В. ROSSI and #. QREISEN
COSMIC-RAY THEORY
Reviews of Modern Physics
Vol. 13, No. 4, pp. 240 — 309
OCTOBER,
1941

Б. РОССИ и К. ГРЕЙЗЕН
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ
КОСМИЧЕСКИХ ЛУЧЕЙ
С ВЕЩЕСТВОМ
Перевод с английского
В. Б. БЕРЕСТЕЦКОГО
под редакцией
А. Б. МИГДАЛА
19 4 8
Государственное издательство
ИНОСТРАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
Москва

ОТ РЕДАКЦИИ
В книге Росси и Грейзена рассмотрены вопросы, ка-
касающиеся взаимодействия заряженных частиц с веществом
и особенно подробно изложена каскадная теория ливней.
Остальные вопросы теории космических лучей, как, на-
например, влияние магнитного поля Земли, ядерные взаимо-
взаимодействия частиц, теоретический анализ экспериментов,
в книге не рассматриваются. Поэтому редакция сочла
целесообразным изменить прежнее название книги —¦
Cosmic-Ray Theory.
Изложение некоторых вопросов в книге устарело,
особенно это относится к последнему разделу, посвящен-
посвященному поперечным размерам ливней. Исправления и кри-
критические замечания по тексту даны в сносках.
Список литературы дополнен наиболее существен-
существенными работами советских ученых по теории космических
лучей.

ВВЕДЕНИЕ
Взаимодействие космических лучей с веществом приводит
к большому количеству разнообразных вторичных эффектов.
Некоторые из них включают в себя ядерные превращения, как
это отчетливо показано наличием „звезд" на фотографических
пластинках, облученных космическими лучами. Образование
мезотронов есть также, вероятно, ядерный процесс.
Однако ядерные процессы сравнительно редки и, повидимому,
не играют существенной роли в более обычных эффектах,
наблюдаемых в космических лучах, таких, как поглощение
и рассеяние мезотронов или образование ливней электронами
и фотонами. Насколько мы знаем, эти явления могут быть
интерпретированы как эффекты электромагнитные, т. е. как
эффекты, обусловленные взаимодействием между частицами,
входящими в состав космических лучей, и электрическими
полями ядер и электронов. Количественная теория эффектов,
обусловленных электромагнитным взаимодействием, была развита
в предположении, что обычные ^законы квантовой электродина-
электродинамики могут быть экстраполированы в область энергий, встречаю-
встречающихся в космических лучах. Результаты теории оказались
исключительно полезными для расшифровки некоторых очень
сложных явлений. Можно надеяться, что они окажут помощь
и в отделении электромагнитных эффектов космических лучей
от неэлектромагнитных, а также в определении границ приме-
применимости квантовой электродинамики.
Частицы первичного космического излучения обладают чрез-
чрезвычайно высокими энергиями. Однако благодаря взаимодействию
с веществом первичная энергия разделяется на все более мелкие
порции, пока не преобразуется, в конечном счете, в энергию
возбуждения и ионизации атомов. Удобно принять некоторый
произвольный предел для энергии тH, ниже которого частица
перестает принадлежать к тому, что мы называем космическим
излучением, а ее энергия считается рассеянной. Положим
т]0 = 5 • 106eV, что приблизительно составляет десятикратную
энергию покоя электрона. Таким образом, большинство лучей,
принадлежащих к области энергий радиоактивности, исклю-

Введение
чаются из „космического излучения". Это ограничение позволит
воспользоваться некоторыми упрощениями, допустимыми, когда
энергия покоя электрона мала в сравнении с рассматриваемыми
кинетическими энергиями.
Главными вторичными эффектами, возникающими при прохож-
прохождении заряженных частиц через вещество, являются: а) возбуж-
возбуждение атомов, Ь) выбивание электронов из атомов и с) испуска-
испускание фотонов. Первые два явления можно рассматривать как
результат прямого взаимодействия между ^ первичной части-
частицей и атомным электроном; отнесем их к процессам столкнове-
столкновений без излучения или, коротко, столкновениям. Причиной
испускания фотонов является ускорение первичной частицы
в кулоновом поле ядра; этот процесс назовем процессом стол-
столкновения с излучением или, коротко, излучением.
С фотонами высоких энергий при прохождении через вещество
происходят следующие вторичные процессы: а) фотоэлектриче-
фотоэлектрический эффект, т. е. поглощение фотона атомом, сопровождаю-
сопровождающееся испусканием электрона высокой энергии; фотоэлектриче-
фотоэлектрический эффект становится все более редким с возрастанием
энергии фотона и может вовсе не рассматриваться при энергиях,
больших, чем т]0; Ь) эффект Комптона, т. е. рассеяние на сво-
свободных электронах; с) образование пар, т. е. превращение
энергии фотона в положительный и отрицательный электроны.
В первой части этой книги подытожены теоретические
формулы, относящиеся к процессам столкновений с излучением
и без излучения, а также рассматривается упругое рассеяние.
Авторы выражают благодарность профессору Г. Бете "за обсу-
обсуждение вопросов, содержащихся в этой части. Часть II описы-
описывает сложные вторичные эффекты (ливни), возникающие от
повторения элементарных процессов, рассмотренных в I части.
Здесь сделана попытка собрать и дополнить результаты теории
ливней, носящие несколько отрывочный характер и рассеянные
в литературе. В этой книге мы употребляем всюду систему
единиц, предложенную одним из авторов [37], базирующуюся
на основных единицах.
В этой системе единицы энергии измеряются в eV, импульсы —
3 eV/?, массы — в eV/c* (е — электрический заряд, V — разность
потенциалов, с — скорость света). Масса частицы выражается
тем же числом, что и его энергия покоя и характеристический
импульс (определяемый как произведение массы на скорость
света). Символ \i употребляется для обозначения любой из этих
трех величин. Мы будем употреблять символы |5, Е и р для

Введение
обозначения соответственно скорости, кинетической энергии
и импульса частицы. Энергия фотона будет обозначаться, как
правило, через W. Между |5, Е и р существуют следующие,
хорошо известные соотношения:
Es=z
Е = &* + №/* — ?., A.2)
Ниже приведены значения постоянных, которые будут
входить в наши вычисления.
МИРОВЫЕ ПОСТОЯННЫЕ
Число атомов в грамм-атоме
(число Авогадро) . N= 6,02395 • 10"
Классический радиус электрона '. го = 2,8176 • 10~13 см
Масса электрона ^2= 5,109 • 105eV/c2
Масса мезотрона {* = 108eV/c2
Масса протона {ан = 9,315 • 108eV/c\
Эти постоянные были вычислены при помощи следующих значе-
значений основных'мировых постоянных:
Электрический заряд электрона [12] ... * = 4,802- 10~10 CGSE
Удельный заряд электрона [12] е/тс = 1,7591 CGSM.lv
Постоянная тонкой структуры [12]. . . . a==g~ ==:
Скорость света [3] ^. с=2,99796-1010 см/сек
Число Фарадея [3] F= 9648,9 СО<Ш/г-эквивалент
и следующих формул:
мFc ё* с тс2 ис с

ЧАСТЬ I
ОСНОВНЫЕ ПРОЦЕССЫ
А. СТОЛКНОВЕНИЯ
§ 1. Применение законов сохранения
В этом и следующем параграфах рассмотрим такие столкно-
столкновения, в результате которых из атомов выбрасываются электроны
с энергиями большими в сравнении с их энергией связи. В таких
процессах электрон может считаться свободным, и для опреде-
определения энергии вторичного электрона как функции угла вылета
можно применить законы сохранения энергии и импульса.
Результат выражается уравнением A.4), где \l — масса первич-
первичной частицы, р — ее импульс до столкновения, \ie — масса элек-
электрона, Е' — его энергия после столкновения, 6-—угол между
начальной траекторией первичной частицы и траекторией вто-
вторичного электрона. До столкновения электрон считается
покоящимся.
P2COS26
Ef возрастает с убыванием 6; поэтому максимальная передавае-
передаваемая энергия Е'т получится, если в A.4) положить 6 = 0 (лобо-
(лобовое столкновение):
?=2^Т17Т^Т7Г A5>
Если ;д.е<^ja (мезотроны, протоны), то величиной jj.*взнаме-
нателе A.5) можно пренебречь. В предельных случаях малых
и больших энергий уравнение A.5) может быть упрощено
следующим образом:
V-*'

10 А. Столкновения
Для сравнительно малых импульсов [уравнение A.5а)] макси-
максимальная передаваемая энергия зависит только от скорости ji
первичной частицы. Для очень больших импульсов [уравнение
A.5Ь)] максимальная передаваемая энергия достигает величины
самой первичной энергии. Если ji.= ^, то, очевидно, Е'т равно Е
при всех энергиях. Следует заметить, что — порядка 2.1010 для
Ре
мезотронов и 2.1012 для протонов. Так как большинство наблю-
наблюдаемых в космических лучах частиц имеет импульсы порядка
109eV/?, то условие применимости уравнения A.5а) выполняется
во многих практически важных случаях.
§ ?• Дифференциальная вероятность столкновения
Пусть х(Е> Е') dE'dx означает вероятность того, что частица
массы \l заряда ±1 и энергии ?, пройдя толщину dx вещества,
передаст свободному электрону энергию от Е' до Е' ~\-dE\
Функцию х назовем дифференциальной вероятностью столкнове-
столкновения. Удобно измерять dx в г/см2 и ввести константу
С = «л4/^ = 0,150?, A.6)
где Z и А — атомный номер и атомный вес вещества, С — пол-
полная „площадь", покрываемая электронами, содержащимися
в 1 г/см2, если их рассматривать как сферы радиуса г0.
Взаимодействие между заряженными частицами и электронами
определяется главным образом электростатическим притяжением
и отталкиванием. Только при очень больших энергиях первич-
первичной частицы и малых параметрах столкновения необходимо
принимать во внимание другие силы, связанные со спином.
Классическая трактовка вопроса дает для малых значений Е'
следующее выражение х> известное как формула Резерфорда:
^. A.7)
Согласно этому выражению, вероятность столкновения / не
зависит явно от энергии или массы первичной частицы, а только
от ее скорости E. Квантово-механическое рассмотрение приводит
опять к формуле A.7) в пределе малых значений Е\ Однако
общее выражение для х отличается от того, которое может
быть выведено на основе классической механики, и существен-

Дифференциальная вероятность столкновения
11
ным образом -зависит от спина первичной частицы, а также от
того, тождественна ли она со вторичным электроном или нет.
а) Электроны. Вероятность столкновения для электронов
была вычислена, Мёллером [29] на основе теории Дирака.
Для случая, когда энергия Е первичного электрона велика
в сравнении с pei функция х дается следующим выражением:
X (?,?') *В = 2C*edE' [g {EE_e) - 1J .
A.7а)
(Для электронов Р практически равно 1 для любой энергии,
большей, чем т]0.)
Так как после столкновения невозможно отличить первич-
первичный электрон от вторичного, то уравнение A.7а) следует пони-
понимать так: оно дает вероятность столкновения, после которого
один электрон находится в состоянии с энергией Е\ а другой —-
в состоянии с энергией Е — Ё'. Таким образом, мы учтем все
возможные случаи, полагая ?' меняющимся от 0 до у (а не до Е).
Уравнение A.7а) симметрично относительно Е' и Е — Е' и превра-
превращается в A.7) при Е'<^Е.
Ъ) Позитроны. Вероятность столкновения позитронов
с электронами была вычислена Баба [11]. Для E*^>\ie
f)] d.7b)
Отличие A.7а) от A.7Ь) вызвано тем, что обменные эффекты
различны в случае электронов и позитронов.
с) Мезотроны. Спин мезотрона пока неизвестен. Поэтому
приведем выражения для вероятностей столкновения, отвечаю-
отвечающих значениям спина 0, */2 и 1. Величинами порядка — будем пре-
пренебрегать в сравнении с единицей.
Спин 0 [11}:
Спин 7« [И], [30]:

12 Л. Столкновения
Спин 1 [30], [34]:
где ?с=^я^
До тех пор пока Е мало в сравнении с ?"и'ECi уравнения
A.7d).H A.7e) сводятся к A.7с), что означает независимость
вероятности столкновения от спина. Уравнение A.7с) в свою
очередь сводится к A.7) при Е' <^Е'т. Различие между вероят-
вероятностями становится заметным, когда Е' сравнимо с Ес или
с Е, а это может быть лишь тогда, когда само Е больше чем
Ес [см. уравнение A.5)]. Для этих больших значений Е' вероят-
вероятность столкновения является возрастающей функцией спина.
Однако различие между спином 1/% и спином 1 гораздо боль**
шее, чем различие между спином 0 и спином }j2. Рассмотрим,
в частности, случай Е'<^Е'т. Вероятность столкновения при
спине 0 или 1/2 дается тогда формулой Резерфорда A.7), в то
время как при спине 1 вероятность столкновения становится
равной
v (F F'WF' 2CjAg dE' Л , 1 Е'
Это выражение содержит дополнительный член, убывающий
с ростом энергии, как w,, в то время как резерфордовский член
убывает как (рт . Для энергий, больших, чем 3ECi этот допол-
дополнительный член, представляющий собой результат спинового
взаимодействия, становится больше резерфордовского, представ-
представляющего кулоновское взаимодействие.
Следует заметить, что влияние спина на вероятность стол-
столкновения мезотронов проявляется только при очень тесных
соударениях. Теоретические предсказания существенно зависят
от гипотезы, что электромагнитное поле мезотрона может быть
обычным образом описано даже на расстояниях меньших, чем
10~13 см от „центра" самого мезотрона. Эта гипотеза нуждается,
конечно, в экспериментальном подтверждении, однако мо^жна
найти некоторое теоретическое оправдание для нее в аргументах
Оппенгеймера, показывающих, ч/то даже для очень тесных

Потери энергии при столкновениях 13
соударений взаимодействие между мезотроном и электроном
остается малым в сравнении с кинетической энергией мезотрона
[34], [35]. Во всяком случае, справедливость формул,
выражающих вероятности передачи больших энергий мезотронам
и электронам, нельзя пока считать установленной.
d) Протоны. В случае протонов спиновыми взаимодей-
взаимодействиями можно пренебречь, пока энергии малы в сравнении с
012eV. Так как это практически всегда имеет место,
Ре
то можна для протонов употреблять формулу A.7с).
§ 3. Потери энергии при столкновениях
(ионизационные потери)
Пусть КЛЕ) означает среднюю потерю энергии на г/см2,
вызванную столкновениями, при которой вторичные электроны
приобретают энергию большую, чем % Если т) велико в срав-
сравнении с энергией связи электрона, то Л^ Может быть подсчитано
из выражений для вероятности столкновения, данных в § 2:
A.8)
Например, для мезотронов или протонов при v\<^E'm урав-
уравнения A.7с) и A.8) дают:
^[^] A.8а)
Потери, вызванные столкновениями, при которых передаются
малые энергии, нуждаются в отдельном рассмотрении, так как при
этом электроны не могут считаться свободными. Иными словами,
вместо расчета вероятности перехода для системы, состоящей
из первичной частицы и электрона, надо рассчитать вероятность
перехода для системы, состоящей из первичной частицы и атома.
Начальным состоянием атома считается его основной уровень;
его конечное состояние представляет собой возбужденный
уровень, который может принадлежать как к дискретному, так
и к непрерывному спектру (возбуждение или ионизация).
Основанная на этом теория была развита Бете путем примене-

14 Л, Столкновения
ния борновского приближения [4], [6], [26]; результат ее
представляется .следующим выражением:
где k^(E) означает потери энергии на г/см2, вызванные такими
столкновениями, в которых передается энергия меньшая, чем т|,
a I(Z) — средний ионизационный потенциал атома с атомным
номером Z. Функция /(Z) не может быть определена теорети-
теоретически с большой точностью, и наиболее надежными значениями
/(Z), повидимому, являются значения, полученные из опытных
данных [26].
Однако, поскольку 1(Z) встречается только под знаком лога-
логарифма, для наших целей будет вполне достаточной прибли-
приближенная формула, данная Блохом [6]:
1(Z)=[HZ, A.10)
где /tf=13,5eV — ионизационный потенциал водорода. Уравне-
Уравнение A.9) справедливо при следующих условиях: а) скорость $
первичной частицы велика в сравнении со скоростями атомных
электронов; Ь) у\ велико в сравнении с энергией связи; с) tj мало
в сравнении с максимально передаваемой энергией Е'т.
^при данной скорости $ не зависит от массы первичной
частицы. Так как — =———r-j- , можно сказать, что k« является
функцией только от ?- . Эта функция графически представлена
на фиг. 1 для Y]i=104eV й Z = 7,3 (воздух). Уменьшение k^
с увеличением— вначале вызывается фактором^. Оно соот-
соответствует тому факту, что при данном параметре удара взаимо-
взаимодействие между проходящей частицей и атомом становится
слабее, так как время нахождения частицы вблизи атома стано-
становится меньше. Когда E приближается к 1 — своему предельному
значению, фактор р- становится практически постоянным, и k*
возрастает с возрастанием импульса за счет фактора (. __оа\ П°Д
знаком логарифма. Причину этого возрастания можно видеть
в лоренцовом сокращении кулоновского поля проходящей
частицы, благодаря чему ее действие проявляется на больших
расстояниях от ее геометрического пути.

о
1
Krj
e Юбе\
/с/
и2
/г
1
\
\
\
\
\
S
ч
—т — •
¦
¦ 1 '¦
="
-------
0.1
t.O
10
100
Фиг. 1. Потери при столкновениях kr\ для<у)=101еУ, в воздухе [из уравнения
A.9)]. Абсцисса /?/(л, ордината 106eV на г/см2. Справедливо для всех частиц
с единичным зарядом при условии Е'т > 10''eV.

12
10
8
6
(
2
0
-fS
-8H
-Ж
с
E\
5eV
зле
'8u
юн
СЛ1
30
не
i
из
г/г
¦\
R
1
\
\
\
03
\
\
\
\
V
\
Ч
к
\
\
\
\
Ч '
s
ч
ч
— ш
= Si
ят ш- —
--— "
——
. —
— ¦
——
——
мм
ВШ
-и»
Р
ка »
- —-
= = = = :
— — — -¦"
1.0
to
100
Фиг. 2. Ионизационные погори энергии (— dE/dx)liOlu мезотронов в воздухе,
железе и свинце [из уравнений A.11), A.11а)]. Абсцисса р/у*у ордината 10eeV
аа г/см2. Вычислено для (л —108eV/c2, но практически пригодно для всех
значений jm примерно от 0,5»108eV/c2 до оо.

Потери энергии при столкновениях 15
Для крайне релятивистского случая уравнение A.9) после
подстановки численного значения постоянных приобретает вид:
A.9а)
Общие потери энергии при столкновениях, называемые иони-
( dE\
зационными потерями — — , получатся сложением #- с /и,.
\ иХ J пои. i »
Так, для мезотронов или протонов при энергиях меньших, чем
— 9 формулы A.8а) и A.9) дают:
Ионизационные потери энергии мезотронов в воздухе, железе
и"свинце как функция от—представлены на фиг. 2.
„2
Если р<^—, то Е'т приближенно дается уравнением A.5а),
и A.11) переходит в
/ dE\ 2CpeL 4{х%р4
(— ^ )иой = -эР Ilo^ 'n—k*\*p(Z) ~~"
dE\ , /lux
--г-) , так же как kr. в пределах применимости A.11а),
ыл/ион. '
является функцией только от E или от-—, В крайне реляти-
релятивистском случае A.11а) может быть записано следующим
образом:
(-:
Ионизационные потери энергии электронами и позитронами
легко могут быть подсчитаны из формулы A.9а) и, соответ-
соответственно, из формул A.7а) и A.7Ь). Результаты для обеих этих
частиц почти одинаковы и могут быть с хорошим приближе-
лшем представлены следующим образом:

16 А. Столкновения
Потери импульса легко могут быть получены из потерь
к как ~Тр=^-
dp _ I dE
энергии. В самом деле, так как ~Тр=^-^ > то просто:
§ 4, Эффект плотности
До сих пор при исследовании взаимодействия заряженных
частиц с атомами мы считали последние изолированными. Это
допустимо, когда частица движется в газе; когда частица дви-
движется в конденсированном веществе, атомы могут рассматри-
рассматриваться как изолированные лишь в случае тесных соударений,
но не в тех случаях, когда параметр столкновения больше
междуатомных расстояний.. Для таких далеких столкновений
надо принять во внимание экранирование электрического поля
проходящей частицы атомами вещества. Экранирование ослаб-
ослабляет взаимодействие и поэтому уменьшает потери. Так как при
возрастании скорости далекие столкновения становятся все
более существенными, то поправка, которую надо внести в вы-
выражения для потерь энергии, является возрастающей функцией
скорости. Влияние плотности на потери энергии было впервые
указано Своном [41]; количественно оно было исследовано
Ферми [20], ^[21]. Согласно Ферми, из потерь энергии, вы-
вычисленных при рассмотрении изолированных атомов, надо вы-
вычесть величину, даваемую следующей формулой:
дляA<е-1/1
где е означает диэлектрическую постоянную вещества. Более
точный анализ Гальперна и Хэлла [23], [47] подтвердил
существование зависимости потерь от плотности, но показал,
что этот эффект значительно меньше предсказанного Ферми.
Численные расчеты, основанные на теории Гальперна и Хэлла,
не были до сих пор опубликованы.1 Но авторы в частном сооб-
сообщении указали, что в случае мезотронов энергии 8.108eV
Работа оцубликована в 1948 г. [47а].

Пробега мезотронов и протонов 17
*шправка составляет 0,4 (-зр ] Для железа и 0,55 (-dpJ Для свинца.
Поэтому представляется возможным полностью пренебречь
эффектом плотности, по крайней мере, когда кинетическая энер-
энергия не очень велика в сравнении с энергией покоя.
На этом основании не будем учитывать поправки на эффект
плотности 1\
§ 5. Пробеги мезотронов и протонов
Мезотроны и протоны обычных энергий при прохождении
через вещество теряют энергию почти исключительно вследствие
столкновений. Так как средняя энергия, передаваемая в отдель-
отдельном столкновении, мала, то требуется большое число столкно-
столкновений .для того, чтобы в значительной степени уменьшить энер-
энергию первичной частицы. Вследствие этого флюктуации в потерях
«энергии малы, и все частицы одной энергии проходят в данном
веществе до своей остановки практически одно и то же рас-
расстояние R. Это расстояние называется пробегом и, как функ-
функция импульса, удовлетворяет следующему дифференциальному
уравнению:
&р~ dp > V-lV
dx
которое может быть переписано в виде:
В случае энергий, малых в сравнении с^,5 является функцией
только от — (см. § 3):
4|*2 [ — ) (~)
A.16)
Из уравнения A.14а) видно, что при данном значении —
пробег прямо пропорционален массе частицы. В — слабо меняю-
1) Критика Галперном и Хэллом работы Ферми неправильна. Под-
§9бнее об эффекте плотности см. статью Кунина [58]. (Прим. ред.)

18 А. Столкновения
щаяся функция от — и в небольшом интервале значений -^-
может рассматриваться как постоянная. Уравнение A.14а) тогда
дает [22]:
(рЛ п(РЛ—
X
A.16)
Пробег частиц с данным импульсом р можно получить,
применяя уравнение A.16) к последовательным интервалам им-
импульсов от 0 до /?. Таким путем построены графики фиг. 3.
В этих вычислениях содержится небольшая ошибка, ибо выра-
выражение A.11а) Д1Я -j- неприменимо, когда скорость первичной
частицы уменьшается до величины, сравнимой со скоростью
атомных электронов. Однако эта ошибка в большинстве слу-
случаев ничтожна, так как остаточный пробег такой медленной
частицы составляет лишь небольшую часть от 1 г/см2, в то
время как наблюдаемые в космических лучах частицы имеют,
вообще говоря, пробеги по крайней мере в несколько г/см2.
Только при рассмотрении путей мезотронов или протонов,
оканчивающихся в газе камеры Вильсона, желательно более
точное определение R. Соотношение между энергией и пробе-
пробегом для протонов малой энергии было вычислено Ливингстоном
и Бете [26], использовавшими точные выражения для -— . На
основании предыдущих замечаний этот график можно упот-
употреблять и для мезотронов.
§ 6. Первичная удельная ионизация
Под первичной удельной ионизацией мы понимаем число
столкновений на г/см2, в результате которых происходит иони-
ионизация атомов. Первичная удельная ионизация в водороде была
определена теоретически Бете и выражается следующим образом:
2ц,{»«
Jp~~ ?*/. L g
где I0 = IH=2 13,5eV — ионизационный потенциал, а постоян-

eoo
700
600
500
AOO
300
200
100
Ax to*
-
6
г/см*
?,0
-15
-to
- 5
f
0 1
Г
2
/
у
j
f
У
/
у
/
/
У
f/
/
j
1
Та
1—
I
/
/
/
I
у
1
lT^i о
у
/
у
у
k
/
/
/
У
/
у
у
/
у
/
/
у*
*
у
у
у
у
у
у
7
/
у
Свинец
/
/
/
Железо
у
у
2"
1
/
/
У
у
/
/
^озЭух
%
1
\/
уУ
1f
Фиг. 3. Пробег мезотронов или протонов в воздухе, железе и свинце
[из уравнения A.16)]. Абсцисса р/р, ордината ^-lO8/^ в г/см3. Для
мезотронов с ц.= Ш*еУ/с2 ордината дает пробег в г/см2. Графики
справедливы для частиц с единичным зарядом и произвольной массой
при условии, что другие потери малы по сравнению с иэинзационлыми.

26
22
20
18
\b
14
12
10
0
о
6
4
2
1
" J
1
1
I CM 6
i
j
i
1
Hi
3
озйуха
=
f
/
I
1
1
I
I
J
f
j
1
1
I
/
i
1
j
/
1
%
1 I
j
/
/
/
/
\j
/
/
/
/
0
.02 .04
.06
-08
.10
.12
.14
.16
.18
Фиг. 4. Пробег мезотронов или'протонов малых энергий в воздухе
по вычислениям Ливингстона и Бете [26]. Абсцисса p/jx, ордината
/?«108/^ н см воздуха при нормальных условиях. Для мезотронов
с jx = 108eV/c2 ордината дает пробег непосредственно в см воздуха.
График пригоден для частиц единичного заряда и произвольной
массы при условии, что другие потери малы в сравнении
с ионизационными.

Первичная удельная ионизация 19
Ные а = 0,285, # = 3,04 [7]. Первичная удельная ионизация в
других газах также может быть представлена уравнением типа
A.17), в котором под /0 следует понимать ионизационный по-
потенциал наружной оболочки, а постоянные а и Ъ имеют другие
значения. Теоретическое определение а и b как функций от
атомного номера не представляется возможным. Однако b не
изменяется значительно, и так как его значение мало в сравне-
сравнении с логарифмом, то в первом приближении оно может счи-
считаться не зависящим от Z. Тогда единственной неизвестной
постоянной остается а, которая может быть определена на
опыте путем измерения первичной удельной ионизации при дан-
данной скорости.
Формула A.17) показывает, что первичная удельная иони-
ионизация не зависит от массы частицы при данном значении ско-
скорости. При сравнении с уравнением A.9) можно заметить, что
имеют весьма сходную функциональную зависимость от р.

В. ЭФФЕКТ КОМПТОНА
§ 7. Применение законов сохранения
Эффект Комптона может быть описан как столкновение
между фотоном и свободным электроном. Обозначим через W
энергию первичного фотона и примем, что электрон вначале,
покоится. В результате столкновения фотон отклонится на
угол 6 с уменьшенной энергией W\ а электрон приобретет
энергию Е — W— W.
Законы сохранения энергии и импульса приводят к следую-
следующему соотношению между W, W и б (формула Комптона):
т'—ш р—W
W убывает, а Е возрастает с возрастанием 6. Следует отме-
отметить, что если W^\iei то W — порядка \iei a E — порядка W
для всех столкновений, за исключением таких, при которых
cos 6 очень мало отличается от 1. Заметим также, что мини-
минимальное значение W етть Щ •
§ 8. Дифференциальная вероятность рассеяния
Пусть x.(W, W) dW'dx есть вероятность того, что фотон
энергии W, пройдя тотщину вещества dx г/см2, претерпит
такое ком ооновское столкновение, после которого рассеянный
фотон будет иметь энергию от W' до W -\-dW. Функция х
была вычислена Клейном и Нишина [25] и дается следую-
следующим равенством:
/if/ if/'wif/' CvedWY. , /WV W -fil /1 юл
x(W} W)dW =-ф?_^1-Ц—j -—sinQj, A.19)
где С олределяется по уравнению A.6), а б — по уравнению
A.18). Если W^>\Lei то величина W'/Wsin*® мала в сравне-
нии с 1, так как -^ значительно меньше 1 при всех 6, кроме
очень близких к 0. Поэтому A.19) может быть упрощено:
«(IF, Ю<ПГ' = <&Щ1 + (Щ 0.19а)

Полная вероятность рассеяния 21
Из уравнения A.19а) вытекает, что вероятность рассеяния
быстро убывает с возрастанием W', т. е. с убыванием Е.
§ 9. Полная вероятность рассеяния
Пусть 2с означает полную вероятность того, что фотон
энергии W претерпит комптоновское рассеяние в толщине ве-
вещества dx г/см2. 2с можн° получить интегрированием выра-
выражения iidW в пределах от Ц до W. При W^>pei применяя
уравнение A.19а), получим:
A.20)
Выражение A.20) для полной вероятности рассеяния полу-
получено в предположении, что уравнение A.19а) справедливо при
всех значениях W. В действительности, уравнение A.19а)
справедливо только для таких столкновений, в которых энер-
энергия электрона отдачи велика в сравнении с энергией свягси?
потому что в противном случае электрон не может рассматри-
рассматриваться как свободный. Однако допускаемая таким образом
ошибка незначительна, ибо электроноз отдачи с небольшими
энергиями, образующимися вследствие эффекта Комптона, мало
в противоположность случаю столкновений, в результате кото-
которых большинство вторичных электронов имеет малые энергии,
что приводит к необходимости >чета сил связи. График пол-
полной вероятности рассеяния как функции энергии представлен
на фиг. 13 и 13а (для воздуха и свинца).

С. ИЗЛУЧЕНИЕ
§ 10. Общие замечания
Излучение фотонов заряженными частицами тесно связано
с их отклонением в электрическом поле ядра. Согласно клас-
классической электромагнитной теории заряженная частица испускает
электромагнитные волны всегда, когда она испытывает ускоре-
ускорение, а интенсивность ее излучения прямо пропорциональна
квадрату ускорения. Согласно квантовой теории столкновение
заряженной частицы с ядром может либо сопровождаться излу-
излучением, либо произойти без излучения, причем последнее (упру-
(упругое рассеяние) более вероятно. Однако некоторые качественные
результаты, касающиеся вероятности излучения, могут легко
быть получены классическим путем. Так, классически, при
данном расстоянии между ядром и частицей, ее ускорение про-
пропорционально заряду ядра; отсюда следует, что радиационные
потери представляют собой быстро возрастающую функцию
атомного номера. С другой стороны, ускорение обратно про-
пропорционально массе частицы <х, поэтому потери на излучение
электронов должны быть значительно большими, чем у более
тяжелых частиц—мезотронов или протонов. Можно также ска-
зато, что напряженность поля, при котором частица заметным
образом излучает, возрастает с возрастанием массы частицы, к
поэтому потери на излучение тяжелых частиц происходят за
счет гораздо более тесных соударений, чем в случае электро-
электронов. Отметим еще, что параметр такого столкновения возра-
возрастает с ростом энергии вследствие лоренцового сокращения
электрического поля движущейся частицы.
В развитии теории существенную роль играет то расстояние
от ядра, на котором происходит излучение. Если это расстоя-
расстояние велико в сравнении с радиусом ядра и маю в сравнении
с атомным радиусом, то поле, действующее на излучающую
частицу, может рассматриваться как кулоновское поле точеч-
точечного заряда Z, сосредоточенного в ядре. Если расстояние от
ядра — порядка величины атомного радиуса или больше его, то
следует принять в расчет экранирование ядерного поля внеш-
внешними электронами. Наконец, если это расстояние — порядка

Дифференциальная вероятность излучения электронати 23
радиуса ядра, то поле ядра не может более рассматриваться
как поле точечного заряда.
В процессах излучения энергия W испущенного фотона не
определяется более углом между направлениями движения фо-
фотона и первичной частицы, так как часть импульса передается
ядру. Однако можно показать, что средний угол, под которым
частица массы \ъ испускает фотон с энергией W, имеет поря-
порядок величины ~.
§ 11. Дифференциальная вероятность излучения электронами
Рассмотрим процесс излучения положительными и отрица-
отрицательными электронами. Пусть U = E-\-y.e означает полную энер-
энергию электрона, включая его энергию покоя. Под Ф (?/, v) dvdx
будем понимать вероятность того, что электрон энергии U,
пройдя в веществе толщину dx г/см2, испустит фотон, имею-
имеющий относительную долю энергии в пределах от v до v-\~4р
W
(относительную долю энергии v определим как отношение -jj-
энергии фотона к полной энергии первичного электрона). Ма-
Максимальное значение v есть 1—\~Л . Так как мы рассматриваем
лишь такие энергии, которые велики в сравнении с \i>ei то в
большинстве случаев можно отождествить полную энергию U
с кинетической энергией Е.
Потери энергии электронов на излучение всегда происходят
на таких расстояниях от ядра, которые велики в сравнении с
радиусом ядра. Поэтому поле ядра может описываться как поле
точечного заряда. Эффект экранирования внешними электронами
был рассчитан Бете и Гайтлером [8] на основе модели атома
Томаса — Ферми.
Как оказывается, влияние экранирования на процесс излуче-
излучения определяется величиной
__1
T=100^T^Z \ A.21)
причем оно увеличивается с убыванием у. Для 7^>1 экраниро-
экранированием практически можно пренебречь. В случае если у^О,
будем называть экранирование „полным", у при данном значе-
значении v убывает с возрастанием U. Таким образом, при доста-
достаточно большой первичной энергии экранирование практически

24
С. Излучение
может считаться пошым для всех значений энергии испущен-
испущенного фотона.
Если U велико в сравнении с \ie, то Ф (?/, v) в различных
областях значений у дается следующими выражениями:
экранирование отсутствует, у ^ 1:
полное экранирование
ф(<7, t;)^ = 4a^
21
A.23)
19 *¦
18
17
16
15
Ч
. -г
\
4
6 8 10 12 14 16
18 r 20
Фиг. 5. Функции /t(Y) и /2(f) в уравнениях A.24)
и A.43). Из Бете и Гайтлера [8].
*) В формуле A.22) не учтено излучение при столкновениях с атом-
атомными электронами. При больших энергиях падающих электронов
излучение на каждом из этектронов атома такое же, как и на ядре
с зарядом 1. Поэтому во всех формулах, связанных с излучением,
счедует дня больших энергий заменить Z2 на Z(Z-\-\) [27]. Такое же
исправление следует внести в формулы образования пар. (Прим. ред.)

Средте потери энергии на излучение электронами 2$
промежуточные случаи,
2<y<15
Функции /j (у), /2(y) и ?(y) представлены на фиг. 5 и в
табл. 1. Уравнение A.23) показывает, что в случае, когда экра-
экранирование можно считать полным, вероятность потери данной,
части энергии не зависит от ее начальной величины U.
, § 12. Средние потери энергии на излучение электронами
Средние потери энергии на г/см2, вызванные излучением,,
даются следующим выражением:
^L^f1 U**(U,v)dv. (l.26>
ЗЛ. J
В предельных случаях малых или больших энергий можно
воспользоваться, соответственно, уравнениями A.22) и A.23);
тогда выражение для потерь энергии принимает вид:
ж),
dXj нзл

26
С. Излучение
Таблица 1
Численные значения функции с (у) в уравнениях A.25) и A.44I)
2
0,21
2,5
0,16
3
0,1&
4 •
0,09
5
0,065
6
0,05
8
0,03
10
0,02
15
0,01
Дчя промежуточных случаев интегрирование A.26) надо
проводить численно. Мы видим, что средние потери на излуче-
излучение растут с увеличением энергии и при больших значениях
энергии пропорциональны ей.
§ 13. Радиационная единица длины. Упрощенные формулы
радиационной единицы.
Определим в качестве
длины величину Хо
-Vs
A.29)
и будем обозначать через t толщину вещества, измеренную в
таких единицах2). Введем также дифференциальную вероятность
излучения, отнесенную к радиационной единице длины:
, v)
A.30)
и среднюю относительную потерю энергии на радиационной
единице длины:
E\dt
dE
dx
v)dv. A.31)
Величина vcp (U} v) как функция от v при различных U для
двух веществ (воздуха и свинца) изображена графически на
фиг. 6 и 7. Средняя относительная потеря энергии — (--.)( — )
\ Cj) \Ot /иЗЛ.
как функция энергии представлена на фиг. 9. Оказывается, что
описание явлений излучения, происходящих в различных веще-
веществах, весьма мало зависит от атомного номера, если измерить
толщины в радиационных единицах. Более того, зависимость
от атомного номера ослабляется с ростом энергии и полностью
1) Из Бете и Гайтлера [8].
2) См. примечание на стр. 24. (Прим. ред.)

1.4
1.0
-
\
л
ч
V4>(U,v)-
-
-
h
-
_
-
-
_
-
ч
4^
4
_
-
ч
4
1
4
4
4,
,**
^,
4
4.
4
Ч4
f4*
4
4
4^
s
Чц,
4^
4
s
s
4^
*4,
¦»«
¦*«
•4»
*4
ч
s
"**
4*.
5=
•^
^>
ч
f
10^
4»
7 Л
Ча
~>
"—
**.
—
0
¦410^
0'
•ч,
4,,
4^
^—1
**^
'>
4>
4,
ч
•4.
^>
\
5=»
4
V
Of» -
ч
ч
s
\
ч
\
V
ч
ч \\
\
\
\
\1
\|
\\\
\\\
\\\
\
\
1
\\\\
\ш
I
О
.1 .2 .3 ,^ ' .5 .6 7 .8 .9 1.0
Фиг. 6. Дифференциальная вероятность излучения_на радиационной единице
длины в воздухе для электронов различных энергий. Абсцисса v—W/U,
ордината z'cp (U.v). Числа на кривых — энергии U первичного электрона.

1.2
1.0
.8
.6
.4
.2
>
ч
s
s,
s
'4
}
s,
ч
"^

4
N
IV
4
4
<;
"N
^^
•*>
¦"*•,
***
•«a.
SB
¦*•"<
><
pi
ra»
^4
1
—.
L
0
С
Г4
^^
л
iv
t
л аг\Т
V
s.
и
10 §
\
s
V
\
г
—
Is
s
О
Md
iQ1
Л
V
\
>
\
\
i
i
\\
Vra
\
\\\
ш
\\l
.1
.2
.3
A
.7
.8
1.0
Фиг. 7. Дифференциальная вероятность излучения на радиационной единице
длины в свинце для электронов различных энергий. Абсцисса v= W/U; орди-
ордината w?({/,v). Числа на кривых — энергии U первичного электрона.

Радиационная единица длины. Упрощенные формулы 27
исчезает при больших энергиях. Действительно, в случае пол-
полного экранирования дифференциальная вероятность излучения
на радиационной единице длины будет:
_„)» _(!_„)(!_ 24)]^, A.23а)
а средняя относительная потеря энергии:
1 dE 1 ! h
A.28а)
где ?=[18 logA83Z 1/з)] \ Величина 6 очень мала в сравне-
сравнении с 1; ее значение меняется от 0,012 до 0,01_5 при изменении Z
от 7,3 (воздух) до 82 (свинец). Таким образом, без заметной
ошибки можно принять 6 = 0,0135 для всех элементов.
Равенства A.23а) и A.28а) можно применить не только
к чистым элементам, но и к другим веществам, если принять:
JL^Pi i Р*
A.29а)
1.6
Уф
1.4
1.2
1.0
.8
-6
.4
\
¦—^
\^ф^
^^
—-
.
\'ф.
00
ч
-*%
- —-^
ч
.1
.3 ,4 .5 .6 .7
1.0
Фиг. 8. Сравнение приближенных выражений для вероят-
вероятности излучения срь ср2, ср3 (пунктирные линии) с точным
выражением (сплошные чшнии) при различных энергиях
в воздухе.

28 С. Излучение
где pi,p2y-—концентрации различных составляющих, Хи
Х2,... — соответствующие радиационные единицы длины. Зна-
Значения Х§ для различных веществ приведены в табл. 2.
Во многих отношениях удобно заменить точные выражения
для вероятности излучения приближенными, имеющими более
простую математическую форму. Ниже даются три таких при-
приближенных выражения:
% A.32)
_; A.33)
A.34)
На фиг. 8 видно, в какой степени приближенные формулы
аппроксимируют точные выражения при различных энергиях.
§ 14. Сравнение потерь на излучение и ионизационных потерь»
Флюктуации потерь на излучение
Как уже было отмечено, средняя потеря энергии на излу-
излучение быстро растет с возрастанием энергии, в то время как
средняя потеря энергии на столкновения остается практически
постоянной. Таким образом, при больших энергиях потери на
излучение являются гораздо более существенными, чем потери
на столкновения (ионизационные потери), а при малых энергиях:
имеет место обратное соотношение. На фиг. 9 для сравнения
с соответствующими потерями изображены кривые, показываю-
показывающие относительные потери энергии на излучение и ионизацион-
ионизационные на радиационной единице длины. Очевидно, что энергия,
при которой потери на излучение начинают превышать иониза-
ионизационные потери, убывает при возрастании атомного номера.
Другое характерное различие между потерями на излучение
и ионизационными потерями состоит в том, что потери энергии
на излучение происходят более редко, но более крупными пор-
порциями, чем ионизационные потери1). Поэтому, в то время как
*) Вопрос о флюктуациях ионизационных потерь был рассмотрен
Ландау [57]. (Прим. ред.)

Сравнение потерь на излучение и ионизационных потерь 29
электрс^ны, проходя данную, толщу вещества, теряют на столк-
столкновения практически одну й ту же энергию, дня потерь на
излучение имеет место значительный разброс. Мы можем задаться
log ю ?
A P*
Фиг. 9. Относительная потеря энергии —тг[-тг
ина
— ~( —) на радиационной единице длины для электронов в воздухе
с \at /изл.
и свинце.
вопросом: какова вероятность того, что электрон с начальной
энергией ?/0 после прохождения толщины вещества t будет
обладать энергией от U до U-\~dU? Решение этой задачи было

30 С. Излучение
дано Бете и Гайтлером [8]; для вероятности излучения ими.
была использована приближенная формула A.33»}; результат
выражается следующим образом:
w4rTS' (
\log2j
Равенство A.35) справедливо тогда, когда можно прене-
пренебречь ионизационными потерями.
§ 15. Процессы излучения мезотронами
Испускание фотонов мезотронами происходит на гораздо
меньших расстояних от ядра, чем испускание фотонов электро-
электронами. Поэтому в теории излучения мезотронами экранированием
поля ядра внешними электронами можно пренебречь в большей
степени, чем в соответствующей теории для электронов. Зато
необходимо принять во внимание тот факт, что поле ядра на
расстояниях, меньших радиуса ядра, нельзя считать кулонов-
ским полем точечного заряда. В явлениях излучения спин мезо-
мезотрона играет еще большую роль, чем при столкновениях (§ 2).
Это имеет место потому, что параметр столкновения при излу-
излучении значительно меньше, чем при столкновениях, а зависящие
от спина силы являются короткодействующими. По Кристи
и Кусака [15], дифференциальная вероятность излучения на
г/см2 для мезотронов со спином 0, */2 или 1 дается, соответ-
соответственно, следующими выражениями:
спин О
Ф{и, v)dv = *JZ>rQ[^)
121— v
спин 7г
Ф(Ц v)dv *
16 Cv , 1— v\ . ч/
12 1 — v

Процессы излучения мезотронами 31
спин 1
52 1—г> , v C±~34v+7v*\ 1 2 /2rc 1— v U \ ,
9 v 1—v\ 24 /\,5
, kU /2 —
Г2
\^7
где U—полная энергия первичного мезотрона, av = -jj—доля
энергии испущенного фотона. Приведенные выше формулы
были получены в предположении, что ?/^>|^, что экраниро-
экранированием внешними электронами можно пренебречь и что элек-
электрический потенциал поля ядра можно считать потенциалом
точечного заряда при расстояниях, меньших d\ величина d
была принята равной i-Л \—f~) Zl/z =0M7r0Z1^. Выражение
для вероятности излучения мезотронами со спином г/2 весьма
сходно с соответствующими выражениями для электронов
[см. уравнение A.22)]. Фактор ( —) появляется вследствие
разницы в массах, а фактор -^Z~1^ под знаком логарифма
связан с обрезанием поля ядра на расстоянии d. Пренебрежение
экранированием ставит верхний предел энергии /7я^ 5 • 10neV
для применимости выражений для вероятности излучения при
спине 0 и 1/2 [уравнения A.36) и A.37)]. Вероятность излу-
излучения при спине 1 [уравнение A.38)] в меньшей степени за-
зависит от экранирования, но это выражение содержит члены,
описывающие также процессы, которые не могут быть рас-
рассчитаны вполне законным путем существующими теориями,
если U больше чем приблизительно 2 • 1010eV. Поэтому A.38)
справедливо лишь для первичных энергий, меньших этого предела.
Минимальная оценка вероятности излучения для U^>2 • 10I0eV
может быть получена по Кристи и Кусака, если полностью
пренебречь этими сомнительными процессами. Поступив так,

32 С. Излучение
-можно получить уравнение A.38) в следующем виде:
... /2rcl—» f/ \ w /10 —Юо + ЗоМ
х log (т — ^тг) - т^ ( 8 )
521_—v , v
" 9 v ' 1 —гЛ 24
где А — постоянная порядка —=137.
Сравнение уравнений A.36), A.37) и A.38) показывает, что
-вероятность больших потерь на излучение значительно больше
.для мезотронов со спином 1, чем для мезотронов со спином
*/2, и немного больше для мезотронов со спином !/а> чем Для
мезотронов со спином 0. Таким образом, вероятность больших
потерь на излучение мезотронами зависит от спина так же,
как и вероятность больших потерь на столкновения. Численно
формулы показывают, что при любом значении спина большие
передачи энергии чаще происходят при излучении, чем при
столкновениях. Однако полные потери энергии, главным образом,
определяются столкновениями, вплоть до энергий, значительно
больших, чем в случае электроноз.
Следует подчеркнуть, что изложенные выше заключения
о потерях на излучение мезотронов не обладают той сгеленью
•определенности, как соответствующие результаты, относящиеся
к потерям на излучение электронами, потому чхо в данном
случае теория зависит от свойств электромагнитного поля ме-
;зотронов на расстояниях, меньших 10~1а см от мезотрона (§ 2).

D. ОБРАЗОВАНИЕ ПАР
§ 16. Общие замечания
Фотон большой энергии при прохождении через сильное
электрическое поле вблизи ядра имеет определенную вероят-
вероятность превратиться в положительный и отрицательный электроны.
Сохранение энергии приводит к следующему соотношению
между энергией W первичного фотона и полными энергиями
U и U' образовавшихся электронов:
U+U'=W или я + и' = 1, A.39)
если ввести для электронов их относительные доли энергий
# = — и иг = -цр. Относительные доли энергий и и и1 изме-
изменяются от — до A —-). Так как рассматриваемые энергии
велики в сравнении с \ье, то в большинстве случаев можно
отождествлять полные энергии U и W с кинетическими энер-
энергиями Е и Е'.
Процесс образования пар можно рассматривать как фото-
фотоэлектрический эффект, при котором электрон переходит из
состояния с отрицательной энергией в состояние с положи-
положительной энергией, оставляя при этом „дырку" в бесконечном
распределении электронов с отрицательными энергиями. Теория
образования пар тесно, связана с теорией излучения. В самом
деле, в случае излучения электрон совершает переход из
одного состояния с положительной энергией в другое, причем
испускается фотон. В случае же образования пар фотон
поглощается и приводит к переходу электрона из состоя-
состояния с отрицательной энергией в состояние с положительной
энергией.
Распределение энергии между двумя электронами пары не
определяется направлением их движения по отношению к на-
направлению движения первичного фотона, так как часть импульса
передается ядру. Однако можно показать, что средний угол,
в котором испускается электрон энергии U, — порядка —-.
3 Б. Росси

34 D. Образование пар
§ 17» Дифференциальная вероятность образования пар
Пусть W(W, и)dadx означает вероятность того, что фотон
энергии Wy проходя в веществе толщину dx г/см2, образует
пару, в которой позитрон обладает относительной долей энергии
между и и u-\-du. Как и в явлениях излучения, для учета
экранирования поля ядра внешними электронами важно рас-
рассматривать то расстояние от ядра, на котором образуется пара..
Влияние экранирования определяется величиной
и убывает с ростом ?. В случае ч^>1 мы будем пренебрегать
экранированием, а случай у^ыО будем называть „полным"
экранированием. При данном значении иу ? убывает с ростом W*
Поэтому при больших энергиях первичного фотона экрани-
экранирование можно считать полным для всех процессов образо-
образования пар.
Бете и Гайтлером даны выражения для W(W, и) для
различных областей значений ?, B предположении W^^e\
экранирования нет, ?^>1
9 и)du = 4а~^
]); A.41)
полное экранирование, -j^O
Xlog(l83Z-Va)_1ИA_И)|; A.42)
промежуточные случаи: 7<С2
W (W, и) d«=4a^- ZV» da { [и2 + A - uf] [Ш --J-logz] -f
A.43)
*) См. примечание на стр. 24. (Прим. ред.)

Полная вероятность образования пар .S3
2<Т<15
W ( W, и) du = 4а •? Z*r\du [«* + A - и)» + | и A - и)] X
A-44)
Здесь функции fx (у), /2(т) и с (т) те же> чт0 и в выра-
выражениях A.24) и A.25) для вероятностей излучения; они даны
на фиг. 5 и в табл. 1. Функция W симметрична по отношению
к и и A—и), т. е. по отношению к энергиям электрона и
позитрона. В случае полного экранирования [выражение A.42)]
W является функцией только от и.
§ 18. Полная вероятность образования пар
Пусть l,(W)dx означает полную вероятность того, что
фотон энергии W образует пару в толщине вещества dx г/см9;
тогда
= f W(W,u)du. A.45)
В предельных случаях малых и больших энергий A.41)
и A.42) приводят соответственно к следующим выраже-
выражениям:
8)-^]. A.47)
.В промежуточных случаях интеграл в A.45) надо брать
численно. Равенство A.47) показывает, что при - больших
энергиях полная вероятность образования пар является постоян-
постоянной для данного вещества. :
3*

36
D. Образование пар
§ 19. Вероятности, отнесенные к радиационной единице длины.
Упрощенные выражения
Вероятности образования пар удобно отнести к радиа-
радиационной единице длины, определенной в § 13. Пусть
О A.48)
означает дифференциальную вероятность образования пары на
пути, равном радиационной единице длины, а
o(W) = X0Tl(W) A.49)
— полную вероятность образования пары на том же пути; ф как
функция от и при различных W изображена графически на,
фиг. 10 и 11 (для воздуха и свинца); о как функция W пред-
представлена на фиг. 13 и 13а (также для воздуха и свинца).
Фиг. 12. Сравнение приближенных выражений для диффе-
дифференциальной вероятности образования пар <]^, &2 (пунктир-
(пунктирные линии) с точным выражением (сплошные линии). Гра- ,,
фики построены для свинца для №=2'107, 108, 109eV.

1
1.0
я
я
.7
.6
.5
.4
.3
1
|
_ 1
V
/
/
\
т
?
/
и
1 1
тг
j
\\\
\\\
/
/
г
1
1 /
'/ /
4 /
1»
1/
II
1/, 1
-1.
л
/
/
У
/
^2
Г/
7_
\
О
\
N
\
Ч
•*>
ч
Ч
**-
s.
ч^
on
10 ^
''•in1
f
4-1
2
.•1
I
u
o7
in7
L
j
t
^«
1
---
|
>
,->
I
J
***
i/
\
\
j
sl
i
\
i
•
I
j
И
N
\
\
\
\
\
\
v
\
A
\
1
^\
\
v4
X
?
J

\
\
1
\ 1
\ и
\ 1
mi
III
41
.2 .3
Л
.5
.7
9 .. 1.0
Фиг. 10. Дифференциальная вероятность образования пар на радиа-
радиационной единице длины в воздухе для фотонов различных энергий.
Абсцисса u = U/W, ордината <b(W, и). Числа на кривых—энергии
W первичного фотона.

1.0
.9
Я
.(J
.7
.6
.5
А
.3
:
111 i i
s
IL
jL
ПГ
at
3F
f
г
/
T
±
t:
V
w
I/I
tfc
Щ
i
r
il
It
it
i
(v
\
^-
У
/
/
/
4
/
"/"
/
/
-
\
4
/
/
•
/
\
\
4
s,
-
I
s
'ч
4i*
4
**>
*»•
¦a
¦>]
Oo
10*-
2-108
1 1
10?"
1
4-Ю7
2-Ю7
Щ7.
-
»•—
SB
\
1
1
-—
1
/^
^*
•*>
_^
4^
4,
1
4-
/
\
\
/
\
\
i
>
ч
s
\
s
\
s.
\
у
\
\
\
\
\
>
/
\
\
1
J
\
\
\
\
\
N
1
\ ill
\
V
nrffl
\ II]
\
\
0
.3
.6 .7 .8 .9 1.0
Фиг. 11. Дифференциальная вероятность образования пар на радиа-
радиационной единице длины в свинце для фотонов различных энергий.
Абсцисса n-=W/W; ордината 6(W, и). Числа на кривых—энергии
W первичного фотона.

Вероятности, отнесенные к радиационной единице длины 37
В случае полного экранирования можно дать аналитические
выражения для <|/ и о:
—«)«+(§ — 2*) л A—«)]**, A.42a)
oe = J—J-, A.47а)
где Ь то же, что и в уравнениях A.23а) и A.28а).
1.4
1.2
log10W
Фиг. 13. Полная вероятность, отнесенная к радиа-
радиационной единице длины в воздухе, для образова-
образования пар (ар) и эффекта Комптона (ас) как функция
энергии фотона W. Приведена также сумма обеих
вероятностей (ор + сс), дающая полный коэфи-
циент поглощения на радиационную единицу дли-
длины. <5р при W< 107eV не может быть вычислено
при помощи формул, данных в тексте, которые
справедливы только при W^>\)-e; в этом случае
нужно воспользоваться более точными выраже-
выражениями— см. [8].

38
D. Образование пар
Оказывается, что если толщину вещества измерять в радиа-
радиационных единицах, то выражения, описывающие образование
пар, как и аналогичные им, описывающие излучение, очень
слабо зависят от атомного номера, а в предельном случае боль-
больших энергий вовсе не зависят от Z. Дифференциальная вероят-
вероятность ф (IF, а) приданном W не очень сильно меняется при
6с* бр
6 •;
/
Фиг. 13а. Ор, сгс и о-р + *с Для свинца.
изменении и. Поэтому в первом приближении можно упо-
употреблять упрощенное выражение
A.50)
A.50а)
Приближение A.50) пригодно и при малых энергиях.
В промежуточной области энергий лучшее приближение дости-
достигается следующим выражением:
A.50b)
, u)du=o(W)du
или при больших энергиях
d
Сравнение приближенных выражений фх и ф2 с точным
дано на фиг. 12.

Сравнение процесса образования пар с эффектом Комптона 39
§ 20. Сравнение процесса образования пар
с эффектом Комптона
Полная вероятность комптоновского рассеяния (§ 9) быстро
убывает с ростом энергии фотона, в то время как полная
вероятность образования пар является медленно растущей
функцией энергии. Поэтому при больших энергиях большин-
большинство фотонов поглощается вследствие образования пар, а при
малых энергиях большинство их поглощается из-за эффекта
Комптона. Сравнение поглощения фотонов, вызванного образо-
образованием пар и эффектом Комптона для воздуха и свинца, произ-
произведено на фиг. 13 и 13а; из них видно, что энергия, при
которой главенствующую роль начинает играть образование
пар, убывает с ростом атомного номера.

Е. РАССЕЯНИЕ
§ 21. Дифференциальная вероятность упругого рассеяния
Мы уже упоминали, что, когда заряженная частица про-
проходит вблизи ядра, она испытывает отклонения, не сопровож-
сопровождающиеся в большинстве случаев потерей энергии. Это явление,
именуемое упругим рассеянием, вызывается тем же электри-
электрическим взаимодействием проходящей частицы с кулоновским
полем ядра, которое определяет и процессы излучения (§ 10).
При исследовании упругого рассеяния ядро может рас-
рассматриваться как неподвижный точечный заряд величины Z.
Обозначим через ?(Q)d(x>dx вероятность того, что частица
с зарядом ±1, импульсом р и скоростью $ при Прохождении
толщины dx г/см2 вещества будет подвержена такому столк-
столкновению с ядром, в результате которого ее траектория откло-
отклонится на угол в от направления первоначального движения,
попадая при этом внутрь телесного угла d&.
При вычислении ? надо принять во внимание спин дви-
движущейся частицы. Следующие выражения для % соответствуют
значениям спина 0, 1/2 и 1:
спин 0 [45]
спин Ча [28]
спин 1 [30]
Из приведенных формул видно, что вероятность больших
отклонений различна для различных значений спина. Для малых

Многократное рассеяние 41
же отклонений члены, зависящие от спина, малы, и мы можем
в этом случае для любого спина употреблять следующее
выражение:
^^^. A.51с)
Применимость написанных выше формул имеет границы,
определяющиеся конечными размерами ядра в случае больших
отклонений и экранированием поля ядра внешними электронами
в случае малых отклонений в. Следуя Вильямсу [45], мы
учтем конечные размеры я*дра, считая, что его электрический
заряд, вместо того чтобы быть сосредоточенным в точке,
распределен внутри сферы радиуса d. Можно показать, что
это предположение не меняет существенно вычисленной вели-
величины вероятности отклонения \ при в <^ Х/2тис?, хотя и приводит
к тому, что ? быстро стремится к нулю при в^>Х/2тг^, где X
дебройлевская длина волны движущейся частицы. Аналогично^
если положить a=zA37)t4^QtZ~1/* (а можно рассматривать как
радиус атома), можно показать, что экранирование поля ядра
внешними'электронами не влияет на вероятность рассеяния ?
для в ^> Х/2тия, но в то же время приводит к тому, что ?
практически обращается в нуль, когда в становится меньше^
чем Х/2тга. Принимая, как и в § 15, для d значения d=0i67r0Z1^ 9
можно считать, что ? дается формулами A.51) — A.51с) при
вгшп<6<втах, где
XZ1/3 ' X
6 в^ (
и практически равно нулю при в<^втт и в^>втах.
Конечно, возможно, что в рассеянии частиц, входящих в
состав космических лучей, играют роль и неэлектромагнитные
силы. Однако эту возможность мы не будем рассматривать.
§ 22. Многократное рассеяние. Вычисление среднего
квадрата угла рассеяния
Отклонение, получаемое частицей при прохождении слоя
вещества конечной толщины, может быть вызвано либо одиноч-
одиночным столкновением, либо рядом последовательных столкновений.

42 Е. Рассеяние
Можно показать, что большие отклонения чаще происходят
вследствие одиночных столкновений, в то время как малые
отклонения большей частью вызываются многократными столк-
столкновениями.
Результат одиночного столкновения будем называть одиноч-
одиночным рассеянием, результат малого числа столкновений —
кратным рассеянием, а результат большого числа столкно-
столкновений — многократным рассеянием. Теория одиночного рассеяния,
имеющая значение для больших отклонений, содержится в фор-
формулах предыдущего параграфа. Теория кратного рассеяния
весьма сложна, и мы не будем ее здесь рассматривать. Теория
многократного рассеяния, существенного для малых отклонений,
может быть легко построена при помощи статистических методов.
Мы разовьем ее, употребляя A.#1с) в качестве выражения
Л ля элементарной вероятности рассеяния. Так как A.51с)
справедливо для всех частиц с единичным зарядом, результаты
будут применимы как к электронам, так и к мезотронам и
протонам.
Первым долгом подсчитаем средний квадрат угла рассеяния
в бесконечно тонком слое вещества dx\
Непосредственно из A.51с) и A.52) следует, что
^- r> -ф log ^L =
^ r\
A.53a)
Следует отметить, что (ва)ср. (**) зависит от атомного номера
почти так же, как Потери электронов на излучение [см. A.28)].
Разнице в численных факторах A83 и 181) под знаком лога-
логарифма можно не придавать значения, так как ее влияние на
результат ничтожно. Поэтому описание рассеяния будет упро-
упрощено, если измерять толщины в радиационных единицах
[см. A.29)]. В самом деле, средний квадрат угла отклонения
в толщине rf/, выраженной в радиационных единицах, становится

Многократное рассеяние 43
независящим от атомного номера и дается следующим выра-
выражением:
Если мы введем постоянную Es, имеющую размерность
энергии
?, = М4* 137I/2== 21 • 10е eV, A.54)
то A.53Ь) примет вид:
(^)t A.53c)
Согласно общему правилу наложения малых независимых
отклонений, среднее квадратичное значение в для конечной
толщины t можно получить, интегрируя A.53с) от 0 до t:
-. A.55)
Если потери энергии малы, то р и ji можно считать постоян-
постоянными, и A.55) приводится к
A.55a)
В общем случае A.55) можно переписать в виде;
/?&2\ . /72 С 1 dp ,* CXU\
где [ 4Л — потери импульса на радиационной единице длины,
а Pi и Рч — импульсы соответственно при толщине Out.
В случае "мезотронов согласно A.11а) и A.13) имеем:
х) Как указывалось в примечании на стр. 24, в формуле A.28)
следует заменить Z* на Z(Z-j-l), благодаря этому правая часть фор-
формулы A.53Ь) умножится на (-^тт) • (Прим. ред.)

44
Е. Рассеяние
где В—медленно меняющаяся функция от Е, даваемая выра-
жением A.15). Если считать В постоянной, то A.55Ь) при-
приводит к
Pi
<®2)ср. (О— ~У~о?
Р2
1 +
МЧ1Т
El
El
-Х-
+[¦+(?)¦]¦'¦ J
В том же приближении (В постоянно) рх и р2 связаны" с тол-
толщиной t соотношением [см. A.16)]:
Тогда получаем:
p.@=-2-
A.57)
где ^у^11 (—) + 1 | = ~^~~~ есть отношение полной энергии
к энергии покоя. В практических случаях известны толщина t
и конечный импульс ръ начальный же импульс рх можно по-
получить из графика фиг. 3.
Часто вместо рассмотрения полного отклонения 0 удобно
рассматривать проекцию отклонения 6 на плоскость, прохо-
проходящую через начальную траекторию. Легко показать, что

Функция распределения 45
среднее квадратичное значение для 6 составляет половину от
среднего квадратичного значения в. Поэтому
t
о
или, если потери энергии малы,
A.58а)
§ 23. Функция распределения1)
Рассмотрим параллельный, бесконечно узкий пучок частиц,
падающий на слой некоторого рассеивающего вещества. Пред-
Предположим, что все частицы имеют одинаковые энергии и что
потерями энергии в рассеивающем веществе можно пренебречь.
Задача состоит в определении пространственного и углового
распределения частиц после прохождения ими толщины t рас-
рассеивающего вещества.
Выберем декартову систему координат с началом в точке
вхождения частиц в вещество. Одну из осей выберем по направ-
направлению начального движения частиц. Эту"Т>сь назовем осью /,
а две другие, соответственно, у и z. Рассмотрим проекцию
движения частиц на плоскость (t, у) и пусть F(t9 y,Q)dydb
означает число частиц, которые, пройдя толщину t, приобрели
поперечное смещение (у, dy) и движутся под углом F, db)
к оси t. По соображениям симметрии та же функция F описы-
описывает пространственное и угловое распределение в плоскости
(t, z). Так как отклонения в двух взаимно перпендикулярных
направлениях у и z являются независимыми, то число частиц,
имеющих на глубине t поперечное смещение с составляющими
{У> dy) и (z> dz) и угловое отклонение с составляющими
(ву, d%) и F^, dBg), определится как
F(t, у, %) X F(t, z, %)dy dz d%
%
x) Материал этого параграфа весьма близок к содержанию лекции,
прочитанной профессором Ферми в Чикагском университете летом
1940 г., и включает некоторые неопубликованные результаты. Авторы
выражают свою искреннюю признательность профессору Ферми за
разрешение использовать эти результаты.

46 Е. Рассеянае
Мы должны найти функцию F, исходя из обычных предполо-
предположений о малости угла 6.
Пусть рд*F)б?6 означает вероятность того, что, пройдя путь
\t, частица отклонится на угол F, db). Отклонение 6 не вы-
вызвано обязательно одним столкновением. Поэтому функция р F)
не связана непосредственно с функцией ?(в), определенной
ранее. По своему определению р F) удовлетворяет следующим
уравнениям:
A.59)
ОО
J е«Рд*(в) л=
Интегралы распространяются на область от —оо до -f~°°>
так как в действительности р имеет острый максимум при 6 — О
и быстро спадает до 0 по обе стороны от максимума.
Теперь определим изменение функции F на участке от t
до t-\-Lt. Функция F изменяется потому, что как простран-
пространственное, так и угловое распределение видоизменяются при
прохождении слоя Д? Видоизменение пространственного рас-
распределения происходит вследствие того, что частицы, двигаясь
под углом 6, приобретают в слое At поперечное смещение 6 Л/.
Рассеяние в этом слое дает эффект второго порядка, который
можно не учитывать при рассмотрении изменений в простран-
пространственном распределении. Отсюда следует, что частицы, имеющие
поперечное смещение у на глубине t-\-kt, имели на глубине t
смещение у — 0Д/. Таким образом, пренебрегая изменением
углового распределения, получим:
F(t + M, у, b) = F{t, у-Ш, b) = F(t,y,b)-№^.
Для того чтобы рассчитать эффект изменения в угловом
распределении, рассмотри i два интервала углов @, db) и F', db')+

Функция распределения 47
На глубине t имеется F(t, у, W)dydb частиц в интервале углов
F', db') с поперечным смещением (у, dy), из них часть рд*F—6') d6>
пройдя слой At, рассеется и попадет в интервал углов (б, dft).
Отсюда, пренебрегая изменением в пространственном распре-
распределении,
со
Так как pAt F — в') отлично от нуля лишь при очень малых,
значениях аргумента, то F можно разложить в ряд Тэйлора по
F — 6'). Опуская члены выше второго порядка и принимая во
внимание A.59), получим:
Таким образом, полное изменение функции распределения
в слое At будет:
Положив
w = 2jr, A.60)
получим для F следующее дифференциальное уравнение:
U1 г, Ul I i U Г /
Можно заметить, что при больших значениях р величина w
представляет удвоенную энергию падающей частицы в единицах
характеристической энергии Es, а при малых р эта величина
равна учетверенной энергии в тех же единицах.
Нас будет интересовать решение уравнения A.61), отвечающее
одной падающей частице. Тогда F будет вероятностью опреде-
определенного поперечного смещения и определенного углового откло-
отклонения на глубине L Нетрудно показать, что таким решением,
данным Ферми (см. сноску на стр. 44), будет:
_ /82 Зуб , Зу8\

48 Е. Рассеяние
В самом деле, можно убедиться путем подстановки, что
A.62) удовлетворяет A.61). То, что при этом удовлетворены
и граничные условия, станет очевидным из последующего.
Интегрируя функцию распределения F по у, получим функцию
G{t, 6), представляющую угловое распределение безотноси-
безотносительно к поперечному смещению:
^262
О(/,в)= J F(t,y,b)dy = ^±^-2-e-lh~. A.63)
— ОО *
Аналогично, интегрируя функцию F по 6, получим функцию
U у)> дающую пространственное распределение безотноси-
безотносительно к углам:
ОО
= J
e *~*~. A.64)
Из A.63) и A.64) следует, что при любых значениях t
ОО ОО
J G(t,b)db= J H{t,y)dy=U A-65)
— ОО — ОО
Далее, на границе при ?=0 величина G обращается в нуль при
всех значениях 6, за исключением 6 = 0, а //обращается в нуль
при всех значениях у, кроме у = 0] таким образом,
О@, 6) = 8F); Н@,у)=Ъ(у\ A.66)
где 8 — несобственная функция Дирака.
Это доказывает, что решение A.62) действительно отвечает
одной частице, движущейся в точке / = 0, у = 0 в направлении
оси /.
Равенство A.63) показывает, что на любой глубине угловое
распределение, безотносительно к положениям, является гаус-
гауссовым. Средний квадрат угла рассеяния будет:
<6%. @ = ^г = J ру С1-67)
в согласии с A.58а).
Выражение A.64) также показывает, что на любой глу-

Функция распределения
49
бине пространственное распределение, безотносительно к углам,
также гауссово. Средний квадрат смещения
о/з 1 р 2 1
Следует отметить, что если мы рассмотрим те частицы,
которые на данной глубине имеют определенное смещение, то
их угловое распределение не будет гауссовым. Это же заме-
замечание относится к пространственному распределению частиц,
имеющих на данной глубине определенное угловое отклонение.
Функцию распределения A.62) можно применить к решению
различных задач, возникающих при обсуждении опытов по
исследованию космических лучей. Предпо-
Предположим, например, что нам известно, что пу-
пучок частиц прошел через две точки А и В
(точнее, через две малые площадки вокруг
А и В), и мы хотим определить распреде-
распределение боковых отклонений траекторий ча-
частиц относительно прямой, соединяющей А
и В и относительно середины отрезка АВ.
Выберем начало системы координат в точ-
точке А, а ось t направим по АВ (фиг. 14).
Как и ранее, будем рассматривать проекции
траекторий на плоскость (?, у) и будем счи-
считать углы, образуемые траекториями с осью t,
малыми. Проведем прямую, перпендикуляр-
перпендикулярную отрезку АВ, через его середину О и
рассмотрим на этой прямой точку С на
расстоянии у0 от точки О. Введем to =
= АО = ОВ и рассмотрим три элементарных
отрезка: dyx у точки- A(t=0), dyo у точки
C(t = t0) и dy2 у точки B(t=2t0). Пред-
Предположим, что космические частицы приходят
в точку А равномерно со всех направле-
направлений; мы интересуемся вероятностью / (у0) dyQ
бокового отклонения (j/0, dy0) при t = /0.
Пусть Kdbtdyx означает число частиц, падающих на dyv
в интервале углов (bx, dbx). Расстояние точки С от их перво-
первоначальной траектории будет у0 — tobx; отсюда следует, что число
этих частиц, которые пересекут dyQ под углом @О, db0), составит
4 Б. Росси
о
i
А
у
р
В
Фиг. 14. Иллюст-
Иллюстрация расчета рас-
распределения боко-
боковых отклонений в
центре траектории
для частиц, прохо-
проходящих через две
фиксированные
точки.

50 Е. Рассеяние
а полное число частиц, приходящих со всех направлений и
пересекающих dy0 под углом. F0, */60), будет1):
о
,d\ J
Частица, прошедшая через dyQ под углом 60, имеет вероят-
вероятность H(t0, —у0 — ^060) dy2 пройти через отрезок dy2 в точке В.
Отсюда, для числа частиц, прошедших dyu dy0 и dyi9 получаем
3 \Vs
в то время как полное число частиц, пронизывающих dyY и dy2,
равно
Вероятность f(yo)dyo есть отношение этих двух чисел,
поэтому
{Ферми, см. сноску на стр. 44).
х) Этот результат является непосредственным следствием A.64),
если мы представим себе частицу движущейся в противоположном
направлении.

ЧАСТЬ II
КАСКАДНЫЕ ЛИВНИ
§ 24. Общие замечания
В первой части было показано, что Наряженные частицы,
проходя через вещество, теряют энергию вследствие столкно-
столкновений и излучения. Большая часть энергии, потерянной при
столкновениях, расходуется на возбуждение атомов или выби-
выбивание из атомов электронов с .малыми энергиями и может
в соответствии с нашим определением (см. Введение) считаться
потерянной; в противоположность этому энергия, потерянная на
излучение, распределена довольно равномерно между вторичными
фотонами всех энергий — от нулевой до энергии, равной энергии
самой первичной частицы. Для электронов малых энергий и для
мезотронов практически всех энергий потери на столкновения
преобладают над потерями на излучение. Поэтому взаимодей-
взаимодействие с веществом мезотронов и электронов малых энергий
сводится, в основном, к потерям энергии. . Электроны же
больших энергий, наоборот, большую часть своей энергии
теряют на излучение. Поэтому при взаимодействии электронов
больших энергий с веществом только малая доля их энергии
рассеивается, а большая часть превращается в фотоны с большой
энергией. Вторичные фотоны в свою очередь либо образуют
пары, либо претерпевают комптоновские столкновения. В резуль-
результате обоих этих процессов возникают электроны с энергией,
сравнимой с энергией фотона. Эти новые электроны опять
излучают фотоны, которые вновь образуют пары или компто-
комптоновские электроны. На каждой следующей ступени число
частиц возрастает, а их средняя энергия убывает. В ходе этого
процесса все большее число частиц оказывается в области
энергий, меньших, нежели предел т]0, пока вся энергия первич-
первичного электрона не окажется полностью потерянной.
Олисаиное выше явление называется каскадным ливнем.
Ясно, что ливень может быть создан не только электроном
большой энергии, но и фотоном большой энергии. Мезотрон,
производя электрон или фотон большой энергии, может также
дать начало вторичному ливню.
Теория каскадных ливней была впервые развита независимо
Карлсоном и Оппенгеймером [14] и Баба и Гайтлером AQJ.
4*

52 Каскадные ливни
В дальнейшем теория была развита в работах Ландау и Румера
[27], Снайдера [39], Сербера [40], Нордгейма и Хебба [31] и
других авторов [19, 24, 17, 22, 1, 44, 2, 32, 42]. Математи-
Математическая сторона теории была детально проанализирована Скот-
Скоттом [43].
В нашем изложении рассмотрим сначала задачу как одно-
одномерную, т. е. будем считать, что ливневые частицы (электроны
и фотоны) движутся в том же направлении, что и первичная
частица, создавшая ливень. Расширение ливня, вызванное рас-
рассеянием, будет исследовано дальше (§ 44). Основание для
рассмотрения процесса развития ливня отдельно от его попе-
поперечного распространения состоит в том, что изменение длины
пути частиц, вызываемое рассеянием, вообще мало.
§ 25. Определения, обозначения, типы приближений
Так как явления, приводящие к образованию ливней, — это
излучение и образование пар, то удобно в дальнейшем измерять
толщины вещества в радиационных единицах (§ 13). Далее мы
вводим следующие определения и обозначения:
a) Дифференциальный спектр электронов n(E}t)dE—сред-
n(E}t)dE—среднее число электронов (положительных и отрицательных) на
глубине t с энергией между Е и E-\-dE. Если потребуется
отметить, что ливень создается электроном энергии Ео или фото-
фотоном энергии WQi то будем писать соответственно тс(?0, Eyt) dE
или n(WOi E, f)dE.
b) Дифференциальный спектр фотонов *{(W, t)dW — среднее
число фотонов на глубине t с энергией между W и W-\-dW
[аналогично будем употреблять обозначения ч(Е0, W,t)dW или
Y(Wo, W, t) dW в случае ливня, образованного электроном
энергии Ео или фотоном энергии W9].
c) Интегральный спектр электронов П (Е, t) — среднее число
электронов, имеющих энергию большую, чем Е, на глубине t
[П(?о, Е, f) или TL(WQ9 Е, f) для ливня, созданного электроном
энергии ?0 или фотоном энергии Wo]:
B.1)
d) Интегральный спектр фотонов Y(W,f) — среднее число
фотонов, энергия которых превышает W на глубине t [Г (?0, W, /)

Определения, обозначения, типы приближений 53
или T(W^ W,f) для ливня, созданного электроном энергии Е
или фотоном энергии Wo]
.Г A^,0= ^ T(W\f)dW. B.2)
w
е) Дифференциальный пробег электронов zn (Е) dE:
оо
^(?)=J «(E,f)dt. B.3)
6
Аналогично
определяет дифференциальный пробег фотонов z^(W)dW.
f) Интегральный пробег электронов Zu(E):
оо оо
zn (Е) = j* Zk (Ef) dE1 = f П (Я, 0 Л, B.5)
Е \ "б
Аналогично
оо оо
zY {W) = Г гт (W')dW' = Г Г (W, t) dt B.6)
^ о
определяет интегральный пробег фотонов (
Функции Zn, zv Zn и 2:г легче определить, чем соответству-
соответствующие тг, 7> П, Г, и знания их достаточно для решения ряда
задач, например для определения числа электронов и фотонов,
находящихся в равновесии с пучком мезотронов (§ 40).
g) Удельная ионизация j(t)dt — число пар ионов, обра-
образованных всеми частицами ливня в слое вещества между t
h) Полная ионизация J—общее число пар ионов, образо-
образованных всеми частицами ливня до полного поглощения ливня:
оо
J=\j(f)dt. B.7)

54 Каскадные ливна
V) Центр тяжести U (Е) — положение центра тяжести лив-
ливневых электронов с энергией Е— определяется как
c (?) = _°_ = _i^ J ы {E, f) dt. B.8)
" и (Е, t) dt r' °
Аналогичными формулами определяются центры тяжести:
tf(W) — фотонов с энергией. W\ tn (E) —¦ электронов с энергией,
превышающей Е; lr(W) — фотонов с энергией, превышающей
W, и tj — ионизации.
j) Продольный размер ливня т. Продольный размер ливня
ттс(Ё) по ливневым электронам с энергией Е определяется сле-
следующим образом:
i Л
CO
Аналогичные выражения определяют продольный размер:
тт (W) по фотонам с энергией W; тп (Е) — по электронам с
энергией, превышающей Е; Tr(IF) — по фотонам с энергией,
превышающей W, и ту. — ионизации.
Определенные выше величины описывают среднее поведение
ливней. Истинное поведение отдельного ливня может заметным
образом отличаться от среднего. Таким образом, возникает
задача об отыскании вероятности определенного поведения ливня
(например, вероятности того, что на глубине t окажется N элек-
электронов с энергией, превышающей Е, и т. п.). Эта задача, назы-
называемая проблемой флюктуации, не нашла до сих пор своего удов-
удовлетворительного решения. Она будет вкратце изложена в § 43.
Исследование среднего поведения ливней тоже не может
быть математически проведено без определенных упрощений.

Определения, обозначения, типы приближений
55
Мы неоднократно упоминали, что при больших энергиях гла-
главенствующими процессами ' являются излучение электронами
и образование пар фотонами. При уменьшении энергии стано-
становятся существенными столкновения, а при значительно меньших
энергиях—эффект Комптона. Удобно ввести величину е, назы-
называемую- критической энергией, которая определяется как энергия,
теряемая электроном на ионизацию на радиационной единице
длины, причем энергия электрона тоже равна е. Учитывая, что
для электронов космических лучей энергия практически совпа-
совпадает с импульсом, получим из A.9а) при 7)== 5 . 106eV сле-
следующую формулу для в:
е=1,53. W5 j*0 B3,0-f 21og^- — 2\ogZ\. B.10)
Значения е для различных веществ приведены в табл. 2.
Таблица 2
Атомный номер Z, атомный вес А, радиационная единица длины
XQ и критическая энергия s для различных веществ 1)
Вещество
Хо (Г/СМ2)
Водород .
Углерод .
Азот. . . .
Кислород.
Алюминий
Аргон. . .
Железо. .
Медь . . .
Свинец . .
Воздух . .
Вода. . . .
1
6
7
8
13
18
26
29
82
1
12
14
16
27
39,9
55,84
63,57
207,2
N 76,9%1>
О 21,8°/0
А 1,3<У0
Н 11,1<7о2)
О 88,9°/о
138
40*
35,4*
32,1*
22,7*
18*
12,5*
13,3
5,2*
34,2*
33,9*
815
120
103
90
37,2*
37
18,4*
22,4
6,4*
72*
111
1) Значения Хо и s, отмеченные звездочкой, получены более точ-
точным усреднением ионизационного логарифма с учетом экранирования
по экспериментальным данным по рассеянию рентгеновских лучей [55].
Исправленные значения ЛТ0 и е на 10 — 20% меньше данных автором.
Эти значения взяты из книги С. 3. Беленького [52]. (Прим. ред.)
2) По весу.

Таблица 3
Список формул, графиков и таблиц для вычисления различных величин, описывающих ливни
Величина
Ссылка
Примечания
I1(WO,EJ)
J(E0),J(W0)
Формула B.55)
Формула B.98)
Формула B.58)
§36
Формула B.56), фиг. 16
Табл. 9
Формула B.99)
Формула B.59)
Табл. 10
§36
Формула B.57), фиг. 15
Табл. 7
Формула
Формула
Формула
Табл. 8
§36
Формула
Формула
Формула
Формула
B.100)
B.104), фиг. 19
B.60)
B.105)
B.108)
B.110)
B.44)
Формула B.96)
Прибл. A;
Прибл. В; — 2s < Е < Ео
Прибл. A; s < Е < Wo
Прибл. В; ~ 2s < Е < №0
Прибл. A; s< W<^E0
Прибл. A; W порядка Ео
Прибл. В; ~ 2s < W< Eo
Прибл. A; s< №< №0
Прибл. A; W порядка Wo
Прибл. ?;~2s< W<^W0
Прибл. А; г < Е < Ео
Прибл. А; Е порядка Ео
Прибл. ?;~2s<?<?0
Прибл. В; Е = 0
Прибл. A; s < Е < №0
Прибл. Л; ? порядка Wo
Прибл. ?;
Прибл. В; E=z
Прибл. 5
Прибл. Л; s
Прибл. Z?; —

, W)
Формула B.44)
Формула B.96)
Формула B.106)
Формула B.45)
Формула B.97)
Формула B.45)
Формула B.97)
Формула B.107)
Формула B.46)
§36
Формула B.46)
§36
Формулы B.106), B.107)
Формула B.47)
§36
Формула B.47)
§ 36
Формулы B.106), B.107)
Прибл. A; s<
Прибл. В; — 2s<
Прибл. В; ?=0
Прибл. A; s< E
Прибл. Л; ~ 2 е < ^ < №0
Прибл. А; г < Е < Wo
Прибл. 5; ~2e<?< Wo
Прибл. Б; ?=0
.Прибл. А;
Прибл. ?;~2е<
Прибл. А;
Прибл. В;
Ео
Прибл. В; ? = (
Прибл. Л; s <^ -
Прибл. 5; ~2«
Прибл. А;
Прибл. 5;—2s <
Прибл. В; Е = 0
?<>

58 Каскадные ливни
В первом приближении е оказывается обратно пропорцио-
пропорциональным атомному номеру, так как XQ приближенно пропорцио-
А
нально -~2~ •
В области энергий, больших критической, теория ливней
может быть развита на основе рассмотрения только явлений
излучения и образования пар. Если, кроме того, рассматри-
рассматриваемые энергии велики в сравнении с \?>ly.eZ—xI*, то излучение
и образование' пар можно описывать асимптотическими форму-
формулами, относящимися к случаю полного экранирования. В даль-
дальнейшем будем называть „приближением Ли такое приближение,
в котором пренебрегают столкновениями и эффектом Ком-
птона, а для излучения и образования пар употребляются асим-
асимптотические формулы.
При энергиях, близких к критической, эффектом Комптона
можно все еще пренебрегать, но столкновения надо учитывать.
Однако существенно будет рассматривать лишь их влияние на
потери энергии электронами, на образование же быстрых вто-
вторичных электронов столкновения заметно не влияют. Так как
ионизационные потери медленно меняются с энергией, то они
могут считаться постоянными, равными е на радиационную
единицу длины. „Приближением Ви будем называть такое при-
приближение, в котором пренебрегают эффектом Комптона, иони-
ионизационные потери считаются постоянными, а для излучения
и образования пар употребляют асимптотические формулы.
При энергиях, малых в сравнении с критической, и эффект
Комптона, и столкновения существенно сказываются как в по-
поглощении, так и в образовании ливневых частиц. Например,
в воздухе (фиг. 13) для фотона с энергией 2,4 • 107eV вероят-
вероятности эффекта Комптона и образования пар равны друг другу.
Вероятность того, что электрон энергии Е' появится в резуль-
результате столкновения (8-электрон) или в результате образования
пары фотоном энергии W, дается приближенно следующей
формулой [в соответствии с A.7) и A.50)]:
о-электроны 2CXoy>eW
пары ~ 7{Щ "Г^Т '
В воздухе средняя энергия ливневых частиц имеет порядок
108eV; считая, что количество электронов и фотонов одина-
одинакового порядка, мы получим, что в области энергий, близкой
к т|0=5. 106eV, более вероятно образование 8-электрона, чем
пары.

Определения, обозначения, типы приближений 59
Как будет показано ниже, задача о ливнях в приближении А
может быть решена полностью. Если рассматриваемые энергии
не слишком близки к начальной, то может быть применен ана-
аналитический метод на основе принципов, проведенных Карлсоном
и Оппенгеймером и Ландау и Румером (§ 26—30). Для энергий,
близких к начальной, приеден метод, развитый Баба и Гайт-
лером (§ 31). - "
Задача о ливнях в приближении В была частично решена
в случае ливней, создаваемых первичной частицей, имеющей
энергию, большую в сравнении с критической. Следуя методу,
впервые развитому Снайдером, возможно рассчитать удельную
ионизацию как функцию глубины (§ 32, 34, 35 и 37) и энер-
энергетический спектр ливневых частиц вплЪть до энергий около
2s (§ 32, 33, 34 и 35).
Некоторые вычисления производились и для малых энергий,
для которых нельзя воспользоваться ни приближением Л, ни
приближением В. Однако в этих вычислениях начальная энер-
энергия попрежнему считалась большой в сравнении с е (§ 38).
Теоретические данные о ливнях, образуемых первичными элек-
электронами и фотонами с энергиями порядка критической, полу-
получить трудно, хотя Дрезденом, Скоттом и Уленбеком было по-
показано, что, по крайней мере принципиально, эта задача может
быть решена по методу, аналогичному методу Баба и Гайтлера
([16]; см. также Скотт [43]).
Для удобства читателей в табл. 3 приведены основные ве-
1 личины, описывающие ливни, сопровождая их ссылками на
формулы, таблицы и графики, при помощи которых эти вели-
величины могут быть вычислены. Интегральный спектр фотонов Г
и другие функции, связанные с Г, не имеют большого практи-
практического применения, поэтому они не были вычислены в явной
форме.

А. ТЕОРИЯ ЛИВНЕЙ В ПРИБЛИЖЕНИИ А
§ 26. Кинетические уравнения
Мы будем здесь рассматривать только явления излучения
и образование пар, употребляя при этом для определения .ве-
.вероятностей асимптотические формулы, отвечающие случаю пол-
полного экранирования. Согласно предшествовавшему рассмотре-
рассмотрению, такая теория будет давать точные результаты для ливнз-
вых частиц, энергия которых велика в сравнении с двумя ве-
величинами: s и 137\ieZ .
В случае легких элементов применимость теории будет огра-
ограничиваться первой величиной, а в случае тяжелых элементов —
второй.
Энергия покоя электрона будет мала в сравнении с кине-
кинетической энергией, поэтому мы не будем делать различия между
кинетической энергией электрона и его полной энергией.
Уравнения для определения дифференциальных спектров n(E,t)
и *{(W, f) можно получить следующим образом. В данной тол-
толщине dt число электронов с энергией между Е и E-\-dE из-
изменяется благодаря следующим эффектам:
а) Фотоны с энергией W большей, чем Е, образуют опре-
определенное число электронов обоего знака в области энергий
(E,dE). Это число равно
1
dEdt ¦ 2 J T( W, t) % (|) ^ = dEdt • 2 f Т (§
Е , 6
где ^0 дано формулой A.42а), а н = —
Ь) Некоторые электроны с энергией Е' большей, чем Е,
излучая часть своей энергии, оказываются в интервале энергий
(Е, dE): Их число равно
оо ' / 1
dEdt Л тт(?'О<ро (~~) % = dEdt J « (j-JL-,
Е О
где ф0 дается формулой A.23а), a v = (E' — Е)/Е'.

Кинетические уравнения 61
с) Некоторые электроны, энергия которых первоначально
лежала в области (E,dE)y оказываются, вследствие потерь на
излучение, вне этой области. Их число составляет
Е 1
«(?,0 dEdi J ?о (]г) if = * (E,t)dEdt J 9o (if) dv,
о о
W
где v = g-, Интегралы (b) и (с) расходятся, ибо фо(хО ведет
себя как — („инфракрасная катастрофа"). Однако их раз-
разность остается конечной.
Число фотонов с энергией между IF и W -\- dW изменяется
в слое dt благодаря следующим эффектам:
а) Электроны с энергией Е большей, чем W, излучают
определенное число фотонов с энергией, лежащей в интервале
(W, dW). Это число равно
w
где v=-E%
b) Некоторые фотоны, энергия которых первоначально ле-
лежала в интервале (W, dW), поглощаются вследствие образо-
образования пар. Согласно A.47а) их число равно
Мы приходим к следующим уравнениям
1 1
о о
,t) " С (W

62 А. Теория ливней в приближении А
Функции 90 и <5>0 не зависят от атомного номера, поэтому
решения уравнений B.11) и B.12) одни и те же для всех
веществ, имея в виду, конечно, что толщины вещества измеря-
измеряются в радиационных единицах. Далее, функции ср0 и ^0 зави-
зависят только от отношения между первичной энергией и энергией
излученной частицы. Поэтому решения уравнений B.11) и B.12)
останутся справедливыми, если все энергии умножить на по-
постоянную.
§ 27. Элементарные решения
Покажем, что уравнения B.11) и B.12) имеют решения с
разделенными переменными типа
*(EJ) = F%(E)f(t), t(W9f) = F^W)Af). B.13)
По подстановке в кинетические уравнения B.11) и B.12),
получим:
FJE) f> =Kt) ( 2 J F, (?) Uu) % - J k(?) -
10 0
Величины, заключенные в фигурные скобки, являются функ-
df(f\
циями только от Е или W. Поэтому отношениё^^ не зависит
от t и равно некоторой постоянной X:
откуда
f(t) = const e

Элементарные решения
63
1 1
= 2 J F, (|) ф,(И) f - J [>,(/?) -
о о
1
= J
B.14)
Уравнения B.14) могут быть решены и, следовательно, ки-
кинетические уравнения удовлетворяются функциями, имеющими
форму B.13). Прежде чем рассматривать решение этих урав-
уравнений, отметим тот факт, что решение в форме B.13) будет
существовать и в том случае, если мы включим в кинетические
уравнения члены, описывающие столкновения и эффект Комптона,
а также будем пользоваться более сложными выражениями для
вероятностей излучения и образования пар. Иными словами,
всегда мо5кно найти такие решения кинетических уравнений,
в которых число ливневых частиц изменяется с глубиной по
экспоненциальному закону, а отношение числа фотонов к числу
электронов и форма их спектров остаются неизменными при
изменении глубины. Эти решения будем называть элементарными
решениями кинетических уравнений.
Уравнения B.14) удовлетворяются степенными функциями
энергии
B.15)
где s — положительное число.
Подставляя B,15) в B.14), получим:
\a = — A(s)a-j-B(s)by lb = C{s)a — o0b,
где
B.16)
A(s) = J [1 —XI - v)8] 9o (v) dv, С (*) = J x*P
о о
dv,
B-17)
X
В (s) = 2 J a*<|», (a) du, a0 = <^0 (в)da.
о о
Уравнения B.16) разрешимы, если X удовлетворяет квадратному
уравнению:
0. BЛ8)

А. Теория ливней в приближении А
Отсюда для каждого значения показателя степени s вели-
величина X может иметь два значения:
X, (s) =
+1 {[А(8) - о0р + 4В (s) С (
B-19)
Отношение коэфициентов а и b составляет
at
B(s)
«2
^ и Ь
В (s)
^ "Л (s) + xt (s) С (s) ^ и Ь~ A (s) + X2(s}— С (s)
соответственно двум возможным выборам X. Таким образом, мы
имеем следующие два ряда элементарных решений кинетических
уравнений B.11) и B.12):
B.21)
где а, и а2 — произвольные постоянные, a Xj и Х2 даются фор-
формулами B.19).
Путем подстановки выражений для <р0 (v) и фо(м), даваемых
формулами A.23а) и A.42а), в B.17) легко получить явные
выражения для A (s), B(s) и C(s). Результат таков:
— 0,0750,
B.17a)
, 1,36

Элементарные решения 65
Используя вместо A.23а) и A.42а) формулы A.32) и D.49а),
можно получить приближенные выражения в более простой
математической форме:
)logsl + °5772 5(s) <
= (д)logsl + °>5772> 5(s)=
В B.17а) и B.17bI)
d . , fl
обозначает логарифмическую производную от гамма-функции;
Y = 0,5772 есть постоянная Эйлера, 6 = 0,0135 определено
в § 13. Значения A(s)y B(s), C(s), X^s), X2(s) при различных
значениях 5 приведены в табл. 5.
Элементарные решения имеют и непосредственный физиче-
физический смысл. Рассмотрим пучок электронов и фотонов, входящий
в вещество при t—О; пусть v(Efi)dE— число падающих в се-
секунду электронов с энергией между Е и E-{-dE, а т(№,0) —
число падающих в секунду фотонов, с энергией, между W и
W'-f- dW. Предположим, что для энергий, больших некоторого т],
величины тс(?,0) и yAF,0) являются степенными функциями
энергии с одинаковым показателем степени
Тогда дифференциальные спектры электронов и фотонов
для Е и W, больших Yj, даются на любой глубине t линейными
комбинациями двух элементарных решений, отвечающих пока-
зателю степени s -f-1:
B.22)
J) См. Валле-Пуссен, Курс анализа бесконечно малых. М. —Л.,
1933, т. 2, стр. 189. G7риж. ред.)
5 Б. Росси

66 Л. Теория ливней в приближении А
причем псстоянные ах и а2 должны быть выбраны так, чтобы
удовлетворить граничным условиям:
Таким образом, для энергий, больших ?), распределение
электронов и фотонов по энергиям не зависит от пройденной
ими толщи вещества. Изменение числа электронов с глубиной
отлично от изменения числа фотонов и зависит от начального
отношения между их числами. Однако на больших глубинах
члены, содержащие е^^)*, становятся малыми в сравнении
с членами, содержащими еМ5)', так как Х2 всегда отрицательно
и по абсолютной величине больше, чем ht. Таким образом,
для t»l B.22) переходит в
что означает, что на достаточно больших глубинах числа элек-
электронов и фотонов находятся в постоянном отношении и изме-
изменяются по экспоненциальному закону; при этом скорость их
изменения с глубиной зависит от 5 и, следовательно, от началь-
начального распределения по энергиям. Согласно табл. 5, lt поло-
положительно при ?<О,, Равно нулю при 5=1 и отрицательно
при s^>l; при стремлении s к бесконечности ht стремится к
значению — о0 = —" 0,7733. В первом случае число ливневых
частиц растет с глубиной, во втором случае остается неизмен-
неизменным и в третьем случае убывает. Случай независимости числа
частиц от глубины имеет практическое значение; соответ-
соответствующие спектры фотонов и электронов мы будем называть
нормальными спектрами. В приближении Л нормальный спектр
имеет вид:
§ 28. Интегралы Меллина и Лапласа от я, у, П
При попытке решения кинетических уравнений B.11) и B.12)
с произвольными граничными условиями, в частности, с гранич-
граничными условиями, отвечающими входящему в вещество одиноч-
одиночному электрону или фотону, мы сталкиваемся с более трудной

Интегралы Меллина и Лапласа от гг, ?» П 67
математической задачей. В задачах подобного типа весьма эф-
эффективным оказывается метод функциональных преобразований.
В последующем рассмотрении мы часто будем пользоваться
преобразованиями, известными под именем преобразований Мел-
Меллина и Лапласа. Для удобства читателей в дополнении I при-
приведены основные свойства этих преобразований.
Рассмотрим интегралы Меллина от тг и у по отношению к
энергии, т. е. величины
ОО DO
m%{s,f) = j Е*ж (E,t)dE, 2RT(*,f) = J W»T (W,t) dW, B.24)
0 0
где s — комплексный параметр. Ш^ и 9JL определены для
таких s, при которых интегралы сходятся. Так как тс и-у тож-
тождественно равны нулю при энергиях больших, чем начальная
энергия, то достаточно исследовать сходимость интегралов н^
нижнем пределе. Это исследование приводит к следующему:
область сходимости интегралов Ш^ и 5№у есть полуплоскость
Re(s)^>so,r4e Re означает вещественную часть, a s0 — веще-
вещественную постоянную. Ниже будет показано, что so = O.
Рассмотрим также интегралы Лапласа от тс и ? по отно-
отношению к /, т. е. величины
ОО
= J
о
dt
; 87(W,l) = J e'^(Wjt) dt. B.25)
о
STC и ?y также определены при тех комплексных параметрах X,
при которых соответствующие интегралы сходятся. Область
сходимости есть полуплоскость Re (X) ^> Хо, где Хо — вещественная
постоянная. Ниже будет показано, что Хо = — о0.
Наконец, рассмотрим интегралы Меллина по энергии от
интегралов Лапласа по толщине, т. е. величины
СО ОО
(s,X) = j' ЕЧЕ J e-V« (E,t) dt,
° B.26)
3? (<?,X) = Г Wsd W Г e~^( WJ) dt,
0 0 )
являющиеся функциями двух комплексных параметров s и X.
5*

68 А. Теория ливней в приближении А
Оправданием введения преобразованных величин $Щ, 8, 91
является то, что их значительно легче определить, чем исход-
исходные функции тс и у- Многие свойства ливней могут быть вы-
выяснены непосредственно из этих интегралов. Сами же функции
тс и у могут быть получены из преобразований посредством
обратных формул, приведенных в дополнении I.
Граничные условия задачи определяются функциями тс(?,О)
и y(W>0), описывающими входящий пучок частиц. Рассмотрим,
в частности, граничные условия, отвечающие:
a) одиночному первичному электрону с энергией Ео
«(?,0) = «(?—¦?,); ?(Г,0) = 0, B.27)
b) одиночному первичному фотону с энергией Wo
¦ Wt), B.28)
где 8 — несобственная фуйкция Дирака.
Как было указано Ландау и Румером [27], интегралы
Меллина удовлетворяют простой системе дифференциальных
уравнений, которые можно получить, если умножить обе сто-
стороны B.11) и B.12) соответственно на Es или Ws и проинте-
проинтегрировать по энергии от 0 до со.
Интегралы правой части могут быть преобразованы следую-
следующим образом:
= J Wst (Wj) dW-2§ я*ф0 (и) dtt = 9№Y (s,t). В (s),
oo 1
'EsdE
о
=Jv(E,t)EsdEfe0 (v) dv — Ueyv{E\t) dE' Ul-v)scp0(v)dv=
о о о о
oo 1
J [ 1 — A — vs)] ?e (v) dv = ЗЯЯ E,0 • Л (*);

Интегралы Меллана и Лапласа от к, ?, II
69
= \Esr,{E,t)dE tvs9(t(v)dv,
Мы приходим к системе дифференциальных уравнений
B:29)
Если теперь умножить обе стороны B.29) на еМ и про-
проинтегрировать по t от 0 до со, то это дает следующую си-
систему алгебраических уравнений для 5ftTC и Щ:
30)
X9?y (s,X) — 9J?v (s,0) = С (s) $lK (s,X) — o09L(s,X), j
где Шк (sfi) и 9Ку E>^) —интегралы Меллина от я (?,0) и
В частности:
a) в случае первичного электрона с энергией Ео
9^^E,0) = ??, 9Ку(?,0) = 0;
b) в случае первичного фотона с энергией WQ
Решениями уравнений B.30) являются:
а) в случае первичного электрона с энергией Ео
B.31)
B.32)
B.33)

70
А. Теория ливней в приближений А
Ь) в случае первичного фотона с энергией WQ
B(s)Ws0
w0, s, x) _
lA(s)-
[X-X
[A(s) -
B(s)Ws0
(c\\ \\ . Л ^c^l
\A(s) + X] W
f X]K + X)-
B(s)C(s)
B(s)C(s)
\ B-34)
[X —X,(s)J[X—
где Xt (s) и X2(s) — функции, определенные формулами B.19).
Непосредственно решая уравнения B.gp) или применяя обрат-
обратные преобразования Лапласа к 9?я и S№Y (см. дополнение I),
легко получить выражения для Ш:
а) в случае первичного электрона с энергией Ео
„ А С (S)
0, s, t)—li(s)_
К
д ^ t At(s)t\.
e e ),
B-35)
b) в случае первичного фотона с энергией Wo
} B-36)
При произвольном значении ^ функции, стоящие в правой
части уравнений B.35) и B.36), регулярны при s)>0 и обра-
обращаются в бесконечность в пределе s = 0, так как при этом
Xj (s) обращается в положительную бесконечность. Это пока-
показывает, что область сходимости для 90?тс и 90?^ есть положи-
положительная полуплоскость. Выражения B.35) и B.36) представляют
Ш^ и Ш^ только в этой полуплоскости; в отрицательной полу-
полуплоскости они представляют аналитические продолжения 9№тс
и 2»т.

Интегралы Меллана и Лапласа от к, ?, П 71
Интегралы Лапласа 8^ и 8Т можно получить, применяя
обратные преобразования Меллина к 91^ и Щ (см. дополне-
дополнение I):
а) в случае первичного электрона с энергией ?\?.
г (Е е к\ — i-*<I Г
'
\е) [X —ХаС^)] [X —X2(s)] '
8 — i oo
B.37)
o + ico
9 (Е W Y\ — l WJ- Г (EAS C(s)ds
8 —i oo
b) в случае первичного фотона с энергией {% :
+ IOO
8 (W ED—l-*LL Г /1Гоу KsHs
41 °' '4~2^i^E J Uj [X-X,(s)][X-
8 г oo
* (W W X^ —-L
J
8 — г oo
B.38)
8-f-ioo
5 —/oo
Путь интегрирования в написанных выше интегралах прохо-
проходит параллельно мнимой оси справа от всех полюсов. В случае
^^> — о0» в положительной полуплоскости s имеется только
один полюс; этот полюс лежит на вещественной оси и опре-
определяется уравнением
*i (*) = >. B.39)
Легко показать, что отрицательная полуплоскость содержит
бесконечное число полюсов, что объясняется поведением лога-
логарифмической производной гамма-функции, входящей в A(s).
Рассмотрим выражение для %п в B.37). При ?<?0 под-
интегральное выражение стремится к 0 в пределе 5 = —оо.
Поэтому, дополняя контур интегрирования влево полуокруж-
полуокружностью бесконечно большого радиуса, можно представить инте-
интеграл в виде суммы по вычетам от всех полюсов. Каждый полире

72 Л. Теорая лавней в приближении А
(Е V
дает член, пропорциональный (-т?) • Поэтому, если Е<^Е^ то
слагаемое, происходящее от полюса, лежащего на вещестденной
положительной оси, значительно превосходит те, у которых
Re ($) <d 0., Аналогичные заключения можно сделать и в отно-
отношении других интегралов Лапласа. Поэтому для энергий, малых
в сравнении с первичной, 8ТС и 8Y даются следующими выра-
выражениями:
а) в случае первичного электрона с энергией Ео
р Хч_ 1 (ЕЛ* ' «O + Xi(s)
C(s) •
b) в случае первичного фотона с энергией Wo
K(s) ' B-41)
В написанных выше формулах s определяется из условия
B.39), так что X совпадает с Xt (s). Символ Х[ (s) означает
производную Хх по s; она дана как функция от s в табл. 5.
При Х^=—-оа, 5 = -^со и выражения B.40) ji^2^41)_o6pa-
щаютоГв бесконечность" Отсюда следует, что^область сходи-
сходимости интегралов Лапласа есть полуплоскость, лежащая справа
от точки Х = — °о-
Напишем также выражение для интегралов от П, которые
легко получить из формулы (Д. 8) дополнения I !):
а) случай первичного электрона с энергией Ео
1) Выражения для интегралов Меллина были даны Ландау и Руме-
ром [27]. Выражения для интегралов Лапласа не были ранее опубли-
опубликованы.

Пробег, центр тяжести, продольные размеры 73
Ь) случай первичного фотона с энергией W9
с 1 Л—
0, s—i, i)—
sC(s) Xi(s) —XiE)
_eX2(*)*
B.43)
[Xl(s)-Xt(s)]X1'(s) *
§ 29. Пробег, центр тяжести, продольные размеры
Выражения для пробега z, положения центра тяжести t и
продольных размеров т (с индексами тг, ?> П) можно непо-
непосредственно вывести из выражений для соответствующих инте-
интегралов Лапласа. В самом деле, легко видеть, что:
Используя результаты предыдущего параграфа и численные
значения, приведенные в табл. 5, получим *)
а) случай первичного электрона с.энергией Ео .
у. (F F\ — ?° .^° — С\ А*\П ё*
= 1A)Х1A)^ = 0'572^
b) случай первичного фотона с энергией WQ
- ^=тМЬ) w>=°>572 w
х) Выражения для пробегов были даны Нордгеймом и Хеббом [31].
Другие выражения не были до сих пор опубликованы.

74
А. Теория ливней в приближении А
Выражения для центров тяжести имеют вид:
B.46)
где у — логарифм отношения начальной энергии (Ео или Wo)
к рассматриваемой (Е или W), a h—постоянные, различные
в случае разных индексов и аргументов функции т; они при-
приведены в табл. 4. Выражения для продольных размеров имеют
форму:
v (\\
т2— * * ' v I k—1 fill/_l_ Л» A 47^
L 1 \ / J
где у имеет такой же смысл, как в B.46), a k—постоянные,
также данные в табл. 4. Можно заметить, что зависимость
пробега от энергии такая же, как в случае нормального спектра,
определенного в § 27. Конечно, приведенные выше выражения
неприменимы в случае энергий, приближающихся к значению
энергии первичной частицы.
Таблица 4
Значения h в формуле B.46) и k в формуле B.47)
Величина
h
k
ТАЕ,Е)
1,0
-од
1,(.Е0, W)
1,2
1,0
П
0,03
-0,7
1,8
1Д
?Т(ЗД
2,0
2Д
?п(^о,?)
0,8
0,5
§ 30. Дифференциальный и интегральный спектры
Выражения для дифференциального и интегрального спект-
спектров электронов и фотонов можно получить из формул B.35),
B.36), B.42) и B.43), применяя к ним обратные преобразо-
преобразования Меллина. Например,
8 -(-/со
(
J
8, f)ds,
причем путь интегрирования представляет прямую, параллель-
параллельную мнимой оси, лежащую в положительной полуплоскости.

Дифференциальный и интегральный спектры 75
Аналогичные выражения имеют место для ? и П. Введя еще
логарифм энергии, получим:
а) в случае первичного электрона с энергией EQ
8 + /со
где
dy С „
8 — / со
8 + /со
_^L Г dsHo(s)e^s + ^(s)t)y B.48)
-f- i со
= —^ J dsL(s){
8 —/00
_eb» + x-W'-5-to«4}i B.49)
где
8 -|-/co
П^, ?, /) = JL J M,
5 — /00
8 -f- / 00
~ J ^^ E) ^ + Хз E)'~log s\ B-50)
8 — /со
где у, Ht (s) и Н2 ($) те же, что в B.48);
Ь) в случае первичного фотона с энергией W
i <x>
=— ш J dsM(s)b

76 А Теория ливней в приближении А
где
8-fZoo
dy Г
(, W, t)dW = —^ J dsH^
8 + Z oo
— тгЛ I dsHx (s) e№+ h (s) t] B.52)
S — joo
где _y = log(-^), a Ht(s), H%(s) те же, что в B.48);
где у и TW(s) те же, что в B.51).
В приведенных выше формулах каждое из подинтеграль-
ных- выражений представляет собой произведение слабо меняю-
меняющейся функции от 5 [{Нх (s), Hi E), L ($) или М (s)] на экспо-
экспоненциальную функцию вида e^s + ^ ^) * — п 1о^ •у).
Экспоненциальный множитель имеет точку перевала 5, опре-
определяемую уравнением
y-\-\'(?)t — ~ = 0. B.54)
s
Точка s лежит на вещественной положительной полуоси,
экспоненциальный множитель имеет острый минимум при изме-
изменении независимой переменной вдоль вещественной оси. Но так
как для каждой аналитической функции f{x-\-iy) должно вы-
выполняться соотношение
дх* ^ ду*~и'
то экспоненциальный множитель должен иметь в точке 5 столь
же острый максимум, если двигаться перпендикулярно веще-
ствэнной оси, что совпадает с направлением пути интегриро-

Дифференциальный и интегральный спектры 77
вания. Если выбрать контур интегрирования так, чтобы он про-
проходил через точку s, то наибольшую часть интеграла дает тот
участок контура, который непосредственно примыкает к s.
Поэтому можно считать медленно меняющиеся функции от s
постоянными, взяв для них значения в точке перевала. У нас
останутся интегралы типа
s -\- ioo
f
которые могут быть вычислены путем разложения показателя
в ряд Тэйлора по (s — s), пренебрегая в этом разложении
членами выше второго порядка. Используя B,64), получим:
ys-j-\(s)t — n\ogs—ys~\-l(s)t — я 1 og s -f
Так как контур интегрирования представляет прямую, парал-
параллельную мнимой оси, то можно положить (s—s) = ix; тогда
интеграл принимает вид:
e
— со
t—n logs]---
1 1
Таким образом, каждая из функций тс, л(, П выражается
в виде суммы двух величин, одна и» которых пропорциональна
eli{s)t^ a другая еМ*)<. Так как Х2 всегда отрицательна и пре-
превосходит по абсолютной величине Х1э то при не слишком малых t

78 А, Теория ливней в приближении А
вторым членом можно пренебречь. Окончательно получим, опу-
опуская черту над s *);
а) случай первичного электрона с энергией Ео
~(Р F t)dE— — - Hl (s) - (E°Y — eh(*)*
v ° (Щ1/* [Xi'(s)<]1/2U/ ?
B-57)
b) случай первичного фотона с энергией Wo
B-59)
См. Иваненко и Соколов [24], Снайдер [39], Шенберг [42].

Дифференциальный и интегральный спектры 79
Mis)
Формулы B.55) — B.60) дают решение нашей задачи. Вы-
Вычисления по ним должны проводиться следующим образом. При
данной первичной энергии Ео или Wo и данной энергии Е или
IF, для которой мы - хотим определить значение тс, у или П,
прежде всего надо подсчитать t для ряда значений параметра s,
а затем подставить соответствующие значения s и t в формулу,
выражающую требуемую функцию. Величины Xj (s), \[ (s),
X"(s), #i(s), #2(s), Lss) и Mis), входящие в формулы
B.55) — B.60), даны как функции от s в табл. 5 и 6.
Выражения для дифференциального и интегрального спектров
зависят только от глубины f и от отношения начальной энергии
к энергии наблюдаемых ливневых частиц — результат, совпа-
совпадающий с тем, что было отмечено в § 26.
Для каждого данного значения этого отношения как диф-
дифференциальное, так и общее число частиц сперва возрастает
с увеличением /, достигает максимума и затем убывает. Опти-
Оптимальная глубина Т приближенно совпадает с тем значением t,
при котором функция еУ* + М — л log s имеет максимум, так как
остальные факторы медленно меняются при изменении t. Таким
образом, Т определяется уравнением
Учитывая, что при этом должно удовлетворяться и уравне-
уравнение B.54), получим:
V(«)=o.
Отсюда, согласно табл. 5:
5=1, г = —^=^ = 1,01 (у —л). B.61)
Максимальное значение функций тг, -у и П легко получить,
положив в формулах B.55) — B.60) s=l, Х1 = 0э *=Г.,кЭти

80 А. Теорая ливней в праблаженаа А
максимальные значения и оптимальные толщины в явном виде
даны в формулах B.62)—B.67): >
а) случай первичного электрона с энергией Ео
Тп(Е„ Е) = 1,01 log|»,
п(Е9, Е, Тк) dE=г "•*"' *%dE, B.62)
[l0g?°J 2
Гт(?0, W) = 1,01 [log % — •g-],
°'180 4
О> W, ГТ)^Г= 11/t4
ГИ(ЯО, ?)= 1,01 [log f — l],
[logf-0.37]?
b) случай первичного фотона с энергией Wo
Ta{WQ> Е)= 1,01 [log %—
B.63)
,?, ГД)= !?'137 g; B.64)
[f]?
it (Wo, E, Г«) rfE = r w 5
[log -^ + 0.18J /s E
7V AГ„ Г) = 1,01 log-^,
, W, T,)dW= 0№ W,dW> B.66)
[l^J
II AГ„ Е, Гп) = г J'm „. ^ • С2'67)

Таблица 5
s
0,0
o;i
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
1Д
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
2,0
2,1
H
2,3
2,4
2,5
2,6
2,7
2,8
2,9
3,0
4,0
5,0
6Л
7,0
8,0
9,0
10,0
А (а)
0,0000
0,1520
0,2863
0,4067
0,5152
0,6146
0,706
0,791
0,870
0,943
1,0135
1,078
1,142
1,200
1,257
1,311
1,363
1,412
1,460
1,506
1,550
1,592
1,634
1,674
1,713
1,750
1,787
1,821
1,857
1,892
1,923
2,211
2,448
2,648
2,822
2,977
3,115
3,239
B(s)
1,546
1,400
1,280
1,180
1,095
1,022
0,959
0,905
0,855
0,812
0,7733
0,7383
0,7065
0,6778
0,6514
0,6272
0,6049
0,5842
0,5650
0,5473
0,5306
0,5148
0,5004
0,4866
0,4736
0,4614
0,4499
0,4389
0,4285
0,4186
0,4093
0,3352
0,2847
0,2479
0,2198
0,1975 .
0,1794
0,1644
C(s)
12,842
6,123
-3,923
2,846
2,214
1,802
1,513
1,3014
1,1400
1,0135
0,9112
0,8276
0,7580
0,6988
0,6484
0,6047
0,5666
0,5329
0,5032
0,4767
0,4528
0,4313
0,4117
0,3940
0,3776
0,3627
0,3489
0,3362
0,3243
0,3134
0,2347
0,1882
0,1574
0,1354
0,1189
0,1060
0,0957
Ms)
— 4,715
— 3,330
— 2,749
— 2,415
— 2,201
— 2,055
— 1,953
—1,878
—1,824
—1,7868
— 1,760
— 1,744
— 1,734
—1,732
—1,734
—1,741
—1,751
— 1,762
—1,780
—1,797
— 1,816
—1,837
— 1,859
—1,882
—1,904
— 1,928
—1,951
— 1,977
— 2,003
— 2,026
— 2,264
— 2,480
— 2,669
— 2,837
— 2,988
— 3,123
— 3,246
+
+ 3,789
2,270
1,569
1,127
0,813
0,576
0,389
0,235
0,108
0,000
— 0,092
— 0,171
— 0,239
— 0,298
— 0,350
— 0,395
— 0,435
— 0,470
— 0,500
— 0,526
— 0,550
— 0,570
— 0,589
— 0,605
— 0,619
— 0,632
— 0,643
— 0,654
— 0,663
— 0,671
— 0,720
— 0,742
— 0,752
— 0,759
— 0,763
— 0,765
— 0,766
h'(s)
— 25,005
— 9,488
— 5,415
— 3,654
— 2,693
— 2,093
— 1,685
— 1,389
—. 1,1660
— 0,9908
— 0,8501
— 0,7333
— 0,6362
— 0,5531
— 0,4825
— 0,4214
— 0,3691
— 0,3238
— 0,2841
— 0,2498
— 0,2202
— 0,1943
— 0,1719
— 0,1523
— 0,1354
— 0,1205
— 0,1077
— 0,0964
— 0,0863
— 0,0777
— 0,0307
— 0,0146
— 0,0080
— 0,0048
— 0,0031
— 0,0021
— O,OQ15
V'(s)
+
+ 75
+ 26
12,5
7,6
4,95
3,50
2,55
1,97 ,
1,5634
1,275
1,060
0,893
0,764
0,655
0,565
0,487
0,423
0,370
0,320
0,277
0,241
0,210
0,182
0,159
0,138
0,120
0,107
0,093
0,080
6 Б. Росси

Таблица 6
s
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
1Д
1,2
1,3
1,4
1/5
1,6
1,7
1,8
1,9
.2,0
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
2,6
2,7
2,8
2,9
3,0
4,0
5,0
Hi W
0,500
0,537
0,543
0,542
0,536
0^,526
0,513
0,496
0,477
0,456
0,4328
0,408
0,383
0,357
0,331
0,306
0,281
0,257
0,235
0,213
0,194
0,176
0,160
0,145
0,132
0,120
0,109
0,099
0,090
0,082
0,075
0,034
0,018
0,500
0,463
0,457
0,458
0,464
0,474
0,487
0,504
0,523
0,544
0,5672
0,592
0,617
0,643
0,669
0,694
0,719
0,743
0,765
0,787
0,806 .
0,824
0,840
0,855
0,868
0,880
0,891
0,901
0,910
0,918
0,925
0,966
0,982
0,469
0,478
0,489
0,498
0,508
0,520
0,531
0,541
0,551
0,560
0,5672
0,573
0,576
0,578
0,577
0,574
0,568
0,561
0,554
0,542
0,530
0,518
0,505
0,492
0,478
0,465
0,451
0,438
0,425
0,412
0,401
0,304
0,242
М(а)
0,533
0,521
0,507
0,499
0489
0,480
0,471
0,463
0,453
0,443
0,4328
0,422
0,410
0,397
0,384
0,370
0,355
0,340
0,325
0,310
0,295
0,280
0,266
0,252
0,240
0,227
0,215
0,204
0,193
0,183
0,173
0,108
0,073

Дифференциальный и интегральный спектры
83
Заметим, что оптимальная глубина Т в каждом случае прибли-
приблизительно на одну радиационную единицу больше, чем оптимальная
глубина Тп. Этого и следовало ожидать, ибо соответствующий
максимум при энергиях больших, чем Е, наступает на меньших
глубинах, чем максимум при энергии Е. Из формул видно также,
что максимальное число электронов, энергия которых больше Е,
пропорционально отношению начальной энергии к Е. Из сра-
сравнения выражения для оптимальной глубины Т с соответствую-
соответствующими выражениями для центров тяжести t, данными в B.46),
видим, что t превышает Т на независящую от энергии вели-
величину. Это означает, что возрастание числа частиц с глубиной
25 30 35 40
45 50
Фиг. 15. Интегральный спектр электронов П (Ео, Еу t) для
ливней, создаваемых электронами, вычисленный в приближе-
приближении А согласно формуле B.57).
перед максимумом происходит быстрее, чем убывание после
максимума. В небольшой области энергий и глубин дифферен-
дифференциальный спектр электронов и фотонов приближенно предста-
представляется степенной функцией с показателем — (s -|— 1), а изме-
изменение с глубиной идет приближенно по показательному закону
с величиной \tt под знаком экспонента. Соотношение между
„коэфициентом поглощения" \и описывающим изменение
с глубиной, и показателем степени — ($-|-1), описывающим
распределение по энергиям, такое же, как в случае элементар-
элементарных решений, рассмотренных в § 27. В частности, распреде-
распределение электронов по энергиям в максимуме ливня приближенно
лредставляется , нормальным спектром B.23), соответствующим
случаю Х1 = 0.
6*

84 А. Теорая ливней в приближении А
Приближения, сделанные при выводе дифференциального и
интегрального спектров, ограничивают применимость получен-
полученных выражений значениями t, не меньшими, чем приблизительно
одна радиационная единица, и значениями энергий, не слишком
близкими к начальной энергии. Это явствует из того простого
факта, что при t = 0 некоторые функции должны превращаться в
8-функции, что не может передаваться аналитическим выражением.
—• « I 000 000
W
30 35 40 d5 50
Фиг. 16. Дифференциальный спектр фотонов для ливней, созда-
создаваемых электронами, вычисленный в приближении Ау согласно
формуле B.56). Ордината дает log10WT(?0> W, t).
На фиг. 15 и 16 по выведенным в этом параграфе форму-
формулам построены графики, представляющие П(?о, Е, t) и
W (?0, W, t) как функции от t при различных значениях
Y ЕЕ
отношения -~ или -— .
§ 31. Метод последовательных столкновений
Баба и Гайтлер развили другой метод подхода к задаче
о ливнях, отличающийся от описанного в предыдущих парагра-
параграфах аналитического метода. Он может быть охарактеризован
как метод последовательных столкновений.
Этот метод сводится к следующему. Пусть дан электрон,
имеющий энергию Ео при ?=0. Вычисляем вероятность
/0 (?0, Е3 t) того, что этот электрон будет на глубине t иметь
энергию, большую, чем Е. Затем подсчитываем число фотонов
с энергией, большей Е, испущенных электроном в различных
точках его пути, и число образованных этими фотонами элек-

Метод последовательных столкновений
85
тронов /(?0, Е, t), которые достигают глубины / с энергией,
большей ?. Эти электроны назовем электронами первого поко-
поколения. Аналогичным путем определяется число электронов по-
последующих поколений. В конце концов, полное число электро-
электронов, имеющих энергию, превышающую Е на глубине t, пред-
представится в виде суммы чисел электронов различных поколений:
0, Е,
B.68)
Этот ряд сходится достаточно быстро тогда, когда Е не
очень мало в сравнении^ с Ео, a t не больше, чем несколько
радиационных единиц. Но это как раз тот случай, когда ста-
становятся непригодными выражения, выведенные аналитически.
Таким образом, эти два метода дополняют друг друга.
В первоначальных вычислениях Баба и Гайтлера, а также
в расчетах Арли, расширившего результаты Баба и Гайтлера,
делаются следующие приближения. Вероятность /0 того, что
электрон, пройдя путь ?, будет иметь определенную часть своей
первичной энергии, вычислялась по формуле A.35). Числа элек-
электронов и фотонов, образованных на данной глубине, выводи-
выводились из упрощенных выражений для вероятности излучения
A.32) и вероятности образования пар A.50а). Некоторые чи-
численные разультаты приведены в табл. 7—10.
Таблица 7
Интегральный спектр электронов П (?0, Е) для ливней, создаваемых
электронами, вычисленный по методу последовательных столкновений
в приближении Л. / = :—~~х)-
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
2,0
3,0
5,0
2
1,00
1,03
1,06
1,09
1,12
1,09
0,93
0,50
4
1,05
1,17
1,35
1,58
1,84
3,35
4,56
5,17
6
1,08
1,30
1,64
2,09
2,65
6,78
12,64
26,21
8
1,11
1,43
1,93
2,64
3,54
11,7
26,8
80,5
10
1,14
1,55
2,26
3,23
4,56
18,3
50,2
. 206
1) По Арли [1].

86
А. Теория ливней в приближении А
Таблица 8
Интегральный спектр электронов П (Wo, E) для ливней, создаваемых
фотонами, вычисленный по методу последовательных столкновений
в приближении А. /==-—к- ')•
1 >ч
0,2
од
0,6
0,8
1,0
2,0
3,0
5,0
2
0,200
0,350
0,484
0,598
0,694
0,926
0,910
0,494
4
0,234
0,432
0,636
0,858
1,07
2,26
3,40
4,70
6
0,242
0,462
0,716
1,01
1,36
4,08
8,44
19,6
. 8
0,246
0,482
0,782
1,16
.1,65
6,44
16,6
53,4
10
0,248
0,502
0,848
1,32
1,96
9,38
30,0
144
Таблица 9
Дифференциальный спектр фотонов Д7Я ливней, создаваемых Э1ектро-
нами, вычисленный по методу последовательных столкновений в
приближении А. 1=- ^; цифры, приведенные в таблице, дают
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
2,0
3,0
5,0
2
0,129
0,244
0,352
0,453
0,550
0,933
1>02
0,850
4
0,130
0,251
0,389
0,543
0,724
1,91
3,16
5,89
6
0,133
0,265
0,428
0,622
0,867
3,47
7,94
18,6
8
0,136
0,275
0,468
0,684
1,02
5,19
14,8
50,1
10
0,138
0,293
0,504
0,795
1,22
7,41
25,1
ИЗ
х) По Арли и Эриксену [2].
*) То же.

Метод последовательных столкновений
87
Таблица 10
Дифференциальный спектр фотонов для ливней, создаваемых фотонами,
вычисленный по методу последовательных столкновений в прибли-
приближении Л*/ = -| о? цифры, приведенные в таблице, дают
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
2,0
3,0
5,0
2
0,0136
0,0483
0,0979
0,158
0,224
0,535
0,768
0,776
4
0,016
0,0556
0,120
0,193
0,299
0,923
2,09
4,32
6
0,016
0,0588
0,130
0,225
0,350
1,40
4,23
13,4
. 8 >
0,016
0,0596
0,137
0,240
0,389
2,00
6,92
31,6
10
0,016
0,0607
0,140
0,262
0,450
3,06
11,6
83,1
По Арли и Эриксену [2].

В. ТЕОРИЯ ЛИВНЕЙ В ПРИБЛИЖЕНИИ В
§ 32. Кинетические уравнения
В этом разделе будем считать, что ионизационные потери
электронов ливня составляют е на радиационной единице длины;
s считается не зависящим от энергии, а образованием 8 элек-
электронов пренебрегаем. Процессы образования пар и излучения
описываются асимптотическими формулами полного экраниро-
экранирования, за исключением случае?, оговоренных отдельно. Прене-
Пренебрегают также эффектом Комптона. В таких приближениях
мы можем ожидать точных результатов, вплоть до энергий
порядка критической энергии, по крайней мере для веществ
с малым атомным номером. Для веществ с большим атомным
номером применимость теории ограничивается тем, что при
малых энергиях непригодны асимптотические формулы для
излучения и образования пар.
Включение и рассмотрение ионизационных потерь приводит
просто к добавлению лишнего члена в уравнение B.11). Каж-
Каждый электрон, проходя слой dt, теряет из-за столкновений
энергию е. Вследствие этого в интервал энергий (Е, dE) входит
тс (Е -f- dE) edt из области больших энергий и выходит в область
меньших энергий тс (Е) edt электронов. Общее изменение числа
электронов с энергией между Е и E-\-dE, вызванное иониза-
ионизационными потерями, составит:
[тс(? + dE) — тс (?)] е dt = е (J^-) dEdt,
и уравнение B.11) примет вид:
дп(Е, t) о f (Е
- J И- 0 - Т=Т «(т^Г >

Элементарные решения 89
На •? ионизационные потери не оказывают влияния. Поэтому
второе кинетическое уравнение B.12) остается без изменений:
1
• -ч—^=l 7t — , t 90(v) o0y(m/, r). B.12)
§ 33. Элементарные решения!
Исследуем сначала элементарные уравнения"B.69) и B.12)",
т. е. решения следующего типа (§ 27):
т (W, t) = FY (IF) еЧ B.70)
После подстановки получаем:
j
о
¦/['
B.71)
Для энергий, больших в сравнении с е, ионизационным
членом можно пренебречь. Тогда уравнение (?.71) перейдет
в B.14), решением которого являются степенные функции B.15).
Исходя из этого, будем искать решения для FK(E) и
в следующей форме:
f),
где ^ — положительное число, а функции р и g обращаются
в 1 при энергиях, значительно превышающих е. Тогда X бу-
будет удовлетворять уравнения B.18) и для каждого значения
s иметь два возможных значения X, и Х2, даваемых выраже-
выражениями B.19).

90 В. Теория ливней в приближении В
Соответствующие отношения а и b даны B.20). Подставляя
выражения B.72) в кинетические уравнения B.71), получим,
учитывая B.20),
1
C(s)g(s, ~)= (VWs, Щ
Исключение g приводит к следующему:
1Р {*> т '= vFili)J "^(ы) d" J ^
0 0
1
P \ г p
или, полагая — = дг,
1
2
B-74)
о
1
о о
— j {p(st x) - A - v)ap [s, 7 -^-]} ?
0
B.74a)
Решение уравнения B.74а) можно найти, проведя преобра-
преобразование Меллина по переменной х. Это приводит к выражению

Элементарные решения 91
следующего вида1):
j ()
— 0 — /oo
где К (s, г) есть функция комплексной переменной г и пара-
параметра, удовлетворяющая рекуррентному соотношению
B.76)
и граничному условию
K(sy 0)=1. B.77)
Контур интегрирования Ъ B.75) представляет собой прямую,
параллельную мнимой оси слева от полюса г=0 [где обра-
обращается в бесконечность множитель Г(—г)] и справа от полюса
г= — (s-j-1) [где обращается в бесконечность Г (^ —[- г —J— 1)].
Подробности вывода даны в дополнении II. Для каждого зна-
значения s получается, естественно, два решения ру (s, х) и р2 (s, x)
и две функции К\ (s, г) и К* (s, г) в соответствии с двумя
возможностями выбора X.
Второе из уравнений B.73) приводит к следующему:
j
— О —/оо
W
где х = — , *а контур интегрирования лежит слева от полюса
г=0 и справа от полюса r= — s.-
Подставляя B.75) и; * B8у~в B.72)" и учитывая B.20),
получим следующие выражения для FK(E) и F*((W):
— О — ioo
ХЛГ E, г)л;-<г4-*+1></г> B.79)
^Tl^J— ao + X(s) e - 2ir/ J T(s + 1) A
— О — i oo
, r)*-<'-
') Cm. [39], [40].

92 В. Теория ливней в приближении В
где X(s) и К (s, г) означают либо \t (s), Kt E, г), либо X2(s),
#«(s, г).
Выражение для интегрального спектра электронов FU(E)
получится из Fn(E) интегрированием по энергии:
оо оо
FU(E) = f FK (?') dE'= s jV, (ex9) dx* =
E x
-S + too
Г Г(--г)Г(8 + г)
J п5)—x
i
J
0-ioo
где контур интегрирования лежит слева от полюса г=0 и
справа от полюса r= — s.
Вычислить комплексные интегралы в B.79) и B.80) в общем
случае трудно. Однако, если х<^19 то подинтегральные выра-
выражения быстро убывают при убывании г, и пбэтому интегралы
можно вычислить по методу вычетов, замыкая контур интегри-
интегрирования слева полуокружностью бесконечно большого радиуса.
Поведение спектров вблизи х = 0 определится вычетом в пер-
первом полюсе слева от пути интегрирования, т. е. при г=—(s-f-1)
для F« и при r= — s для /^ и /fn. Принимая во внимание
только этот вычет, получим
F, (Е) = в-С+0 [у, (s) + qt (s) log I],
i , B.81)
i
где:
дг('—}> B-82)
-s).

Элементарные решения
93
При достаточно малых Е величиной qt (s) в выражении для
Fn можно, очевидно, пренебречь в сравнении с логарифмиче-
логарифмическим членом. Выражение для qx (s) довольно сложно, поэтому
оно не дано в явном виде.
В дополнении II показано, как можно вычислять функции
К (s, —s). Результаты для К = КХ представлены на фиг. 17.
Как видно из соответ- 6
.ствующих выражений, при
стремлении энергии к нулю
интегральный спектр элек-
электронов остается конечным,
дифференциальный спектр
электронов расходится, как
— log Е, а дифференциаль-
дифференциальный спектр фотонов расхо-
расходится, как -^ . То, что Fu @)
конечно,есть очевидное след-
следствие ионизационных по-
потерь. И обратно, можно по-
показать, что при пренебре-
пренебрежении ионизационными по-
потерями выражение для
Fu (E) будет расходиться
при Е = 0, как -?? .
Можно сомневаться
физическом значении этих Кривая Постр<
результатов, так как они даНным в табл. 13 (дополнение II). Пе"-
k,(s,-s)
S
0 12 3
в Фиг. 17. Функция Ki(s, — s), onpe-
региб при s=l, как это показано в
(Д. 16), отмечен пунктирной.линией.
получены в предположениях
не оправдывающихся для
энергий, малых в сравнении
с е. Однако заключения, касающиеся поведения FK, F^ и Fn
в предельном случае энергий, близких к нулю, качественно
правильны. Более того, как будет показано ниже, вычисленный
интегральный спектр электронов приводит к правильной оценке
удельной ионизации (§ 38).
; Можно предложить другой путь решения уравнения B.74),
основывающийся на следующих соображениях [38]. Грубо
говоря, ионизационные потери уменьшают энергию каждого
электрона в ливне на определенную величину, пропорциональ-
пропорциональную s. Поэтому можно попытаться найти приближенное решение

94 В. Теория ливней в приближении В
уравнений B.69), B.12), подставив Е-\-те вместо Е в реше-
решения уравнений B.11) и B.12), т. е. положив
F, (Е) = а{Е-\- «e)-(*+i> = а \е \Л + т?"|]"С*+1>. B.83)
Очевидным уточнением выражения B.83) будет
B.84)
что приводит к следующему выражению для р:
Коэфициенты в разложении р можно определить, используя
B.74). Результат для тх и т2 таков:
Т(Ь Ч^у B'86)
где
Получим, опять-таки, две функции \ьх и |х2 для каждого
значения показателя s, соответственно двум значениям X.
На фиг. 18 представлены два первых коэфициента tnx (s) и
т2 (s) в разложении \ьх как функции от s. Оценка членов выс-
высшего порядка показывает, повидимому, что ряды сходятся
условно. Однако при энергиях, не меньших примерно удвоен-
удвоенной критической энергии, мы получаем достаточно хорошее
приближение, оставив в рядах члены до второго порядка в -gr%
Можно найти выражения, аналогичные B.84), и для функ-
функций F^(W) и F\l(E). Положим:
B-87)
v {St w)= 1 +Wi ^ w

Элементарные решеная
95
B.88)
Форма выражения F*. выбирается исходя из поведения диф-
дифференциального спектра фотонов при малых энергиях — см.
•О
.2
A
s
.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
Фиг. 18. Первые и вторые коэфициенты в рядах для
Р-ь ^i и рь как функции от s-формулы B.84),
B.87), B.88).
B.81). Коэфициенды рядов для v и р легко выразить через
коэфициенты рядов для ja, использовав второе из уравнений
B.73) и соотношение

96 В. Теорая ливней в приближении В
следующее непосредственно из определения р. Тогда найдем:
- _ s+l С E + 1)
п*s—ш~т
и — s + 1 г?2 1 C(s + 2)rs+l т E+1) E+2) ^21 ,ояо.
п2 — —J— щ + -^у~ J-y-1», 2s т^, B.89)
s + l
/-2 = 7^72
Опять-таки будем иметь два значения v (Vj и v2) и два зна-
значения р (pj и р2) для .каждого значения 5. Первые два коэфи-
циента в разложениях Vj и pt даны на фиг. 18.
§ 34. Поправки на отклонения ф от ф0 •
Мы неоднократно отмечали, что формулы, отвечающие слу-
случаю полного экранирования, неточно передают вероятности
образования пар и излучения, если энергия невелика в сравне-
нии с 137 }xez 3. На фиг. 9, 13, 13а можно увидеть, что это
сказывается больше в случае образования пар, чем в случае
излучения. Подстановка точных выражений ф и ф в кинетиче-
кинетические уравнения значительно усложнила бы математическую
задачу. Однако в частном случае нормального спектра (Х = 0)
возможно сделать, по, крайней мере приближенно, поправки на
отличие истинной вероятности образования пар от ее асимпто-
асимптотического значения. Для этой цели напишем уравнения B.71)
для случая нормального спектра, подставив вместо о0 и ф0 (а)
a (W)
более точные, выражения o(W) и —-—-фо(#) (§ 19):
1 91й) „ (Е\ л ,.^ du
о
1
1
V —',
о

Решения для случая одиночного первичного электрона 97
Эти уравнения формально тождественны уравнениям B.71) при
Х = 0, если рассматривать в качестве неизвестных вместо функ-
функций F%(E) и F^W) функции FK(E) и ^~^F^(W). Поэтому
можно взять и решения B.72), заменив в них F^{W) на
——-F^(W). Отсюда видно, что выражение для дифферен-
дифференциального спектра электронов остается неизменным, а выраже-
выражение для дифференциального спектра фотонов умножается на
отношение асимптотического значения коэфициента поглощения а0
к его значению при данной энергии.
§ 35. Решения для случая одиночного первичного электрона
или фотона
Если пренебрегать ионизационными потерями, то, как было
выведено в § 30, ливень, создаваемый одиночным первичным
электроном с энергией Ео, описывается функциями:
0 + гоо
п(Е Е t) — — Г ds Г g
а0 — Xa(s) х (
(e)X(e)
Ч У °
O — ioo
E
s
дающими дифференциальные спектры электронов и фотонов на
различных глубинах. Функции те и у могут рассматриваться как
линейные комбинации элементарных решений типа B.21), только
параметр 5 в них надо считать комплексной величиной. Коэ-
фициентами в этой линейной комбинации являются
s) Ps лл _~ds go + Xa(s) ^
Как было впервые указано Снайдером [39], при EQ ^> e можно
получить приближенное решение задачи о ливнях с учетом
7 Б, Росси

98 В. Теория ливней в приближении В
ионизационных потерь, если подставить в формулы B.90)
вместо элементарных решений уравнений B.11), B.12) элемен-
элементарные решения уравнений B.69), B.12). Такая подстановка
дает:
8 + /СО
J
+
Так как функции тт.и у, определенные по формулам B.91),
представляют собой линейные комбинации элементарных реше-
решений кинетических уравнений B.69), B.12), то тем самым они
также являются решениями этих уравнений. Исследуем поведе-
поведение тс и у при ? = 0. Полагая в B.91) ? = 0, получим:
О—/оо
<»¦«)
h + ioo
Величины /71э /?2, ^ и ^2 отличаются от 1 членами порядка
=- или ^. Если в B.92) положить /71=/72==1 и gi = g<i=l>

Явные выражения 99
то тс(Я0> ?, 0) сведется к S(? — ?0), a ?(?, №, 0) к 0, т. е.
мы возвращаемся к тому, что имело место при пренебрежении
ионизационными потерями. Таким образом, для энергий, больших
в сравнении с е, тг (?0, Е, 0) совпадает приближенно с 8 (Е—Ео),
а ч(Е0, W, 0) приближенно равно 0. Далее, при Е^>Е0 и
W^>E0 интегралы в B.92) можно оценить, сдвигая контур
интегрирования вправо, потому что подинтегральное выражение
стремится к 0 при Re (s)—»oo. Так как подинтегральные выра-
выражения не имеют полюсо'в в положительной полуплоскости, то
п (Ео, f, 0) и ] (Яо, Wy 0) тождественно равны 0 при энер-
энергиях Е\ больших Е^ С другой стороны, как тс (Z?o, E, 0), так и
*((Е0, W",'XHJ могут значительно отличаться от нуля при энергиях
порядка е или меньших. Мы приходим к заключению, что при
Ео ^>? выражения для тг и у, даваемые формулами B.91),
приближенно удовлетворяют граничным условиям, отвечающим
одному электрону с энергией Ео при ?==0. Более того,
формулы B.91) описывают ливень, образующийся от первич-
первичного электрона с энергией Ео, сопровождаемого таким вирту-
виртуальным распределением электронов и фотонов, что заметное
их количество лежит только в области вблизи критической
энергии s.
Такой ливень не может значительно отличаться от ливня,
создаваемого одиночным электроном, так как первичные частицы
с малыми энергиями мало что дадут для дальнейшего развития
ливня.
Точно таким же способом можно получить выражения для
дифференциальных спектров электронов и фотонов в случае
одиночного первичного фотона.
§ 36. Явные выражения
Из формул, выведенных в предыдущем параграфе, можно
получить явные выражения для различных величин, описываю-
описывающих ливень 1).
Укажем кратко путь вывода и приведем окончательные
результаты.
х) Выражение для интегрального спектре электронов при ? = 0
было дано Снайдером [39] и Сербером [40]. Выражения для других
величин ранее не были опубликованы.
7*

100 В. Теория ливней в приближении В
Умножая т. и 7 на е~л/ и интегрируя по t от 0 до оо,
получим соответствующие интегралы Лапласа. Так, например:
Т
0 — 1 СО
Контур интегрирования по 5 можно выбрать справа от точки,
определяемой уравнением X1(s) = X. Тогда Re(Xj— Х)<[0, и
можно провести сначала интегрирование по t. Это даст:
+
- ! Г
8+i~ Г . . .. Pl[sA
Комплексный интеграл можно вычислить таким же образом,
как ранее при расчетах без учета ионизационных потерь.
Когда Е значительно меньше Ео, то интеграл практически
равен вычету подинтегрального выражения в точке 5, опреде-
определяемой уравнением X,(s) = X, поэтому:
ад, ?, X) = 8<?(?0, ?, X) /;, < *, ^), B.93)
где 8^°) (?0, ?, X) означает интеграл Лапласа от тг (?0, ?, ^),
вычисленный без учета ионизационных потерь и даваемый
формулой B.40).
Для энергий, больших, чем примерно 2s, можно исполь-
использовать для /?! выражение B.85); тогда
О (р р \\ qo + Xj (s)^0« /n
и также [см. B.40), B.42)]

Явные выражения 101
C(S) Д0 1
Ms)]Xl-(s) г , ^\ i, ^ , B.94)
>2 (s)] Xj,(s) ^ ^ .
Аналогичные выражения имеют место в случае ливня, со-
создаваемого фотоном [см. B.41), B.43)]:
А(*>+_Ш «Ъ 1 B95)
i (W E X) =
Выражения для пробегов даются интегралом Лапласа при
0:
а) случай первичного электрона с энергией Ео
z, (?„ W) = r °'572e?ft -, , B.96)
0,437

102 В, Теория ливней в приблаженаа В
Ь) случай первичного фотона с энергией Wo
„._ 0,437№0
b I1
L A«
zn(WvE) =
B.97)
[- ('¦ f) ?J ¦
Выражения для положения центра тяжести и продольных
размеров можно получить по методу, развитому в § 29. Легко
видеть, что производными от p., v и р по 5 можно пренебречь,
и формулы B.46) и B.47) будут попрежнему справедливы',
р Ш
^0
если считать в них у = log -—- ( или y = \og-~\ в случае
дифференциального спектра электронов, у = log-— (или ^ =
=log-^j — в случае дифференциального спектра фотонов,
y = \og -уМили 3; = log-^j —в случае интегрального спектра
электронов.
Комплексные интегралы, входящие в выражения для диф-
дифференциальных спектров, можно вычислить по методу перевала.
При энергиях, не меньших, чем критическая энергия, р и g
можно считать медленно меняющимися функциями от s. Исполь-
Используя опять для р и g выражения B.85) и B.87) и проведя
дальнейшие выкладки, как в § 30, получим:
H'W E° „к.шлр B.98)

Явные выражения 103
y(Et,W,f)dW=
L (s) 3) 1
> B-99)
U(E0,E,t) =
, 1 Г [ЕЛ 11
= hog LJM 1
Подоб ным же образом можно получить выражение для
n(Wbi E, f), i(WOi W,t) и H(WQtEt 0, подставляя в B.58)
(ji^-^-M) вместо ?-(*-И), в B.59) (vilF)-V^ вместо WM»+D
и в B.60) (p!^)~5 вместо Я"*.
Мы видим, что вследствие ионизационных потерь число
частиц уменьшается. Например, число электронов, энергия
которых превышает Е, оказывается таким, каким было бы число
электронов с энергией, превышающей ptE при отсутствии иони-
ионизационных потерь.
Для энергий, малых в сравнении с е, для р можно исполь-
использовать выражение B.75). Мы получим для тс(?0, Е> t):
0-Ноо
Г + X () ll(s)t
п(Е Е Л — L Г do q° + Xl (s) Ef.
—o-
X J
— too
—o-Moo
J
—Ь—/со
B+JCO
J_ Г ds q° + X8^ jgV-fr+i)g**fr)*x B.101)
J
— ico
— 5 + IOO
— 5 + I
x j
-0-/OO

104 В. Теория ливней в приближении В
и для интегрального спектра электронов:
0-f-/oo
J
Ь — ic
— О-р/со
х j
— О — /о
0-f-/oo
О — 1*ОО
oo
b + i
J
J
—Ь — /оо
Интегралы по г в выражении для П в случае Е<^е прак-
практически равны вычетам Тюдинтегральных выражений в точке
г = — 5 (§33). В пределе при Е — 0 получаеАм точно
0 + /оо
J
S —/оо
О — /со
Вторым членом в B.103) можно пренебречь в сравнении
с первым. Его можно оценить методом перевала, считая
К\ С5» —s) медленно меняющейся функцией от s. Вычисления
здесь точно такие же, как те, при помощи которых выведена
формула B.57). В результате получаем
0 ft—
B.104)

-Явные выраженая
105
Аналогично
1 1 M(s)Ki(s,—s)
B.105)
Можно заметить, что выражение для интегрального спектра
при ? = 0, вычисленное в приближении В, весьма сходно
10 15 20 25 30 35 40 46 50
Фиг. 19. „Полное" число электронов П (?0, 0, t) для ливней,
создаваемых электроном, вычисленное в приближении В по
формуле B.104). Умноженное на е/К0, оно дает удельную иони-
ионизацию j(EQ, t) — см. формулу B.110).
с выражениями для интегрального спектра при Е = е, вычислен-
вычисленными в приближении Л. На фиг. 19 графически представлено
П (Ео, 0, t) как функция от t при различных значениях — .
Если B.103) умножить на ег"^ и проинтегрировать от
/=0 до t=oo , то получится выражение для интеграла Лапласа
от П(?о, 0, t)} которое весьма сходно с f 2.37) и может быть
вычислено тем же путем. Из выражения для интеграла Лапласа
легко получить выражения для пробега, положения центра

106 В. Теория ливней в приближении В
тяжести и продольных размеров. Мы приведем прямо резуль-
результаты:
а) случай первичного электрона с энергией Ео
09 О, X) — т______
0, 0) = 0,437^ A,-1) ?0/в = Я0/е,
Г„ (?0, 0) = 1,01 log (^) + 0,4, B.106)
тп*(?0> 0) = 1,61 log (^0)— 0,2;
Ь) случай первичного фотона с энергией Wo
> 0)= 1,01 log ^+1,2, B.107)
о> 0)= 1,61 log ^+0,9.
Формулы для ^n(^o> 0) и ?n(W0» 0) выражают тот очевид-
очевидный факт, что суммарный пробег всех электронов лив*ня равен
начальной энергии, деленной на ионизационные потери на
единице длины [46], [36]. Здесь этот результат получен
Е ' W
в пренебрежении отрицательными степенями -? или -—- ; он
в 8
подтверждает, что развитый метод является точным в случае,
когда Ео или Wo велики в сравнении с е [39].

С. ОБЩАЯ И УДЕЛЬНАЯ ИОНИЗАЦИЯ. КОНЕЦ СПЕКТРА
СО СТОРОНЫ МАЛЫХ ЭНЕРГИЙ
§ 37. Общая ионизация
Хорошо известно из экспериментов, что полное число пар
ионов, образуемых при поглощении альфа- или бета-частицы
в газе, пропорционально энергии частицы и при данной энергии
одинаково для обоих типов частиц. Поэтому полное число пар
ионов, образуемых альфа- или бета-частицей с энергией ?0,
равно: р
J=f, B.108)
где Vo есть средняя энергия, затраченная на образование пары
ионов, которая зависит только от природы газа.
Причина, по которой Vo не зависит от энергии и природы
ионизующей частицы, становится ясной из следующих соображе-
соображений. При поглощении первичной частицы в газе ее энергия
расходуется на возбуждение атомов и на образование вторич-
вторичных лучей частично вследствие столкновений, частично вслед-
вследствие излучения. Вторичные лучи в свою очередь будут возбуж-
возбуждать атомы и образовывать третичные электроны и так далее.
Ясно, что электрон будет продолжать терять энергию все
время, пока его энергия больше, чем низший потенциал возбуж-
возбуждения атомов, а фотон легко будет поглощать вследствие фото-
фотоэлектрического эффекта, если его энергия больше минимального
потенциала ионизации. С другой стороны, если атом приведен
в возбужденное состояние благодаря неупругому столкновению
или поглощению кванта, то он быстро потеряет эту энергию,
испустив фотон или электрон Оже. Из этого видно, что пони-
понижение первоначальной энергии будет происходить до тех пор,
пока не останется только определенного числа ионизованных
атомов на наинизшем энергетическом уровне и определенного
числа электронов и фотонов с энергией в несколько eV. Доля
начальной энергии, расходуемой на образование ионов, суще-
существенно зависит от относительной вероятности ионизации и воз-
возбуждения атомов. Но во всяком случае ббльшая часть процессов
ионизации и возбуждения происходит за счет вторичных электро-

108
С. Общая а удельная ионизация
нов малых энергий и потому не зависит ни от природы пер-
первичной частицы, ни от ее энергии. Это приводит к приближен-
приближенной пропорциональности между числом пар ионов и первичной
энергией, выражаемой формулой B.108).
Приведенные выше соображения дают нам уверенность в том,
что эта пропорциональность, установленная на опыте для энер-
энергий до нескольких миллионов eV, будет иметь место и для
частиц гораздо больших энергий, входящих в состав космиче-
космических лучей. Поэтому мы будем применять формулу B.108) для
вычисления общей ионизации, вызываемой электроном или
фотоном энергии Ео. Значения постоянной Vo для различных
газов, определенные из опытов с альфа- и бета-частицами,
Таблица 11
Средняя энергия, расходуемая на
образование пары ионов в различных
газах *)
Газ
Водород.
Гелий . .
Азот . . .
Кислород
Неон. . .
Аргон . .
Криптон
Ксенон .
Воздух .
*) Е. Rutherford, „Radiations from
radioactive substances*, Cambridge,
1930, p. 81.
1
2
7
8
10
18
35
54
—
33,0
27,8
35,0
32,3
27,4
25,4
22,8
20,8
35,0
приведены в табл. 11. Из нее видно, что VQ не является глад-
гладкой функцией атомного номера. Вычислить Vo теоретически
очень трудно, но общую тенденцию хода Vo легко понять.
Можно отметить, что Va особенно мало в тех газах, в которых
возбуждение менее вероятно, чем ионизация. В противополож-
противоположность этому значение ионизационного потенциала не сказывается
сильно на Vo, как это может показаться на первый взгляд.

Удельная ионазацая 109
§ 3S. Удельная ионизация
Рассмотрим ливень, образованный одиночным первичным
электроном с энергией ?0, и все находящиеся на глубине
E0) частицы ливня с энергией, большей, чем ч\. Пусть
^{) означает общее количество энергии, передаваемое этими
частицами в слое (t, Ы) вторичным частицам, энергия которых
меньше ч\. В ^{f)bt включена энергия всех частиц, которые
при прохождении слоя 8/ попадают в область энергий ниже ч\.
Если т] совпадает с предельной энергией yj0, to р^ становится
тем, что мы условились называть рассеянной энергией. Интеграль-
оо
ная потеря энергии j p.^ (t) dt, очевидно, не зависит от т) и равна
о
начальной энергии. Однако потеря энергии в данном слое зависит
от Y). Если, например, у\ убывает, то входит в рассмотрение
большее число частиц, а энергия, передаваемая вторичным части-
частицам (энергия вторичной частицы меньше у\) каждой частицей,
убывает. Таким образом, два эффекта действуют в противопо-
противоположных направлениях, но могут не компенсировать друг друга.
Энергия р^ (t) Ыу теряемая ливневыми частицами в данном
слое 8/, будет, в конечном счете, затрачена на образование
числа f-q(t)bt/V0 пар ионов. Вообще говоря, не все эти ионы
будут образованы в самом слое Ы, так как часть энергии
pyjBtf передается таким вторичным частицам, которые до погло-
поглощения проходят некоторый путь. С другой стороны, вторичные
частицы, образованные в предшествующих слоях, могут проник-
проникнуть в слой Ы и произвести там некоторую ионизацию. Ясно,
что разность между p^(t)bt/V0 и истинным числом пар ионов,
образовавшихся в слое Ы, стремится к нулю при очень малых т].
Точнее, эта разность ничтожна, если т; таково, что на расстоя-
расстоянии, равном пробегу частиц с энергией vj, энергетический спектр
ливневых частлц остается неизменным. Окончательно общее
выражение для удельной ионизации будет: .
Л9 = -?"™0Рч@. <2-109)
Удельную ионизаиию j(t) можно явно вычислить, если опять
использовать упрощающие предположения, сделанные в предыду-
предыдущем разделе В, т. е. если описывать излучение и образование
пар асимптотическими формулами случая полного экранирова-

ПО С. Общая а удельная ионизация
ния, пренебрегать эффектом Комптона и считать, что иониза-
ионизационные потери энергии происходят бесконечно малыми порциями
и составляют е eV на радиационную единицу длины.
Величину р^ (?) можно выразить следующим образом:
>, (/) 8* = Ы [еП (т), t) + щъ (Ч, /)] +
-{-(члены, зависящие от излучения и образования пар),
где первый член представляет потери частиц с энергией, большей,
чем т), а второй член — энергию частиц, которая вследствие
ионизационных потерь опускается ниже предела г\ при прохожде-
прохождении частицами слоя Ы. При стремлении у\ к нулю первый член
стремится к еП @, t) bt, а второй исчезает. Отсюда
Л0 = Щ0, t)e/VQ. B.110)
П @, t) есть полное число электронов на глубине t, независимо
от их энергий; оно дано формулами B.104) и B.105) для слу-
случаев первичного электрона с энергией Ео и, соответственно,
первичного фотона с энергией Wo.
Центр тяжести tj и продольные размеры х^ даются теми же фор-
формулами, что и соответствующие величины, относящиеся к пол-
полному числу электронов П@, f) [см. формулы B.106), B.107)].
. Несмотря на использованные выше значительные упрощения,
окончательные выражения для удельной ионизации являются,
повидимому, точными. В самом деле, поведение ливневых частиц
с большой энергией рассчитано точно, включая процессы обра-
образования электронов и фотонов малых энергий. Поведение элек-
электронов и фотонов малых энергий описано неточно, т. е. мы
допустили некоторую ошибку в вычислении распределения
в пространстве ионизации, вызванной поглощением электронов
и фотонов с малой энергией. Однако эта ошибка не может
значительно повлиять на конечный результат, ибо пробег элек-
электронов и фотонов малых энергий мал в сравнении с пробегом
всего ливня, а следовательно, точное значение величины их
пробега не очень существенно, если при этом общее число
ионов подсчитано точно.
§ ЗЭ. Конец спектра со стороны малых энергий
Определение спектра электронов и фотонов при энергиях,
хмалых в сравнении с критической энергией, — очень трудная
задача. Как уже подчеркивалось, в области малых энергий
нельзя применять асимптотические выражения для вероятностей

Конец спектра со стороны малых энергий 111
образования пар и излучения; должны быть также приняты
в рассмотрение эффект Комптона и образование при столкно-
столкновениях вторичных электронов (S-электронов). В результате
уравнения становятся столь сложными, что вряд ли возможна
какая-либо попытка найти их аналитическое решение. Поэтому
нельзя дать общего выражения для конца спектра со стороны
малых энергий*» а каждую задачу следует рассматривать отдельно
при помощи численных расчетов.
Определение пробегов z% и zT особенно важно в связи
с задачей о спектре электронов и фотонов, находящихся в равно-
равновесии с более жестким излучением (§ 40), а также потому, что
функции г% и zT описывают свойства ливня вблизи максимума.
В случае ливней, образуемых первичными электронами или
фотонами, энергия которых велика в сравнении с е, для вычи-
вычисления z% и zT можно пользоваться формулами B.96), <2.97)
до энергий Y), в два-три раза превышающих критическую энер-
энергию s. Для меньших значений энергии z% и 2Т могут быть
вычислены при помощи следующего приема. Сперва вычислим
число электронов и фотонов с энергией Е\ меныцей, чем т), обра-
образованных электронами и фотонами с энергиями, большими, чем tq.
Это легко сделать так: умножим соответствующие вероятности
образования на единице пути на дифференциальные пробеги
электронов и фотонов с энергией, большей, чем uj, и проинте-
проинтегрируем по энергии. Для вероятностей образования пар и излу-
излучения можно при этом пользоваться асимптотическими формулами.
Число электронов, пересекающих границу г\ вследствие иониза-
ионизационного рассеяния энергии, равно ez%(t\). Дифференциальные
пробеги электронов малых энергий, непосредственно образован-
образованных частицами больших энергий (их можно назвать электро-
электронами первого поколения), можно затем получить, умножив число
электронов, образованных в различных интервалах энергий
(?', dE'), на расстояние, которое они проходят за то время,
пока их энергия уменьшается от E-\-dE до ?(?<?')• Подоб-
Подобным же образом, можно получить дифференциальный пробег
фотонов первого поколения, разделив число фотонов, образо-
образованных в различных интервалах энергии (W, dW), на полный
коэфициент поглощения фотонов энергии W. Аналогичным путем
можно вычислить пробеги частиц второго и последующих поко-
поколений, причем под п-м поколением мы понимаем частицы, обра-
зозанные частицами (п—1)-го поколения. Конечно, в этих
вычислениях нужно употреблять либэ точные выражения для
вероятностей различных процессов, либо такие упрощенные

112
С. Общая и удельная ионизация
выражения, которые дают хорошее приближение при малых
энергиях..
Вычисления такого типа были проведены Бете *), они подтвер-
подтверждают качественные результаты, достигнутые при помощи
8
.7
Ъ
А
.3
,2
е v
г
YZTA
•o.w:
\
^—
— —
— 1
W
е
.1 .2 .3 Л 5 .6 .7 -8 .9 1.0
Фиг. 20. Спектр фотонов при малых энергиях по Бете. Умножение
ординат на (?0/?) (dW/W) дает дифференциальный пробег z^(E0, W) dW.
приближения В [см. формулу B.81)], т. е. что в пределе малых
энергий дифференциальный спектр фотонов ведет себя, как
~УР . Численные результаты Бете, относящиеся к распределению
фотонов малых энергий в воздухе, представлены на фиг. 20.
А) Авторы весьма обязаны профессору Бете, давшему возможность
использовать его неопубликованные результаты.

D. ЭЛЕКТРОНЫ И ФОТОНЫ В РАВНОВЕСИИ
С БОЛЕЕ ЖЕСТКИМ ИЗЛУЧЕНИЕМ
§ 40. Общий метод
Предположим, что электроны или фотоны образуются
в веществе некоторыми первичными лучами, например мезотро-
мезотронами, более проникающими, чем сами электроны или фото. ы.
Вторичные электроны или фотоны породят каскадные ливни,
и, когда первичные частицы пройдут достаточную толщину, будет
достигнуто условие равновесия между ними и ливневыми частицами.
Для того чтобы получить наиболее общий случай, примем, что
электроны или фотоны образуются с произвольным распределе-
распределением по энергиям. Пусть п% (Я, tQ) dEdt0 означает среднее число
электронов с энергией (Е, dE), образованных в слое (/0, dtu),
а ят( W, t0) d Wdt0 — среднее число фотонов с энергией (W, d W),
образованных в том же слое. Рассмотрим ливень, порожденный
всеми электронами и фотонами, образованными в слое (tQ, dt0).
Дифференциальные спектры электронов и фотонов, описывающие
этот ливень на расстоянии t' от слоя (/0, dt0), очевидно, пропор-
пропорциональны dtQ и будут обозначаться dton (E, tQ, t') и dtoy (W, tv t').
Эти две функции удовлетворяют кинетическим уравнениям
каскадной теории [уравнения B.11), B.12), если следовать
приближению А, или уравнения B.69), B.12) в приближении В)
и граничным условиям:
_ B.111)
Пусть ks (E, t) и *'xs (W, t) означают дифференциальные
спектры электронов и фотонов, наблюдаемые на глубине t. Эти
функции даются следующими выражениями:
со
*S(E, t) = Jw(?, t — t\ t')dt\
о
? B.112)
yJW, t)= 7 (IF, t — t\ t')dt\
о
S Б. Рос си

114 D. Электроны, а фотоны в равновесна с получением
Верхние пределы интегралов могут браться -f~°°> если мы
предполагаем, что на глубине t количество вещества, сквозь
которое проникли первичные лучи, больше, чем максимальный
пробег ливней.
Для того чтобы продвинуться дальше, необходимо сделать
некоторые определенные предположения об изменении с глуби-
глубиной количества образуемых электронов и фотонов. Во многих
случаях можно считать, что интенсивность первичного излуче-
излучения, а следовательно, и число образуемых вторичных частиц,
не меняется заметным образом на расстоянии, равном максималь-
максимальному пробегу ливней. В этом случае можно положить в B.112)
*(?, t — t\ f) = *(E, t, О и T(IF, t — t\ f) = i(Wt t, Г).
Тогда получим:
оо
«, (В, t) = J я (Е, t, f) df = ^ (Е, t),
B.113)
, t, f)dt'=z1(W,t),
где z%(E> f)dt и z^(Wy t)dt означают дифференциальные
пробеги электронов и фотонов в ливне, созданном первичными
частицами B.111) в слое (*, dt).
Если нельзя пренебречь изменением первичной интенсивности
с глубиной, то к истинным условиям часто можно приблизиться,
приняв, что число образуемых электронов и фотонов убывает
с глубиной экспоненциально, т. е.
B.114)
n,{W, ^ + Г) = щ{\Г, tt)-^.
Отсюда следует, что
т.(Е, t — t', t') = w(E, t, t')
B.115)

Спектры прп больших энергиях iir
*s (Е, t) = J &*к {E, t, f) df = 8те (E, — ix),
B.116)
где ?те (?", — jjl) и SY (Wj — |x) — интегралы Лапласа при \ = — jx
от функций тс и у при to — t. Таким образом, задача определе-
определения.^ и л^ сводится к задаче определения интегралов Лапласа
от функций тс и у, удовлетворяющих кинетическим уравнениям
каскадной теории и граничным условиям B.111). При Х = 0
интегралы Лапласа совпадают с пробегами, что дает решение
нашей задачи для случая, когда можно пренебречь изменением
первичной интенсивности и глубиной. Напомним, что интегралы
Лапласа сходятся только при Х^> — о0. Физически это означает,
что равновесие между первичными лучами и вторичными лив-
ливневыми частицами может существовать только в том случае,
если „коэфициент поглощения" ji. первичных лучей меньше, чем
коэфициепт поглощения ливневых фотонов.
§ 41. Спектры при больших энергиях
Если мы ограничимся ливневыми частицами больших энергий,
то будет приложимо приближение Л, и интегралы Лапласа
в формулах B.116) можно вычислить, следуя шаг за шагом
приемам, развитым в § 28.
Интегралы Меллина по энергиям от интегралов Лапласа по t
опять определяются из уравнений B.30), где, однако, 9)?тсE, 0) и
5ШТ E, 0) даются формулами
оо
g».(s, 0)= $Esn%(E, t)dE,
о
B.117)
оо
9)?т (S, 0) = J Wsn, ( W, f) dW,
о
вместо B.31) и B.32).
8*.

116 Г). Электроны и фотоны в равновесии с излучением
Решениями уравнений B.30) будут
_(„ + *) аи, (а, о) + в (s) s»T (s, 0)
9?^ (s, X) _ p-=Tx7(s)] [X - h (s)l
B.118)
С (s) ЯН. (s, 0) + [Л (s) -f X] 5ЮТ (s, 0)
Лт («, A) — — ~[x _ )>( (s)] [K _ >2 (s)] : - - ,
а обратные преобразования Меллина дадут
O+°° тE, 0)
ii—
B.119)
t+tco
Г C () 9" (s- 0) + И (e) + X] Ш (S> 0) 1 .
При вычислении ?тс (?, X) для определенного значения энер-
энергии Е можно считать п^ и /гт равными нулю при энергиях, мень-
меньших, чем <Е, так как ливневые частицы с энергией Е не могут
быть образованы электронами или фотонами; энергия которых
меньше Е. Используя это, получим для 3Q?TC(s, 0) и ЪЩ (s, 0)
2». (s, 0) = Г Е\п% (?„ t) dE, =
t."
О
B.120)
oo
а»т(Я> o)= f <ит(^и, ^)й?^=авяЧ
о
где @?^ и 9i??^) представляют собой соответственно суммы
5-х степеней энергий, переданных на радиационной единице
длины жесткой компонентой электронам и фотонам, энергия
которых превышает Е. Комплексный интеграл в выражении
для ?тс можно вычислить через вычеты в полюсах, расположен-
расположенных слева от пути интегрирования. Каждый полюс дает член
вида

Спектры при больших энергаях Л7
На положительной вещественной оси находится только один
полюс в точке, определяемой уравнением \х (s) = X. Если сред-
средняя энергия вторичных электронов и фотонов с энергией, пре-
превышающей Е, велика в сравнении с Е, то всеми вычетами
в полюсах, расположенных на отрицательной полуплоскости
можно пренебречь. Такое же заключение можно сделать и в отно-
отношении выражения для ?т . Мы получим
К (s) — а2 (s)] X/ (s) es +1
B.121)
"T l J j ~ [>ч E) - X2 (s)] X/ (s)
где 5 определяется из 'kl(s) = 'k.
Соответствующим выражением для интеграла Лапласа от
интегрального спектра будет
B.122)
B(s) »в5?
При Х = 0, параметр s равен 1, и формулы B.121), B.122)
дают:
B.123)
3/48 Б. Росси

118 D. Электроны а фотоны в равновесии е излучением
гле (@яA)-f-ЯВяA)) «'(Sn^-f-SBiF1*) представляют собой полную
энергию, переданную на радиационной единице длины жесткой
компонентой вторичным частицам, энергия которых превышает,
соответственно, Е и W. Эти выражения весьма сходны с выра-
выражениями для пробегов в ливнях, образованных одиночным
электроном или фотоном [см. формулы B.44) и B.45)].
§ 42. Удельная ионизация* Спектры при малых энергиях
Назовем общей удельной ионизацией jT общее число пар
ионов, образованное на радиационной единице длины первичной
частицей и всеми ею вызванными вторичными частицами. Если
можно пренебречь изменением первичной интенсивности на рас-
расстоянии, равном максимальному пробегу ливней, to/Y , очевидно,
равно полной потере энергии первичной частицы, деленной
на Vo:
Общую удельную ионизацию не следует смешивать с пер-
первичной удельной ионизацией jp (определенной в § 6), пред-
представляющей собой число пар ионов, образованных непосред-
непосредственно первичной частицей.
Задача вычисления общей удельной ионизации в том случае*
когда нельзя пренебречь изменением первичной инуенсивности
с глубиной, не нашла до сих пор своего удовлетворительного
решения. Главная трудность возникает из того факта, что
в общем случае средняя энергия всех электронов и фотонов,
образованных непосредственно первичным лучом, невелика
в сравнении с критической энергией, и поэтому нельзя приме-
применить приемы, развитые в §' 35, 36, 38. Та же трудность встре-
встречается при попытке вычислить спектр вторичных электронов
и фотонов в области энергий, близких к критической энергии.
Тамм и Беленький [44] развили приближенный метод для
определения пробегов, пригодный и в случае, когда начальная
энергия не может считаться большой в сравнении с е. Прибли-
Приближение состоит в замене истинных кинетических уравнений
несколько отличными уравнениями, обращение с которыми значи-
значительно проще, — прием, ранее примененный Карлсоном и Оппен-
геймером [14]. За дальнейшими подробностями мы отсылаем
читателей к оригинальной статье.

Е. ФЛЮКТУАЦИИ. ПОПЕРЕЧНЫЕ РАЗМЕРЫ ЛИВНЕЙ
§ 43. Флюктуации 1)
Мы уже отмечали, что задача отыскания вероятности опре-
определенного отклонения ливня от его среднего поведения не нашла
пока удовлетворительного решения. Ограничимся поэтому несколь-
несколькими замечаниями.
Пусть N(E0, t) означает полное число частиц всех энергий,
имеющихся в среднем на глубине t, если при ^ = 0 была одна
первичная частица с энергией Ео. Если бы частицы в ливне
были независимы одна от другой, то вероятность P(N) того,
что число частиц на глубине t будет равно N, отличному от
N, давалась бы законом Пуассона
Р (N) = е" (N)NINU B.125)
из которого для среднего квадратичного отклонения от сред-
среднего следует
((N-7J)*)cp=(N*)cp-(Nf=~N. B.126)
Однако частицы в ливне нег независимы, так как они проис-
происходят от одного и того же первичного луча. Поэтому примене-
применение формул B.125) и B.126) не оправдано, хотя существуют
некоторые основания полагать, что распределение Пуассона
будет грубо справедливо на больших глубинах *).
Фэрри [19] сделал попытку определить функцию P(N), исполь-
используя упрощенную модель ливня,-В модели Фэрри ливневые частицы
рассматриваются как имеющие одинаковую природу, и предпо-
предполагается, что каждая частица, проходя слой dt вещества, имеет
определенную, пропорциональную dt вероятность расщепиться
на две одинаковые частицы. Ионизационные потери не учиты-
учитываются. Такое предположение приводит к значению N% экспо-
') См. [19], [1], [17], [32].
2) См., например, [17].

120
Е. Флюктуацаа. Поперечные размеры ливней
ненциально растущему с глубиной, и к следующему выражению
:
для P(N) и [((N— Л02>срр:
N
1
AT
B.127)
< (N—lVf > ср =N(N— 1). B.128)
Как видно отсюда, в модели Фэрри флуктуации значительно
больше, чем вычисленные по формуле Пуассона. В самом деле,
средний квадрат отклонения приближенно пропорционален (iVJ,
а не N. Наиболее серьезным источником ошибок в вычислениях
Фэрри является пренебрежение ионизационными потерями. Иони-
Ионизационные потери становятся все более существенными при воз-
возрастании глубины, что видно из того факта, что среднее число
частиц в ливне N проходит через максимум и затем убывает,
а не растет непрерывно, как это следует из модели Фэрри.
Поэтому можно ожидать, что формулы B.127) и B.128) при-
приближенно пригодны только для малых глубин.
Недавно Нордсик, Лэмб и Уленбек [32] подошли к про-
проблеме флюктуации с более общей точки зрения, употребляя мо-
модель Фэрри, но учитывая, по крайней мере грубо, ионизацион-
ионизационные потери энергии. Они не получили замкнутого выражения
для P(N), но смогли вычислить некоторые значения среднего
квадрата отклонения. Результаты приведены в табл. 12.
Таблица 12
Средний квадрат отклонения от среднего числа частиц
в ливне (по Нордсику и др. [32]) 2 = log
N
z = 4,75
t
2z
3z
4*
N
20,4
9,7
2,5
и
9,6
6,5
4,4
t
2z
Zz
4*
N
159
60
9
и
42
29
16,5
Величина о равна 1 по формуле Пуассона и N— 1 по фор-
формуле Фэрри. Мы видим, что действительное значение лежит

Поперечные размеры ливней 3.21
между этими крайними значениями, за исключением случая t= 4 z.
С другой стороны, авторы указывают, что их результаты при t= Az
наименее точны. Поэтому представляется оправданным заключе-
заключение, что, вообще говоря, флюктуации являются промежуточными
между вычисленными по формулам Пуассона и Фэрри.
§ 44. Поперечные размеры ливней
До сих пор мы рассматриваем развитие ливней только в про-
продольном направлении. Однако частицы в ливне не следуют в точ-
точности направлению движения первичной частицы, породившей
ливень, вследствие конечности угла, под которым излучаются
фотоны и электроны и вследствие многократного рассеяния элек-
электронов. Согласно формуле A.53с) с учетом того, что энергия
и импульс для электронов больших энергий практически сов-
совпадают, находим, что средний квадратичный угол рассеяния
электронов с энергией Е ыа радиационной единице длины ра-
равен -#, где Es = 2\ • 106 eV. Этот угол можно сравнить со сред-
ним углом излучения, который, как в случае фотонов, так и
электронов имеет порядок величины ^ (§ 10 и 16). Отсюда
видно, что средний угол излучения значительно меньше, чем
средний угол рассеяния на радиационной единице длины. Тгк
как среднее расстояние между двумя процессами излучения как
раз порядка величины радиационной единицы длины, то отсюда
следует, что при вычислении поперечных размеров ливней не-
необходимо принимать в расчет 'только рассеяние.
Рассмотрим ливень, распространяющийся в однородной среде.
Так как рассеяние обратно пропорционально энергии, то ливне-
ливневые частицы, имеющие большие энергир, остаются сконцентри-
сконцентрированными в узком конусе. Электроны малых энергий, образо-
образованные в центральной части ливня, отклоняются в сторону от
его оси. Чем меньше энергии, тем под большим углом будут
расходиться электроны. С другой стороны, частицы малых энергий
полностью поглощаются и не участвуют в дальнейшем развитии
ливня. Поэтому ширина ливня не возрастает непрерывно по мере
развития ливня в веществе, а достигнув предела, определяемого
пробегом частиц малых энергий, остается далее постоянной.
Расчеты поперечного распространения ливней были прове-
проведены Эйлером и Вергеландом [21] и Бете [13]. Последова-
Последовательная теория была развита Нордгеймом [33] следующим

122 Е. Флюктуации. Поперечные размеры ливней
образом. Рассмотрим электрон с энергией Ео,* входящей в ве-
вещество при /=0, и пусть п(Е0> Е, t)dE есть среднее число
электронов в ливне с энергией между Е и E-\-dE на глубине L
Эти электроны движутся пэд различными углами по отношению
к траектории первичного электрона и поэтому окажутся на раз-
различных расстояниях от. оси ливня. Мы хотим вычислить средний
квадрат угла отклонения (в2)ср и средний квадрат расстояния
от оси (АГа)Ср. Рассмотрим ливень на промежуточной глубине t\
и пусть ъ(Е0, Е'> t')dE' будет числом электронов с энер-
энергией (?", dE') на глубине t\ Пройдя слой dt\ эти электроны
претерпят рассеяние, причем средний квадрат угла отклонения
(Е \3
будет (-р* dt\ Эти же электроны образуют
•к (Ео, Е', t') dE' • * (?', Е, t — f) dE
электронов с энергией (?, dE) на глубине t. Направление дви-
движения положение этих электронов определится тем рассеянием,
которое претерпели породившие их электроны в слое (t\ d?).
Такое рассеяние даст в выражении для среднего квадратичного
(Е \2
-р,\ dt и в выражении
для среднего квадратичного отклонения от оси(-^1 (t — f)*dtf.
Число рассматриваемых нами электронов составляет долю
71 (?0, Е\ f) dE' • к (Е\ Е, t — f)
п (Яо. ^. t)
от общего числа электронов с энергией (Е, dE) на глубине t.
Значит, (в2)ср и (Л^)ср можно вычислить при помощи следую-
следующих интегралов
X *(?„?', О
Х*(Е0,Е',?)ъ{Е'9Е^-Г). B.129)
Таким образом, задача определения (в2)ср и (Х*)ср решена,
по, крайней мере принципиально, если известна функция тс (Е^ Е, t),

Поперечине размеры ливней 123
описывающая продольное развитие ливня. Функцию n(EQiE, f)
можно вычислить точно, если ограничиться энергиями, достаточно
большими для того, чтоЪы можно было ,гвоспользоваться при-
приближением А (см. часть II, раздел А). В этом случае вычисле-
вычисление интегралов B.129) даст:
<в2>ср= 0,55 (§)' (радианJ,
ед.J. B.130)
Задача определения- (в2)ср и (X2)cp при малых энергиях
частиц более трудна, потому что в этом случае функция тс (Ео, Еу t)
не может быть дана в замкнутой форме. Нордгеймом были про-
проделаны численные расчеты для случая воздуха, практически
важного в связи с так называемыми ливнями Оже. Среднее
квадратичное расстояние от оси ливня для всех электронов без-
безотносительно к их энергиям оказывается равным 100 м в воз-
воздухе при нормальной температуре и давлении. Эта цифра на-
находится в согласии с результатами, полученными Бете [13],
в то время как вычисления Эйлера и Вергеланда [18] давали
меньшее значение *).
Что касается функции распределения, то предполагается,
что при данной энергии как распределение по углам, так и по
расстояниям в грубом приближении представляется гауссовой
функцией. Конечно, если рассматривать частицы всех энергий,
то распределение даже приближенно не гауссово.
*) Последовательное вычисление (В*)Ср и (А^ср методами каскад-
каскадной теории было произведено Ландау [48]. Более точный расчет с уче-
учетом ионизационных потерь принадлежит Беленькому [52]. (Прим. ред.)

ДОПОЛНЕНИЕ I
а) Интеграл Лапласа
Дана функция f(x) вещественной переменной х. Интеграл Лапласа
определяется как
со
*/ М = j e~~lxf (x) dxy (Д. 1)
о
где X — комплексный параметр. Мы предполагаем, что интеграл
сходится на нижнем пределе. Если интеграл сходится на верхнем пре-
пределе при определенном значении X, равном Ха, то он сходится также
и при всех значениях X, для которых Re (X) >> Re (Xa), Re означает ве-
вещественную часть. С другой стороны, если интеграл расходится при
определенном значении X, равном \ь% то он расходится также при всех
значениях X, для которых Re (X) < Re (X&). Таким образом, в общем слу-
случае функция ?/(Х) определена в полуплоскости справа от прямой,
параллельной мнимой оси.
Легко доказать следующие формулы:
f (Д. 2)
" г- Ъ
Чр (а) = - \ [Sf (X) - F @)], (Д. 3)
СО
где F(x) = ( f(x')dx';
X
сю
[т«?/ (К)]л»о= (~1)П $ x"fM dx- (Д-4)
6
Важным свойством преобразования Лапласа является то, что при
определенных, не очень ограничивающих условиях, соответствие между
f(x) и Vf(\), установленное формулой (Д.1), однозначно, т. е. суще-
существует только одна функция*/(а*), для которой 1'/(Х) является ее инте-
интегралом Лапласа. Если известно ?/(Х), то f(x) можно определить при
помощи обратной формулы
^^Xx (Д. 5)

Дополнение И 125
где контур интегрирования с есть прямая, параллельная мцимой оси
и расположенная в полуплоскости сходимости ?/(Х).
Ь) Интеграл Me л лина
Дана функция f(y) вещественной переменной у. Интеграл Мел-
лина от f(y) определяется формулой
= § ysf(y)dy, (Д. 6)
где s — комплексный параметр. Если этот интеграл расходится
на нижнем пределе при определенном значении s, равном sa, то он
расходится и при всех значениях s, для которых Re (s) < Re (sa). Если
интеграл расходится на верхнем пределе при определенном значении s,
равном S?, то ой расходится и при всех значениях s, для которых
Re (s) "> Re (s&). Таким образом, если интеграл Меллина где-нибудь
сходится, то область его сходимости представляет собой полосу, огра-
ограниченную двумя прямыми, параллельными мнимой оси.
Легко доказать следующие формулы:
). (Д. 7)
-1), (Д. 8)
где /*(_у) = | f(y')dy\
Преобразование Меллина, как и преобразование Лапласа, одно-
однозначно и может быть обращено по следующей формуле:
/ (у) = 2^
где контур интегрирования С представляет собой прямую, параллель-
параллельную мнимой оси и расположенную внутри полосы сходимости.
ДОПОЛНЕНИЕ II
Пусть
оо
Шр (s, г) = ft xrp (s, x) dx
б
есть интеграл Меллина от функции /?, определенной по B.74а). Так
как lim p=\% то интеграл сходится на верхнем пределе только при
Х-+СО
Re (г) <—1. Следовательно, областью сходимости Шр (s, r) будет

126 Дополнение II
полоса, простирающаяся от г=—1 до первой особенности слева от
этой точки.
Умножая обе части B.74а) на хг и интегрируя по х от 0 до со
получим для Шр (s,r) следующее рекуррентное уравнение:
= -(s + r+l)S&p(s,r—l). (д. 10)
Функция Шр (s, г) имеет, как уже упоминалось, особенность
при г=—1; это подтверждается тем фактом, что коэфициент при
2ftp(s, г) в (Д. 10) обращается в 0 при г=— 1. Из (Д. 10) непосред-
непосредственно следует, что другие особые точки будут при г = 0 и г=я,
где п — произвольное положительное целое число. При г= — (s -f-1)
коэфициент при Шр (s, r) обращается в бесконечность, а коэфициент
при Шр(89 г—1) — в 0. Это означает, что Шр(8,г) имеет особенности
при г =— (s + 2) и г= — (s + п)9 где п — произвольное положитель-
положительное целое число, большее единицы. Удобно исключить часть особен-
особенностей, написал Шр (s, r) в виде произведения функций, имеющих
простъ^лоллсы цри г= — 1, 0, 1..., г— — (s + 2), r = —(s + 3)...
и новой неизвестной функции. Поэтому положим
Шр (а, г -1) = Г(~гУДЛ/" + 1) К {а, г). (Д. 11)
где Г (у) — гамма-функция, имеющая простые полюсы при у = 0,
— 1. —2,...
Подставляя (Д. 11) в (Д. 10) и учитывая, что у Г(у) — Т(у+\),
получим:
+r) ] *(S( Г) = rKi$' r~
Предположим, что уравнение (Д. 12) решено. Подставив решение
в (Д. 11) и применив обратное преобразование Меллина, получим
— 8-J-joo
— 8 — /оо
2v:i J
—г
х
См. Снайдер [39]; Сербер [40].

Дополнение II 127
где путь интегрирования лежит параллельно мнимой оси слева от по-
полиса г=0 и справа от полюса г== — (s+1)- В пределе л: = со под-
интегральное выражение (Д. 13) обращается в нуль при всех значе-
значениях г, у которых вещественная часть положительна. Следовательно,
интеграл равен вычету в точке г=0, который равен 2тс* AT(s,O). Так
как
limp (st jc) = 1,
л--»оо
ТО
K(sfi) = 1.
При г = 0 козфициенты при К(s, r) и K(st г — 1) в (Д. 12) обращаются
в 0 и отношение /C(s, — 1) ?К (s, 0) дается следующим выражением:
r)ll
flf5 Co + X (S) fl
или, так как /C(s, 0) = l,
^^i^H (ДЛ4)
При помощи повторного применения (Д. 12) легко получить значе-
значения /C(s, г) для любого вещественного целого значения г. Так, например,
K(st — 2) = —Я (st — 1) |\ (s) + Л (s— 1) - ^(S""^|S^
I . со + * (s)
Можно найти также рекуррентные соотношения для производных
——— и —V" > если продифференцировать (Д. 12) соответственно
по sи по г.ТакKaK/C(s, 0) = 1, то мы имеем условие —4-'— = 0. От-
OS
правляясь от этого значения и употребляя рекуррентные соотношения,
dK(s, r) .
можно определить —ъ ПРИ произвольном значении s и при любом
целом значении г. С другой стороны, уравнение (Д. 12) дает непосред-

128
Дополнение И
ственно логарифмическую производную от K(s, г) по г при достаточно
большом значении г. В самом деле, при достаточно большом г
fdK(s,r)\ JL
=г, ~~ 2
дг
r)C(s + r)
где
dK(syr)
Если \ известно при некотором целом значении г, то с по-
помощью рекуррентных формул можно найти это значение для любого
другого целого значения.
В практических приложениях нас главным образом интересуют
значения функции К\ при г =—s, т. е. функции одной переменной
Кг E, — s). Производная от этой функции по 5 равна
dK(s,-s)
ds
\ ds
)r=-s \
дг
Значения Ki(sy—s) при s = 0, 1, 2, 3, 4, 5 и 6 даны в табл. 13.
Производная от /Ci E, — s) подсчитана для 5 = 1
'dKt (s1--_s)_\
~~^ds s
= 0,85.
(Д. 16)
Таблица 13
5 0
/CiE, —s) i 1,00
i
1
2,29
2
3,45
3
5,98
4
10,61
5
18,15
6
29,19
При помощи значений Ki (s, — 5), приведенных в табл. 13, и зна-
значения производной при 5=1, данного в (Д. 16), можно построить до-
достаточно точную интерполяционную кривую, по которой можно опре-
определять значение К\ (s, — s) при нецелых значениях 5. Такая кривая
представлена на фиг. ,17.

ЛИТЕРАТУРА
1. N. Arley, Proc. Roy. Soc. A 168, 519 A938).
2. N. Arley and B. Erik sen, Danske Videnskabernes Selskab, 17,
No. 11 A940).
3. R. T. Birge, Rev. Mod. Phys. 1, 1 A929).
4. H. А. В е t h e, Ann. d. Physik 5, 325 A930).
5. H. A. Bet he, Zeits. f. Physik 76, 293 A932).
6. F. В 1 о с h, Zeits. f. Physik. 81, 363 A933).
7. H. A. Beth e, Handbuch der Physik, Vol. 24/1, 518 A933).
'8. H. А. В e t h e and W. H e i 11 e r, Proc. Roy. Soc. A 146, 83 A934).
9. H. J. В h a b h a, Proc. Roy. Soc. 154, 195 A936).
10. H. J. Bhabha and W. Heitler, Proc. Roy. Soc. 159, 432A937).
11. H. J. Bhabha, Proc. Roy. Soc. 164, 257 A938).
12. R. T. Birge, Phys. Rev. 58, 658 A940).
13. H. A. Beth e, Phys. Rev. 59, 684A A941).
14. J. F. С a r 1 s о n and J. R. О p p e n h e i m e r, Phys. Rev. 51, 220 A937).
15. R. F. Christy and S. К u s а к a. Phys. Rev. 59, 405 A941).
16. M. Dresden, W. T. Scott and G. E. Uhlenbeck, Phys.
Rev. 59, 112A A941).
17. H. Euler, Zeits. f. Physik 110, 450 A938).
18. H. E u 1 e r and H. Wergeland, Astrophysica Norv. 3, 165 A940).
19. W. H. F urry, Phys. Rev. 52, 569 A937).
20. E. Fermi, Phys. Rev. 56, 1242 A939).
21. E. Fermi, Phys. Rev. 57, 485 A940).
22. W. H e i s e n b e r g and H. Euler, Ergeb. d. exact. Naturwiss.
17, 1 A938).
23. O. Hal pern and H. Hall, Phys. Rev. 57, 459 A940).
24. D. Iwanenko and. A. Sokolow, Phys. Rev. 53, 910 A938).
25. О. К 1 e i n and Y. N i s h i n a, Zeits. f. Physik 52, 853 A929).
26. M. S. Livingston and H. A. Bet he, Rev. Mod. Phys. 9,
245 A937).
27. L. Landau and G. Rumer, Proc. Roy. Soc. A 166, 213 A938).
28. N. F. Mo tt, Proc.. Roy. Soc. 124, 425 A929).
29. С. Мб Пег, Ann. d. Physik 14, 531 A932).
30. H. S. W. Massey and H. С. С orb en, Camb. Phil. Soc. 35,
463 A939).
31. L. W. Nordheim and M. H. H e b b, Phys.-Rev. 56 494 A939).
32. A. N о r d s i e с к, W. E. L a m b and G. E. U h 1 e n b e с к, Physica
7, 344 A940).
33. L. W. Nordheim, Phys. Rev. 59, 929A A941).
34. J. R. Oppenheimer, H. S n у d e r, and R. Serber, Phys. Re\. 57,
75 A940).
35. J. K. Oppenheimer, Phys. Rev. 59, 462 A941).
36. B. Rossi, Phys. Rev. 57, 469 A940).
37. B. Rossi, Phys. Rev. 57, 660 A940).
*/49 Б. РоЬси

130 Библиография
38. В. Rossi, Phys. Rev. 59, 929A A941).
89. H. Snyder, Phys. Rev. 53, 960 A938).
40. R. S e r b e r, Phys. Rev. 54, 317 A938).
41. W. F. G. Swann, J. Frank. Inst. 226, 598 A938).
42. M. SchOnberg, Ann. Acad. Bras. 12, 281 A940).
43. W. T. Scott, Диссертация, University of Michigan (не опубликована).
44. I. T a mm and S. Belenky, Journ. of Phys. USSR. 1, 177 A939).
45. E. J. Williams, Proc. Roy. Soc. A 169, 531 A939).
46. E. J. Williams, Proc. Roy. Soc. A 172, 194 A939).
47. G. С Wick, Ricerca Scient. 11, 273A940).
47a. O. Halpern and H. Hall, Phys. Rev. 73, 477 A948).
Дополнительная литература *
48. С. 3. Б е л е н ь к и й, К теории ливней в тяжелых элементах,
ЖЭТФ, 14, 11 A944).
49. С. 3. Беленький, О влиянии рассеяния в каскадных процес-
процессах, ЖЭТФ, 15, 9 A945).
50. С. 3. §е лень кий, Каскадная теория с учетом ионизационных
потерь, ЖЗТФ, 17, 189 A947).
51. С. 3. Беленький, О ширине ливня, ЖЭТФ, 14, 129 A945).
52. С. 3. Бе л е н ь к и й, Лавинные процессы в космических лучах,
М. —Л. 1948.
53. В. Б. Б е р е с т е ц к и й, О пространственной корреляции частиц
в космических лучах, I, ЖЭТФ, 15, 330 A945).
54. В. Б. Берестецкий, О пространственной корреляции частиц
в космических лучах, II, ЖЭТФ, 16, 665 A946).
55. А. Кирпичев и И., Померанчук, Уточненное вычисление
радиационной длины из экспериментальных данных о рас-
рассеянии рентгеновских лучей. ДАН СССР, 45, 285 A944).
56. Л. Д. Ландау, Угловое распределение частиц в ливнях, ЖЭТФ,
10, 1007 A940).
57. Л. Д. Л а н д а у, О флюктуациях ионизационных потерь, Journ.
of Phys. USSR 8, 204 A944).
58. „Мезон". Сборник статей под ред. И. Е. Тамма М.—Л. A947).
59. А. Б. Мигдал, Об интерпретации экспериментальных данных
о ливнях Оже, ЖЭТФ, 15, 313 A945).
60. И. Померанчук, Максимальная энергия, которую могут иметь
на поверхности Земли первичные электроны космических
лучей из-за излучения в земном магнитном поле, ЖЭТФ,
9,915A939).
Добавлено редактором.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение
Часть I
ОСНОВНЫЕ ПРОЦЕССЫ
А. СТОЛКНОВЕНИЯ 9
1. Применение законов сохранения 9
42. Дифференциальная вероятность столкновения 10
3. Потери энергии при столкновениях (ионизационные потери) 13
4. Эффект плотности 16
5. Пробеги мезотронов и протонов . . , 17
6. Первичная удельная ионизация 18
в. эффект комптона : 20
7. Применение законов сохранения 20
8. Дифференциальная вероятность рассеяния 20
9. Полная вероятность рассеяния 21
C. излучение : - 22
10. Общие замечания 22
11. Дифференциальная вероятность излучения электронами. . 23
12. Средние потери энергии на излучение электронами .... 25
'13. Радиационная единица длины. Упрощенные формулы ... 26
14. Сравнение потерь на излучение и ионизационных потерь.
Флюктуации потерь на излучение 28
15. Процессы излучения мезотронами * 30
D. ОБРАЗОВАНИЕ ПАР , 33
16. Общие замечания 33
17. Дифференциальная вероятность образования пар 34
18. Полная вероятность образования пар 35
19. Вероятности, отнесенные к радиационной единице длины.
Упрощенные выражения 36
20. Сравнение процесса образования пар с эффектом Комптона 38
E. рассеяние 39
21. Дифференциальная вероятность упругого рассеяния .... ^39
22. Многократное рассеяние. Вычисление среднего квадрата
угла рассеяния * 40
23. Функция распределения 44
9*

132 Оглавление
Часть U
КАСКАДНЫЕ ЛИВНИ
24. Общие замечания 51
25. Определения, обозначения, типы приближений 52
A. ТЕОРИЯ ЛИВНЕЙ В ПРИБЛИЖЕНИИ А 60
26. Кинетические уравнения 60
27. Элементарные решения 62
28. Интегралы Меллина и Лапласа от тс, ?. П 66
29. Пробег, центр тяжести, продольные размеры 73
30. Дифференциальный и интегральный спектры 74
31. Метод последовательных столкновений 84
B. ТЕОРИЯ ЛИВНЕЙ В ПРИБЛИЖЕНИИ В 88
32. Кинетические уравнения 88
33. Элементарные решения 89
34. Поправки на отклонения ф от ф0 96
35. Решения для случая одиночного первичного электрона
или фотона 97
36. Явные выражения ¦ 99
C. ОБЩАЯ И УДЕЛЬНАЯ ИОНИЗАЦИЯ. КОНЕЦ СПЕКТРА СО СТОРОНЫ
МАЛЫХ ЭНЕРГИЙ 107
37. Общая ионизация 107
38. Удельная* ионизация 109
39. Конец спектра со стороны малых энергий 110
D. ЭЛЕКТРОНЫ И ФОТОНЫ В РАВНОВЕСИИ С БОЛЕЕ ЖЕСТКИМ ИЗЛУ-
ИЗЛУЧЕНИЕМ ... • „ ;. . . ; из
40. Общий метод " 113
41. Спектры при больших энергиях 115
42. Удельная ионизация. Спектры при малых энергиях 11$
E. ФЛЮКТУАЦИИ. ПОПЕРЕЧНЫЕ РАЗМЕРЫ ДИВНЕЙ 119
43. Флюктуации 119
44. Поперечные размеры ливней 121
Дополнение I 124
Дополнение II 125
Литература „ .....,., 129
Редактор Я. А. Смородщгскгщ
Техн. редактор А. П. Дронов Корректор Р. Л. Шейхет
Подписано к печати 26/V1948 г. А-04833. Печ. л. 8*/4+4 вкл«» уч.-изд. л. 7,8,
формат 60 X 92Vie» изд. № 2/52. Зак. 1084. Цена 10 руб.
*
2-я типография „Печатный Двор* им. А. М. Горького
треста „Полиграфкнига" ОГИЗа при Совете Министров СССР.
Ленинград, Гатчинская, 26.

ОПЕЧАТКИ
Стра- строка Напечатано Следует читать
20 6 сн. sine sins0
1
27 4 св.
46 12 св.
48 7 св.
54 15 сн.
73
76
116
Зак.
3
2
9 и
1084
СВ.
СВ.
10 си.
(-1-2)
о
х (е^ E)' — ех*{s) 0
C is) Xj is) — Xa is)] YTC is) [\г is) — X, is)]