение еще одна
величина, называемая приведенным или обобщенным напряжением
1	,_________________________ 3
о,=~у=- V (oi — о2)2+(сг2—о3)а+ (а3—oj)2=-у=- т0Кт.	(2.16)
2. Плоская и осесимметричная задачи
Рассматривая плоское деформированное состояние сыпучей
среды, будем считать, что gv = и2 — промежуточное по величине
главное напряжение (рис. 19). В этом случае из трех уравнений
(2.7) остаются два:
Рху=ож/4-тЖ2п; |
P3V=Tz® l+ъ п, J	<2- ,7>
Кубическое уравнение (2.11) переходит в квадратное, из решения
которого находят следующие выражения для главных напряжений:
ож —о2 1 /----------------
± “у К<^-^)2+4т22.	(2.1g)
Направления главных площадок находят из уравнения
2т
tg2a=	 °Z	 О.							 X Г Н gx 1 с/х	+ -jT-— du «	\	at.. Э	* т РИС. 19	(2-19) ш Ж" 2 ив?ах РИС. 20
48
Главные касательные напряжения действуют по площадкам,
составляющим с главными площадками углы 45°, и выражаются
формулой
=	У	(2-20)
При совмещении координатных осей z и к соответственно с на-
правлениями главных напряжений ср и сг3 нормальное и касатель-
ное напряжения по площадке, наклоненной под углом а к оси os,
выражаются формулами:
с~ Ci cos2 с&-|- и3 sin2 а;
°1—Рз . _
т=-------sin 2а.
2
(2.21)
Угол 6 между направлением полного напряжения р, действую-
щего по данной площадке, и нормалью к ней называется углом
отклонения.
Угол отклонения считается положительным, если он отсчиты-
вается против часовой стрелки от нормали к площадке:
tg6=—.	(2.22)
°	2
Подставив вместо о и t их выражения по формулам (2.2$) и раз-
делив числитель и знаменатель на cos2 сс, получим
„ (щ—G3) tg а
tgS= ,	.	(2.23)
Pl-f-Оз tg2<x
Для нахождения наибольшего значения угла отклонения при-
равняем нулю производную от этого выражения по ос.
Получим уравнение
(Р1~Рз)(Рз—Ojtg2«) 0
cos2 а (о3 oi tg2 а)2
из которого следует, что <т3 — tg2 а = О, так как множитель
cos2 a(n3-|-o_i tg2 а)2 не равен нулю.
Отсюда угол наклона площадки к направлению главных напря-
жений, соответствующий наибольшему углу отклонения, опреде-
ляется формулой
tg а= ±	.(2-24)
Этот результат показывает, что в каждой точке сплошного тела
имеются две площадки с наибольшим углом отклонения, которые
расположены симметрично относительно направлений главных
напряжений и наклонены к ним под одним и тем же углом в разные
стороны (рис. 20).
49
Наибольший угол отклонения получим, подставив найденное
значение tg ос в выражение (2.22):
tB6n,BI=±2V="	(2'25)
После ряда преобразований из этого выражения получим
П,1рйп^||ат -tg* (± Т	(2.26)
Ох 1 ± sin omax \ 4	2 I
ИЛИ
_	О| ——Оо
sin 6щах= ±	.	(2.27)
Oi-1-оз
Верхние знаки в этих выражениях соответствуют так называе-
мому активному или минимальному напряженному состоянию,
а нижние — пассивному или максимальному.
Сопоставляя формулы (2.24) и (2.25), получим
“=±(тт-^)-	<2-28>
Отсюда следует, что площадки с наибольшими углами отклоне-
ния составляют одни по отношению к другим углы, равные ~ ± 6шазе
(рис. 20).
Главные напряжения могут быть выражены в зависимости от
наибольшего угла отклонения следующими формулами:
°1,8—®ср 0 i sin бтах)>	(2.29)
где
Pl-I~g3 °z4~°x
°срС= 2	=	2	*
В случае осесимметричной деформации в каждой точке сыпучей
среды также имеются две площадки скольжения, проходящие через
направление главного напряжения од и составляющие с направле-
, л'	,	Фазах \
нием большего главного напряжения gz углы ± I ---1.
Отметим, что формулы этого параграфа, так же как и формулы
§ 9, справедливы для любого тела, которое рассматривается в ка-
честве сплошного, и не отражают специфических особенностей
сыпучего тела.
§ 11. УСЛОВИЯ ПРОЧНОСТИ СЫПУЧЕГО ТЕЛА
Так же, как и в механике твердых тел, в механике сыпучих
должен быть установлен критерий для характеристики напряжен-
ного состояния, при котором происходит разрушение или наступает
текучесть. Такой критерий позволяет использовать результаты про-
стого эксперимента для оценки прочности сыпучего тела, находя-
щегося в сложном напряженном состоянии. С другой стороны, этот
50
критерий должен дать возможность составить дополнительные урав-
нения, которые в сочетании с дифференциальными уравнениями
равновесия позволят определить неизвестные функции нормальных
и касательных напряжений для построения полей напряжений в сы-
пучем теле.
Так как условия равновесия рассматриваются в совокупности
с условием, характеризующим предел прочности сыпучего тела,
то теорию, построенную на этой основе, называют теорией предель-
ного равновесия.
1. Условие прочности Кулоиа — Мора
В твердом теле до наступления текучести наибольший угол от-
клонения ничем не ограничен н определяется, как это следует из
формул (2.25) или (2.27), только соотношением между главными на-
пряжениями. Для равновесия же сыпучего тела необходимо, чтобы
сдвигающая сила была меньше суммы сил внутреннего трения и
'цепления.
В состоянии предельного равновесия, т. е. в состоянии, не-
юсредственно предшествующем сдвигу, должно удовлетворяться
равенство (1.33).
Приняв для сыпучей среды допущение о сплошности, можно
написать условие предельного равновесия сыпучего тела в точке
в форме напряжений
| т[=о tg ф-|-с=о'tg ф,	(2.30)
где |т| — абсолютная величина касательной составляющей напряжения;
о — нормальное напряжение; (р — угол внутреннего трения; с — удельное
сцепление; о' — приведенное нормальное напряжение.
Его можно рассматривать как равнодействующую действитель-
ного напряжения и нормального сжимающего напряжения ос =
которое называется давлением связности.
Зная действительное нормальное напряжение по какой-либо
площадке, можно найти приведенное напряжение и, наоборот, по
известному значению приведенного напряжения можно найти на-
пряжение действительное. В первом случае к действительному на-
пряжению нужно прибавить давление связности, а во втором —
из приведенного напряжения вычесть давление связности.
В состоянии предельного равновесия наибольший угол откло-
нения равен углу внутреннего трения, т. е.
бщах=ф-	(2.31)
Следовательно, для случая плоской деформации на основании
формул (2.26) и (2.27) можно написать:
(2.32)
1 ± sin ф \ 4	2 /
51
или
Входящие в эти выражения of и Оз определяются формулами:
°i = ai+»o и Оз=ОзЧ-о0.
где ах и а3 — главные напряжения без учета давления связности.
Подставляя эти величины в выражение (2.32) вместо <т{ и 03,
получаем для случая п1>» оэ условие прочности Кулона— Мора
°i—°3
sin го— ------—.
а14-оз-|-2о0
Выражая главные напряжения через составляющие полного
напряжения с помощью формул (2.18), получаем условие предель-
ного равновесия для связного сыпучего тела в такой форме:
(crz—ax)2+4T*z-=sin2 <р (^-рст^+гоо)2.	(2.34)
Уравнение предельного равновесия для идеально сыпучего тела
получим, приняв в уравнении (2.34), с = 0:
(°z _Оа.)2_|_4Т22=sina jp (gz-J-Ox)S .	(2.35)
Когда нет внутреннего трения (ср = 0), уравнение (2.34) пере-
ходит в условие пластичности Сен-Венана—Треска:
(gz-gx)»+4t»z=4C4	(2.36)
Состояние предельного равновесия в данной точке сыпучего те-
ла наступает на тех двух площадках, проходящих через эту точку,
которые соответствуют наибольшему углу отклонения 6щах = O’-
Как указывалось выше, эти площадки расположены симме-
трично по отношению к направлению действия главных напряжений
(с учетом давления связности) в данной точке и составляют один
с другим углы ± ф. Они будут площадками скольжения. Если
во всех точках сыпучего тела, образующих некоторую поверхность,
наступает состояние предельного равновесия, то эта поверхность
называется поверхностью скольжения. При этом весь объем, огра-
ниченный этой поверхностью и отделенный ею от остальной части
сыпучего тела, будет находиться в состоянии предельного равно-
весия.
Если же состояние предельного равновесия наступает во всех
точках какого-либо объема сыпучего тела, то такое состояние будем
называть (пользуясь терминологией С. С. Голушкевича) предель-
ным напряженным состоянием. При этом в данном объеме сыпучего
тела возникает бесчисленное множество поверхностей скольжения.
Б2
Подставив в выражения (2.25), (2.26), (2.27), (2.28) и (2.29)
вместо величины угла бтах угол <р, получим для состояния предель-
ного равновесия следующие формулы:
	О1—Оз ‘В’-±2Уад’	(2.25')
<г3	1 ±sin<p	т 2 /’	(2.26')
	Gj — <т3 sin го — ± 	; O14-OS	(2.27')
	•Чт’-П	(2.28')
	01,3= Огр (1 ±sin<p).	(2.29')
В каждой точке любого плоскодеформированного тела, в том чис-
ле и сыпучей среды, касательные напряжения достигают своего наи-
большего значения по площадкам, составляющим с главными пло-
щадками углы, равные В твердых телах по этим площадкам
может произойти сдвиг, если касательные напряжения превзойдут
определенный предел. В сыпучих же телах, где сопротивление сдви-
гу определяется не только величиной сцепления, но и величиной
действующего по данной площадке нормального сжимающего на-
пряжения, опасными в отношении сдвига будут не те площадки,
по которым действуют наибольшие по абсолютной величине каса-
I т|
тельные напряжения, а те, для которых отношение являюще-
еся тангенсом угла отклонения приведенного напряжения (с учетом
давления связности) от нормали, окажется наибольшим. Сдвиг
произойдет в том случае, если указанный угол достигнет величины
угла внутреннего трения. При этом площадки скольжения будут
иметь определенные углы наклона к линиям действия главных на-
„	Л ГО	л . го
пряжении, равные: cq = - — ~ и а3 =	-f-
Переходя непрерывно от одной точки сыпучего тела к другой
и находя каждый раз направления главных нормальных напряже-
ний и площадок скольжения, получим две сетки кривых. Каждая из
них состоит из двух систем линий, касательные к которым совпадают
для одной сетки с направлением главных нормальных напряжений
в данной точке, а для другой — с направлением площадок скольже-
ния.
Линин первой сетки называются траекториями главных напря-
жений, а второй — линиями скольжения. Расположение траекторий
главных напряжений 1—1 и 2—2, а также линий скольжения 3—3
и 4—4 в окрестности некоторой точки сыпучего тела показано на
рис. 21.
53
(2.37)
Для осесимметричной задачи урав-
нение предельного равновесия, осно-
ванное на гипотезе Кулона—Мора,
приводится к следующему виду:
1	<4—03	01+03
----- —7----—tg
cos ф 2-----2
В случае плоской задачи выполне-
ние этого условия оказывается доста-
точным для наступления предельного
напряженного состояния в точке сы-
пучей среды. В случае осесимметрич-
ной деформации необходимо, чтобы
было выполнено еще одно из двух
условий:
1	О1—Оз	Oj-1- и2
	7--tg ф —7—=с;
cos ф-----2-2
1	о2—о3
	7-------tg Ф---	—=с.
cos ф------------2-2
(2.38)
Одновременное выполнение всех трех условий возможно лишь
в том случае, когда все три главные напряжения постоянны и равны.
При осесимметричной деформации по направлению от оси z
се = о2 = <?з, 2 при деформации к оси z се = о2 = о^.
Условие прочности Кулона—Мора имеет тот недостаток, что оно
не учитывает влияние среднего по величине главного напряжения.
Это влияние для связных сыпучих тел незначительно, а для идеаль-
ных сыпучих тел значения их прочностных характеристик зависят
от вида напряженного состояния при испытаниях. В исследованиях
влияния среднего главного напряжения М. В. Малышев [84] уста-
новил, что условием прочности Кулона—Мора можно пользоваться,
если принять для расчетов такие величины (рис, которые были
определены при том же виде напряженного состояния.
2. Условие прочности Мизеса — Боткина
Более общим критерием прочности следует считать энергетиче-
скую гипотезу Р. Мизеса, согласно которой разрушение материала
наступает тогда, когда удельная энергия, затраченная на изменение
формы тела, достигает определенной величины.
Этот критерий для твердых деформируемых тел выражается
уравнением
(01-02)2+(02 -а3)2+(О1-03)2= 2А2,	• (2.39)
где k — постоянная величина.
54
Этот же критерий может быть выражен через наибольшее окта-
эдрическое касательное напряжение уравнением
тОКт = -^-.	(2.40)
Применительно к сыпучим телам этот критерий представлен
А. И. Боткиным и А. С. Строгановым [117] в таком виде;
(2.41)
Здесь Oi и <tCJ) выражаются формулами (2.16) и (2.14), а значе-
ние о будет характеристикой прочности сыпучего тела и опреде-
ляется из опыта, но в отличие от угла внутреннего трения ф пара-
метр о зависит от всех трех главных напряжений.
Результаты опытов Ф. М. Шихиева и В. В. Ковтуна, проведенных
на трехосном приборе с кварцевым песком, насыщенным водой, по-
зволили сравнить параметры ф и со при осесимметричной и плоской
деформациях. При этом в первом случае найдено со = 25° и ф = 36°,
а во втором со = 28° и ф = 40°. Таким образом, прочность песка
оказалась выше в условиях плоской деформации по сравнению с
осесимметричной.
Анализируя результаты своих экспериментов, М. В. Малышев
[84] пришел к выводу, что гипотеза прочности Р. Мизеса —
А. И. Боткина в применении к песчаным грунтам опытами не под-
тверждается. Исходя из несовпадаемости идеальных, принятых
в теории предельного равновесия, и реальных площадок скольже-
ния в зернистой среде им предложено такое условие прочности,
учитывающее влияние среднего по величине главного напряжения
а2 и являющееся обобщением условия прочности О. Мора:
oi—os	1 , (1—Х)(ох—а2)(о2—Од)
=	-,	(z,. 4z)
(Ш+os+2оо) sin ф Y (oi—оэ)(о!-|- os4-2о0) sin <р
где
sin 261	s'n ,
= 26а ' = 261 '
61 н 68 — углы отклонения соответствующих полных напряжений от норма-
лей к главным площадкам.
При X = У = 1, т. е. для наиболее рыхлого сложения среды,
выражение (2.42) превращается в условие прочности Мора.
При плоском деформированном состоянии, когда <г2 =
=р (<71 + сг3), из (2.42) получается такое условие прочности:
oi—о3 1	_	((l~p.)Gi—^озПца!—(1—ц)о3] (2 43)
(ох4-о8-|-2о0) Y	(oi—a3)(oi4-o34-2o0)sin<p
где р —- коэффициент Пуассона.
55
В целях упрощения М. В. Малышевым предложен вариант ли-
неаризации условия (2.42) на двух участках:
1 1
Од < О2 2	и 2 (О14"°з) < °2 < °1-
В пространстве оь о2, сг3 условие прочности (2.42) представляет-
ся шестиугольной пирамидой с криволинейными гранями, которые
при = 0 становятся плоскими; условие же прочности Мизеса—
Боткина изображается конусом.
На октаэдрической плоскости условие (2.42) представляется
шестиугольником с криволинейными сторонами, условие Мора —
шестиугольником с прямолинейными сторонами, а условие Ми-
зеса—Боткина — окружностью или эллипсом.
§ 12 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
ПРЕДЕЛЬНОГО НАПРЯЖЕННОГО
СОСТОЯНИЯ СЫПУЧЕГО ТЕЛА
1. Плоская задача
Полагая в правых частях формул (2.17) ст2 = ох = оа и
Txz = 0, получаем после ряда преобразований:
°1+о3
—------cos 2а;
2
(2.44)
Вводим обозначения
—°з
0=--------;
2 sin <р
тогда
(2.45)
Согласно рис. 22
Р-“+ 4 - 2 
откуда
4"
и
cos 2а—sin (2р4~<р):
sin 2а= —cos (2|S - <р).
(2.46)
56
Подставив выражения (2.45) и (2.46) в уравнение (2.44) полу-
чим (рис. 22)
oz=о [1 J-sin ф sin (2p-f- ф)] —о0;
ож=0 [1—sin ф sin (2р-|-ф)]—о0;
тет= —о sin Ф cos (2р-|- ф).
(2.47)
Величина о называется характеристикой напряжений.
Подставляем выражения (2.47) в дифференциальные уравнения
равновесия (2.4). После ряда преобразований получаем систему
двух уравнений с двумя неизвестными функциями а и £:
[да да 1	Г др ' dp Т т cos (В-J- ф)
—cos Р+— sin р -1-20 tg ф -f-cos Р+--sin0 = -*--------
dz дх J	L dz дх J cos ф
— 81п(р-|-ф)— —— совф+ф) — 2otgV —sin Ф+ф)—
dz	дх	J	I dz
dfi . 1 T s*n P
— — cos (p 4-ф) =—— 
дх	J cos ф
(2.48)
Решением этой системы уравнений, полученной В. В. Соколов-
ским, являются некоторые функции о (z, х) н р (z, х) с непрерывными
частными производными в некоторой замкнутой области сыпучего
тела. Графики этих функций называются характеристиками.
Характеристики совпадают с линиями скольжения, так как и те,
и другие имеют одинаковые углы наклона к оси z.
Для получения уравнений характеристик нужно найти произ-
водные от о по z и х й приравнять одновременно нулю числитель
и знаменатель каждой производной. В результате получаются два
уравнения, называемые дифференциальными уравнениями харак-
теристик:
dz dx
cos р sin р
dz	dx
51П(р-|-ф)	COS(P-1-ф) '
(2.49)
Первое уравнение определяет первое семейство линий скольже-
ния, а второе — второе семейство линий скольжения. На рис. 22
направление линий скольжения показано линиями 1 и 2. Касатель-
ные к линиям скольжения первого семейства наклонены к оси z
под углом р, а касательные к линиям скольжения второго семейст-
ва — под углом Р —	+ Ф-
Общими интегралами дифференциальных уравнений (2.49) будут
соответственно уравнения первого и второго семейств характери-
стик:
А (г, х)=const н В (z, х)=const.
57
Тогда уравнения (2.49) можно представить в следующем виде:
ЗА	п . дА , п „
--cos В Jr^—— sin 6=0:
dz	н дх ‘
dB „ дВ
— sm(p+<p)—— cos(p+<p)=0.
(2.50)
Система четырех уравнений (2.48) и (2.49), называемая основ-
ной, с помощью формул преобразования приводится к канониче-
ской форме:
дх	п	dz . п „
	cos В—-sin 6=0;
дВ-----------Р дВ н
дх	дг
— sin(₽+<p)+—cos(P+<p)=0;
30 , „ 3Р Tcos(P+4i) 3z_________	(2-5,)
SB + g f dB "* cos <p cos p dB
до	dp -у sin p______dz
dA ° ЗА cos ф sin (p-f-ф) dA °*
Решение этой системы дифференциальных уравнений в частных
производных гиперболического типа обычно выполняется прибли-
женным методом. Отыскание неизвестных функций заменяется опре-
делением величин х, z, о и р в конечном числе узловых точек некото-
рой сетки характеристик, причем вычисления ведутся в табличной
форме.
Если у производных о по z или х знаменатель обращается
в нуль, а числитель отличен от нуля, то вместо характеристик, соот-
ветствующих линиям скольжения, будут получаться так называемые
линии разрыва, на которых величины производных напряжений
обращаются в бесконечность. Линии разрыва соответствуют скачко-
образным изменениям составляющих напряжений в сыпучей среде,
пришедшей в состояние предельного равновесия, но в которой име-
ются области, находящиеся в состоянии упругого равновесия.
Линии разрыва могут либо совпадать с линиями скольжения,
либо являться их огибающими.
В. В. Соколовский, пользуясь выведенными им дифференциаль-
ными уравнениями, дал решение ряда плоских задач предельного
равновесия механики сыпучих тел. Из них отметим следующие:
распределение напряжений в сыпучей среде; прочность оснований
под нагрузкой; определение активного и пассивного давления сы-
пучего тела на подпорные стены; определение давления сыпучего
тела, заключенного между параллельными стенками; устойчивость
откосов.
Для многих частных случаев В. В. Соколовский получил зам-
кнутые строгие в математическом смысле решения, а для всех ос-
тальных случаев дал общий приближенный метод решения, осно-
ванный на построении сетки характеристик по способу Массо.
58
Взамен численного метода решения задач предельного равнове-
сия сыпучей среды С. С. Голушкевич [29] предложил приближенный
графический метод не более удобный, но более наглядный.
2.	Осесимметричная задача
В этом случае составляющие напряжения также определяются
Ol ------------------------ Оя	D
посредством величины о = sjn  и через угол р следующими
выражениями, аналогичными выражениям (2.47):
ar=c [l-|-sm<psin (2Р4-ср)]—о0;
а,=о[1—sin <р sin (2р—ср)]—о0;
тг2= —a sin <р cos (2р -f-ip);
ов=а(1 =Fsin<p)—о0.
(2.52)
В последней формуле знак минус соответствует деформации сы-
пучего тела, направленной от оси z, а знак плюс — деформации,
направленной к оси г.
Подставив составляющие напряжений в дифференциальные урав-
нения равновесия, В. Г. Березанцев получил следующие дифферен-
циальные уравнения предельного равновесия:
да	до	1	/ дВ	дВ	\
— cosp+— Sinp l_|_ tg <р “- cosp-Ь—— sinp|4-
or	dz	J	\ or	Oz	]
+“~ [sin (P+<p) ± cos pl tg <p
I 4= sin ф sin(p+<p)
----------= T ;
COS tp	COS ф
— sin (Р+Ф)-------— cos(p-|-(p) — 2atg<p — sin (p+<p)—
[dr	dz	J	L dr
dB .	1 о n	1T sin <p cos p
----^-cosfp+qj) +—[sin (p+<p) ± cos ₽j tg p--------------=t--------. (2.53)
dz	J r	cos tp cos <p
Решение этой системы уравнений дает выражение первого и вто-
рого семейств линий скольжения:
А (г, г)=const и В (z, г) = const.
Система уравнений (2.53), так же как и аналогичная система
(2.48), может быть приведена к каноническому виду. Решение ее
может быть получено для ряда частных случаев в замкнутой фор-
ме, а в общем случае путем построения сетки характеристик, являю-
щихся линиями скольжения.
Если рассматривать некоторую область сыпучего тела, находя-
щуюся в предельном напряженном состоянии, и геометрически по-
добную ей модель, линейные размеры которых уменьшены в Л; раз,
то в подобно расположенных точках области нее модели напряжения
59
будут подобными, т. е. уменьшенными в N раз при одинаковых зна-
чениях (р,
с yl
---- и —;—,
а+о0 о+о0
где а — нормальные напряжения; I — линейные размеры.
Если линейные размеры модели уменьшены в N раз, то в подоб-
но расположенных точках модели области напряжения будут
совпадать, если объемный вес модели будет увеличен в N раз.
§ 13.	ГРАФИЧЕСКОЕ ИЗОБРАЖЕНИЕ
НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ СЫПУЧЕГО ТЕЛА
В механике сыпучих тел, как же как и в механике твердых упру-
гопластических тел, наряду с аналитическими методами решения
задач еще применяют и графические. Рассмотрим основные графиче-
ские способы изображения напряженного состояния сыпучего тела.
1.	Круговой график напряжений (круг Мора)
Вычисление напряжений, действующих по наклонным площад-
кам в какой-либо точке, с помощью формул (2.21) может быть заме-
нено следующим графическим построением.
В системе прямоугольных координат О' н т (рис. 23) на оси о
в избранном масштабе напряжений откладываются отрезки ОА и
ОВ, изображающие величины главных напряжений Oj и оя.
На отрезке АВ, равном разности Oj и ст3 как на диаметре, строят
окружность. Для нахождения нормального и касательного напря-
жений сга и та, действующих по площадке, нормаль к которой со-
ставляет с большим главным напряжением Од угол а, нужно постро-
ить при центре С центральный угол 2а (или угол а при точке В),
откладывая его в случае положительного значения против часовой
стрелки. Точка D, лежащая на окружности, соответствует данной
площадке, а ее координаты — нормальному и касательному напря-
жениям о'а и тк. Угол отклонения 6, определяемый условием (2.22),
выражается на чертеже углом, образуемым с осью о секущей OD.
Прн наличии сцепления к главным напряжениям должно быть
прибавлено давление связности о0, что равносильно переносу на-
чала координат из точки О в точку О'. При этом главные напряжения
ci и оз выражаются отрезками О'А и О'В.
Так как предельное равновесие в какой-либо точке сыпучего
тела, обладающего сцеплением, наступает в том случае, если для
двух площадок, проходящих через эту точку, будет выполняться
условие (2.28), то прямые O'D't проведенные под углом ср к оси о
и отвечающие этому условию, должны быть касательными к окруж-
ности в тех ее точках, которые соответствуют данным площадкам.
Для идеального сыпучего тела с = 0 и касательная должна про-
ходить через начало координат О. Из чертежа следует, что а± —
60
6
3
— - и а2 = ^^2' Таким образом, эти
углы определяют направление площадок
скольжения по отношению к направле-
ниям главных напряжений ст! и оз.
Возникновение двух симметричных
площадок скольжения отвечает возмож-
ности провести из точки О' под углом ср
две симметричные касательные к окруж-
ности. Из рис. 23 следует, что приведен-
ные напряжения по площадкам сколь-
жения равны так же, как и действи-
тельные напряжения по этим площадкам. При этом приведен-
ные напряжения, действующие по площадкам скольжения, будут
напряжениями сопряженными, т. е. направление одного из них па-
раллельно площадке, по которой действует другое, н наоборот.
61
По всем остальным площадкам, проходящим через данную точку
сыпучего тела и изображаемым другими точками окружности, в том
числе и точкой £>, напряженное состояние будет непредельным.
Условию предельного равновесия в данной точке сыпучего тела
удовлетворяют все круги, касательные к предельным прямым, про-
веденным из начала координат О' под углом ср к оси ст (рис. 24).
Область плоскости, заключенная внутри угла 2<р, называется
областью возможных напряжений. В общем случае пространст-
венного напряженного состояния в системе прямоугольных коорди-
нат (рис. 25) на оси ст в избранном масштабе напряжений отклады-
ваются отрезки, изображающие значения главных напряжений
стх, ст2 и ст3, и на разностях этих отрезков как на диаметрах строят
окружности /, II и III. Напряжения, действующие по площадкам,
параллельным направлениям стъ ст2 и ст3, изображаются соответст-
венно кругами /, II и III. Напряженное состояние по площад-
кам, пересекающим все три главные оси, изображается координа-
тами точек, лежащих в заштрихованной площади на рис. 25.
2.	Характеристические круги
Это построение, предложенное С. С. Голушкевичем, позволяет
найти направление площадок скольжения, проходящих через концы
данной площадки, если известны угол внутреннего трения сыпу-
чего тела и направление полного напряжения или давления, дейст-
вующего на эту площадку. Построение начинается с того, что в про-
извольном приемлемом масштабе вычерчивается прямоугольный
треугольник АВС, один из острых углов которого, например, угол
АВС, равен углу внутреннего трения сыпучего тела (рис. 26).
Из вершины прямого угла А треугольника опускается перпенди-
куляр AD на гипотенузу, и вершина С угла, равного л/2 — ср,
принимается за центр трех концентрических окружностей, радиусы
которых равны CD, СА и СВ. Малый круг называется кругом пло-
щадок, средний — кругом вершин, а большой — кругом полюсов.
Если продолжить линию AD до пересечения с окружностью
круга вершин в точке Е, то хорда АЕ, являющаяся одновременно
касательной к окружности круга площадок, разделит круг вершин
на две неравные части. Из рассмотрения четырехугольника А В ЕС
видно, что угол АСЕ — 2 (п/2 — ср).
Возьмем произвольную точку М на большей по длине части ок-
ружности круга вершин и соединим эту точку с концами А и Е
хорды круга вершин.
Очевидно, что
|_ЛСЕ я
L АМЕ=	— <р.
Если же взять точку М' на меньшей части окружности круга
вершин, лежащую по другую сторону от хорды АЕ, то
L XM*E=sn/2+<p.
62
В § 11 показано, что площадки скольжения в сыпучем теле,
находящемся в состоянии предельного равновесия, образуют между
собой углы л/2 — ф и л/2 + <р, поэтому прямые МА и ME (нли
прямые М'А н М'Е) можно рассматривать как направления одной
пары площадок скольжения из бесчисленного множества таких
площадок, проходящих через концы площадки, совпадающей по
направлению с хордой АЕ.
Очевидно, что треугольник АВС, определяющий соотношение
между радиусами кругов, может быть ориентирован совершенно
произвольно, а треугольник ВСЕ, построенный лишь для дока-
зательства теоремы, при решении практических задач можно^не
строить.
В результате можно сформулировать следующую теорему.
Если какую-либо площадку, проведенную в сыпучем теле, нахо-
дящемся в состоянии предельного равновесия, изображать парал-
лельной ей хордой круга вершин, касающейся круга площадок,
то любые две прямые, проходящие через концы хорды и пересекаю-
щиеся на окружности круга вершин, будут параллельны возможным
направлениям площадок скольжения,
проходящих через концы рассматри-
ваемой площадки.
Пример 1. Пусть требуется опреде-
лить направления площадок скольжения,
проходящих через концы площадки KL,
находящейся внутри предельно напряжен-
ного сыпучего тела, на которую действует
приведенное напряжение р (рис. 27, а).
Для решения этой задачи строим систе-
му кругов, отвечающих заданному углу
внутреннего трения ф (рис. 27, в).
Прежде всего в произвольном мас-
штабе строится произвольно ориентиро-
ванный прямоугольный треугольник АВС,
угол АВС которого равен заданному уг-
РИС. 27
63
лу <р. Из вершины прямого угла А опускается перпендикуляр AD на гипо-
тенузу, и радиусами CD, СА и СВ проводятся концентрические круги. Про-
водится хорда kl круга вершин, касательная к кругу площадок и парал-
лельная данной площадке KL. Через центр С системы кругов и точку п ка-
сания хорды kl с окружностью круга площадок проводится прямая до пересе-
чения в точке Е с окружностью круга полюсов. Через точку Е проводится
прямая, параллельная приведенному напряжению р, действующему по пло-
щадке KL, она пересекает круг вершин в точках М" и М. Прямые kM и 1М
определяют направление одной из возможных систем площадок скольжения,
а прямые feA4' и 1М'— направление другой. На основании свойства сопряжен-
ности напряжений по площадкам скольжения на рис. 27, б произведено раз-
ложение полного приведенного напряжения р на два направления — рг и р2»
параллельные первым двум площадкам скольжения, а также на направле-
ния Pi и р'2, параллельные другим двум площадкам скольжения. Таким обра-
зом, задача имеет два решения, для которых направления площадок сколь-
жения п действующих по ним напряжений показаны на рис. 27, а и д.
Глава III
ПРОЧНОСТЬ ОСНОВАНИЙ СООРУЖЕНИЙ
§ 14. УСЛОВИЯ ПРОЧНОСТИ ОСНОВАНИЙ
Если на горизонтальной поверхности сыпучего тела на полосе
шириной b приложена равномерная нагрузка р при наличии боковой
пригрузки q (рис. 28), то начало текучести основания у краев за-
груженной полосы наступает прн величине нагрузки, впервые най-
денной Н. П. Пузыревским:
П(?+Оо) п	п
P“'T=ctg<P-| <f-^l2+q’	(31)
где о0 ==	— давление связности.
Для идеально связного сыпучего тела, лишенного внутреннего
трения, при q.i —0 из формулы (3.1) получается
Рн.т^пс+д.	(3.2)
При дальнейшем увеличении нагрузки области текучести будут
увеличиваться и распространяться на все большую глубину, пока
ие произойдет выпирания сыпучего тела рядом с загруженной поло-
сой. При этом несущая способность основания по условию прочности
будет полностью исчерпана. Теоретически это должно произойти
при предельной нагрузке, выражаемой формулой Прандтля—Рейс-
нера
Рпр = !+"П^ (<7-Но)teф—оь-	(3•3)
1 —Sin ф
Для идеально связного сыпучего тела
Рлр=5,14с-Н.	(3.4)
РИС. 28
РИС. 29
Промежуточное по величине давле-
ние, при котором области предельного
напряженного состояния грунта под
краями фундамента распространяются
на глубину, равную 1/4 ширины послед-
него, выражается формулой
л(0,25-уй+д+о0)
ctg(p-|-(p—л/2	)
В действительности фундаменты со-
оружений (рис. 29) находятся в более
сложных условиях работы, так как, во-
первых, они обладают значительной
рис. зо
жесткостью в поперечном направлении; во-вторых, их подошва
находится не на поверхности, а на некоторой глубине h от
нее; в-третьих, давление по подошве распределено неравномерно
и может иметь не только нормальную, но и касательную составля-
ющую; в-четвертых, эксцентрицитеты равнодействующих фактиче-
ского или расчетного и предельного давления могут быть различ-
ными.
Опыты показывают, что нз-за этих причин при разрушении осно-
вания сыпучее тело не приходит полностью в предельное напряжен-
ное состояние и что непосредственно под фундаментом образуется
уплотненный клин, называемый ядром.
Форма разрушения основания под давлением от фундамента,
передающимся иа поверхность основания, зависит от вида грунта,
от степени заглубления фундамента и от величины эксцентрицитета
И угла наклона нагрузки, действующей на основание.
В зависимости от относительного заглубления h/b фундаменты
на песчаном основании подразделяются В. Г. Березанцевым на сле-
дующие группы:
а)	незаглублеиные и малозаглубленные при 0	~	0,5;
б)	средней глубины заложения, когда 0,5 С <12;
в)	глубокого заложения при ~ > 2.
Для первых двух групп, относящихся к фундаментам мелкого
заложения, предельное состояние по условию прочности характе-
64
3 Зак. 1169
65
ризуется сдвигом части грунта в основании по сформировавшимся
поверхностям скольжения, выходящим на поверхность. При этом
происходит выпирание грунта. Первые две группы фундаментов
отличаются только разной формой поверхностей скольжения.
Для фундаментов глубокого заложения в предельном состоянии
области сдвигов достигают определенной степени развития, но вы-
пирания грунта не происходит.
В зависимости от величины эксцентрицитета е нагрузки, дейст-
вующей па фундамент мелкого заложения, возможна одна из следую-
щих трех форм выпирания грунта, каждой из которых соответст-
вует определенная форма уплотненного ядра под подошвой фунда-
мента.
Первая форма разрушения основания (рис. 30, а), возможная
при величине эксцентрицитета, равной предельной, характеризует-
ся односторонним выпиранием грунта в сторону, противоположную
направлению эксцентрицитета, и наступлением предельного напря-
женного состояния во всей области, ограниченной объемлющей
поверхностью скольжения. Уплотненного ядра в этом случае не
возникает.
Вторая форма разрушения (рис. 30, б) возможна при эксцентри-
цитетах, меньших предельного. Она характеризуется двусторонним
несимметричным выпиранием и возникновением несимметричного
уплотненного ядра, по сторонам которого расположены части грун-
та, находящегося в предельно напряженном состоянии.
Наконец, третья форма разрушения может быть при централь-
ной нагрузке на фундамент (рис. 30, в). При этом возникает двусто-
роннее симметричное выпирание и симметричное уплотненное ядро.
Однако и при центральной нагрузке может произойти разрушение
основания несимметричной формы с односторонним выпиранием
грунта. При этом величина предельной нагрузки мало зависит от
того, по какой форме произойдет разрушение.
Таким образом, напряженное состояние основания оказывается
смешанным — частично предельным и частично упругим. Поэтому
наиболее строгим будет и смешанное решение задачи, которая
поставлена и решена для одного частного случая М. И. Горбуновым-
Посадовым [34]. Однако общее решение смешанной задачи для про-
извольной нагрузки на фундамент пока еще отсутствует, поэтому
в настоящее время целесообразно пользоваться приближенными ре-
шениями, построенными на тех или иных допущениях. Обычно
жесткость фундамента не учитывают и делают допущение о том, что
направление давления для всех точек подошвы одинаково и что
давление распределено по ширине подошвы фундамента по закону
прямой. Кроме того, подошва фундамента считается расположенной
на поверхности земли, а влияние заглубления учитывается приложе-
нием к этой поверхности рядом с фундаментом вертикальной равно-
мерно распределенной нагрузки интенсивностью q=yh. Очевидно,
что это допущение направлено в запас прочности основания и устой-
чивости фундамента, так как нетронутый грунт основания оказывает-
66
ся более благоприятным, чем несвязанная с основанием боковая
пригрузка того же веса. Кроме того, в ряде случаев еще приходит-
ся принимать те или иные допущения относительно очертания по-
верхностей скольжения, по которым происходит сдвиг грунта под
сооружением при разрушении основания.
В настоящее время существует довольно много различных реше-
ний, приводящих в большинстве случаев к сильно отличаю-
щимся результатам.
Из многих решений следует отдать предпочтение наиболее стро-
гим в теоретическом отношении решениям В. В. Соколовского [1151
и решениям В. Г. Березанцева [3], базирующимся на эксперимен-
тальных данных и анализе теоретических положений В. В. Соко-
ловского.
При расчете оснований весьма важен вопрос о коэффициенте за-
паса прочности основания, который выражается отношением равно-
действующих нагрузок: предельной 7?Пр и расчетной R, т. е.
k=Rnp/R	(3.6)
При этом предполагается, что силы/? и имеют не только оди-
наковый угол наклона S, но и одинаковые эксцентрицитеты, т. е.,
что е = епр. В действительности значение е может быть любым, в то
время как равнодействующая предельной нагрузки при заданных у,
Ф, си (/может быть определена только при определенном ее положе-
нии, т. е. при единственном значении еПр. При других значениях
о ¥= епр пока еще нет возможности найти величину предельного дав-
ления на основание и приходится находить соотношение (3.6) для
неподобных напряженных состояний, т. е. допускать еще одну не-
точность. Оправданием ее служит то, что, как правило, равнодейст-
вующая предельной нагрузки при е =/= ецр оказывается больше, чем
при е = епр. Однако, строго говоря, это требуется доказать в каж-
дом конкретном случае построением при данном коэффициенте за-
паса эквивалентной эпюры расчетного давления, которая вписы-
вается или хотя бы касается эпюры предельных давлений. Такой
прием предложен М. В. Малышевым и описан Н. А. Цытовичем
[137] и В. Г. Березанцевым 13]. Более простым оказывается сравне-
ние наибольших расчетных сгшах и предельных ртах краевых дав-
лений с обеспечением некоторого коэффициента запаса
k1=£^.	(3.7)
Отах
Значение k принимается в пределах 2,5—3, а для kr оно, по
мнению автора, может быть снижено до 1,5—2.
Ниже рассматриваются три способа решения задачи: строго тео-
ретический способ, предложенный В. В. Соколовским, в котором не
учитывается образование клина уплотненного грунта, способ, пред-
ложенный В. Г. Березанцевым, являющийся наиболее общим, и
способ, предложенный Траи Во Нгиемом [154].
3*	67
§ 15. РЕШЕНИЯ ТЕОРИИ
ПРЕДЕЛЬНОГО НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ
1.	Случай равномерной вертикальной нагрузки
Если на некотором участке поверхности сыпучего тела действует
нормальное к этой поверхности давление, то в сыпучем теле возни-
кает напряженное состояние. Принимая это напряженное состояние
предельным, В. В. Соколовский нашел составляющие напряжений,
удовлетворяющие дифференциальным уравнениям (2.48). При этом
задача имеет два решения, отвечающих минимальному и максималь-
ному давлениям на основание. В случае минимального (активного)
давления при произвольной нагрузке р(х) распределение напряже-
ний у поверхности будет:
„	. х 1—sin ф	2trn
<fc=p (*); ох=р (х)	.--.	(3.8)
l-l-smcp l+sin(p
При этом оба семейства линий скольжения вблизи поверхности
наклонены к вертикали под углами 45° — <р/2.
Если давление на поверхность распределено равномерно (рис. 31),
то составляющие напряжений с учетом объемных сил на любой глу-
бине z будут определяться такими формулами:
I—sin 2оп
oz=?z+p; °«=(тгН7>)г7.7; — 77.—; т„=о.	(з.е>
l-psinip l-{-sin<p
Максимальному давлению (пассивному сопротивлению) в этом
случае соответствует такое распределение напряжений:
„ 1—J-sinrp	2оп
Cz=?z+p; Cx=(?z+p)-—-7-7+-:— i	(3.10>
I — Sin ф	1—Sin ф
т xz = 0.
Для сохранения предельного равновесия сыпучего тела необхо-
димо рядом с нагрузкой р приложить равномерную пригрузку ин-
тенсивностью
1—sin ф	.	, .	251Пф	.	, .
?=р — .	ехр {—л tg <р}— а0 ——---ехр {—л tg 9}.	(3.11)
1-|-Sin ф	I-|-Sin ф
В сыпучем теле, находящемся в предельном напряженном со-
стоянии, различаются три области (рис. 31).
В треугольнике О АВ пре-
РИС. 31
дельное напряженное состояние
будет минимальным, т. е. соот-
ветствующим активному давле-
нию. Сетка линий скольжения
состоит из двух семейств парал-
лельных прямых, составляющих
с осью z углы 45° — <р/2.
В треугольнике OCD предель-
ное напряженное состояние ока-
68
зывается максимальным, т. е. соответствующим пассивному сопро-
тивлению сыпучего тела. Сетка линий скольжения также образо-
вана двумя семействами параллельных прямых, составляющих с
осью z углы 45° + <р/2.
В секторе ОВС первое семейство линий скольжения является
пучком прямых, проходящих через точку О, второе же семейство
состоит из логарифмических спиралей, определяемых в полярных
координатах уравнением
г=сехр^-^-+-2-— лп) tg<pj.	(3.12)
Если нагрузка р действует на участке ОА длиной Ь, то пригрузка
q должна быть приложена на участке 0D длиной не менее
1 4- sin
1 — sin ф
ехр{“7 *в ч>}-
(3.13)
При учете объемных сил прямолинейными будут лишь линии
скольжения в треугольнике О АВ, а в двух других областях оба
семейства линий скольжения криволинейны.
Для определения наименьшей величины заглубления h, при ко-
торой сыпучее тело сохраняет предельное равновесие, достаточно
подставить в формулу (3.10) вместо q выражение yh + q и решить
полученное уравнение относительно h.
2.	Случай наклонной равномерной нагрузки
Если равномерное давление, действующее на поверхности сыпу-
чего тела, имеет нормальную и касательную составляющие р н t
(рис. 32), то искомая величина требуемой пригрузки определяется
формулой
?=₽ 1 + sin <рsin (21^4*<р)	1“Г + Т+ 'g
—°о fl— 4-----1 — 5111 ф------ ехр f—(2i|>4-—+<р) tg<pll, (3.14)
L l + sin<psin(2it+<p) 'I	2	VJJ. V
где
, я ф 6 . 1	, / sin 6 Gn sin в \
"Ф = —— -Z- + —+ — arc sin ------——--------- ;
4	2	2	2	\ sin ф о sin ф /
tg6=//p.
Для определения наименьшей величины заглубления Л, при кото-
рой сыпучее тело сохраняет предельное равновесие, если известны
значения нормальной и касательной составляющих давления вдоль
основания (рис. 33), достаточно подставить в формулы (3.14) вместо
q выражение yh + q и решить полученное уравнение относительно Л.
69
РИС 32
РИС. 33	РИС. 34
3.	Случай наклонной неравномерной нагрузки
Наиболее общее и достаточно строгое решение для предельной
полубесконечной наклонной нагрузки получено В. В. Соколовским
суммированием предельной нагрузки для весомого идеально сыпу-
чего тела и предельной нагрузки для невесомого сыпучего тела, об-
ладающего только сцеплением. При этом для вертикальной и го-
ризонтальной составляющих предельной нагрузки в сечении х по-
лучены выражения (рис. 34):
Pnp=^vVx+A'g7-rA'cC;	(3.15)
(пр =:Рпр tg 6,	(3.16)
где Nv, Ng, Nc — коэффициенты, значения которых получены Вычисли-
тельным центром АН СССР по построенной сетке линий скольжения как функ-
ций угла внутреннего трения <р и угла 6 наклона нагрузки к вертикали.
Значения этих коэффициентов приведены в табл. 7.
Формулами (3.15) и (3.16) в качестве приближенных можно поль-
зоваться и при конечной ширине b фундамента, если исходить из
условия одностороннего выпирания сыпучего тела. Для получения
краевых ординат эпюры предельной нагрузки в формулу (3.15)
нужно подставить х = О и х = Ъ. Средняя ордината нормальной со-
ставляющей нагрузки находится при х = а = и выражается фор-
мулой
Рпр=ya-\-Nq 9+ Nc с,	(3.17)
Равнодействующая предельной наклонной нагрузки будет равна:
7?пр=-Ц-(л,тТ’«+Л'9!«+Л'еС)=£аЕ^-.	(3.18)
COS О \	“ cos о
70
ТАБЛИЦА 7. ЗНАЧ ЕНИЯ КОЭФФИЦИЕНТОВ N?, NQ И NC3
ПОЛУЧЕННЫЕ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫМ ЦЕНТРОМ АН СССР
Коэффи- циент		q>, град								
		0	Б	10	15	20	25	30	35	40
"у		0	0,17	0,56	1,4	3,ie	6,92	15,32	35,19	86,46
Л', JVo	0	1 5,14	1,57 6,49	2,47 8,34	3,94 11	6,4 14,9	10,7 20,7	18,4 30,2	33,3 46,2	*64,2" 75,3
"т		—	0,09	0,38	0,99	2,31	5,02	11,1	24,38	61,38
Л/с	5	—	1,24 2,72	2,16 6,56	3,44 9,12	5,5C 12,5	9,17 17,5	15,6 25,4	27,9 38,4	52,7 61,6
		—	—	0,17	0,62	1,51	3,42	7,64	17,4	41,78
Л/, Nc	10	—	—	1,5 2,84	2,34 6,88	4,65 10	7,65 14,3	12,9 20,6	22,8 31,1	42,4 49,3
Ny		—	—	—	0,25	0,89	2,15	4,93	11,34	27,61
Nq No	15	—	—	—	1,79 2,94	3,64 7,27	6,13 11	11,4 16,2	18,1 24,4	33,3 38,5
Nv		—	—	—	—	0,32	1,19	2,92	6,91	16,41
Nq tie	20	—	—	—	—	2,09 3	4,58 7,68	7,97 12,1	13,9 18,5	25,4 29,1
Ny		—	—					—	0,38	1,5	3,85	9,58
Л'„ Nc	25	—	—	—	—	— 1	2,41 3,03	5,67 8,09	10,2 13,2	18,7 21,1
Л'„		—	—	—	—						0,43	1,84	4,96
Ng Nc	30	—	—	—	—	—	—	2,75 3,02	6,94 8,49	13,1 14,4
Ny				—	—									0,47	2,21
Ng Nc	35	—	—	—	—	—	—	—	3,08 2,97	8,43 8,86
Ny										0,49
Ng Nc	40	—	—	—	--	—	—	—	—	3,42 2,88
Формулы (3.17) и (3.18) — универсальные, так как они выражают
предельные величины давлений и равнодействующей нагрузки иа ос-
нование для загружений любых видов, для любых глубин заложе-
ния и по любым методам. Меняются лишь числовые значения коэф-
фициентов Nv, Nq и Nc (см. табл. 7).
71
§ 16. РАСЧЕТ ПРОЧНОСТИ ОСНОВАНИЯ
€ УЧЕТОМ ОБРАЗОВАНИЯ
УПЛОТНЕННОГО КЛИНА ГРУНТА
1.	Фундаменты протяженные
Для незаглубленных и малозаглубленных фундаментов (0^|-
0,5) при грунтах основания с внутренним трением и сцеплением
илн только внутренним трением, при действии наклонной или вер-
тикальной нагрузки, приложенной с эксцентрицитетом или цент-
f^bHO, применяется метод В. В. Соколовского, описанный выше
формулы (3.15)—(3.18) и табл. 7]. Если нагрузка от фундамента вер-
тикальная и приложена центрально, то более точные результаты мо-
гут быть получены при рассмотрении симметричной схемы разруше-
ния основания с учетом образования под подошвой уплотненного
ядра в виде трехгранной призмы с основанием в виде равнобедренно-
го прямоугольного треугольника (рис. 35).
Начиная от вершины ядра сектор с центральным углом л/2 +
<р/4 ограничен дугой логарифмической спирали, которая выра-
жается уравнением
(31э)
где 0 — полярный угол, отсчитываемый от поверхности земли.
В результате решения дифференциальных уравнений предель-
ного равновесия с учетом принятого очертания линий скольжения
и уравнения равновесия ядра, которое рассматривается как абсо-
лютно жесткое тело, В. Г. Березанцевым получены коэффициенты
к формулам (3.15)—(3.18), приведенные в табл. 8 и отличающиеся от
соответствующих коэффициентов табл. 7.
ТАБЛИЦА 8. ЗНАЧЕНИЯ КОЭФФИЦИЕНТ О В Nv, Nq И WC1
ПОЛУЧЕННЫЕ В. Г. БЕРЕЗАНЦЕВЫМ
<Р. град
24	26	28	30	32	34	36	38	40	42	44	46
0.8	13,6	16	21,6	28,6	39,6	52.4	74,8	100,2	154,6	220,6	319,2
8,8	12,3	16	19,3	24.7	32.6	41.5	54,8	72	98,7	137,2	195
19,8	23.2	25,8	31,5	38	47	56,7	70	84,7	108,8	141,2	187,5
2.1	2.3	2,5	2,6	2.8	3.1	3,3	3.5	3,9	4,3	4,8	5,3
Для фундаментов средней глубины заложения (0,5 <	2)
на несвязных грунтах основания очертание поверхностей скольже-
ния оказывается другим, чем в случае малозаглубленных фундамен-
тов, и принимается таким, как это показано на рис. 36.
72
РИС. 35
Предельное давление в случае центральной нагрузки определяет-
ся по формуле
Рпр=Мууа,	(3.20)
где N? — коэффициент, определяемый по табл. 9 в зависимости от угла вну-
треннего треиия ф и отношения h/b,
ТАБЛИЦА 9. ЗНАЧЕНИЯ КОЭФФИЦИЕНТА
ft ь	Nv при ф, град										
	26	28	30	32	34	36	38	40	42	44	46
0,5	28	35	45	58,4	83,4	105,4	144	197	274	400	570
1	42,6	58,8	69,6	90,4	118	159	210,6	292,4	408	590	824
2	72,6	97	117,8	152,4	188,8	276	354	484	662	954	1334
Для фундаментов глубокого заложения В. Г. Березанцевымтакже
получены соответствующие значения коэффициента Nv, но для таких
фундаментов предельное состояние по прочности основания уже не
является диктующим, так как несущая способность основания не мо-
жет быть полностью использована из-за больших осадок.
Основываясь на результатах экспериментов, Тран Во Нгием
[154] предложил для определения несущей способности сыпучего
основания при внецентрениой наклонной нагрузке расчетную схему,
показанную иа рис. 37. При этом он принял, что на грань ОВ уп-
лотненного клина и на часть AF грани АВ действует пассивное дав-
ление, распределенное по закону треугольника и составляющее-
РИС. 36
7?
с нормалями к этим площадкам углы ср. На протяжении линии BF,
по которой предполагается скольжение, распределение давлений
получено интегрированием уравнения Кёттера. Для упрощения рас-
четов принято, что у вершины В клина давления, действующие на
смежные грани, равны, поэтому давление в любой точке 5 площадки
BF выражается
as=BS sin (tp— р).
Составив три уравнения равновесия всех сил, действующих на
клин ОАВ, и произведя многочисленные испытательные расчеты для
разных значений а и р при определенных значениях <р и 6, автор
получил^ значения^ силы Рпр= Rapcos 6 и соответствующие значе-
ния относительного эксцентрици-
тета envlb. Эти величины представ-
лены на графиках рис. 38 и 39 в
зависимости от углов <р и 6.
РИС. 38
74
Пример 2. Для фундамента шириной Ь — 2а = 4 м при глубине заложе-
ния h = 2 м, основанием длн которого служит суглинок с объемной массой
р = 1,8 т/м3 (у =18 кН/ма)*, углом внутреннего трения ф = 24° и удельным
сцеплением с = 10 кПа, требуется определить три вида равномерных давле-
ний: давление, соответствующее началу текучести, давление, при котором
области текучести доходят до глубины, равной 1/4 ширины фундамента, и
предельное давление. Определить также допустимое равиомериое давление
при коэффициенте запаса k = 3.
По формуле (3.1) при q = yh = 18 • 2 = 36 кПа и при о0 = с ctg ф =
= 10 • 2,25 = 22,5 кПа находим давление, соответствующее началу теку-
чести
Ме+а») ,	3,14(36+22,5)	, „„	„
Рв.т =----------~+<7—--------------25°------+36 = 201 кПа.
ctg<p+<p—у-	2,25+3,14 —-1,57
Ь
Давление, при котором области текучести достигают глубины =1 м,
определяется по формуле (3.5)
;г.(0,2Г.тЬ | <7 | 0„) ,	3,14 (0,25-18.4+ 36 + 22,5) w
₽ly4 ctg<p+<p—п/2	7	2,25 +0,436—1,57	+	К И’
Предельное давление в случае двустороннего выпирания грунта по фор-
муле (3.15) и табл. 8
Pnp=^vyc-b7VQ9-|-^c=9,8-18.2+ 9,8-36+19,8 10= 904 кПа.
Предельное давление при одностороннем выпирании по формуле (3.15)
и табл. 7.
рпр = 6,17-18- 2+9,84-364-19,54-10 = 771 кПа.
При этом коэффициенты определены интерполяцией.
Допустимое среднее равномерное давление на основание
Р—Popik = 771(3 =257 кПа (—2,5 кгс/см2).
Это давление близко к значению pi/4.
Пример 3. Проверить прочность основания сооружения шириной b —
= 2а = 6 м, если оно передает па основание силу R = 500 кН/м, приложен-
ную под углом 6 = 15°, и с эксцентрицитетом е = 0,75 м. Фундамент заложен
на глубину h =2 м в песчаный грунт, насыщенный водой, со значением у =•
— 10 кН/м3 и углом внутреннего трения ф = 25°.
Пригрузка от грунта, лежащего выше подошвы,
q=yh= 10-2=20 кПа.
Равнодействующая предельной нагрузки по формуле (3.18) с коэффици-
ентом из табл. 7 для заданных значений ф и В
6
/?пр=---—(2,15-10-3+6,13-20) = 1262 кН/м.
cos 15
Коэффициент запаса прочности основания
fe= Япр/Я= 1262/500=2,53.
Так как расчетный и предельный эксцентрицитеты не равны, то нужно
еще сопоставить краевые ординаты эпюры предельных и расчетных давлений.
* Здесь и далее по тексту значение у сыпучего тела (в кН/м8) получает-
ся путем умножения его плотности или объемной массы р (в т/м3) иа#~10 м/с2.
75
Краевые ординаты эпюры предельных давлений по формулам (3.15)
и (3.16) с коэффициентами, взятыми прн <р — 25° и б = 15°. по табл. 7:
р0 =2,15-10-04-6,13-20 = 122,6 кПа;
*о=Ро tg 6 = 122,6- tg 15е =32,8 кПа;
Рб = Ртах=2,15-10-6-J-6,13-20=251,6 кПа;
/b=pbtg 6=251,6-0,258=65 кПа.
Эксцентрицитет предельной нагрузки при трапециевидной эпюре предель-
ных давлений составляет:
b	Ро+2рь	Ь	6	122,6-5-2-251.6	6	п ,
з	Ро+ръ	2	3	122,64-251.6	2
Краевые ординаты эпюры расчетных давлений:
Kcosfi Л	бе \ 500-0,968 /	6-0,75\	„
пш., =—— 1- — =--------------=---- 1- —— =20,2 кПа;
ь \	bl 6	\	6/
Ксозб / , 6г X 500-0,968/ , 6-0.75Х
си„ = -^(1+ — )=—~ (1+ — )=141кПа;
2.	Фундаменты круговые в плане
Приближенная формула для определения предельного давления
жесткого шероховатого незаглубленного и мало заглубленного фун-
дамента на связное основание выведена В. Г. Березанцевым 13] на
основе ряда допущений, оправданных опытными данными. Уплот-
ненное ядро под подошвой фундамента принимается в виде конуса
с углом при вершине по меридиональному сечению равным 90°. Для
объемлющей поверхности скольжения, начинающейся от вершины
уплотненного ядра, принято очертание, показанное на рис. 40. Об-
разующая этой поверхности состоит из отрезка логарифмической
спирали ВС и отрезка прямой CD.
Путем интегрирования одного дифференциального уравнения
предельного равновесия по заданному очертанию поверхности сколь-
жения с использованием условия равновесия уплотненного ядра как
РИС. 40
76
твердого тела получена формула для средней интенсивности предель-
ного давления на основание
Pnp=^vya+^a<]+^cC,	(3.21)
где а — радиус подошвы фундамента; Nq, Nc — коэффициенты, значе-
ния которых приведены в табл. 10.
Ф. град
Коэф-
ТАБЛИЦА 10. ЗНАЧЕНИЯ КОЭФФИЦИЕНТОВ NVt N И JV
фици- ент	16	18	20	22	24	26	28	30	32	34	36	38	40	42
	4,1	5,7	7,3	9,9	14	18,9	25,3	34,6	48,8	69,2	97,2	142,5	216	317
	4,5	6,5	8,5	10,8	14,1	18,6	24,8	32,8	45,5	64	87,6	127	185	270
No	12,8	16,8	20,9	24,6	29,9	36,4	4b	55,4	71,5	93,6	120	161	219	300
2а	1,44	1,5	1,58	1,65	1,73	1,62	1,91	1,99	2,11	2,22	2,34	2,45	2,61	2,7(
Формулой (3.21) и табл. 10 можно воспользоваться н для расчета
фундаментов, имеющих в плане форму квадрата со стороной 2с.
Для фундаментов средней глубины заложения (0,5 < —
2)	очертание линий скольжения принято таким же, как и
в случае соответствующей плоской задачи. Предельное давление на
несвязное основание выражается формулой
Pnp=Nvya.	(3.22)
Коэффициент в этом случае определяется по табл. 11.
ТАБЛИЦА 11. ЗНАЧЕНИЯ КОЭФФИЦИЕНТА N?
ft 2а	при <р, град						
		30	32	35	38	40	42
0,5	43	81	105	180	310	458	684
1	60	107	140	228	360	520	812
1,5	87	162	200	319	480	690	1100
2	140	250	325	520	820	1200	1570
Другие значения коэффициентов для жесткого штампа получены
Ж- Биарезом, И. Легалем, Р. Негре и П. Стютцем 11481, которые ис-
пользовали дифференциальные уравнения В. Г. Березанцева и опре-
делили угол при вершине уплотненного конического ядра под штам-
пом из условия минимума нагрузки, разрушающей основание. Ими
получены значения коэффициентов, приведенные в формуле (3.21)
и в табл. 12.
Пример 4. Определить предельную нагрузку иа основание фундамента
башни диаметром d = 2а = 6 м и глубиной заложения h = 6 м, если грунт
(мелкий песок средней плотности) характеризуется расчетным значением
¥ = 18 кН/м3 и углом внутреннего треиия <р = 30°. В соответствии с рекомен-
77
ТАБЛИЦА 12. ЗНАЧЕНИЯ КОЭФФИЦИЕНТОВ „ , Ng И NCt
ПОЛУЧЕННЫЕ Ж- БИАРЕЗОМ И ДР.
Коэффициент	ф. град				
	0	б	16	30	40
Nv	0	0,13	1,64	21	156
N,t	1	1,8	5,4	38	186
Но	6,3	9,1	16,35	64	220
дациями В. Г. Березанцева следует снижать на 2° расчетный угол внутрен-
него трення при решении осесимметричных задач по предложенным им фор-
мулам. Примем <р = 30° — 2° = 28°.
Относительная глубина заложения фундамента h/2a = 6/6 = 1 > 0,5
относится к категории средней.
Для определения предельного давления на основание пользуемся форму-
лой (3.22) н табл. 11:
Рпр=^т'уа=83,5-18-3=45О9 кПа.
По методу Ж. Б нареза и др.
Pnp=/VYya+Ngq=21  18-3+ 38-18-6=5230 кПа,
т. е. на 16% больше.
§ 17.	ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ДАННЫЕ
1.	Опыты В. И. Курдюмова
Первые опыты по исследованию поведения песчаного грунта при
вдавливании в него заглубленной модели фундамента проведены
в 1890 г. В. И. Курдюмовым. Для опытов использован стеклянный
ящик, наполненный песком. Модель фундамента нагружали верти-
кальной, постоянно увеличивающейся нагрузкой. Так как модель
стояла вплотную к стенке, она была хорошо видна снаружи и с нее
последовательно сделано несколько фотоснимков на одну и ту же
пластинку. При этом изображение частиц песка, пришедших в дви-
жение, получилось в виде нерезких черточек, направленных по тра-
ектории движения. Частицы же, оставшиеся неподвижными, изо-
бражены на снимке резко.
В процессе опыта В. И. Курдюмову удалось установить последо-
вательность движения частиц. Вначале при малых нагрузках в дви-
жение приходят лишь частицы песка, расположенные на небольшой
глубине под подошвой фундамента; они перемещаются вниз. При уве-
личении нагрузки область движения частиц распространяется на
более глубокие слои песка, причем частицы, расположенные у краев
фундамента, уже начинают перемещаться в стороны. Дальнейшее
увеличение нагрузки приводит к тому, что эти частицы получают пе-
ремещение не только в стороны, но и вверх. Наконец, при некоторой
предельной нагрузке равновесие нарушается, грунт около фундамен-
та выпучивается вверх и образует валики.
78
Позднее М. X. Пигулевским обнаружено, что при вдавливании
в песок жесткого штампа под последним образуется уплотненное
ядро грунта, которое является как бы продолжением штампа и раз-
двигает подобно клину окружающий грунт.
2.	Исследования А. А. Ничнпоровича и Н. Я. Хрусталева
Для проверки различных методов оценки несущей способности
оснований во Всесоюзном научно-исследовательском институте водо-
снабжения, канализации, гидротехнических сооружений и инженер-
ной гидрогеологии (ВОДГЕО) начиная с 1935 г. были проведены мно-
гочисленные опыты как на центробежной машине, так и в лотке.
Опыты в лотке проведены на моделях шириной 15—48 см при верти-
кальных напряжениях по подошве 1,5—50 кПа, а опыты на центро-
бежной машине — при ширине моделей 8—24 см н напряжениях
70—600 кПа.
Аналогичные опыты проведены во Всесоюзном научно-исследова-
тельском институте гидротехники Б. Е. Веденеева (ВНИИГ).
На основе анализа всего экспериментального материала
А. А. Ничипоровичем и Н. Я. Хрусталевым [91] результаты всех
опытов приведены к одинаковому масштабу и опытные точки, пе-
ресчитанные на натуру при ширине основания 10 м, нанесены на гра-
фик для установления зависимости между вертикальной р и горизон-
тальной t составляющими давления на основание при разрушении.
По формуле, выведенной В. Г. Березанцевым, построена кривая
р, кПа.
РИС. 41
79
обозначены значком •, опыты ВОДГЕО в лотке — А, опыты
ВНИИГ в лотке — X.
При этом оказалось, что начальный участок графика изображает-
ся прямой линией, образующей с осью р угол <р. Следовательно,
/ = р tg (р и сдвиг в этом случае происходит непосредственно по ос-
нованию.
Если угол наклона равнодействующей давления на основание
меньше угла трения, то разрушение основания характеризуется
односторонним выпиранием, причем выпирающая область грунта
оказывается тем большей, чем меньше угол 6. Наконец, при верти-
кальной нагрузке на фундамент выпирание может быть уже дву-
сторонним в зависимости от возможности поворота сооружения.
Опыты показали, что наличие эксцентрицитета несколько изме-
няет картину потери прочности основанием, незначительно снижая
общую прочность при эксцентрицитете в сторону горизонтального
давления и повышая ее при эксцентрицитете в противоположную
сторону.
3.	Опыты В. Г. Березанцева
Начиная с 1949 г. В. Г. Березанцевым при консультации
Н. А. Цытовича в лаборатории механики грунтов Ленинградского
инженерно-строительного института (ЛИСИ) проведены опыты
по исследованию устойчивости полосовых и круглых фундаментов [8].
Модели полосовых фундаментов размерами 9,8x22,2 и 4,5X22,2
см. Основанием их были мелкозернистые пески с объемной массой
1,65—1,75 т/м8 и с углом внутреннего трения 30—35° при коэффициен-
те пористости 0,6—0,5, а также супеси, суглинки и глииы. Опыты
проведены как на заглубленных, так н на незаглубленных моделях
фундаментов при различных эксцентрицитетах вертикальной на-
грузки.
Очертание поверхностей скольжения определяли по деформации
тонких горизонтальных меловых полосок, специально введенных
в грунт у прозрачной боковой стенки сборного ящика. Расстояние
между стенками ящика было равно длине модели. Результаты опытов
показали, что если положение равнодействующей давления на мо-
дель фундамента соответствует положению центра тяжести теорети-
ческой эпюры давлений, то очертания поверхностей скольжения
в песчаном грунте, полученные экспериментально, достаточно хоро-
шо совпадают с теоретическими по методу В. В. Соколовского.
Если же эксцентрицитет равнодействующей давления меньше
теоретического, то очертание поверхностей скольжения не совпадает
с полученным в результате расчета. В этом случае разрушение осно-
вания характеризуется двусторонним несимметричным выпиранием
грунта с образованием уплотненного ядра. При центральном при-
ложении нагрузки происходит двустороннее симметричное выпира-
ние и образуется несимметричное ядро с формой поперечного сече-
ния, близкой к равнобедренному прямоугольному треугольнику.
80
Достаточного числа опытных данных об очертаниях несимметричного
ядра при различных эксцентрицитетах пока нет.
В тех опытах, где основанием служила пластичная глина (у =
= 20,9 кН/м4 5 * * 8, (р = 17°, с = 33 кПа н в = 0,64), выпиранию пред-
шествовало значительное неравномерное уплотнение грунта, сопро-
вождающееся его разрывом по краям модели. Выпирание грунта
в стороны происходит уже после значительной осадки модели, на-
ступающей вслед за разры-
вом поверхностного слоя.
Опыты с круглыми штам-
пами диаметром 16 см при
различном заглублении их в
грунт проведены в 1949 г.
А. Я- Лускииым при уча-
стии В. Г. Березанцева и
О. А. Савинова. При этом
основанием служил влажный
разнозернистый песок с объ-
емным весом 19—20 кН/м3,
углом внутреннего трения 40°
и коэффициентом пористости
ТАБЛИЦА 13. СРАБИЕНИЕ ОПЫТНЫХ
И РАСЧЕТНЫХ ДАННЫХ ПО ИССЛЕДОВАНИЮ
УСТОЙЧИВОСТИ ФУНДАМЕНТОВ
Заглубление штампа в грунт, см	Предельное давление, кПа	
	го данным опытов	по формуле (3.21)
0,5	350	363
4	500	486
7,5	700	608
13,5	1000	820
0,61. В табл. 13 результаты опы-
тов сопоставлены с результатами расчета по формуле (3.21).
Ширина кольца, образуемого валиками выпирания грунта во-
круг штампа, составляла примерно 1,5 его диаметра.
4. Опыты А. С. Кананяна
Экспериментальное исследование разрушения песчаного основа-
ния при действии вертикальной нагрузки проведено в Научно-иссле-
довательском институте оснований н фундаментов Госстроя СССР
А. С. Кананяном [61]. Опыты проводились со штампами шириной
10 и 15 см и длиной 82 см на песчаном основании.
При этом оказалось, что незначительная неоднородность плот-
ности песка в основании приводит даже при строго вертикальном
вдавливании штампа в песок к двустороннему несимметричному вы-
пиранию. Предельное давление и размеры уплотненной зоны песка
под штампом увеличивались с увеличением трения между песком
и подошвой штампа. При этом экспериментально найденное предель-
ное давление оказалось значительно больше расчетного, подсчитан-
ного по формулам, предложенным В. В. Соколовским, В. Г. Березан-
цевым, М. И. Горбуновым-Пссадовым и А. С. Кананяном.
5. Опыты М. В. Малышева
М. В. Малышевым в 1951 г. проведены лабораторные эксперимен-
ты по определению несущей способности песчаных оснований и тра-
екторий перемещений частиц песка. Опыты проведены в условиях
плоской деформации в лотке размером 300 X 90 X23 см с остекленной
8!
стенкой. В качестве сыпучего тела взят сухой песок средней круп-
ности с углом внутреннего трения q> = 33° и коэффициентом по-
ристости е в пределах 0,54—0,58.
К моделям фундаментов шириной 15, 20 и 30 см, установленным
как на поверхность основания, так и с заглублением, прикладывали
центрально-вертикальную силу, а в ряде опытов еще и горизонталь-
ную сдвигающую силу. Вертикальную силу в ходе опытов увеличи-
вали до тех пор, пока не наступало выпирание песка из основания.
В тех опытах, в которых прикладывали горизонтальную силу, ее
увеличивали до тех пор, пока не происходил сдвиг модели с захватом
части основания при постоянной величине вертикальной силы. На-
гружали модель при помощи домкрата, а в ходе опытов измеряли
вертикальные и горизонтальные усилия и соответствующие им пере-
мещения. Для регистрации перемещений частиц применяли способ
фотофиксации.
Установлено, что потеря несущей способности основанием под
штампами шириной 15, 20 и 30 см происходила соответственно при
давлении 80, 100 и 150 кПа.
Опытами подтверждено возникновение уплотненного ядра под
штампом, которое, как правило, очерчивалось двумя вогнутыми кри-
выми; они не всегда начинались у краев штампа, особенно если он
был гладким. Под сдвигаемым штампом ядро начиналось в средней
части штампа. При небольших нагрузках сдвиг штампа происходил
по поверхности основания и только с увеличением вертикальной на-
грузки формировалось ядро, начинающееся от кромки штампа с той
стороны, куда происходил сдвиг.
6. Опыты А. С. Строганова
А. С. Строганов [1171 произвел опыты с разрезным штампом при
измерении давлений на каждый элемент и с доведением сыпучей сре-
ды до предельного состояния, характеризуемого независимостью кон-
тактных давлений от перемещений. Это позволило выполнить гранич-
ные условия, соответствующие
теоретическим.
Разрезной штамп, состоящий
из шести швеллеров размером
12X100 см, устанавливали на по-
верхность песчаного основания с
обеспечением одностороннего вы-
пирания песка для воспроизведе-
ния кинематических условий, соот-
ветствующих теоретическому ре-
шению. Перемещения штампа уве-
личивали ступенями вплоть до
наступления предельного состо-
яния. Результаты одного из экс-
периментов представлены в виде
82
эпюр давлений на рис. 42, где незалитые кружки соответствуют
вдавливанию штампа с большой скоростью (продолжительность
опыта ~1 ч), а кружки, залитые черным, — с малой скоростью
(продолжительность опыта ~ 8 ч). Ниже показана теоретическая
эпюра предельных давлений.
Глава IV
УСТОЙЧИВОСТЬ откосов
§ 18. УСЛОВИЯ УСТОЙЧИВОСТИ откосов
Исходя из характера их работы следует различать откосы насы-
пей и выемок (карьеров). В первом случае откосы ограничивают ис-
кусственно создаваемый массив сыпучего тела конечных разме-
ров (рис. 43, а), тогда как во втором (рис. 43, б) откос образуется
удалением некоторого объема сыпучего тела из массива с наруше-
нием его естественного напряженного состояния и с сохранением
практически неограниченной протяженности в направлении, проти-
воположном выемке. Поэтому при прочих равных условиях откосы
насыпей должны быть более пологими, чем откосы выемок.
Все силы, действующие на сыпучее тело, ограниченное откосом,
могут быть разделены на два рода: сдвигающие и удерживающие.
К первым относятся нагрузки, приложенные на гребне откоса, сдви-
гающая составляющая собственного веса сыпучего тела и гидроди-
намическое давление; ко вторым — силы внутреннего трения и сцеп-
ления сыпучего тела. Степень устойчивости откоса обычно опреде-
ляется соотношением между этими силами и характеризуется коэф-
фициентом запаса устойчивости или, короче, коэффициентом устой-
чивости, который должен быть больше единицы (от 1,1 до 1,5).
В процессе эксплуатации насыпи или карьера действительный
коэффициент устойчивости откоса не остается постоянным, а изме-
няется в зависимости от изменения нагрузок н физико-механиче-
ских свойств сыпучего тела при его увлажнении и других процессах.
При увеличении сдвигающих или при уменьшении удерживающих
сил фактический коэффициент устойчивости может снизиться до
единицы, после чего происходит нарушение устойчивости откоса—
оползень или обвал.
Оползнем называется отрыв части массива сыпучего тела под дей-
ствием возросших сдвигающих сил, постепенно отделяющейся, от
этого массива и целиком перемещающейся вниз. Обвал отличается от
оползня тем, что он происходит
внезапно, причем отделившаяся а)	б)
часть массива при движении вниз
дробится на отдельные куски. Об-
валы чаще всего вызываются умень-
шением сопротивления сыпучего
тела сдвигающим усилиям.	рис. «
83
§ 19. РЕШЕНИЯ ТЕОРИИ ПРЕДЕЛЬНОГО
НАПРЯЖЕННОГО состояния
Исходя из системы дифференциальных уравнений (2.48) В. В. Со-
коловский решил многие задачи, касающиеся устойчивости откосов
[1151. Ниже приведены некоторые результаты этих решений.
1.	Определение предельной интенсивности
нормального давления,
действующего на гребень откоса
Для откоса произвольного очертания в замкнутой форме может
быть выражено только нормальное давление ро в точке О (рис. 44),
при котором наступает предельное напряженное состояние откоса.
Это давление выражается формулой
Ро=Оо [	ехР {("—2₽о) tg«р}—1J,	(4.1)
где Ро — угол между касательной к поверхности откоса в точке О и горн»
зонтальной плоскостью.
Для плоского откоса на основе численного интегрирования диф-
ференциальных уравнений предельного равновесия получено сле-
дующее выражение для предельного давления на горизонтальную
поверхность массива сыпучего тела на расстоянии х — х — от бровки
откоса:	_
Р®=<Ъ<Н-<Ъ»	(4.2)
где х — относительная координата; uz — величины безразмерного давления,
которые приведены в табл. 14 для различных значений <р, с и х.
ТАБЛИЦА 14. ЗНАЧЕНИЯ БЕЗРАЗМЕРНОГО ПРЕДЕЛЬНОГО ДАВЛЕНИЯ Oz
Значения az при ф, град
10	|	20	|	30	|	40
при Р, град
	0	10	0 | 10		20	0	10	20	30	0	10	20	30	40
0	8,34	7,51	14,8	12,7	10,9	30,1	24,3	19,6	15,7	75,3	55,9	41,4	30,6	22,5
0,5	9,02	7,9	17,Б	14,8	12	43	32,6	24,4	18,1	139	94	62,6	41,3	27,1
I	9,64	8.26	20,6	16,6	14,1	53,9	39,8	28,8	20,3	193	126	81,1	50,9	31
1,5	10,2	8,62	23,1	18,2	14,1	64	46,5	32,8	22,3	242	157	98,5	59,8	34,7
2	10,8	8,95	25,4	19,9	15	73,6	52,9	36,7	24,2	292	186	115	68,4	38,1
2,5	11,3	9,28	27,7	21,4	15,8	82,9	59	40,4	26	339	215	132	76,7	41,3
3	11,8	9,59	29,8	23	16,7	91,8	6Ь,1	44,1	27,8	386	243	148	84,9	44,4
3,5	12,3	9,89	31,9	24,4	17,5	101	71	47,6	29,4	432	271	164	93	47,5
4	12,8	10,2	34	25,8	18,3	109	76,8	Ы,2	31,1	478	299	179	101	50,4
4,5	13,2	10,5	36	27,2	19,1	118	82,6	54,7	32,7	523	327	195	109	53,3
5	13,7	10,8	38	28,7	19,9	127	88,3	58,1	34,3	568	354	211	117	56,2
5,5	14,1	И	39,9	30	20,6	135	94	61,6	ЗЬ,8	613	381	22G	125	59
6	14,5	11,3	41,8	31,4	21,4	143	99,6	6Ь	37,4	658	409	241	132	61,7
84
2.	Определение очертания поверхности равноустойчивого откоса
при заданном равномерно распределенном давлении на его
гребне
Решение этой задачи по методам теории сыпучей среды возмож-
но лишь при нормальном давлении
2с cos <р	,, _
Ро > т—— 	(4.3)
1—Sin <р
При этом угол, образуемый касательной к поверхности откоса
с горизонтальной плоскостью в точке О, равен:
(4.4)
₽‘=Т
Если не учитывать внутреннего трения (<р = 0) сыпучего тела
и исходить только из значения сцепления, то для такой среды
с идеальным сцеплением кривая, являющаяся производящей откоса,
определяется уравнениями:
г=— (л-1-2—2₽)— —;
У	У
2с sin В
---In-----— ,
У sin Ро
(4-5)
где
(4.6)
Р 2 2с
При этом условие (4.3) принимает такой вид:
ро>2с.
Теоретическим профилем равноустойчивого, а следовательно,
и наиболее экономичного откоса будет профиль с переменной по вы-
соте крутизной. Для построения
предельного контура такого откоса
при заданных значениях объемного
веса у, угла внутреннего трения <р
и удельного сцепления с сыпучей
среды может служить график, по-
казанный на рнс. 45, построенный
РИС. 44
85
в безразмерных координатах:
Действительные координаты линии откоса получаются умноже-
нием этих значений на отношение ~.
?
Для получения контура равноустойчивого откоса, отвечающего
определенной величине коэффициента запаса устойчивости k, дей-
ствительные значения tg <р и с уменьшаются в k раз. На горизонталь-
ной поверхности равно устойчиво го откоса, может быть приложена
еще вертикальная равномерная нагрузка, предельная интенсивность
которой выражается формулой
Го=~
2с cos <р
1 •—sin ф
=2ctg
4	2/
(4-7)
Эта нагрузка может быть заменена слоем сыпучего тела, способ-
ным находиться в предельном равновесии при вертикальном отко-
се высотой
-^=-^tg
У У
ho—
(т+f)-
(4.8)
Для идеально связного материала (при <р = 0) имеем:
3.	Предельное равновесие откоса
при действии на его гребне давления
с нормальной и касательной составляющими
Рассматривается предельное равновесие сыпучего тела в форме
клина, одна из сторон которого свободна от напряжений, а другая
(горизонтальная) находится под действием нормальной н касатель-
ной составляющих давления, отношение между которыми постоян-
но (рис. 46):
—= — tgS.
р
(4.9)
В секторе / сыпучее тело находится в простейшем предельном
состоянии, которое определяется:
X=sin2 0—cos 6 Д/sin2 ф—sin2 0;
S = V(£±£teO)
oj cos’ <p	'	(4.10)
rfr+xtgO)
COS2 ф
86
Угол <z, характеризующий направ-
ление прямой ОА, выражается форму-
лой
Линии скольжения состоят из двух
семейств параллельных прямых.
Предельное состояние в секторе II
РИС.
уже не будет простейшим, оно опреде-
ляется интегрированием дифференциальных уравнений предель-
ного равновесия при заданных граничных условиях в виде на-
грузки.
4.	Напряженное состояние откоса
у его перелома
Решение для сыпучего клина, образованного двумя гранями от-
коса, получается различным в зависимости от величины угла пере-
лома (больше или меньше л).
а) Напряженное состояние сыпучего клина с углом при вершине,
большим л
Предельное напряженное состояние может возникнуть лишь
в двух крайних секторах I и II (рис. 47), в то время как в среднем
секторе III остается упругое напряженное состояние.
Углы а н ₽, определяющие наклон прямых О А и ОВ, которые
разделяют секторы, находятся из решения двух уравнений:
m (1 — Xi) (14- tg 6i tg ₽)=п (1 —М (1-Ь tg е2 tg а);
m [(1-м tg er+(l 4-М tg PJ =i«[(1 -м tg е2 4- (14-М tg а] -1, (4.12)
X.i= sin2 614-cos 6i Vsin® <p—sin2 6i;
Xa=sin2 624-c°s 02 Vsin2 <р—sina62;
(l-li)(I4-tg6itgq)
cos2 <p (tg a—tg P)
(l-la)(14-tgOatgp)
cos2<p(tgct—tgp)
РИС. 47
87
Составляющие предельного напряжения в секторе I определяют-
ся формулами:

T(z~p*tgOi)
cos2<p
?(*+* tg6j)
COS2 (p
tgeui-M3.
(4.13)
(l-XJUiM);
Эти формулы остаются справедливыми и для сектора II, если
вместо 02 и взять 02 и Х2- При этом напряженное состояние в сек-
торах I и II простейшее, т. е. такое, при котором линии скольжения
представляют собой параллельные прямые.
Упругое напряженное состояние в секторе III определяется фор-
мулами:
| = ут(х—2 tg Р) (1 ± Л1)+уп (z tga—л) (1 ± Ха);
°х J
ть= — ут (х~г tg Р) (1 — Л-1) tg 6i~уп (z tg а—х) (1—Хз) tg 62-
(4.14)
В частном случае, когда левая и правая части откоса симметрич-
ны относительно вертикальной оси, проходящей через точку перело-
ма (0! = —02 = 0 и р = —а), предельное напряженное состояние
сектора I определяется формулами:
4= №tge>
J cos2tp
_ V(z4-xtg6)tge
tzx--	1*-
cos2<p
Упругое напряженное состояние в секторе III:
Z2 ) =(1+tg е *8 “И1-Ч (I ± >-);
ох J cos2<p
тгх= — -—— (1+tg е tg а) (1 — г.2) tg е ctg а.
[C0S2 ф
(4.15)
[(4-16)
Другой частный случай, когда один из откосов, например левый,
горизонтален (02 = О, Х2 = sin <р, 0г = 0, Х2 = X).
Напряжения в секторе /;

T(zi-xtge)
cos2<p
(1-Х)(1±Х);
Y(zi-xtge)
cos2 ф
(1-Х)2-
(4-17)
Напряжения в секторе III
cz)
? = ут {х—z tg р) (1 ± X)-f-T« (z tg а—х) (1 ± sin w);
Ox I
txx= —ym (x—2 tg P) (1 —X) tg 6.
(4-18)
88
Третий частный случай, рассмотренный ранее В. Ренкиным, ког-
да откос прямолинейный (рнс. 48). В этом случае предельное напря-
женное состояние будет:
^ZX—--
) COS2 ф
?(z+xtg0)tge
--------— (1-Х) •
(4-19)
X=sin2 0 ± cos 6 "|/sin2 tp—sin2 0.
Двум знакам в этой формуле соответствуют два вида напряжен-
ного состояния сыпучего тела: минимальное и максимальное. Для
горизонтальной плоскости (0 ~ 0) получаем:
1 Т sin tp
Vz=42-. Од:=?г. , -	> т2Х=0.	(4.20)
1 4- Sin ф
Для откоса, крутизна которого соответствует углу внутреннего
трения (0 = ф):
°* l=Y(2--b*tg(p)(l±sin2(p);
°х )
т2Ж= —у (z	tg tp) sin tp cos tp.
(4.21)
6) Напряженное состояние сыпучего клина с углом при вершине,
меньшем st
В этом случае предельное напряженное состояние может воз-
никнуть во всем клине, причем в крайних секторах это предельное
напряженное состояние будет простейшим и определяется прежними
выражениями (4.13).
89
Для частного случая, когда обе стороны клина одинаково накло-
нены к горизонту, можно найти распределение напряжений по лю-
бому горизонтальному сечению клина.
В пределах сектора III напряжения будут выражаться так:
т2а;=Zza;.
Величины sz и tzx—известные функции от х/г и могут быть най-
дены лишь численным интегрированием.
На рис. 49 изображены полученные В. В. Соколовским эпюры
распределения величин sz н 12Х в сечении на некоторой постоянной
глубине z, для разных значений параметра s€, который является
некоторой функцией угла а. Пунктирные линии на этом графике
соответствуют границе сектора III. Сравнение этих результатов с те-
ми, которые получаются на основе предположения о линейном ха-
рактере изменения давления sz — 1 — ~ tg 6, показывает значитель-
ное их расхождение.
§ 20.	РАСЧЕТ ОТКОСОВ ПО МЕТОДУ
КРУГЛОЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ПОВЕРХНОСТЕЙ скольжения
На основании данных наблюдений н опытов, а также результатов
строгих, с математической точки зрения, решений можно с достаточ-
ной для практических целей точностью принять, что поверхности
скольжения в оползневых участках откосов круглоцилиндри-
ческие.
Предположим, что центр О и радиус кривизны R этой поверх-
ности заранее известны. Разобьем сползающую призму вертикаль-
ными плоскостями на ряд элементов (рис. 50) , размер которых в на-
правлении, перпендикулярном чертежу, равен единице. На каждый
элемент действует сила веса Сг с учетом временной нагрузки на греб-
не откоса и взвешивания, если откос на некоторую часть высоты на-
ходится под водой. Эта сила может быть разложена на составляю-
щие: нормальную = Gt cos и касательную Q, = Gf sin 6f.
Последняя будет сдвигающей си-
лой, вызывающей сползание откоса.
Сила сопротивления сдвигу сы-
пучего тела, находящегося за по-
верхностью скольжения, может
быть представлена в виде суммы
сил трения и сцепления
Ti=Ni tg tpi-i-CiSi—Gi cos Of tg tpi+c/Sj.
Здесь st — длина дуги поверхности
скольжения в пределах данного эле-
мента i; и Ci — угол внутреннего
трения и удельное сцепление и преде-
лах дуги Si.
90
Рассматривая равновесие отдельного элемента с учетом горизон"
тальных и вертикальных сил взаимодействия между ним и соседки'
ми элементами, можно составить для всей сползающей призмы три
уравнения равновесия статики. Еще более общее уравнение можно
получить, если применить принцип возможных перемещений и вы-
разить работу, совершаемую всеми силами на возможном перемеще-
нии элементов призмы.
Однако недостаточная изученность сил взаимодействия между
элементами, а также сложность получения окончательных резуль-
татов являются причиной того, что их обычно не учитывают, тем бо-
лее что их суммарный момент относительно точки О невелик.
Однако это допущение вносит некоторую неточность, так как
нормальные и касательные напряжения, действующие по боковым
плоскостям, могут передавать усилия с одних элементов на другие
и вызывать перераспределение нормальных и касательных состав-
ляющих сил сопротивления между отдельными участками поверх-
ности скольжения.
Условие равновесия откоса сводится к уравнению моментов
всех сил, действующих на сползающую призму, относительно
центра О поверхности скольжения.
2Л4о=0 или SGfXj—-7- S7| = 0.
k
При этом силы сопротивления сдвигу уменьшены в k раз с учетом
необходимости обеспечить определенный запас устойчивости откоса
против разрушения.
При проверочном расчете существующего или запроектирован-
ного откоса расчетный коэффициент устойчивости определяется как
отношение момента сил сопротивления сдвигу к моменту сдвигаю-
Подставляя вместо сил и Qt их выражения и учитывая, что
cos В; = 2 и sin 0; =
получим
SGi Zj tg <pg 4-.RZcg
'LGiXi
(4.23)
Во всех этих формулах суммирование распространяется на все
элементы, на которые разбита сползающая призма.
Если величины удельного сцепления и углов внутреннего тре-
ния одинаковы для всех элементов откоса (с = const и <р = const),
то коэффициент устойчивости будет равен:
tg (pSGj Zj-p^cs
(4.24)
где s — длина всей кривой скольжения.
91
При расчете откосов обычно обеспечивается коэффициент устой-
чивости в пределах 1,1—1,5.
Следует иметь в виду, что для тех элементов, которые на рис. 50
расположены слева от вертикали, проведенной через точку О, сдви-
гающие силы направлены в сторону, противоположную сдвигу всей
призмы. Это учитывается знаком «минус» при соответствующей ве-
личине Xt в формулах (4.23) и (4.24).
Коэффициент устойчивости откоса при наличии в нем фильтра-
ционного потока должен быть определен с учетом взвешивания грун-
та в воде. Для этого можно воспользоваться формулой
YGj Zf	Si
ZGiXi+t.RbShi ’	(4'25)
где yb — удельный вес воды; hi — высота часты элемента, занятого
фильтрационным потоком, выше уровня воды в нижнем бьефе; b — ширина
элементов.
Что касается уравнений равновесия в форме уравнений проек-
ций всех сил на вертикальную и горизонтальные силы, то первое
из них удовлетворяется автоматически, поскольку вертикальная
сила Git действующая на каждый элемент, уравновешивается сила-
ми Nt и Второе же уравнение проекций оказывается неудовлет-
воренным, так как горизонтальные составляющие объемных сил
сыпучей среды просто не рассматриваются.
Учитывая еще допущение, на которое было обращено внимание
выше, метод кругло цилиндрических поверхностей скольжения мож-
но оценивать только в качестве приближенного. Несмотря на это,
непосредственное применение этого метода на практике встречает
некоторые затруднения. Сложность задачи заключается в отыскании
наиболее опасной поверхности скольжения, которая определяется
тремя параметрами: радиусом R и двумя координатами центра ок-
ружности. Метод повторных попыток, предложенный Г. Креем н
К. Терцаги, позволяет решить эту задачу, но оказывается весьма
трудоемким, поэтому рядом исследователей (М. Н. Гольдштейном,
Г. И. Тер-Степановым, М. М. Сокольским, П. Д. Лабасовым,
Б. М. «Ломизе и др.) предложены различные таблицы и графики, об-
легчающие отыскание опасной поверхности скольжения.
В результате аналитического решения этой задачи для прямо-
линейного откоса в однородном грунте методом множителей «Лагран-
жа Б. М. Ломизе [78] построил график (рис. 51), позволяющий решать
следующие задачи:
1)	определять допустимую высоту откоса Л, если известны зна-
чения у, ф, с и k и крутизна откоса 1: т — tg р;
2)	определять требуемую крутизну откоса 1 : т, если известны
значения h, у, <р, с, h и k\
3)	определять коэффициент устойчивости А, если известны значе-
ния у, <р, си т.
Таким образом, одного этого графика достаточно для решения
всех основных задач, возникающих прн расчете устойчивости пло-
92
ских откосов в однородных грунтах. На этом графике но горизон-
tg <Р	о С
тальнои оси отложены отношения а по вертикальной —
причем каждая кривая соответствует определенному значению tn
начиная от tn — 0,25 до т = 6.
Если расчетные данные находятся в области I графика, то это
означает, что опасная поверхность скольжения выклинивается в ос-
новании за пределами откоса. Если же расчетные данные оказы-
ваются в области II, то опасная поверхность скольжения проходит
через точку пересечения откоса с основанием. Граница между об-
ластями нанесена на графике (рнс. 51) штрихпунктирной линией.
При tg фро<., =	= 0.246, т. е. при (р,,аг,, = 14°, опасная по-
верхность скольжения всегда проходит через точку пересечения от-
коса с основанием. Выклинивание опасных поверхностей скольже-
ния за пределами откоса может быть только при очень малых зна-
чениях угла внутреннего треиия.
Пример 5. Найти требуемую крутизну откоса высотой h = 6 м при ко-
эффициенте устойчивости k = 1,3, если объемный вес, угол внутреннего тре-
иия и сцепление грунта составляют у = 18 кН/м3, <р = 15° н с = 5 кПа.
tg гр с
Находим значения —н отвечающие условиям равновесия откоса:

с
kyh
5
1,318 6
= 0,0356.
По графику (рис. 51) находим т — 2,17. При этом опасная поверхность
скольжения проедет через подошву откоса, так как искомая точка на гра-
фике попадет в область II.
Пример 6. Проверить устойчивость откоса высотой h = 10 м и крутиз-
ной 1 : т = 1 : 2,5, если у = 20 кН/м3, <р = 17°, с = 10 кПа.
93
Определяем относительное сцепление
с 10
уЛ - 20-10	°’05'
Откладывая па осях координат значения tg ф = tg 17° = 0,306
= 0,05, находим точку М и соединяем ее прямой с началом координат
(рис. 51). На пересечении этой прямой с кривой т — 2,5 находим точку М't
„	tg ф
которой на оси абсцисс соответствует - = 0,23.
Искомый коэффициент устойчивости
k =
0,306
0,23
= 1,33.
Еще проще расчет откосов по методу круглоцилиндрических по-
верхностей скольжения производят по формуле и таблице коэф-
фициентов, предложенным М. Н. Гольдштейном (см. [136])*для коэф-
фициента устойчивости
Л=Л1бф-|-В—~ ,
yh
(4.26)
где А н В — коэффициенты, зависящие от крутизны откоса I : т, приведен-
ные в табл. 15.
ТАБЛИЦА 15. ЗНАЧЕНИЯ КОЭФФИЦИЕНТОВ ЛИ В
Коэф- фици- ент	Крутизна откоса 1 :т								
	1 : 1	I : 1,25	1 : 1,5	1 : 1,75	1 :2	1 : 2,25	1 : 2,5	1 : 2.75	1 : 3
А	2,34	2,64	2,64	2,87	3,23	3,19	3,53	3,59	3,59
В	5,79	6,05	6,5	6,58	6,7	7,27	7,3	8,02	8,81
Эти коэффициенты соответствуют наиболее распространенному
случаю, когда поверхность скольжения проходит через нижнюю
кромку откоса. Для связных грунтов с небольшими углами внутрен-
него трения (tp < 6°) при залегании на некоторой глубине плотного
подстилающего слоя поверхность скольжения может пересечь по-
верхность основания за пределами откоса.
Пример 7. Проверить устойчивость откоса, рассмотренного в предыду-
щем примере, по формуле (4.26)
k = 3,53 - 0,306 + 7,30  0,05 = 1,44
вместо 1,33, полученных с помощью графика рнс. 51.
94
§ 21.	РАСЧЕТ ОТКОСОВ ПРИ ЗАМЕНЕ
ПОВЕРХНОСТИ СКОЛЬЖЕНИЯ плоскостью
Самое грубо приближенное определение предельной высоты от-
коса может быть сделано на основе допущения, что опасная поверх-
ность скольжения плоская н наклонена к горизонту под углом 6
(рис. 52).
Рассматривается условие предельного равновесия сползающей
призмы АВС весом G при действии сдвигающей силы Q и удерживаю-
щей силы Т. Эти силы выражаются так:
-v/i2 sin (В—6)	_
G=-^------; Q=G sin 0;
2	sin р sin 6
с	„. ch
7’=2Vtg<p+— £—GcosOtg	•
При этом исходя из неравномерности распределения давлений-
по плоскости скольжения учтена только половина силы сцепления с.
Уравнение предельного равновесия записывается в форме
ch
Q=T нли Gsin0—Gcos6tg<p4~	•
Разделив это уравнение на cos 0 и подставив вместо G его выра-
жение, получим
_ ,	с sin В
tg 6—tg ----------------— •
у/г sin (Р—G) cos 6
Отсюда
с sin р	27
у sin (Р—0) (sin 0—cos 0 tg <р)
Для определения опасной плоскости скольжения, соответствую-
щей минимальной высоте Л, приравняем нулю производную выраже-
ния (4.27) по 6. Из полученного уравнения находим
в=•	<4-28)
Таким образом, опасная плоскость скольжения проходит по
биссектрисе угла, заключенного между углом откоса р н углом внут-
реннего трения ср сыпучего тела.
Подставляя найденное значение 0 в вьфажение (4.27), получим
формулу для предельной высоты откоса
с sin р cos tp

(4.29)
Из этой формулы следует, что при с = 0, т. е. при отсутствии
сцепления, откос может быть устойчивым, если р ф, т. е. массив
несвязного сыпучего тела находится в равновесии только в том слу-
95
чае, если угол его откоса р с горизонтальной плоскостью не больше
угла внутреннего трения этого сыпучего тела. Этот вывод другим
путем уже был получен в § 7.
Коэффициент устойчивости такого откоса прн отсутствии дру-
гих нагрузок может быть определен по формуле
tg р
(4.30)
Для вертикального откоса р = л/2 и
, 2с cos ф 2с , / я , и \
Лпр=— -----7^ = ------‘6 — + ~ ) -	(4.31)
у(1—sm<p)	у \ 4	2 J
Отсюда следует, что вертикальный откос без крепления может со-
хранять устойчивость только при с 0.
При отсутствии внутреннего трения, т. е. при ф — 0,
2с
Лщ)=— *	(4-32)
Формула (4.31) совпадает с формулой (4.9), полученной прн стро-
гом решении задачи.
Пример 8. Определить предельную высоту вертикального откоса для
мокрого глинистого грунта, характеризующегося значением у = 20 кН/м3,
углом внутреннего трения <р = 17° и удельным сцеплением с = 10 кПа.
РИС. 54
96
По формуле (4.29) находим
10	0,956
”р ‘ 20	(90°—17°) Г ' 5м‘
sin2----------
2
При отсутствии внутреннего трения по формуле (4.32) получается /inp =
= 1 м.
На графике (рис. 53) нанесены две кривые, изображающие зависимость
между предельной высотой откоса Лпр и его заложением т для грунта, обла-
дающего значением у — 20 кН/м3, углом внутреннего трення <р = 17°
и сцеплением с = 10 кПа. Кривая 1 построена на основе допущения, что по-
верхность скольжения — плоскость, а кривая 2 — на основе допущения о
круглоцилиндрической поверхности скольжения. Из рассмотрения этого
(г *
р = -
дают и расходятся тем сильнее, чем больше т.
результаты почти совпа-
При насыщении откоса водой условия его устойчивости сущест-
венно изменяются, так как, во-первых, сыпучее тело подвергается
взвешиванию и, во-вторых, появляется сила гидродинамического
давления, направленная по касательной к линии фильтрации потока
воды, вытекающего из откоса (рнс. 54).
Рассмотрим откос, угол которого с горизонтальной плоскостью
составляет р, н выделим у поверхности объем сыпучего тела, равный
единице. На этот объем кроме вертикальной силы собственного веса
G = уВ8В 1 действует еще сила гидродинамического давления W, ка-
сательная к плоскости откоса, которая определяется формулой
W=yB ni.	(4.33)
Здесь увзв — удельный вес сыпучего тела во взвешенном состоянии; ув —
удельный вес воды; п — пористость сыпучего тела; i— гидравлический уклон,
т. е. уклон депрессиониой кривой, который у поверхности откоса определяет-
ся углом Р, т. е. i = 1 : т = tg р.
Сдвигающая сила, касательная к откосу, представляется в виде
суммы двух снл: касательной составляющей силы G и силы W‘.
Q^GsinP+UZ.
Удерживающая сила, равная силе трения выделенного объема по
поверхности откоса, выражается через нормальную составляющую
силы G и через угол внутреннего трения <р сыпучего тела
Т=Gcos р tg <р.
Рассматривая состояние предельного равновесия откоса, примем
для угла р предельное значение рцр и приравняем силы Q и Т. Раз-
делив полученное уравнение на G cos рпр и подставив вместо сил G
н W их выражения, найдем такое соотношение
*e₽np+Ji^-sin₽np=tg1p.	(4.34)
?B3U
Отсюда, зная ув, увзв, п и <р, можно определить предельное значе-
ние угла рпр.
4 Зак. 1169
97
При этом угол <р для сыпучего тела, насыщенного водой, должен
быть взят другим, чем для сухого состояния.
Коэффициент устойчивости более пологого откоса, определяемого
углом р, находится как отношение удерживающей силы к сдвига-
ющей, т. е.
*=—= 7вав cos tg ф .	(4 35)
Q YBdBsin р-1-ТвП tg р
При отсутствии фильтрационного потока воды второе слагаемое
в знаменателе этой формулы обращается в нуль н формула (4.35)
переходит в (4.30).
Коэффициент устойчивости откоса может быть выражен и другим
отношением:
tgPnp
tg ₽
(4.36)
где ₽щ> определяется из уравнения (4.34).
Неукрепленные откосы насыпей и выемок для объектов географи-
ческих районов, подверженных землетрясениям, выполняются бо-
лее пологими, чем обычно принятые для данного сыпучего тела, на
величину сейсмического угла
ф=агс tg К,
(4.37)
где /С = -— коэффициент сейсмичности; / — сейсмическое ускорение; g—
ускорение свободного падения.
§ 22.	ДАННЫЕ ОПЫТОВ И НАБЛЮДЕНИИ
Исследование сползания земляных откосов методом центробеж-
ного моделирования проведено в 1934 г. С. И. Мигиным. Опыты
позволили выявить условия, при которых происходит обрушение
откосов, и изучить форму и положение поверхностей сползания зем-
ляных масс.
Модели откосов выполняли из сухого песка средней крупности
и глины; в последнем случае опыты производились как без напора
воды, так и при наличии напора. На центрифуге испытывали три
песчаные модели, каждая с двумя откосами, которые устраивали
возможно более крутыми. Высота профиля модели до опыта составля-
ла 13 см, что соответствовало в натуре 12,9 м. После вращения ка-
ретки в течение 5 мин (что соответствовало 34 суткам в условиях
натуры) осадка модели составила 0,3 см (в натуре 0,3 м). Среднее
значение угла наклона откоса к горизонту после опытов для всех
трех моделей получилось равным 32'05', что лишь на 3% отличается
от утла естественного откоса данного песка (33°06'), полученного
в стеклянной банке.
В процессе опыта ничто не указывало на сползание в откосах
98
РИС. 55
РИС. 56
целых, хотя бы и малых, призм песка. Вместе с тем откосы стали
несколько положе, приняв более устойчивое положение. Поверх-
ность нх осталась плоской. Откосы, сложенные из глины со значи-
тельным сцеплением, были подвергнуты центрифугированию в те-
чение 1 ч (что соответствовало в натуре приблизительно 20 мес.).
При этом откос крутизной 1:1, высотой 12 см (13,7 м) понизился на
1,9 см (2,16 м), а откос крутизной 1:3, высотой 10,4 см (13,2 м) —
на 1,2 см (1,2 м). Обрушению откоса нз глинистого грунта в боль-
шинстве случаев предшествовало образованию трещин на гребне от-
коса, параллельных образующей откоса.
Обрушение откоса происходило одновременно по нескольким по-
верхностям скольжения одного и того же характера. В большинстве
случаев поверхности скольжения близки к круглоцилиндрнческим,
причем радиусы этих поверхностей увеличиваются по мере прибли-
жения их к поверхности откоса. Результаты испытания модели от-
коса показаны на рис. 55. При этом пунктирные линии соответст-
вуют очертаниям откоса после опыта. Вверху у гребня откоса н при
выходе наружу в основании откоса кривизна меньше, чем в средней,
наиболее заглубленной в толщу откоса части поверхности скольже-
ния. Большинство поверхностей скольжения начиналось от гребня
модели, пересекало весь профиль откоса и выходило наружу около
линии пересечения поверхности откоса с основанием. Г. И. Покров-
ский и И. С. Федоров указывают [95], что сопоставлением значитель-
ного числа экспериментов удалось установить средний профиль об-
рушенного откоса, который немногим отличается от прямолинейного
и несколько вогнут. Во многих случаях оказывалось почти невозмож-
ным получить обрушение откоса, так как наблюдалось оседание и
оползание отдельных частей грунта из-за деформации скашивания.
Методом центробежного моделирования также исследованы отко-
сы запроектированного деривационного канала у Самарской луки
й откосы Волго-Донского канала, который по предварительному про-
екту проходил в мелкозернистых песках с прослойкой глины. Ре-
зультаты исследований откоса высотой 10 м приведены на рис. 56.
Метод центробежного моделирования оказался очень удобным для
определения устойчивости откосов в грунтах, физико-механические
свойства которых недостаточно изучены, а также откосов, покрытых
водой.
99
Глава V
ДАВЛЕНИЕ СЫПУЧЕГО ТЕЛА
НА ПОДПОРНЫЕ СТЕНЫ
§ 23.	УСЛОВИЯ РАБОТЫ ПОДПОРНЫХ СТЕН
Задача об определении давления сыпучего тела на ограждающую
поверхность —одна из наиболее сложных. Сложность заключается
в том, что здесь встречаемся со случаем взаимодействия трех различ-
ных тел: засыпки, стены, поддерживающей ее, и основания, на кото-
ром стена стоит. Если на поверхности сыпучего тела имеется нагруз-
ка, задача еще более усложняется.
Давление, оказываемое сыпучим телом на ограждающую стену,
зависит не только от ее высоты и наклона, от очертания свободной
поверхности засыпки и ее механических свойств, но также и от
жесткости стены и основания. Решение задачи с учетом всего ука-
занного представляет собой пока еще не преодоленные трудности,
и существующие методы расчета основаны на различных допуще-
ниях. Критерий применимости того или иного метода к практиче-
скому расчету сооружений — совпадение результатов расчета сдан-
ными наблюдений и опытов. Кроме того, серьезное значение имеет
большая или меньшая сложность решения, связанная с применением
того или иного метода.
Стены, ограждающие сыпучее тело, могут быть следующих типов:
а) подпорные — массивные (рис. 57, а) и тонкоплитиые
(рис. 57, б), поддерживающие массив сыпучего тела благодаря зна-
чительному собственному весу или весу самого сыпучего тела, рас-
положенного над фундаментной плитой;
б)	заглубленные, удерживающие сыпучее тело благодаря защем-
лению их в основание (рис. 57, в);
в)	стены емкостей для хранения сыпучих тел, которые представ-
ляют собой часть замкнутого снизу и с боков сооружения, заклю-
чающего сыпучее тело, и которые удерживают это сыпучее тело бла-
годаря связи с остальными стенами и с днищем (рис. 58);
г)	стены заглубленных сооружений, отличающиеся от стен ем-
костей тем, что сыпучее тело находится не внутри сооружения, а сна-
ружи (рис. 59).
Давление сыпучего тела на
ограждение и условия работы
последнего различны в каждом
из этих четырех случаев.
В данной главе рассматри-
вается вопрос только о давле-
нии на подпорные стены сыпу-
чего тела, в качестве которого
в основном имеется в виду
рис, в?	грунт. Вопросы определения
а)	6)	В)
100
давления сыпучего тела на стены и днище емкостей и заглублен-
ных сооружений рассмотрены в последующих главах.
Сыпучее тело, находящееся за подпорной стеной, стремясь псд
влиянием силы тяжести прийти в движение и занять объем, ограни-
ченный поверхностью естественного откоса, встречает сопротивление
стены и оказывает на иее давление. Это давление зависит не только от
механических свойств сыпучего тела и геометрических размеров сте-
ны и откоса, находящегося за ней сыпучего тела, но также и от ха-
рактера и величины перемещений стены, которые в свою очередь за-
висят от жесткости непосредственно стены и ее основания.
Давление, оказываемое сыпучим телом на абсолютно жесткую
и неподвижную стену через достаточно большой промежуток вре-
мени, называется установившимся или давлением состояния покоя
(давлением, при покое).
При перемещениях подпорной стены находящееся за ней сыпу-
чее тело приходит в движение, сопровождающееся возникновением
элементарных сдвигов по отдельным площадкам. При этом в зави-
симости от направления перемещения давление сыпучего тела на
стену снижается или повышается по сравнению с давлением при
покое.
Примерный график, показывающий изменение равнодействующей
или силы давления Q сыпучего тела на подпорную стену в зависи-
мости от величины ее перемещения Л, изображен на рис. 60. На этом
графике сила давления при покое обозначена через Qo. При некото-
рых величинах перемещений в ту и другую сторону в сыпучем теле
образуются уже сплошные поверхности скольжения. При этом в слу-
чае движения подпорной стены в сторону от засыпки сила давления
сыпучего тела на подпорную стену падает до своего нижнего преде-
ла Qai называемого силой активного давления, распором или напором,
а в случае движения подпорной стены в сторону засыпки достигает
РИС. 53
РИС, 69
РИС. 60
101
верхнего предела Qn, называемого силой пассивного сопротивления
или отпором. Эти термины в механике сыпучих тел и в механике
грунтов стали настолько привычны, что сейчас уже трудно перейти
к более правильным — нижний и верхний пределы силы давления
сыпучего тела.
Перемещения подпорных стен носят сложный характер. Они
складываются из перемещений стены как твердого тела, зависящих от
деформации основания, и из упругих или пластических перемеще-
ний, связанных с деформацией непосредственно тела степы. Послед-
ние имеют значение только для тонких (гибких) стен. Всякое слож-
ное перемещение подпорной стены как твердого тела относительно
основания может быть разложено на три составляющие: горизонталь-
ное поступательное перемещение, вертикальное поступательное пе-
ремещение и поворот вокруг той или иной оси. При абсолютно жест-
ком основании такой поворот возможен относительно нижнего перед-
него или нижнего заднего ребра подпорной стены, а при деформи-
руемом основании — вокруг некоторой оси, расположенной ближе
К середине ширины подошвы.
При некоторых величинах нагрузок, действующих на подпорные
стены, нх перемещения могут достигнуть таких значений, что про-
изойдет сдвиг (скольжение) стены по основанию (рис. 61, а) или ее
опрокидывание (рис. 61, б). И в том н в другом случае стена теряет
устойчивость и перестает выполнять свое назначение как инженер-
ное сооружение, т. е. наступает его предельное состояние. При не-
достаточно прочном основании потеря устойчивости подпорной стены
может произойти при разрушении основания с возникновением в нем
поверхностей скольжения, с выпиранием грунта нз-под подошвы
сооружения и даже с опрокидыванием стены в противоположную
сторону (рис. 61, б).
Предельным состоянием подпорной стены следует также считать
развитие в ее основании недопустимо больших по условиям эксплуа-
тации деформаций в виде осадок или кренов.
Перечисленные предельные состояния в действительности могут
быть достигнуты в чистом виде лишь в качестве исключения, и чаще
всего истинная форма нарушения равновесия подпорной стены со-
держит в себе одновременно элементы сдвига и поворота при нали-
чии соответствующих деформаций основания.
Давление, которое оказывает засыпка на подпорную стену, за-
висит от объемной массы р этой засыпки, ее угла внутреннего трения
<р и удельного сцепления с.
а)	6)	8)
РИС. 61
102
Ориентировочные значения характеристик грунтов засыпки па-
зух, указанные в СНиП П-И. 10-65 («Подпорные стены гидротехни-
ческих сооружений»), приведены в табл. 16.
TAB Л И Ц А 16. ХАРАКТЕРИСТИКИ ГРУНТОВ ЗАСЫПКИ ПАЗУХ
ПОДПОРНЫХ СТЕН fc, град; с, кПа)
Параметры			Ч>, град, для грунтов					с, кПа (для супесей)
коэффициент пористости	объемная масса, т/м3	коэффици- ент иодо- насыщения	§ д 2 £	R С Ь и М	пески средней крупно- сти		о g ё s	§ g <j 5 g	Ш Е О	
0,41—0,5	1,75—1,8	>0,8 <0,8	42	39	37	34 36	24 27	3 6
0,51—0,6	1,6—1,65	>0,8 >0,8	39	37	35	32 34	23 26	2 5
0,61—0,7	1,55—1,6	>0,8 >0,8	37	34	31	28 30	22 24	1 3
На работу подпорной стены большое влияние оказывает величи-
на угла отклонения силы давления сыпучего тела от нормали к зад-
ней грани стены; от этого угла зависит не только величина давления
сыпучего тела, но и величина момента, опрокидывающего подпор-
ную стену. Угол отклонения зависит от угла трення сыпучего тела
о стену, от соответствующего удельного сцепления, от угла наклона
задней грани стены и от угла наклона поверхности сыпучего тела за
подпорной стеной. Угол отклонения возрастает с увеличением пере-
мещения стены, что особенно заметно при уплотненной засылке.
Для уплотненного сыпучего тела угол отклонения больше, чем
для рыхлого, поэтому направление давления не постоянно по высо-
те стены, так как угол отклонения возрастает с глубиной. Когда нет
сцепления между сыпучим телом и стеной, предельным значением
углаотклонения должен служить угол внутреннего трения сыпучего
тела, так как в противном случае сдвиг сыпучего тела происходил
бы не по задней грани стены, а по соседней с ней поверхности, прохо-
дящей внутри сыпучего тела.
По СНиП П-И. 10-65 угол отклонения равнодействующей давле-
ния грунта от нормали к тыловой грани стены 6 принимается равным
половине угла внутреннего трения 6 = 0,5 <р. Прн наличии специаль-
ного обоснования допускается принимать: для стен с повышенной ше-
роховатостью тыловой грани, например, со ступенчатой тыловой
гранью, а также для бутовых и ряжевых 6 = <р; для мелкозернистых
водонасыщенных песков и при наличии вибрационных нагрузок на
поверхности засыпки, а также при тыловых гранях подпорных стен,
покрытых битумной гидроизоляцией, 6 = 0.
103
§ 24.	ОПРЕДЕЛЕНИЕ АКТИВНОГО ДАВЛЕНИЯ
СЫПУЧЕГО ТЕЛА ПО МЕТОДУ В. В. СОКОЛОВСКОГО
В основу этого наиболее строгого и общего метода теории предель-
ного равновесия положено допущение о том, что сыпучее тело в не-
которой области за подпорной стеной целиком находится в предель-
ном напряженном состоянии, т. е. что в любой точке этой области,
ограниченной некоторой объемлющей поверхностью скольжения,
выполняется условие (2.34). Для того чтобы такое состояние насту-
пило, необходимо, чтобы стена получила некоторое незначительное
перемещение в направлении активного давления, величина кото-
рого, однако, не фиксируется и в расчетные уравнения не входит.
В зависимости от наклона задней грани подпорные стены разде-
ляют на крутые, когда задняя грань служит одной из поверхностей
скольжения (рис. 62, а), и пологие, когда обе поверхности скольже-
ния проходят внутри сыпучего тела (рис. 62, б). В случае горизон-
тальной поверхности засыпки и при отсутствии сцепления к крутым
относят подпорные стены, когда задняя грань составляет с вер-
тикалью угол
1	sin ф0
—- arcs in--------—
2	sin ф
фо
2
(5.1)
где ф0 — угол трения засыпки по подпорной стене.
Переходные значения углов наклона задней грани подпорной
стены, отделяющие крутые стены от пологих, приведены в табл. 17.
Для крутой подпорной стены (рис. 63) в области / сыпучее тело
находится в простейшем предельном состоянии, составляющие на-
пряжения которого определяются выражениями:
az )	у (гЧ-л tg Р)
СТд. J COS2 ф

y(z-|-xtg₽)
т«= ~- — tg РI1 ’
COS'5 ф
где K=sin® p-|-cos р T/sin2 ф—sin2 р.
(5.2)
(5.3)
(5.4)
РИС. 63
10Б*
Угол тро» определяющий положение прямой АС, выражается
формулой
п	ф	В	1	sin В	_
ф0=—— —4- щ-— — arcsin------------•	(5.5)
™	4	2	2	2	sin ф
Линии скольжения состоят из двух семейств параллельных пря-
мых. Предельное состояние в области II уже не будет простейшим
и находится интегрированием дифференциальных уравнений пре-
дельного напряженного состояния.
Если угол трения засыпки по подпорной стене совпадает с уг-
лом внутреннего трения, т. е. <р0 = <р, то огибающая поверхность
скольжения совпадает с задней гранью подпорной стены.
Нормальное и касательное давление о 0 и в верхней точке под-
порной стены может быть выражено непосредственно через заданное
нормальное давление р0 на сыпучее тело у этой точки- Для этого
служат формулы:
cos2 фо [1—coscpl/tg2 ф—tg2<pol
°оаРо----------х
l-f-sin ф
Хехр |2а+фо—arcsin	) tg ф };	(5.6)
То = Оо tg ф0.
При отсутствии сцепления и при <р0 = <р линия контакта под-
порной стены и сыпучего тела 'будет линией разрыва. В случае не-
весомой сыпучей среды при действии на ее поверхности равномерно
распределенной нагрузки в треугольниках AEF и ABD (рис. 64)
сетку линий скольжения образуют два семейства параллельных пря-
мых, а в области ADF одно семейство состоит из прямых, проходя-
щих через точку А, а другое — из логарифмических спиралей.
Напряжения вдоль подпорной стены постоянны и определяются
формулами (5.6).
При наличии объемных сил прямолинейными будут лишь линии
скольжения в треугольнике AEF, а в остальных областях оба се-
мейства линий скольжения криволинейны.
При абсолютно гладкой (<р0 = 0) и вертикальной (сс = 0) под-
порной стене нормальное активное давление на нее на любой глуби-
не z определяется формулой
?=o=(?z+p)tg3	-f-) •	<5-7>
Линиями скольжения как для невесомой среды, так и для среды,
обладающей объемными силами, будут два семейства параллель-
ных прямых (рис. 65).
В другом частном случае, когда поверхность сыпучего тела на-
клонена к горизонту под углом внутреннего трения, задняя грань
106
подпорной стены вертикальна, а ее ше-
роховатость характеризуется предель-
ным углом трения, т. е. когда ф0 = <р= 0
и се = О, напряженное состояние засып-
ки будет простейшим и определяется
следующими формулами:
J=Y (*+* *8 Ф) (! =F sin2(р);
Tzx“ —У (*+* tg <р) sin ф COS ф.
(5.8)
РИС. 64
Составляющие активного давления
на заднюю грань подпорной стены бу-
дут:
) (59)
tZx — —sin <р cos ф. J
В общем случае В. В. Соколовский
применяет приближенный численный
метод решения исходных дифферен-
циальных уравнений при заданных гра-
ничных условиях, сводящийся к оты-
сканию значений искомых функций в
конечном числе узловых точек сетки
характеристик.
РИС. 65
§ 25. СЛУЧАЙ ГОРИЗОНТАЛЬНОЙ
ПОВЕРХНОСТИ ЗАСЫПКИ
Для частного, но наиболее часто
встречающегося случая, когда поверх-
ность земли горизонтальна, а подпорная
РИС. 66
стена со стороны засыпки плоская, нормальная и и касательная
т— составляющие давления грунта в любой точке на глубине z от
поверхности (рис. 66) — выражается следующими простыми фор-
мулами:
<j=Qyr—oyz,
(5.10)
т=7уг=туг,
(5.11)
z
где Г =	- — расстояние от верха стены до рассматриваемого сечения;
г — глубина рассматриваемого сечення от верха стены; у — объемный вес
грунта; Q н Т — коэффициенты, значения которых вычислены В. В. Соко-
ловским [115] для пологих подпорных стен н 3. Н. Буцько [15]—для крутых;
Q _ Т
п ~ cos сё и т = cos а — коэффициенты, значения которых приведены
в табл. 18,
107
ДАВЛЕНИЯ ГРУНТА ПО МЕТОДУ В. В. СОКОЛОВСКОГО
<
Я
К
Ч
И
При этом утолщенная ступенчатая линия в этой таблице отделяет
коэффициенты, относящиеся к крутым (левая часть таблицы) и
к пологим стенам.	_
Для крутых подпорных стен коэффициенты о и т связаны зави-
симостью
T=otg<1p0=<j tgfi.	(5.12)
Таким образом, в этом случае полное давление отклоняется от
нормали к поверхности стены на угол б = <р0.
Для пологих же подпорных стен угол отклонения давления от
нормали к стене меньше угла трения по ней:
6=arctg— < фо-
а
Полное давление засыпки на глубине z составляет
qo =1/°а+т3='уг	уг Т/о2-)-t2=?z|,	(5.13)
где £ — /о2+ т2— коэффициент активного давления грунта на подпорную
стену.
Горизонтальная и вертикальная составляющие полного давле-
ния на подпорную стену выражаются следующими формулами:
ох == cos (аЧ-S)=yzZ, cos (а-J- 6) = yz (а cos а—тsin а)=(5.14)
oz=§o sin (tx4-6)=Tz&s*n (cc-|-S)=tz (crsin cc-|-Tcosa)—yz£z,	(5.15)
где
=£ cos (a -f- 6) — о cos a—т sin a;
Ijz=gsin (a4-6)=osina+TC0s a.
Для этих коэффициентов составлены графики (рис. 67, 68 и 69)—
сплошные линии прн разных значениях углов а и <р и при трех зна-
чениях угла фо, равных 0, ф/2 и <р. Штриховые по Кулону.
Для получения условных давлений, отнесенных к вертикальной
проекции стены, нужно разделить результаты, получаемые по фор-
мулам (5.13), (5.14) и (5.15), на отношение высоты грани к ее длине
s по наклонной, т. е. на his = cos сс. Тогда для полного давления на
глубине z и для его составляющих получим следующие формулы:
?=—(5.16)
cos a	cos а
(5.17)
cos a cos а
л	г с 1
qz=--= ---=TZAz,	(5.18)
cos a cos a.
109
108
где
Л----	, Лд;-----	, Л, — --------- •
cos a cos a cos а
Равнодействующая давления (сила давления) на участок стены
протяжением г и высотой 2 = г cos сс
л	Уг2 >
2 2C0SCC 2
(5.19)
Равнодействующая давления на всю подпорную стену высотой h
yhsl, ~	yfe2
2	2 cos ос 2
(5.20)
Горизонтальная и вертикальная составляющие этой силы вы-
ражаются соответственно следующими формулами:
п Vй8	.
2 coscc 2	*’
(5.21)
2coscc 2 г‘
(5.22)
Для идеально гладкой (<р0 = 0) и вертикальной (ос = 0) подпор-
ной стены при горизонтальной поверхности засыпки (р = 0) актив-
ПО
РИС. 68
ное давление грунта и равномерной нагрузки на его поверхности
интенсивностью р при учете сцепления с выражается формулой
(5.7).
Пример 9, Требуется определить исходя из теории В, В. Соколовского
активное давление грунта на 1 пог. м подпорной стены, показанной на рис. 70.
Высота стены h = 4 м, угол наклона стены к вертикали а = 20°, значение
у = 18 кН/м8, угол внутреннего трения грунта ср =30°, угол трения грунта
о стену ср0 — 15°, поверхность грунта горизонтальная.
По графику, показанному на рис. 68, для заданных значений ф = 30°,
ф0 = ср/2 и а — 20° находим = 0,38 и gz 0,25.
Горизонтальная и вертикальная составляющие активного давления на
глубине h = 4 м определяются по формулам (5.14) н (5.15):
Ox =7^30= 18-4 0,38 = 27,4 кПа;
oz=yA£z= 18-4-0,25= 18 кПа.
Чтобы отнести давления к вертикальной проекции стены, нужно раз-
делить эти результаты на cos а = cos 20° = 0,94. Тогда получим:
=27,4/0,94 =29,2 кПа;
cos а
7,=-^-= 18/0,94=19,1 кПа.
COS (X
111
РИС. 69
РИС. 70

Полное давление у низа стены бу-
дет равно:
=1/29,22+19,Р=34,9 кПа.
Эпюры давлении показаны иа
рнс. 70. Равнодействующую активного
давления грунта на стену можно опре-
делить по формуле (5.20) или по пло-
щадям эпюр давлений. Избираем по-
следний способ.
Горизонтальная составляющая равнодействующей давления
qxh 29,2-4
“---=58,4 кН/,
вертикальная составляющая
qzh 19,1-4 „ Л ,
=-^—=38,2 кН/м;
равнодействующая активного давления
Q=— = —-^—=69,8 кН/i
2	2	'
112
§ 26. ВЛИЯНИЕ ОСНОВАНИЯ ПОД ЗАСЫПКОЙ
Существенное дополнение к решению В. В. Соколовского сдела-
но Е. Н. Быковым, В. И. Игнатовым и А.С. Шулевым [55], которые
предложили способ учета влияния жесткого основания, ограничи-
вающего засыпку снизу (рис. 71). Поэтому у нижней грани засыпки
линии скольжения совпадают с основанием и определяются углом
л — pi с горизонтом, а главное напряжение — углом ч]?0 = л —
л	л ф
— pj — в, где в =	~ — угол наклона линии скольжения к
главному направлению. Авторы приняли, что главное направление
постепенно меняется вдоль стенки от до ф. Соответственно изме-
няется вдоль стенки и значение давления о, связанное с уг-
лом я]?.
Исходя из анализа экспериментальных эпюр давлений принято,
что приращение угла ф от начала F переходной зоны происходит по
параболическому закону с приближением к основанию. С учетом
этих условий авторами выполнено численное решение задачи о дав-
лении засыпки на подпорную стену при следующих данных: а =
= 0, <р = <р0 = 25°, Pi = 0. Полученная сетка линий скольжения
показана на рис. 72. Для сравнения пунктирной линией нанесена
соответствующая сетка, построенная для *ф = const, т. е. без учета
влияния основания.
На рис. 73 показана расчетная эпюра давлений, полученная
с учетом влияния основания для стенки высотой 1,25 м при значении
у = 14,5 кН/м8 и при равномерной нагрузке р = 4 кПа на поверх-
ности засыпки (кривая /). Пунктирная линия 2 получена без учета
влияния основания, а точки нанесены по экспериментальным дан-
ным, полученным Ф. М. Шихиевым [141]. Аналогичные эпюры полу-
чены и 3. В. Цагарели [133]. Учет влияния основания под засыпкой
позволяет снизить расчетную величину давления на 15%, но при
этом центр давления повышается до уровня 0,4—0,45 высоты стены,
считая от основания.
РИС. 71
РИС. 72
РИС. 73
113
§ 27. ПАССИВНОЕ ДАВЛЕНИЕ СЫПУЧЕГО ТЕЛА
При перемещении подпорной стены в сторону сыпучего тела про-
является его пассивное давление, точнее сопротивление или отпор
(рис. 74). Для вертикальной гладкой стены высотой h при горизон-
тальной поверхности засыпки строгое решение приводит к формуле
для пассивного давления засыпки на глубине г при наличии равно-
мерной нагрузки р на поверхности засыпки и при учете сцепления с:
?п=(уг+₽) ig= ( y + -7)+2с ‘е (7— V) ’	(S 23)
Равнодействующая пассивного давления определяется как пло-
щадь эпюры давлений.
Сопоставление формул (5.7) и (5.23) позволяет сделать вывод,
что пассивное сопротивление грунта при одинаковых условиях на-
много больше, чем его активное давление q. Так, например, при <р =
= 30° н с = 0
gn _	*4 4 ^2 / _ (1 Ч-sin Ф)2 __ (1Ч~0,5)а =д
ga	tgs(—— — j	(1—sincp)2	(1—0,5)2
Это отношение будет тем меньше, чем меньше угол внутреннего
трения грунта, и при <р = 0, т. е. для жидкости, равно единице.
Когда угол трения грунта о стену ср() не может быть принят рав-
ным нулю, нормальная и касательная составляющие пассивного
сопротивления грунта на глубине z от горизонтальной поверхности
засыпки выражаются следующими формулами:
и=и yz;	(5.24)
т=туг,	(5.25)
где ант — коэффициенты сопротивления грунта, значения которых, вычис-
ленные по методу В. В. Соколовского, приведены в табл. 19.
При этом жирная ступенчатая линия выделяет в этой таблице
коэффициенты, относящиеся к крутым (левая часть таблицы) и по-
логим стенам.	_
Для крутых подпорных стен коэффициенты ант связаны зави-
симостью
T^atgcpo.
Для пологих подпорных стен угол
отклонения полного давления от
нормали к задней грани стены мень-
ше угла трения по ней, т. е.
6= arc tg — < ф0.
а
РИС. 74
115
114
Горизонтальная и вертикальная составляющие пассивного со-
противления выражаются теми же формулами (5.14) и (5.15), что
и при определении активного давления. Коэффициенты другие.
Пример 10. Определить пассивное сопротивление грунта при давления
на него передней грани фундамента стены высотой й=2 м. Поверхность земли
горизонтальная, угол внутреннего трения грунта <р — 30°, угол трения грун-
та о стену ф0 = 15°. Сцепление не учитывается. Объемная масса грунта р=
= 1,8 т/м3 (у = 18 кН/м3).
По табл. 19 находим коэффициенты нормальной к касательной составляю-
щих пассивного сопротивления грунта о = 4,46 и т = 1,2 н вычисляем ко-
эффициент пассивного сопротивления грунта
«.ц=£п= '/аг+та=У4,462+1,22=4,63.
Нижняя ордината эпюры пассивного давления
18-2-4,63=167 кПа.
Сила пассивного сопротивления грунта
Л <7пЛф 167-2
—£—=167 кН/м.
Эта сила отклоняется от нормали к стене вниз на угол <р0 = 15°.
§ 28.	ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РЕШЕНИЯ
НЕКОТОРЫХ ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ ЗАДАЧ
В некоторых частных случаях решение дифференциальных урав-
нений предельного напряженного состояния, как при учете объем-
ных сил, так и при отсутствии их, может быть получено в замкнутой
форме. Мы ограничимся приведением в готовом виде окончательных
результатов некоторых решений, полученных В. Г. Березанцевым [3].
Для определения активного и пассивного давления сыпучего
тела на цилиндрическое ограждение решение получено при учете
объемных сил и в предположении отсутствия трения между сыпучим
телом и ограждением (<р0 = 0). Составляющие напряжения выра-
жаются формулами (рис. 75):
)]: | (5.26)
т„=0.	J
z
РИС. 75
РИС. 76
116
Как при активном, так и
при пассивном давлении сы-
пучего тела на цилиндриче-
ское ограждение величина
давления совпадает с той, ко-
торая получена для плоско-
го ограждения.
Если в сыпучем теле, на
поверхности которого имеет-
РИС. 77
ся нагрузка, сделана цилиндрическая выемка, то предельное на-
пряженное состояние за выемкой определяется следующими фор-
мулами, соответствующими активному (рис. 76) и пассивному
(рис. 77) давлению иа ограждение выемки:
где
Х=±218ф*8^ ±-f-) •	(5.2В)
Первая из формул (5.27) дает прн г = а нормальное равномерно
распределенное активное или пассивное давление q на ограждение,
вторая определяет закон распределения нагрузки, приложенной на
поверхности, интенсивность которой у края выемки р. Решение по-
лучено без учета объемных сил.
§29.	ГРАФИЧЕСКИЙ МЕТОД О ПРЕДЕЛ ЕН ИЯ
АКТИВНОГО ДАВЛЕНИЯ ЗАСЫПКИ
НА ПОДПОРНЫЕ СТЕНЫ
Применение метода В. В. Соколовского в общем случае требует
множества вычислений, поэтому С. С. Голушкевичем [29J предложен
достаточно простой графический способ определения давления сы-
пучего тела на подпорные степы, основанный на следующих допу-
щениях (рис. 78).
Во-первых, принимается, что формой разрушения системы, со-
стоящей из подпорной стены и удерживаемого ею массива сыпучего
тела, будет перемещение стены в направлении давления с одновре-
менным оползанием некоторой части сыпучего тела, отделившейся от
остального его массива. Эта часть называется сползающей призмой.
Во-вторых, принимается, что сползающая призма разделяется
плоскостями скольжения на три области: область наименьших на-
пряжений /, особую область II и область наибольших напряжений
III.
В-третьих, действительная объемлющая поверхность скольже-
ния заменяется в пределах областей I и III плоскостями, а в преде-
117
лах области II сохраняется цилиндрическая поверхность, произво-
дящая которой есть логарифмическая спираль с центром в верхней
точке задней грани стены. Направление поверхностей скольжения
определяется с помощью характеристических кругов, рассмотрен-
ных в § 13.
В качестве второй поверхности скольжения принимается непо-
средственно задняя грань стены.
В-четвертых, система рассматривается в состоянии предельного
равновесия, т. е. в состоянии, соответствующем начальному моменту
процесса сдвига стены и оползания призмы. Это позволяет принять
условие, что реактивные силы, действующие на сползающую приз-
му со стороны стены н со стороны оставшейся в равновесии части
сыпучего тела, а также силы взаимодействия между отдельными час-
тями этой призмы отклоняются от нормалей к соответствующим пло-
скостям на углы ф0 и ф, равные углам трения сыпучего тела по этим
плоскостям. С другой стороны, поскольку рассматривается началь-
ный момент процесса разрушения системы, оказывается возможным
применить условия равновесия к ее первоначальному недеформнро-
ванному состоянию. Они сводятся к выполнению условия замкнуто-
сти многоугольника всех сил, действующих на сползающую призму.
Этого достаточно для определения величины давления.
Пусть требуется определить активное давление сыпучего тела
на заднюю грань АВ подпорной стены (рис. 78, а) при вертикальной
равномерно распределенной нагрузке р на поверхности сыпучего
тела. Прежде всего по заданной величине угла внутреннего трения
Ф строим в произвольном масштабе систему характеристических
кругов (рис. 78, в). Для нахождения границ области III делаем сле-
дующие построения. Проводим хорду ab круга вершин, параллель-
ную задней грани стены и касательную к кругу площадок. Из цент-
ра кругов С, через точку касания, проводим радиус Ck и продолжаем
его до пересечения с кругом полюсов в точке п\ этот радиус будет
РИС. 78
118
нормальным к задней грани стены. Из точки п под заданным углом
<рс (угол трения сыпучего тела о стену) проводим прямую nd до пере-
сечения с кругом вершин. Полученную точку dсоединяем с концами
хорды ab прямыми db и da, которые дают направление линий сколь-
жения, ограничивающих область III. Проведя иа рис. 78, а из точек
В и Л линии, параллельные bd и ad до их взаимного пересечения
в точке D, получаем границы области III.
Для нахождения границ области I делается аналогичное по-
строение. Проводим хорду а'е круга вершин, параллельную поверх-
ности сыпучего тела и касательную к кругу площадок. Из центра
кругов С через точку касания k* проводим радиус Ck' до пересечения
в точке п‘ с кругом полюсов; этот радиус будет перпендикулярен
поверхности сыпучего тела. Из точки пг проводим прямую n'f, па-
раллельную равнодействующей поверхностной нагрузки и веса
призмы I, которая в данном случае будет вертикальной. Эта прямая
пересекает круг вершин в точке f, которую соединяем с точками а'
и е концами хорды круга вершин. Линии a'f и ef будут параллельны
линиям скольжения, ограничивающим область I. Одну граничную
прямую этой области, отделяющую ее от области II, мы получим,
проведя на рис. 78, а из точки А прямую, параллельную a'f. Что
касается второй граничной прямой, параллельной EF, то она может
быть построена лишь после того, как будет найдена принадлежащая
ей точка F, лежащая в то же время на прямой, разделяющей об-
ласти I и II.
Так как линия DF является логарифмической спиралью, то,
зная ее конечный радиус AD, можно вычислить начальный радиус
AF, измерив предварительно заключенный между ними угол 0.
Для этого используется формула, вытекающая из уравнения лога-
рифмической спирали
Гкон _ e6 tg <₽,
Гнач
где гнач и Гноя — начальный и конечный радиусы спирали.
Отсюда
AF=ADe-Gt*v.	(5.29)
Найдя точку F, проводим через нее прямую FE, параллельную
fe, до пересечения с поверхностью сыпучего тела. Это дает нам не-
достающую часть границы области I.
Границу области II получим, соединив точки D и F плавной кри-
вой, касательными к которой в этих точках будут BD и FE.
Для нахождения линии действия силы R2, уравновешивающей
давления на плоскостях AD и AF, необходимо определить точку
L, лежащую на пересечении прямых BD и EF. Соединив точку А
с точкой L, получим искомую линию действия силы R2.
Для построения силового многоугольника (рис. 78, б) необходи-
мо вычислить веса отдельных частей сползающей призмы Glt G2 и
119
G3. При этом площадь области //, являющейся сектором логарифми-
ческой спирали, вычисляется по формуле
F*~lki(AD2~AFi}' (530)
Вычисленные значения веса отдельных частей сползающей приз-
мы прикладываются в центрах тяжести соответствующих областей.
Кроме того, посередине отрезка АЕ прикладывается сила Р — рав-
нодействующая нагрузки, приложенной на этом участке.
Для построения многоугольника сил в принятом масштабе от-
кладываем силы Р и Gt н уравновешиваем их равнодействующую си-
лами и Si- Последние составляют с нормалями к плоскостям
скольжения ЕР и АР углы <р и, следовательно, соответственно па-
раллельны направлениям АР и ЕР, которые образуют угол
(90° — (р). Силу Si, обратную силе Sx, представляющую собой дав-
ление на плоскость АР, складываем с силой 02 и их равнодействую-
щую уравновешиваем силами и S2, параллельными направле-
ниям AL и BD. Сила S2, обратная силе S2, представляет собой силу
давления на плоскость AD. Сложив эту силу с силой С3, уравновесим
их равнодействующую двумя силами: R3 и Q, из которых Рэ па-
раллельна AD, а сила Q отклоняется от нормали к задней грани
стены на угол <р0 н будет реакцией стены.
Искомая сила активного давления грунта на стену равна силе
Q, но направлена в обратную сторону.
Найденную силу активного давления грунта на подпорную сте-
ну можно разложить на две составляющие, одна из которых —
Qv — представляет собой действие объемных сил — веса грунта,
а другая Qp — действие нагрузки, приложенной на поверхности.
При отсутствии последней вместо сил plt и R3, изображенных
сплошными линиями на силовом многоугольнике (рнс. 78, б), нужно
провести параллельные им линии, показанные пунктиром. При этом
сила активного давления на стену изображается вектором, обратным
по направлению вектору Qv.
Когда есть нагрузка на поверхности грунта, пунктирная линия,
параллельная /?3, разделяет вектор Q на две части, одна из которых
дает силу активного давления Q? от одних только объемных сил —
собственного веса грунта, а следовательно, другая часть, равная
Qp, представляет собой силу активного давления на стену от на-
грузки, приложенной на поверхности.
Пассивным сопротивлением, или отпором, сыпучего тела назы-
вается, как это было указано в § 27, предельное сопротивление сы-
пучего тела производимому на него давлению со стороны стены,
перемещающейся в сторону сыпучего тела, в начальный момент об-
разования в нем сплошных поверхностей скольжения.
Если линия действия внешней силы совпадает с линией действия
силы пассивного сопротивления сыпучего тела, то вся область, ог-
раниченная объемлющей поверхностью скольжения, приходит в
120
предельное напряженное состояние. В противном случае зе стеной
возникает смешанное напряженное состояние.
При выпирании сыпучего тела силытрення направлены противо-
положно тому, как они направлены при его сползании. Призма сы-
пучего тела, ограниченная объемлющей поверхностью скольжения,
называется призмой выпирания. Так же, как и при определении ак-
тивного давления сыпучего тела, призма выпирания разделяется на
три области.
При определении пассивного сопротивления сыпучего тела дав-
лению на него со стороны крутой подпорной стены указанные по-
строения и их последовательность сохраняются, но направление
плоскостей скольжения определяется уже не для минимального
предельного напряженного состояния, а для максимального. Кро-
ме того, вычислению подлежит не начальный радиус логарифмичес-
кой спирали, а конечный, который находится по формуле
ЛГ=ЛС.ее^‘₽.	(5.31)
Графическое определение пассивного сопротивления сыпучего
тела при давлении на него крутон стены дано иа рис. 79.
§ 30.	РАСПРЕДЕЛЕНИЕ АКТИВНОГО ДАВЛЕНИЯ
ПО ВЫСОТЕ СТЕНЫ
Давление сыпучего тела на подпорную стену определяется не
только величиной и направлением, но также и законом распределе-
ния, от которого зависит положение равнодействующей этой на-
грузки.
Для получения закона распределения давления по высоте стены
принимают допущение о том, что при сдвиге стены высотой h дав-
ление сыпучего тела на ее верхнюю часть высотой z не зависит от то-
го, сдвигается или нет нижняя часть стены, т. е. давление будет та-
ким же, как на стену высотой z.
В общем случае, когда поверхность засыпки не плоская, для по-
строения эпюры сил давлений стену разбивают по высоте на несколь-
ко частей (рис. 80, а) и для каждого горизонтального сечения z оп-
ределяют силу давления на вышележащую часть.
Откладывая в определенном масштабе на каждой глубине г
соответствующую силу давления Qz на всю вышележащую часть
стены, получим эпюру сил давления, показанную на рис. 80, в. Ор-
динаты этой эпюры выражаются в кН/м. Среднее давление qz на
каждом участке можно найти как приращение силы давления на
этом участке. Соответствующая эпюра давлений, построенная на
задней грани стены, показана на рис. 80, а. Ее ординаты, отложен-
ные под углом 6	<р0 от нормали к задней грани стены, выражаются
в кПа. Эти ординаты можно отложить и нормально к задней грани
стены. Чаще всего эпюру давлений строят на вертикальной проек-
ции стены, а ее ординаты откладывают горизонтально. Прн этом они
должны быть предварительно разделены на cos а (рис. 80, б).
121
РИС. 79
РИС. ЙО	РИС. 81
При плоской поверхности засыпки сила активного давления, как
это следует из законов подобия, пропорциональна квадрату рассмат-
риваемой части высоты стены, поэтому эпюра сил давления будет
квадратной параболой (рис. 81). Давление на любой глубине z от
верха стены можно найти как производную сил давлений по длине
задней грани стены
„ dQz dQx cos сс
(5.32)
где а — угол наклона задней грани стены к вертикали.
Эта производная оказывается уже функцией первой степени от-
носительно z. Следовательно, величина активного давления сыпу-
чего тела на стену возрастает пропорционально z и эпюра давлений
будет в виде треугольника с наибольшей ординатой q на уровне по-
дошвы стены (рис. 81, б).
Равнодействующая Р нагрузки, действующей на поверхности
сползающей призмы, и величина отвечающего ей активного давления
на стену пропорциональны высоте стены, поэтому соответствующая
эпюра сил давлений будет в виде треугольника, а эпюра давлений —
прямоугольника.
122
Нижние ординаты эпюры давлений определяются из тех усло-
вий, что площадь треугольной части этой эпюры равна Qv, а пря-
моугольной — Qp. Отсюда
Ж Qp
»=»,+»?= ~~+		(5.33)
Равнодействующие активного давления сыпучего тела Qv и Qp
приложены на уровне центров тяжести соответствующих эпюр дав-
лений. Так как эпюра qv в виде треугольника, то ее центр тяжести
находится на высоте Л/3 от подошвы стены. Эпюра qp — прямоуголь-
ная, поэтому ее центр тяжести лежит посередине высоты стены. Си-
лы Qv и Qp составляют с нормалями к плоскости стены углы <р0.
Глава VI
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДАВЛЕНИЯ СЫПУЧЕГО ТЕЛА
НА ПОДПОРНЫЕ СТЕНЫ ПРИ ЗАМЕНЕ
ПОВЕРХНОСТИ СКОЛЬЖЕНИЯ ПЛОСКОСТЬЮ
§ 31.	ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ТЕОРЕМЫ
Упрощенный метод определения давления сыпучих тел на под-
порные стены приводит к наиболее простому решению задачи, обе-
спечивая во многих случаях достаточную точность результатов.
Следуя установившейся традиции, этот метод будем условно назы-
вать «теорией Кулона». Он основан на следующих допущениях
(рис. 82).
1.	Формой разрушения системы, состоящей из подпорной стены
и удерживаемого ею массива сыпучего тела, будет перемещение сте-
ны в сторону от массива с одновременным сползанием некоторой
призмы последнего по некоторой поверхности скольжения.
2.	Эта поверхность скольжения заменяется плоскостью.
3.	В качестве второй поверхности скольжения принимается не-
посредственно задняя грань стены.
4.	Сползающая призма рассматривается как абсолютно твердое
тело, что позволяет заменить действующие на нее объемные и по-
верхностные силы их рав-
нодействующими G, Q и R.
5. Рассматривается сы-
пучее тело, лишенное сцеп-
ления.
6. Рассматривается си-
стема в состоянии предель-
ного равновесия, т. е. в со-
стоянии, соответствующем
начальному моменту пере-
мещения стены и скольже-
РИС. 82
123
нию призмы сыпучего тела. Это позволяет считать, что реактив-
ные силы, действующие на сползающую призму со стороны
стены и со стороны части грунта, оставшейся неподвижной, откло-
няются от нормалей к соответствующим плоскостям на углы <р0
и <р, равные углам трения грунта по этим плоскостям. С дру-
гой стороны, поскольку рассматривается начальный момент про-
цесса разрушения системы, оказывается возможным применить усло-
вия равновесия к ее первоначальному недеформированному состоя-
нию.
Кроме того, задача по-прежнему рассматривается как плоская.
Сползающая призма находится в равновесии под действием трех
сил: собственного веса G, реакции Q подпорной стены и реакции Д’
остальной части сыпучего тела.
Реакция подпорной стены равна искомому активному давлению
на нее грунта, но направлена в противоположную сторону.
Условия равновесия сползающей призмы будут выполнены, если
силы G, Q и Д образуют замкнутый треугольник (рис. 82, б), а на
поле сил будут пересекаться в одной точке.
Обозначив угол между вертикальной плоскостью и задней гра-
нью стены через а, а неизвестный угол между горизонтальной пло-
скостью и плоскостью скольжения через 0, найдем углы силового
треугольника:
*Ф==-~—а—<ро; 6—ф; зх—"ф—0+ф.
Проектируя все силы, действующие на сползающую призму, на
ось U, перпендикулярную силе Р, получим:
SG = —G sin (6—ф)+Ф sin (Ф4-6—ф)=0,
отскда
Точно так же, проектируя все силы на ось V, перпендикулярную
силе Q, найдем
sinib
^°-йп(Ф+е_ф) '	(6-2>
Уравнения (6.1) и (6.2) содержат три неизвестные — силы Q и Д
и угол 0. Что касается силыС, то при данном объемной массе сыпуче-
го тела она вполне определяется площадью основания сползающей
призмы, которая в свою очередь зависит от направления плоскости
скольжения, т. е. от угла 0.
Исходя из теоремы, предложенной А. А. Гвоздевым, согласно ко-
торой истинная форма разрушения системы отвечает наименьшему
значению разрушающей нагрузки, следует принять угол наклона
плоскости скольжения таким, чтобы активное давление на стену бы-
ло наибольшим. Тогда для опрокидывания или сдвига стены потре-
буется минимальная дополнительная разрушающая нагрузка.
124
Это условие, принятое еще Ш. Кулоном (исходя из соображений
безопасности), позволяет составить недостающее уравнение, которое
для нахождения Q должно быть решено совместно с уравнением
Произведя дифференцирование выражения (6.1) по 0 и прирав-
няв производную нулю, получим
dG sin (6—<р) sin (-ф+0— <р)
с=—да----------------------(6Л)
Из рис. 82, где линия ЕН проведена под углом ф к линии ВН,
видно, что:
О-у(пл. ABE)-, dG=~~ уВЕ
EL
sin(0-<p)=—;
sin (ф4~ 6—<p)	sin (л—ip—64-(p)	BH
sin ip	sin ip	BE
Подставляя эти выражения в формулу (6.4), получим
Т(пл. АВЕ)=~УВЕ^^ = ~уЕ1.-В11,	(6.5)
2	ОС 1>С	2
ИЛИ
пл. АВЕ=пл. ВЕН.
Эту теорему, известную под названием первой теоремы Ребхана,
можно сформулировать так: '
Наибольшее активное давление сыпучего тела на плоскую заднюю
грань подпорной стены, соответствует такому направлению пло-
скости скольжения, при котором основание сползающей призмы АВЕ
равновелико треугольнику ВЕН.
Приняв точку Н за центр окружности, сделаем в точке I засеч-
ку радиусом ЕН на линии ВС. Площади треугольников ВЕН и
ЕНI общей высотой EL относятся одна к другой, как их основания:
пл. EHI _Н1__ ЕН
пл- ВЕН ~ ВН~ ВН *
По доказанному ранее площадь ВЕН равна площади АВЕ. Кро-
ме того, замечаем, что треугольник ВЕН и силовой треугольник с
.	ЕН О
равными углами подобны, поэтому = g.
Подставляя этн данные в предыдущее уравнение, получим
пл. ЕШ Q Q
пл. ABE G	у (пл. АВЕ)
125
Отсюда можно найти давление грунта на стену:
(2=у(пл. EHI).	(6.6)
В этом заключается вторая теорема Ребхана, которую сформули-
руем так:
Активное давление сыпучего тела на плоскую заднюю грань под-
порной стены равно весу призмы с основанием в виде треугольника
EHI.
Условие пересечения линий действия сил G, Q и R в одной точке,
эквивалентное равенству нулю суммы моментов этих сил относи-
тельно любой точки плоскости, допускает бесчисленное множество
положений сил Q и R с заданным направлением (рис. 82).
Рассматривая любое из этих положений (рис. 82, а), составим
уравнение моментов относительно точки В:
SMg—Qfg—Rr -J-G-tg—0.
В этом уравнении две неизвестные величины г0 и г не могут
быть определены однозначно.
Таким образом, уравнение моментов позволяет связать величи-
ны плечей г0 и г, определяющих положение сил Q и но не дает
возможности определить величины этих плечей без дополнительных
допущений относительно распределения давления по высоте стены.
§ 32- ГРАФИЧЕСКИЕ СПОСОБЫ
ОПРЕДЕЛЕНИЯ АКТИВНОГО ДАВЛЕНИЯ СЫПУЧЕГО ТЕЛА
НА ПОДПОРНЫЕ СТЕНЫ
Один из таких способов (рис. 83), предложенный К. Кульманом,
основан на графическом нахождении максимального значения силы
Q как функции угла 0. Для нахождения опасной плоскости сколь-
жения проводят несколько возможных плоскостей скольжения
(BElt BEZ, ..., ВЕп) и для каждой из них вычисляют вес сползаю-
щих призм Glt Ga, ..., Gn. Величины эти в определенном масштабе
сил откладывают от точки В на прямой внутреннего трения ВС.
Через точку В проводят так называемую основную линию ВК
под углом <р + <р0 к задней грани стены и из концов отрезков Glt
G2, •••» Gn проводят прямые, параллельные основной линии, до
пересечения каждой из них с соответствующей плоскостью скольже-
ния. Полученные точки соединяют плавной кривой. Все построен-
ные таким образом треугольники оказываются подобными силовым,
и все линии, параллельные основной, выражают величину силы
активного давления Q, соответствующую данной плоскости скольже-
ния. Для нахождения наибольшего значения Q к кривой проводят
касательную, параллельную линии ВС, н полученной точкой каса-
ния определяют опасную плоскость скольжения н наибольшее зна-
чение Q.
Это построение, непосредственно вытекающее из формул (6.1)
н (6.3), справедливо при любом очертании поверхности засыпки.
126
РИС. 83
При этом силовые треугольники,
кривую и касательную к ней иног-
да строят отдельно.
Другой равноценный способ
(рнс. 84), предложенный М. Г. Бес-
киным, основан на применении	рис g4
теорем Г. Ребхана. В этом случае
площади оснований сползающих призм Slt Sz, ..... S„, соответст-
вующие различным возможным плоскостям скольжения BElt ВЕ2,--.,
.... ВЕп, откладывают в виде ординат графика, по горизонтальной
оси которого отложены соответствующие значения отрезков х. Сое-
динив концы ординат плавной кривой, получим кривую S. Точно
так же строят кривую/7 площадей треугольников BEtHlf ВЕ2Н2,...
..., ВЕпНг. Точкой пересечения кривых S и /’определится значение
х, соответствующее равенству площадей АВЕ и ВЕН, т. е. соответ-
ствующее опасной плоскости скольжения.
Для определения величины активного давления грунта достаточ-
но провести через точку Е прямую ЕН, параллельную AD, до пе-
ресечения с линией ВС в точке Н и отложить на линии ВС отрезок
HI = ЕН', умножив площадь треугольника EHI на у грунта, полу-
чим значение силы Q — активного давления его иа подпорную стену.
Если поверхность грунта представляет собой плоскость, то ос-
нованием сползающей призмы будет треугольник АВЕ, который
по первой из теорем Г. Ребхана должен быть равновелик треуголь-
нику ВЕН (рис. 85). Так как эти треугольники с общим основанием
BE, то, очевидно, должны быть равны их высоты t, следовательно,
АК равно и параллельно ЕН, поэтому КН равно и параллельно АЕ
и фигура АЕНК будет параллелограммом.
Из подобия треугольников ВЕС и ВКН можно составить пропор-
цию
ВС BE
ВН ВК ’
из подобия треугольников ВЕН и BKD —
BE ВН
ВК~ BD '
Следовательно,
ВС ВН
’ или b^2=^C-BD.	(6.7)
on dl)
127
128
Таким образом, отрезок ВН будет среднепропорциональным меж-
ду отрезками ВС и BD. Если в точке D восстановить перпендикуляр
до пересечения с полуокружностью, построенной на отрезке ВС,
как на диаметре, то хорда BF будет среднепропорциональной между
диаметром ВС и прилегающим отрезком BD, следовательно BF =
= ВН.
В соответствии с доказанным для определения активного давле-
ния грунта, ограниченного сверху плоскостью, на подпорную стену
можно выполнить построение, предложенное Ж- Понселе, в такой
последовательности:
1)	провести линию ВС под углом внутреннего трения к горизон-
ту до пересечения с поверхностью сыпучего тела;
2)	на отрезке ВС как на диаметре построить полуокружность;
3)	из точки А провести прямую под углом (<р + <р0) к задней
грани стеиы до пересечения с линией ВС в точке D;
4)	в точке!) восстановить перпендикуляр до пересечения с полу-
окружностью в точке F;
5)	радиусом BF сделать засечку на лииин ВС в точке //;
6)	через точку Н провести прямую, параллельную AD, до пере-
сечения с поверхностью
грунта в точке £;
к 7) из точки Н ра-
\ диусом ЕН сделать за-
\ сечку на линии ВС в
I точке /;
/	8) точки В и Е соеди-
/ нить прямой, которая
/ дает след плоскости
скольжения, что позво-
ляет определить угол 0;
9) точки Е и I соеди-
нить прямой и найти
площадь треугольника
ЕН1\ умножив значение
этой площади на значе-
д_____
¥ /Т Ч
/ .
РИС 87
РИС. 89
ние у грунта, получим силу активного давления грунта на под-
порную стену.
Существует несколько особых случаев, когда данное построение
невыполнимо или выполнимо только при некотором его видоизмене-
нии, а именно:
1.	Поверхность сыпучего тела наклонена к горизонту под углом,
равным углу внутреннего трения, т. е. р = <р (рис. 86). Построение
невыполнимо, так как точка С удаляется в бесконечность. Тем не
менее треугольник EHI может быть построен в любом месте между
двумя параллельными прямыми. Плоскость скольжения проходит
точку В под углом внутреннего трения, а сползающей призмой будет
весь бесконечно большой объем грунта, заключенный между двумя
параллельными плоскостями.
2.	Линия AD, проведенная из точки А под углом <р + <ь к по-
верхности стеиы, пересекаются с линией ВС выше поверхности грун-
та (рис. 87). Построение оказывается выполнимым, но полуокруж-
ность нужно строить уже не на ВС, а на BD, так как отрезок ВН
должен быть по-прежнему среднепропорциональным между ВС и
BD. Треугольники АВЕ и ВЕН равновелики.
3.	Поверхность сыпучего тела составляет с задней гранью сте-
ны угол <р + <ро (рис. 88). Построение невыполнимо, но на основании
первой из доказанных теорем для нахождения точки Е достаточно
разделить отрезок АС пополам.
4.	а + <р0>^- При этом линии AD и АС пересекаются с дру-
гой стороны напорной грани подпорной стены. Давление на нее не
может быть найдено, так как угол яр = 90° — а — <р0 оказывается
отрицательным, т. е. силовой треугольник не будет замкнут.
Пример 11. Определить графически силу давления грунта на подпорную
стену высотой /1 = 6 м, если угол наклона стены к вертикали а= 10°, поверх-
ность грунта горизонтальна, у = 18 кН/м3, угол внутреннего трения грунта
ф = 30° и угол трения грунта о стену <р0 = 15°.
Произведя построение Ж. Понселе (рис. 89), найдем исходя нз приня-
того масштаба длин размеры треугольника EHI, показанные на чертеже.
Сила давления грунта иа подпорную стену по формуле (6.6)	—
3,9-3,6
Q=у (пл. ЕЯ/) = 18 —’	= 126 кН/м.
Результат получается в кН на 1 м стены по ее длине. Плоскость
скольжения BE составляет с горизонтом угол 0 = 60°.
5 Зак. 1169
129
§ 33. ФОРМУЛЫ ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ
АКТИВНОГО ДАВЛЕНИЯ
СЫПУЧЕГО ТЕЛА НА ПОДПОРНЫЕ СТЕНЫ
Из общей формулы (6.1) для силы активного давления грунта на
подпорную стену можно вывести соответствующую развернутую фор-
мулу для случая, когда поверхность засыпки плоская. Для этого
используем построение, показанное на рис. 85.
sin (6—<р)
q=g ""w-4->_= JL BH.EL_
sin (-ф4-6— ф)	2	sin (ф 4-6—<р)
= уЕН • EL = ~~~ уЕН2 sin ф;
„	sin I —4“К—ср |
EH=AD сн =АВ L11 LI сн. _ __L_ с«(Ф-«) CH .
CD	sin ф CD cos a sin ф CD
(С-8)
(6.9)
Отношение BDIBC может быть выражено:
CH _ BC—BH\_ ВС—Y ВС-BP _ l/вс (УвС-УвЬ) 1	.
CD ~ BC—BD “ BC—BD ~ BC—BD “ /~др
' + ]/ ж
(6.10)
Отношение BDIBC можно найти из рассмотрения треугольников
ABD и АВС и выразить через синусы их углов:
BD ВРАВ sin (ф4- ф0) sin (ф—13)
ВС АВ ВС sin ф	cos (а—р)
Подставляя последовательно полученные значения отношений
и ЕН в формулы (6.10), (6.9) и (6.8), после преобразований
получим:
1	1 cos (ф—а) СЯ2
— у ЕН2 sin ф=— у№--------—---------sin ф-
2 г	2 r cos2 a sin2 ф CD2
2cosa 2
(6.12)
где А — коэффипиент активного давления грунта па подпорную стену,
который выражается формулой
*=-*-= 7---------  -----------------------------------(6.13)
C0SCC L, 1/ SiD (<Р4-фо) sin (ф~ Р) 2	/14
11 + I/ -----------------ZT cos2 a COS (a-Ьфо)
L V cos («4-ф0) cos (a—p) J
Формула (6.12) по виду совпадает с формулой (5.20), однако коэф-
фициенты активного давления, найденные по методу Ш. Кулона,
130
несколько отличаются от соответствующих коэффициентов, подсчи-
танных по методу В. В. Соколовского.
Угол 0, который образует плоскость скольжения с линией го-
ризонта, можно определить из силового многоугольника на рнс. 85.
Для этого нужно предварительно определить вес сползающей приз-
мы.
В частном случае, когда поверхность сыпучего тела, ограничена
горизонтальной плоскостью (Р = 0), а задняя грань стены прини-
мается идеально гладкой (<р0 = 0), формула (6.13) значительно упро-
щается и принимает вид
C°Sa" (614J
В этом случае угол наклона плоскости скольжения к линии гори-
зонта определяется
e "+*±S.	(6.15)
4	2
Если, кроме того, стена еще и вертикальная (ос = 0),
у. (6Л6)
\ 4	2 ) l-J-sincp \ l-j-sincp )
Это выражение совпадает с соответствующим решением В. В. Соко-
ловского.
При этом
0=-^+-^.
4*2
При плоской поверхности грунта, наклоненной к горизонту под
углом р = <р0, и при вертикальной задней грани стены
b=cosfltg»(-5—(6.17)
где
cos ф
v= arc cos-— •
cosp
Если, кроме того, р = <р = <р0, то:
Z,=cos <р; 6=<р.	(6.18)
Горизонтальная и вертикальная составляющие давления грунта
выражаются формулами:
Qx ~ Q cos (а4-фо)= 2 ^х*	* 19)
O2=Csin(a4-<Po)=^2-^.	(6.20)
5*
131
При этом в общем случае коэффициенты и Xz выражаются фор -
мулами:
cos2 (ср—а)
Хж=X, cos (а 4- ф0) = —--	-------(6.21)
1 j / sin (ф+фо) sin (<р—Р) cos2 * 4 а
|	|/ cos (а 4- фо) cos (а— fl) J
Хх=7- sin («4фо)—
cos2 (ф—а) tg (а4- ф0)____
sin (ф~рфр) sin (ф—fl) Г coss а
cos (а4- <po) cos (а—fl) J
(6.22)
Прн а 4“ Фо >	c°s («+фо) < 0
и формула (6.13) приводит к мнимым значениям X, так как не удов-
летворяются условия равновесия сползающей призмы.
Увеличенные в 1000 раз значения коэффициентов Хж, вычислен-
ные по формуле (6.21), приведены в табл. 20.
Для получения значений X и их нужно соответственно разде-
лить на cos (ос 4- Фо) и-™ умножить на tg (а 4- Фо)-
Для перехода к коэффициентам табличные значения должны
быть умножены на cos а.
Пример 12. Определить аналитически силу давления грунта на-подпор-
ную стену, рассмотренную в примере 11.
Коэффициент активного давления грунта исходя из теории UI. Кулона
определяетсн по формуле (6.13)
cos2 (30° —10°)_____________________
I2
cos2 10° cos (10° 4-15°)
Х=
sin (30° 4-15°) sin (30°—0°;
cos (10° 4-15°) cos(10°—0°]
0,94a_______
0,707-0,5 j 0 0852.0 906
0,906-0,985]
— 0,378.
Сила активного давления грунта на подпорную стену определяется по
формуле (6.12)
Wi2 18-62
О=-*—Ь=’------0,378=123 кН/м.
4	2	*2
Результат графического решения, полученный в примере II, отличается
от этого значения на 2,5%.
Если исходить нз теории В. В. Соколовского, то коэффициент активного
давления можно найти, пользуясь графиком, приведенным на рис. 68. По
этому графику находим = 0,35, gz = 0,15.
Уй+й=—1—1/0,352+0.152=0,39.
cos a cos а	0,9о5
Для нахождения закона распределения давления по высоте подпорной
стены в соответствии с формулой (5.32) достаточно продифференцировать
132
ТАБЛИЦА 20. ЗНАЧЕНИЯ КОЭФФИЦИЕНТОВ АКТИВНОГО ДАВЛЕНИЯ
ПО МЕТОДУ Ш. КУЛОНА (УВЕЛИЧЕНИЕ В 1000 РАЗ)
Уклон задней грани стены к вертикали i = tg а	Ф. град	₽ = 0				е==<р/2				в- II
		Фо = О	„ 	ф	2 Фе=дФ	Фо = ф	фо = 0	ф	2 Фв=дФ	Фо =ф	
1	2	3	4	S	6	7	в	9	10	п
	15	523	480	469	449	589	552	542	524	835
	20	417	378	367	348	482	446	435	418	762
—0,2	25	330	295	286	270	388	354	345	329	675
(а =	30	257	229	221	207	306	278	270	256	587
—11°20')	35	198	175	169	158	237	214	208	195	496
	40	148	132	126	118	178	160	155	146	406
	45	108	96	93	86	129	116	102	95	320
	15	556	510	499	475	627	587	576	556	883
	20	454	409	397	376	526	485	473	453	822
—0,1	25	368	327	316	296	434	396	384	365	747
(а=	30	295	260	250	233	353	319	309	291	666
—5°44')	35	234	205	196	181	282	253	245	228	580
	40	182	159	152	140	220	197	190	176	492
	45	139	121	116	106	168	149	140	133	405
	15	588	538	524	500	665	621	609	587	933
	20	490	440	426	401	569	523	510	486	883
	25	406	359	345	322	482	436	423	400	824
(а = 0)	30	333	291	279	257	402	360	334	326	750
	35	271	235	224	205	330	293	283	262	672
	40	218	187	183	161	267	235	226	207	587
	45	172	148	145	125	210	185	177	160	500
	15	619	564	549	521	701	654	640	615	983
	20	525	469	453	424	612	561	545	518	948
0,1	25	449	389	373	345	529	477	461	434	900
(а=5°44')	30	372	321	306	280	452	402	387	359	839
	35	309	264	251	226	381	335	318	294	768
	40	254	216	204	180	316	275	253	237	689
	45	207	174	164	143	257	223	212	188	605
	15	648	588	571	541	737	684	669	642	1036
	20	559	495	477	444	654	596	579	548	1016
	25	479	416	398	365	576	516	498	465	982
0,2	30	409	349	332	299	502	442	424	390	933
(«=11®20')	35	347	292	275	244	432	376	360	323	872
	40	292	243	229	197	367	316	300	265	800
	45	243	200	186	157	307	262	247	213	720
133
выражение (6.12). Это приводит к такому результату для давлении па глуби-
не г:
*7°	dQz	d i у22 \
=-----=	?— = ---- - X|=Tzl.	(6.23)
cos a	dz	dz \ 2	J
При z — h q — yhk.
Площадь треугольной эпюры давлений равна силе давления сыпучего
тела, выражаемой формулой (6.12).
Так как эпюра давлений имеет вид треугольника, то ее центр тяжести
находится на высоте Л/3 от подошвы стены.
§ 34. ПАССИВНОЕ ДАВЛЕНИЕ СЫПУЧЕГО ТЕЛА
Для определения пассивного давления или сопротивления сы-
пучего тела на основе допущения о плоскости скольжения следует
исходить из того, что при выпирании призмы сыпучего тела за под-
порной стеной силы трения действуют на выпирающую призму в про-
тивоположные стороны по сравнению с тем, как они действовали
на сползающую призму.
Это позволяет применить те же графические способы построения
и те же формулы, которые используют для определения активного
давления, изменив знаки при углах <р и <р0 на обратные.
Однако необходимо иметь в виду, что неточность, связанная
с заменой криволинейной поверхности скольжения плоскостью, ока-
зывается значительно большей при определении пассивного сопро-
тивления сыпучего тела, чем при определении его активного давле-
ния. Эта неточность быстро возрастает с увеличением угла внутрен-
него трения и по данным С. С. Голушковича и В. С. Христофорова
при ф = 16° достигает 17%, при ф = 30° — почти 100%, а при ф —
= 40° получается семикратное преувеличение расчетного отпора.
Только для вертикальной гладкой стены при горизонтальной по-
верхности засыпки поверхность скольжения действительно оказы-
вается плоскостью, которая наклонена к горизонту под углом 6 =
= 45°-----1. При этом для пассивного сопротивления теория
Ш. Кулона приводит к строгой формуле (5.23).
Так как для развития пассивного давления сыпучего тела до
величин, определяемых по теории предельного равновесия, необхо-
димы значительные перемещения сооружений, то при отсутствии обо-
снования возможности и допустимости таких перемещений в СНиП
II-И. 10-65 рекомендовано принимать коэффициент пассивного сопро-
тивления = 1.
§ 35. ДАВЛЕНИЕ СЫПУЧЕГО ТЕЛА
НА ПОЛОГУЮ СТЕНУ
Как указано выше, пологой называется такая подпорная стена,
на задней грани которой не возникает предельного напряженного
состояния и для которой обе поверхности скольжения, ограничиваю-
щие сползающую призму, проходят внутри засыпки (см. рис. 62, б).
134
Для определения давления грунта па пологую подпорную стену,
поддерживающую плоский откос, С. С. Голушкевичем предложено
графическое построение (рис. 90). Поверхности скольжения при этом
л
принимаются в качестве плоскостей, составляющих угол — <р
(рис. 90, а), и определяются углами:
6i=e2+<p:	(6.24)
cos <р sin (<р—В)	_
62=arctg-------—	-------------(6-25)
cos 0+V sin2 ф—sin2 р—cos ф cos (ф—0)
Веса сползающей и пристенной призм обозначены на рис. 90
соответственно через G2 и G2.
Окончательная формула для силы давления сыпучего тела на по-
логую подпорную стену приводится к следующему виду1:
где
Е-1/( H Уч ла | 27IZ3	(02Н <Р) Е"'°- ;	(6.27)
г \ COS ф /	COS ф
л=----------«»»(a-P)cos<P---------- .	(6 28)
cos a cos (62—0) sin (ф—рД 6g)
в =	.	(6 29)
COS СС COS (03 — р)
Направление силы Q определяется углом, который она состав-
ляет с вертикалью:
.1,	• А sine2cos(e24-<p)
^=arcsin--------------------- •	(о.зи)
В cos ф]
Любая ордината истинной эпюры давлений на глубине z будет
равна:
coscc=y£z.	(6.31)
Эти формулы, строго говоря, справедливы только в том случае,
если угол отклонения 6 силы Q от нормали к стене не превосходит
угла трения сыпучего тела о поверхность стены.
Однако, как показывают подсчеты, результаты получаются до-
статочно точными и при несоблюдении этого условия, так как вели-
чина равнодействующей давления на пологую стену по теории
В. В. Соколовского очень мало зависит от величины угла <р0. Что
1 Подробней вывод формулы см. в статье автора «Определение давления
грунта на пологую подпорную стену». В сбор. «Исследования по теории соо-
ружений», вып. 12. М., Госстройнздат, 1963.
135
РИС. 90
РИС. 91
касается направления равнодействующей,
то она существенно зависит от величины
угла <р0.
Для того чтобы отнести подпорную сте-
ну [к категории пологих, угол а должен
быть больше угла 62.
Если на поверхности сползающей приз-
мы приложена вертикальная равномерная
нагрузка интенсивностью р, то ее равно-
действующая Р прибавляется к весу Gt
сползающей призмы на силовом много-
угольнике.
При горизонтальной поверхности засыпки р = 0 и
Л 31 <р Л st <р .	.	1—sin Ф
61-= — + V ;	; I|)=arctg——------tg а.
4	2	4	2	l + siiKp
В этом случае сползающая призма и действующие иа нее силы ока-
зываются симметричными относительно вертикальной плоскости,
на которой отсутствуют сдвигающие силы (рис. 91). На эту плокость
будет действовать только горизонтальная сила давления засыпки
такая же, как на вертикальную гладкую стену, т. е.
Сила Qx будет передаваться и на рассматриваемую пологую под-
порную стену. Кроме того, на нее будет действовать еще вертикаль-
ная сила, равная весу вышележащего грунта в объеме пристенной
призмы и половины сползающей призмы
(б.зз)
При этом равнодействующая давления грунта на пологую под-
порную стену составит:
tg*a+tg*		(6.34)
136
Для крутых подпорных стен формулы (6.32) и (6.33) неприменимы,
так как для них сползающая призма оказывается несимметричной.
При поверхности сыпучего тела, ограниченной плоскостью есте-
ственного откоса, р = <р, 02 =0; при р = —<р, 02 =J~.
Определение пассивного сопротивления сыпучего тела давлению'
от пологой стены сводится к тем же построениям, которые применяют
при определении действующего на ее активного давления.
Пример 13. Требуется определить активное давление грунта на подпор-
ную стену (рис. 92) высотой h = 6,5 м, наклоненную к вертикали под углом
а = 60°, если поверхность засыпки наклонена к горизонту под углом р =
= 15°, а объемная масса и углы трения засыпки составляют соответственно
р = 1,8 т/м3 (у = 18 кН/м3), ф = 30° и фо = 15°.
Угол наклона передней плоскости скольжения к вертикали находят по
формуле (6.25)
Л	cos 30° sin (30° —15°)
62=arctg------------- ---------------------------------
cos 15° + V sin2 30°—sin2 15°—cos 30° cos (15°—30°)
По формулам (6.28) и (6.29) находятсн коэффициенты:
•=21°52'.
А______________cos2 (60°—15°) cos 30°___________
— cos 60° cos (21° 62’ +15°) sin (30°—15°+21° 52') “1,46;
sin (60°—21“ 52') cos (60°—15°)
В =------------------------------ =0,886.
cos 60° cos (21 ° 52' —15°)
Коэффициент активного давления засыпки иа подпорную стену находят
по формуле (6.27)
» 1 fl. г. sin 21° 52' \2
£=|/ И.46——s3QO	J +0,8662+2-1,46-0,8662sin 51° 62'X
Равнодействующая активного давления засыпкн на подпорную стену
определяется по формуле (6.26)
18-6,52-1,41
2-0,5
Угол наклона этой силы к верти-
кали находят по формуле (6.30)
ф=arc sin X
1,46 sin 21° 52'-cos51 ° 52’
X-------------------------=16°.
1,41 cos 30°
Угол отклонения силы Q от нор-
мали к стене составляет:
6=90°—а—ф=90°—60°—16° =
= 14° < <р0= 15°.
= 1060 кН/м.
РИС. 92
137
§ 36. ДЕЙСТВИЕ НАГРУЗОК,
ПРИЛОЖЕННЫХ НА ПОВЕРХНОСТИ СЫПУЧЕГО ТЕЛА
1.	Общие уравнения
Здесь рассмотрим только методы, основанные на применении
теории предельного равновесия.
Если на поверхность засыпки действует какая-либо вертикаль-
ная нагрузка (рис. 93), то опасная плоскость скольжения может быть
иной, чем без этой нагрузки.
Однако для любой плоскости скольжения BE силовой треуголь-
ник при учете нагрузки оказывается подобным силовому треуголь-
нику без нагрузки, так как стороны первого G* = G 4- Л Q* и R*
остаются соответственно параллельными сторонами G, Q и вто-
рого.
Из подобия этих треугольников следует, что
<2’=q(i+	.	(6.36)
где Р — равнодействующая нагрузки, приложенной иа поверхности спол-
зающей призмы; Q — сила давления грунта без нагрузки, соответствующая
данной плоскости скольжения.
Угол 0, определяющий опасную плоскость скольжения, находит-
ся из условия максимума силы Q*. Тогда из силового треугольника
можно определить равнодействующую давления на стену от массы
засыпки и нагрузки
sin (в—ф)
sin Сф+6—ср)
Q’=(G+P)
Если на поверхности сполза-
ющей призмы приложена непре-
рывная нагрузка (рис. 94), то
функция, выражающая силу
н ее первая производная будут
также непрерывными. Прираще-
ние dG ~Т dP складывается из при-
РИС. 93
(6.36)
РИС. 94
138
ращения веса сползающей призмы и приращения находящейся на
ней нагрузки.
dG+ dP = —--	dG— рв BEclG,
где pQ — интенсивность нагрузки в месте выхода плоскости скольжения
на поверхность засыпки.
В этом случае, приравняв нулю производную выражения (4.36),
получим
G-p р= _sin <6—<р) sin (Ф+6—<р)
dQ	sin <р
Подставляя вместо производных их выражения, взятые по
рис. 94, получаем:
- . „	( BH EL , 2ре ВН-EL \
е+Р = т(—__+_----------(6.37)
EL
Из чертежа видно, что ВН = НМ (т. е. длине перпендикуляра
опущенного из точки Н на линию BE), а внравно площади
треугольника ВЕН. Если отложить иа продолжении линии BE от-
2ре
резок ЕН = и — и соединить точку//сточкой Н, то площадь тре-
угольника ВНН будет численно равна значению выражения в скоб-
ках.
Следовательно, в этом случае для отыскания опасной плоскости
скольжения первую кривую (рис. 94, б) строят с учетом равнодей-
ствующих нагрузок, прибавляемых к весам сползающих призм
(кривая G + Р), а вторую — с учетом добавочных площадей тре-
2рл
угольников ЕНН с основанием-^- [кривая у (F -I- /)].
Силу активного давления, возникающего при совместном дейст-
вии массы грунта н нагрузки, находят из уравнения (6.36), в кото-
рое подставляют значение G + Р = пл. BHN, а также значение
sin (6—ф) ЕН . г. FL
sin (Ф+е—<р) = ~вн ; s,n( —ф)= BE '
После преобразований получим
Г EH-EL 2ре ЕН л I
Q•=? ----£---+ ^-—sin(6-V) •	(6.38)
В этой формуле первое слагаемое в скобках представляет собой
площадь треугольника EHI, в котором HI — ЕН и соответствует
давлению засыпки, когда нет нагрузки на поверхности. Второе сла-
гаемое, учитывающее действие этой нагрузки, выражается площадью
139
дополнительного треугольника HIT, у которого стороны, образу ю-
2ре
щие угол 0 — ср, равны ЕН и .
Таким образом, при действии непрерывной нагрузки на поверх-
ности засыпки вместо обычного треугольника давления EHI строят
четырехугольник ЕНТЦ в котором сторона НТ параллельна BE
н равна ЕН =	.
Для построения эпюры давления на подпорную стену в этом слу-
чае можно применить тот же способ, который приведен в § 30 для
давления только засыпки.
2.	Сплошная равномерная нагрузка
Рассмотрим частый, но часто встречающийся случай, когда
поверхность грунта плоская, а нагрузка интенсивностью р равно-
мерно распределенная по всей сползающей призме (рис. 95).
В этом случае:
АЕ h
G=y—----------cos (а—Р); Р=р АЕ cosR.
2 cos а	F г
Подставляя этн выражения в формулу (6.36), получим:
0-=СГ1+ cos се cos р 1_^(В-ф)
[ Г 7Лсоз(К ₽) J sinOP+e-q,)	1 • ’
Так как выражение, стоящее в квадратных скобках, — величи-
на постоянная, то оно в выражении производной = 0 может
быть сокращено, и тогда это уравнение не будет отличаться от урав-
нения “ = 0. Это означает, что максимальная величина активного
давления грунта на подпорную стену при сплошной равномерно рас-
РИС. 95
пределенной нагрузке бу-
дет соответствовать! той же
плоскости скольжения, что и
без нагрузки.
Исходя из формул (6.35)
и (6.39) можно найти равно-
действующую давлений на
стену
+<т+етг]- <6-4°>
Давление в любой точке
на глубине z от верха стены
140
можно найти, дифференцируя по z выражение (6.40), написанное
для части стены высотой z:
{	р \
(6.41)
Из этой формулы следует, что давление возрастает по закону пря-
мой н в каждой точке стены равно давлению qz = Xyz грунта без
равномерной нагрузки, к которому прибавляется постоянная вели-
чина
______
’’ др l|-tgatg₽
(6.42)
Эпюра давлений в виде трапеции показана на рис. 95. Точка пе-
ресечения эпюры с вертикальной осью находится от верха стены на
высоте
h° h‘ 1+tgatgf ’
(6.43)
где ftD = -j- — высота слоя грунта, которым условно может быть заменена
нагрузка р, если исходить нз равенства производимых нми давлений на го-
ризонтальную плоскость.
может быть больше или меньше единицы
ВеЛИЧННа l+tgatgP
в зависимости от того, одинаковые или разные знаки у углов аир.
Эта величина может заметно отличаться от единицы. Так, например,
при а = —20° и Р = 30° она равна 1,265. Поэтому игнорирование
этого множителя допустимо лишь при небольших значениях а н р.
Если поверхность засыпки — горизонтальная плоскость (р = 0)
или если задняя грань стены вертикальная (а = 0), то t _|_tga tgp•
= 1 н формулы (6.40) и (6.41) имеют вид:
<6-44>
?J=&(T*+P)-	(6.45)
Пример 14. Определить давление засыпкн на подпорную стену, рассмо-
тренную в примере 12, если на поверхности засыпки действует вертикальная
равномерно распределительная нагрузка р = 12 кПа.
Воспользовавшись результатами, полученными в примере 12, найдем
равнодействующую давления сыпучего тела с расположенной на его поверх-
ности нагрузкой по формуле (6.44):
Vft2 Г	2р 1	18-6а /	2-12 \
1+ -4- -0,378—— 1 + -—- =122(1+0,22)=149кН/м.
2 [	уп J	2 \	10-0/
Давление на уровне верха стены по формуле (6.45) при г = 0
9Ь=^р=0>378-12 =4,54 кПа.
141
Давление на уровне подошвы стены при z = h = 6 м
<7=Х,(у/г4-р) = 0,378(18-б4-12)=45,4 кПа.
Центр тяжести трапециевидной эпюры давлений (центр давления) нахо-
дится от подошвы стены на высоте
_ 6(46,4 + 2 4,54)
Zc 3(?+<7„)	3(45,4+4,54)	’
3.	Полосовая нагрузка
Рассмотрим случай полосовой неравномерно распределенной
нагрузки, начинающейся на некотором расстоянии от стены (рис.96).
Если плоскость скольжения проходит так, что эта нагрузка распола-
гается за пределами сползающей призмы, то по теории предельного
равновесия она не оказывает давления на стену. Если плоскость
скольжения выходит на поверхность засыпки в пределах загру-
женного участка, то определять давление на стену следует так же,
как в случае сплошной нагрузки, занимающей всю сползающую приз-
му, но при соответствующей величине равнодействующей на-
грузки.
Если, наконец, плоскость скольжения выходит на поверхность
за местом приложения нагрузки, то последняя целиком прибавля-
ется к весу сползающей призмы. На кривых, служащих для опреде-
ления направления опасной плоскости скольжения в пределах распо-
ложения нагрузки, имеется дополнительный участок (рис. 96).
Плоскость скольжения при учете нагрузки (BE) оказывается более
крутой, что без нагрузки (ВЕг). Однако это при упрощенных мето-
дах расчета обычно не учитывается.
Практически в случае плоской поверхности засыпки и равномер-
но распределенной нагрузки, начинающейся на некотором расстоя-
нии с от верха задней грани подпорной стены и занимающей всю
остальную часть сползающей призмы, эпюру давлений строят, как
показано на рис. 97. Из точки е проводят линии еа и eb под углами
ср и 0 к горизонту. Для частя подпорной стены, лежащей выше
точки а, эпюру давлений строят без учета нагрузки, а для той части,
которая лежит ниже точки Ь, — с учетом нагрузки. Для среднего
участка аЪ подпорной стены на эпюре давлений проводят переход-
ную прямую.
Для определения угла 0 следует пользоваться формулами или
построением, предложенным Ж- Понселе. Если равномерно распре-
деленная нагрузка, расположенная на расстоянии с от задней грани
стены, занимает участок d и не доходит до конца сползающей приз-
мы, то эпюру давлений строят согласно рис. 98. Из точек е и elt в
пределах которых начинается и кончается участок засыпки под
нагрузкой, проводят линии ае и агег под углом ср к горизонту, а так-
же линии be и Ьгег под углом 0 к горизонту. Для частей стены, ле-
142
жащих выше точки а и ниже
точки blf эпюру давлений
строят без учета нагрузки,
для части стены между точ-
ками b и di — с учетом на-
грузки. Для частей стены
между точками а и b н между
точками аг н Ьу на эпюре дав-
лений проводят переходные
прямые.
РИС. 97
РИС. 98
4.	Сосредоточенная нагрузка
Если на поверхности грунта действует сосредоточенная, линей-
ная, равномерно распределенная в направлении длины стены на-
грузка интенсивностью Р, то при выделении участка стены единич-
ной длины (рис. 99) эта нагрузка рассматривается как сосредоточен-
ный груз н прибавляется к массе сползающей призмы. Что касается
приращения полной нагрузки, то оно ограничивается одним прира-
щением веса сползающей призмы dG. Поэтому при определении на-
правления плоскости скольжения первую кривую (G + Р) строят
с учетом сосредоточенного груза. В ней под грузом имеется уступ
величиной Р, а во второй кривой — так же, как н без нагрузки.
Как видно нз этого рисунка, действие сосредоточенного груза при-
водит к увеличению крутизны плоскости скольжения по сравнению
со случаем, когда нагрузка отсутствует.
Сила активного давления грунта определяется умножением пло-
щади треугольника EHI на у грунта. Изменение положения груза
Р на поверхности сползающей призмы в пределах между подпор-
ной стеной и точкой Е не оказывает никакого влияния ни на положе-
143
нне плоскости скольжения, ни на ве-
личину активного давления. Однако
от положения груза Р будет зависеть
распределение давления по высоте
подпорной стены.
Перемещение груза Рот точки £ до точки Ег сопровождается по-
воротом плоскости скольжения вокруг точки В и последовательно
уменьшающимся влиянием груза от полной его величины Р до нуля
в соответствии с законом изменения кривой yF на этом участке.
При расположении груза Р правее точки Ег он уже не оказывает
влияния на подпорную стену.
Более простой способ определения давления на подпорную стену
от действия линейной нагрузки, основанный на допущении, что груз
Р не меняет направления плоскости скольжения, показан на рис. 100.
Из точки приложения груза Р проводятся прямые ае и составляю-
щие углы ф и 0 с горизонтальным направлением.
К треугольной эпюре давлений на подпорную стену от одной мас-
сы грунта на участке ab добавляется дополнительный треугольник,
площадь которого, равная равнодействующей давления от действия
силы Р на подпорную стену, определяется исходя из уравнения
(6.1) по формуле
sin (6—«р)
sin (Ф+6— <р)
(6.46)
где 6 — угол наклона плоскости скольжения к горизонту без учета силы Р,
После определения равнодействующей Qp дополнительную орди-
нату др эпюры давлений находят по формуле
где hp — расстояние между точками а н Ь по вертикали, т. е. высота части
подпорной стены, на которую передается действие силы Р.
Иногда ординату qp откладывают посередине участка ab, что
дает менее точные результаты.
144
В случае вертикальной (а = 0) гладкой (<р0 = 0) подпорной стены
при горизонтальной поверхности засыпки (р = 0) имеем:
„ Л , (D	Я
6=----Ь—; Ф=—
4	2	Т 2
Л1=с1£ф;
sin
hr=c (tg e—tg ч>)=с——
cos I —
cos ф
(6.48)
(6.49)
siXX_X)
sin(e-<p) -------U------?_L=ptg (X_ X) ; (6.60)
4P	sinW+e—<p)	/я <p \ ёи 2 )	1	'
cos I — — — j
\ 4	2 )
2Q„	2₽tg(f-f)coS<P
fp=—r— =	-	(6.51)
ftp	c
Пример 15. Построить эпюру давлений на подпорную стену, показан-
ную на рис. 101, если на горизонтальной поверхности песчаной засыпкн на
расстоянии с = 2 м от подпорной стены действует линейная нагрузка интен-
сивностью Р — 45 кН/м, у = 19 кН/м8, угол внутреннего трення грунта ф=
= 35°. Угол трення грунта о стену ф0 = 0. Высота подпорной стены h — 6 м.
По табл. 20 для а = 0. Р — 0, ф = 35° н ф0 = 0 находим коэффициент
активного давления грунта X = 0,271.
Ннжняя ордината эпюры давлений грунта, показанной на рис. 101, равна
q = yhl = 19 - 6 - 0,271 = 30,9 кПа.
Сила давления грунта
Л qh 30,9-6
<2=-^-= -^—=92,7 кН/м.
Для построения эпюры давлений от нагрузки Р находим:
&i=ctgф=2-1й35°=2-0,7=1,4 м;
с	2	2
ftp =----~-------гг- — „	=2,45 м;
cos ф cos 35	0,819
Qp —Pig	=45-0,521=23,4 кН/м;
2QP 2-2,34 _
qp~ —-— =- лг. =19,2 кПа.
hp 2,45
Ордината эпюры давления от за-
сыпки на этом уровне
gi=yfttX= 19-1,4-0,271 =7,21 кПа.
Равнодействующая давления на
подпорную стену
Q*=Q+Qp=92,74-23,4=116,1 кН/м.
145
5.	Равномерно распределенная
нагрузка, касательная
к поверхности засыпки
При действии на плоской поверхно-
сти засыпки равномерно распределен-
ной нагрузки, касательной к этой по-
верхности интенсивностью t (рис. 102, а),
многоугольник сил показан на рис.
102, б. Он состоит нз двух треугольни-
ков — верхнего и ннжнего. При этом
равнодействующая касательной нагруз-
ки, приложенной к поверхности спол-
зающей призмы, будет:
T^tAE-th -С°,-(“-е) -
cos a sin (6—Р)
Полный вес сползающей призмы н
равнодействующей давлений склады
вается нз двух частей каждая:
С=(4+С2; Q*=Q!-FQ:
Из рассмотрения верхнего треугольника по теореме синусов сле-
дует:
sin
<И=т—
cos ft cos (g—6) .
sin гр	cos a sin (6—Р)
с. =г sin (a—р+Ift,) _ cos (а—6) sin (и—Р+!фа)
1	sin гр	cos a sin (6—Р) sin гр
Рассматривая ннжннй треугольник, можно написать
п. _ г , sin (6—ф)
1 sinOH-e — <;)
_ Го_/Л cos (д—е)sin (д—Р+<ро)
|_	cos a sin (6—Р) sin гр
(6-52)
(6.53)
sin (6—tp)
sin (гр 4-0—q>)
Равнодействующая давлений на подпорную стену
cos asm (6—Р)
sin (6—<р)
sin (гр-|-В—<р)
(6.54)
. ]- Г g _ th cos<K~6)sin («—Р+<Ро)
L	cos a sin (B— ф) cos («+tp0)
Кроме того, сохраняется в силе условие максимума силы актив-
ного давления, которое служит для нахождения угла 0,определяю-
щего положение опасной плоскости скольжения.
(6.55)
146
Вместо достаточно сложного дифференцирования выражения
(6.55) по 6 можно провести несколько возможных плоскостей сколь-
жения под разными углами 6 и, определив для каждой из них вели-
чины G и Q, принять наибольшее значение Q.
Для вертикальной гладкой стены при горизонтальной поверхно-
сти засыпки а = 0, £ = 0,	= 0, ф — —, Gt = 0.
vh^
g=g2=-l^—ctge-, Qj=T=/ftctge.
Из уравнения (6.55) имеем:
c*=J^-ctge[tg(e-<P) + -^-l=	(6.56)
2. L	J 2
или
<2*=q;+q;=~ tg (e- <₽> ctg e-j- th ctg e.	(6.57)
Первое слагаемое этого выражения дает силу давления самого
сыпучего тела, а второе — силу давления от действия касательной
нагрузки на его поверхности.
Заменив в выражении (6.57) постоянное значение Л на перемен-
ное z и произведя дифференцирование’, получим давление на любой
глубине а, считая от поверхности засыпки.	~
*	clQ*
q* = —— = yz tg (6— ctg G-Н ctg 6=yzl* .	(6.58)
az
Эпюра давлений будет состоять из треугольника, представляю-
щего давление сыпучего тела и прямоугольника, изображающего
давление от действия касательной нагрузки, приложенной на по-
верхности засыпки. Прн этом угол 6, входящий в формулу (6.54) и
(6.55) н отвечающий условию максимума силы активного давления,
оказывается меньше, чем без касательной нагрузки. Его можно оп-
ределить, приравняв нулю производную выражения (6.54) по 6.
Это приводит к уравнению
—cosMS26 1 ~~2tg (е-<р) = "Г •	(6‘59)
cos2 (и—ф)	yh
Значения угла 6, полученные нз решения этого уравнения для
разных углов внутреннего трения <р и для разных значений отно-
шения представлены на графике рис. 103. На этом же графике
пунктирными линиями нанесены кривые значений коэффициента
Л* в формулах (6.56) н (6.58), т. е. кривые значений коэффициента
активного давления сыпучего тела с учетом действия на его поверх-
ности касательной нагрузки.
Из рассмотрения этого графика видно, что угол 0 наклона пло-
скости скольжения к горизонту тем больше отличается от величины
147
РИС. 104
ние приводит к преуменьшению
лени я.
% + чем больше интенсив-
ность t касательной нагрузки
по сравнению со значением
произведения yh. Оказывает-
ся, что прн действии такой
нагрузки скольжение может
произойтидаже по плоскости,
более пологой, чем плоскость
угла внутреннего трення. Си-
ла же давления сыпучего те-
ла на подпорную стену зна-
чительно увеличивается при
действии касательной нагруз-
ки по сравнению со случаем,
когда она отсутствует.
Отметим, что данный спо-
соб построения эпюры давле-
ний приближенный, так как
при дифференцировании вы-
ражения Q* по z оставлено
без учета того, что непосред-
ственно угол 0 в выражении
(6.56) есть функция глуби-
ны z. Однако этот способ все
же более строг, чем способ,
основанный на допущении,
что угол 6, когда есть каса-
тельные силы, остается таким
же, как и при действии одного
только веса сыпучего тела.
При этом последнее допуще-
суммарного расчетного дав-
Пример 16. Построить эпюру давлений на подпорную стену высотой
Л = 12 м от касательной нагрузки t = 20 кН/м, приложенной на горизонталь-
ной поверхности засыпки (рнс. 104, с), если ее объемная масса и угол внутрен-
него трения соответственно равны р = 1,67 т/м3 н <р = 30°. По графику рнс. 103
t 20
для отношения = -да 7 . 12 = 0,1 н для ф = 30° находим 0 = 50°.
По формуле (6.58) определяем ординату эпюры давлений у основания под-
порной стены
16,7-12 tg (50°—30°) ctg 50° 4-20 ctg 50° =200-0,364-0,839+
+20-0,839 =61 + 16,8 = 77,8 кПа.
Равнодействующая давлений на стену
6J. 12
q*=q;4-q;=-|——^—+16,8-12=366+202=568 кн/м.
148
Прн отсутствии касательной нагрузки X — 0,333 н соответствующие
ординаты эпюры давлений и сила давлений:
д= уМ=16,7-12-0,333 = 66,7 кПа;
Л oft 66,7-12
Q=-^-=----------=400 иН/м,
Соответствующие эпюры давлений показаны на рис. 104, б,
на котором пунктирной линией показана эпюра давлений сыпучего
тела, когда нет касательной нагрузки.
Более строгий подход к решению этой задачи с учетом зависимо-
сти угла 0 от глубины z рассматриваемого уровня приводит к неко-
торому увеличению ординат эпюры давлений у верха подпорной
стены. Отметим, что касательная нагрузка вызывает значительно
большее давление на подпорную стену, чем нагрузка той же интен-
сивности, но расположенная нормально к поверхности засыпки.
Так, в условиях рассмотренного примера вместо ординаты эпюры дав-
лений qt = 16,8 кПа получили бы при нагрузке р = 20 кПа qp =
= pl = 20-0,333 = 6,66 кПа.
6. Сейсмическое давление
сыпучего тела
Активное давление засыпки на подпорные стены, возводимые
в географических районах подверженных землетрясениям силой от
7 баллов и выше, должно быть определено с учетом сейсмической
силы инерции St вызванной массой m=Glg сползающей призмы.
Эта силаинерцин выражается через массу т сползающей призмы
и через сейсмическое ускорение / следующей формулой:
G
S=mj=—j=GKc,	(6.60)
тде g—ускорение свободного падения; Кс = ~ — коэффициент сейсмичности,
зависящий от расчетной сейсмичности, выраженной в баллах.
При этом СНиП II-A. 12-69 установлено:
для 7 баллов Кс = 0,025;
» 8	»	Кс = 0,05;
» 9	»	/Се =0,1.
Так как во время землетрясения
сила инерции может быть любого на-
правления, то следует принять наи-
более невыгодное для устойчивости
подпорной стены — горизонтальное.
При этом многоугольник сил, дейст-
вующих на сползающую призму, бу-
дет таким, как это показано на
рнс. 105.
Если повернуть чертеж подпор-
люй стены вместе с многоугольником
РИС. 105
149
сил на угол а — arc tg Лс против часовой стрелки, то равнодей-
ствующая сил G и S, равная Gc =	= G V1| Кс, окажется
вертикальной, а задняя грань стены, плоскость скольжения и пло-
скость внутреннего трения составят углы ас = а + со с вертикалью,
6С = 6 + со и срс = <р + со с горизонтом. При этом должно быть
соблюдено условие замкнутости треугольника сил, т. е.
sin(Oc—фс) = G sin (бс-фс)	.
с с sin(-фсЧ-вс— фс)	cosco sin(Tpc+ec—фс)
где
31
—ас—фо-
Вместо формулы (6.13) для коэффициента активного сейсмическо-
го давления грунта при плоской его поверхности получим выраже-
ние
7ис—
sin (фс+Фо) sin (ф— р) I
cos (ас4-ф0) cos (а—Р) J
cos2 (ф—а)
2
cos2 а cos (ас-Р ф0)
(6.62)
Необходимо еще учесть, что угол внутреннего трения сыпучего
тела понижается при встряхивании. По имеющимся данным можно
принять <ррасч = ср — со и ср0 = 0.
В СНиП П-А. 12-69 рекомендуется другая формула, из которой
получается такое выражение для коэффициента активного давления
сыпучего тела
^с= (l+2^ctg ф)	(6.63)
где X — соответствующий коэффициент без учета сейсмичности воздействия.
Пример 17. Определить силу сейсмического давления сыпучего тела
на подпорную стену, рассмотренную в примере 12, если расчетная сейсмич-
ность сооружения 9 баллов.
При h = 6 м, а=10®, Р = 0, у = 18 кН/м3, ф = 30°, фо — 0 и 1
имеем следующие величины углов:
©=arctg Кс=агс tgO, 1=5° 44';
ac=a-|-(D=I0°+5o 44'=15° 44';
фрасч~30°—5° 44 = 24° 16 ; фс=фрасч~Н°—30°.
Коэффициент сейсмического активного давления по формуле (6.62)
cos2 (24° 16' —10°)
1с= ----------------------------------------------------=0.468.
-ж / sin 30° sin 24° 16 I
И + I/ -------77Г-.77--— cos2 10°-cos 15° 44'
L V cos 15 44 -cos 10 J
Сила сейсмического давления сыпучего тела
уЛ2 18-62 Л
Qc=~l^~ Хс=-----— 0,468=152 кН/м.
150
При отсутствии сейсмического воздействия в примере 12 получено X =
Хс 0,466
— 0,378. Таким образом, р —	= -q g?g — 1,235.
Формула же (6.63) дает заведомо заниженный результат
Хс=(1 +2-0,1 -tg 30°) 0,378 = 0,42,
превышающий величину коэффициента активного давления при отсутствии
сейсмического воздействия всего в 1,115 раз.
Данные наблюдений значительно лучше подтверждают получен-
ную величину динамического коэффициента активного давления
р = 1,235.
К таким же результатам пришли Ф. М. Шихнев и П. И. Яковлев
[142], которые применили для определения сейсмического давления
грунта способ, предложенный С. С. Голушкевичем, и дали получен-
ному им графическому решению аналитическую интерпретацию.
Для определения пассивного давления формула (6.62) с обрат-
ными знаками при углах <рс пригодна только в частном случае,
когда подпорная стена вертикальна, а поверхность засыпки за ней
горизонтальная.
§ 37. УЧЕТ СЦЕПЛЕНИЯ СЫПУЧЕГО ТЕЛА
Сцепление сыпучего тела, обусловленное силами капиллярного
натяжения воды и молекулярного притяжения частиц, а также це-
ментацией, уменьшает активное давление н увеличивает пассивное
сопротивление сыпучего тела, поэтому до последнего времени влия-
ние сцепления из осторожности при расчетах не учитывалось. Неко-
торым оправданием этому служит то, что для обратных засыпок нз
песчаных и крупнообломочных грунтов влияние сцепления относи-
тельно невелико по сравнению с внутренним трением, а в засыпках
из глинистых грунтов сцепление сильно снижается при их увлаж-
нении. Кроме того, сцепление снижается также вследствие колеба-
ния температуры и возникновения в грунте пластических деформа-
ций.
В настоящее время расчетные величины удельного сцепления
нормированы и силы сцепления учитывают при определении актив-
ного давления грунта на подпорные стены.
Следует, однако, иметь в виду, что нормированные величины сцеп-
ления относятся в основном к грунтам, являющимся основаниями
сооружений. Поэтому для обратных засыпок с нарушенной структу-
рой необходимо брать меньшие расчетные значения сцепления (на-
пример, в два — четыре раза).
Кроме того, необходимо иметь в виду, что в верхнем слое засып-
ки сцепление создает отрицательные давления, т. е. растягивающие
напряжения, которые должны быть исключены из расчета, так как
онн не могут быть восприняты грунтом, подвергающимся при этом
трещннообразованию. Разрушение может произойти легче всего
по вертикальным нли близким к ним плоскостям.
151
Приняв такую форму разрушения, получим схему или поле
действия сил на сползающую призму (рис. 106, а). Соответствующий
многоугольник сил показан на рис. 106, б. Так как он состоит нз
пяти сил, то они могут не пересекаться в одной точке. Условие зам-
кнутости веревочного многоугольника не ставится, поэтому рассмат-
риваемый способ приближенный.
Силы сцепления выражаются так:
где с н Со — удельное сцепление в засыпке и между засыпкой и подпорной
стеной соответственно.
Проектируя все силы, действующие на сползающую призму,
на ось U, перпендикулярную к силе R, получим:
ZU——Gsin (6—q))+Qsin(ip4“6—ф) + Т sin(0—<р—a)-|-S cos <p=0,
я
= ——а—Фо-
Отсюда
G sin (6—<p)—Seos ф—T sin (6—<p—a)
sin (Ф+6—<p)
(6.65)
Неизвестными величинами в этом уравнении оказываются сила
Q и угол б. Величины G и S выражаются через угол б, а величина Т
заранее задана. Поэтому, как и прн отсутствии сцепления, для опре-
деления наибольшего активного давления достаточно составить еще
одно уравнение
При произвольном очертании поверхности засыпки аналитичес-
кое решение этих уравнений оказывается трудно выполнимым, по-
этому целесообразно определять активное давление по формуле
(6.65) для нескольких возможных плоскостей скольжения, проведен-
ных под разными углами 6lt б2,..., 6П к линии горизонта. Расчетным
будет наибольшее нз различных значений активного давления, вы-
численных по формуле (6.65) для разных плоскостей скольжения.
Глубина распространения трещин принимается равной предель-
ной высоте hc, прн которой связный грунт может сохранять верти-
кальный откос, когда нет ограждения, и прн горизонтальной поверх-
ности засыпки. Эта высота определяется по формуле, в которую
А. Кезди [150] рекомендует ввести еще поправочный коэффициент
4/3. Тогда
(6.66}
152
РИС. 106
РИС. 107
Прн этом будут исключены растя-
гивающие напряжения в верхней ча-
сти сползающей призмы, вызванные
внутренними силами сцепления.
Наличие спепления оказывает
влияние на угол отклонения 6 си-
лы давления Q* от нормали к плос-
кости подпорной стены.
Если при отсутствии сцепления этот угол для крутой подпорной
стены равен <р0, то когда есть сцепление, угол отклонения опреде-
ляется выражением
Qsincpo-f-T .	, coh
— tg<Po4“ ,,	•.
Q cos tp0	Q cos a cos ip0
(6.67)
Таким образом, чем больше сцепление, тем больше угол 6 по
сравнению с углом <р0.
Прн постоянной интенсивности сил сцепления по высоте стены
(с0 = const) угол отклонения 6 будет переменным, уменьшаясь с
увеличением давления q, т. е. с высотой стены илн с глубиной рас-
сматриваемой точки подпорной стены от поверхности засыпки.
Из формулы (6.65) следует, что сцепление уменьшает активное
давление грунта. При этом сцепление пропорционально высоте сте-
ны, в то время как сила давления без учета сцепления пропорцио-
нальна квадрату высоты стены, поэтому относительное влияние сцеп-
ления сказывается тем сильнее, чем меньше высота подпорной сте-
ны.
Прн плоской поверхности засыпки влияние сцепления может
быть учтено независимо от основного давления, определяемого по
формулам для идеального сыпучего тела.
Это может быть сделано исходя нз того, что сцепление проявляет
себя как внутреннее давление связности постоянной величины во
всех точках рассматриваемой области сг0 = и направленное
внутрь этой области.
153
Для сползающей призмы такое напряженное состояние соответ-
ствует действию равномерной нормальной нагрузки <т0 по всем ее гра-
ням (рнс. 107).
Нагрузка, приложенная на поверхности засыпки раскладывается
на вертикальную н касательную составляющие, которые будут соот-
ветственно равны
Вертикальная составлющая создает дополнительное давление
на стену, которое в соответствии с формулой (6.42) будет равно:
1
’c>r=cosfi l+tgatg₽-	(6-68)
Касательная составляющая, направленная в сторону от стены,
создает отрицательное давление на нее, которое выражается вто-
рым слагаемым формулы (6.58)
9с, t= —ob tg ₽ ctg 6.	(6.69)
При этом ввиду малости величины касательной составляющей
нагрузки, действующей на поверхности, можно пренебречь ее вли-
янием на направление линии скольжения, т. е. на величину угла 0.
Тогда дополнительное давление, учитывающее сцепление, напра-
вленное под углом <р0 к поверхности стены н отнесенное к ее верти-
кальной проекции, составит
'= Л/ G+tg«ig₽-sin₽ctgB) 	(6-70>
Кроме того, на подпорную стену будет еще действовать нормаль-
ное отрицательное давление сг0. Суммарные отрицательные давления
дс, возникающие у верхней части стены, должны быть исключен ы.
Для частного случая, когда поверхность засыпки горизонтальна,
а задняя грань подпорной стены вертикальная н идеально гладкая,
полное давление на стену от влияния сцепления будет
Это выражение вполне соответствует тому, что дает строгое ре-
шение В. В. Соколовского. Поэтому высота hc, на которой возник-
нут отрицательные давления, подлежащие исключению, определяет-
ся из уравнения
f )-2ctg(-^— f ) = 0.
154
()тсюда можно получить формулу
„С	I П	О)\
Лс=2—tg —+-^ .	(6.72)
?	\ 4	2 J
Пример 18. Определить давление суглинистого грунта на вертикальную
подпорную стену (рис. 108) высотой h = 10 м с учетом сцепления. При этом
даны у — 20 кН/м3, ф = 20°, ф0 — 15°, с = 20 кПа, с0 — 10 кПа.
Предельная высота вертикального откоса и глубина распространения
трещин от поверхности грунта определяются по формулам (6.72) и (6.66):
2с /я m \	2-2	/ '	20° \
ft<= = V 16 (Т+ ТГ 8 Г +
4
йт= — Лс= 1,33-2,85=3,82 м.
Сила сцепления грунта со стеной (прилипание)
T=c0(h~йг) = 10(10—3,82)=61,8 кН/м.
Сила внутреннего сцепления грунта по плоскости
c(h—hT) 20(10—3,82)	123,6 „
S=c/=—-------— =-----------!——=-------т- кН/м.
sin е	sin 6	sin 0
Вес сползающей призмы
у (Л2—>1?)	20(1№—3,822)	854
G= 2tge “ 2tge _ tge
Сила давления грунта по формуле (6.65)
G sin (6—<р)—S cos ф—Т sin (6—ф)
С05(ф+ф0—0)
Для разных плоскостей
скольжения, определяемых
углами 0, полученные резуль-
таты сводим в табл. 21.
Максимальная величина силы
активного данлення грунта на
подпорную стену оказывается
равной Q — 182 кН/м н соответ-
ствует углу 0 = 50°.
Для нахождения ординат
эпюры давлений имеем два ус-
ловия:
______? hc)_________
{h^ he)+(h hT)
n-0,97
= 1'1g3S9-6,18=Q—182 кН/м.
РИС. 108
155
ТАБЛИЦА 21 РЕЗУЛЬТАТЫ РАСЧЕТОВ К ПРИМЕРУ 18
6, град	sin 6	tg 6	sin (6—	cos (6 — ф —фо)	G, кН/м	S, кН/м	Q, кН/м
40	0,643	0,839	0,342	0,996	1015	192	147
45	0.707	1	0,423	0,985	854	176	151
47%	0,737	1,091	0,462	0,972	781	168	179
50	0,766	1,192	0,5	0,966	715	161	182
62%	0,793	1,303	0,537	0,954	665	156	181
55	0,819	1,428	0,574	0,94	598	151	176
60	0,866	1,732	0,643	0,906	492	143	157
Отсюда
д= 51,9 кПа и q0 = 7 кПа.
Составляющие активного давления грунта на подпорную стену с учетом
силы сцепления:
Q*=(2je=Qcos фс=182-0,966= 175,5 кН/м;
Qz=Qz4-7=Q sin <ро4-7= 182.0,2594-61,8= 109 кН/м.
Равнодействующая этих снл
<2*+ 1/(С;)2+(<К)2=V176.5“+1002 —204 кН/м.
Соответствующая нижняя ордината эпюры давлений
20*	2-204
?*=—ГТ_= ш ч кг.=ь3'Б кПа"
tl—iIq	10—“О,ио
Сравним эти результаты с теми, которые получаются без учета сцепле-
ния. Для этого по табл. 20, интерполируя, найдем величину коэффициента
активного давления = 0,42.
Составляющие активного давления:
„ тй2 „20-102
=0,42—=420 кН/м;
Qz=Qxtg<Po=42O-O,266= 118 кН/м;
(2=1/42024-1182=436 кН/м.
Сопоставляя эти результаты с теми, которые были получены при
учете сцепления, можно обнаружить, что учет сцепления, почти не
отразившись на величине вертикальной составляющей силы давле-
ния грунта, привел к огромному снижению горизонтальной состав-
ляющей (почти в 2,5 раза).
Учитывая, что для устойчивости подпорной стены опасность
представляет именно эта сила, можно сделать вывод, что учет сцеп-
ления грунта дает возможность облегчить конструкции подпорных
стен и снизить их стоимость. В то же время это надо делать с вели-
чайшей осторожностью. Учитываемые в расчете значения удельного
сцепления должны быть значительно меньшими, чем те, которые
приведены в табл. 4 в качестве расчетных.
156
§ 38. ДАВЛЕНИЕ СЫПУЧЕГО ТЕЛА
ПРИ ЕГО ЛОМАНОЙ ПОВЕРХНОСТИ
И НА ЛОМАНУЮ ПОВЕРХНОСТЬ ОГРАЖДЕНИЯ
Неограниченно простирающийся откос, начинающийся на неко-
тором расстоянии от задней грани стены (рнс. 109).
В этом случае эпюру давлений строят следующим приближенным
способом. Линию откоса продолжают до пересечения с задней гранью
стены и строят две эпюры давлений: одну с нижней ординатой q
для стены высотой h при горизонтальной поверхности засыпки и
другую с нижней ординатой qr 'для стены высотой h± при поверх-
ности засыпки ограниченной откосом. Эпюры накладывают одну на
другую, н в качестве расчетной на любой глубине принимают боль-
шую из ординат.
Ломаная поверхность засыпки (рнс. ПО). В этом случае эпюру
давлений составляют из трех эпюр: первую с нижней ординатой q
строят для стены высотой h при горизонтальной поверхности засып-
ки; вторую с нижней ординатой q1 —для стены высотой ^при нали-
чии откоса и третью с нижней ординатой </2 —для стены высотой
h + h0 при горизонтальной поверхности засыпки. Эпюры совме-
щают так, как это показано на рис. 110.
Равнодействующую давлений, как и в предыдущем случае, опре-
деляют отысканием полной площади эпюры давлений.
Ломанное очертание задней поверхности подпорной стеиы. На.
рнс. 111 показан многоугольник сил агЬгЬ& действующих на спол-
зающую призму за подпорной стеной ломаного очертания. В этом
многоугольнике сила давления Qx грунта на верхнюю грань может
быть определена аналитически или графически независимо от очер-
тания нижней грани. Известнытакже углы, которые составляют си-
лы Qj и <22 с вертикалью:
ЭТ	31
Ф1=——сц—фо и ф2 = ——а3—фо.
Для определения равнодействующей давления Q2 на нижнюю
грань стены разложим силу Qj на составляющие Qi и Qi, которые
могут быть определены по теореме синусов:
sin яр» „ С08(а1+ф0)
Qi-Qi—; Т- ; ;	(6.73)
sin ф2 COS (tx2-|- ф0)
__ л sinftpi—ф2)	„ sin(a2—ctj)
Q"i=(h —Г-.	=<h ; -г V •	(6.74)
sin ф2 COS (aa-p ф0)
Между сторонами треугольника сил а2Ь2е существует зависимость
вытекающая также из теоремы синусов
sin (6—го)
<г=<а,+о;=(с+«)-. г- (6-76)
Sin (Ф2+6—ф)
157
РИС. Ill
Вес G сползающей призмы АХВГВ2Е можно представить как раз-
ность веса Gx призмы А2В2Е и веса AG призмы Л1Л2б1, т. е.
G=Gi—AG,
где	C0S (P + ai)sin fa—«1)
2 cos2 COS (P —eta)
(6.76)
Это значение постоянно, так же как и значения Q{ и Q'{. Тогда
е!=<3_<г;=(01_де+ од	-q;.	(6.77)
158
Примем, что плоскость скольжения В2Е получит такой наклон,
при котором значение Q2f а следовательно, к Qi будет наибольшим.
При этом
Уравнения (6.77) н (6.78) дают возможность найти два неизвест-
ных значения — Q2 и 6. Производя дифференцирование выражения
(6.77) и приравняв производную нулю, получим после некоторых
преобразований
, „ dG sin (6—®)sin(i|?a+6—<р)
G1_AG+Ql'=-~— —*------------------- -	(6.79)
aQ	sin Фа
Здесь
dG=—у у(Вг£)2г/6.
Выражение (6.79) отличается от выражения (6.4) только тем, что
в левой части вместо G имеем G — &G + Q'{, а в правой вместо угла
ф будет ф2. Поэтому здесь вместо уравнения (6.5) можно написать
пл. А2ВЯЕ—пл. Л1 Л2В1+-^- = пл. ВгЕН.	(6.80)
V
Площади треугольников В2ЕН и EHI с общей высотой EL от-
носятся один к другому как нх основания:
пл. EHI IH	ЕН
пл. ВЯЕН	ВяН	ВяН
Так как треугольник В2ЕН подобен силовому треугольнику
а2Ь2е, то
ЕН _ &+Q1
В2Я G+QJ
Поэтому при пл. А^В^В^Е 4- ~ = пл.В2ЕН
пл. EHI__________Qg+Qi __________Q2+Q1________
л о п р г	G+Qi у (пл. Л1В1В2Е)+С1
пл. Л1В1В2В-}- -у
отсюда
<22=Т(пл. ЕНГ)—QH	(6.81)
Соотношения (6.80) и (6.81) выражают развитие теорем, предло-
женных Г. Ребханом, для ломаной подпорной стены.
Чтобы найти положение опасной плоскости скольжения и силы
давления на нижнюю грань стены, можно применить построение, по-
казанное на рис. 111. Прежде всего проводят несколько возможных
плоскостей скольжения: B2Elt В2Е2У ..., В2Еп и для каждой из них
находят значения площадей оснований сползающих призм S1T
159
РИС 112
рис. из
...» Sn. Отложив эти величи-
ны в виде ординат графика
от горизонтальной оси, про-
ст начала координат, и соеди-
нив концы ординат плавной
кривой, получают кривую
S + ^.
Т т
Из верхней точки каждой
плоскости скольжения про-
водят прямую под углом
“ф2 =	— К2 4- <р0 к линии
В2С и находят площади треугольников	В2Е2Н2,
В2ЕпНп. Величины этих площадей откладывают в виде ординат
от оси х и строят кривую F. Точкой пересечения кривых опреде-
ляется положение опасной плоскости скольжения. После этого
обычным порядком строят треугольник ЕШ и по формуле (6.81)
находят равнодействующую давления сыпучего тела на нижнюю
грань. Если поверхность тела ограничена плоскостью, то можно
принять, что давление на нижнюю грань стены распределено по
линейному закону, и определить давления в точках и В2 из
двух уравнений (см. рис. 112):
(2 J=
2
<?;
Qi + Оя
(6.82)
Уравнения (6.80) и (6.81) позволяют найти положение плоскости
скольжения и силу давления грунта на нижнюю грань стены, поль-
зуясь построением, предложенным. Ж- Понселе. Для этого прямая
160
AtBt должна быть заменена прямой AzB2, проведенной так, чтобы
ПЛ.	= ПЛ. AiA2Bi— При этом исходной точкой для
построения будет уже неточна А или А2, а точка Az (рис. 112). Од-
нако линия AzD проводится под углом <р+<р0 не к линии AzB2, а к
линии А2В2.
На практике находит применение и другой, более простой спо-
соб, когда давление на грань ВТВ2 определяют как давление на
соответствующую нижнюю часть фиктивной грани независимо от
очертания верхней грани. Однако такой способ может привести
к очень большим неточностям при определении давления грунта на
нижнюю грань.
Неточность данного приема состоит в том, что при определении
давления на нижнюю грань стены BXB2 площадь основания сползаю-
щей призмы необоснованно преувеличивается на площадь тре-
угольника	которая фактически в основании сползающей
призмы отсутствует (рис. 112). Кроме того, замена верхней грани
стены более пологой плоскостью, служащей продолжением нижней
грани, приводит к преувеличению вертикальной составляющей реак-
ции верхней грани стены. Оба фактора действуют в противополож-
ном направлении, но отнюдь не компенсируют один другого.
Для подпорной стены выпуклого профиля, наоборот, преумень-
шаются вес сползающей призмы и вертикальная составляющая ре-
акции верхней грани.
Пример 19. Определить давление грунта на подпорную стену, показан-
ную на рис. 113, прн следующих данных: /4=3 м, h2 = 2,25 м, <х2 = 0;
аг = — 30°; ₽ — 0, р = 20 кПа, у = 16 кН/м3, <р = 35°, <р0 = 25°.
Нагрузка р, действующая на поверхности засыпки, заменяется эквива-
лентным слоем грунта толщиной h0 =	~ I’25 м‘
Ордпнаты эпюры давления на верхнюю грань определяются по формуле
(6.23):
7о=уЛо Х1=16-1,25-0,245=4,9 кПа;
<7i=y (Ло+Л1) ^1= 16-4,25.0,245=16,7 кПа.
Здесь = 0,245 — коэффициент активного давления на верхнюю грань,
взятый интерполяцией по табл. 20.
Сила давления грунта на верхнюю грань:
_hLI^L3=32i4 кН/„.
Ф1=——сц — фо=9О°—-0°— 25° =65°;
ф2 = -|- —а2—ф0 = 90°+30°—25° = 95°
sin^i	0,906
QI = Q1 г- Т =32,4—^——=29,5 кН/м;
sin ф2	0,996
sin (Ф1—фо)	—0,5
Ql=Qi ——	" =32,4--—= — 16,3 кН/м.
Sin фа	0,996	'
6 Зак. 1169
161
Соединив точки Ая н В2 прямой, проводим линию BjAJ парал-
лельно ДхВ2 и» соединив точки А{ и В2 прямой, заменим ломаную
граничную поверхность AJljJlz сползающей призмы плоскостью
Л {В2, не изменив площади основания сползающей призмы, так как
треугольники А^Вя и AiAfBg равновелики.
Точку А 2 получим, уменьшив площадь основания сползающей
призмы на отношение
Для этого расстояние между точками А{ н, А£ должно быть рав-
2-1,02 поо
но —f с ~ = 0,32 м.
0,0
Угол, образованный фиктивной гранью А^В с вертикалью, и
коэффициент активного давления на эту грань по формуле (6.13)
оказываются равными:
к' = —20° 45';	= 0,122*
Ординаты эпюры давлений:
(йо+й£) = 16-О,122*4,25 = 8,3 кПа;
?2=ТММА+М = 16*0,122-6,5= 12,7 кПа.
Сила давлений на нижнюю грань
о[4-ог 8,3+12,7
Q2=-^-^-ft0= —2,25 =23,6 кН/м.
Эти результаты близки к результатам решения В. В. Соколов-
ского.
Прн определении же давления на нижнюю грань независимо от
верхней имеем: q'i = 5,2 кПа; q2 = 8,1 кПа и Q2 = 14,9 кН/м.
В этом случае расхождение в результатах доходит до 36%.
§ 39. ДАВЛЕНИЕ ГРУНТА НА ПОДПОРНЫЕ СТЕНЫ
С РАЗГРУЗОЧНЫМИ ПЛОЩАДКАМИ
И С ФУНДАМЕНТНЫМИ ПЛИТАМИ
1. Стены с разгрузочными площадками
Разгрузочные площадки или платформы применяют для умень-
шения давления грунта на подпорные стены и для повышения их
устойчивости.
Рассмотрим подпорную стену, показанную на рис. 114, а. Да-
вление на верхнюю грань стены будет таким же, как и без разгрузоч-
ной площадки. Оно может быть определено по методу Ш. Кулона
или по методу В. В. Соколовского независимо от очертания нижней
грани и/наличия разгрузочной площадки. Равнодействующая дав-
ления на верхнюю грань обозначена через <21-
162
Давление на горизонтальную разгрузочную площадку прини-
мают вертикальным и равным весу вышерасположенного грунта.
При плоской поверхности засыпки ординаты трапецеидальной эпю-
ры давлений будут равны:
q' — yh {; q" = yh'i.	(6.83)
Равнодействующая же давления засыпки на разгрузочную пло-
щадку составит:
Опл= +д" ьт=(*;+ед,	(6.84)
где Ьпл — ширина разгрузочной площадки.
При определении давления на нижнюю грань нужно исходить из
наиболее опасных поверхностей скольжения, которые при примене-
нии метода Ш. Кулона заменяют плоскостями. Одной из них будет
плоскость В а в качестве второй для крутой подпорной стены при-
нимается ее задняя грань. Многоугольник сил, действующих на
сползающую призму АВВ^В^Е, показан на рис. 114, б. В этом мно-
гоугольнике известны по значению силы и Qnj1, а также углы,
составляемые силами и Q2 с вертикалями. Если провести линию
агЬг параллельно линии ab, то многоугольник сил a^b^b^e будет соот-
ветствовать ломаной поверхности AJ^B^ в которой фиктивная
грань А±ВГ параллельна действительной грани АВ.
Таким образом, определение давления на ломаную стену с раз-
грузочной площадкой сводится к определению давления на ломаную
стену без разгрузочной площадки и к дополнительному учету давле-
ния на эту площадку, равному весу грунта, расположенного на ней.
Если консольной разгрузочной площадкой разделяется плос-
кая задняя грань подпорной стены на два участка, как это показа-
но на рис. 115, а, то обычно прини-
мается, что плоскости скольжения
для верхнего и нижнего участков под-
порной стены параллельны. Кроме
того, принимается, что давление на
участок В' 1 между платформой и
прямой Вг 1, проведенной под углом ср
к горизонту от конца площадки, воз-
р а стает про пор циона льно гл убине,
считая от низа площадки. Давление
на участок стенки 2В3 принимается
таким же, как и при отсутствии пло-
щадки. Давление на промежуточном
участке 1—2 принимается возраста-
ющим по переходной прямой. Эти до-
пущения приводят к эпюре давлений
на стену, показанной на рис. 115, б.
При этом в случае разгрузочной
площадки, доходящей до нижней
6*
163
плоскости скольжения, как это показано на рис. 115, а пунктирной
линией, эпюра давлений принимается по рис. 115, в.
В действительности эффект от устройства разгрузочной площад-
ки будет не таким значительным, так как нижняя плоскость скольже-
ния должна занять такое положение, при котором давление на ниж-
ний участок стены, а следовательно, и на всю стену окажется наи-
большим. При этом нижняя плоскость скольжения будет более по-
логой, чем верхняя.
Для более строгого решения задачи нужно исходить из массы
сползающей призмы Л1В1В/В2£‘ и силового многоугольника, пока-
занного на рис. 115, а.
Вес этой призмы составляет: G = у (пл. ABZE — пл. АА^В').
РИС. 116
164
Для нижнего силового треугольника будет справедливо соотно-
шение
„	sin (6—<р)
Q = Ql+Qa=G~.	™ ч 	(6.85)
sin(ip+e—<р)
Однако вес сползающей призмы в этом случае равен:
б=у(пл. ABZE)—QUJI.	(6.86)
Пример 20. Требуется определить давление грунта на подпорную стену
с разгрузочной площадкой длиной Ьил— 3 м, показанную на рис. 116. При
этом — 4 м, Л2 = 5 м, р — 15°, а = 11°20' (tg а = 0,2), у = 18 кН/м3,
Ф = 30°, Фо = 0.
По табл. 20 паходям коэффициент активного давления грунта Хж = 0,502;
Х=-----=“^=о,512.
cos (сс+ф0)	0,98
Размеры = 1,6 м н ft0 = 2,1 м определяются из решения косоугольных
треугольников. 6 = 58°.
Ординаты эпюры давлений равны:
91= Х= 18-4-0,512=36,8 кПа;
92=181,6-0,512=14,7	»
93=18-7,7-0,512=70,7	»
94=18-9-0,512=83	»
На разгрузочную площадку будет действовать вертикальная сила, рав-.
пая весу лежащего на ней грунта:
4,2+4,8
2	3-18 = 242 кН/м.
Взамен разгружающих плит П. И. Яковлевым 11431 предложено
и экспериментально исследовано разгружающее устройство нового
типа в виде горизонтальных консольных балок. При расстоянии
между балками порядка 0,15—0,2 от высоты подпорной стены и не-
большом увеличении их вылета по сравнению с вылетом плиты они
благодаря явлению сводообразования в засыпке дают такой же раз-
гружающий эффект, как и плиты. Давление на балки при этом повы-
шается по сравнению с весом лежащего над ними грунта.
Для разгрузки подпорных стен применяют также экранирующи
рамы и отдельные сваи, забитые в пределах сползающей призмы.
С этой же целью увеличивается угол естественного откоса засыпки
(до 46° на воздухе и до 39° в воде) добавлением к ней отходов лесопи-
ления — «реек».
2. Стены с фундаментными плитами
При определении активного давления сыпучего тела на подпор-
ную стену уголкового профиля необходимо учесть возможность
образования различных плоскостей скольжения в засыпке и выбрать
из них наиболее опасную.
165
В большинстве случаев можно ограничиться рассмотрением пло-
скостей скольжения по схемам, показанным на рис. 117, а и б.
В случае а опасная плоскость скольжения А'В' и давление иа
нее могут быть найдены так же, как в случае пологой подпорной
стены. При этом угол отклонения равнодействующей давлений от
нормали принимается равным углу внутреннего трения сыпучего
тела. К собственному весу подпорной стены прибавляется вес G за-
сыпки в объеме призмы с основанием АА'В'В. В случае б, который
может наблюдаться при короткой тыловой консоли фундаментной
плиты, плоскость скольжения А'В' и силу Q2 определяют как для
пологой подпорной стены. При этом находят и положение точки Д'.
Силу давления на верхнюю часть стены определяют независимо
от нижней части и принимают с углом отклонения 6 = р Силу Q2
определяют с учетом пригрузки от веса сыпучего тела, расположен-
ного выше горизонтальной линии, проведенной через точку А'. Вес
С2 призмы А'В В' прибавляется к весу подпорной стены.
Для приближенных расчетов допускается принимать давление
Q сыпучего тела действующим на вертикальную плоскость СВ" и
направленным под углом р к горизонту. При этом к подпорной стене
добавляется вес G призмы АВ В'С сыпучего тела.
При горизонтальной поверхности засыпки за подпорной стеной
ка к в случае а, так и в случае б все углы наклона плоскостей сколь-
жения к вертикали принимают равными 45° — <р/2. В этом случае
силу давления на вертикальную плоскость СВ' (которая для пло-
скостей скольжения будет плоскостью симметрии), определяют при
<р0 = 0 и принимают горизонтальной. Во всех случаях учитывают
еще давление грунта на тыловую грань В'В" фундамента.
§ 40.	ПРЕДЕЛЫ ПРИМЕНИМОСТИ МЕТОДА, ОСНОВАННОГО
НА ЗАМЕНЕ ПОВЕРХНОСТИ СКОЛЬЖЕНИЯ ПЛОСКОСТЬЮ
Метод Ш. Кулона, в основе которого лежит допущение о замене
криволинейной поверхности скольжения плоскостью, получил ши-
рокое распространение па практике благодаря простоте н возмож-
ности применения во многих частных случаях.
166
В связи с имеющимся более строгим методом В. В. Соколовско-
го, по которому составлены таблицы коэффициентов активного дав-
ления сыпучего тела, естественно возникают следующие вопросы:
1)	каково расхождение в результате полученных по обеим те-
ориям?
2)	какая из этих теорий лучше подтверждается данными опытов?
3)	какова область применения каждой из них?
Для ответа на первый вопрос достаточно сопоставить коэффи-
циенты активного давления по методам III. Кулона н В. В. Соко-
ловского. Это пока можно сделать только для частного случая плос-
кой задней поверхности стены, наклоненной под любым углом а
к вертикали, при горизонтальной поверхности засыпки. Для дру-
гих же случаев коэффициенты активного давления по теории
В. В. Соколовского еще не вычислены.
Сопоставлены результаты по методам В. В. Соколовского и
Ш. Кулона отдельно для величин горизонтальных и вертикальных
составляющих активного давления, так как на устойчивость под-
порной стены эти составляющие оказывают противоположное дей-
ствие. При этом оказалось, что наиболее значительны расхожде-
ния результатов для пологих подпорных стен с большой шерохо-
ватостью ^ф0 = и особенно Фо — Однако и для крутых под-
порных стен разница в давлениях может доходить до 15%. При
этом для стен с обратным уклоном (а < 0) метод Ш. Кулона при-
водит к преуменьшению (до 15%) горизонтальной составляющей
давления и к меньшим отрицательным значениям для вертикаль-
ной составляющей по сравнению с методом В. В. Соколовского.
При небольших прямых уклонах задней грани (до 40°) горизон-
тальные составляющие давления грунта по теории Ш. Кулона ста-
новятся больше, чем по методу В. В. Соколовского, па величину до
10%. При этом вертикальные составляющие по обеим теориям при-
мерно одинаковы.
Для больших положительных значений угла а (больше 40°—
50е) уже обнаруживаются значительные расхождения между ре-
зультатами по методу Ш. Кулона п В. В. Соколовского.
Наконец, для a > 90° — ф0 величина cos (а 4- <рЛ), стоящая
под корнем в формулах (6.21) и (6.22), становится отрицательной и
эти формулы приводят к мнимым значениям величин активного дав-
ления засыпки на подпорные стены по методу Ш. Кулона.
Резкие расхождения между результатами по методам Ш. Куло-
на и В. В. Соколовского для больших значений а, т. е. для пологих
подпорных степ, следует отнести за счет того, что в этих случаях
задняя грань стены уже не служит второй поверхностью скольже-
ния, которая так же, как и первая, образуется в самом грунте. По-
этому на задней грани такой подпорной стены условие предельного
равновесия пе выполняется и зависимость между нормальными п
касательными напряжениями выражается неравенством
T<otg<p0.
167
При применении метода Ш. Кулона это обычно не учитывают
и им пользуются без каких-либо ограничений, что может привести
к заметным просчетам, а иногда даже и к абсурдным результатам.
Более мелкие расхождения между результатами по методам
В. В. Соколовского и Ш. Кулона объясняются заменой криволи-
нейной поверхности скольжения плоскостью.
Как показано ниже, метод Ш. Кулона может привести к непра-
вильным результатам расчета в том случае, когда его применяют
для определения давления грунта на подпорную стену с ломаным
очертанием задней поверхности. Это будет в случае, когда к до-
пущениям Ш. Кулона добавляют еще допущение о том, что давле-
ние на нижние грани ломаной поверхности стены можно определять
независимо от очертания верхних граней.
Чтобы ответить на второй вопрос, надо иметь в виду, что спе-
циальные опыты, имеющие целью проверить метод В. В. Соколов-
ского, до сих пор не ставились. Те опыты, которые обычно приво-
дят в литературе в качестве подтверждения метода Ш. Кулона,
еще в большей степени могут служить и для подтверждения мето-
да В. В. Соколовского, так как, во-первых, все эти опыты охваты-
вали как раз ту область, в которой результаты обоих методов прак-
тически совпадают, и, во-вторых, уже А. И. Прилежаевым в 1907 г.
на основании обработанных им опытов других исследователей и
опытов, приведенных им самим, было установлено, что только верх-
ние части поверхностей скольжения всегда близки к плоскостям.
То обстоятельство, что согласно опытам нижние части поверх-
ностей скольжения могут быть и не плоскими, говорит в пользу
метода В. В. Соколовского и против метода III. Кулона.
Из изложенного следует, что никаких преимуществ, кроме боль-
шей простоты применения, метод Кулона не имеет.
Вместе с тем указанные ошибки, к которым приводит в ряде
случаев неправильное применение метода Ш. Кулона, не являются
следствием его основного допущения о плоскости скольжения. Эти
ошибки, имеющие важное значение для тех или иных частных слу-
чаев, могут быть устранены. Такими частными случаями оказыва-
ются прежде всего пологие и ломаные стены, которые рассмотрены
ниже и для которых приведены решения, основанные на методе
III. Кулона с введением в пего необходимых поправок.
В настоящее время метод Ш. Кулона следует применять в тех
случаях, для которых еще не составлены таблицы коэффициен-
тов активного давления, вычисленных по методу В. В. Соколов-
ского.
Рассмотренные методы определения давления сыпучего тела
Ш. Кулона, В. В. Соколовского и С. С. Голушкевнча наиболее из-
вестны и распространены в Советском Союзе. Однако допущения,
на которых они построены, не единственно возможные, поэтому из-
вестный интерес представляют теории, построенные на других до-
пущениях, не противоречащих данным опытов.
168
Глава VII.
ОСОБЫЕ СЛУЧАИ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ДАВЛЕНИЯ
СЫПУЧЕГО ТЕЛА НА ПОДПОРНЫЕ СТЕНЫ.
ДАННЫЕ ОПЫТОВ И НАБЛЮДЕНИЙ
§ 41.	АКТИВНОЕ ДАВЛЕНИЕ СЫПУЧЕГО ТЕЛА
НА ПОДПОРНЫЕ СТЕНЫ ОГРАНИЧЕННОЙ ДЛИНЫ
Если подпорная стена длиной одного порядка с высотой, а со-
седние массы грунта не воздействуют на подпорную стену, напри-
мер когда они ограничены откосами (устой моста), то задача долж-
на быть рассмотрена как пространственная. В этом случае сполза-
ющее тело (по предложению Б. В. Бобрикова [9]) принимается
в виде полуцилиндра, усеченного снизу наклонной плоскостью,
составляющей с горизонтом угол 6 (рис. 118). Исходя из условия
предельного равновесия сползающего тела и пренебрегая силами
трения по цилиндрической поверхности, можно найти активное
давление на верхнюю и нижнюю части вертикальной гладкой сте-
ны при горизонтальной поверхности засыпки:
91=0,392?/ tg (6—Ф);
(7Л)
0,43 z \
tgO I )
1g (0—у)
tgO
(7.2)

169
Равнодействующая активного давления на подпорную стену
<2=0,089уЫ^4,41—-^-tg в)
tS (S—<р).
(7.4)
Центры давлений для верхней н нижней частей находят от низа
стены на уровнях:
I \2	I
— tg«e-—tge+2,2
h /_______h__________.
4,4—^tge
h
za = 0,173/tg 6.
Если же общая высота стен h <Z h2i т. e. если верхняя
сползающего тела в форме цилиндра отсутствует, то вместо
нения (7.3) следует пользоваться уравнением
I sin 2 (6—ф)—sin 26	q	2 sin 2 (6—<р)—sin 26
h	cos 6	’	sin 6
0,16
zi=h------
(7.5)
(7.6)
часть
урав-
(7.7)
Равнодействующая давлений в этом случае выражается фор-
мулой
Y/t3 tg (0-<р) [ I _ 0,29 \
V 2 tgG \ Л tg© )'
(7.8)
Для определения давления на любой глубине z служит формула
(7.2).
Центр давления находится от основания на высоте
-'-tge-0,22
, Л _	_ ~ Л .	»
На основе этих формул построены графики (рис. 119 и 120). На
рис. 119 кривыми 1 и 2 показана зависимость между углом 6 и от-
ношением Uh. При этом штриховая линия отделяет участки кри-
вых, относящихся к стенам с h h2 (слева) от участков кривых
для стен, высота которых h > h2.
Кривыми 3 и 4 даны зависимости между отношениями Q/Qa и
Z//z, где Q — давление сыпучего тела в условиях пространственной
задачи, Qa соответствует давлению в условиях плоской задачи. Кри-
вые построены для двух различных значений угла внутреннего
трения сыпучего тела: ср — 30 и ср = 40°.
Эпюры давлений, построенные по формулам (7.1) и (7.2) для раз-
ных отношений l!h при ср = 30°, показаны на рис. 120 сплошными
линиями. Эти эпюры в отличие от соответствующих эпюр плоской
задачи, показанных штриховыми линиями, криволинейны. При
этом для стен с h > h2 при llh <Z 1 давление на некоторой глубине
170
от поверхности становится
постоянным.
Из рис. 119 и 120 видно,
что сила давления на стену
ограниченной длины меньше,
чем на такой же участок, вы-
деленный из подпорной стены
неограниченной длины. При
этом разница тем больше,
чем меньше длина стен&/ по
сравнению с высотой h. При
llh ~ 1, ..., 1,5 решения для
условий плоской задачи во
всех случаях достаточно
точны.
Пример 21. Определить дав-
ление засыпки на подпорную
стену h = 4 м и Z~4 м, если
у = 17 кН/м3, <р = 40° и То = 0.
Так как l/h = 4/4= 1, то иа графике рис. 119 (кривая 2) видно, что
h < Л2, 6 =67°ЗО' и Q/Qa = 0,9. Сила активного давления на всю стену дли-
ной 4 м
Q=0,9QH=0,9/—tg2^45°—	= 0,9-4^45°-
= 106 кН.
На основании формулы (7.9) эту силу можно считать приложенной на
уровне z0 = 4/3 = 1,33 м.
Ординату эпюры давлений на любой глубине г определяют по формуле
(7.2)
tg (0—ф)	/,	0,43	z\ 0,521 /.	0,43	г\
Qz yZ tgO	V	tgO	l )	7г 2,414 V	2,414	4)
=3,68 z (1 —0,045z) = 3,68z—0,164z2.
Нижняя ордината эпюры давлений при г = 4 м
7=3,68-4—0,164-42=14,7—2,6=12,1 кПа.
Для участка стены длиной 4 м, находящегося в условиях плоского де”
формированного состояния, результаты расчета дают Q = 117,6 кН н
7 = 14,7кПа.
§ 42.	АКТИВНОЕ ДАВЛЕНИЕ СЫПУЧЕГО ТЕЛА
НА КРИВОЛИНЕЙНЫЕ В ПЛАНЕ ПОДПОРНЫЕ СТЕНЫ
Рассмотрим круговую в плане стену, обращенную вогнутой сто-
роной к засылке. Сыпучее тело находится внутри ограждения
и оказывает на него давление.
Если исходить из теории предельного равновесия, то следует
считать, что ограждение претерпевает разрывы и перемещается
в сторону от сыпучего тела, т. е. наружу.
171
В этом случае (по предложению В. И. Титовой [122]) сполза-
ющее тело расчленяют меридиональными плоскостями на беско-
нечно малые элементы, один нз которых показан на рнс. 121.
Для вертикальной гладкой подпорной стены при горизонталь-
ной поверхности засыпки из условия предельного равновесия уста-
навливается зависимость между массой сыпучего тела G и силой дав-
ления Q на единицу длины окружности стены
Q-Gtg(O-<p)^—f 1- ctg (iVtgOtg (() -<;),	(7.10)
Z \ OK J
где 7? — радиус внутренний поверхности стены.
Дифференцируя это выражение по 6 и приравнивая производ-
ную нулю, получим уравнение, которое позволяет найти угол 0,
соответствующий условию максимальности силы Q.
— " si" 28—sin 2 (8-ф)
R sin 20—2 sin 2(6—ф) g	’
Для заданного отношения h/R угол 0 находят из этого уравне-
ния подбором.
Дифференцирование выражения (7.10) по h=z позволяет най-
ти давление на глубине z:
х tg(e-ф)	(7.12)
Ч‘ 2 tg 0	\	(?tg0/
Эта форма разрушения сыпучего тела возможна только при та-
кой высоте стены, при которой внутренняя образующая сползаю-
щего тела не пересекает центральной оси стены, что соответствует
условию h/R tg0. Предельные значения h/R можно получить
из формулы (7.11), приравняв (h/R)„D = tg0nJ).
Подбором можно определить отношение (h/R)nT) при различных
значениях гр. Для ср = 25 ... 35° они колеблются в пределах
3,73—3,8.
Таким образом, при высотах h/R	3,73—3,8 можно, применяя
формулу (7.11), найти для любой точки по высоте стены угол 0,
соответствующий наибольшему давлению, а затем по формуле
(7.12) найти ординату эпюры давлений, которая в данном случае
оказывается криволинейной. Когда высота стены превышает этот
предел, вместо формул (7.10) — (7.12) полу-
ri	чаЮТ:
(7.13)
!	Q=^^-tg(6—<р) —-|-tgeig(e—<р); (7.14)
{	/	h	sin 20-|-sin 2(6—ф)
Н /	। Т =-----------------<^е--------'	(7ЛЕ)
?=^tg(e-<p).	(7.16)
РИС. 121	Z
173
РИС. 122
РИС. 123
На рис. 122 показаны кривые равнодействующих, т. е. сил дав-
лений, самих давлений и углов 6 для частного случая <р = 30°.
При этом зона I графика соответствует h < Rtg0, а зона II — h >
> jRtgO. Кривая 1 дает значения безразмерных давлений
q/yR, кривая 2— значения углов 6, кривая 3 соответствует отноше-
нию Q/yRzt кривая 4 показывает давления на плоскую стену.
Для проверки теоретических выводов В. И. Титовой поставле-
ны опыты с ячейкой высотой й = 1 м и диаметром 0,7 м, в которую
был насыпан из воронки рыхлый песок со средней объемной мас-
сой 1,65 т/м3 и углом внутреннего трения <р = 28...31°. Результаты
опыта (кривая /) на рис. 123 хорошо согласуются с теоретическими
данными (кривая 2) и очень далеки от результатов, получаемых
по формуле Ш. Кулона для прямолинейной в плане степы (кривая
3). Формула Кулона приводит к сильному преувеличению расчет-
ного давления.
Пример 22. Определить давление засыпки иа круговую в плане стену
прн у = 17 кН/м3, <р = 40°, <р0 = 0, h = 8 м, /? = 8 м.
Так как h/R = 8/8 — 1 < 3,7, то для определения угла 0 пользуемся
формулой (7.11). Это уравнение обращается в тождество при 6 = 75°45'.
Подставляя значение 0 в формулу (7.10), находим полное давление на единицу
длины окружности задней поверхности стены:
Q=Л_ —L-dg 75» 45'j ctg 75” 45' tg (75” 45'—40”)=91,2 кН.
Ннжняя ордината эпюры давлений по формуле (7.12) прн z = ft = 8 м
17 8	/	8	1	\
q =----------- 2-------------— I tg (75° 457 —40°) = 21,7 кПа.
4	2tg75°45 \	8 tg75°45 ) '
Для прямолинейной в плане стены при тех же данных
Q=118 кН и <7=29,5 кПа.
173
§43. ПАССИВНОЕ ДАВЛЕНИЕ СЫПУЧЕГО ТЕЛА
ПРИ ОГРАНИЧЕННОЙ ДЛИНЕ СООРУЖЕНИЯ
При определении пассивного давления сыпучего тела „а ограж-
дение ограниченной ширины I в плане Г. И. Глушковым [28] уста-
новлена форма тела выпирания. В целях ее упрощения и в разви-
тие предложений Л. Бреннеке, Э. Ло мейер а и Б. А. У редко го
он принял схематизированную форму (рис. 124). При этом объем
тела выпирания складывается из объема призмы и объема двух
пирамид, составляя
( tg4 )
v=Miel3Z+2A-t^-/’	<7J7>
где 6 — угол наклона главной плоскости скольжения к горизонту, который
должен быть найден из условия минимальности силы пассивного сопротивле-
ния сыпучего тела; б — угол расширения тела выпирания в плане, который
должен быть найден нз того же условия.
Для упрощения задачи обычно принимают, что угол 0 остается
таким же, как и при плоской деформации, а сила трения по боко-
вым граням тела выпирания не учитывается. Для угла б по
предположению Л. Бреннеке и Э. Ломейера принимается вы-
ражение 2tg|- = tg0. Тогда сила пассивного сопротивления сыпу-
чего тела может быть определена по формуле для случая плоской
деформации, в которую в качестве множителей вводятся ширина
I ограждения и отношение общего объема тела выпирания к объе-
му его средней призматической части. С округлением и в запас при-
нимается
»-’?-(+Г)-
Опыты, проведенные Г. И. Глушковым на моделях, заглублен-
ных в песок с углом внутреннего трения ср = 37°, показали, что
влияние пространственной работы массива сыпучего тела при воз-
никновении его пассивного давления оказывается значительно
большим, чем это следует из формулы (7.18), в которой не учиты-
ваются силы трения по боковым граням выпирающего тела.
РИС. 124
РИС. 125
174
§ 44. ДАВЛЕНИЕ СЫПУЧЕГО ТЕЛА
в состоянии покоя
В некоторых случаях перемещения подпорных стен слишком
малы для того, чтобы давление засыпки могло снизиться до актив-
ного давления. Примерами таких сооружений могут служить мас-
сивные подпорные стены на скальном основании, а также стены
очень жестких подземных сооружений, испытывающих одинаковое
давление с обеих сторон. Такие практически неподвижные стены
испытывают допредельное давление засыпки, находящейся
в состоянии упругого равновесия. При определении давления на
подпорную стену, которую можно считать абсолютно неподвижной,
засыпку рассматривают как упругое тело. Если поверхность засып-
ки горизонтальна, а задняя грань стены вертикальна и трение по
ней не учитывается (<р0 ~ 0), то граничные условия на задней гра-
ни стены в отношении горизонтальных перемещений и сдвигающих
напряжений соответствуют условиям на вертикальной плоскости
полупространства, являющейся плоскостью симметрии к заданной
нагрузке и к ее зеркальному изображению (рис. 125).
Если исходить из того, что вертикальное напряжение от собст-
венной массы грунта на глубине z равно ог = yz, то горизонталь-
ное напряжение на этой же глубине можно определить из уравне-
ния обобщенного закона Гука для.плоского деформированного
состояния и условия, что относительная деформация в направле-
нии оси х равна нулю. Отсюда
о®—Gz .	— Тг£о«
р.
(7.19)
где р — коэффициент Пуассона грунта.
Значение £0 = является коэффициентом бокового давления
грунта в состоянии покоя.
При действии линейной нагрузки Р и ее зеркального изображе-
ния, параллельных заднему верхнему ребру подпорной стены, дав-
ление на нее исходя из формулы теории упругости (формула Фла-
мана).
4Px*z	2Р -
Gv —------------------- ------ О’,..
n(x2-|-22)2	г л
(7.20)
где х — расстояние от линии приложения нагрузки до задней грани
стены.
При-этом касательное напряжение т2Ж на задней грани стены бу-
дет равно нулю.	_
Значения коэффициента (гк в зависимости от отношения x/z при-
ведены в [66]. Для получения наибольшего давления на данной глу-
бине г линия нагрузки должна быть отодвинута на расстояние
х = z. При этом 0Х = 0,318 (Plz). При заданном расстоянии х от
175
линии действия нагрузки наибольшее давление будет на глубине
г = 0,578 х и составит ох = 0,238 (Plz).
При действии вертикальной сосредоточенной силы Р и ее зер-
кального изображения давление на вертикальную плоскость, сов-
падающую с задней гранью подпорной стены, выражается форму-
лой Буссинеска с коэффициентом 2:
__ ЗР Г х2г  *—W	1__________(2/?+z)x2 Z 1
°Х~ л1/?+ 3 (	2)	(/? + 2)2/?3	J?3J“
2Р _
(7.21)
где х — расстояние от сосредоточенной силы до задней грани стены по пер-
пендикуляру; у — расстояние от точки приложения сосредоточенной силы до
взятой на поверхности стены точки по направлению, параллельному кордону
стеиы:
/?=Ух2+^+г2.
Напряжения ох в некоторой области рассматриваемой верти-
кальной плоскости могут оказаться отрицательными, т. е. растя-
гивающими. Однако в большинстве случаев они будут погашаться
сжимающими напряжениями от собственной массы грунта. Для об-
легчения использования формулы (7.21) Г. И. Глушковым сос-
тавлен график значений ох для коэффициента Пуассона р — 0,3
(рнс. 126).
Следует иметь в виду, что давление на подпорную силу в боль-
шой степени зависит от значения р. При и — 0,5 (что соответст-
вует материалу, сохраняющему при деформации постоянный объем)
формула (7.21) упрощается и приобретает вид
ЗР х*2	2Р -
Ох= л (лЧ-«Ч-г2)й/а“ z2 °*'	(7,22)
Чтобы в данной точке стены на глубине z давление было наиболь-
шим, сосредоточенный груз должен быть установлен против
этой точки (у = 0) на расстоянии х = 0,816 z. При этом
= 0,1776 (Р№). При заданном расстоянии х наибольшее давле-
ние будет на глубине z = 0,5 х и составит ах — 0,0684 (P/z2).
Этот метод определения давления грунта может иметь пока лишь
ограниченное применение, так как он относится к частному слу-
чаю абсолютно гладкой жесткой и неподвижной стены при горизон-
тальной поверхности засыпки.
Для приближенного определения давления грунта на подпор-
ную стену в более общем случае (произвольная поверхность засып-
ки, наклонная стена и угол трения по йен засыпки <ро==40) примем
допущение, что в сыпучем теле отношение между главными на-
пряжениями (точнее между их приращениями) равно коэффициент
ту бокового давления, т. е. для плоской задачи
<Уз=£о<У1-	(7.23)
176
РИС. 126
Выражая главные напряжения
через нормальные при помощи
формулы (2.18), после несложных
преобразований получим
(аг-ах)2+4т^=(	(о.+ ох)>.
(7-24)
Сравнивая это уравнение с ус-
ловием (2.35) предельного напря-
,Р=45кН/м
с=2м
А
8	кПа
РИС. 127
ЩВм
женного состояния (при с = 0), можно легко обнаружить, что они
отличаются лишь параметрами (1 —10)/(1 + D Б уравнении
(7.24) вместо sin ср в уравнении (2.35).
177
Учитывая, что дифференциальные уравнения равновесия оста-
ются одними и теми же в обоих случаях, можно свести решение за-
дач, связанных с непредельным равновесием грунта, к использова-
нию тех же формул и графических построений, которые применя-
ются для решения задач предельного равновесия. Однако при этом
придется принять угол отклонения полного давления от нормали
к условной площадке скольжения равным некоторому условному
углу внутреннего трения <русл, определяемому из уравнения
отсюда
1-Sinte_t / л	р2в)
1-}-81П(руСЛ	\ 4	2	)
Если исходить из нормированных значений коэффициентов бо-
кового давления, то углы отклонения окажутся значительно мень-
шими, чем действительные углы внутреннего трения. Так, для пес-
ка с коэффициентом бокового давления |0 = 0,43 и <русл = 23°
30", в то время как действительные углы внутреннего трения пес-
чаных грунтов лежат в пределах 30—43°. Это означает, что давле-
ние сыпучего тела в состоянии покоя значительно превышает его
активное давление, что вполне согласуется с данными опытов.
Пример 23. Построить эпюру давлений на подпорную стену, рассмотрен-
ную в примере 15, при условии, что она стоит на скальном основании н может
быть принята абсолютно неподвижной. При этом h = 6 м. Засыпка песчаная
с у - - 19 кН/м3.
Для песчаного грунта засыпкн коэффициент бокового давления в состоя-
нии покоя по табл. 6 равен = 0,41. Нижняя ордината эпюры давлений на
неподвижную стену по формуле (7.19)
q=cx= 19-6-0,41 =46,7 кПа,
т. е. на 58% больше, чем соответствующая ордината эпюры активного дав-
ления при некотором смещении подпорной стены.
Для построения эпюры давлений от линейной нагрузки Р = 45 кН/м
разобьем стену по высоте на шесть частей и для каждой точки деления най-
дем соответствующую ординату
таблица 22. расчеты	по формуле (7.20) К ПРИМЕРУ 23	Q			
z, Ы	Х/2		?Р = «Ъ:Р=	Ох — <гж, кПа	Z 2-45 —	СЬе
0 0,5 1 2 3 4 5 6	4° 2 1 0,667 0,5 0,4 0,333	0 0,035 0,102 0,159 0,135 0,102 0,076 0,058	г.	=	Ох ~ 90	• г	z 6,3 9 2 7*15	Вычисления по этой фор- 4*05	муле сведены	в	табл.	22. 2,29	Эпюра давлений	на	под- /’З?	первую стену	показана	на и,В'	рис. 127.
178
Равнодействующую дополнительного давления на подпорную
стену от действия силы Р подсчитывают как площадь эпюры, кото-
рая заменяется площадями отдельных трапеций.
2
Qp=—(6,34),54-9,2-0,754-7,15-14-4,05-1+
4-2,29-14- 1,37-14-0,87 0,5)=25,34 кНм.
Это значение превышает значение соответствующей силы актив-
ного давления от нагрузки, найденное в примере 15, на 8%.
§ 45. ДАВЛЕНИЕ СЫПУЧЕГО ТЕЛА
НА ПОДПОРНУЮ СТЕНУ В ЗАВИСИМОСТИ
ОТ ЕЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ
Исходя из данных опытов можно принять следующую упрощен-
ную диаграмму изменения давления q на подпорную стену в зави-
симости от ее горизонтального перемещения А на данной глуби-
не г, которое зависит от сдвига и поворота стены (рис. 128, а} Для
наклонного прямолинейного участка этой диаграммы известны зна-
179
чения трех ординат, соответствующих активному давлению грунта,
давлению его на неподвижную стену и пассивному давлению.
При этом:
7a=Tzla;	9П=угХп,	(7.27)
где 1а, Ао, 1п — коэффициенты давления грунта соответственно активно-
го состояния покоя и пассивного.
Для вертикальной идеально гладкой подпорной стены при го-
ризонтальной поверхности засыпки этн коэффициенты выражаются
«формулами:
I— sin ф	р,	Н-8Шф
Ла— , . .	» Ло— ,	» Лд— ,	i
1 -f-smq>	1—р,	1—sin ф
где ф — угол внутреннего трения сыпучего тела; р. — коэффициент Пуассо-
яа.
Если принять, что движение подпорной стены начинается лишь
после укладки засыпки и исходить из простейшей теории осадок
поверхности сыпучего тела по теории Фусса — Винклера, считая
коэффициент постели k нарастающим пропорционально глубине,
то на глубине z давление засыпки на гладкую вертикальную зад-
нюю грань подпорной стены, переместившуюся и одновременно по-
вернувшуюся в сторону от засыпки,
qz=yzk0—kz&—kzQ(h—г),	(7.28)
где А и 0 — горизонтальное и угловое (крен) перемещения подпорной стеиь’|
k — коэффициент, характеризующий измеиение'коэффициента постели с глу-
биной; для пескальиых грунтов техническими условиями проектирования же-
лезнодорожных, автодорожных и городских мостов и труб (СН 200-62) уста-
новлены значения k в пределах от 1000 до 20 000 кН/м4.
Силу давления грунта на подпорную стену определяют интегри-
рованием выражения (7.28).
? yft2 Aft2 kh? п
V = \qzdz=-^- Хо-—А-—0.	(7.29)
о
Эпюра давлений складывается из трех эпюр, две из которых
треугольной формы, а третья — параболической (рис. 128, е, г, д).
При перемещениях стены в сторону засыпки второе и третье сла-
гаемые в формулах (7.28) и (7.29) должны быть взяты со знаком
плюс. В соответствии с принятой диаграммой давлений сила Q не
может быть меньше Qa и больше Qn.
Теперь рассмотрим давление на подпорную стену в случае сов-
местного ее перемещения с перемещениями основания и грунта
у передней грани фундамента. Для этого найдем действующие иа
стену силы и их моменты. Момент, сопротивляющийся крену под-
180
пор ной стены, когда давление на основание передается по всей ши-
рине подошвы, выражается формулой (см. рис. 128, б)
ЛЬз
M=Ne=— 0,	(7.30)
где b — ширина подошвы подпорной степы; 0 — угол крена; k — коэффи-
циент постели грунта в основании подпорной стены, принимаемый для не-
скальных грунтов равным kh (кН/м3), но не менее 106, для скальных грунтов
этот коэффициент принимают в пределах от 300 000 до 15 000 000 кН/м3.
Силу Т сопротивления основания сдвигу подпорной стены при-
мем пропорциональной перемещению Д, т. е.
Т=т£>=Лт6Д,	(7.31)
где Ь — ширина подошвы подпорной стены; т — сдвигающее напряжение по
поверхности основания; kT — коэффициент сопротивления грунта сдвигу под-
порной стены по основанию (кН/м3), который можно принять равным 0,5—
0,7 от значения коэффициента постели k.
Сила сопротивления основания сдвигу подпорной стены не мо-
жет превосходить предельного значения
7щ>=Л7»	(7.32)
где N — сила нормального давления от подпорной стены на ее основании;
f — коэффициент трення между подошвой подпорной стены и поверхностью
основания.
Условия равновесия подпорной стены, заглубленной в основа-
ние на Лф и переместившейся в сторону от засыпки:
fea fee ТфА1 Лф/1|д -ki,hle
--------------------------------------~ ;
fea fee kb»e	тфлКф
гм,=—Ч-——п--------------Са—1Г----------в-----
__7?ф/гфЛ ^ф/гфб _
“	6	12 ~ ‘
При составлении этих уравнений учтена возможность различ-
ных значений, у, k и Zo для задней и передней граней стены.
Последние отмечены буквой ф. Третье уравнение равновесия
при гладкой вертикальной задней грани подпорной стены дает
возможность непосредственно найти среднюю величину осадки s:
где G — вес подпорной стены, отнесенный, как и все остальные силы, к 1 м
ее длины.
Уравнения равновесия удобно представить в форме, каноничес-
ких уравнений метода перемещений:
'дл4+где0+-'?до=(): 1
гед 4+гее е+Яео=О> J
181
РИС. 12У
где
гдд = 3 (М24 йф hф 4-2ЛТ Ь);
где=гед=kft3 -f
'ее=у (*Л*+ЧЛф+^8);
^дО~ 3 (уй21о—?ф йф ^оф)’>
/?ео = — yhs Хо+уф йф Ло ф 4- GGa.
(7.34)
При этом линейное перемещение и угол крена будут выражать-
ся формулами:
Д-	(73S)
ГДДГ0в ГД6
ГД6 ^до~ гдд^ео
ГДДГ00 ГД6
(7.36)
Найдя перемещения Аи 6, можно, пользуясь формулами (7.28),
(7.29), (7.30) и (7.31), определить давление засыпки на заднюю и пе-
реднюю грани подпорной стены, значение эксцентрицитета е силы
/V и силу сопротивления Т основания сдвигу.
Применение предлагаемых формул к расчету подпорной стены
показано на числовом примере.
Пример 24. Определить давление грунта на подпорную стену высотой
= 9,8 мм с шириной подошвы Ь — 6 м, с вертикальной задней гранью, за-
глубленную на высоту йф = 1,8 м. Поверхность засыпки горизонтальная
грис. 129). Грунт засыпкн со стороны задней и передней граней — песок
(средней крупности рыхлый с у — 18 кН/м3, (р = 35°, <р0 = 0, р, = 0,3, k~
= 2500 кН/м4. Грунт основания — скала, для которой Л = 500 000 кН/мэ,
йт = 350 000 кН/м3, f = 0,6. Вес стены вместе с грунтом иа фундаментной
плите составляет G = 900 кН/м, а плечо этой силы относительно середины по-
дошвы а == 0,42 м.
Все исходные данные — величины расчетные, т. е. в них уже содержатся
коэффициенты перегрузки и учтено снижение механических характеристик
грунтов.
Коэффициент давления грунта в состоянии покоя
- Г 0,3
Z«=1 =г^ч=0-43-
1—р,	I — 0,3
Коэффициенты выражений (7.35) и (7.36) для определения неизвестных
перемещений определяют по формулам (7.34):
гдд = 3 (2500• 9,82-|-2500-1,8»Ц- 2- 350 000- 6) = 13 340 000;
где=гед—2500 (9,83 4-1,83) _ 2 370 000;
— (2500-9,84 4-2500-1,84 4-500 000.63)=85 500 000;
/?дс = —з. 18-0,43 (9,82—1,82) = — 2150;
₽ео = —18- 0,43 (9, в’ — 1,8я) 4- 6-900.0,42 =4960.
182
Линейное перемещение и угол крена определяют по формулам (7.35)
и (7.36), они оказываются равными Д = 1,485 - 10~4 м; 6 = 7,04 - 10-5.
Силу давления грунта на заднюю грань подпорной стены определяют по
формуле (7.29). При этом перемещения Д и 0 считают положительными:
18-9.82	2500-9.82. ЛИ .	2500-9,83
Q=----0,43—----------1,485-10“4—---------7,04-10-6 = 325,5 кН/м.
6
Эта сила превышает силу активного давления
•уЛ2
18-9,8s
:—0,271 = 234 кН/м
иа 39% и оказывается расчетной.
Силу давления (или, точнее, отпора) грунта на переднюю грань фундамен-
та определяют по формуле (7.29), причем перемещения Д и 6 уже считаются
отрицательными, так как они направлены в сторону грунта:
С^^Хо + -^Д + 4 = ^0.« + ^М85.К>-4=
2500-1 83
=-----7,04-10-6= 12,54-0,6014-0,171 = 13,3 кН/м.
2
Это превышает силу активного давления грунта на переднюю грань сте-
ны
18-1,82
0аф= * ~=------------0,271 =7,9 кН/м
на 68%.
Сила сопротивления основания сдвигу подпорной стены
Г=ЛТ £>Д=350 000-6-1,485-10-4=312,2 кН/м.
Предельное же значение силы треиия оказывается равным:
Тир=900-0,6=540 кН/м >312,2 кН/м.
Силы Q, Qa и Т взаимно уравновешиваются.
Действительно, Sx = 325,5 — 312,2 — 13,3 = 0.
Это служит одной нз проверок правильности определения значений
Л н 0.
Для построения эпюр давления используют формулу (7.28)
Для задней грани
(]z_yz\0~kzh—kz (h—z) 0 = 18z-0,43—2500z-l ,485- IO"4—
—2500z (9,8-z) 7,04-10-o=5,66z4-0,176z*.
Для передней грани
=VZ Хо + Ьд 4-kz (h$—z) e •= 18-z• 0,434- 2500Z • 1,485-10-4 4"
4-2500z (1,8—z) 7,04 - 10"®=8,44z—0,176z«.
Найденное значение угла крена позволяет определить эксцентрицитет
силы N, исходя из формулы (7.30):
М И>з 500 000-63
е=-----=----0=  ----------0,0000704= 0,704 м.
W 12AZ 12-900
183
Зияя значение эксцентрицитета, можно построить эпюру реакций грунта
основания, найдя ее крайние ординаты
N (	бе X	900 /	6-0,704 \ (255,6 кПа;
6 V* 6 /	6 \	6	/ ИМкПа.
Эпюры давлений, действующих иа подпорную стену со стороны задней
грани, передней грани, и основания, показаны на рис. 129.
Проверка устойчивости подпорной стены иа опрокидывание сводится
к определению коэффициента запаса
Если рассчитать эту же яодпорную стену, когда основание нескальиое,
и принять для него k — 50 000 кН/м8 и kv = 35 000 кН/м3, то сила давления
на такую же подпорную стену (Q = 195,9 кН/м) оказывается уже меньше силы
активного давления и расчетным будет последнее значение.
В рассмотренном примере влияние сдвига и крена подпорной
стены как факторов снижения давления на нее оказывается одина-
ковым. Подсчеты показывают, что относительное влияние поворо-
та тем больше, чем выше подпорная стена и чем жестче ее основа-
ние.
Предлагаемая методика расчета подпорных стен с учетом их пе-
ремещений может быть распространена и на случай, когда стена
не вертикальная и не гладкая, а поверхность засыпки не горизон-
тальная. «Легко решаются также и задачи, связанные с определе-
нием давления грунта на массивные сооружения типа шлюзов и су-
хих доков. Для таких сооружений большие реактивные давления
засыпки возникают даже от температурных перемещений.
Расчеты показывают, что для подпорных стен на нескальных ос-
нованиях перемещения обычно оказываются достаточными для то-
го, чтобы давление засыпки снизилось до активного. Поэтому для
таких подпорных стен принятие активного давления грунта в ка-
честве расчетного может считаться обоснованным. Однако это ока-
зывается неприемлемым для подпорных стен на скальном основа-
нии, а также для жестких подпорных стен, связанных с другими
массивными сооружениями. В этих случаях расчетное давление
грунта следует определять с учетом перемещений подпорной стены.
Отметим, что в действительности часть перемещений подпорной
стены происходит в процессе обратной засыпки пазухи грунтом.
Это учтено в решении В. Т. Бугаева [11] определением эффектив-
ных смещений, под которыми понимаются части полных смещений,
возникающие в процессе засыпки пазух от действия слоя грунта,
расположенного выше рассматриваемого уровня.
Для определения эффективных смещений В. Т. Бугаев на осно-
ве кинематической теории Ф. М. Шихиева 1141] получил формулу
VW
186
где z — расстояние рассматриваемого
сечения от поверхности засыпки; kT —
коэффициент постели при горизонталь-
ном перемещении стены; b — ширина
подошвы степы; k — коэффициент по-
стели грунта в основании; — коэф-
фициент бокового давления состояния
покоя.
Вычислив значения эффектив-
ных смещений для каждого рас-
сматриваемого горизонтального
смещения, можно построить эпю-
ру эффективных смещений. По
этой эпюре можно определить гра-
ницу между верхней областью до-
предельного и нижней областью
предельного равновесия засыпки,
которая соответствует критическому
РИС. 130
раждения
значению перемещения ог-
oft ctg ф / m-J-n
1+Еа
\ 1-Еа
(7,38)
где а — безразмерный коэффициент, численно равный коэффициенту сжима-
емости и определяемый компрессионными испытаниями при нормальном дав--
лении 100 кПа; <р — угол внутреннего трения засыпки; £а — коэффициент
активного давления в состоянии предельного равновесия; — коэффициент
бокового давления в состоянии покоя.
m 1/14-	• „--k_
m=V ,+-(1=ЕЙ- i—ь,
Здесь <р0 — угол трения засыпки о тыловую грань стены.
Коэффициент бокового давления для каждого сечения в области
допредельного напряженногоо состояния засыпки определяется
по формуле
— Л2+4па—(2п—Л)2-Н2-4) VW-b4tg ф0ЦЛ^2п)2—(2ft—Л)Ч
(44-2п)8-(2Л—Л)3(1—4tg^0)
(7-39)
где А =1—2^0
В области предельного равновесия действует активное боковое
давление, определяемое по значению коэффициента £а.
На рис. 130, а показана эпюра эффективных смещений, пост-
роенная по этой методике В. Т. Бугаевым для стенки высотой 2 м
на песчаной подушке, толщиной 50 см при у = 17 кН/м3, q> = 35°,
k = 4500 кН/м3 и k.r = 2250 кН/м3, а на рис. 130, б — эпюра дав-
лений, которая достаточно хорошо соответствует эпюре, получен-
ной по данным опыта и показанной пунктиром.
185
§ 46. ДАННЫЕ НАБЛЮДЕНИЙ И ОПЫТОВ
1.	Опыты А. И. Прилежаева
Первые опубликованные экспериментальные исследования
в этой области относятся к 1740 г., однако методика их была еще
слишком примитивной, чтобы можно было сделать какие-либо вы-
воды. Более поздние эксперименты, проведенные начиная
с 1807 г., подробно описаны А. И. Прилежаевым, который обрабо-
тал результаты этих экспериментов и сравнил опытные значения
коэффициентов активного давления с расчетными.
Опыты А. И. Прилежаева были проведены на вертикальных н
наклонных подпорных стенках высотой 10—40 см, которые закры-
вали собой с передней стороны ящик с засыпкой н могли переме-
щаться параллельно самим себе или вращаться вокруг нижнего
ребра. Чтобы установить очертание сползающих призм, применен
метод фотографирования, а для определения значений давления и
моментов от давления засыпки использовался пружинный динамо-
метр. Кроме того, были измерены перемещения верха стены. В ка-
честве засыпки применен просушенный песок объемной массой
1,6 т/м3 и углом естественного откоса 32° 30', а также зерно (рожь)
с объемной массой 0,625 т/м3 и углом естественного откоса 25°.
Из всех опытов А. И. Прилежаев сделал следующие выводы:
1.	Сползающая призма выделяется из сыпучего массива сразу
всей своей массой.
2.	Поверхности скольжения всегда проходят через подошву
стены и могут быть вогнутыми, выпуклыми и плоскими; верхние
части поверхностей скольжения всегда близки к плоскостям.
3.	При одном н том же уклоне стены поверхности скольжения
тем положе, чем круче поверхность засыпки.
4.	Нагрузка, расположенная на поверхности засыпки, значи-
тельно увеличивает объем сползающей призмы и активное давление
на степу.
5.	Во время движения степы происходит постепенное уменьше-
ние горизонтального давления на нее и появляется постепенно уве-
личивающаяся вертикальная сила, вызванная трением.
6.	Угол отклонения почти всегда меньше угла естественного от-
коса засыпки и не зависит от угла наклона поверхности засыпки.
7.	Значения горизонтальной составляющей давления, а так-
же опрокидывающего момента относительно подошвы стены более
или менее близки вычисленным по методу Кулона при <р0 = <р.
8.	Метод Ренкина в большинстве случаев дает несколько пре-
увеличенные результаты, а направление давлений сыпучего тела
при поднимающейся или опускающейся под углом естественного
откоса засыпке не отвечает этому методу.
9.	Плотность, угол внутреннего трения и угол трения сыпучего
тела о поверхности стены изменяются во время перемещения стены
и сползающей призмы.
10.	Центр давления находится на высоте от 1/3 до 1/2 полной
высоты стены.
186
2.	Опыты И. П. Прокофьева
Опыты были проведены в 1946 г. [96, 97] в лабораторных усло-
виях иа специальной установке в виде ящика высотой 72 см со стек-
лянными продольными стенками. Одна поперечная стенка модели-
ровала подпорную стену и могла перемещаться параллельно самой
себе, а также поворачиваться вокруг своего верхнего или нижнего
ребра. На поверхности сыпучего тела, примыкающей к стек-
лянной стенке, была нанесена темными линиями прямоугольная
сетка, совпадающая с сеткой из белых линий, нанесенной на стек-
лянной стенке ящика и остающейся во время опыта неподвижной.
При деформации сыпучего тела, вызванной перемещением под-
вижной стенки ящика, темная сетка искажалась и смещалась по
отношению к белой сетке, что позволяло установить границы и
форму сползающей части сыпучего тела.
При повороте стенки вокруг нижнего ребра на угол около Г 30'
в определенной области сыпучего тела все прямоугольники об-
ратились в параллелограммы, причем перекос их возрастал от ни-
за стенки кверху. Поверхность песка спадала к стенке без резких
переломов. Отсюда И. П. Прокофьев сделал вывод, что при таком
перемещении стенки происходит равномерный сдвиг по всем слоям
сыпучего тела и каждый слой сползает по нижележащему. Сполза-
ющая часть сыпучего тела по форме приближается к клину.
При повороте стенки вокруг верхнего ребра на угол около 1° 30'
искажение сетки носит совершенно иной характер. Прямоуголь-
ные элементы сетки опускаются вниз, параллельно самим себе, без
заметного перекоса; это указывает на то, что в основном происхо-
дит оседание сыпучего тела. Очень незначительный перекос пря-
моугольников наблюдался лишь у поверхности сыпучего тела, где
происходили также разрывы линий сетки, определяющие границу
зоны оседания сыпучего тела. В нижней части сыпучего тела
было заметно некоторое выпирание его в сторону сгеики. На осно-
вании этих опытов И. П. Прокофьев принял в качестве кривой, ог-
раничивающей область оседания, логарифмическую спираль и ус-
тановил, что полное давление на стену в этом случае очень близко
к активному давлению по методу Кулона, но центр давления лежит
значительно выше (0,46 /г). При поступательном перемещении
стенки в сторону от сыпучего тела на 10 мм, что составляет около
1,5% высоты стенки, деформация смещающейся части сыпучего те-
ла носит промежуточный характер.
И. П. Прокофьев подверг также экспериментальному исследо-
ванию стенки с ломаным очертанием задней грани. В этом случае
при сдвиге стенки сползающая масса сыпучего тела разделяется на
две части, сползающие по верхней и нижней граням.
При перемещениях сыпучего тела, состоящего из двух разно-
родных слоев — песчаного и глинистого, поверхность сползания
имеет ясно выраженный выпуклый пли вогнутый излом на границе
слоев.
187
3.	Опыты И. В. Яропольского
Весьма интересные по результатам опыты проведены в 1933 г.
с мелким сухим песком. Установка для опытов состояла из дере-
вянного ящика длиной 1300, шириной 1036 и высотой 601 мм. Две
боковые стенки ящика сделаны из зеркальных стекол толщиной
10 мм. Подвижную вертикальную стенку ящика подвешивали к опо-
рам на шариковых подшипниках так, что точка вращения сов пада-
ла с передней плоскостью стенки. Перемещения стенки при прове-
дении опыта измеряли индикаторами.
На основании ряда опытов И. В. Яропольский установил, что
давление песка иа вертикальную стенку есть функция перемещения
стенки и что это давление претерпевает три последовательные ста-
дии (рис. 131).
Первая стадия соответствует упругому давлению песка на стену
и характеризуется отсутствием сил внутреннего трения. Коэффи-
циент давления песка в начале этой стадии, т. е. в состоянии покоя,
равен единице. Горизонтальное давление песка на стену умень-
шается в зависимости от ёеПпёре'мё1Йёни'я А по закону, близкому
кТйшёипому.
“““Вторая стадия отвечает давлению песка в начале сдвига, при
котором появляются силы внутреннего трения между частицами .
Эта стадия соответствует весьма малому перемещению стены — на
0,1—0,2 мм, т. е. в пределах до диаметра песчинок. В конце этого
перемещения значение давления близко к теоретическому актив-
ному.
Третья стадия наступает при перемещениях стенки, больших
0,1—0,2 мм, и соответствует давлению разрыхленного песка, весь-
ма медленно приближающемуся к нулю.
Из рассмотрения рис. 131 следует, что точку, отвечающую ак-
тивному давлению, можно наметить лишь очень условно, так как
вся кривая совершенно гладкая. Поэтому и само понятие активно-
го давления сыпучего тела как давления, происходящего в первое
мгновение процесса отодвигания
стены, или давления, соответ-
ствующего незначительному ее
смещению, будет чисто услов-
ным. Можно говорить лишь о
давлении сыпучего тела, нахо-
дящегося в данном состоянии,
при определенном перемещении
стены.
Опыты Яро польского пока-
зали также, что давление сы-
пучего тела на неподвижную
стену гораздо больше, чем то,
которое условно считается ак-
тивным.
188
Аналогичные опыты со стенкой высотой 2,18 м проведены
К. Терцаги и описаны Б. Б. Маркевичем. Этими опытами также
выявлено большое влияние плотности засыпки за стеной на давле-
ние.
4.	Опыты Г. П. Канканяна
В этих опытах1 2, поставленных в 1936 г., установка состояла из-
модели подпорной стены высотой 1,1 ми длиной 0,3 или 0,6 м, ко-
торая могла перемещаться вдоль лотка. Давления измеряли пье-
зометрическими динамометрами в четырех точках по высоте стены.
Кроме того, общее давление на стену определяли пружинным ди-
намометром. Опыты проводили иад мелким сухим песком с объем-
ной массой 1,6 т/м3 и углом естественного откоса 35°. Песок насы-
пали слоями по 10 см. Угол наклона поверхности песка за стеной
р менялся от —35 до -Ь35°, а угол наклона стены сс — от —20 до
+30° 30'. При перемещениях стены в сторону от засыпки на 10 мм.
в последней возникла ясно видимая поверхность скольжения, близ-
кая к плоскости, направление которой зависело от углов а, р и <р..
Опыты показали, что эпюры давлений криволинейные с наи-
большими ординатами около середины высоты стены и с нулевыми
ординатами у подошвы и что центр давления находится на расстоя-
нии 0,4—0,5 высоты стены от подошвы.
5.	Опыты В. И. Швея
Эти опыты® были проведены в 1938—1939 гг. методом центро-
бежного моделирования на моделях стенок с вертикальной задней
гранью. Высота моделей, равная глубине кареток центрифуги,
составляла 45 см при ширине 35 см. Средние секции моделей ши-
риной 6 см были сделаны подвижными. Для измерения давления
грунта на стену применено 42 аэростатических динамометра проф.
Г. И. Покровского, которые были распределены по двум стенкам
на десяти вертикалях и в восьми уровнях. Кроме того, применена
специальная аппаратура для регистрации давления на подвижную
часть подпорной стены в зависимости от ее перемещений. Все опы-
ты производились над мелким песком со следующими характерис-
тиками: объемная масса в сухом состоянии р = 1,73 т/м8, порис-
тость п = 35,29%, угол естественного откоса (р = 32°. В разных
сериях опытов песок укладывали за стенку сухим и с водой. Основ-
ным материалом для количественных выводов послужили пока-
зания индикаторов, так как показания динамометров давали боль-
шой разброс.
1 Канканян Г. П. Определение величины угла обрушения и давления
сухого песка на подпорную стену.—«Журнал технической физики», т. VII,
вып. 24, 1937.
2 Швей В. И. О давлении грунта иа подпорные стенки. — «Журнал
технической физики», т. X., вып. 7, 1940.
189
Эпюры давлений, построенные по показаниям индикаторов, по
форме близки к треугольной, но у самой подошвы ординаты их
резко уменьшаются.
Опыты выявили, что коэффициенты бокового давления песка
(~0,4) значительно выше подсчитанных по методу Кулона и близ-
ки к тем, которые соответствуют состоянию покоя.
Сравнение эпюр давлений, полученных для сухого и намы-
того песка при отводе воды до набора полного числа оборотов
центрифуги, показало их близкое совпадение; давление же намыто-
го песка при отводе воды во время центрифугирования оказалось
значительно большим. Опыты с намывом его при одном и том же
способе отвода воды привели к одинаковым результатам.
Опыты показали, что трение сухого песка по вертикальной под-
порной стене развивается почти полностью, трение мокрого песка
оказывается меньшим.
6.	Опыты Г. А. Дубровы
Эксперименты со стенкой высотой 0,68 м и с песчаной засыпкой
145] дали хорошую сходимость с теоретическими подсчетами по те-
ории предельного равновесия.
7.	Опыты Р. Г. Мелешкова
Измерения давлений песка с объемной массой 1,7 т/м3 и углом
внутреннего трения 36° на подпорную стенку высотой 1,17 м при
повороте ее вокруг верхнего ребра [87] показали, что поверхность
скольжения очерчена по логарифмической спирали, что эпюра дав-
лений криволинейная и что центр давлений находится на высоте
0,42—0,43 от полной высоты засыпки. Равнодействующая давле-
ний оказалась на 24% больше вычисленной по теории предельного
равновесия.
8.	Опыты М. Е. Кагана
Было измерено давление зерна на стены зерноскладов высотой
4,2 м [59]. Зерно имело объемную массу 0,78 т/м3 и угол внутренне-
го трения 26°. Установлено, что эпюры давлений имеют криволи-
нейную форму с максимальными ординатами на высоте около 0,3
от полной высоты засыпкн и с нулевыми ординатами у верха и
у подошвы. Центр давлений находился на высоте 0,37—0,43 от вы-
соты засыпки, а коэффициент давления был на 5—20% меньше,
чем по теории предельного равновесия.
9.	Опыты В. В. Синельникова
Для выявления характера поверхности скольжения в зависи-
мости от формы и значения перемещения задней грани подпорной
стенки были проведены лабораторные опыты со стенкой высотой
0,8 м и с условной сыпучей средой объемной массой 0,91 т/м3 и
190
углом внутреннего трения 32° и состоящей из множества алебаст-
ровых цилиндров диаметром I и 2 см при длине 3,5 см [109].
Другая серия опытов была проведена с песком объемной массой
1,55 т/м3 и углом внутреннего трения около 31°; песок засыпали
за стенку высотой 1,2 м.
Результаты опытов показали, что при поступательном переме-
щении стенки поверхность скольжения близка к плоскости, а при
повороте стенки относительно низа возникает несколько плоско-
стей скольжения, положение которых плохо согласуется с теорией
предельного равновесия Кулона. При повороте стенки относитель-
но ее верха выявить поверхность скольжения не удалось.
10.	Опыты Р. В. Лубеного и П. И. Яковлева
В Одесском институте инженеров морского флота проведено
более 600 опытов по определению давления засыпки и повторно
прикладываемой на ее поверхность нагрузки на неподвижную вер-
тикальную стенку высотой 109 см [79, 143]. Исследования показа-
ли, что и с пригрузкой, и без нее давление засыпки на неподвиж-
ную стенку на 60% больше, чем теоретическое активное давление.
Было обнаружено, что после приложения к поверхности засып-
ки временной нагрузки с последующей разгрузкой в засыпке со-
храняются большие остаточные давления, которые при повторных
нагружениях лишь незначительно увеличиваются по сравнению
с давлениями от первого нагружения. Опыты показали, что в раз-
рез с теорией предельного равновесия давление от равномерной
нагрузки, действующей на поверхность засыпки, не сохраняется
постоянным, а убывает с увеличением глубины. Эпюры давлений
оказались близкими к вычисленным по теории упругости.
Было также исследовано влияние поступательного перемеще-
ния стенки на давление засыпки.
Специальному изучению были подвергнуты стенки с разгрузоч-
ными площадками различной ширины и разным заглублением. Ус-
тановлено, что при смещениях стенки в засыпке образуется внут-
ренняя поверхность скольжения, направление которой зависит от
ширины площадки. Объем сыпучего тела, заключенный между
этой поверхностью скольжения, площадкой и стенкой, перемеща-
ется вместе со стенкой как одно целое, а взаимного перемещения
частиц в этом объеме не наблюдалось.
Положение внешней поверхности скольжения зависит от шири-
ны и заглубления площадки, что особенно заметно в верхней части
засыпки.
Установлено также, что вертикальное давление в засыпке, меж-
ду ее поверхностью и площадкой при перемещениях стенки, доста-
точных для возникновения состояния предельного равновесия,
значительно меньше, чем давление от массы вышележащей за-
сыпки и нагрузки.
Опытные эпюры давлений на участок стенки, находящейся ни-
же площадки, имели криволинейное очертание.
191
11.	Опыты 3. В. Цагарели
Для исследования давления грунта на подпорные стены на-
турных размеров в Грузинском политехническом институте имени
В. И. Ленина были созданы две крупногабаритные установки с раз-
личными очертаниями задней грани подпорной стены высотой 4 м
1133, 134]. Одна установка имела ширину 1,2 м, а другая 3,6 м.
Чтобы выявить значение и характер распределения давления
грунта, через каждые 40 см по высоте стены были установлены
мессдозы с датчиками сопротивления.
В качестве сыпучего тела применялся крупный морской песок
р = 1,8 т/м3 с углом внутреннего трения 37°. Таким же был и угол
естественного откоса.
Наибольшее число экспериментов было проведено на стенках
с вертикальной задней гранью и горизонтальной поверхностью за-
сыпки; подвергались исследованию и стены с задней гранью, накло-
ненной в сторону засыпки, а также стены с горизонтальной и на-
клонной разгрузочными площадками.
3.	В. Цагарели исследовал форму поверхности скольжения,
возникающую в засыпке в состоянии предельного равновесия, ха-
рактер распределения давления по высоте стены, а также значения
горизонтальной и вертикальной составляющих давления засыпки
при различных перемещениях стены.
Установлено, что поверхности скольжения во всех случаях кри-
волинейные, эпюры нормальных составляющих давлений также
криволинейные с нулевыми ординатами у верха и у подошвы стен-
ки и с центром давления на высоте в среднем 0,42 от ее полной вы-
соты.
Характерные формы экспериментальных поверхностей сколь-
жения и эпюр давлений показаны на рис. 132 сплошными линиями,
а теоретические по решению Кулона — штриховыми. Угол откло-
нения давления от нормали к ог-
раждению оказался равным углу
внутреннего трения при шерохо-
ватой поверхности стенки и
этого угла при гладкой.
Для стенок с разгружающи-
ми площадками, пересекающими
поверхность скольжения, давле-
ние на верхний и нижний участки
оказывается независимым. Если
же площадка не доходит до по-
верхности скольжения, то послед-
няя мало отличается от той, ко-
торая получается при отсутствии
площадки.
192
12.	Эксперименты Р. М. Фильрозе
Проведенные под руководством Л. М. Емельянова эксперимен-
ты с моделями подпорных стен высотой 4,25 м в условиях, близких
к натурным, показали, что когда степа имеет возможность откло-
ниться от засыпки, боковое давление близко к давлению по теории
предельного равновесия [1251.
В случае когда из-за большой ширины стены (3,5 м) ее переме-
щения малы, эпюра давлений имела криволинейную форму с мак-
симальной ординатой, расположенной около середины высоты
засыпкн и в 2—2,5 раза превышающей расчетную по теории пре-
дельного равновесия. Вертикальные составляющие давлений в за-
сыпке у стен оказались в 1,5—2 раза меньше гравитационного дав-
ления.
13.	Исследования Гидропроекта
Результаты многолетних натурных измерений давления песча-
ных грунтов на стены камер шлюзов волжских ГЭС имени
В. И. Ленина и имени XXII съезда КПСС и Воткинской ГЭС пока-
зали, что равнодействующие давлений значительно превосходили
расчетные значения, найденные по теории предельного равновесия
[14, 56]. На шлюзах волжских ГЭС наблюдалось превышение
в 3 раза, а на Воткинской — почти в 2 раза. Давления оказались
даже выше тех, которые соответствуют состоянию покоя при коэф-
фициенте бокового давления 0,45. Ординаты криволинейных эпюр
давлений грунта возрастали с увеличением глубины до некоторо-
го уровня и понижались почти до нуля у основания стен. Центры
давлений находились на высоте 0,36—0,45 от полной высоты за-
сыпки.
Кроме постепенного нарастания давлений в течение ряда лет,
давление понижалось в зимние периоды и изменялось при колеба-
ниях температуры и уровня воды в камерах шлюзов. По мере напол-
нения камер давление грунта на верхние участки стен возрастало,
а на нижнне — несколько снижалось.
14.	Эксперименты В. Т. Бугаева
В Одесском институте инженеров морского флота под руковод-
ством Ф. М. Шихиева [111 были проведены лабораторные опыты
в лотке с моделью жесткой подпорной стенки высотой 1 м и длиной
1,2 м и полунатурные опыты с подпорной стенкой из бетонных бло-
ков высотой 1 м и длиной 2 м. Кроме того, в Феодосийском порту
исследована работа подпорной стенки набережной уголкового про-
филя высотой 6,4 м.
На рис. 133, а показаны эпюры давлений, полученные при при-
нудительном поступательном горизонтальном перемещении стен-
ки, а на рнс. 133, б — при повороте ее вокруг нижнего ребра. На
7 Зак. 1169
193
обоих рисунках опытные кривые 1
получены при перемещениях стенки
после засыпки пазухи за ней на всю
высоту. Кривая 2 также получена
экспериментально, но уже при пере-
мещениях, которые придавались стен-
ке после засыпки каждого слоя тол-
щиной до 20 см. Кривая 3 построена
расчетом по методу Кулона.
Результаты опытов показали, что
эпюра давлений песка на стенку,
смещающуюся после завершения засыпки пазухи, заметно отли-
чается от эпюры давлений на стейку, смещающуюся в процессе за-
сыпки. Во втором случае в верхней части засыпки возникала об-
ласть допредельного напряженного состояния, в которой концент-
рировались давления.
К таким же результатам привели и полунатурные опыты с пес-
ком средней крупности (р = 1,7 т/м3, ф = 3"5°). Давление засыпки
измеряли гидравлическими датчиками, установленными по оси стен-
ки через 35 см по высоте, а перемещения контролировали механи-
ческими индикаторами. Давление засыпки измеряли после отсып-
ки каждого слоя и прекращения перемещений.
На рис. 134 показаны полученные В. Т. Бугаевым эпюры дав-
ления засыпки (кривые 1) и эпюра давления засыпки при действии
на ее поверхности равномерно распределенной нагрузки ин-
тенсивностью 12 кПа (кривая 2). На этом же рисунке нанесены
прямые 5, построенные по Кулону.
Было установлено, что наибольшие перемещения стенки про-
исходили в начальный период засыпки грунта, а к окончанию ее
перемещения практически затухали.
194
Чтобы выявить влияние податливости основания, проведены
три серии опытов. В опытах первой серии стенка была установле-
на на бетонное покрытие толщиной 17 см, а в опытах второй и треть-
ей серий — на песчаных подушках толщиной 30 и 50 см.
В опытах первой серии сила давления грунта оказалась на 62%
больше, чем по теории Кулона, в опытах второй и третьей серий —
на 25%. Значения равнодействующих давлений с точностью до 5%
сходились с результатами расчета по методике, рассмотренной в §45.
В натурных исследованиях уголковой подпорной стенки набе-
режной железобетонные контрфорсные блоки высотой 6,4 м были
установлены на каменную постель толщиной 1,7 м, в основании
которой залегали илистые и мелкие пески мощностью слоя 4,5—6 м.
За стенкой отсыпали камень крупностью 15—30 см (р = 1,4 т/м3,
<р = 45°) и песчаиый грунт (р = 1,7 т/м3, <р = 30°).
Установлено, что в начальный период засыпкн пазухи за под-
порной стенкой эпюра бокового давления близка к треуголь-
ной, но давления примерно в 1,5 раза превышают расчетные по те-
ории предельного равновесия. По мере увеличения высоты засыпки
эпюры давлений искривлялись. При этом давления на верхнюю
часть стенки оказываются в 2—2,5 раза больше, чем по теории
предельного равновесия, а на нижнюю часть стенки — на 20—30%.
Горизонтальные перемещения в период строительства достигли
«70% полных перемещений.
15.	Опыты Б. Л. Тарасова
Исследовано давление суглинистого грунта на неподвижную
и смещаемую подпорную стену высотой 194 см [119]. Установлено,
что боковое давление на неподвижную стену значительно больше
активного давления и зависит от степени уплотнения и способа
укладки грунта за стеной. Давление иа неподвижную стену рас-
пределено по ее высоте по линейному закону, за исключением ниж-
него участка, на котором происходит уменьшение давлений. Центр
давления находился на высоте около 0,36 от полной высоты
засыпки.
Незначительные перемещения стены (0,5—1 мм) вызывали рез-
кое уменьшение и перераспределение давлений по высоте. В слу-
чае поступательного перемещения и крена стены в сторону от за-
сыпки эпюра давлений приобретала вогнутую форму с понижением
центра давлений.
16.	Опыты В. Д. Савельева
Пассивное давление песчаного грунта на жесткую стенку при
различных очертаниях свободной поверхности засыпки было иссле-
довано 1 в лотке высотой 2 м, шириной 1,5 и длиной 4,5 м со стек-
1 Савельев В. Д. Некоторые результаты экспериментального исследова-
ния пассивного давления грунта на жесткую стейку, расположенную на
откосе. Одесский ин-т инженеров морского флота. Морские порты. Научные
труды, вып. 5. М., 1972.
7*
195
РИС. 135
лянными боковыми стенками, на ко-
торых была нанесена сетка. Такая же
сетка в песке позволяла получить
картину перемещений в процессе вы-
пирания грунта. Напряжения на по-
верхности стенки измеряли с помо-
щью проволочных датчиков сопро-
тивления.
В результате опытов установлено,
что при поступательном перемещении
стенки и при повороте ее вокруг
верхнего ребра эпюры давлений име-
ют вид вогнутых кривых с резким уве-
личением ординат к подошве (рис.
135). Сила пассивного давления ока-
залась примерно на 25 % меньше, чем
при треугольной эпюре.
При повороте вокруг нижнего
ребра эпюры давлений оказывались
выпуклыми с постепенно уменьшающимися книзу ординатами,
а сила пассивного давления оказалась больше, чем по клас-
сической теории; это увеличение достигает 45% и более в зависи-
мости от очертания свободной поверхности засыпки. При любом
очертании свободной поверхности засыпки и независимо от харак-
тера перемещения стенки сыпучее тело выпирало по криволиней-
ной поверхности скольжения, а области предельного напряженного
состояния возникали не во всей выпирающей призме, а лишь
в некоторых ее частях.
Большинство рассмотренных здесь экспериментальных иссле-
дований, а также некоторые другие свидетельствуют о том, что дав-
ление сыпучего тела на практически неподвижные стены может
быть значительно больше того, которое получается в расчетах по
теории предельного равновесия. Отсюда следует, что давления за-
висят от кинематических условий, в которых работают подпор-
ные стены, т. е. от их перемещений, совместных с перемещениями
засыпки и основания. У стен камер шлюзов эти перемещения зави-
сят еще и от колебаний уровня воды в камере, и от изменений тем-
ператур воздуха, воды и грунта.
В большинстве опытов давления уменьшались к основанию
стены, что противоречит не только приближенной теории предель-
ного равновесия Кулона, но и строгой теории В. В. Соколовского,
что требует объяснения. Причин для уменьшения давлений иа ниж-
ние части стен может быть несколько.
Во-первых, сказывается влияние основания, на которое уложе-
на обратная засыпка и которое благодаря силам треиия и сцеп-
196
лення препятствует перемещениям нижних слоев этой засыпки
[55].
Во-вторых, снижение давления на нижнюю часть подпорной
стены может произойти вследствие влияния сил трения и сцепле-
ния между сползающей частью засыпки и остающейся под ней не-
подвижной массой сыпучего тела. Это влияние особенно значитель-
но для нижней части сползающей призмы, которая здесь имеет ми-
нимальную ширину. Идентичные решения, учитывающие этот фак-
тор, даны в работах [140 и 58].
В-третьих, снижение давлений на нижнем участке стены может
быть объяснено возникновением здесь перемещений в сторону от
засыпки при навале верхней части стены на засыпку [56] и [129].
В-четвертых, как показано в работе [109], снижение давлений
на нижнюю часть стены может произойти из-за влияния боковых
стенок, которые присущи всем опытам в лотке, а также подпорным
стенам ограниченной длины, когда сказывается эффект зависания
засыпки у стенок или у соседних масс грунта, находящихся
в покое.
Могут быть и другие причины, также имеющие кинематичес-
кий характер. Поэтому актуальнейшей задачей является дальней-
шая разработка кинематической теории сыпучих тел, которой уже
посвящены работы [8, 11, 12, 16, 18, 20, 32, 45, 65, 80, 102, 111, 112,
125, 129, 141 и др.].
Глава VIII
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ СЫПУЧЕГО ТЕЛА
С ЗАГЛУБЛЕННЫМИ СТЕНАМИ
§ 47. НЕЗААНКЕРЕННЫЕ ТОНКИЕ СТЕНКИ
Стена называется заглубленной, если устойчивость ее обеспе-
чивается в основном не собственной массой, а сопротивлением ос-
нования, в которое она заглублена.
Если толщина стенки мала по сравнению с высотой, то ее отно-
сят к категории тонких и рассматривают в качестве стержня, пре-
небрегая сопротивлением основания по подошве и собственной
массой.
Опыты Н. В. Лалетина и других исследователей показали, что
верхний свободный конец степы при действии на него горизон-
тальной силы Р отклоняется в сторону действия силы вследствие
поворота стены вокруг некоторой точки С, лежащей на глубине zc
от поверхности основания (рис. 136), а также из-за деформации из-
гиба стены, работающей как упругий стержень. На защемленную
часть стены высотой h2 действует реакция основания противо-
положного направления на участках ВС и CD. На этих же участках
с обратной стороны стены действует и активнее давление сыпучего
197
РИС. 136
тела, направленное в сторо-
ну, противоположную дейст-
вию отпора на данном участке.
Эпюра реакций основания
при возрастании силы .Р по-
следовательно проходит ста-
дии, показанные на рис. 136.
Пройдя чисто упругую ста-
дию, конец которой показан
на рис. 136, а, реактивные
рис 137	давления достигают характер-
ной упруго-пластической ста-
дии (рис. 136, б). Для упрощения кривую, соответствующую упругой
реакции, на переходном участке часто заменяют прямой, показан-
ной на рисунке штриховой линией. Несущая способность основа-
ния тонкой стенки оказывается полностью исчерпанной при до-
стижении эпюрой реакции формы, показанной на рис. 136, в, кото-
рую иногда для упрощения заменяют эпюрой, изображенной на
рис. 136, г.
В основу расчета может быть положена любая из этих четырех
эпюр, первая из которых соответствует концу упругой стадии со-
противления основания у поверхности, а две последние — дости-
жению им состояния предельного равновесия по всей глубине за-
делки стены. Эпюра, показанная на рис. 136, б, соответствует
промежуточному состоянию, когда давления достигли предельного
значения не только в верхней части эпюры, но и в нижней.
Для вывода расчетных формул используем показанную иа
рис. 128, а упрощенную диаграмму зависимости между давлениями
на сыпучее тело и его перемещениями и допущение о возрастании
коэффициента постели основания с глубиной по линейному закону,
как это принято в § 45 и в большинстве существующих методов рас-
чета шпунтовых ограждений, а также в СН 200-62 для расчета
опор глубокого заложения.
Рассмотрим случай, когда тонкая стенка поддерживает верти-
кальный откос котлована или иасыпи (рис. 137, а). Будем исходить
198
из того, что при отсутствии перемещений стенки на нее с обеих
сторон действует давление связного сыпучего тела в состоянии
покоя, которое со стороны насыпн при перемещении стенки в про-
тивоположную сторону снижается до значения активного дав-
ления и с учетом сцепления действует по высоте
<81>
где у = р g, <р — угол внутреннего трения, с — удельное сцепление.
На глубине от вершины треугольной эпюрьг'актавно^давле-
?z1=Vz1Xa,
где
Ха=1Е2(л/4_ф/2).	(8.9)
Со стороны основания на глубине z давление возрастает из-за
линейного горизонтального перемещения А и угла крена 6 до зна-
чения
z-j-kAz+kQ z (h2—z).	(8.3)
Здесь k — параметр, характеризующий возрастание коэффициента постели
с глубиной, расчетные значания которого указаны в § 45.
Положение центра вращения (точка С на рис. 137) определяется
из условия, что реакция основания на этом уровне, выражаемая
двумя последними слагаемыми формулы (8.3), равна нулю.
Отсюда
zc=h2+&ie.	(8.4)
Прн этом 2с < 7г2, так как значение А получается отрицатель-
ным.
Давление, выражаемое формулой (8.3), нигде не может превы-
сить значения пассивного сопротивления основания, которое без
учета сцепления равно:
Qn,z =	>	(8.5)
где
Xn=l/Xa=tg2(rt/4+<₽/2).
Сцепление можно учесть отдельно как равномерную нагрузку
по всей высоте области пассивного сопротивления основания с ин-
тенсивностью
qc=2с tg (л/44-<р/2).
Таким образом, при работе основания в упруго-пластической
стадии часть эпюры реакций, расположенная выше точки £, сов-
падает с эпюрой пассивного давления сыпучего тела. Чтобы уста-
новить зависимость между координатой zE и глубиной забивки йа,
приравняем значение давления в точке Е из уравнения (8.3) при
199
z = Ze соответствующему пассивному давлению по формуле
(8.5). При этом для упрощения выводов и в небольшой запас в пер-
вом слагаемом (8.3) заменим коэффициент давления состояния по-
коя А() коэффициентом Ха. Сделав это и обозначив л = Хп — ла,
получим формулу, выражающую требуемую глубину забивки в за-
висимости от Ze, А и 0:
(8.6)
Концу упругой стадии работы основания соответствует появле-
ние пластических деформаций только у самой его поверхности, т. е.
при ze = 0.
Если исходить из предельного состояния, соответствующего
случаю, показанному на рис. 136, б, то давление у подошвы
стенки со стороны откоса не должно превышать пассивного сопро-
тивления, которое в данном случае считается отрицательным, так
как действует с обратной стороны. Приравнивая выражение (8.3)
при z = hz к yXn Н, получим
Для определения неизвестных перемещений А и 0 рассмотрим
стенку с основанием как единую статически неопределимую сис-
тему, к которой применим метод перемещений с переходом
к основной системе, показанной на рис. 137, б. Направления неиз-
вестных Л и 6, изображенные на этом рисунке, будем считать поло-
жительными.
Система из двух канонических уравнений метода перемещений,
выражающая условие отсутствия суммарных реакций введенных
связей по направлению искомых неизвестных, имеет такой же вид,
как уравнение (7.33).
Умноженные на 6 силовые реакции по направлению перемеще-
ния А от единичных перемещений А и 0 находят интегрированием
соответствующих членов выражения (8.3) в пределах упругой час-
ти эпюры реактивных давлений, т. е. от Ze до /г2:
ЛЛ = 6/г1 гйг = 3/г(Л| — zj);
гЕ
(8.8)
_ __
'д0 = гЛ0“6/г 1 z)rfz=A(/iJ—3/1г?£+2г1);	(8.9)
ZE
*2
r00 = 6*$ z^—z)2dz = fc(-y —3/i|z^+4/isz|------~z‘).	(8-10)
200
При определении моментных реакций по направлению переме-
щения О подынтегральные значения силовых реакций предвари-
тельно умножены на плечо элементарной силы относительно подош-
вы стенки Л2 — z.
В свободные члены уравнений входят значения: активного дав-
ления засыпки со стороны насыпи, уменьшенное из-за наличия
сцепления; первоначального давления на стенку грунта основания
в пределах упругой части эпюры реакций, которое ввиду своей ма-
лости заменяется значением активного давления между точками
D и Е; пассивного сопротивления основания между точками В и Е
с учетом сцепления. Активное давление со стороны насыпи прини-
мается до подошвы стенки исходя из того, что ниже точки С пер-
воначальное давление мало отличается от активного по сравнению
с пассивным сопротивлением. Кроме того, участок CD очень неве-
лик и главное непосредственно примыкает к точке вращения.
При рассмотрении предельного состояния по рис. 136, б ограни-
чим реактивное давление в точке D значением уХ Н, которое вместе
с учтенным активным давлением дает требуемое значение
Если учитывать активное давление только выше точки С, то в этом
сечении на суммарной эпюре давлений появится ничем не оправ-
данный уступ.
Умноженные на 6 свободные члены уравнений выражаются фор-
мулами:
Ядо-3? [Ха (fcl-A2)+Ml+67cz£;	(8.11)
Яео= у [Ха (hl -h*)+1 (ЗЛ2—2z£) Z>1 +3gc (2йг-zE) zE.	(8.12)
Уравнения (7.33), (8.6), (8.7) содержат четыре неизвестных Д,
0, Ze и Л2, которые можно найти, решая эти уравнения совместно.
Если исходить из предельного состояния, соответствующего
концу чисто упругой стадии работы основания, то нужно принять
Ze = 0, и тогда для определения Д, 6 и h2 достаточно уравнений
(8.6) и (7.33).
Чтобы определить Д и 0 при работе стенки в упругой стадии при
заданной глубине заложения Л2, достаточно всего двух уравнений
(7.33), а при работе стенки в упруго-пластической стадии необхо-
димо еще уравнение (8.6), позволяющее определить zE.
Исходя из предельного состояния, соответствующего концу уп-
ругой стадии работы основания, и не учитывая сцепления, из реше-
ния канонических уравнений (7.33) можно получить простые выра-
жения для перемещений:
Л = —-^^(йо+З);	(8.13)
К
(в-м)
где

201
Подставляя эти выражения в формулу (8.6) при Ze — 0 и про-
изведя некоторые сокращения, получим
4<o3-j-9ci)2-j-6<o=Xn—1.	(8.15)
По этому уравнению построен график (рис. 138, кривая /) для
определения требуемой глубины hz в зависимости от заданных зна-
чений и угла внутреннего трения <р грунта. Этой кривой следует
пользоваться при?расчете очень ответственных сооружений, для
которых недопустимы остаточные перемещения.
Если исходить, как это обычно делается, из другого предельно-
го состояния по прочности основания, соответствующего эпюре
на рис. 136, б, то нужно совместно решить систему уравнений
(8.6), (8.7) и (7.33). Из их решения для случая с = О на рис. 138
построена кривая 2, по которой требуемое заглубление стенки мень-
ше, чем по кривой 1.
Полному исчерпанию несущей способности основания соответ-
ствует эпюра рис. 136, в. Для этого предельного состояния, при
котором в основании как бы возникает пластический шарнир, ре-
шение может быть получено непосредственно из двух уравнений
равновесия, которые позволяют найти Zc и hz. Перемещения же мо-
гут при этом неограниченно возрастать. Кривая, построенная та-
ким способом, без учета сцепления, практически совпадает с кри-
вой 2 на рис. 138, а также с кривой, построенной на основе строгого
решения В. В. Соколовского. Это подтверждает правомерность
предлагаемых приближенных решений и позволяет оценить часто
применяемую на практике еще более упрощенную схему по
рис. 136, а. Составив для этого случая уравнение моментов относи-
тельно точки D и решив его, получим
12
(8.16)
Построенная по этому уравнению кривая 5 проходит несколько
ниже кривой 2 (см. рис. 138).
Чтобы рассчитать и а прочность непосредственно стенку, необ-
ходимо определить ее наибольший изгибающий момент, предвари-
тельно составив выражение поперечной силы в сечении г0 и прирав-
няв его нулю.
Для упругой стадии сопротивления основания при отсутствии
сцепления
Me.(3ft2_2zii)=0.
2	2	2	6	1	7
Отсюда можно найти
„ TMAi+zo)»	Vх», » /я 17»
=-----ё------------------------(8.17)
202
РИС. 138
J 1U W ZU Zt> Ли ЛЬ Wf
РИС. 139
Если область пластических де-
формаций основания настолько раз-
вита, что Ze z0, то
Отсюда:
„	(61+ zo)2   Т^п zo
Qzo— 2	2
Zo—Л1/(^п 1);
yftf Xn
(8.18)
(8.19)
УсловиеZe> z0 для условной упруго-пластической (рис. 136, б),
а тем более для предельной стадии всегда соблюдается.
Для расчета стенки по второму предельному состоянию — по
деформациям необходимо определить^, горизонтальное перемеще-
ние верха стенки
h=A+we=t-|-.
R
(8.20)
При с = 0 для конца упругой стадии при подстановке в формулу
(8.20) значений Л и 0 из выражений (8.13) и (8.14) коэффициент
Г=А$ + 6^02(1 4-€0)2.	(8.21)
Значения коэффициента f для упруго-пластической стадии по
рнс. 136, б можно определить исходя нз значений Л и 0.
На рис. 139 приведены значения коэффициента f для разных от-
ношений hjh^ и для углов внутреннего трения грунта <р = 15...45°.
На этом графике две штриховые линии отделяют области упругой,
упруго-пластической и пластической работы основания. При этом
конец упруго-пластической стадии практически совпадает с дости-
жением предельного напряженного состояния в точке D.
При тех значениях угла <р, которым соответствуют небольшие
по условию прочности основания глубины заложения стенкн, ин-
тенсивное возрастание перемещения наступает уже в конце упру-
гой стадии работы основания и главенствующее значение приобре-
203
тает расчет по второму предельному состоянию. Кроме горизон-
тального перемещения стенки, рассматриваемой как абсолютно
жесткой, необходимо еще определить перемещение, связаннее
с упругой деформацией изгиба стенки.
При расчете стенки на устойчивость и прочность нужно ис-
ходить из расчетного значения угла внутреннего трения грунта,
•а расчет по деформациям вести исходя из нормативного значения.
Пример 25. Проверить достаточность глубины забивки и прочность де-
ревянной шпунтовой стенки толщиной d = 10 см, если hi = 2 м, h2 = 2 м,
у = 18 кН/м3» <р — 30°.
Коэффициенты активного давления, пассивного сопротивления и их раз-
ность: Ха = 0,333; Хп = 3; 1 = 2,667.
По графику рис. 138, кривая 2, находим h.Jhi = 1. Таким образом, за-
данная глубина забивки h2 = fti = 2 м достаточна. Наибольший изгибающий
момент действует от поверхности земли иа глубине
Zo=M(Xn-l) = 2/(3-l)=l м.
На 1 м длины стенки в плане действует изгибающий момент
Л1,пах—
yhi
6(КО—1)»
18-28-3
6(3—1)2
= 18 кН-м.
Момент сопротивления горизонтального сечеиия стенки на I м ее длины
в плане
17 = (&d2)/6=(l -0,12)/6 = 0,00167 мз.
Нормальные напряжения в шпунте от изгиба
18/0,00167 = 10 800 кПа<Яя= >20 кгс/см2» 12000 кПа.
Пример 26. Определить требуемую глубину забивки, подобрать сечеиие
н проверить прогиб стального шпунта, поддерживающего насыпь высотой
/ir = 3,2 м, если нормативные объемная масса и угол внутреннего трения пес-
чаного грунта средней крупности р = 1,9 т/м3 и фн — 36°, а параметр, харак-
теризующий возрастание коэффициента постели с глубиной k = 5000 кН/м4»
Принимая расчетный угол виутреинего трення грунта на 2° меньше нор-
мативного, т. е. ф = 34°, по кривой 2 рис. 138 найдем = 0,8. Отсюда
h2 = 0,8 • 3,2 = 2,56 м.
Расчетный изгибающий момент действует иа глубине
zQ=/i1/(Zn—1)=3,2/(3,55—1)--1,25 м
и составляет на 1 м длины ограждения
Мтах—
19-3,28.3,55
6(*п-1)2=3 6(3,55—1)2'
кН-м.
Требуемый момент сопротивления иа 1 м длины ограждения при расчет-
ном сопротивлении иа изгиб стали = 1200 кгс/см9 «210 000 кПа
»?=Л1/пях//?и=56,6-1003/210000=284 см3.
Принят стальной шпунт корытного профиля типа ШК-2 шириной 40 см,
у которого момент сопротивления на 1 м длины составляет 285 см3.
Чтобы определить перемещение верха стенки, исходим из нормативного
значения угла внутреннего трения грунта ф” = 36°, значения £=5000 кН/м4,
момента инерции поперечного сечеиия одной сваи /1=730 см4 и модуля упру-
гости стали £=2,1 • 10е кгс/см2 «2,1 . 10е кПа. При этом основание
еще ие достигнет стадии сопротивления, показанной на рис. 136, б. Чтобы
204
определить горизонтальное перемещение верха стеики по графику рис. 139
для h2/ht = 0,8 и для <ри = 36°, находим / = 15. Тогда
=	= 15(19/Г>000)=0,057 м=5,7 см.
К
К этому нужно прибавить упругий прогиб самой стенки, который приближен-
но можно принять равным прогибу ее надземной части.
„ vla 19-0,259-3,25-10е
/а= 1оЁГ= зо-а, ь io".73o.2,5=0'OMS M=I’45
Полное горизонтальное перемещение f = 5,7 -Ь 1,45 = 7,15 см, т. е. 1/4я
часть высоты надземной части стенки. Это говорит о важности расчета по вто-
рому предельному состоянию незаанкеренных стенок и о нецелесообразности
их устройства при высоких насыпях или откосах.
И. В. Урбан 1 пришел к выводу, что расчет шпунтовой стенки
как бесконечно жесткой приводит к преувеличению требуемой глу-
бины ее погружения и расчетного изгибающего момента, по кото-
рому подбирается сечение стенки. Он пришел также к выводу о не-
обоснованности определения требуемой глубины забивки шпунта
исходя из максимального давления, возникающего у нижнего кон-
ца стенки. По его мнению, несущая способность стенки определяет-
ся ее прочностью исходя из предельной треугольной эпюры напря-
жений, возникающей в верхней части стенки, т. е. из предельного
состояния (см. рис. 136, п).
Этот вывод представляется недостаточно убедительным, так как
он основан на недопустимости расчета, учитывающего развитие
пластических деформаций, и, кроме того, он сделан с учетом пред-
ставления о том, что коэффициент постели грунта у поверхности
равен нулю. В действительности же он имеет здесь некоторое конеч-
ное значение.
§ 48. МАССИВНЫЕ СТЕНЫ ГЛУБОКОГО ЗАЛОЖЕНИЯ
1. Расчет в упругой стадии
сопротивления основания
Такие стены (рис. 140) можно рассчитать исходя из тех же до-
пущений, которые приняты при расчете тонких незаанкеренных
стенок с дополнительным учетом сопротивления основания по по-
дошве стены.
В этом случае к двум уравнениям (7.33) метода перемещений
добавляется третье (независимое от двух первых)
rsss-|-/?so=O»
где s — вертикальная осадка по осн сооружения;
rss=kb‘, Rso~—N.
1 Урбан И. В. Расчет тонких стеиок с учетом упругих свойств грунта
и стенки. — «Труды МИИТ», выл. 55, 1939.
(8.22)
205
Коэффициенты уравнений (7.33) при неизвестных для упру-
гой стадии работы основания получаются из формул (8.8) — (8.10)
в результате деления результатов на 6; при Ze = 0:
ЛЛз . r r _"kh* .
гдд---2~• где—гед---g— »
'•ее=4(*л4+ №)-
Второе слагаемое (в скобках) последнего выражения учитывает
реакцию основания по подошве стены.
Свободные члены уравнений:
/?д0------Q: RqQ---------
Неизвестные перемещения s, А и 6 находят, совместно решая
уравнения (8.22) и (7.33). Неизвестные выражают формулами:
а)
РИС. 140
206
2Q _ 4Л (2Q/z-f-ЗЖ)
^hb
„	12(2(2Л4-ЗМ)
6 =-------------.
С помощью этих формул можно опре-
делить напряжения по подошве и по бо-
ковым граням стены. Краевые напряже-
ния по подошве стены составляют:
2V 6b (2Qh^3M)
cmin~ l	т-
mox	ЗЬЧ-_— Л4
k
(8.26)
Реактивное давление основания в лю-
бой точке боковой грани на глубине г от
поверхности
ft=fez[A+6(fc-Z)].
(8.27)
Горизонтальное давление у низа стены найдем, приняв z = Л,
4—Л2(<Э/Н-ЗМ)
«7д=-------Z-----.	(8.28)
з&34--?Ц4
К
Положение центра вращения С определяют из условия, что го-
ризонтальная реакция основания на этом уровне равна нулю. При-
равняв нулю выражение (8.27), после преобразований получим
ь
2
-----------FC	(8'29>
6_ф+з-)
Нагрузки, соответствующие концу упругой стадии сопротив-
ления основания, определяют из условия, что касательная к эпю-
ре реакций у поверхности основания совпадает с предельной пря-
мой, определяемой угловым коэффициентом
mnp=^+-v [,е(т+"2')_‘®(^“_Т)]1	(8-30)
где с0 — удельное сцепление на уровне подошвы стены.
Дифференцируя выражение (8.27) по zt получим уравнение ка-
сательной
m=(dqj/(dz)=k [Д-|-в (h—2г)].	(8.31)
Приняв а = 0, имеем
/ив=/г(А-}-Л6).
Подставив вместо тв значение /лпп, а вместо Л его выражение
по формуле (8.24), придем к уравнению для определения Q и Л4, со-
ответствующих концу упругого сопротивления основания и при-
нимаемых в качестве допустимых
20	А(2(2Л+3;И)
+	-	~тпр •	(8.32)
3W4--T- Л4
k
При этом напряжения по подошве стены и наибольшее напря-
жение по вертикальной грани, определяемое по формулам (8.26) и
(8.28), не должны выходить за допустимые пределы.
207
В частном случае тонкой заглубленной стены можно принять
b = 0 и N = 0. Тогда из формул (8.29) и (8.32):
4V+3ft
*с=*--------(8.33)
6—+4А
6 / м \
^"(3<3+4~}=/”п₽- (8-34>
2. Расчет по предельной стадии
сопротивления основания
В основу определения предельных нагрузок С. Е. Кудриным1
положена расчетная схема, показанная на рис. 141. При этом силы
трения в состоянии предельного равновесия приняты равными со-
ответствующим равнодействующим нормального давления, умно-
женным на коэффициент трения f0 между стенкой и основанием,
т. е.:
Т1— 2
Т2— 2 /отпр(62 zc)’

где V — равнодействующая реакции основания по подошве стены.
Для плеча этой силы принято предельное значение х0 = 0,46.
Уравнения равновесия:
ZZ=Nw— 7'i+Т2-V= 0;
2Л=<2пр-тар + -^(»-zJ)+T.=0:
2МД—QnpH-Afnp—-«пр g з zcj+ ” — ' “	(А_~_з"гС
b b
1 Кудрин С. М. Устойчивость опор в грунтах ОНТИ НКТП СССР. Глав-
ная редакция энергетической литературы, 1936.
208
РИС. 141
В этих трех уравнениях
содержатся пять неизвестных
Nпр> Qnp. ^^пр»	При
этом внешние силы оказы-
ваются связанными соотно-
шением
M/Qh
РИС. 142
Мпр+Фпр Л-F/o	(— П₽- -|- h'j—
\ Чпр /
_(1 + Ыф(^)2-.](^+й)^0.	(8.35)
Координата центра вращения стены определяется из решения
уравнения третьей степени
-1 '•(£.+') (!•+^)+“- <•»>
Если для тонкой заглубленной стенки считать b = О, N = О
и не учитывать сил трения из-за малости их плеча, то формулы
(8.35) и (8.36) будут иметь вид:
Qnp—Мпр ( z'fr——) j	(8.37)
4гс+6-^гС-»!(з-^Е-+2л)=0.	(8.38)
чпр	\ Чпр /
Так как этот метод расчета относится к предельным нагрузкам,
то при практическом его использовании должен быть обеспечен ко-
эффициент устойчивости не менее 2.
Положение центра вращения стены, а следовательно, и предель-
ная нагрузка по формуле (8.37) зависят от отношения Mavl(QaJ)h).
На рис. 142 (кривая 1) дан график для определения отношения
209
zclh, с помощью которого легко найти положение центра вращения,
а затем и предельную нагрузку QnJJ по формуле (8.37).
Для сравнения на этот же график нанесена кривая 2, позволяю-
щая найти положение центра вращения тонкой стенки при работе
-основания в упругой стадии.
§ 49.	ЗААНКЕРЕННЫЕ ТОНКИЕ СТЕНКИ
Расчет таких стеиок (рис. 143, а) может быть выполнен на осно-
ве тех же допущений, которые приняты для расчета безанкерных
стенок. Кроме того, перемещения анкерной плиты и деформации
анкерной тяги не учитываются. Тогда в качестве неизвестного ос-
тается только значение А горизонтального перемещения, подошвы
-стенки, которое определяется из уравнения метода перемещений
[^A+^=0.	(8.39)
Увеличенные в 6 раз реакции основной системы (рис. 143, б) вы-
ражаются формулами:
- h2	_
Gk с
= ip' 1 (^i+z)dz=-—— (Ла—гЕ)(2Лх-|-ЛаЧ-г£);	(8.40)
+ J	«1~Г «3
гЕ
R&p= , I Р 1Л'2 (Л—2*х—2Лж)+Л? (ЗЛ14-2Л2) +
+ z|M3Ai-|-2z£)-b6?cz£].	(8.41)
Чтобы найти глубину ze, нужно составить еще одно уравнение,
выражающее условие, что давление qE достигает значения пассив-
РИС. 143
210
кого сопротивления сыпучего тела. Прн с = О
4е= уХа zE k гЕ А	= уХп z£.
Л1+«2
Отсюда
vX
г£=-^-(й1-|-А£)-й1.	(8.42)
Конец чисто упругой стадии сопротивления сыпучего тела в ос-
новании стенки определяется условием, что прн
которое приводит к уравнению
Л/(Л1+Ла)=Х/(ЛА).	(8.43)
При полном исчерпании несущей способности основания эпюра
его реактивных давлений приобретает треугольную форму с на-
ибольшей ординатой qD = yXnft2.
В этом случае из двух уравнений моментов, составленных от-
носительно точки А' прикрепления анкера и эпюры пассивного со-
противления основания относительно центра С, можно проверить
достаточность принятой глубины погружения стенки и определить
значение анкерного усилия:
(844>
5 = (8 46)
б(й1 +
где k — коэффициент запаса, принимаемый в пределах 1—1,5.
Для получения расчетного анкерного усилия вводится еще ко-
эффициент 1,5, учитывающий неравномерность натяжения анкер-
ных тяг. Наибольший изгибающий момент
Alniax—^Zd—Ла)—° ,	(8.46)
6
где z„= 1 /?$-.
W ?Ха
Учитывая перераспределение давления грунта с концентрацией
его к опорам (см. штриховую линию рис. 143), в формулу (8.46)
вводится коэффициент 0,65—0,75.
Анкерная плита, передающая усилие тяги на грунт, должна
быть закреплена за пределами сползающей призмы стенки и выпи-
рающей призмы анкерной плиты. Тогда
L =	(я/4-ф/2)Ч-Лпл tg*(rc/4-b<p/2).	(8.47)
211
Пример 27. Проверить достаточность глубины забивки зааикереииой
стенки и определить расчетные значения анкерного усилия и изгибающего
момента, если: h0 =0,5 м, =1,5 м, Л2 = 0,9 м, йПл= Iм» Т = 18 кН/м®,
= 30°, <р0 = 0, с = 0, k = 1,25.
Определив коэффициенты Ха = 0,333 и = 3, проверяем выполнение
.неравенства (8.44);
На	-у) = 1,25 0,333-2,92
2 9 \
1,54-0,9----1=5,03;
/11+	Ла^=3-0,92
W1
1.5+ -f- О-9) =5,1 >5,03.
Искомые усилия определяем по формулам (8.45) и (8.46):
о YW2(*1-M	18-0,333.2,92(2,9-0,9) п _
„/^2 „ Г iKi+ад------------------=8кН/м'
6(, 1+Tft4
Для расчета анкера принимаем:
Зрасч = 1,5 • 8 = 12 кН/м;
, / 2S , Г 2-8	.	„
z0=l/ ------= I/ ----------= 1,63м;
У	V 18-0,333
_ л	18-0,333-1,63s
Almflx=8(I,63—0,5)—---------—------=4,74 кН-м/м;
/Ирасч—0,75-4,74 = 3,56 кН-м/м;
/	30° \	/	30° \
4=2,9 tg 145°- — J 4-1 tg ^45°4- —1=3,4 м.
Сравнение результатов с теми, которые были получены в при-
мере 25, показывает, что анкеровка стенки позволяет уменьшить
глубину забивки и снизить расчетный изгибающий момент.
Рассматривая тонкую заанкеровапную стенку как балку на уп-
ругом основании с возрастающим по глубине коэффициентом
постели, В. С. Христофоров показал, что учет гибкости стенки поз-
воляет еще больше снизить требуемую глубину забивки и значение
расчетного изгибающего момента.
§ 50. ДАННЫЕ ОПЫТОВ
1.	Опыты А. М. Латышенкова
В лабораторных условиях были испытаны модели шпунтов и
одиночных свай в металлическом лотке размером 48 X 96 X 50 см
со стеклянной стенкой. Дубовые модели свай круглого и квадрат-
212
Р=80кН Р-120кН	Р-150 нН
Р=200кН
РИС. 144
ного сечений размерами от 2 до 7,5 см и дощатый шпунт забивали
на глубину до 75 см в утрамбованный песок средней крупности1.
Горизонтальные нагрузки создавали натяжением троса, при-
крепленного на определенной высоте к свае. Натяжение определя-
ли для больших моделей показанием динамометра, включенного
в тягу, а для малых моделей — непосредственно весом дроби, соз-
дающим натяжение троса. Отклонения моделей шпунтов и свай от
вертикального положения измеряли с помощью индикаторов, а на-
пряжения грунта на высоте погруженной части одиночной сваи —
с помощью гидростатических мессдоз, которые, однако, позволили
получить лишь качественную картину распределения напряжений.
Песок имел различные влажность и плотность.
Было проведено около 250 опытов; каждый повторяли
3—10 раз.
Эпюры напряжений по высоте сваи, полученные эксперимен-
тально для разных горизонтальных нагрузок (рис. 144, а), подтвер-
ждают эпюры, показанные на рис. 136, а и б. Кривые зависимости
горизонтального прогиба верхнего конца круглой сваи d = 2 см
(кривая /) и квадратной одиночной связи b — 2 см (кривая 2)
(ftx = 7 см, Л2 = 28 см) от действующей силы Р показаны
рис. 144, б.
Опыты показали, что фактическая горизонтальная сила, соот-
ветствующая пределу упругого сопротивления грунта, составляет
1 «Латышенков А. М. Сопротивление свай и шпунтов горизонтальным си-
лам. — Труды лаборатории гидротехнических сооружений ВОДГЕО, вып. I.
М., Госстройиздат, 1939.
213
для тонких стен 96—123% нагрузки, вычисленной по формуле
(8.34), доходя в плотно утрамбованном песке до 148% и составляя
в среднем для нижнего предела около 100%.
Для одиночных круглых свай в эту формулу должен быть вве-
ден коэффициент, учитывающий повышение сопротивления грунта
вследствие его пространственной работы под давлением сваи.
Предельная нагрузка, соответствующая полному выворачива-
нию шпунтов и свай, превосходит нагрузку, соответствующую
концу упругой стадии: для шпунта — в 3—3,3 раза, для круглых
свай — в 15—21 раз, для квадратных свай — в 11-—14 раз.
Поэтому формула (8.37), приводящая к результатам, которые
превосходят результаты, даваемые формулой (8.34), в 2—3 раза,
может считаться достаточно осторожной для определения предель-
ной горизонтальной нагрузки на тонкую стену.
2.	Опыты Б. Н. Жемочкина
Опыты были проведены в лабораторных условиях с песчаным
грунтом, имеющим 72% зерен размером меньше 0,6 мм и пористость
в рыхлом состоянии 49% [50].
Деревянные модели одиночных свай 10 X 10 X 100 см закапы-
вали на глубину 35—65 см и к их верхнему концу на высоте 10—
60 см прикладывали горизонтальную нагрузку, создаваемую
с помощью рычага и полиспаста и измеряемую динамометром. Од-
новременно измеряли горизонтальные перемещения точки прило-
жения силы.
На рис. 145 изображены кривые зависимости^ между действую-
щей на сваю силой Р и перемещением ее точки приложения f. Кри-
вая / соответствует плотному песку, кривая^? — слегка уплотнен-
ному, а кривая 3 — рыхлому песку.
РИС. 146
214
Сравнение этих кривых показывает, что независимо от того, как
первоначально был уплотнен грунт, сваи находятся после значи-
тельного перемещения почти в одинаковых условиях.
Опыты позволили установить, что пока грунт находится в уп-
ругой стадии работы, центр вращения сваи расположен на некото-
рой высоте от ее нижнего конца. При дальнейшем увеличении си-
лы и наклона сваи центр вращения опускается, причем самое низ-
кое его положение приблизительно соответствует наибольшему
внешнему усилию.
Приняв центр вращения одиночной сваи в предельном состоя-
нии у ее нижнего конца и считая эпюру реакций, с одной стороны
сваи, состоящей из треугольника и двух парабол, а с другой сторо-
ны — сосредоточенной у нижнего конца сваи (рис. 146), Б. Н. Же-
мочкин предложил следующую формулу для предельной горизон-
тальной нагрузки на сваю:
Рпр^	(8 4g)
Для определения qz и q9 Б. Н. Жемочкин предложил полу-
эмпирические формулы с учетом состояния уплотнения грунта.
Действительное сопротивление свай по опытам Б. Н. Жемочки-
на оказалось на 20—30% больше найденного по формуле (8.48).
3.	Опыты Г. И. Глушкова
Исследования были проведены на моделях размером в плане
10 X 10 см и на натурных бетонных сооружениях до 114 X 114 см
массой до 5 т [28].
Была установлена криволинейная зависимость между горизон-
тальной силой, приложенной к верху массива, и его горизонталь-
ным перемещением. Установлено, что положение центра вращения
сооружения зависит от нагрузки. Центр вращения сооружения мо-
жет оказаться и ниже подошвы.
4.	Опыты И. Ф. Разоренова
Исследована устойчивость одиночных заглубленных фундамен-
тов в песчаных и суглинистых грунтах при действии горизонталь-
ной нагрузки. Исследования проводились с фундаментами призма-
тической и ступенчатой формы при отношении ширины b к глуби-
не заложения h в пределах 0,1—-0,5 [100].
Экспериментами установлено, что выше оси поворота перед
фундаментом н ниже оси поворота с тыльной стороны фундамента
возникают уплотненные клинья грунта. При дальнейшем увели-
чении нагрузки эти клинья прорезают окружающий грунт, сме-
щая его частицы в стороны, а не вверх. Предельной, по мнению
И. Ф. Разоренова, следует считать такую нагрузку, которая вы-
зывает незатухающие во времени перемещения фундамента.
215
Реактивное давление грунта по передней и задней граням фун-
дамента может в несколько раз превосходить пассивное сопротив-
ление. Очертание эпюр реактивного давления грунта зависит от
его свойств. Так, в песке эпюры прямолинейны, а в суглинке—
криволинейны.
5.	Опыты Ю. М. Гончарова
Эти опыты, проведенные в натуре [33], показали, что ординаты
эпюры давлений грунта на уровне анкера и у поверхности основа-
ния близки по значению.
6.	Опыты Г. Е. Лазебника и Е. И. Чернышевой
Эксперименты были проведены в масштабе 1:5с моделями гиб-
ких шпунтовых стенок в лотке размером 5 X 2,5 X 1,65, м, наполнен-
ном мелким песком различной плотности, на поверхности кото-
рого была приложена равномерная нагрузка [75].
В опытах измеряли значения давлений песка в активной и пас-
сивной областях, усилия в анкерных тяжах, горизонтальные пе-
ремещения стенки в пределах ее свободной высоты и деформации
крайних волокон в шпунтнне.
Исследования позволили установить следующие закономер-
ности.
По сравнению с эпюрой активного давления, по Кулону, наблю-
дается некоторое увеличение давлений около анкерной опоры и
уменьшение нх в пролете и у низа гибкой стенки. Равнодействую-
щие активного давления на гибкую стенку составляют всего 65 —
75% теоретических по Кулону. Давление на жесткую стенку
может быть больше теоретического в пределах до 30 %.
При плотном основании и значительной глубине забивки наи-
большая ордината криволинейной эпюры отпора находится близко
от поверхности основания, а центр пассивного давления располо-
жен примерно на J- глубины
с)	Я	S)	«
РИС. 147
забивки от поверхности.
При рыхлом основании, не-
большой глубине забивки, жест-
кой стенке и при подходе соору-
жения к предельному состоянию
по потере устойчивости эпюра
пассивного давления имеет фор-
му треугольника.
Характерные эпюры проги-
бов, давлений и изгибающих
моментов, полученные Е. И. Чер-
нышевой, показаны соответст-
венно иа рнс. 147, а—в.
216
На основании своих опытов авторы пришли к выводу, уже ранее
сделанному В. С. Христофоровым, что учет гибкости стенки позво-
ляет снизить требуемую глубину забивки и расчетный изгибающий
момент.	_
Из зарубежных опытов наиболее известны опыты Г. П. Чебота-
рева [155] и П. Роу, из которых следовало, что уточнение методики
расчета шпунтов должно идти по линии учета вертикальных сил.
Глава IX
ДАВЛЕНИЕ СЫПУЧЕГО ТЕЛА
НА ДНИЩЕ И СТЕНКИ ХРАНИЛИЩА
§ 51. ПОСТАНОВКА ВОПРОСА
Хранилища для сыпучих материалов в зависимости от отно-
шения их высоты к размерам в плане подразделяют на бункера и си-
лосы.
Бункерами называются хранилища, у которых высота от вы-
пускного отверстия до верха засыпки превышает размер в плане
менее чем в 1,5—2 раза; силосами называют хранилища, высота ко-
торых по крайней мере в 1,5—2 раза превосходит эти размеры.
При определении давления сыпучего тела на стенки бункера
принимают, что это давление действует, как в неограниченном мас-
сиве, т. е. что вертикальное и горизонтальное давление на любой
глубине z составляет соответственно:
<7z==yz;	(9.1)
где В — коэффициент бокового давления.
Силы трения, возникающие между засыпкой и стенками бунке-
ра, не учитывают, т. е. принимается, что давление действует на
стенки нормально.
Давление на наклонную стенку воронки бункера определяют
как давление на косую площадку и выражают формулой
ga=yz(cos2a-J-gsin2a),	(9.2)
где а — угол наклона стенки воронки бункера к горизонту.
При загрузке бункера малого объема с большой высоты расчет-
ную нагрузку умножают на динамический коэффициент до 1,4.
Для коэффициента бокового давления обычно принимают его
значение, соответствующее отношению главных напряжений
в состоянии предельного равновесия засыпки, т. е.
ga=(l—sin ф)/(14-Б<пф).	(9.3)
Это неправильно, так как упругие перемещения жестких стенок
бункера слишком малы для того, чтобы в засыпке могли появиться
217
сплошные поверхности скольжения. Правильнее вводить в расчет
коэффициент бокового давления |0 сыпучего тела в состоянии
покоя, который значительно больше, чем в состоянии предельного
равновесия. Например, для зерна в среднем £а = 0,3, а — 0,7.
При определении давления на стенки и днище силосов учиты-
вают влияние трения засыпки о стенки. Однако опыты многих
исследователей с различными сыпучими показали, что явления,
происходящие в силосах, весьма сложны и трудно поддаются ма-
тематическому описанию, особенно во время истечения сыпучего
тела через отверстие в днище.
Во-первых, вследствие трения частицы сыпучего тела, рас-
положенные у стеиок, «зависают», в результате чего горизонталь-
ные слои засыпки испытывают депланацию, т. е. искривляются,
а вертикальное давление распределяется по площади горизонталь-
ного сечения силоса неравномерно, достигая наибольшего значе-
ния на оси силоса.
Во-вторых, существенное значение имеет уплотнение засыпки,
возрастающее с глубиной под влиянием собственной массы.
В-третьих, установлено, что давление в силосе повышается
в период разгрузки и зависит от формы движения сыпучего в сило-
се. Эти формы отличаются друг от друга по виду траекторий и по
изменению вертикальных и горизонтальных составляющих скорос-
тей зерен, лежащих в горизонтальных плоскостях. Начальная фор-
ма движения, наблюдающаяся в первые секунды после открытия
задвижки выпускного отверстия, характеризуется тем, что движе-
ние сыпучего происходит только вследствие его разрыхления.
Начальная форма движения переходит в первую или во вторую. Пер-
вая форма движения характеризуется тем, что внутри массы сыпу-
чего, остающейся неподвижной, над выпускным отверстием образу-
ется движущийся столб, который пополняется зернами, скатываю-
щимися с поверхности сыпучего тела, принимающей вид коничес-
кой воронки (рис. 148, а). При второй форме приходит в движение
после открытия выпускного отверстия почти вся масса сыпучего
(рис. 148, б). При этом давление на стенки оказывается значитель-
но большим, чем при первой форме
движения.
В-четвертых, давление сыпучего в
силосах зависит от деформируемости
ограждающих конструкций.
В-пятых, давление сыпучего повы-
шается при динамических воздействиях.
Таким образом задача о давлении
сыпучего тела в силосе, строго говоря,
должна рассматриваться как динамиче-
ская. Однако для упрощения ее сво-
дят к статической, вводя затем различ-
ные эмпирические поправочные коэф-
фициенты.
a)
Egzzzz
218
§ 52. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДАВЛЕНИЯ ЗАСЫПКИ
НАДНИЩЕ И СТЕНКИ СИЛОСА
1. Результаты строгого решения
Такое решение получено Р. Негре [152]. Он пользовался исход-
ными зависимостями В. В. Соколовского и В. Г. Березанцева и
путем интегрирования системы дифференциальных уравнений ме-
тодом Рунге — Кутта получил сетку характеристик и эпюры рас-
пределения нормальных давлений qx на стенки цилиндрического
силоса бесконечной глубины.
На рис. 149, а в безразмерных координатах qx/(yR) показаны
эпюры давлений для разных значений угла внутреннего трения <р
сыпучего тела при углах трения его о стенку <р0 — <р/2, а на
рис. 149, б — эпюры давления для <р — 20° при различных значе-
ниях угла <р0. Из рассмотрения этих
кривых видно, какое сильное влияние
на значение давления qx оказывают раз-
меры углов трения <р и <р0.
РИС. 149
2. Решение X. Янсена
Для определения статического дав-
ления сыпучего тела на днище и стен-
ки призматического или цилиндриче-
ского силоса до сих пор широко при-
меняется формула X. Янсена, вывод
которой основан на следующих допуще-
ниях (см. рис. 150, а).
Во-первых, вертикальное давление
qz на любой глубине z от поверхности
сыпучего тела принимается равномерно
распределенным по всей площади F го-
ризонтального сечения силоса.
Во-вторых, горизонтальное давление
qx в любой точке сыпучего тела, в том
РИС. 150
219
числе и у стенок силоса, принимается пропорциональным верти-
кальному давлению, т. е.
(9.4}
где £ — коэффициент активного бокового давления.
В-третьих, принимается, что сопротивление сыпучего тела
сдвигу у стенок силоса
'^==faQxA’coi	(9.5)
где f0 = tg <р0 — коэффициент трения засыпки о стенку силоса, с0 — удель-
ное сцепление между засыпкой и стенкой.
В-четвертых, влияние днища не учитывается, т. е. силос прини-
мается как бы неограниченной глубины.
В-пятых, засыпка считается несжимаемой.
Выделив элементарный слой толщиной dz на глубине z от поверх-
ности, рассмотрим условие его равновесия под действием собствен-
ной массы yFdz, вертикального давления на слой сверху qz
и снизу qz 4- dq2f а также сил трения и сцепления, действующих
у стенок. При этом силы, действующие вниз, считаются положи-
тельными.
yFdz-\-Fqz~Fqz~Fdqz~са Udz—f0 %,Uqzdz=0,
где U — периметр стенок силоса.
Приводя подобные члены и интегрируя это дифференциальное
уравнение при граничном условии, т. е. при z = 0 давление
qz = 0, получим
Обычно при расчете силосов сцепление не учитывают, и тогда
формула (9.6) упрощается и принимает вид формулы X. Янсена:
-S(—ИН)-
Чтобы получить боковое давление на стенки, используют зави-
симость (9.4).
Из формулы (9.6) следует, что с увеличением глубины z при-
ращение давлений qx и qx уменьшается (рис. 150, б), а само давле-
ние при z -> оо стремится к пределу
yF / , с0 U \
?z’“ = f.W V tF )'	( -8)
Исходя из результатов экспериментов, проведенных рядом
исследователей, показавших, что формула (9.7) приводит к сильно-
му приуменьшению расчетного давления по сравнению с фактичес-
ким, в Технических условиях проектирования силосов для сыпу-
чих тел (СН 302-65) предусмотрено увеличение расчетного верти-
220
кального давления для днища и бокового давления для нижней час-
2
ти стенки на протяжении д- ее высоты в два раза по сравнению
с вычисленным по формуле (9.7).
В силосах для зерна при расчете днищ и самой нижней части
стенок высотой, равной 0,15 высоты силоса, а также при расчете
стенок силосов для угля по всей высоте поправочный коэффициент
не предусмотрен.
Расчетные давления получают умножением нормативных зна-
чений на коэффициент перегрузки 1,3.
В качестве расчетных значений <р и <р0 следует принимать ниж-
ние пределы, приведенные в табл. 4.
Чтобы облегчить использование формулы (9.7), ее можно при-
вести к простому виду, умножив числитель и знаменатель на z!Fz
qz=Kyz,	(9.9)
где
K^(l-exp{-v))/v;	(9.10)
v=(/ogt/z)/F.	(9.11)
Коэффициент К, называемый коэффициентом зависания, опре-
деляют в зависимости от v по табл. 23.
ТАБЛИЦА 23 КОЭФФИЦИЕНТ ЗАВИСАНИЯ
V	к	V	К	V	К	V	К
0	1	0,55	0,769	1,2	0,582	2,75	0,34
0,05	0,975	0,6	0,752	1,3	0,56	3	0,318
0,1	0,95	0,65	0,735	1,4	0,538	3,5	0,276
0,15	0,928	0,7	0,719	1,5	0,518	4	0,248
0,2	0,906 j	0,75	0,703	1,6	0,499	4,5	0,219
0,25	0,885	0,8	0,688	1,7	0,481	5	0,198
0,3	0,864	0,85	0,673	1,8	0,463	6	0,167
0,35	0,844	0,9	0,659	1.9	0,447	7	0,142
0,4	0,824	0,95	0,645	2	0,432	8	0,125
0,45	0,805	1	0,632	2,25	0,397	9	0,111
0,5	0,786	1.1	0,606	2,55	0,367 1	10	0,1
Пример 28. Определить расчетное давление зерна в нижней части железо-
бетонного силоса высотой h ~ 20 м и внутренним диаметром D = 5 м, если
для зерна у = 7 кН/м3, угол его внутреннего трения <р = 30° и угол трения
его о бетон <р0 = 25° (/0 = 0,466).
Находим коэффициенты:
1—sin <р	1—sin 30°
Е—----------- =---------=0,333:
1 -{-sin <р	1 -{-sin 30°
folUh 0,466.0,333-3,14.5.20
V“ F ~	0,25-5»-3,14	~2»48*
221
Для этого значения коэффициента v по табл. 23 находим коэф-
фициент зависания Д’ = 0,37. По формуле (9.9) определяем расчет-
ное давление на днище
92=/СуЛ=0,37-7-20=51,8 кПа.
Расчетное давление на нижнюю часть стенки с поправочным ко-
эффициентом 2 составляет:
te=2g&=2.0,333-51,8= 34,6 кПа.
Подсчеты показывают, что одна из основных причин расхожде-
ния между данными опытов и формулой Янсена — заниженные рас-
четные значения коэффициента £, вычисленные по формуле (9.3).
Эта формула дает отношение между главными напряжениями сы-
пучего тела в состоянии предельного равновесия, в то время как
в действительности коэффициент £ является отношением между
горизонтальным и вертикальным напряжением в состоянии непре-
дельного равновесия.
Второй основной причиной этих расхождений, имеющей не мень-
шее значение, является то, что формула (9.7) не учитывает нараста-
ющего уплотнения сыпучего тела по глубине.
Наконец, третьей причиной, играющей уже значительно мень-
шую роль, чем две первые, является неравномерность распреде-
ления вертикального давления в горизонтальных плоскостях, не
учитываемая формулой (9.7).
Среди ряда решений, приведенных в технической литературе,
заслуживают внимания решения Е. М. Гутьяра, в котором учтено
увеличение плотности сыпучего тела с глубиной, и решения
JI.M. Емельянова1 и Я- Б. Львина [81], в которых учтена неравно-
мерность распределения вертикального давления в горизонталь-
ных плоскостях.
3.	Решение Е. М. Гутьяра
Вывод расчетной формулы проводится так же, как и формулы
Янсена, но с учетом влияния модуля деформации Е и коэффициен-
та поперечной деформации ц сыпучего тела.
При этом коэффициент бокового давления
<912’
Относительная деформация сжатия элементарного слоя в вер-
тикальном направлении
С1=4г(?2“2м’,!=_е'(1_ Т^г)’
1	Емельянов Л. М. Напряженное состояние засыпки, ограниченной парал-
лельными стенками. — «Советский метрополитен», 1940, № 12.
222
Плотность засыпки на глубине z с учетом ее гравитационного
уплотнения
Tz __________Ро_______
₽‘ «
£ \	1—р )
где р0 = — — плотность засыпки у поверхности.
Так как второе слагаемое знаменателя мало по сравнению с еди-
ницей, можно заменить это выражение следующим:
Тг---То(1+ад.	(9.13>
где
Нф-тУ-	(9И)
После подстановки выражений |0 и у2 в уравнение равновесия
слоя dz, после его сокращения на значение F и приведения подобных
членов получают дифференциальное уравнение
То (l-f-^Gz)—^4z /о So Qz dz=G.
После разделения переменных и интегрирования при гранич-
ном условии для z = 0, 9z = 0 получают:
?'=7IFLb^[1-exp{~',“2(vF~'4 * * * B)}l-	(915>
fo&o^ — BF-foL I \ ToF /1.1
В зависимости от соотношения между В и (f0 Во^7)/(То^) возмож-
ны различные закономерности возрастания давления (рис. 151).
1.	При В > (C/f0 Во)/(?о^) давление стремится к бесконечнос-
ти при Z-* оо (кривая /).
2.	При В = (U lofo)/(yoF) после раскрытия неопределенности
(9.16)
<h=£o То z,
т. е. давление возрастает пропорци-
онально глубине (прямая 2).
3.	При В < (U lof0)/(у0F) давле-
ние возрастает по закон у экспонен-
циальной кривой 3 и при 2—► оо
стремится к пределу
4. При В = 0, что возможно толь-
ко для Е = <х>, формула (9.15) пере-
ходит в формулу (9.7) и дает
наименьшее давление по сравнению
с тремя предыдущими случаями (кри-
вая 4).
РИС. 151
223
Прямая 2 является касательной к кривым 1, 3 и 4 в начале ко-
ординат. В практике обычно встречается предпоследний случай.
Таким образом, формула (9.15) позволяет объяснить результаты
тех экспериментов, которые значительно превосходили результа-
ты расчета по формуле (9.7).
Однако применение формулы (9.15) на практике требует знания
расчетных значений модулей деформации для разных сыпучих тел.
Этих данных в настоящее время нет. Поэтому приходится пользо-
ваться формулой (9.7) с коэффициентом |а по формуле (9.3) и с вве-
дением поправочного коэффициента 2, рекомендуемого ТУ 124-56
и СН 302-65. В свете изложенного выше решения этот коэффи-
циент приобретает определенный физический смысл.
4.	Решение Я. Б. Львина
Другое обобщение формулы Янсена для круглого в плане сило-
са сделано Я- Б. Львиным [135], который, отказавшись от допуще-
ния о равномерном распределении давления в плане и рассмотрев
условия равновесия уже не слоя dz, а элементарного кольца, полу-
чил вместо обыкновенного дифференциального уравнения уравне-
ние с частными производными
где z и г — цилиндрические координаты.
Для вертикального давления в силосе с радиусом поперечного
сечения Д решение дифференциального уравнения приводит
.к двум формулам:
TZ f Z \	yR
71 Ч/Л ’2= 2М«’	(9- 8)
Это решение указывает на необходимость различать две обла-
сти, граница между которыми определяется условием z = г, при-
водящим у стенок к равенству z = R. В верхней области давление
возрастает по параболическому закону от нуля до максимального
значения q2l а в нижней оно остается постоянным и равным q2, что
совпадает с асимптотическим значением давления по Янсену, ко-
торое выражается формулой (9.8).
Решение Я- Б. Львина может быть обобщено на случай, когда
коэффициенты трения в основном объеме сыпучего тела и в пристен-
ном слое различны, а также для силосов некруговой формы в пла-
не. Однако, как указывает сам автор, количественный разрыв, су-
ществующий между решением Янсена и данными натурных наблю-
дений, в предложенном им решении не устраняется.
Еще одно обобщение формулы Янсена предложено А. М. Трух-
ловым [135], который учел совместность работы зерновой массы и
стенок силоса, рассматриваемых в качестве упругого кольца.
Полученная им формула отличается от формулы (9.7) тем, что
вместо t — коэффициента бокового давления в состоянии предель-
ного равновесия или в состоянии покоя, подставляется
Ь=-------------.	(9.19)
1—р+— т
О
где р — коэффициент Пуассона сыпучего; R — радиус силоса; 6 — толщина
стеики силоса; т — отношение модулей упругости сыпучего материала и си-
лоса.
§ 53.	ДАННЫЕ ОПЫТОВ И НАБЛЮДЕНИЙ
5.	Опыты С. Г. Тахтамышева, М. С. Бернштейна и Б. А. Петрова
Первые, весьма несовершенные опытные исследования давле-
ния сыпучего тела в силосах, поставленные в конце XIX столетия,
в том числе и исследования Янсена, в большинстве случаев под-
тверждали его формулу. Между тем среди результатов этих иссле-
дований были и такие, которые в 2 и даже в 5 раз превышали рас-
четные значения давления на стенки (опыты Пранте и Плейснера).
Несмотря на это, формула Янсена прочно вошла в практику про-
ектирования силосов, а методика опровергавших ее опытов бы-
ла признана неудовлетворительной.
Однако неоднократные аварии железобетонных силосов зер-
новых элеваторов, выражавшиеся в появлении и развитии верти-
кальных трещин в стенках, заставили усомниться в справедливос-
ти этой формулы и предпринять новые, широко поставленные экспе-
рименты.
Крупные опыты провел С. Г. Тахтамышев в 1938—1939 гг. на
трех зерновых силосах элеватора в Баку (высота силосов 28 м при
диаметре двух из них по 7 м и третьего — 4,8 м) и в 1939—1940 гг.
на силосах с. фосфоритной мукой в Воскресенске.
Нормальные давления измеряли с помощью 20 мессдоз диамет-
ром 200 мм, заделанных в стенки и днище силосов на пяти горизон-
тах по высоте силоса.
Опыты С. Г. Тахтамышева, в которых изменяли скорость запол-
нения силоса, режим разгрузки, расположение выпускного отвер-
стия и ряд других факторов, выявили весьма сложную картину на-
пряженного состояния сыпучих, находящихся в силосе.
В значительном числе случаев значение давления на стенку пос-
ле полного загружения силоса оказалось близким к расчетному,
найденному по формуле Янсена. Однако были случаи, когда дей-
ствительное давление оказывалось значительно меньше расчетного
и когда действительное давление превосходило расчетное в 2 раза.
При выдерживании зерна в силосе несколько суток давление
на стенку несколько падало.
224
8 Заж. 1169
225
Выпуск зерна в большинстве случаев приводил к значительному
(в 2,5—3 раза) повышению давления на стенку в средней трети вы-
соты силоса. У днища же давление при выпуске уменьшалось. Ха-
рактерные графики давлений по высоте стенки силоса, полученные
С. Г. Тахтамышевым, показаны на рис. 152 (кривые 1 соответству-
ют теоретическому давлению, кривые 2 — давлению после запол-
нения силоса, кривые 3 — давлению через 8 сут. и кривые4 — дав-
лению в начале выпуска).
Наблкдая за раскрытием трещин в стенке силоса при выпуске
зерна, С. Г. Тахтамышев обнаружил явление пульсации давления,
период которой изменялся в пределах от 6 с до 25 мин.
В 1941 г. М. С. Бернштейн провел опыты с мелким песком и зер-
ном (рожь) на моделях в виде половины цилиндра диаметром 35 см
и высотой 140 см с застекленной передней стенкой. Давление изме-
ряли одним мембранным при- Т АБЛ ИЦ А 24 ДАВЛЕНИЕ ЗАСЫПКИ	борОМ, ПОМещеННЫМ НЗ ВЫСО- КА СТЕНКУ СИЛОСА	„„ Кл те. hl) см от лшппя.			
Засыпка	Форма истечения	Давле после заполнение	1|е- %	Зависимость между давле- мвре«я нием и формой истечения, выпуска установленная во время опы-
Песок	Первая Вторая	100 250	100	Таким образом, опыты 410 М. С. Бернштейна подтвер-
Зерно	Первая Вторая	100 154	100	дили вывод, сделанный С. 1. 215	Тахтамышевым, что при вто- 	 рой форме истечения давле-
ние на стенку значительно
больше, чем при первой. Давление при выпуске резко увели-
чивается только для второй формы истечения.
Давление и форма истечения зависели от пористости сыпучего
тела, причем большей пористости соответствовали большее давле-
ние на стенку и вторая форма истечения, меньшей пористости —
меньшее давление на стенку и первая форма истечения.
Вторая форма истечения наблюдалась при заполнении модели
сосредоточенной струей через воронку, как это бывает в действи-
тельности.
Первая форма истечения возникала при заполнении силоса рас-
сеянным «дождем» через конический зонт с большим числом отвер-
стий.
Иногда формы истечения переходили одна в другую; причины
такого чередования остались невыясненными.
Первая серия опытов Б. А. Петрова [921 была проведена на мо-
дели силоса высотой 2 м, диаметром 40 см. Давление измеряли мем-
бранными манометрами, установленными в днище и в нижней час-
ти стенки. Вторую серию опытов проводили на модели размером
в плане 60 X 60 см, высотой 180 см с применением более чувстви-
тельных мембранных приборов, связанных с индикаторами. Ре-
зультаты опыта показаны на рис. 153 (а — давление на днище, б —
226
давление на стенку). Одни опыты (кривая /) были проведены со све-
жеизготовленным цементом, а другие — с цементом, который
предварительно вылеживался в мешках два-три месяца после по-
мола (кривая 2). Модель загружали цементом равномерно и непре-
рывно. Также равномерно и непрерывно происходило нарастание
давления на днище и стенки. При динамическом воздействии на мо-
дель (легкое постукивание) давление цемента резко возрастало.
Кривой 3 на рис. 153, а и б показаны результаты расчета по фор-
муле Янсена при коэффициенте £ = 0,333.
Из сопоставления экспериментальных кривых Б. А. Петровым
были получены действительные значения коэффициента для выле-
жавшегося цемента £ = 0,53 и для свежеизготовленного | =
= 0,79.
Однако использование этих данных в формуле Янсена приво-
дит к заниженным результатам не только для давления на стен-
ку, но и на днище. Совер-
шенно очевидно, что, обла-
дая большой сжимаемостью,
особенно в свежеизготовлен-
ном виде, цемент имел не-
большой модуль деформации,
что и обусловило более ин-
тенсивное нарастание давле-
ния по глубине, чем это полу-
чается по Янсену. Б. А. Пет-
ровым были исследованы так-
же давление цемента и формы
его истечения при разгрузке
моделей цементных силосов
через отверстие в днище.
РИС. 152
РИС. 153
8*
6.	Опыты ЦНИЛ и НИИЖБ
Давления на стенки силосов определяли в натурных условиях
на силосах элеваторов в Москве, Херсоне, Болшево, Ельце,
Кзыл-Ту, Тоболе, Спицевке и др. Результаты этих опытов опи-
саны в работах В. С. Кима, И. С. Хорошего [135] и др.
Во всех экспериментах применяли мессдозы, расположенные на
расстоянии от 3 до 12 м по высоте и периметру. Давления в боль-
шинстве случаев записывали в разное время, и на графиках фикси-
ровали максимальные давления, которые для разных мессдоз не
совпадали во времени.
Во всех экспериментах 25—30% мессдоз фиксировали давление
в 1,5—2,5 раза, а в единичных случаях даже в 4—5 раз больше те-
оретических, подсчитанных по формуле Янсена. Давления возрас-
тали не только при выпуске, но и при заполнении силоса. Часть
мессдоз показывала снижение давлений при выпуске сыпучего.
При синхронных записях ни в одном эксперименте не получи-
лось одновременного увеличения давлений на все мессдозы и во
всех опытах наблюдалось неравномерное распределение давлений
по периметру и высоте силоса.
Таким образом, эксперименты дали изменчивую картину давле-
ний, которые пульсируют в каждой точке. Представление об
этих изменениях дает рис. 154, п, на котором показано изменение
давлений в силосе элеватора в Ельце (мессдозы № И, 12 и 13 рас-
положены, как показано на рис. 154, б).
Было установлено, что при наполненных зерном смежных си-
лосах горизонтальное давление на стены загружаемого силоса воз-
растает на 10—15% по сравнению с тем случаем, когда смежные
силосы опорожнены.
На участке стенок, расположенном ближе к стыкам силосов,
горизонтальное давление, как правило, на 80% больше, чем на
средних участках наружных стенок. Эксперименты подтвердили
способность зерна стойко сохранять напряженное состояние, воз-
никшее при загруженин и частичной разгрузке силоса.
В нижией части силоса на уровне 2 м роста давления зерна прн
разгрузке почти не наблюдалось. Давление на дно несколько сни-
жалось в первый период выпуска и оставалось почти постоянным
до полной разгрузки. Значения давлений на дно не превосходят
нормативных.
Результаты исследований горизонтального давления зерна на
ребристые стены квадратных в плане силосов размером 3,2 X 3,2 м
в Кзыл-Ту показали, что максимальное горизонтальное давление
при наполнении силоса не превышало расчетного по Янсену, а при
разгрузке возрастало на 10—20%.
При выпуске зерна из круглого силоса через смежный силос-
звездочку и при расстоянии между перепускными отверстиями 6 м
давления возрастали в круглом силосе. Если перепускные отвер-
стия находились через 3 м, то этого уже не происходило.
228
Зерно в звездчатом силосе опускалось при разгрузке до очеред-
ного отверстия, а затем уровень зерна в звездочке оставался посто-
янным до тех пор, пока поверхность зерна в круглом силосе не
достигала низа отверстия. Далее уровень зерна в звездочке резко
понижался до отметки верха следующего по высоте отверстия.
Пульсирующие толчки и подвижки зерна в звездчатом силосе
хорошо заметны в центре и по периметру стен силоса.
По мере опускания уровня зерна частота пульсации увеличи-
валась, а амплитуда уменьшалась. Интересные результаты были
получены в Болшево на силосах из ребристых колец диаметром
6 м, опоясанных предварительно-напряженной арматурой. По де-
формациям этой арматуры, которые измеряли тензодатчиками, опре-
делены кольцевые усилия N по высоте испытываемых силосов.
На рис. 155 показаны графики для двух одинаковых силосов.
Кривая / соответствует заполнению силоса, а кривая 2 — разгруз-
ке; кривые 3 и 4 соответствуют давлениям, вычисленным по форму-
ле X. Янсена с коэффициентами 1 и 2.
229
Опыты, проведенные на мелькомбинате им. Цюрупы, показали,
что при насыпании «дождем» можно уложить в силос иа 5—6% зер-
на больше, чем при обычном загруженни с транспортера. В лабо-
раторных условиях эта разница в зависимости от вида сыпучего те-
ла доходит до 10—20%, а иногда и более. Было установлено, что
движение сыпучего тела всегда связано с образованием поверхнос-
тей скольжения, т. е. со сдвигом, которому, как правило, сопут-
ствует разрыхление сыпучего тела. Сдвиг не сопровождается изме-
нением объема сыпучего тела только при некоторой «критической»
плотности укладки. Если плотность при заполнении оказалась
больше критической, то после открытия задвижки сыпучее разрых-
ляется, а если меньше, то уплотняется. На рис. 156 показано измене-
ние коэффициента плотности К в потоке сыпучего тела в процессе
выпуска в зависимости от доли 0 выпущенного зерна по отношению
к его первоначальному объему в силосе. При этом кривая / отно-
сится к плотной, а кривая 2 — к рыхлой начальной укладке.
Таким образом, плотность при движении сыпучего в силосе от-
личается от плотности его при заполнении. При движении сыпуче-
го с ускорением его плотность все время изменяется. Все это при-
водит к тому, что плотность сыпучего в разных местах силоса ока-
зывается неодинаковой и зависит от его предыдущих состояний.
7.	Опыты П. Н. Платонова, А. В. Анатольева н А. П. Ковтуна
Опыты проводились в Одесском технологическом институте
им. М. В. Ломоносова [94] на моделях и в реальных силосах с по-
мощью плавающих датчиков с фиксированным расположением
в потоке и позволили определять вертикальные, горизонтальные
и касательные давления в любом сечении по высоте силоса и у его
стенок.
Опыты позволили сделать вывод, что колебание давлений в си-
лосах объясняется процессами образования, разрушения и вос-
становления сводчатой структуры сыпучего тела, возникающей
в результате соответствующего расположения частиц, соединя-
ющихся в сложные кинематические цепи. Частота пульсации,
зависящая от скорости разрушения и восстановления кинема-
тических цепей, возрастает с ростом скорости движения потока сы-
пучего .
Измерения давлений в силосах одного размера показали, что
с увеличением жесткости стен давление на них повышается. При
этом наибольшего значения давление на более жесткие стены до-
стигает быстрее, чем на менее жесткие.
Совместность работы стенок силоса и сыпучего подтверждается
также результатами экспериментов и теоретическими исследова-
ниями А. М. Трухлова [135], проведенными в Саратовском политех-
ническом институте. Эксперименты были проведены на модели че-
тырех связанных между собой силосов и состояли в измерениях
деформаций стен при различных комбинациях наполнения отдель-
ных «банок» и «звездочки».
230
Глава X
ДАВЛЕНИЕ СЫПУЧЕГО ТЕЛА
НА ЗАЛОЖЕННОЕ В НЕГО СООРУЖЕНИЕ
§ 64. ДАВЛЕНИЕ СЫПУЧЕГО ТЕЛА НА СООРУЖЕНИЕ,
ЗАЛОЖЕННОЕ НА НЕБОЛЬШОЙ ГЛУБИНЕ
ОТ ПОВЕРХНОСТИ ЗЕМЛИ
Давление, оказываемое сыпучим телом на заложенное в него
сооружение (трубу, тоннельную обделку, крепь и пр.), зависит от
глубины заложения сооружения и от того, как оно уложено: за-
крытым или открытым способом. В первом случае
нарушение массива сыпучего тела чаще всего ограничивается срав-
нительно небольшой областью вокруг сооружения, во втором же
случае массив сыпучего тела оказывается нарушенным откры-
той выработкой (траншеей) до самой поверхности,
и давление на сооружение будет большим, чем в первом случае.
Давление на сооружение, уложенное под насыпью, будет еще
большим.
Во всех случаях давление, испытываемое сооружением, зависит
от его собственной жесткости и жесткости основания. Жесткое со-
оружение, как правило, подвергается большему давлению, чем
гибкое. Так же влияет и жесткость основания. Наконец, давление
сыпучего тела на заложенное в него сооружение зависит от влаж-
ности и степени уплотнения сыпучего тела над сооружением и осо-
бенно рядом с ним.
Следует также иметь в виду, что давление на подземное соору-
жение не остается постоянным, а меняется в зависимости от темпе-
ратурно-влажностцых условий и в большинстве случае нарастает
с течением времени.
Рассмотрим сооружение типа трубы или тоннеля (большой
длины), заложенное в однородном грунте на глубине h от поверх-
ности, не превышающей его поперечных размеров (рис. 157, а).
Допуская, что само сооружение не изменяет предельного на-
пряженного состояния сыпучего тела, и рассматривая задачу как
статическую и плоскую, имеем следующие выражения для глав-
ных напряжений в произвольной точке у верхнего свода сооруже-
ния, лежащей на глубине z от поверхности:
(10.1)
.	1—sin ф
Ъг=Ъ<Ъ=уг——-----.	(10.2)
1+зшф
Нормальное и касательное напряжения в этой точке можно оп-
ределить, пользуясь формулой (2.21) для напряжений по наклон-
ным площадкам:
u=Y2(cos2a4-gsin2a);	(10.3)
T=-fz(l—£) since cos а.	(10.4)
231
Если„принять, что угол трения сыпучего тела о сооружение ра-
вен углу внутреннего трения, то угол отклонения полного давле-
ния от нормали к поверхности сооружения 6 нигде не будет превы-
шать предельного значения.
Равнодействующая полного вертикального давления на верх-
нюю часть сооружения равна весу вышерасположенного сыпучего
тела независимо от ф.
Эпюры нормальных и касательных составляющих давлений, по-
строенные для сооружения с круговым поперечным сечением, по-
казаны на правой половине рис. 158, а сплошными линиями. На
левой половине показана эпюра полных давлений q.
На нижнюю половину сооружения примыкающие к ней массы
сыпучего тела давят как на подпорную стенку с обратным уклоном.
Это можно приближенно учесть дополнительным множителем со
к выражениям (10.3) и (10.4) для нижней половины сооружения
co=(l—tg alg <р)2.	(10.5)
Соответствующие эпюры пока-
заны на рис. 158. Их можно
заменить более простыми эпю-
рами вертикальных и горизонталь-
ных давлений, показанными на
рис. 158, б пунктиром.
Равнодействующую давлений на
обе половины сооружения круго-
вого поперечного сечения (силу дав-
ления на основание) можно найти
интегрированием выражений (10.3)
и (10.4) с учетом дополнительного
РИС. 158
232
множителя о:
л/2
R=Di j (о sin <x-J-tcos a) da-f~
0
-JD1 J (osina-f-rcosa) (1 —
n/2
— tg «tg <p)s da^fhDi (di—A -y-j.
(10.6)
где Dy — наружный диаметр соору-
жения.
Значения параметров Аг и А2
в зависимости от угла внутренне-
го трения ф приведены на рис. 159.
При tp = 0 (т. е. в пределе для
жидкости 7? = •—(л*р£)“)/4) давле-
ние на сооружение равно взвеши-
вающему давлению.
При ф == 30° (т. е. для сыпучего тела, обладающего углом внут-
реннего трения среднего значения) R = yDx (0,8h — 0,03 Pj) »
0,8yhDlt в то время как равнодействующая давлений на верхнюю
половину сооружения составляет (yhD^ — иа 25% больше. Таким
образом, давление сыпучего тела на нижнюю половину сооружения
составляет заметную часть от общего давления.
. Формулы (10.3) и (10.4) справедливы лишь в том случае, когда
вблизи сооружения нет стенок котлована или траншеи, а также
при отсутствии перемещений сооружения по отношению к засыпке.
При возникновении такого перемещения на поверхности сооруже-
ния появляются дополнительные сдвигающие усилия, направлен-
ные в сторону, противоположную его перемещению. Распределе-
ние касательных усилий по поверхности трубы подчиняется тому
же закону, что и распределение относительной скорости движения
сооружения и грунта
T=Tmaxsina,	(10.7)
где Tmaa. — касательное напряжение на концах горизонтального диаметра.
Если засыпка при оседании перемещается по отношению к со-
оружению вниз, то и касательные усилия, действующие на соору-
жение, будут направлены книзу, и наоборот.
§ 55. ДАВЛЕНИЕ СЫПУЧЕГО ТЕЛА НА СООРУЖЕНИЕ,
ВОЗВЕДЕННОЕ ЗАКРЫТЫМ СПОСОБОМ НА БОЛЬШОЙ ГЛУБИНЕ
ОТ ПОВЕРХНОСТИ ЗЕМЛИ
При укладке сооружения на большую глубину поверхности
скольжения могут не простираться на всю толщу сыпучего тела,
соединяясь между собой и образуя над сооружением замкнутую
область, выше которой образуется так называемый естественный
233
тттггЯттт
РИС. 160
разгружающий свод. Давление на соору-
С 'Н жение равно весу сыпучего тела, зани-
мающего область нарушения, т. е. на-
ходящегося внутри разгружающего
свода.
Основной нагрузкой, действующей
на разгружающий свод, является соб-
ственная масса вышележащего сыпучего
тела, которую при большой глубине за-
ложения можно считать равномерно
распределенной. Поэтому при невоз-
можности возникновения в сыпучем те-
А
V
в
2
ле, образующем разгружающий свод, изгибающих моментов, при-
водящих к появлению растягивающих напряжений, свод должен
быть очерчен по параболе.
Рассмотрим условия предельного равновесия половины свода,
на которую кроме вертикальной нагрузки q действуют силы Н, 7,
V и S (рис. 160). Сила Н является реакцией отброшенной половины
свода илн распором, а силы Т н V — составляющими опорной ре-
акции свода. Сила S рассматривается как дополнительная сдвига-
ющая сила, действующая изнутри свода и пропорциональная
его высоте, т. е.
S=shc,
(10.8)
где s — коэффициент пропорциональности.
Для определения пяти неизвестных Н, Т, V, S и hc есть всего
три уравнения равновесия, из которых можно получить:
XX—0; H -т-S=T—she.
2Z=0; V=qB/2-,
ZMA=0; H=qB2l8hc.
(10.9)
Четвертое уравнение выражает условие предельного равнове-
сия сыпучего тела у пяты свода
7=Vtg<p=^Bf/21
(10.10)
где <р и f — угол и коэффициент внутреннего трения сыпучего тела.
Выразим s из первого уравнения равновесия:
7-Н_ дВ ( В \
hc 2hc V 4ЛС?
Стрела подъема свода hc определяется из условия, чтобы значе-
ние s достигло своего максимума, при котором запас прочности сво-
да будет наибольшим. Это условие позволяет составить пятое урав-
нение
ds___дВ fj_
dhc~ 2
234
Отсюда
Ас=—.	(Ю. II)
Исследуя вторую производную (d2s)/(dAc) при найденном значе-
нии hc, можно убедиться, что она отрицательна, т. е. выражение
(10.11) действительно соответствует максимуму з.
Если же не учитывать силу S, то из условий равновесия и усло-
вия предельного равновесия
йс=В/4/.
Таким образом, введенное М. М. Протодь яконовым дополни-
тельное условие приводит к увеличению расчетной высоты свода
в 2 раза. При этом наибольшая ордината параболической эпюры
давлений на подземное сооружение
*7B=7Ac=(TB)/2f.	(10.12)
При высоте ft залегающего над выработкой слоя сыпучего тела,
меньшего или равного высоте ftc, принимают ftc = ft.
Расчетный пролет разгружающего свода определяют по фор-
муле
(,013)
где Ь и h0 — ширина и высота сооружения.
Нагрузка на сооружение принимается равномерно распреде-
ленной, а ее равнодействующая
Q=<7Bfr=lBfr/2f.	(10.14)
Отметим, что во многих литературных источниках сила S изоб-
ражается в виде горизонтальной нагрузки, направленной в сторо-
ну свода и равномерно распределенной по его высоте; нагрузка
эта трактуется как некоторое дополнительное сопротивление сдви-
гу. Условия же равновесия записывают так же, как это сделано вы-
ше. Одиако если силу S направить внутрь свода, то оиа должна
иметь тот же знак, что и сила Т, а если она действует по всей вы-
соте hc свода, то она должна входить и в уравнение моментов. Но
это уже приводит к совершенно другим результатам.
Теория М. М. Протодьяконова условно применяется не только
к сыпучим телам, но и к любым связным горным породам. В этом
случае f уже является не только коэффициентом внутреннего тре-
ния, но и коэффициентом сопротивления сдвигу, который учитыва-
ет суммарное действие сил внутреннего трения и сцепления; он
называется коэффициентом крепости.
Для связных сыпучих тел коэффициент крепости
ZKP=tg<P+c/o»	(10.15)
где ч> — угол внутреннего трения; с — удельное сцепление; и — сжимающее
напряжение, при котором определяется сопротивление связного сыпучего
тела или грунта сдвигу.
235
ТАБЛИЦА 2Б. КОЭФФИЦИЕНТЫ
КРЕПОСТИ ПО ПРЕДЛОЖЕНИЮ
М. М. ПРОТОДЬЯ КОНОВА ,
Грунт	5 » Й и		Условный угол внут- реннего трения
	-f -	крепости f	
Плывун, болотис- тый, разжиженный .	0,3		9
Песок, мелкий гра- вий, насыпной, до- бытый уголь . . .	0,5		27
Растительная земля, торф, легкий суг- линок, сырой песок	0,6		30
Тяжелый, лесс, гра- вий, мягкий уголь	0,8 ’		40
Глина плотная . . .			45
Щебенистый, галька, разрушенный сла- нец, твердая глина	1.5		60
Из формулы (10.15) сле-
дует, что с увеличением. нор-
мального напряжения о зна-
чение коэффициента крепости
уменьшается, приближаясь к
значению коэффициента внут-
реннего трения. Численные
значения коэффициентов кре-
пости для некоторых грун-
тов и соответствующие услов-
ные углы внутреннего трения
(ру = arctg fKP приведены
в табл. 25.
Для определения актив-
ного давления на крепь оди-
ночной выработки кругового
поперечного сечения на ос-
нове теории В. В. Соколов-
ского В. Руппенайт получил
формулу
1 —sin <р
Я= j_^sin<p (ft+ °о) exp {—л tg ф}— о0,	(10.16)
где q0 — нагрузка от массы вышерасположенных пород иа уровне центра
выработки с учетом коэффициента концентрации, который для песков состав-
ляет I—1,3, а для глин — 1,8—2; о0 — давление связности.
Пример 29. Определить вертикальное давление на подземное сооружение
размерами Ь — 1,5 м и й0 = 2м, заложенное на большой глубине от поверх-
ности, если для грунта у = 16,5 кН/м3 и его коэффициент крепости fKp~ 0,5
(фу=йгс tg 0,5 = 26°30').
Расчетный пролет разгружающего свода по формуле (10.13)
/ л фу \	(	26°30' X
B = b+2ft0tg^Y—g-J = l,54-2.2tg ^45°-—^-J=3,98 м.
Наибольшее вертикальное давление на сооружение иахрднм по формуле
(10.12)
16,5-3,98
2-0,5
=65,7 кПа.

Для получения расчетного давления иужио ввести еще коэффициент пере-
грузки п = 1,5.
§ 56. ДАВЛЕНИЕ СЫПУЧЕГО ТЕЛА НА СООРУЖЕНИЯ,
ВОЗВЕДЕННЫЕ ИЛИ УЛОЖЕННЫЕ ОТКРЫТЫМ СПОСОБОМ
НА БОЛЬШОЙ ГЛУБИНЕ ОТ ПОВЕРХНОСТИ ЗЕМЛИ
1. Случай укладки в траншею
При возведении подземного сооружения открытым способом
с последующей обратной засылкой выработки, которую будем на-
зывать траншеей, свойства ненарушенного грунта, слагающе-
236
го стенки траншеи, всегда
отличаются от свойств вы-
нутого грунта. Как бы
тщательно ни был уплотнен вынутый грунт прн обратной за-
сыпке, его структура нарушена, в то время как за пределами
стенок траншеи грунт находится в состоянии, более или менее
близком к тому, в котором он находился до ее устройства. По-
этому при уплотнении траншейной засыпки под действием ее соб-
ственной массы и давления грузов, перемещающихся по поверхности
земли, она оседает, и между нею и стенками траншеи (так же как
в силосах) возникают силы трения, которые воспринимают часть
веса засыпки, расположенной выше сооружения. Остальная
часть передается на сооружение и на засыпку, заполняющую про-
межутки между сооружением и стенками траншеи, называемые па-
зухами .
Для единицы длины траншеи с вертикальными стенками
(рис. 161) применяется формула (9.6), полученная для силосов,
в которую вместо площади и периметра горизонтального сечеиия
силоса подставляют F = В и U = 2. Тогда на уровне верха соору-
жения при z — h
Qb —
(10.17)
2|/0 Д П В
Равнодействующая вертикального давления
(2=7вВ = КтрТ/Ш,
1-*-
„	_____уВ В [ I 2tf„h]
где
(10.18)
h ( ехр1 В J
(10.19)
237
Из формулы (10.19) следует, что значение коэффициента /<тр
зависит от отношения hl В, произведения £ f 0 и отношения с/(уВ);
для определения KTD можно пользоваться нижней частью графика,
показанного на рнс. 162, при составлении которого сцепление с при-
нято равным нулю. При этом, имея в виду, что для ряда грунтов
произведение £ имеет примерно одинаковое значение и что при
обычных значениях h/B KTJP сравнительно мало изменяется в за-
висимости от | /о, можно остановиться на двух стандартных рас-
четных значениях этого произведения: для песчаных и супесча-
ных засыпок (кривая 1 на рис. 162) В f0 = 0,43 • tg 25°«0,2; для
глинистых засыпок (кривая 2 на рис. 162) £ f0 = 0,54 • tg 15° =
= 0,145.
Чтобы определить давление на подземное сооружение, уложен-
ное в траншее, необходимо иметь в виду, что формула (10.18) не
учитывает поперечных размеров самого сооружения. Поэтому для
небольших отношений между шириной траншеи В и шириной со-
оружения b и при плотной утрамбовке пазух можно ввести в фор-
мулу (10.18) поправочный множитель ф, меньший единицы, учиты-
вающий передачу части полной нагрузки Q на засыпку пазух.
При увеличении ширины траншеи достигается такой предел от-
ношения В/b, при котором влияние стенок траншеи уже не сказы-
вается на значении расчетной нагрузки на сооружение. При этом
сооружение работает в условиях насыпи. Поэтому расчетная на-
грузка на сооружение в траншее не должна превосходить расчет-
ной нагрузки для сооружения, уложенного в насыпи.
Для траншей с переменной по высоте шириной практически
можно пользоваться формулой (10.18), принимая в качестве рас-
четной ширину траншеи на уровне верха сооружения и определяя
коэффициент Ктр по рис. 162 для отношения Л/Вср, где Вср — ши-
рина траншеи на глубине А/2 от поверхности.
Боковое давление засыпки на сооружение в узкой траишее или
не учитывается совсем, или при хорошем уплотнении пазух при-
1	п
нимается равным g- вертикального давления. Для более широ-
ких траншей этот коэффициент может быть повышен до и даже
1
ДО ? .
2. Случай укладки под насыпью
Вертикальная нагрузка на сооружение, уложгинсе под насыпью,
определяется в предположении, что в засыпке образуются поверх-
ности скольжения, являющиеся плоскостями, касательными к со-
оружению. В случае если сооружение обладает большей жесткостью,
чем грунт, расположенный рядом с ним, силы трения, действую-
щие на призму грунта, лежащую непосредственно над трубой,
имеют обратное направление по сравнению с рассмотренным выше
случаем траншейной укладки.
23S
Таким образом, жесткое сооружение под насыпью оказывается
нагруженным не только весом лежащей на нем засыпки, но и доба-
вочной нагрузкой, обусловленной силами трения по плоскостям
скольжения.
При уменьшении жесткости сооружения силы трения и обус-
ловленная ими добавочная нагрузка уменьшаются. Если трубы
очень гибкие (например, тонкостенные металлические), то силы
трения в плоскостях скольжения меняют свое направление и на-
грузка на трубу оказывается уже меньшей, чем вес вышерасполо-
женной засыпки.
Следует иметь в виду, что при большой высоте засыпки над со-
оружением h 2> 2,25 b плоскости скольжения уже не проходят на
всю ее высоту.
Основная нагрузка на сооружение под насыпью определяется
по формулам (10.1) — (10.6). Кроме того, для сооружения жест-
кость которого превышает жесткость грунта насыпи, учитывается
дополнительное вертикальное давление, которое принимается рав-
номерно распределенным по горизонтальной проекции сооружения
с равнодействующей:
<2Д0П=Тй6(Кн-1).	(10.20)
где Кн — коэффициент концентрации давления грунта в насыпи, определяе-
мый по верхней части графика рис. 162 в зависимости от произведения sx;
v. — отношение высоты выступающей из основания части сооружения к его
полной высоте; s—коэффициент, учитывающий жесткость основания под со-
оружением и принимаемый равным: для очень жесткого основания 5=1,
для жесткого основания s ~ 0,7, для плотного основания s — 0,5, для подат-
ливого основания s = 0,3, дли очень податливого основания 5=0.
Для гибких сооружений дополнительное давление не учитывают.
Пример 30. Определить вертикальное давление па железобетонную тру-
бу внешним диаметром Dj = 0,72 м, если она уложена в траншее шириной
В = 1,8 м па глубине Л = 4 м от поверхности; грунт песчаный маловлажный,
у = 16,5 кН/м3. Уплотнение пазух слабое.
Для отношения h/B = 4/1,8 = 2,22 по нижней части графика рис. 162
(кривая /) находим Ктр = 0,65 и по формуле (10.18) без поправочного коэф-
фициента получаем значение расчетного вертикального давления иа трубу
Q = /<TpyBft=0,65-16,5-1,8-4 = 77,3 кН/м.
Пример 31. Определить вертикальное давление на трубу, уложенную
обычным способом в насыпи на плотное основание при тех же данных, что и в
предыдущем примере. Для отношения h/D1 = 4/0,72 = 5,56 по верхней части
графика рис. 162 (кривая /) для sx = 0,5 находим — 1,38 и определяем
исходя из формулы (10.20) равнодействующую вертикального давления на
трубу:
Q =/СиуВй= 1,38-16,5-0,72-4 =65,6 кН/м.
Для получения расчетных нагрузок вводится коэффициент перегрузки
п = 1,2.
239
§ 57. ДАННЫЕ ОПЫТОВ И НАБЛЮДЕНИЙ
Данные опытов по определению давления засыпки на трубы,
уложенные в траншеях и в насыпях, весьма многочисленны. Что
касается туннелей, то экспериментального материала пока еще зна-
чительно меньше.
Ниже приведены основные результаты некоторых опытов по
определению давления грунта на подземные сооружения.
1.	Опыты Н. Н. Давиденкова
Опытные работы по определению вертикального н бокового дав-
ления засыпки высотой от 3,9 до 4,2 м в траншеях шириной 1,8—
2,8 м были проведены при укладке канализационного коллек-
тора диаметром 0,6—0,8 м в Ленинграде. Струнные динамометры
были установлены как на самой трубе, так и на различных уровнях
по высоте траншеи.
Засыпка состояла из смеси насыпного грунта, песка и суглинка
объемной массой 1,94 т/м3.
На рис. 163 нанесены значения давлений (незалитые кружки и
квадраты при укладке динамометров в 1928 г., залитые кружки и
квадраты по откопанным динамометрам в 1929 г.). Все без исклю-
чения динамометры показали (примерно за 7 мес.) рост давления
в пределах от 4 до 33%. В некоторых случаях давление нарастало
непрерывно; в других случаях наблюдений, сделанных зимой,
давления снижались, что было вызвано промерзанием грунта,
а затем это снижение перекрывалось новым возрастанием дав-
лений.
Отношение наибольшего давления к весу вышележащего стол-
ба грунта доходило в широких траншеях до 1,25 и даже до 1,5.
Наименьшее значение этого отношения, равное 0,72, было полу-
чено в узких траншеях.
Боковое давление ока-
залось равным 0,33—0,56
вертикального. В широких
траншеях это отношение
остается постоянным во
времени, а в узких оно
повышается, достигая та-
кого же значения, как и в
широких.
На рис. 163 видно, что
теоретические кривые про-
ходят в самой гуще экспе-
риментальных точек, что
служит подтверждением
формулы (10.18).
РИС. 163
240
2.	Опыты Г. И. Покровского
И. С. Федорова и И. Г. Купцова [95]
Опыты были проведены методом центробежного моделирования
с песком и глиной в сухом и влажном состоянии. Применявшаяся
деревянная модель трубы имела наружный диаметр 5,2 см, длину
10 см и массу 0,161 кг. Это соответствовало в принятом масштабе
моделирования бетонной трубе длиной 3 м, внутренним диаметром
1,25 м с толщиной стенок 0,15 м.
Модели траншей при переходе к натуре имели следующие раз-
меры:
Траншея нормальной ширины; глубина 3,9 м, ширина 2,1 м
» увеличенной »	»	4,5 »	»	2,7 »]
По окружности трубы были установлены аэростатические динамо-
метры для измерения нормальных давлений и приборы для изме-
рения касательной составляющей давления. Модель трубы укла-
дывали на подсыпку с таким расчетом, чтобы над трубой оставалась
засыпка, высота которой соответствовала в натуре 2,4 м. Засыпан-
ную грунтом модель трубы подвергали действию центробежной
силы в течение 25 мин, что соответствовало в масштабе времени
периоду 15,6 дня.
В результате опытов авторы пришли к следующим выводам.
I.	Наибольшее нормальное давление наблюдается в верхней
точке трубы; иногда оно на 20—30% превышает давление в нижней
точке. Наименьшее деление наблюдается на концах горизонталь-
ного диаметра (pre. 164).
2.	Наибольшее касательное давление всегда наблюдается на
концах горизонтального диаметра, постепенно убывая до пуля к
концам вертикального. Касательные давления направлены снизу
вверх и для нижней, и для верхней половины трубы.
3.	Наибольший угол отклонения давления от нормали наблю-
дается на концах горизонтального диаметра, где он приближается
к углу внутреннего трення грунта. Влияние степени шероховато-
сти поверхности трубы незначительно.
ТАБЛИЦА 26. НОРМАЛЬНЫЕ
И КАСАТЕЛЬНЫЕ СОСТАВЛЯЮЩИЕ
ДАВЛЕНИЙ НА ТУННЕЛЬНУЮ ОБДЕЛКУ
Кэточки на
рис. 164
Грунт Метро-
строя. кПа
Песок, кПа
1
2, 2х
3. 3х
4, 4х
5
99
90
72
83
13
0	26
II	23
17	17
11	32
0
13
15
11
РИС. 164
241
4.	Трамбование пазух как для песка, так и для глины несколь-
ко увеличивает боковое давление на трубу. При плохом трамбова-
нии получаются значительные отступления давлений в отдельных
точках от их средних значений.
Аналогичные опыты были проведены с моделями тюбинга тон-
неля метро диаметрами в натуре 2, 4 и 6 м, уложенными на глуби-
не 18 м, причем под моделями находился слой песка 6 м.
Грунт, уложенный в каретку центрифуги, уплотняли вращени-
ем машины в течение 30 мин. После установки модели тюбинга про-
изводили центрифугирование еще в течение 25 мин. Средние зна-
чения нормальных н касательных давлений для пяти точек по ок-
ружности, показанных на рис. 164, приведены в табл. 26.
3.	Опыты Азербайджанского
института сооружений (Аз И С)
Крупные экспериментальные работы были проведены на специ-
альном опытном участке и затем в производственных условиях1- на
трассе второго Бакинского водопровода. Давления траншейной за-
сыпки на поверхность водовода размером 1,89 X 2,78 м и реактив-
ные давления со стороны основания измеряли электроакустиче-
ским методом.
Эксперименты были проведены на опытном участке и в четырех
различных пунктах трассы водовода, имеющей длину около
180 км. Глубина траншеи во всех случаях была равна 6 м при ши-
рине понизу 3 м и поверху 9 м. Таким образом, толщина слоя засып-
ки над трубой составляла около 3 м. Большая
часть траншеи проходила в суглинках и глинах.
На трассе определяли не только начальное
давление засыпки на водовод, но и наблюдали
за последующими изменениями давления в тече-
ние семи месяцев.
Типичные эпюры распределения полных,
нормальных и касательных давлений по пери-
метру поперечного сечения трубы, полученные
экспериментально, показаны на рис. 165.
Полная вертикальная нагрузка на сооруже-
ние составляла при уплотненных пазухах 1,18—
1,69 веса столба грунта, лежащего над соору-
жением, а при неуплотнениых — 1,65—2,8 веса
того же столба грунта. При этом вертикальные
проекции нормальных и касательных состав-
ляющих давления от общей вертикальной на-
грузки на сооружение составляют соответствен-
1 Дацко Н. Ф. Давление земли на трубопроводы
больших сечений. Баку, Изд. Азерб. ин-та сооруже-
ний, 1939.
РИС. 165
242
ио: при уплотненных пазухах 73—52 и 27—48%; при неуплот-
ненных пазухах 57—46 и 43—54%. Отношение давления на уров-
не горизонтального диаметра к давлению в шелыге составляет прн
уплотненных пазухах не менее 0,27, а при неуплотненных колеб-
лется в пределах 0,24—0,2. Касательные силы во всех случаях на-
правлены вниз и могут быть приняты, кроме верхней части, про-
порциональными нормальному давлению в данной точке, причем
коэффициент пропорциональности равен 0,52—0,67 f для уплотнен-
ных пазух и 0,9 f для неуплотненных в начальный момент и ие
менее среднего значения коэффициента среза в последующем.
В шелыге касательные силы равны нулю и возрастают на протя-
жении каждой половины верхней части до своего предельного зна-
чения.
Сопоставление опытных и теоретических значений полных вер-
тикальных нагрузок подтверждает применимость формулы (10.18)
с поправочным множителем, меньшим единицы.
4.	Опыты П. М. Зелевича
Этн опыты были проведены с прямоугольными железобетонными
трубами 3 X 3,1 и 2 X 3,1 м, уложенными под насыпями высотой
соответственно 17,53 н 11,53 м [52]. Насыпн отсыпали из суглинка
с р = 2 т/м3; утлом внутреннего трения ф = 1Г 33' н удельным
сцеплением с ~ 107 ...124 кПа. Под фундаментами труб залегали
влажные суглинки с включениями гальки, гравия и песка (р =
= 1,9 т/м3, ф = 10° и с = 36 кПа). В качестве засыпки около
мессдоз использован мелкий песок толщиной слоя 0,5—1,5 м.
Замеры показали, что верти-
кальное давление на верхние
плиты при всех высотах засып-
ки почти в 2 раза превышало
вес толщи грунта над трубой
(рис. 166).
Горизонтальное давление на
стенкн труб равно вертикально-
му, умноженному на коэффи-
циент бокового давления грун-
та, который для суглинков на-
ходился в пределах 0,42—0,58,
а для песчаной засыпки был ра-
вен 0,215. При этом ординаты
эпюр горизонтальных давлений
уменьшались книзу.
Установлено также, что вер-
тикальное и горизонтальное дав-
ления суглинков возрастают и
по окончании засыпки.
РИС. 166
243
5.	Опыты А. Л. Брика
Экспериментальные работы были проведены с железобетонны-
ми трубами внутренним диаметром 1,25 м, уложенным на фунда-
менты с углами охвата ПО и 60°, или на плоскую подошву шириной,
равной наружному диаметру и 0,8 от его значения [10]. Под фунда-
ментами и под плоскими подошвами была сделана щебеночная под-
готовка.
Некоторые трубы имели круглую форму и были уложены на под-
готовку с углом охвата 90°.
С помощью мессдоз были измерены нормальные и касательные
составляющие давления засыпки по контуру труб. Было уста-
новлено, что нормальное давление в верхней точке трубы возрас-
тает с увеличением жесткости опирания. Так, при наибольшей вы-
соте насыпи над трубой (6,5 м) это давление для круглой трубы
составляло 154 кПа, для трубы с плоской подошвой — 175 кПа и
для трубы на фундаменте — 197 кПа.
Боковое давление на концах горизонтального диаметра состав-
ляло соответственно 50, 45 и 32 кПа.
Касательные составляющие давлений, направленные вниз, до-
стигают своего наибольшего значения около середины верхних
квадрантов, где они равны нормальным составляющим, умноженным
РИС. 167
244
на коэффициент трения между засыпкой и поверхностью трубы,
который оказался около 0,5. Типичные эпюры давлений (нор-
мальных с и касательных т) показаны на рис. 167 (а — на фунда-
менте, б — на грунте).
По подсчетам А. Л. Брика, касательные составляющие давле-
ний увеличивают наибольшие изгибающие моменты, вызванные
нормальными составляющими, до 40й.
6.	Опыты В. Н. Денисова
Под руководством проф. С. С. Давыдова замерены давления
грунта на обделке сборных коллекторных железобетонных тунне-
лей диаметром от 2 до 4 м, уложенных в песчаные грунты щи-
товым способом в разных районах Москвы на глубине от 4,4 до 15 м
[41]. Было установлено, что средняя нагрузка на обделку большей
частью намного меньше веса столба грунта до поверхности и что
нагрузки сильно зависят от диаметра выработки. Так, давление на
туннели глубиной 2 м составляет 13—15 кПа, а на туннели глу-
биной 4 м доходит до 61—69 кПа.
Нагрузка обычно возрастает до максимальной в течение первых
3 суток, а затем в течение 20—40 сут. происходит перераспре-
деление давления, сопровождающееся ростом нагрузки на одних
участках и снижением ее на других, до стабилизации давления-
Эпюры давлений по контуру туннеля имеют самое разнообраз-
ное очертание с несколькими максимумами и минимумами в различ-
ных точках сечения выработки, что объясняется шарнирной кон-
струкцией блочного кольца обделки, неоднородностью грунта и
другими случайными причинами. Неравномерность давлений ха-
рактеризуется коэффициентом 0,4—0,8, который с течением време-
ни снижается.
В результате проведения испытаний авторы рекомендуют при-
нимать для расчета эллиптическую эпюру давлений с наибольшей
ординатой, равной расчетной нагрузке по теории К. В. Руппенейта
или по формуле М. М. Протодьяконова, и с наименьшей ординатой,
равной нулю. Направление большей оси эллипса нельзя считать
вертикальным.
7.	Опыты С. И. Мальгииова
Опыты проведены в лабораторных и производственных услови-
ях с железобетонными туннелями прямоугольного поперечного се-
чения, уложенными открытым способом в глинистый грунт
на глубину 0,9—1,6 м от поверхности1 *. Засыпка имела плотность
р = 1,6 т/м3, угол внутреннего трения ср = 26° и удельное сцепле-
ние с от 0 до 15 кПа.
1 Мальгинов С. И. Особенности статической работы прямоугольных тон-
нелей в глинистых грунтах. В сб.: трудов Уральского Промстройниипроекта,
№ 29, Свердловск, 1970.
245
Для лабораторных исследований бы-
ли применены замкнутые рамные блоки
размерами 50 X 60 и 70 х 70 см и бло-
ки со свободно опертым перекрытием
размером 70 X 70 см.
В натурных условиях измерены дав-
ления засыпки на туннель размером
2 X 2,2 м, возведенный в траншее.
Для измерения давления засыпки
были применены электрогидравлические
мессдозы, установленные заподлицо с
наружной поверхностью туннеля.
Опыты показали, что прогиб пере-
крытия вызывает образование над тун-
нелем разгружающего свода в засыпке.
При этом происходит концентрация дав-
лений на участках ригеля, примыкаю-
щих к углам, и снижение давления в
средней части пролета. Отношение мак-
симального давления к минимальному
находилось в пределах 1,3—2. При
свободном опирании плит на стенки
^кПа
кПа.
РИС. 16S
разгружающий свод выходил за пределы конструкции, а распре-
деление давления по перекрытию более равномерное.
Средние значения вертикального давления на перекрытие со-
авили 70—75% веса налегающей толщи засыпки и пригрузки на
ее поверхности. Боковое давление во всех опытах составляло
0,2—0,35 значения вертикального давления на перекрытие. При
этом боковое давление возрастало с глубиной по линейному закону
до половины высоты стенки, а затем уменьшалось в ее нижней
части.
Рыхлая засыпка производила значительно меньшее боковое
давление, которое составляло всего 0,08—0,18 вертикального.
С развитием пластических деформаций в слабых грунтах ос-
нования эпюра реакций приобретала параболическую форму.
В плотных грунтах наблюдалась резкая концентрация давлений
под стенками и разгрузка пролета днища. Установлено, что нагруз-
ки росли в основном в первые дни после окончания засыпки и че-
рез 20—25 дн. приостанавливались.
Типичные эпюры активных давлений засыпки и реактивных дав-
лений со стороны основания на туннель показаны на рис. 168.
8.	Опыты П. В. Дергачева
Эти опыты были проведены с железобетонными трубами внут-
ренним диаметром 1,5 м, уложенными под 18—22-метровым слоем
намытых шламов с плотностью скелета 1,48—1,65 т/м3, углом
внутреннего трения 28—39° н влажностью 15—27%.
246
Основанием труб служили плотные гравелистые пески.
Было установлено, что вертикальное давление на трубы доходи-
ло до 1,5-кратного значения уЛ, а на уровне горизонтального диа-
метра составляло 0,5—0,8 этого значения.
Касательные составляющие не измерялись.
9.	Опыты С. О. Оспанова и Г. М. Сондюкова
Эти опыты были проведены со стальными трубами диаметром
1000 мм с толщиной стенки 12 мм, уложенными в траншею при вы-
соте слоя суглинистой засыпкн над трубой до 4,2 м. Было установ-
лено, что способ опирания трубы влияет на значение вертикаль-
ного давления, которое во всех случаях оказалось меньше yh. Бо-
ковое давление составляло 0,4—0,6 вертикального.
10.	Опыты Г. Р. Розенвассера 1 *
Участок туннеля длиной 36 м был построен нз сборных желе
зобетонных цельнозамкнутых сводчатых блоков высотой в свету
2,3 м, шириной 2 м, длиной 1 м, толщиной стенок 0,15 м. Туннель
был уложен на небольшой глубине от поверхности земли в суг-
линистый грунт. Плотность скелета грунта колебалась по 1,3 до
1,6 т/м3 при влажности около 25%.
Сооружение подвергалось действию подвижной нагрузки от
трайлера с давлением на каждую из двух осей задней тележки
200 кН. Эта нагрузка располагалась различным образом по отно-
шению к сооружению.
Наибольший интерес представляли измерения реактивных кон-
тактных давлений при односторонних воздействиях активной на-
грузки на сооружение. Было установлено, что соотношение реак-
тивных и активных давлений в симметрично расположенных по от-
ношению к вертикальной плоскости точках находится в пределах
от 25 до 70% в зависимости от плотности засыпки и что контактные
условия лучше всего описываются местно-деформируемой расчет-
ной моделью основания при коэффициенте постели, связанном
с плотностью засыпки экспоненциальной зависимостью,
Установлен также весьма интересный факт, что предельное
состояние железобетонной конструкции по прочности наступает
раньше, чем переход окружающей грунтовой среды в состояние
предельного равновесия в результате перемещений сооружения.
Крупные экспериментальные исследования нагрузок на тунне-
ли мелкого заложения от воздействия горных выработок проведе-
ны Г. Р. Розенвассером совместно с С. Н. Клепиковыми И. С. Ду-
бинским.
1 Розенвассер Г. Р. Экспериментальные исследования взаимодействия
конструкций проходных коммуникационных туннелей и грунта в условиях
траншейной прокладки. Известия вузов. — «Строительство и архитектура»,
СПИСОКЛИТЕРАТУРЫ
1.	Алипов В. В. Давление грунтового заполнителя в железобетонных ячеи-
стых конструкциях. — «Основания, фундаменты н механика грунтов», 1965,
№ 2.
2.	Безухов Н. И. Основы теории упругости, пластичности и ползучести.
М., «Высшая школа», 1961.
3.	Березанцев В. Г. Осесимметричная задача предельного равновесия сы-
пучей среды. М., Гостехиздат, 1952.
4.	Березанцев В. Г. Расчет прочности песчаных оснований сооружений.
Л., Госстройиздат, 1960.
5.	Бернштейн М. С. Статика сыпучей среды. Справочник проектировщика
промышленных, жилых и общественных зданий н сооружений. Расчетио-теоре-
тическнн, кн. 2. М., Стройиздат, 1973.
6.	Бернштейн М. С., Иммерман А. Г. О статических свойствах несвязного
сыпучего тела в предельном равновесии. Научно-исследовательский институт
по строительству. — В кн.: Исследования. Массивные и стержневые системы.
М., Госстройиздат, 1952.
7.	Бескин М. Г. Давление грунта на подпорные стеики при наличии вре-
менной нагрузки иа поверхности. — В кн.: Исследования по теории сооруже-
ний, вып. VI. М., Госстройиздат, 1954.
8.	Беспрозваниая И. М. Расчет подпорных стен с учетом их жесткости,
перемещений и деформации основания. — «Гидротехническое строительство»,
1967, № I.
9.	Бобриков Б. В. Активное давление сыпучего тела на подпорные стенки
ограниченной длины. Труды МНИТ, вып. 77.— «Мосты и строительные конст-
рукции». М.» Траясжелдориздат, 1952.
10.	Брик А. Л. Исследование воздействия грунтовой среды на звенья круг-
лых труб. — В кн.: Труды НИИ мостов ЛИИЖТ нм. В. Н. Образцова,
вып. 243. М., «Транспорт», 1965.
11.	Бугаев В. Т. К учету влияния процесса засыпки грунта за жесткой
подпорной стенкой на величину распределения бокового давления. Одесские
нн-т инженеров морского флота. Морские порты. Научные труды, вып. 5. М.,
«Транспорт», 1972.
12.	Бугров К- О. О давлении несвязного грунта иа жесткую стенку с уче-
том ее перемещений. — «Основания, фундаменты и механика грунтов», 1972,
№ 5.
13.	Будин А. Я. Тонкие подпорные стенки. Л., Стройиздат, 1974.
14.	Бурмистров М. А. Давление грунта по подошве и на стенки камеры
шлюзов. — В кн.: Труды Гндропроекта, № 5. М., «Эиергоиздат», 1961.
15.	Буцько 3. Н. Об определении давления засыпки на крутые подпорные
стенки. АН СССР «Инженерный сборник», т. 23, 1956.
16.	Быковский В. Н. Расчет давления сыпучего тела на ограждения с уче-
том их подвижности. Научные доклады Высшей школы. — «Лесоииженерное
дело», 1958, № 1.
17.	Бялер И. Я. К вопросу о расчете несущих конструкций многопролетных
станций метрополитена. Изд. АН СССР, ОТН, 1954, № 7.
18.	Варгин М. Н. Исследование зависимости давления водоиасьпцеииого
1968Та °Т смещення поДпоРн°й стенки. — «Гидротехническое строительство»,
19.	Ветров Ю. А. Коэффициент трения стали по грунтам. КИСИ. Сборник
научных трудов. Киев, Гос. изд -во техн, литературы Украины 1951.
20.	Вялов С. С. Вопросы теории деформируемости связных грунтов.—
«Основания, фундаменты и механика грунтов», 1966, № 3.
21.	Гвоздев А. А. Расчет несущей способности конструкций по методу
предельного равновесия. М., Стройиздат, 1949.
22.	Гениев Г. А. Об одном варианте теории сыпучей среды. — «Строитель-
ная механика п расчет сооружений», 1965, № 6.
248
23.	Гениев Г. А. К вопросу обобщения условия предельного равновесия
сыпучей среды. — «Основания, фундаменты и механика грунтов», 1968, № 2.
24.	Гениев Г. А., Эстрии М. И. Динамика пластической и сыпучей сред.
М., Стройиздат, 1972.
25.	Герсеваиов Н. М. Собрание сочинений, т. I и П. М., Стройвоенморнз-
дат. 1948.
26.	Герсеваиов Н. М., Польшии Д. Е. Теоретические основы механики
грунтов и их практическое применение. М., Стройиздат, 1948.
27.	Глушков Г. И. Определение горизонтальных напряжений в грунте.—
«Гидротехническое строительство», 1954, № 3.
28.	Глушков Г. И. Статика и динамика сооружений, заглубленных в грунт.
М„ Стройиздат, 1967.
29.	Голушкевич С. С. Плоская задача теории предельного равновесия сы-
пучей среды. М., Гостехиздат, 1948.
30.	Гольдштейн М. Н. Внезапное разжижение песка. Днепропетровский
институт инженеров железнодорожного транспорта «Вопросы геотехники»,
сб. № 1. М., Госстройиздат, 1953.
31.	Гольдштейн М. Н. Механические свойства грунтов. М., Стройиз-
дат, 1973.
32.	Гольцман В. X. Боковое давление обратных грунтовых засыпок.—
«Гидротехническое строительство», 1967, № 8.
33.	Гончаров Ю. М. Расчет тонких стенок с учетом перераспределения
активного давления грунта по высоте стеики. — «Основания, фундаменты и ме-
ханика грунтов», 1962, № 5.
34.	Горбунов-Посадов М. И. Расчет устойчивости песчаного основания
под жестким штампом в условиях смешанной задачи. — «Основания, фунда-
менты и механика грунтов», 1961, № 6.
35.	Горбунов-Посадов М. И. Устойчивость фундаментов иа песчаном ос-
новании. М., Госстройиздат, 1962.
36.	Горбунов-Посадов М. И. и Кречмер В. В. Графики дли расчета устой-
чивости фундаментов. М., Госстройиздат, 1951.
37.	Григорьян С. С. Об осесимметричных движениях сыпучей среды.
ПММ. т. 21, вып. 2. Изд. АН СССР, 1957.
38.	Григорьян С. С. Об основных представлениях динамики грунтов. ПММ,
т. XXIV. вып. 6, 1960.
39.	Гуревич В. Б. Речные портовые гидротехнические сооружения. М-,
«Транспорт», 1969.
40.	Давыдов С. С. Расчет и проектирование подземных конструкций. М.,
Стройиздат. 1950.
41.	Денисов В. Н. Результаты замеров давления грунта на обделку кол-
лекторных тоннелей Москвы. — «Основания, фундаменты и механика грунтов»,
1963, № 4.
42.	Дергачев П. В. Об устойчивости ячеистых конструкций. — «Основания,
фундаменты и механика грунтов», 1959, № 5.
43.	Дерягин Б. В. Что такое трепне (очерки о природе трения). Изд.
АП СССР, 1952.
44.	Дуброва Г. А. Методы определения распорного давления грунта при
расчете гидротехнических сооружений. М., Машстрониздат, 1947.
45.	Дуброва Г. А. Взаимодействие грунта и сооружения. М., «Речной
транспорт», 1963.
46.	Евдокимов П. Д. Устойчивость гидротехнических сооружений п проч-
ность их оснований. М., «Энергия», 1966.
47.	Емельянов Л. М. К вопросу об устойчивости глубоких опор, имеющих
вертикальные плоскости симметрии. Научные записки Московского гидроме-
лиоративного ни-та, т. 15, М., 1948.
48.	Желанкин Г. К. К расчету зааикерованных шпунтовых стенок по пре-
дельным состояниям. — «Речной транспорт», 1965, № 6.
49.	Жемочкин Б. Н. Расчет упругой заделки стержня (изгиб стержня
в упругом полупространстве). М., Стройиздат, 1948.
249
50.	Жемочкин Б. Н. Опыты с моделями свай, работающих на горизонталь-
ную нагрузку в лабораторных условиях. В кн.: Исследования по теории
сооружении, вып. IV. М., Стройиздат, 1949.
51.	Жемочкин Б. Н. О расчете ячеистых перемычек. — В кн.: Исследова-
нии по теории сооружений, вып. V. М., Госстройнздат, 1951.
52.	Зелевич II. М. Давление грунтов насыпи па прямоугольные трубы.—
«Транспортное строительство», 1964, № I.
53.	Зеленский В. С. Определение давления сыпучей среды на подпорные
стенки с ребристой гранью. — «Основания, фундаменты и механика грунтов».
1969, № 6.
54.	Зенков Р. Л. Механика насыпных грунтов. М., «Машинострое-
ние», 1964.
55.	Игнатов В. И., Быков Е. Н., Шулев А. С. О распределении давления
засыпки на подпорную стенку. — «Основания, фундаменты и механика грун-
тов», 1973, № 5.
56.	Ильин А. А. Исследование давления грунта на стенки камер шлюзов.
«Речной транспорт», 1961, № 6.
57.	Иоселевич В. А. О законах деформирования нескальных грунтов.—
«Основания, фундаменты и механика грунтов», 1967, № 4.
58.	Каган М. Е. О давлении иа подпорную сгенку при нелинейном его
распределении. — «Строительная механика и расчет сооружений», 1960, № 6.
59.	Каган М. Е., Перельман М. Н. Давление зерна на стены зерноскла-
дов.— «Мукомольпо-элеваторнаи промышленность», 1959, № 1.
60.	Кандауров И. И. Механика зернистых сред и ее применение в строи-
тельстве. М., Стройиздат, 1966.
61.	Кананян А. С. Экспериментальное исследование разрушения песчаного
основания вертикальной нагрузкой. Труды Научно-исследовательского инсти-
тута оснований н фундаментов. Сб. № 24 «Механика грунтов». М., Госстрой-
издат, 1954.
62.	Киселев В. А. Строительиаи механика. М., Госстройнздат, 1960.
63.	Клейм Г. К. Строительная механика сыпучих тел. М., Госстройнз-
дат, 1956.
64.	Клейн Г. К- Давление грунта на подземные сооружения, симметрич-
ные относительно вертикальной оси. Труды НИИОСП. Сборник № 41. М..
Госстройнздат, 1959.
65.	Клейи Г. К. Давление на подпорную стену в зависимости от ее пере-
мещений и жесткости основания. — «Основания, фундаменты и механика
грунтов», 1963, № 4.
66.	Клейн Г. К. Расчет подпорных стен. М., «Высшая школа», 1964.
67.	Клейн Г. К. Расчет шпунтовых ограждений в упругой и предельной
стадиях сопротивления основания.—-«Основания, фундаменты и механика
грунтов», 1965, № 6.
68.	Клейн Г. К. Расчет подземных трубопроводов. М., Стройиздат, 1969.
69.	Клепиков С. Н., Розенвассер Г. Р., Дубянский И. С. Исследование
нагрузок иа коммуникационные тоннели мелкого заложения от воздействия
горных разработок. — «Основании, фундаменты и механика грунтов»,
1974, № 3.
70.	Костюков В. Д. Определение бокового давления на подпорные стенки
с учетом разброса значений физнко-механнческнх характеристик засыпки.-—
«Гидротехническое строительство», 1967, № 9.
71.	Корбашев В. Ф. Давление сыпучей среды на криволинейные в плане
подпорные стены гидротехнических сооружений. — «Гидротехническое строи-
тельство», 1968, № 2.
72.	Костылева Н. В. Определение сопротивлении сдвигу и критической
пористости песка на стабилометре. Днепропетровский институт инженеров
железнодорожного транспорта. — «Вопросы геотехники», сб. № 1, М., Госстрон-
издат, 1952.
73.	Кречмер В. В. Метод расчета шпунтовых стенок как упругих конструк-
ций с учетом сжимаемости грунта в области заделки. — Труды НИИ основа-
ний и фундаментов, № 30. — «Механика грунтов», 1956.
250
74.	Лазебник Г. Е., Смирнов А. А., Симаков В. И. Экспериментальное оп-
ределение коэффициента бокового давления и коэффициента Пуассона несвяз-
ных грунтов. — «Основания, фундаменты н механика грунтов», 1967, № 4.
75.	Лазебник Г. Е., Чернышева Е. И. Исследование распределения давле-
ния грунта на модели глубоких одноанкерных подпорных стенок. — «Основа-
ния, фундаменты и механика грунтов», 1966, № 2.
76.	Лазебник Г. Е., Чернышева Е. И. Влияние способов производства ра-
бот на величину усилий в подпорных тонких одиоаиксрных стенках. — «Гидро-
техническое строительство», 1967, № 5.
77.	Лихачев В. П., Лузан С. В. и Др. Методы расчета устойчивости и проч-
ности гидротехнических сооружений. Под ред. М. М. Гришина. М., Строй-
издат, 1966.
78.	Ломизе Б. М. Нахождение опасной поверхности скольжения при рас-
чете устойчивости откосов. — «Гидротехническое строительство», 1954, № 2.
79.	Лубеиов Р. В., Яковлев П. И. Исследование давления грунта с рав-
номерно распределенной нагрузкой на неподвижную стенку. ММФ СССР,
отдел учебных заведений. Научные труды. «Гидротехника», вып. 2. М., «Мор-
ской транспорт», 1962.
80.	Лубенов Р. В., Яковлев П. П. Влияние поступательного перемещения
вертикальной стенки иа величину распорного давления грунта и на его иапря
женное состояние. ММФ СССР, отдел учебных заведений. Научные труды —
«Гидротехника», вып. 3. Мп «Транспорт», 1964.
81.	Львик Я- Б. Геометрический вывод теоремы Ребхана. — В кп.: Иссле-
дования по теории сооружений, вып. 7. М., Госстройнздат, 1957.
82.	Малышев М. В. О влиянии среднего главного напряжения и о поверх-
ностях скольжения. — «Основания, фундаменты н механика грунтов», 1963,
№ 1.
83.	Малышев М. В. Распределение напряжений и деформаций в иелнней-
но-деформируемом основании, нагруженном сосредоточенной силой. — «Осно-
вания, фундаменты н механика грунтов», 1963, № 3.
84.	Малышев М. В. Об использовании для сыпучих грунтов условия проч-
ности Губера — Мизеса.— Боткина. — «Основания, фундаменты и механика
грунтов», 1969, № 5.
85.	Маслов Н. Н. Условия устойчивости склонов н откосов в гидроэнер-
гетическом строительстве. М., Госэнергоиздат, 1955.
86.	Марголин В. М., Дьяконов В. П. Устойчивость вертикальных стенок
траншей под гидростатическим напором. — «Основания, фундаменты и меха-
ника грунтов», 1973, № 1.
87.	Мелешков Р. Г. Экспериментальное определение давления грунтов на
некоторые виды набережных стенок. ГИУ ВМФ СССР. Сборник трудов № 3.
Воениздат, 1960.
88.	Муллер Р. А. К статистической теории распределения напряжений
в зернистом грунтовом основании. — «Основания, фундаменты и механика грун-
тов», 1962, № 4.
89.	Мухин И. С., Срагович А. И. Построение предельных контуров равно-
устойчивых откосов. Изд. АН СССР, 1954.
90.	Напетваридзе Ш. Г. Сейсмостойкость гидротехнических сооружений.
М., Госстройнздат, 1959.
91.	Ничипорович А. А., Хрусталев Н. Я. О расчете устойчивости плотин
иа пескальных основаниях. «Гидротехническое строительство», 1949, № 6.
92.	Петров Б. А. О давлении цемента на стенки и днище силосов. Гнп-
роцемент, «Труды», вып. XIV. М., Промстройнздат, 1951.
93.	Петрова-Ясюиас Л. П. Методика расчета оползневых склонов по пре-
дельным состояниям. — «Транспортное строительство», 1962, № 12.
94.	Платонов Н. П., Ковтун А. П. Давление зерна на стенки силосов
элеваторов. — «Мукомольно-элеваторная промышленность», 1959. № 12.
95.	Покровский Г. И., Федоров И. С. Центробежное моделирование для
решения инженерных задач. М., Госстройнздат, 1953.
251
96.	Прокофьев И. П. К вопросу о давлении грунта на жесткую стенку,
вращающуюся вокруг верхнего конца. Труды МНИТ, вып. 69. М., Трансжел-
дориздат. 1946.
97.	Прокофьев И. П. Давление сыпучего тела и расчет подпорных стенок.
М., Стройиздат, 1947.
98.	Протодьяконов Л1. М. Вопросы разрушения н давления горных пород.
Сб. статей. М., Углетехиздат, 1955.
99.	Рабинович И. М. Курс строительной механики стержневых систем,
ч. II. М_, Госстройиздат, 1954.
100.	Разоренов И. Ф. Вопросы испытаний и расчета одиночных фундамен-
тов на горизонтальную нагрузку. — «Железнодорожное строительство»,
1952, № 12.
101.	Рашидов Т. Р. Динамическая теория сейсмостойкости сложных си-
стем подземных сооружений. Ташкент, «Фан», 1973.
102.	Раюк В. Ф. Расчет давления грунта на подпорные стенки. «Речной
транспорт», 1965, № 5.
103.	Ризаев Ш. Р. Теории и методы расчета устойчивости откосов. Таш-
кент, «Фан», 1969.
104.	Руппенайт К- В. Некоторые вопросы механики горных пород. М.,
Углетехиздат, 1954.
105.	Сергеев И. Т., Савченко Ф. М. Экспериментальные исследования дав-
ления грунта иа поверхность анкерной плиты.-—«Основания, фундаменты и
механика грунтов», 1972, № 5.
106.	Симвулиди И. А. Расчет инженерных конструкций на упругом осно-
вании. М., «Высшаи школа», 1973.
107.	Синельников В. В. Аналитический вывод формул давления сыпучего
тела иа стенку. Труды МИИТ, вып. 69. М., Трансжелдориздат, 1946.
108.	Синельников В. В. Давление сыпучих тел и расчет подпорных стен,
гл. 7. — В кн.: А. В. Даркова и В. И. Кузнецова «Строительная механика». М.,
«Высшая школа», 1962.
109.	Синельников В. В. Экспериментальное изучение образования линий
скольжения в сыпучей среде. Труды МИИТ, вып. 131. М, Трансжелдориз-
дат, 1961.
ПО. Скуратов В. С. О методе расчета портовых шпунтовых стенок.
«Речиой транспорт», 1953, № 2.
111.	Снитко Н. К. Определение действительного бокового давления грун-
та по уравнению совместности перемещений сдвига. — «Основания, фунда-
менты и механика грунтов», 1963, № 1.
112.	Снитко Н. К. Статическое и динамическое давление грунтов и расчет
подпорных стенок. Л., Стройиздат, 1970.
113.	Соболевский Ю. А. Устойчивость откосов мелиоративных каналов.
Минск, «Урожай», 1965.
114.	Соболевский Ю. А. Криволинейные очертания однородных откосов.
М., «Высшая школа», 1969.
115.	Соколовский В. В. Статика сыпучей среды. Изд. АН СССР, 1942
(а также Физматиздат, 1960).
116.	Соловых С. Ф. О связи напряженного состояния сыпучего тела
с формой движения его в силосе. Известия вузов. — «Строительство п архи-
тектура», 1962, № 5.
117.	Строганов А. С. Экспериментальные исследования условий пластиче-
ского течения и некоторых задач теории предельного равновесия сыпучих
сред. — Инженерный журнал «Механика твердого тела». М., «Наука», 1968.
118.	Строительная механика в СССР. 1917—1957. М., Стройиздат, 1957-
Строительная механика в СССР. 1917—1967. М., Стройиздат, 1969.
119.	Тарасов Б. Л. Экспериментальное исследование активного давления
глинистого грунта на подпорную стенку. — «Основания, фундаменты и меха-
пика грунтов», 1968, № 2.
120.	Теплицкий Е. И. Давление породы на подземные сооружения. «Вопро-
сы расчета и методы возведения подземных сооружений». Сборник № 41 НИИ
оснований и подземных сооружений. М_, Госстройиздат, 1959.
252
121.	Терцаги К. Теория механики грунтов. М., Госстройиздат, 1961.
122.	Титова В. И. Определение давлении сыпучего тела иа круговую в пла-
не стену. — «Гидротехническое строительство», 1951, № 3.
123.	Троицкаи М. Н. Зависимость между силой н деформацией как основа
расчета прочности грунтов в дорожных конструкциях. Гушосдор МВД СССР.
Дорнин, вып. VII. «Исследование деформаций полотна автодорог». М., Дориз-
дат, 1947.
124.	Федоров И. В. Методы расчета устойчивости склонов и откосов. М.,
Госстройиздат, 1962.
125.	Фильрозе Р. М. Экспериментальные исследования давления грунта
иа подпорную стенку. — «Гидротехническое сторительство», 1967, № 3.
126.	Фисенко Г. Л. Устойчивость бортов угольных карьеров. М., Угле-
техиздат, 1956.
127.	Флорин В. А. Основы механики грунтов. Т. 1 и II. М., Госстройиз-
дат, 1959, 1961.
128.	Фотнева Н. Н., Лыткин В. А. К расчету анкерных плит глубокого
заложения. — «Основания, фундаменты и механика грунтов», 1969, № 6.
129.	Фрид С. А. К определению суммарного давления грунта засыпки па
стеиы камер шлюзов. Труды Гидропроекта № 1. М-, «Энергия», 1964.
130.	Хаимович М. И. Опытное определение давления зерна в силосах. —
«Строительная промышленность», 1944, № 5, 6.
131.	Харр М. Е. Основы теоретической механики грунтов. М., Стройнз-
дат, 1971.
132.	Христофоров В. С. Расчет устойчивости грунта в основании сооруже-
ний с учетом клииа уплотнения грунта. — «Гидротехническое строительство»,
1951, № 2.
133.	Цагарели 3. В. Экспериментальное исследование давления сыпучей
среды иа подпорные стены с вертикальной задней гранью и горизонтальной
поверхностью засыпкн. — «Основания, фундаменты и механика грунтов»,
1965, № 4.
134.	Цагарели 3. В. Новые облегченные конструкции подпорных стен. М-,
Стройиздат, 1969.
135.	ЦИНТИ Госкомзага СССР. Давление сыпучих материалов в силосах
и бункерах, 1969.
136.	Цытович Н. А. Механика грунтов Изд. 4. М., Стройиздат, 1963.
137.	Цытович Н. А. Механика грунтов (краткий курс). М., «Высшая шко-
ла», 1973.
138.	Черкасов И. И. Механические свойства грунтовых оснований. М.»
«Автотрансиздат», 1958.
139.	Шахунянц Г. М. Основы практического расчета свободных н поддер-
живающих откосов. Труды МИИТ, вып. 71, 1948.
140.	Шихиев Ф. М. О распределении давления грунтов по высоте подпор-
ных стен. Одесск. ин-т инженеров морского флота. Научные труды, юбилей-
ный выпуск. ММФ СССР, 1955.
141.	Шихиев Ф. М. Исследование деформаций и напряженного состояния
грунтов. ММФ СССР. Отдел учебных заведений. Научные труды. — «Гидро-
техника», вып. 2, 1962.
142.	Шихиев Ф. М., Яковлев П. И. Об активном давлении грунта при сей-
смических воздействиях. — «Прикладная механика», т. 7, 1971, № 7.
143.	Яковлев П. И. Исследование работы разгружающих плит подпорных
стенок. ОУЗ ММФ. Научные труды. — «Гидротехника», вып. 3. М-, «Транс-
порт», 1964.
144.	Яковлев П. И. Аналитическая интерпретация задачи С. С. Голушке-
вича о давлении грунта на подпорную стенну. — «Строительная механика и
расчет сооружений», 1964, № 5.
145.	Яковлев П. И. К расчету оснований инженерных сооружений на ус-
тойчивость. — «Строительная механика и расчет сооружений», 1965, № 6.
146.	Яковлев П. И. Уточнение метода расчета подпорных стеиок с разгру-
жающими плитами. Одесский ин-т инженеров морского флота. Морские порты.
Научные труды, вып. 4. 1970.
253
147.	Biarez J., Orliac M., Remy C,, Thomas B. Contraintes dans une enceint
circulair elastique remplie de sable. C. R. Acad. Sc. Paris, t. 267. Serie A,
№ 13, 1968.
148.	Biarez J., Legal J., Negre R., Stutz P. Le calcul de lequilibre des fon-
dation non profond. C. R. Acad. Sc. Paris, t. 265. Serie A, N. Y_, 1967.
149.	Huntington W. C. Eart Pressures and Retaining Walls, № V, 1957.
150.	Kezdi A. Erddruckteorien. Springer Verlag. Berlin—Gettingen—Geidel-
berg, 1962.
151.	Lehr H. Praiectarea Si constructia batardouritor. “Hidrotehnica”. 1953,
№ 10 (рум.).
152.	Negre R. Determination de la repartition des contraintes sur la paroi
d’un silo de revolution dan le cas d’un materiau pulverulent non charge. C. R.
Acad. Sc. Parts, t. 266. Serie A, № 2, 1968.
153.	Reimbert M. et A. Mur de soutenement Traite theorique et pratique.
Editeur Eyroll, Paris, 1965.
154.	Tran Vo Nhiem. Terme de surface de la force portant limite d’une fon-
dation a charge inclinee excentree par la methode du coin triangulaire minimal.
Comptes rendus de I’Academie des sciences, t. 267, serie A, № 2, 1968, Paris.
155.	Tschebotarioff, G. P. Foundations, Retaining and Earth structures. Me.
GRAW-HILL BOOK Company, New Yore. 1973.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие..................................................   3
Введение
§ I.	Предмет и задачи строительной механики сыпучих тел ....	4
§ 2.	Краткий очерк развития строительной механики сыпучих тел 6
Глава I. Механические свойства сыпучих тел
§ 3.	Крупность, форма частиц, зерновой состав и однородность сы-
пучих тел......................................................14
§ 4.	Пористость, влажность и объемная масса сыпучих тел .... 16
§ 5.	Деформация сыпучих тел...................................19
§ 6.	Сопротивление сыпучего тела сдвигу. Внутреннее трение и сцеп-
ление .........................................................26
§ 7.	Угол естественного откоса, коэффициент бокового давления
и коэффициент Пуассона ...................................32
§	8.	Расчетные модели	сыпучих тел..............39
Глава II. Теория напряжений сыручего тела
§	9.	Дифференциальные	уравнения равновесия.....42
§ 10.	Напряжения по наклонным площадкам........................46
§11.	Условия прочности сыпучего тела..........................50
§ 12.	Дифференциальные уравнения предельного напряженного состои-
ння сыпучего тела . ...........................................56
§ 13.	Графическое изображение напряженного состояния сыпучего
тела...........................................................60
Глава III. Прочность оснований сооружений
§ 14.	Условия прочности оснований.................................64
§ 15.	Решения теории предельного напряженного состоянии .... 68
§ 16.	Расчет прочности основания с учетом образований уплотнен-
ного клина грунта.........................................72
§17.	Экспериментальные данные............................78
Глава IV. Устойчивость откосов
§18.	Условия устойчиности откосов............................83
§ 19.	Решения теории предельного напряженного	состояния	....	84
§ 20.	Расчет откосов по методу круглоцнлиндрическнх поверхно-
стей скольжения ...............................................90
§ 21.	Расчет откосов при замене поверхности	скольжения	плоскостью	95
§ 22.	Данные опытов и наблюдений.........................  ....	98
Глава V. Давление сыпучего тела на подпорные степы
§ 23.	Условия работы подпорных стеи..............................100
§ 24.	Определение активного давления сыпучего тела по методу
В. В. Соколовского.........................................- - 104
§ 25.	Случай горизонтальной поверхности засыпки..................107
§ 26.	Влияние основания под засыпкой.............................113
§ 27.	Пассивное давление сыпучего тела...........................114
§ 28.	Основные результаты решения некоторых осесимметричных
задач.......................................................  116
§ 29.	Графический метод определения активного давления засыпкн на
подпорные стевы.............................................  117
§ 30.	Распределение активного	давления по высоте стены...........121
Глава VI. Определение давления сыпучего тела на подпорные стены
при замене поверхности скольжения плоскостью
§ 31.	Основные уравнения и теоремы...............................123
§ 32.	Графические способы определения активного давления сыпучего
тела иа подпорные стены......................................S126
§ 33.	Формулы для определения активного давления сыпучего тела
иа подпорные стены............................................130
255
Стр.
$ 34. Пассивное давление сыпучего тела........................134
§ 35. Давление сыпучего тела на пологую стену................134
$ 36. Действие нагрузок, приложенных на поверхности сыпучего тела 138
§ 37.	Учет сцепления сыпучего тела............................151
§ 38.	Давление сыпучего тела при его ломаной поверхности и иа
ломаную поверхность ограждения ...............................157
§ 39.	Давление грунта иа подпорные стены с разгрузочными пло-
щадками и с фундаментными плитами.............................162
§ 40. Пределы применимости метода, основанного на замене поверхно-
сти скольжения плоскостью.....................................166
Глава VII. Особые случаи определении давления сыпучего тела на
подпорные стены. Данные опытов и наблюдений
$41. Активное давление сыпучего тела иа подпорные стены ограни-
ченной длины ....................................._......169
$ 42. Активное давление сыпучего тела на криволинейные в плане
подпорные стены..........................................171
§ 43. Пассивное, давление сыпучего тела при ограниченной длине
сооружения...............................................174
$ 44.	Давление сыпучего тела	в	состоянии покоя..............175
$ 45. Давление сыпучего тела па подпорную стену в зависимости от
ее перемещений.........................................  1/9
§ 46.	Данные наблюдений	и	опытов............................189
Глава VIII. Взаимодействие сыпучего тела с заглубленными стенами
§ 47.	Незааикеренные тонкие стеики............................197
§ 48.	Массивные стены глубокого заложения.....................205
§ 49.	Заанкеренные тонкие стенки .]...........................210
§ 50.	Данные опытов...........................................212
Глава IX. Давление сыпучего тела на днище и стенки хранилища
§ 51.	Постановка вопроса......................................217
§ 52.	Определение давления засыпки на днище и стенки силоса . . . 219
§ 53.	Данные опытов и наблюдений..............................225
Глава X. Давление сыпучего тела на заложенное в него сооружение
§ 54.	Давление сыпучего тела-иа сооружение, заложенное на неболь-
шой глубине от поверхности земли..............................231
§ 55.	Давление сыпучего тела на сооружение, возведенное закрытым
способом на большой глубине от поверхности земли .... 233
§ 56.	Давление сыпучего тела иа сооружения, возведенные или уло-
женные открытым способом иа-большой глубине от поверхности
земли.........................................................236
§ 57.	Данные опытов	и наблюдений.............................240
Список литературы...........................................  248
ГЕОРГИИ КОНСТАНТИНОВИЧ КЛЕИН
СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА СЫПУЧИХ ТЕЛ
Редакция литературы по строительным материалам и конструкциям
Зав. редакцией И. А. Рабинович
Редакторы Т. В. Г о р я ч е В а. А. В, Болотине
Мл. редактор Л. А. К о з в й
Внешнее оформление художника И. А. Ш и л я е в а
Технический редактор Г. В. К л и му шкп и а
Корректор В. А. Быкова
Сдано в набор I/IX 1976 г.	Подписано к печати 25/11 1977 г.
Формат издания: 60X90'/» д. л.	Бумага типографская М 2
16 печ. л. (уч.-изд. 16,42 л.)
Тираж 5000 экз.	Изд. № AVI—4456	Зак. № 1169. Цена 97 коп.
Стройиздат
103006 Киллерская ул., 23а
Московская типография № 4 Союзполиграфпрома
при Государственном комитете Совета Министров СССР
ио делам издательств, полиграфии в книжной торговли,
Москва, И-41, Б. Переяславская ул., дом 46