Автор: Semendjajew K.A. Bronstein I.N. Musiol G. Muhlig H.
Теги: mathematik
ISBN: 3-8171-2006-0
Год: 2005
Текст
Tabelle 6.2 Differentiationsregeln (s S 400)
Regel
Konstantenregel
Faktorregel
Summenregel
Produktregel für
zwei Funktionen
Produktregel für
n Funktionen
Quotientenregel
Kettenregel für
zwei Funktionen
Kettenregel für
drei Funktionen
Potenzregel
Logarithmische
Differentiation
Differentiation der
Umkehrfunktion
Implizite
Differentiation
Ableitung in
Parameterdarstellung
Ableitung in
Polarkoordinaten
Formel für die Ableitung
c' = 0 (c const)
(cu)' = cu' (c const)
(u ± v)' = u' ±v'
{uv)' = u'v + uv'
{uiU2 Un)' = Yl ul K un
i=l
(u\> vu'-uv'
\v) v* {t^ü)
, du dv
y = u(v(x)) V=TvTx
, du dv dw
y = u(v(w(x))) y=---
(ua)' = cma_V (a e R, a^O)
speziell ( - 1 = —r (u^O)
\uj uz
d(\ny(x)) 1 , , d(\ny)
= -y => y = y—
dx y dx
speziell (uv)' = uv 1 v' In u H j (u > 0)
<p inverse Funktion zu / , d h y — f(x) «=> x = (p(y)
f,{x) = modeT t = -&
dy
F(x,y) = 0 Fx + Fyy' = 0 oder
x = x(t), y = y(t) (t Parameter)
, _ dy _ y /. _ dx . _ dy\
V ~ dx~ x \ ~ dt ' V ~ dt)
P = P&) y Z J^j ^£ (Winkel <p als Parameter)
, dy p sin <p + p cos <p / . dx \
dx p cos (p — p sin <p \ dipj
Inhaltsverzeichnis V =»
Tabellenverzeichnis XXXIX =>
1 Arithmetik 1 =>
2 Funktionen und ihre Darstellung 48 =>
3 Geometrie 131 =*
4 Lineare Algebra 259 =>
5 Algebra und Diskrete Mathematik 295 =>
6 Differentialrechnung 394 =>>
7 Unendliche Reihen 420 =»
8 Integralrechnung 444 =>
9 Differentialgleichungen 504 ==>
10 Variationsrechnung 572 =»
11 Lineare Integralgleichungen 583 =>>
12 Funktionalanalysis 616 ==>
13 Vektoranalysis und Feldtheorie 663 =>
14 Funktionentheorie 693 ==?
15 Integraltransformationen 730 =*
16 Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik 768 =>•
17 Dynamische Systeme und Chaos 821 =*
18 Optimierung 873 =>
19 Numerische Mathematik 911 ==>
20 Computeralgebrasysteme 982 =>•
21 Tabellen 1041 =?
22 Literatur 1129 =?
Stichwortverzeichnis 1145 =>•
Taschenbuch
der
Mathematik
I.N. Bronstein
K.A. Semendjajew
G. Musiol
H. Mühlig
6., vollständig überarbeitete
und ergänzte Auflage
* }
Verlag
Harri
Deutsch
Im Auftrag des Verlages Harri Deutsch erarbeitete und erweiterte Lizenzausgabe der bis 1977 erschienenen
russischen Orginalausgabe:
I. N. Bronstein, K. A. Semendjaew. Taschenbuch der Mathematik für Ingenieure und Studenten
©FIZMATLIT, Moskau
Bibliografische Information Der Deutschen Bibliothek
Die Deutsche Bibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte
bibliografische Daten sind im Internet über (http://dnb.ddb.de) abrufbar.
ISBN-10 3-8171-2006-0 (Buch)
ISBN-10 3-8171-2016-8 (Buch mit CD-ROM)
ISBN-13 978-3-8171-2006-2 (Buch)
ISBN-13 978-3-8171-2016-1 (Buch mit CD-ROM)
Dieses Werk ist urheberrechtlich geschützt.
Alle Rechte, auch die der bersetzung, des Nachdrucks und der Vervielfältigung des Buches - oder von Teilen
daraus -, sind vorbehalten Kein Teil des Werkes darf ohne schriftliche Genehmigung des Verlages in
irgendeiner Form (Fotokopie, Mikrofilm oder ein anderes Verfahren), auch nicht für Zwecke der Unterrichtsgestaltung,
reproduziert oder unter Verwendung elektronischer Systeme verarbeitet werden. Zuwiderhandlungen
unterliegen den Strafbestimmungen des Urheberrechtsgesetzes.
Der Inhalt des Werkes wurde sorgfältig erarbeitet. Dennoch übernehmen Autoren, Herausgeber und Verlag
für die Richtigkeit von Angaben und Hinweisen sowie für eventuelle Druckfehler keine Haftung.
6., vollständig überarbeitete und ergänzte Auflage 2005
(c) Wissenschaftlicher Verlag Harri Deutsch GmbH, Frankfurt am Main, 2005
Druck: Clausen &; Bosse, Leck
Printed in Germany
Vorwort zur sechsten Auflage
Ein Nachschlagewerk und Taschenbuch der Mathematik, wie es der „BRONSTEIN" darstellt, lebt
insbesondere auch dadurch, dass die Autoren von Auflage zu Auflage den sich wandelnden Anforderungen
des breiten Spektrums der Nutzer gerecht werden und immer wieder den praxisnahen zeitgerechten
Bezug sicherstellen
Das Taschenbuch enthält einen Querschnitt der Mathematik, wie er sowohl für Studenten als auch
für praktisch tätige Ingenieure, Naturwissenschaftler und Mathematiker sowie für die einschlägigen
Hochschullehrer erforderlich ist Dem traditionellen Anliegen des Buches - vorgegegeben von den
Erstautoren I. N. Bronstein und K. A. Semendjajew A937) - folgend, stehen Anschaulichkeit und
leichte Verständlichkeit im Vordergrund, während der Forderung nach mathematischer Strenge bei der
gebotenen Kürze der Darstellung nur in angemessenem, für den Ingenieur und Naturwissenschaftler
im allgemeinen ausreichendem Umfange Rechnung getragen wird So sind für diesen Nutzerkreis ma-
Ithematischer Sachverhalt, Voraussetzungen, Grenzen der Anwendbarkeit und Hinweise auf
Besonderheiten bei Anwendungen wichtiger als strenge mathematische Beweise Für weitergehende Bedürfnisse
wird jeweils auf die Fachliteratur verwiesen.
Für die Neubearbeitung des Bronstein hatten sich der Verlag Harri Deutsch und die neuen Herausgeber
und Autoren G. MusiOL und H. MÜHLIG im Vergleich zur ursprünglich zugrunde liegenden 3.
russischen Auflage die Aufgabe gestellt, diejenigen Gebiete der Mathematik stärker zu betonen bzw. neu
einzubringen, die im Hinblick auf die zunehmende mathematische Modellierung und Durchdringung
technischer und naturwissenschaftlicher Prozesse sowie die Nutzung von Computern an Bedeutung
gewonnen hatten. Dementsprechend wurden in die ersten Auflagen u a. die folgenden Kapitel bzw
Abschnitte aufgenommen:
„Computeralgebrasysteme", „Nutzung von Computern in der Numerischen Mathematik",
„Dynamische Systeme und Chaos", „Funktionalanalysis", „Integralgleichungen", „Variationsrechnung",
„Integraltransformationen" , „Optimierung" und „Numerische Mathematik" Das frühere Kapitel „Algebra"
wurde zu „Algebra und Diskrete Mathematik" erweitert und enthält jetzt auch die Unterkapitcl
„Elementare Zahlentheorie", „Kryptologie", „Algorithmen der Graphentheorie" und „Fuzzy-Logik".
Auch klassische Gebiete erfuhren Ergänzungen.
Das Kapitel „Geometrie" z.B. wurde durch „Geodätische Anwendungen" der Trigonometrie und durch
ein ausführliches Unterkapitel „Sphärische Trigonometrie" ergänzt; in das Kapitel „Funktionentheorie"
wurden die „Elliptischen Funktionen" aufgenommen, im neu gestalteten Kapitel
„Wahrscheinlichkeitsrechnung und Mathematische Statistik" die Abschnitte „Monte-Carlo-Methode", „Stochastische
Prozesse" und „Stochastische Ketten" und im Kapitel „Numerische Mathematik" die „Methode der finiten
Elemente" und die „Schnelle Fourier-Analyse"
In einzelnen Kapiteln wurden Formelübersichten in tabellarischer Form aufgenommen (besonders zur
Geometrie, zur Differential- und Integralrechnung und zur Vektoranalysis und Feldtheorie), die das
praktische Arbeiten erleichtern
In die 6 , vollständig überarbeitete Auflage sind alle Ergänzungen und Verbesserungen eingeflossen,
die nach der 4 und 5. deutschen Auflage in die 4. englischsprachige Auflage (Springer-Verlag 2004)
aufgenommen worden sind Darüber hinaus wurden die Kapitel „Computeralgebrasysteme" und
„Dynamische Systeme und Chaos" überarbeitet und erweitert, das letztere z.B um den Abschnitt
„Rekonstruktion der Dynamik aus Zeitreihen" Das Kapitel „Algebra und Diskrete Mathematik" wurde durch
den Abschnitt „Endliche Körper und Schieberegister" ergänzt
Auch für die 6. Auflage steht wieder eine aktuelle elektronische Version zur Verfügung, die den
kompletten Inhalt des Buches als vernetzte HTML-Struktur mit farbigen Abbildungen und einer
integrierten Suchfunktion enthält Diese auf einem erweiterten Index basierende Suchmöglichkeit, die einen
schnellen Zugriff auf alle Inhalte zu einem vorgegebenen Stichwort erlaubt, hat sich als ausgesprochen
II
nützlich erwiesen; ebenso die Tatsache, daß der elektronische Bronstein auf allen gängigen Plattformen
ohne Installation direkt von der CD-ROM läuft So bietet der Bronstein ein aufeinander abgestimmtes
Angebot, das situationsunabhängig und bedürfnisorientiert einen hohen Informationsgehalt liefert.
Allen Lesern und Fachkollegen, die mit ihren Stellungnahmen, Bemerkungen und Anregungen zu den
vorangegangenen Auflagen des Buches die Überarbeitung erleichtert haben, möchten wir an dieser
Stelle unseren herzlichen Dank sagen Besonderer Dank gebührt Frau Prof. Dr. Gabriela Szep (Budapest),
die die 4. deutsche Auflage kritisch durchgesehen und zur Erarbeitung der 4. englischsprachigen Auflage
wesentlich beigetragen hat
Dem Verlag Harri Deutsch danken wir für die nunmehr schon traditionell gewordene effektive
Zusammenarbeit
Dresden, im Mai 2005
Prof. Dr. Gerhard Musiol Prof. Dr. Heiner Muhlig
Koautoren
Einige Kapitel und Abschnitte sind in Zusammenarbeit mit Koautoren enstanden.
Kapitel bzw. Abschnitt Koautor
Sphärische Trigonometrie C.4.1 bis 3.4.3) Dr. H Nickel, Dresden
Sphärische Kurven C.4.4) Prof. L Marsolek, Berlin
Logik, Mengenlehre, Klassische Algebraische Strukturen,
Anwendungen von Gruppen, Ringe und Körper,
Vektorräume E.1, 5.2, 5.3, außer 5 3 4, 5 3.7 4 bis 5.3.7.6) Dr. J. Brunner, Dresden
Darstellung von Gruppen, weitere Anwendungen von
Gruppen E.3.4, 5.3.5.4 bis 5.3.5.6) Prof Dr. R Reif, Dresden
Zahlentheorie, Kryptologie, Graphen E.4, 5.5, 5.8) Prof Dr U Baumann, Dresden
Fuzzy-Logik E.9) Prof. Dr. Gräuel, Soest
Nichtlineare partielle Differentialgleichungen,
Solitonen (9 2.4) Prof. Dr. ZiESCHE, Dresden
Integralgleichungen A1) Dr. I. Steinert, Düsseldorf
Funktionalanalysis A2) Prof Dr. M. Weber, Dresden
Elliptische Funktionen A4.6) Dr. N. M. Fleischer, Moskau
Dynamische Systeme und Chaos A7) PD Dr. V. Reitmann, Dresden
Optimierung A8) Dr. I. Steinert, Düsseldorf
Computeralgebrasysteme A9 8.4, 20 ) Prof. Dr. G. Flach, Dresden
Aus dem Vorwort zur Neubearbeitung des „Bronstein"
Der „BRONSTEIN" ist im deutschsprachigen Raum für Generationen von Ingenieuren und
Naturwissenschaftlern und darüber hinaus für viele, die in Ausbildung und Beruf mit Anwendungen der
Mathematik befaßt sind, zu einem festen Begriff geworden. Warum also eine Neubearbeitung auf der Basis
der letzten russischen Ausgabe*, die bis 1977 erschien?
Abgesehen von verlagsrechtlichen Gründen wird mit der vorliegenden Neubearbeitung vor allem das
Ziel verfolgt, dem „Bronstein" einen zeitgerechten praxisnahen Bezug zu geben, wie ihn zahlreiche
befragte Nutzer sich wünschen
Besonderer Dank gilt dem russischen Originalverlag FIZMATLIT und den Rechtsnachfolgern der Ori-
*Der Neuubersetzung des russischsprachigen Originals liegt die 3 Auflage (Moskau 1953) zu Grunde
III
ginalautoren dafür, daß sie die Zustimmung zur notwendigen Anpassung an die heutigen Ansprüche
des Nutzerkreises und der damit verbundenen freien Überarbeitung gaben.
Dresden, im Juni 1993
Prof. Dr. Gerhard Musiol
Prof. Dr. Heiner Mühlig
Inhaltsverzeichnis V
Inhaltsverzeichnis
Tabellenverzeichnis XXXIX
1 Arithmetik 1
1.1 Elementare Rechenregeln . . . . . 1
1 1 1 Zahlen 1
1.1.1.1 Natürliche, ganze und rationale Zahlen 1
1.1.1.2 Irrationale und transzendente Zahlen . . 1
1.1.1.3 Reelle Zahlen 2
1.1.1.4 Kettenbrüche 3
1115 Kommensurabilität 4
1.1.2 Beweismethoden. ... . . 5
1.1 2.1 Direkter Beweis . . . 5
1.1.2.2 Indirekter Beweis oder Beweis durch Widerspruch 5
112 3 Vollständige Induktion . . . ... . 5
1.1.2.4 Konstruktiver Beweis . . . 6
113 Summen und Produkte .... 6
1.1.3.1 Summen . . 6
1 1.3.2 Produkte 7
1.1.4 Potenzen, Wurzeln, Logarithmen 8
114 1 Potenzen . . 8
1.1.4.2 Wurzeln 8
114 3 Logarithmen 9
114 4 Spezielle Logarithmen . . . . . 9
1 1.5 Algebraische Ausdrücke . . . 10
115 1 Definitionen 10
1.1.5.2 Einteilung der algebraischen Ausdrücke 11
1 1.6 Ganzrationale Ausdrücke . . . . • 11
1.16.1 Darstellung in Form eines Polynoms 11
1.1.6.2 Zerlegung eines Polynoms in Faktoren 11
1.1.6.3 Spezielle Formeln 12
1.1 6.4 Binomischer Satz 12
116 5 Bestimmung des größten gemeinsamen Teilers zweier Polynome . 14
1.1.7 Gebrochenrationale Ausdrücke 14
1.1.7.1 Rückführung auf die einfachste Form . . 14
117 2 Bestimmung des ganzrationalen Anteils 15
1 1 7.3 Partialbruchzerlegung 15
1.1.7.4 Umformung von Proportionen 17
1.18 Irrationale Ausdrücke .... ... ... 17
1.2 Endliche Reihen 18
12 1 Definition der endlichen Reihe .... . . . 18
1 2.2 Arithmetische Reihen 18
1.2 3 Geometrische Reihe ... 19
1.2.4 Spezielle endliche Reihen 19
1.2.5 Mittelwerte 19
1.2.5.1 Arithmetisches Mittel 19
1 2 5.2 Geometrisches Mittel 20
1.2.5.3 Harmonisches Mittel 20
1.2 5 4 Quadratisches Mittel .... .... 20
VI Inhaltsverzeichnis
1 2.5 5 Vergleich der Mittelwerte für zwei positive Größen a und b . . 20
1 3 Finanzmathematik . . . . 21
1.3.1 Prozentrechnung 21
13 2 Zinseszinsrechnung . . 22
1 3.3 Tilgungsrechnung . 23
1 3.3.1 Tilgung 23
1.3.3.2 Gleiche Tilgungsraten 23
1 3.3 3 Gleiche Annuitäten ... 24
1.3.4 Rentenrechnung 24
1.3 4.1 Rente . . 24
1.3.4.2 Nachschüssig konstante Rente 25
1.3 4.3 Kontostand nach n Rentenzahlungen . 25
1.3.5 Abschreibungen ... ... . 26
1.4 Ungleichungen 28
1.4.1 Reine Ungleichungen . . . 28
1 4.1 1 Definitionen 28
14 12 Eigenschaften der Ungleichungen vom Typ I und II . . 29
14 2 Spezielle Ungleichungen 30
1.4 2.1 Dreiecksungleichung . .... 30
1.4.2.2 Ungleichungen für den Absolutbetrag der Differenz zweier Zahlen . 30
1 4.2 3 Ungleichung für das arithmetische und das geometrische Mittel 30
1 4.2.4 Ungleichung für das arithmetische und das quadratische Mittel . 30
1 4.2 5 Ungleichungen für verschiedene Mittelwerte zweier reeller Zahlen . 30
14.2.6 Bernoullische Ungleichung . 31
14 2 7 Binomische Ungleichung . . . 31
14 2 8 Cauchy-Schwarzsche Ungleichung . . . . 31
1 4.2 9 Tschebyscheffsche Ungleichung . . 31
1 4 2 10 Verallgemeinerte Tschebyscheffsche Ungleichung . . 32
142 11 Höldersche Ungleichung 32
14.2.12 Minkowskische Ungleichung 33
1 4.3 Lösung von Ungleichungen 1. und 2. Grades . . 33
1 4.3.1 Allgemeines . . 33
1.4.3.2 Ungleichungen 1 Grades . . 33
1.4.3.3 Ungleichungen 2. Grades . . 33
1 4.3 4 Allgemeiner Fall der Ungleichung 2. Grades 34
1.5 Komplexe Zahlen . . .34
1.5.1 Imaginäre und komplexe Zahlen . . 34
1.5.1.1 Imaginäre Einheit 34
15 12 Komplexe Zahlen . . . . 34
1.5.2 Geometrische Darstellung. .... . 35
1 5.2.1 Vektordarstellung . . 35
1.5.2.2 Gleichheit komplexer Zahlen 35
1.5.2.3 Trigonometrische Form der komplexen Zahlen 35
1.5 2 4 Exponentialform einer komplexen Zahl .... 36
1 5 2.5 Konjugiert komplexe Zahlen . . 36
1.5.3 Rechnen mit komplexen Zahlen 36
1.5 3 1 Addition und Subtraktion . ... 36
1.5.3.2 Multiplikation 37
1.5.3.3 Division 37
1.5 3.4 Allgemeine Regeln für die vier Grundrechenarten 38
1 5.3 5 Potenzieren einer komplexen Zahl . . .... 38
1.5 3 6 Radizieren oder Ziehen der n-ten Wurzel aus einer komplexen Zahl 38
Inhaltsverzeichnis VII
1.6 Algebraische und transzendente Gleichungen ... .... ... 38
1.6.1 Umformung algebraischer Gleichungen auf die Normalform 38
1.6.1.1 Definitionen 38
1.6.1.2 Systeme aus n algebraischen Gleichungen 39
1.6.1.3 Scheinbare Wurzeln 39
1.6.2 Gleichungen 1. bis 4. Grades 39
1 6.2.1 Gleichungen 1. Grades (lineare Gleichungen) . . 39
1.6.2.2 Gleichungen 2. Grades (quadratische Gleichungen) 40
1 6.2 3 Gleichungen 3. Grades (kubische Gleichungen) 40
1.6.2.4 Gleichungen 4. Grades 42
1 6.2.5 Gleichungen 5. und höheren Grades 43
1.6.3 Gleichungen n-ten Grades 43
1.6.3.1 Allgemeine Eigenschaften der algebraischen Gleichungen . . . . 43
1.6.3.2 Gleichungen mit reellen Koeffizienten 44
1.6 4 Rückführung transzendenter Gleichungen auf algebraische Gleichungen ... 45
1.6.4.1 Definition 45
1.6.4.2 Exponentialgleichungen 46
1.6.4.3 Logarithmische Gleichungen 46
1.6.4.4 Trigonometrische Gleichungen . 46
1.6 4 5 Gleichungen mit Hyperbelfunktionen ... ... 47
Funktionen und ihre Darstellung 48
2.1 Funktionsbegriff 48
2 1.1 Definition der Funktion . . . . 48
2.1.1.1 Funktion 48
2.1.1.2 Reelle Funktion 48
2 113 Funktion von mehreren Veränderlichen 48
2.1.1.4 Komplexe Funktion 48
2.1 1.5 Weitere Funktionen 48
2.1.1.6 Funktionale 48
2.1.1.7 Funktion und Abbildung 49
2.1.2 Methoden zur Definition einer reellen Funktion 49
2 1.2 1 Angabe einer Funktion . . 49
2.1.2.2 Analytische Darstellung reeller Funktionen 49
2 1.3 Einige Funktionstypen 50
2.1.3 1 Monotone Funktionen 50
2.1.3.2 Beschränkte Funktionen .... . . . t 51
2.1.3 3 Extremwerte von Funktionen 51
2.1.3.4 Gerade Funktionen 51
2.1.3.5 Ungerade Funktionen 51
2.1.3.6 Darstellung mit Hilfe gerader und ungerader Funktionen 52
2.1.3.7 Periodische Funktionen 52
2.1.3.8 Inverse oder Umkehrfunktionen 52
2.1.4 Grenzwert von Funktionen 53
2.1.4.1 Definition des Grenzwertes einer Funktion 53
2.1.4 2 Zurückführung auf den Grenzwert einer Folge ... 53
2.1.4.3 Konvergenzkriterium von Cauchy 53
2.1.4 4 Unendlicher Grenzwert einer Funktion 54
2.1.4.5 Linksseitiger und rechtsseitiger Grenzwert einer Funktion . ... 54
2 1.4.6 Grenzwert einer Funktion für x gegen unendlich 54
2.14.7 Sätze über Grenzwerte von Funktionen 55
2.1.4.8 Berechnung von Grenzwerten ... 55
Inhaltsverzeichnis
2.14.9 Größenordnung von Funktionen und Landau-Symbole 57
2.1.5 Stetigkeit einer Funktion .... . . 58
2.1.5.1 Stetigkeit und Unstetigkeitsstelle . 58
2.1.5.2 Definition der Stetigkeit 59
2 1 5.3 Häufig auftretende Arten von Unstetigkeiten 59
2.1.5.4 Stetigkeit und Unstetigkeitspunkte elementarer Funktionen . . 60
2 1.5.5 Eigenschaften stetiger Funktionen 61
2.2 Elementare Funktionen . . 62
2.2.1 Algebraische Funktionen 62
2 2.1.1 Ganzrationale Funktionen (Polynome) 62
2.2 1 2 Gebrochenrationale Funktionen 62
2.2.1.3 Irrationale Funktionen . 63
2.2.2 Transzendente Funktionen . . . . 63
2.2 2 1 Exponentialfunktionen . . . 63
2.2.2.2 Logarithmische Funktionen 63
2.2.2.3 Trigonometrische Funktionen 63
2 2 2.4 Inverse trigonometrische Funktionen 63
2.2.2.5 Hyperbelfunktionen 63
2 2.2.6 Inverse Hyperbelfunktionen 63
2 2.3 Zusammengesetzte Funktionen 63
2.3 Polynome . . . 64
2.3.1 Lineare Funktion ... . 64
2.3.2 Quadratisches Polynom 64
2.3 3 Polynom 3 Grades 64
2.3 4 Polynom n-ten Grades 65
2.3.5 Parabel n-ter Ordnung 66
2.4 Gebrochenrationale Funktionen 66
2 4.1 Spezielle gebrochen lineare Funktion 66
2.4.2 Gebrochenlineare Funktion . . . . . 66
2.4.3 Kurve 3. Ordnung, Typ I 67
2.4.4 Kurve 3. Ordnung, Typ II . . 67
2.4.5 Kurve 3. Ordnung, Typ III . 69
2.4.6 Reziproke Potenz 70
2.5 Irrationale Funktionen . 71
2.5.1 Quadratwurzel aus einem linearen Binom 71
2.5.2 Quadratwurzel aus einem quadratischen Polynom 71
2.5.3 Potenzfuntyion .... . . 71
2.6 Exponentialfunktionen und logarithmische Funktionen . 72
2.6.1 Exponentialfunktion 72
2.6.2 Logarithmische Funktionen 73
2.6.3 Gaußsche Glockenkurve .... ... . 73
2.6.4 Exponentialsumme 73
2.6.5 Verallgemeinerte Gaußsche Glockenkurve .... . . . .74
2.6.6 Produkt aus Potenz- und Exponentialfunktion 75
2.7 Trigonometrische Funktionen (Winkelfunktionen) 76
2.7.1 Grundlagen 76
2.7.1.1 Definition und Darstellung . . . . 76
2.7.1.2 Wertebereiche und Funktionsverläufe ... 78
2.7.2 Wichtige Formeln für trigonometrische Funktionen 80
2.7.2.1 Beziehungen zwischen den trigonometrischen Funktionen . 80
2.7.2.2 Trigonometrische Funktionen der Summe und der Differenz zweier
Winkel (Additionstheoreme) . . 80
Inhaltsverzeichnis IX
2.7.2.3 Trigonometrische Funktionen für Winkelvielfache 81
2.7.2 4 Trigonometrische Funktionen des halben Winkels .... . . . 82
2.7.2.5 Summen und Differenzen zweier trigonometrischer Funktionen . . 82
2.7.2.6 Produkte trigonometrischer Funktionen 82
2 7 2.7 Potenzen trigonometrischer Funktionen 83
2.7.3 Beschreibung von Schwingungen 83
2.7.3.1 Problemstellung 83
2.7.3.2 Superposition oder Überlagerung von Schwingungen 83
2.7.3.3 Vektordiagramm für Schwingungen 84
2.7.3.4 Dämpfung von Schwingungen 84
2 8 Zyklometrische Funktionen (Arkusfunktionen) 85
2.8.1 Definition der zyklometrischen Funktionen 85
2.8.2 Zurückführung auf die Hauptwerte 85
2.8.3 Beziehungen zwischen den Hauptwerten 86
2.8.4 Formeln für negative Argumente 87
2.8.5 Summe und Differenz von aresin x und aresin y 87
2.8.6 Summe und Differenz von arecos x und arecos y 87
2.8.7 Summe und Differenz von aretan x und aretan y 87
2.8.8 Spezielle Beziehungen für aresin x, arecos x, aretan x 88
2.9 Hyperbelfunktionen 88
2 9.1 Definition der Hyperbelfunktionen 88
2.9.2 Graphische Darstellung der Hyperbelfunktionen 89
2.9.2.1 Hyperbelsinus 89
2.9.2.2 Hyperbelkosinus 89
2.9.2.3 Hyperbeltangens 90
2.9.2.4 Hyperbelkotangens 90
2.9.3 Wichtige Formeln für Hyperbelfunktionen 90
2.9.3 1 Hyperbelfunktionen einer Variablen ... 90
2.9.3.2 Darstellung einer Hyperbelfunktion durch eine andere gleichen
Argumentes . . . 90
2.9.3.3 Formeln für negative Argumente 90
2.9.3.4 Hyperbelfunktionen der Summe und der Differenz zweier Argumente
(Additionstheoreme) 91
2.9.3.5 Hyperbelfunktionen des doppelten Arguments 91
2.9.3.6 Formel von Moivre für Hyperbelfunktionen . 91
2.9 3.7 Hyperbelfunktionen des halben Arguments 91
2.9.3.8 Summen und Differenzen von Hyperbelfunktionen 91
2 9.3.9 Zusammenhang zwischen den Hyperbel- und den trigonometrischen
Funktionen mit Hilfe komplexer Argumente 92
2 10 Areafunktionen 92
2 101 Definitionen . 92
2.10.1.1 Areasinus 92
2.10.1.2 Areakosinus . . . 92
2.10.1 3 Areatangens 93
2.10 1.4 Areakotangens 93
2.10 2 Darstellung der Areafunktionen durch den natürlichen Logarithmus 93
2.10.3 Beziehungen zwischen den verschiedenen Areafunktionen 94
2.10.4 Summen und Differenzen von Areafunktionen 94
2.10 5 Formeln für negative Argumente 94
2 11 Kurven dritter Ordnung 95
2.11.1 Semikubische Parabel ... . 95
2.11.2 Versiera der Agnesi . . 95
Inhaltsverzeichnis
2 11.3 Kartesisches Blatt . 96
2.11.4 Zissoide 96
2.11.5 Strophoide 96
2.12 Kurven vierter Ordnung . 97
2 12.1 Konchoide des Nikomedes 97
2 12 2 Allgemeine Konchoide ... 98
2 12.3 Pascalsche Schnecke 98
2 12 4 Kardioide . .... 99
2.12.5 Cassinische Kurven 100
2.12.6 Lemniskate ... .101
2.13 Zykloiden . . . . 101
2 13 1 Gewöhnliche Zykloide . . .... . . . 101
2.13.2 Verlängerte und verkürzte Zykloiden oder Trochoiden 102
2.13.3 Epizykloide 103
2 13.4 Hypozykloide und Astroide 104
2.13 5 Verlängerte und verkürzte Epizykloide und Hypozykloide 105
2 14 Spiralen 105
2 14 1 Archimedische Spirale . 105
2.14 2 Hyperbolische Spirale . . . . . . ... 106
2.14.3 Logarithmische Spirale 106
2.14.4 Evolvente des Kreises . . . ... 107
2 14.5 Klothoide . .107
2 15 Verschiedene andere Kurven 108
2 15.1 Kettenlinie oder Katenoide . . . ... . 108
2.15.2 Schleppkurve oder Traktrix 108
2 16 Aufstellung empirischer Kurven . 109
2 16 1 Verfahrensweise . . . . . 109
2.16.1.1 Kurvenbildervergleiche . . . 109
2.16.1.2 Rektifizierung . 109
2 161.3 Parameterbestimmung 109
2.16 2 Gebräuchlichste empirische Formeln ... .... .... 110
2.16.2.1 Potenzfunktionen 110
2 16 2 2 Exponentialfunktionen 110
2.16.2 3 Quadratisches Polynom . . 111
2 16.2.4 Gebrochenlineare Funktion 112
2 16.2.5 Quadratwurzel aus einem quadratischen Polynom . 112
2 16 2 6 Verallgemeinerte Gaußsche Glockenkurve 113
2.16 2 7 Kurve 3. Ordnung, Typ II 113
2 16 2.8 Kurve 3 Ordnung, Typ III . . 113
2.16 2.9 Kurve 3 Ordnung, Typ I 113
2.16.2.10 Produkt aus Potenz-und Exponentialfunktion ... . 114
2.16 2 11 Exponentialsumme . ... 114
2.16.2.12 Vollständig durchgerechnetes Beispiel ... 115
2.17 Skalen und Funktionspapiere 116
2.17.1 Skalen 116
2.17.2 Funktionspapiere 118
2 17.2.1 Einfach-logarithmisches Funktionspapier 118
2 17.2 2 Doppelt-logarithmisches Funktionspapier 118
2.17.2.3 Funktionspapier mit einer reziproken Skala . 118
2.17.2.4 Hinweis . . 119
2.18 Funktionen von mehreren Veränderlichen . . . . . 120
2 18 1 Definition und Darstellung . . . 120
Inhaltsverzeichnis XI
2.18.1.1 Darstellung von Funktionen mehrerer Veränderlicher 120
2.18.1.2 Geometrische Darstellung von Funktionen mehrerer Veränderlicher 120
2.18.2 Verschiedene ebene Definitionsbereiche 121
2.18.2.1 Definitionsbereich einer durch eine Menge gegebenen Funktion . . 121
2.18.2.2 Zweidimensionale Gebiete 121
2.18.2.3 Drei-und mehrdimensionale Gebiete 121
2.18.2.4 Methoden zur Definition einer Funktion 121
2.18.2.5 Formen der analytischen Darstellung einer Funktion 123
2.18.2.6 Abhängigkeit von Funktionen 124
2.18.3 Grenzwerte 125
2.18.3.1 Definition 125
2.18.3.2 Exakte Formulierung 125
2.18.3.3 Verallgemeinerung auf mehrere Veränderliche 125
2.18.3.4 Iterierte Grenzwerte 125
2 18.4 Stetigkeit 126
2.18.5 Eigenschaften stetiger Funktionen 126
2.18.5.1 Nullstellensatz von Bolzano 126
2.18.5.2 Zwischenwertsatz 126
2.18.5.3 Satz über die Beschränktheit einer Funktion 126
2.18.5.4 Satz von Weierstrass über die Existenz des größten und kleinsten
Funktionswertes 126
2.19 Nomographie 127
2.19.1 Nomogramme 127
2.19.2 Netztafeln 127
2.19.3 Fluchtlinientafeln 128
2.19.3.1 Fluchtlinientafeln mit drei geraden Skalen durch einen Punkt . . . 128
2.19.3.2 Fluchtlinientafeln mit zwei parallelen und einer dazu geneigten
geradlinigen Skala 129
2.19.3.3 Fluchtlinientafeln mit zwei parallelen, geradlinigen Skalen und einer
Kurvenskala 129
2.19.4 Netztafeln für mehr als drei Veränderliche 130
3 Geometrie 131
3.1 Planimetrie 131
3.1.1 Grundbegriffe 131
3.1.1.1 Punkt, Gerade, Strahl, Strecke 131
3.1.1.2 Winkel 131
3.113 Winkel an zwei sich schneidenden Geraden 132
3.1.1.4 Winkelpaare an geschnittenen Parallelen 132
3.1.1.5 Winkel im Gradmaß und im Bogenmaß 133
3.1.2 Geometrische Definition der Kreis-und Hyperbel-Funktionen 133
3.1.2.1 Definition der Kreis-oder trigonometrischen Funktionen 133
3.1.2.2 Geometrische Definition der Hyperbelfunktionen 134
3.1.3 Ebene Dreiecke 135
3.1.3.1 Aussagen zu ebenen Dreiecken 135
3.1.3.2 Symmetrie 136
3.1.4 Ebene Vierecke 138
3.1.4.1 Parallelogramm 138
3.1.4.2 Rechteck und Quadrat 138
3.1.4.3 Rhombus oder Raute 138
3.1.4.4 Trapez 138
3.1.4.5 Allgemeines Viereck 139
XII Inhaltsverzeichnis
3 1.4.6 Sehnenviereck 139
3 1.4.7 Tangentenviereck . 140
3 1.5 Ebene Vielecke oder Polygone 140
3.1.5.1 Allgemeines Vieleck 140
3 1 5.2 Regelmäßige konvexe Vielecke 140
3 1.5.3 Einige regelmäßige konvexe Vielecke .. 141
3 1.6 Ebene Kreisfiguren . ... ... 142
3 1.6 1 Kreis ... .142
3.1.6.2 Kreisabschnitt (Kreissegment) und Kreisausschnitt (Kreissektor) 144
3.1 6 3 Kreisring .... . . 144
3.2 Ebene Trigonometrie 145
3.2.1 Dreiecksberechnungen . 145
3.2.1.1 Berechnungen in rechtwinkligen ebenen Dreiecken . . . 145
3.2.1.2 Berechnungen in ebenen schiefwinkligen Dreiecken 145
3.2.2 Geodätische Anwendungen 148
3.2.2.1 Geodätische Koordinaten . . . . . 148
3.2.2.2 Winkel in der Geodäsie 149
3.2.2.3 Vermessungstechnische Anwendungen 151
3.3 Stereometrie . 154
3 3.1 Geraden und Ebenen im Raum 154
3.3.2 Kanten, Ecken, Raumwinkel 155
3.3.3 Polyeder 156
3 3.4 Körper, die durch gekrümmte Flächen begrenzt sind 159
3.4 Sphärische Trigonometrie 163
3 4 1 Grundbegriffe der Geometrie auf der Kugel 163
3.4.1.1 Kurven, Bogen und Winkel auf der Kugel 163
3.4.1.2 Spezielle Koordinatensysteme 165
3.4.1.3 Sphärisches Zweieck 166
3.4 1.4 Sphärisches Dreieck 166
3.4.1.5 Polardreieck 167
3.4 1.6 Eulersche und Nicht-Eulersche Dreiecke 168
3.4.1.7 Dreikant 168
3.4.2 Haupteigenschaften sphärischer Dreiecke . 168
3.4.2.1 Allgemeine Aussagen . . .... 168
3.4.2.2 Grundformeln und Anwendungen 169
3.4.2.3 Weitere Formeln 172
3 4 3 Berechnung sphärischer Dreiecke .... .... . 173
3.4.3.1 Grundaufgaben, Genauigkeitsbetrachtungen 173
3.4.3.2 Rechtwinklig sphärisches Dreieck 173
3.4.3.3 Schiefwinklig sphärisches Dreieck 175
3.4.3.4 Sphärische Kurven . ... 179
3 5 Vektoralgebra und analytische Geometrie ... . 185
3.5.1 Vektoralgebra ! 185
3.5.1 1 Definition des Vektors 185
3.5.1.2 Rechenregeln 186
3.5.1.3 Skalarprodukt und Vektorprodukt .... . . 188
3.5.1.4 Mehrfache multiplikative Verknüpfungen 190
3.5.1.5 Vektorielle Gleichungen 192
3.5 1.6 Kovariante und kontravariante Koordinaten eines Vektors . 193
3 5.17 Geometrische Anwendungen der Vektoralgebra .... . 194
3.5.2 Analytische Geometrie der Ebene 195
3.5 2.1 Ebene Koordinatensysteme . . 195
Inhaltsverzeichnis XIII
3.5.2.2 Koordinatentransformationen 196
3 5 2.3 Spezielle Punkte in der Ebene 197
3.5.2.4 Flächeninhalte 199
3.5.2.5 Gleichung einer Kurve 199
3.5.2.6 Gerade 199
3 5.2.7 Kreis 202
3528 Ellipse 204
3.5.2.9 Hyperbel 206
3.5.2.10 Parabel 208
3.5.2.11 Kurven 2. Ordnung (Kegelschnitte) 210
3.5 3 Analytische Geometrie des Raumes 213
3.5.3.1 Grundlagen, räumliche Koordinatensysteme ... . 213
3.5 3.2 Transformation rechtwinkliger Koordinaten 217
3.5.3.3 Teilung einer Strecke . . 219
3.5.3.4 System aus vier Punkten 219
3.5.3.5 Gleichung einer Fläche 219
3.5.3.6 Ebenen im Raum 220
3.5 3 7 Geraden im Raum 223
3.5.3.8 Schnittpunkte und Winkel von Ebenen und Geraden 225
3.5.3.9 Flächen 2. Ordnung, Gleichungen in Normalform 226
3.5.3.10 Flächen 2. Ordnung, allgemeine Theorie 230
3 6 Differentialgeometrie 232
3.6.1 Ebene Kurven 232
3.6.1.1 Definitionen ebener Kurven . . . 232
3.6.1.2 Lokale Elemente einer Kurve . . . . 232
3.6.1.3 Ausgezeichnete Kurvenpunkte und Asymptoten 238
3.6.1.4 Allgemeine Untersuchung einer Kurve nach ihrer Gleichung .... 243
3 6 15 Evoluten und Evolventen 244
3.6 1.6 Einhüllende von Kurvenscharen 244
3 6.2 Raumkurven 245
3.6.2.1 Definitionen für Raumkurven 245
3.6.2.2 Begleitendes Dreibein 246
3.6.2 3 Krümmung und Windung 248
3 6.3 Flächen 251
3.6.3.1 Definitionen für Flächen . . .... 251
3.6.3.2 Tangentialebene und Flächennormale 252
3 6 3 3 Linienelement auf einer Fläche 253
3.6.3.4 Krümmung einer Fläche 255
3.6.3.5 Regelflächen und abwickelbare Flächen 257
3.6.3.6 Geodätische Linien auf einer Fläche 258
Lineare Algebra 259
41 Matrizen 259
4.1.1 Begriff der Matrix 259
4.1.2 Quadratische Matrizen 260
4.1 3 Vektoren . . 261
4.1.4 Rechenoperationen mit Matrizen . . .... 262
4.1.5 Rechenregeln für Matrizen 265
4 1.6 Vektor- und Matrizennorm . . . . 266
4 16 1 Vektornormen 266
4.1.6.2 Matrizennormen 267
4.2 Determinanten 267
XIV Inhaltsverzeichnis
4.2.1 Definitionen 267
4.2.2 Rechenregeln für Determinanten 268
4 2.3 Berechnung von Determinanten 269
4.3 Tensoren 270
4.3.1 Transformation des Koordinatensystems 270
4.3.2 Tensoren in kartesischen Koordinaten 270
4.3.3 Tensoren mit speziellen Eigenschaften 272
4.3.3.1 Tensoren 2. Stufe 272
4.3 3.2 Invariante Tensoren 273
4.3.4 Tensoren in krummlinigen Koordinatensystemen 274
4.3.4.1 Kovariante und kontravariante Basisvektoren 274
4.3.4.2 Kovariante und kontravariante Koordinaten von Tensoren 1. Stufe 274
4.3.4 3 Kovariante, kontravariante und gemischte Koordinaten von Tensoren
2. Stufe 275
4.3.4.4 Rechenregeln 276
4.3.5 Pseudotensoren 277
4.3.5.1 Punktspiegelung am Koordinatenursprung 277
4.3.5.2 Einfuhrung des Begriffs Pseudotensor 278
4.4 Lineare Gleichungssysteme 279
4.4.1 Lineare Systeme, Austauschverfahren 279
4.4.1.1 Lineare Systeme 279
4.4.1.2 Austauschverfahren 279
4.41.3 Lineare Abhängigkeiten 280
4.4.1.4 Invertierung einer Matrix 280
4.4 2 Lösung linearer Gleichungssysteme 280
4.4.2.1 Definition und Lösbarkeit 280
4.4.2.2 Anwendung des Austauschverfahrens 282
4.4 2.3 Cramersche Regel 283
4.4.2.4 Gaußscher Algorithmus 284
4.4.3 Überbestimmte lineare Gleichungssysteme 285
4.4.3.1 Überbestimmte lineare Gleichungssysteme und lineare
Quadratmittelprobleme 285
4.4.3.2 Hinweise zur numerischen Lösung linearer Quadratmittelprobleme 286
4.5 Eigenwertaufgaben bei Matrizen 286
4.5.1 Allgemeines Eigenwertproblem 286
4.5 2 Spezielles Eigenwertproblem 286
4.5.2.1 Charakteristisches Polynom 286
4.5.2.2 Reelle symmetrische Matrizen, Ähnlichkeitstransformationen . . . 288
4.5.2.3 Hauptachsentransformation quadratischer Formen 289
4.5.2.4 Hinweise zur numerischen Bestimmung von Eigenwerten .... 291
4.5.3 Singulärwertzerlegung 293
5 Algebra und Diskrete Mathematik 295
5.1 Logik 295
5.1.1 Aussagenlogik 295
5 1.2 Ausdrücke der Prädikatenlogik 298
5.2 Mengenlehre 299
5.2.1 Mengenbegriff, spezielle Mengen 299
5 2.2 Operationen mit Mengen 301
5.2.3 Relationen und Abbildungen 303
5.2.4 Äquivalenz- und Ordnungsrelationen 306
5.2.5 Mächtigkeit von Mengen 307
Inhaltsverzeichnis XV
Klassische algebraische Strukturen 308
5.3.1 Operationen . 308
5.3.2 Halbgruppen 308
5 3.3 Gruppen 309
5.3.3.1 Definition und grundlegende Eigenschaften . . 309
5.3.3.2 Untergruppen und direkte Produkte 310
5 3.3 3 Abbildungen zwischen Gruppen .. 312
5.3.4 Darstellung von Gruppen . . 313
5.3.4.1 Definitionen 313
5.3.4.2 Spezielle Darstellungen .... 313
5.3.4.3 Direkte Summe von Darstellungen 314
5.3.4.4 Direktes Produkt von Darstellungen 315
5.3 4 5 Reduzible und irreduzible Darstellungen 315
5 3 4.6 Erstes Schursches Lemma 316
5 3.4.7 Clebsch-Gordan-Reihe 316
5.3.4.8 Irreduzible Darstellung der symmetrischen Gruppe Sm 316
5.3.5 Anwendungen von Gruppen . . 317
5 3 5.1 Symmetrieoperationen, Symmetrieelemente 317
5.3 5.2 Symmetriegruppen 317
5 3 5 3 Symmetrieoperationen bei Molekülen 318
5.3.5.4 Symmetriegruppen in der Kristallographie 320
5.3.5.5 Symmetriegruppen in der Quantenmechanik 322
5.3.5.6 Weitere Anwendungsbeispiele aus der Physik 322
5 3 6 Ringe und Körper . . . 323
5 3 6 1 Definitionen . . 323
5 3.6.2 Unterringe, Ideale 324
5 3 6 3 Homomorphismen, Isomorphismen, Homomorphiesatz 324
5 3.6 4 Endliche Körper und Schieberegister . 324
5 3.7 Vektorräume . 327
53 7 1 Definition 327
5.3.7 2 Lineare Abhängigkeit 327
5.3.7.3 Lineare Abbildungen ... 327
5.3 7.4 Unterräume, Dimensionsformel 328
5 3 7.5 Euklidische Vektorräume, Euklidische Norm 328
5 3.7.6 Lineare Operatoren in Vektorräumen 329
Elementare Zahlentheorie 330
5.4.1 Teilbarkeit 330
5.4.1.1 Teilbarkeit und elementare Teilbarkeitsregeln 330
5.4.1.2 Primzahlen 330
5.4 1.3 Teilbarkeitskriterien 332
5.4.1 4 Größter gemeinsamer Teiler und kleinstes gemeinsames Vielfaches 333
5 4 15 Fibonacci-Zahlen 334
5.4.2 Lineare Diophantische Gleichungen . 335
5.4.3 Kongruenzen und Restklassen 337
5.4.4 Sätze von Fermat, Euler und Wilson 341
5.4.5 Codierungen 341
5.4.5 1 Prufzeichenverfahren 342
5 4 5.2 Fehlerkorrigierende Codes . 343
Kryptologie . ... . . . . 346
5.5.1 Aufgabe der Kryptologie 346
5 5 2 Kryptosysteme 346
5.5.3 Mathematische Präzisierung 346
XVI Inhaltsverzeichnis
5.5.4 Sicherheit von Kryptosystemen 347
5.5.4.1 Methoden der klassischen Kryptologie 347
5.5.4.2 Affine Substitutionen 348
5.5.4.3 Vigenere-ChifTre 348
5.5.4.4 Matrixsubstitutionen 348
5.5.5 Methoden der klassischen Kryptoanalysis 349
5.5.5.1 Statistische Analyse 349
5.5.5.2 Kasiski-Priedman-Test 349
5.5.6 One-Time-Tape 350
5.5.7 Verfahren mit öffentlichem Schlüssel 350
5.5.7.1 Konzept von Diffie und Hellman 350
5.5.7.2 Einwegfunktionen 351
5 5.7.3 RSA-Verfahren 351
5 5.8 AES-Algorithmus (Advanced Encryption Standard) 352
5.5.9 IDEA-Algorithmus (International Data Encryption Algorithm) 352
5.6 Universelle Algebra 353
5.6.1 Definition 353
5.6.2 Kongruenzrelationen, Faktoralgebren 353
5.6.3 Homomorphismen 353
5.6.4 Homomorphiesatz 354
5.6.5 Varietäten 354
5.6.6 Termalgebren, freie Algebren 354
5.7 Boolesche Algebren und Schaltalgebra 355
5.7.1 Definition 355
5.7.2 Dualitätsprinzip 355
5.7.3 Endliche Boolesche Algebren 356
5.7.4 Boolesche Algebren als Ordnungen 356
5.7.5 Boolesche Funktionen, Boolesche Ausdrücke 356
5.7.6 Normalformen 358
5.7.7 Schaltalgebra 358
5.8 Algorithmen der Graphentheorie 361
5.8.1 Grundbegriffe und Bezeichnungen 361
5.8.2 Durchlaufungen von ungerichteten Graphen 364
5.8.2.1 Kantenfolgen 364
5.8.2.2 Eulersche Linien 365
5.8.2.3 Hamilton-Kreise 366
5.8.3 Bäume und Gerüste 367
5.8.3.1 Bäume 367
5.8.3.2 Gerüste 368
5.8.4 Matchings 369
5.8.5 Planare Graphen 370
5.8.6 Bahnen in gerichteten Graphen 371
5.8.7 Transportnetze 372
5.9 Fuzzy-Logik 374
5.9.1 Grundlagen der Fuzzy-Logik 374
5.9.1.1 Interpretation von Fuzzy-Mengen (Unscharfe Mengen) 374
5.9.1.2 Zugehörigkeitsfunktionen 375
5.9.1.3 Fuzzy-Mengen 377
5.9.2 Verknüpfungen unscharfer Mengen 378
5.9.2.1 Konzept für eine Verknüpfung (Aggregation) unscharfer Mengen . 379
5.9.2.2 Praktische Verknüpfungen unscharfer Mengen 379
5.9.2.3 Kompensatorische Operatoren 382
Inhaltsverzeichnis XVII
5.9 2.4 Erweiterungsprinzip 382
5 9 2.5 Unscharfe Komplementfunktion 382
5.9.3 Fuzzy-wertige Relationen 383
5.9.3.1 Fuzzy-Relationen 383
5.9.3.2 Fuzzy-Relationenprodukt Ro S 385
5.9.4 Fuzzy-Inferenz 386
5.9.5 Defuzzifizierungsmethoden . . . . 388
5.9.6 Wissensbasierte Fuzzy-Systeme . 389
5.9.6.1 Methode Mamdani ... 389
5.9.6.2 Methode Sugeno 389
5 963 Kognitive Systeme 390
5.9 6.4 Wissensbasiertes Interpolationssystem . . . 392
6 Differentialrechnung 394
6.1 Differentiation von Funktionen einer Veränderlichen . .... . . 394
6.1.1 Differentialquotient 394
6.1.2 Differentiationsregeln für Funktionen einer Veränderlicher 395
6 1.2.1 Ableitungen elementarer Funktionen 395
6.1.2.2 Grundregeln für das Differenzieren 395
6 13 Ableitungen höherer Ordnung .... 401
6 1.31 Definition der Ableitungen höherer Ordnung 401
6.1.3.2 Ableitungen höherer Ordnung der einfachsten Funktionen 401
6 13 3 Leibnizsche Regel 401
6 1 3.4 Höhere Ableitungen von Funktionen in Parameterdarstellung . . . 402
6.13.5 Ableitungen höherer Ordnung der inversen Funktion . ... 402
6 14 Hauptsätze der Differentialrechnung 403
6 1.4.1 Monotoniebedingungen 403
6 14 2 Satz von Fermat 403
6.1.4.3 Satz von Rolle 404
6.1.4.4 Mittelwertsatz der Differentialrechnung . . . . . ... 404
6 1 4.5 Satz von Taylor für Punktionen von einer Veränderlichen 405
6.1 4.6 Verallgemeinerter Mittelwertsatz der Differentialrechnung 405
6 15 Bestimmung von Extremwerten und Wendepunkten . . . . . 405
6 15 1 Maxima und Minima . . . . . . 405
6.1.5 2 Notwendige Bedingung für die Existenz eines relativen Extremwertes 406
6.1.5 3 Relative Extremwerte einer differenzierbaren, explizit gegebenen
Punktion y = f(x) . 406
6.1.5.4 Bestimmung der globalen Extremwerte 407
6.1.5.5 Bestimmung der Extremwerte einer implizit gegebenen Funktion 407
6 2 Differentiation von Punktionen von mehreren Veränderlichen 408
6.2 1 Partielle Ableitungen 408
6 2.1.1 Partielle Ableitung einer Funktion 408
6 2 1.2 Geometrische Bedeutung bei zwei Veränderlichen 408
6.2 1 3 Begriff des Differentials 408
6.2.1.4 Haupteigenschaften des Differentials 409
6.2.1.5 Partielles Differential 410
6 2.2 Vollständiges Differential und Differentiale höherer Ordnung 410
6.2 2 1 Begriff des vollständigen Differentials einer Funktion von mehreren
Veränderlichen (totales Differential) . .. .410
6 2 2.2 Ableitungen und Differentiale höherer Ordnungen 411
6.2.2.3 Satz von Taylor für Funktionen von mehreren Veränderlichen . . 412
6 2 3 Differentiationsregeln für Punktionen von mehreren Veränderlichen . . 413
XVIII Inhaltsverzeichnis
6.2.3.1 Differentiation von zusammengesetzten Funktionen 413
6.2.3.2 Differentiation impliziter Funktionen ... 413
6 2.4 Substitution von Variablen in Differentialausdrücken und
Koordinatentransformationen .... ... 415
6.2.4.1 Funktion von einer Veränderlichen 415
6 2.4 2 Funktion zweier Veränderlicher ... . 416
6.2.5 Extremwerte von Funktionen von mehreren Veränderlichen 417
6.2.5.1 Definition 417
6.2.5 2 Geometrische Bedeutung 417
6.2.5.3 Bestimmung der Extremwerte einer Funktion von zwei
Veränderlichen . . 418
6.2.5.4 Bestimmung der Extremwerte einer Funktion von n Veränderlichen 418
6.2.5.5 Lösung von Approximationsaufgaben 418
6.2.5.6 Bestimmung der Extremwerte unter Vorgabe von Nebenbedingungen 419
7 Unendliche Reihen 420
7.1 Zahlenfolgen 420
7 1.1 Eigenschaften von Zahlenfolgen . . . 420
7.1.1.1 Definition der Zahlenfolge .420
7.1.1.2 Monotone Zahlenfolgen 420
7.1.13 Beschränkte Folgen . . 420
7 1.2 Grenzwerte von Zahlenfolgen .... . . 421
7.2 Reihen mit konstanten Gliedern . 422
7.2.1 Allgemeine Konvergenzsätze ... . 422
7.2.11 Konvergenz und Divergenz unendlicher Reihen 422
7.2.1.2 Allgemeine Sätze über die Konvergenz von Reihen 423
7.2.2 Konvergenzkriterien für Reihen mit positiven Gliedern . 423
7 2 2.1 Vergleichskriterium 423
7 2.2.2 Quotientenkriterium von d'Alembert 424
7.2.2.3 Wurzelkriterium von Cauchy 424
7 2.2.4 Integralkriterium von Cauchy 425
7.2.3 Absolute und bedingte Konvergenz ... 425
7.2.3.1 Definition 425
7.2.3 2 Eigenschaften absolut konvergenter Reihen 426
7.2.3.3 Alternierende Reihen 426
7.2.4 Einige spezielle Reihen 427
7.2.4.1 Summenwerte einiger Reihen mit konstanten Gliedern 427
7.2.4.2 Bernoullische und Eulersche Zahlen .... . 428
7 2.5 Abschätzung des Reihenrestes . . . 429
7 2 5.1 Abschätzung mittels Majorante 429
7.2.5.2 Alternierende konvergente Reihen .... . 430
7.2.5 3 Spezielle Reihen . 430
7.3 Funktionenreihen . . 430
7.3.1 Definitionen . . . . . 430
7.3.2 Gleichmäßige Konvergenz . . . 431
7.3.2.1 Definition, Satz von Weierstrass . . 431
7.3.2.2 Eigenschaften gleichmäßig konvergenter Reihen 432
7.3.3 Potenzreihen . 432
7.3.3.1 Definition, Konvergenz 432
7.3.3.2 Rechnen mit Potenzreihen . . 433
7.3.3.3 Entwicklung in Taylor-Reihen, MacLaurinsche Reihe 434
7.3.4 Näherungsformeln . . 435
Inhaltsverzeichnis XIX
7 3 5 Asymptotische Potenzreihen 435
7.3.5.1 Asymptotische Gleichheit 435
7.3.5.2 Asymptotische Potenzreihen . 435
7 4 Fourier-Reihen 437
7 4 1 Trigonometrische Summe und Fourier-Reihe . 437
7.4.1.1 Grundbegriffe •. 437
7.4.1.2 Wichtigste Eigenschaften von Fourier-Reihen 438
7 4 2 Koeffizientenbestimmung für symmetrische Funktionen 439
7.4.2.1 Symmetrien verschiedener Art 439
7.4.2.2 Formen der Entwicklung in eine Fourier-Reihe .... 440
7.4.3 Koeffizientenbestimmung mit Hilfe numerischer Methoden 441
7.4 4 Fourier-Reihe und Fourier-Integral 441
7.4.5 Hinweise zur Tabelle einiger Fourier-Entwicklungen . . 442
Integralrechnung 444
8.1 Unbestimmtes Integral 444
8.1.1 Stammfunktion oder Integral 444
8.1.1.1 Unbestimmte Integrale 445
8 1 1.2 Integrale elementarer Funktionen 445
8.1.2 Integrationsregeln 445
8 1.3 Integration rationaler Funktionen .... 449
8.13.1 Integrale ganzrationaler Funktionen (Polynome) 449
8.1.3.2 Integrale gebrochenrationaler Funktionen 449
8 1 3.3 Vier Fälle bei der Partialbruchzerlegung 449
8.1.4 Integration irrationaler Funktionen 452
8.1.4.1 Substitution zur Rückführung auf Integrale rationaler Funktionen . 452
8.1.4.2 Integration binomischer Integranden 453
8.1.4.3 Elliptische Integrale 453
8.1.5 Integration trigonometrischer Funktionen . 455
8 1.5 1 Substitution 455
8 1 5.2 Vereinfachte Methoden 455
8 16 Integration weiterer transzendenter Funktionen 456
8.1.6.1 Integrale mit Exponentialfunktionen 456
8.1.6.2 Integrale mit Hyperbelfunktionen 456
8.1.6.3 Anwendung der partiellen Integration 457
8.16 4 Integrale transzendenter Funktionen 457
8.2 Bestimmte Integrale . . 457
8 2.1 Grundbegriffe, Regeln und Sätze . 457
8 2.11 Definition und Existenz des bestimmten Integrals . 457
8.2 1.2 Eigenschaften bestimmter Integrale 458
8 2.1.3 Weitere Sätze über Integrationsgrenzen 460
8.2.1.4 Berechnung bestimmter Integrale .... 462
8.2.2 Anwendungen bestimmter Integrale .... 464
8.2.2.1 Allgemeines Prinzip zur Anwendung des bestimmten Integrals . . . 464
8.2.2.2 Anwendungen in der Geometrie 465
8.2.2.3 Anwendungen in Mechanik und Physik 467
8.2.3 Uneigentliche Integrale, Stieltjes- und Lebesgue-Integrale 470
8.2.3.1 Verallgemeinerungen des Integralbegriffs . 470
8.2.3.2 Integrale mit unendlichen Integrationsgrenzen 471
8.2 3.3 Integrale mit unbeschränktem Integranden . 473
8.2.4 Parameterintegrale 476
8.2.4 1 Definition des Parameterintegrals 476
XX Inhaltsverzeichnis
8.2.4.2 Differentiation unter dem Integralzeichen 476
8.2.4.3 Integration unter dem Integralzeichen . . 476
8.2.5 Integration durch Reihenentwicklung, spezielle nichtelementare Funktionen . 477
8.3 Kurvenintegrale . . . 479
8 3 1 Kurvenintegrale 1. Art . 480
8.3.1.1 Definitionen .... . . 480
8.3.1.2 Existenzsatz . . .... 480
8.3.13 Berechnung des Kurvenintegrals 1. Art 481
8.3 1.4 Anwendungen des Kurvenintegrals 1. Art ... . 482
8.3.2 Kurvenintegrale 2. Art . 482
8.3.2.1 Definitionen 482
8.3.2 2 Existenzsatz . . 483
8.3.2.3 Berechnung der Kurvenintegrale 2. Art .... . 483
8.3.3 Kurvenintegrale allgemeiner Art 484
8.3.3.1 Definition 484
8 3.3 2 Eigenschaften des Kurvenintegrals allgemeiner Art . . 484
8.3.3.3 Umlaufintegral 485
8.3.4 Unabhängigkeit des Kurvenintegrals vom Integrationsweg 485
8 3 4.1 Zweidimensionaler Fall . . 485
8.3.4.2 Existenz der Stammfunktion ... . 486
8.3.4 3 Dreidimensionaler Fall . . . . . . 486
8.3 4.4 Berechnung der Stammfunktion . . . 486
8 4 Mehrfachintegrale ... 488
8.4.1 Doppelintegral .... 488
8.4.1.1 Begriff des Doppelintegrals 488
8.4.1.2 Berechnung des Doppelintegrals . . . 489
8 4.1.3 Anwendungen von Doppelintegralen . .... 491
8.4.2 Dreifachintegral .... . . 491
8.4.2 1 Begriff des Dreifachintegrals . 491
8.4.2.2 Berechnung des Dreifachintegrals 492
8.4 2.3 Anwendungen von Dreifachintegralen . . .... 496
8 5 Oberflächenintegrale 496
8.5.1 Oberflächenintegrale 1. Art . . ... 496
8 5.1.1 Begriff des Oberflächenintegrals 1 Art 496
8.5.1.2 Berechnung des Oberflächenintegrals 1. Art .... . . 498
8.5.1.3 Anwendungendes Oberflächenintegrals 1. Art . . 499
8.5.2 Oberflächenintegrale 2 Art 499
8.5.2 1 Begriff des Oberflächenintegrals 2 Art . ... 499
8.5 2.2 Berechnung des Oberflächenintegrals 2 Art 501
8.5 3 Oberflächenintegral allgemeiner Art .... . ... 502
8.5 3.1 Begriff des Oberflächenintegrals allgemeiner Art 502
8.5.3.2 Eigenschaften des Oberflächenintegrals . . . . 502
9 Differentialgleichungen 504
9.1 Gewöhnliche Differentialgleichungen ... . 504
9.1.1 Differentialgleichungen 1. Ordnung . . . . 505
9.1.1.1 Existenzsatz, Richtungsfeld . . 505
9.1 1 2 Wichtige Integrationsmethoden . . 506
9.1.1.3 Implizite Differentialgleichungen ... . 509
9.1.1.4 Singulare Integrale und singulare Punkte . . .... 510
9.1.1.5 Näherungsmethoden zur Integration von Differentialgleichungen
1 Ordnung . 513
Inhaltsverzeichnis XXI
9.1.2 Differentialgleichungen höherer Ordnung und Systeme von
Differentialgleichungen 515
9.1.2.1 Grundlegende Betrachtungen 515
9 12 2 Erniedrigung der Ordnung 516
9.1.2.3 Lineare Differentialgleichungen n-ter Ordnung 518
9.1.2.4 Lösung linearer Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten 520
9.1.2.5 Systeme linearer Differentialgleichungen mit konstanten
Koeffizienten 522
9.1.2.6 Lineare Differentialgleichungen 2. Ordnung 525
9.1.3 Randwertprobleme 532
9.1 3 1 Problemstellung 532
9.13.2 Haupteigenschaften der Eigenfunktionen und Eigenwerte . ... 533
9.13 3 Entwicklung nach Eigenfunktionen 534
9 13 4 Singulare Fälle 534
9 2 Partielle Differentialgleichungen 535
9.2.1 Partielle Differentialgleichungen 1. Ordnung 535
9 2 1.1 Lineare partielle Differentialgleichungen 1. Ordnung 535
9 2.1.2 Nichtlineare partielle Differentialgleichungen 1. Ordnung . . . . 537
9.2 2 Lineare partielle Differentialgleichungen 2. Ordnung 540
9.2.2.1 Klassifikation und Eigenschaften der Differentialgleichungen 2.
Ordnung mit zwei unabhängigen Veränderlichen 540
9.2.2.2 Klassifikation und Eigenschaften der Differentialgleichungen 2.
Ordnung mit mehr als zwei unabhängigen Veränderlichen 542
9.2.2.3 Integrationsmethoden für lineare partielle Differentialgleichungen
2. Ordnung 543
9 2.3 Partielle Differentialgleichungen aus Naturwissenschaft und Technik .... 554
9.2.3.1 Problemstellungen und Randbedingungen 554
9.2 3.2 Wellengleichung 555
9.2.3 3 Wärmeleitungs- und Diffusionsgleichung für ein homogenes Medium 556
9.2.3.4 Potentialgleichung 557
9 2 3 5 Schrödinger-Gleichung 557
9.2.4 Nichtlineare partielle Differentialgleichungen: Solitonen, periodische Muster
und Chaos 566
9.2.4.1 Physikalisch-mathematische Problemstellung 566
9 2.4.2 Korteweg-de-Vries-Gleichung 568
9.2.4 3 Nichtlineare Schrödinger-Gleichung 569
9 2.4.4 Sinus-Gordon-Gleichung 569
9.2.4.5 Weitere nichtlineare Evolutionsgleichungen mit Solitonlösungen . . 571
10 Variationsrechnung 572
10.1 Aufgabenstellung 572
10 2 Historische Aufgaben 573
10.2 1 Isoperimetrisches Problem 573
10.2.2 Brachistochronenproblem 573
10 3 Variationsaufgaben mit Funktionen einer Veränderlichen 574
10 3.1 Einfache Variationsaufgabe und Extremale 574
10.3 2 Eulersche Differentialgleichung der Variationsrechnung . 574
10 3 3 Variationsaufgaben mit Nebenbedingungen 576
10 3 4 Variationsaufgaben mit höheren Ableitungen 577
10.3.5 Variationsaufgaben mit mehreren gesuchten Funktionen 577
10 3.6 Variationsaufgaben in Parameterdarstellung 578
10 4 Variationsaufgaben mit Funktionen von mehreren Veränderlichen 579
XXII Inhaltsverzeichnis
10.4.1 Einfache Variationsaufgabe . . .... 579
10 4 2 Allgemeinere Variationsaufgaben 580
10.5 Numerische Lösung von Variationsaufgaben 580
10.6 Ergänzungen ... . . 582
10.6.1 Erste und zweite Variation 582
10.6 2 Anwendungen in der Physik . . 582
11 Lineare Integralgleichungen 583
11.1 Einführung und Klassifikation . 583
112 Predholmsche Integralgleichungen 2. Art 584
112 1 Integralgleichungen mit ausgearteten Kernen . 584
112.2 Methode der sukzessiven Approximation, Neumann-Reihe 587
112 3 Fredholmsche Lösungsmethode, Fredholmsche Sätze . . . 589
11.2.3.1 Fredholmsche Lösungsmethode ... . ... 589
112 3 2 Fredholmsche Sätze 591
11.24 Numerische Verfahren für Fredholmsche Integralgleichungen 2 Art . . 592
11.2.41 Approximation des Integrals 592
11.2.4 2 Kernapproximation 594
11.2.4.3 Kollokationsmethode . . . ... ... 596
113 Fredholmsche Integralgleichungen 1 Art 598
113 1 Integralgleichungen mit ausgearteten Kernen 598
11.3.2 Begriffe, analytische Grundlagen ... 599
11.3 3 Zurückführung der Integralgleichung auf ein lineares Gleichungssystem 600
11.3.4 Lösung der homogenen Integralgleichung 1. Art 602
11.3 5 Konstruktion zweier spezieller Orthonormalsysteme zu einem gegebenen Kern 603
11 3.6 Iteratives Verfahren 604
114 Volterrasche Integralgleichungen 605
11.41 Theoretische Grundlagen 605
11.4.2 Lösung durch Differentiation . . . . 606
11.4.3 Neumannsche Reihe zur Lösung der Volterraschen Integralgleichungen 2 Art 607
11.44 Volterrasche Integralgleichungen vom Faltungstyp 608
11.4.5 Numerische Behandlung Volterrascher Integralgleichungen 2. Art . . . 609
115 Singulare Integralgleichungen 611
11.5.1 Abelsche Integralgleichung 611
11.5.2 Singulare Integralgleichungen mit Cauchy-Kernen 612
11.5.2 1 Formulierung der Aufgabe 612
11.5.2.2 Existenz einer Lösung 613
11.5.2.3 Eigenschaften des Cauchy-Integrals . . 613
11 5.2.4 Hilbertsches Randwertproblem ... . . . 613
11.52.5 Lösung des Hilbertschen Randwertproblems .... 614
11.52.6 Lösung der charakteristischen Integralgleichung 614
12 Funktionalanalysis 616
12.1 Vektorräume . . . 616
12.1.1 Begriff des Vektorraumes 616
12 1.2 Lineare und affin-lineare Teilmengen .... 617
12.1.3 Linear unabhängige Elemente . ... 619
12 1.4 Konvexe Teilmengen und konvexe Hülle ... ... . . ..619
12.1 4 1 Konvexe Mengen 619
12.1.4 2 Kegel ... 620
12.1.5 Lineare Operatoren und Funktionale 620
12 1 5 1 Abbildungen . 620
Inhaltsverzeichnis XXIII
12.1.5.2 Homomorphismus und Endomorphismus . . 621
12.1.5.3 Isomorphe Vektorräume 621
12.1.6 Komplexifikation reeller Vektorräume 621
12 1.7 Geordnete Vektorräume . 621
12 1 7.1 Kegel und Halbordnung 621
12.1.7.2 Ordnungsbeschränkte Mengen 622
12.1.7.3 Positive Operatoren 623
12.1.7.4 Vektorverbände ' 623
12.2 Metrische Räume 624
12.2.1 Begriff des metrischen Raumes 624
12.2.1.1 Kugeln, Umgebungen und offene Mengen 626
12.2.1.2 Konvergenz von Folgen im metrischen Raum .... . 626
12 2.1.3 Abgeschlossene Mengen und Abschließung 627
12.2.1.4 Dichte Teilmengen und separable metrische Räume 627
12 2.2 Vollständige metrische Räume 628
12.2.2.1 Cauchy-Folge 628
12.2.2.2 Vollständiger metrischer Raum 628
12.2 2.3 Einige fundamentale Sätze in vollständigen metrischen Räumen . 628
12.2.2.4 Einige Anwendungen des Kontraktionsprinzips 629
12.2 2.5 Vervollständigung eines metrischen Raumes 631
12.2.3 Stetige Operatoren 631
12.3 Normierte Räume 631
12.3.1 Begriff des normierten Raumes 631
12.3.1.1 Axiome des normierten Raumes . 631
12.3.1.2 Einige Eigenschaften normierter Räume 632
12.3.2 Banach-Räume 632
12.3.2.1 Reihen in normierten Räumen 632
12.3.2.2 Beispiele von Banach-Räumen ... . 633
12.3.2.3 Sobolew-Räume 633
12 3.3 Geordnete normierte Räume 634
12.3.4 Normierte Algebren 634
12.4 Hilbert-Räume 635
12.4.1 Begriff des Hilbert-Raumes 635
12.4.1.1 Skalarprodukt 635
12.4.1.2 Unitäre Räume und einige ihrer Eigenschaften 635
12 4 1 3 Hilbert-Raum - 636
12 4.2 Orthogonalität 636
12 4.2.1 Eigenschaften der Orthogonalität 636
12.4.2.2 Orthogonale Systeme 637
12 4 3 Fourier-Reihen im Hilbert-Raum 638
12.4.3 1 Bestapproximation . . . . ... 638
12.4.3.2 Parsevalsche Gleichung, Satz von Riesz-Fischer 638
12.4.4 Existenz einer Basis. Isomorphe Hilbert-Räume ... 639
12.5 Stetige lineare Operatoren und Funktionale . . . 639
12.5.1 Beschränktheit, Norm und Stetigkeit linearer Operatoren 639
12.5.1.1 Beschränktheit und Norm linearer Operatoren 639
12.5.1.2 Raum linearer stetiger Operatoren 640
12 5.1.3 Konvergenz von Operatorenfolgen . 640
12 5.2 Lineare stetige Operatoren in Banach-Räumen . . 640
12.5.3 Elemente der Spektraltheorie linearer Operatoren 642
12.5.3 1 Resolventenmenge und Resolvente eines Operators .... ... 642
12.5.3.2 Spektrum eines Operators 643
XXIV Inhaltsverzeichnis
12.5.4 Stetige lineare Funktionale ... 643
12.5.4.1 Definition . 643
12.5.4.2 Stetige lineare Funktionale im Hilbert-Raum, Satz von Riesz . . 644
12.5.4.3 Stetige lineare Funktionale in Lp 644
12.5 5 Fortsetzung von linearen Funktionalen 645
12.5.6 Trennung konvexer Mengen . . . 645
12 5 7 Bidualer Raum und reflexive Räume 646
12 6 Adjungierte Operatoren in normierten Räumen 646
12.6.1 Adjungierter Operator zu einem beschränkten Operator 646
12.6.2 Adjungierter Operator zu einem unbeschränkten Operator . . . . 647
12.6.3 Selbst adjungierte Operatoren 648
12.6.3.1 Positiv definite Operatoren 648
12632 Projektoren im Hilbert-Raum . . 648
12.7 Kompakte Mengen und kompakte Operatoren ... .... ... 648
12 7 1 Kompakte Teilmengen in normierten Räumen 648
12.7.2 Kompakte Operatoren . . . . . 649
12.7 2 1 Begriff des kompakten Operators 649
12.7.2.2 Eigenschaften linearer kompakter Operatoren 649
12 7 2.3 Schwache Konvergenz von Elementen 649
12.7.3 Fredholmsche Alternative 650
12.7.4 Kompakte Operatoren im Hilbert-Raum . . . 650
12.7.5 Kompakte selbstadjungierte Operatoren 650
12.8 Nichtlineare Operatoren . 651
12 8.1 Beispiele nichtlinearer Operatoren ... 651
12.8.2 Differenzierbarkeit nichtlinearer Operatoren . 652
12.8.3 Newton-Verfahren . . . 652
12 8.4 Schaudersches Fixpunktprinzip .... . . 653
12.8.5 Leray-Schauder-Theorie . . . 654
12 8 6 Positive nichtlineare Operatoren 654
12.8.7 Monotone Operatoren in Banach-Räumen 655
12.9 Maß und Lebesgue-Integral . . . . .... ... 655
12,9 1 Sigma-Algebren und Maße . . .... . . . 655
12.9.2 Meßbare Funktionen 657
12.9.2.1 Meßbare Funktion . 657
12.9.2.2 Eigenschaften der Klasse der meßbaren Funktionen . . . 657
12 9.3 Integration . ... 657
12.9.3.1 Definition des Integrals . . 657
12.9 3 2 Einige Eigenschaften des Integrals 658
12.9.3.3 Konvergenzsätze 658
12.9.4 Lp-Räume 659
12 9.5 Distributionen 660
12.9.5.1 Formel der partiellen Integration . . . . 660
12.9.5 2 Verallgemeinerte Ableitung. . . 660
12.9.5 3 Distribution 661
12 9 5.4 Ableitung einer Distribution 661
13 Vektoranalysis und Feldtheorie 663
13.1 Grundbegriffe der Feldtheorie 663
13.1.1 Vektorfunktion einer skalaren Variablen 663
13 1.1.1 Definitionen . . 663
13.1 1.2 Ableitung einer Vektorfunktion 663
13 1.1.3 Differentiationsregeln für Vektoren 663
Inhaltsverzeichnis XXV
13 1 1 4 Taylor-Entwicklung für Vektorfunktionen 664
13.12 Skalarfelder 664
13.1.2.1 Skalares Feld oder skalare Punktfunktion 664
13.1.2.2 Wichtige Fälle skalarer Felder 664
13.1.2.3 Koordinatendarstellung von Skalarfeldern 665
13.1.2.4 Niveauflächen und Niveaulinien 665
13.1.3 Vektorfelder 665
13.1.3.1 Vektorielles Feld oder vektorielle Punktfunktion 665
13 1.3.2 Wichtige Fälle vektorieller Felder 666
13 1.3.3 Koordinatendarstellung von Vektorfeldern . 667
13.13.4 Übergang von einem Koordinatensystem zu einem anderen . . . 668
13.1.3.5 Feldlinien 669
13.2 Räumliche Differentialoperationen . .... 670
13.2 1 Richtungs- und Volumenableitung ... 670
13.2 1.1 Richtungsableitung eines skalaren Feldes 670
13.2.1.2 Richtungsableitung eines vektoriellen Feldes 670
13 2.1.3 Volumenableitung oder räumliche Ableitung 671
13.2.2 Gradient eines Skalarfeldes ... 671
13 2.2.1 Definition des Gradienten 671
13.2.2.2 Gradient und Richtungsableitung 672
13.2 2.3 Gradient und Volumenableitung 672
13 2 2.4 Weitere Eigenschaften des Gradienten 672
13.2.2.5 Gradient des Skalarfeldes in verschiedenen Koordinaten 672
13.2 2.6 Rechenregeln 673
13.2.3 Vektorgradient 673
13.2.4 Divergenz des Vektorfeldes 673
13.2.4 1 Definition der Divergenz . . 673
13.2.4 2 Divergenz in verschiedenen Koordinaten 674
13.2.4.3 Regeln zur Berechnung der Divergenz 674
13.2.4.4 Divergenz eines Zentralfeldes 674
13.2.5 Rotation des Vektorfeldes 675
13.2.5.1 Definitionen der Rotation 675
13.2.5.2 Rotation in verschiedenen Koordinaten . . . . 676
13.2.5.3 Regeln zur Berechnung der Rotation 676
13.2 5 4 Rotation des Potentialfeldes 677
13.2.6 Nablaoperator, Laplace-Operator 677
13.2.6.1 Nablaoperator 677
13.2.6.2 Rechenregeln für den Nablaoperator 677
13.2.6.3 Vektorgradient 678
13.2.6.4 Zweifache Anwendung des Nablaoperators 678
13 2.6.5 Laplace-Operator 678
13.2.7 Übersicht zu den räumlichen Differentialoperationen . 679
13.2.7.1 Prinzipielle Verknüpfungen und Ergebnisse für
Differentialoperatoren 679
13.2.7.2 Rechenregeln für Differentialoperatoren . . 679
13.2.7.3 Vektoranalytische Ausdrücke in kartesischen, Zylinder- und
Kugelkoordinaten 680
13 3 Integration in Vektorfeldern 681
13.3.1 Kurvenintegral und Potential im Vektorfeld 681
13.3.1 1 Kurvenintegral im Vektorfeld 681
13.3.1.2 Bedeutung des Kurvenintegrals in der Mechanik 682
13.3.13 Eigenschaften des Kurvenintegrals 682
XXVI Inhaltsverzeichnis
13 3.1.4 Kurvenintegral in kartesischen Koordinaten 683
13.3.15 Umlauf integral eines Vektorfeldes . 683
13 3.1 6 Konservatives oder Potentialfeld . . . 683
13 3.2 Oberflächenintegrale 684
13.3 2 1 Vektor eines ebenen Flächenstückes 684
13.3.2.2 Berechnung von Oberflächenintegralen . . ... . . 685
13 3 2.3 Oberflächenintegrale und Fluß von Feldern 685
13.3 2.4 Oberflächenintegrale in kartesischen Koordinaten als
Oberflächenintegrale 2 Art 686
13.3.3 Integralsätze 687
13 3.3 1 Integralsatz und Integralformel von Gauß . 687
13.3.3 2 Integralsatz von Stokes . . . 687
13 3.3 3 Integralsätze von Green . . 688
13.4 Berechnung von Feldern . 689
13.4.1 Reines Quellenfeld . 689
13.4 2 Reines Wirbelfeld oder quellenfreies Wirbelfeld . 689
13 4.3 Vektorfelder mit punktförmigen Quellen . 690
13.4.3 1 Coulomb-Feld der Punktladung 690
13 4 3.2 Gravitationsfeld der Punktmasse 690
13 4 4 Superposition von Feldern 690
13.4.4.1 Diskrete Quellenverteilung 690
13.4.4 2 Kontinuierliche Quellenverteilung . . . 691
13.4 4.3 Zusammenfassung .... 691
13.5 Differentialgleichungen der Feldtheorie .... 691
13 5.1 Laplacesche Differentialgleichung 691
13 5 2 Poissonsche Differentialgleichung . . . . 691
14 Funktionentheorie 693
14 1 Funktionen einer komplexen Veränderlichen . . . . 693
14.1.1 Stetigkeit, Differenzierbarkeit 693
14.1.1.1 Definition der komplexen Funktion . 693
14.1.1.2 Grenzwert der komplexen Funktion ... ... .... 693
14.1.13 Stetigkeit der komplexen Funktion . . . 693
14.11.4 Differenzierbarkeit der komplexen Funktion 693
14.1.2 Analytische Funktionen . 694
14.12.1 Definition der analytischen Funktion . . 694
14.12.2 Beispiele analytischer Funktionen . . . 694
14.12 3 Eigenschaften analytischer Funktionen 694
14.12.4 Singulare Punkte ... 695
14.1 3 Konforme Abbildung 696
14.1.3.1 Begriff und Eigenschaften der konformen Abbildung 696
14 1 3 2 Einfachste konforme Abbildungen 697
14.1.3.3 Schwarzsches Spiegelungsprinzip . . 703
14.1.3.4 Komplexe Potentiale . . 703
14.1.3 5 Superpositionsprinzip 705
14.1.3.6 Beliebige Abbildung der komplexen Zahlenebene ... . 706
14.2 Integration im Komplexen .... . . 707
14.2 1 Bestimmtes und unbestimmtes Integral 707
14.2 1 1 Definition des Integrals im Komplexen 707
14 2 1.2 Eigenschaften und Berechnung komplexer Integrale . . 708
14.2 2 Integralsatz von Cauchy, Hauptsatz der Funktionentheorie . .... 710
14 2.2.1 Integralsatz von Cauchy für einfach zusammenhängende Gebiete 710
Inhaltsverzeichnis XXVII
14.2.2 2 Integralsatz von Cauchy für mehrfach zusammenhängende Gebiete 710
14.2.3 Integralformeln von Cauchy 711
14.2.3.1 Analytische Funktion innerhalb eines Gebietes 711
14.2.3.2 Analytische Funktion außerhalb eines Gebietes 711
14.3 Potenzreihenentwicklung analytischer Funktionen 711
14.3.1 Konvergenz von Reihen mit komplexen Gliedern 711
14.3.1.1 Konvergenz einer Zahlenfolge mit komplexen Gliedern 711
14.3.1.2 Konvergenz einer unendlichen Reihe mit komplexen Gliedern . . . 712
14.3.1.3 Potenzreihen im Komplexen 712
14.3 2 Taylor-Reihe 713
14.3.3 Prinzip der analytischen Fortsetzung 714
14.3.4 Laurent-Entwicklung 714
14.3.5 Isolierte singulare Stellen und der Residuensatz 715
14.3.5.1 Isolierte singulare Stellen 715
14.3.5 2 Meromorphe Funktionen 715
14.3.5.3 Elliptische Funktionen 715
14.3.5.4 Residuum 716
14.3.5.5 Residuensatz 716
14.4 Berechnung reeller Integrale durch Integration im Komplexen 717
14.4.1 Anwendung der Cauchyschen Integralformeln 717
14.4.2 Anwendung des Residuensatzes 717
14.4.3 Anwendungen des Lemmas von Jordan 717
14.4.3.1 Lemma von Jordan 717
14.4.3.2 Beispiele zum Lemma von Jordan 718
14.5 Algebraische und elementare transzendente Funktionen 720
14.5.1 Algebraische Funktionen 720
14.5.2 Elementare transzendente Funktionen 720
14.5.3 Beschreibung von Kurven in komplexer Form 723
14.6 Elliptische Funktionen 724
14.6.1 Zusammenhang mit elliptischen Integralen 724
14.6.2 Jacobische Funktionen 726
14.6.3 Thetafunktionen 727
14.6.4 Weierstrasssche Funktionen 728
15 Integraltransformationen 730
15.1 Begriff der Integraltransformation 730
15.1.1 Allgemeine Definition der Integraltransformationen 730
15.1.2 Spezielle Integraltransformationen 730
15.1.3 Umkehrtransformationen 730
15.1.4 Linearität der Integraltransformationen 732
15.15 Integraltransformationen für Funktionen von mehreren Veränderlichen . . 732
15.1.6 Anwendungen der Integraltransformationen 732
15.2 Laplace-Transformation 733
15.2.1 Eigenschaften der Laplace-Transformation 733
15.2.1.1 Laplace-Transformierte, Original-und Bildbereich 733
15.2.1.2 Rechenregeln zur Laplace-Transformation 734
15.2.1.3 Bildfunktionen spezieller Funktionen 737
15.2.1.4 Diracsche Delta-Funktion und Distributionen 740
15.2.2 Rücktransformation in den Originalbereich 741
15.2.2.1 Rücktransformation mit Hilfe von Tabellen 741
15.2 2 2 Partialbruchzerlegung 741
15.2.2.3 Reihenentwicklungen 742
XXVIII Inhaltsverzeichnis
15.2 2.4 Umkehrintegral 743
15.2.3 Lösung von Differentialgleichungen mit Hilfe der Laplace-Transformation . 744
15.2.3.1 Gewöhnliche Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten 744
15.2 3.2 Gewöhnliche Differentialgleichungen mit veränderlichen
Koeffizienten 745
15 2.3.3 Partielle Differentialgleichungen . . 746
15 3 Fourier-Transformation 747
15.3.1 Eigenschaften der Fourier-Transformation 747
15.3 1.1 Fourier-Integral 747
15.3.12 Fourier-Transformation und Umkehrtransformation 748
15.3.1.3 Rechenregeln zur Fourier-Transformation 750
15.3.1.4 Bildfunktionen spezieller Funktionen 753
15.3.2 Lösung von Differentialgleichungen mit Hilfe der Fourier-Transformation . . 754
15.3 2 1 Gewöhnliche lineare Differentialgleichungen 754
15.3.2.2 Partielle Differentialgleichungen . . 755
15.4 Z-Transformation 757
15 4.1 Eigenschaften der Z-Transformation 757
15.4.1.1 Diskrete Funktionen 757
15.4.1.2 Definition der Z-Transformation 757
15.4.1.3 Rechenregeln 758
15 4.14 Zusammenhang mit der Laplace-Transformation . 759
15 4.1.5 Umkehrung der Z-Transformation 760
15.4.2 Anwendungen der Z-Transformation 761
15.4.2.1 Allgemeine Lösung linearer Differenzengleichungen 761
15.4.2.2 Differenzengleichung 2. Ordnung (Anfangswertaufgabe) 762
15.4.2 3 Differenzengleichung 2. Ordnung (Randwertaufgabe) 763
15.5 Wavelet-Transformation 763
15.5.1 Signale 763
15.5.2 Wavelets 764
15.5.3 Wavelet-Transformation 765
15.5 4 Diskrete Wavelet-Transformation . . 766
15.5.4.1 Schnelle Wavelet-Transformation 766
15.5.4.2 Diskrete Haar-Wavelet-Transformation 766
15 5.5 Gabor-Transformation 766
15.6 Walsh-Funktionen 767
15.6.1 Treppenfunktionen . 767
15.6 2 Walsh-Systeme 767
16 Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik 768
16.1 Kombinatorik 768
16 1.1 Permutationen 768
16.1 2 Kombinationen .... 768
16.1.3 Variationen 769
16.1.4 Zusammenstellung der Formeln der Kombinatorik 770
16.2 Wahrscheinlichkeitsrechnung 770
16 2 1 Ereignisse, Häufigkeiten und Wahrscheinlichkeiten . 770
16.2.1.1 Ereignisse 770
16.2.1.2 Häufigkeiten und Wahrscheinlichkeiten 771
16.2.1.3 Bedingte Wahrscheinlichkeiten, Satz von Bayes 773
16.2.2 Zufallsgrößen, Verteilungsfunktion 774
16.2.2.1 Zufallsveränderliche 774
16.2 2 2 Verteilungsfunktion 774
Inhaltsverzeichnis XXIX
16.2.2.3 Erwartungswert und Streuung, TschebyschefFsche Ungleichung . . 776
16.2.2.4 Mehrdimensionale Zufallsveränderliche ... 777
16.2.3 Diskrete Verteilungen 777
16 2.3.1 Binomialverteilung 778
16 2 3 2 Hypergeometrische Verteilung . . . 779
16 2.3 3 Poisson-Verteilung 780
16.2.4 Stetige Verteilungen 780
16.2.4.1 Normalverteilung 780
16 2 4.2 Normierte Nor mal Verteilung, Gaußsches Fehlerintegral 782
16.2 4 3 Logarithmische Normal Verteilung 782
16.2.4.4 Exponentialverteilung 783
16.2.4.5 Weibull-Verteilung 784
16.2 4.6 x2-Verteilung 785
16.2.4 7 Fisher-Verteilung 785
16 2 48 Student-Verteilung . . . 786
16.2.5 Gesetze der großen Zahlen, Grenzwertsätze 787
16.2.5.1 Gesetz der großen Zahlen von Bernoulli 787
16 2 5 2 Grenzwertsatz von Lindeberg-Levy . . 788
16.2.6 Stochastische Prozesse und stochastische Ketten 788
16 2.6.1 Grundbegriffe, Markoffsche Ketten .... 788
16.2.6.2 Poisson-Prozesse 791
16.3 Mathematische Statistik 793
16.3.1 Stichprobenfunktionen 793
16.3.1.1 Grundgesamtheit, Stichproben, Zufallsvektor . . . . . 793
16.3.1.2 Stichprobenfunktionen 794
16.3.2 Beschreibende Statistik . . . 795
16.3.2.1 Statistische Erfassung gegebener Meßwerte 795
16.3.2.2 Statistische Parameter 796
16.3.3 Wichtige Prüfverfahren 797
16.3.3.1 Prüfen auf Normalverteilung 797
16.3.3.2 Verteilung der Stichprobenmittelwerte 799
16 3 3.3 Vertrauensgrenzen für den Mittelwert 800
16.3.3.4 Vertrauensgrenzen für die Streuung . 801
16.3.3.5 Prinzip der Prüfverfahren 802
16.3.4 Korrelation und Regression 802
16 3 4 1 Lineare Korrelation bei zwei meßbaren Merkmalen 802
16 3.4.2 Lineare Regression bei zwei meßbaren Merkmalen 803
16.3.4.3 Mehrdimensionale Regression 804
16.3 5 Monte-Carlo-Methode 806
16.3.5.1 Simulation 806
16.3.5.2 Zufallszahlen 806
16.3.5 3 Beispiel für eine Monte-Carlo-Simulation 808
16.3.5.4 Anwendungen der Monte-Carlo-Methode in der numerischen
Mathematik 808
16.3.5.5 Weitere Anwendungen der Monte-Carlo-Methode 810
16 4 Theorie der Meßfehler 811
16.4 1 Meßfehler und ihre Verteilung 811
16 4 1.1 Meßfehlereinteilung nach qualitativen Merkmalen . . . . . 811
16.4.1.2 Meßfehlerverteilungsdichte 811
16.4 1.3 Meßfehlereinteilung nach quantitativen Merkmalen 813
16 4.1.4 Angabe von Meßergebnissen mit Fehlergrenzen . 816
16.4.1.5 Fehlerrechnung für direkte Messungen gleicher Genauigkeit . . 816
Inhaltsverzeichnis
16.4.1.6 Fehlerrechnung für direkte Messungen ungleicher Genauigkeit . . . 817
16.4.2 Fehlerfortpflanzung und Fehleranalyse 818
16.4.2.1 Gaußsches Fehlerfortpflanzungsgesetz 818
16.4.2.2 Fehleranalyse 819
17 Dynamische Systeme und Chaos 821
17.1 Gewöhnliche Differentialgleichungen und Abbildungen 821
17 1.1 Dynamische Systeme 821
17.1.1.1 Grundbegriffe 821
17.1.1.2 Invariante Mengen 823
17.1.2 Qualitative Theorie gewöhnlicher Differentialgleichungen 824
17.1.2.1 Existenz des Flusses und Phasenraumstruktur 824
17.1 2.2 Lineare Differentialgleichungen 825
17.1.2.3 Stabilitätstheorie 827
17.1.2.4 Invariante Mannigfaltigkeiten 830
17.1.2.5 Poincare-Abbildung 834
17.1.2.6 Topologische Äquivalenz von Differentialgleichungen 834
17.1.3 Zeitdiskrete dynamische Systeme 836
17.1.3.1 Ruhelagen, periodische Orbits und Grenzmengen 836
17.1.3.2 Invariante Mannigfaltigkeiten 836
17.1.3.3 Topologische Konjugiertheit von zeitdiskreten Systemen 837
17.1.4 Strukturelle Stabilität (Robustheit) 837
17 1.4.1 Strukturstabile Differentialgleichungen 837
17.1.4.2 Strukturstabile zeitdiskrete Systeme 838
17.1.4.3 Generische Eigenschaften 839
17 2 Quantitative Beschreibung von Attraktoren 840
17.2.1 Wahrscheinlichkeitsmaße auf Attraktoren 840
17.2.1.1 Invariantes Maß 840
17.2.1.2 Elemente der Ergodentheorie 841
17.2.2 Entropien 843
17.2.2.1 Topologische Entropie 843
17.2.2.2 Metrische Entropie 843
17.2.3 Lyapunov-Exponenten 844
17.2.4 Dimensionen 845
17.2.4.1 Metrische Dimensionen 845
17.2.4.2 Auf invariante Maße zurückgehende Dimensionen 848
17 2.4.3 Lokale Hausdorff-Dimension nach Douady-Oesterle 850
17.2.4.4 Beispiele von Attraktoren 850
17.2.5 Seltsame Attraktoren und Chaos 852
17.2.6 Chaos in eindimensionalen Abbildungen 852
17.2.7 Rekonstruktion der Dynamik aus Zeitreihen 853
17 2.7.1 Grundlagen, Rekonstruktionen mit generischen Eigenschaften . . . 853
17 2.7.2 Rekonstruktionen mit prävalenten Eigenschaften 854
17.3 Bifurkationstheorie und Wege zum Chaos 856
17.3.1 Bifurkationen in Morse-Smale-Systemen 856
17.3.1.1 Lokale Bifurkationen nahe Ruhelagen 856
17.3.1.2 Lokale Bifurkationen nahe einem periodischen Orbit 861
17.3.1.3 Globale Bifurkationen 864
17.3.2 Übergänge zum Chaos 865
17.3.2.1 Kaskade von Periodenverdopplungen 865
17.3.2.2 Intermittenz 865
17.3.2.3 Globale homokline Bifurkationen 866
Inhaltsverzeichnis XXXI
17 3.2.4 Auflösung eines Toms 868
18 Optimierung 873
18.1 Lineare Optimierung 873
18 1 1 Problemstellung und geometrische Darstellung 873
18.1.1.1 Formen der linearen Optimierung 873
18 1.1.2 Beispiele und graphische Lösungen . 874
18 1 2 Grundbegriffe der linearen Optimierung, Normalform 875
18 1 2 1 Ecke und Basis 875
18.12 2 Normalform der linearen Optimierungsaufgabe 877
18 1.3 Simplex verfahren . 878
18.1.3.1 Simplextableau 878
18.1.3.2 Übergang zum neuen Simplextableau 878
18.1.3.3 Bestimmung eines ersten Simplextableaus 880
18.1.3.4 Revidiertes Simplexverfahren 881
18 1 3.5 Dualität in der linearen Optimierung 882
18.14 Spezielle lineare Optimierungsprobleme 884
18 1.4.1 TVansportproblem.... . 884
18 1.4.2 Zuordnungsproblem . 886
18.1.4.3 Verteilungsproblem ¦ 887
18 1 4 4 Rundreiseproblem 887
18.14.5 Reihenfolgeproblem 887
18 2 Nichtlineare Optimierung 888
18 2.1 Problemstellung und theoretische Grundlagen . ... 888
18.2.1.1 Problemstellung 888
18 2 1.2 Optimalitätsbedingungen 888
18.2.1.3 Dualität in der Optimierung 889
18.2.2 Spezielle nichtlineare Optimierungsaufgaben . . '890
18.2.2 1 Konvexe Optimierung 890
18.2 2.2 Quadratische Optimierung . 890
18.2.3 Lösungsverfahren für quadratische Optimierungsaufgaben 891
18.2 3 1 Verfahren von Wolfe 891
18.2.3.2 Verfahren von Hildreth-d'Esopo 893
18 2 4 Numerische Suchverfahren . .... ... 893
18.2 4 1 Eindimensionale Suche 894
18 2.4.2 Minimumsuche im n-dimensionalen euklidischen Vektorraum . . . 894
18 2 5 Verfahren für unrestringierte Aufgaben . 895
18 2 5 1 Verfahren des steilsten Abstieges (Gradientenverfahren) 895
18.2 5 2 Anwendung des Newton-Verfahrens 895
18 2.5.3 Verfahren der konjugierten Gradienten 896
18.2.5 4 Verfahren von Davidon, Fletcher und Powell (DFP) 896
18.2.6 Evolutionsstrategien . . . 897
18.2.6.1 Mutations-Selektions-Strategie 897
18.2.6.2 Strategien mit Rekombination . . 897
18.2 7 Gradientenverfahren für Probleme mit Ungleichungsrestriktionen . . . . 898
18.2.7 1 Verfahren der zulässigen Richtungen 898
18.2.7.2 Verfahren der projizierten Gradienten . . . 900
18.2 8 Straf-und Barriereverfahren . . 902
18 2.8.1 Strafverfahren 902
18282 Barriereverfahren 903
18 2.9 Schnittebenenverfahren 904
18 3 Diskrete dynamische Optimierung 905
XXXII Inhaltsverzeichnis
18.3.1 Diskrete dynamische Entscheidungsmodelle 905
18 3.1.1 n-stufige EntScheidungsprozesse 905
18.3.1.2 Dynamische Optimierungsprobleme 905
18.3.2 Beispiele diskreter Entscheidungsmodelle . . 905
18.3.2.1 Einkaufsproblem 905
18.3.2.2 Rucksackproblem 906
18.3.3 Bellmansche Funktionalgleichungen 906
18.3.3.1 Eigenschaften der Kostenfunktion 906
18.3.3.2 Formulierung der Funktionalgleichungen . 907
18.3.4 Bellmansches Optimalitätsprinzip . . 907
18.3.5 Bellmansche Funktionalgleichungsmethode 908
18.3.5.1 Bestimmung der minimalen Kosten 908
18.3.5.2 Bestimmung der optimalen Politik . 908
18.3.6 Beispiele zur Anwendung der Funktionalgleichungsmethode 909
18.3.6.1 Optimale Einkaufspolitik 909
18.3.6.2 Rucksackproblem 909
19 Numerische Mathematik 911
19.1 Numerische Lösung nichtlinearer Gleichungen mit einer Unbekannten 911
19.1.1 Iterationsverfahren 911
19.1.1.1 Gewöhnliches Iterationsverfahren 911
19.1 1.2 Newton-Verfahren 912
19.1 1.3 Regula falsi 913
19.1.2 Lösung von Polynomgleichungen 914
19.1.2.1 Horner-Schema 914
19.1.2.2 Lage der Nullstellen . . 915
19.1.2.3 Numerische Verfahren 916
19.2 Numerische Lösung von Gleichungssystemen 917
19.2.1 Lineare Gleichungssysteme . . 917
19.2.1.1 Dreieckszerlegung einer Matrix 918
19.2.1.2 Cholesky-Verfahren bei symmetrischer Koeffizientenmatrix . . 920
19.2.1.3 Orthogonalisierungsverfahren 920
19.2.14 Iteration in Gesamt-und Einzelschritten 922
19.2.2 Nichtlineare Gleichungssysteme 923
19.2.2.1 Gewöhnliches Iterationsverfahren 923
19.2.2.2 Newton-Verfahren 924
19.2.2.3 Ableitungsfreies Gauß-Newton-Verfahren 924
19.3 Numerische Integration 925
19.3.1 Allgemeine Quadraturformel 925
19.3.2 Interpolationsquadraturen 926
19.3.2.1 Rechteckformel 926
19.3.2.2 Trapezformel 926
19.3.2.3 Hermitesche Trapezformel 927
19.3.2.4 Simpson-Formel 927
• 19.3.3 Quadraturformeln vom Gauß-Typ 927
19.3.3.1 Gaußsche Quadraturformeln 927
19.3.3.2 Lobattosche Quadraturformeln 928
19.3.4 Verfahren von Romberg 928
19.3.4.1 Algorithmus des Romberg-Verfahrens 928
19.3.4.2 Extrapolationsprinzip 929
19.4 Genäherte Integration von gewöhnlichen Differentialgleichungen 931
19.4.1 Anfangswertaufgaben 931
Inhaltsverzeichnis XXXIII
19.4.1.1 Eulersches Polygonzugverfahren . 931
19.4.1.2 Runge-Kutta-Verfahren 931
19.4 1 3 Mehrschrittverfahren 932
19.4.1.4 Prediktor-Korrektor-Verfahren ... 933
19.4.1.5 Konvergenz, Konsistenz, Stabilität . . 934
19 4 2 Randwertaufgaben 935
19.4.2.1 Differenzenverfahren . 935
19 4.2.2 Ansatzverfahren 936
19 4.2.3 Schießverfahren 937
19.5 Genäherte Integration von partiellen Differentialgleichungen .... . . 938
19.5 1 Differenzenverfahren ... 938
19.5.2 Ansatzverfahren . . 939
19.5.3 Methode der finiten Elemente (FEM) . 940
19 6 Approximation, Ausgleichsrechnung, Harmonische Analyse 945
19 6 1 Polynominterpolation . . 945
19.6.1 1 Newtonsche Interpolationsformel 945
19.6.1.2 Interpolationsformel nach Lagrange 945
19 6 1.3 Interpolation nach Aitken-Neville 946
19.6.2 Approximation im Mittel 947
19.6.2.1 Stetige Aufgabe, Normalgleichungen . ... 947
19 6 2 2 Diskrete Aufgabe, Normalgleichungen, Householder-Verfahren . . 948
19.6.2.3 Mehrdimensionale Aufgaben 949
19 6.2.4 Nichtlineare Quadratmittelaufgaben 950
19.6.3 Tschebyscheff-Approximation . 951
19.6.3.1 Aufgabenstellung und Alternantensatz 951
19.6.3 2 Eigenschaften der Tschebyscheff-Polynome 951
19.6.3.3 Remes-Algorithmus . 953
19 6 3 4 Diskrete Tschebyscheff-Approximation und Optimierung . . . 953
19.6.4 Harmonische Analyse 954
19.6.4.1 Formeln zur trigonometrischen Interpolation 954
19.6 4.2 Schnelle Fourier-Transformation (FFT) 955
19 7 Darstellung von Kurven und Flächen mit Hilfe von Splines . 959
19.7.1 Kubische Splines 959
19.7.1.1 Interpolationssplines . 959
19.7.1.2 Ausgleichssplines . . 960
19 7.2 Bikubische Splines 961
19 7.2.1 Anwendung bikubischer Splines . 961
19 7.2.2 Bikubische Interpolationssplines . 961
19 7.2.3 Bikubische Ausgleichssplines 962
19.7.3 Bernstein-Bezier-Darstellung von Kurven und Flächen 962
19.73.1 Prinzip der B-B-Kurvendarstellung . ... 963
19 7.3 2 B-B-Flächendarstellung 964
19.8 Nutzung von Computern .... . 965
19.8 1 Interne Zeichendarstellung . ... 965
19.8.1.1 Zahlensysteme . ... 965
19.8.1.2 Interne Zahlendarstellung . 966
19.8.2 Numerische Probleme beim Rechnen auf Computern 968
19.8.2 1 Einführung, Fehlerarten 968
19 8 2 2 Normalisierte Dezimalzahlen und Rundung .... 968
19.8.2.3 Genauigkeitsfragen beim numerischen Rechnen 970
19.8 3 Bibliotheken numerischer Verfahren . . . 973
19.8.3.1 NAG-Bibliothek 974
XXXIV Inhaltsverzeichnis
19.8.3.2 IMSL-Bibliothek 974
19.8.3.3 Aachener Bibliothek 975
19.8.4 Anwendung von Computeralgebrasystemen 975
19.8.4 1 Mathematica .975
19.8.4 2 Maple 979
20 Computeralgebrasysteme 982
20.1 Einführung k 982
20 1 1 Kurzcharakteristik von Computeralgebrasystemen . . . . . 982
20.1.2 Einführende Beispiele für die Hauptanwendungsgebiete 983
20.1.2.1 Formelmanipulation 983
20.1.2.2 Numerische Berechnungen ... 983
20 1.2 3 Graphische Darstellungen . 984
20.1.2.4 Programmierung in Computeralgebrasystemen 984
20.13 Aufbau von und Umgang mit Computeralgebrasystemen ... . . 984
20.1 3.1 Hauptstrukturelemente 984
20.2 Mathematica 986
20.2.1 Haupstrukturelemente . . 986
20.2.2 Zahlenarten in Mathematica . . . . 987
20.2.2.1 Grundtypen von Zahlen in Mathematica 987
20.2.2.2 Spezielle Zahlen 987
20.2.2.3 Darstellung und Konvertierung von Zahlen 988
20.2 3 Wichtige Operatoren 988
20.2.4 Listen 989
20.2.4 1 Begriff und Bedeutung * 989
20.2.4.2 Verschachtelte Listen 990
20.2.4.3 Operationen mit Listen 990
20.2.4.4 Spezielle Listen 990
20.2.5 Vektoren und Matrizen als Listen 991
20.2 5.1 Aufstellung geeigneter Listen 991
20.2.5.2 Operationen mit Matrizen und Vektoren 991
20.2.6 Funktionen 993
20.2.6.1 Standardfunktionen 993
20.2.6.2 Spezielle Funktionen 993
20.2.6.3 Reine Funktionen 993
20.2 7 Muster 993
20.2.8 Funktionaloperationen 994
20.2.9 Programmierung 995
20.2.10 Ergänzungen zur Syntax, Informationen, Meldungen 996
20.2.10.1 Kontexte, Attribute 996
20.2.10.2 Informationen 997
20 2 10 3 Meldungen . 997
20 3 Maple 998
20.3.1 Hauptstrukturelemente . . . 998
20.3.1 1 Typen und Objekte 998
20.3.1.2 Eingaben und Ausgaben 999
20 3.2 Zahlenarten in Maple 1000
20.3.2.1 Grundtypen von Zahlen in Maple 1000
20.3.2.2 Spezielle Zahlen 1000
20.3 2.3 Darstellung und Konvertierung von Zahlen 1000
20.3.3 Wichtige Operatoren in Maple 1001
20.3.4 Algebraische Ausdrücke . . . .1001
Inhaltsverzeichnis XXXV
20.3.5 Folgen und Listen ... 1002
20 3.6 Tabellen- und feldartige Strukturen, Vektoren und Matrizen ... ... 1003
20 3 6 1 Tabellen- und feldartige Strukturen 1003
20.3.6.2 Eindimensionale Arrays 1004
20 3 6 3 Zweidimensionale Arrays .... . 1004
20 3 6.4 Spezielle Anweisungen zu Vektoren und Matrizen 1005
20.3 7 Prozeduren, Funktionen und Operatoren .... . . . . . 1005
203 7 1 Prozeduren 1005
20.3.7.2 Funktionen . . 1006
20 3.7.3 Funktionaloperatoren ... 1007
20.3.7.4 Differentialoperatoren 1007
20 3 7.5 Der Funktionaloperator map 1007
20 3.8 Programmierung in Maple 1008
20.3.9 Ergänzungen zur Syntax, Informationen und Hilfe ... 1008
20 3 9.1 Nutzung der Maple-Bibliothek 1008
20 3 9.2 Umgebungsvariable 1009
20 3.9 3 Informationen und Hilfe 1009
20.4 Anwendungen von Computeralgebrasystemen 1010
20.4 1 Manipulation algebraischer Ausdrücke .. ...1010
20 4.1 1 Mathematica 1010
20 4 1.2 Maple 1012
20.4.2 Lösung von Gleichungen und Gleichungssystemen . . 1015
20 4 2 1 Mathematica 1015
20.4 2 2 Maple 1017
20 4.3 Elemente der linearen Algebra 1019
20 4 3.1 Mathematica 1019
20 4.3.2 Maple 1021
20 4.4 Differential- und Integralrechnung . ... 1023
20.4.4.1 Mathematica 1023
20 4 4.2 Maple 1027
20 5 Graphik in Computer algebrasystemen . 1030
20 5 1 Graphik mit Mathematica 1030
20.5.1.1 Grundlagen des Graphikaufbaus 1030
20.5.1.2 Graphik-Primitive 1030
20.5.1.3 Graphikoptionen 1031
20 5 1 4 Syntax der Graphikdarstellung 1031
20.5.1.5 Zweidimensionale Kurven .... 1033
20.5 1.6 Parameterdarstellung von Kurven 1034
20 5 1.7 Darstellung von Flächen und Raumkurven . 1035
20 5 2 Graphik mit Maple . 1037
20 5 2.1 Zweidimensionale Graphik . . . . . . 1037
20.5.2 2 Dreidimensionale Graphik 1039
21 Tabellen 1041
21 1 Häufig gebrauchte Konstanten . 1041
21 2 Fundamentale physikalische Konstanten 1041
21 3 Dezimalvorsätze _ . 1043
21 4 Physikalische Einheiten im SI-System 1043
21.5 Wichtige Reihenentwicklungen .... 1045
21 6 Fourier-Entwicklungen . . 1050
21.7 Unbestimmte Integrale . . 1053
21.7.1 Integrale rationaler Funktionen 1053
XXXVI Inhaltsverzeichnis
21.7.1.1 Integrale mit X = ax + b 1053
21.7.12 Integrale mit X = ax2 + bx + c 1055
21.7.1.3 Integrale mit X = a2 ± x2 1056
217.1.4 Integrale mit X = a3 dt x3 1058
21.7.15 Integrale mit X = a4 + x4 1059
21.7 16 Integrale mit X = a4 - x4 1059
21.7.1.7 Einige Fälle der Partialbruchzerlegung 1059
21.72 Integrale irrationaler Funktionen . . . . 1060
21.7.2.1 Integrale mit y/x und a2 ± b2x . 1060
21.7.2.2 Andere Integrale mit y/x . . 1060
217 2 3 Integrale mit Vax + b . 1060
21.7 2.4 Integrale mit Vax + b und y/Jx + g .... . . 1062
21.7 2.5 Integrale mit y/a2 - x2 . . . . 1063
21.7.2 6 Integrale mit y/x2 + a2 . . 1064
21 7 2.7 Integrale mit y/x2 - a2 . 1066
21.7 2.8 Integrale mit \Jax2 + bx + c . . . 1068
21.7.2.9 Integrale mit anderen irrationalen Ausdrücken 1070
21.7.2 10 Rekursionsformeln für Integral mit binomischem Differential . . 1070
21.7.3 Integrale trigonometrischer Funktionen . 1070
217.3.1 Integrale mit Sinusfunktion 1070
21.7.3 2 Integrale mit Kosinusfunktion 1073
217 3 3 Integrale mit Sinus- und Kosinusfunktion 1075
21 7.3.4 Integrale mit Tangensfunktion . . . 1079
21 7 3.5 Integrale mit Kotangensfunktion . . . 1079
21.7.4 Integrale anderer transzendenter Funktionen 1080
21.7.4.1 Integrale mit Hyperbelfunktionen . 1080
21.7.4.2 Integrale mit Exponentialfunktionen ... . . 1081
21 7 4.3 Integrale mit logarithmischen Funktionen . 1082
21.7.4.4 Integrale mit inversen trigonometrischen Funktionen 1084
21.7.4 5 Integrale mit inversen Hyperbelfunktion 1085
21 8 Bestimmte Integrale . . 1086
21.8 1 Bestimmte Integrale trigonometrischer Funktionen 1086
21.8 2 Bestimmte Integrale von Exponentialfunktionen 1087
21.8.3 Bestimmte Integrale logarithmischer Funktionen 1088
21.8.4 Bestimmte Integrale algebraischer Funktionen 1089
21.9 Elliptische Integrale 1091
219.0.1 Elliptische Integrale 1. Gattung 1091
21.9 0.2 Elliptische Integrale 2. Gattung 1091
21.9.0 3 Vollständige elliptische Integrale K und E 1092
21.10 Gammafunktion 1093
21.11 Bessel-Funktionen (Zylinderfunktionen) 1094
21.12 Legendresche Polynome 1 Art (Kugelfunktionen) 1096
21.13 Laplace-Transformationen 1097
21 14 Fourier-Transformationen 1103
21.14.1 Fourier-Kosinus-Transformationen 1103
21.14.2 Fourier-Sinus-Transformationen .... 1109
21.14.3 Fourier-Transformationen . . . . . 1114
21.14.4 Exponentielle Fourier-Transformationen 1116
21 15 ^-Transformationen 1117
21.16 Poisson-Verteilung 1120
21 17 Normierte Normalverteilung .... 1122
Inhaltsverzeichnis XXXVII
21.17.1 Normierte Normalverteilung für 0 00 <x< 1.99 1122
21 18 x2-Verteilung 1124
21.19 Fishersche F-Verteilung 1125
2120 Studentsche £-Verteilung 1127
21.21 Zufallszahlen . 1128
22 Literatur 1129
Stichwortverzeichnis 1145
Mathematische Zeichen 1194
Tabellenverzeichnis XXXIX
Tabellenverzeichnis
1 1 Definition der Potenzen . 8
1 2 Lösung kubischer Gleichungen mit Hilfsgrößen 42
2 1 Definitions- und Wertebereich der trigonometrischen Funktionen . 78
2.2 Vorzeichen der trigonometrischen Funktionen . 79
2 3 Spezielle Werte der trigonometrischen Funktionen 79
2.4 Reduktionsformeln oder Quadrantenrelationen der trigonometrischen Funktionen . 79
2.5 Beziehungen zwischen den trigonometrischen Funktionen gleichen Arguments im
Intervall 0 < ex < tt/2 . . 81
2 6 Definitions- und Wertebereiche der zyklometrischen Funktionen .... . . 86
2 7 Beziehungen zwischen den Hyperbelfunktionen gleichen Arguments für x > 0 ... 91
2.8 Definitions- und Wertebereiche der Areafunktionen ... ... . .... 93
3.1 Winkelbezeichnungen im Grad-und im Bogenmaß 132
3 2 Eigenschaften einiger regelmäßiger Vielecke . . . 142
3.3 Bestimmungsgrößen ebener rechtwinkliger Dreiecke 145
3 4 Bestimmungsgrößen ebener schiefwinkliger Dreiecke, Grundaufgaben 147
3 5 Umrechnung zwischen Grad und Gon ... . . . 149
3 6 Richtungswinkel bei vorzeichentreuer Streckeneingabe über arctan 149
3 7 Elemente der regulären Polyeder mit der Kantenlänge a 158
3 8 Bestimmungsgrößen sphärischer rechtwinkliger Dreiecke 174
3.9 Grundaufgaben 1 und 2 für sphärische schiefwinklige Dreiecke 175
3.10 Grundaufgabe 3 für sphärische schiefwinklige Dreiecke 175
3.11 Grundaufgabe 4 für sphärische schiefwinklige Dreiecke 177
3.12 Grundaufgaben 5 und 6 für sphärische schiefwinklige Dreiecke 178
3.13 Skalare Multiplikation von Grundvektoren 191
3.14 Vektorielle Multiplikation von Grundvektoren 191
3 15 Skalare Multiplikation von reziproken Grundvektoren . 192
3 16 Vektorielle Multiplikation von reziproken Grund vektoren 192
3 17 Vektorielle Gleichungen 193
3.18 Geometrische Anwendungen der Vektoralgebra .... 194
3 19 Kurvengleichungen 2 Ordnung mit 8 ^ 0 (Mittelpunktskurven) 211
3 20 Kurvengleichungen 2. Ordnung mit 8 = 0 (Parabolische Kurven) 212
3 21 Koordinatenvorzeichen in den Oktanten 214
3 22 Zusammenhang zwischen kartesischen, Kreiszylinder und Kugelkoordinaten ... 216
3.23 Bezeichnungen der Richtungskosinus bei Koordinatentransformation 217
3.24 Gestalt der Flächen 2. Ordnung mit 6 ^ 0 (Mittelpunktsflächen) 230
3 25 Gestalt der Flächen 2. Ordnung mit 8 = 0 (Paraboloide, Zylinder und Ebenenpaare) 230
3 26 Tangenten- und Normalengleichungen 234
3 27 Vektor- und Koordinatengleichungen von Raumkurvengrößen 248
3 28 Vektor- und Koordinatengleichungen von Raumkurvengrößen als Funktion der
Bogenlänge . 248
3 29 Gleichungen der Tangentialebene und der Flächennormalen 253
51 Wahrheitstafeln der Aussagenlogik 295
5 2 NAND-Funktion 297
5 3 NOR-Funktion ... 297
5 4 Primitive BRAVAIS-Gitter .320
5 5 BRAVAIS-Gitter, Kristallsysteme und Kristallklassen 321
XL Tabellenverzeichnis
5 6 Einige BoOLEsche Funktionen mit zwei Variablen 357
5 7 Tabellarische Darstellung einer unscharfen Menge . 374
5.8 t- und s-Normen, p e R . . 381
5.9 Gegenüberstellung von Operationen der BoOLEschen und der Fuzzy-Logik 383
6.1 Ableitungen elementarer Funktionen . 396
6 2 Differentiationsregeln . . ... . 400
6.3 Ableitungen höherer Ordnung einiger elementarer Funktionen 402
7.1 Erste Bernoullische Zahlen . . . 428
7.2 Erste Eulersche Zahlen . .429
7 3 Näherungsformeln für einige oft gebrauchte Funktionen.... . 436
8.1 Grundintegrale (Integrale der elementaren Funktionen) . . ... . 446
8.2 Wichtige Integrationsregeln für unbestimmte Integrale . . 447
8.3 Substitutionen zur Integration irrationaler Funktionen I . . 452
8.4 Substitutionen zur Integration irrationaler Funktionen II . 453
8.5 Wichtige Eigenschaften bestimmter Integrale . . . . ... 458
8 6 Kurvenintegrale 1. Art ... . . . . 481
8 7 Kurvenelemente . . . 482
8.8 Ebene Flächenelemente . 492
8 9 Anwendungen von Doppelintegralen . . 494
8 10 Anwendungen von Dreifachintegralen . . . . 497
8 11 Volumenelemente . 497
8.12 Flächenelemente gekrümmter Flächen . . . 499
11.1 Nullstellen der LEGENDREschen Polynome 1. Art . . .594
13.1 Zusammenhang zwischen den Komponenten eines Vektors in kartesischen, Zylinder-
und Kugelkoordinaten. . ... ... . . . 669
13.2 Prinzipielle Verknüpfungen bei den Differentialoperatoren 679
13.3 Vektor analytische Ausdrücke in kartesischen, Zylinder- und Kugelkoordinaten . 680
13.4 Linien-, Flächen- und Volumenelemente in kartesischen, Zylinder- und
Kugelkoordinaten . . . .... . .... . . 681
14 1 Real- und Imaginärteile der trigonometrischen und Hyperbelfunktionen 722
14.2 Absolutbeträge und Argumente der trigonometrischen und Hyperbelfunktionen . . 723
14.3 Perioden, Nullstellen und Pole der jACOBischen Funktionen . 727
15.1 Übersicht über Integraltransformationen von Funktionen einer Veränderlichen 731
15.2 Vergleich der Eigenschaften von FOURIER- und LAPLACE-Transformation . . . 753
16.1 Zusammenstellung der Formeln der Kombinatorik . . . 770
16.2 Verknüpfungen zwischen Ereignissen . . . . . 771
16 3 Häufigkeitstabelle . . .796
16 4 x2~Anpassungstest 799
16.5 Statistische Sicherheit des Stichprobenmittelwertes . . . 800
17 1 Ruhelagetypen im dreidimensionalen Phasenraum 833
19 1 Hilfstabelle zur FEM 943
19 2 Orthogonalpolynome ... . . . 948
19.3 Zahlensysteme 965
19 4 Parameter für die Basisformate . 968
Tabellenverzeichnis XLI
19.5 Mathematica, Operationen für numerische Berechnungen 975
19.6 Mathematica, Anweisungen zur Interpolation 977
19.7 Mathematica, Numerische Lösung von Differentialgleichungen 978
19.8 Maple, Optionen des Befehls fsolve 980
20 1 Mathematica, Zahlenarten 987
20.2 Mathematica, Wichtige Operatoren 988
20 3 Mathematica, Befehle für die Auswahl von Listenelementen 989
20.4 Mathematica, Operationen mit Listen 990
20 5 Mathematica, Operation Table 990
20.6 Mathematica, Operationen mit Matrizen 991
20.7 Mathematica, Standardfunktionen 993
20.8 Mathematica, spezielle Funktionen 993
20.9 Maple, Basistypen 998
20.10 Maple, Typenubersicht 998
20.11 Maple, Zahlenarten 1000
20.12 Maple, Argumente der Funktion convert 1000
20.13 Maple, Standardfunktionen f 1006
20.14 Maple, spezielle Funktionen 1006
20.15 Mathematica, Anweisungen zur Manipulation algebraischer Ausdrücke 1010
20.16 Mathematica, Algebraische Polynomoperationen 1011
20.17 Maple, Operationen zur Manipulation algebraischer Ausdrücke 1012
20.18 Mathematica, Operationen zur Lösung von Gleichungssystemen 1017
20.19 Maple, Matrizenoperationen 1021
20.20 Maple, Operationen des GAUSSschen Algorithmus 1022
20.21 Mathematica, Operationen der Differentiation 1024
20 22 Mathematica, Anweisungen zur Lösung von Differentialgleichungen 1026
20.23 Maple, Optionen der Operation dsolve 1029
20.24 Mathematica, Zweidimensionale Graphikobjekte 1030
20.25 Mathematica, Graphikanweisungen 1031
20.26 Mathematica, einige Graphikoptionen 1031
20.27 Mathematica, Optionen zur 3D-Graphik 1036
20.28 Maple, Optionen des Plot-Befehls 1037
20.29 Maple, Optionen des Befehls plot3d 1040
21.1 Häufig gebrauchte Konstanten 1041
21.2 Fundamentale physikalische Konstanten 1041
21.3 Dezimalvorsätze 1043
21.4 Physikalische Einheiten im SI-System 1043
21 5 Wichtige Reihenentwicklungen 1045
21.6 Fourier-Entwicklungen .... 1050
21 7 Unbestimmte Integrale 1053
21.8 Bestimmte Integrale 1086
21.9 Elliptische Integrale 1091
21.10 Gammafunktion 1093
21.11 Bessel-Funktionen (Zylinderfunktionen) 1094
21.12 Legendresche Polynome 1. Art (Kugelfunktionen) 1096
21 13 Laplace-Transformationen 1097
21.14 Fourier-Transformationen 1103
21 15 ^-Transformationen 1117
21 16 Poisson-Verteilung 1120
21.17 Normierte Normalverteilung 1122
21.18 x2-Verteilung 1124
XLII Tabellenverzeichnis
21.19 Fishersche F-Verteilung 1125
21.20 Studentsche t-Verteilung 1127
21.21 Zufallszahlen 1128
1
1 Arithmetik
1.1 Elementare Rechenregeln
1.1.1 Zahlen
1.1.1.1 Natürliche, ganze und rationale Zahlen
1. Definitionsbereiche und Bezeichnungen
Alle ganzen und gebrochenen Zahlen, die positiven und negativen sowie die Null, werden rationale
Zahlen genannt. Man verwendet die folgenden Bezeichnungen (s. 5.2.1,1., S. 300):
• Menge der natürlichen Zahlen: N={0,1,2,3,...},
• Menge der ganzen Zahlen: Z= {..., —2, —1,0,1,2,...},
• Menge der rationalen Zahlen: Q= {x\x = - mit p G Z, q € Z und q ^ 0} .
Q
Die natürlichen Zahlen sind aus dem Bedürfnis des Abzählens bzw. des Ordnens entstanden. Die
natürlichen Zahlen werden auch als nichtnegative ganze Zahlen bezeichnet.
2. Eigenschaften der Menge der rationalen Zahlen
• Die Menge der rationalen Zahlen ist unendlich.
• Die Menge ist geordnet, d.h., für je zwei verschiedene rationale Zahlen a und b kann man angeben,
welche von beiden kleiner als die andere ist.
• Die Menge ist überall dicht, d.h., zwischen je zwei verschiedenen rationalen Zahlen a und b (a <b)
existiert wenigstens eine rationale Zahl c (a < c < b). Daraus folgt, daß zwischen zwei verschiedenen
rationalen Zahlen unendlich viele weitere rationale Zahlen liegen.
3. Arithmetische Operationen
Die arithmetischen Operationen (Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division) mit zwei
beliebigen rationalen Zahlen sind stets möglich und liefern im Ergebnis wieder eine rationale Zahl. Eine
Ausnahme davon ist die Division durch Null, die unmöglich ist: Die Schreibweise o : 0 hat keinen
bestimmten Sinn, da es keine bestimmte rationale Zahl b gibt, die der Gleichung 6-0 = a mit a ^ 0 genügt.
Für a = 0 kann b eine beliebige rationale Zahl sein. Die oft verwendete Schreibweise a : 0 = oo
(unendlich) bedeutet nicht, daß diese Division möglich ist; es ist lediglich eine Abkürzung für die Aussage:
Wenn sich der Nenner Null nähert, wächst der Quotient absolut genommen über alle Grenzen.
4. Dezimalbruch und Kettenbruch
Jede rationale Zahl a kann in der Form eines endlichen oder unendlichen periodischen Dezimalbruches
oder auch in der Form eines Kettenbruches dargestellt werden (s. 1.1.1.4, S. 3).
5. Geometrische Darstellung
Wenn auf einer Geraden ein Anfangspunkt 0 (Nullpunkt), eine positive Richtung (Orientierung) und
eine Längeneinheit / (Maßstab, s. auch 2.17.1, S. 116) festgelegt worden sind (Abb.1.1), dann
entspricht jeder rationalen Zahl a ein bestimmter Punkt dieser Geraden. Er hat die Koordinate a und ist
ein sogenannter rationaler Punkt. Die Gerade wird Zahlengerade genannt. Da die Menge der rationalen
Zahlen überall dicht ist, gibt es zwischen je zwei beliebigen rationalen Punkten unendlich viele weitere
rationale Punkte.
-3-W -2-1 0 1 | 2 | 3
—•-• • • • •—•—• •—•—
B
1 iE.
0 12 3
Abbildung 1.1 Abbildung 1.2
1.1.1.2 Irrationale und transzendente Zahlen
Für die Analysis reicht die Menge der rationalen Zahlen nicht aus. Obgleich sie überall dicht ist, füllt
sie nicht die gesamte Zahlengerade aus. Wenn man z.B. die Diagonale AB des Einheitsquadrats um A
2 1. Arithmetik
dreht, so daß B in den Punkt K der Zahlengeraden übergeht (Abb. 1.2), dann hat K keine rationale
Koordinate Erst die Einführung der irrationalen Zahlen ermöglicht es, jedem Punkt der Zahlengeraden
eine Zahl zuzuordnen (s. auch Hinweis in 5.2.4,3., S. 307)
In den Lehrbüchern der Analysis wird eine exakte Definition der irrationalen Zahlen gegeben, z.B.
durch Intervallschachtelung Für die Anschauung genügt die Feststellung, daß die irrationalen Zahlen
auf der Zahlengeraden die Punkte einnehmen, die als Lücken zwischen den rationalen Zahlen vorhanden
sind, und daß jede irrationale Zahl durch einen nichtperiodischen unendlichen Dezimalbruch oder einen
nichtperiodischen unendlichen Kettenbruch dargestellt werden kann.
Zu den irrationalen Zahlen gehören insbesondere die nicht ganzzahligen reellen Wurzeln der
algebraischen Gleichungen der Form
xn + an-\Xn~l + • • • + a\X + üq = 0 (n > 1, ganzzahlig; ganzzahlige Koeffizienten). A.1a)
Man nennt solche Wurzeln algebraische Irrationalitäten.
¦ A: Einfachste Beispiele für algebraische Irrationalitäten sind die reellen Wurzeln der Gleichungen
xn — a = 0, also Zahlen der Form y/ä, wenn sie nicht rational sind
¦ B: v^2 = 1,414..., v^lÖ = 2,154 ... sind algebraische Irrationalitäten
Irrationale Zahlen, die keine algebraischen Irrationalitäten sind, nennt man transzendente Zahlen
¦ A: TT = 3,141592 ... , e = 2,718281... sind transzendente Zahlen
¦ B: Die dekadischen Logarithmen der ganzen positiven Zahlen mit Ausnahme von Zahlen der Form
10n sind transzendente Zahlen.
Die nichtganzzahligen Wurzeln der quadratischen Gleichung
x2 + a\X + a0 = 0 (ai, a0 ganzzahlig) A lb)
werden quadratische Irrationalitäten genannt. Sie haben die Form (a + b\[Ü)jc (a, 6, c ganzrational,
c ^ 0; D > 0 , quadratfrei).
¦ Die Teilung einer Strecke a im Verhältnis des Goldenen Schnittes x/a = (a — x)/x (s 3.5 2 3,3.,
S. 198) führt im Falle a = 1 auf die quadratische Gleichung x2 + x — 1 = 0. Die Lösung x = (y/E — l)/2
ist eine quadratische Irrationalität. Sie enthält die irrationale Zahl \/5.
1.1.1.3 Reelle Zahlen
Alle rationalen und irrationalen Zahlen werden zu den reellen Zahlen zusammengefaßt. Sie bilden die
Menge der reellen Zahlen, die mit R bezeichnet wird.
1. Haupteigenschaften
Die reellen Zahlen besitzen die folgenden Haupteigenschaften-
• Die Menge der reellen Zahlen ist unendlich.
• Die Menge der reellen Zahlen ist geordnet (s. 1.1.1.1,2., S. 1).
• Die Menge der reellen Zahlen ist überall dicht (s. 1.1.1.1,2., S. 1)
• Die Menge der reellen Zahlen ist stetig, d h , jedem Punkt der Zahlengeraden entspricht eine reelle
Zahl. Das gilt für die Menge der rationalen Zahlen nicht.
2. Arithmetische Operationen
Die arithmetischen Operationen sind mit reellen Zahlen stets durchführbar und ergeben stets wieder
eine reelle Zahl. Eine Ausnahme ist die Division durch Null (s. 1 1.1.1,2., S. 1). Das Potenzieren und
seine Umkehrung sind ebenfalls im System der reellen Zahlen möglich; aus jeder positiven reellen Zahl
lassen sich beliebige Wurzeln ziehen; zu jeder positiven reellen Zahl gibt es einen Logarithmus mit
beliebiger positiver Basis, ausgenommen die Eins als Basis
Eine weitergehende Verallgemeinerung des Zahlbegriffs in der Analysis führt zu den komplexen Zahlen
(s 1 5, S 34).
3. Zahlenintervall
Eine zusammenhängende Menge reeller Zahlen mit den Endpunkten a und b, wobei a < b ist und auch
a gleich —oo und b gleich +oo sein kann, wird Zahlenintervall mit den Endpunkten a und b genannt.
1 1 Elementare Rechenregeln 3
Wenn der Endpunkt nicht selbst zum Intervall gehört, spricht man vom offenen Intervallende, im
entgegengesetzten Falle vom abgeschlossenen Intervallende.
Die Angabe eines Zahlenintervalls erfolgt durch seine Endpunkte a und 6, indem diese in Klammern
gesetzt werden. Eine eckige Klammer steht für ein geschlossenes Intervallende, eine runde für ein
offenes Es wird zwischen beiderseits offenen Intervallen (a, b), halboffenen Intervallen [a, b) bzw. (a, b] und
abgeschlossenen Intervallen [a, b] unterschieden. Für offene Intervalle findet man auch die Bezeichnung
]a, b[ an Stelle von (a, b), analog [a, b[ an Stelle von [a, b) In der graphischen Darstellung wird ein offenes
Ende durch eine Pfeilspitze, ein abgeschlossenes Intervallende durch einen Punkt gekennzeichnet.
1.1.1.4 Kettenbrüche
Kettenbrüche sind ineinandergeschachtelte Brüche, mit deren Hilfe reelle Zahlen, also rationale und
irrationale Zahlen dargestellt und besser approximiert werden können, als es die Dezimalzahldarstellung
(s 19 8 1 1,1., S. 965) erlaubt (s. ¦ A und ¦ B auf S. 4).
1. Rationale Zahlen
Kettenbrüche rationaler Zahlen sind endlich Für P _ _ , ±_
p ~ — öo J
positive rationale Zahlen - > 1 haben sie die ne- #
Q
benstehende Form
V
Abkürzend schreibt man - = [a0, fli, ö2, • • •, On]-
Die Zahlen a^ (k = 0,1,2,..., n) können mit Hilfe
des ElJKLlDischen Algorithmus wie folgt ermittelt werden:
? = ao + ü{o<!l<1),
q q g
± = ai + 1{Q<*<l)i
n n rx
n = a2 + ^@<ü<i),
r2 r2 r2
7" 2 rn rn
= an_! + @ < < 1),
rn-i rn-i rn-i
= an (rn+i = 0)
rn
Die Zahlen p, q sowie r^ (k = 1,2, .., n) sind positive natürliche Zahlen
' 3 +
2. Irrationale Zahlen D
Kettenbrüche irrationaler Zahlen a brechen nicht ab Sie heißen daher unendliche Kettenbruche, und
man schreibt [ao; a\, a\, .]
¦ >/2 = l + \/2-l = l + -J1— = 1 + — mit Xl = \/2 + 1 = 2 + (y/2 - 1) = 2 + -^— =
v^+l xi >/2 + l
1 H mit £2 = V/2 + l = 2-|- (\/2 — 1) = 2 H—7= = 1 H usw Wie x2 = X\, so gilt auch
£2 V2 + 1 x3
i3 = £2, £4 = £3, Man erhält rci = £2 = £3 = #4 = • • •, d h für \/2 gilt die Kettenbruchentwick-
luugv^= [1,2,2,2, . ]
Wenn sich in einem unendlichen Kettenbruch einige der Zahlen a^ wiederholen, dann spricht man von
1
1
1
1 1
O-n-1 H
Vx *y
A.3a)
A.3b)
A 3c)
A.3d)
A.3e)
4 1. Arithmetik
einem periodischen Kettenbruch. Es gilt: Jeder periodische Kettenbruch stellt eine quadratische
Irrationalität (s. 1.1.1 2, S. 2) dar, und umgekehrt besitzt jede quadratische Irrationalität eine periodische
Kettenbruchdarstellung.
¦ Die Zahl \/2 ist eine quadratische Irrationalität und hat die periodische Kettenbruchdarstellung
v/2 = [1,2,2,2,...].
3. Approximation reeller Zahlen
Ist a = [ao; ai, a2, • • •] eine beliebige reelle Zahl, dann stellt jeder endliche Kettenbruch
dk = [ao;ai,fl2, • ,flfc] = - A-4)
eine Approximation von a dar. Der Kettenbruch ak wird auch als k-ter Näherungsbruch von a
bezeichnet. Er läßt sich rekursiv wie folgt berechnen:
Pk UkPk-l+Pk-2 /, ^ -, -, n i\ /i c\
ak = — = ¦ (fc>l; p_i = l,Pö = ao; 0-1 = 0,go = l). A.5)
Qk akqk-i + Qk-2
Nach dem Approximationssatz von Liouville gilt folgende Fehlerabschatzung:
\a-ak\ = \a-^\<± A.6)
Qk Qk
Darüber hinaus kann man zeigen, daß die Näherungsbruche ctk die reelle Zahl a mit wachsender
Genauigkeit von unten und von oben abwechselnd approximieren. Die Näherungsbrüche konvergieren
besonders schnell gegen a, wenn die Zahlen a* (i = 1,2,..., k) in A 4) große Werte aufweisen. Demzufolge
liegt die schlechteste Konvergenz bei Zahlen der Form [1,1,1,...] vor.
¦ A: Aus der Dezimalzahldarstellung von tt erhält man gemäß A.3a) die Kettenbruchdarstellung
7T = [3; 7,15,1,292,...]. Die zugehörigen Näherungsbrüche A 5) mit den Abschätzungen gemäß A.6)
22 . , 1 __2 333 . , , 1 rt , . 355
lauten: ax = — mit |tt - ai| < ^ « 2 • 10 , a2 = — mit |tt - a2\ < j^ «9-10 D, a3 = —
mit |7r — ck3| < ——- « 8 • 10~5 . Die tatsächlichen Fehler sind wesentlich kleiner. Sie liegen bei ct\ unter
1,3- 10~3, bei #2 unter 8,4 • 10~5 und bei a$ unter 2,7 • 10-7. Die Näherungsbrüche «1,02 und «3
stellen eine wesentlich bessere Näherung für tt dar als tt in Dezimalzahldarstellung mit entsprechender
Stellenzahl.
¦ B: Für die Formel des Goldenen Schnittes x/a = (a — x)/x (s. 3.5.2.3,3., S 198) kann man
die folgenden beiden Kettenbruchdarstellungen angeben: x = a[l; 1,1,...] und x — -A + y/E) =
-A + [2; 4,4,4,...]). Der Näherungsbruch a4 bringt im ersten Fall eine Genauigkeit von 0,018 a, im
zweiten Fall 0,000 001a.
1.1.1.5 Kommensurabilität
Zwei Zahlen a und b heißen kommensurabel, d.h. mit gleichem Maß meßbar, wenn sie ganzzahlige
Vielfache einer dritten Zahl c sind. Aus a = mc, b = nc (m, n € Z) folgt dann
- — x {x rational). A.7)
0
Im entgegengesetzten Falle sind a und b inkommensurabel.
¦ A: Die Länge einer Diagonale und die Seitenlänge eines Quadrates sind inkommensurabel, weil sie
die irrationale Zahl y/2 zum Quotienten haben.
¦ B: Strecken, die gemäß dem Goldenen Schnitt (s. 3.5.2.3,3., S. 198) bemessen werden, sind
inkommensurabel, weil dieser die irrationale Zahl y/E enthält. Somit sind auch Diagonale und Seitenlänge des
regelmäßigen Fünfecks (s. 3.1.5.3, S. 141) inkommensurabel. Man geht heute davon aus, daß HiPPASOS
1.1 Elementare Rechenregeln 5
von Metapontum D50 v u Z ) am Pentagramm, das aus den Diagonalen des regelmäßigen Fünfecks
(s 3 1 5 3, S 141) gebildet wird, die irrationalen Zahlen entdeckt hat
1.1.2 Beweismethoden
Im wesentlichen unterscheidet man drei Beweismethoden.
• direkter Beweis,
• indirekter Beweis,
• vollständige Induktion
Außerdem spricht man noch vom konstruktiven Beweis
1.1.2.1 Direkter Beweis
Es wild von einem bereits als richtig bewiesenen Satz (Voraussetzung p) ausgegangen und daraus die
Wahrheit des zu beweisenden Satzes (Behauptung q) abgeleitet. Bei der logischen Schlußfolgerung wird
vorwiegend die Implikation oder die Äquivalenz verwendet
a) Direkter Beweis mit Hilfe der Implikation: In der Implikation p => q folgt aus der Wahrheit
der Voraussetzung die Wahrheit der Behauptung (s 4 Zeile der Wahrheitstafel für die
„Implikation • 5 1 1,3., S. 295).
¦ Die Ungleichung —-— > vab für a > 0, b > 0 ist zu beweisen. Voraussetzung ist die als
richtig erkannte binomische Formel (a + bJ = a2 + 2ab + b2 Daraus folgt durch Subtraktion von Aab :
(a 4- bJ — Aab = (a — bJ > 0, und aus dieser Ungleichung erhält man unmittelbar die Behauptung,
wenn man sich beim Radizieren wegen a > 0 und b > 0 auf das positive Vorzeichen beschränkt
b) Direkter Beweis mit Hilfe der Äquivalenz: Der Beweis wird durch Verifizieren, d h durch den
Nachweis der Wahrheit, geführt Man geht dabei von der Wahrheit der Behauptung q aus und zeigt
die Wahrheit der Behauptung p, was allerdings nur bei einer Äquivalenzp «=> q möglich ist. Praktisch
bedeutet dies, daß alle Operationen, die q in p überführen, umkehrbar eindeutig sein müssen
¦ Die Ungleichung 1 + a + a2 -\ + an < für 0 < a < 1 ist zu beweisen.
1 — a
Durch Multiplikation mit 1 — a erhält man (Wegen 1 — a > 0 bleibt das Ungleichheitszeichen bestehen,
s auch A 102b)) 1 - a + a - a2 + a2 - a3 ± ¦ ¦ + an - an+1 = 1 - an+1 < 1.
Wegen 0 < an+1 < 1 ist die entstandene Ungleichung richtig, und da die durchgeführten
Rechenoperationen umkehrbar eindeutig sind, ist auch die Ausgangsungleichung richtig.
1.1.2.2 Indirekter Beweis oder Beweis durch Widerspruch
Um die Behauptung q zu beweisen, geht man von der Negation q aus und schließt von q auf eine falsche
Aussage r, d h q => r (s. auch 5 1 1,7., S 297) Dann muß aber a'uch q falsch sein, da man bei der
Implikation nur von einer falschen Voraussetzung zu einer falschen Behauptung kommt (s 1 Zeile der
Wahrheitstafel für die Implikation 5 1 1,3., S 295) Wenn aber q falsch ist, muß q wahr sein.
I Es ist zu beweisen, daß die Zahl y/2 keine rationale Zahl ist Angenommen, \/2 sei rational Dann
gilt \[2 = a/b mit ganzen Zahlen a, b und b ^ 0 Die Zahlen a,6 sind dabei teilerfremd, d.h., sie
besitzen keinen gemeinsamen Teiler Man erhält (\/2J = 2 = a2/b2 oder a2 = 2b2 , d h , a2 wäre
eine gerade Zahl, was nur dann möglich ist, wenn a = 2n eine gerade Zahl ist. Es müßte dann wegen
a2 = 4n2 = 2b2 auch b eine gerade Zahl sein Das ist offensichtlich ein Widerspruch zur Voraussetzung,
daß a und b teilerfremd sind
1.1.2.3 Vollständige Induktion
Mit dieser Beweismethode werden Sätze oder Formeln bewiesen, die von natürlichen Zahlen n
abhängen Das Prinzip dei vollständigen Induktion lautet
Ist eine Aussage für eine natürliche Zahl rio wahr, und folgt aus der Wahrheit der Aussage für eine
natürliche Zahl n > n0 die Wahrheit der Aussage für n + 1, dann ist die Aussage für alle natürlichen
6 1 Arithmetik
Zahlen n > uq gültig. Danach erfolgt der Beweis in folgenden Schritten:
1. Induktionsanfang: Die Wahrheit der Aussage wird für n = Uq gezeigt Meist kann man n$ = 1
wählen.
2. Induktionsannahme: Die Aussage sei für n wahr (Voraussetzung p).
3. Induktionsbehauptung: Die Aussage sei für n + 1 wahr (Behauptung q).
4. Beweis der Implikation: p => q.
Die Schritte 3. und 4. werden zusammengefaßt als Induktionschluß oder Schluß von n aufn + 1
bezeichnet.
_ ^ . ,. T-, ! 1 1 1 1 n . .
m Es ist die Formel sn = -—- + —— + -—- H 1—-. — = zu beweisen.
1-2 2-3 3-4 n(n + l) n +1
Die einzelnen Schritte des Induktionsbeweises sind:
1. n = 1 : si = -—- = ist ofTensichtlich richtig.
1 1 1 1 n . , r.. ^ ,
2- sn = z—r + ^—r + 7:—7 H 1—-, TT = 7 sei wahr für n > 1.
1-2 2-3 3-4 n(n+1) n+1
n + 1
3. Unter der Voraussetzung von 2. ist zu zeigen: sn+i = .
* r, ¦ 111 1 1 1
4. Beweis: sn+1 = -— + — + -—- + •••+ + = 5n +
1-2 2-3 3-4 n(n + l) (n+l)(n + 2) (n + l)(n + 2)
n 1 n2 + 2n + l (n + 1J n+1
n + 1 (n + l)(n + 2) (n + l)(n + 2) (n+l)(ra + 2) n + 2 '
1.1.2.4 Konstruktiver Beweis
In der Approximationstheorie z.B. wird der Beweis eines Existenzsatzes als konstruktiv bezeichnet,
wenn er bei seiner Durchführung bereits Berechnungsvorschriften für eine Lösung liefert, die die
Voraussetzungen des Existenzsatzes erfüllt.
¦ Die Existenz einer natürlichen kubischen Interpolations-Spline-Funktion (s. 19.7.1.1,1. S. 959) kann
wie folgt nachgewiesen werden: Man zeigt, daß die Berechnung der Spline-Koeffizienten aus den
Voraussetzungen des Existenzsatzes auf ein tridiagonales lineares Gleichungssystem (s. 19.7.1.1,2., S. 960)
führt, das eindeutig lösbar ist.
1.1.3 Summen und Produkte
1.1.3.1 Summen
1. Definition
Zur abkürzenden Schreibweise verwendet man für Summen das Summenzeichen J2'
n
ai + a2 + ... + an = ]T ak A8)
fc=i
Mit dieser Abkürzung wird eine Summe von n Summanden ak (k = 1,2, .., n) bezeichnet. Man nennt
k Laufindex oder Summationsvariable.
2. Rechenregeln
1. Summe gleicher Summanden , d.h., a^ = a für k = 1,2,.. , n-
n
^cljc = na. . A.9a)
1.1 Elementare Rechenregeln 7
2. Multiplikation mit einem konstanten Faktor
n n
Y,cak = cY,ak- A9b)
fc=i fc=i
3. Aufspalten einer Summe
n m n
EaA: = Eafc + E ak (l<ra<rc). A.9c)
k=l k-1 k=m+l
4. Addition von Summen gleicher Länge
n n n n
EK + h + ck + ...) = Ea* + E bk + Ec* + • • • • (*9d)
*:=i fc=i fc=i fc=i
5. Umnumerier ung
n m+n—1 n n—m+l
Eßfc= E ßfc-m+l , E öfc = E ak+m-l- A.9e)
6. Vertauschen der Summationsfolge bei Doppelsummen
n m m n
E£«* = £E«*- A9f)
t=i fc=i fe=i*=i
1.1.3.2 Produkte
1. Definition
Zur abkürzenden Schreibweise verwendet man für Produkte das Produktzeichen \[.
n
ala2 . an=Y[ak A.10)
A;=l
Mit dieser Abkürzung wird ein Produkt von n Faktoren ak (k = 1, 2,..., n) bezeichnet, wobei k
Laufindex genannt wird
2. Rechenregeln
1. Produkt gleicher Faktoren , d h , ak = a für k = 1,2,..., w
Y[ ak = an . A IIa)
k=i
2. Vorziehen konstanter Faktoren
f[(cak) = cnf[ak A.11b)
k=l k=l
3. Aufspalten in Teilprodukte
n / m \ / n \
IIa*= üa* II ak) (Km<n). A.11c)
fc=l \fc=l / \A;=Tn+l /
4. Produkt von Produkten
f[akbkck =(flak)(flbk)(f[ck).... (l.lld)
A;=l \k=l / \k=\ / \k=\ J
5. Umnumerierung
n m+n—1 n n—m+l
Y[ ak = Yl ak.m+1, Yl ak = ]J ak+m-i (l.lle)
k=\ k=m k=m k—l
8 1. Arithmetik
6. Vertauschen der Multiplikationsfolge bei Doppelprodukten
n m m n
nn^=nn^ (inf)
i=lk=l fc=li=l
1.1.4 Potenzen, Wurzeln, Logarithmen
1.1.4.1 Potenzen
Die Schreibweise ax wird für die algebraische Operation des Potenzierens verwendet. Man bezeichnet
a als Basis, x als Exponent und ax als Potenz. Potenzen sind gemäß Tabelle 1.1 definiert. Für die
Tabelle 1.1 Definition der Potenzen
Basis a
beliebig reell, ^ 0
positiv reell
0
Exponent x
0
n = 1,2,3,...
n = -1,-2,-3,...
P
rational. - (p, q ganz, q > 0)
Q
irrational: lim —
fc^oo qk
positiv
Potenz ax
1
an = a- a- a- ... • a (a hoch n)
n Faktoren
a~n
ai = tfäp (q-te Wurzel aus a hoch p)
hm aqi*
k-*oo
0
Potenzen gelten bei Beachtung der Definitionsbereiche für Basis und Exponent die folgenden
Rechenregeln:
axay = ax+y^ ax.ay = ^_= flx-y> A 12) aX bX = (üb)X, ÜX : bX = ^ = (ff , A.13)
(ax)y = (ay)x = axy, A.14) ax = exlna (a > 0). A.15)
Dabei ist In a der natürliche Logarithmus von a und e = 2,718281828459... seine Basis.
Eine spezielle Potenz ist
(_i\n _ / +1, falls n gerade, , .
{ L) ~ \ -1, falls n ungerade [l-iK))
Man beachte besonders: a° = 1 für a ^ 0.
1.1.4.2 Wurzeln
In Übereinstimmung mit Tabelle 1.1 wird als n-te Wurzel aus a die positive Zahl
\fä (a > 0, reell; n > 0, ganz) A.17a)
bezeichnet. Man spricht bei der Berechnung dieser Zahl vom Radizieren oder Wurzelziehen und nennt
a den Radikanden und n den Wurzelexponenten. Die 2. und die 3. Wurzel werden auch Quadratwurzel
bzw. Kubikwurzel genannt.
Für die Lösung der Gleichung
xn = a (a reell oder komplex; n > 0, ganz) A.17b)
wird häufig auch die Schreibweise x = y/ä verwendet, aber dann repräsentiert diese Darstellung n
Werte xk (k = 1,2,..., n), die gemäß A 141b), (s. 1 5.3.6, S 38) zu berechnen sind.
1 1 Elementare Rechenregeln 9
¦ Die Gleichung x2 = 4 hat die zwei reellen Wurzeln ±2.
¦ Die Gleichung x3 = -8 hat die drei Wurzeln X\ = 1 + i\/3, x2 = -2 und x3 = 1 — i\/3 .
1.1.4.3 Logarithmen
1. Definition Unter dem Logarithmus einer Zahl x > 0 zur .Basis 6 > 0, b ^ 1, oder als Formel
geschrieben u = logfe x, wird der Exponent der Potenz verstanden, in die b zu erheben ist, um die Zahl
x zu erhalten. Folglich ergibt sich aus der Gleichung
bu = x A 18a) die Gleichung log6 x = u, A.18b)
und umgekehrt folgt aus der zweiten die erste Gleichung. Speziell gilt
lo&l = 0, logt6=l, to&0 = {;~J;J>J; A.18c)
Zur Ausdehnung des Logarithmus auf negative Argumentwerte bedarf es der komplexen Zahlen.
Logarithmieren einer gegebenen Größe bedeutet das Aufsuchen ihres Logarithmus. Man versteht
darunter auch die Umwandlung logarithmischer Ausdrucke gemäß A.19a, 1.19b) Das Aufsuchen einer
Größe aus ihrem Logarithmus wird Potenzieren genannt
2. Einige Eigenschaften der Logarithmen
1. Jede positive Zahl besitzt für jede beliebige positive Basis ihren Logarithmus, ausgenommen die
Basis b = 1.
2. Für Logarithmen einer gemeinsamen Basis b gelten die folgenden Rechenregeln:
log {xy) = logx + logt/, log [ - ] = logx -logy, A 19a)
log xn = n log x, speziell gilt log \fx = — log x. A.19b)
n
3x2 3/y
¦ Logarithmieren des Ausdrucks n VQ :
2zu6
hg^rf= bg Cx2^) ~ logB2w3) = log3 + 21ogx + i \ogy - log2 - \ogz-3\ogu
Um mit A 19a, 1 19b) Summen und Differenzen zu logarithmieren, sind diese vorher, falls möglich, in
Produkte oder Quotienten umzuwandeln.
Oft wird die inverse Umformung benötigt, d.h die Darstellung eines Ausdrucks mit einigen
Logarithmen verschiedener Größen in den Logarithmus eines einzigen Ausdrucks
1 3x2f/y
M log3 + 21ogx + - logy - log2 - log2; - 31ogw = log vg .
3. Logarithmen verschiedener Basis sind zueinander proportional, so daß sich die Logarithmen zu einer
Basis a über die Logarithmen zur Basis b berechnen lassen.
loga x = M \ogb x mit M = loga b = A 20)
log6a
Man nennt M auch den Transformationsmodul
1.1.4.4 Spezielle Logarithmen
1. Logarithmen zur Basis 10 heißen dekadische oder BRiGGSsc/ie Logarithmen Man schreibt
log10£ = lgrc, und es gilt lg(a;10Q) = a + lgx . A21)
2. Logarithmen zur Basis e heißen naturliche oder NEPERsc/ie Logarithmen. Man schreibt
logex = lnx. A.22)
10 1. Arithmetik
Der Modul zur Überführung der natürlichen in dekadische Logarithmen ist
M = Ige = pyx = 0,4342944819 ., A.23)
der zur Überführung der dekadischen in natürliche
Mi = ^ = In 10 = 2,3025850930. A.24)
M
3. Logarithmen zur Basis 2 nennt man Duallogarithmen oder binäre Logarithmen. Man schreibt
log2 x = ld x oder log2 x — lb x. A 25)
4. Logarithmentafeln Die dekadischen und die natürlichen Logarithmen stehen in
Logarithmentafeln zur Verfügung Sie wurden früher mit Vorteil bei der numerischen Bildung von Potenzen oder
zur Vereinfachung numerischer Multiplikationen und Divisionen verwendet. Am häufigsten wurden die
dekadischen Logarithmen dazu benutzt. Heute sind die Logarithmentafeln durch die Taschenrechner
und Personalcomputer weitgehend aus der rechnerischen Praxis verdrängt.
Jede Dezimalzahl, also jede reelle Zahl, in diesem Zusammenhang auch Numerus genannt, kann durch
Vorziehen einer Zehnerpotenz 10fc mit ganzzahligem k in der Form
x = xl0fc mit 1 < x < 10 A 26a)
halblogarithmisch dargestellt werden. Dabei ist x durch die Ziffernfolge von x bestimmt, während 10*
die Größenordnung von x angibt. Somit wird
\gx = k + \gx mit 0 < lgx < 1, d.h. lgz = 0, . A26b)
Man nennt k die Kennzahl und die Ziffernfolge hinter dem Komma von lg x die Mantisse. Letztere wird
der Logarithmentafel entnommen
¦ lg 324 = 2, 5105 , also Kennzahl 2 , Mantisse 5105 . Für die durch Multiplikation oder Division mit
10n entstandenen Zahlen, z B. 3240; 324000 , 3,24; 0,0324, haben die Logarithmen die gleiche
Mantisse, hier 5105 , aber verschiedene Kennzahlen. Daher sind es die Mantissen, die in den Logarithmentafeln
tabelliert sind Beim Ablesen der Mantisse braucht weder auf die Stelle des Kommas noch auf die links
oder rechts von der Zahl stehenden Nullen einschließlich der Null vor dem Komma geachtet zu werden.
Diese gehen in die Bestimmung der Kennzahl k für einen bestimmten Numerus x ein
5. Rechenschieber Neben den Logarithmen war der Rechenschieber eines der wichtigsten
Hilfsmittel in der rechnerischen Praxis. Das Prinzip des Rechenschiebers beruht auf der Anwendung der
Formel A.19a), die es ermöglicht, Multiplikationen und Divisionen mit Hilfe von Additionen und
Subtraktionen auszuführen. Daher sind auf dem Rechenschieber die Strecken im logarithmischen Maßstab
abgetragen (s Skalen- und Funktionspapiere 2.17.1, S 116), so daß die genannten Rechenoperationen
auf die Addition und Subtraktion von Strecken zurückgeführt werden können.
1.1.5 Algebraische Ausdrücke
1.1.5.1 Definitionen
1. Algebraischer Ausdruck oder Term werden eine oder mehrere algebraische Größen, wie Zahlen
oder Buchstabensymbole, genannt, die durch Zeichen wie, +,-,-,., J usw sowie verschiedene
Arten von Klammern zur Festlegung der Operationsfolge der algebraischen Operationen miteinander
verknüpft sind.
2. Identität ist eine Gleichheitsbeziehung zwischen zwei algebraischen Ausdrücken, die beim
Einsetzen beliebiger Zahlenwerte anstelle der darin aufgeführten Buchstabensymbole erhalten bleibt.
3. Gleichung nennt man eine Gleichheitsbeziehung zwischen zwei algebraischen Ausdrücken, wenn
sich im Unterschied zur Identität nur einige spezielle Werte einsetzen lassen. So wird z.B. eine
Gleichheitsbeziehung
F(x) = }{x) A.27)
1.1 Elementare Rechenregeln 11
zwischen zwei Funktionen ein und derselben Veränderlichen als Gleichung mit einer Unbekannten
bezeichnet, wenn sie nur für bestimmte Werte dieser Veränderlichen richtig ist. Bleibt die
Gleichheitsbeziehung für beliebige Werte der Variablen x erhalten, dann nennt man sie eine Identität bzw. man sagt,
die Gleichung ist identisch erfüllt, und man schreibt F(x) = f(x)
4. Identische Umformungen werden durchgeführt, um einen algebraischen Ausdruck in einen
anderen, ihm identisch gleichen zu überführen Solche Umformungen können je nach dem Ziel, das
dabei verfolgt wird, verschieden aussehen. Sie sind z.B. zur Gewinnung kürzerer Ausdrücke zweckmäßig,
damit das Einsetzen von Zahlen oder weitere Rechnungen bequemer werden Außerdem sind oft
Ausdrücke gewünscht, die besonders gut zur Lösung von Gleichungen, zum Logarithmieren, zum
Differenzieren, zum Integrieren usw. geeignet sind.
1.1.5.2 Einteilung der algebraischen Ausdrücke
1. Hauptgrößen werden diejenigen allgemeinen Zahlen (Buchstabensymbole) genannt, nach denen
die algebraischen Ausdrücke klassifiziert werden; sie sind in jedem Einzelfall festzulegen. Im Falle von
Funktionen sind die unabhängigen Variablen die Hauptgrößen. Die übrigen noch nicht durch Zahlen
festgelegten Größen sind die Parameter des Ausdrucks. In manchen Ausdrucken werden die Parameter
Koeffizienten genannt
¦ Koeffizienten treten z B in Polynomen, FOURIER-Reihen und linearen Differentialgleichungen auf.
Ein Ausdruck gehört zu der einen oder anderen Klasse in Abhängigkeit davon, welche Operationen an
seinen Hauptgrößen auszuführen sind. Im allgemeinen werden die Hauptgrößen meist mit den letzten
Buchstaben des Alphabets x, y, z,u,v,... bezeichnet, die Parameter mit den ersten Buchstaben a, 6,
c,. . Die Buchstaben m, n, p, ... verwendet man meist für ganzzahlige positive Parameter werte, z.B.
für Indizes bei Summationen und Iterationen
2. Ganzrationale Ausdrücke zeichnen sich dadurch aus, daß in ihnen Additionen, Subtraktionen
und Multiplikationen der Hauptgrößen vorgenommen werden, wobei das Potenzieren mit ganzzahligen
nichtnegativen Exponenten eingeschlossen ist
3. Gebrochenrationale Ausdrücke enthalten neben den für ganzrationale Ausdrücke genannten
Operationen noch Divisionen durch Hauptgrößen, einschließlich des Potenzierens mit negativen
ganzzahligen Exponenten, sowie gegebenenfalls Divisionen durch ganzrationale Ausdrücke in den
Hauptgrößen
4. Irrationale Ausdrücke zeichnen sich durch das Radizieren, also das Potenzieren mit
gebrochenen Exponenten aus, d.h. durch das Radizieren ganz- oder gebrochenrationaler Ausdrücke, die
ihrerseits aus Hauptgrößen bestehen
5. Transzendente Ausdrücke, d.h. Exponentialausdrücke, logarithmische und trigonometrische
Ausdrücke, enthalten algebraische Ausdrücke mit Haupt großen im Exponenten, unter dem
Logarithmuszeichen oder als Argument von Winkelfunktionen.
1.1.6 Ganzrationale Ausdrücke
1.1.6.1 Darstellung in Form eines Polynoms
Jeder ganzrationale Ausdruck kann mit Hilfe elementarer Umformungen, also durch Zusammenziehen
gleichnamiger Glieder, Addition, Subtraktion und Multiplikation von Monomen und Polynomen, in
Form eines Polynoms dargestellt werden
¦ (-a3 + 2a2x - x3)Da2 + Sax) + (a3x2 + 2aV - Aax4) - (a5 + 4a3x2 - 4ax4)
= -4a5 + Sa4x - 4a? x3 - Sa4x + 16aV - Sax4 + a3x2 + 2a V - Aax4 - a5 - 4aV 4- Aax4
= -5a5 + 13a3x2 - 2aV - Sax4 .
1.1.6.2 Zerlegung eines Polynoms in Faktoren
Polynome lassen sich in vielen Fällen als Produkte von Monomen und Polynomen darstellen. Als
Hilfsmittel stehen hierzu das Ausklammern und Gruppieren, spezielle Formeln sowie die allgemeinen
Eigenschaften von Gleichungen zur Verfügung.
12 1. Arithmetik
¦ A: Ausklammern: Sax2y — 6bx3y2 4 4cx5 = 2x2Day — Sbxy2 4 2cx3).
¦ B: Gruppieren. 6x2 + xy — y2 — lOxz — 5yz = 6x2 + Sxy — 2xy — y2 — lOxz — 5yz = 3xBx 4 y) —
yBx + y)- 5zBx + y) = Bx 4 y)Cx -y- 5z).
¦ C: Anwendung von Gleichungseigenschaften (s auch 1.6 3.1, S. 43): P(x) = x6 — 2x5 4 4x4 4 2x3 —
5x2
a) Ausklammern von x2, b) Feststellung, daß a\ = 1 und c*2 = — 1 Wurzeln der Gleichung P(x) = 0
sind Division von P(x) durch x2(x — l)(x 4 1) = x4 — x2 liefert als Quotienten x2 — 2x 4 5. Dieser
Ausdruck läßt sich nicht weiter in reelle Faktoren zerlegen, dap = — 2, q = 5, ^ — g < 0, so daß man
erhält- x6 - 2x5 4 4x4 4- 2x3 - 5x2 = x2{x - l)(x + l)(x2 - 2x 4- 5).
1.1.6.3 Spezielle Formeln
(x±yJ = x2±2xy + y2, A.28)
(x 4 y + zJ = x2 + y2 + z2 4 2xy + 2xz + 2^ , A.29)
(x 4- 2/ 4 * 4- • • • + t 4- uJ = x2 4- y2 4- z2 4- • • • 4- t2 + u2 4
+2xy 4 2x2 + • • • 4 2xu 4 2yz 4 • • • 4 2yu 4- -- + 2tu, A 30)
(x ± yf = x3 ± 3x2^ 4 3x?/2 ± y3 . A.31)
Der Ausdruck (x ± y)n wird nach dem binomischen Satz berechnet (s. A.36a) bis A.36d)).
(x + y)(x-y) = x2-y2, A.32)
Xn-yn = xn-l + xn-2y + . . . + ^n-2 + yn-l (n > 1 , ganz) ? (! 33)
= xn_1 - xn_2?/ + xyn 4 yn~l (n > 1, ungerade), A 34)
x-y
xn + vn
x + y
= xn_1 - xn_2y 4 • • • 4- xyn~2 - y71'1 (n > 1, gerade). A.35)
X y „n-l ~™-2„, _i_ I „n,n-2 „,n-l
x4y
1.1.6.4 Binomischer Satz
1. Erste binomische Formel Die Formel
/ nn « n-i, n(n-l) rt_oTo n(n — l)(n —2) _
(a + 6)n = an 4 nan *& 4- -^——V 262 + — ^ V"
+ • • + n(n}" (w-m + 1)fl"-- + • • • 4 nab^ 4 6" A.36a)
m!
wird binomischer Satz genannt. Er gilt für alle reellen oder komplexen Zahlen a und b und alle n =
1,2,... Zur Verkürzung der Schreibweise sind spezielle Koeffizienten, die Binomialkoeffizienten (s
A 37a)) eingeführt worden-
<«+*)-=(;)«.-+(?)«-*+(;).~v+(;)«"v+-+(„: J«*-* (:>-a **)
bzw
(a + i)" = f Qa"-V A.36c)
2. Zweite binomische Formel Wird in A.36a) bis A.36c) die Zahl b durch —b ersetzt, dann erhält
man als zweite binomische Formel
/ ,\« « n i7 n(n — 1) „ 2,2 n(n —l)(n —2) _ o7o
(a - 6)n = an - nan~lb 4 -^—Lan~2b2 - ^ V~3&3 +
1 1 Elementare Rechenregeln 13
+... + (_ir»("-i). •(»->»+i)aB_royB+... + oder
m!
(a - b)n = £ (?) (-l)kan-kbk A.36d)
fc=0 W
3. BinomialkoefRzienten Für nichtnegative ganze Zahlen n und /c definiert man als Binomialko-
effizient den Ausdruck
@ < k < n).
A.37a)
\kj (n - lfc)!fc!
Dabei wird abkürzend mit n' das Produkt der positiven ganzen Zahlen von 1 bis n bezeichnet und
Fakultät genannt:
n' = 1 • 2 • 3 • ... • n (n = 1,2,. .), per definitionem gilt : 0! = 1. A 37b)
Die Werte der BinomialkoefRzienten können aus dem PASCALsc/ien Dreieck abgelesen werden:
n
0
1
2
3
4
5
6
6
1
T
0
1
L
6
T
(t)
1
5
1
4
15
T
C
Koeffizienten
1
1 1
2
3 3
6
10 10
20
T
/6\
W
1
4
15
T
C
1
5
1
]
6
T
/6\
W
L
1
T
/6\
V6/
Der erste und der letzte Koeffizient jeder Zeile ist definitionsgemäß gleich Eins; jeder andere Koeffizient
in dem Schema ergibt sich als Summe der beiden links und rechts oberhalb von ihm stehenden
Koeffizienten. Die Berechnung der BinomialkoefRzienten kann mit Hilfe der folgenden Formeln erfolgen:
\k) (n-k
k\{n-k)\
-r
'«•>(;)-'• ö- (;)=¦ <¦*>
n+1
k
n + 1
n — k + 1 V k
/. ™ ,x / n \ n — k (n\
n + 1' _
\k + lj \k + lj ' \kt
Hinweis: Für beliebige reelle Zahlen a (ot € R) ist der Binomialkoeffizient wie folgt definiert:
(I)
a(a- l)(a - 2) ¦ - ¦ (a - k + 1)
-l)(-|-2)
3!
(k > 1, ganz),
1.
A.38c)
A.38e)
A.38f)
A.39)
_5^
6*
14 1 Arithmetik
4. Eigenschaften der Binomialkoeffizienten
• Die Binomialkoeffizienten wachsen bis zur Mitte der binomischen Formel A 36b) an, um danach
wieder abzunehmen.
• Die Binomialkoeffizienten der Glieder, die gleichen Abstand vom Anfang bzw vom Ende der
binomischen Formel haben, sind einander gleich.
• Die Summe der Binomialkoeffizienten in der binomischen Formel n-ten Grades beträgt 2n .
• Die Summe der Binomialkoeffizienten, die an den ungeraden Stellen stehen, ist gleich der Summe
der an den geraden Stellen stehenden
5. Binomische Reihe Die Formel A.36a) für den binomischen Satz kann auch auf negative und
gebrochene Exponenten ausgedehnt werden Für \b\ < a ergibt (a + b)n eine konvergente unendliche
Reihe (s. auch 21.5, S. 1045).
(« + bf = a» + na-1* + Ü^a-V + "(" " ff" ~ 2) «"'V + • • • . A 40)
1.1.6.5 Bestimmung des größten gemeinsamen Teilers zweier Polynome
1. Teiler und Vielfaches Das Polynome P(x) ist durch das Polynom Q(x) (Q{x) ^ 0) teilbar,
wenn ein Polynom T(x) existiert, so daß
P(x) = T(x)Q(x) oder ^\ = T(x) A41)
gilt. Ist P(x) durch Q(x) teilbar, so heißt Q(x) Teiler won P(x), und P(x) heißt Vielfaches von Q(x)
2. Größter gemeinsamer Teiler Jedes Polynom, das gemeinsamer Teiler der Polynome P(x) und
Q(x) ist und gleichzeitig Vielfaches jedes anderen gemeinsamen Teilers dieser beiden Polynome, heißt
größter gemeinsamer Teiler ggT(P, Q) der Polynome P(x) und Q(x).
M P{x) = {x- lJ(x - 2){x - 4), Q(x) = {x- lJ{x - 2){x - 3) =*? ggT(P, Q) = (x - lJ(x - 2)
Wenn P(x) und Q(x) keine gemeinsamen Polynomfaktoren besitzen, dann nennt man sie teilerfremd
Ihr größter gemeinsamer Teiler ist dann eine Konstante.
3. Euklidischer Algorithmus Der EVKLlDische Algorithmus ist eine Methode zur Bestimmung
des größten gemeinsamen Teilers zweier Polynome P(x) und Q(x). P(x) sei vom Grade n, Q(x) sei
vom Grade m , und es gelte n > m > 0. Dann führt man die folgenden Divisionen durch
a) Division von P(x) durch Q(x) führt auf den Quotienten T\(x) und den Rest R\(x).
P{x) = Q(x)T!(x) + Ri{x) A.42a)
b) Division von Q(x) durch R\(x) führt auf den Quotienten T2(x) und den Rest R2(x)
Q(x) = Rx(x)T2(x) + R2{x), A.42b)
c) Division von R\(x) durch R2(x) führt auf T3(x) und Rs(x) usw Der größte gemeinsame Teiler der
beiden Polynome ist dann der letzte von 0 verschiedene Rest Rk(x). Die Methode ist aus der
Arithmetik mit natürlichen Zahlen bekannt (s 1 1.1.4,1., S 3).
Die Ermittlung des größten gemeinsamen Teilers wird z B bei der Lösung von Gleichungen
eingesetzt, bei der Abspaltung mehrfacher Wurzeln und bei der Anwendung der STURMschen Methode
(s 1 6.3.2,2., S. 44).
1.1.7 Gebrochenrationale Ausdrücke
1.1.7.1 Rückführung auf die einfachste Form
Jeder gebrochenrationale Ausdruck kann auf die Form eines Quotienten zweier teilerfremder
Polynome gebracht werden. Dazu werden nur elementare Umformungen benötigt wie Addition, Subtraktion,
Multiplikation und Division von Polynomen und Brüchen sowie Kurzen von Brüchen
1.1 Elementare Rechenregeln 15
i 2x + y
öx+ - x + z
¦ Aufsuchen der einfachsten Form von — zT-r— y +
{3xz + 2x + y)z2 -y2z + x + z _ Sxz3 + 2xz2 + yz2 + (x3z2 + x)(-y2z + x + z)
(x3z2 4- o:)-? z x3z3 + xz
3x2;3 + 2xz2 + yz2 - x3y2z3 - xy2z + £4z2 + x2 + £3z3 + zz
A3 + #£
1.1.7.2 Bestimmung des ganzrationalen Anteils
Ein Quotient zweier Polynome mit gemeinsamer Hauptgröße x wird ein echter Bruch genannt, wenn
das Polynom im Zähler von niedrigerem Grade ist als das Polynom im Nenner. Im entgegengesetzten
Falle spricht man von einem unechten Bruch. Jeder unechte Bruch kann in eine Summe aus einem
echten Bruch und einem Polynom zerlegt werden, indem das Zählerpolynom durch das Nennerpolynom
dividiert, d.h. der ganzrationale Anteil abgespalten wird.
. „ . , . , A ., „, x Sx4 - 10ax3 + 22a2x2 - 2Aa3x + 10a4
¦ Bestimmung des ganzrationalen Anteils von Rix) = — — •
x2 - 2ax + Sa2
—2a3x — 5a4
Cx4-10a:r3+22aV-24a3x +10a4) : (x2 - 2ax + Sa2) = Sx2 - Aax + 5a2 + —n— —r
x2 - 2ax - 3a2
Sx4- 6az3+ 9a2x2
4ax3+l3a2x2-24a3x
4ax3+ Sa2x2-12a3x
5aV-12a3:r +10o4
ba2x2-10a3x +15a4
—2a3x — 5a4
- 2a3z- 5a4. R(x) = Sx2 - 4ax + 5a2 +
r2 - 2ax + 3a2"
Der ganzrationale Anteil einer unecht gebrochenrationalen Funktion R(x) wird auch als asymptotische
Näherung für R(x) bezeichnet, weil sich R(x) für große Werte von |aj| wie dieser Polynomanteil verhält.
1.1.7.3 Partialbruchzerlegung
Jede echt gebrochenrationale Funktion
P(x) anxn + an-ixn~l + • • • + axx + a0 . ^ . H ao.
R{x) = —7-7 = — (n < m) A-43)
Q(x) bmxm + bm-ixm-1 + • • • + bix + b0 v
mit teilerfremdem Zähler- und Nennerpolynom ist eindeutig in eine Summe von Partialbrüchen der
Form
A a Cx + D
7 TT und 7-5 T- A-44)
(x - a)k (x2 + px + q)m
mit reellen Zahlen a,p, q und A, C, D zerlegbar. Dazu geht man wie folgt vor:
1. Der Koeffizient bm des Nennerpolynoms wird auf den Wert 1 gebracht, indem Nenner und Zähler
von A.43) durch den ursprünglichen Wert von bm dividiert werden.
2. Für das Nennerpolynom Q(x) wird gemäß A.168) (s. S. 44) die Nullstellendarstellung ermittelt:
Q{x) = (x- ax)kl {x - a2)k> •••(x- at)kl
¦(x2 + Plx + ai)mi (x2 + p2x + q2)m2 • • • {x2 + prx + qr)mr. A.45)
16 1. Arithmetik
Dabei sind ai, a2,. •, &i die / reellen Wurzeln von Q(x). Außerdem hat Q(x) r Paare konjugiert
komplexer Nullstellen, die man als Nullstellen der quadratischen Faktoren x2 + Pix + qi (i = 1,2, ., r)
/PA2
erhält Die Zahlen pi, qi sind reell, und es gilt: ( — ] — <& < 0 .
3. Der Ansatz für die Partialbruchzerlegung lautet:
P(x)
Q(x)
anxn + an_ia;n_1 -1- \- a\X + ao
(x - ai)*1 (x - a2)k2 - • • {x2 + piX + ^i)mi (x2 + p2x + g2)m2 • • •
Ai A2 Akl
x — ü?i (x — aiJ (x — a\)kl
Bl + B2 +•••+ Bfc2 + ••¦
£ - a2 (sc - a2J (z - a2)fc2
| CjX + .Di C2x + D2 + ... + Croia; + £>mi _
x2+piX + qi (x2 +PiX + qiJ (x2 +p\X + qi)mi
| ^x + Fx | E2x + F2 ( ( Fm2x + Fm2
' x2 + p2£ + <?2 (x2 + p2x + g2J ' (x2 + p2x + g2)m2
A46)
4. Zur Bestimmung der Konstanten A\, A2,..., Fi, F2... multipliziert man den Ansatz A 46) mit
Q(x) und vergleicht den sich dabei ergebenden Zähler Z(x) mit P(x). Dabei ist Z(x) = F(x). Man
ordnet Z(x) nach Potenzen von x und setzt die Koeffizienten gleicher Potenzen von Z(x) und P(x)
gleich (Koeffizientenvergleich, auch Methode der unbestimmten Koeffizienten) .
6x2-x + l _A B C _ A(x2 - 1) + Bx(x + 1) + Cx(x - 1)
X3 — X X X — 1 £ + 1 x(x2 — 1)
Gleichsetzen der Koeffizienten vor gleichen Potenzen von x im Zähler der linken und der rechten Seite
der Gleichung führt auf das Gleichungssystem 6 = A + B + C, — 1 = B — C ,\ = —A, dessen Lösung
die Werte A = -1, B = 3, C = 4 ergibt
¦ B: — —r = 1 -I- — + 7 -TT Die Koeffizienten Ai, Bu B2, B3 werden mit
x{x — ly x x — l (x — i)z (x — iy
der Methode der unbestimmten Koeffizienten bestimmt.
_ bx2 - 4x +16 ,4 Ax + Fi F>2x + F2 .
" C: (*-3)(.2-, + lJ = ^ + ^TTI + (,2-, + lJ- Die Koeffiz" * *' *• D-
E2 werden mit der Methode der unbestimmten Koeffizienten bestimmt.
Hinweis: Hat das Nennerpolynom Q(x) nur einfache Wurzeln a1} a2,..., am , dann hat der Ansatz
A.46) die Form
P(x) anxn H h ßix + a0 -Ai A2 Am
A.47)
A.48)
Q(x) (x - ai)(x - a2) - - - [x - am) x — ot\ x - a2 x-am'
und die Koeffizienten können wie folgt bestimmt werden:
_ P(tti) =PM =PK0
1 C(a,)' 2 <?'(a2)' •¦" m Q'(am)'
In den Nennern von A.48) stehen die Werte der Ableitungen —— für x = ai, x = a2,.. , x = am
dx
^ 6x2-x + l A B C n i ,
¦ ~ = — H r H —r , «i = 0, a2 = +1 und a3 = -1,
x6 — x x x — 1 £ + 1
P(x)=6^-, + l,C'(,) = 3^-1^=|| = -l,ß = |g = 3undC = ^ = 4,
1 1 Elementare Rechenregeln 17
A.49c)
P(x) 1 3 4 „ ., . , i. , . , x . • x. . . i .
-TT— = 1 H . Es ergibt sich die gleiche Lösung wie in Beispiel A.
Q{x) x x-l x + \
1.1.7.4 Umformung von Proportionen
Aus der Proportion
a c /-, .« x r * i. ^.i • i i . ab de b d . N
- = - A.49a) folgen die Gleichungen ad = bc, - = -, 7 = -, - = - A.49b)
b d c d b a a c
sowie die abgeleiteten Proportionen
a±b_c±d a±b_c±d a±c_b±d a+b_c+d
b d a c c d a—b c—d
Aus der Gleichheit der Proportionen
7- = 7- = • • • = 7- A.50a) folgt ; — = — . A.50b)
bi b2 bn & 61 + 62 + ... + bn ^ v
1.1.8 Irrationale Ausdrücke
Jeder irrationale Ausdruck kann in der Regel auf eine einfachere Form gebracht werden, und zwar durch
Kürzen des Exponenten, Vorziehen von Termen vor das Wurzelzeichen und Beseitigen der Irrationalität
im Nenner.
1. Kürzen des Exponenten Eine Kürzung des Exponenten wird erreicht, indem der Radikand in
Faktoren zerlegt wird und danach der Wurzelexponent sowie die Exponenten aller Faktoren im
Radikanden durch ihren größten gemeinsamen Teiler geteilt werden.
¦ ^16(x12 - 2x11 + x10) = tf4?-x52(x-lJ= fax5{x-l).
2. Beseitigen der Irrationalität Zur Beseitigung der Irrationalität im Nenner gibt es verschiedene
Methoden.
C:
D:
3. Umformung von Potenzen und Wurzeln Durch Anwendung der Rechenregeln für Potenzen
und Wurzeln (s. S. 8) lassen sich viele irrationale Ausdrücke vereinfachen.
¦ (yß + V^2" + tf? + ^) (yz _ iß + *fi _ 1^5) = (xl/2 + x2/3 + 3.3/4 + 2-7/12)^1/2 _ ^1/3 +
X\/A_xb/12\ _ ^^^7/6^x5/4 + x13/12_x5/6_x_x13/12_xll/12+x3/4^_xll/12+x + ^5/6_a.ll/12_x13/12_
x7/6_a, = a.5/4_;rl3/l2_:rll/l2+x3/4:=14^5_ ^13 _ ij£n + ^3 = ^3/4^ _ ^1/6 _ ^1/3 + ^1/2) =
I~x~ _ l2xy _ yföxy 1 x _ 3J2xy2z _ fäxy2z
V 2y VV 2y ' '' ]j Ayz2 f8j/¥ 2yz '
1 x- y/y x- y/y
x + y/y ~ [x + y/y) (x - y/y) ~ x2-y'
1 _ x2-xyy+yy* x2-xyy+Vy1
x+yy (x + xVy)(x2-xyy+yy2') *3 + V
I 81x6
\{y/2-yßf~\
9X3 3Xy/x SXy/x{\/2 + y/x)
{s/2-yfiJ~ y/2-yfi~ 2-X
3x\/2x + 3x2
2-x
18 1 Arithmetik
1.2 Endliche Reihen
1.2.1 Definition der endlichen Reihe
Unter einer endlichen Reihe wird die Summe
sn = aQ + ai+a2-\ han = ]Ca* (lt51)
i=0
verstanden, deren Summanden in der Regel nach einem bestimmten Gesetz gebildet werden. Die
Summanden ai (i = 0,1, 2, . , n) sind Zahlen und heißen Glieder der Reihe
1.2.2 Arithmetische Reihen
1. Arithmetische Reihe 1. Ordnung
heißt die Reihe A.51), wenn die Differenz von je zwei aufeinanderfolgenden Summanden konstant ist,
d.h. wenn gilt
Acii = Oi+i — ai = d = const, also a* = a$ + id. A.52a)
Somit wird
sn = a0 + (clq + d) + (a0 + 2d) H h (o0 + nd) mit dem Summenwert A.52b)
Sn = °^±^{n + 1) = ^Ba0 + nd). A 52c)
2. Arithmetische Reihe k-ter Ordnung
heißt eine Reihe, wenn die fc-ten Differenzen Akai der Folge ao, oi, 02, .. , an konstant sind. Die
Differenzen höherer Ordnung werden rekursiv durch
Auai = Au-lai+l-Au-lai A/ = 2,3, . ,fc) A.53a)
gebildet. Sie ergeben sich bequem aus dem folgenden Differenzenschema (auch Dreiecksschema)
a0
a>2
Ö3
Aa0
Aai
Aa2
A2a0
A2fl!
A2a2
A2an_
A3a0
A3ß!
A3an_3
2
•. Aka0
•. A*ai
Afcan
A.53b)
A-ao
Aan_i
Es gilt dann für die Glieder und für die Summe
a>i = a0+ I lAao+ [\A2ao + ---+ L]A*ao (i = 1,2, ,n), A.53c)
{n + %+(n:1)Aa0+(n+o1)^a0 + -+^++1^a0. A.53d)
1/12/ u 3
1.2 Endliche Reihen 19
1.2.3 Geometrische Reihe
Die Summe A51) wird geometrische Reihe genannt, wenn der Quotient von zwei aufeinanderfolgenden
Gliedern konstant ist, d.h. wenn gilt
-^— = q = const, also a{ = a0ql A 54a)
Somit wird
Sn — ao + clqQ + o-oQ2 + • • • + aoqn mit dem Summenwert A 54b)
qn+l _ l
sn = Go :— für q ^ 1 bzw sn = (n + l)a0 für q = 1 A 54c)
Für n —> oo (s. 721 1,S 422) erhält man eine unendliche geometrische Reihe, die im Falle \q\ < 1 den
folgenden Grenzwert hat
s = -^- A 54d)
i -q
1.2.4 Spezielle endliche Reihen
l + 2 + 3 + ..- + (n-l) + n= ^±12 , A.55)
P+(p+l) + (p + 2) + -- +(p + n)^(n+1)^ + n). A.56)
1 + 3 + 5 + • • • + Bn - 3) + Bn - 1) = r*2 , A 57)
2 + 4 + 6 + • • • + Bn - 2) + 2n = n(n + 1), A 58)
12 + 22 + 32 + ... + (n-lJ + n2^yi(yi + 1)i2n+1), A59)
6
13 + 23 + 33 + . . + (n_1K+n3= ^2(n+lJ^ A60)
12 + 32 + 52 + ,,, + Br?_1J=^(^2-l) (L61)
13 + 33 + 53 + • • + Bn - lK = n2Bn2 - 1), A.62)
3n2-
1 - (n + l)x-n + nxn+1
l4 + 24 + 34+ .. + w4=n(n+l)Bn+lQ(^ + 3n-l)> A ^
1.2.5 Mittelwerte
(S auch 16 3 2 2,1., S 796 und 16 4 1 3,1., S 813)
1.2.5.1 Arithmetisches Mittel
Arithmetisches Mittel von n Größen ai, a2, , an heißt der Ausdruck
ai +a2 + --- + an 1 "
x^ = = -\ak A 65a)
Für zwei Größen a und b ergibt sich
¦*a = ^y- A.65b)
20 1 Arithmetik
Die Größen a, xa und b bilden eine arithmetische Folge
1.2.5.2 Geometrisches Mittel
Geometrisches Mittel von n positiven Größen a1? a2,
xG = ^/a1a2.. an = f f[ afc j
Für zwei Größen a und 6 ergibt sich
xG — vab
, an heißt der Ausdruck
A 66a)
A 66b)
*g
a) b)
Abbildung 1.3
1.2.5.3 Harmonisches Mittel
Harmonisches Mittel von n Größen a\, a2
xH= -(— + — + ••• + —) =
in a\ a2 an J
Für zwei Größen a und b ergibt sich
rl (\ \\YX 2ab
XH=[2{ä+b)\ ' XH = TTb
1.2.5.4 Quadratisches Mittel
Quadratisches Mittel von n Größen oi , a2 ,
Die Größen a, xq und b bilden eine geometrische
Folge. Wenn a und b gegebene Strecken sind, dann
kann eine Strecke der Länge xG = \Za~b mit Hilfe
einer der in Abb. 1.3a oder Abb. 1.3b angegebenen
Konstruktionen ermittelt werden
Einen speziellen Fall des geometrischen Mittels
stellt die Teilung einer Strecke im Verhältnis des
Goldenen Schnittes dar (s. 3.5.2.3,3., S. 198).
, an heißt der Ausdruck
1 n 1 "l~1
-E-
nt{ak
A.67a)
A 67b)
, an heißt der Ausdruck
(ai2 4- a22 + • • • + an2
N»S*
Für zwei Größen a und b ergibt sich
Xq =
a' + l
A.1
A.68b)
Das quadratische Mittel ist von Bedeutung für die Theorie der Beobachtungsfehler.
1.2.5.5 Vergleich der Mittelwerte für zwei positive Größen a und b
_.. a + b r-r 2ab
Für xA = -^— , xG = Vab, xH = —— , xQ ¦-
2 a + o
1. wenn a < b:
a < xh < xg < xa < xq < b,
2. wenn a = b:
a = xA = xG = xH = xq = b
a2 + b2
alt
A.69a)
A.69b)
1.3 Finanzmathematik 21
1.3 Finanzmathematik
Die Finanzmathematik basiert auf Anwendungen der arithmetischen und geometrischen Reihen, also
der Formeln A 52a) bis A 52c) und A 54a) bis A 54d) aber diese Anwendungen sind im Bankwesen so
vielfältig und speziell, daß eine eigene Disziplin mit einer Vielzahl spezieller Begriffe entstanden ist So
wird in der Finanzmathematik nicht nur die Veränderung eines Kapitals durch Zinseszinsen und
Rentenzahlungen betrachtet, sondern sie umfaßt im wesentlichen die Gebiete Zinsrechnung, Tilgungsrech-
nurig, Raten- und Rentenrechnung, Abschreibungen, Kurs- und Effektivzinsrechnung sowie
Investitionsrechnung Grundlegende Aufgabenstellungen und Lösungsformeln werden im folgenden erläutert.
Für das ganze Spektrum der Finanzmathematik muß auf die Literatur verwiesen werden (s [1 2], [1.9]).
VerSicherungsmathematik und Risikotheorie, die auf Methoden der Wahrscheinlichkeitsrechnung und
mathematischen Statistik beruhen, stellen selbständige Disziplinen dar und werden hier nicht
behandelt (s. [1.3], [1 4])
1.3.1 Prozentrechnung
p
1. Prozent Der Ausdruck p Prozent von Kbedeutet —jtzK, wobei mit K in der Finanzmathematik
ein Kapital gemeint ist. Das Zeichen für Prozent ist %, d h , es gilt
p%=ioö bzw 1% = °'0L (L7°)
2. Aufschlag Werden p% auf K aufgeschlagen, dann erhält man den erhöhten Wert
k = K(l+m) A71)
p ~
Bezieht man den Aufschlag K auf den neuen Wert K, dann sind in K auf Grund der Proportion
K^.k=§ 100
V=^~ A72)
F 100 +p v J
Prozent Aufschlag enthalten
¦ Bei einem Warenwert von 200 - € ergeben 15 % Aufschlag einen Endpreis von 230. - €. In diesem
Preis sind für den Verbraucher p = = 13,04 Prozent Aufschlag enthalten.
115
3. Abschlag oder Rabatt Werden p% Rabatt auf einen Wert K gewährt, dann erhält man den
erniedrigten Wert
k = K{l~m)- A73)
P
Bezieht man den Abschlag K-— auf den neuen Wert K , dann sind
p = A 74)
y 100-p V J
Prozent Rabatt gewährt worden
¦ Eine Ware habe einen Wert von 300. — €. Bei 10% Rabatt sind noch 270 — € zu zahlen In diesem
Preis sind für den Käufer p = ——— = 11,11 Prozent Rabatt enthalten.
F 90
22 1 Arithmetik
1.3.2 Zinseszinsrechnung
1. Zinsen
Zinsen stellen entweder eine Gebühr dar, die für einen Kredit (Leihgeld) zu entrichten ist, oder einen
Erlös, der von einem Guthaben erzielt wird. Für ein Kapital K , das während einer ganzen Zinsperiode
(in der Regel 1 Jahr) angelegt ist, werden am Ende der Zinsperiode
Zinsen gezahlt. Dabei ist p der Zinssatz pro Zinspenode, und man sagt, es werden p% Zinsen für das
Kapital K gezahlt.
2. Zinseszinsen
Da ein Kapital nach jeder Zinsperiode um den Betrag der Zinsen wächst, werden die eingegangenen
Zinsen in der jeweils nächsten Zinsperiode mit verzinst. Diese Mitverzinsung heißt Zinseszins.
Bei der Veränderung eines Kapitals durch Zinseszinsen sind verschiedene Fälle zu unterscheiden
1. Einmalige Einzahlung Bei jährlichem Zinszuschlag wächst ein Kapital K nach n Jahren auf
den Endwert Kn Am Ende des n-ten Jahres gilt:
K« = KA + m>)n- <176)
P
Zur Abkürzung setzt man 1 + —— = q und bezeichnet q als nominellen Aufzinsungsfaktor und
A + —-—)m als effektiven Aufzinsungsfaktor.
Man spricht von unterjähriger Verzinsung, wenn das Jahr in m gleich lange Zinsperioden unterteilt
wird und die Zinsen bereits nach jeder dieser Zinsperioden dem Kapital K zugeschlagen werden. Der
P
Zinszuschlag pro Zinsperiode beträgt dann K-—— , und das Kapital wächst nach n Jahren mit je m
Zinsperioden auf
K-=KA+iL)mn A77)
an.
¦ Ein Kapital von 5000. — €, das mit 7,2 % pro Jahr verzinst wird, wächst in 6 Jahren a) bei jährlicher
Verzinsung auf K6 = 5000A + 0,072N = 7588, 20 € an, b) bei monatlicher Verzinsung auf K72 =
5000A + 0,072/12O2 = 7691,74 €.
2. Regelmäßige Einzahlungen Es sollen Einzahlungen der gleichen Höhe E in gleichen Abständen
geleistet werden. Diese Abschnitte sollen mit der Zinsperiode übereinstimmen Wird die Einzahlung
jeweils zu Beginn bzw. am Ende einer Zinsperiode geleistet, dann spricht man von einer vorschüssigen
(praenumerando) bzw einer nachschüssigen (postnumerando) Einzahlung. Am Ende der n-ten
Zinsperiode erhält man den Kontostand Kn , und zwar
a) bei vorschüssiger Einzahlung: b) bei nachschüssiger Einzahlung:
Kn = Eq^^, A.78a) Kn = E^^-. A.78b)
3. Unterjährige Einzahlungen Ein Jahr bzw. eine Zinsperiode wird in m gleich lange Abschnitte
zerlegt Zu Beginn bzw. am Ende eines jeden Teilabschnittes wird der gleiche Betrag E eingezahlt und
bis zum Jahresende verzinst. Nach einem Jahr erhält man auf diese Weise den Kontostand K\, und
zwar
a) bei vorschüssiger Einzahlung: b) bei nachschüssiger Einzahlung:
(m — l)pl
Kt
(ra+l)p
m +
200
A 79a) Kx :
m + ¦
200
A.79b)
1 3 Finanzmathematik 23
Im zweiten Jahr wird K\ voll verzinst, hinzu kommen noch die Einzahlungen und Zinsen wie im ersten
Jahr, so daß sich nach n Jahren für den Kontostand Kn bei unterjährigen Einzahlungen und jährlicher
Verzinsung ergibt
a) bei vorschüssiger Einzahlung: b) bei nachschüssiger Einzahlung:
Kn = E
m, +
(m + l)p
200
qn-l
q-1
A1
Kn = E
m +
(m — \)p
200
A 80b)
¦ Bei einem Jahreszinssatz von p = 5,2 zahlt ein Sparer monatlich nachschüssig 1000 — € ein. Nach
wie vielen Jahren wird der Kontostand von 500 000. — € erreicht? Aus A.80b), d.h. aus 500000 =
1000 12 +¦
11-5,2] l,052n-l
200
0,052
, folgt n = 22,42 Jahre
1.3.3 Tilgungsrechnung
1.3.3.1 Tilgung
Unter Tilgung versteht man die Rückzahlung von Krediten Dabei soll vorausgesetzt werden
1. Für eine Schuld S werden vom Schuldner jeweils am Ende einer Zinsperiode p% Zinsen verlangt
2. Nach N Zinsperioden sei die Schuld vollständig getilgt.
Die Belastung eines Schuldners pro Zinsperiode setzt sich somit aus Zinsen und Tilgungsrate
zusammen Falls die Zinsperiode 1 Jahr beträgt, bezeichnet man den finanziellen Aufwand des Schuldners in
dem betreffenden Jahr als Annuität
Für die Tilgung einer Schuld gibt es verschiedene Möglichkeiten. So können z.B. die Rückzahlungen
zu den Verzinsungszeitpunkten oder dazwischen erfolgen, die Rückzahlungsbeträge verschieden hoch
oder während der gesamten Laufzeit konstant sein.
1.3.3.2 Gleiche Tilgungsraten
Die Tilgung erfolgt unterjährig, es werde aber keine unterjährige Verzinsung mit Zinseszins vereinbart
Mit den Bezeichnungen
• S Schuld (Verzinsung nachschüssig mit p%),
• T = —— Tilgungsrate (T = const),
mN
• m Anzahl der Tilgungsraten pro Zinsperiode,
• N Anzahl der Zinsperioden bis zur endgültigen Tilgung der Schuld
ergibt sich für den Schuldner außer der Zahlung der Tilgungsraten noch die folgende Belastung durch
Zinsen
a) Zinsen Zn für die n—te Zinsperiode:
m + 1
Zn '¦
pS_
100
1-
2m
'¦)}¦
A.81a
b) Gesamtzinsen Z zur Tilgung einer
Schuld S in mN Raten bei N Zinsperioden
zu p% Zinsen:
z-Tz pS \N~1 i m + 1l
h n"l00L 2 + 2m J
A 81b)
¦ Eine Schuld von 60 000 -€ wird jährlich mit 8% verzinst 60
Monate lang sollen nachschüssig jeweils 1000 — € getilgt werden. Wie 1 Jahr-
hoch sind die jeweils an den Jahresenden anfallenden Zinsen7 Die 2. Jahr:
Zinsen für jedes Jahr berechnet man aus A.81a) mit S — 60000 , p = 3 Jahr*
8, ./V = 5 und m = 12 Sie sind in der nebenstehenden Tabelle aufge- 4 Jahr.
listet Die Gesamtzinsen hätte man auch mit Hilfe von A 81b) gemäß 5. Jahr.
• 60000 T5 -
z2 =
Z3 =
Z4 =
Z,=
z=-
100
-^ + 1=12200
¦ € ermitteln können.
4360 -€
3400. - €
2440 - €
1480 - €
520 -€
Z= 12200 -€
24 1. Arithmetik
1.3.3.3 Gleiche Annuitäten
Bei gleichbleibenden Tilgungsraten T = —— nehmen die zusätzlich anfallenden Zinsen im Laufe der
mN
Zeit ab (s. voranstehendes Beispiel) Bei der Annuitätentilgung wird dagegen zu jedem Zinstermin die
gleiche Annuität A, d h. der gleiche Betrag für Zinsen -f Tilgung erhoben. Damit ist die Belastung des
Schuldners im gesamten Tilgungszeitraum konstant
Mit den Bezeichnungen
• S Schuld (Verzinsung mit p% pro Zinsperiode),
• A Annuität pro Zinsperiode (A const),
• a Tilgungsrate bei m Tilgungen pro Zinsperiode (a const),
P
• q — 1 + — Aufzinsungsfaktor
ergibt sich als Restschuld Sn nach n Zinsperioden:
(m — l)p
¦ Sqn-
m + -
200
Qn - 1
q A 82)
q-\
Dabei beschreibt der Term Sqn den Wert der Schuld S nach n Zinsperioden mit Zinseszins (s A 78a,b)),
der zweite Term in A.82) gibt den Wert der unterjährigen Tilgungsraten a mit Zinseszins wieder (s
A.82) mit E = a). Für die Annuität gilt.
(m — l)p
200
A.83)
Dabei entspricht die einmalige Zahlung von A den m Ratenzahlungen a Aus A 83) folgt A > ma
Da nach N Zinsperioden die Schuld getilgt sein soll, folgt aus A 82) für Sn = 0 unter Beachtung von
A.83):
Zur Lösung von Aufgaben der finanzmathematischen Praxis kann A 84) nach einer der Größen A, 5, q
oder N aufgelöst werden, wenn die übrigen Größen bekannt sind.
¦ A: Eine Annuitätenschuld über 60000. — € werde jährlich mit 8% verzinst und soll in 5 Jahren
getilgt sein Wie hoch sind jährliche Annuität A und monatliche Tilgungsrate a? Aus A 84) bzw. A 83)
n n& i ^097 *3Q
erhält man. A = 60000 ^— = 15027,39 €, a = ^—^ = 1207,99 €
1 12H —
1,085 200
¦ B: Ein Kredit in Höhe von S = 100 000 — € soll durch Annuitätentilgung in N = 8 Jahren bei
7,5% Jahreszinsen abgezahlt werden. An jedem Jahresende soll zusätzlich eine Tilgung von 5000. —
€ erfolgen Wie hoch ist die monatliche Tilgungsrate? Als Annuität A pro Jahr ergibt sich gemäß
A.84) A = 100 000 —5 = 17072,70 € Da sich A aus 12 Tilgungsraten a pro Jahr und die
1- ¦
1,0758
zusätzlichen Zahlungen von 5000 — € am Jahresende zusammensetzt, gilt unter Beachtung von A.83)
A = a 112 + ' ' | + 5000 = 17072, 70 Die monatliche Belastung beträgt somit a = 972,62 €.
1.3.4 Rentenrechnung
1.3.4.1 Rente
Zahlungen, die in regelmäßigen Zeitabschnitten wiederkehren, und zwar in gleicher oder
unterschiedlicher Höhe, vorschüssig oder nachschüssig, werden als Renten bezeichnet Man unterscheidet*
1.3 Finanzmathematik 25
a) Einzahlungen Rentenbeträge werden auf ein Konto eingezahlt und mit Zinseszins verzinst. Es
werden die Formeln der Zinseszinsrechnung aus 1.3.2, S. 22 angewendet.
b) Rückzahlungen Die Rentenzahlungen erfolgen aus einem Kapital, das mit Zinseszins angelegt ist.
Es werden die Formeln der Tilgungsrechnung aus Abschnitt 1 3 3, S. 23 angewendet, wobei die Annuität
zur Rente wird. Falls höchstens die jeweils anfallenden Zinsen als Rente ausgezahlt werden, spricht man
von einer ewigen Rente
Rentenzahlungen (Ein- wie Rückzahlungen) können zu den Zinsterminen, d h. Zinstermin =
Rententermin, oder in kürzeren Abständen innerhalb der Zinsperioden, d h. unterjährig vorgenommen werden.
1.3.4.2 Nachschüssig konstante Rente
Die Termine für Zinsberechnung und Rentenzahlung sollen übereinstimmen. Die Verzinsung erfolge
mit p% Zinseszins, und die Rentenbeträge sollen von der gleichen Höhe R sein. Dann gibt der Renten-
endwert Rn an, auf welchen Betrag die regelmäßigen Einzahlungen nach n Zinsperioden angewachsen
sind
Rn = R^- mit 9 = 1 + ^5- A-85)
Der Rentenbarwert R0 stellt den Betrag dar, der zu Beginn der 1 Zinsperiode (einmalig) eingezahlt
werden muß, um nach n Zinsperioden mit Zinseszins auf den Rentenendwert Rn angewachsen zu sein
flo = ^ mit 9 = l + j^. A86)
¦ Von einer Gesellschaft hat jemand 10 Jahre lang jeweils zum Jahresende 5000. — € zu beanspruchen.
Vor der 1. Zahlung hat die Firma Konkurs angemeldet. Als Forderung an den Konkursverwalter kann
nur der Barwert Rq geltend gemacht werden Bei Zinsen von 4% pro Jahr gilt
1 qn _ i l-n~n 1-1,04-10
Ro = —R- - R V = 5000 TTTT* = 40554>48 €-
qn q-1 q-1 0,04
1.3.4.3 Kontostand nach n Rentenzahlungen
Zur nachschüssigen Rentenzahlung stehe ein Kapital K zur Verfügung, das mit p% verzinst wird. Zu
jedem Zinstermin werde der Rentenbetrag r ausgezahlt. Der Kontostand Kn nach n Zinsperioden, also
auch nach n Rentenzahlungen, beträgt.
Kn = Kqn-Rn = Kqn-r<?-—^ mit q = 1 + -£- A.87a)
q — 1 100
Folgerungen aus A.87a):
r = K-— A.87b) Es ergibt sich Kn — K , d h , das Kapital ändert sich nicht. Es
100
r V
100
liegt der Fall der ewigen Rente vor.
Das Kapital wird aufgebraucht, un<
gen Aus A 87a) folgt dann für Kn = 0
P
r > K-— A 87c) Das Kapital wird aufgebraucht, und zwar nach N Rentenzahlun-
r aN - 1
K = ^-^Y A87d)
Wird eine unterjährige Verzinsung und eine unterjährige Rentenzahlung vorgenommen, dann ist in den
Formeln A 85) bis A 87a) n durch mn und entsprechend q = 1 + —— durch q = 1 + ——— zu ersetzen,
100 100m
wenn die ursprüngliche Zinsperiode in m gleich lange neue Zinsperioden unterteilt wird.
¦ Welcher Betrag muß 20 Jahre lang monatlich nachschüssig eingezahlt werden, damit daran
anschließend 20 Jahre lang monatlich eine Rente von 2000 - € gezahlt werden kann? Die Verzinsung
26 1 Arithmetik
erfolge monatlich mit 0, 5%
Aus A.87d) erhält man für n = 20 • 12 = 240 die Summe K, die für die anschließenden Rentenzah-
2000 1 005240 — 1
lungen benötigt wird. K = = 279161,54 € Die dazu notwendigen monatlichen
1,005240-1
0,005
dh i? = 604,19€
1,005240 0,005
Einzahlungen R ergeben sich aus A.85). R240 = 279161,54 = R
1.3.5 Abschreibungen
1. Abschreibungsarten
Bei Gütern, die z B durch Abnutzung oder Alterung eine Wertminderung erfahren, wird jährlich
eine Abschreibung vorgenommen. Durch eine solche Abschreibung während eines Bilanzjahres wird der
Anfangswert zu Beginn des Jahres auf den Restwert am Ende des Jahres reduziert Es werden folgende
Bezeichnungen verwendet:
•A Anschaffungswert,
•N Nutzungsdauer (in Jahren),
•Rn Restwert nach n Jahren (n < N),
•an (n = 1,2, .., N) Abschreibungsrate im n-ten Jahr.
Die Abschreibungsarten unterscheiden sich vor allem durch die Festlegung der Abschreibungsraten
• Lineare Abschreibung, d h gleiche Jahresraten,
• Degressive Abschreibung, d h fallende Jahresraten.
2. Lineare Abschreibung
Die jährlichen Abschreibungen sind konstant, d h., für die Abschreibungsraten an und den Restwert
Rn nach n Jahren gilt
A- RN
¦ a,
A'
Rn '¦
A-RN
(n = l,2,...,AT). A.89)
N v N
Setzt man Rn = 0, dann wird das Gut nach N Jahren auf den Wert Null gesetzt, also vollständig
abgeschrieben
¦ Der Anschaffungspreis einer Maschine betrage A = 50 000. — € In 5 Jahren soll sie auf den Restwert
R$ = 10000 — € abgeschrieben sein
Bei linearer Abschreibung
ergibt sich gemäß A 88)
und A.89) der
nebenstehende Abschreibungsplan.
Es ist ein starker Anstieg
der prozentualen
Abschreibung, bezogen auf den
jeweiligen Anfangswert, zu
verzeichnen
3. Arithmetisch-degressive Abschreibung
Die Abschreibungen sind in diesem Falle nicht konstant Sie nehmen jährlich um den gleichen Betrag
d, das Abschreibungsgefälle, ab. Für die Abschreibungsrate im n-ten Jahr gilt
an = ai — (n — l)d (n = 2,3, , N + 1; ai und d gegeben). A 90)
N
Aus dieser Gleichung folgt unter Berücksichtigung der Beziehung A — R^ = Y, an-
n=l
Jahr
1
2
3
4
5
Anfangswert
50 000
42 000
34 000
26 000
18 000
Abschreibung
8000
8000
8000
8000
8000
Restwert
42 000
34 000
26 000
18 000
10 000
Abschreibung in %
vom Anfangswert
16,0
19,0
23,5
30,8
44,4
d =
2[A^a! -(A-RN
N(N-l)
A.91)
1.3 Finanzmathematik 27
Für d = 0 ergibt sich als Spezialfall die lineare Abschreibung. Im Falle d > 0 folgt aus A.91)
A- RN
ai >
N
A.92)
wobei a die Abschreibungsrate der linearen Abschreibung ist. Insgesamt muß die erste
Abschreibungsrate a\ der arithmetisch-degressiven Abschreibung der folgenden Ungleichung genügen.
A — Rn ^A — Rn
Rn nA-
< CLi < 2-
A.93)
AT x N
¦ Eine Maschine mit dem Anschaffungswert 50 000. — € soll in 5 Jahren arithmetisch-degressiv auf
10 000. — € abgeschrieben werden Dabei sollen im ersten Jahr 15 000 — € abgeschrieben werden.
Der mit den
angegebenen Formeln
berechnete nebenstehende
Abschreibungsplan zeigt,
daß die
prozentuale Abschreibung, mit
Ausnahme der letzten
Rate, ausgeglichen ist
4. Digitale Abschreibung
Die digitale Abschreibung ist ein Spezialfall der arithmetisch-degressiven Abschreibung, indem
gefordert wird, daß die letzte Abschreibungsrate a^ mit dem Abschreibungsgefälle d übereinstimmt. Aus
ajv = d folgt:
Jahr
1
2
3
4
5
Anfangswert
50 000
35 000
23 500
15 500
11000
Abschreibung
15 000
11500
8 000
4 500
1000
Restwert
35 000
23 500
15 500
11000
10 000
Abschreibung in %
vom Anfangswert
30,0
32,9
34,0
29,0
9,1
2(A - RN)
N{N + l) '
A 94a)
oi = Nd, a2 = (N-l)d,
,aN = d. A.94b)
¦ Der Anschaffungspreis einer Maschine sei A = 50000. — €.
auf den Restwert R5 = 10 000. — € abgeschrieben werden
Diese Maschine soll in 5 Jahren digital
Der mit den angegebenen
Formeln berechnete
nebenstehende
Abschreibungsplan zeigt einen
ausgeglichenen Verlauf der
prozentualen Abschreibung.
5. Geometrisch-degressive Abschreibung
Bei der geometrisch-degressiven Abschreibung werden in jedem Jahr p% vom jeweiligen Restwert des
Vorjahres abgeschrieben. Für den Restwert Rn nach n Jahren gilt
Jahr
1
2
3
4
5
Anfangswert
50 000
36 665
25 997
17 996
12 662
Abschreibung
ai = 5d = 13 335
a2 = Ad = 10 668
a3 = U = 8 001
a4 = 2d = 5 334
a5 = d= 2 667
Restwert
36 665
25 997
17 996
12 662
9 995
Abschreibung in %
vom Anfangswert
26,7
29,1
30,8
29,6
21,1
Rn '¦
¦¦a(i-JLY
V loo/
(n = 1,2,. .).
A.95)
In der Regel ist A gegeben. Beträgt die Laufzeit N Jahre, dann können gemäß A 95) von den Größen
Rn,P und N zwei weitere vorgegeben und die dritte dazu bestimmt werden.
¦ A: Eine Maschine mit dem Anschaffungswert 50000. — € soll jährlich geometrisch-degressiv mit
10% abgeschrieben werden. Nach wieviel Jahren unterschreitet der Restwert erstmalig 10 000. — €?
Aus A.95) folgt N = ^y y = 15,27 Jahre.
¦ B: An einem Anschaffungswert von A = 1000. — € soll der Verlauf der Restwerte Rn für n =
1.2,..., 10 Jahre bei a) linearer, b) arithmetisch-degressiver, c) geometrisch-degressiver Abschreibung
28 1 Arithmetik
demonstriert werden. Das Ergebnis zeigt die Abb. 1.4.
/arithmetisch- degressiv
-geometrisch-degressiv
/linear
2 4 6 8 10 n
Abbildung 1 4
6. Abschreibung mit verschiedenen
Abschreibungsarten
Da bei der geometrisch-degressiven Abschreibung der
Restwert Null für endliches n nicht erreicht werden
kann, ist es zweckmäßig, von einem bestimmten
Zeitpunkt an, z.B. nach m Jahren, von der geometrisch-
degressiven zur linearen Abschreibung überzugehen
Man legt m so fest, daß von diesem Zeitpunkt an die
Abschreibungsraten der geometrisch-degressiven
Abschreibung kleiner sind als die der linearen
Abschreibung. Aus dieser Forderung folgt
m>N-— A.96)
V
Dabei gibt m das letzte Jahr der
geometrischdegressiven Abschreibung und N das letzte Jahr der
linearen Abschreibung auf Null an
¦ Eine Maschine mit dem Anschaffungswert 50 000 — € soll in 15 Jahren auf Null abgeschrieben
werden, und zwar m Jahre lang geometrisch-degressiv mit jeweils 14% vom Restwert, danach linear. Aus
A 96) folgt m > 15 —— = 7, 76, d h , nach m = 8 Jahren ist es zweckmäßig, von der
geometrischdegressiven zur linearen Abschreibung überzugehen
1.4 Ungleichungen
1.4.1 Reine Ungleichungen
1.4.1.1 Definitionen
1. Ungleichungen
Ungleichungen sind Verknüpfungen zweier algebraischer Ausdrücke durch eines der folgenden Zeichen
(., kleiner")
(„größer oder kleiner")
(„nicht kleiner")
(„nicht größer").
Typl > („größer") Typ II
Typ III ^ („verschieden von, ungleich") Typ Illa
Typ IV > („größer oder gleich") Typ IVa
Typ V < („kleiner oder gleich") Typ Va
Die Zeichen III und lila, IV und IVa sowie V und Va besitzen jeweils die gleiche Bedeutung, so daß
sie sich gegenseitig ersetzen lassen Wenn sich das Zeichen lila auf Größen bezieht, für die die Begriffe
„größer" oder „kleiner" nicht definiert sind, z B bei komplexen Zahlen oder Vektoren, dann läßt es sich
durch das Zeichen III ersetzen In diesem Abschnitt werden nur reelle Zahlen benutzt
2. Identische, gleichsinnige, ungleichsinnige und äquivalente Ungleichungen
1. Identische Ungleichungen zeichnen sich durch ihre Gültigkeit für alle Werte der in ihnen
enthaltenen Buchstabensymbole aus
2. Gleichsinnige Ungleichungen liegen vor, wenn von zwei Ungleichungen beide zum Typ I oder
beide zum Typ II gehören.
3. Ungleichsinnige Ungleichungen liegen vor, wenn die eine Ungleichung zum Typ I, die andere
zum Typ II gehört.
1.4 Ungleichungen 29
ist a < b, dann ist b
Transitivität
Ist a > b und b > c,
ist a < b und b < c,
> > a
dann ist a > c
dann ist a < c
4. Äquivalente Ungleichungen liegen vor, wenn zwei Ungleichungen mit denselben Unbekannten
für die gleichen Werte der Unbekannten richtig sind
3. Lösung von Ungleichungen
Ungleichungen können ebenso wie Gleichungen unbekannte Größen enthalten, die gewöhnlich durch
die letzten Buchstaben des Alphabets bezeichnet werden. Die Lösung einer Ungleichung oder eines
Systems von Ungleichungen zu suchen, bedeutet zu bestimmen, innerhalb welcher Grenzen sich die
unbekannten Größen bewegen dürfen, damit die Ungleichung oder alle Ungleichungen des Systems
richtig bleiben
Lösungen können für alle fünf Typen von Ungleichungen gesucht werden, meistens treten die reinen
Ungleichungen vom Typ I und II auf
1.4.1.2 Eigenschaften der Ungleichungen vom Typ I und II
1. Sinnänderung des Ungleichheitszeichens
Ist a > b, dann ist b < a; A 97a)
A 97b)
A.98a)
A.98b)
3. Addition und Subtraktion einer Größe
Ist a>b, dann ist a±c> b±c, A.99a)
ist a < b, dann ist a ± c < b ± c A 99b)
Durch Addition oder Subtraktion ein und derselben Größe auf beiden Seiten ändert sich der Sinn der
Ungleichung nicht.
4. Addition von Ungleichungen
Ist a > b und od, dann ist a + c > b + d, A 100a)
ist a < b und c < d, dann ist a + c < 6 + d. A 100b)
Zwei gleichsinnige Ungleichungen können seitenweise addiert werden
5. Subtraktion von Ungleichungen
Ist a > b und c < d, dann ist a — c > b — d; A 101a)
ist a<b und c>d} dann ist a — c <b — d. A.101b)
Von einer Ungleichung kann eine andere ihr ungleichsinnige Ungleichung glied- oder seitenweise
subtrahiert werden, wobei das Ungleichheitszeichen der ersten Ungleichung erhalten bleibt Im Unterschied
dazu lassen sich gleichsinnige Ungleichungen nicht gliedweise subtrahieren.
6. Multiplikation und Division einer Ungleichung mit einer Zahl
Ist a > b und c > 0, dann ist ac > bc und - > - , A 102a)
c c
ist a < b und c > 0, dann ist ac < bc und - < - , A.102b)
c c
ist a > b und c < 0, dann ist ac < bc und - < - ; A 102c)
c c
ist a<b und c < 0, dann ist ac> bc und ->-. A 102d)
30 1 Arithmetik
Wenn eine Ungleichung beidseitig mit einer positiven Zahl multipliziert oder dividiert wird, dann bleibt
der Sinn der Ungleichung erhalten; ist dagegen die Zahl negativ, dann muß der Sinn des Ungleichheits-
zeichens umgekehrt werden
7. Ungleichung bezüglich der Kehrwerte
Ist 0 < a < b oder a < b < 0, dann ist - > - . A.103)
a b
1.4.2 Spezielle Ungleichungen
1.4.2.1 Dreiecksungleichung
Für alle reellen Zahlen a, 6, a\, a2,. ., an € R gilt
\a + b\ < M + I&l ' A104)
bzw.
|ai + a2 + • • • + an\ < |oi| + \a2\ + • • • + \an\ A 105)
Das Gleichheitszeichen gilt nur, wenn alle Summenden gleiches Vorzeichen besitzen
Für 2 bzw n komplexe Zahlen zl5 2:2? > zn € C gilt.
ki+£2|<N + N A106)
bzw.
|*1 + Z2 + • ' • + Zn\ < \Zi\ + \Z2\ + • ¦ • + kn| A.107)
Unter dem Absolutbetrag einer komplexen Zahl versteht man ihren Modul \z\ — p (s 1.5.2.3, S. 35)
1.4.2.2 Ungleichungen für den Absolutbetrag der Differenz zweier Zahlen
Für zwei reelle Zahlen a, b G R gilt*
|a| - |b| < |a-6| < |o| + |6|. A.108a)
Der Absolutbetrag der Differenz zweier reeller Zahlen ist kleiner oder gleich der Summe bzw. größer
oder gleich der Differenz der Absolutbeträge dieser Zahlen
Für zwei komplexe Zahlen z\, z2 € C gilt.
Iki|-k2||<ki-^l<kil + l^|. (no8b)
1.4.2.3 Ungleichung für das arithmetische und das geometrische Mittel
ai +a2 + ••• + an
>Vala2*"an rur Oj>0. A109)
n
Das arithmetische Mittel von n positiven Zahlen ist größer oder gleich dem geometrischen Mittel dieser
Zahlen Das Gleichheitszeichen gilt nur, wenn alle n Zahlen gleich sind
1.4.2.4 Ungleichung für das arithmetische und das quadratische Mittel
lai + a2 + --- + an| ax2 + a22 + • • • + an2 ,, nn\
<V 1.110)
I n IV n
Der Absolutbetrag des arithmetischen Mittels mehrerer Zahlen ist kleiner oder gleich dem
quadratischen Mittel dieser Zahlen.
1.4.2.5 Ungleichungen für verschiedene Mittelwerte zweier reeller Zahlen
Für die Ungleichungen, die das arithmetische, geometrische, harmonische und quadratische Mittel
zweier positiver reeller Zahlen a und b mit a < b miteinander verknüpfen (s auch 1 2 5 5, S 20), gilt
a < xu < xq < xa < xq < b. A lila)
1 4 Ungleichungen 31
Dabei bedeuten
a + b fT 2ab la2 +b2 nniM
xA = -^r-, xG = Vab, xH = ——, xQ = \ —-— , A.111b)
2 o + o V l
1.4.2.6 Bernoullische Ungleichung
Für alle reellen Zahlen a > — 1 und ganze Zahlen n > 1 ist
(l + a)n> 1+na. A 112)
Das Gleichheitszeichen gilt für n = 1 oder für a = 0.
1.4.2.7 Binomische Ungleichung
Für alle reellen Zahlen a, 6 E R gilt
|a6| < i(a2 + 62). A.113)
1.4.2.8 Cauchy-Schwarzsche Ungleichung
1. Cauchy-Schwarzsche Ungleichung für reelle Zahlen Die CAUCHY-SCHWARZsche
Ungleichung gilt für alle reellen Zahlen a^, bj £ R :
|ai&i + a2b2 + • • • + anbn\ < y/a^ + a22 + • • • + an2 yjb2 + 622 + • • • + bn2 A.114a)
oder
(aibi + a2b2 + • • • + anbnJ < (ax2 + a2 + • • • + an2)(&i2 + 622 + • • • + bn2) A.114b)
Für zwei endliche Zahlenfolgen mit jeweils n Zahlen ist der Betrag der Summe ihrer paarweisen
Produkte kleiner oder gleich dem Produkt der beiden Quadratwurzeln aus den Summen der Quadrate dieser
Zahlen. Das Gleichheitszeichen gilt nur für a\ ' b\ = a2 b2 = • • • = an bn
Wenn n = 3 ist und {ai, a2,0,3} und {61,62,63} als rechtwinklige kartesische Koordinaten von
Vektoren aufgefaßt werden, dann besagt die Ungleichung von Cauchy-Schwarz, daß das skalare Produkt
zweier Vektoren betragsmäßig kleiner oder gleich dem Produkt der Beträge dieser Vektoren ist. Wenn
n > 3 ist, dann kann diese Aussage auf Vektoren im n-dimensionalen euklidischen Raum ausgedehnt
werden.
2. Cauchy-Schwarzsche Ungleichung für komplexe Zahlen Für beliebige komplexe Zahlen
2i,22,. .,zn,wi,w2i...iwneCgilt
\z\Wi + Z2W2 H \- ZnWn\ < \jz\Zx + Z2Z2 + • • Z*nZn \jw\W\ + W2W2 -\ WJ>„ A 115)
Mit z*, z\, ., w\, iuj, • • •, w* werden die konjugiert komplexen Zahlen zu z\, z2, ., W\, w2,..., wn
bezeichnet (s. 1.5.2.5, S. 36).
3. Cauchy-Schwarzsche Ungleichung für konvergente unendliche Reihen und Integrale
Ein Analogon zu A.114b) ist die CAUCHY-SCHWARZsche Ungleichung für konvergente unendliche
Reihen sowie für bestimmte Integrale:
(f>AJ < (f>n2) (f>n2) , A 116)
£f(x)(p(x)dx] <(j\f(x)]2dx) (fy{x)]2dx\ A.117)
1.4.2.9 Tschebyscheffsche Ungleichung
Wenn ai, a2,..., an, 61,62,..., bn positive reelle Zahlen sind, dann gilt
/ai-
[ + a2 + --- + an\ (bi + b2 + --- + bn\ < 01 fei +a2b2 + --- + anbn
n ) \ n ) ~ n
32 1 Arithmetik
für d\ < a2 < < an und b\ < b2 < . < bn
oder a\ > a2 > > an und b\ > b2 > > bn
ai + a2 H + an
h + b2 -\ \-bn\ aib\ + a2b2 -\ h anbn
A 118b)
n J n
für cl\ < a2 < < an und b\ > b2 > . > bn .
Für zwei endliche Zahlenfolgen mit n positiven Zahlen ist das Produkt der arithmetischen Mittel dieser
Folgen kleiner oder gleich bzw. größer oder gleich dem arithmetischen Mittel der paarweisen Produkte,
wenn beide Zahlenfolgen entweder ab- oder zunehmen oder die eine Folge zu- und die andere abnimmt
1.4.2.10 Verallgemeinerte Tschebyscheffsche Ungleichung
Wenn a\. a2, . , an, &i, b2, , bn positive reelle Zahlen sind, dann gilt
aifc + a2fc + --- + anfc
hk + b2k + • • ¦ + bnk < J(a1b1)K + (a2b2)k + ... + (anbn)k
n ~ V n
für d\ < a2 < ... < an und b\ <b2< < bn
oder öi > a2 > .. > an und b\ > b2 > . > bn
kaxk + a2k + - • + ank kbYK + b2K + ¦ • • + bn
(ai6i)fc + {a2b2)k + • • + (an6n)*
A 119b)
für d\ < a2 < ... < an und b\ > b2 > > bn
n
J2 \XkVk\ <
n
n
.fc=l
1.4.2.11 Höldersche Ungleichung
1. Höldersche Ungleichung für Reihen Wenn p und q zwei reelle Zahlen sind, für die - + - = 1
V Q
gilt, und wenn xu x2, , xn und yi,y2, , yn beliebige 2n komplexe Zahlen sind, dann gilt
A 120a)
Diese Ungleichung gilt auch für abzählbar unendlich viele Zahlenpaare.
A.120b)
wobei aus der Konvergenz der beiden Reihen auf der rechten Seite die Konvergenz der Reihe auf der
linken Seite folgt.
2. Höldersche Ungleichung für Integrale Wenn f(x) und g(x) zwei meßbare Funktionen auf dem
Maßraum (X, A, p) sind (s 12 9 1,2., S. 656, 12 9 2, S 657), dann gilt.
J2\XkVk\ <
fc=l
p
" oc
.fc=i
j\j{x)g(x)W< \j\f(x)fdß\" \j\g(x)\"dß
A 120c)
1.4 Ungleichungen 33
1.4.2.12 Minkowskische Ungleichung
1. Minkowskische Ungleichung für Reihen Wenn p > 1 ist und {x^kZT sowie {yk}kLi m*t
%k, Vk £ C zwei Zahlenfolgen sind, dann gilt
A.121a)
2. Minkowskische Ungleichung für Integrale Wenn f(x) und g(x) zwei meßbare Funktionen
auf dem Maßraum (X,^,//) (s. 12.9.2, S. 657) sind, dann gilt:
r oo
Ekfc + rf
Üb=l
p
<
.fc=l
p
+
" oo
£ \y*\p
.fc=l
J\f(x)+g{x)\>dS < \j\f{x)\*dn P+ \j\g{x)\*dß
A.121b)
1.4.3 Lösung von Ungleichungen 1. und 2. Grades
1.4.3.1 Allgemeines
Eine Ungleichung wird gelöst, indem man sie schrittweise in äquivalente Ungleichungen umformt Wie
bei der Lösung einer Gleichung werden die Summanden von der einen Seite auf die andere gebracht,
wobei jeweils das Vorzeichen zu wechseln ist Weiter können beide Seiten der Ungleichung mit ein und
derselben Zahl, die ungleich Null sein muß, multipliziert oder dividiert werden, wobei der Sinn des
Ungleichheitszeichens erhalten bleibt, wenn diese Zahl positiv ist, sich aber ändert, wenn sie negativ
ist. Eine Ungleichung 1 Grades kann auf diese Weise immer auf die Form
ax > b A.122)
gebracht werden, eine Ungleichung 2. Grades im einfachsten Falle auf die Form
x2 > m A.123a) oder x2 < m A 123b)
und im allgemeinen Falle auf die Form
ax2 + bx + c>0 A.124a) oder ax2 + bx + c < 0. A124b)
1.4.3.2 Ungleichungen 1. Grades
Die Ungleichungen 1. Grades besitzen die Lösung
x > - für a > 0
a
A.125a) und
¦ 5x + 3 < 8z + 1, bx - %x < 1 - 3, -Sx < -2,
1.4.3.3 Ungleichungen 2. Grades
Die Ungleichungen 2 Grades
x > m
besitzen die Lösungen
A.126a) und
x < - für a < 0
a
2
x>-.
a) x2 > m. Für m > 0 ist die Lösung x > y/m und x < —y/m (\x\ > y/rn),
für m < 0 ist die Ungleichung identisch erfüllt.
b) x2 < m: Für m > 0 ist die Lösung — y/m < x < +y/m (\x\ < y/m),
A.125b)
A 126b)
A.127a)
A.127b)
A 128a)
34 1 Arithmetik
für m < 0 gibt es keine Lösung A.128b)
1.4.3.4 Allgemeiner Fall der Ungleichung 2. Grades
ax2 + bx + c>0 A129a) oder ax2 + bx + c < 0 A.129b)
Die Ungleichung wird durch a dividiert, wobei sich das Vorzeichen im Falle a < 0 ändert, so daß sie auf
die Form
x2 + px + q < 0 A 129c) oder x2 + px + q > 0 A 129d)
gebracht wird Durch quadratische Ergänzung folgt
(z + fJ<(!J-9 (l-129e) oder (x +EJ > @2 _,. A 129f)
J9 /p\2
Bezeichnet man x + - mit z und ( - 1 — q mit m , dann ergibt sich die Ungleichung
z2 < m A.130a) oder z2 > m A 130b)
Nachdem diese gemäß A 128a,b) oder A 127a,b) gelöst ist, kann x bestimmt werden
¦ A: -2x2 + 14rc - 20 > 0, x2 - 7x + 10 < 0 , (x-^) <j, -| < x - - < -,
\ Z / tc Z Z Z
3 7 3 7
— - + -<x<- + - Die Lösung ist 2 < :r < 5
¦ B: x2 + 6z + 15 > 0 , (z + 3J > -6 Die Ungleichung ist identisch erfüllt.
/ 7\2 9 7 3 7 3
¦ C: -2x2 + 14x-20<0, [x--] >-, x - - > - und x--< —
V 2/ 4 ' 2 2 2 2
Die Lösungsbereiche sind x > 5 und x < 2
1.5 Komplexe Zahlen
1.5.1 Imaginäre und komplexe Zahlen
1.5.1.1 Imaginäre Einheit
Als imaginäre Einheit wird eine Zahl i eingeführt, deren Quadrat „-1" ist. In der Elektrotechnik wird
meist anstelle von i der Buchstabe j verwendet, um Verwechslungen mit der Stromstärke i zu vermeiden.
Die Einführung der imaginären Einheit führt zu einer Verallgemeinerung des Zahlbegriffs, zu den
komplexen Zahlen, die in der Algebra und Analysis eine große Rolle spielen und in Geometrie und Physik
eine Reihe konkreter Interpretationen bzw. neuer Beschreibungsmöglichkeiten ergaben.
1.5.1.2 Komplexe Zahlen
Die algebraische Form einer komplexen Zahl lautet
z = a + \b. A.131a)
Wenn a und b alle möglichen reellen Werte durchlaufen, dann werden alle möglichen komplexen Zahlen
z erzeugt. Die Zahl a wird Realteil, die Zahl b Imaginärteil der Zahl z genannt
a = Re(z), b = lm(z) A 131b)
Für b = 0 wird z = a, so daß die reellen Zahlen zum Spezialfall der komplexen Zahlen werden Für
a = 0 wird z = i b eine „rein imaginäre Zahl".
Die komplexen Zahlen bilden die Menge der komplexen Zahlen, die mit C bezeichnet wird
1 5 Komplexe Zahlen 35
Hinweis: Funktionen w = f(z) einer komplexen Variablen z = x+l y werden in der Funktionentheorie
(s. 14.1, S 693 ff) behandelt
1.5.2 Geometrische Darstellung
1.5.2.1 Vektordarstellung
In Analogie zur Darstellung der reellen Zahlen auf der Zahlengeraden können die komplexen Zahlen
als Punkte einer Ebene, der sogenannten GAUSSschen Zahlenebene, dargestellt werden Eine Zahl z =
a -f i b ist dann ein Punkt mit der Abszisse a und der Ordinate b (Abb.1.5). Die reellen Zahlen liegen
auf der Abszissenachse, die auch reelle Achse genannt wird, die imaginären auf der Ordinatenachse, der
imaginären Achse In der so vorgegebenen Ebene ist jeder Punkt durch einen Radiusvektor eindeutig
bestimmt (s 3 5 1 1,6., S 186), so daß jeder komplexen Zahl ein bestimmter Vektor entspricht, der in
dieser Ebene liegt und vom Koordinatenursprung zu dem betreffenden Punkt führt (Abb. 1.6). Die
komplexen Zahlen können also sowohl duich Punkte als auch durch Vektoren dargestellt werden.
Im. Achse
z=a+bi
\ Im. Achse
0 R.Achse a
R. Achse x
Im. Achse
-,-f
py
A.
R. Achse a
Abbildung 1 5
Abbildung 1 6
Abbildung 1 7
1.5.2.2 Gleichheit komplexer Zahlen
Zwei komplexe Zahlen sind definitionsgemäß gleich, wenn ihre Realteile und Imaginärteile für sich
einander gleich sind. Geometrisch betrachtet sind zwei komplexe Zahlen gleich, wenn die zu ihrer
Darstellung benötigten Vektoren gleich sind Im entgegengesetzten Falle sind die komplexen Zahlen ungleich
Die Begriffe „größeru und „kleiner'" sind für komplexe Zahlen nicht definiert
1.5.2.3 Trigonometrische Form der komplexen Zahlen
Die Darstellung
z = a + \b A.132a)
einer komplexen Zahl wird algebraische Form genannt Wenn Polarkoordinaten anstelle der kartesi-
schen Koordinaten verwendet werden (Abb. 1.7), dann ergibt sich die trigonometrische Form der der
komplexen Zahl
z = p(cos ip + i sin ip) A 132b)
Man bezeichnet
\z\=p @<p<oo) A 132c)
als Absolutbetrag oder Modul und
&rgz = tp + 2k7r (-7T<v?< -Kr, fc = 0,±l,±2, ) A.132d)
als Argument der komplexen Zahl z Der Winkel ip heißt Hauptwert des Argumentes der komplexen
Zahlz{l 132b)
Der Zusammenhang zwischen p, ip und a , b für einen Punkt ist derselbe wie der zwischen den kartesi-
schen Koordinaten und den Polarkoordinaten dieses Punktes (s. 3.5.2.2,3., S 196).
= p cos 99, A 133a)
- p sin Lp,
A133b) p=y/aTT¥,
A.133c)
36 1. Arithmetik
für b > 0, p > 0,
für b < 0, p > 0 ,
l unbestimmt für p = 0
A.133d)
arctan -
c
TT
+ 2
7T
~2
i
arctan -
arctan tt
a
für a > 0,
für a = 0, 6 > 0,
für a = 0, 6 < 0,
+ 7T für a < 0 , 6 > 0,
für a < 0, b < 0.
A.133e)
Die komplexe Zahl z = 0 hat den Modul Null, während das Argument arg 0 unbestimmt ist
1.5.2.4 Exponentialform einer komplexen Zahl
Exponentialform einer komplexen Zahl wird die Darstellung
z = pel* A.134a)
genannt, wobei p der Modul und <p das Argument sind. Es gilt die EuLERsche Relation
eitp = cos<£ + i sin<£. A134b)
¦ Darstellung einer komplexen Zahl in drei Formen:
a) z = 1 -|- i \/3 (algebraische Form), b) z = 2 ( cos — + i sin — ) (trigonometrische Form),
c) z = 2el% (Exponentialform), mit Beschränkung auf den Hauptwert
Ohne Beschränkung auf den Hauptwert gilt die Darstellung
z = 1 + i y/S = 2exp |i f ^ + 2kn J1 = 2 [cos ( ^ + 2/ctt J + i sin ( ^ + 2A:tt J | (fc = 0, ±1, ±2, ..).
1.5.2.5 Konj ugiert komplexe Zahlen
Konjugiert komplexe Zahlen werden zwei komplexe Zahlen z und z* genannt, wenn ihre Realteile gleich
sind, ihre Imaginärteile sich aber durch das Vorzeichen unterscheiden:
Re(z*) = Re{z), Im(z*) = -lm(z). A.135a)
Geometrisch interpretiert liegen Punkte, die konjugiert komplexen Zahlen entsprechen, symmetrisch
zur reellen Achse. Die Moduln konjugiert komplexer Zahlen sind einander gleich, während sich ihre
Argumente nur durch das Vorzeichen unterscheiden:
z = a + i b = p(cos (p + i sin ip) = pe1(p , A.135b)
z* — a — i 6 = p(cos </? — i sin (/?) = pe~llf . A.135c)
An Stelle von z* verwendet man auch die Bezeichnung ~z für die zu z konjugiert komplexe Zahl.
1.5.3 Rechnen mit komplexen Zahlen
1.5.3.1 Addition und Subtraktion
Addition und Subtraktion zweier oder mehrerer komplexer Zahlen sind in der algebraischen
Schreibweise durch die Formel
z\ + z2 - z3 H = (ai + i 6i) + (a2 + i b2) - (a3 + i 63) H
= (ai + a2 - a3 + • • •) + i (h + b2 - b3 + • • •) A.136)
definiert. In der geometrischen Interpretation werden zur Summen- bzw. Differenzbildung die Vektoren
der betreffenden komplexen Zahlen addiert bzw. subtrahiert (Abb. 1.8). Dabei werden die üblichen
Regeln der Vektorrechnung angewendet (s 3 5.1.1, S. 185).
1 5 Komplexe Zahlen 37
Im. Achse
y<
0
Im. AchseyZjZj
/4
JsfZl
1 R. Achse x
Abbildung 1
Abbildung 1 9
Im. Achse
0 IR. Achse x
Abbildung 1 10
1.5.3.2 Multiplikation
Die Multiplikation zweier komplexer Zahlen Z\ und z2 in der algebraischen Schreibweise ist definiert
durch die Formel
z\z2 = (ai + ibi)(a2 + ib2) = {a\a2 - hb2) + i(ai62 + b\a2). A.137a)
In der trigonometrischen Schreibweise gilt
z\z2 = [p!(cos</?i + i sin^i)][/o2(cosv?2 + i sin(p2)} = pip2[cos((pi + (p2) + i sin(<pi +(p2)},(l.l37b)
d.h., der Betrag des Produkts ist gleich dem Produkt der Beträge der Faktoren, während das Argument
des Produkts gleich der Summe der Argumente der Faktoren ist
In der Exponentialform erhält man
ziz2 = plP2e[^+^ A 137c)
In der geometrischen Interpretation wird der Produktvektor, der das Produkt von Z\ und z2 darstellt,
durch Drehung des Vektors z\ im entgegengesetzten Uhrzeigersinn um den Winkel, der dem Argument
von z2 entspricht, gedreht und durch Multiplikation dieses Vektors mit dem Faktor \z2\ gestreckt. Das
Produkt Z\Z2 kann auch durch Konstruktion eines ähnlichen Dreiecks gewonnen werden (Abb.1.9)
Die Multiplikation einer komplexen Zahl z mit i bedeutet eine Drehung ihres Vektors um den Winkel
7r/2 , während der Modul konstant bleibt (Abb. 1.10)
1.5.3.3 Division
Die Division zweier komplexer Zahlen wird als die zur Multiplikation inverse Operation definiert. In
algebraischer Schreibweise ergibt sich
zi ai+ifci aia2 + blb2 . a2bx - axb2 ,. 100 ,
— = 7- = —* 5- + 1 « 5-• A.138a)
z2 0,2 + 162 a22 + b2 a22 + b2
Die trigonometrische Schreibweise lautet
Zl /Pi(cos¥?i + isiny?i) P\< , w • • / m n iqou
— = —( -T-. r = — cos(y?i - ip2) + 1 sm((^i - (p2)\, A.138b)
z2 p2(cos ip2 + 1 sin (p2) p2
d h , der Betrag des Quotienten ist gleich dem Quotienten aus den Beträgen des Dividenden und des
Divisors, während das Argument des Quotienten gleich der Differenz der beiden Argumente ist
In der Exponentialform erhält man
£l = £LeK<Pi-<P2) m
z2 p2
In der geometrischen Definition ergibt sich der Vektor, der den Quotienten Z\jz2 darstellt, durch
Drehung des die Zahl z\ darstellenden Vektors um den Winkel arg z2 im Uhrzeigersinn sowie durch
Kontraktion dieses Vektors mit dem Faktor \z2\
A 138c)
38 1. Arithmetik
Hinweis: Eine Division durch Null ist nicht möglich.
1.5.3.4 Allgemeine Regeln für die vier Grundrechenarten
Formal betrachtet wird mit komplexen Zahlen z = a + i b in der gleichen Weise gerechnet wie mit
gewöhnlichen Binomen, nur daß i2 = —1 zu berücksichtigen ist. Bei Divisionen komplexer Zahlen
durch eine andere komplexe Zahl wird zuerst der Imaginärteil des Nenners beseitigt, indem Zähler und
Nenner mit der konjugiert komplexen Zahl des Nenners multipliziert werden. Das ist möglich, weil
(a + i6)(a-ifc) = a2 + b2
eine reelle Zahl liefert
C-4i)(-l + 5iJ 10 + 7i _ C - 4i)(l - 10i - 25) A0 + 7i)i
-2C
A 139)
-4i)A2 + 5i)
1 + 3i 5i
7-10i _ —2E6 — 33i)A — 3i)
5 ~ (l + 3i)(l-3i)
7-10i
l + 3i
-2(-43-201i)
5ii
7-10i
l + 3i
E0+191i) = 10+38,2i
1.5.3.5 Potenzieren einer komplexen Zahl
Das Potenzieren einer komplexen Zahl in die n-te Potenz wird mit Hilfe der Formel von Moivre
ausgeführt-
[p(cos (p + i sin (p)]n = pn(cos rup + i sin rup), A.140a)
d.h., der Betrag wird in die n-te Potenz erhoben, während das Argument mit n multipliziert wird
Besonders zu berücksichtigen ist, daß gilt*
;2 - -i ; 3 - -i, i4 = +1 A 140b) und allgemein i4n+fc = ik . A 140c)
= -1,
1.5.3.6 Radizieren oder Ziehen der n-ten Wurzel aus einer komplexen Zahl
Das Radizieren oder Ziehen der n-ten Wurzel ist eine zum Potenzieren inverse Operation. Für z =
p(cos (p + i sin (p) ist
z1/n = <fz mit n > 0, ganz, A 141a)
die abkürzende Bezeichnung für die n Werte
_ / <p + 2kiv . . u) + 2/c7T
^k = \[p cos h l sin
v \ n n
(k = 0,1,2, ..,n-l) A.141b)
Während Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division und
Potenzieren mit ganzzahligen Exponenten zu eindeutigen
Ergebnissen führen, liefert das Ziehen der n-ten Wurzel stets n
verschiedene Lösungen u>k.
Geometrisch interpretiert sind die Punkte Uk die Eckpunkte
eines regelmäßigen n-Ecks mit dem Mittelpunkt im
Koordinatenursprung. In Abb. 1.11 sind die 6 Werte für fß dargestellt Abbildung 111
co2 r-"Y
/ \
co34 °
co4
Imag. Achse
,^i
„„->föH
R. ^chse x
,..--* ®5
1.6 Algebraische und transzendente Gleichungen
1.6.1 Umformung algebraischer Gleichungen auf die Normalform
1.6.1.1 Definitionen
Die in der Gleichung
F(x) = f(x) A 142)
1.6 Algebraische und transzendente Gleichungen 39
enthaltene Veränderliche x wird Unbekannte genannt, die speziellen Werte X\,x2, • •, xn der
Veränderlichen, für die die Gleichung erfüllt wird, sind die Wurzeln oder Lösungen der Gleichung Zwei
Gleichungen sind äquivalent, wenn sie genau die gleichen Wurzeln besitzen.
Eine algebraische Gleichung liegt vor, wenn jede der darin enthaltenen Funktionen F(x) und f(x)
algebraisch, d.h rational oder irrational ist; eine von ihnen kann auch eine Konstante sein Jede algebraische
Gleichung kann durch algebraische Umformungen auf die Normalform
P(x) = anxn + an-Xxn~l + • • +ai:r + ao = 0 A143)
gebracht werden, die die gleichen Wurzeln wie die Ausgangsform besitzt, aber unter Umständen einige
überzählige. Der Koeffizient an wird oft auf den Wert 1 gebracht; im übrigen werden die Koeffizienten
an, ., a0 hier und im weiteren als reell vorausgesetzt, anderenfalls wird besonders darauf aufmerksam
gemacht.
Der Exponent n wird der Grad der Gleichung genannt.
rp 1 I */rpZ £\ qf* Q
¦ Gesucht Normalform der Gleichung = H . Schrittweise Umformungen*
S[x — 2) x
x{x - 1 + y/öF^G) = 3x{x - 2) + 3(x - 2)(x - 3), x2 - x + xy/x2^ = 3x2 - 6x + 3x2 - 15z +
18, xy/x^G = 5x2 - 20rc + 18, x2(x2 - 6) = 25x4 - 200z3 + 580x2 - 720x + 324, 24x4 - 200:r3 +
586x2 — 720:r + 324 — 0. Das Ergebnis ist eine Gleichung vierten Grades in der Normalform
1.6.1.2 Systeme aus n algebraischen Gleichungen
Jedes algebraische Gleichungssystem kann auf die Normalform, d.h. auf eine polynormale Darstellung
gebracht werden
Pi(x,3/,2,.. ) = 0, P2{x1yizi . ) = 0, .. , Pn(x,y,z,. ) = 0. A144)
Die Pi (i = 1,2, ., n) sind Polynome in x, y, z, . .
¦ Gesucht Normalform des Systems der Gleichungen 1 — = - , 2 = J~z , 3 xy = z
yjy z y-\
Die Normalform lautet 1. x2z2 — y = 0 , 2 x2 — 2x + 1 - y2z + 2yz -2 = 0, 3 xy - z = 0 .
1.6.1.3 Scheinbare Wurzeln
Nach der Umformung einer algebraischen Gleichung auf die Normalform A 143) kann es vorkommen,
daß P(x) = 0 Lösungen besitzt, die keine Lösungen der Ausgangsgleichung A 142) sind. Daher ist eine
Probe notwendig. Durch Einsetzen der Wurzeln von P(x) = 0 in die Ausgangsgleichung ist zu prüfen,
ob diese auch Lösungen von A.142) sind oder nicht
x3 1
¦ A: = Die zugehörige Normalform lautet x4 — x3 — x + 1 = 0 X\ = 1 ist Lösung der
x — 1 x — 1
Normalform, aber nicht Lösung der Ausgangsgleichung, da diese für x = 1 nicht .definiert ist.
¦ B: \/x + 7+1 = 2x oder y/x + 7 = 2x — \ Durch Quadrieren erhält man die Normalform Ax2 — hx —
6 = 0 mit den Wurzeln x\=2 und x2 — —3/4. Die Wurzel x\ = 2 ist Lösung der Ausgangsgleichung,
die Wurzel x2 aber nicht
1.6.2 Gleichungen 1. bis 4. Grades
1.6.2.1 Gleichungen 1. Grades (lineare Gleichungen)
1. Normalform
ax + b = 0. A145)
2. Anzahl der Lösungen Es existiert stets eine reelle Lösung
xi = --. A146)
a
40 1. Arithmetik
1.6.2.2 Gleichungen 2. Grades (quadratische Gleichungen)
1. Normalform
ax2 + bx + c = 0.
oder nach Division durch a:
x2 4- px 4- q = 0 .
2. Anzahl der reellen Lösungen
In Abhängigkeit vom Vorzeichen der Diskriminante
D = 4ac — b oder D = q -
PI
4
ergibt sich:
• für D < 0 gibt es 2 reelle Lösungen B reelle Wurzeln),
• für D = 0 gibt es 1 reelle Lösung B zusammenfallende Wurzeln),
• für D > 0 gibt es keine reelle Lösung B komplexe Wurzeln)
3. Eigenschaften der Wurzeln der quadratischen Gleichung
Sind X\ und X2 die Wurzeln der quadratischen Gleichung A.147a) oder A 147b), dann gilt.
x\ +x2 = — = -p,
a
xi • x2 — - ¦¦
a
4. Lösung quadratischer Gleichungen
Methode 1: Faktorenzerlegung führt von
ax2 + bx + c = a(x — a)(x — ß) A.150a)
falls sie gelingt, direkt auf die Wurzeln
x\ = a , x2 = ß.
Mx2 + x-6 = 0, x2 + x-6 = (x + 3){x - 2), xi
Methode 2: Anwendung von Lösungsformeln führt
a) für die Form A 147a) auf die Lösungen
Zl,2 :
)± Vb2 — 4ac
2Ö
A 152a) oder
wobei die zweite Formel bei geradzahligem b vorteilhaft ist,
b) für die Form A.147b) auf die Lösungen
#1,2 :
P , \Pl
1.6.2.3 Gleichungen 3. Grades (kubische Gleichungen)
1. Normalform
ax3 + bx2 + ex + d = 0
A.147a)
A 147b)
A 148)
A 149)
oder x2 + px + q = (x
-a)(x-ß),
= -3, x2 = 2
>\
A) ~aC
A.150b)
A151)
C\ I^OK^
A.153)
A.154a)
oder nach Division durch a und Substitution von y = x +
3a
y3 + 3p?/ + 2o = 0 bzw in reduzierter Form ?/3 + p*y + ö* = 0
mit
2b3 bc d , ,
:3P^
3ac - 62
3a2 '
A.154b)
A 154c)
1.6 Algebraische und transzendente Gleichungen 41
2. Anzahl der reellen Lösungen
In Abhängigkeit vom Vorzeichen der Diskriminante
D = q2+p3 A155)
ergibt sich-
• für D > 0 eine reelle Lösung (eine reelle und zwei komplexe Wurzeln),
• für D < 0 drei reelle Lösungen (drei verschiedene reelle Wurzeln),
• für D = 0 eine reelle Lösung (eine dreifache reelle Wurzel) im Falle p = q = 0 oder zwei reelle
Lösungen (eine einfache reelle Wurzel und eine zweifache reelle Wurzel) im Falle ps = — q2 ^ 0
3. Eigenschaften der Wurzeln der kubischen Gleichung
Sind x\, x2 und x3 die Wurzeln der kubischen Gleichung A 154a), dann gilt
6 111c d
Xi+x2 + x3 = — , 1 1 = —;, xix2x3 = — A156)
a x\ x2 x3 d a
4. Lösung kubischer Gleichungen
Methode 1: Faktorenzerlegung auf der linken Seite der Gleichung führt, falls sie gelingt, direkt von
ax3 + bx2 + ex + d = a(x - a)(x - ß)(x - 7) A 157a)
auf die Wurzeln der Gleichung
X\ = a, x2 = ß, £3 = 7 A157b)
¦ xs + x2 - 6x = 0, xs + x2 - 6x = x(x + 3)(x - 2); xx = 0 , x2 = -3 , x3 = 2
Methode 2: Anwendung der Formel von Cardano Durch die Substitution y = u + v geht A.154b)
in
u3 + v3 + (u + v){3uv + 3p) + 2<? = 0 A 158a)
über. Diese Gleichungen sind sicher dann erfüllt, wenn
u3 + v3 = -2q und uv = -p A 158b)
gilt. Schreibt man A.158b) in der Form
u3 + v3 = -2q, u3v3 = -p3, A.158c)
dann sind von den beiden unbekannten Größen u3 und v3 Summe und Produkt bekannt, so daß sie auf
Grund des VlETAschen Wurzelsatzes (s. 1.6.2.3,3., S 44) als Lösungen der quadratischen Gleichung
w2 - (u3 + v3)w + u3v3 = w2 + 2qw - p3 = 0 A.158d)
aufgefaßt werden können. Man erhält
W\ = u3 = -q + \Jq2 + p3 , w2 = v3 = -q - \Jq2 + p3 , A.158e)
so daß sich für die Lösungen y der Gleichung A 154b) die CARDANOsc/ie Formel
y = u + v= tf-q+ VV +p3 + fj-q - ^q2+p3 A.158f)
ergibt. Wegen der Dreideutigkeit jeder 3. Wurzel (s. A.141b), S 38) wären neun verschiedene Fälle
möglich, die sich wegen uv = —p auf die folgenden drei Lösungen reduzieren-
2/1 — ui + v\ (möglichst die reellen kubischen Wurzeln u\ und v\ mit u\V\ = —p), A 158g)
V2
= ">(-5 + H+^(-H^)' A158h)
(-H^HD+H (i-i58i)
V3 = Ui
¦ y3 + 6y + 2 = 0mitp = 2, q= 1 und q2 +p3 = 9 und u = ^-1 + 3= \/2 = 1,2599,
v = v/-l -3 = ^4 = -1,5874 . Die reelle Wurzel istyi=u + v = -0,3275, die komplexen Wurzeln
42 1. Arithmetik
Tabelle 1.2 Lösung kubischer Gleichungen mit Hilfsgrößen
q2 + p3 < 0
q
COSif=-
2/i = -2rcos-
y2 = +2rcosF0°
ys = +2r cos f 60°
p<0
-i)
2/i =
2/2 =
2/3 =
g2 + p3 > 0
cosh cp = —
= — 2rcosh —
<p> i— ip
= r cosh — + i v 3 r sinh —
(p f— ip
= r cosh — — i v 3 r sinh —
2/1 =
2/2 =
2/3 =
p>0
sinh ip = —
0?
= — 2rsinh —
3
= r sinh — + i v 3 r cosh —
o o
tp /— <p
= r sinh — — i v 3 r cosh —
1 \/3
sind 2/2,3 = --{u + v)± i^-(u - v) = 0,1638 ± i • 2,4659.
Methode 3: Verwendung von Hilfsgrößen, wie sie in Tabelle 1.2 angegeben sind Mit p aus Gleichung
A.154b) wird
:±V^
A.159)
gesetzt, wobei das Vorzeichen von r mit dem von q übereinstimmen muß Daraufhin werden die
Hilfsgröße <p und mit ihrer Hilfe die Wurzeln y\, yi und 2/3 in Abhängigkeit von den Vorzeichen von p und
D = q2 + p3 aus der Tabelle bestimmt
2
y"
-92/ + 4 = 0.p=-3, q = 2, q2 + p3 < 0, r = y/3,
cos<p ¦¦
3V3
= 0,3849, ip = 67°22r
yi = -2v/3cos22°27/ = -3,201, 2/2 = 2\/3cosF0o - 22027') = 2,747,2/3 = 2v/3cosF0° + 22°27') =
0,455 Probe: 2/1 + 2/2 + 2/3 = 0) 001 im Rahmen der Rechengenauigkeit, anstelle von 0
Methode 4: Numerische Näherungslösung s. 19.1 2, S. 914, Näherungslösung mit Hilfe eines Nomo-
gramms s 2 19 3 3, S 130
1.6.2.4 Gleichungen 4. Grades
1. Normalform
ax4 + bx3 + ex2 + dx + e = 0.
Sind alle Koeffizienten dieser Gleichung reell, dann hat sie 0 oder 2 oder 4 reelle Lösungen
2. Spezielle Formen
Wenn b = d = 0 ist, dann können die Wurzeln von
ax4 + ex2 + e = 0
mit Hilfe der Formeln
-c± \/c2 — Aae
xh2,3A = ±y/y, y = -
2a
berechnet werden Für a = e und 6 = d werden die Wurzeln der Gleichung
ax4 + bx3 + ex2 + bx + a = 0
mit Hilfe der folgenden Formeln berechnet:
y ± V2/2 - 4
#1,2,3,4 — -
-6 ± Vfr2 - Aac + 8a2
2Ö "
A 160)
A 161a)
A 161b)
A.161c)
A.161d)
1.6 Algebraische und transzendente Gleichungen 43
3. Lösung der allgemeinen Gleichung 4. Grades
Methode 1: Faktorenzerlegung der linken Seite von
axA + bx3 + ex2 + dx + e = 0 = a(x - a)(x - ß)(x - *y)(x - S) A.162a)
führt, falls das gelingt, direkt auf die Wurzeln
Xi=a, X2 = ß, £3 = 7, X4 = 5. A.162b)
¦ x4 - 2x3 - x2 + 2x = 0, x(x2 - l)(x -2) = x(x - l)(x + l)(x - 2),
£l=0, £2 = 1 , X3 = — 1 , £4 = 2
Methode 2: Die Wurzeln der Gleichung A 162a) stimmen für a = 1 mit den Wurzeln der Gleichung
x2 + F + A)| + (y + ^-jr) = ° (L163a)
überein, wobei .4 = ±\/8y + b'2 — 4c und y irgendeine reelle Wurzel der kubischen Gleichung
Sy3 - 4cy2 + {2bd - Se)y + eDc - b2) - d2 = 0 A.163b)
ist
Methode 3: Näherungslösung s. 19.1.2, S 914.
1.6.2.5 Gleichungen 5. und höheren Grades
Gleichungen 5. und höheren Grades lassen sich im allgemeinen nicht mehr mit Hilfe von Wurzeln lösen.
Es sind Näherungsverfahren anzuwenden (s 19.1 2, S. 914).
1.6.3 Gleichungen n—ten Grades
1.6.3.1 Allgemeine Eigenschaften der algebraischen Gleichungen
1. Wurzeln
Die linke Seite der Gleichung
xn + an_ixn_1 + ... + a0 = 0 A 164a)
wird Polynom Pn(x) vom Grade n genannt, eine Lösung von A.164a) eine Wurzel des Polynoms Pn(x).
Wenn a eine Wurzel des Polynoms ist, dann ist Pn(x) durch (x — a) teilbar. Im allgemeinen Falle gilt
Pn(x) = (x- a)Pn.x{x) + Pn(a) A.164b)
Dabei ist Pn_i(x) ein Polynom vom Grade n — 1. Wenn Pn(x) durch (x — a)k , aber nicht mehr durch
(x—a)k+l teilbar ist, dann wird a eine k-fache Wurzelder Gleichung Pn(x) = 0 genannt. In diesem Falle
ist a gemeinsame Wurzel des Polynoms Pn(x) und seiner Ableitungen bis einschließlich der (k — l)-ten
Ordnung
2. Fundamentalsatz der Algebra
Jede Gleichung n-ten Grades, deren Koeffizienten reelle oder komplexe Zahlen sind, besitzt n reelle
oder komplexe Wurzeln, wobei die fc-fachen Wurzeln fc-mal gezählt werden. Wenn die Wurzeln von
P(x) mit a, ß, 7, bezeichnet werden und diese jeweils die Vielfachheiten k,l,m,.. besitzen, dann
gilt die Darstellung in Faktoren (Produktdarstellung)
P(x) = (x- a)k(x - ß)\x - 7)m ... A.165a)
Die Lösung einer Gleichung P(x) = 0 kann stets durch Zurückführen auf eine Gleichung vereinfacht
werden, die die gleichen Wurzeln wie die Ausgangsgleichung hat, aber jeweils nur noch mit der
Vielfachheit 1 Dazu wird das Polynom in zwei Faktoren derart zerlegt, so daß
P{x) = Q{x)T(x), A 165b)
T{x) = {x- a^-'ix - ßI-1..., Q(x) = {x- a){x - ß) . A 165c)
gilt. Man kann T(x) als größten gemeinsamen Teiler (s. 1.1.6.5, S.14) des Polynoms P(x) und dessen
Ableitung P'(x) bestimmen, da die mehrfachen Wurzeln von P(x) auch Wurzeln von P'{x) sind. Das
44 1 Arithmetik
Polynom Q{x) erhält man dann durch Division von P(x) durch T(x); Q(x) hat dieselben Nullstellen
wieP(x), aber mit der Vielfachlieit 1
3. Wurzelsatz von Vieta
Der Zusammenhang zwischen den n Wurzeln x\, x2, • , xn und den Koeffizienten der Gleichung
A.164a) ist gegeben durch.
n
xi+x2+ +xn = ^Tzi =-an_i ,
*=i
XXX2 + X1X3 + + Xn-iXn = ^ XiXJ = Qn-2 ,
i<3
n
XiX2Xs + Xi.r2X4 + . . + Xn-2Xn-lXn = 5Z XiX3Xk = ~«n-3 , A.166)
ij,k = \
i<j<A.
xi^2 #n = (-l)na0
1.6.3.2 Gleichungen mit reellen Koeffizienten
1. Komplexe Wurzeln
können auch als Lösungen von Polynomgleichungcn mit reellen Koeffizienten auftreten, aber nur
paarweise konjugiert komplex, d h , wenn a = a + ib eine Wurzel ist, dann ist auch ß = a — i b eine, und zwar
mit der gleichen Vielfachheit. Mit p = — (q + ß) = -2a und q = aß = a2 + b2 , woraus ( - ) - q < 0
folgt, gilt
(x-a){x-ß) = x2+px + q , A.167)
Wird in A.165a) das Produkt eines jeden Paares derartiger Faktoren gemäß A 167) ersetzt, dann ergibt
sich eine Zerlegung des Polynoms mit reellen Koeffizienten in reelle Faktoren gemäß
kU<r - n,n\k* . . . (r - n,,\ki
P{x) = (x-a1)ki(x-a2)k2---{x
OLl)
(x2 + Pix + qi)mi {x2 4- p2x + q2)rn2 ¦ ¦ • (x2 + prx + qr)mr A 168)
Dabei sind ai, a^ •, cti die / reellen Wurzeln des Polynoms P(x). Es hat außerdem r Paare konjugiert
komplexe Wurzeln, die man als Nullstellen der quadratischen Faktoren x2 + Pix + q{ (i = 1,2, , r)
erhält Die Zahlen (Xj (j = 1,2, . ,1), Pi und ^ (z = 1,2, . r) sind reell, und es gilt f -^ 1 - ^ < 0.
2. Anzahl der Wurzeln einer Gleichung mit reellen Koeffizienten
Aus den Darlegungen im voranstehenden Abschnitt folgt, daß jede Gleichung ungeraden Grades
mindestens eine reelle Wurzel besitzt. Die Anzahl weiterer reeller Wurzeln der Gleichung A.164a) zwischen
zwei beliebigen reellen Zahlen a und b, wobei a < b ist, kann folgendermaßen bestimmt werden:
a) Abspalten der mehrfachen Wurzeln: Zuerst werden die mehrfachen Wurzeln von P(x) = 0
abgespaltet, so daß sich eine Gleichung ergibt, die alle Wurzeln, aber nur noch mit der Vielfachheit 1
enthält Dazu kann, wie beim Fundamentalsatz der Anlgebra erläutert, verfahren werden
Praktischer ist es jedoch, gleich nach der STURMsc/ien Methode mit der Bestimmung der STURMsc/ien
Kette (der STURMschen Funktionen gemäß A 169)) zu beginnen Wenn der letzte von Null verschiedene
Rest Pm keine Konstante ist, dann besitzt P(x) mehrfache Wurzeln, die abzuspalten sind Deshalb kann
P(x) — 0 in den folgenden Abschnitten b), c), d) als Gleichung ohne Mein fachwurzeln vorausgesetzt
werden.
b) Bildung der Folge der Sturnischen Funktionen:
P(x).P'(x),Pl{x),P2(x), ,Pm = const A 169)
1.6 Algebraische und transzendente Gleichungen 45
Hier ist P(x) die linke Seite der gegebenen Funktion, P'(x) ist die erste Ableitung von P(x), P\(x)
der Rest der Division von P(x) durch P'(x), aber genommen mit entgegengesetztem Vorzeichen, P2OO
der ebenfalls mit entgegengesetztem Vorzeichen genommene Rest der Division von P'(x) durch P\(x)
usw , Pm = const ^ 0 ist der letzte, aber konstante Rest Zur Vereinfachung der Rechnung kann man
die gefundenen Reste mit konstanten positiven Faktoren multiplizieren, ohne daß sich das Ergebnis
ändert.
c) Theorem von Sturm: Wenn A die Anzahl der Vorzeichenwechsel, d h die Anzahl der Übergänge
von „+" nach „—" und umgekehrt in der Folge A.169) für x = a ist und B die Anzahl der
Vorzeichenwechsel in der Folge A.169) für x = b, dann ist die Differenz A — B gleich der Anzahl der reellen
Wurzeln der Gleichung P(x) = 0 im Intervall [a, b]. Sind in der Zahlenfolge einige Zahlen gleich Null,
dann werden diese bei der Abzählung der Vorzeichenwechsel ausgelassen.
¦ Für die Gleichung x4 — bx2 + Sx — 8 = 0 ist die Anzahl der Wurzeln im Intervall [0,2] zu bestimmen.
Die Berechnung der STURMschen Funktion ergibt- P(x) — xA — 5x2 + Sx — 8 , P'(x) = 4x3 — 10x + 8,
Pi(x) = 5x2 - 12z + 16; P2(x) = -Sx + 284, P3 = -1 Einsetzen von x = 0 liefert die Folge
-8, +8, +16, +284, -1 mit zwei Wechseln, Einsetzen von x = 2 liefert +4, +20, +12, +278, -1 mit
einem Wechsel, so daß A — B = 2 — 1 = 1, d.h., zwischen 0 und 2 liegt eine Wurzel
d) Descartessche Regel: Die Anzahl der positiven Wurzeln der Gleichung P(x) = 0 ist nicht größer
als die Anzahl der Vorzeichenwechsel in der Koeffizientenfolge des Polynoms P(x) und kann sich von
dieser nur um eine gerade Zahl unterscheiden.
¦ Was kann über die Wurzeln der Gleichung x4 + 2x3 — x2 + 5.t — 1 = 0 ausgesagt werden7 Die
Koeffizienten der Gleichung haben nacheinander die Vorzeichen + , + , — , + , — , d.h., das Vorzeichen wechselt
dreimal. Die Gleichung besitzt in Übereinstimmung mit der Regel von Descartes entweder eine oder
drei positive Wurzeln. Da beim Ersetzen von x durch — x die Wurzeln der Gleichung ihre Vorzeichen
ändern, sich aber bei der Substitution von x durch x + h um h verringern, kann gemäß der Regel von
Descartes auch die Anzahl der negativen Wurzeln sowie die Anzahl der Wurzeln, die größer sind als
h, abgeschätzt werden. Im vorliegenden Beispiel führt das Ersetzen von x durch — x auf die Gleichung
x'4 — 2x3 — x2 — 5x — 1 = 0 , d h , die Gleichung besitzt eine negative Wurzel Substituiert man x durch
x + 1, dann ergibt sich x4 + 6x3 + llx2 + 13x + 6 = 0 , d h , alle positiven Wurzeln der Gleichung (eine
oder drei) sind kleiner als 1.
3. Lösung von Gleichungen n-ten Grades
Im allgemeinen sind Gleichungen mit n > 4 nur noch näherungsweise lösbar. In der Praxis werden aber
auch schon zur Lösung von Gleichungen 3. und 4. Grades Näherungsmethoden angewendet
Eine näherungsweise Lösung von Gleichungen n-ten Grades zur Ermittlung aller Wurzeln einer
algebraischen Gleichung n-ten Grades, einschließlich der komplexen, ist mit der Methode von Brodetsky-
Smeal möglich (s. [1.7], [19.37])
Die Berechnung einzelner reeller Wurzeln algebraischer Gleichungen kann auch mit Hilfe der
allgemeinen Näherungsmethoden zur Lösung nichtlinearer Gleichungen erfolgen (s 19 1, S 911).
Zur Bestimmung komplexer Nullstellen algebraischer Gleichungen wird das Bairstow-Verfahren
angewendet (s. [19 21]).
1.6.4 Rückführung transzendenter Gleichungen auf algebraische
Gleichungen
1.6.4.1 Definition
Eine Gleichung F(x) = f(x) ist transzendent, wenn wenigstens eine der Funktionen F(x) oder f(x)
nicht algebraisch ist.
¦ A: 3X = Ax~2 ¦ 2X , ¦ B: 21og5 {3x - 1) - log5 A2z + 1) = 0 , ¦ C: 3coshz - sinhx + 9 ,
¦ D: 2X~1 = 8X~2 - 4X~2 , ¦ E: sin x = cos2 x - - , ¦ F: x cos x = sin x.
4
In manchen Fällen kann die Lösung transzendenter Gleichungen z B durch geeignete Substitutionen
46 1 Arithmetik
auf die Lösung algebraischer Gleichungen zurückgeführt werden Im allgemeinen können transzendente
Gleichungen jedoch nur näherungsweise gelöst werden Im folgenden werden einige Fälle betrachtet, die
sich auf algebraische Gleichungen zurückführen lassen.
1.6.4.2 Exponentialgleichungen
Exponentialgleichungen können in den folgenden zwei Fällen auf algebraische Gleichungen
zurückgeführt werden, wenn die Unbekannte x oder ein Polynom P{x) nur im Exponenten einiger Größen
a, 6, c, .. steht.
a) Sind die Potenzen aPl^ , bP2^ , nicht durch Additionen oder Subtraktionen miteinander
verbunden, dann wird die Gleichung zu beliebiger Basis logarithmiert.
2 log 4
3* = 4*-2.2*jxlog3 = (x-2)log4 + xlog2,x:
log4-log3 + log2
b) Sind a, 6, c, ganze oder gebrochene Potenzen ein und derselben Zahl k , d.h., ist a = kn,b = km,
c = k\ ..., dann kann unter Umständen mit Hilfe des Ansatzes y = kx eine algebraische Gleichung in
log y
y erhalten werden, nach deren Lösung x aus dem Verhältnis x — -—- zahlenmäßig zu bestimmen ist
log/c
<yx o3x o2x
¦ 2X~1 = Sx~2 - 4X~2 — = —---- Substitution von y = T liefert ys - 4y2 - 32y = 0 und y1 = 8 ,
2 64 16
y2 = -4 , y3 = 0 ; 2Xl = 8, 2X2 = — 4 , 2Xi = 0 , so daß daraus folgt xi = 3. Weitere reelle Wurzeln gibt
es nicht.
1.6.4.3 Logarithmische Gleichungen
Logarithmische Gleichungen können in den folgenden zwei Fällen auf algebraische Gleichungen
zurückgeführt werden, wenn die Unbekannte x oder ein Polynom P(x) nur unter dem Logarithmuszeichen
vorkommt-
a) Ist in der Gleichung nur der Logarithmus ein und desselben Ausdrucks enthalten, dann kann dieser
als neue Unbekannte eingeführt und die Gleichung nach ihr aufgelöst werden. Die ursprüngliche
Unbekannte wird über den Logarithmus berechnet
¦ ra[loga P(x)}2 + n = aJ[\oga P(x)]2 + b. Die Substitution y = \ogaP(x) liefert die Gleichung
my2 + n = ay/y2 + b. Nach der Bestimmung von y erhält man für x die Gleichung P(x) = av
b) Liegt die Gleichung in der Form einer Linearkombination von Logarithmen mit ganzzahligen
Koeffizienten m, 77., . . zur gleichen Basis a von Ausdrücken vor, die ihrerseits Polynome von x sind, also in
der Form m loga P\(x) + n loga P2(x) + . . = 0, dann können beide Seiten der Gleichung, jede für sich,
auf den Logarithmus ein und desselben Ausdrucks zurückgeführt werden
¦ 21og5 Ci - 1) - log5A2x + 1) = 0, log5 ^"^r = kB*1 • (Ss~+ir = ! • *i = °. *" = 2 Für
x\ = 0 ergibt sich beim Einsetzen in die Ausgangsgleichung der Logarithmus einer negativen Zahl, d h
eine komplexe Größe, so daß x\ = 0 als Lösung entfällt
1.6.4.4 Trigonometrische Gleichungen
Trigonometrische Gleichungen können auf algebraische Gleichungen zurückgeführt werden, wenn die
Unbekannte x oder der Ausdruck nx + a mit ganzzahligem n nur im Argument der trigonometrischen
Funktionen steht Unter Verwendung der trigonometrischen Formeln wird die Gleichung so umgeformt,
daß sie nur noch eine einzige Funktion von x enthält, die gleich y gesetzt wird Nach der Lösung der so
erhaltenen Gleichung wird x bestimmt. Zu beachten ist hierbei die Mehrdeutigkeit der Lösungen
11 3
¦ sinx = cos2 x—- oder sin x = 1—sin2x—- . Substitution von y — sin x liefert y2-\-y—- = 0und?/i =
1.6 Algebraische und transzendente Gleichungen 47
1 3
- , 2/2 — —7: Die Lösung 2/2 ergibt wegen | sinx| < 1 keine reellen Lösungen der Ausgangsgleichung;
2/1 = 7: ergibt x = — 4- 2/c7T und x = —- + 2kn mit A; = 1,2,3,
2 6 6
1.6.4.5 Gleichungen mit Hyperbelfunktionen
Gleichungen mit Hyperbelfunktionen können auf algebraische Gleichungen zurückgeführt werden, wenn
die Unbekannte x nur im Argument der Hyperbelfunktionen steht. Dazu werden die
Hyperbelfunktionen durch Exponentialausdrücke ersetzt und y — ex und - = e~x substituiert, so daß sich eine alge-
y
braische Gleichung für y ergibt Nach deren Lösung ist noch x = In y zu berechnen
2>(ex 4- e~x) ex — e~x 2
¦ 3coshz = sinha; + 9, —— = + 9, ex + 2e~x -9 = 0 , y-\-- -9 = 0, y2 -9y + 2 = 0;
2 2 2/
9±\/73 , 9 + x/73 n „„ , 9-v/73 , _
2/1,2 = i— ; X! = In ^— « 2,1716, x2 = In ^— « -1,4784
48 2 Funktionen und ihre Darstellung
2 Funktionen und ihre Darstellung
2.1 Funkt ionsbegriff
2.1.1 Definition der Funktion
2.1.1.1 Funktion
Wenn x und y zwei variable Größen sind und wenn sich einem gegebenen x'-Wert genau ein y-Wert
zuordnen läßt, dann nennt man y eine Funktion von x und schreibt
V = /(*) B 1)
Die veränderliche Größe x heißt unabhängige Variable oder Argument der Funktion y Alle x-Werte,
denen sich j/-Werte zuordnen lassen, bilden den Definitionsbereich D der Funktion f(x) Die
veränderliche Größe y heißt abhängige Variable, alle y-Werte bilden den Wertebereich W der Funktion f(x)
Funktionen können graphisch durch Punkte (x, y) als Kurven oder Funktionsgraphen dargestellt
werden (Abb.2.1, Abb.2.2)
2.1.1.2 Reelle Funktion
Wenn Definitions- und Wertebereich nur reelle Zahlen enthalten, dann nennt man y = f(x) eine reelle
Funktion einer reellen Veränderlichen.
¦ A: y = x2 mit D — oo < x < oo, W . 0 < y < oo
¦ B: y = y/x mit £> 0 < x < oo, VK . 0 < ?/ < oo.
2.1.1.3 Funktion von mehreren Veränderlichen
Hängt die Variable y von mehreren unabhängigen Variablen X\,xi, .,xn ab, dann bezeichnet man
y = f(xux2, . ,xn) B 2)
als Funktion von mehreren Veränderlichen (s 2 18, S. 120).
2.1.1.4 Komplexe Funktion
Wenn die unabhängige Variable eine komplexe Zahlzist, dann wird durch w = f(z) eine komplexe
Funktion einer komplexen Veränderlichen beschrieben, zu deren Behandlung die Funktionentheorie (s 14 1,
S 693) benötigt wird Zu den komplexen Funktionen gehören auch die komplexwertigen Funktionen,
die für reelle Argumente x definiert sind, aber komplexe Funktionswerte f(x) besitzen
2.1.1.5 Weitere Funktionen
In verschiedenen Anwendungsgebieten, z.B. in der Vektoranalysis und Feldtheorie (s 13 1, S 663),
werden Funktionen verwendet, bei denen Argument und Funktionswerte beispielsweise wie folgt definiert
sind
1. Argument reell - Funktionswerte Vektoren ¦ A: Vektorfunktion (s. 13 1, S 663) ¦ B:
Parameterdarstellung von Kurven (s. 3 6 2 1, S 245)
2. Argumentwerte Vektoren - Funktion reell ¦ Skalarfeld (s 13 1 2, S 664).
3. Argumentwerte Vektoren - Funktionswerte Vektoren. ¦ A: Vektorfeld (s 13 1 3, S 665)
¦ B: Parameterdarstellung oder Vektorform von Flächen (s 3 6 3. S 251)
2.1.1.6 Funktionale
Wird jeder Funktion x = x(t) aus einer bestimmten Funktionenklasse eine reelle Zahl zugeordnet,
dann spricht man von einem Funktional
rb
¦ A: Ist x(t) eine gebene, über [a, b] integrierbare Funktion, dann ist f(x) = / x(t) dt ein lineares
Funktional bezüglich aller über [o, b] stetigen Funktionen x (s 12 5, S 639)
2.1 Funktionsbegriff 49
¦ B: Integralausdrücke bei Variationsaufgaben (s. 10.1, S. 572).
2.1.1.7 Funktion und Abbildung
Gegeben sind zwei nichtleere Menge X und Y Unter einer Abbildung, die durch
f'X^Y B.3)
beschrieben wird, versteht man eine Vorschrift, die jedem Element x von X ein eindeutig bestimmtes
Element y von Y zuordnet. Das Element y heißt Bild von x, und man schreibt auch y = f(x). Die
Menge Y heißt Bildbereich oder Wertebereich von /, die Menge X heißt Originalbreich, Urbildbereich
oder Definitionsbreich von /
¦ A: Sind Original- und Bildbereich Teilmengen der reellen Zahlen, d.h. gilt X = D C R und
Y = W C R, dann wird durch B.3) eine reelle Funktion y = f(x) einer reellen Veränderlichen x
beschrieben.
¦ B: Ist / eine Matrix A = (tZy) (i = 1,2,..., m; j = 1,2, .., n) vom Typ (m, n) und gilt X = Rn
sowie Y = Rm , dann wird durch B.3) eine Abbildung des Rn in den Rm beschrieben. Die Vorschrift
B.3) stellt dann das folgende System von m linearen Gleichungen dar:
2/i = CLnXi + öi2^2 + • • • + ainxn
v = Ax bzw V2 = a2lXl + a22X2 + ' " + a2nXn
Vm = amiXi + am2X2 + ' ' ' + amnXn
d.h. Ax bedeutet das Produkt der Matrix A mit dem Vektor x.
Hinweise:
1. Durch den Begriff der Abbildung wird der Funktionsbegriff verallgemeinert. Deshalb werden
Abbildungen auch als Funktionen bezeichnet.
2. Wichtige Eigenschaften von Abbildungen findet man in 5.2.3,5., 305,306.
3. Eine Abbildung, die jedem Element eines abstrakten Raumes X eindeutig ein Element eines
eventuellen anderen abstrakten Raumes Y zuordnet, wird Operator genannt. Dabei versteht man unter einem
abstrakten Raum in der Regel einen Funktionenraum, da die Elemente der Räume, die für Anwendungen
wichtig sind, meist Funktionen sind. Abstrakte Räume sind z B. die linearen Räume (s. Vektorräume
5.3.7, S 327), die metrischen Räume (s. 12.2, S 624) und die normierten Räume (s 12.3.1.1, S. 631).
2.1.2 Methoden zur Definition einer reellen Funktion
2.1.2.1 Angabe einer Funktion
Man kann eine Funktion auf unterschiedliche Weise angeben oder definieren, z.B. durch eine
Wertetabelle, eine graphische Darstellung oder Kurve, eine Formel, auch analytischer Ausdruck genannt, oder
abschnittsweise durch verschiedene Formeln. In den Definitionsbereich eines analytischen Ausdrucks
können nur solche Werte des Arguments einbezogen werden, für die die Funktion einen Sinn ergibt,
d h. eindeutig bestimmte endliche reelle Werte annimmt.
2.1.2.2 Analytische Darstellung reeller Funktionen
In der Regel werden die folgenden drei Formen genutzt
1. Explizite Darstellung: y = f(x). B.4)
¦ y = y/\ - x2, — 1 < x < 1, 0 < 3/ < 1. Hierbei handelt es sich um die obere Hälfte des
Einheitskreises mit dem Mittelpunkt im Koordinatenursprung.
2. Implizite Darstellung: F(x, y) = 0, B.5)
falls sich diese Gleichung eindeutig nach y auflösen läßt.
¦ x2 + 2/2-l = 0, — 1 < a; < +1, 0 < y < 1. Hierbei handelt es sich ebenfalls um die obere
Hälfte des Einheitskreises. Man beachte, daß mit x2 4- y2 + 1 = 0 keine reelle Funktion definiert wird.
50 2. Funktionen und ihre Darstellung
3. Parameterdarstellung: x = <p(t), y = ip(t). B.6)
Die Werte von x und y werden als Funktion einer Hilfsveränderlichen t angegeben, die Parameter
genannt wird Die Funktionen ip(t) und tp(t) müssen denselben Definitionsbereich haben, und zu x = ip(t)
muß die Umkehrfunktion existieren.
¦ x — ip(t), y = ip(t) mit (p(t) = cost und ip(t) = sint, 0 < t < tt Hierbei handelt es sich
abermals um die Darstellung der oberen Hälfte des Einheitskreises mit dem Mittelpunkt im
Koordinatenursprung.
Hinweis: Nicht jede Funktion mit einer Parameterdarstellung hat eine explizite oder implizite
parameterfreie Funktionsgleichung.
¦ x = t + 2sint = <p(t), y = t — cost — ip(t)
¦ A: y = E(x) = int(z) = [x] =
n für n < x < n+1, nganz Die Funktion
E(x) bzw int(x) wird „entierxu bzw
„integer part of abgelesen und gibt die größte
ganze Zahl kleiner gleich x an (Abb.2.1a)
Die Pfeilspitzen in Abb.2.1a,b sollen
darauf hinweisen, daß die Endpunkte nicht
zum Kurvenbild gehören.
¦ B: Die Funktion y = frac(x) = x —
[x] heißt Restfunktion und wird „fractional
part of x" gelesen Sie gibt die Differenz
zwischen x und [x] an (Abb.2.1b).
¦C: y=\^furx>0] (Abb'2-2a)
{-1 für x < 0,
0 für x = 0 ,
+ 1 für x > 0.
(Abb.2.2b). Mit sign(z), lies „Signums",
ist die Vorzeichenfunktion bezeichnet.
Abbildung 2 2
2.1.3 Einige Funktionstypen
2.1.3.1 Monotone Funktionen
Genügt eine Funktion im Definitionsbereich für beliebige Argumente X\ und x2 mit x2 > x\ der
Bedingung
f(x2)>f(xi) bzw. f(x2)<f(xl): B.7a)
dann wird sie monoton wachsende Funktion bzw. monoton fallende Funktion genannt (Abb.2.3a,b).
Wenn eine der Bedingungen B.7a) nicht für alle x-Werte erfüllt ist, die dem Definitionsbereich
angehören, sondern lediglich in einem Teil desselben, z B in einem Intervall oder auf einer Halbachse,
dann nennt man die Funktion monoton in diesem Gebiet. Funktionen, die der Bedingung
f{x2)>f{x1) bzw f(x2)<f(Xl) B 7b)
genügen, d.h., das Gleichheitszeichen in B 7a) ist nicht zugelassen, nennt man eigentlich oder streng
monoton wachsendbzw fallend In Abb.2.3a ist eine eigentlich monoton wachsende Funktion
dargestellt, in Abb.2.3b eine monoton fallende Funktion, die zwischen x\ und x2 konstant ist.
Beispiele abschnittsweise gegebener Funktionen:
5t
4J
3J
2t
l|
y=x-E(x)
y=E(x) _
1 2 3 4 5 6 x
yt
i
0'
i
X
-1
a)
b)
2 1 Funktionsbegriff 51
ÖT
a)
Ol
b)
Abbildung 2.3
¦ y = e x ist streng monoton fallend, y = In x ist streng monoton wachsend
2.1.3.2 Beschränkte Funktionen
Funktionen heißen nach oben beschränkt, wenn ihre Werte eine bestimmte Zahl {obere Schranke) nicht
übertreffen, und nach unten beschränkt, wenn ihre Werte nicht kleiner als eine bestimmte Zahl [untere
Schranke) sind Ist eine Funktion nach oben und nach unten beschränkt, dann nennt man sie schlechthin
beschränkt
¦ A: y = 1 — x2 ist nach oben beschränkt (y < 1). ¦ B: y = ex ist nach unten beschränkt (y > 0).
4
¦ C: y = sina: ist beschränkt (—1 < y < +1) BD: y = ist beschränkt @ < y < 4).
1 + x2
2.1.3.3 Extremwerte von Funktionen
Die Funktion f(x) mit dem Definitionsbereich D hat an der Stelle a ein absolutes oder globales
Maximum, wenn für alle x 6 D gilt:
/(«) > /(*) B 8a)
Die Funktion /(x) hat an der Stelle a ein relatives oder lokales Maximum, wenn die Ungleichung B 8a)
nur in einer Umgebung von a gilt, d h. für alle x mit a — £<x<a + e,£>0,x€D.
Die Definition für ein absolutes oder globales Minimum sowie für ein relatives oder lokales Minimum
lauten analog, es ist nur die Ungleichung B 8a) zu ersetzen durch
f(a) < /(*) B 8b)
Hinweise:
a) Die Begriffe Maximum und Minimum, zusammenfassend als Extremwerte bezeichnet, sind nicht
an die Differenzierbarkeit von Funktionen gebunden, gelten also auch für Funktionen, die an
einzelnen Stellen nicht differenzierbar sind. Beispiele dafür sind die Spitzen von Kurven (s. Abbn.6.10b,c,
S 406)
b) Kriterien zur Bestimmung von Extremwerten bei differenzierbaren Funktionen findet man in 6 1 5,
S 405ff.
2.1.3.4 Gerade Funktionen
Gerade Funktionen (Abb.2.4a) genügen der Bedingung
f(-x) = f(x) B.9a)
Ist D der Definitionsbereich von / , dann gilt
(xeD)=> {-x e D) B 9b)
¦ A: y = cosx , ¦ B: y = xA — 3x2 + 1
2.1.3.5 Ungerade Funkt ionen
Ungerade Funktionen (Abb.2.4b) genügen der Bedingung
/(-*) = -/(*). B 10a)
Ist D der Definitionsbereich von / , dann gilt
(xeD)^(-xeD). B.10b)
52 2. Funktionen und ihre Darstellung
b)
Abbildung 2 5
Abbildung 2.4
¦ A: y = sin x , ¦ B: y = x3 — x.
2.1.3.6 Darstellung mit Hilfe gerader und ungerader Funktionen
Genügt der Definitionsbereich D einer Funktion / der Bedingung „aus x G D folgt — x G D", dann ist
/ als Summe einer geraden Funktion g und einer ungeraden Funktion u darstellbar
f(x) = g{x) + u{x) mit g{x) = ~[f{x) + f(-x)}
u(x) = \[f{x)-f(-x).
B.11)
f(x) = e* = i (ex + e"x) + i (e* - e"*) = coshz + sinhx (s 2 9.1, S
B.12)
2.1.3.7 Periodische Funktionen
Periodische Funktionen genügen der Bedingung
f{x + T) = f(x), T = const, T ^ 0.
Die kleinste positive Zahl T, die dieser Bedingung genügt, heißt Periode (Abb.2.5)
2.1.3.8 Inverse oder Umkehrfunktionen
Die Funktion y = f(x) mit dem Definitionsbereich D und dem Wertebereich W ordnet jedem x G D
eindeutig y G W zu. Kann umgekehrt auch jedem y G W eindeutig ein x G D zugeordnet werden, so
entsteht die Umkehrfunktion oder inverse Funktion von /. Sie wird mit </? oder auch /_1 bezeichnet.
Das Zeichen /_1 stellt in diesem Fall ein Funktionssymbol dar, keine Potenz.
Um von einer Funktion y = f(x) zur Umkehrfunktion zu gelangen, werden x und y vertauscht, und die
Gleichung x = f(y) wird nach y aufgelöst, so daß sich y = ip(x) ergibt. Die Darstellungen y = f(x)
und x = (p(y) sind äquivalent. Daraus folgen die beiden wichtigen Formeln
f(<p(y)) = y und <p(f(x)) = x. B.13)
¦ Die Funktion y = f(x) = ex (D . —oo < x < oo, W : y > 0) ist äquivalent mit x = ip(y) = \ny
Esgiltelny = y,\nex = x
Das Kurvenbild der inversen Funktion y = (p(x) entsteht durch Spiegelung der Kurve von y = f(x) an
der Geraden y = x (Abb.2.6).
Beispiele für Umkehrfunktionen:
B:
y = f(x) = x2
y = <p(x) = yfx
y = f{x) = ex
y = if(x) = \nx
y = f(x) = sinx
y = ip(x) = aresin x
mit£>:
mit/?
mit D.
mit D:
mit D:
mit D:
x >0,
x>0,
— 00 < X < OO,
x >0,
-tt/2 < x < tt/2,
-1 <x< 1,
W:
H^
iy.
V^:
Py.
H^-
2/>0;
y>0
2/>0;
—oo < y < oo.
-l < y < l;
-tt/2 <y<n/2
C:
Hinweise:
1. Ist eine Funktion / in einem Intervall ICD streng monoton, dann existiert für dieses Intervall die
2 1 Funktionsbegriff 53
y<
/ö
ii/
J"y^&
X
/'
/^
X
y=arcsin x
a)
b)
Abbildung 2.6
Umkehrfunktion / 1
2. Läßt sich eine nichtmonotone Funktion in streng monotone Teilstücke zerlegen, dann existieren für
diese Teilstücke die jeweiligen Umkehrfunktionen
2.1.4 Grenzwert von Funktionen
2.1.4.1 Definition des Grenzwertes einer Funktion
Die Funktion y = f(x) sei in einer Umgebung von a, eventuell mit Ausnahme von a, definiert. Die
Funktion besitzt an der Stelle x ¦
lim f(x) = A oder f(x)
a den Grenzwert oder Limes A , in Zeichen
A für
B.14)
wenn sich die Funktion f(x) bei unbegrenzter Annäherung von x an a unbegrenzt an A nähert Die
:unktion f(x) braucht an der Stelle x — a den Wert A nicht anzunehmen und braucht an dieser Stelle
luch nicht definiert zu sein.
Exakte Formulierung: Der Grenzwert B.14) existiert, wenn sich nach Vorgabe einer beliebig kleinen
positiven Zahl e eine zweite positive Zahl n derart finden läßt, daß für alle x mit
\x-a\<n gilt \f{x)-A\<e, B15)
eventuell mit Ausnahme des Punktes a (Abb.2.7).
,
A+£
A
A-e
0
\Y
—?
a-r
~A
/ \
1 a a-
^
Hl
X
Abbildung 2.7 Abbildung 2 8
Wenn a Randpunkt eines zusammenhängenden Gebietes ist, reduziert sich die Ungleichung \x — a\ < rj
zu einer der beiden einfachen Ungleichungen a — rj,<x oder x < a + r\.
2.1.4.2 Zurückführung auf den Grenzwert einer Folge (s. 7.1.2, S. 421)
Eine Funktion f(x) besitzt an der Stelle x — a den Grenzwert A , wenn für jede Folge von x-Werten
ii, x2, ., xn, ., die innerhalb des Definitionsbereiches liegen und gegen a konvergieren, die
zugehörige Folge der Funktionswerte /(xi), f{x2), . , f{xn), gegen A konvergiert
2.1.4.3 Konvergenzkriterium von Cauchy
Damit eine Funktion f(x) an der Stelle x = a einen Grenzwert besitzt, ist es notwendig und hinreichend,
daß sich die Funktionswerte f(x\) und f(x2) für zwei beliebige Werte x\ und x2 der unabhängigen
54 2. Funktionen und ihre Darstellung
Variablen, die zum Definitionsbereich gehören und in hinreichender Nähe von a liegen, beliebig wenig
voneinander unterscheiden
Exakte Formulierung: Damit eine Funktion/(x) an der Stelle x = a einen Grenzwert besitzt, ist es
notwendig und hinreichend, daß sich nach Vorgabe einer beliebig kleinen positiven Zahl e eine zweite
positive Zahl 77 angeben läßt, so daß für zwei beliebige Werte x\ und x<i aus dem Definitionsbereich, die
den Bedingungen
\x\ — a\ < 77 und \xi — a\ < rj B.16a)
genügen, die folgende Ungleichung erfüllt ist-
|/(*i)-/(*2)|<e. B 16b)
2.1.4.4 Unendlicher Grenzwert einer Funktion
Das Symbol
lim|/(x)| = 00 B 17)
bezeichnet den Fall, daß bei Annäherung von x an die Stelle o die Funktion f(x) betragsmäßig über
alle Grenzen wächst.
Exakte Formulierung: Die Gleichung B.17) gilt, wenn sich nach Vorgabe einer beliebig großen
positiven Zahl K eine positive Zahl rj derart angeben läßt, daß für beliebige x-Werte im Intervall
a — rj < x < a + r) B 18a)
der entsprechende Wert von \f(x)\ größer ist als K:
|/(x)| > K. B.18b)
Wenn dabei alle Werte von f(x) im Intervall
a-r) < x < a + r] B 18c)
positiv sind, dann schreibt man
lim/(a;) = +00, B.18d)
sind sie negativ, dann gilt
lim/(z) = -00. B.18e)
2.1.4.5 Linksseitiger und rechtsseitiger Grenzwert einer Funktion
Eine Funktion f(x) hat an der Stelle x = a einen linksseitigen Grenzwert A~ , wenn sie sich bei
zunehmenden unbegrenzt der Zahl a nähernden x-Werten unbegrenzt dem Wert A~ nähert:
A- = lim f{x) = f(a - 0). B.19a)
x—>a—0
In Analogie dazu besitzt eine Funktion einen rechtsseitigen Grenzwert A+, wenn sie sich bei
abnehmenden, sich unbegrenzt der Zahl a nähernden x-Werten unbegrenzt dem Wert A+ nähert:
A+ = lim f(x) = f(a + 0) . B 19b)
x—»a+0
Die Schreibweise lim f(x) = A verlangt, daß der links- und rechtsseitige Grenzwert übereinstimmen:
A+ = A~ = A B.19c)
¦ Die Funktion f(x) = — geht für x —> 1 gegen verschiedene Grenzwerte von links und von
l + e^i
rechts: /(l - 0) = 1, /(l + 0) = 0 (Abb.2.8)
2.1.4.6 Grenzwert einer Funktion für x gegen unendlich
Der Definitionsbereich D einer Funktion y = f(x) sei unbeschränkt nach oben bzw. nach unten.
Fall a) Eine Zahl
A= lim f{x) B.20a)
x—>+oo
2 1 Funktionsbegriff 55
wird Grenzwert einer Funktion f(x) für x —> +oo genannt, wenn sich nach Vorgabe einer positiven
Zahl e eine Zahl N > 0 derart angeben läßt, daß für beliebige x > N und x G D die zugehörigen Werte
von f(x) im Intervall A — e < f(x) < A + e liegen. In Analogie dazu ist
A= lim f(x) B 20b)
der Grenzwert einer Funktion f(x) für x —? — oo , wenn sich nach Vorgabe einer beliebig kleinen Zahl
s eine Zahl —N < 0 und x e D angeben läßt, derart, daß für beliebige x < — N und x G D die
zugehörigen Werte von f(x) im Intervall A — s < f(x) < A + e liegen
¦ A: lim ^±1 = i |B: lim ^±1 = 1, ¦ C: lim ex = 0.
x—++oo x x—?—oo j; x—»—oo
Fall b) Wenn allerdings bei unbegrenztem Wachsen oder unbegrenztem Abnehmen von x die Funktion
absolut genommen über alle Grenzen wächst, dann schreibt man
lim |/(x)|=oo oder lim |/(ar)| = oo B.20c)
x—>+oo x—>—oo
X3 - 1 X3 - 1
¦ A: lim r— = +oo , ¦ B: lim — = —oo ,
x—++oo x x—>—oo x
1- X3 l- X3 *
¦ C: lim — = —oo , ¦ D: lim — = +oo
x—>+oo x x—>-oo x
2.1.4.7 Sätze über Grenzwerte von Funktionen
1. Grenzwert einer konstanten Größe Der Grenzwert einer konstanten Größe ist dieser Größe
selbst gleich
Iimi4 = i4 B.21)
x—+a
2. Grenzwert einer Summe oder Differenz Der Grenzwert einer Summe oder Differenz endlich
vieler Funktionen ist gleich der Summe bzw. Differenz der entsprechenden Grenzwerte dieser
Funktionen, falls die Einzelgrenzwerte existieren.
lim [f{x) + <p{x) - ip(x)] = lim f(x) + lim <p(x) - lim ip(x) B.22)
3. Grenzwert eines Produktes Der Grenzwert eines Produktes aus endlich vielen Funktionen ist
gleich dem Produkt der Grenzwerte dieser Funktionen, falls die Einzelgrenzwerte existieren:
lim
a [f(x) <p(x) *l>(x)\ = [lim /(x)] [lim <p(x)\ [lim ^(x)] B 23)
4. Grenzwert eines Quotienten Der Grenzwert des Quotienten zweier Funktionen ist gleich dem
Quotienten der Grenzwerte dieser Funktionen:
x~*a ip(x) hm ip(x)
wenn die Einzelgrenz werte existieren und lim ip(x) ^ 0 ist.
x—>a
5. Einschließung Wenn die Werte einer Funktion f(x) zwischen den Werten zweier anderer
Funktionen tp(x) und iß(x) eingeschlossen sind, wenn also <p(x) < f(x) < iß(x) ist, und wenn lim <p{x) = A
sowie lim ip(x) = A gilt, dann ist auch
lim/(j;) = i4. B.25)
2.1.4.8 Berechnung von Grenzwerten
Zur Berechnung von Grenzwerten werden die aufgeführten 5 Sätze sowie eine Reihe von Umformungen
benutzt
56 2. Funktionen und ihre Darstellung
1. Geeignete Umformung Die Funktion wird auf eine für die Grenzwertberechnung geeignete
Form gebracht.
x3 - 1
¦ A: lim = lim (x2 + x + 1) = 3
x-+i x - 1 s-iv '
*-0 X x^O x(y/l -\-X-\- l) *-0 «yi + x + 1 2
_ _ ,. sin 2a; .. 2(sin2x) rt ,. sin 2x
¦ C: lim = lim -^— - = 2 lim —— = 2.
x-*o x x^o 2x 2x-^o 2a:
2. Bernoulli-l'Hospitalsche Regel Treten unbestimmte Ausdrücke der Form - , — , 0 • oo . oo -
0 oo
oo , 0° , oo° , 1°° auf, dann wird die BERNOULLi-L'HosPiTALsc/ie Regel verwendet (kurz L'Hospital-
sche Regel).
Fall a) Unbestimmte Ausdrücke der Form -oder —: Wenn für f(x) = —7—(¦ folgendes gilt:
0 00 ip(x)
• lim (p(x) = 0 und lim ip(x) = 0 (unbestimmter Ausdruck -) oder
00
lim ip(x) = 00 und lim ib(x) = 00 (unbestimmter Ausdruck —),
x—>a v ' x-*a v ' v qq
• die Funktionen tp(x) und ^(aj) sind in einem Intervall, das den Punkt a enthält, definiert (im Punkt
a selbst brauchen diese Funktionen nicht definiert zu sein) und differenzierbar mit i//(x) ^ 0.
Dann gilt:
lim/(x) = lim ^ = lim ^4, B.26)
x^a x^a \jj[x) x~*a 1pf(X)
(fi'(x)
falls dieser Grenzwert existiert (Reqel von Bernoulli-l'Hospital) Ergibt der Ausdruck lim , . .
wieder einen unbestimmten Ausdruck der Form - oder — , dann wird das Verfahren wiederholt
0 oo
2 cos 2a: 2
_ .. In sin 2a: .. ^n o~ .. 2tana: .. Pnc,2^ .. cos22a:
¦ hm = hm srm«ffi = hm — = hm co% x = hm — = 1.
x^o In sin x x^o cuax x^o tan 2a: x-^o l x->o cos2a:
• skia: cos22a:
Fall b) Unbestimmte Ausdrücke der Form 0 • oo: Wenn unter ähnlichen Bedingungen wie im Falle
a) gilt f(x) = <p(x) iß(x) und lim ip(x) = 0 sowie lim ip(x) = oo , dann wird der Grenzwert lim f(x)
io(x) ib(x)
auf die Form lim —*— oder lim —;— gebracht, so daß die Berechnung des Grenzwertes auf den Fall
x—*a 1 x—>a 1
ip{x) <p(x)
- oder — zurückgeführt ist.
0 oo
_ .. , _ . .. 7T — 2a: —2
¦ hm [TT — 2x) tana: = hm = hm ^— = 2
x->7r/2 x-^tt/2 COta: x^tt/2 1
sin2a:
Fall c) Unbestimmte Ausdrücke der Form oo — oo: Wenn unter den ähnlichen Bedingungen wie
im Falle a) gilt f(x) = ip(x) — ip(x) und lim tp(x) = 00 sowie lim ijj(x) = 00 , dann wird zur Berechnung
des Grenzwertes lim fix) die Differenz auf die Form - oder — gebracht, was auf verschiedene Weise
*-+«JK J 0 oo &
2 1 Funktionsbegriff 57
erreicht werden kann, z.B ist w — ip = \ — I / —-
\i> <pj I (ftp
(x 1 \ (x\wx — x -\- \\ 0
—'¦ — ) = lim —¦ - = „-'' Zweimalige Anwendung der L'HosPiTALschen
x — 1 mxj z—i \ xInx — Inx J 0
Regel führt auf lim — I = lim =- = lim
z—i \ xlnx — lnx J x->i | i x | x-»i
x . 1
X' ^X Xz I
Fall d) Unbestimmte Ausdrücke der Form 0° , oo° , 1°°: Für f(x) = y(x)^x) mit lim ip(x) = 0
sowie lim ip(x) = 0 wird zunächst der Grenzwert A des Ausdrucks ln/(x) = iß(x) ki(p(x) berechnet,
der die Form 0 • oo hat (Fall b)), und dann eA .
Analog wird in den Fällen oo° und 1°° verfahren
¦ lim xx = X , In xx = x In x , lim x In x = lim —r- = lim(—x) = 0 , d.h , A = In X = 0 ,
x—0 x-*0 z—0 1 2—0V '
x
also X — 1, und somit lim a:x = 1
x-^0
3. Taylor-Entwicklung Neben der l'HosPiTALschen Regel wird zur Berechnung von Grenzwerten
unbestimmter Ausdrücke auch die Entwicklung in eine TAYLOR-Reihe verwendet (s. 7.3.3.3, S. 434)
. ,. x-sinx ,. X r 3' + 5! '") ,. (I x2 \ 1
¦ hm - = hm ^ - '- = hm —- — + •••=- .
x-o x3 *-o x3 *-o \3' 5! / 6
2.1.4.9 Größenordnung von Funktionen und Landau-Symbole
Beim Vergleich zweier Funktionen kommt es häufig auf ihr gegenseitiges Verhalten für bestimmte
Argumente x = a an. Das hat zur Einführung der folgenden Größenordnungsbeziehungen gefuhrt.
1. Eine Funktion f(x) wird von höherer Ordnung unendlich groß als eine Funktion g(x), wenn beim
/(X) I über alle
9{x)
Grenzübergang x —> a ihre Absolutbeträge sowie der Absolutbetrag des Quotienten
Grenzen wachsen
2. Eine Funktion f(x) wird von höherer Ordnung unendlich klein als eine Funktion g(x), d h , sie
verschwindet von höherer Ordnung, wenn beim Grenzübergang x —? a ihre Absolutbeträge sowie der
f(x)
Quotient —— gegen null gehen
9{x)
3. Zwei Funktionen f(x) und g(x) streben gegen null oder unendlich von der gleichen Größenordnung,
wenn der Absolutbetrag des Quotienten
9(x)
beim Grenzübergang x —> a beschränkt bleibt, d h..
fix)
wenn 0 < m < l^^-l < M < oo (m, Mconst) gilt.
9W
4. Landau-Symbole Das gegenseitige Verhalten zweier Funktionen bezüglich einer beliebigen
Stelle x = a wird durch die LANDAU -Symbole O („groß O"), bzw. o („klein ou) wie folgt beschrieben Es
bedeutet für x —> a
f(x) = 0{g{x)) • lim ^p| = A^0, A = const, B 27a)
58 2. Funktionen und ihre Darstellung
und
f(X) = o(g(x)): k|=0,
B 27b)
wobei a = oo zugelassen ist. Die LANDAU-Symbole haben nur Sinn bei gleichzeitiger Vorgabe der
Bewegungsrichtung x —? a.
¦ A: sinx = 0{x) für x —*• 0 , denn mit f(x) = sinx und #(x
verhält sich in der Umgebung von x — 0 wie x.
¦ B: /(x) verschwindet von höherer Ordnung als g(x) für f(x) = 1 — cosx, g(x
.... sinx ., . n , .
x gilt: lim = 1 =fc 0 , d.h , sm x
x-,0 x
lim
a:->0
/(*)
PfaO
= lim
x-+0
1 - cos x I
= 0, d.h., 1 — cos x = o(sinx) für x —* 0.
C: /(#) und 51 (x) verschwinden von gleicher Ordnung für f(x) = 1 — cosx , p(x) = x2
lim
x->0
/W
^W
= lim
x->0
1 — cos x I
- , d.h., 1 — cosx = 0(x2) für x ¦
?0
5. Polynome Die Größenordnung von ganzrationalen Funktionen kann durch den Grad der
Funktion ausgedrückt werden. So hat die Funktion /(x) = x die Größenordnung 1, ein Polynom mit dem
Grad n +1 hat eine um 1 höhere Ordnung als ein Polynom mit dem Grade n Allerdings gilt diese Regel
nicht für alle elementaren Funktionen
6. Exponentialfunktion Die Exponentialfunktion wird stärker unendlich als jede noch so hohe
Potenz xn (n eine feste natürliche Zahl).
lim — = 00 .
x—>oo I xn I
Durch Anwendung der L'HoSPlTALschen Regel ergibt sich nämlich
lim —
x—>oo xn
lim
x^°° nxn~Y
lim —r
x-00 n\
B.28a)
B.28b)
7. Logarithmusfunktion Der Logarithmus wird schwächer unendlich als jede noch so niedrige
positive Potenz x1//n (n eine feste natürliche Zahl):
lim
1-+00
logx
El/n
= 0
Der Beweis wird ebenfalls mit der Regel von l'Hospital gefuhrt.
2.1.5 Stetigkeit einer Punktion
2.1.5.1 Stetigkeit und Unstetigkeitsstelle
Die meisten Funktionen die in den Anwendungen vorkommen, sind
stetig, d.h., bei kleinen Änderungen des Arguments x einer stetigen
Funktion y(x) ändert sich diese auch nur geringfügig. Die graphische
Darstellung einer solchen Funktion ergibt eine zusammenhängende
Kurve. Ist dagegen die Kurve an verschiedenen Stellen unterbrochen,
dann heißt die zugehörige Funktion unstetig, und die Werte des
Arguments, an denen die Unterbrechung auftritt, heißen Unstetigkeits-
stellen In Abb.2.9 ist das Kurvenbild einer Funktion dargestellt,
die stückweise stetig ist Die Unstetigkeitsstellen befinden sich bei A,
B, C, D, E, F und G. Die Pfeile stehen für die Aussage, daß ihre
Endpunkte nicht mehr zur Kurve gehören.
B 29)
Abbildung 2.9
2.1 Funktionsbegriff 59
2.1.5.2 Definition der Stetigkeit
Eine Funktion y = f(x) heißt an der Stelle x = a stetig, wenn
1. f(x) an der Stelle a definiert ist und
2. der Grenzwert lim f(x) existiert und gleich f(a) ist
Das ist genau dann der Fall, wenn es zu jedem vorgegebenen e > 0 ein ö(e) > 0 gibt, so daß gilt.
\f(x)-f(a)\<£ für alle x mit \x - a\ < 6. B.30)
Man spricht von einseitiger (links- oder rechtsseitiger) Stetigkeit, wenn anstelle von lim f(x) = f(a)
nur einer der beiden Grenzwerte lim f(x) oder lim f(x) existiert und gleich f(a) ist
x—>a—0 x—>a+0
Wenn eine Funktion für alle Werte x in einem gegebenen Intervall von a bis b stetig ist, dann wird die
Funktion stetig in diesem Intervall genannt, das offen, halboffen oder abgeschlossen sein kann (s. 1.1 1.3,
3., S 2) Ist eine Funktion für alle Punkte der Zahlengeraden definiert und stetig, dann heißt sie überall
stetig
Eine Funktion besitzt für den Wert x = a , der sich im Inneren oder auf dem Rande des
Definitionsbereiches befindet, eine Unstetigkeitsstelle, wenn dort die Funktion nicht definiert ist oder wenn f(a) nicht
mit dem Grenzwert lim fix) übereinstimmt bzw dieser Grenzwert nicht existiert. Wenn die Funktion
x-+a J v '
nur auf einer Seite von x — a definiert ist, z.B. y/x für x = 0 und arccosa: für x = 1, dann wird nicht
von einer Unstetigkeitsstelle, sondern von einem Abbrechen der Funktion gesprochen.
Eine Funktion f(x) wird stückweise stetig genannt, wenn sie in allen Punkten eines Intervalls mit
Ausnahme endlich vieler einzelner Punkte stetig ist und in ihren Unstetigkeitsstellen endliche Sprünge
besitzt
2.1.5.3 Häufig auftretende Arten von Unstetigkeiten
1. Funktionsverlauf ins Unendliche Der Funktionsverlauf ins Unendliche ist die am häufigsten
auftretende Unstetigkeit (Punkte B, C und E in Abb.2.9)
¦ A: f(x) = tanx , / (f - o) = +oo , / (f + o) = -oo Die Kurve ist in Abb.2.34, S. 77
dargestellt, die Unstetigkeit ist von der Art des Punktes E in Abb.2.9. Die symbolische Bezeichnung f(a—0)
bzw f(a + 0) ist in 2 1.4.5, S 54 erklärt.
¦ B: f(x) = -. —t. , /(l — 0) = +oo , /(l + 0) = +oo Die Unstetigkeitsstelle ist von der Art des
[x — \y
Punktes B in Abb.2.9.
i
¦ C: f(x) = e*-i , /(l - 0) = 0 , /(l + 0) = oo . Die Unstetigkeitsstelle ist von der Art des Punktes
C in Abb.2.9, aber mit dem Unterschied, daß die Funktion f(x) im Punkt x = 1 nicht definiert ist
2. Endlicher Sprung Die Funktion f(x) springt beim Durchlaufen des Punktes x = a von einem
endlichen auf einen anderen endlichen Wert (Punkte A, F, G in Abb.2.9): Der Wert der Funktion
f(x) für x = a braucht dabei nicht definiert zu sein, wie es für den Punkt G der Fall ist; er kann auch
mit dem Wert f(a — Ö) oder f(a + 0) übereinstimmen (Punkt F) oder aber sowohl von f(a — 0) und
f(a + 0) verschieden sein (Punkt A).
¦ A: f(x) = ^-, /(l - 0) = 1, /(l + 0) = 0 (Abb.2.8).
1 + es-i
¦ B: f(x) = E(x) (Abb.2.1c) f(n - 0) = n - 1, f{n + 0) = n (n ganz).
¦ C:/(x)=^mr^>/(l-0) = l,/(l + 0) = 0,/(l) = i.
3. Hebbare Unstetigkeit Es existiert der lim f(x), d.h., es ist f(a — 0) = f(a + 0), aber die
Funktion ist für x = a entweder nicht definiert oder es ist f(a) =£ lim f(x) (Punkt D in Abb.2.9).
60 2 Funktionen und ihre Darstellung
Diese Unstetigkeit wird hebbar genannt, weil in dem Moment, da f(a) den Wert lim f(x) zugeordnet
bekommt, die Funktion f(x) für x = a wieder stetig wird Dem Kurvenbild wird gewissermaßen ein
Punkt hinzugefügt, oder der „abgesprungene" Punkt D wird wieder auf die Kurve gebracht Die
verschiedenen unbestimmten Ausdrücke, die mit der Regel von l'Hospital oder mit anderen Methoden
untersucht werden können und endliche Grenzwerte liefern, sind Beispiele für hebbare Unstetigkeiten.
¦ fix) = , für x = 0 ergibt sich der unbestimmte Ausdruck - , aber lim fix) = - , durch
Jy ' x 0 s-o v J 2
die Festlegung f(x) = für x ^ 0 und f(x) = - für x = 0 wird f(x) stetig.
2.1.5.4 Stetigkeit und Unstetigkeitspunkte elementarer Funktionen
Die elementaren Funktionen sind in ihrem Definitionsbereich stetig, Unstetigkeitsstellen gehören nicht
zum Definitionsbereich Es können die folgenden allgemeinen Aussagen gemacht werden*
1. Ganzrationale Funktionen oder Polynome sind auf der gesamten Zahlengerade stetig.
P(x)
2. Gebrochenrationale Funktionen ——— mit den Polynomen P(x) und Q(x) sind überall stetig,
Q(x)
ausgenommen die x-Werte, für die Q(x) = 0 ist. An Stellen x = a, für die Q(x) = 0 aber P(x) ^ 0
gilt, besitzt die Funktion eine Unstetigkeitsstelle mit einem Verlauf ins Unendliche, die Pol genannt
wird Ist der Wert a sowohl Nullstelle des Nenners als auch des Zählers, dann gibt es nur dann einen
Pol, wenn die Vielfachheit (s 1 6 3.1, S. 43) der Nullstelle des Nenners größer ist als die des Zählers.
Anderenfalls ist die Unstetigkeit hebbar.
3. Irrationale Funktionen Wurzeln (mit ganzzahligen Wurzelexponenten) aus Polynomen sind
für alle x-Werte, die zum Definitionsbereich gehören, stetige Funktionen. Auf dem Rande der
Definitionsbereiche können sie mit einem endlichen Wert abbrechen, wenn der Radikand von positiven zu
negativen Werten überwechselt Wurzeln aus gebrochenrationalen Funktionen sind für solche x-Werte
unstetig, für die der Radikand eine Unstetigkeitsstelle besitzt.
4. Trigonometrische Funktionen Die Funktionen sinx und cosx sind überall stetig; tanx und
sec x besitzen an den Stellen x — unendliche Sprünge; cot x und cosec x besitzen bei x =
7T.7T (n ganz) unendliche Sprünge
5. Inverse trigonometrische Funktionen Die Funktionen arctan x und arccot x sind überall
stetig, aresin x und arecosx brechen an den Grenzen ihres Definitionsbereiches wegen — 1 < x < +1
ab
6. Exponentialfunktion ex oder ax mit a > 0 Sie ist überall stetig
7. Logarithmische Funktion log x mit beliebiger positiver Basis Die Funktion ist für alle
positiven x-Werte stetig und bricht an der Stelle x = 0 wegen lim loga: = —oo ab.
8. Zusammengesetzte elementare Funktionen Die Stetigkeit muß für alle x-Werte der
einzelnen elementaren Funktionen, die in dem zusammengesetzten Ausdruck enthalten sind, entsprechend
den oben angeführten Fällen untersucht werden (s auch Mittelbare Funktionen auf S. 61)
i
gx-2 1
¦ Es sind die Unstetigkeitsstellen der Funktion y = . zu ermitteln. Der Exponent
x sin vi - x x-2
i
besitzt an der Stelle x = 2 einen unendlichen Sprung, für x = 2 hat auch ex~2 einen unendlichen
Sprung (ex~2 ) = 0, ( ex~2 ) = oo . Die Funktion y hat bei x = 2 einen endlichen Nenner
Folglich gibt es für x = 2 einen unendlichen Sprung vom gleichen Typ, wie im Punkt C der Abb.2.9
Für x = 0 wird der Nenner zu null, ebenso für die x-Werte, für die sin \/\ — x zu null wird. Letztere
2.1 Funktionsbegriff 61
entsprechen den Wurzeln der Gleichung y/1 — x = nir oder x — 1 — raV, wobei n eine beliebige ganze
Zahl ist Der Zähler wird für keinen dieser Werte zu null, so daß die Funktion an den Stellen x = 0,
x = 1, sc = l±7r3,x= 1 ± 87T3, x = 1 ± 277T3, Unstetigkeitsstellen der gleichen Art hat wie der
Punkt E in Abb.2.9
2.1.5.5 Eigenschaften stetiger Funktionen
1. Stetigkeit von Summe, Differenz, Produkt und Quotient stetiger Funktionen Sind f(x)
f(x\
und g(x) auf einem Intervall [a, b] stetig, dann sind dort auch f(x) ± g(x), f(x) • g(x) und ——¦ stetige
Funktionen, wobei im Falle des Quotienten noch g(x) ^ 0 vorausgesetzt werden muß.
2. Stetigkeit mittelbarer Funktionen y = f(u(x)) Wenn f(u) eine stetige Funktion bezuglich
u ist und u(x) eine stetige Funktion bezüglich x und der Wertebereich von u(x) im Definitionsbereich
von f(u) enthalten ist, dann ist auch die mittelbare Funktion y = f(u(x)) stetig bezüglich x, und es
gilt
hm f{u(x)) = / (lim u(x)\ = f(u(a)).
B 31)
Das bedeutet, daß jede stetige Funktion von einer stetigen Funktion einer Variablen wieder stetig ist.
3. Satz von Bolzano Wenn eine Funktion f(x) in einem abgeschlossenen Intervall [a, b] definiert
und stetig ist und die Funktionswerte in den Endpunkten des Intervalls /(o) und f(b) verschiedene
Vorzeichen besitzen, dann existiert mindestens ein Wert c, für den f(x) zu null wird:
/(c) = 0 mit a<c<b. - B.32)
Geometrisch gedeutet, schneidet die Kurve einer stetigen Funktion beim Übergang von der einen Seite
der x-Achse auf die andere dabei wenigstens einmal die z-Achse.
4. Zwischenwertsatz Wenn eine Funktion f(x) in einem Intervall definiert und stetig ist und in
zwei Punkten a und b dieses Intervalles, wobei a < b ist, verschiedene Werte A und B annimmt, d.h.
f(a) = A, f(b) = B, A^B, B.33a)
dann existiert zu jeder zwischen A und B gelegenen Zahl C wenigstens ein Punkt c zwischen a und b,
für den
f(c) = C {a<c<b, A<C< B oder A>C> B) B.33b)
gilt Anders ausgedrückt: Die Funktion f(x) nimmt jeden Wert zwischen A und B wenigstens einmal
an.
5. Existenz einer inversen Funktion Wenn eine Funktion f(x) in einem zusammenhängenden
Gebiet I definiert und stetig ist und in diesem Gebiet streng monoton wächst oder fällt, dann existiert
eine zu dieser Funktion stetige, ebenfalls streng monoton wachsende bzw. fallende inverse Funktion
ip(x) (s. auch 2 1.3.8, S 52), die im Gebiet II für die Werte, die von der Funktion f(x) angenommen
werden, definiert ist (Abb.2.10).
y<
0
i
ii x
b)
Abbildung 2.10
62 2 Funktionen und ihre Darstellung
6. Satz über die Beschränktheit einer Funktion Wenn eine Funktion f(x) in einem
abgeschlossenen Intervall [a, b] definiert und stetig ist, dann ist sie in diesem Intervall auch beschränkt, d.h , es
lassen sich zwei Zahlen rn und M finden, für die
m < f(x) <M für a<x<b B 34)
ist.
7. Satz von Weierstrass Wenn eine Funktion f(x) auf einem abgeschlossenen Intervall [a, b]
definiert und stetig ist, dann besitzt f(x) dort ein absolutes Maximum M und ein absolutes Minimum m ,
d.h., es existiert in diesem Intervall wenigstens ein Punkt c und wenigstens ein Punkt d, so daß für alle
x mit a < x < b gilt.
m = f(d)<f(x)<f(c) = M. B 35)
Die Differenz zwischen dem kleinsten und dem größten Wert einer stetigen Funktion wird ihre
Schwankung in dem gegebenen Intervall genannt. Der Begriff der Schwankung einer Funktion kann auch auf
Funktionen ausgedehnt werden, die keinen größten oder kleinsten Funktionswert besitzen (s. [22.17],
Band 3).
2.2 Elementare Funktionen
Elementare Funktionen sind durch Formeln definiert, die nur endlich viele Operationen mit der
unabhängigen Variablen sowie mit Konstanten vorschreiben. Unter Operationen versteht man hier die
vier Grundrechenarten, das Potenzieren und Radizieren, das Aufsuchen einer Exponential- oder Log-
arithmusfunktion sowie das Aufsuchen trigonometrischer oder invers trigonometrischer Funktionen
Man teilt die elementaren Funktionen im wesentlichen in algebraische und transzendente ein.
Im Unterschied zu den elementaren können auch nichtelementare Funktionen definiert werden (s z B
8.2.5, S. 477)
2.2.1 Algebraische Funktionen
Algebraische Funktionen zeichnen sich durch eine Verknüpfung des Arguments x mit der Funktion y
über eine algebraische Gleichung der Form
Po(x) + Pi(x)y + p2(x)y2 + . + pn(x)yn = 0 B 36)
aus, wobei p0, Pi, • , Pn Polynome in x sind
¦ 3xy3 - 4xy + x's - 1 = 0 , d.h. po(x) = x3 - 1, p\{x) = —Ax , P2(x) = 0 , P3{x) = 3x
Wenn es gelingt, eine algebraische Gleichung B.36) algebraisch nach y aufzulösen, dann liegt einer der
folgenden Typen der einfachsten algebraischen Funktionen vor
2.2.1.1 Ganzrationale Funktionen (Polynome)
Das Argument x wird nur den Operationen Addition, Subtraktion und Multiplikation unterworfen
y = anxn + an-ixn~l + ... + a0 . B 37)
Insbesondere bezeichnet man y — a als Konstante, y = ax + b als lineare Funktion und y = ax2 + bx + c
als quadratische Funktion.
2.2.1.2 Gebrochenrationale Funktionen
Die gebrochenrationale Funktion kann immer als Quotient zweier ganzrationaler Funktionen
dargestellt werden
anxnan-ixn-1 + + a0 fooo \
V = i ; ; r- B 38a)
bmxm + bm.lxm-l+ +fco
Insbesondere bezeichnet man
y=a-^ B.38b)
cx + d
2.2 Elementare Funktionen 63
als gebrochenlineare Funktion.
2.2.1.3 Irrationale Funktionen
Außer den bei den gebrochenrationalen Funktionen genannten Operationen tritt hier das Argument x
zusätzlich unter dem Wurzelzeichen auf.
¦ A: y = V2x~+3, ¦ B: y= $j(x2-l)yß.
2.2.2 Transzendente Funktionen
Transzendente Funktionen können nicht durch eine algebraische Gleichung vom Typ B 36) beschrieben
werden. Die einfachsten elementaren transzendenten Funktionen werden im folgenden aufgeführt.
2.2.2.1 Exponentialfunktionen
Das Argument x der Exponentialfunktionen (s 2.6.1, S. 72) oder eine algebraische Funktion von x
befindet sich im Exponenten
¦ A: y = ex , ¦ B: y = ax , ¦ C: y = 23x2~5x .
2.2.2.2 Logarithmische Funktionen
Das Argument x der logarithmischen Funktionen (s 2.6 2, S 73) oder eine algebraische Funktion von
x befindet sich unter dem Logarithmuszeichen.
¦ A: y = In x, ¦ B: y = lg x , ¦ C: y = log2Ea:2 — 3a:).
2.2.2.3 Trigonometrische Funktionen
Das Argument x der trigonometrischen Funktionen (s. 2.7, S. 76) oder eine algebraische Funktion von
x befinden sich hinter dem Zeichen sin, cos, tan, cot, sec, cosec.
¦ A: y = sin x , ¦ B: y — cosBx 4- 3), ¦ C: y = tan y/x
Dabei ist zu beachten, daß man allgemein betrachtet unter dem Argument einer trigonometrischen
Funktion nicht unmittelbar einen Winkel oder einen Kreisbogen, wie bei der geometrischen Definition,
sondern eine beliebige Größe versteht Die trigonometrischen Funktionen können auch ohne
Heranziehen geometrischer Vorstellungen rein analytisch definiert werden Das wird z.B bei der Darstellung
dieser Funktionen mit Hilfe einer Reihenentwicklung deutlich oder bei der Lösung der Differentialglei-
d xi dxj
chung —— + y = 0 mit den Anfangsbedingungen y = 0 und — = 1 an der Stelle x = 0. Das Argument
dxl ax
der trigonometrischen Funktionen ist bei dieser Deutung zahlenmäßig gleich dem Bogen in Einheiten
des Radianten. Daher kann man bei der Berechnung der trigonometrischen Funktionen vom Argument
im Bogenmaß ausgehen
2.2.2.4 Inverse trigonometrische Funktionen
Die Variable x oder eine algebraische Funktion von x befindet sich im Argument der inversen
trigonometrischen Funktionen (s. 2.8, S. 85) aresin, arecos usw.
¦ A: y = aresinx , ¦ B: y = arecos \/l — x
2.2.2.5 Hyperbelfunktionen (s. 2.9, S. 88)
2.2.2.6 Inverse Hyperbelfunktionen (s. 2.10, S. 92)
2.2.3 Zusammengesetzte Funktionen
Zusammengesetzte Funktionen entstehen durch alle möglichen Kombinationen der aufgeführten
algebraischen und transzendenten Funktionen, wenn eine Funktion als Argument einer anderen dient.
. . _ _ In x + \/arcsin x
A:y = \nsmx, ¦ B: y = ^-^
64 2 Funktionen und ihre Darstellung
Solche Kombinationen elementarer Funktionen ergeben, endlich oft angewandt, wieder elementare
Funktionen
2.3 Polynome
2.3.1 Lineare Funktion
Die lineare Funktion y = ax + b B.39)
ergibt graphisch dargestellt eine Gerade (Abb.2.IIa). Der konstante Faktor a heißt Proportionalitäts-
faktor
Für a > 0 wächst die Funktion monoton an, für a < 0 nimmt sie monoton ab, für a = 0 ist sie
konstant Die Achsenschnitte liegen bei A(—b/a, 0) und B@,b) (ausführlicher s 3 5 2 6,1., S 199) Mit
6 = 0 ergibt sich
die direkte Proportionalität y = ax,
graphisch eine Gerade durch den Koordinatenursprung (Abb.2.IIb).
?
\y
B 40)
A~ x
Abbildung 2 11
2.3.2 Quadratisches Polynom
Die ganzrationale Funktion 2 Grades y
- ax + bx + c
B 41)
liefert graphisch dargestellt als Kurve eine Parabel mit einer vertikalen Symmetrieachse bei x = —b/2a
(Abb 2.12) Die Funktion nimmt für a > 0 zunächst ab, erreicht ein Minimum und nimmt dann
wieder zu Für a < 0 steigt sie an, erreicht ein Maximum und fällt danach wieder ab Die Schnittpunkte
Ai,A2 der x-Achse bei
Extremum liegt bei C
-b ± Vb2 -
b
2a
2a
4ac-
4a
- 4ac
*)
)
, 0 J , der Schnittpunkt B mit der ?/-Achse liegt bei @, c) Das
(ausführlicher über die Parabel s. 3.5.2 10, S. 208)
2.3.3 Polynom 3. Grades
Die ganzrationale Funktion 3 Grades
y — ax +bx -f ex + (
B.42)
beschreibt in der graphischen Darstellung eine kubische Parabel (Abb.2.13a,b,c).
Das Verhalten der Funktion hängt von a und der Diskriminante A = 3ac — b2 ab Wenn A > 0 ist
(Abb.2.13a,b), dann nimmt die Funktion für a > 0 monoton zu, für a < 0 monoton ab Die
Funktion besitzt ein Maximum und ein Minimum, wenn A < 0 ist (Abb.2.13c) Für a > 0 nimmt sie von
—oo bis zum Maximum zu, dann fällt sie bis zum Minimum ab, um danach bis +oo anzusteigen, für
2.3 Polynome 65
a < 0 nimmt sie von +oo bis zum Minimum ab, steigt danach bis zum Maximum an, um schließlich bis
—oo abzufallen. Die Schnittpunkte mit der x-Achse lassen sich als reelle Wurzeln von B.42) für y = 0
berechnen. Es kann eine reelle Wurzel geben, zwei (dann gibt es in einem Punkt eine Berührung mit
der x-Achse) oder drei- Ai,A2 und A3 . Der Schnittpunkt mit der y-Achse liegt bei B@, d), die Extre-
b±y/^Ä d + 2fr3 - 9abc ± Fac - 2fr2) x/=^
ma C und D bei
3a
Symmetriepunkt der Kurve ist, liegt bei E
27a2
b_ 2b3 - 9abc
~3a'
Punkt den Richtungskoeffizienten tan (p -
\dx)l
27a2
3a
Der Wendepunkt, der zugleich
+ d I . Die Tangente besitzt in diesem
2.3.4 Polynom n—ten Grades
Die ganzrationale Funktion n-ten Grades y = anxn + an_ixn_1 + ... + a\X + ao B.43)
beschreibt eine Kurve n-ter Ordnung (s. 3.5.2.3,3.5.2.5, S 199) vom parabolischen' Typ (Abb.2.14).
Fall 1: n ungerade Für an > 0 verläuft y stetig von — oo bis +oo und für an < 0 von +oo bis
—oo Die x-Achse kann von der Kurve bis zu n mal geschnitten bzw. berührt werden (zur Lösung einer
Gleichung n-ten Grades s. 1.6.3.1, S. 43ff. und 19.1.2, S. 914). Die Funktion B.43) besitzt entweder
keine oder eine gerade Anzahl von bis zun-1 Extremwerten, wobei Minima und Maxima einander
abwechseln, die Zahl der Wendepunkte ist ungerade und liegt zwischen 1 und n — 2. Asymptoten oder
singulare Punkte gibt es nicht.
y<
0
i
B /
A^Aa-
y| — n ungerade
•• n gerade
Abbildung 2.14
Abbildung 2.15
66 2. Funktionen und ihre Darstellung
Fall 2: n gerade Für an > 0 hat y einen stetigen Verlauf von +oo über ein Minimum bis +oo und für
an < 0 von — oo über ein Maximum nach — oo . Die Kurve schneidet oder berührt die x-Achse entweder
nicht oder 1 bis n mal; Maxima und Minima wechseln einander ab; die Anzahl der Wendepunkte ist
gerade Asymptoten oder singulare Punkte existieren nicht
Vor dem Zeichnen der Kurven empfiehlt es sich, zuerst Extremwerte, Wendepunkte und die Werte
der ersten Ableitung in diesen Punkten zu bestimmen, dann die Kurventangenten einzuzeichnen, um
schließlich alle diese Punkte stetig miteinander zu verbinden
2.3.5 Parabel n—ter Ordnung
Die Funktion y = axn B.44)
mit n > 0, ganzzahlig, liefert als Kurve eine Parabel n-ter Ordnung (Abb.2.15)
1. Spezialfall o = 1: Die Kurve y = xn geht durch die Punkte @,0) und A,1) und berührt oder
schneidet die x -Achse im Koordinatenursprung. Für gerades n ergibt sich eine zur ?/-Achse
symmetrische Kurve mit einem Minimum im Koordinatenursprung Für ungerades n ergibt sich eine
zentralsymmetrische Kurve zum Koordinatenursprung, der zugleich Wendepunkt ist Asymptoten gibt es keine
2. Allgemeiner Fall a ^ 0: Man erhält die Kurve y = axn aus der zu y = xn gehörenden Kurve durch
Streckung der Abszissen mit dem Faktor \a\ Für a < 0 spiegelt man y = \a\xn an der x-Achse.
2.4 Gebrochenrationale Funktionen
2.4.1 Spezielle gebrochen lineare Funktion
Die Funktion
B 45)
auch umgekehrte Proportionalität genannt, liefert eine gleichseitige Hyperbel, deren Asymptoten die
Koordinatenachsen sind (Abb.2.16) Die Unstetigkeitsstelle mit y = ±oo liegt bei x = 0 Wenn
a > 0 ist, dann nimmt die Funktion von 0 bis —oo und von +oo bis 0 ab (ausgezogene Kurve im 1. und
3. Quadranten) Ist a < 0, dann wächst die Funktion von 0 bis +oo und von — oo bis 0 (gestrichelte
Kurve im 2. und 4. Quadranten) Die Scheitelpunkte A und B liegen bei (y/ä, y/a) und {—y/ä, —y/a)
im Falle a > 0 und bei ( — J\a\, y |a|J und ly \a\, — y |a|J im Falle a < 0 Extrema gibt es keine
(ausführlicher über die Hyperbel s 3 5.2 9, S 206)
A'/
• *B'
y<
^s
i
o
k
c ^—
i
X
Abbildung 2.16 Abbildung 2.17
2.4.2 Gebrochenlineare Funktion
a\x + b\
Die Funktion y = r"
a2x + o2
beschreibt eine gleichseitige Hyperbel, deren Asymptoten parallel zu den Koordinatenachsen verlaufen
B 46)
2 4 Gebrochenrationale Funktionen 67
(Abb. 2.17) Der Mittelpunkt liegt bei C [ —- — I Dem Parameter a in Gleichung B 45) entspricht
Ö2 ' «2 /
A . A
-mitA ¦¦
a22
«2^2
. b2±J\K\ ax + J\K\\
Die Scheitelpunkte A und B der Hyperbel liegen bei '
a2 a2
/ b2±J\Ä\ ai-J\K\\
und , , wobei für A < 0 gleiche Vorzeichen genommen werden, für A > 0
\ a2 a2 )
verschiedene Die Unstetigkeitsstelle liegt bei x = . Die Funktion nimmt für A < 0 von — bis — oo
a2 a2
und von +oo bis — ab Für A > 0 wächst die Funktion von — bis +oo und von — oo bis — . Extrema
a2 a2 a2
gibt es keine
2.4.3 Kurve 3. Ordnung, Typ I
b c ( ax2 + bx + c\ /7 . n , nS /rt ,„,
Die Funktion y = a+- + — = - F^0, c ^ 0) B 47)
X X1 \ X1 j
(Abb.2.18) beschreibt eine Kurve 3 Ordnung (Typ I) Sie hat die beiden Asymptoten x = 0 und y = a
und besteht aus zwei Asten, von denen der eine einer monotonen Änderung von y zwischen a und +oo
bzw —oo entspricht, während der andere drei charakteristische Punkte durchläuft: einen Schnittpunkt
/ c \ ( 2c b2\
mit der Asymptote bei A f — - , a ), ein Extremum bei B I — — , a — — I und einen Wendepunkt bei
/ 3C 2b2 \
C — — , a — —— Für die Lage dieser Aste gibt es vier Fälle die von den Vorzeichen von b und c
V b 9c I
(—b± \/b2 — Aac
ö '^
ihre Anzahl kann zwei, eins (Berührung) oder null betragen, je nachdem, ob für b2 — Aac > 0 , = 0 oder
< 0 gilt
Q
Die Funktion B 47) geht für b = 0 in die Funktion y = a-\—- (s (Abb.2.21) der reziproken Potenz)
x2
und für c = 0 in die gebrochenlineare Funktion y = , einen Spezialfall von B.46), über
x
2.4.4 Kurve 3. Ordnung, Typ II
Die Funktion y = —0—: B 48)
ax2 + bx + c
boschreibt eine Kurve 3 Ordnung (Typ II), die symmetrisch zu der vertikalen Geraden x = — —
verläuft und die die x-Achse zur Asymptote hat (Abb.2.19). Ihr Verhalten hängt von den Vorzeichen
von a und A = Aac — b2 ab Von den zwei Fällen a > 0 und o < 0 wird hier nur der erste betrachtet,
da der zweite durch Spiegelung von y = —— an der x-Achse erhalten werden kann.
(—a)xz — bx — c
Fall a) A > 0: Die Funktion ist für beliebiges x positiv und stetig und wächst von 0 bis zürn
Maximum, um dann wieder gegen 0 zu fallen Das Maximum A liegt bei I ——,— ), die Wendepunkte B
68 2 Funktionen und ihre Darstellung
yf
\ X
. AL
^ft
c>0,b<0
yt
c>0,b>0
b)
^v
c<0,b>0
A
D
k
V~~'.
h x
c<0,b<0
c)
d)
Abbildung 2.18
V 2a
± -—7= , — I ; die zugehörigen Tangentensteigungen {Richtungskoeffizienten)
und C liegen bei ¦ — — _i_ ^ , —
6 l °~ 2av/3 A
/3\3/2
berechnen sich zu tan (p = =fa2 f — J (Abb.2.19a).
Fall b) A = 0: Die Funktion ist für beliebiges x positiv, wächst von 0 bis +oo, besitzt bei x = — —
eine Unstetigkeitsstelle mit y = +oo und nimmt von hier wieder auf 0 ab (Abb.2.19b).
Fall c) A < 0- Die Funktion wächst von 0 bis +oo , springt an der Unstetigkeitsstelle auf -oo , um
von hier über ein Maximum wieder nach —oo zu verlaufen, von wo es einen zweiten Sprung nach +oo
gibt, auf den schließlich ein Abfall gegen 0 folgt. Das Maximum A liegt bei I ——, — ), die Unstetig-
2a' A
keitsstellen liegen bei x = (Abb.2.19c).
A=0
b)
yf
pj A<0
c)
Abbildung 2.19
2.4 Gebrochenrationale Funktionen 69
2.4.5 Kurve 3. Ordnung, Typ III
Die Funktion
y-
ax2 + bx + c
B 49)
beschreibt eine Kurve 3 Ordnung (Typ III) durch den Koordinatenursprung mit der x-Achse als
Asymptote (Abb.2.20) Der Verlauf der Funktion hängt von den Vorzeichen von a und von A = Aac — b2
sowie von den Vorzeichen der Wurzeln a und ß der Gleichung ax2 + bx 4- c = 0 ab, wenn A < 0 ist,
vom Vorzeichen von b. wenn A = 0 ist. Von den zwei Fällen a > 0 und a < 0 wird hier nur der erste
betrachtet, da sich der zweite durch Spiegelung der Kurve für y = ^—^—; an der x-Achse
ergibt
(—a)x2 — bx — c
A>0
a)
ty
A=0,b>0
bi)
A<0,aund ß negativ
c2)
Abbildung 2.20
A <0, a und ß positiv
C3)
Fall a) A > 0 Die Funktion verläuft stetig, nimmt von 0 bis zum Minimum ab, steigt dann bis zum
Maximum an, um danach wieder auf 0 abzufallen
-b±2yfäc\
Die Extremwerte A und B liegen bei ( ±
-s
; es gibt drei Wendepunkte (Abb.2.20a)
Fall b) A = 0: Der Verlauf hängt vom Vorzeichen von b ab-
• b > 0. Die Funktion nimmt von 0 bis —oo ab, hat eine Unstetigkeitsstelle, nach der sie von —oo bis
zum Maximum anwächst, um danach gegen 0 zu streben (Abb.2.20bi) Das Maximum A liegt bei
+A;
1
a ' 2y/äc + b)
• b < 0 Die Funktion fällt von 0 bis zum Minimum ab, durchläuft danach den Koordinatenursprung,
steigt dann von 0 bis +oo, hat eine Unstetigkeitsstelle und fällt dann wieder von +oo auf 0 ab (Abb.
70 2. Funktionen und ihre Darstellung
2.20b2). Das Minimum A liegt bei A
(-/!•
2y/äc-b
Die Unstetigkeitsstellen liegen in beiden Fällen bei x = — — ; beide Kurven besitzen je einen
Wendepunkt
Fall c) A < 0- Die Funktion besitzt zwei Unstetigkeitsstellen und zwar bei x = a und x = ß, ihr
Verlauf hängt von den Vorzeichen von a und ß ab.
• Die Vorzeichen von a und ß sind verschieden: Die Funktion nimmt von 0 bis —oo ab, springt auf +oo,
nimmt wieder von +oo bis — oo ab, wobei sie durch den Koordinatenursprung verläuft, erfährt einen
zweiten Sprung nach +oo , von wo sie gegen 0 abfällt (Abb.2.20ci) Extremwerte treten nicht auf
• Die Vorzeichen von a und ß sind beide negativ: Die Funktion nimmt von 0 bis —oo ab, springt auf
+oo , läuft von hier über ein Minimum wieder bis auf +oo , springt abermals auf — oo , steigt dann bis
zum Maximum an, um danach asymptotisch gegen 0 abzufallen (Abb.2.20c2)
Die Extremwerte A und B werden nach den gleichen Formeln wie im Fall a) berechnet.
• Die Vorzeichen von a und ß sind beide positiv: Die Funktion nimmt von 0 bis zum Minimum ab,
wächst dann auf +oo an, springt auf —oo, durchläuft ein Maximum, um wieder -oo zu erreichen,
springt auf +oo und verläuft von hier gegen 0 (Abb.2.20c3).
Die Extremwerte A und B werden mit den gleichen Formeln wie im Fall a) berechnet.
In allen drei Fällen besitzt die Kurve einen Wendepunkt
y=l/ax+b '
y=--Vax+b'
Abbildung 2 21
2.4.6 Reziproke Potenz
Abbildung 2.22
Die Funktion
y = -
(n > 0, ganzzahlig)
B.50)
beschreibt eine Kurve vom hyperbolischen Typ mit den Koordinatenachsen als Asymptoten Die Un-
stetigkeitsstelle liegt bei x = 0 (Abb.2.21)
Fall a) Für a > 0 wächst die Funktion bei geradem n von 0 bis +oo, um dann auf 0 abzufallen, wobei
sie stets positiv bleibt. Bei ungeradem n fällt sie von 0 auf — oo ab, springt auf -t-oo , um dann wieder
gegen 0 hin abzunehmen.
Fall b) Für a < 0 fällt die Funktion bei geradem n von 0 auf -oo ab, um von hier gegen 0 zu streben,
wobei sie stets negativ bleibt. Bei ungeradem n wächst sie von 0 bis +oo , springt auf — oo , um danach
bis 0 anzusteigen.
Extrema hat die Funktion keine. Die Kurve nähert sich um so schneller asymptotisch der x-Achse und
um so langsamer der y-Achse, je größer n ist. Für gerades n ist sie symmetrisch zur y-Achse, für
ungerades n zentralsymmetrisch zum Koordinatenursprung. Abb.2.21 zeigt die Fälle a=l,n = 2,n = 3.
2 5 Irrationale Funktionen 71
2.5 Irrationale Funktionen
2.5.1 Quadratwurzel aus einem linearen Binom
Die zwei Funktionen
y = ±Vax + b B.51)
,0j ,der
. Definitionsbereich und Verlauf der Kurve hängen vom
beschreiben eine Parabel mit der x- Achse als Symmetrieachse Der Scheitel A liegt bei
a
2
Halbparameter (s 3 5 2.10, S. 208) ist p
Vorzeichen von a ab (Abb.2.22) (ausführlicher über die Parabel s 3 5 2 10, S 208)
2.5.2 Quadratwurzel aus einem quadratischen Polynom
Die zwei Funktionen y = ±Vax2 + bx + c B 52)
beschreiben für a < 0 eine Ellipse, für a > 0 eine Hyperbel (Abb.2.23). Von den zwei Achsen stimmt
eine mit der x -Achse überein, die andere ist die Gerade x =
2a
Die Scheitel A, C und B, D liegen bei
fy b
0 und
2a
,±i
, wobei A = 4ac — b2 .
a>0,A<0
b)
Abbildung 2.23
c)
Definitionsbereich und Verlauf der Funktionen hängen von den Vorzeichen von a und A ab (Abb.2.23)
Für a < 0 und A > 0 besitzen die Funktionen nur imaginäre Werte, so daß hier keine Kurven existieren
(ausführlich über Ellipse und Hyperbel s. 3.5.2 8, S 204 und 3.5 2 9, 206)
2.5.3 Potenzfunktion
Die Potenzfunktion y = axk = ax±m^n m , n ganzzahlig, positiv, teilerfremd , B 53)
ist für k > 0 und k < 0 getrennt zu betrachten (Abb.2.24). Dabei reicht eine Beschränkung auf den
Fall a = 1 aus, weil die Kurven für a ^ 1 gegenüber den von y = xk in Richtung der y-Achse mit dem
Faktor a gestreckt und bei negativem a an der x-Achse zu spiegeln sind.
Fall a) k > 0 , y = xm/n- Der Kurvenverlauf ist für vier charakteristische Fälle der Größen m und n
in Abb.2.24 dargestellt Die Kurve verläuft durch die Punkte @,0) und A,1) Für k > 1 berührt sie die
x-Achse im Koordinatenursprung (Abb.2.24d), für k < 1 ebenfalls im Koordinatenursprung die y-
Achse (Abb.2.24a,b,c). Für n gerade gibt es zwei zitEÄ-Achse symmetrische Zweige (Abb.2.24a,d),
72 2. Funktionen und ihre Darstellung
y>
i
0
t
kA
1/2
y=x^
X
a)
y=-x
yj
i
-N?
i
\ -1/3
Vy=x
^
1 X
yt i
y=x
Na
0
1 X
c)
Abbildung 2.24
y<
i
0
k , -3/2
V,
\f~ x
1 -3/2
ly=-x
b)
Abbildung 2.25
«0
yt
S\
0
\ -2/3
W=x
i x
für m gerade zwei zur y-Achse symmetrische Zweige (Abb.2.24c). Für m und n ungerade ist die
Kurve zentralsymmetrisch zum Koordinatenursprung (Abb.2.24b). Die Kurve kann somit im
Koordinatenursprung einen Scheitel, einen Wendepunkt oder einen Rückkehrpunkt besitzen (Abb.2.24).
Asymptoten hat sie keine
Fall b) k < 0, y = sc-m/n: Der Kurvenverlauf ist für drei charakteristische Fälle der Größen m und n
Abb.2.25 dargestellt Die Kurve ist vom hyperbolischen Typ, wobei die Asymptoten mit den
Koordinatenachsen zusammenfallen (Abb.2.25). Die Unstetigkeitsstelle befindet sich bei x = 0. Die Kurve
nähert sich der x-Achse asymptotisch um so schneller und der y-Achse um so langsamer, je größer
\k\ ist Der Kurvenverlauf und die Symmetrie hinsichtlich der Koordinatenachsen bzw. des
Koordinatenursprungs hängen wie im Falle k > 0 davon ab, ob m und n gerade oder ungerade sind Extrema
gibt es keine. .
2.6 Exponentialfunktionen und logarithmische Funktionen
2.6.1 Exponentialfunktion
Die Funktion y = ax = ebx (a > 0 , b = In a) B 54)
liefert das graphische Bild der Exponentialkurve (Abb.2.26) Für a = e ergibt sich die
natürliche Exponentialkurve y = ex. B.55)
Die Funktion besitzt nur positive Werte. Für a > 1, d.h. für b > 0 , steigt sie monoton von 0 bis oo an
Für a < 1, d.h. für b < 0, nimmt sie um so schneller monoton von oo bis 0 ab, je größer |6| ist Die
Kurve verläuft durch den Punkt @,1) und nähert sich asymptotisch der x-Achse für b > 0 nach rechts
und für b < 0 nach links, und zwar um so schneller, je größer \b\ ist. Die Funktion y = a~x = f - ]
wächst für a < 1 und fällt für a > 1.
2 6 Exponentialfunktionen und logarithmische Funktionen 73
Abbildung 2 26
2.6.2 Logarithmische Funktionen
y=log2x=lb x
y=logex=ln x
y=l°g10x=lgx
x
- y=iogjx
i 10
- y=lo^x
y=lo^x
Abbildung 2 27
Die Funktion
' = logax (a > 0, a^l)
B.56)
beschreibt die logarithmische Kurve (Abb.2.27); sie stellt die an der Geraden y = x gespiegelte
Exponentialkurve dar. Für a = e ergibt sich das Kurvenbild des
natürlichen Logarithmus y = In x B 57)
Die logarithmische Funktion ist im Reellen nur für x > 0 definiert Für a > 1 wächst sie von — oo bis
+co monoton an, für a < 1 fällt sie von +oo auf — oo monoton ab, und zwar beide Male um so schneller,
je kleiner | lna| ist Die Kurve geht durch den Punkt A,0) und nähert sich asymptotisch der ?/-Achse
für a > 1 unten, für a < 1 oben, und das wieder um so schneller, je größer | In a\ ist
2.6.3 Gaußsche Glockenkurve
Die Funktion
-{axf
B.58)
beschreibt die GAUSSsche Glockenkurve (Abb.2.28). Sie hat die t/-Achse zur Symmetrieachse und
nähert sich der x-Achse asymptotisch um so schneller, je größer \a\ ist Das Maximum A liegt bei @,1),
die Wendepunkte B, C liegen bei I ±—y= , —p ) .
Die zugehörigen Tangentensteigungen ergeben sich zu tany? = =pay 2/e .
Eine wichtige Anwendung der GAUSS sehen
Glockenkurve B 58) ist die Beschreibung des
Normalverteilungsgesetzes der Beobachtungsfehler (s Graphische Darstellung
und Anwendungen in der Wahrscheinlichkeitsrechnung
16, S 768ff und bei den Wavelets 15 5, S 763ff )
1 _^_
y = y(x) = ——e 2*2 B 59)
c/
^™
3M
/k
0
i
\B
(P*^
X
ay/27r
Abbildung 2.28
2.6.4 Exponentialsumme
Die Funktion
ist in (Abb.2.29) für charakteristische Vorzeichenrelationen dargestellt.
Die Konstruktion erfolgt über die Addition der Ordinaten der Kurven der Summanden y\ — aebi
B.60)
und
Die Funktion ist stetig Wenn keine der Zahlen a,b,c,d gleich 0 ist, besitzt die Kurve eine der
74 2. Funktionen und ihre Darstellung
' y1
\
\
,d<&
V.
0
,b,d>0
1 \
J!
/j/yi
X
sign a=sign c
sign b=sign d
. o| .—x
sign a = sign c
sien b =1= sien d
Signa
sign b =1= sign d sign b = sign d
a)
b)
sign a* sign c
sign b=}= sign d
c)
Abbildung 2 29
d)
vier in Abb.2.29 dargestellten Formen. Die Kurvenbilder können in Abhängigkeit von den Vorzeichen
der Parameter an den Koordinatenachsen gespiegelt sein.
Die Schnittpunkte A und B der y-Achse bzw x-Achse liegen bei @, a + c) bzw. x = -—- In (— ) ,
d — b \ cJ
- In [ ; 1 und der Wendepunkt D bei x = -—T In
das Extremum C bei x =
(-
a62\
^ ,sowe,t
-b \ cd) *"~ " d — b~
diese Punkte vorhanden sind
Fall a) Die Parameter a und c bzw b und d besitzen gleiches Vorzeichen Die Funktion erfährt keinen
Vorzeichenwechsel, sie ändert sich von 0 bis +00 bzw. —00 oder von +00 bzw. —00 bis 0 . Wendepunkte
gibt es keine; Asymptote ist die rr-Achse (Abb.2.29a).
Fall b) Die Parameter a und c haben gleiche, b und d verschiedene Vorzeichen Die Funktion ändert
sich ohne Vorzeichenwechsel von +00 bis +00, wobei sie ein Minimum durchläuft, bzw. von —00 bis
-00 , dabei ein Maximum durchlaufend. Wendepunkte gibt es keine (Abb.2.29b).
Fall c) Die Parameter a und c haben verschiedene, b und d gleiche Vorzeichen: Die Funktion ändert
sich von 0 bis +00 bzw. —00 oder von +00 bzw —00 bis 0, wobei sie einmal ihr Vorzeichen wechselt
und ein Extremum C und einen Wendepunkt D durchläuft. Die x-Achse ist Asymptote (Abb.2.29c)
Fall d) Die Parameter o und c und auch b und d besitzen unterschiedliche Vorzeichen: Die Funktion
ändert sich monoton zwischen —00 und +00 bzw. zwischen +00 und —00. Sie besitzt keine Extrema,
aber einen Wendepunkt D (Abb.2.29d).
2.6.5 Verallgemeinerte Gaußsche Glockenkurve
Die Kurve der Funktion
y = ae
,bx + ex2
:ae-(£)V(*+£J
B.61)
kann als Verallgemeinerung der GAUSSsc/ien Glockenkurve B.58) aufgefaßt werden; sie stellt eine
symmetrische Kurve zur vertikalen Geraden x = — — dar, wobei die x-Achse nicht geschnitten wird und
der Schnittpunkt D mit der y-Achse bei @, a) liegt (Abb.2.30a,b)
Der Verlauf der Funktion hängt von den Vorzeichen von a und c ab. Hier wird nur der Fall a > 0
betrachtet, da die Kurve zu a < 0 durch Spiegelung an der x-Achse erhalten werden kann.
Fall a) c > 0: Die Funktion nimmt von +00 bis zum Minimum ab, um dann wieder bis +00 anzu-
/ b -(M2
wachsen. Dabei bleibt sie stets positiv Das Minimum A liegt bei I — —, ae ^2«^
2c
; Wendepunkte und
Asymptoten gibt es nicht (Abb.2.30a).
2.6 Exponentialfunktionen und logarithmische Funktionen 75
c<0
b)
Abbildung 2.30
( b -£\
Fall b) c < 0: Die x-Achse ist Asymptote. Das Maximum A liegt bei I — — ,ae 4c j , die
Wendepunkte B und C liegen bei
c>0, b>l
D/A\C
0 c<0,b>l x
2c -(b2+2c)\
,ae 4c (Abb 2.30b).
yf
c>0, b<0
d)
yt
c<0,b=l
°c<0,0<b<lx
g)
Abbildung 2.31
0 c<0,b<0 X
h)
B 62)
2.6.6 Produkt aus Potenz- und Exponentialfunktion
Die Funktion y = ax ecx
wird hier nur für den Fall a > 0 betrachtet, da sich ihre Kurve zu a < 0 durch Spiegelung an der x-
Achse ergibt, und nur für den Fall positiver x-Werte, so daß sie stets positiv bleibt (Abb.2.31).
Die (Abb.2.31) zeigt, daß durch geeignete Kombination der Parameter die unterschiedlichsten
Kurvenverläufe erzeugt werden können.
Für b > 0 verläuft die Kurve durch den Koordinatenursprung. Tangente ist in diesem Punkt für b > 1
die x-Achse, für b = 1 die Winkelhalbierende y = x des ersten Quadranten und für 0 < b < 1 die
y-Achse Für b < 0 ist die y-Achse Asymptote. Für c > 0 steigt die Funktion mit x über alle Grenzen,
für c < 0 geht sie asymptotisch gegen 0. Für verschiedene Vorzeichen von b und c besitzt die Funktion
76 2 Funktionen und ihre Darstellung
ein Extremum A bei I x — — ] . Die Kurve besitzt entweder keinen, einen oder zwei Wendepunkte C
b±Vb\
und D bei \x = —
(Abb.2.31c,e,f,g).
2.7 Trigonometrische Funktionen (Winkelfunktionen)
2.7.1 Grundlagen
2.7.1.1 Definition und Darstellung
1. Definition
Die trigonometrischen Funktionen (äqivivalente Bezeichnungen sind Winkelfunktion und goniometri-
sche Funktion) werden über geometrische Betrachtungen hergeleitet Daher wird ihre Definition sowie
die Angabe des Arguments im Grad- oder Bogenmaß auf 3.1.1 5, S. 133 besprochen
2. Sinus
Die gewöhnliche Sinusfunktion y = sinx B.63)
ist in Abb.2.32a dargestellt Es ist eine stetige Kurve mit der Periode T = 2tt.
Abbildung 2 32
Die Schnittpunkte B0, Bi, B-U B2i B_2, mit Bk = (kir, 0) (k = 0, ±1, ±2, ) der gewöhnlichen
Sinuskurve mit der x-Achse sind zugleich die Wendepunkte der Kurve Der Neigungswinkel der Kur-
TT
ventangenten gegenüber der x-Achse beträgt hier ±—
TT TT
Die Maxima liegerf bei xmax^ = r- + 2kn (k = 0,±1,±2, .), die Minima bei xmm^ = —— + 2/c7r
(k = 0, ±1, ±2, ) Für jeden Funktionswert y gilt -1 < y < 1.
Die allgemeine Sinusfunktion y = Asm(üüx + </?o) B 64)
mit der Amplitude \A\, der Frequenz u und der Anfangsphase ip0 ist in Abb.2.32b dargestellt
Gegenüber der gewöhnlichen ist die allgemeine Sinuskurve (Abb.2.32b) in y-Richtung um den Faktor
\A\ gedehnt, in ^-Richtung um den Faktor — zusammengedrückt und um die Strecke — nach links ver-
schoben. Die Periode ist T -
2tt
Die Schnittpunkte mit der rc-Achse liegen bei B^
kn — <po
,0
die Maxima bei xmax,k
tt/2 - ifQ 4- 2kTT
und die Minima bei xm\n<k
-tt/2 - ip0 + 2kn
(k =
0, ±1,±2,...). Für jeden Funktionswert y gilt- -|i4| < y < \A\
3. Kosinus
Die Kurve der gewöhnlichen Kosinusfunktion y = cos x = sin ( x +
B.65)
2 7 Trigonometrische Funktionen (Winkelfunktionen) 77
hat ihre Schnittpunkte mit der x-Achse bei
So, Bu £_!, B2, ...,Bk= [(* + ^)*.o]
(k = 0,±1,±2,. .), sie sind zugleich die
Wendepunkte mit dem Tangentenneigungswinkel
±j (Abb.2.33).
Die Extrema liegen bei Co, Ci, C_i, C2,...
mit Cjb = [Ajtt, (-l)fc] für jfc = 0, ±1, ±2,
Abbildung 2 33
Die allgemeine Kosinusfunktion y = Acos(ux + (p0)
läßt sich auch in der Form
y = A sin ( lux + cp0 + - J ,
d h. als allgemeine Sinusfunktion mit der Phasenverschiebung <p = 90° schreiben .
4. Tangens
Die Tangensfunktion y = tan x
B.66)
B.67)
B.68)
hat die Periode T = n und die Asymptoten x = f fc + - J tt (fc = 0, ±1, ±2,.. ) (Abb.2.34). Die
Verlauf
(fc7T,0)
7T 7T
Funktion wächst für x im Intervall von —— bis +— monoton zwischen —oo"bis +00; dieser Verlauf
wiederholt sich periodisch Die Schnittpunkte mit der x-Achse bei 0, Au j4_i, A2, A_2, • • • , Ak
7T
sind zugleich Wendepunkte mit dem Tangentenneigungswinkel
Abbildung 2.34
Abbildung 2 35
5. Kotangens
Die Kotangensfunktion y = cot x = — tan f x + — )
B.69)
ergibt eine an der x-Achse gespiegelte und um die Strecke — nach links verschobene Tangenskurve
(Abb.2.35). Die Asymptoten liegen bei x = kir (k = 0, ±1, ±2,...). Wenn x von 0 bis 7r läuft,
fällt y monoton von +00 bis —00; dieser Verlauf wiederholt sich periodisch Die Schnittpunkte mit
der x-Achse bei Ai, A_u A2, A_2,. . mit Ak
Tangentenneigungswinkel — —
[(*+*H
sind zugleich Wendepunkte mit dem
78 2 Funktionen und ihre Darstellung
6. Sekans
Die Sekansfunktion
hat die Periode T =
1
cosx
27r, die Asymptoten sind x — ( k + - ) 7r,
stets gilt |2/| > 1 Die Maxima liegen bei A\, A2,.
[Bk + lOr, -1], die Minima bei #i, B2,... mit Bk
(Abb.2.36)
,y
Abbildung 2 36
7. Kosekans
Die Kosekansfunktion y = cosec x ¦
Abbildung 2.37
90 180 270 360
Abbildung 2 38
sinx
TT
B 71)
stellt graphisch eine um die Strecke x — — nach rechts verschobene Sekanskurve dar Die Asymptoten
sind x = kn. Die Maxima liegen bei A\, A2,. . mit Ak
4/c + l
4/c + 3
7T, — 1 I und die Minima bei B\,
B'
. mit Bf,
7T,+1 (Abb.2.37)
Hinweis: Trigonometrische Funktionen mit komplexen Argumenten z sind in 14 5 2, S 721 dargestellt
2.7.1.2 Wertebereiche und Funktionsverlaufe
1. Winkelbereich 0 < x < 360°
Die sechs trigonometrischen Funktionen sind in Abb.2.38 in allen vier Quadranten für einen vollen
Winkelbereich von 0° bis 360° bzw einen vollen Bogenbereich von 0 bis 2n gemeinsam dargestellt
In Tabelle 2.1 ist ein Überblick über die Definitions- und Wertebereiche der Funktionen gegeben. Das
Funktionsvorzeichen, das vom Quadranten abhängt, in dem das Funktionsargument liegt, kann aus
Tabelle 2.2 entnommen werden
Tabelle 2 1 Definitions- und Wertebereich der trigonometrischen Funktionen
Definitionsbereich
—00 < x < 00 <
Wertebereich
— 1 < sinx < 1
— 1 < cosx < 1
Definitionsbereich
x* {2k+ 1I
X 7^ klT
(ifc = 0,±l,±2, )
Wertebereich
—00 < tanx < 00
—00 < cot x < 00
2 7 Trigonometrische Funktionen (Winkelfunktionen) 79
Tabelle 2.2 Vorzeichen der trigonometrischen Funktionen
Quadrant
I
II
III
IV
Größe des Winkels
von 0°bis 90°
von 90° bis 180°
von 180° bis 270°
von 270° bis 360°
sin
1 1 + +
cos
+ 11 +
tan
+ 1 + 1
cot
+ 1 + 1
sec
+ 11 +
CSC
+ + 1 1
2. Funktionswerte für ausgewählte Winkelargumente
Tabelle 2.3 Werte der trigonometrischen Funktionen für 0°, 30°, 45°, 60° und 90°
Winkel
0°
30°
45°
60°
90°
Bogen
0
1
1
r
i
i
sin
0
1
2
y/2
2
2
1
cos
1
2
2
1
2
0
tan
0
3
1
Vs
±co
cot
+oo
y/S
1
3
0
sec
1
2^3
3
V2
2
±oo
CSC
+00
2
V2
2^3
3
1
3. Beliebige Winkel
Da die trigonometrischen Punktionen periodisch sind (Periode 2tt bzw. 7r), kann die Ermittlung der
Punktionswerte für beliebige Argumente x nach den folgenden Regeln vereinfacht werden.
Argument x > 360° bzw. x > 180°: Wenn der Winkel größer als 360° (bzw größer als 180°) ist, dann
werden die Werte der trigonometrischen Punktionen auf Funktionswerte für Winkel a mit 0 < a < 360°
(bzw < 180°) nach folgenden Regeln zurückgeführt (n ganzzahlig):
sinC60° n + a) = sin a, B.72)
tanA80° • n + a) = tana, B.74)
cosC60° • n + a) = cos a, B 73)
cotA80° • n + a) = cot et. B.75)
Argument x < 0: Wenn das Argument negativ ist (x = —a), dann werden die Funktionen mit den
folgenden Formeln auf Funktionen mit positivem Argument zurückgeführt:
sin(—a) = — sina, B.76) cos(—a) = cosa, B 77)
tan(-a) = - tan a , B.78) cot(-a) = - cot a . B 79)
Tabelle 2.4 Reduktionsformeln oder Quadrantenrelationen der trigonometrischen Funktionen
Funktion
sinx
cosx
tanz
cotx
x = 90° ± a
+ cosa
+ sina
+ cota
+ tana
x = 180° ± öl
+ sina
— cosa
itana
icota
x = 270° ± a
— cosa
±sina
+ cota
+ tana
x = 360° — a
— sina
+ cosa
— tana
— cota
80 2 Funktionen und ihre Darstellung
Argument x mit 90° < x < 360°: Wenn 90° < x < 360° ist, dann werden die Funktionen mit
Hilfe der Reduktionsformeln in Tabelle 2.4 auf Funktionen eines spitzen Winkels a zurückgeführt
Man nennt die Beziehungen zwischen Funktionswerten von Winkeln, die sich um 90°, 180° oder 270°
unterscheiden bzw. zu 90°, 180° oder 270° ergänzen, Quadrantenrelahonen
Aus der 1 und 2. Spalte von Tabelle 2.4 ergeben sich die Formeln der Komplementsätze, aus der 1 und
3. die Formeln der Supplementsätze Dai = 90° — a der Komplementwinkel (s. 3.1.1.3, S. 132) oder
das Komplement von a ist, nennt man Beziehungen der Art
cos a = sin x = sin(90° — a), B 80a) sin a = cos x = cos(90° — a) B 80b)
Komplementsätze
Die Beziehungen zwischen den trigonometrischen Funktionen für Supplementwinkel (s 3 1 1 3, S 132)
der Art
sina = sinx = sinA80° — a), B 81a) -cosa = cosx = cos( 180° - a) B 81b)
werden wegen a + x = 180° Supplementsätze genannt
Argument x mit 0° < x < 90°: Wenn ein spitzer Winkel @° < x < 90°) vorliegt, dann wurden die
Funktionswerte früher Tabellen entnommen, heute werden sie vom Rechner abgefragt
¦ sin(-1000°) - -sin 1000° = - sinC60° • 2 + 280°) = - sin 280° = + cos 10° - +0,9848
4. Winkel im Bogenmaß
Funktionswerte im Bogenmaß, d h. in der Einheit Radiant, können mit Hilfe von C 2) umgerechnet
werden (s 3.1.1.5, S. 133)
2.7.2 Wichtige Formeln für trigonometrische Funktionen
2.7.2.1 Beziehungen zwischen den trigonometrischen Funktionen
sin2 a + cos2 a = 1,
sec2 öl — tan2 a = 1,
cosec2 a — cot2 a = 1,
sina
= tan a,
cosa
B.82)
B 83)
B.84)
B.88)
sina • coseca = 1,
cosa seca = 1,
tan a • cot a = 1,
cosa
= cot a
sina
B 85)
B 86)
B 87)
B 89)
Weitere Formeln sind der Ubersichlichkeit wegen in Tabelle 2.5 zusammengefaßt In ihnen ist voi dem
Wurzelzeichen ein positives oder negatives Vorzeichen zu setzen, je nachdem, in welchem Quadranten
sich der Winkel befindet
2.7.2.2 Trigonometrische Funktionen der Summe und der Differenz zweier
Winkel (Additionstheoreme)
sin(a±ß) = sin a cos ß±cos a sin ß, B.90) cos(a±ß) = cosa cos /3=Fsina sin ß, B 91)
, _.. tana±tan/3 /rt nn. , , ^N cotacot/?=fl . _,
tan(a±0) = - ^, B.92) cot a ± ß) = „ , , 2 93
v ' l=Ftanatan/T y ' v ; cot/?±cota v '
sin(a + ß + 7) = sin a cos ß cos 7 + cos a sin ß cos 7
+ cos a cos ß sin 7 — sin a sin ß sin 7, B 94)
cos(a + ß + 7) = cos a cos ß cos 7 — sin a sin ß cos 7
— sin a cos /? sin 7 — cos a sin /? sin 7 B 95)
2.7 Trigonometrische Funktionen (Winkelfunktionen) 81
Tabelle 2.5 Beziehungen zwischen den trigonometrischen Funktionen
gleichen Arguments im Intervall 0 < a < 7r/2
a
sina
cosa
tana
cota
sina
-
Vi — sin2 a
sina
Vi — sin2 a
Vi — sin2 a
sina
cosa
Vi — cos2 a
Vi — cos2 a
cosa
cosa
Vi — cos2 a
tana
tana
Vi + tan2 a
1
Vi + tan2 a
1
tana
cota
1
Vi + cot2 a
cota
%/l 4- cot2 a
1
cota
2.7.2.3 Trigonometrische Funktionen für Winkelvielfache
B.96)
B.97)
sin 2a = 2 sin a cos a,
sin 3a = 3 sin a — 4 sin3 a,
sin 4ä = 8 cos3 a sin a — 4 cos a sin a , B.100)
2 tana
cos 2a = cos2 a — sin2 a,
B.98)
B.99)
tan 2a =
tan 3a =
tan 4a =
1 — tan2 a'
3 tan a — tan3 a
l-3tan2a '
4 tan a — 4 tan3 a
1—6 tan2 a + tan4 a,
B.102)
B.103)
B.104)
cos 3a = 4 cos3 a — 3 cos a,
cos4a = 8cos4a - 8cos2a 4- 1, B 101)
cot2a= T "~x, B.105)
cot3a = — ^-^^ ^ p l0^
cot 4a
cot2 a — 1
2 cot a
cot3 a — 3 cot a
3cot2a-l '
cot4 a — 6 cot2 a + 1
4 cot3 a — 4 cot a
. B.107)
Für große Werte von n ermittelt man sin na und cos na vorteilhafterweise mit der Formel von M Ol VRE.
Unter Benutzung der Binomialkoeffizienten ( ) (s. 1.1.6.4, S. 12) ergibt sich:
¦ (cos a + i sin a)n = Y[ ) i
cos na + i sin na
n-1 /n\ n-7 ¦ 1
• cos a-\-\n cos a sin a — II cos a sin a
-G
cosn 3 a sin3 a + ( I cosn 4 a sin4 a +
B.108)
woraus folgt
cos na = cosn a -
n , cosn 2 a sin2 a 4- I , I cosn 4 a sin4 a
2/ \4/
cosn 6 a sin6 a + ...,
sin na = n cos" x a sin a - I I cos a sin a + I 1 cos" u a sin" a — .
B.109)
B.110)
82 2 Funktionen und ihre Darstellung
2.7'.2.4 Trigonometrische Funktionen des halben Winkels
In den folgenden Formeln (Halbwinkelsätze), ist vor dem Wurzelzeichen ein positives oder negatives
Vorzeichen zu setzen, je nachdem, in welchem Quadranten sich der Winkel befindet
sin| = ji(l-cosa), B 111) cos | = Al + cos«), B.112)
a /1 — cos a 1 — cos a sin a ,
tan- = W- = : = , 2 113
2 V 1 4- cos öl sin a 1 + cos a
a /1 + cos a 1 + cos a sin a ,
cot - = x = : = . B 114
2 V 1 ~ cos a sin a 1 — cos a
2.7.2.5 Summen und Differenzen zweier trigonometrischer Funktionen
• r> ^ • ct + ß ot — ß ,_ --_v . . ~ _ oi + ß a — ß . .
sin a + sin p = 2 sin—-—cos—-—,B.115) sina - sin/3 = 2 cos—-—sin—-—, B 116)
cosQ+cosß = 2cos—-—cos—-—,B.117) cosa — cos/3 = — 2sin—-—sin—-—, B 118)
tana± tan/3-—^ ^, 2 119 cota ± cot/3 = ±-^—r^f, 2 120
cos Ol cos ß sin a sm p
tana + cot/3=COs((WiJ, B 121) cota - tan/3 = C°s(a + ^ B 122)
cos Ol sm ß sin a cos ß
2.7.2.6 Produkte trigonometrischer Funktionen
sin öl sin /? = ~[cos(a-/3) - cos(<* +/?)], B.123)
cos Ol cos ß = - [cos(a - /5) + cos(a + /?)], B.124)
sina cos/3 ='-[sin(a - ß) 4- sin(a + /?)], B.125)
sin a sin ß sin 7 = - [sin(a 4- ß — 7) 4 sin(/3 4- 7 — a)
+ sinG + a - ß) - sin(a + ß + 7)], B 126)
-[sin(a + ß — 7) — sin(/? + 7 — 0;)
+ sinG + a - /?) + sin(a + /3 + 7)], B 127)
-[— cos(a + /? — 7) 4- cos(/3 + 7 — 0;)
+ cosG + a-ß)- cos(a + /? + 7)], B 128)
- [cos(a + ß — 7) 4- cos(/3 + 7 — 0)
+ cosG + OL-ß)+ cos(a + ß + 7)] B 129)
sin a cos ß cos 7 = — [sin(üf + /? — 7) — sin(ß + 7 — 0;)
sin öl sin /? cos 7 = - [— cos(a + /? — 7) 4- cos(/3 + 7 — a)
cos a cos /? cos 7 = - [cos(a + /3 — 7) 4- cos(/3 + 7 — 0)
2 7 Trigonometrische Funktionen (Winkelfunktionen) 83
2.7.2.7 Potenzen trigonometrischer Funktionen
sin2a = -A — cos2a),
sin3 a = -C sin a — sin 3a),
4
1
B 130)
B.132)
cos2 a = -A + cos 2a),
B 131)
sin4 a = - (cos 4a - 4 cos 2a + 3), B 134)
cos3 a = - (cos 3a 4- 3 cos a), B 133)
cos4a- -(cos4a + 4cos2a + 3). B.135)
Für große Werte von n ermittelt man sinn a und cosn a, indem die Formeln für cos na und sin na in
2 7 2 3. S. 81 nacheinander angewendet werden
2.7.3 Beschreibung von Schwingungen
2.7.3.1 Problemstellung
In der Technik und der Physik kommen oft zeitabhängige Größen der Form
u = Asin(ujt + ip) B 136)
vor Sie werden manchmal auch sinusoidale Größen genannt Ihre zeitabhängige Änderung beschreibt
eine harmonische Schwingung. Die graphische Darstellung von B 136) liefert eine allgemeine
Sinuskurve, wie sie Abb.2.39 zeigt
Abbildung 2 39 Abbildung 2 40
Die allgemeine Sinuskurve unterscheidet sich von der gewöhnlichen y = sin x
a) durch die Amplitude A, d.h. ihre größte Auslenkung von der Zeitachse t,
b) durch die Periode T ¦
2tt
, die der Wellenlänge entspricht (mit u als Schwingungsfrequenz, die- in
der Schwingungslehre Kreisfrequenz genannt wird),
c) duich die Anfangsphase oder Phasenverschiebung mit dem Anfangswinkel <p ^ 0
Die Größe u(t) kann auch in der Form
u = a sin ut + b cos ut
B 137)
dargestellt werden Dabei ist A = Va2 + b2 und tan <p = - . Die Größen a, 6, A und ip lassen sich gemäß
a
Abb.2.40 als Bestimmungsstücke eines rechtwinkligen Dreiecks darstellen
2.7.3.2 Superposition oder Überlagerung von Schwingungen
Superposition oder Überlagerung von Schwingungen nennt man im einfachsten Falle die Addition zweier
Schwingungen mit gleicher Frequenz. Sie führt wieder auf eine harmonische Schwingung mit derselben
Frequenz
Ai siii((jt + ip\) + A2 sm(ut + ^2) — Asin(u)t + (p)
B 138a)
84 2 Funktionen und ihre Darstellung
V
E
9-
sin
<\
i
0
i
1 a
fA^A/
Ap2 / U
]£1\\\
'<P1
'Al
b
X
a)
Dabei bedeuten
,4 = \JA^+.A22 + 2j4i A2 cos(<p2 - <Pi),
Ai sin y?i + A2 sin <p2
tan</? =
B 138b)
Abbildung 2.41
Ai COS (fi + A2 COS y>2 '
Auch eine Linearkombination mehrerer allgemeiner
Sinusfunktionen gleicher Frequenz führt wieder auf
eine allgemeine Sinusfunktion (harmonische
Schwingung) mit derselben Frequenz:
^2 CiAi sin(ut + (fi) = A sm(ut + <p) B 138c)
Die Größen A und tp können mit Hilfe eines Vektordiagramms (Abb.2.41a) bestimmt werden
2.7.3.3 Vektordiagramm für Schwingungen
Die allgemeine Sinusfunktion B 136, 2 137) kann bequem mit den Polarkoordinaten p = A, (p und den
kartesischen Koordinaten x = a ,y = b(s S 196) in einer Ebene dargestellt werden. Die Summe zweier
solcher Größen ergibt sich dann als Summe der zwei Summandenvektoren (Abb.2.41a). Entsprechend
liefert die Summe mehrerer solcher Vektoren die Linearkombination mehrerer allgemeiner
Sinusfunktionen Diese Darstellung wird Vektordiagramm genannt.
Die Größe u kann im Vektordiagramm für einen gegebenen Zeitpunkt t an Hand der Abb.2.41a
bestimmt werden: Zuerst legt man durch den Koordinatenursprung O die Zeitachse OP(t), die mit
konstanter Winkelgeschwindigkeit u um O im Uhrzeigersinn rotiert Zum Anfangszeitpunkt t = 0 fallen
y- und £-Achse zusammen
Danach ist in jedem Zeitpunkt t die Projektion ON des Vektors auf die Zeitachse gleich dem Betrag
der allgemeinen Sinusfunktion u = A sm(ujt + ip). Zur Zeit t = 0 ist w0 = A. sin ip die Projektion auf
die y-Achse (Abb.2.41b)
2.7.3.4 Dämpfung von Schwingungen
Die Funktion y = Ae~ax sin(^x + <p0) (a > 0, x > 0) B 139)
yt
V
Bf
0
\ -
ukJ^ <^:% *
/ U2
Abbildung 2.42
liefert für x > 0 die Kurve einer
gedämpften Schwingung (Abb.2.42)
Die Schwingung erfolgt um die x-Achse,
wobei sich die Kurve asymptotisch der x-
Achse nähert. Dabei wird die Sinuskurve
von den beiden Exponentialkurven y =
±Ae~ax eingehüllt, indem sie diese in den
folgenden Punkten berüren:
j4i,j42,...,j4j
((»*)-
<A)
(
(-l)kA exp
[k-\--J ir - tpo^
\
Die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen sind B = @, A sin </?0), C\, C%
,. .,ck=(
kir — (po
.0
2.8 Zyklometrische Funktionen (Arkusfunktionen) 85
Die Extrema Di, D2,
kir - ifo + 2a
mit tan a =
Defi
a
befinden sich bei x —
kir — ifo + öl
Als logarithmisches Dekrement der Dämpfung wird 8 — In
Ordinaten zweier benachbarter Extrema
2/t+i
die Wendepunkte E\, E2,... bei x
= a— bezeichnet; yi und yi+i sind die
2.8 Zyklometrische Funktionen (Arkusfunktionen)
Die zyklornetrischen Funktionen sind die Umkehrfunktionen der trigonometrischen Funktionen Sie
werden auch inverse trigonometrische oder Arkusfunktionen genannt Zu ihrer eindeutigen Definition
wird der Definitionsbereich der trigonometrischen Funktionen in Monotonieintervalle zerlegt, so daß für
jedes Monotonieintervall eine Umkehrfunktion erhalten wird Diese wird entsprechend dem
zugehörigen Monotonieintervall mit dem Index k gekennzeichnet
yf i
1
71
^/
-K
y
jfW*
0 x
Y-
K
i
0<pN x
Abbildung 2 43 Abbildung 2.44
Abbildung 2 45
Abbildung 2.46
2.8.1 Definition der zyklornetrischen Funktionen
Die Vorgehensweise wird am Beispiel der Arkussinusfunktion gezeigt (s. Abb.2.43). Der Definitions-
bereich von y = sinx wird in die Monotonieintervalle kn — — < x < kir + — mit k = 0, ±1, ±2,
— < x < kix -\— mit k
2 ~ ~ 2
zerlegt. Spiegelung von y ~ sinx an der Winkelhalbierenden y = x liefert die Umkehrfunktionen
y — arcfc sm x
mit den Definitions- und Wertebereichen
— 1<£<+1 bzw kit -
-<y<kir + -,
wobei fc = 0,±l,±2,.
B.140a)
B.140b)
Die Schreibweise y — arc^ sin x ist gleichbedeutend mit x = sin y Analog erhält man die übrigen
Arkusfunktionen, die in den Abb.2.44 bis Abb.2.46 dargestellt sind Die Definitions- und Wertebereiche
dei Arkusfunktionen und die gleichbedeutenden trigonometrischen Funktionen sind in Tabelle 2.6
aufgeführt.
2.8.2 Zurückführung auf die Hauptwerte
Die Arkusfunktionen haben in den Definitions- und Wertebereichen für k -
wert, der ohne den Index k geschrieben wird, z.B. aresin x = arc0 sin x .
0 ihren sogenannten Haupt-
86 2. Funktionen und ihre Darstellung
arccot """"¦*-
-1
arctan^^
i
V
^
K \
2
7i
4°
V
—
0
-7t
" 2
^^~~ arctan
1 X
In Abb.2.47 sind die Hauptwerte der Arkusfunktionen
eingezeichnet
Hinweis: Taschenrechner geben die Hauptwerte an. Die
Zurückführung auf den Hauptwert erfolgt mit Hilfe der
folgenden Formeln:
arcfcsina: = kn + (-l)fc arcsin x, B.141)
arrrnt f (/c + lOr — arecos a? (k ungerade), /01/l0x
fiiccoi arcfccosx=^) , ; ), 6, x y B.142)
^ [ kir + arecosx {k gerade), v '
Abbildung 2.47
arefc tan x = kn + arctan x ,
arefc cot x = kir + arccot x.
¦ A: aresin 0 = 0, arc^ sin 0 = kir.
7T 7T
¦ B: arccot 1 = — , arc^ cot 1 = —h kir.
4 4
B.143)
B.144)
_ 1 TT 1
C: arecos - = —, arc^ cos -
2 3 2
¦ + (k + l)ir (k ungerade)
- + tor
(*
Tabelle 2 6 Definitions- und Wertebereiche der zyklometrischen Funktionen
Arkusfunktion
Arkussinus 1
y = arcfc sin x j
Arkuskosinus 1
y = arefc cos x j
Arkustangens 1
?/ = arefc tan a: J
Arkuskotangens 1
y = arefc cot x J
Definitionsbereich
-1 <x< 1
-1 <x< 1
—oo < x < oo
—oo < x < oo
Wertebereich
^tt— — <?/<A:7r-|- —
/ctt < 2/ < {k + l)?r
. TT 7T
ktt--<?/< fcTr-l--
&7T < 7/ < (fc + 1OT
Gleichbedeutende
trigonometrische
Funktion
x = sin y
x = cos y
x = tan y
x = coty
A; = 0, ±1, ±2,. . Für k = 0 erhält man den Hauptwert der jeweiligen
zyklometrischen Funktion, der ohne Index geschrieben wird (z.B. aresin x = arcosinx).
2.8.3 Beziehungen zwischen den Hauptwerten
arcsin x = — — arecos x = arctan .
2 y/T^X2
— arecos Vi — x2 (—1 < x < 0),
arecos \/l - £2 @ < x < 1),
B.145)
arecos x = arcsin x = arccot ,
2 y/T^x2
7T — arcsin y/1 — x2 (tt — 1 < x < 0),
arcsin \/l — x2 @ < x < 1),
B.146)
arctan a; = — — arccot x = arcsin ,
2 VTTx2
B.147)
2 8 Zyklometrische Funktionen (Arkusfunktionen) 87
( arccot - - TT (x < 0) I - arccos /—-^ (x < 0),
arctana;=^ * =1 Y B.148)
arccot - (x > 0) arccos ¦. (x > 0),
TT X
arccot x = arctan x = arccos . , B 149)
I arctan - + tt (x < 0) [ *" - arcsin /t—~2 ^x - °)'
* = ^ ^vi + x B150)
arctan - (x > 0) arcsin , (x > 0)
x l Vi + ^
2.8.4 Formeln für negative Argumente
arcsin(—x) = — arcsin x , B.151) arccos(—x) = n — arccos x , B 153)
arctan(—x) = — arctan x, B 152) arccot(—x) = tt — arccot x B 154)
2.8.5 Summe und Differenz von arcsin x und arcsin y
arcsin x + arcsin y = arcsin ( xy 1 — y2 + yVl — x2 J (xy < 0 oder a;2 + y2 < 1), B.155a)
tt - arcsin (x^/l - y2 + y\/l -x2) (x > 0, y > 0, x2 + y2 > 1), B 155b)
= -7T - arcsin (xy/l - y2 + yy/l - xA (x < 0, y < 0, x2 + y2 > 1) B 155c)
arcsinx — arcsin?/ = arcsin (xyl — y2 — yVl — x2 ) (xy > 0 oder x2 + y2 < 1), B.156a)
l (xyjl -y2- yVT^x2) (x>0, y <0, x2 + 2/2> 1), B 156b)
l (xyjl -y2- yy/l - x2) {x < 0, y > 0, x2 + y2 > 1). B.156c)
2.8.6 Summe und Differenz von arccos x und arccos y
= tt — arcsm
= — 7T — arcsin
arccosx + arccos?/ = arccos f xy — Vi — x2y 1 — ?/2 J (a; + ?/ > 0), B.157a)
= 27T — arccos ( a:?/ — VT^yi - y2) (x + j/<0). B.157b)
arccosa; — arccosy — — arccos (xy + \/l — x2yj 1 — ?/2 ) (a; > ?/), B 158a)
= arccos f a;?/ + VT^2 ^1 - y2) {x<y). B 158b)
2.8.7 Summe und Differenz von arctan x und arctan y
arctan x + arctan y = arctan (xy < 1), B 159a)
l-xy
= tt + arctan X + V (x > 0, xy > 1), B.159b)
88 2. Funktionen und ihre Darstellung
= -TT + arctan -^—— (x < 0, xy > 1). B.159c)
1-xy
arctan a; — arctan y — arctan (xy > — 1), B.160a)
1 + xy
= n + arctan ^ ~ V (x > 0, xy < -1), B.160b)
= -TT + arctan g ~ V (x <Q,xy <-l). B.160c)
l+xy v * » > v /
2.8.8 Spezielle Beziehungen für aresin x, arccos x, arctan x
2 aresinx = aresin BaVl — x2) I |x| < -t= ) , B 161a)
= n - aresin BaVl - z2) (-4= < x < 1) , B 161b)
= -TT - aresin BaVl - z2) f-l<z<—^=) B.161c)
2 arccos z = arccosBx2 - 1) @ < x < 1), B 162a)
= 2tt - arccosBx2 - 1) (-1 < x < 0) B.162b)
2x
l-x2
2arctana; = arctan- (\x\ < 1), B.163a)
2x
= ir + arctan (x>l), B.163b)
1 — xl
2x
l-x2
cos(n arccosx) = Tn(x) (n > 1), B.164)
wobei n > 1 auch gebrochene Werte annehmen kann und Tn(x) über die Gleichung
: -TT + arctan (x < -1). B 163c)
(x + Vx2^!O1 +(x- y/x^^lf
Tn(x) = ± '—^ '- B 165)
bestimmt ist. Für ganzzahliges n ist Tn(x) ein Polynom in x (ein TsCHEBYSCHEFFsc/ies Polynom).
Wegen der Eigenschaften der TsCHEBYSCHEFFschen Polynome s. 19 6 3.2, S 951
2.9 Hyperbelfunktionen
2.9.1 Definition der Hyperbelfunktionen
Hyperbelsinus, Hyperbelkosinus und Hyperbeltangens sind durch die folgenden Formeln definiert:
ex — 6_ x
sinhx = (Sinus hyperbolicus) , B 166)
ßx _|_ ß~x
coshz = (Kosinus hyperbolicus), B.167)
ex — e~x
tanh x = — (Tangens hyperbolicus) B 168)
2 9 Hyperbelfunktionen 89
Die geometrische Definition im Kapitel Geometrie (s. 3.1 2 2, S 134) ist eine Analogie zu den
trigonometrischen Funktionen
Hyperbelkotangens, Hyperbelsekans und Hyperbelkosekans sind als reziproke Werte der vorstehenden
drei Hyperbelfunktionen definiert*
cothx =
sech x =
cosech x
1
tanhx
1
coshx
1
ex
ex
ex
+ e~x
— e~x
2
+ e~x
2
(Kotangens hyperbolicus),
(Sekans hyperbolicus),
(Kosekans hyperbolicus).
sinh x ex — e~x
Den Verlauf der Hyperbelfunktionen zeigen die Abb.2.48 bis Abb.2.52
B.169)
B.170)
B.171)
\cosh
3{
coshu
;COth
\ cos
\ 2
\^1
,--''sech
^\cosech/
tanh .. \ / _i
coth / \
sinh / \\- -2
ech^,
\
0
yysinh
s\ /
^iSN tanh
secfi***—*
1 2 x
y\
4
3
2
1
i_K
// _2-
/
' A\
i
L
A.
s?\ »
Ol 2 x
\ 6T /
\ 5I /
\\ 4I //
\\ 3| 1/
—i—i——i—i—*-
-2 -1 I 1 2 x
Abbildung 2.48 Abbildung 2.49 Abbildung 2 50
2.9.2 Graphische Darstellung der Hyperbelfunktionen
2.9.2.1 Hyperbelsinus
y = sinh x B 166) ist eine ungerade, zwischen —oo und +oo monoton wachsende Funktion (Abb.2.49).
Der Koordinatenursprung ist zugleich Symmetriemittelpunkt und Wendepunkt mit dem Tangenten-
neigungswinkel ip = — . Asymptoten gibt es nicht.
2.9.2.2 Hyperbelkosinus
y = coshx B.167) ist eine gerade Funktion, die für x < 0 von +oo auf 1 monoton fällt und für x >
0 von 1 bis +oo monoton wächst (Abb.2.50). Das Minimum liegt bei j4@, 1); Asymptoten gibt es
keine Die Kurve verläuft symmetrisch bezüglich der 7/-Achse und bleibt mit ihren Werten oberhalb der
^.2
quadratischen Parabel y ¦
1 + — (gestrichelt gezeichnete Kurve) Da die Funktion eine Kettenlinie
90 2. Funktionen und ihre Darstellung
beschreibt, nennt man die Kurve auch Katenoide (s. 2 15 1, S. 108).
2.9.2.3 Hyperbeltangens
y = tanhx B.168) ist eine ungerade, für x von —oo bis +oo monoton von —1 auf +1 anwachsende
Funktion (Abb.2.51). Der Koordinatenursprung ist zugleich Symmetriemittel- und Wendepunkt mit
7T
dem Tangentenneigungswinkel <p = — . Die Asymptoten liegen bei y = ±1
4|
3 +
2
-1
-4 -3 -2 -1
2 3 4 x
Abbildung 2 51
Pi1-
-2
-3
-4
Abbildung 2 52
2.9.2.4 Hyperbelkotangens
y = cotha; B 169) ist eine ungerade Funktion mit einer Unstetigkeit bei x = 0 (Abb.2.52). Für
—oo < x < 0 fällt sie monoton von —1 auf —oo , für 0 < x < +oo von +oo auf +1. Extremwerte und
Wendepunkte gibt es nicht. Die Asymptoten liegen bei x = 0 und y = ±1
2.9.3 Wichtige Formeln für Hyperbelfunktionen
Hyperbelfunktionen sind durch Formeln miteinander verknüpft, deren Analogon von den
trigonometrischen Funktionen bekannt ist. Daher lassen sie sich aus den entsprechenden trigonometrischen Formeln
mit Hilfe der Zusammenhänge B.199) bis B.206) herleiten
2.9.3.1 Hyperbelfunktionen einer Variablen
cosh2 x - sinh2 x = 1, B.172) Coth2 x - cosech2 x = 1, B 174)
sech2 x + tann2 x = 1, B.173) tanh x • coth x = 1, B 175)
sinhx
coshrr
= tanh x,
B.176)
coshx
sinhx
= coth x.
B 177)
2.9.3.2 Darstellung einer Hyperbelfunktion durch eine andere gleichen
Argumentes
Die entsprechenden Formeln sind in Tabelle2.7 zusammengestellt.
2.9.3.3 Formeln für negative Argumente
sinh(-x) = -sinhz, B 178) cosh(-x) = coshx, B.180)
tanh(-x) = -tanhx, B 179) coth(-x) = -cothx. B.181)
2 9 Hyperbelfunktionen 91
Tabelle 2 7 Beziehungen zwischen den Hyperbelfunktionen gleichen Arguments für x > 0
sinha;
cosha;
tanha;
cotha;
sinha;
-
Y sinh2 x + 1
sinha;
Y sinh2 x +1
Y sinh2 x + 1
sinha;
cosha;
Ycosh2 x — 1
Y cosh2 x — 1
cosha;
cosha;
Y cosh2 x — 1
tanha;
tanha;
Y1 — tanh2 x
1
Y1 — tanh2 x
1
tanha;
cotha;
1
Y coth2 x — 1
cotha;
Y' coth2 x — 1
1
cotha;
2.9.3.4 Hyperbelfunktionen der Summe und der Differenz zweier
Argumente (Additionstheoreme)
sinh(a; ± y) = sinh x cosh y ± cosh x sinh y,
cosh(a; ± y) = cosh x cosh ?/ ± sinh x sinh y ,
, , , v tanhx ± tanhy A. , . 1 ± cotha;coth v
tanh(a;±y)^ '°1°^ ^^^.u^ i ..\
1 ± tanh a; tanh y
, B.184) coth(x±2/)
coth x ± coth y
2.9.3.5 Hyperbelfunktionen des doppelten Arguments
2 tanh x
sinh 2a; = 2 sinh x cosh x , B.186) — 1 + tanh2 x ''
cosh 2a; = sinh2 x + cosh2 x , B.187)
coth 2a; =
1 + coth2 x
2 coth x
2.9.3.6 Formel von Moivre für Hyperbelfunktionen
(cosh x ± sinh x)n = cosh nx ± sinh nx.
2.9.3.7 Hyperbelfunktionen des halben Arguments
X 1
sinh — = ±y -(cosha; — 1),
cosh —
-(coshx + 1),
B.182)
B.183)
B.185)
B.188)
B.189)
B.190)
B.191)
Das Vorzeichen vor der Wurzel in B 191) ist positiv für x > 0 und negativ für x < 0 zu nehmen,
cosha;-! sinha; /rt „««v , x sinha; cosha; + l
B.192)
tanh — =
sinha;
cosh x + 1
B 193) coth ¦
cosh x — 1
sinha;
2.9.3.8 Summen und Differenzen von Hyperbelfunktionen
sinh x ± sinh y = 2 sinh
cosh x + cosh y = 2 cosh
x ±i
x + y
cosh
x + \
cosh :
B.194)
B.195)
B.196)
92 2 Funktionen und ihre Darstellung
cosh x — cosh y = 2 sinh —-— sinh —-— ,
tanh x ± tanh y =
sinh(aj ± y)
cosh x cosh y
B 197)
B 198)
sin z = — i sinh Lz ,
cos z = cosh \z ,
tan z = —itanhiz ,
cot z = i coth \z ,
B.199)
B 200)
B 201)
B 202)
sinh z = —isiniz ,
cosh z = cos \z ,
tanh z = —itaniz,
coth z = icotiz
2.9.3.9 Zusammenhang zwischen den Hyperbel- und den
trigonometrischen Funktionen mit Hilfe komplexer Argumente
B.203)
B 204)
B.205)
B 206)
Jede Formel, die Hypeibelfunktionen von x oder ax , nicht aber von ax + b miteinander verbindet, läßt
sich aus der entsprechenden Formel, die die trigonometrischen Funktionen von a miteinander
verbindet, herleiten, indem sin a durch i sinh x und cos a durch cosh x ersetzt wird.
¦ A: cos2 Q. + sin2 a = 1 Daraus folgt cosh2 x + i2 sinh2 x = 1 oder cosh2 x — sinh2 x = 1.
¦ B: sin 2a = 2 sin a cos et Daraus folgt i sinh 2x = 2i sinh x cosh x oder sinh 2x — 2 sinh x cosh x
y=Arcosh x
+-2
Abbildung 2.53
Abbildung 2 54
2.10 Areafunkt ionen
2.10.1 Definitionen
Die Areafunktionen sind die Umkehrfunktionen der Hyperbelfunktionen, also die inversen
Hyperbelfunktionen Die Funktionen sinhrc , tanhx und cothx sind streng monoton, so daß jede von ihnen
genau eine Umkehrfunktion besitzt; anders die Funktion cosh x , die zwei Monotonieintervalle besitzt und
deshalb auch zwei Umkehrfunktionen. Die Bezeichnung area (Fläche) hängt mit der geometrischen
Definition der Funktion als Fläche eines Hyperbelsektors zusammen (s 3 1 2 2, S 134)
2.10.1.1 Areasinus
Die Funktion
= Arsinh x
B 207)
(Abb.2.53) ist eine ungerade, streng monoton wachsende Funktion mit den in Tabelle 2.8
angegebenen Definitions- und Wertebereichen Die Schreibweise ist gleichbedeutend mit x = sinh y . Die Funk-
7T
tion besitzt im Koordinatenursprung einen Wendepunkt mit dem Tangentensteigungswinkel <p = —
2.10.1.2 Areakosinus
Die Funktionen y = Arcosh x und
' = — Arcosh x
B.208)
2.10 Areafunktionen 93
(Abb.2.54) oder x = cosh y besitzen die in Tabelle 2.8 angegebenen Definitions- und Wertebereiche
und sind nur für x > 1 definiert. Der Funktionsverlauf beginnt im Punkt j4A,0) mit einer senkrechten
Tangente und wächst bzw fällt dann streng monoton.
2.10.1.3 Areatangens
Die Funktion y = Artanh x B.209)
(Abb.2.55) oder x = tanhy ist eine ungerade und nur für |x| < 1 definierte Funktion mit den in
Tabelle 2.8 angegebenen Definitions- und Wertebereichen. Der Koordinatenursprung ist gleichzeitig
Wendepunkt mit dem Tangentenneigungswinkel ip = — . Die Asymptoten liegen bei x = ±1.
2.10.1.4 Areakotangens
DieFunktion y = Arcoth x
B.210)
(Abb.2.56) oder x = coth?/ ist eine ungerade und nur für \x\ > 1 definierte Funktion mit den in
Tabelle 2.8 angegebenen Definitions-und Wertebereichen. Für — oo < x < -1 fällt sie streng monoton
von 0 bis —oo , für 1 < x < +oo fällt sie streng monoton von +oo auf 0 ab. Sie besitzt drei Asymptoten,
und zwar bei y = 0 und x = ±1
Tabelle 2 8 Definitions- und Wertebereiche der Areafunktionen
Areafunktion
Areasinus
y = Arsinh x
Areakosinus
y = Arcosh x
y = — Arcosh x
Areatangens
y = Artanh x
Areakotangens
y = Arcoth x
Definitionsbereich
— 00 < X < 00
1 < X < 00
|x|<l
Wertebereich
—oo < y < oo
0 < y < oo
—oo < y < 0
—oo < y < oo
—oo < y < 0
0 < y < oo
Gleichbedeutende
Hyperbelfunktion
x = sinh y
x = cosh y
x = tanh y
x = coth y
2.10.2 Darstellung der Areafunktionen durch den natürlichen
Logarithmus
Mit Hilfe der Definition der Hyperbelfunktionen (B.166) bis B.171), s S. 88) können die
Areafunktionen über die Logarithmusfunktion ausgedrückt werden:
B 211)
B.212)
Arsinh x = In (x + y/x2 + 1),
Arcosh x = In (x + Vx2 — 1) = In I . I (x > 1),
Artanhz = ]- In ii^ (\x\ < 1), B.213)
Arcoth x = i In ^1 (|x| > 1). B.214)
2 x — 1
94 2. Funktionen und ihre Darstellung
y\
i 4
J3J
i V
-4 -3 -2 -l1"
~^\! ¦
V
1.
1
\
v_
?lj 2 3 4 x
-2J
—o
-4
Abbildung 2 55
Abbildung 2.56
2.10.3 Beziehungen zwischen den verschiedenen Areafunktionen
jri _i_ i
: Arcoth -—— , B 215)
Arsinh x = (sign x) Arcosh Vx2 + 1 = Artanh
V^TI
Arcosh x = (sign x) Arsinh Vx2 — 1 = (sign x) Artanh
= (sign x) Arcoth
y/W^l
Artanh x = (sign x) Arsinh
= (sign x) Arcosh
y/x2^!'
X
vr^ic2
i
vT^2
= (sign x) Arcoth
(N<i),
i
Arcoth a; = Artanh - = (sign x) Arsinh .
x y/x2 - 1
(sign x) Arcosh -
x
(\x\>l).
Vx2^!
2.10.4 Summen und Differenzen von Areafunktionen
Arsinh x ± Arsinh y = Arsinh ( xy 1 + y2 ± y\/l + x2 1 ,
Arcoshx ± Arcoshy = Arcosh l xy ± y(x2 — l)(y2 — 1)) ,
Artanh x ± Artanh y = Artanh
x ± i
1 ± xy
2.10.5 Formeln für negative Argumente
Arsinh(-x) = - Arsinh x , B.222)
Artanh(-x) = - Artanh x , B 223) Arcoth(-:r) = - Arcoth x
B.216)
B 217)
B.218)
B 219)
B.220)
B 221)
B 224)
2.11 Kurven dritter Ordnung 95
Während Arsinh, Artanh und Arcoth ungerade Funktionen sind, ist Arcosh B.212) für negative
Argumente x nicht definiert.
2.11 Kurven dritter Ordnung
Eine ebene Kurve heißt algebraische Kurve der Ordnung n, wenn sie durch eine Polynomgleichung der
Form F(x, y) = 0 in zwei Variablen vom Gesamtgrad n beschrieben werden kann.
¦ Die Kardioide mit der Gleichung (x2 + y2)(x2 + y2 - 2ax) - a2y2 = 0, (a > 0) (s. 2.12.2, S. 98), ist
eine Kurve 4. Ordnung. Die bekannten Kegelschnitte (s. 3.5.2 11, S. 210) stellen Kurven 2. Ordnung
dar
2.11.1 Semikubische Parabel
Die Gleichung y = ±ax3/2 (a > 0 , x > 0)
*2 „, _ „+s
B.225a)
oder in Parameterform x = t2, y = at3 (a > 0, —oo < t < oo) B.225b)
liefert die semikubische Parabel (Abb.2.57). Im Koordinatenursprung gibt es einen Rückkehrpunkt,
6a
¦ durchläuft alle Werte von oo bis 0.
Asymptoten gibt es keine Die Krümmung K = - _ 2 /2
Der Kurvenbogen hat zwischen dem Koordinatenursprung und einem Kurvenpunkt P(x, y) die Länge
a>0
y\
s
^/£
—7V$i
'
\
-^
a\
(P^
0
X
a>0
-a\s 0
-ä
\^-\A
Pr.
X
Abbildung 2.57
Abbildung 2.58
Abbildung 2.59
2.11.2 Versiera der Agnesi
Die Gleichung
a2 + xl
(a > 0, —oo < x < oo)
B 226a)
liefert die in Abb.2.58 dargestellte Versiera der Agnesi Sie besitzt eine Asymptote mit der Gleichung
y = 0, bei j4@, a) ein Maximum, der dazugehörige Krümmungsradius beträgt r = - Die Wendepunkte
/ _o_ 3a\
die Tangentensteigungen sind dort gegeben durch tan </?
B und C befinden sich bei
=F—— . Die Fläche zwischen der Kurve und der Asymptote beträgt S = iva2 . Die Versiera der Agnesi
8
B.226a) ist ein Spezialfall der Lorentz- oder BREiT-WiGNER-Kurve
b2 + (x - cJ
(a > 0).
B.226b)
96 2 Funktionen und ihre Darstellung
¦ Die Bildfunktion bezüglich der FOURIER-Transformation der gedämpften Schwingung ist die Lo-
RENTZ- oder BREiT-WiGNER-Kurve (s 15 3 1 4, S 754).
2.11.3 Kartesisches Blatt
Die Gleichung x3 + ys = Saxy {a > 0) oder B 227a)
3at 3at2
in Parameterlorm x = , y = mit
l + t3 l + t3
t = tan £ POx (a > 0 , -oo < t < -1 und - 1 < * < oo) B 227b)
ergibt graphisch dargestellt das kartesische Blatt (Abb.2.59) Dabei wird mit P dei Kuivenpunkt
bezeichnet, der zum Parameterwert t gehört, und mit •£ POx der Winkel, den die positivee x -Achse mit 0P
bildet. Der Koordinatcnuisprung ist infolge zweier ihn durchlaufender Kurvenzweige ein Doppelpunkt,
in dem beide Koordinatenachsen Tangenten sind Der Krümmungsradius ist füi beide Kurvenzweige
im Koordinatenursprung r = — Die Asymptote berechnet sich aus x + y + a = 0 , der Scheitelpunkt
hat die Koordinaten A
{la>h)
3a2
Der Flächeninhalt der Schleife ist S\ = —- Der Flächeninhalt S2 zwischen der Kurve und der
Asymptote hat den gleichen Wert.
2.11.4 Zissoide
X3
Die Gleichung y2 = (a > 0), B.228a)
a — x
at2 at3
in Parameterform x = 5 V — \ 2 m^ * = ^an ^ ^®x (a > ^ " —°° < * < °°) B.228b)
. 2
und in Polarkoordinaten p = (a > 0) B 228c)
cos v?
(Abb.2.60) beschreibt den geometrischen Ort aller Punkte P mit der Eigenschaft* P liegt auf einem
Strahl durch 0 , und es gilt
ÖP = MQ B 229)
Dabei ist M der zweite Schnittpunkt des Strahles 0P mit dem ei zeugenden Kreis um I -, 0) mit dem
Radius — und Q der Schnittpunkt des Strahles 0P mit der Asymptote x = a Der Flächeninhalt zwi-
3
sehen der Kurve und der Asymptote berechnet sich zu S = -na2 •
2.11.5 Strophoide
Strophoide heißt der geometrische Ort aller Punkte P\ und P2 , die auf einem beliebigen Strahl durch
den Punkt A liegen (A befindet sich auf der negativen £-Achse) und für die gilt
~MFX = MPo~ = ÖM B 230)
Dabei ist M der Schnittpunkt des Strahles mit dei y-Achse (Abb.2.61) Die Gleichung dei Strophoide
in kartesischen und Polarkoordinaten sowie in Parameterform lautet/
2.12 Kurven vierter Ordnung 97
Abbildung 2.60
! (—) (a > 0), B.231a)
\a — xj
Abbildung 2.61
cos2(/?
P =
COSif
(a > 0),
t2-l
- at-
t2-l
mit t = tan £ POx (a > 0, -oo < £ < oo)
B.231b)
B 231c)
*2 + 1' * *2 + 1
Der Koordinatenursprung ist ein Doppelpunkt mit den Tangenten y = ±x. Die Asymptote hat die
Gleichung x = a. Der Scheitel ist A(—a, 0). Der Flächeninhalt der Schleife beträgt Si = 2a2 — -na2 ,
der Flächeninhalt zwischen der Kurve und der Asymptote 52 = 2a2 + -na2 .
2.12 Kurven vierter Ordnung
2.12.1 Konchoide des Nikomedes
Konchoide des Nikomedes (Abb.2.62) nennt man den geometrischen Ort aller Punkte P, für die
mit M als Schnittpunkt der Verbindungslinie zwischen OPi und OP2 mit der Asymptote x = a die
Bedingung
WF = ÖM±l B 232)
erfüllt ist, wobei das Vorzeichen „+" für den äußeren und „—" für den inneren Kurvenzweig gilt. Die
Gleichung der Konchoide des NIKOMEDES lautet in kartesischen Koordinaten, in Parameterform und
in Polarkoordinaten
(x-
(x2 + y2)-l2x2 = 0 (o>0,/>0),
x = a + l cos (p, y = a tan ip + / sin ip
COS(£
¦±l
/1 n ft ^t-ii-t-71" ^TT
(rechter Zweig — — < ip < — , linker Zweig — < ip < —),
(Vorzeichen „+": rechter Zweig, Vorzeichen „-"• linker Zweig).
B.233a)
B.233b)
B.233c)
1. Rechter Zweig: Die Asymptote ist x = a. Der Scheitelpunkt A liegt bei (a + l, 0), die
Wendepunkte B, C haben als £-Wert die größte Wurzel der Gleichung x3 — 3a2x + 2a(a2 — l2) = 0 Die Fläche
zwischen dem rechten Zweig und der Asymptote ist S = 00.
2. Linker Zweig: Die Asymptote ist x = a Der Scheitelpunkt D liegt bei (a — /, 0). Der Ursprung
ist ein singulärer Punkt, dessen Charakter von a und / abhängt-
Fall a) Für / < a ist es ein isolierter Punkt (Abb.2.62a) Die Kurve hat dann zwei weitere
Wendepunkte E und F, deren Abszisse sich als zweitgrößte Wurzel der Gleichung x3 — 3a2x + 2a(a2 — l2) = 0
98 2 Funktionen und ihre Darstellung
yt /
Do
"P2
/ .'
\°
«-av-*
\
V
i
.1-1
X
t
l>a
b)
Abbildung 2 62
ergibt.
Fall b) Für / > a ist der Koordinatenursprung ein Doppelpunkt (Abb.2.62b) Die Kurve besitzt ein
Maximum und ein Minimum an der Stelle x = a — va/2 Der Tangentenneigungswinkel beträgt im
Koordinatenursprung tan a -
±VJ?
«2 ^ „ v • , • IVP-
— Der Krümmungsradius ist hier r0 =
a 2o
Fall c) Für / = a wird der Koordinatenursprung zum Rückkehrpunkt (Abb.2.62c)
2.12.2 Allgemeine Konchoide
Die Konchoide des Nikomedes ist ein Spezialfall der allgemeinen Konchoide Die Konchoide zu einer
gegebenen Kurve ergibt sich, wenn man den Radiusvektor zu jedem Punkt der gegebenen Kurve um
eine konstante Strecke ±1 verlängert. Wenn die Gleichung der Kurve in Polarkoordinaten p = /((/?)
lautet, dann ist die Gleichung ihrer Konchoide
P = /(¥>) ± l B 234)
Die Konchoide des JNTlKOMEDES ist dann die Konchoide der Geraden.
2.12.3 Pascalsche Schnecke
PASCALsc/ie Schnecke (Abb.2.63) nennt man die Konchoide des Kreises, einen weiteien Spezialfall der
allgemeinen Konchoide (s. 2 12.2, S. 98) mit der Bedingung B.232), wobei der Koordinatenursprung
auf dem Kreis liegt Die Gleichung lautet in kartesischen und Polarkoordinaten sowie in Parameterform
(s auch 2.13 5, S 105):
(x2 + y2- axf = l2(x2 + y2) (a > 0, l > 0), B.235a)
p = acos(p + l (a>0,/>0), B235b)
x = a cos2 <p + / cos </?, y = a cos (p sin (p + / sin ip (a>0,/>0,0<</?< 2n) B 235c)
mit a als Durchmesser des Kreises. Der Scheitel A, B liegen bei (a ± l, 0). Die Form der Kurve hängt
von den Größen a und / ab, wie man aus Abb.2.63 und Abb.2.64 erkennen kann
a) Extremwerte und Wendepunkte: Für a > l hat die Kurve vier Extremwerte C. D, E, F, für
a < l zwei; sie liegen bei I cos ip
-l ± y/l2 + 8a2
4a
, Für a < l < 2a existieren zwei Wendepunkte G
2 12 Kurven vierter Ordnung 99
l>2a
jEU
Kv
$B) Al
*—a*-
+s*M
X
a)
a<l<2a
b)
Abbildung 2 63
a>l
c)
und H bei cos ip = —
2a2 + l2
3a/
/ /2 /V4a2 - J2\
b) Doppeltangenten: Für / < 2a gibt es in den Punkten / und K bei I —-— , ± eine
\ 4a 4a J
gemeinsame Tangente
c) Singulare Punkte: Der Koordinatermrsprung ist ein singulärer Punkt Für a < l ist er ein iso-
lierter Punkt, für a > l ein Doppelpunkt mit den Tangentenrichtungen tana; = ± und dem
Krümmungsradius r0 = -\/a2 — l2 Für a = l handelt es sich um einen Rückkehrpunkt; die Kurve
nennt man dann Kardioide.
Der Flächeninhalt der Schnecke beträgt S = —z-+Trl2, wobei im Falle a > l (Abb.2.63c) der
Flächeninhalt der inneren Schleife nach dieser Formel doppelt gezählt wird
y<
y<
i{
K\
/
<'/' N\ A]
K_J
«—a-n
D
X
a=l
Abbildung 2 64
2.12.4 Kardioide
Die Kardioide (Abb.2.64) kann auf zweierlei Weise definiert werden, und zwar als:
100 2 Funktionen und ihre Darstellung
1. Spezialfall der PASCALschen Schnecke mit
ÖP = ÖM±a, B.236)
wobei a der Durchmesser des Kreises ist
2. Spezialfall der Epizykloide mit gleich großem Durchmesser a des festen und des beweglichen Kreises
Die Gleichung lautet
{x2 + y2J - 2ax(x2 + y2) = a2y2 {a > 0)
und in Parameterform sowie in Polarkoordinaten.
B.237a)
x = acos(p(l 4- cosif), y = asin</?(l + cosy?) (a > 0, 0 < ip < 2ir),
p = a(l 4- cos v?) (o > 0).
B 237b)
B 237c)
&
U^
c)
Abbildung 2.65
Der Koordinatenursprung ist ein Rückkehrpunkt Der Scheitel A liegt bei Ba, 0); Maximum C und
Minimum Z) liegen bei cos</? = - mit den Koordinaten j -a,±——a I . Der Flächeninhalt beträgt
3
S = -na2 (die sechsfache Fläche des Kreises mit dem Durchmesser a) Die Kurvenlänge ist L = Sa
2.12.5 Cassinische Kurven
CASSlNisc/ie Kurven (Abb.2.65) nennt man den geometrischen Ort aller Punkte P, für die das
Produkt der Abstände von zwei festen Punkten Fi und F2 , den Fixpunkten bei (c, 0) bzw. (—c, 0), konstant
gleich a2 ist.
B.238)
B 239a)
B.239b)
F1P-F2P = a2.
Die Gleichung lautet in kartesischen und Polarkoordinaten:
(x2 + y2J - 2c2(x2 -y2) = aA-c4, (a > 0, c> 0),
p2 = c2 cos 2(p ± yjc4 cos2 2(p + (a4 - c4) (a > 0, c> 0).
Die Form der Kurve hängt von den Größen a und c ab:
1. Fall a > cy/2: Für a > c\/2 ist die Kurve ein ellipsenförmiges Oval (Abb.2.65a) Die
Schnittpunkte A, C mit der x-Achse liegen bei ( ± \/a2 + c2 ,0), die Schnittpunkte B, D mit der y-Achse bei
@, ±Va2 - c2)
2. Fall a = cy/2\ Für a = cy/2 ergibt sich eine Kurve des gleichen Typs mit A, C bei ( ± c\/3 , 0) und
B, D bei @, ±c), wobei die Krümmung in den Punkten B und D gleich 0 ist, d h., es gibt eine enge
Berührung mit den Geraden y = ±c
2.13 Zykloiden 101
3. Fall c < a < cy/2: Für c < a < c\[2 ist die Kurve ein eingedrücktes Oval (Abb.2.65b). Die
Achsenschnitte sind dieselben wie im Falle a > c^/2 , ebenso das Maximum und das Minimum B, D,
( y/4c4 - a4 a2\
während die weiteren Extrema E,G, K, I bei I ± , ±— 1 liegen und die vier Wendepunkte
bei P, L, M, N bei ( ±\j~(m - n), ±J-(m + n) I mit n = —
und m =
4. Fall a = c: Für a = c ergibt sich die Lemniskate.
5. Fall a < c: Für a < c ergeben sich zwei Ovale (Abb.2.65c) Die Schnittpunkte A, C bzw. P,Q
mit der x-Achse liegen bei ( ± \/a2 + c2 , 0) bzw. ( ± v/c2~^ö2,0), die Maxima und Minima £, G, i^,
^2\
/ bei ±
V4c4 - a4
, ±-— Der Krümmungsradius beträgt r = —
2c 2c) c4
2aV
- a4 + 3p4
, wobei p der Polarko-
ordinatendarstellung genügt.
2.12.6 Lemniskate
Lemniskate (Abb.2.66) nennt man den Spezialfall a = c der CASSiNisc/ien Kurven, die der Bedingung
genügen
F1P-F2P =
F^Fo
B.240)
wobei die Fixpunkte Fi, F2 bei (±a, 0) liegen. Die Gleichung
lautet in kartesischen Koordinaten
{x2 + y2J - 2a2(x2 - y2) = 0 (a > 0) B 241a)
und in Polarkoordinaten
B.241b)
Der Koordinatenursprung ist Doppelpunkt und
Wendepunkt zugleich, wobei die Tangenten y = ±x sind
p = ay2cos2(p (a > 0).
K -' N^ I
Abbildung 2 66
Die Schnittpunkte A und C mit der x-Achse liegen bei (± a\/2,0), die Maxima und Minima F, G, K
TT
±:- . Der Krümmungsradius
/ bei I ±—— , ±- I Der Polarwinkel beträgt in diesem Punkten ip
2a2
ergibt sich zur = —— und der Flächeninhalt jeder Schleife zu S = a2 .
3p
2.13 Zykloiden
2.13.1 Gewöhnliche Zykloide
Gewöhnliche Zykloide wird eine Kurve genannt, die von einem Peripheriepunkt eines Kreises
beschrieben wird, der auf einer Geraden abrollt, ohne zu gleiten (Abb.2.67) Die Gleichung der gewöhnlichen
Zykloide lautet in Parameterform
x = a(t - sin£), y = a(l — cosi) mit a > 0 , — oo < t < oo , B 242a)
wobei a der Radius des Kreises und t der Wälzwinkel £ PC\B sind, und in kartesischen Koordinaten
x + JyBa - y) = a arccos ^—- (a > 0) B 242b)
102 2. Funktionen und ihre Darstellung
Abbildung 2 67
Die Kurve ist periodisch mit der
Periode (Basis der Zykloide) OOi = 2ira.
Sie hat Spitzen bei 0, 0\, 02,. .,
Ok = Bkira, 0), die Scheitelpunkte
liegen bei Ak = [Bk + lOra, 2a]
Die Länge des Bogens 0P ist L =
Sa sin2 (t/4), die Länge eines Zweiges
LqaiOi — 8a Der Flächeninhalt
beträgt S = Sna2. Der
Krümmungsradius ist r = 4a sin \t, in den
Scheiteln rA — 4a Die Evolute einer
Zykloide (s. 3.6 1 5, S. 244) ist
eine kongruente Zykloide, die in der
Abb.2.67 gestrichelt gezeichnet ist
2.13.2 Verlängerte und verkürzte Zykloiden oder Trochoiden
Verlängerte und verkürzte Zykloiden oder Trochoiden werden von einem Punkt beschrieben, der sich
entweder außerhalb oder innerhalb
eines Kreises auf einem vom
Kreismittelpunkt ausgehenden und mit dem
Kreis fest verbundenen Strahl befindet,
während der Kreis, ohne zu gleiten, auf
einer Geraden abrollt
(Abb.2.68).
Die Gleichung der Trochoiden in
Parameterform lautet mit a als Radius des
Kreises
x = a(t- Xsint), B.243a)
y = a(l-Xcost), B.243b)
wobei t der Winkel £ PCiM ist.
Wegen Xa = C\P bestimmt A > 1
die verlängerte Zykloide und A < 1
die verkürzte Zykloide. Die Periode der
Kurven ist OOi = 27ra, die Maxima
Au A2,.. , Ak = [BA; + l)na, A +
X)a], die Minima B0, Bi, B2,..., Bk =
[2kira, A - A)o]
y<
V'-
i c)
Bo
1 P ^1
""/\)K n\
PoKuVq)
fÖ m
mmß
j^
Ar2
V02x
B2
X>1
a)
Abbildung 2.68
Die verlängerte Zykloide besitzt bei Dq, D\, D2,
,Dk =
2kna
,a(l-y/x2-t02^
Doppelpunkte,
wobei to die kleinste positive Wurzel der Gleichung t = X sin t ist Die verkürzte Zykloide besitzt
Wendepunkte bei Ei, E2,..., Ek = \a (arccos A — AVl — A2J , a(l — A2)] '
Die Länge eines Bogens zwischen Bk und Bk+i berechnet sich zu L = a / Vi + A2 - 2A cos t dt. Der
Jo
Inhalt der in Abb.2.68 schraffiert gezeichneten Fläche beträgt S = na2B + A2).
Für den Krümmungsradius erhält man r = a
(l + A2-2Acos*K/2 .
A(cos£ — A)
, in den Maxima r^ = — a
(l+AJ
2.13 Zykloiden 103
und in den Minima Vß = a
A-AJ
2.13.3 Epizykloide
fjpizyloide wird eine Kurve genannt, die von einem Peripheriepunkt eines Kreises beschrieben wird,
wenn dieser, ohne zu gleiten, auf der Außenseite eines anderen Kreises abrollt (Abb.2.69) Die
Gleichung der Epizykloide lautet in Parameterform mit A als Radius des festen und a als Radius des
rollenden Kreises
A + et A -\- gl
x — (A + d) cos ip - a cos ip, y = (A + a) sin ip - a sin </? (—oo < (p < oo) , B.244)
wobei ip = $. COx gilt Die Form der Kurve hängt vom Quotienten m = — ab
Für ra = 1 erhält man die Kardioide
Vf*
X ' o
°3 '
fT^r\
-y._-\'k\
.AaVv m ,
^1=|
b)
Abbildung 2.69
yi
A2— -
/ B2
\
A3
0
------
i
—-.^
.-tofSkj^A,
m=3
a)
Abbildung 2 70
1. Fall m ganzzahlig: Für m ganzzahlig besteht die Kurve aus m , den feststehenden Kreis
umgebenden Kurvenzweigen (Abb.2.69a) Die Spitzen Ax, A2,..., Am liegen bei I p = A, (p = (fc =
0,1, , ra — 1) , die Scheitelpunkte Bi, B2, , -ßm bei
p = A + 2a, tp= — (k+-)
m \ 2/
104 2 Funktionen und ihre Darstellung
2. Fall m gebrochenrational: Für m gebrochenrational überdecken sich die Zweige gegenseitig,
der sich bewegende Punkt P kehrt aber nach einer endlichen Zahl von Durchläufen in die Anfangslage
zurück (Abb.2.69b)
3. Fall m irrational: Für m irrational ist die Anzahl der Durchläufe unendlich, und der Punkt P
kehrt nicht in die Anfangslage zurück.
Die Länge eines Zweiges beträgt LAiBia2 = Bei ganzzahligem m ist die Länge der
gesamten Kurve Lgesamt = S(A + a). Die Fläche des Sektors AiBiA2Ai beträgt (ohne den Sektor des festen
Kreises) S = ira2 ( j . Der Krümmungsradius ist r —
Aa(A + a)
rB
Aa(A + a) . Aip . , n . . l
— sin — , in den Scheiteln
2a + A 2a
2a+ A
a)
X>\, a>0
\<l, a>0
b)
Abbildung 2 71
2.13.4 Hypqzykloide und Astroide
Hypozykloide wird eine Kurve genannt, die von einem Peripheriepunkt eines Kreises beschrieben wird,
wenn dieser, ohne zu gleiten, auf der Innenseite eines anderen Kreises abrollt (Abb.2.70) Die
Gleichung der Hypozykloide, die Koordinaten der Scheitelpunkte und Spitzen, die Formeln für die
Bogenlängen, die Flächeninhalte und die Krümmungsradien entsprechen denen der Epizykloide; es ist
jedoch ,,+a" durch „—a" zu ersetzen. Die Anzahl der Spitzen entspricht für m ganzzahlig, rational
oder irrational (stets ist m > 1) der von der Epizykloide bekannten
1. Fall m = 2: Für m = 2 entartet die Kurve in den Durchmesser des unbeweglichen Kreises
2. Fall m = 3: Für m = 3 besitzt die Hypozykloide drei Zweige (Abb.2.70a) mit der Gleichung.
x = oB cos <p + cos 2ip), y = aBsüup — sin2<^). B 245a)
Es gilt Lgesamt = 16o , ^gesamt = 27Ta2 .
3. Fall m = 4: Für m = 4 (Abb.2.70b) besitzt die Hypozykloide vier Zweige und wird Astroide
genannt. Ihre Gleichung lautet in kartesischen Koordinaten und in Parameterform•
: A2/s , B 245b) x = A cos3 <p, y = A sin3 ip @ < <p < 2tt) B 245c)
x2'* + y2'*-
Es gilt Lgesamt = 24a = 6A , 5geSamt :
3 A2
2.14 Spiralen 105
a)
/
/
1 y/^
\ ^V
V\
y<
,—
0
,
—
r
r
,<p\
^
-fC J\
>v x
/X1
\ / /' x
y
\>l, a<0
b)
Abbildung 2.72
>,<l,a<0
2.13.5 Verlängerte und verkürzte Epizykloide und Hypozykloide
Die verlängerte und verkürzte Epizykloide und die verlängerte und verkürzte Hypozykloide, auch Epitro-
choide bzw Uypotiochoide genannt, sind Kurven (Abb.2.71 bzw. Abb.2.72), die von einem entweder
außerhalb oder innerhalb eines Kreises befindlichen Punkt beschrieben werden, der sich auf einem vom
Kreismittelpunkt ausgehenden und mit dem Kreis fest verbundenen Strahl befindet, während der Kreis
an einem anderen Kreis entweder außen (Epitrochoide) oder innen (Hypotrochoide) abrollt, ohne dabei
zu gleiten.
Die Gleichung der Epitrochoide lautet in Parameterform
/ , n x (A + a \ , * s . ^ . (A + a \
[A + a) cos if — Xa cos ( ip 1 , y = (A + a) sin <p — Xa sm I ip 1
B.246a)
wobei A der Radius des festen Kreises ist und a der des rollenden. Für die Hypozykloide ist ,,+a" durch
„—a" zu ersetzen. Über Xa = CP wird mit A > 1 bzw. A < 1 bestimmt, ob es sich um die verkürzte
oder verlängerte Kurve handelt.
Für A = 2a, A ^ 1 wird die Hypozykloide mit der Gleichung
oj = a(l + A)cos</?, y = a{l-X)sinip @ < (p < 2n) B.246b)
zur Ellipse mit den Halbachsen a(l + A) und a(l — A) A = a liefert die PASCALsc/ie Schnecke (s. auch
2.12 3, S 98)
x = aBcos(p — Xcos2tp), y = aB sin ip — X sin 2<p). B.246c)
Hinweis: Bei der Behandlung der PASCALschen Schnecke in 2 12.3, S. 98 wurde mit a eine Größe
bezeichnet, die hier 2Aa heißt und mit / der Durchmesser 2a Außerdem ist das Koordinatensystem
geändert.
2.14 Spiralen
2.14.1 Archimedische Spirale
Archimedische Spirale heißt eine Kurve (Abb.2.73), die durch Bewegung eines Punktes mit
konstanter Geschwindigkeit v auf einem Strahl entsteht, der seinerseits mit konstanter Winkelgeschwindigkeit
106 2 Funktionen und ihre Darstellung
lü den Koordinatenursprung umkreist. Die Gleichung der ARCHlMEDischen Spirale lautet in Polarko-
ordinaten
= aip, a—— (a > 0, —oo < ip < oo).
B 247)
Abbildung 2 73
Abbildung 2 74
Die Kurve besitzt zwei Zweige, die symmetrisch zur y-Achse verlaufen. Jeder Strahl OK schneidet jeden
der beiden Zweige in je einer Folge von Punkten 0, Ai, A2, . . ,j4„,. , die voneinander den Abstand
AiAi+i = 2ira haben. Die Länge des Bogens OP ist L = - (ipy ip2 + 1 + Arsinh ip) , wobei für große (p
2L a2
der Ausdruck —- gegen 1 geht. Der Flächeninhalt des Sektors PiOP2 beträgt S = — (</?23 — ^l3) • Der
aipz 6
(ip2 + lK/2 a
Krümmungsradius ist r = a ^—-— und im Koordinatenursprung r0 = -
2.14.2 Hyperbolische Spirale
In Polarkoordinaten lautet die Gleichung der hyperbolischen Spirale
p=— {a > 0, -oo < cp < 0, 0 < ip < oo).
B 248)
Die Kurve der hyperbolischen Spirale (Abb.2.74) besteht aus zwei Zweigen, die symmetrisch zur y-
Achse verlaufen. Für beide Zweige ist die Gerade y = a Asymptote und der Koordinatenursprung
asymptotischer Punkt. Der Flächeninhalt des Sektors P1OP2 beträgt S = —- I , wobei gilt
2 \<pi V2J
.. _ a2 Tr a 1 vT
hm b = . Der Krümmungsradius ist r = — I —
</?2--00 2(p\ ip \ <p
2.14.3 Logarithmische Spirale
Logarithmische Spirale heißt eine Kurve (Abb.2.75), die alle Strahlen, die vom Koordinatenursprung
0 ausgehen, unter dem gleichen Winkel a schneidet Die Gleichung der logarithmischen Spirale lautet
in Polarkoordinaten
p = aek<p {a > 0, -00 < ip < 00), B.249)
wobei k = cota. Der Nullpunkt ist asymptotischer Punkt der Kurve Die Länge des Bogens PiP2
beträgt L = ; (p2 — p\), der Grenzwert des Bogens 0P, berechnet vom Koordinatenursprung
k
aus, Lq = p. Der Krümmungsradius ist r = Vi + k2p = Lok
Spezialfall Kreis: Für a — — ist k = 0 , und die Kurve wird zum Kreis
2.14 Spiralen 107
Abbildung 2.75 Abbildung 2.76 Abbildung 2 77
2.14.4 Evolvente des Kreises
Evolvente des Kreises heißt eine Kurve (Abb.2.76), die vom Endpunkt eines fest gespannten Fadens
beschrieben wird, wenn dieser von einem Kreis abgewickelt wird, so daß AB = BP. Die Gleichung der
Evolvente des Kreises lautet in Parameterform
x = a cos ip + (Mf sin ip, y = a sin ip — a<p cos tp,
B.250)
wobei a der Radius des Kreises ist und ip = £ BOx. Die Kurve besitzt zwei Zweige symmetrisch zur
x-Achse. Die Spitze liegt bei A(a, 0), die Schnittpunkte mit der x-Achse liegen bei x = , wobei
COS(/?o
y?o die Wurzeln der Gleichung tan^? = ip sind Die Länge des Bogens AP beträgt L = -aip2. Der
Krümmungsradius ist r = cup = y/2a~L , der Krümmungskreismittelpunkt B liegt auf dem Kreis
2.14.5 Klothoide
Klothoide (auch CORNUsche Spirale) heißt eine Kurve (Abb.2.77), die sich aus der umgekehrten
Proportionalität ihres Krümmungsradius zur Länge des Bogens ergibt:
r = — (a > 0)
s
Die Gleichung der Klothoide lautet in Parameterform
B.251a)
/7tt r irt s '~s
cos -— dt, y = dy/n / sin —— dt mit t = —= , s = 0P
2 7 2 a^/TT
B.251b)
Die Integrale können nicht durch elementare Funktionen ausgedrückt werden; sie lassen sich aber für
jeden Parameter t = i0, £i, • • • durch numerische Integration (s. 19 3, S. 925) berechnen, so daß die
Klothoide punktweise gezeichnet werden kann. Wegen der Berechnung am Computer s. [3 12].
Die Kurve ist zentralsymmetrisch zum Koordinatenursprung, der gleichzeitig Wendepunkt ist. Im
Wendepunkt ist die x-Achse Tangente Bei A und B hat die Kurve je einen asymptotischen Punkt mit den
Koordinaten ( H—^— , +—w— bzw. ^— ,
Die Klothoide findet z.B. beim Straßenbau Anwendung, wo der Übergang von einer Geraden in eine
Kreiskurve durch einen Klothoidenabschnitt vermittelt wird (s. [3.12]).
108 2 Funktionen und ihre Darstellung
2.15 Verschiedene andere Kurven
2.15.1 Kettenlinie oder Katenoide
Kettenlinie oder Katenoide nennt man eine Kurve, in (Abb.2.78) durchgehend gezeichnet, die von
einem homogenen, nicht dehnbaren und an beiden Enden aufgehängten Faden gebildet wird Die
Gleichung der Katenoide lautet
x ex/a , e-x/o
y = a cosh - = a (a > 0). B.252)
Der Parameter a bestimmt den Scheitelpunkt A bei @, a) Die Kurve verläuft symmetrisch zur y-
x2
Achse, und zwar höher als die Parabel y = a + — , die in der Abb.2.78 gestrichelt dargestellt ist Die
2a
•~v x ßX/a _ g-x/o
Länge L =AP des Bogens L beträgt L = asinh — = a Die Fläche OAPM hat den Wert
a 2
S = aL = a2 sinh - . Der Krümmungsradius beträgt r = — = a cosh2 - = a + -
a "
0 M x
Abbildung 2 78
Abbildung 2 79
Die Katenoide ist die Evolute (s. 3.6.1.5,1., S 244) der Traktrix Die Traktrix ist ihrerseits die Evolvente
(s 3 6.1 5,2., S 244) der Katenoide mit dem Scheitelpunkt A bei @, a) (s. 3.6.1.5,2., S 244)
2.15.2 Schleppkurve oder Traktrix
Die Schleppkurve oder Traktrix (in Abb.2.79 durchgehend gezeichnet) nennt man den geometrischen
Ort aller Punkte mit der Eigenschaft, daß das Tangentenstück PM einer Kurve zwischen
Berührungspunkt P und Schnittpunkt der Tangente mit einer Leitlinie, hier mit der x -Achse, die konstante Länge
a besitzt. Die Traktrix wird von einem Punkt P, Schleppunkt genannt, beschrieben, der an einem
Ende eines nicht dehnbaren Fadens mit der Länge a befestigt ist, wenn das andere Ende M entlang der
Leitlinie, hier entlang der x- Achse, bewegt wird. Die Gleichung der Traktrix lautet
a ± yja2 -
- a Arcosh - ± Ja2 — y2 = a In -
y
¦ y/a2 - y2 (a > 0)
B 253)
Die x-Achse ist Asymptote. Der Punkt A bei @, a) ist eine Spitze. Die Kurve verläuft symmetrisch
zur y -Achse Die Länge des Bogens AP ist L = a In - Bei wachsender Länge des Bogens L nähert
y
sich die Differenz L — x dem Wert a(l — In 2) « 0,307 a, wobei x hier die Abszisse des Punktes P ist
Der Krümmungsradius ist r = a cot - . Krümmungsradius PC und Normalenabschnitt PE = b sind
y
zueinander umgekehrt proportional* rb = a2
Die Evolute (s. 3.6.1.5,1., S. 244) der Traktrix, d h., der geometrische Ort ihrer Krümmungskreismit-
telpunkte C , in Abb.2.79 gestrichelt dargestellt, ist die Katenoide B 252)
2 16 Aufstellung empirischer Kurven 109
2.16 Aufstellung empirischer Kurven
2.16.1 Verfahrensweise
2.16.1.1 Kurvenbilder vergleiche
Die Aufstellung einer Näherungsformel für eine Funktion y = f(x), für die nur empirisch ermittelte
Daten vorliegen, kann in zwei Schritte eingeteilt werden Zuerst wird die Art der Näherungsformel
ausgewählt, die in der Regel einige freie Parameter enthält. Danach erfolgt die numerische Bestimmung
der Parameterwerte Wenn es für die Wahl der Formel keine theoretischen Überlegungen gibt, dann
wird unter den einfachsten dafür in Frage kommenden Funktionen eine Näherungsformel ausgesucht,
indem ihre Kurvenbilder mit der Kurve der empirischen Daten verglichen werden. Die Entscheidung
über die Ähnlichkeit der Kurvenbilder nach Augenmaß kann trügerisch sein. Daher ist nach der Wahl
einer Näherungsfunktion vor der Bestimmung der Parameterwerte durch Rektifizierung zu prüfen, ob
die gewählte Formel anwendbar ist
2.16.1.2 Rektifizierung
Vorausgesetzt, zwischen x und y besteht eine bestimmte Abhängigkeit, dann werden in der gewählten
Näherungsformel zwei Funktionen X = (f(x,y) und Y = ip(x,y) derart substituiert, daß eine lineare
Beziehung der Form
Y = AX + B B.254)
entsteht, wobei A und B Konstanten sind Werden für die angegebenen x- und y-Werte die
zugehörigen X- und Y-Werte berechnet und graphisch dargestellt, dann kann leicht erkannt werden, ob die
zugehörigen Punkte annähernd auf einer Geraden liegen. Danach ist zu entscheiden, ob die gewählte
Formel geeignet ist oder nicht
¦ A: Lautet die Näherungsformel y = , dann kann X = x, Y = - gesetzt werden, und man
ax + b y
erhält Y = aX + b. Es wäre auch die Substitution X = - , Y = - möglich. Dann erhielte man
x y
Y = a + bX.
¦ B: S. Abschnitt Einfach-logarithmische Darstellung 2.17 2 1, S. 118.
¦ C: S. Abschnitt Doppelt-logarithmische Darstellung 2.17.2.2, S. 118.
Zur Entscheidung^ ob empirische Daten einer linearen Beziehung Y = AX + B genügen, kann die
lineare Regression und Korrelation (s 16.3.4, S 802) herangezogen werden. Die Zurückführung eines
funktionalen Zusammenhangs auf eine lineare Beziehung wird Rektifizierung genannt. Beispiele für
die Rektifizierung einiger Formeln werden in 2 16 2, S. 110) gegeben, ein vollständig durchgerechnetes
Beispiels. 2 16 2.12, S. 115.
2.16.1.3 Parameterbestimmung
Die wichtigste Methode zur Bestimmung der Parameterwerte ist die Methode der kleinsten Quadrate
(Fehlerquadratmethode) (s. 16.3.4.2, S. 804). In vielen Fällen können jedoch noch einfachere Methoden
mit Erfolg eingesetzt werden, z.B. die Mittelwertmethode.
1. Mittelwertmethode Bei der Mittelwertmethode wird die lineare Abhängigkeit der
„rektifizierten" Variablen X und Y , d h Y = AX + B wie folgt ausgenutzt Die Bedingungsgleichungen Yi =
AXi + B für die vorliegenden Wertepaare Y^ Xi werden in zwei gleich große bzw. nahezu gleich große
Gruppen eingeteilt und nach zunehmenden Werten Yi und Xi geordnet. Durch Addition der
Gleichungen jeder der beiden Gruppen ergeben sich zwei Gleichungen, aus denen A und B bestimmt werden
können. Wenn nun X und Y wieder durch die Ausgangsvariablen x und y ausgedrückt werden, dann
ist die gesuchte Abhängigkeit zwischen x und y gefunden
Sollten noch nicht alle Parameter bestimmt worden sein, dann ist die Mittelwertmethode erneut anzu-
110 2. Funktionen und ihre Darstellung
wenden, wobei jetzt die Rektifizierung mit anderen Größen X und Y durchzufuhren ist (s. z B 2 16 2 11,
S. 114)
Rektifizierung und Mittelwertmethode werden vor allem dann angewendet, wenn in der
Näherungsformel gewisse Parameter nichtlinear auftreten, wie z.B. in den Formeln B.256a, 2.258a).
2. Fehlerquadratmethode Die Fehlerquadratmethode führt in den Fällen, in denen in der
Näherungsformel gewisse Parameter nichtlinear auftreten, auf nichtlineare Ausgleichsauf gaben Ihre Lösung
erfordert einen erhöhten numerischen Aufwand sowie gute Startnäherungen Letztere können durch
Rektifizierung und Mittelwertmethode bestimmt werden
2.16.2 Gebräuchlichste empirische Formeln
In diesem Abschnitt werden einige der einfachsten Formeln für die Anpassung an empirische
funktionelle Abhängigkeiten aufgeführt und die dazugehörigen Kurvenbilder dargestellt Auf jeder der
Abbildungen sind mehrere Kurven für verschiedene Werte der in die Formeln eingehenden Parameter
eingezeichnet worden. Der Einfluß der Parameterwerte auf die Form der Kurven wird in den folgenden
Abschnitten untersucht.
Bei der Auswahl einer geeigneten Funktion ist zu berücksichtigen, daß meist nur ein Teil der
dazugehörigen Kurve zur Reproduktion der empirischen Daten benötigt wird, und zwar meist beschränkt
auf ein bestimmtes Intervall der unabhängigen Variablen Daher wäre es z B falsch anzunehmen, die
Formel y = ax2 + bx + c ist nur dann gut geeignet, wenn die Kurve der empirischen Daten ein Maximum
oder Minimum besitzt
2.16.2.1 Potenzfunktionen
1. Typ y = axb: Typische Kurvenverläufe für unterschiedliche Varianten des Exponenten b von
y = axb B 255a)
zeigt die Abb.2.80. In Abb.2.15, S 65, Abb.2.21, S. 70, Abb.2.24, S 72, Abb.2.25, S 72 und
Abb.2.26, S. 73 sind die Kurven für verschiedenen Varianten des Exponenten dargestellt Die
Funktionen werden an Hand der Formel B.44) als Parabel n-ter Ordnung, der Formel B 45) als umgekehrte
Proportionalität und der Formel B 50) als reziproke Potenzfunktion auf den Seiten 66, 70 und 71
diskutiert. Rektifiziert wird durch Logarithmieren gemäß
X = loga;, Y = \ogy. Y = \oga + bX. B 255b)
2. Typ y = axb + c: Die Formel
y = axb + c B.256a)
liefert die gleichen Kurven wie B.255a), aber in ^/-Richtung um c verschoben (Abb.2.82). Wenn b
gegeben ist, dann wird rektifiziert gemäß
X = x\ Y = y. Y = aX + c B.256b)
Ist b unbekannt, dann wird zunächst c bestimmt und danach gemäß
X = log:r, Y = \og(y-c) Y = \oga + bX B 256c)
rektifiziert Zur Bestimmung von c werden drei Punkte mit den Abszissen- und Ordinatenwerten x\, X2
2
beliebig, x$ = Jx\X2 und 2/1,2/2,2/3 gewählt, so daß c = — gilt Nachdem a und b bestimmt
2/1 + 2/2 - 22/3
worden sind, kann c korrigiert und zwar als Mittelwert der Größen y — axb gewählt werden
2.16.2.2 Exponentialfunktionen
1. Typ y = a e6*: Typische Kurvenverlaufe der Funktion
2/ = aebx B 257a)
zeigt die Abb.2.81. Die Diskussion der Exponentialfunktion B.54), S 72 und ihrer Kurvenverläufe
(Abb.2.26) erfolgt auf S 72. Rektifiziert wird durch Logarithmieren gemäß
X = x, Y = \ogy: Y = \oga + Möge • X. B.257b)
2.16 Aufstellung empirischer Kurven 111
2. Typ y — a e*™ + c: Die Formel
y = aebx + c B.258a)
liefert die gleichen Kurven wie B.257a), aber in y-Richtung um c verschoben (Abb.2.83). Es wird c
bestimmt und durch Logarithmieren rektifiziert gemäß
Y = \og(y-c), X = x: Y = loga + Möge • X. B.258b)
Zur Bestimmung von c werden drei Punkte mit den Abszissen- und Ordinatenwerten x\, x2 beliebig,
x3
Xi +X2
und ?/i, ?/25 2/3 gewählt, so daß c =
2/12/2-
2/i + 2/2 - 2y3
kann c nachträglich als Mittelwert der Größen y — ae6* erneut bestimmt werden
yf y
gilt Nach der Bestimmung von a und b
Abbildung 2.80
Abbildung 2.81
Abbildung 2.82
Abbildung 2.83
Abbildung 2.84
2.16.2.3 Quadratisches Polynom
Mögliche Kurvenverlaufe des quadratischen Polynoms
y = ax2 + bx + c B 259a)
zeigt die Abb.2.84. Die Diskussion des quadratischen Polynoms B.41) und seiner Kurven (Abb.2.12),
S 64 Die Koeffizienten a, b und c werden in der Regel nach der Fehlerquadrat methode bestimmt, aber
auch hier ist eine Rektifizierung möglich
Nach der Wahl irgendeines Datenpunktes (xi, y\) wird rektifiziert gemäß
'-2/1 ,
X ¦
Y = ¦
x — Xi
Y = (b + axi) + aX.
B 259b)
112 2 Funktionen und ihre Darstellung
Bilden die gegebenen x-Werte eine arithmetische Folge mit der Differenz /i, so rektifiziert man gemäß
Y = Ay, X = x Y = {bh + ah2) + 2ahX B 259c)
In beiden Fällen wird nach der Ermittlung von a und b aus der Gleichung
5> = aX>2 + &X> + nc B 259d)
c berechnet, wobei n die Anzahl der gegebenen x-Werte ist, über die summiert wird
2.16.2.4 Gebrochenlineare Funktion
Die gebrochenlineare Funktion
wird in 2.4, S 66 auf der Grundlage von Gleichung B 46) und an Hand der Abb.2.17, S 66 besprochen
Nach der Wahl irgendeines Datenpunktes (xi,y\) wird gemäß
Y =
x — x\
X = x
Y = A + BX
B 260b)
2/-2/1
rektifiziert. Nach der Bestimmung von A und B wiid die gewonnene Formel in der Form B 260c)
hingeschrieben. Manchmal reicht anstelle von B.260a) auch die Form B 260d)
1
' = 2/i +
¦Xi
A + Bx
B.260c)
ex + d
oder
ex + d
B 260d)
11 x
Dann wird X = - und Y — - rektifiziert oder X = x und Y — — im ersten Falle und X = x sowie
x y y
Y — - im zweiten.
2/
2.16.2.5 Quadratwurzel aus einem quadratischen Polynom
Mehrere mögliche Kurvenverlaufe der Gleichung
y2 = ax2 + bx + c B 261)
sind in Abb.2.85 dargestellt Die Diskussion der Funktion B 52) und ihrer Kurvenverläufe (Abb.2.23)
erfolgt auf S 71
Wenn die neue Variable Y = y2 eingeführt wird, dann läßt sich die weitere Rechnung auf den Fall
2 16 2 3, S 111 des quadratischen Polynoms zurückführen
Abbildung 2.85
Abbildung 2 86
2.16 Aufstellung empirischer Kurven 113
2.16.2.6 Verallgemeinerte Gaußsche Glockenkurve
Typische Kurvenverläufe der Funktion dieses Typs
y = aebx+cx2 oder log y = log a + bx log e + ex2 log e B.262)
sind in Abb.2.86 dargestellt. Die Diskussion erfolgt auf der Grundlage von Gleichung von B.61) und
an Hand der Abb.2.31, S. 75.
Die Bestimmung der Parameter kann durch Einführung der neuen Variablen Y = logy auf den Fall
2.16 2.3 des quadratischen Polynoms zurückgeführt werden.
2.16.2.7 Kurve 3. Ordnung, Typ II
Mögliche Kurvenverläufe der Funktion dieses Typs
V = o \ B-263)
ax2 + bx + c v ;
sind in Abb.2.87 dargestellt. Die Diskussion erfolgt auf der Grundlage von Gleichung B.48) und an
HandvonAbb.2.19, S. 67.
Durch Einführung einer neuen Veränderlichen Y = - kann die Aufgabe auf den Fall 2 16.2.3 des qua-
y
dratischen Polynoms zurückgeführt werden.
Abbildung 2.87
Abbildung 2.88
2.16.2.8 Kurve 3. Ordnung, Typ III
Typische Kurvenverläufe der Funktion dieses Typs
V = -^-4 B-264)
y ax2 + bx + c K J
sind in Abb.2.88 dargestellt. Die Diskussion erfolgt auf der Grundlage von Gleichung B.49) und an
Hand von Abb.2.20, S. 69.
Durch Einführung der neuen Variablen Y = — kann die Aufgabe auf den Fall 2.16.2.3 des quadratischen
y
Polynoms zurückgeführt werden.
2.16.2.9 Kurve 3. Ordnung, Typ I
Typische Kurvenverläufe der Funktion dieses Typs
b c
¦a+ - + —
x x2
B.265)
114 2. Funktionen und ihre Darstellung
sind in Abb.2.89 dargestellt. Die Diskussion erfolgt auf der Grundlage von Gleichung B.47) und an
HandvonAbb.2.18, S. 67.
Durch Einführung der neuen Variablen X = — kann die Aufgabe auf den Fall des quadratischen Poly-
x
noms 2 16 2 3, S. 111 zurückgeführt werden
Abbildung 2 89
Abbildung 2.90
2.16.2.10 Produkt aus Potenz- und Exponentialfunktion
Typische Kurvenverläufe der Funktion dieses Typs
y = axbecx B 266a)
sind in Abb.2.90 dargestellt. Die Diskussion erfolgt auf der Grundlage von Gleichung B.62) und an
Hand von (Abb.2.31), S 75
Wenn die empirischen x-Werte eine arithmetische Folge mit der Differenz h bilden, dann wird gemäß
Y = A\ogy, X = Alogx: Y = hc\oge + bX B.266b)
rektifiziert Dabei wird mit A log y bzw. A log x die Differenz zweier aufeinanderfolgender Werte von
log y bzw log x bezeichnet Bilden jedoch die x-Werte eine geometrische Folge mit dem Quotienten q,
dann erfolgt die Rektifizierung gemäß
X = x, Y = Alogy Y = b\ogq + c(q-l)X\oge B 266c)
Nachdem b und c bestimmt sind, wird die gegebene Gleichung logarithmiert, um loga ebenso zu
bestimmen wie in B 259d)
Wenn die gegebenen x-Werte keine geometrische Folge bilden, sich aber jeweils zwei x-Werte so
auswählen lassen, daß ihr Quotient den konstanten Wert q ergibt, dann gilt für die Rektifizierung die gleiche
Formel wie im Falle einer geometrischen Folge der x-Werte, wenn Y = Ai logy gesetzt wird. Dabei ist
mit Ai log y die Differenz zweier Werte von log y bezeichnet, deren zugehörige a;-Werte den konstanten
Quotienten q ergeben (s vollständig durchgerechnetes Beispiel in 2.16.2.12)
2.16.2.11 Exponent ialsumme
Typische Kurvenverläufe der Exponentialsumme
y = aebx + cedx B 267a)
sind in Abb.2.91 dargestellt Die Diskussion erfolgt auf der Grundlage von Gleichung B.60) und an
Hand von Abb.2.29, S. 73.
Wenn die x-Werte eine arithmetische Folge mit der Differenz h bilden und y. yu y2 irgend drei
aufeinanderfolgende Werte der gegebenen Funktion sind, dann rektifiziert man gemäß
* = £¦
y y
y = ¦
Y = (ebh + edh)X ¦
B 267b)
2.16 Aufstellung empirischer Kurven 115
Nachdem b und d mit Hilfe dieser Gleichung bestimmt sind, wird wieder rektifiziert gemäß
Y = ye-dx, X = e{b-d)x: Y = aX + c B 267c)
2.16.2.12 Vollständig durchgerechnetes Beispiel
Es ist eine empirische Formel für die in der folgenden Tabelle vorgegebene Abhängigkeit zwischen x
und y zu suchen.
Tabelle: Zur genäherten Darstellung eines empirisch ermittelten funktionellen Zusammenhanges
X
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
1,1
1,2
y
1,78
3,18
3,19
2,54
1,77
1,14
0,69
0,40
0,23
0.13
0,07
0,04
X
y
0,056
0,063
0,094
0,157
0,282
0,526
1,014
2,000
3,913
7,69
15,71
30,0
AX-
y
0,007
0,031
0,063
0,125
0,244
0,488
0,986
1.913
3,78
8,02
14,29
-
\gx
-1,000
-0,699
-0,523
-0,398
-0,301
-0,222
-0,155
-0,097
-0,046
0,000
0,041
0,079
igy
0.250
0,502
0,504
0,405
0,248
0,057
-0,161
-0,398
-0,638
-0,886
-1,155
-1,398
Algx
0,301
0,176
0,125
0,097
0,079
0,067
0,058
0,051
0,046
0,041
0,038
-
Alg2/
0,252
+0,002
-0,099
-0,157
-0,191
-0,218
-0,237
-0,240
-0,248
-0,269
-0,243
-
Al lg2/
0,252
-0,097
-0,447
-0,803
-1,134
-1,455
-
-
-
-
-
-
Verr
1,78
3,15
3,16
2,52
1,76
1,14
0,70
0,41
0,23
0,13
0,07
0,04
Auswahl der Näherungsfunktion: Ein Vergleich der Kurve, die auf der Grundlage der Daten in der
Abb.2.92 erhalten wurde, mit bisher betrachteten Kurven zeigt, daß die Formeln B 264) oder B.266a)
mit den Kurvenverläufen in Abb.2.88 und Abb.2.90 geeignet sein könnten
01 0203 04 050607 0809 1011 12
Abbildung 2 91
Abbildung 2.92
Parameterbestimmung: Nimmt man Formel B.264), dann sind A- und x zu rektifizieren Die Rech-
y
nung zeigt aber, daß die Abhängigkeit zwischen x und A- weit entfernt von Linearität ist. Zur Uber-
y
prüfung der Eignung von Formel B 266a) wird die Kurve der Abhängigkeit Alogx und Alogy für
h = 0,1 erzeugt (Abb.2.93) sowie die für Ai log y und x für q = 2 (Abb.2.94) In beiden Fällen ist
die Übereinstimmung mit einer Geraden ausreichend, so daß die Formel y = axbecx für die Näherung
geeignet ist
116 2. Funktionen und ihre Darstellung
-o,aJ
Abbildung 2.93
Abbildung 2.94
Zur Bestimmung der Konstanten a, b und c wird eine lineare Abhängigkeit zwischen x und Ai log y mit
der Mittelwertmethode gesucht Addition der Bedingungsgleichungen Ai log?/ = 6log 2 + ex löge in
zwei Gruppen zu je drei Gleichungen führt auf
-0,292 = 0,9036 + 0,2606c, -3,392 = 0,9036 + 0,6514c,
woraus sich 6=1,966 und c = —7,932 ergibt. Zur Bestimmung von a werden alle Gleichungen vom Typ
log y = log a+b log x+c log e-x addiert, was —2,670 = 12 log a—6,529—26,87 ergibt, so daß aus log a =
2,561 folgt a = 364. Die mit der Formel y = 364x1'966e~7'032x berechneten j/-Werte sind in der letzten
Spalte der obigen Tabelle zur genäherten Darstellung als yerr angegeben. Die Fehlerquadratsumme
beträgt 0,0024.
Benutzt man die durch Rektifizierung gewonnenen Parameter als Startwerte zur iterativen Lösung der
nichtlinearen Quadratmittelaufgabe (s. 19.6.2 4, S. 950)
EiVi
- ax^e0**]2 = min,
dann erhält man a = 396,601 986,6 = 1,998 098, c = -8,000 0916 mit der minimalen
Fehlerquadratsumme 0,000 0916.
2.17 Skalen und Funktionspapiere
2.17.1 Skalen
Grundlage einer Skala ist eine Funktion y = f(x). Zu dieser Funktion konstruiert man eine Skala,
indem man auf einer Kurve, z.B. einer Geraden, die Funktionswerte y als Längen abträgt, aber mit
dem Argument x beziffert. Man kann somit eine Skala als eindimensionale Darstellung der Wertetabelle
einer Funktion auffassen
Die Skalengleichung zur Funktion y = f(x) lautet:
V = l[f(x) - /(so)] • B 268)
Durch xo wird der Anfangspunkt der Skala festgelegt Mit dem Maßstabsfaktor l wird berücksichtigt,
daß für eine konkrete Skala nur eine bestimmte Länge zur Verfugung steht
¦ Logarithmische Skala: Für / = 10 cm und x0 = 1 lautet ihre Skalengleichung
y = 10[lgx — lg 1] = lOlgx (in cm) Zur Wertetabelle
1
y = lg x | 0 I 0,30 | 0,48 | 0,60
erhält man die in der Abb.2.95 gezeigte Skala.
5 I 6 1 7 I 8 I 9 I 10
0,70 | 0,78 I 0,85 | 0,90 | 0,95 | 1
2 17 Skalen und Funktionspapiere 117
1 2
I 1
3 4 5 6789 10
1 1 1 1 1 1 1 1
Abbildung 2 95
¦ Rechenschieber: Ihre wichtigste Anwendung, historisch gesehen, fand die logarithmische Skala
beim logaiithmischen Rechenschieber Bei diesem werden z B Multiplikation und Division mit Hilfe
zweier logarithmischer Skalen, die den gleichen Maßstabsfaktor haben und gegeneinander verschiebbar
angebracht sind, durchgeführt.
Aus Abb.2.96 liest man ab y3 = yi + y2 , d h lgx3 = \gx\ + lg#2 = lg^1^2 , also X3 = x\ • £2 ; Vi —
2/3-2/2, dh lgxi =lgx3-
¦ lg #2 = lg — , also £1
Z2
£3
£2
10
yi
-'t :¦*•¦;
r|
1
1; , •
1,
,.v,...,. T..T._iS.,1P
v s
y2
TT^hsriii:.!^
x2
} ¦' l (i
.,,;..ki::.i:
sattes
10
•;.'Srrf <,'i" ^ ¦*' r^fW'; >^>^ff-fnr'"T1
y3
Abbildung 2 96
¦ Volumenskala aufeinem kegelförmigen Meßbecher Auf dem Mantel eines Trichters ist eine Skala
zum Ablesen des Volumens anzubringen. Die Maße des Trichters seien Höhe H = 15 cm, Durchmesser
D = 10 cm Mit Hilfe der Abb.2.97a läßt sich die Skalengleichung wie folgt herleiten: Volumen V =
r2irh, Mantellinie s = sjh2 + r2 , tan a
r _ D/2
h " IT
>/lÖ3/;
Daraus folgt /i = 3r, 5 = r\/lÖ, V =
.— , so daß sich die Skalengleichung s = -^=- \/V « 2, löv^ ergibt Mit Hilfe der Wertetabelle
(>/IÖK ^F
V I 0 I 50
100
150 I 200 I 250 I 300
350
sJO [7,96 I 10,03 I 11,48 | 12,63 | 13,61 | 14,46
erhält man dann die Markierung auf dem Trichter gemäß Abb.2.97b
D ^
" -300
15,22
y<
40
30
20
10
4
3
2
k
0 .
5 1
0 1
5 2
0 2
5 x
i b)
Abbildung 2.97
Abbildung 2.98
118 2. Funktionen und ihre Darstellung
2.17.2 Funktionspapiere
Die gebräuchlichsten Funktionspapiere entstehen dadurch, daß die Achsen eines rechtwinkligen
Koordinatensystems Skalen sind mit den Skalengleichungen
x = l1[f(u)-f(u0)]1 y = h[f{v)-f(yQ)\ B 269)
Dabei sind l\ und I2 Maßstabsfaktoren; uq und vq sind die Anfangspunkte der Skalen.
2.17.2.1 Einfach-logarithmisches Funktionspapier
Ist die x-Achse gleichabständig unterteilt, die y-Achse jedoch logarithmisch, dann spricht man vom
einfach-logarithmischen Funktionspapier oder vom einfach-logarithmischen Koordinatensystem.
1. Skalengleichungen
x = li[u — uo] (lineare Skala), y = l2[\gv — \gv0] (logaritmische Skala). B.270)
Die Abb.2.98 zeigt ein Beispiel für einfach-logarithmisches Papier.
2. Darstellung von Exponentialfunktionen
Auf einfach-logarithmischem Papier werden Exponentialfunktionen der Form
y = aeßx (a, ß const) B 271a)
als Geraden dargestellt (s Rektifizierung, 2.16.2.2, S 110). Diese Eigenschaft wird wie folgt ausgenutzt
Liegen Meßpunkte, wenn sie in einfach-logarithmischem Papier eingetragen worden sind, annähernd
auf einer Geraden, dann kann zwischen den Variablen ein Zusammenhang der Form B 271a)
angenommen werden. Mit Hilfe dieser Geraden, die nach Augenmaß durch die Meßpunkte gelegt wird, kann man
Näherungswerte für die Parameter a undß bestimmen: Liest man zwei Punkte P\(x\, y{) und P2(^2,2/2)
auf dieser Geraden ab, dann erhält man
lnK-lnyx ^ ^ ß q = ßxi
X2-X1
2.17.2.2 Doppelt—logarithmisches Funktionspapier
Wenn beide Achsen eines rechtwinkligen x, y-Koordinatensystems logarithmisch unterteilt sind, dann
spricht man vom doppelt-logarithmischen Funktionspapier oder vom doppelt-logarithmischen
Koordinatensystem.
1. Skalengleichungen
Die Skalengleichungen lauten
x = h[\gu- lg wo], y = fepg v - lg vo], B.272)
wobei liJ2 Maßstabsfaktoren sind und uQ, v0 Anfangspunkte.
2. Darstellung von Potenzfunktionen (s 2 5.3, S. 71)
In doppelt-logarithmischem Papaier, das analog zum einfach-logarithmischen Papier aufgebaut ist,
aber eine logarithmisch unterteilte x-Achse hat, werden Potenzfunktionen der Form
y = axß (a, ß const) B 273)
als Geraden dargestellt (s. Rektifizierung einer Potenzfunktion, 2.16.2 1, S. 110) Diese Eigenschaft
wird in der gleichen Weise wie beim einfach-logarithmischen Papier genutzt.
2.17.2.3 Funktionspapier mit einer reziproken Skala
Die Unterteilung der zu skalierenden Koordinatenachse erfolgt mit Hilfe der Gleichung B.45) für die
Funktion Umgekehrte Proportionalität (s. 2.4 1, S 66).
Skalengleichung
Es gilt x = li[u-uo], y = k\ (a const), B 274)
IV Vo]
wobei /1 und I2 Maßstabsfaktoren sind und u0 und t>o Anfangspunkte
¦ Konzentration in einer chemischen Reaktion: Bei einer chemischen Reaktion wurden für die
Konzentration c = c(t), wobei mit t die Zeit bezeichnet ist, die folgenden Werte gemessen*
2.17 Skalen und Funktionspapiere 119
t/min
c • 107mol/l
15,53
10
20 I 40
11,26 7,27 4,25
Es wird angenommen, daß eine Reaktion 2. Ordnung vorliegt, d.h , es soll der folgende Zusammenhang
gelten:
Co
c(t) =
1 + c0kt
(coyk const).
B 275)
Geht man zum Kehrwert dieser Gleichung über, dann erhält man - = —\-kt, d.h., der Zusammenhang
c Co
B 275) wird durch eine Gerade beschrieben, wenn in dem zugehörigen Funktionspapier die y-Achse
reziprok und die x-Achse linear unterteilt ist
Die Skalengleichung für die y-Achse lautet
z.B.: y = 10 • — cm.
v
Aus der zugehörigen Abb.2.99 ist zu
erkennen, daß die Meßpunkte annähernd auf
einer Geraden liegen, d.h., der
Zusammenhang B.275) kann bestätigt werden.
Darüber hinaus kann man mit Hilfe
zweier Punkte der Geraden, z.B liest man
PiA0,10) und P2C0,5) ab,
Näherungswerte für die beiden Parameter k (Reak-
tionsgeschwindigkeits-Konstante) und cq
(Anfangskonzentration) ermitteln:
/ 1 / 2 ~ M M..R Cq ,
10
20 30 40
Abbildung 2 99
50
k =
t2-tl
i 0.005,
t 20 • 1(T
2.17.2.4 Hinweis
Es gibt noch viele andere Möglichkeiten, Funktionspapiere zu konstruieren und anzuwenden. Obwohl
heute in den meisten Fällen leistungsfähige Computer zur Auswertung von Meßergebnissen zur
Verfügung stehen, werden in der Laborpraxis häufig noch Funktionspapiere verwendet, um mit deren Hilfe
aus einigen wenigen Meßwerten eine Aussage über funktionelle Zusammenhänge zu bekommen oder
Näherungswerte für Parameter zu erhalten, die beim Einsatz von numerischen Verfahren (s
nichtlineare Quadratmittelaufgaben, 19.6 2 4, S 950) als Startwerte benötigt werden
120 2 Funktionen und ihre Darstellung
2.18 Funktionen von mehreren Veränderlichen
2.18.1 Definition und Darstellung
2.18.1.1 Darstellung von Funktionen mehrerer Veränderlicher
Eine veränderliche Größe u wird eine Funktion von n unabhängigen Variablen xi, x2, . ,xn genannt,
wenn u für gegebene Werte der unabhängigen Veränderlichen einen eindeutig bestimmten Wert
annimmt. Je nachdem, ob es sich um eine Funktion von zwei, drei oder n veränderlichen Größen handelt,
schreibt man
u = f{x,y), u = f(x,y,z), u = f{xux2, . ,z„) B 276)
Setzt man für die n unabhängigen Variablen feste Zahlen ein, dann entsteht ein Wertesystem der
Variablen, das als Punkt des n-dimensionalen Raumes (auch mehrdimensionaler Raum) interpretiert werden
kann Die einzelnen unabhängigen Variablen werden auch Argumente genannt; manchmal nennt man
zusammenfassend das gesamte n-Tupel der unabhängigen Variablen das Argument der Funktion
Beispiele für Funktionswerte:
¦ A: u = f(x, y) = xy2 besitzt für das Wertesystem x = 2, y = 3 den Wert /B,3) = 2 • 32 = 18.
¦ B: u = /(#, y, z,t) = x \n(y — zt) nimmt für das Wertesystem x = 3, y = A, 2 = 3, t = 1 den Wert
/C,4,3,l) = 31nD-3-l) = 0an
2.18.1.2 Geometrische Darstellung von Funktionen mehrerer
Veränderlicher
1. Darstellung des Wertesystems der Variablen Das Wertesystem eines Arguments aus zwei
Variablen x und y kann als Punkt der Ebene mit den kartesischen Koordinaten x und y dargestellt werden,
einem Wertesystem aus drei Variablen x.y, z entspricht ein Punkt mit drei kartesischen Koordinaten
x, y, z im dreidimensionalen Raum. Systeme aus vier und mehr Koordinaten kann man sich nicht mehr
anschaulich vorstellen
In Analogie zum dreidimensionalen Raum spricht man aber bei
Systemen aus n Variablen x\, x2,... ,xn von einem Punkt im n-dimensionalen
Raum mit den kartesischen Koordinaten X\, x2,. ,xn Im oben
betrachteten Beispiel B mit vier Variablen ist das Wertesystem ein Punkt
im vierdimensionalen Raum mit den Koordinaten x = 3,y = 4, z = 3
und t = 1.
„, 2. Darstellung der Funktion u = f(x, y) zweier Variabler
*x J a) Eine Funktion von zwei unabhängigen Veränderlichen läßt sich in
Abbildung 2.100 Analogie zum ebenen Kurvenbild einer Funktion von einer
unabhängigen Veränderlichen als Fläche im Raum darstellen (Abb.2.100, s auch 3 6 3 1, S 251) Dazu wird der
Funktionswert u = /(x, y) senkrecht über dem Punkt (x, y) des Definitionsbereiches abgetragen. Die
Endpunkte dieser Strecken bilden eine Fläche im dreidimensionalen Raum.
Beispiele für Raumflächen von Funktionen:
¦ A:w=l-^-| Darstellung durch eine Ebene (Abb.2.101a, s. auch 3 5 3.6, S. 220).
i i
x y
¦ B: u = — + — Darstellung durch ein elliptisches Paraboloid (Abb.2.101b, s auch 3 5 3 6,5.,
S. 228).
¦ C: u — y 16 — x2 — y2 Darstellung durch eine Halbkugel mit dem Radius r = 4 (Abb.2.101c).
b) Das Bild der Funktion u = f(x, y) kann auch mit Hilfe von Schnittkurven ermittelt werden, die
durch Schnitte parallel zu den Koordinatenebenen entstehen. Die Schnittkurven u = const werden
2 18 Funktionen von mehreren Veränderlichen 121
auch Höhenlinie oder Niveaulinien genannt
¦ In den Abb.2.101b,c sind die Höhenlinien konzentrische Kreise (nicht eingezeichnet).
Hinweis: Funktionen mit Argumenten aus drei oder mehr Variablen können nicht mehr im
dreidimensionalen Raum dargestellt werden. Ausgehend von der Fläche im dreidimensionalen Raum wird in
Analogie dazu der Begriff der Hyperfläche im n-dimensionalen Raum gebraucht
U4
Abbildung 2 101
2.18.2 Verschiedene ebene Definitionsbereiche
2.18.2.1 Definitionsbereich einer durch eine Menge gegebenen Funktion
De finitionsbereich einer Funktion wird die Menge der Wertesysteme oder Punkte genannt, die bei der
betrachteten Funktion von den Variablen des Arguments durchlaufen werden können Die sich so
ergebenden Definitionsbereiche können sehr unterschiedlich sein. Meistens treten beschränkte oder
unbeschränkte zusammenhängende Punktmengen auf In Abhängigkeit davon, ob der Rand mit zum
Definitionsbereich gehört oder nicht, ist dieser abgeschlossen oder offen Eine offene zusammenhängende
Punktmenge wird Gebiet genannt. Wenn der Rand in ein Gebiet einbezogen ist, dann handelt es sich um
ein abgeschlossenes Gebiet, ist dies nicht der Fall, und soll der Anschluß des Randes besonders betont
werden, dann wird vom offenen Gebiet gesprochen
2.18.2.2 Zweidimensionale Gebiete
Die Abb.2.102 zeigt die einfachsten Fälle zusammenhängender Punktmengen mit zwei Veränderlichen
und deren Bezeichnung. Gebiete sind hier schraffiert dargestellt, abgeschlossene Gebiete, also Gebiete,
deren Rand in die Punktmenge des Definitionsbereiches einbezogen ist, sind durch ausgezogene Kurven
um das Gebiet gekennzeichnet, offene Gebiete durch gestrichelt gezeichnete Kurven. Einschließlich der
gesamten Ebene handelt es sich in allen Fällen der Abb.2.102 um einfach zusammenhängende Gebiete
2.18.2.3 Drei- und mehrdimensionale Gebiete
werden analog zum zweidimensionalen Fall behandelt. Das betrifft auch die Unterscheidung zwischen
einfach und mehrfach zusammenhängenden Gebieten Funktionen von mehr als drei Veränderlichen
werden in den entsprechenden n-dimensionalen Räumen geometrisch gedeutet
2.18.2.4 Methoden zur Definition einer Funktion
1. Definition mittels Tabelle Funktionen von mehreren Veränderlichen können mit Hilfe von
Wertetabellen definiert werden. Ein Beispiel für Funktionen von zwei unabhängigen Veränderlichen sind
die Wertetabellen der elliptischen Integrale (s. 21 9, S. 1091). Dort sind die Werte der unabhängigen
Variablen am oberen und linken Rand der Tabelle eingetragen. Ein gesuchter Funktionswert kann als
Schnittpunkt der zugehörigen Zeilen und Spalten aufgesucht werden. Man spricht von Tabellen mit
doppeltem Eingang
2. Definition mittels Formeln Funktionen von mehreren Veränderlichen lassen sich auch durch
eine oder mehrere Formeln definieren ( x + v für ic > 0 y > 0
¦ A: u = xy2 , = I x _ y für x > 0 \ y < 0 '
¦ B: u = x \n{y - zt), : W | -x + ^ für x < 0 , y > 0 ,
l —x — y für x < 0 , y < 0.
122 2. Funktionen und ihre Darstellung
gesamte Ebene
unbeschränktes
abgeschlossenes
iet
beschränktes
abgeschlossenes
Gebiet
unbeschränktes
offenes Gebiet
Abbildung 2 102
3. Definitionsbereich einer durch eine Formel gegebenen Funktion In der Analysis werden
meistens Funktionen betrachtet, die mit Hilfe von Formeln definiert sind Dabei werden alle die
Wertesysteme der unabhängigen Variablen in den Definitionsbereich einbezogen, für die der analytische
Ausdruck der Funktion Sinn hat, d.h. für die er eindeutig bestimmte endliche und reelle Werte
annimmt.
Beispiele für Definitionsbereiche:
Abbildung 2.103
A: u -
xz +
B: u =
y2 Der Definitionsbereich ist die gesamte Ebene,
1
y/W-
Den Definitionsbereich bilden alle Wertesysteme x, y, die die Ungleichung
x2 + y2 < 16 erfüllen. Geometrisch betrachtet stellt dieser Definitionsbereich das in Abb.2.103a
dargestellte offene Gebiet im Innern eines Kreises dar.
¦ C: u = arcsin(x + y): Den Definitionsbereich bilden alle Wertesysteme x, y, die die Ungleichung
— 1 < x + y < +1 erfüllen, d h , der Definitionsbereich ist ein abgeschlossenes Gebiet, das aus einem
Streifen zwischen zwei parallelen Geraden besteht (Abb.2.103b)
¦ D: u = aresinBx — 1) + y/l — y'2 + y/y + In z. Der Definitionsbereich besteht aus allen
Wertesystemen, die die Ungleichungen 0 < x < 1, 0 < y < 1,2;>0 erfüllen, d.h., er besteht aus allen Punkten,
die über einem Quadrat mit der Seitenlänge 1 gelegen sind (Abb.2.103c)
2 18 Funktionen von mehreren Veränderlichen 123
gesamte Ebene
mit Ausnahme
des Punktes A,
unbeschränktes Y
zweifach zusam
menhängend(
Gebiet
beschränktes
zweifach
zusammenhängendes
Gebiet
Abbildung 2 104
dreifach zusam- Y|
menhängendes
Gebiet
vierfach
zusammenhängendes
Gebiet
mehrfach
sammenhängendes Gebiet
01
Abbildung 2.105
Wenn im Innern eines betrachteten Ebenenstücks ein Punkt
oder eine beschränkte, einfach zusammenhängende
Punktmenge aus dem Definitionsbereich ausgeschlossen ist, wie
es die Abb.2.104 zeigt, dann wird von einem zweifach
zusammenhängenden Gebiet gesprochen Mehrfach
zusammenhängende Gebiete sind in Abb.2.105 dargestellt. Ein
nicht zusammenhängendes Gebiet zeigt die Abb.2.106.
Abbildung 2 106
2.18.2.5 Formen der analytischen Darstellung einer Funktion
Funktionen von mehreren Veränderlichen können ebenso wie Funktionen von einer Veränderlichen auf
verschiedene Weise angegeben werden
1. Explizite Darstellung
Eine Funktion ist explizit dargestellt oder definiert, wenn sie durch ihre unabhängigen Variablen
ausgedrückt werden kann
u = f{xux2i ,i„) B.277)
2. Implizite Darstellung
Eine Funktion ist implizit dargestellt oder definiert, wenn die Argumente und die Funktion durch eine
Gleichung der folgenden Art miteinander verknüpft sind:
F(xi,X2,. . ,£n,it) = 0.
Dabei wird vorausgesetzt, daß es zu jedem Wertesystem X\, x2,
B 278) gilt.
3. Parameterdar Stellung
Eine Funktion ist in Parameterform dargestellt, wenn die n Argumente und die Funktion durch n neue
Veränderliche, die Parameter, explizit ausgedrückt sind, so daß für eine Funktion zweier Veränderlicher
gilt
x = <p(r,s), y = ip(r,s), u = x(r, s), B.279a)
für eine Funktion dreier Veränderlicher
x = (p(r,s,t), y = ip(r,s,t), z = x(r, <M), u = K,(r,s,t) B.279b)
B.278)
, xn genau einen u-Wert gibt, so daß
124 2. Funktionen und ihre Darstellung
usw.
4. Homogene Funktion
Eine Funktion /(xi, X2,. , xn) von mehreren Veränderlichen wird homogene Funktion genannt, wenn
sie die Bedingung
f{\xu\x2,..-., Xxn) = Am/(xi, x2, , xn) B 280)
für beliebige A erfüllt Die Zahl m wird Homogenitätsgrad genannt
¦ A: u(x, y) — x2 — 3xy + y + x\jxy H , d h., der Homogenitätsgrad ist m = 2
x -\- z
¦ B: u(x,y) = — , d h , der Homogenitätsgrad ist m = 0
2x — oy
2.18.2.6 Abhängigkeit von Funktionen
1. Spezieller Fall zweier Funktionen
Zwei Funktionen zweier Veränderlicher u = f(x,y) und v = ip(x,y), die beide in demselben Gebiet
definiert sind, werden als abhängige Funktionen bezeichnet, wenn die eine durch die andere gemäß u =
F(v) ausgedrückt werden kann. Für jeden Punkt des Definitionsbereiches gilt dann die Identität
f{x,y) = F{tp(x,y)) oder $(/>¥>) = 0. B 281)
Existiert keine solche Funktion F(<p) oder $(/, ip), dann spricht man von unabhängigen Funktionen.
¦ u(x,y) = (x2 + y2J , v = y/x2 + y2 , definiert im Gebiet x2 -\-y2 > 0 , sind abhängige Funktionen,
da u — vA gilt.
2. Allgemeiner Fall mehrerer Funktionen
In Analogie zum Fall zweier Funktionen gilt, daß m Funktionen wl5 ii2,... ,um von ™ Veränderlichen
Xi, X2, ,xn in einem gemeinsamen Definitionsbereich abhängig sind, wenn irgendeine von ihnen als
Funktion der übrigen ausdrückbar ist, d.h , wenn es für jeden Punkt des Gebietes eine Identität der Art
U{ = f(ui,U2,. . ,iii_i,iij+i,..., um) oder $(ui,ti2,- ,um) = 0 B 282)
gibt. Wenn keine solche Funktion existiert, dann spricht man von unabhängigen Funktionen
¦ Die Funktionen u = X\ + x2 + • • • + xn, v = X\2 + X22 + • • • + xn2 und w = X\X2 + X1X3 + • • • +
Xixn + x2x3 + • • • + xn_ixn sind abhängig, da v = u2 — 2w gilt.
3. Analytische.Bedingung für die Unabhängigkeit
Im Falle zweier Funktionen u = /(x, y) und v = <p(x, y) darf ihre Funktionaldetermmante
abgekürzt ^4 oder ^4, B.283a)
in dem betrachteten Gebiet nicht identisch verschwinden Analog gilt im Fall von n Funktionen mit n
££t":£)*°- B-283b)
df
dx
dtp
dx
df
dy
dtp
dy
Veränderlichen u\
dh
dx\
dh
dx\
dfn
dxi
dh
dx2
dh
dx2
dfn
dx2
= /i(^i,
dh
dxn
dh_
dxn
dfn
dxn
2.18 Funktionen von mehreren Veränderlichen 125
Wenn die Anzahl m der Funktionen u\, u2, .,«m kleiner ist als die Anzahl n der Veränderlichen x\,
x2, ..., xn, dann sind diese Funktionen unabhängig, sofern wenigstens eine Unterdeterminante m-ter
Ordnung der Matrix B.283c) nicht verschwindet
dxi
du2
dx\
dui
dx2
du2
dx2
OUi
dxn
du2
dxn
B.283c)
dum dum dun,
\ dxi dx2 dxn )
Die Anzahl der unabhängigen Funktionen ist gleich dem Rang r der Matrix B.283c), (s 4 1 4,7., S. 264).
Hierbei werden diejenigen Funktionen unabhängig sein, deren Ableitung als Elemente in der nicht
identisch verschwindenden Unterdeterminante r-ter Ordnung stehen Wenn m > n ist, dann können von
den gegebenen m Funktionen höchstens n unabhängig sein.
2.18.3 Grenzwerte
2.18.3.1 Definition
Eine Funktion von zwei Veränderlichen u = f(x,y) besitzt einen
Grenzwert A für das Wertesystem x = a,y = b, wenn sich die Funktion f(x, y)
bei beliebiger Annäherung von x gegen a und von y gegen b dem Wert A
beliebig nähert. Man schreibt dann:
Kmf(x,y) = A. B.284)
a-r| a a+rj
Abbildung 2 107
Dabei braucht die Funktion für das Wertesystem x = a, y = 6, d h. im
Punkt (a, b) selbst, den Wert A weder anzunehmen noch definiert zu sein.
2.18.3.2 Exakte Formulierung
Eine Funktion von zwei Veränderlichen u = f(x,y) besitzt einen Grenzwert A = lim f(x,y), wenn
sich nach Vorgabe einer beliebig kleinen positiven Zahl s eine zweite positive Zahl rj angeben läßt
(Abb.2.107),sodaßgilt
\f(x,y)-A\<e B.285a)
für alle Punkte (x, y) des Quadrates
|z-a|<77, \y-b\<n. B.285b)
2.18.3.3 Verallgemeinerung auf mehrere Veränderliche
a) Der Begriff des Grenzwertes einer Funktion von mehreren Veränderlichen wird analog zum Fall der
Funktion von zwei Veränderlichen definiert.
b) Kriterien für die Existenz eines Grenzwertes einer Funktion von mehreren Veränderlichen erhält
man durch Verallgemeinerung der Kriterien, die für Funktionen von einer Veränderlichen gelten, d h
durch Zurückführung auf den Grenzwert einer Folge sowie über das Konvergenzkriterium von CAUCHY
(s 2 1 4 3, S 53)
2.18.3.4 Iterierte Grenzwerte
Wenn für eine Funktion zweier Veränderlicher /(x, y) zuerst der Grenzwert für x —> a, d.h. lim /(x, y)
für konstantes y bestimmt wird und darauf von der so gewonnenen Funktion, die dann nur noch von y
abhängt, der Grenzwert y —* b gebildet wird, dann heißt die gefundene Zahl
ß = lim[lim/(x,j/)] B.286a)
126 2 Funktionen und ihre Darstellung
ein iterierter Grenzwert. Eine Änderung der Reihenfolge liefert in der Regel einen anderen Grenzwert
C= lim [lim f{x,y)]. B 286b)
x—+a y—tb
Im allgemeinen ist D ^ C, auch wenn beide Grenzwerte existieren.
¦ Die Funktion fix, y) = X ~ V0 + Xn + y liefert für z -> 0, y -? 0 die Werte B = -1 und C = +1.
xl + 2/
Wenn jedoch die Funktion f(x, y) einen Grenzwert A = lim f(x, y) besitzt und die Grenzwerte B und
C existieren, dann ist B = C = A Aus der Gleichheit der Grenzwerte B = C folgt aber noch nicht
die Existenz des Grenzwertes A .
2.18.4 Stetigkeit
Eine Funktion von zwei Veränderlichen f(x, y) wird an der Stelle x = a, y = b, d h. im Punkt (a, b),
stetig genannt, wenn 1. der Punkt (a, b) dem Definitionsbereich der Funktion angehört und wenn 2 der
Grenzwert für x —? a, y —> 6 existiert und
lim/(a;>i/) = /(a,&) B 287)
ist. Anderenfalls besitzt die Funktion an der Stelle x = a,y = b eine Unstet igkeit Wenn eine Funktion
in allen Punkten eines zusammenhängenden Gebietes definiert und stetig ist, dann wird sie stetig in
diesem Gebiet genannt.
In Analogie dazu wird die Stetigkeit einer Funktion von mehr als zwei Veränderlichen definiert
2.18.5 Eigenschaften stetiger Funktionen
2.18.5.1 Nullstellensatz von Bolzano
Wenn eine Funktion f(x,y) in einem zusammenhängenden Gebiet definiert und stetig ist und wenn
in zwei verschiedenen Punkten (x\,yi) und (#2,2/2) dieses Gebietes die zugehörigen Funktionswerte
unterschiedliche Vorzeichen besitzen, dann existiert mindestens ein Punkt (£3,2/3) in diesem Gebiet,
für den f(x,y) Null wird
/(*3,2/3) = 0, wenn f(xuVl)>0 und f(x2,y2)<0 B 288)
2.18.5.2 Zwischenwertsatz
Wenn eine Funktion f(x,y) in einem zusammenhängenden Gebiet definiert und stetig ist und wenn sie
in zwei Punkten (xj,2/i) und (#2,2/2) verschiedene Werte A = /(#i,2/i) und B = /(x2,2/2) annimmt,
dann gibt es für jede Zahl C, die zwischen A und B liegt, einen Punkt (x3,2/3) derart, daß gilt:
f(x3l 2/3) = C, A < C < B oder B < C < A B 289)
2.18.5.3 Satz über die Beschränktheit einer Funktion
Wenn eine Funktion f(x,y) in einem abgeschlossenen beschränkten Gebiet stetig ist, dann ist sie in
diesem Gebiet auch beschränkt, d h , es existieren zwei Zahlen m und M derart, daß für jeden Punkt
(aj, y) in diesem Gebiet gilt
m<f(x,y) < M. B.290)
2.18.5.4 Satz von Weierstrass über die Existenz des größten und kleinsten
Funkt ions wert es
Wenn eine Funktion /(#, y) in einem abgeschlossenen und beschränkten Gebiet stetig ist, dann existiert
in diesem Gebiet mindestens ein Punkt (x',yr) derart, daß der Wert f{x',y') größer als alle übrigen
Werte von f(x, y) in diesem Gebiet ist. Außerdem existiert dann mindestens ein Punkt (x", y"), für den
der Wert f(x", y") kleiner als alle übrigen Werte von /(x, y) in diesem Gebiet ist Für einen beliebigen
Punkt (x, y) dieses Gebietes gilt
f(x',y')>f(x,y)>f(x",y"). B.291)
2.19 Nomographie 127
2.19 Nomographie
2.19.1 Nomogramme
Nomogramme oder Rechenblätter sind graphische Darstellungen für einen funktionalen
Zusammenhang zwischen drei oder auch mehr Variablen. Aus einem Nomogramm lassen sich für einen
bestimmten Formeltyp, der in der Regel in Form einer Gleichung, der sogenannten Schlüsselgleichung, vorliegt,
die fertigen Resultate für einen bestimmten Bereich der Veränderlichen ablesen. Wichtige Beispiele für
Nomogramme sind Netztafeln und Fluchtlinientafeln.
Nomogramme werden auch im Zeitalter der Computer in der Labor- und Ingenieurpraxis verwendet,
z B zur Gewinnung von Näherungswerten, die für den Start genauerer Rechnungen benötigt werden.
2.19.2 Netztafeln
Soll ein Zusammenhang dargestellt werden, der sich durch die Gleichung
F(x,y,z) = Q B.292)
(in vielen Fällen auch explizit durch z = f(x, y)) beschreiben läßt, so kann man die Variablen als
Koordinaten im Raum ansehen. Durch B.292) wird dann eine Fläche beschrieben, die durch ihre
Höhenoder Niveaulinien (s. 2.18 1.2, S. 121) anschaulich dargestellt werden kann. Jeder der drei Variablen
entspricht dann eine Kurvenschar, die zusammen ein Netz bilden: die Variablen x und y werden durch
achsenparallele Geraden, die Variable z wird durch die Schar der Höhenlinien dargestellt.
¦ Das Ohmsche Gesetz lautet U = R-I Die Spannung U läßt sich als Funktion von zwei Variablen mit
Hilfe ihrer Niveaulinien darstellen. Wählt man R und / als kartesische Koordinaten, dann entspricht
jedem Wert U = const eine Hyperbel (Abb.2.108). Aus der Abbildung kann man zu jedem
Wertepaar R, I das zugehörige U ablesen, aber auch zu jedem R, U ein / und zu jedem /, U ein R Dabei ist
stets der Bereich der einzelnen Variablen zu beachten In Abb. 2.108 gilt 0<JR<10,0</<10 und
0 < U < 100
Abbildung 2.108 Abbildung 2.109
Hinweise:
1. Durch Änderung der Bezifferung kann ein Nomogramm auch für andere Bereiche benutzt werden.
Soll z B. in Abb.2.108 der Bereich 0 < I < 1 dargestellt werden, aber R seine Bezifferung behalten,
dann sind die Hyperbeln anstelle von U mit U/10 zu beziffern.
2. Durch Anwendung von Skalen (s. 2.17.1, S. 116) gelingt es häufig, Nomogramme mit schwierig zu
128 2. Funktionen und ihre Darstellung
zeichnenden Kurven in sogenannte geradlinige Netzetafeln umzuwandeln. Bei Benutzung gleichmäßiger
Skalen auf der x- und y-Achse läßt sich jede Gleichung der Form
x<p{z) + yip{z) + x(z) = 0 B 293)
durch ein Nomogramm mit Geraden darstellen. Verwendet man Funktionsskalen x = ffa) y — 9(^2),
dann wird jede Gleichung der Form
/B2M21) + g(z2)'ip(z1) + xizi) = 0 B 294)
für die Variablen z\, 22 und z% durch zwei Scharen achsenparalleler Geraden und durch eine beliebige
Geradenschar wiedergegeben
¦ Durch Anwendung von logarithmischen Skalen (s 2 17 1, S 116) läßt sich das OHMsche Gesetz
durch ein geradliniges Nomogramm wiedergeben. Durch Logarithmieren von R • I = U erhält man
log R + log / = log U . Setzt man x = log R und y = log / , dann ergibt sich x + y = log U, d h eine
spezielle Form von B 294) Das dazugehörige Nomogramm zeigt die Abb.2.109
2.19.3 Fluchtlinientafeln
Eine Möglichkeit, eine Beziehung zwischen den drei Variablen z\, z2 und z3 zu vertäfeln, besteht darin,
für jede der drei Vriablen eine Skala (s. 2.17.1, S 116) herzustellen Die 2^-Skala habe die Gleichung
xx = tpiizi^yi = 4>i(zi) (i = 1,2,3) B 295)
Die Funktionen ipi und ^ werden so gewählt, daß die Werte der drei Variablen Z\,z2 und z3, die die
Nomogrammgleichung erfüllen, auf einer Geraden liegen, also fiuchtrechte Punkte sind Die Bedingung
dafür ist, daß das von den drei Punkten (xi, 2/1), (x2, #2) und (#3,2/3) aufgespannte Dreieck den
Flächeninhalt Null hat (s. C 300),S 199), dh es muß gelten
xi Vi 1
X2 V2 1
£3 V3 1
=
<Pi(zi) il>i(zi) 1
^2(^2) ^2(^2) 1
^3B3) ^3(^3) 1
: 0 B.296)
Jede Beziehung zwischen drei Variablen zi, Z2 und 23 , die sich auf die Form B 296) bringen läßt, kann
durch ein Fluchtlinien-Nomogramm dargestellt werden. Im folgenden werden einige wichtige
Spezialfälle von B.296) beschrieben
2.19.3.1 Fluchtlinientafein mit drei geraden Skalen durch einen Punkt
Wählt man den Nullpunkt als gemeinsamen Punkt der drei Geraden, die die drei Skalen füi z\, z2 bzw.
23 tragen, dann geht B 296) in
\<Pi(zi) mi<pi(zi) II
^2B2) m2(f2{z2) 1
|</?3B3) ^3^3B3) l|
über, da die Gleichung einer Geraden durch den Nullpunkt mit y = mx beschrieben werden kann.
Rechnet man die Determinante in B 297) aus, dann erhält man
m2-m3 + m3-m1+m1-m2=0 B ^
: 0 B 297)
oder
<Pi(zi) ^2(^2) ^3B3)
C\ 02 C'K
= 0 mit Cx + C2 + C3 = 0 . B 298b)
<Pi{zi) ^2(^2) ^3(^3)
Dabei sind die Größen Ci, C2 und C3 Konstanten.
112
¦ Die Gleichung - + - = — stellt einen Spezialfall von B.298b) dar und kommt z.B in der Optik oder
a b f
beim Parallelschalten von Widerständen vor Das zugehörige Fluchtlinien-Nomogramm würde dann
aus drei gleichmäßig unterteilten Skalen bestehen.
2.19 Nomographie 129
: 0 B.299)
2.19.3.2 Fluchtlinientafeln mit zwei parallelen und einer dazu geneigten
geradlinigen Skala
Eine der parallelen Skalen wird auf die y-Achse gelegt, die andere auf eine Parallele dazu im Abstand
d Die dritte Skala wird auf der Geraden y = mx angebracht In diesem Fall geht B.296) in
0 W*i)l|
d i>2(z2) 1
|y>3B3) rn(p3{z3) l|
über. Entwicklung der Determinante nach der ersten Spalte ergibt
d[m<p3(zs) - ViBi)] + <pM)[M*i) ~ M^)] =0- B.300a)
Daraus folgt
W*i) ^lt~) d - I^fe) -md]=0 oder f(Zl) • g(z3) - h(z2) = 0 B.300b)
Häufig ist es zweckmäßig Maßstäbe Ei und E2 in der Form
£i/(*i)|?0(*3) - E2h(z2) = 0. , B.300c)
einzuführen Es gilt dann ^>3{z3) = g? . Das Verhältnis E2 : Ei kann man so wählen, daß die
dritte Skala an einer bestimmten Stelle auseinandergezogen oder zusammengedrängt wird Setzt man
m = 0, dann gilt E2h(z2) = ip2{z2), und der Träger der dritten Skala geht in diesem Fall nicht nur
durch den Anfangspunkt der ersten, sondern auch durch den der zweiten Demzufolge muß man diese
beiden so legen, daß sie in entgegengesetzter Richtung laufen, wenn man die dritte im wesentlichen
zwischen den beiden Parallelen haben will.
¦ Der Zusammenhang der kartesischen Koordinaten x und y eines Punktes in der x, y-Ebene und
seines Winkels <p in Polarkoordinaten ist gegeben durch
2/2 = x2tanV B-301)
Für das zugehörige Nomogramm in Abb.2.110 sind die Maßstäbe für die beiden parallelen Skalen x
und y gleich gewählt worden, aber beide Skalen laufen entgegengesetzt. Um gute Schnitte der
Fluchtlinien zu erhalten, sind ihre Anfangspunkte geeignet gegeneinander verschoben worden. Die
Schnittpunkte der dritten Skala mit denen der ersten bzw. zweiten sind mit cp = 0 bzw. tp = 90° zu beziffern.
¦ Ablesebeispiel- x — 3, y = 3,5 liefert <p « 49,5°
2.19.3.3 Fluchtlinientafein mit zwei parallelen, geradlinigen Skalen und
einer Kurvenskala
Legt man eine der geraden Skalen auf die y-Achse, die andere auf eine Parallele dazu im Abstand d,
dann hat die Gleichung B 296) die Form
0 M*i)l|
d ^J{z2) 1=0 B.302)
l</>3B3) ^3B3) l|
Daraus folgt
*(*.) + U^)-P^-, - d-^~, = 0 B.303a)
d-(p3(z3) d-y3(z3)
Wenn man für die erste Skala den Maßstab E\ und für die zweite den Maßstab E2 wählt, dann geht
B 303a) in
£1/B1) + E2g(z2)^-h(z3) + Exk{z3) = 0 B.303b)
Ej2
130 2. Funktionen und ihre Darstellung
5-
4-:
x -_
2-i
1J
2°y
/ 30°
/4O0
F
7-1
fl 6-
E2 -
^3 ^
: 1-
=^ 0-
: -1-
-4 -2-
1 -3-
: -6-
t-5 -7-
Abbildung 2.110
über, wobei ipi(z\) = Eif(zi), ip2(z2) = E2g(z2) sowie
^3B3) = -j
dEihfa)
h + EMzs) Un
>* (
z/2 X
£3
rl
-6
-5
-4
-3
-2
-1
-0
--1
--2
--3
--4
s-5
--7
Abbildung 2 111
^) = -E2 + EMz.s)
B 303c)
gilt
¦ Die reduzierte Gleichung 3. Grades z3+p*z+q* = 0 (s 1 6 2 3, S 40) ist von der Form B 303b) Setzt
man E\ = E2 = \ und f(z\) = q*, g(z2) = p*, ^B3) = z , so lauten die Formeln für die Berechnung
d- z z3
der Koordinaten der Kurvenskala x = u>z(z) = und y = ib*(z) = .
r l + z y w 1 + 2
In Abb.2.111 ist die Kurvenskala nur für positive z-Werte gezeichnet worden Die negativen Wurzeln
erhält man, wenn man z durch —z ersetzt und dann die positiven Wurzeln der Gleichung z3+p*z — q* =
0 bestimmt.
Auch die komplexen Wurzeln u 4- iv lassen sich aus dem Nomogramm bestimmen Bezeichnet man die
stets existierende reelle Wurzel mit z\, dann ist der Realteil der komplexen Wurzel u = —z\/2, und
3
der Imaginärteil v kann aus der Gleichung 3u2 — v2 + p*
-v+p* = 0 ermittelt werden.
¦ Ablesebeispiel y3 + 2y - 5 = 0 , d.h p* = 2 , q* = -5 Man liest z\ = 1,3 ab
2.19.4 Netztafeln für mehr als drei Veränderliche
Handelt es sich um die Vertafelung von Formeln, die mehr als drei Variable enthalten, dann teilt man
die Gleichung durch die Einführung von Hilfsvariablen in mehrere Formeln auf, die jeweils nur drei
Variable enthalten. Dabei haben jeweils zwei dieser Gleichungen stets eine der Hilfsvariablen gemeinsam
Jede dieser Gleichungen wird durch eine Fluchtlinientafel dargestellt, die so entworfen werden, daß sie
dieselbe Skala für die gemeinsame Hilfsvariable haben
131
3 Geometrie
3.1 Planimetrie
3.1.1 Grundbegriffe
3.1.1.1 Punkt, Gerade, Strahl, Strecke
1. Punkt und Gerade
Punkt und Gerade werden in der modernen Mathematik nicht definiert Man legt lediglich die
Beziehungen zwischen ihnen durch Axiome fest Anschaulich kann die Gerade als Spur eines Punktes erklärt
werden, der sich in einer Ebene auf dem kürzesten Verbindungsweg zwischen zwei anderen Punkten
bewegt und dabei nie die Richtung ändert
Unter einem Punkt versteht man die Schnittstelle zweier Geraden.
2. Strahl und Strecke
Ein Strahl enthält genau die und nur die Menge aller der Punkte einer Geraden, die auf der gleichen
Seite eines Punktes O dieser Geraden liegen, den Punkt O inbegriffen Man kann sich den Strahl durch
die Bewegung eines Punktes vorstellen, die im Punkt O beginnt und ohne Richtungsänderung auf der
Geraden erfolgt, ähnlich wie ein Lichtstrahl nach seiner Emission, solange dieser nicht abgelenkt wird
Eine Strecke AB enthält genau die Menge aller Punkte einer Geraden, die zwischen zwei Punkten A
und B dieser Geraden liegen, die Punkte A und B inbegriffen Die Strecke ist die kürzeste Verbindung
der beiden Ebenenpunkte A und B . Der Durchlaufsinn einer Strecke wird mit Hilfe eines Pfeiles gemäß
AB gekennzeichnet oder als Richtung vom erstgenannten Punkt A nach dem zweitgenannten Punkt B
verstanden
3. Parallele und orthogonale Geraden
Parallele Geraden verlaufen in die gleiche Richtung, besitzen aber keinen gemeinsamen Punkt, d.h., sie
nähern und entfernen sich nicht voneinander und schneiden sich nicht Die Parallelität wird für zwei
parallele Geraden g und g' in Zeichen dargestellt durch g\\g'.
Orthogonale Geraden bilden beim Schnitt miteinander rechte Winkel, d h , sie stehen senkrecht
aufeinander Die Orthogonalität zweier Geraden ist wie die Parallelität eine Lagebeziehung zweier Geraden
zueinander
1. Winkelbegriff
Ein Winkel ist durch zwei von einem gemeinsamen Punkt S ausgehende
Strahlen a und b festgelegt, die durch eine Drehung ineinander überführt
werden können (Abb.3.1) Ist auf dem Strahl a der Punkt A und auf
dem Strahl b der Punkt B ausgezeichnet, dann wird der Winkel bei der in
Abb.3.1 angegebenen Drehrichtung durch die Symbolik (a, b) oder durch
die Symbolik ^ ASB oder durch einen griechischen Buchstaben
bezeichnet Der Punkt S wird Scheitelpunkt genannt, die Strahlen a und b heißen
Schenkel des Winkels.
In der Mathematik heißt ein Winkel positiv bzw. negativ, wenn die Drehung im Gegenuhrzeigersinn
bzw im Uhrzeigersinn erfolgt Es ist also grundsätzlich zwischen dem Winkel ^ ASB und dem Winkel
$BSA zu unterscheiden Es gilt $ASB = -$BSA @ < $ASB < 180°) und $ ASB = 360° -
$BSA A80° < $ASB < 360°).
Hinweis: In der Geodäsie wird ein positiver Winkel durch Drehung im Uhrzeigersinn festgelegt (s.
32 2 1,S 148)
3.1.1.2 Winkel
By
a
A
Abbildung 3.1
132 3. Geometrie
2. Winkelbezeichnungen
Winkel werden nach dem Richtungsunterschied ihrer Schenkel bezeichnet Für Winkel a im Intervall
0 < a. < 360° sind die in s. Tabelle 3.1 angegebenen Bezeichnungen gebräuchlich (s. auch Abb.3.2)
Tabelle 3 1 Winkelbezeichnungen im Grad- und im Bogenmaß
Winkelbezeichnung
Vollwinkel
Uberstumpfer Winkel
Gestreckter Winkel
Gradmaß
a° = 360°
a° > 180°
öl = 180°
Bogenmaß
a = 2-7T
TT < a < 2tt
a = tt
Winkelbezeichnung
Rechter Winkel
Spitzer Winkel
Stumpfer Winkel
Gradmaß
a° = 90°
0° < a° < 90°
90° < a < 180°
Bogenmaß
a = Tr/2
0° < OL < TT 12
TT/2 < OL < TT
¦ &
spitzer Winkel rechter stumpfer gestreckter überstumpfer
Winkel Winkel Winkel Winkel Vollwinkel
Abbildung 3.2
3.1.1.3 Winkel an zwei sich schneidenden Geraden
Beim Schnitt zweier Geraden #i,#2 einer Ebene treten vier verschiedene Winkel a,/?,7,<5 auf (Abb.
3.3). Man unterscheidet Nebenwinkel und Scheitelwinkel, außerdem Komplementwinkel und
Supplementwinkel
1. Nebenwinkel sind benachbarte Winkel an zwei sich schneidenden Geraden mit einem
gemeinsamen Scheitel S und einem gemeinsamen Schenkel; die beiden nicht zusammenfallenden Schenkel liegen
auf ein und derselben Geraden, jedoch auf verschiedenen von S ausgehenden Strahlen, so daß sich die
Nebenwinkel zu 180° ergänzen
¦ In Abb.3.3 sind es die Winkelpaare (a, /?), (/?, 7), G,6) und (a, S).
2. Scheitelwinkel sind an zwei sich schneidenden Geraden
gegenüberliegende gleich große Winkel mit gemeinsamem Scheitel S, aber ohne
gemeinsamen Schenkel. Sie werden durch einen gleich großen Nebenwinkel zu
180° ergänzt.
¦ In Abb.3.3 sind (a, 7) und (/?, S) Scheitelwinkel
3. Komplementwinkel sind zwei sich zu 90° ergänzende Winkel.
4. Supplementwinkel sind zwei sich zu 180° ergänzende Winkel.
¦ In Abb.3.3 sind die Winkelpaare (a, ß) oder G,6) Supplementwinkel Abbildung 3 3
3.1.1.4 Winkelpaare an geschnittenen Parallelen
Beim Schnitt zweier paralleler Geraden pi, p2 durch eine dritte Gerade g
(Abb. 3.4) treten acht Winkel auf Neben Scheitelwinkel und
Nebenwinkel für Winkel mit gemeinsamem Scheitelpunkt S sind für Winkel mit
verschiedenen Scheitelpunkten Wechselwinkel, Stufenwinkel und
entgegengesetzt liegende Winkel zu unterscheiden
1. Wechselwinkel sind gleich große, auf verschiedenen Seiten der
Schnittgeraden und der Parallelen liegende Winkel. Die Schenkel von
Wechselwinkeln sind paarweise entgegengesetzt gerichtet.
¦ In Abb.3.4 sind die Winkelpaare @11,72), (A,<y, G1^2) und F1, ß2)
Wechsel winkel. Abbildung 3 4
2. Stufenwinkel oder Gegenwinkel sind gleich große, auf der gleichen Seite der Schnittgeraden
und auf den gleichen Seiten der Parallelen liegende Winkel. Die Schenkel von Stufenwinkeln sind
paarweise gleichgerichtet
31 Planimetrie 133
1 rad
1°
V
1"
= 57°17'44,,8" =
= 0,017453 rad,
= 0,000291 rad,
= 0, 000005 rad
57,2958°,
¦ In Abb.3.4 sind die Winkelpaare (a\, a2), (ßi, /%), G1,72) und (S1.Ö2) Stufenwinkel
3. Entgegengesetzte Winkel sind auf der gleichen Seite der Schnittgeraden g, aber auf
verschiedenen Seiten der Parallelen gelegene Winkel, die sich zu 180° ergänzen Ein Schenkelpaar ist
gleichgerichtet, das andere entgegengesetzt gerichtet
¦ Die Winkelpaare (ai, S2), {ßi, 72), G1, #2) und (<5i, a2) in Abb.3.4 sind entgegengesetzte Winkel.
3.1.1.5 Winkel im Gradmaß und im Bogenmaß
Das in der Geometrie verwendete Gradmaß zur Messung von Winkeln beruht auf der Einteilung des
ebenen Vollwinkels in 360 gleiche Teile oder 360° (Grad) Das ist die sogenannte Altgradeinteilung Die
weitere Unterteilung erfolgt häufig nicht dezimal sondern sexagesimal 1° = 60' (Minuten), V = 60"
(Sekunden). Man spricht auch von Sexagesimaleinteilung Wegen dei Neugradeiriteilung s. 3 2 2 2,1.,
S 149
Neben dem Gradmaß wird auch das Bogenmaß zur quantitativen Angabe von Winkeln verwendet.
Die Größe des Mittelpunkts- oder Zentriwinkels a in einem beliebigen Kreis wird hierbei durch das
Veihältnis des zugehöligen Kreisbogens l zum Radius r des Kreises angegeben
Die Einheit des Bogenmaßes ist der Radiant (rad), d h
der Zentriwinkel, dessen Bogen gleich dem Radius ist
Es gilt Ist a° der in Grad und a der in Radiant
gemessene Winkel, dann gilt für die Umrechnung von einer Maßeinheit in die andere
a° = ga = 180°— , a — — = —— a° mit g = C.2)
TT g 180° TT
Insbesondere ist 360° = 2tt, 180° = tt , 90° = tt/2 , 270° = 3?r/2 usw Mit C 2) erhält man ein de-
zimalisiertes Ergebnis, wählend die folgenden Beispiele eine Umrechnung unter Berücksichtigung von
Minuten und Sekunden zeigen.
¦ A: Umrechnung eines Winkels im Giadmaß in das Bogenmaß rad
52° 37' 23" = 52-0,017453 + 37 • 0,000291 + 23-0,000005 = 0,918447 rad
¦ B: Umrechnung eines Winkels im Bogenmaß in einen Winkel im Gradmaß.
5.645 rad = 323 • 0,017453 + 26 0,000291 + 5-0,000005 = 323° 26' 05" ,
entstanden aus
5,645 0,017453=323+0 007611
0.007611 0,000291 = 26+0,000025
0.000025 0,000005 = 5 .
Die Bezeichnung iad wird in der Regel weggelassen, wenn aus dem Zusammenhang hervorgeht, daß es
sich um das Bogenmaß eines Winkels handelt
Hinweis: In der Geodäsie wiid der Vollwinkel in 400 gleiche Teile oder 400 gon (Gon) eingeteilt. Das
ist die sogenannte Neugradeinteilung Ein rechter Winkel entspricht dann 100 gon. Das gon wird in
1000 mgon unterteilt
Auf Taschenrechnern findet man die Bezeichnungen DEG für Grad (Altgrad), GRAD für Gon (Neu-
giad) und RAD für Radiant (Bogenmaß) Zur Umrechnung s. Tabelle 3 5, S 149
3.1.2 Geometrische Definition der Kreis- und Hyperbel-
Funktionen
3.1.2.1 Definition der Kreis- oder trigonometrischen Funktionen
1. Definition am Einheitskreis Die trigonometrischen Funktionen eines Winkels a werden
entweder am Einheitskreis mit dem Radius R = 1 oder für spitze Winkel am rechtwinkligen Dreieck
(Abb.3.5a,b) mit Hilfe der Bestimmungsstücke Ankathete b. Gegenkathete a und Hypotenuse c defi-
134 3. Geometrie
niert. Am Einheitskreis erfolgt die Messung des Winkels von einem festen Radius OA der Länge 1 bis
zu einem beweglichen Radius OC im entgegengesetzten Drehsinn des Uhrzeigers (positive Richtung):
Sinus :
BC =
C-3)
Kosinus :
cos a = OB = - ,
c
C.4)
Tangens . tan a = AD -
Sekans .
sec a = OD -¦
C.5)
C.7)
2. Vorzeichen der trigonometrischen
Funktionen
Je nachdem, in welchem Quadranten des
Einheitskreises (Abb.3.5a) der
bewegliche Radius OC liegt, haben die
Funktionen ein ganz bestimmtes Vorzeichen, das
aus Tabelle 2.2, S 79) entnommen
werden kann.
3. Definition der trigonometrischen
Funktionen mit Hilfe einer
Kreissektorfläche
Die Funktionen sina, cosa, tan a sind über
die Strecken BC, OB, AD am Einheitskreis
mit R = 1 definiert (Abb.3.6), wobei als
Argument der Zentriwinkel a = £ AOC dient
Zu dieser Definition hätte auch die Fläche x
des Sektors COK benutzt werden können, die
in Abb.3.6 schraffiert gezeichnet ist. Mit dem
Zentriwinkel 2a, gemessen in Radianten,
ergibt sich für R = 1 gerade x = \R22oc = a.
Somit ergeben sich die gleichen
Definitionsgleichungen wie in C.3), C.4), C.5) zu sin # =
5C, cos x = ÜB, tan x = ~ÄD
Kotangens : cot a = EF =
Kosekans .
:ÖF=C-.
a
C 6)
C.8)
Abbildung 3.5
Abbildung 3.6
Abbildung 3.7
3.1.2.2 Geometrische Definition der Hyperbelfunktionen
In Analogie zur Definition der trigonometrischen Funktionen mit Hilfe der Kreissektorfläche gemäß
C 3), C 4), C 5) wird anstelle der Sektorfläche des Kreises mit der Gleichung x2 + y2 — 1 die
entsprechende Sektorfläche der Hyperbel mit der Gleichung x2—y2 = 1 (rechter Zweig in Abb.3.7) betrachtet
Mit der Bezeichnung x für diese Fläche COK, die in Abb.3.7 schraffiert gezeichnet ist, lauten die
Definitionsgleichungen der Hyperbelfunktionen:
sinhx = ßC, C.9) coshx = Ö]3, C.10) tanhx = ÄD C.11)
Berechnung der Fläche x durch Integration und Ausdrucken des Ergebnisses mit BC, OB und AD lie-
fer^
x = ]n(BC+ \IWr+l) = ln(ÖB + yfÜ¥^\) = ]- In l+_ ^R , C 12)
so daß die Hyperbelfunktionen nunmehr mit Hilfe von Exponentialfunktionen darstellbar sind.
BC =
= sinh x,
C.13a)
OB =
ex + e
= cosh x,
C 13b)
AD-
ex + e~
= tanh x
C.13c)
3 1 Planimetrie 135
Das sind die Definitionsgleichungen der Hyperbelfunktionen, so daß die Bezeichnung
Hyperbelfunktionen offenkundig ist
3.1.3 Ebene Dreiecke
3.1.3.1 Aussagen zu ebenen Dreiecken
1. Die Summe zweier Seiten ist im ebenen Dreieck stets größer als die dritte Seite (Abb.3.8) •
b + c>a. C 14)
2. Die Summe der Winkel beträgt im ebenen Dreieck
a + /? + 7 = 180° C.15)
Weitere Formeln zum Dreieck s. Abschnitt 3.2.1 und Tabelle 3.2.
3. Vollständige Bestimmung des Dreiecks Ein Dreieck ist durch die folgenden
Bestimmungsstücke vollständig bestimmt
• durch drei Seiten oder
• durch zwei Seiten und den zwischen ihnen eingeschlossenen Winkel bzw.
• durch eine Seite und die beiden anliegenden Winkel
Wenn zwei Seiten gegeben sind sowie der einer Seite gegenüberliegende Winkel, dann können mittels
dieser Bestimmungsstücke entweder zwei, ein oder kein Dreieck konstruiert werden (s 3. Grundaufgabe
in Tabelle 3.4, S 147).
Abbildung 3 8 Abbildung 3.9 Abbildung 3.10
4. Seitenhalbierende des Dreiecks wird die Gerade genannt, die einen Eckpunkt des Dreiecks mit
dem Mittelpunkt der gegenüberliegenden Dreieckseite verbindet. Die Seitenhalbierenden des Dreiecks
schneiden sich in einem Punkt, dem Schwerpunkt des Dreiecks (Abb.3.9), der sie vom Scheitel des
Winkels aus gerechnet im Verhältnis 2 : 1 teilt
5. Winkelhalbierende des Dreiecks wird die Gerade genannt, die einen der drei inneren Winkel
des Dreiecks in zwei gleiche Teile teilt.
6. Inkreis wird der in das Dreieck einbeschriebene Kreis genannt Sein Mittelpunkt ist der
gemeinsame Schnittpunkt der Winkelhalbierenden des Dreiecks (Abb.3.10)
7. Umkreis wird der das Dreieck umschreibende Kreis genannt
(Abb.3.11). Sein Mittelpunkt ist der gemeinsame Schnittpunkt der drei
Mittelsenkrechten des Dreiecks.
8. Höhe des Dreiecks wird das Lot genannt, das vom Scheitelpunkt
eines der drei Dreieckwinkel auf die gegenüberliegende Seite gefällt wird
(Abb.3.8). Die Höhen des Dreiecks schneiden sich im sogenannten Or-
thozentrum
9. Gleichschenkliges Dreieck Im gleichschenkligen Dreieck sind zwei
Dreieckseiten gleich lang Höhe, Seiten- und Winkelhalbierende der
dritten Seite sind identisch. Für die Gleichschenkligkeit des Dreiecks ist die
Gleichheit je zweier dieser Seiten eine hinreichende Bedingung Abbildung 3 11
10. Gleichseitiges Dreieck Im gleichseitigen Dreieck mit a — h = c fallen die Mittelpunkte des In-
und des Umkreises mit dem Schwerpunkt und dem Orthozentrum zusammen
136 3. Geometrie
11. Mittellinie wird eine Gerade genannt, die die Mittelpunkte zweier Dreiecksseiten verbindet;
sie liegt parallel zur dritten Seite und ist halb so lang wie diese.
12. Rechtwinkliges Dreieck wird ein Dreieck genannt, das sich durch einen Winkel von 90° in
einer der Dreiecksecken auszeichnet (Abb.3.31, S. 145).
3.1.3.2 Symmetrie
1. Zentrale Symmetrie
Ebene Figuren heißen zentralsymmetrisch, wenn deren Punkte durch eine ebene Drehung von 180° um
den Zentralpunkt oder das Symmetriezentrum S zur Deckung gebracht werden können (Abb.3.12). Da
Größe und Gestalt der Figuren bei dieser Transformation erhalten bleiben, spricht man von
Kongruenztransformation Auch der Umlaufsinn der ebenen Figuren bleibt bei dieser Transformation erhalten
(Abb.3.12). Wegen des gleichen Umlaufsinnes nennt man die Figuren gleichsinnig kongruent
Unter dem Umlaufsinn einer Figur versteht man das Durchlaufen des Randes einer Figur in einem
Drehsinn positiv im mathematischen Drehsinn, also im Gegenuhrzeigersinn, negativ im Uhrzeigersinn
Abb.3.12, Abb.3.13.
Abbildung 3 12 Abbildung 3.13
2. Axiale Symmetrie oder Spiegelsymmetrie
Ebene Figuren heißen axialsymmetrisch oder spiegelsymmetrisch, wenn einander entsprechende
Punkte durch eine räumliche Drehung von 180° um eine Gerade g zur Deckung gebracht werden können
(Abb.3.13). Die senkrechten Abstände einander zugeordneter Punkte von der Symmetrieachse, der
Geraden g, sind gleich groß. Der Umlaufsinn der gedrehten Figur wird bei der Spiegelung an der
Geraden g umgekehrt' Daher heißen die Figuren nichtgleichsinnig kongruent Man nennt diese
Transformation Umklappung. Da Größe und Gestalt der Figuren dabei erhalten bleiben, spricht man auch
vonnichtgleichsinniger Kongruenztransformation Der Umlaufsinn der ebenen Figuren wird bei dieser
Transformation umgekehrt (Abb.3.13).
Hinweis: Für räumliche Figuren gelten analoge Aussagen.
3. Kongruente Dreiecke, Kongruenzsätze
1. Kongruenz Unter Kongruenz ebener Figuren versteht man allgemein ihre Deckungsgleichheit,
d.h die völlige Übereinstimmung in Größe und Gestalt. Kongruente Figuren können durch drei
geometrische Transformationen ineinander überführt werden, durch Schiebung, Drehung und Spiegelung
bzw. durch ihre Kombination.
Man unterscheidet gleichsinnig kongruente Figuren und nichtgleichsinnig kongruente Figuren (s 3.1.3.2,
2., S. 136). Gleichsinnig kongruente Figuren lassen sich durch Schiebung oder Drehung sowie durch ihre
Kombination ineinander überführen. Da sich nichtgleichsinnig kongruente Figuren durch
entgegengesetzten Umlaufsinn (s. 3.1.3.2,2., S. 136) auszeichnen, ist zu ihrer Überführung zusätzlich noch die
Spiegelung an einer Geraden erforderlich
¦ Spiegelsymmetrische Figuren sind nichtgleichsinnig kongruent Zu ihrer Überfuhrung ineinander
sind alle drei Transformationen erforderlich
3.1 Planimetrie 137
2. Kongruenzsätze Die Bedingungen für die Kongruenz von Dreiecken sind in den Kongruenzsätzen
festgehalten Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie übereinstimmen in.
• drei Seiten (SSS) oder
• zwei Seiten und dem von ihnen eingeschlossenen Innenwinkel (SWS) oder
• einer Seite und den beiden anliegenden Innenwinkeln (WSW) oder
• zwei Seiten und dem der größeren Seite gegenüberliegenden Innenwinkel (SSW)
4. Ähnliche Dreiecke, Ähnlichkeitssätze
Unter Ähnlichkeit versteht man allgemein die völlige Übereinstimmung der Gestalt ebener Figuren,
ohne daß ihre Größe übereinstimmt Ahnliche Figuren können durch geometrische Transformationen
ineinander überführt werden, derart, daß die Punkte der einen Figur umkehrbar eindeutig so auf die
Punkte der anderen abgebildet werden, daß jedem Winkel der einen Figur ein gleicher Winkel der
anderen Figur entspricht Gleichwertig mit dieser Erklärung ist die Aussage In ähnlichen Figuren sind
einander entsprechende Strecken zueinander proportional
1. Ähnlichkeit von Figuren erfordert entweder die Übereinstimmung aller Winkel oder die
Übereinstimmung aller entsprechenden Streckenverhältnisse.
2. Flächeninhalte ähnlicher ebener Figuren sind proportional zueinander. Der
Proportionalitätsfaktor ist gleich dem Quadrat des Verhältnisses zweier zueinander entsprechender'linearer Elemente,
wie Seiten, Höhen, Diagonalen usw.
3. Ähnlichkeitssätze Für das Dreieck gelten die folgenden Ahnlichkeitssätze Dreiecke sind ähnlich,
wenn sie übereinstimmen in
• zwei Seitenverhältnissen,
• zwei gleichliegenden Innenwinkeln,
• im Verhältnis zweier Seiten und in dem von diesen Seiten gebildeten Innenwinkel,
• im Verhältnis zweier Seiten und dem der größeren dieser Seiten gegenüberliegenden Innenwinkel
Da bei der Ähnlichkeit nur Seitenverhältnisse, nicht aber wie bei der Kongruenz Seitenlängen eine
Rolle spielen, enthalten die Ahnlichkeitssätze je ein Bestimmungsstück weniger als die entsprechenden
Kongruenzsätze.
5. Strahlensätze
Die Strahlensätze, auch zentrische Streckung genannt, folgen aus den Ahnlichkeitssätzen für Dreiecke
1. Strahlensatz Werden zwei von einem
gemeinsamen Scheitel S ausgehende Strahlen von zwei
Parallelen pi,p2 geschnitten, so verhalten sich die
Abschnitte auf einem der Strahlen (Abb.3.14a)
wie die entsprechenden Abschnitte auf dem
anderen Strahl*
SPi
SQi
=
SP2
SQ~2
C 16)
Daraus folgt auch, daß jeder beliebige Abschnitt auf
einem Strahl zu dem entsprechenden auf dem
anderen Strahl ins Verhältnis gesetzt werden kann.
Abbildung 3.14
2. Strahlensatz Werden zwei von einem gemeinsamen Scheitel S ausgehende Strahlen von zwei
Parallelen p!, p2 geschnitten, so verhalten sich die Parallelenabschnitte wie die zugehörigen Abschnitte
auf einem der Strahlen (Abb.3.14a)-
SPi
SQi
=
P1P2
Q1Q2
bzw
SP2
=
P1P2
Q1Q2
C 17)
Die Strahlensätze gelten auch, wenn der Scheitel S zwischen den Parallelen liegt (Abb.3.14b)
138 3. Geometrie
3.1.4 Ebene Vierecke
3.1.4.1 Parallelogramm
Parallelogramm wird ein Viereck genannt (Abb.3.15), das die folgenden Haupteigenschaften besitzt:
• die einander gegenüberliegenden Seiten sind gleich lang,
• die einander gegenüberliegenden Seiten sind parallel,
• die Diagonalen halbieren einander,
• einander gegenüberliegende Winkel sind gleich groß.
Bei einem Viereck folgen aus dem Vorhandensein einer dieser Eigenschaften oder aus der Gleichheit
und Parallelität eines Paares gegenüberliegender Seiten alle anderen Eigenschaften.
Für den Zusammenhang zwischen Seiten, Diagonalen, Höhe und Flächeninhalt gilt
+ d2 = 2{a2 + b2), C.18)
h = bsina, C.19)
S = ah C.20)
Abbildung 3.15
Abbildung 3.16
Abbildung 3 17
3.1.4.2 Rechteck und Quadrat
Ein Parallelogramm ist ein Rechteck (Abb.3.16), wenn es
• nur rechte Winkel enthält oder
• zwei gleich lange Diagonalen besitzt,
wobei die eine Eigenschaft die andere zur Folge hat.
Umfang und Flächeninhalt betragen:
U = 2(a + b),
C.21)
S = ab.
C 22)
Wenn a = b ist (Abb.3.17), wird ein Rechteck Quadrat genannt, und es gelten dann die Formeln
d = ay/2& 1,414a, C 23)
a = d-^-«0,707d, C.24)
S = a2 = ¦
C 25)
3.1.4.3 Rhombus oder Raute
Ein Rhombus (Abb.3.18) ist ein Parallelogramm, in dem
• alle Seiten gleich lang sind,
• die Diagonalen senkrecht aufeinander stehen und
• die Winkel des Parallelogramms von den Diagonalen halbiert werden.
Das Vorhandensein einer dieser Eigenschaften hat die zwei anderen zur Folge. Es gilt:
di = 2a cos -
S = ah--
C.26)
_ d\d2
d2 = 2a sin
2'
C.27)
d\ + d\ = Aa2
C.28)
C 29)
3.1.4.4 Trapez
Trapez wird ein Viereck genannt, bei dem zwei Seiten zueinander parallel sind (Abb.3.19). Mit den
Bezeichnungen a und b für die beiden Grundlinien des Trapezes, h für die Höhe und m für die
Mittellinie, die die Mittelpunkte der beiden nicht parallelen Seiten miteinander verbindet, ergibt sich:
3.1 Planimetrie 139
a + b
2 '
C.30)
S = ^ = mh,
C 31)
/* =
h(a + 26)
3(a + 6) "
C.32)
Der Schwerpunkt liegt auf der Verbindungslinie der Mitten der parallelen Grundlinien a und b im
Abstand hs C 32) von der Grundlinie a. Die Berechnung der Schwerpunktkoordinaten erfolgt durch
Integration (s. 8.2.2.3,5., S. 470).
Im gleichschenkligen Trapez mit d = c gilt:
S = (a — c cos 7H sin 7 = F + ccos7)csin7 ^ C.33)
*x&/4
m
Abbildung 3.18 Abbildung 3.19 Abbildung 3.20
3.1.4.5 Allgemeines Viereck
Im allgemeinen Viereck gibt es keine parallelen Seiten, d h., alle vier Seiten sind verschieden lang.
Verlaufen die Diagonalen vollständig im Innern des Vierecks, dann ist es ein konvexes Viereck, anderenfalls
ein konkaves Das allgemeine Viereck kann durch jeweils eine Diagonale in zwei Dreiecke zerlegt werden
(di,d2 in Abb.3.20) Daher beträgt in jedem Viereck die Summe der Innenwinkel 2 • 180° = 360° •
5^ = 360°
Der Flächeninhalt des allgemeinen Vierecks beträgt
S = -d^sina
C.34)
C 35)
Die Strecke m, die die Mittelpunkte der beiden Diagonalen miteinander verbindet (Abb.3.20),
berechnet sich aus
a2 + b2 + c2 + d2 = d\ + d22 + 4m2 . C.36)
3.1.4.6 Sehnenviereck
Ein Viereck, das mit einem Umkreis umbeschrieben werden kann (Abb.3.21a), heißt Sehnenviereck,
weil die Seiten dieses Vierecks Sehnen des Umkreises sind. Ein Sehnenviereck liegt dann und nur dann
vor, wenn die Summe zweier Gegenwinkel 180° beträgt-
a + 7 = /? + <5 = 180°
Der Umkreisradius des Sehnenvierecks beträgt
R= — yj{ab + cd)(ac + bd)(ad + cb).
Die Diagonalen berechnen sich gemäß
(ac + bd)(ab + cd)
b)
Abbildung 3 21
ad + bc
d2 =
(ac + bd)(ad-\- bc)
ab-\- cd
Für das Sehnenviereck gilt der Satz des PTOLEMÄUS:
ac-\- bd = d\d2 .
C.37)
C 38)
C.39a)
C 39b)
C.40)
140 3 Geometrie
Mit dem halben Umfang des Sehnenvierecks s = -(a + b + c + d) gilt für den Flächeninhalt
5 - y/(s-a)(s-b)(s-c)(s-d) C.41)
Ist das Sehnenviereck gleichzeitig ein Tangentenviereck, dann gilt
S = Väbcl C 42)
3.1.4.7 Tangentenviereck
Ein Viereck, in das ein Inkreis einbeschrieben werden kann (Abb.3.21b), heißt Tangentenviereck, weil
die Seiten dieses Vierecks Tangenten des Inkreises sind Diese Bedingung ist dann und nur dann erfüllt,
wenn die Summe der Strecken zweier Gegenseiten gleich groß und gleich dem halben Umfang sind-
U
C 43)
>-r
Der Flächeninhalt des Tangentenvierecks beträgt
(a + c)r = (b + d)r - C.44)
Dabei ist r der Radius des Inkreises
3.1.5 Ebene Vielecke oder Polygone
3.1.5.1 Allgemeines Vieleck
Eine geschlossene ebene Figure mit geradlinigen Begrenzungsstrecken, den Seiten, heißt Vieleck oder
Polygon Ein Vieleck mit n Seiten läßt sich in n — 2 Teildreiecke zerlegen (Abb.3.22). Die Summe der
Außenwinkel ßt, der Innenwinkel 7; und die Anzahl D der Diagonalen betragen
£ä = 360°
:2tt, C.45) X> = 180°(n-2) = (n-2Or, C<46) D = <n 3) ^^
Abbildung 3.22
a)
b)
Abbildung 3 23
3.1.5.2 Regelmäßige konvexe Vielecke
Regelmäßige konvexe Vielecke (Abb.3.23) haben n gleiche Seiten und n gleiche Innenwinkel. Der
Schnittpunkt der Mittellote der Seiten des Vielecks ist der Mittelpunkt M des einbeschriebenen und
des umbeschriebenen Kreises mit den Radien r bzw R Die Seiten des n-Ecks sind Tangenten des
Inkreises und Sehnen des Umkreises. Sie bilden um den Inkreis das Tangentenvieleck, im Umkreis das
Sehnenvieleck. Die Zerlegung eines regelmäßigen konvexen n-Ecks ergibt n gleichschenklige
kongruente Dreiecke um den Mittelpunkt M , die Bestimmungsdreiecke.
Die Elemente des n-Ecks werden im folgenden durch den Index n, die des 2n-Ecks mit dem Index 2n
gekennzeichnet
3.1 Planimetrie 141
360° / 2\
Zentriwinkel (pn = , C.48) Basiswinkel an = f 1 J • 90°,
360°
Außenwinkel ßn = , C.50) Innenwinkel jn = 180° - ßn,
n
Umkreisradius
Inkreisradius
Seitenlänge
f> a" p2 2
^ - 180° ' ^ ~ r
2 sin
n
an 180° 1
r = — cot = ix cos -
2 n
o„ = 2>/Ä2-r2 = 2Äsin-
1 2
80°
n
£ = 2rtan!£,
2 2
Umfang U = nan ,
Flächeninhalt S = -nanr = nr2 tan -^ = -nR2 sin pn = -na2n cot -^ ,
Beziehungen zwischen Seitenlängen und Flächeninhalten von n-Eck und 2n-Eck:
«2n = R\
2-
q nR2
-2V1-(SJ' a" = a2^
R*j-
i-\f1^' ^W^-
C 49)
C.51)
C.52)
C 53)
C.54)
C.55)
C.56)
C.57)
C 58)
3.1.5.3 Einige regelmäßige konvexe Vielecke
Die Eigenschaften einiger ausgewählter regelmäßiger konvexer Vielecke sind in Tabelle 3.2
zusammengefaßt.
Im folgenden Beispiel erfahren das Fünfeck und das Pentagramm eine spezielle Betrachtung, weil
vermutlich an ihnen durch HiPPASOS von Metapont um 400 v. u. Z. die irrationalen Zahlen (s. 1.1 1.2,
S 1) entdeckt wurden.
¦ Die Diagonalen des regelmäßigen Fünfecks Abb.3.24 bilden einen
Stern, das Pentagramm, dessen Inneres wieder ein regelmäßiges
Fünfeck bildet Im regelmäßigen konvexen Fünfeck verhalten sich die
Diagonale zur Seite wie sich die Seite zu Diagonale - Seite verhalten: ao :
a\ = öi : (ao — öi) = öi : a2 j wobei a2 = ao — a\ ist. ß
Geht man analog zu immer kleineren eingeschachtelten Fünfecken mit
ö3 = a\ — a2, a4 = a2 — a3, . und a2 < ai,a3 < a2, a4 < a3 .. über, so
gilt a0 . a\ = a\ : a2 = a2 . a3 = a3 . a4 = • • • Der Euklidische
Algorithmus für a0 und Oi bricht wegen a0 = 1 • a\ + a2, a\ = 1 • a2 + a3, a2 =
1 • a3 + a4,.. , also nicht ab. Die Seite a\ und die Diagonale ao des
Pentagons sind somit inkommensurabel Der sich für ao . a\ ergebenende
Kettenbruch ist identisch mit dem des Goldenen Schnittes in 1.1 1.4,3.,
¦ B, S 4, d h. es ergibt sich eine irrationale Zahl
C D^
Abbildung 3.24
142 3. Geometrie
3.1.6 Ebene Kreisfiguren
3.1.6.1 Kreis
1. Definitionen
Der Kreis ist der geometrische Ort aller Punkte einer Ebene, die von einem festen Punkt dieser Ebene,
dem Mittelpunkt des Kreises, einen konstanten Abstand, den Radius des Kreises, haben. Zum
Unterschied von der durch einen Kreis in der Ebene begrenzten Kreisfläche wird der Kreis selbst auch als
Kreislinie oder Kreisperipherie bezeichnet
3-Eck
5-Eck
6-Eck
8-Eck
10-Eck
Tabelle 3 2 Eigenschaften einiger regelmäßiger Vielecke
Seitenlänge a
= RVZ = 2rv/3
= |VlO-2\/5
= 2ry/5 - 2^
4V3
= Ry/2 - V2
= 2r{y/2-l)
= f(v/5-l)
= ^25-10y/E
5
Umkreisradius R
= Io^50 + 10v/^
= r(v/5-l)
-b*
= ^4 + 2^2
= ry/i - 2V2
= f(^+D
= VöO-Wo
5
Inkreisradius r
-l^-T-5*
= ^25 + 10^5
= f(V5 + D
-^
= f(V2 + l)
= ^2 + V2
= ^/s + 2>/5
= |VlO + 2^5
Flächeninhalt S
4 4
= 3r2V3
,:,
= ^V25 + 10\/5
4
O
= 5r2^5 - 2^5
= 3a|v3 = — V3
= 2r2v/3
= 2al(\/2 + l)
= 2Ä2>/2
= 8r2(>/2-l)
0
= 5|o^/5 + 2V5
= 2r2^25 - 10V5
Jede Gerade durch zwei Punkte der Kreisperipherie heißt Sekante, die auf ihr im Kreisinnern gelegene
Strecke heißt Sehne Geraden, die einen und nur einen Punkt mit dem Kreis gemeinsam haben, heißen
Tangenten des Kreises
2. Sätze, Strecken, Fläche
Sehnensatz (Abb.3.26)
ÄC -~KD = AB .~ÄE = r2 - m2 . C.59)
Sekantensatz (Abb.3.27)
C.60)
3.1 Planimetrie 143
Sekantentangentensatz (Abb.3.27)
AT2 = ~ÄB • ÄE = ÄC • ÄD = m2 - r2 .
Umfang
tf = 27rr » 6,283r, U = ird « 3,142 d, £/ = 2 v^S « 3,545 \/S
Flächeninhalt
S = 7rr2^3,142r2, S = ^f«0,785d2, 5=^.
4 4
Radius und Durchmesser
U
r = —«0,15917,
27T
C.64)
d = 2J-«l,128>/5.
C.61)
C.62)
C.63)
C.65)
Abbildung 3.25
Abbildung 3.26
Abbildung 3.27
¦ Berechnung der Entfernung des Horizontes x auf der Erde als Funktion von der Höhe h über der
Erdoberfläche Gemäß Sekantentangentensatz C.61) erhält man mit AT = x und m = h + r die Formel
x = sj{h + rJ - r2 = y/hFT~2rh Einsetzen des Erdradius r = 6371,11 km gemäß KRASSOWSKI
(s 3.4.1.1,4., ¦ B, S 164) ergibt für h und x:
h/km 1 0,002 I 0,01 I 0,05 1 0,1 I 0,5 I 1 I 5 I 10 I 50 I 100 I 500
x/km | 5,05 | 11,29 | 25,24 | 35,69 | 79,81 | 112,88 | 252,41 | 356,96 | 798,2 | 1128,8 | 2524,1
3. Winkel im Kreis
Peripheriewinkel (Abb.3.25) a = - BC= - £ B0C = -<p (<p Zentriwinkel),
Speziell gilt der Satz des Thaies (s. 3.2.1,1., S. 145) Aus (p = 180° folgt a = 90°
Sehnentangentenwinkel
Sehnenwinkel (Abb.3.26)
ß=\AC=±*CQA.
7 = UcB + ED) = h$B0C + $E0D).
Sekantenwinkel (Abb.3.27) a = ]-{DE - BC) = U$ E0C - $ C0B).
Sekantentangentenwinkel
ß = ]-{TE -TB) = h$T0E - £ BOT).
Tangentenwinkel (Abb.3.28) a = hßDC - BEC) = \{mC - C0B)
= iC60° - £ C0B - £ C0B) = 180° - $ C0B.
C.66a)
C.66b)
C.67)
C.68)
C.69)
C.70)
C.71)
144 3. Geometrie
In C 71) sind D und E beliebige Punkte auf dem linken bzw. rechten Kreisbogen Wegen der Winkel
in den Formeln C 66a) bis C.71) s. Definition des Winkels in 3 1 1 2,1., S. 131
3.1.6.2 Kreisabschnitt (Kreissegment) und Kreisausschnitt (Kreissektor)
Kenngrößen Radius r und Zentriwinkel ip (Abb.3.29) Zu berechnende Größen sind.
Sehne
Zentriwinkel .
a = 2y/2hr - h2 = 2r sin |,
• a . ^ i
ip = 2 arcsin — , gemessen in Grad,
a ( (f\ a <p
Höhe des Kreisabschnitts h = r — \ r2 = r 1 — cos — 1 = - tan — ,
V 4 V 2/24'
2irr(p
Länge des Bogens
und näherungsweise
360
t 0,01745/ <p,
8b -a
l w —-— oder
Abbildung 3.28
Flächeninhalt des Sektors
Abbildung 3.29
Abbildung 3 30
S-=£«0,00873rV
T ( 7TU)
Flächeninhalt des Kreisabschnitts S\ = — ( sin ip
lr — a(r — h)\,
und näherungsweise
Si~— Fa+ 86)
15
C 72)
C 73)
C 74)
C 75a)
C 75b)
C 76)
C.77a)
C 77b)
3.1.6.3 Kreisring
Kenngrößen des Kreisringes: Äußerer Radius R, innerer Radius r und Zentriwinkel p> (Abb.3.30)
Äußerer Durchmesser D = 2R, C 78)
R + r
Mittlerer Radius p -
C 80)
Innerer Durchmesser d = 2r ,
Breite des Ringes ö = R — r ,
Flächeninhalt des Ringes S = tt(R2 - r2) = -AD2 - d2) = 2npö,
Flächeninhalt eines Ringteiles über <p (in Abb.3.30 schraffiert dargestellt)
^_ (R2 _r2) = H (D2 _ J
360 \n r ) 1440 V^
360
180
pö.
C 79)
C 81)
C 82)
C 83)
3.2 Ebene Trigonometrie 145
3.2 Ebene Trigonometrie
3.2.1 Dreiecksberechnungen
3.2.1.1 Berechnungen in rechtwinkligen ebenen Dreiecken
1. Grundformeln
Verwendete Bezeichnungen (Abb.3.31)-
a, b Katheten, c Hypotenuse; a bzw. ß die den Seiten a bzw. b
gegenüberliegenden Winkel; h Höhe; p, q Hypotenusenabschnitte,
S Flächeninhalt.
Winkelsumme a + ß + 7 = 180° mit 7 = 90°.C.84)
Seitenberechnung
Satz des Pythagoras
a = csina = ccosß
= bta.ua = bcotß. C 85)
a2 + b2 = c2 . C.86)
Satz des Thaies Im rechtwinkligen Dreieck liegt der Scheitel des
rechten Winkels auf dem Halbkreis über der Hypotenuse, d.h , alle
Peripheriewinkel bezüglich des Durchmessers eines Kreises sind
rechte Winkel (s. Abb.3.32) und C.66b).
a/<90
Sft h
', P
' c
q •
Abbildung 3.31
Sätze des Euklid
Flächeninhalt
h2=pq,
¦ pc,
— = — tan ß -
2 2 H
= qc.
- sin 2ß.
Abbildung 3.32
2. Berechnung von Seiten und Winkeln im ebenen rechtwinkligen Dreieck
Im rechtwinkligen Dreieck ist von 6 Bestimmungsgrößen C Winkel a, ß, 7 und die ihnen
gegenüberliegenden Seiten a, 6, c) ein Winkel, in
Abb.3.31 der Winkel 7 , zu 90° fest- TaDelle 3-3 Bestimmungsgrößen ebener rechtwinkliger Dreiecke
gelegt
Ein ebenes Dreieck ist durch drei
Bestimmungsstucke festgelegt, die
aber nicht beliebig vorgegeben
werden können (s Vollständige
Bestimmung des Dreiecks 3.1.3.1, S 135)
Somit können nur noch zwei Stücke
vorgegeben werden Die übrigen drei
lassen sich mit Hilfe der
Gleichungen in Tabelle 3.3 sowie C 15) bzw
C 84) berechnen.
3.2.1.2 Berechnungen in ebenen schiefwinkligen Dreiecken
1. Grundformeln
Es werden die folgenden Bezeichnungen verwendet a, 6, c Seiten; a, ß, 7 die ihnen gegenüberliegenden
Winkel, S Flächeninhalt, R Radius des Umkreises; r Radius des Inkreises,
s = halber Dreiecksumfang (Abb.3.33)
Zyklische Vertauschungen
Da im schiefwinkligen Dreieck alle Seiten gleichberechtigt sind, ebenso alle Winkel, können aus jeder
für bestimmte Seiten und Winkel bewiesenen Formel zwei weitere gewonnen werden, wenn Seiten und
Gegeben
z.B a, a
z.B b,a
z.B. c, a
z B. a, b
Formeln zur Ermittlung der übrigen Größen
ß = 90° - a
ß = 90° - a
ß = 90° - a
a
- = tan a
0
b = a cot a
a = b tan a
a = c sin a
a
sina
a
sina
b
cosa
b = c cos a
ß = 90°-a
146 3 Geometrie
Abbildung 3 33
Abbildung 3 34
Winkel gemäß Abb.3.34 zyklisch vertauscht werden
Abbildung 3.35
b sin/3 c sin 7
Aus - = (Siniussatz) erhält man durch zyklische Vertauschung - =
b sinp c sin 7 a sina
Sinussatz
¦-2R.
a b c
sin a sin ß sin 7
Projektionssatz (s. Abb.3.35) c = a cos ß + bcos a
Kosinussatz oder Satz des Pythagoras im schiefwinkligen Dreieck
c2 = a2 + b2 — 2ab cos 7
Mollweidesche Gleichungen
( , M • 1 (Oi-ß
[a + 0) sin — = ccos I —-—
C.92a)
/ m 7 . fa-ß
(a — b) cos - = csm I —-—
Tangenssatz
a + b
tan
a + ß
tan
a-ß '
2
asin/?
C 93) Halbwinkelsatz tan — = *.
2 ^ s(s-a)
(s-b)(s-c)
asin7
Tangensformeln tan a --
c — a cos ß b — a cos 7
Zusätzliche Beziehungen für halbe Winkel
. a (s — b)(s — c)
sin — = \ ; .
2 V bc
C1
cosi:
s(s — a)
bc
C 89)
C 90)
C 91)
C 92b)
C 94)
C 95)
C 96b)
Höhe der Seite a
ha = b sin 7 = c sin ß
Seitenhalbierende der Seite a ma = - \/fr2 + c2 + 2&c cos a
Winkelhalbierende des Winkels a
Radius des Umkreises R =
2bc cos -
^
b + c
2 sin a 2 sin ß 2 sin 7
^ ,. , T , . (s - a)(s - b)(s — c) a ß 7
Radius des Inkreises r = \ = 5 tan — tan — tan -
s 2 2 2
C 97)
C 98)
C.99)
C 100)
C 101)
3 2 Ebene Trigonometrie 147
AT) • a • ^ • 7
¦ \R sin — sin — sin —
2 2 2
Flächeninhalt S = -absin7 = 2i?2sinasin/?sin7 = rs = y.s(s — a)(s — ft)(s — c)
Die Formel S = Js(s — a)(s — b)(s — c) wird YLERONische Flächenformel genannt.
C 102)
C.103)
2. Berechnung von Seiten, Winkeln und Flächen im schiefwinkligen Dreieck
In Übereinstimmung mit den Kongruenzsätzen (s 3 1 3.2,3.S. 136) ist ein Dreieck durch drei
voneinander unabhängige Stücke bestimmt, unter denen sich mindestens eine Seite befinden muß.
Tabelle 3.4 Bestimmungsgrößen ebener schiefwinkliger Dreiecke, Grundaufgaben
Gegeben
1 1 Seite und 2
Winkel (a, a, ß)
2 2 Seiten und der
eingeschlossene
Winkel (a, 6,7)
3 2 Seiten und der
einer von ihnen
gegenüberliegende
Winkel (a, b, a)
4. 3 Seiten (a, b, c)
Formeln zur Berechnung der übrigen Größen
*««« n , asinß
7-180°-q-A b-——-,
. sma '
asm7 1
c= , 6 = -aosin7
sin a 2
a-ß a-b 7 a+ß 1
tan —-— = cot -, —-— = 90 — - 7,
2 a + 6 2 2 2 '
a und ß werden aus a + ß und a — ß berechnet,
asin7 1
c = , ö = - a b sin 7
sincn 2
. . 6sina
sin p = ,
a
Für a > b ist ß < 90° und eindeutig bestimmt Für a < b
sind folgende Fälle möglich.
1. ß hat für bsma < a zwei Werte (ß2 = 180° - ft).
2. ß hat genau einen Wert (90°) für bsina = a.
3 Für b sin a > a ist eine Dreieckskonstruktion
unmöglich:
« « ^x asin7 ^ 1 7 .
7= 180°-(a + /3), c=^ -, 5=-afesin7
sma 2
/(s — a)E — b)(s — c)
ü; r ß r 7 r
tan — = , tan — = -, tan — = ,
2 s — a 2 s — b 2 s — c
S = rs = Js (s — d)(s — b)(s — c)
Daraus leiten sich die vier sogenannten Grundaufgaben ab. Sind von 6 Bestimmungsgrößen eines
schiefwinkligen Dreieckes C Winkel a, ß, 7 und die ihnen gegenüberliegenden Seiten a, b, c) 3 gegeben, dann
lassen sich die übrigen drei Bestimmungsgrößen mit Hilfe der Gleichungen in Tabelle 3.4 berechnen
Im Unterschied zur sphärischen Trigonometrie (s 2. Grundaufgabe, Tabelle 3.9, S 175) läßt sich für
das ebene schiefwinklige Dreieck aus der Kenntnis dreier gegebener Winkel keine der Seiten berechnen
148 3 Geometrie
3.2.2 Geodätische Anwendungen
3.2.2.1 Geodätische Koordinaten
Zur Bestimmung von Punkten werden in der Geometrie gewöhnlich rechtshändige Koordinatensysteme
verwendet (Abb.3.170). Im Unterschied dazu sind in der Geodäsie linkshändige Koordinatensysteme
üblich.
1. Geodätische rechtwinklige Koordinaten
Im ebenen linkshändigen rechtwinkligen Koordinatensystem (Abb.3.37) ist die x-Achse die nach oben
weisende Abszisse, die y-Achse die nach rechts weisende Ordinate. Ein Punkt P besitzt die
Koordinaten yp, xp Die Ausrichtung der x-Achse erfolgt nach praktischen Erwägungen Bei Messungen über
größere Distanzen, für die meist das SOLDNER- oder das GAUSS-KRÜGER-Koordinatensystem
verwendet wird (s 3 4 1.2,2. bzw 3., S 165, bzw S. 166), zeigt die positive x-Achse nach Gitter-Nord,
die nach rechts weisende y-Achse nach Osten Die Zählung der Quadranten erfolgt im Gegensatz zu
der in der Geometrie sonst üblichen Praxis im Uhrzeigersinn (Abb.3.37, Abb.3.38)
Wenn neben der Punktlage in der Ebene auch Höhen anzugeben sind, kann ein dreidimensionales
linkshändiges rechtwinkliges Koordinatensystem (y,x,z) verwendet werden, in dem die z-Achse in
den Zenit zeigt (Abb.3.36)
i
«*r
N(a
P
X*
Abbildung 3 36
Abbildung 3 37
Abbildung 3.38
2. Geodätische Polarkoordinaten
Im linkshändigen System ebener Polarkoordinaten der Geodäsie (Abb.3.38) wird ein Punkt P durch
den Richtungswinkel t zwischen der Abszisse und der Strecke s sowie durch die Länge der Strecke s
zwischen dem Punkt und dem Koordinatenursprung, Pol genannt, festgelegt. Die positive Richtung
der Winkelangabe ist in der Geodäsie der Uhrzeigersinn
Zur Bestimmung von Höhen werden der Zenitwinkel £ oder der Höhenwinkel bzw. der Neigungswinkel
a verwendet Die Darstellung im rechtwinkligen dreidimensionalen linkshändigen Koordinatensystem
(Abb.3.36) zeigt (s auch Rechts- und linkshändige Koordinatensysteme 3.5.3.1,2., S 213), daß der
Zenitwinkel zwischen der Zenitachse z und der Strecke s gemessen wird, der Neigungswinkel zwischen
der Strecke s und ihrer senkrechten Projektion auf die y, a;-Ebene.
3. Maßstab
Maßstab M nennt man im Karten- und Zeichenwesen das Verhältnis von Strecken sk\ in einem
Koordinatensystem K\ relativ zu einer Strecke s#2 in einem anderen Koordinatensystem Ki
1. Maßstabsumrechnung für Strecken Mit m als Modul oder Maßzahl und N als Index für Natur
und K als Index für Karte gilt.
M = l-m = sK sN. C.104a)
Für zwei Strecken Ski, sk2 mit verschiedenen Modulen rai, m2 gilt:
Ski ' Sr2 = m2 : rrii.
2. Maßstabsumrechnung für Flächen Wenn die Flächen gemäß FK = axbK,
rechnet werden, gilt*
FN = FKm2.
C 104b)
F/v = a^N be-
C.105a)
3 2 Ebene Trigonometrie 149
Für zwei Flächen Fi, F2 mit verschiedenen Modulen mi, rri2 gilt:
FK\ :FK2=m\.m\. C.105b)
3.2.2.2 Winkel in der Geodäsie
1. Neugradeinteilung
In der Geodäsie wird im Unterschied zur Mathematik (s. 3 1.1 5, S. 133) die Neugradeinteilung
verwendet Der Vollwinkel entspricht hier 400 gon (Gon). Die Umrechnung zwischen Graden und Gon kann
gemäß Tabelle 3.5 erfolgen.
Tabelle 3 5 Umrechnung zwischen Grad und Gon
1 Vollwinkel
1 rechter Winkel
lgon
= 360°
= 90°
= 27T rad
= —rad
2
= —— rad
200
= 400 gon
= 100 gon
= 1000 mgon
2. Richtungswinkel
Der Richtungswinkel t in einem Punkt P gibt die Richtung einer orientierten Strecke bezüglich einer
durch den Punkt P verlaufenden Parallelen zur x-Achse an. In Abb.3.39 ist tAB der
Richtungswinkel zum Punkt A Da die Messung des Winkels in der Geodäsie im Uhrzeigersinn erfolgt (Abb.3.37,
Abb.3.38), sind die Quadranten in umgekehrter Reihenfolge numeriert als im rechtshändigen karte-
sischen Koordinatensystem der ebenen Trigonometrie (Tabelle 3.6). Die Formeln der ebenen
Trigonometrie können aber ohne Änderung verwendet werden
Tabelle 3.6 Richtungswinkel bei vorzeichentreuer Streckeneingabe über arctan
Ay_
A.T
Quadrant
Anzeige im Rechner
Richtungswinkel t
+
I
tan > 0
t0 gon
-
II
tan < 0
t0 + 200 gon
-
III
tan > 0
t0 + 200 gon
+
IV
tan < 0
t0 + 400 gon
3. Koordinatentransformationen
1. Berechnung von Polarkoordinaten aus rechtwinkligen Koordinaten Für zwei Punkte
A(yA, %a) und B(yß, %b) in einem rechtwinkligen Koordinatensystem (Abb.3.39) mit der von A nach
B orientierten Strecke sab und den Richtungswinkeln tAB, tßc gut
sab = y/AyAB + Ax\B , C.106b)
tBA = tAB ± 200 gon C 106d)
Der Quadrant des Winkels t hängt von den Vorzeichen von Ai/ab und Axab ab. Wird bei Rechnungen
Ay
mit dem Taschenrechner —— mit vorzeichentreuen Werten Ay und Ax eingegeben, dann erhält man
Ax
mit der Taste arctan einen Winkel t0 , zu dem je nach Quadrant die in der Tabelle 3.6 angegebenen
Gon-Werte zu addieren sind
Vb -Va = &Vab
xB - xA Axab
tan tAB ¦¦
&VAB
Axab '
C 106a)
C.106c)
150 3 Geometrie
yA y
Abbildung 3.39
Abbildung 3.40
2. Berechnung von rechtwinkligen aus polaren Koordinaten beim polaren Anhängen
eines Punktes Im rechtwinkligen Koordinatensystem sind die Koordinaten eines Neupunktes C durch
Messungen im polaren örtlichen System zu ermitteln (Abb.3.40)
Gegeben: yA,XA',yB,xB. Gemessen: a, sbc Gesucht: yc, xc
Lösung:
tan^ß =
AxAE
Vc = yß + SßcsintßC,
C.107a)
C 107c)
tBc = tAB + a± 200 gon, C 107b)
Xc = Xß + SBC COS tBC .
C 107d)
Sollte auch sab gemessen worden sein, dann wird der Unterschied zwischen der örtlich gemessenen
Strecke und der aus den Koordinaten berechneten Strecke mit dem Maßstabsfaktor q berücksichtigt
Q =
berechnete Strecke
'AB + ^XAB
gemessene Strecke
sab
C 108a)
yc = VB + SbcQ sin tBC , C.108b)
xc = xB + sBcq cos tBC . C.108c)
3. Koordinatentransformation zwischen zwei rechtwinkligen Koordinatensystemen Bei
der Einbindung örtlich bestimmter Punkte in eine Landeskarte ist die Transformation des örtlichen
Systems yf, x' in das Landessystem y, x erforderlich (Abb.3.41). Das System y', x' ist gegen das System
y, x um den Winkel </? gedreht und um y0> ^o parallel verschoben. Die Richtungswinkel im System y', x'
sind mit $ bezeichnet Gegeben sind die Koordinaten von A und B in beiden Systemen und die
Koordinaten eines Punktes C im i', ^/-System. Die Transformation erfolgt mit den folgenden Beziehungen-
sab = yfAyAB + Ax\B, C.109a)
s'ab = M + Ax% , C.109b)
q =
sab
sab
tantab z
AyA
AxA
C 109c)
C.109e)
V = *AB ~ $AB ,
tan dA
Wai
C.109d)
C 109f)
yo = yA~ qxA sin (p - qyA cos ip , C.109g)
yc = yA + q sin <p(x'c - x'A) + q cos <p(y'c - y'A),
xc = xA + q cos ip(x'c - x'a) - q sin ip(y'c - y'A)
Xq ¦¦
&x'ab '
= XA+qyAsinp — qxACOSip, C.109h)
C.1091)
C 109j)
3 2 Ebene Trigonometrie 151
Hinweis: Die folgenden zwei Formeln können zur Probe verwendet werden.
Vc = yA+qs'AC sm{(p+fiAC), C.109k) xc = xA+qs'AC cos^+tf^c)
Wenn die Strecke AB auf der x'-Achse liegt, vereinfachen sich die Formeln zu
&VAB . fo 1in v
a = —-— = qsimp, M 110a)
Vb
Vc = Va + ax'c + by'c , C.110c)
y'c = AyACb - AxACa, C 110e)
, AxAB
o = —-— = q cos ip,
xB
xc = xA + bx'c - ay'c ,
x'c = AxACb + AyACa
C.1091)
C.110b)
C 110d)
C.110f)
Abbildung 3 41
Abbildung 3.42
3.2.2.3 Vermessungstechnische Anwendungen
In der Geodäsie ist die Ermittlung der Koordinaten eines Neupunktes N im Rahmen der
Triangulierung eine oft auftretende vermessungstechnische Aufgabe Verfahren zu ihrer Lösung sind
Vorwärtseinschneiden, Rückwärtseinschneiden, Bogenschnitt, freie Stationierung und Polygomerung. Auf die
letzten beiden Verfahren wird hier nicht eingegangen
1. Vorwärtseinschneiden
1. Vorwärtseinschneiden durch zwei Strahlen oder 1. Hauptaufgabe der Triangulierung.
Bestimmung eines Neupunktes N von zwei gegebenen Punkten A und B mit Hilfe eines Dreiecks ABN
(Abb.3.42)
Gegeben: yA,xA,yB,xB. Gemessen: a,ß, möglichst auch 7 oder 7 = 200 gon—a — ß
Gesucht: yN,%N
Lösung:
AyAB
tan tAB =
AxAB '
sab = yAy2AB + &xab = \AyABsmtAB\ + \AxABcostAB\
sina sina
sbn = sAB-—sAB^————¦, C 111c)
sin 7 sin (a + p)
tAN = tAB-a, C.llle)
sin/?
sin/?
sAn = sab-— = sab- . , , ^
sin 7 sin (a + p)
C.111a)
C.111b)
C llld)
tBN = tBA + ß = tAB + ß± 200gon,C Ulf)
152 3. Geometrie
Vn = Va + San sin tAN = Vb + $bn sin tBN ,
Vn = xA + San cos t^iv = xB + sbn cos tßw .
C.111g)
C.111h)
Abbildung 3 43
Abbildung 3 44
2. Vorwärtseinschneiden ohne Visier Wenn Punkt B nicht von Punkt A eingesehen werden kann,
bestimmt man die Richtungswinkel tAN und tßN über Anschlußrichtungen zu anderen sichtbaren und
koordinierten Punkten D und E (Abb.3.43).
Gegeben: y^, xa\ Vb, xb; Vd, %d, Ve, xe> Gemessen: S in A, e in £?, möglichst auch 7
Gesucht: Vn^n
Lösung: Zurückfuhrung auf die 1. Hauptaufgabe, Berechnung von tan^ß , gemäß C.111a) und:
tont ad —
Axad '
tAN = tAD + 8 ,
& = tAB — tAN ,
tan tAN
&VNA
C.112a)
C.112c)
C 112e)
C.H2g)
Aj/e
xN ¦¦
AxNA
&VBA + xA sin ^at - xB tan ^ßN
,C.112i)
Ax£ß
tßN = tßE + £ ,
ß = tßN - tßA ,
, , &VNB
tan tBN = ,
AxNB
= Vb + (xn ~ xB) tan tBN
C 112d)
C.112f)
C 112h)
C.112J)
tan tAN — tan tBN
2. Rückwärtseinschneiden
1. Snelliussche Aufgabe des Rückwärtseinschneidens oder Rückwärtseinschneiden einesNeu-
punktes N über drei gegebene Punkte A,B,C, auch 2. Hauptaufgabe der Triangulierung genannt
(Abb.3.44):
Gegeben: yA,XA',yB,xB,yc,xc Gemessen: SuS2 in N. Gesucht: yN,xN.
Lösung:
tan tAc
&VA
&XAC
AyAc _ Axac
sin^c cos tAc
C.113a)
C.113c)
tan tßC =
&VB
Axßc '
AyBC AxBc
sintBc sin tBC '
C.113b)
C.113d)
3.2 Ebene Trigonometrie 153
7 = tCA ~ tCB = tAC - tßC ,C 113e)
^±l = 180o_l±^iC.ll3f) tanA = ^, C.113g)
2 2 v ; bsmSi
tan^^-tan^y^cotD5° + A), C.113h) San = ^- sin(^ + <p), .C 1131)
sbn = -—rsin(^2 + V;M C 113j) scn = -—r-sinv?=-—rsin^, C.113k)
sinö2 sin öi sinö2
xN = xA + Saat cos £aat = £ß + sBn cos *bjv , C.1131)
Vn = Va + San sin t^ = yB + sßjv sin £ßAr • C 113m)
2. Rückwärtseinschneiden nach Cassini
Gegeben: yA,XA,yB,XB,yc,xc- Gemessen: ö?£2 in JV. Gesucht: yN,x^. ,
Bei diesem Rechenverfahren werden zwei Hilfspunkte P und Q verwendet, die je auf einem Hilfskreis
durch A}C,P bzw. B,C,Q sowie beide auf einer Geraden durch N liegen (Abb.3.45). Die
Kreismittelpunkte Hi bzw. H2 sind die Schnittpunkte der Mittelsenkrechten von AC bzw. BC mit den
Verbindungslinien PC bzw. QC. Die in Af gemessenen Winkel d~i,d~2 erscheinen wieder in P bzw. Q
(Peripheriewinkel).
Lösung:
yp = VA + {xc - xa) cot ö~i , C 114a) xP = xA + (t/c - 2M) cot 6X, C 114b)
Vq = Vb + (xb - xc) cot £2 , C 114c) xQ = xB + (vb - Vc) cot 62 , C 114d)
tpQ = P&, C H4e) XN = XP+ yc ~ VP + bc-xP) cot tPQ
w Axpq ' N ttmtpQ + cottpQ y '
Vn = Vp + (xn - xp) ttmtpQ {tsmtPQ < cottPQ), C 114g)
Vn = Vc ~ (x.n ~ xc) cot tPQ (cottPQ < ta,ntPQ), C 114h)
Gefahrlicher Kreis: Bei der Punktauswahl ist dafür zu sorgen, daß die vier betrachteten Punkte
nicht auf einem Kreis liegen, weil es dann keine Lösung gibt, man spricht vom gefährlichen Kreis. In
dem Maße, in dem die Punkte in die Nähe eines gefährlichen Kreises zu liegen kommen, nimmt die
Genauigkeit des Verfahrens ab.
3. Bogenschnitt
Der Neupunkt N ergibt sich als Schnittpunkt zweier Bögen mit den gemessenen Radien San und sbn
um die zwei Punkte A und B mit bekannten Koordinaten (Abb.3.46). Berechnet werden die
unbekannte Länge sab und aus den nun bekannten drei Seiten im Dreieck ABN die Winkel Eine zweite hier
nicht betrachtete Lösung geht von einer Zerlegung des schiefwinkligen Dreieckes in zwei rechtwinklige
Dreiecke aus.
Gegeben: yA,%A • yß,Xß- Gemessen: San', Sbn Gesucht: sab, 2/at, xn
Lösung:
sab = y/Ay2AB + ^ab , C.115a) tan^ß==Ä^f' C 115b)
tßA = tAB + 200 gon,
C 115c)
154 3 Geometrie
A.
p\
\ .'' •
\.v x ........
vVbl''' 2 \ A
^—-^ y.
Abbildung 3 45
«2 -4- «2 c2
cosa=SAC+ AB BN ,
*ac = ^ß - a,
yc = VA + San sin £Ac >
yc = VB + sbn sin tßAr,
C.115d)
C.115f)
C.115h)
C 115j)
Abbildung 3.46
cog/3=4£+4ß_^Aiv) C115e)
tBc = tBA-ß, C 115g)
.T/v = £\4 + SAC COS ^at , C 115i)
XN = XB + SßTV COS tBN C H5k)
3.3 Stereometrie
3.3.1 Geraden und Ebenen im Raum
1. Zwei Geraden Zwei Geraden in ein und derselben Ebene haben entweder einen oder keinen
gemeinsamen Punkt. Im letzteren Falle sind sie parallel. Wenn sich durch zwei Geraden keine Ebene legen
läßt, wird von windschiefen oder kreuzenden Geraden gesprochen Als Winkel zwischen zwei
windschiefen Geraden wird der Winkel zwischen zwei zu ihnen parallelen Geraden bezeichnet, die durch einen
Punkt gehen (Abb.3.47). Der Abstand zweier windschiefer Geraden voneinander ist definiert als die
Strecke, die auf beiden Geraden senkrecht steht
2. Zwei Ebenen Zwei Ebenen können sich entweder in einer Geraden schneiden, oder sie haben
keinen gemeinsamen Punkt. Im letzteren Falle sind sie parallel Wenn zwei Ebenen senkrecht auf ein
und derselben Geraden stehen, oder wenn es auf jeder von ihnen je zwei sich schneidende Geraden gibt,
die ihrerseits parallel zueinander sind, dann sind die Ebenen parallel zueinander.
f
Abbildung 3.47 Abbildung 3.48 Abbildung 3.49
3. Gerade und Ebene Eine Gerade kann gänzlich in einer gegebenen Ebene liegen, sie kann mit
ihr einen gemeinsamen Punkt haben oder gar keinen Im letzten Fall ist die Gerade parallel zur Ebene
3.3 Stereometrie 155
Der Winkel zwischen einer Geraden und einer Ebene wird zwischen der Geraden und ihrer
Orthogonalprojektion auf die Ebene gemessen (Abb.3.48). Wenn eine Gerade senkrecht auf zwei in einer Ebene
liegenden und sich schneidenden Geraden verläuft, dann steht sie auf jeder beliebigen Geraden in dieser
Ebene senkrecht, d.h , sie steht senkrecht zur Ebene.
3.3.2 Kanten, Ecken, Raumwinkel
1. Kante (Zweiflach) wird eine Figur genannt, die aus zwei, einer Geraden entspringenden
Halbebenen gebildet wird (Abb.3.49) Im täglichen Sprachgebrauch versteht man im Unterschied zu dieser
Definition unter einer Kante die Schnittgerade zweier Halbebenen. Als Kantenmaß dient der ebene
Kantenwinkel ABC, den zwei im Innern der Ebenen senkrecht auf die Schnittgerade DE in den Punkt
B gefällte Lote miteinander bilden.
2. Ecke (Vielflach) O ABC DE (Abb.3.50) ist eine Figur, die von mehreren Ebenen, den
Seitenflächen, gebildet wird, die ihrerseits einen gemeinsamen Punkt, die Spitze O, haben und sich von hier
ausgehend in den Geraden OA, OB, . schneiden.
Zwei Geraden, die eine Seitenfläche der Ecke begrenzen, schließen einen ebenen Winkel ein, während
zwei benachbarte Seitenflächen eine Kante bilden
Ecken sind einander gleich, d.h , sie sind kongruent, wenn sie sich zur Deckung bringen lassen Dazu
müssen die einander entsprechenden Elemente, d.h. die Kanten und ebenen Winkel der Ecken, gleich
sein Wenn die einander entsprechenden Elemente von Ecken gleich, aber in umgekehrter Reihenfolge
angeordnet sind, dann lassen sich die Ecken zwar nicht zur Deckung bringen, sie werden aber
symmetrische Ecken genannt, weil sie in die in Abb.3.51 eingezeichnete symmetrische gegenseitige Lage
zueinander gebracht werden können
Eine konvexe Ecke liegt vollständig auf einer Seite jeder ihrer Kanten.
Die Summe der ebenen Winkel AOB + BOC 4- .. + EOA (Abb.3.50) jeder beliebigen konvexen
Ecke ist kleiner als 360° .
3. Dreiseitige Ecken sind kongruent, wenn sie in den folgenden Elementen übereinstimmen:
• in zwei Seiten und dem zugehörigen Kantenwinkel,
• in einer Seite und den beiden anliegenden Kantenwinkeln,
• in drei einander entsprechenden und in der gleichen Reihenfolge angeordneten Seiten,
• in drei einander entsprechenden und in der gleichen Reihenfolge angeordneten Kantenwinkeln
Abbildung 3 50 Abbildung 3.51 Abbildung 3.52 Abbildung 3.53
4. Raumwinkel Im Raum bildet ein von einem Punkt ausgehendes Strahlenbüschel einen
Raumwinkel (Abb.3.52). Dieser wird mit Q bezeichnet und gemäß
ft=4> C.116a)
berechnet. Dabei bedeutet S das Oberflächenstück, das der Raumwinkel aus einer Kugel ausschneidet,
die den Radius r hat und deren Mittelpunkt mit der Spitze des Strahlenbüschels zusammenfällt. Die
Einheit des Raumwinkels ist der Steradiant (sr). Es gilt:
Im2
lsr=—, C.116b)
Im2
156 3 Geometrie
d.h., ein Raumwinkel von 1 sr schneidet auf der Einheitskugel (r = 1 m) eine Fläche der Größe 1 m2
aus
¦ A: Der volle Raumwinkel beträgt Vi = 4irr2/r2 = 4-zr.
¦ B: Ein Kegel mit dem Offnungswinkel a = 120° beschreibt den RaumwinkeK2 = 27rr2(l —cos(a/2)/r
= TT, wobei die Formel für den Kugelabschnitt C 164) berücksichtigt wurde
3.3.3 Polyeder
In diesem Abschnitt werden die folgenden Bezeichnungen benutzt V - Volumen, S - Gesamtoberfläche,
M - Mantelfläche, h - Höhe, AG Grundfläche
1. Polyeder wird ein Körper genannt, der von Ebenen begrenzt wird
2. Prisma (Abb.3.53) ist ein Polyeder, das gleiche Grundflächen und Parallelogramme als
Seitenflächen besitzt. Ein gerades Prisma zeichnet sich durch senkrecht auf der Grundfläche stehende Kanten
aus, ein reguläres Prisma dadurch, daß es gerade ist und ein regelmäßiges Vieleck zur Grundfläche hat
Für das Polyeder gilt
V = AGh, C.117) M=pl: C.118) S = M + 2AG C119)
Dabei sind p der Umfang eines zu den Kanten senkrechten ebenen Schnittes und / die Kantenlänge
Für ein dreiseitiges Prisma, dessen Grundflächen nicht parallel zueinander liegen (Abb.3.54), gilt-
V=(a + fc3+c)Q. C120)
wobei Q ein senkrechter Querschnitt, a, b und c die Längen der parallelen Kanten sind. Für ein
n-seitiges Prisma mit nicht parallel zur Grundfläche abgeschnittener Deckfläche ist
V = IQ, C121)
wobei / die Länge der Geraden DC ist, die die Schwerpunkte der Grundflächen miteinander verbindet
und Q der zu dieser Linie senkrechte Querschnitt.
Abbildung 3 54 Abbildung 3 55 Abbildung 3 56
3. Parallelepiped (Abb.3.55) werden Prismen mit Parallelogrammen als Grundfläche genannt In
einem Parallelepiped schneiden sich alle vier Raumdiagonalen in einem Punkt und halbieren einander.
4. Quader sind gerade Parallelepipede mit rechteckigen Grundflächen Im Quader (Abb.3.56)
sind die Raumdiagonalen gleich lang Wenn a, b und c die Kantenlängen des Quaders sind und d die
Diagonallänge, dann gilt
d2 = a2 + fe2 + c2 ,C.122). V = abc, C.123) S = 2(ab + bc + ca) C.124)
5. Würfel sind Quader mit gleichen Kantenlängen a = b = c,
d2 = 3a2, C 125) V = a3, C126) S = 6a2. C127)
3 3 Stereometrie 157
6. Pyramide (Abb.3.57) wird ein Polyeder genannt, dessen Grundfläche ein Vieleck ist und dessen
Seitenflächen Dreiecke sind, die in einem Punkt, der Spitze, zusammenlaufen. Pyramiden heißen gerade,
wenn der Fußpunkt des Lotes von der Spitze auf die Grundfläche Aq deren Mittelpunkt ist, regulär,
wenn die Grundfläche ein regelmäßiges Vieleck ist (Abb.3.58) und n-seitig, wenn die Grundfläche ein
n-Eck ist. Zusammen mit der Grundfläche hat die Pyramide (n + 1) Flächen. Es gilt-
Ach
3
Für die reguläre Pyramide ist
V ¦
C.128)
M = -phs
mit p als Umfang der Grundfläche und hs als Höhe einer Seitenfläche.
S
C.129)
1 \\l
s 1 ^
Abbildung 3 57 Abbildung 3.58 Abbildung 3 59
7. Pyramidenstumpf wird eine Pyramide genannt, deren Spitze durch eine Ebene parallel zur
Grundfläche abgeschnitten ist (Abb.3.57, Abb.3.59). Mit SO als Höhe der Pyramide, d h. als Lot
von der Spitze auf die Grundfläche, gilt
~SÄL_ 5ß1_ ~SC±_ _ 5Ö!
~P^Ä~ ~B^B~ C^C~ '"~ ÖiÜ'
Fläche ABCDEF _ ( £Ö_X 2
C.130)
C 131)
Fläche AxBxdD^^
Wenn AD und Aq die obere und untere Grundfläche sind, h die Höhe des Pyramidenstumpfes, also dei
Abstand zwischen den Grundflächen, ap und ac die einander entsprechenden Seiten der Grundflächen,
dann gilt
V --
-h |AG + AD + V^g^d] = 2hAc
3 L v J 3
Die Mantelfläche des regulären Pyramidenstumpfes ist
i+^+(>y
aG \aGJ
C.132)
C 133)
wobei po und pc die Umfange der Grundflächen sind und hs die Höhe der Seitenflächen
8. Tetraeder wird eine dreieckige Pyramide genannt (Abb.3.60). Mit den Bezeichnungen
ÜÄ = a,ÜB = b,77C = c,ÜÄ = q, ~BC = p und~ÄB = r gilt:
1
288
0
r2
q2
a1
1
r2
0
v2
ti2
1
q2
v2
0
c2
1
a2
b2
c2
0
1
1
1
1
1
0
C 134)
158 3. Geometrie
Abbildung 3.60
Abbildung 3 61
Abbildung 3 62
9. Obelisk wird ein Polyeder genannt, dessen Seitenflächen sämtlich Trapeze sind In dem hier
betrachteten Spezialfall sind die parallelen Grundflächen Rechtecke (Abb.3.61). einander
gegenüberliegende Kanten haben die gleiche Neigung gegenüber der Grundfläche, laufen aber nicht in einem Punkt
zusammen Wenn a, b und oi, b\ die Seiten der Grundflächen sind und h die Höhe des Obelisken, dann
gilt-
V = - [Ba + ai) b + Bai + a) bi] = - [ab + (a + ax) {b + 6i) + axbi
6 o
C 135)
10. Keil wird ein Polyeder genannt, dessen Grundfläche ein Rechteck, dessen Seitenflächen je zwei
gegenüberliegende gleichschenklige Dreiecke bzw Trapeze sind (Abb.3.62). Für das Volumen gilt
V = -Ba + ai)bh.
6
C 136)
Abbildung 3 63
11. Reguläre Polyeder zeichnen sich durch kongruente reguläre Vielecke als Begrenzungsflächen
und kongruente reguläre Ecken aus. Die fünf möglichen regulären Polyeder sind in Abb.3.63
dargestellt; in Tabelle 3.7 sind Angaben dazu aufgeführt
Tabelle 3 7 Elemente der regulären Polyeder mit der Kantenlänge a
Bezeichnung
Begrenzungsflächen
Kanten
Ecken
Gesamtfläche S/a2
Volumen V/a3
72
Tetraeder
Würfel
Oktaeder
Dodekaeder
Ikosaeder
4 Dreiecke
6 Quadrate
8 Dreiecke
12 Fünfecke
20 Dreiecke
6
12
12
30
30
6
20
12
>/3 = 1,7321
6 = 6,0
2^ = 3,4641
3^/5E + 2\/5) =20,6457
5\/3 =8,6603
12
1
x/2
15 + 7V5
= 0,1179
= 1,0
= 0,4714
= 7,6631
5C + VE)
12
= 2,1817
3 3 Stereometrie 159
12. Eulerscher Polyedersatz Wenn e die Anzahl der Ecken, / die Anzahl der Flächen und k die
Anzahl der Kanten sind, dann ist
e-fc + / = 2 C.137)
für ein konvexes Polyeder oder ein Polyeder, das sich durch stetige Deformation in ein konvexes Polyeder
überführen läßt Beispiele sind in Tabelle 3.7 angegeben.
3.3.4 Körper, die durch gekrümmte Flächen begrenzt sind
In diesem Abschnitt werden die folgenden Bezeichnungen benutzt: V - Volumen, S - Gesamtoberfläche,
M - Manteloberfläche, h - Höhe, Aq - Grundfläche.
1. Zylinderfläche wird eine gekrümmte Fläche genannt, die durch Parallel Verschiebung einer
Geraden, der Erzeugenden, längs einer Kurve, der Leitkurve, entsteht (Abb.3.64).
2. Zylinder wird ein Körper genannt, der von einer Zylinderfläche mit geschlossener Leitkurve
umgrenzt wird sowie von zwei parallelen Grundflächen, die die Zylinderfläche aus zwei parallelen Ebenen
ausschneidet Für jeden beliebigen Zylinder (Abb.3.65) mit dem Grundflächenumfang p, dem
Umfang des zur Erzeugenden senkrechten Querschnitts s, dessen Flächeninhalt Q und der Länge / der
Erzeugenden gilt
V = AGh = Ql,
C 138)
M = ph = sl
C.139)
3. Gerade Kreiszylinder zeichnen sich durch einen Kreis als Grundfläche und senkrecht auf der
Kreisebene stehende Erzeugende aus (Abb.3.66) Mit R als Grundflächenradius gilt:
V = 7rR2h, C.140) M = 2nRh, C.141) S = 27rR(R + h) C 142)
4. Schräg abgeschnittener Kreiszylinder (Abb.3.67)
--7TR2
C.143)
M = nR(hi + h2)
C.144)
S = ttR
hl + h2 + R+ ¦
R? +
hx
C.145)
Erzeugende
Leitkurve
Abbildung 3.64
Abbildung 3.65
Abbildung 3 66
Abbildung 3.67
5. Zylinderabschnitt, auch Zylinderhuf Mit den Bezeichnungen von Abb.3.68 sowie a = (p/2
in rad gilt
V = A [aC#2 - a2) + 3R2(b - R)a] = ^ Lina - *-^ - acosa) , C 146)
3b I
M = ^A [F _ R)a + a]
C 147)
160 3 Geometrie
wobei die Formeln auch im Falle b > R, tp > tt ihre Gültigkeit behalten
6. Hohlzylinder Mit den Bezeichnungen R für den äußeren Radius und r für den inneren, 6 — R — r
R + r
für die Radiendifferenz und q = —-— für den mittleren Radius (Abb.3.69) gilt-
V = irh(R2 - r2) = 7ThS{2R -6) = irhöBr + 6) = 27rhSg C 148)
Abbildung 3.68
Abbildung 3.69
7. Kegelflächen entstehen durch die Bewegung einer Geraden, der Erzeugenden, die durch einen
festen Punkt, die Spitze, geht und längs einer Kurve, der Leitkurve, geführt wird (Abb.3.70).
8. Kegel (Abb.3.71) werden von einer Kegelfläche mit geschlossener Leitkurve und einer ebenen
Grundfläche, die von der Kegelfläche ausgeschnitten wird, begrenzt Für beliebige Kegel gilt
hAG
V =
C 149)
Leitkurve
Spitze
Abbildung 3 70
Abbildung 3.71
Abbildung 3.72
Abbildung 3 73
Abbildung 3 74
9. Gerade Kreiskegel zeichnen sich durch einen Kreis als Grundfläche und eine Spitze über dem
Kreismittelpunkt aus (Abb.3.72). Mit / als Länge der Mantellinie und R als Grundflächenradius gilt*
V = -Tri?2/*,
C.150) M = ttRI = ttRVR2 + h2 , C151) S = ttR{R + 1).
C.152)
10. Gerader Kreiskegelstumpf (Abb.3.73)
3 3 Stereometrie 161
l = y/h2 + (R- rf,
7rh
C.153)
C.155)
M = 7rl(R + r),
hr
R-r'
C 154)
C.156)
V = y (Ä2 + r2 + Ar) , C.155) H = h +
11. Kegelschnitte s. 3.5 2.11, S. 210
12. Kugel (Abb.3.74) mit dem Radius R und dem Durchmesser D = 2R Jeder ebene Kugelschnitt
ergibt einen Kreis. Ein ebener Schnitt durch den Kugelmittelpunkt ergibt einen Großkreis (s. 3.4.1.1,1.,
S 163) mit dem Radius R. Durch je zwei nicht diametral gegenüberliegende Kugeloberflächenpunkte
kann immer nur ein Großkreis gelegt werden Die kürzeste Verbindungslinie zwischen zwei
Kugeloberflächenpunkten auf der Kugeloberfläche ist der Bogen des Großkreises (s. 3.4.1.1,1., S. 163).
Formeln für die Kugeloberfläche und das Kugelvolumen:
S = ttD2 « 3,142£>2 , C 157b)
4
S = 47nR2«12,57i?2, C 157a)
S = \/36nV2 « 4,836 vV2 , C.157c)
ttD3
V = -ttR3 » 4,189i?3
V = '—r- » 0,5236£>3
6
C.158b)
C.158a)
l r&
V = -J— » 0,09403\/53 , C.158c)
#= i*/-»0,2821>/5, C.159a)
13. Kugelausschnitt (Abb.3.75)
5 = 7TÄB/i + a), C.160)
14. Kugelabschnitt (Abb.3.76)
a2 = h{2R -h), C 162)
M = 2nRh = TT (a2 + /i2) , C.164)
15. Kugelschicht (Abb.3.77)
(a2-b2-h2^2
R =
; 0,6204^/7. C.159b)
V =
2nR2h
V = Kh Ca2 + h2) = ^7rh2(SR - h),
S = TT BRh + a2) = TT (V + 2a2)
C.161)
C.163)
C.165)
-a2+(°
M = 27ri?/i,
2h
C 166)
C 168)
V = jU/i Ca2 + 362 + h2) , C.167)
S = TT B/tt + a2 + 62)
C.169)
Wenn Vi das Volumen eines Kegelstumpfes ist, der in eine Kugelschicht einbeschrieben ist (Abb.3.78)
und / die Länge seiner Mantellinie ist, dann gilt
1
V-Vl = -nhl2
6
C 170)
16. Torus oder Kreisring (Abb.3.79) wird ein Körper genannt, der durch die Drehung eines
Kreises um eine in der Kreisebene, aber außerhalb des Kreises liegende Achse entsteht.
S = 4ir2Rr «39,48#r, C.171a) S = ir2Dd& 9,870£>d,
V = 2n2Rr2 « 19,74#r2, C.172a)
C 171b)
1
V=-TT2Dd2&2,mDd2 C.172b)
162 3. Geometrie
Abbildung 3.75
Abbildung 3.78
fv
^3
-2a-
Abbildung 3.76
Abbildung 3 79
Abbildung 3 77
-d-
Abbildung 3 80
17. Tonnenkörper (Abb.3.80) enstehen durch Drehung einer Erzeugenden mit entsprechender
Krümmung; Kreistonnenkörper durch Drehung eines Kreissegments, parabolische Tonnenkörper durch
Drehung eines Parabelausschnittes Für den Kreistonnenkörper gilt näherungsweise
V « 0,262/i BD2 + d2) C.173a) oder
für den parabolischen Tonnenkörper gilt
i 0,05236/i (SD2 + 4Dd + Sd2) .
V=^BD2 + Dd+-a
15 V 4
V « 0,0873/*B£> + dJ , C 173b)
C 174)
3 4 Sphärische Trigonometrie 163
3.4 Sphärische Trigonometrie
Bei geodätischen Messungen, die sich über größere Entfernungen erstrecken, muß die Kugelgestalt der
Erde berücksichtigt werden Dazu ist eine Geometrie auf der Kugel erforderlich. Insbesondere werden
Formeln zur Berechnung sphärischer Dreiecke benötigt, also für Dreiecke, die auf einer Kugel liegen
Das wurde schon im alten Griechenland erkannt, und so kam es neben der Entwicklung der ebenen
Trigonometrie zur Entwicklung der sphärischen Trigonometrie, als deren Begründer HiPPARCH (um
150 v. u Zeit) anzusehen ist
3.4.1 Grundbegriffe der Geometrie auf der Kugel
3.4.1.1 Kurven, Bogen und Winkel auf der Kugel
1. Sphärische Kurven, Großkreis und Kleinkreis
Kurven auf der Kugeloberfläche heißen sphärische Kurven Wichtige sphärische Kurven sind Großkreise
oder Orthodromen und Kleinkreise Sie entstehen als Schnittkreis einer durch eine Kugel verlaufenden
Ebene, Schnittebene genannt (Abb.3.81)
Wird eine Kugel mit dem Radius R von einer Ebene K geschnitten, die vom Kugelmittelpunkt O den
Abstand h hat, dann gilt für den Radius r des Schnittkreises
r = VR2 - h2 @<h<R). C 175)
Für h — 0 verläuft die Schnittebene durch den Kugelmittelpunkt, und r nimmt den größten Wert an
Der so entstehende Schnittkreis g in der Ebene T heißt Großkreis Jeder andere Schnittkreis, für den
dann 0 < h < R gilt, wird Kleinkreis genannt, z B der Kreis k in Abb.3.81 Für h = R berührt die
Ebene K die Kugel in einem Punkt. Sie wird zu einer sogenannten Tangentialebene
Abbildung 3 81 Abbildung 3 82 Abbildung 3.83
¦ Auf der Erdkugel stellen der Äquator und die Meridiane mit ihren Gegenmeridianen - das sind ihre
Spiegelungen an der Erdachse - Großkreise dar. Die Breitenkreise sind Kleinkreise (s. 3.4.1 2,1. S 165)
2. Sphärischer Abstand
Durch zwei Punkte A und D der Kugeloberfläche, die keine Gegenpunkte, d.h. keine Endpunkte eines
Durchmessers sind, lassen sich unendlich viele Kleinkreise, aber nur ein Großkreis (mit der
Großkreisebene von g) legen Durch A und B seien zwei Kleinkreisc ki,k2 gelegt und in die Ebene des durch
A, B gehenden Großkreises geklappt (Abb.3.82). Der Großkreis hat den größten Radius und damit
die kleinste Krümmung, daher stellt der kleinere der beiden Großkreisbögen durch A und B die kürzeste
Verbindung beider Punkte dar Er ist die kürzeste Verbindung zwischen den Punkten A und B auf der
Kugeloberfläche und wird sphärischer Abstand genannt
3. Geodätische Linien
Geodätische Linien heißen diejenigen Kurven auf einer beliebigen Fläche, auf denen die kürzeste
Verbindung zwischen zwei Punkten der Fläche liegt (s 3 6 3 6,1., S 258).
164 3. Geometrie
¦ In der Ebene sind die Geraden, auf der Kugel die Großkreise die geodätischen Linien (s auch 3.4 1.2,1.
S. 165)
4. Messung des sphärischen Abstandes
Der sphärische Abstand zweier Punkte kann im Längenmaß oder im Winkelmaß ausgedrückt werden
(Abb.3.83).
1. Sphärischer Abstand im Winkelmaß ist der Winkel zwischen den Radien OA und OB ,
gemessen im Kugelmittelpunkt 0 . Dieser Winkel ist dem sphärischen Abstand eindeutig zugeordnet und
wird im folgenden mit kleinen lateinischen Buchstaben bezeichnet. Die Bezeichnung kann am
Kugelmittelpunkt oder auf dem Großkreisbogen angegeben werden
2. Sphärischer Abstand im Längenmaß ist die Länge des Großkreisbogens zwischen A und B
Sie wird im folgenden mit AB (Bogen AB) bezeichnet.
3. Umrechnungen von Winkelmaß in Längenmaß und umgekehrt erfolgen gemäß
AB= R&rce = R-, C.176a) e =AB -^ C 176b)
Q R
Dabei ist e der in Grad und arc e der in Radiant (s Bogenmaß 3 1 1 5, S 133) gemessene Winkel Für
den Umrechnungsfaktor g gilt:
180°
g = lrad = = 57,2958° = 3438' = 206265". C.176c)
7T
Die Angaben im Längen- oder Winkelmaß sind gleichwertig, aber in der sphärischen Trigonometrie
werden die sphärischen Abstände in der Regel im Winkelmaß angegeben.
¦ A: Bei sphärischen Berechnungen auf der Erdoberfläche wird von einer Kugel ausgegangen, die das
gleiche Volumen wie das zweiachsige Referenzellipsoid von Krassowski hat Dieser Erdkugelradius
beträgt R = 6371,110 km, woraus folgt 1° = 111,2 km, 1' = 1853,3 m = 1 alte Seemeile Heute gilt
1 Seemeile = 1852 m.
¦ B: Der sphärische Abstand zwischen Dresden und St. Petersburg beträgt AB= 1433 km oder e =
Abbildung 3 84
5. Schnittwinkel, Kurswinkel und Azimut
Unter dem Schnittwinkel zweier sphärischer Kurven versteht man den Winkel, den ihre Tangenten im
Kurvenschnittpunkt P\ bilden Ist eine der beiden Kurven ein Meridian, dann wird der
Schnittwinkel der nördlich von P\ gelegenen Kurvenabschnitte in der Navigation Kurswinkel a genannt Zur
Beschreibung der östlichen und westlichen Neigung der Kurve ordnet man dem Kurswinkel gemäß
(Abb.3.84a,b) ein Vorzeichen zu und beschränkt ihn auf das Intervall —90° < a < 90° . Der
Kurswinkel ist damit ein orientierter, d h. mit einem Vorzeichen versehener Winkel Er ist unabhängig von
der Orientierung der Kurve - das ist ihr Durchlaufsinn.
Die Orientierung der Kurve von P\ nach P2 gemäß Abb.3.84c wird durch das Azimut S beschrieben
Es ist der Schnittwinkel zwischen dem durch den Kurvenschnittpunkt P\ verlaufenden und nach
Norden weisenden Meridian und dem von P\ nach P2 verlaufenden Kurvenabschnitt Man beschränkt das
3.4 Sphärische Trigonometrie 165
Azimut auf das Intervall 0° < S < 360°.
Hinweis: In der Navigation werden die Ortskoordinaten meist in sexagesimalen Altgraden, sphärische
Abstände sowie Kurswinkel und Azimute dagegen in dezimalen Altgraden angegeben.
3.4.1.2 Spezielle Koordinatensysteme
1. Geographische Koordinaten
Zur Bestimmung von Punkten P auf der Erdoberfläche werden geographische Koordinaten benutzt
(Abb.3.85), d.h Kugelkoordinaten mit dem Radius der
Erdkugel, der geographischen Länge X und der
geographischen Breite (p Zur Längengradzählung ist die
Erdoberfläche in halbe, vom Nordpol zum Südpol
verlaufende Großkreise, die Meridiane, eingeteilt. Der
Nullmeridian verläuft durch die Sternwarte Greenwich. Von ihm aus
erfolgt die Zählung mit Hilfe von 180 ganzzahligen
Meridianen östlicher Länge (ö. L ) und 180 ganzzahligen
Meridianen westlicher Länge (w L ), die am Äquator einen
gegenseitigen Abstand von 111 km haben Ostliche Längen
werden positiv, westliche Längen negativ angegeben.
Somit gilt-180° < A< +180°
Null]
Geogr<
Länge
Geographische
•eitecp
Abbildung 3.85
Zur Breitengradzählung ist die Erdoberfläche in parallel zum Äquator verlaufende Kleinkreise, die
Breitengrade, eingeteilt Vom Äquator aus, einem Großkreis, zählt man 90 ganzzahlige Breitengrade
nördlicher Breite (n. Br ) und 90 südlicher Breite (s Br ). Nördliche Breiten werden positiv, südliche Breiten
negativ angegeben Somit gilt —90° < (p < 90°
2. Soldner-Koordinaten
Für großräumige Vermessungen sind die rechtwinkligen SÖLDNER- Koordinaten und G AUSS-KrÜGER
-Koordinaten von Bedeutung Um Teile der gekrümmten Erdoberfläche in Ordinatenrichtung
längentreu auf ein ebenes rechtwinkliges Koordinatensystem abzubilden, legt man nach Söldner die
a;-Achse auf einen Meridian und den Koordinatenursprung in einen gut vermessenen Zentralpunkt
(Abb.3.86a). Die Ordinate y und die Abszisse x eines Punktes P sind durch die Strecken von den
Fußpunkten der sphärischen Lote auf den durch den Zentralpunkt verlaufenden Hauptmeridian und
auf den durch den Zentralpunkt verlaufenden Hauptbreitenkreis gegeben (Abb,3.86b)
rallele Kreise
Nullmeri-
idian durch
Zentralpunkt
+X'
+x2
+*1
-y o
-X
l
Ax
Pj
!Ax
p2
+y
b)
Abbildung 3.86
Bei der Übertragung der sphärischen Abszissen und Ordinaten in das ebene Koordinatensystem werden
Strecken Ax gedehnt und Richtungen verschwenkt. Der Dehnungsfaktor a in der Abszissenrichtung
166 3. Geometrie
beträgt
Ax y2
R = 6371 km.
C 177)
Zur Begrenzung der Dehnung des Systems darf die Ausdehnung zu beiden Seiten des Hauptmeridians
nicht größer als 64 km betragen Eine 1 km lange Strecke besitzt dann bei y = 64 km eine Dehnung von
0,05 m
3. Gauß-Krüger-Koordinaten
Um Teile der gekrümmten Erdoberfläche winkeltreu (konform) auf eine Ebene abzubilden, geht man
beim GausS-KrÜGER-System von einer Einteilung in Meridianstreifen aus. Für Deutschland liegen
die Mittelmeridiane bei 6°, 9°, 12° und 15° ö L. (Abb.3.87a) Der Koordinatenursprung jedes
Meridianstreifensystems ist der Schnittpunkt des Meridians mit dem Äquator In der Nord-Süd-Richtung
gehen die Systeme über das gesamte Gebiet hinweg, in der Ost-West-Richtung sind die Gebiete
beidseitig auf 1°40/ begrenzt In Deutschland sind das etwa ±100 km. Die Überlappung von etwa 20' entspricht
hier ca. 20 km.
Der Dehnungsfaktor a in der Abszissenrichtung (Abb.3.87b) ist der gleiche wie im SOLDNER-System
C 177). Damit die Abbildung winkeltreu bleibt, sind die Ordinaten an den Lotenden durch Addition
eines Betrages b zu verlängern.
y°
6R2'
C 178)
i ' i
Rechtswert
Hochwert
y - Dehnung
7° 8° 9p\10°ll°
Äquator
-50km-J
a)
Abbildung 3.87
3.4.1.3 Sphärisches Zweieck
Durch die Endpunkte A und B eines Kugeldurchmessers sollen zwei Ebenen Ti und T2 verlaufen, die
den Winkel a miteinander einschließen (Abb.3.88) und zwei Großkreishälften gi und g2 definieren
Der von zwei Großkreishälften begrenzte Teil der Kugeloberfläche wird sphärisches Zweieck oder
Kugelzweieck genannt. Als Seiten des sphärischen Zweiecks werden die sphärischen Abstände zwischen
den Punkten A und B auf den Großkreisen definiert Jede Seite beträgt daher 180°
Als Winkel des sphärischen Zweiecks werden die Winkel zwischen den Tangenten an die Großkreise gi
und g2 in den Punkten A und B definiert. Sie sind gleich und stimmen mit dem sogenannten Keilwinkel
a zwischen den Ebenen Ti und T2 überein Sind C und D die Halbierungspunkte der beiden
Großkreisbogen durch A und B, dann kann der Winkel a auch als sphärischer Abstand der Punkte C und D
aufgefaßt werden Die Fläche Az des Kugelzweiecks verhält sich zur Kugelfläche wie der Winkel a zu
360°. Daraus folgt
Az = = = 2R2 arca mit dem Umrechnungsfaktor g gemäß C 176c) C.179)
3.4.1.4 Sphärisches Dreieck
Es seien A, B und C drei Punkte auf einer Kugelfläche, die nicht auf einem Großkreis liegen Werden
jeweils zwei dieser Punkte durch einen Großkreis verbunden (Abb.3.89), so entsteht das sphärische
Dreieck ABC.
3 4 Sphärische Trigonometrie 167
Abbildung 3 88 Abbildung 3.89 Abbildung 3 90
Als Seiten des sphärischen Dreiecks werden die sphärischen Abstände der Dreieckspunkte definiert,
d h , sie stellen die im Kugelmittelpunkt gemessenen Winkel zwischen je zwei Radien OA, OB und
OC dar Sie werden mit a, b und c bezeichnet und im folgenden im Winkelmaß angegeben, unabhängig
davon, ob sie in der Zeichnung als Winkel im Kugelmittelpunkt oder als Großkreisbogen auf der
Kugelfläche eingetragen sind Die Winkel des sphärischen Dreiecks sind die Winkel zwischen je zwei der
drei Großkreisebenen. Sie werden mit a, ß und 7 bezeichnet
Die Reihenfolge der Bezeichnung der Punkte, Seiten und Winkel des sphärischen Dreiecks erfolgt in
Analogie zum ebenen Dreieck Ein sphärisches Dreieck, bei dem mindestens eine Seite 90° beträgt,
heißt rechtsseitiges Dreieck Es stellt eine Analogie zum rechtwinkligen Dreieck der Planimetrie dar
Abbildung 3.91 Abbildung 3.92
3.4.1.5 Polardreieck
1. Pole und Polare Die Endpunkte P\ und P<i eines Kugeldurchmessers, der senkrecht zur Ebene
eines Großkreises g, Polare genannt, errichtet ist (Abb.3.90), werden Pole genannt. Der sphärische
Abstand von einem Pol bis zu einem beliebigen Punkt des Großkreises g beträgt stets 90° Die Richtung
der Polaren wird von außen festgelegt- Beim Durchlaufen der Polaren in der gewählten Richtung heißt
der links liegende Pol Linkspol, der rechts liegende Rechtspol
2. Polardreieck A'B'C zu einem gegebenen sphärischen Dreieck A, B, C heißt ein sphärisches
Dreieck, für dessen Seiten die Eckpunkte des gegebenen Dreiecks Pole sind (Abb.3.91) Zu jedem
sphärischen Dreieck ABC existiert ein Polardreieck A'B'C Ist das Dreieck A'B'C das Polardreieck des
sphärischen Dreiecks ABC, dann ist auch das Dreieck ABC das Polardreieck des Dreiecks A'B'C.
Die Winkel eines sphärischen Dreiecks und die entsprechenden Seiten seines Polardreiecks sind
Supplementwinkel, und die Seiten des sphärischen Dreiecks und die Winkel des Polardreiecks sind
Supplementwinkel
a' = 180° - a, b' = 180° - ß, c' = 180° - 7, C 180a)
168 3. Geometrie
180° - a, ß' = 180° - b,
7
180°
C.180b)
3.4.1.6 Eulersche und Nicht—Eulersche Dreiecke
Die Eckpunkte A, B, C des sphärischen Dreiecks teilen jeden Großkreis durch zwei Eckpunkte im
allgemeinen in zwei ungleiche Teile. Dadurch entstehen mehrere verschiedene sphärische Dreiecke, z.B. auch
das sphärische Dreieck mit den Seiten af, 6, c und der in Abb.3.92a schattierten Fläche. Gemäß einer
Festsetzung von Euler werden für die Seiten des sphärischen Dreiecks nur die Großkreisbogen gewählt,
die kleiner als 180° sind Das entspricht der Definition der Seiten als sphärische Abstände zwischen den
Dreieckspunkten. In diesem Zusammenhang bezeichnet man sphärische Dreiecke, bei denen jede
Seite und jeder Winkel kleiner als 180° ist, als EuLERsche Dreiecke, anderenfalls als Nicht- EULERsche
Dreiecke Die Abb.3.92b zeigt ein EuLERsches und ein Nicht-EuLERsches Dreieck.
3.4.1.7 Dreikant
oder Triederecke wird eine dreiseitige körperliche Ecke genannt, die von drei, von einem Scheitelpunkt
O ausgehenden Strahlen sa, s&, sc (Abb.3.93a), den Kanten, gebildet wird Als Seiten des Dreikants
definiert man die Winkel a, b und c, die von je zwei der Kanten eingeschlossen sind Die Gebiete zwischen
zwei Kanten heißen Seitenflächen des Dreikants Die Winkel des Dreikants sind die Keilwinkel a, ß
und 7, die von je zwei der drei Seitenflächen eingeschlossen werden Ein Dreikant schneidet aus einer
Kugel um den Scheitelpunkt O ein sphärisches Dreieck aus (Abb.3.93b). Die Seiten und Winkel des
sphärischen Dreiecks und des zu ihm gehörenden Dreikants sind einander gleich Deshalb gelten Sätze,
die für den Dreikant hergeleitet wurden, auch für das zugehörige sphärische Dreieck und umgekehrt
a) b)
Abbildung 3.93
3.4.2 Haupteigenschaften sphärischer Dreiecke
3.4.2.1 Allgemeine Aussagen
Für ein EuLERsches Dreieck mit den Seiten a, b und c, denen die Winkel a, ß und 7 gegenüberliegen,
gilt
1. Summe der Seiten Die Summe der Seiten liegt zwischen 0° und 360°
0°<a + b + c< 360° C 181)
2. Summe zweier Seiten Die Summe zweier Seiten ist größer als die dritte, z.B.
a + b>c C.182)
3. Differenz zweier Seiten Die Differenz zweier Seiten ist kleiner als die dritte Seite, z B.
\a - b\ < c C 183)
4. Summe der Winkel Die Summe der Winkel liegt zwischen 180° und 540°:
180° < a + ß + 7 < 540° . C 184)
5. Sphärischer Exzeß Die Differenz C.185) wird sphärischer Exzeß genannt
e = a + ß + 7 - 180° C 185)
3.4 Sphärische Trigonometrie 169
6. Summe zweier Winkel Die Summe zweier Winkel ist kleiner als der um 180° vergrößerte dritte
Winkel, z.B.
a + /?<7+180°. C.186)
7. Gegenüberliegende Seite und Winkel Der größeren Seite liegt der größere Winkel gegenüber
und umgekehrt
8. Flächeninhalt Der Flächeninhalt Ad eines sphärischen Dreieckes kann mit Hilfe des sphärischen
Exzesses e und dem Kugelradius R gemäß
AD = eR2 ¦ — = — = R2 arce C.187a)
180° q K '
berechnet werden, wobei q der Umrechnungsfaktor C 176c) ist Nach dem Satz von GiRARD gilt mit
AK als Kugeloberfläche
AD = 4^e C 187b)
720° v
Ist nicht der Exzeß, sondern sind die Seiten bekannt, dann kann e mit Hilfe der Formel von L'HuiLlER
C.202) berechnet werden.
3.4.2.2 Grundformeln und Anwendungen
Die Bezeichnungen der Größen dieses Abschnittes entsprechen denen von Abb.3.89
1. Sinussatz
2££ = 5E£ C 188a) «£6 = «E£i C188b) sinc = sin7 C 18gc)
sino smp sine sin 7 sina sina
Die Gleichungen C 188a) bis C 188c) lassen sich auch als fortlaufende Proportionen schreiben, d.h.,
im sphärischen Dreieck verhalten sich die Sinus der Seiten wie die Sinus der Gegenwinkel-
sina = sinfc sine
sin öl sin ß sin 7
Der Sinussatz der sphärischen Trigonometrie entspricht dem Sinussatz der ebenen Trigonometrie.
2. Kosinussatz oder Seitenkosinussatz
cos a = cos 6 cos c + sin 6 sin c cos a , C.189a) cos 6 = cos c cos a + sine sina cos ß, C.189b)
cos c = cos a cos b + sin a sin b cos 7 C 189c)
Der Seitenkosinussatz der sphärischen Trigonometrie entspricht dem Kosinussatz der ebenen
Trigonometrie Die Bezeichnung Seitenkosinussatz bringt zum Ausdruck, daß dieser Satz die drei Seiten des
sphärischen Dreiecks enthält.
3. Sinus-Kosinussatz
sin a cos ß = cos b sin c — sin b cos c cos a , C.190a)
sin a cos 7 = cos c sin b — sin c cos b cos a C.190b)
Vier weitere Gleichungen können durch zyklische Vertauschung gewonnen werden (Abb.3.34)
Der Sinus- Kosinussatz entspricht dem Projektionssatz der ebenen Trigonometrie. Da er fünf Größen
des sphärischen Dreiecks enthält, wird er nicht unmittelbar zur Berechnung sphärischer Dreiecke
benutzt, sondern hauptsächlich zur Ableitung weiterer Gleichungen.
4. Winkelkosinussatz oder polarer Kosinussatz
cosa = — cos ß cos 7 + sin ß sin 7 cos a , C.191a)
cos/? = — cos 7 cos öl + sin 7 sin a cos b, C.191b)
cos 7 — - cos öl cos ß + sin a sin ß cos c C 191c)
170 3. Geometrie
Der Winkelkosinussatz enthält die drei Winkel des sphärischen Dreiecks und jeweils eine der drei Seiten
Mit ihm können aus einer Seite und den beiden anliegenden Winkeln der dritte Winkel bzw. aus den
drei Winkeln eine Seite des Dreiecks oder alle drei Seiten berechnet werden Im Unterschied dazu ergibt
sich beim ebenen Dreieck der dritte Winkel aus der Winkelsumme von 180°
Hinweis: Aus drei gegebenen Winkeln läßt sich beim ebenen Dreieck keine Seite berechnen, da sich
damit unendlich viele, einander ähnliche Dreiecke ergeben.
5. Polarer Sinus-Kosinussatz
sin a cos b — cos ß sin 7 + sin ß cos 7 cos a , C 192a)
sin a cos c = cos 7 sin ß + sin 7 cos ß cos a. C 192b)
Vier weitere Gleichungen können durch zyklische Vertauschung gewonnen werden (Abb.3.34)
Wie der Winkel-Kosinussatz werden auch die Formeln des Polaren Sinus-Kosinussatzes weniger zur
unmnittelbaren Dreiecksberechnung verwendet, als vielmehr zur Herleitung weiterer Formeln
6. Halbwinkelsatz
Zur Berechnung eines Winkels eines sphärischen Dreiecks aus seinen drei Seiten kann der
Seiten-Kosinussatz verwendet werden. Der Halbwinkelsatz bietet in Analogie zum Halbwinkelsatz der ebenen
Trigonometrie die Möglichkeit, den Winkel aus der numerisch günstigeren Tangensfunktion zu berechnen
OL
tan —
2
tan-
= \
sin(s — b) sin(s — c)
sinssin(s — a)
sin(s — a) sin(s — b)
sin s sin(s — c)
C.193a)
C.193c)
sin(s — c) sin(s — a)
f ß
tan — = a 1 : 7—, Tv-
2 \\ smssin(s — b)
C 193b)
^a + b + c Cl93d)
Wenn aus drei Seiten eines sphärischen Dreiecks alle drei Winkel zu berechnen sind, kann die folgende
Berechnung günstiger sein:
tan —
2 sin(s — a)
C.194a)
f ß
tan —
2 sin(s — b) '
tan —
2 sin(s — c)
mit
C 194b)
C 194c)
k =
sin(s — a) sin(s — b) sin(s — c)
C 194d)
a + b + c
C.194e)
7. Halbseitensatz
Mit dem Halbseitensatz kann die Aufgabe, aus den drei Winkeln des sphärischen Dreiecks eine Seite
oder alle drei Seiten zu berechnen, gelöst werden.
a
cot-
cos(cr — ß) cos(cr — 7)
2 V — coscrcos(cr — a)
COt2^\\
cos((T — a) cos(cr — ß)
- cos a cos(cr — 7)
, C 195a)
, C 195c)
oder
cot
k'
2 cos(cr — a)
,C 196a) cot-
k'
cot
cos(cr — 7) cos(cr — a)
2 ^ — cos a cos [g — ß)
a + ß + 7
2 cos (o- - ß)
, C 196b) cot - =
k'
2 cos(cr — 7)
C 195b)
C 195d)
C.196c)
3 4 Sphärische Trigonometrie 171
mit
k,_lco8(*-a)co8(*-ß)<X*(°-y)i C196d) ^a+l+j ^^
Für die Winkelsumme des sphärischen Dreiecks gilt gemäß C.184)
180° <2a < 540° oder 90° < a < 270° , C.197)
so daß stets cos er < 0 sein muß. Außerdem sind wegen der Festlegungen über EuLERsche Dreiecke alle
vorkommenden Wurzeln reell.
Abbildung 3 94 Abbildung 3.95
8. Anwendungen der Grundformeln der sphärischen Geometrie
Mit Hilfe der angegebenen Grundformeln können z.B. Entfernungen und Azimute bzw Kurswinkel auf
der Erde bestimmt werden.
¦ A: Es ist die kürzeste Entfernung zwischen Dresden (Ai = 13°46',(^i = 51°16') und Alma Ata
(A2 = 76°55/, (p2 = 43°18/) zu berechnen.
Lösung: Die geographischen Koordinaten (Ai,<pi), (A2,</?2) und der Nordpol N (Abb.3.94) liefern
zwei auf Meridianen liegende Seiten a = 90° - ip2 und b = 90° — ipi des Dreiecks P\P2N sowie den
eingeschlossenen Winkel 7 = A2 — Ai. Für c = e folgt aus dem Kosinussatz C.189a)
cos c = (cos a cos b + sin a sin 6 cos c),
cos e = cos(90° — (fi) cos(90° — </?2) + sin(90° — (fi) sin(90° — </?2) cos(A2 — Ai)
= sin (fi sin ip2 + cos ipi cos </?2 cos(A2 — Ai), C.198)
also cose = 0,53498 + 0,20567 = 0,74065, e = 42,213° Der Großkreisabschnitt PXP2 hat gemäß
C.176a) die Länge 4694 km.
¦ B: Es sind die Kurswinkel 8\ und S2 bei Abfahrt und Ankunft sowie die Entfernung in Seemeilen
für eine Schiffsreise auf einem Großkreis von Bombay (Ai = 72°48', tpi = 19°00') nach Dar es Saalam
(A2 = 39° 28', if2 = -6°49') zu berechnen.
Lösung: Die Berechnung der zwei Seiten o = 90° — (fi = 71°00', b = 90° — (p2 = 96049' sowie des
eingeschlossenen Winkels 7 = Ai — A2 = 33°20' im spärischen Dreieck P\P2N aus den
geographischen Koordinaten (Ai, <pi), (A2, (f2) (Abb.3.95) mit Hilfe des Kosinussatzes C.189c) cosc = cose =
cos a cos b + sin a sin bcos 7 liefert P\P2= e = 41,777°, und wegen V « 1 sm ergibt sich PiP2~ 2507 sm.
... . n • 1 • ii cosa — cos6cosc _., rt,o0 ,
Mit dem beitenkosmussatz erhält man a = arecos = 51,248 und
sin 0 sin c
cos b cos cl cos c
ß = arecos : : - 125,018° . Somit ist 5X = 360° - ß = 234,982° und S2 = 180° + a =
sm a sin c
231,248°.
172 3 Geometrie
Hinweis: Die Verwendung des Sinussatzes zur Berechnung von Seiten und Winkeln ist nur dann
sinnvoll, wenn aus der Aufgabenstellung ersichtlich ist, ob diese spitz oder stumpf sind
3.4.2.3 Weitere Formeln
1. Delambresche Gleichungen
In Analogie zu den MOLLWEiDEschen Formeln der ebenen Trigonometrie sind von Delambre die
entsprechenden Formeln für sphärische Dreiecke angegeben worden
a — ß a + b . a—ß . a—b
cos sin —-— sin —-— sin —-—
r^— = §— . C 199a) \- = ——2— , C 199b)
sin — sin - cos — sin -
2 2 2 2
a+ß a+b . a+ß a-b
cos cos sin cos —-—
i;— = g— , C 199c) 2_ = 2_ C 199d)
sin — cos - cos — cos -
2 2 2 2
Da bei Anwendung der zyklischen Vertauschung jede Gleichung zwei weitere ergibt,- sind insgesamt 12
DELAMBREsche Gleichungen möglich
2. Nepersche Gleichungen und Tangenssatz
a—b a—b
a_ß sin—— 7 a + ß cos——
tan - = f-r cot j-, C 200a) tan —-- = f-r cot ^ , C 200b)
2 . a + b ^ 2 2 a+b 2
sin —-— cos —-—
2 2
. a-ß a-ß
a-b sin-—— c a>b cos c
tan = f-j tan - , C 200c) tan —— = f-j tan - C 200d)
2 . a + ß 2 2 a + ß 2 v '
sin cos
2 2
Diese Gleichungen heißen auch NEPERsche Analogien Aus ihnen werden die zum Tangenssatz der
ebenen Trigonometrie analogen Formeln hergeleitet
a — b a — ß b — c ß- 7
tan tan —-— tan ——— tan —-—
TT = ~ T-ö. C 201a) rr- = ^T" , C 201b)
A a+b ^ a+ß v ' ^ b+c ß+l
tan tan tan tan
2 2 2 2
c — a 7 — a
tan —-— tan —-—
2 = 2 '
c + a 7 + a
tan —-— tan -
C 201c)
2 2
3. l'Huiliersche Gleichungen
Die Berechnung der Fläche eines sphärischen Dreiecks kann mit Hilfe des Exzesses e erfolgen. Dieser
kann gemäß C 187a) aus den bekannten Winkeln a, ß, 7 berechnet werden oder, wenn die drei Seiten
a, b. c bekannt sind, gemäß C 194a) bis C.194e) über die berechenbaren Winkel Die L'HuiLiERsche
Gleichung ermöglicht jedoch die unmittelbare Berechnung von e aus den Seiten
f ss a s — b s — c
tan - = Wtan - tan —-— tan —-— tan —-— . C.202)
4 V 2 2 2 2 v '
Die Gleichung entspricht der HERONischen Flächenformel C 103), S 147 der ebenen Trigonometrie.
3.4 Sphärische Trigonometrie 173
3.4.3 Berechnung sphärischer Dreiecke
3.4.3.1 Grundaufgaben, Genauigkeitsbetrachtungen
Die verschiedenen Fälle, die bei der Berechnung sphärischer Dreiecke auftreten können, werden in
sogenannte Grundaufgaben eingeordnet. Für jede Grundaufgabe des schiefwinklig sphärischen Dreiecks
sind mehrere Lösungswege möglich, je nachdem, ob die Lösung nur mit den Grundformeln C 188a) bis
C.192b) oder auch mit den Formeln C.193a) bis C.202) erfolgt und ob nur eine Größe im Dreieck oder
mehrere Größen gesucht sind.
Formeln, die die Tangensfunktion enthalten, liefern numerisch genauere Ergebnisse, besonders im
Vergleich zur Berechnung eines Bestimmungsstückes aus der Sinusfunktion, wenn dessen Wert in der Nähe
von 90° liegt, und aus der Kosinusfunktion, wenn der Wert des Bestimmungsstückes in der Nähe von 0°
oder 180° liegt. Für EuLERsche Dreiecke ergeben sich außerdem die aus der Sinusfunktion berechneten
Stucke zweideutig, da die Sinusfunktion in den beiden ersten Quadranten positiv ist, während die aus
den übrigen Funktionen berechneten Stücke eindeutig erhalten werden.
3.4.3.2 Rechtwinklig sphärisches Dreieck
1. Spezielle Formeln
Im rechtwinklig sphärischen Dreieck ist einer der drei Winkel gleich 90° Die Seiten lind Winkel werden
analog zum ebenen rechtwinkligen Dreieck bezeichnet. Wenn wie in Abb.3.96 7 ein rechter Winkel ist,
dann heißt die Seite c Hypotenuse, a und b heißen Katheten und a und ß sind die Kathetenwinkel Aus
den Gleichungen C.188a) bis C 202) folgt für 7 = 90°:
sin a = sin a sin c,
cos c = cos a cos b,
tan a = cos ß tan c,
tan b = sin a tan ß,
cos öl = sin ß cos a ,
C 203a)
C 203c)
C 203e)
C.203g)
C 203i)
TVeten bei bestimmten Aufgaben andere Seiten und Winkel auf,
sin 6 = sin ß sin c,
cos c = cot öl cot ß,
tan b = cos a tan c,
tan a = sin b tan a ,
cos ß = sin öl cos b
z B anstelle von a, /?,
C 203b)
C 203d)
C 203f)
C 203h)
C.203J)
7 die Größen
Abbildung 3 96 Abbildung 3.97
6,7, a , dann können die erforderlichen Gleichungen durch zyklische Vertauschung gewonnen werden.
Für Berechnungen in rechtwinklig sphärischen Dreiecken geht man im allgemeinen von 3 gegebenen
Größen aus, dem Winkel 7 = 90° und zwei weiteren Stücken. Es ergeben sich dann 6 Grundaufgaben,
die in Tabelle 3.8 zusammengestellt sind.
2. Nepersche Regel
Die NEPERsche Regel faßt die Gleichungen C.203a) bis C 203j) zusammen. Wenn die 5
Bestimmungsstücke eines rechtwinklig sphärischen Dreiecks ohne Berücksichtigung des rechten Winkels in einem
Kreis in der gleichen Reihenfolge angeordnet werden wie im Dreieck und wenn dabei die Katheten a, b
durch ihre Komplementwinkel 90° — a und 90° — b ersetzt werden (Abb.3.97), dann gilt:
1. Der Kosinus jedes Bestimmungsstücks ist gleich dem Produkt der Kotangensfunktionen seiner
beiden anliegenden Bestimmungsstücke.
2. Der Kosinus jedes Bestimmungsstücks ist gleich dem Produkt aus den Sinus der nicht anliegenden
Bestimmungsstücke
174 3. Geometrie
Tabelle 3.8 Bestimmungsgrößen sphärischer rechtwinkliger Dreiecke
Grundaufgabe
1.
2.
3
4
5
6
Gegebene
Bestimmungsgrößen
Hypotenuse und eine
Kathete c, a
Zwei Katheten a, b
Hypotenuse und ein
Winkel c, a
Kathete und der
anliegende Winkel a, ß
Kathete und der
gegenüberliegende Winkel a, a
Zwei Winkel a, ß
Nummern der Formeln zur
Bestimmung der übrigen Größen
a C 203a), ß C 203e), b C 203c)
öl C 203h), ß C 203g), c C 203c)
a C 203a), b C 203f), /? C 203d)
c C.203e), 6 C.203J), a C 203i)
6 C 203h), c C.203a), ß C.203i)
aC.203i),6C.203j),cC.203d)
X
N"
y
»Geogr
>nord
y \
'" Gitter-
/nord
k'
P'
\m' y
—\ ?
b)
Abbildung 3.98
A: cosa = cot(90° - b) cotc= -^- (s. C 203f).
Abbildung 3 99
¦ B: cos(90° - a) = sine sin a = sina (s C 203a))
¦ C: Das Gradnetz einer Kugel ist auf einen Zylinder abzubilden, der die Kugel in einem Meridian
berührt. Der Beruhrungsmeridian und der Äquator bilden die Achsen eines GAUSS-KRÜGER-Systems
(Abb.3.98a,b).
Lösung: Ein Punkt P der Kugeloberfläche wird zu P' der Ebene. Der Großkreis g durch P senkrecht
zum Berührungsmeridian bildet sich als Gerade g' senkrecht zur x -Achse und der Kleinkreis k durch P
parallel zum Berührungsmeridian als Gerade k' parallel zur x-Achse ab. Der Meridian m durch P hat
als Bild keine Gerade, sondern eine Kurve m'. Die nach oben zeigende Richtung der Tangente von m'
in P' gibt die geographische Nordrichtung an, die nach oben zeigende Richtung von k' die geodätische
Nordrichtung Der Winkel 7 zwischen beiden Nordrichtungen heißt Meridiankonvergenz
Im rechtwinklig sphärischen Dreieck QPN mit c = 90° — (p, und b = rj ergibt sich 7 aus a — 90° — 7.
tvt , , , ^ tan b . .nn x tan r?
Nach der NEPERschen Regel ist cosa = oder cos(90 — 7) = ; -
tanc v ' tan(90°-</?)
, sin 7 = tan 77 tan <p
3.4 Sphärische Trigonometrie 175
Da 7 und 77 meist klein sind, folgt mit sin 7 « 7, tan 77 « 77 daraus 7 = 77 tan <p. Die Längenverzerrung
y
7 dieses Zylinderentwurfes ist bei kleinen Abständen 77 gering, und es kann 77 = — gesetzt werden,
H
y
wobei y der Rechtswert von P ist Man erhält 7 = — tan (p. Die Umrechnung von 7 aus dem Bogen-
R
ins Gradmaß ergibt für ip = 50°, y = 100 km eine Meridiankonvergenz von 7 = 0,018706 bzw 7 =
1°04'19"
Tabelle 3.9 Grundaufgaben 1 und 2 für sphärische schiefwinklige Dreiecke
1. Grundaufgabe
Geg.- 3 Seiten a, 6, c
Bedingungen
0°<a + 6 + c< 360°,
a + b > c, a + c> b, b + c> a
1. Lösung. Gesucht a
cos a — cos b cos c
cos a = ; oder
sin b sin c
a sm(s — b) sm(s — c)
tan — = \ : 7—, v— ¦
2 V sinssin(s — a)
s = ¦
a + b + c
2 Lösung- Gesucht a, ff, 7
fc =
a
tan —
sin(s — a) sin(s — b) sin(s — c)
sin 5
k 0 k
tan — =
2 sin(s — a) ' 2 sin(s — 6) '
7 A:
tan- = -7-7 r
2 sin(s — c)
Proben- (s — a) + (s — b) + (s — c) = s,
a /? 7 .
tan — tan — tan — sin s = A;
2 2 2
2. Grundaufgabe
Geg 3 Winkel q, ff, 7
WWW
Bedingungen:
180° < öl + ff + 7 < 540° ,
a + ff < 180° + 7, a + 7 < 180° + ff,
ff + 7 < 180° + a.
1. Lösung: Gesucht a
cos a + cos ff cos 7
cos a = :—— oder
sin ff sin 7
a /cos(cr — ff) cos(cr — 7)
2 V ~ cos a cos(cr — a)
a + ff + 7
2. Lösung: Gesucht a, 6, c
cos(cr — a) cos(cr — ff) cos(cr — 7)
k' ¦¦
— cos er
a k' b k'
COt — = ; , COt — = —r ,
2 cos(cr — a) 2 cos(cr — ff)
c k'
cot - = -
2 cos(cr — 7)
Proben: (er — a) + (a — ff) + (a — 7) = a,
cot - cot - cot -(— cos g) = K
3.4.3.3 Schiefwinklig sphärisches Dreieck
Bei 3 gegebenen Stücken unterscheidet man wie im Falle der rechtwinkligen sphärischen Dreiecke 6
Grundaufgaben Die Bezeichnungen für die Winkel sind a, ff, 7 und a, 6, c für die ihnen
gegenüberliegenden Seiten (Abb.3.99)
In den Tabellen 3.9, 3.10, 3.11 und 3.12 ist zusammenfassend dargestellt, mit welchen Formeln
welche Bestimmungsstücke im Rahmen der 6 Grundaufgaben über verschiedene Lösungswege bestimmt
werden können.
Die Lösung der 3., 4., 5. und 6. Grundaufgabe kann auch durch Zerlegung des vorliegenden
schiefwinklig sphärischen Dreiecks in zwei rechtwinklig sphärische Dreiecke herbeigeführt werden. Dazu wird für
die 3. und 4 Grundaufgabe (Abb.3.100, Abb.3.101) von B das sphärische Lot auf AC bis D gefällt
und für die 5 und 6 Grundaufgabe (Abb.3.102) von C auf AB bis D.
Im Spaltenkopf der Tabellen 3.9, 3.10, 3.11 und 3.12 sind die für die jeweilige Grundaufgabe
gegebenen Seiten und Winkel mit S bzw. W gekennzeichnet. So bedeutet z.B. SWS Zwei Seiten und der
eingeschlossene Winkel sind gegeben.
¦ A: Eine dreiseitige Pyramide hat die Grundfläche ABC und die Spitze S (Abb.3.103) Die
Seitenflächen ABS und BCS schneiden sich unter 74°18', BCS und CAS unter 63°40' und CAS und ABS
unter 80°00' Wie groß sind die Winkel, unter denen sich je zwei der Kanten AS, BS und CS schneiden?
176 3 Geometrie
Tabelle 3 10 Grundaufgabe 3 für sphärische schiefwinklige Dreiecke
3. Grundaufgabe
geg : 2 Seiten und der eingeschlossene Winkel, z.B. a, 6, 7
SWS
Bedingungen Keine
1 Lösung- Gesucht c bzw. c und a .
cos c = cos a cos b + sin a sin b cos 7 ,
sin a sin 7
sm a =
sine
a kann im I. oder IL Quadranten
liegen Entscheidung durch Satz:
Der größeren Seite liegt der
größere Winkel gegenüber oder
Kontrollrechnung-
> öl im I. Q
cos a — cos b cos c < 0 —> a -im jj q
2.Lösung Gesucht a bzw. a und c.
tan u = tan a cos 7
tan 7 sin u
tana =
sinF — u)
tanF — w)
tanc =
cos a
3 Lösung- Gesucht a und (oder) /?.
a — b
a + ß cos^~ 7
tan —-— = 7-7- cot —
2 a + 6 2
tan
—tt^- = fr cot ^
2 . a+b 2
sin^-
a -/?
(-90° < —-^ < 90°)
a + /? a - /?
/? =
a + /3 a-/?
2 2 ' " 2
4. Lösung: Gesucht a, ß, c.
a — b 7
a + /?_cos — cos- ^ z
2 ~ a + & . 7 ~ N '
cos sin -
.a — b 7
a-0 sin-T~C0S2 Z'
tan
tan
2 . a + 6 . 7 N'
sin sin —
2 2
(-90° < ^^ < 90°)
a + ß a-ß q + /? QL-ß
. c Z'
sin « = ö
2 . a-/?
cos t: — r~ö >
2 . üf+ /? '
sin —-— sin ——
2 2
Probe- Doppelte Berechnung von c
Abbildung 3 100
Abbildung 3 101
Abbildung 3 102
Lösung: Aus einer Kugelfläche um die Spitze S der Pyramide schneidet das Dreikant (Abb.3.103) ein
sphärisches Dreieck mit den Seiten a, 6, c aus Die Winkel zwischen den Seitenflächen sind die Winkel
des sphärischen Dreiecks, die gesuchten Winkel zwischen den Kanten sind seine Seiten Die
Bestimmung der Winkel a, b, c entspricht der 2. Grundaufgabe. Die 2. Lösung in Tabelle 3.9 liefert:
a = 108°59', o - Ol = 28°59', o - ß = 34°41', a - 7 = 45°19', k'
1,425514, cot \ = 1,516440, cot £ = 1,773328.
2 2
1,246983, cot-
3.4 Sphärische Trigonometrie 177
Tabelle 3.11 Grundaufgabe 4 für sphärisch schiefwinklige Dreiecke
4 Grundaufgabe
geg. 1 Seite und die zwei anliegenden Winkel, z.B. a, ß, c
WSW
Bedingungen- Keine
1. Lösung: Gesucht 7 bzw. 7 und a
cos 7 = — cos a cos ß 4- sin a sin /? cos c,
sin 7
a kann im I. oder IL Quadranten liegen.
Entscheidung durch Satz: Dem größeren
Winkel liegt die größere Seite gegenüber
oder Kontrollrechnung-
> öl im I Q
cos öl + cos ß cos 7 £ 0 —? a im n Q
2 Lösung: Gesucht a bzw. a und 7 .
tan c cos a
cot /i = tan a cos c, tan a = ¦
cos(/? — fi) '
tan 7 =
COt(ß — jl)
cosa
3. Lösung Gesucht a und (oder) 6.
a-ß
a + b cos^— c
tan ——- = ^—n tan - ,
2 OL + ß 2
tan-
a — b
a-ß
a + ß
-—tan-
(-90° < ^ < 90°),
a + b a-b , a + b
4. Lösung. Gesucht a, b, 7.
a-0 .
a — b
2
tan-
a + 6
TV'
a-<
Q + /? C
cos —-— cos -
2 n 2
. OL — ß , C
sin —-— sin - 7/
2 2 _'z
tan —-— — —ö — TT,
2 . a + ß c Nf
sin —-— cos -
2 2
(90° < ^— < 90°),
a+b a—b a+b a—l
fl = —+ —' b=~2 2"
. 7 Z 7 Z'
sin — = —T-, cos - = r .
2 .a+o 2 .a—b
sin sin —-—
2 2
Probe. Doppelte Berechnung von 7.
Abbildung 3.103
Abbildung 3 104
¦ B Funkpeilung: Durch Funkpeilung von zwei festen Stationen Pi{\i,(pi) und P2(^2, ^2) wurden
die Azimute 81 und 52 der von einem Schiff ausgesandten Funkwellen gepeilt (Abb.3.104). Gesucht
sind die geographischen Koordinaten des Standortes P0 des Schiffes. Die in der Nautikuntei dem Namen
Fremdpeilung bekannte Aufgabe stellt einen Vorwärtseinschnitt auf der Kugel dar und wird ähnlich dem
178 3 Geometrie
Tabelle 3.12 Grundaufgaben 5 und 6 für sphärische schiefwinklige Dreiecke
5. Grundaufgabe
SSW
Geg . 2 Seiten und der einer Seite
gegenüberliegende Winkel, z.B. a, 6, a
6 Grundaufgabe
wws
Geg.: 2 Winkel und die einem Winkel
gegenüberliegende Seite, z.B. a, a, ß
Bedingungen: Siehe Fallunterscheidungen
Bedingungen Siehe Fallunterscheidungen.
Lösung- Gesucht beliebige fehlende Größe.
. sin b sin a rt __r _ _ ...
sm ß = 2 Werte ß\, ß2 möglich
sino
Es sei ßi spitz und ß2
Fallunterscheidung.
_ sin b sin a
> 1
Lösung. Gesucht beliebige fehlende Größe
. sinasin/? ^ TT7
sm o = : 2 Werte Oi, 02 möglich.
180°
sina
sin b sin a
sina
sin b sin a
ßi stumpf.
0 Lösungen.
1 Lösung ß = 90°
sina
Es sei 61 spitz und b2
Fallunterscheidung:
n sin a sin ß
< 1
3.1 1.
3.1.2
3.2.
3 2.1
3.2.2
1 Lösung ß\.
1 Lösung ß2
sina
sin a > sin b
b <90°
b >90°
sin a < sin b
a < 90°, a < 90°
a > 90°, öl > 90°
a < 90° , a > 90° 1 n T ..
a>90o,a<90oHLoSungen
Weitere Berechnung mit einem Winkel oder 2
Winkeln ß.
' 1 2 Lösungen
7 Ä,Ä.
3
31
3 1.1,
312
3 2.
sina
sin a sin ß
sina
sin a sin ß
180° - ßi stumpf
0 Lösungen.
1 Lösung b = 90°.
< 1
sma
sina > sin/3
ß <90° 1 Lösung 61.
/? > 90° 1 Lösung b2
sina < sin/3
3.2.1
322
a > 90°, a > 90°
a < 90°, a > 90°
a > 90°, a < 90°
Weitere Berechnung mit einer Seite oder 2
Seiten b:
, > 0 Lösungen
1. Weg
tan u = tan b cos a ,
tan v = tan a cos /?,
c = n + v ,
cot (p — cos 6 tan a,
cot ^ = cos a tan /3,
7 =(p + ip.
2. Weg-
c a + frc
tan - = tan —-—
2 2
a + /3
a-/3 '
cos——
. a + ß
\sm —^—
= tan-
2 . OL -
sin —
a — b
7 a + /3cos"^
tan - = cot — -
2 2
= COt
. a + b
sin—
. a — b
a-/?sin —
2 . a + 6
sm
2
c 7
Probe: Doppelte Berechnung von - und -
U ü—
Vorwärtseinschnitt in der Ebene gelöst (s. 3.2,2 3,1., S. 151).
1. Berechnung im Dreieck PiP2N: Im Dreieck PiP2N sind die Seiten PXN = 90° - tpu P2N =
90° — cp2 und der Winkel <^ P\NP2 = \2 — Ai = AA gegeben Berechnung der Winkel £ £1, e2 und der
Strecke P\P2 = e gemäß 3. Grundaufgabe.
2. Berechnung im Dreieck PiP2Po: Da £1 = 8\ — £1} £2 = 360° — (£2 + ^2), sind in P1P0P2 die Seite e
und die anliegenden Winkel £1 und £2 bekannt. Berechnung der Seiten e\ und e2 gemäß 4. Grundaufgabe,
3. Lösung. Die Koordinaten des Punktes P0 sind aus dem Azimut und der Entfernung gegen P\ oder
P2, also doppelt berechenbar.
3. Berechnung im Dreieck NPxPq\ Im Dreieck NP1P0 sind die zwei Seiten NPX = 90° -(pu PiP0 =
ei und der eingeschlossene Winkel 5\ gegeben. Nach der 3. Grundaufgabe, 1. Lösung, werden die Seiten
3 4 Sphärische Trigonometrie 179
TV Po = 90° — <po und der Winkel AAi berechnet. Zur Kontrolle werden im Dreieck NP0P2 ein zweites
Mal NP0 = 90° — </?o und der Winkel AA2 berechnet. Damit sind die Länge Ao = Ai + AAi = A2 — AA2
und die Breite ip0 des Punktes Po bekannt
3.4.3.4 Sphärische Kurven
Ein wichtiges Einsatzgebiet der sphärischen Trigonometrie ist die Navigation. Eine ihrer Aufgaben
besteht in der Wahl von Kurswinkeln, die optimale Wegstrecken ermöglichen. Andere
Anwendungsgebiete sind das geodätische Vermessungswesen (s. z.B. [3.12], Programme und Rechenbeispiele) sowie
Roboter-Bewegungsabläufe.
1. Orthodrome
1. Begriffsbestimmung Die Geodätischen der Kugeloberfläche - das sind Kurven, die zwei
Punkte A und B auf dem kürzesten Weg miteinander verbinden - heißen Orthodromen oder Großkreise
(s. 3.4.1,3., S. 163).
Abbildung 3 105
Abbildung 3 106
2. Gleichung der Orthodrome Bewegungen auf Orthodromen - die Meridiane und der Äquator
ausgenommen - sind mit der Notwendigkeit einer ständigen Kursänderung verbunden. Solche
Orthodromen mit ortsabhängigen Kurswinkeln a können eindeutig unter Zuhilfenahme ihres
nordpolnächsten Punktes Pn(An,</?n) beschrieben werden, wobei (pu > 0° ist. Im nordpolnächsten Punkt hat die
Orthodrome den Kurswinkel «n = 90°. Die Gleichung der Orthodrome durch Pn und den laufenden
Punkt Q(Aq, ipo), dessen relative Lage zu Pn beliebig ist, ergibt sich nach der NEPERschen Regel gemäß
Abb.3.105als:
tan <£N cos(A — An) = tan <$ C.204)
Nordpolnächster Punkt: Die Koordinaten des nordpolnächsten Punktes Pn(An, ^n) einer
Orthodrome mit dem Kurswinkel a^ (gla ^ 0°) durch den Punkt A(\A, <pa) (va ^ 90°) ergeben sich unter
Berücksichtigung seiner relativen Lage zu Pn sowie des Vorzeichens von c*a nach der NEPERschen
Regel gemäß Abb.3.106 als-
</?n = arccos(sin \aA\ cos<pa) C.205a) und An = A^ + sign(a^)
tan ifA
tan<y?N
C 205b)
Hinweis: Liegt eine berechnete geographische Länge A nicht im Definitionsbereich —180° < A < 180°,
dann ergibt sich für A ^ ±k • 180° {k € IN) die reduzierte geographische Länge Ared zu
Ared = 2 arctan (tan - ] . C 206)
Man spricht in diesem Zusammenhang von Rückversetzung des Winkels in den Definitionsbereich
Äquatorschnittpunkte: Die Aquatorschnittpunkte Pai(^Ai>0°) un<^ ^a2(^A2^°) ^er Orthodrome
ergeben sich gemäß C.204) wegen tan</?N cos(AA^ — An) = 0 (v = 1,2) zu
AAiy = ANT90° (i/ = 1,2) C.207)
180 3. Geometrie
Hinweis: Unter Umständen ist gemäß C 206) eine Ruckversetzung der Winkel erforderlich
3. Bogenlänge Verläuft die Orthodrome durch die Punkte A(Xa,<Pa) und B(\b,(Pb), dann liefert
der Seitenkosinussatz für den sphärischen Abstand d oder die Bogenlänge zwischen den beiden
Punkten.
d = arccos[sin ipA sin ipß + cos ifA cos <pB cos (Aß — A^)] C.208a)
Unter Berücksichtigung des Erdradius R läßt sich dieser Mittelpunktwinkel in eine Länge umrechnen.
d = arccos[sin ipA sin tps + cos ipA cos ipB cos(A# — Xa)] • —— . C 208b)
4. Kurswinkel Setzt man den Sinus- und Seitenkosinussatz zur Berechnung von sin ola und cos c*a
ein, so ergibt eine Division der Ergebnisse und anschließende Auflösung nach dem Kurswinkel ola'-
, cos ifA cos ifB sin(AB - XA)
ola = arctan : : :— . C.209)
sin <pb — sin ipA cos d
Hinweis: Mit den Formeln C.208a), C.209), C.205a) und C 205b) lassen sich die Koordinaten des
nordpolnächsten Punktes P^ einer durch zwei Punkte A und B festgelegten Orthodrome berechnen
5. Schnittpunkte mit einem Breitenkreis Für die Schnittpunkte Xi(Xxx, <Px) und X2{XX2> <Px)
einer Orthodrome mit dem Breitenkreis ip = (px ergibt sich gemäß C.204):
\Xv = AN =f arccos i^f2L (j/= 1,2) C 210)
tan(/?N
Nach der NEPERschen Regel gilt für die beiden Schnittwinkel axx und ax2, unter denen eine
Orthodrome mit dem nordpolnächsten Punkt Pn(An, </>n) den Breitenkreis tp = (px schneidet:
KJ = aresin ^^1 (i/= 1,2). C.211)
COS (pX
Für den minimalen Kurswinkel |amin| muß das Argument in der Arkussinusfunktion hinsichtlich der
Variablen (fx extremal sein Man erhält: sin (px — 0 =$¦ (px = 0, d h., in den Schnittpunkten mit dem
Äquator ist der Betrag des Kurswinkels minimal
\<*xmin\ = 90°-ipN C 212)
Hinweis 1: Lösungen von C.210) ergeben sich nur für \ipx\ < </?n •
Hinweis 2: Unter Umständen ist gemäß C.206) eine Rückversetzung der Winkel erforderlich.
6. Schnittpunkt mit einem Meridian Für den Schnittpunkt Y"(Ay,</?y) einer Orthodrome mit
dem Meridian A = Xy ergibt sich gemäß C.204):
<Py = arctan[tan<^NCOs(Ay — An)] . C.213)
2. Kleinkreis
1. Begriffsbestimmung Die Definition von Kleinkreisen auf der Kugeloberfläche erfordert eine
im Vergleich zur Begriffsbildung in 3.4 1,1., S 163 detailliertere Fassung: Danach ist ein Kleinkreis
der geometrische Ort aller Punkte, die von einem festen Punkt M(Am, <£m) auf der Kugeloberfläche
den sphärischen Abstand r (r < 90°) haben (Abb. 3.107). Mit M wird der sphärische Mittelpunkt
bezeichnet, r heißt spärischer Kleinkreisradius.
Die Kleinkreisebene ist die Grundfläche eines Kugelabschnitts mit der Höhe h (s. 3.3 4,14., S. 161) Der
sphärische Mittelpunkt M liegt oberhalb des Kleinkreismittelpunktes in der Kleinkreisebene. Dort hat
der Kreis den ebenen Kleinkreisradius r$ (Abb.3.108). Breitenkreise sind damit spezielle Kleinkreise
mit ipM = ±90° .
¦ Für r —? 90° geht der Kleinkreis in eine Orthodrome über.
2. Kleinkreisgleichungen Als Beschreibungsparameter lassen sich entweder M und r oder der
nordpolnächste Kleinkreispunkt Pn(An, Vn) und r verwenden. Ist der laufende Punkt auf dem
Kleinkreis Q(A, ip), so ergibt sich nach dem Seitenkosinussatz gemäß Abb.3.107 die Kleinkreisgleichung
cos r = sin (p sin ipM + cos ip cos (pM cos(A — A^) • C.214a)
3 4 Sphärische Trigonometrie 181
Kleinkreisebene
Abbildung 3 107
Abbildung 3 108
Daraus erhält man wegen ipM = <Pn — r und Am = An :
cos r = sirup sin(</?N ~~ r) + cos <P cos(<^n — r) cos(A — An) • C.214b)
¦ A: Für </?m = 90° ergeben sich aus C.214a) wegen cosr = sin<p =>¦ sin(90° — r) = sincp =*> ip =
const Breitenkreise
¦ B: Für r —> 90° ergeben sich aus C.214b) Orthodromen.
3. Bogenlänge Die Bogenlänge s zwischen zwei Punkten A(\a,<Pa) und B{\b,Vb) auf einem
Kleinkreis k läßt sich gemäß Abb.3.108 aus den Beziehungen - = ——, cosd = cos2 r + sin2 r cosa und
a 360°
r0 = Rs'mr gewinnen:
cos d — cos2 r itR
s = sin r arccos -
180°
C.215)
¦ Für r —? 90° wird der Kleinkreis zur Orthodrome, und aus C 215) und C 208b) folgt s = d.
4. Kurswinkel Gemäß Abb.3.109 schneidet die Orthodrome durch A(\a, (pA) undM(AM, Vm) den
Kleinkreis mit dem Radius r senkrecht Für den Kurswinkel aorth der Orthodrome gilt nach C 209):
cos <pa cos ipM sin (Am — A^)
aorth — arctan -
sin (Pm — sin ipA cos r
Damit ergibt sich für den gesuchten Kurswinkel ola des Kleinkreises im Punkt A:
ctA = (l^orthl'- 90°)sign(aOrth) •
C.216a)
C.216b)
Abbildung 3 109
Abbildung 3 110
5. Schnittpunkte mit einem Breitenkreis Für die geographischen Längen der Schnittpunkte
-Xi(A*i, tpx) und X2(\x2i <Px) des Kleinkreises mit dem Breitenkreis ip = tpx ergibt sich aus C.214a).
^xu — Am =F arccos
cos r — sin ipx sin <Pm
cos (px cos ipM
("=1,2)
C 217)
182 3. Geometrie
Hinweis: Unter Umständen ist gemäß C.206) eine Ruckversetzung der Winkel erforderlich
6. Tangier punkte Der Kleinkreis wird von zwei Meridianen, den Tangiermeridianen, in den
Tangierpunkten Ti^Tnipr) und T2(\t2,1Pt) berührt (Abb.3.110). Aus der Forderung, daß für sie das
Argument des Arkuskosinus in C 217) hinsichtlich der Variablen ipx extremal sein muß, erhält man*
VT = axaän^EtLi C.218a) Ar, = XM =F arccos C°ST ~ SinVxSi"v» („ = 1,2) C 218b)
cosr v cos (fX cos <pM
Hinweis: Unter Umständen ist gemäß C 206) eine Rückversetzung der Winkel erforderlich
7. Schnittpunkte mit einem Meridian Die Berechnung der geographischen Breiten der
Schnittpunkte Yi(Ay, (fYi) und l2(Ay, (fYz) des Kleinkreises mit dem Meridian A = Ay erfolgt gemäß C 214a)
mit den Gleichungen
. -AC ± BVA2 + B2-C2 , , rtX ,nrt^x
<pYv = arcsm _,9 (i/ = 1,2), C 219a)
A* + i?z
wobei gilt:
;4 = siny?M, 5 = cos<^MCOs(Ay — Am), C = —cosr. C.219b)
Für ^42 + £?2 > C2 gibt es im allgemeinen zwei verschiedene Lösungen, von denen jedoch eine entfällt,
wenn ein Pol auf dem Kleinkreis liegt.
Gilt A2 + B2 = C2 und liegt keiner der Pole auf dem Kleinkreis, dann berührt der Meridian den
Kleinkreis in einem Tangierpunkt mit der geographischen Breite (fYl = Py2 = V?t •
3. Loxodrome
1. Begriffsbestimmung Eine sphärische Kurve, die alle Meridiane unter konstantem Kurswinkel
schneidet, heißt Loxodrome oder Kursgleiche Breitenkreise (a = 90°) und Meridiane (a = 0°) sind
damit spezielle Loxodromen.
2. Gleichung der Loxodrome Die Abb.3.111 zeigt eine Loxodrome mit dem Kurswinkel a durch
den laufenden Punkt Q(A, ip) und den infinitesimal benachbarten Punkt P(\ + dA, <p + dip) Das
rechtwinklige sphärische Dreieck QCP kann wegen seiner differentiellen Ausmaße als ebenes Dreieck
angesehen werden Dann gilt:
Rcos(fd\ ,. tan ade? . nnn .
tana = ——~— => d\ = C.220a)
Rdip cos (p
Unter Berücksichtigung des Umstandes, daß die Loxodrome durch den Punkt A{\a, Wa) verlaufen soll,
ergibt sich daraus durch Integration die Gleichung der Loxodrome.
tan D5° + ^) 180o
A - A* = tan a In f -£Ar (a ^ 90°). C.220b)
tanU5° + ^M n
Ist A speziell der Schnittpunkt -PA(AA, 0°) der Loxodrome mit dem Äquator, so folgt daraus:
(p\ 180°
= tan a In tan 45'
D5°+ 2) " n (a ^ 9°0) C'220C)
Hinweis: Die Berechnung von AA kann mit C.225) erfolgen.
3. Bogenlänge Aus Abb.3.111 erkennt man den differentiellen Zusammenhang
cosa=™t^ds=™fL C 221a)
ds cos a
3.4 Sphärische Trigonometrie 183
.N N
P(A,+dÄ,,(p+d(p)
Abbildung 3 111
P(q>=0,A,=0)
Abbildung 3.112
Integration über (p liefert für die Bogenlänge s des Bogenstücks mit den Endpunkten A(\a,<Pa) und
B{\b,Vb)'
cosa 180° v T }
C 221b)
Ist A der Abfahrtsort und B der Zielort {gegißter Ort), so lassen sich bei Vorgabe von A, a und s
schrittweise aus C 221b) zuerst </?# und danach gemäß C.220b) Aß berechnen.
Näherungsformel: Gemäß Abb.3.111 erhält man mit Q = A und P = B nach einer Mittelung der
geographischen Breiten den Ansatz C.222a) für eine Näherungsformel zur Berechnung der
angenäherten Bogenlänge / gemäß C 222b).
cos 2 (As ~ A^0 ttR
l 180°
yA + WB
-(Aß - \a)
irR
180°
C.222a)
C.222b)
4. Kurswinkel Für den Kurswinkel a der Loxodrome durch die Punkte A(\a, <Pa) und B(Xb, <Pb)
bzw durch A{\A, Va) und ihren Aquatorschnittpunkt PA(AA, 0°) folgt gemäß C 220b) und C 220c)-
= arctaii -
(Ab - \A)
tan
In
öl — arctan
tan ^45° + y )
(Aa~Aa)
In tan ^45° + ^]
TT
180°
180°
C.223a)
C.223b)
5. Schnittpunkt mit einem Breitenkreis Der Schnittpunkt X(Xx, Vx) einer Loxodrome mit dem
Kurswinkel a durch den Punkt A(\a, ¥>a) mit dem Breitenkreis cp = (fx berechnet sich gemäß C.220b)
zu
¥x^
Ax = A^ + tan a • In -
tan 45° + -
180°
tan 45° +
Va
) •
{a ^ 90°).
C.224)
184 3. Geometrie
Mit C.224) läßt sich speziell der Aquatorschnittpunkt PA(AA, 0°) berechnen
<Pa\ 180°
AA = A^ — tan a • In tan D5° + ¦
1D5» + ?).
{a ± 90°)
C.225)
Hinweis: Unter Umständen ist gemäß C.206) eine Rückversetzung der Winkel erforderlich.
6. Schnittpunkte mit einem Meridian Loxodromen - ausgenommen Breitenkreise und
Meridiane - wickeln sich spiralförmig-asymptotisch um die Pole (Abb.3.112). Die unendlich vielen
Schnittpunkte Yu(\y, <pyv) {v € Z) der durch A(Xa, Wa) mit dem Kurswinkel a verlaufenden Loxodrome mit
dem Meridian A = Xy berechnen sich gemäß C.220b) zu
XY - XA + V • 360° TT
180°
<£>Y„ — 2 arctan < exp
tan
(«+*)}-
90°
tana
Ist A der Aquatorschnittpunkt -PA(AA, 0°) °^er Loxodrome, dann ergibt sich vereinfacht
\XY - AA + v • 360° TT
180
(i/GZ). C.226a)
ifYv — 2 arctan exp
tana
¦90°
(i/GZ).
C 226b)
4. Schnittpunkte sphärischer Kurven
1. Schnittpunkte zweier Orthodromen Die betrachteten Orthodromen sollen die
nordpolnächsten Punkte Pni (Ani , V^Nx) und Pn2(An2,<£n2) besitzen, wobei P^x ^ Pn2 gilt Einsetzen des
Schnittpunktes S(Xs, ips) in beide Orthodromengleichungen führt auf das Gleichungssystem
tan <pNl cos(As - X^1 ) = tan ifs , C 227a) tan y?Na cos(As - ANa) = tan ips . C.227b)
Elimination von (p§ und die Anwendung der Additionstheoreme auf die Kosinusfunktionen ergeben:
tan y?Nj cos X^1 — tan <^n2 cos ^n2
tan Xs = — -
C.228)
tan </?Ni sin X^1 — tan </?n2 sin An2
Die Gleichung C.228) liefert im Definitionsbereich —180° < A < 180° der geographischen Längen zwei
Lösungen A^ und Xs2. Die dazugehörigen geographischen Breiten ergeben sich aus C.227a).
ifsu = arctan [tan v?Ni cos(As„ - AnJ] (v = 1,2) C.229)
Die Schnittpunkte S\ und 52 sind Gegenpunkte, d.h., sie gehen durch eine Spiegelung am
Kugelmittelpunkt auseinander hervor.
2. Schnittpunkte zweier Loxodromen Die betrachteten Loxodromen sollen die Aquatorschnitt-
punkte PAi (AAi, 0°),und Pk2 (AA2,0°) sowie die Kurswinkel ol\ und a2 (ct\ ^ a2) haben. Einsetzen des
Schnittpunktes S(Xs, <ps) in beide Loxodromengleichungen führt auf das Gleichungssystem
180°
Xs- XA
¦ tan
ai • In tan Ub° + ^ V — (an + 90°),
C.230a)
('¦fs
45 H——-
180°
7T
(aa ± 90°)
C.230b)
Elimination von Xs und Auflösung nach (p$ ergibt eine Gleichung mit unendlich vielen Lösungen
7T
(psu = 2 arctan exp
AAl-AÄ2 + ^360°
- 90° (v e Z)
tan a2 — tan a\
Die dazugehörigen geographischen Längen Xsu ergeben sich durch Einsetzen von (pSu in C 230a)
180'
C 231)
A5„ = A,
Li + tanai In tan D5° + ^\ ¦ — («i ^ 90°), (i/ G Z).
C.232)
Hinweis: Unter Umständen ist gemäß C 206) eine Rückversetzung der Winkel erforderlich.
3 5 Vektoralgebra und analytische Geometrie 185
3.5 Vektoralgebra und analytische Geometrie
3.5.1 Vektoralgebra
3.5.1.1 Definition des Vektors
1. Skalare und Vektoren
Größen, deren Werte reelle Zahlen sind, werden Skalare genannt Beispiele sind Masse, Temperatur,
Energie und Arbeit (wegen der skalaren Invarianz s. 3 5.1.3,3., S 190, 3.5 3 2,5., S. 218 und 4.3.5 2,2.,
S. 278).
Im Unterschied dazu werden Größen, zu deren vollständiger Charakterisierung sowohl eine Maßzahl als
auch eine Richtung und manchmal ein Drehsinn im Raum erforderlich sind, Vektoren genannt.
Beispiele sind Kraft, Geschwindigkeit, Beschleunigung, Winkelgeschwindigkeit, Winkelbeschleunigung sowie
elektrische und magnetische Feldstärke. Zur Darstellung von Vektoren werden gerichtete Strecken im
Raum verwendet
In diesem Buch werden Vektoren im dreidimensionalen EuKLiDischen Raum durch a gekennzeichnet,
im Rahmen der Matrizenrechnung durch a.
2. Polare und axiale Vektoren
Polare Vektoren dienen der Darstellung von Größen mit Maßzahl und Raumrichtung, wie
Geschwindigkeit und Beschleunigung, axiale Vektoren dagegen der Darstellung von Größen mit Maßzahl,
Raumrichtung und Drehsinn, wie Winkelgeschwindigkeit und Winkelbeschleunigung In der zeichnerischen
Wiedergabe werden sie durch einen polaren bzw axialen Pfeil unterschieden (Abb.3.113) In der
mathematischen Behandlung besteht zwischen ihnen kein Unterschied
3. Modul und Raumrichtung
Zur quantitativen Beschreibung von Vektoren a oder a als Strecke zwischen Anfangs- und Endpunkt
A bzw B dienen der Modul, d h. der Absolutbetrag |a|, der die Länge der Strecke angibt, sowie die
Raumrichtung, die durch einen Satz von Winkeln angegeben wird
4. Gleichheit von Vektoren
Zwei Vektoren a und b gelten als gleich, wenn ihre Beträge gleich sind und ihre Richtungen
übereinstimmen, d h , wenn sie parallel und gleich orientiert sind
Entgegengesetzt gleiche Vektoren zeichnen sich durch gleiche Beträge, aber entgegengesetzte
Richtungen aus
AB = ä, BÄ = -ä aber \AB\ = \BA\. C 233)
Axiale Vektoren besitzen in diesem Falle entgegengesetzt gleichen Drehsinn
Abbildung 3 113 Abbildung 3 114 Abbildung 3.115
5. Freie, gebundene und linienflüchtige Vektoren
Ein freier Vektor ändert seine Eigenschaften Modul und Richtung nicht, wenn er parallel zu sich selbst
derart verschoben wird, daß sein Anfangspunkt in einem beliebigen Raumpunkt fällt Wenn die
Eigenschaften eines Vektors an einen bestimmten Anfangspunkt gebunden sind, dann spricht man von einem
gebundenem Vektor Ein linienflüchtiger Vektor darf nur längs der Geraden verschoben werden, in die
er weist.
186 3. Geometrie
6. Spezielle Vektoren
a) Einheitsvektor a° = e wird ein Vektor genannt, dessen Länge oder Absolutbetrag gleich 1 ist.
Mit seiner Hilfe kann ein Vektor a durch das Produkt aus Einheitsvektor und Modul gemäß
ä = e|ä| C 234)
angegeben werden. Zur Beschreibung der drei Koordinatenachsen in Richtung wachsender
Koordinatenwerte werden oft die Einheitsvektoren i, j , k oder e», e,-, e^ verwendet (Abb.3.114).
In der (Abb.3.114) bilden die durch die drei Einheitsvektoren festgelegten Richtungen ein senkrechtes
Richtungstripel. Außerdem bilden sie ein orthogonales Koordinatensystem, denn es gilt:
eiej = ele"k = ejäk = 0. C.235)
Zudem gilt
elej = eje] = e^elc = 1, C 236)
so daß man von einem orthonormierten Koordinatensystem spricht
b) Nullvektor heißt ein Vektor mit dem Absolutbetrag 0, also mit zusammenfallendem
Anfangsund Endpunkt sowie mit unbestimmter Richtung im Raum.
c) Radiusvektor r eines Punktes P wird ein Vektor OP genannt, dessen Anfangspunkt sich im
Koordinatenursprung befindet (Abb.3.114). In diesem Falle heißt der Koordinatehursprung Pol Der
Punkt P ist durch seinen Radiusvektor eindeutig bestimmt
d) Kollineare Vektoren verlaufen parallel zu ein und derselben Geraden.
e) Komplanare Vektoren verlaufen parallel zu ein und derselben Ebene. Für sie gilt C.260).
3.5.1.2 Rechenregeln
1. Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar
Die Produkte aa und aa sind gleich und kollinear zum Vektor a Die Länge des Produktvektors,
sein Betrag, ist |a||a|, seine Richtung stimmt für a > 0 mit der von a überein, für a < 0 ist sie
entgegengesetzt. Die wichtigsten Eigenschaften des Produkts eines Skalars mit einem Vektor sind
aa = aa, aßa = ßaä, (a + /?)a = aa + /?ä, a(a + b) = aa + ab C 237a)
Eine Linearkombination der Vektoren a, b, c,..., d mit den Skalaren a, ß, .., S ist ein Vektor der Form
k = aa + /3b + .-- + £d. C 237b)
2. Linearkombinationen von Vektoren
a) Die Summe zweier Vektoren AB = a und AD = b (Abb.3.115a) ist ein Vektor AC = c,
der die Diagonale AC des Parallelogramms ABCD bildet. Die wichtigsten Eigenschaften der Summe
zweier Vektoren sind das Kommutativgesetz der Addition und die Dreiecksungleichung
ä + b = b + a, |a + b| < |a| + |b|. C.238a)
b) Die Summe mehrerer Vektoren a, b, c, . ,e ist ein Vektor f = AF, der den Polygonzug
schließt, den die Vektoren a bis e bilden (Abb.3.115b). Für n Vektoren äj gilt
n
]Tai = f. C 238b)
i=i
Zu den Eigenschaften der Summe mehrerer Vektoren gehören das Kommutativgesetz der Addition und
das Assoziativgesetz der Addition Für drei Vektoren z.B. gilt:
ä + b + c = c + b + a, (a + b) + c = ä+(b + c) C 238c)
c) Die Differenz zweier Vektoren a — b kann als Summe der Vektoren a und —b aufgefaßt werden,
so daß
ä-b = a+(-b) = d C.238d)
3.5 Vektoralgebra und analytische Geometrie 187
die Diagonale DB in Abb.3.115a ergibt. Die wichtigsten Eigenschaften der Differenz zweier Vektoren
sind
a - a = Ö (Nullvektor), |a-b|>|a|-|b|. C 238e)
Abbildung 3.116
3. Zerlegung von Vektoren
Jeder beliebige Vektor a kann eindeutig in eine Summe aus drei Vektoren zerlegt werden, die parallel
zu drei gegebenen nichtkomplanaren Vektoren ü, v, w sind (Abb.3.116a,b)*
a = aü + /?v + 7w. ' C.239a)
Die Summanden aü, ßv und 7 w werden die Komponenten der Vektorzerlegung genannt, die skalaren
Faktoren a , ß und 7 die Koeffizienten Vektoren, die parallel zu einer Ebene liegen, können durch zwei
nichtkollineare Vektoren ü und v in die Form
ä = aü + ßv C.239b)
gebracht werden (Abb.3.116c,d)
4. Koordinaten eines Vektors
1. Kartesische Koordinaten Gemäß C.239a) kann jeder Vektor AB = a eindeutig in eine Summe
von Vektoren zerlegt werden, die parallel zu den Grundvektoren des Koordinatensystems i,j,k oder
ei,ej,ek stehen:
a = ax\ + oyj + azk = axei + ayej + azek , C.240a)
wobei die Skalare aXi ay und az die kartesischen Koordinaten des Vektors a im System mit den
Einheitsvektoren des Koordinatensystems e*, e; und e^ sind. Man schreibt dafür auch
äi= {ax,ay,az} oder a(ax,ay,az) . C.240b)
Die durch die drei Einheitsvektoren festgelegten Richtungen bilden ein senkrechtes Richtungstripel. Die
kartesischen Koordinaten eines Vektors sind die Projektionen dieses Vektors auf die
Koordinatenachsen (Abb.3.117). Wird ein Vektor parallel zu oder entlang einer der Koordinatenachsen verschoben,
dann ändern sich seine Koordinaten in den anderen beiden Richtungen nicht.
Die Koordinaten einer Linearkombination mehrerer Vektoren ergeben sich als gleichgestaltete
Linearkombination der Koordinaten dieser Vektoren, so daß die Vektorgleichung C.237b) drei skalaren
Komponentengleichungen entspricht:
kx = aax+ ßbx-\ \-6dx,
ky = aay + ßby + --- + ödy, C.241)
kz = aaz + ßbz+ .. + 8dz.
Für die Koordinaten der Summe und der Differenz zweier Vektoren
c = a ± b C.242a)
gilt insbesondere
cx = ax ± bx , cy = ay ± by , cz = az db az . C.242b)
Der Radiusvektor r eines Punktes P(x, y, z) hat die kartesischen Koordinaten dieses Punktes.
'x — "E1 1 'y — y )
rz ¦¦
r = xi + 2/j + zk.
C.243)
188 3 Geometrie
2. Affine Koordinaten sind eine Verallgemeinerung der kartesischen Koordinaten auf ein System
aus drei linear unabhängigen, also auch nicht mehr zwingend rechtwinklig aufeinander stehenden nicht-
komplanaren Grundvektoren ei,e2,e3 mit drei Koeffizienten a^a2^3, wobei die oberen Indizes
keinesfalls als Exponenten aufzufassen sind In Analogie zu C.240a,b) ergibt sich a zu
ä = a1ei + a2e2 + a3e3 C.244a) oder a = {a1 , a2 ,a3} oder a (a1^2,^) . C 244b)
Diese Schreibweise ist insofern vorteilhaft, als die Skalare a1,a2,a:i die kontravarianten Koordinaten
(s 3.5 1 6, S. 193) eines Vektors sind. Für ei = i, e2 = j , e3 = k gehen die Formeln C 244a,b) in
C.240a,c) über Für die Linearkombination der Vektoren C.237b) sowie für die Summe und die
Differenz zweier Vektoren C.242a,b) gelten in Analogie zu C 241) die Komponentengleichungen
Abbildung 3 117 Abbildung 3.118 Abbildung 3 119
5. Richtungskoeffizient oder Entwicklungskoeffizient
Der Richtungskoeffizient eines Vektors a entlang eines Vektors b ist das Skalarprodukt
ab = ab0 = |a| cos ip mit b° = — , C.247)
wobei b° der Einheitsvektor in die Richtung von b ist und y? der Winkel zwischen a und b Der Rich-
tungskoeffiziwent stellt die Projektion von a auf b dar
¦ Im kartesischen Koordinatensystem sind die Richtungskoeffizienten des Vektors a die Komponenten
entlang der x—,y—, z—Achse In einem nichtorthonormierten Koordinatensystem gilt diese Aussage
nicht
3.5.1.3 Skalarprodukt und Vektorprodukt
1. Skalare Multiplikation
Das Skalarprodukt zweier Vektoren a und b, auch Punktprodukt genannt, ist durch die Gleichung
ä.b = ab= (ab) = (a,b) = |ä||b|cos<p C.248)
definiert, wobei (p der zwischen a und b eingeschlossene Winkel, bezogen auf den gemeinsamen
Anfangspunkt, ist (Abb.3.118) Das Skalarprodukt ergibt einen Skalar
2. Vektorielle Multiplikation
ist eine Operation, die zum Vektorprodukt zweier Vektoren a und b , auch Kreuzprodukt genannt, führt
Dieses ergibt einen Vektor c, der auf a und b senkrecht steht, derart, daß die Vektoren a, b und c
3.5 Vektoralgebra und analytische Geometrie 189
ein Rechtssystem bilden (Abb.3.119). Vorausgesetzt, die Anfangspunkte der drei Vektoren sind in
einem Punkt zusammengeführt, dann ist das der Fall, wenn ein Beobachter, der auf die durch a und
b aufgespannte Ebene und gleichzeitig in die Richtung von c blickt, a durch die kürzeste Drehung im
Uhrzeigersinn nach b überführen kann. Die Vektoren a, b und c haben dann die gleiche Orientierung,
wie Daumen, Zeigefinger und Mittelfinger der rechten Hand. Daraus leitet sich der Begriff Rechte-
Hand-Regel ab. Quantitativ liefert das Vektorprodukt
a x b = [ab] = [a, b] = c C.249a)
einen Vektor der Länge
|c| = |a||b| sint/?, C.249b)
wobei (p der zwischen a und b eingeschlossene Winkel ist. Zahlenmäßig ist die Länge von c gleich dem
Flächeninhalt des von a und b aufgespannten Parallelogramms
3. Eigenschaften der Produkte von Vektoren
a) Das Skalarprodukt genügt dem Kommutativgesetz :
äb = ba. ' C.250)
b) Das Vektorprodukt ändert beim Vertauschen der Faktoren das Vorzeichen.
axb = -(bxä). C.251)
c) Die Multiplikation mit einem Skalar genügt dem Assoziativgesetz .
a(äb) = (aä)b, C.252a)
ö(äxb) = (aä)xb C.252b)
d) Das Assoziativgesetz gilt nicht für das doppelte Skalar- und Vektorprodukt:
a(bc) ± (ab)c, C 253a)
äx(bxc)^(axb)xc. C 253b)
e) Das Distributivgesetz gilt:
a(b + c) = ab + äc, C.254a)
ax(b + c) = äxb + äxc. C.254b)
f) Orthogonalität zweier Vektoren liegt vor (a_Lb), wenn gilt:
ab = 0 , und weder a noch b gleich dem Nullvektor sind. C.255)
g) Kollinearität zweier Vektoren (a || b) liegt vor, wenn gilt:
a x b = Ö C.256)
h) Multiplikation gleicher Vektoren:
aä = a2 = a2, jedoch axa = Ö. C.257)
i) Linearkombinationen von Vektoren können auf die gleiche Art multipliziert werden wie bei ska-
laren Polynomen, allerdings ist dabei zu beachten, daß bei der vektoriellen Multiplikation Faktoren-
vertauschungen, z B. beim Zusammenziehen gleichnamiger Glieder, Vorzeichenänderungen zur Folge
haben.
¦ A: Ca + 5b - 2c) (a - 2b - 4c) = 3a2 + 5ba - 2ca - 6ab - 10b2 + 4cb - 12ac - 20bc + 8c2
= 3a2 - 10b2 + 8c2 - ab - 14ac - 16bc.
¦ B: Ca + 5b - 2c) x (a - 2b - 4c) = 3a x a + 5b x a - 2c x a - 6a x b - 10b x b
+ 4cxb-12axc- 20b xc + 8cxc = 0-5axb + 2äxc-6äxb + 0-4bxc-12axc- 20b xc + 0
= -IIa x b - 10a x c - 24b x c = IIb x a + 10c x a 4- 24c x b
190 3. Geometrie
j) Skalare Invariante heißt ein Skalar, der bei Verschiebung und Drehung des Koordinatensystems
den gleichen Wert behält Das skalare Produkt zweier Vektoren ist eine skalare Invariante
¦ A: Die Komponenten eines Vektors a = {ai, 02, a3} , sind keine skalaren Invarianten, da sie in
verschiedenen Koordinatensystemen unterschiedliche Werte annehmen können.
¦ B: Die Länge eines Vektors a = {ai, a2, a3} , d h. die Größe Ja\ + a\ + a\, ist eine skalare
Invariante, da sie in verschiedenen Koordinatensystemen den gleichen Wert besitzt.
¦ C: Das Skalarprodukt eines Vektors mit sich selbst ist eine skalare Invariante, dh aa = a a =
|a|2 cos<£ = |a|2 , da ip = 0
3.5.1.4 Mehrfache multiplikative Verknüpfungen
1. Doppeltes Vektorprodukt
Das doppelte Vektorprodukt a x (b x c) ergibt einen neuen, zu b und c komplanaren Vektor
ax(bxc) = b(ac)-c(äb). C.258)
2. Gemischtes Produkt ^
Das gemischte Produkt (a x b)c, auch Spatprodukt genannt, ergibt einen Skalar, der zahlenmäßig
gleich dem Volumen des von den drei Vektoren gebildeten Parallelepipeds ist; das Ergebnis ist positiv,
wenn a, b und c ein Rechtssystem bilden, negativ im entgegengesetzten Falle Die Klammern und das
Multiplikationskreuz können beim gemischten Produkt weggelassen werden.
(a x b)c = äbc = bcä = cäb = -acb = -bac = —cba C 259)
Im Unterschied zu einer zyklischen Vertauschung aller drei Faktoren im gemischten Produkt führt eine
Vertauschung zweier Faktoren zu seiner Vor Zeichenänderung.
Für komplanare Vektoren, d h Vektoren a, die parallel zu einer von den Vektoren b und c definierten
Ebene orientiert sind, gilt
a(b x c) = 0
3. Formeln für mehrfache Produkte
a) Lagrangesche Identität: (a x b)(c xd) = (ac) (bd) — (bc) (ad),
b) abcefg:
ae af ag
be bf bg
ce cf cg
4. Formeln für Produkte in kartesischen Koordinaten
Wenn die Vektoren a, b, c in kartesischen Koordinaten gemäß
&= {ax,ay,az} , b = {bx,by,bz} , c = {cx:cy,cz}
gegeben sind, dann werden die Produkte nach den folgenden Formeln berechnet.
1. Skalarprodukt: ab = (a, b) = axbx + ayby + azbz.
2. Vektorprodukt: axb= [a, b] = (aybz — azby) i + (azbx - axbz) j + {axby — aybx) k
3. Spatprodukt: abc:
i
&x
bx
\ax
bx
\cx
j
ay
by
ay
by
Cy
k
az\
bz\
az
bz
Cz
C.260)
C 261)
C 262)
C 263)
C 264)
C 265)
C 266)
3.5 Vektoralgebra und analytische Geometrie 191
C.267)
5. Formeln für Produkte in affinen Koordinaten
1. Metrische Koeffizienten und reziproke Grundvektoren Wenn die affinen Koordinaten
zweier Vektoren a und b im System ei, e*2, e3 bekannt sind, so daß
a = a1 ei 4- a2 e2 4- a3 e3 , b = b1 e2 4- b2 e2 4- b3 e3
gegeben sind, dann müssen zur Berechnung des skalaren Produkts
ab = albl ei ei 4- a2 b2 e2 e2 + a3 b3 e3 e3
4- (a1 b2 4- a2 61)*e*i e2 4- (a2 b3 + a3 b2) e2 e3 + (a3 bl + a1 63) e3 ei
oder des Vektorprodukts
2) e2 x e3 4- (a3 b1 - a1 63) e3 x ei 4- (a1 b2 - a2 61) ex x e2 ,
C.268)
C.269a)
C.269b)
a x b = [a2 b3 -
letzteres mit
ei x ei = e2 x e2 = e3 x e3 = Ö,
die paarweisen Produkte der Koordinatenvektoren bekannt sein. Für das skalare Produkt sind das die
sechs metrischen Koeffizienten (Zahlen) /
0ii = ei ei, g22 = e2 e2 , ^33 = e3 e3 ,
9i2 = ei e2 = e2ei, ^23 = e2e3 = e3e2 , g3i =e3$i= ex e3 C.270)
und für das Vektorprodukt die drei Vektoren
e1 = Q (e2 x e3) , e2 = ü (e3 x ex) , e3 = ü (ei x e2) , C.271a)
genauer die drei reziproken Vektoren bezüglich e^., e2 , e3 , wobei der Koeffizient
1
Q:
C.271b)
ei e2 e3
der gleich dem gemischten Produkt der Koordinatenvektoren ist, lediglich einer kürzeren Schreibweise
in weiteren Formeln dient Mit Hilfe der Multiplikationstabellen 3.13 und 3.14 für die
Grundvektoren wird das Arbeiten mit den Koeffizienten übersichtlicher.
Tabelle 3.13 Skalare Multiplikation
von Grundvektoren
ei
e2
e3
ei
9n
921
931
e2
9l2
922
932
e3
913
923
933
(9ki = 9ik)
Tabelle 3 14 Vektorielle Multiplikation
von Grundvektoren
Multiplikatoren
ei
e2
e3
ei
0
e3
Q
e2
Q
e2
e3
Ü
0
e1
Q
e3
e2
Q
e1
Q
0
2. Anwendung auf kartesische Koordinaten Die kartesischen Koordinaten sind ein Spezialfall
der affinen Koordinaten. Aus den Tabellen 3.15 und 3.16 ergeben sich für
die Grundvektoren ei = i, e*2 = j , e3 = k,
die metrischen Koeffizienten gn = g22 = 933 = 1, #12 = P23 :
: #31 :
C.272a)
: 0, Sl = i = 1 C.272b)
ijk
192 3. Geometrie
und die reziproken Grundvektoren e1 = i, e2 = j, e3 = k. C.272c)
Somit stimmen die reziproken Grundvektoren mit den Grundvektoren des Koordinatensystems
überein, oder anders ausgedrückt, in kartesischen Koordinaten sind die Grundvektorensysteme zu sich selbst
reziprok.
Tabelle 3.15 Skalare Multiplikation
von reziproken Grundvektoren
Tabelle 3 16 Vektorielle Multiplikation
von reziproken Grundvektoren
Multiplikatoren
f
J
k
f
1
0
0
J
0
1
0
k
0
0
1
Ö
o
'U
i
iph
3
S
i
J
k
i
ü
-k
J
j
k
ü
—l
k
-J
i
0
3.
Skalarprodukt in Koordinatendarstellung
3 3
äb=J2Y,9mnambn = gaßa(»
C.273)
Für kartesische Koordinaten geht C 273) in C.264) über
Nach dem zweiten Gleichheitszeichen in C 273) wurde die in der Tensorrechnung übliche abkürzende
Schreibweise für Summen verwendet (s 4.3 1,2., S 270) Anstelle der gesamten Summe wird nur ein
typisches Glied hingeschrieben, so daß über alle doppelt auftretenden Indizes dieses Gliedes zu
summieren ist, d.h über alle einmal unten und einmal oben auftretenden Indizes. Manchmal werden die
Summationsindizes mit griechischen Buchstaben bezeichnet; hier durchlaufen sie die Zahlen 1 bis 3 Es
gilt also
gaßaQ ti3 = gual b1 + gl2al b2 + gl3al b3 + g2la2bl + g22a2 b2 + g23a2 b3
+ g3la3bl + 932a3 b2 + g33a3 b3 C.274)
4. Vektorprodukt in Koordinatendarstellung In Übereinstimmung mit C 269a) gilt
a x b = ei 62^3
I bl b2 b3
= ei e2 e3 [(a2 b3
a3 b2)e' + (a3 b1 - a1 b3) e2 + (a1 b2 - a2 b^e3]
Für kartesische Koordinaten geht C 275) in C.265) über
C 275)
5. Spatprodukt in Koordinatendarstellung In Übereinstimmung mit C 269a) ergibt sich
I a1 a2 a3 I
abc^eieseg U1 b2 b3 . C 276)
I c1 c2 c3 I
Für rechtwinklige kartesische Koordinaten geht C 276) in C.266) über.
3.5.1.5 Vektorielle Gleichungen
Die Tabelle 3.17 enthält eine Zusammenstellung der einfachen vektoriellen Gleichungen Darin sind
a, b , c die bekannten Vektoren, x der gesuchte Vektor, a , ß, 7 die bekannten Skalare und x , y, z die
gesuchten Skalare
3.5 Vektoralgebra und analytische Geometrie 193
Tabelle 3.17 Vektorielle Gleichungen
x unbekannter Vektor; a, b, c, d bekannte Vektoren
x ,y , z unbekannte Skalare; a , ß, 7 bekannte Skalare
Gleichung
1. x + a = b
2. ax = a
3. xa = a
4. x x a = b (b _L a)
(xa = a
' | x x a = b (b _L a)
( xa = a
6. lxb = ß
[xc = 7
_, __,
7. d = xä + yb + zc
8. d = x(b x c)
+2/ (c x a) + z (a x b)
Lösung
x = b - a
x = —
et
Die Gleichung ist unbestimmt; trägt man alle Vektoren x,
die dieser Gleichung genügen, von einem Punkt aus ab, so
liegen ihre Endpunkte auf einer Ebene, die auf dem Vektor a
senkrecht steht. Die Gleichung C) nennt man die vektorielle
Gleichung dieser Ebene.
Die Gleichung ist unbestimmt; trägt man alle Vektoren x,
die dieser Gleichung genügen, von einem Punkt aus ab, so
liegen ihre Endpunkte auf einer dem Vektor a parallelen
Geraden Die Gleichung D) nennt man die vektorielle
Gleichung dieser Geraden.
aa + ä x b
x= 2
a2
_ a(bxc)+/3(cxä)+7(axb) ~ £ ~
x = — ^5— = aa + pb + 7C,
abc
wobei a, b, c die zu a, b, c reziproken Vektoren sind (vgl. S.
191)._
dbc ade abd
ab c abc ab c
da db de
abc abc abc
3.5.1.6 Kovariante und kontravariante Koordinaten eines Vektors
1. Definitionen Die affinen Koordinaten al,a2, a3 eines Vektors a in einem System mit den
Grundvektoren ei, e2 , e3 , definiert durch die Formel
a = a1 ei + a2 e2 + a? e3 = aa ea , C.277)
werden auch kontravariante Koordinaten dieses Vektors genannt. Im Gegensatz dazu entsprechen seine
kovarianten Koordinaten den Koeffizienten einer Vektorzerlegung zu den Grundvektoren e1, e2 , e3 ,
d.h zu den reziproken Grundvektoren von ei, e2 , e3 (s [22.19], Bd. 11). Mit den kovarianten
Koordinaten ai, o2, a3 des Vektors a ergibt sich
a = a1e1 + a2e2 + a3e3 = aaea C.278)
Im System der kartesischen Koordinaten stimmen die kovarianten Koordinaten eines Vektors mit seinen
kontravarianten Koordinaten uberein.
2. Darstellung der Koordinaten mit Hilfe von Skalarprodukten Die kovariante Koordinate
eines Vektors a ist gleich dem skalaren Produkt dieses Vektors mit dem zugehörigen Grundvektor des
Koordinatensystems
ai = aei, a2 = ae2 , a3 = ae3 . C.279)
194 3 Geometrie
Die kontravariante Koordinate eines Vektors a ist gleich dem skalaren Produkt dieses Vektors mit dem
zugehörigen reziproken Grundvektor:
a1=ae\ a2 = ae2, a3 = ae3 C.280)
In kartesischen Koordinaten stimmen die Formeln C.279) und C 280) überein:
ax = sii, ay = aj , az = ak C.281)
3. Darstellung des Skalarprodukts mit Hilfe von Koordinaten Die Darstellung eines skalaren
Piodukts zweier Vektoren durch seine kontravarianten Koordinaten liefert Formel C.273). Die
entsprechende Formel für kovariante Koordinaten lautet
ab = gaßaabß, C 282)
wobei gmn = em en die metrischen Koeffizienten im System mit den reziproken Vektoren sind Ihr
Zusammenhang mit den Koeffizienten gmn lautet
/ i \m+n Amn
C 283)
011 012 013
021 022 023
I 031 032 033 I
wobei Amn die Unterdeterminante der im Nenner stehenden Determinante ist, sie entsteht durch
Streichen der Zeile und Spalte des Elements gmn .
Wenn der Vektor a durch kovariante Koordinaten gegeben ist, der Vektor b dagegen durch
kontravariante Koordinaten, dann ist ihr Skalarprodukt gleich
ab = al bi + a2 b2 + a3 b3 = aa ba , C.284) und analog gilt ab = aa ba
C 285)
3.5.1.7 Geometrische Anwendungen der Vektoralgebra
In Tabelle 3.18 sind einige geometrische Anwendungen der Vektoralgebra aufgeführt Andere
Anwendungen aus der analytischen Geometrie wie die Vektorgleichungen der Ebene und der Geraden werden
in 3 5 1 5, S 193 und 3 5.3.6, 220ff. behandelt.
Tabelle 3 18 Geometrische Anwendungen der Vektoralgebra
Bezeichnung
Länge des Vektors a
Flächeninhalt des von
den Vektoren a und b
aufgespannten
Parallelogramms
Volumen des_yon den
Vektoren a, b, c
aufgespannten
Parallelepipeds
Winkel zwischenjien
Vektoren a und b
Vektorielle
Formel
a = Va^
s= äxb
V = |abc|
ab
cos <p = ,
VäPb2
Koordinatenformel (in rechtwinkligen
kartesischen Koordinaten)
a=y/al + al + a\
s = \
i2 i i2 i i2
\ay az\ \az ax\ \ax ay\
\by bz\ \bz bx\ \bx by\
V =
COS if
C^x ^y ^z
bx by bz
CX Cy CZ
_ axbx + ayby + azbz
fä + di + alfä + b' + b*
3 5 Vektoralgebra und analytische Geometrie 195
3.5.2 Analytische Geometrie der Ebene
3.5.2.1 Ebene Koordinatensysteme
1. Ebene Koordinaten und ebene Koordinatensysteme
Die Lage jedes Punktes P einer Ebene kann mit Hilfe beliebiger Koordinatensysteme beschrieben
werden Die Zahlen, die die Lage des Punktes bestimmen, heißen die Koordinaten. Meistens werden die
kartesischen Koordinaten und die Polarkoordinaten benutzt
1. Kartesische oder Descartessche Koordinaten eines Punktes P sind die mit einem
bestimmten Vorzeichen behafteten und in einem bestimmten Maßstab angegebenen Entfernungen dieses
Punktes von zwei senkrecht aufeinander stehenden Koordinatenachsen (Abb.3.120). Der Schnittpunkt 0
der Koordinatenachsen wird Koordinatenursprung oder Koordinatenanfangspunkt genannt. Die
horizontale Koordinatenachse, meist die x-Achse, wird gewöhnlich Abszissenachse genannt, die vertikale
Koordinatenachse, meist die y-Achse: Ordmatenachse. Auf diesen Achsen wird die positive Richtung
festgelegt, für die x-Achse gewöhnlich nach rechts weisend, für die y-Achse nach oben. Die
Koordinaten eines Punktes P sind dann positiv oder negativ, je nachdem, auf welche Halbachse die Projektion
des Punktes fällt (Abb.3.121) Die Koordinaten x bzw y werden die Abszisse bzw. die Ordinate des
Punktes P genannt Mit der Schreibweise P(a, b) wird ein Punkt mit der Abszisse ö und der Ordinate
b angegeben Durch die Koordinatenachsen wird die x, y-Ebene in vier Quadranten I, II, III und IV
zerlegt Abb.C.121,a).
T
- 0
III _
+ I
+
+ X
_ IV
X
y
I II III IV
+ - - +
+ +
Abbildung 3.120 Abbildung 3 121
2. Polarkoordinaten eines Punktes P (Abb.3.122) bestehen aus dem Radius p, d.h dem
Abstand des Punktes von einem gegebenen Nullpunkt, dem Pol 0, und dem Polarwinkel <p, d.h. dem
Winkel zwischen der Geraden OP und einem gegebenen, durch den Pol hindurchgehenden orientierten
Strahl, der Polarachse. Der Nullpunkt kann auch Koordinatenursprung genannt werden Der
Polarwinkel ist positiv, wenn er im entgegengesetzten Drehsinn des Uhrzeigers von der Polarachse aus gemessen
wird; im entgegengesetzten Falle ist er negativ.
.iL 3#~
Abbildung 3 122 Abbildung 3 123
3. Krummlinige Koordinaten bestehen aus zwei einparametrigen Kurvenscharen in der Ebene,
den Koordinatenlinien-Scharen (Abb.3.123) Durch jeden Punkt der Ebene geht dabei jeweils nur
eine Kurve jeder Schar hindurch, die sich in diesem Punkt schneiden Die Parameter, die diesem Punkt
entsprechen, sind seine krummlinigen Koordinaten. In Abb.3.123 besitzt der Punkt P die
krummlinigen Koordinaten u = a\ und v = 63 . Im Unterschied zu den krummlinigen Koordinaten sind im
kartesischen Koordinatensystem die Koordinatenlinien Geraden, die parallel zu den Koordinatenachsen
196 3. Geometrie
yf y
\ ^
AdP^
4r™
F-x^
*^x
X
Abbildung 3.124
Abbildung 3 125
liegen, im Polarkoordinatensystem sind es konzentrische Kreise um den Pol und die vom Pol
ausgehenden Strahlen.
3.5.2.2 Koordinatentransformationen
Beim Übergang von einem kartesischen Koordinatensystem zu einem anderen ändern sich die
Koordinaten nach den folgenden Regeln:
1. Parallelverschiebung der Koordinatenachsen
um den Abszissen- bzw. Ordinatenabschnitt a bzw. b (Abb.3.124), so daß für die Koordinaten x, y
vor der Verschiebung, rr', y' nach der Verschiebung und für die Koordinaten a, b des neuen
Koordinatenursprungs 0' im alten Koordinatensystem vor der Verschiebung gilt.
x = x' + a, y = y' + b, C.286a) x' = x — a, y' = y — b
C.286b)
y-
2. Drehung der Koordinatenachsen
um den Winkel </? (Abb.3.125), so daß gilt.
x = x' cos ip — y' sin ip, y = x' sin <p + 2/ cos (/?,
x' — x cos y? + y sin y?, 2/ = —£ sin <p + y cos y?
Die zum System C.287a) gehörende Koeffizientenmatrix
D = (COS^ "Sin^ mit (X) = d(X') bzw. (X') = D-*(*
\sillip COSip ) \y) \y'J \y>) \y
wird Drehungsmatrix genannt.
Allgemein betrachtet läßt sich ein Übergang von einem Koordinatensystem in ein anderes durch
eine Transformation durchführen, die aus einer Translation und einer Rotation, d h. einer Drehung der
Koordinatenachsen besteht.
3. Übergang von kartesischen Koordinaten zu Polarkoordinaten und umgekehrt
Er wird mit den folgenden Formeln vollzogen, wobei Koordinatenursprung und Pol sowie
Abszissenachse und Polarachse zusammenfallen sollen (Abb.3.126):
C 287a)
C.287b)
C.287c)
x = r(ip)cos<p y = r(tp)siiup (—n < ip < 7r, p > 0),
C 288a)
> = yjX2 + 1
C.288b)
arctan —h n für x < 0,
x
y
arctan - für x > 0 ,
x
{P= \- fürx = 0und?/>0,
¦ — für x = 0 und y < 0,
[ unbestimmt für x = y — 0 .
C 288c)
3 5 Vektoralgebra und analytische Geometrie 197
y-
öl
p
h x *
X
P2(x2,y2)
Abbildung 3.126
Ol x
Abbildung 3.127
xfor'frS
Abbildung 3 128
3.5.2.3 Spezielle Punkte in der Ebene
1. Abstand zwischen zwei Punkten
Sind die Punkte in kartesischen Koordinaten P\ (£1,2/1) und P2 {x2,y2) gegeben (Abb.3.127), dann
ist
C 289)
C.290)
d= \J{x2-xiJ + (y2-yif,
sind sie als P\ (pi, v?i) und P2 (p2, ^2) in Polarkoordinaten gegeben (Abb.3.128), dann gilt
d= yjpl + p\ - <2p\P2 cos (y?2 - <£i)
2. Koordinaten des Massenmittelpunktes (Schwerpunktes)
Die Koordinaten (x, y) des Massenmittelpunktes eines Systems materieller Punkte Mi B^, y^ mit den
Massen m^ (i = 1,2,. , n) werden mit den folgenden Formeln berechnet.
Die Berechnung durch Integration s. 8.2.2.3,5., S 469.
3. Teilung einer Strecke
1. Teilung im gegebenen Verhältnis Die Koordinaten
C.291)
P\P m
des Punktes P mit dem Teilungsverhältnis —— = — :
Strecke P\P2 (Abb.3.129a) werden berechnet gemäß
nx\ 4- mx2 Xi + Xx2
A der
y-
n + m
nyi + my2
n + m
1 + A
Vi + Ay2
1 + A '
C 292a)
C 292b)
r
ö"
P2(x2.y2)/g
/^(xi/yi)
X
Für den Mittelpunkt M der Strecke P1P2 erhält man wegen A =
.-*±*. y-*+*. C292c)
Wenn den Strecken P^P und PP2 ein positives oder
negatives Vorzeichen in Abhängigkeit davon zugeordnet wird, ob
ihre Richtung mit der von P1P2 übereinstimmt oder nicht, dann
können die Formeln C.292a,b,c,d) für A < 0 zur Bestimmung
eines Punktes dienen, der die Strecke P\P2 im vorgegebenen
Verhältnis äußerlich teilt {äußere Teilung), d h außerhalb der
b)
X'
1
,0
-1
» -2
' 1 ¦
Pi/i !p2 P
^LMj2 j3 x4
j L^~
\ j /!
Abbildung 3 129
198 3. Geometrie
Strecke P\P2 liegt. Liegt P innerhalb der Strecke PiP2, dann spricht man von innerer Teilung Man
definiert:
a) A = 0, wenn P = Px, b) A = oo, wenn P = P2 und c) A = -1, wenn P Fernpunkt oder
uneigentlicher Punkt der Geraden g ist, d.h. wenn sich P unendlich weit von PiP2 auf g befindet Den
Verlauf von A zeigt die Abb.3.129b.
¦ Für einen Punkt P, für den P2 in der Mitte der Strecke 7\P liegt, ist A = 7\P : ~PF2 = -2
2. Harmonische Teilung liegt vor, wenn innere und äußere Teilung einer Strecke P\P2 mit
demselben Absolutbetrag |A| erfolgen. Mit P; und Pa als innerer bzw äußerer Teilungspunkt sowie Aj bzw
Aa für innere und äußere Teilung gilt
Pi
M
PlPi _ , _ PlPa _ ,
m-K~m-~Xa
oder
C.293a)
C.293b)
Pi
Abbildung 3.130
Führt man den Abstand b des Mittelpunktes M der Strecke P\P2 vom Punkt P\ ein, und werden wie
in Abb.3.130 die Abstände der Punkte Pi bzw. Pa von M mit Xi bzw. xa bezeichnet, dann gilt
b + Xi _ xa + b
Xi b
— = — bzw
X\J->(l ¦
-b2
C 294)
Abbildung 3.131 Abbildung 3.132
Die Bezeichnung harmonische Teilung ergibt sich auch aus dem Zusammenhang mit dem harmonischen
Mittel. In Abb.3.131 ist die harmonische Teilung (für A = 5 • 1) in Analogie zu Abb.3.14 dargestellt
Das harmonische Mittel r der Strecken P\Pi = p und P\Pa — q ergibt sich in Übereinstimmung mit
A.67b) zu
p + q
d h P\P2 ist das harmonische Mittel von P\Pi und P\Pa
3. Goldener Schnitt oder stetige Teilung einer Strecke a wird ihre Zerlegung in zwei Teilstrecken
x und a — x genannt, wenn sich die Teilstrecke x zur Gesamtstrecke a verhält wie die Teilstrecke a — x
zur Teilstrecke x Die Teilstrecke x ergibt sich als Lösung einer quadratischen Gleichung (s 1.1 1.2, ¦,
S. 2):
x a — x
= 26,
C 295)
£i^=
d.h. x + ax — a =0
mit
a(y/E-l)
« 0,618-o.
Abbildung 3.133
In diesem Falle ist x das geometrische Mittel von a und a -
gilt:
: = y a(a — x).
C 296)
C 297)
, denn es
C.298)
Die Teilstrecke x kann auch geometrisch mit Hilfe der in Abb.3.133 angegebenen Konstruktion
ermittelt werden. Die Strecke x ist gleichzeitig die Seitenlänge eines regelmäßigen Zehnecks mit einem
3 5 Vektoralgebra und analytische Geometrie 199
Umkreis vom Radius a
Auf die Gleichung des Goldenen Schnittes führt auch die Aufgabe, von einem Rechteck mit dem
Seitenverhältnis gemäß C 296) ein Quadrat derart abzutrennen, daß auch für das verbleibende Rechteck
C 296) gilt.
3.5.2.4 Flächeninhalte
1. Flächeninhalt eines Dreiecks
Sind die Eckpunkte durch P\(xi,y\), P2(x2,y2) und Ps(xs,ys)
(Abb.3.134) gegeben, dann ergibt sich der Flächeninhalt gemäß
I xi 2/1 11
p3(x3 >y3)
Pi(xi,yi)
p2(x2 >y2)
Abbildung 3 134
H
X2 2/2 1
£3 2/3 1
1
[x\ B/2 - 2/3) + x2 B/3 - 2/1) + xs B/1 - 2/2)]
- [{xi - x2) B/1 + 2/2) + (x2 - x3) B/2 + 2/3)
+ {X3-Xi) B/3 + 2/l)]
Drei Punkte liegen auf einer Geraden, wenn gilt.,
C.299)
x\ 2/1 1
X2 2/2 1
xz 2/3 1
2. Flächeninhalt eines Vielecks
Sind die Eckpunkte durch P\ (xi, 2/1), P2 {x2, y2),
1 ,
s = 5 ^Xl ~ ^ ^yi + ^ + ^2 ~ X3^ ^2 + ^3^ +
, Pn (xn, yn) gegeben, dann ist
+ (xn ~ xi) {yn + yi)]
C 300)
C 301)
Die Formeln C.299) und C 301) liefern einen positiven Flächeninhalt, wenn die Eckpunkte in einer
Reihenfolge durchnumeriert sind, die dem entgegengesetzten Drehsinn des Uhrzeigers entspricht.
Anderenfalls ist der Flächeninhalt negativ.
3.5.2.5 Gleichung einer Kurve
Jeder Gleichung F(x, y) — 0 für die Koordinaten x und y entspricht eine Kurve, die die Eigenschaft
hat, daß die Koordinaten jedes beliebigen Kurvenpunktes P der Gleichung genügen und daß umgekehrt
jeder Punkt, dessen Koordinaten diese Gleichung erfüllen, auf der Kurve liegt Die Menge dieser Punkte
wird auch geometrischer Ort genannt Wenn die Gleichung F(x,y) = 0 von keinem reellen Punkt der
Ebene erfüllt wird, dann gibt es keine reelle Kurve; man spricht von einer imaginären Kurve.
¦ A: x2 + y2 + 1 = 0 ,
¦ B: 2/ = In fl — x2 — cosh xj .
Man spricht von einer algebraischen Kurve F(x,y) = 0, wenn F(x,y) ein Polynom ist, und nennt
seinen Grad die Ordnung der Kurve (s 2 3 4, S 65) Wenn die Gleichung der Kurve nicht auf die Form
F(x< y) = 0 mit F(x, y) als Polynom gebracht werden kann, dann spricht man von einer transzendenten
Kurve
Die Gleichungen von Kurven in anderen Koordinatensystemen können in analoger Weise betrachtet
werden. Im weiteren werden aber, falls nicht ausdrücklich daraufhingewiesen wird, nur die kartesischen
Koordinaten verwendet
3.5.2.6 Gerade
1. Gleichung der Geraden
Jede in den Koordinaten lineare Gleichung definiert eine Gerade, und umgekehrt ist die Gleichung jeder
beliebigen Geraden eine lineare Gleichung ersten Grades.
200 3. Geometrie
C 302)
0 eine Parallele zur y-
1. Allgemeine Geradengleichung
Ax + By + C = 0 (A,B,C const).
Für yl = 0 (Abb.3.135) ist die Gerade eine Parallele zur x-Achse, für B
Achse, für C = 0 verläuft die Gerade durch den Koordinatenursprung
2. Geradengleichung mit Richtungskoeffizient Jede Gerade, die nicht parallel zur y-Achse
verläuft, kann durch eine Gleichung der Form
y = kx + b {k,b const) C 303)
dargestellt werden. Die Größe k wird Richtungskoeffizient der Geraden genannt; er ist gleich dem
Tangens des Winkels, den die Gerade mit der positiven Richtung der x-Achse einschließt (Abb.3.136).
Die Strecke b wird von der Geraden auf der y-kch.se abgeschnitten. Sie kann ebenso wie der Tangens
je nach Lage unterschiedliches Vorzeichen besitzen.
3. Geradengleichung durch einen vorgegebenen Punkt Die Gleichung einer Geraden, welche
durch einen vorgegebenen Punkt Pi (x\, y\) in vorgegebener Richtung verläuft (Abb.3.137), lautet
y — y\ = k (x — x\) , mit k = tanö C.304)
y<
^\
s o
i
./"PiK-yi)
X
Abbildung 3.135
Abbildung 3 136
Abbildung 3 137
4. Geradengleichung für zwei vorgegebene Punkte Sind zwei Geradenpunkte P\ (x1} y\),
B2 (^2,2/2) vorgegeben (Abb.3.138), dann lautet die Geradengleichung
y^L = l^lL. C.305)
Vi -Vi x2- xi
5. Geradengleichung in Achsenabschnittsform Wenn eine Gerade auf den Achsen jeweils die
Strecken a und b abschneidet, wobei die Vorzeichen zu berücksichtigen sind, dann lautet ihre Gleichung
(Abb.3.139)
C.306)
Pifritfi)
<x2 >y2)
Abbildung 3.138
Abbildung 3.139
Abbildung 3.140
6. Normalform der Geradengleichung (auch HESSEsche Normalform) Mit p als Abstand der
Geraden vom Koordinatenursprung und a als der Winkel, den die x-Achse und die vom
Koordinatenursprung auf die Gerade gefällte Normale einschließen (Abb.3.140), mit p > 0 und 0 < a < 2tt , lautet
die HESSEsche Normalform
xcosa +ysina — p = 0. C.307)
3 5 Vektoralgebra und analytische Geometrie 201
Man kann die HESSEsche Normalform aus der allgemeinen Geradengleichung durch Multiplikation mit
dem Normierungsfaktor
fi = ±—=L= C.308)
P VA2 + B2 K '
herleiten Das Vorzeichen von /i muß entgegengesetzt zu dem von C gewählt werden
7. Geradengleichung in Polarkoordinaten (Abb.3.141) Mit p als Abstand vom Pol zur
Geraden (Normalenstrecke vom Pol zur Geraden) und a als Winkel zwischen Polarachse und der vom Pol
auf die Gerade gefällten Normalen gilt
C 309)
cos (ip — a)
2. Abstand eines Punktes von einer Geraden
Man erhält den Abstand d eines Punktes Pi (xi.yi) von einer Geraden (Abb.3.140) aus der Hesse-
schen Normalform durch Einsetzen der Koordinaten des gegebenen Punktes in C 307).
d = x\ cosq + y\ sina — p. C.310)
Wenn P\ und der Koordinatenursprung auf verschiedenen Seiten der Geraden liegen, ist d > 0 ,
anderenfalls ist d < 0
Abbildung 3.141
Abbildung 3 142
Abbildung 3 143
3. Schnittpunkt von Geraden
1. Schnittpunkt zweier Geraden Um die Koordinaten (xo, yo) des Schnittpunktes zweier Geraden
zu berechnen, ist die Lösung des aus ihren Gleichungen zu bildenden Gleichungssystems zu berechnen
Wenn die Geraden durch die Gleichungen
Axx + B^ + Cx = 0, A2x + B2y + C2 = 0 C 311a)
gegeben sind, dann gilt
x0 =
I Bx Cx I
I B2 C21
\a2 b2 I
2/o =
I Ci AYI
\C2A2\
I Al B, I
\A2B2\
\AlBl
\A2 B2 |
zusammen
Wenn \J^L Dl | = 0 ist, dann sind die Geraden parallel. Ist
A2
?1
B2
9i
c2
C 311b)
dann fallen die Geraden
2. Geradenbüschel Wenn eine dritte Gerade mit der Gleichung
A3x + Bsy + C3 = 0 C.312a)
durch den Schnittpunkt der ersten beiden Geraden gehen soll (Abb.3.142), dann muß die Bedingung
Al
A2
A,
B^
B2
B,
Ci
c2
c,,
= 0
C 312b)
202 3 Geometrie
erfüllt sein.
Die Gleichung
{Aix + Biy + Ci) + A (A2x + B2y + C2) = 0 (-00 < A < +oo) C.312c)
beschreibt alle Geraden die durch den Schnittpunkt Po(x0, y0) der beiden Geraden C.311a)
hindurchgehen. Durch C.312c) wird ein Geradenbuschel mit dem Träger Po(x0, y0) definiert Wenn die
Gleichungen der ersten beiden Geraden in Normalform gegeben sind, dann erhält man für A = ±1 die
Gleichungen der Winkelhalbierenden der von den beiden Geraden eingeschlossenen Winkel (Abb.3.143)
Abbildung 3 144
x 0
b)
Abbildung 3.145
4. Winkel zwischen zwei Geraden
Die sich kreuzenden Geraden sind in Abb.3.144 dargestellt. Wenn die beiden Geradengleichungen in
der allgemeinen Form
: 0 und A2x + B2y + C2 = 0
Aix + Bxy + Ci =
gegeben sind, dann gilt
AXB2 - A2BX
tan</? =
cos</? -
AXA2 + BXB2 '
AXA2 + BXB2
C 313c)
y/Al + B^Al + Bf
Mit den Richtungskoeffizienten k\ und k2 ergibt sich
k2 - ki
sm ip -
AXB2 - A2BX
sJA\ + B\^A\ + Bl
tany? =
COS(^ =
1 + hk2 '
l'+fcifc2
^/l + /c^H-/c22'
C.313f)
sinv? =
¦h
y/^T^^T^
C 313a)
C 313b)
C.313d)
C 313e)
C.313g)
Dabei wird der Winkel (p von einer Geraden zur zweiten im entgegengesetzten Drehsinn des Uhrzeigers
gemessen.
Für parallele Geraden (Abb.3.145a) ist —
A2
-Ai Bx
B2
oder k\ = k2
Für senkrechte Geraden (Abb.3.145b) ist AiA2 + BiB2 = 0 oder k2 = —l/k\.
3.5.2.7 Kreis
1. Definition Der Kreis ist der geometrische Ort aller Punkte einer Ebene, die von einem festen
Punkt dieser Ebene, dem Mittelpunkt des Kreises, einen konstanten Abstand, den Radius des Kreises,
haben (s. auch 3.1.6.1, S 142).
2. Gleichung des Kreises in kartesischen Koordinaten Die Gleichung des Kreises lautet in kar-
tesischen Koordinaten für den Fall (Abb.3.146a), daß der Kreismittelpunkt im Koordinatenursprung
liegt,
x2 + y2 = R2 C.314a)
3.5 Vektoralgebra und analytische Geometrie 203
C.314b)
Liegt der Mittelpunkt im Punkt C(x0, y0) Abb.3.146b, dann ergibt sich
(x - x0J + (y - y0J = R2.
Die allgemeine Gleichung zweiten Grades
ax2 + 2bxy + cy2 + 2dx + 2ey + / = 0 C.315a)
liefert dann und nur dann einen Kreis, wenn 6 = 0 und a = c Für diesen Fall kann die Gleichung stets
auf die Form
x2 + y2 + 2mx + 2ny + q = 0
gebracht werden. Für den Radius und die Koordinaten des Mittelpunktes gilt dann
C 316a)
R= y/m2 + n2 -
4,
Xq = —m,
Vo-
C.315b)
C 316b)
Für q > m2 + n2 liefert die Gleichung keine reelle Kurve, für q = m2 + n2 ergibt sich ein einziger Punkt
P(x0,yo).
b) 0
yo
P(x,y)
Abbildung 3 147
Abbildung 3.146
3. Parameterdarstellung des Kreises
x = xq + Rcost, y — yo + Rsin£, C.317)
wobei t der Winkel zwischen dem beweglichen Radius und der positiven Richtung der x-Achse ist
(Abb.3.147).
P
(^
P/\
0^ "
,<frw\
Abbildung 3 148 Abbildung 3.149 Abbildung 3.150
4. Kreisgleichung in Polarkoordinaten ganz allgemein gemäß Abb.3.148:
p2 - 2pp0 cos ((p - (fo) + p2 = R2. C.318a)
Wenn der Kreismittelpunkt auf der Polarachse liegt und der Kreis durch den Koordinatenursprung
verläuft (Abb.3.149), dann vereinfacht sich die Gleichung zu
p = 2Rcosy>. C.318b)
5. Tangente an den Kreis Die Tangente an den Kreis mit der Gleichung C.314a) im Punkt
P(x0,yo) (s. Abb.3.150) beschreibt die Gleichung
xx0 + yyo = R2. C.319)
204 3 Geometrie
3.5.2.8 Ellipse
1. Elemente der Ellipse
Achse, A, B, C, D die Scheitel, Fi, F2 die Brennpunkte mit dem Abstand c = y/ä?
Es sind in Abb.3.151 AB = 2a die große Achse, CD = 2b die kleine
b2 auf beiden
Seiten des Mittelpunktes, e = c/a < 1 die numerische Exzentrizität und p = b2/a der Halbparameter,
d h die halbe Länge der durch einen Brennpunkt parallel zur kleinen Achse gezogenen Sehne.
^ —1
T
(a -f
^F2V
««
y<
^ D
^0
2
T^l
c JFa J
.a ?
X
Abbildung 3 151 Abbildung 3 152
2. Gleichung der Ellipse Die Ellipsengleichung lautet in der Normalform, d h für
zusammenfallende Koordinaten- und Ellipsenachsen sowie in der Parameterform
a2 + b2 '
C 320a)
= acos t,
2/:
= bsint
C 320b)
Die Ellipsengleichung in Polarkoordinaten s. 3.5.2 11,6., S 213
3. Brennpunktseigenschaften der Ellipse, Definition der Ellipse Die Ellipse ist der
geometrische Ort aller Punkte, für die die Summe der Abstände von zwei gegebenen festen Punkten, den
Brennpunkten, konstant gleich 2a ist. Jeder dieser Abstände, die auch Brennpunktradien eines
Ellipsenpunktes genannt werden, berechnet sich als Funktion von der Abszissenkoordinate x gemäß
rl=TVl = a-ex, r2 = ~PF~2 = a + ex , rx+r2 = 2a. C.321)
In dieser und in den weiteren Formeln mit kartesischen Koordinaten wird angenommen, daß die Ellipse
in der Normalform gegeben ist
4. Leitlinien der Ellipse sind Geraden parallel zur kleinen Achse im Abstand d = a/e (Abb.
3.152). Jeder beliebige Ellipsenpunkt P(x,y) unterliegt der Leitlinieneigenschaft (s 3 5 2 11,4., S.
213) der Ellipse '
d2
C 322)
5. Durchmesser der Ellipse werden die Sehnen genannt, die durch den Ellipsenmittelpunkt gehen
und von diesem halbiert werden (Abb.3.153) Der geometrische Ort der Mittelpunkte aller Sehnen, die
zu einem Ellipsendurchmesser parallel sind, ist wieder ein Durchmesser, ein konjugierter Durchmesser
zum ersten Für k und k' als Richtungskoeffizienten zweier konjugierter Durchmesser gilt
kk' = ¦
C 323)
Wenn 2a\ und 2b\ die Längen zweier konjugierter Durchmesser sind und a sowie ß die spitzen Winkel
zwischen den Durchmessern und der großen Achse, wobei k = — tan a und k' = tan ß ist, dann gilt der
Satz des APOLLONIUS in der Form
a\b\ sin(a + ß) = ab,
a? + <
! + 62
C 324)
6. Tangente an die Ellipse Die Tangente an die Ellipse im Punkt P(xq, yo) beschreibt die Gleichung
XXq
um
b2
+ ^ = 1.
C 325)
3 5 Vektoralgebra und analytische Geometrie 205
/a
y<
0
i
—^xt'v)
jy
Üjb ,
W x
N(x,-y)
Abbildung 3.153
Abbildung 3.154
Abbildung 3 155
Normale und Tangente an die Ellipse (Abb.3.154) sind jeweils Winkelhalbierende des inneren Winkels
und dessen Supplementwinkels zwischen den von den Brennpunkten zum Berührungspunkt P
weisenden Radien Die Gerade Ax + By + C = 0 ist eine Tangente an die Ellipse, wenn die Gleichung
A2a2 + B2b2 - C2 = 0 ' C.326)
erfüllt ist
7. Krümmungskreisradius der Ellipse (Abb.3.154) Mit u als Winkel zwischen Tangente und
Radiusvektor von einem der Brennpunkte zum Berührungspunkt P(xq, yo) gilt:
Ä = aVH? +
bA
3
(nr2J
ab
C.327)
b2 a2
In den Scheiteln A und B (Abb.3.151) sowie C und D ist Ra = Rb = — = V und Rc = Rd = ~r ¦
8. Flächeninhalte der Ellipse (Abb.3.155)
a) Ellipse:
S = irab. C.328a)
b) Ellipsensektor BOP:
c) Ellipsenabschnitt PBN:
0 ab x
obop — ^r arccos - .
2 a
C.328b)
Spbn — ab arccos -
¦xy.
C 328c)
9. Ellipsenbogen und Ellipsenumfang Die Bogenlänge zwischen zwei Punkten A und B der
Ellipse läßt sich nicht elementar berechnen, wie es für die Parabel möglich ist, sondern, mit Hilfe eines
unvollständigen elliptischen Integrals 2 Gattung E(h, (p) (s. 8.2.2.2,2., S. 466).
Den Umfang der Ellipse (s. auch 8.2.5,7., 479) berechnet man daher mit Hilfe des vollständigen
elliptischen Integral 2. Gattung E(e) = E l e, — ) mit der numerischen Exzentrizität e = \Ja2 — b2/a und
;es) zu
-©¦'-(M^-G*!)"?---!-
mit ip = — (für ein Viertel des Umfanges) zu
L = 4aE(e) = 2ira
betzt man A = —, dann ist
(o + 6)
: ?r(a + b)
25A8
+ 4 + 64 + 256 + 16384
C.329b)
206 3 Geometrie
und in Näherung
L«7r[l,5(a + 6)-
Vabl , L « n{a + b)
64 - 3A4
64 - 16A2 '
C 329c)
P(x,y)
¦ Für a = 1, 5, b = 1 liefert C 329c) den Wert 7,93, während die genauere Rechnung mit Hilfe des
vollständigen elliptischen Integrals 2 Gattung (s 8.1.4.3, ¦, S. 454) den Wert 7,98 ergibt
3.5.2.9 Hyperbel
1. Elemente der Hyperbel In Abb.3.156 sind AB = 2a
die reelle Achse, A, B die Scheitel; 0 der Mittelpunkt; Fi und
F2 die Brennpunkte im Abstand c > a auf der reellen Achse
zu beiden Seiten vom Mittelpunkt, CD = 2b = 2y/c2 - a2 die
imaginäre Achse; p = b2/a der Halbparameter der Hyperbel,
d h. die halbe Länge der durch einen der Brennpunkte
senkrecht zur rellen Achse gelegten Sehne; e = c/a > 1 die
numerische Exzentrizität.
2. Gleichung der Hyperbel Die Hyperbelgleichung
lautet in der Normalform, d.h. für zusammenfallende x- und
reelle Achse sowie in der Parameterform Abbildung 3 156
^-£ = 1, C.330a)
= a cosh t, y = b sinh t; C.330b) x = , y = bttmt. C.330c)
cost
In Polarkoordinaten s. 3.5.2.11,6., S. 213.
3. Brennpunktseigenschaften der Hyperbel, Definition der Hyperbel Die Hyperbel ist der
geometrische Ort aller Punkte, für die die Differenz der Abstände von zwei gegebenen festen
Punkten, den Brennpunkten, konstant gleich 2a ist. Punkte, mit r\ — r2 = 2a gehören einem Zweig an (in
Abb.3.156 dem linken), andere mit r2 — r\ = 2a dem zweiten (in Abb.3.156 dem rechten). Jeder
dieser Abstände, die auch Brennpunktradien genannt werden, berechnet sich aus
ri = ±(ex — a), r2 = ±(esc + a), r2 — ri = ±2o, C.331)
wobei das obere Vorzeichen für den rechten, das untere für den linken Zweig gilt. In diesen und den
folgenden Hyperbelformeln, mit kartesischen Koordinaten, wird angenommen, daß die Hyperbel in
der Normalform angegeben ist.
¥y
) A
y
0
bU
X
Abbildung 3 157
Abbildung 3 158
4. Leitlinien der Hyperbel sind senkrecht auf der reellen Achse im Abstand d = a/c vom
Mittelpunkt stehende Geraden (Abb.3.157). Jeder beliebige Hyperbelpunkt F(x, y) unterliegt der
Leitlinieneigenschaft der Hyperbel (s 3 5 2 11,4., S 213)
do
C 332)
3 5 Vektoralgebra und analytische Geometrie 207
C.333)
5. Tangente an die Hyperbel Die Tangente an die Hyperbel im Punkt P(xo,y0) beschreibt die
Gleichung
xxp yy0 =
Normale und Tangente an die Hyperbel (Abb.3.158) sind jeweils Winkelhalbierende des inneren
Winkels und dessen Supplementwinkels zwischen den von den Brennpunkten zum Berührungspunkt P
weisenden Radien. Die Gerade Ax + By + C = 0 ist eine Tangente, wenn die folgende Gleichung erfüllt
ist:
C.334)
^
N
/
//>.
yf , .
>v
A
/
\
/
V
"v.^V
f
X
^
Abbildung 3 159
Abbildung 3 160
6. Asymptoten der Hyperbel sind Geraden (Abb.3.159), die sich den Hyperbelzweigen für
\x\ —> 00 unbegrenzt nähern (Definition der Asymptoten s 3.6.1.3,4., S. 241). Der Richtungskoeffizient
der Asymptoten ist k — ± tan 5 = ±b/a . Die Gleichungen der Asymptoten lauten
y = ±
C.335)
Die Asymptoten bilden gemeinsam mit der Tangente an die Hyperbel in einem Punkt P das
Tangentenstück der Hyperbel, d.h die Strecke TT\ (Abb.3.159) Das Tangentenstück wird durch den
Berührungspunkt P halbiert, so daß TP = T\P ist Der Flächeninhalt des Dreiecks TOT\ zwischen
der Tangente und beiden Asymptoten beträgt für jeden Berührungspunkt P
SD = ab C 336)
Der Flächeninhalt des Parallelogramms OFPG, das von den Asymptoten und zwei zu ihnen vom Punkt
P ausgehenden Parallelen gebildet wird, beträgt
(a2 +_^) _ £_
~ 4 *
SP = ¦
C.337)
7. Konjugierte Hyperbeln (Abb.3.160) haben die Gleichungen
v x
< W - - — K2 2 " - C'338)
az b2 b2 a?
wobei die zweite in Abb.3.160 gestrichelt dargestellt ist Sie besitzen gemeinsame Asymptoten derart,
daß die reelle Achse der einen die imaginäre Achse der anderen ist und umgekehrt.
8. Durchmesser der Hyperbel (Abb.3.161) werden diejenigen Sehnen zwischen den zwei Asten
einer Hyperbel genannt, die durch den gemeinsamen Mittelpunkt verlaufen, der sie halbiert. Zwei
Durchmesser mit den Riehtungskoeffizienten k und k', die zu einer Hyperbel und ihrer konjugierten
Hyperbel gehören, werden konjugiert genannt, wenn kk' = b2/a2 ist. Von jedem der beiden
konjugierten Durchmesser werden die Sehnen der gegebenen bzw der zu ihr konjugierten Hyperbel, die parallel
zu dem anderen Durchmesser verlaufen, in zwei gleiche Teile geteilt (Abb.3.161). Von zwei
konjugierten Durchmessern schneidet nur der mit \k\ < b/a die Hyperbel. Die dabei entstehende Sehne,
208 3 Geometrie
Abbildung 3.161
Abbildung 3.162
ein Durchmesser im engeren Sinne des Wortes, wird im Hyperbelmittelpunkt halbiert. Wenn 2a\ bzw
2&i die Längen zweier konjugierter Durchmesser sind und a bzw. ß < a die spitzen Winkel, die diese
Durchmesser mit der reellen Achse bilden, dann gilt
a\ - b\ = a2 - b2 ; ab = axbi sin(a - ß) C 339)
9. Krümmungskreisradius der Hyperbel Im Punkt P(x0,yo) (Abb.3.158) hat die Hyperbel
den Krümmungskreisradius
R--
y2oY/2 =(nr2K/2 = v
i i
ab
C 340a)
wobei u der Winkel zwischen Tangente und Radiusvektor von einem der Brennpunkte zum
Berührungspunkt ist In den Scheiteln A und B gilt
b2
RA = RB=p=- C.340b)
10. Flächeninhalte in der Hyperbel (Abb.3.162)
a) Hyperbelsegment APN:
Sapn = xy — ab In
(H)
xy — ab Arcosh — .
a
b) Fläche OAPG:
JOAPG z
ab ab, 2d
C.341a)
C.341b)
Die Strecke PG verläuft parallel zur unteren Asymptote, c ist der Brennpunktsabstand und d = 0G
11. Hyperbelbogen Die Bogenlänge zwischen zwei Punkten A und B der Hyperbel läßt sich nicht
elementar berechnen, wie es für die Parabel möglich ist, sondern mit Hilfe eines unvollständigen
elliptischen Integrals 2 Gattung E(k,ip) (s. 8.1 4.3, S. 466) in Analogie zur Bogenlänge der Ellipse
(s 3 5 2 8,9. S 205)
12. Gleichseitige Hyperbeln zeichnen sich durch gleich große Achsen a = b aus, so daß ihre
Gleichung lautet
x2 -y2 = a2 C 342a)
Die Asymptoten der gleichseitigen Hyperbel stehen senkrecht aufeinander. Wenn die Asymptoten mit
den Koordinatenachsen zusammenfallen (Abb.3.163), dann lautet die Gleichung
„2
xy=-.
C 342b)
3.5.2.10 Parabel
1. Elemente der Parabel In Abb.3.164 ist die x-Achse mit der Parabelachse identisch, 0 ist der
Scheitel der Parabel, F der Brennpunkt der Parabel, der sich im Abstand p/2 vom Koordinatenursprung
3 5 Vektoralgebra und analytische Geometrie 209
Ni
I
ty
1 ^ ^^
\kf^]
°K? x
N'1 \ ^^*
Abbildung 3 163
Abbildung 3 164
Abbildung 3.165
auf der x-Achse befindet, wobei p Halbparameter der Parabel genannt wird. Mit NN' ist die Leitlinie
bezeichnet, d.h. eine Gerade, die senkrecht auf der Parabelachse steht und diese im Abstand p/2 auf
der dem Brennpunkt entgegengesetzten Seite schneidet. Somit ist der Halbparameter auch gleich der
halben Länge der Sehne, die im Brennpunkt senkrecht auf der Achse steht Die numerische Exzentrizität
der Parabel ist gleich eins (s 3.5 2 11,4., S 213)
2. Gleichung der Parabel Wenn der Koordinatenursprung in den Scheitel cler Parabel gelegt
wird, die x-Achse mit der Parabelachse zusammenfällt und der Parabelscheitel nach links weisen soll,
dann lautet die Normalform der Parabelgleichung
y2 = 2px. C.343)
Die Gleichung der Parabel in Polarkoordinaten s. 3.5.2.11,6., S. 213. Für Parabeln mit vertikaler Achse
(Abb. 3.165) lautet die Parabelgleichung
y = ax2 + bx + c C.344a)
Der Halbparameter dieser so gegebenen Parabel ist p -
1
2\a~\-
C.344b)
Ist o > 0, so ist die Parabel nach oben geöffnet, für a < 0 ist sie nach unten geöffnet. Die Koordinaten
des Scheitels sind
b Aac-b2
xo = -— > Vo =—-. • C.344c)
2a'
4a
3. Haupteigenschaft der Parabel (Definition der Parabel) Die Parabel ist der geometrische Ort
aller Punkte P(x, y), die von einem festen Punkt, dem Brennpunkt, und einer festen Geraden, der
Leitlinie, gleich große Entfernung besitzen (Abb.3.164). Hier und in den folgenden Formeln in kartesischen
Koordinaten wird die Normalform der Parabelgleichung angenommen Dann ist
PF = PK = x + '¦
C.345)
wobei PF der vom Brennpunkt ausgehende Radius des Parabelpunktes ist.
4. Durchmesser der Parabel wird eine Gerade genannt, die parallel zur Parabelachse liegt (Abb.
3.166) Ein Parabeldurchmesser halbiert die Sehnen, die zur Tangente im Endpunkt des Durchmessers
parallel liegen (Abb.3.166). Mit dem Richtungskoeffizienten k der Sehnen lautet die Gleichung des
Durchmessers
V = l C.346)
5. Tangente an die Parabel (Abb.3.167) Die Gleichung der Tangente an die Parabel im Punkt
P(xo,yo) lautet
yy0=p(x + x0) C.347)
Tangente und Normale der Parabel sind Winkelhalbierende für die Winkel zwischen dem vom
Brennpunkt ausgehenden Radiusvektor und dem Durchmesser des Berührungspunktes. Die Strecke auf der
210 3. Geometrie
Parabeltangente zwischen dem Berührungspunkt und dem Schnittpunkt mit der Paiabelachse auf der
x-Achse wird durch die Tangente im Parabelscheitel, d h durch die y-Achse halbiert-
TS = ~SP, TÖ = ÖM = x0, TF = ¥P C 348)
Eine Gerade mit der Gleichung y = kx + b ist eine Tangente an die Parabel, wenn
p = 2bk C 349)
y<
"s
^j 0
Q^tCn
lFM\
X
Abbildung 3 166
Abbildung 3.167
Abbildung 3.168
6. Krümmungskreisradius der Parabel im Punkt P(x\,y\) mit ln als Normalenlänge PN und
u als Winkel zwischen Tangente und Radiusvektor (Abb.3.167) gilt allgemein bzw im Scheitel 0
R-
) + 2xi):
3/2
Vp
sin3w p2 '
C 350a)
7. Flächeninhalte in der Parabel (Abb.3.168)
a) Parabelsegment PON:
2
Sopn = -^Smqnp (MQNP ist das Parabelparallelogramm).
b) Parabelfläche OPR:
Q 2xy
OQPR = -r-
8. Länge des Parabelbogens vom Scheitel 0 bis zum Punkt P(x,%
\2x~
2x f 2x , .
..— 1 + —1+ln
\ p V p
( P\ P k • , 2x
; X + S +£ArsinhW —
V 2/ 2 \ p
Für kleine Werte von - gilt näherungsweise
,1 2x
+ W1 + —
PVP
~2x
lop~y
1 +
2/x\2 2/xx4
3V?/
5 W
C.350b)
C 351a)
C 351b)
C 352a)
C 352b)
C.352c)
3.5.2.11 Kurven 2. Ordnung (Kegelschnitte)
1. Allgemeine Gleichung der Kurven 2. Ordnung
Mit der allgemeinen Gleichung der Kurven 2 Ordnung
ax2 + 2bxy + cy2 + 2dx + 2ey + / = 0
C 353a)
3.5 Vektoralgebra und analytische Geometrie 211
werden die Ellipse, ihr Spezialfall der Kreis, die Hyperbel, die Parabel oder ein Geradenpaar (als
zerfallende Kurve 2. Ordnung) definiert Die Ruckführung auf die Normalform kann mit Hilfe der in
Tabelle 3.19 und Tabelle 3.20 angegebenen Koordinatentransformationen erreicht werden.
Hinweis: Die Koeffizienten in C 353a) sind nicht identisch mit den Parametern der speziellen
Kegelschnitte in den Gleichungen für Ellipse, Hyperbel und Parabel.
Tabelle 3.18 Kurvengleichungen 2 Ordnung Mittelpunktskurven E ^ 0)*
Größen 5 und A
Gestalt der Kurve
Ellipse a) für A • S < 0 reell,
b) für A • S > 0' imaginär*2^
Mittelpunktskurven
5^0
6>0
5<0
A^O
A^O
"A^Ö"
Ein Paar imaginärer*2) Geraden mit reellem gemein-
samen Punkt
Hyperbel
Ein Paar schneidender Geraden
Notwendige Koordinatentransformation
Normalform der Gleichung
nach Transformation
1 Verschiebung des Koordinatenursprungs in
den Kurvenmittelpunkt, dessen Koordinaten
be — cd bd — ae . ,
xo = —^—' y°= —§— smd
2. Drehung der Koordinatenachsen um den
TTT. 1 ! ^ 26
Winkel a mit tan 2a =
a — c
Das Vorzeichen von sin 2a muß mit dem
Vorzeichen von 26 übereinstimmen. Hierbei ist
der Richtungskoeffizient der neuen x'-Achse
a'x'2 + c'y'2 + - = 0
n'
rJ
a + c-f-
a + c-
V(a-
2
y/(a-
-cf
-cf
+ 462
+ 462
-a+yj(c- af + 462
26
(a' und d sind Wurzeln der quadratischen
Gleichung u2 - Su + 5 = 0).
* V A, ö und S sind gemäß C.353b) Zahlen.
*2) Der Kurvengleichung entspricht eine imaginäre Kurve.
Hinweis: Sind zwei Koeffizienten (a und 6 oder 6 und c) = 0, so reduzieren sich die notwendigen
Koordinatentransformationen auf eine Verschiebung der Koordinatenachsen
Die Gleichung cy2 + 2dx 4- 2ey + / = 0 erhält die Form (y — y0) = 2p(x — x0), die Gleichung ax2 +
2dx + 2ey + / = 0 erhält die Form (x — xo) = 2p(y — y0)
2. Invariante einer Kurve 2. Ordnung
Invariante einer Kurve 2. Ordnung sind die drei Größen
\a b d
S=\ao\: S = a + c C 353b)
A =
b c e
def
212 3 Geometrie
Tabelle 3 20 Kurvengleichungen 2. Ordnung. Parabolische Kurven (S = 0)
Größen S und A
Parabolische Kurvenl, S = 0
A^O
A = 0
Gestalt der Kurve
Parabel
Geradenpaar- Parallele Geraden für gP - af > 0,
Doppelgerade für d2 — af = 0,
Imaginäre*2) Geraden für d2 — af < 0
Notwendige Koordinatentransformation
1 Verschiebung des Koordinatenursprungs in
den Scheitel der Parabel, dessen Koordinaten
x0 und y0 durch die Gleichungen
ad + be
ax0 + by0 H — = 0 und
/, de — be\ ( ae-bd\
\d + —— 1 x0 + 1 e + s 1 yo + / = 0
definiert werden.
2 Drehung der Koordinatenachsen um den
Winkel a mit tana = — - ,
b
das Vorzeichen von sin a muß dem Vorzeichen
von a entgegengesetzt sein.
Drehung der Koordinatenachsen um den
Winkel a mit tana = — - ,
b
das Vorzeichen von sin a muß dem Vorzeichen
von a entgegengesetzt sein
Normalform der Gleichung
nach Transformation
y'2 = 2px'
ae — bd
v —
Sy/a2 + b2
Sy'2 + 2 a. o+ ev' + / = 0 ist auf die Form
Va2 + b2
(yf - y'0) (yf — y[) = 0 transformierbar.
*!) Im Falle S = 0 wird vorausgesetzt, daß keiner der Koeffizienten a, 6, c verschwindet
*2) Der Kurvengleichung entspricht eine imaginäre Kurve
Bei Drehungen des Koordinatensystems bleiben sie erhalten, d.h., wenn nach einer
Koordinatentransformation die Kurvengleichung die Form
a'x'2 + 2b'x'y' + c'y'2 + 2d'x' + 2e'y' + /' = 0
C.353c)
hat, dann liefert die Berechnung dieser drei Größen A, S und S aus den neuen Konstanten die
ursprünglichen Werte
3. Gestalt der Kurven 2. Ordnung (Kegelschnitte)
Wenn ein gerader Kreiskegel von einer Ebene geschnitten wird, dann entsteht auf ihr ein Kegelschnitt
Geht die schneidende Ebene nicht durch die Spitze, dann ergibt sich eine Hyperbel, Parabel oder
Ellipse in Abhängigkeit davon, ob die Ebene parallel zu zwei, nur zu einer oder zu keiner Erzeugenden
des Kegels verläuft Geht die schneidende Ebene durch die Kegelspitze, dann entstehen zerfallende
Kegelschnitte mit A = 0. Als Kegelschnitt eines in einen Zylinder entarteten Kegels, dessen Spitze sich
im Unendlichen befindet, ergeben sich zwei parallele Geraden Der Bestimmung der Gestalt der
Kegelschnitte dienen die Tabelle 3.19 und die Tabelle 3.20.
3 5 Vektoralgebra und analytische Geometrie 213
4. Leitlinieneigenschaft der Kurven 2. Ordnung
Der geometrische Ort aller Punkte P (Abb.3.169) mit einem konstanten
Verhältnis e der Abstände zu einem festen Punkt F, dem Brennpunkt, und zu
einer gegebenen Geraden, der Leitlinie, ist eine Kurve zweiter Ordnung mit der
numerischen Exzentrizität e. Für e < 1 ergibt sich eine Ellipse, für e = 1 eine
Parabel und für e > 1 eine Hyperbel.
5. Bestimmung der Kurve durch fünf Punkte
Durch fünf vorgegebene Punkte kann eine und nur eine Kurve 2. Ordnung gehen. Wenn drei dieser
Punkte auf einer Geraden liegen, dann ergibt sich ein zerfallender Kegelschnitt.
6. Polargleichung der Kurven zweiter Ordnung
Alle Kurven 2 Ordnung werden mit der einen Polargleichung
P = i C 354)
1 + e cos tp
beschrieben, wobei p der Halbparameter und e die Exzentrizität sind. Dabei liegt *der Pol im
Brennpunkt, während die Polarachse vom Brennpunkt nach dem nächstgelegenen Scheitelpunkt hin gerichtet
ist Für die Hyperbel definiert diese Gleichung nur einen Ast
3.5.3 Analytische Geometrie des Raumes
3.5.3.1 Grundlagen, räumliche Koordinatensysteme
1. Koordinaten und Koordinatensysteme
Jeder beliebige Punkt P im Raum kann mit Hilfe eines Koordinatensystems festgelegt werden Die
Richtungen der Koordinatenlinien sind durch die Richtungen der Einheitsvektoren festgelegt. In Abb.
3.170a sind die Verhältnisse für ein kartesisches Koordinatensystem dargestellt. Man unterscheidet
rechtwinklige und schiefwinklige Koordinatensysteme In ihnen stehen die Einheitsvektoren der
Koordinatenlinien senkrecht bzw. schiefwinklig aufeinander Eine andere wichtige Unterscheidung ist die
Rechts- oder Linkshändigkeit eines Koordinatensystems
Die gebräuchlichsten räumlichen Koordinatensysteme sind kartesische Koordinaten,
Zylinderkoordinaten und Kugelkoordinaten.
2. Rechts- und Linkssysteme
In Abhängigkeit von der gegenseitigen Aufeinanderfolge der positiven Koordinatenrichtungen
unterscheidet man Rechtssysteme und Linkssysteme oder rechtshändige bzw linkshändige
Koordinatensysteme. Ein Rechtssystem besitze z.B. drei in der alphabetischen Reihenfolge genommene und nicht
in einer Ebenen liegende Einheitsvektoren e», e^, e^ Die Rechtshändigkeit kommt dann dadurch zum
Ausdruck, daß eine Drehung eines der Vektoren um den gemeinsamen Koordinatenursprung auf den
nächsten in der alphabetischen Reihenfolge bis zur Überdeckung auf dem kürzesten Wege im
Gegenuhrzeigersinn ausgeführt werden kann Symbolisch stellt man diesen Sachverhalt mit Hilfe der Abb.3.34
dar; die dort eingezeichneten Seiten a, 6, c sind durch die Indizes i,j, k zu ersetzen Ein Linkssystem
erfordert Drehungen dieser Art im Uhrzeigersinn.
Rechts- und Linkssysteme können durch Vertauschung der Einheitsvektoren ineinander überführt
werden Die Vertauschung zweier Einheitsvektoren ändert die Händigkeit des Systems, d.h. seine
Orientierung: Aus einem Rechtssystem wird ein Linkssystem und umgekehrt aus einem Linkssystem ein
Rechtssystem.
Eine wichtige Art der Vektorvertauschung ist die zyklische Vertauschung, bei der die Orientierung
erhalten bleibt Gemäß Abb.3.34 erfolgt die Vertauschung der Vektoren im Rechtssystem im
Gegenuhrzeigersinn, d h nach dem Schema (i —> j; —> k —? z, j —> k —* i —? j, k —> i —> j —? k). Im Linkssystem
erfolgt die Vertauschung der Vektoren im Uhrzeigersinn, d.h. nach dem Schema (i —> k —> j —> i,k ^
j^i-*k,j^i^k-^j)
Abbildung 3.169
214 3. Geometrie
P(x,y,z)
P(y,x,z)
a) /x y
b) /y
Abbildung 3.170
Ein Rechtssystem kann mit keinem Linkssystem zur Deckung gebracht werden
Die Spiegelung eines Rechtssystems am Koordinatenursprung fuhrt auf ein Linkssystem (s 4.3.5.1,2.,
S. 277)
¦ A: Das kartesische Koordinatensystem mit den Koordinatenachsen x, y, z ist ein Rechtssystem
(Abb.3.170a)
¦ B: Das kartesische Koordinatensystem mit den Koordinatenachsen a;, z, y ist ein Linkssystem
(Abb.3.170b).
¦ C: Aus dem Rechtssystem e*, e^, ejt wird durch Vertauschung der Einheitsvektoren e, und e^ das
Linkssystem e*, e^, e,-.
¦ D: Durch zyklische Vertauschung erhält man aus dem Rechtssystem e;,ej,efc das Rechtssystem
e,-, e*, ei und aus diesem wieder das Rechtssystem e^, e^, e,-
3. Kartesische Koordinaten
eines Punktes P werden die mit einem bestimmten
Vorzeichen versehenen und in einer bestimmten
Maßeinheit angegebenen Abstände von drei rechtwinklig
aufeinanderstellenden Koordinatenebenen genannt. Sie
stellen die Projektionen des Radiusvektors r zum Punkt
P (s 3 5 1.1,6., S 186) auf drei rechtwinklig
aufeinanderstellende Koordinatenachsen (Abb.3.170) dar. Der
Schnittpunkt O der Koordinatenachsen wird
Koordinatenursprung oder Koordinatenanfangspunkt genannt Die
Koordinaten x, y und z heißen Abszisse, Ordinate und
Applikate. Die Schreibweise P(a, 6, c) bedeutet, daß der
Punkt P die Koordinaten x = a, y = b, z = c hat. Die
Vorzeichen der Koordinaten richten sich nach dem Ok-
tanten (Abb.3.171), in dem sich der Punkt P befindet
(Tabelle 3.21)
Abbildung 3 171
Tabelle 3.21 Koordinatenvorzeichen in den Oktanten
Oktant
X
y
z
I
+
+
+
II
—
+
+
III
—
-
+
IV
+
-
+
V
+
+
-
VI
—
+
-
VII
-
-
-
VIII
+
-
-
Im rechtshändigen kartesischen Koordinatensystem (Abb.3.170a) gilt für die senkrecht
aufeinanderstellenden und in der Reihenfolge e», e^, e^ genommenen Einheitsvektoren
e*j x e*j = efc , e^ x e^ = ^, ek x e* = e^ , C.355a)
3.5 Vektoralgebra und analytische Geometrie 215
d h., es gilt die Rechte-Hand-Regel (s 3 5 1 3,2., S. 188). Die drei Formeln gehen durch zyklische
Vertauschung der Einheitsvektoren auseinander hervor
Im linkshändigen kartesischen Koordinatensystem (Abb.3.170b) gilt
e* x ej = —ek , e,- x e^ = — e», e^ x et = —e*j . C 355b)
Das negative Vorzeichen der Vektorprodukte ergibt sich aus der linkshändigen Reihenfolge der
Einheitsvektoren s Abb.3.170b, d.h ihrer Anordnung im Uhrzeigersinn.
Es ist zu beachten, daß in beiden Fällen gilt"
e» x e* = e*j xej = ejtxefc = 0. C.355c)
Gewöhnlich werden rechtshändige Koordinatensysteme verwendet; die Formeln sind allerdings nicht
von dieser Wahl abhängig. In der Geodäsie benutzt man gewöhnlich linkshändige Koordinatensysteme
(s. 3 2.2 1, S. 148).
4. Koordinatenflächen und Koordinatenlinien
Koordinaten flächen zeichnen sich durch eine konstant gehaltene Koordinate aus, so daß sie im System
der rechtwinkligen kartesischen Koordinaten parallel zu der von den zwei anderen Koordinatenachsen
aufgespannten Ebene liegen Durch die drei Koordinatenflächen x = 0, y = 0 bzw z = 0 wird der
dreidimensionale Raum in 8 Oktanten zerlegt (Abb.3.171). Koordinatenlinien sind Kurven, auf denen
sich nur eine Koordinate ändert, in kartesischen Koordinatensystemen also Geraden, die parallel zu den
Koordinatenachsen verlaufen. Die Koordinatenflächen schneiden einander in den Koordinatenlinien.
5. Krummlinige dreidimensionale Koordinaten
entstehen, wenn drei Scharen irgendwelcher Flächen derart vorgegeben werden, daß durch jeden
Raumpunkt genau eine Fläche jeder der drei Scharen verläuft Die Position eines Punktes wird in solchen
Koordinatensystemen durch die Parameterwerte der drei durch diesen Punkt hindurchgehenden
Koordinatenflächen bestimmt. Zu den gebräuchlichsten krummlinigen Koordinatensystemen gehören die
Zylinder- und die Kugelkoordinaten.
6. Zylinderkoordinaten (Abb.3.172)
bestehen aus
• den Polarkoordinaten p und ip der Projektion des Punktes P auf die x, y-Ebene und
• der Applikate z des Punktes P
Die Koordinatenflächen des Zylinderkoordinatensystems sind
• die Zylinderflächen mit dem Radius p — const,
• die von der z-Achse ausgehenden Halbebenen mit tp = const und
• die zur z-Achse senkrechten Ebenen mit z = const.
Die Schnittlinien dieser Koordinatenebenen sind die Koordinatenlinien.
Den Übergang zwischen den Zylinderkoordinaten und den rechtwinkligen kartesischen Koordinaten
vermitteln die folgenden Formeln (s auch Tabelle 3.22):
x = pcos(p, y = psimp, z — z\ C.356a)
p = Jx2 + y2 , (p = arctan - = aresin - für x > 0 . C 356b)
v x p
Die notwendige Fallunterscheidung bezüglich (p s. C.288c)
7. Kugel- oder räumliche Polarkoordinaten (Abb.3.173)
bestehen aus
• der Länge r des Radius- oder Aufpunktvektors r,
• dem Winkel d zwischen der z-Achse und dem Aufpunktvektor r sowie
• dem Winkel (p zwischen der x-Achse und der Projektion von r auf die x, y-Ebene
Die positiven Richtungen (Abb.3.173) weisen hier für r vom Koordinatenursprung zum Punkt P, für
d von der z-Achse nach r und für (p von der x-Achse zur Projektion von r auf die x, y-Ebene. Mit den
Wertebereichen 0<r<oo,0<$<7r und — tt < (p < ir werden alle Punkte des Raumes eindeutig
erfaßt
216 S. Geometrie
Abbildung 3.172
Abbildung 3 173
Die Koordinatenflächen des Kugelkoordinatensystems sind
• die Kugeln mit dem Pol 0 als Koordinatenursprung und dem Radius r = const,
• die Kegel mit d = const, der Spitze im Koordinatenursprung und der z-Achse als Achse sowie
• die von der z-Achse ausgehenden Halbebenen mit ip = const
Die Schnittlinien dieser Flächen sind die Koordinatenlinien.
Den Übergang zwischen den Kugelkoordinaten und den kartesischen Koordinaten liefern die folgenden
Formeln (s. auch Tabelle 3.22):
x = r sin d cos (p, y = r sin d sin ip , z = r cos tf , C.357a)
r = Jx2 + y2 + z2, 0 = arctan vx +V = arctan 1 > C.357b)
v z x
Die notwendige Fallunterscheidung bezüglich (p s. C.288c). Analoges gilt bezüglich $ .
Tabelle 3.22 Zusammenhang zwischen kartesischen, Kreiszylinder und Kugelkoordinaten
Kartesische Koordinaten
x =
y =
z =
y/x'2 + y2
arctan -r
X
= z
y/x2 + y2 + z2
y/x2 + y2
arctan
y z
arctan -
X
Zylinderkoordinaten
= QCOSip
= gsimp
= z
= Q
= <p
= z
= Vq2 + z2
= arctan -
z
= ip
Kugelkoordinaten
= r sin d cos (p
= r sin d sin ip
= r cos d
— r sin d
= <P
= r cos d
= r
= $
8. Richtung im Raum
Eine Richtung im Raum wird mit Hilfe eines Einheitsvektors t° festgelegt (s 3.5.1.1,6., S 186), dessen
Koordinaten die Richtungskosinusse sind, d.h die Kosinusse der Winkel zwischen der zu
beschreibenden Richtung und den positiven Koordinatenachsen (Abb.3.174)
/ = cos a , m = cos ß, n = cos 7, l2 + m2 + n2 = 1. C 358a)
Der Winkel ip zwischen zwei durch ihre Richtungskosinusse Zi, rai, n\ und /2, m2, n2 bestimmte
Richtungen berechnet sich gemäß
cos (p = lil2 + raim2 + n\n2 C.358b)
3 5 Vektoralgebra und analytische Geometrie 217
Zwei Richtungen stehen aufeinander senkrecht, wenn gilt
lik 4- mim2 4- n\U2 = 0
C.358c)
Abbildung 3.174
Abbildung 3.175
3.5.3.2 Transformation rechtwinkliger Koordinaten
1. Parallelverschiebung Wenn die ursprünglichen Koordinaten x, y, z sind und die neuen x', y'',
z' und <2, b, c die Koordinaten des neuen Koordinatenursprungs im ursprünglichen Koordinatensystem
(Abb.3.175), dann gilt
x = x' + a, y = y' + b, z = z' 4- c, #' = £ — a , y' = y — b, z' = z — c C.359)
2. Drehung der Koordinatenachsen Wenn die Richtungskosinusse der neuen Achsen in
Übereinstimmung mit den Angaben in Tabelle 3.23 bezeichnet sind (Abb.3.176), dann gilt
x' = lix + miy 4- n\z,
y' = kx 4- m2y + n22;,
2 = n\x' + 712?/' + riß^'; C.360a) z' — l$x 4- m^y + 7232 C.360b)
Die Koeffizientenmatrix des Systems C 360a), Drehungsmatrix D genannt, und die
Transformationsdeterminante A ergeben sich zu
x = lix' + l2y' + hz',
y = 7YI\X' 4" 77122/' + ^32'
D =
/l
TTii
77i
k
7772
^2
fe
m3
773
C.360c)
detD = A =
h h h
m\ 7772 7773
77l 772 773
C.360d)
Tabelle 3.23 Bezeichnungen der Richtungskosinusse
bei Koordinatentransformation
In bezug auf die
alten Achsen
X
y
z
Richtungskosinus
der neuen Achsen
x'
h
TOi
77l
y'
k
7772
772
z'
h
7773
773
3. Eigenschaften der Transformationsdeterminante
a) A = ±1, mit positivem Vorzeichen, wenn die Links- bzw. Rechtshändigkeit erhalten bleibt, mit
negativem Vorzeichen, wenn sich die Händigkeit ändert.
b) Die Summe der Quadrate der Elemente einer Zeile oder einer Spalte ist immer gleich eins.
c) Die Summe der Produkte der entsprechenden Elemente zweier verschiedener Zeilen oder Spalten ist
218 3 Geometrie
Abbildung 3.176 Abbildung 3 177
gleich Null (s 4.1 4,9., S. 265)
d) Jedes Element ergibt sich als Produkt aus A = ±1 und seiner Adjunkte (s. 4 1.4, S. 267).
4. Eulersche Winkel Die Lage des neuen Koordinatensystems relativ zum alten kann mit Hilfe
von drei Winkeln, die Euler eingeführt hat, vollständig bestimmt werden (Abb.3.176).
a) Nutationswinkel d wird der Winkel zwischen den positiven Richtungen der z- und der 2/-Achse
genannt; es gilt 0 < $ < 7T.
b) Präzessionswmkel t/j wird der Winkel zwischen der positiven Richtung der x-Achse und der
Schnittgeraden K zwischen der x,y- und x',y'- Ebene genannt Die positive Richtung von K wird derart
gewählt, daß die z-Achse, die z'-Achse sowie K ein Richtungstripel (s 3 5 1 1,4., S. 188) mit der
gleichen Orientierung bilden wie die Koordinatenachsen. Die Messung von ip erfolgt von der x Achse aus
in Richtung y-Achse; es gilt 0 < ip < tt .
c) Drehungswinkel (p wird der Winkel zwischen der positiven sc'-Richtung und der Schnittgeraden K
genannt, es gilt 0 < ip < 2tt .
Wenn anstelle der Winkelfunktionen zur Abkürzung gesetzt wird
COS fl = C\ , COS ift = C2 , COS 9? = C3 ,
sini9 = 5i, sin^ = s2, sin ip = s3, C 361a)
dann gilt
h = c2Ci - cipss , rai = s2c3 + Cic2s3 , n\ = sis3 ;
k = -C2S3 - cis2c3 , m2 = -s2s3 + Cic2c3 , n2 = sic3 , C 361b)
^3 = sis2 , m3 = -S1C2 , n3 = ci.
5. Skalare Invariante heißt ein Skalar, der bei Verschiebung und Drehung des Koordinatensystems
den gleichen Wert behält. Das skalare Produkt zweier Vektoren ist eine skalare Invariante (s 3 5 1 1,3.,
S. 190).
¦ A: Die Komponenten eines Vektors a = {ai, a2, a3} sind keine skalaren Invarianten, da sie bei
Verschiebung und Drehung des Koordinatensystems unterschiedliche Werte annehmen.
¦ B: Die Länge des Vektors a = {ai, a2, a3} , d.h. die Größe y a\ + a\ + a3 , ist eine skalare Invariante
¦ C: Das Skalarprodukt eines Vektors mit sich selbst ist eine skalare Invariante
äa = a2 = |a|2 cos(p = |a2|, da ip = 0
1. Abstand zwischen zwei Punkten
Zwischen den Punkten Px (#i, yu z\) und P2 (x2, y2, z2) in Abb.3.177 beträgt der Abstand
d = yj{x2 - Xlf + (y2 -yif + (z2 - zxf . C.362a)
3.5 Vektoralgebra und analytische Geometrie 219
Die Richtungskosinusse der Strecke zwischen beiden Punkten berechnen sich gemäß
Z2 -Z\
X2-X1 j/2 - 2/i
cos a = ;— , cos p = — .
cos 7 =
C.362b)
3.5.3.3 Teilung einer Strecke
Die Koordinaten eines Punktes P(x,y,z), der eine Strecke zwischen den Punkten Fi (#1,2/1,2:1) und
P2 (#2» 2/2 > 22) im vorgegebenen Verhältnis
PiP _ m _
W2~~n~~
teilen soll, werden mit den Formeln
= nyi + my2 = 2/1 + \y2
V n + m 1 + A '
nx\ + mx2 x\ + \x2
C.364b)
n + m
nz\ + mz2
n + m
1 + A
Z\ + \Z2
1 + A '
bestimmt (s. auch 3 5.2.3,3., S. 197) Der Mittelpunkt der Strecke ergibt sich aus
2/1+2/2
zx + z2
C.363)
C.364a)
C.364c)
2 , *„. 2 , ~n 2 C-365)
Die Koordinaten des Massenmittelpunktes (oft unkorrekterweise Schwerpunkt genannt) eines Systems
aus n materiellen Punkten mit den Massen m* werden mit den folgenden Formeln berechnet, wobei die
Summation über alle i von 1 bis n zu erfolgen hat.
3.5.3.4 System aus vier Punkten
Vier Punkte P(x,y,z), P\ (xi,yi,z\), P2(x2,y2yz2) und
P3 (^3,2/3323) können entweder einen Tetraeder (Abb.3.178)
bilden oder in einer Ebene liegen. Der Rauminhalt eines Tetraeders
kann über
X\ +X2
y =
ErriiVi
Em
C.366)
"-!
Abbildung 3.178
x y z 1
Xi 2/1 Zi 1
£2 2/2 £2 1
£3 2/3 £3 1
1
6
x-xxy-yi z- zi
x-x2y-y2 z-z2
x-x3y-ys z- 23
C.367)
berechnet werden, wobei sich nur dann ein positiver Wert V > 0 ergibt, wenn die Orientierung des
Vektorentripels PP\, PP2 , PP3 mit der des Koordinatensystems übereinstimmt (s. 3.5.1.1,4., S. 188).
Im entgegengesetzten Falle ergibt sich ein negativer Wert.
In einer Ebene liegen die vier Punkte genau dann, wenn die Bedingung
x y z
xi 2/1 zx
x2 2/2 z2
£3 2/3 z3
1
1
1
1
= 0 erfüllt ist.
C.368)
3.5.3.5 Gleichung einer Fläche
Jeder Gleichung F(x, y, z) = 0
C.369)
entspricht eine Fläche, deren Eigenschaft es ist, daß die Koordinaten jedes beliebigen ihrer Punkte P
dieser Gleichung genügen. Umgekehrt ist jeder Punkt, dessen Koordinaten der Gleichung genügen, ein
Punkt auf dieser Fläche. Die Gleichung C.369) wird die Gleichung dieser Fläche genannt.
220 3 Geometrie
1. Die Gleichung einer Zylinderfläche (s. 3 3 4,1., S. 159),
deren Erzeugende parallel zur x-Achse verlaufen, enthält keine x- Koordinate F(y,z) = 0
Entsprechend enthalten die Gleichungen von Zylinderflächen, deren Erzeugende parallel zur y- bzw zur z-
Achse verlaufen, keine y- bzw z-Koordinate: F(x, z) = 0 bzw. F(x, y) = 0 Die Gleichung F(x, y) = 0
beschreibt die Schnittkurve zwischen der Zylinderfläche und der x, y -Ebene Wenn die
Richtungskosinus oder ihnen proportionale Größen /, ra, n der Erzeugenden einer Zylinderfläche gegeben sind, dann
hat die Gleichung die Form
F(nx - lz, ny - mz) = 0 C 370)
2. Die Gleichung einer Rotationsfläche,
d.h einer Fläche, die durch Rotation einer gegebenen Kurve in der x, 2-Ebene mit der Gleichung z =
f(x) erzeugt wird (Abb.3.179), ergibt sich allgemein zu
z = /(yz2 + S/2) C 371)
In Analogie dazu werden die Gleichungen von Flächen erhalten, die durch
Rotation einer gegebenen Kurve um eine andere Koordinate entstehen
Die Gleichung einer Kegelfläche, deren Spitze im Koordinatenursprung
liegt (s 3.3.4,7., S 160), ist von der Gestalt F{x, y, z) = 0 , wobei F eine
homogene Funktion der Koordinaten ist (s 2 18 2 5,4., S 124).
3. Gleichung einer Raumkurve
y
<x
Abbildung 3 179 Eine Raumkurve kann durch drei Parametergleichungen
x = ipi(t), y = Mt), z = w(t) C.372)
festgelegt werden. Jedem Wert des Parameters t, dem nicht immer eine unmittelbare geometrische
Bedeutung zugemessen werden kann, entspricht ein bestimmter Punkt der Kurve.
Eine andere Methode der Festlegung einer Raumkurve geht von der Angabe zweier Gleichungen
F1{x,yiz) = 0t F2(x,y,z)=0 C 373)
aus. Jede von ihnen definiert eine Fläche Eine Raumkurve ergibt sich für alle die Punkte, die beiden
Gleichungen genügen, d h , die Raumkurve ist die Schnittkurve der beiden Flächen. Allgemein liefert
jede Gleichung der Form
Fi + XF2 = 0 C 374)
für beliebiges A eine Fläche, die durch die betrachtete Kurve hindurchgeht, so daß sie eine der beiden
Gleichungen in C.373) ersetzen kann.
3.5.3.6 Ebenen im Raum
1. Ebenengleichungen
Jede in den Koordinaten lineare Gleichung definiert eine Ebene, und umgekehrt ist die Gleichung jeder
Ebene vom ersten Grade
1. Allgemeine Ebenengleichung
a) in Komponentenschreibweise: Ax + By + Cz + D = 0, C 375a)
b) in Vektorschreibweise: rN + D = 0*, C.375b)
wobei der Vektor N(A, B, C) senkrecht auf der Ebene steht. In (Abb.3.180) sind die Achsenabschnitte
a, b und c der Ebene eingezeichnet. Man spricht vom Normalenvektor der Ebene Seine
Richtungskosinusse sind
ABC
cos a = . , cos 3 = . n , cos 7 = . C 375c)
VA2 + B2 + C2 VA2 + B2 + C2 1 VA2 + B2 + C2 V ;
*Zum Skalarprodukt zweier Vektoren s Skalarprodukt 3 5 1 3,1., S 188 und zum Skalarprodukt in affinen
Koordinaten 3 5 1 2,4., S 191, zur Ebenengleichung in Vektorschreibweise s Vektorielle Gleichungen 3 5 1 5, S 193
3 5 Vektoralgebra und analytische Geometrie 221
Wenn D = 0 , dann geht die Ebene durch den Koordinatenursprung, für A = 0 bzw B = 0 oder C = 0
ist die Ebene parallel zur x-Achse, bzw zur y- oder z-Achse. Wenn A = B = 0, bzw. A = C = 0 oder
B = C = 0 , dann liegt die Ebene parallel zur x, y-Ebene, bzw zur x, 2- oder y, £-Ebene.
2. Hessesche Normalform der Ebenengleichung
a) in Komponentenschreibweise: x cos a + y cos /? + 2 cos 7 — p = 0, C.376a)
FN°-
b) in Vektorschreibweise:
- P = 0*,
C.376b)
wobei N° der Normaleneinheitsvektor der Ebene ist und p der Abstand der Ebene vom
Koordinatenursprung. Die HESSEsche Normalform geht aus der allgemeinen Gleichung C.375a) durch Multiplikation
mit dem Normierungsfaktor
±ß=^-= 1 = mit N = INI C.376c)
hervor. Dabei muß das Vorzeichen von /x entgegengesetzt zu dem von D gewählt werden
3. Achsenabschnittsform der Ebenengleichung Mit den Strecken a, 6, c, die unter
Berücksichtigung des Vorzeichens von der Ebene auf den Koordiantenachsen abgeschnitten werden (Abb.3.180),
gilt-
x y z
- + T + - = 1.
a 0 c
4. Gleichung einer Ebene durch drei Punkte
Sind Pi (xi, 2/1, zi), P2 (x2,3/2,22), ^3 (^3,2/3, 23), dann gilt:
a) in Komponentenschreibweise:
b) in Vektorschreibweise:
x-xi y-yi z-zi
x2 -xiy2- yi z2 - zx
X3 - xi y3 - 2/1 z3 - zi
= 0,
(F-Fi)(?2-?i)(if3-i?i) = 0t
C.377)
C 378a)
C 378b)
5. Gleichung einer Ebene durch zwei Punkte und parallel zu einer Geraden
Die Gleichung einer Ebene, die durch zwei Punkte P\ (#1,2/1,21), P2 (x2,y2,z2) geht und parallel zu
einer Geraden mit dem Richtungsvektor R(Z, m, n) liegt, lautet
x-xi y-yi z-zi
| x2 - xi 2/2 - 2/1 z2 - zi I = 0,
/ m n
a) in Komponentenschreibweise:
b) in Vektorschreibweise:
(r-ri)(r2-ri)R = 0*
C.379a)
C.379b)
6. Gleichung einer Ebene durch einen Punkt und parallel zu zwei Geraden
Sind die Richtungsvektoren der beiden Geraden Ri (Zi, rai, ni) und R2 (l2, m2, n2), dann gilt-
a) in Komponentenschreibweise:
x-xiy-yiz-zi
li m\ n\
l2 m2 n2
= 0,
b) in Vektorschreibweise: (r — Fi) R1R2 = 0^.
7. Gleichung einer Ebene durch einen Punkt und senkrecht zu einer Geraden
Sind P\ (#1,2/1, z\) der Punkt und N(j4, B, C) der Richtungsvektor der Geraden, dann gilt
a) in Komponentenschreibweise: A (x — x\) + B (y — 2/1) + C (z — z{) = 0,
tZum gemischten Produkt dreier Vektoren s 3 5 1 4,2., S 190
*Zum Skalarprodukt zweier Vektoren s Skalarprodukt 3 5 1 3,1., S 188
C 380a)
C 380b)
C 381a)
222 3. Geometrie
b) in Vektorschreibweise:
(r-?i)N = 0*
C 381b)
8. Abstand eines Punktes von einer Ebene Einsetzen der Koordinaten des Punktes P(a, b, c)
in die HESSEsche Normalform der Ebenengleichung C 376a) liefert
ö = acosa + bcosß + ccos7 — p. C.382)
Wenn P und der Koordinatenursprung auf verschiedenen Seiten der Ebene liegen, ist S > 0, im
entgegengesetzten Falle ist 5 < 0
9. Gleichung einer Ebene durch die Schnittlinie zweier Ebenen Die Gleichung einer Ebene,
die durch die Schnittlinie zweier Ebenen mit den Gleichungen A\x + B\y + C\z + D\ = 0 und A2x +
B2y + C2z + D2 = 0 verläuft, lautet
a) in Komponentenschreibweise: Aix+Biy+Ciz+D\+\ {A2x + B2y + C2z + D2) = 0 .C 383a)
b) in Vektorschreibweise: r Ni + Dx + A(r N2 + D2) = 0.
C 383b)
Dabei ist A ein reeller Parameter, so daß durch die Gleichungen C 383a) und C.383b) ein ganzes
Ebenenbüschel beschrieben wird. Die Abb.3.181 zeigt den Fall eines Ebenenbüschels mit drei Ebenen.
Wenn A in den Gleichungen C 383a) und C 383b) die Werte zwischen —00 und +00 durchläuft, erhält
man alle Ebenen des Büschels. Für A = ±1 erhält man die Gleichungen der Ebenen, die die Winkel
zwischen den beiden gegebenen Ebenen halbieren, wenn deren Gleichungen in der Normalform gegeben
sind*.
Abbildung 3 180
Abbildung 3.181
Abbildung 3 182
2. Zwei und mehr Ebenen im Raum
1. Winkel zwischen zwei Ebenen, allgemeiner Fall Die Winkel zwischen zwei Ebenen, gegeben
durch die zwei Gleichungen
A\x + B\y + C\z + D\ = 0 und A2x + B2y + C2z + D2 = 0 , werden berechnet nach der Formel
AXA2 + BXB2 + dC2
cosip -
C 384a)
Sind die Ebenen durch die Vektorgleichungen r Ni + Di = 0 und r N2 + D2 = 0 gegeben, dann gilt
NiN2
cos ip -
N,N2
mitWi = INilundA^ |N2|
C.384b)
2. Schnittpunkt dreier Ebenen Die Koordinaten des Schnittpunktes dreier Ebenen, gegeben
durch die drei Gleichungen
Aix + Bxy + Ciz + Di = 0, A2x + B2y + C2z + D2 = 0 und A3x + B3y + C3z + D3 = 0 werden
berechnet nach den Formeln
-Ar
A
-Az
mit
C.385a)
*Zum Skalarprodukt zweier Vektoren s Skalarprodukt 3 5 1 3,1., S 188 und Skalarprodukt in affinen Koordinaten
3 5 1 4,5., S 191, zur Ebenengleichung in Vektorschreibweise s Vektorielle Gleichungen 3 5 1 5, S 193
3.5 Vektoralgebra und analytische Geometrie 223
A =
Al Bx d
A2 B2 C2
^3 B3 C3
, &x =
DY Bx d
D2 B2 C2
D3 B3 C3
, Ay =
Ä! Di d
A2 D2 C2
A3 D3 C3
, Az =
Ai Bx Di
A2 B2 D2
A3 B3 D3
C.385b)
oder
N, x N2 = Öf.
C.386)
Drei Ebenen schneiden sich in einem Punkt, wenn A 7^ 0 ist Ist A = 0 und wenigstens eine
Unterdeterminante 2 Ordnung ^ 0, dann sind die Ebenen einer Geraden parallel, sind alle Unterdeterminanten
= 0 , dann gehen die Ebenen durch eine Gerade hindurch.
3. Parallelitäts- und Orthogonalitätsbedingung für Ebenen
a) Parallelitätsbedingung: Zwei Ebenen sind parallel, wenn gilt
Ai = B1 = C1
A2 B2 C2
b) Orthogonalitätsbedingung: Zwei Ebenen stehen senkrecht aufeinander, wenn gilt
AXA2 + BiB2 + CiC2 = 0 oder NiN2 = 0+ C.387)
4. Schnittpunkt von vier Ebenen Die Koordinaten des Schnittpunktes von vier Ebenen, gegeben
durch die vier Gleichungen
Aix + Biy + Ciz + Di = 0, A2x + B2y + C2z + D2 = 0, A3x + B3y + C3z + D3 = 0 und
A4x + B4y + C4Z + D4 = 0 , werden berechnet, indem zuerst der Schnittpunkt dreier beliebiger Ebenen
(s. S 222) bestimmt wird. In diesem Falle (S = 0) ist die vierte Gleichung eine Folge der übrigen drei
Gleichungen
Vier Ebenen gehen dann und nur dann durch einen Punkt, wenn gilt.
\AiBiCiDi\
= 0 . C.388)
A2 B2 C2 D2
A3 B3 C3 D3
A4 B4 C4 D4
5. Abstand zweier paralleler Ebenen Wenn die Parallelitätsbedingung (s S 223) erfüllt ist und
die Gleichungen der Ebenen gegeben sind durch die Gleichungen
Ax + By + Cz + Di = 0 und Ax + By + Cz + D2 = 0, C.389)
dann beträgt der Abstand
d= 'f1"^1 9. C.390)
VA2 + B2 + C2 X }
3.5.3.7 Geraden im Raum
1. Geradengleichungen
1. Gleichung einer Geraden im Raum, allgemeiner Fall Da eine Gerade im Raum als Schnitt
zweier Ebenen definiert werden kann, ist sie analytisch durch ein System zweier linearer Gleichungen
darstellbar
a) In Komponentenschreibweise:
Aix + Biy + Ciz + Di = 0, A2x + B2y + C2z + D2 = 0. C.391a)
b) In Vektorschreibweise:
rNi+A=0, rN2 + £>2 = 0. C 391b)
2. Gleichung der Geraden in zwei projizierenden Ebenen
Die zwei Gleichungen y = kx + a, z — hx + b C.392)
definieren je eine Ebene, die durch die Gerade hindurchgehen und auf der x, y- bzw. x, z-Ebene
senkrecht stehen (Abb.3.182) Man nennt sie projizierende Ebenen Auf Geraden, die parallel zur y, z-
fProdukte von Vektoren s 3 5 1 3,2., S 188
224 3 Geometrie
Ebene verlaufen, ist diese Form der Darstellung nicht anwendbar, so daß hier die Projektionen auf ein
anderes Koordinatenebenenpaar zu beziehen sind.
3. Gleichung einer Geraden durch einen Punkt und parallel zum Riehtungsvektor Die
Gleichung einer Geraden durch einen Punkt P\ (xi,t/i,2i) und parallel zu einem Richtungsvektor R
(l,m,n) (Abb.3.183) ergibt sich
a) in Komponentendarstellung und in Vektor Schreibweise:
l m n
b) in Parameter form und Vektor Schreibweise:
x = xi + lt, y = y\ + mt, z = z\ + nt, C 393c)
Die Darstellung C.393a) ergibt sich aus C.391a) mit Hilfe von
, = |ßiCi| m = \CiM n=\A^BA
I B2 &2 I ' I C*2 ^2 I ' I ^2 B2 I '
oder in Vektorschreibweise R = Ni x N2 ,
wobei die Zahlen x\,yi, Z\ so gewählt werden, daß die Gleichungen C 391a) erfüllt werden
(r-ri) xR = 0*,
r = f 1 + Rt
C 393b)
C.393d)
C.394a)
C.394b)
Abbildung 3.183
z,
_0
1
P2(x2 ,y2 ,z2)
i pi(xi /Yi /zji)
/~v \r
A
bbildung 3.184
Abbildung 3.185
4. Gleichung einer Geraden durch zwei Punkte Die Gleichung einer Geraden durch die zwei
Punkte P\ (zi, 2/1,21) und P2 (x2,2/2,22) (Abb.3.184) lautet in Komponenten- und
Vektorschreibweise:
x-xi y-yi z- zi
a)
C 395a)
b) (r-ri) x (r-r2)
0*
C.395b)
x2 -xi y2- yi z2 - zx
5. Gleichung einer Geraden durch einen Punkt und senkrecht zu einer Ebene Der Punkt
sei durch Pi {x\,y\,Z\), die Ebene durch die Gleichung Ax+By+Cz+D = OoderrN+1} = 0 gegeben
(Abb.3.185). Die Gleichung der Geraden lautet dann in Komponenten- und in Vektorschreibweise
a)
x-xi y-yi
¦ zi
C.396a)
b) (r-ri)xN = 0
C 396b)
A B C '
2. Abstand eines Punktes von einer in Komponentendarstellung gegebenen
Geraden
Der Abstand d des Punktes M(a, b, c) von einer Geraden, die gemäß C.393a) gegeben ist, ergibt sich
zu
2 _ [(o -xi)m-(b- 2/1) lf + [{b - 2/1) n - (c - zx) m]2 + [(c - zl)l-{a- xx) 1
l2 + m2 + n2
C.397)
*Produkte von Vektoren s 3 5 1 3,2., S 188
3.5 Vektoralgebra und analytische Geometrie 225
3. Kürzester Abstand zwischen zwei in Komponentendarstellung gegebenen
Geraden
Wenn die Geraden die gemäß C 393a) gegeben sind, beträgt ihr Abstand
xi -x2y\- y2 zi - z2
li rai n\
l2 m2 n2
h mi I I rai ni I I U\ l\ I
l2m2\ \m2n2\ \ n2 l2 \
C.398)
Verschwindet die im Zähler stehende Determinante, dann ist die Bedingung dafür erfüllt, daß sich die
beiden Geraden im Raum schneiden.
3.5.3.8 Schnittpunkte und Winkel von Ebenen und Geraden
1. Schnittpunkte von Ebenen und Geraden
1. Geradengleichung in Komponentenform Die Schnittpunkte einer Ebene, gegeben durch
X — Xi XI — Xl\ Z — Z\
Ax + By + Cz + D = 0, und einer Geraden, gegeben durch —-— = = , ergeben sich zu.
/ m n
x = xi — lp, y = yl — mp, z = z\ — np C 399a)
mit
A +By+C^+D
H Al + Bm + Cn v '
Ist Al + Bm + Cn = 0, dann ist die Gerade parallel zur der Ebene Wenn außerdem
Ax\ + Byi + Cz\ + D = 0, dann liegt die Gerade in der Ebene.
2. Geradengleichung in zwei projizierenden Ebenen Die Schnittpunkte einer Ebene, gegeben
durch Ax + By + Cz + D = 0, und einer Geraden, gegeben durch y = kx + a und z = hx + b, ergeben
sich zu
* = -BAa++BCkb++cDh' y = ks+a' * = h*+b C-40°)
lstA + Bk + Ch = 0, dann ist die Gerade parallel zur Ebene. Wenn außerdem Ba + Cb + D = 0,
dann liegt die Gerade in der Ebene
3. Schnittpunkt zweier Geraden Die Geraden seien gegeben durch y = k\X + a\, z — h\x + b\
und y = k2x + a2 , z — h2x + b2 . Der Schnittpunkt der Geraden wird mit den folgenden Formeln
berechnet-
a2 -ai b2-bi _ kxa2 - k2ax _ hib2 - h2bi ( .
x = I r = u r ' y = ~T 1— ' z = ~^ Z— • C.401a)
ki — k2 h\ — h2 k\ — k2 h\ — h2
Einen Schnittpunkt liefern diese Formeln nur unter der Bedingung
(ai - a2){hx - h2) = (bx - 62)(fci - k2). C.401b)
Im entgegengesetzten Falle schneiden die Geraden einander nicht.
2. Winkel zwischen Ebenen und Geraden
1. Winkel zwischen zwei Geraden
a) Allgemeiner Fall: Sind die Geraden durch die Gleichungen
x-xi y-yi z-zi Ax-x2 y-y2 z - z2 .
—; = = und — = = oder vektonell durch
ti mi ni l2 m2 n2
(r - Fi) x R,! = 0 und (r — r2) x R2 = 0 gegeben, dann wird der Winkel gemäß
hl2 + mlm2 + nxn2 RiR2 . .
cos ip = . = oder cos ip = C 402)
yj{l\ + m\ + n\) {11 + m\ + n22) RiR2
226 3 Geometrie
mit R\ = |Ri| und R2 = IR2I berechnet.
b) Parallelitätsbedingung: Die Parallelitätsbedingung für zwei Geraden lautet:
Zi=mi=ni Qder ^lXlg2 = S*. C 403)
l2 m2 n2
c) Orthogonalitätsbedingung: Die Orthogonalitätsbedingung für zwei Geraden lautet.
hl2 + raim2 + nin2 = 0 oder RiR2 = 0. C 402)
2. Winkel zwischen einer Geraden und einer Ebene
<j* — %-. y y,
a) Gleichungen: Sind die Gerade und die Ebene gegeben durch die Gleichungen —-— = =
/ m
bzw Ax + By + Cz + D = 0 oder vektoriell durch (r - Fi) x R = 0 bzw. FN + D = 0 , dann
n
wird der Winkel zu
Al + Bm + Cn , . RN
sino? = , = bzw smo9 = ——— C 403)
<J{A2 4- B2 + C2) (/2 + m2 + n2) ^^
mit Ä = |R| und TV = |N| berechnet.
b) Parallelitätsbedingung: Die Parallelitätsbedingung für eine Gerade und eine Ebene lautet.
Al + Bm + Cn = 0 oder RN = 0. C 404)
c) Orthogonalitätsbedingung: Die Ortogonalitätsbedingung für eine Gerade und eine Ebene lautet:
4 = — = - oder R x N = Ö. C 405)
/ m n
3.5.3.9 Flächen 2. Ordnung, Gleichungen in Normalform
1. Mittelpunktsflächen Die im folgenden angegebenen Gleichungen, auch Normalform der
Gleichungen für die Flächen 2. Ordnung genannt, ergeben sich aus der allgemeinen Gleichung der Flächen
2 Ordnung (s. 3.5.3.10, S 230) für den Fall, daß Mittelpunkt- und Koordinatenursprung
zusammenfallen Dabei halbiert der Mittelpunkt die durch ihn verlaufenden Sehnen. Die Koordinatenachsen liegen
in den Symmetrieachsen der Flächen, so daß die Koordinatenebenen gleichzeitig Symmetrieebenen
sind.
2. Ellipsoide Mit den Halbachsen a, b, c (Abb.3.186) lautet die Gleichung
T 11 Z
? + & + ?-l. C.406)
Es werden die folgenden Spezialfälle unterschieden.
a) a = b > c: zusammengedrücktes Rotationsellipsoid (Linsenform) (Abb.3.187).
b) a = b < c langgestrecktes Rotationsellipsoid (Zigarrenform) (Abb.3.188)
c) a — b — c Kugel mit der Gleichung x2 + y2 + z2 = a2
Die zwei Formen des Rotationsellipsoids entstehen durch Rotation einer Ellipse in der x, z-Ebene mit
den Achsen a und c um die z-Achse, die Kugel durch Rotation eines Kreises um eine der Achsen. Die
Schnittfigur einer durch ein Ellipsoid gehenden Ebene ist eine Ellipse, im Spezialfall ein Kreis Der
Rauminhalt des Ellipsoids beträgt
V-*fZ. C407)
3. Hyperboloide
a) Einschaliges Hyperboloid: (Abb.3.189) Mit a und b als reelle und c als imaginäre Halbachsen
"Produkte von Vektoren s 3 5 1 3,2., S 188
3 5 Vektoralgebra und analytische Geometrie 227
gilt.
a2 b2
Abbildung 3.186
= 1.
Abbildung 3 187
(Zur geradlinigen Erzeugenden s. S 229)
C.408)
b) Zweischaliges Hyperboloid: (Abb.3.190) Mit c als reeller und a, b als imaginäre Halbachsen
gilt:
a2 b2 c2
Die Schnittfiguren von Ebenen parallel zur z-Achse sind für beide Hyperboloide Hyperbeln. Im Falle
des einschaligen Hyperboloids können es auch zwei einander schneidende Geraden sein
Ebenenschnitte parallel zur x, y-Ebene sind Ellipsen.
Für a = b kann das Hyperboloid durch Rotation einer Hyperbel mit den Halbachsen a und c um die
Achse 2c erzeugt werden Diese ist im Falle des einschaligen Hyperboloids imaginär, im Falle des zwei-
schaligen reell.
Abbildung 3 188
Abbildung 3.189
Abbildung 3 190
4. Kegel (Abb.3.191) Liegt die Spitze im Koordinatenursprung, dann gilt:
a2 b2
= 0
C.410)
a2 ' b2 c2
Als Leitkurve kommt eine Ellipse mit den Halbachsen a und b in Betracht, deren Ebene senkrecht zur
z-Achse in einer Entfernung c vom Koordinatenursprung liegt. Der Kegel kann in dieser Darstellung
als Asymptotenkegel der beiden Hyperboloide mit den Gleichungen
% = ±1 C.411)
2 2
x y
~2 + &2 "
tt
228 3 Geometrie
Abbildung 3.191
Abbildung 3.192
aufgefaßt werden, dessen Erzeugende sich beiden Hyperboloiden im Unendlichen unbegrenzt nähert
(Abb.3.192). Für a = b ergibt sich ein gerader Kreiskegel (s. 3.3.4,9., S 160).
5. Paraboloide Da Paraboloide keinen Mittelpunkt besitzen, wird in den folgenden Gleichungen
davon ausgegangen, daß der Scheitel des Paraboloids im Koordinatenursprung liegt, die z-Achse zur
Symmetrieachse wird und die x, z- sowie die y, z-Ebenen Symmetrieebenen sind.'
a) Elliptisches Paraboloid: (Abb.3.193)
1 1
z = - + V-
C 412)
Ebenenschnitte parallel zur z-Achse liefern als Schnittfiguren Parabeln, parallel zur x, y-Ebene
Ellipsen.
Der Rauminhalt einer Paraboloidschale, die von einer Ebene senkrecht zur z-Achse in der Höhe h
abgeschnitten wird, ist
V=^7räbh, C.413)
wobei in dieser Formel die Parameter U und b die Halbachsen der Querschnittsellipse des elliptischen
Paraboloids C 412) in der Höhe h darstellen, d.h., es gilt ä = ay/h, b = b\fh. Der Rauminhalt der
Paraboloidschale ist halb so groß wie der des elliptischen Zylinders mit der gleichen Deckfläche und
Höhe.
b) Rotationsparaboloid: Für a = b erhält man ein Rotationsparaboloid, das man sich durch
Rotation einer Parabel mit z = x2/a2 um ihre in der x, z-Ebene liegende Achse entstanden denken kann.
c) Hyperbolisches Paraboloid: (Abb.3.194)
Schnitte parallel zur y, z-Ebene und zur x, z-Ebene liefern kongruente Parabeln als Schnittfiguren,
Schnitte parallel zur x, y-Ebene Hyperbeln sowie ein Paar einander schneidender Geraden.
aVh-z*
Abbildung 3.193
Abbildung 3.194
3 5 Vektoralgebra und analytische Geometrie 229
6. Geradlinige Erzeugende einer Fläche sind Geraden, die ganz in dieser Fläche liegen. Beispiele
sind die Erzeugenden der Kegel- und der Zylinderfläche
a) Einschaliges Hyperboloid: (Abb.3.195)
ül . ^! _ f! = i
a2 b2 c2~
C.415)
Das einschalige Hyperboloid besitzt zwei Scharen geradliniger Erzeugender mit den Gleichungen
l + i = J1 + r\t J*_l) = 1V C.416a)
a c \ b) \a cj b
? + £ = „(!_?), „(£_£) = ! + » C.416b)
a c \ bj \a cj b
wobei u und v beliebige Größen sind.
b) Hyperbolisches Paraboloid: (Abb.3.196)
x2 y2
C.417)
Das hyperbolische Paraboloid besitzt ebenfalls zwei Scharen von Erzeugenden mit den Gleichungen
- - 1
a b
Wieder sind u und v beliebige Größen In beiden Fällen gehen durch jeden Flächenpunkt zwei Geraden,
und zwar von jeder Schar je eine Erzeugende. In den Abb.3.195, 3.196 ist jeweils nur eine
Geradenschar eingezeichnet
- + ? = w, u(--f)=*,C 418a)
ab \a bj
="¦ «(H)-*-C418b)
Abbildung 3 195
Abbildung 3.196
Abbildung 3.197
Abbildung 3.198
Abbildung 3.199
230 3 Geometrie
7. Zylinder
a) Elliptischer Zylinder: (Abb.3.197) — + f- =
az bz
2 2
b) Hyperbolischer Zylinder: (Abb.3.198) %:-%;
az bz
c) Parabolischer Zylinder: (Abb.3.199) y2 = 2px
= 1
C 419)
C 420)
C 421)
3.5.3.10 Flächen 2. Ordnung, allgemeine Theorie
1. Allgemeine Gleichung einer Fläche 2. Ordnung
anx2 + a22y2 + a33z2 4- 2anxy 4- 2a23yz + 2a3izx + 2aux + 2a24?/ + 2aMz + a44 = 0 C 422)
2. Gestalt der Fläche 2. Ordnung aufgrund ihrer Gleichung Man ermittelt die Gestalt einer
Fläche 2 Ordnung bei bekannter Gleichung nach dem Vorzeichen ihrer Invarianten A, ö, S und T aus
den Tabellen 3.24 und 3.25. Hier steht neben der Bezeichnung der Fläche ihre Gleichung in der
Normalform, auf die sich eine gegebene Gleichung umformen läßt. Mit den Gleichungen der sogenannten
imaginären Flächen können für keinen reellen Punkt die Koordinaten berechnet werden, mit Ausnahme
der Spitze des imaginären Kegels und der Schnitt geraden zweier imaginärer Ebenen.
Tabelle 3.24 Gestalt der Flächen 2. Ordnung mit ö ^ 0 (Mittelpunktsflächen)
A<0
A>0
A = 0
S-5>0, T>0
Ellipsoid
x2 y2 z2
h — H = 1
a2 b2 c2
Imaginäres Ellipsoid
x2 y2 z2
a2 b2 c2
Imaginärer Kegel (mit reeller Spitze)
x2 y2 z2
a2 b2 c2
S • 6 und T nicht beide > 0
Zweischaliges Hyperboloid
x2 y2 z2
a2 b2 c2
Einschaliges Hyperboloid
2 2 2
X y 2
a2 b2 c2
Kegel
x2 y2 z2
\- = 0
a2 b2 c2
Tabelle 3.25 Gestalt der Flächen 2. Ordnung mit 6 = 0 (Paraboloide, Zylinder und Ebenenpaare)
A < 0 (hierbei ist T > 0)
A > 0 (hierbei istT < 0)
A^0
Elliptisches Paraboloid
a2 b2
Hyperbolisches Paraboloid
a? b2 ~ ±Z
A = 0
Zylinderfläche mit einer Kurve 2 Ordnung als Leitkurve, deren Gestalt verschiedene
Zylinder nach sich zieht. Für T > 0 imaginäre elliptische, für T < 0 hyperbolische und für T = 0
parabolische Zylinder, wenn die Fläche nicht in zwei reelle, imaginäre oder
zusammenfallende Ebenen zerfällt. Die Bedingung für das Zerfallen
lauteten fli2 au
Ü21 Ö22 «24
CI41 Ö42 Ö44
«11 «13 «14
Ö31 ^33 Ö34
Ö41 Ö43 Ö44
+
«22 Ö23 Ö24
^32 Ö33 Ö34
&42 &43 ö44
= 0
3 5 Vektoralgebra und analytische Geometrie 231
3. Invariante einer Fläche 2. Ordnung Setzt man die a^ = ßfci, dann gilt
C.423a)
an ßi2 ai3 au
B21 Ö22 Ö23 Ü24
&31 Ö32 &33 Ö34
a41 a42 a43 a44
an ai2 ai3
a2i Ö22 Ö23
^31 &32 Ö33
C.423b)
S = an+ a22 + &33 , C.423c) T = a22ß33 + ^33^11 + 011^22 - 023 - a3i "~ an C.423d)
Bei einer Verschiebung oder Drehung der Koordinatenachsen ändern sich diese Größen nicht.
232 3. Geometrie
3.6 Differentialgeometrie
In der Differentialgeometrie werden ebene und räumliche Kurven und Flächen mit den Methoden der
Differentialrechnung untersucht. Daher wird von den Funktionen, die in die Kurven- bzw
Flächengleichungen eingehen, vorausgesetzt, daß sie stetig sind und stetige Ableitungen bis zu der Ordnung
besitzen, die gemäß dem Charakter des zu untersuchenden Problems erforderlich ist. Nur in einzelnen
Punkten der Kurve oder Fläche darf diese Bedingung gestört sein Man spricht dann von singulären
Punkten.
Bei der Untersuchung geometrischer Gebilde auf der Grundlage ihrer Gleichungen wird zwischen
solchen Eigenschaften unterschieden, die von der Wahl des Koordinatensystems abhängen, wie
Schnittpunkte von Kurven oder Flächen mit den Koordinatenachsen, Tangentensteigungen, Maxima und
Minima, und solchen invarianten Eigenschaften, die unabhängig sind von Koordinatentransformationen,
wie Wendepunkte, Scheitel, Krümmungen.
Außerdem werden noch lokale Eigenschaften, die nur für sehr kleine Teile der Kurven oder Flächen
zutreffen, wie Krümmung und Linienelement von Flächen, von Eigenschaften unterschieden, die
Kurven und Flächen im Ganzen betreffen, wie die Anzahl der Scheitel oder die Länge einer geschlossenen
Kurve
3.6.1 Ebene Kurven
3.6.1.1 Definitionen ebener Kurven
1. Koordinatengleichungen
Eine ebene Kurve kann analytisch auf eine der folgenden Arten definiert werden
1. In kartesischen Koordinaten
a) implizit: 0 = F(x, y), C 424)
b) explizit: y = f(x), C.425)
c) in Parameterform: x = x(t), y = y(t). C 426)
2. In Polarkoordinaten: p = f(tp). C 427)
2. Positive Richtung auf einer Kurve
Wenn eine Kurve in der Form C.426) gegeben ist, dann wird auf ihr als positiv die Richtung definiert, in
der sich ein Kurvenpunkt P(x(t), y(t)) für zunehmende Werte des Parameters t bewegt. Ist die Kurve in
der Form C.425) gegeben, dann kann die Abszisse als Parameter aufgefaßt werden (x = x, y = f(x)),
so daß die positive Richtung die mit wachsender Abszisse ist Für die Form C.427) dient der Winkel
<p (x = f(<p) cos ip, y = f(<p) sirap) als Parameter, so daß die positive Richtung der Zunahme von ip
entspricht, d.h. entgegengesetzt zum Drehsinn des Uhrzeigers
Abbildung 3.200
¦ S Abb.3.200a, b, c: A: x = t2 , y = t3 ; B: y = sin x ; C: p = a<p .
3.6.1.2 Lokale Elemente einer Kurve
In Abhängigkeit davon, ob ein variabler Punkt P auf der Kurve in der Form C.425), C.426) oder C.427)
gegeben ist, wird seine Position durch x, t oder ip bestimmt. Mit N sei ein beliebig nahe bei P gelegener
Punkt mit den Parameterwerten x 4- dx, t + dt oder <p + d<p bezeichnet
3.6 Differentialgeometrie 233
1. Bogenelement
Wenn s die Länge der Kurve von einem festen Punkt A bis zum Punkt P ist, dann kann der
infinitesimale Zuwachs As =PN angenähert durch das Differential ds der Bogenlänge, das Bogenelement,
ausgedrückt werden- '
As £3 ds <
~\
= V
= V
ds
1+U ) dx fürdieForm C425)>
lx'2 + y'2dt fürdieForm C.426),
lp2 + p'2d<p fürdieForm C.427).
= y/1 + cos2xdx MB: x = t2, y = i6, ds = W± + 9t2 dt.
C 428)
C.429)
C 430)
C: p = cup, ds = ay/1 + ip2 dtp.
Abbildung 3 201 Abbildung 3 202 Abbildung 3.203
2. Tangente und Normale
1. Tangente im Punkt P wird die Sekante PN in ihrer Grenzlage für TV —> P genannt, Normale
eine Gerade, die im Punkt P senkrecht auf der Tangente steht (Abb.3.201).
2. Die Gleichungen der Tangente und der Normalen sind in Tabelle 3.26 für die drei Fälle
C 424), C 425) und C.426) angegeben. Dabei sind x, y die Koordinaten des Punktes P und X, Y die
Koordinaten der Tangenten- und Normalenpunkte. Die Werte der Ableitungen sind für den Punkt P
zu berechnen.
Beispiele zur Bestimmung der Tangente und der Normalen:
¦ A: Kreis mit x2 + y2 = 25 und Punkt PC,4).
a) Tangentengleichung: 2x(X — x) + 2y(Y — y) = 0 oder unter Berücksichtigung der Kreisgleichung:
Xx + Yy = 25 , d h , SX + 4K - 25 .
b) Normalengleichung.
X-x_ Y-y
2y
2x
oder Y ¦
V-X ; im Punkt P:Y=-X
x 3
¦ B: Sinuslinie y = sin x im Punkt 0@,0):
a) Tangentengleichung Y — sinx = cosx(X — x) oder Y = Xcosa: + sinx — xcosx; im Punkt 0:
Y = X
b) Normalengleichung Y — sin x = (X — x) oder Y = —X sec x + sin x + x sec x ; im Punkt 0:
cosx
Y = -X
C: Kurve mit x = t2 , y = t3 im Punkt PD,
,t = -2.
a) Tangentengleichung-
Y-e
+3 X — t2
—— - — oder Y = UX- ^t3 , im Punkt P: Y = -SX + 4
b) Normalengleichung- 2t (X - t2) + 3t2 {Y - t3) = 0 oder 2X + 3*F = t2 B + 3£2); im Punkt P:
X - ZY = 28.
234 3. Geometrie
Tabelle 3 26 Tangenten- und Normalengleichungen
Art der
Gleichung
Gleichung der Tangente
Gleichung der Normale
C 424)
C 425)
C.426)
dF dF
Y-y_ X-x
y' x'
X-x Y-i
Y -
x\X
dF
dx
-y =
" dF
dy
dx
- x) + y'(Y -y) =
0
3. Positive Richtung von Kurventangente und Kurvennormale Wenn die Kurve in einer der
Formen C 425), C 426), C 427) gegeben ist, dann sind die positiven Richtungen auf der Tangente und
der Normalen wie folgt festgelegt: Die positive Richtung auf der Tangente stimmt mit der positiven
Richtung der Kurve im Berührungspunkt überein, während sich die positive Richtung auf der
Normalen aus der positiven Richtung der Tangente durch deren Drehung um den Punkt P um 90° im
entgegengesetzten Drehsinn des Uhrzeigers ergibt (Abb.3.202) Die Tangente und die Normale werden
durch den Punkt P jeweils in eine positive und eine negative Halbgerade geteilt
4. Die Steigung der Tangente wird bestimmt
a) durch den Tangentenneigungswinkel a zwischen den positiven Richtungen der Abszissenachse und
der Tangente oder
b) wenn die Kurve in Polarkoordinaten gegeben ist, durch den Winkel p zwischen der Richtung des
Radiusvektors OP @P = p) und der positiven Richtung der Tangente (Abb.3.203) Für die Winkel
a und p gelten die folgenden Formeln, wobei ds gemäß C 428) bis C.430) berechnet wird*
dy dx . dy
tan a = — , cos a = — , sino =
dx ds
dp
ds '
d(p
tan/x = -j— , cos u =-j-, smu = p-^-
dp_ ds ds
d(f
C.431a)
C.431b)
A: y = sin x ,
B: x = t2 , y = t3 ,
C: p = cap,
tan a = cos x ,
3t
tan öl = —•,
tan p = ip,
vm
cosp -
V4 + 9t2 '
1
a/TTI
3t
smp =
V4 + 9t2 '
5. Abschnitte der Tangente und Normale, Subtangente und Subnormale (Abb.3.204)
a) In kartesischen Koordinaten für eine Definition gemäß C.425).
PT--
w
(Tangentenabschnitt},
C.432a)
PN -
\yyfi'-
(Normalenabschnitt),
C.432b)
3 6 Differentialgeometrie 235
P'T=\-\ (Subtangente), C.432c)
b) In Polarköordinaten für eine Definition gemäß C.427):
PT' — \ — \P2 + p'\ [Abschnitt der Polartangente) ,
+ p'2\ [Abschnitt der Polarnormalen) ,
P'N = \yy'\ [Subnormale) C 432d)
C 433a)
C 433b)
OV
[Polarsubtangente), C.433c) OJV' = \p'\ [Polarsubnormale). C.433d)
¦ A: y = coshx, y' = sinhx, y 1 + y'2 = coshx, PT = |coshxcothx|, PN = |cosh2x|, P'T ¦
| coth x\, P'N = | sinh x cosh x\
¦ B: p = cup, p' = o, yfp2 + pf2 = ay/l + <p2; PT7 = L^l + ^2| , R/V7 = la^/l + v?2! , ÖT7 =
\atp2\ ,ÖN = a.
Abbildung 3.204
Abbildung 3.205
6. Winkel zwischen zwei Kurven Unter dem Winkel ß zwischen zwei Kurven A und T2 , die
sich im Punkt P schneiden, wird der Winkel zwischen den Tangenten an diese Kurven im Punkt P
verstanden (Abb.3.205). Die Berechnung des Winkels ß ist damit auf die Berechnung des Winkels
zwischen zwei Geraden mit den Richtungskoeffizienten
fdfi
ki = tan öi = I —
C.434a)
= tan a2 :
C.434b)
zurückgeführt, wobei y = fi[x) die Gleichung von Ti und y — f2[x) die Gleichung von r2 ist und die
Ableitungen für den Punkt P zu berechnen sind. Man erhält dann ß mit Hilfe der Formel
tan a2 — tan a\
tan/? = tan(cü2 — a.\) = ¦
1 + tan ai tan a2
Es ist der Winkel zwischen den Parabeln y = y/x und y = x2 im Punkt P(l, 1) zu bestimmen:
C 434c)
(dyß\ 1
tanai = —-— = -
tana2
=(-
dx
= 2, tan/? =
tan a2 — tan ol\
1 + tan ol\ tan a2 4
3. Konvexe und konkave Seite einer Kurve
Wenn eine Kurve in der expliziten Form y = f[x) gegeben ist, dann kann für einen kleinen Teil der
Kurve, der den Punkt P enthält, angegeben werden, ob die Kurve mit ihrer konkaven Seite nach oben
oder nach unten zeigt. Ausgenommen ist der Fall, daß P ein Wendepunkt oder ein singulärer Punkt ist
236 3 Geometrie
(s 3 6 1 3, S 238) Ist die zweite Ableitung f"(x) > 0, dann zeigt die Kurve mit ihrer konkaven Seite
nach oben, d.h nach der positiven ^/-Richtung (Punkt P2 in Abb.3.206). Ist f"(x) < 0 (Punkt Px),
dann ist die Kurve nach unten konkav Im Falle f"(x) = 0 ist das Problem bei der Betrachtung des
Wendepunktes eingehender zu untersuchen.
¦ y — x3 (Abb.2.15b), y" = 6x, für x > 0 ist die Kurve konkav nach oben, für x < 0 konkav nach
unten
Abbildung 3 206
Abbildung 3 207
4. Krümmung und Krümmungskreisradius
1. Krümmung einer Kurve Die Krümmung K einer Kurve im Punkt P ist der Grenzwert des
Verhältnisses des Winkels 5 zwischen den positiven Tangentenrichtungen in den Punkten P und TV
(Abb.3.207) zur Bogenlänge PN für PN^ 0
K = Jlim 4=r C 435)
piv-oPN
Das Vorzeichen der Krümmung K gibt an, ob die Kurve mit ihrer konkaven Seite nach der positiven
(K > 0) oder negativen (K < 0) Seite der Kurvennormalen zeigt (s 3 6.1 2,2., S 234) Anders
ausgedrückt liegt der Krümmungsmittelpunkt für K > 0 auf der positiven Seite der Kurvennormalen, für
K < 0 auf der negativen Manchmal wird die Krümmung K prinzipiell als positive Größe aufgefaßt
Dann ist immer der Absolutbetrag des Grenzwertes zu nehmen.
2. Krümmungskreisradius einer Kurve Der Krümmungskreisradius R einer Kurve im Punkt P
ist der reziproke Wert des Betrags der Krümmung.
R=\l/K\. C436)
Die Krümmung K ist in einem Punkt P um so größer, je kleiner der Krümmungskreisradius R ist.
¦ A: Für einen Kreis mit dem Radius a sind Krümmung K = 1/a und Krümmungskreisradius R = a
für alle Punkte konstant.
¦ B: Für die Gerade ist K = 0 und R = oo
3. Formeln für Krümmung und Krümmungskreisradius Mit S = da und PN= ds (Abb.
3.207) gilt allgemein
* = ?. R
ds
da
C.437)
Daraus ergeben sich für die unterschiedlichen Definitionsformen der Kurvengleichungen aufs. 3.6 1 1,
S 232 verschiedene Ausdrücke für K und R
Definition gemäß C 425) K =
dx2
1 + '?
dx
3/2 '
R =
1 + i?
dx
dx2
3/2
C 438)
3.6 Differentialgeometrie 237
Definition gemäß C.426): K =
Definition gemäß C.424): K =
Definition gemäß C.427): K =
x- y
\x"y"
(*'2 + </2)
3/2 '
(x'2 + y>
,2\3/2
x y
3/2 '
(^2 + Fy2)
\J?x ~r ry J
3/2
(P2 + //2)'
/2\3/2
R =
F F F
¦*¦ xx 1 xy ¦L x
F F F
ryx ryy ry
Fx Fy 0
(P2+P'2f2
p2 + 2p'2 - pp"
C 439)
C.440)
C.441)
C:y2
¦ cosh x, K -
cosh2 x '
K --
t{4 + 9t2)
3/2 '
K ¦-
Y>: p = a(f ,
K=l-
y2 + 2
a (<p2 + lK/2 '
(X2 + 2/2K/2 '
5. Krümmungskreis und Krümmungskreismittelpunkt
1. Krümmungskreis im Punkt P wird die Grenzlage eines Kreises genannt, der durch P und zwei
benachbarte Punkte N und M der Kurve geht, wenn N —> P und M —> P gehen (Abb.3.208). Er
verläuft durch den betreffenden Kurvenpunkt und hat dort dieselbe 1. und 2. Ableitung wie die Kurve.
Demgemäß schmiegt er sich der Kurve im Berührungspunkt besonders gut an. Er wird Schmiegkreis
oder Krummungskreis genannt. Sein Radius heißt Krümmungskreisradius. Es zeigt sich, daß er der
Kehrwert des Absolutbetrages der Kurvenkrümmung ist
2. Krümmungskreismittelpunkt Der Mittelpunkt C des Krümmungskreises ist der
Krümmungsmittelpunkt des Punktes P. Er liegt auf der konkaven Seite der Kurve und auf der zugehörigen
Kurvennormalen
3. Koordinaten des Krümmungskreismittelpunktes Die Berechnung der Koordinaten (xc,yc)
des Krümmungskreismittelpunktes kann je nach der Definitionsform der Kurvengleichung in 3.6 1 1,
S. 232 mit Hilfe der folgenden Formeln erfolgen.
,dx) | 1+ [fa
Definition gemäß C.425): Xc :
Definition gemäß C 426)' xq = x ¦
dy^
dx
£y
dx2
y'{x'2 + y'2)
\x y
\x" v"
yc = \
yc = y +
dx2
x'{x'2 + y12)
Definition gemäß C.427) xc — pcosip —
yc = psm<p- ¦
(p2 + p'2) (p cos <p + p' sin </?)
p2 + 2p'2 - pp" :
(p2 + p/2)(psin cp — p' cos <p)
p2 + 2p'2 - pp"
Definition gemäß C.424): xq = x -f
F*{n+n)
Fx Fv 0
Vc = y
= y+ it. r,—ttt-
p
± XX
p
1 yx
Fx
p
1 xy
P
ryy
K
Fx
Fy
0
C.442)
C.443)
C.444)
C.445)
238 3. Geometrie
Diese Formeln können auch in der Form
xc = x — R sin a , yc = y + R cos a ,
r.dx
xc = x - H— , yc ¦¦
as
hingeschrieben werden (Abb.3.209), wobei R gemäß C 438) bis C.441) berechnet wird
C(xc/Yc)
C 446)
C 447)
Abbildung 3.208
Ol ' x
Abbildung 3.209
Abbildung 3.210
3.6.1.3 Ausgezeichnete Kurvenpunkte und Asymptoten
Es werden nur Punkte betrachtet, die invariant sind gegenüber Koordinatentransformationen Zur
Bestimmung von Maxima und Minima s. 6.1.5.3, S. 406.
1. Wendepunkte und Regeln zu ihrer Bestimmung
Wendepunkte sind Kurvenpunkte, in denen die Krümmung der Kurve das Vorzeichen ändert (Abb.
3.210). Dabei liegt die Kurve in einer kleinen Umgebung des Punktes nicht auf einer Seite der Tangente,
sondern wird von dieser durchsetzt. Im Wendepunkt ist K = 0 und R = oo
1. Explizite Definitionsform C.425) der Kurve y — f(x)
a) Notwendige Bedingung für die Existenz eines Wendepunktes ist das Verschwinden der 2
Ableitung
f"(x) = 0 C 448)
im Wendepunkt, falls sie existiert (den Fall nicht existierender 2. Ableitung s. b)). Die Bestimmung
der Wendepunkte für den Fall existierender 2. Ableitungen erfordert das Aufsuchen aller Lösungen
der Gleichung f"{x) = 0 mit den Werten £1,2:2, • , sc», . ,xn , wobei jeder Wert x{ nacheinander
in die darauffolgenden Ableitungen einzusetzen ist Ein Wendepunkt liegt vor, wenn die erste an der
Stelle Xi nicht verschwindende Ableitung von ungerader Ordnung ist. Wenn der betrachtete Punkt kein
Wendepunkt ist, weil sich die erste nicht verschwindende Ableitung A:-ter Ordnung für geradzahliges
k ergibt, dann weist die Kurve für f^k\x) < 0 mit der konkaven Seite nach oben, für f^k\x) > 0 nach
unten
b) Hinreichende Bedingung für die Existenz eines Wendepunktes ist die Änderung des Vorzeichens
der 2. Ableitung f"(x) beim Übergang von der links- zur rechtsseitigen Umgebung des Punktes x\
Daher kann die Frage, ob ein gefundener x^-Wert Abszisse eines Wendepunktes ist, aus der
Betrachtung des Vorzeichens der 2 Ableitung beim Durchgang durch den zugehörigen Punkt ermittelt werden:
Wenn sich das Vorzeichen bei diesem Durchgang ändert, liegt ein Wendepunkt vor Dieses Verfahren
ist auch für den Fall y" — 00 anwendbar.
A: y =
1
1 + x2
¦ B: y = x
punkte sind nicht vorhanden
f"(x) =
f(x) = 12x2
Wendepunkte. A -r= , - , B —-= , -
l-3x2
A+x2K
1
73
0
^ = ±4=, f"'(x) = 24x
1-
-y/S
A + x2L
rw/o,
Xl
f"(x) = 24x, f"{xx) = 0, fIV(x) = 24, Wende-
3.6 Differentialgeometrie 239
C: y.
5
¦ xs .
, 5 2
y
10 _I
Jx3>
für x = 0 ist 2/" = oo
Beim Übergang von negativen zu positiven x-Werten wechselt die 2 Ableitung das Vorzeichen von „ — "
zu „+", so daß die Kurve bei x = 0 einen Wendepunkt besitzt.
Hinweis: Wenn in der Praxis aus dem Kurvenverlauf folgt, daß ein Wendepunkt vorhanden sein muß,
z.B beim Übergang von einem Minimum zu einem Maximum bei einer Kurve mit stetiger Ableitung,
dann beschränkt man sich auf die Bestimmung der Xi und läßt die Untersuchung der höheren
Ableitungen weg
2. Andere Definitionsformen Die notwendige Bedingung C.448) für die Existenz eines
Wendepunktes im Falle der Kurvenvorgabe über die Definitionsform C 425) wird bei Vorgaben mit den
anderen Formen durch die folgenden analytischen Formulierungen der notwendigen Bedingung ersetzt:
a) Definition in Parameterform gemäß C.426):
b) Definition als Polargleichung gemäß C.427)
c) Definition in impliziter Form gemäß C 424).
\x" y"\
:0,
p2 + 2p'2 - pp" = 0,
F(x,y) = 0 und
Fx Fv 0
C 449)
C.450)
: 0.C.451)
In diesen Fällen liefert das Lösungssystem die Koordinaten der möglichen Wendepunkte.
¦ A: x = a (t - - sintj , y = a(l--costj (verkürzte Zykloide (Abb.2.68b, 2.13.2, S. 102)
\x' y'\ a2|2-cos£ sin£| a2 ,n , „x . 1
2
¦ cos t sin 11 Q? tn . . x
= — Bcos£-l)
a 2
\x" y"\~ 41 sint cos£| 4
viele Wendepunkte für die Parameterwerte tk
¦ B: p = 4= ; P2 + 2p'2 - pp" l 1
, tk = ±— + 2kir. Die Kurve hat unendlich
_ 1_
(p 2(p3
3 = J_ 2
4(^3 4(/?3 ^
1). Der Wendepunkt liegt bei dem
Winkel (p = 1/2 .
I 2 0 2x
0 -2 -2y\
\2x -2y 0
y2) = 0 widersprechen einander, so daß die Hyperbel keinen Wendepunkt besitzt.
= a2 (Hyperbel)
: Sx2 - Sy2. Die Gleichungen x2 - y2 = a2
undl
b)
Abbildung 3.211
2. Scheitel
sind Kurvenpunkte, in denen die Krümmung ein Maximum oder ein Minimum besitzt Die Ellipse
hat z B die vier Scheitel A, B, C, D, die Kurve des Logarithmus nur einen bei E (l/>/2, — In 2/2)
(Abb.3.211). Die Ermittlung der Scheitelpunkte wird auf die Bestimmung der Extremwerte von K
oder, wenn das einfacher ist, auf die von R zurückgeführt, die mit den Formeln C.438) bis C 441)
berechnet werden können.
240 3 Geometrie
3. Singulare Punkte
Singulärer Punkt ist der allgemeine Begriff für verschiedene spezielle Kurvenpunkte
h)
.V.*
Abbildung 3 212
1. Arten singulärer Punkte Die Gliederungspunkte a), b) usw bis j) entsprechen der Darstellung
in Abb.3.212.
a) Doppelpunkte: In Doppelpunkten schneidet sich die Kurve selbst (Abb.3.212a)
b) Isolierte Punkte: Isolierte Punkte genügen der Kurvengleichung; sie befinden sich aber außerhalb
der Kurve (Abb.3.212b).
c), d) Rückkehr punkte: In Rückkehrpunkten ändert sich der Durchlaufsinn; man unterscheidet je
nach der Lage der Tangente zu den Kurvenzweigen Rückkehrpunkte 1. und 2 Art (Abb.3.212c,d)
e) Selbstberührungspunkte: In Selbstberührungspunkten berührt sich die Kurve selbst (Abb.
3.212e)
f) Knickpunkte: In Knickpunkten ändert die Kurve sprunghaft ihre Richtung, aber im Unterschied
zum Rückkehrpunkt gibt es zwei verschiedene Tangenten für die zwei Kurvenzweige (Abb.3.212f)
g) Abbrechpunkte: In Abbrechpunkten bricht die Kurve ab (Abb.3.212g).
h) Asymptotische Punkte: Um asymptotische Punkte windet sich die Kurve unendliche Male
herum, wobei sie sich ihm beliebig nähert (Abb.3.212h).
i), j) Mehrere Singularitäten: Es können auch zwei oder drei derartige Singularitäten in einem
Punkt auftreten (Abb.3.212i,j).
2. Bestimmung von Selbstberührungs-, Knick-, Abbrech- und asymptotischen Punkten
Singularitäten dieser Art treten nur bei Kurven transzendenter Funktionen auf (s. 3.5.2.3,3.5.2.5,
S 199)
Den Knickpunkten entspricht ein endlicher Sprung der Ableitung
dx
Punkten, in denen die Kurve abbricht, entsprechen Unstetigkeitsstellen der Funktion y = f(x) mit
endlichem Sprung oder ein direkter Abbruch.
Asymptotische Punkte lassen sich am einfachsten für Kurven bestimmen, die in Polarkoordinaten
gemäß p = f((p) gegeben sind. Wenn für (p —> oo oder (p —> —oo der Grenzwert limp = 0 wird,
ist der Pol ein asymptotischer Punkt
¦ A: Der Koordinatenursprung ist für die Kurve y = j- (Abb.6.2c) ein Knickpunkt
1 + e*
1
B: Die Punkte A,0) und A,1) der Funktion y =
C: Die logarithmische Spirale p = aekif (Abb.2.75) besitzt einen asymptotischen Punkt.
— (Abb.2.8) sind Unstetigkeitsstellen.
l + e^i
3.6 Differentialgeometrie 241
3. Bestimmung von Mehrfaehpunkten (Fälle a) bis e) sowie i)und j)) Doppelpunkte,
Dreifachpunkte usw werden unter der Bezeichnung Mehrfachpunkte zusammengefaßt. Zu ihrer
Bestimmung wird die Kurve ausgehend von der •Gleichungsform F(x,y) = 0 untersucht. Ein Punkt A mit
den Koordinaten (xi, y\), die gleichzeitig die drei Gleichungen F = 0, Fx = 0 und Fy = 0 erfüllen, ist
ein Doppelpunkt, wenn von den drei Ableitungen 2. Ordnung Fxx, Fxy und Fyy wenigstens eine nicht
verschwindet Im entgegengesetzten Falle ist A ein Dreifachpunkt oder ein Punkt mit höherer
Mehrfachheit.
Die Eigenschaften eines Doppelpunktes hängen vom Vorzeichen der Funktionaldeterminante ab:
Hi^iH/x-xA- C'452)
\ryx ryy\l x Xl j
V y=yi J
1. A < 0: Für A < 0 schneidet sich die Kurve selbst im Punkt A\ die Richtungskoeffizienten der
Tangenten in A ergeben sich als Wurzeln der Gleichung
Fyyk2 + 2Fxyk + FXX = 0. C.453)
2. A > 0: Für A > 0 ist A ein isolierter Punkt.
3. A = 0: Für A = 0 ist A entweder ein Rückkehr- oder ein Selbstberührungspunkt; der
Richtungskoeffizient der Tangente ist
tana = -^. C.454)
^yy
Zur genaueren Untersuchung des Mehrfachpunktes empfiehlt es sich, das Koordinatensystem in den
Punkt A zu verlegen und so zu drehen, daß die x-Achse zur Kurventangente im Punkt A wird. Aus der
Gestalt der Gleichung kann dann erkannt werden, ob es sich um einen Rückkehrpunkt 1. oder 2. Art
handelt oder um einen Selbstberührungspunkt
¦ A: F(x,y) = (x2 + y2J -2a2(x2 -y2) = 0 (Lemniskate, Abb.2.66); Fx = 4x{x2 + y2 -a2), Fy =
Ay{x2 + y2 + a2); das Gleichungssystem Fx = 0, Fy = 0 liefert die drei Lösungen @,0), (±a, 0), von
denen nur die erste der Bedingung F = 0 genügt Einsetzen von @,0) in die 2. Ableitungen ergibt
Fxx = —4a2, Fxy = 0, Fyy = +4a2 , A = —16a4 < 0, d.h., im Koordinatenursprung schneidet sich die
Kurve selbst; die Richtungskoeffizienten der Tangenten ergeben sich zu tana = ±1, ihre Gleichungen
lauten y = ±x .
¦ B: F(x, y) = xs + y3 - x2 - y2 = 0, Fx = x(Sx - 2), Fy = yCy - 2); von den Punkten @,0),
f 0, - ), ( -, 0 J und f -, - J liegt nur der erste auf der Kurve; weiter ist Fxx = —2, Fxy = 0, Fyy = —2,
A = 4 > 0, d.h , der Koordinatenursprung ist ein isolierter Punkt.
¦ C: F(x, y) = (y — x2J — x5 = 0. Die Gleichungen Fx = 0, Fy = 0 liefern nur die eine Lösung @,0),
die auch die Gleichung F = 0 erfüllt. Außerdem ist A = 0 und tana = 0, so daß der
Koordinatenursprung ein Rückkehrpunkt 2 Art ist, was auch aus der expliziten Form der Gleichung y = x2(l ± y/x)
erkannt werden kann. Für x < 0 ist y nicht definiert, während für 0 < x < 1 beide y-Werte positiv
sind; im Koordinatenursprung verläuft die Tangente horizontal.
4. Algebraische Kurven vom Typ F(x, y) = 0 (F(x, y) Polynom in x und y) Wenn die
Gleichung keine konstanten Glieder und keine Glieder ersten Grades enthält, dann ist der
Koordinatenursprung ein Doppelpunkt. Die Gleichung zur Bestimmung der zugehörigen Tangenten erhält man
durch Nullsetzen der Summe der Glieder 2. Grades.
¦ Für die Lemniskate (Abb.2.66) ergibt sich die Gleichung y = ±x aus x2 — y2 = 0.
Wenn die Gleichung auch keine quadratischen Glieder enthält, dann ist der Koordinatenursprung ein
Dreifachpunkt.
4. Asymptoten
1. Definition Eine Asymptote ist eine Gerade, der sich eine Kurve bei deren immer größer werdender
Entfernung vom Koordinatenursprung unbegrenzt nähert (Abb.3.213)
242 3. Geometrie
Dabei kann die Annäherung von einer Seite her erfolgen
(Abb.3.213a), oder die Kurve schneidet die Gerade
dauernd (Abb.3.213b).
Nicht jede sich unbegrenzt vom Koordinatenursprung
entfernende Kurve (unendlicher Kurvenzweig) muß eine Asym- Abbildung 3.213
ptote besitzen. So bezeichnet man z.B. bei unecht-
gebrochenrationalen Funktionen den ganzrationalen Anteil als asymptotische Näherung (s. 1.1.7 2,
S. 15).
2. Vorgabe der Funktion in Parameterform x = x(t), y = y(t) Zur Bestimmung der
Asymptotengleichung sind die Werte zu ermitteln, für die bei t —> U entweder x(t) —? ±oo oder y(t) —?
±oo geht.
Folgende Fälle sind zu unterscheiden.
a) x(U) —? oo , aber y(ti) = a ^ oo • y = a. Die Asymptote ist eine horizontale Gerade. C.455a)
b) y(U) —> oo , aber x(U) = a ^ oo. x = a. Die Asymptote ist eine vertikale Gerade C.455b)
c) Wenn sowohl y(ti) als auch x(U) gegen unendlich gehen, dann sind die Grenzwerte k = lim —)-!- und
t-+U x(t)
b = \im[y(t) — kx(t)] zu bilden. Existieren sie beide, dann liefern sie die Konstanten für die
Geradengleichung der Asymptote:
y(ti) —> oo und x(U) —> oo. y = kx + b. C.455c)
771 7T 7T
¦ x = , y = n(ta,nt — t), t\ = — , ^2 = — 7: usw Aufsuchen der Asymptote bei t\
cos t 2 2
x(h) = y(ti) = 00, k= lim — (sin* - tcost) = — ,
T / . n m 1
b= hm \n(t&nt — t) = n hm
*-»?r/2 L mcos^J <-+tt/:
sin * — t cos t — 1 ri7r n
-x -
«-7T/2 cos* 2 m 2
_ . . . .Al-, n n^
Für die zweite Asymptote usw erhält man in Analogie dazu y = — x —— .
m 2
3. Vorgabe der Funktion in expliziter Form y = f(x) Die vertikalen Asymptoten werden
als Unstetigkeitspunkte beim unendlichem Sprung der Funktion f(x) ermittelt (s. 2.1.5 3, S 59), die
horizontalen und geneigten Asymptoten als Gerade mit den entsprechenden Grenzwerten
fix)
x = a; y = kx + b, k = lim J-^-L , b = lim \f(x) - kx]. C.456)
x—»oo x x—»ooL v ' J v '
4. Vorgabe der Funktion in algebraischer impliziter Form F(x, y) = 0
Die Funktion F(x,y) ist ein Polynom in x und y .
1. Zur Bestimmung der horizontalen und vertikalen Asymptoten werden von dem vorliegenden
Polynom in x und y die Glieder mit dem höchsten Grad m ausgewählt, und als implizite Funktion <P(x, y)
abgespalten. Die Gleichung $(x, y) = 0 wird nach x und y aufgelöst:
#(x, y) = 0 liefert x = <p(y), y = ip(x). C.457)
Die Werte 7/1 = a für x —> 00 ergeben die horizontalen Asymptoten y — a, die Werte zi = 6 für ?/ —? 00
die vertikalen x = b.
2. Zur Bestimmung der geneigten Asymptoten wird in F(x, y) die Geradengleichung y = kx -\-b
eingesetzt und das so gewonnene Polynom nach Potenzen von x geordnet:
F{x, kx + b) = /i(/c, b)xm + f2{k, b)xm-1 + • • • C.458)
Die Parameter k und b ergeben sich, falls sie existieren, aus den Gleichungen
/i(M) = 0, /2(M) = 0 C.459)
3 6 Differentialgeometrie 243
¦ x3 + y3 - 3axy = 0 (Kartesisches Blatt Abb.2.59, S. 95). Aus den Gleichungen F(x, kx + b) =
A + k3)x3 + 3(k2b - ka)x2 + • • •, 1 + k3 = 0 und k2b — ka = 0 ergeben sich die Lösungen k = — 1,
b = — a, so daß sich die Gleichung der Asymptote zuy = — x — a ergibt
3.6.1.4 Allgemeine Untersuchung einer Kurve nach ihrer Gleichung
Kurven, gegeben durch eine der Gleichungen C 424) bis C 427), werden meist mit dem Ziel untersucht,
ihr Verhalten oder ihre Gestalt kennenzulernen.
1. Kurvenkonstruktion von explizit gegebenen Funktionen y = f(x)
a) Ermittlung des Definitionsbereiches (s. 2 1.1, S. 48).
b) Ermittlung der Symmetrie der Kurve hinsichtlich des Koordinatenursprungs und der y-Achse
aus der Geradheit oder Ungeradheit der Funktion (s. 2.1.3.4, S. 51)
c) Ermittlung des Verhaltens der Funktion im Unendlichen durch Bestimmung der Grenzwerte
lim fix) und lim fix) (s. 2.1.4.7, S. 55)
x—?—oo x—»+00
d) Bestimmung der Unstetigkeitsstellen (s 2 1 5.3, S. 59).
e) Bestimmung der Schnittpunkte mit der y—Achse bzw. mit der cc-Achse durch Berechnung
von /(O) bzw. von f(x) = 0.
f) Bestimmung der Maxima und Minima und Ermittlung der Monotonieintervalle mit Zu- bzw
Abnahme der Funktion.
g) Bestimmung der Wendepunkte und ihrer Tangentengleichungen (s. 3.6.1 3, S. 238).
Mit den so gefundenen Angaben kann die Kurve skizziert und, wo es nötig ist, durch Berechnung
einzelner Punkte präzisiert werden
2x2 + 3x — 4
¦ Es ist die Kurve der Funktion y = — - zu konstruieren-
xl
a) Die Funktion ist für alle z-Werte außer für x = 0 definiert.
b) Es gibt keinerlei Symmetrie.
c) Für x —> — oo strebt y —*¦ 2, so daß y = 2 — 0 Annäherung von unten bedeutet, während sich für
x —? oo zwar ebenfalls y —> 2 ergibt, aber y = 2 + 0 Annäherung von oben bedeutet
d) Bei x = 0 gibt es eine Unstetigkeitsstelle derart, daß die Kurve von links und von rechts nach — oo
verläuft, da y für kleine x-Werte negativ ist.
e) Da /(O) = oo ist, gibt es keinen Schnittpunkt mit der ?/-Achse, während f(x) = 2x2 + Sx — 4 = 0
die Schnittpunkte mit der x-Achse bei x\ ~ 0,85 und x2 ~ —2,35 liefert
f) Ein Maximum liegt bei x = 8/3 w 2,66 und y « 2,56.
g) Ein Wendepunkt befindet sich bei x = 4, y = 2,5 mit tan a = —1/16 .
h) Nach der Skizzierung der Funktion auf Grund der gewonnenen Daten (Abb.3.214) wird der
Schnittpunkt der Kurve mit der Asymptote bei x — 4/3 « 1,33 und y = 2 berechnet.
2. Kurvenkonstruktion von implizit gegebenen Funktionen F(x, y) = 0
Die Angabe allgemeiner Regeln ist nicht zu empfehlen, da sich damit oft umständliche Rechnungen
ergeben. Nach Möglichkeit sollten die folgenden Elemente ermittelt werden*
a) Bestimmung aller Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen
b) Ermittlung der Symmetrien der Kurven, indem x durch — x und y durch —y ersetzt wird.
c) Bestimmung der Maxima und Minima bezüglich der x-Achse und nach Vertauschen von x und
y auch bezüglich der y-Achse (s. 6 1 5.3, S 406).
d) Bestimmung der Wendepunkte und der Tangentenneigungen (s. 3.6 1 3, S. 238)
e) Bestimmung der singulären Punkte (s 3 6.1.3,3., S 240).
f) Bestimmung der Scheitelpunkte (s. 3 6.1.3,2., S. 239) und der zuhörigen Krümmungskreise
(s 3.6.1.1, 5., S 237). Die Kurvenbogenstücke sind oft auf einem relativ großen Abschnitt nur schwer
244 3. Geometrie
von den Krümmungskreisabschnitten zu unterscheiden.
g) Bestimmung der Asymptotengleichungen (s. 3.6.1.3,4., S. 241) und der Lage der Kurvenzweige
relativ zu den Asymptoten.
4
-2 -1 0
1 2 x
Abbildung 3.214
Abbildung 3.215
Abbildung 3 216
3.6.1.5 Evoluten und Evolventen
1. Evolute
einer gegebenen Kurve wird eine zweite Kurve genannt, die aus den Krummungsmittelpunkten der
ersten Kurve besteht (s 3.6.1 1,5., S 237); sie ist gleichzeitig Einhüllende der Normalen dieser ersten
Kurve. Die Einhüllende wird auch Enveloppe genannt (s. auch 3.6 1.6, S 244. Die Parameterform der
Evolute erhält man aus der Gleichung C.444) für die Krümmungsmittelpunkte, wenn xc und yc als
laufende Koordinaten aufgefaßt werden. Wenn es gelingt, aus diesen Gleichungen den Parameter (x, t
oder (p) zu eliminieren, dann kann die Evolutengleichung in kartesischen Koordinaten hingeschrieben
werden.
¦ Es ist die Evolute der Parabel y = x2 (Abb.3.215) zu bestimmen. Aus
2z(l + 4x2) A 3
X = x ^-— = -Ax6,
1 + Ax2 1 + 6x2
folgt mit X und Y als laufende
/X\2/s
Koordinaten der Evolute Y = - + 3 ( — l
2 '22
2. Evolvente oder Involute
einer Kurve T2 heißt eine Kurve 7~i, die für r2 eine Evolute ist. Daher ist jede Normale PC der
Evolvente eine Tangente an die Evolute (Abb.3.215), und die Bogenlänge CC\ der Evolute ist gleich dem
Zuwachs des Krümmungsradius der Evolvente:
CC1=7\Ci-~PC. C.460)
Diese Eigenschaften berechtigen für die Evolvente zu der Bezeichnung Abwickelkurve der Kurve T2 , da
sie aus T2 durch Abwickeln eines gespannten Fadens erhalten werden kann Einer gegebenen Evolute
entspricht eine Schar von Evolventen, die jeweils durch die ursprüngliche Länge des gespannten Fadens
bestimmt werden (Abb.3.216).
Die Gleichung der Evolute ergibt sich durch Integration eines Systems von Differentialgleichungen, das
die Gleichung der Evolute darstellt Die Gleichung der Kreisevolvente s. 2 14.4, S. 107.
¦ Die Katenoide ist die Evolute der Traktrix, die Traktrix die Evolvente der Katenoide (s. 2.15.1,
S. 108).
3.6.1.6 Einhüllende von Kurvenscharen
1. Charakteristische Punkte Es sei eine einparametrige Kurvenschar durch die Gleichung
F(x,j/,a) = 0 C.461)
3.6 Differentialgeometrie 245
gegeben. Dann besitzen zwei unendlich benachbarte Kurven dieser Schar mit den Parameterwerten a
und a 4- Aa Punkte K der größten Annäherung. Dabei handelt es sich entweder um Schnittpunkte der
Kurven (a) und (a + Aa) oder um Punkte auf (a), deren Abstand zu (a + Aa), gemessen auf der
Normalen, eine infinitesimale Größe höherer Ordnung von Aa ist (Abb.3.217a,b). Für Aa —* 0 strebt
die Kurve (a + Aa) gegen die Kurve (a), wobei sich in manchen Fällen der Punkt K einer Grenzlage,
dem Grenzpunkt, nähern kann.
a)
Abbildung 3.217
Abbildung 3.218
2. Geometrischer Ort der charakteristischen Punkte einer Kurvenschar mit der Gleichung
C 461) können eine oder mehrere Kurven sein. Sie bestehen entweder aus den Punkten der größten
Annäherung bzw aus den Grenzpunkten der Schar (Abb.3.218a), oder sie bilden die Einhüllende
(Enveloppe) der Schar, d.h. eine Kurve, die jede Kurve der Schar berührt (Abb.3.218b). Auch
Kombinationen beider Arten sind möglich (Abb.3.218c,d)
3. Gleichung der Einhüllenden Die Gleichung der Einhüllenden wird aus C.461) berechnet,
indem a aus dem folgenden Gleichungssystem eliminiert wird*
dF
F = 0, — = 0. C 462)
da
¦ Es ist die Gleichung der Geradenschar zu
bestimmen, die dadurch entsteht, daß die Enden
einer Strecke AB = l entlang der
Koordinatenachsen gleiten (Abb.3.219a). Die Gleichung
x , y
der Kurvenschar lautet ,
Z sin a l cos a
F = x cos a -|- y sin a — / sin a cos a
= 1 oder
' da
— xsma + ycosa — lcosa + lsm a = 0 . Durch
Eliminierung von a ergibt sich mit x2^ + y2^3 =
Z2/3 als Einhüllende eine Astroide (Abb.3.219b,
s. auch 2.13.4, S 104).
B x
Abbildung 3.219
3.6.2 Raumkurven
3.6.2.1 Definitionen für Raumkurven
1. Koordinatengleichungen Zur Definition einer Raumkurve gibt es die folgenden Möglichkeiten.
1 Schnitt zweier Flächen F(x, y, z) = 0 , $(x, y, z) = 0.
2 Parameterform x = x(t), y = y(t), z = z(t)
mit t als beliebigem Parameter, wobei t = x ,y oder z sein kann.
3 Parameterform. x = x(s), y = y(s), z = z(s)
mit der Bogenlänge s zwischen einem festen Punkt A und dem laufenden Punkt P
C.463)
C.464)
C 465a)
-/¦
dt.
C.465b)
246 3. Geometrie
2. Vektorgleichungen Mit? als Radiusvektor eines beliebigen Kur venpunktes(s 3.5.1.1,6., S 186)
kann die Gleichung C 464) in der Form
r = r(t) mit f{t) = x{t)i + y(t)J+ z(t)k C 466)
geschrieben werden und die Gleichung C.465a) in der Form
r = r(s) mit r(s) = x(s)i + y(s)j + z(s)k. C.467)
3. Positive Richtung ist bei Angabe einer Kurve in der Schreibweise C.464) und C 466) die
Richtung wachsender Parameterwerte t, bei C.465a) und C.467) die Richtung, in der die
Bogenlängenmessung erfolgt.
Binormale
Rektifizierende
Ebene
Tangente
Schmiegungs-
Ebene
Hauptnormale
-Normal ebene
Abbildung 3.221
Abbildung 3 220
3.6.2.2 Begleitendes Dreibein
1. Definitionen
In jedem Punkt P einer Raumkurve, mit Ausnahme der singulären Punkte, können drei Geraden
und drei Ebenen definiert werden, die sich im Punkt P schneiden und senkrecht aufeinander stehen
(Abb.3.220)
1. Tangente ist die Grenzlage der Sekante PN fürN^P (Abb.3.221).
2. Normalebene ist eine Ebene, die senkrecht auf der Tangente steht (Abb.3.220). Alle durch
P verlaufenden und in dieser Ebene liegenden Geraden werden die Normalen der Kurve im Punkt P
genannt.
3. Schmiegungsebene wird die Grenzlage einer Ebene genannt, die durch drei benachbarte
Kurvenpunkte M, P und N verläuft, für die N —> P und M —*¦ P geht In der Schmiegungsebene befindet
sich die Kurventangente.
4. Hauptnormale nennt man die Schnittgerade von Normalen- und Schmiegungsebene, d.h., es ist
die Normale, die in der Schmiegungsebene liegt.
5. Binormale wird die Senkrechte auf die Schmiegungsebene genannt
6. Rektifizierende Ebene heißt die von der Tangente und der Binormalen aufgespannte Ebene.
Die positiven Richtungen werden auf den drei Geraden Hauptnormale, Hauptnormale und Binormale
folgendermaßen festgelegt
a) Auf der Tangente ist es die positive Richtung der Kurve, die durch den Tangenteneinheitsvektor t
festliegt
b) Auf der Hauptnormalen ist es die Richtung der Kurvenkrummung, festgelegt durch den
Normaleneinheitsvektor n.
c) Auf der Binormalen ist sie durch den Einheitsvektor
= t x n
C.468)
3.6 Differentialgeometrie 247
definiert, wobei die drei Vektoren t, n und b ein rechtshändiges Koordinatensystem bilden, das
begleitendes Dreibein der Raumkurve genannt wird.
2. Lage der Kurve relativ zum begleitenden Dreibein
Für die gewöhnlichen Kurvenpunkte liegt die Raumkurve in der Umgebung des Punktes P auf
einer Seite der Rektifizierungsebene und schneidet sowohl die Normal- als auch die Schmiegungsebene
(Abb.3.222a) Die Projektionen eines kleinen Kurvenabschnitts um den Punkt P auf die drei Ebenen
haben dabei näherungsweise die folgende Gestalt.
1. auf die Schmiegungsebene die einer quadratischen Parabel (Abb.3.222b);
2. auf die Rektifizierungsebene die einer kubischen Parabel (Abb.3.222c),
3. auf die Normalebene die einer semikubischen Parabel (Abb.3.222d)
Wenn die Krümmung oder die Windung der Kurve im Punkt P gleich 0 sind oder wenn P ein singulärer
Punkt ist, also wenn x'(t) = y'(t) = z'(t) = 0 ist, dann kann die Kurve auch eine andere Gestalt haben
(s [22 2], Band 2, Teil 7).
a)
b)
c)
Abbildung 3.222
3. Gleichungen der Elemente des begleitenden Dreibeins
1. Definition der Kurve als Schnitt zweier Flächen gemäß C.463)
. m X-x Y-y Z-z
1 Tangente — —
dF dF
dy dz
d$ d$
dy dz
dF dF
dz dx
d$ d<P
dz dx
dF dF
dx dy
d<P d$
dx dy
C.469)
X-x
dF
dx
d<P
dx
Y-y
dF
dy
d<P
dy
Z-z
dF
dz
d$
dz
= 0.
C 470)
Dabei sind x, y, z die Koordinaten des Kurvenpunktes P und X, Y, Z die laufenden Koordinaten der
Tangente bzw der Normalebene; die partiellen Ableitungen beziehen sich auf den Punkt P.
2. Definition der Kurve als Funktion eines Parameters t in der Parameterform und als
Vektorgleichung gemäß C.464) und C.466)
In der Tabelle 3.27 sind die Koordinaten- und Radiusvektorgleichungen des Punktes P mit :r,y, z
sowie r angegeben Mit X, Y, Z und R sind die laufenden Koordinaten und der Radiusvektor eines
Dreibeinelements bezeichnet. Die Ableitungen nach dem Parameter t beziehen sich auf den Punkt P.
3. Definition der Kurve in der Form C.465a, 3.467) Wenn als Parameter die Bogenlänge s
gewählt wird, dann gelten für die Tangente und die Binormale sowie für die Normal- und
Schmiegungsebene dieselben Gleichungen wie in Fall 2, es ist lediglich t durch s zu ersetzen. Die Gleichungen der
Hauptnormalen und der rektifizierenden Ebene werden einfacher (Tabelle 3.28).
248 3. Geometrie
Tabelle 3.27 Vektor- und Koordinatengleichungen von Raumkurvengrößen
Vektorgleichung
Koordinatengleichung
Tangente:
R = r + A
dr
dt
X-x Y-y Z-z
<*-*>§-»
Normalebene:
| x'{X - x) + y'(Y -y) + z'(Z - z) = 0
Schmiegungsebene:
- _ , (dr d2i
Binormale:
X-xY-y Z-z
x' y' z' | = 0
x" y" z"
X-x Y-y Z-,
\y z'
x' y
\x"y"
Rektifizierende Ebene:
/¦ä -A dr (dr d2r\ „,n
R-r)— — x — = 0*1}
^ Jdt\dt dt2
X-xY-y Z-z
x' y' z'
l m n
mit
Hauptnormale.
I = y'z" - y"z',
m = z'x" — z"x',
n = x'y" — x"y'
- ^ , dr (dr d2f
R = r + A— x — x -—
dt \ dt dt2
X-x Y-y
y' z'
m n
z' x'
n l
Z-z
x' y'
l m
r-Ortsvektor der Raumkurve, R-Ortsvektor der Raumkurvengröße
*1) Zum Spatprodukt dreier Vektoren s. 3.5.1.4,2., S 190
Tabelle 3.28 Vektor- und Koordinatengleichungen von Raumkurvengrößen
als Funktion der Bogenlänge
Element des Dreibeins
Hauptnormale
Rektifizierende Ebene
Vektorgleichung
^ - x d2r
d2r
Koordinatengleichung
X-x Y-y Z-z
x" y" z"
x"{X -x)+ y"{Y -y) + z"{Z - z) = 0
r-Ortsvektor der Raumkurve, R-Ortsvektor der Raumkurvengröße
3.6.2.3 Krümmung und Windung
1. Krümmung einer Kurve
Krümmung einer Kurve im Punkt P wird eine Zahl genannt, die die Abweichung der Kurve in der
unmittelbaren Umgebung dieses Punktes von einer Geraden angibt.
3 6 Differentialgeometrie 249
Die exakte Definition lautet (Abb.3.223)
At
K = hm
PN
C.471)
1. Krümmungskreisradius Der Krümmungskreisradius ist der Kehrwert der Krümmung.
p=l C472)
2. Formeln zur Berechnung von K und p
a) Bei Definition der Kurve gemäß C.465a).
\d2v\
K =
ds2
yjx + y + z,
C.473)
wobei es sich um Ableitungen nach s handelt.
b) Bei Definition der Kurve gemäß C 464)
K2
dt
dt2
r
~dt~d^
d^2
dt
{x'2 + y'2 + z'2){x + y + z) - (x'x" + y'y" + z'z"J
C.474)
{x'2 + y'2 + z'2f
Die Ableitungen sind hier nach t vorzunehmen.
3. Schraubenlinie Die Gleichungen
x = a cos t, y = a sin t, z = bt C 475)
beschreiben die sogenannte Schraubenlinie (Abb.3.224) als Rechtsschraube Wenn ein Beobachter in
die positive Richtung der z-Achse blickt, die gleichzeitig Schraubenachse sein soll, dann windet sich die
Schraube beim Steigen im Drehsinn des Uhrzeigers Eine Schraubenlinie, die sich im entgegengesetzten
Drehsinn windet, wird Linksschraube genannt.
Abbildung 3 223 Abbildung 3 224 Abbildung 3 225
Es ist die Krümmung der Schraubenlinie C.475) zu bestimmen Wird der Parameter t durch
s bs
s = ty/a2 + b2 ersetzt, dann ergibt sich x = acos
v/a2 + 62'
vV + b2'
und
gemäß C.473) K
az + /
a2 + 62'
Va2 + b2
Beide Größen K und p sind konstant. Ein anderer Weg
250 3. Geometrie
ohne Parametertransformation über C.474) hätte zu dem gleichen Ergebnis gefuhrt
2. Windung einer Kurve
Windung einer Kurve im Punkt P wird eine Zahl genannt, die die Abweichung der Kurve in der
unmittelbaren Nähe dieses Punktes von einer ebenen Kurve angibt.
Die exakte Definition lautet (Abb.3.225).
T= Jim
PN^O
Ab
PN
Der Windungsradius ist r = \jT.
1. Formeln zur Berechnung von T und r
a) bei Definition der Kurve gemäß C.465a).
T=1-:
T
drd2rd3r,
P [ds"d?d?
y
(x + y + z) '
wobei die Ableitungen nach s vorzunehmen sind.
b) bei Definition der Kurve gemäß C.464):
C 476)
C.477)
C.478)
T=1-:
drd2rd3r
„2~dt~dt2~di? .
y'
x" y" z"
x'" y'" z'"
df 2
dt
{x12 + y'2 + z'2f '
C 479)
wobei p gemäß C.472) und C.473) zu berechnen ist.
Die mit C.478, 3.479) berechnete Windung kann positiv oder negativ sein. Im Falle T > 0 sieht ein
Beobachter, der auf der Hauptnormalen parallel zur Binormalen steht, die Windung der Kurve im
Rechtsdrehsinn, im Falle T < 0 im Linksdrehsinn.
¦ Die Windung einer Schraubenlinie sei konstant Für die Rechtsschraube R bzw. Linksschraube L
ist sie dann
-asint acost b\
TR =
! + 62
-acos£ —asint 0
asint —acost 0
b
- + b2
a2 + b2 '
TL.
a2 + b2
a J [(-asintJ + (acostJ + b2}3
3. Prenetsche Formeln
Man kann die Ableitungen der Vektoren t, n und b mit Hilfe der FRENETschen Formeln ausdrücken
dt _ n dn _ t b db _ n
ds p ' ds p t ' ds t
Dabei ist p der Krümmungs- und r der Windungsradius
4. Darbouxscher Vektor
Die FRENETschen Formeln C.480) können auch in der einprägsamen Form
C.480)
dt -? -* dn -j _ db -*
— = dxt, — = dxn, — = d x b
ds ds ds
geschrieben werden Dabei ist d der DARBOUXsche Vektor mit der Gestalt
d = it + itb
T p
C.481)
C.482)
3 6 Differentialgeometrie 251
Hinweise:
1. Die FRENETschen Formeln können mit Hilfe des DARBOUXschen Vektors auch kinematisch
interpretiert werden (s. [3 18]).
2. Der Betrag des DARBOUXschen Vektors ist gleich der sogenannten Totalkrümmung X einer
Raumkurve. Es gilt
A =
1 1 .-?.
^ + ^2= d •
C.483)
3.6.3 Flächen
3.6.3.1 Definitionen für Flächen
1. Gleichung einer Fläche Flächen können unterschiedlich definiert werden
a) Implizite Form: F(x, y,z) = 0 C.484)
b) Explizite Form: z = f(x, y) C 485)
c) Parameterform: x = x(u, v), y = y(u, v), z = z(u, v). C.486)
d) Vektorform: r = r(u,v) mit r = x{u,vji + y(u,v)i + z(u,v)Ü. C.487)
Wenn die Parameter u und v alle erlaubten Werte durchlaufen, ergeben sich über C 486) und C.487)
Koordinaten und Radiusvektoren aller Flächenpunkte Elimination von u und v aus der Parameterform
der Definition C.486) liefert die implizite Form C.484). Die explizite Form C.485) ist ein Spezialfall
der Parameterform für u = x und v = y
¦ Gleichung der Kugel in kartesischen Koordinaten, Parameterform und Vektorform (Abb.3.227)
2 , 2,2
x +y + z ¦
¦ acoswsinv,
= 0;
= a sin u sin v, z = a cos v ,
r = a(cos u sin vi + sin u sin vj + cos vi)
C.488a)
C.488b)
C.488c)
Normale
-Linie
Abbildung 3.226
Abbildung 3.227
Abbildung 3 228
2. Krummlinige Koordinaten auf einer Fläche Für eine in der Form C.486) oder C.487)
gegebene Fläche erhält man durch Variieren des Parameters u bei gleichzeitigem Festhalten von v = Vq
die Punkte r(x, y, z) einer Kurve f = r(u, Vq) auf der Fläche. Werden für v nacheinander
verschiedene, aber feste Werte v = v 1} v — v2, .., v = vn eingesetzt, dann ergibt sich eine Kurvenschar auf der
Fläche. Da bei der Bewegung längs einer solchen Kurve mit v = const nur u geändert wird, nennt
man diese Kurven die u-Linien (Abb.3.226). In Analogie dazu erhält man beim Variieren von v und
gleichzeitigem Festhalten von u = const für ui, it2, •.., un eine zweite Kurvenschar und spricht von
252 3 Geometrie
v-Linien. Auf diese Weise kann man auf der Fläche C.486) ein Netz von Koordinatenlinien entstehen
lassen, in dem zwei feste Zahlen u = Ui und v = vk die krummlinigen oder GAUSSsc/ien Koordinaten
des Flächenpunktes P sind.
Wenn eine Fläche in der Form C.485) gegeben ist, stellen die Koordinatenlinien Schnitte der Fläche
mit den Ebenen x = const und y = const dar Mit Gleichungen der impliziten Form F(w, v) = 0 oder
mit den Parametergleichungen u = u(t) und v = v(t) zwischen diesen Koordinaten werden Kurven auf
der Fläche beschrieben.
¦ Die Parametergleichungen der Kugel C 488b,c) ergeben für u die geographische Länge eines Punktes
P und v seinen Polabstand, das Komplement zu seiner geographischen Breite. Die f-Linien sind hier
die Meridiane APB, die w-Linien die Breitenkreise CPD (Abb.3.227).
3.6.3.2 Tangentialebene und Flächennormale
1. Definitionen
1. Tangentialebene Wenn durch einen Flächenpunkt P(x,y,z) alle auf dieser Fläche möglichen
Flächenkurven hindurchlaufen, dann liegen in der Regel alle zugehörigen Kurventangenten im Punkt
P in ein und derselben Ebene, der Tangentialebene der Fläche des Punktes P. Ausgenommem davon
sind die sogenannten Kegelpunkte (s 3 6 3 2,3., S. 252)
2. Flächennormale Eine Gerade, die senkrecht auf der Tangentialebene steht und durch den Punkt
P verläuft, heißt Flächennormale im Punkt P (Abb.3.228).
3. Normalenvektor Die Tangentialebene wird von zwei Vektoren aufgespannt, den
Tangentenvektoren
dv dv
?u = du ' ?v = du C 489a)
der u- und der v-Linien. Das Vektorprodukt ru x rv der beiden Tangentenvektoren ist ein Vektor, der
in die Richtung der Flächennormalen weist. Sein Einheitsvektor
*°=^fr C489b)
wird Normalenvektor genannt Seine Richtung nach der einen oder anderen Seite der Fläche ist dadurch
festgelegt, ob u oder v erste oder zweite Koordinate ist.
2. Gleichungen der Tangentialebene und der Flächennormalen (s. Tabelle 3.29)
¦ A: Für die Kugel mit der Gleichung C.488a) ergibt sich
1 als Tangentialebene
2x{X -x) + 2y(Y - y) + 2z(Z - z) = 0 oder xX + yY + zZ - a2 = 0 , C 490a)
« ' i ™ i i X -x Y -y Z-z , X Y Z
2 als Flächennormale = = oder — = — = —. C 490b)
2x 2y 2z x y z v '
¦ B: Für die Kugel mit der Gleichung C 488b) ergibt sich
1. als Tangentialebene X cos u sin v + Y sin u sin v + Z cos v = a, C 490c)
X Y Z
2 als Flächennormale. = = . C.490d)
cos u sin v sin u sin v cos v
3. Singulare Flächenpunkte (Kegelpunkte)
Wenn für einen Flächenpunkt mit den Koordinaten x — X\, y = y\, z = z\ und der Gleichung C.484)
gleichzeitig die Beziehungen
erfüllt sind, d h wenn die Ableitungen 1 Ordnung verschwinden, dann ist der Punkt P{x\,y\,Z\) ein
singulärer Punkt oder Kegelpunkt. Alle Tangenten, die durch ihn verlaufen, liegen nicht in einer Ebene,
3.6 Differentialgeometrie 253
Tabelle 3.29 Gleichungen der Tangentialebene und der Flächennormalen
Art der Gleichung
Tangentialebene
Flächennormale
C 484)
C.485)
C 486)
C.487)
£•*-¦>?£<"-.»
dF
+-(Z-z) = 0
Z-z=p(X-x)+q(Y-y)
X-x Y-y Z-x
dx dy dz
du du du
dx dy dz
dv dv dv
(R - rjrlra = 0*1}
oder (R - r)N = 0
X-x
~dF^~
dx
X-x
Y-y
' dF ~
dy
_Y-y
Z-z
~ dF
dz
_ Z-z
X-x
dy dz
du du
dy dz
1 dv dv
Y-y
dz dx
du du
dz dx
dv dv
Z-z
dx dy 1
du du 1
dx dy 1
dv dv 1
R = r + A(rl x r^)
oder R = r + AN
x, y, z und r sind in dieser Tabelle die Koordinaten und der Radiusvektor der Punkte der
Tangentialebene oder der Flächennormalen; X, Y, Z und R sind die laufenden
Koordinaten und der Radiusvektor des Punktes der Tangentialebene oder der Flächennormalen
dz dz - .
im Punkt P; außerdem ist p -
dx'
, N ist der Normalenvektor
*1) Zum Spatprodukt dreier Vektoren s. 3.5.1 4,2., S. 190
sondern bilden einen Kegel 2. Ordnung mit der Gleichung
!?<* - -I + w{Y -yi?+^{z-2lJ+W* -Xl){Y -yi)
+2H(r-^-zi)+2S(z-^(x-ii)=°' C492)
in der die Ableitungen im Punkt P zu bilden sind. Wenn auch alle Ableitungen 2. Ordnung
verschwinden, dann handelt es sich um einen singulären Punkt von komplizierterer Art. Es liegt also ein Kegel
dritter oder höherer Ordnung vor
3.6.3.3 Linienelement auf einer Fläche
1. Differential des Bogens
Eine Fläche sei in der Form C.486) oder C.487) gegeben Auf der Fläche seien P(u, v) ein beliebiger
Punkt und N(u + du, v + dv) ein in der Nähe von P liegender zweiter Punkt. Die Länge des Bogens PN
auf der Fläche läßt sich dann angenähert durch das Differential des Bogens oder das Linienelement der
Fläche mit der Formel
ds2 = Edu2 + 2Fdudv + Gdv2 C.493a)
berechnen, wobei die drei Koeffizienten
E = r2 =
du) \du) \du
_^ dxdx dydy dz dz tn AM. ,
F = rur„ = —— + -^/ + —— , 3.493b
du dv du dv du dv
254 3 Geometrie
dx
r: = (— i +1 ^
dy
,dv
C.493c)
für den Punkt P zu bilden sind Die rechte Seite von C.493a) wird erste quadratische Fundamentalfoim
der Fläche genannt
¦ A: Für die Kugel gemäß C 488c) ergibt sich:
E = a2 sin2 v , F = 0 ,
ds2 = a2(sin2vdu2 + dv2).
B: Für eine gemäß C.485) gegebene Fläche ergibt sich
l+p2
¦pq,
G=l + q2
dz
dz
mit V=T^ q=d~y
C 494)
C.495)
2. Messungen auf der Fläche
1. Die Länge des Bogens einer Kurve u = u(t), v = v(t) auf der Fläche wird für t0 < t < t\ über
r i / nni \ nii ni) i nii \
dt C 496)
«-1 i-i
to to
E\—\2 + 2F—— + g(—^2
dt) dt dt [dt,
berechnet
2. Der Winkel zwischen zwei Kurven, r~i(£) = r(ui(t),vi(t)) und r(t) = r(u2(t),V2{t)) auf der
Fläche r = r(n, v), d.h. zwischen ihren Tangenten, die sich im Punkt P schneiden und in diesem Punkt
die durch die Vektoren fi und r2 vorgegebene Richtung haben (Abb.3.229), wird mit der Formel
rir2
v-Linie
E üiü2 + F (üiv2 + Viü2) + G Viv2
sJEu\ + 2FÜXVX +Gvl^Eü22 4- 2Fü2v2 + Gi)\
C.497)
berechnet.
Die Koeffizienten E, F und G sind für den Punkt P zu bestimmen, und
^l, ü2 , ^i, v2 stellen die ersten Ableitungen von U\{t), u2(t), Vi(t) und
Abbildung 3.229 v2(t) für den dem Punkt P entsprechenden Parameterwert dar.
Wenn der Zähler von C 497) verschwindet, stehen beide Kurven senkrecht aufeinander. Die Orthogo-
nalitätsbedingung für die Koordinatenlinien v = const und u = const lautet F = 0.
3. Der Flächeninhalt eines Flächenstücks S , das von einer beliebigen, auf der Fläche liegenden
Kurve begrenzt wird, kann über das Doppelintegral
(S)
dS
C
mit
dS=VEG-F2dudv
C.498b)
berechnet werden. Man nennt dS Flächenelement.
Die Berechnung von Längen, Winkeln und Flächeninhalten auf Flächen ist mit Hilfe der Formeln C.496,
3.497, 3.498a,b) möglich, wenn die Koeffizienten E, F und G der ersten quadratischen Fundamental-
form bekannt sind. Somit definiert die erste quadratische Fundamentalform die Metrik auf der Fläche
3. Übereinanderlegen von Flächen bei Verbiegung
Wenn eine Fläche ohne Zerrung oder Einschnitt verbogen wird, ändert sich ihre Gleichung, aber ihre
Metrik bleibt erhalten Mit anderen Worten, die erste quadratische Fundamentalform ist bei solchen
reinen Verbiegungen eine Invariante. Daher können zwei unterschiedliche Flächen mit gleicher erster
quadratischer Fundamentalform aufeinander abgewickelt werden.
3.6 Differentialgeometrie 255
Abbildung 3.230
3.6.3.4 Krümmung einer Fläche
1. Krümmung von Kurven auf einer Fläche
Wenn durch einen Flächenpunkt P verschiedene Kurven r auf dieser Fläche gezogen werden (Abb.
3.230a), dann stehen ihre Krümmungskreisradien p im Punkt P in den folgenden drei Beziehungen
zueinander:
1. Krümmungskreisradius Der Krümmungskreisradius p einer Kurve r im Punkt P ist gleich
dem Krümmungskreisradius der Kurve C, die sich als Schnitt der Fläche mit der Schmiegungsebene
der Kurve T im Punkt N ergibt (Abb. 3.230a).
2. Satz von Meusnier Für jeden ebenen Schnitt C durch eine Fläche (Abb.3.230b) berechnet
man den Krümmungskreisradius p gemäß
p = Äcos(n,N) C.499)
Dabei ist R der Krummungskreisradius des Normalschnittes Cnorm, der durch die gleiche Tangente
NQ geht wie C sowie durch den Einheitsvektor N der Flächennormalen; £(n, N) ist der Winkel
zwischen dem Einheitsvektor n der Hauptnormalen der Kurve C und dem Einheitsvektor N der
Flächennormalen. Das Vorzeichen von p in C.499) ist positiv, wenn N auf der konkaven Seite der Kurve Cnorm
liegt und negativ im umgekehrten Falle.
3. Euler sehe Formel Die Krümmung eines jeden Normalschnittes Cnorm kann mit der Formel
von Euler
i«p + sjp C500)
berechnet werden, wobei R\ und R2 die Hauptkrümmungskreisradien sind (s. C.502a)), und a ist der
Winkel zwischen den Ebenen der Schnitte C und C\ (Abb.3.230c).
2. Hauptkrümmungsrichtungen und Hauptkrümmungskreisradien
Die Krummungskreisradien R von Normalschnitten Cnorm hängen von den Tangentenrichtungen im
dy du
Punkt P ab (Abb.3.230c), die durch die Werte — bestimmt sind. Die Ableitungen — genügen der
dx dx
Gleichung
[tpq-s(l + q2)[
\dxj
Ux
+ [*A + P2) - r(l + ?2)]/ + [s(l + p2) - rpq] = 0.
C.501)
Die Lösungen von C 501) bestimmen diejenigen Tangentenrichtungen, die zu den Extremwerten R\
(Minimalwert) und R2 (Maximalwert) von R gehören. Diese Tangentenrichtungen stehen senkrecht
aufeinander und werden als Hauptkrümmungsrichtungen im Punkt P bezeichnet. Die
Krümmungsradien der zugehörigen Normalschnitte C\ und C2 , d.h. R\ und R2 sind die Hauptkrümmungskreisradien
256 3 Geometrie
Wenn die Fläche in der expliziten Form C 485) gegeben ist, dann lassen sich R\ und R2 als Wurzeln
der quadratischen Gleichung
(rt - s2)R2 + h[2pqs - A + p2)t - A + q2)r]R + h4 = 0 mit C 502a)
dz
dz
P==d~x' q=di>
-% s = Srr t = % und h = fi^* C502b)
berechnen. Die Vorzeichen von R, Ri und R2 werden nach der gleichen Regel wie in C.499) bestimmt
Wenn die Fläche in der Vektorform C.487) gegeben ist, dann treten an die Stelle von C.501) und
C.502a) entsprechend die Gleichungen
{GM - FN)
+ {GL-
¦EN)— + (FL-
du
¦ EM) = 0,
C 503a)
(LN - M2)R2 - (EN - 2FM + GL)R + (EG - F2) = 0, C.503b)
mit den Koeffizienten L, M, N der zweiten quadratischen Fundamentalform, die über die Gleichungen
d'
,R:
VEG - F2 '
M ¦-
vuvK-
N :
u Rz
s/EG - F2
C.503c)
berechnet werden. Dabei sind die Vektoren ru
Radiusvektors r nach den Parametern u und v
d =
d' =
C 503d)
VEG - F2 '
, ruv und rvv die partiellen Ableitungen 2. Ordnung des
In den Zählern stehen die Determinanten
d2x d2y d2z
|dudv dudv dudv|
dx dy dz
du du du
dx dy dz
-dv dv dv
Als zweite quadratische Fundamentalform, die die Krümmungseigenschaften der Fläche enthält,
bezeichnet man den Ausdruck
Ldu2 + 2Mdudv + Ndv2 C 503e)
Krümmungslinien nennt man die Linien auf der Fläche, die in jedem Punkt die Richtung der
Hauptnormalschnitte haben. Ihre Gleichungen ergeben sich durch Integration von C.501) oder C.503a).
d2x
du2
dx
du
dx
c§
d2y d2z
du2 du2
dy dz
du du
dy dz
dv dv
d2x
dv2
dx
du
dx
c§
d2y
dv2
dy
du
dy
c§
d2z
dv2
dz
du
dz
dv
Abbildung 3 231
3. Klassifizierung der Flächenpunkte
1. Elliptischer und Kreis-Flächenpunkt Besitzen die Hauptkrümmungskreisradien Ri und R2
im Flächenpunkt P gleiches Vorzeichen, dann liegen in der Umgebung von P alle Flächenpunkte auf
einer Seite der Tangentialebene, und man spricht vom elliptischen Flächenpunkt (Abb.3.231a). Sein
analytisches Merkmal ist die Bedingung
LN - M2 > 0 C.504a)
3.6 Differentialgeometrie 257
2. Kreis- oder Nabelpunkt wird ein Flächenpunkt P genannt, wenn die Hauptkrümmungskreis-
radien in diesem Punkt die Bedingung
fli - R2 C.504b)
erfüllen Seine Normalschnitte zeichnen sich durch R = const aus.
3. Hyperbolischer Flächenpunkt Im Falle unterschiedlicher Vorzeichen der Hauptkrummungs-
kreisradien Ri und R2 weisen die konkaven Seiten der Hauptnormalenschnitte nach entgegengesetzten
Richtungen Die Tangentialebene durchsetzt dann die Fläche, so daß diese in der Nähe des Punktes P
sattelartig geformt ist P wird hyperbolischer Punkt genannt (Abb.3.231b); sein analytisches
Merkmal ist die Bedingung
LN - M2 < 0. C.504c)
4. Parabolischer Flächenpunkt Ist einer der beiden Hauptkrümmungskreisradien i?i oder R2
gleich oo, dann besitzt der eine Hauptnormalenschnitt entweder einen Wendepunkt oder er ist eine
Gerade. Bei P handelt es sich dann um einen parabolischen Flächenpunkt (Abb. 3.231c) mit dem
analytischen Merkmal
LN - M2 = 0 * C.504d)
¦ Alle Punkte eines EUipsoids sind elliptisch, eines einschaligen Hyperboloids hyperbolisch und eines
Zylinders parabolisch
4. Krümmung einer Fläche
Zur numerischen Charakterisierung der Krümmung einer Fläche werden hauptsächlich zwei Größen
benutzt
1. Mittlere Krümmung einer Fläche im Punkt P H = - ( — + — ) , C.505a)
2 \R\ R2J
2. Gaußsche Krümmung einer Fläche im Punkt P K = . C.505b)
RiR2
¦ A: Für den Kreiszylinder mit dem Radius a ist H = l/2a und K = 0.
¦ B: Für elliptische Punkte ist K > 0 , für hyperbolische K < 0 und für parabolische K = 0.
3. Berechnung von H und K, wenn die Fläche gemäß z = f(x, y) vorgegeben ist.
2A +p2 + g2K/2 (l+p2 + g2J
Die Bedeutung von p, q, r, 5, t siehe C.502b).
5. Klassifizierung der Flächen nach ihrer
Krümmung
Minimalflächen sind Flächen, deren mittlere Krümmung
H in allen Punkten Null ist, d h für die Ri = —R2 gilt.
Flächen konstanter Krümmung zeichnen sich durch
konstante GAUSSsche Krümmung K = const aus
¦ A: K > 0, z.B. die Kugel
¦ B: K < 0 , z.B. die Pseudosphäre (Abb.3.232), d.h. die
Rotationsfläche der Traktrix (Abb.2.79) bei Rotation um
Abbildung 3.232 die Symmetrieachse.
3.6.3.5 Regelflächen und abwickelbare Flächen
1. Regelfläche
Eine Fläche heißt regelmäßig, geradlinig oder Regelfläche, wenn sie durch Bewegung einer Geraden im
Raum erzeugt werden kann.
258 3 Geometrie
2. Abwickelbare Fläche
Wenn eine Regelfläche auf eine Ebene abgewickelt werden kann, nennt man sie abwickelbare Fläche
Nicht jede Regelfläche ist abwickelbar. Charakteristisch für abwickelbare Flächen ist, daß
a) für alle Punkte die GAUSSsche Krümmung verschwinden muß und
b) bei Vorgabe der Fläche in der expliziten Form z = f(x,y) die Abwickelbarkeitsbedingung erfüllt
ist*
a) K = 0, b) rt - s2 = 0. C.507)
Die Bedeutung von r, t und s siehe Gleichungen C 502b).
¦ A: Kegel (Abb.3.191) und Zylinder (Abb.3.197) sind abwickelbare Flächen.
¦ B: Einschaliges Hyperboloid (Abb.3.195) und hyperbolisches Paraboloid (Abb.3.196) sind zwar
Regelflächen, können aber nicht auf eine Ebene abgewickelt werden.
3.6.3.6 Geodätische Linien auf einer Fläche
1. Begriff der geodätischen Linien
(s auch 3.4.1,3., S. 163). Durch jeden Punkt P(u,v) einer Fläche kann in jeder durch den
Differentialquotienten — bestimmten Richtung auf der Fläche eine gedachte Kurve verlaufen, die geodätische
du
Linie genannt wird. Sie spielt auf der Fläche die gleiche Rolle wie die Gerade auf der Ebene und
zeichnet sich durch die folgenden Eigenschaften aus:
1. Die geodätischen Linien sind die Linien der kürzesten Entfernung zwischen zwei Punkten auf einer
Fläche
2. Wenn ein materieller Punkt, der gezwungen ist, auf einer vorgegebenen Fläche zu bleiben, von einem
anderen auf der gleichen Fläche befindlichen materiellen Punkt angezogen wird, dann bewegt er sich
in Abwesenheit anderer äußerer Kräfte auf einer geodätischen Linie.
3. Wird ein elastischer Faden über eine vorgegebene Fläche gespannt, dann nimmt er die Form einer
geodätischen Linie an
2. Definition
Eine geodätische Linie ist eine Kurve auf einer Fläche, deren Hauptnormale in jedem Flächenpunkt in
die Richtung der Flächennormalen fällt
¦ Auf einem Kreiszylinder sind die geodätischen Linien Schraubenlinien.
3. Gleichung der geodätischen Linie
Wenn eine Fläche in der expliziten Form z = f{x,y) vorgegeben ist, dann lautet die
Differentialgleichung der geodätischen Linien
A + i + <?)% = Vi (|K + BPs - qt) (|J + <pr - 29S)| - qr. C.508)
Ist die Fläche in der Parameterform C.486) vorgegeben, dann ist die Differentialgleichung der
geodätischen Linien von komplizierterer Art. Die Bedeutung von p, q: r, s und t siehe Gleichungen C.502b)
259
4 Lineare Algebra
4.1 Matrizen
4.1.1 Begriff der Matrix
1. Matrizen A vom Typ (m, n) oder kurz A(m,n)
nennt man Systeme von m mal n Elementen, z B. Zahlen, darunter auch komplexe Zahlen, oder
Funktionen, Differentialquotienten, Vektoren, die in m Zeilen und n Spalten angeordnet sind:
A = (aßU) =
I «11 Gl2
Ö21 «22
\flml öm2
' «In \
• «2n
T
1. Zeile
2 Zeile
ra-te Zeile
D 1)
n-te Spalte
Mit dem Begriff Typ einer Matrix werden die Matrizen entsprechend ihrer Zeilenzahl m und ihrer
Spaltenzahl n klassifiziert Eine erste Einteilung in quadratische und rechteckige Matrizen ergibt sich, je
nachdem, ob die Zahl der Zeilen und Spalten gleich groß ist oder nicht.
2. Reelle und komplexe Matrizen
Reelle Matrizen bestehen aus reellen Elementen, komplexe Matrizen aus komplexen Elementen. Man
kann eine Matrix, die aus den komplexen Elementen
<V + 'lbiw D.2a)
besteht, in zwei Matrizen A und B der Form
A + iB D.2b)
aufspalten, die beide nur reelle Zahlen enthalten.
Zwischen den Elementen einer komplexen Matrix A und der zu ihr konjugiert komplexen Matrix A*
besteht die Beziehung
a*„ = Re{aßU) -ilm(a^)
D.2c)
3. Transponierte oder gestürzte Matrizen AT
Aus der Matrix A vom Typ (m, n) entsteht durch Vertauschen der Zeilen und Spalten die transponierte
Matrix AT Sie ist vom Typ (n, m) Für sie gilt.
KM)T = Ku) ¦ D.3)
4. Adjungierte Matrizen
Zu einer komplexen Matrix A erhält man die adjungierte Matrix AH , indem man die zugehörige
konjugiert komplexe Matrix A* transponiert (s. auch 4 2.2,2., S. 268)'
AH = (A*)T . D.4)
5. Nullmatrix 0
wird eine Matrix genannt, deren sämtliche Elemente gleich Null sind:
°\
0
0 = I ... I D5)
/00
' 00
\00 ••• 0/
260 4 Lineare Algebra
4.1.2 Quadratische Matrizen
1. Definition
Quadratische Matrizen besitzen die gleiche Anzahl von Zeilen und Spalten, d.h m = n:
(du • • ain\
A = A(n,n) = : • : . D.6)
\an\ -" ann]
Die Elemente a^u der Matrix A , die sich in der Diagonalen von links oben nach rechts unten befinden,
werden Hauptdiagonalelemente genannt. Sie tragen die Bezeichnung an,o22,..., ann , d.h., es sind alle
Elemente aßl/ mit fi = v
2. Diagonalmatrizen
sind quadratische Matrizen D , in denen alle außerhalb der Hauptdiagonale liegenden Elemente gleich
Null sind-
<fyiv = 0 für (j, 7^ v: D =
[an 0
0 a22
\ 0 0
0 \ fan
0
122
\ o
° \
Q"nn /
D 7)
3. Skalarmatrix S
wird eine spezielle Diagonalmatrix genannt, in der alle Diagonalelemente gleich einer reellen oder
komplexen Konstanten c sind
/cO ••• 0\
a^ = 0 für fi ^ v, aßß = c, S --
Oc ••• 0
VOO ••• c)
(U
4. Spur einer Matrix
Für eine quadratische Matrix wird der Begriff der Spur als Summe ihrer Hauptdiagonalelemente
definiert.
Sp (A) = an + a22 + + ann = Ylaw
5. Symmetrische Matrizen
sind quadratische Matrizen A , die gleich ihrer transponierten Matrix sind
A = AT.
Für Elemente, die spiegelbildlich zur Hauptdiagonale liegen, gilt
6. Normale Matrizen
genügen der Gleichung
ATA = AAT
Wegen der Multiplikation zweier Matrzen s. 4.1.4,5., S 262.
7. Antisymmetrische oder schiefsymmetrische Matrizen
sind quadratische Matrizen A mit der Eigenschaft:
A = -AT.
Für die Elemente aßU einer antisymmetrischen Matrix gilt
D.9)
D.10)
D.11)
D.12)
D 13a)
D 13b)
4 1 Matrizen 261
so daß die Spur einer antisymmetrischen Matrix verschwindet:
Sp(A) = 0 D.13c)
Elemente, die spiegelbildlich zur Hauptdiagonale liegen, unterscheiden sich nur durch ihr Vorzeichen
Jede quadratische Matrix A kann in eine Summe aus einer symmetrischen Matrix As und einer
antisymmetrischen Matrix A^ zerlegt werden:
A = AS + Aas mit As = i(A + AT), Aas = ^(A-AT). D.13d)
8. Hermitesche Matrizen oder selbstadjungierte Matrizen
sind quadratische Matrizen A, die gleich ihrer Adjungierten sind:
A=(A*)T = AH. D.14)
Im Reellen fallen die Begriffe symmetrische und hermitesche Matrix zusammen. Die Determinante einer
hermiteschen Matrix ist reell.
9. Antihermitesche oder schiefhermitesche Matrix
wird eine quadratische Matrix genannt, die gleich ihrer negativen Adjungierten ist:
A = -(A*)T = -AH D.15a)
Für die Elemente aßU und die Spur einer schiefhermiteschen Matrix gilt
<V = -*%,, <W = 0 > Sp (A) = 0 D.15b)
Man kann jede quadratische Matrix A als Summe aus einer hermiteschen Matrix Ah und einer anti-
hermiteschen Matrix Aah darstellen.
A = Ah + Aah mit Ah = -(A + AH), Aah =-(A - AH) D 15c)
10. Einheitsmatrix E
heißt eine quadratische Matrix, in der jedes Haupt diagonalelement den Wert Eins besitzt, während alle
anderen Elemente den Wert Null haben:
°!7: =(w mit ^={!2r£^: D-16)
Voo-i i)
Das Zeichen 6^ wird KRONECKER-5?/rak>/ genannt
11. Dreiecksmatrix
1. Rechte oder obere Dreiecksmatrix R (im Englischen U von upper) ist eine Matrix, in der alle
Elemente unterhalb der Hauptdiagonale den Wert Null besitzen:
R = (ffiu) mit rßl/ = 0 für alle [i > v. D-17)
2. Linke oder untere Dreiecksmatrix L (im Englischen L von lower) ist eine Matrix, in der alle
Elemente oberhalb der Hauptdiagonale den Wert Null besitzen:
L = (Ipv) mit Ipv = 0 für alle n<v D.18)
4.1.3 Vektoren
Matrizen vom Typ (n, 1) heißen einspaltige Matrizen oder Spaltenvektoren der Dimension n ; Matrizen
vom Typ A, n) heißen einzeilige Matrizen oder Zeilenvektoren der Dimension n:
E-
Spaltenvektor: a =
\anJ
D 19a) Zeilenvektor: aT = (a!? o2,..., an) D.19b)
262 4 Lineare Algebra
Mit Hilfe der Transponierung kann ein Spaltenvektor in einen Zeilenvektor umgewandelt werden und
umgekehrt Durch einen Zeilen- bzw Spaltenvektor der Dimension n kann ein Punkt im n-dimensiona-
len euklidischen Raum Rn beschrieben werden
Der Nullvektor wird durch 0 bzw. 0T gekennzeichnet.
4.1.4 Rechenoperationen mit Matrizen
1. Gleichheit von Matrizen
Zwei Matrizen A = (a^) und B = (bßU) sind gleich, wenn sie vom gleichen Typ sind und wenn ihre
gleichgestellten Elemente einander gleich sind:
A = B, wenn aßl/ = bßU für /x = 1,.. ,ra;i/ = l,.. ,ra. D.20)
2. Addition und Subtraktion
von Matrizen ist möglich, wenn sie vom gleichen Typ sind. Die Addition bzw. Subtraktion erfolgt
elementweise für jeweils gleichgestellte Elemente:
A ± B = (aßU) ± (b^) = (v, ± bfj). D 21a)
/l 3 7\ /3-5 0W4-2 7\
" \2 -1 4) + \2 14; ~ V4 OSj'
Es gelten Kommutativ- und Assoziativgesetz der Matrizenaddition:
Kommutativgesetz: A + B = B + A. D 21b)
Assoziativgesetz: (A + B) + C = A + (B + C). D.21c)
3. Multiplikation einer Matrix mit einer Zahl
Eine Matrix A vom Typ (m, n) wird mit einer reellen oder komplexen Zahl a multipliziert, indem jedes
Element von A mit a multipliziert wird:
aA = a (aßV) = (aaßl/). D.22a)
Jl 37\_/3 9 21\
^0-14J _ ^0-3 12;-
Mit D 22a) wird auch ausgesagt, daß ein konstanter Faktor, der in allen Elementen einer Matrix
enthalten ist, ausgeklammert werden kann.
Es gelten das Kommutativ-, Assoziativ- und Distributivgesetz der Multiplikation einer Matrix mit einem
Skalar:
Kommutativgesetz: aA = Aa; D.22b)
Assoziativgesetz: a(ßA) = (aß)A ; D.22c)
Distributivgesetz: (a ± ß)A = aA±ßA, a(A ±B) = aA±ctB. D 22d)
4. Division einer Matrix durch einen Skalar
Die Division einer Matrix durch einen Skalar wird als Multiplikation mit 0 = 1/7 durchgeführt, wobei
7^0 sein muß
5. Multiplikation zweier Matrizen
1. Das Produkt AB zweier Matrizen A und B, auch skalares Matrixprodukt genannt, läßt sich nur
bilden, wenn die Spaltenanzahl des linken Faktors A gleich der Zeilenanzahl des rechten Faktors B ist.
Wenn A eine Matrix vom Typ (m, n) ist, dann muß die Matrix B vom Typ (n, p) sein, und das Produkt
AB ist eine Matrix C = (cma) vom Typ (m,p). Hierbei ist (cß\) gleich dem Skalarprodukt der yu-ten
Zeile des linken Faktors A mit der A-ten Spalte des rechten Faktors B:
AB = £o^W = (CmA) = C (/x = 1,2, ..,m,A = l,2,. .,p) D 23)
4.1 Matrizen 263
2. Ungleichheit der Produktmatrizen Falls die beiden Produkte AB und BA gebildet
werden können, ist im allgemeinen AB 7^ BA, d h., das Kommutativgesetz der Multiplikation gilt im
allgemeinen nicht. Gilt aber AB = BA, dann heißen A und B miteinander vertauschbar
3. Falksches Schema Für die praktische Durchführung der Matrixmultiplikation gemäß AB = C
verwendet man der größeren Übersichtlichkeit halber das FALKsche Schema (Abb.4.1). Das Element
cßx der Produktmatrix C erscheint genau im Kreuzungspunkt der //-ten Zeile von A mit der A- ten
Spalte von B.
¦ Multiplikation zweier Matrizen ACK) und BCJ) in Abb.4.2 mit Hilfe des FALKschen Schemas.
B
AB
1 3 7
^O
-1 0 1
3
-5
0
2
1
3
-12 26
B
11 QU AB
-3 1
Abbildung
4.2
Abbildung 4.1
4. Multiplikation zweier Matrizen Ki und K2 mit komplexen Elementen Bei der
Multiplikation zweier Matrizen mit komplexen Elementen kann die Möglichkeit der Aufspaltung in Real- und
Imaginärteil gemäß D 2b) genutzt werden. Ki = Ai + iBl, K2 = A2 + iB2 . Dabei sind Ax, A2, Bl5 B2
reelle Matrizen Nach der Zerlegung liefert die Multiplikation eine Summe, deren Glieder als Produkte
von Matrizen mit reellen Elementen berechnet werden können.
¦ (A + i B)(A - i B) = A2 4- B2 + i (BA - AB). Auch bei der Multiplikation derart zerlegter
Matrizen ist zu berücksichtigen, daß das Kommutativgesetz der Multiplikation im allgemeinen nicht gilt,
d h , daß A und B nicht vertauschbar sind.
6. Skalares und dyadisches Produkt zweier Vektoren
Für zwei Vektoren a und b, die als einspaltige bzw einzeilige Matrizen dargestellt werden können, gibt
es bei der Matrizenmultiplikation die folgenden zwei Möglichkeiten der Produktbildung:
Ist a vom Typ A, n) und b vom Typ (n, 1), dann ist das Produkt vom Typ A,1), also eine Zahl. Man
spricht dann vom Skalarprodukt zweier Vektoren Ist dagegen a vom Typ (n, 1) und b vom Typ A, m),
dann ist das Produkt vom Typ (n, m), also eine Matrix. Man spricht in diesem Falle vom dyadischen
Produkt zweier Vektoren.
1. Skalarprodukt zweier Vektoren Unter dem Skalarprodukt eines Zeilenvektors
aT = (ai,a2,
die Zahl
, an) mit einem Spaltenvektor b = F1,b2, • • > bn)T von je n Elementen versteht man
aTb = bTa = axbx + a2b2 + • • • + anbn = ]jT aßbß . D.24)
/x=i
Das Kommutativgesetz der Multiplikation gilt hier im allgemeinen nicht Daher ist die Reihenfolge
von aT und b exakt einzuhalten Bei Vertauschung der Reihenfolge, also baT würde sich ein dyadisches
Produkt ergeben
2. Dyadisches Produkt oder Tensorprodukt zweier Vektoren Unter dem dyadischen Produkt
eines Spaltenvektors a = (a\, a2, ., an)T der Dimension n mit einem Zeilenvektor
bT = F1,62,. ., bm) der Dimension m versteht man die Matrix
/aibi
abT
a2°2
axbni
Ö2&rr
\
D.25)
\anöi anb2
n^rn I
vom Typ (n, m). Auch hier gilt das Kommutativgesetz der Multiplikation im allgemeinen nicht.
264 4 Lineare Algebra
3. Hinweis zum Begriff des Vektorprodukts zweier Vektoren Im Bereich der Multivektoren
oder vollständig alternierenden Tensoren, die hier nicht vorgestellt werden können, gibt es das
sogenannte progressive, alternierende oder äußere Produkt, das im klassischen dreidimensionalen Falle das
bekannte Vektorprodukt (s 3 5.1.3,2., S. 188ff) darstellt
7. Rang einer Matrix
1. Definition In einer Matrix A ist die größte Anzahl r der linear unabhängigen Spaltenvektoren
stets gleich der größten Anzahl der linear unabhängigen Zeilenvektoren (s 5.3 7 2, 327) Diese Zahl r
heißt Rang der Matrix, auch mit Rg (A) = r bezeichnet.
2. Aussagen zum Rang von Matrizen
a) Da im Vektorraum der Dimension m mehr als m Zeilenvektoren oder Spaltenvektoren der Dimension
m linear abhängig sind (s. 5.3.7.2, S. 327), ist der Rang r in einer Matrix A vom Typ (m, n) höchstens
gleich der kleineren der Zahlen m und n-
Rg (A(m>n)) = r < min (m, n). D 26a)
b) Für den Rang einer regulären quadratischen Matrix A(nn), d h. det A/0, gilt
Rg(A(n,n)) =r = n D.26b)
Eine quadratische Matrix vom Typ (n, n) heißt eine reguläre Matrix, wenn ihr Rang gleich n ist Das
ist genau dann der Fall, wenn ihre Determinante det A (s 4 2.2,3., S 268) von Null verschieden ist
Anderenfalls ist es eine singulare Matrix.
c) Für den Rang einer singulären quadratischen Matrix A(niTl), d.h det A = 0, gilt
Rg(A(n,n)) = r<n. D 26c)
d) Der Rang der Nullmatrix 0 ist
Rg @) = r = 0 D 26d)
e) Der Rang von Summen und Produkten von Matrizen genügt den Beziehungen
|rank(A) - rank(B)| < rank(A + B) < rank(A) + rank(B), D 26e)
rank(AB) < min(rank(A), rank(B)). D.26f)
3. Regel zur Ermittlung des Ranges Bei elementaren Umformungen ändert sich der Rang von
Matrizen nicht. Elementare Umformungen in diesem Zusammenhange sind:
a) Vertauschung zweier Zeilen miteinander oder zweier Spalten miteinander.
b) Multiplikation einer Zeile oder Spalte mit einer Zahl ^ 0.
c) Addition einer Zeile zu einer Zeile oder einer Spalte zu einer Spalte
Zur Bestimmung ihres Ranges kann man daher jede Matrix durch geeignete Linearkombinationen der
Zeilen so umformen, daß in der /i-ten Zeile (/z = 2,3,.. , m) mindestens die ersten /i—1 Elemente gleich
Null werden (Prinzip des GAUSSschen Algorithmus, s 4 4.2.4, S. 284). Die Anzahl der vom Nullvektor
verschiedenen Zeilenvektoren in der so umgeformten Matrix ist dann gleich ihrem Rang r.
8. Inverse oder reziproke Matrix
Zu einer regulären Matrix A = (a^) gibt es immer eine inverse Matrix A_1, d.h., die Multiplikation
einer Matrix mit ihrer inversen Matrix ergibt immer die Einheitsmatrix-
AA_1 = A_1A = E. D 27a)
Die Elemente von A-1 = {ßpv) sind
4"-äh' D27b)
wobei AVp die zum Element aVß der Matrix A gehörende Adjunkte (s. 4 2 1,1., S. 267) ist. Für die
praktische Berechnung von A sollte das in 4.2 2,2., S 268 angegebene Verfahren benutzt werden. Im
Falle einer quadratischen Matrix vom Typ B, 2) gilt:
4 1 Matrizen 265
Hinweis: Warum in der Matrizenrechnung keine Division von Matrizen eingeführt wurde, sondern mit
inversen Matrizen gerechnet wird, hängt damit zusammen, daß die Division nicht eindeutig erklärbar
ist Die Lösungen der Gleichungen
Sil <b— )-dh £:££ ^
sind im allgemeinen verschieden.
9. Orthogonale Matrizen
Gilt für eine quadratische Matrix A die Beziehung
PJ = A.~1 oder AAT = ATA = E, D 30)
d h . die Skalarprodukte je zweier verschiedener Spalten oder Zeilen sind gleich null und die Skalarpro-
dukte jeder Zeile oder Spalte mit sich selbst gleich eins, dann nennt man sie eine orthogonale Matrix.
Orthogonale Matrizen haben folgende Eigenschaften:
1. Die transponierte und die inverse Matrix einer orthogonalen Matrix A sind auch orthogonal;
weiterhin gilt
detA = ±l. D.31)
2. Produkte orthogonaler Matrizen sind wieder orthogonal
¦ Die bei der Drehung eines Koordinatensystems verwendete Drehungsmatrix D mit den
Richtungskosinus der neuen Achsenrichtungen (s. 3.5.3 1,8., S 217) ist orthogonal.
10. Unitäre Matrix
Gilt für eine Matrix A mit komplexen Elementen
(A*)T = A-1 oder A(A*)T = (A*)TA = E, D.32)
dann heißt sie eine unitäre Matrix. Im Reellen fallen die Begriffe unitär und orthogonal zusammen
4.1.5 Rechenregeln für Matrizen
Die folgenden Regeln können nur angewendet werden, wenn die darin auftretenden Rechenoperationen
durchführbar sind
1. Multiplikation einer Matrix mit der Einheitsmatrix,
auch identische Abbildung genannt:
AE - EA - A D 33)
2. Multiplikationen einer Matrix A mit der Skalarmatrix S oder mit der
Einheitsmatrix E
sind kommutativ:
AS = SA = cA mit S gemäß D 8), D.34a)
AE = EA = A D 34b)
3. Multiplikation einer Matrix A mit der Nullmatrix 0
ergibt die Nullmatrix.
A0 = 0 und OA = 0 D 35)
Die Umkehrung dieser Regel gilt im allgemeinen nicht, d h , aus AB = 0 folgt nicht notwendig A = 0
oder B = 0
4. Verschwindendes Produkt zweier Matrizen
Auch wenn weder A noch B Nullmatrizen sind, kann ihr Produkt eine
Nullmatrix ergeben
AB = 0 und BA = 0 , obgleich A ^ 0, B ^ 0 D 36)
5. Multiplikation dreier Matrizen
(AB)C = A(BC). D.37)
0 1
0 1
1
0
0
0
1
0
0
0
266 4 Lineare Algebra
6. Transposition von Summe und Produkt zweier Matrizen
(A + B)T = AT + BT, (AB)T = BTAT, (AT)T = A D.38a)
Für quadratische, invertierbare Matrizen A(n>n) gilt außerdem-
(AT)~1 = (A-1I,. D.38b)
7. Inverse eines Produkts aus zwei Matrizen
(AB) = B^A1 D.39)
8. Potenzieren von Matrizen
Ap = AA. ,A mit p > 0, ganz, D.40a)
p Faktoren
A° = E (detA^O), D.40b)
A~p = (A_1)p (p > 0 , ganz ; det A ^ 0), D.40c)
Ap+q = APAa (p? q ganz) < D<40d)
9. Kronecker-Produkt
Als KRONECKER-Produkt zweier Matrizen A= (a^) und B= (bßl/) bezeichnet man die Vorschrift
A (g) B = (<vB). D.41)
Bezüglich Transposition und Spur gelten die Regeln
(A <g> B)T = AT <g> BT, D.42)
Sp (A <8> B) = Sp (A) • Sp(B). D 43)
4.1.6 Vektor- und Matrizennorm
Einem Vektor x und einer Matrix A kann man jeweils eine Zahl \\x\\ (Norm x) bzw. ||A|| (Norm A)
zuordnen Diese Zahlen müssen die Normaxiome (s. 12.3.1.1, S. 631) erfüllen Für Vektoren x € Rn
lauten diese
1- | |x| | > 0 für alle x; | |x| | = 0 genau dann, wenn x = 0. D 44)
2. ||Ax|| = |A| ||x|| für alle x und alle reellen A. D.45)
3. ||x + y|| < ||x|| + ||y|| für alle x und y (Dreiecksungleichung) (s 3 5.1.2,2., S 186) D.46)
Normen für Vektoren und Matrizen können auf sehr verschiedene Art und Weise eingeführt werden
Es ist jedoch zweckmäßig, zu einer Vektornorm ||x|| die Matrizennorm ||A|| so zu definieren, daß die
Ungleichung
||Ax||<||A|| Hxll D 47)
gilt. Diese Ungleichung ist für Fehlerabschätzungen sehr nützlich. Vektor- und Matrizennormen, die
diese Ungleichung erfüllen, werden als zueinander passend bezeichnet. Gibt es darüber hinaus zu jeder
Matrix A einen Nichtnullvektor x, so daß das Gleichheitszeichen gilt, dann heißt die Matrizennorm
\\A\\ der Vektornorm ||x|| zugeordnet
4.1.6.1 Vektornormen
Ist x = (xi,X2,. • • ,£n)T ein n-dimensionaler Vektor, d.h. x G Rn , dann sind die gebräuchlichen
Vektor normen:
1. Euklidische Norm:
INI = IW|2.= JX>?. D.48)
4-2 Determinanten 267
2. Maximumnorm:
||x|| = ||x||oo := max \xi\. D.49)
l<i<n
3. Betragssummennorm:
IWI = IWIi:=E|Jb|. D 50)
i=l
¦ Im R3, in der elementaren Vektorrechnung, wird ||x||2 als Betrag des Vektors x bezeichnet. Der
Betrag des Vektors \x\ = ||x||2 gibt die Länge des Vektors x an.
4.1.6.2 Matrizennormen
1. Spektralnorm:
||A|| = ||A||2 = VwÄrXj. D.51)
Dabei wird mit Amax(ATA) der größte Eigenwert (s. 4.5, S. 286) der Matrix ATA bezeichnet.
2. Zeilensummennorm:
||A|| = ||A|U •= ma* £|ay|. D.52)
l<i<n -=1
3. Spaltensummennorm:
||A|| = ||A||i:= max £M • D-53)
l<j<n i=1
Es läßt sich zeigen, daß die Matrizennorm D 51) der Vektornorm D 48) zugeordnet ist. Das gleiche gilt
für D.52) und D.49) sowie D.53) und D.50)
4.2 Determinanten
4.2.1 Definitionen
1. Determinanten
sind reelle oder komplexe Zahlen, die eindeutig quadratischen Matrizen zugeordnet werden. Eine
Determinante n-ter Ordnung, die der Matrix A = (cl^) vom Typ (n, n) zugeordnet ist,
D = det A = det (aß„) =
All «12 ''• Öln
a2l a22 • • • CL2n
D.54)
I «nl «n2 ' ' ' ttn:
wird mit Hilfe des LAPLACEsc/ien Entwicklungssatzes rekursiv definiert:
det A = ^2 apvAßU (fi fest, Entwicklung nach Elementen der /z-ten Zeile) , D.55a)
n
det A = ^2 aiivA\iv [y fest, Entwicklung nach Elementen der z^-ten Spalte) . D.55b)
n=i
Hierbei ist Aßl/ die mit dem Vorzeichenfaktor (—l)fx+u multiplizierte Unterdeterminante des Elements
Man nennt AßU Adjunkte oder algebraisches Komplement.
2. Unterdeterminanten
Eine Unterdeterminante (n— l)-ter Ordnung des Elements aßl/ einer Determinante n-ter Ordnung heißt
diejenige Determinante, die sich aus der gegebenen Determinante durch Streichen der /x-ten Zeile und
ly-ten. Spalte ergibt.
268 4 Lineare Algebra
Entwicklung einer Determinante 4 Ordnung nach den Elementen der 3 Zeile:
Oll Ö12 Ö13 Ö14
| | 2 3 4 | | 1 3 4 |
+ «33
Ö21 a22 «23 a24
Ö31 &32 Ö33 Ö34
Ö41 Ö42 ^43 Ö44
: Ö31
ai2 Ö13 «14
^22 Ö23 Ö24
a42 a43 Ö44
-Ö32
Öll Ö13 ß14
«21 Ö23 Ö24
Ö41 Ö43 fl44
an ai2 an
«21 Ö22 Ö24
ö41 ö42 fl44
^34
an ai2 ai3
«21 «22 Ö23
Ö41 Ö42 Ö43
4.2.2 Rechenregeln für Determinanten
Wegen des LAPLACEschen Entwicklungssatzes gelten die im folgenden für Zeilen formulierten Aussagen
in gleicher Weise für Spalten
1. Unabhängigkeit des Wertes einer Determinante
Der Wert einer Determinante ist unabhängig von der Auswahl der Entwicklungszeile
2. Ersetzen von Adjunkten
Ersetzt man bei der Entwicklung einer Determinante nach einer ihrer Zeilen die zugehörigen Adjunkten
durch die Adjunkten einer anderen Zeile, so ergibt sich Null.
^2 a^vA\v = 0 (/i, A fest, A ^ /i)
D 56)
Diese Beziehung und der Entwicklungssatz von Laplace (s. 4.2 1,1., S 267) ergeben zusammengefaßt
Aadj A - A Aadj = (det A) E. D.57)
Daraus erhält man für die inverse Matrix
A~1 = diÄA^ D58)
wobei als adjungierte Matrix Aadj der Matrix A die aus den Adjunkten der Elemente von A gebildete
und anschließend transponierte Matrix bezeichnet wird Diese Matrix Aadj darf nicht mit der zu einer
komplexen Matrix adjungierten Matrix AH D.4) verwechselt werden
3. Nullwerden einer Determinante
Eine Determinante ist gleich Null, wenn
a) eine Zeile aus lauter Nullen besteht oder
b) zwei Zeilen einander gleich sind oder
c) eine Zeile eine Linearkombination anderer Zeilen ist
4. Vertauschungen und Additionen
Eine Determinante ändert ihren Wert nicht, wenn
a) in ihr die Zeilen mit den Spalten vertauscht werden. Man spricht dann von Spiegelung an der
Hauptdiagonale, d.h , es gilt
detA = detAT, D.59)
b) zu irgendeiner Zeile eine andere Zeile addiert bzw. subtrahiert wird,
c) zu irgendeiner Zeile ein Vielfaches einer anderen Zeile addiert bzw. subtrahiert wird oder
d) zu irgendeiner Zeile eine Linearkombination anderer Zeilen addiert bzw. subtrahiert wird.
5. Vorzeichen bei Zeilenvertauschung
Bei Vertauschung zweier Zeilen ändert sich das Vorzeichen einer Determinante
6. Multiplikation einer Determinante mit einer Zahl
Eine Determinante wird mit einer Zahl a multipliziert, indem die Elemente einer einzigen Zeile mit
dieser Zahl multipliziert werden. Der Unterschied gegenüber der Multiplikation einer Matrix A vom
Typ (ra, n) mit einer Zahl a kommt in der folgenden Formel zum Ausdruck-
det (aA) = andet A . D.60)
4-2 Determinanten 269
7. Multiplikation zweier Determinanten
Die Multiplikation zweier Determinanten wird auf die Multiplikation ihrer Matrizen zurückgeführt:
(det A)(det B) = det (AB). D 61)
Wegen det A = det AT (s. D.59)) gilt
(det A)(det B) = det (AB) = det (ABT) = det (ATB) = det (ATBT), D.62)
d.h., es können entweder Zeilen mit Spalten oder Zeilen mit Zeilen oder Spalten mit Zeilen oder Spalten
mit Spalten skalar multipliziert werden
8. Differentiation einer Determinante
Eine Determinante n-ter Ordnung, deren Elemente differenzierbare Funktionen eines Parameters t
sind, d.h. aßU = aßU(t), wird nach t differenziert, indem man jeweils eine Zeile differenziert und die so
entstehenden n Determinanten addiert.
¦ Für eine Determinante vom Typ C,3) erhält man-
M
an a\2 ßi3
«21 Ö22 «23
Ö31 a32 Ö33
«21 Ö22 Ö23
^31 a32 «33
an oi2 ai3
fl21 Ö22 Ö23
Ö31 Ö32 fl33
+
flu Q>i2 ßi3
Ö21 «22 «23
a31 ö32 ö33
4.2.3 Berechnung von Determinanten
1. Wert einer Determinante 2. Ordnung
All 0-12 \
I 021 a22 I
= 011^22 — «21^12 •
D.63)
2. Wert einer Determinante 3. Ordnung
Nach der Regel von Sarrus, die nur für Determinanten 3 Ordnung gilt, erfolgt die Berechnung mit
Hilfe des Schemas
Oll\ a12v ß13^
fl22\Ö23>
^32 «33
Ö21
«31
vOll «12
021^^22 — Oll022033 + 012023031 + Ol302l032
«31 032
-@3l0220l3 + 032023Ö11 + O33O21O12).
Die ersten beiden Spalten werden rechts von der Determinante noch einmal hingeschrieben Dann wird
die Summe der Produkte aller auf den ausgezogenen Schrägzeilen stehenden Elemente gebildet. Davon
wird die Summe der Produkte aller auf den gestrichelten Schrägzeilen stehenden Elemente abgezogen.
3. Wert einer Determinante n-ter Ordnung
Die Determinante n-ter Ordnung wird mit Hilfe des Entwicklungssatzes auf n Determinanten (n —
l)-ter Ordnung zurückgeführt. Zweckmäßigerweise werden die einzelnen Determinanten mit Hilfe der
Rechenregeln für Determinanten so umgeformt, daß möglichst viele ihrer Elemente zu Null werden.
2 9 9 4
2 -3 12 8
4 8 3-5
12 6 4
2 5 9 4
2 -7 12 8
4 0 3-5
10 6 4
= 3
2 53 4
2-7 4 8
4 0 1-5
102 4
(Regel 6)
= 3(-5
24 8
4 1 -5
1 2 4
-7
23 4
4 1 -5
1 2 4
= 0 (Regel 3)
= -21
-21(
1 -51
2 4
) = 147
(Regel 4)
111 Ol
4 1-5
|l 2 4|
(Regel 4)
Hinweis: Besonders günstig kann eine Determinante n-ter Ordnung berechnet werden, wenn sie in
Analogie zur Rangbestimmung von Matrizen (s 4 1.4,7., S. 264) so umgeformt wird, daß alle Elemente,
die unterhalb der Diagonalen flu, 022, • • •, ann stehen, zu Null werden. Der Wert der Determinante ist
dann gleich dem Produkt der Elemente auf der Hauptdiagonalen der umgeformten Determinante
270 4 Lineare Algebra
4.3 Tensoren
4.3.1 Transformation des Koordinatensystems
1. Lineare Transformation
Durch die lineare Transformation
X\ = ÖH^i + a\2X2 + 013^3
x = Ax oder x2 = a2\X\ + a22x2 + «23^3 D.64)
^3 = 0>3\Xl + «32^2 + 033^3
wird im dreidimensionalen Raum eine Koordinatentransformation beschrieben Dabei sind xß und xß
(fi = 1,2,3) die Koordinaten ein und desselben Punktes, bezogen auf zwei verschiedene
Koordinatensysteme K und K.
2. Einst einsehe Summenkonvention
Anstelle von D 64) kann man auch
3
xß = ^alxuxu (//= 1,2,3) D 65a)
v=\
oder abkürzend nach Einstein
Xß = a^vxv D 65b)
schreiben, d.h., über den doppelt auftretenden Index v ist zu summieren und das Ergebnis für \x = 1,2,3
aufzuschreiben. Die Summenkonvention legt allgemein fest. Tritt in einem Ausdruck ein Index zweimal
auf, so wird der Ausdruck über alle vorgesehenen Werte dieses Index summiert Tritt ein Index in den
Ausdrücken einer Gleichung nur einmal auf, z B \i in der Gleichung D.65b), so bedeutet das, daß die
betreffende Gleichung für alle Werte gilt, die der Index durchlaufen kann.
3. Drehung des Koordinatensystems
Wenn das kartesische Koordinatensystem K aus K durch Drehung hervorgeht, dann gilt in D.64) für die
Transformationsmatrix A = D . Dabei ist D = {d^) die orthogonale Drehungsmatrix. Die orthogonale
Drehungsmatrix D hat die Eigenschaft
D-1 = DT . D.66a)
Elemente d^ von D sind die Richtungskosinusse der Winkel zwischen den alten und neuen
Koordinatenachsen. Aus der Orthogonalität der Drehungsmatrix D, d.h aus
DDT = E und DTD = E, D 66b)
folgt für ihre Elemente-
3
(/i,i/ = 1,2,3) D 66c)
Die Gleichungen D.66c) besagen, daß die Zeilen- und Spaltenvektoren der Matrix D orthonormiert
sind, denn 5^ ist das KRONECKER-Symbol (s 4 1 2,10., S. 261).
Die Elemente der dßU der Drehungsmatrix können auch mit Hilfe der EuLERschen Winkel (s. 3.5.3.2,4.,
S 218) dargestellt werden. Zur Drehung in der Ebene s. 3 5.2.2, 2., S. 196, im Raum s. 3.5.3.2,2., S. 217.
4.3.2 Tensoren in kartesischen Koordinaten
1. Definition
Eine mathematische oder physikalische Größe T läßt sich in einem kartesischen Koordinatensystem K
durch 3n Elemente Uj m, die translationsinvariant sind, beschreiben Dabei sei die Anzahl der Indizes
3
/ _j U>ßiavi z
t=l
= <w'
3
/Z dkßdkv =
k=l
= *,
4.3 Tensoren 271
i, j,..., m genau n (n > 0). Die Indizes sind geordnet, und jeder Index nimmt die Werte 1, 2 und 3 an.
Gilt für die Elemente Uj m bei einer Transformation des Koordinatensystems K nach K gemäß D.64)
3 3 3
tßv p / j / j ' ' ' / j Q>iiiQ>vj ' ' ' Q'pmJ'ij m 5 V^*^'/
i=l j=\ m=l
dann wird T als Tensor n-ter Stufe bezeichnet, und die Elemente Uj m (meist Zahlen) mit geordneten
Indizes sind die Komponenten des Tensors T.
2. Tensor 0. Stufe
Ein Tensor nullter Stufe hat nur eine Komponente, d.h., er ist ein Skalar. Da sein Wert in allen
Koordinatensystemen gleich ist, spricht man von der Invarianz des Skalars oder vom invarianten Skalar.
3. Tensor 1. Stufe
Ein Tensor erster Stufe hat 3 Komponenten £i, £2 und t3 . Das Transformationsgesetz D 67) lautet
3
*M = £fl/ii*i Qu =1,2,3). D.68)
i=l
Das ist aber gerade das Transformationsgesetz für Vektoren, d h., ein Vektor ist ein Tensor 1. Stufe
4. Tensor 2. Stufe
Im Falle n — 2 hat der Tensor T 9 Komponenten Uj , die sich in der Matrixform
^11 t\2 ^13 \
*2i *22 *23 D.69a)
^ £31 £32 £33 /
anordnen lassen Das Transformationsgesetz D.68) lautet dann
3 3
V = J2 X! atMiavjUj (/i, v = 1,2,3) D.69b)
*=i j=i
Damit läßt sich jeder Tensor 2. Stufe als Matrix darstellen
¦ A: Das Trägheitsmoment Og eines Körpers bezüglich einer Geraden g , die durch den Nullpunkt
geht und den Richtungsvektor a = aT hat, läßt sich in der Form
Og = aT0 a D 70a)
darstellen, wenn man mit
/ Ox —Oxy —Oxz\
© = (Oij) = -exy ey -eyz D 70b)
\-exz-eyz ez )
den sogenannten Trägheitstensor einführt Dabei sind Ox , Oy und Oz die Trägheitsmomente bezüglich
der Koordinatenachsen und 0xy , Oxz und ßyz die Deviationsmomente bezüglich der
Koordinatenachsen.
¦ B: Der Belastungszustand eines elastisch verformten Körpers wird durch den Spannungstensor
/(Tu CTi2 <7i3\
<T = I 0-21 0-22 0-23 D.71)
\ 031 ^32 OSs )
beschrieben. Die Elemente o^. (z, k = 1,2,3) werden wie folgt erklärt: In einem Punkt P des elastischen
Körpers wählt man ein kleines ebenes Flächenelement, dessen Normale in Richtung der Xi-Achse eines
rechtwinklig kartesischen Koordinatensystems zeigt Die Kraft pro Flächeneinheit auf dieses Element,
die vom Material abhängt, ist ein Vektor mit den Koordinaten crn, 0\2 und a^. Analog werden die
Komponenten bezüglich der übrigen zwei Achsenrichtungen erklärt.
272 4- Lineare Algebra
5. Rechenregeln
1. Elementare algebraische Operationen Die Multiplikation eines Tensors mit einer Zahl und
die Addition und Subtraktion von Tensoren gleicher Stufe erfolgen komponentenweise analog zu den
entsprechenden Operationen bei Vektoren und Matrizen
2. Tensorprodukt Die Tensoren A bzw B mit den Komponenten a^ bzw brs seien von der
Stufe m bzw n . Dann bilden die 3m+n Skalare
ckj rs = a>ij Ks D.72a)
die Komponenten eines Tensors C der Stufe m + n. Man schreibt C = AB und spricht vom
Tensorprodukt von Aund B. Es gelten Assioziativ- und Distributivgesetz
(AB)C = A(BC), A{B + C) = AB + AC. D.72b)
3. Dyadisches Produkt Das Produkt zweier Tensoren 1 Stufe A = (ai, a2, a3) und B — (bi,b2,b3)
ergibt einen Tensor 2. Stufe mit den Elementen
Cij = aibj (ij = 1,2,3), D.73a)
d.h., das Tensorprodukt stellt die Matrix
/axbi aib2 aib3\
a2h a2b2 a2b3 D 73b)
\a36i a3b2 a363/
dar. Diese wird auch als dyadisches Produkt der beiden Vektoren A und B bezeichnet.
4. Verjüngung Setzt man in einem Tensor der Stufe m (m > 2) zwei Indizes gleich und summiert
über sie, so erhält man einen Tensor der Stufe m — 2 und spricht von einer Verjüngung des Tensors.
¦ Der 2stufige Tensor C von D 73a) mit Cy = a$j . der das Tensorprodukt der beiden Vektoren
A = (ai, a2, a3) und B = F1} b2, b3) darstellt, wird über die Indizes i und j verjüngt, so daß man mit
ah = a\b\+ a2b2 + a3b3 D 74)
einen Skalar, also einen Tensor nullter Stufe erhält. Er stellt das Skalarprodukt der Vektoren A und B
dar.
4.3.3 Tensoren mit speziellen Eigenschaften
4.3.3.1 Tensoren 2. Stufe
1. Rechenregeln
Für Tensoren 2. Stufe gelten dieselben Rechenregeln wie für Matrizen Insbesondere läßt sich jeder
Tensor Tals Summe eines symmetrischen und eines schiefsymmetrischen Tensors darstellen:
l(T +T
2V- _T) + I(r-rT). D75a)
Ein Tensor T = (Uj) heißt symmetrisch, wenn
Uj = tji für alle i und j D 75b)
gilt. Im Falle
Uj = —tji für alle i und j D 75c)
heißt er schief- oder antisymmetrisch. Dabei ist zu beachten, daß bei einem antisymmetrischen Tensor
die Elemente in , t22 und £33 Null sind. Der Begriff der Symmetrie und Antisymmetrie läßt sich auch auf
Tensoren höherer Stufe übertragen, wenn man diese Begriffe auf bestimmte Paare von Indizes bezieht
2. Hauptachsentransformation
Zu einem symmetrischen Tensor T, d h für tßl/ = tUß , gibt es stets eine orthogonale Transformation
D. so daß er nach der Transformation Diagonalform hat:
(in 0 0\
f = 0 i22 0 D.76a)
V 0 0 £33/
4 3 Tensoren 273
Die Elemente in , £22 und £33 heißen Eigenwerte des Tensors T. Sie sind gleich den Wurzeln Ai, A2 und
A3 der Gleichung 3. Grades in A:
I £11 — A £12 £13 I
<2i *22 - A t23 = 0 D.76b)
£31 £32 £33 — A I
Die Spaltenvektoren dj, d2 und 6$ der Transformationsmatrix D heißen die zu den Eigenwerten
gehörenden Eigenvektoren und genügen den Gleichungen
Ti = A,i A/= 1,2,3). D.76c)
Ihre Richtungen bezeichnet man als Hauptachsenrichtungen, die Transformation von Tauf die
Diagonalform heißt Hauptachsentransformation.
4.3.3.2 Invariante Tensoren
1. Definition
Ein kartesischer Tensor heißt invariant, wenn seine Komponenten in allen kartesischen
Koordinatensystemen identisch sind. Da physikalische Größen wie Skalare und Vektoren, die Spezialfälle von Tensoren
sind, nicht vom Koordinatensystem abhängen, in dem sie bestimmt werden, darf sich ihr Wert weder
bei Verschiebung des Koordinatenursprunges (Translation) noch bei Drehung eines
Koordinatensystems K ändern Man spricht von Translationsinvarianz und Drehungsinvarianz und allgemein von
Transformationinvarianz.
2. Deltatensor
Wählt man als Elemente Uj eines 2stufigen Tensors das KRONECKER-Symbol (s. 4.1.2,10., S. 261),
dh
^H 5 sonsT'' D'77a)
dann folgt aus dem Transformationsgesetz D 69b) im Falle einer Drehung des Koordinatensystems
unter Beachtung von D.66c)
inu = dßidvj = ößU , D.77b)
d h , die Elemente sind drehungsinvariant Paßt man sie so in ein Koordinatensystem ein, daß sie
unabhängig von der Wahl des Ursprungs, also auch translationsinvariant sind, dann bilden die Zahlen 6ij
einen invarianten Tensor 2. Stufe, den sogenannten Deltatensor.
3. Epsilontensor
Sind e*j, e} und e^ die Einheitsvektoren in Richtung der Achsen eines rechtwinkligen
Koordinatensystems, dann gilt für das Spatprodukt (s 3.5.1 4,2., S. 190)
{1, falls i, j, k zyklisch (Rechte-Hand-Regel),
-1, falls i, j, k antizyklisch, D 78a)
0, sonst
Das sind insgesamt 33 = 27 Elemente, die als Elemente eines 3stufigen Tensors aufgefaßt werden
können Im Falle einer Drehung des Koordinatensystems folgt aus dem Transformationsgesetz D.67)
iiO,ujO,pk^-ijk :
U}j,i av\ Upi
dß2 du2 dp2
dß3 du3 dp3
D.78b)
d h., die Elemente sind drehungsinvariant. Paßt man sie so in ein Koordinatensystem ein, daß sie
unabhängig von der Wahl des Ursprungs, also auch translationsinvariant sind, dann bilden die Zahlen e^
einen invarianten Tensor 3 Stufe, den sogenannten Epsilontensor
4. Tensorinvarianten
Von den invarianten Tensoren muß man die Tensorinvarianten unterscheiden Letztere sind Funktionen
von Tensorkomponenten, deren Form und deren Wert bei Drehung des Koordinatensystems gleichblei-
274 4- Lineare Algebra
hl t\2 tis
hl ^22 ^23
^31 ^32 £33
=
hl tl2 tl3
^21 ^22 ^23
^31 £32 £33
ben.
¦ A: Für die Spur des Tensors T = (Uj), der durch Drehung in T = (Uj) übergeht, gilt
Sp(T) - tu + t22 + fo = £n + taa + £33 • D 79)
Die Spur des Tensors T ist gleich der Summe der Eigenwerte (s. 4 1 2,4., S 260).
¦ B: Für die Determinante des Tensors T = (tij) gilt:
D.80)
Die Determinante des Tensors ist gleich dem Produkt der Eigenwerte.
4.3.4 Tensoren in krummlinigen Koordinatensystemen
4.3.4.1 Kovariante und kontravariante Basisvektoren
1. Kovariante Basis
Durch den variablen Ortsvektor
r = r(u,v,w) = x(u,v,w)ex + y(u,v,w)ey + z(u,v,w)ez D 81a)
werden allgemeine krummlinige Koordinaten u,v,w eingeführt. Die zu diesem System gehörenden
Koordinatenflächen erhält man, indem man in f(u, v, w) jeweils eine der unabhängigen Variablen u, v, w
festhält Durch jeden Punkt des in Frage kommenden Raumteils gehen drei Koordinatenflächen, je
zwei schneiden sich in Koordinatenlinien, die durch den betrachteten Punkt hindurchgehen. Die drei
Vektoren
dr_ df_ df_ D »IM
du' dv'' dw
zeigen in die Richtungen der Koordinatenlinien im betrachteten Punkt. Sie bilden die kovariante Basis
des krummlinigen Koordinatensystems.
2. Kontravariante Basis
Die drei Vektoren
1 f dr df\ 1 f dr df\ 1 f dr df\
D\dv~Xd^)' D\d^Xdu~)' D\du~Xdv') D82a)
mit der Funktionaldeterminante
\du dv dw)
stehen im betrachteten Flächenelement jeweils auf einer der Koordinatenflächen senkrecht und bilden
die sogenannte kontravariante Basis des krummlinigen Koordinatensystems.
Hinweis: In orthogonalen krummlinigen Koordinaten, für die
dr dr _ dr dr dr dr
du dv ' du dw dv dw
gilt, fallen die Richtungen der kovarianten und kontravarianten Basis zusammen
4.3.4.2 Kovariante und kontravariante Koordinaten von Tensoren 1. Stufe
Um die EiNSTEiNsche Summenkonvention anwenden zu können, beschreibt man die kovarianten bzw
kontravarianten Basisvektoren durch
dr dr dr
^ = 91- ^ = 52- a^ = 93 bzw-
(dr dr\ „, 1 f dr df\ ^9 1 f dr df^ ^ '
-('-
dv dwI ' D \dw du) ' D \du dv
4 3 Tensoren 275
Die Darstellung eines Vektors v lautet dann
V=V1g1 + V2ff2 + V3g3 = Vkgk bzw. v = V,gl + V2g2 + V3g3 D 85)
Die Komponenten Vk werden als kontravariante Koordinaten, die Komponenten Vk als kovariante
Koordinaten des Vektors v bezeichnet Zwischen diesen Koordinaten besteht der Zusammenhang
Vk = gklVt bzw Vk = gklVl D.86a)
mit
9ki = 9ik = 9k-9i bzw gkl = glk = gk • gl. D.86b)
Weiterhin gilt mit dem KRONECKER-Symbol
9k-9l = hl, D.87a)
und daraus folgt
9kl9im = 6km D 87b)
Den Übergang von Vk zu Vk bzw von Vk zu Vk gemäß D.86b) beschreibt man als Heraufziehen bzw.
Herunterziehen des Index durch Überschiebung
Hinweis: In kartesischen Koordinatensystemen sind kovariante und kontravariante Koordinaten
einander gleich
4.3.4.3 Kovariante, kontravariante und gemischte Koordinaten von
Tensoren 2. Stufe
1. Koordinatentransformation
In einem kartesischen Koordinatensystem mit den Basisvektoren e\ , e2 und e3 kann ein Tensor 2 Stufe
Tals Matrix
/tu tu t\3\
T = lt2i «ja «23 D 88)
\^31 ^32 £33/
dargestellt werden Durch
f = xi(ui,u2,U3)ei + x2(ui,u2,u3)e2 + x3(ui,u2,u3)e3 D.89)
werden krummlinige Koordinaten u\, u2, u3 eingeführt. Die neue Basis werde mit gu g2 und g3
bezeichnet Es gilt
df dx^ dx2^ dx3^ dxk^
gi = -z- = -5—ei + ^—62 + ^— e3 = -^—ek . D.90)
OUi OUi OUi OUi OUi
Setzt man e} = gl, dann können g\ und gl als kovariante und kontravariante Basisvektoren aufgefaßt
werden
2. Lineare Vektorfunktion
In einem festgelegten Koordinatensystem wird mit Hilfe des Tensors Tgemäß D.88) durch
w = Tv D.91a)
mit
v = Vkgk = Vkgkl w = Wkgk = Wkgk D91b)
eine lineare Beziehung zwischen den Vektoren v und w hergestellt Deshalb wird D.91a) auch als lineare
Vektorfunktion bezeichnet
3. Gemischte Koordinaten
Beim Übergang zu einem neuen Koordinatensystem geht D 91a) in
w = tv D.92a)
276 4- Lineare Algebra
k ~ a... *„ 'mn' D 93a)
über. Dabei entsteht zwischen den Komponenten von Tund T der Zusammenhang
~ duk dxn
tki = ö—-^—tmn D.92b)
OXm ÖUi
Man führt die Bezeichnung
tu = T\ D.92c)
ein und spricht von gemischten Koordinaten des Tensors, weil der Index k für kontravariant, der Index
/ für kovariant steht. Für die Komponenten der Vektoren {Tund w gilt dann
Wk = Tfc yl D 92d)
Ersetzt man die kovariante Basis gk durch die kontravariante Basis gk, dann erhält man analog zu
D.92b) und D.92c)
dxm dui
duk dxn
und D.92d) geht in
Wk = TklVt . D.93b)
über. Zwischen den gemischten Koordinaten Tk l und Tkt besteht der Zusammenhang
T'^g^gmT^. D.93c)
4. Rein kovariante und rein kontravariante Koordinaten
Setzt man in D.93b) für Vi die Beziehung Vi = gimV™ ein, so ergibt sich
Wk = Tk lglmVm = TkmVm , D.94a)
wenn man
Tklgim = Tkm D.94b)
setzt Die Tkm heißen rein kovariante Koordinaten des Tensors T, weil beide Indizes kovariant stehen
Analog erhält man die rein kontravarianten Koordinaten
Tkm = gml^ D 95j
Explizite Darstellungen:
dxmdxn kl duk du,
Tkt = ——-^—tmn, D.96a) T =-—-—tmn. D.96b)
ouk dui oxmdxn
4.3.4.4 Rechenregeln
Neben den in 4 3 3.1,1., S. 272 bereits formulierten gelten die folgenden Rechenregeln-
1. Addition, Subtraktion Tensoren gleicher Stufe, deren einander entsprechende Indizes beide
kovariant oder beide kontravariant stehen, werden koordinatenweise addiert oder subtrahiert und liefern
einen Tensor der gleichen Stufe.
2. Multiplikation Die Multiplikation der Koordinaten eines Tensors n-ter Stufe mit denen eines
Tensors ra-ter Stufe ergibt stets einen Tensor der Stufe m + n.
3. Verjüngung Setzt man in einem Tensor n-ter Stufe (n > 2) einen kovariant und einen
kontravariant stehenden Index einander gleich und summiert entsprechend der ElNSTElNschen
Summenkonvention über diesen Index, dann entsteht ein Tensor der Stufe n — 2 Diese Operation heißt Verjüngung.
4. Überschiebung Unter Überschiebung zweier Tensoren versteht man folgende Operation: Beide
Tensoren werden multipliziert, und anschließend wird eine Verjüngung des Ergebnisses derart
vorgenommen, daß die Indizes, nach denen verjüngt wird, verschiedenen Faktoren angehören
5. Symmetrie Ein Tensor heißt symmetrisch bezüglich zweier kovariant oder zweier kontravariant
stehender Indizes, wenn er sich bei deren Vertauschung nicht ändert.
4.3 Tensoren 277
6. Schiefsymmetrie Ein Tensor heißt schiefsymmetrisch bezüglich zweier kovariant oder zweier
kontravariant stehender Indizes, wenn er sich bei deren Vertauschung mit —1 multipliziert
¦ Der Epsilontensor (s 4 3 3.2,3., S 273) ist schiefsymmetrisch bezüglich zweier beliebiger kovarianter
oder kontravarianter Indizes
4.3.5 Pseudotensoren
In der Physik spielt häufig das Spiegelungsverhalten von Tensoren eine entscheidende Rolle. Wegen
ihres unterschiedlichen Spiegelungsverhaltens unterscheidet man zwischen polaren und axialen Vektoren
(s 3 5 1.1,2., S 185 obgleich sie mathematisch sonst völlig gleich zu behandeln sind. In ihrer
Beschreibung unterscheiden sich polare und axiale Vektoren dadurch, daß axiale Vektoren neben ihrer Länge
und Orientierung durch einen Drehsinn dargestellt werden können Axiale Vektoren werden auch Pseu-
dovektoren genannt Da Vektoren als Tensoren aufgefaßt werden können, wurde allgemein der Begriff
des Pseudotensors eingeführt
4.3.5.1 Punktspiegelung am Koordinatenursprung
1. Tensorverhalten bei Rauminversion
1. Begriff der Rauminversion Unter Rauminversion oder Koordinateninversion versteht man
die Spiegelung der Ortskoordinaten von Raumpunkten am Koordinatenursprung In einem
dreidimensionalen kartesischen Koordinatensystem bedeutet Rauminversion eine Umkehr der Vorzeichen der
Koordinatenachsen:
(*,!/,*)-(-s,-3/,-*) D.97)
Dadurch wird ein rechtshändiges in ein linkshändiges Koordinatensystem überführt. Analoges gilt für
andere Koordinatensysteme In Kugelkoordinaten ergibt sich
(r. tf, ip) -> (-r, TT - tf, ip + tt) . D 98)
Bei Spiegelungen dieser Art bleiben die Längen von Vektoren und die Winkel zwischen ihnen
unverändert. Der Übergang wird durch eine lineare Transformation vermittelt
2. Transformationsmatrix Die Transformationsmatrix A = (aßl/) einer linearen Transformation
im dreidimensionalen Raum gemäß D.64) hat bei Rauminversion die folgenden Eigenschaften-
a>tiv = -öfu,, det A = -1 D.99a)
Für die Komponenten eines Tensors n-ter Stufe folgt damit aus D 67)
ißu , = (-1)%, P D.99b)
Das bedeutet' Unter einer Punktspiegelung am Koordinatenursprung bleibt ein Tensor 0 Stufe, also
ein Skalar, ungeändert, ein Tensor 1 Stufe, also ein Vektor, ändert sein Vorzeichen, ein Tensor 2. Stufe
bleibt ungeändert, usw.
Abbildung 4.3
2. Geometrische Deutung
Die Realisierung der Rauminversion kann man sich in einem dreidimensionalen kartesischen
Koordinatensystem geometrisch betrachtet in zwei Schritten vorstellen (Abb.4.3):
278 4 Lineare Algebra
1. Durch Spiegelung an einer Koordinatenebene, z.B. der x,2;-Ebene, geht das x, y, z-Koordinaten-
system in das x, — y, ^-Koordinatensystem über. Ein rechtshändig orientiertes System (s. 3.5.3.1,2.,
S. 213) wird dabei in ein linkshändig orientiertes überführt.
2. Durch eine 180 °-Drehung des x, y, ^-Systems um die y-Achse entsteht das vollständig am
Koordinatenursprung gespiegelte Koordinatensystem x,y,z. Es behält im Vergleich zum 1. Schritt seine
Linkshändigkeit bei.
Ergebnis: Bei Rauminversion ändert ein polarer Vektor seine Orientierung im Raum um 180 °, ein
axialer Vektor behält seinen Drehsinn bei
4.3.5.2 Einführung des Begriffs Pseudotensor
1. Vektorprodukt bei Rauminversion Durch Rauminversion werden zwei polare Vektoren a und
b in —a bzw —b überfuhrt, d.h., ihre Komponenten genügen der Transformationsformel D.99b) für
Tensoren 1. Stufe. Betrachtet man dagegen das Vektorprodukt c = a x b als Beispiel eines axialen
Vektors, dann erhält man bei Spiegelung am Koordinatenursprung c = c, d.h. eine Verletzung der
Transformationsformel D 99a) für Tensoren 1. Stufe Deshalb wird der axiale Vektor c als Pseudovek-
tor oder allgemein als Pseudotensor bezeichnet.
¦ Die Vektorprodukte rxv,rxF,'Vxv = rottf mit dem Ortsvektor r*, dem
Geschwindigkeitsvektor v, dem Kraftvektor F und dem Nablaoperator V sind Beispiele für axiale Vektoren, die das
„falsche" Spiegelungsverhalten besitzen.
2. Skalarprodukt bei Rauminversion Eine Verletzung der Transformationsformel D 99b) für
Tensoren 1. Stufe ergibt sich auch für die Anwendung der Rauminversion auf ein Skalarprodukt aus
einem polaren und einem axialen Vektor. Da das Ergebnis des Skalarprodukts ein Skalar ist und dieser in
allen Koordinatensystemen denselben Wert besitzt, handelt es sich hierbei um einen besonderen Skalar,
Pseudoskalar genannt, der die Eigenschaft besitzt, bei Rauminversion sein Vorzeichen zu ändern. Die
Drehinvarianzeigenschaft des Skalars besitzt der Pseudoskalar nicht
¦ Das Skalarprodukt aus den polaren Vektoren f (Ortsvektor) bzw. v (Geschwindigkeitsvektor) mit
dem axialen Vektor ü (Vektor der Winkelgeschwindigkeit) ergibt die Skalare f ¦ ü und v • ü), die das
„falsche" Spiegelungsverhalten zeigen, also Pseudoskalare sind
3. Spatprodukt bei Rauminversion Das Spatprodukt (a x b) • c (s. 3 5.1.4,2., S. 190) aus den
polaren Vektoren a, b und c ist gemäß B.) ein Pseudoskalar, da der Faktor (a x b) ein axialer Vektor
ist. Das Vorzeichen des Spatproduktes ändert sich bei Rauminversion.
4. Pseudovektor und schiefsymmetrischer Tensor 2-. Stufe Das Tensorprodukt der axialen
Vektoren a = (di, a2,a3)T und b = (&i,&2,&3)T ergibt gemäß D.72a) einen Tensor 2. Stufe mit den
Komponenten Uj = aibj (z, j = 1,2,3). Da sich jeder Tensor 2. Stufe als Summe eines symmetrischen
und eines schiefsymmetrischen Tensors 2. Stufe darstellen läßt, gilt wegen D.79)
*»j = 9 (ai°j + aJ°i) + 9 (aibJ - afii) {h 3 = 1,2,3) D 100)
Der schiefsymmetrische Anteil in D 100) ergibt bis auf den Faktor Ä gerade die Komponenten des
Vektorprodukts (axb), so daß man den axialen Vektor c=(axb) mit den Komponenten ci, c2, c3
auch als schiefsymmetrischen Tensor 2. Stufe
/ 0 C12 Ci3 \ C23 = CL2h - 03^2 = Ci
C =c= -C12 0 c23 I D.101a) mit c3i = a3bi - aib3 = c2 D.101b)
\ -C13 -C23 0 / C12 = aib2 - a2bi = c3
auffassen kann, dessen Komponenten die Transformationsformel D.99b) für Tensoren 2 Stufe erfüllen
Damit kann man jeden axialen Vektor (Pseudovektor oder Pseudotensor 1. Stufe) c = (ci, c2, c3)T als
schiefsymmetrischen Tensor 2. Stufe Cauffassen, wobei gilt.
4 4 Lineare Gleichungssysteme 279
0 c3 -c2
-c3 0 ci
c2 -Ci 0
D 102)
5. Pseudotensoren n-ter Stufe In Verallgemeinerung der Begriffe Pseudoskalar und Pseudovek-
tor ist ein Pseudotensor n-ter Stufe dadurch gekennzeichnet, daß er sich unter einer reinen Drehung
(Drehungsmatrix D mit detD = 1) wie ein Tensor n-ter Stufe verhält, sein Spiegelungsverhalten sich
aber um einen Faktor —1 unterscheidet. Beispiele für Pseudotensoren höherer Stufe s. [4.2],
4.4 Lineare Gleichungssysteme
4.4.1 Lineare Systeme, Austauschverfahren
4.4.1.1 Lineare Systeme
Ein lineares System besteht aus den m Linearformen
Vi = o.nxi + aux2 + • •
2/2 = 021^1 + «22^2 + • •
a2nxn + a2
bzw. y = Ax + a
Dabei bedeuten.
~T OjffijiXji "T~ CIjt;
D.103a)
A =
{a>u «12
021 a22
«In \
a2
fXl\
x2
y =
(yi\
2/2
D.103b)
\ Ami <lm2 • • ' flmn / V Am / V ^n / \ 2/m /
Die Elemente a^,, der Matrix A, die vom Typ (m, n) ist, und die Komponenten aM (/i = 1,2,..., m) des
Spaltenvektors a sind konstant. Die Komponenten xu (y = 1,2, . , n) des Spaltenvektors x sind die
unabhängigen, die Komponenten 2/M (/i, = 1,2, , m) des Spaltenvektors y die abhängigen Variablen.
4.4.1.2 Austauschverfahren
1. Austauschschema
Wenn in D 103a) ein Element a^ von Null verschieden ist, dann kann in einem sogenannten
Austauschschritt die Variable yi zur unabhängigen und die Variable Xk zur abhängigen Variablen gemacht werden.
Der Austauschschritt ist das Grundelement des Austauschverfahrens, mit dessen Hilfe z B lineare
Gleichungssysteme und lineare Optimierungsaufgaben gelöst werden können Der Austauschschritt wird
mit Hilfe der Schemata
2/i
2/2
Vi
ym
xk
Xl
an
Ö21
Otl
flml
«il
X2 '
Ö12 •
«22 *
«i2 '
Gm2 "
«i2 •
• xk •
• ölfc •
• 0>2k '
• \ä*k\ '
¦ dmk *
' • «ifc •
• ^n
' &ln
* &2n
^m
^ran
' «in
1
öl
02
&i
Am
«i
2/i
2/2
£fc
2/m
Xl
1
«il
«mi
Z2 *
«12 *
«22 *
«i2 •
«m2 '
• 2/i •
• «lfc *
• «2fc '
' «ifc ¦
' «mfc *
Xn
• «In
' «2n
* «in
• Omn
1
«1
«2
«i
«m
D.104)
durchgeführt, wobei das linke Schema dem System D.103a) entspricht.
2. Austauschregeln
Das in dem linken Schema hervorgehobene Element a^ (aifc ^ 0) wird Pivotelement genannt, es steht
im Schnittpunkt von Pivotspalte und Pivotzeile. Die Elemente a^u und aM des neuen rechten Schemas
280 4 Lineare Algebra
werden nach den folgenden Austauschregeln bestimmt
1
1.
3.
4.
dik = — ,
dik
_ diu
Q-iv i
dik
™fj,v — Ußi/
OLi =
diu
dßk
dik
D
di .
dik
= OyLv i d^ik^
D.105a) 2.
d^k /
aßk = — W ¦¦
dik
1, ..,m,/i^i
(i/= l,2,...,n;^fc),
D.105b)
D 105c)
Q!/i = fl/i + a^fcQj (für alle /i ^ z und alle v ^ k) D 105d)
Zur Rechenerleichterung D Regel) werden die Elemente aiu dem Ausgangsschema als (m + l)-te
Zeile (Kellerzeile) hinzugefügt. Mit Hilfe dieser Austauschregeln können weitere Variable ausgetauscht
werden.
4.4.1.3 Lineare Abhängigkeiten
Die Linearformen D 103a) sind genau dann linear unabhängig (s 9 1 2 3,2., S 518), wenn sich
sämtliche y^ gegen unabhängige Variable xu austauschen lassen. Die lineare Unabhängigkeit wird z.B. für die
Rangbestimmung bei Matrizen benötigt. Anderenfalls läßt sich die Abhängigkeitsbeziehung
unmittelbar aus dem Schema ablesen.
Nach 3
Austauschschritten (z.B ?/4 —? £4,
2/2 -> xu 2/i -» x3)
erhält man:
Wegen a32 = 0 ist kein weiterer Austausch möglich, und man kann die Abhängigkeitsbeziehung y3 =
2yi — 3t/2 + 10 ablesen Auch bei einer anderen Reihenfolge des Austausches wäre ein nicht
austauschbares Paar von Variablen übriggeblieben.
4.4.1.4 Invertierung einer Matrix
Im Falle einer nichtsingulären Matrix A vom Typ (n, n) erhält man nach n Austauschschritten,
angewandt auf das System y = Ax, die inverse Matrix A_1.
Vi
y?.
2/3
2/4
Xi
2
1
1
0
X2 x3 X4
1 1 0
-100
5 2 0
2 0 1
1
-2
2
0
0
£3
X\
2/3
£4
2/2 x2 2/1 2/4
-2-3 10
110 0
-3020
0-201
1
6
-2
10
0
^35 1
245
a 22
2/1
2/2
2/3
X\ X2 X3
3 5 1
2 4 5
E 2 2
2/3 X2 X3
3 -1-5 yi
2 0 00 ' x3
1 -2 -2 xi
2/3 x2 2/2
13 1-11-5
-2 0 1'
5 -2 -2
£2
2?3
X\
2/3
13
-2
-21
2/1
-1
0
2
2/2
-5
1
8
Nach dem Ordnen der Elemente erhält man A l =
2 8 -21
-1 -5 13
0 1 -2
4.4.2 Lösung linearer Gleichungssysteme
4.4.2.1 Definition und Lösbarkeit
1. Lineares Gleichungssystem
Ein System von m linearen Gleichungen mit n Unbekannten Xi, x2,..., xn
anxi + d\2x2 +
a2\X\ + 022^2 +
+ d\nxn = öi
+ d2nxn = a2
bzw. in Kurzform Ax = a,
D 106a)
dmiXi + am2x2 + • • • + dmnxn = a,
4-4 Lineare Gleichungssysteme 281
heißt ein lineares Gleichungssystem. Dabei bedeuten.
/an ai2
Ö21 «22
•• «2n
«2
^2
D.106b)
Vflmi «m2 • • • amn) \am/ \xnJ
Je nachdem, ob der Spaltenvektor a verschwindet (a = 0), oder nicht (a ^ 0), spricht man von einem
homogenen bzw. inhomogenen Gleichungssystem. Die Elemente a^u der sogenannten
Koeffizientenmatrix A sind die Koeffizienten des Systems, während die Komponenten aß des Spaltenvektors a seine
Absolutglieder sind.
2. Lösbarkeit eines linearen Gleichungssystems
Ein lineares Gleichungssystem heißt lösbar, wenn wenigstens ein Vektor x = a existiert, der D 106a) zu
einer Identität macht Anderenfalls heißt das System unlösbar. Das Lösungsverhalten hängt vom Rang
der erweiterten Matrix (A, a) ab. Letztere entsteht durch Hinzufügen der Komponenten des Vektors a
als (n + l)-te Spalte zur Matrix A. Es gilt:
1. Allgemeine Regel für das inhomogene System Das inhomogene System Ax = a ist genau
dann lösbar, wenn
Rg(A) = Rg(A,a), D 107a)
ist. Für r = Rg (A) gilt die folgende Fallunterscheidung:
a) Für r = n ist die Lösung eindeutig, D.107b)
b) für r < n ist die Lösung nicht eindeutig, D 107c)
dh,n-r Unbekannte können als Parameter frei gewählt werden
¦ A:
Die Matrix A hat den Rang 2, die erweiterte
Koeffizientenmatrix (A,a) den Rang 3, d.h., das System ist unlösbar.
x\ - 2x2 + 3£3
3xi - x2 + 5x3
2xi + x2 + 2x3
¦ B:
xi - x2 + 2x3 = 1
x\ — 2x2 — x3 = 2
3xi — x2 + 5x3 = 3
-2xx + 2x2 + 3x3 = -4
¦ C:
Xi - X2 + X3 - X4 =
X\ — X2 — X3 + X4 =
x\ — x2 — 2x3 + 2x4 = -
£4 + 2x5 = 2
3x4 — x5 = 6
2^4 — 3^5 = 8
Die Matrizen A und (A,a) haben beide den Rang 3
Wegen r = n = 3 ist die Lösung eindeutig. Sie lautet: x\ =
ip, x2 = -\, x3 = -7.
Die Matrizen A und (A,a) haben beide den Rang 2. Das
System ist lösbar, aber wegen r < n nicht eindeutig Man
kann n — r = 2 Unbekannte als freie Parameter wählen und
erhält z.B.- x2 = X\ — k , x3 = x4 + k {x\, X4 beliebig)
Die Anzahl der Gleichungen stimmt mit der Anzahl der
Unbekannten überein, aber das System ist wegen Rg (A) = 2 ,
Rg (A , a) = 3 unlösbar.
¦ D:
xi + 2x2 - x3 + X4 = 1
2xi — x2 + 2x3 + 2x4 = 2
3xi + x2 + £3 + 3^4 = 3
£1 - Sx2 4- 3x3 + £4 = 0
2. Triviale Lösung und Fundamentalsystem des homogenen Systems
a) Das homogene Gleichungssystem Ax = 0 besitzt stets die sogenannte triviale Lösung
xi = x2 = .. = xn = 0. D 108a)
b) Besitzt es eine nichttriviale Lösung x =a =(a1}a2j • )ön)T > d.h. a^Q, dann ist auch x = ka
mit k beliebig reell eine Lösung des homogenen Gleichungssystems. Besitzt es / nichttriviale, linear un-
282 4- Lineare Algebra
abhängige Lösungen c*i, a2 ,. •, QU , dann bilden diese ein sogenanntes Fundamentalsystem (s 9.1 2.3,
2., S 518), und die allgemeine Lösung des homogenen linearen Gleichungssystems ist von der Form
x = kiQLi 4- k2QL2 H \~ hOLi (h,k2,. , h beliebig reell) D.108b)
Gilt für den Rang der Koeffizientenmatrix A des homogenen Gleichungssystems r < n, wobei n die
Anzahl der Unbekannten ist, dann besitzt das homogene Gleichungssystem ein Fundamentalsystem
von Lösungen. Im Falle r = n hat das homogene System nur die Triviallösung
Zur Bestimmung eines Fundamentalsystems im Falle r < n können n — r Unbekannte als freie
Parameter gewählt werden, und zwar derart, daß sich die übrigen Unbekannten durch diese ausdrücken
lassen, d.h., die entsprechende r-reihige Unterdeterminante darf nicht Null sein Man kann das durch
Umordnen der Gleichungen und Unbekannten erreichen. Erhält man z B
X\ = XiCJr+i, Xr+2i • • • 5 xn)
x2 — x2\xr+\i xr+2, • • • i xn)
, D.109)
dann ergeben sich die Fundamentallösungen z.B. durch die folgende Wahl der freien Parameter.
xr+l xr+2 xr+3 ' ' ' xn
1 Fundamentallösung. 1 0 0 • • • 0
2. Fundamentallösung 0 1 0 ••• 0 D 110)
(n — r)-th Fundamentallösung 0 0 0 • • • 1
¦ E: Der Rang der Matrix A ist gleich 2 Das Gleichungssystem läßt sich
x\ — x2 + 0x3 — X4 = U nacn Xl unci x<2 auflösen, und man erhält x\ = — 4^3 — x4, x2 = nx3 —
X\ -\- x2 — 2x% + 3^4 = 0 Q _
3a;i— x2 + 8#3 + X4 — 0 2x4 (x3,x4 beliebig) Fundamentallösungen sind ax = (—4,i,l,0)T
x, + 3x2 - 9x3 + 7x4 = 0 und a2 = {-\, -2,0,1)T
4.4.2.2 Anwendung des Austauschverfahrens
1. Zuordnung eines Systems linearer Funktionen
Zur Lösung von D.106a) wird dem linearen Gleichungssystem Ax = a ein System linearer Funktionen
y = Ax — a zugeordnet, auf das das Austauschverfahren (s 4 4 1 2, S 279) anzuwenden ist:
Ax = a D 111a) ist äquivalent zu y = Ax - a = 0 D 111b)
Die Matrix A ist vom Typ (m, n), a ist ein Spaltenvektor mit rn Komponenten, d.h , die Anzahl m
der Gleichungen muß nicht mit der Anzahl n der Unbekannten übereinstimmen. Nach Abschluß des
Austauschverfahrens wird y = 0 gesetzt Das Lösungsverhalten von Ax = a kann unmittelbar aus
dem letzten Austauschschema abgelesen werden
2. Lösbarkeit des linearen Gleichungssystems
Das lineare Gleichungssystem D lila) ist genau dann lösbar, wenn für das zugeordnete System
linearer Funktionen D.111b) einer der folgenden zwei Fälle gilt.
1. Fall: Alle yß(fj, = 1,2,..., m) lassen sich gegen gewisse xv austauschen. Das bedeutet, das
zugehörige System linearer Funktionen ist linear unabhängig.
2. Fall: Mindestens ein ya ist nicht mehr gegen ein xv austauschbar, d h , es gilt
Va = Ai2/i + X2V2 + • • • + XmVm + A0 , D.112)
und es ist A0 = 0 Das bedeutet, das zugehörige System linearer Funktionen ist linear abhängig.
4 4 Lineare Gleichungssysteme 283
3. Unlösbarkeit des linearen Gleichungssystems
Das lineare Gleichungssystem ist unlösbar, wenn sich im voranstehenden 2. Fall Ao ^ 0 ergibt. Dann
enthält das System einen Widerspruch.
¦ X\ — 2^2 + 4^3 ~ X4 = 2
—3xx 4- 3x2 — 3x3 + 4x4 = 3
2xi — 3^2 + 5x3 — 3x4 = —1
3/1
3/2
2/3
Xi
1
-3
2
£2
-2
3
-3
x3 x4
4 -1
-3 4
5 -3
1
-2
-3
1
Nach 3 Austauschschritten (z.B. y\
ys —> X4,2/2 —> £2) erhält man:
Xi,
Xi
£2
X4
3/1
3
2
1
~2
3
5
3/2 £3
-3 2
-i 3
-io
3/3
5
~2
1
~2
3
~2
1
1
-2
3.
Das Verfahren endet mit dem 1. Fall: 2/1,2/2, 3/3 und x3 sind unabhängige Variable. Man setzt y\ =
3/2 = 3/3 — 0, und xs = t (—00 < t < 00) ist ein Parameter. Damit lautet die Lösung X\ = 2t + 1,
x2 = 3t — 2 , X3 = t, X4 = 3
4.4.2.3 Cramersche Regel
In dem wichtigen Spezialfall, in dem die Anzahl der Unbekannten mit der Anzahl der Gleichungen des
Systems
anXi + 012X2 + •
021X1 + 022^2 + •
1 &ln%n
' + a2nxn
CLi
a2
D.113a)
aniXi + on2x2 H h annxn = an
übereinstimmt und die Koeffizientendeterminante D = det A nicht verschwindet, d h
D = detA^0, D.113b)
kann die Lösung des inhomogenen Gleichungssystems D.113a) explizit und eindeutig angegeben
werden
Di __ D2 Dn
*i = -,
x2 = -,
xn = -.
D.113c)
Mit D„ wird die Determinante bezeichnet, die aus D dadurch entsteht, daß die Elemente aßU der i/-ten
Spalte von D durch die Absolutglieder aM ersetzt werden, z.B.
D2 =
an ai öi3
«21 Ö2 #23
• * «In
•• a2n
D.113d)
I önl ön ön3
Ist D = 0 und sind nicht alle D„ = 0, dann ist das System D.113a) unlösbar Im Falle D = 0 und
D„ = 0 für alle v = 1,2,.. , n, d.h., D und alle D„ sind gleich Null, ist es möglich, daß eine Lösung
existiert Diese ist aber nicht eindeutig (s Hinweis S. 283).
2xi
1 = 13,
+ x2 + 3x3 = 9
xi - 2x2 + x3 = -2.
3xi + 2x2 + 2x3 = 7
9 1 31
Dj = |-2 -2 1 = -13,
7 22
D =
2 1 3
1 -2 1
3 2 2
93
-2 1
72
= 26, D3 =
2 1 9
1 -2 -2
3 2 7
= 39.
Das System hat die eindeutige Lösung xx =
Di
D
1 D2 o D3 o
-l,X2 = - = 2,x3 = - = 3.
Hinweis: Für die praktische Lösung von linearen Gleichungssystemen höherer Dimensionen ist die
284 4 Lineare Algebra
CRAMERsche Regel nicht geeignet Der Rechenaufwand übersteigt mit wachsender Dimension sehr
schnell alle Vorstellungen Deshalb verwendet man zur numerischen Lösung linearer Gleichungssysteme
den GAUSSschen Algorithmus bzw das Austauschverfahren oder iterative Methoden (s 19.1.1, S. 911).
4.4.2.4 Gaußscher Algorithmus
1. Gaußsches Eliminationsprinzip Zur Lösung des linearen Gleichungssystems Ax = a D.106a)
von m Gleichungen mit n Unbekannten kann das GAUSS sehe Eliminationsprinzip angewendet
werden. Es besteht darin, mit Hilfe einer Gleichung eine Unbekannte aus den restlichen Gleichungen zu
entfernen Dadurch entsteht ein System von m — 1 Gleichungen und n — \ Unbekannten Dieses
Prinzip wird entsprechend oft angewendet, bis ein sogenanntes gestaffeltes Gleichungssystem entstanden
ist, aus dem dann die Lösung bzw. das Lösungsverhalten des Ausgangssystems einfach ermittelt bzw
abgelesen werden kann.
2. Gauß-Schritte Der erste GAUSS-Schritt wird an der erweiterten Koeffizientenmatrix (A, a)
demonstriert (s. 19 1 1, S 911)
Es sei an^O, wenn nicht, dann werden entsprechende Gleichungen vertauscht. In der Matrix
&21 a22
Ö2n
a2
D.114a)
\öml Öm2 ••• 0<mn\amJ
werden die Glieder der 1 Zeile der Reihe nach mit — %& . — ^L
gebnisse zur 2 > 3 ,. , ra-ten Zeile addiert Die umgeformte Matrix hat dann die Form
a , ö- > • • • j ~~ ^^ multipliziert und die Er-
/öll Al2
' 0 a'22
V 0 a'm
Gin
öl
}\
°LI
D 114b)
Die (r - l)-malige Anwendung dieses GAUSS-Schrittes liefert
/
an
^
0N
0~
0
Al2
a22
\0
0
0
Al3 •
a23 •
a33 •
urr
\ °
1)
ßl,r+l
a2,r+l •
n"
a3,r+l
„(r-1)
ar,r+l
0
ain
• a2n
a'L
rtnl)
0
0 0
0
0
0
a(»-l)
/
D.115)
3. Lösungsverhalten GAUSS-Schritte sind elementare Umformungen, durch die der Rang der
Matrix (A, a) und damit auch die Lösung und das Lösungsverhalten des Systems nicht geändert werden.
Aus D 115) liest man für das zu lösende inhomogene lineare Gleichungssystem ab:
1. Fall: Das System ist unlösbar, wenn eine der Zahlen a^x , aJ.+~2 \ • > am~^ von Null verschieden
ist
2. Fall: Das System ist lösbar, wenn gilt aj.7^ = a^2 = • = ßm-1' = 0 Weiterhin ist zu
unterscheiden
4 4 Lineare Gleichungssysteme 285
a) r = n: Die Lösung ist eindeutig.
b) r < n. Die Lösung ist nicht eindeutig; n — r Unbekannte sind als Parameter frei wählbar
Im Falle der Lösbarkeit werden die Unbekannten sukzessiv, mit der letzten Gleichung beginnend, aus
dem gestaffelten Gleichungssystem, das zu D 115) gehört, bestimmt
¦ A: xi + 2x2 + 3x3 + 4x4 = -2 Nach drei GAUSS-
2xi + Sx2 + 4x3 + x4 = 2 Schritten hat die er-
3xi + 4x2 + x3 + 2x4 = 2 weiterte Koeffizienten-
4xi + x2 + 2x3 + 3x4 = -2 matrix die Form
Die Lösung ist eindeutig, und aus dem zugehörigen gestaffelten linearen Gleichungssystem folgt x\ = 0 ,
x2 = 1, x3 = 0 , X4 = — 1.
-xi - 3x2 - 12x3 = -5 /-l -3 -12
-xi + 2x2 + 5x3 = 2 Nach zwei GAUSS-Schritten
5x2 + 17x3 = 7 hat die erweiterte Koeffizi-
3xi — x2 + 2x3 = 1 entenmatrix die Form
7xi — 4x2 — x3 = 0
0 5 17
0 0 0
0 0 0
V 0 0 0
0
0
Eine Lösung existiert, aber sie ist nicht eindeutig. Man kann eine Unbekannte als freien Parameter
wählen, z B. x3 = t (—oo < t < oo), und erhält X\ = $ — ¥t, x2 = t — ^J-t, X3 = t.
4.4.3 Überbestimmte lineare Gleichungssysteme
4.4.3.1 Überbestimmte lineare Gleichungssysteme und lineare
Quadratmittelprobleme
1. Überbestimmte Gleichungssysteme
Das lineare Gleichungssystem
Ax = b D.116)
besitze eine rechteckige Koeffizientenmatrix A = (a^) mit z = 1,2,. .,m; j = 1,2, .. ,n, m > n.
Die Matrix A und der Vektor b = F1, b2,..., bm)T der rechten Seite seien bekannt Gesucht sei der
Vektor x = (#1,0:2, ,#n)T Wegen m > n spricht man von einem überbestimmten System. Sein
Lösungsverhalten und gegebenenfalls seine Lösung können z B. mit dem Austauschverfahren bestimmt
werden
2. Lineares Quadratmittelproblem
Wenn D.116) das mathematische Modell eines praktischen Vorganges darstellt (A, b und x reell), dann
werden auf Grund von Meßfehlern oder anderen Fehlern die einzelnen Gleichungen von D 116) nicht
exakt erfüllbar sein, sondern es wird sich ein Restvektor r = (ri? r2, , rm)T mit
r = Ax-b, r^O D117)
ergeben In diesem Falle wird man x so bestimmen, daß
£rf = rTr = (Ax - b)T(Ax - b) = min D.118)
gilt, d h., daß die Fehlerquadratsumme minimal wird Dieses Prinzip geht auf GAUSS zurück. Man
bezeichnet D 118) auch als lineares Quadratmittelproblem. Die Norm ||r|| = VlTI des Restvektors r
heißt Residuum.
3. Gauß-Transformation
Der Vektor x ist genau dann eine Lösung von D.118), wenn der Restvektor r orthogonal zu allen Spalten
von A ist Das bedeutet.
ATr = AT(Ax-b) = 0 oder ATAx = ATb D 119)
286 4 Lineare Algebra
Die Gleichung D.119) stellt ein lineares Gleichungssystem mit quadratischer Koeffizientenmatrix dar
Es wird als System der Normalgleichungen bezeichnet Seine Dimension ist n Den Übergang von
D 116) zu D.119) nennt man GAUSS -Transformation. Die Matrix ATA ist symmetrisch
Hat die Matrix A den Rang n (wegen m > n spricht man in diesem Falle von Vollrang), dann ist die
Matrix ATA positiv definit und insbesondere regulär, d.h., das System der Normalgleichungen hat bei
Vollrang von A eine eindeutige Lösung.
4.4.3.2 Hinweise zur numerischen Lösung linearer Quadratmittelprobleme
1. Cholesky-Verfahren
Wegen der Symmetrie und positiven Definitheit von AT A im Falle des Vollranges von A bietet sich zur
Lösung des Normalgleichungssystems das Cholesky-Verfahren an (s. 19.2.1.2, S. 920).Leider handelt
es sich dabei um einen numerisch instabilen Algorithmus, der sich jedoch bei Problemen mit „großem"
Residuum ||r|| und „kleiner" Lösung ||x|| numerisch gutartig verhält
2. Householder-Verfahren
Numerisch gutartige Verfahren zur Lösung linearer Quadratmittelprobleme stellen die Orthogonahsie-
rungsverfahren dar, die auf einer Faktorisierung A = QR beruhen. Zu empfehlen ist das
HOUSEHOLDER- Verfahren, bei dem Q eine orthogonale Matrix vom Typ (m, m) und R eine Dreiecksmatrix vom
Typ (ra,n) (s. 4.1.2,11., S. 261) ist.
3. Regulärisiertes Problem
Im rangdefizienten Fall, d.h., wenn Rg (A) < n ist, kann das Normalgleichungssystem nicht mehr
eindeutig gelöst werden, und auch die Orthogonalisierungsverfahren liefern unbrauchbare Ergebnisse.
Dann geht man an Stelle von D.118) zu dem sogenannten regularisierten Problem
rTr + axTx = min! D 120)
über Dabei ist a > 0 ein Regularisierungsparameter Die Normalgleichungen zu D 120) lauten:
(ATA + «E)x = ATb D.121)
Die Koeffizientenmatrix dieses linearen Gleichungssystems ist für a > 0 positiv definit und
insbesondere regulär, aber die Wahl eines geeigneten Regularisierungsparameters a ist ein schwieriges Problem
(s. [4.7]).
4.5 Eigenwertaufgaben bei Matrizen
4.5.1 Allgemeines Eigenwertproblem
A und B seien zwei quadratische Matrizen vom Typ (n, n). Ihre Elemente können reelle oder komplexe
Zahlen sein Die Aufgabe, Zahlen A und zugehörige Vektoren x^O mit
Ax = ABx, D 122)
zu bestimmen, wird als allgemeines Eigenwertproblem bezeichnet. Die Zahl A heißt Eigenwert, der
Vektor x Eigenvektor Ein Eigenvektor ist lediglich bis auf einen Faktor bestimmt, da mit x auch ex (c
= const) Eigenvektor zu A ist. Der Spezialfall B = E, wobei E eine n-reihige Einheitsmatrix ist, d h
Ax = Ax bzw (A-AE)x = 0, D 123)
wird als spezielles Eigenwertproblem bezeichnet. Dieses tritt in vielen Anwendungen auf, vorwiegend
mit symmetrischer Matrix A, und wird im folgenden ausführlich dargestellt Bezüglich des allgemeinen
Eigenwertproblems muß auf die Spezialliteratur verwiesen werden (s [4.1])
4.5.2 Spezielles Eigenwertproblem
4.5.2.1 Charakteristisches Polynom
Die Eigenwertgleichung D.123) stellt ein homogenes lineares Gleichungssystem dar, das genau dann
nichttriviale Lösungen x^O besitzt, wenn gilt
det (A - AE) = 0 D 124a)
4-5 Eigenwertaufgaben bei Matrizen 287
Durch Entwicklung von det (A — A E) =0 ergibt sich
det(A-AE) =
an -
«21
- A ai2
«22-
Ö13 •
- A Ü23 •
• • O'ln
' * Ö2n
,-A
I önl O'n'l «n3 '
= pn(\) = (-l)nAn + an-xX1-1 + • • • + aiA + a0 = 0 D.124b)
Die Eigenwertbedingung entspricht somit einer Polynomgleichung. Sie wird charakteristische
Gleichung genannt; das Polynom Pn{\) heißt charakteristisches Polynom. Seine Nullstellen sind die
Eigenwerte der Matrix A Damit gilt für eine beliebige quadratische Matrix A vom Typ (n, n):
1. Fall: Die Matrix A(n>n) besitzt genau n Eigenwerte Ai, A2, ..., An , denn ein Polynom vom Grade
n hat n Nullstellen, wenn diese entsprechend ihrer Vielfachheit gezählt werden. Die Eigenwerte von
nichtsymmetrischen Matrizen können komplex sein.
2. Fall: Sind die n Eigenwerte der Matrix A(n>n) sämtlich verschieden, dann existieren genau n linear
unabhängige Eigenvektoren x^ als Lösungen des Gleichungssystems D.123) mit A = A*
3. Fall: Ist A* ein r^-facher Eigenwert und hat die Matrix A(njn) — A*E den Rang r^, dann ist die Zahl
der linear unabhängigen Eigenvektoren, die zu Aj gehören, gleich dem sogenannten Rangabfall n — ri.
Es gilt 1 < n - Ti < rii, d.h , zu einer reellen oder komplexen quadratischen Matrix A(n>n) gibt es
mindestens einen und höchstens n reelle oder komplexe linear unabhängige Eigenvektoren.
/ 2-3 1\ 12 — A —3 II
¦ A: 3 1 3 , det (A - AE) = 3 1 - A 3 = -A3 - A2 + 2A = 0
V-5 2-4/ I -5 2 —4 — AI
Die Eigenwerte sind Ai = 0, A2 = 1, A3 = — 2 Die Eigenvektoren werden aus den zugehörigen
homogenen linearen Gleichungssystemen bestimmt.
• Ai = 0: 2xi - 3a;2 + £3 = 0 .
3xi + x2 + 3:r3 = 0
-5zi + 2x2 - 4x3 = 0
Man erhält z.B. nach dem Austauschverfahren X\ beliebig, x2
( 10>
Man wählt X\ = 10 und erhält den Eigenvektor Xi = Ci \ 3
V-ii,
ist
• A2 = 1 Das zugehörige homogene System ergibt £3 beliebig, x2 = 0, x\
wählt xs = 1 und erhält den Eigenvektor X2 = C2 ( 0 J , wobei C2 eine beliebige Konstante ist.
^^15^3
-2xx + 3x2
-Tu3*'
, wobei C\ eine beliebige Konstante
3^2 — X3 = —xs. Man
• A3
4
3*2,
X3 ¦¦
-4xi + Sx2 = -
\x2.
-2: Das zugehörige homogene System ergibt x2 beliebig, X\
( 4N
Man wählt x2 = 3 und erhält den Eigenvektor X3 = C3 I 3 ] , wobei C3 eine beliebige Konstante ist.
/ 30-l>
¦ B: 14 1
V-10 3)
Die Eigenwerte sind Ai = 2, A2 = A3 = 4.
• A2 = 2: Man erhält x3 beliebig, x2 = —x3,Xi = x3 und wählt z.B. rr3 = 1. Damit lautet der erste
Eigenvektor Xi = C\ ( —1 ] , wobei C\ eine beliebige Konstante ist.
det (A - AE) =
¦A 0-1
14-A 1
-1 03-A
= -A3 + 10A2-32A + 32 = 0.
288 4 Lineare Algebra
• X2 — A3 = 4. Man erhält x2, X3 beliebig, X\ = —X3 Zwei linear unabhängige Eigenvektoren ergeben
sich z.B. für x2 = 1, £3 = 0 und x2 = 0, Xs = 1: X2 = C2 1 , X3 = C3 0 , wobei C2, C3 beliebige
\o/ V 1/
Konstanten sind.
4.5.2.2 Reelle symmetrische Matrizen, Ahnlichkeitstransformationen
Für das spezielle Eigenwertproblem D.123) gelten im Falle einer reellen symmetrischen Matrix A die
folgenden Aussagen*
1. Eigenschaften bezüglich des Eigenwertproblems
1. Anzahl der Eigenwerte Die Matrix A hat genau n reelle Eigenwerte Aj (i = 1,2,..., n), die
entsprechend ihrer Vielfachheit zu zählen sind
2. Orthogonalität der Eigenvektoren Die zu verschiedenen Eigenwerten A; ^ \j gehörenden
Eigenvektoren x* und x^ sind orthogonal, d.h., es gilt
xjx,- =0 D 125)
3. Matrix mit p-fachem Eigenwert Zu einem p-fachen Eigenwert A = Ai = A2 = ... = Ap
existieren p linear unabhängige Eigenvektoren xx, x2, ¦ •»2^, • Wegen D.123) sind auch alle
nichttrivialen Linearkombinationen Eigenvektoren zu A Davon können p mit Hilfe des GRAM-SCHMiDTschen
Orthogonalisierungsverfahrens ausgewählt werden, die orthogonal sind Insgesamt gilt Die Matrix A
besitzt genau n reelle orthogonale Eigenvektoren.
/011\
¦ A= 1 0 1 , det(A-AE) = -A3 + 3A + 2 = 0. Die Eigenwerte sind Ai = A2 = -lundA3 = 2.
Vi 10/
• Ai = A2 = — 1: Aus dem zugehörigen homogenen Gleichungssystem erhält man x\ beliebig, x2
beliebig, xs = —x\ — x2 Man wählt x\ = 1, x2 = 0 und x\ = 0, x2 = 1 und erhält die beiden linear
( l\ f °\
unabhängigen Eigenvektoren xx = C\ I 0 und x2 = C2\ 1 ) , wobei C\ und C2 beliebige
Konstanten sind \— / \— /
• A3 = 2 Man erhält x\ beliebig, x2 = x\, x3 = x\, wählt z B x\ = 1 und erhält den Eigenvek-
tor X3 = C3 1 , wobei C3 eine beliebige Konstante ist. Die Matrix A ist symmetrisch, die zu den
w
verschiedenen Eigenwerten gehörenden Eigenvektoren sind orthogonal
4. Gram-Schmidtsches Orthogonalisierungsverfahren Es sei Vn ein beliebiger n-dimensionaler
EUKLlDischer Vektorraum Die Vektoren x1}x2, • • • ,xn € Vn seien linear unabhängig Dann existiert
ein Orthogonalsystem von Vektoren y_1?y2, • >yn ^ Ki > das auf folgende Weise konstruiert werden
kann.
y1=xl,yk = xk-Y.T^]=iyi (* = 2,3,...,n). D126)
Hinweise:
1. Mit (xfc , y .) wird das Skalarprodukt der Vektoren x^ und y . bezeichnet
2. Zu dem Orthogonalsystem der Vektoren y 1, y 2, , y erhält man das Orthonormalsystem x x, x 2,
y y y
. ,xn durch Xi = t=*j , x2 = -rg^r-,.. , xn = -g^- , wobei mit ||y.|| = ^/(y^y^) die Eu-
KLiDische Norm des Vektors y . bezeichnet wird
4-5 Eigenwertaufgaben bei Matrizen 289
¦Xl =
Yj = Xi
y3 = ^'
/°\
(:)•
(¦?
-(!.
(x3.
x2= 1
\ ,-
^\ /
(oj,X3=(
1 /°>
und x i = —7= 1
y^
(x3,y2)
^2' y.2'
a\
.!)¦
1
h*
.-1
Daraus
2 = ^2-
f 2/3 \
2/3
^-2/3/
folgt
(Xi<
und:
^3 = ^(
-1/2 ) undx2 = ^= ( -1
1/2/ ^V ly
1
-1
2. Hauptachsentransformation, Ähnlichkeitstransformation
Zu jeder reellen symmetrischen Matrix A gibt es eine orthogonale Matrix U und eine Diagonalmatrix
Dmit
A = UDUT. D.127)
Dabei sind die Diagonalelemente von D die Eigenwerte von A, und die Spalten von U sind die
dazugehörigen normierten Eigenvektoren. Aus D.127) folgt unmittelbar
D = UTAU D.128)
Man bezeichnet D 128) als Hauptachsentransformation Auf diese Weise wird A in die Diagonalform
überfuhrt (s. auch 4.1.2,2., S 260).
Wird die quadratische (nicht notwendig symmetrische) Matrix A mit Hilfe der regulären quadratischen
Matrix G nach der Vorschrift
G^AG = Ä D.129)
transformiert, dann spricht man von einer Ahnlichkeitstransformation. Die Matrizen A und A heißen
ähnlich, und es gilt-
1. Die Matrizen A und A haben dieselben Eigenwerte, d.h , bei einer Ahnlichkeitstransformation
ändern sich die Eigenwerte nicht.
2. Ist A symmetrisch, dann ist auch A symmetrisch, falls G orthogonal ist:
Ä = GTAG mit GTG = E D.130)
Die Beziehung D.130) heißt orthogonale Ahnlichkeitstransformation. Bei ihr bleiben Eigenwerte und
Symmetrie erhalten. In diesem Zusammenhang besagt D.128), daß eine symmetrische Matrix A
orthogonal ähnlich auf die reelle Diagonalform D transformiert werden kann.
4.5.2.3 Hauptachsentransformation quadratischer Formen
1. Reelle quadratische Form, Definition
Eine reelle quadratische Form Q in den Variablen £1, £2,. • , xn hat die Gestalt
n n
Q = X^ S aijxixj = xTAx D 131)
Dabei ist x = (x\, x2, .., xn)T der Vektor der Variablen, und A = {aij) ist eine reelle symmetrische
Matrix.
Die Form Q heißt positiv definit oder negativ definit, wenn sie nur positive bzw. nur negative Werte
annehmen kann und den Wert Null nur für das einzige Wertesystem X\ = X2 = .. = xn = 0 annimmt
Die Form Q heißt positiv oder negativ semidefinit, wenn sie nur Werte desselben Vorzeichens, den Wert
Null aber auch für ein nicht durchweg verschwindendes Wertesystem annehmen kann.
Entsprechend dem Verhalten von Q wird auch die zugehörige reelle symmetrische Matrix A als positiv
oder negativ definit bzw semidefinit bezeichnet.
290 4- Lineare Algebra
2. Reelle positiv definite quadratische Form, Eigenschaften
1. In einer reellen positiv definiten quadratischen Form Q sind alle Hauptdiagonalelemente der
zugehörigen reellen symmetrischen Matrix A positiv, d h , es ist
aü>0 (i = l,2,...,n). D.132)
Für die positive Definitheit stellt D.132) eine notwendige Bedingung dar.
2. Eine reelle quadratische Form Q ist genau dann positiv definit, wenn sämtliche Eigenwerte der
zugehörigen Matrix A positiv sind
3. Eine reelle quadratische Form Q = xTAx , deren zugehörige Matrix A den Rang r hat, kann durch
die lineare Transformation
x = Cx D 133)
in eine Summe rein quadratischer Glieder, die sogenannte Normalform
r
Q = xTKx = Y,Pi£i2 mit fa = (signAOk) D 134)
»=i
und beliebig vorgegebenen positiven Werten k\, k2, ... ,kr überführt werden
Hinweis: Unabhängig davon, wie eine reelle quadratische Form D.131) vom Rang r durch eine
reelle nichtsinguläre Transformation D.133) in die Normalform D.134) überführt wird, bleibt neben der
Rangzahl r auch die Anzahl p der positiven und damit auch die Anzahl q — r —p der negativen
Koeffizienten ki der Normalform unverändert (Trägheitsgesetz von Sylvester). Die Zahl p heißt
Trägheitsindex der quadratischen Form.
3. Erzeugung der Normalform
Die praktische Durchführung der Transformation D.134) erfolgt über die Hauptachsentransformation
D.128). Anschaulich bedeutet dieses Vorgehen, daß zunächst das Koordinatensystem einer Drehung
mit der Orthogonalmatrix U der Eigenvektoren von A unterworfen wird, so daß die Form
Q = xTLx = J2 XiX-2 D.135)
*=1
entsteht, in der L die Diagonalmatrix von A ist Daran schließt sich eine Dehnung mit der Diagonal-
/ u
matrix D an, deren Diagonalelemente d* = \ r&\ lauten Die Gesamtransformation wird dann durch
C - UD D.136)
beschrieben, und man erhält
Q = xTAx = (UDx)TA(UDx) = xT(DTUTAUD)x
= xTDTLDx = xTKx. D 137)
Hinweis: Die Hauptachsentransformation spielt eine wesentliche Rolle bei der Klassifizierung von
Kurven und Flächen 2. Ordnung (s. 3.5.2 11, S. 210 und 3 5 3.10, S 230)
4. Jordansche Normalform
Mit A sei eine beliebige reelle oder komplexe quadratische Matrix vom Typ (n, n) gegeben. Dann gibt
es eine nichtsinguläre Matrix T, so daß
T_1AT = J D 138)
4 5 Eigenwertaufgaben bei Matrizen 291
gilt, wobei J als Jordan- Matrix oder JORDANsc/ie Normalform von A bezeichnet wird Die Jordan-
Matrix hat die Gestalt
J2 O |
D 139)
O
V
hj
wobei die Elemente Jj von J auch als Jordan -Kästchen bezeichnet werden. Für deren Form gilt: -
1. Sind alle Eigenwerte Xj von A einfach, so ist Jj = A^ und k = n , d.h , J ist eine Diagonalmatrix der
Form
A2
D 140)
J =
O
An-i
V
A,
nj
2. Ist Xj ein pj -facher Eigenwert von A, so gibt es ein oder mehrere JORDAN Kastchen der Form
(Xj
1
Xj 1
o
\
o
Xj 1
D 141)
AJ/
Dabei gilt ^Pj — n Die Summe der Dimensionen der JORDAN-Kästchen zu einem Eigenwert ist pj
Weitere Informationen zu den JORDAN-Kästchen findet man in [4.18], [19 16] Bd. 1.
4.5.2.4 Hinweise zur numerischen Bestimmung von Eigenwerten
1. Die Eigenwerte könnten als Nullstellen der charakteristischen Gleichung D 124b) berechnet werden
(s. Beispiele in 4.5.2.1, S. 287) Dazu müssen die Koeffizienten a; (i = 0,1,2, , n — 1) des
charakteristischen Polynoms der Matrix A bestimmt werden Diese Vorgehensweise sollte aber vermieden
werden, da sie einen außerordentlich instabilen Algorithmus darstellt, d.h., kleine Änderungen in den
Koeffizienten a; führen zu sehr großen Änderungen der Nullstellen A;.
2. Für die numerische Lösung des symmetrischen Eigenwertproblems sind zahlreiche Algorithmen
entwickelt worden. Man unterscheidet zwei Verfahrensklassen (s. [4 7])
a) Transformationsverfahren, z.B. JACOBI-Verfahren, HOUSEHOLDER-Tridiagonalisierung, QR-Al-
gorithmus;
b) Iterationsverfahren, z.B Vektoriteration, RAYLElGH-RiTZ-Algorithmus, Inverse Iteration, Lanc-
ZOS-Verfahren, Bisektionsverfahren Als Beispiel wird die Potenzmethode von MiSES betrachtet.
3. Potenzmethode von Mises Hierbei handelt es sich um ein Iterationsverfahren zur Bestimmung
des betragsgrößten Eigenwertes und des zugehörigen Eigenvektors einer Matrix A, falls A reell und
symmetrisch ist und einen betragsgrößten (dominanten) Eigenwert hat. Dieser sei Ai Dann gilt:
N>|A2|>|A3|>-- >|A„|. D.142)
Die Matrix A hat n linear unabhängige Eigenvektoren x1,x2,---)Xn Daraus folgt
1. Axi = XiXi (i = 1,2, ., n). D.143)
2. Jedes Element xGRn läßt sich als Linearkombination der Eigenvektoren x j darstellen:
x = C\x1 + C2X2 + \~ cnxn (Qconst; 1 = 1,2,... ,n). D 144)
292 4- Lineare Algebra
Multipliziert man D 144) mit A und berücksichtigt D.143), dann erhält man nach fc-maliger
Multiplikation-
Akx = ciAjxi + C2A2X2 + • • • + cnA*xn
/ \ \ k /x \ k
x2 + -
= A^[ciXi+c2
Daraus folgt wegen D.142):
• + cn
Afcx
—^ > x1iüik —> 00 bzw. Afex « CiAfxx.
Die Aussagen D 146) sind Grundlage des folgenden IterationsVerfahrens:
Schritt 1: Wahl eines beliebigen Startvektors x@) € Rn.
Schritt 2: Iterative Berechnung von Afcx gemäß
x(fc+1) = Ax(fc) (jfe = 0,1,2,...; x@) gegeben).
Daraus folgt unter Beachtung von D.146):
x(*) = Afcx@) « ciAjxi •
Schritt 3: Aus D 147) und D 148) folgt:
X(*+D = Ax<*> = A(Afcx(°)),
A(Afcx@)) « A(ciAjxi) = ciA{(Axx),
ci(AjAXi) = Ai(ciAjxi) ~ Aix(fc), also
x(fc+1> » AiX(fc),
D.145)
D.146)
D 147)
D.148)
D.149)
d.h. für große Werte von k unterscheiden sich aufeinanderfolgende Näherungsvektoren x^ durch den
Faktor Ai
Schritt 4: Aus D.148) und D.149) erhält man zur Berechnung von xx und Ai:
r(k+l)
Ai:
(x(A:),x(A:+1))
(xW,x«)
D.150)
¦ Zahlenbeispiel mit
/ 2,23-1,15 1,77
A= -1,15 9,25 -2,13
V 1,77-2,13 1,56
x@) =
x(o)
1
0
0
Ai
X(D x<2)
3,23 14,89
-1,15 -18,12 -
1,77 10,93
XC)
88,27
-208,03
82,00
Normierung
1
-2,36
0,93
9,964
XD)
7,58
-24,93 -
8,24
x(ß)
67,75
-256,85
79,37
Normierung
1
-3,79
1,17
10,177
x(ß) x(?)
9,66 96,40
-38,78 -394,09
11,67 117,78
Normierung
1
-4,09
1,22
10,16
x(8) x(9)
10,09 102,33
-41,58 -422,49
12,38 125,73
Normierung
1 * )
-4,129
~Xi
V 1,229/
10,161
«Ai
4 5 Eigenwertaufgaben bei Matrizen 293
Hinweise:
1. Da Eigenvektoren nur bis auf einen Zahlenfaktor eindeutig bestimmt sind, ist es numerisch
zweckmäßig, die Vektoren xk zu normieren, z B. in der im Beispiel angegebenen Weise.
2. Der betragskleinste Eigenwert von A und der zugehörige Eigenvektor lassen sich bestimmen, indem
man die Potenzmethode auf die Inverse A-1 von A anwendet.
3. Zur Bestimmung der übrigen Eigenwerte und Eigenvektoren von A kann die Potenzmethode
ebenfalls angewendet werden. Ist der Eigenvektor x1 bekannt, dann wird zur Bestimmung von A2 ein
Startvektor gewählt, der zu xx orthogonal ist, und dann wie bei der Bestimmung von Ai verfahren, falls A2
dominant gegenüber A3, A4,.. , An ist Zur Bestimmung von A3 wird dann ein Startvektor gewählt, der
orthogonal zuxt und x2 ist, usw Diese Vorgehensweise wird auch als Deflation bezeichnet
4. Aufgrund der Iterationsvorschrift D 147) wird die Potenzmethode auch Vektoriteration genannt.
4.5.3 Singulärwertzerlegung
1. Singulärwerte und Singulärvektoren Wenn A eine reelle Matrix vom Typ (m, n) mit dem
Rang r ist, dann heißen die positiven Wurzeln dv = \f\, (y = 1,2, ,r) aus den Eigenwerten
A„ der Matrix ATA Singulärwerte der Matrix A Die zugehörigen Eigenvektoren uu von ATA
heißen Rechtssingulärvektoren von A, die zugehörigen Eigenvektoren v„ von AAT Linkssingulärvektoren.
Dabei besitzt die Matrix AAT dieselben r von Null verschiedenen Eigenwerte A„ wie die Matrix ATA:
A'Au,, = A„u/y
AA1^
A/= 1,2,.. ,r).
D.151a)
D.151b)
Außerdem besteht zwischen den Rechts- und Linkssingulärvektoren der Zusammenhang
Au„ = dv\_v , ATVj, = du\iu
Es gilt Eine Matrix A vom Typ (m, n) mit dem Rang r besitzt r positive Singulärwerte du {y =
1,2, , r) Dazu existieren r orthonormierte Rechtssingulärvektoren u^ und r orthonormierte
Linkssingulärvektoren \_u Darüber hinaus existieren zum Singulärwert Null n — r orthonormierte
Rechtssingulärvektoren uu(v = r + 1, , n) und m — r orthonormierte Linkssingulärvektoren v„ {y =
r + 1, ., m). Eine Matrix vom Typ (m, n) hat demzufolge n Rechtssingulärvektoren und m
Linkssingulärvektoren, die man zu den orthogonalen Matrizen (s 4.1.2,9., S. 265)
U= (Ui,U2, ..,Un), V = (Vi,Va, .,Vsn) D 152)
zusammenfassen kann
2. Singulärwertzerlegung Die Darstellung
A = VÄUT D.153a) mit Ä =
/di 0 0
0 d2
0
0 0
0
V o o
0
0
0
0 dr
o... o\
0 i
0 ••• 0
0 ••• 0
o... 0/
> r Zeilen
D.153b)
> m — r Zeilen
r Spalten
n — r Spalten
heißt Singulärwertzerlegung der Matrix A. Die Matrix Ä ist wie die Matrix A vom Typ (m, n) und
enthält bis auf die ersten r Diagonalelemente avv = du A/ = 1,2,. ., r) nur Nullen. Dabei sind die dv
die Singulärwerte von A .
294 4- Lineare Algebra
3. Anwendung Die Singulärwertzer legung kann zur Rangbestimmung einer Matrix A vom Typ
(m, n) und zur genäherten Lösung uberbestimmter linearer Gleichungssysteme Ax = b (s. 4 4.3.1,1.,
S. 285) nach dem sogenannten Regularisierungsverfahren, d.h. zur Lösung der Aufgabe
12
||Ax-b||2 + a||x||2 = £
5Z a+kXk ~ h
+ a ^2 x\ = min!
k=l
eingesetzt werden, wobei a > 0 ein Regularisierungsparameter ist.
D.154)
295
5 Algebra und Diskrete Mathematik
5.1 Logik
5.1.1 Aussagenlogik
1. Aussagen
Eine Aussage ist die gedankliche Widerspiegelung eines Sachverhalts in Form eines Satzes einer
natürlichen oder kunstlichen Sprache. Jede Aussage ist entweder wahr oder falsch. Man spricht vom
Prinzip der Zweiwertigkeit (zur mehrwertigen oder Fuzzy-Logik s 5 9 1, S. 374). Man nennt „wahr" bzw.
„falsch" den Wahrheitswert der Aussage und bezeichnet ihn mit W (oder 1) bzw. F (oder 0) Die
Wahrheitswerte werden auch als aussagenlogische Konstanten bezeichnet.
2. Aussagenverbindungen
Die Aussagenlogik untersucht den Wahrheitswert von Aussagenverbindungen in Abhängigkeit von den
Wahrheitswerten der einzelnen Aussagen. Dabei werden ausschließlich extensionale
Aussagenverbindungen betrachtet, d.h., der Wahrheitswert der Aussagenverbindung hängt nur von den
Wahrheitswerten der Teilaussagen und den verbindenden Junktoren ab Dabei wird der Wahrheitswert der
Verbindung durch die klassischen Junktoren
„NICHTS" (-iA),
E.1)
„A ODER B" (AvB), E.3)
„j4UNDJ3" (AAB), E 2)
„WENN A, DANN Bu (A=>B) E 4)
und
„A GENAU DANN, WENN Bu (A&B) E.5)
bestimmt. Dabei ist das „logische ODER" immer als „einschließendes ODER" zu verstehen. Im Falle
der Implikation sind für A => B auch die folgenden Sprechweisen üblich:
A impliziert B, B ist notwendig für A sowie A ist hinreichend für B.
3. Wahrheitstafeln
Faßt man A und B als Variable auf, die nur die Werte F und W annehmen können (Aussagenvariable),
so beschreiben die folgenden Wahrheitstafeln die den Junktoren entsprechenden Wahrheitsfunktionen
Tabelle 5 1 Wahrheitstafeln der Aussagenlogik
Negation Konjunktion
A
F
W
-.A
W
F
A
F
F
W
W
B
F
W
F
W
AAB
F
F
F
W
Disjunkt
A
F
F
W
W
B
F
W
F
W
ion
AV B
F
W
W
w
A
F
F
W
W
B
F
W
F
W
A^B
W
W
F
W
A
F
F
W
W
B
F
W
F
W
A&B
W
F
F
W
4. Ausdrücke der Aussagenlogik
Mit diesen einstelligen (Negation) und zweistelligen (Konjunktion, Disjunktion, Implikation und
Äquivalenz) Verknüpfungen können aus gegebenen Aussagenvariablen kompliziertere Ausdrucke der
Aussagenlogik aufgebaut werden Diese Ausdrücke werden induktiv definiert:
1. Konstanten und Variable sind Ausdrücke. E.6)
2. Sind A und B Ausdrücke, so sind es auch (-.4), (AAB), (AV B), (A=>B), (A <& B) E 7)
296 5 Algebra und Diskrete Mathematik
Zur Vereinfachung der Schreibweise solcher Ausdrücke werden Außenklammern weggelassen und
Vorrangregeln (Prioritäten) festgelegt. In der folgenden Reihenfolge bindet jeder Junktor stärker als der
folgende:
-,, A, V, =», <& .
Häufig wird anstelle von „-^A" auch A geschrieben und der Junktor A ganz weggelassen Durch diese
Einsparungen kann man z.B den Ausdruck ((A V (->B)) => ((A Aß)V C)) kürzer so notieren-
5. Wahrheitsfunktionen
Ordnet man jeder Aussagenvariablen eines Ausdrucks einen Wahrheitswert zu, dann spricht man von
einer Belegung der Variablen Mit Hilfe der Wahrheitstafeln für die Junktoren kann man einem
Ausdruck für jede Belegung einen
Wahrheitswert zuordnen Der oben angegebene
Ausdruck repräsentiert somit eine dreistellige
Wahrheitsfunktion (BöOLEsche Funktion
s. 5.7 5, S 356)
¦ Jeder aussagenlogische Ausdruck
repräsentiert auf diese Weise eine n-stellige
Wahrheitsfunktion, d h eine Funktion, die
jedem n-Tupel von Wahrheitswerten
wieder einen Wahrheitswert zuordnet Es gibt
22" n-stellige Wahrheitsfunktionen,
insbesondere 16 zweistellige
6. Grundgesetze der Aussagenlogik
Zwei aussagenlogische Ausdrücke A und B heißen logisch äquivalent oder wertverlaufsgleich, in
Zeichen: A = B, wenn sie die gleiche Wahrheitsfunktion repräsentieren Folglich kann man mit
Hilfe von_ Wahrheitstafeln die logische Äquivalenz aussagenlogischer Ausdrücke überprüfen So gilt z B
AVB=>AB\/C = BVCi d.h., der Ausdruck A V B => AB V C hängt von A explizit nicht ab,
was man schon an der obigen Wahrheitstafel erkennt Insbesondere gelten folgende Grundgesetze der
Aussagenlogik
1. Assoziativgesetze
A
F
F
F
F
W
W
W
W
B
F
F
W
W
F
F
W
W
C
F
W
F
W
F
W
F
W
AV B
W
w
F
F
W
W
w
w
AB VC
F
W
F
W
F
W
W
W
A\/ B=> ABVC
F
W
W
W
F
W
W
W
(A A B) A C = A A (B A C), E 8a)
(Av B)VC = Av{BvC) E.8b)
2.
3.
4.
5.
6.
Kommutativgesetze
AAB = B AA,
Distributivgesetze
(A V B)C = ACVBC,
Absorptionsgesetze
A(A\/B) = A,
Idempotenzgesetze
AA = A,
ausgeschlossener Dritter
Xä = F,
E 9a)
-
E.10a)
E IIa)
E 12a)
E.13a)
A\J B = BV A
ABVC = (AV
A\f AB = A.
AWA = A.
A\JÄ = W
E 9b)
E IIb)
E 12b)
E.13b)
5.1 Logik 297
7. DE MORGANsche Regeln
ÄB = ÄVB,
8. Gesetze für W und F
AW = A,
AF = F,
W = F,
9. Doppelte Negation
2 = A
E.14a) A\/B = AB E.14b)
E.15a) AVF = A, E.15b)
E.15c) AVW = W, E.15d)
E 15e) F = W. E.15f)
E.16)
Aus den Wahrheitstafeln für die Implikation und die Äquivalenz kann man erkennen, daß die
Implikation und die Äquivalenz mit Hilfe der anderen Junktoren durch die Gleichungen
B = AVB
und A&B = ABV AB
E.17b)
E 17a)
ausgedruckt werden können. Diese Gesetze werden zur Umformung (Vereinfachung) aussagenlogischer
Ausdrucke verwendet.
¦ Die Gleichung ^Vß=>ißVC = 5VC kann wie folgt bewiesen werden: AVß^>ißVC =
AVß V AB V C = TB V AB V C = AB V AB V C = (Ä V A)B V C = WB V C = B V C.
10. Weitere Umformungen
A(ÄV£) = AB,
E.18a)
AV AB = A\/ B,
E.18b)
Tabelle 5.2 NAND-Funktion Tabelle 5.3 NOR-Funktion
(A V C)(B \/C)(A\/ B) = (AV C)(B V C), E 18c) iCVßCvA5 = iCVJBC. E.18d)
11. NAND-Funktion und NOR-Funktion Jede Wahrheitsfunktion kann durch einen
aussagenlogischen Ausdruck repräsentiert werden Wegen E.17a) und E.17b) kann man dabei noch auf
Implikationen und Äquivalenz verzichten (vgl auch 5 7, S 355ff) In Anbetracht der De MORGANschen
Regeln E.14a) und E.14b) sind darüber hinaus noch Konjunktion oder Disjunktion zur Darstellung
aller Wahrheitsfunktionen entbehrlich Es gibt sogar zwei zweistellige Wahrheitsfunktionen, die
einzeln zur Repräsentation aller Wahrheitsfunktionen ausreichen. Es sind dies die NAND-Funktion oder
SHEFFER-Funk-
tion (Funktionssymbol. |) und die NOR-
Funktion oder PEIRCE-Funktion
(Funktionssymbol: i) mit den nebenstehenden
Wahrheitstafeln. Der Vergleich dieser
Tafeln mit den entsprecheneden
Wahrheitstafeln für die Konjunktion bzw. die
Disjunktion erklärt die Namen NAND-
Funktion (NICHT-UND) bzw. NOR-
Funktion (NICHT-ODER).
7. Tautologien, mathematische Schlußweisen
Ein aussagenlogischer Ausdruck heißt allgemeingültig oder Tautologie, wenn er die
Wahrheitsfunktion identisch W repräsentiert. Folglich sind zwei Ausdrücke A und B genau dann logisch äquivalent,
wenn der Ausdruck A <& B eine Tautologie ist Mathematische Schlußweisen folgen aussagenlogischen
Gesetzen. Als Beispiel sei das Kontrapositionsgesetz genannt, d.h. der allgemeingültige Ausdruck
A=>B^B=>Ä E.19a)
A
F
F
W
W
B
F
W
F
W
A\B
W
W
w
F
A
F
F
W
W
B
F
W
F
W
A[B
W
F
F
F
298 5 Algebra und Diskrete Mathematik
Dieses Gesetz, das auch in der Form
A^ B = ^^Ä E 19b)
notiert werden kaim, läßt sich wie folgt interpretieren- Um zu zeigen, daß B aus A folgt, kann man auch
zeigen, daß A aus B folgt. Der indirekte Beweis (s auch 1 1 2 2, S 5) beruht auf folgendem Prinzip
Um B aus A zu folgern, nimmt man B als falsch an und leitet daraus - unter der Voraussetzung, daß
A richtig ist - einen Widerspruch her. Formal läßt sich dieses Prinzip auf verschiedene Weise durch
aussagenlogische Gesetze beschreiben:
A => B = AB =? ~Ä E.20a) oder A => B = AB => B E 20b)
oder A => B = AB => F E 20c)
5.1.2 Ausdrücke der Prädikatenlogik
Zur logischen Grundlegung der Mathematik wird eine ausdrucksstärkere Logik als die Aussagenlogik
benötigt. Um Eigenschaften von und Beziehungen zwischen (mathematischen) Objekten beschreiben
zu können, bedient man sich der Prädikatenlogik
1. Prädikate
Dabei werden die betrachteten Objekte zu einem Individuenbereich X, z B Menge IN der natürlichen
Zahlen, zusammengefaßt Eigenschaften der Individuen, z.B. „n ist eine Primzahl", und Beziehungen
zwischen Individuen, z B. „m ist kleiner als n", werden als Prädikate bezeichnet. Ein n-stelliges
Prädikat über dem Individuenbereich X ist eine Abbildung P. Xn —? {F,W}, die jedem n-Tupel von
Individuen einen Wahrheitswert zuordnet So sind die oben angeführten Prädikate über den natürlichen
Zahlen ein- bzw. zweistellig
2. Quant oren
Charakteristisch für die Prädikatenlogik ist die Verwendung von Quantoren, dem Allquantor oder
Generalisator V und dem Existenzquantor oder (Partikularisator) 3 Ist P ein einstelliges Prädikat, so
wird die Aussage „Für jedes x aus X gilt P(x)u mit V x P(x) und die Aussage „Es gibt ein x aus X,
für das P(x) gilt "mit 3 x P(x) bezeichnet Durch die Quantifizierung entsteht aus dem einstelligen
Prädikat P eine Aussage Ist z B IN der Individuenbereich der natürlichen Zahlen und bezeichnet P
das (einstellige) Prädikat „n ist eine Primzahl", so ist V n P(n) eine falsche und 3n P(n) eine wahre
Aussage
3. Ausdrücke des Prädikatenkalküls
Allgemein werden die Ausdrucke des Prädikatenkalküls wieder induktiv definiert.
1. Sind x\, , xn Individuenvariable und P eine n-stellige Prädikatenvariable, so ist
P(xi,. .,xn) ein Ausdruck (Elementarformel) E.21)
2. Sind A und B Ausdrücke, so sind es auch
(-.A), (A A B), (A V B), (A=>B),(A<*B), (V x A) und C x A) E.22)
Betrachtet man Aussagenvariable als nullstellige Prädikatenvariable, so erkennt man die Aussagenlogik
als Teil der Prädikatenlogik. Eine Individuenvariable x kommt in einem Ausdruck gebunden vor, wenn
x Variable eines Quantors V x , 3 x ist oder im Wirkungsbereich eines Quantors liegt, andernfalls kommt
x in diesem Ausdruck frei vor Ein Ausdruck der Prädikatenlogik, der keine freien Variablen enthält,
heißt geschlossene Formel.
4. Interpretation prädikatenlogischer Ausdrücke
Eine Interpretation eines Ausdrucks der Prädikatenlogik besteht aus
• einer Menge (Individuenbereich) und
• einer Zuordnung, die jeder n-stelligen Prädikatenvariablen ein n-stelliges Prädikat zuweist.
Die Interpretation einer geschlossenen Formel liefert somit eine Aussage Enthält ein Ausdruck der
Prädikatenlogik freie Variable, so repräsentiert eine Interpretation dieses Ausdrucks eine Relation (s
5 2 Mengenlehre 299
5.2.3, 1., S. 303) im Individuenbereich
¦ Sei P das zweistellige Prädikat, das im Individuenbereich N der natürlichen Zahlen die <-Beziehung
beschreibt, so charakterisiert
• P(x,y) die Menge aller Paare (x,y) natürlicher Zahlen mit x < y (zweistellige Relation in N); x, y
sind freie Variable,
• V y P(x,y) die Teilmenge von N (einstellige Relation), die nur aus der Zahl 0 besteht; x ist freie, y
gebundene Variable;
• 3 x\f y P(x, y) die Aussage „Es gibt eine kleinste natürliche Zahl"; x und y sind gebundene Variable.
Ein Ausdruck der Prädikatenlogik heißt wahr für eine gegebene Interpretation, wenn für jede
Ersetzung der freien Variablen durch Elemente aus dem Individuenbereich eine wahre Aussage entsteht. Ein
Ausdruck der Prädikatenlogik heißt allgemeingültig oder Tautologie, wenn er für alle Interpretationen
wahr ist.
5. Tautologien der Prädikatenlogik
Die Verneinung prädikatenlogischer Ausdrücke wird durch folgende Tautologien beschrieben
-A/xP(x) = 3x-P(x) bzw. n3xP(i)=Vin?(x). E.23)
Damit sind die Quantoren V und 3 durcheinander ausdrückbar:
VxP(x) = -3x-P(x) bzw 3xP{x) = -Wx-*P{x) E 24)
Weitere Tautologien der Prädikatenlogik sind:
Vx Vy P(x, y)=\/y\fx P(x, y), E.25)
3x3yP(x,y) = 3y3xP{x,y), E 26)
Vx P(x) AVx Q(x) = Vx (P(x) A Q{x)), E.27)
3x P{x) V 3 x Q(x) = 3x (P(x) V Q(x)). E.28)
Außerdem gelten folgende Implikationen.
Vx P(x) Wx Q(x) => Vx (P(x) V Q(x)), E 29)
3x (P(x) A Q(x)) ^3x P(x) A 3x Q{x), E 30)
Vx (P(x) =» Q(x)) => (Vx P{x) =4> Vx Q(x)), E.31)
Vx (P(x) & Q(x)) => (Vx P{x) & Vx Q(x)), E.32)
3xV7/P(x,y)=^V?/3xP(x,y). E.33)
Die Umkehrungen dieser Implikationen gelten durchweg nicht Insbesondere muß man beachten, daß
verschiedene Quantoren nicht vertauschbar sind (s. letzte Implikation).
6. Beschränkte Quantifizierung
Oft ist es sinnvoll, Quantifizierungen auf die Elemente einer vorgegebenen Menge zu beschränken.
Dabei ist
VxeXP(x) als Abkürzung für Vx (x G X => P(x)) und E.34)
3 x G X P(x) als Abkürzung für 3 x (x G X A P(x)) E.35)
aufzufassen.
5.2 Mengenlehre
5.2.1 Mengenbegriff, spezielle Mengen
Als Begründer der Mengenlehre gilt Georg Cantor A845-1918). Die Bedeutung der von ihm
verwendeten Begriffsbildungen wurde erst später erkannt. Die Mengenlehre hat nahezu alle Gebiete der
Mathematik entscheidend vorangebracht bzw. überhaupt erst ermöglicht und ist heute zu einem
unverzichtbaren Handwerkszeug der Mathematik und deren Anwendungen geworden.
300 5 Algebra und Diskrete Mathematik
1. Elementbeziehung
1. Mengen und ihre Elemente Der grundlegende Begriff der Mengenlehre ist die
Elementbeziehung Eine Menge A ist eine Zusammenfassung bestimmter, wohlunterschiedener Objekte a unserer
Anschauung oder unseres Denkens zu einem Ganzen. Diese Objekte heißen Elemente der Menge. Für
,,a ist Element von A" bzw. „a ist nicht Element von A" schreibt man „a G A" bzw. „a ^ A".
Mengen können beschrieben werden durch Aufzählung aller ihrer Elemente in geschweiften Klammern, z.B.
M = {a, b, c] oder U = {1,3,5,.. } , oder durch eine definierende Eigenschaft, die genau den
Elementen der Menge zukommt Z.B. wird die Menge U der ungeraden natürlichen Zahlen durch U = {x \ x
ist eine ungerade natürliche Zahl } beschrieben Für die Zahlenbereiche sind folgende Bezeichnungen
üblich
IN = {0,1,2, . } Menge der natürlichen Zahlen,
Z ={0,1,-1,2,-2, } Menge der ganzen Zahlen,
\P\ 1
Q — <-p,^GZAg^0> Menge der rationalen Zahlen,
U1 J
R Menge der reellen Zahlen,
C Menge der komplexen Zahlen.
2. Extensionalitätsprinzip für Mengen Zwei Mengen A und B sind genau dann gleich, wenn sie
die gleichen Elemente enthalten, d.h
A = B &\/x(xeA&xeB). E 36)
¦ Die Mengen {3,1,3, 7,2} und {1,2, 3, 7} sind gleich
2. Teilmengen
1. Teilmenge Sind A und B Mengen und gilt
Vx(xeA=>xeB), E 37)
so heißt A Teilmenge von B, und man schreibt A C B. Mit anderen Worten. A ist Teilmenge von B,
wenn alle Elemente von A auch zu B gehören Damit gilt auch stets A C A Gibt es für A C B in
B weitere Elemente, die nicht in A vorkommen, so heißt A echte Teilmenge von £?, und man schreibt
AcB (Abb.5.1)
¦ Es seien A= {2,4,6, 8,10} eine Menge gerader Zahlen und {1,2,3, ..,10} eine Menge natürlicher
Zahlen Da die Menge A die ungeraden Zahlen nicht enthält, ist A eine echte Teilmenge von B.
2. Leere Menge Es erweist sich als sinnvoll, die leere Menge 0, die kein Element enthält, einzuführen
Wegen des Extensionalitätsprinzips gibt es nur eine solche Menge
¦ A: Die Menge {x\x G R A x2 + 2x + 2 = 0} ist leer
¦ B: Für jede Menge M gilt 0 C M, d h., die leere Menge ist Teilmenge jeder Menge M
3. Gleichheit von Mengen Zwei Mengen sind demnach genau dann gleich, wenn jede Teilmenge
der anderen geich ist.
A = B&ACBABCA E.38)
Diese Tatsache wird häufig zum Beweis der Gleichheit zweier Mengen benutzt
4. Potenzmenge Die Menge aller Teilmengen A einer Menge M nennt man Potenzmenge von M
und bezeichnet sie mit P(M), d.h P(M) = {A\ AC M}.
¦ Für die Menge M = {a, 6, c} lautet die Potenzmenge
P(M) = {0, {a}, {&}, {c}, {a, 6}, {a, c}, {6, c}, {a, fr, c}}
Es gilt
a) Hat eine Menge M m Elemente, so hat ihre Potenzmenge P(M) 2m Elemente.
b) Für jede Menge M gilt 0 G P(M) d.h., die leere Menge ist Potenzmenge jeder Menge M
5. Kardinalzahl Die Anzahl der Elemente einer endlichen Menge M heißt Kardinalzahl von M und
wird mit card M oder manchmal auch \M\ bezeichnet.
Auch unendlichen Mengen werden Kardinalzahlen zugeordnet (s. 5 2 5, S 307)
5.2 Mengenlehre 301
5.2.2 Operationen mit Mengen
1. VENN-Diagramm
Zur Veranschaulichung von Mengen und Mengenoperationen benutzt man Venn -Diagramme Dabei
werden Mengen durch ebene Figuren dargestellt. So wird durch Abb.5.1 die Teilmengenbeziehung
AC B dargestellt
Abbildung 5.1 Abbildung 5.2 Abbildung 5.3
2. Vereinigung, Durchschnitt, Komplement
Durch Mengenoperationen werden aus gegebenen Mengen auf verschiedene Weise neue Mengen
gebildet:
1. Vereinigung Seien A und B Mengen. Die Vereinigungsmenge oder die Vereinigung (Bezeichnung
AU B) ist definiert durch
AöB = {x\xeAVxeB} E.39)
Man liest nA vereinigt mit B"
Sind A und B durch die Eigenschaften Ei bzw E2 beschrieben, dann enthält die Vereinigungsmenge AU
B die Elemente, die eine der beiden Eigenschaften besitzen, also wenigstens zu einer der beiden Mengen
gehören In Abb.5.2 ist die Vereinigungsmenge durch das schattiert gezeichnete Gebiet dargestellt.
¦ {1,2,3}U{2,3,5,6} = {1,2,3,5,6}
2. Durchschnitt Seien A und B Mengen. Die Schnittmenge oder der Durchschnitt (Bezeichnung
An B) ist definiert durch
A n B = {x | x e A A x e B}. E 40)
Man liest „A geschnitten mit B". Sind A und B durch die Eigenschaften E\ bzw. E2 beschrieben, dann
enthält A fl B die Elemente, die beide Eigenschaften E\ und E2 besitzen.
In Abb.5.3 ist die Schnittmenge schattiert dargestellt.
¦ Mit Hilfe des Durchschnitts der Teilermengen T(a) und T(b) zweier Zahlen a und b läßt sich der
größte gemeinsame Teiler (ggT) (s. 5.4.1.4,1., S. 333) bestimmen. Für a = 12 und b = 18 ist T(a) =
{1,2,3,4,6,12} und T(b) = {1,2,3,6,9,18 }, so daß TA2) n TA8) die Zahl ggTA2,18) = 6 ergibt
Hinweis: Als DEDEKiNDsc/ien Schnitt (A, B) bezeichnet man ein geordnetes Paar von nichtleeren
Mengen A und B reeller Zahlen, so daß jede reelle Zahl entweder in A oder in B liegt und aus a € A
und b e B stets a < b folgt.
¦ Die reellen Zahlen lassen sich durch Schnitte im Bereich der rationalen Zahlen einführen.
3. Disjunkte Mengen Zwei beliebige Mengen A und B, die kein gemeinsames Element besitzen,
nennt man elementfremd oder disjunkt, für sie gilt
ADB = ®, E.41)
d h., ihr Durchschnitt ist eine leere Menge.
¦ Der Durchschnitt der Menge der ungeraden und der Menge der geraden Zahlen ist leer, d.h
{ungerade Zahlen} n {gerade Zahlen} = 0
4. Komplement Betrachtet man nur Teilmengen einer vorgegebenen Grundmenge M, z.B. die
Teilmenge A C M, so besteht die Komplementärmenge oder das Komplement Cm(A) von A bezüglich M
aus allen Elementen von M, die nicht zu A gehören
CM(A) = {x\xeMAx<£A} E.42)
302 5. Algebra und Diskrete Mathematik
Man liest „Komplement von A bezüglich M". Ist die Grundmenge M aus dem Zusammenhang heraus
offenbar, dann wird für die Bezeichnung der Komplementärmenge auch das Symbol A verwendet In
Abb.5.4 ist das Komplement A schattiert dargestellt.
e£jj>
Abbildung 5.4 Abbildung 5.5 Abbildung 5 6
3. Grundgesetze der Mengenalgebra
Die eingeführten Mengenoperationen haben analoge Eigenschaften wie die Junktoren in der
Aussagenlogik. Es gelten folgende Grundgesetze der Mengenalgebra.
1. Assoziativgesetze
(AuB)UC = Aö(BuC). E 44)
AUB = BUA. E.46)
(AnB)UC=(AöC)n(BUC) E 48)
2.
3.
4.
5.
6.
7.
(A n B) n C = A n (B n c),
Kommutativgesetze
Anß = 5nA,
Distributivgesetze
(i4uJ5)nc = (i4nc)u(ßn
Absorptionsgesetze
i4n(>lU5) = A,
Idempotenzgesetze
AnA = A,
DE MORGANsche Regeln
Anß = Äu5,
Weitere Gesetze
AnÄ = 0,
AnM = A,
4n0 = 0,
M = 0,
E.43)
E 45)
C),E 47)
E.49)
E.51)
E.53)
E.55)
E 57)
E.59)
E.61)
Aö(AHB) = A
AöA = A.
AUB = ADB.
AUÄ=M M Grundmenge,
AU0 = A,
AUM = M,
0-M
E.50)
E.52)
E.54)
E 56)
E.58)
E.60)
E 62)
A = A. E 63)
Diese Tabelle erhält man unmittelbar aus den Grundgesetzen der Aussagenlogik (s. 5.1.1, S 295), wenn
man folgende Ersetzungen vornimmt: A durch n , V durch U , W durch M und F durch 0 Auf diesen
nicht zufälligen Zusammenhang wird in 5.7, S. 355ff genauer eingegangen.
4. Weitere Mengenoperationen
Außer den oben für zwei Mengen A und B eingeführten Mengenoperationen werden noch die
Differenzmenge oder Differenz A \ B, die Diskrepanz oder symmetrische Differenz AAB Und das kartesische
Produkt Ax B erklärt.
5.2 Mengenlehre' 303
1. Differenz zweier Mengen Die Menge der Elemente von A, die nicht zu B gehören, nennt man
Differenzmenge oder Differenz von A und B:
A\B = {x\xeAAx£B}. E.64a)
Wird A durch die Eigenschaft E\ und B durch die Eigenschaft E2 beschrieben, dann liegen in A \ B
die Elemente, die zwar die Eigenschaft Ei, nicht aber die Eigenschaft E2 besitzen.
In Abb.5.5 ist die Differenz schattiert dargestellt.
¦ {1,2,3,4}\{3,4,5} = {1,2}.
2. Symmetrische Differenz zweier Mengen Die symmetrische Differenz AAB ist die Menge aller
Elemente, die zu genau einer der beiden Mengen A und B gehören:
AAB = {x\(xeAAx(£B)V(xeBAx(£A)} E.64b)
Aus der Definition folgt, daß gilt
AAB = {A\B)U{B\A), E.64c)
d.h , die symmetrische Differenz enthält die Elemente, die genau eine der beiden Eigenschaften Ei (zu
A) und E2 (zu B) besitzen
In Abb.5.6 ist die symmetrische Differenz schattiert dargestellt.
¦ {1,2,3,4}A{3,4,5} = {1,2,5}.
3. Kartesisches Produkt zweier Mengen Das kartesische Produkt zweier Mengen A x B ist
durch
A x B = {(o, b) | a € A A b <E B} E.65a)
definiert Die Elemente (a, b) von Ax B heißen geordnete Paare und sind charakterisiert durch
(a, b) = (c, d) <=> a = c A b = d. E.65b)
Die Anzahl der Elemente im kartesischen Produkt zweier endlicher Mengen beträgt
card (Ax B) = (cardA)(card£). E.65c)
¦ A: Für .4 = {1,2,3} und B = {2,3} ergibt sich A x B = {A,2), A,3), B,2), B,3), C,2), C,3), }
undB x A = {B,l),B,2),B,3),C,l),C,2),C,3)}mitcardAi = 3, cardß = 2, card(,4 x B) =
card(£ x A) = 6.
¦ B: Mit dem kartesischen Produkt R x R (R Menge der reellen Zahlen) kann man alle Punkte der
x, y-Ebene beschreiben. Die Menge der Koordinaten (x, y) wird durch R x R dargestellt, denn es gilt:
R2 = R x R = {(x, y) | x e R, y € R} .
4. Kartesisches Produkt aus n Mengen
Aus n Elementen werden durch Festlegung einer bestimmten Reihenfolge A. Element, 2. Element,...,
n-tes Element) geordnete n-Tupel gebildet. Sind a* € Ai (i = 1,2,..., n) die Elemente, dann notiert
man das n-Tupel als (ai, a2,..., an), wobei a* f-te Komponente genannt wird
Für n = 3,4,5 spricht man von Tripel, Quadrupel und Quintupel.
Das n-fache kartesische Produkt j4i x A2 x • • • x An ist dann die Menge aller geordneten n-Tupel
(oi, a2,.. , an) mit a* £ j4» .
.Ai x ... x An = {(ai,...,an) | Oj € j4j (i = 1,.. ,n)}. E.66a)
Sind alle A{ endliche Mengen, dann beträgt die Anzahl der geordneten Elemente
card(Ai x A2 x • • • x An) = cardAi cardA2 • • • cardAin. E 66b)
Hinweis: Das n-fache kartesische Produkt einer Menge A mit sich selbst wird mit An bezeichnet.
5.2.3 Relationen und Abbildungen
1. n-stellige Relationen
Relationen beschreiben Beziehungen zwischen den Elementen einer oder verschiedener Mengen. Eine
n-stellige Relation R zwischen den Mengen Ai,..., An ist eine Teilmenge des kartesischen Produkts
dieser Mengen, d.h Ä C ^ x . . x An. Sind die Mengen Ai,i = 1,. ., n, sämtlich gleich der Menge
A, so wird R C An und heißt n-stellige Relation in der Menge A.
304 5 Algebra und Diskrete Mathematik
2. Binäre Relationen
1. Begriff der binären Relation einer Menge Besondere Bedeutung haben zweistellige (binäre)
Relationen in einer Menge, dh.RC.AxA Im Falle binärer Relationen ist auch die Schreibweise aRb
statt (o, b) € R üblich
¦ Als Beispiel werde die Teilbarkeitsbeziehung in A = {1,2,3,4} betrachtet, d h die binäre Relation
T = {(a,b) \ a,b e A A a teilt b} . E 67)
T = {(a, b) | a, b G A A a ist Teiler von b} E 68a)
= {A,1), A,2), A,3), A,4), B,2), B,4), C,3), D,4)} E.68b)
2. Pfeildiagramme Endliche binäre Relationen R in einer Menge A werden durch Pfeildiagramme
oder Relationsmatrizen dargestellt Die Elemente von A werden als Punkte in der Ebene dargestellt
und genau dann ein Pfeil von a nach b gezeichnet, wenn aRb gilt
Die Abb.5.7 zeigt das Pfeildiagramm der Relation T in der Menge A = {1,2,3,4} .
1
2
3
4
1
1
0
0
0
2
1
1
0
0
3
1
0
1
0
4
1
1
0
1
Abbildung 5.7 Tabelle: Relationsmatrix
3. Relationsmatrix Die Elemente von A werden als Zeilen- und Spalteneingänge einer Matrix
(s 4 1 1,1., S. 259) verwendet Am Schnittpunkt der Zeile zu a G A mit der Spalte zu b G B wird
eine 1, falls aRb gilt, ansonsten eine 0 notiert Die obige Tabelle gibt die Relationsmatrix für T in der
Menge A = {1,2,3,4} wieder
3. Relationenprodukt, inverse Relation
Relationen sind spezielle Mengen, so daß zwischen Relationen die üblichen Mengenoperationen (s
5 2 2, S. 301) ausgeführt werden können Für zweistellige Relationen sind darüber hinaus das
Relationenprodukt und die inverse Relation von Bedeutung.
Es seien R C A x B und S C BxC zweistellige Relationen. Dann ist das Produkt RoS der Relationen
R, S durch
RoS = {{a,c) \3b{beBAaRbAbSc)} E 69)
definiert Das Relationenprodukt ist assoziativ, aber nicht kommutativ
Die inverse Relation R~l einer Relation R ist durch
R-1 = {{b,a) | (a,ft) G R} E 70)
festgelegt
Für binäre Relationen in einer Menge A gelten folgende Beziehungen
(R U S) o T = [R o T) U (S o T), E.71) (R n S) o T C (R o T) n {S o T), E 72)
(ÄU5)-1 = Ä-1U5~1, E.73) (RnS)-1 = R-1nS~11 E.74)
(ÄoSJ-^S-^oJT1 E.75)
4. Eigenschaften binärer Relationen
Wichtige Eigenschaften einer binären Relation in einer Menge A.
R heißt
reflexiv, falls Va G Aai?a, E.76)
5.2 Mengenlehre 305
irreflexiv, falls Va G A -^aRa,
symmetrisch, falls Va, ö € A (ai?6 => bRa),
antisymmetrisch, falls Va, 6 G A (ai?6 A &i?a =>• a = 6),
transitiv, falls Va, 6, c G .A (a.Ro A 6.Rc => aRc),
linear, falls Va,6GA (aitß V bRa)
E.77)
E 78)
E 79)
E.80)
E.81)
gilt.
Diese Eigenschaften lassen sich auch mit Hilfe des Relationenprodukts beschreiben. So gilt z.B.: Eine
binäre Relation ist genau dann transitiv, wenn RoR C R gilt. Von besonderem Interesse ist gelegentlich
der transitive Abschluß (transitive Hülle) tra(i?) einer Relation R. Darunter versteht man die kleinste
(bezuglich der Teilmengenbeziehung) transitive Relation, die R enthält. Es gilt:
tra(Ä) = U Rn = R1 U R2 U R3 U • • • , E.82)
n>l
wobei unter Rn das n-fache Relationenprodukt von R mit sich selbst zu verstehen ist
¦ Die binäre Relation R auf der Menge {1,2,3,4,5} sei durch die Relationsmatrix M gegeben.
M
1
2
3
4
5
1
1
0
0
0
0
2
0
0
0
1
1
3
0
0
1
0
0
4
1
1
0
0
0
5
0
0
1
1
0
M2
1
2
3
4
5
1
1
0
0
0
0
2
1
1
1
1
0
3
0
0
1
0
0
4
1
0
0
1
1
5
1
1
1
0
0
M3
1
2
3
4
5
1
1
0
0
0
0
2
1
1
1
1
1
3
0
0
1
0
0
4
1
1
1
1
0
5
1
0
1
1
1
MVM2
1
2
3
4
5
VM3
1
1
0
0
0
0
2
1
1
1
1
1
3
0
0
1
0
0
4
1
1
1
1
1
5
1
1
1
1
1
Bildet man M2 , indem man bei der Matrizenmultiplikation 0 und 1 als Wahrheitswerte interpretiert
und anstelle von Multiplikation bzw. Addition die logischen Operationen Konjunktion bzw.
Disjunktion verwendet, so ist M2 die zu R2 gehörige Relationsmatrix. Entsprechend kann man auch die
Relationsmatrizen von R3, R4 usw aufstellen.
Die zu R U R2 U R3 gehörige nebenstehende Relationsmatrix
erhält man, indem man die Matrizen M, M2 und M3
elementweise disjunktiv verknüpft Da höhere Potenzen von M keine
neuen Einträge liefern, ist diese Matrix zugleich die zu tra(i?)
gehörige Relationsmatrix
Die Relationsmatrix und das Relationenprodukt finden auch
Anwendung zur Untersuchung von Weglängen in Graphen
(s. 5.8.2.1, S. 364).
Bei endlichen binären Relationen kann man diese Eigenschaften größtenteils leicht aus den
Pfeildiagrammen bzw Relationsmatrizen erkennen So erkennt man z B. Reflexivität durch „Schlingen "im
Pfeildiagramm bzw. durch Einsen der Hauptdiagonalen der Relationsmatrix. Symmetrie äußert sich
im Pfeildiagramm dadurch, daß zu jedem Pfeil ein gegenläufiger gehört bzw. durch Symmetrie der
Relationsmatrix (s. 5 2 3,2., S. 304). Aus dem Pfeildiagramm oder der Relationsmatrix liest man ab, daß
die Teilbarkeitsbeziehung T reflexiv, aber nicht symmetrisch ist.
5. Abbildungen
Eine Abbildung (oder Funktion, s. 2.1.1.1, S. 48) / von einer Menge A in eine Menge B mit der
Bezeichnung /: A —* B ist eine ZuOrdnungsvorschrift, die jedem Element a € A eindeutig ein Element f(a) € B
zuordnet. Man kann eine Abbildung / als zweistellige Relation zwischen A und B, (/ C A x B),
auffassen: f C Ax B heißt Abbildung von A nach B, falls gilt.
Vae A3beB{{a,b) e f) und E 83)
Va e AVbuh e B ((a,6i), (a,b2) G / =» h = b2). E 84)
/ heißt eineindeutig (oder injektiv), falls zusätzlich gilt-
Vai,a2 G AMbe B ((aub),{a2,b) G / => ax = a2).
E.85)
306 5. Algebra und Diskrete Mathematik
Während bei einer Abbildung nur verlangt wird, daß jedes Original nur ein Bild hat, bedeutet Injekti-
vität, daß auch jedes Bild nur ein Original besitzt
/ heißt Abbildung von A auf B (oder surjektiv), falls gilt:
VbeB3aeA((a,b) € /). E 86)
Eine injektive und surjektive Abbildung heißt bijektiv. Für bijektive Abbildungen f: A —> B ist die
inverse Relation eine Abbildung /_1: B —* A, die sogenannte Umkehrabbildung von /.
Das Relationenprodukt, auf Abbildungen angewandt, charakterisiert die Hintereinanderausfuhrung
von Abbildungen- Sind /: A —> B und gvB —> C Abbildungen, so ist / o g eine Abbildung von A nach
C, und es gilt
(/°5)(a) = <?(/(«))¦ E 87)
Man beachte die Reihenfolge von / und g in dieser Gleichung (unterschiedliche Handhabung in der
Literatur').
5.2.4 Äquivalenz- und Ordnungsrelationen
Die wichtigsten Klassen binärer Relationen in einer Menge A sind die Äquivalenz- und
Ordnungsrelationen
1. Äquivalenzrelationen
Eine binäre Relation R in einer Menge A heißt Aquivalenzrelation, wenn R reflexiv, symmetrisch und
transitiv ist. Für aRb verwendet man in diesem Falle auch die Bezeichnung a ~# b oder o ~ 6, wenn die
Aquivalenzrelation R aus dem Zusammenhang bekannt ist, und sagt, a ist äquivalent zu b (bezüglich
R)
¦ Beispiele für Aquivalenzrelationen.
A: A = Z , m E N \ {0} Es gilt a ~# b genau dann, wenn a und b bei Division durch m den gleichen
Rest lassen (Kongruenzrechnung modulo m).
B: Gleichheitsbeziehung in unterschiedlichen Bereichen, z.B in der Menge Q der rationalen Zahlen:
— = — <{=> pi#2 = P2Q1> wobei das erste Gleichheitszeichen die Gleichheit in Q definiert, während das
Qi 0.2
zweite die Gleichheit in Z bezeichnet.
C: Ähnlichkeit oder Kongruenz geometrischer Figuren.
D: Logische Äquivalenz aussagenlogischer Ausdrücke (s. 5 1 1,6., S 296)
2. Äquivalenzklassen, Zerlegungen
1. Äquivalenzklassen Eine Aquivalenzrelation in einer Menge A bewirkt eine Aufteilung von A in
nicht leere paarweise disj unkte Teilmengen, Aquivalenzklassen
[a]R :={b\beAAa~Rb} E 88)
heißt Aquivalenzklasse von a bezüglich R. Für Aquivalenzklassen gilt.
Wä^0, a~Rb<*[a]R = [b]R und a ^R b <s> [a}R n [b]R = 0 E 89)
Diese Aquivalenzklassen werden zu einer neuen Menge, der Faktormenge A/R, zusammengefaßt
A/R={[a}R\aeA} E.90)
Eine Teilmenge Z C P(A) der Potenzmenge P(j4) heißt Zerlegung von A, wenn
0^z, x,yeZAX^Y^xnY = 0, \Jx = A. E91)
xez
2. Zerlegungssatz Jede Aquivalenzrelation R in einer Menge A bewirkt eine Zerlegung Z von A,
nämlich Z = A/R. Umgekehrt bestimmt jede Zerlegung Z einer Menge A eine Aquivalenzrelation R
mA:
a ~ß b & 3 X e Z (a G X A b € X) E 92)
5.2 Mengenlehre 307
Man kann eine Aquivalenzrelation in einer Menge A als Verallgemeinerung der Gleichheitsbeziehung
auffassen, wobei von „unwesentlichen" Eigenschaften der Elemente von A abstrahiert wird und
Elemente, die sich bezüglich einer gewissen Eigenschaft nicht unterscheiden, zu einer Aquivalenzklasse
zusammengefaßt werden.
3. Ordnungsrelationen
Eine binäre Relation R in einer Menge A heißt Ordnung(-srelation), wenn R reflexiv, antisymmetrisch
und transitiv ist Ist R zusätzlich linear (s. E.81)), so heißt R vollständige Ordnung(-srelation) oder
Kette Die Menge A heißt dann durch R geordnet bzw vollständig geordnet. In einer vollständig
geordneten Menge sind also je zwei Elemente vergleichbar. Statt aRb verwendet man auch die Bezeichnung
a<nb oder a < b, wenn die Ordnungsrelation R aus dem Zusammenhang bekannt ist.
Anstelle von Ordnung ist auch die Bezeichnung Halbordnung oder partielle Ordnung üblich
¦ Beispiele für Ordnungsrelationen.
A: Die Zahlenbereiche IN, Z, Q, R sind durch die übliche <-Beziehung vollständig geordnet
B: Die Teilmengenbeziehung ist eine Ordnung, die nicht vollständig ist.
C: Die lexikographische Ordnung auf den Wörtern der deutschen Sprache ist eine Kette.
Hinweis: Ist Z = {A, B} eine Zerlegung von Q mit der Eigenschaft a£AAb£B=>a<b, so heißt
(A, B) DEDEKiNDscher Schnitt Hat weder A ein größtes Element noch B ein kleinstes Element, so
wird durch diesen Schnitt eindeutig eine irrationale Zahl bestimmt. Außer der Intervallschachtelung
(s 1.1.1.2, S. 1) sind die DEDEKiNDschen Schnitte eine weitere Möglichkeit, die irrationalen Zahlen
einzuführen (s auch Hinweis auf S 301)
4. HASSE-Diagramme
Endliche geordnete Mengen werden durch HASSE -Diagramme dargestellt: Auf
einer endlichen Menge A sei eine Ordnungsrelation < gegeben. Die Elemente von
A werden als Punkte in der Ebene dargestellt, wobei der Punkt zu b G A
oberhalb des Punktes zu a G A liegen soll, falls a < b gilt. Gibt es außerdem kein
c G A mit a < c < b - man sagt, a und b sind benachbart - so werden a und b
durch eine Strecke verbunden. Ein HASSE-Diagramm ist also ein „abgerüstetes"
Pfeildiagramm, bei dem alle Schlingen, Pfeilspitzen und alle Pfeile, die sich aus der
Transitivität der Relation ergeben, weggelassen sind. In Abb.5.7 ist das
Pfeildiagramm zur Teilbarkeitsrelation T auf der Menge A = {1,2,3,4} angegeben. Mit T
ist eine Ordnungsrelation bezeichnet, die durch das HASSE-Diagramm in Abb.5.8
dargestellt ist.
5.2.5 Mächt igkeit von Mengen
In 5 2 1, S 299 wurde die Anzahl der Elemente einer endlichen Menge als Kardinalzahl bezeichnet.
Dieser Anzahlbegriff soll auf unendliche Mengen übertragen werden
1. Mächtigkeit, Kardinalzahl
Zwei Mengen A, B heißen gleichmächtig, falls es zwischen ihnen eine bijektive Abbildung gibt. Jeder
Menge A wird eine Kardinalzahl \A\ oder caidA zugordnet, so daß gleichmacht ige Mengen die gleiche
Kardinalzahl erhalten Eine Menge ist zu ihrer Potenzmenge niemals gleichmächtig, so daß es keine
,,größte" Kardinalzahl gibt
2. Unendliche Mengen
Unendliche Mengen sind dadurch charakterisiert, daß sie echte Teilmengen besitzen, die zur
Gesamtmenge gleichmächtig sind Die „kleinste" unendliche Kardinalzahl ist die Kardinalzahl der Menge IN
der natürlichen Zahlen Sie wird mit Ko (aleph 0) bezeichnet
Eine Menge heißt abzählbar (unendlich), wenn sie zu IN gleichmächtig ist. Das bedeutet, ihre Elemente
lassen sich durchnumerieren bzw. als unendliche Folge a\, 02, schreiben.
Eine Menge heißt überabzählbar (unendlich), wenn sie unendlich, aber nicht gleichmächtig zu N ist.
4.
U
Abbildung 5 8
308 5. Algebra und Diskrete Mathematik
Demzufolge ist jede nicht abzählbare (unendliche) Menge überabzählbar (unendlich).
¦ A: Die Menge Z der ganzen Zahlen und die Menge Q der rationalen Zahlen sind abzählbar
(unendlich).
¦ B: Die Menge R der reellen Zahlen und die Menge C der komplexen Zahlen sind überabzählbar
(unendlich). Beide Mengen sind gleichmächtig. Ihre Kardinalzahl wird mit c bezeichnet; c heißt auch
Mächtigkeit des Kontinuums.
5.3 Klassische algebraische Strukturen
5.3.1 Operationen
1. n-stellige Operationen
Der Strukturbegriff spielt in der Mathematik und ihren Anwendungen eine zentrale Rolle Hier sollen
algebraische Strukturen behandelt werden, d.h. Mengen, auf denen Operationen erklärt sind. Eine n-
stellige Operation ip in einer Menge A ist eine Abbildung (p: An —> A, die jedem n-Tupel von Elementen
aus A wieder ein Element aus A zuordnet.
2. Eigenschaften binärer Operationen
Besonders wichtig ist der Fall n = 2 , wobei man von binären Operationen spricht, z.B. Addition und
Multiplikation von Zahlen bzw. Matrizen oder Vereinigung und Durchschnitt von Mengen Eine binäre
Operation ist also eine Abbildung * : A x A —* A, wobei man anstelle von „*(a, b)u in der Regel die
Infixschreibweise „a * 6" benutzt Eine binäre Operation * in A heißt assoziativ, falls
(o * b) * c = a * (b * c), E.93)
und kommutativ, falls
a * b = b * a E.94)
jeweils für alle a, 6, c € A gilt
Ein Element e G A heißt neutrales Element bezüglich einer binären Operation * in A, falls gilt.
a* e = e * a = a für alle a € A. E 95)
3. Äußere Operationen
Manchmal werden auch äußere Operationen betrachtet. Das sind Abbildungen von K x A in K, wobei
K eine „äußere", meist auch selbst strukturierte Menge ist (s. 5 3.7, S. 327).
5.3.2 Halbgruppen
Oft auftretende algebraische Strukturen haben besondere Namen bekommen. Eine Menge i/, versehen
mit einer assoziativen binären Operation * , heißt Halbgruppe; Bezeichnung H = (//",*)
Beispiele für Halbgruppen:
¦ A: Zahlenbereiche bezüglich Addition oder Multiplikation,
¦ B: Potenzmenge bezüglich Vereinigung oder Durchschnitt,
¦ C: Matrizen bezüglich Addition oder Multiplikation,
¦ D: Menge A* aller „Wörter" (strings) über einem „Alphabet" A bezüglich Hintereinanderschrei-
bung (Worthalbgruppe)
Hinweis: Bis auf die Multiplikation von Matrizen und die Hintereinanderschreibung von Wörtern sind
alle in den Beispielen vorkommenden Operationen kommutativ; man spricht dann von kommutativen
Halbgruppen.
5 3 Klassische algebraische Strukturen 309
5.3.3 Gruppen
5.3.3.1 Definition und grundlegende Eigenschaften
1. Definition
Eine Menge G, versehen mit einer binären Operation * , heißt Gruppe, wenn
• * assoziativ ist,
• * ein neutrales Element e besitzt und zu jedem Element a G G ein inverses Element a~l existiert,
mit
a*a~x = a~l * a = e. E.96)
Eine Gruppe ist also eine spezielle Halbgruppe.
Das neutrale Element einer Gruppe ist eindeutig bestimmt. Außerdem besitzt jedes Gruppenelement
genau ein Inverses. Ist die Operation * kommutativ, so spricht man von einer ABELschen Gruppe. Ist
die Gruppenoperation als Addition + geschrieben, so wird das neutrale Element mit 0 und das inverse
Element eines Elementes a mit — a bezeichnet.
Beispiele für Gruppen:
¦ A: Zahlenbereiche (außer N) bezüglich Addition
¦ B: Q \ {0} , R \ {0} und C \ {0} bezüglich Multiplikation.
¦ C: Sm — {/ ' M —> M A / bijektiv} bezüglich Hintereinanderausführung von Abbildungen
(symmetrische Gruppe).
¦ D: Man betrachte die Menge Dn aller Deckabbildungen eines regelmäßigen n-Ecks in der Ebene
Dabei beschreibt eine Deckabbildung den Übergang zwischen zwei Symmetrielagen des n-Ecks, d h die
Bewegung des n-Ecks in eine deckungsgleiche Lage Werden mit d eine Drehung um 2n/n und mit a
die Spiegelung an einer Achse bezeichnet, so hat Dn 2n Elemente:
Dn = {e,d,d2,...,dn-\a,d<j,. ,dn-la}.
Bezüglich der Hintereinanderausführung von Abbildungen bildet Dn eine Gruppe, die Diedergruppe
Dabei gilt dn = a1 = e und ad = dn~1a
¦ E: Alle regulären Matrizen (s. 4.1.4, S 262) über den reellen bzw komplexen Zahlen bezüglich
Multiplikation.
Hinweis: Matrizen spielen in Anwendungen eine besondere Rolle, insbesondere zur Darstellung
linearer Transformationen. Lineare Transformationen lassen sich durch Matrizengruppen klassifizieren
2. Gruppentafeln oder Cayley-Tafeln
Zur Darstellung endlicher Gruppen werden Gruppen- oder CAYLEY-Tafeln verwendet: Man notiert
die Gruppenelemente als Zeilen- und Spalteneingänge An der Kreuzung der Zeile mit dem Eingang a
und der Spalte mit dem Eingang b steht das Gruppenelement a * b.
¦ Ist M = {1,2,3} , so bezeichnet man die symmetrische Gruppe Sm auch mit Ss . Die Ss besteht
also aus allen bijektiven Abbildungen (Permutationen) auf der Menge {1,2,3} und hat demzufolge
3' = 6 Elemente (s. 16.1.1, S. 768). Permutationen werden meist zweizeilig notiert, indem man in die
erste Zeile die Elemente von M und darunter die jeweiligen Bildelemente schreibt. So erhält man die 6
Elemente der 53 folgendermaßen
P3
(l 2 3\ (l 2 3\ (\ 2 3\
= {l 2 3j' P' = {l 3 2j'P2=U 2 lj'
(l 2 3\ fl 2 3\ (l 2 3\
= \2 1 3j'^=U 3 lJ'P5=U 1 2)
E.97)
Durch Hintereinanderausführung (binärer Operationen o) von Abbildungen erhält man für Ss folgende
Gruppentafel.
310 5. Algebra und Diskrete Mathematik
o
£
Pl
V*
Pz
PA
Pb
£ Pl P2 P3 PA Pb
£ Pi Pi Pz Pa Pb
P\ e p5 p4 P3 P2
Pl PA £ Pb Pl P3
P3 Pb Pa £ Pi Pi
PA P2 P3 Pl Pb €
Pb P3 Pi P2 £ Pa
• Aus der Gruppentafel erkennt man, daß die identische
Permutation e das neutrale Element der Gruppe ist
• In der Gruppentafel kommt jedes Element in jeder Zeile
/_ q^ und jeder Spalte genau einmal vor.
• Das Inverse zu einem Gruppenelement ist aus der Tafel
leicht ablesbar; so ist das Inverse zu p± in der 53 die Per
Imitation p§ , da an der Schnittstelle der p4-Zeile mit der p5-
Spalte das neutrale Element e steht
• Ist die Gruppenoperation kommutativ (AßELsche Gruppe), so ist die Tafel symmetrisch bezüglich
der „Hauptdiagonalen"; die 53 ist nicht kommutativ, da z.B. p\op2 ^ p2 opi
• Das Assoziativgesetz ist aus der Gruppentafel nicht ablesbar.
5.3.3.2 Untergruppen und direkte Produkte
1. Untergruppen
Es sei G = (G, *) eine Gruppe und U C G. Ist U bezüglich * wieder eine Gruppe, so heißt U = (U, *)
eine Untergruppe von G.
Eine nichtleere Teilmenge U einer Gruppe (G, *) ist genau dann Untergruppe von G, wenn für alle
a, b G U auch a * b und a~l mU liegen (Untergruppenkriterium)
1. Zyklische Untergruppen Die Gruppe G selbst und E = {e} sind Untergruppen von G, die
trivialen Untergruppen. Außerdem bestimmt jedes Element aG(? eine Untergruppe, die von a erzeugte
zyklische Untergruppe
< a > = { .., o-2, a~\ e, a, a2,...} . E.99)
Ist die Gruppenoperation eine Addition, so schreibt man statt der Potenzen ak als Abkürzung für die
/c-fache Verknüpfung von a mit sich selbst ganzzahlige Vielfache ka als Abkürzung für die /c-fache
Addition von a mit sich selbst, d.h.
< a > = {..., (-2)a, -a, 0, a, 2a,...} . E.100)
Dabei ist < a > die kleinste Untergruppe von G, die a enthält. Gilt < a > = G für ein Element a aus
G, so heißt G zyklisch.
Es gibt unendliche zyklische Gruppen, wie Z bezuglich der Addition, und endliche zyklische Gruppen,
wie die Restklassenaddition in der Menge Zm der Restklassen modulo m (s 5 4.3,3., S. 337).
¦ Ist die Elementeanzahl einer endlichen Gruppe G eine Primzahl, so ist G stets zyklisch
2. Verallgemeinerung Man kann den Begriff der zyklischen Gruppe wie folgt verallgemeinern- Ist
M eine nichtleere Teilmenge einer Gruppe G, so wird mit < M > die Untergruppe von G bezeichnet,
deren Elemente sich sämtlich als Produkt von endlich vielen Elementen aus M und deren Inversen
schreiben lassen. Die Teilmenge M heißt dann Erzeugendensystem von < M > . Besteht M nur aus
einem Element, dann ist < M > zyklisch.
3. Gruppenordnung, Links- und Rechtsnebenklassen In der Gruppentheorie wird die
Elementenzahl einer endlichen Gruppe mit ord G bezeichnet. Ist die von einem Element a einer Gruppe
erzeugte zyklische Untergruppe < a > endlich, so heißt deren Ordnung auch Ordnung des Elements a,
d.h ord < a > = ord a.
Ist U eine Untergruppe einer Gruppe (G, *) und a € G, so heißen die Teilmengen
aU := {a * u\u € U} bzw. Ua := {u * a\u G U} E.101)
von G Linksnebenklassen bzw. Rechtsnebenklassen von U in G Die Links- bzw Rechtsnebenklassen
bilden jeweils eine Zerlegung von G (s. 5.2.4,2., S. 306).
Alle Links- oder Rechtsnebenklassen einer Untergruppe U in einer Gruppe G haben die gleiche Anzahl
von Elementen, nämlich ord U. Daraus ergibt sich, daß die Anzahl der Linksnebenklassen gleich der
Anzahl der Rechtsnebenklassen ist Diese Zahl wird Index von U in G genannt. Aus den genannten
Fakten ergibt sich der Satz von LAGRANGE.
5 3 Klassische algebraische Strukturen 311
4. Satz von Lagrange Die Ordnung einer Untergruppe ist stets Teiler der Gruppenordnung.
Im allgemeinen ist es schwierig, alle Untergruppen einer Gruppe anzugeben. Im Falle endlicher Gruppen
ist der Satz von LAGRANGE als notwendige Bedingung für die Existenz von Untergruppen hilfreich
2. Normalteiler
Für Untergruppen U ist im allgemeinen all verschieden von Ua (es gilt jedoch \aU\ = \Ua\) Ist aber
aU = Ua für alle o G G, so heißt U Normalteiler von G Diese speziellen Untergruppen sind die
Grundlage für die Bildung von Faktorgruppen (s. 5.3.3 3,3., S. 312).
In AßELschen Gruppen ist natürlich jede Untergruppe Normalteiler
Beispiele für Untergruppen und Normalteiler:
¦ A: R \ {0} , Q \ {0} bilden Untergruppen von C \ {0} bezüglich der Multiplikation.
M B: Die geraden ganzen Zahlen bilden eine Untergruppe von Z bezüglich der Addition.
¦ C: Untergruppen der Gruppe £3- Wegen des Satzes von LAGRANGE kann die 6-elementige Gruppe
S3 (außer den trivialen Untergruppen) nur Untergruppen mit 2 oder 3 Elementen haben. Tatsächlich
hat die Gruppe S3 folgende Untergruppen: E — {e} , U\ = {s,Pi}, U2 = {s,p2} , Uz = {£,£3},
U4 = {£,P4,P5},S3.
Die nichttrivialen Untergruppen U\, U2, U3 und t/4 sind zyklisch, weil ihre Elementeanzahlen sämtlich
Primzahlen sind. Die 53 ist dagegen nicht zyklisch Außer den trivialen Normalteilern hat die Gruppe
Sß nur noch die Untergruppe t/4 als Normalteiler
Übrigens ist jede Untergruppe U einer Gruppe G mit \U\ = \G\/2 Normalteiler von G.
Alle symmetrischen Gruppen 5m und ihre Untergruppen werden Permutationsgruppen genannt.
¦ D: Spezielle Untergruppen der Gruppe GL(n) aller regulären Matrizen vom Typ (n, n) bezüglich
der Matrizenmultiplikation.
SL(n) Gruppe aller Matrizen A mit der Determinante 1,
0(n) Gruppe aller orthogonalen Matrizen,
SO(n) Gruppe aller orthogonalen Matrizen mit der Determinante 1.
Die Gruppe SL(n) ist Normalteiler von GL(n) (s. 5.3.3 3,3., S 312) und SO(n) Normalteiler von 0{n).
¦ E: Als Untergruppen der Gruppe aller regulären komplexen Matrizen seien erwähnt (s. 4 1 4, S. 262)-
U(n) Gruppe aller unitären Matrizen,
SU(n) Gruppe aller unitären Matrizen mit der Determinante 1.
3. Direkte Produkte
1. Definition Es seien A und B Gruppen, deren Gruppenoperation (z B Addition oder
Multiplikation) mit • bezeichnet sein soll. Im kartesischen Produkt (s 5.2 2,4., S. 303) A x B E.65a) kann man
durch die folgende Vorschrift eine Operation * einführen:
(ai, fei) * (a2, b2) — (a,\ • a2, fei • b2) E.102a)
Damit wird A x B zu einer Gruppe, die das direkte Produkt von A und B genannt wird.
Mit (e, e) wird das Einselement von A x B bezeichnet, (a_1, fe-1) ist das inverse Element zu (o, fe).
Für endliche Gruppen A, B gilt
ordAx B = oidA- ordB E.102b)
Die Giuppen A! := {(o, e)\a € A} bzw. B' := {(e, fe)|fe G B} sind zu A bzw. B isomorphe Normalteiler
von Ax B.
Das direkte Produkt AßELscher Gruppen ist wieder abelsch.
Für zyklische Gruppen gilt: Das direkte Produkt zweier zyklischer Gruppen A, B ist genau dann
zyklisch, wenn der größte gemeinsame Teiler der Gruppenordnungen gleich 1 ist.
¦ A: MitZ2 = {e,a}undZ3 = {e,fe,fe2} wird Z2 x Z3 = {(e,e), (e, fe), (e,fe2), (a,e), (a, fe), (a,fe2)}
eine zu Z6 isomorphe Gruppe (s. 5 3 3.3,2., S 312), die u.a von (a, fe) erzeugt wird.
¦ B: Andererseits ist Z2xZ2 = {(e, e), (e, fe), (a, e), (a, fe)} nicht zyklisch. Diese Gruppe der Ordnung
4 wird auch KLEiNsche Vierergruppe genannt und beschreibt die Deckabbildungen eines Rechtecks
312 5 Algebra und Diskrete Mathematik
2. Basissatz für Abelsche Gruppen Da die Bildung des direkten Produktes eine Konstruktion
ist, mit der aus „kleineren" Gruppen „größere" gewonnen werden, entsteht umgekehrt die Frage, wann
lassen sich große Gruppen G als direktes Produkt kleinerer Gruppen A, B darstellen, d.h., wann ist G
isomorph zuixß? Für AßELsche Gruppen gibt darüber der sogenannte Basissatz Auskunft.
Jede endliche AßELsche Gruppe ist als direktes Produkt zyklischer Gruppen von der
Primzahlpotenzordnung darstellbar
5.3.3.3 Abbildungen zwischen Gruppen
1. Homomorphismen und Isomorphismen
1. Gruppenhomomorphismus Zwischen algebraischen Strukturen werden nicht beliebige,
sondern „strukturerhaltende" Abbildungen betrachtet:
Es seien G\ = (Gi, *) und G2 = {G2, o) Gruppen. Eine Abbildung h G\ —> G2 heißt
Gruppenhomomorphismus, wenn für alle a, b € G\ gilt
h(a *b) = h(a) o h(b) („Bild des Produktes = Produkt der Bilder"). E 103)
¦ Als Beispiel sei der Multiplikationssatz für Determinanten (s 4.2 2,7., S 269) erwähnt.
det(AB) = (det A)(det B). E 104)
Dabei ist auf der linken Seite der Gleichung die Multiplikation reeller Zahlen (ungleich Null) und auf
der rechten Seite die Multiplikation von regulären Matrizen gemeint
Ist h: Gi —? G2 ein Gruppenhomomorphismus, so wird die Menge ker h aller Elemente von G\, die auf
das neutrale Element von G2 abgebildet werden, Kern von h genannt Der Kern von h erweist sich als
Normalteiler von G\.
2. Gruppenisomorphismus Ist ein Gruppenhomomorphismus h darüber hinaus bijektiv, so heißt
h Gruppenisomorphismus, und die Gruppen G\ und G2 heißen zueinander isomorph (Bezeichnung:
Gi = G2). Es gilt ker h = E
Isomorphe Gruppen sind von gleicher Struktur, d.h., sie unterscheiden sich nur durch die Bezeichnung
ihrer Elemente.
¦ Die symmetrische Gruppe S3 und die Diedergruppe D3 sind zueinander isomorphe Gruppen der
Ordnung 6 und beschreiben die Deckabbildungen eines gleichseitigen Dreiecks.
2. Satz von Cayley
Der Satz von Cayley beinhaltet, daß durch die Permutationsgruppen (s 5 3 3 2,2., S. 311) alle
Gruppen strukturell beschrieben werden können
Jede Gruppe ist zu einer Permutationsgruppe isomorph
Eine zu (<?, *) isomorphe Permutationsgruppe P ist die aus den Permutationen irg (g € G), die a auf
a * g abbilden, bestehende Untergruppe der Sc • Dabei ist ein zugehöriger Isomorphismus f.G—>P
durch f(g) = ng gegeben
3. Homomorphiesatz für Gruppen
Die Menge der Nebenklassen eines Normalteilers ./V in einer Gruppe G wird bezüglich der Operation
aNobN = abN E 105)
zu einer Gruppe, der Faktorgruppe von G nach N , die mit G/N bezeichnet wird.
Der folgende Satz beschreibt einen Zusammenhang zwischen homomorphen Bildern und
Faktorgruppen einer Gruppe und wird deshalb Homomorphiesatz für Gruppen genannt
Ein Gruppenhomomorphismus h' G\ —? G2 bestimmt einen Normalteiler von Gi, nämlich ker h = {a €
Gi\h(a) = e} . Die Faktorgruppe Gi/kerh ist isomorph zum homomorphen Bild h(G\) = {h(a)\a €
Gi} . Umgekehrt bestimmt jeder Normalteiler iV von Gi eine homomorphe Abbildung nat^' G\ —?
Gi/N mit nat^j(a) = aN. Diese Abbildung natu wird natürlicher Homomorphismus genannt.
¦ Weil die Determinantenbildung det: GL(n) —*¦ R\ {0} ein Gruppenhomomorphismus mit dem Kern
SL(n) ist, bildet SL(n) einen Normalteiler von GL(n), und es gilt (nach dem Homomorphiesatz)-
GL{n)/SL{ri) ist isomorph zur multiplikativen Gruppe R \ {0} der reellen Zahlen (Bezeichnungen
s 5 33 2,2., S 311)
5 3 Klassische algebraische Strukturen 313
5.3.4 Darstellung von Gruppen*
5.3.4.1 Definitionen
1. Darstellung
Eine Darstellung D(G) der Gruppe G ist eine Abbildung (Homomorphismus) von G auf die Gruppe
nichtsingulärer linearer Transformationen D in einem n-dimensionalen (reellen oder komplexen)
Vektorraum Vn :
D(G) a^D{a), aeG. E.106)
Der Vektorraum Vn heißt Darstellungsraum, n ist die Dimension der Darstellung (s. auch 12.1.3,2.,
S 619) Nach Einführung einer Basis {e^} (i = 1,2, , n) in Vn kann jeder Vektor x als
Linearkombination der Basisvektoren geschrieben werden
x = JTxiei, xeVn E 107)
Die Wirkung der linearen Transformation D(a), a G G auf x läßt sich durch eine quadratische Matrix
(Dik(a)) (z, k — 1, 2, , n) definieren, die die Koordinaten des transformierten Vektors x' in der Basis
ei liefert-
n n
x' = D(a)x = Y, x'iZi, x'i = Y, Dik{o)xk . E.108)
t=l fc=l
Diese Transformation kann auch als Basistransformation je*} —? {ej} aufgefaßt werden.
e'i = eiD{a) = JTDki{a)ek E.109)
fc=i
Damit wird jedem Gruppenelement a eine Darstellungsmatrix (Dik(a)) zugeordnet
D{G) a^{Dik{a)) (i, k = 1,2,... ,n) ,a G G E.110)
Die Darstellungsmatrix hängt von der Wahl der Basis ab.
2. Treue Darstellung
Bei einer treuen Darstellung ist G —> D(G) ein Isomorphismus, d h , die Zuordnung von
Gruppenelement und Darstellungsmatrix ist eineindeutig.
3. Eigenschaften der Darstellung
Eine Darstellung besitzt folgende Eigenschaften (a, b G G, / . Einheitsoperator).
D(a*b) = D(a)-D{bI D(a~l) = D~\a), D(e) = I. E 111)
5.3.4.2 Spezielle Darstellungen
1. Identische Darstellung
Jede Gruppe G besitzt eine triviale eindimensionale Darstellung (identische Darstellung), bei der jedes
Gruppenelement dem Einheitsoperator / zugeordnet wird, a —? / für alle aeG
2. Adjungierte Darstellung
Die zu D(G) adjungierte Darstellung D+(G) geht aus D(G) durch komplexe Konjugation und
Spiegelung an der Hauptdiagonalen der Darstellungsmatrix hervor
D+(G) = D*(G) E 112)
3. Unitäre Darstellung
Bei einer unitären Darstellung sind alle Darstellungsmatrizen unitär:
D(G)-D+(G) = E, E 113)
wobei E die Einheitsmatrix ist
*In diesem Abschnitt sind Vektoren im allgemeinen nicht fett gesetzt
314 5 Algebra und Diskrete Mathematik
4. Äquivalente Darstellungen
Zwei Darstellungen D(G) und D'(G) nennt man äquivalent, wenn für jedes Gruppenelement a die
Darstellungsmatrizen durch die gleiche Ahnlichkeitstransformation mit der nichtsingulären Matrix T
auseinander hervorgehen.
D'(a) = T-1-D(a)-T, D'ik(a) = £ (T). • Dß{a) ¦ Tlk . E 114)
3,1=1 lJ
Im entgegengesetzten Falle spricht man von einer inäquivalenten Darstellung Der Übergang von D(G)
nach D'{G) entspricht einer Basistransformation T : {ei,e2, . ,en} —> {e\,e'2, .., e|J im
Darstellungsraum Vn:
n
e' = eT, e; = ^Tfciefc (i = 1,2, .,n) E.115)
fc=i
Jede Darstellung einer endlichen Gruppe ist einer unitären Darstellung äquivalent
5. Charakter eines Gruppenelements
Der Charakter x{o) eines Gruppenelements a in einer Darstellung D(G) ist definiert als Spur der
Darstellungsmatrix D(a) (Summe der Hauptdiagonalelemente)-
x(a) = Sp(D) = £Ai(a). E.116)
i=l
Der Charakter des neutralen Elemenmts e liefert die Dimension n der Darstellung: \{e) = n. Da die
Spur einer Matrix bei Ahnlichkeitstransformationen invariant bleibt, hat das Gruppenelement a in
äquivalenten Darstellungen den gleichen Charakter
¦ Es wird eine dreidimensionale Darstellung der symmetrischen Gruppe S3 betrachtet Von drei
Teilchen mit den Koordinaten xi,x2, x3 besetzen in einem Schalenmodell der Atom- oder Kernphysik zwei
Teilchen den Zustand (pa , und ein Teilchen befindet sich im Zustand tpß (Konfiguration a2ß). Die
möglichen Besetzungen ^(xi)^^)^^) = ei, (pa{xi)(pß{x2)(pa{x3) = e2, Vß(xi)<pa{x2)<Pa{x3) = e3
bilden eine Basis {ei, e2, es} in einem dreidimensionalen Vektorraum V3 zur Darstellung der
symmetrischen Gruppe 5ß Die Matrixelemente der Darstellungsmatrizen können entsprechend E.109) durch
Anwendung der Gruppenelemente E.93) auf die Koordinatenindizes in den Basiselementen t\
gewonnen werden. So gilt z.B.
Piei = Plfa{Xl)^a(x2)fß{x3) = Wa(Xi)Vß{x2)ya(x3) = A>l(Pl)e2 ,
P\e2 = Pi^>a{xi)(fß(x2)(pa(x3) = ^Pa(xi)(pa(x2)ipß(x3) = Du(pi)ei,
P\e3 = Pi<Pß(xi)<pa(x2)(pa(x3) = <Pß(xi)(pa(x2)ipa(x3) = D33(pi)e3 . E 117)
Man findet insgesamt*
/100\ /010\ Z001
D(e) =010, D(pi) =100, D(p2) = 010
\001/ \001/ \100
/ioo\ /010\ /°01
D(pa) = 001, D(p4) = 001, D(ps) =100
\oio/ \iooy \oio
Für die Charaktere ergibt sich:
X(e) = 3, x(Pi) = Xfe) = x(Ps) = 1, x(Pa) = x(Ps) = 0
5.3.4.3 Direkte Summe von Darstellungen
Die Darstellungen D^(G), D^2\G) mit den Dimensionen ni,n2 können zu einer neuen Darstellung
D(G) mit der Dimension n = n\ + n2 zusammengefaßt werden, indem man die direkte Summe der
E 118)
5.3 Klassische algebraische Strukturen 315
Darstellungsmatrizen bildet.
D(a) = D<1)(a)$DB)(a)= (D<>)D(°(a)) E 119)
Die Block-Diagonalform der Darstellungsmatrix bedeutet, daß der Darstellungsraum Vn eine direkte
Summe von invarianten Unterräumen Vni, Vn2 ist:
Vn = Vni©Vn2, n = n1+n2. E.120)
Ein Unterraum Vm (m < n) von Vn heißt invarianter Unterraum, wenn bei jeder linearen
Transformation D(a), a G G jeder Vektor x G Vm wieder auf ein Element aus Vm abgebildet wird:
x'= D(a)x mit x,x' G Vm E.121)
Der Charakter der Darstellung E.119) ist die Summe der Charaktere der Einzeldarstellungen*
X(a) = xA)(«) + XB)(a) E 122)
5.3.4.4 Direktes Produkt von Darstellungen
Sind ei (i = 1,2, ,n\) und e'k (k = 1,2,...,n{) die Basisvektoren der Darstellungsräume Vni und
Vn2, dann bilden die Tensorprodukte
eik = {eiek} (i = 1.2,... ,nx, k = 1,2,... ,n2) E 123)
eine Basis im Produktraum Vni ® Vn2, der die Dimension n\ • n2 hat. Aus den Darstellungen D^(G)
und D^2\G) in Vni bzw. Vn2 kann man eine rii • n2-dimensionale Darstellung D(G) im Produktraum
gewinnen, indem das direkte Produkt oder (innere) KRONECKER-Produkt der Darstellungsmatrizen
bildet:
D(G) = DM(G) ® Wie), (D(G))ikJl = D\l\a) • Df[a)
mit i,k = 1,2,...,ri!, j,l = 1,2, . ,n2. E.124)
Der Charakter des KRONECKER-Produktes zweier Darstellungen ist gleich dem Produkt der
Charaktere der Faktoren-
x(lx2)(a) = x(l)(a).xB)(a) E125)
5.3.4.5 Reduzible und irreduzible Darstellungen
Wenn der Darstellungsraum Vn einen gegenüber den Gruppenoperationen invarianten Unterraum Vm
(m < n) besitzt, dann können die Darstellungsmatrizen durch eine geeignete Basistransformation T
in Vn auf die Form
gebracht werden. Di(o) und D2(a) sind selbst Matrixdarstellungen von a G G mit den Dimensionen
m bzw. n — m
Existiert in Vn kein echter invarianter Unterraum, dann nennt man die Darstellung D(G) irreduzibel.
Die Anzahl der inäquivalenten irreduziblen Darstellungen einer endlichen Gruppe ist endlich. Läßt sich
eine Basistransformation T finden, die Vn in eine direkte Summe von invarianten Teilräumen überführt,
dh.
Vn = V!©.--eVnj, E-127)
dann geht die Darstellungsmatrix D(a) für jedes a G G nach einer Ahnlichkeitstransformation mit T
in Block-Diagonalform (A = 0 in E.126)) über
/D^(a) 0 \
T-1.D(a)-T = DA)(a)e---eD(n^)(a)= '-. . E.128)
\ 0 D^)(a)j
316 5. Algebra und Diskrete Mathematik
Eine solche Darstellung heißt vollständig reduzibel.
Hinweis: Bei naturwissenschaftlichen Anwendungen der Gruppentheorie besteht eine
fundamentale Aufgabe darin, die Klassifizierung aller inäquivalenten irreduziblen Darstellungen einer gegebenen
Gruppe zu finden.
¦ Die in E 118) angegebene Darstellung der symmetrischen Gruppe 53 ist reduzibel Durch die
Basistransformation {ei,e2,es} —? {e^ = e\ + e2 + 63, e'2 = e2, e3 = e3} erhält man z.B für die
Darstellungsmatrix der Permutation p3:
mit A = f p> J , Di(p3) = 1 als identische Darstellung von 53 und D2(p3) — ( 1 n
5.3.4.6 Erstes Schursches Lemma
Wenn C ein Operator ist, der mit allen Transformationen einer irreduziblen Darstellung D einer Gruppe
kommutiert, d.h., es gilt [C, D(a)] = C • D(a) — D(a) • C = 0, a £ G, und der Darstellungsraum
Vn ein invarianter Unterraum von C ist, dann ist C ein Vielfaches des Einheitsoperators, d.h. eine
Matrix (C»*), die mit allen Matrizen einer irreduziblen Darstellung kommutiert, ist ein Vielfaches einer
Einheitsmatrix E also C = A • E, A G C
5.3.4.7 Clebsch-Gordan-Reihe
Das KRONECKER-Produkt zweier irreduzibler Darstellungen D^(G), D^(G) ist im allgemeinen
reduzibel. Durch eine geeignete Basistransformation im Produktraum kann D^(G) ® D^(G) in
eine direkte Summe seiner irreduziblen Bestandteile D^ (a = 1,2,..., n) zerlegt werden (CLEBSCH-
Gord an-Theorem). Diese Entwicklung nennt man CLEBSCH-GORDAN-iüei/ie*
£>A)(G)®£>B)(a) = fem0i)(Q)(G). E.129)
Q=l
Hier ist mQ die Multiplizität, mit der die irreduzible Darstellung D^Q\G) in der CLEBSCH-GORDAN-
Reihe auftritt.
Die Matrixelemente der Basistransformation im Produktraum, die eine Reduktion des Kronecker-
Produktes in seine irreduziblen Bestandteile bewirkt, heißen ChE&SCYi-GoR'D AN-Koeffizienten
5.3.4.8 Irreduzible Darstellung der symmetrischen Gruppe Sm
1. Symmetrische Gruppe SM
Die inäquivalenten irreduziblen Darstellungen der symmetrischen Gruppe Sm werden eindeutig durch
die Partitionen [A] von M charakterisiert, d h durch die Aufspaltung von M in ganze Zahlen
entsprechend
[A] = [Ai, A2,. ., AM], Ai + A2 + • • • + AM = M , \x > A2 > • • • > AM > 0 E.130)
Die graphische Darstellung der Partitionen erfolgt durch Kästchen, die zu YouNGschen Rahmen
geordnet werden
¦ Für die Gruppe S4 erhält man die fünf, im
nebenstehenden Schema dargestellten Young- r^i _ m 13 ^1 \o 21 \2111 H41
sehen Rahmen. ________ ' _ '_ ' '
Die Dimension der Darstellung [A] ist gegeben I I I I I 1 I I '
durch U I I I L|
n (Ai-A,+i-z) G
nW = M'^^ E 131)
5.3 Klassische algebraische Strukturen 317
Der konjugierte YoUNGsche Rahmen [Ä] geht aus [A] durch Vertauschen von Zeilen und Spalten hervor
Irreduzible Darstellungen von Sm sind im allgemeinen reduzibel, wenn man sich auf eine der
Untergruppen Sm-i, Sm-2, • •' beschränkt.
¦ Für ein System identischer Teilchen mit halbzahligem Spin verlangt das PAULI-Prinzip in der
Quantenmechanik die Konstruktion von Vielteilchen-Wellenfunktionen, die bei Vertauschung aller
Koordinaten zweier beliebiger Teilchen antisymmetrisch sind Oft liegt die Wellenfunktion als Produkt aus
einer Orts- und einer Spinfunktion vor Transformiert sich in diesem Fall die Ortsfunktion bei
Teilchenpermutation nach einer irreduziblen Darstellung [A] der symmetrischen Gruppe, dann muß sie mit
einer Spinfunktion kombiniert werden, die sich nach der konjugierten Darstellung [A] transformiert,
damit die Gesamt-Wellenfunktion zweier Teilchen bei Vertauschung antisymmetrisch wird.
5.3.5 Anwendungen von Gruppen
In der Chemie und der Physik finden Gruppen Anwendung zur Beschreibung der „Symmetrien" der ent-
spiechenden Objekte. Solche Objekte sind z B. Moleküle, Kristalle, Festkörperstrukturen oder
quantenmechanische Systeme. Diesen Anwendungen liegt das VON NEUMANNsche Prinzip zu Grunde:
Wenn ein System eine gewisse Gruppe von Symmetrieoperationen besitzt, dann muß jede physikalische
Beobachtungsgröße dieses Systems dieselbe Symmetrie besitzen.
5.3.5.1 Symmetrieoperationen, Symmetrieelemente
Unter einer Symmetrieoperation s eines räumlichen Objekts versteht man eine Abbildung des gesamten
Raumes in sich, bei der die Streckenlängen unverändert bleiben und das Objekt mit sich zur Deckung
kommt Mit Fix s wird die Menge aller Fixpunkte der Symmetrieoperation s bezeichnet, d h die Menge
aller Punkte des Raumes, die bei 5 festbleiben. Fix s heißt das Symmetrieelement von s Zur
Bezeichnung der Symmetrieoperation wird die SCHOENFLIESS-Symbolik verwendet
Man unterscheidet zwei Typen von Symmetrieoperationen, Operationen ohne Fixpunkt und
Operationen mit mindestens einem Fixpunkt.
1. Symmetrieoperationen ohne Fixpunkt, bei denen kein Punkt des Raumes fest bleibt, können
bei begrenzten räumlichen Objekten, und nur solche sollen hier betrachtet werden, nicht auftreten. Eine
Symmetrieoperation ohne Fixpunkt ist z B. eine Parallel Verschiebung
2. Symmetrieoperationen mit mindestens einem Fixpunkt sind z.B. Drehungen und
Spiegelungen. Zu ihnen gehören folgende Operationen.
a) Drehungen bezüglich einer Achse um einen Winkel ip: Für ip = 2n/n bezeichnet man
sowohl die Drehachse als auch die Drehung selbst mit Cn Die Drehachse heißt dann n-zählig
b) Spiegelungen an einer Ebene: Sowohl die Spiegelungsebene als auch die Spiegelung selbst
werden mit a bezeichnet. Ist zusätzlich eine Hauptdrehachse vorhanden, so zeichnet man diese senkrecht
und bezeichnet Spiegelungsebenen, die senkrecht auf dieser Achse stehen, mit a^ (h von horizontal)
und Spiegelungsebenen, die durch die Drehachse gehen, mit av (v von vertikal) oder ad (d von dihe-
dral, wenn dadurch gewisse Winkel halbiert werden)
c) Drehspiegelungen: Eine Operation, die dadurch entsteht, daß nach einer Drehung Cn eine
Spiegelung Gh erfolgt, heißt Drehspiegelung und wird mit Sn bezeichnet Drehung und Spiegelung sind dabei
vertauschbar. Die Drehachse heißt dann Drehspiegelungsachse n-ter Ordnung und wird ebenfalls mit
Sn bezeichnet Diese Achse nennt man zugehöriges Symmetrieelement, obwohl bei der Anwendung der
Operation Sn nur das Symmetriezentrum fest bleibt. Für n = 2 heißt eine Drehspiegelung auch
Punktspiegelung oder Inversion (s. 4 3 5.1, S.277) und wird mit i bezeichnet.
5.3.5.2 Symmetriegruppen
Zu jeder Symmetrieoperation S gibt es eine inverse Operation S~l, die S wieder „rückgängig" macht,
d h , es gilt
SS-1 = S~1S = e E 132)
318 5 Algebra und Diskrete Mathematik
Dabei bezeichnet e die identische Operation, die den gesamten Raum unverändert läßt. Die Gesamtheit
der Symmetrieoperationen eines räumlichen Objektes bildet bezüglich der Hintereinander-Ausführung
eine Gruppe, die im allgemeinen nichtkommutative Symmetriegruppe des Objektes. Dabei gelten die
folgenden Beziehungen-
a) Jede Drehung ist das Produkt zweier Spiegelungen. Die Schnitt gerade der beiden Spiegelungsebenen
ist die Drehachse.
b) Für zwei Spiegelungen er und er' gilt
erer' = cr'cr E.133)
genau dann, wenn die zugehörigen Spiegelungsebenen identisch sind oder senkrecht aufeinander stehen.
Im ersten Fall ist das Produkt die Identität e, im zweiten die Drehung C2
c) Das Produkt zweier Drehungen mit sich schneidenden Drehachsen ist wieder eine Drehung, deren
Achse durch den Schnittpunkt der gegebenen Drehachsen geht.
d) Für zwei Drehungen C2 und C2 um dieselbe oder um zwei zueinander senkrechte Achsen gilt
C2C'2 = C'2C2. E.134)
Das Produkt ist jeweils wieder eine Drehung. Im ersten Fall ist die zugehörige Drehachse die gegebene,
im zweiten steht die Drehachse senkrecht auf den beiden gegebenen.
5.3.5.3 Symmetrieoperationen bei Molekülen
Es erfordert viel Routine, um alle Symmetrieelemente eines Objektes zu erkennen. In der Literatur,
z.B. in [5.17], [5.19], [5.24], ist ausführlich beschrieben, wie man die Symmetriegruppen von Molekülen
erhält, wenn alle Symmetrieelemente bekannt sind Zur räumlichen Darstellung der Moleküle kann die
folgende Symbolik verwendet werden: Das Zeichen oberhalb C in Abb.5.9 bedeutet, daß sich hier die
OH-Gruppe über der Zeichenebene befindet, das Zeichen rechts neben C, daß sich die OC2H5-Gruppe
unter ihr befindet
Die Bestimmung der Symmetriegruppe kann mit Hilfe des folgenden Verfahrens erfolgen
1. Keine Drehachse
a) Existiert überhaupt kein Symmetrieelement, so ist G = {e}, d.h., außer der Identität e läßt das
Molekül keine Symmetrieoperationen zu.
¦ Das Molekül Halbacetal (Abb.5.9) ist nicht eben und besitzt vier verschiedene Atomgruppen.
b) Ist er eine Spiegelung bzw. i eine Inversion, so ist G = {e, er} =: Cs bzw. G = {e, i] = d und damit
jeweils isomorph zu Z2 .
¦ Das Molekül der Traubensäure (Abb.5.10) kann im Mittelpunkt P gespiegelt werden (Inversion).
CH,
OH
T
CIN" OC2H5
H
Abbildung 5.9
H
T
HO Clin- C02H
I p
C02H^£ OH
H
Abbildung 5.10
H*c
Abbildung5.11
2. Genau eine Drehachse C
a) Sind Drehungen um beliebige Winkel möglich, d.h. C = C^, so ist das Molekül linear, und die
Symmetriegruppe ist unendlich.
5.3 Klassische algebraische Strukturen 319
¦ A: Beim Molekül des Kochsalzes vom Typ Na—Cl gibt es keine horizontale Spiegelung. Die
dazugehörige Symmetriegruppe aller Drehungen um C wird mit CooV bezeichnet.
¦ B: Das Molekül O2 besitzt eine horizontale Spiegelung. Die dazugehörige Symmetriegruppe wird
durch die Drehungen und diese Spiegelung erzeugt und mit A*^ bezeichnet.
b) Die Drehachse ist n-zählig, C = Cn , sie ist aber keine Drehspiegelungsachse der Ordnung 2n.
Gibt es keine weiteren Symmetrieelemente, dann wird G von einer Drehung d um den Winkel ir/n um
Cn erzeugt, d.h. G = < d > = Zn In diesem Fall wird G ebenfalls mit Cn bezeichnet
Gibt es noch eine vertikale Spiegelung crv, so gilt G =< d,crv >= Dn (s.5.3.3.1, S. 309), und G wird
mit Cnv bezeichnet
Existiert dagegen eine horizontale Spiegelung ah , so gilt G =< d,av >= Zn x Z2. G wird mit Cnh
bezeichnet und ist für ungerades n zyklisch (s. 5 3 3.2, S 310).
¦ A: Beim Wasserstoffperoxid (Abb.5.11) treten diese drei Fälle in der oben angegebenen1
Reihenfolge für 0 < ö < 7r/2, S = 0 bzw. S = n/2 ein.
¦ B: Das Wassermolekul H20 besitzt als Symmetrieelemente eine zweizählige Drehachse und eine
vertikale Spiegelungsebene. Folglich ist die Symmetriegruppe des Wassers isomorph zur Gruppe D2 ,
die ihrerseits isomorph zur KLEiNschen Vierergruppe V4 ist (s. 5.3.3.2,3., S. 311)
c) Die Drehachse ist n-zählig, ist aber gleichzeitig Drehspiegelungsachse der Ordnung 2n. Dabei sind
zwei Fälle zu unterscheiden.
a) Gibt es weiter keine vertikale Spiegelung, so gilt G = Z2n , und G wird auch mit £2« bezeichnet.
¦ Ein Beispiel ist das Molekül Tetrahydroxy-Allen mit der Formel C3(OHL (Abb.5.12).
ß) Gibt es eine vertikale Spiegelung, dann ist G eine Gruppe der Ordnung An, die mit Dnh bezeichnet
wird.
¦ Für n = 2 ergibt sich G = D4 , d.h die Diedergruppe der Ordnung 8. Ein Beispiel ist das Alien-
Molekül (Abb.5.13)
Abbildung 5.12 Abbildung 5.13 Abbildung 5.14
3. Mehrere Drehachsen Gibt es mehrere Drehachsen, so sind weitere Fallunterscheidungen zu
treffen Haben insbesondere mehrere Drehachsen eine Ordnung n > 3 , dann treten folgende Gruppen als
zugehörige Symmetriegruppen auf
a) Tetraedergruppe T^: isomorph zu S4 , ord Td = 24;
b) Oktaedergruppe O^: isomorph zu S4x Z2, ord Oh = 48;
c) Ikosaedergruppe 1^: ord h = 120.
Diese Gruppen sind die Symmetriegruppen der in 3.3.3,11., S. 158, (Abb.3.63) besprochenen re-
1 gulären Polyeder
j ¦ Das Methan-Molekül (Abb.5.14) hat als Symmetriegruppe die Tetraedergruppe Td .
320 5 Algebra und Diskrete Mathematik
5.3.5.4 Symmetriegruppen in der Kristallographie
1. Gitterstrukturen
In der Kristallographie wird das Parallelepiped, das unabhängig von der Art der Besetzung durch
Atome oder Ionen die Elementarzelle eines Kristallgitters darstellt, durch drei, von einem gewählten
Gitterpunkt ausgehende nichtkomplanare Basisvektoren äl bestimmt (Abb.5.15) Die unendliche
geometrische Gitterstruktur ergibt sich durch Ausführung aller primitiven Translationen tn :
tn = wiäl + n2a2 + n3a^ , n=(ni,n2,n3) n^eZ E 135)
Dabei durchlaufen die Koeffizienten ni (« = 1,2,...) alle
ganzen Zahlen.
Die Gesamtheit aller Translationen tn , die als Gittervektoren
die Raumpunkte des Gitters L = {tn} festlegen, bilden die
Translationsgruppe T mit dem Gruppenelement T(t„), dem
inversen Element T_1(tn) = T(—tn) und der
Multiplikationsregel T(t„) * T(tm) = T(tn + tm) Für die Anwendung eines
Gruppenelementes T(tn) auf den Ortsvektor r gilt*
T(t;)r = r + C E 136)
2. Bravais-Gitter
Berücksichtigt man die möglichen Kombinationen der relativen Länge der Basisvektoren äi und der
paarweise zugeordneten Zwischenwinkel a, ß, 7 (besondere Winkel 90° und 120°), dann ergeben sich 7
verschiedene Typen von Elementarzellen, sogenannte primitive Elementarzellen mit den
entsprechenden Gittern, den BRAVAIS-Gittern (s. Abb.5.15 und Tabelle 5.4). Diese Systematik läßt sich um 7
weitere nichtprimitive Elementarzellen mit ihren Gitter erweitern, indem man bei Erhaltung der
Symmetrie der Elementarzelle an den Schnittpunkten der Flächen- oder Raumdiagonalen weitere
Gitterpunkte hinzufügt. Dabei unterscheidet man einseitig flächenzentrierte Gitter, innenzentrierte Gitter
und allseitig flächenzentrierte Gitter.
Tabelle 5.4 Primitive BRAVAIS-Gitter
Elementarzelle
triklin
monoklin
rhombisch
trigonal
hexagonal
tetragonal
kubisch
Längenverhältnis
der Basisvektoren
öl 7^ Ö2 ^ a3
cn ^ a2 7^ a3
ai + a<2 ¥" a3
cl\ = a2 = a3
ai = a2j^ a3
ai = a2y£ a3
ai = a2 = a3
Zwischenwinkel
a ± ß ± 7 ^ 90°
a = 7 = 90° ^ ß
öl = ß = 7 = 90°
a = ß = 7 < 120°(^ 90°)
a = /? = 90°,7 = 120°
a = ß = 7 = 90°
a = ß = 7 = 90°
3. Symmetrieoperationen in Kristallgitterstrukturen
Unter den Symmetrieoperationen, die das Raumgitter in äquivalente Lagen überfuhren, sind auch
Punkt gruppen-Operationen, wie gewisse Drehungen,'Drehspiegelungen und Spiegelungen an Ebenen
oder Punkten Allerdings sind nicht alle Punktgruppen auch kristallographische Punktgruppen Die
Forderung, daß die Anwendung der Gruppenelemente auf einen Gittervektor tn wieder einen
Gittervektor Vn e L (L. Gesamtheit aller Gitterpunkte) ergeben muß, schränkt die zugelassenen Punktgruppen
Abbildung 5.15
5.3 Klassische algebraische Strukturen 321
P mit den Gruppenelementen P(R) ein:
&={R ittnGL}, tn€L. E.137)
Dabei bedeutet R einen eigentlichen (R G 50C)) oder uneigentlichen Rotationsoperator (R = IR' £
0C), R' e SO(S),I : Inversionsoperator mit ir = —r, r: Ortsvektor). Mit einer Gitterstruktur
verträglich sind z.B. nur Drehachsen mit der Zähligkeit 1,2,3,4 oder 6. Insgesamt gibt es 32 kristallo-
graphische Punktgruppen P.
Die Symmetriegruppe eines Raumgitters kann auch Operationen enthalten, die aus einer simultanen
Ausführung von Drehungen und primitiven Translationen bestehen Auf diese Weise erhält man
Gleitspiegelungen, d.h. Spiegelungen an einer Ebene und Translationen parallel zur Ebene, und
Schraubungen, d h Rotation um 2n/n und Translationen um raa/n (m = 1,2,..., n — 1, a: Basistranslation).
Diese Operationen heißen nicht primitive Translationen V(R), da sie „gebrochenen" Translationen
entsprechen. Bei einer Gleitspiegelung ist R eine Spiegelung, bei einer Schraubung ist R eine eigentliche
Rotation.
Die Elemente der Raumgruppe G, die ein Kristallgitter invariant läßt, setzen sich also aus
Elementen R der kristallographischen Punktgruppe P, primitiven Translationen T(tn) und nichtprimitiven
Translationen V(jR) zusammen:
G = {{R\V(R)+fn:ReP, CeL}}. E.138)
Das neutrale Element der Raumgruppe ist {e|0} , wobei e das neutrale Element in P bedeutet. Das
Element {e|tn} bedeutet eine primitive Translation, {R\0} steht für eine Drehung oder Spiegelung.
Bei der Anwendung des Gruppenelementes {i?|tn} auf den Ortsvektor r erhält man
{Ä|tn}r = Är + tn. E.139)
Tabelle 5 5 BRAVAIS-Gitter, Kristallsysteme und Kristallklassen
Es bedeuten: Cn - Drehung mit einer Drehachse der Zähligkeit n, Dn- Diedergruppe, Tn -
Tetraedergruppe, On - Oktaedergruppe, Sn - Drehspiegelungen mit einer Drehachse der Zähligkeit n.
Gittertyp
triklin
monoklin
rhombisch
tetragonal
hexagonal
trigonal
kubisch
Kristallsystem
(Holoedrie)
Q
Cih
D2h
D4h
D6h
D3d
oh
Kristallklasse
CuCi
C2,Ch,C2h
C2v,D2,D2h
O4, S4, Oj/i, D4, Ö4V, D2d, D^h
Cß, C$h, Cßh, Dß, Oöv, Dsh, D&h
Cs,Sg,Ds,Csv,D3A
T,Th,Td,0,Oh
4. Kristallsysteme (Holoedrie)
Man kann zeigen, daß aus den 14 BRAVAis-Gittern L — {t„} , den 32 kristallographischen
Punktgruppen P = {R} und den erlaubten nicht primitiven Translationen V(R) insgesamt 230 Raumgruppen
G = {R\V(R) + tn} konstruiert werden können. Den Punktgruppen entsprechen 32 Kristallklassen
Unter den 32 Punktgruppen sind 7 Gruppen dadurch ausgezeichnet, daß sie keine Untergruppe einer
anderen Punktgruppe sind, aber weitere Punktgruppen als Untergruppe enthalten. Diese 7
Punktgruppen bilden jeweils ein Kristallsystem (Holoedrie). Die Symmetrie der 7 Holoedrien findet sich in
322 5 Algebra und Diskrete Mathematik
den Symmetrien der 7 BRAVAIS-Gitter wieder. Die Verteilung der 32 Kristallklassen auf die 7
Kristallsysteme ist in der Bezeichnungsweise von Schönflies in Tabelle 5.5 angegeben
Hinweis: Die Raumgruppe G E.138) ist die Symmetriegruppe des „leeren" Gitters Der reale Kristall
entsteht, wenn bestimmte Atome oder Ionen als Kristallbausteine auf den Gitterplätzen angeordnet
werden, wobei deren Verteilung eine eigene Symmetrie aufweist. Deshalb besitzt die Symmetriegruppe
Gq des Kristalls im allgemeinen eine geringere Symmetrie als G (G D G0)
5.3.5.5 Symmetriegruppen in der Quantenmechanik
Lineare Koordinatentransformationen, die den HAMILTON-Operator H eines quantenmechanischen
Systems (s 9 2.3.5,2., S. 558) invariant lassen, repräsentieren eine Symmetriegruppe G, deren
Elemente g mit H kommutieren
[g,H}=gH-Hg = 0, 9eG. E.140)
Die Vertauschbarkeit von g und H bedeutet, daß bei Anwendung des Operatorproduktes aus g und H
auf einen Zustand ip die Reihenfolge der Operatorwirkung beliebig ist
g(Htp) = H(g<p) E 141)
Folglich gilt. Wenn (pßa (<* = 1,2,..., n) die Eigenzustände von H zum n-fach entarteten Eigenwert
E sind, d.h
HipEa = E<pEa (a = l,2,...,n), E 142)
dann sind auch die transformierten Zustände gtpEa Eigenzustände zum gleichen Eigenwert E
gHifEa = HgVEa = Eg^pEa . E 143)
Die transformierten Zustände gipEa können als Linearkombinationen der Eigenzustände ipEa
geschrieben werden:
n
QVEa = Y, Dßa(9)^E0 ¦ E 144)
0=1
Die Eigenzustände ipEa bilden demzufolge die Basis eines n-dimensionalen Darstellungsraumes für eine
Darstellung D(G) der Symmetriegruppe G des HAMILTON-Operators H mit den
Darstellungsmatrizen (Daß(g)). Diese Darstellung ist irreduzibel, wenn keine „versteckten" Symmetrien vorliegen Man
kann feststellen, daß sich die Energie-Eigenzustände eines quantenmechanischen Systems durch die
irreduziblen Darstellungen der Symmetriegruppen des HAMILTON-Operators klassifizieren lassen.
Die Darstellungstheorie von Gruppen liefert damit qualitative Aussagen über solche Strukturen des
Energiespektrums eines quantenmechanischen Systems, die allein auf seine äußeren oder inneren
Symmetrien zurückgehen. Auch die Aufspaltung entarteter Energieniveaus unter dem Einfluß einer
Störung, die die Systemsymmetrie bricht, und die Auswahlregel für die Matrixelemente der Übergänge
zwischen Energie-Eigenzuständen folgen aus der Untersuchung der Darstellungen, nach denen sich die
beteiligten Zustände und Operatoren unter Gruppenoperationen transformieren
Die Anwendung der Gruppentheorie in der Quantenmechanik wird ausführlich in der Literatur
dargestellt, z B in [5 11], [5 13], [5 21], [5 22], [5.23]
5.3.5.6 Weitere Anwendungsbeispiele aus der Physik
Weitere Beispiele für die Anwendung spezieller kontinuierlicher Gruppen in der Physik können hier
lediglich genannt werden. Weiterfuhrende Literatur s. [5 11], [5.15].
U(l): Eichtransformationen der Elektrodynamik.
SU'B). Spin- und Isospinmultipletts in der Teilchenphysik.
SU'C)' Klassifizierung von Baryonen und Mesonen in der Teilchenphysik, Vielteilchenprobleme der
Kernphysik
5.3 Klassische algebraische Strukturen 323
50C)- Drehimpulsalgebra in der Quantenmechanik; atomare und nukleare Vielteilchenprobleme.
SODc): Entartung im Wasserstoffspektrum
SU{%). WlGNER-Supermultipletts im Schalenmodell der Kerne durch Vereinigung von Spin- und Iso-
spinfreiheitsgraden, Beschreibung von Flavour-Multipletts im Quarkmodell unter Einbeziehung des
Charm-Preiheitsgrades.
SUF) Multipletts im Quarkmodell durch Kombination von Flavour- und Spinfreiheitsgraden,
Kernstrukturmodelle.
U(n) Schalenmodelle in Atom- und Kernphysik
SU(n), SO(n)' Vielteilchenprobleme der Kernphysik.
SUB) ® U(l) Standardmodell der elektroschwachen Wechselwirkung
517E) D SUC) ® SUB) <g> U(l). Vereinheitlichung der fundamentalen Wechselwirkungen (GUT).
Hinweis: Die Gruppen SU(n) und SO(n) sind LlE-Gruppen. Das sind spezielle kontinuierliche
Gruppen, auf deren Behandlung hier nicht eingegangen werden kann (s. z.B. [5.11]).
5.3.6 Ringe und Körper
In diesem Abschnitt werden algebraische Strukturen mit zwei binären Operationen betrachtet.
5.3.6.1 Definitionen
1. Ringe
Eine Menge R, versehen mit zwei binären Operationen +, * heißt Ring (Bezeichnung (R , + , *)), wenn
• (R, +) eine AßELsche Gruppe,
• (R,*) eine Halbgruppe ist und
• die Distributivgesetze gelten:
a * (b + c) = (a * b) + (a * c), (b + c) *a = (b*a) + (c*a). E.145)
Ist (R, *) kommutativ bzw. hat (Ä, *) ein neutrales Element, so heißt der Ring (Ä, +, *) kommutativ
bzw. Ring mit Einselement.
2. Körper
Ein Ring wird Körper genannt, wenn (R \ {0}, *) eine AßELsche Gruppe ist Deshalb ist jeder Körper
speziell ein kommutativer Ring mit Einselement.
3. Körpererweiterungen
Es seien K und E Körper. Gilt K C E , so heißt E Körpererweiterung über K
Beispiele für Ringe und Körper
¦ A: Die Zahlenbereiche Z, Q, R und C sind bezuglich der Addition und Multiplikation kommutative
Ringe mit Einselement; Q , R und C sind sogar Körper. Die Menge der geraden ganzen Zahlen ist ein
Beispiel für einen Ring ohne Einselement
Der Körper C ist der Erweiterungskörper von R.
¦ B: Die Menge Mn aller Matrizen vom Typ (n,n) über den reellen oder komplexen Zahlen bildet
einen nichtkommutativen Ring mit der Einheitsmatrix als Einselement
¦ C: Die Menge der reellen Polynome p(x) = anxn + an-\Xn~l + h a\X + üq bildet bezüglich der
üblichen Addition und Multiplikation von Polynomen einen Ring, den Polynomring R[x].n heißt Grad
des Polynoms p(x). Er wird mit degp(x) bezeichnet Allgemeiner kann man anstelle des Polynomringes
über R auch Polynomringe über beliebigen kommutativen Ringen mit Einselement betrachten.
¦ D: Beispiele für endliche Ringe sind die Restklassenringe Zm modulo m • Zm besteht aus allen
Klassen [a]m von ganzen Zahlen, die bei der Division durch m den gleichen Rest lassen. ([a]m ist die
durch die ganze Zahl a bestimmte Aquivalenzklasse bezüglich der in 5 2.4, S 306 eingeführten Relation
~A ) Dabei sind durch
[a\m®[b]m = [a + b}rn und [a]m 0 [6]m = [a • b]m E.146)
324 5. Algebra und Diskrete Mathematik
Ringoperationen 0, 0 auf Zm erklärt. Ist die natürliche Zahl m eine Primzahl, so wird (Zm ,0,0)
sogar ein Körper. Meist wird Zm = {0,1,.. , m — 1} gesetzt, d.h. die Restklassen werden durch
Repräsentanten ersetzt.
5.3.6.2 Unterringe, Ideale
1. Unterring Es sei R = (R, +, *) ein Ring und U C R. Ist U bezüglich + und * wieder ein Ring,
so heißt U = {U, +, *) ein Unterring von R.
Eine nichtleere Teilmenge U eines Ringes (R, +, *) bildet genau dann einen Unterring von R, wenn für
alle a,b G U auch a 4- (—b) und a * b in U liegen (Unterringkriterium).
2. Ideal Ein Unterring / heißt Ideal, wenn für alle r G R und a G / sowohl r * a als auch a * r in /
liegen Diese speziellen Unterringe sind die Grundlage für die Bildung von Faktorringen (s. 5.3.6 3,4.,
S. 324).
Die trivialen Unterringe {0} und R sind auch stets Ideale von R Körper haben nur triviale Ideale.
3. Hauptideal Sämtliche Ideale von Z sind Hauptideale, das sind Ideale, die von einem
Ringelement „erzeugt" werden können Sie werden in der Form raZ = {mg\g G Z} geschrieben und mit (m)
bezeichnet.
5.3.6.3 Homomorphismen, Isomorphismen, Homomorphiesatz
1. Ringhomomorphismus und Ringisomorphismus
1. Ringhomomorphismus Es seien Ri = (Äi, +, *) und R2 = (#2, °+, °*) Ringe. Eine Abbildung
h: Ri —> R2 heißt Ringhomomorphismus, wenn für alle a, b G Ri gilt
h(a + b) = h(a)o+h(b) und h{a * b) = h(a) o, h{b) E.147)
2. Kern Der Kern von h ist die Menge aller Elemente aus R\, die bei h auf das neutrale Element 0
von (R2, +) abgebildet werden, und wird mit ker h bezeichnet
ker/i = {a G #i|/i(a) = 0} E 148)
Dabei ist ker h ein Ideal von R\.
3. Ringisomorphismus Ist h außerdem bijektiv, so heißt h Ringisomorphismus, und die Ringe R\
und R2 heißen zueinander isomorph
4. Faktorring Ist / ein Ideal eines Ringes (R, +, *), so wird die Menge der Nebenklassen {a + I\a G
R} von / in der additiven Gruppe (R, +) des Ringes R (s 5.3 3,1., S. 310) bezüglich der Operationen
(o + /)o+F + /) = (a + 6) + 7 und (o + /) o„ F + /) = (o * b) + / E.149)
zu einem Ring, dem Faktorring von R nach /, der mit R/I bezeichnet wird
Die Hauptideale (m) von Z liefern als Faktorringe gerade die Restklassenringe Zm = Z/(m) (s. obige
Beispiele für Ringe und Körper).
2. Homomorphiesatz für Ringe
Ersetzt man im Homomorphiesatz für Gruppen den Begriff Normalteiler durch Ideal, so erhält man
den Homomorphiesatz für Ringe: Ein Ringhomomorphismus h' Ri —> R2 bestimmt ein Ideal von Ri,
nämlich ker/i = {a G Ri\h(a) = 0} . Der Faktorring Ri/kerh ist isomorph zum homomorphen Bild
h(Ri) = {h(a)\a G R\} Umgekehrt bestimmt jedes Ideal / von Ri eine homomorphe Abbildung nati'.
R\ —? R2/I mit nati(a) = a + I. Diese Abbildung nati wird natürlicher Homomorphismus genannt.
5.3.6.4 Endliche Körper und Schieberegister
1. Endliche Körper
Körper zeichnen sich insbesondere dadurch aus, dass sie keine Nullteiler besitzen. Endliche Körper sind
sogar dadurch charakterisiert. Nullteiler sind von Null verschiedene Elemente eines Ringes, für die ein
von Null verschiedenes Element existiert, so dass das Produkt gleich Null wird. Die in 5.3.6.1, S. 323,
¦ D erwähnten Restklassenringe Zm haben genau dann Nullteiler, wenn m keine Primzahl ist, denn
m = k • l hat k 0 / = 0 (Multiplikation modulo m) zur Folge.
Auf diese Weise erhält man mit Zp, p Primzahl, (bis auf Isomorphie) alle endlichen Körper mit p
Elementen Allgemeiner gilt:
5 3 Klassische algebraische Strukturen 325
Für jede Primzahlpotenz pn gibt es (bis auf Isomorphie) genau einen Körper mit pn Elementen, und
jeder endliche Körper hat pn Elemente
Die Körper mit pn Elementen werden auch mit GF(pn) bezeichnet (GALOIS field). Man beachte, für
n > 1 ist GF(pn) von Zpn verschieden.
Zur Konstruktion endlicher Körper mit pn Elementen {p Primzahl, n > 1) werden Polynomringe über
Zp (s. 5 3.6.1, S. 323, ¦ C) und irreduzible Polynome benötigt:
Zp[x] besteht aus allen Polynomen mit Koeffizienten aus Zp Mit den Koeffizienten wird also bei der
Addition und Multiplikation der Polynome modulo p gerechnet.
In Polynomringen K[x] über Körpern K gilt der Divisionsalgorithmus (Polynomdivision mit Rest),
d h. für f(x),g{x) G K[x] mit deg/(x) < deg^(x) existieren q{x),r{x) G K[x] mit
g(x) = q(x) • f(x) + r(x) und degr(x) < deg/(x). E.150)
Diese Situation wird durch r(x) = g(x) (modf(x)) beschrieben. Fortgesetzte Division mit Rest
liefert den Euklidischen Algorithmus für Polynomringe und der letzte von Null verschiedene Rest den
größten gemeinsamen Teiler (ggT) der Polynome f(x) und g(x)
Ein Polynom f(x) G K[x] heißt irreduzibel, wenn es sich nicht als Produkt von Polynomen niedrigeren
Grades schreiben lasst, d.h (in Analogie zu den Primzahlen in Z) f(x) ist Primelement in K[x]. Für
Polynome zweiten oder dritten Grades ist Irreduzibilität gleichbedeutend mit der Nichtexistenz von
Nullstellen in K.
Man kann zeigen, dass in K[x] irreduzible Polynome beliebigen Grades liegen.
Fui ein irreduzibles Polynom f(x) G K[x] wird
K[x]/f{x) = {r{x) G K[x] | degr(x) < deg<?(:r)} E.151)
ein Körper, in dem modulo f(x) multipliziert wird, d h. g(x) * h(x) = g(x) • h(x) (mod /(#)).
Ist K = Zp und degf(x) = n, so hat der Körper K[x]/f(x) pn Elemente, d.h. GF(pn) = Zp[x]/f(x),
wobei f(x) ein irreduzibles Polynom n-ten Grades ist
Die multiplikative Gruppe K* = K \ {0} eines endlichen Körpers K ist zyklisch, d h , es gibt ein
Element a G K, so dass jedes Element aus K* als Potenz von a geschrieben werden kann. Man sagt, a
erzeugt die multiplikative Gruppe des Körpers- K* = {1, a, a2, .., aQ~2}
Ein irreduzibles Polynom f(x) G K[x] heißt primitiv, wenn die Potenzen von x alle von Null
verschiedenen Elemente von L := K[x]/f(x) durchlaufen, d h wenn x die multiplikative Gruppe von L erzeugt.
Mit einem primitiven Polynom f(x) n-ten Grades aus Zp[x] kann man eine „Logarithmentafel"für
GF(pn) aufstellen, die das Rechnen in diesem Körper wesentlich erleichtert.
¦ Konstruktion des Körpers GFB3) und Aufstellen der zugehörigen Logarithmentafel
f(x) = 1 + x + x3 ist über Z2[x] irreduzibel, da weder 0 noch 1 Nullstellen sind, also gilt:
GFB3) = Z2[x]/f(x) = {a0 + axx + a2x2 \ a0,aua2 G Z2 A x3 = 1 + x} E 152)
f(x) ist sogar primitiv, und man kann für GFB3) eine Logarithmentafel aufstellen.
Dazu werden jedem Polynom aQ+a\X+a2x2 aus Z2[x]/f(x) zwei Ausdrücke zugeordnet, der
Koeffizientenvektor a0aia2 und der sog Logarithmus, das ist diejenige natürliche Zahl i mit x% = a0 + a\X + a2x2
modulo 1 + x + x3. Man erhält für GF(8) die folgende Logarithmentafel-
KE
1
X
x2
x3
x4
xh
X6
KV
100
010
001
1 10
01 1
111
101
Log
0
1
2
3
4
5
6
Addition der Körperelemente (KE) in GF(8).
Addition der Koordinatenvektoren (KV),
komponentenweise mod 2 (allgemein: mod p).
Multiplikation der KE in GF(8)
Addition der Logarithmen (Log.) mod 7 (allg.: mod (pn — 1)).
Berechnungsbeispiel:
xJ + x4
326 5. Algebra und Diskrete Mathematik
L •= GF(q),q = pn, kann also als Erweiterungskörper von K=:GF(p) aufgefasst werden. Nach dem
Satz von Fermat (s 5 4 4, S. 341) gilt für alle a G L die Gleichung aq = a, d.h. jedes Element a G L
ist Nullstelle eines Polynoms mit Koeffizienten aus K, z.B. des Polynoms xq — x
Das Polynom ma(x) G K[x] heißt Minimalpolynom von a G L über K, wenn gilt: ma(x) hat a zur
Nullstelle, den höchsten Koeffizienten 1 (ma(x) ist normiert) und ist unter diesen dasjenige mit minimalem
Grad. Das Minimalpolynom ma(x) hat folgende Eigenschaften:
a) ma(x) ist irreduzibel über K.
b) ma(x) teilt jedes f(x) G K[x] mit f(a) = 0, insbesondere teilt es xq — x.
c) degraa(:z) < n.
d) Ist a erzeugendes Element von L*, so ist der Grad seines Minimalpolynoms gleich n.
In den voranstehenden Ausführungen kann für p statt einer Primzahl auch eine Primzahlpotenz
stehen.
Es sei q = pn eine Primzahlpotenz und ggT (n, q) = 1 Dann heißt jedes Element a eines
Erweiterungskörpers L von GF(g), das die Gleichung xn = 1 erfüllt, n-te Einheitswurzel über GF(q)
Die n-ten Einheitswurzeln über GF(g) bilden eine zyklische Gruppe der Ordnung n. Ein erzeugendes
Element dieser Gruppe heißt primitive n-te Einheitswurzel
2. Anwendungen für Schieberegister
Das Rechnen mit Polynomen kann sehr gut mit linear rückgekoppelten Schieberegistern durchgeführt
werden (s. Abb.5.16).
—i 1—r
r I1 i2 f
L-»p7|—+ -|sT|—+.... + -»[s^]-4.
Abbildung 5.16
Für ein linear rückgekoppeltes Schieberegister mit Rückkopplungspolynom f(x) = /o + f\X + • • • +
fr-iXT~l + xr erhält man aus dem Zustandspolynom s(x) = s0 + six -\ \- sr-ixr~l im Folgetakt das
Zustandspolynom s{x) ¦ x — sr_i • f(x) = s(x) • x (mod f(x))
Insbesondere entsteht aus s(x) = 1 nach i Takten das Zustandspolynom x% (mod f{x)).
¦ Demonstration am Beispiel von S. 325: Das primitive Polynom f(x) = 1 + x + x3 G Z2[x] wird
als Rückkopplungspolynom gewählt. Dann ergibt sich ein Schieberegister der Länge 3 mit folgender
Zustandsfolge:
Mit dem Anfangszustand 10 0 = 1
ergeben sich die Folgezustände: 0 1 0 = x
0 0 1 = x2
1 1 0 = x3
0 1 1 = xA
1 1 1 = x5
1 0 1 = x6
= l + x
= x + x2
= 1 + X + X2
= l + x2
(mod/(x))
(mod/(x))
(mod/(x))
(mod/(a;))
(mod/(x))
(mod/(x))
(mod/(a;))
100 =
= 1
(mod/(x))
Die Zustände sind als Koeffizientenvektoren eines Zustandspolynoms s0 + Six + s2x2 aufzufassen
Allgemein gilt: Ein linear rückgekoppeltes Schieberegister der Länge r liefert genau dann eine
Zustandsfolge maximaler Periodenlänge 2r — 1, wenn das Rückkopplungspolynom ein primitives Polynom vom
Grad r ist.
5.3 Klassische algebraische Strukturen 327
5.3.7 Vektorräume*
5.3.7.1 Definition
Ein Vektorraum über einem Körper K (K-Vektorraum) besteht aus einer additiv geschriebenen Abel-
schen Gruppe V = (V, +) von „Vektoren", einem Körper K = (K, +, *) von „Skalaren" und einer
äußeren Multiplikation K x V —> V, die jedem geordneten Paar (fc, v) mit k G K und v G V einen
Vektor kv eV zuordnet. Dabei gelten folgende Gesetze:
(VI) (u + v) 4- w = u + (v + w) für alle u, v, tu € V . E 153)
(V2) Es gibt einen Vektor 0 G V mit v + 0 = v für alle v G V. E.154)
(V3) Zu jedem Vektor v gibt es einen Vektor —v mit v + (—v) = 0 E.155)
(V4) v + iu = iü + v für alle ^tuGV E 156)
(V5) lv = v für alle u 6 V , 1 bezeichnet das Einselement von if. E 157)
(V6) r(sv) = (rs)v für alle r,s e K und alle u € V . E.158)
(V7) (r + s)v = rv + sv für alle r,s £ K und alle t;GV E.159)
(V8) r(v + w) = rv + rw für alle r £ K und alle v,«; G V E.160)
Ist if = R, so spricht man von einem reellen Vektorraum.
Beispiele für Vektorräume:
¦ A: Einspaltige bzw. einzeilige reelle Matrizen vom Typ (n, 1) bzw. A, n) bilden bezüglich der
Matrizenaddition und äußerer Multiplikation mit einer reellen Zahl einen reellen Vektorraum Rn
(Vektorraum der Spalten- bzw Zeilenvektoren, s. 4.1.3, S. 261).
¦ B: Alle reellen Matrizen vom Typ (m, n) bilden einen reellen Vektorraum.
¦ C: Alle auf einem Intervall [a, b] stetigen reellen Funktionen bilden mit den durch
(f + 9)(x) = f(x) + 9(x) und (kf)(x) = k-f(x) E.161)
definierten Operationen einen reellen Vektorraum. Funktionenräume spielen in der Funktionalanalysis
eine wesentliche Rolle
5.3.7.2 Lineare Abhängigkeit
Es sei V ein K-Vektorraum Die Vektoren u1} i>2, .., i>m 6 V heißen linear abhängig, falls es fci, &2> • • •»
km G K gibt, die nicht alle gleich Null sind, so daß 0 = k\V\ + k2V2 + • • • 4- kmvm gilt, und andernfalls
linear unabhängig. Lineare Abhängigkeit von Vektoren bedeutet also, daß sich ein Vektor durch die
anderen darstellen läßt.
Existiert eine Maximalzahl n linear unabhängiger Vektoren in V , so heißt V n-dimensional. Diese Zahl
n ist dann eindeutig bestimmt und heißt Dimension. Je n linear unabhängige Vektoren in V bilden
eine Basis Gibt es eine solche Maximalzahl nicht, so heißt der Vektorraum unendlichdimensional. Die
Vektorräume aus den obigen Beispielen sind in der angegebenen Reihenfolge n-, m • n- bzw
unendlichdimensional.
Aus dem Vektorraum Rn sind n Vektoren genau dann linear abhängig, wenn die Determinante der
Matrix, die diese Vektoren als Spalten bzw. Zeilen enthält, gleich 0 ist.
Ist {^i, f2, , vn} eine Basis eines n-dimensionalen K- Vektorraumes, so besitzt jeder Vektor v £ V
eine eindeutige Darstellung v = k\V\ + k2v2 + • • • 4- knvn mit /ci, k2 ..., kn G K
Jede Menge linear unabhängiger Vektoren eines Vektorraumes läßt sich zu einer Basis dieses
Vektorraumes ergänzen
5.3.7.3 Lineare Abbildungen
Die mit der Struktur von Vektorräumen verträglichen Abbildungen werden lineare Abbildungen
genannt / Vi —? V2 heißt linear, wenn für alle u,v G Vi und alle k G K gilt:
/(u + v) = /(u) + /(i>) und f{ku) = k.f(u) E 162)
*In diesem Abschnitt sind Vektoren im allgemeinen nicht fett gesetzt
328 5. Algebra und Diskrete Mathematik
¦ Die linearen Abbildungen / von Rn in Rm werden mittels Matrizen A vom Typ (m, n) durch f(v) =
Av beschrieben
5.3.7.4 Unterräume, Dimensionsformel
1. Unterraum: Es sei V ein Vektorraum und U eine Teilmenge von V . Bildet U bezüglich der
Operationen aus V einen Vektorraum, so heißt U ein Unterraum von V
Eine nichtleere Teilmenge U von V ist genau dann Unterraum, wenn für alle u\,U2 G U und alle k € K
auch u\ + U2 und h-u\'mU liegen (Unterraumkriterium)
2. Kern, Bild: Es seien Vi, V2 AT-Vektorräume Ist /• Vi —> V2 eine lineare Abbildung, so sind die
Unterräume Kern (Bezeichnung: ker /) und Bild (Bezeichnung: im /) wie folgt definiert:
kevf = {veV\f(v) = 0}, irnf = {f(v)\veV}. E.163)
So ist zum Beispiel die Lösungsmenge eines homogenen linearen Gleichungssystems Ax = 0 der Kern
der durch die Koeffizientenmatrix A vermittelten linearen Abbildung.
3. Dimension: Die Dimension dim ker / bzw. dim im / werden Defekt f bzw Rang f genannt.
Zwischen diesen Dimensionen besteht der Zusammenhang
Defekt / + Rang / = dim V, E.164)
der Dimensionsformel genannt wird. Ist speziell Defekt / = 0 , d.h. ker / = {0} , dann ist die lineare
Abbildung / injektiv und umgekehrt. Injektive lineare Abbildungen werden regulär genannt
5.3.7.5 Euklidische Vektorräume, Euklidische Norm
Um in abstrakten Vektorräumen Begriffe wie Länge, Winkel, Orthogonalität verwenden zu können,
werden EuKLiDisc/ie Vektorräume eingeführt.
1. Euklidischer Vektorraum Es sei V ein reeller Vektorraum. Ist ip: V x V —? R eine Abbildung
mit folgenden Eigenschaften (statt tp(v, w) wird v • w geschrieben), dann gilt für alle u,v,w G V und
für alle r G R
(Sl) v -w = w -v, E 165) (S2) (u + v)-w = u-w + v-w, E.166)
(S3) r(v • w) = (rv) -w = v- (rw), E 167) (S4) v ¦ v > 0 genau dann, wenn v ^ 0, E.168)
und <p heißt Skalarprodukt auf V
Ist auf V ein Skalarprodukt erklärt, so heißt V ein ElJKLlDischer Vektorraum
2. Euklidische Norm Mit \\v\\ = y/v • v wird die EuKLiDische Norm (Länge) von v bezeichnet
Der Winkel a zwischen v, w aus V wird über die Formel
v - w
cosa= E.169)
INI • INI
erklärt. Ist v • w = 0 , so werden v und w zueinander orthogonal genannt
¦ Orthogonalität trigonometrischer Funktionen: Im Zusammenhang mit FOURIER-Reihen (s
7.4.1.1, S. 437) werden Funktionen der Form sin kx und cos fco; betrachtet Diese Funktionen können
als Elemente von C[0,2ir] aufgefaßt werden. Im Funktionenraum C[a, b] wird durch
f-g = faf(x)g(x)dx E 170)
ein Skalarprodukt erklärt Wegen
f-2-K r2n
/ sin kx • sin Ix dx = 0 (k ^ l), E 171) / cos kx • cos Ix dx = 0 (k ^ /), E 172)
JQ JQ
f
¦2n
sin kx • cos Ix dx = 0 E.173)
5 3 Klassische algebraische Strukturen 329
sind die Funktionen sin kx und cos kx für alle A:, / G N paarweise zueinander orthogonal. Diese Or-
thogonalität trigonometrischer Funktionen wird zur Berechnung der FOURIER-Koeffizienten bei der
harmonischen Analyse (s. 7 4 1.1, S. 437) ausgenutzt.
5.3.7.6 Lineare Operatoren in Vektorräumen
1. Begriff des linearen Operators
Es seien V und W zwei Vektorräume. Jede eindeutige Abbildung a von V in W heißt lineare Abbildung,
lineare Transformation oder linearer Operator (s auch 12 1 5.2, S 621) von V in W genau dann, wenn
gilt.
a(u + v) = au + av für alle ii,u6K, E.174)
a(Xu) = Xau für alle u eV und alle reellen A E.175)
¦ A: X)ie Abbildung au .= f£ u(t)dt des Raumes der stetigen Funktionen C[a} b] in den der reellen
Zahlen ist linear.
Lineare Abbildungen a V —? W, bei denen wie in diesem Beispiel W = R1 gilt, werden lineare
Funktionale genannt
¦ B: Die Abbildung a des Raumes V = Rn in den Vektorraum W der Polynome höchstens (n— l)-ten
Grades ist linear. a(ai, a2, , an) := a\ + a2X + a^x2 H h anxn~l Jedem n-dimensionalen Vektor
wird ein Polynom vom Grade < n — 1 zugeordnet
¦ C: Ist V = Rn und W = Rm, dann sind alle linearen Operatoren a . Rn —> Rm durch reelle
Matrizen A = (a^) vom Typ (m, n) gegeben Die Gleichung Ax = y entspricht dem linearen
Gleichungssystem D.103a)
/Oll Gl2 '• OL\n \ (Xl\
&21 «22 • • * Ö2n
\ Oml Om2 ' " * CLmn I
X2
\Xnl
(Vl\
V2
\2/m/
2. Summe und Produkt zweier linearer Operatoren
Sind a- V —> W und b V —> W sowie c. W —> U lineare Operatoren, so definiert man die
Summe o + b: V —> W durch (a + b)u = au-\-bu für alle u eV und das E 176)
Produkt ca. V —? U durch (ca)u = c(au) für alle u eV . E.177)
Hinweise:
1. Mit a, b und c sind auch a + 6 und ac wieder lineare Operatoren
2. Das Produkt E 177) stellt die Hintereinanderausführung der beiden linearen Operatoren a und c
dar
3. Das Produkt zweier linearer Operatoren ist im allgemeinen nicht kommutativ, d h., im allgemeinen
gilt-
ca ^ ac E.178a)
Vertauschbarkeit liegt vor, wenn gilt:
ca-ac = 0. E.178b)
Der Ausdruck ca — ac wird in der Quantenmechanik als Kommutator bezeichnet. Im Falle von E.178a)
sind die Operatoren a und c nicht vertauschbar, d h., es ist unbedingt auf ihre Reihenfolge zu achten.
¦ Als Beispiel für Summe und Produkt zweier linearer Operatoren können Summe und Produkt zweier
entsprechender Matrizen angesehen werden
330 5. Algebra und Diskrete Mathematik
5.4 Elementare Zahlentheorie
Die elementare Zahlentheorie befaßt sich mit den Teilbarkeitseigenschaften der ganzen Zahlen
5.4.1 Teilbarkeit
5.4.1.1 Teilbarkeit und elementare Teilbarkeitsregeln
1. Teiler Eine ganze Zahl b G Z heißt in Z durch eine ganze Zahl a ohne Rest teilbar, wenn es eine
ganze Zahl q gibt, die die Bedingung
qa = b E 179)
erfüllt Dabei ist a ein Teiler von b in Z und q der zu a komplementäre Teiler, b ist ein Vielfaches von a
Für „a teilt b" schreibt man auch a\b. Für „a teilt b nicht" kann man a/6 schreiben. Die
Teilbarkeitsbeziehung E 179) ist eine binäre Relation in Z (s. 5 2 3,2., S 304) Analog kann man die Teilbarkeit in
der Menge der natürlichen Zahlen definieren.
2. Elementare Teilbarkeitsregeln
(TRI) Für jedes a G Z gilt l|a, a\a und a\0. E.180)
(TR2) Gilt a\b, so gilt auch (-a)\b und a\(-b). E 181)
(TR3) Aus a\b und b\a folgt a = b oder a = -b. E 182)
(TR4) Aus a\\ folgt a = 1 oder a = -1. E 183)
(TR5) Aus a\b und b ^ 0 folgt \a\ < \b\. E 184)
(TR6) Aus a\b folgt a\zb für alle z G Z . E 185)
(TR7) Aus a|fc folgt az\bz für alle 2 G Z. E 186)
(TR8) Aus az\bz und z ^ 0 folgt a\b für alle 2 G Z . E 187)
(TR9) Aus a\b und 6|c folgt a\c. E.188)
(TRIO) Aus a\b und c|d folgt ac|6d E 189)
(TR11) Aus a\b und a\c folgt a|(^i6 + z2c) für beliebige zi,*2 G Z. E.190)
(TR12) Aus a\b und o|F + c) folgt a|c. E.191)
5.4.1.2 Primzahlen
1. Definition und Eigenschaften der Primzahlen Eine natürliche Zahl p mit p > 1, die in
der Menge N der natürlichen Zahlen nur 1 und p als Teiler besitzt, wird Primzahl genannt Natürliche
Zahlen, die keine Primzahlen sind, heißen zusammengesetzte Zahlen.
Der kleinste positive, von 1 verschiedene Teiler jeder ganzen Zahl ist eine Primzahl. Es gibt unendlich
viele Primzahlen.
Eine natürliche Zahl p mit p > 1 ist genau dann Primzahl, wenn gilt: Für beliebige natürliche Zahlen
a, b folgt aus p\(ab), daß p\a oder p\b gilt. *
2. Sieb des Eratosthenes Mit dem Sieb des Eratosthenes kann man alle Primzahlen ermitteln,
die kleiner als eine vorgegebene natürliche Zahl n sind.
a) Man schreibe alle natürlichen Zahlen von 2 bis n auf.
b) Man markiere die 2 und streiche jede zweite auf 2 folgende Zahl.
c) Ist p die erste nichtgestrichene und nichtmarkierte Zahl, dann markiere man p und streiche jede p--te
darauffolgende Zahl.
d) Man führe Schritt c) für alle p mit p < y/n aus und beende den Algorithmus
Alle markierten bzw nicht gestrichenen Zahlen sind Primzahlen Es handelt sich dabei um alle
Primzahlen < n
In der Menge der ganzen Zahlen werden die Primzahlen und die zu diesen entgegengesetzten Zahlen
Primelemente genannt.
5.4 Elementare Zahlentheorie 331
3. Primzahlzwillinge Zwei Primzahlen mit dem „Abstand" 2 bilden einen Primzahlzwilling.
¦ C,5), E,7), A1,13), A7,19), B9,31), D1,43), E9,61), G1,73), A01,103) sind Primzahlzwillinge.
4. Primzahldrillinge Man spricht von Primzahldrillingen, wenn unter vier aufeinanderfolgenden
ungeraden Zahlen drei Primzahlen sind.
¦ E,7,11), G,11,13), A1,13,17), A3,17,19), A7,19,23), C7,41,43) sind Primzahldrillinge.
5. Primzahlvierlinge Bilden von fünf aufeinanderfolgenden ungeraden Zahlen die ersten beiden
und die letzten beiden jeweils einen Primzahlzwilling, dann spricht man von Primzahlvierlingen.
¦ E,7,11,13), A1,13,17,19), A01,103,107,109), A91,193,197,199) sind Primzahlvierlinge.
Eine bis heute unbewiesene Vermutung ist, daß unendlich viele Primzahlzwillinge, unendlich viele
Primzahldrillinge und unendlich viele Primzahlvierlinge existieren.
6. Mersennesche Primzahlen Ist eine Zahl 2k — 1 mit k € IN eine Primzahl, dann ist auch k eine
Primzahl Man nennt die Zahlen 2P - 1 (p Primzahl) MERSENNEsche Zahlen. Von einer Mersen-
NEschen Primzahl spricht man, wenn 2P — 1 eine Primzahl ist.
¦ Für die folgenden ersten 10 Werte von p ist 2P - 1 eine Primzahl: 2, 3, 5, 13,17, 19, 31, 61, 89, 107,
usw.
7. Fermatsche Primzahlen Ist eine Zahl 2k — 1 mit k G IN eine ungerade Primzahl, dann ist k eine
Potenz von 2 Die Zahlen 2k + 1 mit k G IN heißen FERMATsche Zahlen Ist eine FERMATsche Zahl
eine Primzahl, dann spricht man von einer FERMATschen Primzahl.
¦ Für k = 0,1, 2,3,4 sind die zugehörigen FERMATschen Primzahlen: 3,5,17, 257,65537. Man
vermutet, daß es keine weiteren FERMATschen Primzahlen gibt.
8. Fundamentalsatz der elementaren Zahlentheorie Jede natürliche Zahl n > 1 kann man als
Produkt von Primzahlen darstellen. Diese Darstellung ist eindeutig bis auf die Reihenfolge der
Faktoren. Man sagt, daß n genau eine Primfaktorenzerlegung besitzt
¦ 360 = 2 • 2 • 2 • 3 • 3 • 5 = 23 • 32 • 5
Hinweis: Analog kann man ganze Zahlen (außer —1,0,1) eindeutig bis auf Vorzeichen und Reihenfolge
der Faktoren als Produkt von Primelementen darstellen
9. Kanonische Primfaktorenzerlegung Es ist üblich, in der Primfaktorenzerlegung einer
natürlichen Zahl die Primfaktoren der Größe nach zu ordnen und gleiche Faktoren zu Potenzen
zusammenzufassen. Ordnet man jeder nicht vorkommenden Primzahl den Exponenten 0 zu, dann gilt: Jede
naturliehe Zahl ist eindeutig durch die Folge der Exponenten in ihrer Primfaktorenzerlegung bestimmt
¦ Zu 1533312 = 27 • 32 • ll3 gehört die Exponentenfolge G,2,0,0,3,0,0, . )
Für eine natürliche Zahl n seien p1} p2> • • • Pm die paarweise verschiedenen n teilenden Primzahlen, und
ftfc bezeichne den Exponenten der Primzahl pk in der Primfaktorenzerlegung von n . Dann schreibt man
m
n=Y[pakk E.192a)
fc=i
und nennt diese Darstellung die kanonische Primfaktorenzerlegung von n. Oft schreibt man dafür auch
n = Y[p^n), E.192b)
v
wobei das Produkt über alle Primzahlen p zu bilden ist und vp(n) die Vielfachheit von p als Teiler von
n bedeutet. Es handelt sich um ein endliches Produkt, da nur endlich viele der Exponenten vp(n) von
0 verschieden sind
Positive Teiler: Wenn eine natürliche Zahl n > 1 mit der kanonischen Primfaktorenzerlegung E 192a)
gegeben ist, dann läßt sich jeder positive Teiler t von n in der Form
t=f[plk mitTfc € {0,1,2,...,ak} für k= 1,2,.. ,ra E.193a)
332 5. Algebra und Diskrete Mathematik
darstellen Die Anzahl r(n) aller positiven Teiler von n ist
m
r{n)= IJK + 1) E.193b)
jfc=i
¦ A: rE040) = rB4 • 32 • 5 • 7) = D + 1)B + 1)A + 1)A + 1) = 60
¦ B: r(pip2 • • -pr) = 2r , fallspi,p2, • • • ,pr paarweise verschiedene Primzahlen sind.
Das Produkt P(n) aller positiven Teiler von n ist gegeben durch
P(n) = n~2Tin) E 193c)
¦ A: PB0) = 203 = 8000 ¦ B: P(p3) = p6 , falls p Primzahl ist.
¦ C: P(pq) = p2q2, falls p und q zwei verschiedene Primzahlen sind.
Die Summe a(n) aller positiven Teiler von n ist
a(n) = n _ i • E.193d)
¦ A: (jA20) = aB3 • 3 • 5) = 15 • 4 • 6 = 360 HB: cr(p) = p + 1, falls p Primzahl ist
5.4.1.3 Teilbarkeitskriterien
1. Bezeichnungen Es sei
n = (akak_i • • • a2aia0I0 = ak10k + a^-ilO*-1 -\ + a2!02 + ailO + a0 E 194a)
eine im dekadischen Positionssystem dargestellte natürliche Zahl. Dann heißen
Qi(n) = a0 + ai + a2 H V ak E.194b)
bzw.
Q[(n) = a0 - öi + a2 - + • • • + {-l)kak E.194c)
Quersumme bzw alternierende Quersumme A Stufe) von n Weiter heißen
Q2(n) = (aia0)io + @3^2I0 + @5^4I0 H bzw E 194d)
Q2(n) = (aia0)io - @3^2I0 + @504I0 - + • • • E 194e)
Quersumme 2. Stufe bzw. alternierende Quersumme 2. Stufe und
Q3(n) = (o2aia0)io + @50403I0 + (ös^^io H E 194f)
bzw.
<2'3(n) = (a2aia0)io - @50403I0 + @30706I0 - + • • • E 194g)
Quersumme 3 Stufe bzw. alternierende Quersumme 3. Stufe, usw.
¦ Die Zahl 123 456 789 hat die folgenden Quersummen: Qx =9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 45,
q; = 9-8+7-6+5-4+3-2+1 = 5, Q2 = 89+67+45+23+1 = 225, Q'2 = 89-67+45-23+1 = 45,
Q3 = 789 + 456 + 123 = 1368 und Q'3 = 789 - 456 + 123 = 456.
2. Teilbarkeitskriterien Es gelten folgende Teilbarkeitskriterien:
TK-1
TK-3
TK-5
TK-7:
TK-9
3|n*»3|<2i(n), E 195a)
9|n«»9|Qi(n), E 195c)
13|ra ^ 13|Q'3(n), E.195e)
101|n^l01|Q'2(n), E 195g)
5|n<^5|a0, E.195i) TK-10: 2k\n & 2fc|(afc_1afc_2 •• • 0^0I0 , E.195J)
TK-2:
TK-4:
TK-6:
TK-8:
7\n^7\Q'3(n),
ll|n<*ll|Qi(n),
37|n & 37|Q3(n),
2\n<& 2|a0,
E 195b)
E.195d)
E.195f)
E 195h)
5.4 Elementare Zahlentheorie 333
TK-11: bk\n <S> 5*|(ajb_iafc_2 • • • aia0)io • E.195k)
¦ A: a = 123456789 ist durch 9 teilbar wegen Qi(a) = 45 und 9|45, aber nicht durch 7 teilbar wegen
Q'3{a) = 456 und 7J456.
¦ B: 91619 ist durch 11 teilbar wegen Q[(91619) = 22 und 11|22
¦ C: 99 994 096 ist durch 24 teilbar wegen 24|4096.
5.4.1.4 Größter gemeinsamer Teiler und kleinstes gemeinsames Vielfaches
1. Größter gemeinsamer Teiler
Für ga.nze Zahlen ai,a2,.. ,an, die nicht alle gleich 0 sind, wird die größte Zahl in der Menge der
gemeinsamen Teiler von ai, a2,..., an der größte gemeinsame Teiler von oi, a2,..., an genannt und
mit ggT(ai, 02,..., an) bezeichnet. Gilt ggT(ai, a2,..., an) = 1, dann heißen die Zahlen ai, a2,. ., an
teilerfremd.
Für die Bestimmung des größten gemeinsamen Teilers reicht es aus, die positiven gemeinsamen Teiler
zu betrachten Sind die kanonischen Primfaktorenzerlegungen
ai = Y[pMai) E 196a)
von a\, a2, .., an gegeben, dann gilt
f min [i/p(oi)] 1
ggT(ai,a2, )fl„) = llPl l J- E.196b)
v
¦ Für die Zahlen ax = 15400 = 23 • 52 7 • 11, o2 = 7875 = 32 • 53 • 7, a3 = 3850 = 2 • 52 • 7 • 11 ist der
ggT(a1,a2,a3) = 52.7=175
2. Euklidischer Algorithmus
Für zwei natürliche Zahlen a, b kann man den größten gemeinsamen Teiler mit dem EUKLiDischen
Algorithmus ohne Zuhilfenahme der Primfaktorenzerlegung ermitteln Dazu ist nach dem folgenden
Schema eine Kette von Divisionen mit Rest auszuführen. Für a > b sei ao = a, a\ = b. Dann gilt:
«o = QiQ-i + a-i, 0 < a2 < ai,
ai = #202 + «3 > 0 < a3 < a2 ,
: • ' E.197a)
Ön-2 = tfn-lßn-l + An > 0 < ön < ßn_i ,
ön-1 = 9nön •
Der Divisionsalgorithmus endet nach endlich vielen Schritten, da die Folge a2,ü3,.. eine streng
monoton fallende Folge natürlicher Zahlen ist. Der letzte von 0 verschiedene Rest an ist der größte
gemeinsame Teiler von ao und a\
¦ Es gilt ggTC8, 105) - 1, denn 105 = 2 • 38 + 29;
38 = 1 • 29 + 9;
29 = 3-9 + 2;
9 = 4-2 + 1;
2 = 2-1.
Benutzt man die Reduktionsvorschrift
ggT(ai,a2,..., a„) = ggT(ggT(ai, a2,. , an-i), an), E.197b)
dann kann man durch wiederholte Anwendung des EUKLiDischen Algorithmus auch für n natürliche
Zahlen mit n > 2 den größten gemeinsamen Teiler ermitteln
¦ ggTA50, 105, 56) = ggT(ggTA50, 105), 56) = ggTA5, 56) = 1.
334 5 Algebra und Diskrete Mathematik
¦ Der EuKLlDische Algorithmus zur Berechnung des ggT (s. auch 1 1 1 4,1., S 3)
zweier Zahlen hat besonders viele Rechenschritte, wenn es sich um benachbarte
Zahlen aus der Folge der FlBONACCl-Zahlen (s 5.4.1 5, S 334) handelt. In der
nebenstehenden Rechnung ist ein Beispiel gegeben, in dem die auftretenden
Quotienten jeweils gleich 1 sind.
Satz zum Euklidischen Algorithmus Für natürliche Zahlen a, b mit a > b > 0
sei A(o, b) die Anzahl der Divisionen mit Rest im EUKLlDischen Algorithmus und
K(b) die Stellenzahl von b im dekadischen System. Dann gilt:
A(a,ft) <5-«F) E.198)
3. Größter gemeinsamer Teiler als Linearkombination
Aus dem EUKLlDischen Algorithmus folgt
a2 = a0- qxdi = c0a0 + d0ai,
Ö3 = CL\ — G2^2 = C\Üq + d\CLi ,
an = an-2 — qn-\an-\ = cn_2ao + dn-2a\.
Dabei sind cn_2 und dn-2 ganze Zahlen. Also ist ggT(a0, Q>i) als Linearkombination von üq und a\ mit
ganzzahligen Koeffizienten darstellbar:
ggT(a0, ai) = cn-2a0 + dn.2a1. E.199b)
Man kann auch ggT(ai, a2,..., an) als Linearkombination von ai, a2,..., an darstellen, denn:
ggT(ai, a2,..., a„) = ggT(ggT(ai, a2,..., an_i), an) = c- ggT(ax, a2,..., an_i) + dan . E.199c)
¦ ggTA50, 105, 56) = ggT(ggTA50, 105), 56) = ggTA5, 56) =1 mit 15 = (-2)-150 + 3-105 und
1 = 15 • 15 + (-4) • 56, also ggTA50, 105, 56) = (-30) • 150 + 45 • 105 + (-4) • 56.
4. Kleinstes gemeinsames Vielfaches
Für ganze Zahlen a\, a2, .., an , von denen keine gleich 0 ist, wird die kleinste Zahl in der Menge der
positiven gemeinsamen Vielfachen von a\, a2,..., an das kleinste gemeinsame Vielfache von öi, a2,..., an
genannt und mit kgV(ai, a2,..., an) bezeichnet
Sind die kanonischen Primfaktorenzerlegungen E 196a) von ai, a2,. ., an gegeben, dann gilt:
f max [vp(ai)} 1
kgV(ai,02, .,an) = Y[p\ { I E.200)
p
¦ Für die Zahlen ax = 15400 = 23 • 52 • 7 • 11, a2 = 7875 = 32 • 53 • 7, a3 = 3850 = 2 • 52 • 7 • 11 gilt
kgV(ai, 02, a3) - 23 • 32 • 53 • 7 • 11 = 693000.
5. Zusammenhang zwischen dem ggT und dem kgV
Für beliebige ganze Zahlen a, b gilt:
|a6|=ggT(a,6).kgV(a,&) E 201)
Deshalb kann das kgV(a, b) auch ohne Kenntnis der Primfaktorenzerlegung von a und b unter
Zuhilfenahme des EUKLlDischen Algorithmus ermittelt werden.
5.4.1.5 Fibonacci—Zahlen
1. Fibonacci-Folge Die Folge
(^n)neN mit Fi = F2 = 1 und Fn+2 = Fn + Fn+1 E 202)
wird Fibonacci -Folge genannt. Sie beginnt mit den Elementen 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,
233,377, .
¦ Die Betrachtung dieser Folge geht auf die folgende, 1202 von Fibonacci gestellte Frage zurück:
Wieviele Kaninchenpaare stammen am Ende eines Jahres von einem Kaninchenpaar ab, wenn jedes Paar
55 =
34 =
21 =
13 =
8 =
5 =
3 =
2 =
1 =
1
1
1
1
1
1
: 1
: 1
: 1
34 + 21
21 + 13
13 + 8
8 + 5
5 + 3
3 + 2
2 + 1
•1 + 1
•1
E 199a)
5.4 Elementare Zahlentheorie 335
jeden Monat ein neues Paar als Nachkommen hat, das selbst vom zweiten Monat an Nachkommen-
Paare gebiert? Die Antwort ist Fi4 = 377.
2. Fibonacci-Rekursionsformel Außer der rekursiven Definition E.202) gibt es auch eine
explizite Darstellung der FlBONACCl-Zahlen:
h(\
"l + >/5
2
-
'1-75"
2
n"V5
Einige wichtige Eigenschaften der FlBONACCl-Zahlen werden im folgenden aufgeführt.
Für alle m, n G IN gilt
(l)Fm+n = Fm_!Fn + FmFn+1 (m>l). E 204a)
C) Aus ggT(m, n) = dfolgt ggT(Fm, Fn) = Fd .E.204c)
E.203)
B)Fm|Fmn. E.204b)
D)ggT(Fn,Fn+1) = l. E.204d)
E) Fm|Fjt gilt genau dann, wenn gilt m\k.
E.204e)
F) sjTF? = FnFn+l. E.204f)
G) AusggT(m,n) = lfolgtFmFn|Fm
E.204g)
(S)J2Fi = Fn+2-l. E.204h)
(9)FnFn+2-Fn2+1 = (-l)n+1.
(ll)Fn2+2-Fn2 = F2n+2.
E.204i)
E.204k)
A0)Fn2 + Fn2+1 = F2n+1.E.204j)
5.4.2 Lineare Diophantische Gleichungen
1. Diophantische Gleichungen
Eine Gleichung }{x\, x2, , xn) = b wird DiOPHANTisc/ie Gleichung in n Unbekannten genannt, wenn
f(xi,x2, , xn) ein Polynom in Xi, z2,..., xn mit Koeffizienten aus der Menge Z der ganzen Zahlen
und b eine ganzzahlige Konstante ist und man sich ausschließlich für ganzzahlige Lösungen interessiert
Die Bezeichnung „DiOPHANTisch" erinnert an den griechischen Mathematiker Diophant, der um 250
lebte.
DiOPHANTische Gleichungen treten in der Praxis z.B dann auf, wenn Beziehungen zwischen
Stückzahlen beschrieben werden.
Allgemein gelöst sind bisher nur die DiOPHANTischen Gleichungen bis zum zweiten Grad mit zwei
Variablen. Für die DiOPHANTischen Gleichungen höheren Grades sind nur in Spezialfällen Lösungen
bekannt
2. Lineare Diophantische Gleichungen in n Unbekannten
Eine lineare DiOPHANTisc/ie Gleichung in n Unbekannten ist eine Gleichung der Form
a\X\ + a2x2 + • • • anxn = b (ö; G Z, b € Z), E.205)
für die nur die ganzzahligen Lösungen gesucht werden. Im weiteren wird ein Lösungsverfahren
angegeben
3. Lösbarkeitsbedingung
Unter der Bedingung, daß nicht alle ö; gleich 0 sind, ist die DiOPHANTische Gleichung E.205) genau
dann lösbar, wenn der ggT(ai, a2,. ., an) ein Teiler von b ist.
¦ 114a; + 315?/ = 3 ist lösbar, denn ggTA14,315) = 3.
Wenn eine lineare DiOPHANTische Gleichung in n Unbekannten n > 1 eine Lösung hat und Z der
Variablengrundbereich ist, so hat die Gleichung unendlich viele Lösungen In der Lösungsmenge treten
dann n—\ freie Parameter auf. Für Teilmengen von Z gilt dies aber nicht
336 5 Algebra und Diskrete Mathematik
4. Lösungsverfahren für n = 2
Es sei
aiXi + a2x2 = b (ai,a2) ^ @,0) E.206a)
eine lösbare DiOPHANTische Gleichung, d.h. ggT(ai, a2)\b . Um eine spezielle Lösung der Gleichung
zu erhalten, dividiert man die Gleichung durch den ggT(ai,a2) und erhält dxx\ + a2x2 = b' mit
ggT(ai,a'2) = l
Wie unter 5 4 1,3., S 334 beschrieben, berechnet man nun den ggT(a/1, a'2) mit Hilfe des EUKLiDischen
Algorithmus, um schließlich eine Darstellung von 1 als Linearkombination von a\ und a'2 zu erhalten
a[c[ 4- a!2d2 = 1
Durch Einsetzen in die Ausgangsgleichung kann man sich davon überzeugen, daß das geordnete Paar
(c'xb\ d2b') ganzer Zahlen eine Lösung der vorgegebenen DiOPHANTischen Gleichung ist
¦ 114a? + 315?/ = 6 . Man dividiert durch 3, denn 3 = ggTA14,315). Daraus folgt 38a: + 105?/ = 2 und
38 • 47 + 105 • (-17) = 1 (s. 5.4.1,3., S. 334). Das geordnete Paar D7 • 2, (-17) • 2) = (94, -34) ist eine
spezielle Lösung der Gleichung 114x + 315y = 6
Die Lösungsgesamtheit der Gleichung E.206a) erhält man wie folgt Ist (x®,x2) irgendeine spezielle
Lösung, die man auch durch Probieren erhalten haben könnte, dann ist die Menge aller Lösungen
{(xj + t • a'2, x°2 - t • a[)\t e Z} E 206b)
¦ Die Lösungsmenge der Gleichung 114a: + 315y = 6 ist {(94 + 315t, -34 - 114*)|* G Z} .
5. Reduktionsverfahren für n > 2
Gegeben ist die lösbare DiOPHANTische Gleichung
aiXi + a2x2 H h anxn = b E 207a)
mit (ai,a2,... ,an) ^ @,0,... ,0) und ggT(ai,a2, ..,an) = 1. Wäre ggT(ai,o2, ,an) ^ 1, dann
müßte man die Gleichung noch durch ggT(ax, a2,.... an) dividieren Nach der Umformung
aiXi + a2x2 -\ h an-ixn-i =b- anxn E.207b)
betrachtet man xn als ganzzahlige Konstante und erhält eine lineare DiOPHANTische Gleichung in n — 1
Unbekannten, die genau dann lösbar ist, wenn ggT(ai, a2,..., an_i) ein Teiler von b — anxn ist.
Die Bedingung
ggT(ai, a2,..., an-i)\b - anxn E 207c)
ist genau dann erfüllt, wenn es ganze Zahlen c, cn gibt, für die gilt:
ggT(oi,o2,. . ,a„-i) Q + ancn = b. E.207d)
Das ist eine lineare DiOPHANTische Gleichung in zwei Unbekannten, die wie unter 5 4 2,4., S. 336
angegeben gelöst werden kann Ist ihre Lösung bekannt, hat man nur noch eine lineare DiOPHANTische
Gleichung in n — 1 Unbekannten zu lösen.
Die beschriebene Reduktion ist fortsetzbar, bis man schließlich eine lineare DiOPHANTische Gleichung
in zwei Unbekannten erhält und mit dem Verfahren aus 5.4 2,4., S 336 lösen kann
Aus den zwischenzeitlich berechneten Lösungsmengen für DiOPHANTische Gleichungen in zwei
Unbekannten muß man nun nur noch die Lösungsmenge der Ausgangsgleichung ablesen.
¦ Es ist die DiOPHANTische Gleichung
2a: + 4y + 3z = 3 . E.208a)
zu lösen. Sie ist lösbar, denn ggTB,4,3) ist ein Teiler von 3.
Die DiOPHANTische Gleichung
2x + 4y = 3 - 3z E.208b)
in den Unbekannten x, y ist genau dann lösbar, wenn ggTB,4) ein Teiler von 3 — 3,2 ist Die zugehörige
DiOPHANTische Gleichung 2z' + 3z = 3 hat die Lösungsmenge {(-3 + 3t, 3 - 2t)\t G Z} Daraus
folgt z = 3 — 2t, und gesucht ist nun die Lösungsmenge der lösbaren DiOPHANTischen Gleichung
2x + Ay = 3 - 3C - 2t) bzw
x + 2y = -3 + 3£ E 208c)
5.4 Elementare Zahlentheorie 337
für jedes t € Z.
Die Gleichung E.208c) ist lösbar wegen ggT(l,2) = 1|(—3 + 3*). Es gilt 1 • (-1) + 2 • 1 = 1 und
1 • C - St) + 2 • (-3 + St) = -3 + St. Die Lösungsmenge ist {(C - St) + 2s, (-3 + St) - s)\s € Z} .
Daraus folgt x = C — St) + 2s, y = (—3 + St) — s, so daß sich die Lösungsmenge von E.208a) zu
{C - 3/ + 2s, -3 + St - s, 3 - 2t)\s, t € Z} ergibt.
5.4.3 Kongruenzen und Restklassen
1. Kongruenzen
Es sei m eine natürliche Zahl mit m > 1 Lassen zwei ganze Zahlen a und b bei Division durch m
den gleichen Rest, so nennt man a und b kongruent modulo m und schreibt dafür a = b mod m oder
a = b(m).
¦ 3 = 13 mod 5, 38 = 13 mod 5, 3 = -2 mod 5
Hinweis: Offensichtlich gilt a = b mod m genau dann, wenn m ein Teiler der Differenz a — b ist. Die
Kongruenz modulo m ist eine Aquivalenzrelation (s. 5.2.4,1., S. 306) in der Menge der ganzen Zahlen
Es gilt:
a = a mod m für alle a G Z, E.209a)
a = b mod m => b = a mod m, E.209b)
a = b mod mAb = c mod m => a = c mod m. E.209c)
2. Rechenregeln
a = b mod m Ac = d mod ra=>a + c = 6 + d mod m, E.210a)
ö = b mod m Ac = d mod m => a ¦ c = b • d mod m, • E.210b)
a- c = b- c mod m A ggT(c, m) = 1 => a = b mod m, E.210c)
a- c = b- c mod m A c^0=> a = 6 mod—— r . E.210d)
T ggT(c,m) V }
3. Restklassen, Restklassenring
Da die Kongruenz modulo m eine Aquivalenzrelation in Z ist, induziert diese Relation eine
Klasseneinteilung von Z in Restklassen modulo m.
[o]m = {%\x € Z A x = a mod m} . E.211)
Die Restklasse „a modulo m" besteht aus allen ganzen Zahlen, die bei Division durch m den gleichen
Rest wie a lassen. Es gilt [a]m = [b]m genau dann, wenn a = b mod m ist.
Zum Modul m gibt es genau m Restklassen, zu deren Beschreibung man in der Regel ihre kleinsten
nichtnegativen Repräsentanten verwendet*
[0]m,[l]m, .,[m-l]m E.212)
In der Menge Zm der Restklassen modulo m wird durch
[a]m 0 [b]m = [a + 6]m , E.213)
[a]m 0 [b]m '= [o • 6]m E.214)
eine Restklassenaddition bzw.Restklassenmultiplikation erklärt.
Diese Restklassenoperationen sind unabhängig von der Auswahl der Repräsentanten, d.h., aus
[a]m = [a'}m und [6]m = [b']m folgt
Mm e [ft]ro = [a']m 0 [6']m und [o]m 0 [6]m = [a']m 0 [bf]m . E.215)
Die Restklassen modulo m bilden bezüglich der Restklassenaddition und Restklassenmultiplikation
einen Ring mit Einselement (s. 5 4.3,1., S. 337) den Restklassenring modulo m. Ist p eine Primzahl,
dann ist der Restklassenring modulo p ein Körper (s. 5.4.3,1., S. 337).
338 5. Algebra und Diskrete Mathematik
4. Prime Restklassen
Eine Restklasse [a]m mit ggT(a, m) = 1 nennt man eine prime Restklasse modulo m Ist p eine
Primzahl, dann sind alle von [0]p verschiedenen Restklassen prime Restklassen modulo p
Die primen Restklassen modulo m bilden bezüglich der Restklassenmultiplikation eine AßELsche
Gruppe, die prime Restklassengruppe modulo m Die Ordnung dieser Gruppe ist (p(m). Dabei ist (p die Eu-
LERsche Funktion (s. 5 4 4,1., S 341).
¦ A: [1]8, [3]8, [5]8, [7]s sind die primen Restklassen modulo 8.
¦ B: [1]5, [2] 5, [3] 5, [4] 5 sind die primen Restklassen modulo 5
¦ C: Es gilt v?(8) = (p{5) = 4
5. Primitive Restklassen
Eine prime Restklasse [a]m wird primitive Restklasse genannt, wenn sie in der primen
Restklassengruppe modulo m die Ordnung ip(m) hat.
¦ A: [2]5 ist eine primitive Restklasse modulo 5, denn ([2]5J = [4]5, ([2]5K = [3]5, ([2]5L = [1]5
¦ B: Es gibt keine primitive Restklasse modulo 8, denn [1]8 hat die Ordnung 1, und [3]8, [5]8, [7]8
haben in der primitiven Restklassengruppe die Ordnung 2.
Hinweis: Es existiert genau dann eine primitive Restklasse modulo m , wenn m = 2,ra = 4,m = pfc
oder m = 2pk gilt, wobei p eine ungerade Primzahl und k eine natürliche Zahl ist.
Existiert eine primitive Restklasse modulo m, dann ist die prime Restklassengruppe modulo m eine
zyklische Gruppe.
6. Lineare Kongruenzen
1. Definition Sind a, b und m > 0 ganze Zahlen, dann wird
ax = b(m) E 216)
lineare Kongruenz (in der Unbekannten x) genannt
2. Lösungen Eine ganze Zahl #*, die die Bedingung ax* = b(m) erfüllt, ist eine Lösung dieser
Kongruenz Jede ganze Zahl, die zu x* kongruent modulo m ist, ist ebenfalls eine Lösung Will man
alle Lösungen von E 216) angeben, dann genügt es also, die paarweise modulo m inkongruenten ganzen
Zahlen zu finden, die die Kongruenz erfüllen
Die Kongruenz E.216) ist genau dann lösbar, wenn ggT(a, m) ein Teiler von b ist Die Anzahl der
Lösungen modulo m ist dann gleich ggT(a, m).
Ist insbesondere ggT(a, m) = 1, dann ist die Kongruenz modulo m eindeutig lösbar
3. Lösungsverfahren Es gibt verschiedene Lösungsverfahren für lineare Kongruenzen. Man kann
z.B. die Kongruenz ax = b(m) in die diophantische Gleichung ax + my = b umformen und zunächst
eine spezielle Lösung (x°, y°) der diophantischen Gleichung a'x + m'y = b' mit a' = a/ggT(a, m),m' =
m/ggT(a,ra),6' = 6/ggT(a,ra) ermitteln (s 5 4.2, S 335)
Die Kongruenz a'x = b'(mf) ist wegen ggT(a', m!) = 1 modulo m! eindeutig lösbar, und es gilt.
x = xQ(m') E.217a)
Die Kongruenz ax = b(m) hat modulo m genau ggT(a, m) Lösungen
x°, x° + m, x° + 2m,. ., x° + (ggT(a, m) - l)m. E 217b)
¦ 114a; = 6 mod 315 ist lösbar, denn ggTA14,315) ist Teiler von 6, es gibt 3 Lösungen modulo 315
3Sx = 2 mod 105 ist eindeutig lösbar- x = 94 mod 105 (s 5.4.2,4., S 336) Also sind 94, 199 und 304
die Lösungen von 114a: = 3 mod 315
7. Simultane lineare Kongruenzen
Sind endlich viele Kongruenzen
a: = 6i(mi),a; = 62G712), ..}x = bt(mt) E.218)
vorgegeben, dann spricht man von einem System simultaner linearer Kongruenzen. Eine Aussage über
die Lösungsmenge macht der Chinesische Restsatz Es sei ein System x = b\(m\),x = 62G712),. , x =
5.4 Elementare Zahlentheorie 339
bt(mt) so vorgegeben, daß mi,m2, ...,mt paarweise teilerfremd sind. Setzt man
mm m . rt_ .
m = nii - m<i • • -mt,ai = —, ö2 =—, • , a* = — E.219a)
m\ m<i mt
und wählt Xj so, daß üjXj = bj(mj) für j = 1,2,. , £ gilt, dann ist
x' = a\X\ + 02^2 + • • • + atxt E.219b)
eine Lösung des Systems Das System ist bis auf Kongruenz modulo m eindeutig lösbar, d h., mit x'
sind genau diejenigen Elemente x" weitere Lösungen, für die gilt x" = x'{m).
¦ Es ist das System x = 1 B), x = 2 C), x = 4 E) zu lösen, wobei 2,3,5 paarweise teilerfremd
sind Es gilt m — 30, ai = 15, a2 — 10, a3 = 6. Die Kongruenzen 15xi = 1 B), 10x2 = 2 C), 6x3 =
4 E) haben die speziellen Lösungen x\ = 1, X2 = 2, x3 = 4 Das gegebene System ist eindeutig lösbar
mit x = 15 • 1 + 10 • 2 + 6 • 4 C0), d h x = 29 C0)
Hinweis: Systeme simultaner linearer Kongruenzen kann man benutzen, um die Lösung von
nichtlinearen Kongruenzen mit dem Modul m auf die Lösung von Kongruenzen zurückzuführen, deren Modul
Primzahlpotenzen sind (s. 5 4.3,9., S 340).
8. Quadratische Kongruenzen
1. Quadratische Reste modulo m Man kann alle Kongruenzen ax2 + bx + c = 0(m) lösen, wenn
man alle Kongruenzen x2 = a(m) lösen kann
ax2 + bx + c = 0(ra) <£> {2ax + bJ = b2 - 4ac(m) E 220)
Man betrachtet zunächst quadratische Reste modulo m Sei m G IN, m > 1 und a G Z, ggT(a, m) = 1
Die Zahl a heißt quadratischer Rest modulo m, wenn es ein x G Z mit x2 = a(m) gibt
Ist die kanonische Primfaktorenzerlegung von m gegeben, d h.
00
m=Y[p*\ E.221)
i=l
so ist r genau dann quadratischer Rest modulo m, wenn r quadratischer Rest modulo p°* für i =
1,2,3, ..ist.
Ist a quadratischer Rest modulo einer Primzahl p, dann schreibt man dafür auch kurz ( — 1 = 1, ist a
nichtquadratischer Rest modulo p, dann schreibt man I - ) = — 1 (LEGENDRE-Symbol).
¦ Die Zahlen 1,4, 7 sind quadratische Reste modulo 9
2. Eigenschaften quadratischer Kongruenzen
(El) Aus pj[ab und a = b(p) folgt [ - J = ( - ) . E.222a) (E2) ( - j = 1 E.222b)
(E3) ( — j = (-lJ^ E.222c)
(E4) (?) = (?) • 0; spezie11 (f) = (?) ¦ E-222d) (E5) (?) = <-^ •E 222e)
(E6) Quadratisches Reziprozitätsgesetz Sind p und q zwei verschiedene ungerade Primzahlen,
dann gilt. (?\ ¦ (l\ = (-ljW E 222f)
340 5 Algebra und Diskrete Mathematik
' © - (*) ¦ (ä) - (¥) ¦ (f) - (!) ¦ (I) - <->- (§) - - (ü) -
132-1
-(-i)—= i.
Allgemein gilt: Eine Kongruenz x2 = aBa), ggT(a, 2) = 1, ist genau dann lösbar, wenn a = 1D) für
a = 2 und a = 1(8) für cü > 3 ist. Sind diese Bedingungen erfüllt, dann gibt es für a = 1 eine Lösung,
für q = 2 zwei und für a > 3 vier Lösungen modulo 2a .
Für Kongruenzen der allgemeinen Form
x2 = a(m), m = 2ap<?p? • • • pf', ggT(a, m) = 1 E.223a)
sind
o = lD)füra = 2, a = 1(8) für a > 3, ( — )=!,( — ]=1, .,(-]=!
E.223b)
notwendige Bedingungen für die Lösbarkeit. Sind alle diese Bedingungen erfüllt, dann ist die Anzahl
der Lösungen gleich 2* für a = 0 und a = 1, gleich 2t+1 für a = 2 und gleich 2t+2 für a > 3
9. Polynomkongruenzen
Sind mi, m2,.. •, mt paarweise teilerfremde Zahlen, dann ist die Kongruenz
/(rr) = anxn + an-ix"-1 H h a0 = 0(mim2 • • • mt) E.224a)
dem System
f(x) = 0(mO, f(x) = 0(m2), ..., /(x) = 0(m,) E.224b)
äquivalent. Ist kj die Anzahl der Lösungen von f(x) = 0(rrij) für j = 1,2,...,^, dann ist fci/^ • • • ^
die Anzahl der Lösungen von f(x) = 0(mim2 • • • mt). Man kann also die Lösung von Kongruenzen
/(x)EO(pW-rf(). E.224c)
wobei pi,P2, • • -,Pt Primzahlen sind, auf die Lösung von Kongruenzen f(x) = 0(pa) zurückfuhren.
Diese wiederum lassen sich wie folgt auf Kongruenzen f(x) = 0(p) vom Primzahlmodul p zurückführen:
a) Jede Lösung von f(x) = 0(pa) ist auch Lösung von f(x) = 0(p).
b) Jede Lösung x = X\(p) von f(x) = 0(p) bestimmt unter der Bedingung, daß f'(xi) nicht durch p
teilbar ist, eine einzige Lösung modulo pa:
Sei f(xi) = 0(p) Man setzt x = X\ + pt\ und ermittelt die modulo p eindeutig bestimmte Lösung t\
der linearen Kongruenz
Ü& + f(x1 )«i=0(p). E 225a)
Setzt man t\ = t[ + pt^ in x = X\ + ph ein, dann erhält man x = x2 + p2t2. Man ermittelt nun die
modulo p2 eindeutig bestimmte Lösung t'2 der linearen Kongruenz
£^ + /'(x2)t2 = 0(p) E.225b)
pl
und erhält durch Einsetzen von t2 = t'2 -\-pts in x = x2 -\-p2t2 , daß x = x3 +p3t3 gilt. Durch Fortsetzung
des Verfahrens erhält man die Lösung der Kongruenz f(x) = 0 (pQ).
¦ Es ist die Kongruenz f(x) = x4 + Ix + 4 = 0 B7) zu lösen. Aus f{x) = xA + 7x + 4 = 0 C) folgt
x = 1 C), d.h x = l + 3ti Wegen f'{x) = 4x3 + 7 und 3//'(l) ist zunächst die Lösung der Kongruenz
/(l)/3 + /'(l) • ti = 4 + llti = 0 C) gesucht: tx = 1 C), d.h. ti = 1 + 3£2 und x = 4 + 9t2 .
Weiter betrachtet man /D)/9 + /'D) • t2 = 0 C) und erhält als Lösung t2 = 2 C), d.h t2 = 2 + 3£3
5.4 Elementare Zahlentheorie 341
und x = 22 + 27t3 Also ist 22 die modulo 27 eindeutig bestimmte Lösung von xA + 7x + 4 = 0 B7)
5.4.4 Sätze von Fermat, Euler und Wilson
1. Eulersche Funkt ion
Für jede natürliche Zahl m mit m > 0 kann man die Anzahl der zu m teilerfremden Zahlen x mit
1 < x < m angeben Die zugehörige Funkion yp wird EULERsche Funktion genannt Der Funktionswert
(p(rn) ist die Anzahl der primen Restklassen modulo m (s. 5.4.3,4., S 338).
Es gilt ip{l) = 1, <pB) = 1, y?C) = 2, tpD) = 2, <pE) = 4, y?F) - 2, <pG) = 6, p(8) = 4 usw
Allgemein gilt ip(p) = p — 1 für jede Primzahl p und </?(pQ) = pa — pa~l für jede Primzahlpotenz pQ
Ist m eine beliebige natürliche Zahl, dann kann man ip(m) wie folgt berechnen
(p(m) =mn(l--l , E.226a)
p\m \ " /
wobei das' Produkt über alle Primteiler p von m zu erstrecken ist
¦ <pC60) = (^B3 • 32 • 5) = 360 • A - \) • A - \) • A - \) = 96
Außerdem gilt
2<^(d) = m. E.226b)
d\m
Gilt ggT(m, n) = 1, dann ist ip(mri) = ip(m)<p(ri)
¦ <pC60) = v^B3 • 32 • 5) = <pB3) • y?C2) • y?E) = 4 • 6 • 4 = 96.
2. Satz von Fermat-Euler
Der Satz von Fermat-Euler ist einer der wichtigsten Sätze der elementaren Zahlentheorie Sind a
und m teilerfremde natürliche Zahlen, dann gilt:
a*(m) = l(m). E.227)
¦ Es sind die letzten drei Ziffern der Dezimalbruchdarstellung von 999 zu ermitteln Gesucht ist x mit
x = 99° A000) mit 0 < x < 999. Es gilt <pA000) = 400, und nach dem Satz von Fermat ist
9400 = 1 A000) Weiter gilt 99 = (80 + lL • 9 = ((J)80° • l4 + (^O1 • l3) • 9 = A + 4 • 80) • 9 =
-79 • 9 = 89 D00).
Daraus folgt 999 = 989 = A0 - l)89 = (809)l0° • (-1)89 + (^lO1 • (-1)88 + (829)l02 • (-1)87 =
-1 + 89 • 10 - 3916 • 100 = -1 - 110 + 400 = 289A000). Die Dezimaldarstellung von 9q9 endet mit
den Ziffern 289.
Hinweis: Der obige Satz geht für m = p, d.h. <p(p) = p — 1, auf Fermat zurück; die allgemeine Form
stammt von EULER Der Satz bildet die Grundlage eines Kodierungsverfahrens (s 5.4 5). Er beinhaltet
ein notwendiges Kriterium für die Primzahleigenschaft einer natürlichen Zahl: Ist p eine Primzahl, dann
gilt ap~l = l(p) für jede ganze Zahl a mit p\a .
3. Satz von Wilson
Ein weiteres Primzahlkriterium liefert der Satz von WILSON
Für jede Primzahl p ist (p — 1)' = —l(p).
Auch die Umkehrung dieses Satzes ist eine wahre Aussage, so daß gilt:
Die Zahl p ist genau dann eine Primzahl, wenn (p — 1)' = — l(p) ist
5.4.5 Codierungen
In der Codierungstheorie werden Verfahren bereitgestellt, um Fehler in Datensätzen erkennen und
korrigieren zu können. Die einfachsten Methoden zur Erkennung von Fehlern sind die im folgenden
vorgestellten Prüfzeichenverfahren.
342 5. Algebra und Diskrete Mathematik
5.4.5.1 Prüfzeichenverfahren
1. Internationale Standard-Buchnummer ISBN
Eine einfache Anwendung von Zahlenkongruenzen ist die Verwendung von Prüfziffern in der
Internationalen Standard-Buchnummer ISBN. Büchern wird eine 10-stellige Ziffernkombination der Form
ISBN a-bcd- efghi - p E.228a)
zugeordnet. Dabei ist a die Gruppennummer (a = 3 bedeutet z.B , daß das Buch aus Deutschland,
Östereich oder der Schweiz kommt), bcd ist die Verlagsnummer und efghi die Titelnummer für das
einzelne Buch des betreffenden Verlages. Als Prüfziffer ist p eingeführt, damit fehlerhafte
Buchbestellungen erkannt und im Zusammenhang damit stehende Unkosten minimiert werden können. Die
Prüfziffer p ist die kleinste nichtnegative Zahl, die die folgende Kongruenz erfüllt:
10a + 96 + 8c + ld + 6e + 5/ + 4g + 3h + 2t 4- p = 0A1) E.228b)
Anstelle von 10 verwendet man als Prufziffer auch das nichtnumerische Zeichen X (s. auch 5.4.5,3.,
S. 342).
Man kann nun für jede übermittelte ISBN-Nummer nachprüfen, ob die angegebene Prüfziffer mit der
aus der restlichen Ziffernkombination ermittelten Prüfziffer übereinstimmt. Bei Nichtübereinstimmung
liegt mit Sicherheit ein Fehler vor Beim ISBN-Prüfziffernverfahren werden folgende Fehler stets
aufgedeckt:
• Verwechslung einer Ziffer und
• Vertauschung zweier Ziffern („Drehfehler")
Statistische Untersuchungen ergaben, daß damit über 90% aller auftretenden Fehler aufgedeckt werden.
Alle weiteren beobachteten Fehlertypen haben eine relative Häufigkeit von unter 1%. In der Mehrheit
der Fälle werden das Verwechseln zweier Ziffern und die Vertauschung zweier kompletter Ziffernblöcke
durch das beschriebene Ziffernverfahren aufgedeckt
2. Pharmazentralnummer
In Apotheken wird zur Kennzeichnung von Arzneimitteln ein ähnliches Nummernsystem mit Prüfziffer
verwendet. Jedes Medikament erhält eine 7-stellige Pharmazentralnummer
abcdefp. E.229a)
Die letzte Ziffer ist die Prüfziffer p, die man als kleinste nichtnegative Zahl erhält, die die Kongruenz
2a + 36 + 4c + 5d 4- 6e + 7/ = p(ll) E 229b)
erfüllt. Auch bei diesem Prüfzifferverfahren werden die Verwechslung einer Ziffer und Drehfehler durch
Vertauschung zweier Ziffern stets aufgedeckt.
3. Einheitliches Kontonummernsystem EKONS
EKONS ist die Abkürzung für „Einheitliches Kontonummernsystem", das bei Banken und
Sparkassen verwendet wird Die Nummern sind maximal zehnstellig (je nach Geschäftsvolumen). Die ersten
(maximal 4) Ziffern dienen der Klassifikation der Konten. Die restlichen 6 Ziffern bilden die eigentliche
Kontonummer einschließlich der Prüfziffer, die an der letzten Stelle steht. Bei den einzelnen Banken
und Sparkassen sind unterschiedliche Prüfziffernverfahren üblich, z.B.-
a) Die Ziffern werden abwechselnd, von rechts beginnend, mit 2 bzw. 1 multipliziert, und die Summe
dieser Produkte wird durch Addition der Prüfziffer p zur nächsten durch 10 teilbaren Zahl ergänzt,
d.h., für die Kontonummer abcd efghi p mit der Prüfziffer p gilt-
2z + /i + 2# + / + 2e + d + 2c + 6 + 2a + p = 0A0). E.230)
b) Bei dem Verfahren a) wird anstelle der Produkte - falls die Produkte zweistellig sind - die
Quersumme der Produkte verwendet
Bei Variante a) entdeckt man alle Fehler durch Vertauschung zweier benachbarter Ziffern und fast alle
Fehler durch Verwechslung einer Ziffer.
Bei Variante b) werden dagegen jeder Fehler durch Verwechslung einer Ziffer und fast alle Fehler
durch Vertauschung zweier benachbarter Ziffern erkannt. Drehfehler nicht benachbarter Ziffern und
Verwechslungen zweier Ziffern werden oft nicht aufgedeckt
5.4 Elementare Zahlentheorie 343
Daß man das leistungsfähigere Prüfziffernsystem zum Modul 11 nicht verwendet, hat
außermathematische Gründe So erfordert das nichtnumerische Zeichen X (anstelle der Prüfziffer 10 (s. 5.4.5,1., S 342))
eine Erweiterung der Eingabetastatur. Dagegen hätte ein Verzicht auf Kontonummern mit der
Prüfziffer 10 bei Umstellung auf das einheitliche Nummernsystem in einer beträchtlichen Zahl von Fällen eine
Erweiterung der ursprünglichen Kontonummern nicht zugelassen.
4. Europäische Artikelnummer EAN
EAN ist eine Abkürzung für „Europäische Artikelnummer ", die man auf sehr vielen Artikeln in Form
eines Strichcodes bzw. als 13- oder 8-stellige Ziffernfolge findet Mit Hilfe von Scannern kann der
Strichcode an Computerkassen eingelesen werden
Bei der 13-stelligen Nummer geben die ersten beiden Ziffern das Herstellungsland an, z B 40, 41, 42,
43 oder 44 für Deutschland. Die nächsten 5 Ziffern stehen für den Hersteller, und eine weitere Gruppe
von 5 Ziffern für das entsprechende Produkt. Die letzte Ziffer ist die Prüfziffer p.
Man erhält die Prüfziffer, wenn man die ersten 12 Ziffern abwechselnd von links beginnend mit 1 bzw
3 multipliziert und die Summe dieser Produkte durch Addition der Prufziffer p zur nächsten durch 10
teilbaren Zahl ergänzt Somit gilt für die Artikelnummer ab cdefg hikmn p mit der Prüfziffer p:
a + 3& + c + 3d + e + 3/ + # + 3/i + i + 3A; + m + 3n + p = 0A0) E.231)
Durch dieses Prüfziffernverfahren werden an der EAN Fehler durch Verwechslung einer Ziffer immer
aufgedeckt und Fehler durch Vertauschung zweier benachbarter Ziffern in den meisten Fällen erkannt
Oft nicht aufgedeckt werden Drehfehler durch Vertauschen nicht benachbarter Ziffern und
Verwechslungen zweier Ziffern.
5.4.5.2 Fehlerkorrigierende Codes
1. Modell der Datenübertragung und Fehlerkorrektur
Auch bei der Übertragung von Nachrichten in gestörten Kanälen ist oft eine Korrektur von Fehlern
möglich, indem zunächst die Nachrichtenwörter codiert und nach einer eventuell fehlerhaften
Übertragung wieder zu den richtigen Codewörtern korrigiert werden, so dass die ursprüngliche Nachricht durch
Decodieren ermittelt werden kann Hier wird der Fall betrachtet, dass die Nachrichtenwörter die Länge
k und die Codewörter die Länge n haben und sowohl Nachrichten- als auch Codewörter Folgen von
Nullen und Einsen sind. Dabei wird k auch die Anzahl der Informationsstellen und n — k die Anzahl
der Redundanzstellen genannt. Jedes Nachrichtenwort ist ein Element von GFB)fc (s. 5 3.6.4, S. 325)
und jedes Codewort ein Element von GFB)n Zur Vereinfachung der Darstellung schreibt man einfach
a\a2 . ßfc für die Nachrichtenwörter und C\C2 ... cn für die Codewörter Übertragen werden nicht die
Nachrichtenwörter selbst, sondern die ihnen zugeordneten Codewörter.
Ein häufig benutztes Prinzip der Fehlerkorrektur ist die Methode, das empfangene Wort d\d2 dn
zu einem Codewort C\c2 cn zu decodieren, das sich von d\d2 .. dn an möglichst wenigen Stellen
unterscheidet (MLD-Decodierung) Von den Eigenschaften der Codierung und den Eigenschaften des
Übertragungskanals hängt es ab, wie viele Fehler auf diese Weise korrigierbar sind
I Bei Verwendung eines Wiederholungscodes kann man die Nachricht 0 als Codewort 0000
darstellen Erhält nach Übertragung des Codeworts der Empfänger das Wort 0010, wird er vermuten, dass
0000 das ursprüngliche Codewort gewesen ist und 0 die ursprüngliche Nachricht. Erhält er dagegen
1010, dann ist eine Entscheidung nicht möglich, ob die Nachricht 0 oder die Nachricht 1, die bei diesem
Wiederholungscode durch 1111 codiert wird, übermittelt werden sollte Man erkennt aber, dass beim
Übertragen ein Fehler aufgetreten ist
2. t-fehlerkorrigierende Codes
Die Menge aller Codewörter nennt man einen Code C. Der Abstand zweier Codewörter ist die Anzahl
der Stellen, in denen sich diese Codewörter unterscheiden Der Minimalabstand dm\n(C) des Codes ist
der kleinste Abstand, der zwischen zwei Codewörtern von C vorkommt
¦ Für d = {0000,1111} gilt dmin(d) = 4
Für C2 = {000,011,101,110} gilt dmin(C2) = 2; je zwei Codewörter haben den Abstand 2
Für C3 = {00000,01101,10111,11010} gilt dmin(C3) = 4; es gibt in C3 aber auch Codewörter mit dem
344 5 Algebra und Diskrete Mathematik
Abstand 3.
Kennt man den Minimalabstand dmin(C) eines Codes C, dann kann man leicht ablesen, wie viele Über-
tragungsfehler korrigierbar sind. Codes, die t Fehler korrigieren, werden t-fehlerkorrigierend genannt
Ein Code C ist t-fehlerkorrigierend genau dann, wenn dmm(C) > 2t + 1 gilt
¦ (Fortsetzung) C\ ist l-fehlerkorrigierend, C2 ist O-fehlerkorrigierend (damit sind also keine Fehler
korrigierbar), C3 ist l-fehlerkorrigierend.
Für jeden Mehlerkorrigierenden Code C C GFB)n gilt £ (f) • \C\ < T. Gilt Gleichheit, dann nennt
man C einen t-perfekten Code.
¦ Der Wiederholungscode C = {00... 0,11.. 1} C GFBJt+1 ist t-perfekt.
3. Linearcodes
Eine nichtleere Teilmene C C GFB)n heißt (binärer) linearer Code, wenn C ein Untervektorraum von
GFB)n ist. Hat ein linearer Code C C GFB)n die Dimension k, dann wird er ein (n, k)-Linearcode
genannt
¦ (Fortsetzung) C\ ist ein D, l)-Linearcode, C2 ist ein C,2)-Linearcode, C3 ist ein E,2)-Linearcode.
Für binäre Linearcodes sind die Minimalabstände (und daraus die Anzahlen der korrigierbaren Fehler)
leicht erkennbar: Der Minimalstand eines solchen Codes ist der kleinste Abstand eines Codewortes, das
nicht selbst der Nullvektor ist, zum Nullvektor des Vektorraums. Man findet also den Minimalabstand,
indem man die Minimalzahl > 0 von Einsen in den Codewörtern ermittelt.
Für jeden (n, /c)-Linearcode C gibt es eine Generatormatrix G mit C = {aG \ a G GFB)/c}-
[Qu •.- 9in\ (9i\
G= : : = ! E232)
\9ki ¦ ¦ 9knJ kxn \9kJ
Der Code ist durch Angabe der Generatormatrix eindeutig beschrieben, das Codewort zum
Nachrichtenworts a\ü2 . ak wird nach folgender Vorschrift bestimmt:
aia2 ...ak^ aigi + a2#2 + • • ¦ + ak9k E.233)
aG
Zum Decodieren benötigt man bei (n, fc)-Linearcodes C eine Kontrollmatrix H.
/ hu ... hin \
H = • • : E 234)
\/ln_M ... hn-ktn ) {n_k)xn
Der (binäre) Linearcode C ist (mindestens) l-fehlerkorrigierend, wenn die Spalten von H paarweise
verschieden und ungleich vom Nullvektor sind Hat man in so einem Fall nach der Übertragung das
Wort d = d\d2 . dn erhalten, dann berechnet man Hd?. Ist das der Nullvektor, dann ist d selbst
ein Codewort. Ansonsten stellt man fest, daß HdF die i-te Spalte hi der Kontrollmatrix H ist, das
zugehörige Codewort ist dann d + e*, wobei e» = @,. ., 0,1,0, ., 0) ist und die 1 an der i-ten Stelle
steht.
4. Zyklische Codes
Die zyklischen Codes sind die am besten untersuchten Linearcodes, sie erlauben eine effiziente
Codierung und Decodierung
Ein (binärer) (n, A;)-Linearcode C heißt zyklisch, wenn für alle c\c2 . cn gilt
CqCi . Cn_i GC^> Cn_iCoCi . . Cn_2 G C
¦ C = {000,110,101,011} ist ein zyklischer C,2)-Linearcode.
Um effizient mit zyklischen Codes arbeiten zu können, stellt man deren Codewörter durch Polynome
5.4 Elementare Zahlentheorie 345
vom Grad < n — 1 mit Koeffizienten aus GFB) dar.
cqCi . cn_i <-> c(x) = Co + C\x + ... + cn-ixn~l E.235)
Ein (binärer) (n, /c)-Linearcode C ist genau dann zyklisch, wenn für alle c(x) gilt:
c(x) G C => c{x) • x(mod xn -1) G C E.236)
Einen zyklischen (n, A;)-Linearcode kann man durch Generatorpolynome und Kontrollpolynome wie
folgt beschreiben. Das Generatorpolynom g(x) vom Grad n - k (k G {1,2,..., n — 1}) ist ein Teiler
von xn - 1 Das Polynom h(x) vom Grad /c mit g{x)h(x) = xn — 1 wird Kontrollpolynom genannt. Die
Codierung von a\ü2 . ßfc in Polynomdarstellung a(x) erfolgt durch
a(x) h-> a(x) • ^(x). E.237)
d(x) ist genau dann ein Element des Codes, wenn das Generatorpolynom g(x) ein Teiler von d(x) ist,
und genau dann, wenn für das Kontrollpolynom h(x) die Bedingung d(x) • h(x) = 0(mod a:n — 1) erfüllt
ist.
Eine besonders wichtige Klasse von zyklischen Codes sind die BCH-Codes, weil man sich dabei eine
untere Schranke S für den Minimalabstand und damit eine untere Schranke für die Fehleranzahl
vorgeben kann, die der Code korrigieren soll Dabei wird 5 die Entwurfsdistanz des Codes genannt.
Ein (binärer) (n, fc)-Linearcode C ist ein BCH-Code mit Entwurfsdistanz 6, wenn für sein
Generatorpolynom g(x) gilt.
g(x) — kgV(mab(x),mab+i(x), ,mQb+s-2(x)), E.238)
wobei a eine primitive n-te Einheitswurzel und b eine ganze Zahl ist. Die Polynome mQj(x) sind
Minimalpolynome von a?.
Für einen BCH-Code C mit Entwurfsdistanz S gilt dmin(C) > ö.
346 5. Algebra und Diskrete Mathematik
5.5 Kryptologie
5.5.1 Aufgabe der Kryptologie
Kryptologie ist die Wissenschaft der Geheimhaltung von Informationen durch Transformation von
Daten
Die Idee, Daten vor unberechtigtem Lesen zu schützen, ist schon alt Als selbständiger Wissenszweig
hat sich die Kryptologie in den 70er Jahren unseres Jahrhunderts mit der Einführung von Kryptosyste-
rnen mit öffentlichem Schlüssel etabliert Heute ist es Aufgabe kryptologischer Untersuchungen, Daten
sowohl gegen unberechtigten Zugriff als auch gegen unberechtigte Änderungen zu schützen
Neben den „klassischen" militärischen Anwendungen erlangen die Bedürfnisse der
Informationsgesellschaft immer mehr an Bedeutung Beispielsweise geht es um die Gewährleistung der Sicherheit bei der
Nachrichtenübermittlung per e-mail, um den elektronischen Zahlungsverkehr (Home-Banking), PIN
bei EC-Karten usw
Unter dem Oberbegriff Kryptologie faßt man heute die beiden Teilgebiete Kryptographie und Kryp-
toanalysis zusammen. Im Rahmen der Kryptographie werden Kryptosysteme entwickelt, deren kryp-
tographische Stärke mit Hilfe der Methoden der Kryptoanalysis zum Brechen von Kryptosystemen
beurteilt werden kann
5.5.2 Kryptosysteme
Ein abstraktes Kryptosystem besteht aus den folgenden Mengen: Nachrichtenraum M,
Schlüsseltextraum C, Schlüsselräume K und K', Funktionsräume E undID
Eine Nachricht m G M wird durch Anwendung einer Abbildung E G E mit einem Schlüssel k G K
zu einem Schlüsseltext c G C verschlüsselt und über einen Kommunikationskanal übermittelt Der
Empfänger kann aus c die ursprüngliche Nachricht rn reproduzieren, sofern er über eine geeignete
Abbildung DgD und den dazu passenden Schlüssel k' G K' verfügt
Es gibt zwei Arten von Kryptosystemen:
1. Symmetrische Kryptosysteme: Beim klassischen symmetrischen Kryptosystem verwendet man
den gleichen Schlüssel k zum Verschlüsseln der Nachricht und zum Entschlüsseln des Schlüsseltextes.
Beim Erstellen von klassischen Kryptosystemen kann der Anwender seiner Phantasie freien Lauf
lassen. Das Verschlüsseln und Entschlüsseln darf aber nicht zu kompliziert werden In jedem Fall ist die
sichere Übertragung zwischen beiden Kommunikationspartnern unabdingbar
2. Asymmetrische Kryptosysteme: Beim asymmetrischen Kryptosystem (s 5.5.7.1, S. 350)
verwendet man zwei Schlüssel, einen privaten (streng geheimen) und einen öffentlichen Schlüssel Der
öffentliche Schlüssel kann auf dem gleichen Weg wie der Schlüsseltext übertragen werden Die Sicherheit
der Kommunikation ist hierbei durch die Verwendung sogenannter Einwegfunktionen (s. 5.5.7 2, S 351)
gewährleistet, die es dem unbefugten Lauscher unmöglich machen, den Klartext aus dem Schlüsseltext
zu ermitteln.
5.5.3 Mathematische Präzisierung
Ein Alphabet A = {ao, ai, • • , an-i} ist eine endliche nichtleere totalgeordnete Menge, deren Elemente
üi Buchstaben genannt werden Die Länge des Alphabetes ist \A\ Eine Zeichenreihe w = a!xa!2 . a'n
der Länge n G IN, die aus Buchstaben von A besteht, ist ein Wort der Länge n über dem Alphabet
A Mit An wird die Menge aller Wörter der Länge n über A bezeichnet Seien n,m G N und A, B
Alphabete sowie S eine endliche Menge.
Eine Kryptofunktion ist eine Abbildung t. An x S —? Bm , so daß die Abbildung t9. An —> Bm w —?
t(w, s) für jedes s G S injektiv ist. Dabei werden ts und t~l Verschlüsselungsfunktion bzw
Entschlüsselungsfunktion genannt, w ist der Klartext und t8(w) der Schlüsseltext.
Für eine Kryptofunktion ist die einparametrige Familie {ts }ses ein Kryptosystem Ts Der Begriff
Kryptosystem findet Verwendung, wenn neben der Abbildung t auch Struktur und Größe der Schlüsselmenge
5.5 Kryptologie 347
von Bedeutung sind. Die Menge S aller zu einem Kryptosystem gehörenden Schlüssel heißt
Schlüsselraum. Für n = m und A = B wird
Ts = {ts: An -? An\s e S} E.239)
Kryptosystem auf An genannt.
Ist Ts ein Kryptosystem auf An, dann heißt ts kontinuierliche Chiffre, falls n = 1 ist; anderenfalls ist ts
eine Blockchiffre.
Kryptofunktionen aus einem Kryptosystem auf An sind zum Verschlüsseln von Klartexten beliebiger
Länge geignet Man zerlegt dazu den Klartext in Blöcke der Länge n und wendet die Funktion auf jeden
der Blöcke einzeln an. Gegebenenfalls müssen noch sogenannte Blender hinzugefügt werden, um den
Klartext auf eine durch n teilbare Länge zu ergänzen. Blender dürfen den Klartext nicht stören
Man unterscheidet kontextfreie Verschlüsselung, bei der ein Schlüsseltextblock nur Funktion des
zugehörigen Klartextblocks und dessen Schlüssel ist, und kontextsensitive Verschlüsselung, bei der der
Schlüsseltextblock auch von anderen Blöcken der Nachricht abhängig ist Im Idealfall hängt jede
Schlüsseltextstelle von allen Klartextstellen und allen Schlüsselstellen ab Kleine Änderungen in Klartext oder
Schlüssel bewirken dann große Änderungen im Schlüsseltext (Lawineneffekt).
5.5.4 Sicherheit von Kryptosystemen
In der Kryptoanalysis geht es um die Entwicklung von Methoden, mit denen man aus dem
Schlüsseltext ohne Kenntnis des Schlüssels möglichst viele Informationen über den Klartext gewinnen kann
Nach A. Kerckhoff liegt die Sicherheit eines Kryptosystems allein in der Schwierigkeit, den Schlüssel
oder genauer die Entschlüsselungsfunktion zu finden Sie darf nicht auf der Geheimhaltung des Systems
selbst beruhen
Es gibt verschiedene Aspekte zur Beurteilung der Sicherheit von Kryptosystemen*
1. Absolut sichere Kryptosysteme: Das one-time-tape ist ein absolut sicheres Kryptosystem. Der
Beweis dafür wurde von Shannon im Rahmen der Informationstheorie erbracht.
2. Analytisch sichere Kryptosysteme: Es gibt kein Verfahren, mit dem dieses Kryptosystem
systematisch gebrochen werden kann. Der Beweis für die Nichtexistenz solcher Verfahren kann durch den
Nachweis der Nicht-Berechenbarkeit der Entschlüsselungsfunktion erfolgen
3. Komplexitätstheoretisch sichere Kryptosysteme: Es gibt keinen Algorithmus, der das
Kryptosystem in Polynomzeit (bezüglich der Textlänge) brechen kann.
4. Praktisch sichere Kryptosysteme: Es ist kein Verfahren bekannt, das das Kryptosystem mit den
verfügbaren Ressourcen bei vertretbaren Kosten brechen kann.
Bei der Kryptoanalyse werden oft statistische Methoden (Häufigkeitsanalysen für Buchstaben und
Wörter) angewandt Neben dem vollständigen Suchen und der Trial-and-Error-Methode ist auch eine
Strukturanalyse des Kryptosystems denkbar (Lösen von Gleichungssystemen)
Bei Angriffen auf Kryptosysteme kann man versuchen, einige häufig vorkommende Chiffrierfehler
auszunutzen, z B.die Verwendung stereotyper Formulierungen, das wiederholte Senden wenig geänderter
Klartexte, eine ungeschickte vorhersehbare Schlüsselauswahl und die Verwendung von Füllzeichen.
5.5.4.1 Methoden der klassischen Kryptologie
Außer durch Anwendung von Kryptofunktionen ist es auch möglich, einen Klartext durch
kryptologische Codes zu verschlüsseln (Kodierung). Darunter versteht man eine bijektive Abbildung von einer
Teilmenge A! der Menge aller Wörter über einem Alphabet A auf eine Teilmenge B' der Menge aller
Wörter über einem Alphabet B. Die Menge aller Original-Bild-Paare dieser Abbildung heißt
Codebuch.
_ heute abend 0815
morgen abend 1113
Dem Vorteil, daß lange Klartexte durch kurze Nachrichten ersetzt werden können, steht der Nachteil
gegenüber, daß gleiche Klartextteile durch gleiche Schlüsseltextteile ersetzt werden und auch nur
teilweise kompromittierte Codebücher mit großem Aufwand komplett ausgetauscht werden müssen.
348 5 Algebra und Diskrete Mathematik
Im weiteren Text weiden nur noch Verschlüsselungen mit Hilfe von Kryptofunktionen betrachtet Diese
haben den zusätzlichen Vorteil, daß keine vorherige Absprache über den Inhalt der auszutauschenden
Nachrichten erfolgen muß
Klassische Kryptooperatwnen sind Substitution und Transposition Transpositionen sind in der
Kryptologie spezielle, über geometrische Figuren definierte Permutationen. Im weiteren sollen die
Substitutionschiffren genauer vorgestellt werden Man unterscheidet monoalphabetische und polyalphabetische
Substitutionen, je nachdem, ob ein Alphabet oder mehrere Alphabete zur Abfassung des
Schlüsseltextes herangezogen werden Allgemeiner spricht man auch von polyalphabetischen Substitutionen, wenn
zwar nur ein Alphabet benutzt wird, jedoch die Verschlüsselung der Klartextzeichen von deren Position
im Text abhängig ist
Außerdem ist eine Einteilung in monographische und polygraphische Substitutionen sinnvoll Im ersten
Fall werden Einzelzeichen ersetzt, im zweiten Fall Zeichenfolgen einer festgesetzten Länge > 1.
5.5.4.2 Affine Substitutionen
Ist A — {ao, oi, , an_i} und k, s € {0,1,..., n — 1} mit dem ggT(/c, n) = 1, dann wird die
Permutation £j , die jeden Buchstaben ai auf ^(aj = a^+s abbildet, eine affine Substitution genannt
Es gibt n ip(ri) verschiedene affine Substitutionen auf A
Veischiebechiffren sind affine Substitutionen mit k = 1 Die Verschiebechiffre mit s = 3 wurde schon
von JULIUS Caesar A00 bis 44 v Chr ) benutzt und heißt deshalb CAESAR-Chiffre
A B C D E F
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
E
F
B
C
D
E
F
G
C
D
E
F
G
H
D
E
F
G
H
I
E
F
G
H
I
J
F
G
H
I
J
K
5.5.4.3 Vigenere-ChifFre
Die Verschlüsselung bei der ViGENERE-Chiffre basiert auf der
periodischen Verwendung eines Schlüsselwortes, dessen
Buchstaben paarweise verschieden sind
In einer Version dieser Chiffre nach L. CAROLL wird zum
Ver- und Entschlüsseln das sogenannte VlGENERE-Tableau
benutzt (s nebenstehend) Steht das Klartextzeichen in Zeile i
und das Schlüsselzeichen in Spalte j des ViGENERE-Tableaus,
dann wird das Schlüsseltextzeichen im Schnittpunkt der beiden
Reihen im Innern des Tableaus abgelesen Die Entschlüsselung
erfolgt in umgekehrter Reihenfolge
¦ Als Schlüsselwort wird „Hut" gewählt
Klartext- E S W A R E
Schlüssel H U T H U T
Schlüsseltext L M P H L X
Formal kann man die Vigenere- Chiffre auch wie folgt schreiben- Ist a^ der Klartextbuchstabe und aj
der zugehörige Schlüsselbuchstabe, dann ist a^ der Schlüsseltextbuchstabe genau dann, wenn i + j = k
gilt
5.5.4.4 Matrixsubstitutionen
Sei A = {aQ,a±, ,an-i} ein Alphabet und S = (s^), Sy G {0,1, ,n — 1}, eine nichtsinguläre
Matrix vom Typ (m, m) mit ggT(det5, n)= 1 Die Abbildung, die jedem Klartextblock
a*(i)-ö£B), • • • ,Q>t(m) den Schlüsseltextblock mit der Indexfolge (die Rechnung wird modulo n
ausgeführt)
I N
H U
P H
M
T
F
A
H
H
L
U
F
/ (a'm\\T
V a>t(m) I
E 240)
5.5 Kryptologie 349
zuordnet, heißt HiLL-ChifTre. Es handelt sich dabei um eine monoalphabetische Matrixsubstitution.
/1483\
¦ S = I 8 5 2 ; die Buchstaben des Alphabetes seien a0 = A,a\ = B,.. ,a25 = Z Wählt
V 321/
man als Klartext das Wort „HERBST", dann sind den Buchstabenfolgen HER, BST die Indexfolgen
G,4,17) bzw A,18,19) zugeordnet. Man erhält S • G,4,17)T = A81,110,46)T und S • A,18,19)T =
B15,136,58)T. Nach Reduktion modulo 26 ergeben sich die Indexfolgen B5,6,20) und G,6,6) sowie
die zugehörigen Buchstabenfolgen ZGU bzw HGG. Der Schlüsseltext zum Klartext HERBST lautet
also ZGUHGG
5.5.5 Methoden der klassischen Kryptoanalysis
Das Ziel kryptoanalytischer Untersuchungen besteht darin, ohne Kenntnis des Schlüssels aus dem
Schlüsseltext möglichst viele Informationen über den zugehörigen Klartext abzuleiten Solche
Untersuchungen sind nicht nur für unberechtigte „Lauscher" von Interesse, sondern auch zur Beurteilung der
Sicherheit von Kryptosystemen aus der Sicht von deren Anwendern.
5.5.5.1 Statistische Analyse
Für jede natürliche Sprache gibt es Verteilungen der Häufigkeiten von Einzelbuchstaben,
Buchstabenpaaren, Worten usw. Zum Beispiel ist in der deutschen Sprache E der häufigste Buchstabe:
Buchstaben Gesamthäufigkeiten
E, N 27,18 %
I, S, R, A, T 34,48 %
D, H, U, L, C, G, M, O, B, W, F, K, Z 36,52 %
P,V, J,Y,X, Q 1,82%
Für ausreichend lange Schlüsseltexte ist es unter Ausnutzung der Häufigkeitsverteilungen möglich,
monoalphabetische monographische Substitutionen zu brechen
5.5.5.2 Kasiski-Friedman-Test
Mit der kombinierten Methode von Kasiski und Friedman ist es möglich, ViGENERE-Chiffren zu
brechen. Dabei wird die Tatsache ausgenutzt, daß bei diesem Chiffrierverfahren das Schlüsselwort
periodisch verwendet wird Es treten also Wiederholungen von Teilfolgen im Schlüsseltext auf, wenn
gleiche Klartextfolgen mit gleichen Schlusselfolgen verschlüsselt worden sind. Der Abstand solcher
übereinstimmender Teilfolgen mit der Länge > 2 im Schlüsseltext ist ein Vielfaches der Schlüssellänge
Gibt es mehrere sich wiederholende Schlüsseltextfolgen, dann muß die Schlüssellänge den größten
gemeinsamen Teiler der Abstände teilen Diese Überlegung wird KASISKI-Test genannt. Man muß aber
die Möglichkeit in Betracht ziehen, daß solche Übereinstimmungen auch durch Zufall enstanden sein
könnten und damit das Ergebnis verfälschen würden
Während der KASISKI- Test die Schlüsselwortlänge nur bis auf Vielfache und Teiler liefert, gibt der
Friedman-Test die Größenordnung der Schlüsselwortlänge an Für die Schlüsselwortlänge / eines ViGE-
NERE-verschlüsselten Klartextes in deutscher Sprache mit einem Schlüsseltext der Länge n
(Zeichenzahl) gilt
0,0377n
~ (n- \)IC - 0,0385n + 0,0762 ^ ^
Dabei ist IC der Koinzidenzindex des Schlüsseltextes, der sich wie folgt aus den Anzahlen rii der
Buchstaben üi (i 6 {0,1, , 25}) des Schlüsseltextes berechnen läßt.
26
£ ni(rii - 1)
&=—, TT"' E241b)
n(ra-l)
350 5. Algebra und Diskrete Mathematik
Zur Ermittlung des Schlüsselwortes schreibt man den Schlüsseltext der Länge n in / Spalten. Es genügt
nun, spaltenweise das Äquivalent der Buchstaben E zu finden, da die Spalten bei der VlGENERE-Chiffre
durch eine Verschiebechiffre entstanden sind. Ist z B. V der häufigste Buchstabe in einer Spalte, dann
findet man im ViGENERE-Tableau
E
E 241c)
R. V
den Buchstaben R des Schlüsselwortes
Benutzt eine VlGENERE-Chiffre einen sehr langen Schlüssel (z B von der Länge des Klartextes), dann
führen die hier beschriebenen Methoden nicht zum Ziel. Man kann aber erkennen, ob die
verwendete Chiffre monoalphabetisch, polyalphabetisch mit kleiner Periode oder polyalphabetisch mit großer
Periode ist.
5.5.6 One-Time-Tape
Hierbei handelt es sich um eine als theoretisch sicher geltende Chiffre Die Verschlüsselung erfolgt nach
dem Prinzip der VlGENERE-Chiffre, jedoch verwendet man als Schlüssel eine Zufallsfolge von
Buchstaben, deren Länge mit der Länge des Klartextes übereinstimmt.
In der Regel werden one-time-tapes als binäre ViGENERE-Chiffren realisiert. Klartext und Schlüssel
sind dann als Dualzahlen dargestellt und werden modulo 2 addiert. Unter diesen Bedingungen ist die
Chiffre involutorisch, d h., das zweimalige Anwenden der Chiffre liefert wieder den Klartext Die
technische Ausführung von binären ViGENERE-Chiffren erfolgt durch Schieberegister Schaltungen. Darunter
versteht man Schaltungen, die nach bestimmten Regeln aus Speicherbausteinen, die die Zustände 0
oder 1 annehmen können, und Schaltern zusammengesetzt sind.
5.5.7 Verfahren mit öffentlichem Schlüssel
Obwohl die Verfahren der klassischen Kryptologie mit der heutigen Rechentechnik effizient realisierbar
sind und auch für zweiseitige Nachrichtenverbindungen nur ein Schlüssel erforderlich ist, gibt es auch
eine Reihe von Nachteilen
• Die Chiffriersicherheit beruht allein auf der Geheimhaltung des Schlüssels.
• Die Schlüssel müssen vor der Kommunikation auf einem hinreichend gesicherten Kanal ausgetauscht
werden, spontane Kommunikation ist nicht möglich.
• Es ist darüber hinaus nicht möglich, Dritten gegenüber nachzuweisen, daß ein bestimmter Absender
eine bestimmte Nachricht geschickt hat.
5.5.7.1 Konzept von Diffie und Hellman
Das Konzept der Verfahren mit öffentlichem Schlüssel wurde 1976 von Diffie und Hellman
entwickelt. Jeder Teilnehmer verfugt über einen öffentlichen Schlüssel, der in einem allgemein
zugänglichen Verzeichnis veröffentlicht wird, und einen privaten Schlüssel, der nur dem jeweiligen Teilnehmer
selbst bekannt ist und streng geheim gehalten wird Solche Verfahren nennt man asymmetrische
Chiffrierverfahren (s 5.5.2, S. 346).
Der öffentliche Schlüssel des i-ten Teilnehmers bestimmt den Chiffrierschritt Ei, der private Schlüssel
KSi des i-ten Teilnehmers bestimmt den Dechiffrierschritt Di. Es müssen folgende Bedingungen erfüllt
sein
1. Di o Ei ist die identische Abbildung
2. Für Ei und A gibt es effiziente Realisierungen
3. Der private Schlüssel KSi kann mit den bis auf absehbare Zeit zur Verfügung stehenden Mitteln
nicht aus dem öffentlichen Schlüssel KPi abgeleitet werden
Gilt darüber hinaus noch
5.5 Kryptologie 351
4. Ei o Di ist die identische Abbildung, dann handelt es sich um ein Signaturverfahren mit öffentlichem
Schlüssel. Ein Signaturverfahren ermöglicht dem Absender der Nachricht, diese mit einer unfälschba-
ren Unterschrift zu versehen.
Möchte A eine Nachricht m verschlüsseln und an B senden, dann entnimmt A aus dem Verzeichnis den
öffentlichen Schlüssel KPB von B und legt damit die Verschlüsselungsfunktion EB fest. EB(m) — c.
A sendet nun den Schlüsseltext c über das öffentliche Netz an B , und B kann den Klartext der
Nachricht mit Hilfe seines privaten Schlüssels KSB bestimmen, der die Entschlusselungsfunktion DB
festlegt: DB{c) = DB{EB(m)) = m.
Um das Fälschen von Nachrichten zu verhindern, kann A in einem Signaturverfahren mit öffentlichem
Schlüssel seine Nachricht m an B wie folgt signieren: A verschlüsselt den Klartext m mit seinem
privaten Schlüssel gemäß DA(m) = d, fügt dem Text seine Unterschrift „A" hinzu und verschlüsselt den
unterschriebenen Text d mit dem öffentlichen Schlüssel von B: EB(DA{m),vAu) = EB(d,»A") = e.
Der so signierte Text wird von A an B geschickt.
Der Teilnehmer B entschüsselt den Text mit seinem privaten Schlüssel und erhält
DB(e) = DB(EB(d, „A")) = (d, „A"). Aus diesem Text erkennt B den Absender A und kann nun den
Text d mit dem öffentlichen Schlüssel von A entschlüsseln: EA{d) = Ea{Da(tti)) = m.
5.5.7.2 Einwegfunktionen
Chiffrierfunktionen in Verfahren mit öffentlichem Schlüssel müssen Einwegfunktionen mit „Falltür'1
sein Unter Falltür versteht man hier eine geheimzuhaltende Zusatzinformation
Eine injektive Funktion /: X —> Y heißt Einwegfunktion mit Falltür, falls die folgenden Bedingungen
gelten:
1. Es gibt effiziente Verfahren zur Berechnung von / und f~l.
2. Das effiziente Verfahren zur Berechnung von /_1 kann aus / nicht ohne eine geheimzuhaltende
Zusatzinformation gewonnen werden.
Man kann nicht beweisen, daß es Einwegfunktionen gibt, kennt jedoch Funktionen, die als Kandidaten
für Einwegfunktionen in Frage kommen.
5.5.7.3 RSA-Verfahren
1. Voraussetzungen: Man wählt zwei große Primzahlen p und q und n = pq. Dabei soll pq > 10200
gelten, p und q müssen sich als Dezimalzahlen in ihrer Länge um einige Stellen unterscheiden; die
Differenz zischen p und q darf aber auch nicht zu groß sein. Weiterhin sollen p— 1 und q—1 große Primfaktoren
enthalten, und der größte gemeinsame Teiler von p—1 und q — 1 soll möglichst klein sein. Man wähle
ein e > 1, das teilerfremd zu (p — l){q — 1) ist, und berechne ein d mit d • e = 1 modulo (p — l)(q — 1).
Dann bilden n und e den öffentlichen Schlüssel und d den privaten Schlüssel.
2. Verschlüsselungsoperation:
E: {0,1,..., n - 1} -? {0,1,..., n - 1} E(x) := xe modulo n. E.242a)
3. Entschlüsselungsoperation:
D: {0,1,..., n - 1} -> {0,1,..., n - 1} D(x) := xd modulo n. E.242b)
Damit gilt D(E(m)) = E(D(m)) = m für jede Nachricht m.
Die zur Verschlüsselung verwendete Funktion ist für n = pq > 10200 ein Kandidat für eine
Einwegfunktion mit Falltür (s 5 5.7.2, S. 351). Die Zusatzinformation liegt hier in der Kenntnis der Primfaktoren-
zerlegung von n. Ohne diese Information ist es praktisch unmöglich, die Kongruenz
d • e = 1 modulo (p - l)(q - 1) zu lösen.
Das RSA-Verfahren gilt weithin als praktisch sicher, sofern die obengenannten Bedingungen erfüllt
sind Als Nachteil gegenüber anderen Verfahren sind die relativ große Schlüssellänge und die Tatsache
352 5 Algebra und Diskrete Mathematik
zu beachten, daß RSA gegenüber DES (s. 5.5.8) um etwa den Faktor 1000 langsamer ist
5.5.8 AES—Algorithmus (Advanced Encryption Standard)
Von 1977 bis 2001 diente das DES-Verfahren als offizieller US-Verschlüsselüngsstandard für
vertrauliche Daten (s [5.36] und auch [22 7], S 350). Im Jahre 2001 wurde vom NIST (National Institute of
Standards and Technology) nach einer weltweit geführten Diskussion eine Variante des von J. Dae-
men und V. Rijnmen vorgeschlagenen Rijndaeh Algorithmus als neuer Verschlüsselungsstandard
eingeführt
Beim AES werden hintereinander über mehrere Runden Substitutionen und Permutationen ausgeführt
Zunächst wird ein geheimer Schlüssel gewählt. Die Blocklänge im zu verschlüsselnden Klartext und die
Schlüssellänge können 128 , 192 oder 256 Bits betragen. Die verschlüsselten Klartextblöcke bilden den
Geheimtext, der die gleiche Länge wie der Klartext hat Aus diesem kann mit einem inversen
Algorithmus und dem Schlüssel wieder blockweise der Klartext rekonstruiert werden. Die aus dem Schlüssel
erzeugten Rundenschlüssel werden dabei im Vergleich zur Verschlüsselung in umgekehrter Reihenfolge
eingesetzt.
Die Stärke dieses Chiffrierungsverfahrens liegt in der Konstruktion der Abbildungen, die in den
einzelnen Iterationsrunden angewendet werden Die einzige nichtlineare Substitution findet man in der
Operation „SubBytes" Zu ihrer Beschreibung werden die zu transformierenden Blöcke als Elemente
eines endlichen Körpers aufgefaßt Alle Details zum Algorithmus findet man in [5.37]. Obwohl der AES-
Algorithmus bis ins Detail offengelegt wurde, sind bis heute keine realistischen Angriffsmöglichkeiten
bekannt geworden.
5.5.9 IDEA-Algorithmus
(International Data Encryption Algorithm)
Der IDEA Algorithmus wurde 1991 von Lai und MASSAY zum Patent vorgelegt Wie beim DES-
Algorithmus handelt es sich um ein symmetrisches Verschlüsselungsverfahren; IDEA ist ein potentieller
Nachfolger für DES Der Algorithmus ist insbesondere als Bestandteil des bekannten Softwarepakets
PGP (Pretty Good Privacy) zur Verschlüsselung von e-mails bekannt geworden Im Unterschied zu
DES wurde nicht nur der Algorithmus veröffentlicht, sondern auch seine Entwurfsgrundlagen Ziel war
die Verwendung möglichst einfacher Operationen (Addition modulo 2, Addition modulo 216 ,
Multiplikation modulo 216+1).
Mit IDEA kann man 64-Bit-Klartextblöcke verschlüsseln und bei Wahl der Teilschlüssel in
umgekehrter Reihenfolge wieder entschlüsseln Zur Verschlüsselung wird jeder 64 Bit Klartextblock in vier
Teilblöcke von je 16 Bit aufgeteilt IDEA benutzt 128-Bit-Schlüssel, aus denen 52 Teilschlüssel von je
16 Bit erzeugt werden. In 8 Verschlüsselungsrunden werden jeweils 6 dieser Teilschlüssel benötigt, die
restlichen 4 Teilschlüssel werden in einer Ausgabetransformation mit den vier Textblöcken verknüpft
und abschließend zu einem 64-Bit-Schlüsseltextblock zusammengesetzt
IDEA ist etwa doppelt so schnell wie DES, in Hardware jedoch schwieriger zu implementieren
Öffentlich sind keine erfolgreichen Angriffe gegen IDEA bekannt geworden Angriffe durch Ausprobieren aller
Schlüssel bleiben bei der Schlüssellänge von 128 Bit wirkungslos
5.6 Universelle Algebra 353
5.6 Universelle Algebra
Eine (universelle) Algebra besteht aus einer Menge, der Trägermenge, und Operationen auf dieser
Menge Einfache Beispiele sind die in den Abschnitten 5.3.2, S. 308, 5.3.3, S. 309 und 5 3.6, S. 323
behandelten Halbgruppen, Gruppen, Ringe und Körper.
Universelle Algebren (meist mehrsortig, d.h. mit mehreren Trägermengen) werden insbesondere in der
theoretischen Informatik betrachtet. Sie dienen dort als Grundlage für die (algebraische) Spezifikation
abstrakter Datentypen und für Termersetzungssysteme.
5.6.1 Definition
Es sei Q eine Menge von Operationssymbolen, die in paarweise disjunkte Teilmengen fln, n G N,
zerfällt In Q0 liegen die Konstanten, in ün , n > 0, die n-stelligen Operationssymbole. Die Familie
(rän)n€N heißt Typ oder Signatur. Ist A eine Menge und ist jedem n-stelligen Operationssymbol u G ün
eine n-stellige Operation uA in A zugeordnet, so heißt A = (A, {uA\u G f2}) eine Ü-Algebra oder
Algebra vom Typ (oder der Signatur) Ü .
Ist ü endlich, fi = {u)U ..., uk} , so schreibt man für A auch A = (A, u>A, .., uA)
Faßt man einen Ring (s. 5 3.6, S. 323) als Q-Algebra auf, so zerfällt Q in f20 — {^1} » ^i = {^2} , ^2 =
{^3,^4} , wobei den Operationssymbolen ui, u>2 , U3 , U4 die Konstante 0, Inversenbildung bezüglich
Addition, Addition und Multiplikation zugeordnet sind
Es seien A und B Q-Algebren. B heißt Q-Unteralgebra von A, falls B C A ist und die Operationen ljb
die Einschränkungen der Operationen uA (u £ Q.) auf die Teilmenge B sind.
5.6.2 Kongruenzrelationen, Faktoralgebren
Um Faktorstrukturen, wie im Falle der Gruppen und Ringe, für universelle Algebren konstruieren zu
können, wird der Begriff der Kongruenzrelation benötigt Eine Kongruenzrelation ist eine mit der
Struktur verträgliche Aquivalenzrelation: Es sei A = (A, {lüa\lü G Q}) eine Q-Algebra und R eine
Aquivalenzrelation in A R heißt Kongruenzrelation in A, falls für alle u G £ln (n G N) und alle
aj, bi G A mit üiRbi (i = 1,..., n) gilt.
uA{au. .,an) RuA{bu. . A) E.243)
Die Menge der Aquivalenzklassen (Faktormenge) bezüglich einer Kongruenzrelation bildet bezüglich
repräsentantenweisem Rechnen wieder eine J7-Algebra: Es sei A = (A, {lüa\lj G fi}) eine f2-Algebra
und R eine Kongruenzrelation in A. Die Faktormenge A/R (s. 5.2.4, S. 306) wird bezüglich folgender
Operationen wAlR (u G ün , n G N) mit
«^Ä([ai]Ä,..., K]h) = [0^@,,... ,an)]Ä E 244)
zu einer Q-Algebra A/R, der Faktoralgebra von A nach R.
Die Kongruenzrelationen von Gruppen bzw Ringen lassen sich durch spezielle Teilstrukturen -
Normalteiler (s. 5.3.3.2,2., S. 311) bzw. Ideale (s. 5.3.6,2., S. 324) - beschreiben. Im allgemeinen, z.B. bei
Halbgruppen, ist eine solche Beschreibung der Kongruenzrelationen nicht möglich.
5.6.3 Homomorphismen
Wie bei den klassischen algebraischen Strukturen besteht auch hier über den Homomorphiesatz ein
Zusammenhang zwischen den Homomorphismen und den Kongruenzrelationen
Es seien A und B Ü-Algebren Eine Abbildung h: A —> B heißt Homomorphismus, wenn für jedes
üü G On und alle ai, . , an G A gilt:
h(uA(au ..,an))=LüB(h{ai), .,h(an)) E 245)
Ist h darüber hinaus bijektiv, so heißt h Isomorphismus] die Algebren A und B heißen dann zueinander
isomorph Das homomorphe Bild h(A) einer Q-Algebra A erweist sich als Ü-Unteralgebra von B. Bei
einem Homomorphismus h entspricht der Zerlegung von A in bildgleiche Elemente eine
Kongruenzrelation, die der Kern von h genannt wird
ker/i= {(a,6) G A x A\h{a) = h{b)} E.246)
354 5 Algebra und Diskrete Mathematik
5.6.4 Homomorphiesatz
Es seien A und B Q- Algebren und h' A —? B ein Homomorphismus, h bestimmt eine
Kongruenzrelation ker hm A. Die Faktoralgebra Aj ker h ist isomorph zum homomorphen Bild h(A).
Umgekehrt bestimmt jede Kongruenzrelation R eine homomorphe Abbildung natu: A —> A/R mit
natR(a) = [cl]r Die Abb.5.17 soll den Homomorphiesatz veranschaulichen
*a
h(a)
• h(A)
nat ker h
fclkerh ^
DDD
DDD
DDD
A/ker h
Abbildung 5.17
5.6.5 Varietäten
Eine Varietät V ist eine Klasse von f2-Algebren, die
abgeschlossen ist gegenüber der Bildung von
Unteralgebren, von homomorphen Bildern und
direkten Produkten, d.h., diese Bildungen führen aus V
nicht heraus Dabei sind direkte Produkte
folgendermaßen definiert.
Erklärt man auf dem kartesischen Produkt der
Trägermengen von Ü-Algebren die Q
entsprechenden Operationen komponentenweise, so erhält man
wieder eine ^-Algebra, das direkte Produkt dieser
Algebren. Der Satz von BlRKHOFF (s. 5.6.6, S. 354)
charakterisiert die Varietäten als diejenigen
Klassen von Q-Algebren, die sich durch „Gleichungen"
definieren lassen.
5.6.6 Termalgebren, freie Algebren
Es sei (rin)n€N eine Signatur und X eine abzählbare Menge von Variablen Die Menge Tq(X) der Q-
Terme über X ist induktiv wie folgt definiert
l.XUQoCTQ{X)
2. Sindti, . ,tn G Tn(X) und cj G fi„ , so ist auch cj^ tn e Tn(X)
Die so definierte Menge Tq(X) wird Trägermenge einer 17-Algebra, der Termalgebra Tq(X) vom Typ
Ü über X , gemäß folgender Operationen: Ist £i, . , tn G Tq(X) und u G Qn , so ist uT{1^ durch
uTa{x)(tu.. ,tn)=cüt1 . tn E 247)
erklärt.
Termalgebren sind die „allgemeinsten" Algebren in der Klasse aller Q-Algebren, d.h , in Termalgebren
gelten keine „Gleichungen" Solche Algebren werden freie Algebren genannt.
Eine Gleichung ist ein Paar (s(a"i, . , xn), t(xi,. ., xn)) von £7-Termen in den Variablen x\, ,xn
Eine f2-Algebra A erfüllt eine solche Gleichung, wenn für alle ax,. , an G A gilt*
(ai,.. ,an) = t (ai,... ,an).
E.248)
Eine gleichungsdefinierte Klasse von Ü-Algebren ist eine Klasse von f2-Algebren, die eine vorgegebene
Menge von Gleichungen erfüllen
Satz von Birkhoff: Die gleichungsdefinierten Klassen sind genau die Varietäten
¦ Varietäten sind zum Beispiel die Klasse aller Halbgruppen, die Klasse aller Gruppen, die Klasse
aller AßELschen Gruppen und die Klasse aller Ringe Andererseits gilt zum Beispiel, daß das direkte
Produkt von zyklischen Gruppen keine zyklische Gruppe und das direkte Produkt von Körpern kein
Körper ist Deshalb bilden die zyklischen Gruppen bzw. Körper keine Varietäten und können nicht
durch Gleichungen definiert werden.
5 7 Boolesche Algebren und Schaltalgebra 355
5.7 Boolesche Algebren und Schaltalgebra
Die in 5 2 2,3., S 302 festgestellte Analogie der Grundgesetze (Rechenregeln) der Mengenalgebra und
der Aussagenlogik E.1 1,6., S 296) trifft auch auf die Rechenregeln für Operationen mit anderen
mathematischen Objekten zu Die Untersuchung dieser Rechenregeln führt auf den Begriff der Boo-
LEschen Algebra
5.7.1 Definition
Eine Menge B , versehen mit zwei binären Operationen n („Konjunktion") und U („Disjunktion"),
einer einstelligen Operation- („Negation") und zwei ausgezeichneten (neutralen) Elementen 0 und 1 aus
B , heißt BoOLEsc/ie Algebra B = (B , n , U , ~, 0.1), wenn folgende Gesetze gelten:
A) Assoziativgesetze:
(a n b) n c = a n (b n c), E 249) {a U b) U c = a U (b U c). E 250)
B) Kommutativgesetze:
a\lb = bna, E.251) aUb = büa E.252)
C) Absorptionsgesetze:
an(aüb) = a, E.253) a U (a n b) = a E 254)
D) Distributivgesetze:
(a U 6) n c = (a n c) U (b n c), E 255) (a n 6) U c = (a U c) n F U c). E.256)
E) Neutrale Elemente:
aHl = a, E.257) aU0 = a, E 258)
E 260)
ano = o,
F) Komplement:
aUä = 0,
E.259)
E.261)
flUl = 1
aUä=l
E 262)
Eine Struktur, in der Assoziativ-, Kommutativ- und Absorptionsgesetze gelten, heißt Verband Gelten
darüber hinaus die Distributivgesetze, so spricht man von einem distributiven Verband So ist also eine
BoOLEsche Algebra ein spezieller distributiver Verband.
Hinweis: Die für BoOLEsche Algebren verwendeten Bezeichnungen der Operationen sind nicht
notwendigerweise identisch mit den in der Aussagenlogik verwendeten Operationen mit gleicher
Bezeichnung
5.7.2 Dualitätsprinzip
1. Dualisieren: In den obigen „Axiomen" einer BoOLEschen Algebra erkennt man folgende Dualität
Ersetzt man in einem Axiom l~l durch U, U durch l~l, 0 durch 1 und 1 durch 0, dann erhält man das
jeweils andere Axiom auf derselben Zeile Man sagt, die Axiome einer Zeile sind zueinander dual und
nennt den Ersetzungsprozeß Dualisieren Durch Dualisieren erhält man aus einer Aussage über
BoOLEsche Algebren die dazu duale Aussage
2. Dualitätsprinzip für Boolesche Algebren: Die duale Aussage zu einer wahren Aussage über
BoOLEsche Algebren ist wieder eine wahre Aussage über BoOLEsche Algebren, d.h., mit jeder
bewiesenen Aussage ist gleichzeitig auch die dazu duale Aussage bewiesen
3. Eigenschaften: Aus den Axiomen folgen z B. folgende Eigenschaften für BoOLEsche Algebren.
(El) Die Operationen n und U sind idempotent:
356 5. Algebra und Diskrete Mathematik
aHa = a, E.263) aüa = a. E.264)
(E2) De Morgansche Regeln:
~äTÜ) = äUb, E.265) a\Jb = är\b, E 266)
C) Eine weitere Eigenschaft:
Ü = a. E.267)
Es genügt auch hier, von nebeneinanderstehenden (dualen) Aussagen nur eine zu beweisen, während
die dritte Aussage zu sich selbst dual ist.
5.7.3 Endliche Boolesche Algebren
Alle endlichen BoOLEschen Algebren lassen sich bis auf „Isomorphie" einfach angeben Es seien B\,
B2 BoOLEsche Algebren und /: B\ —> B2 eine bijektive Abbildung. / heißt Isomorphismus, falls gilt.
f(anb) = f(a)nf(bI f(aUb) = f(a)Uf{b) und f(ä)=J(a). E.268)
Jede endliche BoOLEsche Algebra ist isomorph zur BoOLEschen Algebra der Potenzmenge einer
endlichen Menge Insbesondere hat jede endliche BoOLEsche Algebra 2n Elemente, und je zwei endliche
BoOLEsche Algebren mit gleich vielen Elementen sind isomorph
Im folgenden wird mit B die zweielementige BoOLEsche Algebra {0,1} mit den Operationen
u
0
1
0 1
0 1
1 1
n
0
i
0
0
0
1
0
1
0
1
-
1
0
bezeichnet. Erklärt man auf dem n-fachen kartesischen Produkt Bn = {0,1} x • • • x {0,1} die
Operationen n , U und ~ komponentenweise, so wird Bn mit 0 = @,. ., 0) und 1 = A, , 1) zu einer
BoOLEschen Algebra. Man nennt Bn das n-fache direkte Produkt von B . Da Bn 2n Elemente enthält,
erhält man auf diese Weise alle endlichen BoOLEschen Algebren (bis auf Isomorphie)
5.7.4 Boolesche Algebren als Ordnungen
Jeder BoOLEschen Algebra B läßt sich eine Ordnungsrelation in B zuordnen.
Dabei wird a < b genau dann gesetzt, wenn on6 = o gilt (oder gleichbedeutend
dazu, wenn a U b = b gilt)
Somit läßt sich jede endliche BoOLEsche Algebra durch ein HASSE-Diagramm
darstellen (s. 5.2 4, 4., S. 307)
¦ B sei die Menge {1,2,3,5,6,10,15,30} der Teiler der Zahl 30 Als
zweistellige Operationen werden die Bildung des größten gemeinsamen Teilers bzw des
kleinsten gemeinsamen Vielfachen verwendet und als einstellige Operation die
Bildung des Komplements. Die ausgezeichneten Elemente 0 bzw 1 entsprechen
den Zahlen 1 bzw. 30 Das zugehörige HASSE-Diagramm zeigt Abb.5.18
5.7.5 Boolesche Funktionen, Boolesche Ausdrücke
1. Boolesche Funktionen Es bezeichnet B wieder die zweielementige BoOLEsche Algebra wie in
5 7.3, S 356. Eine n-stellige BoOLEsche Funktion f ist eine Abbildung von Bn in B Es gibt 22" n-
stellige BoOLEsche Punktionen Die Menge aller n-stelligen BoOLEschen Funktionen wird mit
(/n <?)(&) = /(fc)n 9F), E.269) {fUg)(b) = f(b)Ug(b), E 270)
7F) = 7F) E.271)
zu einer BoOLEschen Algebra. Dabei ist b jeweils ein n-Tupel von Elementen aus B = {0,1}, und
auf der rechten Seite der Gleichungen werden die Operationen in B ausgeführt. Die ausgezeichneten
Abbildung 5 18
5 7 Boolesche Algebren und Schaltalgebra 357
Elemente 0 bzw 1 entsprechen den Funktionen /0 bzw. /i mit
f0(b) = 0, /iF) = 1 für alle b e Bn E 272)
¦ A: Im Falle n = 1, d.h bei nur einer BoOLEschen Variablen b, gibt es die vier BoOLEschen
Funktionen-
E.273)
Identität f(b) = b, Negation f(b) = b,
Tautologie f(b) = 1, Kontradiktion f(b) = 0.
¦ B: Im Falle n = 2, d.h bei zwei BoOLEschen Variablen a und b, gibt es 16 verschiedene
BoOLEschen Funktionen, von denen die wichtigsten eigene Namen haben und durch eigene Symbole
dargestellt werden. Sie sind in der folgenden Tabelle aufgeführt.
Tabelle 5 6 Einige BoOLEsche Funktionen mit zwei Variablen a und b
Name der
Funktion
Sheffer
bzw
NAND
Peirce
bzw
NOR
Antivalenz
bzw
XOR
Äquivalenz
Implikation
Verschiedene
Schreibweisen
a - b
a | b
NAND (a, b)
a + b
a i b
NOR a,6
ab + ab
aXORb
a £ b
a © b
äb + ab
a = b
a <r+ b
ä + b
a —? b
Verschiedene
Symbole
A
A
Eh^
fr^
*^
*^
Wertetabelle für
CMKMK)
1, 1, 1, 0
1, 0, 0, 0
0, 1, 1, 0
1, 0, 0, 1
1, 1, 0, 1
2. Boolesche Ausdrücke BoOLEsc/ie Ausdrücke werden induktiv definiert Sei X = {x, y, z,. .}
eine (abzählbare) Menge BoOLEsc/ier Variabler (die nur Werte aus {0,1} annehmen können)
1. Die Konstanten 0 und 1 sowie die BoOLEschen Variablen aus X sind
BoOLEsche Ausdrücke. E.274)
2. Sind S und T BoOLEsche Ausdrücke, so sind es auch T, E n T) und E U T) E 275)
Enthält ein BoOLEscher Ausdruck die Variablen xi,..., xn , so repräsentiert er eine n-stellige
BoOLEsche Funktion fr
Es sei b eine „Belegung" der BoOLEschen Variablen x\,..., xn , d.h. b = Fi, .., bn) G Bn .
Unter Beachtung der induktiven Definition werden den Ausdrücken T wie folgt BoOLEsche Funktionen
zugeordnet:
1. Ist T = 0, so gilt fr = /o , ist T = 1, so gilt fr = fi • E.276a)
2. Ist T = Xi, so gilt fr(b) = bi\ ist T = S, so gilt fr(b) = fs(b)
3. Ist T = R n S, so gilt fr(b) = fR(b) n fs(b)
4. Ist T - R U S, so gilt /TF) = /Ä(&) U fs(b).
E.276b)
E.276c)
E.276d)
358 5. Algebra und Diskrete Mathematik
Umgekehrt läßt sich jede BooLEsche Funktion / durch einen BoOLEschen Ausdruck T darstellen
(s 5.7.6, S 358).
3. Wert verlaufsgleiche Boolesche Ausdrücke Die BooLEsche Ausdrücke S und T heißen wert-
verlaufsgleich, wenn sie die gleiche BooLEsche Punktion repräsentieren. BooLEsche Ausdrucke sind
genau dann gleich, wenn sie durch „Umformungen" entsprechend den Axiomen einer BoOLEschen
Algebra ineinander überführbar sind.
Bei der Umformung BoOLEscher Ausdrucke stehen zwei Aspekte im Vordergrund:
• Umformung in einen möglichst „einfachen" Ausdruck (s. 5.7.7, S. 358),
• Umformung in eine „Normalform" .
5.7.6 Normalformen
1. Elementarkonjunktion, Elementardisjunktion Es sei B = (B, ("I, U, ~, 0,1) eine BooLEsche
Algebra und {xi,. ., xn} eine Menge BoOLEscher Variabler. Jede Konjunktion bzw. Disjunktion, in
der jede Variable oder ihre Negation genau einmal vorkommt, heißt Elementarkonjunktion bzw.
Elementardisjunktion (in den Variablen x\,. , xn)
Es sei T(x\,..., xn) ein BoOLEscher Ausdruck. Eine Disjunktion D von Elementarkonjunktionen mit
D = T heißt kanonisch disjunktive Normalform (KDNF) von T. Eine Konjunktion K von
Elementardisjunktionen mit K — T heißt kanonisch konjunktive Normalform (KKNF) von T.
¦ Teil 1: Um zu zeigen, daß sich jede BooLEsche Funktion / durch einen BoOLEschen Ausdruck
darstellen läßt, wird zu der in der nebenstehenden Tabelle gegebenen Funktion / die KDNF konstruiert.
Die KDNF zur BoOLEschen Funktion / besteht aus den Elementar kon-
junktionen xUyUz , xHyHz , xnyH'z . Diese Element arkonjunktionen
gehören zu den Belegungen b der Variablen, die bei / den Funktionswert
1 haben. Ist in b eine Variable v mit 1 belegt, so wird v in die
Elementarkonjunktion aufgenommen, andernfalls v.
¦ Teil 2: Für das betrachtete Beispiel (s. Teil 1) lautet die KDNF.
(x n y n z) U (x n y n z) U (x n y n z) E 277)
Die „duale" Form zur KDNF ist die KKNF: Die Elementardisjunktionen
gehören zu den Belegungen b der Variablen, die bei / den Funktionswert 0
haben. Ist in b eine Variable v mit 0 belegt, so wird v in die Elementardisjunktion aufgenommen,
andernfalls v Somit lautet die KKNF:
(x U y U z) H (x Uy U z) H (x Uy Uz) H (x U y U z) H (x Uy Uz). E.278)
Die KDNF und die KKNF zu / sind eindeutig bestimmt, wenn man eine Reihenfolge der Variablen
und eine Reihenfolge der Belegungen vorgibt, z B. wenn man die Belegungen als Dualzahlen auffaßt
und der Größe nach ordnet.
2. Kanonische Normalformen Unter den kanonischen Normalformen eines BoOLEschen
Ausdrucks T versteht man die kanonischen Normalformen der zugehörigen BoOLEschen Funktion fa.
Oft bereitet die Überprüfung der Wertverlaufsgleichheit zweier BoOLEscher Ausdrücke durch
Umformung Probleme. Hilfreich sind dann die kanonischen Normalformen: Zwei BooLEsche Ausdrücke sind
genau dann wert verlaufsgleich, wenn die zugehörigen eindeutig bestimmten kanonischen
Normalformen Zeichen für Zeichen übereinstimmen
¦ Teil 3: Im betrachteten Beispiel (s Teile 1 und 2) sind die Ausdrücke (y n z) U (x H y n ~z) und
(xU((yUz)n(yUz)r\(yU~z)))r\(xU((yUz)n(yUz))) untereinander wert verlaufsgleich, weil beide
die kanonisch disjunktive (bzw konjunktive) Normalform haben
5.7.7 Schaltalgebra
Eine typische Anwendung der BoOLEschen Algebra ist die Vereinfachung von Reihen-Parallel-Schal-
tungen (RPS). Dazu wird einer RPS ein BoOLEscher Ausdruck zugeordnet (Transformation). Dieser
Ausdruck wird mit den Umformungsregeln der BoOLEschen Algebra „vereinfacht". Anschließend wird
X
0
0
0
0
1
1
1
1
y
0
0
i
i
0
0
i
i
z
0
1
0
1
0
1
0
1
/(.
v,y,z)
0
1
0
0
0
1
1
0
5 7 Boolesche Algebren und Schaltalgebra 359
RPS
Transformation
(Modellierung)
elektrisch gleichwertig
BOOLEscher
Ausdruck
Vereinfachung in
BOOLEscher Algebra
Abbildung 5 19
vereinf.
RPS
Rücktransformation
vereinf.
BOOLEscher
Ausdruck
diesem Ausdruck wieder eine RPS zugeordnet (Rücktransformation) Im Ergebnis erhält man eine
vereinfachte RPS, die das gleiche Schaltverhalten wie die Ausgangsschaltung hat (Abb.5.19)
RPS bestehen aus Grundelementen, den Arbeits- und Ruhekontakten, mit jeweils zwei Zuständen
(geöffnet oder geschlossen) Die Symbolik ist, wie üblich, so zu verstehen Wird die steuernde
Schaltvorrichtung eingeschaltet, so schließt der Arbeitskontakt („Schließer") und der Ruhekontakt („Offner")
öffnet sich (s [5 6]). Den die Kontakte steuernden Schaltvorrichtungen werden BoOLEsche Variable
zugeordnet Dem Zustand „aus" bzw „ein" der Schaltvorrichtung entspricht der Wert 0 bzw 1 der
BoOLEschen Variablen Kontakte, die durch die gleichen Vorrichtungen geschaltet werden, erhalten
als Symbol die BoOLEsche Variable dieser Vorrichtung Der Schaltwert einer RPS ist 0 bzw. 1, wenn
die Schaltung elektrisch nichtleitend bzw. leitend ist Der Schaltwert ist abhängig von der Stellung der
Kontakte und damit eine BoOLEsche Funktion S (Schaltfunküori) der den Schaltvorrichtungen
zugeordneten Variablen. In Abb.5.20 sind Kontakte, Schaltungen, Symbole und die ihnen entsprechenden
BoOLEschen Ausdrücke dargestellt.
Arbeitskontakt
(Symbol:
Reihenschaltung
(Symbol: ¦
Ruhekontakt
(Symbol:
a
S = ä
Parallelschaltung
) (Symbol:
Abbildung 5.20
b
S = aub
Die BoOLEschen Ausdrücke, die Schaltfunktionen von RPS repräsentieren, sind dadurch
ausgezeichnet, daß das Negationszeichen nur über Variablen (nicht über Teilausdrücken) stehen darf.
¦ Die RPS aus Abb. 5.21 ist zu vereinfachen. Dieser Schaltung ist der BoOLEsche Ausdruck
S = (ä n b) U (a n b n c) U (ä n (b U c)) E.279)
als Schaltfunktion zugeordnet. Entsprechend den Umformungsregeln der BoOLEschen Algebra ergibt
sich.
S = {bn(äü(an c))) U (ä n (fc U c))
= Fn(äUc))U(än(fcUc))
= (ä n b) u (b n c) u (a n c)
360 5. Algebra und Diskrete Mathematik
Abbildung 5 21 Abbildung 5.22
= (a n b n c) u (ä n b n c) u (b n c) u (a n b n c) u (ä n c) u (ä n b n c)
= (ä n c) U F n c) E.280)
Dabei ergibt sich an c aus (änönc)U (änc)U (än6nc) und6ncaus (än6nc)UFnc)U(an6nc)
Man erhält die in Abb.5.22 dargestellte vereinfachte RPS.
Dieses Beispiel veranschaulicht, daß es nicht immer einfach ist, durch Umformung auf den „einfachsten"
BoOLEschen Ausdruck zu kommen. In der Literatur sind dazu Verfahren bereitgestellt.
5 8 Algorithmen der Graphentheorie 361
5.8 Algorithmen der Graphentheorie
Unter den Teilgebieten der Diskreten Mathematik hat die Graphentheorie wesentliche Bedeutung für
die Informatik erlangt, z.B bei der Darstellung von Datenstrukturen, endlichen Automaten,
Kommunikationsnetzen, Ableitungen in formalen Sprachen usw. Daneben gibt es auch Anwendungen in Physik,
Chemie, Elektrotechnik, Biologie und Psychologie Darüber hinaus sind Flüsse in Transportnetzen und
Netzplantechnik in Operations Research und kombinatorischer Optimierung anwendbar.
5.8.1 Grundbegriffe und Bezeichnungen
1. Ungerichtete und gerichtete Graphen
Ein Graph G ist ein geordnetes Paar (V, E) aus einer Menge V von Knoten und einer Menge E von
Kanten Auf E ist eine Abbildung, die Inzidenzfunktion erklärt, die jedem Element von E eindeutig ein
geordnetes oder ungeordnetes Paar (nicht notwendig verschiedener Elemente) von V zuordnet. Ist jedem
Element von E ein ungeordnetes Paar zugeordnet, dann wird G ein ungerichteter Graph (Abb.5.23)
genannt. Ist dagegen jedem Element von E ein geordnetes Paar zugeordnet, dann spricht man von
einem gerichteten Graphen (Abb.5.24), und die Elemente von E heißen Bögen oder gerichtete Kanten.
Alle anderen Graphen werden gemischte Graphen genannt
In der graphischen Darstellung erscheinen die Knoten der Graphen als Punkte, die gerichteten Kanten
als Pfeile und die ungerichteten Kanten als ungerichtete Linien.
Abbildung 5.23 Abbildung 5.24 Abbildung 5.25
¦ A: Für den Graphen G in Abb.5.25 gilt- V = {fi,f2,f3,^4,M , E = {ei,e2,e3,e4,e5, e$, e^} ,
/i(ei) = {vi,u2}, /i(e2) = KM> /i(e3) = KM> /i(e4) = KM» /i(e5) = KM>
/i(e6) = KM> fi(e7) = KM-
¦ B: Für den Graphen G in Abb.5.24 gilt- V = {v 1, v2, t>3, v4, M , E' = {e[, e2, e'3, e'4}
/2(ei) = KM, /2(e2) = KM, ^(e's) = (*>4, v2), /2(e4) = (v5iv5).
¦ C: Für den Graphen G in Abb.5.23 gilt: V = {vuv2, v3) v4,^5} , E" = {ej,ej,ej,ej} ,
/s(c?) = {^2,^3} , /3(c5) - KM , /3(e3') = KM , /3(cJ) = KM •
2. Adjazenz
Gilt (u, w) E E, dann heißt der Knoten t> adjazent, d.h benachbart, zum Knoten iu. Der Knoten v
heißt Startpunkt von (u, iü) , iü heißt Zielpunkt von (v, it;), v und w heißen Endpunkte von (v, iü) .
Entsprechend werden die Adjazenz in ungerichteten Graphen und die Endpunkte von ungerichteten
Kanten definiert
3. Schlichte Graphen
Ist mehreren Kanten oder Bögen dasselbe ungeordnete oder geordnete Paar von Knoten zugeordnet,
dann spricht man von Mehrfachkanten. Eine Kante oder ein Bogen mit identischen Endpunkten heißt
Schlinge Graphen ohne Schlingen und Mehrfachkanten bzw. Mehrfachbögen werden schlicht genannt
4. Knotengrade
Als Grad dc(v) eines Knotens v bezeichnet man die Anzahl der mit v inzidierenden Kanten oder Bögen.
Schlingen werden doppelt gezählt. Knoten vom Grad 0 heißen isolierte Knoten.
Für jeden Knoten v eines gerichteten Graphen G unterscheidet man Ausgangsgrad d%(v) und
Eingangsgrad d^{v):
d£(v) = \{w\(v,w)eE}\, E.281a)
dä{v) = \{w\(w,v)€E}\. E.281b)
362 5. Algebra und Diskrete Mathematik
5. Spezielle Klassen von Graphen
Endliche Graphen besitzen eine endliche Knotenmenge und eine endliche Kantenmenge Anderenfalls
werden die Graphen unendlich genannt.
In regulären Graphen vom Grad r haben alle Knoten den Grad r
Ein ungerichteter schlichter Graph mit der Knotenmenge V heißt vollständiger Graph, wenn je zwei
verschiedene Knoten aus V durch eine Kante verbunden sind Ein vollständiger Graph mit n-elementiger
Knotenmenge wird mit Kn bezeichnet
Kann man die Knotenmenge eines ungerichteten schlichten Graphen G in zwei disj unkte Klassen X
und Y zerlegen, so daß jede Kante von G einen Knoten aus X mit einem Knoten aus Y verbindet, dann
heißt G ein paarer Graph
Ein paarer Graph wird vollständiger paarer Graph genannt, wenn jeder Knoten aus X mit jedem
Knoten aus Y durch eine Kante verbunden ist Ist X eine n-elementigc und Y eine ra-elemeritige Menge,
dann wird der Graph mit Kn^m bezeichnet.
¦ Die Abb.5.26 zeigt einen vollständigen Graphen mit 5 Knoten
¦ Die Abb.5.27 zeigt einen vollständigen paaren Graphen mit 2 - elementiger Knotenmenge X und
3-elementiger Knotenmenge Y
K2,
Abbildung 5 26
Abbildung 5 27
Weitere spezielle Klassen von Graphen sind ebene Graphen, Bäume und Transportnetze Ihre
Eigenschaften werden jeweils in einem der folgenden Abschnitte angegeben.
6. Darstellung von Graphen
Endliche Graphen können veranschaulicht werden, indem man jedem Knoten einen Punkt in der Ebene
zuordnet und zwei Punkte genau dann durch eine gerichtete oder ungerichtete Kurve verbindet, wenn
der Graph die entsprechende Kante besitzt. In den Abb.5.28 bis Abb.5.31 sind Beispiele gezeigt Die
Abb.5.31 zeigt den PETERSEN-Crap/i, der dadurch bekannt geworden ist, daß er für viele
graphentheoretische Vermutungen, deren Beweis allgemein nicht gelang, als Gegenbeispiel diente.
Abbildung 5 28
Abbildung 5.29
Abbildung 5.30
Abbildung 5 31
7. Isomorphie von Graphen
Ein Graph G\ = (Vi, E\) heißt isomorph zu einem Graphen G2 = (V2, E2), wenn es je eine bijektive
Abbildung ip von Vi auf V2 und ip von Ei auf E2 gibt, die verträglich mit der Inzidenzfunktion ist, d h.,
sind u, v die Endpunkte einer Kante bzw u Startpunkt eines Bogens und v Zielpunkt dieses Bogens,
dann sind ip{u) und ip(v) Endpunkte einer Kante bzw tp(u) Startpunkt und ip(v) Zielpunkt eines
Bogens. Die Abb.5.32 und Abb.5.33 zeigen zwei zueinander isomorphe Graphen Die Abbildung ip mit
</?(!) = a, (pB) = b, <pC) = c, <pD) = d ist ein Isomorphismus. Es ist sogar jede bijektive Abbildung
5.8 Algorithmen der Graphentheorie 363
von {1,2,3,4} auf {a, b, c, d} ein Isomorphismus, weil die Graphen vollständige Graphen mit gleicher
Knotenzahl sind
Abbildung 5.32
Abbildung 5.33
8. Untergraphen, Faktoren
Ist G = (V, E) ein Graph, dann heißt ein Graph G' = (V7, E') Untergraph von G, wenn V C V und
E' CE gilt.
Enthält E' genau diejenigen Kanten aus E, die Knoten aus V verbinden, dann heißt G' der von V
induzierte Untergraph von G
Ein Untergraph G' = (V", E') von G = (V, E) mit V = V wird Teilgraph von G genannt.
Unter einem Faktor F eines Graphen G versteht man einen regulären Untergraphen von G, der alle
Knoten von G enthält.
9. Adjazenzmatrix
Endliche Graphen kann man wie folgt durch eine Matrix beschreiben: Es sei G = (V, E) ein Graph
mit V = {vi, i>2,. • , vn} und E — {ei, e2, . , em} Dabei bezeichne ra(uj, v^) die Anzahl der Kanten
von Vj nach Vj . Bei ungerichteten Graphen werden Schlingen doppelt gezählt; bei gerichteten Graphen
zählt man Schlingen einfach. Die Matrix A vom Typ (n, n) mit A = (m(vi, Vj)) wird Adjazenzmatrix
genannt. Ist der Graph zusätzlich schlicht, dann hat die Adjazenzmatrix die folgende Gestalt:
für (vi,Vj) e E,
für (vi,Vj) $. E.
D h., in der Matrix A steht in der i-ten Zeile und j-ten Spalte genau dann eine 1, wenn eine Kante von
Vi nach Vj verläuft
Für ungerichtete Graphen ist die Adjazenzmatrix symmetrisch.
¦ A: Neben Abb.5.34 ist die Adjazenzmatrix A(G?i) des gerichteten Graphen G\ gezeigt.
¦ B: Neben Abb.5.35 ist die Adjazenzmatrix A(G2) des ungerichteten schlichten Graphen G^
gezeigt. Vl
A = (ay) = I ^
E.282)
'0 1 0(^
0000
0 103
^0 100;
Abbildung 5.34
/010 1 0 1\
10 10 10
0 10 10 1
10 10 10
0 10 10 1
\\ 0 1 0 1 0/
Abbildung 5 35
10. Inzidenzmatrix
Für einen ungerichteten Graphen G = (V, E) mit V = {vi, V2» > vn} und E = {ei, e2,..., em} wird
die Matrix I vom Typ (n, m) mit
{0, Vi inzidiert nicht mit ej ,
1, Vi inzidiert mit ej und ej ist keine Schlinge, E.283)
2, Vi inzidiert mit ej und ej ist eine Schlinge
364 5 Algebra und Diskrete Mathematik
, vn} und E = {ei,e2, . ,em}istdie
E.284)
Inzidenzmatrix genannt
Für einen gerichteten Graphen G = (V,E) mit V = {vi,^2,
Inzidenzmatrix I die durch
!0, Vi inzidiert nicht mit ej ,
1, Vi ist Startpunkt von ej und ej ist keine Schlinge,
— 1, Vi ist Zielpunkt von ej und ej ist keine Schlinge,
—0, Vi inzidiert mit ej und ej ist eine Schlinge
definierte Matrix vom Typ (n, m)
11. Bewertete Graphen
Ist G = (V,E) ein Graph und / eine Abbildung, die jeder Kante eine reelle Zahl zuordnet, so heißt
(V, E, f) ein bewerteter Graph und /(e) die Bewertung oder Länge der Kante e
In vielen Anwendungsfällen repräsentieren die Bewertungen der Kanten Kosten, die durch den Bau,
die Aufrechterhaltung oder die Benutzung der Verbindungen Zustandekommen.
5.8.2 Durchlaufungen von ungerichteten Graphen
5.8.2.1 Kantenfolgen
1. Kantenfolgen
In einem ungerichteten Graphen G — (V, E) wird jede Folge F = {{vi,v2}, {^2< ^3
von Elementen aus E eine Kantenfolge dei Länge s genannt.
Ist Vi = vs+i, dann spricht man von einer geschlossenen Kantenfolge oder
einem Kreis, anderenfalls von einer offenen Kantenfolge. Eine Kantenfolge F
heißt Weg, wenn V\,V2, ¦ ¦ ,v8 paarweise verschiedene Knoten sind Ein
geschlossener Weg ist ein Elementarkreis
¦ Im Graphen der Abb.5.36 ist Fi = ({1,2}, {2,3}, {3, 5}, {5,2}, {2,4})
eine offene Kantenfolge der Länge 5, F2 = ({1, 2}, {2,3}, {3,4}, {4, 2}, {2,1})
eine geschlossene Kantenfolge der Länge 5, F3 = ({2, 3}, {3,5}, {5,2}, {2,1})
ein Kantenzug, FA — ({1,2}, {2.3}, {3,4}) ein Weg Ein Elementarkreis wird
durch F5 = ({1, 2}, {2, 5}, {5,1}) dargestellt
Abbildung 5 36
2. Zusammenhängende Graphen, Komponenten
Man spricht von einem zusammenhängenden Graph G, wenn zu je zwei verschiedenen Knoten v, w in
G ein Weg existiert, der v mit w verbindet. Ist G nicht zusammenhängend, dann zerfällt G in
Komponenten, d h in zusammenhängende induzierte Untergraphen mit maximaler Knotenzahl
3. Abstand zweier Knoten
Der Abstand ö(v,w) zweier Knoten v, w eines ungerichteten Graphen ist die Länge eines v mit w
verbindenden Weges mit minimaler Kantenzahl Existiert ein solcher Weg nicht, dann setzt man 8(v,w) = 00
4. Problem des kürzesten Weges
Es sei G = (V,E,f) ein bewerteter schlichter Graph mit f(e) > 0 für alle e G E Für zwei verschiedene
Knoten v, w von G wird ein kürzester Weg von v nach w gesucht, d.h ein Weg von v nach w , für den
die Summe der Bewertungen der Kanten bzw Bögen minimal ist
Es gibt einen effizienten Algorithmus von Dantzig zur Lösung dieses Problems, der für gerichtete
Graphen formuliert ist und entsprechend auf ungerichtete Graphen angewendet werden kann (s 5 8 6,
S 371)
Man kann für jeden bewerteten schlichten Graphen G = (V, E, f) mit V = {v\,V2, • •, vn} die
Entfernungsmatrix oder Distanzmatrix D vom Typ (ro, n) aufstellen.
T> = (dij) mit dij = 6{vi,Vj) (i, j = 1,2,... ,n). E 285)
Sind speziell alle Kanten mit 1 bewertet, d h der Abstand von v und w ist gleich der Mindestanzahl
der Kanten, die man durchlaufen muß, um im Graphen von v nach w zu gelangen, kann man den
Abstand zweier Knoten aus der Adjazenzmatrix ermitteln: Die Knoten von G seien t>i,^2, ,vn Die
5 8 Algorithmen der Graphentheorie 365
Adjazenzmatrix von G ist A = (a^), und die Potenzen der Adjazenzmatrix bezüglich der üblichen
Multiplikation von Matrizen (s. 4.1.4,5., S. 262) werden mit Am = (o^), m G N , bezeichnet.
Vom Knoten v{ zum Knoten Vj (i ^ j) führt genau dann ein kürzester Weg der Länge k , wenn gilt*
4^0 und a£ = 0 E = 1,2,. .,&-!). E 286)
¦ Der in Abb.5.37
dargestellte bewertete Graph besitzt die
nebenstehend angegebene Ent-
fernungsmatrix
¦ Der in Abb.5.38 gezeigte
Graph hat die daneben
angegebene Adjazenzmatrix, und für
m = 2 bzw m = 3 erhält man
die Matrizen A2 und A3
D =
/ 0
2
3
5
6
CO
oo
oo
oo
\oo oo oo oo oo oo/
4 3
Abbildung 5 37
Kurzeste Wege der Länge 2 verbinden die Knoten 1 und 3, 1 und 4, 1 und 5, 2 und 6, 3 und 4, 3 und 5
sowie 4 und 5 Dagegen haben kürzeste Wege zwischen den Knoten 1 und 6, 3 und 6 bzw. 4 und 6 die
Länge 3.
A =
/O 1 0000\
111110
0 10000
0 10000
0 1000 1
Voooo 10/
A2 =
/l 1 1 1 10\
15 1111
111110
111110
111120
\0 1 000 1/
/l 5 1 1 1 1\
59 5 56 1
15 1111
15 1111
16 1112
Vi 1 1 1 20/
Abbildung 5.38
5.8.2.2 Euler sehe Linien
1. Eulersche Linien, Eulersche Graphen
Ein Kantenzug, der jede Kante eines Graphen G enthält, heißt offene oder geschlossene EuLERsc/ie
Linie von G.
Ein zusammenhängender Graph, der eine geschlossene EULERsche Linie enthält, ist ein EULERscher
Graph
¦ Der Graph Gi (Abb.5.39) hat keine EULERsche Linie Der Graph G2 (Abb.5.40) besitzt eine
EULERsche Linie, ist aber kein EULERscher Graph. Der Graph G3 (Abb.5.41) hat eine
geschlossene EULERsche Linie und ist kein EULERscher Graph Der Graph G4 (Abb.5.42) ist ein EULERscher
Graph.
G4
Abbildung 5.39 Abbildung 5 40 Abbildung 5 41 Abbildung 5 42
2. Satz von Euler-Hierholzer
Ein Graph ist genau dann ein EULERscher Graph, wenn er zusammenhängend ist und jeder Knoten
positiven geraden Grad hat
366 5. Algebra und Diskrete Mathematik
3. Konstruktion einer geschlossenen Eulerschen Linie
Ist G ein EULERscher Graph, dann wähle man einen beliebigen Knoten v\ in G und konstruiere,
ausgehend von vi, einen Kantenzug Fi, den man nicht mehr fortsetzen kann. Enthält Fi noch nicht alle
Kanten von G, so bilde man ausgehend von einem Knoten v2 , der von Fx durchlaufen wird und in G
mit einer nicht in Fi enthaltenen Kante indiziert, einen Kantenzug F2 , den man nicht mehr fortsetzen
kann. Die beiden Kantenzüge Fi und F2 setze man zu einem geschlossenen Kantenzug von G
zusammen, indem man von V\ aus Fi bis v2 durchläuft, von t>2 aus ganz F2 durchläuft, und danach über die
noch nicht benutzten Kanten von Fi den Kantenzug zu v\ fortsetzt Eine Fortsetzung des Verfahrens
liefert nach endlich vielen Schritten eine geschlossene EuLERsche Linie
4. Offene Eulersche Linien
Eine offene EuLERsche Linie existiert in einem Graphen G genau dann, wenn es in G genau zwei Knoten
ungeraden Grades gibt. Die Abb.5.43 zeigt einen Graphen, der keine geschlossene, sondern eine offene
EuLERsche Linie besitzt Die Kanten sind entlang einer EuLERschen Linie fortlaufend numeriert In
Abb.5.44 ist ein Graph mit einer geschlossenen EuLERschen Linie dargestellt.
Abbildung 5 43 Abbildung 5 44 Abbildung 5.45
5. Chinesisches Briefträgerproblem
Das Problem, daß ein Briefträger jede Straße seines Zustellbereiches mindestens einmal durchläuft,
zum Ausgangspunkt zurückkehrt und insgesamt einen möglichst kurzen Weg durchlaufen will, läßt
sich graphentheoretisch wie folgt formulieren. Es sei G — (V, E, f) ein bewerteter Graph mit f(e) > 0
für alle Kanten e E E. Gesucht wird eine Kantenfolge F mit minimaler Gesamtlänge
L=£/(e) E 287)
eeF
Die Bezeichnung des Problems erinnert an den chinesischen Mathematiker KUAN, der sich als erster
mit dem Problem beschäftigt hat. Zur Lösung sind zwei Fälle zu unterscheiden:
1. G ist ein EULERscher Graph - dann ist jede geschlossene EuLERsche Linie optimal - und
2. G besitzt keine geschlossene EuLERsche Linie
Einen effektiven Algorithmus zur Lösung des Problems haben Edmunds und Johnson angegeben
(s. [5.40])
5.8.2.3 Hamilton-Kreise
1. Hamilton-Kreis
Ein Elementarkreis in einem Graphen G, der alle Knoten von G durchläuft, heißt Hamilton-Kreis.
¦ In Abb.5.45 bilden die stärker gezeichneten Linien einen HAMILTON-Kreis
Die Idee für ein Spiel, in dem man in dem abgebildeten Graphen eines Pentagondodekaeders Hamil-
TON-Kreise auffinden soll, geht auf Sir W Hamilton zurück
Hinweis: Die Frage nach der Charakterisierung der Graphen mit HAMILTON-Kreisen führt auf eins der
klassischen NP-vollständigen Probleme Deshalb kann hier kein effizienter Algorithmus zur Ermittlung
von HAMILTON-Kreisen angegeben werden
5 8 Algorithmen der Graphentheorie 367
2. Satz von Dirac
Enthält ein schlichter Graph G = (V, E) mindestens 3 Knoten, und gilt dG{v) > | V\/2 für jeden
Knoten v von G, dann enthält G einen HAMILTON-Kreis. Diese hinreichende Bedingung für die Existenz
eines HAMILTON-Kreises ist aber nicht notwendig Auch die folgenden Sätze mit verallgemeinerten
Voraussetzungen liefern nur hinreichende Bedingungen für die Existenz von HAMILTON-Kreisen.
¦ In Abb.5.46 ist ein Graph gezeigt, der einen HAMILTON-Kreis besitzt,
ohne die Voraussetzungen des folgenden Satzes von Ore zu erfüllen.
3. Satz von Ore
Enthält ein schlichter Graph G = (V, E) mindestens 3 Knoten, und gilt
dö{v) + dc{w) > \V\ für je zwei nichtadjazente Knoten v, w , dann enthält
G einen HAMILTON-Kreis.
4. Satz von Posa
Es sei G = (V, E) ein schlichter Graph mit mindestens 3 Knoten. Er besitzt
einen HAMILTON-Kreis, wenn die folgenden Bedingungen erfüllt sind: Abbildung 5 46
1. Für l<fc<(|V| — l)/2 gelte: Die Anzahl derjenigen Knoten, deren Grad höchstens k ist, ist kleiner
als k.
2. Ist | V| ungerade, dann gelte zusätzlich. Die Anzahl derjenigen Knoten, deren Grad höchstens (|V| —
l)/2 ist, ist höchstens (|V| - l)/2 .
5.8.3 Bäume und Gerüste
5.8.3.1 Bäume
1. Bäume
Ein ungerichteter zusammenhängender Graph, in dem kein Kreis
existiert, wird Baum genannt. Jeder Baum mit mindestens zwei
Knoten enthält mindestens zwei Knoten vom Grad 1. Jeder Baum mit der
Knotenzahl n hat genau n — 1 Kanten.
Ein gerichteter Graph heißt Baum, wenn G zusammenhängend ist
und keinen Zyklus enthält (s. 5.8.6, S. 371).
¦ In Abb.5.47 und Abb.5.48 sind zwei nichtisomorphe Bäume mit
der Knotenzahl 14 dargestellt. Sie zeigen die chemischen
Strukturformeln von Butan bzw. Isobutan.
2. Wurzelbäume
Ein Baum mit einem ausgezeichneten Knoten wird
Wurzelbaum genannt, und der ausgezeichnete Knoten heißt
Wurzel. Im Bild eines Wurzelbaumes wird die Wurzel in
der Regel oben angeordnet, und die Wege werden von
der Wurzel weggerichtet betrachtet (s. Abb.5.49).
Wurzelbäume dienen zur graphischen Darstellung
hierarchischer Strukturen, wie z.B Befehlsflüsse in Betrieben,
Stammbäume, grammatikalische Strukturen.
¦ Die Abb.5.49 zeigt den Stammbaum einer Familie in
der Form eines Wurzelbaumes. Die Wurzel ist der dem
Vater zugeordnete Knoten
3. Reguläre binäre Bäume
Hat ein Baum genau einen Knoten vom Grad 2 und sonst nur Knoten vom Grad 1 oder 3, dann wird
er regulärer binärer Baum genannt.
Abbildung Abbildung
5.47 5.48
Vater
* * * * Urenkel
Abbildung 5.49
368 5. Algebra und Diskrete Mathematik
Die Knotenzahl in regulären binären Bäumen ist ungerade. Reguläre Bäume mit der Knotenzahl n
haben (n + l)/2 Knoten vom Grad 1. Das Niveau eines Knotens ist sein Abstand von der Wurzel. Das
maximale auftretende Niveau wird Höhe des Baumes genannt. Für reguläre binäre Wurzelbäume gibt
es die verschiedensten Anwendungsmöglichkeiten, z B in der Informatik
4. Geordnete binäre Bäume
Arithmetische Ausdrücke kann man durch binäre Bäume graphisch darstellen. Dabei werden Zahlen
und Variablen Knoten vom Grad 1 zugeordnet, den Operationen + , — ,-,/ entsprechen Knoten vom
Grad > 1, und der linke bzw rechte Teilbaum repräsentiert den ersten bzw zweiten Operanden, der
im allgemeinen wieder ein Ausdruck ist. Man spricht auch von geordneten binären Bäumen.
Das Durchlaufen von geordneten binären Bäumen kann auf drei verschiedene Arten erfolgen, die
rekursiv beschreibbar sind (s auch Abb.5.50) •
Inorder-Durchlauf. linken Teilbaum der Wurzel (nach Inorder) durchlaufen,
Wurzel durchlaufen,
rechten Teilbaum der Wurzel (nach Inorder) durchlaufen
Wurzel durchlaufen,
linken Teilbaum der Wurzel (nach Preorder) durchlaufen,
rechten Teilbaum der Wurzel (nach Preorder) durchlaufen.
linken Teilbaum der Wurzel (nach Postorder) durchlaufen,
rechten Teilbaum der Wurzel (nach Postorder) durchlaufen,
Wurzel durchlaufen
Beim Inorder-Durchlauf ändert sich die Reihenfolge gegenüber dem
Ausgangsterm nicht Die sich aus dem Postorder-Durchlauf
ergebende Schreibweise wird Postfix-Notation PN oder Polnische Notation
genannt Analog ergibt sich aus dem Preorder- Durchlauf die Präfix -
Notation oder Umgekehrte Polnische Notation UPN.
Zur Implementierung von Bäumen kann man ausnutzen, daß Präfix-
und Postfix-Ausdrücke den Baum eindeutig beschreiben.
¦ In Abb.5.50 ist der Term o • (b — c) + d durch einen Graphen
dargestellt. Man erhält im Inorder-Durchlauf a • b — c + d, im Preorder-
Durchlauf + • —bcad und im Postorder-Durchlauf abc — -d+ .
Preorder-Durchlauf:
Postorder-Durchlauf:
Abbildung 5.50
5.8.3.2 Gerüste
1. Gerüste
Ein Baum, der Teilgraph eines ungerichteten Graphen G ist, wird ein Gerüst von G genannt Jeder
zusammenhängende endliche Graph G enthält ein Gerüst H
Enthält G einen Kreis, dann löscht man in G eine Kante vi i
dieses Kreises Der entstandene Graph G\ ist wieder
zusammenhängend und kann durch Löschen einer Kante
eines Kreises von G\, falls eine solche existiert, in einen
zusammenhängenden Graphen G2 überführt werden. Nach
endlich vielen Schritten erhält man ein Gerüst von G. Abbildung 5.51 Abbildung 5.52
¦ Die Abb.5.52 zeigt ein Gerüst H des in Abb.5.51 dargestellten Graphen G.
2. Satz von Cayley
Jeder vollständige Graph mit n Knoten (n > 1) hat genau nn
3. Matrix-Gerüst-Satz
Es sei G = (VyE) ein Graph mit V = {i>i,t>2>
D = (dij) mit
f 0 für i ^ j ,
\ dG{vi) für i = j
2 Gerüste
n} (n > 1) und E = {ei,e2,
dij
n} . Durch
E 288a)
5.8 Algorithmen der Graphentheorie 369
wird eine Matrix vom Typ (n, n) definiert, die auch Valenzmatrix genannt wird. Die Differenz von
Valenzmatrix und Adjazenzmatrix ist die Admittanzmatrix L von G:
L = D - A. E.288b)
Aus L erhält man durch Streichen der i-ten Zeile und der z-ten Spalte die Matrix L». Die Determinante
von Li ist gleich der Anzahl der Gerüste im Graphen G.
¦ Die Adjazenzmatrix, die Valenzmatrix und die Admittanzmatrix zum Graphen in Abb.5.51 lauten-
B 1 1 0\ /4000\ / 2-1-1 0\
1020 i-i _ @3001 -13-20
120 1 ' U~ 0040 ' L"~ -1-2 4-1 "
00 10/ \000 1/ V 0 0—1 1/
Wegen detL3 = 5 hat der Graph genau 5 Gerüste.
4. Minimalgerüste
Es sei G — (V,E,f) ein zusammenhängender bewerteter Graph. Ein Gerüst H von G heißt
Minimalgerüst, wenn seine Gesamtlänge f(H) minimal ist.
/(ff)=£/(e). E.289)
Minimalgerüste sucht man z B. dann, wenn die Kantenbewertungen Kosten repräsentieren und man
an minimalen Gesamtkosten interessiert ist Ein Verfahren zur Ermittlung von Minimalgerüsten ist der
KRUSK AL -Algorithmus:
a) Man wähle eine Kante mit kleinster Bewertung.
b) Man füge solange wie möglich zu den bereits gewählten Kanten eine Kante mit kleinstmöglicher
Bewertung hinzu, die mit den schon gewählten Kanten keinen Kreis bildet
Die Auswahl der in Schritt b) zulässigen Kanten kann durch den folgenden Markierungsalgorithmus
erleichtert werden
• Die Knoten des Graphen werden paarweise verschieden markiert
• Kanten dürfen in jedem Schritt nur dann hinzugefügt werden, wenn sie Knoten mit verschiedenen
Markierungen verbinden.
• Nach Hinzufügen einer Kante wird den Knoten, die die größere der Markierungen ihrer Endpunkte
tragen, die kleinere der beiden Markierungen zugeordnet
5.8.4 Matchings
1. Matchings
Eine Menge M von Kanten eines Graphen G heißt Matching in G, wenn M keine Schlingen enthält
und je zwei verschiedene Kanten aus M keinen gemeinsamen Endpunkt besitzen.
Ein Matching M* von G heißt gesättigt, wenn es in G kein Matching M mit M* C M gibt.
Ein Matching M** von G nennt man maximal, wenn es in G kein Matching M mit \M\ > \M**\ gibt.
Ist M ein Matching in G mit der Eigenschaft, daß jeder Knoten von G mit einer Kante aus M indiziert,
dann wird M perfektes Matching genannt.
¦ Im Graphen Abb.5.53 ist Mx = {{2,3}, {5,6}} ein gesättigtes
Matching und M2 = {{1,2}, {3,4}, {5,6}} ein maximales Matching,
das außerdem perfekt ist.
Hinweis: In Graphen mit ungerader Knotenzahl gibt es keine per-
Abbildung 5.53 fekten Matchings.
2, Satz von Tutte
Ein Graph G = (V, E) besitzt genau dann ein perfektes Matching, wenn | V| gerade ist und für jede
Teilmenge S der Knotenmenge q(G — S) < \S\ ist. Dabei ist G — S der Graph, der aus G durch Löschen
370 5 Algebra und Diskrete Mathematik
aller Knoten von S und der mit diesen Knoten inzidierenden Kanten entsteht Mit q(G — S) wird die
Anzahl der Komponenten von G — S mit ungerader Knotenzahl bezeichnet
Perfekte Matchings haben z.B. vollständige Graphen mit gerader Knotenzahl, vollständige paare
Graphen Kn,n und beliebige reguläre paare Graphen vorn Regularitätsgrad r > 0
3. Alternierende Wege
Es sei G ein Graph mit einem Matching M. Ein Weg W in G wird alternierend genannt, wenn in W
auf jede Kante e mit e G M (bzw. e 0 M) eine Kante e' mit e' £ M (bzw e G M) folgt.
Ein offener alternierender Weg wird zunehmend genannt, wenn kein Endpunkt des Weges mit einer
Kante aus M inzidiert.
4. Satz von Berge
Ein Matching M in einem Graphen G ist genau dann maximal, wenn es in G keinen zunehmenden
alternierenden Weg gibt.
Ist W ein zunehmender alternierender Weg in G mit zugehöriger Menge E(W) durchlaufener Kanten,
dann bildet M' = (M \ E(W)) U (E{W) \ M) ein Matching in G mit \M'\ = \M\ + 1 Man spricht in
diesem Zusammenhang von einem Austauschverfahren.
¦ Im Graphen der Abb.5.53 ist ({1, 2}, {2,3}, {3,4}) ein zunehmender alternierender Weg bezüglich
des Matchings M\. Mit dem Austauschverfahren erhält man daraus das Matching M2 .
5. Ermittlung maximaler Matchings
Gegeben sei ein Graph G mit einem Matching M.
a) Man bilde zu M ein gesättigtes Matching M* mit M C M*.
b) Man wähle in G einen Knoten v, der mit keiner Kante aus M* inzidiert, und suche in G einen
zunehmenden alternierenden Weg, der in v beginnt.
c) Existiert ein solcher Weg, dann liefert das oben beschriebene Austauschverfahren ein Matching M'
mit \M'\ > \M*\. Existiert kein solcher Weg, dann lösche man in G den Knoten v und alle mit v
inzidierenden Kanten und wiederhole Schritt b).
Es gibt einen kompliziert zu beschreibenden Algorithmus von Edmonds, der sich zur effektiven Suche
nach maximalen Matchings eignet (s. [5 39]).
5.8.5 Planare Graphen
In diesem Abschnitt kann man sich auf die Betrachtung ungerichteter Graphen beschränken, weil ein
gerichteter Graph genau dann planar ist, wenn der zugehörige ungerichtete Graph planar ist
1. Ebener Graph und planarer Graph
Ein ebener Graph ist ein derart in die Ebene gezeichneter
Graph, daß die Schnittpunkte der Kanten stets in Knoten des
Graphen liegen
Ein zu einem ebenen Graphen isomorpher Graph heißt planar.
Die Abb.5.54 zeigt einen ebenen Graphen G\, die Abb.5.55
einen zu G\ isomorphen Graphen G2, der nicht eben, wegen
der Isomorphie zu G\ aber planar ist.
2. Nichtplanare Graphen
Der vollständige Graph K5 und der vollständige paare Graph K^ sind nichtplanare Graphen.
3. Unterteilungen
Man erhält eine Unterteilung eines Graphen G, indem man auf Kanten von G Knoten vom Grad 2
einfügt. Jeder Graph ist eine Unterteilung von sich selbst. In den Abb.5.56 und Abb.5.57 sind
Unterteilungen der Graphen K5 bzw. K^ dargestellt.
Abbildung 5.54 Abbildung 5.55
5.8 Algorithmen der Graphentheorie 371
Abbildung 5.56 Abbildung 5.57
4. Satz von Kuratowski
Ein Graph ist genau dann nichtplanar, wenn er eine Unterteilung des vollständigen paaren Graphen
if3K oder eine Unterteilung des vollständigen Graphen K5 als Untergraph enthält.
5.8.6 Bahnen in gerichteten Graphen
1. Bogenfolgen
In gerichteten Graphen wird eine Folge F = (ei, e<i, .., es) von Bögen Kette der Länge s genannt, wenn
F keinen Bogen zweimal enthält und für i = 2,3,.. ,5 — 1 jeder Bogen e* einen seiner Endpunkte mit
dem Bogen e;_i und den anderen mit
ei+i gemeinsam hat.
Eine Kette heißt Bahn, wenn für i =
1,2,. ., s — 1 der Zielpunkt des Bo-
gens ei mit dem Startpunkt des Bo-
gens ei+i übereinstimmt.
Ketten bzw. Bahnen, die jeden
Knoten des Graphen höchstens einmal
durchlaufen, sind elementare Ketten
bzw. elementare Bahnen.
Eine geschlossene Kette wird Zyklus
genannt Eine geschlossene Bahn, in
der jeder Knoten Endpunkt genau
zweier Bögen ist, heißt Kreis.
¦ In Abb.5.58 sind Beispiele für
die verschiedenen Bogenfolgen
dargestellt
2. Zusammenhängende und stark zusammenhängende Graphen
Ein gerichteter Graph G heißt zusammenhängend, wenn je zwei Knoten von G durch eine Kette
verbunden sind Von einem stark zusammenhängenden Graphen G spricht man, wenn es in G zu je zwei
Knoten v, w eine Bahn gibt, die v mit w verbindet.
3. Algorithmus von Dantzig
Es sei G = (V, E, f) ein bewerteter schlichter gerichteter Graph mit f(e) > 0 für alle Bögen e. Der
folgende Algorithmus liefert alle von einem Knoten v\ von G aus erreichbaren Knoten zusammen mit
ihren Entfernungen von v\ •
a) Der Knoten v\ erhält die Markierung t{v\) =0 Es sei S\ = {vi} .
b) Die Menge der markierten Knoten sei Sm
c) Ist Um = {e\e = (vi, Vj) Gß, Vi E Sm, Vj 0 Sm} = 0, dann beende man den Algorithmus.
d) Anderenfalls wähle man einen Bogen e* = (x*,y*) aus, für den t(x*) + /(e*) minimal ist. Man
markiere e* und?/*, setzet (j/*) = t(x*) + f(e*) sowie 5m+i = Smö{y*} und wiederhole b) mitra := ra+1
Kette Bahn elementare elementare
Kette Bahn
V
Zykl
äs Kreis
Abbildung 5 58
372 5. Algebra und Diskrete Mathematik
Sind alle Bögen mit 1 bewertet, dann kann man wiederum (s. 5.8.2.1,4., S. 364) mit Hilfe der Adjazenz-
matrix die Länge einer kürzesten Bahn von einem Knoten v zu einem Knoten w des Graphen finden.
Wird dagegen ein Knoten v von G nicht markiert, dann gibt es keine von v\ nach v führende Bahn.
Wird v mit t(v) markiert, dann ist t(v) die Länge
einer solchen Bahn Eine kürzeste Bahn von v\
nach v liegt in dem von allen markierten
Knoten und Bögen gebildeten Baum, dem
Entfernungsbaum bezüglich v\.
¦ Im Graphen der Abb.5.59 bilden die
markierten Bögen einen Entfernungsbaum bezuglich des
Knotens v\. Die Längen der kürzesten Bahnen sind.
von v\ nach v3 •
von vi nach i>7 :
von vi nach v9
von v\ nach v2 :
von vi nach v10 '
von vi nach v4 •
von vi nach vu
2
3
3
4
5
6
6.
von vi nach Vq :
von vi nach v% :
von vi nach u14 :
von vi nach v5 :
von Vi nach v^
von f i nach v13 :
10
Hinweis: Für den Fall, daß G = (V, E, f) Bögen
mit negativen Längen besitzt, gibt es einen
modifizierten Algorithmus zur Ermittlung kürzester Bah-
Abbildung5 59 nen (s [5.42]).
5.8.7 Transportnetze
1. Transportnetz
Ein zusammenhängender gerichteter Graph heißt Transportnetz, wenn in ihm zwei Knoten als Quelle
Q bzw Senke S ausgezeichnet sind und folgende Eigenschaften gelten:
a) Es existiert ein Bogen ui von S nach Q, wobei ui der einzige Bogen mit dem Startknoten S und der
einzige Bogen mit dem Zielknoten Q ist.
b) Jedem von Ui verschiedenen Bogen Ui ist eine reelle Zahl c(ui) > 0, seine Kapazität, zugeordnet.
Der Bogen ui hat die Kapazität oo
Eine Funktion (p, die jedem Bogen eine reelle Zahl zuordnet, heißt Strom auf G, wenn für jeden Knoten
v die Gleichung
Y^ ip(u,v)= Yl V(viw) E.290a)
(u,v)eG (v,w)eG
gilt Die Summe
E ¥>(Q>U) E 290b)
(Q,v)eG
heißt Stromstärke Ein Strom <p heißt mit den Kapazitäten verträglich, wenn für jeden Bogen v* von G
gilt: 0 < (p(ui) < c(ui).
¦ Transportnetz s. S. 373.
2. Maximalstrom-Algorithmus von Ford und Fulkerson
Mit dem Maximalstrom-Algorithmus ist feststellbar, ob ein vorgegebener Strom (p maximal ist
Es sei G ein Transportnetz und </? ein mit den Kapazitäten verträglicher Strom der Stärke vi Der
Algorithmus beinhaltet die folgenden Schritte zur Markierung von Knoten, nach deren Ausführung man
ablesen kann, um welchen Betrag die Stromstärke in Abhängigkeit von den ausgewählten
Markierungsschritten verbessert werden kann.
5.8 Algorithmen der Graphentheorie 373
a) Man markiere Q und setze e(Q) = oo
b) Existiert ein Bogen e» = (x, y) mit markiertem x , nichtmarkiertem y und (pfe) < cfe), dann
markiere man y und (x, y), setze e(y) = min{e(x), c(u{) — tp{ui)} und wiederhole Schritt b), anderenfalls
folgt Schritte).
c) Existiert ein Bogen e* = (x, y) mit nichtmarkiertem x, markiertem y, </?(iii) > 0 und t^ ^ u\, dann
markiere man x und (x, y), setze e(x) = mm{s(y), <p(ui)} un(i führe, falls möglich, Schritt b) aus.
Anderenfalls beende man den Algorithmus.
Wird die Senke S von G markiert, dann läßt sich der Strom in G um e(S) verbessern. Wird die Senke
nicht markiert, dann ist der Strom maximal.
¦ Maximalstrom Im Graphen der Abb.5.60 geben die Bewertungen der Kanten die Kapazitäten der
Kanten an Im bewerteten Graphen der Abb.5.61 ist ein mit diesen Kapazitäten verträglicher Strom
der Stärke 13 dargestellt Es handelt sich dabei um einen Maximalstrom
Abbildung 5 60 Abbildung 5.61
¦ Transportnetz: Ein Produkt wird von p Firmen
Fi, F2,..., Fp hergestellt Es gibt q Verbraucher
Vi, V2,.. ,Vq In einem bestimmten Zeitraum
werden Si Einheiten von Fi produziert und tj Einheiten
von Vj benötigt.
In der vorgegebenen Zeit können Qj Einheiten von
Fi nach Vj transportiert werden Können in diesem
Zeitraum alle Bedarfswünsche erfüllt werden? Den
zugehörigen Graphen zeigt die Abb.5.62.
Abbildung 5.62
374 5. Algebra und Diskrete Mathematik
5.9 Fuzzy-Logik
5.9.1 Grundlagen der Fuzzy-Logik
5.9.1.1 Interpretation von Fuzzy-Mengen (Unscharfe Mengen)
Das englische Wort „fuzzy" bedeutet so viel wie fusselig oder besser unscharf. Auf dieser Bedeutung
beruht der Name Fuzzy-Logik. Grundsätzlich sollten zwei Arten von Unscharfe unterschieden werden
Vagheit und Unsicherheit. Mathematisch gesehen, gehören dazu zwei Konzepte: Die Theorie der
unscharfen Mengen und die Theorie der unscharfen Maße. In der folgenden praxisorientierten Einführung
sollen die Begriffe, Methoden und Konzepte unscharfer Mengen, die zur Zeit als mathematische
Hilfsmittel akzeptiert werden, auf der Basis der mehrwertigen Logik erläutert werden.
1. Klassischer Mengenbegriff und unscharfe Mengen
Der klassische Mengenbegriffist zweiwertig, und die klassische BoOLEsche Mengenalgebra ist isomorph
zur zweiwertigen Aussagenlogik. Zu jeder Menge A über einer Grundmenge X existiert eine Funktion
/A:X-{0,1}, E.291a)
die für jedes Element x E X angibt, ob x Element der Menge A ist oder nicht:
fA(x) = 1 & x e A und fA(x) =0&x<£A. E 291b)
Das Konzept der unscharfen Mengen basiert aus logischer Sicht auf der Idee, den Zugehörigkeitsgrad
eines Elements als den graduellen Wahrheitswert einer Aussage im Intervall [0,1] zu betrachten. Zur
mathematischen Modellierung einer Puzzy-Menge A benötigt man eine Funktion, die anstatt in die
Menge {0,1} in das Intervall [0,1] abbildet, d.h.
fjLA X -> [0,1]. E.292)
Mit anderen Worten- Jedem Element x € X kann eine Zahl /^(x) im Intervall [0,1] zugeordnet werden,
die den Grad der Zugehörigkeit von x zu A repräsentiert. Die Abbildung \iA heißt
Zugehörigkeitsfunktion. Der Funktionswert ha(x) an der Stelle x heißt Zugehörigkeitsgrad. Die unscharfen Mengen A, B, C
etc. über X werden auch unscharfe Teilmengen von X genannt Die Gesamtheit aller unscharfen
Mengen über X sei mit F(X) bezeichnet.
2. Eigenschaften unscharfer Mengen und weitere Definitionen
Aus der Definition ergeben sich unmittelbar die folgenden Eigenschaften-
(El) Scharfe Mengen können als unscharfe Mengen mit den Zugehörigkeitsgraden 0 und 1 interpretiert
werden.
(E2) Alle Argumentwerte x, für deren Zugehörigkeitsgrade fiA[x) > 0 gilt, werden zum Träger (sup-
port) der unscharfen Menge A zusammengefaßt:
supp(A) = {x e X I fiA(x) > 0} . E.293)
(E3) Die Gleichheit zweier unscharfer Mengen A und B über der Grundmenge X ist gegeben, wenn
die Werte ihrer Zugehörigkeitsfunktionen gleich sind:
A = B, falls gilt nA(x) = y.B(x) für alles € X . E.294)
(E4) Diskrete Darstellung oder Wertepaardarstellung: Im Falle endlicher Grundbereiche X , d.h.
X = {xi,X2, • • • ,xn} ist es zweckmäßig, die
Zugehörigkeitsfunktionen unscharfer Mengen durch Wertetabellen zu be- Tabelle 5.7 Tabellarische Darstellung
schreiben. Die unscharfe Menge A kann dann tabellarisch in einer unscharfen Menge
der Form der Tabelle 5.7 dargestellt werden.
Man schreibt dafür auch
n
A := iiA(xi)/xi + • • • + ßA{xn)/xn = J2^A{xi)/Xi. E.295)
t=i
In E.295) sind Bruchstriche und Summenzeichen rein symbolisch zu verstehen.
(E5) Ultra-Fuzzy-Sets: Fuzzy-Mengen, deren Zugehörigkeitsgrade selbst wieder eine Fuzzy-Menge
repräsentieren, nennt man nach Zadeh Ultra-Fuzzy-Sets.
Xi
/J>a{xi)
X2
Ha(X2)
%n
ßA{Xn)
5 9 Fuzzy-Logik 375
3. Fuzzy—Linguistik
Nimmt eine Kenngröße linguistische Werte wie z B „niedrig", „mittel" oder „hoch" an, so
bezeichnet man sie als linguistische Größe oder linguistische Variable. Jeder linguistische Wert ist durch eine
Fuzzy Menge beschreibbar, beispielsweise durch einen Funktionsgraphen (s. 5 9 1 2) mit einem
bestimmten Träger. Die Anzahl der Fuzzy-Mengen (im Falle von „niedrig", „mittel", „hoch" sind es drei)
ist nicht probleminvariant
In 5 9 1 2 wird die linguistische Variable mit x bezeichnet Beispielsweise steht x für Temperatur, Druck,
Volumen, Frequenz, Geschwindigkeit, Helligkeit, Alter, Abnutzungsgrad etc., aber auch für
medizinische, elektrische, chemische, ökologische etc Variable.
¦ Mit Hilfe der Zugehörigkeitsfunktion ha{x) kann man den Zugehörigkeitsgrad eines scharfen Wertes
zu einer unscharfen Menge bestimmen. Die Modellierung einer Prozeßgröße, z B der Temperatur, mit
dem linguistischen Wert „hoch" durch eine unscharfe Menge in Form einer trapezförmigen
Abhängigkeit (Abb.5.63) liefert Repräsentiert x die Temperatur und somit der Wert a eine bestimmte
Temperatur, so gehört a mit dem Zugehörigkeitsgrad ß zu der unscharfen Menge „hoch".
5.9.1.2 Zugehörigkeitsfunktionen
Die Zugehörigkeitsfunktionen werden durch Funktionsgraphen mit Werten zwischen 0 und 1 modelliert
Mit ihrer Hilfe kann eine graduelle Zugehörigkeit zu einer Menge dargestellt werden
1. Trapezförmige Zugehörigkeitsfunktionen
Weit verbreitet sind trapezförmige Zugehörigkeitsfunktionen. Die folgenden Beispiele für
bereichsweise stetig differenzierbare Zugehörigkeitsfunktionen und Spezialfälle davon, wie beispielsweise drei-
eckförmige Zugehörigkeitsfunktionen, sind oft verwendete Funktionsgraphen. Mit stetigen bzw.
bereichsweise stetigen Funktionsgraphen als Repräsentanten fuzzy-wertiger Größen, die miteinander
verknüpft werden sollen, erhält man im allgemeinen glattere Ergebnisfunktionen für die Ausgabegröße.
¦ A: Trapezfunktion (Abb.5.63) gemäß E.296). Für a2 = a3 = a und a\ < a < a4 geht dieser
Funktionsgraph in den einer Dreieckfunktion über. Je nach Wahl unterschiedlicher Werte ai,.. , a4 erhält
man symmetrische oder asymmetrische Trapez- und symmetrische Dreieckfunktionen (a2 = 0,3 = a
und \a — a\\ = |a4 — a\) oder asymmetrische Dreieckfunktionen (a2 = a3 = aund \a — a\\ ^ |a4 — a\)
0
¦ai
x < d\,
ai < x < a2 ,
Va(x) = {
0
a2 — a\
1 a2<x<a3, E.296)
a3 < x < a4 ,
a4 - a3
0 x > a4.
a," a2 a3 a4 x
Abbildung 5 63
B: Linksseitig und rechtsseitig berandete Zugehörigkeitsfunktion (Abb.5.64) gemäß E 297):
r 1
Va(x) = {
a, a2 a3 a4 x
Abbildung 5 64
X < (L\ ,
a2
a2-
0
x -
a4 -
1
-ai
-Q3
-a3
ai < x < a2
o>2 < x < a3
a3 < x < CL4
a4 < x.
E 297)
376 5. Algebra und Diskrete Mathematik
C: Verallgemeinerte Trapezfunktion (Abb.5.65) gemäß E.298).
h(x - ai)
(fr3 - b2){x - q2)
a3 - a2
b3 = b4 = l
F4 -65)(a4 - x)
ar> — a4
65 (a6 - x)
Ö6 - Ö5
Mx>
1
b2
b5
0
k
b3=b4 y
A
a: a2 a3 a4 a5 a6 x
Abbik
Iun£
5 5.65
Va{x) = {
X < öl ,
öi < x < a2,
+ b2 ^2 < x < a3 ,
a3 < x < a4,
+ 65 04 < x < a5 ,
Ö5 < X < 06 ,
a6 < x.
E 298)
/(*) =
0
P-1/P(x)
0
x < a,
a<z<o, E299)
x>b
2. Glockenförmige Zugehörigkeitsfunktionen
¦ A: Eine Klasse von glockenförmigen, differenzierbaren
Zugehörigkeitsfunktionen erhält man mit Hilfe von f(x)
aus E.299), wenn man p(x) geeignet wählt.
Für p(x) = k(x — a)(b — x) und z.B. k = 10 bzw. k = 1
oder k = 0,1 erhält man mit dem Normierungsfaktor l//Bf^) die in (Abb.5.66) angegebenen
Zugehörigkeitsfunktionen //^(z) = f(x)/f(g^) unterschiedlicher Breite einer symmetrischen
Kurvenschar Mit dem Wert k = 10 ergibt sich die äußere, mit k = 0,1 die innere Kurve
Asymmetrische Zugehörigkeitsfunktionen in [0,1] erhält man beispielsweise für p(x) = x(l — x)B — x)
oder p(x) = x(l — x)(x + 1) (Abb.5.67), wenn entsprechende Normierungsfaktoren berücksichtigt
werden. Der Faktor {2—x) im ersten Polynom bewirkt eine Verschiebung des Maximums nach links und
liefert eine asymmetrische Kurvenform. Entsprechend bewirkt der Faktor (x + 1) im zweiten Polynom
eine Verschiebung nach rechts mit asymmetrischer Form.
Abbildung 5 66
0,5
Abbildung 5.67
¦ B: Beispiele für eine noch flexiblere Klasse von Zugehörigkeitsfunktionen erhält man durch eine
Transformation £ in [a, b] gemäß
Ft(x) = **s
du
I f{t{u))du
Ja
E 300)
5.9 Fuzzy-Logik 377
wobei / durch E 299) mit p(x) = (x—a)(b—x) definiert ist. Ist t eine glatte Transformation in [a, b], d h
ist t unendlich differenzierbar im Intervall [a, b], so ist auch Ft glatt, weil / glatt ist Verlangt man, daß
t steigend oder fallend und glatt ist, dann liefert die Transformation t Möglichkeiten, die Kurvenform
einer Zugehörigkeitsfunktion zu verändern In der Praxis sind Polynome für die Transformation gut
geeignet. Im Intervall [a, b] = [0,1] ist das einfachste Polynom die Identität t(x) = x .
Das nächst einfache Polynom mit den angegebenen Eigenschaften ist t(x) = — |c£3 + ex2 + A — |J x
mit einer Konstanten c G [—6,3]. Mit der Wahl c = —6 für maximale Krümmung des Polynoms ergibt
sich q(x) = 4x3 — 6x2 + 3x Wählt man für qo die Identitätsfunktion, d h qo{x) — x) s0 kann man
zusammen mit q rekursiv durch ^ = q o q{_i für i G IN weitere Polynome berechnen. Setzt man für die
Transformation t in E 300) die entsprechenden Transformationspolynome qo, q\,. . ein, so erhält man
eine Folge glatter Funktionen Fqo,Fqi und Fq2 (Abb.5.68), die als Zugehörigkeitsfunktionen ha{x)
identifiziert werden, wobei Fqn zu einer Geraden konvergiert. Mit Hilfe der Funktion Fq2 sowie ihrer
gespiegelten Form und einer waagerechten Geraden kann eine trapezförmige Zugehörigkeitsfunktion
differenzierbar approximiert werden (Abb.5.69)
0,5 \ jT 0,5
0 0,25 0,5 0,75 1 x 0 0,25 0,5 0,75 1 x
Abbildung 5.68 Abbildung 5.69
Resümee: Unscharfe und unpräzise Informationen können durch Fuzzy-Mengen beschrieben und
durch Zugehörigkeitsfunktionen [i{x) visualisiert werden. Sprachliche Aussagen wie WENN-DANN-
Regeln werden dann zu Berechnungsverfahren
5.9.1.3 Fuzzy-Mengen
1. Leere und universelle Fuzzy-Menge
a) Leere Fuzzy-Menge: Eine Menge A über X heißt leer, wenn ^la(x) = 0^x e X gilt
b) Universelle Fuzzy-Menge: Eine Menge heißt universell, wenn ^(x) = lVa;6l gilt.
2. Fuzzy-Teilmenge
Gilt /iß(x) < ha{x) V x ^ X , so heißt B eine Fuzzy-Teilmenge von A (Schreibweise* B C A).
3. Toleranz einer Fuzzy-Menge
Ist A eine Fuzzy-Menge über X , so heißt
[a, b] = {x e X\fiA(x) = 1} (a, b const, a < b) E.301)
Toleranz der Fuzzy-Menge A
¦ A: In Abb.5.63 ist [02,03] die Toleranz
¦ B: Für a2 = a3 = a (Abb.5.63) entsteht eine dreieckförmige Zugehörigkeitsfunktion fi Die
zugehörige Fuzzy-Menge besitzt keine Toleranz. Ist zusätzlich a\ = a = a4 , so entsteht ein scharfer
Wert, Singleton genannt Ein Singleton besitzt keinen Träger und keine Toleranz.
4. Umwandlung kontinuierlicher und diskreter fuzzy-wertiger Mengen
Wird eine kontinuierliche fuzzy-wert ige Menge, dargestellt durch ihre Zugehörigkeitsfunktion, diskreti-
siert, so entsteht eine Menge von Singletons. Umgekehrt kann durch Interpolation von Zwischenwerten
eine diskrete Menge in eine kontinuierliche Menge umgewandelt werden
'M-a(x)
378 5 Algebra und Diskrete Mathematik
5. Normale und subnormale Fuzzy-Mengen
Ist A eine Fuzzy-Menge über X , so ist die Höhe von A
H{A) := max{pA(x)\x € X} . E.302)
Man spricht von einer normalen Fuzzy-Menge, wenn H(A) = 1, sonst von einer subnormalen.
Die dargestellten Begriffe und Methoden, die auf normale Fuzzy-Mengen beschränkt sind, lassen sich
leicht auf subnormale Fuzzy-Mengen erweitern.
6. Schnitt einer Fuzzy-Menge
Der Schnitt einer Fuzzy-Menge A in der Höhe a (Zugehörigkeitsgrad a) heißt a-Schnitt A>a bzw.
scharfer a-Schnitt A-a , falls gilt:
A>a = {xe X\nA{x) > a) , A*a = {x € X\pA{x) > a} , a € [0,1]. E 303)
1. Eigenschaften
a) Die a-Schnitte von Fuzzy-Mengen sind klassische scharfe Mengen.
b) Der Träger supp(^4) ist ein spezieller a-Schnitt: Es gilt supp(^4) = A>0
c) Der scharfe 1-Schnitt A-1 = {x E X\ha{^) = 1} heißt Toleranz von A.
2. Darstellungssatz
Jeder unscharfen Menge A über X lassen sich eindeutig die Familien (^>a)aer0)i) und [A-aj ihrer
a-Schnitte und scharfen a-Schnitte zuordnen. Die a-Schnitte und scharfen a-Schnitte sind monotone
Familien von Teilmengen über X, für die gilt:
a<ß=>A>a^A>ß und A*Q D A** E 304a)
Existieren umgekehrt monotone Familien (^a)a€r0>i) °der {Va)ae,Q ^ von Teilmengen über X , so
entspricht diesen je genau eine unscharfe Menge U bzw V über X , so daß stets U>a = Ua und V-a = Va
gilt und
ßu(x) = sup{a e [0, l)\x 6 Ua} , fj,v(x) = sup{a e @, l]\x G VQ} . E.304b)
7. Ähnlichkeit von Fuzzy-Mengen A und £
1. A,B mit ila,V>b '¦ X —» [0,1] heißen fuzzy-ähnlich, wenn es für jedes a e @,1] Zahlen oti mit
et < OLi < 1 (i = 1, 2) gibt, so daß gilt:
supp(ai/^)Q C supp(/iß)Q , supp(a2/iß)Q C supp(/i^)a • E.305)
(/xc)a ist eine Fuzzy-Menge mit der Zugehörigkeitsfunktion (//c)q = \ n t un<^
(ßfJLc) eme Fuzzy-Menge mit der Zugehörigkeitsfunktion (/3/xc) = { n V7
2. Satz: Zwei Fuzzy-Mengen A, 5 mit /x^, /x#: X —> [0,1] sind fuzzy-ähnlich, wenn sie dieselbe
Toleranz besitzen:
supp(/i^)i = supp(/iß)i, E 306a)
da die Toleranz gerade gleich dem a-Schnitt einer Fuzzy-Menge in der Höhe 1 ist:
supp(//^)i = {x<E X\fj,A{x) = 1} . E 306b)
3. A, B mit ha, \xb' X —> [0,1] heißen streng fuzzy-ähnlich, wenn sie dieselbe Toleranz und denselben
Träger besitzen:
supp(/x>i)i = supp(/xß)i, E.307a) supp(/x^H = supp(/ißH . E 307b)
5.9.2 Verknüpfungen unscharfer Mengen
Fuzzy-Mengen lassen sich durch Operatoren auf Fuzzy-Mengen miteinander verknüpfen Es gibt
mehrere Vorschläge zur Verallgemeinerung der Mengenoperation Vereinigung, Durchschnitt und
Komplement bezüglich unscharfer Mengen.
5.9 Fuzzy-Logik 379
5.9.2.1 Konzept für eine Verknüpfung (Aggregation) unscharfer Mengen
1. Unscharfe Mengenvereinigung, unscharfer Mengenschnitt Der Grad der Zugehörigkeit
eines beliebigen Elements a;Glzu den Mengen A U B bzw. A n B soll nur von den beiden
Zugehörigkeitsgraden ijla(x) und fiß(x) des Elementes zu den beiden unscharfen Mengen A und B abhängen. Mit
Hilfe zweier Funktionen
s,t. [0,1] x [0,1] -+ [0,1], E 308)
lassen sich die unscharfe Mengenvereinigung und der unscharfe Mengenschnitt wie folgt definieren.
Vaub(x) =s(ha{x),hb(x)) , E.309) A^nsfa) := t (nA(x),nB(x)) ¦ E.310)
Die Zugehörigkeitsgrade ha(x) und y,ß(x) werden in einen neuen Zugehörigkeitsgrad abgebildet. Die
Funktionen t und s werden t-Norm und t-Konorm, letztere auch s-Norm genannt.
Interpretation: Die Funktionen haub und [Iahb stellen den Wahrheitswert dar, der sich aus der
Verknüpfung der Wahrheitswerte ha(x) und /iß(x) ergibt.
2. Definition der t-Norni Die £-Norm ist eine binäre Operation t in [0,1] und eine Abbildung
t. [0,1] x [0,1] -H. [0,1]. E.311)
Sie ist symmetrisch, assoziativ, monoton wachsend und besitzt 0 als Nullelement und 1 als neutrales
Element Für x,y,z,v,w G [0,1] gelten folgende Eigenschaften:
(El) Kommutativität: t{x, y) = t(y, x) E.312a)
(E2) Assoziativität: t{x, t(y, z)) = t(t(x, y),z). E 312b)
(E3) Spezielle Operationen mit dem neutralen Element 1 und dem Nullelement 0:
t(x, l) = x und wegen (El) gilt: *A, x) = x, t(x, 0) = t@, x) = 0 . E 312c)
(E4) Monotonie: Ist x < v und y < w, dann gilt t(x, y) < t(v, w). E.312d)
3. Definition der s-Norm Die s-Norm ist eine binäre Operation in [0,1] und eine Abbildung
s: [0,1] x [0,1] -> [0,1]. E 313)
Sie besitzt die folgenden Eigenschaften
(El) Kommutativität: s(x,y) = s(y,x). E.314a)
(E2) Assoziativität: s(x, s(y, z)) = s(s(x, y),z). E.314b)
(E3) Spezielle Operationen mit dem Nullelement 0 und dem neutralen Element 1:
s(x,0) = s@,x) = x, s(x, 1) = 5A,x) = 1 E.314c)
(E4) Monotonie: Jstx<v und y < w , dann gilt: s(x, y) < s(v, w) E.314d)
Mit Hilfe dieser Eigenschaften lassen sich jeweils eine ganze Klasse T von Funktionen der ^-Normen
bzw eine Klasse S von Funktionen der s-Normen einführen. Detailierte Untersuchungen haben gezeigt,
daß der folgende Zusammenhang gilt
min{x, y) > t{x, y) V t € T, V x, y € [0,1] und E 314e)
max{x,y} < s(x,y)VsG 5, Vx,y G [0,1]. E.314f)
5.9.2.2 Praktische Verknüpfungen unscharfer Mengen
1. Durchschnitt zweier Fuzzy-Mengen
Der Durchschnitt oder die Schnittmenge AHB („intersection") zweier Fuzzy-Mengen A und B ist
definiert durch die Minimumoperation min( . , . ) bezüglich ihrer Zugehörigkeitsfunktionen /^(x)
und Hb(x) Auf Grund der vorstehenden Überlegungen erhält man.
C := A n B und ßc(x) '— mm (i*>a(x) , Hb(x)) Vx6l, wobei gilt E.315a)
. / ,x (a, falls a< 6, /t-oicu
min(a,6):=|6 fa]]8ffl-6_ E.315b)
380 5. Algebra und Diskrete Mathematik
Der Schnittoperation entspricht die UND-Operation zweier Zugehörigkeitsfunktionen (Abb.5.70)
Die Zugehörigkeitsfunktion ßc(x) definiert den minimalen Wert, gebildet aus ha{x) und Hb{x)
2. Vereinigung zweier Fuzzy-Mengen
Die Vereinigung Aö B („union") zweier Fuzzy-Mengen ist definiert durch die Maximumoperation
max(.,.) bezüglich ihrer Zugehörigkeitsfunktionen /ia{x) und hb{x). Man erhält:
C = AU B und fic(x) •= max(//^(a;),//j3(x)) VzEX, wobei gilt: E.316a)
/ ,>, f a, falls a > 6, /r01cU
max(a,6) ={6jfallsa<6 E.316b)
Die Vereinigung enstpricht der logischen ODER-Verknüpfung. Die Darstellung in Abb.5.71 zeigt
ßc{x) als den maximalen Wert der jeweiligen Zugehörigkeitsfunktionen jia{x) und hb{x) .
¦ Die t-Norm t(x, y) = min{a;, y} wird als Durchschnitt (Abb.5.72) zweier Fuzzy-Mengen
bezeichnet, die s-Norm s(x, y) = max{x, y} als Vereinigung (Abb.5.73)
H(x)f
x>
1
0
i
/^a(X)/\
/M.B(x)
\McM
X
Abbildung 5.70
t(x,y)f
Abbildung 5.71
s(x,yH
Abbildung 5 72
Abbildung 5 73
3. Weitere Verknüpfungen {
Weitere Verknüpfungen zur Vereinigungsbildung sind die beschränkte, die algebraische und die
drastische Summe sowie die beschränkte Differenz, das algebraische und das drastische Produkt (s.
Tabelle 5.8).
Die algebraische Summe z B. ist definiert durch
C := A + B und nc{x) = Pa(x) + Vb{x) — iia{x) • ßß(x) für alle x G X . E.317a)
Wie die Vereinigung E.316a,b) gehören die genannten Summen zu den s-Normen Sie sind in
vereinfachter Schreibweise in der rechten Spalte von Tabelle 5.8 zu finden.
In Analogie zum erweiterten Summenbegriff für die Vereinigungsbildung ergeben sich für die
Durchschnittsbildung mit Hilfe des beschränkten, des algebraischen und des drastischen Produktes
entsprechende Erweiterungen So ist z B. das algebraische Produkt wie folgt definiert:
C •= A • B und ßC(x) = i^a(x) • fiB{x) für alle x € X E.317b)
Es gehört wie die Durchschnittsbildung E.315a,b) zu den ^-Normen, die in der mittleren Spalte von
Tabelle 5.8 zu finden sind
5.9 Fuzzy-Logik 381
Tabelle 5.8 t- und s-Normen, p G R
Autor
i-Norm
s-Norm
Zadeh
Durchschnitt: t(x,y) = min{:c,y}
Vereinigung: s(x, y) = max{x, y}
LUKASIEWICZ
beschränkte Differenz
tb(x, y) = max{0, x + y — 1}
beschränkte Summe
sb(x,y) = min{l,£ + y}
algebraisches Produkt
ta(x,y) = xy
algebraische Summe
sa(x,y) = x + y-xy
drastisches Produkt
min{:r, y}, falls x = 1
tdp(x,y) = { odery = 1
0 sonst
drastische Summe
C max{:r, y}, falls x = 0
sds(x,y) = < odery = 0
\ 1 sonst
Hamacher
(P>0)
Produkt
zy
p + (l -p)(£ + y-:ry)
Summe
x + y - xy - A -p)xy
1 - A -p)ary
Einstein
Produkt
*e(z,2/) =
xy
l + (l-s)(l-y)
Summe
Se(^,2/) :
_Xj-y_
1 + Xy
Frank
(p>0,p^l)
*/(s,2/) :
logp|l +
(Px-i)(py-i)
p-1
5/(x,y) = 1-
(P1-x-l)(p1-y-l)'
log.
1 + -
P-1
Yager
(p>0)
tya(x,y) = 1-
sya(:r, y) = min (l, (ajp + yp)
IM
min(l,((l-o:)P + (l-y)PI/p)
Schweizer
(p>0)
tfl(x, y) = max@, x~p + y~p - 1)
-i/p
ss(z,y) = 1-
max @, A - x)~p + A - y)~p - 1)
-i/p
DOMBI
(p>0)
W^, 2/) :
Sdofc,!/) = 1-
{¦+[(¥H^)']'T
1 +
fe)'+fe)T"}
Weber
(p > -1)
tw(x, y) = max@, A + p)
ix + y- 1) -pxy)
sw{x, y) = min(l, x + y + pxy)
Dubois
@<p< 1)
tdu(x,y) ¦¦
xy
max(x,y,p)
Sdu(x,y) =
x-\-y — xy — min(x, y, A — p))
max((l-x),(l -y),p)
Hinweis zu Tabelle 5.8: Es existiert eine Ordnungsrelation für die in der Tabelle aufgelisteten t- und
s-Normen bezüglich ihrer Rückgabewerte.
tdp < h < te < ta < th < t < s < sh < sa < se < sb < sds • E.318)
382 5 Algebra und Diskrete Mathematik
5.9.2.3 Kompensatorische Operatoren
Gelegentlich benötigt man Operatoren, die zwischen den t- und s-Normen liegen; sie werden
kompensatorische Operatoren genannt Beispiele für kompensatorische Operatoren sind der Lambda- und der
Gamma-Operator.
1. Lambda-Operator
Ha\b(x) = A \}Ia(x)ilb{x)] + A - A) [fJ,A{x) + Pb(x) ~ fJLA(x)fiB{x)] mit A G [0,1]. E 319)
Fall A = 0 • Die Gleichung E.319) liefert eine Form, die als algebraische Summe bekannt ist
(Tabelle 5.8, s-Normen); ihr ist der ODER-Operator zuzuordnen.
Fall A = 1: Die Gleichung E 319) liefert eine Form, die als algebraisches Produkt bekannt ist
(Tabelle 5.8, s-Normen); ihr ist der UND-Operator zuzuordnen.
2. Gamma-Operator
VAiBix) = [fiA(x)iiB(x)}1-1 [1 - A - ßA{x)) A - liB{x))\1 mit 7 € [0,1] E 320)
Fall 7= 1: liefert die Darstellung für die algebraische Summe
Fall 7= 0: liefert die Darstellung für das algebraische Produkt.
Die Anwendung des Gamma-Operators auf beliebig viele unscharfe Mengen ist gegeben durch
ll-7 I
Lt=i J L »=i
und mit einer Wichtung Si versehen ergibt sich
p{x) ¦¦
Ußi(xM
i=l
l-na-M*))**
mit x G X ,
E 321)
1, 7 e [0,1] E.322)
5.9.2.4 Erweiterungsprinzip
In vorangegangenen Abschnitten wurden Möglichkeiten der Verallgemeinerung mengentheoretischer
Grundoperationen gewöhnlicher Mengen auf unscharfe Mengen diskutiert. Beim Erweiterungsprinzip
geht es um die Abbildung einer unscharfen Definitionsmenge. Grundlage bildet das Konzept des
Akzeptanzgrades vager Aussagen In Analogie zur Abbildungsvorschrift der Funktion $ • Xn —? Y , die
einem Punkt (#i,..., xn) G Xn den scharfen Funktionswert $(#i,..., xn) G Y zuordnet, läßt sich diese
Zuordnung auf unscharfe Mengen übertragen. Die Abbildungsvorschrift ist <l>: F(X)n —> F(Y), wobei
die unscharfen Zugehörigkeitsfunktionen (/ii,..., /in) G F(X)n bezuglich (xi, ., xn) dem unscharfen
Funktionswert $(/ii, . , fin) zugeordnet werden.
Hinweis: In Analogie zur Summen- und Produktbildung existieren für alle i6l entsprechende
Erweiterungen für die Vereinigungsbildung und die Durchschnittsbildung.
5.9.2.5 Unscharfe Komplementfunktion
Eine Funktion c: [0,1] —> [0,1] heißt Komplementfunktion, falls sie die folgenden Eigenschaften Vx, y G
[0,1] besitzt:
(EK1) Grenzbedingungen: c@) = 1 und c(l) = 0 E.323a)
(EK2) Monotonie: x < y => c(x) > c(y) E.323b)
(EK3) Involutivität: c(c(x)) =x E 323c)
(EK4) Stetigkeit: c(x) sei stetig für alle x G [0,1]. E 323d)
¦ A: Die am häufigsten untersuchte und angewandte Komplementfunktion (intuitive Definition) ist
stetig und involutiv:
c(x) :=l-x. E.324)
5.9 Fuzzy-Logik 383
Tabelle 5.9 Gegenüberstellung von Operationen der BoOLEschen und der Fuzzy-Logik
Operator
UND
ODER
NICHT
BoOLEsche Logik
C = AAB
C = AVB
C = -iA
Fuzzy-Logik {ßA, ßB € [0,1])
fiAnB = mm{(iA:ßB)
ßAuB = max(/x^,//ß)
fA = 1 — ßA (a*a a^s Komplement von ßA)
Pa
A={(x,y)eR2\x = y}
¦ B: Andere stetige und involutive Komplemente sind das SlJGENO-Komplementc\(x) := A—x)(l+
Xx)'1 mit A € (—1, oo) und das YAG ER- Komplement cp(x) •= A — xpI/p mit p G @, oo).
5.9.3 Fuzzy—wert ige Relationen
5.9.3.1 Fuzzy-Relationen
1. Modellierung fuzzy-wertiger Relationen
Unscharfe oder fuzzy-wertige Relationen wie beispielsweise „ungefähr gleich", „im wesentlichen größer"
oder „im wesentlichen kleiner" etc. spielen für die praktischen Anwendungen eine große Rolle. Sie
werden als Relationen zwischen Zahlen und demzufolge als Teilmengen im R erklärt. So läßt sich
Gleichheit „=" als Menge
E.325)
erklären, d.h. durch eine Gerade y = x im R2 .
Zur Modellierung der Relation Ri „ungefähr gleich" kann angrenzend an ein scharfes Gebiet (hier
beschrieben durch die Gerade im R2 , allgemein im Rn , mit der Toleranz A) eine unscharfe Übergangszone
zugelassen und verlangt werden, daß die Zugehörigkeitsfunktion in einer gewünschten Art (linear oder
quadratisch) mit abnehmender Zugehörigkeit gegen Null geht. Eine lineare Abnahme kann wie folgt
modelliert werden-
liRx{x,y) = max{0,1 — a\x — y\} mit a€R,a>0. E.326)
Zur Modellierung der Relation R2 „im wesentlichen größer als" ist es zweckmäßig, von der scharfen
Relation „>" auszugehen. Die zugehörige Wertemenge ist dann gegeben durch
E 327)
Sie beschreibt das scharfe Gebiet oberhalb der Geraden x = y. Die Modellierung „im wesentlichen"
bedeutet, daß geringe Unterschreitungen in ein Randgebiet unterhalb der Halbebene, gekennzeichnet
durch die Gerade, noch akzeptiert werden. Die Modellierung von R2 ergibt sich dann zu
{(x,y)€B?\x<y}
m
Ax,y) = I "
max{0,1 — a\x — y\} für y < x
für
y <x)
y>x)
mit a € R, a > 0.
E.328)
Setzt man für eine der Variablen einen festen Wert ein, z.B. y = y0 , dann folgt aus dieser modellmäßigen
Beschreibung unmittelbar, daß R2 als unscharfe Schranke bezüglich der anderen Variablen interpretiert
werden kann. Unscharfe Schranken besitzen im Bereich der unscharfen mathematischen Optimierung,
der qualitativen Datenanalyse und der Musterklassifikation praktische Bedeutung
Die vorstehende Betrachtung zeigt, daß das Konzept der unscharfen Relationen, d.h. der unscharfen
Beziehungen zwischen mehreren Objekten, mit Hilfe unscharfer Mengen aufgebaut werden kann. Im
folgenden werden Grundtatsachen zweistelliger Relationen über einem Grundbereich behandelt, dessen
Elemente geordnete Paare sind.
2. Kartesisches Produkt
Seien X und Y Fuzzy-Grundmengen, so repräsentiert das „Kreuzprodukt" X x Y , auch kartesisches
Produkt genannt, im Grundbereich G eine Fuzzy-Menge:
G = XxY = {(x, y)\xeXAyeY}. E.329)
384 5. Algebra und Diskrete Mathematik
Die Fuzzy-Menge wird dann in Analogie zur klassischen Mengenlehre zu einer Fuzzy-Relation, weil sie
die Elemente aus den Grundmengen paarweise in Beziehung setzt Eine unscharfe Relation R in G ist
eine unscharfe Teilmenge R G F(G), wobei F(G) die Gesamtheit aller unscharfen Mengen über X xY
bezeichnet. R läßt sich durch eine Zugehörigkeitsfunktion fin(x,y) beschreiben, die jedem Element
(x, y) G G den Zugehörigkeitsgrad /i#(x, y) aus [0,1] zuordnet
3. Eigenschaften fuzzy-wertiger Relationen
(El) Da unscharfe Relationen nur spezielle unscharfe Mengen sind, gelten prinzipiell die für unscharfe
Mengen ausgesprochenen Aussagen auch für unscharfe Relationen.
(E2) Alle für unscharfe Mengen erklärten Verknüpfungen lassen sich auf unscharfe Relationen
anwenden, sie liefern als Resultat wieder unscharfe Relationen.
(E3) Der Begriff des a-Schnittes läßt sich auf Grund der vorangegangenen Überlegungen mühelos auf
unscharfe Relationen übertragen.
(E4) Der Träger als O-Schnitt einer unscharfen Relation R G F(G) ist eine gewöhnliche Relation von
G.
(E5) Mit /ir(x, y) wird der Zugehörigkeitswert bezeichnet, d h. der Grad, mit dem die unscharfe
Relation R auf die Objekte (x, y) zutrifft. Der Wert Hr(x, y) = 1 bedeutet, daß R auf (x, y) voll zutrifft,
der Wert Hr(x, y) = 0, daß R auf (x, y) nicht zutrifft
(E6) Es sei R G F(G) eine unscharfe Relation, dann wird die zu R inverse unscharfe Relation S = R~l
definiert durch
/i5(x, y) = fj,R(y, x) für alle (x, y) G G. E 330)
¦ Die inverse Relation jR^ bedeutet „im wesentlichen kleiner als" (s. 5.9 3.1,1., S 383); die
Vereinigung Ri U R21 kann als Beziehung „im wesentlichen kleiner oder ungefähr gleich" beschrieben werden
4. n-faches kartesisches Produkt
Eine Kreuzproduktmenge aus n Grundmengen repräsentiert in Analogie zum oben definierten kartesi-
schen Produkt ein n-faches kartesisches Produkt, d.h. eine n-stellige Fuzzy-Relation.
Folgerung: Die bisher betrachteten Fuzzy-Mengen sind einstellige Fuzzy-Relationen, d.h. im Sinne
der Analysis Kurven über einer Grundmenge Eine zweistellige Fuzzy-Relation kann als Fläche über
der Grundmenge G aufgefaßt werden Eine zweistellige Fuzzy-Relation auf diskreten endlichen
Grundmengen kann als Fuzzy-Relationsmatrix dargestellt werden.
¦ Farbe-Reifegrad-Relation Es wird der bekannte Zusammenhang zwischen Farbe x und Reifegrad y
einer Frucht mit den möglichen Farben X = {grün, gelb, rot} und dem Reifegrad Y = {unreif, halbreif,
reif} in Form einer binären Relationsmatrix mit den Elementen aus {0,1} modelliert. Ausgangspunkt
für die Relationsmatrix E 331) ist die folgende Tabelle-
unreif halbreif reif ' 1 n n \
010) E 331)
00 1/
Interpretation der Relationsmatrix: WENN eine Frucht grün ist, DANN ist sie unreif WENN eine
Frucht gelb ist, DANN ist sie halbreif WENN eine Frucht rot ist, DANN ist sie reif. Grün ist eindeutig
unreif zugeordnet, gelb halbreif und rot reif. Soll darüber hinaus noch formuliert werden, daß eine grüne
Frucht zu einem gewissen Prozentsatz durchaus als halbreif angesehen werden kann, beispielsweise mit
graduellen Zugehörigkeiten dann kann man die folgende Tabelle aufstellen:
grün
gelb
rot
1
0
0
0
1
0
0
0
1
/iR (grün, unreif)
Hr (grün, reif)
fiR (gelb, halbreif)
Hr (rot, unreif)
Hr (rot, reif)
= 1,0,
= 0,0,
= 1,0,
= 0,0,
= 1,0.
fiR (grün, halbreif)
ßr (gelb, unreif)
fiR (gelb, reif)
Hr (rot, halbreif)
= 0,5,
= 0,25,
= 0,25,
= 0,5,
Die Relationsmatrix mit hr G [0,1]
lautet
/1,0 0,5 0,0 \
R= 0,25 1,0 0,25 . E.332)
\0,0 0,5 1,0 /
5 9 Fuzzy-Logik 385
5. Rechenregeln
Für die Verknüpfung von Fuzzy-Mengen, z.B. ß\: X —> [0,1] und fi2' Y ~* [0,1] auf unterschiedlichen
Grundmengen mit der UND-Verknüpfung, d.h. mit der min-Operation, gilt:
VR(x,y) = min(/ii(z),/i2(y)) oder (^ x ß2)(x,y) = min(/xi(x),//2B/)) mit E 333a)
fiiXßi G-+ [0,1], wobei G = X xY. E.333b)
Das Ergebnis der Verknüpfung ist eine Fuzzy-Relation R auf der Kreuzproduktmenge (kartesisches
Produkt der Fuzzy-Mengen) G mit (x, y) G G Sind X und Y diskrete endliche Mengen und somit
ßi{x), ß2(y) als Vektoren darstellbar, dann gilt:
Vi x ß2 = ßi ° ßl und /iß-i (x, 2/) = /xß(?/, x) V (x, j/) € G. E 334)
Der Verknüpfungsoperator o steht nicht für das übliche Matrizenprodukt, die Produktbildung wird
durch die komponentenweise min-Operation und die Addition durch die komponentenweise max-Ope-
ration ersetzt
Der Grad des Zutreffens einer inversen Relation R~l auf die Objekte (x, y) ist also stets gleich dem
Grad des Zutreffens von R auf die Objekte (y, x).
Rechenregeln für die Verknüpfung von Fuzzy-Relationen auf derselben Produktmenge lassen sich wie
folgt angeben: Es seien zweistellige Fuzzy-Relationen R\,R2 '• X x Y —? [0,1] und (x,y) G G
gegeben, mit denen Rechenregeln aufgestellt werden können. Die Berechnungsvorschrift für eine UND-
Verknupfung erfolgt über die min-Operation:
ßRxc\R2(x,y) = mm(iiRl(x,y),ßR2(x,y)). E.335)
Eine entsprechende Berechnungsvorschrift für die ODER-Verknüpfung durch die max-Operation ist
gegeben durch:
ßRluR2{x,y) = max(/iÄ1(x,?/),/^2(x,?/)). E.336)
5.9.3.2 Fuzzy-Relationenprodukt Ro S
1. Verkettung oder Relationenprodukt
Es seien R G F(X x Y) und S G F(Y x Z), aber auch speziell R, S G F(G) mit G C X x Z, dann
versteht man unter der Verkettung oder dem Fuzzy-Relationenprodukt Ro S
ßRos(x, z) := supyer{min(//ß(x, y), ßS(y, z))} V (x, z) G X x Z. E.337)
Verwendet man über endlichen Grundbereichen eine Matrixdarstellung analog E.332), so läßt sich die
Verknüpfung Ro S wie folgt motivieren: Es seien gegeben X = {xi,..., xn}, Y = {yi, . , ym}, Z =
{21,..., zi) und R G F(X x Y), S G F(Y x Z) sowie die Matrixdarstellung von R, S in der Form
R = (uj) und S = (sjk) mit i = 1, ., n; j = 1,..., m; k = 1,..., / sowie
Tij = ßR(xi, yj) und sjk = fj,s(yj, zk) E.338)
Wird für die Verknüpfung T = Ro S die Matrixdarstellung tik gewählt, dann ist
tik = sup mm{rij,sjk} . E.339)
3
Als Ergebnis erhält man nicht die übliche Form der Matrixmultiplikation, da die Supremumbildung
anstelle der Summenbildung und die Minimumbildung anstelle der Produktbildung zur Anwendung
kommen.
¦ Mit den Darstellungen für r^ und Sjk sowie mit Gleichung E.337) kann die inverse Relation R~l
durch die zu (r»j) transponierte Matrix R~l — (ri:/)T dargestellt werden.
Interpretation: Sei R eine Relation von X nach Y und S eine Relation von Y nach Z, dann sind
folgende Verknüpfungen möglich:
a) Wird die Verknüpfung Ro S aus R und S als ein max-min-Produkt definiert, dann wird das
vorstehende Fuzzy-Verknupfungsprodukt als max-min-Verknüpfung bezeichnet. Das Zeichen sup steht
386 5. Algebra und Diskrete Mathematik
für Supremum und bezeichnet den größten Wert, wenn kein Maximum vorliegt; es wird oft als max-
Operation aufgefaßt.
b) Wird die Produktbildung wie bei der bekannten Matrix-Multiplikation vorgenommen, dann erhält
man die max-prod-Verknüpfung
c) Bei der max-average-Verknüpfung wird die „Multiplikation" durch eine Mittelwertbildung ersetzt
2. Verknüpfungsregeln
Für die Verknüpfung unscharfer Relationen R,S,T € F(G) gelten die folgenden Gesetzmäßigkeiten
(El) Assoziativgesetz:
(RoS)oT = Ro(SoT) E 340)
(E2) Distributivgesetz für die Verknüpfung mit Vereinigungsbildung:
Ro(SöT) = (RoS)U{RoT) E 341)
(E3) Distributivgesetz in abgeschwächter Form für die Verknüpfung mit Schnittbildung:
Ro(Sf)T) C (RoS)n(RoT). E342)
(E4) Inversenbildung:
(RoS)-1=S~1oR-\ {RUS)-1=R-1US~1 und (An 5) = R~* n 5. E 343)
(E5) Komplementbildung und Inversenbildung:
(R-1)'1 =ä, (rC)'1 = (R-1H . E 344)
(E6) Monotonieeigenschaften:
RCS=> RoTCSoT undToRCToS E.345)
¦ A: Die Gleichung E 337) für das Relationenprodukt Ro S wurde entsprechend wie bei der
Durchschnittsbildung mittels der min-Operation definiert. Allgemeine Überlegungen zeigen, daß statt der
min-Operation irgendeine der i-Normen verwendet werden kann.
¦ B: Für die Vereinigungs-, Durchschnitts- und Komplementbildung bezüglich a-Schnitte gilt (A U
B)>a = A>a U B>a, (A n B)>a = A>a n B>a , {Ac)>a = A^~a = {x e X\pA(x) < 1 - a} .
Entsprechendes gilt auch für die scharfen a-Schnitte
3. Fuzzy-logisches Schließen
Ein fuzzy-logisches Schließen z B mit WENN-DANN-Regel ist über die Verknüpfung /i2 = fi\ o R
möglich. Die Fuzzy-Menge \i2 stellt dann die gesuchte Schlußfolgerung dar, die sich als Formel wie
folgt darstellt:
p2{y) = maxxeX(min(/ii(:r), nR{x,y))) E 346)
mit y E Y , /ii: X -». [0,1], [i2 Y -? [0,1], R. G -> [0,1] und G = X x Y
5.9.4 Fuzzy—Inferenz
Die Fuzzy-Inferenz ist eine Anwendung der Fuzzy-Relationen mit dem Ziel des fuzzy-logischen Schlie-
ßens bezüglicher vager Informationen (s. 5 9.6.3, S. 390) Vage Information bedeutet hier unscharfe
Information, aber nicht unsichere Information Die Fuzzy-Inferenz, auch Implikation genannt (s 5.9 4,1.,
S 386), besteht aus einer oder mehreren Regeln, einem Faktum und einem Schluß Das unscharfe
Schließen (nach Zadeh approximate reasoning) ist nicht mit der klassischen Logik beschreibbar.
1. Fuzzy-Implikation, WENN-DANN-Regel
Die Fuzzy-Implikation besteht im einfachsten Falle aus einer WENN-DANN-i?e^e/. Der WENN-Teil
der Regel wird als Prämisse bezeichnet und repräsentiert die Bedingung Der DANN-Teil ist die
Schlußfolgerung, auch Konklusion genannt. Die Auswertung erfolgt mittels fi2 = Mi ° R und E.346).
Interpretation: /i2 ist das Fuzzy-Inferenzbild von ß\ bezüglich der Fuzzy-Relation R, d h eine
Berechnungsvorschrift für WENN-D ANN-Regeln bzw. für Gruppen von Regeln
5.9 Fuzzy-Logik 387
2. Verallgemeinertes Fuzzy-Inferenz-Schema
Die Regel WENN Ax UND A2 UND A3 UND An DANN B mit ^. ^. X< -+ [0,1] (i = 1,2,. , n)
und die Zuhörigkeitsfunktion der Konklusion B \i Y —> [0,1] wird beschrieben durch die (n + 1)-
stellige Relation
R XixX2x---Xnxy-*[0,l]. E.347a)
Für das aktuelle Ereignis x[,x2,. ., x'n mit den scharfen Werten x[,x2, , x'n der Kenngrößen Xi (i =
1,2, ,n)und?/G K gilt
/iß/(y) = /ifi(xi,X2, ,x'n,y) = min(//i(xi),/i2DM--->^n«),/iß(y)) E.347b)
Anmerkung: Die Größe min(/xi(x'1), ^2(^2) > • • • A*n(^n)) heißt Erfüllungsgrad der Regel, und die
Größen {//i(a;/1), ß2(x'2)» • ' MnK)} repräsentieren die fuzzy-wertigen Eingangsgrößen.
0' 50 100
b) T Temperatur
c) 0
10 p d) 0
Abbildung 5.74
H*(P,T)
a) 0
Hr(P/T)
10 p
b)
Abbildung 5.75
¦ Bildung von Fuzzy-Relationen für einen Zusammenhang zwischen den Größen „mittlerer" Druck
und „hohe" Temperatur (Abb.5.74) fii(p,T) = /ii(p) VT G X2 mit ni : X\ -* [0,1] ist eine
zylindrische Erweiterung (Abb.5.74c) der Fuzzy-Menge mittlerer Druck (Abb.5.74a) Analog ist
ß2(p.T) = fi2(T) Vp G X\ mit /x2 X2 —? [0,1] eine zylindrische Erweiterung (Abb.5.74d) der
Fuzzy-Menge hohe Temperatur (Abb.5.74b), wobei fr\,fi2 G = X\ x X2 —> [0,1].
Die Abb.5.75a zeigt graphisch das Ergebnis der Bildung von Fuzzy-Relationen: In Abb.5.75b ist das
Ergebnis der Verknüpfung mittlerer Druck UND hohe Temperatur mit dem min-Operator /j,r(p, T) =
388 5 Algebra und Diskrete Mathematik
min(/ii(p), /x2(T)) dargestellt, und (Abb.5.75b) zeigt das Ergebnis der Verknüpfung ODER mit dem
max-Operator/iß(p, T) = max(iJ,i(p),ijq(T)) .
5.9.5 Defuzzifizierungsmethoden
Zur Berechnung einer scharfen Ausgangsgröße ist eine Defuzzifizierung der Fuzzy-Menge am Ausgang
erforderlich. Man bedient sich verschiedener Methoden.
1. Maximum-Kriterium-Methode Aus dem Bereich, innerhalb dessen die Fuzzy-Menge
/x?"tp,'it„ den maximalen Zugehörigkeitsgrad besitzt, wird ein beliebiger Wert rj e Y ausgewählt
2. Mean-of-Maximum-Methode (MOM) Als Ausgabewert wird der Mittelwert über die
maximalen Zugehörigkeitswerte genommen:
sup(/£^J :=
{V € Y\ßxu ,In(y) > ßxu ^(y') Vj/* € Y) . E.348)
D.h., die Menge Y ist ein Intervall, sie sei nicht leer und
charakterisiert durchE 348), woraus sich E.349) ergibt.
3. Schwerpunktmethode (S)
Bei der Schwerpunktmethode wird die Abszisse des
Schwerpunktes einer Fläche mit gedachter homogener
Dichtebelegung vom Werte 1 berechnet.
4. Parametrisierte Schwerpunktmethode (PS)
Die parametrische Methode geht von 7 € R aus Aus
E.351) folgt für 7 = 1 7/ps = rjs und für 7 —? 0 r/Ps =
7?MOM •
5. Verallgemeinerte Schwerpunktmethode (VS)
Wird der Exponent 7 bei der parametrischen Defuzzifizie-
rungsmethode als Funktion von y angesehen, dann folgt
daraus unmittelbar E.352). Die VS-Methode ist eine
Verallgemeinerung der PS-Methode. Sie ist von Interesse,
wenn /z(y) selbst ein besonderes, von y abhängiges Gewicht
erhalten soll
6. Methode der Flächenhalbierung (FH)
Die Position einer Geraden parallel zur Ordinate wird so
berechnet, daß die linke und die rechte Seite der Fläche
unter der Zugehörigkeitsfunktion gleich groß ist
7. Methode der parametrisierten
Flächenhalbierenden (PF)
8. Methode der größten Fläche (GF) Es wird die signifikante Teilmenge aus der
Gesamtmenge ausgewählt, die dann mit bekannten Methoden, wie z.B. der Schwerpunktsmethode (S) oder der
Bestimmung der Flächenhalbierenden (FH) ausgewertet wird
JyesuP(^^Xn)ydy
Vuom = —f — • E.349)
/
Jw
y€sup(/i°u,tp£n)
/1/sup
p(y)ydy.
Vs = ^~p E 350)
/ ß(y) dy
Jyinf
/•3/sup
fVsup
/ ßivTydy
r/PS = -%rP E.351)
/ ß(yV dy
JVint
r* ßW{y)ydy
E 352)
r* H(y)«v) dy
Jy-mf
/ ii{y)dy= fi(y)dy E.353)
/ ß(yydy= / ß(y)-<dy E.354)
Jyinf Jvpf
5.9 Fuzzy-Logik 389
5.9.6 Wissensbasierte Fuzzy—Systeme
Mit Hilfe der mehrwertigen, auf dem Einheitsintervall basierenden Fuzzy-Logik ergeben sich
vielseitige Anwendungsmöglichkeiten im technischen und nichttechnischen Bereich Das allgemeine Konzept
besteht darin, Größen oder Kennwerte zu fuzzifizieren, geeignet in einer Wissensbasis mit Operatoren
zu verknüpfen und die möglicherweise unscharfen Ergebnismengen gegebenenfalls zu defuzzifizieren.
5.9.6.1 Methode Mamdani
Für einen fuzzy-geregelten Prozeß werden folgende Entwurfsschritte verwendet
1. Regelbasis Für die i-te Regel gelte z B
rV • WENN e ist El UND c ist AE1 DANN u ist IT . E 355)
Hierbei charakterisiert e den Fehler, e die Änderung des Fehlers und u die Änderung des Ausgabewertes
(nicht fuzzy-wertig) Alle Größen seien auf ihren Definitionsbereichen E, AE und U definiert, und
der gesamte Definitionsbereich sei E x AE x U. Über diesem Definitionsbereich werden die Größen
Fehler und Fehleränderung fuzzifiziert, d.h mittels unscharfer Mengen dargestellt, wobei linguistische
Beschreibungen benutzt werden
2. Fuzzifizierungsalgorithmus Im allgemeinen sind der Fehler e und dessen Änderung e nicht
fuzzy-wertig, so daß sie über eine linguistische Beschreibung fuzzifiziert werden müssen. Die Fuzzy-
Werte werden mit den Prämissen der WENN-DANN-Regeln aus der Regelbasis verglichen. Daraus
folgt, welche Regeln aktiv sind und mit welchem Gewicht eine Regel beteiligt ist
3. Verknüpfungsmodul Die aktivierten Regeln mit ihrem unterschiedlichen Gewicht werden mit
Hilfe einer Verknüpfungsoperation zusammengefaßt und dem Defuzzifizierungsalgorithmus zugeführt
4. Entscheidungsmodul Im Defuzzifizierungsprozeß soll ein scharfer Wert für die Stellgröße
erhalten werden. Mit Hilfe einer Defuzzifizierungsoperation wird aus der Menge der möglichen Werte eine
nicht fuzzy-wertige Größe, d.h. eine scharfe Größe, ermittelt. Diese Größe drückt aus, wie eine
Einstellung des Systems vorzunehmen ist, so daß die Regelabweichung gering bleibt.
Fuzzy-Regelung bedeutet, daß die Schritte 1. bis 4. wiederholt werden, bis das Ziel, geringste
Regelabweichung e und deren Änderung e , erreicht ist.
5.9.6.2 Methode Sugeno
Die Methode von Sugeno dient ebenfalls zum Entwurf eines fuzzy-geregelten Prozesses und
unterscheidet sich vom MAMDANI-Konzept durch die Art der Regelbasis und durch die Methode, einen
scharfen Ausgangswert zu bekommen. Sie beinhaltet die folgenden Schritte.
1. Regelbasis: Die Regelbasis besteht aus Regeln der folgenden Form.
IV ¦ WENN Xi ist A\ UND UND xk ist A{ DANN ui=p\i+ p\x! + p^x2 + • • • + p[xk E 356)
Es bedeuten.
Aj. unscharfe Mengen, die durch Zugehörigkeitsfunktionen festgelegt werden können,
Xj\ scharfe Eingabewerte, wie z B der Fehler e und die Fehleränderung e , die etwas über
die Dynamik des Systems aussagen,
plj Parametergewichte der Xj (j = 1, 2, ..,&);
Ui zur i-ten Regel gehörige Ausgangsgröße (i = 1,2,.. , n)
2. Fuzzifizierungsalgorithmus: Für jede Regel FC wird ein jii G [0,1] berechnet.
3. Entscheidungsmodul: Aus dem gewichteten Mittel der Ui mit den /z* aus der Fuzzifizierung wird
die nicht fuzzy-wertige Ausgangsgröße berechnet:
u = J2fiiUi[J2ßi) . E.357)
i=i \i=i )
Dabei bedeutet u einen scharfen Wert.
Eine Denazifizierung wie bei der MAMDANI-Methode entfällt hier. Die Bereitstellung der Werte der
Gewichtsparameter p* stellt zwar ein Problem dar, aber die Parameter können durch ein maschinelles
390 5. Algebra und Diskrete Mathematik
Lernverfahren, z B durch ein künstliches neuronales Netz, ermittelt werden.
5.9.6.3 Kognitive Systeme
Zur Erläuterung der Methode soll das bekannte Beispiel der Regelung eines, auf einer beweglichen
Unterlage aufrechtstehenden Pendels (Abb.5.76) mit dem MAMDANI-Regelungskonzept behandelt
werden. Ziel der Regelung ist es, das Pendel so in der Balance zu halten, daß der Pendelstab vertikal
steht, d.h. die Winkelabweichung vom Lot und die Winkelgeschwindigkeit zu Null werden Das kann
durch die Kraft F, die Stellgröße, die auf das untere Ende des Pendels einwirkt, erreicht werden
Dazu wird das Modell eines menschlichen „Kontrollexperten" (kognitive Aufgabe) zugrunde gelegt. Der
Experte formuliert sein Wissen in Form linguistischer Regeln. Linguistische Regeln bestehen im
allgemeinen aus einer Prämisse, d.h. einer Spezifikation der Werte für die Meßgrößen, und einer Konklusion,
die einen geeigneten Stellwert angibt.
Für jede der Wertemengen Xi, X2:..., Xn für die Meßgrößen und Y für die Stellgröße sind geeignete
linguistische Terme wie „ungefähr Null", „positiv klein" usw. festzulegen. Dabei kann „ungefähr Null"
bezüglich der Meßgröße £1 durchaus eine andere Bedeutung besitzen als für die Meßgröße £2 •
¦ Pendel auf beweglicher Unterlage
1. Modellierung Für die Menge X\ (Winkelwerte) seien die sieben linguistische Terme, negativ groß
(ng), negativ mittel (nm), negativ klein (nk), etwa Null (eN), positiv klein (pk), positiv mittel (pm) und
positiv groß (pg) gewählt und entsprechend für die Eingangsgröße X2 (Werte der
Winkelgeschwindigkeit).
Für die mathematische Modellierung muß jedem dieser linguistischen Terme
eine Fuzzy-Menge über Graphen zugeordnet werden (Abb.5.75), wie es
unter Fuzzy-Inferenz gezeigt wurde. Festlegung der Wertebereiche:
• Winkelwerte. 0(-9O° < © < 90°): Xx := [-90°, 90°].
• Winkelgeschwindigkeitswerte: <9(—45°s-1 < © < 45°s-1)-
X2:= [-450s,450s-1].
• Kraftwerte F (-10N < F < ION): Y .= [-10N, ION]
Die Partitionierung der Eingangsgrößen Xi und X2 und der Ausgangsgröße
Y ist graphisch in (Abb.5.77) für das inverse Pendel (Abb.5.76)
dargestellt. Die Startwerte sind in der Regel aktuelle Meßwerte, z.B. © = 36° , © =
Abbildung 5.76
2. Regelaus wähl Von den gemäß der folgenden Tabelle 49 möglichen Regeln Gx7) sind 19
praxisrelevant, und von diesen werden die folgenden beiden Regeln Rl und R2 betrachtet
Rl: Ist © positiv klein (pk) und © etwa Null (eN), dann ist F positiv klein (pk) Für den Erfüllungsgrad
der Prämisse mit a = min lfi^(©)] n^l\©)\ = min{0,4; 0,8} = 0,4 ergibt sich die
Ausgabenmenge E.358) durch einen a-Schnitt der Ausgabe-Fuzzy-Menge positiv-klein (pk) in der Höhe a = 0,4
(Abb.5.78c).
5.9 Fuzzy-Logik 391
Tabelle Regelbasis mit 19 praxisrelevanten
Regeln
e\e
ng
nm
nk
eN
pk
pm
Pg
ng
nm
ng
nm
nm
nk
pk
nk
nk
eN
Pg
pm
pk
eN
nk
nm
ng
pk
pk
pk
nk
pm
pm
Pg
Pg
pm
Output(Rl), x _
P36;-2,25 KU) ~
2
5
0,4
V 0<y < 1,
1 < 2/ < 4,
2 E.358)
2--y 4<?/<5,
5
R2: Ist 0 positiv mittel (pm) und Ö etwa Null
(eN), dann ist F positiv mittel (pm).
Für den Erfüllungsgrad der Prämisse ergibt
sich mit a = min {/iB)@),/xB)@} =
min{0,6,0,8} = 0,6 die Ausgabenmenge
E.359) analog zu Regel Rl (Abb.5.78f).
0
B
5
0,
uutpuHK^/ x
//36;-2,25 \V) "
sonst
y-l 2,5<?/<4,
4<y <6,
2 E.359)
3--y 6<y<7,5,
5
0
sonst
3. Entscheidungslogik Die Auswertung mit der min-Operation der Regel Ri liefert die Fuzzy-
Menge in (Abb.5.78a-c). Die entsprechende Auswertung für die Regel R2 zeigt die (Abb.5.78d-f).
Aus der Fuzzy-Aussagenmenge (Abb.5.78g) wird letztlich die Stellgröße mit einer Defuzzifizierungs-
methode berechnet.
a) Auswertung der erhaltenen Fuzzy-Mengen, die mittels Operatoren zusammengefügt wurden
(s max-min-Komposition in 5 9.3.2, S. 385) Die Entscheidungslogik liefert:
Output
"xi, ,x„
K-[0,l];y
max <
r€{l, ,*} '
l{$l(xi)>-
"t!WA(i/)}}
E 360)
/i36;-2,25(?/) ~
0,4
5y
0,6
für
für 1 <
0<y < 1,
<3,5,
E 361)
b) Für den Funktionsgraphen der Fuzzy-
Menge nach Maximumsbildung ergibt sich
E.361).
c) Für alle anderen 17 Regeln ergibt sich ein
Erfüllungsgrad Null für die Prämisse, d h. sie
liefern Fuzzy-Mengen, die selbst Null sind.
4. Defuzzifizierung Die
Entscheidungslogik liefert keinen scharfen Wert für den
Stellwert, sondern eine Fuzzy-Menge D.h., mit der
Methode erhält man eine Abbildung, die
jedem Tupel (xi, ., xn) G Xi x X2 x • • • x Xn
von Meßwerten die Fuzzy-Menge A4?"'^ von
Y zuordnet.
Defuzzifizierung bedeutet, daß ein Stellwert berechnet werden muß.
Die Schwerpunktsmethode und die Maximum-Kriterium-Methode liefern als Stellgröße die Werte F =
3,95 bzw. F = 5,0
5. Bemerkungen
1. Die „wissensbasierte" Trajektorie soll so in der Regelbasis verlaufen, daß der Endpunkt im Zentrum
geringster Regelabweichung liegt
2. Durch die Defuzzifizierung wird ein Iterationsprozeß eingeleitet, der letztlich in die Mitte der
Regelfläche führt, d h die Stellgröße Null liefert.
3. Jedes nicht lineare Kennfeld kann durch Wahl geeigneter Parameter beliebig genau approximiert
werden.
0
- 1 für 3,5 < y < 4,
für 4 < y < 6,
"zy für 6 < y < 7,5,
für sonst
392 5. Algebra und Diskrete Mathematik
22.5 36 9 15.2.2511-5 ö
a) positiv klein b)
2.5 F
c) positiv klein
max-Operation
2.25 e
d) positiv mittel e) etwa Null f) positiv mittel
Abbildung 5.78
I F
g) Stellgröße
5.9.6.4 Wissensbasiertes Interpolationssystem
1. Interpolationsmechanismen
Mit Hilfe der Fuzzy-Logik lassen sich Interpolationsmechanismen aufbauen. Fuzzy-Systeme sind
Systeme zur Verarbeitung unscharfer Informationen, mit ihnen lassen sich Funktionen approximieren
und interpolieren. Ein einfaches Fuzzy-System, an dem diese Eigenschaften untersucht wurden, ist der
SuGENO-Controller. Er besitzt n Eingangsvariable £i,. , £n und bestimmt den Wert der
Ausgangsvariablen y durch Regeln Ri,..., Rn der Form
R, • WENN & ist 40 und • • • und £n ist^0, DANN ist y = /<(&,.. , fn) (i = 1,2, ., n) E 362)
Die Fuzzy-Sets Aj, ., Aj partitionieren dabei jeweils die Eingabenmenge Xj . Die Konklusionen
/i(£i, • • •»Cn) der Regeln sind Singletons, die von den Eingabevariablen £i,..., £n abhängen können
Durch die einfache Wahl der Konklusionen kann auf eine aufwendige Defuzzifizierung verzichtet werden
und der Ausgangswert y als gewichtete Summe berechnet werden. Dazu berechnet der Controller für
jede Regel R^ mit einer £-Norm aus den Zugehörigkeitsgraden der einzelnen Eingaben einen Erfullungs-
grad oh und bestimmt den Ausgangswert zu
E£Li<*
E 363)
2. Einschränkung für den eindimensionalen Fall
Bei Fuzzy-Systemen mit nur einer Eingabe x = £i werden oft Fuzzy-Mengen verwendet, die durch
Dreieckfunktionen dargestellt, die sich auf der Höhe 0,5 schneiden werden. Solche Fuzzy-Mengen
genügen drei Bedigungen:
1. Für jede Regel 1^ gibt es eine Eingabe Xi, für die nur eine Regel erfüllt ist. Für diese Eingabe
5.9 Fuzzy-Logik 393
Xi wird die Ausgabe über fi berechnet Dadurch ist die Ausgabe des Fuzzy-Systems an N
Stützstellen x\, ,xN festgelegt Man kann daher sagen, das Fuzzy-System interpoliert die Stützstellen
Xi,. ,xn Die Forderung, daß an den Stützstellen X{ nur die eine Regel R^ gilt, ist für eine
exakte Interpolation hinreichend, aber nicht notwendig. Für zwei Regeln Ri und R2, wie sie im folgenden
betrachtet werden, bedeutet diese Forderung, daß ai(x2) = ot2(x{) = 0gilt Zur Erfüllung der 1
Bedingung muß ai(x2) = »2C:1) = 0 sein Das ist eine hinreichende Bedingung für eine exakte Interpolation
der Stützstellen
2. Zwischen zwei aufeinanderfolgenden Stutzstellen sind höchstens 2 Regeln erfüllt. Sind X\ und x2 zwei
solche Stützstellen mit den Regeln Ri und R2 , so berechnet sich für Eingaben x € [rci, x2] die Ausgabe
yzu
y = = /1 + g(h - h) E 364
üfi -I- a2
Oi2
mit von x abhängigen fi,f2,ai und a2 sowie g •= .
ot\ + a2
Der eigentliche Verlauf der Interpolationskurve zwischen x\ und x2 wird von der Funktion g bestimmt
Diese wird daher als Kurvenverlauf bezeichnet. Sie hängt nur von den Erfüllungsgraden a\ und a2 ab,
die sich als Werte der Zugehörigkeitsfunktionen /i^(i) und ßAB) an der Stelle x ergeben, d.h., es ist
ai — A^wO^) un<^ a2 — f^A^i00) j °der kurz ai = Vifa) und »2 — ^(x) Der Kurvenverlauf hängt nur
vom Verhältnis ßi/ß2 der Zugehörigkeitsfunktionen ab.
3. Die Zugehörigkeitsfunktionen sind positiv, so daß die Ausgabe y eine Konvexkombination der
Konklusionen fi ist. Daher gilt:
min(/i, f2) <y < max(/i, /2) E 365)
bzw. für den allgemeinen Fall
min fi<y< max fi. ' E 366)
i=l,2, ,N i=l,2, ,N
Für konstante Konklusionen bewirken die Terme /1 und f2 lediglich eine Verschiebung und Streckung
des Kurvenverlaufes g Sind die Konklusionen von den Eingangsvariablen abhängig, dann wird der
Kurvenverlauf in verschiedenen Abschnitten unterschiedlich verzerrt Dadurch kann sich eine andere
Ausgangsfunktion ergeben.
Verwendet man für die Eingabe x linear abhängige Konklusionen und Zugehörigkeitsfunktionen mit
konstanter Summe, dann ist die Ausgabe y = cJ2iL\ onfi(x) mit von x abhängigen c^ und einer
Konstanten c, so daß sich Polynome 2. Ordnung als Interpolationsfunktionen ergeben Diese Polynome
kann man zur Konstruktion eines'Interpolationsverfahrens mit Polynomen 2. Ordnung verwenden.
Allgemein ergibt sich aus der Wahl von Polynomen n-ter Ordnung als Konklusion ein
Interpolationspolynom (n+ l)-ter Ordnung Daher können die konventionellen Interpolationsverfahren, die lokal mit
Polynomen interpolieren (beispielsweise mit Splines), auch mit diesen Fuzzy-Systemen durchgeführt
werden
394 6 Differentialrechnung
6 Differentialrechnung
6.1 Differentiation von Funktionen einer Veränderlichen
6.1.1 Differentialquotient
1. Differentialquotient oder Ableitung einer Funktion Die Ableitung einer Funktion y = f(x)
du df ix)
ist eine neue Funktion von x, die mit den Symbolen y', y, Dy, — , f'(x), Df(x) oder —-— gekenn-
dx dx
zeichnet wird und die für jeden Wert von x gleich dem Grenzwert des Quotienten aus dem Zuwachs der
Funktion Ay und dem entsprechenden Zuwachs Ax für Ax —¦> 0 ist*
fjx + As) - f{x)
f'ix)= lim
Ax
F.1)
2. Geometrische Bedeutung der Ableitung Wenn y =
f(x) wie in Abb.6.1 als Kurve in kartesischen Koordinaten
dargestellt ist und'die x- sowie die y-Achse den gleichen Maßstab
haben, dann ist
f'(x) = ta,na F 2)
Der Winkel a zwischen der s-Achse und der Tangente an die
Kurve in dem betreffenden Punkt bestimmt die Steigung der Tangente
(s 3 6 1.2,2.,4. S 234). Der Winkel wird von der positiven z-Achse
zur Tangente im entgegengesetzten Drehsinn des Uhrzeigers
gemessen und als Tangentenneigungswinkel bezeichnet
3. Differenzier bar keit Die Existenz der Ableitung einer
Funktion f(x) für die Werte der Variablen x ist gegeben, wenn für
diese Werte der Differentialquotient F.1) einen endlichen Wert
besitzt
Existiert in einem Punkt x keine Ableitung, dann hat die Kurve in dem betreffenden Punkt entweder
keine bestimmte Tangente oder diese bildet mit der x-Achse einen rechten Winkel. Im zweiten Falle ist
der Grenzwert F.1) unendlich. Man benutzt für diesen Sachverhalt die Schreibweise f'(x) = +oo bzw.
/'(*) =-oo.
Abbildung 6 1
A: f{x) = tfx- ¦ fix)
3^
(Abb.6.2a), d.h., sie existiert nicht.
1
b) c)
Abbildung 6 2
, f(Ö) = oo Im Punkt 0 geht die Ableitung gegen unendlich
B: fix) = xsin- , /(O) = 0: An der Stelle x = 0 existiert kein Grenzwert der Art F.1) (Abb.6.2b)
x
6.1 Differentiation von Funktionen einer Veränderlichen 395
4. Links- und rechtsseitige Ableitung Wenn für einen Wert
x — a der Grenzwert F 1) nicht existiert, dafür aber der links-
bzw. rechtsseitige Grenzwert, dann wird dieser Grenzwert links- bzw.
rechtsseitige Ableitung genannt Da die Kurve an der Stelle zwei
Tangenten mit den Steigungen
f'(a -0) = tan ax, f'(a + 0) = tan a2 F 3)
besitzt, kennzeichnen die beiden Ableitungen, geometrisch gesehen,
einen Knick der Kurve (Abb.6.2c, Abb.6.3).
a « x x
Abbildung 6.3 ¦ f(x) = r , /@) = 0: An der Stelle x = 0 existiert kein
1 + e*
Grenzwert der Art F.1), jedoch gibt es einen linksseitigen und einen rechtsseitigen Grenzwert /'(—0) =
1 und /'(+0) = 0, d h., die Kurve besitzt hier einen Knick (Abb.6.2c).
6.1.2 Differentiationsregeln für Funktionen einer Veränderlicher
6.1.2.1 Ableitungen elementarer Funktionen
Die elementaren Funktionen besitzen im gesamten Definitionsbereich eine Ableitung, ausgenommen
einzelne Punkte, in denen solche Fälle auftreten können, wie sie in Abb.6.2 dargestellt sind.
Eine Zusammenstellung der Ableitungen der elementaren Funktionen enthält Tabelle 6.1. Weitere
Ableitungen elementarer Funktionen können aus der Umkehrung der Integrationsergebnisse in
Tabelle 8.1 der unbestimmten Integrale gewonnen werden.
Hinweis: Bei der Lösung praktischer Aufgaben ist es zweckmäßig, vor dem Differenzieren einer
Funktion diese, sofern das möglich ist, in eine Summe umzuformen, indem Klammerausdrücke aufgelöst
(s. 1.1 6.1, S. 11) und ganzrationale Teile abgespaltet werden (s 1.1.7, S. 14) oder der Ausdruck loga-
rithmiert (s 1.1.4.3, S 9) wird usw
r- 9 12 3 5
2-3A/i + 4^ + s2 2 .-9^,-0^ dy _2 3 -z 8-«
¦ A: y = = Sx 1 + 4x o + x; — = -2x + -x * — -x o+l.
xx dx 2 3
_ _ . x2 +1 1 w o ^ ! i / 2 ix dy l ( 2x \ 1 / 2x \ 2x
¦B^ = l-V^ = 2ln(*+1)-2ln(*-1); J = 2(^Tt)-2(^t) = -^T
6.1.2.2 Grundregeln für das Differenzieren
Im folgenden sind u,v,w und y Funktionen der unabhängigen Veränderlichen x und w', v', w' und y'
die Ableitungen dieser Funktionen nach x Mit du, dv, dw und dy werden die Differentiale bezeichnet
(s. 6.2 1.3, S. 408). Die Grundregeln für das Differenzieren, die anschließend erläutert werden, findet
man zusammengefaßt in Tabelle 6.2, S 400.
1. Konstantenregel
Die Ableitung einer Konstanten c ist gleich Null.
d = 0. F.4)
2. Faktorregel
Ein konstanter Faktor c kann vor das Differentiationssymbol gezogen werden*
(cm)' = cu', d(cu) = cdu. F.5)
3. Summenregel
Die Ableitung einer Summe oder Differenz von zwei oder mehreren Funktionen ist gleich der Summe
oder Differenz der Ableitungen dieser Funktionen.
(u + v — w)' = u' + v' — w\ F.6a)
d(u + v — w) = du + dv — dw. F.6b)
396 6 Differentialrechnung
Tabelle 6.1 Ableitungen elementarer Funktionen in Intervallen, in denen diese definiert und die
auftretenden Nenner ^ 0 sind
Funktion
C (Konstante)
X
xn (n G R)
1
X
1
xn
y/x
V/x (n e R, n ^ 0, x > 0)
ex
ebx {beR)
ax (a>0)
abx (b e R, a > 0)
Ina;
logax (o > 0, a ^ 1, x > 0)
\gx (x > 0)
sinx
cosx
tana; (x ^ Bfc+l)|, k G Z)
cota; (x 7^ /c7r, fc € Z)
Ableitung
0
1
nrcn_1
1
n
,£71+1
1
1
n Vx71'*
ex
bebx
ax\na
babx\na
1
X
1 i x
- ^ga e = —j
x xina
1 0,4343
-Ige«
X X
cosx
— sinx
1 _„cc2x
COS2 X
-1 2
—^— = — cosec x
sin a:
Funktion
seca;
cosec a;
aresina; (\x\ < 1)
arecosa; (|x| < 1)
aretan x
arecot x
aresee x
sinhx
cosha;
tanha:
cotha; (x ^ 0)
Arsinha;
Arcosha; (x > 1)
Artanha; (\x\ < 1)
Arcotha; (|a:| > 1)
[/(*)]» (n e R)
ln/(x) (/(s)>0)
Ableitung
sina;
cos2 x
— cos x
sin2 a:
1
Vi - x2
1
x/1 - x2
1
1 + a;2
1
1 + x2
1
aV#2 — 1
aVa;2 — 1
cosha;
sinha;
1
cosh2 x
1
sinh2 x
1
yfl + x2
1
Va;2-1
1
1-a;2
1
a;2-l
n[/W]n-7'W
fix)
4. Produktregel
Für die Ableitung eines Produkts aus zwei, drei oder n Funktionen gilt:
a) Produktregel für zwei Funktionen:
(u v)' — v! v + uv', d(u v) = vdu + udv
F.7a)
6.1 Differentiation von Funktionen einer Veränderlichen 397
b) Produktregel für drei Funktionen:
(uvw)' = uvw' + uv'w + u'vw , d(uvw) = uvdw + uwdv + vwdu. F 7b)
a) Produktregel für n Funktionen:
n
(uiu2 • • • un)' = ^T uxu2 • • • u'i • • • un. F.7c)
t=i
¦ A: y = x3 cos x, y' = 3x2 cos x - x3 sin x.
¦ B: y = x3ex cos x , y' = 3x2ex cos x + x3ex cos x — x3ex sin x .
5. Quotientenregel
Die Ableitung des Quotienten zweier Funktionen wird nach der Formel (Quotientenregel)
fu\' vu' — uv' (u\ vdu — udv t oN
W =^~' AVv) = ^fi— F-8)
unter der Voraussetzung v(x) 7^ 0 berechnet
sinrr , (cos x) (sin x)' — (sin x) (cos x)' cos2 x 4- sin2 x 1
¦ y = tan x = , y = — —
cos x ' cos2 x cos2 x cos2 x '
6. Kettenregel
Die mittelbare Funktion (s. S. 61) y = u(v(x)) hat die Ableitung
wobei die Funktionen u = u(v) und v = v(x) differenzierbare Funktionen bezuglich ihrer Argumente
darstellen. Man bezeichnet u(v) als äußere und v(x) als innere Funktion und dementsprechend — als
dv
äußere Ableitung und — als innere Ableitung.
Analog verfährt man, wenn die „Kette" aus einer größeren Anzahl von Funktionen mit den
entsprechenden Zwischenveränderlichen besteht. So gilt z.B. für y = u(v(w(x))).
, dy du dv dw
y = u(v(W(x))), ,=_ = ___. F.10)
¦ A:, = ^, j» = d(;S1^ <fX) d{STX) = <***2 sinxcosx
^ d(sin2xj a(sina;) cfo
j fptan y/x\
¦ B: y = etan^; ^ = —* ) djtsmy/x) d{^x) = ^any^ 1 *
da; (i (tan ^/i) d (y^) cfa; cos2 y^ 2y^
7. Logarithmische Differentiation
Im Falle von y(x) > 0 kann man zur Berechnung der Ableitung y' von der Funktion In 2/B;) ausgehen,
für deren Ableitung (unter Berücksichtigung der Kettenregel) gilt:
d(lny(x))= 1
(ix 3/B;)y V ;
Daraus folgt unmittelbar
* = «*)^. F-12)
398 6. Differentialrechnung
Hinweis 1: Mit Hilfe der logarithmischen Differentiation lassen sich viele Differentiationsaufgaben
wesentlich vereinfachen bzw. überhaupt erst durchführen. Letzteres trifft z.B. auf Punktionen der Form
y = u(x)vW mit u(x) > 0 F 13)
zu Die logarithmische Differentiation dieser Gleichung ergibt gemäß F 12)
y=y^r- = y^^ = u{vlnu+-) F14)
y' 3x - 2
¦ y= Bx + lKa;, lny = 3zlnBx + l), - = 31nBx + 1) + -;
y> = 3Bx + lKx (\nBx + l) + ^v
Hinweis 2: Die logarithmische Differentiation wird häufig angewendet, wenn ein Produkt von
Funktionen zu differenzieren ist.
1,
¦ A: y = \/x3e4x sin x , In y — - C In x + \x + In sin x),
v' 1/3 , cosx\ , 1 >—=—;—:—/3 , \
— = - ( - + 4 H , y — -vx3eAx sin x [ - + 4 + cot sc)
y 2 \x sinxj 2 \x J
y' l i
¦ B: 7/ = Mu , In w = In u + In v , — = —i/ + -v' Daraus folgt y' = (uv)' = vu' + uv'. Man erhält
y u v
die Produktregel F 7a)
u 2/1,1, , /uV u' ui/ vu' -uv'
m d y = — , In w = In tt — In u , — = —w v . Daraus folgt y — ( — 1 = 5- = 0
t> y u v \vj v vl vl
Man erhält die Quotientenregel F.8).
8. Ableitung der inversen Funktion
Wenn y — tp(x) die inverse Punktion zur ursprünglichen Funktion y = f(x) ist, dann gilt. Die beiden
Darstellungen y — f(x) und x = <p(y) sind äquivalent Unter der Voraussetzung ip'(y) ^ 0 besteht
dann die folgende Beziehung zwischen den Ableitungen einer Funktion / und ihrer Umkehrfunktion ip:
/'(X) = _L bzw ^- = 4-- F-15)
J v ' ip'(y) dx dx_ v >
dy
¦ Die Funktion y = f{x) = aresinx ist für — 1 < x < 1 der Funktion x = (p(y) = siny mit — tt/2 <
y < 7r/2 äquivalent Aus F 15) folgt dann
(aresin x)' = — = = , = = , , da cos y ^ 0 für — tt/2 < y < ir/2
K ) (siny)' cos?/ Ji-stfy v7!^^ ' '
9. Ableitung einer impliziten Funktion
Eine Funktion y = f(x) sei implizit durch die Gleichung F(x, y) = 0 gegeben Unter Beachtung der
Differentiationsregeln für Funktionen mehrerer Veränderlicher (s. 6.2, S. 408) erhält man durch
Differentiation nach x
8F f)F F
falls die parteile Ableitung Fy von Null verschieden ist
x y
¦ Die Gleichung — + — = 1 einer Ellipse mit den Halbachsen a und b kann in der Form F(x,y) =
a2 er
6.1 Differentiation von Funktionen einer Veränderlichen 399
0? b2
1 = 0 geschrieben werden. Für die Steigung der Tangente im Ellipsenpunkt (x,y) erhält
man gemäß F.16)
2x
y = ¦
I V
10. Ableitung einer Funktion in Parameterdarsteilung
Wenn die Funktion y — f(x) in der Parameterform x = x(t), y = y{t) gegeben ist, dann läßt sich ihre
Ableitung y' nach der Formel
£-™-i
F.17)
dx
über die Ableitungen y(t) = — und x(t) = —- nach dem Parameter t berechnen, falls x(t) ^ 0 gilt
dt dt
¦ Polarkoordinatendarstellung: Ist eine Funktion in ihrer Polarkoordinatendarstellung (s. S. 196)
p = p(<p) gegeben, dann lautet ihre Parameterdarstellung
x ='p{(p) cos ip, y = p(cp) sin (p F.18)
mit dem Winkel <p als Parameter. Für die Steigung der Tangente y' der Kurve (s 3.6 1.2,2.,4., S 234
oder 6 1 1,2., S. 394) gilt dann wegen F.17)
p sin (p + p cos (p
p cos ip — p sin (p
mit p -
F.19)
Hinweise:
1. Die Ableitungen x, y sind die Komponenten des Tangentenvektors im Punkt {x(t), y(t)) der Kurve.
2. Häufig wird mit Vorteil die komplexe Zusammenfassung benutzt:
x{t) + iy(t) = z(t), x{t) + iy{t) = z(t). F 20)
eiu)t = rue^ut + 2). Der Tangenten-
¦ Kreisbewegung: z(i) = reluJ (r,o;const), z(t) = riue"
vektor läuft dem Ortsvektor um ir/2 phasenverschoben voraus.
11. Graphische Differentiation
Wenn eine differenzierbare Funktion y = f(x) durch ihre Kurve T in kartesischen Koordinaten in
einem Intervall a < x < b dargestellt ist, kann die Kurve T' ihrer Ableitung näherungsweise
konstruiert werden Die Konstruktion einer Tangente in einem gegebenen Kurvenpunkt nach Augenmaß kann
recht ungenau ausfallen. Wenn aber die Richtung der Tangente MN (Abb.6.4) bekannt ist, kann der
Berührungspunkt A genauer ermittelt werden.
a) Konstruktion des Berührungspunktes einer Tangente
Parallel zur gegebenen Tangentenrichtung MN werden zwei Sehnen M\Ni
und M2N2 so eingezeichnet, daß die Kurve in nicht weit voneinander
liegenden Punkten geschnitten wird. Danach werden die Mittelpunkte der
Sehnen ermittelt und durch diese eine Gerade PQ gezogen, die die Kurve
im Punkt A schneidet, in dem die Tangente näherungsweise die
vorgegebene Richtung MN hat. Um die Genauigkeit zu überprüfen, kann eine
dritte parallele Sehne in geringem Abstand von den ersten beiden eingetragen
werden, die von der Geraden PQ im Mittelpunkt geschnitten werden muß
b) Konstruktion der Kurve einer abgeleiteten Funktion
1. Vorgabe einiger Richtungen h,l2,--Jn, die den
Tangentenrichtungen der Kurve y = f(x) in dem betrachteten Intervall entsprechen
sollen (Abb.6.5), und Ermittlung der dazugehörigen Berührungspunkte
Ai, A<i,.. ,A„, nach dem unter a) beschriebenen Verfahren, wobei die
Tangenten selbst nicht konstruiert werden müssen.
Abbildung 6.4
400 6. Differentialrechnung
Tabelle 6.2 Differentiationsregeln
Regel
Konstantenregel
Faktorregel
Summenregel
Produktregel für
zwei Funktionen
Produktregel für
n Funktionen
Quotientenregel
Kettenregel für
zwei Funktionen
Kettenregel für
drei Funktionen
Potenzregel
Logarithmische
Differentiation
Differentiation der
Umkehrfunktion
Implizite
Differentiation
Ableitung in
Parameterdarstellung
Ableitung in
Polarkoordinaten
Formel für die Ableitung
d = 0 (c const)
(cu)' = cu' (c const)
(u ± v)' = u' ±v'
(uv)' = u'v + uv'
n
(u\u2 • • • uny = J2 u\ • • • u\ • • • un
t=l
fuV vu'-uv'
f du dv
y = u{v(x)) ,=--
/ , / vxv , du dv dw
y = uivlwlx))). y — ——: —
y K v v >,} y dv dw dx
(ua)f = aua~lu' (a € R, a ^ 0)
/1 \' u'
speziell ( — ) = —- (u ^ 0)
\uj u2
d(hiy(x)) 1 , dQny)
—i = -y => y = y—i—
dx y dx
, ( vu'\
speziell (uv) = uv \v' In u H (u > 0)
V u )
ip inverse Funktion zu / , d h. y = f(x) <*=*> x = tp(y) :
dy
F(x, y) = 0: Fx + Fy y1 = 0 oder
,,-_£ (F-W F-dJl. F^0)
V Fy \tx dx ' ty dy ' tyt")
x = x(t), y = y{t) (t Parameter)
, _ dy _y (x-dx ¦ -dy\
V dx x \dt'y dt)
p = p(ip): ~ (\ ' (Winkel <p als Parameter)
; dy p sin (p + p cos (p ( dp\
dx p cos (p — p sin tp \ dipj
2. Wahl eines Punktes P, eines „Pols", auf der negativen x-Achse, wobei die Strecke PO — a um so
größer sein soll, je flacher die Kurve ist.
6.1 Differentiation von Funktionen einer Veränderlichen 401
Abbildung 6.5
3. Einzeichnen von Geraden, die parallel zu den
Richtungen h,l2,... bzw. ln verlaufen, durch den
Pol P hindurchgehen und die y-Achse in den
Punkten i?i, B2, • • • bzw. Bn schneiden.
4. Konstruktion horizontaler Geraden B\C\,B2C2,
... ,BnCn von den Punkten B\,B2,...,Bn aus bis
zu den Schnittpunkten Ci,C2,.. , Cn mit den aus
den Punkten Ai,A2, .., An gefällten Loten.
5. Verbinden der Punkte Ci,C2,. . ,Cn mit
Hilfe eines Kurvenlineals durch eine Kurve, die der
Gleichung y = af'(x) genügt. Wenn die Strecke
a so gewählt wird, daß sie der Längeneinheit auf
der y-Achse entspricht, ist die gewonnene Kurve
die der gesuchten Ableitung. Ist das nicht der Fall,
dann sind die gefundenen Ordinaten C\, C2,. ., Cn
der Ableitung mit dem Faktor - zu multiplizieren.
a
Die sich so ergebenden Punkte D\,D2,... ,Dn in
Abb.6.5 liegen auf der maßstabsgerechten
Ableitungskurve r;.
6.1.3 Ableitungen höherer Ordnung
6.1.3.1 Definition der Ableitungen höherer Ordnung
Die Ableitung von y' — f(x), also (y')' oder — I — I , wird als zweite Ableitung der Funktion y =
d2y d2f(x)
fix) mit y'\ y, —-, fix) oder ——r— bezeichnet. Analog werden die Ableitungen höherer Ordnung
dxz dxz
definiert. Bezeichnungen für die n-te Ableitung der Funktion y = f(x) sind:
„(») -
dx
I = f{n)(*) =
dnf(x)
dxn
(n = 0,l,...;yW(x) = fM(x) = f(x))
F.21)
6.1.3.2 Ableitungen höherer Ordnung der einfachsten Funktionen
In Tabelle 6.3 sind die n-ten Ableitungen für die einfachsten Funktionen zusammengestellt.
6.1.3.3 Leibnizsche Regel
Zur Berechnung der Ableitung n-ter Ordnung für ein Produkt aus zwei Funktionen kann die Leib-
Nizsche Regel
Dn(uv) =uDnv+y]Du Dn~lv + ^ ^ D2u Dn~2v + • • •
+ n(n-l). .{n-m + l)DmuDn_mv + _ + ^
m\
dn
F.22)
benutzt werden Dabei ist D^ = — . Wenn D°u durch u und D°v durch v ersetzt werden, dann erhält
dx
man die Formel F 23), die in ihrer Struktur dem Binomischen Satz entspricht (s. 1 1.6.4, S. 12).
Dn{uv) = JT (n)DmuDn-mv.
m=0 \m/
F.23)
402 6 Differentialrechnung
¦ A: (x2 cos ax)E0K Setzt man v = x2, u = cos ax , dann ergibt sich u^ = ak cos (ax + k\ J ,
u' = 2x, v" = 2, i/" = i/4) = • • • = 0 Mit Ausnahme der ersten drei sind alle Summanden gleich 0, so
daß (HE0) = ^5° cos (ax + 50f) + y • 2xa49 cos (ax + 490 + ^y ' 2a*
= a48[B450 — a2x2) cosax — lOOazsinax]
cos ax + 48-
B: (rV)F) =
• xV + rVsxV + rj'^^ + u)-6^
Tabelle 6 3 Ableitungen höherer Ordnung einiger elementarer Funktionen
Funktion
xm
lux
loga£
ekx
ax
akx
sinx
cosa;
sinkx
coskx
sinhx
coshrr
n-te Ableitung
m(m — l)(ra — 2)... (ra — n + l)xm-n
(für ganzzahliges m und n > ra ist die n-te Ableitung gleich 0)
(-l)-'(n -1)|1
Ina xn
^.rigfca;
(In a)nax
(fc In a)nafcx
sin(:r + —)
cos(x + —)
IT, . /I n7rN
«nsin(A;a: 4- —)
Ärcos(/c:r H )
sinh x für gerades n, cosh .t für ungerades n
cosh x für gerades n, sinh x für ungerades n
6.1.3.4 Höhere Ableitungen von Funktionen in Parameterdarstellung
Wenn die Funktion y = f(x) in der Parameterform x = x(t), y = y(t) gegeben ist, dann lassen
sich ihre Ableitungen höherer Ordnung (y" , y'" usw ) nach den folgenden Formeln berechnen, wobei
/ \ dy i \ dx . d2y d?x _,
wm = — , zm = — , yyt) = -—r , x = -—- usw die Ableitungen nach dem Parameter t bedeuten
yw dt K J dt yK } dt2' dt2 B
d2y xy — yx
dx2 x3
dx3
¦3xxy+Syx2 — xyx
F 24)
Voraussetzung ist, daß x(t) ^ 0 gilt.
6.1.3.5 Ableitungen höherer Ordnung der inversen Funktion
Wenn y = ip(x) die inverse Funktion zur ursprünglichen Funktion y = f(x) ist, dann gilt. Die beiden
Darstellungen y = f(x) und x = (p(y) sind äquivalent Unter der Voraussetzung tp'(y) ^ 0 besteht
dann die Beziehung F.15) zwischen den Ableitungen einer Funktion / und ihrer Umkehrfunktion (p.
6 1 Differentiation von Funkhonen einer Veränderlichen 403
Für höhere Ableitungen (y" , y'
d2y = <p"{y) d3y _
dx2 [^'(y)]3' dxs
' usw.) erhält man
W(y)]2-^(yW"(y)
W{y)f
F.25)
6.1.4 Hauptsätze der Differentialrechnung
6.1.4.1 Monotoniebedingungen
Wenn eine Funktion f(x) in einem zusammenhängenden Intervall definiert und stetig ist und wenn
sie in allen inneren Punkten dieses Intervalls eine Ableitung besitzt, dann ist für die Monotonie der
Funktion die Bedingung
f'(x) > 0 für eine monoton wachsende Funktion, F 26a)
f(x) < 0 für eine monoton fallende Funktion
F.26b)
notwendig und hinreichend Wird gefordert, daß die Funktion im strengen Sinne monoton wachsend
oder fallend sein soll, dann darf zusätzlich die Ableitung f'(x) in keinem Teilintervall des oben
angegebenen Intervalls identisch verschwinden In Abb.6.6b ist diese Bedingung auf der Strecke BC nicht
erfüllt
Die geometrische Deutung der Monotoniebedingung ergibt sich daraus, daß die Kurve einer monoton
wachsenden Funktion mit wachsendem Argumentwert an keiner Stelle fällt, d h , daß sie entweder steigt
oder horizontal verläuft (Abb.6.6a) Daher bildet die Tangente in den einzelnen Kurvenpunkten mit
der positiven x- Achse entweder einen spitzen Winkel oder sie verläuft parallel zu ihr Für die monoton
fallenden Funktion (Abb.6.6b) gilt eine analoge Aussage. Ist die Funktion im strengen Sinne monoton,
dann kann die Tangente nur in einzelnen Punkten parallel zur x-Achse verlaufen, z B im Punkt A in
Abb.6.6a, jedoch nicht in einem ganzen Teilintervall, wie BC in Abb.6.6b.
' 0
fr.
y<
--
0
i
s B
C x
Kot^
x
X
b)
Abbildung 6.6
y
0
i »
c
i _V»i/__
X
B
Abbildung 6 7
6.1.4.2 Satz von Fermat
Wenn eine Funktion y = f(x) in einem zusammenhängenden Intervall definiert ist und in irgendeinem
inneren Punkt x = c dieses Intervalls ihren größten oder kleinsten Wert besitzt (Abb.6.7), d.h., wenn
für alle x dieses Intervalls gilt
M > fix)
F 27a) oder
/(c) </(*),
F 27b)
und wenn darüber hinaus ihre Ableitung im Punkt c existiert, dann kann diese dort nur gleich Null
sein
/'(c) = 0. F.27c)
Die geometrische Bedeutung des Satzes von Fermat besteht darin, daß eine Funktion, die den Satz
erfüllt, in den Punkten A und B der Funktionskurve parallel zur x -Achse verlaufende Tangenten besitzt
(Abb.6.7)
Der Satz von FERMAT stellt aber lediglich eine notwendige Bedingung für die Existenz eines Maximal-
404 6. Differentialrechnung
oder Minimalwertes einer Funktion in einem Intervall dar. Aus Abb.6.6a erkennt man, daß die
Bedingung nicht hinreichend ist: Im Punkt A ist zwar }'{x) — 0 erfüllt, aber es gibt weder einen Maximal-
noch einen Minimalwert an der Stelle.
Auch die Bedingung der Differenzierbarkeit im Satz von Fermat ist wesentlich. So hat die Funktion
im Punkt E von Abb.6.8d zwar einen Maximalwert, die Ableitung existiert dort aber nicht
6.1.4.3 Satz von Rolle
Wenn eine Funktion y = f(x) in einem abgeschlossenen Intervall [a, b] stetig ist, wenigstens in dem
offenen Intervall (a, b) eine Ableitung besitzt und in den Endwerten des Intervalls den Wert Null annimmt,
d h., wenn
/(a) = 0, f(b) = 0 (a<b) F.28a)
ist, dann existiert mindestens ein Wert c zwischen a und b derart, daß gilt
f'(c) = 0 (a < c < b) F 28b)
Die geometrische Bedeutung des Satzes von Rolle besteht darin, daß eine Funktion y = f(x), die
die x-Achse in zwei Punkten A und B schneidet, in diesem Intervall stetig ist, und in jedem inneren
Punkt eine nichtvertikale Tangente besitzt, zwischen A und B wenigstens einen Punkt C hat, in dem
die Kurventangente parallel zur rr-Achse verläuft (Abb.6.8a).
y
0
A/d
/
B/.
f-
c)
Abbildung 6 8
Es kann auch mehrere derartige Punkte in dem Intervall geben, z.B. die Punkte C, D und E in Abb.6.8b.
Daß die Forderung nach Stetigkeit und Existenz einer Ableitung in dem Intervall wesentlich ist, kann
an Hand von Abb.6.8c erkannt werden, wo die Funktion bei x = d eine Unstetigkeitsstelle besitzt, und
an Hand von Abb.6.8d, wo die Funktion im Punkt x — e keine Ableitung besitzt. In beiden Fällen
gibt es keinen Punkt C, in dem f'(x) = 0 gilt.
6.1.4.4 Mittelwertsatz der Differentialrechnung
Wenn eine Funktion y = f(x) in einem abgeschlossenen Intervall [a, b] stetig ist und im Innern eine
Ableitung besitzt, dann existiert zwischen a und b wenigstens eine
Zahl c derart, daß gilt
f(b)-f(a)
¦¦ f'{c) {a<c<b)
F 29a)
b — a
Setzt man b = a + h und bezeichnet mit 0 eine zwischen 0 und 1
liegende Zahl, dann lautet der Satz in anderer Schreibweise
f(a + h) = f(a) + h f(a + 0h) @ < 0 < 1) F.29b)
1. Geometrische Bedeutung Die geometrische Bedeutung
a c b x des Satzes besteht darin, daß eine Funktion y = f(x), die zwi-
Abbildung 6 9 sehen den Punkten A und B (Abb.6.9) stetig ist und in jedem
Punkt eine nicht vertikale Tangente besitzt, wenigstens einen Kurvenpunkt C hat, in dem die
Kurventangente parallel zur Sehne AB liegt. Es kann auch mehrere solcher Punkte geben (Abb.6.8b). Daß die
6 1 Differentiation von Funktionen einer Veränderlichen 405
Forderung nach Stetigkeit der Funktion und Existenz ihrer Ableitung wesentlich ist, kann an Hand von
Beispielen gezeigt werden, die solche Kurvenverläufe ergeben, wie sie in den Abb.6.8c,d dargestellt
sind
2. Anwendungen Für den Mittelwertsatz der Differentialrechnung gibt es vielfältige Anwendungs-
möglichkeiten.
¦ A: Eine Anwendung betrifft die Abschätzung von Fehlern gemäß
\f(b)-f(a)\<K\b-a\, F.30)
wobei K eine für alle x in dem Intervall [a, b] gültige obere Schranke von |/'(a;)| ist.
¦ B: Mit welcher Genauigkeit kann f(n) = höchstens angegeben werden, wenn für tt der
1 + 7rz
2c
A + c2J
|7T-7f| < 0,053-0,0016:
gerundete Wert ir = 3,14 eingesetzt wird7 Es gilt |/Gr)-/Gr)| =
0,000 085, so daß T-i-^ = 0,092 084 ± 0,000 085.
1 + 7T
6.1.4.5 Satz von Taylor für Funktionen von einer Veränderlichen
Wenn eine Funktion y = f(x) im Intervall [a, a+h] stetig ist und dort stetige Ableitungen bis
einschließlich der Ordnung n — \ besitzt und wenn im Innern des Intervalls noch die n-te Ableitung existiert,
dann gilt die TAYLORsche Formel oder TAYLOR-Entwicklung
f(a + h) = f(a) + £/'(a) + £/» + • • • + (f^/*"""» + £/<»>(« + 9h) F.31)
mit 0 < O < 1 Die Größe h kann positiv oder negativ sein. Der Mittelwertsatz der Differentialrechnung
F 29b) ist ein Spezialfall dieser TAYLOR-Formel für n = 1
6.1.4.6 Verallgemeinerter Mittelwertsatz der Differentialrechnung
Wenn zwei Funktionen y = f(x) und y = (p(x) in einem abgeschlossenen Intervall [a, b] stetig sind und
wenigstens im Innern Ableitungen besitzen, wobei <p'(x) an keiner Stelle des Intervalls verschwinden
darf, dann existiert zwischen a und b wenigstens eine Zahl c derart, daß die Gleichung gilt
f(b) - f(a) f'(c)
—— 7— = -—- (a < c < b) F.32)
<p(b) - tp(a) iff(c)
Die geometrische Bedeutung des verallgemeinerten Mittelwertsatzes entspricht der des gewöhnlichen
Mittelwertsatzes. Geht man z B davon aus, daß die Kurve in Abb.6.9 in der Parameterform x =
^M 5 V — /M gegeben ist, wobei die Punkte A und B den Parameterwerten t = a bzw. t = b
entsprechen sollen, dann gilt für den Punkt C
tfln„ /(*)-/(*) /'W /ßW
tan öl = —— — = —— F.33)
<P(P) - ip{a) <f/(c)
Für ip(x) = x geht der verallgemeinerte Mittelwertsatz in den gewöhnlichen Mittelwertsatz über
6.1.5 Bestimmung von Extremwerten und Wendepunkten
6.1.5.1 Maxima und Minima
Unter relativen oder lokalen Extremwerten versteht man die relativen Maxima und Minima einer
Funktion. Relatives Maximum (M) bzw relatives Minimum (m) einer Funktion f(x) werden solche
Funktionswerte f(xo) genannt, die die Ungleichungen
f(x0 + h) < f{xo) (für das Maximum), F.34a)
f(x0 + h) > f(x0) (für das Minimum) F.34b)
erfüllen, wobei für h beliebig kleine positive oder negative Werte eingesetzt werden können. Im
relativen Maximum sind die Werte f(x0) größer als alle benachbarten Funktionswerte und entsprechend im
406 6. Differentialrechnung
Minimum kleiner. Den größten bzw. kleinsten Wert, den eine Funktion in einem Intervall annehmen
kann, bezeichnet man als ihr globales oder absolutes Maximum bzw. globales oder absolutes Minimum
in bezug auf dieses Intervall
6.1.5.2 Notwendige Bedingung für die Existenz eines relativen
Extremwertes
Ein relatives Maximum oder Minimum kann bei einer stetigen Funktion nur in den Punkten auftreten,
in denen die Ableitung entweder verschwindet oder nicht definiert ist. Das bedeutet In den
Kurvenpunkten, die relativen Extremwerten entsprechen, verläuft die Tangente entweder parallel zur x-Achse
(Abb.6.10a) oder parallel zur y-Achse (Abb.6.10b) oder sie existiert gar nicht (Abb.6.10c)
Allerdings handelt es sich hierbei nicht um hinreichende Bedingungen, was an Hand der Punkte A, B, C in
Abb.6.11 erkennbar ist, für die diese Bedingungen erfüllt sind, in denen es aber keine Extrema gibt
/h
Abbildung 6.10
Wenn eine stetige Funktion relative Extremwerte besitzt, dann wechseln Maxima und Minima einander
ab, so daß zwischen zwei benachbarten Maxima stets ein Minimum liegt und umgekehrt
6.1.5.3 Relative Extremwerte einer
differenzierbaren, explizit gegebenen
Funktion y = f (x)
1. Ermittlung der Extrempunkte Da diese die
notwendige Bedingung f'(x) = 0 erfüllen, werden nach
der Berechnung der Ableitung f'(x) alle reellen Wurzeln
Xi, X2, , Xi,..., xn der Gleichung f'(x) = 0 bestimmt
und jede von ihnen, z.B. x», mit einer der folgenden Me-
Abbildung 6.11 thoden untersucht.
2. Methode des Vorzeichenvergleichs Für je einen Wert X- bzw x+ , der etwas kleiner bzw. etwas
größer als Xi ist, wird das Vorzeichen der Ableitung f'{x) festgestellt, wobei zwischen Xi und x_ bzw.
x+ keine weiteren Nullstellen von f'(x) liegen dürfen. Wenn beim Übergang von f'(xJ) zu f'(x+) das
Vorzeichen von f'(x) von ,,+" nach „—"wechselt, dann befindet sich bei x = Xi ein relatives Maximum
der Funktion f(x) (Abb.6.12a); wechselt es umgekehrt von ,,—" nach ,,+ ", dann liegt ein relatives
Minimum vor (Abb.6.12b). Gibt es keinen Vorzeichenwechsel der Ableitung (Abb.6.12c,d), dann
besitzt die Kurve bei x = Xi kein Extremum, sondern einen Wendepunkt mit einer zur x-Achse
parallelen Tangente.
3. Methode der höheren Ableitungen Besitzt die Funktion an der Stelle x = xi höhere
Ableitungen, dann wird jede Wurzel Xi in die zweite Ableitung f"(x) eingesetzt. Ist f"(xi) < 0, dann gibt es
an der Stelle Xi ein relatives Maximum, ist f"(xi) > 0, ein relatives Minimum, ist f"{xi) = 0, dann
wird Xi in die dritte Ableitung f'"(x) eingesetzt. Ergibt sich dabei f"'(xi) ^ 0, dann gibt es bei x = X\
kein Extremum, sondern einen Wendepunkt. Erhält man f"'(xi) = 0, dann ist in die vierte Ableitung
einzusetzen usw.
6.1 Differentiation von Funktionen einer Veränderlichen 407
d)
Abbildung 6.12
4. Weitere Bedingungen für Extremwerte und Wendepunkte Ist die Ordnung der Ableitung,
die an der Stelle x = Xi erstmalig nicht verschwindet, gerade, dann besitzt f(x) dort ein relatives
Extremum für einen negativen Wert ein relatives Maximum, für einen positiven ein relatives Minimum. Ist
die Ordnung dieser Ableitung ungerade, dann besitzt die Funktion an dieser Stelle keinen Extremwert,
sondern einen Wendepunkt.
Die Methode des Vorzeichenvergleichs kann auch bei nichtexistierender Ableitung wie in Abb.6.10b,c
und Abb.6.11 eingesetzt werden.
Hinweis: Die Bestimmung der Extremwerte von nichtstetigen, manchmal auch von gewissen
differenzierbaren Funktionen erfordert eine besondere Herangehensweise. Es kann vorkommen, daß eine
Funktion ein Extremum bestitzt, so daß ihre erste Ableitung existiert und gleich Null ist, während die
zweite Ableitung nicht existiert, oder, dass die erste Ableitung unendlich viele Wurzeln in einer
beliebig kleinen Umgebung des betrachteten Punktes besitzt, so daß es sinnlos ist, davon zu sprechen sie
würde hier ihr Vorzeichen ändern. Ein Beispiel ist die Funktion f(x) = x2B + sin(l/:c)) für x ^ 0 und
/@) = 0
6.1.5.4 Bestimmung der globalen Extremwerte
Das betreffende Intervall der unabhängigen Variablen wird in Teilintervalle zerlegt, in denen die
Funktion differenzierbar ist. Die globalen Extremwerte sind dann unter den relativen Extremwerten der
Teilintervalle und den Funktionswerten in den Randpunkten der Teilintervalle zu finden.
Beispiele für Extremwertbestimmungen:
¦ A: y = e~x2, Intervall [-1, +1] Größter Wert bei x = 0 (Abb.6.13a).
B: y = x3
1
1 + e*
¦ D: y = 2 - x%
Ableitung)
, Intervall [-1, +2]. Größter Wert bei x = +2 (Abb.6.13b, rechtes Intervallende)
Intervall [-3, +3]. Größter Wert x = 0 ; Festlegung: y = 1 für x = 0 (Abb.6.13c).
, Intervall [-1, +1]. Größter Wert bei x = 0 (Abb.6.13d, Maximum, unendliche
y\
i
* - 1/x
1+e
rrii^^^
-3 0
t
M,
M2
3 x
y=2-
fy
M
c)
d)
Abbildung 6.13
6.1.5.5 Bestimmung der Extremwerte einer implizit gegebenen Funktion
Wenn die Funktion in der impliziten Form F(x,y) = 0 gegeben ist und die Funktion F selbst sowie ihre
partiellen Ableitungen Fx, Fy stetig sind, können die Maxima und Minima folgendermaßen bestimmt
werden:
408 6. Differentialrechnung
1. Lösung des Gleichungssystems F(x, y) = 0, Fx(x, y) = 0 und Einsetzen der erhaltenen Werte
(xi,yi),{x2,y2),".{xi,yi), in Fy und Fxx.
2. Vorzeichenvergleich für Fy und Fxx irn Punkt (#j, yi). Im Falle verschiedener Vorzeichen besitzt
die Funktion y = f(x) bei Xi ein Minimum, im Falle gleicher Vorzeichen von Fy und Fxx besitzt sie ein
Maximum bei X{. Wenn jedoch Fy oder Fxx in (x{, yi) verschwindet, dann ist die weitere Untersuchung
komplizierter.
6.2 Differentiation von Funktionen von mehreren
Veränderlichen
6.2.1 Partielle Ableitungen
6.2.1.1 Partielle Ableitung einer Funktion
Partielle Ableitung einer Funktion u = /(xi, x2, ...,£*,..., xn) nach einer ihrer n Veränderlichen, z.B
nach X\, heißt der durch
du = /(a?i + Axi, x2, x3,..., gn) - f(xux2, x^..., xn)
dxi Aifüo Aaii '
definierte Differentialquotient, der zum Ausdruck bringt, daß nur eine der n Variablen variiert, während
die anderen n — 1 dabei als Konstante betrachtet werden Symbole für die partielle Ableitung sind
TT- , ux. TT- , fx Von einer Funktion mit n Veränderlichen können n partielle Ableitungen erster
ox ox
0ii ou du du
Ordnung gebildet werden —— , —— , —— ,... , -— . Die Berechnung der partiellen Ableitungen er-
OX\ OX2 OX3 OXn
folgt nach den Regeln, die für die Differentiation von Funktionen von einer Veränderlichen bekannt
sind
x2y du 2xy du x2 du x2y
z ' dx z ' dy z ' dz z2
6.2.1.2 Geometrische Bedeutung bei zwei Veränderlichen
Stellt man eine Funktion u = f(x, y) als Fläche in einem kartesischen Koordinatensystem dar und legt
man durch den Flächenpunkt P eine Ebene parallel zur x, w-Ebene (Abb.6.14), dann gilt
—- = tan a. F 36a)
dx
Dabei ist a der Winkel zwischen der positiven x-Achse und der Tangente an die Schnittkurve der Fläche
in dem betreffenden Punkt mit einer Ebene, die parallel zur x, w-Ebene verläuft Die Messung von a
erfolgt, ausgehend von der x-Achse zur Tangente an die Schnittkurve, im entgegengesetzten Drehsinn
des Uhrzeigers Dabei ist der Blick in die Richtung der positiven ?/-Achse gerichtet. In Analogie zu a
ist ß definiert gemäß
— = tan/?. F.36b)
dy
Bezüglich der Ableitung nach einer gegebenen Richtung (Richtungsableitung) bzw nach einem
Volumen (Volumenableitung) sei auf die Vektoranalysis (s 13.2 1.3, S 671) verwiesen.
6.2.1.3 Begriff des Differentials
Für jede der Variablen x\,x2,... ,xn läßt sich ein Differential dx\,dx2, ,dxi, ,dxn bilden Die
Definition fällt unterschiedlich aus, je nachdem, ob es sich um das Differential einer unabhängigen
Variablen oder um das einer Funktion handelt
6 2 Differentiation von Funktionen von mehreren Veränderlichen 409
Abbildung 6 14 Abbildung 6.15
1. Differential einer unabhängigen Variablen x
nennt man den Zuwachs der Größe x gemäß
dx = Ax. F.37a)
Dabei kann man Ax einen beliebigen Wert beimessen.
2. Differential einer Funktion y = f(x) einer Veränderlichen x
nennt man für einen gegebenen x-Wert und einen gegebenen Wert des Differentials dx das Produkt
dy = f'{x) dx F 37b)
3. Zuwachs (Inkrement) A y einer Funktiony = f(x) nachx + Ax
Ax = f(x + Ax) - f{x) F.37c)
4. Geometrische Bedeutung des Differentials
Wenn die Funktion durch eine Kurve in einem kartesischen Koordinatensystem dargestellt ist, dann
ist dy der Zuwachs, den die Ordinate der Kurventangente im Punkt x für einen gegebenen Zuwachs dx
erfährt (Abb.6.1).
6.2.1.4 Haupteigenschaften des Differentials
1. Invarianz
Unabhängig davon, ob x eine unabhängige Variable oder eine Funktion von einer weiteren Variablen t
ist, gilt
dy = f(x)dx. F.38)
2. Größenordnung
Wenn dx eine beliebig kleine Größe ist, dann sind auch dy und
Ay
Ay = y(x + Ax) — y(x) beliebig kleine, aber äquivalente Größen, d.h. lim —— = 1. Infolgedessen ist
Aa:->o ay
die Differenz zwischen ihnen ebenfalls eine beliebig kleine Größe, aber von höherer Ordnung als dx, dy
und Ax. Daraus ergibt sich die Beziehung
Ax->o dy
1, Ay*dy = f{x) dx,
F.39)
die es gestattet, die Berechnung kleiner Zuwächse Ay (Inkremente) auf die Berechnung ihres
Differentials zurückzuführen. So wird oft bei näherungsweisen Berechnungen vorgegangen (s. 6.1.4.4,2., S. 405
und 16.4.2.1,2., S. 818)
410 6 Differentialrechnung
6.2.1.5 Partielles Differential
Von einer Funktion von mehreren Veränderlichen u = f(x, y, . ) kann das partielle Differential nach
einer dieser Veränderlichen, z.B. nach x gebildet werden, was durch die Gleichung
dxu = dxf = — dx F 40)
definiert ist.
6.2.2 Vollständiges Differential und Differentiale höherer
Ordnung
6.2.2.1 Begriff des vollständigen Differentials einer Funktion von mehreren
Veränderlichen (totales Differential)
1. Differenzierbarkeit
Man nennt eine Funktion von mehreren Veränderlichen u = f(x\, x2, ,#»,•• , xn) im Punkt
Pq(x\q, £2o, • > xi0, • • • » xno) differenzierbar, wenn sich der vollständige Zuwachs der Funktion
Au = f(xio + dx\, x2q + dx2,..., xi0 4- dxi, . , xn0 + dxn)
-/(^10,^20,---,^i0,-- ,Zno) F 41a)
beim Übergang zu einem beliebig nahe benachbarten Punkt P(xio+dxi, x2o+dx2, •., XiQ+dxi,..., xn0
+dxn) mit den beliebig kleinen Größen dx\,dx2, ...,<&»,..., dxn von der Summe der partiellen
Differentiale der Funktion nach allen Variablen
, du . du . du . . /r, _. x
(—— ctei + — dx2 + ... + — axn)Xl0)a;20) )Xn0 F 41b)
um eine beliebig kleine Größe höherer Ordnung unterscheidet als der Abstand
P0P = yjdx\ + dx22 + . . + dx2n F 41c)
Differenzierbar ist jede stetige Funktion von mehreren Variablen, die stetige partielle Ableitungen nach
allen ihren Variablen besitzt Umgekehrt folgt die Differenzierbarkeit einer Funktion nicht aus der
blossen Existenz der partiellen Ableitungen
2. Vollständiges Differential
Wenn u eine differenzierbare Funktion ist, wird die Summe F.41b) das vollständige Differential der
Funktion genannt.
du 1 du . du . ln An .
du = ——dx\ + ——dx2 + . + -r—dxn (o 42a)
OX\ OX2 OXn
Mit Hilfe der Vektoren
/ du du du\ ,„ An. .
gradu=fe'^'-"^:j ' F42b)
dr = (dxi,dx2,..., dxn)T F.42c)
läßt sich das totale Differential als Skalarprodukt
-> T ->
du = gradu • dr F.42d)
darstellen. In F 42b) handelt es sich um den in 13.2.2.1, S. 671 definierten Gradienten für den Fall von
n unabhängigen Variablen.
3. Geometrische Bedeutung
Die geometrische Bedeutung des vollständigen Differentials einer Funktion von zwei Veränderlichen
u = /(#, y), die in einem kartesischen Koordinatensystem als Fläche dargestellt werden kann (Abb.
6.15), besteht darin, daß du gleich dem Zuwachs der Applikate der Tangentialebene (untere Fläche
6 2 Differentiation von Funktionen von mehreren Veränderlichen 411
durch den betrachteten Punkt) ist, wenn dx und dy die Inkremente von x und y sind
Aus der TAYLORschen Formel (s 6 2.2.3, S 412) folgt für Funktionen von zwei Variablen
/(z, y) = /fco, yo) + ^(xo, yo){x - x0) + ^-(x0, y0)(y - yo) + Ri- F 43a)
Vernachlässigt man das Restglied Ri, dann stellt
u = f(x0,y0) + — (x0,y0){x - x0) + — {x0,y0){y - y0) F.43b)
die Gleichung der Tangentialebene an die Fläche u = f(x, y) im Punkt Po(^o, 2/o> uo) dar.
4. Haupteigenschaft des vollständigen Differentials
wird in Analogie zum Differential einer Funktion von einer Veränderlichen die in F.38) formulierte
Invarianz in bezug auf die enthaltenen Variablen genannt.
5. Anwendung in der Fehlerrechnung
Im Rahmen der Fehlerrechnung wird das totale Differential du zur Schätzung des Fehlers Au (s F.41a))
verwendet (s z.B 16.4 1 3,5., S. 815). Aus der TAYLORschen Formel (s 6.2 2.3, S. 412) folgt
\Au\ = \du + Ri\ < |du| + |Äi| »|du|, F.44)
d h., der absolute Fehler |Ait| kann in erster Näherung durch \du\ ersetzt werden. Damit ist du eine
lineare Approximation für Au
6.2.2.2 Ableitungen und Differentiale höherer Ordnungen
1. Partielle Ableitung 2. Ordnung, Schwarzscher Vertauschungssatz
Die partielle Ableitung 2. Ordnung einer Funktion u = f(x\, x2 , ..., Xi, . ., xn) kann sowohl nach
d2u d2u
der gleichen Variablen gebildet werden, wie die erste Ableitung, d h. -—^ , tt-^ ,... , als auch nach
d2u d2u d2u
einer anderen Variablen, d.h. 7^—-— , ——-— , ——-— , Im zweiten Falle spricht man von ei-
OX1OX2 OX2OX2, OX3OX1
ner gemischten Ableitung. Der Wert einer gemischten Ableitung ist für gegebene Werte von x\ und x<i
unabhängig von der Reihenfolge der Ableitungsbildung, wenn die gemischte Ableitung in dem
betrachteten Punkt stetig ist (SCHWARZsc/ier Vertauschungssatz):
d2u _ d2u . .
dxidx2 dx2dxi
d3u d3u
Partielle Ableitungen höherer Ordnung, wie z.B. 7—r , ^ ^ - ,... sind analog definiert.
dx3 oxoy2
2. Differential 2. Ordnung einer Funktion von einer Veränderlichen y = f(x)
Das Differential zweiter Ordnung einer Funktion von einer Veränderlichen y = f(x) mit dem Symbol
d2y, d2f(x) wird als Differential des ersten Differentials gebildet: d2y = d(dy) = f"(x)dx2 . Diese
Symbole sind allerdings nur geeignet, wenn x eine unabhängige Veränderliche ist und nicht geeignet, wenn
x z.B. in der Form x = z(v) gegeben ist Die Differentiale höherer Ordnung werden in analoger
Weise definiert. Wenn die Variablen #i, x2,..., x»,..., xn selbst Funktionen anderer Veränderlicher sind,
ergeben sich kompliziertere Formeln (s.6.22.2,2.,S.415).
3. Vollständiges Differential 2. Ordnung einer Funktion zweier Veränderlicher u
= f(x,y)
,9 ,/ , n d2u , 9 n d2u , , d2u 7 o ,„ „,. \
d2u = d(du) = —dx2 + 2^- dxdy + — dy2 F 46a)
412 6. Differentialrechnung
bzw. symbolisch
Txdx+hdv)u- F46b)
4. Vollständiges Differential n-ter Ordnung einer Funktion zweier Veränderlicher
^ = {1**+&)"*¦ F-47)
5. Vollständiges Differential n—ter Ordnung einer Funktion mehrerer
Veränderlicher u = f(xx, x2,..., xn)
t— dxx + -— dx2 + ... 4- -r— dxn I u F 48)
ÖXi ÖX2 OXn J
6.2.2.3 Satz von Taylor für Funktionen von mehreren Veränderlichen
1. Taylor-Formel für Funktionen von zwei Veränderlichen
a) Erste Form der Darstellung:
/(,,y) = /(.,ö) + «M (*-) + ^| (v-b)
OX \(x,y)=(a,b) Oy l(x,y)=(a,ö)
2! I ox2 \(x,y)=(aM dxdy l(x,y)=@,f>)
+ ^%^| (y-bf\ + k-} + --- + ^{ -} + Rn F49a)
Ö2/2 l(a:,y)=(a,6) J 3' 7l!
Dabei ist (a, 6) die Entwicklungsstelle und Rn das Restglied Manchmal verwendet man an Stelle von
df(x,y)\ df
z.B. —TT-2— die kürzere Schreibweise — (x0, yo).
<?# l(x,y)=(xo,yo) ^
Die Terme höherer Ordnung in F.49a) können mit Hilfe von Operatoren übersichtlich dargestellt
werden:
f(x,y) = f(a,b) + ±{(s - o)|- + (y - b)£-\f(x,y)\
2! I dx dj/J l(x,y)=(a,b)
+ 2!1
Diese symbolische Darstellung bedeutet, daß nach Anwendung des binomischen Satzes die Potenzen
der Differentialoperatoren -^- bzw. — als Differentiationsvorschrift höherer Ordnung für die Punktion
ox oy
f(x,y) zu interpretieren sind. Die Ableitungen sind dann an der Stelle (a, b) zu nehmen.
b) Zweite Form der Darstellung:
/(, + fcJ,+fc) = /(,)y) + ^(^fc+^fc)/(,,tf) + ^(|&+|-*)8/(,lJf)
+ h(ih+lk)Zf(x'y)+ ¦+h(mh+iLk)nHx>ti+R- F49c)
6 2 Differentiation von Funktionen von mehreren Veränderlichen 413
c) Restglied: Der Ausdruck für das Restglied lautet
. n+l
^n = ,_ r,M ( 75ZÄ + i^ I f{x + ßh,y + Ok)
1 /_Ö_ _Ö_
(n + l)' ^x 0y
(O<0< 1).
2. Taylor-Formel für Funktionen von m Veränderlichen
Die zu F 49c) analoge Darstellung mit Differentialoperatoren lautet
f(x + h,y + k,. ,* + /) = /(x,y,. ,t)
! \dx
dy
dt
wobei das Restglied mit Hilfe der folgenden Formel berechnet wird:
k n+l
O .
; +
1 ( d L 0 ,
(n + 1)! \dx dy
+ 0-1) f(x + Oh,y + 0k,. ,t + ßl)
mit @ < G < 1).
F.49d)
F.50a)
F.50b)
du du dx\ du dx2
d£ dxi d£ dx2 d£
6.2.3 Differentiationsregeln für Funktionen von mehreren
Veränderlichen
6.2.3.1 Differentiation von zusammengesetzten Funktionen
1. Mittelbare Funktion von einer unabhängigen Veränderlichen
u = f(xux2, .,£„), zi=zi@, x2 = x2(£),... , xn = xn{£)
du dxn
dxn dt,
2. Mittelbare Funktion von mehreren unabhängigen Veränderlichen
u = f(xi,x2,...,xn),
X1=Xi(^Tj, ..,r), X2 = X2(C,77,...,T),
du du dx\ du dx2 du dxn
d£ dx\ <9£ dx2 <9£ dxn d£ '
du du dx\ du dx2 du dxn
drj dxi dn dx2 dr\ dxn dn '
: = : + * + • + :
du _ du dxi du dx2 du dxn
dr dx\ dr dx2 dr dxn dr '
Xn = Xn(£,T], ...,T)
F 51a)
F 51b)
F.52a)
F.52b)
6.2.3.2 Differentiation impliziter Funktionen
1. Eine Funktion mit einer Veränderlichen y = f(x) sei implizit gegeben durch die Gleichung
F{x,y)=0. . F 53a)
Durch Differentiation von F.53a) nach x ergibt sich mit Hilfe von F.51b)
Fx + Fyy' = 0
F 53b)
und y' = —=f , falls gilt: Fy ^ 0.
Fv
Differentiation von F.53b) liefert auf die gleiche Weise
Fxx 4- 2Fxyy' + Fyy(y'J + Fyy" = 0 ,
F.53c)
F 53d)
414 6. Differentialrechnung
so daß man unter Berücksichtigung von F.53c) erhält
// *'"x"y"xy \"y) "xx \"x) "yy
F 53e)
Durch analoges Vorgehen berechnet man
Fxxx + SFxxyj/ + SFxyyb/J + Fyyy{y'f + 2>Fxyy" + ?>Fyyy'y" + Fyy'" = 0, F.53f)
was unter Beachtung von F.53c) und F.53e) nach y'" aufgelöst werden kann.
2. Eine Funktion von mehreren Veränderlichen u = f(x\ , X2, • • , X{) . , Xn ) sei implizit
gegeben durch die Gleichung
F(xi,x2,..., Xi,..., x„, u) = 0 . F.54a)
Die partiellen Ableitungen
du_ = _FXJL du_ = _Fx1 du_ = _FXjL
dxx Fu'dx2 Fu''"'dxn Fu {Ö-°W)
werden in Analogie zum eben demonstrierten Fall ermittelt, aber mit Hilfe der Formeln F.52b) Auf
dieselbe Weise werden die partiellen Ableitungen höherer Ordnung berechnet
3. Zwei Funktionen von einer Veränderlichen y = f(x) und z = <p(x) seien gegeben durch das
Gleichungssystem
F(x,y,z) = 0 und $(x,y,z) = Q. F.55a)
Differentiation von F.55a) gemäß F.51b) liefert
Fx + Fyy' + Fzz' = 0, $x + $yy' + $xz' = 0, F.55b)
F 55c)
Die zweiten Ableitungen y" und z" werden in derselben Weise durch Differentiation von F.55b) unter
Berücksichtigung von y' und z' berechnet
4. n Funktionen von einer Veränderlichen Die Funktionen yi = f(x),y2 = y>(z),... ,yn = ip(x)
seien gegeben durch ein System von n Gleichungen
F{x,y1,y2,...,yn) = 0, <P(x,yl,y2,... ,yn) = 0, .. 1&{x1yuy2, . ,3/„) = 0 F 56a)
Differentiation von F 56a) mit Hilfe von F.51b) liefert
Fz$x - 0ZFX
Fy$z - Fz4-„ '
F $ _ f <f>
" ~ F 0 — F 0
1 y*z ¦* z^y
F 56b)
Fx + Fmy[ + Fmy'2 + • • • + Fyny'n = 0
^ + «Wi + ^22/2 + * • • + *vnVn = 0
: + : + • + : + : =0
*x + *y,y'i + KV2 + • • • + VvnT/n = ° J
Auflösen von F.56b) liefert die gesuchten Ableitungen y[,y'2, .., y'n Auf die gleiche Weise werden die
Ableitungen höherer Ordnung bestimmt.
5. Zwei Funktionen von zwei Veränderlichen u = f(x, y), v = y?(x, y) seien gegeben durch das
Gleichungssystem
F(x,y, u,v) = 0 und <P{x,y, u, v) = 0 F 57a)
Differentiation von F.57a) nach x und y mit Hilfe von F.52b) liefert
dx + du dx + dv dx ~ ' l F 57b) ^ §w $/ ^ ^ \ F 57c)
» 0*0u d$dv = Mö.57bj ^ + ^öu + c^ö!;=o Mb57c)
dx + du dx + öu dx ~ ' J ^2/ ^ #2/ öv #2/
6.2 Differentiation von Funktionen von mehreren Veränderlichen 415
uu uv uu uv
Auflösen des Systems F.57b) nach -r-, —- und des Systems F.57c) nach -r-, — ergibt die partiellen
ox ox oy oy
Ableitungen erster Ordnung. Die Ableitungen höherer Ordnung werden auf gleiche Weise berechnet
6. n Funktionen von m Veränderlichen, gegeben durch ein System von n Gleichungen Die
Berechnung der partiellen Ableitungen erster und höherer Ordnung erfolgt nach dem gleichen Schema,
wie es in den vorangegangenen Fällen demonstriert wurde.
6.2.4 Substitution von Variablen in Differentialausdrücken und
Koordinatentransformationen
6.2.4.1 Funktion von einer Veränderlichen
Gegeben sei eine Funktion sowie ein funktionaler Zusammenhang, der die unabhängige Variable, die
Funktion und deren Ableitungen enthält:
Die Ableitungen können dann bei der Substitution der Variablen auf die folgende Weise berechnet
werden.
Fall 1 a: Die Variable x wird durch die Variable t ersetzt, die mit x gemäß
x = ip(t) F.59a)
verknüpft ist. Dann gilt
dy 1 dy d2y 1 \,Ju^y „,Ady\ , .
Tx^wüt^ ^ = RöFr()^"^()^r { ]
S = RöF {m)?di -3 *'{t) ™w + w'{t)]2 - w ^t)]t) F-59c)
Fall 1 b: Wenn die Verknüpfung beider Variabler nicht in expliziter, sondern in der impliziten Form
<P{x,t) = 0 F.60)
dy dry d y
gegeben ist, werden die Ableitungen — , —* , —-« mit denselben Formeln berechnet, aber die Ablei-
dx dx dx
tungen y>'(£), ^>"(t), <p"'(t) sind nach den Regeln für implizite Funktionen zu berechnen In diesem Falle
kann es vorkommen, daß der Zusammenhang F.58b) die Variable x enthält Zur Eliminierung wird
dann die Verknüpfung F.60) benutzt
Fall 2: Die Funktion y wird durch eine Funktion u ersetzt, die mit y gemäß
y = (p(u) F.61a)
verknüpft ist. Die Berechnung der Ableitungen kann dann mit den folgenden Formeln erfolgen
*.^i. g=/Mg+,,„(*)¦, „eib,
Fall 3: Die Variablen x und y werden durch die neuen Veränderlichen t und u ersetzt, die mittels der
Formeln
x — <p(t, u), y = ip(t, u) F.62a)
416 6. Differentialrechnung
verknüpft sind Zur Berechnung der Ableitungen können die folgenden Formeln verwendet werden
dip dip du
dV _ ~di + ~du~~dt
dx dip dip du'
dt du dt
d2y d (dy\ d
dx2 dx \dx) dx
' dip dip du *
dt du dt
dip dip du
- dt du dt ¦
1 d
~ dip dip du dt
dt du dt
' dip dip du
dt du dt
dip dip du
- dt du dt
1 d /A\ 1 ( dA dB\
~~Bdt\B)~"B*\ ~dt~ ~dt)
dip dip du
dt du dt
F.62e)
und B =
dip dip du
dt du dt
d3y
Die Berechnung der dritten Ableitung —3 geschieht in analoger Weise
¦ Für die Transformation kartesischer Koordinaten in Polarkoordinaten gemäß
x = p cos ip, y = p sin <p
berechnen sich die erste und zweite Ableitung wie folgt
dy_ = p/siny? + /Pcosy? <py_ = p2 + 2p'2 - pp"
dx p' cos p — p sin ip ' dx2 (p' cos ip — p sin ipK
F 62b)
F 62c)
F 62d)
F.62f)
F 63a)
F.63c)
6.2.4.2 Funkt ion zweier Veränderlicher
Gegeben sei eine Funktion sowie ein funktionaler Zusammenhang, der die unabhängigen Variablen, die
Funktion und deren partielle Ableitungen enthält.
u = f{x,y) F 64a)
H = F \x,y:uj,
du duj d2u d2uj d2u
' dx ' dy ' dx2 ' dxdy ' dy2 )
Wenn x und y durch neue Variable u und v , gegeben durch
x = tp(u, v), y = ip(u, v), F.65a)
substituiert werden, können die partiellen Ableitungen erster Ordnung aus dem Gleichungssystem
du du dip du dip du
du dx du dy du ' dv
mit den neuen Funktionen A, B, C und D von u und v berechnet werden zu
du dip du dip
dx dv dy dv
F 65b)
du du du
dx du dv '
du du du
dy du dv
F.65c)
Die partiellen Ableitungen zweiter Ordnung werden mit denselben Formeln berechnet, aber indem sie
du du
nicht auf u , sondern auf dessen partielle Ableitungen —— und — angewendet werden, z B.
ox oy
d2u _ d (du
dx2 dx \dx
d f du du
dx V du dv
A\A— B d2uJ —— ^.^\
du2 dudv du du du dv I
6 2 Differentiation von Funktionen von mehreren Veränderlichen 417
B(A&u_ B&^_ &4£^ dB_du\
\ dudv dv2 dv du dv dv) '
Die höheren partiellen Ableitungen können in derselben Weise berechnet werden.
¦ Der LAPLACE-Operator (s. 13 2 6.5, S 678) soll in Polarkoordinaten (s. 3.5.2 1,1.,2., S. 195)
ausgedruckt
werdende d2u
Au = ^—¦ + ^—r , F.67a) x = pcosip, y = psunp. F.67b)
dx2 dy2
Gang der Rechnung:
du du du . du du du
du du sinipdu du . du cos (p du
— = coscp- — , —- = siinp—- + — ,
dx dp p oip dy dp p dtp
d2u _ d ( du sin(pdu\ simp d ( du sin<pdu
dx2 dp\ dp p dtp) p dtp \ dp p dtp
d2u
Analog wird -r-r- berechnet, so daß man erhält:
dy2
Au-— —— -— f6 67c)
dp2 p2 d(p2 p dp
Hinweis: Wenn Funktionen mit mehrer als zwei Veränderlichen substituiert werden sollen, können
ähnliche Substitutionsformeln hergeleitet werden.
6.2.5 Extremwerte von Funktionen von mehreren Veränderlichen
6.2.5.1 Definition
Eine Funktion u = f(x\, x<i, ¦, Xi,..., xn) besitzt im Punkt Po(^io, ^20? • • • > ^o5 • • •»^no) einen
relativen Extremwert, wenn sich eine Zahl e derart angeben läßt, daß das Gebiet X\q — e<x\ < X\q + e, £20 —
e < x2 < x2o + e,.. , xn0 — e< xn < xn0 + e zum Definitionsbereich der Funktion gehört und für jeden
Punkt dieses Gebiets mit Ausnahme von P0 für ein Maximum die Ungleichung
f{xux2, • ,zn) </(zio,x20, 'x«o) F.68a)
und für ein Minimum die Ungleichung
f(xux2, •. ,x„)> f{xl0,x20, >xno) F 68b)
gilt In der Sprache des Begriffs des mehrdimensionalen Raumes (s 2 18 1.1, S 120) sind in den Punkten
eines relativen Maximums oder relativen Minimums die Funktionswerte größer oder kleiner als in den
benachbarten Punkten
6.2.5.2 Geometrische Bedeutung
Geometrisch betrachtet gehört zu einem relativen Extremwert einer Funktion zweier Veränderlicher,
die in einem kartesischen Koordinatensystem als Fläche dargestellt ist (s. 2.18 1.2, S. 120), ein Punkt
A, in dem die Applikate der Fläche größer bzw. kleiner ist als die Applikate aller beliebigen anderen
Punkte in hinreichend kleiner Entfernung vom Punkt A, d h. in einem Gebiet kleiner Ausdehnung, das
den Punkt A enthält (Abb.6.16)
Wenn die Fläche im Punkt Po ? der ein relatives Extremum darstellt, eine Tangentialebene besitzt, dann
verläuft diese parallel zur x, y-Ebene (Abb.6.16a,b) Diese Bedingung ist notwendig, aber nicht
hinreichend dafür, daß im Punkt P0 ein Maximum oder Minimum vorhanden ist. In (Abb.6.16c) zeichnet
418 6 Differentialrechnung
Abbildung 6.16
sich die Fläche im Punkt P0 durch eine horizontale Tangentialebene aus, doch besitzt die Funktion dort
kein Extremum, sondern einen Sattelpunkt.
6.2.5.3 Best immune der Extremwerte einer Funktion von zwei
Veränderlichen
Wenn u = f(x, y) gegeben ist, wird das Gleichungssystem fx = 0, fy ¦
Wertepaare (zi, 3/1), (#2,2/2), • m
dx2 ' dxdy ' dy2
eingesetzt werden können. Durch Diskussion des Ausdrucks
= 0 gelöst, damit die erhaltenen
F.69)
\A B\
\B C\
'¦ AC — B — [fxxfyy — (fxy) ]x=Xi,y=yi (^ — 1,2,.. )
F.70)
bestimmt man die Art des Extremwertes*
1. Im Falle A > 0 besitzt die Funktion f{x,y) für das Wertesystem (#j, yi) mit fxx < 0 ein Maximum,
mit fxx > 0 ein Minimum (hinreichende Bedingung)
2. Im Falle A < 0 hat f(x, y) kein Extremum.
3. Im Falle A = 0 ist die Diskussion komplizierter
6.2.5.4 Bestimmung der Extremwerte einer Funktion von n Veränderlichen
Die notwendige, aber nicht hinreichende Bedingung dafür, daß die Funktion u = /(xi,X2,.. ,xn)
für ein Wertesystem (xi,X2,... ,xn) ein Extremum besitzt, besteht darin, daß das Wertesystem die
n Gleichungen
/x:=0, /*„=(), ...JXn=0 F.71)
erfüllt Im allgemeinen Falle sind die hinreichenden Bedingungen von komplizierter Art. Damit man
die Frage, ob die Funktion für ein Lösungssystem xw, X20, • •, xno der Gleichung F.71) ein Extremum
besitzt oder nicht, effektiv beantworten kann, untersucht man solche Werte der Funktion, die nahe bei
Xio,a;2o,- ,^n0 liegen.
6.2.5.5 Lösung von Appr oximat ionsauf gab en
Mit Hilfe der Extremwertbestimmung bei Funktionen von mehreren Veränderlichen lassen sich viele
Approximationsaufgaben, die vor allem unter dem Namen Ausgleichsaufgaben oder
Quadratmittelaufgaben bekannt sind, lösen.
6 2 Differentiation von Funktionen von mehreren Veränderlichen 419
Beispiele:
• Bestimmung von FOURIER-Koeffizienten (s 7 4.1.2, S. 438, 19.6 4.1,1., 954);
• Bestimmung der Ansatzkoefhzienten und Parameter von Näherungsfunktionen (s 19.6.2, S. 947 ff),
• Bestimmung einer Näherungslösung für überbestimmte lineare Gleichungssysteme (s. 19 2 1.3,1.,
S 920).
Methoden: Für die Lösungsmethode sind folgende Bezeichnungen gebräuchlich:
• GAUSSsche Fehlerquadratmethode (s z B. 19.6 2, S 947),
• Methode der kleinsten Quadrate, s. 19.6.2.2, S. 948.
• Approximation im Mittel (stetig und diskret) (s. z B. 19.6.2, S.947),
• Ausgleichsrechnung (s. 19 6 2, S 947) und Regression (s. 16.3.4.2,1., S. 803).
6.2.5.6 Bestimmung der Extremwerte unter Vorgabe von
Nebenbedingungen
Wenn das Extremum einer Funktion u = f(x\, x2, . , xn) mit n Veränderlichen bestimmt werden soll,
die voneinander abhängig und durch die Nebenbedingungen
Y?(zi, x2,..., xn) = 0, ip(xi,x2,..., xn) = 0,... , x(zi> x2i..., xn) = 0 F 72a)
miteinander verknüpft sind, wobei die Anzahl dieser Verknüpfungen k < n sein muß, dann führt man
gemäß der Multiplikatorenmethode von LAGRANGE k unbestimmte Multiplikatoren A, /i, . , n ein und
betrachtet die folgenden LAGRANGE-Funktionen der n + k Veränderlichen X\,x2, ., xn, A, /z, , «•
$ (xi,X2,.. ,xn, A,/i,...,«)
= f(xi,x2,...,xn) + \ip(xux2,. ..,xn) + [iip(xi,x2,.. ,xn)-\
+kx(xi,x2,.. ,xn) F.72b)
Die notwendige Bedingung für ein Extremum der Funktion $ ist ein System von n + k Gleichungen
F 71) mit den Unbekannten x\, x2,..., xn, A, /x, . , k in der Form
^ = 0,^ = 0, . , x = 0, $Xl =0, ^xa=0, . ,^Xn=0. F 72c)
Als notwendige Bedingung dafür, daß die Funktion / im Punkte Pq(x\q,x2q, . ,xn0) ein Extremum
besitzen kann, muß das Wertesystem xi0, x20, , xuq diese Gleichungen erfüllen
¦ Die Extremwerte der Funktion u = f{x,y) mit der Nebenbedingung <p(x,y) = 0 werden aus den
drei Gleichungen
<p(z,y) = 0, —[f(x,y) + \ip(x,y)} = 0, —[f(x,y) + \tp(x,y)}=0 F.73)
mit den drei Unbekannten x, ?/, A bestimmt.
420 7 Unendliche Reihen
7 Unendliche Reihen
7.1 Zahlenfolgen
7.1.1 Eigenschaften von Zahlenfolgen
7.1.1.1 Definition der Zahlenfolge
Eine unendliche Zahlenfolge ist eine unendliche Menge von Zahlen
fli>fl2) • ,fln,- • oder kurz {a^} mit fc = l,2,..., G.1)
die in einer bestimmten Reihenfolge angeordnet sind. Die Zahlen der Zahlenfolge werden Glieder der
Zahlenfolge genannt Unter den Gliedern einer Zahlenfolge können auch gleiche Zahlen auftreten
Eine Folge gilt als gegeben, wenn das Bildungsgesetz der Zahlenfolge, d.h. eine Regel, bekannt ist, nach
der jedes beliebige Glied der Zahlenfolge bestimmt werden kann. Häufig läßt sich eine Formel für das
allgemeine Glied an angeben
Beispiele für Zahlenfolgen:
¦ A: an = n. 1, 2, 3, 4, 5, . . . ¦ B: an = 4 + 3(n - 1): 4, 7, 10, 13, 16, ...
¦ C: an = 3 (-i)n \ 3, -?, ?, - jj, A , .. ¦ D: an = (-1)^: 1, -1, 1, -1,1,....
JL_.122I252Z • B?-H)
1 1 __2=i „.. , , „12
¦ F: an = 3- - - • 10 2 für ungerades n und an = 3- + - • 10 2+i für gerades n. 3; 4, 3,3; 3,4,
3,33; 3,34, 3,333, 3,334, . .
¦ G: an = - 1, i l,], i ¦ H: an = (-l)"+1n. 1, -2, 3, -4, 5, -6, . .
n Z ö 4 o
n + 1
¦ I: an = — für ungerade n und an = 0 für gerades n: —1,0, —2, 0, —3, 0, —4, 0,.
¦ J: an = 3 3- für ungerades n und an = 13 g _ 9 für gerades n. 1, 11, 2, 12, 2-, 12-, 2-,
22~ 2 22 z 2 2 4
¦^
7.1.1.2 Monotone Zahlenfolgen
Man nennt eine Folge a\, a2,- ¦ •, an,... monoton wachsend, wenn gilt
öi < a2 < a3 < • • • < an < • • • , G 2)
und monoton fallend, wenn gilt
ai > a2 > a3 > • • • > an > • • • . G 3)
Man spricht von einer streng monoton wachsenden Folge bzw. streng monoton fallenden Folge, wenn in
G.2) bzw. G.3) die Gleichheitszeichen nicht zugelassen sind.
Beispiele für monotone Zahlenfolgen:
¦ A: Von den Folgen A bis J sind A, B, E streng monoton wachsend.
¦ B: Die Folge G ist streng monoton fallend.
7.1.1.3 Beschränkte Folgen
Eine Folge heißt beschränkt, wenn für alle ihre Glieder gilt
K\<K, G 4)
7.1 Zahlenfolgen 421
wobei K > 0 ist. Existiert eine solche Zahl K (Schranke) nicht, dann spricht man von einer
unbeschrankten Folge.
¦ Von den Folgen A bis J sind die Folgen C mit K = 4 , D mit K = 2 , E mit K = 3 , F mit K = 5 ,
G mit K = 2 und J mit K = 13 beschränkt.
7.1.2 Grenzwerte von Zahlenfolgen
1. Grenzwert einer Zahlenfolge
Eine unendliche Zahlenfolge G.1) hat den Grenzwert oder Limes A , wenn mit unbegrenzt wachsendem
Index n die Differenz an — A dem Betrage nach beliebig klein wird. Genauer formuliert bedeutet das:
Zu jeder beliebig kleinen Zahl e > 0 läßt sich ein Index no(e) so bestimmen, daß für alle n > uq gilt
\an-A\<e. G 5a)
Die Folge hat den Grenzwert oo (—oo), wenn für beliebige K > 0 ein Index no(K) existiert, derart daß
für jedes n > n0 gilt
an> K bzw. an < -K . G.5b)
2. Konvergenz einer Zahlenfolge
Eine Zahlenfolge {an} , die G.5a) erfüllt, heißt konvergent gegen A. Man schreibt dann
lim an — A bzw. an —? A. G.6)
¦ Von den Folgen der vorhergehenden Seite A bis J sind konvergent: C mit A = 0 , E mit A = 3 , F
mit A = 3± , G mit A = 0.
3. Divergenz einer Zahlenfolge
Nichtkonvergente Zahlenfolgen heißen divergent Man spricht von bestimmter Divergenz, wenn an mit
unbegrenzt wachsendem n nach der positiven oder negativen Seite jede vorgegebene Zahl K von beliebig
großem Betrag überschreitet. Man schreibt dann:
lim an = oo (an > K(K > 0) Vn > uq) bzw.
lim an = -oo [an < -K(K >0)Vn>n0) G.7)
Anderenfalls spricht man von unbestimmter Divergenz.
Beispiele für divergente Zahlenfolgen:
¦ A: Von den Folgen A bis J auf der vorhergendenen Seite sind A und B gegen +oo bestimmt
divergent
¦ B: Von den Folgen ist D unbestimmt divergent
4. Sätze über Grenzwerte von Zahlenfolgen
a) Wenn die Folgen {an} und {bn} konvergieren, gilt
lim (an + bn) = lim an + lim bn , G.8) lim (anbn) = (lim an)( lim bn), G 9)
n lim an
lim -^ = ^^pV , falls lim bn ^ 0 G.10)
™^°° bn hm ön ™-*°°
n—>oo
Hinweis: Wenn lim bn = 0 gilt und {an} beschrnkt ist, dann gilt lim (anbn) = 0 sogar dann, wenn
{an} keinen endlichen Grenzwert hat
b) Wenn lim an = lim bn = A gilt und wenigstens von einem Index n\ ab stets an < cn < bn ist, dann
gilt auch
limcn = ,4. G 11)
422 7. Unendliche Reihen
c) Eine monotone beschränkte Folge besitzt stets einen endlichen Grenzwert. Ist eine monoton
wachsende Folge ai < a2 < dz < ... nach oben beschränkt, d.h. an < K\ für alle n bzw. eine monoton
fallende nach unten, d.h. an > K2 für alle n, so konvergiert sie gegen einen Grenzwert, der nicht größer
als die obere Schranke K\ bzw. nicht kleiner als die untere Schranke K2 ist
7.2 Reihen mit konstanten Gliedern
7.2.1 Allgemeine Konvergenzsätze
7.2.1.1 Konvergenz und Divergenz unendlicher Reihen
1. Unendliche Reihe und ihre Summe
Aus den Gliedern ak einer unendlichen Zahlenfolge {ofc} (s. 7.1.1.1, S. 420) kann formal der Ausdruck
oo
oi + a2 + • • • + an + • • • = J2 flfc G 12)
gebildet werden, der eine unendliche Reihe genannt wird. Die Summen
n
Si = ax, £2 = ai + a2 , . ., Sn = ]T ak G 13)
fc=i
nennt man Partialsummen
2. Konvergente und divergente Reihen
Man spricht von einer konvergenten Reihe G.12), wenn die Folge {Sn} der Partialsummen konvergiert.
Den Grenzwert oder Limes
00
S= lim Sn = Y>fc G.14)
nennt man die Summe und ak das allgemeine Glied der Reihe. Wenn-der Grenzwert G.14) nicht
existiert, spricht man von einer divergenten Reihe. In diesem Falle können die Partialsummen unbegrenzt
wachsen oder oszillieren. Die Frage nach der Konvergenz einer unendlichen Reihe wird somit auf die
Existenz eines Grenzwertes der Folge {Sn} zurückgeführt.
¦ A: Die geometrische Reihe (s. 1.2.3, S. 19)
ist konvergent.
¦ B: Die harmonische Reihe
1 + - + - + --- + - + --- G.16) und die Reihen 1 + 1 + 1 + - • - + 1 + - • • und G.17)
2 3 n
1-1 + 1 + (_i)»-i + ... G.18)
sind divergent. Während für die Reihen G.16) und G.17) lim Sn = 00 ist, oszilliert G.18)
3. Reihenrest
00
Unter dem Rest oder dem Restglied einer konvergenten Reihe S = ^ ak versteht man die Differenz
fc=i
zwischen ihrer Summe S und der Partialsumme Sn:
00
Rn = S-Sn= Y, ak = ßn+1 + fln+2 + • ' • • G 19)
k=n+l
7 2 Reihen mit konstanten Gliedern 423
7.2.1.2 Allgemeine Sätze über die Konvergenz von Reihen
1. Notwendiges Kriterium für die Konvergenz einer Reihe Die Folge der Glieder einer
konvergenten Reihe muß gegen Null streben.
lim an = 0 G 20)
n—>oo
Hierbei handelt es sich um eine notwendige, nicht aber um eine hinreichende Bedingung.
¦ Für die harmonische Reihe G.16) ist lim an = 0, aber lim Sn = oo.
n—>oo n—>oo
2. Weglassen, Hinzufügen oder Vertauschen von Gliedern Werden endlich viele
Anfangsglieder einer Reihe weggelassen oder endlich viele Glieder einer Reihe hinzugefügt oder endlich viele Glieder
vertauscht, dann ändert sich das Konvergenz verhalten der Reihe nicht.
3. Multiplikation aller Glieder Werden alle Glieder einer konvergenten Reihe mit ein und
demselben Faktor c multipliziert, dann bleibt die Konvergenz der Reihe ungestört, ihre Summe ist mit dem
Faktor c zu multiplizieren.
4. Gliedweise Addition oder Subtraktion Konvergente Reihen dürfen gliedweise addiert oder
subtrahiert werden Aus der Konvergenz der Reihen
oo oo
ai + a2 + • • • + an + • • • = £ ak = Si,G.21a) fei + fe2 + • • • + bn + • • = £ &fc = S2 G.21b)
fc=i fc=i
folgt die Konvergenz und die Summe der Reihe
(ai ± fei) + (a2 ± b2) + • • • + {ak ± bk) + • • • = Sx ± S2 . G.21c)
7.2.2 Konvergenzkriterien für Reihen mit positiven Gliedern
7.2.2.1 Vergleichskriterium
Wenn zwei Reihen
oo oo
ai + a2 + • • • + an + • • • = Y, ak G.22a) fei + b2 + • • • + bn + • • • = ^ bk G.22b)
ib=l fe=l
nur positive Glieder (an > 0, fen > 0) besitzen und wenn von einem gewissen n an an > bn ist, dann
folgt aus der Konvergenz der Reihe G 22a) auch die Konvergenz der Reihe G.22b). Umgekehrt folgt
aus der Divergenz der Reihe G 22b) auch die Divergenz der Reihe G 22a).
¦ A: Aus dem Vergleich der Glieder der Reihe
l+h+i+-+^+- ' G-23a)
mit denen der geometrischen Reihe G 15) folgt die Konvergenz der Reihe G.23a) Von n = 2 an sind
die Glieder der Reihe G.23a) kleiner als die der konvergenten Reihe G.15)-
^<^T ("^2)- G23b)
¦ B: Aus dem Vergleich der Glieder der Reihe
1 + — + — + ... + — + ... G.24a)
\/2 y/S y/n
mit denen der harmonischen Reihe G.16) folgt die Divergenz der Reihe G.24a). Von n > 1 an sind die
Glieder der Reihe G 24a) größer als die der divergenten Reihe G 16).
4= > - (n > 1). G 24b)
y/n n
424 7. Unendliche Reihen
7.2.2.2 Quotientenkriterium von d'Alembert
Wenn für die Reihe
oo
a\ + a2 H h an H = J^ «fc G.25a)
fc=i
von einem gewissen n an alle Quotienten —— kleiner sind als eine Zahl q < 1, dann ist die Reihe
konvergent
°^<q<l. G.25b)
Wenn diese Quotienten von einem gewissen n an größer sind als eine Zahl Q > 1, dann ist die Reihe
divergent. Daraus ergibt sich. Gilt
lim^=p, G 25c)
dann ist die Reihe für p < 1 konvergent und für p > 1 divergent. Für p = 1 kann mit dem
Quotientenkriterium keine Aussage über das Konvergenz verhalten gemacht werden.
¦ A. Die Reihe I + 1 + A + . .. + £ + ... G 26a)
konvergiert, denn es gilt
p = hm (Vl±± : £-) = hm —H = * . G.26b)
P n-^oo V 2n+1 2V «-»oo 2 2 '
¦ B: Für die Reihe 2 + - + - + ••• + ^- + • • • G 27a)
4 9 n2
liefert das Quotientenkriterium wegen
.. / n + 2 n+l\ ,,--,.
keine Entscheidung über die Konvergenz oder Divergenz der Reihe.
7.2.2.3 Wurzelkriterium von Cauchy
Gilt für eine Reihe
oo
di + ö2 H 1- ön H = 51 afc G.28a)
von einem gewissen n an für alle Zahlen ^/ö^
v7^ < Q < 1, G.28b)
dann ist die Reihe konvergent Sind umgekehrt von einem gewissen n an alle Zahlen ^/ö^ größer als
eine Zahl Q und ist Q > 1, dann divergiert die Reihe. Daraus ergibt sich* Gilt
lim </ä^ = p G 28c)
dann ist die Reihe konvergent für p < 1 und divergent für p > 1 Für p = 1 kann mit dem
Wurzelkriterium keine Aussage über das Konvergenzverhalten gemacht werden.
¦ Die Reihe \ + ©4 + (i)' + •' + G^i)"' + • ¦ • G-29a)
7.2 Reihen mit konstanten Gliedern 425
ist konvergent wegen
/ \ n
i \n2 I 1 \ 1
< 1. G.29b)
= Um nj( n V2 = lim (-J—I = -
7.2.2.4 Integralkriterium von Cauchy
1. Konvergenz Eine Reihe mit dem allgemeinen Glied an = f(n) ist konvergent, wenn f(x) eine
monoton fallende Funktion ist und das uneigentliche Integral
oo
ff(x)dx (s 8 2.3.2,1., S 471) G.30)
c
konvergiert
2. Divergenz Eine Reihe mit dem allgemeinen Glied an = f(n) ist divergent, wenn das Integral
G.30) divergiert.
Die untere Integrationsgrenze c ist zwar beliebig, sie ist jedoch so zu wählen, daß die Punktion f(x) für
c < x < oo definiert und frei von Unstetigkeiten ist
¦ Die Reihe G.27a) ist divergent wegen
f(x) = £±! , r^dx=\lnx--r = oc. G.31)
X2 Je X2 [ X\c
7.2.3 Absolute und bedingte Konvergenz
7.2.3.1 Definition
Neben der Reihe G 12) mit Gliedern, die verschiedene Vorzeichen haben können, wie z.B. in einer
alternierenden Reihe, wird auch die Reihe
oo
M + H + --- +kl+ ••• = £ kl G.32)
fc=i
betrachtet, deren Glieder die Absolutbeträge der Glieder der Reihe G 12) sind.
Wenn die Reihe G.32) konvergent ist, dann ist es auch die Reihe G.12). In diesem Falle spricht man von
der absoluten Konvergenz der Reihe G.12). Wenn die Reihe G 32) divergent ist, dann kann die Reihe
G 12) entweder auch divergent oder konvergent sein Im letzten Falle spricht man von der bedingten
Konvergenz der Reihe G.12).
_ i ^. ^ ., sina sin 2a sin na ,„ nn N
¦ A: Die Reihe —— + —— + • • • + ——— + • • • , G.33a)
in der a eine beliebige konstante Zahl ist, konvergiert absolut, da die Reihe mit dem absoluten Glied
I sin na I
2n
konvergiert. Dies zeigt ein Vergleich mit der geometrischen Reihe G.15):
I sin na! 1 .
—7,— < TT ¦ G.33b)
| 2n I ~" 2n
B: Die Reihe 1 - ]- + ]- + (-l)n_1- + • • • G.34)
426 7. Unendliche Reihen
konvergiert bedingt, wie G 36b) und ein Vergleich mit der divergenten harmonischen Reihe G.16)
zeigen, die das allgemeine Glied — = \an\ hat
n
7.2.3.2 Eigenschaften absolut konvergenter Reihen
1. Vertauschung von Gliedern
a) Die Glieder einer absolut konvergenten Reihe können nach Belieben miteinander vertauscht werden
Die Reihensumme ändert sich dadurch nicht.
b) Wenn die Glieder einer bedingt konvergenten Reihe so umgestellt werden, daß in die Umstellung
beliebig viele Glieder einbezogen sind, dann kann dadurch die Reihensumme geändert werden Der Satz
von RiEMANN besagt, daß auf diese Weise jede beliebige vorgegebene Zahl zur Reihensumme gemacht
werden kann
2. Addition und Subtraktion
Absolut konvergente Reihen können gliedweise addiert oder subtrahiert werden.
3. Multiplikation
Absolut konvergente Reihen können wie gewöhnliche Polynome miteinander multipliziert werden. Das
Ergebnis ist wieder als Reihe darstellbar, z.B.:
(ai + a2 + • • • + an + • • -)(&i + b2 + • • • + bn + • • •)
= a\bi + a2b\ + 0162 + 0361 + a2h + fli&3 H G.35a)
+ anb\ + an-ih H 1- Q>\bn H
Wenn die Reihensummen ^ an = Sa und J^ bn — 5& bekannt sind, dann ergibt sich die Summe der
multiplizierten Reihen gemäß
S = SaSb G 35b)
00 00
Wenn zwei Reihen a\ + a2 H h an H = J2 an und b\ + b2 H h bn -\ = Yl bn konvergent sind
n=l n=l
und wenigstens eine von ihnen absolut konvergiert, dann konvergiert auch die durch Multiplikation aus
beiden erhaltene Reihe Sie ist jedoch nicht notwendig ebenfalls absolut konvergent
7.2.3.3 Alternierende Reihen
1. Leibnizsches Konvergenzkriterium (Satz von Leibniz)
Hinreichendes Kriterium für die Konvergenz der alternierenden Reihe
ai — a2 + 03 — • • • ± an =F • • • , G 36a)
in der die an positive Zahlen sind, ist die Erfüllung der zwei Bedingungen
1. lim an = 0 und 2 ai > a2 > a3 > • • • > a„ > • • • . G 36b)
n—>oo
¦ Die Reihe G.34) ist nach diesem Kriterium konvergent.
2. Abschätzung des Restgliedes der alternierenden Reihe
Wenn in einer konvergenten alternierenden Reihe nur die ersten n Glieder berücksichtigt werden, dann
stimmt das Vorzeichen des Restgliedes Rn mit dem des ersten weggelassenen Gliedes an+i überein, und
Rn ist absolut genommen kleiner als |an+i|-
sign#n - sign(an+i) mit Rn = S - Sn , G.37a) \S - Sn\ < \an+l\. G.37b)
¦ Bei der Reihe G.38a) gilt für das Restglied G.38b)-
l-i + i-7 + ---±-q=-.- = ln2, G 38a) |ln2-5n|<-^— G.38b)
2 3 4 n n + 1
7.2 Reihen mit konstanten Gliedern 427
7.2.4 Einige spezielle Reihen
7.2.4.1 Summenwerte einiger Reihen mit konstanten Gliedern
1 + h+h + h + - + h. + -- = e> G-39)
G.40)
G.41)
G.42)
G.43)
G.44)
G.45)
G.46)
G.47)
G.48)
G.49)
G.50)
G.51)
G 52)
G.53)
G.54)
G.55)
G.56)
G.57)
, 111 ,1 1
2 3 4 n
, 111 1
1+2 + 4 + 8 + '- + ^ + "^2'
, 111 ,1 2
1111 1 TT
~3+5~7+9 2n - 1 T " ' ~ 4 '
111 1
1-2 2-3 3-4 ' ' n(n + l) '
111 1
1^3 + 3^ + 5^7 + ' '+ Bn-l)Bra + l) +'
111 1
T^3 + 2^4 + 3^5 + '"+(n- l)(n + 1) + " '
111 1
3T5 + 7^9 + 11 • 13 + " ' + Dn - l)Dn 4-1) '
1 1 1
l-2-3 + 2.3-4 + '" + n(n+ l)(n + 2) + * "
1 1 1
l-2.../ + 2-3...(/ + lL"" + n...(n + /-
111 1 TT2
+ 22 + 32 + 42+'" + ^"f""~"'
111 1 TT2
22 + 32 42 + ' * ' ± n2 ^ ' • ' - 12 '
111 1 TT2
12 + 32 + J32 + " ' + Bn + lJ + '"' ~ ~8~ '
111 1 TT4
+ ¥ + 3^ + 44" + " ' + ^ + ' " ~ 90 '
11 1 7tt4
24 + 34 " " n* " ' ~ 720 '
111 1 TT4
14 + 31 + 54 + " *' + Bn + 1L + " ' ~ 96 '
111 1 7r2fc22fc-
+ 22fc + 32fc + 42fc + " ' + n2k + " " ~ Bfc)!
1
"'~2'
_ 3
~ 4'
1
+ ... = _.
1
~ 4'
T)+~ =
-1
TT
~ 8 '
1
(/-!)(/-!)!'
428 7 Unendliche Reihen
22k + 32fc
42k
— — —
+ 32A; + 52A: + 72A; "•" "
• q:...=
1
7T2fcB2'
¦1),
B*)!
_ 7T2fcB2fc -
Bn - lJfc
2 • BJfc)!
1-
1
1
1
1
-£*,
„.2*+!
7^
t
G 58)
G 59)
G 60)
32fe+i 52/c+i 72fc+i Bn-lJfc+1 22fc+2Bfc)!-
7.2.4.2 Bernoullische und Eulersche Zahlen
1. Erste Definition der Bernoullischen Zahlen Die BERNOULLischen Zahlen Bk treten bei
Potenzreihenentwicklungen spezieller Funktionen auf, z.B. bei den trigonometrischen Funktionen tanz,
cotz und cscx sowie bei den hyperbolischen Funktionen tanhx, cotrim und cosechx. Die
BERNOULLischen Zahlen Bk können wie folgt definiert
l-x + ßi^-B2^±-.. + (-ir+1ßn7^T±.- (N<2tt) G 61)
1
-2+Bl--B^±-
• + (-1'n+lß"(^)T±'
und durch Koeffizientenvergleich bezüglich der Potenzen von x ermittelt werden. Die so gewonnenen
Werte sind in Tabelle 7.1 angegeben
Tabelle 7.1 Erste Bernoullische Zahlen
k
1
2
3
Bk
1
6
1
30
1
42
k
4
5
6
Bk
1
30
5
66
691
2730
k
7
8
9
Bk
7
6
3617
~51Ö~
43867
798
k
10
11
Bk
174611
330
854513
138
2. Zweite Definition der Bernoullischen Zahlen Manche Autoren gehen zur Definition der
BERNOULLischen Zahlen von der folgenden Darstellung aus-
ry.1 ^.2Tl
¦ + ¦•• (W<2tt). G 62)
Dadurch erhält man die Rekursionsformel
BkVi = (B + l)h+l (/c-1,2,3,. .),
G.63)
wobei nach Anwendung des binomischen Satzes (s. 1.1.6.4,1., S 12) überall B durch Bv zu ersetzen
ist, d h. der Exponent wird zum Index. Für die ersten Zahlen gilt-
Bi
B8
#16
=
=
=
1
~2'
1
~3Ö'
3617
~~51Ö
B2 =
Bio
'• ;
1
6'
5
~ 66
Bs
B4 = -
B\2
= B5 =
1
30'
— -
= B7
B6
6Q1
273Ö'
= • • •
1
= 42
Bi
= 0.
7
M-g,
G.64)
*Bk sind BERNOULLlsche Zahlen
^ Ek sind EuLERsche Zahlen
7.2 Reihen mit konstanten Gliedern 429
Es besteht der Zusammenhang
Bk = (-l)k+1Wk (k = 1,2,3,. .) G.65)
3. Erste Definition der Eulerschen Zahlen Die EULERschen Zahlen Ek treten bei der
Potenzreihenentwicklung spezieller Funktionen auf, z.B. bei den Funktionen secx und sechs; Die EULERschen
Zahlen Ek können wie folgt definiert
X2n TT
secx = 1 + üi— + hh— + • • • + En-j^—r, + • • • {\x\ < -) G.66)
lWn)\
und durch Koeffizientenvergleich bezüglich der Potenzen von x ermittelt werden. Die so gewonnenen
Werte sind in Tabelle7.2 angegeben
4. Zweite Definition der Eulerschen Zahlen Zur Definition der EuLERsc/ien Zahlen kann man
in Analogie zu G 63) von der Rekursionsformel
(E + l)fc + (E - l)k = 0 {k = 1,2,3,...) G 67)
ausgehen, wobei auch hier nach Anwendung des binomischen Satzes überall Ev durch Eu zu ersetzen
ist. Für die ersten Zahlen gilt.
J% = -1, Ei = 5, i% = -61, £« = 1385,
£^ = -50521, T\2 = 2702765, Tfa = -199360981, G.68)
£^ = 19391512145,. ; ~E[ = % = ~E~h = - • - = Q.
Es besteht der Zusammenhang
Ek = (-l)kWk (k = 1,2,3,...). G.69)
Tabelle 7.2 Erste Eulersche Zahlen
k
1
2
3
4
Ek
1
5
61
1385
k
5
6
7
Ek
50521
2702765
199360981
5. Zusammenhang zwischen EULERschen und BERNOULLischen Zahlen Zwischen den
EULERschen und den BERNOULLischen Zahlen besteht der Zusammenhang
A2k+1 / i v 2fc+l
" äTi^"*) (* = U.-). (r.70)
-&2A; :
7.2.5 Abschätzung des Reihenrestes
7.2.5.1 Abschätzung mittels Majorante
Um festzustellen, mit welcher Genauigkeit die Summe einer Reihe durch ihre n-te Teilsumme
angenähert wird, versucht man, den Betrag des Restausdrucks
|S-Sn| = |Ä»| =
k=n+l
< E kl
G.71)
k=n+l
der Reihe J^ ßfc abzuschätzen Dazu benutzt man als Majorante für ^ |a&| eine geometrische oder
k=l k=n+l
eine andere Reihe, die sich leicht summieren oder abschätzen läßt.
430 7 Unendliche Reihen
00 1 a
¦ Abschätzung des Restes der Reihe e = V" — . Für den Quotienten —— zweier aufeinanderfolgen-
der Glieder dieser Reihe gilt mit m > n + 1: m+ = -, lttt = 7 < = q < 1 Damit
am (ra+1)! ra + 1 ~ n + 2
kann der Reihenrest i?n = -. — + —7 4- 7 ttt + • • • durch die geometrische Reihe G 15)
(n + 1)! (n + 2)! (n + 3)! & v '
mit dem Quotienten q = und dem Anfangsglied a = - —7 majorisiert werden, und es gilt:
a _ 1 n + 2 1 n + 2 _ 1
^ < 1 - q ~ (n + 1)! n + 1 < n! n2 + 2n " n • n! ' ( ]
7.2.5.2 Alternierende konvergente Reihen
Für eine konvergente alternierende Reihe, deren Glieder dem Betrage nach monoton gegen Null streben,
gibt es eine einfache Abschätzung des Reihenrestes (s 7 2.3 3,1., S 426)
|ÄB| = |5-5n|<|ofH.1|. G.73)
7.2.5.3 Spezielle Reihen
Für einige besondere Reihen, z.B. TAYLOR-Reihen, gibt es bestimmte Formeln für den Reihenrest
(s 7.3.3.3, S. 434).
7.3 Funktionenreihen
7.3.1 Definitionen
1. Funktionenreihe wird eine Reihe genannt, deren Glieder Funktionen ein und derselben
Variablen x sind:
00
Mx) + Mx) + ¦¦¦ + Ux) + • • • = E fn(x). G.74)
n=l
2. Partialsumme Sn(x) heißt die Summe der ersten n Glieder der Reihe G 74):
Sn(x) = fi(x) + f2(x) + • • • + fn(x). G.75)
3. Konvergenzbereich der Funktionenreihe G.74) werden sämtliche Werte x = a genannt, die
zum gemeinsamen Definitionsbereich aller Funktionen /n(:r) gehören und für die die Reihen mit
konstanten Gliedern
00
fi(a) + Ma) + ¦¦¦ + /„(a) + • • • = £ /„(a) G.76)
n=l
konvergieren, d.h. für die der Grenzwert der Partialsummen Sn(a) existiert
lim Sn(a) = lim £ fk(a) = S(a). G.77)
fc=l
Die Funktion S(x) heißt dann Summe der Reihe G.74), und man sagt, die Reihe konvergiert gegen die
Funktion S(x).
4. Restglied Rn(x) heißt die Differenz zwischen der Summe S(x) einer konvergenten
Funktionenreihe und ihrer Partialsumme Sn(x)
Rn{x) = S(x) - Sn(x) = fn+1(x) + fn+2(x) + • • • + fn+m{x) + • • • . G.78)
7.3 Funktionenreihen 431
7.3.2 Gleichmäßige Konvergenz
7.3.2.1 Definition, Satz von Weierstrass
In Übereinstimmung mit der Definition des Grenzwertes einer Zahlenfolge (s. 7.1.2, S. 421 und 7.2 1.1,2.,
S. 422) konvergiert die Reihe G 74) in einem gegebenen Gebiet, wenn für eine beliebige Zahl e > 0 eine
ganze Zahl N derart angegeben werden kann, daß die Ungleichung \S(x) — Sn(x)\ < e für alle n > N
erfüllt ist. Für Funktionenreihen können dabei zwei Fälle unterschieden werden
1. Gleichmäßig konvergente Reihe Es kann eine derartige Zahl N gefunden werden, die für alle x-
Werte im Konvergenzbereich der Reihe G.74) gemeinsam gilt. Dann spricht man von einer gleichmäßig
konvergenten Reihe in dem betrachteten Gebiet.
2. Ungleichmäßig konvergente Reihe Es kann keine derartige Zahl N gefunden werden, die für
alle x-Werte im Konvergenzgebiet gilt. Es gibt dann im Konvergenzbereich der Reihe wenigstens eine
Zahl x , für die die Ungleichung \S(x) — Sn(x)\ > e erfüllt ist, egal wie groß n gewählt ist. Man spricht
in diesem Falle von einer ungleichmäßig konvergenten Reihe
2 n
¦ A : Die Reihe i + £ + |r + ... + ^ + ... G.79a)
mit der Summe ex (s Tabelle 21.5, S. 1047) konvergiert für alle Werte von x. Die Konvergenz ist hier
für jedes beliebige endliche Gebiet von x gleichmäßig, und es gilt für \x\ < a und unter Benutzung des
Restgliedes nach der Formel von Mac Laurin (s. 7.3.3.3,2., S. 435) für die Reihe die Ungleichung
\S(x)-Sn(x)\:
(n + 1)!
(n + 1)!
@ < 6 < 1). G.79b)
Da (n + 1)! schneller als an+l wächst, wird der Ausdruck auf der rechten Seite der Ungleichung für
hinreichend großes n, das unabhängig von x ist, kleiner als e. Für die gesamte Zahlengerade gibt es
hier allerdings keine gleichmäßige Konvergenz: Wie groß man n auch immer wählt, es wird sich stets
rn+! _ I
größer ist als ein beliebiges vorgegebenes e
eine Zahl x derart finden lassen, daß
|(n+l)! ,
¦ B: Für alle x-Werte im abgeschlossenen Intervall [0,1] konvergiert die Reihe
x + x(l - x) + x(l - xf + • • • + x(l - x)n + • • • , G.80a)
da in Übereinstimmung mit der Schlußfolgerung aus dem Kriterium von d' Alembert (s. S. 424) gilt.
p = lim l^-l = II - x\ < 1 für 0 < x < 1 (für x = 0 ist S = 0). G 80b)
Die Konvergenz ist aber ungleichmäßig, weil
S(x) - Sn{x) = x[(l - x)n+1 + A - x)n+2 + ¦••] = A - x)n+1 G.80c)
gilt und, wie groß auch immer n gewählt wird, stets ein hinreichend kleines x gefunden werden kann,
für das A — x)n+1 beliebig nahe bei 1 liegt, d.h. nicht kleiner als e ist. Gleichmäßige Konvergenz liegt
im Intervall a < x < 1 aber mit der Einschränkung 0 < a < 1 vor.
3. Kriterium von Weierstrass für die gleichmäßige Konvergenz In einem gegebenen Gebiet
konvergiert die Reihe
/i(aO + /2(z)+ ••• + /„(*) + ... G-81a)
gleichmäßig, wenn es eine konvergente Reihe mit konstanten Gliedern
ci + c2 + • • • + cn + • • • G.81b)
gibt, so daß für alle x-Werte in diesem Gebiet die Ungleichung
\fn(x)\<cn G.81c)
432 7 Unendliche Reihen
erfüllt werden kann Man nennt dann G.81b) eine Majorante zur Reihe G.81a)
7.3.2.2 Eigenschaften gleichmäßig konvergenter Reihen
1. Stetigkeit Wenn fi(x), /2(x), • • •, fn(x), • • • stetige Funktionen in einem Definitionsbereich sind
und wenn die Reihe f\(x) + /^(z) + • • • 4- fn(x) + ••• in diesem Gebiet gleichmäßig konvergiert, dann
ist ihre Summe S(x) in dem gleichen Gebiet eine stetige Funktion Wenn die Reihe in einem endlichen
Gebiet nicht gleichmäßig konvergiert, dann kann ihre Summe S(x) in diesem Gebiet Unstetigkeitsstel-
len besitzen.
¦ A: Die Summe der Reihe G.80a) ist unstetig: S(x) = 0 für x = 0 und S(x) = 1 für x > 0
¦ B: Die Summe der Reihe G 79a) ist eine stetige Funktion Die Reihe ist ungleichmäßig konvergent,
aber nicht in einem endlichen Gebiet, sondern auf der gesamten Zahlengeraden.
2. Integration und Differentiation gleichmäßig konvergenter Reihen Im Gebiet [a, b] der
gleichmäßigen Konvergenz darf eine Reihe gliedweise integriert werden Ebenso darf eine konvergente
Reihe gliedweise differenziert werden, wenn die dadurch entstehende Reihe gleichmäßig konvergent ist.
Das heißt*
/x oo oo °i
£ fn(t) dt = £ fn{t) dt für %xe[a,6], G 82a)
n=l n=l/0
oo \ ' oo
£/»(*) =£/;(*) für x€[a,ft] G 82b)
7.3.3 Potenzreihen
7.3.3.1 Definition, Konvergenz
1. Definition Die wichtigsten Funktionenreihen sind die Potenzreihen der Gestalt
oo
oo + a\X + ü2X2 + • • • + anxn + ••• = £ CLnxn oder G.83a)
71=0
oo
a0 + a\(x — xq) + a2(x - xqJ H (- an(x - x0)n -\ = ^ an(x - x0)u , G.83b)
71=0
wobei die Koeffizienten an und die Entwicklungsstelle xq konstante Zahlen sind
2. Absolute Konvergenz und Konvergenzradius Eine Potenzreihe konvergiert entweder nur
für x = xq oder für alle Werte von x , oder es gibt eine Zahl r > 0 , den Konvergenzradius, so daß die
Reihe für \x — x0\ < r absolut konvergiert und für \x — x0\ > r divergiert (Abb.7.1) Der
Konvergenzradius kann mittels
oder r = lim . G 84)
n—»oo n/\„ I
{/Kl
r = lim
n—>oo
ön+1
Konvergenzbereich bestimmt werden, falls die Grenzwerte existieren In den Endpunk-
a ten des Konvergenzintervalls x = +r und x = — r für die Reihe
__i i i__ G.83a) und x = xq + r und x = x0 — r für die Reihe G.83b) kann
xo"r xo xo+r die Reihe entweder konvergent oder divergent sein Existieren diese
Grenzwerte nicht, dann ist an Stelle des gewöhnlichen Limes (lim)
Abbildung 7.1 der Limes superior (lim) zu nehmen (s. [7.8], Bd I)
3. Gleichmäßige Konvergenz Gleichmäßig konvergent ist eine Potenzreihe in jedem
abgeschlossenen Teilgebiet \x — xq\ < ro < r des Konvergenzbereiches (Satz von Abel)
X X Xn 1 TL ~\- 1
¦ Für die Reihe 1 + - + — H + 1 ist - = lim = 1, d h. r = 1. G 85)
12 n r n^°° n
7.3 Funktionenreihen 433
Somit konvergiert die Reihe absolut in —1 < x < +1, für x = —1 ist sie bedingt konvergent (s. Reihe
G.34), S 425) und für x = 1 divergiert sie (s. die harmonische Reihe G.16), S. 422). Gemäß dem Satz
von Abel handelt es sich um eine gleichmäßig konvergente Reihe in jedem Intervall [—n, +7*1], wobei
T\ eine beliebige Zahl zwischen 0 und 1 ist.
7.3.3.2 Rechnen mit Potenzreihen
1. Summe und Produkt Konvergente Potenzreihen dürfen innerhalb ihres gemeinsamen
Konvergenzbereiches gliedweise addiert, miteinander multipliziert und mit einem beliebigen konstanten
Zahlenfaktor multipliziert werden Das Produkt zweier Potenzreihen ergibt sich zu
I Y^ anxn I • I Y bnxn ) = ao&o + (ao&i + aibo)x + (ao&2 + ai&i + a2b0)x2
\n=0 / \n=0 /
+ (ö0^3 + Ö1&2 + «2^1 + G^M^3 H •
2. Erste Glieder einiger Potenzen von Potenzreihen
S = a + bx + ex2 + dx3 + ex4 + fx5 H
S2 = a2 + 2abx + {b2 + 2ac)x2 + 2(ad + bc)x3 + (c2 + 2oe 4- 2bd)xA
+2(o/ + 6e + crf)x5 H ,
/- _i iT 16 /lc 162\ 2 (\d 16c 1 63\ 3
v^S = S* = ß2 1 + --x + ----- \x2 + ----_ + —- x3
[ 2 a \2a Sa2J \2a 4a2 16a6J
+ l2a 4a2 8a2 + 16a3 128a4,r+*
— = 5-3 =a"
V5
2aX+l8a2 2aJa;+Ua2 2a 16a3
Sbd 3c2^_le_1562c _35_&\ ,
+ \4a2 + 8a2 2a 16 a3 + 128a4 I X + '
= 5-1 = a
-*+ t
— - S~2
bl-C\x2+B±-±-bl)x*
a2 aj \a2 a a3 y
26d c2 e 62c 64\ 4 1
a al a aö a4 y J
- 2-x + 3— - 2- x2 + 6^ - 2- - 4— z3
a \ a ay \ a a a^y
i^W c2 e 62c 64\ 4
+ I 6- + 3- - 2- - 12— + 5- )x* + •
a^ a a a0* a4 <
Quotient zweier Potenzreihen
a0 1 + a\x + a2a;2 + ¦
J2anXn
n=0
n=0
60 i+A^ + /?2^2 + -
[1 + (ttl - ft)z + (a2 - a^ft + ft2 - ß2)x2
G 86)
G.87)
G.88)
G.89)
G 90)
G.91)
G.92)
G.93)
+(a3 - Q2ft - a!Ä - Ä - A3 + axft2 + 2ßxß2)x3 + • • •]
Diese Formel ergibt sich, indem der Quotient als Reihe mit unbestimmten Koeffizienten angesetzt und
mit der Nenner-Reihe ausmultipliziert wird, worauf die Koeffizienten der entstehenden Reihe durch
Koeffizientenvergleich mit der Zähler-Reihe bestimmt werden.
434 7. Unendliche Reihen
4. Umkehrung einer Potenzreihe Ist die Reihe
y = f(x) = ax + bx2 + ex3 + dx4 + ex5 + fx6 + • • • (o ^ 0) G 94a)
gegeben, dann versteht man unter ihrer Umkehrung die Reihe
x = (p{y) = Ay + By2 + Cy3 + Dy4 + Ey5 + Fy6 + - - - G 94b)
Die Koeffizienten ergeben sich zu
A=-, B = ~, C=\{2b2-ac), D = \(babc-a2d-5b3),
a a6 a5 a7
E = \Fa2bd + 3a2c2 + 1464 - a3e - 21ab2c), G.94c)
a9
F = -^Ga3be + 7a3cd + 84ab3c - a4/ - 28a2b2d - 28a26c2 - 42b5)
Die Konvergenz der Umkehrreihe muß in jedem Beispiel besonders untersucht werden
7.3.3.3 Entwicklung in Taylor-Reihen, MacLaurinsche Reihe
Für die wichtigsten elementaren Funktionen sind in Tabelle 21.5 S. 1045ff.)
Potenzreihenentwicklungen zusammengestellt worden. Sie wurden in der Regel durch TAYLOR-Entwicklungen gewonnen
1. Taylor-Reihe für Funktionen von einer Veränderlichen
Stetige Funktionen f(x), die für x = a alle Ableitungen besitzen, können oftmals mit Hilfe der Tay-
LORschen Formel (s. 6.1.4.5, S. 405) als Summe einer Potenzreihe dargestellt werden.
a) Erste Form der Darstellung:
/(*) = /(«) + ^/» + {^-f» + ¦¦¦ + ^^/("V) + • • • G 95a)
Die Reihenentwicklung G.95a) ist für die x-Werte richtig, für die das Restglied Rn = f(x) — Sn beim
Übergang n —? oo gegen Null strebt. Dabei ist zu beachten, daß der Begriff Restglied nur dann mit
dem in 7 3.1, S. 430 eingeführten Begriff gleichen Namens identisch ist, wenn die Formel G 95a) richtig
ist Für das Restglied gibt es die folgenden Formeln.
(x — a)n+l
Rn = -^ T7i-/(re+1)@ (a < f < x oder x < f < a) (LAGRANGEsche Form), G 95b)
(n+ l)i
Rn = —/f{x- t)nf{n+1){t) dt (Integralformel). G.95c)
n\ J
a
b) Zweite Form der Darstellung:
f(a + h) = f(a) + ~{'{a) + ^/"(a) + • • • + ^/<">(a) + • • • . G 96a)
Die Ausdrücke für das Restglied sind
un+l
R- = r-TT\T/(n+1)(a + eh) @ < © < 1), G.96b)
(ra + 1)!
h
Rn = - f(h- *) "/(n+1) (a + t)dt. G.96c)
n\ J
7.3 Funktionenreihen 435
2. MacLaurirische Reihe
MACLAURiNsc/ie Reihe wird die Entwicklung der Funktion f(x) nach Potenzen von x im Spezialfall
der TAYLORschen Reihe für a = 0 genannt Es ergibt sich
/(*) = /@) + ^/'@) + ^/"@) + • • + J/("»@) + • • • G 97a)
mit dem Restglied
~n+l
Rn = J^TTy.fin+l){ex) (°<e<1)- G97b)
1 x
Rn = -J(x-t)nf^l\t)dt G 97c)
' 0
Die Konvergenz der TAYLORschen und MACLAURiNschen Reihe ist entweder durch Untersuchung des
Restgliedes Rn nachzuweisen oder durch Bestimmung des Konvergenzradius (s 7 3 3 1,2., S. 432) Im
zweiten Falle kann es vorkommen, daß die Reihe zwar konvergiert, ihre Summe S(x) aber ungleich f(x)
ist. Das ist z.B. der Fall bei der Funktion f(x) = exp(-l/x2) für x ^ 0 und /@) = 0. Die Glieder ihrer
MACLAURiNschen Reihe sind sämtlich 0.
7.3.4 Näherungsformeln
Unter Beschränkung auf eine hinreichend kleine Umgebung der Entwicklungsstelle sind mit Hilfe der
TAYLOR-Entwicklung rationale Näherungsformeln für viele Funktionen hergeleitet worden, deren erste
Glieder für einige dieser Funktionen in Tabelle 7.3 wiedergegeben sind Angaben über die Genauigkeit
wurden durch Abschätzung des Restgliedes erhalten. Weitere Möglichkeiten der angenäherten
Darstellung von Funktionen, z B durch Interpolations- und Ausgleichspolynome oder Spline-Funktionen,
findet man in 19.6, S. 945 und 19.7, S. 959
7.3.5 Asymptotische Potenzreihen
Zur Funktionswertberechnung können auch divergente Reihen nützlich sein. Im folgenden werden
einige asymptotische Potenzreihen bezüglich - zur Berechnung von Funktionswerten für große Werte von
\x\ betrachtet.
7.3.5.1 Asymptotische Gleichheit
Zwei Funktionen f(x) und g(x), die für xq < x < oo definiert sind, heißen asymptotisch gleich für
x —? oo , wenn
fix)
lirn^ ^ = 1 G.98a) bzw. f{x) = g{x) + o{g(x)) für x -> oo G.98b)
x~*°° g\x)
gilt. Dabei wird in o(g(x)) das LANDAU-Symbol „klein o" verwendet (s 2 1 4.9, S. 57). Wenn G 98a
bzw. b) erfüllt ist, schreibt man auch f(x) ~ g(x).
MAiVx^Tl-x ¦B:ei-1. ¦ C: f \ ~ A
Ax6 + x + 2 4x2
7.3.5.2 Asymptotische Potenzreihen
1. Begriff der asymptotischen Potenzreihe
Eine Reihe Z^Lo ~ heißt asymptotische Potenzreihe der Funktion f(x), die für x > x0 definiert ist,
wenn
/(*) = E£ + o(-ir) G-99)
436 7. Unendliche Reihen
für jedes n = 0,1,2,. gilt. Dabei wird in 0(——) das LANDAU-Symbol „groß O" verwendet Für
au
G 99) schreibt man auch f{x) sa ^ —
Tabelle 7 3 Näherungsformeln für einige oft gebrauchte Funktionen
Näherungsformel
sin x « x
x3
sin x « x
6
cosx « 1
1 *2
COS X « 1 —
tan x « x
x3
tan x « x 4- —
o
\/a2 + x « a 4- •£-
2a
1/ a2 + x\
-2(8 + —j
1 1 X
Va2 4- x a 2a3
1 _ 1 x
a 4 x a a2
e* » 1 4- x
ln(l +x) « x
Nächstes
Glied
x3
6
X5
+ 120
x2
2
x4
+ 24
x3
2 5
+ 15*
x2
8a3
3x2
+ 8a5
x2
a-3
x2
X2
2
Zulässiges Intervall für x bei einem Fehler von
0,1%
von
-0,077
-4,4°
-0,580
-33,2°
-0,045
-2,6°
-0,386
-22,1°
-0,054
-3,1°
-0,293
-16,8°
-0,085a2
-0,051a2
-0,031a
-0,045
-0,002
bis
0,077
4,4°
0,580
33,2°
0,045
2,6°
0,386
22,1°
0,054
3,1°
0,293
16,8°
0,093a2
0,052a2
0,031a
0,045
0,002
1%
von
-0,245
-14,0°
-1,005
-57,6°
-0,141
-8,1°
-0,662
-37,9°
-0,172
-9,8°
-0,519
-29,7°
-0,247a2
-0,157a2
-0,099a
-0,134
-0,020
bis
0,245
14,0°
1,005
57,6°
0,141
oM°
0,662
37,9°
0,172
9,8°
0,519
29,7°
0,328a2
0,166a2
0,099a
0,148
0,020
10%
von
-0,786
-45,0°
-1,632
-93,5°
-0,415
-25,8°
-1,036
-59,3°
-0,517
-29,6°
-0,895
-51,3°
-0,607a2
-0,488a2
-0,301a
-0,375
-0,176
bis
0,786
45,0°
1,632
93,5°
0,415
25,8°
1,036
59,3°
0,517
29,6°
0,895
51,3°
1,545a2
0,530a2
0,301a
0,502
0,230
2. Eigenschaften asymptotischer Potenzreihen
a) Eindeutigkeit: Existiert für eine Funktion /(x) die asymptotische Potenzreihe, dann ist sie
eindeutig, aber durch eine asymptotische Potenzreihe ist eine Funktion nicht eindeutig bestimmt
b) Konvergenz: Von einer asymptotischen Potenzreihe muß keine Konvergenz gefordert werden
A: e*
y^ —— ist eine asymptotische Reihe, die für alle x mit |x| > x0 (xq > 0) konvergiert.
roo e~xt
B: Wiederholte partielle Integration ergibt für das Parameterintegral fix) = / dt (x > 0),
jq 1 +1
74 Fourier-Reihen 437
X X2 X3 X4
dasfürx > 0 konvergiert, die Darstellung/(x) = ö + ~^ 7^' + (—l)n * '- + Rn(x) mit
f,\ roo p—xt „~| /.qo 77! 1
K(x) = (-1)n^ I (T^y^ dt ¦Wegen |iJn(l)l - F /o e dt = ^ g;lt *»(*) = o(^)
(i + ty
und damit
/.'
Die asymptotische Potenzreihe G 100) ist divergent für alle x , da der Betrag des Quotienten aus dem
n + 1
(n + l)-ten und dem n-ten Glied den Wert hat. Trotzdem ist diese divergente Reihe zur Funkti-
x
onswertberechnung von f(x) gut geeignet. So erhält man z B für x = 10 mit Hilfe der Partialsummen
roo p —10t
54A0) und 55A0) die Abschätzung 0,09152 < / dt < 0,09164
Jo 1 +1
7.4 Fourier-Reihen
7.4.1 Trigonometrische Summe und Fourier—Reihe
7.4.1.1 Grundbegriffe
1. Fourier-Darstellung periodischer Funktionen (Fourier-Analyse)
Oft ist es notwendig oder vorteilhaft, eine gegebene periodische Funktion f(x) mit der Periode T exakt
oder angenähert durch eine Summe aus trigonometrischen Funktionen in der Form
sn{x) = — + fli cosa;x + a2 cos 2ux + • • • + an cos nux
+61 sina;x + b2siu2ux + • • • + bn sin nux G.101)
27T
darzustellen Man spricht von FOURIER-Entwicklung Dabei gilt für die Kreisfrequenz u = — Im
Falle T = 2tt ist u = 1.
Die beste Approximation von f(x) in dem in 7.4.1.2, S. 438 angegebenen Sinne erreicht man mit einer
Näherungsfunktion sn(x), wenn für die Koeffizienten a* und bk (k = 0,1, 2,.. , n) die FOURIER-
Koeffizienten der gegebenen Funktion gewählt werden. Ihre Bestimmung geschieht analytisch mit Hilfe
der EULERschen Formeln
T x0+T T/2
dk = — I f{x) cos kux dx = — / f(x) cos kuox dx = — [f{x) + f(—x)] cos kux dx , G.102a)
0 XQ 0
T xo+T T/2
bk — — f{x) sin kux dx = — / f(x) sm kux dx = 7^ [f(x) — f{—x)] sin kux dx , G.102b)
0 XQ 0
oder näherungsweise mit Hilfe der Methode der harmonischen Analyse (s 19 6 4, S. 954).
2. Fourier-Reihe
Wenn für ein System von rc-Werten die Funktion sn(x) beim Übergang n —> 00 gegen einen bestimmten
Grenzwert s(x) strebt, dann gibt es für diese x eine konvergente FOVRIER-Reihe der gegebenen
Funktion. Sie kann in der Form
s(x) = — + cl\ qosux 4- ü2 cos 2ux + • • • + an cos nux + • • •
+&i sin ux + 62 sin 2ux + • • • + bn sin nux + • • • G 103a)
438 7. Unendliche Reihen
und auch in der Form
s(x) — TT + ^1 sin(ujx + (fi) + A2 sinBu;;r + ^2) H H ;4n sin(no;a; + </?n) + • • • G 103b)
dargestellt werden, wobei im zweiten Falle gilt-
Ak = \fak2 + 6fc2, tanp* = ^ . G.103c)
Ok
3. Komplexe Darstellung der Fourier-Reihe
In vielen Fällen hat die komplexe Schreibweise Vorteile.
+00
s(x)= J2 c^kux, G.104a)
k——00
1
Ck
= ±//<*)«
a0 fürfc = 0,
^(a/b-iftfc) fürfc>0, G 104b)
-(a_fc + ib-k) fürfc < 0.
7.4.1.2 Wichtigste Eigenschaften von Fourier—Reihen
1. Mittlerer quadratischer Fehler einer Funktion
Wenn eine Funktion f(x) durch eine trigonometrische Summe
n n n
sn(x) = —- + J2 ak cos kujx + ^2 bk sin /ccjx , G 105a)
^ Jfe=i fc=l
auch FoURlER-5wrarae genannt, angenähert wird, dann ist der mittlere quadratische Fehler (s 19 6.2 1,
S 947, 19.6.4 1,2.,2., S. 955)
1 T
F = fJ[f(x)-sn(x)]2dx G 105b)
0
am kleinsten, wenn für Ofc und bk die FOURIER-Koeffizienten G.102a,b) der gegebenen Funktion zur
Näherung benutzt werden.
2. Konvergenz einer Funktion im Mittel, Parsevalsche Gleichung
Die FOURIER-Reihe konvergiert im Mittel gegen die gegebene Funktion, d.h., es gilt
T
f[f(x) - sn(x)]2 dx-*Q für n -» 00 , G.106a)
0
wenn die Funktion beschränkt und im Intervall 0 < x < T stückweise stetig ist. Eine Folge der
Konvergenz im Mittel ist die PARSEVALsc/ie Gleichung:
T
± j[f{x)f dx = ^ + £(a*2 + h2). G.106b)
0 fc=1
3. Dirichletsche Bedingungen
Wenn die Funktion f(x) die DiRlCHLETschen Bedingungen erfüllt, d.h. wenn
a) das Definitionsintervall in endlich viele Intervalle zerlegt werden kann, in denen die Funktion f(x)
stetig und monoton ist, und
b) an jeder Unstetigkeitsstelle von f(x) die Werte f(x + 0) und f(x — 0) definiert sind,
7.4 Fourier-Reihen 439
dann konvergiert die FOURIER-Reihe dieser Funktion. Der Summenwert der Reihe ist dort, wo f(x)
ffx - 0) + fix + 0)
stetig ist, gleich f(x), in den Unstetigkeitsstellen gleich —
4. Asymptotisches Verhalten der Fourier-Koeffizienten
Wenn eine periodische Funktion f(x) mit ihren Ableitungen bis zur k-ten Ordnung stetig ist, dann
streben für n —? oo die Ausdrücke annk+1 und bnnk+1 gegen Null.
f(x)
1 T
2
Abbildung 7.2
Abbildung 7.3
Abbildung 7.4
7.4.2 Koeffizientenbestimmung für symmetrische Funktionen
7.4.2.1 Symmetrien verschiedener Art
1. Symmetrie 1. Art Wenn f{x) eine gerade Funktion ist, d.h. wenn f(x) = f{—x) (Abb.7.2),
dann gilt für die Koeffizienten
T/2
4 f Zttx
a* = fJ /(aOcosfc—dz, bk = 0 (fc = 0,1,2,...).
G.107)
2. Symmetrie 2. Art Wenn f(x) eine ungerade Funktion ist, d.h. wenn f(x) = —f(—x) (Abb.7.3),
dann gilt für die Koeffizienten
T/2
Öfc :
= 0, h = - I f(x)smk-^dx (fc = 0,l,2,...)
G 108)
3. Symmetrie 3. Art Wenn für f(x + T/2) = —f{x) gilt (Abb.7.4), dann ergeben sich die
Koeffizienten zu
T/2
4 f Zttx
a>2k+i = j, J f(x) cosBk + 1)— dx, a2k = 0,
G.109a)
T/2
4 f Zttx
Sfc+i = f J fix) sinB/c + 1)— dx , b2k = 0 (k = 0,1,2,. .).
G.109b)
4. Symmetrie 4. Art Wenn die Funktion f(x) ungerade ist und außerdem der Symmetrie 3. Art
genügt (Abb.7.5a), dann gilt für die Koeffizienten
T/4
O f ZTTX
ak = b2k = 0, b2k+1 = - J f(x)sinBA; + 1)— dx (k = 0,1,2,.
G.110)
440 7 Unendliche Reihen
Wenn die Funktion f(x) gerade ist und außerdem der Symmetrie 3. Art genügt (Abb.7.5b), dann gilt
für die Koeffizienten
T/4
bk = a2k = 0, a2k+1 = ^jf(x) cosBk + l)^dx (k = 0,1,2,...). G 111)
Abbildung 7.5
m
/
1 0
fM,
l /
/Vf^x)
J21 ,
X
f(*>
\ °
f(x^"
/ i'
\ 21 /
uwyv
X
Abbildung 7.6
Abbildung 7.7
7.4.2.2 Formen der Entwicklung in eine Fourier-Reihe
Jede Funktion f(x), die in einem Intervall 0 < x < l die DiRiCHLETschen Bedingungen erfüllt
(s. 7.4.1.2,3., S. 438), kann in diesem Intervall in konvergente Reihen folgender Formen entwickelt
werden:
. , x a0 2irx n^7TX 27nr
/i(x) = -^- + ai cos —-—h a2 cos 2——| 1- an cos n——h .
. . 27TX . . 2lTX , . 27TX
+ Ol sin —-—I- 02 sin 2——I + onsin n——h
G 112a)
Die Periode der Funktion fi(x) ist T = l, im Intervall 0 < x < l ist /i(x) identisch mit der Funktion
f(x) (Abb.7.6). In den Unstetigkeitsstellen wird f(x) = -[f(x — 0) + /(x + 0)] gesetzt Die Entwick-
lungskoeffizienten werden mit Hilfe der EuLERschen Formeln G.102a,b) für u = —- bestimmt
r / \ a0 KX nKX
2. f2(x) = — + aicos— + a2cos2— + •
7TX
¦ + ancosn— + •
G.112b)
Die Periode der Funktion /2(x) ist T = 2/; im Intervall 0 < x < l ist /2(x) von der Symmetrie 1 Art
und identisch mit f(x) (Abb.7.7). Die Entwicklungskoeffizienten für /2(x) werden nach den Formeln
für den Fall der Symmetrie 1 Art mit T = 21 bestimmt.
r , \ , . 7TX . . nx
f3(x) = öi sin — + 02 sin 2— + •
• + bn sin n— + •
G.112c)
Die Periode der Funktion f3(x) ist T = 21, im Intervall 0 < x < l ist fs(x) von der Symmetrie 2. Art
und identisch mit f(x) (Abb.7.8). Die Entwicklungskoeffizienten werden mit den Formeln für den Fall
7.4 Fourier-Reihen 441
der Symmetrie 2. Art für T = 21 bestimmt
f(x)f i(x)y"
IT T x
Abbildung 7 8
Abbildung 7.9
7.4.3 Koeffizientenbestimmung mit Hilfe numerischer Methoden
Wenn die periodische Funktion f(x) kompliziert ist oder im Intervall 0 < x < T nur für ein diskretes
kT
System von Punkten Xk = — mit k = 0,1,2, , TV—1 bekannt ist, muß die Berechnung der FOURIER-
Koeffizienten näherungsweise erfolgen Dabei kann z B bei der Auswertung von Meßergebnissen die
Zahl N sehr groß sein. In diesen Fällen wendet man die Methoden der numerischen harmonischen
Analyse an (s 19 6.4, S. 954)
7.4.4 Fourier—Reihe und Fourier—Integral
1. Fourier-Integral
Wenn die Funktion f(x) in einem beliebigen endlichen Intervall die DiRiCHLETschen Bedingungen
+oo
erfüllt (s 7 4 1.2,3., S 438) und außerdem das Integral / \f(x)\ dx konvergiert (s 8.2.3.2,1.), S. 471),
—oo
dann gilt für ihre Darstellung (FOURIER-Integral).
+oo +oo oo +oo
f(x) = — I eiu,xduj f f(t)e-'wtdt = - j du J f(t) cos u(t - x) dt
G.113a)
G.113b)
In den Unstetigkeitsstellen setzt man
m = \\f(*-o)+f(x+o)].
2. Grenzfall einer nichtperiodischen Funktion
Die Formel G 113a) kann als Grenzfall der Entwicklung einer nichtperiodischen Funktion f(x) in eine
trigonometrische Reihe im Intervall (—/, +/) für Z —? oo aufgefaßt werden
Mit Hilfe der FoURiERschen Reihenentwicklung wird eine periodische Funktion mit der Periode T als
27T
Summe harmonischer Schwingungen mit den Frequenzen ujn = n— mit n = 1,2, .. und den
Amplituden An dargestellt Diese Darstellung beruht somit auf einem diskreten Frequenzspektrum.
Im Unterschied dazu wird mit Hilfe des FOURIER-Integrals die nichtperiodische Funktion f(x) als
Summe unendlich vieler harmonischer Schwingungen mit stetig variierender Frequenz u dargestellt.
Das FOURIER-Integral liefert somit eine Entwicklung der Funktion f(x) in ein kontinuierliches
Frequenzspektrum. Hierbei entspricht der Frequenz u die Dichte des Spekrums.
9(w) ¦
+oo
t, I n*
ldt.
G 113c)
442 7. Unendliche Reihen
Das FOURIER-Integral ist von einfacherer Form, wenn die Funktion f(x) entweder a) eine gerade oder
b) eine ungerade Funktion ist.
a) f(x) = — cos lux du / / (t) cos ut dt, G 114a)
o o
oo oo
b) f(x) = - f sin lux du f f(t) sin ut dt G 114b)
¦ Für die gerade Funktion f(x) = e '*' ergeben sich die Dichte des Frequenzspektrums und die
Darstellung der Funktion zu
g(u>) = - re-tcosutdt = --^-- G.115a) und e~W = - f° ^^ dw G.115b)
yv ' Wo iru2 + l v ' Wo u2 + 1 y '
7.4.5 Hinweise zur Tabelle einiger Fourier—Entwicklungen
In Tabelle 21.6 sind die FOURIER-Entwicklungen einiger einfacher Funktionen angegeben, die in
einem bestimmten Intervall gegeben sind und darüber hinaus periodisch fortgesetzt werden. Der
Kurvenverlauf der entwickelten Funktion ist graphisch dargestellt.
1. Anwendung von Koordinatentransformationen
Viele der einfachsten periodischen Funktionen können auf die in der Tabelle 21.6 dargestellten
Funktionen zurückgeführt werden, indem man entweder den Maßstab auf den Koordinatenachsen ändert
oder den Koordinatenursprung verschiebt
¦ Eine Funktion f(x) = f(—x), die durch die Bedingungen
IT
2 für 0 < x < - ,
T \ G.116a)
0 für - < x < -
gegeben ist (Abb.7.9), kann auf die Form 5 in der Tabelle 21.6 gebracht werden, indem a = 1 gesetzt
27T3J TT
wird und die neuen Variablen Y = y — 1 und X = —— + — eingeführt werden. Durch die Variablen-
(QiTTX TT \ QiTTX
—— + — J = (—l)n cosBn + l)-^r" für die
darzustellende Funktion G.116a) den Ausdruck
„ 4/ 2ttx 1 2ttx 1 2ttx \ ,„„„^
y = ^ + - (^cos— - -cos3— + -cos5— J G.116b)
2. Nutzung der Reihenentwicklung komplexer Funktionen
Viele der in Tabelle 21.6 angegebenen Formeln für die Entwicklung von Funktionen in
trigonometrische Reihen können aus Potenzreihenentwicklungen für Funktionen einer komplexen Veränderlichen
hergeleitet werden.
¦ Die Entwicklung der Funktion
T-i-^ = l + 2 + z2 + -.. (|*| <1) G.117)
liefert für
z = aei<p G.118)
7.4 Fourier-Reihen 443
nach der Trennung von Real- und Imaginärteil
9 n \ — a cos ip
1 + a cos (p + a cos 2<p H |- a cos n<zH = ~ ,
1 — 2a cos <£ + a2
asiny? -I- a2sin2<p H h an sinnt/? 4- • • • = für \a\ < 1. G.119)
1 — 2a cos ip + al
444 8 Integralrechnung
8 Integralrechnung
1. Integralrechnung und unbestimmtes Integral Die Integralrechnung stellt im folgenden Sinne
die Umkehrung der Differentialrechnung dar. Während bei der Differentialrechnung zu einer gegebenen
Funktion f(x) die Ableitung f'(x) zu bestimmen ist, wird in der Integralrechnung zu einer gegebenen
Ableitung f'(x) eine Funktion gesucht, deren Ableitung mit der vorgegebenen übereinstimmt Dieser
Prozeß ist nicht eindeutig und führt auf den Begriff des unbestimmten Integrals.
2. Bestimmtes Integral Geht man von der anschaulichen Aufgabenstellung der Integralrechnung
aus, den Inhalt der Fläche unter der Kurve y = f{x) zu bestimmen, indem man diesen z.B. durch
hinreichend schmale Rechtecke approximiert (Abb.8.1), dann kommt man zum Begriff des bestimmten
Integrals.
3. Zusammenhang zwischen unbestimmtem und bestimmtem Integral Den
Zusammenhang zwischen den genannten Integralarten vermittelt der Hauptsatz der Integralrechnung (s. 8.2.1.2,1.,
S 458).
8.1 Unbestimmtes Integral
8.1.1 Stammfunktion oder Integral
1. Definition Stammfunktion oder Integral einer gegebenen Funktion y = f(x), die in einem
zusammenhängenden Intervall [a, b] definiert ist, wird eine differenzierbare Funktion F(x) genannt, die
in demselben Intervall definiert ist und deren Ableitung gleich f(x) ist
f(x) = /(*). (8 1)
Da bei der Differentiation einer Funktion eine additiv auftretende Konstante verschwindet, existieren
zu einer gegebenen Funktion unendlich viele Stammfunktionen Die Differenz zweier
Stammfunktionen ist eine Konstante Daher können die Bilder aller Stammfunktionen Fi(x),F2(x), . ,Fn(x) zu
einer gegebenen Funktion durch Parallelverschiebung einer bestimmten Stammfunktion in Richtung
der Ordinatenachse erzeugt werden (Abb.8.2).
01 a=xn x, x.
1 A2 Xk-1 Sk Xk Xk+1 Vi Xn-b X
Abbildung 8.1
Abbildung 8.2
Abbildung 8.3
2. Existenz Jede in einem zusammenhängenden Intervall stetige Funktion besitzt dort eine
Stammfunktion Im Falle von Unstetigkeitsstellen wird das Intervall in Teilintervalle zerlegt, in denen die Aus-
8.1 Unbestimmtes Integral 445
gangsfunktion stetig ist (Abb.8.3). Die gegebene Funktion y = f(x) befindet sich im oberen Teil der
Abbildung, die Stammfunktion y = F(x) im unteren
8.1.1.1 Unbestimmte Integrale
Das unbestimmte Integral einer gegebenen Funktion f(x) ist der allgemeine Ausdruck
F{x) + C= f f{x)dx. (8 2)
Die Funktion /(*) unter dem Integralzeichen / heißt Integrand, x ist die IntegraUonsvanable, C die
Integrationskonstante Es ist auch üblich, vor allem in der Physik, das Differential dx unmittelbar hinter
das Integralzeichen und damit vor f(x) zu setzen.
8.1.1.2 Integrale elementarer Funktionen
1. Grundintegrale
Die Integration der elementaren Funktionen in analytischer Form wird auf eine Reihe von
Grundintegralen zurückgeführt. Diese Grundintegrale können unmittelbar aus den Ableitungen bekannter
elementarer Funktionen gewonnen werden, da das unbestimmte Integrieren einer Funktion f(x) das
Aufsuchen einer Stammfunktion F(x) bedeutet
Die in der Tabelle 8.1 zusammengestellten Integrale ergeben sich aus der Umkehrung der wichtigsten
Differentiationsformeln der Tabelle 6.1, S.396 (Ableitungen elementarer Funktionen). Die
Integrationskonstante C ist weggelassen worden.
2. Allgemeiner Fall
Bei der Lösung von Integralen wird versucht, ein gegebenes Integral durch algebraische und
trigonometrische Umformungen bzw durch Anwendung von Integrationsregeln auf die Grundintegrale
zurückzuführen Die im Abschnitt Integrationsregeln (s 8.1 2, S 445ff) angegebenen Integrationsmethoden
ermöglichen die Integration von Funktionen, die eine elementare Stammfunktion besitzen. Die
Integrationsergebnisse sind in der Tabelle21.7, S. 1053ff. (Unbestimmte Integrale) zusammengestellt.
Folgende Hinweise sind bei der Benutzung zu beachten:
a) Die Integrationskonstante wurde meist weggelassen. Ausgenommen sind einige Integrale, die in
verschiedenen Formen mit verschiedenen beliebigen Konstanten darstellbar sind.
b) Tritt in der Stammfunktion ein Ausdruck auf, der In f(x) enthält, dann ist darunter stets In |/(a;)|
zu verstehen
c) Wenn die Stammfunktion durch eine Potenzreihe dargestellt ist, kann die Funktion nicht elementar
integriert werden.
Eine ausführlichere Zusammenstellung enthalten die Tabellenwerke dieser Taschenbuchserie [8.1], [8.3].
8.1.2 Integrat ionsregeln
Eine allgemeine Regel für die Berechnung eines Integrals mit einem Integranden aus beliebigen
elementaren Funktionen kann nicht angegeben werden. Durch Üben kann man sich eine gewisse Routine im
Integrieren aneignen. Heute setzt man zur Berechnung von Integralen meist Computer ein.
Die wichtigsten Integrationsregeln für unbestimmte Integrale, die anschließend erläutert werden, findet
man zusammengefaßt in der Tabelle 8.2 (Wichtige Integrationsregeln für unbestimmte Integrale)
1. Integrand mit konstantem Faktor
Ein konstanter Faktor im Integranden kann vor das Integralzeichen gezogen werden (Faktorregel).
f öl f(x) dx = Ol f f{x) dx. (8 3)
446 8 Integralrechnung
4)
2. Integration einer Summe oder Differenz
Das Integral einer Summe oder Differenz kann auf die Integrale der einzelnen Terme zurückgeführt
werden {Summenregel):
(u + v — w)dx = l udx + I vdx — wdx. {
Die Variablen u,v,w sind Funktionen von x .
//. x5 3 10
(x + 3J(x2 + 1) dx = / (x4 + 6x3 + 10z2 + 6x + 9) dx = — + -x4 + —x3 + 3x2 + 9x + C
J 5 2 3
Tabelle 8.1 Grundintegrale
Potenzen
jx"dx = ^ (n^-1)
/
f =ln|x|
Trigonometrische Funktionen
-cosx
vdx = sin x
/ sin x dx =
/ cosxc
/ tan x dx = — In | cos x\
/ cotxdx = ln|sinx|
[-4%- = tanx
J COS X
/:
dx
-cotx
Gebrochenrationale Funktionen
/
)dx o = A arctan £
A
-^.jA«»hS-ito|f±||
(für |x| < a)
dx _ lAr™+Vi£— 1 In [X - gl
r—z - -^Arcotri 5 - ^ In 1^-^
(für |x| > a)
Exponentialfunktionen
! ex dx ¦
Hyperbelfunktionen
sinh xdx = cosh x
cosh xdx = sinh x
/
/
/ tanh x dx = In | cosh x|
/ coth x dx = In | sinh x|
A
y si]
^o =tanh x
cosh x
dx
— coth x
Irrationale Funktionen
/7fe = arcsini
/ fr = Arsinh £ = In Ix + Vx2 + a2
7 Va + x2 "l
/
dx
VX
= Arcosh | = ln x + \/x2 — a2
3. Umformung des Integranden
Die Integration eines komplizierten Integranden läßt sich durch algebraische oder trigonometrische
Umformung auf einfachere Integrale zurückführen.
I / sin 2x cos xdx = I - (sin 3x + sin x) dx
8.1 Unbestimmtes Integral 447
Tabelle 8.2 Wichtige Integrationsregeln für unbestimmte Integrale
Regel
Integrationskonstante
Integration und
Differentiation
Faktorregel
Summenregel
Partielle Integration
Substitutionsregel
Spezielle Form des
Integranden
Integration der
Umkehrfunktion
Formel für die Integration
f f(x) dx = F(x) + C {C const)
F'(*) = g = /(,)
/ af(x) dx = a f(x) dx (a const)
/ [u(x) ± v{x)] dx = u(x) dx ± v(x) dx
/ u(x)v'(x) dx = u(x)v(x) — / u'(x)v(x) dx
x = u(t) bzw t = v(x),
u und v seien zueinander Umkehrfunktionen :
/ f(x) dx= f f{u(t))u'{t) dt bzw.
1. / . dx = In \f(x)\ 4- C (logarithmische Integration)
J J\x)
2 j f(x)f(x)dx = -f(x) + C
u und v seien zueinander Umkehrfunktionen •
/ u(x) dx = xu(x) — F(u(x)) + Ci mit
F(x) = / v{x) dx + C2 (Ci, C2 const)
4. Lineare Transformation im Argument
Ist / f(x) dx = F(x) bekannt, z.B. aus einer Integraltafel, dann gilt:
/ f{ax) dx = -F{ax) + C, (8.5a) J f(x + b)dx = F{x+ b)+ C, (8.5b)
f f{ax + b)dx= -F{ax + b) + C.
(8.5c)
A: / sin axdx = — cos ax + C.
J a
-/•
B: /eaa;+0dx = -eaa;+6 + C.
a
C: / ^ 7 ^t — arctan(a; + a) + C.
J l + fx + aJ
-"(^+aJ
5. Spezielle Form des Integranden
a) Wenn der Integrand ein Bruch ist, in dem der Zähler die Ableitung des Nenners ist, dann ist das
Integral gleich dem Logarithmus des Absolutbetrages des Nenners-
/ ^TT dx = [ ^rv- = In |/(&)| + C (logarithmische Integration). (8.6)
J f(x) J f(x)
448 8. Integralrechnung
M A: / -^-±^—dx = \n\x2 + 3x-5\ + C
J x2 + 3x - 5
b) Wenn der Integrand ein Produkt der Potenz einer Funktion multipliziert mit der Ableitung der
Funktion ist, und ist die Potenz ungleich — 1, dann gilt
/ f'(x)fa(x) dx= f fa{x) dx = ^ V + C (a const, ol±-1) (8 7)
J J a 4-1
J (x2 + 3x- 5K (~2){x2 + 3x-5J
6. Substitutionsmethode
Ist x = u(t) bzw ist t = v(x) die Umkehrfunktion zu x = u(t), dann gilt
Jf(x)dx = Jf(u(t))u'(t)dt bzw. J f(x)dx = Ji^ldt. (8.8)
/ex — 1 dx 1
dx . Substitution x = Int, (£ > 0), —- = - , danach Partialbruchzerlegung:
ex ~\~ 1 dt t
ieHl J t + 1 t J \t + l t) v ;
_ „ /• xdx „ , . . . o dt ^ r xdx r dt 1 . 9x ^
¦ B: / . Substitution 1 + x2 = t, — = 2x. / = — = - InA + x2) + C.
y 1 + x2 'da; 7 1 + x2 J 2t 2 v ;
7. Partielle Integration
/ u(x)v'(x) dx = u(x)v(x) — / u'(x)v(x) dx, (8 9)
wobei u(x) und v(x) stetige Ableitungen besitzen müssen
¦ Das Integral / xex dx kann durch partielle Integration gelöst werden, indem man u = x und v' = ex
setzt, was auf u' = 1 und v = ex führt: / xex dx = xex — / ex dx = (x — l)ex + C
8. Nichtelementare Integrale
Integrale elementarer Funktionen sind nicht immer elementare Funktionen. Solche Integrale werden
hauptsächlich mit Hilfe der folgenden drei Methoden gelöst, wobei die Stammfunktion in einer
bestimmten Näherung berechnet wird:
1. Wertetabellen Integrale von besonderem theoretischen oder praktischen Interesse, die sich nicht
durch elementare Funktionen ausdrücken lassen, können durch eine Wertetabelle dargestellt werden
Dabei wird die Integrationskonstante durch Festlegung der unteren Integrationsgrenze bestimmt
Solchen speziellen Funktionen werden meist besondere Namen und Zeichen zugeordnet. Beispiele sind
rx dt
¦ A: Integrallogarithmus (s 8 2.5,3., S 477) : / -— = Li (x). (8 10)
Jo int
dt
y/(i-m-tH2)
/•sin v dl
B: Elliptisches Integral 1. Gattung (s. 8 1.4.3, S. 453) : / ; = F(k, u>) (8 11)
h J(i-t*)(l-tH2)
M C: Fehlerintegral (s. 8.2.5,5., S 478) . -= [* e~t2 dt = erf (x). (8.12)
y/n Jo
2. Integration durch Reihenentwicklung Der Integrand wird in eine Reihe entwickelt, die im
Falle ihrer gleichmäßigen Konvergenz gliedweise integriert werden kann.
rx cin l
M A: Integralsinus (s 8 2 5,1., S 477) / dt = Si (x) (8 13)
Jo t
8 1 Unbestimmtes Integral 449
¦ B: Integralexponentialfunktion (s 8 2 5,4. S. 478) : f — dt = Ei (x) (8.14)
J—oo t
3. Graphische Integration ist eine dritte Näherungsmethode, die in 8.2.1.4,5., S. 463 behandelt
wird
8.1.3 Integration rationaler Funktionen
Integrale rationaler Funktionen können stets durch elementare Funktionen ausgedrückt werden
8.1.3.1 Integrale ganzrationaler Funktionen (Polynome)
Integrale ganzrationaler Funktionen werden durch direkte gliedweise Integration berechnet:
/ ( anxn + an-\Xn~l + • • • + d\x -f clq) dx
= ^xn+l + ^xn + ... +?±x2 + aQX + C (815)
n + 1 n 2
8.1.3.2 Integrale gebrochenrationaler Funktionen
Integrale gebrochenrationaler Funktionen / dx, wobei P(x) und Q(x) Polynome vom Grade m
J Q{x)
bzw n sind, werden algebraisch auf eine leicht integrierbare Form gebracht. Dazu dient die folgende
Verfahrensweise:
1. Kürzung des Bruches bis P(x) und Q(x) keine gemeinsamen Teiler mehr enthalten
2. Abspaltung des ganzrationalen Teiles, wenn m > n ist, indem P(x) durch Q(x) geteilt wird.
Zu integrieren verbleiben dann ein Polynom und ein echter Bruch.
3. Zerlegung des Nenners Q(x) in lineare und quadratische Faktoren (s. 1.6.3.2, S. 44):
Q(x) = an{x - a)k{x - ßI • • • {x2 + px + q)\x2 + p'x + q')s ¦ ¦ (8.16a)
v2 v'2
mit *L-q<oi (l__g'<o,... (816b)
4. Vorziehen des konstanten Koeffizienten an vor das Integralzeichen.
5. Zerlegung in eine Summe von Partialbrüchen: Der so erhaltene echte Bruch, der nicht mehr
gekürzt werden kann und dessen Nenner in seine irreduziblen Faktoren zerlegt ist, wird in eine Summe
von Partialbrüchen zerlegt (s. 1.1.7 3, S. 15), die leicht integriert werden können
8.1.3.3 Vier Fälle bei der Partialbruchzerlegung
1. Fall: Alle Wurzeln des Nenners sind reell und einfach
Q(x) = (x- a){x -ß)...(x-\) (8.17a)
a) Form der Zerlegung-
P{x) A B L
Q{x) x — a x — ß
(8.17b)
. A P{a) n P{ß) T P{\) ,01GN
mrt A=wdr B=m- 'L=^M (8-17c)
b) Die Zahlen A, B, C,..., L können auch mit Hilfe der Methode der unbestimmten Koeffizienten
berechnet werden (s 1 1 7.3,4., S. 16).
/A dx
= A\n(x — a). (8.17d)
x — a
450 8. Integralrechnung
r Bx + 3)dx 2x + 3 _A B C _ P(Q) _ / 2x + 3 \
~ J x3 + x2- 2x ' x(x-l)(x + 2) ~ x+ x-l + x + 2' ~ Q'@) ~ V 3x2 + 2 x - 2) x=0
_3
2'
P ^ / 2x + 3 \ =5 / 2x + 3 \ =_1
V3.^2 + 2a;-2yx=i 3' \3x2 + 2x - 2)x=.2 6'
I = j(^l + -!-_ + _ZI_>j da; = -? In x + | ln(x - 1) - i ln(a: + 2) + Ci = In
* ¦,-l"s + 2;-- ^n.+ 3ln(,-l)--ln(, + 2) + C^ln^^I/6
2. Fall: Alle Wurzeln des Nenners sind reell, einige von ihnen sind mehrfach
Q(x) = {x- a)l{x -ß)m--- (8.18a)
a) Form der Zerlegung-
P(x) _ Ax t A2 t _ _ Ai
Q(x) (x — a) (x — aJ (x — aI
b) Berechnung der Konstanten A\, A2,..., Ai, B\, B2,.. , Bm mit Hilfe der Methode der
unbestimmten Koeffizienten (s. 1.1 7 3,4., S. 16).
c) Integration gemäß
I~W-*> /Ä°-(*-l)?-a^ (k>l)- (8'18C)
¦ ¦* = / ~7 ^dx: — — = —I -+- —+- — . Die Berechnung der Konstanten
J x(x - lK a;(x - lK x x—l (x - lJ (x - lK
mit Hilfe der Methode der unbestimmten Koeffizienten ergibt A + B\ = 1, —3,4 — 2i?i + B2 = 0,
3,4 + ßi - B2 + 53 = 0 , -A = 1; ;4 = -1, Bx = 2 , 52 = 1, ß3 = 2 . Die Integration erfolgt gemäß
I
-i
1 2 1
¦ + r + -
a; x — l (x — lJ (x — 1);
dx = -lnx + 21n(a;-l) — + C
x - 1 (x — lJ
, (x-1J s
3. Fall: Einige Wurzeln des Nenners sind einfach komplex Im Falle reeller Koeffizienten von
Q(x) treten komplexe Wurzeln stets auch konjugiert komplex auf, so daß sie sich zu quadratischen
Termen zusammenfassen lassen.
Q(x) = (x- a)l(x -ß)m. . (x2 +px + q)(x2 +p'x + q')... (8.19a)
v2 v'2
mit j<9, ^r-<q',.. (8.19b)
a) Form der Zerlegung:
Pix) Ax A2 Ai Bi B2 Bm
Q(x) x — OL (x - olJ (x - aI x - ß (x - ßJ (x - ß)m
Cx + D Ex + F . n ,
+ — + — + ... (8 19c
x2 + px + q xz + ipx + q
b) Berechnung der Konstanten mit Hilfe der Methode der unbestimmten Koeffizienten (s. 1 1 7.3,4.,
S 16)
8 1 Unbestimmtes Integral 451
Cx 4- D
c) Integration des Ausdrucks — gemäß
xz + px + q
r(Cx + D)dx C1/2 N D-Cp/2 x + p/2
/ ^ — = — ln(x2 4- px 4- q) 4- , ' arctan , F/ . (8 19d)
J x2+px + q 2 yfq-p2/4 ^Jq-p2/*
/4 dx 4 A Cx 4- Z}
— — . -= — = 1 - — . Die Methode der unbestimmten Koeffizienten liefert
x6 + Ax x6 + 4x x xl 4- 4
A + C = 0,D = 0,4A = 4,A = 1,C=-1,D = 0.I= [(*-—?—) dx = In z - i ln( x2 +
4) + In Ci = In . , wobei in diesem Falle das Glied mit der Funktion arctan fehlt.
\jx2 + 4
4. Fall: Einige Wurzeln des Nenners sind mehrfach komplex
Q(x) = (x- a)k(x - ßI (x2 + px 4- q)m(x2 4- p'x 4- q')n .... (8 20a)
a) Form der Zerlegung-
P(x) Ai A2 Ak Bi B2 Bi
~ + 7 ^T + "- + 7 ^TT + ^ + 7 W + -- +
Q(x) s-a (x-aJ (x-a)fc x-ß (x - ßJ {x - ß)
x2 + pa; + q (x2 + p.T + qJ (x2 +px + q)m
E1x + F1 E2X + F2 Enx + Fn
x2 + p'x + q' {x2 4- p'x + <?'J (x2 + p'x + tf')n
b) Berechnung der Konstanten mit Hilfe der Methode der unbestimmten Koeffizienten.
C x + D
c) Integration des Ausdrucks , „ m ^— mit m > 1 in folgenden Schritten:
' 6 (x2 + px + g)m
a) Umformung des Zählers gemäß
Cmx + Dm = ^fBx+p) + (Dm - ^f) (8.20c)
ß) Zerlegung des gesuchten Integrals in zwei Summanden, wobei sich der erste direkt integrieren läßt:
rCm Bx+p)dx = Cm 1 (820d)
J 2 {x2+px + q)m 2{m- l) (x2 + px + q)m~l ' K '
7) Der zweite Summand wird ohne den konstanten Faktor mittels Rekursionsformel berechnet.
dx x + p/2
/
(x2 +px + q)m 2(ra - 1) (q - p2/4) (x2 + px + q)m~l
2m — 3 r dx
+ -
[7-0 x , • (8'20e)
J (x2 + px + q)m-1 v
2(m- l)(q-p2/4)J (x2 4- px + q)n
= J , _oW o . ,xo <& : 7 ^7-^7—T^ = « + ^—7- + / o ¦ ,xo Mlt Hllfe der
2x2 + 2x + 13 , 2x2+ 2x + 13 A Cxx + Dx C2x 4- D2
(Int- • — _|_ _|_
(£-2)(a;2 + lJ (x-2)(ir24-lJ x-2 x2 4-1 (x2 4- lJ
Methode der unbestimmten Koeffizienten ergibt sich das Gleichungssystem A 4- C\ = 0, —2Ci 4- Di =
0,2A + Ci-2Di + C2 = 2,-2Ci + Di-2C2 + D2 = 2,A-2Di-2D2 = 13, woraus folgt A = l,Ci =
-l|jDl = -2,C2 = -3,D2 = -4,/ = / (-1^ -0i- tJ^J ^.Da gemäß (8.20e) gilt
f dx x 1 r dx x 1 . . . .. _,. . _ 3 — 4x
I W^W = 2(^TT) + 2 I ^TT = ^^^ly + S^tan^er^btsichschheßhch/ = W^T) +
452 8. Integralrechnung
1 , (x - 2J
- In —r 4 arctan x + C .
2 x2 + 1
Tabelle 8 3 Substitutionen zur Integration irrationaler Funktionen I
Integral *
/*(*.#^W
/d/. n/aa; + 6 m/aa; 4- 6
y xi i x, y c;r _|_e, y cx _(_ e,
dz
/ i2 f x, \/a:r2 + bx + cj dz
1. Füra>Ot
2 FüroO
3. Falls das Polynom ax2 + bx + c
verschiedene reelle Wurzeln besitzt:
ax2 + bx + c = a(x — a)(a; — /?)
Substitution
n ax + b .
ex + e
ax + b _ f
ex + e
wobei r das kleinste gemeinsame Vielfache
der Zahlen m, n, .. ist
Eine der drei EuLERsc/ien Substitutionen-
Vax2 + bx + c = t — y/äx
y/ax2 + bx + c = xt + y/c
Vax2 + bx + c — t(x — a)
* Das Symbol R bezeichnet eine rationale Funktion in den Ausdrücken, vor denen
es steht. Die Zahlen n,m,. sind ganz
t Ist a < 0 und hat das Polynom ax2 + bx + c komplexe Wurzeln, so ist der Inte-
grand für keinen Wert von x definiert, da dann y/ax2 + bx + c für alle reellen Werte
von x imaginär wird In diesem Falle ist ein Integrieren nicht von Interesse
8.1.4 Integration irrationaler Funktionen
8.1.4.1 Substitution zur Rückführung auf Integrale rationaler Funktionen
Irrationale Funktionen können nicht immer elementar integriert werden. Die Tabelle 21.7, S 1053ff
enthält eine ganze Reihe von Integralen irrationaler Funktionen In den einfachsten Fällen lassen sie
sich durch Substitutionen, wie sie in Tabelle 8.3 aufgeführt sind, auf Integrale rationaler Funktionen
zurückfuhren.
Das Integral / R (x, Vax2 + bx + c) dx kann auch auf eine der drei Formen
[ R(x,Vx2 + a2)dx, (8.21a) (R{x,\/x<
a2) dx,
f R(x,Va2-x2)dx
(8.21b)
(8.21c)
gebracht werden, da sich das quadratische Polynom ax2 + bx + c stets als Summe oder Differenz zweier
Quadrate darstellen läßt. Die Integrale der Form (8.21a) bis (8 21c) können dann mit Hilfe der in
Tabelle 8.4 angegebenen Substitutionen bearbeitet werden
A: 4a;2 + 16:r + 17 = a(x2 + 4x + 4 + i) = 4 \{x + 2J + Q)
B: x2 + 3x + 1 = x2 + 3x + - - - = (x + -) - f ^r-
xi +
(i)'
\/5' ..
— ] mit xi
mit^i = x + 2
3
= x+-
8 1 Unbestimmtes Integral 453
C: -x2 + 2x = 1 - x2 + 2x - 1 = l2 - (x - lJ = l2 - x\ mit Xi = x - 1
Tabelle 8.4 Substitutionen zur Integration irrationaler Funktionen II
Integral
/ R (x, Vx2 + a2J dx
7ä (x, \/x2 - a2j dx
/ i? (x, Va2 - x2) dx
Substitution
x = a sinh t oder x = a tan £
x = öl cosh £ oder x = a sec £
x = a sin £ oder x = a cos £
8.1.4.2 Integration binomischer Integranden
Binomischer Integrand wird ein Ausdruck der Form
xm(a + bxn)p (8 22)
genannt, in dem a und b beliebige reelle Zahlen sind und m, n,p beliebige positive oder negative
rationale Zahlen Der Satz von Tschebyscheff besagt, daß das Integral
(8 23)
J xrn(a + bxn)pdx
nur in den folgenden drei Fällen durch Elementarfunktionen ausgedrückt werden kann:
1. Fall: Wennp eine ganze Zahl ist, kann der Ausdruck (a+bxn)p nach dem binomischen Satz entwickelt
werden, so daß der Integrand nach Auflösen der Klammern eine Summe von Gliedern der Form cxk
darstellt, die sich leicht integrieren lassen
2. Fall: Wenn eine ganze Zahl ist, kann das Integral (8.23) durch die Substitution t = y/a + bxn ,
wobei r der Nenner des Bruches p ist, auf ein Integral einer rationalen Funktion zurückgeführt werden
3. Fall: Wenn h p eine ganze Zahl ist, kann das Integral (8.23) durch die Substitution t =
a + bxn
, wobei r der Nenner des Bruches p ist, auf ein Integral einer rationalen Funktion
zurückgeführt werden
\fx
*¦/¦
dx ¦¦
¦i*
V2,
1 + x
1/4
1/3
dx, m ¦
1 ra+ 1
3' n
2, (Fall 2):
Substitution t = ^1 4- ^x , x = (t3 - lL , dx = 12t2(t3 - lK dt, f * ~*~ dx = 12 f(t{
-13) dt
= \t\tf
¦7) + C.
x3 dx
B:/w&^/x3A+a;3)/4-m=3'":
1 m + 1
: 3, p= --;
4 n
4 m + 1
3' n
13
+ P=T2
Da
keiner der drei Fälle vorliegt, kann das Integral keine elementare Funktion sein.
8.1.4.3 Elliptische Integrale
1. Unbestimmte elliptische Integrale Elliptische Integrale sind Integrale der Form
ax3 + bx2 + ex + e) dx , R (x, yax4 + bx3 + ex2 + ex + f) dx. (8 24)
Sie lassen sich in der Regel nicht durch elementare Funktionen ausdrücken; wenn dies trotzdem gelingt,
nennt man sie pseudoelliptisch Ausgangspunkt für die Bezeichnung war das erstmalige Auftreten eines
454 8. Integralrechnung
derartigen Integrals bei der Berechnung des Umfanges der Ellipse (s. 8.2.2.2,2., S. 466). Die Umkehrung
der elliptischen Integrale sind die elliptischen Funktionen (s. 14.6, S. 724). Integrale der Art (8 24), die
nicht elementar integrierbar sind, können durch eine Reihe von Umformungen auf elementare
Funktionen und auf Integrale der folgenden drei Typen zurückgeführt werden (s. [21.1], [21.2], [21.6]).
/ , dt @ < k < 1), (8.25a) [ . A-kH^dt @<fc<l), (8.25b)
J y/{l-t*)(l-k*t*) J yJ(l-t*)(l-kH*)
f , dt @<fc<l). (825c)
J {l + nt2)J(l-t2){l-k2t2)
Bezüglich des Parameters n in (8.25c) sind Fallunterscheidungen notwendig (s. [14.1]).
Mit Hilfe der Substitution t = sin<p @ <</?<-) können die Integrale (8.25a,b,c) auf die Legendre-
sche Form gebracht werden:
Elliptisches Integral 1. Gattung
d(p
/
"* y 1 — k2 sin' ip
Elliptisches Integral 2. Gattung: f yjl - k2 sin2 </? d<p (8 26b)
Elliptisches Integral 3. Gattung: / ^ = . (8 26c)
J A + nsin2(/?)yl - k2sm2ip
2. Bestimmte elliptische Integrale Die zu den unbestimmten elliptischen Integralen (8.26a,b,c)
gehörenden bestimmten Integrale mit der unteren Integrationsgrenze Null haben die folgenden
Bezeichnungen erhalten-
/ , ^ = = F(ki(p).1 (8.27a) / J1 - k2 sin2 iß dtp = E(k, <p), (8.27b)
{ yjl-k2sm2ip J
I ^ = = n(n,A;,v?) (für alle drei Integrale gilt 0 < k < 1) (8 27c)
Man nennt diese Integrale unvollständige elliptische Integrale 1., 2. und 3. Gattung. Für (p = — heißen
die ersten beiden Integrale vollständige elliptische Integrale, und man kennzeichnet sie durch
*=F(*• 9=/^wm¦(828a) E=E(*¦ 9=J^-****» (8-28b)
In den Tabellen 21.9.1,2,3S. 1091 sind für die unvollständigen und vollständigen elliptischen
Integrale erster und zweiter Gattung F(k,(p) und E(k,(p) sowie K und E Wertetabellen angegeben
¦ Die Berechnung des Umfanges der Ellipse führt auf ein vollständiges elliptisches Integral 2.
Gattung als Funktion der numerischen Exzentrizität e (s. 8.2.2 2,2., S. 466) Für a = 1,5, b = 1 folgt
e = 0,74. Wegen e = k = 0, 74 liest man aus Tabelle 21.9.3 ab. sina = 0,74, d.h., a = 47° und
E(k, |) = £7@,74) = 1,33 Daraus folgt U = 4a£@,74) = AaE(a = 47°) - 4 • 1,33a = 7,98 Die
8.1 Unbestimmtes Integral 455
Berechnung mit der Näherungsformel C.329c) liefert den Wert 7,93.
8.1.5 Integration trigonometrischer Funktionen
8.1.5.1 Substitution
Mit Hilfe der Universalsubstitution
* = tan-, d.h., dx = —— , sinz = —-, cosx = —— , (8.29)
läßt sich ein Integral der Form
R(sinx,cosx)dx (8.30)
auf ein Integral einer rationalen Funktion zurückführen, wobei mit R eine rationale Funktion des
Ausdrucks bezeichnet ist, vor dem es steht. In einzelnen Fällen können einfachere Substitutionen eingesetzt
werden
(\ 2t \ 2
J sina;(l + cosz) J 2t ( 1 -12\ 2J \ t) 4 2
1 + t2 \ 1 + t2
+ tan - + - In tan - + C.
4 2 2 2
Wenn der Integrand in (8.30) nur gerade Potenzen der Funktionen sin x und cos x enthält, kann er durch
die Substitution t = tan x wesentlich einfacher auf ein Integral einer rationalen Funktion zurückgeführt
werden.
8.1.5.2 Vereinfachte Methoden
1. Fall: / R (sin x) cos x dx. Substitution t = sin x, cos xdx = dt. (8.31)
2. Fall: R (cos x) sin xdx Substitution t = cosx, sin x dx = —dt (8.32)
3. Fall: fsmnxdx. (8.33a)
a) n = 2m + 1, ungerade-
sinn x dx = A — cos2 x)m sin x dx = — A — t2)m dt mit t = cosx. (8.33b)
b) n = 2m, gerade:
f smnxdx = f |-A - cos2x)| dx = —— /(l - cost)mdt mit t = 2x. (8.33c)
Die Potenz wird auf diese Weise halbiert. Nach Auflösen des Klammerausdruckes A — cost)m wird
gliedweise integriert
4. Fall: f cos71 xdx. (8.34a)
a) n = 2m + 1, ungerade:
fcosnxdx= f(l-sm2x)mcosxdx= f{l-t2)mdt mit t = sinx. (8.34b)
b) n = 2m, gerade
fcosnxdx= I [-(l + cos2z)| dx = —- f{1-\-cost)mdt mit t = 2x. (8 34c)
456 8 Integralrechnung
Die Potenz wird auf diese Weise halbiert. Nach Auflösen der Klammer wird gliedweise integriert.
5. Fall: f sinn x cosm x dx. (8 35a)
a) Eine der Zahlen m oder n ist ungerade: Zurückführung auf die Fälle 1 oder 2.
¦ A: / sin2 xcos5 xdx = / sin2x A — sin2 a;J cos a; da; = t2(l — t2Jdt mit t = sinx.
_ f sinx 1 f dt
¦ B: / . dx = — I —= mit £ = cosa;.
y Vcosx 7 v^
b) Die Zahlen m und n sind beide gerade. Zurückführung auf die Fälle 3 oder 4 und Verwendung der
trigonometrischen Formeln
sin 2a; . « 1 —cos 2a: 2 1 +cos 2a; . o , .
sina;cosa; = , sin x = , cos x = . (8 35b)
2 2 2 v y
¦ / sin2 x cos4 xdx = (sin £ cos xJ cos2 xdx = - / sin2 2x(l + cos 2x) dx = - sin2 2a; cos 2a; dx +
— / A — cos 4a;) dx = — sin3 2a; -\—-x sin 4a; + C.
16 7 48 16 64
6. Fall: / tannxdx = tanna;(sec2x - 1) dx = / tannx (tanx)'dx - j tann_2xdx
tann_1x r „_2 , . n ,
= / tan xdx . (8 36a)
n — 1 J
Durch Wiederholung dieses Verfahrens der Potenzerniedrigung ergibt sich für gerades n bzw ungerades
n schließlich das Integral
dx = x bzw. / tan x dx = — In cos x s (8.36b)
7. Fall: fcotnxdx (8.37)
Lösung durch Integration wie in Fall 6.
Hinweis: Tabelle 21.7 S. 1053ff. enthält eine ganze Reihe von Integralen mit trigonometrischen
Funktionen.
8.1.6 Integration weiterer transzendenter Funktionen
8.1.6.1 Integrale mit Exponentialfunktionen
Integrale mit Exponentialfunktionen können in Integrale mit rationalen Funktionen im Integranden
überführt werden, wenn sie in der Form
[ R{emx,enx,...,epx)dx (8.38a)
gegeben sind, wobei m, n,... ,p rationale Zahlen sind Dazu sind zwei Substitutionen erforderlich
1. Substitution von t = ex führt auf ein Integral
f-R{tm,tn,...,tp)dt. (838b)
2. Substitution von z = yft, wobei r das kleinste gemeinsame Vielfache der Nenner der Brüche
m, n, ., p ist, führt auf ein Integral einer rationalen Funktion
8.1.6.2 Integrale mit Hyperbelfunktionen
Integrale mit Hyperbelfunktionen, die die Funktionen sinh x , cosh x , tanh x und coth x im
Integranden enthalten, werden gewöhnlich berechnet, indem die Hyperbelfunktionen durch Exponentialfunk-
8.2 Bestimmte Integrale 457
tionen ersetzt werden. Die meist auftretenden Fälle / sinhn x dx , / coshn x dx , / sinhn x coshm x dx
werden mit Methoden integriert, wie sie bei den trigonometrischen Funktionen zur Anwendung
kommen (s. 8.1 5, S. 455)
8.1.6.3 Anwendung der partiellen Integration
Wenn der Integrand Logarithmen, inverse trigonometrische Funktionen, inverse Hyperbelfunktionen
oder Produkte von xm mit lnx,eax ,smax oder cosax enthält, kann die Lösung durch einfache oder
mehrfache Anwendung der partiellen Integration herbeigeführt werden.
In einigen Fällen führt die wiederholte Anwendung der partiellen Integration wieder auf das
ursprünglich gegebene Integral Dann wird seine Berechnung auf die Lösung einer algebraischen Gleichung
zurückgeführt Auf diese Weise werden z B die Integrale / eax cos bx dx, / eax sin bx dx berechnet,
wozu eine zweimalige partielle Integration erforderlich ist Als Faktor u wird in beiden Fällen die Funktion
des gleichen Typs gewählt, also entweder die Exponential- oder die trigonometrische Funktion.
Die partielle Integration wird auch in den Fällen f P(x)<r dx,f P(z)ünbxdx ,Jp(x)cosbxdX
eingesetzt, wobei P (x) ein Polynom ist.
8.1.6.4 Integrale transzendenter Funktionen
Die Tabelle 21.7, S 1053ff enthält eine große Anzahl von Integralen transzendenter Funktionen.
8.2 Bestimmte Integrale
8.2.1 Grundbegriffe, Regeln und Sätze
8.2.1.1 Definition und Existenz des bestimmten Integrals
1. Definition des bestimmten Integrals
Das bestimmte Integral einer in einem abgeschlossenen Intervall [a, b] definierten und beschränkten
Funktion y = f (x) ist eine Zahl, die als Grenzwert einer Summe definiert wird, wobei entweder a < b
(Fall A) oder a > b (Fall B) sein kann Die Forderung rjach Abgeschlossenheit des Intervalls bedeutet,
daß auch das Integrationsintervall beschränkt sein soll.
Bei einer Verallgemeinerung des Begriffs bestimmtes Integral (s 8 2.3.1, S. 470) werden auch
Funktionen zugelassen, die in einem beliebigen zusammenhängenden Gebiet definiert sind, wie z B das offene
oder halboffene Intervall, die Zahlenhalbachse oder die ganze Zahlengerade, oder aber auch in einem
Gebiet, das nur stückweise zusammenhängend ist, d.h. überall, außer in endlich vielen Punkten.
Integrale dieser verallgemeinerten Definition gehören zu den uneigentlichen Integralen (s. 8.2.3, S. 470).
2. Bestimmtes Integral als Grenzwert einer Summe
Der Grenzwert, der zum bestimmten Integral führt, wird wie folgt gebildet (Abb.8.1, S. 444)
1. Schritt: Das Intervall [a, b] wird durch n — 1 beliebige Teilpunkte sei, x2,..., £n-i in n
Elementarintervalle zerlegt, die so gewählt sind, daß einer der folgenden Fälle gilt*
a = xo < xi < X2 < • • • < Xi < - ¦ - < xn-i < xn = b (Fall A) oder (8 39a)
a = xq > Xi > x2 > - • • > Xi > • • • > xn_i > xn — b (Fall B) (8 39b)
2. Schritt: Im Innern oder auf dem Rande jedes der Elementarintervalle wird in Übereinstimmung
mit Abb.8.4 eine Zahl & ausgewählt.
Xi-i<ii<Xi (im Fall A) oder x^x > & > x{ (im Fall B) (8 39c)
3. Schritt: Die Werte / (&) der Funktion / (x) in diesen ausgewählten Punkten werden mit der
zugehörigen Differenz Axj_i = Xi — Xj_i, d.h. mit den Längen der Teilintervalle multipliziert, die im
Falle A mit positivem Vorzeichen, im Falle B mit negativem Vorzeichen zu nehmen sind. Auf diese
Weise entsteht für den Fall A das Bild der Abb.8.1, S. 444.
458 8. Integralrechnung
._ ^ ... AX1-1 AVl
« i^UV^ ^ '"IVI"'^ u> oo (A)
a=x0 | xj x2| x3 * * ' xM I xt xn.! I xn=b
Sl *2 ^3 5l ^n
Ax^ Ax14 Ax2 Axj Ax0
-oo -< ^~*—' ' ' i" o "i —IL-o-^p-H" <p ? oQ /ß\
b=Xn k-l' " Xl I Xl-1 " ' X3 I X2l *1 I X0=a
Abbildung 8.4
4. Schritt: Alle so gewonnenen n Produkte / (&) Axj_i werden addiert.
5. Schritt: Von der auf diese Weise entstehenden Zerlegungs- oder Zwischensumme, auch Riemann-
Summe genannt,
E/fö)Axi_1 ' (8.40)
»=1
wird der Grenzwert für den Fall berechnet, daß die Länge der Elementarintervalle Ax;_i gegen Null
strebt und demzufolge ihre Anzahl gegen oo. Auf Grund dieser Eigenschaft wird Axi-i auch als
infinitesimale Größe bezeichnet.
Wenn dieser Grenzwert existiert und unabhängig ist von der Wahl der Zahlen Xi und & , heißt er das
bestimmte RlEMANNsche Integral der betreffenden Funktion in dem gegebenen Intervall Man schreibt
dafür
b n
J f (s) dx = a Um^ ¦£ f F) Ax,_,. (8.41)
a n-»oo i=l
Die beiden Intervallgrenzen werden zu Integrationsgrenzen, sie legen das Integrationsintervall fest. Man
nennt a die untere, b die obere Integrationsgrenze; x heißt Integrationsvariable, f(x) Iniegrand
3. Existenz des bestimmten Integrals
Das bestimmte Integral einer im Intervall [a, b] stetigen Funktion ist stets definiert, d.h., der Grenzwert
(8.41) existiert und ist unabhängig von der Wahl der Zahlen xi und &. Auch für eine beschränkte
Funktion, die im Intervall [a, b] endlich viele Unstetigkeitsstellen besitzt, ist das bestimmte Integral
definiert. Man nennt eine Funktion, deren bestimmtes Integral in einem gegebenen Intervall existiert,
eine in diesem Intervall integrierbare Funktion.
8.2.1.2 Eigenschaften bestimmter Integrale
Die wichtigsten Eigenschaften der bestimmten Integrale, die im folgenden erläutert werden, findet man
zusammengefaßt in Tabelle 8.5.
1. Hauptsatz der Integralrechnung
Hauptsatz der Integralrechnung wird die Beziehung
f f(x)dx= f F'(x) dx = F(x)\ba = F{b)-F (a) (8 42)
a a
nnt, mit der die Berechnung eines bestimmten Integrals auf die Berechnung des zugehörigen un-
mmten Integrals, d.h auf die Ermittlung einer Stammfunktion zurückgeführt wird:
F{x)= ff{x)dx + C. (8.43)
8.2 Bestimmte Integrale 459
Tabelle 8.5 Wichtige Eigenschaften bestimmter Integrale
Eigenschaft
Hauptsatz der Integralrechnung
Vertauschungsregel
Gleiche Integrationsgrenzen
Intervallregel
Unabhängigkeit von der Bezeichnung
der Integrationsvariablen
Differentiation nach
variabler oberer Grenze
Mittelwertsatz der Integralrechnung
Formel
b
jf(x)dx =F(x)l=F(b)-F{a) mit
a
F(x) = J f(x) dx + C bzw. F'(x) = f{x)
b o
J f(x) dx = - J f(x) dx
a b
a
f f(x) dx = 0
a
beb
/ f(x) dx = / f(x) dx + f(x) dx
a a c
b b b
Jf(x)dx = jf(u)du = Jf(t)dt '
a a a
~/f(t)dt = f(x)
a
b
Jf(x)dx=(b-a)f@ (a<e<6)
a
2. Geometrische Interpretation und Vorzeichenregel
1. Fläche unter einer Kurve Für x in [o, b] sei f (x) > 0. Dann läßt sich die Summe (8.40) als
Gesamtinhalt von Rechtecken deuten (Abb.8.1, S. 444), durch die die Fläche unter der Kurve y = f (x)
angenähert wird Demzufolge ergibt der Grenzwert dieser Summe und damit das bestimmte Integral
den Inhalt der Fläche A, die von der Kurve y = f (x), der x-Achse und den Parallelen x = a und x = b
zur y-Achse begrenzt wird:
A= f f{x)dx = F{b)-F(a) (a < b und /(x) > 0 für a < x < b)
(8.44)
2. Vorzeichen- oder Flächenregel Wenn die Funktion y = f(x) im Integrationsintervall
abschnittsweise positiv oder negativ ist (Abb. 8.5), dann nehmen die Teilintegrale über den betreffenden
Teilintervallen, also auch die Teilflächen, positive oder negative Werte an, so daß die Integration über das
gesamte Intervall eine Flächendifferenz liefert.
In den folgenden Abb.8.5a bis d sind vier Fälle mit unterschiedlichen Möglichkeiten der Flächen-
Vorzeichenbildung dargestellt
¦ A: / sin x dx (lies Integral von x = 0 bis x = n) = — cos x\ = — cos n + cos 0 = 2 .
Jx=o l0
rx=2n |27r
¦ B: / sin x dx (lies Integral von x = 0 bis x = 2tt) = - cos = — cos 27r + cos 0 = 0 .
3. Variable obere Integrationsgrenze
1. Partikulärintegral Wenn die obere Grenze des Integrals variabel gelassen wird (Abb.8.6, Fläche
ABCD), dann ist die Fläche eine Funktion der oberen Grenze des Integrals, das dann Partikulärintegral
460 8. Integralrechnung
a b x
f(x)>0, a<b
a)
b a x
f(x)>0, a>b
f(x)<0, a>b
c)
Abbildung 8.5
d)
genannt wird. In diesem Falle eines variablen Flächeninhalts spricht man von einer Flächenfunktion in
der Form
S(x) = f f(t) dt = F{x) - F{a) (f(x) > 0 für x > a).
(8.45)
Um Verwechslungen mit der variablen Integrationsgrenze x zu vermeiden, wird hier bei der Darstellung
des Integranden die Integrationsvariable mit t bezeichnet.
2. Differentiation des bestimmten Integrals mit variabler obererGrenze Ein bestimmtes
Integral mit variabler oberer Integrationsgrenze / f(t) dt ist eine stetige Funktion F(x) dieser Integra-
Ja
tionsgrenze, d h. die Stammfunktion des Integranden-
F'(x) = f(x) oder £ j f(t) dt = f(x).
J.46)
Die geometrische Bedeutung dieses Satzes besteht darin, daß die Ableitung einer variablen Fläche S(x)
gleich der variablen Endordinate NM ist (Abb.8.7). Dabei sind sowohl die Fläche als auch die
Ordinate gemäß Vorzeichenregel mit Vorzeichen zu nehmen (Abb.8.5)
4. Zerlegung des Integrationsintervalls
Das Integrationsintervall [a, b] kann in Teilintervalle zerlegt werden Der Wert des bestimmten Integrals
über das gesamte Intervall wird dann gemäß
O C V
/ f(x) dx = f(x) dx + / f(x) dx
$.47)
berechnet (Intervallregel). Besitzt der Integrand eine endliche Zahl von Sprungstellen, dann wird das
Intervall durch sie in Teilintervalle aufgespaltet, in denen die Funktion stetig ist Das Gesamtintegral
kann mittels der Zerlegungsformel aus den Integralen über die Teilintervalle zusammengesetzt werden.
Hinweis: Formel (8 47) gilt auch, wenn c außerhalb von [a, b] liegt und auch in diesem Falle die Integrale
auf der rechten Seite von (8.47) existieren.
8.2.1.3 Weitere Sätze über Integrationsgrenzen
1. Unabhängigkeit von der Bezeichnung der Integrationsvariablen
Der Wert eines bestimmten Integrals ist unabhängig von der Bezeichnung der Integrationsvariablen
b b b
j f(x) dx = f f(u) du = f f{t) dt. (8 48)
8 2 Bestimmte Integrale 461
2. Gleiche Integrationsgrenzen
Der Wert des bestimmten Integrals ist Null, wenn die Integrationsgrenzen gleich sind-
/ f(x) dx =
0.
(8.49)
3. Vertauschung der Integrationsgrenzen
Eine Vertauschung der Integrationsgrenzen ändert das Vorzeichen des Integralwertes (Vertauschungs-
regel)
I f(x) dx = - I f(x) dx .
(8.50)
4. Mittelwertsatz und Mittelwert
1. Mittelwertsatz Wenn eine Funktion f(x) im Intervall [o, b] stetig ist, dann gibt es im Innern des
Intervalls mindestens einen Wert £ derart, daß im Falle A mit a < £ < b und im Falle B mit a > £ > b
gilt.
6
Jf(x)dx = (b-a)f(Z). (8.51)
m=«ö
Abbildung 8.6
Abbildung 8.7
Abbildung 8.8
Der geometrische Sinn dieses Satzes besteht darin, daß es zwischen den Punkten a und b einen Punkt
£ gibt, für den der Flächeninhalt der Figur ABCD gleich dem des Rechtecks AB'CD in Abb.8.8 ist.
Der Wert
1 )
m = / fix) dx (8.52)
b — a J
a
heißt Mittelwert oder das arithmetische Mittel der Funktion f(x) im Intervall [o, b].
2. Verallgemeinerter Mittelwertsatz Sind die Funktionen f(x) und (p(x) im abgeschlossenen
Intervall [a, b] stetig und ändert (p(x) in diesem Intervall sein Vorzeichen nicht, dann gibt es im Innern
des Integrationsintervalles mindestens eine Zahl f , so daß gilt*
b b
Jf(x)tp(x)dx = f(S)J<p(x)dx (a<£<b) (8.53)
a a
5. Abschätzung des bestimmten Integrals
Die Hauptmethode zur Berechnung eines bestimmten Integrals ist der Weg über den Hauptsatz der
Integralrechnung, d h die Berechnung des unbestimmten Integrals (s. 8 2 1.2,1., S. 458), z.B. unter
Benutzung von Tabelle 21.7, S. 1053ff. Dabei ist darauf zu achten, ob beim Einsetzen der Grenzen
uneigentliche Integrale entstehen.
462 8. Integralrechnung
Der Wert eines bestimmten Integrals liegt zwischen den Produkten des
kleinsten und des größten Funktionswertes m und M des Integranden im Intervall
[a, b] mit der Länge des Integrationsintervalls:
b
m(b -a)< f f(x) dx < M(b - a) (8.54)
a
Die geometrische Bedeutung dieses Satzes ist an Hand der Abb.8.9 zu
erkennen.
8.2.1.4 Berechnung bestimmter Integrale
1. Hauptmethode
Heute werden verbreitet Computeralgebrasysteme zur analytischen Berechnung von unbestimmten
und bestimmter Integralen eingesetzt (s Kapitel 20.1), S. 982fT.
2. Umformung bestimmter Integrale
Durch geeignete Umformung können bestimmte Integrale in vielen Fällen mittels der
Substitutionsregel und der Methode der partiellen Integration berechnet werden
Abbildung 8 9
A: Einsatz der Substitutionsregel für / = / Va2 — x2 dx.
Jo
1 Substitution: x = (p(t) = asint, t = ip(x) — aresin - , ^@) = 0, ip(a) = — . Es ergibt sich.
rrc/2
ra /-arcsin 1 i rTC/2 rir/2 \
1= Va2 -x2dx= / a2\/l-sin2 tcostdt = a2 cos2tdt = a2 -A+cos2t) dt
Jo ./aresin 0 Jo Jo 2
2. Substitution: t = ip{z) = * , z = tp(t) = 2t, -0@) = 0, V (tH = * • Es ergibt sich:
: <p(z) = 2'z'~
ir/2 Q2
+
0
a2 r*
T Jo
cos zdz = ——h —- sin z\
4 4
na
~
¦ B: Methode der partiellen Integration: / xex dx = xex\ — ex dx = e - (e - 1) = 1
Jo 'o ./o
3. Methoden zur Berechnung komplizierter Integrale
Wenn die Berechnung eines unbestimmten Integrals sehr kompliziert ist oder wenn es sich nicht durch
elementare Funktionen ausdrücken läßt, dann ist es in einer Reihe von Fällen durch Anwendung
verschiedener Methoden (manchmal „Kunstgriffe" genannt) trotzdem möglich, den Wert des Integrals zu
berechnen. Dazu gehören die Integration von Funktionen mit komplexen Veränderlichen (s die
Beispiele in 14.4.1, S 717 und 14.4.2, S 717ff bis 14.4.3.2,5., S 720) oder der Satz über die Differentiation
eines Integrals nach einem Parameter (s. 8.2.4, S. 476)'
"'df^- (855)
d r r, . , tdf(x,t)J
M I = f ^ dx. Parametereinführung t. F(t) = / ^ dx; F@) = 0, F(l) = /. Anwen-
7o lnx Jo \nx
f*xx\ fPM dF fld\xt-1]^ [lxl\nx. yi t 1 t+l\l
düng von (8 55) auf Fit) - —r- = / tt -; dx = — dx = / xl dx = x+ \ =
v ' K ' dt Jo dt [ \nx J Jo lux Jo t+1 |0
-^— Integration: F(t) - F@) = C —~ = ln(t -H 1)|* = ln(i + 1). Ergebnis. I = F(l) = In2.
4. Integration durch Reihenentwicklung
Wenn der Integrand f(x) im Integrationsintervall [a, b] in eine gleichmäßig konvergente Reihe
f(x) = ip^x) + <p2(x) + • ¦ • + <p„(x) + • • • (8 56)
8 2 Bestimmte Integrale 463
entwickelt werden kann, dann läßt sich das Integral in der Form
/ f(x) dx = / ipi(x) dx+ <p2(x) dx-\ 1- / ipn(x) dx-\ (8 57)
schreiben. Auf diese Weise kann das bestimmte Integral als konvergente numerische Reihe dargestellt
werden.
6 6 6 6
/ f(x) dx = ipi(x) dx + / (f2(x) dx + • • + / <Pn(x) dx-\ . (8.58)
a a a a
Im Falle leicht zu integrierender Funktionen ipk(x), wenn z.B f(x) in eine Potenzreihe entwickelt wer-
rb
den kann, die im Intervall [a, b) gleichmäßig konvergiert, kann das Integral / }(x)dx mit beliebiger
Ja
Genauigkeit berechnet werden.
/•1/2 2
¦ Das Integral / = / e~x dx ist mit einer Genauigkeit von 0,0001 zu berechnen. Die Reihe e~x =
Jo
1 — tt + §T — %r + TT konvergiert gemäß Satz von Abel (s. S. 432) in jedem beliebigen endlichen
Intervall gleichmäßig, so daß
,1/2
Damit
folgt / = /
Jo
x dx
/2 ( XÄ
e~x dx = x I 1 - —
x
3 + 2T5
3!-7
1
4!-9
gilt.
2a • 1! • 3 24-2'-5 2e • 3» • 7 28 • 4! • 9 '")
= ^ f 1 — j2 + jkn ~ 2688 ~*" 55296 — ") ' ^m ^e^ ^er Berecnnung des Integrals eine Genauigkeit
von 0,0001 zu erreichen, genügt es, in Übereinstimmung mit dem Satz von Leibniz über alternierende
Reihen (s 7 2 3 3,1., S. 426) die ersten vier Glieder der Reihenentwicklung zu berechnen:
i i r1/2 2
I « £A - 0,08333 + 0,00625 - 0,00037) = § • 0,92255 = 0,46127, / e~x dx = 0,4613.
5. Graphische Integration
Die graphische Integration ist eine graphische Verfahrensweise, um die als Kurve AB (Abb.8.10) gege-
rb
bene Funktion y = f(x) zu integrieren, d.h das Integral / f(x) dx, das die Größe der Fläche M0ABN
Ja
angibt, graphisch zu berechnen:
Abbildung 8.10
1. Das Intervall M0N wird durch die Punkte
^i/2, Xu Z3/2, x2,..., xn-uXn-i/2 (8 59a)
in 2n gleiche Teile eingeteilt, wobei das Ergebnis um so genauer
ausfällt, je größer die Anzahl der Teilungspunkte ist.
2. In den Teilungspunkten
Zl/2,Z3/2,-.-,£n-l/2 (8.59b)
werden Lote bis zum Schnitt mit der Kurve errichtet. Die so gewon-
nenen Ordinatenwerte werden als Strecken OAi,OA2,..., OAn auf
der y-Achse abgetragen.
3. Auf der negativen x-Achse wird eine Strecke OP von
beliebiger Länge abgetragen, und der Punkt P wird mit den Punkten
Ai,A2,...,An verbunden.
4. Durch den Punkt Mo wird eine Parallele zu PA\ gezogen. Diese
schneidet die im Teilungspunkt X\ errichtete Senkrechte im Punkt
Mi. Durch den Punkt M\ wird die Parallele zu PA2 gezogen Diese schneidet die im Teilungspunk,t X2
errichtete Senkrechte im Punkt M2 , usw. bis der Punkt Mn erreicht ist.
464 8. Integralrechnung
Zahlenmäßig ist das zu berechnende Integral gleich dem Produkt aus den Längen der Strecken OP und
/
f(x) dx = OP- NMn . (8 60)
Mit Hilfe der beliebig wählbaren Strecke OP werden die Ausmaße der Zeichnung bestimmt, je kleiner
die zulässigen Abmessungen der Zeichnung sind, desto größer ist OP zu wählen. Für OP = 1 ergibt sich
/ f(x) dx = NMn , und der Polygonzug M0, Mi, M2,..., Mn entspricht angenähert dem Kurvenbild
Ja
der Stammfunktion von f(x), d.h. dem unbestimmten Integral / f(x) dx
6. Planimeter und Integraphen
Planimeter sind Geräte zur Ermittlung des Flächeninhaltes beliebiger geschlossener ebener Kurven,
also auch des bestimmten Integrals einer Funktion y = f(x), die durch ihre Kurve gegeben ist.
Spezielle Planimeter ermöglichen nicht nur die Berechnung des Integrals ydx, sondern auch der Integrale
/ y2 dx und / y3 dx .
Integraphen sind Geräte, mit deren Hilfe das Kurvenbild einer Stammfunktion Y = / f(t)dt gezeich-
Ja
net werden kann, wenn das Kurvenbild einer vorgegebenen Funktion y = f(x) bekannt ist (s. [19 35])
7. Numerische Integration
Wenn der Integrand eines bestimmten Integrals sehr kompliziert ist, sich nicht elementar integrieren
läßt oder nur in Form von diskreten Funktionswerten vorliegt, z.B. als Wertetabelle, dann sind
sogenannte Quadraturformeln und andere Methoden der numerischen Mathematik anzuwenden (s 19 3 1,
S 925
8.2.2 Anwendungen bestimmter Integrale
8.2.2.1 Allgemeines Prinzip zur Anwendung des bestimmten Integrals
1. Zerlegung der zu berechnenden Größe in eine sehr große Anzahl hinreichend kleiner, d.h. inifmite-
simaler Größen-
A = a1 + o2 + • • • + an (8.61)
2. Ersetzen jeder dieser infinitesimalen Größen a^ durch eine Größe äi, die in ihrer Form nur wenig
von üi abweicht und deren Berechnung nach einer bekannten Formel möglich ist. Dabei soll der Fehler
ai = üi — äi gegenüber a^ und äi eine infinitesimale Größe höherer Ordnung sein.
3. Darstellung der Größe äi durch eine Variable x und eine Funktion f(x), die so gewählt werden, daß
äi die Gestalt f(xi) Ax{ annimmt.
4. Berechnung der gesuchten Größe als Grenzwert der Summe
)
A = jHSo S äi = iHä, S f(Xi)Axi = / f(X) dx ' (8-62)
wobei Axi > 0 für alle i gelten muß. Mit a und b sind die Randwerte von x bezeichnet.
¦ Berechnung des Rauminhalts einer Pyramide der Grundfläche S und der Höhe H (Abb.8.11a-c):
a) Zerlegung des zu berechnenden Rauminhaltes V durch ebene Schnitte in Volumina dünner
Pyramidenstümpfe (Abb.8.IIa) V = v\ + v2 H \-vn.
b) Ersetzen eines jeden Pyramidenstumpfes durch ein Prisma mit dem Volumen Vi mit der gleichen
8.2 Bestimmte Integrale 465
c) Darstellung der Volumenformel Vi in der Form vt =
SiAhi, wobei h* (Abb.8.11c) der Abstand der "oberen
Fläche von der Pyramidenspitze ist Wegen S* : S = h2 : H2
Sh2
kann man schreiben Vi = -jjj- A/i;.
d) Berechnung des Grenzwertes der Summe
1/ i- ^~ i- V-57!? loh
V = hm > Vi = lim > —s- A/i* = -—,
7 ^=-3- • a)
8.2.2.2 Anwendungen in der Geometrie
AK
brw c)
Abbildung 8.11
Höhe und einer Grundfläche, die gleich der oberen Grundfläche des Pyramidenstumpfes ist (Abb.8.1 lb).
Die Volumenabweichung ist eine infinitesimale Größe von höherer Ordnung als Vi.
1. Flächeninhalte ebener Flächen
1. Flächeninhalt eines zwischen den Punkten B und C krummlinig begrenzten Trapezes
(Abb.8.12a) bei explizit (y = f(x) und a < x < b) bzw. in Parameterform (x = x(t), y = y(t), ti <
t <t2) gegebener Kurvengleichung.
Sabcd = I f(x) dx = J y{t)x'{t) dt.
(8 63a)
2. Flächeninhalt eines zwischen den Punkten G und H krummlinig begrenzten Trapezes
(Abb.8.12b) bei explizit (x = g(y) und a < y < ß) bzw in Parameterform (x = x(t), y = y(t), ti <
t < £2) gegebener Kurvengleichung
p ^2
Sefgh = J g{y) dy = J x{t)y'{t) dt
(8.63b)
3. Flächeninhalt eines Kurvensektors (Abb.8.12c), begrenzt durch ein Kurvenstuck zwischen
den Punkten K und L, das mit einer in Polarkoordinaten gegebenen Kurvengleichung (p = p((p),
¥>i < <£ < V2) beschrieben wird*
1 ¥>2
SoKL = X ] P2&P
(8.63c)
Flächeninhalte von komplizierteren Figuren werden mit Hilfe des Kurvenintegrals (s. S. 479) oder des
Doppelintegrals (s. 8.4.1, S. 488) berechnet.
dx b x
b) 0|
Abbildung 8.12
c) u <Pi <P2
466 8. Integralrechnung
2. Bogenlängen ebener Kurven
1. Bogenlänge einer Kurve zwischen zwei Punkten (I) A und B , die explizit (y = f(x) bzw
x = g{y)) oder in Parameterform (x = x(t), y = y(t)) gegeben ist (Abb.8.13a)-
0 P 12
¦¦Jyjl + [f'(x)Ydx = J J{g'(yW + ldy = j^[x'(t)Y + [?/(t)]:
dt
(81
Mit dem Differential der Bogenlänge dl ergibt sich
L= I dl mit dl2 = dx2 + dy2. (8.64b)
¦ Ellipsenumfang gemäß (8 64a) Mit den Substitutionen x = x(t) = asint, y = y(t) = bcost
erhält man L^ = / Ja2 — (a2 — b2) sin2 tdt = a v/1 — e2 sin21 dt, wobei e = y/a2 — b2/a die
ab Jti v Jti
numerische Exzentrizität der Ellipse ist
Mit den Integrationsgrenzen für den 1 Quadranten t± = 0, t2 = tt/2 gemäß x = 0, y = b
rir/2 I 7j-
bzw. x = a,y = 0 gilt L^ = a yl — e2sin2tdt = aE(kJ—) mit k = e Der Integralwert
ab Jo 2
E(k, ^) wird aus Tabelle 21.9, S 1091 ermittelt (s. Beispiel in 8 1.4.3, S. 454).
2. Bogenlänge einer Kurve zwischen zwei Punkten (II) C und D , gegeben in Polarkoordinaten
(p = p(ip)) (Abb.8.13b):
dp
cd j \r \d<p
dy>.
Mit dem Differential der Bogenlänge dZ ergibt sich
L= I dl mit d/2 = p2d(f>2 + dp2 .
5.64c)
5 64d)
a) Ol
(pl(p2
Abbildung 8.13
3. Mantelflächen von Rotationskörpern (s auch 1 Guldinsche Regel, S. 469)
1. Flächeninhalt eines durch Rotation der Kurve y = f(x) um die x-Achse entstehenden Mantels
(Abb.8.14a):
b
S = 2./I/«fl = 2./»(x)Jl+y
dx.
5 65a)
2. Flächeninhalt eines durch Rotation der Kurve x = f(y) um die ?/-Achse entstehenden Mantels
(Abb.8.14b)
S = 2tt f xdl = 2ir I' x(y)<
-a*
5.65b)
8 2 Bestimmte Integrale 467
y
0
a)
i
dl^.
aillL
liwf
d*>
i**~
' X
dlW
b)
yj
öfi
o|
^ __
f-x—
TaJL
T
^/|
T3
X
Abbildung 8 14
Zur Berechnung von Flächen, die kompliziertere Körper begrenzen, s. Anwendung von
Doppelintegralen, 8 4 1 3, S 494 und Anwendungen des Oberflächenintegrals 1. Art, 8.5.1 3, S. 499 Allgemeine
Formeln zur Berechnung von Flächen mit Hilfe von Doppelintegralen sind in der Tabelle 8.9
Anwendungen von Doppelintegralen, S 494 angegeben
4. Volumina (s. auch 2. Guldinsche Regel, S. 470)
1. Volumen eines rotationssymmetrischen Körpers bei Drehung um die x-Achse (Abb.8.14a):
V ¦
¦nfy2
dx.
(8.1
2. Volumen eines rotationssymmetrischen Körpers bei Drehung um die y-Achse (Abb.8.14b):
= 7T / x2 dy.
(8.66b)
3. Volumen eines Körpers, wenn der Flächeninhalt seines senkrecht zur x-Achse gelegten Querschnitts
(Abb.8.15) eine Funktion S = f{x) ist:
b
V=ff(x)dx. (8.67)
a
Hinweise: _ _
1. Cavalierisches Prinzip: Existiert im Intervall [a, b] eine zweite Querschnittsfunktion S = f(x),
die für jeden Abszissenwert x denselben Wert hat wie f(x), so sind die Volumina V gemäß (8 67) und
V = Ja f(x) einander gleich
2. Tabellen: Allgemeine Formeln zur Berechnung von Volumina mit Hilfe von Mehrfachintegralen sind
in Tabelle 8.9 (Anwendungen von Doppelintegralen, S. 494) und Tabelle 8.10 (Anwendungen von
Dreifachintegralen, S 497) angegeben
8.2.2.3 Anwendungen in Mechanik und Physik
1. Weg eines Punktes
Der Weg eines Punktes, zurückgelegt in der Zeit t0 bis T, ergibt sich bei zeitabhängiger Geschwindigkeit
V = f(t) ZU
T
s= fvdt (8.68)
*o
2. Arbeit
Die Arbeit bei Bewegung eines Körpers in einem Kraftfeld soll berechnet werden Sind Kraft- und
Bewegungsrichtung konstant und fallen beide zusammen, dann kann die x-Achse in Kraft- bzw. Be-
468 8. Integralrechnung
S=f(x)
yi(x)t=}y2(x)
Abbildung 8.15
Abbildung 8.16
wegungsrichtung gelegt werden Ist der Betrag der Kraft F veränderlich, d.h. gilt |F| = f(x), dann
erhält man für die Arbeit W , die zur Verschiebung des Körpers längs der x-Achse vom Punkt x = a
zum Punkt x = b notwendig ist:
W
-/zw
dx
$.69)
Im allgemeinen Fall, wenn Kraft- und Bewegungsrichtung nicht ubeinstimmen, wird die Arbeit als
Kurvenintegral (s. 8.3 4, S 486, Formel (8 134)) über das Skalarprodukt aus Kraft und Weg in jedem
Punkt r längs des vorgegebenen Weges berechnet
3. Druck
In einer ruhenden Flüssigkeit mit der Dichte q unterscheidet man den Schweredruck und den
Seitendruck. Letzteren übt die Flüssigkeit auf eine Seite einer Platte aus, die senkrecht in sie eingetaucht ist
Beide nehmen mit der Tiefe zu.
1. Schweredruck Der Schweredruck ph in einer Tiefe h beträgt:
Vh = Qgh, (8.70)
wobei g die Fallbeschleunigung ist.
2. Seitendruck Der Seitendruck ps z.B. auf den Deckel einer seitlichen AusflußöfTnung eines
Flüssigkeitsbehälters mit dem Tiefenunterschied h\ — h^ (Abb.8.16)beträgt:
ps = gg J x[y2{x) - yi(x)] dx (8 71)
Mit den Funktionen y\(x) und 2/2(#) wird der linke bzw. rechte Rand des Deckels beschrieben.
4. Trägheitsmomente
1. Trägheitsmoment eines Bogenstücks Das Trägheitsmoment einer homogenen Kurve y = f(x)
mit der konstanten Dichte g im Intervall [a, b] bezuglich der ^/-Achse (Abb.8.17a) ergibt sich zu
0 0
Iy = g f x2dl = g f x2yfl + {y'Jdx.
(8 72)
Ist die Dichte eine Funktion g(x), dann muß ihr analytischer Ausdruck in die Integration einbezogen
werden.
2. Trägheitsmoment einer ebenen Figur Das Trägheitsmoment einer homogenen ebenen Figur
mit der Dichte g bezüglich der y-Achse, wobei y die Länge des zur ?/-Achse parallelen Schnittes ist
8 2 Bestimmte Integrale 469
y'
a) 0
b
x j^
a
X
b) 0
Abbildung 8.17
dx b
(Abb.8.17b), ergibt sich zu
b
Iy = q x2ydx
(8.73)
(S. auch Tabelle 8.9, Anwendungen von Doppelintegralen, S. 494)). Im Falle der Ortsabhängigkeit
der Dichte muß der analytische Ausdruck in die Integration einbezogen werden.
y<
yc
0
i
A'
^
\ X
c b x
y1
yc
0
i
^jgg
xc
%
w
B
X
b)
c)
Abbildung 8.18
5. Schwerpunkte, Guldinsche Regeln
1. Schwerpunkt eines Bogenstückes Der Schwerpunkt C eines Bogenstuckes einer homogenen
ebenen Kurve y = f(x) im Intervall [a, b] mit der Länge L (Abb.8.18a) ergibt sich unter
Berücksichtigung von (8 64a), S. 466 zu:
6 b
/ xyjl + y'2 dx l yyjl + y'2 dx
xc = ^ j , yc = ^ Z (874)
2. Schwerpunkt einer geschlossenen Kurve Der Schwerpunkt C einer geschlossenen Kurve y =
f(x) (Abb.8.18b) mit den Gleichungen y\ = f\(x) für den oberen und y2 = J2(x) für den unteren
Kurventeil und der Gesamtlänge L ergibt sich zu:
Jx{y/l + to.)* + y/l + toJ)
dx
J(y^i + (y'iJ + »V1 + dÄ)a)dx
xc = ¦
yc-
(8.75)
3. Erste Guldinsche Regel Die Oberfläche 5ro^ eines Körpers, die bei Rotation eines ebenen
Kurvenstückes um eine Achse entsteht, die in der Ebene dieser Kurve liegt und die Kurve nicht
schneidet, ist gleich dem Produkt aus dem Umfang des Kreises, den der Schwerpunkt des Kurvenstückes
bei der Rotation im Abstand yc von der Umdrehungsachse beschreibt, also 2iryc , und der Länge des
470 8 Integralrechnung
Kurvenstuckes L
SIot = L2iryc (8 76)
4. Schwerpunkt eines Trapezes Der Schwerpunkt C eines homogenen, zwischen den
Kurvenpunkten A und B krummlinig begrenzten Trapezes (Abb.8.18c) mit dem Flächeninhalt S des Trapezes und
der Gleichung y = f(x) des Kurvenstückes AB ergibt sich zu:
b b
xydx \ y2 dx
5. Schwerpunkt einer beliebigen ebenen Figur Der Schwerpunkt C einer beliebigen ebenen
Figur (Abb.8.18d) mit der Fläche S, oben und unten begrenzt durch Kurven mit den Gleichungen
Vi = fi{x) bzw. y2 = f2(x), ergibt sich zu
1
J x(yi - y2) dx - J(y\ - y\) dx
xc = * g , Vc = — s (8-78)
Formeln zur Berechnung von Schwerpunkten mit Hilfe von Mehrfachintegralen sind in Tabelle 8.9,
Anwendung von Doppelintegralen, S. 494) und in Tabelle 8.10, Anwendung von Dreifachintegralen,
5. 497) angegeben.
6. Zweite Guldinsche Regel Der Rauminhalt eines Körpers V , der bei Rotation einer ebenen
Figur um eine Achse entsteht, die in der Figurenebene liegt und die Figur nicht schneidet, ist gleich dem
Produkt aus dem Umfang des Kreises, den der Schwerpunkt dieser Fläche bei der Rotation beschreibt,
also 2iryc , und dem Flächeninhalt der Figur S:
Vmt = S.2iryc. (8 79)
8.2.3 Uneigentliche Integrale, Stieltjes— und Lebesgue—Integrale
8.2.3.1 Verallgemeinerungen des Integralbegriffs
Der Begriff des bestimmten Integrals (s. 8.2.1.1, S. 457) ist als RiEMANN-Integral (s. 8.2.1.1,2., S. 458)
unter der Voraussetzung einer beschränkten Funktion f(x) und eines abgeschlossenen
Integrationsintervalls [a, b] eingeführt worden. Diese beiden Voraussetzungen waren Ansatzpunkte für
Verallgemeinerungen des RiEMANNschen Integralbegriffs. Im Folgenden werden einige genannt.
1. Uneigentliche Integrale
stellen eine Erweiterung des Integralbegriffs auf unbeschränkte Funktionen und auf unbeschränkte
Integrationsintervalle dar Sie werden in den anschließenden Abschnitten Integrale mit unendlichen
Integrationsgrenzen und Integrale mit unbeschränktem Integranden behandelt.
2. Stieltjes-Integral für Funktionen einer Veränderlicher
Es wird von zwei endlichen Funktionen f(x) und g(x) ausgegangen, die auf dem endlichen Intervall [a, b]
definiert sind Wie beim RiEMANN-Integral wird das Intervall in Elementarintervalle zerlegt, aber an
Stelle der RiEMANNschen Zwischensumme (8.40) wird
£,mMxi)-9(xi-i)] (8 80)
t=l
gebildet. Wenn der Grenzwert von (8.80) für den Fall, daß die Länge der Elementarintervalle gegen Null
strebt, existiert, und zwar unabhängig von der Wahl der Punkte x% und & , dann wird dieser Grenzwert
als bestimmtes Stieltjes- Integralbezeich.net (s. [8.14], [8.19]).
¦ Für g(x) = x geht das STIELTJES-Integral in das RiEMANN-Integral über.
8 2 Bestimmte Integrale 471
3. Lebesgue-Integral
Eine weitere Erweiterung des Integralbegriffs erfolgt im Zusammenhang mit der Maßtheorie (s. 12.9,
S. 655), in der das Maß einer Menge, Maßräume und meßbare Funktionen eingeführt werden. In der
Funktionalanalysis wird das LEBESGUE-Integral (s 12 9 3.2, S. 658) auf der Basis dieser Begriffe
definiert (s. [8 10]) Eine Verallgemeinerung gegenüber dem RlEMANN-Integral besteht z B darin, daß
der Integrationsbereich eine Teilmenge des Rn sein kann und in meßbare Teilmengen zerlegt wird
Die Bezeichnungen für die Verallgemeinerungen des Integralbegriffs sind nicht einheitlich
(s [8 14]).
8.2.3.2 Integrale mit unendlichen Integrationsgrenzen
1. Definitionen
a) Wenn das Integrationsgebiet die abgeschlossene Halbachse [a, +oo) ist, und wenn der Integrand dort
definiert ist, dann gilt definitionsgemäß
+oo B
f f(x)dx = lim [f(x)dx. (8.81)
J B->ooJ
a a
Im Falle der Existenz des Grenzwertes spricht man von einem konvergenten uneigentlichen Integral Im
Falle der Nichtexistenz des Grenzwertes wird (8.81) als divergentes Integral bezeichnet.
b) Wenn das Definitionsgebiet einer Funktion die abgeschlossene Halbachse (—oo, b] oder die gesamte
Zahlengerade (—oo, +oo) ist, dann definiert man analog
b b +oo B
f f{x) dx = lim / f(x) dx, (8.82a) I f(x) dx = hrn^ f f(x) dx (8 82b)
-oo A -oo ß-*°° A
c) Beim Grenzübergang (8.82b) streben die Zahlen A und B unabhängig voneinander gegen unendlich.
Wenn der Grenzwert (8.82b) dabei nicht existiert, dafür jedoch der Grenzwert
lim
A—»oo „
-A
[ f(x) dx, (8 82c)
> J
-A
dann heißt dieser Grenzwert (8.82c) Hauptwert des uneigentlichen Integrals.
2. Geometrische Bedeutung des Integrals mit unendlichen Integrationsgrenzen
Die Integrale (8.81), (8 82a) und (8.82b) sind jeweils die. Grenzwerte der Flächeninhalte der Figuren,
die in den Abb.8.19 dargestellt sind.
/•oo rlnr rB (Inr
¦ A: / — = lim / — = lim \uB = oo, (divergent).
_ „ f°° dx ,. [B dx (\ 1\ 1 ,,
¦ B: / — = hm / — = hm - — —=-, (konvergent)
h x2 ß-oo72 x2 B-00V2 BJ 2' v 6 J
/^"°° dx fB dx 7T / 7T\
=¦ = lim / = lim farctan B — arctan Ä\ = — — ( — — 1 = 7r, (konver-
-00 1 + x2 fr» Ja 1 + x2 £--~l j 2 V 2) y
B—> + oo B—»+00
gent).
3. Hinreichende Konvergenzkriterien
Wenn sich die unmittelbare Berechnung der Grenzwerte (8 81), (8 82a) und (8 82b) schwierig gestaltet
oder wenn lediglich nach der Konvergenz oder Divergenz eines uneigentlichen Integrals gefragt ist, dann
kann eines der folgenden hinreichenden Kriterien benutzt werden. Hier wird lediglich das Integral (8 81)
betrachtet Das Integral (8.82a) kann durch Substitution von x durch — x auf das Integral vom Typ
472 8. Integralrechnung
y-
0
*
^^^^^
\
r
0
a)
+
a A + +
w yyy~ x
f- /f(x)dx
a
b
(f(x)dx
b)-oo
Abbildung 8 19
(8.81) zurückgeführt werden
a +oo
j f(x)dx= //(-*)
dx.
(8 83)
Das Integral vom Typ (8.82b) wird in eine Summe aus zwei Integralen vom Typ (8 81) und vom Typ
(8.82a) zerlegt-
f f(x) dx = j f{x) dx+ J f(x) dx ,
wobei c eine beliebige Zahl ist.
1. Kriterium: Wenn das Integral
+oo
dx
j I fix) I
5 84)
5 85)
existiert, dann existiert auch das Integral (8 81) Das Integral (8 81) heißt in diesem Falle
absolutkonvergent und die Funktion f(x) absolutintegrierbar auf der Halbachse [a, +oo)
2. Kriterium: Gilt für die Funktionen f(x) und ip(x)
f(x) > 0, <p(x) > 0 und f(x) < ip(x) für a < x < +oo , (8 86a)
dann darf von der Konvergenz des Integrals
+oo +oo
/ ip(x) dx (8.86b) auf die Konvergenz des Integrals / f(x) dx (8 86c)
geschlossen werden und umgekehrt von der Divergenz des Integrals (8.86c) auf die Divergenz des
Integrals (8 86b)
8 2 Bestimmte Integrale 473
3. Kriterium: Setzt man für ip(x) in (8.86a)
V(x) = JL (8.87a)
und berücksichtigt man, daß das Integral in (8.87b) für a > 0, a > 1 gegen den dort angegebenen Wert
konvergiert,
+oo
/dx 1
— = 7 für a > 0,a > 1, (8.87b)
xa (a - l)aa~l ' v ;
während es für a < 1 divergiert, dann kann aus dem 2. Konvergenzkriterium ein weiteres hergeleitet
werden
Wenn f(x) in a < x < oo eine positive Funktion ist und wenn eine Zahl a > 1 existiert, so daß für
hinreichend große x
f(x) xa < oo (8.87c)
gilt, dann konvergiert das Integral (8.81). Wenn allerdings f(x) positiv ist und eine Zahl a < 1 existiert,
so daß
f(x) xa>c>0 (8.87d)
von einer gewissen Stelle an gilt, dann divergiert das Integral (8.81).
r+oo ^/2 dx 1 X^^2 m X2
¦ / . Setzt man a = - , dann ergibt sich x1' — r —? 1. Das Integral ist
k 1 + x2 2 6 l + x2 l + x2
divergent.
4. Zusammenhang zwischen uneigentlichen Integralen und unendlichen Reihen
Wenn xi, x2,..., xn,... eine beliebige, unbegrenzt wachsende unendliche Folge ist, d.h., wenn gilt
a < x\ < x2 < - • • < xn < • • - mit lim xn = oo, (8.88a)
n—>-+oo
und wenn die Funktion f(x) positiv für a < x < oo ist, dann kann die Frage nach der Konvergenz des
Integrals (8.81) auf die Frage nach der Konvergenz der Reihe
Xl X2 Xn
ff(x)dx+ If(x)dx + --+ f f(x)dx + -- (888b)
a x\ xn-\
zurückgeführt werden. Wenn die Reihe (8.88b) konvergiert, dann konvergiert auch das Integral (8.81)
und es ist dann gleich der Summe der Reihe (8 88b) Divergiert die Reihe (8.88b), dann divergiert auch
das Integral (8.81). Somit können die Konvergenzkriterien für Reihen auch zur
Konvergenzuntersuchung von Integralen eingesetzt werden. Beim Integralkriterium für Reihen (s. 7.2.2.4, S. 425) wird
umgekehrt die Konvergenzuntersuchung der Reihen auf die Untersuchung der Konvergenz eines
uneigentlichen Integrals zurückgeführt.
8.2.3.3 Integrale mit unbeschränktem Integranden
1. Definitionen
1. Rechts offenes oder abgeschlossenes Definitionsintervall Die Definition des uneigentlichen
Integrals für eine Funktion f(x), die ein rechts offenes Definitionsintervall [a, b) oder ein
abgeschlossenes Definitionsintervall [a, b] besitzt, aber im Punkt b den Grenzwert lim f(x) = oo hat, lautet in
x—*b—0
beiden Fällen.
b b-e
! }{x) dx = lim f f(x) dx. (8.89)
a a
Wenn dieser Grenzwert existiert, dann existiert bzw. konvergiert auch das Integral (8.89), und man
spricht von einem konvergenten uneigentlichen Integral. Existiert der Grenzwert nicht, dann existiert
474 8 Integralrechnung
bzw konvergiert auch das Integral nicht, und man spricht von einem divergenten uneigenthchen
Integral.
2. Links offenes oder abgeschlossenes Definitionsintervall Die Definition des uneigentlichen
Integrals für eine Punktion f(x), die ein links offenes Definitionsintervall (a, b] oder ein abgeschlossenes
Definitionsintervall [a,b] besitzt, aber im Punkt a den Grenzwert lim f(x) = oo besitzt, erfolgt in
Analogie zur Definition (8 89) •
b b
/ f(x) dx = lim / f(x) dx .
5.90)
3. Zwei halboffene angrenzende Definitionsintervalle Die Definition des uneigentlichen
Integrals für eine Funktion f(x), die im gesamten Intervall [a, b] definiert ist, ausgenommen einen inneren
Punkt c mit a < c < b, d.h , für eine Funktion f(x), die in zwei angrenzenden halboffenen Intervallen
[a, c) und (c, b] definiert ist, aber im Punkt c nicht beschränkt ist, lautet:
/ f(x) dx = lim / f(x) dx + lim / f(x) dx
5 91a)
Dabei streben die Zahlen e und S unabhängig voneinander gegen Null Wenn der Grenzwert (8 91a)
nicht existiert, wohl aber
lim
£^0
{c-e b
j f{x)dx+ j
a c+e
f{x) dx
(8 91b)
dann heißt der Grenzwert (8 91b) der Hauptwert des uneigenthchen Integrals oder auch CAVCHYscher
Hauptwert
a)s (8.89)
b)s (8.90)
Abbildung 8 20
c)s (8 91a)
2. Geometrische Bedeutung
Die geometrische Bedeutung der Integrale unstetiger Funktionen (8.89), (8.90) und (8.91a) besteht
darin, daß mit ihnen Flächeninhalte von Figuren ermittelt werden, die sich längs einer vertikalen
Asymptote ins Unendliche erstrecken, wie sie in Abb.8.20 dargestellt sind.
rb dx
¦ A: / -7=; Fall (8.90), singulärer Punkt bei x = Q.
Jo \Jx
fi dx fb dx /— /—
/ —= = lim / -= = limBV6 - 2 Je) = 2Vb (konvergent).
JO yfi e^OJe yß £-0V ' V '
¦ B: / tanxdx , Fall (8 89), singulärer Punkt bei x = — .
Jo 2
8.2 Bestimmte Integrale 475
/>7t/2 /.Tr/2-e r /n \i
/ tan xdx = lim / tan xdx = lim In cos 0 — In cos ( — — e) = oo (divergent).
/8 dx
—= , Fall (8 91a), singulärer Punkt bei x = 0.
-i \Ac
/8 -$= = lim r ^= + lim /8 ^L = lim ?(£2/3 - 1) + lim ?D - ö2'*) = ? (konvergent).
/2 2xdx
——- ; Fall (8 91a), singulärer Punkt bei x = ±1.
-2 x2 - 1
f2 2xdx ,. r-i-e ,. f1-" ,. r2
/ -s = hm / + hm / + hm /
7-2 r - 1 Z-+0J-2 *-° J-l+S 7^0 7i+
/•2 2zcfo ,. /•-!-£ . ,. r1-» . ,. r2
= Urning2 - 1)|~ _£ + • • • = lim[ln(l 4- 2e + e2 - 1) - In3] + • • • = oo (divergent).
3. Über die Anwendung des Hauptsatzes der Integralrechnung
1. Warnung Die Berechnung uneigentlicher Integrale vom Typ (8.91a) kann bei mechanischer
Anwendung der Formel
6
jf(x)dx=F(x)\ba mit F'(x) = f(x) (8.92)
a
(s. 8.2.1.1, S. 457) ohne Berücksichtigung der singulären Punkte im Innern des Intervalls [a, b] zu groben
Fehlern führen.
¦ E: So erhält man durch formale Anwendung des Hauptsatzes auf Beispiel D
f2 2x dx
/ —0—- = In z2 - 1) 22= In3 - In3 =
J-2 XZ — 1
0,
während dieses Integral in Wirklichkeit divergiert.
2. Allgemeine Regel Der Hauptsatz der Integralrechnung darf auf den Fall (8.91a) nur angewendet
werden, wenn die Stammfunktion von f(x) im singulären Punkt stetig ist
¦ F: In Beispiel D ist die Funktion ln(x2 — 1) für x = ±1 unstetig, so daß diese Bedingung nicht
erfüllt ist Hingegen ist in Beispiel C die Funktion y = - x2^ für x = 0 stetig, so daß der Hauptsatz
auf Beispiel C angewendet werden kann
rs dx_ _ 3 2/3I _ 5@2/3/^2/3^ _ 9
J-i^ß~ 2X |_i~2iÖ [ j }~ 2
4. Hinreichende Bedingung für die Konvergenz eines uneigentlichen Integrals mit
unbeschränktem Integranden
rb pb
1. Wenn das Integral / \ f(x) \ dx existiert, dann existiert auch das Integral / f(x)dx Man spricht
Ja Ja
in diesem Falle vom absolut konvergenten Integral und von der absolut integrierbaren Funktion f(x) in
dem betreffenden Intervall
2. Wenn die Funktion f(x) in dem Intervall [a, b) positiv ist, und wenn es eine Zahl a < 1 derart gibt,
daß für hinreichend nahe bei b gelegene x-Werte gilt
f(x) {b - x)a < 00 , (8.93a)
dann konvergiert das Integral (8.91a). Wenn jedoch f(x) im Intervall [a,b) positiv ist und eine Zahl
a > 1 derart existiert, daß für hinreichend nahe bei b gelegene x-Werte gilt
f{x) (b-x)a>c>0, (8 93b)
476 8. Integralrechnung
dann divergiert das Integral (8.91a).
8.2.4 Paramet er int egr ale
8.2.4.1 Definition des Paramet er int egr als
Das bestimmte Integral
b
f f(x,y)dx = F(y) (8.94)
ist eine Funktion der Variablen y, die in diesem Zusammenhang Parameter genannt wird In vielen
Fällen ist die Funktion F(y) nicht mehr elementar Das Integral (8 94) kann ein gewöhnliches oder
ein uneigentliches Integral mit unendlichen Integrationsgrenzen oder unbeschränkter Funktion f(x,y)
sein Theoretische Betrachtungen zur Konvergenz uneigentlicher Integrale, die von einem Parameter
abhängen, s. z.B. [8.4]
¦ Gammafunktion oder EuLERsches Integral zweiter Gattung (s 8.2.5,6., S. 478)
r(y) = f xy-le~x dx (konvergent für y > 0) (8 95)
o
8.2.4.2 Differentiation unter dem Integralzeichen
1. Satz Wenn die Funktion (8 94) im Intervall c < y < e definiert ist und die Funktion f(x,y) im
Rechteck a < x < b, c < y < e stetig ist und eine partielle Ableitung nach y besitzt, dann gilt bei
beliebigem y im Intervall [c, e]
|//(^ = /^|^ (8.96)
a a
Man spricht vom Differenzieren unter dem Integralzeichen
— ^ n i i. ! • d fl x , r1 d ( x\ . r1 xdx 1,
¦ t ur y > 0 beliebig- — / arctan — dx = i — arctan - \ dx = — / — = - In -
dy Jo y Jo dy \ y) io r + r 2
+
»i2
t, , rl x , 1 1 , 11 d 1 1 f y2 \ 1
Probe: / arctan - dx = arctan - + - y In ; — arctan - + - y In = - In
Jo y y 2y l + y^dy\ y 2y l+?/2i 2
°y ' 2*"~l + ?/2' dy \ y ' 2°~l+y2J 2 *" 1 + y* '
Für y = 0 ist die Stetigkeitsbedingung nicht erfüllt, so daß hier keine Ableitung existiert.
2. Verallgemeinerung auf paramet er abhängige Integrationsgrenzen Die Formel (8 96) kann
verallgemeinert werden, wenn die Funktionen a(y) und ß(y) unter den gleichen Bedingungen, die für
(8 96) gefordert werden, im Intervall [c, e] definiert, stetig und differenzierbar sind und wenn die Kurven
x = a(y), x = ß(y) das Rechteck a < x <b, c < y < e nicht verlassen:
ß(y) ßiy)ßf( )
- J f{x, y)dx= j ^g^ dx + ß'(y) f (ß(y), y) - a\y) f (a(y), y) . (8.97)
a(y) a{y)
8.2.4.3 Integration unter dem Integralzeichen
Wenn die Funktion (8 94) im Intervall [c, e] definiert und die Funktion f(x,y) im Rechteck a < x <
b, c < y < e stetig ist, dann gilt
6 r e
J j f(x, V)dx\ dy = j\j f(x, y) dy
dx (8.98)
Man spricht in diesem Falle von Integration unter dem Integralzeichen.
8.2 Bestimmte Integrale 477
¦ A: Integration der Funktion /(x, y) = xy über dem Rechteck 0 < x <l,a <y <b Die Funktion
xy ist bei x — 0 , y = 0 unstetig, für a > 0 ist sie stetig. Daher kann die Integrationsreihenfolge gemäß
rb r r1 ] z [ /"ft 1 [b dy 1 + 6
/ / xy rfx dw = / / xy dy\ dx vertauscht werden. Links erhält man / = In ,
Ja Uo 1 Jo [Ja "\ Ja 1 + 2/ 1+a'
rechts / — dx. Das unbestimmte Integral kann nicht durch elementare Funktionen ausgedrückt
Jo \nx
werden. Das bestimmte Integral ist allerdings bekannt, so daß sich ergibt
L
1 xb - xa , , 1 + 6
. , dx = In @ < a < b).
'o In x 1 + a
2 2
¦ B: Integration der Funktion f(x, y) = — r-^ über dem Rechteck 0<#<1,0<2/<1 Die
(xz + y^
Funktion ist im Punkt @,0) unstetig, so daß die Formel (8.98) nicht anwendbar ist. Die Probe ergibt.
r1 y2 - x2 x ix=i 1 r1 dy a n
Jo (z2 + y2J = ^T^L=o = 1+^ ; /o IT? = arctan?/lo = 4 ;
fl V2 - x2 _ y i2/=i _ 1 rl dx _ ii _ 7T
/o (x2 + y2J dj/ ~ ^T?ly=o " '^TI' " 7o ^TI ~ " arctan:rlo " "I
8.2.5 Integration durch Reihenentwicklung, spezielle
nichtelementare Funktionen
Es ist nicht immer möglich, Integrale durch elementare Funktionen auszudrücken, auch wenn der In-
tegrand eine elementare Funktion ist. In vielen Fällen lassen sich für solche nichtelementaren Integrale
Reihenentwicklungen angeben. Läßt sich der Integrand in eine im Intervall [a, b] gleichmäßig
konvergierende Reihe entwickeln, so erhält man aus dieser durch gliedweise Integration eine ebenfalls gleichmäßig
konvergente Reihe für das bestimmte Integral / f(i) dt
Ja
1. Integralsinus (\x\ < oo) (s. auch 14 4 3.2,2., S. 719)
" sin t , 7T r smt
s f sin t , 7T r sin t
t) = J-Tdt=2-J —
dt
x3 x5 (-l)nx2n+1 ,0_
= X~ ^i + 5T5!- + -+Bn + l).Bn + l)!+-' (8'99)
Integralkosinus @ < x < oo)
OO X
^.. / N f COSt , _, , /" 1 — COSt ,
Ci(x) = - / d* = C + Ins - / dt
0
^2
= C + l„x-^ + i^- + ... + i=ig; + ... mit (8K»a)
OO
C = - f e~t\ntdt = 0,577215665 (EuLERsche Konstante). (8.100b)
o
3. Integrallogarithmus @ < x < 1, für 1 < x < oo als Cauchyscher Hauptwert)
T./ x ? dt _, , ., . , (Ina;J (\nx)n ,n ^„N
478 8. Integralrechnung
4. Integralexponentialfunktion (—oo < x < 0, für 0 < x < oo als Cauchyscher
Haupt wert)
x t In
Ei (x) = f e- dt = C + In \x\ + x + -^- + • • • + -^— + • • • (8 102a)
J L & * £i fh ' FL»
Ei (Ina;) = Li (x).
8.102b)
5. Gaußsches Fehlerintegral und Fehler-Funktion
Das GAUSSsche Fehlerintegral wird mit # bezeichnet Es gelten die folgenden Definitionen und
Beziehungen:
i } *
—oo
(8.103a)
lim $(x) — 1,
I103b)
;.103c)
Die Funktion $(x) ist die Verteilungsfunktion der normierten Normalverteilung (s 16 2 4 2, S 782)
und liegt tabelliert vor in Tabelle 21.17, S. 1122
Die in der Statistik häufig verwendete Fehler-Funktion erf (x), auch Error-Funktion genannt, steht mit
dem GAUSSschen Fehlerintegral in einem engen Zusammenhang (s auch 16.2.4.2, S. 782),:
2 r
erf (x) = -j=l e~t2 dt = 2$0 [xV2) , (8.104a) Jm^ erf (x) = 1,
* o
{-l)nx2n+1
erf(,)„^__+__+...+___1)
/erf (t) dt = xerf (x) + 4= (^ " l) » (8.104d) ^£M = JL e
6. Gammafunktion und Fakultät
1. Definition Die Gammafunktion, das EuLERsche
Integral zweiter Gattung (8.95), ermöglicht eine
Ausdehnung des Begriffs der Fakultät auf beliebige Zahlen x,
auch auf komplexe Zahlen. Sie kann auf zweierlei Weise
definiert werden:
(8.104b)
(8.104c)
(8 104e)
V
r(x) = fe-H^dt (x>0),
r(x) = lim
n^°° x(x + l)(x + 2) ...(x + n)
(x^ 0,-1,-2,...)
2. Eigenschaften der Gammafunktion
(8.105a)
..105b)
4a-4 -i3 -2 -l b i i i i x
r(x + i) = xr(x),
(8 106a)
Abbildung 8.21
r(n+l)=n! (n = 0,l,2, ),
1106b)
8.3 Kurvenintegrale 479
oo
r{x) T(l - x) = -A— (x ^ 0, ±1, ±2,...), (8 106c) r(-)=2 f e~t2 dt = y/ir, (8.106d)
sin7ra: \2/ J
o
/ 1NB»)IV5F
(n = 0,l,2,...),
Bn)!
(n = 0,1,2,...).
(8.106e)
(8 106f)
Die gleichen Beziehungen gelten bei komplexem Argument z , aber nur für Re (z) > 0 .
3. Verallgemeinerung des Begriffs der Fakultät Der zunächst nur für ganzzahlige positive n
definierte Begriff der Fakultät (s. 1.1.6.4,3., S. 13) erfährt über die Funktion
x\ = T(x + l) (8.107a)
seine Erweiterung auf beliebige reelle Zahlen. Es gelten die folgenden Beziehungen:
Für ganzzahliges positives x' x\ = 1-2-3 • • • x,(8.107b) für x = 0: 0! = T(l) = 1, (8.107c)
für ganzzahliges negatives x: x\ = ±oo, (8.107d) für x = - . ( - ]! = T ( - ) = — , (8.107e)
für * = -i:(-l)l = r (!)=>/?, (8.107f) fürx = -|: (-|)< = T (-1) = -2^. (8.107g)
Eine näherungsweise Berechnung der Fakultät für beliebig große Zahlen (> 10), auch gebrochene
Zahlen n, kann mit Hilfe der Stirlingsehen Formel erfolgen:
1
12n 288n2
n!«g)"Ä(
ln(n') « ln + -)\nn — n + In \/27r.
(8.107h)
(8.107i)
Die Kurve der Funktion F(x) ist in Abb.8.21 dargestellt. In Tabelle 21.10, S. 1093 sind Zahlenwerte
angegeben
7. Elliptische Integrale
Für die vollständigen elliptischen Integrale (s. 8.1.4.3,2., S 454) gelten die folgenden
Reihenentwicklungen:
K
2
-/:
dd
TT
sin2tf 2
Vi - k2 sin2
2
E= Nl-k2sm2'dd$ =
\2/ 1 V2-47 3 V2-4-67 5
(8 108)
(8.109)
mit k2 < 1.
Zahlenwerte für die elliptischen Integrale sind in Tabelle 21.9, S 1091 angegeben.
8.3 Kurvenintegrale
Der Integralbegriff kann in verschiedene Richtungen verallgemeinert werden. Während das
Integrationsgebiet des gewöhnlichen bestimmten Integrals ein Intervall auf der Zahlengeraden ist, wird beim
Kurven-, auch Linienintegral genannt, ein Stück einer ebenen oder räumlichen Kurve als
Integrationsgebiet gewählt, d h., es werden Grenzwerte von Summen betrachtet, deren Summanden von einer
480 8. Integralrechnung
Kurve, dem Integrationsweg, abhängen Ist die Kurve, d h der Integrationsweg, geschlossen, dann wird
das Kurven- zum Umlaufintegral Man unterscheidet Kurvenintegrale 1., 2. und allgemeiner Art
8.3.1 Kurvenintegrale 1. Art
8.3.1.1 Definitionen
Kurvenintegral 1 Art oder Integral über eine Bogenlänge wird das
bestimmte Integral
j f(x,y)ds
.110)
(K)
yt
0
ff
.AaB
JIk
"aPi *
Ai-1l
X
genannt, wobei u = f(x, y) eine in einem zusammenhängenden
Gebiet definierte Funktion von zwei Veränderlichen ist und die
Integration über den Kurvenbogen K =AB einer ebenen, durch ihre
Gleichung vorgegebenen Kurve durchgeführt wird. Das betreffende
Bogenstück liegt in dem gleichen Gebiet und wird Integrationsweg
genannt Der Zahlenwert des Kurvenintegrals 1. Art wird auf die
folgende Weise ermittelt (Abb.8.22). Abbildung 8 22
1. Zerlegung des Bogenstückes AB in n Elemementarbogenstücke durch beliebig gewählte Punkte
Ai, A2,. , An_i, beginnend beim Anfangspunkt A = Aq bis zum Endpunkt B = An .
2. Auswahl beliebiger Punkte Pi im Innern oder auf dem Rande eines jeden Elementarbogenstuckes
Ai-i Ai mit den Koordinaten & und r\i.
3. Multiplikation der Funktionswerte /(&, r/J in den gewählten Punkten mit den positiv zu
nehmenden Bogenlängen Ai-\Ai= Asj_i
4. Addition aller so gewonnenen n Produkte /(&, r]i)Asi-i.
5. Berechnung des Grenzwertes der Summe
£/te.tt)A*-i
.lila)
für den Fall, daß die Länge jedes Elementarbogenstuckes Asi_i gegen Null geht, also n gegen oo .
Wenn der Grenzwert von (8 lila) existiert und von der Wahl der Punkte Ai und Pi unabhängig ist,
dann wird er Kurvenintegral 1. Art genannt, und man schreibt
f n
/ f(x, y) ds = Alimo ^ /(&, m)A^_i.
i 111b)
(K)
In Analogie dazu wird das Kurvenintegral 1 Art für eine Funktion u = f(x, y, z) von drei
Veränderlichen definiert, dessen Integrationsweg das Bogenstück einer Raumkurve ist:
/ f{x, y, z) ds = lim Y, /(&, r?i, CO As
S.lllc)
(K)
8.3.1.2 Existenzsatz
Das Kurvenintegral 1 Art (8.111b) bzw. (8 111c) existiert, wenn die Funktion f(x,y) bzw. f(x,y,z)
sowie die Kurve längs des Bogenstückes K stetig sind und die Kurve dort eine stetige Tangente besitzt
Anders formuliert Es existieren in diesem Falle die genannten Grenzwerte, und sie sind unabhängig
von der Wahl der Punkte Ai und Pi Die Funktion f(x, y, z) heißt in diesem Falle längs der Kurve K
integrierbar
8.3 Kurvenintegrale 481
8.3.1.3 Berechnung des Kurvenintegrals 1. Art
Die Berechnung des Kurvenintegrals 1. Art erfolgt durch Zurückführung auf die Berechnung eines
bestimmten Integrals.
1. Vorgabe der Gleichung des Integrationsweges in Parameterform
Lauten die Gleichungen eines ebenen Integrationsweges x = x(t) und y = y(t), dann gilt
T
j f(x,y)ds = jf[x(t),y(t)}^{x'(t)f + [y'{t)Ydt, (8.112a)
(K) to
und im Falle eines räumlichen Integrationsweges mit x = x(t), y = y(t) und z = z(t)
T
j f{x, y, z)ds = j f[x(t), y(t), z(t)] j\x'(t)}* + tf(t)]> + \z'{t)Y dt, (8.112b)
(K) to
wobei to der Wert des Parameters t im Punkt A und T sein Wert für den Punkt B ist. Die Punkte A
und B werden so gewählt, daß die Bedingung to <T erfüllt ist.
2. Vorgabe der Gleichung des Integrationsweges in expliziter Form
Man setzt t = x und erhält aus (8 112a) im ebenen Falle
b
J f(x,y)ds = f f[x,y{x))yj\ + [y'{x)Ydx, (8.113a)
(K)
und aus (8.112b) im räumlichen Falle
b
I /(x, y, z)ds = f f[x, y(x), z(x)}y/l + [y'(x)Y + [z'{x)f dx.
o
Tabelle 8.6 Kurvenintegrale 1. Art
(8.113b)
(K)
Länge eines Kurvenstückes K
Masse eines inhom. Kurvenstücks K
Schwerpunktkoordinaten
Trägheitsmomente einer ebenen
Kurve in der x, y-Ebene
Trägheitsmomente einer Raumkurve
bezüglich der Koordinatenachsen
L= f ds
M = gds (g = f(x}y,z) Dichtefunktion)
(K)
Xc = Z / XQds' yc= Z J yßds' Zc= T J zgds
(K) (K) (K)
Ix = x2gds, Iy = 1 y2gds
(K) (K)
Ix = f (y2 + z2)gds , Iy = f (x2 + z2)gds ,
(K) (K)
Iz= J{x2 + y2)gds
Im Falle homogener Kurven ist in den obigen Formeln q = 1 einzusetzen.
482 8 Integralrechnung
Ebene Kurve in
der x, y-Ebene
Raumkurve
Tabelle 8.7 Kurvenelemente
Kartesische Koordinaten x, y = y(x)
Polarkoordinaten ip,p = p(ip)
Parameterdarstellung in kartesischen
Koordinaten x = x(t), y = y(t)
Parameterdarstellung in kartesischen
Koordinaten x = x(t),y = y(t), z = z(t)
ds = y/l + [y'(x)]2dx
ds = y/f(<p) + MvW&p
ds = vVW]2 + [y'(t)]2dt
ds = y/W)]* + [y'{t)Y + [z'{t)}Ht
Dabei sind a und b die Abszissen der Punkte A und B , wobei die Bedingung a < b erfüllt sein muß
Außerdem wird angenommen, daß jedem Punkt der Projektion des Kurvenstückes K auf die x-Achse
dort eindeutig ein Punkt entspricht, d.h., daß jeder Kurvenpunkt eindeutig durch einen Abszissenpunkt
bestimmt wird Wenn das nicht der Fall ist, dann wird das Bogenstück in mehrere Teilintervalle zerlegt,
von denen jedes die genannte Eigenschaft besitzt Das Kurvenintegral über das gesamte Kurvenstück
ist dann gleich der Summe der Kurvenintegrale über die Teilintervalle.
8.3.1.4 Anwendungen des Kurvenintegrals 1. Art
Einige Anwendungen des Kurvenintegrals 1. Art sind in Tabelle 8.6 verzeichnet, in Tabelle 8.7 sind
die zur Berechnung erforderlichen Kurvenelemente in verschiedenen Koordinaten angegeben.
8.3.2 Kurvenintegrale 2. Art
8.3.2.1 Definitionen
Kurvenintegral 2. Art oder Integral über eine Projektion (auf die x-, y- oder z-Achse) wird das
bestimmte Integral
J f{x,v)
dx
..114a)
oder
(K)
j f(x,y,z)
dx
8.114b)
{K)
genannt, wobei f(x,y) bzw. f(x,y,z) eine in einem zusammenhängenden Gebiet definierte
Funktion von zwei bzw. drei Veränderlichen ist und die Integration über die Projektion eines ebenen oder
räumlichen, durch seine Gleichung vorgegebenen Kurvenbogens K =AB auf die x-, y- oder z-Achse
durchgeführt wird. Der Integrationsweg liegt in dem gleichen Gebiet. Das Kurvenintegral 2 Art wird
ebenso gewonnen wie das Kurvenintegral 1. Art, jedoch mit dem Unterschied, daß beim dritten Schritt
die Funktionswerte /(^i,^) bzw. /(^i,^,Ci) nicht mit den Längen der Elementarbogenstücke Ai_\Ai
multipliziert werden, sondern mit ihren Projektionen auf eine der Koordinatenachsen (Abb.8.23).
1. Projektion auf die je-Achse
Mit Prx Ai-iAi=
ergibt sich
- Xi-i = Axi-
i
(C)
i
(C)
f(x, y) dx = Axlim_^o J^ /(&, Vi) Axj_i,
XnZ]^ *=1
n
f(x, y, z) dx = Jjim^ Y, /(&. Vü CO ^xi-
8.115)
8.116a)
(8.116b)
Abbildung 8 23
8.3 Kurvenintegrale 483
1. Projektion auf die y-Achse
/ f(x,y)dy= lim JT/fö^Ay^, (8.117a)
(K) n^°° *-1
J f(x,y,z)dy= ^Hm^E/^^COAyi-i. (8.117b)
2. Projektion auf die z-Achse
j /(*,y, z) rfz = Jirn^ £/te,**,CO A^_! (8 118)
8.3.2.2 Existenzsatz
Das Kurvenintegral 2. Art (8 116a), (8 117a), (8 116b), (8 117b) und (8 118) existiert, wenn die
Funktion f(x, y) bzw. f(x, y, z) sowie die Kurve längs des Bogenstückes K stetig sind und die Kurve dort
eine stetige Tangente besitzt.
8.3.2.3 Berechnung der Kurvenintegrale 2. Art
Die Berechnung des Kurvenintegrals 2 Art erfolgt durch Zurückführung auf die Berechnung des
bestimmten Integrals.
1. Vorgabe der Gleichung des Integrationsweges in Parameterform
Mit den Parametergleichungen des Integrationsweges
x = x(t), y = y{t) und (für die Raumkurve) z = z(t) (8 119)
ergeben sich die folgenden Formeln:
T
Für (8.116a) / f(x, y) dx = f f[x{t), y(t)}x'{t) dt. (8.120a)
T
Für (8.117a) f f(x,y)dy = J f[x{t),y{t))y'{t)dt. (8 120b)
T
Für (8 116b) / /(x, y, z)dx= f f[x(t), y{t\ z{t)]x'{t) dt (8.120c)
T
Für (8 117b) J f(x, y, z)dy = J /[*(*), y{t), z{t))y\t) dt (8.120d)
T
Für (8.118) / f(x, y, z)dz= f f[x{t), y(t), z(t)]z'(t) dt (8.120e)
Dabei sind t0 bzw. T die Werte des Parameters t für den Anfangspunkt A bzw. den Endpunkt B des
Bogenstückes. Hier wird im Gegensatz zum Kurvenintegral 1. Art die Forderung to < T nicht erhoben.
Hinweis: Bei der Umkehrung des Integrationsweges, d.h beim Vertauschen der Punkte A und B,
ändern die Integrale ihr Vorzeichen.
2. Vorgabe der Gleichung des Integrationsweges in expliziter Form
Mit den Gleichungen
y = y(x) bzw y = y(x), z = z(x) (8.121)
484 8. Integralrechnung
für den Integrationsweg im Falle einer ebenen bzw. räumlichen Kurve und mit den Abszissen a und
b der Punkte A und B, wobei die Forderung a < b nicht mehr unbedingt zu erfüllen ist, tritt in den
Formeln (8 116a) bis (8.118) die Abszisse x an die Stelle des Parameters t.
8.3.3 Kurvenintegrale allgemeiner Art
8.3.3.1 Definition
Kurvenintegral allgemeiner Art wird die Summe der Integrale 2 Art über alle Projektionen einer Kurve
genannt. Wenn entlang des vorgegebenen Kurvenstückes K zwei Funktionen P(x, y) und Q(x, y) von
zwei Veränderlichen oder drei Funktionen P(x, y, z), Q{x, y, z) und R(x, y, z) von drei Veränderlichen
definiert sind und die entsprechenden Kurvenintegrale 2. Art existieren, dann gelten für eine ebene
bzw eine Raumkurve die folgenden Formeln.
1. Ebene Kurve
/(Pdx + Qdy) = j Pdx + f Qdy (8 122a)
(K) (K) (K)
2. Raumkurve
[ (Pdx + Qdy + Rdz)= f Pdx+ f Qdy + f Rdz. (8 122b)
(K) (K) (K) (K)
Die vektorielle Darstellung des Kurvenintegrals allgemeiner Art und eine Anwendung in der Mechanik
werden im Kapitel Vektoranalysis behandelt (s. 13.3.1.1, S. 681).
8.3.3.2 Eigenschaften des Kurvenintegrals allgemeiner
Art
1. Die Zerlegung des Integrationsweges
mittels eines Teilungspunktes C, der auf der Kurve außerhalb des Bogenstückes
AB liegen kann (Abb.8.24), führt zur Aufteilung des Integrals in zwei Teilin- A /yi
tegrale:
a) A
b) V/B
Abbildung 8.24
j (Pdx + Qdy)= J{Pdx + Qdy)+ J{Pdx + Qdy) .* (8.123)
AB AC CB
2. Die Umkehrung der Durchlaufrichtung des Integrationsweges
führt zum Vorzeichenwechsel des Integrals*
J(Pdx + Qdy) = - j{Pdx + Qdy) .* (8.124)
3. Wegabhängigkeit
Im allgemeinen hängt der Wert des Kurvenintegrals sowohl vom Anfangs- und
Endpunkt als auch vom Integrationsweg ab (Abb.8.25): A'
I {Pdx + Qdy)^ j (Pdx + Qdy)* (8.125) D
— ^ Abbildung 8.25
ACB ADB ö
A: I = / (xy dx -\-yzdy + zxdz), wobei K ein Gang der Schraubenlinie x = a cos t, y = a sin £,
(K)
r2n
z = bt(s 3.6.2.3,1., S. 249) von£0 bis T = 2tt ist: / = / (-a3 sin21 cos t+a2bt sin t cos t+ab21 cos t) dt =
*Für den Fall dreier Veränderlicher gelten analoge Formeln
8.3 Kurvenintegrale 485
7TÖ26
2~~
¦ B: / = [y2 dx + (xy — x2) dy], wobei K ein Bogen der Parabel y2 = 9x zwischen den Punkten
(*)
3
II du = fi
81
??/3+l~
620
4@,0) und ß(l, 3) ist- /= /
Jo
8.3.3.3 Umlaufintegral
1. Begriff des Umlauf integrals Ein Umlauf integral ist ein Kurvenintegral über einen
geschlossenen Integiationsweg K, d h., der Anfangspunkt A ist mit dem Endpunkt B identisch. Man schreibt
dafür
j>(Pdx + Qdy) oder j> (Pdx + Qdy + Rdz). (8.126)
Im allgemeinen ist das Umlaufintegral verschieden von Null. Das gilt jedoch nicht, wenn die Integra-
bilitätsbedingung (s. 8.3.4.2, S. 486) erfüllt ist oder wenn die Integration in einem konservativen Feld
(s 13 3 1.6, S. 683) durchzuführen ist (S. auch Verschwinden des Umlaufintegrals, 13 3.1.6, S. 683.)
2. Die Berechnung des Flächeninhaltes einer ebenen Figur ist ein typisches Beispiel für die
Anwendung des Umlauf integrals in der Form
S=^j(xdy-ydx), (8 127)
{K)
wobei K die Randkurve der ebenen Figur ist Der Integrationsweg wird positiv gerechnet, wenn er
entgegengesetzt zum Drehsinn des Uhrzeigers verläuft
8.3.4 Unabhängigkeit des Kurvenintegrals vom Integrationsweg
Die Bedingung für die Unabhängigkeit des Kurvenintegrals vom Integrationsweg wird auch Integrabi-
htät des vollständigen Differentials genannt
8.3.4.1 Zweidimensionaler Fall
Wenn das Kurvenintegral
J[P(x,y)dx + Q(x,y)dy] (8.128)
mit den stetigen Funktionen P und Q , die in einem einfach zusammenhängenden Gebiet definiert sind,
nur vom Anfangspunkt A und vom Endpunkt B abhängen soll, nicht aber vom Integrationsweg, der
beide Punkte verbindet, d.h. für beliebige A und B und beliebige Integrationswege ACB bzw. ADB
(Abb.8.25) die Gleichung
j (Pdx + Qdy)= I (Pdx + Qdy) (8.129)
ACB ADB
gelten soll, dann ist notwendig und hinreichend, daß eine Funktion U(x, y) von zwei Veränderlichen
existiert, deren vollständiges Differential der Integrand des Kurvenintegrals ist-
Pdx + Qdy = dU, (8130a) d h., es gilt P=^, Q = ^. (8.130b)
ox oy
Die Funktion U(x, y) ist dann eine Stammfunktion des vollständigen Differentials (8.130a). In der
Physik wird die Stammfunktion C/(x, y) als Potential in einem Vektorfeld gedeutet (s. 13 3 1 6,4., S. 684).
486 8. Integralrechnung
8.3.4.2 Existenz der Stammfunktion
Notwendiges und hinreichendes Kriterium für die Existenz der Stammfunktion, die
IntegrabiUtätsbedingung für den Ausdruck P dx + Qdy, ist die Gleichheit der partiellen Ableitungen
dy dx '
von denen gefordert werden muß, daß sie stetig sind.
8.3.4.3 Dreidimensionaler Fall
Die Bedingung für die Unabhängigkeit des Kurvenintegrals
8.131)
/ [P{x, y, z) dx + Q(x, y, z) dy + R(x, y, z) dz]
(8 132)
vom Integrationsweg lautet in Analogie zum zweidimensionalen Fall.
Es wird die Existenz einer Stammfunktion U(x,y,z) gefordert, für die gilt
P dx + Q dy + R dz = d U,
und damit
¦— R- —
dy' dz'
Die IntegrabiUtätsbedingung besteht in diesem Falle aus den drei gleichzeitig zu erfüllenden
Gleichungen
dQ__3RL dR_dP_ dP__dQ^
dz dy dx dz' dy dx
für die partiellen Ableitungen, die ihrerseits stetig sein müssen.
'-£¦ o-
(8.133a)
(8.133b)
(8.133c)
P(x,y)
P(x, y, z)
A(x0 y0/z0)
A(x0/ y0)
Abbildung 8.26
Abbildung 8.27
¦ Die Arbeit W (s. auch 8.2.2 3,2., S. 468) ist als Skalarprodukt aus Kraft F(r) und Weg s definiert.
In einem konservativen Feld hängt die Arbeit nur vom Ort f ab, nicht aber von der Geschwindigkeit
v. Mit F — Pex + Qey + Rez = gradV und ds = dxex + dyey + dzez sind somit für das Potential
V(r) die Beziehungen (8.133a), (8.133b) erfüllt, und es gilt (8.133c) Unabhängig vom Weg zwischen
den Punkten P\ und P2 erhält man-
W :
rp2
f 2 F(r) • ds = f \Pdx + Qdy + Rdz] = V(P2) - V{Pl)
JPi JPi
(8 134)
8.3.4.4 Berechnung der Stammfunktion
1. Zweidimensionaler Fall Wenn die IntegrabiUtätsbedingung (8 131) erfüllt ist, dann ist über
einen beliebigen Integrationsweg innerhalb des Gültigkeitsbereiches von (8.131), der einen beliebigen
8 3 Kurvenintegrale 487
festen Punkt A(x0,yo) mit dem variablen Punkt P(x,y) verbindet (Abb.8.26), die Stammfunktion
U(x, y) gleich dem Kurvenintegral
U= f (Pdx + Qdy). (8.135)
AP
Bei praktischen Rechnungen ist es bequem, einen zu den Koordinatenachsen parallelen Integrationsweg
zu wählen, d.h. einen der beiden Abschnitte AKP oder ALP, wenn dieser nicht außerhalb des
Gültigkeitsbereiches von (8 131) liegt. Somit gibt es zwei Formeln für die Berechnung der Stammfunktion
U(x, y) und des vollständigen Differentials Pdx + Qdy
x y
U = U(x0l yo)+ J + J =C+J P(£, y0) d£ + J Q(x%ri) drj, (8 136a)
A~K ~KP XQ VO
y x
U = U(x0, yQ) + J + j =C + J Q(x0, r))dr} + f P(£, y) df • (8.136b)
"äl tp yo ^o
2. Dreidimensionaler Fall (Abb.8.27) Ist die Bedingung (8.133c) erfüllt, dann kann die
Stammfunktion für den Integrationsweg AK LP mit der Formel
U = U(x0,y0,z0) + / + / + /
~ÄK ~KL TP
x y z
= I P(£, yo, zq) df + J Q(x, 77, z0) dr] + J R{x, y, f) d£ + C (8.137)
^o 2/o 20
berechnet werden. Für die anderen fünf möglichen Integrationswege mit Abschnitten, die parallel zu
den Koordinatenachsen verlaufen, ergeben sich fünf weitere Formeln.
¦ A: Pdx+Qdy = --^ + -^7 .Die Bedingung (8 133c) ist erfüllt: ^ = ^= (ja + ^)ii •
Anwendung der Formel (8.136b) und Einsetzen von xq = 0 , y0 = 1 0&o = 0 j 2/o = 0 darf nicht gewählt
/¦^ 0 • dri fx —y d£
werden, da die Funktionen P und Q im Punkt @,0) unstetig sind) liefert U = / —z s- -I- / -s « +
y ; 6 ' A 02 + 7?2 h £2 + y2
£/@,1) = — arctan - + C = arctan - + C\.
¦ B: P<te + Qdj/ + Äd* = 2(^-^7^) ^ + ^dy+(_T^__I_) dZt Die Bedingungen
(8.133c) sind erfüllt. Anwendung von (8 137) und Einsetzen von xq = 1, yo = 1, zq = 1 liefert
[/= /Vd£ + [V0'dr]+ [' | 9 g - - — 1 dC + C = arctan-- — + C
Ji Ji Vo \£ -I- C xyy x zy
1. Verschwinden des Umlauf integrals
Das Umlaufintegral über eine ebene geschlossene Kurve, d h das Kurvenintegral von Pdx + Qdy, ist
gleich Null, wenn die Bedingung (8.131) erfüllt ist und wenn innerhalb der geschlossenen Kurve keine
ßp ftp
Punkte liegen, in denen eine der Funktionen P, Q, HE- oder Hf- unstetig oder nicht definiert ist
488 8. Integralrechnung
8.4 Mehrfachintegrale
Der Integralbegriff kann im Vergleich zum gewöhnlichen Integral und zum Kurvenintegral erweitert
werden, indem die Dimension des Integrationsgebietes erhöht wird. Ist das Integrationsgebiet ein
ebenes Flächenstück, dann spricht man vom Flächenintegral, ist es ein beliebiges räumliches Flächenstück,
vom Oberflächenintegral, ist es ein Raumstück, vom Volumenintegral Darüber hinaus sind für die
verschiedensten Anwendungen andere spezielle Integralbezeichnungen üblich
8.4.1 Doppelintegral
8.4.1.1 Begriff des Doppelintegrals
1. Definition
Als Doppelintegral einer Funktion von zwei Veränderlichen u = f(x,y) über einem ebenen Flächenstück
S wird der Ausdruck
I f(x, y) dS = ff f(x, y) dy dx (8 138)
s s
bezeichnet. Es handelt sich dabei um einen Zahlenwert, der auf die folgende Weise ermittelt wird
(Abb.8.28):
1. Beliebige Zerlegung des Flächenstückes S in n Elementarflächenstücke
2. Auswahl eines beliebigen Punktes Pi(x{, yi) im Innern oder auf dem Rande eines jeden Elementar-
flächenstückes.
3. Multiplikation des Funktionswertes von u — f(xi, yi) in diesem Punkt mit dem Inhalt AS* des
entsprechenden Elementarflächenstückes
4. Addition aller so gewonnenen Produkte f(xi, 2/»)A5j
5. Berechnung des Grenzwertes der Summe
I139a)
für den Fall, daß der Inhalt aller Elementarflächenstücke AS* gegen Null geht, also ihre Anzahl n gegen
oo . Dabei ist zu beachten, daß die Forderung, A5; solle gegen Null streben, allein nicht genügt. Es muß
sichergestellt sein, daß auch der Abstand der beiden am weitesten voneinander entfernten Punkte, d h
der Durchmesser des Elementarflächenstückes, gegen Null geht, weil der Flächeninhalt eines Rechtecks
auch zu Null wird, wenn eine seiner Seiten Null gesetzt wird, der Durchmesser aber endlich bleibt
ift/Yi)
Abbildung 8.28
Abbildung 8 29
Wenn dieser Grenzwert existiert und von der Art der Einteilung des Flächenstückes S in
Elementarflächenstücke sowie von der Wahl der Punkte Pi(xi, y^) unabhängig ist, dann wird er Doppelintegral der
8.4 Mehrfachintegrale 489
Funktion u = f(x,y) über dem Flächenstück S, das Integrationsgebiet, genannt, und man schreibt:
/ /(x, y) dS = lim £ /(*«, j/0 ASi • (8 139b)
2. Existenzsatz
Das Doppelintegral (8.139b) existiert, wenn die Funktion f(x,y) im gesamten Integrationsgebiet
einschließlich seines Randes stetig ist
3. Geometrische Bedeutung
Die geometrische Bedeutung des Doppelintegrals liegt neben der Möglichkeit der Berechnung des
Inhaltes einer ebenen Fläche im Falle f(x,y) = 1 auch darin, daß es die Berechnung des Rauminhaltes
eines zylindrischen Körpers ermöglicht, der vom Flächenstück S in der x,y-Ebene, von einer
Zylinderfläche, deren Erzeugende parallel zur z-Achse verläuft, und dem über S gelegenen Teil der Fläche
u — f(x,y) begrenzt wird (Abb.8.29). Jedes Glied /(x^y^ASi der Summe (8.139b) entspricht dem
Volumen einer prismatischen Säule mit der Grundfläche ASi und der Höhe /(#», y^ Das Vorzeichen
des Gesamtvolumens ist positiv bzw negativ, je nachdem, ob der betreffende Teil der Fläche u = f(x, y)
über oder unter der x, y-Ebene liegt Wenn er diese Ebene schneidet, dann ist das Volumen eine
algebraische Summe der einzelnen Teilvolumina.
8.4.1.2 Berechnung des Doppelintegrals
Die Berechnung des Doppelintegrals wird auf die nacheinanderfolgende Berechnung zweier einfacher
Integrale zurückgeführt, die je nach dem verwendeten Koordinatensystem verschieden aussieht
1. Berechnung in kartesischen Koordinaten
Das Integrationsgebiet, das als "Flächenstück aufgefaßt wird, teilt man mit Hilfe von
Koordinatenlinien in infinitesimale Rechtecke ein (Abb.8.30a). Darauf erfolgt eine Summation aller Differentiale
f(x, y)dS, beginnend mit allen Rechtecken längs jedes vertikalen Streifens,.danach längs jedes
horizontalen Streifens. Die analytische Formulierung lautet
<P2(x)
I f{x,y)dS = I I f(x,y)dy\ dx = I I f(x,y)dydx
|yi(s)
b <P2(x)
(8.140a)
a tpi(x)
Dabei sind y = wix) und y = <fi(x) die Gleichungen der oberen bzw. unteren Randkurve {AB)oben
und (AB)unten des Flächenstückes S. Mit a bzw. b sind die Abszissen der am weitesten links bzw. rechts
liegenden Kurvenpunkte bezeichnet. Das Flächenelement in kartesischen Koordinaten berechnet sich
gemäß
(8 140b)
dy
0
dS
= dxdy.
4&
A
i
If
i d)
fflftB
S
< b x
a)
b)
Abbildung 8.30
Abbildung 8.31
Abbildung 8 32
Bei der Ausführung der ersten Integration wird x konstant gehalten. Die eckigen Klammern in (8.140a)
werden üblicherweise weggelassen, indem verabredungsgemäß das innere Integral der inneren
Integrationsvariablen zugeordnet wird, das äußere der an zweiter Stelle stehenden Integrationsvariablen In
490 8 Integralrechnung
(8 140a) stehen die Differentialzeichen dx und dy am Ende des Integranden Ebenso üblich ist es, diese
Zeichen gleich hinter den Integralzeichen vor die Funktionen des Integranden zu setzen
Man kann die Berechnung in kartesischen Koordinaten (Abb.8.30b) auch in der umgekehrten
Reihenfolge ausführen:
ß Mv)
Jf{x,y)dS = J J f{x,y)dxdy. (8.140c)
s * Vi(y)
¦ A = J xy2 dS, wobei S die Fläche zwischen der Parabel y = x2 und der Geraden y = 2x in Abb.8.31
s
f2 f2x
r2 r2x r2 v \ 1 f2 32
ist A = / / 9 xy2 dydx = xdx —\ =-/ (8x4 — x7) dx = — oder
Jo Jx Jo 3 L.2 3 Jo o
2\^y 1 m / „2\ 32
A=r/^&*=r^*TL=5r^(y-^)*=:s
Jy/2 Jo 2 |y/2 2 7o V 4 / 5
2. Berechnung in Polarkoordinaten
Das Integrationsgebiet, die Fläche, wird durch Koordinatenlinien in infinitesimale Flächenstücke
aufgeteilt, die jeweils durch zwei konzentrische Kreisbogen und zwei durch den Pol verlaufende Geraden
begrenzt werden (Abb.8.32). Mit einem Integranden in Polarkoordinaten gemäß w = /(p, ip) hat das
Flächenelement in Polarkoordinaten die Form
pdpdip = dS (8 141a)
Summiert wird zuerst innerhalb eines jeden Sektors, dann über alle Sektoren
¥>2 P2(<P)
f'f(p,<p)dS = I -J f(p,<p)pdpd(p, (8.141b)
S Vipite)
wobei p = pi(<p) und p = P2(<p) die Gleichungen der inneren bzw. äußeren Randkurve AmB bzw.
AnB der Fläche S sind und </?i bzw <p2 die Polarwinkel der Tangenten, die das Flächenstück an seinen
Rändern berühren Die umgekehrte Integrationsreihenfolge wird selten verwendet
¦ A = J psin2 ip dS, wobei S die Fläche des Halbkreises p = 3 cos Lp ist (Abb.8.33)
s
r/2 f3cosv r,/2 ^cosv, /2 ß
A = / p sin ipdpdip = / sin ipdtp —\ = 9 / sin <pcos ipdkp — -
Jo Jo Jo ö \0 Jo 5
3. Berechnung in beliebigen krummlinigen Koordinaten u und v
Die Koordinaten sind durch die Beziehungen
x — x(u, v), y = y(u, v) (8.142)
definiert (s 3.6 3.1,2., S 251) Das Flächenstück wird durch die Koordinatenlinien u = const und v =
const in infinitesimale Flächenelemente eingeteilt (Abb.8.34) und der Integrand in den Koordinaten
u und v ausgedrückt. Summiert wird zuerst längs eines Koordinatenstreifens, z B längs v = const,
danach über alle Streifen:
U2 V2(u)
[f(u,v)dS= f I f(u,v)\D\dvdu. (8.143)
S ui Vl(u)
Dabei sind v = V\(u) bzw. v = v2(u) die Gleichungen der inneren bzw äußeren Randkurve AmB und
AnB der Fläche S. Mit u\ und u2 werden die Koordinaten der beiden äußersten Linienbegrenzungen
der Fläche S beschrieben. Mit \D\ ist der Absolutbetrag der Funktionaldeterminante
8.4 Mehrfachintegrale 491
2?*isf.
",U=Ui
C,0)
Abbildung 8.33
D-
D(x,y)
D{u,v)
onst
v
3 L
dx dx
du dv
dy dy
du dv
^SSx^
BO^C^P^
ÄT\
A\> \
£
vJ
Abbildung 8.34
Abbildung 8.35
a44a)
bezeichnet. Mit ihrer Hilfe wird das Flächenelement in krummlinigen Koordinaten beschrieben:
\D\dvdu = dS. (8.144b)
Die Formel (8.141b) ist ein Spezialfall von Formel (8.143) für die Polarkoordinaten x = pcostp, y =
p sin ip. Die Funktionaldeterminate ergibt sich hier zu D = p.
Man wählt die krummlinigen Koordinaten derart, daß die Integrationsgrenzen des Integrals (8.143)
möglichst einfach werden.
¦ A = J /(x, y) dS ist für den Fall zu berechnen, daß S der Flächeninhalt der Astroide ist (s 2.13 4,
S 104), mit x = acos3t, y = asin3£ (Abb.8.35). Zuerst werden die krummlinigen Koordinaten
x = ucos3 v, y = usin3v eingeführt, deren Koordinatenlinien u = C\ eine Schar ähnlicher Astroiden
mit den Gleichungen x = c\ cos31 und y = c\ sin31 darstellen. Die Koordinatenlinien v = Ci sind dann
Strahlen mit der Gleichung y — kx , wobei k = tan3 c<i gilt Damit ergibt sich
s3v — 3wcos21>sinv „ . 2 9 a fa f2n r, , \ , wo • i 2 ? j
3 o • 2 = Ott sin ucos v, A= / tlxiu.v), y{u, v))öusm fcos vavau.
rv Su sin2 v cos v\ ' Jo Jo
D
8.4.1.3 Anwendungen von Doppelintegralen
Einige Anwendungen von Doppelintegralen sind in Tabelle 8.9, S 494 zusammengestellt. Die
erforderlichen Flächenelemente in kartesischen Koordinaten und in Polarkoordinaten enthält die Tabelle 8.8,
S. 492.
8.4.2 Dreifachintegral
Das Dreifachintegral ist eine Erweiterung des Integralbegriffs auf ein dreidimensionales
Integrationsgebiet. Man spricht daher auch vom Volumenintegral
8.4.2.1 Begriff des Dreifachintegrals
1. Definition
Die Definition des Dreifachintegrals einer Funktion f(x, y, z) von drei Variablen über einen
dreidimensionalen Bereich, z.B. den Raumteil V, erfolgt in Analogie zur Definition des Doppelintegrals. Man
schreibt-
(8 145)
j f(x, y, z) dV = jjj f(x, y, z) dz dy dx.
Das Volumen V (Abb.8.36) wird in Elementarvolumina zerlegt, mit denen Produkte der Art
492 8 Integralrechnung
Tabelle 8.8 Ebene Flächenelemente
Koordinaten
Kartesische Koordinaten x, y
Polarkoordinaten p, (/?
Beliebige krummlinige Koordinaten u, v
Flächenelemente
dS = dx dy
dS = pdp d(fi
dS = \D\ dudv (D Funktionaldeterminante)
schreibt'
I f(x, y, z) dV = fff f(x, y, z) dz dy dx . (8 146)
V V
Das Volumen V (Abb.8.36) wird in Elementarvolumina zerlegt, mit denen Produkte der Art
f(xi,yiyZi)AVi gebildet werden, wobei der Punkt Pi(xi,yi,Zi) im Innern oder auf dem Rande eines
Elementarvolumens liegen kann Das Dreifachintegral ist dann der Grenzwert der Summe derartiger
Produkte für alle Elementarvolumina, in die das Volumen V zerlegt wurde, und zwar für den Fall, daß
der Rauminhalt jedes Elementarvolumens gegen Null, d h ihre Anzahl gegen oo geht Dabei ist wie
beim Doppelintegral zu beachten, daß der Durchmesser des Elementarvolumens gegen Null strebt und
nicht nur eine der möglichen Ausdehnungen. Es gilt dann:
Abbildung 8 36 Abbildung 8 37
2. Existenzsatz
Der Existenzsatz für das Dreifachintegral ist ein vollständiges Analogon zum Existenzsatz für das
Doppelintegral
8.4.2.2 Berechnung des Dreifachintegrals
Die Berechnung des Dreifachintegrals wird auf die nacheinanderfolgende Berechnung dreier einfacher
Integrale zurückgeführt, die je nach dem verwendeten Koordinatensystem unterschiedlich aussieht.
1. Berechnung in kartesischen Koordinaten
Das Integrationsgebiet, das hier als Volumen V aufgefaßt werden kann, teilt man mit Hilfe von
Koordinatenflächen, die in diesem Falle Ebenen sind, in infinitesimale Parallelepipede ein (Abb.8.37).
Dabei ist wie im Falle des Doppelintegrals zu beachten, daß der Durchmesser der Elementarzelle beim
Grenzübergang gegen Null geht Auf die Zerlegung folgt die Summation aller Differentiale /(x, y, z) dV ,
beginnend bei allen Parallelepipeden längs einer vertikalen Säule, d h. Summation über z , danach
aller Säulen längs jeder der vertikalen Schichten, d.h Summation über y , und schließlich aller Schichten,
8.4 Mehrfachintegrale 493
d.h. Summation über x. Die analytische Formulierung lautet*
b [ ¥>2(x) f *p2(x,y)
)dz\
V a ^j(x) \tfn (x,y)
Jf(xty,z)dV = Jl I j f{x^z)dz\dy\
dy > da:
fc V>2{x)il>2(x,y)
= j J j f{x,y,z)dzdydx.
:148a)
a v?i(x)^i(x,j/)
Dabei sind 2; = ipi(x,y) und 2; = tp2(x,y) die Gleichungen der unteren und oberen Oberfläche des
Volumens V , gerechnet von der Kurve T aus, cte ofa/ dz heißt Volumenelement, hier in kartesischen
Koordinaten Mit y = (fi(x) und y = (f2(x) sind die Funktionen bezeichnet, die die Projektionen C der
Kurvenanteile von T auf die x, y-Ebene mit den Begrenzungspunkten x = a und x = b beschreiben An
das Integrationsgebiet müssen die folgenden Forderungen gestellt werden Die Funktionen <pi(x) und
<P2(x) sollen im Intervall a < x <b existieren, stetig sein und der Ungleichung (pi(x) < ^(x) genügen.
Die Funktionen ipi(x,y) und ifj2{x,y) sollen im Gebiet a < x < b, ipi(x) < y < ^{x) definiert und
stetig sein und der Ungleichung ^1B;, y) < ip2(x, y) genügen. Derart sind alle die Punkte (x, y, z) in V
enthalten, die den folgenden Bedingungen genügen-
a<x<b, <Pi(x) < y < <p2(x), i/Ji(x,y) < z < ip2{x,y) (8.148b)
¦ Berechnung des Integrals / = / (y2 + z2) dV für eine Pyramide, die von den Koordinatenebenen
und der Ebene x + y + z = 1 begrenzt wird:
/= /' f'1 [l-X-V(y* + z*)dzdydx= Hf^lf1
Jo Jo Jo Jo uo I/o
(y2 + z2) ctej dyj dx = —.
Abbildung 8.38
Abbildung 8 39
2. Berechnung in Zylinderkoordinaten
Das Integrationsgebiet wird mit Hilfe der Koordinatenflächen p = const, (p = const, z = const in
infinitesimale Elementarzellen eingeteilt (Abb.8.38). Das Volumenelement in Zylinderkoordinaten ist
dV = pdzdpdip (8.149a)
Nach der Darstellung des Integranden f(p, cp, z) in Zylinderkoordinaten lautet das Integral:
<J>2 P2(<f) Z2{p,V)
jf(p,ip,z)dV = j J f f(p,<p,z)pdzdpdip (8.149b)
V Vipi(v>)*i(p,¥>)
¦ Das Integral I = dV ist für einen Körper zu berechnen (Abb.8.39), dessen Volumen von der
v
x,2/-Ebene, der £,z-Ebene, dem Zylinder x2 + y2 = ax und der Kugel x2 + y2 + z2 = a2 begrenzt
494 8. Integralrechnung
Tabelle 8.9 Anwendungen von Doppelintegralen
Allgemeine Formel
Kartesische Koordinaten
Polarkoordinaten
1. Flächeninhalt einer ebenen Figur:
S = f dS
s
= // dydx
= // pdpdif
2. Oberfläche:
J cos 7
s
-ii\
1 + AJ+(|J^
-ii\
+(|J+(|J^
3. Volumen eines Zylinders:
V = J zdS
s
= // zdydx
= // zpdpdip
4. Trägheitsmoment einer ebenen Figur, bezogen auf die cc-Achse:
Ix = Jy2dS
s
= jj y2dydx
= p3 sin2 (p dpdip
5. Trägheitsmoment einer ebenen Figur, bezogen auf den Pol 0:
I0 = Jp2dS
s
= JJ(x2 + y2) dydx
= p3 dpdip
6. Masse einer ebenen Figur mit der Dichtefunktion q:
M= [gdS
s
— // Qdydx
= jj Qp dpdip
7. Koordinaten des Schwerpunktes einer homogenen ebenen Figur:
JxdS
jydS
yc = S-S~
jj xdydx
jj dydx
JJ ydydx
// dydx
// p2 cos if dpdip
// p dpdip
jj p2 sin ip dpdip
// p dpdip
wird- z\ = 0, Z2 = ya2 — x2 — y2 = y a2 — p'
rir/2 ra cos if
Pi = 0, p2 = o, cos ip; (fi = 0, ip2
1=1 l I pdz dpdip =
Jo Jo Jo Jo
7r/2 I ra cos if
0
f
dz
dip = — (Sit — 4). Wegen
18
8.4 Mehrfachintegrale 495
/(p, (/?, z) = 1 ist das Integral gleich dem Rauminhalt des Körpers.
2 cosiD
Abbildung 8.40
Abbildung 8 41
3. Berechnung in Kugelkoordinaten
Das Integrationsgebiet wird mit Hilfe der Koordinatenflächen r = const, (p = const, fl = const in
infinitesimale Elementarzellen eingeteilt (Abb.8.40). Das Volumenelement in Kugelkoordinaten ist
dV = r2 sin ti dr dti dcp. (8.150a)
Nachdem der Integrand in Kugelkoordinaten als / (r, (p, $) dargestellt wurde, lautet das Integral:
y?2 ti2(f) r2('d,ip)
[f(r,ip,<d)dV= f J J f(r,ip,ti)r2smtidrd$dip (8.150b)
/COS 1?
—— dV ist für einen Kegel zu berechnen, dessen Spitze sich im Ursprung des
v
Koordinatensystems befindet und der die 2-Achse zur Symmetrieachse hat Der Winkel in der Spitze
beträgt 2a, die Höhe des Kegels ist h (Abb.8.41). Weiter gilt: r\ = 0,r2 = Q; $i = 0, d2 =
ot\ <p\ = 0,if2 = 2tt .
r2n ra rh/conti cos $
1= / / ——r sim
Jo Jo Jo rl
= 2nh(l - cosa)
p2tt ( rot I" rh/cos &
iti dr dti dy = I < / cos # sin # /
cos??'
4. Berechnung in beliebigen krummlinigen Koordinaten u, v, w
Die Koordinaten sind durch die Beziehungen
x = x(u,v,w), y = y(u,v,w), 2 = z(u,v,w)
(8.151)
definiert (s. 3.6.3.1,2., S. 251). Das Integrationsgebiet wird durch die Koordinatenflächen u = const,
v = const, w = const in infinitesimale Volumenelemente in beliebigen Koordinaten eingeteilt:
dV = \D\ du dv dw mit D =
dx dx dx
~dü ~dv ~dw
dy dy dy
au ov ow
dz dz dz
Uü Bv Bw
, 152a)
496 8 Integralrechnung
wobei D die Funktionaldeterminante ist. Drückt man den Integranden in den Koordinaten u,v,w aus,
dann lautet das Integral
u2 v2(u)w2(u,v)
ff{u,v,w)dV = f I I f(u,v,w)\D\dwdvdu (8.152b)
V ui v\(u) w-[(u,v)
Hinweis: Die Formeln (8 149b) und (8 150b) sind Spezialfälle von (8.152b).
Für Zylinderkoordinaten ist D = p, für Kugelkoordinaten ist D — r2 sin fl .
Mit Vorteil werden immer solche krummlinigen Koordinaten verwendet, die eine möglichst einfache
Berechnung der Integrationsgrenzen des Integrals (8.152b) gestatten
8.4.2.3 Anwendungen von Dreifachintegralen
Einige Anwendungen von Dreifachintegralen sind in Tabelle 8.10 zusammengestellt Die
erforderlichen Flächenelemente in verschiedenen Koordinaten enthält die Tabelle 8.8, S 492 Die zu
Berechnungen erforderlichen Volumenelemente enthält die Tabelle 8.11 in verschiedenen Koordinaten
8.5 Oberflächenintegrale
In Analogie zu den drei verschiedenen Kurvenintegralen (s 8.3, S.479) unterscheidet man
Oberflächenintegrale 1., 2. und allgemeiner Art.
8.5.1 Oberflächenintegrale 1. Art
Oberflächenintegrale oder Integrale über einem räumlichen Flächenstück stellen eine
Verallgemeinerung des Doppelintegrals dar, ähnlich wie das Kurvenintegral 1 Art (s. 8 3 1, S 480) eine
Verallgemeinerung des gewöhnlichen bestimmten Integrals ist.
8.5.1.1 Begriff des Oberflächenintegrals 1. Art
1. Definition
Oberflächenintegral 1. Art einer Punktion von drei Veränderlichen u = f(x, y, z), die in einem
zusammenhängenden Gebiet definiert sein muß, nennt man das Integral
[ f(x1y,z)dS, (8.153)
s
das über ein im allgemeinen gekrümmtes Flächenstück S in dem
genannten Gebiet genommen wird.
Der Zahlenwert des Oberflächenintegrals 1. Art wird auf die folgende
Weise ermittelt (Abb.8.42).
1. Beliebige Zerlegung des Flächenstückes S in n Elementarflächen-
Abbildung 8.42 stücke
2. Auswahl eines beliebigen Punktes Pi(xi,yi, Zi) im Innern oder auf dem Rande eines jeden Elemen-
tarflächenstückes
3. Multiplikation des Funktionswertes von f(x^y^Zi) in diesem Punkt mit dem Inhalt von ASi des
entsprechenden Elementarflächenstückes
4. Addition aller so gewonnenen Produkte f(xi, yi: Zi)ASi 5. Berechnung des Grenzwertes der Summe
E/fe^i.^)^ (8 154a)
i=l
für den Fall, daß der Inhalt aller Elementarflächenstucke ASi gegen Null geht, also ihre Anzahl n gegen
oo . Dabei ist wieder zu beachten, daß der Durchmesser des Elementarflächenstückes gegen Null geht
und nicht nur eine Ausdehnung (s 84 1.1,1., S. 488).
Wenn dieser Grenzwert existiert und von der Art der Einteilung des Flächenstückes S in Elementar-
8.5 Oberflächenintegrale 497
Tabelle 8.10 Anwendungen von Dreifachintegralen
Allgemeine
Formel
Kartesische
Koordinaten
Zylinderkoordinaten
Kugelkoordinaten
1. Volumen eines Körpers
V = JäV =
V
/// dzdydx
/// pdzdpdtp
/ / / r2 sin tidrätidtp
2. Trägheitsmoment eines Körpers, bezogen auf die 2-Achse
V
III(x2 + y2) dzdydx
/// p3 dzdpdtp
[[fr4 sin3 tidrdtidtp
3. Masse eines Körpers mit der Dichtefunktion g
M = f gdV =
V
Hl q dzdydx
/// gpdzdpdip
Hl gr2 Sinti drdti dtp
4. Koordinaten des Schwerpunktes eines homogenen Körpers
fxdV
xc = v- =
V
JydV
JzdV
Hl xdzdydx
Hl dzdydx
Hl y dzdydx
Hl dzdydx
Hl z dzdydx
Hl dzdydx
p2 cos tp dp dtp dz
III pdpd<pdz
In p2 sin tp dp dtp dz
Hl p dp dtp dz
/// pz dp dtp dz
/// pdpd(pdz
Hl r3 sin2 ti cos tp dr dti dtp
Hl r2 sin tidr dti dtp
Hl r3 sin2 ti sin tp dr dti dtp
r2 sin tidr dti dtp
Hl r3 sin ti cos ti dr dti dtp
Inf2 sin tidr dti dtp
Tabelle 8.11 Volumenelemente
Koordinaten
Kartesische Koordinaten x, y, z
Zylinderkoordinaten p,tp ,z
Kugelkoordinaten r ,ti ,tp
Beliebige krummlinige Koordinaten u,v,w
Volumenelemente
dV = dx dy dz
dV = p dp dtp dz
dV = r2 sin ti dr dti dtp
dV = \D\ dudvdw (D Funktionaldeterminante)
flächenstücke sowie von der Wahl der Punkte Pi(xi, y^zi) unabhängig ist, dann wird er
Oberflächenintegral 1 Art der Funktion u = f(x,y,z) über dem Flächenstück S genannt, und man schreibt:
/ /(*, y, z) dS = Jm -£ f(xt, Vi, zt) AS*.
,154b)
498 8. Integralrechnung
2. Existenzsatz
Das Oberflächenintegral 1. Art existiert, wenn die Funktion /(x, y, z) in dem betrachteten Gebiet stetig
ist und die Funktionen, die in der Gleichung der Fläche auftreten, in diesem Gebiet stetige Ableitungen
besitzen
8.5.1.2 Berechnung des Oberflächenintegrals 1. Art
Die Berechnung des Oberflächenintegrals 1. Art wird auf die Berechnung des Doppelintegrals über
einem ebenen Gebiet zurückgeführt (s 8.4 1, S. 488)
1. Explizite Darstellung der Fläche Ist die Fläche S durch die Gleichung
z = z(x,y) (8.155)
explizit vorgegeben, dann gilt
' (8.156a)
S S> Qz
wobei S' die Projektion von S auf die x,?/-Ebene ist und p und q die partiellen Ableitungen p = —, q =
dz
I /(x, y, z) dS = jj f[x, y, z(x, y)] y/l + p2 4- q2 dx dy ,
<9x'
— sind Dabei wird vorausgesetzt, daß jedem Punkt der Fläche S in der x,y-Ebene eindeutig ein
dy
Punkt ihrer Projektion S' entspricht, d h., der Flächenpunkt muß eindeutig durch seine Koordinaten
definiert sein Sollte das nicht der Fall sein, dann wird das Flächenstück S in einige Teilflächenstücke
eingeteilt, so daß das Integral über die gesamte Fläche als algebraische Summe der Integrale über die
Teilflächenstücke von S dargestellt werden kann. Ist die Fläche in Parameterform gegeben, dann entfällt
diese Einschränkung
Die Gleichung (8 156a) kann auch in der anderen Form
ff(x,y,z)dS= fff[x,y,z(x,y)]^3L (8.156b)
J JJ cos 7
s sxl
dargestellt werden, weil die Gleichung der Flächennormalen von (
1.155) die Form
X -x
-1
hat (s. Tabelle 3.29, S. 253), so daß für den Winkel zwischen der Normalenrichtung und der
2-Achse die Beziehung cos 7 =
1
besteht. Bei der Berechnung eines Oberflächenintegrals
1 Art faßt man diesen Winkel 7 stets als spitzen Winkel auf, so daß immer cos 7 > 0 ist.
2. Parameterdar st eilung der Fläche
Ist die Fläche S durch die Gleichungen
x = x(u,v), y = y(u,v), z = z(u,v)
in Parameterform vorgegeben (Abb.8.43), dann gilt
)dS
Abbildung 8 43
j f(x,y,z)c
s
¦¦ // f[x(u,v),y(u,v),z(u1v)]y/EG - F2dudv,
(8 157a)
1.157b)
wobei die Funktionen E, F und G die in 3 6.3 3,1., S 253 angegebene
Bedeutung besitzen. Für das Flächenelement in Parameterform gilt dann
VEG-F2dudv = dS, (8 157c)
während A der Variabilitätsbereich von u und v ist, der der Fläche S
entspricht Zur Berechnung des Integrals werden der Reihe nach die beiden
Integrale für v und u integriert:
8 5 Oberflächenintegrale 499
U2 V2{u)
[<P{u.v)dS= [ f <P(u,v)VEG-F2dvdu, <P{u , v) = f[x(u, v),y(u, v), z(u, v)] (8.4)
S «l i)i(u)
Dabei sind U\ und u2 die Koordinaten der äußersten Koordinatenlinien u = const, zwischen denen das
Flächenstück S eingeschlossen ist (Abb.8.43). Mit v = Vi(u) und v = V2(u) sind die Gleichungen der
Kurven AmB und AnB bezeichnet, die das Flächenstück S begrenzen (s 8.4.1.2,3., S 490)
Hinweis: Die Formel (8.156a) ist ein Spezialfall von (8.157b) für
u = x, v = y, E = l+p2, F = pq, G = 1 + q2 (8 158)
3. Flächenelemente gekrümmter Flächen
Tabelle 8.12 Flächenelemente gekrümmter Flächen
Koordinaten
Kartesische Koordinaten x,y,z = z(x, y)
Zylindermantel R (konstanter Radius),
Koordinaten ip, z
Kugeloberfläche R (konstanter Radius),
Koordinaten $, ip
Beliebige krummlinige Koordinaten u, v
(E, F, G s Differential des Bogens, 3.6.3.3,1., S. 253)
Flächenelemente
ds=h{diJ+{d£Jdxdy
dS = Rd(p dz
dS = R2 smti dtid<p
dS = VEG-F2dudv
8.5.1.3 Anwendungen des Ob er flächenint egr als 1. Art
1. Flächeninhalt eines gekrümmten Flächenstücks
S=fdS (8 159)
s
2. Masse eines inhomogenen gekrümmten Flächenstückes S
Mit der koordinatenabhängigen Dichte g = f(x, y, z) gilt-
Ms
¦ jgdS. (8.160)
8.5.2 Oberflächenintegrale 2. Art
Das Oberflächenintegral 2 Art, auch Integral über eine Projektion, ist wie das Oberflächenintegral
1. Art eine Erweiterung des Begriffs Doppelintegral
8.5.2.1 Begriff des Oberflächenintegrals 2. Art
1. Begriff einer orientierten Fläche
Eine Fläche besitzt gewöhnlich zwei Seiten, von denen man willkührlich eine als Außenseite bezeichnen
kann. Nachdem die Außenseite gewählt ist, spricht man von einer orientierten Fläche. Flächen, für die
sich nicht zwei Seiten angeben lassen, werden hier nicht betrachtet (s. [8.12])
2. Projektion eines orientierten Flächenstückes auf eine Koordinatenebene
Wenn ein begrenztes Stück S einer orientierten Fläche auf eine Koordinatenebene projiziert wird, z.B.
auf die x,y-Ebene, dann kann dieser Projektion Prxy S auf die folgende Weise ein Vorzeichen
zugeordnet werden (Abb.8.44)-
500 8. Integralrechnung
a) Fällt der Blick von der positiven Seite der z-Achse aus auf die x,?/-Ebene und sieht man dabei die
positive Seite des Flächenstückes S, dann gibt man der Projektion PrxyS das positive Vorzeichen, im
entgegengesetzten Falle das negative (Abb.8.44a,b)
b) Liegt das Flächenstück so, daß man zum Teil seine Innen- und zum Teil seine Außenseite sieht, dann
ergibt sich Prxy S als algebraische Summe der Projektionen dieser Teile, die einmal von der Innen-, zum
anderen von der Außenseite zu sehen sind (Abb.8.44c).
Abbildung 8 44
Die Abb.8.44d zeigt die Projektionen des Flächenstückes Sxz und Syz eines Flächenstückes S, von
denen die eine negativ, die andere positiv zu nehmen ist
Die Projektion einer geschlossenen orientierten Fläche ist gleich Null.
3. Definition des Oberflächenintegrals 2. Art über eine Projektion
auf eine Koordinatenebene
Oberflächenintegral 2. Art einer Funktion von drei Veränderlichen f(x, y, z), die in einem
zusammenhängenden Gebiet definiert ist, nennt man das Integral
J f(x,y,z)dxdy, (8 161)
s
das über die Projektion auf die x,y-Ebene eines orientierten, in dem gleichen Gebiet liegenden
Flächenstückes S genomen wird. Der Zahlenwert des Integrals wird ebenso gewonnen, wie der des
Oberflächenintegrals 1. Art, ausgenommen den dritten Schritt, bei dem der Funktionswert f(xi, y^Zi) nicht mit dem
Flächenelement ASi, sondern mit dessen Projektion PrxyASi, orientiert gemss 8 5.2 1,1., S 499 auf
die x,2/-Ebene, zu multiplizieren ist Damit ergibt sich:
j f(x, y, z) dx dy = Alimo ]T f(xit yu Zi) Prxy ASi ¦ (8.162a)
In Analogie dazu werden die Oberflächenintegrale 2. Art über die Projektionen des orientierten Flächen-
8.5 Oberflächenintegrale 501
Stückes S auf die y,z- und die z,x-Ebene wie folgt berechnet:
j f(x, y, z) dy dz = Alimo £ f(xit yu Zi) Pryz AS{, (8 162b)
g n—KX> 1=1
/ f{x,y,z)dzdx = \unoJ2f(^yi^i)PrzxASi. (8.162c)
JS n-£ i=\
4. Existenzsatz für das Oberflächenintegral 2. Art
Die Oberflächenintegrale 2 Art (8 162a,b,c) existieren, wenn die Funktion f(x, y, z) sowie die
Funktionen, die die Gleichung der Fläche bilden, stetig sind und stetige Ableitungen besitzen.
8.5.2.2 Berechnung des Oberflächenintegrals 2. Art
Als Hauptmethode wird die Zurückführung auf Doppelintegrale betrachtet.
1. Explizite Vorgabe der Flächengleichung
Ist die Fläche S durch die Gleichung
z = ip(x,y) (8.163)
explizit vorgegeben, dann wird das Integral (8.162a) nach der Formel
J f{x,y,z)dxdy= J f[x,y,(p{x,y)]dSxy (8 164a)
S PrxyS
berechnet, wobei gilt: Sxy = PrxyS Die Oberflächenintegrale der Funktion f(x, y, z) über die
Projektionen des Flächenstuckes S auf die anderen Koordinatenebenen werden analog berechnet-
Jf(x,y,z)dydz= I f{iP(y,z),y,z}dSyz, (8.164b)
S PryzS
wobei x = i/j(y, z) die nach x aufgelöste Gleichung der Fläche S ist und Syz = PryzS zu setzen ist.
f(x,y,z)dzdx = / f[x,x{z,x),z] dSzx, (8 164c)
S PrzxS
wobei y = x(z,x) die nach y aufgelöste Gleichung der Fläche S ist und Szx = PrzxS zu setzen ist.
Wenn die Orientierung der Fläche geändert wird, d h., wenn die Außen- mit der Innenseite vertauscht
wird, dann ändert das Integral über die Projektion sein Vorzeichen
2. Vorgabe der Flächengleichung in Parameter form
Ist die Fläche S durch die Gleichungen
x = x(u, v), y = y(u, v), z — z(u, v) (8 165)
in Parameterform vorgegeben, dann berechnet man die Integrale (8.162a,b,c) nach den folgenden
Formeln-
/f D(x w)
f(x,y,z)dxdy = f[x(u,v),y(u,v),z(u,v)] ' dudv, (8.166a)
S A \uiv)
My,z)
I f(x,y,z)dydz = I f[x{u,v),y(u,v),z(u,v)]—-L^rdudv1 (8.166b)
C A V ' /
Mztx)
lD{u,v)(
/f D(z x)
f(x,y,z)dzdx= / f[x(u,v),y(u,v),z(u,v)]——-—-dudv. (8 166c)
502 8 Integralrechnung
Dabei sind die Ausdrücke
D(x,y) D(y,z) D{z,x)
die Funktionaldeterminanten der Funktionen-
D(u,v) ' D{u,v) ' D(u,v)
paare aus der Menge x,y,z, die von den Variablen u und v abhängen; A ist der Variabilitätsbereich
von u und v des Flächenstückes S.
8.5.3 Oberflächenintegral allgemeiner Art
8.5.3.1 Begriff des Oberflächenintegrals allgemeiner Art
Wenn in einem zusammenhängenden Gebiet drei Funktionen mit den drei Veränderlichen P(x, y, z),
Q(x, y, z), R(x, y, z) und ein orientiertes Flächenstück S gegeben sind, dann wird als
Oberflächenintegral allgemeiner Art die Summe der Integrale 2 Art über alle Projektionen bezeichnet
((Pdydz + Qdzdx + Rdxdy) = f Pdydz + fQdzdx+ f Rdxdy. (8167)
s s s s
Die allgemeine Formel, mit deren Hilfe man das Oberflächenintegral allgemeiner Art auf das
gewöhnliche Doppelintegral zurückführt, lautet:
(P dy dz + Q dz dx + R dx dy) = /
D(u,v) WD(u,v) D{u,v)
dudv,
1.168)
wobei die Größen
D{x,y) D{y,z) D{z,x)
und A die oben angegebene Bedeutung besitzen
D(u,v) ' D(u,v) ' D(u,v)
Hinweis: Die vektorielle Darlegung der Theorie des Oberflächenintegrals allgemeiner Art ist im
Kapitel Feldtheorie enthalten (s. 13.3.2, S. 684).
8.5.3.2 Eigenschaften des Oberflächenintegrals
1. Wenn das Integrationsgebiet, d.h. das Flächenstück S, auf
irgendeine Art in Teilflächenstücke S\ und £2 eingeteilt ist (Abb.8.45), dann
gilt-
(Pdydz + Qdzdx + R dx dy)
s
= f(Pdydz + Qdzdx +Rdxdy)
Si
I- f{Pdydz + Qdzdx +Rdxdy)
s2
169)
Abbildung 8.45
2. Bei Vertauschung von Außen- und Innenseite der Fläche, d.h. bei Änderung der Orientierung der
Fläche, ändert das Integral sein Vorzeichen:
[ (P dy dz + Q dz dx + Rdx dy) = - I' (P dy dz + Q dz dx + Rdx dy), (8 170)
5+ s-
wobei mit S+ und S~ ein und dieselbe Fläche bezeichnet ist, jedoch für entgegengesetzte Orientierung
3. Im allgemeinen hängt das Oberflächenintegral sowohl von der das Flächenstück S begrenzenden
Kurve als auch von der Fläche selbst ab Daher sind die Integrale über verschiedene nichtgeschlossene
Flächen Si und S2 mit der gleichen Randkurve K im allgemeinen verschieden (Abb.8.45)
[{Pdydz + Qdzdx + Rdxdy) ^ I(P dy dz + Qdzdx + Rdxdy).
(8 171)
8 5 Oberflächenintegrale 503
4. Eine Anwendung des Oberflächenintegrals besteht in der Berechnung des Volumens V eines
Körpers, der von einer geschlossenen Fläche S begrenzt ist. Es kann als Oberflächenintegral
V = - [(xdydz + ydzdx + zdxdy) (8.172)
s
berechnet werden, wobei S so orientiert ist, daß die äußere Seite der Fläche positiv genommen wird
504 9. Differentialgleichungen
9 Differentialgleichungen
1. Differentialgleichung wird eine Gleichung genannt, in der neben einer oder mehreren
unabhängigen Veränderlichen und einer oder mehreren Funktionen dieser Veränderlichen auch noch die
Ableitungen dieser Funktionen nach den unabhängigen Veränderlichen auftreten Die Ordnung einer
Differentialgleichung ist gleich der Ordnung der höchsten in ihr auftretenden Ableitung
2. Gewöhnliche und partielle Differentialgleichungen unterscheiden sich nach der Anzahl der
in ihnen enthaltenen unabhängigen Veränderlichen; im ersten Falle tritt nur eine auf, im zweiten
mehrere
¦ A: ($L\ -xy5^+smy = 0; ¦ B: xd2ydx - dy(dxJ = ^(dyf ; ¦ C: ^ = xyz^
9.1 Gewöhnliche Differentialgleichungen
1. Allgemeine gewöhnliche Differentialgleichung n—ter Ordnung
in impliziter Form nennt man die Gleichung
F[x,y{x),y'(x),.. Jn\x)) = 0. (9.1)
Ist diese Gleichung nach y^n\x) aufgelöst, dann hat man die explizite Form einer gewöhnlichen
Differentialgleichung rc-ter Ordnung.
2. Lösung oder Integral
einer Differentialgleichung ist jede Funktion, die ihr in einem Intervall a < x < b, das auch unendlich
sein kann, genügt. Eine Lösung, die n willkürliche Konstanten ci, c2, .., cn enthält, so daß ihr noch n
zusätzliche Bedingungen auferlegt werden können, heißt allgemeine Lösung oder allgemeines Integral
Erteilt man jeder dieser Konstanten einen festen Zahlenwert, so erhält man ein partikuläres Integral
oder eine partikuläre Lösung
¦ Die Differentialgleichung — y' sin x + y cos x = 1 hat die allgemeine Lösung y — cos x + csin x Für
c = 0 ergibt sich die partikuläre Lösung y = cos x.
3. Anfangswert aufgäbe
Werden der Lösung y = y(x) einer gewöhnlichen Differentialgleichung n-ter Ordnung an einer Stelle x0
die n Werte y(xo), yf(xo), y"(xo),..., y^n~^(xo) vorgegeben, dann spricht man von einer
Anfangswertaufgabe. Die vorgegebenen Werte werden als Anfangswerte oder Anfangsbedingungen bezeichnet. Sie
führen auf n Gleichungen zur Bestimmung der n Konstanten c\, C2, , cn in der allgemeinen Lösung
der Differentialgleichung n-ter Ordnung
¦ Die harmonische Schwingung eines speziellen elastischen Federpendels wird durch die folgene
Anfangswertaufgabe beschrieben, y" + y = 0 mit y@) = yo, y'@) = 0. Lösung: y = y0 cosx .
4. Randwertaufgabe
Werden an die Lösung einer gewöhnlichen Differentialgleichung Bedingungen an mehreren Stellen des
Definitionsbereiches gestellt, so nennt man diese Bedingungen Randbedingungen Eine
Differentialgleichung mit Randbedingungen heißt Randwertaufgabe
¦ Die Biegelinie eines auf 2 Stützen ruhenden Balkens bei gleichmäßiger Belastung wird in einem
speziellen Fall durch die folgende Randwertaufgabe beschrieben- y" = x-x2 mit y@) = 0,2/A) = 0 @ <
x3 xA x
x<l). Losung y=-----
9.1 Gewöhnliche Differentialgleichungen 505
9.1.1 Differentialgleichungen 1. Ordnung
9.1.1.1 Existenzsatz, Richtungsfeld
1. Existenz einer Lösung
Nach dem Existenzsatz von Cauchy existiert für die Differentialgleichung
y' = f(x,y) (9.2)
wenigstens eine Lösung, die an der Stelle x = xo den Wert yo annimmt und in einem gewissen Intervall
um xo definiert und stetig ist, wenn die Funktion /(x, y) in einer Umgebung G des Punktes (x0, yo),
die durch \x — xq\ < a und \y — y0\ < b festgelegt ist, stetig ist.
2. Lipschitz-Bedingung
LiPSCHiTZ-Bedingung bezüglich y nennt man die Forderung
\f(x,yi)-f(x,y2)\<N\yl-y2\ (9 3)
für alle (x, y{) und (x, y2) aus G, wobei N nicht von x, y\ und y2 abhängen darf. Ist sie erfüllt, dann ist die
Lösung von (9.2) eindeutig und eine stetige Funktion von y0 . Die Erfüllung der LiPSCHiTZ-Bedingung
ist stets dann gegeben, wenn /(x, y) in dem betrachteten Gebiet eine beschränkte partielle Ableitung
df/dy besitzt. In 9 1.1 4, S. 510 sind Fälle angeführt, in denen die Voraussetzungen des CAUCHYschen
Existenzsatzes nicht erfüllt sind.
3. Richtungsfeld
Wenn durch den Punkt P(x, y) die Kurve einer Lösung y = <p(x) der Differentialgleichung y' = /(x, y)
geht, dann kann der Richtungsfaktor dy/dx der Tangente an die Kurve in diesem Punkt unmittelbar aus
der Differentialgleichung bestimmt werden Damit definiert die Differentialgleichung in jedem Punkt
die Richtung der Tangente an eine Lösungskurve. Die Gesamtheit dieser Richtungen (Abb.9.1) bildet
das Richtungsfeld. Als Element des Richtungsfeldes bezeichnet man einen Punkt zusammen mit der in
ihm gegebenen Richtung. Geometrisch betrachtet bedeutet die Integration einer Differentialgleichung
1 Ordnung somit die Verbindung der Elemente des Richtungsfeldes zu Integralkurven, deren Tangenten
in jedem Punkt eine Richtung besitzen, die mit der des Richtungsfeldes in dem betreffenden Punkt
übereinstimmt
Abbildung 9.1
Abbildung 9 2
4. Vertikale Richtungen
Wenn in einem Feld vertikale Richtungen auftreten, d.h , wenn die Funktion /(x, y) einen Pol besitzt,
vertauscht man die Rolle der abhängigen und unabhängigen Variablen und faßt die
Differentialgleichung
dy f(x,y) [ '
als äquivalent zur vorgegebenen Differentialgleichung (9 2) auf In den Gebieten, in denen die
Bedingungen des Existenzsatzes für die Differentialgleichungen (9.2) oder (9.4) erfüllt sind, geht durch jeden
Punkt P(xo,yo) eine eindeutig bestimmte Integralkurve (Abb.9.2).
506 9 Differentialgleichungen
/$f*+/g$*-°-
5. Allgemeines Integral
Die Gesamtheit aller Integralkurven hängt von einem Parameter ab und kann durch die Gleichung
F(x,y,C) = 0 (9.5a)
der zugehörigen einparametrigen Kurvenschar beschrieben werden. Der Parameter C, die willkürliche
Konstante, ist frei wählbar und unbedingter Bestandteil des allgemeinen Integrals jeder
Differentialgleichung 1. Ordnung. Ein partikuläres Integral y = (p(x), das der Bedingung y0 = ip(xo) genügt, kann
aus dem allgemeinen Integral (9 5a) gewonnen werden, indem C aus der Gleichung
F(xo,yo,C) = 0 (9 5b)
bestimmt wird.
9.1.1.2 Wichtige Integrationsmethoden
1. Trennung der Variablen
Wenn eine Differentialgleichung auf die Form
M{x)N(y)dx + P(x)Q(y)dy = 0 (9 6a)
gebracht werden kann, dann kann sie auch in der Form
R(x)dx + S{y)dy = 0 (9 6b)
dargestellt werden, in der die Variablen x und y voneinander getrennt in zwei Termen auftreten. Dazu
ist die Gleichung (9.6a) durch P(x)N(y) zu dividieren. Für das allgemeine Integral ergibt sich
P(x) J N(y)
Sollten für irgendwelche Werte x = x oder y = y die Funktionen P(x) oder N(y) Null werden, dann
sind x = x und y = y ebenfalls Integrale der Differentialgleichung.
¦ xdy + ydx = 0, / — + / — = C; In |y| + In |x| = C = In \c\; yx = c
J y J x
2. Homogene Gleichungen oder Ähnlichkeitsdifferentialgleichungen
Wenn M(x,y) und N(x,y) homogene Funktionen gleichen Grades sind (s 2.18 2 6,1., S 124), dann
kann in der Gleichung
M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 (9.8)
die Trennung der Variablen durch die Substitution u = y/x erreicht werden
u
¦ x(x — y)y' + y2 = 0 Mit y = u(x)x erhält man A — u)v! + — = 0. Daraus folgt durch Trennung der
/1 qi r (vT)
du — — l — . Somit ist In x + In u — u = C = In c, ux = ceu , y = cey/x . Wie man
u J x
gemäß 9.1.1.2,1., Trennung der Variablen, S 506 erkennt, ist die Gerade x = 0 auch eine Integralkurve.
3. Exakte Differentialgleichung
Exakte Differentialgleichung wird eine Gleichung der Form
M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 bzw N(x,y)y' + M(x,y) = 0 (9.9a)
genannt, wenn eine Funktion #(£, y) existiert, die der Gleichung
M(x,y)dx + N(x,y)dy = d${xJy) (9 9b)
genügt, d.h. wenn die linke Seite von (9.9a) das totale Differential einer Funktion $(x, y) ist (s S. 410).
Die notwendige und hinreichende Bedingung dafür, daß die Gleichung (9 9a) eine exakte
Differentialgleichung ist, besteht darin, daß die Funktionen M(x, y) und N(x, y) sowie ihre partiellen Ableitungen
1. Ordnung in einem einfach zusammenhängenden Gebiet stetig sind und die Bedingung
dM dN ,nn^
9.1 Gewöhnliche Differentialgleichungen 507
erfüllen. Das allgemeine Integral von (9 9a) ist in diesem Falle die Funktion
&(x,y) = C (C = const), (9.9d)
die gemäß (8 136b) (s 8 3 4 4,1., S. 487) als Integral
x y
<P(x, y) = J M(£, y) df + j N(x0l ri) dv (9.9e)
xq yo
berechnet werden kann, wobei xq und y0 beliebig gewählt werden können.
¦ Ein Beispiel wird in 9.1 1 2,4., S 507 behandelt.
4. Integrierender Faktor
Integrierender Faktor wird eine Funktion fi(x, y) genannt, wenn die Gleichung
Mdx + Ndy = 0 (9.10a)
durch Multiplikation mit /i(rc, y) in eine exakte Differentialgleichung übergeht Der integrierende Faktor
genügt der Differentialgleichung
ox oy oy ox
Jede beliebige partikuläre Lösung dieser Gleichung ist ein integrierender Faktor. In vielen Fällen ist
der integrierende Faktor /x(x, y) von der speziellen Form fi(x), //(y), ß(xy) oder fi(x2 + y2)
¦ Es ist die Differentialgleichung (x2 + y)dx — xdy = 0 zu lösen. Die Gleichung für den integrierenden
_ . . dln/i o .dln/i . . . .
Faktor lautet — x— Ix + wj—-— = 2 Em integrierender Faktor, der von y unabhängig ist,
ox oy
ergibt sich aus x^r— = -2zuu = — . Multiplikation der gegebenen Differentialgleichung mit ß
ox xz
liefert A + — ) dx dy = 0. Das allgemeine Integral gemäß (9.9e) für xq = 1, y0 = 0 lautet dann:
\ xl J x
${x,y) = J* A + ^)df- fdn = C oder x - | = Ci.
5. Lineare Differentialgleichung 1. Ordnung
Lineare Differentialgleichung 1. Ordnung wird eine Gleichung der Form
y' + P{x)y = Q{x) (9.11a)
genannt, in der die unbekannte Funktion und ihre Ableitung nur in der ersten Potenz, d.h. linear
auftreten. Der integrierende Faktor ist hier
H = exp(fpdx\ , (9.11b)
das allgemeine Integral ergibt sich gemäß
y = exp(- fpdx) \ f Qexp (f Pdx) dx + c\ . (9.11c)
Wenn in dieser Formel das unbestimmte Integral überall durch das bestimmte Integral in den Grenzen
Xo und x ersetzt wird, dann gilt für die Lösung y(x0) = C (s 8.2.1.2, 1., S 458). Ist y\ irgendeine
partikuläre Lösung der Differentialgleichung, dann ergibt sich die allgemeine Lösung nach der Formel
y = y!+Cexp(- f Pdx) . (9 lld)
Sind zwei linear unabhängige partikuläre Lösungen y\(x) und 2/2B) (s 9.1.2.3,2., S. 518) bekannt, dann
erhält man die allgemeine Lösung ohne Integration gemäß
y = yi + C{y2-yi). (9.11e)
508 9. Differentialgleichungen
¦ Es ist die Differentialgleichung y' — y tan x = cos x mit der Anfangsbedingung y0 = 0 für x0 = 0 zu
integrieren Man berechnet exp ( — / tan xdx) = cos x und erhält gemäß (9.11c) die Lösung
1 rx o , 1 rsinxcosx + x] sina; x
2/ — / cos a; dx = = —-—h .
cos x Jo cos x L 2 J 2 2 cos x
6. Bernoullische Differentialgleichung
BERNOULLlsc/ie Differentialgleichung wird die Gleichung
y' + P(x)y = Q(x)yn (n^0,n^l) (912)
genannt, die sich mittels Division durch yn und Einführung der neuen Variablen z = y~n+l auf eine
lineare Differentialgleichung zurückführen läßt.
¦ Es ist die Differentialgleichung y' = xJy zu integrieren. Dan = 1/2 , erhält man mittels Divisi-
x
dz 2z x
on durch Jy und Einführung der neuen Variablen z = Jy die Gleichung = — Nach der Formel
dx x 2
für die Lösung einer linearen Differentialgleichung ist exp(/ P dx) — — und z = x2 \ --xdx + C\ =
xl U 2 xz J
x2 - In \x\ 4- C . Somit ergibt sich y = x4 ( - In |rzr| + C 1 .
7. Riccatische Differentialgleichung
RiCCATisc/ie Differentialgleichung heißt die Gleichung
y' = P(x)y2 + Q(x)y + R(x), (9 13a)
die im allgemeinen nicht durch Quadraturen gelöst werden kann, d h. nicht durch endlich viele
aufeinander folgende Integrationen Ist aber eine partikuläre Lösung y\ der RicCATischen
Differentialgleichung bekannt, dann läßt sich diese durch die Substitution
V = Vi + - (9.13b)
auf eine lineare Differentialgleichung für z zurückführen Kennt man noch eine zweite Lösung y2, so ist
zi = —-— (9.13c)
2/2-2/1
eine partikuläre Lösung der linearen Differentialgleichung für die Funktion z , so daß sich ihre
Integration vereinfacht. Sollten sogar drei Lösungen yi, y2 und y% bekannt sein, dann ist das allgemeine Integral
der RiCCATlschen Differentialgleichung
V ~ 2/2 2/3 - 2/2
= C. (9 13d)
2/ - 2/i 2/3-2/1
Durch die Substitution
y = W)+ß{x) (9'13e)
läßt sich die RicCATische Differentialgleichung stets in die Normalform
^ = u2 + R{x) (9.13f)
dx
überführen. Mit der Substitution
ergibt sich aus (9.13a) die lineare Differentialgleichung 2. Ordnung (s. 9.1.2.6,1., S. 525)
Pv" - {P' + PQ)v' + P2Rv = 0. (9.13h)
9.1 Gewöhnliche Differentialgleichungen 509
1 4
¦ Es ist die Differentialgleichung y'+y2-\—y—r = 0 zu lösen Man setzt?/ = z+ß(x), substituiert und
x xz
erhält für den Koeffizienten der ersten Potenz von z den Ausdruck 2ß 4- 1/x, der zum Verschwinden
15
gebracht wird, indem man ß(x) = —\/2x setzt. Somit ergibt sich z' — z2 — —^ = 0. Man sucht
a 3 5
partikuläre Lösungen der Form z\ = - und findet durch Einsetzen a\ = — - , a2 = - , d.h zwei
•i i 3 5 _. _ . . 1 1 3 .. _ , 3u
partikuläre Lösungen z\ = — —-, z2 = — Die Substitution z = — + Z\ = —- liefert u H = 1
2x 2x u u 2x x
1 x
Durch Einsetzen der partikulären Lösung u\ = = - ergibt sich die allgemeine Lösung u =
z2- zi 4
x C xA + Cx , , . . 1 3 1 2xA - 2Ci
— -\—ö = —7~^— uno- hiermit y = —- = — —— .
4« xd 4x3 u 2x 2x x5 + C\x
9.1.1.3 Implizite Differentialgleichungen
1. Lösung in Parameterform
Gegeben sei eine Differentialgleichung in der impliziten Form
F(a;,j/,2/) = 0 (9.14)
Ein Verfahren, zu einer Auflösung nach y' zu kommen, geht von dem Satz aus, daß durch einen Punkt
-P(£o> Vo) genau n Integralkurven verlaufen, wenn die folgenden Bedingungen erfüllt sind:
a) In dem Punkt P(x0,yo) besitze die Gleichung F(x0,y0,p) = 0 mit p = dy/dx n reelle Wurzeln
b) Die Funktion F(x, y,p) und ihre ersten Ableitungen seien für x = x0, y = y0, p = Pi stetig, und es
gelte dF/dp ± 0.
Wenn sich eine gegebene Gleichung nach y' auflösen läßt, dann zerfällt sie in n Gleichungen von der eben
beschriebenen Form, nach deren Lösung man n Integralkurvenscharen erhält. Sollte sich eine Gleichung
in der Form x = (p(y, y') oder y = ip(x, y') darstellen lassen, dann erhält man, indem y' = p gesetzt und
p als Hilfsveränderliche verstanden wird, durch Differentiation nach y bzw. x eine Gleichung in dp/dy
bzw dp/dx, die nach der Ableitung aufgelöst ist. Ihre Lösung zusammen mit der Ausgangsgleichung
(9 14) ergibt dann die Lösung in Parameterform.
¦ Es ist die Differentialgleichung x = yy' 4- y'2 zu lösen. Man setzt y' = p und erhält x = py + p2 .
_._ . . . . _ dx 1 1 .dp dy py
Differentiation nach y und betzen von —— = - liefert - = p + [y + 2p)— oder —
p p dy dp 1 —p2
2p2 . . c + arcsinp
„ Die Auflösung dieser in y linearen Gleichung ergibt y = —p -\ . . . Einsetzen in die
1 - pl y/1 — p2
Ausgangsgleichung für x ergibt die Lösung in Parameterform.
2. Lagrangesche Differentialgleichung
LAGRANGEsc/ie Differentialgleichung wird die Gleichung
a(y')x + b(y')y + c(y') = 0 (9.14a)
genannt. Ihre Lösung kann stets durch die oben angegebene Methode berechnet werden. Wenn für
P = Po
a(p) + b(p)p = 0 (9.14b) gilt, dann ist a(p0)x + b(p0)y + c(p0) = 0 (9.14c)
ein singuläres Integral.
3. Clairautsche Differentialgleichung
CLAiRAUTsc/ie Differentialgleichung heißt der Spezialfall der LAGRANGEschen Differentialgleichung,
der sich für
a(p) -f b(p)p = 0 (9.15a)
510 9. Differentialgleichungen
ergibt, und der stets auf die Form
y = y'x + f(y') (9.15b)
gebracht werden kann. Die allgemeine Lösung lautet
y = Cx + f(C). (915c)
Neben der allgemeinen Lösung besitzt die CLAiRAUTsche Differentialgleichung ein singuläres Integral,
das man durch Elimination der Konstanten C aus den Gleichungen
y = Cx + f(C) (9.15d) und 0 = x + f'(C) (9.15e)
erhält, wobei die zweite Gleichung aus der ersten durch Differentiation nach C gewonnen wird. Die
geometrische Bedeutung der singulären Lösung besteht darin, daß sie die Einhüllende (s. 3 6.1.6, S. 244)
der lösenden Geradenschar darstellt (Abb.9.3).
¦ Es ist die Differentialgleichung y = xy' + y'2 zu lösen. Das allgemeine Integral ist y = Cx + C2 , das
singulare wird unter Zuhilfenahme der Gleichung x + 2C = 0 zur Elimination von C zu x2 + 4y = 0
berechnet Die Abb.9.3 zeigt diesen Fall
Abbildung 9.3
Abbildung 9 4
9.1.1.4 Singulare Integrale und singulare Punkte
1. Singuläres Element
Ein Element (x0,2/o> 2/o) w*rd singuläres Element der Differentialgleichung genannt, wenn es außer der
Differentialgleichung
F{x,y,y') = 0 (9.16a)
auch der Gleichung
dF
w = 0 (9 16b)
genügt.
2. Singuläres Integral
Eine Integralkurve aus singulären Elementen heißt eine singulare Integralkurve, die Gleichung
<p{x,y) = 0 (9.16c)
einer singulären Integralkurve wird ein singuläres Integral genannt. Die Einhüllenden der
Integralkurven sind singulare Integralkurven (Abb.9.3); sie bestehen ihrerseits ebenfalls aus singulären
Elementen.
Die Eindeutigkeit der Lösung (s Existenzsatz, 9.1 1.1,1., S 505) geht für alle Punkte einer singulären
Integralkurve verloren.
3. Bestimmung singulärer Integrale
Gewöhnlich kann ein singuläres Integral für keinen Wert der beliebigen Konstanten aus dem
allgemeinen Integral ermittelt werden. Zur Bestimmung des singulären Integrals einer Differentialgleichung
9.1 Gewöhnliche Differentialgleichungen 511
(9.16a) mit p = y' muß die Gleichung
BF
- = 0 (9.1M)
hinzugezogen und p eliminiert werden. Wenn die so gewonnene Beziehung ein Integral der gegebenen
Differentialgleichung ist, dann ist sie ein singuläres Integral. Die Gleichung des Integrals ist zuvor auf
eine Form zu bringen, die keine mehrdeutigen Funktionen enthält, insbesondere keine Radikale, wobei
auch die komplexen Funktionswerte zu berücksichtigen sind Radikale sind Ausdrucke, die durch Inein-
anderschachtelung von algebraischen Gleichungen auftreten (s. 2.2.1, S. 62).
Wenn die Gleichung der Integralkurvenschar bekannt ist, d h das allgemeine Integral der gegebenen
Differentialgleichung, dann kann die Bestimmung der Einhüllenden der Kurvenschar, die singulare
Integrale darstellen, mit den Methoden der Differentialgeometrie erfolgen (s 3 6.1.6, S. 244).
4 8
¦ A: Es ist die Differentialgleichung x — y — -y'2 + — y'3 = 0 zu lösen. Die Berechnung der zusätz-
8 8
liehen Gleichung mit Hilfe von (9.16d) ergibt — -p 4- -p2 = 0. Elimination von p liefert a) x — y = 0
4
und b) x — y = — , wobei a) keine, b) eine singulare Lösung ist, ein Spezialfall der allgemeinen Lösung
(y - CJ = (x - CK . Die Integralkurven von a) und b) zeigt die Abb.9.4
¦ B: Es ist die Differentialgleichung y' — In \x\ = 0 zu lösen. Dazu wird die Gleichung auf die Form
dF
ep — \x\ = 0 gebracht Außerdem ist -j— = ep = 0. Das singulare Integral ergibt sich durch Elimination
von p zu x = 0
4. Singulare Punkte einer Differentialgleichung
Singulare Punkte einer Differentialgleichung sind Punkte, in denen die rechte Seite der
Differentialgleichung
y' = f(x,y) (9 17a)
nicht definiert ist. Diese Situation tritt z.B. in den Differentialgleichungen der folgenden Form auf:
1. Differentialgleichung mit gebrochenlinearem Quotienten
± = ^+h (ae_fc_,0) (917b)
dx ex + ey
besitzt im Punkt @,0) einen isolierten singulären Punkt, da die Bedingungen des Existenzsatzes
lediglich in jedem beliebig nahe an @,0) gelegenen Punkt gelten, nicht aber in diesem selbst. Streng
genommen sind die genannten Bedingungen in diesem Falle für alle Punkte nicht erfüllt, für die ex + ey = 0
ist Die Erfüllung der Bedingungen kann dadurch erzwungen werden, daß die Rolle der abhängigen und
unabhängigen Variablen vertauscht und die Gleichung
dx = cx + ey
dy ax + by
betrachtet wird.
Das Verhalten der Integralkurven in der Nähe des singulären Punktes hängt von den Wurzeln der
charakteristischen Gleichung
A2 - {b 4- c)X + bc-ae = 0 (9.17d)
ab. Dabei können die folgenden Fälle unterschieden werden:
Fall 1: Wenn die Wurzeln reell sind und gleiches Vorzeichen besitzen, dann ist der singulare Punkt ein
Knotenpunkt. In der Umgebung des singulären Punktes verlaufen alle Integralkurven durch ihn
hindurch und verfügen hier, sofern die Wurzeln nicht zusammenfallen, mit Ausnahme einer Integralkurve,
über eine gemeinsame Tangente Im Falle einer Doppelwurzel haben entweder alle Integralkurven ei-
512 9. Differentialgleichungen
ne gemeinsame Tangente, oder durch den singulären Punkt verläuft in jeder Richtung eine eindeutige
Kurve.
¦ A: Für die Differentialgleichung —- = — lautet die charakteristische Gleichung A2 - 3A + 2 = 0,
dx x
Ai = 2 , A2 = 1. Die Integralkurven gehorchen der Gleichung y = Cx2 (Abb.9.5) Die Gerade x = 0
ist in der allgemeinen Lösung ebenfalls enthalten, was aus der Form x2 — C\y hervorgeht.
B: Die charakteristische Gleichung für —
dx
x + y
lautet A2-2A+1 = 0 , Ai = A2 = 1
Integralkurven sind y = x\n \x\ 4- Cx (Abb.9.6). Der singulare Punkt ist ein sogenannter Knotenpunkt
¦ C: Die charakteristische Gleichung für —- = - lautet A2 — 2A +1 = 0 , Ai = A2 = 1. Integralkurven
dx x
sind y = Cx (Abb.9.7). Der singulare Punkt ist ein sogenannter Strahlpunkt.
Abbildung 9.5 Abbildung 9 6 Abbildung 9.7
Fall 2: Wenn die Wurzeln reell sind und verschiedene Vorzeichen besitzen, ist der singulare Punkt ein
Sattelpunkt, durch den zwei Integralkurven verlaufen
D: Die charakteristische Gleichung für — = ¦
dx
lautet A2 - 1 = 0, Ai = +1, A2 = -1
Integralkurven sind xy = C (Abb.9.8) Für C = 0 gibt es die partikulären Integrale x = 0 , y = 0 .
Fall 3: Wenn die Wurzeln konjugiert komplex sind mit Re (A) ^ 0, dann ist der singulare Punkt ein
Strudelpunkt, auf den sich die Integralkurven in unendlich vielen Windungen aufwinden.
du x ~~\~ v
¦ E: Die charakteristische Gleichung für — = ist A2 ¦
dx x — y
Integralkurven in Polarkoordinaten sind r = Ce^ (Abb.9.9).
2A + 2 = 0, Ai = 1 + i, A2 = 1 ¦
Abbildung 9.8 Abbildung 9.9 Abbildung 9.10
Fall 4: Wenn die Wurzeln rein imaginär sind, dann ist der singulare Punkt ein Wirbelpunkt, der von
der Schar geschlossener Integralkurven eingeschlossen wird.
9.1 Gewöhnliche Differentialgleichungen 513
¦ F: Die charakteristische Gleichung für — = — ist A2 4- 1 = 0, Ai = i, A2 = — i Integralkurven
dx y
sindx2 + ?/2 = C(Abb.9.10).
2. Differentialgleichung mit einem Quotienten aus zwei beliebigen Funktionen
t-SM <9i8a)
dx Q{x,y)
besitzt singulare Punkte für Werte der Variablen, für die
P(x,y) = Q(x,y) = 0 (9.18b)
gilt. Wenn P und Q stetige Funktionen sind, die stetige partielle Ableitungen besitzen, dann kann
(9.18a) in der Form
dy_ = a(x - xo) + Kv - yo) + pi fo v) ,9 18cn
dx c(x - xo) + e(y - y0) + Q\(x, y)
dargestellt werden. Dabei sind x0 und y0 die Koordinaten des singulären Punktes, und die Werte von
Pi (z, y) sowie Q\ (x, y) müssen infinitesimal von höherer Ordnung im Vergleich zum Abstand des
Punktes (x, y) vom singulären Punkt (x0, yo) sein. Unter diesen Voraussetzungen ist die Art der singulären
Punkte der gegebenen Differentialgleichung die gleiche wie für den singulären Punkt der
Näherungsgleichung, die durch Weglassen von Pi und Q\ entsteht Dazu gibt es die folgenden Ausnahmen:
a) Wenn der singulare Punkt ein Wirbelpunkt ist, dann ist der singulare Punkt der Ausgangsgleichung
entweder ein Wirbelpunkt oder ein Strudelpunkt.
b) Wenn ae — bc = 0, d.h. - = - oder a = c = 0 bzw a = b = 0 ist, dann müssen, damit die Art des
c e
singulären Punktes bestimmt werden kann, Glieder höherer Ordnung in die Betrachtung einbezogen
werden.
9.1.1.5 Näherungsmethoden zur Integration von Differentialgleichungen
1. Ordnung
1. Methode der schrittweisen Näherung nach Picard
Die Integration der Differentialgleichung
y' = f(x,y) (9.19a)
mit der Anfangsbedingung y = y0 für x = Xo liefert
y = yo +
jf(x,y)dx. (9.19b)
Wird in die rechte Seite von (9.19b) anstelle von y eine angemessen ausgewählte Funktion y\(x)
eingesetzt, dann ergibt sich eine neue Funktion y2(x), die sich von yi(x) unterscheidet, wenn nicht y\(x)
bereits eine Lösung von (9.19a) ist. Nach Einsetzen von yi(x) in die rechte Seite von (9.19b) anstelle
von y erhält man eine Funktion ys (x) Die durch Fortsetzen des Verfahrens gewonnene Funktionenfolge
2/1^ 2/2, 2/3, • konvergiert gegen die gesuchte Lösung in einem gewissen, den Punkt x0 enthaltenden
Intervall, wenn die Bedingungen des Existenzsatzes erfüllt sind (s. 9.1.1.1,1., S. 505).
Die PiCARDsc/ie Methode der schrittweisen Approximation ist ein Iterationsverfahren (s. 19 1 1, S. 911).
¦ Es ist die Differentialgleichung y' = ex — y2 für die Anfangsbedingungen Xo = 0, yo = 0 zu lösen
Umschreibung in die Integralform und Anwendung der sukzessiven Approximation, beginnend mit yo =
0, liefert. yx = [*exdx = ex - 1, y2 = /* \ex - {ex - lJ] dx = 3ex - -e2x -x-- usw.
514 9. Differentialgleichungen
2. Integration durch Reihenentwicklung
Die TAYLORsche Reihenentwicklung der Lösung einer Differentialgleichung (s 7 3 3 3,1., S. 434) ist in
der Form
V = 2/o + (x - xoW + ^p4o" + • • • + ^r^o' + • • • (9.20)
darstellbar, wenn die Werte y^, yo"',..., yo"n\ ... aller Ableitungen der Lösungsfunktion für den
Anfangswert xq der unabhängigen Variablen bekannt sind Man kann sie durch sukzessives Differenzieren
der Differentialgleichung und Einsetzen der Anfangsbedingungen bestimmen Wenn die Differentiation
der Differentialgleichung beliebig oft möglich ist, konvergiert die so gewonnene Reihe in einer gewissen
Umgebung des Anfangswertes der unabhängigen Variablen Man kann diese Methode auch bei der
Lösung von Differentialgleichungen n-ter Ordnung einsetzen.
Hinweis: Man erhält auf diese Weise die TAYLOR-Reihe der Lösung, aber die TAYLOR-Reihe einer
Funktion muß diese nicht darstellen (s. 7.3.3.3,1., S. 434).
Häufig ist es vorteilhaft, die Lösung in der Form einer Reihe mit unbestimmten Koeffizienten
anzusetzen, die mit Hilfe der Bedingung bestimmt werden, daß die Gleichung erfüllt wird, wenn man die Reihe
einsetzt.
¦ A: Zur Lösung der Differentialgleichung y' = ex — y2 , Xq = 0 , yo = 0 kann y = a\X + a2x2 + a3x3 +
• • • + anxn + • • • gesetzt werden. Einsetzen in die Gleichung liefert unter Berücksichtigung von S2 in
Formel G.88) (s. S. 433)
ax + 2a2x + 3a3x2 + • • • + [ai V + 2ala2x3 + (a22 + 2a1a3)x4 + ---]=l+a; + — + ^- + ---
Hieraus folgt durch Koeffizientenvergleich a\ = 1, 2a2 = 1, 3a3 + a2 — - , 4a4 + 2a\a2 = - usw
Sukzessive Lösung dieser Gleichungen und Einsetzen der gefundenen Koeffizienten in die Reihe liefert
x2 x3 5 4
" = X + T-T-24S +--'
¦ B: Die gleiche Differentialgleichung mit der gleichen Anfangsbedingung kann auch folgendermaßen
gelöst werden: Man setzt in der Differentialgleichung x = 0 und erhält y0' = 1 Außerdem ergibt sich
y" = ex- 2yy\ y0" = 1, y'" = e* - 2y'2 - 2yy", y0'" = -1, y^ = e* - Sy'y" - 2yy'", </0D) = -5
Gemäß dem Satz von TAYLOR folgt y = x -\- — — — — -I .
y0
k 3. Graphische Integration von Differentialgleichun-
-^-^§^$ *\Ä $ gen
5r?r^^g\NXV^V^ ^^e graphiscne Integration von Differentialgleichungen ist ein Ver-
^-|>f^^^s^\ ^V fahren, das vom Begriff des Richtungsfeldes ausgeht (s. 9.1.1.1,3.,
.v S. 505). Die Integralkurve wird durch einen vom gegebenen An-
_ ,_ ^- ^^ ^v^\ fangspunkt ausgehenden Polygonzug dargestellt (Abb.9.11), der
aus kurzen Teilstrecken zusammengesetzt wird. Die Richtungen der
x0 x Teilstrecken stimmen jeweils mit der Richtung des Richtungsfeldes
011 im Anfangspunkt der Teilstrecke uberein Dieser ist seinerseits zu-
Abbildung 9.11 gldch Endpunkt der vorhergehenden Teilstrecke.
4. Numerische Integration von Differentialgleichungen
Die numerische Integration von Differentialgleichungen wird in 19.4, S 931ff ausführlich behandelt
Auf die numerische Integration der Differentialgleichung y' = f{x,y) ist man vor allem dann
angewiesen, wenn sie nicht in den Spezialfällen enthalten ist, deren analytische Lösung in den vorausgehenden
Abschnitten beschrieben worden ist, oder wenn f(x,y) zu kompliziert ist Das wird insbesondere dann
der Fall sein, wenn f(x, y) nichtlinear von y abhängt
9 1 Gewöhnliche Differentialgleichungen 515
9.1.2 Differentialgleichungen höherer Ordnung und Systeme von
Differentialgleichungen
9.1.2.1 Grundlegende Betrachtungen
1. Existenz einer Lösung
1. Zurückführung auf ein System von Differentialgleichungen Jede explizite
Differentialgleichung n-ter Ordnung
y{n) = f(x,y,y',. ,y(n-1)) (9.21a)
kann durch Einführung der neuen Variablen
yi = y\ y2 = y",...,yn-i = y{n-1) (9.2ib)
auf ein System von n Differentialgleichungen 1. Ordnung
Tx=V^ -dx- = y2--^x- = f{x>y'yi> -Vn~l) (921C)
zurückgeführt werden.
2. Existenz eines Lösungssystems Das im Vergleich zu (9.21c) allgemeinere System von n
Differentialgleichungen
^ = fi(x,y1:y2, ,j/n) (i = 1,2, .,n) (9 22a)
besitzt ein eindeutig bestimmtes Lösungssystem
yi = yi{x) (i = l,2,...,n), (9 22b)
das in einem Intervall x0 — h < x < xo + h definiert und stetig ist und für x = x0 die vorgegebenen
Anfangswerte yi(xo) = yi° (£=1,2,.. , n) annimmt, wenn die Funktionen fi(x, y\,y2, . , yn) bezüglich
aller Variablen stetig sind und die folgende LlPSCHlTZ-Bedingung erfüllen.
3. Lipschitz-Bedingung Die Funktionen fc müssen für die Werte x, y» und yi + Ayi , die in einem
gewissen Intervall in der Umgebung der gegebenen Anfangswerte liegen, den Ungleichungen
|/i(a;,2/i +Ai/i,2/2 +Ay2>- -,2/n + Ayn) - fi(x,yuy2>...,yn)\
< K(lA^I + |Ajfe| + • • • + \Ayn\) (9.23a)
mit einer gemeinsamen Konstanten K genügen (s. auch 9.1 1.1,2., S 505). Daraus folgt, vorausgesetzt
die Funktion f{x,y,y',. , ?/n_1^) ist stetig und erfüllt die LlPSCHlTZ-Bedingung (9 23a), daß auch
die Gleichung
y{n) = f (x,y,y', ..,2/(n-1)) (9 23b)
eine eindeutige Lösung besitzt, die die Anfangsbedingungen y = yo,y' = yo',- • • ,2/n-1^ = Wn_1^ für
x = xo erfüllt und zusammen mit ihren Ableitungen bis einschließlich der (n — l)-ten Ordnung stetig
ist
2. Allgemeine Lösung
1. Die allgemeine Lösung der Differentialgleichung (9.23b) enthält n unabhängige willkürliche
Konstanten:
y = y{x,CuC2i.. ,C„). (9.24a)
2. Geometrisch betrachtet, wird durch die Gleichung (9.24a) eine n-parametrige Schar von
Integralkurven definiert Jede einzelne dieser Integralkurven, d.h. das Kurvenbild der entsprechenden
partikulären Lösung, kann durch spezielle Wahl der willkürlichen Konstanten C\, C2,. , Cn erhalten werden.
Wenn das partikuläre Integral den oben angegebenen Anfangsbedingungen genügen soll, dann müssen
die Werte Ci, C2, . , Cn aus den folgenden Gleichungen ermittelt werden:
y(xQ,Ci,...,Cn) = y0,
516 9. Differentialgleichungen
±y{x,cu ..,C„)
= Vo , (9 24b)
~^,..,c„)
= tt.("-,).
Sollten diese Gleichungen für die willkürlichen Anfangswerte in einem bestimmten Gebiet einander
widersprechen, dann ist die Lösung in diesem Gebiet nicht allgemein, d h , die Konstanten sind nicht
unabhängig voneinander wählbar.
3. Auch die allgemeine Lösung des Systems (9 22a) enthält n willkürliche Konstanten. Diese
allgemeine Lösung läßt sich auf zweierlei Weise darstellen, entweder aufgelöst nach den unbekannten
Funktionen
yi = F!(a:,Ci,...,Cn), jfc = F2(s,Ci,. . ,Cn),... tyn = Fn(x,Cu ... ,Cn) (9.25a)
oder aufgelöst nach den willkürlichen Konstanten
f\{x,yu.. ,yn) = Cu (p2{x,yi,...,yn) = C2i...,<pn{x,yi,...,yn) = Cn. (9.25b)
Im Falle von (9 25b) ist jede Beziehung der Art
<Pi(x,Vu ,yn) = Ci (9.25c)
ein erstes Integral des Systems (9.22a) Das erste Integral kann unabhängig vom allgemeinen Integral
als Beziehung der Art (9.25c) definiert werden. Dabei wird davon ausgegangen, daß (9.25c) zur
Identität wird, wenn anstelle der 2/1,2/2,- , yn irgendeine partikuläre Lösung des gegebenen Systems mit
einer durch diese partikuläre Lösung bestimmten willkürlichen Konstanten Ci eingesetzt wird.
Wenn irgendein erstes Integral der Form (9.25c) bekannt ist, dann genügt die Funktion ifi(x, y\,.. , yn)
der partiellen Differentialgleichung
?T + /i(z,J/i, • ,J/n)|^ + --• + /„(«, yi,.. ,y„)^ = 0. (925d)
ox öyi öyn
Umgekehrt, jede Lösung ^(x,yi,... ,yn) der Differentialgleichung (9.25d) liefert ein erstes Integral
des Systems (9.22a) in der Form (9 25c). Das allgemeine Integral des Systems (9.22a) kann aus einem
System von n ersten Integralen des Systems (9.22a) gebildet werden, für die die zugehörigen Funktionen
ipi(x,yi, ,yn) (i = 1,2,. ,n) linear unabhängig sind (s 9 1 2 3,2., S 518).
9.1.2.2 Erniedrigung der Ordnung
Eine der wichtigsten Methoden zur Integration von Differentialgleichungen n-ter Ordnung
/(s,y,yV..,2/(n))=0 (9 26)
ist die Substitution der Variablen, die auf einfachere Differentialgleichungen, insbesondere auf solche
mit niedrigerer Ordnung fuhrt Man kann mehrere Fälle unterscheiden.
1. / = f(y, y',..., i/n)), d.h., x tritt nicht explizit auf.
/(v,yV..,y(n))=<>. (9.27a)
Durch die Substitution
dy d2y dp /O07W
Tx=P' d^=PdTy> ¦ (9-27b)
kann die Ordnung der Differentialgleichung von n auf (n — 1) reduziert werden.
¦ Die Verringerung der Ordnung um 1 erfolgt für die Differentialgleichung yy" — y'2 = 0 mit der
Substitution yf = p,p dp/dy = y", die auf ypdp/dy — p2 = 0 und y dp/dy — p = 0 führt und damit auf
p = Cy = dy/dx , y = C\eCx . Durch Kürzung mit p geht keine Lösung verloren, da p = 0 die Lösung
y = C\ liefert, die in der allgemeinen Lösung für C = 0 enthalten ist.
9.1 Gewöhnliche Differentialgleichungen 517
2. / = f(x, y',..., t/(n)), d h , y tritt nicht explizit auf:
/(z,2/',..,3/(n))=0. ' (9.28a)
Die Ordnung der Differentialgleichung kann durch die Substitution
y'=p (9 28b)
von n auf (n — 1) verringert werden. Wenn in der Ausgangsgleichung die ersten k Ableitungen fehlen,
dann lautet die Substitution
3/(fc+1) = p (9.28c)
¦ Die Ordnung der Differentialgleichung y" — xy'" + (y'"K = 0 wird durch die Substitution y" = p
erniedrigt, so daß sich die CLAlRAUTsche Differentialgleichung p — x-—H-r-) = 0 m^ der allge-
C\X3 C\3x2
meinen Lösung p = C\X + C3 ergibt Daraus erhält man y = — h C2x + C3 . Aus der
6 2
9 F\
singulären Lösung der CLAiRAUTschen Differentialgleichung p = —r-x3'2 erhält man die singulare
o/ö
Lösung y = —-r-x7/2 4- C\x + C2 der zu lösenden Differentialgleichung.
315
3. / (x, y, y',..., y(n)) ist eine homogene Funktion (s. 2 18.2.5,4., S. 124) in y, y', y\... ,y(n):
/(s,y,j/,...,y<n>) = 0. (9 29a)
Eine Erniedrigung der Ordnung kann durch die Substitution
* = -, d.h. y = eSzdx (9.29b)
y
erreicht werden.
¦ Die Differentialgleichung yy" — y'2 = 0 wird durch die Substitution z = y'/y mit der Ableitung
dz yy" — vi2
— = = umgeformt. Die Ordnung wird dabei um 1 erniedrigt Man erhält z = C\, woraus
dx yl
In \y\ = dx + C2 folgt oder y = CeClx mit In \C\ = C2 •
4. / = f(x, y, y',..., yW) ist eine Funktion von x allein*
y{n) = f(x). (9.30a)
Die allgemeine Lösung erhält man durch n-malige Integration in der Form
y = d + C2x + C3x2 + • • • + Cnxn~l + iP(x) (9.30b)
mit
*ix) = II'"If{xHdx)"= T^Ty. I /W(X-*)B_1 d* (9-30c)
Hierbei ist zu beachten, daß x0 keine zusätzliche willkürliche Konstante ist, denn eine Änderung von
xo zieht wegen
Ck = W^yy(k'1){xo) (930d)
518 9 Differentialgleichungen
eine Änderung von Ck nach sich.
9.1.2.3 Lineare Differentialgleichungen n-ter Ordnung
1. Klassifizierungen
Eine Differentialgleichung der Form
y^ + an.iy^-l) + an-2y(n-2) + • • • + axy' + a0y = F (9 31)
heißt lineare Differentialgleichung n-ter Ordnung. Dabei sind F und die öj Funktionen von x, die in
einem gewissen Intervall stetig sein sollen. Wenn die ao, ai,.. , an_i konstant sind, spricht man von
einer Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten. Eine homogene lineare Differentialgleichung
zeichnet sich durch F = 0 aus, eine inhomogene durch F ^ 0.
2. Fundamentalsystem von Lösungen
Ein System voii n Lösungen y\, y2,... , yn einer homogenen linearen Differentialgleichung wird
Fundamentalsystem genannt, falls diese Funktionen in dem betrachteten Intervall linear unabhängig sind, also
ihre Linearkombination C\y\ + C2y2 -I 1- Cn2/n für kein Wertesystem der C\, C2, .., Cn ,
ausgenommen für C\ — C2 — • • • = Cn = 0, identisch verschwindet, d.h. für alle z-Werte in dem betreffenden
Intervall. Die Lösungen y\, y2,.. , yn einer linearen homogenen Differentialgleichung bilden genau dann
ein Fundamentalsystem, wenn ihre WRONSKI -Determinante
W--
yi V2 ••- yn
Vi V2 • • • Vn
yi(r>-Vy2(n-l)...yn(n-l)
(9.32)
von Null verschieden ist. Für jedes Lösungssystem einer homogenen linearen Differentialgleichung gilt
die Formel von LlOUViLLE:
W(x) = W{x0)exp I - fai{x)dx\ (9.33)
Aus (9.33) folgt, daß die WRONSKI-Determinante nur identisch verschwinden kann Das bedeutet
Die n Lösungen yi, y2 ,... , yn der homogenen linearen Differentialgleichung sind genau dann linear
abhängig, wenn nur an einer einzigen Stelle x0 des betrachteten Intervalls W(x0) = 0 gilt Wenn
dagegen die Lösungen 2/1, y2,..., yn ein Fundamentalsystem von Lösungen bilden, dann lautet die allgemeine
Lösung der linearen homogenen Differentialgleichung (9.31)
y = ClVl + C2y2 + • • • + Cnyn . (9.34)
3. Erniedrigung der Ordnung
Wenn eine partikuläre Lösung y\ einer homogenen Differentialgleichung bekannt ist, dann können die
weiteren Lösungen durch den Ansatz
y = yi{x)u(x) (9.35)
aus einer homogenen linearen Differentialgleichung der Ordnung n — 1 für u'(x) bestimmt v/erden.
4. Superpositionssatz
Wenn y\ und y2 zwei Lösungen der Differentialgleichung (9.31) für verschiedene rechte Seiten Fi und
F2 sind, dann ist ihre Summe y — y\+y2 eine Lösung derselben Differentialgleichung mit der rechten
Seite F = F\ + F2 . Daraus folgt, daß es zur Berechnung der allgemeinen Lösung einer inhomogenen
Differentialgleichung ausreicht, zu irgendeiner ihrer partikulären Lösungen die allgemeine Lösung der
zugehörigen homogenen Differentialgleichung zu addieren
5. Zerlegungssatz
Hat die inhomogene Differentialgleichung (9.31) reelle Koeffizienten und hat ihre rechte Seite die
komplexe Form F = Fi + iF2 mit den reellen Funktionen Fi und F2 , dann ist auch die Lösung y = yl-\- \y2
komplex. Diese komplexe Lösung setzt sich aus den zwei reellen Lösungen y\ und y2 der zwei
inhomogenen Differentialgleichungen (9.31) mit den zugehörigen rechten Seiten Fi und F2 zusammen
9 1 Gewöhnliche Differentialgleichungen 519
6. Lösung der inhomogenen Differentialgleichung (9.31) mittels Quadraturen
Wenn das Fundamentalsystem von Lösungen der zugehörigen homogenen Differentialgleichung
bekannt ist, stehen die folgenden zwei Lösungsverfahren zur Verfügung-
1. Methode der Variation der Konstanten Die gesuchte Lösung wird in der Form
y = Cij/i + C2y2 + • • • + Cnyn (9 36a)
aufgeschrieben. Die Ci, C2, ¦, Cn werden nicht als Konstanten aufgefaßt, sondern als Funktionen von
x. Danach wird die Erfüllung der Gleichungen
Ci'yi + C2'y2 + --- + Cn'yn = 0,
Ci V + C2'y2' + • • • + Cn V = 0, (9 36b)
ei Vn-2) + c2Wn-2) + • • • + cnWn-2> = o
gefordert. Einsetzen von y in (9 31) ergibt
d Vn_1) + C2'y2{n-l) + • • • + Cn Vn-1) = F. (9.36c)
Darauf folgt die Lösung des linearen Gleichungssystems (9.36b) und (9.36c) zur Bestimmung der C\ ,
C2,..., Cn', deren Integrale die C\, C2,..., Cn liefern.
¦ / + zr^-l/ ~ T^-y = x - 1. (9.36d)
1 — x 1 - x
In den Intervallen x > 1 bzw x < 1 sind alle Voraussetzungen über die Koeffizienten erfüllt. Zuerst
x 1
wird die homogene Gleichung y" + lf — y = 0 gelöst Eine partikuläre Lösung ist </?i = ex .
1 — sc 1 — x
Der Ansatz ^2 = exu(x) ergibt für 1/B;) = v(x) die Differentialgleichung i;' + A + ) v = 0.
Eine Lösung dieser Differentialgleichung ist v(x) = A - x]e- , und somit ist u{x) = Jv(x) dx =
/ A — x)e~x dx = xe~x . Damit ergibt sich die zweite Lösung (p2 = x Die allgemeine Lösung der
homogenen Gleichung ist daher y(x) = C\ex + C2x. Variation der Konstanten ergibt jetzt:
y(x) = ui(x)ex + u2(x)x,
y'(x) = ui(x)ex + u2(x) + Ui(x)ex + u2(x)x , Ui'(x)ex + u2'{x)x = 0,
y"(x) = ui(x)ex + ui(x)ex + u2'(x), ui(x)ex + u2(x) = x - 1,
also
w/(a:) = rce~x , ^'(a?) =-1, d h. U\{x) = -A 4- x)e"x + C\, w2(^) = -a? + C2 .
Damit ist die allgemeine Lösung der inhomogenen Differentialgleichung:
y(x) = -A + x2) + dex + (C2 - l)x = -A + x2) + Ci*e* + C2*x.
2. Methode von Cauchy In der allgemeinen Lösung
y = ClVl + C2y2 + • • • + Cnyn (9.37a)
der zu (9.31) gehörenden homogenen Differentialgleichung werden die Konstanten derart bestimmt,
daß für den beliebigen Parameter a die Gleichungen y = 0, y' = 0,..., y^n~2^ = 0, ?/n_1) = F(a) für
£ = a erfüllt sind Auf diese Weise erhält man eine spezielle Lösung der homogenen
Differentialgleichung, die mit ip(x, a) bezeichnet werden soll, und
X
y= f (f{x, a) da (9 37b)
520 9 Differentialgleichungen
ist dann eine partikuläre Lösung der inhomogenen Differentialgleichung (9.31), die an der Stelle x = x0
gemeinsam mit ihren Ableitungen bis zur Ordnung (n — 1) einschließlich verschwindet.
¦ Für die im Beispiel in 9 1 2.3,6., S. 519 mit der Methode der Variation der Konstanten gelöste
Differentialgleichung (9 36d), für die y = C\ex + C2x die allgemeine Lösung der homogenen
Differentialgleichung ist, folgt aus y(a) = C\ea+C2a = 0,y'(a) = C\ea+C2 = a—1 und damit (f(x,a) = ae~aex-x,
so daß die partikuläre Lösung y(x) der inhomogenen Differentialgleichung mit y(x0) = y'(xo) = 0 lau-
rx
tet* y(x) = / (ae~aex — x)da = (x0 + l)ex~x° + (xq — l)x — x — 1. Hieraus kann man auch die
JXQ
allgemeine Lösung y(x) = C\*ex + C2x — (x2 + 1) der inhomogenen Differentialgleichung gewinnen.
9.1.2.4 Lösung linearer Differentialgleichungen mit konstanten
Koeffizienten
1. Operatorenschreibweise
Die Differentialgleichung (9 31) kann symbolisch in der Form
Pn{D)y = (Dn + an^Dn-1 + an_2Dn~2 + • • + axD + a0) y = F (9.38a)
geschrieben werden, wobei D ein Differentialoperator ist.
Wenn die Koeffizienten ai konstant sind, dann ist Pn(D) ein gewöhnliches Polynom n-ten Grades
hinsichtlich des Operators D
2. Lösungen der homogenen Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten
Das Aufsuchen der allgemeinen Lösung der homogenen Differentialgleichung (9.38a) mit F = 0, d.h.,
Pn(D)y = 0 (9 39a)
erfordert die Bestimmung der Wurzeln r\, r2,..., rn der zugehörigen charakteristischen Gleichung
Pn{r) = rn + an-xrn-x + an.2rn~2 + • • • + a^ + a0 = 0 (9 39b)
Jede Wurzel r» liefert eine Lösung enx der Gleichung Pn(D)y = 0. Tritt eine Wurzel r, mit der
Vielfachheit k auf, dann sind xeriX, x2eTiX,.. , xk~1eriX ebenfalls Lösungen. Die Linearkombination aller
dieser Lösungen ergibt die allgemeine Lösung der homogenen Differentialgleichung
y = derix + C2er2X + • • • + eriX {ct + Ci+lx + • • • + Ci+k^xk-1) + • • • . (9.39c)
Wenn die Koeffizienten a* reell sind, können komplexe Wurzeln der charakteristischen Gleichung nur
paarweise konjugiert komplex auftreten. In diesem Falle sind z.B. für r\ = a + iß und r2 = et — iß in
den betreffenden Gliedern der allgemeinen Lösungen die Funktionen eriX und er2X durch eax cos ßx und
eax sin ßx zu ersetzen. Die dabei entstehenden Ausdrücke der Form C\ cos ßx + C2 sin ßx können auch
in der Form A cos(ßx + </?) mit den Konstanten A und (p dargestellt werden.
¦ Zur Differentialgleichung y^ + y^ — y" — y = 0 gehört die charakteristische Gleichung r6 + r4 —
r2 — 1 = 0 mit den Wurzeln r\ = 1, r2 = — 1, r3L = i, r5$ = —i. Die allgemeine Lösung kann in zwei
Formen angegeben werden
y = Ciex 4- C2e~x + (C3 + C4x) cosx + (C5 + C6x) sin z,
y = dex + C2e"x + Ai cos(x + ^i) + xA2 cos(z + y?2) •
3. Satz von Hurwitz
Bei verschiedenen Anwendungen, z.B. in der Schwingungslehre, ist es wichtig festzustellen, ob eine
beliebige Lösung einer homogenen Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten für x —> +oo
gegen Null strebt. Das ist stets dann der Fall, wenn die Realteile aller Wurzeln der charakteristischen
Gleichung negativ sind Die Gleichung
anxn + an_ixn_1 H \- a\X + a0 = 0 (9.40a)
9.1 Gewöhnliche Differentialgleichungen 521
hat nach dem Satz von HURWITZ genau dann nur Wurzeln mit negativem Realteil, wenn bei durchweg
positiven Koeffizienten au sämtliche Determinanten
Di=ai, D2
öi a0\
\Q>3 Q>2\
D3 =
Ü\ CLq 0
a3 a2 ai
a5 a4 a3
£>n =
a\ a0 0 ... 0
a3 o2 ai . 0
0 0 0 ... an
(9.40b)
positiv sind. Der Bau der Determinanten Dk läßt sich so beschreiben, daß in der Haupt diagonale die
Koeffizienten ai, a2, .., a^ stehen (k = 1,2,..., n) und daß in den Zeilen die Koeffizientenindizes von
rechts nach links aufsteigende Zahlen durchlaufen Koeffizienten mit Indizes unterhalb Null und
oberhalb n werden durch Nullen ersetzt.
Für ein kubisches Polynom haben die Determinanten gemäß (9.40b) die folgende Gestalt:
¦¦ oi, D2
ai a2
I «3 «2 I
,03
CL\ do 0
a3 a2 ai
0 0 o3
4. Lösungen der inhomogenen Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten
können durch Variation der Konstanten, mit der Methode von CAUCHY oder mit Hilfe der
Operatorenmethode (s 9 2 2 3,5., S. 552) ermittelt werden. Eine partikuläre Lösung kann sehr schnell gefunden
werden, wenn die rechte Seite von (9 31) eine spezielle Form hat.
1. Form: F(x) = Aeax, Pn(a) # 0.
Eine partikuläre Lösung ist
Aeax
(9 41a)
y Pn(<*) '
Wenn a eine m-fache Wurzel der charakteristischen Gleichung ist, d h wenn gilt
Pn(a) = Pn'(a)= =Pn("-1>(a) = 0J
Axme'
(9.41b)
dann ist y =
(9.41c)
eine partikuläre Lösung Diese Formeln können durch Anwendung des Zerle-
gungssatzes auch verwendet werden, wenn
F(x) = Aeax cosüjx oder Aeaxsmux (9.41d)
ist Die zugehörigen partikulären Lösungen ergeben sich als Real- bzw Imaginärteil der Lösung
derselben Differentialgleichung für
F(x) = Aeax{cosux + isincjx) = Ae{ot+[u})x (9.41e)
auf der rechten Seite
¦ A: Für die Differentialgleichung y" — 6y'+Sy = e2x ergeben sich die Polynome P(D) = D2 — 6D+8
mit PB) = 0 und P'(D) = 2D - 6 mit P'B) = 2 • 2 - 6 = -2 , so daß eine partikuläre Lösung lautet:
y-
xe"
~~2~
B: Die Differentialgleichung y" + y' + y = ex sin x führt auf die Gleichung (D2 + D + l)y = e1
(l+i)x
Aus ihrer Lösung y
P(l+i)x
(l + iJ + (l + i) + l
ex(cosx + isinx)
2 + 3i
erhält man eine partikuläre Lösung
522 9 Differentialgleichungen
e
yx = — Bsinx — 3cosx) der Differentialgleichung. Dabei ist y\ der Imaginärteil von y.
2. Form: F(x) = Qn(x)eax , Qn(x) ist ein Polynom n-ten Grades. (9.42)
Eine partikuläre Lösung kann immer in der gleichen Form gefunden werden, d.h. als Ausdruck y =
R(x)eax . R(x) ist ein mit xm multipliziertes Polynom n-ten Grades, wenn a eine m-fache Wurzel der
charakteristischen Gleichung ist Geht man von einem Lösungsansatz mit unbestimmten
Koeffizienten des Polynoms R(x) aus und fordert man, daß er der gegebenen inhomogenen Differentialgleichung
genügt, dann können die unbekannten Koeffizienten aus einem Satz linearer algebraischer Gleichungen
bestimmt werden.
Die Methode ist besonders in den Fällen F(x) = Qn(x) für a = 0 und F(x) = Qn(x)erx cosljx oder
F(x) = Qn(x)erx sincjx für a = r ± iu anwendbar. Hier wird eine Lösung der Form
y = xmerx[Mn(x) cosux + Nn(x) sina;2;] gesucht
¦ Die Wurzeln der zur Differentialgleichung y^ + 2y'" + y" = 6x 4- 2x sin x gehörenden
charakteristischen Gleichung sind k\ = k2 = 0, k3 = k± = — 1. Da der Superpositionssatz gilt (s. 9.1.2.3,4.,
S. 518), können die partiellen Lösungen der inhomogenen Differentialgleichung für die einzelnen
Summanden der rechten Seite der Reihe nach gesucht werden. Für den ersten Summanden liefert das
Einsetzen des Ansatzes yx = x2(ax + b) in die rechte Seite 12a + 26 + 6ax = 6x, woraus folgt a = 1 und
6 = — 6. Für den zweiten Summanden liefert das gleiche Vorgehen y2 = [ex + d) sin x + (fx + g) cos x
Die Koeffizientenbestimmung ergibt Bg + 2/ — 6c + 2/x) sin x — Bc + 2d 4- 6/ + 2cx) cos x = 2x sin x,
also c = 0, d = —3, / = 1, g = — 1. Die allgemeine Lösung lautet folglich y = c\ + c2x - 6x2 + x3 +
(csX + c±)e~x — 3 sin x + (x — 1) cos x
3. Eulersche Differentialgleichung:
Die EuLERsche Differentialgleichung
f^ ak(cx + d)V*> = F(x) (9.43a)
fc=0
kann mit Hilfe der Substitution
ex + d = e* (9 43b)
auf eine lineare Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten zurückgeführt werden
¦ Die Differentialgleichung x2y" — 5xy' + Sy = x2 ist ein Spezialfall der EuLERschen
Differentialgleichung für n = 2. Sie kann mit Hilfe der Substitution x = el in die im Beispiel A, 9 1.2.4,4., S 521
d 7j dii
untersuchte lineare Differentialgleichung -r^-—6—+8y = e2t überführt werden. Die allgemeine Lösung
dtz dt
t x2
ergibt sich zu y = Cxe2t + C2e4t - -e2t = Cxx2 + C2x4 - — Ina;
9.1.2.5 Systeme linearer Differentialgleichungen mit konstanten
Koeffizienten
1. Normalform
Normalform nennt man den folgenden einfachen Fall eines Systems linearer Differentialgleichungen
1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten
V\ = CLuyi + ax2y2 H h a\nyn , \
2/2' = Ö2i2/i + ^222/2 + h a2nyn , I ,Q 44 ,
Vn = CLniVi + o,n2y2 H h annyn . J
9 1 Gewöhnliche Differentialgleichungen 523
Das Aufsuchen der allgemeinen Lösung eines derartigen Systems erfordert zuerst die Lösung der
charakteristischen Gleichung
an - r an ... ain I
a2i a22-r a2n \ Q (g44b)
flni ßn2 • ann - r I
Zu jeder einfachen Wurzel r* dieser Gleichung gehört ein System partikulärer Lösungen
yi = AieriX, y2 = A2er*x,. ,yn = AneriX, (9 44c)
deren Koeffizienten Ak {k = 1,2,..., n) aus dem System homogener linearer Gleichungen
fall - n)^l + 012^2 H h öln^n = 0 ,
(9.44d)
OnlAi + Ön2^2 H h (önn ~ ^z)^n = 0
zu bestimmen sind. Da auf diese Weise nur die Verhältnisse Ak bestimmt werden können (s. Triviale
Lösung und Fundamentalsystem in 4.4.2.1,2., S. 281), ist in dem so gewonnenen System partikulärer
Lösungen für jedes r* eine willkürliche Konstante enthalten Wenn alle Wurzeln der charakteristischen
Gleichung verschieden sind, enthält die Summe aller dieser partikulären Lösungen n voneinander
unabhängige willkürliche Konstanten, so daß sich damit die allgemeine Lösung des Systems ergibt. Wenn
irgendein r* eine m-fache Wurzel der charakteristischen Gleichung ist, dann entspricht dieser Wurzel
ein System partikulärer Lösungen der Form
j/i = Ax(x)eriX , 2/2 = A2{x)eriX i...iyn = An(x)eTiX , (9 44e)
in dem die A\(x),. , An(x) Polynome sind, die maximal den Grad ra — 1 haben können Diese
Ausdrucke werden mit unbestimmten Koeffizienten in das System von Differentialgleichungen eingesetzt.
Danach erfolgt eine Division durch eTiX , und die Koeffizienten gleicher Potenzen von x auf der linken
und der rechten Seite werden gleichgesetzt. Dadurch entstehen lineare Gleichungen für die
unbekannten Koeffizienten, von denen ra frei wählbar sind. Die anderen Koeffizienten lassen sich durch diese
ausdrücken. Auf diese Weise entsteht ein Lösungsanteil mit ra beliebigen Konstanten Der Grad der
Polynome kann kleiner als ra — 1 sein
Wenn speziell das System (9.44a) symmetrisch ist, d.h., wenn a^ = öa» gilt, dann reicht es aus, die
Ai(x) = const zu setzen. Für komplexe Wurzeln der charakteristischen Gleichung können die
betreffenden Glieder der allgemeinen Lösung genau so auf eine reelle Form gebracht werden, wie es für den
Fall einer Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten gezeigt worden ist (s 9.1 2 4, S 520).
¦ Für das System yx' = 2yx + 2y2 - y3 , y2' = -2yx + Ay2 + y3 , y3' = -3yx + Sy2 + 2y3 lautet die
charakteristische Gleichung
|2-r 2 -1 I
-2 4-r 1 =-(r-6)(r-lJ = 0.
-3 8 2 —r|
Für die einfache Wurzel rx = 6 erhält man -AAX + 2A2 - A3 = 0, -2A1 - 2A2 + A3 = 0, -3AX +
8Ä2 - 4^3 = 0. Daraus folgt Ax = 0, A2 = -A3 = Cx, yx = 0, y2 = Cxe6x, y3 = 2Cie6x Für die
mehrfache Wurzel r2 = 1 erhält man yx = (Pxx + Qx)ex , y2 = (P2x + Q2)ex , y3 = (P3x + Q3)ex .
Einsetzen in die Gleichungen liefert
Pxx + (Px + Qx) = {2PX + 2P2 - P3)x + BQi + 2Q2 - Q3),
P2x + (P2 + Q2) = (-2Pi + 4P2 + P3)x + {-2QX + 4Q2 + Q3),
Psx + (P3 + Qs) = (~3Pi + 8P2 + 2P3)x + (-3Qi + 8Q2 + 2Q3),
woraus folgt: Px = 5C2, P2 = C2, P3 = 7C2, Qi = 5C3 - 6C2 , Q2 = <?3, Q3 = 7C3 - 11C2.
Die allgemeine Lösung lautet somit yx = EC2x + 5C3 — 6C2)ex , y2 = Cxe6x + (C2x + C3)ex , y3 =
2Cxe6x + GC2x + 7C3 - llC^e*.
524 9. Differentialgleichungen
2. Homogene Systeme linearer Differentialgleichungen 1. Ordnung
mit konstanten Koeffizienten
besitzen die allgemeine Form
n n
Y,aikyk' + J2bikyk = 0 (i = 1,2,... ,n). (9 45a)
fc=i fe=i
Wenn die Determinante det(a^) nicht verschwindet, d.h.
det(oifc) ± 0, (9.45b)
dann läßt sich das System (9 45a) auf die Normalform (9.44a) bringen.
Der Fall det(a^) = 0 bedarf zusätzlicher Betrachtungen (s. [9.26]).
Die Lösung kann auch von der allgemeinen Form aus und nach der gleichen Methode ermittelt werden,
die bei der Normalform zur Anwendung kommt. Die charakteristische Gleichung hat dann die Form
det(aikr + bik) = 0. (9 45c)
Die Koeffizienten A{ in der Lösung (9.44c), die der einfachen Wurzel r,- entsprechen, werden in diesem
Falle aus dem Gleichungssystem
J2(aikrj-hbik)Ak = 0 (z = l,2,...,n) (9.45d)
k=i
bestimmt. Ansonsten entspricht die Lösungsmethode derselben, die im Falle der Normalform
angewendet wurde.
¦ Die charakteristische Gleichung des Systems der zwei Differentialgleichungen 5yi + 4yi — 2y2 — y2 =
Q,yi+ Syi -3y2 = 0 lautet.
I 5r + 4 -2r - 11 0 2 . o a n 1 o
L + 8 _3 = 2r^ + 2r - 4 = 0, n = 1, r2 = -2 .
Die Koeffizienten A\ und A2 für r\ = 1 erhält^man aus 9A\ — 3A2 = 0, 9^4i — 3A2 = 0 bzw. A2 =
3Ai = 3Ci. Für r2 = — 2 ergibt sich analog A2 = 2A\ = 2C2. Die allgemeine Lösung lautet somit
yi = dex + C2e~2x , y2 = 2>Cxex + 2C2e~2x .
3. Inhomogene Systeme linearer Differerentialgleichungen 1. Ordnung
haben die allgemeine Form
n n
£ aikyk + Y, b*Vk = Fi{x) (i = 1,2,..., n). (9.46)
fc=i fc=i
1. Superpositionssatz: Wenn y^ und y^ (j = 1,2,..., n) Lösungen inhomogener Systeme sind,
die sich nur durch ihre rechten Seiten F^ bzw. F^ unterscheiden, dann ist yj = y^ + y^ (j =
1,2, ,n) auch eine Lösung dieses Systems, wobei aber für die rechten Seiten Fi(x) = F^(x) +
F^2\x) gilt. Somit reicht es zur Gewinnung der allgemeinen Lösung des inhomogenen Systems aus, zur
allgemeinen Lösung des zugehörigen homogenen Systems eine partikuläre Lösung des inhomogenen
Systems zu addieren.
2. Die Variation der Konstanten kann z.B. benutzt werden, um eine partikuläre Lösung des
inhomogenen Differentialgleichungssystems zu ermitteln. Dazu wird die allgemeine Lösung des homogenen
Systems in das inhomogene System eingesetzt. Die Konstanten d, C2,..., Cn werden zu den
unbekannten Funktionen C\{x), C2(x),. ., Cn(x). In den Ausdrücken für die Ableitungen yk treten neue
Glieder mit Ableitungen der neuen unbekannten Funktionen Ck{x) auf. Beim Einsetzen in das
gegebene System bleiben auf der linken Seite nur diese zusätzlichen Glieder übrig, weil sich die anderen
gegenseitig kompensieren, denn die y\,y2, ., yn sind voraussetzungsgemäß eine Lösung des homogenen
Systems. Man erhält also für die Ck'(x) ein inhomogenes System linearer algebraischer Gleichungen,
das es zu lösen gilt. Nach n Integrationen findet man die Funktionen C\ (x), C2(x),..., Cn(x). Einsetzen
in die Lösung des homogenen Systems anstelle der Konstanten liefert die gesuchte partikuläre Lösung
9 1 Gewöhnliche Differentialgleichungen 525
des inhomogenen Systems.
¦ Für das System aus zwei inhomogenen Differentialgleichungen 5yi + 4y\ — 2yJ — y2 — e~x , y\ +
8yi - 3?/2 = 5e-x lautet die allgemeine Lösung des homogenen Systems (s. 9.1.2.5,2., S. 524) y\ =
C\ex + C2e~2x , y2 = 3C\ex + 2C2e~x . Einsetzen in die gegebenen Gleichungen und Auffassen von C\
undC2 als Funktionen von x ergibt 5CiW5C2V2x-6Cyex-4C2'e-2a: = e~x , Ciex+C2'e-2x = 5e~x
oder C2'e-2x-Cie-x = e~x , Cl'ex+C2'e-2x = 5e~x . Daraus folgt 2Cx'ex = 4e~x , Ci = -e-2a;+const,
2C2fe~2x = 6e~x , C2 = 3ex + const Da eine partikuläre Lösung gesucht ist, werden alle Konstanten
gleich Null gesetzt, was auf yi — 2e~x , y2 = Se~x fuhrt. Die allgemeine Lösung lautet somit yi =
2e~x + dex + C2e-2x , y2 = 3e~x + 3Ciex + 2C2e~2x
3. Die Methode der unbestimmten Koeffizienten ist besonders dann mit Vorteil einsetzbar,
wenn die rechten Seiten aus speziellen Funktionen der Form Qn(x)eax bestehen. Die Anwendung erfolgt
in Analogie zu dem beschriebenen Vorgehen für eine Differentialgleichung n-ter Ordnung (s. 9.1.2.4,4.,
S. 522)
4. Systeme 2. Ordnung
Die angeführten Methoden können auch auf Systeme linearer Differentialgleichungen höherer Ordnung
übertragen werden Für das System
n n n
^aikyk"+ ^bikyk'+ YJCikVk = 0 (i = 1,2, ..,n) (9.47)
fc=l ib=l jfe=l
können insbesondere auch partikuläre Lösungen der Form y» = Aienx bestimmt werden. Dazu sind
die Ti aus der charakteristischen Gleichung det(a^r2 + bikr + cik) = 0 und die Ai aus den zugehörigen
linearen homogenen algebraischen Gleichungen zu ermitteln
9.1.2.6 Lineare Differentialgleichungen 2. Ordnung
Zu dieser Klasse von Differentialgleichungen gehören viele spezielle Differentialgleichungen, die in den
Anwendungen vorkommen und in in diesem Abschnitt behandelt werden. Ausführliche Darstellungen
der Eigenschaften dieser Differentialgleichungen und ihrer Lösungsfunktionen s. [9.26].
1. Allgemeine Methoden
1. Die inhomogene Differentialgleichung
/ + p(x)y' + q{x)y - F(x). (9.48a)
a) Die allgemeine Lösung der zugehörigen homogenen Differentialgleichung, d h. F(x) = 0, lautet
y = Cm + C2y2 (9 48b)
Dabei sind y\ und 2/2 zwei linear unabhängige partikuläre Lösungen dieser Gleichung (s. 9 1 2 3,2.,
5. 518) Wenn eine partikuläre Lösung y\ bekannt ist, dann kann die zweite y2 mit der aus der Formel
(9 33) von LiouviLLE folgenden Gleichung
. y2 = AyJe^-{P^dx (9 48c)
J yr
bestimmt werden, wobei A beliebig wählbar ist
b) Eine partikuläre Lösung der inhomogenen Gleichung kann mit Hilfe der Formel
y = 11F{iNXP {Jm d?)toWto® ~ W(x)»@] % (9 48d)
Xo
gewonnen werden, wobei y\ und 2/2 zwei partikuläre Lösungen der zugehörigen homogenen
Differentialgleichung sind
c) Eine partikuläre Lösung der inhomogenen Differentialgleichung kann auch durch Variation der
Konstanten bestimmt werden (s 9 1 2 3,6., S. 519)
2. Die inhomogenee Differentialgleichung
s(x)y" 4- p{x)y' + q(x)y = F(x) (9.49a)
526 9. Differentialgleichungen
enthalte Funktionen s(x), p(x), q(x) und F(x), die Polynome sind oder Funktionen, die in einem
gewissen Gebiet in konvergente Reihen nach Potenzen von (x — x0) entwickelt werden können, wobei
s(x0) 7^ 0 sein muß. Die Lösungen dieser Differentialgleichung können dann ebenfalls nach Potenzen
von (x — Xq) in Reihen entwickelt werden, die in demselben Gebiet konvergieren. Ihre Bestimmung
erfolgt mit Hilfe der Methode der unbestimmten Koeffizienten. Die gesuchte Lösung wird als Reihe der
Form
y = a0 + a\(x - xq) 4- a2(x - x0J H (9 49b)
angesetzt und in die Differentialgleichung (9 49a) eingesetzt. Gleichsetzen der Koeffizienten gleicher
Potenzen von (x — Xo) liefert Gleichungen zur Bestimmung der Koeffizienten a0, a\, a2,.
¦ Zur Lösung der Differentialgleichung y" + xy = 0 wird y — a0 + a\X + a2x2 + a3x3 + • • •, y' =
a\ + 2a2x + 3a3x2 + • • • und y" = 2a2 + 6a3x + • • • gesetzt Man erhält 2a2 = 0, 6o3 + a0 = 0,.
Die Lösung dieser Gleichungen üefert a2 = 0, a3 = — —- , a^ = — ——- , 05 = 0,..., so daß sich die
Lösungzuy = ao(i-±l + r±^-..?J +ai^_^_ + _^__...j ergibt
3. Die homogene Differentialgleichung
x2y" + xp{x)yf + q(x)y = 0 (9.50a)
kann für den Fall, daß sich die Funktionen p(x) und q(x) in konvergente Reihen von x entwickeln lassen,
mit Hilfe der Methode der unbestimmten Koeffizienten gelöst werden. Die Lösungen haben die Form
y = xr(a0 + d\x + a2x2 + • • •), (9 50b)
deren Exponenten r aus der definierenden Gleichung
r{r - 1) + p@)r + q@) = 0 (9 50c)
bestimmt werden. Wenn die Wurzeln dieser Gleichung verschieden sind und ihre Differenz nicht
ganzzahlig ist, dann ergeben sich zwei unabhängige Lösungen von (9 50a). Anderenfalls liefert die Methode
der unbestimmten Koeffizienten nur eine Lösung. Dann kann mit Hilfe von (9.48b) eine zweite Lösung
ermittelt werden oder wenigstens eine Form gesucht werden, aus der eine Lösung mittels der Methode
der unbestimmten Koeffizienten gewonnen werden kann.
¦ Für die BESSELsche Differentialgleichung (9.51a) erhält man mit der Methode der unbestimmten
00
Koeffizienten nur eine Lösung der Form y\ = ^ akXn+2k (ao ^ 0), die bis auf einen konstanten Faktor
fc=0
mit Jn(x) übereinstimmt Als zweite Lösung findet man wegen exp f — pdx) = - mit der Formel
(9.48c)
^ = ^1 / 2nt 2k,2 = Avi [ ET:lCfkdx = BVl Ins + x~» £ dk** .
J x • x2n (E akx2k) J xZn+i £Tj
Die Bestimmung der Koeffizienten ck und dk aus den ak gestaltet sich schwierig. Man kann jedoch
den letzten Ausdruck benutzen, um die Lösung mit der Methode der unbestimmten Koeffizienten zu
ermitteln. Offensichtlich ist diese Form eine Reihenentwicklung der Funktion Yn(x) (9.52c).
2. Besselsche Differentialgleichung
x2y" + xy' + (x2 - n2)y = 0 . (9.51a)
1. Definierende Gleichung ist in diesem Falle
r(r - 1) + r - n2 = r2 - n2 = 0. (9.51b)
Daraus folgt r = ±n . Einsetzen von
y = xn(a0 + a\X H ) (9 51c)
9 1 Gewöhnliche Differentialgleichungen 527
in die Gleichung (9.51a) liefert für den zu Null gesetzten Koeffizienten von xn+k die
Bestimmungsgleichung
k{2n + k)ak + afc_2 = 0. (9.51d)
Für k = 1 erhält man Bn + l)ai = 0. Für die Werte 2,3,... von k ergibt sich
a0
a2m+i =0 (ra= 1,2, . ),
a0
a2 = -
Ö4 =
2-4-Bn + 2)Bn + 4) ''
2Bn + 2) '
ao beliebig.
2. Bessel- oder Zylinderfunktionen Die für a0 =
1
(9.51e)
(Gammafunktion r s. 8.2.5,6.,
2nr(n + l)
S. 478) entstandene Reihe ist eine partikuläre Lösung der BESSELschen Differentialgleichung (9.51a)
für ganzzahlige n Sie definiert die BESSEL- oder Zylinderfunktion n-ter Ordnung 1. Gattung
Ux) ¦¦
Xn ( X2 X4
2nr(n + 1) V " 2Bn + 2) + 2 • 4 • Bn 4- 2)Bn + 4)
/^\ n+2k
= E
27
rj A:!r(n + k + 1) '
(9.52a)
Die Kurvenbilder der Funktionen J0 und J\ zeigt die Abb.9.12
Die allgemeine Lösung der BESSELschen Differentialgleichung für nicht ganzzahlige n hat die Form
y = CxJn(x) + C2J-n{x), (9 52b)
wobei J-n(x) eine Reihe darstellt, die aus der Reihe für Jn(x) durch Ersetzen von n durch — n folgt.
Für ganzzahliges n gilt J-n(x) = (-l)nJn(x). In der allgemeinen Lösung ist in diesem Falle J-n{x)
durch die BESSELsche Funktion 2 Gattung
Jm(x) cosm7r — J-m(x)
Yn{x) = lim
(9.52c)
sinra7T
auch WEBERsche Funktion genannt, zu ersetzen. Zur Reihenentwicklung von Yn(x) s. z.B. [9.26]. Die
Kurvenbilder der Funktionen Y0 und Y\ zeigt die Abb.9.13.
Abbildung 9.12
Abbildung 9.13
3. Bessel-Funktionen mit imaginären Variablen In manchen Anwendungen treten Bessel-
Funktionen mit rein imaginären Variablen auf. Dabei werden gewöhnlich die Produkte i~nJn(ia:) be-
528 9. Differentialgleichungen
trachtet, die mit In{x) bezeichnet werden-
In(x) = i nJn(ix) ¦¦
©¦ ^ ©- ^ ©¦
r(n + l) l!r(n + 2) 2!/> + 3)
Hierbei handelt es sich um Lösungen der Differentialgleichung
x2y" + zj/ - (x2 + n2)y = 0
Eine zweite Lösung dieser Differentialgleichung ist die MACDONALDsc/ie Funktion
7Tl-n(x) ~ In(x)
2
Kn(x) :
(9.53a)
(9 53b)
(9 53c)
sinwr
Wenn n gegen eine ganze Zahl konvergiert, strebt dieser Ausdruck einem Grenzwert zu.
Die Funktionen In(x) und Kn(x) werden auch modifizierte Bessel-Funktionen genannt.
Die Kurvenbilder der Funktionen I0 und I\ zeigt die Abb. 9.14, die der Funktionen K0 und K\ die
Abb. 9.15. Werte der Funktionen Jq(x) , J\(x), Yq{x) , Yi(x), Iq{x) , h(x), Kq(x) , K\(x) enthalten
die Tabellen 21.11, S. 1094
\ 5
\ 4
\ 3"
\ 2
-3 -2/ij;
/ -2-
/ -3
-4i
-5-
1:
.y
1 2 3 x
1.5
1.0
0.5
Abbildung 9.14
0.5 1.0 1.5 2.0
Abbildung 9.15
0.5
Abbildung 9.16
4. Wichtige Formeln für die Bessel-Funktionen
/ \ t / x 2n _ . . dJJx)
Jn-l(x) + J„+i(z) = ./n(z) , —~.
— Jn{x) + Jn-i(x)
X
Die Formeln (9.54a) gelten auch für die WEBER-Funktionen Yn(x)
In-i(x) -In+i{x) =
Kn+i{x) -Kn_i(x) ¦
2nln(x) dln(x)
x dx
2nKn(x) dKn{x)
In-i{x) In(x),
x ' dx
Für ganzzahliges n gilt:
tt/2
2 r
J2n{x) — — I cos(xsin(^)cos2n^dv?,
TT J
0
tt/2
2 /¦
J2n+i(x) = — / sin(xsin(/?)sinBn + l)ipd(f
TT J
-Kn.l(x)--Kn(x)
x
1.0
(9.54a)
(9 54b)
(9.54c)
(9 54d)
(9 54e)
9 1 Gewöhnliche Differentialgleichungen 529
oder, in komplexer Form,
Jn(x) = ^-t- / elx
TT J
0 cos rup dip.
Die Jn+i/2(x) können durch elementare Funktionen ausgedrückt werden. Insbesondere gilt*
J\/2(x) — \l — sini,
(9.55a)
J_ 1/2B0 = \ —cosz.
' \ -KX
(9.54f)
(9.55b)
Durch sukzessive Anwendung der Rekursionsformeln (9.54a) bis (9.54f) können die Ausdrücke für
Jn+\/2(x) für beliebige ganzzahlige n aufgeschrieben werden. Für große Werte von x ergeben sich die
folgenden asymptotischen Formeln:
Jn(x) = <
In(x) = -
7TX
ex
^x
h(-T-")+0(:)]'
**"(:)]¦
"¦m-i/SN-t-")"®]-
*•¦(')-i/i»-[1+0(j)]-
(9.56a)
(9 56b)
(9.56c)
(9 56d)
Der Ausdruck O l - J bedeutet eine infinitesimale Größe der gleichen Ordnung wie — (s. Landau-
Symbole, 2.1.4.9,4., S. 57)
Weitere Angaben über BESSEL-Funktionen s. [21 1].
3. Legendresche Differentialgleichung
Bei Beschränkung auf den Fall reeller Veränderlicher und ganzzahliger Parameter n = 0,1, 2, .. hat
die LEGENDREsche Differentialgleichung die Gestalt
A - x2)y" - 2xy' + n(n + l)y = 0 oder (A - x2)y')' + n(n + \)y = 0. (9.57a)
1. Legendresche Polynome oder Kugelfunktionen 1. Art heißen die partikulären Lösungen
der LEGENDREschen Differentialgleichung für ganzzahlige n, die sich über den Potenzreihenansatz
y — ^2 avx" ermitteln lassen. Für \x\ < 00 und n = 0,1,2,... gilt:
Bn)!
Pn{x) ¦¦
2n(n*J
n(n-l) 2 n(n-l)(n-2)(n-3) 4 _
2Bn-l) 2-4Bn-l)Bn-3)
PB(x) = F(n +1,-11,1,-^) = ^
1 dn{x2-l)n
dxn
(|x|<oo); (9.57b)
(9.57c)
wobei mit F die hypergeometrische Reihe (s. 9.1.2.6,4., S 531) bezeichnet wird. Die ersten acht
Polynome haben die folgende einfache Form (s. auch Tabelle 21.12, S. 1096):
Po(x) = 1, (9.57d) Pi(rr) = x, (9.57e) P2(x) = ^Cx2 - 1), (9.57f) P3(x) = iEx3 - 3x), (9.57g)
530 9. Differentialgleichungen
&(x) = IC5x4 - 30x2 + 3), (9.57h) P5{x) = iF3x5 - 70a;3 + 15z), (9.57i)
8 8
p6(x) = -^B31x6-315x4 + 105x2-5),(9.57j) P7{x) = -^D29x7-693x5+315x3-35x) (9 57k)
16 16
Die Kurvenbilder von Pn(x) für Werte von n = 1 bis n = 7 sind in Abb.9.16 dargestellt Zahlenwerte
können leicht mit dem Taschenrechner berechnet oder in Tabellen nachgesehen werden.
2. Eigenschaften der Legendreschen Polynome 1. Art
a) Integraldarstellung:
1 TT TT
Pn(x) = - [(x±c0B<py/*=ir<hp=- f— V n ... (9.58a)
7T 7 7T 7 (x ± COS (fVX - 1) +
Das Vorzeichen kann in beiden Gleichungen beliebig genommen werden
b) Rekursionsformel:
(n + l)Pn+1{x) = {2n + l)xPn{x) - nPn-i(x) (n > 1; P0(x) = 1, Pi(x) - x), (9.58b)
r/P (VI
(x2 - 1)—^ = n[xPn(x) - Pn-i(x)] (n > 1). (9.58c)
c) Orthogonalitätsrelation:
i ( 0 für m ^ n,
/ Pn(x)Pm(x) dx = 2 = (9 58d)
-i l 2n + 1
d) Nullstellensatz: Alle n Nullstellen von Pn(x) sind reell und einfach und liegen im Intervall (—1,1).
e) Erzeugende Funktion: Die LEGENDREschen Polynome 1. Art können auch als Reihenentwicklung
der Funktion
i °°
-7===== = J2Pn(x)rn (9 58e)
Vi - 2rx + r2 ^o
erzeugt werden.
Weitere Angaben über die LEGENDREschen Polynome 1. Art s. [21 1]
3. Legendresche Funktionen oder Kugelfunktionen 2. Art Eine zweite partikuläre, von Pn(x)
linear unabhängige Lösung Qn(x) der LEGENDREschen Differentialgleichung (9.57a) erhält man für
-(n+l)
|a;| > 1 durch die Potenzreihenentwicklung ^ bvxv
ö (x) - 2>!J (w+1) (n+l n+_2 2n + 3. J_\
Qn[X}~ Bn+l)\X *\ 2 ' 2 ' 2 'x*J
Bn+l)
_ 2"(n!J
~ Bn+l)!
(n + l)(n + 2)(n + 3)(n + 4) ,w+5)
2-4-Bn + 3)Bn + 5)
-(n+i) , (n + l)(n + 2) (n+3)
2Bn + 3)
(9 59a)
Die für |x| < 1 gültige Darstellung von Q„(x) lautet:
Qn(x) = \Pn{x) In 1±^ - £ JPfc-lf^Pn-fc^) . (9.59b)
^ 1_a; fc=lÄ
Man bezeichnet die Kugelfunktionen 1. und 2. Art auch als zugeordnete oder assoziierte LEGENDREsc/ie
Funktionen (s. auch 9.2.3.5,6.,4., S. 563).
9 1 Gewöhnliche Differentialgleichungen 531
4. Hypergeometrische Differentialgleichung
Hypergeometrische Differentialgleichung heißt die Gleichung
x(l - x)y" + [7 - (a + ß + l)x]y' - aßy = 0 , (9.60a)
in der die a, ß und 7 Parameter sind. Sie beinhaltet eine große Zahl wichtiger Spezialfälle.
1 — z
a) Für a = n + 1, ß = —n ,7 = 1 und x = —-— ergibt sich die LEGENDREsche Differentialgleichung.
b) Für 7 7^ 0 oder 7 keine ganze negative Zahl ergibt sich als partikuläre Lösung die hypergeometrische
Reihe oder hypergeometrische Funktion :
ev a \ 1 _l_ a ¦ P ^ a(a + l)ß(ß+l) 2
F(alA7;x) = l + — , + ^-y-f-Tir, +...
q(a + l) (q + nW + l) (/? + n)^ + .. ? (9>6Qb)
l-2...(n + l)-7G + l). G + n)
die für |x| < 1 absolut konvergiert. Die Konvergenz der hypergeometrischen Reihe hängt für x = ±1
von der Zahl £ = 7 — a — ß ab Für x = 1 konvergiert sie, falls ö > 0 ist, für S < 0 divergiert sie. Für
x = -1 ergibt E < 0 absolute Konvergenz, — 1 < S < 0 bedingte Konvergenz und 6 < — 1 Divergenz.
c) Für 2 — 7^0 oder ungleich einer ganzen negativen Zahl ergibt sich als partikuläre Lösung die
Funktion
y = xl~^F{a + 1 - 7, /? + 1 - 7,2 - 7; x) (9.60c)
d) In einigen Fällen wird die hypergeometrische Reihe zu einer elementaren Funktion, z B
F{l,ß,ß;x) = F{a,l,a,x) = —J—, (9.61a) F(-n,/?,/?, -x) = A + x)n , (9 61b)
1 — x
F(l,l,2;-*) = ^, (9.61C) F(i,I,|^) = ~ (9.61d)
lim Wl,/3,1,§
(9.61e)
5. Laguerresche Differentialgleichung
Bei Beschränkung auf ganzzahlige Parameter (n = 0,1,2, .) und reelle Veränderliche hat die La-
GUERREsc/ie Differentialgleichung die Form
xy" + (a + 1 - x)y' + ny = 0 . (9.62a)
Als partikuläre Lösungen ergeben sich die LAGUERRE.se/ien Polynome
#>(,) = Ü^/L(e-,^). ± (» + f) (^ (9.62b)
n w n! cfcnV ^{n-kj k* y '
Die Rekursionsformel für n > 1 lautet
(n + lJL^Cx) - (-z + 2n 4- a + l)L™{x) - (n + aJZ&fr), (9 62c)
L{°\x) = 1, L(!a) = 1 + a - x (9.62d)
Als Orthogonalitätsrelation gilt für a > — 1:
( 0 für m 7^ n,
m v ' n v ' I r(l + m furra = n. v '
0 l V n /
Mit T ist die Gammafunktion (s. 8.2.5,6., S. 478) bezeichnet.
/
532 9. Differentialgleichungen
6. Hermitesche Differentialgleichung
In der Literatur sind zwei Definitionsgleichungen gebräuchlich:
a) Definitionsgleichung zu Variante 1:
y" - xy' + ny = 0 (n = 0,1,2,...)- (9.63a)
b) Definitionsgleichung zu Variante 2:
y" - 2xy' + ny = 0 (n = 0,l,2, ..). (9.63b)
Partikuläre Lösungen sind die ÜERMiTEschen Polynome, die enstsprechend in zwei Varianten
auftreten, als Hen(x) zu Definitionsgleichung 1 und als Hn(x) zu Definitionsgleichung 2.
a) Hermitesche Polynome zu Definitionsgleichung 1:
x2 dn ( x2\
^(x) = (-l)-eT_(e-TJ
= xn- (f}xn~2 +1 • 3DV -1'3• 5(eV + • • * (n G N)
(9.63c)
Für n > 1 gelten die folgenden Rekursionsformeln:
//en+i(rc) = xHen(x) — nHen-i(x), (9.63d) Heo(x) = 1, Hei(x) = x. (9.63e)
Die Orthogonalitätsrelation lautet:
+00
/ e-*2'2Hem(x)Hen(x) dx = { ° _ ™r m ^ "' (9.63£)
^ ln!v27T rur m = n.
—00
b) Hermitesche Polynome zu Definitionsgleichung 2:
#„(*) = (-l)"e*2^(e-*2) (n€N). (9.63g)
Der Zusammenhang mit den HERMiTEschen Polynomen zur 1. Definitionsgleichung lautet:
Hen{x) = 2~n'2Hn (-j=\ (n G N). (9.63h)
9.1.3 Randwertprobleme
9.1.3.1 Problemstellung
1. Begriff des Randwertproblems
Differentialgleichungen müssen in verschiedenen Anwendungen, z.B. in der mathematischen Physik
(s. 9.2 3, S. 554), als sogenannte Randwertprobleme gelöst werden. Darunter versteht man Probleme,
bei denen die gesuchte Lösung in den Endpunkten eines Intervalls der unabhängigen Variablen
vorgegebenen Bedingungen genügen muß. Eine Spezifizierung ist das lineare Randwertproblem, das vorliegt,
wenn eine Lösung einer linearen Differentialgleichung gesucht wird, die linearen Randbedingungen
genügt. Im folgenden wird die Betrachtung auf lineare Differentialgleichungen 2. Ordnung beschränkt,
für die lineare Randbedingungen vorgegeben sind.
2. Selbst adjungierte Differentialgleichung
Selbstadjungierte Differentialgleichung wird die folgende wichtige Form der Differentialgleichungen 2.
Ordnung genannt:
\py'}' -qy + ^oy = f- (9.64a)
Als lineare Randbedingungen werden die homogenen Bedingungen
A0y{a) + BQy'{a) = 0, AlV(b) + Blt/(b) = 0 (9.64b)
9 1 Gewöhnliche Differentialgleichungen 533
p = exp
vorgegeben. Die Funktionen p{x), p'(x), q(x), g(x) und f(x) sollen in dem endlichen Intervall a <
x < b stetig sein. Im Falle eines unendlichen Intervalls ändern sich die Ergebnisse ganz wesentlich
(s. [9.5]). Außerdem wird verlangt, daß p(x) > p0 > 0, g(x) > g0 > 0 gilt Die Größe A, ein Parameter
der Differentialgleichung, ist konstant. Für / = 0 ergibt sich zum inhomogenen Randwertproblem das
zugehörige homogene Randwertproblem
Jede Differentialgleichung 2 Ordnung
Ay" + By' + Cy + \Ry = F (9.64c)
kann, falls in [a, b] A ^ 0 ist, durch Multiplikation mit p/A auf die selbstadjungierte Form (9.64a)
gebracht werden. Dazu sind die Substitutionen
Ui*)' '¦-$¦ -S <»«»
erforderlich.
Um eine Lösung zu finden, die den inhomogenen Bedingungen
A0y(a) + B0y'(a) = C0 , AlV(b) + Blt/(b) = d (9.64e)
genügt, geht man auf eine Aufgabe mit homogenen Bedingungen, aber geänderter rechter Seite der
Differentialgleichung, zurück, indem man die unbekannte Funktion mit Hilfe der Substitution y = z + u
ersetzt. Dabei ist u eine beliebige, zweimal differenzierbare Funktion, die die inhomogenen
Randbedingungen erfüllt, während z eine neue unbekannte Funktion ist, die die zugehörigen homogenen
Randbedingungen erfüllt.
3. Sturm-Liouvillesches Problem
Für einen festen Wert des Parameters A gibt es zwei Fälle:
1. Das inhomogene Randwertproblem besitzt eine eindeutige Lösung bei beliebigem f(x), während
das zugehörige homogene Problem lediglich die triviale, identisch verschwindende Lösung besitzt, oder:
2. Das zugehörige homogene Problem besitzt nichttriviale, d.h. nicht identisch verschwindende
Lösungen Dann ist das inhomogene Problem nicht für beliebige rechte Seiten lösbar; im Falle der Existenz
einer Lösung ist diese nicht eindeutig bestimmt.
Die Werte des Parameters A, für die der zweite Fall eintritt, d.h. das homogene Problem eine
nichttriviale Lösung hat, werden Eigenwerte des Randwertproblems genannt, die zugehörigen
nichttrivialen Lösungen, seine Eigenfunktionen. Die Aufgabe, die Eigenwerte und Eigenfunktionen der
Differentialgleichung (9.64a) zu bestimmen, nennt man das Sturm-LioUViLLEsc/ie Problem.
9.1.3.2 Haupteigenschaften der Eigenfunktionen und Eigenwerte
1. Die Eigenwerte des Randwertproblems (9.64a,b) bilden eine monoton wachsende Folge reeller
Zahlen
A0 < Ai < A2 < • • • < An < • • • , (9.65a)
die gegen unendlich strebt.
2. Die Eigenfunktion, die zum Eigenwert An gehört, besitzt im Intervall a < x < b genau n Nullstellen.
3. Sind y{x) und z(x) zwei Eigenfunktionen, die zu demselben Eigenwert A gehören, dann
unterscheiden sie sich nur durch einen konstanten Faktor c, d.h., es gilt*
z(x) = cy{x). (9.65b)
4. Für zwei Eigenfunktionen yi(x) und 2/2(#) ? die den verschiedenen Eigenwerten Ai und A2
entsprechen, gilt die Orthogonalitätsrelation
b
Vi(x) y2(x) g(x) dx = 0, (9 65c)
/>
wobei q(x) das Gewicht der Orthogonalität genannt wird
5. Wenn in (9.64a) die Koeffizienten p(x) und q(x) durch p(x) > p{x) und q(x) > q{x) ersetzt
werden, dann werden die Eigenwerte nicht kleiner, sondern es gilt An > An, wobei An und An die n-ten
534 9. Differentialgleichungen
Eigenwerte der geänderten bzw. ungeänderten Gleichung sind. Wenn jedoch der Koeffizient q{x) durch
q{x) > g(x) ersetzt wird, dann werden die Eigenwerte nicht größer, sondern es gilt An < An. Der
n-te Eigenwert hängt hierbei stetig von den Koeffizienten der Gleichung ab, d.h., hinreichend kleinen
Änderungen der Koeffizienten entsprechen beliebig kleine Änderungen des n-ten Eigenwertes.
6. Verkleinerungen des Intervalls [a, 6] ziehen keine Verkleinerung der Eigenwerte nach sich.
9.1.3.3 Entwicklung nach Eigenfunkt ionen
1. Normierung der Eigenfunktion
Zu jedem An wird eine Eigenfunktion ipn(x) derart gewählt, daß gilt:
b
f[(pn(x)]2g{x) dx = l. (9.66a)
a
Man spricht dann von einer normierten Eigenfunktion.
2. Fourier-Ent wicklung
Jeder im Intervall [a, b] definierten Funktion g(x) kann ihre FOVRIER-Reihe
9(x) ~ ^2 CnVnix), Cn= g(x) ipn{x) q{x) dx (9.66b)
n=0 Ja
nach den Eigenfunktionen des zugehörigen Randwertproblems zugeordnet werden, sofern die Integrale
in (9.66b) sinnvoll sind.
3. Entwicklungssatz
Die FOURIER-Reihe konvergiert absolut und gleichmäßig gegen g(x), wenn die Funktion g(x) eine
stetige Ableitung besitzt und den Randbedingungen des zugehörigen Problems genügt.
4. Parsevalsche Gleichung
Wenn das Integral auf der linken Seite einen Sinn hat, dann gilt stets
r
/ [g{x)]2Q{x) dx =^2 cn2 (PARSEVALsche Gleichung). (9.66c)
Die FOURIER-Reihe der Funktion g(x) konvergiert in diesem Falle im Mittel gegen g(x), d.h., es gilt
N
lim
N—>oo
a L
./
n2
9{X) ~ Yl CnVn(x)
q(x) dx = 0. (9.66d)
9.1.3.4 Singulare Fälle
Randwertprobleme des betrachteten Typs treten bei Anwendungen der FoURlERschen Methode zur
Lösung von Aufgaben der theoretischen Physik häufig auf, aber mit dem Unterschied, daß in den
Endpunkten des Intervalls [a, 6] Singularitäten der Differentialgleichungen vorkommen können, z.B. das
Verschwinden von p(x). In solchen singulären Punkten werden den Lösungen gewisse
Einschränkungen auferlegt wie z.B. Stetigkeit oder Endlichkeit oder unbeschränktes Wachstum, nicht höher als von
einer bestimmten Ordnung. Solche Bedingungen spielen die Rolle von homogenen Randbedingungen
(s. 9.2.3 3, S. 556). Außerdem tritt der Fall auf, daß bei einigen Randwertproblemen homogene
Randbedingungen zu untersuchen sind, die die Werte der Funktion und ihrer Ableitung in entgegengesetzten
Endpunkten des Intervalls miteinander verknüpfen Häufig sind dabei die Bedingungen
V(fi) = y(b), p(a)y'(a)=p(b)y'(b) (9.67)
vertreten, die im Falle p(a) = p(b) Periodizitätsbedingungen darstellen. Für Randwertprobleme mit
diesen Bedingungen gilt alles, was oben ausgeführt wurde, ausgenommen die Behauptung (9.65b).
Ausfuhrliche Darstellungen der Problematik s. [9.5].
9.2 Partielle Differentialgleichungen 535
9.2 Partielle Differentialgleichungen
9.2.1 Partielle Differentialgleichungen 1. Ordnung
9.2.1.1 Lineare partielle Differentialgleichungen 1. Ordnung
1. Lineare und quasilineare partielle Differentialgleichungen
Die Gleichung
X1p- + X2p- + -. + Xnp- = Y (9.68a)
OXi OX2 OXn
heißt lineare partielle Differentialgleichung erster Ordnung. Mit z wird eine unbekannte Funktion der
unabhängigen Variablen X\, . ,xn bezeichnet, und die Xi,. , Xn, Y" sind vorgegebene Funktionen
dieser Variablen Wenn die Funktionen Xi, ,Xn,Y auch noch von z abhängen, spricht man von
einer quasilinearen partiellen Differentialgleichung Im Falle
Y = 0 (9.68b)
heißt die Gleichung homogen.
2. Integration der homogenen partiellen linearen Differentialgleichung
Die Integration der homogenen partiellen linearen Differentialgleichung ist der Integration des
sogenannten charakteristischen Systems
dx1 = dx1= =dz„ (969a)
X\ X2 Xn
äquivalent Zur Lösung dieses Systems können zwei Wege eingeschlagen werden.
1. Man kann als unabhängige Variable ein beliebiges Xk auswählen, für das Xk ^ 0 gilt, so daß das
System in die Form
£ = | C-l,.,») (969b)
übergeht
2. Bequemer ist es, unter Beibehaltung der Symmetrie eine neue unabhängige Variable t einzuführen,
indem
%-X, (9 69c)
gesetzt wird
Jedes erste Integral des Systems (9.69a) ist eine Lösung der homogenen linearen partiellen
Differentialgleichung (9.68b) und umgekehrt, jede Lösung von (9 68b) ist ein erstes Integral von (9.69a) (s 9.1 2 1,2.,
S 515) Wenn hierbei n — 1 erste Integrale
(fi(xi,...,xn) = 0 (i = l,2, ..,n-l) (9 69d)
unabhängig sind (s. 9 1.2 3,2., S. 518), dann gilt
z = *(<pli .,y>n-i). (9 69e)
Dabei ist # eine beliebige Funktion der n - 1 Argumente <p» und eine allgemeine Lösung der homogenen
linearen Differentialgleichung.
3. Integration der inhomogenen linearen und der quasilinearen
partiellen Differentialgleichung
Zur Integration der inhomogenen linearen und der quasilinearen partiellen Differentialgleichung (9.68a)
wird die Lösung z in der impliziten Form V(xi, ..,xn,z) = C gesucht. Die Funktion V ist eine Lösung
der homogenen linearen Differentialgleichung mit n + 1 unabhängigen Veränderlichen
XW+xn+.. + X.*L + YWo, (9.70a)
OX\ OX2 OXn OZ
536 9. Differentialgleichungen
deren charakteristisches System
dxi dx2 dxn dz ,n™u\
x7 = ^ = ---=x:=y (970b)
charakteristisches System der ursprünglichen Gleichung (9 68a) genannt wird
4. Geometrische Darstellung und Charakteristiken des Systems
Im Falle zweier unabhängiger Veränderlicher x\ = x und x2 = y mit
p{x, y,z)-^ + Q{x, ^)/ = R(x' Viz) (9-71a)
ist die Lösung z = f{x,y) eine Fläche im x, y, 2-Raum, die Integralfläche der Differentialgleichung
genannt wird. Die Gleichung (9 71a) bedeutet, daß in jedem Punkt der Integralfläche z = f(x, y) der
— , — , — 1 I orthogonal zu dem in diesem Punkt gegebenen Vektor (P, Q, R) ist
dx dy )
Dabei nimmt das System (9 70b) die Form
dx = dy = dz
P(x,y,z) Q(x,y,z) R(x,y,z) }
an. Daraus folgt (s. 13.1.3.5, S. 669), daß die Integralkurven des Systems, die auch die Charakteristiken
des Systems genannt werden, die Vektoren (P, Q, R) berühren Daher liegt eine Charakteristik, die mit
der Integralfläche z = /(x, y) einen Punkt gemeinsam hat, ganz in dieser Fläche Unter der Bedingung,
daß der Existenzsatz gilt (s. 9.1.2 1,1.,2., S 515). verläuft durch jeden Punkt des Raumes eine
Integralkurve des charakteristischen Systems, so daß die Integralflächen aus Charakteristiken bestehen
5. Cauchysches Problem
Gegeben sind n Funktionen von n — 1 unabhängigen Variablen t\, t2, , £„_r
xi = xi{t1,t2, . ,tn_i), x2 = x2(ti,t2, ,tn_i), , xn = xn(ti,t2, ,i„_i) (9 72a)
Das CAUCHYsche Problem für die Differentialgleichung (9.68a) besteht darin, eine Lösung
z = p(xi,x2,. ,xn) (9 72b)
zu bestimmen, die beim Einsetzen von (9 72a) eine vorgegebene Funktion ip(ti,t2, , £n_i) ergibt
(p[xi(ti,t2,. . ,tn_i), x2(tiJt2l ,£„_i),... , xn(tut2, ,£„_i)] = il>{h,t2, ,tn-\) (972c)
Im Falle zweier Variabler reduziert sich das Problem auf das Aufsuchen einer Integralfläche, die durch
eine gegebene Kurve verläuft. Wenn diese Kurve eine stetige Tangente hat und in keinem Punkt eine
Charakteristik berührt, dann besitzt das CAUCHYsche Problem in einer gewissen Umgebung dieser
Kurve stets eine eindeutige Lösung Dabei besteht die Integralfläche aus der Menge aller der
Charakteristiken, die die gegebene Kurve schneiden Eine exaktere Formulierung des Satzes über die Existenz
der Lösung des CAUCHYschen Problems s. [9 26].
dz
¦ A: Für die lineare inhomogene partielle Differentialgleichung 1 Ordnung G712 — ny)~^—h {nx —
lz)— = ly — mx (l,m,n sind konstant) lauten die Gleichungen der Charakteristiken —
oy mz — ny
— = Die Integrale dieses Systems lauten lx+my+nz = C\ ,x2+y2+z2 = C2. Als Cha-
nx — lz ly — mx
rakteristiken ergeben sich Kreise, deren Mittelpunkte auf einer durch den Koordinatenursprung
verlaufenden Geraden liegen, die zu /, m, n proportionale Richtungskosinusse besitzt Die Integralflächen
sind Rotationsflächen mit dieser Geraden als Achse.
¦ B: Es ist die Integralfläche der linearen inhomogenen Differentialgleichung 1 Ordnung —— + -— = z
dx dy
9.2 Partielle Differentialgleichungen 537
zu bestimmen, die durch die Kurve x = 0, z = <p(y) verläuft. Die Gleichungen der Charakteristi-
dx du dz
ken lauten — = — = — . Die durch den Punkt (x0,y0,zo) verlaufenden Charakteristiken sind
y = x — Xo + yo, z = zoex~xo. Als Parameterdarstellung der gesuchten Integralfläche findet man
y = x + yo, z = ex(f(y0), wenn x0 — 0, z0 = ip(yo) gesetzt wird. Die Elimination von y0 fuhrt auf
z = ex(p(y - x).
9.2.1.2 Nichtlineare partielle Differentialgleichungen 1. Ordnung
1. Allgemeine Form der partiellen Differentialgleichung 1. Ordnung
wird die implizite Gleichung
*•(*„...,*„,*, |L,. .,g-)=0 (9.73a)
genannt.
1. Vollständiges Integral heißt die Lösung
z = (f(xi,..., xn\ öi,..., an), (9.73b)
die von n Parametern ai, ., an abhängt und für deren Funktionaldeterminante (s 2.18.2 6,3., S. 124)
mit den betrachteten Werten von #i,..., xn, z gelten muß:
<%.„• -^x) (973c)
d(ai,.. .,an)
2. Charakteristische Streifen Die Integration von (9.73a) wird auf die Integration des
charakteristischen Systems
dx_L= =dx^ = _dz _±i =... = _^ (9.7^)
mit
'-S^-s-»-»'-« '•=' "» <*">
zurückgeführt. Die Lösungen des charakteristischen Systems, die die zusätzliche Bedingung
F{xu.. ,xn,z,Pl,...,pn)-0 (9.73f)
erfüllen, heißen charakteristische Streifen.
2. Kanonische Systeme von Differentialgleichungen
Manchmal ist es vorteilhafter, Differentialgleichungen zu betrachten, in denen die gesuchte Funktion z
nicht explizit enthalten ist. Der Übergang zu einer derartigen Punktion kann durch Einfuhrung einer
zusätzlichen unabhängigen Veränderlichen xn+i = z und einer unbekannten Funktion V(xi, ... ,xn,
xn+i) erreicht werden. Für diese Funktion wird über die Gleichung
V{xu...,xn,z) = C (9.74a)
dz
die gesuchte Funktion z(xi,X2, • •., xn) bestimmt. Dabei setzt man in (9.73a) anstelle von —— die Funk-
OXi
dV I dV
tion — —— / — (i = 1,..., n) ein. Dann wird die Differentialgleichung (9.73a) nach einer belie-
ÖXi I ÖXn+1
bigen partiellen Ableitung von V aufgelöst. Die dazugehörige unabhängige Veränderliche wird nach
entsprechender Änderung der Numerierung der übrigen Variablen mit x bezeichnet. Schließlich bringt
man die Gleichung (9.73a) in die Form
dV dV
p + H(xu...,xnix,pu...,pn) = 0, p=—,Pi = — (i = l,. .,n). (974b)
538 9. Differentialgleichungen
und
Das System der charakteristischen Differentialgleichungen geht so über in
dxi _ dH dpi _ dH . _
dx dpi' dx dxi
<W_^ dH_ <¥L-H ^P = _?K (9 74d)
dx dpi ndpn ' dx dx
Die Gleichungen (9 74c) stellen ein System von 2n gewöhnlichen Differentialgleichungen dar, das einer
beliebigen Funktion H(x\, .,xn,x,p\,. ,pn) von 2n + 1 Variablen entspricht Man nennt es ein
kanonisches System oder ein Normalsystem von Differentialgleichungen.
Viele Aufgaben der Mechanik und der theoretischen Physik führen auf Systeme dieser Art Bei Kenntnis
eines vollständigen Integrals
V = <p{xi, ...,£„,£,ai,... ,an) + a (9 74e)
der Gleichung (9 74b) kann die allgemeine Lösung des Normalsystems (9 74c) bestimmt werden, denn
dtp dip
die Gleichungen —— = bi, —— = Pi (i = 1,2, . ,n) mit In willkürlichen Parametern a* und b{
Oüi OXi
definieren eine 2n-parametrige Lösung des Normalsystems (9.74c)
3. Clairautsche Differentialgleichung
Wenn die gegebene Differentialgleichung auf die Form
z = xipi + x2p2 + • • ¦ + xnpn + /(pi,p2, • • • ,pn), Vi = -Q- (* = 1, • ,") (9.75a)
gebracht werden kann, man spricht dann von CLAiRAUTscher Differentialgleichung, gestaltet sich die
Bestimmung des vollständigen Integrals recht einfach, denn ein vollständiges Integral mit den frei
wählbaren Parametern 01, a2, .., an ist
z = aiXi + a2x2 -\ Yanxn + /(ai,a2,. . ,an) (9.75b)
¦ Zweikörperproblem mit Hamilton-Funktion: Die Bewegung zweier materieller Punkte, die
der NEWTONschen Gravitationswechselwirkung unterliegen sollen, erfolgt in einer Ebene Daher ist
es vorteilhaft, einen der beiden Punkte in den Koordinatenursprung zu legen, so daß die
Bewegungsgleichung die Form
d^ = dV_ fy = dV k2
dt2 dx' dt* dy1 V^Ty* [ }
annimmt. Führt man die HAMILTON-Funktion
H = \^ + q2)-7^7 (976b)
ein, dann geht das System (9 76a) in das Normalsystem
dx_dH_ d^_dH_ &p___dH_ dq _ _dH_
dt dp 'dt dq dt dx ' dt dy
X'V'P=~dt' q=~dt (9.76d)
mit
über. Die Differentialgleichung lautet nunmehr
dz_ 1
dt +2
(dx) +(dy)
y/x2 + y2
= 0 (9.76e)
9 2 Partielle Differentialgleichungen 539
Bei Einführung von Polarkoordinaten p, (p geht (9.76e) in eine neue Differentialgleichung über, deren
Lösung in der Form
rp / 2k2 b2
z = -at-bip + c- W2a + rdr (9.76f)
J po V r r
mit den Parametern a, 6, c dargestellt werden kann. Die allgemeine Lösung des Systems (9.76c) ergibt
sich aus den Gleichungen
!--*,, S = -,o. (9.76g)
4. Differentialgleichungen 1. Ordnung mit zwei unabhängigen Veränderlichen
Für x\ = x, X2 — y, P\—p,Pi — q kann der charakteristische Streifen (s. 9.2.1.2,1.,2., S. 537)
geometrisch als Kurve gedeutet werden, die sich dadurch auszeichnet, daß in jedem ihrer Punkte (x, y, z) ihre
Tangentialebene p(£ — x) + q(r) — y) = (, — z definiert ist. Dadurch kann die Aufgabe, die Integralfläche
der Gleichung
zu bestimmen, die durch eine gegebene Kurve hindurchgeht, also das CAUCHYsche Problem zu lösen,
auf eine andere Aufgabe zurückgeführt werden. Durch die Punkte der Anfangskurve sind die
charakteristischen Streifen hindurchzulegen, deren zugehörige Ebene diese Kurve tangiert Man gewinnt die
Werte p und q in den Punkten der Anfangskurve aus den Beziehungen F(x, y, z,p, q) = 0 und pdx +
qdy = dz, die im Falle nichtlinearer Differentialgleichungen im allgemeinen mehrere Lösungen
besitzen
Damit sich bei Stellung des CAUCHYschen Problems eindeutige Lösungen ergeben, sind entlang der
Anfangskurve zwei stetige Funktionen p und q festzulegen, die den obigen beiden Beziehungen genügen.
Die Existenzbedingungen für die Lösung des CAUCHYschen Problems s [9 26].
¦ Für die partielle Differentialgleichung pq = 1 und die Anfangskurve y = x3 , z = 2x2 kann entlang
der Kurve p = x und q = 1/x gesetzt werden. Das charakteristische System besitzt die Form
dx dy dz dp n dq
— = q, — =P, — = 2pq, — = 0, — = 0.
dt dt dt dt dt
Der charakteristische Streifen mit den Anfangswerten Xq, yo, zq, po und qo für £ = 0 genügt den
Gleichungen x = x0 + q0t, y = yo + Pot, z = 2pQqQt + z0, p = p0, q = q0. Für den Fall p0 = x0,
qo = 1/xo lautet die Gleichung der zum charakteristischen Streifen gehörenden Kurve, die durch den
Punkt (#0, yo, Zo) der Anfangskurve verläuft,
x = Xo ^ , y = Xq3 + txo . z = 2t -f- 2x02
Xo
Elimination der Parameter xo und t liefert z2 — Axy Für andere zulässige Werte von p und q längs der
Anfangskurve hätte sich eine andere Lösung ergeben.
Hinweis: Die Einhüllende einer einparametrigen Integralflächenschar ist ebenfalls eine Integralfläche.
Unter Beachtung dieses Umstandes kann das CAUCHYsche Problem mit Hilfe des vollständigen
Integrals gelöst werden. Dazu wird eine einparametrige Schar von Lösungen gesucht, die die Ebenen
berühren, die in den Punkten der Anfangskurve gegebenen sind Dann ist noch die Einhüllende dieser
Schar zu bestimmen.
¦ Für die CLAlRAUTsche Differentialgleichung z — px — qy + pq = 0 soll die Integralfläche bestimmt
werden, die durch die Kurve y = x , z = x2 verläuft Das vollständige Integral der Differentialgleichung
lautet z = ax + by — ab. Da entlang der Anfangskurve p = q = x gilt, bestimmt man mit der Bedingung
a = b die erforderliche einparametrige Integralflächenschar. Nach Ermittlung der Einhüllenden erhält
man z = -(x + yJ .
540 9. Differentialgleichungen
5. Lineare partielle Differentialgleichungen 1. Ordnung in vollständigen
Differentialen
Gleichungen dieser Art haben die Gestalt
dz = fidxi + f2dx2 H h fndxn , (9.78a)
wobei die /i, f2, , fn gegebene Funktionen der Variablen x\, x2,. ., xn, z sind. Man spricht von
einer vollständig integrierbaren Differentialgleichung, wenn sich eine eindeutige Beziehung zwischen den
X\, x2, .., xn, z angeben läßt, die einen frei wählbaren konstanten Faktor enthält, und die auf die
Gleichung (9 78a) führt. Dann existiert eine eindeutige Lösung z = z(x\,x2,... ,xn) von (9.78a), die für
die Anfangswerte Xi°, ., xn° der unabhängigen Veränderlichen einen vorgegebenen Wert z0 ergibt
Daraus folgt für n = 2, X\ = x, x2 = y, daß durch jeden Raumpunkt eine und nur eine Integralfläche
verläuft.
Vollständige Integrabilität gibt es für die Differentialgleichung (9.78a) dann und nur dann, wenn die
n(n — 1)
2
Beziehungen
dfi , f dfi 9fk dfk
^ + Aä7 = ^ + /^ <a = 1' ¦ 'n) (9-78b)
in allen Variablen xi,X2,...,xn,z identisch erfüllt sind.
Wenn die Differentialgleichung in der symmetrischen Gestalt
fidxi + • • • + fndxn = 0 (9 78c)
gegeben ist, dann lautet die Bedingung für die vollständige Integrabilität für alle Kombinationen der
Indizes i, j, k
\ dh _ dfl\ +, tdh_ _ dh\ + .m _ dh\=0
1 \dxj dxkJ j \dxk dxi) \dxi dxj)
Liegt vollständige Integrabilität vor, dann kann die Auflösung der Differentialgleichung (9 78a) auf die
Integration einer gewöhnlichen Differentialgleichung mit n — 1 Parametern zurückgeführt werden
9.2.2 Lineare partielle Differentialgleichungen 2. Ordnung
9.2.2.1 Klassifikation und Eigenschaften der Differentialgleichungen
2. Ordnung mit zwei unabhängigen Veränderlichen
1. Allgemeine Form
einer linearen partiellen Differentialgleichung 2 Ordnung mit zwei unabhängigen Variablen x , y und
einer unbekannten Funktion u heißt eine Gleichung der Gestalt
Ad2u nn d2u „d2u du du „ tn „n .
A— + 2B—— + C— + a— + b— + cu = f , 9.79a
ox2 oxoy oy2 ox oy
wobei die Koeffizienten A, B, C, a, 6, c und das freie Glied / bekannte Funktionen von x und y sind
Die Form der Lösung dieser Differentialgleichung hangt vom Vorzeichen der Diskriminante
6 = AC-B2 (9 79b)
in einem betrachteten Gebiet ab. Man unterscheidet die folgenden Formen*
1. S < 0. Hyperbolischer Typ;
2. S = 0- Parabolischer Typ,
3. S > 0 Elliptischer Typ,
4. 6 ändert sein Vorzeichen: Gemischter Typ
Eine wichtige Eigenschaft der Diskriminante 5 besteht darin, daß ihr Vorzeichen invariant ist gegen
beliebige Transformationen der unabhängigen Variablen, z.B. bei der Einführung neuer Koordinaten
in der x, y-Ebene. Somit ist auch der Typ der Differentialgleichung eine Invariante bezüglich der Wahl
der unabhängigen Variablen
9 2 Partielle Differentialgleichungen 541
2. Charakteristiken
der linearen partiellen Differentialgleichungen 2. Ordnung heißen die Integralkurven der
Differentialgleichung
Ady2 - 2Bdxdy + Cdx2 = 0 oder ^ = B± "f~S , (9.80)
dx A
Zu den drei Typen von Differentialgleichungen können hinsichtlich der Charakteristiken die folgenden
allgemeinen Aussagen getroffen werden-
1. Hyperbolischer Typ Es existieren zwei Scharen reeller Charakteristiken
2. Parabolischer Typ Es existiert nur eine Schar reeller Charakteristiken.
3. Elliptischer Typ: Es existieren keine reellen Charakteristiken
4. Eine Differentialgleichung, die sich aus (9.79a) durch Koordinatentransformationen ergibt, besitzt
die gleichen Charakteristiken wie (9 79a).
5. Wenn die Schar der Charakteristiken mit einer Schar der Koordinatenlinien zusammenfällt, dann
fehlt in (9.79a) das Glied mit der zweiten Ableitung der unbekannten Funktion nach der betreffenden
unabhängigen Variablen. Im Falle der Differentialgleichung vom parabolischen Typ fehlt hierbei auch
noch das Glied mit der gemischten Ableitung.
3. Normalform oder kanonische Form
Zur Transformation von (9.79a) in die Normalform der linearen partiellen Differentialgleichungen 2.
Ordnung gibt es die folgenden Möglichkeiten.
1. Transformation in die Normalform Die Differentialgleichung (9 79a) kann durch die
Einführung neuer unabhängiger Veränderlicher
£ = (p(x,y) und r} = ifi(x,y) (9.81a)
in Übereinstimmung mit dem Vorzeichen der Diskriminante (9.79b) auf eine der folgenden drei
Normalformen gebracht werden.
• = 0 , 6 < 0 , hyperbolischer Typ; (9 81b)
^ + ... = 0, S = 0, parabolischer Typ , (9.81c)
^0 , 0 0 , • = 0, ö > 0, elliptischer Typ. (9.81d)
dt,1 dn2
Glieder, die keine partiellen Ableitungen 2. Ordnung der unbekannten Funktion enthalten, sind in
(9 81b,c,d) durch Punkte angedeutet.
2. Transformation in die Normalform (9.81b) beim hyperbolischen Typ Wenn im
hyperbolischen Fall zwei Charakteristikenscharen als Koordinatenlinienscharen im neuen
Koordinatensystem (9 81a) gewählt werden, d.h , wenn für die Gleichungen der Charakteristikenscharen £i = ip(x, y),
771 = tp(x, y), mit (p(x, y) = const, ip(x, y) = const gesetzt wird, dann geht (9.79a) über in
d2u
Diese Form heißt ebenfalls Normalform der Differentialgleichung vom hyperbolischen Typ. Von hier
gelangt man zur Normalform (9 81b) mit Hilfe der Substitution
€ = 6+»7i, ri = Zi-Th (9 81f)
3. Transformation in die Normalform (9.81c) beim parabolischen Typ Für die Schar £ = const
wird die einzige in diesem Falle gegebene Charakteristikenschar gewählt, wobei für rj eine beliebige
Funktion von x und y gewählt werden kann, die aber nicht von f abhängen darf
4. Transformation in die Normalform (9.81d) beim elliptischen Typ Wenn die Koeffizienten
A(x, y), B(x, y), C(x, y) analytische Funktionen sind (s 14 1 2 1, S. 694), dann definiert die Gleichung
d2u
de"
d2u
d2u
dr\2
d2u
dr}2
d2u
542 9 Differentialgleichungen
der Charakteristiken im elliptischen Falle zwei konjugiert komplexe Scharen von Kurven p(x, y) =
const, ip(x, y) = const Wird f = (p + ip, 77 = i(ip — ip) gesetzt, dann geht die Gleichung in die
Normalform (9.81d) über.
4. Verallgemeinerung
Alle Aussagen zur Klassifizierung und Transformation auf die Normalform gelten auch für Gleichungen
der allgemeineren Form
^,^ + «(,,^ + C(,,,)g + F(..^ g*)=0, ,982)
in der die gesuchten Funktionen u und ihre partiellen Ableitungen du/dx und du/dy im Gegensatz zu
(9.79a) nicht mehr nur linear auftreten.
9.2.2.2 Klassifikation und Eigenschaften der Differentialgleichungen
2. Ordnung mit mehr als zwei unabhängigen Veränderlichen
1. Allgemeine Form
Eine Differentialgleichung dieser Art hat die Gestalt
wobei die a^ gegebene Funktionen der unabhängigen Variablen sind und die Punkte in (9.83) Glieder
bedeuten, in denen keine Ableitungen zweiter Ordnung der unbekannten Funktion u enthalten sind
Im allgemeinen kann die Differentialgleichung (9.83) nicht durch Transformationen der unabhängigen
Variablen auf eine einfache Normalform gebracht werden. Es gibt aber eine wichtige Klassifikation, die
der in 9.2 2.1, S. 540 eingeführten ähnlich ist (s. [9 5])
2. Lineare partielle Differentialgleichungen 2. Ordnung mit konstanten
Koeffizienten
Wenn die Koeffizienten a^ in (9.83) konstant sind, dann ist durch eine lineare homogene
Transformation der unabhängigen Variablen eine Transformation auf die einfachere Normalform
I>0 + - = O (984)
möglich, in der sämtliche Koeffizienten «» gleich ±1 oder 0 sind. Man kann mehrere charakteristische
Fälle unterscheiden.
1. Elliptische Differentialgleichung Alle Koeffizienten ac» sind von Null verschieden und haben
dasselbe Vorzeichen Dann handelt es sich um eine elliptische Differentialgleichung.
2. Hyperbolische und ultrahyperbolische Differentialgleichung Alle Koeffizienten «» sind von
Null verschieden, aber einer hat ein zu allen übrigen entgegengesetztes Vorzeichen. Dann handelt es sich
um eine hyperbolische Differentialgleichung. Treten darüber hinaus von jeder Vorzeichenart wenigstens
zwei auf, dann ist es eine ultrahyperbolische Differentialgleichung.
3. Parabolische Differentialgleichung Einer der Koeffizienten /^ verschwindet, die übrigen sind
verschieden von Null und haben gleiches Vorzeichen. Dann handelt es sich um eine parabolische
Differentialgleichung.
4. Einfach zu lösender Fall Ein relativ einfach zu lösender Fall liegt vor, wenn nicht nur die
Koeffizienten der höchsten Ableitungen der unbekannten Funktion konstant sind, sondern auch die der ersten
Ableitungen. Man kann dann die Glieder mit den ersten Ableitungen durch eine Variablensubstitution
eliminieren, für die K{ ^ 0 ist Dazu setzt man
( lr&fc
^exp -öE-z* > (985)
9.2 Partielle Differentialgleichungen 543
wobei bk der Koeffizient von -— in (9.84) ist und die Summation über alle «» ^ 0 zu erfolgen hat
dxk
Auf diese Weise können alle elliptischen und hyperbolischen Differentialgleichungen mit konstanten
Koeffizienten auf eine einfache Form gebracht werden:
a) Elliptischer Fall: Av + kv = g. (9.86)
d2v
b) Hyperbolischer Fall: — - Av + kv = g. (9.87)
Mit A wird der LAPLACE-Operator
_ d2v d2v d2v .
dxi2 dx22 dxn2
bezeichnet (s. 13.2.6.5, S. 678), mit der Zeit t als weitere unabhängige Variable
9.2.2.3 Integrationsmethoden für lineare partielle
Differentialgleichungen 2. Ordnung
1. Methode der Variablentrennung
Durch spezielle Substitutionen kann für viele Differentialgleichungen der Physik zwar nicht immer die
Gesamtheit, jedoch eine Schar von Lösungen bestimmt werden, die von frei wählbaren Parametern
abhängt. Lineare Differentialgleichungen, besonders 2. Ordnung, können oft mit Hilfe einer
Substitution in der Form eines Produkt ansatzes
U(XU . ..,£„) = (pi(x1)(p2(x2) • • • fn(Xn) (9.89)
gelöst werden. Da das Ziel darin besteht, die Funktionen (fk(xk) getrennt, d.h. jede für sich aus einer
gewöhnlichen Differentialgleichung zu bestimmen, in der nur noch die eine Variable Xk enthalten ist,
spricht man für (9.89) auch vom Separations ans atz. In vielen Fällen gelingt diese Variablentrennung,
nachdem der Lösungsansatz (9.89) in die gegebene Differentialgleichung eingesetzt wurde. Wenn
hierbei die Lösung der gegebenen Differentialgleichung gewissen homogenen Randbedingungen genügen
soll, dann kann es ausreichend sein, daß nur ein Teil der Funktionen (fi(xi), ^2(^2), • • •, ^Pn{xn) des
Separationsansatzes bestimmte Randbedingungen zu erfüllen braucht.
Aus den so bestimmten Lösungen ergeben sich durch Summationen, Differentiationen und
Integrationen neue Lösungen. Die Parameter sind dabei so zu wählen, daß auch die restlichen Anfangs- und
Randbedingungen erfüllt werden (s. Beispiele S 543 bis S. 550). Schließlich muß beachtet werden, daß
die mit dieser Methode ermittelte Lösung, sei es in der Gestalt einer Reihe oder eines uneigentlichen
Integrals, eine formale Lösung ist Das bedeutet, daß noch zu prüfen ist, ob die Lösung einen
physikalischen Sinn ergibt, d h. z.B., ob sie konvergiert, ob sie die ursprüngliche Differentialgleichung und die
Randbedingungen erfüllt, d.h. z.B., ob sie gliedweise differenzierbar ist und ob ein Grenzübergang bei
Annäherung an den Rand existiert.
In den in diesem Abschnitt dargelegten Beispielen sind die Reihen und die uneigentlichen Integrale
konvergent, wenn die Funktionen, die die Anfangsbedingungen definieren, entsprechenden
Einschränkungen unterworfen werden, z.B. der Forderung nach Stetigkeit der 2. Ableitung im ersten und zweiten
Beispiel.
¦ A: Saitenschwingungsgleichung wird die lineare partielle Differentialgleichung 2. Ordnung vom
hyperbolischen Typ
£-"S <»¦>
genannt, mit deren Hilfe die Schwingungen einer gespannten Saite beschrieben werden Die Aufgabe
besteht darin, diese Gleichung unter den Anfangs- und Randbedingungen
I du I
u\ =f(x)> ^7 =¥>(*)> 4*=o = 0, u\x=l = 0 (9.90b)
lt=o ot \t=o
544 9. Differentialgleichungen
zu lösen
Mit einem Separationsansatz der Form
u = X(x)T(t) (9.90c)
liefert Einsetzen in die gegebene Differentialgleichung (9.90a) die Gleichung
T" X"
^ = X. (990d)
Die Variablen sind getrennt, denn da die linke Seite nicht von x und die rechte nicht von t abhängt, ist
jede Seite für sich eine konstante Größe. Die Konstante wird negativ gewählt und gleich — A2 gesetzt, da
sich mit nichtnegativen Werten nur die triviale Lösung u(x, t) = 0 ergibt Man erhält die zwei linearen
Differentialgleichungen
X" + X2X = 0, (9.90e) T" + a2X2T = 0. (9 90f)
Aus den Randbedingungen folgt X@) = X(l) = 0 Man sieht, daß X(x) eine Eigenfunktion des
STURM-LiOUViLLEschen Randwertproblems ist und A2 der zugehörige Eigenwert (s. 9.1.3.1,3., S 533)
Integration der Differentialgleichung (9.90e) für X und Berücksichtigung der Randbedingungen ergibt
X(x) = Csin Xx mit sin XI = 0, also mit X=7^- = Xn (n = 1,2,...). (9 90g)
Integration der Differentialgleichung (9.90f) liefert für jeden Eigenwert An jeweils eine partikuläre
Lösung der ursprünglichen Differentialgleichung (9 90a).
/ nair . nair \ . nir
un = [eincos —j—t + bnsin —— 11 sm —x (9 90h)
Durch die Forderungen, daß für t = 0
oo r) °°
u = ^2un zu f(x) wird (9.90i) und — ^ un zu (p(x), (9 90j)
n=l ^ n=l
ergibt sich mit Hilfe einer FOURIER-Reihenentwicklung nach Sinusfunktionen (s. S. 437)
2 fl ., v . nnx . . 2 fl . . . nirx , . rtrtl .
an = T / f(x) sm ——dx, bn = / (p{x) sm ——dx . ¦ (9 90k)
/ Jo i nan Jo l
¦ B: Stabschwingungsgleichung wird die lineare partielle Differentialgleichung 2. Ordnung vom
hyperbolischen Typ genannt, mit deren Hilfe die longitudinalen Schwingungen eines Stabes beschrieben
werden, dessen eines Ende frei ist und auf dessen zweites, eingespanntes Ende im Anfangszeitpunkt eine
konstante Kraft p wirkt Zu lösen ist die gleiche Differentialgleichung wie im Beispiel A, S 543, d h.
d2u
dt2
od2u
mit den gleichen Anfangs-, aber nunmehr inhomogenen Randbedingungen:
i F)ii \ 3ii
A =/(*>• t£ =VW. (9-91b) ßZ
\t=o ot \t=o ox
du
dx
= 0 (freies Ende),
x=0
= kp.
x=l
(9.91a)
(9.91c)
(9.91d)
Diese Bedingungen können durch die homogenen Bedingungen
ox\x=o ox\x=i
9.2 Partielle Differentialgleichungen 545
ersetzt werden, indem für u die neue unbekannte Funktion
* = «-¥ (9-91f)
eingeführt wird. Allerdings wird dann die Differentialgleichung inhomogen:
S-'S + T5- <»»«»
Die Lösung wird in Form der Summe z — v + w gesucht. Dabei genügt v der homogenen
Differentialgleichung sowie den Anfangs- und Randbedingungen für z, d h.
*| =/(*)-^-, %\ =¥>(*) (9-91h)
lt=o 2 et lt=o
tu genügt der inhomogenen Differentialgleichung und erfüllt die verschwindenden Anfangs- und Rand-
Jen Ttt
bedingungen. Daraus ergibt sich w = ——— . Eingehen in die Differentialgleichung mit dem
Produktansatz
v = X{x)T{t) (9.91i)
ergibt wie in Beispiel A, S. 543 die gewöhnlichen Differentialgleichungen für die separierten Variablen:
Y" T"
X = ^ = -A2- (9.91J)
Integration der Differentialgleichung für X und Einsetzen der Randbedingungen X'{0) = X'(l) = 0
liefert die Eigenfunktionen
Xn = cos^ (9.91k)
sowie die dazugehörigen Eigenwerte
2 2
An2 = ^- (n = 0,l,2,...). (9.911)
Durch das gleiche Vorgehen wie in Beispiel A, S. 543 erhält man schließlich
ka2pt2 kpx2 an, v^ / anirt bn . arnrt\ nirx ,n _ N
u = ——. h -rr- + a0 + —b0t + > \an cos — 1 sin —— cos —— , (9.91m)
21 21 l ^~y \ In L ) L
wobei an und bn (n = 0,1,2,...) die Koeffizienten der FOURIER-Reihenentwicklung für die Funktionen
/(*) - ^7T- und — <P{x)im Intervall @,/) sind (s. 7.4.1 1,1., S. 437).
2 ait
¦ C: Membranschwingungsgleichung für Schwingungen einer runden, am Rande eingespannten
Membran.
Die Differentialgleichung ist linear, partiell und vom hyperbolischen Typ. Sie hat in kartesischen
Koordinaten bzw. in Polarkoordinaten (s. 3.5.3.1,7., S. 215) die Form
d2u d2u _ 1 d2u d2u Idu 1 d2u _ 1 d2u ( .
dx2~Jtdy2~ = G^W' (9'92a) ^ + WpJr72W2 = ^~W' [ }
Die Anfangs- und Randbedingungen lauten
du
u\t=0 = f(Pl<p), (9 92c) m
= F{p,<p), (9.92d) w|p=Ä = 0. (9.92e)
i*=o
Einsetzen des Produktansatzes für die drei Variablen
u = U{p)<P((p)T{t) (9.92f)
546 9 Differentialgleichungen
in die Differentialgleichung in Polarkoordinaten liefert
U" U' $" IT" x2 . n x
Daraus ergeben sich in Analogie zu den Beispielen A, S. 543 und B, S. 544 die folgenden
Differentialgleichungen.
T" + a2A2T = 0, (9.92h) ?U\+ pU' + \y = -%- = S, (9.92i)
bzw.
<£>" + vH = 0. (9 92j)
Aus den Bedingungen <Z>@) = <2>Btt) , <Z>'@) = <Z>'Btt) folgt:
$(</?) = an cos n<^ + bn sin n</?, u2 = n2 (n = 0,1,2,...). (9 92k)
n2
Aus [pU']' U = —X2pU und U(R) = 0 werden U und A bestimmt. Berücksichtigung der
selbstverständlichen Bedingung der Beschränkung von U(p) für p = 0 und Substitution von \p = z ergibt
z2U" + zU' + B2 - n2)U = 0, d.h. U(p) = •/„(*) = Jn f/x-|) , (9 921)
wobei Jn die BESSELschen Funktionen sind (s. 9.1.2 6,2.,2., S. 527) mit A = — und Jn(p) = 0 Das
Funktionensystem
Unk{p) = Jn[pnk^j (fc = l,2, .) ' (9 92m)
mit pnk als k-te positive Nullstelle der Funktion Jn(z) ist ein vollständiges System aller Eigenfunktionen
des selbstadjungierten Problems vom STURM-LiOUViLLEschen Typ, die orthogonal mit dem Gewicht
p sind.
Die Lösung der Aufgabe wird in der Gestalt der Doppelreihe
U = ^2 2 (ank cos nip + bnk sin mp) cos —jjf-
n=0fc=l L K
+(cnfc cos mp + dnk sin ny>) sin —j?-1 Jn (/^"öj (9.92n)
angesetzt. Aus den Anfangsbedingungen folgt für t = 0
oo oo f p\
f(Pi<P) = J2 ^{ank cos mp + bnk sin n(p)Jn [ßnk-BJ , (9 92o)
OO OO / \
F'( A <P) = £ S ~ET (°nk C0S n<^ + dnk Sin n<^) Jn ( MnA: ) , (9 92p)
n=0fc=l K \ HJ
woraus sich ergibt
, ank=«VJU{ßnk)h d{Pl fiP^^^Jn^n^pdp, (9.92q)
^=Tfl^2-,(fat) cdip r/(p-^ sin n^ (^ ä) p dp- (9 92r)
Im Falle n = 0 ist die im Zähler stehende 2 durch eine 1 zu ersetzen. Zur Bestimmung der Koeffizienten
D
cnk und dnk wird /(p, y?) durch F(p, y?) in den Formeln für ank und 6njt ersetzt und mit multipliziert.
aßnk
9.2 Partielle Differentialgleichungen 547
¦ D: Dirichletsches Problem (s 13.5 1, S 691) für das Rechteck 0 < x <
a,0<?/<6(Abb.9.17).
Als Lösung der LAPLACEschen Differentialgleichung vom elliptischen Typ
An = 0 (9.93a)
wird eine Funktion u(x, y) gesucht, die auch die Randbedingungen
u@,2/) = tpi{y), u(a,y) = (p2(y), w(x,0) = 4>i(x), u(x,b) = ip2(x) (9.93b)
a x erfüllt.
Als erster Schritt wird eine partikuläre Lösung für die Randbedingungen
Abbildung 9.17 <Pi(y) = ^2B/) = 0 bestimmt. Einsetzen des Produktansatzes
u = X(x)Y(y) (9 93c)
in (9 93a) ergibt die Differentialgleichungen
Y" V"
äx=-Y = -)? (993d)
mit dem Eigenwert A in Analogie zu den Beispielen A, S. 543 bis C, S. 545. Da X@) = X(a) = 0 gilt,
ergibt sich
X = Csin\x, \ = — = Xn (n=l,2,...). (9 93e)
a
Im zweiten Schritt wird die allgemeine Lösung der Differentialgleichung
Y" - n n Y = 0 (9 93f) in der Form Y = an sinh —(b - y) + bn sinh —y (9.93g)
a2 a a
hingeschrieben. Daraus ergibt sich für die Randbedingungen n@, y) = u(a, y) = 0 eine partikuläre
Lösung von (9.93a) in der Form
[T17T 727T 1 TVK
an sinh — (b — y) + bn sinh —y sin —x. (9 93h)
a a ] a
Im dritten Schritt wird die allgemeine Lösung als Reihe
oo
u=Y,un (9 93i)
n=l
angesetzt, so daß sich aus den Randbedingungen für y = 0 und y = b
v^ ( • i n7r/, x , . , nir \ . rnr ,rt ^0.x
u = > [an sinh —(o — y) + on sinh —y sin —x (9-9oj)
„TiV a a ) a
ergibt, mit den Koeffizienten
2
ra . nw 2 fa rnr . ,ftAon
-/ ipi(x)siJi—xdx, bn = j- I ip2\x)sm—xdx (9.93k)
n . nnb jo ¦ ' ¦ a . , nno j0
a sinn a sinn
a a
In Analogie dazu wird die Aufgabe für die Randbedingungen ipi(x) = 4>2(x) = 0 gelöst, die in der
Summe mit (9.93J) die allgemeine Lösung von (9.93a) und (9.93b) bildet.
¦ E: Wärmeleitungsgleichung Die Wärmeausbreitung in einem homogenen Stab, dessen eines
Ende im Unendlichen liegt, während das andere unter konstanter Temperatur gehalten wird, beschreibt
die lineare partielle Differentialgleichung 2. Ordnung vom parabolischen Typ
du 0d2u . „A .
lTt=a2w' (9'94a>
die im Gebiet 0<x<+oo,£>0 den Anfangs- und Randbedingungen
u\t=0 = f(x\ u\x=0 = 0 (9.94b)
548 9. Differentialgleichungen
genügt. Dabei soll angenommen werden, daß die Temperatur im Unendlichen Null beträgt. Der
Separationsansatz
u = X(x)T(t) , (9.94c)
eingesetzt in (9.94a), liefert die Beziehung
T" Y"
lr = T = -A2- <"«>
wobei der Parameter A in Analogie zu dem Vorgehen in den Beispielen A, S. 543 bis D, S. 547 eingeführt
wird. Als Lösung für T(t) erhält man
T(t) = Cxe~x2aH . (9.94e)
Für X(x) ergibt sich mit der Randbedingung X@) = 0
X{x) = CsinXx (9.94f) und somit ux = CAe"A2a2f sin Xx, (9.94g)
wobei A eine beliebige reelle Zahl sein kann. Die Lösung kann daher in der Form
u(x, t) = (°° C{\)e-x2aH sin Xx dX (9.94h)
Jo
angesetzt werden. Aus der Anfangsbedingung u\t=o = f{x) folgt die Gleichung
/»OO
f(x) = / C(A) sin Xx dX, (9.94i)
Jo
die erfüllt ist, wenn für die Konstante
2 r°°
C(X) = - f(s) sin Xsds (9.94J)
7T JO
gesetzt wird (s. 7.4.1.1,1., S. 437). Einsetzen in (9.94i) ergibt
u{x, t) = - l°° f{s) ( j°° e-x2aH sin Xs sin Xx dX\ ds , (9.94k)
und nach Ersetzen des Produkts der Sinus- durch eine Differenz von Kosinusfunktionen (s B 123),
2.7.2.6, S. 82) und unter Benutzung von Formel B1.27) (s. 21 8.2, S. 1088) erhält man schließlich
Jo 2aV7T'
VttI
(x - sJ (x + sf
AaH - e 4a2t
e <ta*i - e
ds (9.941)
2. Riemannsche Methode zur Lösung des Cauchyschen Problems der
hyperbolischen Differentialgleichung
d2u du ,du „ . _ .
—— + a— + b— + cu = F 9.95a
oxoy ox oy
1. Riemannsche Funktion heißt die Funktion v(x, y; ^, rf), wobei £ und n als Parameter aufgefaßt
werden, die der zu (9.95a) konjugierten homogenen Differentialgleichung
d2v d(av) d(bv) _
dxdy dx dy
und den Bedingungen
v(x,77;£,rj) = exp b(s,r))ds\ , v(^:y;^,r}) = exp I a(£>,s)ds\ (9.95c)
9.2 Partielle Differentialgleichungen 549
genügt Allgemein haben lineare Differentialgleichungen 2. Ordnung und die zu ihnen konjugierten
Differentialgleichungen die folgende Form.
zJ aik a o
dU + £&i|^ + cu = /(9.95d) und Y.
d2(aikv)
dxidxk
¦r-
biv)
dxi
+ cv = 0 (9.95e)
2. Riemannsche Formel wird die Integralformel genannt, mit deren Hilfe
die Funktion u(£,t/) bestimmt wird, die der gegebenen Differentialgleichung
(9.95a) genügt und die auf der vorgegebenen Kurve i (Abb.9.18)
zusammen mit ihrer Ableitung nach der Richtung der Kurvennormalen (s 3.6 1 2,2.,
S. 233) vorgegebene Werte annimmt.
u&v) = ^{uv)p + -(Hg-
/
QP
buv + -
1 f du dv
dx dx
dx
Abbildung 9.18
auv + -
1 f du dv\~\ ff
2{v^-ud-y)\dy+Irvdxdv- (9-95f)
X U *' J PMQ
Die glatte Kurve r (Abb.9.18) darf keine zu den Koordinatenachsen parallele Tangenten besitzen,
d h , sie darf die Charakteristiken nicht berühren. Das Kurvenintegral in dieser Formel kann berechnet
werden, da aus den Werten der Funktion und ihrer Ableitung nach einer nichttangentialen Richtung
längs des Kurvenbogens die Werte beider partieller Ableitungen ermittelbar sind.
Oft werden beim CAUCHYschen Problem anstelle der Normalenableitung auf der Kurve die Werte einer
du
partiellen Ableitung der gesuchten Funktion vorgegeben, z.B. — . Dann wird eine andere Form der
dy
RiEMANNschen Formel verwendet-
w(£, rj) = (uv)p — I ( buv — tt— ) dx — j auv + v— ] dy + / / Fvdxdy. (9.95g)
PMQ
dy
QP
¦ Telegrafengleichung nennt man die lineare partielle Differentialgleichung 2. Ordnung vom
hyperbolischen Typ
d2u n1 du d2u
aW + 2bm+cu = dx->
(9 96a)
mit den Konstanten a > 0, b und c, die das Fließen des elektrischen Stromes in Leitungen beschreibt
Sie stellt eine Verallgemeinerung der Saitenschwingungsgleichung dar.
Die unbekannte Funktion u(x, t) wird durch die Substitution u = ze~^a^ ersetzt, so daß (9.96a)
übergeht in
d2z
0d2z
öfi-mmä^ + nz
( 2 1 2 b2-
\ a az
Durch die Substitutionen der unabhängigen Variablen
i = —(mt + x),
m
r\ = —(mt -
m
x)
(9.96b)
(9.96c)
erhält man schließlich die Normalform
d£dr] 4
der linearen partiellen Differentialgleichung vom hyperbolischen Typ (s. 9.2.2 1,3., S. 541). Dieser
Differentialgleichung muß die RiEMANNsche Funktion v(£,r);£o,r]o) genügen und für £ = £o sowie rj = ry0
(9.96d)
550 9. Differentialgleichungen
den Wert Eins annehmen. Wenn in v = f(w) für w die Gestalt
w = (Z-to)(ri-TK>) (9 96e)
gewählt wird, dann ist f(w) eine Lösung der Differentialgleichung
mit der Anfangsbedingung /@) = 1. Die Substitution w = a2 überfuhrt diese Differentialgleichung in
die BESSELsche Differentialgleichung nullter Ordnung (s. 9.1.2.6,2.,2., S. 527)
so daß die Lösung lautet
v = /o [y/(t -&)(•?-»*))] • 0 96h)
Eine Lösung der ursprünglichen Differentialgleichung (9.96a) mit den Anfangsbedingungen
l ßzl
A =/(*), 757 =g(x) (9.96i)
l*=o ot \t=o
kann erhalten werden, indem man den gefundenen Wert von v in die RiEMANNsche Formel einsetzt
und zu den ursprunglichen Variablen zurückkehrt:
*(*, t) = - [f(x - mt) + f(x + rot)]
_ x+mt
h (- JrnH2 -(s- xJ] nth (-JmH2 - {s - xJ)
g(s)^ml L _ f{8) W )
™ y/m2t2 -(s- xJ
ds (9 96j)
3. Greensche Methode zur Lösung von Randwertproblemen für elliptische
Differentialgleichungen mit zwei unabhängigen Variablen
Diese Methode zeigt viel Ähnlichkeit mit der RiEMANNschen Methode zur Lösung des CAUCHYschen
Problems für hyperbolische Differentialgleichungen.
Bei der Lösung der Aufgabe, eine Funktion u(x, y) zu finden, die in einem vorgegebenen Gebiet der
linearen partiellen Differentialgleichung 2. Ordnung vom elliptischen Typ
d2u d2u du ,du „ . .
M + W+a*c+% + ™ = } (9'97a)
genügt und auf dem Rande dieses Gebiets vorgegebene Werte annimmt, wird als erster Schritt die
GREENsc/ie Funktion G(x, y, £, 77) für dieses Gebiet bestimmt, wobei $ und rj als Parameter aufgefaßt
werden. Die GREENsche Funktion muß die folgenden Bedingungen erfüllen:
1. Die Funktion G(x,y;^,r)) genügt im gegebenen Gebiet überall, ausgenommen den Punkt x = f,
y = 7] der homogenen konjugierten Differentialgleichung
8^G + ^G_d{aGl_d{bG)+cG = Q
dx2 dy2 dx dy
2. Die Funktion G(x, y; £, rj) ist von der Form
U In - + V (9.97c) mit r = yj{x - £J + (y - vJ , (9.97d)
wobei U im Punkt x = £, y — r\ den Wert Eins hat und die Funktionen U und V im gesamten Gebiet
zusammen mit ihren Ableitungen bis zur 2. Ordnung einschließlich stetig sein müssen.
9.2 Partielle Differentialgleichungen 551
3. Die Funktion G(x, y, £, rf) wird auf dem Rande des betrachteten Gebiets gleich Null.
Der zweite Schritt ist die Lösung des Randwertproblems mit Hilfe der GREENschen Funktion nach der
Formel
u(^ r]) = 7^J u{x, y)—G(x, y, £,n)ds-— Jj f(x, y)G(x, y\ £, n) dx dy, (9 97e)
S D
wobei D das betrachtete Gebiet bedeutet, S dessen Rand, auf dem die Funktion gegeben ist, und —
on
die Ableitung nach der Richtung der Innennormalen des Randes.
Die Bedingung 3 hängt von der Art der zu lösenden Aufgabe ab. Wenn z.B. auf dem Rande des
betrachteten Gebiets nicht die gesuchte Funktion selbst gegeben ist, sondern ihre Ableitung nach der
Randnormalen, dann muß in Bedingung 3 die Forderung
dG
— - (a cos öl + b cos ß)G = 0 (9.97f)
auf dem Rande erhoben werden Mit a und ß werden hierbei die Winkel bezeichnet, die die innere
Normale des Randes mit den Koordinatenachsen bildet. Die Lösung lautet in diesem Falle
u^=-Ud£Gds-lJJfGdxdy- (g)
5 D
4. Greensche Methode zur Lösung von Randwertproblemen mit drei
unabhängigen Variablen
Die Lösung der Differentialgleichung
du ,du du r . ^0 .
Au + a— + b— + c—+eu = f (9.98a)
dx dy dz
soll auf dem Rande des betrachteten Gebiets vorgegebene Werte annnehmen Dazu wird im ersten
Schritt wieder die GREENschen Funktion konstruiert, aber mit dem Unterschied, daß sie nunmehr von
den drei Parametern {, rj und ( abhängt. Die konjugierte Differentialgleichung, der die GREENsche
Funktion genügt, ist von der Gestalt
dx dy dz
Als Bedingung 2 wird von G(x,y,z;£,r]X) die Form
U- + V (9.98c) mit r=yj(x- £J + (y - vJ + (z - CJ (9.98d)
gefordert Die Lösung der Aufgabe lautet
U^0 = ljJud£ds-lJJJfGdXdydZ. (998e)
S D
Beiden Methoden, der RiEMANNschen und der GREENschen, ist gemein, daß zuerst eine spezielle
Lösung der Differentialgleichung gesucht wird, mit deren Hilfe danach die Lösungen für beliebige
Anfangsund Randbedingungen bestimmt werden. Der entscheidende Unterschied zwischen der RiEMANNschen
und der GREENschen Funktion besteht darin, daß die erste nur von der Gestalt der linken Seite der
Differentialgleichung abhängt, die zweite jedoch auch noch vom betrachteten Gebiet. Die Ermittlung der
GREENschen Funktion ist sogar in den Fällen, in denen ihre Existenz gesichert ist, ziemlich schwierig,
so daß die GREENsche Methode vorwiegend zur Untersuchung theoretischer Probleme eingesetzt wird.
¦ A: Konstruktion der GREENschen Funktion für das DiRiCHLETsche Problem der LAPLACEschen
552 9 Differentialgleichungen
Differentialgleichung (s. 13 5 1, S. 691)
Au = 0 (9 99a)
für den Fall, daß das betrachtete Gebiet ein Kreis ist (Abb.9.19)
Die GREENsche Funktion lautet
r H
(9.99b)
Abbildung 9.19
wobei r = MP, p = OM, rx = MiP und R der Radius des
betrachteten Kreises ist (Abb.9.19). Die Punkte M und Mi liegen
in bezug auf den Kreis symmetrisch, d.h , beide Punkte liegen auf
demselben Radiusstrahl, und es gilt
UM • ÜMi = R2 . (9.99c)
Mit der angegebenen Formel (9 97e) zur Lösung des Dirich-
LETschen Problems ergibt sich nach Einsetzen der
Normalenableitung der GREENschen Funktion und einigen Umformungen das
PoiSSONsche Integral
ufav) ¦
2tt Jo
R2-
-u((p)d(p.
(9 99d)
R2 + p2 - 2Rpcos(ijj - ifY
Die Bezeichnungen sind die gleichen wie oben Mit u(tp) werden die auf dem Kreisrand vorgegebenen
Werte von u beschrieben Für die Koordinaten des Punktes M(£, rj) gilt: £ = pcosifj, rj = psmip.
¦ B: Konstruktion der GREENschen Funktion für das DiRiCHLETsche Problem der LAPLACEschen
Differentialgleichung (s 13 5.1, S 691)
Au = 0, (9.100a)
für den Fall, daß das betrachtete Gebiet eine Kugel mit dem Radius R ist Die GREENsche Funktion
hat die Form
G(x,y,z-Z,r),C) = - - — , (9 100b)
r T\p
mit p = y/^2 + rj1 + C2 als Abstand des Punktes (£, 77, Q vom Kugelmittelpunkt, r als Abstand zwischen
den Punkten (x, y, z) und (£, 77, Q und rx als Abstand des Punktes (x, y, z) zum symmetrischen Punkt
des Punktes (£, 77, Q gemäß (9.99c), d.h. zum Punkt (—,—, — ) Das PoiSSONsche Integral ergibt
V P P P
sich bei Beibehaltung der Bezeichnungen von Beispiel A, S 543 zu
R2-p2
Js
5.
u^tjX)-
-[[
47T JJs
-uds.
(9 100c)
Rr3
Operatorenmethoden
Operatorenmethoden sind nicht nur zur Lösung gewöhnlicher Differentialgleichungen geeignet,
sondern sie werden auch mit Erfolg zur Lösung partieller Differentialgleichungen eingesetzt (s. 15.1.6,
S. 732). Sie beruhen auf einem Übergang von der gesuchten Funktion zu deren Transformierten (s. 15,
S. 730). Dazu wird die gesuchte Funktion als Funktion einer der unabhängigen Variablen aufgefaßt, und
bezüglich dieser Variablen wird die Transformation durchgeführt. Die übrigen Variablen werden dabei
als Parameter aufgefaßt. Die Differentialgleichung zur Bestimmung der Transformierten der gesuchten
Funktion enthält dann eine unabhängige Variable weniger als die ursprüngliche Differentialgleichung
Im Spezialfall zweier unabhängiger Variabler in der ursprünglichen partiellen Differentialgleichung
liefert dieses Verfahren eine gewöhnliche Differentialgleichung Wenn aus der so gewonnenen
Differentialgleichung die Transformierte der gesuchten Funktion bestimmt werden kann, dann ergibt sich die
gesuchte Funktion entweder durch Anwendung der Umkehrformel oder durch Aufsuchen der Lösung
in einer Tabelle der Transformierten
9 2 Partielle Differentialgleichungen 553
6. Näherungsmethoden
Zur Lösung konkreter Aufgaben mit Hilfe partieller Differentialgleichungen werden oft verschiedene
Näherungsverfahren eingesetzt Dabei ist zwischen analytischen und numerischen Methoden zu
unterscheiden.
1. Analytische Methoden ermöglichen die Bestimmung angenäherter analytischer Ausdrücke für
die gesuchte Funktion
2. Numerische Methoden liefern Näherungswerte der gesuchten Funktion für bestimmte Werte
der unabhängigen Variablen. Dazu verwendet man folgende Methoden (s 19.5, S. 938):
a) Methode der flniten Differenzen, kurz Differenzenverfahren genannt: Die Differentialquotien-
ten werden durch Differenzenquotienten ersetzt, so daß die Differentialgleichung einschließlich
Anfangsund Randbedingungen in ein System von algebraischen Gleichungen umgewandelt wird. Eine lineare
Differentialgleichung mit linearen Anfangs- und Randbedingungen wird so zu einem System linearer
Gleichungen
b) Methode der finiten Elemente, kurz FEM, für Randwertaufgaben: Der Randwertaufgabe wird
eine Variationsaufgabe zugeordnet Die gesuchte Lösung wird durch einen Spline-Ansatz approximiert,
nachdem das Definitionsgebiet der Randwertaufgabe in regelmäßige Teilgebiete zerlegt worden ist. Die
Ansatzkoeffizienten werden durch Lösung einer Extremwertaufgabe bestimmt.
c) Randintegralgleichungsmethode für spezielle Randwertaufgaben. Die Randwertaufgabe wird
als äquivalentes Integralgleichungsproblem über dem Rand des Definitionsgebietes der
Randwertaufgabe formuliert Dazu werden Integralsätze der Vektoranalysis, z.B. GREENsche Formeln, verwendet. Die
verbleibenden Randintegrale werden mit Hilfe geeigneter Quadraturformeln numerisch gelöst.
3. Physikalische Methoden können auch zur numerischen Lösung von Differentialgleichungen
eingesetzt werden. Dabei macht man von der Tatsache Gebrauch, daß recht unterschiedliche
physikalische Erscheinungen mit ein und derselben Differentialgleichung beschrieben werden können. Um ein
gegebenes Problem auf diesem Wege zu lösen, wird ein technisches Modell konstruiert, mit dessen Hilfe
das gegebene Problem simuliert werden kann und an dem im Experiment Messungen vorgenommen
werden, deren Werte die gesuchte Funktion darstellen. Da solche Modelle oft bewußt so konstruiert sind,
daß die Parameter in weiten Grenzen eingestellt werden können, ist es möglich, auch die
Differentialgleichung in weiten Gebieten der unabhängigen Veränderlichen zu untersuchen.
554 9. Differentialgleichungen
9.2.3 Partielle Differentialgleichungen aus Naturwissenschaft
und Technik
9.2.3.1 Problemstellungen und Randbedingungen
1. Problemstellungen
Die Modellierung und mathematische Erfassung verschiedener physikalischer Erscheinungen im
Rahmen der klassischen theoretischen Physik, besonders in modellmäßig strukturlos oder kontinuierlich
veränderlich angenäherten Medien, also in Gasen, strukturlos angenommenen Flüssigkeiten sowie Fest
körpern und besonders in Feldern der klassischen Physik, führen auf partielle Differentialgleichungen,
wie z B. die Wellengleichung (s 9.2.3.2, S. 555) und die Wärmeleitungsgleichung (s. 9 2 3.3, S. 556)
Auch die nichtklassische theoretische Physik, die Quantenmechanik, die auf der Erkenntnis aufbaut,
daß Medien und Felder diskontinuierliche Erscheinungen sind, wird von einer partiellen
Differentialgleichung beherrscht, die geradezu eine dominierende Stellung einnimmt, von der SchrÖdinger-
Gleichung Besonders häufig treten lineare partielle Differentialgleichungen 2 Ordnung auf, die auch
in den modernen Ingenieur- und Naturwissenschaften große Bedeutung erlangt haben.
2. Anfangs- und Randbedingungen
Die Lösung physikalischer, technischer und naturwissenschaftlicher Probleme erfordert gewöhnlich die
Erfüllung zweier grundsätzlicher Anforderungen:
1. Die gesuchte Lösung hat nicht nur der Differentialgleichung zu genügen, sondern zusätzlich noch
Anfangs- bzw. Randbedingungen. Dabei können Probleme auftreten, bei denen nur
Anfangsbedingungen, nur Randbedingungen oder sowohl Anfangs- als auch Randbedingungen vorgegeben sind Die
Gesamtheit aller Bedingungen muß die Lösung der Differentialgleichung eindeutig festlegen
2. Die gesuchte Lösung muß gegenüber kleinen Änderungen der Anfangs- und Randbedingungen
stabil sein, d.h. sich beliebig wenig ändern, wenn die Änderungen dieser Bedingungen, oft auch Störungen
genannt, hinreichend klein sind Man sagt dann, daß eine korrekte Problemstellung vorliegt.
Erst wenn diese Bedingungen erfüllt sind, kann davon ausgegangen werden, daß das mathematische
Modell des gegebenen Problems zur Beschreibung realer Erscheinungen geeignet ist
Bei Differentialgleichungen des hyperbolischen Typs, auf die besonders Untersuchungen von
Schwingungsvorgängen in kontinuierlichen Medien führen, ist z B das CAUCHYsche Problem korrekt gestellt.
Dies bedeutet, daß auf einer Anfangsmannigfaltigkeit, d h auf einer Kurve oder Fläche, Werte der zu
bestimmenden Funktion sowie ihrer Ableitungen in einer nichttangentialen, besonders der
Normalenrichtung gegeben sind.
Bei den Differentialgleichungen des elliptischen Typs, auf die besonders Untersuchungen von
stationären Vorgängen und von Gleichgewichtsproblemen in kontinuierlichen Medien führen, ist die Stellung
des Randwertproblems, d h die Vorgabe der Werte der zu bestimmenden Funktion auf dem Rande des
betrachteten Variabilitätsgebiets der unabhängigen Variablen, korrekt Wenn das betrachtete Gebiet
unbegrenzt ist, dann müssen von der zu bestimmenden Funktion geeignete Verhaltenseigenschaften
beim unbegrenzten Wachstum der unabhängigen Variablen gefordert werden.
3. Inhomogene Bedingungen und inhomogene Differentialgleichungen
Die Lösung homogener oder inhomogener linearer partieller Differentialgleichungen bei inhomogenen
Anfangs- oder Randbedingungen kann auf die Lösung einer Gleichung zurückgeführt werden, die sich
von der gegebenen lediglich durch das die unbekannte Funktion nicht mehr enthaltende freie Glied
unterscheidet, jetzt aber bei homogenen Bedingungen. Dazu reicht es aus, die zu bestimmende Funktion
durch eine Differenz zwischen ihr und einer beliebigen, zweimal differenzierbaren Funktion zu ersetzen,
die die gegebenen inhomogenen Bedingungen erfüllt.
Generell wird von der Erkenntnis Gebrauch gemacht, daß sich die Lösung einer linearen
inhomogenen partiellen Differentialgleichung bei gegebenen inhomogenen Anfangs- oder Randbedingungen als
Summe der Lösung der gleichen Differentialgleichung bei Nullbedingungen und der Lösung der
entsprechenden homogenen Differentialgleichung bei den gegebenen Bedingungen darstellen läßt.
9.2 Partielle Differentialgleichungen 555
Zur Zurückführung der Lösung der linearen inhomogenen partiellen Differentialgleichung
d2u
— -L[u}=g(x,t) (9.101a)
bei den homogenen Anfangsbedingungen
l du I
u\ =0, T- =0 (9 101b)
auf die Lösung des C AUCHYschen Problems für die zugehörige homogene Differentialgleichung wird
t
u= f\p{x,t;T)dr (9 101c)
o
gesetzt. Dabei ist (p(x, t, r) die Lösung der Differentialgleichung
g-LH = 0, (9101d)
die den Randbedingungen
I du I
u\ =0' 757 =9{x,t) (9.101e)
\t=T Öl \t=r
genügt In diesen Gleichungen steht x symbolisch für die Gesamtheit der n Variablen x\, x2, .., xn des
n-dimensionalen Problems Mit L[u] wird dabei ein linearer Differentialausdruck bezeichnet, der die
du
Ableitung — enthalten darf, nicht aber höhere Ableitungen nach t.
9.2.3.2 Wellengleichung
Die Ausbreitung von Schwingungen als wellenförmige Erscheinung in einem homogenen Medium wird
mit Hilfe der Wellengleichung
^-a2Au = Q(x,t) (9 102a)
beschrieben, deren rechte Seite Q(x, t) verschwindet, wenn keine Störungskräfte auftreten Das Symbol
x steht für die n Variablen xi, ,xn des n-dimensionalen Problems Der LAPLACE-Operator A ist
dann wie folgt definiert:
d2u d2u d2u
dx\2 dx22 dxn
Die Lösung der Wellengleichung ist die Wellenfunktion u Die Differentialgleichung (9.102a) ist vom
hyperbolischen Typ.
1. Homogenes Problem Die Lösung des homogenen Problems mit Q(x,t) = 0 und den
Anfangsbedingungen
I du I
u\ =tp(x), -jr- =il)(x) (9.103)
lt=o ot \t=o
wird für die Fälle n = 1 bis 3 durch die folgenden Integrale beschrieben.
a) n = 3 (Kirchhoffsche Formel):
Au=—2+—2+--- + —2- (9-102b)
1
u(XuX21X3it) = j
ip(aua2,a3) ^^ y d ff (p(ai,a2,a3) ,
Eat) (Sat)
(9.104a)
wobei die Integration über die Kugeloberfläche 5at erfolgt, die mit (cti — X\J + («2 -X2J + @3 — X3J
a2t2 angesetzt wird.
556 9 Differentialgleichungen
b) n = 2 (Poissonsche Formel):
1 I" ff ip(auct2)da1da2
,K x y/a2t2 - (ai - xxJ - {a2 - x2J
,-- 2 /// ^si^2^3 (9.105a)
wobei die Integration über die Kreisfläche Kat erfolgt, die durch (ai — x\J + (a2 — x2J < a2t2
beschrieben wird.
c) n = 1 (ö'ALEMBERTsche Formel):
w(xi,t) = ^-^ 0 2~ I ^°^da- (9.104c)
2. Inhomogenes Problem Im Falle Q(x, t) ^ 0 sind auf den rechten Seiten der Formeln (9 104a,b,c)
Korrekturglieder zu addieren-
a) n = 3 (Retardiertes Potential): Für ein Gebiet K , das durch r < at mit
r = yf(£i - XiJ + F - Z2J + (£3 - ^3J beschrieben wird, gilt:
AzfJJ-L—- ^
b) n = 2:
1 in Q^r^dbär
2™g v«2(<-^J-te-^J-(&-^J
wobei K ein Gebiet des £1, £2* r-Raumes ist, das durch die Ungleichungen 0 < r < t, (£1 — x\J + (£2 —
X2J < a2(t — tJ definiert ist.
c) n = 1:
^//Q(£,t)^t, (9 105c)
V)
wobei T das Dreieck 0 < r < t, |£ — x\\ < a\t — r\ bedeutet. In den angegebenen Formeln steht a für
die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Störung.
9.2.3.3 Wärmeleitungs- und Diffusionsgleichung für ein homogenes
Medium
1. Dreidimensionale Wärmeleitungsgleichung
Die Ausbreitung der Wärme in einem homogenen Medium wird durch die lineare partielle
Differentialgleichung zweiter Ordnung vom parabolischen Typ
^¦-a2Au = Q{x,t) (9 106a)
ot
beschrieben, wobei A der LAPLACE-Operator ist (s 13.2.6.5, S. 678), hier beschränkt auf maximal drei
Ausbreitungsrichtungen xi, x2, X3, beschreibbar auch durch den Ortsvektor r Wenn der Wärmestrom
weder Quellen noch Senken besitzt, verschwindet die rechte Seite wegen Q(x, t) = 0.
Das CAUCHYsche Problem kann folgendermaßen gestellt werden: Es ist eine für t > 0 beschränkte
9.2 Partielle Differentialgleichungen 557
Lösung u(x, t) zu suchen, wobei u\t=0 = f(x) sein soll Die Forderung nach der Beschränktheit sichert
gleichzeitig die Eindeutigkeit der Lösung.
Für die homogene Differentialgleichung mit Q(x,t) = 0 erhält man die Wellenfunktion
+oo +oo +oo
u(Xl'X2'X3'i) = (W^./// /(öl'tt2'a3)
—oo —oo —oo
( {xi - et\J + {x2 - a2J + {x3 - a3J\
• exp I -- — — I daxda2da3 . (9 106b)
Für die inhomogene Differentialgleichung mit Q(x,t) 7^ 0 ist auf der rechten Seite von (9.106b) der
folgende Ausdruck zu addieren
t r +oo +oo +oo , .
f\ [ f f V(«l, ^2,^3)
[2a^(t-t)Y
dr. (9.106c)
/ (xi - aiJ + {x2 - a2f + (x3 - a3J\
* exp ^ ^^ J dalda2da,
Die Aufgabe, u(x, t) für t < 0 zu bestimmen, wenn die Werte von u(x, 0) gegeben sind, kann so nicht
gelöst werden, weil das CAUCHYsche Problem dann nicht mehr korrekt gestellt ist.
Da die Temperatur zur Wärmemenge proportional ist, setzt man oft u = T(r, t) (Temperaturfeld) und
a2 = Dw (Wärmediffusionskonstante oder Temperaturleitzahl) und erhält
dT
— - DWAT = Qw(r,t) (9 106d)
2. Dreidimensionale Diffusionsgleichung
In Analogie zur Wärmeleitung wird die Ausbreitung einer Konzentration C in einem homogenen
Medium durch die gleiche lineare partielle Differentialgleichung (9.106a) bzw. (9.106d) beschrieben, wobei
Dw durch den dreidimensionalen Diffusionskoeffizienten Dq zu ersetzen ist. Die Diffusionsgleichung
lautet-
ßC
— -DcAC = Qc(?,t). (9.107)
Die Lösungen erhält man durch Symbolaustausch in den Wellengleichungen (9 106b) und (9.106c)
9.2.3.4 Potentialgleichung
Potentialgleichung oder PoisSONsc/ie Differentialgleichung (s. 13.5.2, S. 691) wird die lineare partielle
Differentialgleichung 2. Ordnung
An = -Airg (9.108a)
genannt, die die Bestimmung des Potentials u{x) eines skalaren Feldes ermöglicht, das von einer
Punktfunktion g(x) erzeugt wird, wobei x für die Koordinaten x\, x2, x3 steht und A der LAPLACE-Operator
ist Die Lösung, das Potential Um(x\, x2, x3) im Punkt M, wird in 13.5.2, S. 691 behandelt.
Für die homogene Differentialgleichung mit g = 0 ergibt sich die LAPLACEsc/ie Differentialgleichung
(s 13 5 1, S 691)
Au = 0 (9.108b)
Die Differentialgleichungen (9 108a und (9 108b) sind vom elliptischen Typ.
9.2.3.5 Schrödinger-Gleichung
1. Begriff der Schrödinger-Gleichung
1. Bestimmung und Abhängigkeiten Die SCHRÖDINGER-Gleichung, deren Lösungen, die
Wellenfunktionen ip, die Eigenschaften eines quantenmechanischen Systems beschreiben, also die
Eigenschaften der Teilchenzustände zu berechnen gestatten, ist eine partielle Differentialgleichung mit Ab-
558 9. Differentialgleichungen
leitungen der Wellenfunktion 2. Ordnung für die Raumkoordinaten und 1. Ordnung für die
Zeitkoordinate
i h-~ = -|-A^ + U(x1,x2, x3,t)tl> = Hil> (9.109a)
\Jv dt [TL
H=2- + Uftt), p=T— =TV. (9.109b)
2m i ot i
Hierbei sind A der LAPLACE-Operator, k = h/2ir die reduzierte PLANCKsche Konstante, i die
imaginäre Einheit und V der Nablaoperator. Zwischen dem Impuls p eines freien Teilchens mit der Masse
m und seiner Materiewellenlänge A besteht die Beziehung A = h/p
2. Besonderheiten
a) In der Quantenmechanik werden allen meßbaren Größen Operatoren zugeordnet. Der in (9.109a)
und (9.109b) auftretende HAMILTON-Operator H, („Hamiltonian"), der an die Stelle der Hamilton-
Funktion des klassischen mechanischen Systems tritt (s 9 2 1.2,3., S. 538), stellt die Gesamtenergie
des Systems dar, die in kinetische und potentielle Energie aufgeteilt wird Der erste Term in H ist der
Operator für die kinetische Energie, der zweite der für die potentielle Energie.
b) Die imaginäre Einheit tritt in der SCHRÖDINGER-Gleichung explizit auf Daher sind die
Wellenfunktionen komplexe Funktionen. Für die Berechnung der beobachtbaren Größen sind die beiden
reellen, in ipW+iipW enthaltenen Funktionen erforderlich. Das Quadrat \&\2 der Wellenfunktion, das die
Aufenthaltswahrscheinlichkeit dw des Teilchens in jedem beliebigen Raumelement dV des betrachteten
Gebietes beschreibt, unterliegt speziellen zusätzlichen Bedingungen.
c) Jede spezielle Lösung hängt außer vom Potential der Wechselwirkung {Kraß) von den Anfangs- und
Randbedingungen des gegebenen Problems ab. Im allgemeinen handelt es sich um lineare
Randwertprobleme 2 Ordnung, deren Lösungen nur für die Eigenwerte physikalisch sinnvoll sind Sinnvolle
Lösungen zeichnen sich dadurch aus, daß ihr Betragsquadrat überall eindeutig und regulär ist und
im Unendlichen verschwindet.
d) Auf Grund des Welle-Teilchen-Dualismus besitzen die Mikroteilchen gleichzeitig Wellen- und
Teilcheneigenschaften, so daß die SCHRÖDINGER-Gleichung eine Wellengleichung (s 9.2.3 2, S 555) für die
DE-BROGLiEschen Materie-Wellen ist.
e) Die Einschränkung auf nichtrelativistische Probleme bedeutet, daß die Teilchengeschwindigkeit v
sehr viel kleiner sein muß als die Lichtgeschwindigkeit c (v <£ c)
Ausführliche Darstellungen der Anwendungen der SCHRÖDINGER-Gleichung sind in der Speziallitera-
tur der theoretischen Physik dargestellt (s. z B. [9.5], [9.7], [9.15], [22.18]). In diesem Kapitel werden
lediglich einige wichtige Beispiele betrachtet
3. Zeitabhängige Schrödinger-Gleichung
Den allgemeinen nichtrelativistischen Fall eines spinlosen Teilchens mit der Masse m im orts- und
zeitabhängigen Potentialfeld U(xi,X2,x3,t) beschreibt die zeitabhängige SCHRÖDINGER-Gleichung
(9.109a). Die speziellen Bedingungen, denen die Wellenfunktion genügen muß, lauten:
a) Die ^-Funktion muß beschränkt und stetig sein.
b) Die partiellen Ableitungen dijj/dxi, dip/dx2 und dip/dx^ müssen stetig sein.
c) Die Funktion \ip\2 muß integrierbar sein, also muß
\ip(xux2,x3,t)\2dV < oo (9.110a)
v
gelten. Gemäß Normierungsbedingung muß die Wahrscheinlichkeit, das Teilchen im betrachteten
Gebiet zu finden, gleich 1 sein. Dazu reicht (9.110a) aus, weil das Integral stets durch einen Faktor vor tp
auf 1 gebracht werden kann.
///
9.2 Partielle Differentialgleichungen 559
A«^ + -2-(£ - U)V = 0. (9.111a)
Eine Lösung der zeitabhängigen SCHRÖDINGER-Gleichung hat die Form
il){x\,X2,x$,t) = \P(xi,x2,x3)exp l-i—t) . (9.110b)
Der Zustand des Teilchens wird durch eine periodische Funktion von der Zeit mit der Kreisfrequenz
üü = E/k beschrieben Wenn die Energie des Teilchens in dem Zustand den festen Wert E = const
besitzt, dann hängt die Wahrscheinlichkeit dw, es in einem Raumelement dV zu finden, nicht von der
Zeit ab:
dw = \i/>\2 dV = W dV (9.110c)
Man spricht vom stationären Zustand des Teilchens.
4. Zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung
Wenn das Potential U nicht von der Zeit abhängt, d.h. U = U(xi,X2, x$), dann genügt zur
Beschreibung der Zustände die Wellenfunktion ^(zi, x<i, x3), der zeitunabhängigen SCHRÖDINGER-Gleichung.
Man kann sie aus der zeitabhängigen SCHRÖDINGER-Gleichung (9.109a) mit dem Ansatz (9.110b)
herleiten und erhält
2m,
~W
In diesem ebenfalls nichtrelativistischen Fall ist
die Energie des Teilchens, wobei p der Impuls des Teilchens ist. Die Wellenfunktionen &, die diese
Differentialgleichung erfüllen, sind ihre Eigenfunktionen; sie existieren nur für bestimmte
Energieeigenwerte E, die sich für das betrachtete Problem aus seinen spezifischen Randbedingungen ergeben
Die Gesamtheit der Eigenwerte bildet das Energiespektrum des Teilchens. Wenn U ein Potential
endlicher Tiefe ist, das im Unendlichen verschwindet, dann bilden die negativen Eigenwerte ein diskretes
Spektrum.
Ist das betrachtete Gebiet der gesamte Raum, dann kann als Randbedingung gefordert werden, daß &
im LEBESGUEschen Sinne (s. 12.9.3.2, S. 658 und [8.9]) im gesamten Raum quadratisch integrabel sein
muß. Ist das Gebiet endlich, z.B. eine Kugel oder ein Zylinder, dann kann als erste Randwertaufgabe
z B ^ = 0 für den Rand gefordert werden.
In dem speziellen Fall U{x) = 0 ergibt sich die HELMHOLTZsc/ie Differentialgleichung
2mE
Als Randbedingung wird hier oft & = 0 am Rande gefordert. In einem endlichen Gebiet stellt (9.112a)
die mathematische Ausgangsgleichung für akustische Schwingungen in gegebenen räumlichen
Begrenzungen dar
5. Kräftefreie Bewegung eines Teilchens in einem Quader
1. Problemstellung Ein Teilchen mit der Masse m bewege sich kräftefrei in einem Quader mit
undurchlässigen Wänden der Kantenlänge a, 6, c, so daß es sich in einem Potentialkasten befindet, der
in alle drei Raumrichtungen wegen seiner Undurchlässigkeit unendlich hoch ist, d.h., die
Aufenthaltswahrscheinlichkeit des Teilchens und damit die Wellenfunktion ^ verschwinden außerhalb des Kastens.
Die SCHRÖDINGER-Gleichung und die Randbedingungen lauten für dieses Problem
A^ + A^ = 0 (9.112a) mit dem Eigenwert A = —j- . (9.112b)
Fp-tif Pp-tij Pß\D 2m
dx* + W + w+lFE* = 0' (9-113a) * = 0 fur ^ = 0, y = b' (9113b)
{x = 0, x = a,
y = 0, y = b,
z = 0, z = c.
Lösungsansatz Mit dem Separationsansatz
#(*, y, z) = Vx(x) Vy(y) Vz(z) (9.114a)
560 9 Differentialgleichungen
zur Variablentrennung ergibt sich nach Einsetzen in (9.113a)
¥xl^ + ¥vW + ^^~~^ { ]
Jedes der drei Glieder auf der linken Seite hängt nur von einer unabhängigen Variablen ab. Ihre Summe
kann für beliebige x, y, z nur dann konstant gleich — B sein, wenn jedes einzelne Glied für sich konstant
ist In diesem Falle kann die partielle Differentialgleichung in drei gewöhnliche Differentialgleichungen
aufgespalten werden:
f^ = -k^ d^ = -k2V ^ = -k2V - (9114c)
dx* x X1 dy* y y' dz* z z- [ }
Zwischen den Separationskonstanten —kx2, — A;y2, — kz2 besteht der Zusammenhang
*2
kx2 + /cy2 + k2 = B, (9.114d) womit folgt £ = ^-(kx2 + fcy2 + k2). (9.114e)
3. Lösungen der drei Gleichungen (9.114c) sind die Funktionen
#x — ^x sin kx x, Wy = Ay sin /cy ?/, \PZ = Az sin /^ 2; (9.115a)
mit den Konstanten Ax, Ayi Az. Damit erfüllt & die Randbedingungen #r = 0für:r = 0,2/ = 0 und
z = 0. Um die Bedingung & = 0 auch für £ = a, y = b und 2 = c zu erfüllen, muß
sin kx a = sin ky b = sin kz c = 0 (9.115b)
gelten, d.h., es müssen die Beziehungen
Kx == 5 "'w ^ —i— ) &z z= W -LlOC)
ab c
erfüllt sein, in denen nx, ny und nz ganze Zahlen sind
Für die Gesamtenergie erhält man damit
2ra
(nx,ny,nz = ±l,±2,...), (9.115d)
woraus folgt, daß Energieänderungen des Teilchens durch Austausch mit der Umgebung nicht
kontinuierlich, sondern lediglich in Quanten möglich sind. Die Zahlen nx, ny und nz, die zu den Eigenwerten
der Energie gehören, werden Quantenzahlen genannt.
Nach der Berechnung des Konstantenprodukts AxAyAz aus der Normierungsbedingung
(AxAyAzJ JfJ sin2 ^ sin2 ^M sin2 ZEM da: dy dz = 1 (9.l15e)
000
ergeben sich die vollständigen Eigenfunktionen des durch die drei Quantenzahlen charakterisierten Zu-
standes zu
,r, l~8~ • ^^ • ^vy • ^^ /n 11 c*\
$W n„ n=\ -T" Sin Sin —^- SU1 . (9.115f)
y V öoc a 0 c
Die Eigenfunktionen verschwinden an den Wänden, wenn eine der drei Sinusfunktionen gleich Null ist
Außer an den Wänden ist das immer dann der Fall, wenn die folgenden Beziehungen erfüllt sind.
a 2a (nx — l)a
nx nx
»=-,-,., i^_^, (9.115g)
y y
_ c 2c
nz ' nz nz
(n,
(nz
nx
-l)b
ny
-l)c
9.2 Partielle Differentialgleichungen 561
Somit gibt es nx — 1 bzw. ny — 1 bzw. nz — 1 Ebenen senkrecht zur x- bzw. j/- bzw. z-Achse, in denen
& verschwindet. Diese Ebenen heißen Knotenebenen.
4. Spezialfall Würfel, Entartung Im Spezialfälle des Würfels mit a = b = c kann sich ein Teilchen
in Zuständen befinden, die durch unterschiedliche linear unabhängige Eigenfunktionen beschrieben
werden und die gleiche Energie besitzen Das ist der Fall, wenn die Summe nx2 + ny2 + nz2 in
verschiedenen Zuständen den gleichen Wert hat Man spricht dann von entarteten Zuständen, und wenn es i
Zustände mit gleicher Energie sind, von i-facher Entartung.
Die Quantenzahlen nx, ny und nz können alle ganzen Zahlen durchlaufen, außer der Null. Letzteres
würde bedeuten, daß die Wellenfunktion identisch Null ist, d.h., das Teilchen an keinem Ort innerhalb
des Kastens existiert. Somit muß die Teilchenenergie endlich bleiben, selbst wenn die Temperatur des
absoluten Nullpunktes erreicht ist. Diese Nullpunktstranslationsenergie beträgt für den Quader
EQ =
7T2ft2
2m
L2 + &2 + c27
(9.115h)
6. Teilchenbewegung im symmetrischen Zentralfeld (s. 13.1.2.2,2., S. 664)
1. Problemstellung Das betrachtete Teilchen bewegt sich in einem radialsymmetrisch,
zentralsymmetrischen Potential V(r). Dieses Modell reproduziert die Bewegung eines Elektrons unter der
elektrostatischen Anziehung eines positiv geladenen Kerns. Da es sich um ein kugelsymmetrisches Problem
handelt, ist die Benutzung von Kugelkoordinaten zweckmäßig (Abb.9.20). Es gelten dann die
Beziehungen
(9.116a)
r = y/x'2 + y2 + z2 ,
0 Z
v = arccos - ,
r
y
(p = arctan — ,
x = r sin $ cos <p
y = r sin i? sin ip
z = r cos ü,
Abbildung 9.20
wobei r der Betrag des Radiusvektors ist, ß der Winkel zwischen
Radiusvektor und 2-Achse (Polarwinkel) und ip der Winkel
zwischen der Projektion des Radiusvektors auf die x, y-Ebene und der
x-Achse (Azimutalwinkel). Für den LAPLACE-Operator ergibt sich
A!£:
d2& 2d& 1 d2& costf W
1 d2V
dr2 r dr r2 dfl2 r2 sin i? d$ r2 sin2 $ dip2
so daß die zeit unabhängige SCHRÖDINGER-Gleichung lautet*
r2 dr \ dr I r2 sin i? dti
1 d2& 2m
+ [E-V(r)]¥ = Q.
(9.116b)
(9.116c)
r2 sin2 ß dip2
2. Lösungsansätze Eine Lösung wird mit dem Ansatz
#(r, 0, ip) = Riir)^™^, ip) (9.117a)
angestrebt, in dem Ri die nur vom Radius r abhängige radiale Wellenfunktion ist und Y™^, </?) eine
nur von den beiden Winkeln abhängige Wellenfunktion Einsetzen von (9.117a) in (9.116c) liefert
2ra
1 d ( . dYf"
r2 dr \ dr J
YT+'
r2 sin ß dd
sin$-
-[E-V(r)]R,Yr
1
R,+
d2Y? _
r2sin2$ dip2
(9.117b)
562 9 Differentialgleichungen
Division durch RiY™ und Multiplikation mit r2 ergibt
1 d ( ndRi\ 2mr2m ¥„ xl 1 f 1 d ( . adY,m\ 1 d2Y,m) ,„„„,
Die Gleichung (9 117c) kann nur erfüllt werden, wenn eine unabhängige Variation der
Radiuskoordinate r auf der linken Seite der Gleichung und der Winkelkoordinaten tf, <p auf der rechten dieselbe
Separationskonstante ergeben, d h , wenn die Seiten unabhängig voneinander sind und den gleichen
konstanten Wert ergeben. Aus der partiellen Differentialgleichung mit drei unabhängigen Variablen
ergeben sich dann eine gewöhnliche Differentialgleichung und eine partielle Differentialgleichung mit
zwei unabhängigen Veränderlichen. Wird die Separationskonstante praktischerweise gleich /(/ + 1)
gesetzt, dann erhält man die nur von r und vom Potential V(r) abhängige sogenannte Radialgleichung-
1 d ( 2dRi\ 2m
E-V(r) '<l + 1)ft'
= 0. (9 117d)
2mr2
Der winkelabhängige Anteil wird mit Hilfe des Ansatzes
Ylm{tf,<p) = 0(ti)<P(iP) (9 117e)
ebenfalls separiert. Einsetzen von (9 117e) in (9.117c) liefert
Bezeichnet man die Separationskonstante zweckmäßigerweise mit m2 , dann lautet die sogenannte
Polargleichung
^^)+l(l + l)-^ji = 0 (9.117g)
G Sinti dtiy dtij
und die Azimutalgleichung
d2$
_ + m2$ = 0. (9.117h)
difr
Beide Gleichungen sind potentialunabhängig, gelten also für jedes zentralsymmetrische Potential.
An die Lösung (9.117a) sind drei Forderungen zu stellen. Sie soll für r —> oo verschwinden, auf der
Kugeloberfläche eindeutig sein und sich quadratisch integrieren lassen
3. Lösung der Radialgleichung Die Radialgleichung (9.117d) enthält neben dem Potential V(r)
noch die Separationskonstante 1A + 1). Man substituiert
Ul(r) = r - Rt(r), (9.118a)
weil das Quadrat der Funktion ut(r) die letztlich gesuchte Aufenthaltswahrscheinlichkeit \ui(r)\2dr =
\Ri(r)\2r2dr des Teilchens in einer Kugelschale zwischen r und r + dr angibt. Die Substitution führt
auf die eindimensionale SCHRÖDINGER-Gleichung
d2ui{r) 2m
_^2_ + ^2"
E-V(r) '*' + 1>Äa
2rar2
ui(r) = 0. (9.118b)
Diese enthält das effektive Potential
VeS = V(r) + Vl(l), (9.118c)
das aus zwei Anteilen besteht Die Rotationsenergie
wird Zentrifugalpotential genannt.
Die physikalische Bedeutung von / als Bahndrehimpuls-Quantenzahl ergibt sich aus der Analogiebe-
9.2 Partielle Differentialgleichungen 563
trachtung zur klassischen Rotationsenergie
eines rotierenden Teilchens mit dem Trägheitsmoment 0 = [ir2 und dem Bahndrehimpuls / = 0ü.
l2 = l(l + l)h2, |f2| = hy/l(l + l). (9.118f)
4. Lösung der Polargleichung Die Polargleichung (9.117g), die beide Separationskonstanten 1A +
1) und m2 enthält, ist eine LEGENDREsche Differentialgleichung (9.57a) (s. 9 1.2.6,3., S 529). Ihre
Lösung wird mit 6>zm($) bezeichnet und kann durch einen Potenzreihenansatz ermittelt werden.
Endliche, eindeutige und stetige Lösungen ergeben sich nur für /(/ +1) = 0,2,6,12,. Daher gilt für / und
m
J = 0,l,2,. , \m\<l. (9119a)
Somit kann m insgesamt die B/ + 1) Werte
-/, H + 1), H + 2),...,(/ - 2), (/ - 1), l (9 119b)
durchlaufen
Für m/0 ergeben sich die zugeordneten LEGENDREschen Polynome, die wie folgt definiert sind
/neos.) = <=£(! - ^^y . (9.119c)
Als Spezialfall (/ = 0 , m = n, cos$ = x) erhält man die LEGENDREschen Polynome 1. Art (9.57c) (s.
9 1.2.6,3., S. 529) Die Normierung führt auf
0,m(#) =
21 + 1 {l m)\ p„(cos^ = Nrnprn(cos^ (g n9d)
\ 2 (/ + m)!
5. Lösung der Azimutalgleichung Da die Teilchenbewegung im Potential V(r) auch im Falle der
physikalischen Auszeichnung einer Raumrichtung, z B durch ein Magnetfeld, unabhängig vom
Azimutalwinkel ist, spezifiziert man die allgemeine Lösung $ = a exp (i m <p) + ß exp (—i m ip) durch die
Festlegung
<Pm{ip) = Aexp{±imcp) , (9.120a)
für die |^m|2 unabhängig von (p ist Aus der Forderung nach Eindeutigkeit
*m(y> + 27r)==*ro(¥>) (9 120b)
folgt, daß m nur die Werte 0, ±1, ±2, annehmen darf.
Aus der Normierung
f |#|2 dtp=l = \A\2 r dtp = 2tt\A\2 (9.120c)
o
folgt.
<pm(lp) = -±=exp(im(p) (m = 0,±l,±2,. ). (9 120d)
V27T
Die Quantenzahl m wird magnetische Quantenzahl genannt
6. Gesamtlösung für die Winkelabhängigkeit In Übereinstimmung mit (9 117e) sind die
Lösungen für die Polar- und die Azimutalgleichungen miteinander zu multiplizieren-
y™(#, v?) = 0(<ß) $(<p) = —LA^P/^cos 0) exp (irrup) . (9 121a)
V27T
564 9. Differentialgleichungen
Die Funktionen Yj^iü, <p) sind die sogenannten Kugelflächenfunktionen.
Wenn der Radiusvektor r am Koordinatenursprung gespiegelt wird (r —* -^r), gehen # in 7r — # und <p
in cp + 7T über, so daß sich das Vorzeichen von Y™ ändern kann:
YT(* ~ *,<P + tt) = (-I)'IT^. ¥>) • (9.121b)
Daraus ergibt sich die Parität der betrachteten Wellenfunktion zu
P = (-lI. (9.122a)
7. Parität Die Eigenschaft Paritat dient der Charakterisierung des Verhaltens der Wellenfunktion
bei Rauminversion r —? —f (s. 4.3.5.1,1., S. 277). Diese wird mit dem Inversions- oder
Paritätsoperator P durchgeführt: P#(r, t) = &{—r, t). Bezeichnet man den Eigenwert des Operators mit P, dann
muß eine zweimalige Anwendung von P, d.h. PP?^(r, t), auf PP\P(r, t) = ^(r, t) fuhren, also auf die
ursprüngliche Wellenfunktion. Daraus folgt:
P2 = l, P = ±l. (9.122b)
Man spricht von gerader Wellenfunktion, wenn sie bei Rauminversion ihr Vorzeichen nicht ändert, von
ungerader Wellenfunktion, wenn sie es ändert.
7. Linearer harmonischer Oszillator
1. Problemstellung Harmonische Schwingungen entstehen, wenn die rücktreibende Kraft im
Oszillator dem HoOKEschen Gesetz F = —kx genügt. Für Schwingungsfrequenz,
Schwingungskreisfrequenz und potentielle Energie ergeben sich:
i/=^-J-, (9.123a) «; *=!/-, (9.123b) Epot = \kx2 = %-x2. (9.123c)
Z7T V m V rn 11
Durch Einsetzen in (9.112a) erhält die SCHRÖDINGER-Gleichung die Form
d?& 2ra
~dx^Jr~W
E ——mx
2
V = 0. (9.124a)
Mit Hilfe der Substitutionen
y = xxr^, (9.124b) A = ^, (9.124c)
V h au
wobei A ein Parameter und nicht die Wellenlänge ist, kann (9.124a) in die einfachere Form der We-
BERschen Differentialgleichung
d2&
—- + (A-2/2)^ = 0 (9.124d)
dy1
überfuhrt werden.
2. Lösungsansatz und Lösungsgang Für die WEBERsche Differentialgleichung erhält man mit
Hilfe des Ansatzes
*(y) = exp I -f- I H(y) (9.125a)
eine Lösung. Differentiation führt auf
HF = exp VT) W " ^ + {y " l)H\ • (9'l25b)
Einsetzen in die SCHRÖDINGER-Gleichung (9.l24d) liefert
d2H dH_
dy2 dy
. -2y— + (\-l)H = 0. (9.125c)
.2 <lf
9.2 Partielle Differentialgleichungen 565
Eine Lösung wird über den Reihenansatz
00 d H °° cP1 H °°
H = J2aiVl mit -7- = ^2iaiyl~\ -fr = Z^(*~ 1)^~2 (9 126a)
bestimmt Einsetzen von (9.126a) in (9.125c) ergibt
00 00 00
£ i(i - lJoijT2 - J] 2«^ + £ i(A - 1)^ = 0. (9.126b)
x=2 t=l t=0
Durch Vergleich der Koeffizienten von yi erhält man die Rekursionsformel
(j + 2)(j + l)aj+2 = [2j - (A - l)]flj- (j = 0,1,2,.. ) (9.126c)
Die Koeffizienten aj für gerade Potenzen von y werden auf ao zurückgeführt, die Koeffizienten für
ungerade Potenzen auf a\. Damit sind a0 und a\ frei wählbar
3. Physikalische Lösungen Gesucht ist die Aufenthaltswahrscheinlichkeit des betrachteten
Teilchens in den verschiedenen Zuständen Diese wird mit Hilfe einer physikalisch sinnvollen, d h.
normierbaren, für große Werte von y gegen null gehenden Eigenfunktion und quadratisch integrierbaren
Wellenfunktion &(x) beschrieben.
Die Exponentialfunktion exp(—y2/2) im Ansatz (9 125a) sorgt dafür, daß die Lösung &(y) für y —>
cxD gegen null strebt, wenn die Funktion H(y) ein Polynom ist Daher müssen die Koeffizienten aj in
(9.126a), beginnend von einem bestimmten n an, für alle j > n verschwinden: an ^ 0, an+\ = an+2 =
an+3 = =0. Mit j — n lautet die Rekursionsformel (9.126c) jetzt
a"+2 = , ^0w _^Lan. 9.127a
(n + 2)(n + l)
Für an ^ 0, an+2 = 0 kann sie nur erfüllt werden, wenn
2P
2n-(A-l) = 0, A= —= 2n + l (9.127b)
hu
gesetzt wird. Somit verschwinden durch die angegebene Wahl von A die Koeffizienten an+2, an+4,. .
Damit auch die Koeffizienten an+i, an+3,. . verschwinden, muß an_i = 0 sein.
Für die spezielle Wahl an = 2n, an_i = 0 erhält man die ÜERMiTEschen Polynome der 2.
Definitionsgleichung (s. 9 1.2 6,6., S 532)). Die ersten sechs lauten:
n = 0: #o = l; n = l- Hx = 2y; n = 2: H2 = -2 + 4y2;
n = 3. H3 = -12y + 8y3; n = 4: H4 = 12 - 4Sy2 + 16y4; (9.127c)
n = 5. H5 = 120y - 160y3 + 32y5.
Die Lösung \P(y) für die Schwingungsquantenzahl n ergibt sich zu
$n = Nne-y2/2Hn{y), (9.128a)
wobei Nn der Normierungsfaktor ist. Man erhält ihn aus der Normierungsbedingung / &n2 dy = 1 zu
2 _ 1 /^ _.4 r~ 2/ /mö7
^2= ^ /« mit ^=* / — (9.128b)
Für die Eigenwerte der Schwingungsenergie ergibt sich als Quantisierungsbedingung aus der Bedingung
für den Abbruch der Reihe mit (9.124c)
En = hu)(n+]-} {n = 0,1,2,...). (9.128c)
Das Spektrum der Energiezustände ist äquidistant. Der Summand +1/2 in der Klammer bedeutet,
daß der quantenmechanische Oszillator im Unterschied zum klassischen auch im tiefsten energetischen
Zustand mit n = 0 Energie besitzt, dieNullpunktsschwingungsenerqie.
566 9. Differentialgleichungen
V(x)E(x)f
Die Abb.9.21 zeigt eine graphische Darstellung des äquidistanten
Spektrums der Energiezustände, die zugehörigen Wellenfunktionen % bis #5
sowie die Funktion der potentiellen Energie (9.123c). Die Punkte auf der
Parabel der potentiellen Energie bezeichnen die Umkehrpunkte des
klassischen Oszillators, die als Amplitude a =
1 2E
aus der Energie E ¦
-rnußa2 berechnet werden. Die quantenmechanische Wahrscheinlichkeit,
ein Teilchen im Intervall (x, x+dx) zu finden, ist durch dwqu = \&(x)\2 dx
gegeben. Sie ist auch außerhalb dieser Punkte von Null verschieden. So
Abbildung 9.21
liefert z.B. n = 1, also E = C/2)fkj, gemäß dwqx
2V^exp("A*2)
dx,
Maxima der Aufenthaltswahrscheinlichkeit bei
- ±1 -+ /JL
VA V rnu
Für den entsprechenden klassischen Oszillator ergibt sich
I 2E _ fW
' mu2 V mu'
2-max, kl — ^tß — =t\1
(9.128d)
(9 128e)
Die quantenmechanische Verteilungsdichte nähert sich für große Werte der Quantenzahl n in ihrem
Mittelwert der klassischen.
9.2.4 Nichtlineare partielle Differentialgleichungen: Solitonen,
periodische Muster und Chaos
9.2.4.1 Physikalisch—mathematische Problemstellung
1. Begriff des Solitons
Solitonen — man spricht auch von solitären Wellen — sind physikalisch betrachtet impuls- oder auch
stufenförmig lokalisierte Störungen eines nichtlinearen Mediums oder Feldes; die betreffende Energie
ist auf ein enges Gebiet konzentriert Sie treten auf •
• in Festkörpern, z.B. in anharmonischen Gittern, in JOSEPHSON-Kontakten, in Glasfasern und in
quasi-eindimensionalen Leitern,
• in Flüssigkeiten als Oberflächenwellen oder Spinwellen,
• in Plasmen als LANGMUIR-Solitonen,
• in linearen Molekülen,
• in der klassischen und Quantenfeldtheorie.
Solitonen haben sowohl Teilchen- als auch Welleneigenschaften; sie sind zu jedem Zeitpunkt örtlich
lokalisiert, und der Bereich der Lokalisierung, bzw. der Punkt, um den herum die Welle lokalisiert ist,
bewegt sich wie ein freies Teilchen; insbesondere kann es auch ruhen. Ein Soliton besitzt eine
permanente Ausbreitungsstruktur: Auf Grund einer Balance zwischen Nichtlinearität und Dispersion ändern
sich Form und Geschwindigkeit nicht.
Mathematisch betrachtet, sind Solitonen spezielle Lösungen bestimmter nichtlinearer partieller
Differentialgleichungen, die in Physik, Technik und angewandter Mathematik auftreten. Ihre
Besonderheiten bestehen im Fehlen jeglicher Dissipation sowie darin, daß die nichtlinearen Terme nicht
störungstheoretisch behandelt werden können.
Wichtige Beispiele für Gleichungen mit Solitonenlösungen sind-
a) Korteweg-de-Vries— (KdV)-Gleichung ut + 6uux 4- uxxx = 0, (9.129)
b) nichtlineare Schrödinger-(NLS)-Gleichung i ut + uxx ± 2\u\2u = 0, (9.130)
9.2 Partielle Differentialgleichungen 567
c) Sinus-Gordon- (SG)-Gleichung utt - uxx + sinw = 0. (9.131)
Mit x bzw. t als Index werden partielle Ableitungen bezeichnet, z.B. uxx = d2u/dx2 .
In diesen Gleichungen wird der eindimensionale Fall betrachtet, d.h , es gilt u = u(x, t), wobei x die
Ortskoordinate und t die Zeit repräsentieren. Die Gleichungen sind in skalierter Form angegeben, d.h.,
die beiden unabhängigen Variablen x und t sind hier dimensionslose Größen. Bei praktischen
Anwendungen sind sie mit den für das jeweilige Problem charakteristischen, dimensionsbehafteten Größen
(Länge und Zeit) zu multiplizieren. Analoges gilt für die Geschwindigkeit.
2. Wechselwirkung zwischen Solitonen
Treffen zwei Solitonen, die sich mit verschiedenen Geschwindigkeiten bewegen, aufeinander, so tauchen
sie nach einer Wechselwirkung wieder auf, als hätten sie sich ungestört durchdrungen, d.h , Form und
Geschwindigkeit jedes Solitons bleiben asymptotisch erhalten, es tritt lediglich eine
Phasenverschiebung auf. Zwei Solitonen können miteinander Wechsel wirken, ohne sich zu zerstören. Daher spricht man
von elastischer Wechselwirkung. Letztere ist äquivalent mit der Existenz einer A^-Solitonen-Lösung,
wobei TV die Anzahl der Solitonen ist. Bei der Lösung einer Anfangswertaufgabe zeigt sich, daß ein
vorgegebener Anfangsimpuls u(x, 0) in Solitonen zerfällt, wobei deren Anzahl nicht von der Impulsform,
sondern von der Impulsfläche /f^ u(x, 0) dx abhängt.
3. Periodische Muster und nichtlineare Wellen
Solche nichtlinearen Erscheinungen treten in einer Reihe von klassischen dissipativen (d.h Reibung
oder Dämpfung enthaltenden) Systemen auf, wenn eine äußere Kraft hinreichend groß ist Befindet
sich z.B. eine Flüssigkeitsschicht im Gravitationsfeld, und wird sie von unten erwärmt, so entspricht
die Temperaturdifferenz zwischen ihrem unteren und oberem Rand einer äußeren Kraft. Die höheren
Temperaturen der unteren Schichten verringern deren Dichte und machen sie leichter als die oberen,
so daß die Schichtung insgesamt instabil wird Bei hinreichend großer Temperaturdifferenz geht diese
instabile Schichtung spontan in periodisch angeordnete Konvektionszellen über. Man spricht von Bi-
furkation aus dem nur wärmeleitenden Zustand (ohne Konvektion) in die wohlgeordnete Rayleigh-
BENARD-Konvektion. Eine Wegnahme der äußeren Kraft führt infolge der Dissipation zum Abklingen
der Wellen (hier der zellularen Konvektion). Eine Verstärkung der äußeren Kraft stört die geordnete
Konvektion bis hin zur turbulenten Konvektion (Chaos). Auch bei chemischen Reaktionen können
derartige Phänomene auftreten Wichtige Beispiele für Gleichungen, die solche Phänomene beschreiben,
sind:
a) Ginsburg-Landau-(GGL)-Gleichung ut-u-(l + \b)uxx + A + \c)\u\2u = 0, (9 132)
b) Kuramoto-Sivashinsky-(KS)-Gleichung ut + uxx + uxxxx + ux = 0. (9.133)
Im Unterschied zu den oben genannten Gleichungen KdV, NLS und SG, die keine Dissipation
enthalten, handelt es sich bei der GGL- und KS-Gleichung um nichtlineare dissipative Gleichungen. Neben
raum-zeitlich periodischen Lösungen (nichtlineare Wellen) haben sie auch raum-zeitlich
ungeordnete (chaotische) Lösungen Charakteristisch ist das Auftreten raum-zeitlicher Muster oder Strukturen
einschließlich des Überganges zum Chaos.
4. Nichtlineare Evolutionsgleichungen
Unter einer Evolutionsgleichung versteht man eine Gleichung, die die zeitliche Entwicklung einer
physikalischen Größe beschreibt Beispiele für lineare Evolutionsgleichungen sind die Wellengleichung
(s 9 2.3 2, S. 555), die Wärmeleitungsgleichung (s. 9.2.3.3, S. 556) und die SCHRÖDINGER-Gleichung
(s 9 2.3 5,1., S. 557) Die Lösungen der Evolutionsgleichungen werden auch Evolutionsfunktionen
genannt.
Im Unterschied zu den linearen Evolutionsgleichungen enthalten die nichtlinearen
Evolutionsgleichungen (9.129) bis (9.133) die nichtlinearen Terme uux, \u\2u, sin u und u\ Diese Gleichungen sind
ausgenommen (9 132) parameterfrei Physikalisch betrachtet beschreiben nichtlineare
Evolutionsgleichungen Strukturbildungen wie Solitonen (dispersive Strukturen) sowie periodische Muster und nichtlineare
568 9. Differentialgleichungen
Wellen (dissipative Strukturen)
9.2.4.2 Korteweg-de-Vries-Gleichung
1. Auftreten
Die KdV-Gleichung tritt auf bei der Behandlung von. Oberflächenwellen in flachem Wasser,
anharmonischen Schwingungen in nichtlinearen Gittern, Problemen der Plasmaphysik und nichtlinearen
elektrischen Netzwerken
2. Gleichung und Lösungen
Die KdV-Gleichung für die Evolutionsfunktion u lautet
ut + 6uux + uxxx = 0. (9 134)
Sie hat die Soliton-Lösung
u(x,t) ¦
2cosh2 [±y/v(x - vt - <pj\
-2 0 2
x-vt-cp
Abbildung 9.22
(9 135)
Das KdV-Soliton (9.135) ist durch die zwei
dimensionslosen Parameter (v > 0) und </? eindeutig bestimmt In
Abb.9.22 ist v = 1 gewählt Ein typisch nichtlinearer
Effekt besteht darin, daß die Solitongeschwindigkeit v die
Amplitude und die Breite des Solitons bestimmt. KdV-
Solitonen mit größerer Amplitude und geringerer Breite
bewegen sich schneller als solche mit kleinerer
Amplitude und größerer Breite Die Solitonphase ip beschreibt die
Lage des Maximums des Solitons zur Zeit t = 0
Die Gleichung (9 134) besitzt auch N-Solitonenlösun-
gen Eine solche N-Solitonenlösung läßt sich für t —?
±oo asymptotisch durch lineare Überlagerung von Ein-
Solitonlösungen darstellen
u(x,t) ~ ^2 un{x,t) •
(9.136)
Dabei ist jede Evolutionsfunktion un(x, t) durch eine Geschwindigkeit vn und eine Phase tp„
gekennzeichnet. Die Anfangsphasen <p~ vor der Wechselwirkung oder dem Stoßprozeß unterscheiden sich von
den Endphasen nach dem Stoß ip+ , während die Geschwindigkeiten t>1} v2,. ., Vn keine Änderung
erfahren, d.h., es handelt sich um eine elastische Wechselwirkung. Für TV = 2 besitzt (9.134) eine 2-
Solitonenlösung. Sie läßt sich für endliche Zeiten nicht durch lineare Überlagerung darstellen und lautet
mit kn = -y/vn und an = -y/v^(x - vnt - <pn) (n = 1,2).
kje^ + /c|ea2 + (kx - AfcJe<Q1+a'>
u(x,t) = 8-
2 +
1
(ki + k2f
(fc2eai + k\ea>)
1 + eQi + ea* + [ -1 -1 ) e^+a^
ki +k>2
(9 137)
Die Gleichung (9.137) beschreibt asymptotisch zwei für t —> — oo nicht wechselwirkende Solitonen
mit den Geschwindigkeiten v\ = 4A:2 und v2 = 4k2, die nach einem Wechselwirkungsprozeß für t —?
+oo wieder asymptotisch in zwei nichtwechselwirkende Solitonen mit denselben Geschwindigkeiten
übergehen.
Die nichtlineare Evolutionsgleichung
wt + 6{wxJ + wxxx = 0 (9 138a)
9 2 Partielle Differentialgleichungen 569
hat mit w = -=r
a)fur F(x,£) = l + eQ,
eine Solitonlösung und
b)für F(x,t)
a = -y/v(x — v t — (p)
1 + eai + ea
ki — k<2
Jai+a2)
(9.138b)
(9 138c)
eine 2-Solitonenlösung. Mit 2wx = u ergibt sich aus (9.138a) die KdV-Gleichung (9.134). Die
Gleichung (9.137) und der sich mit (9.138c) ergebende Ausdruck für w sind Beispiele für eine nichtlineare
Superposition.
Ersetzt man in (9.134) den Term +6uux durch — 6uux , so muß man die rechte Seite von (9.135) mit
(—1) multiplizieren. Man spricht dann auch von einem Antisoliton.
9.2.4.3 Nichtlineare Schrödinger—Gleichung
1. Auftreten
Die NLS-Gleichung tritt auf
• in der nichtlinearen Optik, wo der Brechungsindex n von der elektrischen Feldstärke E abhängig ist,
wie z.B. beim KERR-Effekt, bei dem n(E) = n0 + n2|E|2 mit no, n2 = const gilt, und
• in der Hydrodynamik selbstgravitierender Scheiben, wo sie die Beschreibung von galaktischen
Spiralarmen gestattet
2. Gleichung und Lösungen
Die NLS-Gleichung für die Evolutionsfunktion u und ihre Solitonlösung lauten:
\ut + uxx ± 2\u\2u = 0, (9.139)
u(x,t) = 2rj
exp(i[2£r + 4(£2-772)*-x])
cosh[2rj(x + 4£t - (f)}
(9.140)
'4' 6
x-vt-(p
Hier ist u(x, t) komplex. Das NLS-Soliton ist durch
die 4 dimensionslosen Parameter 77, £, ip und \
charakterisiert Die Einhüllende des Wellenpakets
bewegt sich mit der Geschwindigkeit — 4£, die
Phasengeschwindigkeit der eingehüllten Welle ist
2(t72 - £2)/£ Im Unterschied zum KdV-Soliton
(9.135) können hier die Amplitude (über 77) und die
Geschwindigkeit (über £) unabhängig voneinander
gewählt werden. Die Abb.9.23 zeigt eine
Darstellung des Realteiles von (9 140) mit v = —4£, 77 =
1/2 und { = 2/5
Im Falle von N wechselwirkenden Solitonen
werden diese durch 4JV willkürlich wählbare Parameter
charakterisiert. 77n, fn, <pn, Xn {n = 1,2,..., N). Abbildung 9.23
Falls die Solitonen verschiedene Geschwindigkeiten haben, zerfällt die N-Solitonenlösung asymptotisch
für t ± 00 in eine Summe von N individuellen Solitonen der Form (9.140).
9.2.4.4 Sinus-Gordon—Gleichung
1. Auftreten
Die SG-Gleichung entsteht aus der BLOCH-Gleichung für räumlich inhomogene quantenmechanische
2-Niveau-Systeme. Sie beschreibt die Ausbreitung
• ultrakurzer Impulse in resonanten Lasermedien (selbstinduzierte Transparenz),
• des magnetischen Flusses in großflächigen JOSEPHSON-Kontakten, d.h in Tunnelkontakten zwischen
zwei Supraleitern und
570 9. Differentialgleichungen
• von Spinwellen in supraflüssigem Helium-3 CHe).
Die Solitonlösungen der SG-Gleichung können durch ein aus Pendeln und Federn bestehendes
mechanisches Modell veranschaulicht werden Die Evolutionsfunktion geht stetig von 0 in einen konstanten
Wert c über. Ausgehend vom englischen Wort „kink" für Stufe, nennt man daher die SG-Solüonen
meist Kink-Solitonen Wenn umgekehrt die Evolutionsfunktion von dem konstanten Wert c nach 0
übergeht, werden sogenannte Antikink-Solitonen beschrieben. Mit Hilfe derartiger Lösungen können
auch sich bewegende Domänenwände beschrieben werden.
2. Gleichung und Lösungen
Die SG-Gleichung für die Evolutionsfunktion u lautet
utt - uxx + sinw = 0 (9.141)
Sie besitzt die folgenden Solitonlösungen.
1. Kink-Soliton
u(x,t) = 4arctanexpG(x — x0 — vt)) , (9 142)
1
WM)
wobei 7 =
VT-
: und -1 < v < +1 gilt.
In Abb.9.24 ist das Kink-Soliton (9 142) der
Gleichung (9.141) für v = 1/2 dargestellt. Das Kink-
Soliton ist durch die zwei dimensionslosen Parameter v
und Xo bestimmt, die Geschwindigkeit ist unabhängig
von der Amplitude, die Zeit- und die Ortsableitung
sind gewöhnliche lokalisierte Solitonen:
Abbildung 9 24
= ux
27
(9 143)
cosh y(x — Xo — vt)
2. Antikink-Soliton
u(x,t) = 4 arctan exp(—7B; — xi — vt)) . (9.144)
3. Kink-Antikink-Soliton Mit v = 0 entsteht aus (9.142), (9 144) ein statisches Kink-Antikink-
Soliton:
u(x,t) = 4arctanexp(±7(x — x0)) (9 145)
Weitere Lösungen von (9.141) sind:
4. Kink-Kink-Kollision
sinh 72;
u(x, t) = 4 arctan
cosh *yvt
5. Kink-Antikink-Kollision
[ 1 sinh jvt
u(x, t) = 4 arctan
[v cosh7a:J
6. Doppel- oder Breather-Soliton, auch Kink-Antikink-Dublett
[ \/l — u2 sin ut
u(x, t) = 4 arctan
(9 146)
(9.147)
(9 148)
ijj cosh Vi — u2x\
Die Gleichung (9.148) stellt eine stationäre Welle dar, deren Einhüllende mit der Frequenz uj moduliert
ist.
7. Örtlich periodisches Kink-Gitter
x — vt
u(x, t) = 2 aresin
±sn
kVT-
+ 7T
(9 149a)
9.2 Partielle Differentialgleichungen 571
Zwischen Wellenlänge A und Gitterkonstante k besteht die Beziehung
A = 4K(k)kVT^. (9.149b)
Für k = 1, also A —> oo , ergibt sich
u(x,t) = 4arctanexp(±7(x - vt)) , (9.149c)
d.h wieder das Kink-Soliton (9.142) und das Antikink-Soliton (9.144) mit x0 = 0.
Hinweis: sn x ist eine JACOBische elliptische Funktion mit dem Modul k und der Viertelperiode K
(s 14.6.2,3., S. 727).
snx = sin tp(x, k), (9.150a)
siny?(x,fc) tt/2
x= f . q (9 150b) K(k)= f . , = . (9.150c)
/ yj(l-q2){l-k*q2) { Vl-^sm'e
Die Gleichung (9.150b) geht aus A4.101b) (s. 14.6.2, S. 726) durch die Substitution sin^ = q hervor.
Die Reihenentwicklung des vollständigen elliptischen Integrals ist als Gleichung (8.108) in 8.2.5,7.,
S. 479 angegeben.
9.2.4.5 Weitere nichtlineare Evolutionsgleichungen mit Solitonlösungen
1. Modifizierte Kd V-Gleichung
ut ± ßu
l*X ' '-''XXX —
0. (9.151)
Die noch allgemeinere Gleichung (9.152) hat das Soliton (9.153) als Lösung .
ut + upux + uxxx = 0 (9 152) w(^ t) :
±\v\(p+l)(p + 2)
cosh2 y-py/\v\(x -vt- (^)J
(9.153)
2. sinh-Gordon-Gleichung
Utt — uxx 4- sinh u = 0. (9.154)
3. Boussinesq-Gleichung
uxx - utt + (u2)xx + uxxxx = 0. (9.155)
Sie tritt bei der Beschreibung nichtlinearer elektrischer Netzwerke als Kontinuumsnäherung der La-
dungs-Spannungs-Beziehung auf.
4. Hirota-Gleichung
ut + i3a\u\2ux + ßuxx + iauxxx + ö\u\2u = 0, aß = aS. (9.156)
5. Burgers-Gleichung
ut — uxx-\-uux = 0. (9.157)
Sie tritt bei der modellmäßigen Beschreibung der Turbulenz auf. Mit der HOPF-COLE-Transformation
wird sie in die Diffusionsgleichung, also eine lineare Differentialgleichung, überfuhrt.
6. Kadomzev-Pedviashwili-Gleichung
Die Gleichung
(ut + 6uux + uxxx)x - uyy (9.158a)
hat das Soliton
d2 r 1 i i2l
w(x, y, t) = 2— In — + \x 4- iky - 3k2t\ (9 158b)
dx2 [k2
zur Lösung. Die Gleichung (9.158a) ist ein Beispiel für Solitonengleichungen mit einer größeren Zahl
unabhängiger Variabler, z.B. zweier Ortsvariabler.
572 10 Variationsrechnung
10 Variationsrechnung
10.1 Aufgabenstellung
1. Extremum eines Integralausdrucks In der Differentialrechnung besteht eine wichtige
Aufgabe darin, festzustellen, für welche x-Werte eine vorgegebene Funktion y{x) einen Extremwert hat
In der Variationsrechnung lautet die entsprechende Frage: Für welche Funktionen nimmt ein
bestimmtes Integral, dessen Integrand von dieser Funktion und deren Ableitungen abhängt, einen Extremwert
an? In der Variationsrechnung wird demzufolge ein ganzer Funktionsverlauf y(x) gesucht, der einen
Integralausdruck der Form
b
I[y] = J F(x,y(x),y'(x), ,y{n\x))dx A0 1)
a
zum Extremum macht, wenn y(x) eine bestimmte, genau charakterisierte Funktionenklasse durchläuft.
Dabei können für die Funktionen y(x) und deren Ableitungen noch zusätzliche Bedingungen,
sogenannte Rand- und Nebenbedingungen, gestellt werden.
2. Integralausdrücke der Variationsrechnung An Stelle der unabhängigen Variablen x können
in A0.1) auch mehrere Variablen stehen. Die auftretenden Ableitungen sind dann partielle
Ableitungen, und das Integral in A0.1) entspricht einem mehrfachen Integral In der Variationsrechnung werden
hauptsächlich Aufgaben mit folgenden Integralausdrucken untersucht:
b
I[y] = JF{x,y(x)il/(x))dx1 A0.2)
a
b
I[yuy2, • • •,2/n] = y F{x,2/iW, • • •,2/n(z),y[(x),...,y'n(x)) dx, A0 3)
a
b
I[y] = y F(xt y(x),yf(x),. , y^(x)) dx , A0 4)
o
I[u] = F(x,y,u,ux,uy)dxdy. A0.5)
n
Die gesuchte Funktion ist u = u(x: y), und Q stellt einen ebenen Integrationsbereich dar.
I[u] = /// F(x, y, z, u, ux,uy, uz) dx dy dz . A0 6)
R
Die gesuchte Funktion ist u = u(x, y, z), und R stellt einen räumlichen Integrationsbereich dar.
Für die Lösungen eines Variationsproblems können zusätzliche Randbedingungen vorgegeben sein, die
im eindimensionalen Fall an den Intervallrändern a und b bzw auf dem Rand des Integrationsgebietes
Q. im zweidimensionalen Fall gelten sollen. Darüber hinaus können den Lösungen noch verschiedene
Arten von Nebenbedingungen z.B. in Integralform oder als Differentialgleichung vorgeschrieben sein
Ein Variationsproblem heißt von erster bzw. höherer Ordnung je nachdem, ob die Funktion F im
Integralausdruck der Variationsaufgabe nur die erste Ableitung y' oder höhere Ableitungen y^ (n > 1)
der Funktion y enthält.
3. Parameterdarstellung der Variationsaufgabe Ein Variationsproblem kann auch in
Parameterdarstellung vorliegen. Für die Kurvendarstellung x = x(t), y = y(t) (a < t < ß) hat dann z B. der
10 2 Historische Aufgaben 573
Integralausdruck A0 2) die Form
ß
I[x,y} = J F{x{t),y(t),x{t),y(t))
dt
A0.7)
10.2 Historische Aufgaben
10.2.1 Isoperimetrisches Problem
Das allgemeine isoperimetrische Problem besteht darin, unter allen ebenen Flächenstucken mit
vorgegebenem Umfang das flächengrößte zu bestimmen Die Lösung dieses Problems (ein Kreis mit dem
vorgegebenen Umfang) soll auf die Königin DiDO zurückgehen, die der Sage nach bei der Gründung
Karthagos nur soviel Land nehmen durfte, wie sie mit einer Stierhaut umschließen konnte. Sie schnitt
die Haut in feine Streifen und legte sie zu einem Kreis zusammen
Ein Spezialfall des allgemeinen isoperimetrischen Problems besteht in der Aufgabe, in einem kartesi-
schen Koordinatensystem eine Verbindungskurve y = y(x) der Punkte A(a,0) und B(b,0) zu finden,
die eine vorgegebene Länge / hat und mit der Verbindungsstrecke AB die größte Fläche umschließt
(Abb.10.1). Die mathematische Formulierung lautet: Man bestimme eine einmal stetig differenzier-
bare Funktion y{x), für die
I[y] = / y(x) dx = max
a
gilt und die die Nebenbedingung
b
G[y} = Jyjl + y'2(x)dx = l
a
sowie die folgenden Randbedingungen erfüllt:
y(a) = y(b) = 0.
A0.8a)
A0.8b)
A0.8c)
0A(a,o) B(b,o) x
Abbildung 10 1
P0(xo/ Yo)
0 x0 x
Abbildung 10.2
10.2.2 Brachistochronenproblem
Das Brachistochronenproblem wurde 1696 von J. BERNOULLI formuliert und beinhaltet die folgende
Aufgabe: Der in einer vertikalen x,y-Ebene liegende Punkt Po(xo,yo) soll mit dem
Koordinatenursprung durch eine Kurve y = y(x) so verbunden werden, daß ein längs dieser Kurve sich bewegender
Massepunkt allein unter dem Einfluß der Schwerkraft in der kürzesten Zeit von P0 zum Ursprung
gelangt (Abb. 10.2). Mit der Formel für die Fallzeit T ergibt sich die folgende mathematische
Formulierung- Man bestimme eine einmal stetig differenzierbare Kurve y = y(x), für die
T[y) = f
VTT]
yj2g(y0 - y)
dx = min
A0.9)
574 10. Variationsrechnung
gilt (g Fallbeschleunigung) und die die Randbedingungen
y@) = 0, y{x0) = yo A0.10)
erfüllt. Man beachte, daß in A0 9) für x = x0 eine Singularität auftritt.
10.3 Variationsaufgaben mit Funktionen einer Veränderlichen
10.3.1 Einfache Variationsaufgabe und Extremale
Als einfache Variationsaufgabe soll die folgende Aufgabe bezeichnet werden. Es sind Extremwerte von
Integralausdrucken der Form
b
I[y} = JF(x,y(x),y\x))dx A0.11)
a
zu bestimmen, wenn y(x) alle zweimal stetig differenzierbaren Funktionen, die den Randbedingungen
y(a) = A und y(b) = B genügen, durchläuft. Die Werte a, b und A, B sowie die Funktion F sind
gegeben.
Der Integralausdruck A0.11) ist ein Beispiel für ein sogenanntes Funktional, das dadurch
gekennzeichnet ist, daß es jeder Funktion y(x) aus einer bestimmten Funktionenklasse eine reelle Zahl zuordnet.
Nimmt das Funktional I[y] von A0.11) z.B für die Funktion yo(x) ein relatives Maximum an, dann gilt
im > m (io i2)
beim Vergleiche mit allen anderen zweimal stetig differenzierbaren Funktionen y , die den
Randbedingungen genügen Die Kurve y = yo(x) wird als Extremale bezeichnet. Manchmal werden auch alle
Lösungen der EULERschen Differentialgleichung der Variationsrechnung als Extremalen bezeichnet.
10.3.2 Eulersche Differentialgleichung der Variationsrechnung
Für die Lösung der einfachen Variationsaufgabe erhält man eine notwendige Bedingung auf folgende
Weise: Zur Extremalen y$(x), die durch A0 12) charakterisiert ist, konstruiert man sogenannte
Vergleichsfunktionen
y{x)=yo{x) + er}(x) A0.13)
mit einer zweimal stetig differenzierbaren Funktion r](x), die den speziellen Randbedingungen rj(a) =
7](b) = 0 genügt. Mit e wird ein reeller Parameter bezeichnet. Setzt man A0 13) in A0 11) ein, dann
erhält man an Stelle des Funktionais I[y] die von e abhängige Funktion
b
I(e) = jF(x,y0 + eri1i/0 + eri,)dx1 A0 14)
a
und die Forderung, daß y(x) das Funktional I[y] zu einem Extremum macht, geht in die Bedingung
über, daß I(e) als Funktion von e für e = 0 einen Extremwert hat. Aus einer Variationsaufgabe wird
dadurch eine Extremwert aufgäbe, für die die folgende notwendige Bedingung gelten muß:
^ = 0 für e = 0. ' A0 15)
Unter der Voraussetzung, daß der Integrand F als Funktion von drei unabhängigen Variablen
entsprechend oft partiell differenzierbar ist, erhält man mit Hilfe seiner TAYLOR-Entwicklung (s. 7.3.3.3,
S. 434)
m = J
dF dF
F{x, i/o, y'o) + 0-(z, Vo, y'o)t rj + —{x,y0, y'0)e rf + 0(e2)
dx. A0 16)
10.3 Variationsauf gaben mit Funktionen einer Veränderlichen 575
Die notwendige Bedingung A0.15) führt auf
br dF br dF
und daraus folgt durch partielle Integration und Berücksichtigung der Randbedingungen für rj(x).
/'(f-sH^ii*-0- (io-,8)
i(%)-°
dx \dy'j
Aus Stetigkeitsgründen und da das Integral in A0.18) für jede der in Frage kommenden Funktionen
T)(x) verschwinden soll, muß
dF_
dy dx '
gelten. Die Gleichung A0.19) stellt eine notwendige Bedingung für die einfache Variationsaufgabe dar
und heißt EuLERsc/ie Differentialgleichung der Variationsrechnung. Die Differentialgleichung A0.19)
kann man auch in der Form
^L - °2F - &F ' - ^L " - o A0 20)
dy dxdy' dydy' dy'2
schreiben. Es handelt sich um eine gewöhnliche Differentialgleichung 2. Ordnung, wenn Fy'y> ^ 0 ist.
Die EuLERsche Differentialgleichung vereinfacht sich in folgenden Spezialfällen-
1. F(x, y, y') = F(y'), d.h., x und y treten nicht auf. Dann erhält man an Stelle von A0.19):
-^ = 0 A0 21a) und ~ | -^- ) = 0 A0.21b)
dy dx \dy'J
2. F(x,y,yf) = F(y, y'), d.h., x tritt nicht auf. Man betrachtet
d („ ,dF\ dF , dF „ „dF ,d (dF\ , (dF d (dF\\ ,^nn x
d~x (F~ylü) = ^y + Wy ~VW ~yTx (W) =y(-dy-Tx [W)) A022a)
und erhält wegen A0.19)
^(F"^)=0, A0,22b) dh' F~y'W = C (c = const) (ia22c)
als notwendige Bedingung für die Lösung der einfachen Variationsaufgabe im Falle F = F(y,y').
¦ A: Für die kürzeste Verbindungslinie zweier Punkte Pi(a, A) und P2{b, B) in der x, ?/-Ebene muß
gelten.
I[y] = / \A + V'2 dx = min- A0.23a)
Ja
¦(£)-&£=¦-•
Aus A0.21b) folgt für F = F(y') = y/TTy17
dx\dy'J (^/TTT1N
also y" = 0, d.h., die kürzeste Verbindungslinie ist die Gerade.
¦ B: Läßt man einen Kurvenbogen y(x), der die Punkte Pi(a,A) und P2{b,B) verbindet, um die
x-Achse rotieren, dann entsteht eine Mantelfläche mit dem Flächeninhalt
I[y] = 2?r I yyjl + y'2 dx. A0.24a)
Ja
576 10 Variationsrechnung
V = c\
Für welche Kurve y(x) ist der Flächeninhalt am kleinsten? Mit F = F(y, y') = 2nyy/l + y'2 folgt aus
A0.22c). y = T&y/l + y'2 oder y'2 = (^-j — 1 mit C\ = r£- . Diese Differentialgleichung läßt sich durch
Trennung der Variablen (s. 9 1.1.2,1., S 506) bzw. 9.2.2.3,1., S. 543 lösen, und man erhält
cosh ( h c2) (ci, c2 = const), A0 24b)
die Gleichung der sogenannten Kettenlinie (s 2.15.1, S. 108) Die Konstanten C\ und c2 sind mit Hilfe der
Randbedingungen y(a) = A und y(x) = B zu bestimmen. Das erfordert die Lösung eines nichtlinearen
Gleichungssystems (s 19.2.2, S. 923), für dessen Lösbarkeit weitere Untersuchungen notwendig sind
10.3.3 Variationsaufgaben mit Nebenbedingungen
Darunter versteht man im wesentlichen isoperimetrische Probleme (s. 10.2.1, S. 573): Der einfachen
Variationsaufgabe (s. 10.3 1, S 574), die durch das Funktional A0 11) gekennzeichnet ist, wird zusätzlich
eine Nebenbedingung der Form
b
f G(x, y(x),y'(x))dx = 1 (/ = const) A0 25)
a
auferlegt, wobei die Konstante / und die Funktion G gegeben sind. Eine Methode zur Lösung solcher
Probleme geht auf LAGRANGE zurück (Extremwerte mit Nebenbedingungen in Gleichungsform s auch
6 2 5.6, S. 419). Man setzt
H(x,y(x),y'(x), A) = F(x,y(x)tl/(x)) + A(G(x}y(x),y'(x)) - l) , A0.26)
wobei A ein Parameter ist, und behandelt jetzt die Aufgabe
b
H{x, y(x), y'(x), A) = extrem', A0.27)
/'
also eine Extremwertaufgabe ohne Nebenbedingung. Die zugehörige Eulersche Differentialgleichung
lautet-
dH d (dH\ n /inooX
^-TX(W)=0- A028)
Ihre Lösung y = y(x, A) hängt noch von dem Parameter A ab, der durch Einsetzen von y(x, X) in die
Nebenbedingung A0 25) bestimmt werden kann
¦ Für das isoperimetrische Problem A0.2 1) erhält man
H{x,y(x),y'(x),X) = y + Xsjl + y'2 . A0 29a)
Da in H die Variable x nicht vorkommt, erhalt man an Stelle der EuLERschen Differentialgleichung
A0.28) analog zu A0.22c) die Differentialgleichung
y + xJl + y12 - , V = ci bzw. ya = ^ ——^- (Cl = const), A0 29b)
Vl + J/'2 Cl " y
deren Lösung die Kreisschar
(x - c2J + (y- ciJ = A2 (ci, c2, A const) A0.29c)
darstellt. Die Werte c\, c2 und A sind aus den Bedingungen y(a) = 0 , y(b) = 0 und der Forderung, daß
der Kurvenbogen zwischen A und B die vorgeschriebene Länge / hat, zu bestimmen. Für A ergibt sich
10.3 Variationsaufgaben mit Funktionen einer Veränderlichen 577
eine nichtlineare Gleichung, die iterativ durch ein geeignetes Näherungsverfahren gelöst werden muß.
10.3.4 Variationsaufgaben mit höheren Ableitungen
Es werden zwei Aufgabenklassen betrachtet.
1. F = F(x, y, y', y") : Die Variationsaufgabe lautet-
b
I[y] = I F(x, y, y', y") dx = extrem! A0.30a)
a
mit den Randbedingungen
y{a) = A, y(b) = B, y'(a) = Ä, y\b) = B', A0.30b)
wobei die Zahlenwerte a, 6, A, B, A' und B' sowie die Funktion F gegeben sind. Analog zu Abschnitt
10.3.2 werden Vergleichsfunktionen y(x) = yo(x) + er]{x) niit 77@) = r](b) = rf(a) = rf(b) = 0
eingeführt, und man erhält die EvLERsche Differentialgleichung
dF d fdF\ d2 (dF\ n ,inoi,
^-Tx(w) + d^W)=0 A0-31)
als notwendige Bedingung für die Lösung des Variationsproblems A0.30a). Die Differentialgleichung
A0.31) stellt eine Differentialgleichung 4. Ordnung dar Ihre allgemeine Lösung enthält 4 willkürliche
Konstanten, die mit Hilfe der Randbedingungen A0.30b) bestimmt werden können.
¦ Für das Problem
I[y] = [ (y - ay'2 - ßy2)dx = extrem!
Jo
mit gegebenen Konstanten a und ß gilt F = F(y, y', y") -
Fy, = -2y', Fy,, = 2y", £ (Fy) = -2y", £, (Fv„) =
chung lautet:
yM+a>l/'-ßy = 0.
A0 32a)
= y - ay'2 - ßy2 . Daraus folgt Fy = -2ßy,
-2?/4), und die EuLERsche Differentialglei-
A0.32b)
Das ist eine lineare Differentialgleichung 4. Ordnung mit konstanten Koeffizienten (s. S. 518).
2. F = F(x, y, y',..., y^) : In diesem allgemeinen Fall, bei dem das Funktional I[y] der
Variationsaufgabe von den Ableitungen der gesuchten Funktion y bis zur Ordnung n (n> 1) abhängen soll,
lautet die zugehörige EuLERsc/ie Differentialgleichung
dF d (dF\ d2 (dF\ dn ( dF \
dy dx [dy'J + dx* \dy») '"+ ( 1} d^ [djW) ~ ' ( }
deren Lösung Randbedingungen analog zu A0 30b) bis zur Ordnung n — 1 erfüllen müssen.
10.3.5 Variationsaufgaben mit mehreren gesuchten Funktionen
Das Funktional der Variationsaufgabe habe die Form
b
^[2/1,2/2, • ,2/n] = J F{x,yuy2,-..,yn,y'i,y'2,-'-,yn)dxi A0.34)
a
wobei die gesuchten Funktionen y\(x), 2/2(^O, • • •, yn(x) für x = a und x = b vorgegebene Werte
annehmen sollen. Man wählt n zweimal stetig differenzierbare Vergleichsfunktionen
y%(x) = yi0(x) + €i7]i(x) (i = 1,2,..., n), A0.35)
578 10. Variationsrechnung
wobei die Funktionen r)i(x) in den Randpunkten verschwinden sollen
Mit A0.35) geht A0 34) in /(e^ e2, .. , en) über, und aus den notwendigen Bedingungen
_^ = 0 (« = 1,2,. .,n) A0 36)
für Extremwerte von Funktionen von mehreren Veränderlichen ergeben sich die n EULERschen
Differentialgleichungen
dF__d_ (dF\ dF_ _ d_ fdF\ _ dF_ _ _^ f dF\
dyi dx \dy[J ' dy2 dx\dy'2) ' ' dyn dx\dy'n)
deren Lösungen yi{x), y2(x),..., yn(x) die vorgegebenen Randbedingungen erfüllen müssen.
10.3.6 Variationsaufgaben in Parameterdarstellung
Bei manchen Variationsaufgaben ist es zweckmäßig, die Extremale nicht in der expliziten Form y =
y(x) anzugeben, sondern von deren Parameterdarstellung
x = x{t), y = y(t) (ti<t< t2) A0.38)
auszugehen, wobei t\ und t2 die den Punkten (a, A) und F, B) entsprechenden Parameterwerte sein
sollen. Die einfache Variationsaufgabe (s. 10.3.1, S. 574) lautet dann
I[x,y] = f F(x{t),y(t),x(t),y(t))dt = extrem! A0.39a)
mit den Randbedingungen
x(t1) = ai x(t2) = b, y(t1) = A, y(t2) = B A0.39b)
Mit x und y werden, wie bei der Parameterdarstellung üblich, die Ableitungen von x und y nach dem
Parameter t bezeichnet.
Das Variationsproblem A0.39a) ist nur dann sinnvoll, wenn der Wert des Integrals von der
Parameterdarstellung der Extremale unabhängig ist. Es gilt: Damit das Integral in A0.39a) von der
Parameterdarstellung der Kurve, die die Punkte (a, A) und F, B) verbindet, unabhängig ist, muß F eine positiv
homogene Funktion vom Homogenitätsgrad 1 (s 2.18 2.5,4., S. 124) bezüglich x und y sein, d h , es
muß gelten-
F(x, i/, fix, fiy) = ßF(x, y, x, y) (/* > 0). A0.40)
Da die Variationsaufgabe A0.39a) als Spezialfall von A0.34) aufgefaßt werden kann, lauten die
zugehörigen EULERschen Differentialgleichungen
dF d (dF\ n dF d (dF\ n /1rt , ,
Diese sind nicht unabhängig voneinander, sondern äquivalent der sogenannten WEiERSTRASSschen
Form der EULERschen Differentialgleichung.
U-l£+M(^-^)=omit (ia42a)
m - —— - -1-ltJL - L^L
y2 dx2 xydxdy x2 dy2
Ausgehend von der Berechnung des Krümmungsradius R einer in Parameterdarstellung gegebenen
Kurve (s. 3.6 1 1, S 232), erfolgt die Berechnung des Krümmungsradius der Extremalen unter
Berücksichtigung von A0.42a) gemäß
10 4 Variationsaufgaben mit Funktionen von mehreren Veränderlichen 579
R =
(x2 + y2f2
M (x2 + y2)
,2^3/2
A0.42c)
xy-xy
¦ Das isoperimetrische Problem A0.8a bis 10.8c) (s. 10.2.1, S. 573) lautet in Parameterdarstellung
I[x, y}= f2 y{t)x{t)dt = max A0.43a) mit G[x, y] = f* yjx2(t)+ y2(t)dt = 1 A0 43b)
Diese Variationsaufgabe mit Nebenbedingung geht gemäß A0 26) mit
H = H(x< y, x, y) = yx + Xy/x2 + y2 A0.43c)
in eine Variationsaufgabe ohne Nebenbedingung über Man sieht, daß H die Bedingung A0.40) erfüllt,
also eine positiv homogene Funktion vom Grade 1 ist. Weiterhin gilt
M = ±HXI= ... A2.3/2, Hxv = l, Hxi = 0, A0.4M)
y [x -\- y )
so daß man aus A0.42c) für den Krümmungsradius R = |A| erhält. Da A konstant ist, sind die Extre-
malen Kreise
10.4 Variationsaufgaben mit Funktionen von mehreren
Veränderlichen
10.4.1 Einfache Variationsaufgabe
Eine der einfachsten Aufgaben mit Funktion von mehreren Variablen stellt das folgende
Variationsproblem für ein Doppelintegral dar
I[u] = // F(x,y,u(x,y),ux, uy) dx dy = extrem' x A0 44)
G
Dabei soll die gesuchte Funktion u = u(x, y) auf dem Rand r des Bereiches G gegebene Werte
annehmen. Analog zu 10.3 2, S 574 werden Vergleichsfunktionen der Form
u(x, y) = uo(x, y) + erj(x, y) A0.45)
angesetzt, wobei uo(x,y) eine Lösung der Variationsaufgabe A0 44) ist und die vorgegebenen
Randwerte annimmt, während n(x,y) die Bedingung
rj(x, y) = 0 auf dem Rand T A0.46)
erfüllt und wie Uo(x, y) entsprechend oft partiell differenzierbar ist.
Die Größe e ist ein Parameter Durch u = u(x, y) wird eine Fläche beschrieben, die der Lösungsfläche
uo{x, y) benachbart ist. Mit A0 45) geht I[u] in I(e) über, d.h., aus der Variationsaufgabe A0.44) wird
eine Extremwertaufgabe, die die notwendige Bedingung
^ = 0 für e = 0 A0 47)
de
erfüllen muß. Daraus folgt die EuhERsche Differentialgleichung
dF d (dF\ d (dF
du dx \dux) dy \duy)
als notwendige Bedingung für die Lösung der Variationsaufgabe A0 44)
¦ Eine unbelastete Membran, die am Rand F eines Bereiches G der x, y-Ebene eingespannt ist,
überdeckt eine Fläche mit dem Inhalt
h = ff dxdy. A0.49a)
580 10. Variationsrechnung
Wird die Membran durch eine Belastung so deformiert, daß jeder Punkt eine Auslenkung u = u(x, y)
in -^-Richtung erfährt, dann wird ihr Flächeninhalt nach der Formel
h = ff yjl + ul + uldxdy A0.49b)
G
berechnet. Linearisiert man den Integranden in A0.49b) nach Taylor, dann erhält man die Beziehung
h*h + \ff(ul + u2y) dx dy. A0.49c)
G
Für die potentielle Energie U der deformierten Membran gilt
U = a(I2-Il) = ^ff(u2x + ul)dxdy, A0 49d)
G
wobei die Konstante o als Spannung der Membran bezeichnet wird. Auf diese Weise entsteht das
sogenannte DiRiCHLETsc/ie Variationsproblem: Die Funktion u — u(x, y) ist so zu bestimmen, daß sie das
Funktional
I[u] = ff (u2x + ufj dx dy A0.49e)
G
zu einem Extremum macht und auf dem Rand T des ebenen Gebietes G verschwindet. Die zugehörige
EuLERsche Differentialgleichung lautet
d2u d2u
ä? + ^ = °- A0-49f)
Es handelt sich um die LAPLACEsche Differentialgleichung für Funktionen von zwei Variablen (s. 13.5 1,
S. 691).
10.4.2 Allgemeinere Variationsaufgaben
Es sollen zwei Verallgemeinerungen der einfachen Variationsaufgabe betrachtet werden.
1. F = F(x, y, u(x, i/), ux, uy, uxx, uxy, uyy)
Das Funktional der Variationsaufgabe hängt von partiellen Ableitungen höherer Ordnung der
gesuchten Funktion u(x,y) ab. Im vorliegenden Fall, in dem die partiellen Ableitungen bis zur 2. Ordnung
einschließlich auftreten, lautet die EuLERsche Differentialgleichung:
^_ —f—^ °2 ( dF) \ ^ ( dF ) d2 ( dF)==0 A0r
dux) dy \duy) dx2 \duxxJ dxdy \duxy) dy2 \duyyj
2. F = F{xu x2,..., xn, u(xu ..., xn), uXl,...,uXn)
Im Falle einer Variationsaufgabe, bei der n unabhängige Variablen Xi,x2,... ,xn auftreten, lautet die
EuLERsche Differentialgleichung:
du t^xdxk \duXk)
10.5 Numerische Lösung von Variationsaufgaben
Zur praktischen Lösung von Variationsproblemen werden im wesentlichen zwei Lösungswege
verwendet.
1. Lösung der Eulerschen Differentialgleichung und Anpassung der gefundenen
Lösung an die Randbedingungen
Allerdings wird die exakte Lösung der EuLERschen Differentialgleichung nur in den einfachsten Fällen
möglich sein, so daß man numerische Methoden zur Lösung von Randwertaufgaben bei gewöhnlichen
10 5 Numerische Lösung von Variationsaufgaben 581
bzw. partiellen Differentialgleichungen einsetzen muß (s. 19.5, S. 938 bzw. 20.1, S. 982). •
2. Direkte Methoden
Direkte Methoden gehen unmittelbar von der Variationsaufgabe aus und verwenden nicht die Eu-
LERsche Differentialgleichung. Das höchstwahrscheinlich älteste und bekannteste Verfahren dieser Art
stellt das Ritz -Verfahren dar Es gehört zu den sogenannten Ansatzverfahren, die zur genäherten
Lösung von Differentialgleichungen verwendet werden (s. 19.4.2.2, S 936 bzw. 19.5.2, S. 939), und soll
an dem folgenden einfachen Beispiel demonstriert werden.
¦ Das isoperimetrische Problem
/ y'2(x) dx = extrem! A0.52a) bei / y2(x)dx = 1 und j/@) = y(l) = 0 A0 52b)
Jo Jo
ist numerisch zu lösen. Das zugehörige Variationsproblem ohne Integralnebenbedingung lautet gemäß
10.3.3, S. 576.
I[y] = f [y,2(x)dx - Xy2{x)] = extrem! A0.52c)
Als Ansatz für die Näherungslösung wird
y(x) = axx(x - 1) + a2x2(x - 1) A0.52d)
gewählt. Die beiden Ansatzfunktionen x(x — l) und x2(x — 1) sind linear unabhängig und erfüllen beide
die Randbedingungen. Mit A0.52d) geht A0.52c) in
/(ai,ai) = gfl? + ^a2 + 5ölß2 ~ A (^ai + y^a2 + 55öia2J A0 52e)
über, und die notwendigen Bedingungen jß- = jU- = 0 ergeben das homogene lineare
Gleichungssystem
(H)-G-a)—¦ (i-s)-*(ä-m)—¦
Dieses System hat nichttriviale Lösungen, wenn die Koeffizientendeterminante verschwindet. Daraus
folgt:
A2-52A +420 = 0, d.h. Ai = 10,A2 = 42 A0.52g)
Für A = Ai = 10 erhält man aus A0 52f) a2 = 0, a\ beliebig, so daß die zu Ai = 10 gehörende,
normierte Lösung lautet:
3/ = 5,48x(a;-l) A0.52h)
Zum Vergleich kann man die zur Variationsaufgabe A0 52f) gehörende EULERsche
Differentialgleichung aufstellen. Man erhält die Randwertaufgabe
j/' + Aj/ = 0 mit y@) = y(l)=0 A0 52i)
mit den Eigenwerten Afc = /c27r2 (k = 1,2,...) und den Eigenlösungen y^ = Ck sin kirx . Für den Fall
k = 1, d.h. Ai = 7T2 « 9,87, ergibt sich die normierte Eigenlösung
y = V2sinirx, A0 52j)
deren Verlaufsich nur unwesentlich von dem der Näherungslösung A0.52h) unterscheidet.
Hinweis: Beim heutigen Stand der Computer- und Software-Entwicklung sollte man zur numerischen
Lösung von Variationsproblemen vor allem die Methode der finiten Elemente (FEM) einsetzen. Die
Grundzüge dieser Methode werden in 19.5.3, S. 940 bei der numerischen Behandlung von
Differentialgleichungen beschrieben Dort wird der Zusammenhang zwischen Differential- und
Variationsgleichungen, der z.B. durch EULERsche Differentialgleichungen oder Bilinearformen gemäß A9.145a,b)
vermittelt wird, ausgenutzt.
Auch die Gradientenverfahren, wie sie zur numerischen Behandlung von nichtlinearen Optimierungs-
582 10. Variationsrechnung
aufgaben (s 18.2.7, S. 898) verwendet werden, können zur numerischen Lösung von Variationsaufgaben
eingesetzt werden.
10.6 Ergänzungen
10.6.1 Erste und zweite Variation
Bei der Herleitung der EULERschen Differentialgleichung mit Hilfe von Vergleichsfunktionen (s. 10 3 2,
S. 574) wurde die TAYLOR-Entwicklung des Integranden von
b
I(e) = j F(x, y0 4- ery, y'0 + er/) dx A0.53)
o
nach den bezüglich e linearen Gliedern abgebrochen. Berücksichtigt man auch die quadratischen
Glieder, dann erhält man
rr1H' rih I
dx
I{e)-I{0) =ej ^(x,y0,y'0)r) + ^(x,j/0,l/iW
2 °
d2F d2F d2F
Bezeichnet man als
1. Variation 61 des Funktionais I[y] den Ausdruck
b i
51:
t
dF. M dF. ,. ,'
0-fo 2/o, y0)v + qj(x^^ Vo)v
2. Variation (S2/ des Funktionais I[y] den Ausdruck
d2F, ,, 2 n a2F , ,. , d2F, ,. ,2
0-2-(^2/o,2/o>7 +2^77(^2/o,2/0m +^-72(^2/o,y0O?
A0 54)
dx und als A0.55)
dx, A0 56)
/(e) - 7@) &e5I+^-62I. A0 57)
Mit Hilfe dieser Variationen lassen sich die verschiedenen Optimalitätsbedingungen für das Funktional
I[y] formulieren (s. [10.6])
10.6.2 Anwendungen in der Physik
Die Variationsrechnung spielt in der Physik eine entscheidende Rolle So kann man die
Grundgleichungen der NEWTONschen Mechanik aus einem Variationsprinzip herleiten und zur Jacobi-Hamilton-
schen Theorie gelangen, aber auch in der Atomtheorie und der Quantenphysik hat die
Variationsrechnung große Bedeutung. Dabei zeigte sich, daß eine Erweiterung und Verallgemeinerung der klassischen
mathematischen Begriffe unbedingt notwendig ist. Deshalb muß heute die Variationsrechnung im
Rahmen moderner mathematischer Disziplinen wie z.B. der Funktionalanalysis und der Optimierung
betrachtet werden. In den voranstehenden Abschnitten konnte lediglich ein Einblick in den klassischen
Teil der Variationsrechnung gegeben werden (s. [10.3], [10.4], [10.6]).
und man kann dann schreiben:
tesi + ^fii.
583
11 Lineare Integralgleichungen
11.1 Einführung und Klassifikation
1. Definitionen
Unter einer Integralgleichung versteht man eine Gleichung, bei der eine zu bestimmende Funktion auch
im Integranden eines Integrals auftritt. Für die Behandlung von Integralgleichungen gibt es keine
einheitliche Vorgehens weise. Lösungsverhalten sowie Lösungsverfahren hängen von der speziellen Gestalt
der Integralgleichung ab.
Ist die gesuchte Funktion in allen Termen nur linear enthalten, dann spricht man von einer linearen
Integralgleichung. Die allgemeine Form einer linearen Integralgleichung lautet:
b(x)
g(x)<p(x) = f(x) + \ J K{x,y)ip(y)dy, c<x<d. A11)
a(x)
Die Funktion ip(x) ist zu bestimmen, die Funktion K(x, y) heißt Kern der Integralgleichung und f(x)
ihre Störfunktion. Diese Funktionen können auch komplexe Werte annehmen. Verschwindet die
Funktion f(x) in dem betrachteten Bereich, d.h., ist f(x) = 0, dann ist es eine homogene Integralgleichung,
andernfalls eine inhomogene Die Größe A ist ein im allgemeinen komplexwertiger Parameter.
Zwei Spezialfälle von A11) haben besondere Bedeutung Sind die Integrationsgrenzen unabhängig von
x, also konstante Größen, d.h. a(x) = a und b(x) = b, dann handelt es sich um eine FREDHOLMsche
Integralgleichung A1 2a), A1.2b).
lsta(x) = aundb(x) = x , so spricht man von einer VOLTERRAschen Integralgleichung A1.2c), A1.2d).
Kommt die zu ermittelnde Funktion (p(x) nur unter dem Integral vor, d h ist g(x) = 0 , dann liegt eine
Integralgleichung 1. Artvox A1.2a), A1.2c). Eine Integralgleichung 2. Artist durch g(x) = 1
gekennzeichnet A1 2b), A1 2d)
b b
0 = f(xy+\JK(x,yMy)dy, A1.2a) <p(x) = f(x) + A f K{x,y)ip(y)dy, A1.2b)
a a
x x
0 = f(x) + A j K(x, y)<p(y) dy, A1.2c) <p(x) = f(x) + A f K(x, y)tp(y) dy A1.2d)
a a
2. Zusammenhang mit Differentialgleichungen
Es führen relativ wenige physikalische oder mechanische Aufgabenstellungen direkt auf eine
Integralgleichung. Häufiger sind derartige Probleme mittels Differentialgleichungen beschreibbar Die
Bedeutung der Integralgleichungen ist in erster Linie darin zu sehen, daß sich eine Reihe von
Differentialgleichungen einschließlich der zugehörigen Rand- und Anfangsbedingungen in eine Integralgleichung
überführen lassen
¦ Aus der Anfangswertaufgabe y'{x) = f(x, y) mit x > x0 und y(xo) = yo entsteht durch Integration
in den Grenzen von x0 bis x
y(x) = y0+ rm,y(Z))d£. A1.3)
Jxq
Die gesuchte Funktion y(x) tritt hier sowohl auf der linken Seite der Gleichung als auch im Integranden
auf Die Integralgleichung A1 3) ist linear, wenn die Funktion /(£,y(£)) die Form /(£,r?(£)) = a@ "
2/@ + &@ nat' d-h-' die zugrundeliegende Differentialgleichung ist ebenfalls linear.
Hinweis: In diesem Kapitel 11 werden nur Integralgleichungen 1. und 2. Art vom FREDHOLMschen
und VOLTERRAschen Typ sowie einige singulare Intgralgleichungen betrachtet.
584 11 Lineare Integralgleichungen
11.2 Fredholmsche Integralgleichungen 2. Art
11.2.1 Integralgleichungen mit ausgearteten Kernen
Wenn der Kern K(x,y) einer Integralgleichung eine Summe endlich vieler Produkte zweier Funktionen
ist, wobei jeweils die eine Funktion nur von x und die andere nur von y abhängt, so spricht man von
einem ausgearteten Kern oder einem Produktkern.
1. Lösungsansatz im Falle von Produktkernen
Die Auflösung FREDHOLMscher Integralgleichungen 2 Art mit ausgearteten Kernen führt auf ein
endlich dimensionales lineares Gleichungssystem. Man betrachte die Integralgleichung
6
ip(x) = f(x) + \jK(x,y)<p(y)dy mit A14a)
K(x, y) = Qi(a;)A(j/) + a2(x)ß2(y) + . + an(x)ßn(y). A1 4b)
Die Funktionen a\(x),.. , an(x) und ß\(x),. ., ßn(x) seien in dem Intervall [a, b) definiert und dort als
stetig vorausgesetzt. Weiterhin sollen die Funktionen a.\(x),. ., an(x) voneinander linear unabhängig
sein, d.h., die Beziehung
£>*<**(*) = 0 A15)
fc=i
mit konstanten Koeffizienten ck ist nur mit C\ = c2 = ... = cn = 0 für alle x aus [a, b] erfüllt.
Aus A1.4a) und A1 4b) folgt:
b b
ip{x) = f(x) + Aai(x) J ßi(y)<p(y) dy + ... + Xan(x) f ßn(y)<p(y) dy. A1 6a)
a a
Die auftretenden Integrale hängen nicht mehr von der Variablen x ab, sind also gewisse konstante
Werte, die mit Ak bezeichnet werden sollen:
6
Ak = Jßk(y)<p(y)dy, k = l,.. ,n. A16b)
a
Die Lösungsfunktion (p(x) setzt sich, falls sie existiert, additiv aus der Störfunktion f(x) und einer
Linearkombination der Funktionen ai(x),. , an(x) zusammen
(p(x) = f(x) + XAiai(x) + XA2a2{x) + ... + XAnan(x). A1 6c)
2. Bestimmung der Ansatzkoeffizienten
Die Koeffizienten j4i, . ., An können auf folgende Weise bestimmt werden. Die Gleichung A1.6c) wird
mit ßk{x) multipliziert und anschließend bezüglich x in den Grenzen von a bis b integriert:
b b b b
Jßk{x)ip{x)dx = f ßk(x)f(x)dx + XAX f ßk{x)a!{x) dx + .. + XAn f ßk(x)an{x) dx. A1.7a)
a a a a
Die linke Seite dieser Gleichung ist nach A1.6b) gleich Ak . Mit den Abkürzungen
b b
h= ßk(x)f(x)dx und ckj = ßk(x)aj(x) dx A1 7b)
a a
erhält man für k = 1,..., n:
Ak = bk + Ach^i + Xck2A2 + .. + XcknAn. A1.7c)
11 2 Fredholmsche Integralgleichungen 2. Art 585
Es ist möglich, daß die Integrale in A1.7b) nicht exakt ausgewertet werden können. In diesem Fall muß
man eine Näherungsformel (s. 19.3, S. 925) anwenden Das lineare Gleichungssystem A1.7c) besteht
aus n Gleichungen für die Unbekannten A\,...,An'
(i-
—Acoi Ai +A — Xcoo)Ao — .. —\co„ A„ = bo .
A1 7d)
Acn)i4i -XcuA2- .
-Ac2i Ai +A - Xc22)A2 -
-Xcni Ai -Xcn2 A2 -
—Xcin An = bi
-Xc2nAn = 02
+A - Xcnn)An = bn
3. Diskussion der Lösung, Eigenwerte und Eigenfunktionen
Aus der Theorie linearer Gleichungssysteme ist bekannt, daß A1.7d) genau dann eine eindeutig
bestimmte Lösung für Ai, ,An besitzt, wenn die Koeffizientendeterminante nicht verschwindet:
| A - Acn) -Aci2 • -Xch
-Xc2i A - Ac22) . -Ac2n |
D(A) =
^0. A18)
-Acni -Acn2 ... A - Acnn) |
Offenbar ist D(A) nicht identisch gleich Null, denn es gilt D@) = 1 Darüber hinaus gibt es eine Zahl
R > 0 mit -D(A) ^ 0 für |A| < R. Für weitere Untersuchungen sind zwei Fälle zu unterscheiden.
1. D(A) ^ 0
Es existiert genau eine Lösung der Integralgleichung, die durch A1.6c) gegeben ist, wobei sich die
Koeffizienten ;4i, ,An als Lösung des Gleichungssystems A1.7d) ergeben. Handelt es sich bei A1.4a) um
eine homogene Integralgleichung, d.h., ist f(x) = 0 , dann ist &i = b2 = ... = bn = 0. Das dann
homogene Gleichungssystem A1 7d) hat nur die triviale Lösung A\ = A2 = ... = An = 0. Die homogene
Integralgleichung ist nur für ip(x) = 0 erfüllt.
2. D(A) = 0.
D(A) ist ein Polynom höchstens n-ten Grades und hat bekanntlich nicht mehr als n Wurzeln. Für diese
Werte von A hat das homogene Gleichungssystem A1.7d) mit &i = b2 = ... = bn = 0 außer der trivialen
Lösung noch nicht verschwindende Lösungen, so daß auch die homogene Integralgleichung neben der
trivialen Lösung ip(x) = 0 noch weitere Lösungen der Form
ip(x) = C ¦ (j4iai(a;) + A2a2(x) + ... + Anan(x)) (C beliebige Konstante)
hat Aufgrund der linearen Unabhängigkeit der Funktionen ai(x),..., an(x) ist ip(x) nicht identisch
Null. Die Nullstellen von D(A) nennt man Eigenwerte der Integralgleichung. Die zugehörigen, nicht
identisch verschwindenden Lösungen der homogenen Integralgleichung heißen die Eigenfunktionen zum
Eigenwert A . Zu einem Eigenwert können mehrere linear unabhängige Eigenfunktionen gehören. Für
Integralgleichungen mit allgemeineren Kernen werden darüber hinaus alle diejenigen Zahlen A als
Eigenwerte bezeichnet, für die die homogene Integralgleichung nichttriviale Lösungen besitzt. In
verschiedenen Arbeiten wird A mit D(A) = 0 als charakteristische Zahl und ß = — als Eigenwert bezeichnet.
A
rb
Dies resultiert aus der Integralgleichungsform n<p(x) = / K(x, y)(p{y) dy.
Ja
4. Transponierte Integralgleichung
Es bleibt noch zu untersuchen, unter welchen Bedingungen im Fall D(A) = 0 auch die inhomogene
Integralgleichung eine Lösung besitzt. Zu diesem Zweck führt man die zu A1.4a) transponierte
Integralgleichung ein-
b
il)(x) = g{x) + AI K(y, xI>(y) dy. A1.9a)
586 11. Lineare Integralgleichungen
Es sei A ein Eigenwert und <p(x) eine Lösung der inhomogenen Integralgleichung A1.4a). Dann läßt
sich zeigen, daß A auch Eigenwert der transponierten Gleichung ist. Man multipliziert beide Seiten von
A1.4a) mit irgendeiner Lösung tp(x) der homogenen transponierten Integralgleichung und integriert
anschließend über x in den Grenzen von a bis b:
b b b / b \
f (p(x)ip(x) dx = f f(x)x/j(x)dx+ f f A f K(x,y)ip(x)dx\ (f(y)dy. A19b)
o o a \ a /
Da ip(y) = A / K(x, y)ip(x) dx vorausgesetzt war, erhält man die Forderung / f(x)ip(x) dx = 0
Insgesamt gilt also: Die inhomogene Integralgleichung A1.4a) ist für einen Eigenwert A genau dann
lösbar, wenn die Störfunktion f(x) orthogonalzu. allen nicht verschwindenden Lösungen der homogenen
transponierten Integralgleichung mit demselben A ist. Diese Aussage ist nicht auf Integralgleichungen
mit ausgearteten Kernen eingeschränkt, sondern gilt auch für Integralgleichungen mit allgemeineren
Kernen
/+i
(x2y + xy2 -xy)(f(y)dy, ai(x) = x2 , a2{x) = x, a3(x) = -x, ßi(y) =
y, ß2(y) = y2 j ßz(y) — y • Die afc(x) sind linear abhängig Man formt deshalb die Integralgleichung
[x2y + x(y2 — y)](f{y) dy Für diese Integralgleichung gilt ol\(x) = x2 , a2(x) =
x, ßi{y) = y, ß2(y) = y2 — y • Falls eine Lösung (p(x) existiert, hat sie die Darstellung <p(x) =
x + Aix^ + A2x.
x3 dx = 0 , C12 = / x2 dx — - , b\ = / x2 dx = - ,
-i 7-i 3 7-i 3
/+i 2 r+1 2 f+l 2
(x4 - xs) dx = - , c22 = / {x3 - £2) dx = -- , b2 = / (x3 - x2) dx = --
-i 5 7-i 6 J-i 6
2 2 2 / 2\ 2
Damit lautet das System zur Bestimmung von A\ und A2: A\ — -A2 = - , —A\ + 1 + - L42 = —
3 3 5 V 3/ 3
!0 „ 2 , / x 10 2 2 10 o 5
Daraus ermittelt man Ai = — , ^42 = — tz und y?(_a;) = x + xr^ — =sc = — x + -x .
ZI i Z1 / Z1 f
¦ B: <p(x) = x + A / sin(x + y)<p(y) dy , d h if (x, y) = sin(x + y) = sin x cos y + cos x sin y, </?(x)
7o
= x + X sin x / cos y </?(?/) dy + X cos x / sin y <p(y) dy
c\\ = / sinxcosxdx = 0, ci2 = / cos xdx = —, b\ = / xcosxdx = — 2,
Jo 7o 2 7o
c2i = / sin2 x dx = —, c22 = cos x sin x dx = 0, b2 = x sin x dx = 7r.
70 2 70 70
7T 7T
Das System A1 7d) lautet also Ai — X—A2 = —2 , — A—A\ +A2 = tt . Es besitzt eine eindeutige Lösung
für alle A mit D(A) =
TT2 ^Tj ^ Tj-M _ \)
= 1- X2— + 0. Dann ist Ax = —2 T , A2 = — L-, und
die Integralgleichung hat die Lösung <^(x) = x 4-
-4
1-A2^- 1-A2^-
4 4
A—— 2 I sin x + 7r(l — A) cosx
Die
2 2
Eigenwerte der Integralgleichung sind Ai = — , A2 = .
7T 7T
11.2 Fredholmsche Integralgleichungen 2. Art 587
Die homogene Integralgleichung (p(x) = Xk sin(x + y)tp(y) dy hat somit mchttnviale Lösungen der
Jo
2
Form (pk(x) = \k{Aismx + A2cosx) (k = 1,2). Für Ai = — ist Ai = A2, und mit einer beliebi-
7T
2
gen Konstanten A erhält man: <pi(x) = A(sinx + cos:r) Entsprechend ermittelt man für A2 = .
TT
tp2(x) — B(sin x — cos x) mit einer beliebigen Konstanten B .
Hinweis: Das angegebene Lösungsverfahren ist besonders einfach, bleibt aber auf ausgeartete Kerne
beschränkt. Die Methode kann jedoch auch für Integralgleichungen mit allgemeineren Kernen als
Näherungsverfahren angewendet werden, indem man den Kern durch einen ausgearteten Kern hinreichend
gut approximiert (s. [11.4] ,[11.6])
11.2.2 Methode der sukzessiven Approximation,
Neumann—Reihe
1. Iterationsverfahren
Ahnlich dem PlCARD.se/ien Iterationsverfahren (s. 9.1.1.5,1., S. 513) zur Lösung gewöhnlicher
Differentialgleichungen soll eine Methode zur iterativen Bestimmung der Lösung einer FREDHOLMschen
Integralgleichung 2. Art angegeben werden Ausgehend von der Gleichung
b
<p(x) = f(x) + A f K(x, y)<p{y) dy , A1.10)
a
wird sukzessiv eine Folge von Funktionen (fo(x), <fi(x), <p2(x),. . ermittelt. Als erste Iterierte setzt
man <po(x) = f(x). Alle folgenden <pn(x) erhält man mittels der Vorschrift:
b
<Pn{x) = f{x) + \JK(x,y)<pn-1{y)dy (n = l,2,..., <p0{x) = f{x)). A1 IIa)
Führt man die Schritte im einzelnen aus, so ist zunächst
b
Vi
(x) = f(x) + AI K(x, y)f(y) dy. A1.11b)
Nach der angegebenen Iterationsvorschrift ist dieser Ausdruck anstelle von (p(y) in die rechte Seite von
A1 10) einzusetzen Zur Vermeidung von Verwechslungen soll in A1.11b) die Integrationsvariable y in
T] umbenannt werden. Man erhält-
<p2(x) = f(x) + \J K(x, y) /(i/) + A J K(y,77OG7) dri
A1.11c)
= f(x) + \j K(x, y)f(y) dy + A2 Jf K(x, y)K(y, 77OG7) dy drj. A1 lld)
a a a
rb
Führt man die Bezeichnungen K\(x, y) = K(x, y) und K2(x, y) = / K(x, £)!£(£, y) d£ ein und nennt
Ja
77 wieder y, so kann y2(x) geschrieben werden als
b b
y2(x) = f(x) + A f Kfa y)f(y) dy + A2 J K2(x, y)f(y) dy (ll.lle)
588 11. Lineare Integralgleichungen
Mit der Bezeichnung
6
Kn(x,y) = jK(x,Z)Kn-i(t,y)dt (n = 2,3,.. ) (ll.llf)
a
erhält man auf analoge Weise die Darstellung für die n-te Iterierte (pn(x):
b b
ipn(x) = f(x) + A J Kx(x, y)f(y) dy + ... + \n j Kn(x, y)f(y) dy. A1 11g)
a a
Der Ausdruck Kn(x, y) wird als n-ter iterierter Kern von K(x, y) bezeichnet.
2. Konvergenz der Neumannschen Reihe
Zur Ermittlung der Lösung <p(x) ist die Potenzreihe bezüglich A
oc *
fW + Y,*1 Kn(xty)f(y)dy, A112)
die sogenannte NEUMANNsche Reihe, auf Konvergenz zu untersuchen. Sind die Funktionen K(x, y)
und f(x) beschränkt, d.h., es gelte
\K(x,y)\<M {a<x<b, a<y<b) und |/(x)| < TV (o < x < b), A1.13a)
so bildet die Reihe
oo
W£|AMF-a)|n A1.13b)
n=0
eine Majorante für die Potenzreihe A1 12). Diese geometrische Reihe konvergiert für
w <wh)- A1-13c)
Die NEUMANNsche Reihe konvergiert also ebenfalls absolut und gleichmäßig für alle A, die A1.13c)
erfüllen. Durch eine schärfere Abschätzung der Glieder der NEUMANNschen Reihe kann das
Konvergenzintervall noch genauer angegeben werden. Danach konvergiert die NEUMANNsche Reihe für
W< jbb 1 (ll-13d)
V a a
Diese Einschränkung an den Parameter A bedeutet nicht, daß für größere Werte von |A| generell keine
Lösung existieren würde, sondern nur, daß die Lösung unter Umständen nicht durch die NEUMANNsche
Reihe angegeben werden kann Den Ausdruck
oo
r(x,y;A) = X;An-1/Cn(x1j/) A114a)
n=l
bezeichnet man als Resolvente oder lösenden Kern der Integralgleichung Die Resolvente ermöglicht
eine Lösungsdarstellung durch
6
ip(x) = f{x) + AI r(x, y; X)f(y) dy A1.14b)
a
¦ Für die inhomogene FREDHOLMsche Integralgleichung 2. Art tp(x) = x + X / xy ip(y) dy erhält man
Jo
/**• 1 1 xy
Ki(x,y) = xy, K2(x,y) = / xrjrjydy = -xy, K3(x,y) = -xy, .., Kn(x,y) = ——r und damit
Jo 6 9 6n l
11 2 Fredholmsche Integralgleichungen 2. Art 589
(°° An\
^ — . Mit der Schranke A1 13c) konvergiert die Reihe sicher für |A| < 1, wobei
n=o 3n /
\K{x,y)\ < M = 1 ist. Die Resolvente r(x,y,X) = —- ist jedoch eine geometrische Reihe, die
sogar für |A| < 3 konvergiert. Damit erhält man aus A1 14b) (p(x) = x + A / -
Jo 1
xy2
¦A/3 v l-A/3
Hinweis: Ist für ein konkretes A die Bedingung A1.13d) nicht erfüllt, so kann ein stetiger Kern in zwei
stetige Kerne zerlegt werden durch K(x, y) = Kl(x, y) + K2(x, y), wobei Kl(x, y) einen ausgearteten
Kern darstellt und K2(x, y) so klein ist, daß A1.13d) für diesen Kern erfüllt ist. Auf diese Weise läßt
sich für alle A , die keine Eigenwerte sind, eine exakte Lösungsmethode herleiten (s [11.7]).
11.2.3 Fredholmsche Lösungsmethode, Fredholmsche Sätze
11.2.3.1 Fredholmsche Lösungsmethode
1. Näherungslösung durch Diskretisierung
Eine FREDHOLMsche Integralgleichung 2. Art
b
<p(x) = f(x) + xf K{x,y)ip(y)dy A1 15)
a
kann näherungsweise in Form eines linearen Gleichungssystems dargestellt werden Es sei
vorausgesetzt, daß die Funktionen K(x, y) und f(x) für a < x <b, a < y <b stetig sind.
Das Integral in A1 15) soll durch die linksseitige Rechteckformel (s 19 3 2.1, S. 926) angenähert
werden Man könnte aber auch eine beliebige andere Quadraturformel (s 19.3, S. 925) anwenden Mit den
äquidistanten Punkten
yk = a + (k-l)h (fc = l,2,---,n, h= ^-^) A1.16a)
n
erhält man die Näherung
<p{x) » f(x) + Xh [K(x, yiMyi) + .. + K(x, ynMyn)] • (H 16b)
Man ersetzt in dieser Beziehung (p(x) durch eine Funktion Tp(x), die A1 16b) exakt erfüllt
Jp(x) = f(x) + Xh [K(x, 2/iMi/i) + ... + K(x, yn)rp(yn)] • A1.16c)
Zur Auswertung dieser Näherungslösung benötigt man die Funktionswerte der Funktion Tp(x) in den
Stützstellen Xk = a+(k—l)h. Setzt man in A1 16c) nacheinander x = x\, x — X2, ..,x = xni so erhält
man ein lineares Gleichungssystem für die n gesuchten Funktionswerte Tp(xk) ¦ Mit den Abkürzungen
Kjk = K(xj,yk), (fk = Tp{xk), fk = f(xk) A1.17a)
lautet dieses Gleichungssystem
A - XhKn)<pi -XhK12 (p2 - -XhKln (pn = fx,
-XhK2i <p\ +A - XhK22)^2 - • • • -XhK2n yn = f2 ,
-XhKni ipi -XhKn2 v?2 - • • • +A - XhKnn)ipn = fn.
Das System besitzt die Koemzientendeterminante
I A - XhKn) -XhK12 -XhKh
Dn(A)r_| -XhK2l (l-XhK22) ... -XhK2n\
A1 17b)
A1.17c)
-XhKnl -XhKn2 ... {l-XhKnn)\
Diese Determinante hat dieselbe Struktur wie die Koeffizientendeterminante, die bei der Behandlung
von Integralgleichungen mit ausgearteten Kernen auftritt. Das Gleichungssystem A1.17b) besitzt eine
590 11. Lineare Integralgleichungen
eindeutige Lösung für alle A mit Dn(A) ^ 0 Diese Lösung besteht aus Näherungen für die
Funktionswerte der gesuchten Funktion <p (x) in den Stützstellen Die Zahlen A mit Dn(A) = 0 sind Näherungen
für die Eigenwerte der Integralgleichung. Die Lösung von A1 17b) läßt sich als Quotient darstellen
(s CRAMERsche Regel, 4.4.2.3, S. 283).
D*(A)
Vk = ¦
i(f(xk) (fc = l,...,n).
A1 18)
D„(A)
Dabei entsteht Dj(A) aus Dn(A), indem die fc-te Spalte durch /i, /2,..., fn ersetzt wird
2. Bestimmung der Resolvente
Läßt man n gegen unendlich gehen, dann erhalten die Determinanten D£(A) und Dn(A) unendlich viele
Zeilen und Spalten. Die Determinante
D(A) = nlim)Dn(A) A1.19a)
wird benutzt, um den lösenden Kern (Resolvente) r(x, y; A) (vgl. Abschnitt 11.2.2) in der Form
D(z,y;A)
r(x,y;\) =
D(A)
A1.19b)
darzustellen. Es gilt die Aussage, daß alle Nullstellen von D(A) Polstellen von T(x, y, A) sind.
Gleichzeitig sind die A mit D(A) = 0 genau die Eigenwerte der Integralgleichung A1.15). In diesem Fall besitzt
die homogene Integralgleichung nicht verschwindende Lösungen, die Eigenfunktionen zum Eigenwert
A. Die Kenntnis der Resolvente r(x, y; A) ermöglicht, falls D(A) ^ 0, eine explizite Lösungsdarstellung
b b
<p(x) = f(x) + A J r(x, y; A)/(y) dy = f(x) + —- J D(x, y, A)/(y) dy A1 19c)
Zur Ermittlung der Resolvente nutzt man für die Funktionen D(x,y;A) und D(A)
Potenzreihenentwicklungen bezüglich A:
T(x,y;A):
D(x,y;A) £(-!>"*.(*.*)¦*"
D(A)
£ (-l)ndn - Xn
A1.20a)
Es ist dabei do = 1, K0(x,y) = K(x,y). Die weiteren Koeffizienten lassen sich aus folgenden
Rekursionsformeln gewinnen*
1 b b
dn = - f Än-i(z,x)dx, Kn(x,y) = K{x,y)-dn- f K{x,t)#n-i(t,y)dt. A1 20b)
a a
¦ A: ip(x) = sin x + A / sin x cos y ip(y) dy Die exakte Lösung dieser Integralgleichung lautet-
Jo
TT
— Q mif -r. — H rr„ — _ „.„ _ _
3 ' " 6
2 7T
fi00) = ^ T smx Firr n = 3 mit x\ = 0 , x% — — ,
2 — A 6
7T TT
Xs = — , fi = — erhält man
D3(A) =
-* 1
12
y/3\7T
0
V^Att
24
3Att
" 24
1
0
Att
24
v^Att
-(•¦
\/3Att
24
192 12 v^tt
12 24 24
ist eine Näherung für den exakten Eigenwert A = 2. Aus der ersten Gleichung des Systems A1 17b)
ermittelt man für /i = 0 das Ergebnis ipi = 0. Nach Einsetzen dieses Resultates lauten die zweite und
i . ™ • , L v^AtA Att 1 3Att / \/3\ir\ \/3 ^.
dritte Gleichung: 1 —— (£2 - — <^3 = - —_ (p2+[l —— \ tp3 = —- . Dieses System
24
11.2 Fredholms che Integralgleichungen 2. Art 591
1 F\
hat die Lösung <p2 = 7=— , ipz = -/=— . Speziell für A = 1 ist ipi = 0, ip2 = 0,915, ip$ =
2_V^X 2_V|rA
6 6
1, 585. Die exakten Lösungswerte lauten: <p(Q) = 0, y? ( — ) = 1, y>( — 1 =1, 732 .
Um eine höhere Genauigkeit zu erreichen, muß die Anzahl der Stützstellen vergrößert werden.
¦ B: <p(x) = x + A / Dxy — x2)ip(y) dy, do = 1, -Ko(#> y) = 4xy — x2 , di = / 3x2 dx = 1,
7o Jo
f1 4 4 1 f1 1
Ki(x,y) = Axy-x2- / D:c£-£2)Dft/-£2) dt = x + 2x2y--x2 --xy ,d2 = - / Äi(a?,a;)da; = — ,
7o 3 3 2 7o 18
1 ri
K2(a:5 y) = T77D^y — ar) — / K"(x, t)Ki(t, y) dt = 0. Damit sind auch d3, #3B;, y) und alle folgenden
18 Jo
4xy — x2 — \x + 2x2y — -x2 — -zxy\ A
1-A+-
Größen 4 und Kk{x, y) gleich Null. r(z, y, A) = *= r^ —-— . Aus 1 - A +
18
A2
— = 0 ermittelt man die 2 Eigenwerte Ai^ = 9 ± 3\/7. Falls A kein Eigenwert ist, erhält man als
18
3zBA - 3Xx 4- 6)
Jo * v~'y' ",J yyj ~y ~ A2 - 18A + 18 '
11.2.3.2 Fredholmsche Sätze
Zur FREDHOLMschen Integralgleichung 2. Art
Lösung ip(x) = x + A / T(x, 2/; X)f(y) dy --
Jo
<p(x) = f(x) + \j K(x, y)<p(y) dy A1.21a)
a
ist durch
6
i/>(x) = g(x) + AI K(y, x)i>(y) dy A1 21b)
a
eine zugehörige transponierte Integralgleichung gegeben. Zu diesem Paar von Integralgleichungen
lassen sich folgende Aussagen treffen (s. 11 2 1, S. 584).
1. Eine FREDHOLMsche Integralgleichung 2. Art besitzt nur abzählbar viele Eigenwerte, welche sich
nur im Unendlichen häufen können, d h., es existieren für jede reelle Zahl R nur endlich viele Eigenwerte
Amit |A| < R.
2. Ist A kein Eigenwert von A1.21a), dann sind beide inhomogene Integralgleichungen für
beliebige Störfunktion f(x) bzw. g(x) eindeutig lösbar, und die zugehörigen homogenen Integralgleichungen
besitzen nur die triviale Lösung.
3. Ist A ein Eigenwert von A1.21a), dann ist A auch Eigenwert der transponierten Gleichung A1.21b).
Beide homogene Integralgleichungen haben dann nicht verschwindende Lösungen, und die Anzahl
linear unabhängiger Eigenfunktionen stimmt für beide Gleichungen überein.
4. Eine inhomogene Integralgleichung ist genau dann lösbar, wenn die Störfunktion zu allen
Lösungen der homogenen transponierten Integralgleichung orthogonal ist, d.h. falls für alle Lösungen der
Integralgleichung
b b
ip(x) = X f K(x,y)i/>(y)dy A1.22a) gilt f f(x)ip(x)dx = 0 A1.22b)
592 11. Lineare Integralgleichungen
Aus diesen Sätzen folgt der FREDHOLMsc/ie Alternativsatz: Entweder die inhomogene
Integralgleichung ist für beliebige Störfunktion f{x) lösbar oder die zugehörige homogene Gleichung besitzt
nichttriviale Lösungen (s. [11 3], [11 7]).
11.2.4 Numerische Verfahren für Fredholmsche
Integralgleichungen 2. Art
Häufig wird eine FREDHOLMsche Integralgleichung 2. Art
b
ip(x) = f(x) + \J K(x, y)ip(y) dy A1.23)
mit einem der in 11.2.1, S. 584, 11.2.2, S. 587, und 11.2.3, S. 589 beschriebenen Verfahren entweder
gar nicht oder nur mit großem Aufwand exakt gelöst werden können. In einem solchen Fall müssen
numerische Näherungsmethoden herangezogen werden Es sollen im folgenden drei Verfahrensklassen
zur numerischen Lösung von Integralgleichungen des Typs A1.23) vorgestellt werden. Die
Lösungsansätze führen häufig auf große lineare Gleichungssysteme mit voll besetzter Koeffizientenmatrix Zu
deren Lösung eignen sich Mehrgitterverfahren (s [11.4]).
11.2.4.1 Approximation des Integrals
1. Semidiskretes Problem
Zur Bearbeitung der Integralgleichung A1 23) wird das Integral durch einen Näherungsausdruck
ersetzt. Derartige Näherungen bezeichnet man als Quadraturformeln. Sie haben die Form
/ f(x) dx « Q[aM(f) = £ ukf{xk), A1 24)
d.h., anstelle des Integrals steht eine Summe mit Zahlen ujk gewichteter Funktionswerte an den
Stützstellen Xk • Diewfc sind dabei (unabhängig von /) geeignet gewählt Damit kann A1.23) näherungsweise
geschrieben werden:
V>(x) « f{x) + \Q[aM{K{x, •)</>(•)) = /(*) + *Y,UkK(x1yk)tp(yk). A1.25a)
fe=i
Die Quadraturformel Q[a^{K{x, -)<p(-)) hängt dabei noch von der Variablen x ab Der Punkt im
Argument der Funktion deutet an, daß die Quadraturformel bezüglich der unabhängigen Variablen y
angewendet worden ist. Man geht über zur Gleichung
Jp(x) = f(x) + A £ "kK(x, yk)<p(yk). A1 25b)
fc=i
Tp{x) bildet eine Approximation für die exakte Lösung (p(x) Man bezeichnet A1.25b) als ein
semidiskretes Problem, da bezüglich der Variablen y zu diskreten Werten übergegangen wurde, während die
Variable x noch beliebig wählbar ist.
Wenn für eine Funktion Tp(x) die Gleichung A1.25b) für alle x G [a, b] gilt, ist diese natürlich auch an
den Stützstellen x = xk erfüllt.
n
V(xk) = f(xk) + A Y,UjK{xk, yj)<p{yj) {k = 1,2,..., n). A1.25c)
j=i
Dies ist ein lineares Gleichungssystem, bestehend aus n Gleichungen für die n Unbekannten Jp(xk).
Durch Einsetzen dieser Lösungswerte in A1.25b) ist die Lösung des semidiskreten Problems gegeben
Die Genauigkeit und der Rechenaufwand dieses Verfahrens hängen von der Güte der Quadraturformel
ab. Benutzt man z.B. die linksseitige Rechteckformel mit äquidistanten Stützstellen yk = xk = a +
11.2 Fredholmsche Integralgleichungen 2. Art 593
h{k-l),h = {b-a)/n, {k = 1,... ,rc):
6 n
/ K(x, y)ip(y)dy « £ /itf(x, yfcMj/fc), A1.26a)
{ k=l
so erhält das System A1.25c) unter Verwendung der Bezeichnungen
Kjk = K{xj,yk), fk = f(xk), (fk = Tp{xk) A1.26b)
die Form-
(l-\hKn)ipi -\hK12V2- ¦¦¦ -XhKin ipn = /1,
-XhK2\ (pi +A - \hK22V2) - • • • -XhK2n <fn = S2 , /,, rt^ n
A1.26c)
-XhKni (pi -\hkn2 <p2- • • • +A - XhKnn)(pn = fn.
Genau dieses System wurde schon bei der Untersuchung der FREDHOLMschen Lösungsmethode (s.
11.2 3.1, S. 589) hergeleitet. Da die linksseitige Rechteckformel aber nicht sehr genau ist, müssen für
eine'gute Approximation des Integrals eine große Anzahl von Stützstellen einbezogen werden, wodurch
die Dimension des Gleichungssystems wächst. Es empfiehlt sich daher, geeignetere Quadraturformeln
heranzuziehen.
2. Nyström-Verfahren
Beim Nyström- Verfahren verwendet man zur Approximation des Integrals die GAUSSschen
Quadraturformeln (s. 19.3.3, S. 927). Zu deren Herleitung betrachte man das Integral
b
1= f f{x)dx. A1.27a)
a
Man ersetzt den Integranden durch ein Polynom p(x) vom Grade n — 1, welches die Funktion f(x) in
den n Stützstellen xk interpoliert:
/\ shrt\*/ \ •* t ( \ {x-xx) ... (x-Xk-^ix-Xk+i) ... (x-xn) /110-x
P(x) = 22 Lk(x)f{xk) mit Lk(x) = -± -j f- ^- —!- "- --r . A1.27b)
fc=l [Xk -Xi) ... [Xk - Xk-l){Xk - Xk+i) ...{Xk- Xn)
Für das so definierte Polynom p(x) gilt:
P(xk) = f(xk) (k = l,...,n).
Die Ersetzung des Integranden f(x) durch p(x) liefert die Quadraturformel
b b n b n b
I f(x) dx& I p(x) dx = J2 f(x*) I Lk(x) dx = ^2 ukf{xk) mit uk = I Lk(x) dx. A1.27c)
a a fc=l a fc=l a
Für die GAUSSschen Quadraturformeln ist die Wahl der Stützstellen nicht willkürlich, sondern erfolgt
nach der Vorschrift:
Xk = 2~^ + h~YLtk (fc = 1'2" -'n)- A128a)
Die n Zahlen tk sind die n Nullstellen des LEGENDREschen Polynoms 1. Art (s. 9 1.2.6,3., S. 529)
594 11. Lineare Integralgleichungen
Diese Nullstellen liegen alle im Intervall [—1, +1]. Die Koeffizienten uk können durch die Substitution
x — Xk = —-—(t — tk) ermittelt werden*
/l f {t — t
Lk{x) dx = (b-a)-J _t
(t-U). jt-tk-1)(t-tk+1)...(t-tn)
)...{tk-tk.1)(tk-tk+1)...(tk-tn)
dt
A1.29)
= (b- a)Ak.
In Tabellell.l sind für n = 1,..., 6 die Nullstellen der LEGENDREschen Polynome 1. Art sowie die
Gewichte Ak angegeben
Tabelle 11.1 Nullstellen der LEGENDREschen Polynome 1. Art
n
1
2
3
4
t
U = 0
h = -0,5774
t2= 0,5774
tx = -0,7746
t2= 0
t3= 0,7746
ti =-0,8612
t2 = -0,3400
t3= 0,3400
U= 0,8612
A
Ax = l
Ax = 0,5
A2 = 0,5
Ax = 0,2778
A2 = 0,4444
A3 = 0,2778
Ax = 0,1739
A2 = 0,3261
A3 = 0,3261
A4 = 0,1739
n
5
6
t
ii = -0,9062
t2 = -0,5384
*3= 0
¦ t4 = 0,5384
t5 = 0,9062
*i = -0,9324
t2 = -0,6612
*3 = -0,2386
U = 0,2386
t5= 0,6612
*e = 0,9324
A
AY =0,1185
A2 = 0,2393
A3 = 0,2844
A4 = 0,2393
A5 = 0,1185
Ai = 0,0857
A2 = 0,1804
A3 = 0,2340
A4 = 0,2340
A5 = 0,1804
A6 = 0,0857
x Z
¦ Die Integralgleichung ip(x) = cos ttx + — (ex +1) + / exy(p(y) dy ist näherungsweise nach dem
Nyström-Verfahren für den Fall n = 3 zu lösen
n = 3: Xl = 0,1127, z2 = 0,5, x3 = 0,8873,
Ax = 0,2778, A2 = 0,4444, A3 = 0,2778,
/i = 0,96214, f2 = 0,13087, /3 = -0,65251,
tfn = 1,01278, K22 = 1,28403, X33 = 2,19746,
#12 = üT2i = 1,05797, Kl3 = K31 = 1,10517, if23 = K32 = 1,55838.
Das Gleichungssystem A1.25c) zur Ermittlung von c/?i, y?2 und cp3 lautet:
0,71864V?! - 0,47016c/>2 - 0,30702cp3 = 0,96214,
-0,29390c/?i + 0,42938(^2 - 0,43292cp3 = 0,13087,
-0,30702cpi - 0,69254(^2 + 0,38955t/?3 = -0,65251.
Lösung des Systems: cpi = 0,93651, <p2 = -0,00144, (p3 = -0,93950. Die Werte der exakten
Lösung in den Stützstellen sind: <p(xi) = 0,93797, ip(x2) = 0, (p(x3) = -0,93797.
11.2.4.2 Kernapproximation
Man ersetzt den Kern K(x, y) durch einen Kern K(x, y) mit K(x, y) « K(x, y) für a < x < b,
a <y <b Diesen Kern wählt man so, daß die resultierende Integralgleichung
b
Jp(x) = f{x) + \jK(x,y)<p{y)dy A1 30)
11 2 Fredholmsche Integralgleichungen 2 Art 595
möglichst einfach zu lösen ist
1. Tensorprodukt-Approximation
Eine häufig verwendete Näherung für den Kern ist die Tensorprodukt-Approximation der Form
K(x,y) « K(x,|/) = EEdjkaj(x)ßk(y) A1.31a)
j=0 k=0
mit linear unabhängigen Funktionen a0(x), , an (x) bzw ß0(y), , ßn(y). Diese Funktionen werden
vorgegeben, und die Koeffizienten djk können so bestimmt werden, daß die Doppelsumme den Kern in
einem gewissen Sinne gut approximiert Umformung von A1.31a) mit ausgeartetem Kern ergibt
j=0
Y,doMy)
k=0
-- E aAxNj(y) mit sj(y) = E dJkßk{y).
j=0 k=0
Somit kann das in 11 2 1, S. 584 vorgestellte Verfahren zur Lösung der Integralgleichung
0
jp{x) = f{x) + \J
Y,aj(xNj(y)
<p(y) dy
A1.31b)
A1.31c)
zur Anwendung kommen Bei der Auswahl der Funktionen a0(x),... an(x) bzw. ßo(y), ., ßn{y) sollte
beachtet werden, daß die Zahlen djk in A1 31a) einfach zu bestimmen sind und der Rechenaufwand zur
Behandlung von A1 31c) gering bleibt.
2. Spezieller Spline-Ansatz
Für eine spezielle Kernapproximation auf dem Integrationsintervall [a,b] = [0,1] wird
ak(x) = ßk(x) ¦¦
l-n
0
... k - 1 k + 1
rur < x < ,
sonst
gewählt. Die Funktion ak(x) ist nur in dem Intervall
1 k + l
n
A1 32)
, dem sogenannten Träger,
ungleich Null (Abb. 11.1)
KM
Zur Bestimmung der Koeffizienten djk in A1 31a)
betrachte man K(x,y) an den Stellen x = //n, y = i/n (l,i =
0,1,... ,n). Dann gilt
°H-]<Mr
n/
1 für j = /, A;:
0 sonst
A1.33)
und folglich K(l/n, i/n) = du . Aus diesem Grund setzt man
dK=-R[l-,i-
\n n
damit die Form
K \ - , - | . Die Gleichung A1.31a) hat
in n
Abbildung 11 1
K(x> y) = tt^A^ -) <*j(*)ßk(v) ¦ A1 34)
Die Lösung von A1.31c) hat bekanntlich die Darstellung
Tp(x) = f(x) + A0a0(x) + ... + Anan(x). A1.35)
Der Ausdruck ^0^o(^) + • • • + Anan{x) ist dabei ein Polygonzug, der an der Stelle xk = k/n den Wert
Ak annimmt. Bei der Lösung von A1 31c) nach dem Verfahren für ausgeartete Kerne ergibt sich ein
596 11. Lineare Integralgleichungen
lineares Gleichungssystem für die Zahlen A0, • .., An-
A - Acoo)A) -Acoi Ai- ... -Ac0n An = b0 ,
-AcioA) +A - Acn^i) - ... -\cinAn = bi,
A1.36a)
-XCnQ Aq
-\Cni Ai
+ A - \Cnn)An = bn
Dabei ist
rn ~\
cjk = J Sj(x)ak(x)dx = J £#f-,-Jaj(:r) ak(x)dx
= K (-,-) / a0(x)ak(x)dx + ... + K ( -, - ) / an(x)ak(x)dx.
\n nj J \n nj J
A1.36b)
Für die Integrale ergibt sich
Ijk = JOij{x)ak{x)dx--
( J_
3n
_2_
3n
J_
6n
0
für j = 0, A; = 0 und j = n, k = n,
für j = A;, 1 < j < n,
für j = A: + 1, j = A: — 1,
sonst.
A1 36c)
Die Zahlen bk in A1 36a) sind festgelegt durch
i
: = //(*)
S'lMl^
dx.
A1.36d)
Werden die Zahlen Cjk aus A1.36a) zur Matrix C , die Werte K(j/n, k/n) zur Matrix B und die
Werte Ijk zur Matrix A zusammengefaßt, und wird aus den Zahlen 60> • • • > bn der Vektor b und aus den
gesuchten Zahlen A0,..., An der Vektor a gebildet, dann hat das Gleichungsystem A1 36a) in
Matrizenschreibweise die Form
(I - AC)a = (I - ABA)a = b. A1.36e)
Falls die Matrix (I — ABA) regulär ist, hat dieses System eine eindeutige Lösung a = (j40, ..., An).
11.2.4.3 Kollokationsmethode
Es werden n auf dem Intervall [a, b] linear unabhängige Funktionen y>i(x),..., (fn(x) vorgegeben. Mit
diesen Funktionen bildet man eine Ansatzfunktion Tp(x) für die Lösung (f(x):
(p(x) ttip(x) = ai(fi(x) + a,2<P2{x) + . + an(pn(x). A1.37a)
Die Aufgabe besteht in der Bestimmung der Koeffizienten ai,..., an . Für eine so definierte Funktion
~ip{x) wird es im allgemeinen keine Werte ai,..., an geben, so daß damit die exakte Lösung der
Integralgleichung A1.23) ip(x) — p(x) vorliegt. Deshalb gibt man sich im Integrationsintervall n Stützstellen
Xi,...,xn vor und fordert, daß der Ansatz A1.37a) die Integralgleichung zumindest an diesen Stellen
erfüllt:
V{xk) = ai(pi(xk) + ... + an(fn(xk) A1.37b)
b
= f(xk) + \jK(xk,y) [anpi{y) + ... + an<pn{y)} dy {k = 1,... ,n). A1.37c)
11.2 Fredholms che Integralgleichungen 2 Art 597
Etwas umgeformt hat dieses Gleichungssystem die Gestalt'
b
Vi(%k) - A / K(xk,y)(fi(y)dy
= f(xk) (fc=l, ,n)
Definiert man die Matrizen
/Pi(zi) '•• <Pn(xi)\
A= : : , B=
\¥?l(xn) ••• ipn{xn)J
und die Vektoren
a =
[ai. . , an]T, b= [/(xi),...
ai + ...+ U
/Al ••• ßm
¦
\ßnl-'-ßnn
, /MV ,
„(xjb) - Ay K(xk,y)(pn{y)c
A1 37d)
mit /?jfc = f K{x^y)^k{y)dy A1 37e)
A1 37f)
dann kann das Gleichungssystem zur Bestimmung der Zahlen a1}. ., an in Matrizenform angegeben
werden
(A-AB)a = b
A1.37g)
tp{x) =
y/x
+ / Jxyip(y) dy Ansatz: ip(x) = a1x2+a2x+a3 , (fi(x) = x2 , ip2(x) = x , ip$(x) = 1
Stützstellen- x\ = 0, x2 = 0,5, x3 = 1.
DasC
/ 0 0 1 \
rleichungssys
teir
G-
5
7°'
'l
B =
i lautet
/ 0 0 0 \
yß V2 >/2
7 5 3
2 2 2
\ 7 5 3 i
, h =
a3 = 0,
V2\
_5J3
+ 5
a2 + (l-^)a
1
o
1
1
J" 2"
/ ° \
1
272
1
2
Man erhält als Lösung dieses Systems a\ = —0,8197, a2 = 1,8092, a3 = 0 und somit
?(a;) = -0,8197x2 + 1,8092z, mit p@) = 0, ^@,5) = 0,6997, ^A) = 0,9895.
Die exakte Lösung der Integralgleichung ist </?(#) = ^/x mit </?@) = 0, </?@, 5) = 0. 7071, <p(l) = 1.
Soll in diesem Beispiel die Genauigkeit verbessert werden, dann empfiehlt es sich nicht, den Grad des
Polynomansatzes zu erhöhen, da Polynome höheren Grades numerisch instabil sind. Es sind vielmehr
verschiedene Spline-Funktionenansätze vorzuziehen, etwa der stückweise lineare Ansatz
Tp(x) = a\ip\(x) + a2v?2(z) + • + &ny>n{x) mit den bereits in 11.2.4.2, S. 594 angeführten Funktionen
1-
k
x
n
k - 1 k + 1
für < x < .
n n
Vk{x) = i
@ sonst
Die Lösung (p(x) wird in diesem Fall durch einen Polygonzug Tp(x) angenähert
Hinweis: Die Wahl der Lage der Stützstellen für das Kollokations verfahren ist prinzipiell ohne
Beschränkung. Ist jedoch bekannt, daß die Lösungsfunktion in einem Teilintervall stark oszilliert, dann
sollten in diesem Intervall die Stützstellen dichter gelegt werden.
598 11. Lineare Integralgleichungen
11.3 Fredholmsche Integralgleichungen 1. Art
11.3.1 Integralgleichungen mit ausgearteten Kernen
1. Formulierung der Aufgabe Zur Behandlung der FREDHOLMschen Integralgleichung 1. Art mit
ausgeartetem Kern
b
¦ f(x) = J(a1{x)ß1(y) + ... + an(x)ßn(y))<p{y)dy, c<x<d, A1.38a)
a
werden wie in 11.2, S. 584 die Konstanten
b
Aj = jßj(yMy)dy 0 = 1,2,. ..,n) A1.38b)
eingeführt. Die Gleichung A1.38a) besitzt die Darstellung
f{x) = Aiai{x) + ... + Anan{x), A1.38c)
d.h., nur wenn f(x) eine Linearkombination der Funktionen a\(x),..., an(x) ist, hat die
Integralgleichung eine Lösung. Ist diese Bedingung erfüllt, dann sind die Konstanten Ai,..., An bekannt.
2. Lösungsansatz Der Lösungsansatz
<p(x) = aßi(x) +... + Cnßn(x) t A139a)
mit den unbekannten Koeffizienten ci,..., Cn führt nach Einsetzen in A1.38b) auf die Beziehungen
6 6
Ai = c1Jßi(y)ß1(y)dy + ... + cnJßi(y)ßn(y)dy (i = 1,2,.. ,n). A1.39b)
a a
Nach Einführung der Bezeichnung
b
Kij = fßi(y)ßj(y)dy A1.39c)
ergibt sich das folgende lineare Gleichungssystem zur Bestimmung der Koeffizienten ci,..., cn:
Knd + ... + Klncn = Ai,
A1.39d)
KniCi + . . . + KnnCn = An
3. Lösungen Die Koeffizientenmatrix ist regulär, wenn die lineare Unabhängigkeit (s. 12.1.3, S. 619)
der Funktionen /?1} (?/),..., ßn(y) vorausgesetzt wird. Die so ermittelte Lösung A1.39a) ist jedoch nicht
die einzige Lösung der Integralgleichung. Im Gegensatz zur Integralgleichung 2. Art mit ausgeartetem
Kern ist die homogene Integralgleichung immer lösbar. Ist (ph{x) eine solche Lösung der homogenen
Gleichung und (p(x) eine Lösung von A1.38a), dann ist auch (p(x) + fh(x) eine Lösung von A1.38a).
Um alle Lösungen der homogenen Gleichung zu bestimmen, wird die Gleichung A1.38c) mit f(x) = 0
betrachtet Werden die Funktionen ai(x),..., an(x) als linear unabhängig vorausgesetzt, dann ist die
Gleichung genau dann erfüllt, wenn gilt:
b
Aj = Jßj(y)<p(y)dy = 0 (j = 1,2,... ,n), A1.40)
a
d.h., jede zu allen Funktionen ßj{y) orthogonale Funktion (ph{y) löst die homogene Integralgleichung.
11.3 Fredholms che Integralgleichungen 1. Art 599
11.3.2 Begriffe, analytische Grundlagen
1. Lösungsansatz Eine Reihe von Verfahren zur Lösung von FREDHOLMschen Integralgleichungen
1. Art
b
f{x) = JK{x1y)(p(y)dy, c<x<d, A141)
geht von einer Darstellung der Lösung (p(y) als Funktionenreihe bezüglich eines Funktionensystems
(ßn{y)) — {ßi(y), ß2{y), • • •} aus, d.h., es wird der Lösungsansatz
?(v) = £c;ftö/) A142)
mit zunächst unbestimmten Koeffizienten Cj gewählt Bei der Wahl des Funktionensystems (ßn(y)) ist
zu beachten, daß durch diese Funktionen der gesamte Raum der Lösungen erfaßt wird und die
Koeffizienten Cj geeignet dargestellt werden können
Aus Gründen der Übersichtlichkeit werden die nachfolgenden Ausführungen auf reellwertige
Funktionen beschränkt. Alle Aussagen sind aber auf komplexwertige Funktionen übertragbar. Für die
Begründung der darzulegenden Lösungsverfahren sind einige Forderungen an die Kernfunktion K(x,y)
zu stellen (s. [11.3], [11.12]) Diese Forderungen werden stets als erfüllt angesehen. Zunächst werden
einige Hilfsmittel erläutert.
2. Quadratische Integrierbarkeit Eine Funktion i/j(y) heißt quadratisch integrierbar im Intervall
[a, b], falls gilt-
b
jmy)\2dy<oo. A143)
a
Insbesondere ist jede in [a, b] stetige Funktion auch quadratisch integrierbar Der Funktionenraum aller
in [a, b] quadratisch integrierbaren Funktionen wird mit L2[a, b] bezeichnet.
3. Orthonormalsystem Zwei quadratisch integrierbare Funktionen ßi{y), ßj(y),y G [a, b] werden
als orthogonal bezeichnet, falls für i ± j gilt:
b
Jßi(y)ßj(y)dy = 0 A144a)
a
Ein Funktionensystem (ßn(y)) im Raum L2[a, b] wird als Orthonormalsystem bezeichnet, wenn die
Beziehungen
b
jßi{y)ßj(y)dy = {l [£ ^y A1.44b)
a
erfüllt sind Ein Orthonormalsystem ist überdies vollständig, wenn in L2[a, b] keine Funktion ß(y) ^ 0
existiert, die zu allen Funktionen dieses Orthonormalsystems orthogonal ist. Ein vollständiges
Orthonormalsystem besteht aus abzählbar vielen Funktionen, die eine Basis des Raumes L2[a,b]
bilden. Um aus einem Funktionensystem (ßn(y)) ein Orthonormalsystem (ß^(y)) zu ermitteln, kann das
SCHMlDTsc/ie Orthogonalisierungsverfahren verwendet werden, das sukzessive für n = 1,2,.. die
Koeffizienten 6ni, 6n2, ., bnn derart bestimmt, daß
ß:(y) = Ebnjßj(y) (ii44c)
normiert und zu allen Funktionen ßl(y),..., ßn-i(y) orthogonal ist.
600 11. Lineare Integralgleichungen
4. Fourier-Reihen Ist {ßn{y)) ein Orthonormalsystem und ip(y) € L2[a, b], dann heißt die Reihe
OO
E*Ä(y) = ^(y) A145a)
die FOURIER-Reihe von ijj(y) bezüglich (ßn(y)), und die Zahlen dj sind die zugehörigen Fourier-
Koeffizienten. Für diese gilt auf Grund von A1 44b)
j ßk(vW(v) dy = Y.dij ßj(y)ßk(y) dy = dk (ll.45b)
a J=l a
Ist (ßn{y)) vollständig, dann gilt die PARSEVALsche Gleichung
?
my)\2dy = j:\dj\2. A1.45c)
11.3.3 Zurückführung der Integralgleichung auf ein lineares
Gleichungssystem
Es soll ein lineares Gleichungssystem zur Berechnung der FOURIER-Koeffizienten der Lösungsfunktion
ip(y) bezüglich eines Orthonormalsystems aufgestellt werden Dazu wird ein vollständiges
Orthonormalsystem {ßn{y))^y £ [a,b] gewählt. Ein entsprechendes vollständiges Orthonormalsystem (an(x))
möge auch für das Intervall x € [c,d] vorliegen. Bezüglich des Systems (an(x)) besitzt die Funktion
f(x) die FOURIER-Reihe
t
f(x) = ^2fiai(x) mit fi= (Xi{x)f(x)dx. A1 46a)
i=l c
Die Multiplikation der Integralgleichung A1 41) mit ai(x) und die anschließende Integration bezüglich
x in den Grenzen von c bis d liefert:
d b
fi = J J K(x,y)ip(y)cti(x)dydx
c a
= jljK{x:y)ai(x)dx\ip(y)dy B = 1,2,...). A146b)
Der Ausdruck in der geschweiften Klammer ist eine Funktion von y und möge die FOURIER-Darstellung
dr
/ K(x,y)ai{x)dx = K^y) = J2Kijßj{y) A1 46c)
c J=l
b d
mit Kij = / K(x,y)ai(x)ßj(y)dxdy
a c
besitzen. Mit dem FOURIER-Reihenansatz
oo
vB/) = Ec*A(y) A146d)
fc=i
erhält man
f* = 11£ KvßAv) (E cA(v)) \ dy
11.3 Fredholms che Integralgleichungen 1 Art 601
OO OO p
= T,EKiJck ßj(y)ßk(y)dy B = 1,2,..). A1.46e)
3=1 k=l Ja
Auf Grund der Orthonormaleigenschaft A1 44b) ergibt sich das lineare Gleichungssystem
h = Y,KiJcJ (< = 1,2,...).
A1 46f)
Das ist ein System mit unendlich vielen Gleichungen zur Bestimmung der FOURIER-Koeffizienten
Ci, C2,... Die Koeffizientenmatrix
K =
^n K12K13---\
K2\ K22 K2s • • •
Ksi Ks2 -^33 • • *
V
A1 46g)
wird als Kernmatrix bezeichnet. Die Zahlen ft und K^ (z, j = 1,2,...) sind bekannte Größen, aber
von der Wahl der Orthonormalsysteme abhängig.
<p(y) dy, 0 < x < TT Das Integral ist dabei im Sinne des CAUCHYschen
cos y — cos x
Hauptwertes zu verstehen Als vollständige Orthogonalsysteme verwendet man:,
TT JO
1 2
1. a0(x) = —^ , ati(x) = \ — cos ix (z = 1,2 ...),
V 7T V TT
Nach A1.46d) ergibt sich für die Koeffizienten der Kernmatrix
l 1 i2 f* rn sinysinjy , , n . ., rt x
Äbj = -7=-\/-/ / -^« = 0 j = l,2, ,
V 7T 7T V 7T 70 Vo COS Z/ — COS X
2 1 /•*¦/•*¦ sin y sin zz/ cos z':r
i.ßM = f-
sinjy (j = 1,2, .)
2 1 f /,7r sin z/ sin iy cos z:r 2 fn . . f /"^ cos zx 1 . .
Aj7 = — / / dxdy = — / sin y sin zy < / dx > az/ (z = 1,2, ).
TTTTJo JO COS Z/- COS X 7T2 70 (/O COS Z/ —COS X J
Für das innere Integral gilt die Beziehung
i
cos zx , sm iy
dx = — TT— .
sinz/
o cos v — cos x
A1.47)
2 r f°
Daraus folgt i^7- = — / sin jy sin iydy = <
TT JO 1—1
für z 7^ j ,
für z = j
Die FOURIER-Koeffizienten von f(x) lauten gemäß A1.46a) fi= f(x)oti(x) dx (z = 0,1,2, .).
Jo
Das Gleichungssystem lautet:
0 00 •
-1 OO---
0 -1 0 ••
"\
/CA
c2
c3
V ' /
/7o\
h
/s
V /
Auf Grund der ersten Gleichung be-
sitzt das System nur dann eine Lösung, wenn gilt /o = / f(x)ao(x) dx = —= / f(x)dx — 0 Es ist
JO y/TT JO
/~2 oo 1 /•*
-S/iSinjj/= - /
7T . j 7T 70
V5F-
sinz/
cos z/ — cos x
-f(x)dx.
602 11 Lineare Integralgleichungen
11.3.4 Lösung der homogenen Integralgleichung 1. Art
Sind (p(y) bzw. <ph(y) beliebige Lösungen der inhomogenen bzw. homogenen Integralgleichungen
b b
f(x) = J K(x, y)ip(y) dy A1.48a) bzw. 0 = f K{x, y)<p\y) dy, A1.48b)
a a
dann ist auch die Summe <p(y) + (fh(y) eine Lösung der inhomogenen Integralgleichung Deshalb sollen
zunächst alle Lösungen der homogenen Integralgleichung bestimmt werden. Diese Aufgabe ist identisch
mit der Ermittlung aller nichttrivialen Lösungen des linearen Gleichungssystems
oo
Y,KijCj = Q (* = 1,2, ..)• A149)
Da dessen Auflösung mitunter schwierig ist, kann das folgende Verfahren zur Berechnung der
homogenen Lösungen herangezogen werden
Liegt ein vollständiges Orthonormalsystem (an(x)) vor, dann werden die Funktionen
d
Kt(y) = f K(x, y)ai{x) dx (i = 1,2,...) A1.50a)
c
gebildet. Ist iph(y) eine beliebige Lösung der homogenen Gleichung, d.h., es gilt
b
JK(x,y)<ph(y)dy = 0, A150b)
a
dann ergibt sich nach Multiplikation dieser Gleichung mit oti{x) und anschließender Integration
bezüglich x
b d b
0 = I iph(y) J K(x,y)ai(x)dxdy = I iPh(y)Ki(y)dy • (i = 1,2,...), (H-öOc)
a c a
d.h., eine beliebige Lösung ph{y) der homogenen Gleichung muß orthogonal zu allen Funktionen Ki(y)
sein. Wird das System (Kn(y)) durch das mit Hilfe einer Orthonormierung daraus hervorgehende
System (K*(y)) ersetzt, dann lautet die Bedingung A1.50c) jetzt
b
J<ph(y)K*(y)dy = 0. A1.50d)
Wird das System (K^(y)) zu einem vollständigen Orthonormalsystem ergänzt, dann erfüllt
offensichtlich jede Linearkombination der ergänzten Funktionen die Bedingung A1.50d). Ist das
Orthonormalsystem (K„(y)) bereits vollständig, dann existiert nur die triviale Lösung iph(y) = 0.
In ganz entsprechender Weise kann auch das Lösungssystem der folgenden transponierten homogenen
Integralgleichung bestimmt werden-
d
I K(x,y)ilj(x)dx = 0. A150e)
c
1 f1* sin x / 2
¦ - / (p(y) dy = 0, 0<x<7r. Orthonormalsystem: aAx) = \ — sin ix (i = 1,2, . ),
7T Jo COS y — COS X V TT
12 1 f* sinxsinzx , 2 1 r cos(z — l)x — cos(i + l)x _ .
/ / dx = \ —— I dx. Zweimalige Anwen-
/ 7T TT JO COS y — COS X y TT 2lT JO COS y — COS X
Uv)
11.3 Fredholmsche Integralgleichungen 1 Art 603
* t, , x /2^1 /sinB-lJ/-sin(z + l)?/\ [2 , , ^
düng von A1.47 ergibt ^(y) = -\\--\— —. — = \ -cosiy (i = 1,2, . Das
V 7T 2 y sin y y V TT
System (Kn(y)) ist bereits orthonormiert. Die Punktion i£"oB/) — l/v^r vervollständigt dieses System.
Die homogene Gleichung besitzt also nur die Lösungen (ph(y) = 1^/tt = c, (c beliebig)
11.3.5 Konstruktion zweier spezieller Orthonormalsysteme zu
einem gegebenen Kern
1. Prinzipielle Vorgehensweise
Im allgemeinen ist die Auflösung des in 11.3.3, S 600 aufgestellten unendlichen linearen
Gleichungssystems nicht einfacher als die Lösung des Ausgangsproblems. Durch geeignete Wahl der
Orthonormalsysteme (an(x)) und (ßn{y)) kann jedoch die Struktur der Kernmatrix K so beeinflußt werden, daß sich
das Gleichungssystem einfach lösen läßt Das folgende Verfahren konstruiert zwei
Orthonormalsysteme, die eine Kernmatrix liefern, deren Koeffizienten Kij nur für i = j und i = j + 1 ungleich Null sind.
Mit der Methode des voranstehenden Abschnittes werden zunächst zwei orthonormierte
Lösungssysteme {ßn(y)) bzw (aj|(a;)) der homogenen Integralgleichung bzw der dazu transponierten homogenen
Gleichung bestimmt, d.h., alle Lösungen dieser zwei Integralgleichungen lassen sich durch
Linearkombination der Funktionen ß„(y) bzw. ajj(a;) darstellen. Diese Orthonormalsysteme sind nicht vollständig.
Mit dem folgenden Verfahren werden diese Systeme durch schrittweises Hinzufügen von Funktionen
otj(x),ßj(y) (j — 1, 2,...) zu vollständigen Orthonormalsystemen ergänzt
2. Algorithmus
Bestimmung einer normierten Funktion a\(x), die zu allen Funktionen aus (ajj(sc)) orthogonal ist Für
j = 1,2, werden jeweils die folgenden Schritte durchlaufen
1. Berechnung der Funktion ßj(y) sowie einer Zahl Vj aus
d
vißi(y) = K(x,y)oti(x)dx bzw A1.51a)
c
d
i/jßjiy) = JK(x,y)aj(x) dx - fij-ißj-iiy) (j ± 1), A1.51b)
c
wobei Vj immer ungleich Null und so zu bestimmen ist, daß ßj(y) normiert ist. ßj(y) ist orthogonal zu
allen Funktionen ((/#(j/)), Afe),... ,ßj-i(y))
2. Bestimmung der Funktion otj+i(x) sowie einer Zahl /ij aus
b
Hjaj+1{x) = J K(x,y)ßj(y)dy - i/jOLjix). A1 51c)
a
Es können zwei Fälle eintreten:
a) iij ^ 0. Die Funktion olj+\{x) ist orthogonal zu allen Funktionen ((a^(x)), ai(sc), . , ctj(x)j .
b) fij = 0. Die Funktion aj+i(x) ist nicht eindeutig bestimmt. Erneut werden zwei Fälle unterschieden
bi) Das System najj(a;)), a\(x),..., otj{x)) ist vollständig Dann ist auch das System ((ßniy)), ßi(y) >
., ßj(y)) vollständig, und das Verfahren ist beendet
b2) Das System f(aJ[C:)),Qi(i), ,ctj(x)) ist nicht vollständig Dann wird eine beliebige, zu diesen
Funktionen orthogonale Funktion otj+i(x) gewählt
Das Verfahren wird so lange wiederholt, bis die Orthonormalsysteme vollständig sind. Es ist möglich,
604 11. Lineare Integralgleichungen
daß im Algorithmus von einem gewissen Schritt ab auch nach abzählbar unendlich vielen weiteren
Schritten nicht der Fall b) eintritt Ist die dabei erzeugte abzählbar unendliche Folge von Funktionen
((a^(x)),ai(x),...] nicht vollständig, dann kann mit einer zu allen diesen Funktionen orthogonalen
Funktion d\{x) das Verfahren neu gestartet werden
Werden die durch das Verfahren ermittelten Funktionen aj(x),ßj(y) sowie die Zahlen i/j, fij geeignet
umbezeichnet, dann läßt sich die resultierende Kernmatrix K folgendermaßen darstellen.
K =
/0 0 0
OK1 0
0 0 K2
\: ••
Die Matrize
n Km (m
-\
)
M:
,(m)
mit
Km =
0
/4m) ut] 0
o /4m)^m)
V
A1 52)
„(m)
A1 53)
(m = 1,2,...) sind endlich, wenn im Algorithmus nach endlich vielen Schritten der
Fall ßjri) = 0 eintritt Dagegen sind sie unendlich, wenn für abzählbar unendlich viele Schritte j gilt
fij 7^ 0 . Die Anzahl der Nullzeilen bzw Nullspalten in K entspricht der Anzahl der Funktionen in
den Systemen (a^(x)) bzw {ß^iy)). Ein besonders einfacher Fall liegt vor, wenn die Matrizen Km nur
eine Zahl i>i = vm enthalten, also alle Zahlen ^ gleich Null sind
Mit den Bezeichnungen aus 11 3 3, S 600 ergibt sich für die Lösung des unendlichen Gleichungssystems
unter der Voraussetzung von fj = 0 für olj(x) € (ajj(a;)) :
c. f | für ft(y)*(Ä(y)),
(beliebig für ßj{y) e (ß*(y))
11.3.6 Iteratives Verfahren
Zur Lösung der Integralgleichung
b
f(x)= f K(x,y)ip(y)dy, c<x<d, A154a)
bildet man mit cto(x) = f(x) für n = 1,2,... die Funktionen
d b
ßn(y) = fK(xiy)an-1(x)dx A154b) und an{x) = f K(x,y)ßn(y)dy A154c)
c a
Existiert eine quadratisch integrierbare Lösung (p(y) von A1.54a), dann gilt:
b b d
J (f(y)ßn{y)dy = J J (p{y)K{x,y)an.1(x) dx dy
a c
d
¦ j f(x)an-i(x)dx (n = l,2, )
A1.54d)
Durch Orthogonalisierung und Normierung der nach A1.54b,c) ermittelten Funktionensysteme erhält
man die Orthonormalsysteme (a*(a;)) und (/3*(y)) Wird hierzu das SCHMiDTsche Orthogonalisie-
rungsverfahren verwendet, dann besitzt ß^{y) die Darstellung
«y) = EW(») (n = i,2,. .)
A1 54e)
11.4 Volterrasche Integralgleichungen 605
Es wird nun angenommen, daß die Lösung (p(y) der Gleichung A1 54a) die Reihendarstellung
oo
VW = £<*.«(!/) A1.54£)
besitzt. In diesem Fall gilt für die Koeffizienten cn unter Beachtung von A1.54d):
cn= <p{y)ßn(y)dv = Ylb*j / (p(y)ßj(y)dv = J26»j / f(x)aj-i(x)dx• (n 54s)
a 3=1 o J'=1 c
Für die Existenz einer Lösungsdarstellung A1.54f) sind die folgenden Bedingungen notwendig und
hinreichend
d oo d oo
1. [[f(x)}2dx = Y,\[f(x)<(x)dx\2, A1.55a) 2. £|cn|2<oo. A1.55b)
{ n=ll{ n=l
11.4 Volterrasche Integralgleichungen
11.4.1 Theoretische Grundlagen
Eine VOLTERRAsche Integralgleichung 2 Art hat die Gestalt
<p(x) = f{x) + j K(x, y)ip(y) dy. A1.56)
Die Lösungsfunktion (p(x) ist für Argumente x aus dem abgeschlossenen Intervall / = [a, 6] bzw. aus
dem halboffenen Intervall / = [a, oo) gesucht Man kann folgende Aussage über die Lösung der VOL-
TERRAschen Integralgleichung 2. Art treffen. Sind die Funktionen f(x) für x £ I und K(x, y) auf dem
Dreiecksbereich x £ I und y G [a, x] als stetig vorausgesetzt, dann existiert genau eine, für x G /
stetige Lösung <p(x) der Integralgleichung. Für diese Lösung gilt:
¥>(<») = /(«) A1-57)
In vielen Fällen können VOLTERRAsche Integralgleichungen 1. Art in Integralgleichungen 2 Art
überführt werden Die Aussagen zur Existenz und Eindeutigkeit der Lösung gelten dann in modifizierter
Form
1. Umwandlung durch Differentiation Setzt man (p(x), K(x, y) und Kx(x, y) als stetig voraus,
dann kann die Integralgleichung 1. Art
X
f(x) = JK(x,y)<p(y)dy A158a)
a
durch Differentiation nach dem Parameter x überführt werden in
f(x) = K(x, x)ip(x) + J —K(x, y)<p(y) dy A1.58b)
a
Ist K(x, x) 7^ 0 für alle x G /, dann ist die Division der Gleichung durch K(x, x) möglich, wodurch
eine Integralgleichung 2. Art entsteht.
2. Umwandlung durch partielle Integration Unter der Voraussetzung der Stetigkeit von <p(x).
K(x,y) und Ky(x,y) kann das Integral in A1.58a) mittels partieller Integration ausgewertet werden.
Mit der Substitution
ftp{y)dy = ^(x) A1.59a)
606 11 Lineare Integralgleichungen
ergibt sich
/(*) = [K(x,y)i;(y)}lZxa - J (|^(a,!/)) 1>(v)dy
= K(x,xI>(x)- J ^K(x,y)\il>(y)dy. A1.59b)
Ist K(x, x) ^ 0 für x e I, dann fuhrt die Division durch K(x, x) auf die Integralgleichung 2. Art
aus deren Lösung ip(x) durch Differentiation die Lösung (p(x) von A1.58a) ermittelt werden kann
11.4.2 Lösung durch Differentiation
Für einige Klassen VoLTERRAscher Integralgleichungen gelingt es, durch Differentiation der Gleichung
nach dem Parameter x das Integral zu beseitigen bzw. geeignet zu substituieren. Wird die Stetigkeit
von K(x, y), Kx(x, y) und (p(x) sowie im Fall einer Integralgleichung 2 Art die Differenzierbarkeit von
(f(x) vorausgesetzt, so ergibt die Differentiation von
X X
f(x) = JK(x,yMy)dy A160a) bzw. ip(x) = f(x) + J K(x,y)<p(y)dy A160b)
a a
nach dem Parameter x-
xr r)
f'(x) = K(x,x)(p(x) + J—K(xiy)<p(y)dy bzw. A1.60c)
if/(x) = f'(x) + K{x, x)ip(x) + J -^K(x, y) <p(y) dy. A1 60d)
a
¦ Gesucht ist eine Funktion ip(x) für x € 0, — ) als Lösung von / cos(x — 2y)(p(y) dy = -x sin x (I)
rx 1
Zweimaliges Ableiten nach x liefert cp(x)cosx — / sin(x — 2y)ip(y)dy = -(sina; + xcosx) (IIa),
Jo 2
rx l
ip'(x)cosx — / cos(x — 2y)(f(y)dy = cosx — -xsinx (IIb) Das in (IIb) auftretende Integral ent-
Jo 2
spricht der linken Seite der Integralgleichung (I). Das ergibt (p'(x) cosx = cosa; und, da cosx ^ 0 für
x e 0, — J , ip'(x) = 1, also (p(x) = x + C.
Zur Bestimmung der Konstanten C setzt man in (IIa) x = 0: <p@) = 0. Somit ist C = 0, und die
Lösung von (I) lautet ip(x) = x
Hinweis: Ist der Kern einer VOLTERRAschen Integralgleichung ein Polynom, so gelingt es mit der
Methode der Differentiation immer, die Integralgleichung in eine lineare Differentialgleichung zu
überführen. Ist dabei n der Grad der höchsten im Kern auftretenden x-Potenz, so erhält man durch (n + 1)-
maliges Differenzieren nach x eine Differentialgleichung der Ordnung n im Falle einer Integralgleichung
1. Art bzw. der Ordnung n + 1 für eine Integralgleichung 2. Art. Dabei wird vorausgesetzt, daß sowohl
(p(x) als auch f(x) entsprechend oft differenzierbar sind.
¦ / [2(x — yJ + l]cp(y)dy = x3 (F). Dreimaliges Differenzieren nach x ergibt ip(x) + 4 / (x —
Jo Jo
11.4 Volterrasche Integralgleichungen 607
K{X,y) = {';^V) fV~*' (H.62a)
v 'y/ ' n für y > x. y '
y)ip(y) dy = 3x2 (IFa), <p'(x) + 4 [* (p(y) dy = 6x (H'b), (f"(x) + 4y?(x) = 6 (II'c). Die allgemeine
Jo
3
Lösung dieser Differentialgleichung lautet ip(x) = A sin 2x -f B cos 2a; + - . Setzt man in (IFa) bzw.
(H'b) x = 0 ein, so erhält man <p@) = 0, <p'@) = 0 und somit ^4 = 0, B = —1,5. Die Lösung der
3
Integralgleichung (F) ist also <p(x) = -A — cos2x).
11.4.3 Neumannsche Reihe zur Lösung der Volterraschen
Integralgleichungen 2. Art
Die Lösung einer VOLTERRAschen Integralgleichung 2 Art kann mittels der NEUMANNschen Reihe
(vgl. 11.2.2, S. 587) dargestellt werden. Liegt die Gleichung
X
<p(x) = f(x) + \J K(x, y)<p(y) dy A1.61)
a
vor, so wird formal gesetzt:
\K{x,
10
Damit ist A1.61) identisch mit der FREDHOLMschen Integralgleichung
b
<p(x) = f(x) + \JK(x,y)<p(y)dy, A1 62b)
a
wobei auch b = oo gelten kann. Die Lösung besitzt die Darstellung
oc *
<p(x) = f(x) + E A" / Kn(x, y)f(y) dy. A1 62c)
Die iterierten Kerne Ki, K2,... sind durch die folgenden Gleichungen definiert:
6 x
K1(x,y) = K(x,y),K2(x1y) = JK(x,r])K(T]ly)dV = JK(x,r])K(r):y)dr],... A1.62d)
a y
und allgemein:
X
Kn(xyy) = jK(x,r])Kn_1(r],y)dr]. A1.62e)
y
Für die iterierten Kerne gilt ebenfalls Kj(x,y) = 0 für y > x (j = 1,2,...). Falls eine Lösung von
A1 61) existiert, konvergiert die NEUMANNsche Reihe (im Gegensatz zum Fall einer FREDHOLMschen
Integralgleichung) für beliebige Parameter A stets gegen diese Lösung.
¦ ip{x) = 1 + A r ex-y<p{y) dy. K^x, y) = K(x, y) = ex~y , K2{x, y) = f* e*-^-* drj = ex~y(x -
y),. .,Kn(x,y) = ^-^(x-yr-1.
oo \n
Ermittlung der Resolvente- r(x,y;\) = ex~y V] —7(x - y)n = e(x-y)(A+1). Die angegebene Reihe
konvergiert bekanntlich für alle Parameter A.
608 11. Lineare Integralgleichungen
Man erhält ip{x) = 1 + A f* e(x-y)(A+1) dy = 1 + Ae(A+1)x [* e~(A+1)y dy, speziell für A = -1. <p(x) =
Jo Jo
l-x,\^-V <p(x) = ^ (l + Ae<A+1>*) .
11.4.4 Volterrasche Integralgleichungen vom Faltungstyp
Besitzt der Kern einer VOLTERRAschen Integralgleichung die spezielle Form
*(*.v>-{J(x"y) £ iilil: (»¦«•>
dann können zur Lösung der Gleichungen
X X
Jk(x-y)<p(y)dy = f(x) A1.63b) bzw. <p(x) = f(x) + J k{x - y)<p{y)dy A163c)
0 0
die Eigenschaften der LAPLACE-Transformation genutzt werden. Falls die Lapl ACE-Transformierten
C{(f(x)} = $(p), C{f(x)} = F(p) und £{k(x)} = K(p) existieren, dann lauten die transformierten
Probleme unter Beachtung des Faltungssatzes (s. 15.2.1.2,11., S 736)
K{p)<P{p) = F(p) A1.64a) bzw. <P(p) = F(p) + K(p)$(p) A1 64b)
Daraus folgt sofort.
*(p) = 7?§| AL64c) bzw- *fr) = i _ K(p)' AL64d)
Die Rücktransformation liefert die Lösung ip(x) des Ausgangsproblems Durch Umformung des
Ausdrucks für die LAPLACE-Transformierte der Lösung der Integralgleichung 2. Art gemäß
™ = T%j-Fv + rnm™ A164e)
ergibt sich, falls der Ausdruck
T*wrHv A164f)
die Transformierte einer Funktion h(x) ist, die Lösungsdarstellung
X
<p(x) = f(x) + jh(x- y)f(y) dy. A1 64g)
o
Die Funktion h(x — y) ist der lösende Kern der Integralgleichung.
¦ ip(x) = fix) + / ex~yip(y) dy: $(p) = F(p) + <P(p), d.h., &(p) = ?——:F{p) Die Rücktrans-
formation liefert ip(x). Aus H(p) = folgt h(x) = e2x Nach A1 64g) ergibt sich die Lösungsdar-
p — 2
Stellung <p(x) = f(x) + j e2^ f{y) dy.
11.4 Volterrasche Integralgleichungen 609
11.4.5 Numerische Behandlung Volterrascher
Integralgleichungen 2. Art
Gesucht ist die Lösung der Gleichung
X
ip(x) = f(x) + I K(x, y)<p(y) dy A1.65)
a
für x aus dem Intervall / = [a, b]. Numerische Lösungsansätze bestehen darin, das Integral durch eine
Quadraturformel zu approximieren.
X
jK(x,y)<p(y)dy « QM(K(x, )ip( )) A1.66a)
Das Integrationsintervall und somit die Quadraturformel sind von x abhängig. Das wird durch den
Index [a, x] von Q[a,x]{''') zum Ausdruck gebracht. Man erhält als Näherungsausdruck für A1 65)
Tp{x) = /(*) + QM(K(x, .)<?(.)) • (H.66b)
Die Funktion Tp(x) ist eine Näherung für die Lösung von A1.65). Die Anzahl und Lage der
Stützstellen der Quadraturformel ist von x abhängig, wodurch deren Wahl stark eingeschränkt ist. Ist £ eine
Stutzstelle von Q[ayX](K(x, .)p(.)), so müssen (K(x, f )v?(f)) und insbesondere lp(£) bekannt sein. Dies
erfordert aber zuvor eine Auswertung der rechten Seite von A1.66b) für x = £, was einer
Quadratur über dem Intervall [a, {] entspricht. Aus diesem Grund ist die Verwendung der häufig bevorzugten
GAUSSschen Quadraturformeln nicht möglich.
Man löst das Problem durch die Wahl von Stützstellen a = xq < X\ < ... < Xk < ¦.. und verwendet
Quadraturformeln Q[a,xn} m& Stützstellen x$, x\, .. , xn Die Funktionswerte in den Stützstellen
werden abkürzend bezeichnet durch cpk = p(xk) (k = 0,1,2,.. ). Für (f0 erhält man (vgl. 11.4.1, S. 605
Po = f{x0) = f(a), A1.66c) und damit: <px = f(Xl) + <2[a,Xl](tf(zi, .)jp(.)). A1.66d)
Dabei hat Q[a,xi] die Stützstellen x0 und X\ und folglich die Gestalt
Q[a,Xl){K(xu .)Jp(.) = w0K(xi,x0)ipo + wiK(xuxi)(pi A1.66e)
mit geeigneten Koeffizienten vüq und wi. Setzt man dieses Verfahren fort, kann man die (pk nacheinander
aus der allgemeinen Beziehung
Vk = /(**) + Q[a,xk)(K(xk,.)</?(.)), k = 1,2,3,.. A1.66f)
bestimmen. Die Quadraturformeln Q{a,xk] haben folgende Form:
k
Q[a,xk]{K(xk, .)jp(.) = Y,™jkK(xk,Xj)yj. A1 66g)
j=0
Damit lautet A1.66f):
k
<Pk = f{xk) + Y^wJkK(xk,Xj)<Pj • A1.66h)
j=o
Die einfachste Quadraturformel ist die linksseitige Rechteckformel (s. 19.3.2.1, S. 926). Dabei ist
Wjk = Xj+i - Xj für j < k und wkk = 0. A1.66i)
Man erhält damit das System
Po = f{a),
Pi = f(xi) + (xi - Xo)K(xi,x0)(po , A1 67a)
Pl = f(x2) + {Xi - Xq)K{x2, X0)po + [X2 - X1)K(X2, Xi)(fi
610 11 Lineare Integralgleichungen
und allgemein
Vk = f{xk) + 52{xj+i - Xj)K(xk,Xj)<pj
3=0
A1.67b)
Eine etwas genauere Approximation des Integrals gewährleistet die Trapezformel (s 19.3 2 2, S 926).
Die Stutzstellen seien zur Vereinfachung äquidistant, xk = a + kh, k = 0,1,2,
b
i
g(x) dx ••
\g{x0) + 2Y,g(xj)+g(xk)
L i=l
Angewandt auf A1.66f), ergibt das
<A) = f(a),
Vk = f(xk) + ¦
K(xk, x0)ip0 + K(xk, xk)ipk + 2J2 K(x*i xj)iPj
A1 67c)
A1.67d)
A1.67e)
Die jeweils zu berechnende Größe kommt dabei auch auf der rechten Seite vor. Die Gleichungen sind
aber leicht nach den gesuchten Funktionswerten umzustellen
Hinweis: Mit der angeführten Methode können auch nichtlineare Integralgleichungen näherungsweise
gelöst werden. In diesem Fall wird bei Anwendung der Trapezformel zur Bestimmung der ipk
jedesmal die Lösung einer nichtlinearen Gleichung erforderlich sein. Dies kann man umgehen, wenn man die
Trapezformel nur auf das Intervall [a, xk-i] anwendet und das Intervall [xk-i, xk] mit der linksseitigen
Rechteckformel behandelt Ist h genügend klein, wird dieser Quadraturfehler die Lösung nicht sehr
beeinflussen (s. [11.4])
X
¦ Die Integralgleichung ip(x) = 2+ / (x — y)tp(y) dy soll nach der Vorschrift A1.66f) mit der linkssei-
o
tigen Rechteckformel näherungsweise gelöst werden. Als Stützstellen werden die äquidistanten Werte
xk = k • 0,1 zugrunde gelegt, d h h = 0,1.
<A) =2,
<Pi = f{xi) + hK(xi,x0)<po
= 2 + 0,1-0,1-2-2,02,
<P2 = }{x2) + h(K(x2, x0)(fo + K{x2, xi)(fi)
= 2 + 0,1@,2 • 2 + 0,1 • 2,02) = 2,0602
usw.
In der Tabelle sind zum Vergleich die Werte der exakten Lösung sowie der Näherungslösungen, die
mittels linksseitiger Rechteckformel und Trapezformel ermittelt wurden, aufgeführt. Die Berechnung
erfolgte mit der Schrittweite h = 0,l.
X
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
exakt
2,0401
2,1621
2,3709
2,6749
3,0862
Rechteckformel
2,0602
2,2030
2,4342
2,7629
3,2025
Trapezformel
2,0401
2,1620
2,3706
2,6743
3,0852
11 5 Singulare Integralgleichungen 611
11.5 Singulare Integralgleichungen
Eine singulare Integralgleichung liegt vor, wenn der Integrationsbereich des die Gleichung
bestimmenden Integrals unbeschränkt ist oder der Kern Singularitäten innerhalb des Integrationsbereiches
besitzt. Es wird vorausgesetzt, daß die auftretenden Integrale als uneigentliche Integrale oder als
CAUCH Ysche Hauptwerte existieren (s 8 2 3, S 470ff ) Singulare Integralgleichungen unterscheiden sich in
Eigenschaften und Lösungsverhalten stark von „gewöhnlichen" Integralgleichungen. In den folgenden
Abschnitten werden nur einige spezielle Problemstellungen betrachtet Umfassendere Darstellungen
s [11.2], [11 3], [11 7] [11 8]
p0 (xo >y0)
W)
Abbildung 11.2
11.5.1 Abelsche Integralgleichung
Eine der ersten Anwendungen von Integralgleichungen auf
physikalische Probleme wurde von Abel untersucht. In einer vertikalen
Ebene bewege sich ein Massenpunkt entlang einer gewissen Kurve nur
unter dem Einfluß der Schwerkraft vom Punkt Po(xo, Vo) zum Punkt
Pi@,0) (Abb.11.2).
Die Geschwindigkeit des Teilchens in einem Punkt der Kurve beträgt
ds
v = - = fig(i0
¦y). A1-68)
Durch Integration ermittelt man die Fallzeit in Abhängigkeit von y0:
T(y0) = j
ds
o yjzgivo - y)
Stellt man s als Funktion von y durch s = f(y) dar, so ist
/¦J_ f'{y) A„
J V2l
T(y0) =
1^9 Vvo-y
A1.69a)
A1.69b)
Es besteht nun die Aufgabe, zu gegebener Fallzeit die Gestalt der Kurve als Funktion von y0 zu
bestimmen Mit den Ersetzungen
A1.69c)
erhält man, indem noch die Variable y0 in x umbenannt wird, die VOLTERRAsche Integralgleichung
1 Art
y/2g-T(yo) = F(yo) und f'(y) = <p(y)
™-/3
<p{y)
A1.69d)
mit 0 < öl < 1
A1.70)
Es soll die etwas allgemeinere Gleichung
behandelt werden Der Kern dieser Gleichung ist für y = x nicht beschränkt In A1 70) werden formal
die Variable y in £ und die Variable x in y umbenannt. Damit wird erreicht, daß sich die Lösung in der
Form kp = ip(x) ergibt Die Multiplikation beider Seiten der Gleichung A1 70) mit dem Term -y^
(x — y)
und die anschließende Integration nach y in den Grenzen von a bis x führt auf die Gleichung
) i (f v(fl A . f M
J{*-vY-a\Uv-t)"li(*-vI-
;dy
A1.71a)
612 11. Lineare Integralgleichungen
Die Vertauschung der Integrationsreihenfolge auf der linken Seite dieser Gleichung ergibt
Das innere Integral ist mit der Substitution y = f + (x — Qu auswertbar:
J (x - y)l~a{y - 0a ~ J wa(l - uy~a ~ sin(aTr) ' 1 • CJ
Der gewonnene Ausdruck wird in A1.71b) eingesetzt. Die gesuchte Funktion tp(x) wird durch
anschliessende Differentiation nach x bestimmt:
, x sin(mr) d f f(y) , „ ,.
*<x>—r^s/trf^*- A1Jld)
J y/X — y ' 7T dx J y/X — y TT
11.5.2 Singulare Integralgleichungen mit Cauchy—Kernen
11.5.2.1 Formulierung der Aufgabe
Gegeben ist die Integralgleichung
a(IV(i)+-/^^V(j,)% = /(I), x€T. A172)
7T 1 J W — X
r *
r ist ein System endlich vieler glatter, doppelpunktfreier, geschlossener Kurven in der komplexen
Ebene, die ein zusammenhängendes Innengebiet S+ mit 0 G S+ und ein Außengebiet S~ bilden. Dabei
liegt S+ beim Durchlauf zur Linken von r. Für die Betrachtung von Kurvensystemen, bestehend aus
stuckweise glatten, offenen oder geschlossenen Kurven s. [11.3]. Eine Funktion u(x) ist auf r Holder-
stetig, falls für beliebige Paare x\, x<i G T gilt:
\u{xx) - u(x2)\ <K\xx-x2f, 0</?<l, K>0. A1.73)
Die Funktionen a(x), f(x) und (p(x) werden als HÖLDER-stetig mit dem Exponenten ß\ und K(x, y)
bezüglich beider Argumente HÖLDER-stetig mit dem Exponenten ß2 > ß\ angenommen. Der Kern
K(x,y)(y — x)_1 hat für x = y eine starke Singularität. Das Integral existiert aber als CAUCHYscher
Hauptwert. Mit K(x, x) = b(x) und k(x,y) = (K(x,y) — K(x,x))/(y — x) ergibt sich A1.72) in der
Form
(&p)(x) := a(x)tp(x) + ^ / -^- dy + -^ / k(x, y)<p(y) dy = f(x), x G T. A1.74a)
7T1 J y — X 7T1 J
r * r
Der Ausdruck (£(/?) (x) beschreibt in verkürzter Form die linke Seite der Integralgleichung. C ist ein
singulärer Operator. Die Kernfunktion k(x,y) ist nur schwach singulär. Es gelte zusätzlich die
Normalitätsbedingung a(xJ — b(xJ /0,xEr. Die Gleichung
(£o<p)(x) = a(x)<p(x) + ^ / ^-dy = f(x), x G T, A1.74b)
7T1 J y — X
ist die zu A1.74a) zugeordnete charakteristische Gleichung. Der Operator £0 ist der charakteristische
Teil des Operators C. Die zu A1.74a) transponierte Integralgleichung lautet*
11.5 Singulare Integralgleichungen 613
Tri y z-y tti 7 \ x-y j
= g(y), 2/er (ii.74c)
11.5.2.2 Existenz einer Lösung
Die Gleichung (C<p)(x) = f(x) besitzt genau dann eine Lösung (p(x), wenn für alle Lösungen ip(y) der
homogenen transponierten Gleichung (£Tip)(y) = 0 die Orthogonalitätsbedingung
/'
f(y)^(v)dy = Q A1.75a)
r
erfüllt ist Entsprechend besitzt die transponierte Gleichung (£Tip)(y) = g(y) genau dann eine Lösung,
wenn für alle Lösungen <p(x) der homogenen Gleichung (£ip)(x) = 0 gilt.
f g(x)ip(x) dx = 0 . A175b)
r
11.5.2.3 Eigenschaften des Cauchy-Integrals
Die Punktion
$(z) = J- [ rtvl dy, zeC A1.76a)
Z7T \ J V — Z
r y
heißt Cauchy-Integral über r Für z £ T existiert das Integral im gewöhnlichen Sinne und stellt eine
holomorphe Funktion dar (s. 14.1.2, S. 694). Es gilt <£(oo) = 0. Für z = x G T sei unter A1.76a) der
CAUCHYsche Hauptwert
CH<P)(x) = 7T^ f — dy, xer, A176b)
2n\J y - x
r y
verstanden Das CAUCHY-Integral $(z) ist von S+ bzw S~ stetig auf r fortsetzbar Die Grenzwerte
bei Annäherung von z an x 6 f werden mit <P+{x) bzw #~(a;) bezeichnet. Es gelten die Formeln von
Plemelj und Sochozki •
<P+(x) = ^(x) + (H<p)(x), *-{x) = ~ip(x) + (Hip)(x). A1 76c)
11.5.2.4 Hilbertsches Randwertproblem
1. Zusammenhang
Mit der Lösung der charakteristischen Integralgleichung hängt das HiLBERTsche Randwertproblem
eng zusammen. Ist <p(x) eine Lösung von A1.74b), dann ist A1.76a) eine in S+ und S~ holomorphe
Funktion mit #(oo) = 0 . Gemäß der Formeln von Plemelj und Sochozki A1.76c) gilt
<p(x) = <P+(x) - $-(x), 2{H(p)(x) = <P+{x) + $-{x), xeT. A1.77a)
Die charakteristische Integralgleichung lautet mit
_,, N a(x) — b(x) . , N fix) ,.,., __. v
G(x)=i^rm und M-4&kry A177b)
<£+(x) = G{x)$-(x) + g(x), xeT. A1.77c)
2. HiLBERTsches Randwertproblem
Gesucht ist eine in S+ und S~ holomorphe, im Unendlichen verschwindende Funktion $(z), die auf
r die Randbedingung A1 77c) erfüllt Eine Lösung $(z) des HiLBERTschen Problems ist in der Form
614 11. Lineare Integralgleichungen
A1.76a) darstellbar. Zufolge der ersten Gleichung von A1.77a) ist damit eine Lösung ip(x) der
charakteristischen Integralgleichung bestimmt.
11.5.2.5 Lösung des Hilbertschen Randwertproblems
1. Homogene Randbedingungen
$+(x) = G(x)$-{x) xeT. A178)
Die Funktion log G(x) ändert ihren Wert bei einmaligem Durchlauf der Kurve i~} um den Wert 2ir iA<,
wobei Xi eine ganze Zahl ist. Die Wertänderung von logG(x) bei einmaligem Durchlauf des gesamten
Kurvensystems r beträgt dann
n
^27TiAz = 27riK A179a)
1=0
Die Zahl k = J2?=o ^i w^ a^s Index des HiLBERTsc/iera Problems bezeichnet. Es wird die Funktion
G0(x) = {x- a0)-KU(x)G{x) A1.79b)
mit
U(x) = {x- ai)Al(z - a2)A2 • • • (x - an)Xn A1.79c)
gebildet, wobei üq £ S+ und a/ (/ = 1,..., n), aus dem Inneren von /} beliebig, aber fest gewählt sind.
Ist r = r0 eine einfache geschlossene Kurve (n = 0), dann wird U(x) = 1 gesetzt. Mit
erhält man folgende spezielle Lösung des homogenen HiLBERTschen Problems, auch Grundlösung
genannt:
x{z) = /n-^)^J(*) fi* *€£, {1179e)
v ' \ (z — a0) Kexpl(z) für zeS . v '
Die allgemeinste Lösung des homogenen HiLBERTschen Problems, die nicht im Unendlichen
verschwindet, lautet für k > 0
$h{z) = X(z)PK-1(z), 2€C, A1.80)
mit einem beliebigen Polynom PK-\ (z) höchstens (k— l)-ten Grades. Für k < 0 existiert nur die triviale
Lösung $h(z) = 0. Im Falle k > 0 besitzt das homogene HiLBERTsche Problem k linear unabhängige,
im Unendlichen verschwindende Lösungen.
2. Inhomogene Randbedingungen
Die Lösung des inhomogenen HiLBERTschen Problems lautet:
<t>(z) = X(z)R(z)+Mz) A1.81) mit R{z) = JL / x+9^_ z) ¦ (H-82)
Ist k, < 0, dann müssen für die Existenz einer Lösung überdies die Forderungen
/
r *+(y)
erfüllt sein
11.5.2.6 Lösung der Charakter ist ischen Integralgleichung
1. Homogene charakteristische Integralgleichung
Ist $h(z) die Lösung des zugeordneten homogenen HiLBERTschen Problems, dann folgt aus A1.77a)
die Lösungsdarstellung der homogenen Integralgleichung
<ph(x)=0i{x)-$i(xI xeT. A1.84a)
11.5 Singulare Integralgleichungen 615
Für k < 0 existiert nur die triviale Lösung (fh(x) = 0 . Für k, > 0 lautet die allgemeine Lösung
iph(x) = [X+(x) - X-(x)]PK^{x) A1 84b)
mit einem Polynom PK_i höchstens vom Grad n — 1.
2. Inhomogene charakteristische Integralgleichung
Ist <P(z) die allgemeine Lösung des inhomogenen HiLBERTschen Problems, dann kann die Lösung der
inhomogenen Integralgleichung nach A1.77a) bestimmt werden-
tp{x) = <P+(x)-<P~(x) A1.85a)
= X+(x)R+{x) - X~{x)R-(x) + <P£{x) - $J-(s), x e r. A1.85b)
Die Anwendung der Formeln von Plemelj und Sochozki A1.76c) auf R(z) ergibt
Hx) + \nX+)[Xh H [X) 2X+(x)
Einsetzen von A1.85c) in A1 85a) liefert schließlich unter Beachtung von A1.76b) und
g(x) = f(x)/(a(x) + b(x)) die Lösungsdarstellung:
^=kM>+(*£){x) • R~{x) - -sä+(*£) <*> • <» «*>
WJ 2(a(x)+b(x))X+(x)n >
+(*+(») - *-(,)) JL / (g(y) + Jff+(j/)(j/ _ x)dy + „»(«), x£r. A1.86a)
Entsprechend A1.83) müssen im Fall k < 0 für die Existenz einer Lösung zusätzlich die folgenden
Bedingungen erfüllt sehr
/ TT^-rM^7T7-T dy = 0 (ife = 0,l, . ,-« - 1). A1.87)
7 {a(y) + b(y))X+(y) U V ; V ;
¦ Gegeben ist die charakteristische Integralgleichung aip(x) -\ : I dy = f(x) mit den konstan-
7Ti J y — x
ten Koeffizienten o und 6. Mit r ist eine einfache, geschlossene Kurve bezeichnet, d.h. r = fb (n = 0).
a - 6 fix)
Aus A1 77b) folgt G = r und g(x) = . Da B eine Konstante ist, ist folglich k = 0. Somit ist
a + b a+b
a-b _,
—r,2 6 5+,
+ 6
n(x) = lundG0 = G=^. /W = log^|-L/J_dy=(l<«J
<i + o a + o Z7T1 J y — z I q
{a- 6 + _,
^Tb,zei> ' d.h. x+ = 2—£,x- = i.
1, zeS-, a + b
Da k = 0 ist, besitzt das homogene HiLBERTsche Randwertproblem nur <Ph(z) — 0 als im Unendlichen
verschwindende Lösung Gemäß der Lösungsdarstellung A1.86a) folgt
X++X- e, , X+-X- 1 f f(y) , a r, , b 1 f f(y) 7
*{X) = 2(a + b)X+ f{x) + 2(a + b)X+ Vi / J^~x * = a^T*f{x) ' ^V V, / j^*"
616 12. Fiinktionalanalysis
12 Funktionalanalysis
1. Die Fiinktionalanalysis entstand, als man erkannte, daß viele Probleme aus verschiedenen
Disziplinen, z.B. aus den Natur- und Technikwissenschaften und aus der Ökonomie, gemeinsame
Strukturen aufweisen. Man entdeckte allgemeingültige Prinzipien, die in enger Wechselwirkung mit der
mathematischen Analysis, der linearen Algebra, der Geometrie sowie anderer Gebiete der Mathematik
entstanden und entwickelte eine einheitliche Begriffswelt.
2. Unendlichdimensionale Räume Viele Probleme, deren mathematische Formulierung auf
unendliche Gleichungs- und Ungleichungssysteme, Differential- oder Integralgleichungen, Approxima-
tions-, Variations- und Optimierungsprobleme u.a führt, sprengen den viel zu engen Rahmen des
endlichdimensionalen Raumes und verlangen als natürliche Grundlage einen unendlichdimensionalen
Raum, in dem sie im allgemeinen mit Hilfe einer Operatorenbeziehung formuliert, untersucht und gelöst
werden können.
3. Lineare und nichtlineare Operatoren Waren es am Anfang der Formierung der Funktional-
analysis - etwa in der ersten Hälfte dieses Jahrhunderts - vorwiegend lineare oder linearisierte
Probleme, die die Entwicklung einer Theorie linearer Operatoren motivierten, so bestimmen in den letzten
Jahrzehnten, hauptsächlich aus den Erfordernissen praktischer Anwendungen der Funktionalanalysis
resultierend, auch immer mehr nichtlineare Phänomene und ihr Zusammenspiel mit den gut
entwickelten linearen Methoden das aktuelle Bild der Funktionalanalysis, was zur Herausbildung der Theorie
nichtlinearer Operatoren führte Charakteristisch ist eine zunehmende Orientierung auf
Anwendungen bei der Lösung von Differentialgleichungen, bei den numerischen Methoden, in der Optimierung
usw , wodurch Denkweisen und Methoden der Funktionalanalysis für Ingenieure und andere Anwender
unverzichtbar werden.
4. Grundstrukturen Im vorliegenden Kapitel können nur die Grundstrukturen umrissen werden:
die gebräuchlichsten Typen von Räumen und einige wenige Klassen von Operatoren in diesen Räumen
Die abstrakte Begriffswelt wird an einigen Beispielen erläutert, die auch in anderen Kapiteln,
teilweise eigenständig erörtert worden sind, deren Lösbarkeit oder Eindeutigkeit der Lösung dort aber nur
postuliert oder im Einzelfalle speziell gezeigt werden konnte. Es wird ersichtlich, daß die
Funktionalanalysis für derartige und weitere Fragestellungen aus ihrem abstrakten Verständnis heraus eine ganze
Reihe von allgemeinen Zusammenhängen in der Form mathematischer Sätze zur Verfügung stellt, die
den Anwender in die Lage versetzen, die Lösung konkreter Probleme in Angriff zu nehmen
12.1 Vektorräume
12.1.1 Begriff des Vektorraumes
Eine nichtleere Menge V heißt Vektorraum oder linearer Raum über dem Körper K der Skalaren, wenn
auf V die beiden Operationen — Addition der Elemente und Vielfachenbildung mit Koeffizienten aus
K - wie folgt erklärt sind.
1. Für je zwei Elemente x, y G V gibt es ein Element z = x + y eV, ihre Summe,
2. für jedes x G V und jeden Skalar (Zahl) öGK gibt es ein Element ax G V, das Produkt aus x und
dem Skalar a (oder besser, das a-Vielfache des Elements x), so daß die folgenden Eigenschaften, die
Vektorraumaxiome (s. 5.3.7, S 327) für beliebige Elemente x,y,z G V und Skalare q,/9gK erfüllt sind
(VI) x + {y + z) = (x + y) + z. A2 1)
(V2) Es existiert ein Element 0 G V , das Nullelement, so daß x + 0 = x gilt A2 2)
(V3) Zu jedem Vektor x existiert ein Vektor —sc, so daß x + (—x) = 0 gilt. A2 3)
(V4) x + y = y + x A2.4)
(V5) l-x = x, 0-x = 0. A2.5)
(V6) a(ßx) = {aß)x A2 6)
12 1 Vektorräume 617
(V7) {a + ß)x = ax + ßx. A2 7)
(V8) a{x + y) = ax + ay. A2.8)
V heißt reeller bzw. komplexer Vektorraum, je nachdem, ob K der Körper R bzw. C der reellen bzw.
der komplexen Zahlen ist. Die Elemente von V nennt man Punkte oder, in Anlehnung an die Lineare
Algebra, auch Vektoren, wobei in der Funktionalanalysis, ohne die Verständlichkeit oder die
Übersichtlichkeit zu beeinträchtigen, auf die Kennzeichnung x oder x verzichtet wird
In einem Vektorraum V gibt es zu jedem x G V ein eindeutig bestimmtes „gegenüberliegendes" Element
-x G V, so daß x + (—x) = 0 gilt, indem man —x = (—l)x setzt. Somit ist auf V auch die Differenz
x — y zweier beliebiger Vektoren x,y G V als x — y = x-\- (—y) erklärt Daraus ergibt sich die
eindeutige Lösbarkeit der Gleichung x + y = z für vorgegebene Elemente y und z . Die Lösung ist dann gleich
x = z — y Aus den Axiomen (VI) bis (V8) ergeben sich die folgenden Eigenschaften:
• das Nullelement ist eindeutig definiert,
• falls ax = ßx und x ^ 0 , dann et = ß,
• falls ax = ay und a/0, dann x = y ,
• —(ax) = a • (—x).
12.1.2 Lineare und affin—lineare Teilmengen
1. Lineare Teilmenge
Linearer Unterraum, lineare Mannigfaltigkeit oder linearer Teilraum eines Vektorraums V heißt eine
nichtleere Teilmenge Vo, wenn mit zwei beliebigen Elementen x, y G Vo und zwei beliebigen Skalaren
q, ß G K ihre Linearkombination ax + ßy in Vo liegt Vo ist selbst wieder ein Vektorraum, genügt also
den Axiomen (VI) bis (V8) Der Teilraum V0 kann mit V zusammenfallen oder auch nur aus dem
Nullelement bestehen; in diesem Falle heißt er trivial
2. Affiner Teilraum
Eine Teilmenge eines Vektorraumes V der Gestalt
{xo + y.yGVo}, A2 9)
wobei Xo G V ein fixiertes Element und Vo ein linearer Teilraum ist, heißt affin-linearer Teilraum oder
affine Mannigfaltigkeit, die man (im Falle von xo ^ 0) als Verallgemeinerung einer nicht durch den
Nullpunkt verlaufenden Geraden oder Ebene in R3 ansehen kann
3. Lineare Hülle
Der Durchschnitt einer beliebigen Anzahl linearer Teilräume in V ist wiederum ein linearer Teilraum.
Demzufolge existiert für jede nichtleere Teilmenge E C V ein kleinster linearer Teilraum lin(E) oder
[E] in V, der E enthält, nämlich der Durchschnitt aller linearen Teilräume, in denen E enthalten ist.
Die Menge lin(E) heißt lineare Hülle der Menge E. Sie ist mit der Menge aller (endlichen)
Linearkombinationen
QiXi+a2x2+ . +anxn, A2 10)
die aus Elementen x\, x2, .., xn G E und Skalaren a\, a2, ., a;n G K gebildet werden, identisch
4. Beispiele für Vektorräume von Folgen
¦ A Vektorraum Kn: Seien n eine fixierte natürliche Zahl und V die Menge aller n-Tupel, d.h.
aller endlichen aus n Gliedern bestehenden Folgen von Skalaren {(£i,..., £n) : & G K, i = 1,..., n}
Die Operationen seien komponenten- oder gliedweise erklärt, d h , sind x = (£i,. . ,£n) und y =
G71, , rjn) zwei beliebige Elemente aus V und a ein beliebiger Skalar, d.h. a G K , dann setzt man
x + y = (Zi+Tju .,& + */„), A2.11a) a-x = (<*&,...,<*£„). A211b)
Auf diese Weise erhält man den Vektorraum Kn , insbesondere also für n = 1 die linearen Räume R
i oder C.
i Dieses Beispiel kann in zweierlei Hinsicht verallgemeinert werden (s. Beispiele B und C)-
i
618 12 Funktionalanalysis
¦ B Vektorraum s aller Zahlenfolgen: Nimmt man als Elemente unendliche Folgen x = {£n}^=i <
(nEK und behält die gliedweise erklärten Operationen gemäß A2.11a) und A2.11b) bei, so erhält man
den Vektorraum s aller Zahlenfolgen.
¦ C Vektorraum cp (auch c0o) aller finiten Zahlenfolgen: Es sei V die Menge aller Elemente
aus s , die nur endlich viele von Null verschiedene Glieder besitzen. Die Anzahl der von Null
verschiedenen Glieder ist im allgemeinen individuell vom Element abhängig Der so entstehende - wieder mit
den gliedweise erklärten Operationen versehene - Vektorraum wird mit <p oder auch mit c0o bezeichnet
und heißt Raum aller finiten Zahlenfolgen.
¦ D Vektorraum m aller beschränkten Folgen: Eine Folge x = {fn}SLi gehört zu m genau
dann, wenn 3CX > 0 mit |fn| < Cx , Vn = 1,2,.. Man trifft häufig auch die Bezeichnung 1°° für
diesen Vektorraum.
¦ E Vektorraum c aller konvergenten Folgen: Es gilt x = {£n}JS=i £ c genau dann, wenn es eine
solche Zahl £0 € K gibt mit der Eigenschaft, daß für V e > 0 ein Index n0 = n0(e) existiert, so daß für
alle n > n0 gilt |fn - f0| < e (s. 7.1.2, S. 421)
¦ F Vektorraum c0 aller Nullfolgen: Der Vektorraum c0 aller Nullfolgen, d h der Teilraum von
c, der aus allen zu Null (£0 = 0) konvergenten Folgen besteht.
¦ G Vektorraum lp: Mit \p A < p < oo) ist der Vektorraum aller Folgen x = {^n}^=i bezeichnet,
für die die Reihe X)S5ii |£n|p konvergiert.
Daß die Summe zweier Folgen aus lp wieder eine Folge aus lp ist, d.h. eine konvergente Reihe aus den
p-ten Potenzen der Absolutbeträge ihrer Glieder besitzt, folgt aus der MlNKOWSKlschen Ungleichung
(s. 1.4.2.12, S. 33)
Hinweis: Für die in den Beispielen A bis G eingeführten Vektorräume von Folgen gelten die folgenden
Inklusionen:
</?Cc0CcCmCs und <p C F C l9 C c0, wobei 1 < p < q < oo . A2.12)
5. Beispiele für Vektorräume von Funktionen
¦ A Vektorraum F(T): Sei V die Menge aller reell- oder komplexwertigen Funktionen auf einer
Menge T, wobei für Funktionen die Operationen punktweise erklärt werden, d.h., sind x = x(t) und
y = y(t) zwei beliebige Elemente aus V und a ein beliebiger Skalar, d.h. a € K , dann definiert man
die Elemente x + y und a • x wie folgt:
x + y = {x + y){t) = x(t) + y{t) V* G T, A2.13a)
a-x = {ax){t) = a-x(t) MteT. A213b)
Der auf diese Weise erhaltene Vektorraum wird mit T(T) bezeichnet.
Teilräume dieses Vektorraumes sind u.a. die Räume in den folgenden Beispielen
¦ B Vektorraum B(T) oder M(T): Der Raum B(T) aller auf der Menge T beschränkten
Funktionen. Häufig wird dieser Vektorraum auch mit M(T) bezeichnet Im Falle von T = N erhält man
den Raum .M(N) = m aus Beispiel D im vorigen Abschnitt
¦ C Vektorraum C([a, 6]): Die Menge C([a, b]) aller auf dem Intervall [a, b] stetigen Funktionen
(s 2 1 5.1, S. 58).
¦ D Vektorraum C(fe)([a, b]): Sei k G N , k > 1. Die Menge C(fc)([a, b]) aller Funktionen, die auf
dem Intervall [a, b] A;-mal stetig differenzierbar sind (s. 6.1, S. 394-399), ist ein Vektorraum In den
Randpunkten a und b des Intervalls [o, b] sind die Ableitungen als rechts- bzw. linksseitige zu
verstehen.
Hinweis: Für die in den Beispielen A bis D dieses Abschnitts bereitgestellten Vektorräume gelten im
Falle von T — [a,b] die Teilraumbeziehungen
C(k)({a,b}) C C{[a,b}) C B{[a,b}) C F([a,b}) A2.14)
¦ E Vektor-Teilraum C([a, b]): Für einen beliebig fixierten Punkt to E [a,b] bildet die Menge
{x E C([a, b])- x(to) = 0} einen linearen Teilraum von C([a,b]).
12.1 Vektorräume 619
12.1.3 Linear unabhängige Elemente
1. Lineare Unabhängigkeit
Eine endliche Teilmenge {x\, , xn} eines Vektorraumes V heißt linear unabhängig, wenn aus
ol\X\ + • + ot-nXn — 0 immer a\ = • • • = an = 0 A2 15)
folgt Anderenfalls heißt sie linear abhängig Hat man ct\ = • • - = an = 0 und X\,. ,xn beliebige
Vektoren aus V, dann ist aufgrund der Vektorraumaxiome a\X\ + • • • + anxn trivialerweise das Null-
element von V Lineare Unabhängigkeit der Vektoren x\, . , xn bedeutet die Darstellung des Nullele-
ments 0 = a\Xi -\ \- anxn ausschließlich nur mit a\ = • • = an = 0 Dieser wichtige Begriff ist aus
der linearen Algebra gut bekannt (s 5.3 7.1, S 327) und diente bereits zur Definition eines
Fundamentalsystems von Lösungen für homogene Differentialgleichungen (s. 9 1.2.3,2., S. 518). Eine unendliche
Teilmenge E C V heißt linear unabhängig, wenn jede endliche Teilmenge von E linear unabhängig ist.
Anderenfalls heißt E wieder linear abhängig.
¦ Bezeichnet man mit e^ die Folge, deren Glieder bis auf das k-te alle gleich 0 sind und das A;-te Glied
gleich 1 ist, dann liegt e^ im Raum (p und demzufolge in jedem Folgenraum Die Menge {ei, e2, ..} ist
linear unabhängig in allen diesen Räumen. Im Raum C([0,7r]) ist z B. das Funktionensystem
1, sinnt, cosnt (n — 1, 2,3,...)
linear unabhängig, wohingegen die Funktionen 1, cos 2t, cos21 linear abhängig sind (s. B.98), S 81)
2. Basis und Dimension eines Vektorraumes
Eine linear unabhängige Teilmenge B aus V , die den gesamten Raum V erzeugt, d h. für die lin(B) = V
gilt, nennt man (algebraische) Basis oder H.AMELsche Basis des Vektorraumes V (s. 5.3.7.2, S. 327).
Also ist B = {x$ (GH} genau dann eine Basis von V , wenn sich jeder Vektor x G V in der Form
x = S^€H asxz darstellen läßt, wobei die Koeffizienten a^ eindeutig bestimmt sind und lediglich eine
endliche (von x abhängige) Anzahl von ihnen von Null verschieden ist Jeder nichttriviale Vektorraum V
(d.h. V / {0}) besitzt wenigstens eine algebraische Basis, und zu jeder linear unabhängigen Teilmenge
E aus V gibt es eine algebraische Basis von V , die E enthält
Ein Vektorraum V heißt m-dimensional oder von der Dimension m, wenn es in ihm eine Basis aus m
Vektoren gibt Das bedeutet, es existieren in V m linear unabhängige Vektoren, und jedes System von
ra + 1 Vektoren ist linear abhängig.
Ein Vektorraum heißt unendlichdimensional, wenn er keine endliche Basis besitzt, d.h , wenn es für
jede natürliche Zahl m in V stets m linear unabhängige Vektoren gibt
Bis auf den Raum Kn , dessen Dimension gleich n ist, sind alle anderen Vektorräume in den Beispielen
B bis L unendlichdimensional Der Teilraum lin({l,t,t2}) C C([a,6]) ist dreidimensional Wie im
endlichdimensionalen Falle haben auch in einem unendlichdimensionalen Vektorraum V zwei Basen
stets die gleiche Mächtigkeit (Kardinalzahl), die man mit dim(y) bezeichnet. Die Dimension ist somit
eine Invariante des Vektorraumes, hängt also nicht von der konkreten Auswahl einer algebraischen
Basis ab.
12.1.4 Konvexe Teilmengen und konvexe Hülle
12.1.4.1 Konvexe Mengen
Eine Teilmenge C eines reellen Vektorraumes V heißt konvex, wenn für jedes Paar von Vektoren x.y G C
alle Vektoren der Form \x + A - X)y, 0 < A < 1 ebenfalls zu C gehören Mit anderen Worten, die
Menge C ist konvex, wenn sie mit je zwei Elementen die gesamte Verbindungsstrecke
{Ax + A-A)y 0<A<1}, A2.16)
auch Intervall genannt, zwischen x und y enthält (Beispiele konvexer Mengen in R2 s die mit A und B
bezeichneten Mengen in der Abb. 12.5)
Der Durchschnitt beliebig vieler konvexer Mengen ist wieder eine konvexe Menge, wobei
vereinbarungsgemäß die leere Menge als konvex angesehen wird. Demzufolge existiert zu jeder Teilmenge E C V eine
kleinste konvexe Menge, die E enthält, nämlich der Durchschnitt aller konvexen und E enthaltenden
620 12 Funktionalanalysis
Teilmengen von V Sie heißt konvexe Hülle der Menge E und wird mit co (E) bezeichnet, co (E) ist mit
der Menge aller konvexen Linearkombinationen von Elementen aus E identisch, d.h., co(E) besteht
aus allen Elementen der Form Ai^i H \- Xnxn , wobei X\, ., xn beliebige Elemente aus E sind und
\ € [0,1] der Gleichung AH h A„ = 1 genügen. Lineare und affine Teilräume sind stets konvex
12.1.4.2 Kegel
Eine nichtleere Teilmenge K eines (reellen) Vektorraums V nennt man einen (konvexen) Kegel, wenn
sie den folgenden Bedingungen genügt*
1. AT ist eine konvexe Menge.
2. Aus x e K und A > 0 folgt Xx e K.
3. Aus x e K und —x € K folgt x = 0
Ein Kegel ist auch durch 3. zusammen mit
aus x,y e K und , A, ß > 0 folgt Xx + fj,y e K A2.17)
charakterisiert.
¦ A: Die Menge R" aller Vektoren x = (&,...,£«) mit nichtnegativen Komponenten ist ein Kegel in
Rn.
¦ B: Die Menge C+ aller reellen stetigen Funktionen auf [a, b] mit nichtnegativen Werten ist ein Kegel
im Raum C([a, b]).
¦ C: Die Menge aller reellen Zahlenfolgen {Cn}^=i mit nichtnegativen Gliedern (also £n > 0, Vn) ist
ein Kegel in s. Analog ergeben sich Kegel in den Vektorräumen der Beispiele C bis G von S 617, wenn
man jeweils die Menge der nichtnegativen Folgen in diesen Räumen betrachtet.
¦ D: Die Menge C C lp A < p < oo), bestehend aus allen Folgen {£n}5JLi, für die
(X)
£lSn|p<a (o>0) A2.18)
gilt, ist eine konvexe Menge in lp, die offenbar kein Kegel ist.
¦ E: Beispiele aus R2 s. Abb. 12.1: a) konvexe Menge, kein Kegel, b) nicht konvexe Menge, c)
konvexe Hülle
Abbildung 12 1
12.1.5 Lineare Operatoren und Funktionale
12.1.5.1 Abbildungen
Eine Abbildung T. D —? Y der Menge DcXin die Menge Y heißt
• injektiv, wenn
T(x) = T(y)=*x = y,
• surjektiv, wenn für
V y € Y ein x G D mit T(x) = y existiert,
A2.19)
A2 20)
12 1 Vektorräume 621
• bijektiv, wenn T sowohl injektiv als auch surjektiv ist D wird Definitionsbereich des Operators T
genannt und mit Dt oder D(T) bezeichnet, während die Teilmenge {y E Y 3x E Dt mit Tx = y}
aus Y Wertebereich des Operators T heißt und mit 1Z(T) oder Im(T) bezeichnet wird.
12.1.5.2 Homomorphismus und Endomorphismus
Seien X und Y zwei Vektorräume über ein und demselben Körper K und D eine lineare Teilmenge
aus X. Eine Abbildung T D —> Y heißt linear, lineare Transformation, linearer Operator oder
Homomorphismus, wenn für beliebige x,y E D und a, ß E K stets gilt:
T(ax + ßy) = aTx + ßTy . A2.21)
Für einen linearen Operator T bevorzugt man in Anlehnung an lineare Funktionen die Bezeichnung
Tx . während für allgemeine Operatoren T(x) steht. N(T) = {x E X Tx = 0} ist der Nullraum oder
Kern des Operators T und wird mit Ker{T) bezeichnet Als Endomorphismus von X bezeichnet man
eine lineare Abbildung des Vektorraumes X in sich Ist T eine injektive lineare Abbildung, so ist die aus
K{T) durch
y\—? x , so daß Tx = y , y E K(T) A2.22)
definierte Abbildung T~l. 1Z(T) —> X linear und heißt Inverse oder Umkehrabbildung von T. Ist Y
der Vektorraum K , so nennt man eine lineare Abbildung / X —> K ein lineares Funktional oder eine
Linearform
12.1.5.3 Isomorphe Vektorräume
Eine bijektive lineare Abbildung Tm X —> Y heißt Isomorphismus der Vektorräume X und Y. Die
Räume nennt man im Falle der Existenz eines Isomorphismus isomorph.
12.1.6 Komplexifikation reeller Vektor räume
Jeden reellen Vektorraum V kann man zu einem komplexen Vektorraum V erweitern Die Menge V
besteht aus allen Paaren (x,y) mit x,y G V Die Operationen (Addition und Vielfaches mit einer
komplexen Zahl a + ib G C) werden für diese Paaie wie folgt festgelegt.
(xi.y1) + {x2,y2) = {xi +£2,3/1+2/2), A2 23a)
(a + ib)(x, y) = (ax - by, bx + ay) A2.23b)
Da insbesondere
(.T, y) = (.r, 0) + @, y) und i(y, 0) = @ + il)(j/, 0) = @ • y - 1 • 0, \y + 0 • 0) = @, y) A2.24)
gilt, kann für das Paar (x, y) nun auch x + \y geschrieben werden. Die Menge V ist damit ein komplexer
Vektorraum, in dem die Menge V mit dem linearen Teilraum V0 = {(#, 0). x G V} identifiziert wird,
also x als (x, 0) oder als x + i0 aufgefaßt wird
Die beschriebene Prozedur nennt man Komplexifikation des Vektorraums V Eine linear unabhängige
Teilmenge in V ist auch in V linear unabhängig Gleiches gilt für eine Basis in V , woraus sich dim(V) =
dimiy) ergibt
12.1.7 Geordnete Vektorräume
12.1.7.1 Kegel und Halbordnung
Ist in einem reellen Vektorraum V ein Kegel K fixiert, so kann für gewisse Paare von Vektoren aus V
eine Ordnungsrelation eingeführt werden, indem man für x, y G V mit x — y G K einfach x > y oder
y < x schreibt und sagt, daß x größer oder gleich y bzw y kleiner oder gleich x ist. Man nennt V oder
genauer des Paar (V, K) einen durch den Kegel K geordneten oder teilweise geordneten Vektoriaum.
Ein Element x nennt man dann positiv, wenn x > 0 oder, gleichbedeutend damit, x G K gilt Außerdem
ist
K = {x G V. x > 0} A2.25)
622 12 Funktionalanalysis
Bereits am Beispiel des mit dem ersten Quadranten als Kegel K(= R+) geordneten Vektorraumes
R2 wird eine typische Erscheinung in geordneten Vektorräumen ersichtlich, auf die mit den Begriffen
,,Halbordnung" oder „teilweise" bereits hingewiesen wurde, nämlich, daß nicht beliebige zwei Vektoren
vergleichbar sein müssen. Die aus den Vektoren x = A, — 1) und y = @, 2) gebildeten Differenzen, also
die Vektoren x — y = A, —3) und y — x = (—1,3), liegen nicht in K , so daß weder x > y noch x < y
gilt Die durch einen Kegel in einem Vektorraum eingeführte Ordnung ist also lediglich eine teilweise
oder partielle
Es läßt sich zeigen, daß die Relation > die folgenden Eigenschaften besitzt
@1) x>xVx£V (Reflexivität) A2.26)
@2) Aus x > y und y > z folgt x > z (Transitivität). A2 27)
@3) Aus x > y und a > 0, a G R folgt ax > ay A2.28)
@4) Aus xi > yi und x2 > 2/2 folgt xx + x2 > y\ + 2/2 • A2 29)
Umgekehrt, ist ein Vektorraum V mit einer Ordnungsrelation versehen, d.h., für gewisse Paare seiner
Elemente ist eine binäre Operation > erklärt, die den Axiomen (Ol) bis @4) genügt, dann setzt man
V+ = {x G V- x > 0} A2 30)
und kann zeigen, daß V+ ein Kegel ist. Die jetzt durch V+ in V einführbare Ordnung >v+ ist identisch
mit der vorhandenen Ordnung > ; folglich sind die beiden aufgezeigten Möglichkeiten der Einführung
einer Ordnung in einem Vektorraum äquivalent.
Ein Kegel K C X heißt erzeugend, wenn jedes Element x £ X als x = u — v mit u,v G K dargestellt
werden kann. Man schreibt dafür auch X = K-K
¦ A: Die Ordnung im Raum s (s S. 618) wird durch den Kegel
# = {z = {U~=r£n>0 Vn} A2 31)
(s. Beispiel C aus A2 1.4)) eingeführt. In den Folgenräumen (s. A2 12)) betrachtet man die natürliche
koordinatenweise Ordnung Sie ergibt sich mit Hilfe des Kegels, den man in einem solchen Raum als
Durchschnitt von K (s A2.31)) mit dem jeweiligen Raum erhält Die positiven Elemente in diesen
geordneten Vektorräumen sind dann jeweils die Folgen mit nicht negativen Gliedern Selbstverständlich
können auch andere Kegel und damit auch von der natürlichen Halbordnung verschiedene Ordnungen
in diesen Räumen betrachtet werden (s. [12.20], [12.22])
¦ B: In den reellen Funktionenräumen T{T), B{T), C([a:b]) und C^([a,b]) (s. 12 1 2,5., S 618)
erklärt man x > y für zwei Funktionen x und y durch x(t) > y(t) W eT bzw W G [a, b] die natürliche
Ordnung, in der x > 0 gerade für eine auf T überall nichtnegative Funktion x steht. Die entsprechenden
Kegel bezeichnet man üblicherweise wieder mit F+{T), B+(T) usw Es ist also beispielsweise C+ =
C+(T) = F+{T)C)C(T)
12.1.7.2 Ordnungsbeschränkte Mengen
Sei E eine beliebige nichtleere Menge eines geordneten Vektorraumes V. Ein Element z G V, für das
x < z , V x G E gilt, heißt obere Schranke der Menge E Eine untere Schranke für E ist ein Element
u eV mit u < x , V x G E . Für zwei Elemente x, y G V mit x < y definiert man die Menge
[x,y] = {veV x<v<y} A2 32)
und nennt sie Ordnungsintervall oder @)-Intervall.
Offenbar sind x bzw. y untere bzw obere Schranke der Menge [x,y], wobei diese der Menge sogar
angehören Eine Menge E C V heißt nun ordnungs- oder einfach (o)- beschränkt, wenn E Teilmenge
eines Ordnungsintervalls ist, d h., wenn zwei Elemente u,z eV existieren, so daß u < x < z , V x G E
oder, was äquivalent dazu ist, E C [w, z] gilt Eine von oben beschränkte bzw von unten beschränkte
12.1 Vektorräumt 623
Menge ist eine Menge, für die eine obere bzw. eine untere Schranke in V existiert.
12.1.7.3 Positive Operatoren
Ein linearer Operator (s. [12.2], [12.20]) T: X —? Y des geordneten Vektorraums X = (X,X+) in den
geordneten Vektorraum Y = (Y, Y+) heißt positiv, wenn gilt:
T(X+)cY+, d.h. Tx>0 für alle x>0. A2.33)
12.1.7.4 Vektorverbände
1. Vektorverband
Im Vektorraum R1 der reellen Zahlen sind die Begriffe (o)-Beschränktheit und Beschränktheit (im
herkömmlichen Sinne) identisch. Es ist bekannt, daß jede von oben beschränkte Menge reeller Zahlen
in R1 ihr Supremum - die kleinste aller oberen Schranken - besitzt Analog, wenn eine Menge reeller
Zahlen von unten beschränkt ist, dann besitzt sie ihr Infimum - die größte aller unteren Schranken. In
einem allgemeinen geordneten Vektorraum kann die Existenz von Supremum und Infimum im
allgemeinen nicht einmal für endliche Teilmengen nachgewiesen, sondern muß per Axiom gefordert werden
Ein geordneter Vektorraum V heißt Vektorverband oder linearer Verband (in der englischsprachigen
Literatur auch RlESZ space bzw. vector lattice, in der russischsprachigen Literatur auch K-Lineal), wenn
für zwei beliebige Elemente x, y G V ein Element z G V mit den folgenden Eigenschaften existiert:
1. x < z und y < z,
2. ist u G V mit x < u und y <u, dann gilt z <u.
Ein solches Element z ist eindeutig bestimmt, wird mit x V y bezeichnet und das Supremum von x
und y (genauer: Supremum der aus den Elementen x und y bestehenden Menge) genannt. In einem
Vektorverband existiert zu je zwei Elementen x und y auch stets das Infimum, das mit xAy bezeichnet
wird Zu Anwendungen positiver Operatoren in Vektorverbänden s. u. a. [12.3].
Ein Vektorverband, in dem jede nichtleere, von oben beschränkte Teilmenge E ein Supremum supB?)
hat (analog, in dem jede nichtleere, von unten beschränkte Teilmenge ein Infimum inf(E') hat), heißt
DEDEKiND-komplett oder if-Raum (KANTOROVICH-Raum).
¦ A: Im Vektorverband F([a, b]) (s. 12.1.2,5., S. 618) wird das Supremum von zwei Punktionen x,y
punktweise nach der Formel
(xVy)(t) = max{x(t),y(t)} V<€ [a,6] A234)
berechnet. Im Falle von [a, b] = [0,1], x(t) = l-\t und y{t) = t2 (Abb.12.2) ergibt sich für
t w \u\ J1 - §t, falls 0 < * < |, ,10Q-*
(*v *)W = | 1», felis i < * < i. A2'35)
¦ B: Die Räume C([a,b]) und B([a,b]) (s. S. 618) sind ebenfalls
Vektorverbände, während der geordnete Raum C^ ([a, b]) kein Vektor verband ist, da
^ das Minimum oder Maximum zweier Funktionen im allgemeinen eine Funk-
t tion sein kann, die nicht in jedem Punkt aus [a, b] differenzierbar zu sein
braucht.
Ein linearer Operator T : X —> Y des Vektorverbandes X in einen
Vektorverband Y heißt Vektorverbandshomomorphismus oder Homomorphismus
Abbildung 12.2 der Vektorverbände, wenn für alle x, y G X gilt:
T{x\/y)=Tx\/Ty und T{x Ay) = Tx ATy. A2.36)
2. Positiver und negativer Teil, Modul eines Elements
Für ein beliebiges Element x eines Vektorverbandes V heißen die Elemente
:r+ = :rV0, x_ = (-x)V0 und |x| = x+ + x_ A2.37)
624 12. Funktionalanalysis
positiver Teil, negativer Teilund Modul des Elements x. Für jedes Element x G V sind die drei Elemente
x+, x-, \x\ positiv, wobei die folgenden Beziehungen gelten
x < x+ < \x\, x = x+ — £_, i+Ax_ = 0, \x\=x\/(—x), A2.38a)
(x + y)+ < x+ + y+ , (z + 2/)_ < x. + y_ , |z + y| < |z| + \y\, A2.38b)
aus x < y folgen x+ < y+ und £_>?/_ A2 38c)
sowie bei beliebigem a > 0
(ax)+ = ax+, (ax)- = öi. , |ax|=a|x|. A2 38d)
k
x+(t) b 0
Abbildung 12.3
x (t) b
ai/ lxl(t) b
In den Vektorverbänden .F([a, 6]) und C([a, 6]) erhält man für eine Funktion x(t) ihren positiven und
negativen Teil sowie ihren Modul mit Hilfe der folgenden Formeln (Abb. 12.3):
n\ _ M*), falls XM ^°.
X+W_\ 0, falls x(t)<0,
0, falls z(*) > (
r(t), falls z(£) < 0
^ = {_x(:9'^*w>0*
A2.39b) |x|(t) = |x(*)| Vt€[a,6]
A2 39a)
A2.39c)
12.2 Metrische Räume
12.2.1 Begriff des metrischen Raumes
Auf einer Menge X sei jedem Paar von Elementen x.y E X eine reelle Zahl p(x, y) zugeordnet, so daß
für beliebige Elemente x, y, z G X die folgenden Eigenschaften, die Axiome des metrischen Raumes,
erfüllt sind:
(Ml) p(x,y) > 0 und p{x,y) = 0 genau dann, wenn x = j
(M2) p(x,y) = p(y,x)
(M3) p(x,y) <p{x,z) + p{z,y)
(Nichtnegativität), A2 40)
(Symmetrie), A2 41)
(Dreiecksungleichung). A2 42)
Eine Funktion p • X x X —> R+ mit den Eigenschaften (Ml) bis (M3) heißt Metrik. Distanz oder
Abstand auf der Menge X , und das Paar X = (X, p) heißt metrischer Raum Jede Teilmenge Y eines
metrischen Raumes X = (X, p) kann auf natürliche Weise in einen (selbständigen) metrischen Raum
verwandelt werden, indem man die Metrik p des Raumes X auf die Menge Y einschränkt, d h nur auf
der Menge Y x Y betrachtet Der Raum (Y, p) heißt Teilraum des metrischen Raumes X.
¦ A: Die Mengen Rn und Cn , versehen mit der euklidischen Metrik
p(x,y) ¦
\\J2\^-Vk\2
für zwei Punkte x = (£i,..., fn) und y = G71, rjn), sind metrische Räume.
¦ B: Die Funktion
p{x,y) = max \£k - nk\
l<k<n
A2 43)
A2.44)
12.2 Metrische Räume 625
definiert für die Vektoren x = (£1,..., £n) und y = (r)\,.. .rjn) einen metrischen Raum in Rn und Cn,
die so genannte Maximum-Metrik. Wenn x = (£1,..., £n) eine Näherung des Vektors x ist, dann ergibt
sich die maximale Abweichung von x zu max |^ — £k\-
l<k<n
Die Metriken A2 43) und A2.44) liefern für den Fall n = 1 jeweils den Absolutbetrag \x - y\ in den
Mengen R = R1 und C der reellen bzw. der komplexen Zahlen.
Die Funktion
pfay) = £l&
¦Vk\
A2 45)
für die Vektoren x, y € Rn oder (Cn) definiert eine Metrik in Rn und Cn, die so genannte Maximalwert-
Metrik Die Metriken A2 43), A2.44) und A2.45) reduzieren sich für n = 1 auf den absoluten Wert
\x — y\ in R = R1 und C (die Mengen der reellen und komplexen Zahlen).
¦ C: Endliche 0-1-Folgen, z.B. 1110 und 010110, nennt man in der Kodierung Wörter. Zählt man die
Stellen, an denen sich zwei gleich lange Wörter (der Länge n) unterscheiden, also x = (£i,..., £n), y =
(?7i, • • •, Vn), 6fc, Vk € {0,1} , p(x, y) = Anzahl der k G {1,..., n} mit (k ¥" Vk, dann entsteht in der
Menge aller Wörter der Länge n eine Metrik, der HAMMING-Abstand, z.B. p(A110), @100)) = 2.
¦ D: In der Menge m und ihren Teilmengen c und Co (s. A2.12)) definiert man eine Metrik durch
p{x,y) = sup|&-7fc|. A2 46)
k
¦ E: In der Menge \p A < p < oo) der Folgen mit absolut konvergenter Reihe £J5=i l£n|p betrachtet
man die folgende Metrik-
P(x,l
\\Jl\in-Vn\P-
\n=l
F: In der Menge C([a, b]) betrachtet man die Metrik
p{x,y)= max \x(t)-y(t)\.
te[a,b]
G: In der Menge C^([a, b]) definiert man als Metrik:
A2.47)
A2.48)
p(x,y) = ^maxy\t)-y«\t)\.
i=o *€(a<6l
A2.49)
¦ H: In der Menge Lp(f2) A < p < oo) aller Aquivalenzklassen von fast überall auf einem
beschränkten Gebiet Cl C Rn definierten LEBESGUE-meßbaren, zur p-ten Potenz summierbaren Funktionen
(s 12.9, S. 655) ist eine Metrik definiert durch
Pfay) ¦¦
J\x(t)-y(t)\PdfjL.
A2 50)
a)
@,1)
¦)•£
{(x/y):1xV^D
feöM
b)
@,1)
ap
Abbildung 12.4
626 12 Funküonalanalysis
12.2.1.1 Kugeln, Umgebungen und offene Mengen
In einem metrischen Raum X = (X, p), dessen Elemente auch Punkte heißen, nennt man für eine reelle
Zahl r > 0 und einen fixierten Punkt .xo die Mengen
B(x0,r) = {xeX p(x,x0)<r}, A2 51) B(x0,r) = {x€X p(x,x0)<r] A2 52)
offene bzw abgeschlossene Kugel mit dem Radius r und dem Zentrum xq
Im Vektorraum R2 ergeben sich mit den Metriken A2.43). A2 44, A2 45) für x0 = 0 und r = 1 als
Kugeln die in den Abb.l2.4a,b,c dargestellten Mengen
Eine Teilmenge U eines metrischen Raumes X = (X. p) heißt Umgebung des Punktes x0 , wenn x0 mit
einer ganzen offenen Kugel zu U gehört, also es 3r > 0 , so daß B(x0, r) C U gilt Eine Umgebung U des
Punktes x bezeichnet man auch mit U(x). Offenbar ist jede Kugel auch Umgebung ihres Zentrums, eine
offene Kugel ist sogar Umgebung jedes ihrer Punkte. Man nennt einen Punkt xq inneren Punkt einer
Menge AcX, wenn x0 mit einer Umgebung zu A gehört, also es existiert eine Umgebung U von x0 mit
Xo E U C A Schließlich heißt eine Teilmenge eines metrischen Raumes offen, wenn alle ihre Punkte
innere Punkte sind.
Die (bisher nur so benannten) offenen Kugeln in jedem beliebigen metrischen Raum, insbesondere alle
offenen Intervalle aus R, sind die Prototypen offener Mengen Die Gesamtheit aller offenen Mengen
genügt den folgenden Axiomen der offenen Mengen:
• Sind Ga\/a € / offen, dann ist auch die Menge \JQei Ga offen.
• Sind Gi, Gi,.. , Gn endlich viele, beliebig offene Mengen, dann ist auch die Menge HaUi Gu offen.
• Die leere Menge 0 ist vereinbarungsgemäß offen
Man nennt eine Teilmenge A eines metrischen Raumes beschränkt, wenn für ein gewisses Element x0
(das nicht unbedingt der Menge A angehören muß) und eine gewisse Zahl R > 0 die Menge A in der
Kugel B{xq, R) liegt, wofür man auch p(x, xq) < R (V x E A) schreibt
12.2.1.2 Konvergenz von Folgen im metrischen Raum
Seien X = (X,p) ein metrischer Raum, x0 6 X ein Punkt und {xn}™=l, xn G X eine Folge von
Elementen in X
Die Folge {xn}^=l heißt zum Punkt xq konvergent, wenn es zu jeder Umgebung U(x0) einen Index
^o = no(U) gibt, so daß V n > no die Beziehung xn € U gilt. Man schreibt für diesen Sachverhalt
gewöhnlich
xn —? Xo (n —? oo) oder lim xn = x A2 53)
und nennt x0 den Grenzwert der Folge {ajn}^=i Der Grenzwert einer Folge ist eindeutig bestimmt
Anstelle einer beliebigen (allgemeinen) Umgebung des Punktes x0 genügt es, lediglich offene Kugeln mit
beliebig kleinem Radius heranzuziehen, so daß A2 53) äquivalent zu Folgendem ist. Für Ve > 0 (man
hat dabei sofort die offene Kugel B(x0, e) im Sinn) gibt es einen Index n0 = n0(e), so daß V n > n0 die
Ungleichung p(xn, x0) < £ gilt Damit bedeutet A2.53) genau p(xn, x0) —? 0
Mit den eingeführten Begriffen hat man die Möglichkeit, in konkreten metrischen Räumen den Abstand
zwischen zwei Punkten anzugeben und die Konvergenz von Punktfolgen zu untersuchen, was etwa bei
numerischen Verfahren oder bei der Approximation von Funktionen durch solche einer bestimmten
Klasse (s z.B 19 6, S 945) von Bedeutung ist
Im Raum Rn erweist sich die mittels einer der angegebenen Metriken festgelegte Konvergenz gerade
als koordinatenweise Konvergenz.
In den Räumen B{[a, b\) und C([a. b]) ist die durch A2 47) eingeführte Konvergenz genau die
gleichmäßige Konvergenz der Funktionenfolge auf der Menge [a,b] (s 7 3 2, S 431)
Im Raum L2(Q) ergibt sich die Konvergenz im (quadratischen) Mittel, d h. xn —> x0 genau dann, wenn
/ \xn — Xo\2 dp, —? 0 für n —> oo A2 54)
12.2 Metrische Räume 627
12.2.1.3 Abgeschlossene Mengen und Abschließung
1. Abgeschlossene Menge
Eine Teilmenge F eines metrischen Raumes X heißt abgeschlossen, wenn X \ F eine offene Menge
ist. Jede abgeschlossene Kugel in einem metrischen Raum, insbesondere jedes Intervall der Typen
[a, b], [a, oo), (—oo, a] in R, ist eine abgeschlossene Menge
Dual zu den Axiomen der offenen Mengen erfüllt die Gesamtheit aller abgeschlossenen Mengen eines
metrischen Raumes folgende Eigenschaften:
• Sind FaMa € I abgeschlossen, dann ist auch die Menge f)aei F<* abgeschlossen.
• Sind Fi, , Fn endlich viele, beliebig abgeschlossene Mengen, dann ist auch die Menge (J5J=i Fk
abgeschlossen.
• Die leere Menge 0 ist vereinbarungsgemäß abgeschlossen.
Die Mengen 0 und X sind sowohl offen als auch abgeschlossen
Ein Punkt xq des metrischen Raumes X heißt Berührungspunkt der Menge A C X, wenn für jede
Umgebung U(x0)
U{x0)nA^Q A2.55)
gilt Besteht dieser Durchschnitt darüber hinaus jeweils nicht nur aus dem einen Punkt Xq , dann heißt
xq Häufungspunkt der Menge A. Ein Berührungspunkt, der kein Häufungspunkt ist, heißt isolierter
Punkt.
Ein Häufungspunkt von A muß somit nicht unbedingt zur Menge A gehören, z.B. der Punkt a im
Verhältnis zur Menge A = (a, b], während ein isolierter Punkt notwendigerweise zur Menge A gehören
muß
Ein Punkt xo ist genau dann Berührungspunkt der Menge A, wenn es eine Folge {xn}™=l von
Elementen xn aus A gibt, die zu Xo konvergiert, wobei xn = Xq , V n > n0 im Falle eines isolierten Punktes x0
gesetzt wird.
2. Abschließung
Jede Teilmenge A eines metrischen Raumes X liegt offenbar in der abgeschlossenen Menge X Es exi-
, stiert immer eine kleinste abgeschlossene Menge, die A enthält, nämlich der Durchschnitt aller
abgeschlossenen Mengen aus X, die A enthalten. Diese Menge heißt abgeschlossene Hülle oder Abschließung
der Menge A und wird_gewohnlich mit A bezeichnet. A ist mit der Menge aller Berührungspunkte von A
| identisch, man erhält A aus der Menge A durch Hinzufügen aller ihrer Häufungspunkte Abgeschlossene
[ Mengen sind gerade solche Mengen A , für die A = A gilt. Demzufolge erlauben sie eine Charakterisie-
1 rung durch Folgen in folgender Weise A ist abgeschlossen genau dann, wenn für eine beliebige Folge
\ {xn}%Li von Elementen aus A, die im Raum X zu einem Element x0 (€ X) konvergiert, der Grenzwert
xq zu A gehört
| 12.2.1.4 Dichte Teilmengen und separable metrische Räume
j Eine Teilmenge A eines metrischen Raumes X heißt überall dicht, wenn A — X gilt, mit anderen Worten,
| jeder Punkt x G X ist Berührungspunkt der Menge A. Das bedeutet, für jedes x 6 X gibt es eine Folge
| {xn} von Elementen aus A mit xn —? x
j ¦ A: Nach dem WElERSTRASSschen Approximationssatz kann jede auf einem abgeschlossenem und
I beschränktem Intervall [a, b] stetige Funktion beliebig genau in der Metrik des Raumes C([a, b]) , also
j gleichmäßig, durch Polynome genähert werden Diesen Satz kann man nunmehr wie folgt formulieren:
i Die Menge der Polynome auf [a, b] ist überall dicht in C([a, b\)
¦ B: Weitere Beispiele für überall dichte Mengen im Raum R sind die Mengen aller rationalen Zahlen
Q und aller irrationalen Zahlen.
Ein metrischer Raum X heißt separabel, wenn in X eine abzählbare überall dichte Teilmenge existiert
I Eine abzählbare überalMichte Teilmenge in Rn ist zum Beispiel die Menge aller Vektoren mit rationalen
Komponenten Separabel ist auch der Raum 1 = l1, eine abzählbare überall dichte Teilmenge ist z.B. die
628 12. Funktionalanalysis
Menge aller Elemente der Form x = (n, r2, .., rN, 0,0,...), wobei r^ rationale Zahlen und N = N(x)
eine beliebige naturliche Zahl ist. Der Raum m ist nicht separabel.
12.2.2 Vollständige metrische Räume
12.2.2.1 Cauchy-Folge
Sei X — (X, p) ein metrischer Raum. Die Folge {xn}™=l mit xn E X, V n heißt CAUCHY-Fo/ge,
fundamentale Folge oder manchmal auch noch konvergent in sich, wenn es für Ve > 0 einen Index no = no(e)
gibt, so daß Vn, ra > n0 die Ungleichung
p(xn,xm)<£ A2 56)
gilt. Jede CAUCHY-Folge ist eine beschränkte Menge. Weiter gilt, daß jede konvergente Folge eine
CAUCHY-Folge ist. Die Umkehrung gilt im allgemeinen nicht, wie das folgende Beispiel zeigt.
¦ Betrachtet man im Raum l1 die Metrik A2.46) des Raumes m sowie die offensichtlich für alle n =
1,2,... in l1 liegenden Elemente x(n) = A, \, \,. ., £, 0,0,.. ), dann ist die Folge {z(n)}£°=1 eine
CAUCHY-Folge in diesem Raum. Würde die Folge {x^} konvergieren, dann müßte sie auch
koordinatenweise konvergieren, und zwar zu dem Element x^ = A,-,-,.. , —, ,...). x^ liegt aber
Z o 71 Tl "T" 1
oo y
wegen Y^ - = +oo (s. 7 2.1 1,2., S. 422, harmonische Reihe) nicht in l1.
12.2.2.2 Vollständiger metrischer Raum
Ein metrischer Raum heißt vollständig, wenn in ihm jede CAUCHY-Folge konvergiert. Die
vollständigen metrischen Räume sind also gerade diejenigen, in denen das von den reellen Zahlen her bekannte
CAUCHYsc/ie Prinzip gilt: Eine Folge konvergiert genau dann, wenn sie eine CAUCHY-Folge ist Jeder
abgeschlossene Teilraum eines vollständigen metrischen Raumes ist (als selbständiger metrischer Raum
aufgefaßt) vollständig In gewisser Weise gilt die Umkehrung: Ist ein Teilraum Y eines (nicht
notwendigerweise vollständigen) metrischen Raumes X vollständig, so ist die Menge Y in X abgeschlossen.
¦ Vollständig metrische Räume sind z B.: m, \p A < p < oo), c, ß{T), C([a, b]), C(fc)([a, b]),
LP(a,6) A <p<oo).
12.2.2.3 Einige fundamentale Sätze in vollständigen metrischen Räumen
Die Wichtigkeit vollständiger metrischer Räume resultiert u.a. auch aus der Gültigkeit einer ganzen
Reihe bedeutender Sätze und Prinzipien, die aus der reellen Analysis bekannt und nützlich sind und
die man gern für den Fall unendlichdimensionaler Räume zur Verfügung haben möchte
1. Kugelschachtelungssatz Sei X ein vollständiger metrischer Raum. Ist
ß(si; ri) D B(x2- r2) D • • • D B{xn; rn) D • • • A2 57)
eine Folge von ineinandergeschachtelten abgeschlossenen Kugeln mit rn —? 0, dann ist der
Durchschnitt aller dieser Kugeln nichtleer und besteht nur aus einem einzigen Punkt Gilt dieser Satz in
einem metrischen Raum, so ist dieser vollständig.
2. Bairescher Kategoriensatz Sei X ein vollständiger metrischer Raum und {Fk}™=1 eine Folge
von abgeschlossenen Mengen in X mit UjSLi Fk = X. Dann existiert mindestens ein Index k0 , für den
die Menge Fk0 einen inneren Punkt enthält.
3. Banachscher Fixpunktsatz Sei F eine nichtleere abgeschlossene Teilmenge eines vollständigen
metrischen Raumes (X,/o). Sei T: X —? X ein kontraktiver Operator auf F, d.h., es existiert eine
Konstante q G @,1), so daß gilt
p(Tx, Ty) < q p(x, y) für alle x,y G F. A2 58)
Sei Tx 6 F für x E F vorausgesetzt. Dann gilt:
a) Für einen beliebigen Startpunkt xq € F ist das Iterationsverfahren
xn+1 =Txn (n = 0,l,2, .) A2.59)
12.2 Metrische Räume 629
unbeschränkt ausführbar, d.h , für jedes n gilt xn € F.
b) Die Iterationsfolge {xn}™=0 konvergiert gegen ein Element x* G F.
c) Es gilt
Tx* = x*, d.h., x* ist ein Fixpunkt des Operators T. A2.60)
d) Der einzige Fixpunkt von T in F ist x*.
e) Es gilt die Fehlerabschätzung
n
p{x*,xn) < -—p(xi,x0). A2.61)
Im Zusammenhang mit dem BANACHsc/ien Fixpunktsatz spricht man vom Prinzip der kontrahierenden
Abbildung oder dem Kontraktionsprinzip.
12.2.2.4 Einige Anwendungen des Kontraktionsprinzips
1. Iterationsverfahren zur Lösung linearer Gleichungssysteme
Das gegebene lineare (n, n)-Gleichungssystem
ai\X\ +a\2x2 4-. • + a\nXi = &i,
«21^1 +022^2 + + Ö2n^n = &2 ,
an\Xi +an2x2 + . + annxn = bn
geht durch Umformung gemäß 19.2.1, S. 917 in das äquivalente Gleichungssystem
x\ -A -- a\i)xi -\-a12X2 H +o>inXn=bi,
x2 -a2\Xi -A - a22)x2 H +a2nxn = b2 ,
A2 62a)
A2.62b)
Xn -OnlXl +«n2^2 H ~A ~ CLnn)Xn — K
über Dieses läßt sich mit dem Operator T* Kn —> Kn , definiert durch
(n n \ T
£i - ^aifc^fc + fei, . •, zn - $^ ^^ + M , A2 63)
fc=l fc=l /
in das Fixpunktproblem
x = Tx A2 64)
überführen, das im metrischen Raum Kn, versehen mit einer geeigneten Metrik, der euklidischen
A2 43), der Metrik A2.44) oder der Metrik p(x,y) = £Li \xk - yk\ (vgl. mit A2.47)), betrachtet
wird Ist eine der Zahlen
!¦;
E M2, mffi J2 M' ™a? Y, M A2.65)
,fc=i ^"jfi ^^i
kleiner als 1, dann erweist sich T als kontrahierender Operator und besitzt nach dem BANACHschen
Fixpunktsatz genau einen Fixpunkt, der der komponentenweise Grenzwert der Iterationsfolge mit
beliebigem Startpunkt aus Kn ist
2. Fredholmsche Integralgleichungen
Die FREDHOLMsche Integralgleichung (s. 11.2, S, 584)
b
tp(x) - I K(x, y)tp(y) dy = f(x), x e [a, b] A2 66)
630 12. Funktionalanalysis
mit stetigem Kern K(x, y) und stetiger rechter Seite f(x) kann man iterativ lösen, indem sie mit Hilfe
des Operators T: C([a, b}) —> C([a, 6]), definiert durch
b
T<p(x) = JK(xiy)<p(y)dy + f(x) Vy> € C([a,6]), A2 67)
a
in ein Fixpunktproblem Tip = tp im metrischen Raum C([a, b]) (Beispiel A aus Abschnitt 12.1.2, S. 617)
überführt und der Fixpunktsatz angewendet wird, vorausgesetzt, es gilt maxa<x<t, J^ \K(x, y)\dy < 1.
Die eindeutige Lösung erhält man als gleichmäßigen Grenzwert der Iterationsfolge {<pn}™=i mit <pn =
T(pn-i, beginnend mit einer beliebigen Funktion (po(x) G C([a, b]).
3. Volt errasche Integralgleichungen
Die VOLTERRAsche Integralgleichung (s 11 4, S 605)
X
<p(x) - I K(x, y)tp(y) dy = f(x), ie[a, b] A2.68)
a
mit stetigem Kern und stetiger rechter Seite kann man mit Hilfe des VOLTERRAschen Integraloperators
X
(V<p)(x) := I K(xt y)ip(y) dy V <p G C([a, b\) A2.69)
a
und Tip = f + VV als das Fixpunktproblem Tip = y? im Raum C([a, 6]) unter Anwendung des
Fixpunktsatzes behandeln.
4. Satz von Picard-Lindelöf
Es werde die Differentialgleichung
x = f(t,x) A2 70)
mit einer stetigen Abbildung f I x G —? Rn betrachtet, wobei / ein offenes Intervall aus R und G
eine offene Teilmenge aus Rn sind. Die Abbildung / genüge bezüglich x einer LiPSCHlTZ-Bedingung
(s. 9 1 1,2., S. 505), d.h., es gibt eine positive Konstante L mit
p{f(t,x1),f(t,x2)) < Lp(xux2) V(*,xi),(t,x2) e I x G, A2 71)
wobei p die euklidische Metrik in Rn bezeichnet (unter Verwendung der Norm, s. 12.3.1, gilt die
Beziehung A2.81) p(x, y) = \\x - y\\ V x, y G Rn). Sei (t0, x0) e I x G ein beliebiger Punkt. Dann gibt es
Zahlen ß > 0 und r > 0, so daß die Menge ü = {(£, x) eRx~Rn: \t-t0\ < ß, p(x, x0) < r} in / x G
T
liegt Seien M = maxn p(f(t, x), 0) und a = min{/5, —} . Dann existiert eine Zahl b > 0, so daß für
jedes x G B mit B = {x G Rn. p(x, x0) < b} das Anfangswertproblem
x = f(t,x)i x{t0) = x A2.72)
genau eine (lokale) Lösung ip(t,x) besitzt, d.h. ip(t,x) = f(t,(p(t,x)) für V t : \t — t0\ < a und
<p(to, x) = x. Die Lösung dieses Anfangswertproblems ist äquivalent zur Lösung der Integralgleichung
t
ip(t,x) = x+ f /(s,<p(s,x))ds, te[t0- a,t0 + a\. A2 73)
Bezeichnet jetzt X die abgeschlossene Kugel {</?(£, x): d(ip(t, x), x0) < r} des in der Metrik
d{<P,il>) = ft . max jW,!),^!)) A2 74)
vollständigen metrischen Raumes C([to — a, to + a] x B , Rn), dann ist X mit der induzierten Metrik
selbst ein vollständiger metrischer Raum Ist T* X —> X der durch
t
T<p(t, x) = x + / /(s, ip(s, x)) ds A2 75)
12 3 Normierte Räume 631
definierte Operator, dann ergibt sich die Lösung der Integralgleichung A2.73) als eindeutiger Fixpunkt
des Operators T, der sogar iterativ erzeugt werden kann.
12.2.2.5 Vervollständigung eines metrischen Raumes
Jeder beliebige, also im allgemeinen nicht vollständige metrische Raum X kann vervollständigt werden,
genauer, es existiert ein metrischer Raum X mit folgenden Eigenschaften:
1. X enthält einen zu X isometrischen (s. 12.2.3,2., S. 631) Teilraum Y
2. Y ist überall dicht in X
3. X ist ein vollständiger metrischer Raum.
4. Ist Z ein beliebiger metrischer Raum mit den Eigenschaften 1. bis 3., dann sind Z und X isometrisch
Der dadurch bis auf Isometrie eindeutig bestimmte vollständige metrische Raum heißt die
Vervollständigung des Raumes X.
12.2.3 Stetige Operatoren
1. Stetige Operatoren
Sei T: X —? Y eine Abbildung des metrischen Raumes X = (X, p) in den metrischen Raum Y =
(Y, p) T heißt stetig im Punkt Xq 6 X, wenn für jede Umgebung V = V(yo) des Punktes y0 = T(xo)
eine Umgebung U = U(x0) existiert, so daß gilt:
T{x)eV \/xeU. A2.76)
T heißt stetig auf der Menge A C X, wenn T in jedem Punkt der Menge A stetig ist. Äquivalente
Eigenschaften zur Stetigkeit auf X sind*
a) Für einen beliebigen Punkt x G X und eine beliebige Folge {zn}£Li, xn eX mit xn —? x gilt stets
T(xn) —? T(x), also p(xn,x0) —> 0 impliziert p(T(xn),T(xo)) —> 0
b) Für eine beliebig offene Teilmenge G C Y ist das Urbild T~1(G) eine offene Teilmenge in X
c) Für eine beliebige abgeschlossene Teilmenge F C Y ist das Urbild T~X(F) eine abgeschlossene
Teilmenge in X.
d) Für eine beliebige Teilmenge AcX gilt T(Ä) C T(A).
2. Isometrische Räume
Existiert für zwei metrische Räume X = (X, p) und Y = (Y, p) eine bijektive Abbildung T mit der
Eigenschaft
p(x1y) = p(T(xIT(y)) Vx,y€X, A2.77)
dann heißen die Räume x und Y isometrisch und T eine Isometrie.
12.3 Normierte Räume
12.3.1 Begriff des normierten Raumes
12.3.1.1 Axiome des normierten Raumes
Sei X ein Vektorraum über dem Körper K . Eine Funktion || • || • X —> R^ heißt Norm auf dem
Vektorraum X und das Paar X = (X, || • ||) normierter Raum über dem Körper K , wenn für beliebige Elemente
x, y e X und beliebiges a G K die folgenden Eigenschaften, die Axiome des normierten Raumes, erfüllt
sind
(Nl) ||x|| > 0 und ||x|| = 0 genau dann, wenn x = 0, A2 78)
(N2) ||az|| = H • ||z|| (Homogenität), A2.79)
(N3) \\x + y\\ < \\x\\ + ||y|| (Dreiecksungleichung) A2 80)
Mit Hilfe der Festlegung
p(xty) = \\x-yl x,yeX A2 81)
632 12 Funktionalanalysis
kann jeder normierte Raum in einen metrischen Raum so umgewandelt werden, daß die Metrik A2 81)
zusätzlich noch die mit der Struktur des Vektorraums verträglichen Eigenschaften
p(x + z,y + z) = p{x,y), zeX A2.82a)
p{ax,ay) = \a\p{x,y), a6K. A2.82b)
besitzt Somit stehen in einem normierten Raum sowohl die Eigenschaften eines Vektorraums als auch
die eines metrischen Raumes - durch A2 82a) und A2.82b) verträglich, aufeinander abgestimmt - zur
Verfügung. Daraus ergibt sich, daß man die meisten lokalen auf einen Punkt bezogenen Untersuchungen
mit den Einheitskugeln
5@;l) = {xGX: \\x\\ < 1} und ß@,1) = {x € X : \\x\\ < 1} A2 83)
vornehmen kann, da sich
B(x,r) = {yeX \\y - x\\ < r} = x + rß@; 1) VxGl und Vr>0 A2.84)
ergibt. Außerdem sind die Operationen im zugrunde liegenden Vektorraum stetig, d h , aus
xn^x, yn^y<, OLn^a folgen xn + yn —> x + y, anxn —> ax, ||a;n||-* ||x|| A2 85)
Für konvergente Folgen schreibt man anstelle von A2.53) in normierten Räumen
lkn-zo||—>0 (n—>oo). A2 86)
12.3.1.2 Einige Eigenschaften normierter Räume
In der Klasse aller linearen metrischen Räume sind gerade diejenigen normierbar, d h , mit Hilfe der
Metrik kann durch ||z|| = p(x, 0) eine Norm eingeführt werden, deren Metrik den Bedingungen A2 82a)
und A2 82b) genügt.
Zwei normierte Räume X und Y heißen normisomorph, wenn es eine bijektive, lineare Abbildung T
X —> Y mit || Tz || = ||z|| gibt Seien || • ||i und || • H2 zwei Normen auf einem Vektorraum X, die X
zu dem normierten Raum Xi bzw. X2 machen. Die Norm || • ||i heißt stärker als die Norm || • H2 , wenn
es eine Zahl 7 > 0 mit ||x||2 < 7||#||i Vx G X gibt In diesem Falle impliziert die Konvergenz einer
Folge {xn}^=1 zu x im Sinne der Norm || • ||i, also ||xn — x||i —? 0 , ihre Konvergenz zu x im Sinne der
Norm jl • ||2 , also ||xn — x||2 —*¦ 0.
Zwei Normen || • || und || | • || | nennt man äquivalent, wenn es zwei Zahlen 71 > 0 , 72 > 0 gibt, so daß für
V x G X 7i||aj|| < |||z||| < 72||a;II gilt. Auf einem endlichdimensionalen Vektorraum sind alle Normen
äquivalent.
Unter einem Teilraum eines normierten Raums versteht man einen abgeschlossenen linearen Teilraum
12.3.2 Banach—Räume
Ein vollständiger normierter Raum heißt B AN ACH -Raum Jeder normierte Raum X kann zu einem
BANACH-Raum X auf der Grundlage der Vervollständigungsprozedur aus 12.2.2.5, S 631 und der
natürlichen Fortsetzung seiner algebraischen Operationen und der Norm auf X vervollständigt
werden.
12.3.2.1 Reihen in normierten Räumen
In einem normierten Raum kann man Reihen von Elementen betrachten Das bedeutet- für eine
gegebene Folge {xn}™^ von Elementen xn G X bildet man die neue Folge {s^jfcLi mit Hilfe der Partialsummen
si = xi, s2 = xi +x2, ..,sk = Xi-\ \-xk = sfc_i +xk, . A2 87)
Wenn die Folge {sfc}j£Li konvergiert, d.h || sk — s ||—? 0 {k —> 00) für ein gewisses s G X, dann ist
eine konvergente Reihe definiert. Der Grenzwert
A:
lim Yxn = s A2.88)
12.3 Normierte Räume 633
heißt dann Summe der Reihe, wofür man auch s = Y^=\ %n schreibt. Eine Reihe J2%Li xn heißt absolut
konvergent, wenn die Zahlenreihe ]CS£=i ll^nll konvergiert. Im BANACH-Raum ist jede absolut
konvergente Reihe konvergent, wobei für ihre Summe ||s|| < Y^=i \\xn\\ gilt.
12.3.2.2 Beispiele von Banach-Räumen
¦ A : Kn mit ||z|| = ( £ l&N " , wenn 1 < p < oo ,
lldl = max IfJ, wenn p = oo. A2.89a)
l<fc<n
Die so entstehenden normierten Räume auf ein und demselben Vektorraum Kn bezeichnet man oft mit
lp(n) A < p < oo) und nennt sie für 1 < p < oo im Falle von K = R euklidische Räume und im Falle
von K = C unitäre Räume
¦ B . m mit ||a;|| = sup|&| A2.89b)
k
¦ C : c und c0 mit der Norm aus m. A2 89c)
¦ D: P mit ||a;||= (£|fn|pJ A < p < oo) A2 89d)
¦ E : C([a,b\) mit ||z|| = max \x{t)\. A2.89e)
te[a,b]
¦ F. Lp((a,b)) (l<p<oo) mit ||x|| = ( [ \x(t)\pdt\ . A2.89f)
k
M G C(k){[a,b}) mit \\x(t)\\ = £ max \xil){t)\ A2 89g)
12.3.2.3 Sobolew-Räume
Sei Q C Rn ein beschränktes Gebiet, d h eine offene zusammenhängende Menge, mit hinreichend
glattem Rand dQ. Für n = 1 oder n = 2,3 stelle man sich Ü etwa als ein Intervall (a, b) oder eine konvexe
Menge vor Eine Funktion / Q —? R nennt man A:-mal stetig differenzierbar in dem
abgeschlossenen Gebiet Q, wenn / auf ü fc-mal stetig differenzierbar ist und jede ihrer partiellen Ableitungen
einen Grenzwert besitzt, d.h., wenn x zu einem beliebigen Randpunkt von Q konvergiert Mit anderen
Worten, jede ihrer partiellen Ableitungen ist stetig auf den Rand von ü fortsetzbar und ist eine stetige
Funktion auf Q . In diesem Vektorraum wird (für p e [1, oo)) und dem LEBESGUE-Maß A im Rn (s.
12 9 1,2., S 657) die folgende Norm eingeführt:
ll/IU,= 11/11 =\[\f(x)\»d\+ £ [\D°f\pd\\ . A290)
Der entstandene normierte Raum wird mit Wk,p(Cl) oder auch mit W£(Q) bezeichnet (im Unterschied
zu dem mit einer ganz anderen Norm versehenen Raum C^([a, b])). Hier bedeutet a einen Multiindex,
d.h. ein geordnetes n-Tupel («i,. , an) von nichtnegativen ganzen Zahlen, wobei die Summe der
Komponenten von a mit |a| = ai + a2 + \- an bezeichnet wird Für eine Funktion f(x) = /(£i,. ., fn)
mit x = (f1}..., fn) € tt nutzt man - wie in A2.90) - die verkürzte Schreibweise
634 12. Funktionalanalysis
Der normierte Raum Wh,p(Q) ist nicht vollständig. Seine Vervollständigung wird mit Wk,p(ü) oder im
Falle von p = 2 mit Hfc(Sl) bezeichnet und heißt Sobolew-Raum
12.3.3 Geordnete normierte Räume
1. Kegel im normierten Raum
Sei X ein reeller normierter Raum mit der Norm || • ||. Ein Kegel X+ C X heißt solid, wenn X+ eine
Kugel (mit positivem Radius) enthält
¦ Die üblichen Kegel in den Räumen R, C([a, b]), c sind solid, die in den Räumen Lp([a, b\) (s 12 4.
S 635) und lp A < p < oo) nicht
Ein Kegel X+ heißt normal, wenn die Norm in X semimonoton ist, d.h., es existiert eine Konstante
M > 0 , so daß
0 < x < y =? ||z|| < M\\y\\ A2 92)
gilt. Ist X ein mit Hilfe eines Kegels X+ geordneter BANACH-Raum, dann ist jedes (o)-Intervall genau
dann normbeschränkt, wenn der Kegel X+ normal ist.
¦ Die Kegel der Vektoren mit nichtnegativen Komponenten und der nichtnegativen Funktionen in den
Räumen Rn, m, c, c0, C, \p und LP sind normal.
Ein Kegel heißt regulär, wenn jede monoton wachsende, von oben beschränkte Folge
xi < x2 < • • • < xn < • • • < z A2 93)
eine CAUCHY-Folge in X ist. In einem BANACH-Raum ist jeder abgeschlossene reguläre Kegel normal
¦ Die Kegel in Rn , lp und Lp für 1 < p < oo sind regulär, die in C und m nicht.
2. Normierte Vektor verbände und Banach-Verbände
Sei X ein Vektor verband, der gleichzeitig ein normierter Raum ist X heißt normierter Verband oder
normierter Vektorverband (s. [12 18], [12 22], [12.25], [12.26]), wenn die Norm der Bedingung
\x\ < \y\ impliziert ||z|| < \\y\\ \/x,yeX (Monotonie der Norm) A2.94)
genügt. Ein vollständiger (bezüglich der Norm) normierter Verband heißt BANACH- Verband.
¦ Die Räume C([a,6]), 17, \p, B([a, b}) sind Banach-Verbände
12.3.4 Normierte Algebren
Ein Vektorraum X über K heißt eine Algebra, wenn zusätzlich zu den Operationen, die im
Vektorraum X erklärt sind und den Axiomen (VI) bis (V8) (s. 12 1.1, S 616) genügen, für je zwei Elemente
x, y G X ihr Produkt x -y eX oder in der vereinfachten Schreibweise, xy , erklärt ist, so daß für
beliebige x, y, z G X und a G K die folgenden Eigenschaften erfüllt sind
(Al) x{yz) = (xy)z, A2 95)
(A2) x(y + z)=xy + xz, A296)
(A3) (x + y)z = xz + yz, A2.97)
(A4) a{xy) = {ax)y = x{ay). A2 98)
Eine Algebra ist kommutativ, wenn stets xy = yx gilt. Ein linearer Operator (s A2 21)) T: X —? Y
der Algebra X in die Algebra Y heißt Algebren-Homomorphismus, wenn für alle X\, £2 £ X gilt.
T(xi - x2) = Txx • Tx2 . A2.99)
Eine Algebra X heißt normierte Algebra bzw. eine BANACH-^/^eöra, wenn sie ein normierter
Vektorraum bzw ein BANACH-Raum ist und die Norm die (zusätzliche) Eigenschaft
||x-y||<||x||-||y|| A2 100)
besitzt. In einer normierten Algebra sind alle Operationen stetig, d h., außer A2 85) gilt für xn —? x
und yn —> y auch noch xnyn —> xy (s [12 23]).
12 4 Hilbert-Räume 635
Jede normierte Algebra kann zu einer BANACH-Algebra vervollständigt werden, indem man das
Produkt auf ihre Normvervollständigung unter Berücksichtigung von A2.100) fortsetzt
¦ A: C([a, b]) mit der Norm A2.89e) und der für stetige Funktionen üblichen (punktweisen)
Multiplikation.
¦ B: Der Vektorraum W([0,2ir]) aller in eine absolut konvergente FOURIER-Reihe zerlegbaren
komplexen auf [0,27r] stetigen Funktionen x(t), d h.
oo
x(t)= £ cnemt, A2.101)
n=—oo
mit der Norm \\x\\ = ^^„^ \cn\ und der gewöhnlichen Multiplikation
¦ C: Der Raum L(X) aller beschränkten linearen Operatoren auf dem normierten Raum X mit der
Operatorennorm und den üblichen algebraischen Operationen (s. 12.5.1 2, S. 640), wobei unter dem
Produkt T-S zweier Operatoren die Nacheinanderausführung, also der durch TS(x) = T(S(x)), x G X
definierte Operator verstanden wird.
¦ D: Der Raum Ll(—oo, oo) aller absolut summierbaren meßbaren Funktionen auf der reellen Achse
(s. 12.9) mit der Norm
||x|| = r \x(t)\dt, A2.102)
/oo
x(t — s)y(s) ds
-oo
verwendet
12.4 Hilbert-Räume
12.4.1 Begriff des Hilbert-Raumes
12.4.1.1 Skalarprodukt
Ein Vektorraum V über dem Körper K (meistens wird K = C betrachtet) heißt Raum mit
Skalarprodukt oder Innenproduktraum oder Prä-HlLBERT-Raum, wenn jedem Paar von Elementen x,y G V
eine Zahl (x,y) £ K, das Skalarprodukt von x und y, zugeordnet ist, so daß für beliebige Elemente
x,y,z € V und beliebiges a G K die folgenden Bedingungen, die Axiome des Skalarprodukts, erfüllt
sind
(Hl) (x, x) > 0 , (insbesondere (x, x) reell) und (x, x) = 0 genau dann, wenn x = 0, A2.103)
(H2) (qx, y) = a(x, y), A2.104)
(H3) (x + y,z) = (x, z) + (y, z), A2.105)
(H4Hr,j/) = (y,s) A2.106)
(Mit ö7 ist die zu u konjugiert komplexe Zahl bezeichnet, die in A.135c) durch lü* gekennzeichnet
wurde.)
Im Falle von K = R, also eines reellen Vektorraums, ist (H4) einfach die Kommutativitätsforderung
für das Skalarprodukt. Aus den Axiomen ergeben sich sofort zusätzlich noch die Eigenschaften
(x,ay) = ä(x,y) und (x,y + z) = (x,y) + (x,z) A2 107)
12.4.1.2 Unitäre Räume und einige ihrer Eigenschaften
Mit Hilfe des Skalarprodukts kann man in einem Prä-HlLBERT-Raum durch die Festlegung
||z|| = ^x) A2 108)
eine Norm erzeugen. Ein normierter Raum H = (H, || • ||) heißt unitär, wenn man in ihm ein
Skalarprodukt einführen kann, das mit der Norm durch A2.108) verknüpft ist. Im unitären Raum gelten
636 12. Funktionalanalysis
aufgrund des Vorhandenseins des Skalarprodukts und der Verknüpfung A2 108) die folgenden
bemerkenswerten Eigenschaften
1. Dreiecksungleichung:
l|z + 2/H2<(NI + lh/llJ- A2 109)
2. Cauchy-Schwarz-Ungleichungoder Schwarz-Bunjakowski-Ungleichung (s. auch S. 31):
\(x,y)\<y/^x)y/(^y) A2.110)
3. Parallelogrammgleichung: In der Klasse aller normierten Räume charakterisiert sie die unitären
Räume.
ll* + I/f + lk-I/f = 2(||xf + ||y||2). A2 111)
4. Stetigkeit des Skalarprodukts:
xn -»• x, yn^y impliziert (xn,yn) -> (x,y) A2.112)
12.4.1.3 Hilbert-Raum
Ein vollständiger unitärer Raum heißt HlLBERT -Raum. Als BANACH-Räume besitzen die Hilbert-
Räume auch deren Eigenschaften (s. 12.3.1, S. 631,12.3.1 2, S. 632,12 3 2, S 632) Hinzu kommen noch
die eines unitären Raumes 12 4 12, S. 635. Unter einem Teilraum eines HiLBERT-Raumes versteht man
einen abgeschlossenen linearen Teilraum
¦ A: l2(n), l2 und L2([a, b]) mit den Skalarprodukten
(x,y) = Eöwfc, &y) = E» und (*>y) = f *(*)*/(*)<** A2113)
k=i fc=i Ja
¦ B: Der Raum H2(Q) mit dem Skalarprodukt
(/,<?) = [f(x)W)dx+ £ fDaf(x)D^)dx A2 114)
¦ C: Sei ip(t) eine auf [a, b] meßbare und positive Funktion Der komplexe Raum L2 ([a, b], (p) aller
meßbaren Funktionen, die auf [a, b] mit dem Gewicht </? quadratisch summierbar sind, wird ein Hilbert-
Raum, wenn das folgende Skalarprodukt betrachtet wird
rb
x(t)y(t)(p(t) dt. A2.115)
(x,y)= f
Ja
12.4.2 Orthogonalität
Zwei Elemente x, y eines HiLBERT-Raumes (die Begriffe dieses Abschnitts haben auch in Prä-HlL-
BERT-Räumen bzw. in unitären Räumen Sinn) H heißen orthogonal (man schreibt dafür xly), wenn
(sc, y) = 0. Für eine beliebige Teilmenge A C H ist die Menge
A1 = {xeH. (x,y) = 0 VyeA} A2 116)
aller Vektoren, die zu jedem Vektor aus A orthogonal sind, ein (abgeschlossener linearer) Teilraum von
H und heißt Orthogonalraum zu A oder orthogonales Komplement von A Man schreibt A ± B, wenn
(x, y) = 0 V x € A und V y G B gilt. Besteht A nur aus dem Element x , dann schreibt man x ± B
12.4.2.1 Eigenschaften der Orthogonalität
Der Nullvektor ist zu jedem Vektor aus H orthogonal. Es gilt:
a) x _L y und x ± z impliziert x ± (ay + ßz) für beliebige q, ß G C
b) Aus x ±yn und yn —> y folgt x _L y .
c) x ± A genau dann, wenn x ± lin(A), wobei lin(A) die abgeschlossene lineare Hülle der Menge A
bezeichnet.
124 Hilbert-Räume 637
d) Ist x _L A und A eine fundamentale Menge, d.h., lin(A) ist überall dicht in H , dann ist x = 0 .
e) Satz des Pythagoras: Sind die Elemente x\, . , xn paarweise orthogonal, also xk _L xi für k ^ l,
dann ist
II X>*f = £ IM2 A2-117)
fc=l k=\
f) Projektionssatz: Ist H0 ein Teilraum von H , dann ist jeder Vektor x € H eindeutig in der Form
x = x' + x", x'gH0,xH0 A2.118)
darstellbar
g) Approximationsproblem: Weiter gilt ||x'|| = p(x, H0) = infyGH0{||^ — y\\} , so daß das Problem
||s - 2/|| - inf, yeU0 A2 119)
in H0 mit x' eindeutig lösbar ist H0 kann dabei sogar durch eine konvexe, abgeschlossene nicht leere
Teilmenge aus H ersetzt werden.
Das Element x' heißt Projektion des Elements x auf H0 , besitzt den kleinsten Abstand von x (zu H0),
und der Raum H ist orthogonal zerlegbar: H = H0 0 H^ .
12.4.2.2 Orthogonale Systeme
Eine Menge {x^ £ G E} von Vektoren aus H heißt orthogonales System, wenn es den Nullvektor nicht
enthält und x% _L x^ , £ ^ 77, also (a^, xv) = 5^v gilt, wobei
s,
H5 £ !*;¦ A2-12°)
das KRONECKER-Symbol bezeichnet. Ein orthogonales System heißt orthonormaloder orthonormiert,
wenn auch noch \\x^\\ = 1 V£ gilt.
In einem separablen HiLBERT-Raum kann ein orthogonales System aus höchstens abzählbar vielen
Elementen bestehen. Im weiteren ist daher stets E = IN .
¦ A: Das System
—7=, —?=cost, —=smt, —=cos2£, —r=sin2£, ... A2.121)
y/27r \/n y/n y/if 0r
im reellen Raum L2([—7r, ir]) und das System
-^=emi (n = 0,±l,±2,...) A2.122)
V27T
im komplexen Raum L2([-7r, tt]) sind orthonormale Systeme Diese beiden Systeme heißen
trigonometrisch
¦ B: Die LEGENDREschen Polynome 1 Art (s 9.1.2 6,3., S. 530)
pn(t) = j^l(t2-m (« = 0,1,.. ) A2.123)
atn
bilden ein orthogonales System von Elementen im Raum L2 ([—1,1]) Das entsprechende orthonormale
System ist dann
P-(t) = \ln+\j^iPn(t) A2.124)
¦ C: Die HERMlTEschen Polynome (s 9 1 2.6,6., S 532, 9 2 3.5,7., S 565) gemäß der 2. Definition
der HERMlTEschen Differentialgleichung (9 63b)
Hn(t) = e'2^e-t2 (n = 0,l,. .) A2.125)
bilden ein orthogonales System im Raum L2((—oo, oo))
638 12. Funktionalanalysis
¦ D: Im Raum L2(@, oo)) bilden die LAGUERREschen Polynome ein orthogonales System (s. 9.1.2.6,
5., S. 531)
Jedes orthogonale System ist linear unabhängig, denn der Nullvektor war von vornherein
ausgeschlossen worden Umgekehrt, hat man ein System X\,X2, xn, .. von linear unabhängigen Elementen
in einem HiLBERT-Raum H , dann existieren nach dem GRAM-SCHMiDTschen Orthogonalisierungs-
verfahren Vektoren e\, ß2,. ., en, ., die ein orthonormales System bilden und die bis auf einen Faktor
mit Modul 1 eindeutig bestimmt sind
12.4.3 Fourier—Reihen im Hubert—Raum
12.4.3.1 Bestapproximation
Seien jetzt H ein separabler HiLBERT-Raum und
{en. n= 1,2, ..} A2.126)
ein fixiertes orthonormales System in H Für ein Element x £ H heißen die Zahlen cn = (x,en)
FOURIER-Koeffizienten des Elements x bezüglich des Systems A2 126) Die (formale) Reihe
oo
£ cnen A2 127)
n=l
nennt man FouRlER-iüez/ie des Elements x bezüglich des Systems A2 126), (s. 7.4.1.1, S. 437). Die
rite Partialsumme der FOURIER-Reihe eines Elements x besitzt die Eigenschaft der Bestapproximation,
d.h., bei festem n ergibt unter allen Vektoren aus Hn = lin({e\,..., en}) die n-te Partialsumme der
FOURIER-Reihe, also das Element
<7n = i>,efc)efcl A2 128)
k=i
den kleinsten Wert für \\x — ]CJLi ctkCkW i d.h. ||x — an|| < \\x — Y%=i ^k^k\\ ¦ Darüber hinaus ist x — crn
orthogonal zu Hn , und es gilt die BESSELsche Ungleichung
oo
£|cn|2<N|2, cn = (x,en) (n = l,2, ..)• • A2 129)
12.4.3.2 Parsevalsche Gleichung, Satz von Riesz-Fischer
Die FOURIER-Reihe eines beliebigen Elements x £ H konvergiert stets, und zwar zur Projektion
des Elements x auf den Teilraum H0 = lin({en}^=1). Hat ein Element x G H die Darstellung x =
Y^fLi an^n, dann sind an die FOURIER-Koeffizienten von x. Ist {a„}J°=1 eine beliebige Zahlenfolge
mit der Eigenschaft Y^fLi \an\2 < oo, dann existiert in H genau ein Element x, dessen FOURIER-
Koeffizienten gerade die Zahlen an sind und für das die Abgeschlossenheitsrelation oder PARSEVALsche
Gleichung
oo oo
£l(z,e„)|2 = £KI2 = NI2 A2-130)
gilt (Satz von Riesz-Fischer)
Ein orthonormales System {en} in H heißt vollständig, wenn es keinen vom Nullvektor verschiedenen
Vektor y gibt, der zu allen Vektoren en orthogonal ist, es heißt Basis, wenn jeder Vektor x € H als
x = X^i ctnen dargestellt werden kann, d.h. an = (x, en), und x ist gleich der Summe seiner Fourier-
Reihe. In letzterem Falle sagt man auch, x hat eine FOURIER-Entwicklung. Die folgenden Aussagen
sind äquivalent
a) {en} ist eine fundamentale Menge in H.
b) {en} ist vollständig in H .
12.5 Stetige lineare Operatoren und Funktionale 639
c) {en} ist eine Basis in H .
d) Für V x, y e H mit den entsprechenden FOURIER-Koeffizienten cn und dn (n = 1,2,.. ) gilt:
(z,y) = f>n4. A2 131)
n=l
e) Für jeden Vektor x G H gilt die PARSEVALsche Gleichung A2.130)
¦ A: Das trigonometrische System A2.121) ist eine Basis im Raum L2([—7r, 7r]).
¦ B: Das System der normierten LEGENDREschen Polynome A2.124) Pn(t) (n = 0,1,.. ) ist
vollständig und bildet demzufolge eine Basis im Raum L2([—1,1]).
12.4.4 Existenz einer Basis. Isomorphe Hubert—Räume
In jedem separablen HiLBERT-Raum existiert eine Basis. Daraus ergibt sich, daß jedes orthonormale
System zu einer Basis ergänzt werden kann.
Zwei HiLBERT-Räume Hi und H2 heißen isometrisch oder isomorph als HiLBERT-Räume, wenn es eine
lineare, bijektive Abbildung T: Hi —>• H2 mit der Eigenschaft (Tx, Ty)u2 = (x, y)^ (also eine das
Skalarprodukt und wegen A2.108) auch die Norm erhaltende Abbildung) gibt. Es gilt: Zwei beliebige
unendlichdimensionale separable HiLBERT-Räume sind stets isometrisch, also insbesondere ist jeder
solche Raum isometrisch zu dem separablen Raum l2 .
12.5 Stetige lineare Operatoren und Funktionale
12.5.1 Beschränktheit, Norm und Stetigkeit linearer Operatoren
12.5.1.1 Beschränktheit und Norm linearer Operatoren
Seien X = (X, || • ||) und Y = (Y, || • ||) normierte Räume. Die Kennzeichnung der Norm im Raum
X, etwa durch jj • ||x , wird im weiteren weggelassen, da aus dem jeweiligen Kontext erkenntlich ist,
in welchem Raum die Norm betrachtet wird. Ein beliebiger Operator T: X —> Y heißt beschränkt,
wenn eine reelle Zahl A > 0 existiert mit
||T(x)|| < A||x|| (VxeX). A2.132)
Ein beschränkter Operator mit der Konstanten A „dehnt" jeden Vektor höchstens um das A-fache und
überführt jede beschränkte Menge aus X in eine beschränkte Menge aus Y , insbesondere ist das Bild
der Einheitskugel aus X in Y beschränkt. Für die Beschränktheit eines linearen Operators ist die letzte
Eigenschaft charakteristisch. Ein linearer Operator ist genau dann stetig (s. 12.2.3, S 631), wenn er
beschränkt ist.
Die kleinste Konstante A, für die A2.132) noch gilt, heißt Norm des Operators T und wird mit ||T||
bezeichnet, d h
||T|| := inf{A > 0 : ||Tx|| < A||z||, x <= X} . A2.133)
Für einen stetigen linearen Operator gelten
||T|| = sup ||Tx|| = sup ||Tx|| = sup ||Tx|| A2.134)
||x||<l ||x||<l ||s||=l
und außerdem die Abschätzung
||r*|| < ||T|| ¦ ||*|| (Vxex). A2135)
¦ Im Raum C([a, b\) mit der Norm A2.89d) ist der mittels der auf dem Quadrat {a < s, t < b} stetigen
komplexwertigen Funktion K(s,t) definierte Operator
(Tx)(s) = y{s) = fb K(s, t)x(t) dt (s € [a, b}) A2.136)
Ja
640 12 Funktionalanalysis
ein beschränkter linearer Operator, der C([a, b]) in C([a, b]) abbildet. Für seine Norm gilt
rb
\\T\\ = max / \K{s,t)\dt. A2 137)
s€[a,b] Ja
12.5.1.2 Raum linearer stetiger Operatoren
Für zwei lineare (stetige) Operatoren S, T X —? Y sind die Summe S 4- T und das Vielfache aT
punktweise erklärt
U{x) = S(x) + T(x), (<*T)(x) = a T(x), VxGX VaGK. A2.138)
Die Menge L(X, Y), häufig auch mit B(X, Y) bezeichnet, aller linearen stetigen Operatoren T aus X
in Y wird so ein Vektorraum, auf dem sich ||T|| A2 133) als Norm erweist Dadurch wird L(X, Y) ein
normierter Raum und, falls Y ein BANACH-Raum ist, sogar ein BANACH-Raum. Insbesondere sind
also die Axiome (VI) bis (V8) und (Nl) bis (N3) erfüllt.
Ist Y = X, dann kann man für zwei beliebige Elemente 5, T G L(X, X) = L(X) = B(X) durch
(ST)(x) = S{Tx) (VxGX) A2 139)
das Produkt definieren, das den Axiomen (Al) bis (A4) aus 12.3.4, S. 634 sowie der
Verträglichkeitsbedingung A2.100) mit der Norm genügt und so L(X) zu einer (im allgemeinen nichtkommuta-
tiven) normierten und, falls X BANACH-Raum ist, zu einer BANACH-Algebra macht Damit sind für
jeden Operator T G L(X) die Potenzen
T° = I,Tn = Tn~lT {n = 1,2,. .) A2 140)
definiert, wobei / der identische Operator Ix = x (V x G X) ist. Es gilt
l|T-|| < ||T||" (n = 0,l,...), A2 141)
und außerdem existiert stets der (endliche) Grenzwert
r(T) = lim y/\\Tn\\ , A2.142)
der Spektralradius des Operators T heißt und den Beziehungen
r(T) < \\T\\t r(Tn) = [r(T)]n , r(aT) = |a|r(T), r{T) = r{T*) A2.143)
genügt, wobei T* der zu T adjungierte Operator ist (s. 12.6, S. 646 und A2 159), S. 643) Im Falle der
Vollständigkeit von L(X) hat der Operator (XI — T)~l für |A| > r(T) die Darstellung in Form der
NEUMANNschen Reihe
(AJ-T)-1 = A~1/ + A-2T+. . + \~nTn-1 + .. , A2.144)
die für |A| > r(T) in der Operatornorm von L(X) konvergiert
12.5.1.3 Konvergenz von Operatorenfolgen
1. Punktweise Konvergenz einer Folge von linearen stetigen Operatoren Tn- X —? Y zu einem
Operator T: X —> Y liegt vor, wenn in Y gilt.
Tnx —>Tx (\/xeX). A2 145)
2. Gleichmäßige Konvergenz Die übliche Norm-Konvergenz einer Folge von Operatoren {Tn}™=l
im Raum L(X, Y) zu T, also
\\Tn - T\\ = sup \\Tnx - Tx\\ —? 0 (n -? oo) A2 146)
IMI<i
ist die gleichmäßige Konvergenz auf der Einheitskugel von X. Sie impliziert die punktweise Konvergenz
während die Umkehrung im allgemeinen nicht gilt
3. Anwendungen Konvergenz von Quadraturformeln, wenn die Anzahl n der Stützstellen gegen oo
geht, Permanenzprinzip von Summations- und Limitierungsverfahren u a
12.5.2 Lineare stetige Operatoren in Banach—Räumen
Die Räume X und Y seien jetzt als BANACH-Räume vorausgesetzt
12.5 Stetige lineare Operatoren und Funktionale 641
1. Satz von Banach-Steinhaus (Prinzip der gleichmäßigen Beschränkheit) Der Satz cha-.
rakterisiert die punktweise Konvergenz einer Folge von linearen stetigen Operatoren zu einem linearen
stetigen Operator durch die beiden Bedingungen
a) Für jedes Element aus einer überall dichten Teilmenge DcX hat die Folge {Tnx} einen Grenzwert
in Y und
b) mit einer Konstanten C gilt ||Tn|| < C, Vn.
2. Satz von der offenen Abbildung Der Satz besagt, daß ein linearer stetiger Operator, der X auf
Y abbildet, offen ist, d.h., das Bild T(G) ist eine offene Menge in Y für jede offene Menge G aus X
3. Satz vom abgeschlossenen Graphen (Closed Graph Theorem) Ein Operator T. Dt —? Y
mit Dt C X heißt abgeschlossen, wenn aus xn G Dt , xn —> x0 in X und Txn —* yo in Y stets Xq G Dt
und y0 = Txq folgen. Notwendig und hinreichend dafür ist die Abgeschlossenheit des Graphen des
Operators T im Raum X x Y, d h. der Menge
rT = {(x,Tx): xeDT}, A2.147)
wobei (x, y) hier die Bezeichnung für ein Element der Menge X x Y ist. Es gilt: Ist T ein abgeschlossener
Operator mit abgeschlossenem Definitionsbereich Dt , dann ist T stetig.
4. Satz von Hellinger und Toeplitz Sei T ein linearer Operator in einem HlLBERT-Raum H.
Wenn (x, Ty) = (Tx, y) für alle x, y G H gilt, so ist T stetig
5. Satz von Krein und Losanowskij über die Stetigkeit positiver linearer Operatoren Sind
X = (X, X+, II • II) und Y = (Y, Y+, || • ||) geordnete normierte Räume, wobei X+ ein erzeugender Kegel
ist, dann ist die Menge L+ (X, Y) aller positiven linearen und stetigen Operatoren T, d.h. T(X+) C Y+ ,
ein Kegel in L(X, Y). Dann besagt der Satz von M.G. Krein, G.J. Losanowskij (s. [12 20])- Sind
X und Y geordnete BANACH-Räume mit abgeschlossenen Kegeln X+ und Y+ und erzeugendem X+ ,
dann folgt aus der Positivität eines linearen Operators seine Stetigkeit.
6. Inverser Operator Seien X und Y beliebige normierte Räume und T* X —> Y ein linearer, nicht
unbedingt stetiger Operator. Dann besitzt T einen stetigen Inversen T~l: Y —? X, wenn T(X) = Y
und mit einer Konstanten m > 0 für alle x G X die Abschätzung \\Tx\\ > m||x|| gilt. Man hat dann
sogar IIT-11| <^
Im Falle von BANACH-Räumen X, Y gilt der
7. Satz von Banach über die Stetigkeit des inversen Operators Ist T ein linearer stetiger bi-
jektiver Operator von X auf Y, dann ist der inverse Operator T~l stetig
Als wichtige Anwendungen ergeben sich daraus beispielsweise die Stetigkeit von (XI — T)_1 bei In-
jektivität und Surjektivität von XI — T, was bei der Untersuchung des Spektrums eines Operators
(s. 12.5.3.2, S. 643) von Bedeutung ist, sowie die
8. Stetige Abhängigkeit der Lösung sowohl von der rechten Seite als auch von den Anfangswerten
bei Anfangswertproblemen für lineare Differentialgleichungen. Das soll an der folgenden
Anfangswertaufgabe gezeigt werden.
¦ Das Anfangswertproblem
x{t)+pi(t)x(t)+p2(t)x(t) = q(t), te[a,b], x{t0) = f, x{t0) = £, *0 e [a,b] A2.148a)
mit den Koeffizienten Pi(t),p2(t) G C([a, b]) besitzt für jede rechte Seite q(t) G C([a,b]) und jedes
Zahlenpaar £, £ genau eine Lösung x aus C2([a, b]), die im folgenden Sinne stetig von q(t), £ und £
abhängt Sind qn(t) G C([a, b]) und gilt für V n
xn(t) +Pi(t)xn(t)+p2(t)xn(t) = qn{t), xn{a) = fn , xn(a) = £n , A2 148b)
dann gilt
Qn(t)-^q{t) in C([a,6]),|
£n —> f, > implies that xn —+ x in the space C2([a, b]). A2.148c)
?n-e J
642 12. Funktionalanalysis
9. Methode der sukzessiven Approximation zur Lösung einer Gleichung der Form
x-Tx = y A2 149)
mit einem stetigen linearen Operator T im BANACH-Raum X bei vorgegebenem y Sie besteht darin.
ausgehend von einer beliebigen Anfangsnäherung x0 , eine Folge {xn} von Näherungslösungen nach der
Vorschrift
xn+i=y + Txn (n = 0,l, .) A2.150)
zu erzeugen, die in X zur Lösung x* von A2.149) konvergiert. Die Konvergenz der Methode, also xn —?
x*, basiert auf der Konvergenz der Reihe A2 144) mit A = 1.
Sei ||T|| < q < 1. Dann gelten die folgenden Aussagen:
a) Der Operator I — T besitzt einen stetigen Inversen mit ||G — T)-1|| < und die Gleichung
A2.149) hat genau eine Lösung für beliebiges y
b) Die Reihe A2.144) konvergiert und ihre Summe ist der Operator (I — T)~l.
c) Das Verfahren A2.150) konvergiert für einen beliebigen Anfangswert x0 zur eindeutigen Lösung
x* der Gleichung A2.149), falls die Reihe A2.144) konvergiert. Dabei gilt die Abschätzung
\\xn-x*\\ < j£--\\Txo - x0\\ (n=l,2,.. ). A2.151)
Analog (s. Kapitel 11.2.2, S. 587 und [12.9]) behandelt man Gleichungen der Typen
x-iiTx = y, Xx-Tx = y, /z,AgK. A2.152)
12.5.3 Elemente der Spektraltheorie linearer Operatoren
12.5.3.1 Resolventenmenge und Resolvente eines Operators
Bei Untersuchungen zur Lösbarkeit von Gleichungen ist man bestrebt, das Problem auf die Form
(/ -T)x = y A2 153)
mit einem Operator T von möglichst kleiner Norm zu bringen, da diese wegen A2.143) und A2.144)
für eine funktionalanalytische Behandlung besonders zugänglich ist Um mit der Theorie auch große
Werte von ||T|| zu erfassen, untersucht man in einem komplexen BANACH-Raum X die gesamte Schar
von Gleichungen
{XI-T)x = y (xGX), (AgC). A2.154)
Sei T ein linearer, im allgemeinen unbeschränkter Operator im BANACH-Raum X Die Menge g(T)
aller komplexen Zahlen, für die {XI — T)~l G B{X) = L(X) gilt, heißt Resolventenmenge und der
Operator R\ = R\{T) = {XI — T)-1 Resolvente Sei jetzt T ein beschränkter linearer Operator in
einem komplexen BANACH-Raum X. Dann gelten die Aussagen:
1. Die Menge g(T) ist offen. Genauer, ist A0 G g(T) und genügt A € C der Ungleichung
IA-AoK^, A2,55)
dann existiert R\ , und es gilt
Rx = Rx, + (A - AoX + (A - A0)X + .. = £(A - Ao)*-1^ A2 156)
fc=l
2. {A G C • |A| > ||T||} C q{T) Genauer, für V A G C mit |A| > ||T|| existiert Rx und
ITT2
* = -Ä-Ä*-v- (m57)
3. \\RX - R\0\\ -+ 0 , wenn A -+ A0 (A, A0 G g(T)), und \\RX\\ -+ 0, wenn A -* oo (A G g(T))
\\R\ — R\0 D2 II n xx
4. — —- — Rx\\ —> 0 , wenn A —» A0
A — An
12 5 Stetige lineare Operatoren und Funktionale 643
5. Für ein beliebiges Funktional / G X* und beliebiges x G X ist F(X) = f(R\(x)) eine holomorphe
Funktion auf g(T).
6. Für beliebige A , jjl G g(T), A ^ ß gilt:
RXR^ = RßRx = Rx~R» . A2.158)
A — ja
12.5.3.2 Spektrum eines Operators
1. Spektrum, Definition
Die Menge o(T) = C \ g(T) heißt Spektrum des Operators T Da / — T offenbar genau dann einen
stetigen Inversen (und demzufolge die Gleichung A2.153) immer eine Lösung, die stetig von der rechten
Seite abhängt) besitzt, wenn 1 G g(T), ist eine möglichst umfassende Kenntnis des Spektrums cr(T) des
Operators erforderlich Aus den Eigenschaften der Resolventenmenge folgt sofort, daß das Spektrum
a(T) eine abgeschlossene Teilmenge von C ist, die im Kreis {A: |A| < ||T||} liegt, wobei in vielen Fällen
a(T) deutlich kleiner als dieser Kreis ist. Für jeden linearen stetigen Operator auf einem komplexen
BANACH-Raum ist das Spektrum nicht leer, und es gilt die Formel
r(T)= sup |A|. A2.159)
AGct(T)
Genauere Angaben über das Spektrum sind für viele gebräuchliche Klassen von Operatoren möglich.
Ist T ein Operator in einem endlichdimensionalen Raum X und hat die Gleichung (XI — T)x = 0 nur
die triviale Lösung (d.h , XI -T ist injektiv), dann folgt bereits A G g(T) (d.h., XI — T ist surjektiv)
Hat diese Gleichung in irgendeinem BANACH-Raum eine nichttriviale Lösung, dann ist der Operator
XI -T nicht injektiv und (XI — T)~l im allgemeinen nicht definiert
Die Zahl A G C heißt Eigenwert des linearen Operators T, wenn die Gleichung Xx = Tx eine
nichttriviale Lösung besitzt Alle diese Lösungen heißen Eigenvektoren oder, falls X ein Funktionenraum ist (was
in Anwendungen offenbar zutrifft), Eigenfunktionen des Operators T zu A . Der von ihnen aufgespannte
Teilraum heißt der Eigenraum zu A . Die Menge crp(T) aller Eigenwerte von T heißt Punktspektrum des
Operators T.
2. Vergleich mit der linearen Algebra, Residualspektrum
Ein wesentlicher Unterschied zwischen dem endlichdimensionalen Fall, der im wesentlichen in der
Linearen Algebra betrachtet wird, und der Situation im unendlichdimensionalen Fall, mit dem sich die
Funktionalanalysis befaßt, besteht zumindest an dieser Stelle darin, daß in ersterem stets o~(T) = o-p(T)
gilt, während in letzterem das Spektrum in der Regel Punkte enthält, die keine Eigenwerte von T
sind. Ist XI — T injektiv und surjektiv, dann gilt wegen des Satzes über die Stetigkeit des Inversen
(s. 12.5.2,7., S 641) A G g(T). Im Kontrast zum endlichdimensionalen Fall, bei dem die Surjektivität
automatisch aus der Injektivität folgt, muß im unendlichdimensionalen Falle weitaus differenzierter
vorgegangen werden.
Die Menge ac(T) aller A G cr(T), für die XI - T injektiv und Im(XI - T) dicht in X liegt, heißt stetiges
oder kontinuierliches Spektrum und die Menge aT(T) aller der A , mit injektivem XI — T und
nichtdichtem Wertebereich, heißt Rest- oder Residualspektrum des Operators T.
Für einen beschränkten linearen Operator T im komplexen BANACH-Raum X gilt die disjunkte
Vereinigung
a(T) = ap(T) U ac(T) U <rr(T). A2.160)
12.5.4 Stetige lineare Funktionale
12.5.4.1 Definition
Für Y = K nennt man eine lineare Abbildung lineares Funktional oder Linearform. Im weiteren wird
in einem HiLBERT-Raum der komplexe, in allen anderen Situationen fast ausschließlich der reelle Fall
betrachtet. Der BANACH-Raum L(X, K) aller stetigen linearen Funktionale heißt Dual, Dualraumoder
adjungierter Raum von X und wird mit X* (manchmal auch mit X') bezeichnet. Der Wert (aus K) eines
644 12. Funktionalanalysis
linearen stetigen Punktionais / G X* auf einem Element x G X wird mit f(x), häufig aber auch - um
den für die Dualitätstheorie ausschlaggebenden Gedanken der bilinearen Verknüpfung von X und X*
hervorzuheben - mit (x, /) bezeichnet (vgl. auch mit dem Satz von RlESZ über die linearen stetigen
Funktionale im HiLBERT-Raum im nächsten Abschnitt)
¦ A: Seien t1} £2, • • •, tn fixierte Punkte des Intervals [a, b] und ci, C2,..., cn reelle Zahlen. Durch
/(*) = £<**(**) A2.161)
fc=i
ist ein lineares stetiges Funktional auf dem Raum C([a, b]) mit der Norm ||/|| = Y%=i \ck\ definiert. Ein
Spezialfall von A2.161) ist für ein fixiertes t G [a, b] das (^-Funktional
St(x) = x{t) (x G C{[a, b])). A2.162)
¦ B: Mit einer auf [a, b] summierbaren Funktion <p(t) A2.9.3.1) ist
rb
f(x) = / <p(t)x(t) dt A2 163)
Ja
ein lineares stetiges Funktional auf C([a, b]) und auf B([a, b]) jeweils mit der Norm ||/|| = f% \ip(t)\dt
12.5.4.2 Stetige lineare Funktionale im Hubert—Raum, Satz von Riesz
Im HiLBERT-Raum H definiert jedes Element y G H mittels f(x) = (x,y) ein lineares stetiges
Funktional mit der Norm ||/|| = \\y\\. Und umgekehrt, ist / ein lineares stetiges Funktional auf H , dann
existiert genau ein Element y G H , so daß gilt:
f(x) = (x,y) (VxGH). A2164)
Die Räume H und H* sind nach diesem Satz isomorph, weshalb man sie identifiziert.
Der Satz von RlESZ enthält einen Hinweis darauf, wie man die Orthogonalität in einem beliebigen
normierten Raum einfuhren kann. Seien A C X und A* C X*. Dann nennt man die Mengen
,4-L = {/G X:/(x) = 0 VxeA*} und A^ = {x G X. f{x) = 0 V/Gß} A2 165)
jeweils das orthogonale Komplement oder den Annulator zu A bzw. A*.
12.5.4.3 Stetige lineare Funktionale in Lp
Sei p > 1. Man nennt q den zu p konjugierten Exponenten, wenn - + - = 1 gilt, wobei man q = oo im
p q
Falle p = 1 setzt.
¦ Aufgrund der HÖLDERschen Ungleichung für Integrale (s. 1.4.2.11, S. 32) kann das Funktional A2 163)
auch auf den Räumen Z^Qa, b]) A < p < oo) (s. 12.9.4, 659) betrachtet werden, falls ip G Lq{[a, b\) mit
- + - = 1 ist. Seine Norm ist dann
V Q
11/11 = M = f \J«Mt)l]dtr M!S l<^°°> A2.166)
( vrai sup,€[0N] \(p(t)|, falls p = 1
(bezüglich der Definition von vraisup \(p\ s. A2.218), S. 659) Zu jedem linearen stetigen Funktional
/ im Raum Lp([a, b]) gibt es ein (bis auf seine Aquivalenzklasse) eindeutig bestimmtes Element y G
L<*{[a, 6]), so daß
b / b \q
f(x) = (x,y) = jx(t)W)dt, xeL*> und ||/|| = \\y\\q = l J \y{t)\*dt I A2.167)
12 5 Stetige lineare Operatoren und Funktionale 645
gelten Für den Fall p = oo s [12.18].
12.5.5 Fortsetzung von linearen Funktionalen
1. Halbnorm Eine Abbildung p: X —> R eines Vektorraumes X heißt Halbnorm, wenn sie die
folgenden Eigenschaften besitzt:
(HN1) p(x)>0, A2.168)
(HN2) p(ax) = \a\p(x), A2 169)
(HN3) p(x + y) < p(x) + p(y) A2 170)
Ein Vergleich mit 12 3.1, S. 631 zeigt, daß eine Halbnorm genau dann eine Norm ist, wenn p(x) = 0
nur für x = 0 gilt.
Sowohl für theoretische innermathematische Fragestellungen als auch für praktische Belange in vielen
Anwendungen der Mathematik hat sich das Problem der Erweiterung eines auf einem linearen Teilraum
Xo C X gegebenen linearen Funktionais auf den gesamten Raum - um triviale und uninteressante Fälle
auszuschließen - unter Beibehaltung gewisser „guter" Eigenschaften als eines der fundamentalsten
Ergebnisse herauskristallisiert Die Lösung dieses Problems wird garantiert durch den
2. Fortsetzungssatz von Hahn-Banach (analytische Form) Sei X ein Vektorraum über K
und p eine Halbnorm auf X. Seien X0 ein linearer (komplexer, falls K = C und reeller, falls K = R)
Teilraum von X und /o ein lineares (komplexwertiges, falls K = C und reellwertiges, falls K = R)
Funktional auf X0 , welches der Bedingung
\fo(x)\<p(x) VxGXq A2.171)
genügt Dann existiert ein lineares Funktional / auf X mit folgenden Eigenschaften
f(x) = f0(x) VzeXo, \f(x)\<p(x) VzGX. A2.172)
Somit ist / die Fortsetzung des Funktionais /o auf den gesamten Raum X unter Beibehaltung der
Abschätzung A2 171)
Wenn Xo ein linearer Teilraum eines normierten Raumes X ist und /o ein stetiges lineares Funktional
auf X0 , dann ist p(x) = ||/0|| • ||a:|| eine Halbnorm auf X mit A2 171), so daß sich sofort die Variante
des Satzes von HAHN-BANACH über die Fortsetzung stetiger linearer Funktionale ergibt.
Zwei wichtige Konsequenzen aus letzterem sind die „Reichhaltigkeit" des dualen zu einem normierten
Raum. Für jedes Element i /0 gibt es ein Funktional / G X* mit f(x) = \\x\\ und ||/|| = 1
sowie den folgenden Sachverhalt. Für jeden linearen Teilraum X0 C X und Xo £ X0 mit dem Abstand
d = infxGx0 \\x ~ xo\\ > 0 gibt es ein / G X* mit
f(x) = 0 VzeXo, f(x0) = l und ||/|| = ^. A2-173)
12.5.6 Trennung konvexer Mengen
1. Hyperebenen Eine von X verschiedene lineare Teilmenge L des (reellen) Vektorraumes X heißt
Hyperteilraum oder Hyperebene durch 0 wenn ein Xo G X existiert, mit dem X = lin(xo,L) gilt.
Mengen der Gestalt x + L sind affin-lineare Mannigfaltigkeiten (s. 12 1 2, S. 617) Ist dabei L ein
Hyperteilraum, so nennt man sie Hyperebenen.
Es besteht der folgende enge Zusammenhang zwischen Hyperebenen und linearen Funktionalen-
Einerseits ist der Kern /-1@) = {x G X. f(x) = 0} eines linearen Funktionais / auf X ein Hyperteilraum
in X, und für jede Zahl A G R existiert ein x\ G X mit f(x\) = A und /-1(A) = X\ + f~l@)
Andererseits existiert zu einem Hyperteilraum LcX, einem Xq £ L und A ^ 0, A G R stets ein eindeutig
bestimmtes lineares Funktional / auf X mit /-1@) = L und f(x0) = A. Die Abgeschlossenheit von
/_1@) im Falle eines normierten Raums X ist äquivalent zur Stetigkeit des Funktionais / .
2. Geometrische Form des Satzes von Hahn-Banach Seien X ein normierter Raum, x0 G X
und L ein linearer Teilraum von X. Dann gibt es zu jeder nichtleeren konvexen offenen Menge K, die
646 12 Funktionalanalysis
sich mit der affin-linearen Mannigfaltigkeit {x0 + L} nicht schneidet, eine abgeschlossene Hyperebene
H mit {x0 + L} C H und H n # = 0.
3. Trennung konvexer Mengen Man nennt zwei Teilmengen A, B eines reellen normierten
Raumes X durch eine Hyperebene trennbar, wenn ein Funktional / G X* existiert, so daß gilt:
sup/(z)<inf/(</). A2.174)
xeA yۧ
/_1(q) mit a = supxeA f(x) ist dann die trennende Hyperebene, was nichts anderes besagt, als daß die
Mengen in den verschiedenen Halbräumen
{x G X: f{x) < a} und {x € X- f(x) > a} A2 175)
liegen. In den Abb-en.l2.5b,c sind zwei Fälle der Trennung durch eine Hyperebene dargestellt
Entscheidend für die Trennung zweier Mengen ist weniger ihre Disjunktheit In Abb. 12.5a sind zwei
Mengen E und B dargestellt, die nicht trennbar sind, obwohl E und B disjunkt sind und B konvex
Vielmehr ist die Konvexität der Mengen von Bedeutung, da nicht ausgeschlossen ist, daß beide zu
trennenden Mengen gemeinsame Punkte besitzen, durch die die Hyperebene verläuft.
Abbildung 12 5
Es gilt: Ist A eine konvexe Menge eines normierten Raumes X mit nichtleerem Inneren Int(A) und
B C X eine nichtleere konvexe Menge mit Int(A) n B = 0, dann sind A und B trennbar. Die
Bedingung Int(A) ^ 0 kann in diesem Trennungssatz nicht weggelassen werden (s. [12 3], Beispiel 4.47). Ein
(reelles) lineares Funktional / G X* heißt Stützfunktional an die Menge A im Punkt xq G A, wenn es
eine solche Zahl A G R gibt, für die f(x0) = X und A C {x G X : f(x) < X} gilt. /_1(^) heißt dann
Stützhyperebene im Punkt xq an A.
Für eine konvexe Menge K mit nichtleerem Inneren existiert in jedem ihrer Randpunkte ein
Stützfunktional.
Hinweis: Auf der Trennbarkeit konvexer Mengen beruht der Beweis der KUHN-TUCKER-Bedingun-
gen (s Abschnitt 18.2, S. 889), aus denen sich praktische Verfahren zur Bestimmung des Minimums
eines konvexen Optimierungsproblems herleiten lassen (s. [12.5])
12.5.7 Bidualer Raum und reflexive Räume
Der duale Raum X* eines normierten Raums X ist mit ||/|| = sup^^ |/(x)| ebenfalls ein normierter
Raum, so daß (X*)* = X**, der Bidual oder der zweite adjungierte Raum zu X, betrachtet werden
kann. Die kanonische Einbettung
J: X —? X** mit Jx = Fx, wobei Fx(f) = f{x) (V / G X*) A2.176)
erweist sich als Normisomorphie (s. 12.3.1, S. 631), weswegen X mit dem Teilraum J(X) C X**
identifiziert wird. Ein BANACH-Raum heißt reflexiv, wenn J(X) = X** gilt, die kanonische Einbettung also
eine surjektive Normisomorphie ist.
¦ Alle endlichdimensionalen BANACH-Räume sowie alle HiLBERT-Räume sind reflexiv, ebenso die
Räume Lp A < p < oo), während C([a, b]), ^([0,1]), c0 Beispiele nichtreflexiver Räume sind.
12.6 Adjungierte Operatoren in normierten Räumen
12.6.1 Adjungierter Operator zu einem beschränkten Operator
Für einen linearen stetigen Operator T X —? Y (X, Y normierte Räume) ordnet man jedem g G Y*
durch f(x) = g{Tx) V x G X ein Funktional / G X* zu. Auf diese Weise entsteht ein linearer stetiger
12.6 Adjungierte Operatoren in normierten Räumen 647
Operator
T* Y*—>X\ {T*g)(x) = g(Tx) (V^eY* VxeX), A2 177)
der adjungierter Operator zu T heißt und die folgenden Eigenschaften besitzt
(T + S)* = T* + S*, {ST)* = S*T*, ||T*|| = ||T||, wobei für die linearen stetigen Operatoren
T • X —? Y und S : Y —> Z (X, Y, Z normierte Räume) der Operator ST : X —> Z auf natürliche
Weise durch ST(x) = S(T(a;)) definiert ist. Mit den in 12.1.5, S. 620 und 12.5.4.2, S. 644 eingeführten
Bezeichnungen bestehen für einen Operator T G B(X, Y) die folgenden Identitäten:
Im(T) = Ker{T*)L, Im(T*) = Ker(T)^ , A2.178)
wobei die Abgeschlossenheit von Im(T) die Abgeschlossenheit von Im(T*) impliziert.
Der Operator T** • X** —? Y**, den man als (T*)* aus T* gewinnt, heißt zweiter adjungierter Operator
zu T und hat die Eigenschaft: Ist Fx G X**, dann gilt wegen (T**(Fx))g = Fx(T*g) = {T*g){x) =
g(Tx) = FTx(g), x G X,g G Y* die Beziehung T**FX = FTx G Y**. Der Operator T**: X** -+ Y** ist
also eine Erweiterung von T.
Im HiLBERT-Raum H kann auf Grund des RiESZschen Satzes der adjungierte Operator mit Hilfe des
Skalarprodukts (Tx, y) = (x, T*y), x, y G H eingeführt werden, wobei sich wegen der Identifizierung
von H und H** neben (AT)* = AT* und I* = I sogar T** = T ergibt. Ist T bijektiv, so ist es auch T*,
und es gilt (T*)-1 = (T-1)*. Für die Resolventen von T und T* gilt die Beziehung
\R>,(T)r = Rj(T'), A2 179)
woraus sich für das Spektrum des adjungierten Operators a(T*) — {A: A G cr(T)} ergibt.
¦ A: Sei T ein Integraloperator mit stetigem Kern
(Tx)(s) = [b K(s,t)x(t)dt, A2.180)
Ja
der im Raum Lp([a, b]) A < p < oo) betrachtet wird. Der zu T adjungierte Operator ist ebenfalls ein
Integraloperator
(T*g)(t)= [bK*(t,s)yg(s)ds A2 181)
Ja
mit dem Kern if *(s, t) = K(t, s), wobei yg das gemäß A2.167) zu g G (Z^)* existierende Element aus
L9 ist.
¦ B: Im endlichdimensionalen komplexen Vektorraum ist der adjungierte zu einem durch die Matrix
A = (ciij) repräsentierten Operator gerade durch die Matrix A* mit a*j = <ä]i definiert.
12.6.2 Adjungierter Operator zu einem unbeschränkten Operator
Seien X und Y reelle normierte Räume und T ein linearer (nicht unbedingt beschränkter) Operator mit
dem (linearen) Definitionsbereich D(T) C X und Werten in Y. Für ein fixiertes Funktional g G Y*
ist dann der Ausdruck g(Tx), der offenbar linear von x abhängt, sinnvoll, so daß die Frage nach der
Existenz eines wohlbestimmten Funktionais / G X* mit der Eigenschaft
f(x)=g(Tx) VxeD(T) A2 182)
steht Sei D* C Y* die Menge aller der g G Y*, für die bei einem gewissen / G X* die Darstellung
A2.182) gilt. Ist D(T) = X, dann ist / zu vorgegebenem g eindeutig bestimmt, so daß ein linearer
Operator / = T*g mit D(T*) = D* als Definitionsbereich entsteht Für beliebige x G D{T) und
g G Y* gilt dann
g{Tx) = (T*g)(x) VxGX, Vg G D{T). A2.183)
Der Operator T* ist sogar abgeschlossen und heißt adjungiert zu T. Die Natürlichkeit dieses
allgemeinen Zugangs ergibt sich daraus, daß D(T*) = Y* genau dann gilt, wenn T auf D(T) beschränkt ist. In
648 12. Funktionalanalysis
diesem Falle ist T* £ B(Y\ X*) und ||T*|| = ||T||.
12.6.3 Selbstadjungierte Operatoren
Ein Operator T G B(H) heißt selbstadjungiert, wenn T* = T In diesem Falle ist für jedes x G H die
Zahl (Tz, x) reell. Es gelten
||T|| = sup \(Tx,x)\ A2 184)
||x||=l
und mit m — m(T) = inf ||sc||==i(T,a;, a;) und M = M(T) = sup||x||=1(Tx,x)
rn(T)\\x\\2 < (Tx,x) < M(T)\\x\\2 und ||T|| = r(T) = max{|m|,M} A2.185)
Das Spektrum eines selbstadjungierten (beschränkten) Operators liegt im Intervall [m, M], wobei gilt
m,M G cr(T)
12.6.3.1 Positiv definite Operatoren
In der Menge aller selbst adjungierten Operatoren aus B(H) kann durch
T > 0 genau dann, wenn (Tx, i)>0 VieH, A2 186)
eine partielle Ordnung eingeführt werden, wobei ein Operator T mit T > 0 positiv (definit) heißt
Für einen selbstadjungierten Operator T gilt (mit Hilfe von (Hl) aus 12.4 1 1, S 635) (T2x,x) —
(Tx, Tx) > 0, so daß T2 positiv definit ist. Jeder positiv definite Operator T besitzt seine Wurzel
d.h., es existiert genau ein positiv definiter Operator W mit W2 = T Darüber hinaus ist der
Vektorraum der selbstadjungierten Operatoren ein Vektorverband (s 12 1 7.4, S. 623), wobei die Operatoren
|T| = >/r2, T+ = h\T\+T), T~ = h\T\-T) A2 187)
für die Spektralzerlegung und Spektral- bzw. Integraldarstellung von selbstadjungierten Operatoren
mit Hilfe eines STIELTJES-Integrals Bedeutung erlangen (s 8.2 3, S 470 sowie [12.1], [12.12], [12 13].
[12.15], [12 18], [12.21])
12.6.3.2 Projektoren im Hilbert-Raum
Sei H0 ein Teilraum eines HlLBERT-Raums H Dann ist nach dem Projektionssatz (s 12.4 2, S 636)
für jedes x G H seine Projektion x' auf H0 und demzufolge ein Operator P mit Px — x' von H auf
H0 definiert. P heißt Projektor auf H0 Offenbar ist P linear, stetig, und es gilt ||P|| = 1 Ein stetiger
linearer Operator P in H ist genau dann ein Projektor (auf einen geeigneten Unterrraum), wenn gilt
a) P = P*, d.h., P ist selbstadjungiert, und
b) P2 = P, d.h., P ist idempotent.
12.7 Kompakte Mengen und kompakte Operatoren
12.7.1 Kompakte Teilmengen in normierten Räumen
Eine Teilmenge A eines normierten Raumes * X heißt
• kompakt, wenn jede Folge von Elementen aus A eine konvergente Teilfolge enthält, deren Grenzwert
in A liegt,
• relativkompakt oder präkompakt, wenn ihre Abschließung (s 12 2 1 3, S 627) kompakt ist, d.h , jede
Folge von Elementen aus A enthält eine (nicht unbedingt zu einem Element aus A) konvergente
Teilfolge.
In der Analysis ist dies gerade der Satz von Bolzano-Weierstrass, weshalb man sagt, eine solche
Menge besitze die Bolzano-Weierstrass -Eigenschaß.
Jede kompakte Menge ist abgeschlossen und beschränkt. Umgekehrt, ist der Raum X endlichdimensio-
nal, dann ist jede solche Menge auch kompakt. Die abgeschlossene Einheitskugel im normierten Raum
*Fur die eingeführten Begriffe genügt es, X als metrischen (oder noch allgemeineren) Raum vorauszusetzen Diese
Allgemeinheit wird im weiteren aber nicht erforderlich sein
12.7 Kompakte Mengen und kompakte Operatoren 649
X ist genau dann kompakt, wenn X endlichdimensional ist. Zur Charakterisierung von
relativkompakten Mengen in metrischen Räumen (Satz von HAUSDORFF über die Existenz eines endlichen ^-Netzes)
sowie in den Räumen s , C (Satz von Arzela-Ascoli) und Lp A < p < oo) s. [12.18].
12.7.2 Kompakte Operatoren
12.7.2.1 Begriff des kompakten Operators
Ein beliebiger Operator T' X —> Y des normierten Raums X in den normierten Raum Y heißt
kompakt, wenn das Bild T(A) jeder beschränkten Menge AcX eine relativkompakte Menge in Y ist. Ist der
Operator T zudem noch stetig, dann heißt er vollstetig. Jeder kompakte lineare Operator ist beschränkt
und demzufolge vollstetig. Für die Kompaktheit eines linearen Operators genügt es zu fordern, daß er
die Einheitskugel aus X in eine relativkompakte Menge in Y überführt.
12.7.2.2 Eigenschaften linearer kompakter Operatoren
Eine sequentielle Charakteristik der Kompaktheit eines Operators aus B(X, Y) ist die folgende: Für
jede beschränkte Folge {£n}55=i aus X enthält die Folge {Txn}<^:=1 eine konvergente Teilfolge. Eine
Linearkombination kompakter Operatoren ist wieder kompakt Ist einer der Operatoren U G B(W, X), T G
B(X, Y), S G B(Y, Z) kompakt, dann sind es auch die Operatoren TU und ST. Falls Y ein Banach-
Raum ist, hat man die folgenden wichtigen Aussagen
1. Konvergenz Konvergiert eine Folge von kompakten Operatoren {Tn}^=1 im Raum i?(X, Y),
dann ist der Grenzwert ebenfalls ein kompakter Operator.
2. Satz von Schauder Ist T ein linearer stetiger Operator, dann sind T und T* gleichzeitig kompakt
(oder nicht)
3. Spektraleigenschaften eines kompakten Operators T in einem (unendlichdimensionalen)
BANACH-Raum X- Die Null gehört zum Spektrum. Jeder von Null verschiedene Punkt des Spektrums
a(T) ist ein Eigenwert mit endlichdimensionalem Eigenraum Xa = {x G X: (XI — T)x = 0} , und
V e > 0 liegen außerhalb des Kreises {|A| < e} stets nur endlich viele Eigenwerte von T, wobei einzig
die Null Häufungspunkt der Menge der Eigenwerte sein kann Ist A = 0 kein Eigenwert von T, dann
ist T~l im Falle seiner Existenz unbeschränkt
12.7.2.3 Schwache Konvergenz von Elementen
Eine Folge {xn}™=l von Elementen des normierten Raumes X heißt schwach konvergent zu einem
Element Xq , wenn für jedes / G X* die Beziehung f{xn) —> f(x0) gilt (Schreibweise: xn —^ x0).
Offenbar hat man: xn —> xo impliziert xn —^ Xq Ist Y ein weiterer normierter Raum und T: X —> Y
ein stetiger linearer Operator, dann gilt.
a) xn —^ xq impliziert Txn —^ Txq ,
b) ist T kompakt, dann impliziert xn —*¦ Xq sogar Txn —> Txq .
¦ A: Jeder endlichdimensionale Operator ist kompakt. Daraus folgt, daß der identische Operator in
einem unendlichdimensionalen Raum nie kompakt sein kann (s. 12.7.1, S. 648)
¦ B: Sei X = l2 und T der durch die unendliche Matrix
j tu t\2 ti3
^21 ^22 ^23
«31 • •
v • • ¦
(oo oo \
Yl tlkXk, • • • , ]C tnkXki • • • ) A2.188)
*=1 fc=l /
gegebene Operator in l2 . Gilt £^n=i |^nfc|2 = M < oo , dann ist T ein kompakter Operator von l2 in l2
mit||T||<M.
¦ C: Der Integraloperator A2.136) erweist sich als kompakter Operator in den Räumen C([a,b\) und
650 12 Funktionalanalysis
Lp (a,b) A <p< oo).
12.7.3 Fredholmsche Alternative
Sei T ein kompakter linearer Operator in einem BANACH-Raum X. Es werden die folgenden
Gleichungen 2 Art mit einem Parameter A ^ 0 betrachtet.
x - XTx = y, x- XTx = 0, A2 189a)
f-\Vf = 9i f-XTf = Q. A2189b)
Es gelten:
1. dim(Ker(I — AT)) = dim(Ker(I — AT*)) < oo , d.h , die homogenen Gleichungen haben stets
dieselbe endliche Anzahl von linear unabhängigen Lösungen
2. Im{\I -T) = Ker(XI-T*)L und § Im(XI - T*) = Ker(XI - T)L
3. Im(XI - T) = X genau dann, wenn Ker(XI - T) = 0.
4. Die FREDHOLMsche Alternative (auch RiESZ-SCHAUDER-Theorem genannt), d.h
a) Entweder die homogene Gleichung besitzt nur die triviale Lösung In diesem Falle gilt A G g(T).
der Operator (XI — T)_1 ist beschränkt, und die inhomogene Gleichung besitzt genau eine Lösung
x = (XI — T)~ly für beliebiges y G X.
b) Oder die homogene Gleichung besitzt wenigstens eine nichttriviale Lösung In diesem Falle gilt. A
ist ein Eigenwert von T, also A G cr(T), und die inhomogene Gleichung besitzt eine (nicht eindeutige)
Lösung genau dann, wenn die rechte Seite y der Bedingung f(y) = 0 für jede Lösung / der adjungierten
Gleichung T*f = Xf genügt. In letzterem Fall erhält man jede Lösung der inhomogenen Gleichung in
der Form x = Xq + h , wobei x0 eine feste Lösung der inhomogenen Gleichung und h G Ker(XI — T)
ist
Lineare Gleichungen der Gestalt Tx = y mit kompaktem Operator T nennt man von 1 Art. Ihre
Behandlung ist im allgemeinen etwas schwieriger (s. [12 12], [12 21])
12.7.4 Kompakte Operatoren im Hubert—Raum
Sei T : H —? H ein kompakter Operator Dann ist T Grenzwert (in £?(H)) einer Folge von endlichdi-
mensionalen Operatoren. Die Nähe zum endlichdimensionalen Fall ersieht man u.a aus folgendem
Ist C ein endlichdimensionaler Operator und T = I — C, dann folgt aus der Injektivität von T die
Existenz von T~l und T G B(H)
Ist C ein kompakter Operator, dann sind äquivalent.
1. es 3T_1 und ist stetig,
2. x ± 0 => Tx ^ 0, d.h , T ist injektiv,
3. T(H) = H, d.h., T ist surjektiv.
12.7.5 Kompakte selbstadjungierte Operatoren
1. Eigenwerte ' Ein kompakter selbstadjungierter Operator T ^ 0 besitzt wenigstens einen (von
Null verschiedenen) Eigenwert. Genauer, T hat immer einen Eigenwert A mit |A| = ||T||. Die Menge
der Eigenwerte von T ist höchstens abzählbar.
T hat die Darstellung T = J2k ^kP\k » wobei A^ die verschiedenen Eigenwerte von T und P\ den
Projektor auf den Eigenraum Ha bezeichnen Man sagt in diesem Zusammenhang auch, daß der Operator
T diagonahsiert werden kann Daraus ergibt sich Tx = Y,k ^k(x, ^k)^k für jedes x G H , wobei {e/t} das
orthonormierte System der Eigenvektoren von T ist
Wenn A ^ a(T) und t/GH, dann hat die Lösung der Gleichung (XI-T)x = y die Form x = R\(T)y =
Sfc(A-Afc)-1B/,efc)efc
2. Satz von Hilbert-Schmidt Ist T ein kompakter selbstadjungierter Operator im separablen
HlLBERT-Raum H , dann gibt es in H eine Basis aus den Eigenvektoren von T.
§Hier ist die Orthogonalität im BANACH-Raum (s 12 5 4 2, S 644) gemeint
12 8 Nichtlineare Operatoren 651
Die sogenannten Spektral-(abbildungs-)sätze (s. [12.9], [12.11], [12 13], [12.15], [12 16], [12 21]) kann
man als die Verallgemeinerung des Satzes von Hilbert-Schmidt auf den nichtkompakten Fall selbst-
adjungierter (beschränkter oder unbeschränkter) Operatoren auffassen
12.8 Nichtlineare Operatoren
In der Lösungstheorie nichtlinearer Operatorengleichungen zieht man im wesentlichen Methoden
heran, die auf den folgenden Prinzipien beruhen.
1. Prinzip der kontrahierenden Abbildung, Banachscher Fixptfnktsatz (s. 12 2.2.3, S. 628 und
12.2 2 4. S. 629 Zu weiteren Modifizierungen und Varianten dieses Prinzips s [12 9], [12 12], [12 15],
[12 21]
2. Verallgemeinerung des Newton-Verfahrens (s 18 2.5.2, S 895 und 19.1.1 2, S 912) auf den
unendlichdimensionalen Fall.
3. Schaudersches Fixpunktprinzip
4. Leray-Schauder-Theorie.
Mit Methoden, die auf den Prinzipien 1 und 2 basieren, ergeben sich umfassende Informationen über die
Lösung, wie Existenz, Eindeutigkeit, Konstruktivität u.a., während die Untersuchungsmethoden, die
auf den Prinzipien 3 und 4 basieren, im allgemeinen „nur" die qualitative Aussage der Existenz einer
Lösung gestatten Bei zusätzlichen Eigenschaften des Operators s. jedoch 12.8 6, S. 654 und 12.8.7,
5. 655.
12.8.1 Beispiele nichtlinearer Operatoren
Für nichtlineare Operatoren gilt der in 12 5.1, S. 639 für den linearen Fall erwähnte Zusammenhang
zwischen Stetigkeit und Beschränktheit im allgemeinen nicht mehr Bei der Behandlung nichtlinearer
Operatorengleichungen, z B nichtlinearer Randwertprobleme oder Integralgleichungen, treten häufig
die folgenden nichtlinearen Operatoren auf.
1. Nemytskij-Operator Seien ü eine meßbare Teilmenge aus Rn (s 12 9.1, S. 655) und /. £1 x
R —? R eine Funktion von zwei Variablen f(x,s), die bezüglich x für fast alle s stetig und bezüglich
s für alle x meßbar ist (CARATHEODORY-Bedingungen) Der nichtlineare Operator J\f auf T(£l)
(Mu)(x) = f[x,u(x)} (x e Q) A2 190)
heißt NEMYTSKU-Operator Er ist stetig und beschränkt, falls er aus LP(Q) in Lq(Q) mit - + - = 1
abbildet. Dies ist zum Beispiel der Fall, wenn
|/(z,s)|<a(a;) + 6|s|? mit a(x) € Lq(ü) (b > 0) A2 191)
gilt oder /:OxR —? R stetig ist. Nur in Ausnahmefällen ist der Operator J\f kompakt.
2. Hammerstein-Operator Seien fi eine relativkompakte Teilmenge au^R71^/ eine den
CARATHEODORY-Bedingungen genügende und K(x,y) eine stetige Funktion auf fixfi. Der nichtlineare
Operator H auf F{ü)
(Hu)(x) = f K(x, y)f[y, u(y)] dy (x € O) A2 192)
n
heißt Hammerstein -Operator Mit dem linearen von K als Kern erzeugten Integraloperator /C
(Ku)(x) = f K{x, y)u(y) dy (x e Q) A2 193)
n
kann H in der Form H = K • N geschrieben werden. Genügt nun der Kern K(x,y) der Bedingung
\K(x,y)\qdxdy<oo A2.194)
/
und die Funktion / der Bedingung A2.191), dann ist H ein stetiger und kompakter Operator auf Lp(ü)
652 12. Funktionalanalysis
3. Urysohn-Operator Seien ÜcR" meßbar und K(x, y,s). OxflxR —? R eine Funktion
von drei Variablen, dann heißt der nichtlineare Operator U auf T(Q)
(Uu)(x) = f K[x, y, u(y)] dy (x G Q) A2 195)
URYSOHN-Operator. Erfüllt der Kern K die entsprechenden Bedingungen, dann ist U ein stetiger und
kompakter Operator in C(Q) bzw. in Lp(fi).
12.8.2 Differenzierbarkeit nichtlinearer Operatoren
Seien X, Y BANACH-Räume, D C X eine offene Menge und T D —? Y. Der Operator T heißt
F'rechet-differenzierbar im Punkt x G D, wenn ein (im allgemeinen von der Stelle x abhängiger,
linearer stetiger) Operator L G B(X, Y) existiert, so daß
T(x + h)-T(x) = Lh + u(h) mit \\u(h)\\ = o(\\h\\) A2.196)
oder in äquivalenter Schreibweise
^PWWzM A2197)
llfcll-o \\h\\
gilt, d.h. Ve > 0 36 > 0, so daß \\h\\ < S die Ungleichung \\T(x + h) - T(x) - Lh\\ < e\\h\\ impliziert
Der Operator L, den man gewöhnlich mit T'(x), T'(x,-) oder T'(x)(-) bezeichnet, heißt Frechet-
Ableitung des Operators T im Punkt x . Den Wert dT(xi h) = T'(x)h nennt man Frechet-Differential
des Operators T im Punkt x (für den Zuwachs h) Die Bezeichnungen „weisen den Platz für das
Argument aus", auf das die Ableitung des Operators angewendet werden kann.
Aus der Differenzierbarkeit eines Operators in einem Punkt folgt seine Stetigkeit in diesem Punkt. Ist
T G 5(X, Y), also selbst bereits linear und stetig, dann ist T in jedem Punkt x differenzierbar, und die
Ableitung ist gleich T.
12.8.3 Newton-Verfahren
Seien X, D wie im vorhergehenden Abschnitt und T: D —> X Unter der Voraussetzung der
Differenzierbarkeit von T in jedem Punkt der Menge D ist ein Operator T'\ D —? B(X, Y) definiert, der jedem
x G D das Element T'(x) G -B(X, Y) zuordnet. Der Operator V sei auf D stetig (in der Operatornorm),
in diesem Falle sagt man, T ist stetig differenzierbar auf D Die Menge D enthalte eine Lösung x* der
Gleichung
T(x) = Q. A2 198)
Weiter sei nun Y = X vorausgesetzt, sowie daß für jedes x G D der Operator T'(x) stetig invertierbar
ist, also \T'(x)]~l in B(X) liegt. Für ein beliebiges Element xq G D vermutet man wegen A2 196), daß
die Elemente T(xq) = T(xq) — T(x*) und T'(xq)(xo — x*) „nahe" beieinander liegen und demzufolge
die Lösung der linearen Gleichung, also (unter den gemachten Voraussetzungen)
X!=x0- [T'ixoT^xo), A2 199)
das gesuchte Element x* approximiert. Auf diese Weise konstruiert man, ausgehend von x0 , die
sogenannte NEWTONsche Näherungsfolge
xn+1 = xn- [T\xn)]-lT{xn) (n = 0,1, . ). A2.200)
Die Begründung für das beschriebene Vorgehen wird durch eine Reihe von Sätzen, die sich im
Allgemeinheitsgrad oder in der Anpassung an spezielle Situationen der gemachten Voraussetzungen
unterscheiden, geliefert, von denen exemplarisch nur der folgende zitiert werden soll, aus dem die
wesentlichen Eigenschaften und Vorteile des Verfahrens erkennbar werden
Es gibt zu Ve G @,1) eine Kugel B = B(xo] 5), 8 = S(e), so daß alle xn in B liegen und die Newton-
Folge zur Lösung x* von A2.198) konvergiert. Darüber hinaus gilt ||ain — £o|| < ^n||^o — x*\\
Das modifizierte Newton- Verfahren erhält man, wenn man in der Formel A2.200) stets den Operator
[T'(xo)]-1 anstelle von [T'^)]-1 benutzt. Für weitere Abschätzungen der Konvergenzgeschwindigkeit
12.8 Nichtlineare Operatoren 653
und zur (im allgemeinen sensiblen) Abhängigkeit des Verfahrens vom Startpunkt xo s [12.7], [12 13],
[12.15], [12.21].
¦ Jacobi- oder Funktionalmatrix Sei auf einer offenen Menge DcRn ein nichtlinearer Operator
T = F . D —> Rm durch m nichtlineare Koordinatenfunktionen Fi, F2,..., Fm der n unabhängigen
Variablen X\,x2l... ,xn gegeben. Dann gilt-
F(x) =
(Fi(x) \
F2(x)
\Fm(x))
eRm Vz = (xi,x2,...,xn) eD.
A2 201a)
dFi
Falls für die Koordinatenfunktionen Fi (i = 1, 2,..., m) die partiellen Ableitungen —— (k = 1,2, .,
oxk
n) auf D existieren und stetig sind, dann ist die Abbildung (der Operator) F in jedem Punkt aus D
differenzierbar und ihre Ableitung im Punkt x = (#i, x2, ., xn) G D ist der lineare Operator F'{x) •
FT —> FT mit der Darstellung
{ dFx{x) dFjjx)
dx\ dx2
dF2(x) ÖF2{x)
F'(x) =
dxi
dx2
dFx{x) \
dxn
dF2(x)
dxn
dFm(x) dFm(x)
\ dxi
dx2
dFm(x)
dxn
A2.201b)
/
Die Ableitung F'(x) ist eine Matrix vom Typ (m, n). Sie heißt Jacobi- oder Funktionalmatrix. Als
Spezialfall tritt sie z B beim NEWTON-Verfahren zur iterativen Lösung von nichtlinearen
Gleichungssystemen (s. 19.2.2.2, S. 924) oder bei der Beschreibung der Unabhängigkeit von Funktionen (s 2 18 2 6,
3., S 124) auf Im Fall m = n kann zur Funktionalmatrix der sogenannte Jacobian (JACOBI-Determi-
nante) oder die sogenannte Funktionaldeterminante gebildet werden, die abkürzend mit
D(F!,F2,. .,Fn)
A2.201c)
D(x1,x2,...,xn)
bezeichnet und bei der Lösung verschiedener (häufig innermathematischer) Probleme eingesetzt wird.
12.8.4 Schaudersches Fixpunktprinzip
Sei T ein nichtlinearer Operator, der auf einer Menge D eines BANACH-Raumes X definiert ist und in
X abbildet Die nichttriviale Frage nach der Existenz wenigstens einer Lösung der Gleichung x = T(x)
wird wie folgt beantwortet: Ist X = R und D = [—1,1], dann hat bekanntlich jede stetige Funktion,
die D in D abbildet, einen Fixpunkt in D
Ist X ein beliebiger endlichdimensionalemormieTter Raum (dimX > 2), dann gilt der BROUWERsche
Fixpunktsatz.
1. Brouwerscher Fixpunktsatz Sei D eine nichtleere abgeschlossene beschränkte konvexe
Teilmenge eines endlichdimensionalen normierten Raumes Ist T ein stetiger Operator, der D in sich
abbildet, dann hat T (wenigstens) einen Fixpunkt in D
Die Antwort im Falle eines beliebigen unendlichdimensionalen BANACH-Raumes gibt der Schau-
DERsche Fixpunktsatz.
2. Schauderscher Fixpunktsatz Sei D eine nichtleere abgeschlossene beschränkte konvexe
Teilmenge eines BANACH-Raumes. Ist der Operator Tm D —> X stetig und kompakt (also vollstetig) und
bildet D in sich ab, dann hat T (wenigstens) einen Fixpunkt in D.
654 12 Funktionalanalysis
Mit Hilfe dieses Satzes kann man beispielsweise zeigen, daß das Anfangswertproblem A2.70) für t > 0
immer noch eine lokale Lösung besitzt, wenn die rechte Seite lediglich als stetig vorausgesetzt wird.
12.8.5 Leray—Schauder—Theorie
Für die Existenz von Lösungen der Gleichungen x = T(x) und (I + T)(x) = y , mit jeweils vollstetigem
Operator T, ist auf der Grundlage tiefliegender Eigenschaften des Abbildungsgrades ein weiteres
Prinzip entdeckt worden, das etwa für Existenzbeweise bei nichtlinearen Randwertproblemen erfolgreich
eingesetzt wird. Die hier angeführten Resultate dieser Theorie sind für praktische Belange vielfach die
geeignetsten, wobei Formulierungen gewählt wurden, die ohne Erwähnung des Abbildungsgrades
auskommen.
Satz vcm Leray-Schauder Seien D eine offene beschränkte Menge eines rellen BANACH-Raumes X
und T: D:—> X ein vollstetiger Operator. Sei y G D ein solcher Punkt, daß x + XT(x) ^ y für alle
x e dD und A € [0,1] gilt, wobei OD den Rand der Menge D bezeichnet Dann hat die Gleichung
(/ + T)(x) = y wenigstens eine Lösung.
In Anwendungen erweist sich häufig auch die folgende Variante dieses Satzes als vorteilhaft: Sei T ein
vollstetiger Operator auf dem BANACH-Raum X Wenn die Lösungen der Gleichungsschar
x = XT{x) (A<E[0,1]) A2.202)
eine gleichmäßige Aprioriabschätzung gestatten, d.h. 3c > 0, so daß VA und Vrr , die A2 202) genügen,
die Ungleichung ||x|| < c gilt, dann besitzt die Gleichung x = T{x) eine Lösung.
12.8.6 Positive nichtlineare Operatoren
Der erfolgreiche Einsatz des SCHAUDERschen Fixpunktsatzes erfordert die Auswahl einer Menge mit
den entsprechenden Eigenschaften, die vom betrachteten Operator in sich abgebildet wird In
Anwendungen, insbesondere in der Lösungstheorie nicht linearer Randwertprobleme, handelt es sich meistens
um geordnete normierte (aus Funktionen bestehende) Räume und nicht selten um positive, d.h den
betreffenden Kegel invariant lassende, oder isoton wachsende Operatoren, d.h solche T, für die x <
y => T(x) < T(y) gilt Wenn Verwechslungen (s. etwa 12.8.7, S 655) ausgeschlossen sind, nennt man
solche Operatoren auch monoton
Seien jetzt X = (X, X+, || • ||) ein geordneter BANACH-Raum mit abgeschlossenen Kegel X+ und [a, b]
ein Ordnungsintervall aus X. Ist X+ normal und gilt T([a, b]) C [a, b] für einen vollstetigen (nicht
notwendigerweise isotonen) Operator T, dann besitzt T wenigstens einen Fixpunkt in [a, b] (Abb.12.6b)
b'
a
[y
/
^
/
a
1
z
y=x
y=f(
~) X
b)
Abbildung 12.6
Ein weiterer Vorteil der Betrachtungen in geordneten Räumen besteht darin, daß für einen isoton
wachsenden Operator T, der auf einem (O)-Interval [a, b] des Raumes X definiert ist und (lediglich) die
Eckpunkte a, b in [a, b] abbildet, also den beiden Bedingungen T(a) > a und T(b) < b genügt, automatisch
T([a, b]) C [a, b] gilt. Darüber hinaus sind die beiden durch "*~
x0 = a und xn+1 = T(xn) (n > 0) bzw. y0 = b und yn+l = T(yn) {n > 0) A2.203)
wohldefinierten (d.h. xn,yn € [a, b], n > 0) Folgen monoton wachsend bzw. fallend, d.h. a = xq <
x\ < ... < xn< ... und b = yo > yi > .. .yn > ... . Ein Fixpunkt x* bzw x* des Operators T heißt
12 9 Maß und Lebesgue-Integral 655
minimal bzw. maximal, wenn für jeden Fixpunkt z von T die Ungleichung x* < z bzw z < x* gilt
Es gelten nun die folgenden Aussagen (Abb. 12.6a)): Seien X ein geordneter BANACH-Raum mit
abgeschlossenem Kegel X+ und T D —> X, D C X ein stetiger isoton wachsender Operator. Sei
[a, b] C D mit T(a) > a und T(b) < b. Dann gilt T([a, b]) C [a, b], und der Operator T besitzt einen
Fixpunkt in [a, 6], wenn eine der folgenden Bedingungen erfüllt ist-
a) X+ ist normal und T kompakt,
b) X+ ist regulär
Die wie in A2.203) definierten Folgen {xn}™=0 und {yn}%Lo konvergieren dann zum minimalen bzw.
maximalen Fixpunkt von T in [a, b].
Das Konzept der Ober- und Unterlösungen basiert auf diesen Resultaten (s. [12 17], [12.13], [12.14])
12.8.7 Monotone Operatoren in Banach—Räumen
1. Spezielle Eigenschaften Ein beliebiger Operator T:öcX —> Y (X, Y normierte Räume)
heißt demistetig im Punkt Xq G D, wenn für jede (in der Norm von X) zu x0 konvergente Folge
{xn}%Li C D die Folge {T(xn)}^=l in Y schwach zu T(xo) konvergiert. T heißt demistetig auf der
Menge D , wenn T in jedem Punkt Von D demistetig ist.
In diesem Abschnitt wird eine andere Verallgemeinerung des aus der reellen Analysis bekannten
Monotoniebegriffs eingeführt Seien jetzt X ein reeller BANACH-Raum, X* sein Dual, D C X und T •
D —? X* ein nichtlinearer Operator. Dann heißt T monoton, wenn für V x, y G D die Ungleichung
(T(x) — T(y),x — y) > 0 gilt. Ist X = H ein HlLBERT-Raum, dann ist das Skalarprodukt gemeint,
während im Falle eines beliebigen BANACH-Raumes bezüglich der Bezeichnung auf 12.5.5, S. 645
verwiesen wird. Der Operator T heißt streng monoton, wenn es eine Konstante c > 0 gibt, so daß
(T(x) - T(y), x — y) > c\\x — y\\2 für V x, y G D gilt. Ein Operator T: X —? X* heißt koerzitiv, wenn
hm v ;, , ; = oo gilt
IMI-oo ||x||
2. Existenzaussagen für Lösungen von Operatorengleichungen mit monotonem Operator können
hier nur exemplarisch angegeben werden: Ist der Operator T, der einen reellen separablen BANACH-
Raum X in X*, (Dt = X) abbildet, monoton, demistetig und koerzitiv, dann hat die Gleichung T(x) =
f für beliebiges / € X* eine Lösung.
Ist zudem der Operator T streng monoton, dann ist die Lösung sogar eindeutig, in diesem Falle existiert
also der inverse Operator T-1.
Für einen monotonen demistetigen Operator T: H —? H im HlLBERT-Raum H mit Dt = H gilt
Im(I + T) = H , wobei (/ + T)_1 stetig ist. Wenn T als streng monoton vorausgesetzt wird, dann ist
T~l bijektiv mit stetigem T~l.
Konstruktive Näherungsmethoden für die Lösung der Gleichung T(x) = 0 mit monotonem Operator
T im HlLBERT-Raum basieren auf der Idee des Galerkin-Verfahrens (s. 19.4.2 2, S. 936 oder [12.11],
[12 21]) Mit dieser Theorie kann man mehrdeutige Operatoren T: X —? 2X* behandeln, auf die der
Monotoniebegriff durch (/ — g,x - y) > 0, V x,y G DT und / G T(x),g G T(y) verallgemeinert wird
(s. [12.14]).
12.9 Maß und Lebesgue-Integral
12.9.1 Sigma-Algebren und Maße
Ausgangspunkt für den Begriff eines Maßes ist eine Verallgemeinerung der Begriffe der Länge eines
Intervalls in R, des Flächeninhalts und des Volumens einiger Teilmengen aus R2 und R3 Diese
Verallgemeinerung wird benötigt, um möglichst viele Mengen „messen" zu können und möglichst viele
Funktionen „integrierbar zu machen" Beispielsweise hat das Volumen eines n-dimensionalen Quaders
Q = {xeRn: ak<xk<bk {k = 1,2,... ,n)} den Wert f[(bk - ak). A2.204)
k=l
656 12. Funktionalanalysis
1. cr-Algebra
Sei X eine beliebige Menge. Ein nichtleeres System A von Teilmengen aus X heißt a- Algebra, wenn gilt.
a) A G A impliziert X \ A G A und ^ A2.205a)
b) Ai, A2i..., An, .eA impliziert \J AneA. A2 205b)
n=l
Jede cr-Algebra enthält die Mengen 0 und X, mit abzählbar vielen Mengen auch deren Durchschnitt
sowie mit zwei Mengen_auch jeweils deren Differenzmengen.
Im weiteren bezeichne R die durch die Elemente {—oo} und {+00} erweiterte Menge (erweiterte
Zahlengerade) R, wobei die Rechenregeln und Ordnungseigenschaften aus R in natürlicher Weise auf R
00
übertragen werden. Die Ausdrücke (±00) + (tcxd) und — sind dabei nicht zugelassen, während 0 • (+00)
00
und 0 • (—00) den Wert 0 erhalten.
2. Maß _
Eine auf einer cr-Algebra A definierte Funktion fi: A —> R+ = R U +00 heißt Maß, wenn
a) ß(A) > 0 (VAeA), A2.206a)
b) /i@) = 0, A2.206b)
/ 00 \ 00
c) Au A2, ¦ ¦ ¦ An,. .€A,AknAt = $(kji l) impliziert p, MJ An = £ ß{An). A2.206c)
a(A) = {
Die Eigenschaft c) heißt a-Additivität des Maßes Ist fi ein Maß auf A und sind A,B £ A, A C B, dann
ist n(A) < ß(B) {Monotonie). Wenn An G A (n = 1,2, .) und Ax C A2 C • • •, dann \x (U£=i An) =
limn-.oo fi(An) (Stetigkeit von unten).
Seien A eine cr-Algebra von Teilmengen aus X und fi ein Maß auf A. Das Tripel X = (X, A, /i) heißt
Maßraum, und die Mengen aus A heißen meßbar oder A-meßbar.
¦ A: Seien X eine endliche Menge {xi, x2,..., xn} , A die cr-Algebra aller Teilmengen von X, und sei
jedem x^ (k = 1,..., N) eine nichtnegative Zahl pk zugeordnet. Dann ist die für jede Menge A € A,
A = {xni, xn2, , xnk} durch ß(A) = pni + pn2 + • • • + pnk auf A definierte Funktion ein Maß, das
(wegen /i(X) = Pi + • • • + Pn < oo) nur endliche Werte annehmende sogenannte Zählmaß
¦ B: Dirac-Maß: Seien A eine a-Algebra von Teilmengen einer Menge X und a ein beliebig fixierter
Punkt aus X. Durch
ist auf A ein Maß definiert. Es heißt (auf a konzentrierte) S-Funktion. Offensichtlich gilt Sa(A) —
öa(XA) = Xa{o) , (s. 12.5.4, S 643), wobei \a die charakteristische Funktion der Menge A
bezeichnet.
¦ C: Lebesgue-Maß: Seien X ein metrischer Raum und B(X) die kleinste cr-Algebra von
Teilmengen aus X, die alle offenen Mengen von X enthält B(X) existiert als der Durchschnitt aller cr-Algebren,
die die Gesamtheit aller offenen Mengen enthalten, und heißt die BöRELsche o-Algebra von X Jedes
Element aus ß(X) heißt BOREL-Men^e (s [12 6])
Sei jetzt X = Rn (n > 1). Mit Hilfe einer Erweiterungsprozedur kann man eine <7-Algebra und
darauf ein Maß konstruieren, das auf der Menge aller Quader aus Rn mit dem Volumen übereinstimmt
Genauer: Es existiert eine eindeutig bestimmte cr-Algebra A von Teilmengen aus Rn und ein eindeutig
bestimmtes Maß A auf A mit den folgenden Eigenschaften
a) Jede offene Menge aus Rn gehört zu A, mit anderen Worten: B(Rn) C A
b) Aus A e A, X(A) = 0 und B C A folgen B e A und \{B) = 0 l
c) Ist Q ein Quader, dann ist Q € A, und es gilt X(Q) = nU=i(frfc — afc)
d) A ist translationsinvariant, d.h., für jeden Vektor x G Rn und jede Menge A G A gelten x + A =
{x + y: y G A} € A und X(x + A) = \{A).
12.9 Maß und Lebesgue-Integral 657
Die Elemente aus A heißen Lebesgue-meßbare Teilmengen von Rn . A ist das (n-dimensionale) Le-
besgue-Maß in Rn
Hinweis: Man sagt p. der Maß- und Integrationstheorie, daß eine Behauptung (Eigenschaft,
Bedingung) bezüglich eines Maßes ß fast überall oder ß-fast überall auf einer Menge X gilt, wenn die Menge,
auf der sie nicht erfüllt ist, das Maß Null hat Man schreibt dafür f.ü. bzw. /x—f.ü.^ Also, ist etwa A das
LEBESGUE-Maß auf R, sind A, B zwei disjunkte Mengen mit R = A U B und ist / eine Funktion auf
R mit f(x) = 1 ix G A und f(x) = 0 V x G B, dann ist / = 1, A-f.ü. auf R genau dann, wenn
A(ß) = 0.
12.9.2 Meßbare Funktionen
12.9.2.1 Meßbare Funktion _
Sei A eine cr-Algebra von Teilmengen einer Menge X. Eine Funktion /: X —? R heißt meßbar, wenn
für beliebiges a G R die Menge f~l((a, +oo]) = {x • x G X, f(x) > a} in A liegt.
Eine komplexwertige Funktion g + \h heißt meßbar, wenn beide Funktionen g und h meßbar sind.
Ist A die cr-Algebra der LEBESGUE-meßbaren Mengen aus Rn und /: Rn —? R eine stetige Funktion,
dann ist die Menge /_1((a:,-t-oo]) = /_1((a;, +oo)) nach 12.2.3, S. 631 für jedes a G R offen und / damit
meßbar.
12.9.2.2 Eigenschaften der Klasse der meßbaren Funktionen
Der Begriff der meßbaren Funktion erfordert kein Maß, sondern eine cr-Algebra Seien A eine cr-Algebra
von Teilmengen der Menge X und f,g,fn-X —> R meßbare Funktionen. Dann sind auch die
folgenden Funktionen (s. 12 1.7.4, S 623) meßbar:
a) af für jedes a G R, f • g\
b)/+, /-, l/l, fVgundfAg;
c) / + 9i falls in keinem Punkt von X ein Ausdruck der Form (±oo) + (Too) vorkommt;
d)sup/n,' inf/n, limsup/n(=limn_00supA;>n/fc), liminf/n;
e) der punktweise Grenzwert lim /n, im Falle seiner Existenz;
f) wenn / > 0 und p G R, p > 0, dann ist fp meßbar.
Eine Funktion /• X —> R heißt elementar oder simpel, wenn es eine (endliche) Anzahl von paarweise
n
disjunkten Mengen A\,..., An G A und reelle Zahlen ot\,. ., an gibt, so daß f = Y^ ®kXk gilt, wobei \k
k=i
die charakteristische Funktion der Menge A^ bezeichnet. Offenbar ist jede charakteristische Funktion
einer meßbaren Menge und somit jede elementare Funktion meßbar. Interessant ist, daß jede
meßbare Funktion beliebig genau durch Elementarfunktionen approximiert werden kann: Für jede meßbare
Funktion / > 0 existiert eine monoton wachsende Folge von nichtnegativen Elementarfunktionen, die
punktweise zu / konvergiert.
12.9.3 Integration
12.9.3.1 Definition des Integrals
Sei (X, A, fi) ein Maßraum Das Integral fx f dß (oder auch mit / / dß bezeichnet) für meßbare
Funktionen / wird schrittweise wie folgt definiert
1. Mit / sei eine Elementarfunktion / = £ &kXk bezeichnet. Dann setzt man
fc=i
/fdß = jrakß{Ak). A2.208)
J k=\
2. Ist / X —> R (/ > 0), dann setzt man
f fdp = s\xp< f gdß: g Elementarfunktion mit 0 < g(x) < f{x), \fx G X j . A2 209)
^Hier und im weiteren ist f ü eine Abkürzung für „fast überall"
658 12 Funktionalanalysis
3. Ist /: X —? R und /+, /_ positiver bzw. negativer Teil von / , dann setzt man
j fdß = j f+dß- f f.dß A2 210)
unter der Bedingung, daß wenigstens eines der Integrale auf der rechten Seite endlich ist, um den
unbestimmten Ausdruck oo — oo zu vermeiden
4. Für eine komplexwertige Funktion / = g + \h setzt man, falls für die Funktionen <?, h die nach
A2.210) definierten Integrale endlich sind,
f fdß = fgdß + i Ihdß. A2.211)
5. Kann für eine meßbare Menge A und eine Funktion / nach den angegebenen Festlegungen das
Integral der Funktion f\A definiert werden, dann setzt man
j fdß = J fxAdß. A2 212)
A
Das Integral einer meßbaren Funktion ist im allgemeinen eine Zahl aus R. Eine Funktion /. X —? R
nennt man integrierbar oder summierbar über X bezüglich ß, wenn sie meßbar ist und f\f\dß < oo
gilt.
12.9.3.2 Einige Eigenschaften des Integrals
Sei (X, A, ß) ein Maßraum und seien f,g.X —? R meßbare Funktionen und a,/3eR
1. Ist / integrierbar, dann ist / f.ü. endlich, d.h. ß{x G X \f{x)\ = +00} = 0.
2. Ist / integrierbar, dann gilt \J f dß\ < J \f\ dß
3. Ist / integrierbar und / > 0 , dann gilt / / dß > 0
4. Ist 0 < g(x) < f(x) auf X und / integrierbar, dann ist g integrierbar, und es gilt / gdfi < f f dß
5. Sind /, g integrierbar, dann ist aj+ßg integrierbar, und es gilt f{af+ßg) dß = a J f dfi-\-ß f gdß.
6. Sind /, g integrierbar auf A G A, d.h., es existieren die Integrale fA f dfi und fA g dfi (s A2.212)).
mit fAf dß = fAgdfi, dann gilt / = g ß-iü auf A
Ist X = Rn und A das LEBESGUE-Maß, dann spricht man vom (n-dimensionalen) LEBESGUE-Integral
(s auch 8.2.3,3., S. 471). Im Falle n = 1 und A = [a, b] ist für jede stetige Funktion / auf [a, b] sowohl das
RlEMANN-Integral /a6 f(x) dx (s. 8 2 1.1,5., S 458) als auch das LEBESGUE-Integral f[ab] f d\ definiert.
Beide Werte sind endlich und stimmen überein. Mehr noch, ist / eine auf [a, b] beschränkte RlEMANN-
integrierbare Funktion, dann ist sie auch LEBESGUE-integrierbar (integrierbar im LEBESGUEschen
Sinne), wobei die Werte beider Integrale identisch sind (Natürlichkeit des LEBESGUE-Integrals).
Die Menge der LEBESGUE-integrierbaren Funktionen ist aber wesentlich umfassender als die Menge
aller RiEMANN-integrierbaren Funktionen und besitzt eine Reihe von Vorteilen, die sich insbesondere
bei Grenzübergängen unter dem Integral zeigen.
12.9.3.3 Konvergenzsätze
In den folgenden drei Aussagen seien alle betrachteten Funktionen als LEBESGUE-rneßbar
vorausgesetzt.
1. Satz von B. Levi über die monotone Konvergenz
Sei {/n}5S=i eine f.ü. monoton wachsende Folge nichtnegativer integrierbarer Funktionen mit Werten
in R. Dann gilt
lim f fndß= f lim fndß. A2.213)
n—kx> J J n—>oc x '
12.9 Maß und Lebesgue-Integral 659
2. Satz von Fatou
Sei {/n}£Li eine Folge nichtnegativer R-wertiger meßbarer Funktionen. Dann gilt
/ lim inf fn dp < lim inf f fndp. A2 214)
3. Satovon Lebesgue über dominante oder majorisierte Konvergenz
Sei {/n} eine Folge von meßbaren Funktionen, die auf X f.ü. zu einer Funktion / konvergiert. Wenn es
eine solche integrierbare Funktion g mit |/n| < g f.ü. gibt, dann ist / integrierbar und es gilt
lim j fndp = y(lim/„) dp. A2.215)
4. Satz von Radon-Nikodym
1. Voraussetzungen Seien (X, A, p) ein cr-endlicher Maßraum, d.h., es existiert eine Folge {An},
An E A, so daß X = lJSS=i An und p(An) < oo, Vn gilt. In diesem Falle heißt das Maß a-endlich. Es
heißt endlich, wenn p(X) < oo , und Wahrscheinlichkeitsmaß, wenn p(X) = 1 gilt. Eine auf A gegebene
reelle Funktion (p heißt absolutstetig bezüglich p, wenn p{A) = 0 die Gleichung <p(A) = 0 impliziert.
Die Bezeichnung dafür ist tp -< p.
Für eine integrierbare Funktion / ist die auf A definierte Funktion <p(Ä) = fAf dp cr-additiv und
absolutstetig bezuglich des Maßes p. Fundamental für viele theoretische Untersuchungen und praktische
Anwendungen ist die Umkehrung dieses Fakts-
2. Satz von Radon-Nikodym Seien eine cr-additive Funktion (p und ein Maß p auf einer a-Algebra
A gegeben und sei (p -< p . Dann existiert eine /i-integrierbare Funktion / so, daß für jede Menge A e A
die Beziehung
tp(A) = f fdß A2.216)
A
gilt. Die Funktion / ist dabei bis auf ihre Aquivalenzklasse eindeutig bestimmt, und (p ist nichtnegativ
genau dann, wenn / > 0 /i-f ü.
12.9.4 LP-Räume
Sei (X, A, ß) ein Maßraum und p eine reelle Zahl 1 < p < oo. Für eine meßbare Funktion / ist |/|p
ebenfalls meßbar, so daß
NPU)=(J\f\PdßY A2.217)
definiert (und möglicherweise gleich +oo) ist. Eine meßbare Funktion /• X —? R heißt zur p-ten
Potenz integrierbar, p-fach integrierbar oder p-fach summierbar, wenn Np(f) < +oo gilt oder, äquivalent
dazu, wenn \f\p integrierbar ist.
Für jedes p mit 1 < p < +oo bezeichnet man mit Cp(p) oder CP(X) oder ganz ausführlich mit
£P(X, A, p) die Menge aller zur p-ten Potenz bezüglich /i auf X summierbaren Funktionen, wobei für
p = 1 die vereinfachte Bezeichnung £(X) vereinbart wird und für p = 2 die Funktionen quadratisch
summierbar heißen.
Mit C°°(p) bezeichnet man die Menge aller meßbaren /z-f.u. beschränkten Funktionen auf X und
definiert das wesentliche Supremum einer Funktion / als
Noo{f) = vrai sup/ = inf{a <E R . |/(ar)| < a p-Lü.} . A2 218)
Mit den üblichen Operationen für meßbare Funktionen und unter Berücksichtigung der MlNKOWSKI-
Ungleichung für Integrale (s 1.4.2 12, S. 33) ist Cp(p) für alle p, 1 < p < oo, ein Vektorraum und
Np(-) eine Halbnorm auf Cp . Mit der Vereinbarung, / < g zu schreiben, wenn f(x) < g(x), p-i.ii gilt,
wird Cp sogar ein Vektorverband Zwei Funktionen /, g G Cp(p) nennt man äquivalent (oder deklariert
man als gleich), wenn / = g /i-f.ü. auf X Auf diese Weise werden Funktionen, die //-f.ü.
übereinstimmen, identifiziert. Somit gewinnt man (mittels Faktorisierung der Menge £P(X) nach dem linearen
660 12 Funktionalanalysis
Teilraum iVr *(())) eine Menge von Aquivalenzklassen, auf die kanonisch die algebraischen Operationen
und die Ordnung übertragen werden können, so daß sich wieder ein Vektorverband ergibt, der jetzt mit
/^(X, ß) oder LPdi) (und entsprechend ausfuhrlicher) bezeichnet wird. Seine Elemente heißen nach wie
vor Funktionen, obwohl sie in Wirklichkeit Klassen äquivalenter Funktionen sind.
Von Bedeutung ist nun, daß ||/||p = Np(f) auf Lp(/i) eine Norm ist (/ steht dabei für die aus der
Funktion / hervorgegange Aquivalenzklasse, die im weiteren einfach wieder mit / bezeichnet wird), und
(Lp(//), ||/||p) für alle p mit 1 < p < +oo ein Banach-Verband mit vielen guten
Verträglichkeitsbedingungen zwischen Norm und Ordnung, bei p = 2 mit (/, g) = f fgdß als Skalarprodukt sogar ein
HiLBERT-Raum wird (s. [12.15])
Häufig wird für eine meßbare Teilmenge ficRn der Raum LP(Ü) betrachtet. Seine Definition bereitet
wegen Schritt 5 bei der Einführung des Integrals aber keine Schwierigkeiten.
Die Räume LP{Q., X) (A bezeichnet das n-dimensionale LEBESGUE-Maß) ergeben sich auch als
Vervollständigung (s. 12.2.2.5, S. 631 und 12 3.2, S. 632) des mit der Integralnorm \\x\\p = (j' \x\p d\)p A <
p < oo) versehenen nichtvollständigen normierten Raumes C(Q) aller stetigen Funktionen auf der
Menge Ü C Rn (s. [12 21]).
Sei X eine Menge von endlichem Maß, d.h. ß(X) < +oo , und gelte für pi,p2 die Beziehung 1 < p\ <
P2 < +00. Dann gelten LP2(X, fi) C i/^X, ß) und mit einer nicht von x abhängenden Konstanten
C = C(pi,p2,ß(X)) > 0 für x E LP2 die Abschätzung \\x\\\ < C||x||2, wobei \\x\\k die Norm des
Raumes LPfc(X, //) (A; = 1,2) bezeichnet.
12.9.5 Distributionen
12.9.5.1 Formel der partiellen Integration
Für ein beliebiges (offenes) Gebiet flCR" bezeichnet Cq°(Q) die Menge aller in ü beliebig oft diffe-
renzierbaren Funktionen ip mit kompaktem Träger, d h., die Menge supp(</?) = {x E fi : (p(x) ^ 0} ist
kompakt in Rn und liegt in Q., während mit L}oc(Q) die Menge aller bezüglich des LEBESGUE-Maßes im
Rn lokalsummierbaren Funktionen, d.h. aller (Klassen von äquivalenten) auf 0, meßbaren Funktionen
/ mit fu \f\ d\ < +O0 für jedes beschränkte Gebiet u C Q, bezeichnet wird.
Die beiden Mengen sind (mit den natürlichen algebraischen Operationen) Vektorräume.
Es gilt Lp(ü) C Ljoc(Q) für 1 < p < oo und für beschränktes Q auch L]oc{ü) = L^Q). Faßt man die
Elemente aus Ck(fl) als die von ihnen in Lp(ü) erzeugten Klassen auf, so gilt bei beschränktem Q die
Inklusion Ck(Q) C 1^@) , wobei Ck(ü) sogar dicht liegt. Ist 17 unbeschränkt, so liegt (in diesem Sinn)
die Menge Q°(ft) dicht in L*(fi).
Die Formel der partiellen Integration hat für eine vorgegebene feste Funktion / E Ck(£l) und eine
beliebige Funktion ip € Cq°(J7) wegen Da(p |an = 0 die Gestalt
/ f{x)Daip(x) d\ = (-l)|a| j <p{x)Daf{x) dX A2.219)
für V a mit |a| < k , die man als Ausgangspunkt für den Begriff der verallgemeinerten Ableitung einer
Funktion / E L]oc{0) nehmen kann
12.9.5.2 Verallgemeinerte Ableitung
Sei / E L\oc(Q) . Wenn es eine Funktion g aus L]oc(Q) gibt, so daß für V y? E C^{0) bezüglich eines
Multiindex a die Gleichung
f f(x)Daip{x) dX = (-l)|a| f g(x)<p(x) dX A2 220)
n
gilt, dann heißt g verallgemeinerte Ableitung, Ableitung im Sinne von Sobolew oder
Distributionsableitung der Ordnung a von / , wofür man, wie im klassischen Falle, g = Daf schreibt.
12.9 Maß und Lebesgue-Integral 661
Im Vektorraum Co°(f2) definiert man die Konvergenz einer Folge {y?fc}j£i zuip € C™(Q) wie folgt:
, ( a) 3 eine kompakte Menge K C Vi mit supp(</?fc) C K Vn ,
^k ^ ° ' \ b) Da(^A; —> -öa^ gleichmäßig auf X für jeden Multiindex a
A2 221)
Die Merige C™(Q) mit dieser Konvergenz von Folgen nennt man Grundraum, bezeichnet ihn mit V(Q)
und nennt seine Elemente häufig Testfunktionen.
12.9.5.3 Distribution
Ein lineares Funktional £ auf V(Q), das im folgenden Sinne stetig (s. 12.9.5.3, S. 631) ist.
(fk, ip E V(Sl) und <pk —>ip implizieren £((pk) —> £((p) A2 222)
heißt verallgemeinerte Funktion oder Distribution.
¦ A: Ist / e L}oc(Q) , dann ist
*A<P) = (/> <f) = j f(*Mx) dX , y> G Z>(fl) A2 223)
n
eine Distribution. Derartige mit Hilfe von lokalsummierbaren Funktionen gemäß A2.223) erzeugte
Distributionen nennt man regulär Zwei reguläre Distributionen sind genau dann gleich, d.h. £f(ip) =
£g(ip) V ip e V(Q), wenn / = g f.ü bezüglich A
¦ B: Sei a 6 f2 ein beliebig fixierter Punkt. Dann ist £sa(ip) = <p(a) , V? £ V(ü) ebenfalls ein lineares
stetiges Funktional auf V(Cl), also eine Distribution, die man DiRACsche Distribution, (^-Distribution
oder ^-Funktion nennt.
Da £sa von keiner lokalsummierbaren Funktion erzeugt werden kann (s [12 12], [12.27]), stellt sie ein
Beispiel einer nichtregulären Distribution dar
Die Gesamtheit aller Distributionen bezeichnet man mit V(Q) . Aus einer allgemeineren als der in
12 5.4, S 643 angedeuteten Dualitätstheorie ergibt sich V{tl) als der Dualraum von V(Q) Streng
genommen wäre also V*(Q) zu schreiben Im Raum D'(f2) lassen sich viele Operationen unter seinen
Elementen und mit Funktionen aus C°°(Q) definieren, u.a. die Ableitung einer Distribution oder die
Faltung zweier Distributionen, die ihn nicht nur für theoretische Untersuchungen, sondern vor allem
auch für viele Anwendungen aus Elektrotechnik, Mechanik usw prädestinieren.
Wegen eines Überblicks und einfacher Beispiele für zahlreiche Verwendungsmöglichkeiten
verallgemeinerter Funktionen s. [12.12], [12.27] Hier wird lediglich der Begriff der Ableitung einer
verallgemeinerten Funktion betrachtet
12.9.5.4 Ableitung einer Distribution
Ist £ eine gegebene Distribution, dann heißt die Distribution Da£, definiert durch
(Da£){cp) = (-l)\ak(Da<p), (ip e D(Ü)), A2 224)
die distributioneile Ableitung der Ordnung a von £.
Seien / eine stetig differenzierbare Funktion, etwa auf R (damit ist / lokalsummierbar auf R und /
als Distribution auffaßbar), /' ihre klassische Ableitung und D1 f ihre distributionelle Ableitung der
Ordnung 1 Dann gilt
(D1/, <p) = f f'(x)<p{x) dx , A2.225a)
Jr
woraus durch partielle Integration
(Dlf, <p) = -f f(x)<f/(x) dx = -(/, <p') A2.225b)
JR
folgt Im Falle einer regulären Distribution £f mit / G Ljoc(Q) erhält man wegen
(D*t,)(<p) = (-l)Mt,(ir<p) = (-lp jaf(x)D^d\ A2.226)
662 12 Funktionalanalysis
die verallgemeinerte Ableitung der Funktion / im Sinne von Sobolew (s. A2.220))
¦ A: Für die der offenbar lokalsummierbaren HEAVISIDE-Funktion
*(*) = {££*? 8' <12-227)
zugeordnete reguläre Distribution erhält man als Ableitung die nichtreguläre ^-Distribution.
¦ B: Bei der mathematischen Modellierung von technischen und physikalischen Problemen treten
häufig (in gewisser Hinsicht idealisierte) auf einen Punkt konzentrierte Einwirkungen, wie
„punktförmige" Kräfte, Nadelimpulse, Stoßvorgänge usw. auf, die mathematisch ihren Ausdruck in der
Verwendung der 8- oder HEAVISIDE-Funktion finden, beispielsweise in der Form mSa als Massendichte für
eine im Punkt a @ < a < l) eines Balkens der Länge / konzentrierte Punktmasse m.
Die Bewegungsgleichung eines Feder-Masse-Systems, auf das zum Zeitpunkt to eine momentane
äußere Kraft der Größe F einwirkt, hat die Form x + u2x = F6to. Mit den Anfangsbedingungen x@) =
F
x@) = 0 ist x(t) = — sin(u(t — to)H(t — t0) die Lösung.
663
13 Vektoranalysis und Feldtheorie
13.1 Grundbegriffe der Feldtheorie
lß.1.1 Vektorfunktion einer skalaren Variablen
13.1.1.1 Definitionen
1. Vektorfunktion einer skalaren Variablen t wird ein Vektor a genannt, wenn seine
Komponenten Funktionen von t sind
a = a(t) = ax(t)ex + Oy(t)ey + az(t)ez. A3 1)
Die Begriffe Grenzwert, Stetigkeit und Differenzierbarkeit lassen sich von den Komponenten des
Vektors a(t) auf den Vektor selbst übertragen.
2. Hodograph einer Vektorfunktion Faßt man die Vektorfunktion a(t) als Orts- oder
Radiusvektor r = r(t) eines Punktes P auf, dann beschreibt dieser bei Änderung von t eine Raumkurve
(Abb. 13.1). Man bezeichnet diese Raumkurve auch als Hodograph der Vektorfunktion a(t).
P j? ^-30
¦25
Abbildung 13 1 Abbildung 13.2
13.1.1.2 Ableitung einer Vektor funkt ion
Die Ableitung von A3.1) nach t ist eine neue Vektorfunktion von t:
dax(t) _> day(t) _ daz(t) _
~dTGx + ~dTey + ~dTez
Abbildung 13.3
da v ä(t + At)-ä(t)
— = hm
dt At-o At
dr
A3.2)
Die Ableitung — des Radiusvektors stellt geometrisch betrachtet einen Vektor dar, der in die Richtung
dt
der Tangente des Hodographen im Punkt P weist (Abb. 13.2). Seine Länge hängt von der Wahl des
Parameters t ab. Wenn t die Zeit ist, dann beschreibt f(t) die Bewegung des Punktes P im Raum,
dr
während — Größe und Richtung der Geschwindigkeit dieser Bewegung angibt. Ist t = s die Bogenlänge
dt
der Raumkurve, gemessen von einem bestimmten Kurvenpunkt an, dann gilt
13.1.1.3 Differentiationsregeln für Vektoren
— f"±b± ^1 - — ± — + —
dt dt dt dt
d . . dip _ da
-(^a) = -a + ^
d - _ dtä-c -db
dt dt dt
d ._ ,-. da. ,- _ dh
— axb =-xb + ax--
dt K 'dt dt
(</? skalare Funktion von t),
(die Faktoren dürfen nicht vertauscht werden),
A3 3a)
A3 3b)
A3.3c)
A3.3d)
664 13 Vektoranalysis und Feldtheorie
It^ = f/ft (Kettenregel) (!3 3e)
Ist |a(£)| = const, d h a2(£) = a(£) • a(t) = const, dann folgt aus A3.3c) a • — = 0, d.h , — und a
(JLL (ZT
stehen senkrecht zueinander Beispiele für diesen Sachverhalt sind:
¦ A: Radius- und Tangentenvektor eines Kreises in der Ebene und
¦ B: Orts- und Tangentenvektor einer Kurve auf der Kugel. Der Hodograph ist dann eine sphärische
Kurve .
13.1.1.4 Taylor—Entwicklung für Vektorfunktionen
^ f x -./ x , da h2 d2ä hn dnä , n x
a(i+A) = a(t)+,_ + __ + ...+___ A34)
Die Entwicklung einer Vektorfunktion in eine TAYLOR-Reihe hat nur Sinn, wenn die Reihe
konvergiert Die Konvergenz dieser Reihe wird ebenso wie die jeder beliebigen anderen Reihe mit vektoriellen
Gliedern nach der gleichen Methode bestimmt wie die Konvergenz einer Reihe mit komplexen Gliedern
(s 14 3.2, S. 713). Man kann die Konvergenz einer Reihe mit vektoriellen Gliedern auf die Konvergenz
von Reihen mit skalaren Gliedern zurückführen.
Das Differential einer Vektorfunktion a(£) wird definiert durch:
da
da = —At A3 5)
dt
13.1.2 Skalarfelder
13.1.2.1 Skalares Feld oder skalare Punkt funkt ion
Wird jedem Punkt P eines Raumteiles ein Zahlenwert (Skalar) U zugeordnet, dann schreibt man
U = U(P) A3 6a)
und bezeichnet A3 6a) als Skalarfeld.
¦ Beispiele für Skalarfelder sind Temperatur, Dichte, Potential usw. eines Körpers.
Man kann ein skalares Feld U =*U(P) auch durch
U = U{r) A3 6b)
beschreiben, wobei r der Ortsvektor des Punktes P bei fest gewähltem Pol 0 ist (s 3 5 1.1,6., S. 186).
13.1.2.2 Wichtige Fälle skalarer Felder
1. Ebenes Feld wird ein Feld genannt, das ausschließlich für die Punkte einer Ebene im Raum
definiert ist.
2. Zentralfeld Wenn eine Funktion in allen Punkten P gleichen Abstandes von einem Mittelpunkt
C(Fi), dem Feldpol, gleiche Werte annimmt, dann spricht man von einem zentralsymmetrischen Feld
oder auch Zentral- bzw. Kugelfeld. Die Funktion U hängt dann lediglich vom Abstand CP = |r| ab.
U = f(\r\) A3.7a)
¦ Das Feld der Intensität einer punktförmigen Strahlungsquelle, z.B. das Feld der Lichtstärke, wird
mit |r| als Abstand von der Strahlungsquelle beschrieben durch:
[7 = 4 (c = const) • A3 7b)
3. Axialfeld Wenn eine Funktion in allen Punkten gleichen Abstandes von einer Geraden, der
Feldachse, den gleichen Wert besitzt, dann spricht man von einem zylindersymmetrischen bzw axial-
13 1 Grundbegriffe der Feldtheorie 665
symmetrischen Feld, oder kurz von einem Axialfeld
13.1.2.3 Koordinatendarstellung von Skalarfeldern
Wenn die Punkte eines Raumteiles durch ihre Koordinaten gegeben werden, z.B durch kartesische,
Zylinder- oder Kugelkoordinaten, dann erhält man zur Beschreibung des zugehörigen skalaren Feldes
A3 6a) im allgemeinen eine Funktion dreier Veränderlicher:
U = <P(x,y,z), U = &{p,(p,z) oder E/= x(r,tf,y>). A3.8a)
Im Falle eines ebenen Feldes genügt eine Funktion zweier Veränderlicher Für kartesische oder
Polarkoordinaten hat sie die Form.
U = <P(x,y) oder U = V(p,(p) A3.8b)
Es wird vorausgesetzt, daß die Funktionen in A3 8a) und A3 8b) im allgemeinen stetig sind,
ausgenommen einige Unstetigkeitspunkte, -kurven oder -flächen Die Funktionen lauten
a) für ein Zentralfeld: U = U(^jx2 + y2 + z2) = U{^p2 + z2) = U(r),
b) für ein Axialfeld: U = U(^Jx2 + y2) = U(p) = U(r sintf). A3 9a)
Die Untersuchung von zentralen Feldern führt man am besten unter Zuhilfenahme von
Kugelkoordinaten durch, von axialen Feldern mit Hilfe von Zylinderkoordinaten
13.1.2.4 Niveauflächen und Niveaulinien
1. Niveaufläche nennt man die Gesamtheit aller Punkte im Raum, für die die Funktion A3.6a)
einen konstanten Wert
U = const . A3 10a)
annimmt Unterschiedliche Konstanten C/0, CA, C/2,... liefern unterschiedliche Niveauflächen. Durch
jeden Punkt verläuft genau eine Niveaufläche, ausgenommen Punkte, in denen die Funktion nicht
definiert ist. In den drei bisher benutzten Koordinatensystemen lauten die Niveauflächengleichungen
U = $(x, y, z) = const, U = #(p, (/?, z) = const, U = x(r, #, <p) = const. A3 10b)
¦ Beispiele für Niveauflächen verschiedener Felder
A: U = c r = cxx + cyy + czz. Parallele Ebenen.
B: U = x2 + 2y2 + 4z2: Ähnliche Ellipsoide in Ahnlichkeitslage.
C: Zentralfeld Konzentrische Kugeln.
D: Axialfeld• Koaxiale Zylinder
2. Niveaulinien ergeben sich in ebenen Feldern anstelle der Niveauflächen. Sie genügen der
Gleichung
U = const A3.11)
Es ist üblich, die Niveaulinien in bestimmten gleichmäßigen [/-Abständen darzustellen, wobei der
betreffende [/-Wert an die zugehörige [/-Linie geschrieben wird (Abb. 13.3)
¦ Beispiele sind die Isobaren auf Wetterkarten und die Höhenlinien auf geographischen Karten.
In speziellen Fällen können die Niveauflächen in Punkte oder Linien entarten, die Niveaulinien in
isolierte Punkte.
y 1
¦ Die Niveaulinien der Felder a) U = xy, b) U = — , c) U = r2 , d) U = - zeigt Abb. 13.4
xz r
13.1.3 Vektorfelder
13.1.3.1 Vektorielles Feld oder vektorielle Punktfunktion
Wird jedem Punkt P eines Raumteiles ein Vektor V zugeordnet, so schreibt man
V - V(P) A3 12a)
und bezeichnet A3.12a) als Vektorfeld
666 13. Vektoranalysis und Feldtheorie
¦ Beispiele für Vektorfelder sind das Geschwindigkeitsfeld der Teilchen einer strömenden Flüssigkeit
sowie Kraft- und Feldstärkefelder.
Ein Vektorfeld V = V(P) kann auch durch
V = V(r) A3 12b)
beschrieben werden, wobei f der Ortsvektor des Punktes P bei fest gewähltem Pol 0 ist. Ein ebenes
Vektorfeld zeichnet sich dadurch aus, daß alle r-Werte und alle V-Werte jeweils in einer Ebene liegen
(s. 3 5 2, S. 195).
1 234
432 1
d)
Abbildung 13.4
13.1.3.2 Wichtige Fälle vektorieller Felder
1. Zentrales Vektorfeld Alle Vektoren V liegen auf Geraden, die durch einen bestimmten Punkt,
das Zentrum, verlaufen (Abb. 13.5a). Wird der Koordinatenursprung in das Zentrum gelegt, dann
kann das Feld mit Hilfe von
V = /(r)F A3.13a)
definiert werden, da alle Vektoren die Richtung des Radiusvektors r besitzen. Oft ist es von Vorteil,
dieses Feld durch die Formel
¦¦<p(r)-
A3 13b)
zu beschreiben, wobei (p(f) die Länge des Vektors V angibt und - der Einheitsvektor ist.
13.1 Grundbegriffe der Feldtheorie 667
a)
b)
Abbildung 13.5
2. Sphärisches Vektorfeld Das sphärisches Vektorfeld ist der Spezialfall des zentralen
Vektorfeldes, in dem die Länge des Vektors V nur vom Abstand |r| abhängt (Abb. 13.5b).
¦ Beispiele sind das NEWTONsc/ie und das CoULOMBsc/ie Kraftfeld einer Punktmasse bzw einer
elektrischen Punktladung:
Al c - c r
V = —r =
(c = const).
A3 14)
Der Spezialfall eines ebenen sphärischen Vektorfeldes wird Kreisfeld genannt.
3. Zylindrisches Vektorfeld
a) Alle Vektoren V liegen auf Geraden, die auf einer bestimmten Geraden, der Achse, senkrecht stehen
und durch diese hindurchgehen, und
b) alle Vektoren V für Punkte, die gleichen Abstand von der Achse haben, besitzen gleiche Beträge
und sind entweder auf die Achse hin- oder von ihr weggerichtet (Abb. 13.5c) Wird der
Koordinatenursprung auf die Achse gelegt, die durch den Vektor c vorgegeben ist, dann kann dieses Feld durch die
Formel
V = ip(p)— mit
P
A3 15a)
r * = c x (r x c)
A3.15b)
beschrieben werden. Dabei ist r * die Projektion von r auf die Ebene, die auf der Achse senkrecht steht.
Jeder Schnitt dieses Feldes mit Ebenen, die senkrecht auf der Achse stehen, ergibt gleichartige
Kreisfelder.
13.1.3.3 Koordinatendarstellung von Vektorfeldern
1. Vektorfeld in kartesischen Koordinaten Das Vektorfeld A3 12a) kann mit Hilfe dreier ska-
larer Felder V\{v), V2(r) und V3(r) definiert werden, die als Koeffizienten des Vektors V bei seiner
Zerlegung in drei beliebige inkomplanare Vektoren ei, e2 und e3 aufzufassen sind.
V = Viei + V2e2 + V3e3 A3 16a)
Wählt man für diese drei Vektoren die Einheitsvektoren der drei Koordinatenachsen i, j und k, und
drückt man die Koeffizienten Vi, V2, V3 in kartesischen Koordinaten aus, dann gilt
V = K(x, y, z)i + Vy(Xi y, z)j + Vz{x, y, z)Ü. A3.16b)
Somit kann das Vektorfeld mit Hilfe dreier skalarer Funktionen von drei skalaren Veränderlichen
definiert werden
668 13. Vektoranalysis und Feldtheorie
2. Vektorfeld in Zylinder- und Kugelkoordinaten
Kugelkoordinaten
(=k),
bzw.
er (= -),
Die Einheitsvektoren der Zylinder- und
A3.17a)
sind Tangenten an die Koordinatenlinien in jedem Punkt (Abb. 13.6, 13.7). Sie bilden in dieser
Reihenfolge jeweils ein orthogonales Rechtssystem. Die Koeffizienten müssen dann als Punktionen der
entsprechenden Koordinaten gegeben sein:
V = Vp(p, tp, z)ep + Vyip, <p, z)ev + Vz{p, (p, z)ez ,
V = Vr{r, 0, <p)er + V^(r, #, ip)ev + V* (r, 0, <^)eV
A3.17b)
A3.17c)
Beim Übergang von einem Punkt zu einem anderen ändern zwar die Koordinatenvektoren ihre
Richtung, sie stehen aber stets senkrecht aufeinander
Abbildung 13.6
Abbildung 13.7
Abbildung 13.8
13.1.3.4 Übergang von einem Koordinatensystem zu einem anderen
Siehe auch Tabelle 13.1.
1. Darstellung der kartesischen Koordinaten durch Zylinderkoordinaten
Vx = Vp cos (p — VpSimp,
¦ Vp sin (p + Vv cos (p, Vz ¦
2.
3.
4.
5.
Darstellung der Zylinderkoordinaten durch kartesische Koordinaten
Vp = Vx cos (p + Vy sin (p, V^ =—Vx sin (p + Vy cos ip, VZ = VZ
Darstellung der kartesischen Koordinaten durch Kugelkoordinaten
Vx — Vr sin ß cos (p — Vp sin ip + Vq cos (p cos ß ,
Vy = Vr sin $ sin ip + V<p cos y> + V# sin y? cos d ,
V2 = K-costf-T^sintf.
Darstellung der Kugelkoordinaten durch kartesische Koordinaten
Vr — Vx sin # cos 9? + V^ sin i9 sin y? + Vz cos # ,
V<? = Vx cos # cos ip + VJ, cos $ sin ip — Vz sin d ,
V^, = — Vx sin (/? + yy cos <p
Darstellung des sphärischen Vektorfeldes durch kartesische Koordinaten
V = <p{yjx2 + y2 + z2)(xi + j/J+ zi) .
A3.18)
A3.19)
A.3.20)
A3.21)
A3.22)
• 13.1 Grundbegriffe der Feldtheorie 669
6. Darstellung des zylindrischen Vektorfeldes durch kartesische Koordinaten
V = y{\lx2 + y2){xi + yi) A3.23)
Untersuchungen in Kugelfeldern führt man vorteilhafterweise unter Verwendung von Kugelkoordinaten
durch, d h mit V = V(r)er , Untersuchungen in Zylinderfeldern unter Verwendung von
Zylinderkoordinaten, d h mit V = V((p)e<p Für ebene Felder (Abb. 13.8) gilt
V = Vx(x, y)\ + Vy(x, 2/)j = Vp(p, ip)ep + Vv(p, (p)^ ,
für Kreisfelder
V = ip(y/x2 + y2)(xi + 2/j) = <p(p)ep
A3.24)
A3.25)
Tabelle 13 1 Zusammenhang zwischen den Komponenten eines Vektors in kartesischen, Zylinder-
und Kugelkoordinaten
Kartesische Koordinaten
V = Vxe* + Vyey + Vzez
vx
Vy
Vz
Vx cos <p + Vy sin tp
—Vx sin <p + Vy cos (p
vz
Vx sin "d cos <p + Vy sin $ sin (f + Vz cos ß
Vx cos fl cos (p + Vy cos flsiiMp — Vz sin fl
—Vx sin (f -f Vy cos (/?
Zylinderkoordinaten
V^ + V^eJ, + Kei
= V"p cos yj - V(p sin v?
= Vp sin y> + V^, cos <p
= V2
= ^p
= ^
= K
- 1/pSintf+ V;costf
= V^ cos $ — Vz sin $
= vv
Kugelkoordinaten
Vrer + V^eJ 4- V^elp
= K sin ^ cos ip + Vß cos $ cos <p
- Vp sin <p
= Vr sin # sin <p + 14 cos $ sin <p
+ V^ cos cp
= Vr cos $ — Vß sin $
= Vr sin # + V# cos $
= v»
= Vr cos i9 — V& sin i?
= K
= vd
= v*
13.1.3.5 Feldlinien
Für das Vektorfeld V(r) (Abb.13.9) heißt eine Kurve C Feldlinie,
wenn der Vektor V(r) in jedem Kurvenpunkt P ein
Tangentenvektor ist. Durch jeden Punkt eines Feldes verläuft eine Feldlinie Die
Feldlinien schneiden einander nicht, ausgenommen solche Punkte,
in denen die Funktion V nicht definiert ist oder verschwindet Die
Differentialgleichungen der Feldlinien eines Vektorfeldes V, das in
kartesischen Koordinaten gegeben ist, lauten
Abbildung 13 9
dx dy
a) allgemein: — = —
dz
V''
A3.26a) b) für ein ebenes Feld: ^ = ^ A3.26b)
Zur Lösung dieser Differentialgleichungen s. 9 1.1 2,1., S. 506 bzw. 9.2 1.1,2., S. 535.
¦ A: Die Feldlinien eines Zentralfeldes sind Geraden, die vom Zentrum zum Feldpunkt verlaufen
670 13 Vektoranalysis und Feldtheorie
¦ B: Die Feldlinien des Vektorfeldes V = c x r sind Kreise, die in einer senkrecht auf dem Vektor c
stehenden Ebene liegen. Ihr Mittelpunkt liegt auf einer zu c parallelen Achse.
13.2 Räumliche Differentialoperationen
13.2.1 Riehtungs— und Volumenableitung
13.2.1.1 Richtungsableitung eines skalaren Feldes
Die Richtungsableitung des skalaren Feldes U = U(r) in einem Punkt P mit dem Ortsvektor r nach
einem Vektor c (Abb. 13.10) ist definiert als Grenzwert des Quotienten
0U_
de
- lim
£-+0
U(r + ec)-U(f)
A3 27)
U(f) in einem Punkt r nach der Richtung des Einheitsvektors c°
Wenn die Ableitung des Feldes U ¦
von c mit 7-^7: bezeichnet wird, dann besteht zwischen den Ableitungen der Funktion nach dem Vektor
acu
c und nach seinem Einheitsvektor c ° in ein und demselben Punkt die Beziehung
g-wg.
'<9c°
tung c ° vom Punkt r aus anwächst Unter allen Ableitungen in einem Punkt nach den verschiedenen
Richtungen der Einheitsvektoren besitzt die Ableitung —— den größten Wert. Dabei ist n der
Normaleneinheitsvektor zur Niveaufläche, auf der der Punkt r liegt Zwischen den Richtungsableitungen
bezüglich n und einer beliebigen Richtung c° besteht der Zusammenhang
Die Ableitung -^p^ nach dem Einheitsvektor ist ein Maß für die Stärke, mit der die Funktion U in Rich-
dU
de0
dU 0 dU
¦ -r-=r cosfc , n) = —— cos u> -
dn an
: c° • gradU (s. A3.34), 13.2 2.2, S. 672)
dV(?)
A3.29)
Abbildung 13.10
Abbildung 13.11
13.2.1.2 Richtungsableitung eines vektoriellen Feldes
In Analogie zur Richtungsableitung eines skalaren Feldes gibt es die Richtungsableitung eines
Vektorfeldes Die Richtungsableitung des Vektorfeldes V = V(r) in einem Punkt P mit dem Ortsvektor f
(Abb. 13.11) nach einem Vektor a ist definiert als Grenzwert des Quotienten
V(r + ea)-V(r)
dV_
da
¦ lim -
e-vO
A3.30)
13 2 Räumliche Differentialoperationen 671
Wenn die Ableitung des Vektorfeldes V = V(r) in einem Punkt r nach der Richtung des Einheitsvek-
dV
tors a° von a mit -^——r bezeichnet wird, dann gilt:
aau
£-«£¦ ........ "**"
In kartesischen Koordinaten, d.h., V = Vxex + Vyey + Vzez , a = axex + ayey 4- azez, gilt:
&V
— = [a. • grad) v = (a • grad vx jex + (a • grad vy jCy
In allgemeinen Koordinaten gilt
&V_ _
da ~
1
(a • grad)V = (a • grad Vx)e*x + (a • grad Vy)e*y + (a • grad Vz)ez . A3.32a)
;n Koordinat<
(a • grad) V
(rot (V x a) + grad (a • V) + adiv V - Vdiva - a x rot V - V x rota). A3 32b)
13.2.1.3 Volumenableitung oder räumliche Ableitung
Als Volumenableitung eines Skalarfeldes U = U(r) oder eines Vektorfeldes V in einem Punkt r werden
drei Größen bezeichnet, die folgendermaßen gewonnen werden:
1. Einhüllung des Punktes r des Skalarfeldes oder des Vektorfeldes durch ein geschlossene Fläche £ .
Diese Fläche lasse sich vektoriell durch die Parameterdarstellung r = r(u, v) = x(u, v)e*x + y(u, v)e^ +
z(u, v)ez beschreiben, so daß das zugehörige vektorielle Flächenelement
-» dr dr
dS = — x—dudv A3 33a)
du ov
lautet
2. Integration über die geschlossene Fläche E. Dabei werden die folgenden drei Typen von Integralen
betrachtet:
\ud§, §V-dS, (/j()VxdS A3.33b)
(£) (E) (E)
3. Bestimmung der Grenzwerte
Hv§Ud§> ^oV$*-dS, limi#VxrfS A3.33c)
(E) (E) (E)
Dabei wird mit V das Volumen des Raumteiles bezeichnet, der den Punkt r im Innern enthält und
dessen Oberfläche die geschlossene Fläche E ist
Die Grenzwerte A3.33c) werden als Volumenableitungen bezeichnet und führen in der angegebenen
Reihenfolge auf die Begriffe Gradient eines Skalarfeldes sowie Divergenz und Rotation eines
Vektorfeldes.
13.2.2 Gradient eines Skalarfeldes
13.2.2.1 Definition des Gradienten
Gradient wird ein Vektor genannt, der jedem Punkt eines Skalarfeldes U = U(r) zugeordnet werden
kann (in Zeichen grad [/), und der die folgenden Eigenschaften hat:
1. grad U hat die Richtung der Normalen der jeweiligen Niveaufläche U = const,
2. grad U ist in Richtung wachsender Funktionswerte von U orientiert,
3. |grad£/| = -7—7, d.h., der Betrag von gradt/ stimmt mit der Richtungsableitung der Funktion U in
672 13 Vektoranalysis und Feldtheorie
Normalenrichtung überein
In den folgenden zwei Abschnitten werden zwei verschiedene Definitionen betrachtet.
13.2.2.2 Gradient und Richtungsableitung
Die Richtungsableitung der skalaren Feldfunktion U nach dem Einheitsvektor c° ist gleich der
Projektion des Vektors grad U auf die Richtung des Einheitsvektors c°:
J^ = c°.gradC/, A3 34)
d h., die Richtungsableitung ist als Skalarprodukt des Richtungsvektors mit dem Gradienten des Feldes
beschreibbar.
13.2.2.3 Gradient und Volumenableitung
Jedem Punkt r eines skalaren Feldes U = U(f) kann der Vektor Gradient U als Volumenableitung des
skalaren Feldes zugeordnet werden-
UdS
grad U = lim (-^—— . A3.35)
Dabei ist V das Volumen eines Raumteiles, der den betrachteten Punkt r enthält und die geschlossene
Fläche E zur Oberfläche hat.
13.2.2.4 Weitere Eigenschaften des Gradienten
1. Der absolute Betrag des Gradienten ist in den Punkten größer, in deren Umgebung die
Feldliniendichte größer ist.
2. Der Gradient verschwindet (grad/7 = 0), wenn sich in dem betrachteten Feldpunkt ein Maximum
oder Minimum von U befindet Dort entarten die Niveauflächen bzw Niveaulinien zu einem Punkt
13.2.2.5 Gradient des Skalarfeldes in verschiedenen Koordinaten
1. Gradient in kartesischen Koordinaten
grad u = dV^lA- + OU^VA J+ ^iM k. A3 36)
ox oy dz
2. Gradient in Zylinderkoordinaten (x = pcos ip , y = ps'mip, z — z)
grad U = gradp Uep + grad^, Ue^ + grad2 Uez mit A3.37a)
grad^ = i|' grad"a = ^' grad^ = lr A3-37b)
3. Gradient in Kugelkoordinaten (x = r sin # cos <p , y = r sin # sin ip , z = r cos #)
grad U = gradr Uer + grad^ Ue# + grad^ Ue^ mit A3 38a)
4. Gradient in allgemeinen orthogonalen Koordinaten (£, 77, £)
Mit r(£, 77, C) = xfo 77, C)f + 2/K, *?, C)J+ *K, »7, C)k gilt
grad U = grad^ Ue$ + grad^ [/en + grad^ Ue^ , wobei sich ergibt. A3.39a)
grad.C/ =
1 dU , „ 1 ö£/ , Tr 1 W
3£> grad^f/
V grad^:
dC
A3.39b)
13.2 Räumliche Differentialoperationen 673
13.2.2.6 Rechenregeln
Im folgenden wird angenommen, daß c und c konstant sind.
grad c = 0, grad (U\ + U2) = grad U\ + grad [/2, grad (cU) = c grad U.
grad (UiU2) = C/igrad U2 + /72grad CA, grady?(C/) = -r^grad U .
au
grad(V1.V2) = (V1
grad (r • c) = c.
) V2 + (V2 • grad) Vi + Vi x rot V2 + V2 x rot Vi.
1. Differential eines skalaren Feldes als totales Differential der Funktion U
J TT ~ dU J 0U J 3U J
du = grad U • dr = -7— dx + ^— dy + -^— a^.
ax ay az
2. Ableitung einer Funktion [/ längs einer Raumkurve r(t)
dJU__dl^dx dü_dy_ dU_dz^
dt dx dt dy dt dz dt
3. Gradient des Zentralfeldes
gradf/(r) = [/(r)-
r
gradr = -
(Kugelfeld),
(Feld von Einheitsvektoren).
A3 40)
A3.41)
A3 42)
A3 43)
A3 44)
A3 45)
A3.46a)
A3.46b)
13.2.3 Vektorgradient
Der Zusammenhang A3.32a) legt die Bezeichnung
dV
— = a • grad (Vxex + Vyey + Vzez) = a • grad V
A3.47a)
nahe, wobei grad V Vektorgradient heißt. Aus der Matrizenschreibweise von A3 47a) folgt, daß der
Vektorgradient als Tensor mit Hilfe einer Matrix darstellbar ist:
/ dVx dVx ÖVX \ / dVx dVx ÖVX \
(a-grad) V =
dx dy dz
dVydVydVy
dx dy dz
dv^dv^dVz
\ dx dy dz )
ay ) , A3.47b)
az
grad V =
dx dy dz
dVy dVy dVy
dx dy dz
dV^dV^dV,
\ dx dy dz )
A3.47c)
Tensoren dieser Art spielen in den Ingenieurwissenschaften eine Rolle, z.B. bei der Beschreibung von
Spannungen (S. 271) und Elastizitäten (S 271).
13.2.4 Divergenz des Vektorfeldes
13.2.4.1 Definition der Divergenz
Zu einem Vektorfeld V(r) läßt sich ein skalares Feld, das Feld seiner Divergenz, angeben. Im Punkt r
ist die Divergenz als Volumenableitung des Vektorfeldes definiert:
V-dS
div V = lim
(£)
A3 48)
674 13. Vektoranalysis und Feldtheorie
Man bezeichnet die Divergenz eines Vektorfeldes auch als spezifische Ergiebigkeit oder Quelldichte,
denn sie gibt, falls V ein Strömungsfeld beschreibt, die Flüssigkeitsmenge an, die in dem betreffenden
Punkt des Feldes V je Volumen- und Zeiteinheit neu entsteht Im Fall div V > 0 spricht man vom
Vorhandensein einer Quelle, im Fall div V < 0 vom Vorhandensein einer Senke.
13.2.4.2 Divergenz in verschiedenen Koordinaten
1. Divergenz in kartesischen Koordinaten
**-s*?+f <•»»•>
mit V(z, y, z) = Vx\ + VJ + Vzk.
A3 49b)
Das Skalarfeld div V ist durch das Skalarprodukt aus Nablaoperator und Vektor V gemäß
divV = V-V A3.49c)
darstellbar und zeichnet sich daher durch Translations- und Drehungsinvarianz, also skalare Invarianz
aus (s. S. 273)
2. Divergenz in Zylinderkoordinaten
divV = i-^^ + i^ + -^ A3 50a) mit V{p,<p,z) = Vpep + Vtpefp + Vzez. A3.50b)
Divergenz in Kugelkoordinaten
div v = 1 d(r2K) 1 djsmWt)
r2 dr rsiwd dfi
mit V(r, tf, </?) = Vrer + Vße$ + V^
1 c%
rsint? dip
4. Divergenz in allgemeinen orthogonalen Koordinaten
divV =
^) + ^
D [dt
mit r(£, 77, C) = x& 77, C)?+ y{£, V, C)f + z{£, ry, C)k,
v'l + ac
Ol
D =
<9r <9r <9r
d^dr]dC
=
dr
dr
dr]
dr
und V(f, 77, C) = V€e€ + V^ + Vcec
A3.51a)
A3.51b)
A3.52a)
A3 52b)
A3.52c)
A3 52d)
13.2.4.3 Regeln zur Berechnung der Divergenz
divc = 0, div (Vi + V2) = div Vi + div V2 , div (cV) = cdiv V
div (UV) = U div V -I- V • grad U I insbesondere div( rc) =
div (Vi x V2) = V2 • rot Vi - Vi ¦ rot V2.
13.2.4.4 Divergenz eines Zentralfeldes
divr = 3, divip(r)r = 3<p{r) + np (r)
A3.53)
A3 54)
A3 55)
A3 56)
13.2 Räumliche Differentialoperationen 675
13.2.5 Rotation des Vektorfeldes
13.2.5.1 Definitionen der Rotation
1. Definition Zu einem Vektorfeld V(r) läßt sich durch Bildung der negativ genommenen
Volumenableitung ein vektorielles Feld, das Feld seiner Rotation, bilden (in Zeichen: rot V , curl V oder mit Hilfe
des Nablaoperators VxV):
VxdS
dSx V
rotV =
lim
(S)
= lim
(S)
A3.57)
iW
VdF
ttV=lim *-
s*o S
2. Definition Zu einem Vektorfeld V(r) läßt sich ein zweites Vektorfeld, seine Rotation bilden,
indem die folgenden Schritte durchgeführt werden:
a) Aufspannen eines kleinen FJächenstückes S
(s. Abb. 13.12) um den Punkt P. Dieses
Flächenstück soll durch den Vektor S beschrieben werden,
der in die Richtung der Normalen n zeigt und
dessen Betrag gleich dem Inhalt des Flächenstückes ist.
Der Rand des Flächenstückes sei mit K bezeichnet
b) Umlaufintegral-Berechnung <b V • dv längs der
J{K)
Randkurve K dieses Flächenstücks.
c) Grenzwert-Untersuchung lim ^
bei die Lage des Flächenstückes ungeändert bleibt.
d) Änderung der Lage des Flächenstückes mit dem
Ziel, einen Maximalwert des gewonnenen
Grenzwertes zu ermitteln. Das zugehörige Flächenstück
habe den Flächeninhalt Smax und die Randkurve
¦t*-max •
V • dv, wo-
(K)
Abbildung 13 12
e) Bestimmung des Vektors rot V im Punkt r, dessen Betrag gleich dem gefundenen Maximalwert ist
und dessen Richtung mit der Normalen des Flächenstückes zusammenfällt Es gilt dann-
V- dr
(tfmax)
rotV = lim
I I sm„-+o 5max
A3 58a)
Die Projektion von rot V auf die Flächennormale n des ursprünglichen Flächenstücks mit dem Inhalt
S, d h die Komponente des Vektors rot V in beliebig vorgegebener Richtung n = 1, ergibt sich zu
» V-dr
1 • rot V = rot/ V =
lim
W
A3 58b)
Die Feldlinien des Feldes rot V werden Wirbellinien des Vektorfeldes V genannt.
676 13 Vektoranalysis und Feldtheorie
13.2.5.2 Rotation in verschiedenen Koordinaten
1. Rotation in kartesischen Koordinaten
«M*-£)+I(£-£)+((£-
dVx
dy
i j k
d_ d_ d_
dx dy dz
Das Vektorfeld rot V ist durch das Vektorprodukt aus Nablaoperator und Vektor V gemäß
rotV = V x V
darstellbar.
2. Rotation in Zylinderkoordinaten
rot V = rotpVe^ 4- rot^Ve^ 4- rotz Ve2 mit
. ,7 \3VX dvv - dv„ 8v, . .-. lfd.... dvp
mit
p dip dz * dz dp
3. Rotation in Kugelkoordinaten
rot V = rotr Ver 4- rot^ Ve^ 4- rot^Ve^
rotr V = —— — (sint% - -^
rsini? [dfl * dip
1 dVr 1Ö/TM
roW V = ^-^-^- ~ -jr r% ,
r sm üö^ r or
p (dp
d(p
rot,
^ = ^{£w)-£>-
I <9r
4. Rotation in allgemeinen orthogonalen Koordinaten
rot V = rot^ Ve^ + rot^ Ve^ 4- rot^ Ve<;
mit
rote V =
_1_
D
rot.V^i
rot<r V =
dti\
kl
d_
d_
"-K(
dr
dr]
dr
\df
k
-).
"<)]
4
5
>
?«, v, C) = x(f, 17, C)i + y«, u, C)T+ z«, fj, C)k;
D =
df
dt
df
dr]
df
13.2.5.3 Regeln zur Berechnung der Rotation
rot (Vi + V2) = rot Vi + rot V2 , rot (cV) = c rot V .
rot (UV) = f/rot V + grad U x V.
rot (Vi x V2) = (V2 • grad)Vi - (Vi • grad)V2 4- Vi div V2 - V2 div Vi.
A3.59a)
A3 59b)
A3.60a)
A3.60b)
A3 61a)
A3 61b)
A3.62a)
A3 62b)
A3.62c)
A3.63)
A3 64)
A3.65)
13 2 Räumliche Differentialoperationen 677
13.2.5.4 Rotation des Potentialfeldes
Aus dem Integralsatz von Stokes (s 13 3 3.2, S 687) folgt, daß die Rotation eines Potentialfeldes
gleich Null ist
rot V = rot (grad U) - Ö. A3 66)
Das folgt auch aus A3.59a) für V = gradC/, wenn die Voraussetzungen des SCHWARZschen Vertau-
schungssatzes erfüllt sind (s. 6.2.2.2,1., S. 411)
¦ Für r = xi + yj + zk mit r = |r| = y/x2 + y2 + z2 gilt rot r = 0 und rot ((p(r)r) = 0 , wobei ip(r)
eine differenzierbare Funktion von r ist.
13,2.6 Nablaoperator, Laplace—Operator
13.2.6.1 Nablaoperator
Nablaoperator wird ein symbolischer Vektor V genannt, der häufig zur Darstellung von räumlichen
Differentialoperationen benutzt wird und dessen Einführung Berechnungen in der Vektoranalysis
vereinfacht In kartesischen Koordinaten gilt
v = lr+|^+l£ A3-67)
Die Komponenten des Nablaoperators sind als partielle Ableitungsoperatoren aufzufassen, d.h., das
Symbol — schieibt die partielle Ableitung nach x vor, wobei die anderen Variablen als Konstanten
ox
betrachtet werden
Die Formeln für die räumlichen Differentialoperatoren in kartesischen Koordinaten ergeben sich durch
formale Multiplikation dieses Vektoroperators mit dem Skalar U oder dem Vektor V Für die
Operatoren Gradient, Vektorgradient, Divergenz und Rotation gilt*
grad U = VU (Gradient vonU (s 13 2 2 1, S 671)), A3.68a)
grad V = V V (Vektorgradient von V (s 13 2.3, S. 673)), A3.68b)
div V = V • V (Divergenz von V (s 13 2.4 1, S 673)), A3 68c)
rot V = V x V (Rotation von V (s 13 2.5 1, S 675)). A3.68d)
13.2.6.2 Rechenregeln für den Nablaoperator
1. Wenn V vor einer Linearkombination Yl a>iXi steht, in der die a. Konstanten und die Xi
Punktfunktionen sind, und zwar unabhängig davon, ob es sich um skalare oder vektorielle Funktionen handelt,
dann gilt-
V(J2aiXi) = Y,ai\7Xi A3 69)
2. Wenn V vor einem Produkt aus skalaren oder vektoriellen Funktionen steht, dann wird der
Operator auf jede dieser Funktionen nacheinander angewendet, über die der Operation unterworfene
Funktion wird das Zeichen J, gesetzt und anschließend das Ergebnis gemäß
I I I
V(XYZ) = V( X YZ) + V(X Y Z) + V{XY Z) A3 70)
addiert. Daraufhin werden die auf diese Weise erhaltenen Produkte nach den Regeln der Vektoralgebra
derart umgeformt, daß nach dem Operator V nur der mit dem Zeichen [ gekennzeichnete Faktor steht
Nach Abschluß der Rechnung wird das Zeichen weggelassen
¦ A: div (t/V) = V(C/V) = V( U V) + V(U\) = V -VU + UV -V = V • grad U + C/div V.
678 13. Vektoranalysis und Feldtheorie
I i
¦ B: grad (ViV2) = V(VXV2) = V( Vi V2) + V(Vi V2 ). Gemäß b(äc) = (ab)c + a x (b x c)
erhält man: grad (ViV2) = (V2V)Vi + V2 x (V x Vi) + (ViV)V2 + Vi x (V x V2)
= (V2grad )Vi + V2 x rot Vi + (Vlgrad )V2 + Vi x rot V2 .
13.2.6.3 Vektorgradient
Der Vektorgradient grad V kann mit Hilfe des Nablaoperators gemäß
gradV = VV A3 71a)
dargestellt werden. Für den im Zusammenhang mit dem Vektorgradienten vorkommenden Ausdruck
(ä-v)Vgiit
2(a • V) V = rot (V x a) + grad (aV) + adiv V - Vdiv a-axrotV-Vxrota. A3.71b)
Außerdem gilt für r = xi + y] + zk.
(ä-V)r = a A3.71c)
13.2.6.4 Zweifache Anwendung des Nablaoperators
Es gilt für jedes Feld V:
1. V(Vx V) = divrotV = 0, A3.72)
2. V x (VC/) = rot grad U = Ö, A3.73)
3 V(W) = divgradC/ = AU. A3 74)
13.2.6.5 Laplace—Operator
1. Definition
Das Skalarprodukt des Nablaoperators mit sich selbst wird LAPLACE-Operator genannt:
A = V • V = V2 . A3 75)
Der LAPLACE-Operator ist kein Vektor. Er schreibt die Summierung der zweiten partiellen
Ableitungen vor und kann sowohl auf skalare als auch auf vektorielle Funktionen angewandt werden Die
Form des LAPLACE-Operators bleibt bei Translation und/oder Rotation des Koordinatensystems
unverändert
2. Darstellung des Laplace—Operators in verschiedenen Koordinaten
In den folgenden Formeln erfolgt die Anwendung des LAPLACE-Operators auf die skalare Ortsfunktion
U(t) . Das Ergebnis der Anwendung ist dann ein Skalar. Bei Anwendungen auf vektorielle
Ortsfunktionen V(r) ist das Ergebnis der Anwendung AV ein Vektor mit den Komponenten AVX , AVy , AVZ.
1. Laplace—Operator in kartesischen Koordinaten
x d2u d2u d2u /10 .
AU(X, y,,) = _ + _ + _. A3.76)
2. Laplace-Operator in Zylinderkoordinaten
n 13/ dU\ 1 d2U d2U /in .
^*'*) = WrV%) + 7W + ä*- A3-77)
3. Laplace-Operator in Kugelkoordinaten
WM*) = \§- (r*d-f) + -r^ UM) + ^^ A3.78)
r2 or \ dr J r2 sm •& oft \ oti ) r2 sin"' d dip2
13.2 Räumliche Differentialoperationen 679
d
öd
D
\dr
dU
)
(
d d
Vor/
2dr,
)
1
\
1
D
JöC
y
dU\
~2d(\
dr
dr
drj
dr
A[7KIT7,C) = S
?K, »7,0 = *K, r/, C)F+ i/K, 17, Ol + z(t ry, C)k, A3.79b) D =
3. Spezielle Verknüpfungen von Nablaoperator und Laplace-Operator
V(V-V) = grad div V,
V x (V x V) = rot rot V,
V(V • V) - V x (V x V) = AV, wobei
mit A3.79a)
A3 79c)
AV = (V • V)V = AVxi + AVy + AVzk
d2Vv . &VV\?
d2Vx d2Vx d2Vx
dx2 dy2 dz2
\dx2
y2 + dz2 N+l ßx2 +
d2Vz d2Vz d2Vz\ r
A3.80)
A3.81)
A3 82)
A3.83)
13.2.7 Übersicht zu den räumlichen Differentialoperationen
13.2.7.1 Prinzipielle Verknüpfungen und Ergebnisse für
Differentialoperatoren
Tabelle 13.2 Prinzipielle Verknüpfungen bei den Differentialoperatoren
Operator
Gradient
Vektorgradient
Divergenz
Rotation
Laplace-
Operator
Symbol
grad/7
grad V
divV
rotV
AU
AV
Verknüpfung
VC/
vv
v-v
Vx V
(V-V)C/
(V • V)V
Argument
Skalar
Vektor
Vektor
Vektor
Skalar
Vektor
Ergebnis
Vektor
Tensor 2. Stufe
Skalar
Vektor
Skalar
Vektor
Bedeutung
maximaler Anstieg
Quellen bzw. Senken
Wirbel
Potentialfeldquellen
13.2.7.2 Rechenregeln für Differentialoperatoren
Im folgenden gilt- £/, U\, £/2 sind skalare Funktionen; c ist eine Konstante; V, Vi, V2 sind vektorielle
Funktionen
grad {U\ + E/2) = grad U\ + grad C/2 (U,Ui,U2 skalare Funktionen),
grad (cU) = cgrad U (c Konstante),
grad (UiU2) = Ui grad U2 + U2 gradUx.
gmdF{U) = F'(U)gmdU
div (Vi + V2) = div Vi + div V2 (V, Vi, V2 vektorielle Funktionen)
A3.84)
A3.85)
A3 86)
A3.87)
A3.88)
680 13. Vektoranalysis und Feldtheorie
div (cV) = c div V
div (UV) = V • grad U + U div V
rot (Vi + V2) = rot Vi + rot V2
rot (cV) = crot V.
rot (UV) = UrotV-Vx grad U
divrotV = 0
rot grad U = Ö (Nullvektor).
div grad U = AU
rot rot V = grad div V — A V
div (Vi x V2) = V2 • rot Vi - Vi • rot V2
A3 89)
A3.90)
A3 91)
A3 92)
A3 93)
A3 94)
A3 95)
A3 96)
A3.97)
A3 98)
13.2.7.3 Vektoranalytische Ausdrücke in ^artesischen, Zylinder- und
Kugelkoordinaten
Tabelle 13.3 Vektoranalytische Ausdrücke in kartesischen, Zylinder- und Kugelkoordinaten
Kartesische Koordinaten
Zylinderkoordinaten
Kugelkoordinaten
ds = df
e^dx + Gydy + ezdz
epdp + eippdip + ezdz
erdr + e^rdd + e^r sin ddy
gradf/
_dU ^dU ^dU
e*dx+Gydy+ezdz
^dU_ ^ldU_ ^dU_
dp ßd(p dz
_dU ^ldU _ 1 dU
er"ä~+ e^~^l"+ ev—:—Z~ä~ 1
or r ov r sin v oy \
divV
dVx dVy dVz
dx dy dz
ld_
pdp
(pVP) +
p dip dz
r2 dr rsrnfloti
1 ÖK,
rsin^ dip
rotV
dVy
dz
dx
+e-z (9}^_dV1
z \ dx dy
dz
+ey
p dip
dV,
dz
+G^ ^ dz dp
_ 1
rsin$
_(V;sintf)___
löVp
_1
+e„,
1 dVr d
sin$ dip dr
(rVt) •
öVr'
AU
d2U d2U d2U
dx2 dy2 dz2
ld_( dU\ 1 d2U
pdp \ dp J p2 dip2
d2U
+ dz2
1 d
0dU
2 dr \ dr
r^sin
1
1 d ( ' 9
d2u
idv2
13.3 Integration in Vektorfeldern 681
13.3 Integration in Vektorfeldern
Integrationen in Vektorfeldern erfolgen meist in kartesischen, Zylinder- und Kugelkoordinaten Oft ist
über Kurven, Flächen oder Volumina zu integrieren Die dazu erforderlichen Linien-, Flächen- und
Volumenelemente sind in Tabelle 13.4 zusammengestellt.
Tabelle 13.4 Linien-, Flächen- und Volumenelemente in kartesischen, Zylinder- und Kugelkoordinaten
dr
dS
dv^
*)
Kartesischc Koordinaten
e"^ dx + G~*y dy + g"z dz
gx dy dz + Gy dx dz
+gz dx dy
dx dy dz
Gx Gy X Gz
Gy GZ X Gx
Gz — Gx X Gy
e* eJ \1 i = j
Die Indizes i und j stehen stel
Zylinderkoordinaten
Gp dp + G~^pdip + gz dz
Gp pdipdz + Gp dp dz
+gz p dp d(p
p dp d(p dz
Gp = Gm X Gz
Gin — Gz X Gp
Gz — Gp X Gm
vertretend für x, y, z bzw.
Kugelkoordinaten
g"t dr + g~$ r dd + G^r sin d dip
Gr r2 sin $ dd d(p
+g# r sin d dr d(p
-\-Gm r dr dd
r2 sin $ dr dfl dip
Gr — e^ x Gm
G<ß — Gm X Gr
Gm — er x e$
e-e -1° '*•»'
e. «, |i i = j
p, (p,z bzw. r, $,<£>.
Für das Volumen wurde hier abweichend von der üblichen Praxis das Symbol v gewählt,
um Verwechlungen mit dem Betrag der Vektorfunktion |V| = V zu vermeiden
13.3.1 Kurvenintegral und Potential im Vektorfeld
13.3.1.1 Kurvenintegral im Vektorfeld
1. Definition Kurven- oder Linienintegral einer Vektorfunktion V(r), genommen über ein Bo-
genstück AB (Abb. 13.13), nennt man den Skalar
P= / V(r)-dr. A3 99a)
AB
2. Berechnung dieses Kurvenintegrals in fünf Schritten
a) Einteilung des Weges AB (Abb. 13.13) durch Zwischenpunkte ^i(?i), A2 (r2), . , An_i(rn_i) (A =
A0, B = An) in n kleinere Teilbogenstücke, die durch die Vektoren r* — F;_i = AF;_i angenähert
werden.
b) Wahl von Punkten P; mit den Radiusvektoren r*, die im Innern oder auf dem Rande eines jeden
Teilbogenstückes liegen können.
c) Skalare Multiplikation der Funktionswerte V(ri) in den so ausgewählten Punkten mit Ari_i
d) Addition aller auf diese Weise erhaltenen n Produkte
n
e) Berechnung des Grenzwertes der erhaltenen Summe ^ V(ri) • Arj_i für Ari_i —? 0 , also für n —? oo
682 13. Vektoranalysis und Feldtheorie
Wenn der Grenzwert existiert und von der Wahl der Punkte A{ und P* unabhängig ist, dann wird er
als Kurvenintegral
fv-dr = Hm JTV{Ti) • Ar,_
AB
A3 99b)
bezeichnet. Die Existenz des Kurvenintegrals A3.99a,b) ist gesichert, wenn die Vektorfunktion V(r)
und das Bogenstuck AB stetig sind und wenn letzteres stetige Tangenten besitzt. Eine Vektorfunktion
V(r) ist stetig, wenn die zu ihrer Beschreibung notwendigen drei skalaren Funktionen, ihre
Komponenten, stetig sind.
A=A
Abbildung 13 13
Abbildung 13.14
13.3.1.2 Bedeutung des Kurvenintegrals in der Mechanik
Wenn V(r) ein Kraftfeld darstellt, d h. V(r) = F(r), dann ist A3.99a) die Arbeit, die die Kraft F
verrichtet, wenn ein Massenpunkt m längs des Weges AB bewegt wird (Abb. 13.13,13.14).
13.3.1.3 Eigenschaften des Kurvenintegrals
¦dr.
/ V(r) • dr = / V(r) •(*?+/ V(r) ¦
ABC AB BC
f V(r) • dr = - / V(r) • dr (Abb. 13.14)
AB BA
J [V(r) + W(r)] • dr = f V(r) • dr + J W(r) • dr .
AB AB AB
J ÖV(r)-dr = c fv(r)-dr.
A3.100)
A3.101)
A3 102)
A3 103)
13 3 Integration in Vektorfeldern 683
13.3.1.4 Kurvenintegral in kartesischen Koordinaten
In kartesischen Koordinaten gilt*
/ V(f) -df=f {Vx dx + Vydy + Vz dz) A3.104)
AB AB
13.3.1.5 Umlauf integral eines Vektorfeldes
Umlaufintegral eines Vektorfeldes nennt man ein Kurvenintegral dieses Feldes, das über einen
geschlossenen Integrationsweg genommen wird Wird der skalare Wert mit P und der Weg auf der geschlossenen
Kurve mit K bezeichnet, dann gilt.
p = i V(r) • dx A3 105)
13.3.1.6 Konservatives oder Potentialfeld
1. Definition Von einem konservativen Feld oder einem Potentialfeld spricht man, wenn der Wert P
des Kurvenintegrals A3.99a) in einem Vektorfeld nur von der Lage der Punkte A und B abhängt und
nicht vom konkreten Integrationsweg zwischen diesen beiden Punkten.
Der Zahlenwert des Umlaufintegrals in einem konservativen Feld ist stets gleich Null
> V(F)-dr = 0 A3.106)
Ein konservatives Feld zeichnet sich immer durch Wirbelfreiheit aus:
rotV = Ö. A3 107)
Umgekehrt ist diese Gleichung die notwendige und hinreichende Bedingung dafür, daß das Feld
konservativ ist Dazu muß weiterhin vorausgesetzt werden, daß die partiellen Ableitungen der
Feldfunktion nach den enthaltenen Koordinaten stetig sind und der Definitionsbereich von V einfach
zusammenhängend ist. Für ein dreidimensionales Feld hat dieser, Integrabilitätsbedingung genannte
Zusammenhang (s. 8 3 4 2, S 486) in kartesischen Koordinaten die Form
dy dx dz dy ' dx dz
2. Potential eines konservativen Feldes, seine Potentialfunktion oder kurz sein Potential nennt
man die skalare Stammfunktion
r
ip(r) = Jv(r)-dr A3.109a)
?0
Sie ergibt sich in einem konservativem Feld bei fixiertem Anfangspunkt A(r0) und veränderlichem
Endpunkt B(t) als Integral
ip(r)= fv(r)-df A3.109b)
AB
Hinweis: Zu beachten ist, daß im Unterschied dazu in der Physik als Potential tp*(r) einer Funktion
V(r) im Punkt r eine Größe verstanden wird, die das entgegengesetzte Vorzeichen besitzt
¥
'(r) = - fv(r)-dr = -tp(r). A3 110)
3. Zusammenhang zwischen Gradient, Kurvenintegral und Potential Wenn die Beziehung
V(r) = gradt/(f) gilt, dann ist U(r) das Potential des Feldes V(r), und umgekehrt ist V(r) ein Po-
684 13. Vektoranalysis und Feldtheorie
tentialfeld oder konservatives Feld. In der Physik ist in Übereinstimmung mit A3 110) das negative
Vorzeichen zu berücksichtigen.
4. Berechnung des Potentials eines konservativen Feldes Ist die Funktion V(r) in kartesischen
Koordinaten gegeben, V = Vxi + Vyj + Vzk, dann gilt für das vollständige Differential ihrer
Potentialfunktion •
dU = Vx dx + Vy dy + Vz dz A3.111a)
Dabei müssen die Koeffizienten 14, V^, 14 der Integrabilitätsbedingung
A3.108) genügen. Die Bestimmung von U erfolgt über das
Gleichungssystem
£-"¦¦ f="•> £-"¦¦
Praktischerweise berechnet man das Potential durch Integration über
drei zu den Koordinatenachsen parallele, Anfangs- und Endpunkt der
Integration miteinander verbindende Strecken (Abb. 13.15).
U ¦
Abbildung 13.15
r
/v dr = U(x0,yo,zo)+ Vx(x,y0,z0)dx
J JXQ
?0
+ [yVy{x,y,z0)dy+ f' Vz{x,y,z)dz . A3 112)
13.3.2 Oberflächenintegrale
13.3.2.1 Vektor eines ebenen Flächenstückes
Die vektorielle Darstellung des Oberflächenintegrals allgemeiner Art (s. 8.5 3, S. 502) erfordert die
Zuordnung eines Vektors S zu einem ebenen Flächenstück S, der senkrecht auf dieser Fläche steht
und dessen Betrag gleich dem Flächeninhalt von S ist. Den Fall eines ebenen Flächenstückes zeigt die
Abb. 13.16a Die positive Richtung von S wird gemäß der Rechten-Hand-Regel (auch Rechtsschraube
genannt) mit dem der geschlossenen Umrandungskurve K bei gegebenen Umlaufsinn festgelegt Blickt
man vom Vektorursprung in Richtung Vektorspitze, dann soll der Drehsinn der Umrandungskurve mit
dem des Uhrzeigers übereinstimmen Durch diese Wahl des positiven Umlaufsinnes auf der
Umrandungskurve wird gleichzeitig festgelegt, welche Fläche die Außenseite ist, d.h. die Seite, von der aus der
Vektor abgetragen wird Diese Festlegungen können auf beliebig gekrümmte Flächenstücke übertragen
werden, die von einer geschlossenen Randkurve eingegrenzt werden (Abb. 13.16b,c)
Abbildung 13 16
13 3 Integration in Vektorfeldern 685
13.3.2.2 Berechnung von Oberflächenintegralen
Die Berechnung von Oberflächenintegralen in Skalar- oder Vektorfeldern kann unabhängig davon, ob
S von einer geschlossenen Kurve umrandet ist oder selbst eine geschlossene Fläche darstellt, in fünf
Schritten erfolgen.
a) Einteilung des Flächenstückes S, auf dem die Außenseite durch den Umlaufsinn der
Umrandungskurve bestimmt ist (Abb.13.17), in beliebige n Teilflächenstücke ASi derart, daß jedes dieser
Teilflächenstücke durch ein ebenes Flächenstück angenähert werden kann Jedem Flächenstück AS* wird
gemäß A3 33a) der Vektor ASi zugeordnet Im Falle einer geschlossenen Fläche wird der positive
Umlaufsinn der Randkurve so festgelegt, daß die positive Seite, auf der der Vektor ASi beginnt, die
Außenfläche ist
b) Auswahl eines beliebigen Punktes Pi mit dem Ortsvektor fj im Innern oder auf dem Rande jedes
Teilflächenstückes
c) Bildung des Produktes U(f[) AS; im Falle des skalaren Feldes und V(fj) • ASi oder V(f!) x ASi im
Falle eines vektoriellen Feldes.
d) Addition der für die Teilflächenstücke gebildeten Produkte.
e) Bildung des Grenzüberganges ASi —> 0 für n —? oo . Dabei sollen die Teilflächenstücke in dem in
8 4 1.1,1., S 488 für die Berechnung des Doppelintegrals angegebenen Sinne gegen Null streben Wenn
der jeweilige Grenzwert existiert und von der Zerlegung von S in Teilflächenstücke sowie von der Wahl
der Punkte Pi unabhängig ist, dann erhält man die in 13.3.2.3, S. 685 angegebenen
Oberflächenintegrale
zt
Abbildung 13.17
Abbildung 13.18
13.3.2.3 Oberflächenintegrale und Fluß von Feldern
1. Fluß eines skalaren Feldes
lim ^C/(ri)ASi= / U(r)
dS
n—>oo
A3.113)
2. Skalarer Fluß eines Vektorfeldes
Q= lim £v(rO-ASi= f V(f) • dS
A3.114)
n—>o>
(S)
686 13. Vektoranalysis und Feldtheorie
3. Vektorfluß eines Vektorfeldes
R = lim £ V(?0 x AS* = / V(r) x d§. A3.115)
n—>oo
13.3.2.4 Oberflächenintegrale in kartesischen Koordinaten als
Oberflächenintegrale 2. Art
fud§= ffudydzi+ [[Udzdx]+ ffudxdyk A3116)
(S) (Syz) (Szx) (Sxy)
fv-d§= [fvxdydz+ f[vydzdx+ ffvzdxdy A3.117)
(«5) (Syz) (Szx) (Sxy)
JvxdS = JJ{Vzi-Vyk)dydz+ j j(v£-VzX)dzdx+ JJ(Vyi- Vj)dxdy A3 118)
(S) (Syz) (Szx) (Sxy)
Die Existenzsätze für diese Integrale können in Analogie zu dem in 8.5.2.1,4., S. 501 angegebenen
formuliert werden.
Bei der Berechnung der Zweifachintegrale werden zunächst die Projektionen von S auf die
Koordinatenebenen gebildet (Abb. 13.18), wobei eine der Variablen x, y oder z durch die beiden anderen mit
Hilfe der Flächengleichung für S ausgedrückt werden muß
Hinweis: Integrale über eine geschlossene Fläche werden durch die Darstellungsweise
UdS=(fhUdS, 6V-dS= ffiV-dS, iV xdS= (ff)V xdS A3119)
(S) (S) E) (S) (S) (S)
gekennzeichnet
¦ A: Es ist P = / xyz d§ zu berechnen, wobei über das Ebenenstück x + y + z = lzu integrieren
(S)
ist, das zwischen den drei Koordinatenebenen eingeschlossen ist Die obere Seite soll die positive sein.
P= //(l — V — z)yzdydziJr (l — x — z)xzdzdxj+ / / A - x — y)xydxdyk\
(Syz) (Szx) (Sxy)
/ / A — y — z)yz dydz = / / A — y — z)yz dy dz = —— . In Analogie dazu berechnet man die
J J Jo Jo 120
(Syz)
beiden anderen Integrale. Das Ergebnis lautet. P = tt^(* + j + k)
¦ B: Es ist Q = / r • d§ = xdydz-\- ydzdx+ zdxdy über das gleiche Ebenenstück
(S) (Syz) (Szx) (Sxy)
wie in A zu integrieren: xdydz= / A — x — y) dy dx = - Die beiden anderen Integrale
(svz)
werden in Analogie dazu berechnet. Das Ergebnis lautet Q = tt + tt + tt — t: •
¦ C: Es ist R = rxd§= (xi + y] + zi.) x (dy dz\ + dz dx'} + dx dy k) zu berechnen, wobei über
(S) (S)
13.3 Integration in Vektorfeldern 687
das gleiche Ebenenstück wie in A zu integrieren ist: Die Ausführung der Rechnung liefert R = Ö.
13.3.3 Integralsätze
13.3.3.1 Integralsatz und Integralformel von Gauß
1. Integralsatz von Gauß
Der Integralsatz von GAUSS liefert den Zusammenhang zwischen einem Volumenintegral über ein
Volumen v, das von einem Feld V durchsetzt ist, und einem Oberflächenintegral über die dieses Volumen
umschließende Fläche S. Die Orientierung der Fläche sei so festgelegt (s. 8.5.2.1,1., S. 499), daß die
Außenseite die positive Seite ist Die vektorielle Feldfunktion V soll stetig sein, ihre ersten partiellen
Ableitungen sollen existieren und stetig sein.
S)V-dS= fffdwVdv. A3.120a)
(S) (v)
Der skalare Fluß des Feldes V durch die geschlossene Fläche S ist gleich dem Integral der Divergenz
von V über das von S umschlossene Volumen v In kartesischen Koordinaten gilt:
jj) (Vxdydz + Vydzdx + Vzdxdy) = JJJ (^ + ^ + ^ j dxdydz. A3 120b)
2. Integralformel von Gauß
Im ebenen Falle der Einschränkung auf die x, y-Ebene geht der Integralsatz von GAUSS in die
Integralformel von GAUSS über Sie liefert den Zusammenhang zwischen einem Linienintegral und dem
dazugehörigen Flächenintegral:
jj]^dQ^_dPpyY\ dxdy= f[P{Xty)dx + Q{Xiy)dy]m (m21)
Mit B ist eine ebene Fläche bezeichnet, die die Berandung K besitzt. P und Q sind stetige Funktionen
mit stetigen partiellen Ableitungen 1. Ordnung.
3. Sektorformel
Sektorformel wird ein wichtiger Spezialfall der GAUSSschen Integralformel genannt, mit dessen Hilfe
ebene Flächen berechnet werden können. Für Q = x , P = —y folgt:
fdxdy = - i[xdy-y dx] A3.122)
(B) (K)
ii>
13.3.3.2 Integralsatz von Stokes
Der Integralsatz von Stokes liefert den Zusammenhang zwischen einem Oberflächenintegral über die
gekrümmte und orientierte Fläche S, in der das Vektorfeld V definiert ist, und dem Umlaufintegral
über die Randkurve K der Fläche S. Der Umlaufsinn von K wird so gewählt, daß der Umlaufsinn der
Berandung des Oberflächenelements mit der Flächennormalen eine Rechtsschraube bildet (s. 13.3.2.1,
S 684) Die vektorielle Feldfunktion V sei stetig und besitze stetige partielle Ableitungen 1. Ordnung
//¦
rotV-dS= f V-dr. A3123a)
(S) (K)
Der vektorielle Fluß der Rotation durch eine Fläche 5, die von der geschlossenen Kurve K umrandet
wird, ist gleich dem Umlaufintegral des vektoriellen Feldes V über die Kurve K.
688 13. Vektoranalysis und Feldtheorie
In kartesischen Koordinaten gilt'
j(Vxdx + Vydy + Vzdz)
(K)
Im ebenen Falle geht der Integralsatz von Stokes ebenso wie der von GAUSS in die Integralformel
A3 121) von Gauss über.
13.3.3.3 Integralsätze von Green
Die GREENschen Integralsätze liefern Zusammenhänge zwischen jeweils einem Raum- und einem
Flächenintegral. Sie ergeben sich aus der Anwendung des GAUSSschen Satzes auf die Funktion V =
U\ grad U2 ? wobei U\ und U2 skalare Feldfunktionen sind und v das von der Fläche S
eingeschlossene Volumen.
ffJ{U1AU2 + grad U2 • grad U1)dv= S}Ui grad U2 • d§, A3 124)
(«) (S)
[[[(U1AU2 - C/2AC/1) dv = $(C/i grad U2 - U2 grad Ui) • d§ A3 125)
(v) (S)
Speziell für U\ = 1 gilt.
/TV" AC/ dv = $grad £/ • dS A3 126)
(«) E)
In kartesischen Koordinaten hat der 3 GREENsche Satz die folgende Form (vgl A3 120b))
Q2rr <&TT o2r
ffffd2U d2U d2U\ _, M(dU J J dU J _, dt/ J \ /10 ^
Jff[-d?+w+-d?)dv=f {^dydz^dzdx^dxdy) A3127)
(«) V * 7 E) V * '
¦ A: Berechnung des Linienintegrals I = <k (x2y3 dx + dy + zdz) mit K als Schnittkurve zwischen
(K)
dem Zylinder x2 + y2 = a2 und der Ebene 2 = 0. Nach dem Satz von Stokes erhält man.
2-k a 6
/= j)W-dT= /7rotV-dS = - I I Sx2y2dxdy = -3 / f r5 cos2 ip sin2 ipdr dp =-^-tr mit
(AT) E) E*) v>=0r=0
rot V = — 3x2y2k, dS = kdxdy und der Kreisfläche S*' x2 + y2 < a2 .
¦ B: Gesucht ist der Fluß J = i V • d§ im Strömungsfeld V = x3i + y3j + z3k durch die Oberfläche
(S)
S der Kugel x2 + y2 + z2 = a2. Der Satz von Gauss liefert:
2-k -K a
1= i\'d§= [ff divVdv = 3 fff{x2+y2+z2)dxdydz = S f f f r* sind dti dr dp = — a57r
E) (w) (w) <^=0ö=0r=0
¦ C: Wärmeleitungsgleichung: Die zeitliche Änderung des Wärmeinhaltes Q eines Raumteiles v, der
keine Wärmequellen enthalten soll, ergibt sich zu: —- = CQ~^~ dv (c spezifische Wärmekapazität,
(v)
q Dichte, T Temperatur), während die damit verbundene zeitliche Änderung des Wärmeflusses durch
13 4 Berechnung von Feldern 689
du ff -
die Oberfläche S von v durch — = X grad T • dS (A Wärmeleitzahl) angegeben wird. Anwendung
(S)
des Satzes von Gauss auf das Oberflächenintegral ergibt aus / / /
(v)
dT
cg—- -div(AgradT)
dv = 0
dT
die Wärmeleitungsgleichung cA— = div (AgradT), die im Falle eines homogenen Körpers (c, g, X
dT
Konstanten) die Gestalt — = a2AT hat
dt
13.4 Berechnung von Feldern
13.4.1 Reines Quellenfeld
Reines Quellenfeld oder wirbelfreies Quellenfeld wird ein Feld Vi genannt, dessen Rotation überall Null
ist. Ist die Quelldichte q(f) , dann gilt:
divVi = g(f), rotVi=Ö A3 128)
In diesem Falle besitzt das Feld ein Potential U, das in jedem beliebigen Punkt P bestimmt ist durch
die Poissonsehe Differentialgleichung
Vi = grad U, div grad U = AU = q(f). A3 129a)
(In der Physik gilt meist Vi = —grad U.) Die Berechnung von U erfolgt über
• div V(f*)di;(f*)
w-iiir-
r - r*
A3.129b)
Die Integration erfaßt den gesamten Raum (Abb. 13.19). Die Divergenz von V muß differenzierbar
sein und für sehr große Abstände hinreichend schnell abnehmen
rri! bzw. qa
m2bzw. q2
Abbildung 13.19
bzw.
Abbildung 13.20
13.4.2 Reines Wirbelfeld oder quellenfreies Wirbelfeld
Reines Wirbelfeld wird ein Feld V2 genannt, manchmal auch solenoides Vektorfeld, dessen Divergenz
überall gleich Null ist; dieses Feld ist also quellenfrei Ist die Wirbeldichte w(r), dann gilt:
divV2 = 0, rotV2 = w(r).
A3.130a)
690 13. Vektoranalysis und Feldtheorie
Die Wirbeldichte w(r) kann nicht beliebig gegeben sein, sondern muß der Gleichung div w = 0 genügen.
Mit dem Ansatz
V2(r) = rotÄ(r), divÄ = 0, dh rotrotÄ-w A3 130b)
ergibt sich gemäß A3.97)
graddivÄ- AÄ = w, dh AÄ =-w. A3.130c)
Somit genügt A(r) formal der PoiSSONschen Differentialgleichung wie das Potential U eines
wirbelfreien Feldes Vi und heißt deshalb Vektorpotential. Für jeden beliebigen Punkt P gilt dann
V2 = rotÄ mit &=j-[[[ |^5^!| M**) A3 130d)
(v)
Die Bedeutung von r ist die gleiche wie in A3 129b); die Integration erfolgt über den gesamten Raum.
13.4.3 Vektorfelder mit punktförmigen Quellen
13.4.3.1 Coulomb-Feld der Punktladung
Das COULOMB -Feld ist ein wichtiges Beispiel für ein wirbelfreies Feld, das überall, ausgenommen den
Ort der Punktladung, den Quellort, auch solenoid, d h. quellenfrei ist (Abb. 13.20) Die COULOMB-
Kraft wirkt anziehend für Ladungen #1,G2 mit ungleichen Vorzeichen, abstoßend für Ladungen mit
gleichen Vorzeichen Die Feld- und die Potentialgleichungen lauten
E = -^r, U = -- in der Physik auch - A3131a)
Der skalare Fluß ist 47re bzw. 0, je nachdem, ob die Fläche S eine Quelle e einschließt oder nicht:
E-dS = Jq71' A3.131b)
(S)
Die Größe e wird Ergiebigkeit oder Intensität der Quelle genannt.
13.4.3.2 Gravitationsfeld der Punktmasse
Das Gravitationsfeld der Punktmasse ist ein zweites Beispiel für ein wirbelfreies und gleichzeitig
überall, außer am Ort der Punktmasse, solenoides Feld Man spricht auch vom NEWTONschen Feld Alle
Überlegungen, die für das COULOMB-Feld gelten, sind analog auf das NEWTONsche Feld anwendbar
13.4.4 Superposition von Feldern
13.4.4.1 Diskrete Quellenverteilung
In Analogie zur Überlagerung physikalischer Felder überlagern sich auch die Vektorfelder der
Mathematik. Der Superpositionssatz lautet- Haben die Vektorfelder V„ die Potentiale Uv , so hat das Vektorfeld
V = EV„ das Potential U = YÄJV
Für n diskrete Quellpunkte mit den Ergiebigkeiten ev (y = 1,2, .., n), deren Felder sich überlagern,
kann man daher das resultierende Feld durch algebraische Addition der Potentiale Uv bestimmen-
V(r) - -grad Tu» mit Uv = *\ , A3.132a)
u=\ lr - VA
Dabei ist r wieder der Ortsvektor des Aufpunktes, während r„ die Ortsvektoren der Quellpunkte sind.
Treten wirbelfreie Felder Vi und quellenfreie Felder V2 gemeinsam auf und handelt es sich dabei um
überall stetige Felder, dann gilt.
i///iS,'!«-)-»///|Si^'
47T
A3.132b)
13 5 Differentialgleichungen der Feldtheorie 691
Erstreckt sich das Vektorfeld ins Unendliche, dann ist die Bestimmung von V(r) eindeutig, wenn V(r)
für r = |r| —> oo genügend stark verschwindet Die Integration erfolgt über den gesamten Raum.
13.4.4.2 Kontinuierliche Quellenverteilung
Wenn die Quellen über Linien, Flächen oder räumliche Bereiche kontinuierlich verteilt sind, dann treten
an die Stelle der endlichen Ergiebigkeiten eu infinitesimale, die der Dichte der Quell Verteilung
entsprechen, und an die Stelle der Summen Integrale über die Quellbereiche Im Falle einer stetigen räumlichen
Verteilung der Quellergiebigkeit ist die Quelldichte q(r) = div V .
Ahnliches gilt für das Potential eines durch Wirbel erzeugten Feldes. Im Falle einer stetigen räumlichen
Wirbelverteilung ist die Wirbelflußdichte durch w(r) = rot V festgelegt
13.4.4.3 Zusammenfassung
Ein Vektorfeld ist durch die Angabe seiner Quellen und Wirbel im gesamten Raum vollständig und
eindeutig bestimmt, falls alle diese Quellen und Wirbel im Endlichen liegen.
13.5 Differentialgleichungen der Feldtheorie
13.5.1 Laplacesche Differentialgleichung
Die Aufgabe der Bestimmung des Potentials U eines Vektorfeldes Vi = grad U, in dem keine Quellen
enthalten sind, führt gemäß A3 128) mit q(r) = 0 auf
div Vi = divgradt/ = Af/= 0, ' A3 133a)
d h auf die LAPLACEsche Differentialgleichung. In kartesischen Koordinaten gilt.
d2U d2U d2U
AU=w+W + ^ = ° A3133b)
Alle Funktionen, die dieser Differentialgleichung genügen, stetig sind und stetige partielle Ableitungen
erster und zweiter Ordnung besitzen, werden LAPLACEsc/ie oder harmonische Funktionen genannt
Es werden drei grundlegende Fälle von Randwertaufgaben unterschieden*
1. Randwertaufgabe (für das Innengebiet) oder DiRiCHLETsc/ies Problem- Gesucht wird eine Funktion
U(x, y, z), die im Inneren eines gegebenen räumlichen bzw. ebenen Gebietes harmonisch ist und auf
dem Rand des Gebietes vorgegebene Werte annimmt
2. Randwertaufgabe (für das Innengebiet) oder NEUMANNsc/ies Problem- Gesucht wird eine Funktion
U(x,y,z), die im Inneren eines gegebenen Gebietes harmonisch ist und deren Normalenableitung -
auf dem Rand des Gebietes vorgegebene Werte annimmt
3. Randwertaufgabe (für das Innengebiet): Gesucht wird eine Funktion U(x, y, z), die im Inneren eines
Gebietes harmonisch ist, wobei auf dem Rand des Gebietes der Ausdruck
aU + ß-7T- (a, ß = const, a2 + ß2 ^ 0) vorgegebene Werte annimmt.
on
13.5.2 Poissonsche Differentialgleichung
Die Aufgabe der Bestimmung des Potentials U eines Vektorfeldes Vi = grad U , in dem Quellen
enthalten sind, führt gemäß A3 128) mit q(r) ^ 0 auf
dn
692 13. Vektoranalysis und Feldtheorie
div Vi = div grad U = AU = q(r) ^ 0, A3.134a)
d.h auf die PoisSONsc/ie Differentialgleichung. In kartesischen Koordinaten gilt.
Arr d2U d2U d2U „o ,0.1.x
AU=w+w+^- A3-134b)
Die LAPLACEsche Differentialgleichung A3 133b) ist somit ein Spezialfall der PoiSSONschen
Differentialgleichung A3.134b).
Die Lösung ist das NEWTON-Potential (für Punktmassen) oder das COULOMB-Potential (für
Punktladungen)
»-llliyW'
deren Potential U(r) für betragsmäßig größer werdende r-Werte hinreichend stark gegen Null strebt
(s. [13 1]). Die Integration erfolgt über den gesamten Raum.
Zur PoiSSONschen Differentialgleichung können die gleichen drei Randwertbedingungen wie für die
Lösung der LAPLACEschen Differentialgleichung formuliert werden. Die erste und dritte
Randwertaufgabe sind eindeutig lösbar, an die zweite müssen noch spezielle Bedingungen gestellt werden (s [9 5]).
693
14 Funktionentheorie
14.1 Funktionen einer komplexen Veränderlichen
14.1.1 Stetigkeit, Differenzierbarkeit
14.1.1.1 Definition der komplexen Funktion
Analog zu den reellen Funktionen kann man komplexen Werten z = x + \y ebenfalls komplexe Werte
w = u + i v zuordnen, wobei u = u(x, y) und v = v(x, y) Funktionen zweier reeller Veränderlicher sind
Man schreibt w = f(z). Durch die Funktion w = f(z) wird die komplexe z-Ebene in die komplexe
iu-Ebene abgebildet.
Die Begriffe Grenzwert, Stetigkeit und Ableitung einer Funktion w = f(z) einer komplexen
Veränderlichen werden formal in Analogie zu den Funktionen einer reellen Veränderlichen definiert
14.1.1.2 Grenzwert der komplexen Funktion
Grenzwert einer Funktion f(z) heißt eine komplexe Zahl w0, wenn für z gegen z0 die Funktion f(z)
gegen w0 strebt-
wo = lim f(z). A4 la)
z-+z0
Dazu ist erforderlich, daß sich eine beliebig kleine positive Zahl e angeben läßt, für die es eine reelle
positive Zahl 5 derart gibt, daß für jede beliebige komplexe Zahl z , ausgenommen höchstens die Zahl
Zq selbst, die Ungleichungen
\z0 — z\ < 6,
erfüllt sind
A4 lb)
\w0-f{z)\<e
A4.1c)
a)
v|
z-Ebene x
0
b)
Abbildung 14 1
w-Ebene u
Die geometrische Bedeutung geht aus Abb. 14.1
hervor Einem beliebigen Punkt z,
ausgenommen höchstens den Punkt z0 selbst, der
innerhalb eines Kreises mit dem Mittelpunkt Zq und
dem Radius 8 liegt, entspricht in der w-Ebene,
in die die Funktion w = f(z) abbildet, ein Punkt
w, der in einem Kreis mit dem Mittelpunkt w0
und dem Radius e liegt. Die Flächen mit den
beliebig kleinen Radien nennt man auch die
beliebig kleinen Umgebungen U£(w0) und Uö(zq) .
14.1.1.3 Stetigkeit der komplexen Funktion
Eine Funktion w = f(z) heißt an der Stelle z0 stetig, wenn es zu jeder vorgegebenen, beliebig kleinen
Umgebung U£(w0) eines Punktes w0 = f(z0) der w-Ebene eine Umgebung Us(z0) des Punktes z0 der
2-Ebene gibt, deren durch w = f(z) vermittelte Bildpunkte ganz in U£(wq) liegen. Wie in Abb. 14.1
dargestellt, ist U£(w0) z.B. ein Kreis mit dem Radius e um den Punkt w0 . Es gilt dann
lim f(z) = f(zo)
oder
\imf(z0 + S) = f(z0).
d—»U
A4 2)
Der Grenzwert der Funktion w ist gleich dem Funktionswert der unabhängigen Variablen.
14.1.1.4 Differenzier bar keit der komplexen Funktion
Eine Funktion w = f(z) heißt an der Stelle z differenzierbar, wenn der Differenzenquotient
Aw = f(z + Az)-f{z)
Az Az
für A z —? 0 einem vom Annäherungsweg unabhängigen Grenzwert zustrebt. Dieser Grenzwert wird
mit f'{z) bezeichnet und Ableitung der Funktion f(z) genannt
¦ Die Funktion f(z) = Re z = x ist im Punkt z = z0 nicht differenzierbar, denn bei Annäherung an
A4 3)
694 14 Funktionentheorie
den Punkt Zq längs einer Parallelen zur x-Achse strebt der Differenzenquotient gegen den Wert Eins,
dagegen bei Annäherung längs einer Parallelen zur y-Achse gegen den Wert Null.
14.1.2 Analytische Funktionen
14.1.2.1 Definition der analytischen Funktion
Eine Funktion f(z) heißt in einem Gebiet G analytisch, regulär oder holomorph, wenn sie in allen
Punkten von G differenzierbar ist Randpunkte von G, in denen f'(z) nicht existiert, sind singulare Punkte
von f(z).
Die Funktion f(z) = u(x, y)+iv{x, y) ist genau dann in G differenzierbar, wenn u und v stetige partielle
Ableitungen nach x und y in G besitzen und dort die CAUCHY-RiEMANNsc/ieri Differentialgleichungen
gelten:
du _ dv du _ dv
dx dy' dy dx'
Real- und Imaginärteil einer analytischen Funktion genügen für sich der LAPLACEschen
Differentialgleichung
Au(x,y) = ^ + ^ = 0, A4.5a) A „(*,„) = g + 0 =0 A4.5b)
Die Ableitungen der elementaren Funktionen einer komplexen Veränderlichen werden nach den
gleichen Formeln berechnet wie die Ableitungen der entsprechenden Funktionen einer reellen
Veränderlichen.
¦ A: f(z) = z3 , f'(z) = Sz2; ¦ B: f(z) = sinz, f'(z) = cosz.
14.1.2.2 Beispiele analytischer Funktionen
1. Funktionenklassen Die elementaren algebraischen und transzendenten Funktionen sind mit
Ausnahme einzelner isolierter singulärer Punkte in der gesamten z-Ebene analytisch Sie besitzen in
allen regulären Punkten Ableitungen beliebig hoher Ordnung.
¦ A: Die Funktion w = z2 mit u = x2 — y2 , v = 2xy ist überall analytisch.
¦ B: Die Funktion, w = u + iv , definiert durch die Gleichungen u = 2x + y , v = x + 2y, ist in keinem
Punkt analytisch.
¦ C: Die Funktion f(z) = z3 mit f'(z) = 3z2 ist analytisch.
¦ D: Die Funktion f(z) = sin z mit f'(z) = cos z ist analytisch.
2. Ermittlung der Funktionen u oder v Wenn die Funktionen u und v jede für sich der
LAPLACEschen Differentialgleichung genügen, sind sie harmonische Funktionen (s 13 5 1, S 691). Ist
eine der beiden harmonischen Funktionen bekannt, z.B u, dann kann die zweite bis auf eine additive
Konstante als konjugierte harmonische Funktion v mit Hilfe der CAUCHY-RiEMANNschen
Differentialgleichung ermittelt werden*
f du 7 . , . dtp (du d r du , \ , . ^
„ = /-„„ + „(*) mt £ = -^- + -J-dyj A4 6)
Analog kann u ermittelt werden, wenn v bekannt ist.
14.1.2.3 Eigenschaften analytischer Funktionen
1. Betrag einer analytischen Funktion Für den Betrag oder Absolutbetrag einer analytischen
Funktion, auch Modul genannt, gilt:
\w\ = \f(z)\ = y/[u(x,y)]2 + [v(x,y)}2 = <p(x,y). A4.7)
Die Fläche \w\ = (p(x, y) heißt ihr Relief, d.h., \w\ ist die Applikate zu jedem Punkt z = x + \y, also
der Abstand von der z-Ebene
14 1 Funktionen einer komplexen Veränderlichen 695
¦ A: Der Modul der Punktion sin z = sinx coshy + i cosx sinhy beträgt | sin z\ = y sin2 x + sinh2 y.
Das Relief zeigt die Abb. 14.2a
¦ B: Das Relief der Funktion w = e1//z zeigt die Abb.14.2b
Die Reliefs vieler analytischer Funktionen sind in [14 8] abgebildet
Abbildung 14 2
2. Nullstellen Da der Absolutbetrag einer Funktion positiv ist, liegt das Relief stets oberhalb der
z-Ebene, ausgenommen alle Punkte, in denen \f(z)\ = 0 gilt, also f(z) = 0 Man nennt z-Werte, für
die f(z) = 0 ist, die Nullstellen der Funktion f(z).
3. Beschränktheit Eine Funktion heißt in einem gegebenen Gebiet beschränkt, wenn die Bedingung
|/(z) | < N erfüllt werden kann, wobei N eine konstante positive Zahl N ist. Im entgegengesetzten Falle,
wenn es keine derartige Zahl N gibt, heißt die Funktion nicht beschränkt
4. Satz über den Maximalwert Wenn w = f(z) in einem abgeschlossenen Gebiet eine analytische
Funktion ist, dann liegt das Maximum ihres Betrages auf dem Rande
5. Satz über die Konstanz (Satz von Liouville) Wenn w = f(z) in der gesamten Ebene
analytisch und beschränkt ist, dann ist diese Funktion eine Konstante f(z) = const.
14.1.2.4 Singulare Punkte
Wenn eine Funktion w = f(z) in der Umgebung eines Punktes z = a analytisch ist, d.h. im Innern eines
beliebig kleinen Kreises mit dem Mittelpunkt a, ausgenommen a selbst, dann hat / eine Singularität
in a Es gibt drei Typen von Singularitäten:
1. f(z) ist beschränkt in der Umgebung von a. Dann existiert der Grenzwert w = lim f(z) Setzt man
f(a) = w, dann wird f(z) analytisch auch in a In diesem Falle hat / eine hebbare Singularität in a
(s. 14.3 5 1, S 715) (Analogie zur hebbaren Singulatität einer Funktion einer reellen Veränderlichen
s 2 1 5 3,3., S 59 )
2. Gilt lim |/B)| = 00 , dann hat / einen Pol (s 14.3.51, S. 715) Über Pole verschiedener Ordnung
s 14.3.öVs. 715.
3. Hat / weder eine hebbare Singularität noch einen Pol, dann hat / eine wesentliche Singularität In
diesem Falle existiert für jedes komplexe w eine Folge zn —> a mit f(zn) —» w
¦ A: Die Funktion w = besitzt im Punkt a einen Pol.
z — a
696 14- Funktionentheorie
¦ B: Die Funktion w = e1^ besitzt im Punkt 0 einen wesentlich singulären Punkt (Abb. 14.2b)
14.1.3 Konforme Abbildung
14.1.3.1 Begriff und Eigenschaften der konformen Abbildung
1. Definition Unter einer konformen Abbildung versteht man die Abbildung der z- in die w-Ebene
mit Hilfe einer analytischen Funktion w = f(z) in allen Punkten z , in denen f'(z) ^ 0 ist
w = f(z) = u + iv, f'(z)?0. A48)
Die konforme Abbildung besitzt die folgende Haupteigenschaft:
( dx\
Alle Linienelemente dz = ( , j im Punkt z erfahren bei der Überführung in Linienelemente dw =
( , 1 im Punkt w dieselbe Streckung im Verhältnis u = \f'(z)\ und dieselbe Drehung um den Winkel
a = arg f'(z). Dadurch werden geometrische Gebilde in einem infinitesimalen Gebiet in ähnliche
Figuren transformiert, behalten also ihre Form bei (Abb.14.3). Geometrische Gebilde endlicher
Abmessungen werden zwar verzerrt dargestellt, die Schnittwinkel zwischen den Kurven bleiben aber erhalten,
u.a. auch die Orthogonalität der Kurvenscharen (Abb. 14.4).
.^fcj,
x 0
b)
Abbildung 14.3
Abbildung 14.4
Hinweis: Konforme Abbildungen haben in der Physik, Elektrotechnik, Hydro- und Aerodynamik
sowie in anderen Anwendungsgebieten der Mathematik weite Verbreitung gefunden.
2. Konforme Abbildung durch affine Differentialtransformation Die Zuordnung zwischen
dz und dw geschieht durch die affine Differentialtransformation
du , du ,
du = — dx + — dy
ox dy
und in Matrizenschreibweise
dw = Adz mit A
dv . dv .
dv = — dx + — dy
dx dy
= (u* uv\
\VXVy)
A4.9a)
A4 9b)
Wegen der CAUCHY-RlEMANNschen Differentialgleichungen hat A die Gestalt der Drehungs-Strek-
kungsmatrix mit a als Streckungsfaktor (s 35.2.2,2.,S. 196).
. (ux —vx \ _ / cos a —sin a \
= \vx ux ) ~ \sina cosay
ux = vy = a cos a,
—uv = vx = a sin a,
A4 10b)
A4.10d)
A4 10a)
* = l/'tol = ^l + ul = jvl + vl, A4 10c)
a = arg f(z) = arg (ux + ivx). A4 10e)
14-1 Funktionen einer komplexen Veränderlichen 697
3. Orthogonale Systeme Die Koordinatenlinien x — const und y = const der z-Ebene werden
durch konforme Abbildungen in zwei orthogonale Kurvenscharen transformiert Allgemein kann mit
Hilfe der analytischen Funktionen eine Vielfalt orthogonaler Systeme krummliniger Koordinaten
generiert werden. In der Umkehrung gilt, daß zu jeder konformen Abbildung ein orthogonales Kurvennetz
existiert, das in ein orthogonales kartesisches Koordinatensystem abgebildet wird
¦ A: Im Falle u = 2x + y , v = x + 2y (Abb. 14.5) ist die Orthogonalität gestört.
b)
Abbildung 14 5
¦ B: Im Falle w = z2 bleibt die Orthogonalität erhalten, ausgenommen den Punkt z = 0 wegen w' =
0 Die Koordinatenlinien gehen in zwei Scharen konfokaler Parabeln über (Abb. 14.6), der 1 Quadrant
der z-Ebene in die obere Hälfte der u>-Ebene
Abbildung 14.6
14.1.3.2 Einfachste konforme Abbildungen
In diesem Abschnitt werden neben den Transformationen und ihren wichtigsten Eigenschaften die
Kurvenbilder isometrischer Netze der 2-Ebene angegeben, d.h. solcher Netze, die in ein orthogonales
kartesisches Netz der w Ebene übergehen. Dabei sind die Ränder solcher ^-Gebiete durch Schraffur
gekennzeichnet, die auf die obere Hälfte der w-Ebene abgebildet werden Schwarz dargestellte Gebiete
gehen durch die konforme Abbildung in ein Quadrat der u>-Ebene mit den Koordinateneckpunkten
@,0), @,1), A,0) und A,1) über (Abb.14.7)
1. Lineare Funktion
Für die konforme Abbildung in der Form der linearen Transformation
w = az + b A4 IIa)
kann die Transformation in den drei Schritten durchgeführt werden:
a) Drehung der Ebene um den Winkel a = arga gemäß: w\ = eiaz , A4 IIb)
b) Streckung mit dem Faktor \a\ Wz = \a\wi, A4 11c)
698 14 Funktionentheorie
c) Parallelverschiebung um b:
¦w2 + b.
A4.11d)
Insgesamt geht dabei jede Figur in eine geometrisch ähnliche Figur über. Die Punkte z\ = oo und
z2 — für a 7^ 1, b ^ 0 gehen in sich selbst über und heißen deshalb Fixpunkte. Die Abb. 14.8
1 — a
zeigt das orthogonale Netz, das in das orthogonale kartesische Netz übergeht.
y
0> u
Abbildung 14.7
yt
y^\^K
V-P<?
^•^v»
"^\nx
X
Abbildung 14.8
Abbildung 14 9
2. Inversion
Bei der Inversion genannten konformen Abbildung
1
A4 12)
geht ein Punkt z der 2-Ebene mit dem Radius r und dem Argument ip in einen Punkt w der w-Ebene
mit dem Radius 1/r und dem Argument —(p über. Die orthogonalen Netze der Transformation zeigt
Abb.14.9.
Die Transformation A4.12) beschreibt eine Spiegelung am Einheitskreis und eine Spiegelung an der
reellen Achse (Abb. 14.10). Kreise gehen in Kreise über, wobei Geraden als Grenzfälle zu den Kreisen
gerechnet werden (Radius —* oo) Wegen \w\ = l/\z\ geht der Einheitskreis der z-Ebene in den
Einheitskreis der u>-Ebene über Alle Punkte im Innern des Einheitskreises |<z| = 1 werden zu Punkten des
Außengebietes von \w\ = 1 und umgekehrt (Abb.14.11). Der Punkt z = 0 geht in w = oo über Die
Punkte 2 = 1 und z — —\ sind Fixpunkte.
Hinweis: Allgemein wird eine geometrische Transformation als Spiegelung an einem Kreis mit dem
Radius r bezeichnet, wenn ein Punkt P2 mit dem Radius r2 im Innern des Kreises mit dem Radius r auf
einen Punkt Px auf der Verlängerung des gleichen Radiusvektors OP außerhalb des Kreises abgebildet
wird und für den Radius OF = r\ = r2/r2 gilt (Abb. 14.10). Punkte, die im Innern des Kreises liegen,
werden zu äußeren Punkten und umgekehrt.
3. Gebrochenlineare Funktion
Für die konforme Abbildung in der Form der gebrochenlinearen Funktion
az + b
w = ;
cz + d
kann die Transformation in drei Schritte zerlegt werden:
a) Lineare Funktion w\ = cz + d.
1
b) Inversion w2 —
Wi
c) Lineare Funktion
o bc — ad
- H w2
c c
A4 13a)
A4 13b)
A4 13c)
A4 13d)
14-1 Funktionen einer komplexen Veränderlichen 699
Es werden wieder Kreise in Kreise überführt (Kreisverwandtschafl), wobei Geraden als Kreise mit r —>
oo aufgefaßt werden.
Fixpunkte dieser konformen Abbildung sind die beiden Punkte, die der quadratischen Gleichung z —
az + b
—— genügen.
cz-\- d
Abbildung 14.10 Abbildung 14.11
Sind die Punkte z\ und z2 Spiegelpunkte in bezug auf den Kreis K\ der z-Ebene, dann sind ihre
Bildpunkte w\ und w2 in der iu-Ebene ebenfalls Spiegelpunkte in bezug auf den Bildkreis K2 von K\.
Das orthogonale Netz, das in das orthogonale kartesische Netz der w-Ebene übergeht zeigt Abb.14.12.
Abbildung 14.12 Abbildung 14.13 Abbildung 14.14
4. Quadratische Funktion
Die konforme Abbildung mittels der quadratischen Funktion
w = z2 A4.14a)
lautet in Polarkoordinaten und als Funktion von x und y:
w = p2e[2if, A4.14b) w = u + 'w = x2 -y2 + 2ixy. A4.14c)
Aus der Darstellung in Polarkoordinaten ist ersichtlich, daß bereits die obere Hälfte der z-Ebene auf
die volle w-Ebene abgebildet wird, d.h., die gesamte z-Ebene geht in die zweifach überdeckte w-Ebene
über.
Die Darstellung in kartesischen Koordinaten zeigt, daß die Koordinaten der w-Ebene u = const und
v = const aus den in der z-Ebene zueinander orthogonalen Hyperbelscharen x2 — y2 = u und 2xy = v
hervorgehen (Abb. 14.13).
Fixpunkte dieser konformen Abbildung sind z = 0 und z = 1 An der Stelle z = 0 ist die Abbildung
nicht konform.
700 14- Funktionentheorie
5. Quadratwurzel
Die konforme Abbildung in der Form der Quadratwurzel aus z ,
w = ^z, A415)
überführt die gesamte z-Ebene entweder in die obere oder untere Halbebene der w -Ebene, d.h , die
Funktion ist doppeldeutig. Die Koordinaten der w-Ebene gehen aus zwei zueinander orthogonalen
Scharen konfokaler Parabeln mit dem Brennpunkt im Nullpunkt der z-Ebene und mit der positiven
bzw negativen reellen Koordinatenhalbachse als Achse hervor (Abb. 14.14)
Fixpunkte der Abbildung sind z = 0 und z = 1 Im Punkt z = 0 ist die Abbildung nicht konform
6. Summe aus linearer und gebrochenlinearer Funktion
Die konforme Abbildung
¦!(»;)
(k const, reell; k > 0)
kann mit Hilfe der Polarkoordinatendarstellung z
gemäß A4.8) zu
p+\
COS (f ,
smip
A4.16a)
p el f und Trennung von Real- und Imaginärteil
A4 16b)
umgeformt werden Kreise mit p ¦
Ellipsen
-5- + TT = 1 mit a z
a2 b2
po = const der z-Ebene (Abb. 14.15a) gehen in die konfokalen
JP0 + -
2 V Po
Po-
A4 16c)
der w-Ebene über (Abb. 14.15b) Brennpunkte sind die Punkte ±k der reellen Achse. Für den Ein-
heitskreis mit p = po — 1 entartet die Ellipse der w-Ebene in die zweifach durchlaufene Strecke
(—fc, +fc) der reellen Achse. Sowohl das Innere als auch das Äußere des Einheitskreises wird auf die
volle w-Ebene mit dem Schnitt (—k, -\-k) abgebildet, so daß die Umkehrfunktion zweideutig ist
w + y/w2 — k2
2 = 1
Die Geraden (p — (pQ der z-Ebene (Abb. 14.15c) werden in die konfokalen Hyperbeln
u2 iP"
— - — = 1 mit öl = k cos (p0 , ß = k sin <p0
a.2 ß2
mit den Brennpunkten ±k abgebildet (Abb.14.15d) Die den Koordinatenhalbachsen der z-Ebene
durchlaufenen Intervalle (—00 ,
A4 16d)
A4 16e)
— , 7T, -7T) entsprechenden Hyperbeln arten in die Achse u = 0 und in die hin und zurück
-k) und (k , 00) der reellen Achse aus.
Abbildung 14 15
14-1 Funktionen einer komplexen Veränderlichen 701
yjjp=i
Abbildung 14.15 Abbildung 14.16
7. Logarithmus
Die konforme Abbildung in der Form der Logarithmusfunktion
w = Lnz A4.17a)
lautet in Polarkoordinaten:
M = lnp, v = (p + 2hir (ifc = 0,±l,±2, ). A4 17b)
Aus der Darstellung in Polarkoordinaten erkennt man, daß die Koordinatenlinien u = const und v =
const aus den konzentrischen Kreisen um den Nullpunkt der z-Ebene und aus den Strahlen, die durch
den Nullpunkt der 2-Ebene verlaufen, hervorgehen (Abb. 14.16) Das isometrische Netz ist ein polares
Netz.
Die Logarithmusfunktion Lnz ist unendlich vieldeutig (s A4.73c) in 14.5.2,2., S 721)
Beschränkt man sich auf den Hauptwert In z von Lnz (—tt < v < +7r), dann geht die gesamte z-
Ebene in einen Streifen der w-Ebene über, der von den Geraden v — ±7r begrenzt wird, wobei die
Gerade v = +7r mit eingeschlossen ist.
(u,v)
0
b)
Abbildung 14 17
8. Exponentialfunktion
Die konforme Abbildung in der Form der
Exponentialfunktion (s. auch 14.5.2,1., S. 720)
w = ez A4 18a)
lautet in Polar koordinaten.
w = peixp. A4.18b)
Mit z = x + i y folgt*
p = ex und 1p = y. A4 18c)
Wenn y die Werte von —ir bis +7r durchläuft und x von — oo bis +oo variiert, dann durchläuft p die
Werte 0 bis oo und ip von — tt bis n . Ein Parallelstreifen der Breite 27r der z-Ebene wird auf die gesamte
w-Ebene abgebildet (Abb.14.17)
9. Schwarz-Christoffel-Formel
Durch die SjCHWARZ-CHRiSTOFFELsche Formel
: = C,/
dt
{t-w1)^{t-w2)a*'--(t-wn)a
¦ + C2
A4.19a)
wird das Innere eines Polygons mit den n Außenwinkeln oji7t, a27r, .., an7r der 2-Ebene auf die
obere tu-Halbebene abgebildet (Abb.l4.18a,b). Mit W{ sind die den Ecken des Polygons zugeordneten
Punkte der reellen Achse der w-Ebene bezeichnet, mit t die Integrationsvariable. Der orientierte,
also durch eine Richtung ausgezeichnete Rand des Polygons geht bei der Abbildung in die orientierte
reelle Achse der u>-Ebene über. Für große Werte von t verhält sich der Integrand wie 1/t2 und ist im
Unendlichen regulär.
702 14 Funktionentheorie
Abbildung 14.18
Da die Summe aller Außenwinkel eines n-Ecks gleich 2ir ist, gilt:
n
£ a„ = 2 . A4 19b)
u=\
Die komplexen Konstanten C\ und C2 bewirken eine Drehstreckung und eine Verschiebung, hängen
aber nicht von der Form, sondern nur von Größe und Lage des Polygons in der 2-Ebene ab.
Ist ein Polygon vorgegeben, dann lassen sich drei Punktepaare Zi,Wi (i = 1, 2,3) willkürlich zuordnen
Ordnet man einem Eckpunkt des Polygons in der z-Ebene, z.B. z = Zi, einen unendlich fernen Punkt
der w-Ebene, also w\ = ±oo zu, dann ist der Faktor (t—Wi)ai wegzulassen Wenn das Polygon ausartet.
z.B. dadurch, daß sich ein Eckpunkt im Unendlichen befindet, dann ist der zugehörige Außenwinkel
gleich 7T, also a^ = 1, d.h., das Polygon wird zum Halbstreifen.
Abbildung 14.19
¦ A: Für die Abbildung des in Abb. 14.19a skizzierten Gebietes der 2-Ebene
wird die in der nebenstehenden Tabelle für £ au = 2 angegebene Zuordnung
dreier Punkte gewählt (Abb.l4.19a,b). Die Abbildungsformel lautet*
z = C\ I - _1/2 = 2Ci (y/w — arctan v^J = i— (y/ü) — arctan y/wj .
A
B
C
Zu
00
0
CO
0LV
1
-1/2
3/2
wv
-1
0
00
pe*
1 zu setzen- \d -
¦- d lim /
-l + pe1^) ipe[<f>d<p
pe[f>
¦¦Cm,
Bei der Bestimmung von C\ ist t ¦
d.h,Ci = i-.
TT
Daß die Konstante Ci — 0 ist, geht aus der Zuordnung „z = 0 —? w — 0" hervor
¦ B: Abbildung eines Rechtecks Eckpunkte des abzubildenden Rechtecks seien 2lf4 = ±K, 22,3 =
±K + \K'. Die Punkte Z\ und z2 sollen in die Punkte w\ — 1 und w2 = 1/fc mit @ < k < 1) der reellen
Achse übergehen, zA und 23 sind Spiegelpunkte zu z\ und z2 bezüglich der imaginären Achse Nach
dem SCHWARZschen Spiegelungsprinzip (s. 14.1.3 3, S. 703) müssen ihnen die Punkte it>4 = —1 und
tü3 = — 1/k entsprechen (Abb.l4.20a,b). Damit lautet die Abbildungsformel für ein Rechteck (a\ =
«2 = <*3 = CK4 = 1/2) der oben skizzierten Lage: z = C\ I
Jo
yj{t - wi)(t - w2)(t - w3)(t - w4)
14-1 Funktionen einer komplexen Veränderlichen 703
Ci
[
dt
»('-i)
. Punkt z = 0 entspricht Punkt u; = 0 und Punkt z = \K Punkt w = oo
rw
Mit Ci = 1/fc wird z = /
dt
^/(l - ^2)A — A;2t2) ^ y/l-k2sm2-d
7o
dtf
F(y>, fc) (Substitution- t ¦¦
sin??, w = siiap) F(<p, fc) ist das elliptische Integral 1. Gattung (s. 8.1.4.3, S. 453).
Daß die Konstante C2 = 0 ist, geht aus der Zuordnung „z = 0 —» u; = 0" hervor.
Z3
Z*,
0
Y'
0
i
z2
,Zl ,
X
vi
T -1
b)
w40
Abbildung 14.20
14.1.3.3 Schwarzsches Spiegelungsprinzip
1. Sachverhalt Ist eine komplexe Punktion f(z) in einem Gebiet G analytisch, zu dessen Rand ein
Stück einer Geraden gi gehört, ist sie auf g\ stetig und bildet sie die Gerade g\ auf eine Gerade g[ ab,
dann werden Punkte, die symmetrisch zu g\ liegen, auf Punkte abgebildet, die symmetrisch zu g[ liegen
(Abb.14.21)
^ Quelle
^Quelle
'G'\ ^ ^ —^^
Rand
Abbildung 14.21
Quelle
Abbildung 14.22
Senke
Abbildung 14.23
2. Anwendungen Die Anwendung dieses Prinzips vereinfacht die Berechnung und Darstellung von
ebenen Feldern mit geradlinigen Begrenzungen: Ist der gerade Rand eine Stromlinie (isolierender Rand
in Abb. 14.22), dann sind alle Quellen als Quellen, alle Senken als Senken und alle Wirbel als
entgegengesetzt drehende Wirbel zu spiegeln. Ist der gerade Rand eine Potentiallinie (stark leitender Rand in
Abb. 14.23), dann sind alle Quellen als Senken, alle Senken als Quellen und alle Wirbel als gleichsinnig
drehende Wirbel zu spiegeln
14.1.3.4 Komplexe Potentiale
1. Begriff des komplexen Potentials Es wird ein Feld V = V(x, y) in der x, y-Ebene mit den
stetigen und differenzierbaren Komponenten vx(x, y) und vy(x, y) des Vektors V für den quellenfreien
und den wirbelfreien Fall betrachtet.
-* UV UV
a) Quellenfreies Feld mit div V = 0, d.h., -^- + —- = 0* Das ist die Integrabilitätsbedingung für
dx oy
die Differentialgleichung der Feld- oder Stromfunktion &(x,y)
d\P = —vv dx + vx
¦- 0, A4.20a) und es gilt vx = — ,
dx '
A4.20b)
Für zwei Punkte Pi, P2 des Feldes V ist die Differenz \P(P2) - &(P\) ein Maß für den Vektorfluß durch
704 14- Funktionentheorie
eine Kurve, die die Punkte P\ und P^ verbindet, falls diese Kurve ganz im Feld verläuft
-* -? öv uv
b) Wirbelfreies Feld mit rot V = 0 , d h , — -^ = 0: Das ist die Integrabiltätsbedingung für
dx dy
die Differentialgleichung der Potentialfunktion $(x, y)
- vx dx + vy dy = 0 , A4.21a)
d$ d$
und es gilt vx = -p— , vv = -^- . A4 21b)
dx oy
Die Funktionen 0 und & genügen den Cauchy- RiEMANNschen Differentialgleichungen (s 14 1 2 1.
S 694), und jede für sich erfüllt die LAPLACEsche Differentialgleichung (A 0 = 0 , A & = 0) Man faßt
<P und ^ zu der analytischen Funktion
W = f{z)=$(xiy) + iV{x,y)
A4 22)
zusammen und bezeichnet diese Funktion als komplexes Potential des Feldes V
Danach ist — <P(x, y) das Potential des Vektorfeldes V im Sinne der in der Physik und Elektrotechnik
üblichen Bezeichnungsweise (s 13 3 1 6, Hinweis S. 683) Die Linien & und 0 bilden ein orthogonales
Netz Für die Ableitung des komplexen Potentials und den Feldvektor V gelten die Beziehungen:
dW
dz
dx
dy
dW
dz
= f'{z) =VX + Wy
A4 23)
2. Komplexes Potential des homogenen Feldes Die Funktion
W = az
A4 24)
liefert bei reellem a das komplexe Potential eines Feldes, dessen Potentiallinien parallel zur y-Achse und
dessen Feldlinien parallel zur x Achse verlaufen (Abb. 14.24). Für komplexes a ergibt sich lediglich
eine Drehung des Feldes (Abb. 14.25)
-+- vP=const
0=const
Abbildung 14 24
4/=const
O=const
Abbildung 14.25
3. Komplexes Potential von Quelle und Senke Das komplexe Potential eines Feldes, das durch
eine Quelle der Ergiebigkeit e > 0 im Punkt z = z0 erzeugt wird, lautet
W = —\n(z-z0)
Für eine Senke der gleichen Intensität gilt:
A4 25)
W = -—\n(z-zo).
Z7T
A4.26)
14-1 Funktionen einer komplexen Veränderlichen 705
Die Feldlinien verlaufen radial vom Punkt z = zq aus, während die Potentiallinien konzentrische Kreise
um den Punkt z0 bilden (Abb. 14.26)
4. Komplexes Potential eines Quelle-Senke-Systems Für eine Quelle im Punkt z\ und eine
Senke im Punkt z2, beide mit gleicher Intensität, ergibt die Überlagerung das komplexe Potential
W = — In —
2tt z-
z2
A4.27)
Die Potentiallinien # = const bilden Apollonische Kreise bezüglich z\ und z2, die Feldlinien & = const
stellen Kreise durch z\ und z2 dar (Abb. 14.27).
4/=const
0=const
¥=const
G>=const
Abbildung 14.26
Abbildung 14 27
5. Komplexes Potential des Dipols Das komplexe Potential eines Dipols mit dem Dipolmoment
M > 0 im Punkt z0 , dessen Achse mit der reellen Achse den Winkel a bildet (Abb.14.28), lautet
W -
Meic
2ir(z - Zq)
A4.28)
6. Komplexes Potential eines Wirbels Wenn \r\ die Intensität eines Wirbels für reelles r ist
und sich sein Zentrum im Punkt zQ befindet, gilt.
W=—\n(z-z0).
Z7T1
A4.29)
Im Vergleich zu Abb. 14.26 sind die Rollen von Feld- und Potentiallinien vertauscht. Für komplexes
r ergibt A4 29) das Potential einer Wirbelquelle, deren Feld- und Potentiallinien je eine Spiralenschar
liefern, die zueinander orthogonal verlaufen (Abb. 14.29).
14.1.3.5 Superpositionsprinzip
1. Superposition komplexer Potentiale
Ein von mehreren Quellen, Senken und Wirbeln erzeugtes Feld ergibt sich rechnerisch durch
additive Überlagerung der durch sie erzeugten Einzelfelder, d h durch Addition ihrer komplexen Potentiale
bzw. Stromfunktionen. Mathematisch gesehen ist das durch die Linearität der LAPLACEschen
Differentialgleichungen A $ = 0 und A $ = 0 möglich
2. Erzeugung neuer Felder
1. Integration Die Erzeugung neuer Felder aus den komplexen Grundpotentialen kann außer durch
Addition auch durch Integration mit Hilfe von Belegungsfunktionen erfolgen.
¦ Auf einem Linienstück / sei eine Wirbelbelegung mit der Dichte g(s) vorgegeben. Für die Ableitung
des komplexen Potentials ergibt sich dann ein Integral vom CAUCHYschen Typ (s. 14 2 3, S 711):
dW_ = J_ r g(s)ds = 1 r g*(Q
dz 2iriJ z-C(s) 2m J z - (
c
A4.30)
706 14 Funktionentheorie
Abbildung 14.28 Abbildung 14 29
wobei f (s) die komplexe Parameterdarstellung der Kurve l mit der Bogenlänge s als Parameter ist
2. Maxwellsches Diagonal verfahren Sind zwei Felder mit den Potentialen $i und #2 zu
überlagern, dann zeichnet man ihre Potentiallinienbilder [[$i]] und [[#2]] derart, daß von einer Potentiallinie
zur nächsten der Wert des Potentials in beiden Systemen um denselben Wert h springt, und orientiert
die Linien so, daß die höheren <£-Werte jeweils zur Linken liegen In dem von [[#1]] und [[#2]]
gebildeten Netz ergeben die Linien, die im Zuge der Maschendiagonalen verlaufen, das Potentiallinienbild
[[#]] eines Feldes, dessen Potential # = #1 + <P2 oder $ = &i - <P2 ist Das Bild [[#1 4- $2]] erhält
man, wenn die orientierten Maschenseiten gemäß Abb. 14.30a wie Vektoren addiert werden, das Bild
[[#1 — #2]], wenn sie wie Vektoren subtrahiert werden (Abb.14.30b) Im zusammengesetzten Bild
springt der Wert des Potentials beim Übergang von einer Potentiallinie zur nächsten ebenfalls um den
Wert h (Stufenwert).
02+h 02+h
Abbildung 14.30
¦ Feld- und Potentiallinienbild einer Quelle und einer Senke mit dem Intensitätsverhältnis |ei|/|e2| =
3/2 (Abb.l4.31a,b).
14.1.3.6 Beliebige Abbildung der komplexen Zahlenebene
Eine Funktion
w = f(z = x + \y) = u(x,y) + \v(x,y) A4.31a)
gilt als definiert, wenn die zwei Funktionen u = u(x,y) und v = v(xiy) reeller Veränderlicher
definiert und bekannt sind. Die Funktion f(z) braucht nicht analytisch zu sein, wie das bei der konformen
Abbildung gefordert wird. Die Funktion w definiert eine neue komplexe Zahlenebene. Man sagt, sie
bildet die 2-Ebene in die w-Ebene ab, d h , jeder Punkt zu wird in einem ihm entsprechenden Punkt
wv abgebildet
a) Transformation der Koordinatenlinien Koordinatenlinien transformieren sich gemäß
y = c —? u = u(x, c), v = v(x, c), x ist Parameter ;
x = C\ —? u = it(ci, y), v = v(ci,y), y ist Parameter A4 31b)
14-2 Integration im Komplexen 707
a) b)
Abbildung 14 31
b) Transformation geometrischer Gebilde Geometrische Gebilde wie Kurven oder Gebiete der z-
Ebene transformieren sich zu Kurven oder Gebieten der u>-Ebene, also zu gleichartigen geometrischen
Gebilden.
x = x(t), y = y(t) —? u = u(x(t),y(t)), v = v(x(t),y(t)), t ist Parameter A4 31c)
¦ Für u = 2x + y,v = x + 2y gehen die Geraden y = c über in u = 2x + c, v = x + 2c, also in die
u 3
Geraden v = - + -c Die Geraden x = c\ gehen über in die Geraden v = 2u — 3ci (Abb.14.5) Die
schraffierte Fläche in Abb. 14.5a wird auf die schraffierte Fläche in Abb. 14.5b abgebildet
c) Riemannsche Fläche Ist die Funktion w = f(z) mehrdeutig, wie z.B. die Funktionen Vfz, Ln2 ,
Aresin z, Arctan z, so erfolgt die Abbildung auf eine entsprechende Anzahl übereinander liegender
Ebenen. Jedem Funktionswert der z- Ebene entspricht ein Punkt auf einer dieser Ebenen. Die Ebenen
sind durch Kurven miteinander verbunden; ihre Gesamtheit wird mehrblättrige RiEMANNsc/ie Fläche
genannt (s. [14.16]).
^u ¦ w = \ß: Überstreicht der Radiusvektor z = re1<p
^—^^ die volle z-Ebene, d.h. 0 < </? < 2n , dann überstreicht
/^¦'''' ,'-^ ^y£> ""~""^^\ der zugehörige Radiusvektor w = ge1^ = y/re^2 , d.h.
v['r~ ~ ~ ~ ~ - - J^-'~'SS^k^S ^ 0 < ^ < 27T, nur die obere u>-Halbebene. Erst bei ei-
VV v^^iS-^^' yj nem zweiten Durchlauf der z -Ebene wird die volle w-
^^>^>^ -^jp^"*''' ^*^^^ Ebene durchlaufen Diese Zweideutigkeit von w = y/z
^^^TpQgff "^^^^^ bezüglich z wird dadurch behoben, daß man zwei z-
Ebenen übereinanderlegt und längs der aufgeschnitte-
Abbildung 14.32 nen negativen reellen Achse gemäß Abb. 14.32
miteinander verbindet. Die so entstehende Fläche heißt
RiEMANNsche Fläche der Funktion w = y/z Der Nullpunkt heißt Verzweigungspunkt. Der
Wertevorrat von w = yfz liegt in entsprechender Weise auf der zweiblättrigen RiEMANNschen Fläche
ausgebreitet
14.2 Integration im Komplexen
14.2.1 Bestimmtes und unbestimmtes Integral
14.2.1.1 Definition des Integrals im Komplexen
1. Bestimmtes komplexes Integral Die Funktion f(z) sei stetig in einem Gebiet G, in dem eine
Kurve K die Punkte A und B verbinden soll Die Kurve K wird zwischen den Punkten A und B durch
708 14- Funktionentheorie
beliebige Teilpunkte z\ in n Teilbogen zerlegt (Abb. 14.33). Vi
Auf jedem Teilbogenstück greift man einen Punkt Q heraus
und bildet
n
X)/(Ci)^«i mit Azi = Zi-Zi-i A4.32a)
Existiert der Grenzwert
lim^/^)^ A4.32b) "ff
n—>oo *¦—'
t=l
mit A zi —> 0 für n —> oo unabhängig von der Wahl der Abbildung 14.33
Zwischenpunkte Q , dann wird durch diesen Grenzwert das bestimmte komplexe Integral
B
1= I f(z)dz = (K)jf(z)dz A4.33)
^ A
AB
längs der Kurve K zwischen den Punkten A und B , dem Integrationsweg, definiert
2. Unbestimmtes komplexes Integral Ist das bestimmte Integral vom Integrationsweg
unabhängig (s 14.2.2, S 710), so gilt:
F(z) = f f{z)dz + C mit F'{z) = f(z)
A4.34)
Dabei ist C eine im allgemeinen komplexe Integrationskonstante Die Funktion F(z) wird unbestimmtes
komplexes Integral genannt.
Die unbestimmten Integrale der elementaren Funktionen einer komplexen Veränderlichen werden nach
den gleichen Formeln berechnet wie die Integrale der entsprechenden Elementarfunktionen einer reellen
Veränderlichen.
A: I sinzdz = -cosz + C. ¦ B: /ezdz = ez + C.
usammenhang von bestimmtem und
ang zwischen dem bestimmten und unbest
B
J f(z) dz = J f(z) dz = F(zB) - F(zA)
3. Zusammenhang von bestimmtem und unbestimmtem komplexen Integral Der
Zusammenhang zwischen dem bestimmten und unbestimmten komplexen Integral wird durch die Formel
B
A4 35)
A
AB
vermittelt.
14.2.1.2 Eigenschaften und Berechnung komplexer Integrale
1. Vergleich mit dem Kurvenintegral 2. Art Das bestimmte komplexe Integral besitzt die
gleichen Eigenschaften wie das Kurvenintegral 2. Art (s. 8 3.2, S 482):
a) Umkehrung der Richtung des Integrationesweges führt zur Vorzeichenänderung des Integrals.
b) Bei Zerlegung des Integrationsweges in mehrere Teilabschnitte ist der Wert des gesamten Integrals
gleich der Summe der Integral werte über die einzelnen Teilwege.
2. Abschätzung des Integralwertes Wenn die Funktion f(z) für die z-Werte des
Integrationsweges AB mit der Länge s eine positive Zahl M nicht übertrifft, dann gilt.
//«
dz
<Ms mit \f(z)\<M.
A4.36)
14-2 Integration im Komplexen 709
3. Berechnung komplexer Integrale in Parameter darstellung Sind der Integrationsweg AB
(oder die Kurve K) in der Form
x = x(t), y = y(t) A4 37)
und die t-Werte für den Anfangs- und den Endpunkt als tA und tß gegeben, dann kann das komplexe
bestimmte Integral über zwei reelle Kurvenintegrale berechnet werden Dazu wird der Integrand in
Real- und Imaginärteil aufgespaltet, und man erhält
B B B
(K) / f(z) dz = (udx — v dy) + i (v dx + u dy)
A A A
tß tß
= f[u(t)x'(t) - v(t)y'{t)\ dt + i f[v{t)x'(t) + u(t)y'(t)] dt A4 38a)
tA tA
mit f(z) = u(x,y) + \v{x,y), z = x + iy. A4 38b)
fB
Die Schreibweise (K) / f(z) dz bedeutet, daß das bestimmte komplexe Integral längs der Kurve K
Ja
zwischen den Punkten A und B zu berechnen ist. Häufig wird für denselben Sachverhalt die
Schreibweise / f(z)dz bzw. / f{z)dz verwendet.
AB
(z — Zo)n dz (n € Z) Die Kurve K sei ein Kreis mit dem Radius r0 um den Punkt z0:
-/<¦
(K)
x = xo + r0 cos t, y = y0 + r0 sin t mit 0 < t < 2n Dann gilt für alle Punkte z der Kurve K
z = x + \y = Zq + r0(cos t + isin t), dz = r0(— sin t + icost) dt. Durch Einsetzen dieser Werte und eine
f-2-K
Umformung nach der Formel von Moivre erhält man. / = rj+1 / (cos n£+i sin nt)(— sin t+i cos t) dt
Jo
= r0"+1 /o2'[i cos(n + l)t - sm(n + l)t] dt = { ^. g£ lt~_\\
4. Unabhängigkeit vom Integrationsweg Das Integral A4 33) einer Funktion einer komplexen
Veränderlichen, die in einem einfach zusammenhängenden Gebiet definiert ist und die zwei feste
Punkte A(za) und B(zb) miteinander verbindet, kann unabhängig vom Integrationsweg sein Notwendige
und hinreichende Bedingung dafür ist, daß die Funktion in diesem Gebiet analytisch ist, d h , daß sie
den CAUCHY-RlEMANNschen Differentialgleichungen A4.4) genügt. Dann gilt A4.35). Ein einfach
zusammenhängendes Gebiet besitzt eine einzige geschlossene, doppelpunktfreie Randkurve.
5. Komplexes Integral über einen geschlossenen Weg Wenn die Integration einer Funktion
f(z), die in einem einfach zusammenhängenden Gebiet analytisch ist, über einen geschlossenen
Integrationsweg K erfolgt, der dieses Gebiet begrenzt, dann ist der Wert des Integrals gemäß dem
Integralsatz von Cauchy gleich Null (s 14 2 2, S. 710)-
f{z)dz = 0. A4.39)
Wenn dieses Gebiet singulare Punkte enthält, dann ist der Wert des Integrals mit Hilfe des
Residuensatzes zu berechnen (s 14.3.5.5, S 716).
¦ Für die Funktion f(z) = mit einem singulären Punkt bei z = a ergibt sich der Wert des
z — a
Integrals für den geschlossenen, im Gegenuhrzeigersinn um a durchlaufenen Weg (Abb. 14.34) zu
710 14. Funktionentheorie
dz
= 2?ri.
(K)
14.2.2 Integralsatz von Cauchy, Hauptsatz der Funktionentheorie
14.2.2.1 Integralsatz von Cauchy für einfach zusammenhängende
Gebiete
Wenn eine Funktion f(z) in einem einfach zusammenhängenden Gebiet analytisch ist, dann gelten die
folgenden zwei äquivalenten Aussagen:
a) Das über eine geschlossene Kurve K erstreckte Integral ist gleich Null.
<ff(z)dz = 0.
A4.40)
b) Der Wert des Integrals / f(z) dz ist unabhängig von der die Punkte A und B verbindenden Kur-
Ja
ve Dieser Sachverhalt wird Integralsatz von Cauchy, auch Hauptsatz der Funktionentheorie genannt
14.2.2.2 Integralsatz von Cauchy für mehrfach zusammenhängende
Gebiete
Wenn K, Ki, K2, ..., Kn einfach geschlossene Kurven derart sind, daß die Kurve K alle Kv [y —
1,2,..., n) einschließt, aber die Kv sich nicht gegenseitig einschließen oder schneiden, und wenn ferner
f(z) in einem Gebiet G analytisch ist, das alle Kv und das Gebiet zwischen K und den Kv enthält, d h
mindestens in dem in Abb. 14.35 schraffiert gezeichneten Gebiet, dann gilt
<j> f(z)dz= j f(z)dz+ $ f{z)dz + . .+ $ f(z)dz,
(K)
A4 41)
(Kl) (K2) (Kn)
falls die Kurven K, Ki, .. , Kn sämtlich im gleichen Sinne, z.B. gegen den Uhrzeigersinn, durchlaufen
werden.
Dieser Satz dient zur Berechnung von Integralen über geschlossene Kurven K , die auch singulare
Punkte der Funktion f(z) einschließen (s 14.3.5.5, S. 716).
Abbildung 14.34
Abbildung 14.35
Abbildung 14 36
/z-\
—. dz ist zu berechnen, wobei K eine den Nullpunkt und den Punkt z = — 1
z(z + 1)
(K)
umschließende Kurve sein soll (Abb. 14.36) Nach dem Integralsatz von Cauchy kann man zunächst
das Integral über K durch die Summe der Integrale über K\ und K2 ersetzen, wobei K\ ein Kreis um
den Nullpunkt mit dem Radius r\ = 1/2 und K2 ein Kreis um den Punkt z = — 1 mit dem Radius
r2 = 1/2 sein soll. Der Integrand läßt sich durch Partialbruchzerlegung vereinfachen, und man erhält
14 3 Potenzreihenentwicklung analytischer Funktionen 711
¦1
z(z + 1)
dz =
2 dz
2 dz
z + l
dz
z
dz
= 0 + 47ri - 27ri - 0 = 27ri (Zur Integration
(K) (Ki) (K2) {Kx) (K2)
vergleiche man das Beispiel in 14.2.1.2,3., S. 709.)
14.2.3 Integralformeln von Cauchy
14.2.3.1 Analytische Funktion innerhalb eines Gebietes
Ist f(z) auf einer geschlossenen Kurve K und in dem von ihr umschlossenen einfach
zusammenhängenden Gebiet analytisch, dann gilt für jeden inneren Punkt z dieses Gebietes (Abb.14.37) die
Darstellung
(K) "
/(O
d( (Cauchysehe Integralformel),
A4.42)
wenn £ die Kurve K im Gegenuhrzeigersinn durchläuft Somit lassen sich die Funktionswerte einer
analytischen Funktion im Innern eines Gebietes durch die Funktionswerte auf dem Rande des Gebietes
ausdrücken
Aus A4.42) ergeben sich Existenz und Integraldarstellung der n-ten Ableitung einer in einem Gebiet
G analytischen Funktion:
/<»>(*) = i^ <f -J^L-dC A4 43)
J w 2?ri 7 (C - z)n+l s v '
(K)
Eine analytische Funktion ist demnach beliebig oft differenzierbar. Im Unterschied dazu folgt im
Reellen aus der einmaligen Differenzierbarkeit nicht die wiederholte Differenzierbarkeit.
Die Gleichungen A4.42) und A4 43) werden CAUCHYsc/ie Integralformeln genannt.
0
Abbildung 14 37 Abbildung 14 38
14.2.3.2 Analytische Funktion außerhalb eines Gebietes
Wenn eine Funktion f(z) im gesamten Teil der Ebene außerhalb des geschlossenen Integrationsweges K
analytisch ist, dann werden die Werte der Funktion f(z) und ihrer Ableitungen in einem Punkt z dieses
Gebietes mit Hilfe der gleichen CAUCHYschen Formeln A4 42), A4 43) dargestellt, aber die Kurve des
geschlossenen Integrationsweges K ist nunmehr im Uhrzeigersinn zu durchlaufen (Abb. 14.38)
Mit Hilfe der CAUCHYschen Integralformeln können die Werte einiger bestimmter reeller Integrale
berechnet werden (s. 14.4, S. 717).
14.3 Potenzreihenentwicklung analytischer Funktionen
14.3.1 Konvergenz von Reihen mit komplexen Gliedern
14.3.1.1 Konvergenz einer Zahlenfolge mit komplexen Gliedern
Eine unendliche Folge komplexer Zahlen z\, z2,..., zn, . hat den Grenzwert z (z = lim zn), wenn,
beginnend bei einem gewissen n, die Ungleichung \z — zn\ < £ für eine beliebig kleine positive Zahl
712 14 Funktionentheorie
e erfüllt werden kann. D.h. von einem gewissen n an liegen alle Punkte, die die Zahlen zn,zn+i, .
darstellen, innerhalb eines Kreises mit dem Radius e und dem Mittelpunkt in z .
¦ Der Grenzwert lim { tyä} = 1 gilt für beliebiges a Unter dem Ausdruck { tya) versteht man hier
den Wert der Wurzel, der das kleinste Argument besitzt (Abb. 14.39)
i
2-
1
0
t a = za
/ ,*Va = z9
/ s'l**~^ "^ = z3
v i y x
,
.2
i+*
.2 .3 2
i+H IT"
.2 .3 .4
i+k+h + i
2 4 8
0
fY
i
X
Abbildung 14 39
Abbildung 14.40
14.3.1.2 Konvergenz einer unendlichen Reihe mit komplexen Gliedern
Eine Reihe a\ + a2 H t-an-\ mit komplexen Gliedern an konvergiert gegen eine Zahl 5, die Summe
der Reihe, wenn gilt.
s= lim (ai + a2 H h an). A4.44)
Verbindet man die Punkte, die durch die Zahlen sn = a\ + a2 + • • • + an in der 2-Ebene gegeben
sind, durch einen Polygonzug miteinander, dann bedeutet Konvergenz der Reihe die Annäherung des
Polygonzugendes an die Zahl s
•2 '4 -2 -3
¦ A:i + ^ + ^ + ^ + -.. ¦B:i+^ + ^ + ... (Abb.14.40).
Man spricht von absoluter Konvergenz (¦ B), wenn auch die Reihe der Absolutbeträge ihrer Glieder
|ai| + \a2\ + |a3| + • • • konvergiert, von bedingter Konvergenz (¦ A), wenn die Reihe konvergiert, die
Reihe ihrer Absolutglieder jedoch divergiert.
Wenn die Glieder einer Reihe gemäß
/!(«) + /»(*) + ¦••+ /»(*) + • ' A4-45)
variable Funktionen fi(z) sind, dann wird durch die Reihe für die 2-Werte eine Funktion von z definiert,
für die die Reihe konvergiert.
14.3.1.3 Potenzreihen im Komplexen
1. Konvergenz Eine Potenzreihe im Komplexen hat die Gestalt
P(z - z0) = a0 + ai(z - zq) + a2(z - z0J -\ \- an(z - z0)n + ¦
A4.46a)
wobei zq ein fester Punkt der Zahlenebene ist und die Koeffizienten av reelle oder komplexe Konstanten
sind Für Zq = 0 geht die Potenzreihe in die Form
P{z) = a0 + axz + a2z2 + • • • + anzn + • • • A4 46b)
über. Konvergiert die Potenzreihe P(z - z0) für einen Wert z\, dann konvergiert sie absolut und
gleichmäßig für alle Punkte z jedes abgeschlossenen Kreises innerhalb des Kreises um z0 mit dem Radius
r = \z1- z0\
2. Konvergenzkreis Die Grenze zwischen dem Konvergenzbereich und dem Divergenzbereich einer
Potenzreihe ist ein eindeutig bestimmter Kreis, der Konvergenzkreis. Man bestimmt seinen Radius wie
im Reellen, falls die Grenzwerte
lim
1
oder
= lim
n—KX>
«n+1
A4 47)
14 3 Potenzreihenentwicklung analytischer Funktionen 713
existieren Wenn die Reihe überall divergiert, ausgenommen den Punkt z = z0 , dann ist r = 0 ,
konvergiert sie überall, dann ist r = oo Das Verhalten der Potenzreihe für Punkte auf dem Rand des
Konvergenzkreises ist von Fall zu Fall zu untersuchen.
oo zn
¦ Die Potenzreihe P(z) = Yl — mit dem Konvergenzkreisradius r — 1 divergiert für z = 1 (harmo-
n=i n
nische Reihe) und konvergiert für z = — 1 (nach dem Kriterium von LEIBNIZ für alternierende Reihen
(s 7 2 3 3,1., S 426)) Auch für alle weiteren Punkte des Einheitskreises \z\ = 1 mit Ausnahme des
Punktes z = 1 ist die Reihe konvergent
3. Ableitungen von Potenzreihen und Konvergenzkreis Jede Potenzreihe stellt innerhalb
ihres Konvergenzkreises eine analytische Funktion f(z) dar. Die Ableitungen dieser Funktion erhält man
durch gliedweise Differentiation der Potenzreihe. Die abgeleiteten Reihen haben denselben
Konvergenzkreisradius wie die ursprüngliche Reihe
4. Integrale von Potenzreihen und Konvergenzkreis Die Potenzreihenentwicklung des
Integrals / /(C) d( erhält man durch gliedweise Integration der Potenzreihe von f(z). Der Konvergenz-
radius bleibt dabei erhalten
14.3.2 Taylor-Reihe
Jede im Innern eines Gebietes G analytische Funktion f(z) kann für jeden Punkt z0 in G eindeutig in
eine Potenzreihe der Form
f(z) = Y^an(z- zQ)n (Taylor-Reihe) A4.48a)
n=0
entwickelt werden, wobei der Konvergenzkreis der größte Kreis um zq ist, der noch ganz dem Gebiet G
angehört (Abb. 14.41). Für die im allgemeinen komplexen Koeffizienten an der Potenzreihe gilt
an = t^M, A4.48b)
n\
Die TAYLOR-Reihe kann daher in der Form
M = /(*) + ^(* - *) + ^(* - *oJ + • ¦ ¦ + ^^{z -*>)» + ... A4 48c)
geschrieben werden. Innerhalb ihres Konvergenzkreises ist jede Potenzreihe die TAYLOR-Entwicklung
ihrer Summenfunktion
¦ Beispiele für TAYLOR-Entwicklungen sind die Reihendarstellungen der Funktionen e2, sin 2, cos 2,
sinh z und cosh z in 14 5 2, S. 720ff.
Abbildung 14 41 Abbildung 14.42 Abbildung 14 43
714 14 Funktionentheorie
14.3.3 Prinzip der analytischen Fortsetzung
Es wird der Fall betrachtet, daß die Konvergenzkreise K0 um z0 und K\ um z\ zweier Potenzreihen
oo oo
fo(z) = J2an(z-zo)n und fi(z) = y£bn(z-z1)n A4 49a)
n=0 n=0
ein gewisses Gebiet gemeinsam haben (Abb. 14.42) und daß in diesem gilt:
fo(z) = fi(z) A4 49b)
Dann sind die beiden Potenzreihen die zu den Punkten z0 und z\ gehörenden TAYLOR-Entwicklungen
ein- und derselben analytischen Funktion f(z). Die Funktion f\(z) heißt analytische Fortsetzung der
nur in K0 definierten Funktion fo(z) in das Gebiet K\ hinein.
oo
¦ Die geometrischen Reihen fo(z) = J^ zn mit dem Konvergenzkreis K0 (r0 = 1) um z0 = 0 und
Tl=0
1 °° (z — \\n
fi(z) = : Y^ (•; :) mrfc dem Konvergenzkreis K\ {t\ = y/2) um z\ — i haben jede in ih-
1 ~ 1 n=0 \1 — !/
rem Konvergenzkreis und in dem gemeisamen (in Abb. 14.42 doppelt schraffierten) Konvergenzgebiet
dieselbe für z ^ 1 analytische Funktion f(z) = 1/A — z) als Summe Daher ist fi(z) analytische
Fortsetzung von fo(z) aus Kq in K\ hinein (und umgekehrt).
14.3.4 Laurent—Entwicklung
Jede Funktion f(z), die im Innern eines Kreisringes zwischen zwei konzentrischen Kreisen mit dem
Mittelpunkt z0 und den Radien 7*1 und r2 analytisch ist, kann in eine verallgemeinerte Potenzreihe, die
LAURENT-Reihe, entwickelt werden:
+ —— + a0 + öi(z - zo) + a2{z - z0J + • • • + ak{z - z0)k + • • • . A4.50a)
z — zq
Die im allgemeinen komplexen Koeffizienten an sind eindeutig durch die Formel
^ = hJj^Sr^^ (» = 0.±1,±2,...) A4.50b)
bestimmt. Mit K ist irgendein geschlossener Integrationsweg bezeichnet, der innerhalb des
Kreisringgebiets 7*1 < 1^1 < r2 liegt und im Gegenuhrzeigersinn durchlaufen wird (Abb. 14.43). Ist das Gebiet G
der Funktion f(z) umfassender als der Kreisring, dann ist der Konvergenzbereich der Laurent -Reihe
der größte in G enthaltene Kreisring um z0.
¦ Für die Funktion f(z) = -, —7 -r , die im Ringgebiet 1 < \z\ < 2 analytisch ist, soll eine
(z-l)(z-2)
LAURENT-Reihenentwicklung bezüglich zq = 0 angegeben werden. Dazu kann man die Funktion f(z)
durch Partialbruchzerlegung auf die Form f(z) = bringen. Durch einfache Umformung
können diese beiden Terme als geometrische Reihen dargestellt werden, die gemeinsam in dem
Ringgebiet 1 < \z\ < 2 konvergieren. Man erhält-
f( x _ 1 _ _^ l__ _ _ Ä 1_ _ 1 ~ fzy
/W"(z-l)(z-2)- {,_!_) 2(l-Z-Y k* 2^UJ
14-3 Potenzreihenentwicklung analytischer Funktionen 715
14.3.5 Isolierte singulare Stellen und der Residuensatz
14.3.5.1 Isolierte singulare Stellen
Wenn eine Funktion f(z) in der Umgebung eines Punktes z0 analytisch ist, nicht aber in z0 selbst,
dann heißt z0 eine isolierte singulare Stelle der Funktion f(z). Ist f(z) in der Umgebung von z0 in die
LAURENT-Reihe
oo
/(«)= £ "»(*-*>)" A4.51)
n~—oo
entwickelbar, dann können die isolierten singulären Stellen nach dem Verhalten der LAURENT-Reihen
eingeteilt werden-
1. Enthält die LAURENT-Reihe keine Glieder mit negativen Potenzen von (z — zq) , wobei an = 0 für
n < 0 gilt, dann geht die LAURENT-Entwicklung in die TAYLOR-Reihe mit den aus der CAUCHYschen
Integralformel folgenden Koeffizienten
an = hJ^~ *)~n-1rtod^ = ^r A4 52)
(K)
über. Die Funktion f(z) ist dann auch im Punkt Zq analytisch, wenn f(zo) = ao ist oder wenn zq eine
hebbare Singularität ist.
2. Enthält die LAURENT-Reihe endlich viele Glieder mit negativen Potenzen von (z — zq) , wobei
gelten soll am ^ 0, alle an = 0 für n < m < 0 , dann spricht man von einer außerwesentlichen
Singularität im Punkt z0 oder einem Pol der Ordnung m oder Pol der Vielfachheit ra, durch Multiplikation mit
(z — Zo)m , aber keiner niedrigeren Potenz, geht f(z) in eine Funktion über, die in zq und Umgebung
analytisch ist
f(z) = - ( z + - j hat an der Stelle z = 0 einen Pol 1. Ordnung.
3. Enthält die LAURENT-Reihe unendlich viele Glieder mit negativen Potenzen von (z — zq) , dann
ist zq ein wesentlich singulärer Punkt der Funktion f(z)
Bei Annäherung an einen Pol wächst \f{z)\ über alle Grenzen. Bei Annäherung an eine wesentlich
singulare Stelle kommt f(z) jeder beliebigen komplexen Zahl c beliebig nahe.
00 1 1
¦ Die Funktion f(z) = el/z, deren LAURENT-Reihe f(z) = J^ —r— lautet, hat an der Stelle z = 0
71=0 U- ZTl
eine wesentliche Singularität.
14.3.5.2 Meromorphe Funktionen
Hat eine sonst holomorphe Funktion für endliche Werte von z nur Pole als singulare Stellen, dann heißt
sie meromorph. Eine meromorphe Funktion läßt sich immer als Quotient zweier analytischer
Funktionen darstellen
¦ Beispiele für in der ganzen Ebene meromorphe Funktionen sind die rationalen Funktionen, die nur
eine endliche Zahl von Polen besitzen, sowie solche transzendenten Funktionen wie tan z und cot z .
14.3.5.3 Elliptische Funktionen
sind doppelperiodische Funktionen, deren einzige Singularitäten Pole sind, d.h., es sind meromorphe
Funktionen mit zwei unabhängigen Perioden (s. 14 6, S 724ff.). Sind die beiden Perioden lü\ und U2 ,
die in einem nichtreellen Verhältnis stehen, dann gilt.
f(z + mu>i + ntü2) = f(z) (m, n = 0, ±1, ±2,...; Im (—) ^ 0). A4.53)
Der Wertevorrat von f(z) liegt in einem Periodenparallelogramm mit den Punkten 0, U\, u\ -\-üü2,uJ2
716 14- Funktionentheorie
14.3.5.4 Residuum
Den Koeffizienten a_i der Potenz (z — zq)~1 in der LAURENT-Entwicklung von f(z) bezeichnet man
als Residuum der Funktion f(z) im singulären Punkt z0
a-i = Res/W|,=^ = 2^7^/@*.
Das zu einem Pol ra-ter Ordnung gehörende Residuum kann mit der Formel
1
o_i = Kßsf(z)\
z=zo ~ Ä2, (m - 1)' dz
-lf(z)(z-z0y
A4.54a)
A4 54b)
berechnet werden
Wenn die Funktion als Quotient gemäß f(z) = tp(z)/ip(z) dargestellt werden kann, wobei die
Funktionen (p(z) und i/j(z) im Punkt z = Zq analytisch und zq eine einfache Wurzel der Gleichung ijj(z) = 0
sein soll, so daß V>Bo) = 0 , ift'(z0) ^ 0 ist, dann ist der Punkt z = Zq ein Pol 1. Ordnung der Funktion
f(z). Mit A4.54b) ergibt sich
Res
(p(z)
*w.
Wenn z0 eine m-fache Wurzel der Gleichung tß(z) = 0 ist, d.h., wenn ip(zo) = ^'(zq) = •
= 0 , ip^(zo) 7^ 0 ist, dann ist der Punkt z = z0 ein m-facher Pol der Funktion f(z)
14.3.5.5 Residuensatz
A4 54c)
Mit Hilfe der Residuen kann man den Wert eines Integrals über einen geschlossenen Weg berechnen
der isolierte singulare Punkte umschließt (Abb. 14.44)
Ist die Funktion f(z) in einem einfach zusammenhängenden Gebiet G , das von der geschlossenen Kurve
K begrenzt wird, mit Ausnahme der endlich vielen Punkte z0, zuz2,. ., zn eindeutig und analytisch,
dann ist der Wert des im Gegenuhrzeigersinn über den geschlossenen Weg genommenen Integrals gleich
dem Produkt aus 27ri und der Summe der Residuen in allen diesen singulären Punkten-
j f(z)dz = 2mJTR™f(z)\z=
A4 55)
(K)
¦ Die Funktion f(z) = ez/(z2 + 1) hat die Pole 1. Ordnung z\^ = ±i. Die zugehörigen Residuen
haben die Summe sin 1. Daher gilt, wenn K ein Kreis um den Nullpunkt mit dem Radius r > 1 ist,
ez
(K)
z2 + l
- dz = 2m sin 1
Abbildung 14 44
Abbildung 14 45
14 4 Berechnung reeller Integrale durch Integration im Komplexen 7VI
14.4 Berechnung reeller Integrale durch Integration im
Komplexen
14.4.1 Anwendung der Cauchyschen Integralformeln
Mit Hilfe der CAUCHYschen Integralformeln kann man die Werte einiger bestimmter reeller Integrale
bestimmen.
¦ Die Funktion f(z) = ez, (s. 14.5.2,1., S. 720) die in der gesamten z-Ebene analytisch ist, wird
gemäß CAUCHYscher Integralformel A4.42) dargestellt, wobei der Integrationsweg K ein Kreis mit
dem Mittelpunkt in z und dem Radius r sein soll Die Kreisgleichung lautet £ = z + relip . Man erhält
gemäß A4 42)
7I f P< 77! /V=2tt e{z+Tex*) n\ ,2tt ...
<? = 7T-. <P „ \ ^ d( = -^ / JL——ireWdtp = ^— / e^cos^rsm^-m^ SQ
2tti J (C- z)n+1 2tti J<p=o rn+1el^n+1) ^ 2?rrn Jo
(K)
daß
2irrn r2n , s r2* c2lx
= / ercos,+,(rsm,-n,) ^ = / grcoB^r^^ gin )] d +j / erCOS^[sin(r SUl </>-n(^)] dtp
n\ Jo Jo Jo
r2iT 27rrn
Da der Imaginärteil gleich Null ist, ergibt sich / ercosip cos(r sin <p — rnp) dip = —r-
7o n!
14.4.2 Anwendung des Residuensatzes
Mit Hilfe des Residuensatzes können eine Reihe bestimmter Integrale von Funktionen einer
Veränderlichen berechnet werden Wenn f(z) eine Funktion ist, die in der gesamten oberen Halbebene
einschließlich der reellen Achse analytisch ist, ausgenommen die singulären Punkte z\, z2,. ,zn, die oberhalb
der reellen Achse liegen sollen (Abb.14.45), und wenn die Null eine Wurzel der Gleichung f(l/z) = 0
von der Vielfachheit m > 2 ist (s 1.6.3.1,2., S. 43), dann gilt:
+°° n
/ f(x)dx = 27ri]TRes/B)Ul • A4.56)
_ i=l
/ + OO firjß / 1 \
— Die Gleichung / ( - 1 =
-00 (i + xiy \xj
00 A + x2K bJ \xj ( 1\3 (x2 + l)
('?*)
^3
= 0
besitzt die sechsfache Wurzel x = 0. Die Funktion w — ttt hat in der oberen Halbebene den
A + z2K
einzigen singulären Punkt z — i, der ein Pol mit der Vielfachheit 3 ist, denn die Gleichung A + z2K = 0
hat zwei dreifache Wurzeln bei i und —i. Das Residuum berechnet sich gemäß A4.54b) zu
Res
A + *2KU 2\dz2
(z-if
A + z2)
2^3
Ausi?(rri) -5^ + 0- = "<« + «>- folgt
Res üdöv; =G{z + i)|-i = w = -^ •und mit A456); £Tf{x) dx =2vi (-ä1) =
3
-7T Weitere Anwendungen der Residuentheorie s. z.B. [14.18].
8
14.4.3 Anwendungen des Lemmas von Jordan
14.4.3.1 Lemma von Jordan
In vielen Fällen lassen sich reelle uneigentliche Integrale mit unbeschränktem Integrationsgebiet durch
komplexe Integrale über geschlossene Wege berechnen. Um dabei immer wiederkehrende Abschätzun-
718 14- Funktionentheorie
gen zu vermeiden, benutzt man das Lemma von JORDAN, das sich auf Integrale der Form
f f(z)eiazdz A4 57a)
(Kr)
bezieht, wobei Kr der in der oberen Halbebene der z-Ebene gelegene Halbkreisbogen um den
Nullpunkt mit dem Radius R ist (Abb. 14.46). Das Lemma von JORDAN unterscheidet folgende Fälle:
a) öl > 0: Strebt f(z) in der oberen Halbebene und auf der reellen Achse für z —* oo gleichmäßig
gegen Null und ist a > 0 eine positive Zahl, dann gilt für R —? oo
/ f(z)eiQZdz-+0. A4.57b)
(Kr)
b) öl = 0: Strebt der Ausdruck zf(z) für z —> oo gleichmäßig gegen Null, dann gilt die Aussage
A4.57b) auch im Falle a = 0.
c) öl < 0: Liegt der Halbkreis unterhalb der reellen Achse, dann gilt die entsprechende Aussage auch
für öl < 0.
d) Der Satz gilt auch, wenn es sich statt um einen vollen Halbkreis um einen Teilbogen handelt
e) Der entsprechende Sachverhalt liegt für Integrale der Form
/ '«¦
eaz dz
A4 57c)
(*£)
vor, wenn KR einen Halbkreis bzw. Teilbogen in der linken Halbebene mit a > 0 darstellt, bzw in der
rechten mit a < 0
-R
0
-R
0
R x
R x
I R
Abbildung 14 48
Abbildung 14.46 Abbildung 14.47
14.4.3.2 Beispiele zum Lemma von Jordan
1. Berechnung des Integrals / — dx.
o
Dem gesuchten reellen Integral wird auf folgende Weise ein komplexes Integral zugeordnet:
R . R R R iax
f xsmax . f xsmax f xcosax f xeax
2l / ~T^—5" dx = l T";—5"dx + / ~^T>—2" dx = / ~^~>—2 dx
J x2 + a2 J x2 + a? J x2 + a2 J x2 + a2
0 > v ' -R -R -R
gerade Funktion ' ^ ~ '
= 0 (ungerader Integrand)
/zeiaz
— dz . Die Kurve K be-
z2 + a2
(K)
steht aus dem oben definierten Halbkreisbogen Kr und dem Stuck der reellen Achse zwischen —R und
R (R > \a\) Der komplexe Integrand hat in der oberen Halbebene nur die singulare Stelle z = a\
14 4 Berechnung reeller Integrale durch Integration im Komplexen 719
/ zeiaz
Nach dem Residuensatz gilt: I = <p — dz = 2m lim
J Z2 + O? *-»ai
(K)
zl + a
;{z-ai)
n . ,. zelKJ
= Z7T1 lim
z-^ai Z + a\
/zeiaz f xelotx
—z dz + —z dx = 7rie~aa . Aus lim / ergibt sich unter Beachtung
Z2 + 0? J X2 + 0? R-+oo
(Kr) -R
oo
des Lemmas von JORDAN: / — dx = —e~aa (a > 0, a > 0).
J xl 4- al 2
o
Auf ähnliche Weise wurden weitere Integrale der Tabelle 21.8, S. 1086 berechnet.
2. Integralsinus (s. auch 8.2.5,1., S. 477)
oo .
nennt man das Integral / dx. Untersucht wird in Analogie zum vorangegangenen Beispiel das
J x
o
fe[z
komplexe Integral / — dz mit der Kurve K gemäß Abb. 14.47. Der Integrand des komplexen Inte-
e1"
—z
z
27ri, also /
grals hat an der Stelle z = 0 einen Pol 1 Ordnung, so daß / = 27ri lim2^0
R . 2rr [z
2i / — dx + i / eir(cosv?+isin*) dif + / — dz = 2tt1 . Führt man die Grenzübergänge R -» oo , r -> 0
*• t KR
durch, wobei der Integrand des zweiten Integrals für r —> 0 bezuglich ^> gleichmäßig gegen 1 konvergiert
(d h , der Grenzübergang r —? 0 kann unter dem Integralzeichen vollzogen werden), dann erhält man
unter Beachtung des Lemmas von Jordan:
n. fsmx , rt . /'sinx , 7T ,, , ,n,
2i / dx + 7Ti = 27Ti, also / dx = - . A4.58)
7 a: 7x2
o o
•
3. Sprungfunktion
Unstetige, reelle Funktionen kann man mit Hilfe komplexer Integrale (sog. »Hakenintegrale" nach der
Form des Integrationsweges) darstellen. Die folgende spezielle Sprungfunktion ist ein Beispiel.
i , Jtz ( 1 ' für t > 0,
F(t) = — / — dz = { 1/2 für t = 0, A4.59)
27ri_:L z [0 für t<0.
Das Symbol -w-» bezeichnet einen Integrationsweg längs der reellen Achse (| R |—> oo) unter
Umgehung des Nullpunktes (Abb. 14.47)
Deutet man t als Zeit, dann stellt die Funktion <P(t) = cF(t—to) eine Größe dar, die zur Zeit t = to von 0
über den Wert c/2 auf den Wert c springt (s auch HEAVISIDE-Funktion in 15.2 1 3,1., S. 737). Sie wird
in der Elektrotechnik zur Darstellung plötzlich auftretender Strom- oder Spannungsstöße verwendet.
4. Rechteckimpuls
Ein weiteres Beispiel für die Anwendung des Hakenintegrals ist die Darstellung des Rechteckimpulses:
i ,. p\{b-t)z i f A{a-t)z @ für t < a und t > b,
V(t) = — / dz-— / dz=\l für a<t<b, A4.60)
27ri_i^ z 27ri_i_ z { 1/2 für t - o und t = b.
720 14- Funktionentheorie
5. Fresnelsche Integrale
Zur Herleitung der FRESNEL.se/ien Integrale
oo oo
fsin{x2)dx = fcos(x2)dx = -zyfüp. A4.61)
0 0
wird das Integral / = / e~z dz mit dem in Abb. 14.48 skizzierten geschlossenen Integrationsweg un-
K
fR _ 2
tersucht. Nach dem Integralsatz von Cauchy gilt / = -^i + ^H + ^in ~ 0 m^ h = \ e * dz, Jjj =
\R T *e-R2{cos2ip+'xsSxi2*)+^d<p, l™ = e* f°e[r2dr = -^2(l + i) i / sinr2 dr - f cosr2d,r\
Jo Jr 2 [ Jo Jo \
ptt/4 2
Abschätzung von /jj Unter Beachtung von |i| = |eir| = 1 (r reell) gilt: |/jj| < R e~R cos2tp d^> =
2 Jo Y 2 L v 2 Jo Y 2 Ja sina Y
jy f> 1 p—R?cosa / ,_\
< —e~R cosa -\ ( 0 < a < — ) . Führt man den Grenzübergang lim / durch, dann
2 2#sina V 2/ & & tf-oo
lassen sich die Integrale h und Tjt auswerten, lim^^oo h = -y/ir, lim /tt = 0, und durch Trennung
1 11 2 ä—>oo
von Real- und Imaginärteil erhält man die angegebenen Formeln A4.61)
14.5 Algebraische und elementare transzendente Funktionen
14.5.1 Algebraische Funktionen
1. Definition Von einer algebraischen Funktion w einer komplexen Variablen z spricht man, wenn
die Funktion das Ergebnis endlich vieler algebraischer Operationen mit diesen Veränderlichen und
eventuell noch mit endlich vielen Konstanten ist Ganz allgemein kann eine komplexe algebraische
Funktion w(z) wie ihr reelles Analogon implizit als Polynom
(HZ™1™711 + a2zm2wn2 + • • • 4- akzmkwnk = 0 * A4 62)
definiert werden Solche Funktionen müssen sich durchaus nicht immer nach w auflösen lassen.
2. Beispiele algebraischer Funktionen
Lineare Funktion- w = az + b, A4.63) Inverse Funktion, w = - , A4 64)
Quadratische Funktion: w = z2 , A4 65) Quadratwurzelfunktion: w = Vz2 — a2 , A4 66)
Gebrochen lineare Funktion: w = . A4.67)
z - i
14.5.2 Elementare transzendente Funktionen
Die komplexen transzendenten Funktionen werden ebenso wie die algebraischen Funktionen in
Analogie zu den entsprechenden reellen transzendenten Funktionen definiert Eine ausführliche Darstellung
findet man in [21.1] oder [21.11]
1. Natürliche Exponentialfunktion
z z z
e2 = 1+l! + 2T + ¥ + "-- A468)
14 5 Algebraische und elementare transzendente Funktionen 721
Die Reihe konvergiert in der gesamten z-Ebene.
a) Rein imaginärer Exponent iy: Gemäß der EuLERschen Relation (s. 1.5.2.4, S. 36) gilt:
eiy = cos y -f i sin y mit em = -1. A4 69)
b) Allgemeiner Fall z = x + i y.
ez = ex+\y = exjy = e^(C0S2/ + isiny), d.h., A4.70a)
Re(ez) = excosy, Im(e2) = ex siny, \ez\ = ex , arg(e2) = y. A4.70b)
c) Exponentialform einer komplexen Zahl (s. 1.5.2.4, S. 36)-
a + i6 = peiv. A4 71a)
d) Periode der Funktion ez:
Die Periode der Funktion ez ist 2?ri- ez = ez+2klvi (k = 0, ±1, ±2,.. ) A4.71b)
Speziell gilt- e° = e2fc7ri = 1, e{2k+1)ni = -1. A4.71c)
e) EuLERsche Relation für komplexe Zahlen.
eiz = cosz-\-isinz, A4.72a) e~iz = cosz - isin^. A4.72b)
2. Natürlicher Logarithmus
w = Lnz, falls z = ew. A4.73a)
Wegen z = pelip kann man schreiben:
Lnz = lnp + i(<p + 2fc7r) und A4.73b)
Re(Lnz) = lnp, Im (Ln z) = y> + 2A: tt (jfc = 0, ±1, ±2,. ). A4.73c)
Da Lnz eine mehrdeutige Funktion ist (s. 2.8 2, S. 85), gibt man gewöhnlich nur den Hauptwert des
Logarithmus ln z an:
\nz = \np + iip (-7T < y> < +tt) . A4.73d)
Die Funktion Ln z ist für alle komplexen Zahlen definiert, ausgenommen die Null
3. Allgemeine Exponentialfunktion
az = ezLna (a^O). A4.74a)
Die Funktion az ist eine mehrdeutige Funktion mit dem Hauptwert
az = ez[na A4.74b)
4. Trigonometrische Funktionen und Hyperbelfunktionen
sinz = 2.e = z - ||- + |j- , A4.75a)
ei, + -iz z2 z4
cosz = = !-_ + _-..., A4 75b)
ez - e~z z3 z5 i*A»n \
sinhz = = z + — + — + ... , A4 76a)
cosh2 = £l^£Z==l + £! + £j + .... A4.76b)
Alle vier Reihen konvergieren in der gesamten Ebene, alle vier Funktionen sind periodisch. Die Periode
der Funktionen A4.75a,b) ist 2ir, die der Funktionen A4.76a,b) 2iri.
Für rein imaginäres Argument lauten die Ausdrücke dieser Funktionen:
sin i y = i sinh y, A4.77a) cos i y = cosh y, A4.77b)
sinh i y = i sin y, A4 78a) cosh i y = cos y. A4 78b)
722 14 Funktionentheorie
Die Umrechnungsformeln für die trigonometrischen Funktionen und die Hyperbelfunktionen einer
reellen Veränderlichen B 7 2), B 9 3) gelten auch für Funktionen einer komplexen Veränderlichen. So
erfolgt die Berechnung der Funktionen sin z , cos z , sinh z und cosh z für das Argument z = x + i y mit
Hilfe der Formeln sin(a + b), cos(a + b), sinh(a + b) und cosh(a -f b).
¦ cos(a: + iy) = cos £ cos i £/ — sinxsiniy = cos a: cosh y — i sin a: sinh y. A4.79)
Daraus folgt:
Re (cos z) = cos Re (z) cosh Im (z), A4.80a)
Im (cos z) = - sin Re (z) sinh Im (z). A4.80b)
Die Funktionen tan z , cot z , tanh z und coth z werden mit Hilfe der folgenden Formeln bestimmt:
tanz =
smz
cos z '
cot z =
A4.81a) tanh 2:
sinh z
cosh z '
coth z ¦¦
cosh z
sinh z
A4.81b)
5. Inverse trigonometrische Funktionen und inverse Hyperbelfunktionen Diese
Funktionen sind ebenso unendlich vieldeutig und können mit Hilfe des Logarithmus durch die folgenden
Formeln dargestellt werden:
Aresin z = — i Ln (i z + v7! — z2),
Arccos z — —i Ln (z + Vz2 — 1),
Arctan2 iLnl±!£,
2i I-12'
A4 82a)
A4.83a)
A4.84a)
Arsinh z = Ln (z + Vz2 + 1),
Arcosh z = Ln (z -f yz2-
Artanh z ¦
i),
Arccot z -
1T iz + l
-— Ln: -\
2i iz-1
A4.85a) Arcoth;
1T l + z
'¦ ~Ln- ,
2 \-z'
1T z + l
^Ln .
2 2-1
A4.82b)
A4.83b)
A4 84b)
A4 85b)
Die Hauptwerte der inversen trigonometrischen und inversen Hyperbelfunktionen drückt man mit
denselben Formeln und mit Hilfe des Hauptwertes des Logarithmus ln z aus*
aresin z = — i ln(i z + v7! — z2),
arccos z = -i \n(z + Vz2 — 1),
aretanz =
arccot z ¦
1, 1 + \z
-- — In — ,
2i \-\z
1 . i* + l
= — — In: 7
2i \z-\
^44.86a)
A4.87a)
A4.88a)
A4.89a)
arsinhz = ln(z + \/z2 + 1),
arcoshz = lnB + Vz2 — 1),
artanhz = - ln ,
2 \-z
arcothz = - ln
2 z-\
A4 86b)
A4 87b)
A4 88b)
A4.89b)
6. Real- und Imaginärteile der trigonometrischen und Hyperbelfunktionen
Tabelle 14 1 Real- und Imaginärteile der trigonometrischen und Hyperbelfunktionen
w = f(x + iy)
sin(x ± iy)
cos(x ± iy)
tan(x ± iy)
sinh(x ± iy)
cosh(a: ± iy)
tanh(.T ± iy)
Realteil Re (w)
sin x cosh y
cos x cosh y
sin 2a:
cos 2a: + cosh 2y
sinh a: cos y
cosh a: cos y
sinh 2a:
cosh 2.t + cos 2y
Imaginärteil Im (w)
± cos x sinh y
qF sin a: sinh y
sinh 2y
cos 2a: + cosh 2y
± cosh x sin y
± sinh x sin y
¦ sin 2y
cosh 2a: + cos 2y
14-5 Algebraische und elementare transzendente Funktionen 723
7. Absolutbeträge und Argumente der trigonometrischen und Hyperbelfunktionen
Tabelle 14.2 Absolutbeträge und Argumente der trigonometrischen und Hyperbelfunktionen
w = f(x + iy)
sin(x ± iy)
cos(x ± iy)
sinh(:r ± iy)
cosh(x ± iy)
Betrag \w\
y sin2 x + sinh2 y
y cos2 x + sinh2 y
y sinh2 x + sin2 y
yj sinh2 x + cos2 y
Argumentarg w
± arctan(cot x tanh y)
=F arctan(tan x tanh y)
± arctan(coth x tan ?/)
± arctan(tanh x tan y)
14.5.3 Beschreibung von Kurven in komplexer Form
Eine komplexe Funktion von einer reellen Veränderlichen t kann auch in Parameterform dargestellt
werden.
z = x(t) + iy(t) = f(t). A4.90)
Bei Änderungen von t durchlaufen die Punkte z eine Kurve z(t). Im folgenden sind die Gleichungen
und dazugehörigen graphischen Bilder für Gerade, Kreis, Hyperbel, Ellipse und logarithmische Spirale
angegeben.
1. Gerade
a) Gerade durch einen Punkt (zi, <p) (ip Schnittwinkel mit der x-Achse), (s. Abb. 14.49a)
z = zi+teiv A4 91a)
b) Gerade durch zwei Punkte (zi, z2) (s Abb. 14.49b):
z = zi +t(z2 - Zi). A4 91b)
2. Kreis
a) Radius r, Mittelpunkt im Koordinatenursprung (s. Abb. 14.50a):
z = re .
b) Radius r, Mittelpunkt im Punkt z0 (s Abb. 14.50b)
z — z0 + relt
aH
x b)ÖI
Abbildung 14.49
a)
b) Ö|
Abbildung 14.50
3. Ellipse
a) Ellipse, Normalform — + — = 1 (s. Abb.14.51a)-
a? b2
z = a cos t + i6 sin t
A4.93a) oder z = ce[t + de~
A4.92a)
A4 92b)
A4 93b)
724 14- Funktionentheorie
mit
a + b a — b
C= 2 ' = 2 '
A4.93c)
d.h., c und d sind beliebige reelle Zahlen
b) Ellipse, allgemeine Form (s. Abb. 14.51b)- Der Mittelpunkt befindet sich im Punkt z\, die
Achsen sind um einen Winkel gedreht.
z = zx + ce" + de~'lt. A4 94)
Mit c und d sind beliebige komplexe Zahlen bezeichnet, die die Länge der Ellipsenachsen und ihre
Drehung bestimmen.
yf
a)
b)
Abbildung 14 51
x2 y2
4. Hyperbel, Normalform = 1 (s. Abb. 14.52):
a2 b2
z = a cosh t + \b sinh t
oder
wobei c und c konjugiert komplexe Zahlen sind-
a + \b _ a — ib
c=—^—5 c=—-—.
2 ' 2
5. Logarithmische Spirale (s. Abb. 14.53):
z = aeibt,
wobei a und b beliebige komplexe Zahlen sind
Abbildung 14.52
A4.95a)
A4.95b) S~
A4 95c) V
A4.96)
i
^ J.
W
Abbildung 14 53
14.6 Elliptische Funktionen
14.6.1 Zusammenhang mit elliptischen Integralen
Integrale der Form (8.24), mit dem Integranden R(x, JP(x)), lassen sich, abgesehen von
Ausnahmefällen, nicht in geschlossener Form integrieren, wenn P(x) ein Polynom dritten oder vierten Grades ist,
sondern sind als elliptische Integrale numerisch zu berechnen (s. 8 1.4 3, S 453). Die Umkehrfunktionen
der elliptischen Integrale sind die elliptischen Funktionen Sie sind den trigonometrischen Funktionen
ähnlich und können als deren Verallgemeinerung angesehen werden. Um das am speziellen Fall zu
zeigen, wird
/
A - t2)-^ dt --
(N < i)
A4.97)
14 6 Elliptische Funktionen 725
gesetzt und beachtet, daß
a) zwischen der trigonometrischen Funktion u = sin x und dem Hauptwert ihrer Umkehrfunktion der
Zusammenhang
u = sin x <$ x = aresin u für
7T 7T
2 ~ ~ 2 '
-1 < W< 1
A4.98)
besteht und daß
b) das Integral A4.97) gleich aresin u ist. Die Sinusfunktion kann somit als Umkehrfunktion des
Integrals A4 97) aufgefaßt werden. Analoges gilt für die elliptischen Integrale.
I Die Schwingungsdauer des mathematischen Pendels mit der an einem masselosen, nicht
dehnbaren Faden der Länge / befestigten Masse ra (Abb. 14.54) kann mit Hilfe einer nichtlinearen
Differentialgleichung 2. Ordnung, die sich als Bewegungsgleichung aus dem Gleichgewicht der an der Masse
angreifenden Kräfte ergibt, berechnet werden.
d2rd q
-— + 7sintf = 0 mit tf@) =
dt1 l
tf0 , tf(o) = 0 oder —
:2^4(costf) A4 99a)
/ dt
Zwischen Pendellänge l und Auslenkung s aus der Ruhelage besteht der Zusammenhang s = W , also
s = W und 's = W Die an der Masse angreifende Kraft F = mg, wobei g die Fallbeschleunigung
ist, spaltet, bezogen auf die Bahnkurve, in eine Normalkomponente Fn und eine Tangentialkompo-
nente Ft auf (Abb. 14.54) Die Normalkomponente Fn = mg cos $ wird von der Fadenspannung im
Gleichgewicht gehalten Da sie senkrecht auf der Bewegungsrichtung steht, liefert sie keinen Beitrag
zur Bewegungsgleichung. Die Tangentialkomponente Ft steht mit der entgegengesetzt gleich großen
Tangentialkraft im Gleichgewicht: Ft = ms = mW = — rag sin $. Die Tangentialkomponente zeigt
immer zur Ruhelage hin.
Durch Trennung der Variablen erhält man.
t-t« =
de
9J0 ^2(cose-costf0)
A4 99b)
Dabei bedeutet t0 die Zeit, bei der das Pendel zum ersten Mal durch die tiefste Lage geht, d h , es gilt
i)(to) = 0. Mit 0 ist die Integrationsvariable bezeichnet Nach einigen Umformungen mit Hilfe der
Substitution sin -
¦ k sin i/j , k = sin — erhält man die Gleichung
t-t0 = J- r -j=
#
y 1 — k2sin2 ip
l-F(k,ip)
A4 99c)
Dabei ist F(k,ip) ein elliptisches Integral 1. Gattung (s. (8 27a) in 8.1.4.3,1., S 454). Der
Ausschlagwinkel d = $(£) ist eine periodische Funktion der Periode 2T mit
'-£'(*!)-/;*•
A4 99d)
wobei K ein vollständiges elliptisches Integral 1 Gattung darstellt (Tabelle 21.9, S. 1091). Mit T
ist die Schwingungsdauer des Pendels bezeichnet, d h die Zeit zwischen zwei Umkehrpunkten, für die
dti 1—
— = 0 gilt Für kleine Auslenkungen mit sin d « d wird T = InJl/g
726 14- Funktionentheorie
IM
17
rvv
\
\
\
\
\
\
^,"—•«*
2K\
cnx
dnx
^ ^''
• ^/
/
/
/
/
/3K
/ /
V /
snx
X
/4K
0I+C02
Abbildung 14.54
Abbildung 14.55
Abbildung 14.56
14.6.2 Jacobische Funktionen
1. Definition
Aus der Darstellung (8.26a) und (8.27a) für das elliptische Integral 1. Gattung F(k,ip) folgt für 0 <
k< 1
^ = A - k2 sin2 (p)-i > 0, A4.100)
d h., F(k, ip) ist bezüglich ip streng monoton, so daß die zu
rtih
¦¦ u((p) A4.101a) inverse Punktion y = am(fc, u) = <p{u) A4.101b)
"^/tTt
di\)
{ \j\ - k2 sin2 ip
existiert Sie wird als Amplitudenfunktion bezeichnet Mit ihrer Hilfe werden die sogenannten JACO-
Bischen Funktionen wie folgt definiert
snu = sin ip = sin am(A:, u) (sinus amplitudinis), A4.102a)
cnw = cos (p = cos am(A;, u) (cosinus amplitudinis),
dm/ = Vi - k2sn2u (delta amplitudinis).
A4.102b)
A4.102c)
2. Meromorphe und doppelperiodische Funktionen
Man kann die JACOBlschen Punktionen in die komplexe z-Ebene analytisch fortsetzen. Die
Punktionen snz , cnz und dnz sind dann meromorphe Punktionen (s 14 3.5 2, S. 715), d h , sie besitzen außer
Polstellen keine weiteren Singularitäten Außerdem sind sie doppelperiodisch: Jede dieser Punktionen
f(z) hat genau 2 Perioden u\ und uü2 mit
f{z + u1) = f(z), f(z + u2) = f{z) A4103)
Dabei sind u\ und u2 zwei beliebige komplexe Zahlen, deren Quotient nicht reell ist Aus A4.103) folgt
die allgemeine Formel
f{z + mw1+mj2) = f(z), A4 104)
wobei m und n beliebige ganze Zahlen sind Meromorphe doppelperiodische Punktionen heißen
elliptische Funktionen Die Menge
{z0 + aiui + a2u2: 0 < au a2 < 1} A4.105)
mit beliebigen festen z0 G C heißt Periodenparallelogramm der elliptischen Funktion. Ist diese im
Periodenparallelogramm (Abb. 14.56) beschränkt, dann ist sie eine Konstante.
¦ Die JACOBlschen Funktionen A4.102a) und A4.102b) sind elliptische Funktionen. Die
Amplitudenfunktion A4.101b) ist keine elliptische Funktion
14 6 Elliptische Funktionen 727
3. Eigenschaften der Jacobischen Funktionen
Mit den Substitutionen
k'2 = l-k2, tf' = F(A^), tf = F(*,|)
A4.106)
lassen sich für die JACOBlschen Funktionen die in Tabelle 14.3 aufgeführten Eigenschaften
angeben, wobei m und n beliebige ganze Zahlen sind. Den Verlauf von snz, cnz und dnz findet man in
Abb. 14.55 Außerhalb ihrer Polstellen gelten für die JACOBlschen Funktionen die folgenden
Beziehungen:
1. sn22 + cn22=l, k2sn2z + dn2z = 1, A4 107)
2. sn(u + v) =
(snu)(cnv)(dnv) + (snv)(cnu)(dnu)
1 — k2(sn2u)(sn2v)
Tabelle 14 3 Perioden, Nullstellen und Pole der JACOBlschen Funktionen
snz
cnz
dnz
Perioden u\, co>2
4K,2iK'
AK,2(K + iK')
2K,AiKf
Nullstellen
2mK + 2n\K'
Bm + \)K + 2mA"'
Bm + l)K + Bn + l)\K'
Pole
^
\2mK + {2n + l)iK'
)
A4.108a)
cn(w + v) =
dn(u + v) =
(cnu)(cnv) — (snit)(dim)(sm;)(diiv)
1 — k2(sn2u)(sn2v)
(dnu)(dnv) — k2(snu)(cnu)(snv)(cnv)
1 — k2(sn2u)(sn2v)
3. (sn*)' - {cnz)(dnz), A4.109a)
A4.108b)
A4.108c)
(cnz)' = -{snz)(dnz), A4.109b)
(dnz)' = -k2(snz)(cnz) A4.109c)
Weitere Eigenschaften der JACOBlschen und weiterer elliptischer Funktionen s. [14.10], [14 18]
14.6.3 Thetafunktionen
Zur Berechnung der JACOBlschen Funktionen verwendet man die Thetafunktionen
0i(*, q) = 2g* f](-l)V(n+1) sinBn + \)z ,
02B, q) = 2tf* J2 Qn{n+1) cosBn + l)z
n=0
oo
ti*(z,q) = l + 2Y,<r2 cos 2nz,
71=1
OO
•&t(z,q) = 1 + 2 5^(-l)V2 cos2n2 .
A4.110a)
A4 110b)
A4.110c)
A4.110d)
728 14 Funktionentheorie
Ist \q\ < 1 (q komplex), dann konvergiern die Reihen A4.110a) bis A4.110d) für alle komplexen
Argumente z . Bei konstantem q verwendet man häufig die Abkürzungen
M*)'=M™,q) (* = 1,2,3,4). A4111)
Damit haben die jACOBischen Funktionen die folgenden Darstellungen:
V2ü:y
und #,#' gemäß A4 106).
14.6.4 Weierstrasssche Funktionen
Von Weierstrass sind die Funktionen
p(z) = p(z,uuu2), A4.113a) CO*) = C(z,uuW2), A4.113b)
GB) = aB:,a;i,cj2) A4.113c)
eingeführt worden, wobei u\ und a>2 zwei beliebige komplexe Zahlen darstellen, deren Quotient nicht
reell ist. Man setzt
Umn = 2{muJi + nuj2), A4.114a)
wobei m und n beliebige ganze Zahlen sind, und definiert
P(Z,UUUJ2) = Z-2 + Y,' [(Z - "rnn)-2 ~ ""*] . A4.114b)
Dabei deutet der Strich am Summenzeichen an, daß das Wertepaar m = n = 0 ausgenommen ist Die
Funktion p(z,Lüi,u2) hat folgende Eigenschaften:
1. Sie ist eine elliptische Funktion mit den Perioden u\ und lü2 .
2. Die Reihe A4.114b) konvergiert für alle z ^ umn.
3. Die Funktion p(z,lüi,lü2) genügt der Differentialgleichung
- 92P ~ 93 A4.115a) mit g2 = 60 £ 'u^n , g3 = 140 £'«,-« A4.115b)
Die Größen g2 und #3 werden als Invarianten von p(z,lüi,lü2) bezeichnet
4. Die Funktion w = p(z,u>i,uj2) ist die Umkehrfunktion zu dem Integral
00
z= [-—£==. A4.116)
5. p(u + v) = -
p'(u)-p»
<u)-p(u). A4.117)
p(u) - p(v)
Die WEiERSTRASSschen Funktionen
C(^) = Z-1 + E ' [(* " "rnn)-1 + ^ + U^z] , A4.118a)
14 6 Elliptische Funktionen 729
a(z) = zexp ( f k(t) - r1] dt) = z ft ' (l - —) exp (— + -^-) A4.118b)
sind nicht doppelperiodisch, also keine elliptischen Funktionen. Es gelten folgende Beziehungen:
1. C(z) = -p(z), C(*) = 0n<7(*)), A4.119)
2. £(-*) = -C(«), *(-*) - -*(*), A4 120)
3. C(z + 2wi) = C(«) + 2C(wi), C(* + 2cj2) = C(^) + 2C(wa), A4 121)
4. C(* + t;) = du) + CM + ^i"*?? • A4 122)
2 p(w) - p(v)
5. Jede elliptische Funktion ist eine rationale Funktion der WEiERSTRASSschen Funktionen p(z)
und ((z).
730 15. Integraltransformationen
15 Integraltransformationen
15.1 Begriff der Integraltransformation
15.1.1 Allgemeine Definition der Integraltransformationen
Unter einer Integraltransformation versteht man einen Zusammenhang zwischen zwei Funktionen f(t)
und F(p) der Form
+oo
F(p)= J K(p,t)f{t)dt. A5 1a)
—oo
Die Funktion f(t) heißt Originalfunktion, ihr Definitionsbereich Originalbereich Die Funktion F(p)
nennt man Bildfunktion, ihren Definitionsbereich Bildbereich.
Die Funktion K(p, t) heißt der Kern der Transformation. Während es sich bei t um eine reelle
Veränderliche handelt, ist p = a + icj eine komplexe Variable.
Eine abgekürzte Schreibweise erhält man durch Einführung des Symbols T für die
Integraltransformation mit dem Kern K(p, t)-
F{p) = T{f{t)}. A51b)
Man spricht kurz von T-Transformation.
15.1.2 Spezielle Integraltransformationen
Für unterschiedliche Kerne K(p, t) und unterschiedliche Definitionsbereiche erhält man
unterschiedliche Integraltransformationen. Die verbreitetsten sind die LAPLACE-Transformation, die Laplace-
CARSON-Transformation sowie die FOURIER-Transformation. In Tabelle 15.1 ist ein Überblick über
Integraltransformationen von Funktionen einer Veränderlichen gegeben. Hinzu kommen heute vor
allem bei der Bilderkennung oder bei der Charakterisierung von Signalen noch weitere
Transformationen wie die Wavelet-Transformation, die Gabor-Transformation und die Walsh- Transformation
(s. 15.6, S 763fT)
15.1.3 Umkehrtransformationen
In den Anwendungen ist die Rücktransformation einer Bildfunktion in die Originalfunktion von
unmittelbarem Interesse. Man spricht auch von Umkehrtransformation oder inverser Transformation. Bei
Benutzung des Symbols T_1 schreibt sich die Umkehrung der Integraltransformation A5 lb) gemäß
f(t) = T-i{F(p)}. A5 2a)
Der Operator T-1 heißt der zu T inverse Operator, so daß gilt
T~l{T{f(t)}} = f(t) A5.2b)
Die Bestimmung der Umkehrtransformation bedeutet, die Lösung der Integralgleichung A5.1a) zu
suchen, in der die Funktion F(p) gegeben ist und die Funktion f(t) gesucht wird Wenn eine Lösung
existiert, kann sie in der Form
f(t) = T-'lFip)} A5.2c)
geschrieben werden. Die explizite Bestimmung der inversen Operatoren für die verschiedenen
Integraltransformationen, d h. für verschiedene Kerne K(p, t), gehört zu den grundlegenden Problemen der
Theorie der Integraltransformationen Der Anwender benutzt zur Lösung seiner Probleme vor allem
die in entsprechenden Tabellen angegebenen Korrespondenzen von zusammengehörigen Bild- und
Originalfunktionen (Tabelle 21.14.1, 21.14.2, 21.14.3 und 21.14.4).
15 1 Begriff der Integraltransformation 731
Tabelle 15.1 Übersicht über Integraltransformationen von Punktionen einer Veränderlichen
Transformat ion
Laplace-
Transformation
Zweiseitige
Laplace-
Transformation
Endliche
LAPLACE-
Transformation
Laplace-
Carson-
Transformation
FOURIER-
Transformation
Einseitige
FOURIER-
Transformation
Endliche
Fourier-
Transformation
FOURIER-
Kosinus-
Transformation
FOURIER-Sinus-
Transformation
Mellin-
Transformation
Hankel-
Transformation
z/-ter Ordnung
Stieltjes-
Transformation
Kernii:(p,t)
f 0 für t < 0
\ e~pt für t > 0
e-Pt
@ für * < 0
l e~pt für 0 < t < a
{ 0 für t > a
@ für t < 0
\ pe~pt für t > 0
e-iu,t
f 0 für t < 0
\ e~iu)t für * > 0
( 0 für t < 0
i e-iw^ für 0 < * < a
[O für £ > a
f 0 für t < 0
JRe(eiu") für «>0
f 0 für t < 0
| Im (eiujt) für t > 0
f 0 für t < 0
t*"-1 für t>0
f 0 für t < 0
t tJ^Ccrt) für £>0
@ für t < 0
] —!— für t > 0
Symbol
oo
C{f(t)} = Je-"'f(t)dt
0
+oo
Al{/(*)} = / e-p'/(*)*
—oo
Ca{f(t)} = Je-ptf(t)dt
0
oo
C{/(*)} = Jpe-ptf(t)dt
0
+oo
^{/(*)} = / e~^f(t)dt
—oo
*H/«} = je-^f(t)dt
0
a
Fa{f{t)} = je-^}(t)dt
0
oo
Fc{f(t)} = J f{t) COS Ut dt
0
fs{f(t)} = ]f(t)smutdt
0
oo
M{f(t)} = ff-if(t)dt
0
oo
Hv{f(t)} = JtJu{cjt)f(t)dt
0
0 ^
Bemerkung
p = er + ia;
4i{/(*)JW} = £{/(*)}
wobei
, , / 0 für * < 0
JW ~ \ l für t > 0
Die CARSON-Trans-
formation kann auch als
zweiseitige oder endliche
Transformation
auftreten.
p = a -\-ilü a = 0
p = o + \uj a = 0
p = a + \u a = 0
p = o~ + \u cr = 0
p = er + iu; er = 0
p = a + iu u = 0
J^ot) = BESSEL-Funk-
tion erster Art z/-ter
Ordnung
732 15. Integraltransformationen
15.1.4 Linearität der Integraltransformationen
Sind fi(t) und f2{t) transformierbare Funktionen, dann gilt
r{hh(t) + hh{t)} = hT{h{t)} + k2T{f2(t)}, A5 3)
wobei ki und k2 beliebige Zahlen sein können Das bedeutet, daß eine Integraltransformation eine
lineare Operation auf der Menge T der T-transformierbaren Funktionen darstellt.
15.1.5 Integraltransformationen für Funktionen von mehreren
Veränderlichen
Integraltransformationen für Funktionen von mehreren Veränderlichen werden auch
Mehrfach-Integraltransformationen genannt (s. [15.14]) Am verbreitetsten sind die zweifache LAPLACE-Transforma-
tion, d.h. die LAPLACE-Transformation für eine Funktion von zwei Veränderlichen, die zweifache La-
PLACE-CARSON-Transformation und die zweifache FOURIER-Transformation. Mit dem Symbol C für
die LAPLACE-Transformation lautet die Definitionsgleichung
oo oo
F{p,q) = C2{f(x,y)} = j j e-'*->*f{x,y)dxc
A5 4)
=0y=0
15.1.6 Anwendungen der Integraltransformationen
1. Prinzipielle Bedeutung Neben der großen theoretischen Bedeutung, die
Integraltransformationen in solchen grundlegenden Gebieten der Mathematik wie der Theorie der Integralgleichungen und
der Theorie der linearen Operatoren besitzen, haben sie ein breites Anwendungsfeld bei der Lösung
praktischer Probleme in Physik und Technik gefunden. Methoden mit dem Einsatz von
Integraltransformationen werden häufig Operatorenmethoden genannt. Sie eignen sich zur Lösung von gewöhnlichen
und partiellen Differentialgleichungen, von Integralgleichungen und Differenzengleichungen.
2. Schema der Operatorenmethode Das allgemeine Schema des Einsatzes der
Operatorenmethode mit Integraltransformation ist in Abb. 15.1 dargestellt. Die Lösung eines Problems wird nicht
auf direktem Wege durch unmittelbare Lösung der Ausgangsgleichung gesucht; man strebt sie vielmehr
über eine Integraltransformation an. Die Rücktransformation der Lösung der transformierten Lösung
führt dann auf die Lösung der Ausgangsgleichung.
Aufgabe
Gleichung der
Aufgabe
Lösung der
Gleichgung
Ergebnis
Transformation
Lösung über die
Transformation
Inverse Transformation
I
transformierte
Gleichung
Lösung der
transformierten
Gleichung
?
Abbildung 15.1
Die Anwendung der Operatorenmethode zur Lösung gewöhnlicher Differentialgleichungen besteht in
den folgenden drei Schritten:
1. Übergang von einer Differentialgleichung für die unbekannte Punktion zu einer Gleichung für ihre
Transformierte
2. Auflösung der erhaltenen Gleichung im Bildbereich, die im allgemeinen keine Differentialgleichung
mehr ist, sondern eine algebraische Gleichung, nach der Bildfunktion
15 2 Laplace-Transformation 733
3. Rücktransformation der Bildfunktion mit Hilfe von T_1 in den Originalbereich, d h Bestimmung
der Originalfunktion
Die Schwierigkeit der Operatorenmethode liegt oft nicht in der Lösung der Gleichung, sondern im
Übergang von der Funktion zur Transformierten und umgekehrt
15.2 Laplace-Transformation
15.2.1 Eigenschaften der Laplace—Transformation
15.2.1.1 Laplace-Transformierte, Original- und Bildbereich
1. Definition der Laplace-Transformation Die LAPLACE-Transformation
C{f(t)} = je-"tf(t)dt = F(p)
A5 5)
ordnet einer gegebenen Funktion f(t) der reellen Veränderlichen t, Originalfunktion genannt, eine
andere Funktion F(p) der komplexen Veränderlichen p zu, die Bildfunktion genannt wird. Dabei wird
vorausgesetzt, daß die Originalfunktion f(t) in ihrem Definitionsbereich t > 0, dem Originalbereich,
stückweise glatt ist und für t —> oo nicht stärker als eat mit a > 0 gegen oo strebt. Der
Definitionsbereich der Bildfunktion F(p) wird Bildbereich genannt.
Häufig wird in der Literatur die LAPLACE-Transformierte auch in der WAGNERschen oder LAPLACE-
CARSONschen Form
Cw{f(t)}=pje-"tf(t)dt = pF(p)
A5.6)
eingeführt (s. [15 15])
2. Konvergenz Das LAPLACE-Integral £{f(t)} konvergiert in der rechten Halbebene Rep > a
(Abb. 15.2) Die Bildfunktion F(p) ist dann dort eine analytische Funktion mit den Eigenschaften
1. lim F(p)=0. A5.7a)
Rep—»oo
Jede Bildfunktion muß diese notwendige Bedingung erfüllen.
2. lim pF(p) = A,
A5.7b)
falls die Originalfunktion f(t) einen endlichen Grenzwert lim f(t) = A besitzt
Impf
f(t)=sin(at)
Abbildung 15.2
Abbildung 15.3
3. Inverse Laplace-Transformat ion (Rücktransformation) Aus der Bildfunktion erhält man
die Originalfunktion mit Hilfe der Umkehrformel
C+IOO
für t > 0,
für t < 0 .
{ISA
734 15 Integraltransformationen
Der Integrationsweg dieses komplexen Integrals ist die Parallele Kep = c zur imaginären Achse, wobei
Rep = c> a gilt Ist die Stelle t = 0 eine Sprungstelle, d h ist lim f(t) ^ 0 , dann gibt das Integral
dort den Mittelwert -/(+0) an
15.2.1.2 Rechenregeln zur Laplace—Transformation
Unter Rechenregeln versteht man im Zusammenhang mit Integraltransformationen die Abbildung von
Operationen im Originalbereich auf andere Operationen im Bildbereich
Im folgenden werden Originalfunktionen stets mit kleinen Buchstaben bezeichnet, die jeweils
zugehörigen Bildfunktionen mit den entsprechenden großen Buchstaben.
1. Additions- oder Linearitätssatz
Die LAPLACE-Transformation einer Summe ist gleich der Summe der LAPLACE-Transformierten,
wobei konstante Faktoren vor das LaplACE-Integral gezogen werden können (Ai, , An Konstanten):
£{Ai/i(*) + A2/2(«) + • • 4- \nfn(t)} = \lF1(p) + A2F2(p) + • • • + XnFn(p). A5 9)
2. Ähnlichkeitssätze
Die LAPLACE-Transformierte von f(at) (a > 0, a reell) ergibt eine LAPLACE-Transformierte, die gleich
der Transformierten der durch a dividierten Originalfunktion ist, aber mit dem Argument p/a.
C{f(at)} = -f(-) (o > 0, reell). A5 10a)
In Analogie dazu gilt für die Rücktransformation
F^ = lc{fQ}- A510b)
Die Abb. 15.3 zeigt die Ahnlichkeitstransformation am Beispiel einer Sinusfunktion
¦ Berechnung der LAPACE-Transformierten von f(t) = sin(o;t). Die Korrespondenz für die
Sinusfunktion lautet C{sin(ut)} = F(p) = l/(p2 + 1). Die Anwendung des Ahnlichkeitssatzes liefert
£{sm(ut)} = F(p/u>) = - l = -^-—2
Lü (p/LüJ + 1 P2 + Lü2
3. Verschiebungssätze
1. Verschiebung nach rechts Die LAPLACE-Transformierte einer um a (a > 0) nach rechts
verschobenen Originalfunktion ist gleich der LAPLACE-Transformierten der nicht verschobenen
Originalfunktion, multipliziert mit dem Faktor e~ap-
C{f(t-a)} = e-a?F(p) A5 11a)
2. Verschiebung nach links Die LAPLACE-Transformierte einer um a nach links verschobenen
Originalfunktion ist gleich der mit dem Faktor eap multiplizierten Differenz aus der LAPLACE-Trans-
a
formierten der nicht verschobenen Originalfunktion und dem Integral / f(t) e~pt dt
o
C{f(t + a)} = eap [f(P) - £e-ptf(t)dtj . A5 IIb)
Die Abb. 15.4 und 15.5 zeigen die Rechtsverschiebung einer Kosinusfunktion und die
Linksverschiebung einer Geraden
4. Dämpfungssatz
Die LAPLACE-Transformierte einer mit dem Faktor e~bt gedämpften Originalfunktion ist gleich der
LAPLACE-Transformierten mit dem Argumentp + b (b beliebig komplex):
C{e-btf(t)} = F(p + b). A5.12)
15.2 Laplace-Transformation 735
Abbildung 15.4
Abbildung 15 5
5. Differentiation im Originalbereich
Wenn die Ableitungen /'(£), /"(£), • ., f^{t) für t > 0 existieren und die höchste auftretende
Ableitung von f(t) eine Bildfunktion besitzt, dann haben auch die niedrigeren Ableitungen einschließlich
f(t) eine Bildfunktion, und es gilt:
£{/'(*)} = pF(p)-/(+0),
£{f"(t)} = p>F(p)-f(+0)p-f(+0l
C{f{n)(t)} = pnF(p) - /(+0)p"-1 - /'(+0)^-2 -
- /(n-2)(+0)p - /(n-1}(+0) mit
/W(+0)=tlimo/M(«).
A5.13)
Aus der Gleichung A5.13) ergibt sich die folgende Darstellung des LAPLACE-Integrals, die zur
genäherten Berechnung von LAPLACE-Integralen genutzt werden kann*
A5.14)
6. Differentiation im Bildbereich
C{tnf(t)} = (-irF^(p). A5.15)
Die n-te Ableitung der Bildfunktion ist gleich der LAPLACE-Transformierten der mit (—t)n
multiplizierten Originalfunktion f(t):
C{(-l)ntnf(t)} = F^(p) (n=l,2,...). A5 16)
7. Integration im Originalbereich
Die Bildfunktion eines Integrals über die Originalfunktion ist gleich der Bildfunktion der
Originalfunktion, multipliziert mit l/pn (n > 0).
CUdnJdT2.. J f(Tn)dTn\=jj^^CU(t-T)Wf(T)dT\ = ±F(p). A5.17a)
ialfall des gewöhn
{/H-i
Im Originalbereich heben sich Differentiation und Integration gegenseitig auf, wenn die Anfangswerte
verschwinden
8. Integration im Bildbereich
ci^\ = jdp1jdp2 J F(pn)dpn = —^—J(z-p)n-1F(z)dz. A5.18)
Im Spezialfall des gewöhnlichen einfachen Integrals gilt:
C\f i(r)dr\ = -F(p).
A5 17b)
736 15. Integraltransformationen
Diese Formel gilt nur, wenn f(t)/tn eine LAPLACE-Transformierte besitzt. Dazu muß f(x) für t —? 0
genügend stark gegen Null streben Als Integrationsweg kann ein beliebiger, von p ausgehender Strahl
gewählt werden, der mit der reellen Achse einen spitzen Winkel bildet.
9. Divisionssatz
Im Spezialfall n = 1 von A5 18) gilt:
«{f}-7™*.
A5 19)
/(*)
Damit das Integral A5.19) existiert, muß der Grenzwert lim
existieren.
10. Differentiation und Integration nach einem Parameter
df(t,a)\ dF(p,a)
da
da
A5 20a)
Cl f f(t,a)da\= j F{t,a)
)da.
A5.20b)
Mit Hilfe dieser Formeln kann man manchmal LAPLACE-Integrale aus bereits bekannten berechnen
11. Faltung
1. Faltung im Originalbereich Als Faltung zweier Funktionen fi(x) und f2(x) bezeichnet man
das Integral
/i */2 = //i(r) - f2(t-r)dr
A5 21)
Die Gleichung A5 21) wird auch einseitige Faltung im Intervall @, t) genannt. Eine zweiseitige Faltung
tritt bei der FOURIER-Transformation (Faltung im Intervall (—oo, oo)) auf (s. 15.3.1.3,9., S 752).
Die Faltung A5.21) besitzt die Eigenschaften
a) Kommutatives Gesetz: fx * f2 = f2 * /i, A5.22a)
b) Assoziatives Gesetz: (/i * f2) * /3 = /i * (f2 * f-s), A5 22b)
c) Distributives Gesetz: (/x + f2) * /3 = /i * h + h * h ¦ A5.22c)
Abbildung 15.6
Im Bildbereich entspricht der Faltung die
gewöhnliche Multiplikation:
£{/i * f2} = F1(p) • F2(p). A5 23)
In Abb. 15.6 ist die Faltung zweier Funktionen
graphisch dargestellt Man kann den
Faltungssatz zur Bestimmung der Originalfunktion wie
folgt benutzen-
1. Faktorisierung der Bildfunktion
F(p) = fl(p) • F„(p)
2. Ermittlung der Originalfunktionen fi(t) und
f2(t) der Bildfunktionen F\(p) und F2(p) gemäß
Tabelle
3. Bildung der Originalfunktion durch Faltung
von fi(t) mit f2(t) im Originalbereich gemäß
f(t) = fi{t) * f2(t), die zur gegebenen
Bildfunktion F(p) gehört.
15.2 Laplace-Transformation 737
2. Faltung im Bildbereich (komplexe Faltung)
rci+ioo
2?ri
C{fi{t) - f2(t)} =
^ j F1{z).F2{p-z)dz,
xi-ioo
X2+ic>0
- f F1(p-z)-F2(p)dz
A5.24)
Die Integration erfolgt längs einer Parallelen zur imaginären Achse. Im ersten Integral müssen x\ und
p so gewählt werden, daß z in der Konvergenzhalbebene von £{/i} liegt und p — z in der
Konvergenzhalbebene von C{f2} . Entsprechendes gilt für das zweite Integral.
15.2.1.3 Bildfunktionen spezieller Funktionen
1. Sprungfunktion Der Einheitssprung bei t = t0 wird durch die Sprungfunktion (Abb. 15.7)
(s. auch 14 4.3 2,3., S. 719), auch HEAViSiDEsc/ie Sprung-oder Einheitsfunktion genannt,
«(*-*>)={5 £'*<*,• (fo>0) A525)
vermittelt
¦ A: /(*) = u{t - t0) sinut, F(p) = e"*oP £— (Abb.15.8)
pz + uz
B: f(t) = u{t - t0) srncü {t - t0), F{p) = e~toP
p2 +u2
l\
f(t)
U(t-tn)
u(t-t0) sin cot
(Abb.15.9)
1ff(t) u(t-t0) sin co(t-t0)
Abbildung 15 7
Abbildung 15.8
Abbildung 15 9
2. Rechteckimpuls Ein Rechteckimpuls der Höhe 1 und der Breite T (Abb. 15.10) entsteht durch
Überlagerung zweier Sprungfunktionen in der Form
@ für t < to ,
uT{t - to) = u{t - to) - u{t - to - T) = l 1 für to < * < *o + T,
{ 0 für t > t0 + T;
A5 26)
£{uT(t - to)} -
e-**(l - e-T*>)
A5 27)
3. Impulsfunktion (Diracsche Delta-Funktion) (s. auch 12.9.5, S. 662) Die Impulsfunktion
5(t - t0) ist anschaulich als Grenzfall eines Rechteckimpulses der Breite T und der Höhe 1/T an der
Stelle t = to interpretierbar (Abb. 15.11):
S(t - to) = Hm ~[u(t - to) - u(t -to- T)].
A5.28)
738 15 Integraltransformationen
ff(t)
K(t)
lt
uT(t-tp)
T|
0
tn
Abbildung 15 10
Für eine stetige Funktion h{t) gilt
b
jh(t)S(t-t0)dt=S[^to^
Abbildung 15.11
falls t0 innerhalb (a, b),
falls t0 außerhalb (a, b).
Beziehungen der Art
du{t — to)
8(t -t0) = -
dt
C{5(t-t0)} = e-t»p (*0>0)
A5.29)
A5 30)
werden im allgemeineren Sinne in der Distributionstheorie untersucht (s 12 9 5 3, S. 661).
4. Stückweise differenzierbare Funktionen Die Bildfunktionen stückweise differenzierbarer
Funktionen lassen sich mit Hilfe der E-Funktion leicht angeben
Wenn f(t) stückweise differenzierbar ist und an den Stellen tv (y = 1,2,..., n) die Sprünge au hat, dann
ist ihre erste Ableitung in der Form
dfit)
dt
¦¦ fs(t) + a!Ö(t - *i) + a26{t - t2) + • • • + an5(t - tn)
A5 31)
darstellbar, wobei in den Bereichen, in denen f(t) differenzierbar ist, f's(t) die gewöhnliche Ableitung
von f(t) bedeutet
Wenn Sprünge erst in den Ableitungen auftreten, gelten für diese ganz entsprechende Formeln. Auf
diese Weise lassen sich die Bildfunktionen zu Kurvenzügen, die sich aus Parabelbögen beliebig hoher
Ordnung zusammensetzen (empirisch gefundene Kurven wird man meist durch solche einfachen
Funktionen annähern), ohne großen Rechenaufwand angeben. Bei formaler Anwendung von A5.13) sind im
Falle einer Sprungstelle die Werte /(+0), /'(+()), gleich Null zu setzen.
- b für 0 < t < t0 ,
sonst,
A: f(t) =
/ at + l
10
(Abb.15.12), f'(t) = aut0(t) + bS{t) - {at0 + b)S{t - t0),
WM} = -A " e"i0P) + b - (ato + b) e'^ ;
P
¦ B:
f(t) =
£{f(t)} ¦¦
¦ + b-
\P
+ at0 + b
| 2«o-
10
für 0 < t < t0 ,
- * für *o < * < 2*o . (Abb.15.13) , f'(t) ¦¦
für t>2t0,
C
für 0 < t < t0 ,
1 für t0<t<2t0, (Abb.15.14),
0 für t > 2*o ,
(!_e-toPJ
/"(*) = 6(t)-6(t-t0)-ö(t-to)+6(t-2t0); £{f"(t)} = l-2e"^+e-2^ ; £{f(t)} = 2
IEt/to für 0<*<*0,
-E(t-T)/t0Z T-V<t~<T\ (Abb.15.15);
0 sonst.
15.2 Laplace-Transformaüon 739
f(t)
1
0
'f'(t)
to 2tö .
t
Abbildung 15 12
Abbildung 15 13
Abbildung 15 14
IE/t0 für 0 < t < c0 ,
0 für c0 < c <T-c0, (c>T), ,AUU-K-Äv
-E/to für T-co<c<T, (Abb.15.16);
0 sonst,
/"(«) = !^S(t)-f-S(t-t0)~6(t-T+t0)+^5(t-T); £{/"(<)} = §¦ f 1 - e"*» - e-<T-">>* + e*] ,
Co to CO *o Co L
Ell- e~toP)( 1 - e-(T-*°)p)
f(t)
tn
.t*'«
Itn T-tn T
Abbildung 15 15
D:
/(*) = {
t - t2 für 0 < t < 1,
0 sonst,
(Abb.15.17); /'(*) = {J
Abbildung 15.16
1 - 2* für 0 < * < 1,
sonst,
(Abb.15.18);
f"(t) = -2ul{t) + 6(t) + 6{t-l),
o i 4- p-p 2 n — p~p)
arm = -fr - o +1+e-, c{m} = ±±£_ - 2-^j ,
1/4
f(t)
1/2 1 t
Abbildung 15 17
Abbildung 15 18
5. Periodische Funktionen Die Bildfunktion einer periodischen Funktion f*(t) mit der
Periode T, die durch periodische Fortsetzung einer Funktion f(t) entsteht, ergibt sich aus der Laplace-
Transformierten von f(t), multipliziert mit dem Periodisierungsfaktor
(l-e-Tp)-1. A5.32)
740 15. Integraltransformationen
¦ A: Die periodische Fortsetzung von f(t) aus Beispiel B (s. oben) mit der Periode T = 2£0 ergibt
(l _ e-top\2 i i _ e-top
/•« mit arm = i_—L. r_5; = ^^^.
¦ B: Die periodische Fortsetzung von f(t) aus Beispiel C (s. oben) mit der Periode T ergibt f*(t) mit
_ g(l-e-^)(l-e-Cr-^)
M/W|- W2A_e-rp)
15.2.1.4 Diracsche Delta-Funktion und Distributionen
Bei der Beschreibung gewisser technischer Systeme durch lineare Differentialgleichungen treten häufig
u(t) und S(t) als Stör- oder Eingangsfunktion auf, obwohl die in 15.2.1.1, S. 733 geforderten
Voraussetzungen für die eindeutige Lösbarkeit nicht erfüllt sind: u(t) ist unstetig, 6{t) ist im Sinne der klassischen
Analysis nicht definierbar.
Einen Ausweg zeigt die Distributionstheorie durch die Einführung der sogenannten verallgemeinerten
Funktionen (Distributionen), unter die sich z.B. die bekannten stetigen, reellen Funktionen und 8(t)
einordnen lassen, wobei die notwendigen Differenzierbarkeitseigenschaften gewährleistet sind. Die
Distributionen gestatten verschiedene Darstellungen Zu den bekanntesten gehört die von L. SCHWARTZ
eingeführte stetige reelle Linearform (s. S. 660 und [12.14])
Den periodischen Distributionen lassen sich analog zu den reellen Funktionen FOURIER-Koeffizienten
und FOURIER-Reihen eindeutig zuordnen (s 7 4, S 437).
1. Approximationen der Delta-Funktion
Analog zu A5.28) kann die Impulsfunktion ö(t) durch einen Rechteckimpuls der Breite e und der Höhe
l/e (e > 0) approximiert werden.
/(^) = {o/£S:K>$: («33a)
Weitere Beispiele für die Approximation von 6(t) sind Glockenkurven (s 2.6.3, S. 73) und Lorentz-
Funktionen (s 2 11.2, S. 95)
/(t,e) = _L=e-Ä (e>0), A5 33b)
£V2n
^'£) = ^2 (£>°)- A533c)
Allen diesen Funktionen sind die folgenden Eigenschaften gemeinsam
oo
1. f f(t,e)dt = l. A5.34a)
2. /(—t, e) = f(t, e), d h , es sind gerade Funktionen. A5 34b)
3. Mm/(t,e) = {~^* = 5: A5.34c)
2. Eigenschaften der Delta-Funktion
Wichtige Eigenschaften der ^-Funktion im Hinblick auf ihre Anwendung sind
x+a
1. f f(t)S(t -x)dt = f{x) (/ stetig, a > 0). A5.35)
x—a
2. ö{ax) = -6{x) (a > 0). A5.36)
a
15 2 Laplace-Transformation 741
3. 5 (g(x)) = JT 1 S(x - xt) mit g(x{) = 0 und gf(x{) ^ 0 (i = 1,2, , n), A5.37)
d h die Nullstellen von g(x) müssen einfach sein. Dabei sind sämtliche Nullstellen von g(x) zu
berücksichtigen
4. n-te Ableitung der Delta-Funktion: Nach n-maliger partieller Integration erhält man aus
x+a
f{n\x) = f fin)(t) S(t - x) dt A5.38a)
x—a
eine Vorschrift für die ro-te Ableitung der 5-Funktion
x+a
(-l)nf{n\x) = J f(t) 6{n){t -x)dt. A5 38b)
x—a
15.2.2 Rücktransformation in den Originalbereich
Für die Rücktransformation in den Originalbereich stehen folgende Wege zur Verfügung.
1. Benutzung einer Tabelle zusammengehöriger Original- und Bildfunktionen, auch Korrespondenzen
genannt (s Tabelle 21.13, S. 1097)
2. Zurückführung auf bekannte Korrespondenzen durch Umformung (s. 15 2.2.2, S. 741 und 15 2 2 3,
S 742).
3. Auswertung der Umkehrformel (s. 15 2.2 4, S. 743).
15.2.2.1 Rücktransformation mit Hilfe von Tabellen
Die Benutzung der Tafeln wird hier an einem Beispiel aus Tabelle 21.13, S 1097 demonstriert. Weitere
ausführliche Tafeln sind in [15.3] enthalten
F(P) = TT-r^TT-äT ^ F^P) • F2(P), C~1{F1{p)} = £-1 {^r^ \ = ^sin^ = /i(*)>
1
(p + C)(p2 + UJ2) " iVr/ ^V^/5 ~ r U^J *" \p2-\-LÜ2\ U) "
C 1{F2(p)} = C l < > = e rf = /2(t) Durch Anwendung des Faltungssatzes A5 23) erhält man:
f(t) =C-1{Fl(p).F2(p)}
/•< /•' _c(t_T)smujT 1 /csmut-ucosut A
= / /i W • /2(* -r)dr= e c[t T) dr = + e
15.2.2.2 Partialbruchzerlegung
1. Prinzip Häufig treten in den Anwendungen Bildfunktionen der Form F(p) = H(p)/G(p) auf,
wobei G(p) ein Polynom in p darstellt Hat man die Originalfunktionen zu H(p) und 1/G(p) gefunden,
dann erhält man die gesuchten Originalfunktionen zu F(p) durch Anwendung des Faltungssatzes
2. Einfache reelle Nullstellen von G(p) Hat die Bildfunktion l/G(p) nur einfache Pole pu (y =
1.2, , n), dann gilt für sie die Partialbruchzerlegung
1 n 1
W)=^G>(Pv)(p-p„) A5-39)
Daher lautet die zugehörige Originalfunktion
^-^{mhtö^rr A540)
3. Heavysidescher Entwicklungssatz Ist die Zählerfunktion H(p) ebenfalls ein Polynom von p,
aber von niedrigerem Grade als G(p), dann erhält man die Originalfunktion zu F(p) mit Hilfe der nach
742 15. Integraltransformationen
Heavyside benannten Formel
/W = E^H^* A5-41)
4. Komplexe Nullstellen Treten komplexe Wurzeln im Nenner auf, dann kann man den Heavysi-
DEschen Entwicklungssatz in der gleichen Weise anwenden. Man kann auch jeweils konjugiert komplexe
Glieder, die im Falle komplexer Nullstellen stets vorhanden sein müssen, zu einem quadratischen
Ausdruck zusammenfassen, dessen Rücktransformation wie auch im Falle mehrfacher Nullstellen von G(p)
mit Hilfe der Tabelle der Korrespondenzen durchgeführt werden kann.
¦ FW = t .!¦ wV 2^ . d-h" #(P) = 1» G(P) = (P + C)(P2 + ^2) i G'(P) = 3P2 + 2PC + ^ • Die
(p + c){pl +uz)
Pole pi = — c, p2 = iio, ps = —ioJ sind sämtlich einfach Nach dem HEAVisiDEschen Satz erhält man
/(«) * -M 1 1
uj2 + c2 2cj(o; — ic) 2u (u + ic)
spondenztafel F(p) =
ÜJZ + CZ
1 c — p
¦ +
p + C p2 +ÜJ'
f(t) = —s ö U c* + — sinwt - coswt Die
ur + c2 L o; J
71=0
beiden Ausdrücke für /(£) sind identisch.
15.2.2.3 Reihenentwicklungen
Um f(t) aus F(p) zu gewinnen, versucht man bisweilen, F(p) in eine Reihe F(p) = £ Fn(p) zu
entwickeln, deren Glieder Fn(p) bekannte Bildfunktionen sind, d.h. Fn(p) = C[fn(t)].
1. F(p) - eine absolut konvergente Reihe Wenn F(p) in eine für |p| > R absolut konvergente
Reihe der Form
f(P) = ££ A5.42)
n=0P
entwickelt werden kann, wobei die An eine beliebig aufsteigende Zahlenfolge 0 < A0 < Ai < • • • < An <
...<..._? oo bilden, so ist eine gliedweise Rücktransformation möglich:
/(*) = EflnrnM- A543)
n=0 1 \Än)
Mit r ist die Gammafunktion (s. 8.2.5,6., S. 478) bezeichnet. Speziell erhält man für An = n + 1,
=o n!
Außerdem ist eine Abschätzung in der Form \f(t)\ < Cec,t|, (C, c reelle Konstanten) möglich.
d.h. F(p) = J2 "* , die Reihe /(£) = £ ~~^T~ ^n > die für alle reellen und komplexen t konvergiert.
1 1 / 1 V1/2 °° /_I\ 1
¦ F(p) = . - = - ( 1 + — ) = Y[ o o , n • Nach glied weiser Transformation in den
Vl+T P\ PJ > ^o\ n J P2n+1
oo / 1\ ±2n oo /_i\n , + \2n
Oberbereich erhält man f(t) = ^ B fe) = Yl \\2 (ö) = ^°W (BESSEL-Funktion
n=o \ n / Bn) n=o(n-) ^2'
0-ter Ordnung).
2. F(p)- eine meromorphe Funktion Ist F(p) ist eine meromorphe Funktion, die sich als Quotient
zweier ganzer, also in überall konvergente Potenzreihen entwickelbare Funktionen ohne gemeinsame
Nullstellen darstellen läßt, und die daher in eine Summe aus einer ganzen Funktion und unendlich
15 2 Laplace-Transformation 743
vielen Partialbrüchen zerlegbar ist, dann gilt der Zusammenhang
-. c+iyn n -i
- J e*»F(PLp=5>e»'t- — J <PF<P)dp.
2m
A5.44)
(Kn)
Dabei sind die pv {y = 1,2,.. , n) Pole 1 Ordnung der Funktion F(p), die bv die zugehörigen Residuen
(s 14 3 5 4, S 716), die yv gewisse Ordinaten und Kv gewisse Kurvenzüge, etwa Halbkreise in der in
Abb. 15.19 angedeuteten Art. Die Lösung f(t) erhält man in der Form
oo 1 /"
/(*) = E *>»<?"* > wenn ^ I etpF(p) dp -> 0
2?ri
A5.45)
(Kn)
für y —> oo strebt, was allerdings nicht immer leicht nachzuweisen ist.
.-—
l (fä
7n
73
72
7i
X
-7i
2
3
-7n
7'
B^
CTT^
\
*N
jco
^
J
-jco
-~p_
7n
X
n
Abbildung 15.19 Abbildung 15 20
In manchen Fällen, wenn z.B. der rationale Anteil der meromorphen Funktion F(p) identisch Null ist,
bedeutet das eben gewonnene Ergebnis eine formale Übertragung des HEAVYSlDEschen
Entwicklungssatzes auf meromorphe Funktionen.
15.2.2.4 Umkehr integral
Die Umkehrformel
C+ij/n
/ etpF(p)dp A5 46)
/(*)= lim -^
stellt ein Integral mit komplexem Weg über eine in gewissen Gebieten analytische Funktion dar, auf
das solche Methoden der Integration im Komplexen wie die Residuenrechnung oder die Verformung
des Integrationsweges nach dem Satz von CAUCHY anwendbar sind
P
F(p):
''+UJ-
-e ^ ist wegen des Anteiles y/p doppeldeutig Deshalb wird folgender
Integrationsweg gewählt (Abb.15.20):
2?ri
(K)
p2 + u2
.|...+|... + |... + |... + |... = £Rese*F(p):
e avw/2 cos(a;t - Qy^) • Nach dem Lemma von JORDAN (s. 14.4.3, S. 717) verschwinden die
Integralteile über AB und CD für yn —*¦ oo. Auf dem Kreisbogen EF (Radius e) bleibt der Integrand
beschränkt, (und die Länge des Integrationsweges konvergiert gegen Null für £ —> 0; daher
verschwindet dieser Integralbeitrag Es bleibt das Integral über die beiden horizontalen Strecken BE und FC zu
untersuchen, wobei das obere (p = reln) und untere (p = re~m) Ufer der negativen reellen Achse zu
berücksichtigen sind-
744 15 Integraltransformationen
F(p)etpdp = - e~tr- -e~ia^rdr, / F{p)etpdp = e~tr- -eia^ dr
-oo Jo rl + or Jo Jo rl + ujz
Damit erhält man endgültig:
15.2.3 Lösung von Differentialgleichungen mit Hilfe der
Laplace—Transformation
Schon aus den Rechenregeln für die LAPLACE-Transformation (s. 15.2 1 2, S. 734) ist zu erkennen,
daß durch Anwendung der LAPLACE-Transformation komplizierte Operationen im Originalbereich wie
Differentiation oder Integration durch einfache algebraische Operationen im Bildbereich ersetzt werden
können. Dabei müssen allerdings, z.B. bei der Differentiation, noch Anfangsbedingungen berücksichtigt
werden Von dieser Tatsache macht man bei der Lösung von Differentialgleichungen Gebrauch
15.2.3.1 Gewöhnliche Differentialgleichungen mit konstanten
Koeffizienten
1. Prinzip Die Differentialgleichung n-ter Ordnung
y{n\t) + cn_! y{n-l\t) + • • • + Cl y'(t) + c0 y(t) = f(t) A5 47a)
mit den Anfangswerten y{+0) = y0, J/'(+0) = yf0,... ,y(n-1)(+0) = y^'^ Sent durch LAPLACE-
Transformation in die Gleichung
J2 ckPkY(p) -Y,ck SV-"-1!^ = F{p) (Cr, = 1) A5.47b)
k=0 fc=l i/=0
n
über. Dabei ist G(p) = ^2 CkP — 0 die charakteristische Gleichung der Differentialgleichung (s. 4 5 2 1.
k=0
S. 287 und 9.1.2.4, S. 520).
2. Differentialgleichung 1. Ordnung Original- und Bildgleichung lauten.
y'{t) + coy(t) = f(t), y(+0) = y0i A5 48a) (p + cq) Y(p) - y0 = F(p), A5 48b)
wobei Co = const gilt Für Y(p) ergibt sich dann
Y{p) = m±JH A5.48c)
P + co '
Spezialfall: Für f(i) = X eM* (A, ß const) erhält man A5 49a)
Y(p) = 7 ^7 T + ~^- . A5-49b)
(p-li)(p + co) p + co' v ;
y(t) = -$—4* + (y0 - —M e~CQt A5 49c)
3. Differentialgleichung 2. Ordnung Original- und Bildgleichung lauten-
y"{t) + 2ay'(t) + 6j/(t) = /(*), j/(+0) = </0, </(+0) = y0. A5 50a)
(p2 + 2ap + b) Y(p) - 2ay0 - (py0 + y'0) = F(p) A5.50b)
Für y(p) ergibt sich dann
F(P) + Ba + P)yo + y'0
KFJ p2 + 2ap + 6 K J
15 2 Laplace-Transformation 745
Fallunterscheidungen:
a) b < a2 - G{p) = (p — &i)(p — a2) (ai - a2 reeü" i ai ¥" a2), A5 51a)
q{t) = (eait - ea2t) A5 51b)
0L\ — «2
b) b = a2. G(p) = (p-aJ, A5.52a) q(t) = teat. A552b)
c) b>a2. G{p) hat komplexe Nullstellen, A553a)
1
q(t) = , e~ai sin Vb - a2t A5 53b)
yb — a2
Die Lösung y(t) erhält man dann durch Faltung der Originalfunktionen des Zählers von Y(p) mit q(t)
Die Anwendung der Faltung wird man zu vermeiden und die rechte Seite möglichst direkt zu
transformieren suchen
¦ Die Bildgleichung für die Differentialgleichung y"(t) + 2y'(t) + I0y(t) = 37 cos 3t + 9e~l mit y0 = 1
, , nl -,. x p + 2 37p 9
und y0 = 0 lautet Y(p) = p2 + 2p + 1Q + {p2 + g)(^ + 2p + 1Q) + {p + l){p2 + 2p + 1Q) •
Durch Partialbruchzerlegung des zweiten und dritten Terms der rechten Seite, wobei man die quadra-
—p
tischen Ausdrücke nicht in Linearfaktoren zerlegt, erhält man die Darstellung Y(p) = —z— — —
& 6 Kyj p2 + 2p + 10
7-r— — 4- -r-^ 7 + -r-z—^T + i t und nach gliedweiser Transformation (s Tafel der Kor-
(p2 + 2p+10) (p2 + 9) (p2 + 9) (p+1) 6 V
respondenzen 21.13, S 1097) die Lösung y(t) = (— cos 3t — 6 sin 3t)e~* + cos 3t + 6 sin 3t + e~l
4. Differentialgleichung n-ter Ordnung Die charakteristische Gleichung G(p) = 0 dieser
Differentialgleichung habe nur einfache Wurzeln ai,a2,...,an) von denen keine gleich Null ist. Für die
Störfunktion f(t) können zwei Fälle betrachtet werden
1. Ist die Störfunktion f(t) gleich der in der Praxis häufig auftretenden Sprungfunktion u(t), dann
lautet die Lösung:
««={5 £! < o; (is ^) *> -w)+t ^kf" ¦ A5-54b)
2. Für eine allgemeine Störfunktion f(t) erhält man die Lösung y(t) aus A5 54b) in Gestalt der Du-
HAMELschen Formel, die die Faltung (s. 15.2.1 2,11., S. 736) benutzt:
m = dtly{t~ T)/(r) dT = It[y * /] A5-55)
o
15.2.3.2 Gewöhnliche Differentialgleichungen mit veränderlichen
Koeffizienten
Differentialgleichungen, deren Koeffizienten Polynome in t sind, eignen sich besonders für die
Anwendung der LAPLACE-Transformation Nach Anwendung der Gleichung A5.16) erhält man zwar im
Bildbereich wieder eine Differentialgleichung, ihre Ordnung kann jedoch niedriger sein.
Sind speziell die Koeffizienten Polynome 1 Grades, dann ist die Differentialgleichung im Bildbereich
von 1 Ordnung und dadurch meist leicht lösbar.
d2f df
t—- H
dt2 dt
Die Transformation im Bildbereich ergibt
746 15. Integraltransformationen
~[p2F(p)-pf@)-f@)]+pF(p)-f@)-^-==0 oder 1-=—JL-F{p).
pdp
jC.^1*)l = pC{u(x,t)}-u(x,+0),
/Vdp l
——- = — log Jp2 + 1 + log C,
pl + 1 v
C
F(p) — . . (C Integrationskonstante), F(t) = CJo(t) (s. Beispiel S. 742 unten).
VP + 1
15.2.3.3 Partielle Differentialgleichungen
1. Allgemeine Vorgehensweise
Die Lösung einer partiellen Differentialgleichung ist eine Funktion mindestens zweier Variabler: u =
u(x, t). Da die LAPLACE-Transformation eine Integration bezüglich einer Variablen darstellt, ist die
andere Variable bei der Transformation als konstant zu betrachten
oo
£{u(x,t)} = f e-ptu(x,t)dt = U(x,p). A5.56)
o
Auch bei der Transformation von Ableitungen bleibt x fest.
, j du(x,
)&ult)\ A557)
dp\ = ^W1'*^ " «(*.+°)P- ««(*.+<>)
Für die Ableitungen nach x ist vorauszusetzen, daß sie mit dem LAPLACE-Integral vertauschbar sind
Damit erhält man im Unterbereich eine gewöhnliche Differentialgleichung Außerdem sind die Rand-
und Anfangsbedingungen in den Bildbereich zu transformieren
2. Lösung der eindimensionalen Wärmeleitungsgleichung für ein homogenes
Medium
1. Problemstellung Die eindimensionale Wärmeleitungsgleichung mit verschwindendem Störglied
und für ein homogenes Medium sei in der Form
uxx ~ a~2ut = uxx-uy = 0 A5 59a)
in dem Grundgebiet 0<£<oo,0<:r</ und mit den Anfangs- und Randbedingungen
u(x,+0) =u0(x), u(+0,£) = a0{t), u{l-0,t) = a^t) A5 59b)
gegeben Die Zeitkoordinate wurde durch die Substitution y = at ersetzt Wie die dreidimensionale
Wärmeleitungsgleichung (s. 9.2.3.3, S. 556), so ist auch A5.59a) vom parabolischen Typ.
2. Laplace-Transformation Die Bildgleichung lautet
d2U
— =pU-u0{x), A5.60a)
die Randbedingungen sind
C/(+0,p) = A0(p), U(l - 0,p) = Ax(p) A5.60b)
Die Lösung der Bildgleichung lautet dann
U{x,p) = cYex^> + c2e~x^. A5 60c)
Es ist von Vorteil, zunächst zwei Partikulärlösungen U\ und U2 mit den Eigenschaften
tfi@,p) = l, C/i(Z,p) = 0, A5 61a) C/2@,p) = 0, U2(l,p) = l, A5 61b)
herzustellen, d h
15.3 Fourier- Transformation 747
U^'P)= e^-e-'Vr ¦ A5-61c) Ut(x,p)= t,vf_r,)j. A5.61d)
Die gesuchte Lösung der Bildgleichung hat dann die Form
U(x,p) = A0(p) Ux{x,p) + Al(p) U2(x,p) A5.62)
3. Rücktransformation Die Rücktransformation ist im Falle / —> oo besonders einfach und liefert
C/(x,p) = ao(p)e-^, A5 63a) u{x,t) = ^= f ^'^ exp (~\ dr A5.63b)
15.3 Fourier-Transformation
15.3.1 Eigenschaften der Fourier—Transformation
15.3.1.1 Fourier-Integral
1. Fourier-Integral in komplexer Darstellung Grundlage der FOURIER-Transformation ist das
FOURIER-Integral, auch Integralformel von FOURIER genannt. Falls eine nichtperiodische Funktion
f(t) in einem beliebigen endlichen Intervall den DiRiCHLETschen Bedingungen genügt (s. 7.4 1.2,3.,
S 438) und außerdem das Integral
+oo +oo +oo
/ |/(t)| dt A5 64a) konvergiert, dann gilt /(*) = —-/"/" e1^'^ f {r) dwdr A5.64b)
— OO — OO —OO
in jedem Punkt, in dem die Funktion f(t) stetig ist, und
/(t + 0)t/(*-0) = i 7 du, 7/(r) cos u, (i - r) dr A5 64c)
2 TT J J
0 -oo
in den Unstetigkeitsstellen
2. Äquivalente Darstellungen Andere äquivalente Formen der Darstellung des FOURIER-Inte-
grals A5 64b) sind
+oo +oo
1. f(t) = ~ J J f(r)cos[uj(t-T)}dudT A565)
2. f(t) = / [a(u) cos cot + fc(u;) sincjt] diu mit den Koeffizienten A5.66a)
o
+00 +00
a(u;) = - / f(t)cosiütdt, A5 66b) &(<j) = - / f (t)sinwtdt. A5 66c)
TT J TT J
—00 —00
00
3. f(t)= f A(u) cos [ujt + iP{üj)} du A5.67)
0
4. /(*) = /" i4(w) sin [ut + y?((j) ] du A5.68)
748 15. Integraltransformationen
Dabei gelten die folgenden Beziehungen:
A(u) = yja2{u) + b2(u;), A5 69a) <p(u) = V>M + ^ , A5 69b)
cos^(o;) = -^4, A5.69c) sin^(w) = -^4-, A5 69d)
cos <p(u) = ^r, A5.69e) sin ip(cü) = -^. A5 69f)
15.3.1.2 Fourier-Transformation und Umkehrtransformation
1. Definition und Existenz der Fourier-Transformat ion
Die FOURIER-Transformation ist eine Integraltransformation der Form A5.1a), die aus dem FOURIER-
Integral A5.64b) dadurch entsteht, daß man
+oo
F(u)= f e-'WTf(T)dT A5 70)
—oo
substituiert. Damit erhält man den folgenden Zusammenhang zwischen der reellen Originalfunktion
f(t) und der im allgemeinen komplexen Bildfunktion F(u).
+oo
}{t) = — j e^F{uü)dw. A5 71)
—oo
In der Kurzschreibweise verwendet man das Zeichen T.
+oo
F(w) = T{ f(t) } = J «-•"«/(*) * • A5 72)
— OO
Die Originalfunktion f(t) heißt FoURlER-transformierbar, wenn das Integral A5.70), also ein
uneigentliches Integral mit dem Parameter u , existiert. Wenn das FOURI ER-Integral nicht als gewöhnliches
uneigentliches Integral existiert, ist es als CAUCHYscher Hauptwert zu verstehen (s. 8.2.3.3,1., S. 474)
Die Bildfunktion F(u) nennt man auch Fourier-Transformierte; sie ist beschränkt, stetig und strebt
für \u\ —* oo gegen Null:
lim F(uj) = 0 A5.73)
M—oo
Existenz und Beschränktheit von F(u) folgen direkt aus der offensichtlich gültigen Ungleichung
+oo +oo
|F(w)| < / |e-«"*/(*)l dt < J |/(t)| dt. A5.74)
—oo —oo
Für die Stetigkeit von F(u>) und die Eigenschaft F(u) —> 0 für \u\ —* oo ist die Existenz der FOURIER-
Transformierten eine hinreichende Bedingung. Diese Aussage wird häufig in folgender Form benutzt-
Wenn die Funktion f(t) in (—oo , oo) absolut integrierbar ist, dann ist ihre FOURIER-Transformierte
eine stetige Funktion von u , und es gilt A5.73).
Die folgenden Funktionen sind nicht FoURlER-transformierbar: konstante Funktionen, beliebige
periodische Funktionen (z.B. sin ut, cos ut), Potenzfunktionen, Polynome, Exponentialfunktionen (z.B
eat, Hyperbelfunktionen).
2. Fourier—Sinus- und Fourier—Kosinus—Transformation
In der FouriER-Transformation A5.72) kann der Integrand in Sinus- und Kosinusfunktionen zerlegt
werden Dann ergibt sich die FOURIER-Sinus- bzw. -FoURlERKosinus-Transformation.
15.3 Fourier-Transformation 749
1. Fourier-Sinus-Transformation
Ff
\(üj) = Fs{ f(t) } = f f(t) sin (wt) dt. A5 75a)
o
2. Fourier-Kosinus-Transformation
oo
Fc(uj) = Tc{ f(t) } = I f{t)cos(lüt)dt. A5 75b)
0
3. Umrechnungsformeln Zwischen der FOURIER-Sinus- A5 75a) und der FOURIER-Kosinus-
Transformation A5 75b) einerseit und der FOURIER-Transformation A5.72) andererseits bestehen die
folgenden Umrechnungsformeln
FM = H f(t) } = rc{ f(t) + f(-t) } - \F,{ f(t) - f(-t) }, A5 76a)
F5(a>) = ^{/(|t|)signi}, A5.76b) Fc(o,) = ^{/(t)}. A5.76c)
Für gerade bzw ungerade Funktionen f(t) ergibt sich die Darstellung
/(*) gerade. T{ f(t) } = 2TC{ f(t) } , A5 76d)
f(t) ungerade- T{ f(t) } = -2iJ^s{ f{t) } A5 76e)
3. Exponentielle Fourier-Transformation
Im Unterschied zu F(u) gemäß A5.72) wird
+oo
Fe{u) = re{f(t)} = - f e^f(t) dt A5.77a)
—oo
exponentielle FOURIER-Transformation genannt Es gilt
F{u) = 2Fe(-w). A5.77b)
4. Tabellen der Fourier-Transformation
Auf Grund der Formeln A5.76a.b,c) brauchen entweder keine speziellen Tabellen für
Korrespondenzen der FOURIER-Sinus- und FOURIER-Kosinus-Transformation bereitgestellt zu werden, oder man
tabelliert die FOURIER-Sinus- und FOURIER-Kosinus-Transformationen und berechnet daraus mit
Hilfe von A5.76a,b,c) F(u) In Tabelle 21.14.1, s S 1103 und Tabelle 21.14.2, S. 1109) sind die
FOURIER-Sinus-Transformation Tb und die FOURIER-Kosinus-Transformation Tc tabelliert, darüber
hinaus in Tabelle 21.14.3, S 1114) für einige Funktionen die FOURIER-Transformationen T und in
Tabelle 21.14.4, S 1116 für einige Funktionen die exponentiellen Fourier-Transformationen Te.
¦ Die Funktion des unipolaren Rechteckimpulses f(t) = 1 für \t\ < t0, f(i) = 0 für \t\ > t0
(A 1) (Abb.15.21) erfüllt die Voraussetzungen der Definition des FOURI ER-Integrals A5.64a). Man
1 f+to 2
erhält für die Koeffizienten gemäß A5 66b,c) a(u>) = — I cos utdt = —sin ujto und b{u) =
7T J-to 7TLÜ
1 f+to . , ^ / a ^x , , ^ / ~~ N „, N 2 f°° Sin Lü t() COS Lü t , , . „*
- / sin ujtdt = 0 (A 2) und damit gemäß A5.66a) f(t) = - / du (A.3).
7T J-to TT Jo Lü
5. Spektralinterpretation der Fourier-Transformation
In Analogie zur FOURIER-Reihe einer periodischen Funktion erfährt das FOURIER-Integral für eine
nichtperiodische Funktion eine einfache physikalische Interpretation Eine Funktion f(t), für die das
FOURIER-Integral existiert, kann gemäß A5 67) und A5 68) als Summe sinusoidaler Schwingungen
mit der sich stetig ändernden Frequenz lü in der Form
A(Lü)duj sm[Lüt + (p(Lü)}, A5 78a) A(üj) du cos [ut + tp(u)] A5.78b)
dargestellt werden Der Ausdruck A(lü) du gibt die Amplitude der Teilschwingungen an und (p(u) und
750 15 Integraltransformationen
f(t)
-t0 0
Abbildung 15 21
Abbildung 15 22
i>(uj) deren Phasen Für die komplexe Schreibweise trifft die gleiche Interpretation zu Die Funktion
f(t) ist eine Summe (bzw. Integral) von lü abhängigen Summanden des Typs
_1_
2^
F(u)duelu
1
A5 79)
wobei die Größe —F(uj) sowohl die Amplitude als auch die Phase aller Teilvorgänge festlegt
Diese spektrale Interpretation des FOURIER-Integrals und der FOURIER-Transformation bedeutet einen
großen Vorteil für die Anwendung in Physik und Technik Die Bildfunktion
A5.80a)
F(u>) = |F(cj)|e^(u;) bzw \F(u)\ eiv(w)
nennt man Spektrum oder Frequenzspektrum der Funktion f(t), die Größe
\F{lj)\ =ttA(lü) A5 80b)
das Amplitudenspektrum und ip(u) bzw tp(u) das Phasenspektrum der Funktion f(t). Zwischen dem
Spektrum F(u) und den Koeffizienten A5 66b,c) besteht die Beziehung
F(u) = n[a(u)-ib(u)], A5 81)
woraus sich die folgenden Aussagen ergeben:
1. Ist f(t) eine reelle Funktion, dann ist das Amplitudenspektrum F(u) eine gerade und das
Phasenspektrum eine ungerade Funktion von uj
2. Ist f(t) eine reelle und gerade Funktion, dann ist ihr Spektrum F(u) reell, ist f(t) reell und ungerade,
dann ist das Spektrum F(u) imaginär
¦ Setzt man das Ergebnis (A.2) für den unipolaren Rechteckimpuls in 15.3.1.2,4., S. 749 in A5.81)
ein, dann ergibt sich für die Bildfunktion F(u) und für das Amplitudenspektrum \F(u)\ (Abb.15.22)
F(u) = F[f(t)] = 7ra{u) - 28mtJt° (A.3), \F(u>)\ = 2\8mU,t°\ (A.4). Die Berührungspunkte
des Amplitudenspektrums |F(a;)| mit der Hyperbel — ergeben sich für u t0
üü
0,1,2. .)
±Bn + l)- in
15.3.1.3 Rechenregeln zur Fourier-Transformation
Wie bei der Lapl ACE-Transformation bereits bemerkt, versteht man unter Rechenregeln im
Zusammenhang mit Integraltransformationen die Abbildung gewisser Operationen im Originalbereich auf
andere Operationen im Bildbereich. Wenn vorausgesetzt wird, daß die beiden Funktionen f(t) und
g(t) im Intervall (—oo , oo) absolut integrierbar sind und ihre FOURIER-Transformierten
F(u) = T{f{t)} und G(u>) = F{g(t)} A5 82)
gebildet werden können, dann gelten die folgenden Regeln.
15.3 Fourier-Transformation 751
1. Additions-oder Linearitätssatz
Sind a und ß zwei Koeffizienten aus (—00,00), dann gilt:
T{ af(t) + ßg(t) } = aF(u) + ßG(u) A5.83)
2. Ähnlichkeitssatz oder Maßstabsveränderung
Für a ^ 0 und reell gilt
F{f(t/a)} = \a\F{au). A5.84)
3. Verschiebungssatz
Für q^O, reell und ß reell gilt
F{ f(at + ß) } = A/a) eißuj/aF(u/a) oder A5.85a)
^{/(^-^o)} = e-iwtoF(cj) A5.85b)
Ersetzt man in A5.85b) to durch —10 , dann ergibt sich
F{f(t + to)} = Ju}toF(u). A5.85c)
4. Dämpfungssatz
Für a > 0 , reell und /? G (-00, 00) gilt
T{ eißtf{at) } = {l/a)F{(u - ß)/a) oder A5.86a)
F{J"otf(t)} = F(Lü-u0). A5.86b)
5. Differentiation im Bildbereich
Ist tnf(t) FoURiER-transformierbar, dann gilt
f{tnf{t)} = inFin){u), A5.87)
wobei mit F^(uj) die n-te Ableitung von F(u) bezeichnet ist.
6. Differentiation im Originalbereich
1. Erste Ableitung Ist eine Funktion f(t) stetig und absolut integrierbar in (—00, 00) und strebt
sie für t —> ±00 gegen Null und existiert, ausgenommen gewisse Punkte, überall die Ableitung f'(i),
die in (—00,00) absolut integrierbar sein muß, dann gilt
F{f(t)} = uF{ /(*)}. A5.88a)
2. n-te Ableitung Stellt man in der Verallgemeinerung des Satzes für die 1. Ableitung an alle
weiteren Ableitungen bis zur (n — l)-ten /(n-1) die gleichen Anforderungen, dann gilt
T{ /<"»(*) } = («m /(«)}• A5.88b)
Diese Differentiationsregeln werden bei der Lösung von Differentialgleichungen angewendet (s. 15.3.2,
S. 754).
7. Integration im Bildbereich
Wenn die Funktion tnf(t) G (—00,00) absolut integrierbar ist, dann besitzt die FOURIER-Transfor-
mierte der Funktion f(t) n stetige Ableitungen, die mit Hilfe von
dkF(u;) _ 7° dk +°°
dwk
I ä7 [e""f/W] dt = ()fc / e-^/Wd* A5.89a)
bestimmt werden Dabei ist k = 1,2,..., n, und es gilt:
lim ^M = 0. A5 89b)
u;^±oo düJk
Unter den gemachten Voraussetzungen folgt aus diesen Beziehungen
Htnf{t)}=in^m_^ A5.89c)
752 15. Integraltransformationen
8. Integration im Originalbereich und Parsevalsche Formel
1. Integrationssatz Wenn die Voraussetzung
+oo ( t \
I f(t) dt = 0 A5.90a) erfüllt ist, dann gilt T \ f f(t) dt \ = —F{u) A5 90b)
-OO l-CXD )
2. PARSEVALsche Formel Wenn die Funktion f(t) sowie ihr Quadrat im Intervall (—00,00) inte-
grierbar sind, dann gilt
+00 +00
/ \f(t)\2dt = - j \F(u)\2dw. A5 91)
— OO —OO
9. Faltung
Die zweiseitige Faltung
+00
Mt) * Mt) = / Mr)Mt - r) dr A5 92)
—oo
bezieht sich auf das Intervall (—00,00) und existiert unter der Voraussetzung, daß die Funktionen fi(t)
und f2(t) im Intervall (—00,00) absolut integrierbar sind. Wenn fi(t) und f2(t) beide für t < 0
verschwinden, dann ergibt sich aus A5.92) die einseitige Faltung
fi(t) * f2(t) = \ l^T)f^-T)dT für *><>, A5.93)
l 0 für t < 0
Diese ist somit ein Spezialfall der zweiseitigen Faltung. Während die FOURIER-Transformation die
zweiseitige Faltung benutzt, verwendet die LAPLACE-Transformation die einseitige Faltung.
Für die FOURIER-Transformation der zweiseitigen Faltung gilt
H Mt) * Mt)} = H Mt)} • H Mt)}, A5 94)
wenn die Integrale
+00 +00
j\h(t)\2dt und f\f2{t)\2dt A5 95)
—00 —00
existieren, d.h , die Funktionen und ihre Quadrate im Intervall (—00,00) integrierbar sind
/+00
f(r)f(t — t) dr (A.l) für die Funktion des
-00
unipolaren Rechteckimpulses (A.l) in 15 3 1 2,4., S 749 zu berechnen
/to rt+to
f(t -r)dT= / }{t) dr (A 2) gilt, ergibt sich für t < -2t0 und t > 2t0 ip{uj) = 0
-to Jt-to
rt+to
und für -2t0 <t<0 i/j(t) = dr = t + 2t0 (A 3)
J-to
fto
In Analogie dazu ergibt sich für 0 < t < 2t0 ip{t) = / dr = -t + 2t0 (A.4)
Jt-to
Zusammengefaßt erhält man für diese Faltung (Abb. 15.23)
(t + 2t0 für -2£0 < t < 0 ,
ij,(t) = f(t) * f(t) = l-t + 2to für 0 < t < 2t0 , (A 5)
k 0 für \t\ > 2t0 .
Für die FOURI ER-Transformierte erhält man mit (A.l) aus dem Beispiel für den unipolaren
Rechteckimpuls (s. 15 3 1 2,4., S. 749 und Abb.15.21)
15.3 Fourier-Transformation 753
*(w) = H m } = F{ f(t) */(*)=[ F(u) ]2 = 4
und für das Amplitudenspektrum der Funktion f(t)
|ir(a;)| = 2|?l5^| und|F(o;)|2:
VW
sin u t0
-2t0 0
2tn
t
)
- (A.6)
(A7)
,
-2t0 0
-1
Abt
q>(t)
i
|2*ö *
)ildung 15 24
Abbildung 15.23
10. Vergleich von Fourier- und Laplace-Transformation
Zwischen FOURIER- und LAPLACE-Transformation besteht ein enger Zusammenhang, der dadurch
gegeben ist, daß sich die FOURIER-Transformation als Spezialfall der LAPLACE-Transformation für
den Fall p = iu ergibt. Daraus folgt, daß jede FouRiER-transformierbare Funktion auch Laplace-
transformierbar ist, während das Umgekehrte nur für einen kleineren Kreis von Funktionen f(t) möglich
ist. Tabelle 15.2 enthält einen Vergleich einer Reihe von Eigenschaften der beiden
Integraltransformationen
Tabelle 15.2 Vergleich der Eigenschaften von Fourier- und LAPLACE-Transformation
Four ier-Transfor mat ion
F(u) = r{f{t)}= /V'(*)rf<
-oo
u ist reell, physikalisch deutbar, z B als
Frequenz.
Ein Verschiebungssatz.
Intervall. (—oo,+oo)
Lösung von Differentialgleichungen, die
Probleme mit diesem zweiseitigem Definitionsbereich
beschreiben, z.B. die Wellen-Gleichung.
Differentiationssatz enthält keine Anfangswerte.
Konvergenz des FOURIER-Integrals hängt nur
von f(t) ab.
Genügt der zweiseitigen Faltung
Laplace-Transformation
oo
F(p) = C{f(t),p} = Je-^f(t)dt
0
p ist komplex, p = r + ix.
Zwei Verschiebungssätze
Intervall- [ 0, oo)
Lösung von Differentialgleichungen, die
Probleme mit diesem einseitigen Definitionsbereich
beschreiben, z.B. die Wärmeleitungs-Gleichung
Differentiationssatz enthält Anfangswerte.
Konvergenz des LAPLACE-Integrals wird durch
den Faktor e~pt verbessert.
Genügt der einseitigen Faltung.
15.3.1.4 Bildfunktionen spezieller Funktionen
¦ A: Welche Bildfunktion gehört zur Originalfunktion f(t) = e-"'*', Rea > 0 (A 1)? Unter Berück-
/+A
e-^t-a\t\dt =
¦A
/.'
r+A ,. x -(iu;-a)*|0
e-i">-*)t dt + / e-{*>+a)t dt = _Z I
i h iu — a
e-(iw+o)t
\uj + a
-l + e(ia;~aM 1
-(iuj+a)A
vjj + a
(A.2). Da \e aA\ < e ARea und Rea > 0 ist, existiert der Grenzwert für A -* oo, so daß sich ergibt
F(u,)=.F{e-«M} = -j^_(A.3)
754 15. Integraltransformationen
¦ B: Welche Bildfunktion gehört zur Originalfunktion f(t) = e a\ Re o > 0? Die Funktion ist nicht
FoURiER-transformierbar, weil der Grenzwert A —> oo nicht existiert
¦ C: Es ist die FOURIER Transformierte für den bipolaren Rechteckimpuls (Abb.15.24)
r 1 für -2t0 < t < 0 ,
ip(t) = { -1 für 0<t <2*0, (Cl)
1 0 für |*| > 2*o
gesucht, wobei </?(*) durch die im Beispiel in 15 3 1.2,4., S 749 für den unipolaren Rechteckimpuls als
(A 1) angegebene Gleichung ausgedrückt werden soll. Es ist ip(t) = f(t + *0) — f{t — *o) (C 2) Durch
die FOURIER-Transformation gemäß A5.85b), A5 85c) erhält man $(u) = T{ ip{t) } = eiujt°F{uj) -
. . . 2 sin lü to c?'
CO
^.sinjWo (C4)
e-iu,toF(uj), (C.3) woraus mit (A 1) folgt- <f>{u)) = (ei(Wo ¦
Lü Lü
¦ D: Bil-dfunktion einer gedämpften Schwingung Die in Abb. 15.25a dargestellte gedämpfte Scliwin-
f * * > 0' Deschri^ben. Zur Vereinfachung der
3(-Q+iwo)t ermitt0it
e-iute(-a+iUo)tdt =
gung wird durch die Funktion fit) = \ _at .
66 J K ' \ e at cos üü0t
Rechnung wird die FOURIER-Transformation der komplexen Funktion f*(t) —
/•ex
Es gilt f(t) = Re (/* (*)) Die FOURIER-Transformation liefert T{ /*(*)} = /
Jo
r
Jo
p(-«+(w
-"o)itdt =
-atp\(u>
-öl + i(u;0 — lü)
1
a + i(a;o - u)
¦ i^o — u>)
Das Ergebnis ist die
a2 + (lü - üj0J
——-^ - (Abb.15.25b) (s auch 2 11 2.
a2 + (u> - u;0J
S 95)) Einer gedämpften Schwingung im Zeitbereich entspricht ein einziger Peak im Frequenzbereich
Lorentz- oder Breit-Wigner Kurve T{ f(t) } ¦
)) Ein
ltfW
b) 0|
Abbildung 15 25
Abbildung 15.26
15.3.2 Lösung von Differentialgleichungen mit Hilfe der
Fourier—Transformation
Ein wichtiger Anwendungsbereich der FOURIER-Transformation ist analog zur LAPLACE-Transfor-
mation die Lösung von Differentialgleichungen, weil diese durch die genannten
Integraltransformationen eine einfache Form erhalten Im Falle von gewöhnlichen Differentialgleichungen entstehen
algebraische Gleichungen, im Falle von partiellen Differentialgleichungen gewöhnliche
15.3.2.1 Gewöhnliche lineare Differentialgleichungen
Die Differentialgleichung
für |*| < t0 ,
für \t\ > t0 ,
d.h. mit der Funktion f(t) von Abb.15.21, wird durch die FouriER-Transformation
T{y{t)} = Y(u)
y'(t) + ay(t) = f(t) mit /(*) =
A für
jo für
A5.96a)
A5 96b)
15 3 Fourier-Transformation 755
in die algebraische Gleichung
kj Y + oY = 2smujt° A5.96c) überführt, so daß sich Y(u) = 2 Sm ^° . A5.96d)
uj u(a + vjj)
ergibt. Die Rücktransformation führt auf
„(t)=^{y(w)} = ^'B-2^1 = 17^^^ A5.96e)
und
vW =
@
i
\l
¦!_e-a(t+to)j
"e-o(t-t0) _ e-a(t-to)l
für
für
für
—00 < t < —t0,
-t0<t< +*o,
*0 < * < CXD .
A5 96f)
Die Funktion A5 96f) ist in Abb. 15.26 graphisch dargestellt.
15.3.2.2 Partielle Differentialgleichungen
1. Allgemeine Vorgehensweise
Die Lösung einer partiellen Differentialgleichung ist eine Funktion mindestens zweier Variablen: u —
u{x% t). Da die FOURIER-Transformation eine Integration bezüglich einer Variablen darstellt, ist die
andere Variable bei der Transformation als konstant zu betrachten. Hier wird x festgehalten und die
Transformation bezüglich t durchgeführt
+00
T{u(x,t)}= f e-[uJtu(x,t)dt = U{x,u). A5 97)
—00
Auch bei der Transformation von Ableitungen bleibt eine Variable fest, hier wieder t
dM^'t} } = (i^)"^{ <x,t)} = (iw)» U{x,w). A5.98)
Für die Ableitungen nach x ist vorauszusetzen, daß sie mit dem FOURIER-Integral vertauschbar sind:
Damit erhält man im Bildbereich eine gewöhnliche Differentialgleichung. Außerdem sind die Rand- und
Anfangsbedingungen in den Bildbereich zu transformieren.
2. Lösung der eindimensionalen Wellengleichung für ein homogenes Medium
1. Problemstellung Die eindimensionale Wellengleichung mit verschwindendem Störglied und für
ein homogenes Medium lautet:
uxx — utt — 0 A5 100a)
Wie die dreidimensionale Wellengleichung (s. 9 2.3 2, S 555), so ist auch A5 100a) eine partielle
Differentialgleichung vom hyperbolischen Typ. Das CAUCHYsche Problem sei durch die
Anfangsbedingungen
u{x, 0) = f(x) (-00 < x < 00), ut{x, 0) = g(x) @ < t < 00) A5.100b)
korrekt gestellt
2. Fourier-Transformation Zur Lösung wird die FOURIER-Transformation bezüglich x
durchgeführt, wobei die Zeitkoordinate konstant gehalten wird*
F{u(x,t)} = U{u,t) A5.101a)
756 15. Integraltransformationen
Daraus ergibt sich:
(\uJU(u,t) - d2U^t) = 0 mit A5.101b)
?{ U(x, 0) } = U(ui, 0) = T{ f(x) } = F{u), A5.101c)
T{ Ut(x, 0) } = U'{u, 0) = T{ g{x) } = G{u) A5 101d)
uj2U + U" = 0. A5 101e)
Das Ergebnis ist eine gewöhnliche Differentialgleichung für die nun wieder als Veränderliche zu
betrachtende Zeitkoordinate t mit dem Parameter u der Bildfunktion.
Die allgemeine Lösung dieser bekannten Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten lautet
U(uj,t) = de"* + C2e~'lujt. A5 102a)
Mit Hilfe der Anfangsbedingungen
U{lj, 0) = C1+C2 = F(u) , U\u, 0) = iu d - iu C2 = G{u) A5 102b)
lassen sich die Konstanten C\ und C2 bestimmen:
C^JlFM + ^-GM], C2 = \[F{u)--G{u)). A5 102c)
Z \U Z ILO
Die Lösung ergibt sich zu
U{u,t) = \[F{lj) + ^-G{uj)]eiu;t + \[F(lü) - ^G(u)}e~'iuJt. A5.102d)
2 iu 2 \u
3. Rücktransformation Zur Rücktransformation der Funktion F(u) kann der Verschiebungssatz,
T{ f{ax + b) } = 1/a • eib"/aF{u/a), A5.103a)
mit Vorteil eingesetzt werden, woraus sich ergibt
F~l{ eiu,tF(u) } = f(x + t), T-l{e-{^F{uj)} = f{x- t) A5.103b)
Die Anwendung der Integrationsregel
r\ j f(r)dr l = -F(w) liefert A5.103c)
X X X+f
r^-GMe'^U J F-1{G(Lj)e["t}dT= J g(T + t)dr= f g(z)dz A5 103d)
—oo — oo -oo
nach Substitution s + t = z und analog
x-t
T~x l-—G{Lj)e-[ut\ = - f g(z)dz. A5.103e)
—oo
Die endgültige Lösung im Originalbereich lautet somit
1 1 • x+t
«(*>t) = ^f{x + *) + -f(x -t)+ J g{z)dz. A5 104)
15 4 Z-Transformation 757
15.4 Z-Transformation
In Natur und Technik kann man zwischen kontinuierlichen und diskreten Vorgängen unterscheiden
Während sich von den kontinuierlichen Vorgängen viele durch Differentialgleichungen beschreiben
lassen, führen diskrete Vorgänge häufig auf Differenzengleichungen Zur Lösung von
Differentialgleichungen eignen sich besonders FOURIER- und LAPLACE-Transformationen, zur Lösung von
Differenzengleichungen wurden andere, angepaßte Operatorenmethoden entwickelt. Die bekannteste ist die Z-
Transformation, die in engem Zusammenhang mit der LAPLACE-Transformation steht
15.4.1 Eigenschaften der Z—Transformation
15.4.1.1 Diskrete Funktionen
Ist eine Funktion f(t) @ < t < oo) nur für diskrete Argumente tn — nT (n = 0,1,2, . , T > 0 , T
const) bekannt, so setzt man f(nT) = fn und bildet die Folge
{/n} Eine solche entsteht z B in der Elektrotechnik durch
„Abtastung" einer Funktion f(t) in den diskreten
Zeitpunkten tn Ihre Wiedergabe erfolgt dann häufig als
Treppenfunktion (Abb.15.27)
Die Folge {/n} und die nur für diskrete Argumente definierte
0 T 2T 3T ••• "t Funktion f(nT), die als diskrete Funktion bezeichnet wird,
sind äquivalent. Für die Folge {/n} wird keine Konvergenz
Abbildung 15.27 für n —? oo gefordert.
15.4.1.2 Definition der Z-Transformation
1. Originalfolge und Bildfunktion Der Folge {/n} wird die unendliche Reihe
f(*) = E/» [-) A5105)
n=0 V ZJ
zugeordnet. Falls diese Reihe konvergiert, sagt man, die Folge {/„} ist Z-transformierbar, und schreibt
F(z) = Z{fn) A5 106)
Man nennt {/n} Originalfolge, F(z) Bildfunktion Mit z ist eine komplexe Variable bezeichnet, mit
F(z) eine komplexwert ige Funktion.
¦ fn = 1 (n = 0,1, 2,...). Die zugehörige unendliche Reihe lautet
oo /1 Nn
A5 107)
Sie stellt bezüglich 1/z eine geometrische Reihe dar, die für - < 1 gegen die Reihensumme F(z) =
z lll \
konvergiert, für - > 1 aber divergiert. Das bedeutet, die Folge {1} ist Z-transformierbar für
|1|
< 1, d h für alle Punkte außerhalb des Einheitskreises \z\ = 1 der 2-Ebene.
2. Eigenschaften Da die Bildfunktion F(z) gemäß A5.105) eine Potenzreihe bezüglich der
komplexen Veränderlichen 1/z ist, folgt aus den Eigenschaften von Potenzreihen im Komplexen (s. 14 3.1.3,
S 712)
a) Für eine Z-transformierbare Folge {/n} gibt es eine reelle Zahl R, so daß die Reihe A5 105) absolut
konvergiert für \z\ > l/R und divergiert für \z\ < 1/R. Für \z\ > 1/Rq > 1/R ist die Reihe sogar
gleichmäßig konvergent R ist der Konvergenzradius der Potenzreihe A5.105) bezüglich 1/z
Konvergiert die Reihe für alle \z\ > 0 , so setzt man R = oo . Für nicht Z-transformierbare Folgen setzt man
R = 0
b) Ist {/n} Z-transformierbar für |^| > 1/R, dann ist die zugehörige Bildfunktion F(z) eine analytische
758 15 Integraltransformationen
Funktion für \z\ > l/R und gleichzeitig die einzige Bildfunktion von {/n}- Für die Umkehrung gilt: Ist
F(z) eine analytische Funktion für \z\ > l/R und auch für z = oo regulär, dann gibt es zu F(z) genau
eine Originalfolge {/n}. Dabei heißt F(z) regulär für z = oo, wenn F(z) eine Potenzreihenentwicklung
der Form A5.105) besitzt und F(oo) = /o gilt.
3. Grenzwertsätze Analog zu den Grenzwerteigenschaften der Bildfunktion der LAPLACE-Trans-
formation (A5.7a),A5.7b) in 15.2.1.1,2., S. 733) gelten für die Z-Transformation die folgenden
Grenzwertsätze
a) Wenn F(z) = Z{fn} existiert, dann ist
fo=limoF(z) A5 108)
Dabei kann z auf der reellen Achse oder längs eines beliebigen Weges nach oo verlaufen. Da die Reihen
z{F{z)-h} = h + h-z+fz^ + --- , A5.109)
z2 {f(z) - /o - /,i} = /„ + /3i + /,! + ... , A5 110)
offensichtlich ebenfalls Z-Transformierte sind, erhält man analog zu A5.108):
h = lim z {F(z) - /<,}, h = lim z2 \f(z) - f0 - h-) , A5 111)
z-kx> z-*oo y %)
Auf diese Weise kann man die Originalfunktion {/n} aus ihrer Bildfunktion F(z) bestimmen
b) Wenn lim fn existiert, so ist
' n—*oo
lim fn = lim (z - l)F(z). A5 112)
Man kann den Wert von lim fn aus A5.112) aber nur ermitteln, wenn man weiß, daß der Grenzwert
existiert, denn die obige Aussage ist nicht umkehrbar
¦ fn = (-1)" (n = 0,1,2,...). Daraus folgt Z{fn} = -?— und lim {z - 1)—^ = 0, aber
Z + 1 z->l+0 z + 1
lim (—l)n existiert nicht.
n—>oox
15.4.1.3 Rechenregeln
Für die Anwendung der Z-Transformation ist es wichtig zu wissen, wie sich gewisse Operationen an den
Originalfolgen in entsprechenden Operationen an den Bildfunktionen widerspiegeln und umgekehrt. Im
folgenden sei F(z) = Z{fn} für \z\ > l/R.
1. Translation
Man unterscheidet eine Vorwärts- und eine Rückwärtsverschiebung.
1. Erster Verschiebungssatz: Z{fn-k} = z~kF{z) {k = 0,1,2,...), A5.113)
dabei wird /n_fc = 0 für n — k < 0 festgelegt
jfc-i
r /i\H
2. Zweiter Verschiebungssatz: Z{fn+k} = zk \F(z) - J2 U ( " ) (A; = 1,2,...) .A5.114)
2. Summation
Für|z|>max(l,i) gilt: 2^1»] = ^^) A5.115)
15 4 Z-Transformation 759
3. Differenzenbildung
Für die Differenzen
A/„ = /„+i - /„ , Amfn = A(Am-Vn) (m = 1,2, .. ; A°fn = /„) A5 116)
gilt die Regel
Z{Afn} = (z-l)F(z)-zf0,
Z{A2fn} = (z-lJF(z)-z(z-l)f0-zAf0,
Z{Akfn} = (z-l)kF(z)-zkE(z-l)k-^1A^fo.
u=0
A5 117)
4. Dämpfung
Für A ^ 0, beliebig komplex, \z\ > —- gilt:
£{An/n} = F g) A5.118)
5. Faltung
Als Faltung zweier Folgen {/„} und {gn} bezeichnet man die Operation
fn*9n = itf*9n-„. A5.119)
i/=0
Existieren die Z-Transformierten Z{fn} = F(z) für |A| > l/i?i und Z{gn} = G(z) für \z\ > 1/R2,
dann gilt
Z{fn * 5n} = F{z)G{z) A5.120)
für |j2r| > max ( —- , — ) Die Beziehung A5.120) wird auch als Faltungssatz der Z-TVansformation
V R\ R2 )
bezeichnet. Er entspricht der Vorschrift für die Multiplikation zweier Potenzreihen
6. Differentiation der Bildfunktion
Z{nfn} = -z^-. A5 121)
Durch wiederholte Anwendung von A5.121) lassen sich auch Ableitungen höherer Ordnung von F(z)
bestimmen
7. Integration der Bildfunktion
Unter der Voraussetzung fQ = 0 gilt
^|=J^pdf A5 122)
' z
15.4.1.4 Zusammenhang mit der Laplace—Transformation
Beschreibt man eine diskrete Funktion f(t) (s 15 4.1.1, S 757) als Treppenfunktion, dann gilt
f(t) = f(nT) = fn für nT <t<{n + l)T (n = 0,l,2, . ; T > 0, T const). A5 123)
Auf diese stückweise konstante Funktion läßt sich die LAPLACE-Transformation (s S 733) anwenden,
und man erhält für T = 1*
00 "+1 00 -np _ -(n+l)p 1 _ p-p 00
£{/(*)} = F(p) = Y, / he-* dt = j: fn- = i—L_ •£ }ne-n*. A5 124)
n=0 Jn n=0 P P n=0
760 15. Integraltransformationen
Die unendliche Reihe in A5.124) wird auch als diskrete Laplace-Transformation bezeichnet und mit
dem Symbol V gekennzeichnet.
oo
V{f(t)} = V{fn} = Efne-np A5 125)
n=0
Setzt man in A5.125) eP = z, dann stellt V{fn} eine Reihe nach absteigenden Potenzen von z dar, eine
sogenannte LAURENT -Reihe (s. S 714). Mit der Substitution ep = z , die zu dem Namen
Z-Transformation geführt hat, erhält man schließlich aus A5.124) den folgenden Zusammenhang zwischen Laplace-
und Z-TYansformation im Falle von Treppenfunktionen:
pF(p) = (l - ;) F(z) A5.126a) bzw pC{f(t)} = (l - £) Z{fn} . A5.126b)
Auf diese Weise lassen sich Korrespondenzen der Z-Transformation (s. Tabelle 21.15, S. 1117) in
Korrespondenzen der LAPLACE-Transformation (s. Tabelle 21.13, S. 1097) für Treppenfunktionen
umrechnen und umgekehrt.
15.4.1.5 Umkehrung der Z-Transformat ion
Die Umkehrung der Z-Transformation oder kurz Rücktransformation besteht darin, zu einer gegebenen
Bildfunktion F{z) die zugehörige, eindeutige Originalfolge {/n} zu finden. Man schreibt dann
Z-l{F(z)} = {/„} A5 127)
Für die Rucktransformation gibt es verschiedene Möglichkeiten.
1. Benutzung von Tabellen Wenn die Funktion F(z) in der Tabelle explizit nicht vorkommt, kann
man versuchen, durch Umformungen und durch Anwendung der Rechenregeln zu Funktionen zu
gelangen, die in Tabelle 21.15, S 1117 vorhanden sind.
2. LAURENT-Reihe von F(z) Wegen der Definition A5.105) gelingt eine Rücktransformation
sofort, wenn für F(z) eine Reihenentwicklung in 1/z bekannt ist oder sich ermitteln läßt
3. TAYLOR-Reihe von F I — j Da F ( - ) eine Reihe nach aufsteigenden Potenzen von z ist, ergibt
sich wegen A5 105) nach der TAYLOR-Formel
1 dn /1 \ I
fn = -T7-F[-)\ (n = 0,l,2, ..). A5 128)
J n\ dzn \zJ\z=o v '
4. Anwendungeines Grenzwertsatzes Mit Hilfe der Grenzwerte A5.108) und A5.111) kann man
die Originalfolge {/„} aus ihrer Bildfunktion F(z) unmittelbar bestimmen
2z
¦ F(z) = -, rz rr . Es sollen die voranstehenden vier Methoden angewendet werden.
v ; (z-2){z- lJ 6
1. Durch Partialbruchzerlegung (s 1.1 7 3, S. 15) von F(z)/z erhält man Funktionen, die in der
Tabelle 21.15, S. 1117 enthalten sind.
F{z) 2 A B C
— = (z-2)(z-l)>=—2 + {z^iy + —l- .D™****
nz) = ^-^y2-^ und fn = 2(T-n-l) fürn>0.
2. Durch Division geht F(z) in die folgende Reihe nach absteigenden Potenzen von z über:
F^=«.-Jih-2 - 4+4+22?+54+ii47+ (i5-i29>
Daraus liest man unmittelbar fo = fi = 0, f2 = 2, /3 = 8, /4 = 22, /5 = 52, /6 = 114, . ab, aber
man erhält keinen geschlossenen Ausdruck für das allgemeine Glied fn
15 4 Z-Transformation 761
3. Zur Bildung von F l - ) und den in A5 128) benötigten Ableitungen geht man zweckmäßigerweise
von der Partialbruchzerlegung von F(z) aus und erhält:
F(I) = 2 _ 2z _ 2 dh m
W i-22 A-2J 1-2' w
dF(;) 4 4z 4 dF(;)
V^Z. = _ _ _ d h \*1- = 0 für 2 = 0
<*2 A-22J A-2K A-2J' * * ^2 U ^ * U '
d2F
t) _ 16 122 12 , . ^F(j)
d.h. —-ff1- =4 für 2 = 0 ,
d22 A-22K A-2L A-2K' ' ' dz2
cte3 A - 22L A - 2M A - z)A dz3
Unter Berücksichtigung der Formeln in A5.128) ergibt sich /o, /i, /b, /3,
4. Die Anwendung der Grenzwertsätze (s S 758) unter Beachtung der BERNOULLisc/ien Regel (s S 56)
ergibt-
/o = lim F(z) = lim -^— = 0,
JU z-+oo V ; ^oo23 -422 + 52 - 2
/x = lim z(F(z) - /o) = lim f = 0 ,
z-oc z^oo 23 - 422 + 52 - 2
/ 1\ 223
/2 = lim 22 FB) - /o - /!- = lim 3 . - _ = 2,
z-^oo V 2/ 2^00 23 - 422 + 52 - 2
h = lim 23 (f(z) - /o - /i- - /2i) = Hm 23 (- 22
z^oo V 2 22/ 2^°° \2
¦ 422 + 52 - 2
Auf diese Weise läßt sich die Originalfolge {/n} sukzessiv bestimmen.
15.4.2 Anwendungen der Z—Transformation
15.4.2.1 Allgemeine Lösung linearer Differenzengleichungen
Eine lineare Differenzengleichung fc-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten hat die Form
akVn+k + afc_i2/n+fc_i H h a2yn+2 + ai2M+i + öo2/n = 9n (n = 0, 1, 2 .) A5.130)
Dabei ist k eine natürliche Zahl. Die Koeffizienten a» (i = 0,1,. ., k) sind gegebene reelle oder
komplexe Zahlen und hängen nicht von n ab Es gelte a0 ^ 0 und a^ ^ 0 . Die Folge {#n} ist gegeben, die
Folge {yn} ist gesucht.
Zur Bestimmung einer speziellen Lösung von A5 130) werden die Werte 2/0,2/1,.. • ,2/fc-i vorgegeben
Dann kann man aus A5 130) für n = 0 den nächsten Wert $/* ausrechnen Aus 2/1, 2/2, • • •, 2/fc ergibt
sich dann aus A5.130) für n = 1 der Wert 2/fc+i • Auf diese Weise kann man alle Werte 2/n rekursiv
ausrechnen Mit Hilfe der Z-Transformation läßt sich jedoch für yn eine allgemeine Darstellung angeben
Dazu wendet man den 2. Verschiebungssatz A5 114) auf A5.130) an und erhält-
akzk [Y(z) - 2/0 - yiz~l yk-iz-{k-l)] + • • • + alZ[Y(z) - y0] + a0Y(z) = G(z) A5 131)
Dabei bedeutet Y(z) = 2{yn} und G(z) — Z{gn} • Setzt man weiterhin a,kZk + ük-\yk~l H h a\Z +
a0 = p(^), so lautet die Lösung der sogenannten Bildgleichung A5.131)
yw-^GW+j^S*j^- A5132)
762 15. Integraltransformationen
Wie bei der Behandlung von linearen Differentialgleichungen mit der LAPLACE-Transformation hat
man auch bei der Z-Transformation den Vorteil, daß die Anfangswerte in die Bildgleichung eingehen
und daher bei der Lösung automatisch berücksichtigt werden. Aus A5.132) gewinnt man dann die
gesuchte Lösung {yn} = Z~l{ Y(z)} durch Rücktransformation gemäß 15.4.1.5, S 760
15.4.2.2 Differenzengleichung 2. Ordnung (Anfangswertaufgabe)
Die Differenzengleichung 2. Ordnung lautet:
yn+2 + aiyn+1 + a0yn = gn A5.133)
Als Anfangswerte sind yo und y\ gegeben. Mit Hilfe des 2. Verschiebungssatzes erhält man zu A5 133)
die Bildgleichung
z2 \y(z) - y0 - yii] + alZ[Y(z) - y0] + a0Y{z) = G(z). A5.134)
Setzt man z2 + axz + a0 = p(z), dann lautet die Bildfunktion
Y(z) = -j-Mz) + y0Z-^A +yz A5 135)
p(z) p(z) p(z)
Das Polynom p(z) habe die Nullstellen a\ und a2, für die a\ ^ 0 und a2 ^ 0 gelte, weil sonst ao = 0
wäre und sich die Differenzengleichung auf eine solche 1 Ordnung reduzieren würde. Durch Partial-
bruchzerlegung und Anwendung der Tabelle 21.15, S. 1117 der Z-Transformation ergibt sich aus
( ) für aj ^ ö2 ,
_ o>i — ct2 \z — o>i z — a2J
PB) 1 G^M für «, = «,,
2fel = W = (^f fÜrai^2' A5136a)
IPWJ { nar1 für ai = a2.
Wegen po = 0 ist nach dem zweitem Verschiebungssatz
z~1{£)}=z~1{zi)}={p^} (i5i36b)
und nach dem 1. Verschiebungssatz
'1 z
z
IptoJ
( w {Pn-l}. A5 136c)
z p(z) J
Dabei ist p-\ = 0 zu setzen. Mit Hilfe des Faltungssatzes erhält man die Originalfolge mit
3/n = ]C Vn-lQn-u + 2/o(Pn+l + «lPri) + 2/lPl • A5 136d)
Wegen p_i = p0 = 0 ergibt sich daraus mit A5 136a)
^n = £ 0n-„- ~ yo — + ai~ + 2/i~ - . A5 136e)
^5 ai - a2 \ c*i - a2 a?i - a2 / ai - a2
Diese Form läßt sich noch wegen a\ = — (a\ + a2) und a0 = c^a^ (s. Wurzelsätze von Vieta in
1.6.3 1,3., S 44) noch zu
2/n = E &»-*— yoöo^ — + yi-1 A5 136f)
^2 ai - a2 ai - a2 «i - ^2
15.5 Wavelet-Transformation 763
vereinfachen Für oti = a2 erhält man analog
n
yn = Y. 9n-u{v - l)oT2 " 2/oöo(n - 1K~2 + 3/inaf A5 136g)
v=2
Bei der Differenzengleichung 2 Ordnung läßt sich die Rücktransformation der Bildfunktion Y(z) auch
ohne Partialbruchzerlegung durchführen, wenn man Korrespondenzen wie z.B.
z 1 n_1sinh6n
:2 — 2az cosh b + a? ) sinh n
benutzt und auch hier den 2 Verschiebungssatz anwendet. Mit der Substitution a\ = —2a cosh b,
a0 = a2 lautet die Originalfolge zu A5 135)-
-{;
A5 137)
1
sinh b
A5.138)
\^gn-vau 2sinh(i/ — l)b — yoansmh(n — l)b + yian x smhnb .
L=2 J
Diese Formel ist gunstig für eine numerische Auswertung besonders dann, wenn oo und a\ komplexe
Zahlen sind.
Hinweis: Die hyperbolischen Funktionen sind auch für komplexe Argumente definiert
15.4.2.3 Differenzengleichung 2. Ordnung (Randwertaufgabe)
In den Anwendungen kommt es häufig vor, daß die Werte yn der Differenzengleichung nur für endlich
viele Indizes 0 < n < N gesucht sind. Im Falle einer Differenzengleichung 2. Ordnung A5.133) werden
dann in der Regel die beiden Randwerte yo und y^ vorgegeben Zur Lösung dieser Randwertaufgabe
geht man von der Lösung A5.136f) der entsprechenden Anfangswertaufgabe aus, wobei an Stelle des
unbekannten Wertes y\ jetzt y^ einzuführen ist. Dazu setzt man in A5.136f) n = N , dann kann man
yi in Abhängigkeit von y0 und y^ ausrechnen:
_ 1
Vi jv 7j
( N-
¦<*2 !) + Vn{(Xi ~ a2) - ^(^1 1 ~ &2 1)9n-u
A5.139)
Man setzt diesen Wert in A5 136f) ein und erhält
Vn =
1
OL\ — OL2
EK-^)».--
ax -ata? - aj? ^
^(or1 - «r1)^-.
al a2
A5 140)
Die Lösung A5.140) hat nur dann einen Sinn, wenn af — a2 ^ 0 gilt Andernfalls hat das
Randwertproblem keine allgemeine Lösung, sondern es treten in Analogie zu den Randwertaufgaben bei
Differentialgleichungen Eigenwerte und Eigenfunktionen auf.
15.5 Wavelet-Transformation
15.5.1 Signale
Geht von einem physikalischen Objekt eine Wirkung aus, die sich ausbreitet und mathematisch z.B.
durch eine Funktion oder eine Zahlenfolge beschreiben läßt, dann spricht man von einem Signal.
Unter Signalanalyse versteht man die Chrakterisierung eines Signals durch eine Größe, die für das
Signal typisch ist Mathematisch bedeutet das: Die Funktion oder Zahlenfolge, die das Signal beschreibt,
wird auf eine andere Funktion oder Zahlenfolge abgebildet, die die typische Eigenschaft des Signals
besonders gut erkennen läßt. Bei solchen Abbildungen können allerdings auch Informationen verloren
gehen.
764 15. Integraltransformationen
Die Umkehrung der Signalanalyse, d.h. die Wiedergewinnung des Ausgangssignals, wird als
Signalsynthese bezeichnet.
Der Zusammenhang zwischen Signalanalyse und Signalsynthese wird am Beispiel der FOURIER-Trans-
formation besonders deutlich. Ein Signal f{t) (t Zeit) werde durch die Frequenzen u , die in ihm
enthalten sind, charakterisiert Dann beschreibt die Formel A5 141a) die Signalanalyse, die Formel A5 141b)
die Signalsynthese
F(w):
7
VW«>
1 ^
A5 141a) f(t) = — I e-'FM
du.
A5.141b)
15.5.2 Wavelets
Der FOURIER-Transformation fehlt eine Lokalisierungseigenschaft, d.h ändert sich ein Signal an einer
Stelle, dann ändert sich die Transformierte überall, ohne daß durch „einfaches Hinsehen" die Stelle der
Änderung gefunden werden kann. Der Grund liegt darin, daß die FOURIER-Transformation ein Signal
in ebene Wellen zerlegt. Diese werden durch trigonometrische Funktionen beschrieben, die beliebig
lange mit derselben Periode schwingen Bei der Wavelet-Transformation dagegen wird eine fast beliebig
wählbare Funktion ip , das Wavelet (kleine lokalisierte Welle), zur Analyse eines Signals verschoben und
gestaucht.
Beispiele für Wavelets sind Haar-Wavelet (Abb.15.28a) und Mexikanischer Hut (Abb.15.28b)
A Haar-Wavelet:
A für
ip = < -1 für
0 sonst
0<x < i,
\<x<l,
¥(t)|
1
A5 142)
B Mexikanischer Hut:
1>(x) = --^-e-*2/2 A5 143)
! 1
1*1
dx2
(l-x2)e~
a)
B'/2
A5 144)
t
b)
Abbildung 15 28
Allgemein gilt- Als Wavelet kommen alle Funktionen ip in Frage, die quadratisch integrierbar sind und
deren FOURIER-Transformierte ^(u) gemäß A5.141a) zu einem positiven endlichen Integral
*MI
J \u>
M
du
A5 145)
führen Im Zusammenhang mit Wavelets sind die folgenden Eigenschaften und Definitionen wichtig-
1. Für den Mittelwert von Wavelets gilt-
jm
dt = 0.
Als k-tes Moment eines Wavelets tp bezeichnet man das Integral
/ tki){t)dt.
ßk ¦¦
A5.146)
A5.147)
Die kleinste positive natürliche Zahl n, für die /in ^ 0 gilt, heißt Ordnung des Wavelets ijj.
¦ Für das HAAR-Wavelet A5 142) gilt n = 1, für den mexikanischen Hut A5.144) n = 2.
3. Falls fik = 0 für alle k gilt, ist ip von unendlicher Ordnung. Wavelets mit beschränktem Träger
15.5 Wavelet-Transformation 765
haben stets eine endliche Ordnung.
4. Ein Wavelet der Ordnung n ist orthogonal zu allen Polynomen vom Grade < n — 1.
15.5.3 Wavelet—Transformat ion
Zu einem Wavelet ip(t) kann man mit Hilfe eines Parameters a eine ganze Schar von Funktionen bilden-
Ut) = -U* (-) (a?0). A5.148)
Im Falle \a\ > 0 wird die Ausgangsfunktion ijj(t) gestaucht. Im Falle a < 0 wird zusätzlich eine
Spiegelung vorgenommen. Der Faktor \/J\a\ ist ein Skalierungsfaktor.
Mit Hilfe eines zweiten Parameters b können die Funktionen ipa{t) noch verschoben werden Man erhält
dann die zweiparametrige Kurvenschar
^o6=JL^[*Jl5] (o,& reell; a ^ 0). A5 149)
' J\a\ V * )
Der reelle Verschiebungsparameter b charakterisiert den Zeitpunkt (bzw den Ort), während der
Parameter a die Ausdehnung der Funktion ipa,b{t) angibt Die Funktion ipa,b{t) wird im Zusammenhang mit
der Wavelet-Transformation als Basisfunktion bezeichnet
Die Wavelet-Transformation einer Funktion f(t) ist wie folgt definiert:
c" - '¦ ~ : ¦t~b
C^/(o, b)=c j fma,b(t) dt = -jL J f(t)if> I — I dt. A5 150a)
-oo V'0'-00
Für die Rücktransformation gilt:
oo oo
/(*) = c I J C^f(t)^a,b(t)-dadb. A5 150b)
Dabei ist c eine Konstante, die vom speziellen Wavelet ip abhängt
¦ Unter Verwendung des HAAR-Wavlets A5 144) erhält man
für b < t < b + a/2
^,A_J:) = 4 -1 für b + a/2<t<b + a,
0 sonst
und damit
nit
1 / rb+a/2 rb+a \
C+f(a1b) = -=[ f(t)dt- f(t)dt)
yj\a\ \Jb Jb+a/2 )
\f\ö\ B rb+a/2 2 rb+a \
= V -/ nt)dt-- f(t)dt) A5.151)
2 \a Jb a Jb+a/2 J
Der Wert A/,/(a, b) gemäß A5 151) stellt eine Differenz von Mittelwerten der Funktion f{t) über zwei
benachbarten Intervallen der Länge — um den Punkt b dar.
Bemerkungen:
1. In den Anwendungen spielt die dyadische Wavelet-Transformation eine große Rolle. Als
Basisfunktionen verwendet sie die Funktionen
AAt) = -^ (^F) • A5152)
766 15. Integraltransformationen
d h die verschiedenen Basisfunktionen ergeben sich aus einem Wavelet ip(t) durch Verdoppeln oder
Halbieren der Breite und durch Verschieben um ganzzahlige Vielfache der Breite
2. Als orthogonales Wavelet bezeichnet man ein Wavelet ip(t), bei dem die gemäß A5 152) erzeugten
Basisfunktionen eine orthogonale Basis bilden.
3. Besonders gute numerische Eigenschaften haben DAUBECHIES-Wavelets. Das sind orthogonale Wa-
velets mit einem kompakten Träger, d.h sie sind nur auf einem Teil der Zeitachse von Null verschieden
Für sie gibt es aber keine geschlossene Darstellung (s [15 10]).
15.5.4 Diskrete Wavelet—Transformation
15.5.4.1 Schnelle Wavelet-Transformation
Man kann davon ausgehen, daß die Integraldarstellung A5.150b) hochgradig redundant ist und somit
das Doppelintegral ohne Informationsverlust durch eine Doppelsumme ersetzt werden kann Das wird
bei der konkreten Anwendung der Wavelet-Transformation berücksichtigt. Man benötigt dazu:
1. eine effiziente Berechnung der Transformation, was auf das Konzept der Multi-Skalen-Analyse führt
sowie
2. eine effiziente Berechnung der Rücktransformation, d.h. eine effiziente Rekonstruktion von Signalen
aus ihrer Wavelet-Transformation, was auf das Konzept der Frames führt
Für beide Konzepte muß auf die Literatur verwiesen werden (s [15.10], [15.1]).
Hinweis: Der große Erfolg der Wavelets in den verschiedenen Anwendungsgebieten, z.B.
• bei der Berechnung physikalischer Größen aus Meßreihen,
• bei der Bild- oder Spracherkennung sowie
• bei der Datenkompression im Rahmen der Nachrichtenübertragung
beruht auf seinen „schnellen Algorithmen". Analog zur FFT (Fast FOURIER-Transformation, s S 955)
spricht man hier von FWT (Fast Wavelet-Transformation).
15.5.4.2 Diskrete Haar—Wavelet-Transformation
Als Beispiel für eine diskrete Wavelet-Transformation wird die Ha AR-Wavelet-Transformation
beschrieben: Von einem Signal sind die Werte fc (i = 1,2,. ., N) gegeben. Aus diesen werden die
Detailwerte di (i = 1,2, ., N/2) wie folgt berechnet:
s. = -L(/2-_1 + /2i), di = -^(/2i-i-/2i) A5 153)
Die Werte di werden abgespeichert, während auf die Werte Si die Vorschrift A5.153) angewendet wird,
d h in A5.153) werden die Werte fc durch die Werte Sj ersetzt. Diese Vorgehensweise wird fortgesetzt,
so daß sich aus
*!"+1) = ^ D-1: + 4?») , <T" = ^ D"i, - 4->) A5 154)
schließlich eine Folge von Detailvektoren mit den Komponenten di ergibt. Jeder Detailvektor enthält
Informationen über Eigenschaften des Signals
Hinweis: Für große Werte von N konvergiert die diskrete Wavelet-Transformation gegen die Integral-
Wavelet-Transformation A5.150a)
15.5.5 Gabor—Transformation
Zeit-Frequenz-Analyse nennt man die Charakterisierung eines Signals bezüglich der in ihm enthaltenen
Frequenzen und der Zeitpunkte, zu denen diese Frequenzen auftreten. Dazu wird das Signal in zeitliche
Abschnitte (Fenster) aufgeteilt und anschließend nach FOURIER transformiert. Man spricht deshalb
auch von einer „gefensterten FOURIER-Transformation" WFT (Windowed
FOURIER-Transformation).
15.6 Walsh-Funktionen 767
Die Fensterfunktion ist so zu wählen, daß sie ein Signal außerhalb eines Fensters ausblendet Von
GABOR wurde als Fensterfunktion
g(t) = -jL-e~2a* A5.155)
verwendet (Abb.15.29). Diese Wahl kann damit erklärt werden, daß g(t) mit der „Gesamtmasse 1" um
den Punkt t = 0 konzentriert ist und die Fensterbreite als konstant (etwa 2<r) angesehen werden kann.
g(t) I Die GABOR-Transformation einer Funktion f(t) ist dann von
0.04 -I ¦ der Form
-0.04
Qf(u, s)= I f(t)g(t - s)e-^ dt. A5 156)
Sie gibt an, mit welcher komplexen Amplitude die Grund-
f_3Q ' 0 ' ' 30 t Schwingung elut während des Zeitintervalls [s — er, s + a] in /
vertreten ist, d.h , tritt die Frequenz u in diesem Intervall auf,
Abbildung 15.29 dann besitzt sie die Amplitude |£/(u;, s)|.
15.6 Walsh-Funktionen
15.6.1 Treppenfunktionen
Bei der Approximation von Funktionen spielen orthogonale Funktionensysteme, z.B. spezielle
Polynome oder trigonometrische Funktionen, eine wichtige Rolle, weil sie glatt, d.h. hinreichend oft
differenzierbar in dem betrachteten Intervall sind. Es gibt aber auch Probleme, z.B die Übertragung
der Bildpunkte eines gerasterten Bildes, für deren mathematische Behandlung glatte Funktionen nicht
geeignet sind, sondern sich Treppenfunktionen, also stückweise konstante Funktionen besser eignen.
WALSH-Funktionen sind sehr einfache Treppenfunktionen. Sie nehmen nur die zwei Funktionswerte
-1-1 und —1 an Diese zwei Funktionswerte entsprechen zwei Zuständen, so daß WALSH-Funktionen
besonders einfach in Computern realisiert werden können.
15.6.2 Walsh-Systeme
Analog zu den trigonometrischen Funktionen werden periodische Treppenfunktionen betrachtet. Man
verwendet das Intervall / = [0,1) als Periodenintervall und unterteilt es in 2n gleichlange Teilintervalle.
Sei Sn die Menge der periodischen Treppenfunktionen mit der Periode 1 über einer solchen
Intervallteilung Die zu Sn gehörenden Treppenfunktionen kann man als Vektoren eines endlichdimensionalen
Vektorraumes auffassen, denn jede Funktion g G Sn wird durch ihre Werte go, <7i, #2, • • •, 92n-i in den
Teilintervallen bestimmt und kann demzufolge als Vektor aufgefaßt werden:
gT = @o,0i,02,- -,02«-i). A5.157)
Die zu Sn gehörenden WALSH-Funktionen bilden mit einem geeigneten Skalarprodukt eine
orthogonale Basis in diesem Raum. Die Basisvektoren können auf verschiedene Weise numeriert werden, so
daß man sehr viele WALSH-Systeme erhält, die aber alle dieselben Funktionen enthalten. Es zeigt sich
aber, daß drei Systeme zu bevorzugen sind: WALSH-KRONECKER-Funktionen, Walsh-Kaczmarz-
Funktionen und WALSH-PALEY-Funktionen.
In Analogie zur FOURIER-Transformation wird die Walsh- Transformation aufgebaut, wobei die
Rolle der trigonometrischen Funktionen von den WÄLSH-Funktionen übernommen wird. Man erhält z.B.
WALSH-Reihen, WALSH-Polynome, WALSH-Sinus- und WALSH-Kosinus-Transformationen, WALSH-
Integrale, und analog zur schnellen FOURIER-Transfornmation gibt es die schnelle WÄLSH-Transforma-
tion Für eine Einfuhrung in Theorie und Anwendung der WALSH-Funktionen s. [15 6].
768 16. Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik
16 Wahrscheinlichkeitsrechnung und
mathematische Statistik
Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik befassen sich mit den Gesetzmäßigkeiten
des zufälligen Eintretens bestimmter Ereignisse aus einer vorgegebenen Ereignismenge bei Versuchen
im allgemeinsten Sinne. Dabei wird vorausgesetzt, daß diese Versuche unter unveränderten
Bedingungen beliebig oft wiederholt werden können. Ihre Anwendung finden diese Gebiete der Mathematik bei
der statistischen Beurteilung von Massenerscheinungen Die mathematische Behandlung von
Zufallserscheinungen wird auch unter dem Begriff Stochastik zusammengefaßt
16.1 Kombinatorik
Aus den Elementen einer Menge lassen sich häufig auf eine bestimmte Weise neue Mengen
zusammenstellen Die Art und Weise einer solchen Zusammenstellung führt auf die Begriffe Permutation
(Anordnung), Kombination (Auswahl) und Variation. Beim Begriff der Variation werden Anordnung und
Auswahl vereinigt, indem bei der Auswahl von Elementen auf deren Reihenfolge geachtet wird
Die Grundaufgabe der Kombinatorik besteht darin, die Anzahl der Auswahl- oder
Anordnungsmöglichkeiten zu ermitteln.
16.1.1 Permutationen
1. Definition
Permutation nennt man eine Anordnung von n Elementen in einer bestimmten Reihenfolge.
2. Anzahl der Permutationen ohne Wiederholung
Für die Anzahl Pn der Permutationen von n verschiedenen Elementen gilt
Pn = n« A6 1)
¦ In einem Hörsaal wurde eine Reihe mit 16 Sitzplätzen von genau 16 Studenten besetzt. Es gibt 16'
Möglichkeiten für die Sitzordnung
3. Anzahl der Permutationen mit Wiederholung
Für die Anzahl Pn^ der Permutationen von n Elementen, darunter k gleichen (k < n), gilt
Pn(fc) = Jj A6 2)
¦ Eine Reihe von 16 Sitzplätzen im Hörsaal wird von 16 Studenten mit ihren Taschen belegt. Unter den
16 Taschen befinden sich 4 gleiche. Dann gibt es 16'/4' Möglichkeiten für die Anordnung der Taschen
4. Verallgemeinerung
Für die Anzahl pn^^ >fcm) der Permutationen von n Elementen, eingeteilt in m Gruppen mit jeweils
h\, &2, • • •, km gleichen Elementen (fci + fo + • + km = n), gilt
p"kiM',km)=ni. r! 1.1 • (i63)
h]k2\ kj
¦ Aus den fünf Ziffern 4, 4, 5, 5, 5 können P5^2'3^ = —— = 10 verschiedene fünfstellige Zahlen gebildet
werden.
16.1.2 Kombinationen
1. Definition
Kombination nennt man eine Auswahl von k Elementen aus n Elementen ohne Beachtung der
Reihenfolge Man spricht auch von einer Kombination k-tev Klasse und unterscheidet zwischen
Kombinationen ohne und mit Wiederholung
16.1 Kombinatorik 769
2. Anzahl der Kombinationen ohne Wiederholung
Für die Anzahl Cn^ der Möglichkeiten, aus n verschiedenen Elementen k Elemente ohne Beachtung
der Reihenfolge auszuwählen, gilt
Cjk) =[!) mit 0<k<n (s. Binomialkoeffizient in 1 1.6 4,3., S 13), A6.4)
wobei jedes der n Elemente höchstens einmal in einer Kombination auftreten darf. Man spricht deshalb
auch von einer Kombination ohne Wiederholung.
¦ Es gibt I I = 27405 Möglichkeiten, aus 30 Teilnehmern einer Wahlversammlung einen 4köpfigen
Wahlvorstand ohne Zuordnung der Funktionen zusammenzustellen
3. Anzahl der Kombinationen mit Wiederholung
Für die Anzahl der Möglichkeiten, aus n verschiedenen Elementen k Elemente ohne Beachtung der
Reihenfolge, aber bei Zulassung beliebig vieler Wiederholungen jedes der Elemente auszuwählen, gilt
CnW=ln + k-l\ A65)
Eine andere Formulierung lautet, daß die Anzahl der Möglichkeiten betrachtet wird, aus n
verschiedenen Elementen je k zusammenzustellen, wobei die k Elemente nicht verschieden zu sein brauchen
(k + 6 — l\
I verschiedene Würfe möglich. Für 2 Würfel gilt demzufolge
W
16.1.3 Variationen
1. Definition
Variation nennt man eine Auswahl von k Elementen aus n verschiedenen Elementen unter Beachtung
der Reihenfolge. Das bedeutet: Variationen sind Kombinationen mit Beachtung der Reihenfolge.
Deshalb ist auch bei den Variationen zwischen Variation ohne und mit Wiederholung zu unterscheiden.
2. Anzahl der Variationen ohne Wiederholung
Für die Anzahl Vn^k) der Möglichkeiten, aus n verschiedenen Elementen k unter Beachtung der
Reihenfolge auszuwählen, gilt
Vn{k) = Jfc'(?) = n(n - l)(n - 2)... (n - k + 1) (k<n) A6.6)
¦ Wieviel Möglichkeiten gibt es, in einer Wahlversammlung mit 30 Teilnehmern einen 4köpfigen
Wahlvorstand, bestehend aus dem Vorsitzenden, seinem Stellvertreter und dem 1. und 2. Wahlhelfer
zusammenzustellen? Die Antwort lautet I .14' = 657720
(>
3. Anzahl der Variationen mit Wiederholung
Wenn von den n verschiedenen Ausgangselementen in einer Variation einzelne auch mehrfach auftreten
dürfen, dann spricht man von einer Variation mit Wiederholung. Für ihre Anzahl gilt
Vn{k) = nk . A6.7)
¦ A: Beim Fußball-Toto sind für 12 Spiele 312 verschiedene Tips möglich.
¦ B: Mit der digitalen Einheit Byte, die aus 8 Bits besteht, können 28 = 256 verschiedene Zeichen
dargestellt werden, was in der bekannten ASCII-Tabelle zum Ausdruck kommt.
770 16. Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik
16.1.4 Zusammenstellung der Formeln der Kombinatorik
Tabelle 16.1 Zusammenstellung der Formeln der Kombinatorik
Art der Auswahl bzw.
Zusammenstellung von k aus
n Elementen
Permutationen
Kombinationen
Variationen
Anzahl der Möglichkeiten
ohne Wiederholungen
(k <n)
Pn = n' (n = k)
*» - G)
...» . «(;)
mit Wiederholungen
(k<n)
pik) - 5l
^ = ("T1)
Vn{k) = nk
16.2 Wahrscheinlichkeitsrechnung
16.2.1 Ereignisse, Häufigkeiten und Wahrscheinlichkeiten
16.2.1.1 Ereignisse
1. Ereignisarten
Alle Ergebnisse eines Versuches, bei dem bestimmte Bedingungen eingehalten werden und bei dessen
Ablauf das Resultat im Rahmen verschiedener Möglichkeiten ungewiß ist, werden in der
Wahrscheinlichkeitsrechnung als Ereignisse bezeichnet und in der sogenannten Ereignismenge A zusammengefaßt
Man unterscheidet das sichere, das unmögliche und das zufällige Ereignis
Das sichere Ereignis tritt bei jeder Wiederholung eines gegebenen Versuches innerhalb einer
Ereignismenge ein, das unmögliche bei keinem Versuch, das zufällige Ereignis kann eintreten oder auch nicht
Alle möglichen einander ausschließenden Ausgänge eines Versuches heißen seine
Elementarereignisse. Bezeichnet man die Ereignisse innerhalb einer Ereignismenge A mit A,B,C, .., insbesondere das
sichere Ereignis mit / , das unmögliche Ereignis mit O , so gelten die in Tabelle 16.2 definierten
Verknüpfungen
2. Rechenregeln
Es gelten die folgenden Rechenregeln, die den Rechenregeln der Schaltalgebra (BoOLEsche Algebra)
analog sind
l.a)
2. a)
3. a)
4. a)
5. a)
6. a)
7.a)
8. a)
A + B = B + A,
A + A = A,
A + (B + C) = {A + B) + C,
A + 'Ä=Ii
A{B + C) = AB + AC,
A + B = AB,
B- A = B~Ä,
A{B-C) = AB-AC,
A6 8)
A6 10)
A6 12)
A6 14)
A6 16)
A6 18)
A6.20)
A6.22)
l.b)
2. b)
3. b)
4. b)
5.b)
6. b)
7.b)
8. b)
AB = BA
AA = A
A(BC) = (AB)C
AÄ = 0
A + BC = {A + B){A + C).
ÄB = ^ + ß.
Ä = I-A.
AB-C={A-C){B-C).
A6 9)
A6.11)
A6 13)
A6 15)
A6.17)
A6.19)
A6.21)
A6.23)
16.2 Wahrscheinlichkeitsrechnung 771
Tabelle 16.2 Verknüpfungen zwischen Ereignissen
Bezeichnung
1. Entgegengesetztes
Ereignis zu A.
2. Summe der Ereignisse A
undB
3. Produkt der Ereignisse A
und 5.
4. Differenz der Ereignisse A
undB-
5. Aufeinander folgende
Ereignisse-
6. Elementares Ereignis-
7. Zusammengesetztes Ereig-
8. Einander ausschließende
Ereignisse A und B:
Schreibweise
~Ä
A + B
AB
A-B
ACB
E
AB = 0
Bedeutung
A tritt genau dann ein, wenn A nicht eintritt.
A + B tritt genau dann ein, wenn entweder A oder B
eintritt, oder wenn beide Ereignisse zusammen eintreten
AB tritt genau dann ein, wenn sowohl A als auch B
eintritt
A — B tritt genau dann ein, wenn A eintritt und B nicht
eintritt.
ACB heißt, daß das Eintreten des Ereignisses A das
Eintreten des Ereignisses B zur Folge hat.
E läßt sich nicht als Summe A + B mit E ^ A und E ^ B
darstellen.
Ereignis ist nicht elementar
Die Ereignisse A und B können nicht gemeinsam
auftreten.
9. a) OCA,
A6.24) 9. b) ACI.
A6 25)
10. Ans ACB folgt a) A = AB A6 26) und b) B = A + BA und umgekehrt. A6 27)
11. Vollständiges System: Ein System von n Ereignissen A{ (i = 1,2,... ,n) heißt vollständig,
wenn gilt:
a) AiAk = 0 (i^k)
A6.28) undb) Ax + A2 + • ¦ • + Ak = I.
A6 29)
1. Münze
2 Münze
Zahl
An
A2i
Wappen
An
A22
¦ A: Werfen zweier Münzen
Elementarereignisse: Siehe nebenstehende Tabelle
Zusammengesetzte Ereignisse
1. Erste Münze zeigt Zahl oder Wappen: An + Ai2 = I.
2. Gleichzeitiges Auftreten von Zahl und Wappen bei der ersten Münze: AnAi2 = O .
3 Erste Münze Zahl, zweite Münze Wappen: AnA22
¦ B: Brenndauer von Glühlampen.
Elementarereignis An Die Brenndauer t genügt der Ungleichung (n - l)At < t < nAt (n = 1, 2,.. ,
At > 0 , beliebige Zeiteinheit).
Zusammengesetztes Ereignis A- Die Brenndauer ist höchstens gleich nAt, d.h. A = ^ Av.
16.2.1.2 Häufigkeiten und Wahrscheinlichkeiten
1. Häufigkeiten
Es sei A ein Ereignis der zu einem Versuch gehörenden Ereignismenge A Tritt bei n-maliger
Wiederholung des Versuches das Ereignis A n^-mal ein, so heißt ua die Häufigkeit, ua/ti = Ha die relative
Häufigkeit des Ereignisses A Die relative Häufigkeit genügt gewissen einfachen Gesetzmäßigkeiten, die
man als Grundlage für eine axiomatische Definition des Begriffes Wahrscheinlichkeit P(A) des
Ereignisses A in der Ereignismenge A benutzt. (Der Buchstabe P steht für „probability", das englische Wort
für Wahrscheinlichkeit.)
772 16. Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik
2. Definition der Wahrscheinlichkeit
Eine reelle Funktion P, definiert auf einer Ereignismenge A, heißt Wahrscheinlichkeit, wenn sie die
folgenden Eigenschaften erfüllt:
1. Für jedes Ereignis A E A gilt
0 < P(A) < 1, 0 < hA < 1. A6 30)
2. Für das unmögliche Ereignis O und das sichere Ereignis / gilt
P@) = 0, P(I) = 1, ho = 0, /*/ = 1. A6.31)
3. Schließen die Ereignisse A € A und B G A einander aus (AB = O), so ist
P(A + B) = P{A) + P(P), hA+B = hA + hB. A6.32)
3. Rechenregeln für Wahrscheinlichkeiten
1 AusßCi folgt P(B) < P{A). A6.33)
2. P(A) + P(Ä) = 1. A6.34)
3a. Für endlich viele, paarweise einander ausschließende Ereignisse Ai (i = 1,... ,n; AiAk = 0,
i±k), gilt
P(A, + • • • + A^ = P(Ax) + • • • + P(A„). A6.35)
3b. Speziell für n = 2: P(Ai + j42) = P(Ai) + P(A2).
4a. Für beliebige Ereignisse Ai (i = 1,..., n) gilt
P(i4x + • • • + An) = P(Ai) + • • • + P(An) ~ P(A,A2) P{AXAn)
-P(A2A3) P(A2An) P(An.lAn)
+P{AlA2Az) + • • • + P(AxA2An) + • • • + P(An-2An_1An) -
+(-l)n~1P(^1A2 ... An). A6 36a)
4b. Speziell für n = 2: P(j4i + i42) = P(AX) + P(A2) - P{AXA2). A6.36b)
5. Gleichwahrscheinliche Ereignisse: Sind alle Ereignisse Ai (i = 1,2,.. ,n) eines vollständigen
Ereignissystems gleichwahrscheinlich, so gilt
P{Ai) = - . A6.37)
n
Ist A als Summe von m (m < n) der gleichwahrscheinlichen Ereignisse .A* (i = 1,2,..., n) darstellbar,
so sagt man, daß m Ereignisse für das Eintreten von A gunstig sind, und es gilt dann
P(A) = — . A6.38)
n
4. Beispiele für Wahrscheinlichkeiten
¦ A: Für die Wahrscheinlichkeit P(A), mit einem idealen Würfel eine 2 zu würfeln, gilt P(A) = -
6
¦ B: Wie groß ist die Chance, beim Zahlenlotto „6 aus 49" vier Richtige zu tippen?
Es gibt (Vj Möglichkeiten für 4 Richtige von 6 gezogenen Zahlen. Dann bleiben noch f4^6) = D23)
Möglichkeiten für die falschen Zahlen. Insgesamt können D69J verschiedene Tips abgegeben werden
Somit erhält man für die Wahrscheinlichkeit P(A4), einen Vierer zu tippen
^ = ^ = ä = «-
16.2 Wahrscheinlichkeitsrechnung 773
Analog erhält man für die Wahrscheinlickeit P{A6), 6 Richtige zu treffen
P(A6) = JL = 0,715 • 1(T7 = 7,15 • 10~6 %.
¦ C: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit P(A) dafür, daß unter k Personen 2 am gleichen Tag
Geburtstag haben, wobei die_Geburtsjahre nicht übereinstimmen müssen ?
Man betrachtet zunächst A: Alle k Personen haben an verschiedenen Tagen Geburtstag. Es gilt*
P(Ä) - — 365~1 365~2 365 - A: + 1
^ ' ~ 365 ' 365 365 ' 365
Daraus folgt
FW^l-P(^) = l-365-364-363365VC65-fc + ^
M . , . k I 10 20 23 30 60
Numerische Auswertung d.eser Formel: P(A) | 0,117 0,411 0,507 0,706 0,994
Man sieht, ab 23 Personen ist die Wahrscheinlichkeit, daß davon 2 am gleichen Tag Geburtstag haben,
größer als 50 %
16.2.1.3 Bedingte Wahrscheinlichkeiten, Satz von Bayes
1. Bedingte Wahrscheinlichkeit
Die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten des Ereignisses B unter der Bedingung, daß das Ereignis A
bereits eingetreten ist, die sogenannte bedingte Wahrscheinlichkeit P(B/A) oder P&(B), wird definiert
durch
P{B/A) = ^P(^" P(^°- A639>
Es gilt-
1. Falls P(A) ^ 0 und P(B) ^ 0, so ist
nm=?(Am A64oa)
P(B) P(A) ' [ }
2. Falls P(AlA2A3 . . 4n) ^ 0, so ist
P{AlA2. An) = P(A1)P(A2/Al)...P(An/A1A2...An_1). ' A6.40b)
2. Unabhängige Ereignisse
Unabhängige Ereignisse A und B liegen vor, wenn
P(A/B) = P{A) und P(B/A) = P(B) A6 41a)
erfüllt ist Für sie gilt
P(AB) = P(A)P{B). A6 41b)
3. Ereignisse in einem vollständigen Ereignissystem
Wenn A eine Ereignismenge ist und die Ereignisse B{ € A mit P(Bi) > 0 (i = 1,2, , n) ein
vollständiges Ereignissystem bilden, dann gilt für jedes Ereignis A G A:
1. Satz von der vollständigen Wahrscheinlichkeit
P(A) = J2P(A/B,)P(Bl) A6 42)
774 16. Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik
2. Satz von Bayes
p{Bk/A) - /wfc)m) . A643)
ZPiA/BtWBi)
i=l
¦ Von 3 gleichartigen Maschinen eines Betriebes produziert die erste 20 %, die zweite 30 % und die
dritte 50 % der Gesamtproduktion. Dabei verursacht die erste 5 %, die zweite 4 % und die dritte 2 %
Ausschuß ihrer eigenen Produktion. Zwei typische Fragen der Qualitätskontrolle sind dann-
a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist ein zufällig dem Lager entnommenes Stück Ausschuß?
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, daß ein zufällig gefundenes Ausschußstuck z B von der
ersten Maschine produziert wurde?
Man wählt folgende Bezeichnungen:
• Aii Produkt der z-ten Maschine (z = 1,2,3) mit P{AX) = 0,2 , P(A2) = 0,3, P(A3) = 0,5 Weiter
gilt:
• AiAj = 0, Ai + A2 + As = / •
• A: Ausschußstück aus der gesamten Produktion.
• P(A/Ai) Ausschußwahrscheinlichkeit der ersten Maschine 0,05; analog gilt P(A/A2) = 0,04 und
P(A/AS) = 0,02.
Damit können die gestellten Fragen wie folgt beantwortet werden
a) P(A) = PiA^PiA/A,) + P(A»)P(A/At) + P(A3)P(A/A3)
= 0,2-0,05+ 0,3-0,04+ 0,5-0,02 = 0,032.
16.2.2 Zufallsgrößen, Verteilungsfunktion
Um die Methoden der Analysis in der Wahrscheinlichkeitsrechnung einsetzen zu können, braucht man
die Begriffe Variable und Funktion.
16.2.2.1 Zufallsveränderliche
Eine Menge von Elementarereignissen möge sich dadurch beschreiben lassen, daß eine Größe X unter
Zufallsbedingungen Werte x aus einem reellen Bereich R annehmen kann. D h., jedes zufällige
Ereignis eines gewissen Versuches soll durch eine reelle Zahl x charakterisiert werden Dann werden alle
zufälligen Ereignisse dieses Versuches durch die Variable X beschrieben, die Zufallsgröße oder
Zufallsveränderliche genannt wird.
Besteht R aus endlich oder abzählbar unendlich vielen Werten, dann spricht man von einer diskreten
Zufallsgröße; besteht R aus der ganzen reellen Zahlengeraden oder aus Teilintervallen, dann spricht
man von einer kontinuierlichen Zufallsgröße.
¦ A: Ordnet man im Beispiel A, S 771 den Ereignissen An, A\2, A2\ bzw A22 die Werte 1, 2, 3 bzw
4 zu, so ist damit eine diskrete Zufallsgröße X definiert.
¦ B: Die Brenndauer T einer aus einem Produktions vorrat willkürlich herausgegriffenen Glühlampe
ist eine kontinuierliche Zufallsveränderliche. Das Elementarereignis T = t tritt ein, wenn die
Brenndauer T gleich der Zeit t ist.
16.2.2.2 Verteilungsfunktion
1. Verteilungsfunktion und ihre Eigenschaften
Die Verteilung der Zufallsveränderlichen X wird durdh die Verteilungsfunktion beschrieben:
F(x) = P(X <x) für - oo < x < oo . A6.44)
Sie gibt an, mit welcher Wahrscheinlichkeit die Zufallsgröße X einen Wert zwischen — oo und x
annimmt. Die Verteilungsfunktion hat die folgenden Eigenschaften-
1. F(-oo) =0, F(+oo) = 1.
16.2 Wahrscheinlichkeitsrechnung 775
2. F(x) ist eine nicht fallende Funktion von x .
3. F(x) ist rechtsseitig stetig
Hinweis: In verschiedenen Darstellungen wird auch, abweichend von der DIN-Vorschrift, die
Definition F(x) = P(X < x) verwendet
2. Verteilungsfunktion bei diskreten und kontinuierlichen Zufallsgrößen
Diskrete Zufallsgröße: Eine diskrete Zufallsveränderliche X , die die Werte Xi (i = 1,2, ) mit den
Wahrscheinlichkeiten P(X — Xi) = Pi (i = 1,2,...) annimmt, hat die Verteilungsfunktion
F(*)=£ft. A6.45)
Xi<X
Kontinuierliche Zufallsgröße: Bei einer kontinuierlichen Zufallsgröße ist die Wahrscheinlichkeit
dafür, daß sie einen bestimmten Wert Xi annimmt, gleich 0. Man betrachtet daher die
Wahrscheinlichkeit dafür, daß X in einem endlichen Intervall [a, b] liegt. Läßt sich diese mit Hilfe einer Funktion
f(t), der Wahrscheinlichkeitsdichte, in der Form
0
P(a<X<b) = Jf(t)
dt
darstellen, dann spricht man von einer stetigen Verteilungsfunktion
X
F{x) = P(X <x) = f f(t)dt
A6.46)
A6.47)
und einer stetigen Zufallsgröße.
Hinweis: Wenn keine Verwechslung mit der oberen Integrationsgrenze möglich ist, wird häufig die
Integrationsveränderliche anstelle von t mit x bezeichnet
3. Flächeninterpretation der Wahrscheinlichkeit
Durch die Einführung der Verteilungsfunktion und der Wahrscheinlichkeitsdichte in A6.44) und A6 46)
kann die Wahrscheinlichkeit P(X < x) = F(x) als Flächeninhalt interpretiert werden, und zwar als
Inhalt der Fläche zwischen Dichtefunktion f(t) und der Abszisse im Intervall — oo < t < x (Abb. 16.1a).
M
S
0
>
iL
:a
7? >
t
t
b)
Abbildung 16.1
Häufig wird eine Wahrscheinlichkeit a vorgegeben Gilt
P{X>x) = a, A6.48)
dann nennt man die zugehörige Abszisse x = xa Quantil oder auch Fraktil der Verteilung (Abb.
16.1b).
Das bedeutet. Der Flächeninhalt unter der Dichtefunktion f(t) rechts von xa ist gleich a.
Hinweis: In der Literatur wird allerdings auch die Fläche links von xa zur Definition des Quantiis
verwendet.
In der mathematischen Statistik wird für kleine Werte a (z.B. a = 5% oder a = 1%) manchmal
776 16 Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik
der Begriff Irrtumswahrscheinlichkeit verwendet. Die dazugehörigen Quantile sind für die wichtigsten
praktischen Verteilungen tabelliert worden (Tabellen 21.16, S. 1120 bis Tabelle 21.20, S 1127)
16.2.2.3 Erwartungswert und Streuung, Tschebyscheffsche Ungleichung
Zur groben Charakterisierung einer Verteilung werden vor allem die beiden Parameter fi (Mittelwert)
und o2 (Streuung) einer Zufallsgröße X verwendet In Anlehnung an die Mechanik kann dabei der
Mittelwert als Abszisse des Schwerpunktes einer Fläche interpretiert werden, die von der Kurve der
Dichtefunktion f(x) und der x-Achse begrenzt wird. Die Streuung stellt dann ein Maß für die Abweichung
der Zufallsgröße X vom Mittelwert fi dar.
1. Erwartungswert
Wenn g{X) eine Funktion der Zufallsveränderlichen X ist, so ist auch g{X) eine Zufallsveränderliche
Als ihr Erwartungswert wird definiert*
1. Diskreter Fall: E(g{X)) = J2 9(xk)Pk - A6 49a)
k
+oo
2. Stetiger Fall: E(g(X)) = f g(x)f{x) dx. A6.49b)
oo -+00
Vorauszusetzen ist dabei die Konvergenz der Reihe J^ \g(xk)\Pk bzw des Integrals / \g(x)\f(x) dx
k=i J-°°
Den Erwartungswert der Zufallsgröße X selbst erhält man mit g{X) = X zu
+oo
fix = E(X) = ^ XkPk bzw. / xf(x)dx, A6 50a)
k
so daß wegen A6 49a,b) u. a. auch gilt:
E(aX + b) = apx + b (a,b const) A6.50b)
2. Momente n-ter Ordnung
Man führt weiter ein:
1. das Moment n-ter Ordnung E(Xn) , A6 51a)
2. das zentrale Moment n-ter Ordnung E((X — ßx)n) ¦ A6.51b)
3. Streuung und Standardabweichung
Speziell für n = 2 wurden die äquivalenten Ausdrücke Streuung, Varianz und Dispersion eingeführt.
J2(x* ~ Vxfpk bzw.
E((X - fixJ) = D\X) =o*x = {^ n A6 52)
)dx
j{x-ßx?f{x)c
Die Größe ox wird Standardabweichung genannt Es gelten die folgenden Beziehungen-
D2(X) = ax = E(X2) - fi\ , D2{aX + b) = a2D2{X) A6 53)
4. Gewogenes und arithmetisches Mittel
Im diskreten Fall ergibt sich als Erwartungswert der Zufallsgröße X gemäß A6.50a) das gewogene Mittel
E{X) - pizi + ... + pnxn A6.54)
der Werte rci,. ., xn mit den Wahrscheinlichkeiten pk (k = 1,.. , n), Gewichte genannt. Bei
Gleichverteilung ist pi = p2 = • • = Pn = l/n 5 und E(X) wird zum arithmetischen Mittel der Werte Xk :
E{x) = Xl+X2 + ...+Xn_ (i655)
16.2 Wahrscheinlichkeitsrechnung 777
Im kontinuierlichen Fall erhält man bei Gleichverteilung der Zufallsgröße X über dem endlichen
Intervall [a, b] die Dichtefunktion
A6.56)
tl \ I für a < x < b,
fw = < b-a ~ ~
( 0 sonst,
daraus folgt:
EiX) = J-[xdx = ±±±,
v ' b-aJ 2
4 =
(b-af
12
A6 57)
JLZ,
5. Tschebyscheffsche Ungleichung
Hat die Zufallsveränderliche X den Erwartungswert \x und die Standardabweichung o, so gilt für
beliebiges A > 0 die TsCHEBYSCHEFFsc/ie Ungleichung-
P(\X-fi\>\a)<±. A6.58)
Danach ist es sehr unwahrscheinlich, daß Werte der Zufallsveränderlichen X um ein Vielfaches der
Standardabweichung vom Erwartungswert jjl entfernt liegen (A groß).
16.2.2.4 Mehrdimensionale Zufallsveränderliche
Ein Zufallsvektor X = (X\, X2,.. , Xn) liegt vor, wenn jedes Elementarereignis darin besteht, daß n
Zufalls veränderliche X\,.. ,Xn n reelle Zahlenwerte X\, ,xn annehmen (s auch Zufallsvektor in
16.3.1.1,4., S. 793). Die zugehörige Verteilungsfunktion wird durch
F(xu ...,zn) = P(Xi <xu...,Xn< xn) A6.59)
beschrieben. Sie heißt stetig, wenn eine Funktion f(t\, , tn) existiert, so daß
F(xu.. ,xn)= J ••• I /(*i, .,*„)cfti dtn A660)
—oo —oo
gilt. Die Funktion f(t\, .., tn) heißt die Dichte der Verteilung oder Verteilungsdichte Läßt man einige
der Variablen x\,. ,xn nach Unendlich streben, so erhält man sogenannte Randverteilungen.
Genauere Untersuchungen und Beispiele findet man in [16 4] und [16 26]
Von unabhängigen Zufallsveränderlichen X\,. , Xn spricht man, wenn gilt
F{xu.. ,xn) = F1{x1)F2{x2)...Fn{xn), f{tu .,*n) = /i(*i) fn{tn) A6.61)
16.2.3 Diskrete Verteilungen
1. Zweistufige Grundgesamtheit
Handelt es sich um eine zweistufige Grundgesamtheit mit zwei Klassen von Elementen, von denen die
eine Klasse M Elemente mit der Eigenschaft A enthält, die andere N — M Elemente, die die
Eigenschaft A nicht besitzen, dann lassen sich bei der Frage nach den Wahrscheinlichkeiten P(A) = p und
P{A) = 1 — p zwei Fälle der zufälligen Entnahme von Elementen betrachten, der eine mit Zurücklegen
der n gezogenen Elemente, der andere ohne Zurücklegen der gezogenen n Elemente Die gezogenen n
Elemente, darunter k mit der Eigenschaft A , werden Stichprobe genannt, n ist der Umfang der
Stichprobe. Man kann diesen Sachverhalt mit Hilfe des Urnenmodells illustrieren
2. Urnenmodell
In einem Gefäß befindet sich eine große Anzahl schwarzer und weißer Kugeln. Gefragt ist nach der
Wahrscheinlichkeit dafür, daß sich unter n gezogenen Kugeln k schwarze befinden. Wird jede gezogene
Kugel nach der Feststellung ihrer Farbe wieder zurückgelegt, dann ergibt sich für die Wahrscheinlichkeit
778 16 Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik
dafür, daß sich unter den gezogenen n Kugeln k schwarze befinden, eine Binomialverteilung. Werden
die gezogenen n Kugeln nicht zurückgelegt, dann ergibt sich eine hypergeometrische Verteilung
16.2.3.1 Binomialverteilung
Sind bei einem Versuch nur die beiden Ereignisse A und A möglich und sind die zugehörigen
Wahrscheinlichkeiten P(A) = p und P(A) = 1 — p, so ist
W£(k)= ( Jp*(l-p)n-fc (fc = 0,l,2,...,n) A6 62)
die Wahrscheinlichkeit dafür, daß bei n-maliger Wiederholung des Versuches das Ereignis A genau k-
mal eintritt.
Bei jedem Ziehen eines unabhängigen Elements aus der Grundgesamtheit gilt
M — N - M
P(A) = -, P(A) = —R- = l-p = q. A663)
Die Wahrscheinlichkeit, bei den ersten k Ziehungen ein Element_mit der Eigenschaft A zu ziehen und
bei den darauffolgenden n — k ein Element mit der Eigenschaft A , ist pk(l — p)n~k , da die Ergebnisse
der Ziehungen unabhängig voneinander sind. Dabei ist die Reihenfolge der Ziehung der Elemente ohne
Bedeutung, da die Kombinationen
$"«(£*}! A664)
die gleiche Wahrscheinlichkeit haben und auch zu einer Stichprobe mit dem Umfang n mit k Elementen
der Eigenschaft A führen
Eine Zufallsveränderliche Xn , bei der P(Xn = k) = W£(k) ist, heißt binomialverteilt mit den
Parametern n und p. Es gilt.
1. Erwartungswert und Streuung
E(Xn) = fi = n-p1 A6.65a) D2{Xn) = a2 = n ¦ p(l - p) A6.65b)
2. Approximation der Binomialverteilung durch die Normalverteilung
Ist Xn binomialverteilt, so ist
^p(^o^^)-w,jA^]dt- (i665c)
Demnach läßt sich die Binomialverteilung für große n näherungsweise durch eine Normalverteilung
(s. 16.2.4 1, S 780) mit den Parametern fix = E(Xn) und a2 = D2(Xn) ersetzen Dies ist mit im
allgemeinen ausreichender Genauigkeit möglich, wenn np > 4 und n(l — p) > 4 ist
3. Rekursionsformel Für praktische Rechnungen ist die folgende Rekursionsformel der
Binomialverteilung nützlich:
w;{k +1) = ^| •v- ¦ w;(k). A6 65d)
4. Summe von binomialverteilten Zufallsgrößen
Sind Xn und Xm mit den Parametern n,p bzw. m,p binomialverteilte Zufallsveränderliche, so ist die
Zufallsveränderliche X = Xn + Xm ebenfalls binomialverteilt, und zwar mit den Parametern n + m,p
In Abb.l6.2a,b,c sind drei Binomialverteilungen für die Fälle n = 5 , p = 0, 5 ; 0,25 und 0,1
dargestellt. Die Abbildung zeigt auch, daß sich in Übereinstimmung mit der Symmetrie der Binomialkoeffi-
zienten für p = q = 0,5 eine Symmetrie der Binomialverteilung ergibt Mit der Entfernung des Wertes
p von 0,5 nimmt diese Symmetrie ab.
16.2 Wahrscheinlichkeitsrechnung 779
0.7 4
0.6 4
0.5 4
0.4 4
03 4
0.2 -I
0.1 -|
0.0
p=0.25
b)
0 12 3 4 5
Abbildung 16.2
0.7 4
0.6-i
0.5
0.4
0.3 i
0.2
0.1
0.0
p=0.10
c)
0 12 3 4 5
16.2.3.2 Hypergeometrische Verteilung
Wie bei der Betrachtung der Binomialverteilung liege eine zweistufige Grundgesamtheit mit zwei
Klassen von Elementen vor, von denen die eine Klasse M Elemente mit der Eigenschaft A enthält, die andere
N — M Elemente, die die Eigenschaft A nicht besitzen. Im Unterschied zu dem auf die
Binomialverteilung führenden Fall mit Zurücklegen der gezogenen Kugeln des Urnenmodells wird jetzt der Fall ohne
Zurücklegen betrachtet
Die Wahrscheinlichkeit dafür, daß sich unter n gezogenen Kugeln k schwarze befinden, ist gegeben
durch
P(X = k) = W^N(k)
N
-M'
-k
:)
mit 0<k<n, k<M , n-k<N - M . A6.66a)
Die Wahrscheinlichkeiten p und q berechnet man gemäß A6.63).
Eine Zufallsgröße X , die der Verteilung A6 66a) genügt, heißt hypergeometrisch verteilt. Es gilt
Erwartungswert und Streuung
(M\ (N - M
k ) \ n — k
/i = E(X) :
fc=0
M
A6 67a)
a2 = D2{X) = E{X2)
M
2. Rekursionsformel
[E(x)\2=j:k2
k=0
N-n
N-
(*
D)
/ M\N-n
V ~~NJ N-l
(n-k){M-k)
(k + l)(N-M-n + k + l)
wnMAk).
A6.67b)
A6 67c)
In Abb.l6.3a,b,c sind drei hypergeometrische Verteilungen für die Fälle ./V = 100, M = 50, 25 und
10 für n = 5 dargestellt, was den Fällen p = 0,5, 0,25 und 0,1 der Abb. 16.2a,b,c entspricht. In
diesen Beispielen sind keine signifikanten Unterschiede zwischen Binomial- und hypergeometrischer
Verteilung zu erkennen.
780 16. Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik
p=0.50
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0
b)
p=0.25
±_
0 12 3 4 5
Abbildung 16.3
0.7 H
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2 -I
0.1 i
0.0
p=0.10
0 12 3 4 5
c)
16.2.3.3 Poisson-Verteilung
Die Verteilung einer diskreten Zufalls veränderlichen X , bei der
P(X-.
(ä; = 0,1,2, ,A>0)
ist, heißt PoiSSON- Verteilung mit den Parametern A . Es gilt
1. Erwartungswert und Streuung
D2(X) :
E{X) = \,
A6 69a)
:A.
A6 (
A6.69b)
2. Summe von Poisson-verteilten Zufallsgrößen
Sind X\ und X2 unabhängige, PoiSSON-verteilte Zufallsveränderliche mit den Parametern Ai bzw A2,
so ist auch X = X\ + X2 eine poissonverteilte Zufallsveränderliche mit dem Parameter A = Ax + A2
3. Rekursionsformel
fk + 1^ X -^ A6 69c)
A
fc + 1
4. Zusammenhang zwischen Poisson- und Binomialverteilung
Die PoiSSON-Verteilung geht aus einer Folge von binomialverteilten Zufallsveränderlichen Xn mit den
Parametern n,p durch den Grenzübergang n —» oo hervor, wenn man p (p —+ 0) mit n so variiert, daß
np = A = const bleibt. Für p < 0,08, n > 1500p kann die Binomialverteilung meist mit ausreichender
Genauigkeit durch die PoiSSON-Verteilung ersetzt werden, deren Auswertung einfacher ist
Zahlenwerte für die PoiSSON-Verteilung enthält die Tabelle 21.16, S 1120 In Abb.l6.4a,b,c sind
drei PoiSSON-Verteilungen für A = np = 2,5 ; 1,25 und 0, 5 dargestellt, d h für Parameter, die denen
der Abb. 16.2 und Abb. 16.3 entsprechen
5. Anwendungen (s auch Poisson-Prozesse in 16.2.6.2, S 791)
Durch eine PoiSSON-Verteilung lassen sich z.B beschreiben Anzahl der Kunden, die in einem
bestimmten Zeitintervall einen Laden besuchen, Anzahl der Druckfehler in einem Buch, Rate der
radioaktiven Zerfälle
16.2.4 Stetige Verteilungen
16.2.4.1 Normalverteilung
1. Verteilungsfunktion und Dichte
Eine Zufallsveränderliche X mit der Verteilungsfunktion
1
P(X <x) = F{x) =
aV2n
i
_(*-mJ
e 2a2 dt
A6 70a)
16.2 Wahrscheinlichkeitsrechnung 781
1
0.7-
0.6-
0.5-
0.4-
0.3-
0.2-
O.l-i
nn J
u.u
t
X=2.5
1 1 1
iiiii
Dl 2 3 4 5
k
?
0.7 -
0.6 -
0.5 -
0.4 -
0.3 -;
0.2 H
0.1 ]
nn J
u.u -¦
(
)
X=125
Ii.
L 2 3 4 5
k
,
0.7-
0.6 i
0.5 A
0.4 i
0.3 H
0.2 J
0.1 -
0.0 -1
(
i
^=0.50
1
1 i
3 12 3 4
k
a) b)
Abbildung 16.4
heißt normalverteilt, genauer (/i, o-2)-normalverteilt. Die Funktion
/« =
c)
1 _I£zali
. _ A6 70b)
<7V27T
heißt die Dichte der Normalverteilung. Sie nimmt an der Stelle t = ji ihr Maximum an und hat
Wendepunkte bei ii ± er (s. B.59) und Abb. 16.5a)
t b)
Abbildung 16 5
2. Erwartungswert und Streuung
ergeben sich für die Parameter /i und a2 der Normal Verteilung zu:
(*-mJ
1 r (s-M,
H = E(X) = —= / xe~ *>
dx
und
: D\X) = E[(X - fiJ} = —= / (x - ßfe- '£ dx
C7V27T J
A6.71a)
A6.71b)
Sind die Zufallsveränderlichen X\ und X2 unabhängig und normalverteilt mit den Parametern (ii, G\
I bzw /i2 , G2 , so ist auch die Zufallsveränderliche X = k\Xi + Ä/2^2 (&i5 &2 reell, const) normalverteilt
j mit den Parametern fi = ki/ii + /c2/i2 , 0 = y ^i2ci2 + fc22c722.
I Durch die Substitution r = ^ in A6.70a) läßt sich die Wahrscheinlichkeit P(a < X < b) über die
I normierte Normalverteilung $(x) wie folgt berechnen
(b — n }
a
P{a<X<b) = <
$
p?)
A6.72)
782 16 Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik
16.2.4.2 Normierte Normalverteilung, Gaußsches Fehlerintegral
1. Verteilungsfunktion und Dichte
Aus A6.70a) erhält man für \x = 0 und er2 = 1 die Verteilungsfunktion
P(X <x)= <P(x) = —= / e" 2 dt= / ip{t) dt A6.73a)
v 2tt J J
—oo —oo
der normierten Normalverteilung Ihre Dichtefunktion
¥>(*) = ^e^ A6 73b)
beschreibt die GAUSSsche Glockenkurve (Abb. 16.5b)
Die @,1)-NormalVerteilung $(x) liegt tabelliert vor (Tabelle 21.17, S 1122), und zwar hier nur für
positive Argumente x , da für negative Argumente der Zusammenhang
<P(-x) = 1 - <P{x) A6 74)
genutzt werden kann.
2. Wahrscheinlichkeitsintegral
Das Integral <P(x) wird auch Wahrscheinlichkeitsintegral oder GAVSSsches Fehlerintegral genannt In
der Literatur findet man dafür auch die folgenden Definitionen:
1 } tl 1
$0(x) = -7= / e" 2 dt = $(x) - - , A6 75a)
V2tt Jq 2
9 °r
erf (x) = -= e~t2 dt = 2 • ^(v^x) (wegen erf (x) s 8 2 5,5., S. 478). A6 75b)
v o
16.2.4.3 Logarithmische Normalverteilung
1. Verteilungsfunktion und Dichte
Die stetige Zufallsgröße X , die alle positiven Werte annehmen kann, besitzt eine logarithmische
Normalverteilung (auch Lognormalverteilung genannt) mit den Parametern pi und o\ , wenn die
Zufallsgröße Y mit
y = logX A6 76)
normalverteilt ist mit den Parametern {iL und a\ . Die Zufallsgröße X hat demzufolge die Dichte
@ für *<0,
/(*) = j Jogc_ / (logt_-^\ A6 77a)
und die Verteilungsfunktion
( 0 für x < 0 ,
F(x) = _1_ l0F M^H m ftlr „. ^ n A6.77b)
—7= / exp ( —^-—r^r^— ) dt für x > 0
Bei praktischen Anwendungen wird als Logarithmus entweder der natürliche oder der dekadische
Logarithmus verwendet.
2. Erwartungswert und Streuung
Für Erwartungswert und Streuung der Lognormal Verteilung erhält man, wenn der natürliche
Logarithmus verwendet wird:
ß = exp f pL + -± J , g1 = (exp g\ - l) exp B/iL + o|)
A6 78)
16.2 Wahrscheinlichkeitsrechnung 783
3. Bemerkungen
a) Die Dichtefunktion der Lognormalverteilung ist links durch Null begrenzt und läuft rechts flach aus.
Die Abb.16.6 zeigt die Dichte der Lognormalverteilung für verschiedene Werte von ßL und <jl- Dabei
wurde der naturliche Logarithmus verwendet.
b) Man beachte: \il und g\ sind Erwartungswert und Streuung der transformierten Zufallsgröße Y =
logX , während /t und a2 gemäß A6.78) Erwartungswert und Streuung der Zufallsgröße X sind.
c) Die Verteilungsfunktion F(x) der Lognormalverteilung kann mit Hilfe der Verteilungsfunktion <P(x)
der normierten Normalverteilung (s. A6.2.4.2), S 782) berechnet werden, denn es gilt:
F(x) = £
log z-/xL
&L
A6.79)
d) Die Lognormalverteilung wird häufig bei Lebensdaueranalysen von ökonomischen, technischen und
biologischen Vorgängen angewendet.
e) Während die Normalverteilung mit der additiven Überlagerung einer großen Anzahl voneinander
unabhängiger zufälliger Ereignisse in Zusammenhang gebracht werden kann, ist es bei der
Lognormalverteilung das multiplikative Zusammenwirken vieler zufälliger Einflüsse.
f(t)'
1,5
1,0
0,5
0
L
/ \ |iL=ln 0,5; gl=0,5
V ^\^ jyO;oL=l
0,5 1,0 1,5 2,0
2,5 t
2,0
1,5
1,0
0,5
0
\A.=2
0,5
v^_
1,0 1,5
2,0
t
Abbildung 16.6
Abbildung 16.7
16.2.4.4 Exponentialverteilung
1. Dichte und Verteilungsfunktion
Eine stetige Zufallsgröße X genügt der Exponentialverteilung mit dem Parameter A (A > 0), wenn sie
die Dichte (s Abb.16.7)
/(*) =
0 für t < 0,
Xe~xt für t > 0
und damit die folgende Verteilungsfunktion hat:
F(x)= f f(t)dt= °
0
für x < 0,
¦ e~Xx für x > 0
A6.80a)
A6 80b)
2. Erwartungswert und Streuung
der Exponentialverteilung sind:
1 o 1
A'
A2"
A6.81)
784 16 Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik
Angewendet wird die Exponentialverteilung zur Beschreibung folgender Vorgänge: Dauer von
Telefongesprächen, Lebensdauer des radioaktiven Zerfalls, Arbeitszeit einer Maschine zwischen zwei
Stillständen, Lebensdauer von Bauelementen oder Lebewesen.
16.2.4.5 Weibull-Verteilung
1. Dichte und Verteilungsfunktion
Die stetige Zufallsgröße X genügt einer Weibull-Verteilung mit den Parametern a und ß (a > 0,
ß > 0), wenn ihre Dichte durch
[0 für t<0,
. a-l
f(t)-
a (t_
exp
für t>0
A6 82a)
und ihre Verteilungsfunktion durch
'0 für x < 0,
F(x):
1 — exp
für x > 0
A6.82b)
gegeben sind
2. Erwartungswert und Streuung
,=/,r(i+i), ^tKH2K)]
Mit r(x) wird dabei die Gammafunktion (8.105a), S. 478 bezeichnet.
oo
r(x)= fe^e^dt für x >0.
o
In A6.82a) ist a der Formparameter und ß der Maßstabsparameter (Abb. 16.8, Abb. 16.9).
A6.83)
A6 84)
f(tI
1,0
0,5
0
i
\ ß=1
y \ot=l \
/ a=0,5s^^>(^^v\
0,5 1,0 1,5
2,0
2,5 t
2 3 4
Abbildung 16.8 Abbildung 16 9
Bemerkungen:
a) Für a = 1 geht die WEIBULL-Verteilung in die Exponentialverteilung mit dem Parameter A =
über
1
16.2 Wahrscheinlichkeitsrechnung 785
b) Die Weibull-Verteilung gibt es auch als dreiparametrige Verteilung, wenn zusätzlich der
Parameter 7 als sogenannter Lageparameter eingeführt wird. Die Verteilungsfunktion lautet dann:
F(x) = 1 - exp
x — 7
A6.85)
c) Die Weibull-Verteilung wird besonders in der Zuverlässigkeitstheorie angewendet, weil sie in sehr
flexibler Weise die Funktionsdauer von Bauteilen oder Baugruppen beschreiben kann.
16.2.4.6 %2-Verteilung
1. Dichte und Verteilungsfunktion
Es seien Xi, X2,. ., Xn n unabhängige, @,1)-normalverteilte Zufalls veränderliche. Dann heißt die
Verteilung der Zufallsveränderlichen
X2 = X12 + X22 + --. + Xn2 A6.86)
X2-Verteilung mit dem Freiheitsgrad n. Ihre Verteilungsfunktion wird mit Fxi(x) bezeichnet, die
zugehörige Dichtefunktion mit fx*{t) Es gilt:
1 ™ _ i _i
-U e 2 für t > 0,
fAt) = \ 22r(%) A6 87a)
,0 für K0
X
Fx2{x) = P{x2 <x) = 7-pr- ft2~ le~2 dt {x > 0). ' A6.87b)
2. Erwartungswert und Streuung
E(x2) = n, A6.88a) D2(X2) = 2n. A6.88b)
3. Summe von Zufallsveränderlichen
Sind Xi und X2 unabhängige Zufallsveränderliche, die je einer x2~Verteilung mit n bzw. m
Preiheitsgraden genügen, so ist die Zufallsveränderliche X = Xi + X2 x2_verteilt mit n + m Freiheitsgraden.
4. Summe von normalverteilten Zufallsveränderlichen
Sind Xi, X2 ,..., Xn unabhängige, @, a)-normalverteilte Zufallsveränderliche, so besitzt
X =JTX? die Dichte /(*) = ^/x2 (J^j , A6 89)
X =-t^ die Dichte /(*) = -Jx, (%) , A6 90)
' i=l
X ¦
1 n 2t /' /2 N
Y^X2 die Dichte f(t) = -fx2 - ) . A6 91)
Nȣ
a' \a
5. Quantile
Für die Quantile (s. 16.2.2.2,3., S. 775) xl m der X2~Verteilung mit dem Freiheitsgrad m (Abb.16.10)
gilt
P{X>xlm) = a. A6.92)
Quantile der x2-Verteilung sind in Tabelle 21.18, S 1124, zu finden.
16.2.4.7 Fisher-Verteilung
1. Dichte und Verteilungsfunktion
Sind Xi und X2 unabhängige, x2~verteilte Zufallsveränderliche mit rai bzw. rri2 Freiheitsgraden, dann
786 16 Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik
fx2(t)|
0
v2
A „
,a
t
Abbildung 16.10 Abbildung 16 11
heißt die Verteilung der Zufallsveränderlichen
F -*/*»
•*• Tni,7Tl2 /
FiSHER-Verteilung oder F-Verteilung mit den Freiheitsgraden rai, m2 Es gilt*
fp(t) -
i
/mi\m!/2 /m2xm2/2
r
/mi ra^N
v 2 2;
,21 _ 1
t 2 L
r(?M!?)(?.+?y?+
V 2
ELL _|_ 2212.
2
0
für * > 0 ,
für t < 0
Für x < 0 gilt FF(z) = P{Fmum2 < x) = 0; für x > 0 gilt
FF(x) = P(Fmim2 < x)
m2^ 2 v 2 2
t/-
t 2
dt
mi _i_ mg. •
2
2. Erwartungswert und Streuung
ra2
¦& \-Fmi,m,2 ) —
1712 — 2 '
A6.95a)
2m22(mi +m2 - 2)
^(^im8) =
mi(m2 -2J(m2-4) '
A6 93)
A6 94a)
A6 94b)
A6 95b)
3. Quant ile
Die Quantile (s 16 2.2.2,3., S. 775) famim2 der FiSHER-Verteilung (Abb.16.11) sind in Tabelle
21.19, S. 1125 zu finden.
16.2.4.8 Student-Verteilung
1. Dichte und Verteilungsfunktion
Ist X eine @,1)-normalverteilte Zufallsveränderliche und Y eine von X unabhängige
Zufallsveränderliche, die x -verteilt ist mit m = n — 1 Freiheitsgraden, so heißt die Verteilung der Zufallsgröße T
X
/Y/m
Student -Verteilung oder t-Verteilung mit m Freiheitsgraden Es gilt-
(m+l\
1
fs(t) = ¦
. -m
¦(?) f,+
ro+1
*2\~
A6.96)
A6.97a)
16.2 Wahrscheinlichkeitsrechnung 787
Fs{x) = P(T<x)= f fs(t) dt = V l J I
dt
^K)'
A6.97b)
0
t
iL
a,m
* >
t
a)
2. Er wart ungs wert und Streuung
E(T) = 0 (m > 1), A6 98a)
3. Quant ile
Abbildung 16.12
D2(T) :
ra-2
(m > 2).
A6 98b)
P(T > tatm) = öl A6 99a) oder P( |T| > tQ/2,m) = a. A6.99b)
Die Quantile der Student-Verteilung sind in Tabelle 21.20, S. 1127 zu finden.
Das Einsatzgebiet der Student-Verteilung, die von Gösset unter dem Pseudonym Student
eingeführt wurde, sind Stichproben mit geringem Umfang n, für die nur Schätzwerte des Mittelwertes
und der Standardabweichung angegeben werden können. Die Standardabweichung der
Grundgesamtheit ist in A6 98b) nicht mehr enthalten.
16.2.5 Gesetze der großen Zahlen, Grenzwertsätze
Die Gesetze der großen Zahlen geben Zusammenhänge zwischen der relativen Häufigkeit ua/u eines
zufälligen Ereignisses A und deren Wahrscheinlichkeit P(Ä) bei einer großen Anzahl von
Wiederholungen des Versuches wieder.
16.2.5.1 Gesetz der großen Zahlen von Bernoulli
Bei beliebig vorgegebenen Zahlen £ > 0 und n > 0 ist
p(\^-P{A)\<e)>l-
\\ n I /
¦v,
A6 100a) wenn n >
1
4e2r)
A6.100b)
Weitere Gesetze dieser Art s [16 6], [1621].
¦ Wievielmal muß man würfeln, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 95 %
daraufschließen zu können, daß sich die Wahrscheinlichkeit des Auftretens der Augenzahl Sechs von der
beobachteten relativen Häufigkeit höchstens um den Betrag 0,01 unterscheidet?
Es ist e = 0,01 und r\ = 0,05 , also 4e2r/ = 2 • 10~5 , und somit muß nach dem BERNOULLischen Gesetz
der großen Zahlen n > 5 • 104 sein. Diese Zahl ist sehr groß Man kann n verkleinern, wenn man die
Verteilungsfunktion kennt (s. [16.10])
788 16. Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik
16.2.5.2 Grenzwertsatz von Lindeberg—Levy
Wenn die unabhängigen Zufallsveränderlichen Xx,.. , Xn derselben Verteilung mit dem
Erwartungswert /i und der Streuung a2 genügen, dann strebt die Verteilungsfunktion Fn(y) der zufälligen
Veränderlichen
1 n
Yn = U <=1; r- A6 101)
für n —? oo gegen eine @,1)-NormalVerteilung, d.h , es ist
1 } tl
lim Fn(y) = -= / e" 2 dt. A6.102)
—oo
Die Ersetzung von Fn(y) durch die @,1)-NormalVerteilung ist praktisch für n > 30 möglich (s [16.1]
Weitere Grenzwertsätze s. [16 6], [16.10], [16.21].
¦ Einer laufenden Produktion von Widerständen werden 100 Stück entnommen. Es sei bekannt, daß
sämtliche Widerstandswerte unabhängig sind und derselben Verteilung mit der Streuung o2 — 150
genügen. Der Mittelwert der 100 Widerstände sei x = 1050 Q,. In welchem Bereich liegt mit einer
Wahrscheinlichkeit von 99 % der Erwartungswert /i der Verteilung?
Es ist P(\Y\ < X) = P{-X < Y < X) = P{Y < X) - P(Y < -X). Man kann annehmen (s. A6.101)),
daß die Zufalls veränderliche Y = —j—j= einer @,1) -Normal Verteilung genügt Somit ist P(Y < —X) =
cr/y/n
1 - P{Y < X) und damit P(\Y\ < X) = 2P(Y < X) - 1.
Diese Wahrscheinlichkeit soll 99 % sein. Damit gilt P(Y < X) = <2>(A) = 0,995. Aus der Tabelle 21.17,
S. 1122 für die normierte Normal Verteilung entnimmt man dazu A = 2,58 Wegen a/y/TÖÖ — 1,225
gilt daher mit der Wahrscheinlichkeit 99 %: |1050-/i| < 2,58 • 1,225 , d.h. 1046,8 ft < \i< 1053,2 tt
16.2.6 Stochastische Prozesse und stochastische Ketten
Eine wirklichkeitsnahe Beschreibung von Vorgängen in der Natur, in der Technik und in der Wirtschaft
kann in vielen Fällen nur mit Hilfe von Zufallsgrößen erfolgen, deren Verhalten zeitabhängig ist.
¦ Der Stromverbrauch in einer Stadt zu einem festen Zeitpunkt t ist zufälligen Schwankungen
unterworfen, abhängig von den Gewohnheiten der Haushalte und der Industrie Damit kann der
Stromverbrauch als stetige Zufallsgröße X aufgefaßt werden. Variiert man die Beobachtungszeit t, so bleibt der
Stromverbrauch eine stetige Zufallsgröße, wird aber gleichzeitig zu einer Funktion der Zeit.
Die Analyse zeitabhängiger Zufallsgrößen mit den Methoden der Stochastik führt auf stochastische
Prozesse, für die es eine umfgangreiche Literatur gibt (s. z.B. [16 7], [16 14], [16.5], [16.8], [16 18],
[16 16]). Im folgenden kann nur ein Einblick gegeben werden.
16.2.6.1 Grundbegriffe, Markoffsche Ketten
1. Stochastische Prozesse
Eine Menge von Zufallsgrößen, die von einem Parameter abhängen, wird als stochastischer Prozeß
bezeichnet. Unter dem Parameter kann man sich im allgemeinen die Zeit t vorstellen, so daß die
Zufallsgröße mit Xt und der stochastische Prozeß durch die Menge
{Xt\t G T} A6 103)
dargestellt werden können. Dabei wird die Menge der Parameterwerte als Parameterraum T, die Menge
der Werte der Zufallsgrößen als Zustandsraum Z bezeichnet.
2. Stochastische Ketten
Sind bei einem stochastischen Prozeß sowohl der Zustandsraum als auch der Parameterraum diskret,
d.h., die Zustandsgröße Xt und der Parameter t können nur endlich viele oder abzählbar unendlich
16 2 Wahrscheinlichkeitsrechnung 789
viele Werte annehmen, dann spricht man von einer stochastischen Kette. Bei einer stochastischen Kette
können demzufolge sowohl die Zustände als auch die Parameterwerte durchnumeriert werden:
Z = {l,2,...,i,i + 1, . ,} A6.104)
T = {t0ltu. ,*m,Wi.- •} mit 0<t0<*i < ..<*m<Wi<-- • A6105)
Die Zeitpunkte t0, t\,... müssen nicht äquidistant sein.
3. Markoffsche Ketten, Übergangswahrscheinlichkeiten
Hängt bei einer stochastischen Kette die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses Xtm+1 nur vom Zustand
zum Zeitpunkt tm ab, so spricht man von einer MARKOFFschen Kette, d h , es gilt
P(Xtm+i = Wil^o = io,Xtl = ix-, -,Xtrn = im) = P{Xtm+1 = im+i\Xtm = im)
für alle m G {0,1,2. ..} und für alle i0, iu . ., im+1 e Z . A6 106)
Es seien eine M ARKOFFsche Kette sowie die zwei Zeitpunkte tm und tm+i gegeben Die bedingten
Wahrscheinlichkeiten
P(Xtm+1 = J\Xtm =i)= Pij(tm, Wi) A6 107)
heißen Ubergangswahrscheinlichkeiten Die Übergangswahrscheinlichkeit gibt an, mit welcher
Wahrscheinlichkeit der Zustand Xtni = i bei tm in den Zustand Xtm+l = j bei tm+\ übergeht.
Ist der Zustandsraum einer MARKOFFschen Kette endlich, d.h. Z = {1,2,..., TV} , so lassen sich die
Ubergangswahrscheinlichkeiten Pij{t\)t2) zwischen den Zuständen zum Zeitpunkt £i und t<i in einer
quadratischen Matrix P(ti,t2), der sogenannten Übergangsmatrix, darstellen:
P(*i,*2) =
( Pu(ti,t2)
P2l(tUt2)
Pn(tut2)
P22(tl,t2)
PlN(ti,t2) \
P2N(tUt2)
A6 108)
\VNl(tut2) PN2(tUt2) •• PNN{tuh)J
Die Zeitpunkte t\ und t2 müssen nicht aufeinanderfolgende Zeitpunkte sein.
4. Homogene Markoffsche Ketten
Hängen bei einer MARKOFFschen Kette mit endlichem Zustandsraum die
Ubergangswahrscheinlichkeiten A6.107) nicht von der Zeit ab, d h , es gilt
Pij{tm,tm+l) =Pij, A6 109)
dann spricht man von einer homogenen MARKOFFschen Kette. Zu einer homogenen MARKOFFschen
Kette mit dem endlichen Zustandsraum Z = {1, 2, , N} gehört daher die Ubergangsmatrix
/Pii
P21
P\2
P22
\PN\ PN2
PlN \
P2N
PNN'
mit
1 pij > 0 für alle i,j und
N
2- ^2 Pij — 1 fur a^e i
A6 110a)
A6.110b)
A6 110c)
Wegen der Unabhängigkeit von t stellt p^ die Übergangswahrscheinlichkeit vom Zustand i in den
Zustand j während einer beliebigen Zeiteinheit dar
¦ Die Anzahl der belegten, von einer Telefonzentrale abgehenden Leitungen kann durch eine homogene
MARKOFFsche Kette modelliert werden Zur Vereinfachung wird angenommen, daß nur zwei Leitun-
790 16. Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik
gen vorhanden sind. Es gibt also die Zustände i = 0,1,2. Die Zeiteinheit sei z.B. 1 Minute. Für die
Übergangsmatrix p^ wird die folgende Belegung angenommen:
/0,7 0,3 0,0\
(Pij)= 0,2 0,5 0,3 (*,i = 0,1,2).
\0,1 0,4 0,5/
In der Matrix (pij) erhält man die 1. Zeile für i = 0. Demzufolge ist das Matrixelement p^ = 0,3
B. Zeile, 3. Spalte) die Wahrscheinlichkeit dafür, daß zur Zeit tm zwei Leitungen belegt sind, falls zur
Zeit tm-i eine Leitung belegt war.
Hinweis: Jede quadratische Matrix P = (p^) vom Typ (N,N) mit den Eigenschaften A6.110b),
A6.110c) wird als stochastische Matrix bezeichnet Ihre Zeilenvektoren heißen stochastische Vektoren
Bei einer homogenen MARKOFFschen Kette hängen zwar die Übergangswahrscheinlichkeiten nicht von
der Zeit ab, aber die Verteilung der Zufallsgrößen Xt zu einem Zeitpunkt ist durch die
Wahrscheinlichkeiten
N
P(Xt = i) = Pi(t) (i = l,2,...,W) A6.111a) mit £#(*) = 1 A6.111b)
i=l
gegeben, da sich der Prozeß zum Zeitpunkt t mit Sicherheit in irgend einem der Zustände befindet. Die
Wahrscheinlichkeiten A6.111a) können zu dem Wahrscheinlichkeitsvektor
p=(pi(t)Mt),..-,PN(t)T) A6.112)
zusammengefat werden Der Wahrscheinlichkeitsvektor p ist ein stochastischer Vektor. Er beschreibt
die Verteilung auf die Zustände der homogenen MARKOFFschen Kette zum Zeitpunkt t.
5. Wahrscheinlichkeitsvektor und Übergangsmatrix
Die Übergangsmatrix P einer homogenen MARKOFFschen Kette gemäß A6.110a,b,c) sei bekannt
Ausgehend von der Wahrscheinlichkeitsverteilung zum Zeitpunkt t soll die Wahrscheinlichkeitsverteilung
zum Zeitpunkt t + \ berechnet werden, d.h., aus P und p(t) ist p(t + 1) zu bestimmen. Es gilt-
p(t + l) = p(t)-P A6.113)
und weiter
p(t + k) = p(t) • Pfc A6.114)
Bemerkungen:
1. Aus A6.114) folgt für t = 0
p(fc) = p@)Pfc , A6.115)
d.h, eine homogene MARKOFFsche Kette ist durch die Anfangsverteilung p@) und die
Übergangsmatrix P bestimmt
2. Sind die Matrizen A und B stochastische Matrizen, dann ist auch die Matrix C = AB eine
stochastische Matrix Daraus folgt: Da P eine stochastische Matrix ist, sind auch die Potenzen Pfc stochastische
Matrizen.
¦ Ein Teilchen verändere seine Lage (Zustand) Xt A < x < 5) längs einer Geraden zu den
Zeitpunkten t = 1,2,3,. nach der folgenden Vorschrift:
1. Von den Punkten x = 2,3,4 wird es in der nachfolgenden Zeiteinheit um eine Einheit mit der
Wahrscheinlichkeit p = 0,6 nach rechts und mit der Wahrscheinlichkeit 1 — p = 0,4 nach links verschoben.
2. An den Punkte x = 1 und x = 5 wird das Teilchen absorbiert, d.h., es bleibt mit der
Wahrscheinlichkeit 1 in der nachfolgenden Zeit dort.
3. Zur Zeit t = 0 befinde sich das Teilchen an der Stelle x = 2 .
Die Wahrscheinlichkeitsverteilung pC) zum Zeitpunkt t = 3 ist zu berechnen.
16.2 Wahrscheinlichkeitsrechnung 791
0 0
0,6 0
0 0,6
0,4 0
0 0
0 ^
0
0
0,6
1 /
Daraus folgt P3 =
/ 1
0,496
0,160
0,064
V 0
0
0
0,192
0
0
0 0 0 \
0,288 0 0,216
0 0,288 0,360
0,192 0 0,744
0 0 1 /
Gemäß A6 115) gilt pC) = p@) • P3 mit p@) = @,1,0,0,0) und der Übergangsmatrix
' 0,4 0
0 0,4
0 0
V 0 0
und man erhält pC) = @,496,0, 0, 288,0,0,216)
16.2.6.2 Poisson—Prozesse
1. Poisson-Prozeß
Bei den stochastischen Ketten sind sowohl der Zustandsraum Z als auch der Parameterraum T diskret,
d h., der stochastische Prozeß wurde nur zu den diskreten Zeitpunkten to, £i, £2, • • betrachtet Beim
PoiSSON-Prozeß wird dagegen ein stetiger Parameterraum T vorausgesetzt.
1. Mathematische Fprmulierung Zur mathematischen Formulierung des PoiSSON-Prozesses wird
festgelegt-
1. Die Zufallsgröße Xt sei die Anzahl der Signale im Zeitintervall [0,t),
2. die Wahrscheinlichkeit px(t) = P(Xt = x) sei die Wahrscheinlichkeit für x Signale im Zeitintervall
[o,t).
Darüber hinaus werden folgende Voraussetzungen gefordert, die vom radioaktiven Zerfall und von
vielen anderen zufällig ablaufenden Prozessen (zumindest annähernd) erfüllt werden:
3. Die Wahrscheinlichkeit P(Xt = x) für x Signale in einem Zeitintervall der Länge t hängt nur von x
und t ab, aber nicht von der Lage des Zeitintervalls auf der Zeitachse
4. Die Anzahl der Signale in disjunkten Zeitintervallen sind unabhängige Zufallsgrößen.
5. Die Wahrscheinlichkeit für mindestens ein Signal in einem kleinen Zeitintervall der Länge At ist
proportional zu dieser Länge. Der Proportionalitätsfaktor werde mit A (A > 0) bezeichnet.
2. Verteilungsfunktion Durch die voranstehenden Eigenschaften 3. bis 5. ist die
Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße Xt bestimmt. Man erhält
P(Xt = x) = ^e~xt A6 116a)
x\
mit dem Mittelwert \i = Xt und der Streuung a2 = Xt A6.116b)
3. Bemerkungen
1. Für t = 1 ergibt sich aus A6.116a) als Spezialfall die PoiSSON-Verteilung (s 16.2.3.3, S. 780).
2. Zur Interpretation des Parameters A und eventuell zu seiner genäherten Bestimmung aus
beobachteten Daten sind die folgenden Zusammenhänge nützlich
• A ist die mittlere Anzahl von Signalen pro Zeiteinheit,
• — ist der mittlere Abstand zweier Signale eines PoiSSON-Prozesses.
A
3. Der POISSON-Prozeß kann als zufällige Bewegung (Irrfahrt) eines Teilchens auf dem Zustandsraum
Z = {0,1,2,. } gedeutet werden. Das Teilchen startet im Zustand 0 , und bei jedem Signal springt
es vom Zustand i in den nächsten Zustand i + 1 Dabei soll in einem kleinen Zeitintervall At für die
Ubergangswahrscheinlichkeit p^i+i vom Zustand i in den Zustand i + 1 gelten:
pM+i«AA*. A6.117)
A heißt hier Übergangsrate
4. Beispiele für Poisson-Prozesse
¦ Der radioaktive Zerfall ist ein typisches Beispiel für den POISSON-Prozeß- Mit einem Zählgerät wer-
792 16. Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik
den die Zerfallsakte (Signale) registriert und über einer Zeitachse abgetragen. Der
Beobachtungszeitraum sei dabei vernachlässigbar klein im Vergleich zur Halbwertszeit des radioaktiven Strahlers.
¦ Für die Anzahl der in einer Telefonzentrale bis zum Zeitpunkt t registrierten Telefongespräche läßt
sich z B. die Wahrscheinlichkeit dafür berechnen, daß bis zur Zeit t höchstens x Gespräche vermittelt
werden, wenn pro Zeiteinheit durchschnittlich A Gespräche geführt werden.
¦ Bei Zuverlässigkeitsuntersuchungen wird die wahrscheinliche Anzahl der Ausfälle eines
reparierbaren Systems während der Betriebsdauer berechnet.
¦ In der Bedienungstheorie wird die Anzahl der bis zur Zeit t eintreffenden Kunden an einer
Kaufhauskasse, einem Fahrkartenschalter oder einer Tankstelle betrachtet.
2. Geburts- und Todesprozesse
Eine erste Verallgemeinerung des PoiSSON-Prozesses besteht darin, daß man in A6 117) eine vom
Zustand i abhängige Übergangsrate A^ wählt Als zweite Verallgemeinerung werden auch Übergänge
vom Zustand i in den Zustand i — 1 zugelassen Die zugehörige Übergangsrate wird mit pi bezeichnet.
Der Zustand i eines solchen Prozesses kann z.B. die Anzahl der Individuen einer Population angeben,
die beim Übergang von i zu i + 1 um ein Individuum vergrößert, beim Übergang von i zu i — 1 um
ein Individuum verringert wird Solche stochastischen Prozesse werden Geburts- und Todesprozesse
genannt Es sei p(Xt = i) = pi(t) die Wahrscheinlichkeit dafür, daß sich der Prozeß zum Zeitpunkt t im
Zustand i befindet Für die Übergangswahrscheinlichkeiten gilt dann analog zum PoiSSON-Prozeß:
von i — 1 zu i- p%-\,i ~ A^_iA£,
von i + 1 zu i p»+i,i ~ Pi+i^t, A6.118)
von i zu i • p^ « 1 — (A* + pi)At .
Bemerkung: Der PoiSSON-Prozeß ist ein reiner Geburtsprozeß mit konstanter Übergangsrate.
3. Warteschlangen
Das einfachste Warteschlangensystem besteht aus einem Schalter, an dem die Kunden einzeln in der
Reihenfolge der Ankünfte bedient werden Der Warteraum sei so groß, daß keine Kunden wegen
Überfüllung abgewiesen werden müssen Die ankommenden Kunden sollen einen sogenannten „PoiSSON-
Strom" bilden, d.h. die Zeiten zwischen den Ankünften der Kunden sind exponentialverteilt mit dem
Parameter A. In vielen Fällen können auch die Bedienungszeiten als exponentialverteilt, aber mit dem
Parameter p angesehen werden. Die Parameter A und p haben dann die folgende Bedeutung
• A- mittlere Anzahl von Ankünften pro Zeiteinheit,
• —: mittlere Zeit zwischen zwei Ankünften,
A
• p mittlere Anzahl der Abfertigungen pro Zeiteinheit,
• — mittlere Bedienungszeit.
Bemerkungen:
1. Nimmt man die Anzahl der Kunden im Warteschlangensystem als Zustand des stochastischen
Prozesses, dann handelt es sich bei dem obigen einfachen Warteschlangenmodell um einen Geburts- und
Todesprozeß mit der konstanten Geburtsrate A und der konstanten Sterberate p
2. Ausgehend von den einfachen Warteschlangensystemen lassen sich zahlreiche andere
Warteschlangensysteme angeben z.B. auch solche, bei denen die Kunden an mehreren parallelen Schaltern bedient
werden und (oder) solche, bei denen die Ankunftszeiten und die Bedienzeiten unterschiedlichen
Verteilungen genügen (s. [16 14], [16 27]).
16 3 Mathematische Statistik 793
16.3 Mathematische Statistik
Die mathematische Statistik stellt eine Anwendung der Wahrscheinlichkeitstheorie auf konkrete
Massenerscheinungen dar Ihre Sätze ermöglichen Wahrscheinlichkeitsaussagen über Eigenschaften einer
bestimmten Menge aus den Ergebnissen von Versuchen, deren Anzahl aus ökonomischen Gründen
möglichst klein zu halten ist.
16.3.1 Stichprobenfunktionen
16.3.1.1 Grundgesamtheit, Stichproben, Zufallsvektor
1. Grundgesamtheit
Grundgesamtheit nennt man eine Menge von Elementen, die auf gewisse Merkmale hin untersucht
werden sollen Man kann darunter eine Gesamtheit gleichartiger Elemente verstehen, z B alle Stücke einer
bestimmten Produktion oder alle Meßwerte einer Meßreihe, die bei ständiger Wiederholung desselben
Versuchs auftreten können Die Anzahl N der Elemente einer Grundgesamtheit kann sehr groß, sogar
unendlich sein
2. Stichprobe
Um nicht die gesamte Grundgesamtheit auf die betreffenden Merkmale hin untersuchen zu müssen,
entnimmt man ihr eine Teilmenge, eine sogenannte Stichprobe vom Umfang n (n < N) Erfolgt die
Auswahl zufallsgemäß, d h . jedes Element der Grundgesamtheit muß die gleiche Chance haben,
ausgewählt zu werden, dann spricht man von einer zufälligen Stichprobe. Die zufällige Auswahl kann durch
Mischen oder blindes Ziehen bzw durch Festlegung der auszuwählenden Elemente mit Hilfe von
Zufallszahlen erfolgen.
3. Zufallige Auswahl mit Hilfe von Zufallszahlen
Bei gehortetem oder geschichtetem Material, z B Betonplatten, ist eine zufällige Entnahme besonders
schwierig oder sogar unmöglich Dann kann eine Tafel von Zufallszahlen (s Tabelle 21.21, S 1128)
verwendet werden.
Auf dem Intervall [0,1] kann man mit vielen Taschenrechnern gleichmäß verteilte Zufallszahlen
erzeugen, indem man z B. mit der Taste RAN völlig regellos angeordnete Zahlen zwischen 0.00 0 und
0,99 9 aufruft Daraus lassen sich durch Aneinanderreihen der Ziffern nach dem Komma
mehrstellige Zufallszahlen bilden
Häufig werden Zufallszahlen auch in Tabellen angegeben In der Tabelle 21.21, S 1128 sind
zweistellige Zufallszahlen angegeben, die auch zu mehrstelligen Zufallszahlen zusammengefaßt werden können.
¦ Aus einer Lieferung von 70 gestapelten Rohren soll eine zufällige Stichprobe vom Umfang 10
entnommen werden. Dazu werden die Rohre von 00 bis 69 numeriert Mit Hilfe einer zweistelligen
Zufallszahlentafel wird das System festgelegt, nach dem die Auswahl geschehen soll, z.B. horizontal, vertikal
oder diagonal Sollten sich dabei Zufallszahlen wiederholen oder treten Zahlen auf. die größer als 69
sind, dann werden diese weggelassen. Die Rohre mit den Nummern der entsprechenden Zufallszahlen
gehören dann zur Stichprobe Steht nur eine Tafel mehrstelliger Zufallszahlen zur Verfügung, dann
werden bestimmte Zweiergruppen ausgewählt
4. Zufallsvektor
Eine Zufallsgröße X wird durch ihre Verteilungsfunktion und deren Parameter charakterisiert, wobei
die Verteilungsfunktion ihrerseits durch die Eigenschaften der Grundgesamtheit bestimmt ist Diese
sind aber bei Beginn einer statistischen Untersuchung nicht bekannt, so daß man möglichst viele
Informationen mit Hilfe von Stichproben gewinnen muß In der Regel wird man sich nicht auf eine
Stichprobe beschränken, sondern mehrere Stichproben, praktischerweise vom gleichen Umfang n . untersuchen
Dabei zeigt sich, daß die Realisierungen von Stichprobe zu Stichprobe unterschiedlich ausfallen, d h
der 1 Wert der 1 Stichprobe vom 1 Wert der 2 Stichprobe verschieden sein wird usw Damit ist die
Variable 1. Wert der Stichprobe ebenfalls eine Zufallsgröße, die mit X\ bezeichnet wird Analog kann
man für den 2,3, , n-ten Stichprobenwert die Zufallsgröße X2, X3, Xn einführen, die man auch
Stichprobenvariable nennt. Zusammengefaßt erhält man den Zufallsvektor
X=(XuX2,....Xn)
794 16. Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik
Jede konkrete Stichprobe vom Umfang n mit den Elementen Xi, die einer Grundgesamtheit entnommen
wurden, kann als Vektor
x = (xi,x2,. ..,£„)
zusammengefaßt und als eine Realisierung des Zufallsvektors angesehen werden
16.3.1.2 Stichprobenfunktionen
So wie sich die konkreten Stichproben unterscheiden, sind auch die arithmetischen Mittel x von
Stichprobe zu Stichprobe zufallsbedingt unterschiedlich Sie können als Realisierungen einer neuen
Zufallsgröße aufgefaßt werden, die mit X bezeichnet wird und von den Stichprobenvariablen Xi, X2, ,Xn
abhängt.
1 Stichprobe: Xu, Xi2j ... x\n mit Mittelwert x\
2. Stichprobe: £21, £22, ... x2n mit Mittelwert x2 .
... A6119)
ra-te Stichprobe: xmi, xm2, .. xm mit Mittelwert xm
Mit Xij (i = 1,2,. ., m; j = 1,2,. ., n) wird die Realisierung der j-ten Stichprobenvariablen in der
z-ten Stichprobe bezeichnet
Eine Funktion des Zufallsvektors X = (X\, X2,..., Xn) ist wieder eine Zufallsgröße und heißt Stich-
probenfunktion. Die wichtigsten Stichprobenfunktionen sind Mittelwert, Streuung, Median und
Spannweite.
1. Mittelwert
Der Mittelwert X der Zufallsveränderlichen Xi lautet:
~X = -JTXi A6.120a)
ni=i
Im konkreten Fall lautet der Mittelwert x zur Stichprobe (xi, x2, , xn)
x = -Yxi. A6120b)
Häufig ist es vorteilhaft, zur Berechnung des Mittelwertes einen Schätzwert x0 einzuführen, der beliebig
gewählt werden kann, aber nach Möglichkeit in der Nähe des zu erwartenden Mittelwertes x liegen soll.
Wenn z B. in großen Meßreihen die x{ mehrstellige Zahlen sind, bei denen sich lediglich die letzten
Stellen von Meßwert zu Meßwert ändern, ist es einfacher, mit den kleineren Zahlen
Zi = Xi — Xq A6.120c)
zu rechnen. Es gilt dann
1 n
x = x0 + - V Zi = x0 + z . A6.120d)
2. Streuung
Die Streuung S2 der Zufalls veränderlichen Xi mit dem Mittelwert X lautet:
Im konkreten Fall lautet die Streuung s2 zur Stichprobe (x\, x2, . , xn)
s2 = ^—jr(xl-xJ. A6.121b)
A6.121a)
16 3 Mathematische Statistik 795
Mit dem Schätzwert x0 ergibt sich
Y.z?~zY.zi Y,*
- n(x — XqJ
n — 1 n — 1
Für x — Xq wird wegen ~z = 0 die Korrektur z ^ ^ = 0
A6 121c)
3. Median (Zentralwert)
Sind n Elemente einer Stichprobe der Größe nach geordnet, so heißt Median X im Falle n ungerade der
71 ~\~ 1 71 / 71 \
an — ter Stelle stehende Wert, im Falle n gerade der Mittelwert aus den an — -ter und f — + 1J -ter
Stelle stehenden Werten
Im konkreten Fall lautet der Median x zur Stichprobe (x\. x2*. ., xn), deren Elemente der Größe nach
geordnet sind
( xm+i, falls 7i — 2m + 1,
X = { Xm+l + Xn
falls n = 2m.
4. Spannweite
R = max Xi — min X{
1,2, ,n)
% A6 122)
A6.123a)
,*»)
i
1
2
3
4
5
^
1,01
1,02
1,00
0,98
0,99
i
6
7
8
9
10
Xi
1.00
0,99
1,01
1,01
1,00
i
11
12
13
14
15
Xi
1.00
1,00
1,02
1,00
1,01
Im konkreten Fall lautet die Spannweite R zur Stichprobe (#i, #2, •
# = *max - Xmrn • A6.123b)
Jede spezielle Realisierung einer Stichprobenfunktion wird mit Ausnahme der Spannweite R mit
kleinen Buchstaben bezeichnet, d.h., im konkreten Fall werden zur Stichprobe (xi,x2, , xn) die Werte
x, s2, x und R berechnet.
¦ Der laufenden Produktion von permanentdynamischen
Lautsprechern wird eine Stichprobe von 15 Lautsprechern
entnommen. Das interessierende Merkmal X sei die
Luftspaltinduktion B, gemessen in Tesla. Daraus berechnet
man
x = 1,0027 bzw. x = 1,0027 mit x0 = 1,00,
s2 = 1,2095 • 10-4 bzw. s2 = 1,2076 • 10~4 mit x0 = 1,00;
x = 1,00, R = 0,04
16.3.2 Beschreibende Statistik
16.3.2.1 Statistische Erfassung gegebener Meßwerte
Um eine Eigenschaft eines Elements statistisch zu untersuchen, ist diese durch eine Zufallsgröße X
zu charakterisieren. In der Regel bilden dann n Meß- oder Beobachtungswerte x^ des Merkmals X
den Ausgangspunkt für eine statistische Untersuchung, die vor allem darin besteht, Angaben über die
Verteilung von X zu machen
Jede Meßreihe vom Umfang n kann in diesem Zusammenhang als eine zufällige Stichprobe aus einer
unendlichen Grundgesamtheit aufgefaßt werden, die entsteht, wenn der Versuch oder die Messung unter
gleichen Bedingungen unendlich oft wiederholt würde
Da der Umfang rz einer Meßreihe sehr groß sein kann, geht man zur statistischen Erfassung der Daten
wie folgt vor
1. Protokoll, Urliste Protokollierung der Meß- oder Beobachtungswerte x{, die eine Stichprobe
oder Meßreihe darstellen, in einem Meßprotokoll, der Urliste
796 16. Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik
2. Intervalle oder Klassen Einteilung der gegebenen n Meßwerte Xi (i = 1,2,..., n) in k
Intervalle, auch Klassen genannt, der Breite h Man wählt ca. 10 bis 20 Klassen und ordnet die n Meßwerte
in diese Klassen ein. Es entsteht die Strichliste.
3. Häufigkeiten und Häufigkeitsverteilung Eintragen der absoluten Häufigkeiten hj (j =
1,2, . , k), d.h der Anzahl von Meßwerten (Besetzungszahl), die auf ein bestimmtes Meßintervall
Axj entfallen und Bestimmung der relativen Häufigkeiten hj/n (in %). Werden die Werte hj/n als
Rechtecke über den Klassen aufgetragen, dann ergibt die graphische Darstellung der so entstehenden
Häufigkeitsverteilung ein Histogramm (Abb. 16.13a). Die Werte hj/n können als empirische Werte der
Wahrscheinlichkeitsdichte f(x) interpretiert werden
4. Summenhäufigkeiten Durch Summation der absoluten bzw. relativen Häufigkeiten erhält man
die absoluten bzw. relativen Summenhäufigkeiten
F_hl+h2 + ... + hj% (j = ix k) A6124)
Werden die Werte Fj in den oberen Klassengrenzen
aufgetragen und als Parallele nach rechts fortgesetzt, dann
ergibt sich eine graphische Darstellung für die
empirische Verteilungsfunktion, die als Näherung für die
unbekannte Verteilungsfunktion F(x) aufgefaßt werden kann
(Abb.16.13b).
¦ Bei einem Versuch wurden n = 125 Messungen
durchgeführt. Die Meßergebnisse streuten über den Bereich 50
bis 270, so daß sich eine Einteilung in k = 11 Klassen der
Breite h = 20 als zweckmäßig erwies Es ergab sich die
nebenstehende Häufigkeitstabelle Tabelle 16.3
F/%'
Tabelle 16.3 Häufigkeitstabelle
Klasse
50 - 70
71 - 90
91 -110
111 -130
131 - 150
151 - 170
171 - 190
191 -210
211 -230
231 -250
251 -270
h3
1
1
2
9
15
22
30
27
• 9
6
3
h,/n(%)
0,8
0,8
1,6
7,2
12,0
17,6
24,0
21,6
7,2
4,8
2,4
F3 (%)
0,8
1,6
3,2
10,4
22,4
40,0
64,0
85,6
92,8
97,6
100,0
>/°
100
80
60
40
20
70 110 150 190 230 270 x
b)
70 110 150 190 230 270
Abbildung 16.13
16.3.2.2 Statistische Parameter
Nachdem die Meßwerte gemäß 16.3.2.1, S 795 bearbeitet worden sind, können die folgenden Parameter
zur Charakterisierung der Verteilung, die den Meßwerten zu Grunde liegt, bestimmt werden-
1. Mittelwert
Wenn sämtliche Meßwerte unmittelbar berücksichtigt werden, gilt
x = -^2xi. A6 125a)
16.3 Mathematische Statistik 797
Wenn die Mittelwerte Xj und Häufigkeiten hj der Klassen j benutzt werden, gilt
1 k
x^-Y^hjXj A6 125b)
n j=i
2. Streuung
Wenn sämtliche Meßwerte unmittelbar berücksichtigt werden, gilt
1 n
s2 = —— Yl^i-xJ-
11 L »=i
Wenn die Mittelwerte Xj und Häufigkeiten hj der Klassen j benutzt werden, gilt
1 k
s2 = y^ hjixj — xJ .
Häufig wird auch die Klassenmitte Uj an Stelle von Xj benutzt.
3. Median
Dieser Parameter x ist definiert durch
P(X < x) = \
und wird im diskreten Falle bestimmt durch
{xm+i, falls n = 2m -f-1,
, falls n = 2m,
4. Spannweite
R = xmax - xmin A6 128)
5. Mo dal wert
heißt der Meßwert, der in einer Häufigkeitsverteilung am häufigsten auftritt. Er wird mit D bezeichnet.
16.3.3 Wichtige Prüfverfahren
Eine der Hauptaufgaben der mathematischen Statistik besteht darin, aus Stichproben Rückschlüsse
auf die Grundgesamtheit zu ziehen Da
1. eine Verteilung ganz wesentlich durch die Parameter /i und a2 charakterisiert werden kann (im Falle
von Meßwerten würde man sich unter fj, den exakten Wert oder den Sollwert und unter a2 ein Maß für
die Abweichung von diesem Sollwert vorstellen),
2. bei der Verteilung von Beobachtungs- und Meßwerten die GAUSSsche Normalverteilung das
entscheidende mathematische Modell darstellt,
stehen bei den Prüfverfahren die folgenden zwei Fragen im Vordergrund:
a) Liegt den Meßwerten eine Normalverteilung zu Grunde?
b) Wie gut geben die Stichprobenparameter x und s2 die Parameter /i und o2 der Grundgesamtheit
wieder?
16.3.3.1 Prüfen auf Normalverteilung
In der mathematischen Statistik sind verschiedene Tests zum Prüfen auf Normalverteilung entwickelt
worden Von den beiden gebräuchlichsten wird einer graphisch mit Hilfe von Wahrscheinlichkeitspapier
durchgeführt, der andere erfolgt rechnerisch als „x2-Test".
1. Prüfen mit Hilfe des Wahrscheinlichkeitspapiers
1. Prinzip des Wahrscheinlichkeitspapiers In einem rechtwinkligen Koordinatensystem ist die
x-Achse gleichabständig unterteilt, während die y-Achse die folgende Skala darstellt: Sie ist gleich-
A6 126a)
A6 126b)
A6.127a)
A6.127b)
798 16 Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik
abständig bezüglich Z unterteilt, wird aber mit
= #(Z) =
y/2* J
e 2 dt
A6 129)
beziffert. Falls eine Zufallsgröße X einer Normalverteilung mit Mittelwert /i und Streuung a2 genügt,
dann gilt für ihre Verteilungsfunktion (s 16 2 4 2, S 782)
dh..
F(x) = 0
es muß
(^)
:0(Z),
A6.130a)
A6.130b)
z
0
1
-1
X
fi + a
fi — a
A6 130c)
gelten und damit ein linearer Zusammenhang zwischen x und Z bestehen. Aus der Substitution
A6 130b) liest man außerdem die nebenstehende Zuordnung A6 130c) ab
2. Anwendung des Wahrscheinlichkeitspapiers
Entnimmt man einer normalverteilten
Grundgesamtheit eine Stichprobe, berechnet deren
relative Summationshäufigkeiten gemäß A6.124) und
trägt diese in das Wahrscheinlichkeitspapier als
Ordinaten zu den entsprechenden oberen
Klassengrenzen als Abszissen ein, dann liegen diese
Punkte annähernd (bis auf zufällige
Abweichungen) auf einer Geraden (Abb.16.14).
Aus der Abb. 16.14 ist ersichtlich, daß für das
vorliegende Beispiel eine Normalverteilung
angenommen werden kann Außerdem liest man
ab: iL « 176, er « 37,5
Hinweis: Die Werte F» der relativen
Summenhäufigkeiten lassen sich einfacher in das
Wahrscheinlichkeitspapier eintragen, wenn
dessen Bezifferung der Ordinate bezüglich y
gleichabständig ist, was ungleichabständige Ordinaten
zur Folge hat.
t t 1
z O(t)
3 99.86 -
2 97.72 -
1 ÜA 1 3 -
1 Oft.lJ H
U dU.UU "^
-1 lo.o/ ^
-2 2.28 -
-3 0 14 -
y
i i , i A
!, 1 "*1
! !
' !
'
*
'
! !
70 110 150 190 230 270 x
U-G \i |i+G
Abbildung 16.14
2. x2-Anpassungstest
Es ist zu prüfen, ob eine Zufallsgröße X einer Normal Verteilung genügt. Daher wird der Wertebereich
von X in k Klassen eingeteilt und die obere Grenze der j-ten Klasse (j = 1,2,.. , k) mit ^ bezeichnet.
Die „theoretische" Wahrscheinlichkeit, daß X in die j-te Klasse fällt, sei pj , d h , es gilt
Pj = F(Zi)-F(Zi-i),
wobei F(X) die Verteilungsfunktion von X ist (j =
mit F(£q) = 0). Da X normalverteilt sein soll, muß
Ffe)=<Z>
A6.131a)
1,2, ., k , £o ist die untere Grenze der 1 Klasse
A6.131b)
sein Mit $(x) ist die Verteilungsfunktion der normierten GAUSSschen Normalverteilung bezeichnet
(s 16 2 4 2, S 782). Die Parameter ß und a2 der Grundgesamtheit sind in der Regel nicht bekannt
Deshalb werden x und s2 als Näherungswerte einer Stichprobe verwendet.
Wurde der Grundgesamtheit eine Stichprobe (#i,X2,... ->xn) vom Umfang n entnommen und deren
16.3 Mathematische Statistik 799
Häufigkeit hj bezuglich der oben festgelegten Klasseneinteilung ermittelt, dann genügt die Zufallsgröße
xl-
A6.131c)
näherungsweise einer x2-Verteilung mit m = k — 1 Freiheitsgraden. Dazu ist notwendig, daß npj > 5
gilt, was durch Zusammenfassen einiger Klassen erreicht werden kann.
Die Prüfung auf Normalverteilung (man spricht auch vom x2 -Anpassungstest) besteht darin, daß man
nach Vorgabe einer statistischen Sicherheit 1 — a oder Irrtumswahrscheinlichkeit a das Quantil xi-k-i
der Tabelle 21.18, S. 1124 entnimmt, für das P(x2 > xl-,k-i) = a Si][t-
Ergibt sich für den nach A6 131c) ermittelten speziellen Wert Xs
xl<xU-t, A6 131d)
dann besteht kein Widerspruch zu der Annahme, daß die Stichprobe aus einer Grundgesamtheit stammt,
die normalverteilt ist
¦ Dem folgenden x2~Anpassungstest liegen die Zahlenwerte des Beispiels in 16.3 2.1, S. 796 zu Grunde.
Ausgangspunkt ist eine Stichprobe vom Umfang n = 125, aus der bereits Mittelwert x — 176,32 und
Streuung s2 = 36,70 ermittelt worden sind. Diese Werte werden als Schätzwerte für die unbekannten
Parameter /i und a2 der Grundgesamtheit verwendet. Damit kann die Testgröße Xs gemäß A6.131c)
unter Beachtung von A6.131a) und A6 131b), wie in Tabelle 16.4 dargestellt, ermittelt werden.
6
70
90
110
130
150
170
190
210
230
250
270
hj
n
i ,3
9j
15
22
30
27
9
!}¦
G
-2,90
-2,35
-1,81
-1,26
-0,72
-0,17
0,37
0,92
1,46
2,01
2,55
Tabelle 16 4
•ffl
0,0019
0,0094
0,0351
0,1038
0,2358
0,4325
0,6443
0,8212
0,9279
0,9778
0,9946
\;2-Anpasf
Vi
0,0019
0,0075
0,0257
0,0687
0,1320
0,1967
0,2118
0,1769
0,1067
0,0499
0,0168
sungstest
npj
0,2375 ^1
JS 12,9750
8,5857J
16,5000
24,5875
26,4750
22,1125
13,3375
6'2375U 3375
{hj - npjJ
npj
0,00005
0,1635
0,2723
0,4693
1,0803
1,4106
0,0526
X! = 3,4486
Aus der letzten Spalte folgt x| — 3,4486. Wegen der Forderung npj > 5 reduziert sich die Anzahl
der Klassen von k = 11 auf k* = k — 4 = 7. Da zur Berechnung der theoretischen Häufigkeit npj die
beiden Schätzwerte x und s2 der Stichprobe an Stelle von \i und a2 der Grundgesamtheit verwendet
werden, verringert sich die Anzahl der Freiheitsgrade der betreffenden x2~Verteilung um weitere zwei.
Damit muß als kritischer Wert das Quantil xt k*-i-2 verwendet werden Für a = 0,05 erhält man aus
Tabelle 21.18, S. 1124 Xo,os,4 = 9,5 , so daß wegen Xs < Xo,05;4 ^em Widerspruch zu der Annahme
besteht, daß die Grundgesamtheit normalverteilt ist.
16.3.3.2 Verteilung der Stichprobenmittelwerte
Es sei X eine kontinuierliche Zufallsgröße. Der zugehörigen Grundgesamtheit kann man beliebig
viele Stichproben vom Umfang n entnehmen. Dann beschreiben die zugehörigen Stichprobenmittelwerte
eine neue Zufallsgröße X, die ebenfalls kontinuierlich ist. Für deren statistische Sicherheit und
Normalverteilung gelten die im folgenden dargelegten Aussagen.
800 16. Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik
1. Statistische Sicherheit des Stichprobenmittelwertes
Wenn X normalverteilt ist mit den Parametern /x und a2 , dann ist X normalverteilt mit den
Parametern /i und a2/n , d.h , die Dichtefunktion f(x) von X ist stärker um den Mittelwert ji konzentriert als
die Dichtefunktion f(x) der Grundgesamtheit. Es gilt für einen vorgegebenen Wert e > 0:
P{ \X-fi\<e) = 20 (£\ - 1, P( \X-fi\<s) = 2<Z> (£-^pj - 1. A6.132)
Daraus folgt, daß mit wachsendem Umfang n der Stichprobe die
Tabelle 16 5 Wahrscheinlichkeit größer wird, daß der Stichprobenmittelwert ei-
Statistische Sicherheit des ne gute Näherung für fi ist.
Stichprobenmittelwertes — ^ 1 ,, ,.„.„«x „/nr? , 1
¦ Für e = -er erhält man aus A6 132) P l\X - p\ < ¦ -
20 l - y/n J — 1, und für verschiedene Werte von n folgen daraus die
Werte in Tabelle 16.5. Man liest aus Tabelle 16.5 z.B. ab, daß bei
einer Stichprobe vom Umfang n = 49 der Stichprobenmittelwert x
mit einer Sicherheit von 99,95 % um höchstens ±-c vom Mittelwert
\x der Grundgesamtheit abweicht.
P{\X-p\<\<?)
38,29 %
68,27 %
95,45 %
98,76 %
99,96 %
^o
2. Normalverteilung der Stichprobenmittelwerte
Die Zufallsgröße X ist auch annähernd normalverteilt mit den Parametern /i und a2/n, wenn die
dazugehörige Grundgesamtheit einer beliebigen Verteilung mit Mittelwert fi und Streuung a2 genügt Diese
Aussage geht auf den zentralen Grenzwertsatz zurück (s. auch 16.2.5.2, S. 788).
16.3.3.3 Vertrauensgrenzen für den Mittelwert
1. Vertrauensgrenzen für den Mittelwert bei bekannter Streuung <r2
Es sei X eine kontinuierliche Zufallsgröße, normalverteilt mit den Parametern \i und a2 . Nach 16.3 3 2,
S. 799 ist dann X ebenfalls eine kontinuierliche Zufallsgröße, normal verteilt mit den Parametern ji und
a2/n. Durch die Substitution
~Z=?—^Vn A6 133)
er
erhält man eine Zufallsgröße Z, die der normierten Normal Verteilung genügt. Für diese gilt
e
P( \Z\ < e) = I <p{x) dx = 20{e) - 1. A6.134)
—£
Gibt man jetzt eine Irrtumswahrscheinlichkeit a vor und verlangt
P(\Z\ <e) = 1-Q, A6 135)
dann kann man e = e(a) aus A6 134) numerisch bestimmen bzw aus der Tabelle 21.17, S. 1122
der normierten Normalverteilung ablesen und erhält aus \Z\ < e(a) unter Beachtung von A6.133) die
Beziehung
ß = x±-^=e{a). A6.136)
yjn
Die Werte x± —=e(a) in A6 136) heißen Vertrauensgrenzen für den Mittelwert fi der Grundgesamtheit
y/n
bei bekannter Streuung a2 und vorgegebener Irrt ums Wahrscheinlichkeit a Man kann auch sagen Der
Mittelwert fi liegt mit der statistischen Sicherheit 1 — a zwischen den Vertrauensgrenzen A6.136).
Hinweis: Ist der Stichprobenumfang hinreichend groß {n > 100), dann kann in A6.136) an Stelle der in
16.3 Mathematische Statistik 801
der Regel unbekannten Streuung o2 der Grundgesamtheit die Stichprobenstreuung s2 verwendet
werden. Anderenfalls müssen die Vertrauensgrenzen mit Hilfe der t-Verteilung gemäß A6 139) ermittelt
werden.
2. Vertrauensgrenzen für den Mittelwert bei unbekannter Streuung er2
Wenn die Streuung a2 der Grundgesamtheit unbekannt ist, dann ersetzt man sie durch die
Stichprobenstreuung s2 und erhält an Stelle von A6.133) die Zufallsvariable
T =
X
1 r
A6 137)
die der £-Verteilung (s. 16 2 4.8, S. 786) mit m = n — 1 Preiheitsgraden genügt. Dabei ist n der Umfang
der Stichprobe Mit einer vorgegebenen Irrtumswahrscheinlichkeit a gilt dann
P(\T\<e)-
¦ Jft(x)dx = p(
\X-ß\
\/n < e
1-a
A6.138)
Aus A6.138) folgt e = e(a,n) = ta/2-n-\» wobei £Q/2;n-i das Quantil der t-Verteilung (mit n — 1
Preiheitsgraden) zur Irrtumswahrscheinlichkeit a/2 darstellt (Tabelle 21.20, S. 1127). Aus \T\ = ta/2n-\
folgt
ß = X± —*a/2;n-l • A6.139)
S
heißen Vertrauens grenzen für den Mittelwert ß der Grundgesamtheit bei
Die Werte x ± —7=ia/2n-i
\fn ' '
unbekannter Streuung a2 und vorgegebener Irrtumswahrscheinlichkeit a.
¦ Eine Stichprobe bestehe aus den folgenden 6 Meßwerten. 0,842; 0,846; 0,835; 0,839, 0,843; 0,838.
Daraus erhält man x = 0,8405 und s = 0,00394.
Wie groß ist höchstens die Abweichung des Stichprobenmittelwertes x vom Mittelwert ß der
Grundgesamtheit, wenn eine Irrtumswahrscheinlichkeit a von 5% bzw 1% zugelassen wird?
1. a = 0,05: Aus Tabelle 21.20, S. 1127 liest man ta/2.5 = 2,57 ab und erhält \X - fi\ < 2,57 •
0,00394/^ = 0,0042, d.h., mit 95% Wahrscheinlichkeit weicht der Stichprobenmittelwert x = 0,8405
höchstens um ±0,0042 vom Mittelwert ß ab.
2. a = 0,01 ta/2-,5 = 4,03; \X - ß\ < 4,03 • 0,00394/^6 = 0,0065, d h , mit 99% Sicherheit weicht
x um höchstens ±0,0065 von ß ab.
16.3.3.4 Vertrauensgrenzen für die Streuung
Die Zufallsgröße X sei normalverteilt mit den Parametern ß und a2 . Dann genügt die neue Zufallsgröße
X2 = (n-1)-
A6.140)
einer x2~Verteilung mit m = n — 1
Preiheitsgraden, wobei n der Umfang einer Stichprobe ist und s2
deren Streuung. Aus Abb. 16.15, in der fx*(x) die
Wahrscheinlichkeitsdichte der x2~Verteilung
bedeutet, folgt
P{X2<XD = P{X2>XI) = \, A6.141)
d.h., mit den Quantilen der x2-Verteilung besteht
der Zusammenhang (Tabelle 21.18, S. 1124).
Xu — Xl-a/2;n-l '
2 _ 2
Xo ~ Xa/2;n-
tXx)
OC/
0
)
2
1-a
x^
a/2
X
Abbildung 16 15
A6.142)
802 16 Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik
Unter Beachtung von A6.140) erhält man damit die folgende Abschätzung für die unbekannte Streuung
<72 der Grundgesamtheit bei einer Irrtumswahrscheinlichkeit a:
{n-iy^a^(n-^ A6143)
Xa/2;n-l Xl-a/2;n-l
Das durch A6.143) beschriebene Vertrauensintervall für a2 wird bei kleinem Stichprobenumfang noch
sehr grob sein
¦ Für die Zahlenwerte des Beispiels auf S. 801 und a = 5% liest man aus Tabelle 21.18, S. 1124
X00255 = °>831 und X09755 = 12>8 ab> so daß aus A6 143) folgt 0,625 • s < a < 2,453 • s mit
5 = 0', 00394.
16.3.3.5 Prinzip der Prüfverfahren
Ein statistisches Prüfverfahren hat grundsätzlich folgenden Aufbau
1. Es wird eine Hypothese H aufgestellt, daß die Stichprobe einer Grundgesamtheit von
vorgegebenen Eigenschaften angehört, z B
H- Grundgesamtheit ist normal verteilt mit den Parametern fi und a2 oder
H: Für das unbekannte fi wird ein Näherungswert /i0 , in diesem Zusammenhang auch Schätzwert
genannt, eingesetzt, der z B durch Rundung des Stichprobenmittelwertes x gewonnen wird
2. Man ermittelt in der angenommenen Grundgesamtheit ein Vertrauensintervall B (im allgemeinen
mit Hilfe von Tabellen), in dem der Wert einer bestimmten Stichprobenfunktion mit einer vorgegebenen
Sicherheit (z.B. a = 0,01 oder et = 0,05) liegt.
3. Man berechnet den Wert der Stichprobenfunktion und lehnt die Hypothese ab, wenn dieser Wert
nicht in B liegt.
¦ Prüfen des Mittelwertes mit der Hypothese H. [i = //0 bei vorgegebener Irrt ums Wahrscheinlichkeit
a.
Nach 16.3 3 3, S. 800 genügt die Zufallsgröße T = —— >/n einer t-Verteilung mit m = n — 1 Frei-
s
heitsgraden Daraus folgt, daß man die Hypothese ablehnen muß, wenn /iq nicht in dem durch A6.139)
festgelegten Vertrauensintervall liegt, d.h., wenn sich
\X-ß0\>^ta;n^ A6.144)
y n
ergibt Man sagt dann, es handelt sich um eine signifikante Abweichung und spricht von Signifikanz
Weitere Angaben über die Durchführung von Prüfverfahren s [16 24]
16.3.4 Korrelation und Regression
Bei der Korrelationsanalyse geht es um die Feststellung von Abhängigkeiten zwischen zwei oder
mehreren Merkmalen einer Grundgesamtheit an Hand von Meßwerten Mit Hilfe der Regressionsanalyse
wird dann die Form der Abhängigkeit zwischen diesen Merkmalen untersucht
16.3.4.1 Lineare Korrelation bei zwei meßbaren Merkmalen
1. Zweidimensionale Zufallsgrößen
Zwei Merkmale X und Y sollen zu einer zweidimensionalen Zufallsgröße (X, Y) mit folgenden
Verteilungsfunktionen zusammengefaßt werden
x y
F{x, y) = P(X <x,Y <y)= f f f(x, y) dx dy , A6.145a)
—oo—oo
Fl(x) = P(X <x,Y <oo), F2(y) = P(X < oo,Y <y). A6 145b)
Die Zufallsgrößen X und Y heißen unabhängig voneinander, wenn
F(x,y) = F1(x).F2(y) A6.146)
16 3 Mathematische Statistik 803
gilt Die wichtigsten Parameter einer zweidimensionalen Verteilung sind:
1. Mittelwerte
oo oo
ßX = E(X)= j j xf(x,y)dxdy,
—oo—oo
oo oo
ßY = E{Y)= I I yf(x,y)dxdy.
A6 147a)
A6 147b)
2. Streuungen
ax = E((X-ßxJ),
A6 148a)
3. Kovarianz
aXY = E((X- ßx)(Y - pY)) A6.149)
aY = E((Y - hyJ)
4. Korrelationskoeffizient
0~XY
Qxy =
axo-Y
A6 148b)
A6.150)
Der Korrelationskoeffizient ist ein Maß für die lineare Abhängigkeit von X und Y , denn es gilt:
Alle Punkte (X, Y) liegen genau dann mit der Wahrscheinlichkeit 1 auf einer Geraden, wenn q2xy = 1
ist Wenn X und Y unabhängige Zufallsveränderliche sind, dann ist Qxy = 0 Aus qxy = 0 kann man
nur dann auf die Unabhängigkeit der Merkmale X und Y schließen, wenn diese einer zweidimensionalen
Normalverteilung genügen, die durch die folgende Dichtefunktion definiert ist:
f(x,y)
1
2-jTaxO'YyJl - Qxy
„Qxy(x - nx)(y
exp
¦Py)
2A
¦Qxy)
¦PyJ
jx-ßxJ
O'XO'Y
)]
A6 151)
2. Test auf Unabhängigkeit zweier Merkmale
Bei praktischen Aufgaben ist zu untersuchen, ob eine Stichprobe, die aus n Meßpunkten (a^, yi) (i —
12, , n) besteht, aus einer zweidimensionalen, normal verteilten Grundgesamtheit mit dem
Korrelationskoeffizienten qxy = 0 stammt, so daß die beiden Zufallsgrößen X und Y als unabhängig angesehen
werden können Der Test läuft wie folgt ab.
1. Aufstellen der Hypothese H: qxy = 0 .
2. Vorgabe einer Irrtumswahrscheinlichkeit a und Ermittlung des Quantiis ta>m der t-Verteilung aus
Tabelle 21.20, S 1127 für m = n - 2 .
3. Berechnung der Testgröße
yVn-
J2{x{ - x)(yi - y)
^
A6 152a)
mit
A6 152b)
¦xfY,(yi-y?
4. Ablehnung der Hypothese, falls \t\ > ta,m ist. Die Größe rxy heißt empirischer
Korrelationskoeffizient
16.3.4.2 Lineare Regression bei zwei meßbaren Merkmalen
1. Bestimmung der Regressionsgeraden
Wenn zwischen den Merkmalen X und Y mit Hilfe des Korrelationskoeffizienten eine Abhängigkeit
festgestellt wurde, dann besteht die nächste Aufgabe in der Ermittlung des funktionalen
Zusammenhanges Y = f(X) Im einfachsten Falle der linearen Regression wird dabei vorausgesetzt, daß bei
804 16. Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik
beliebigem, aber festem z-Wert die Zufallsgröße Y in der Grundgesamtheit normalverteilt ist mit dem
Erwartungswert
E(Y) = a + bx A6 153)
und der von x unabhängigen Streuung a2 . Die Beziehung A6.153) bedeutet, daß die Zufallsgröße Y im
Mittel von dem festen x-Wert linear abhängt. Für die in der Regel unbekannten Parameter a, b und o2
der Grundgesamtheit werden mit Hilfe der Stichprobenwerte (xi,yi) (i = 1,2,..., n) Näherungswerte
nach der Fehlerquadratmethode bestimmt. Aus der Forderung
n
Y^iVi - (a + bxi)}2 = min! A6.154)
erhält man für a, b und o2 die Schätzwerte (Näherungswerte)
n
J2{xi-x){yi-y)
6=^ , ä = y-bx, ä2 = 7^s2y(l-r2xy) A6155a)
E(x* - ^J
t=l
mit
*=4x>. y = ~tvi^ ^Ad»-«2 A6-155b)
und dem empirischen Korrelationskoeffizienten r^ gemäß A6 152b) Die Koeffizienten o und b nennt
man Regressionskoeffizienten. Die Gerade j/(a;) = ä + 6x heißt Regressionsgerade.
2. Vertrauensgrenzen für den Regressionskoeffizienten
Nach der Bestimmung der Regressionskoeffizienten ä und b erhebt sich die Frage, wie gut diese
Schätzwerte die theoretischen Parameter a und b wiedergeben Dazu bildet man die Testgrößen
tb = (b-b)-^^^= A6.156a) mit ta = (ä- a) ^^^ ^ A6.156b)
y\ll-r% ' sv\f
l-rl
\i
E**2
Diese stellen die Realisierung von Zufallsgrößen dar, die einer t-Verteilung mit m = n - 2
Freiheitsgraden genügen. Demzufolge kann man zu einer vorgegebenen Irrtumswahrscheinlichkeit a das Quantil
ta.m aus Tabelle 21.20, S 1127 ablesen, und aus P{ \t\ < ta;m) = l-a folgt für t = ta bzw. t = tb.
s /i_r2 svy/l-r%,'\ X><2
\b - b\ < ta]n.2 yV f* , A6 157a) \ä - a\ < ta,n.2 ^—
sxy/n — 2 ' ' sxy/n — 2 • \/n
A6 157b)
Mit Hilfe der durch A6.157a,b) beschriebenen sogenannten Konfidenzintervalle für a und b kann man
auch einen Konfidenzbereich für die unbekannte Regressionsgerade y = a + bx angeben (s [16 4],
[16.26]).
16.3.4.3 Mehrdimensionale Regression
1. Funktionaler Zusammenhang
Zwischen den Merkmalen Xi, X2,..., Xn und Y bestehe ein funktionaler Zusammenhang, der durch
die theoretische Regressionsfunktion
s
y = f(x1,x2,.. ,xn) = '52ajgj(x1,X2,...,xn) A6.158)
J=0
16 3 Mathematische Statistik 805
beschrieben werden soll Die Funktionen gj(x\, X2, . •, xn) sind bekannte Funktionen von n
unabhängigen Variablen Die Koeffizienten aj sind konstant und treten in A6.158) linear auf Man spricht deshalb
im Falle von A6 158) auch von linearer Regression, obwohl die Funktionen gj beliebig sein können
¦ Die Funktion f{x\, £2) = &o + aixi + a2x2 + ö3^i2 + CL4X22 + 05^1^2 , ein vollständiges quadratisches
Polynom in zwei Variablen mit go = 1, ^1 = X\, #2 — £2 , #3 — ^i2 , 9 a = %22 und #5 = X1X2 , ist ein
Beispiel für eine theoretische Regressionsfunktion der linearen Regression.
2. Vektorschreibweise
Es ist zweckmäßig, im mehrdimensionalen Fall zur vektoriellen Schreibweise
x=(xl,x2, ,xn)T
überzugehen, so daß A6.158) jetzt lautet:
y = f(x) = Y,a39j{x)-
A6 159)
A6 160)
3. Lösungsansatz und Normalgleichungssystem
Der theoretische Zusammenhang A6.158) wird durch Meßwerte
(x(i),/,), (i = l,2, ,N)
auf Grund zufälliger Meßfehler nicht exakt wiedergegeben Man macht deshalb den Ansatz
s
y = f(x) = Y,äj9jU)
und bestimmt nach der Fehlerquadratmethode (s 16 3 4 2,1., S 804) gemäß
E[/,-/(X«)]2 = minf
A6 161a)
A6 161b)
A6.161c)
die Koeffizienten äj , die als Schätzwerte für die theoretischen Koeffizienten a,j dienen. Mit den
Bezeichnungen
ä0\
äs)
, f =
d1)
h
V/J
' G =
Ute»)
51
C?))
fl'olx'
B)\
9i x'
B)\
xM} \
xM]
{go{*W) 9i (*W)
9s ix'
W
A6 161d)
'/
erhält man aus der Forderung A6 161c) das sogenannte Normalgleichungssystem
GTGa = GTf A6 161e)
zur Bestimmung von ä Die Matrix GTG ist symmetrisch, so daß sich zur Lösung von A6.161e) das
Cholesky-Verfahren (s. 19.2 1.2, S. 920) besonders eignet
¦ Mit Hilfe einer Stichprobe, deren Ergebnisse die folgende Wertetabelle enthält, sind die Koeffizienten
der Regressionsfunktion
Xi
X2
f{xi,x2)
5
0,5
3
0,5
5
0,3
3
0,3
1,5 3,5 6,2 3,2
bestimmen Aus A6 16ld) folgt
1,5\
3,5
6,2
3,2^
, G =
/l 5
1 3
1 5
Vi 3
0,5\
0,5
0,3
0,3/
f{xi}x2) = a0 + a\X\ + a2x2 A6 162) zu
A6 163)
806 16. Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik
und A6 161e) lautet
4ä0+ 16äi+ l,6ä2 =14,4, ä0=7,0,
16ä0 + 68 äi + 6,4 ä2 = 58,6, d.h. äi = 0,25, A6 164)
1,6ä0 + 6,4äi + 0,68ä2 = 5,32 , ä2 = -11
4. Hinweise
1. Zur Bestimmung der Regressionskoeffizienten hätte man auch von der Interpolationsbedingung
/(x«)=/iB = l,2, ..,iV),dh.von
Ga = f A6.165)
ausgehen können Im Falle s < N stellt A6 165) ein uberbestimmtes lineares Gleichungssystem dar,
zu dessen genäherter Lösung das Householder-Verfahren (s. 19 6.2 2, S. 948) verwendet werden
kann. Der Übergang von A6.165) zu A6.161e), d.h. Multiplikation von A6.165) mit GT, wird auch
als Gaü SS-Transformation bezeichnet Wenn die Spalten der Matrix G linear unabhängig sind, also
Rang G = s + 1 ist, dann hat das Normalgleichungssystem A6 161e) eine eindeutige Lösung, die mit
der nach HOUSEHOLDER ermittelten Näherungslösung von A6.165) übereinstimmt.
2. Auch im mehrdimensionalen Fall lassen sich mit Hilfe der £-Verteilung Vertrauensgrenzen für die
Regressionskoeffizienten analog zu A6 157a,b) angeben (s. [16.9]).
3. Mit Hilfe der F-Verteilung (s. 16.2.4.7, S. 785) kann man einen sogenannten Adäquatheitstest
für den Ansatz A6.161b) durchführen. Dieser Test gibt Auskunft darüber, ob ein Ansatz der Form
A6.161b), aber mit weniger Gliedern, schon eine hinreichend gute Approximation der theoretischen
Regressionsfunktion A6 158) liefert (s [16 9])
16.3.5 Monte-Carlo-Methode
16.3.5.1 Simulation
Unter Simulation versteht man die Untersuchung eines Prozesses oder Systems mit Hilfe eines
Ersatzsystems. Als Ersatzsysteme verwendet man in der Regel mathematische Modelle, die den zu
untersuchenden Prozeß beschreiben und auf einem Computer ausgewertet werden können Man spricht dann
von digitaler Simulation. Sind bei einer solchen Simulation gewisse Größen zufällig auszuwählen, dann
spricht man von einer Monte-Carlo-Simulation oder einer zufallsbedingten Simulation. Die dabei
notwendige zufällige Auswahl kann mit Hilfe von Zufallszahlen erfolgen
16.3.5.2 Zufallszahlen
Zufallszahlen sind Realisierungen von Zufallsgrößen (s. 16.2.2, S 774), die bestimmten Verteilungen
genügen. Auf diese Weise kann man verschiedene Arten von Zufallszahlen unterscheiden
1. Gleichverteilte Zufallszahlen
Man versteht darunter die im Intervall [0,1] gleichverteilten Zufallszahlen, die als Realisierung einer
Zufallsgröße X mit der folgenden Dichtefunktion fo(x) und der folgenden Verteilungsfunktion F0(x)
interpretiert werden:
r i f ¦ n <? <? 1 f0 für 0<x,
*>(*> = {0 sonst; " * " ' *>(*)= 1 flir 0 7* < 1, A6.166)
^ A für a;>l.
1. Methode der mittleren Ziffern von Quadraten Eine einfache Methode zur Erzeugung von
Zufallszahlen wurde von J. v. Neumann vorgeschlagen. Sie wird auch Methode der mittleren Ziffern
von Quadraten (kurz Quadratmittelmethode) genannt und geht von einem beliebigen 2n-stelligen
Dezimalbruch z G [0,1] aus. Dann bildet man z2 und erhält einen Dezimalbruch, der aus 4n Dezimalstellen
besteht. Von diesen Dezimalstellen streicht man die ersten und die letzten n Stellen weg, so daß wieder
ein 2n-stelliger Dezimalbruch aus [0,1] ensteht. Diese Vorgehens weise wird wiederholt Man erhält eine
Folge von 2n-stelligen Dezimalbrüchen, die als Zufallszahlen benutzt werden können Die Anzahl 2n
richtet sich nach der Stellenzahl des zur Verfugung stehenden Computers. Man wählt z B 2n = 10
16 3 Mathematische Statistik 807
Dieser Algorithmus hat sich bei praktischen Anwendungen nicht bewährt Er lieferte mehr kleine
Werte, als in der Regel gebraucht wurden Deshalb wurden verschiedene andere Methoden entwickelt.
¦ 2n = 4
z = z0 = 0,1234, z\ = 0, Oll 5227 [56,
z = Zl=0,5227, z\ = 0,27|3215|29,
z = z2 = 0,3215 usw
Die ersten drei Zufallszahlen wären somit z0. Z\ und z2
2. Kongruenzmethode Stark verbreitet ist die Kongruenzmethode: Eine Folge ganzer Zahlen
Zi (i = 0,1,2, ..) wird nach der Rekursionsformel
Zi+i = c • Zi modm A6 167)
berechnet Dabei ist zq eine beliebige positive Zahl Mit c und m sind ebenfalls ganze positive Zahlen
bezeichnet, die geeignet zu wählen sind. Für zi+\ ist die kleinste nicht negative ganze Zahl zu nehmen, die
der Kongruenz A6.167) genügt. Die Zahlen Zi/m liegen zwischen 0 und 1 und können als gleichverteilte
Zufallszahlen dienen
3. Hinweise
a) Man wählt m = 2r , wobei r die Zahl der Bits eines Computerwortes darstellt, z.B. r = 40 . Die Zahl
c ist in der Größenordnung von y/m zu wählen.
b) Zahlen, die nach einer bestimmten Formel gewonnen werden und die Werte einer Zufallsgröße X
simulieren sollen, nennt man Pseudozufauszahlen.
c) Zufallszahlen kann man schon mit dem Taschenrechner erzeugen, und zwar in der Regel unter dem
Befehl „ran"(Abkürzung für Zufall, Englisch random).
2. Zufallszahlen mit anderen Verteilungen
Zur Erzeugung von Zufallszahlen mit einer beliebigen Verteilungsfunktion F(x) geht man wie folgt vor:
Ausgangspunkt ist eine Folge gleichverteilter Zufallszahlen £1} £2, • • • aus [0,1] Aus ihnen berechnet
man die Zahlen rji = F'1^) für i = 1,2, .. Dabei ist F~l(x) die Umkehrfunktion zur
Verteilungsfunktion F(x) Dann gilt
F(x)
P{f]i <x) = P{F-l{ii) <x) = P(& < F{x)) = / f0{t) dt = F{x), A6 168)
o
d h , die Zufallszahlen 771,772,. • genügen einer Verteilung mit der Verteilungsfunktion F(x), die stetig
und monoton sein muß.
3. Tabelle und Anwendung von Zufallszahlen
1. Erzeugung Eine Tabelle von Zufallszahlen könnte man auf folgende Weise erzeugen: Auf zehn
gleichen Chips sei jeweils eine der zehn Ziffern 0,1,2,. ,9 eingeprägt. Diese zehn Chips werden in
einem Gefäß gut gemischt Danach wird ein Chip gezogen und seine Ziffer in einer Tabelle festgehalten.
Der Chip wird wieder in das Gefäß zurückgelegt. Es wird erneut gemischt und die Ziehung wiederholt.
Auf diese Weise entsteht eine Reihe von Zufallszahlen, die aus Gründen der Übersichtlichkeit z.B in
Gruppen zu je vier zusammengfaßt werden (s Tabelle 21.21, S. 1128)
Die Verfahren, nach denen Zufallszahlen aufgestellt werden, müssen sichern, daß die Ziffern 0,1,2, ,9
an jeder Stelle der vierstelligen Zahlen gleichwahrscheinlich sind.
2. Anwendung von Zufallszahlen Die Anwendung einer Tabelle von Zufallszahlen soll an einem
Beispiel demonstriert werden.
¦ Von N = 250 Untersuchungsobjekten sollen n = 20 zufällig ausgewählt werden. Dazu werden die
Objekte von 000 bis 249 durchnumeriert In der Tabelle 21.21, S. 1128 wird willkührlich in irgend
einer Spalte oder Zeile eine Zahl ausgewählt und eine Vorschrift festgelegt, nach der die Auswahl der
übrigen 19 Zufallszahlen erfolgen soll, z.B vertikal, horizontal oder diagonal. Von den Zufallszahlen
werden nur die ersten drei Ziffern berücksichtigt Von den so entstehenden 3-stelligen Zufallszahlen
werden nur die verwendet, die kleiner als 250 sind
808 16. Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik
16.3.5.3 Beispiel für eine Monte-Carlo-Simulation
Die genäherte Berechnung des bestimmten Integrals
I ¦
: f g(x)dx A6.169)
/¦
i
0
k
E y
A
-~js«
1 X
unter Benutzung von gleichverteilten Zufallszahlen soll als Beispiel für eine zufallsbedingte Simulation
behandelt werden Im folgenden werden zwei Lösungsmöglichkeiten betrachtet
1. Benutzung der relativen Häufigkeit
Es soll angenommen werden, daß 0 < g(x) < 1 gilt. Dies läßt sich stets durch eine Transformation
(s A6 174)) erreichen. Dann gibt das Integral / den Inhalt einer Fläche an, die ganz im Einheitsquadrat
E liegt (Abb. 16.16). Von einer Folge gleichverteilter Zufallszahlen aus
dem Intervall [0,1] faßt man je zwei zu den Koordinaten eines Punktes
des Einheitsquadrates E zusammen und erzeugt auf diese Weise n Punkte
Pi (i = 1,2, .., n). Bezeichnet man mit m die Anzahl der Punkte, die
innerhalb oder auf dem Rand der Fläche A liegen, dann gilt unter Beachtung
des Begriffes der relativen Häufigkeit (s 16 2.1 2, S 771):
i
rg(x)dx*-. A6.170)
0 U . Abbildung 16.16
Um mit Hilfe von A6.170) eine bestimmte Genauigkeit zu erreichen, ist eine sehr große Anzahl von
Zufahlszahlen notwendig. Deshalb hat man nach Möglichkeiten zur Erhöhung der Effektivität gesucht
Eine davon stellt die folgende Monte-Carlo-Methode dar, weitere findet man in [16 19]
2. Benutzung des Mittelwertes
Zu Berechnung von A6 169) geht man von n gleichverteilten Zufallszahlen £i, £2, • • , £n als Realisierung
der gleichverteilten Zufallsgröße X aus Dann sind die Werte gi — <?(&) (i = 1,2,..., n) Realisierungen
der Zufallsgröße g(X), für deren Erwartungswert sich nach Formel A6 49a,b), S. 776 ergibt:
00 l in
E(g(X)) = I g(x)f0(x)dx = f g{x)dx « - £ <fc A6 171)
-oo 0 U i=1
Diese Vorgehens weise, die die Formel für den Mittelwert einer Stichprobe verwendet, wird auch als
gewöhnliche Monte-Carlo-Methode bezeichnet.
16.3.5.4 Anwendungen der Monte-Carlo-Methode in der numerischen
Mathematik
1. Berechnung mehrfacher Integrale
Zunächst soll für Funktionen einer Variablen die Transformation des bestimmten Integrals
b
P = Ih(x)dx A6.172)
a
auf einen Ausdruck gezeigt werden, der das Integral
i
/ = f g(x)dx mit 0 < g{x) < 1 A6.173)
o
enthält. Danach kann die Monte-Carlo-Methode gemäß 16 3 5 3, S. 808 angewendet werden. Man
substituiert wie folgt:
x = a + (b — a)u, ' m = min h(x), M— maxh(x). A6.174)
x€[a,b] xe[a,b]
16 3 Mathematische Statistik 809
Dadurch geht A6 172) über in
r = (m
- m)(b — a) I
h(a + (b — a)u) ¦
M -m
-du + (b — a)m,
A6 175)
wobei der Integrand
h(a + (b — a)i/) •
= g(u) der Bedingung 0 < g(u) < 1 genügt
M -m
¦ Die näherungsweise Berechnung mehrfacher Integrale mit Hilfe der Monte-Carlo- Methode wird am
Beispiel des Doppelintegrals
V =
II h(x,y) dxdy
mit h(x,y) > 0
A6 176)
gezeigt. Mit S wird ein ebenes Flächenstück bezeichnet, das durch die Ungleichungen a < x < b und
V?i(z) < y < <P2(x) beschrieben sein soll. Mit ip\{x) und ip2{x) sind gegebene Funktionen bezeichnet
Dann kann V als Volumen eines zylinderischen Körpers K aufgefaßt werden, der senkrecht auf der
x, y -Ebene steht und für dessen Deckfläche 0 < z < h(x, y) gilt Dieser Körper liege in dem Quader
Q , der durch die Ungleichungen a<x<b,c<y<d,Q<z<e (a,b,c,d.e const) beschrieben
wird Nach einer Transformation analog zu A6 174) erhält man aus A6.176) einen Ausdruck, der das
Integral
V*
— g(u,v)dudv mit 0 < g(u,v) < 1
A6 177)
enthält, wobei V* als Volumen eines Körpers K* im dreidimensionalen Einheitswürfel aufgefaßt werden
kann.
Das Integral A6 177) wird näherungsweise nach der Monte-Carlo-Methode wie folgt berechnet
Von einer Folge von Zufallszahlen, die im Intervall [0,1] gleich verteilt sein sollen, faßt man je 3 als
Koordinaten eines Punktes Pt (i = 1,2, , n) des Einheitswürfels auf und prüft, ob Pi dem Körper
K* angehört Ist das für m Punkte der Fall, dann gilt analog zu A6 170)
V* « m/n A6 178)
Hinweis: Bei bestimmten Integralen mit einer Integratisipnsveränderlichen sollte man die in 19 3. S
925 beschriebenen Verfahren anwenden. Bei der Berechnung mehrfacher Integrale ist dagegen die
Anwendung der Monte-Carlo-Methode durchaus zweckmäßig.
2. Lösung partieller Differentialgleichungen durch Irrfahrtsprozesse
Mit Hilfe von Irrfahrtsprozessen wird die Monte-Carlo- Methode zur genäherten Lösung von partiellen
Differentialgleichungen realisiert. Es wird die folgende Randwertaufgabe betrachtet-
a) Randwertaufgabe:
d2'
Au = in + TT? = ° für (xiy)eG1
A6 179a)
A6.179b)
&2>
dx2 ' dy2
u(x,y) = f(x,y) für (x,y) £ T
Hierbei ist G ein einfach zusammenhängendes Gebiet
der x,y-Ebene, mit r ist der Rand von G
bezeichnet (Abb. 16.17). Wie bei den Differenzenmethoden in
19.5 1, S 938 wird G mit einem quadratischen Gitter
überzogen, bei dem ohne Beschränkung der Allgemeinheit die
Schrittweite h = 1 gewählt werden soll. Auf diese
Weise entstehen innere Gitterpunkte P(x, y) und
Randpunkte Ri. Von den Randpunkten Ri, die auch Gitterpunkte
sind, wird zunächst zur Vereinfachung angenommen, daß
sie tatsächlich auf dem Rand r von G liegen, d h., es soll gelten
y|
y+l--
y-l-
0
k
<
S
X
C*\
, i
-V
<x-
1-1
r
-G
X
Abbildung 16 17
810 16. Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik
u(Ri) = f{Ri) (i = l,2,.. ,N) A6.180)
b) Lösungsprinzip: Man stellt sich vor, daß ein Teilchen von einem inneren Punkt P(x,y) aus zu
einer Irrfahrt startet. Das bedeutet:
1. Das Teilchen bewegt sich von P(x, y) aus zufällig zu einem der 4 Nachbarpunkte des Gitters. Jedem
dieser 4 Gitterpunkte wird die Wahrscheinlichkeit 1/4 für eine Bewegung zu diesem Punkt zugeordnet
2. Erreicht das Teilchen einen Randpunkt Ri, dann endet dort die Irrfahrt mit der Wahrscheinlichkeit
1.
Es läßt sich zeigen, daß ein Teilchen nach endlich vielen Schritten von einem inneren Punkt P aus einen
Randpunkt Ri erreicht. Mit
p(P,Ri)=p((x,y),Rl) A6 181)
wird die Wahrscheinlichkeit bezeichnet, daß eine Irrfahrt vom Punkt P(x, y) aus in dem Randpunkt
Ri endet. Dann gilt
p(Ä,,Ä,) = l, p(Ri,Rj) = 0 für i^j A6 182)
und
p{{x,y),Ri) = -\p((x-l}y),Ri)^p{(x + l,y),Ri)^p({x,y-l),Ri)^p((x,y + l),Ri)].(l6m)
Die Gleichung A6.183) stellt eine Differenzengleichung für p{(x, y),Ri) dar. Werden n Irrfahrten vom
Punkt P(x, y) aus durchgeführt, von denen rrii im Punkt R^ enden (m^ < n), dann gilt
P((x,v),R,))h^ A6184)
Die Gleichung A6 184) gibt eine Näherungslösung der Differentialgleichung A6 179a) unter der
Bedingung A6 180) an. Die Randbedingung A6 179b) wird dagegen berücksichtigt, indem man
N
v(P) = v{x,y) = ^2f(Ri)p((x,y),Ri) A6 185)
i=l
setzt; denn wegen A6.183) gilt v(Rj) = £ f{Rl)p(Rj, R{) = f(Rj).
Zur Berechnung von v(x,y) wird A6.183) mit f(Ri) multipliziert Nach Summation erhält man die
folgende Differenzengleichung für v(x, y):
v(x, y) = -[v(x -1,2/) + v(x + 1,2/) + v(x, y - 1) + v(x, y + 1)]. A6 186)
Werden n Irrfahrten vom inneren Punkt P(x,y) aus durchgeführt, von denen rrij im Randpunkt Ri (i =
1,2, , N) enden, dann erhält man durch
v{x,y)^-Yjmif{Ri) A6.187)
einen Näherungswert im Punkt P(x, y) des Randwertproblems A6.179a,b)
16.3.5.5 Weitere Anwendungen der Monte-Carlo-Methode
Die Monte-Carlo-Methode als zufallsbedingte Simulationsmethode (man spricht häufig auch von der
Methode der statistischen Versuche) wird in den verschiedensten Disziplinen angewendet. Als Beispiele
seien genannt:
• Kerntechnik. Untersuchung des Neutronendurchganges durch eine Materialschicht (z B Berechnung
des biologischen Schutzes);
• Nachrichtentechnik Trennung von Signal und Störung;
• Operations Research. Reihenfolgeprobleme, Ablaufplanung, Lagerhaltung, Bedienungsmodelle.
Zur Lösung derartiger spezieller Probleme muß auf die Literatur verwiesen werden (s. z B. [16 19],
[16.23])
16.4 Theorie der Meßfehler 811
16.4 Theorie der Meßfehler
Bei jeder wissenschaftlichen Messung — unabhängig davon, wie sorgfältig sie durchgeführt wird — sind
Beobachtungs- oder Meßwerte mit unvermeidlichen Meßfehlern behaftet. Nach DIN werden die
Meßfehler, also alle während einer Messung auftretenden Fehler, Abweichungen genannt. Unsicherheiten
nennt man dagegen die Fehler bei der Angabe von Meßergebnissen Mit diesen beiden Begriffen kann
man die Zielstellung der Theorie der Meßfehler wie folgt formulieren
1. Die Abweichungen sind so klein wie möglich zu halten, d h., für den Wert, der durch die Messung
bestimmt werden soll, ist eine möglichst gute Näherung zu ermitteln Dafür eignet sich besonders die
Ausgleichsrechnung, die auf GAUSS zurückgeht und die im wesentlichen aus der Fehlerquadratmethode
besteht
2. Die Unsicherheit ist so gut wie möglich abzuschätzen oder zu berechnen, wozu die Methoden der
mathematischen Statistik eingesetzt werden.
16.4.1 Meßfehler und ihre Verteilung
16.4.1.1 Meßfehlereinteilung nach qualitativen Merkmalen
Teilt man die Meßfehler nach ihrer Ursache ein, dann können die folgenden drei Meßfehlerarten
unterschieden werden-
1. Grobe Meßfehler beruhen auf falschen Ablesungen und Verwechslungen
2. Systematische Meßfehler beruhen auf falsch geeichten oder schlecht justierten Meßgeräten und auf
der Art der Meßmethode, wobei die Art des Ablesens sowie systemimmanente Meßfehler eine Rolle
spielen können Sie sind nicht immer vermeidbar.
3. Statistische oder zufällige Meßfehler beruhen einerseits auf nicht oder nur wenig beeinflußbaren
zufälligen Veränderungen der Meßbedingungen sowie andererseits auf der Zufälligkeit gewisser
Eigenschaften der betrachteten Ereignisse
In der Theorie der Meßfehler geht man davon aus, daß alle groben und systematischen Meßfehler
ausgeschlossen werden und lediglich die statistischen Eigenschaften und zufälligen Meßfehler in die
Berechnung der Unsicherheiten eingehen
16.4.1.2 Meßfehler verteilungsdichte
1. Meßprotokoll
Die Berechnung der Unsicherheiten setzt voraus, daß die Meßergebnisse in einem Meßprotokoll als
Urliste tabelliert und durch die Angabe der relativen Häufigkeiten oder der Dichtefunktion f(x) bzw
durch die Angabe der relativen Summenhäufigkeiten oder der Verteilungsfunktion F(x) verfügbar sind
(s 16.3 2 1,S 795) Unter der Variablen x ist die Realisierung der Zufallsveränderlichen X zu verstehen,
durch welche die zu bestimmende Größe beschrieben wird
2. Fehlerverteilungsdichte
Spezielle Annahmen über die Eigenschaften der Meßfehler bedingen bestimmte Eigenschaften der
Dichtefunktion der Fehler Verteilung.
1. Stetige Dichtefunktion Da zufällige Meßfehler beliebige Werte aus einem bestimmten Intervall
annehmen können, sind sie durch eine stetige Dichte f(x) zu beschreiben
2. Gerade Dichtefunktion Wenn Meßfehler mit gleichem Absolutbetrag, aber verschiedenem
Vorzeichen gleichwahrscheinlich sind, muß die Dichtefunktion eine gerade Funktion sein: f(—x) = f(x)
3. Monoton fallende Dichtefunktion Wenn Meßfehler mit großem Absolutbetrag weniger
wahrscheinlich sind als Fehler mit kleinem Absolutbetrag, muß f(x) für x > 0 eine monoton fallende
Funktion sein.
4. Endlicher Erwartungswert Der Erwartungswert des Absolutbetrages des Fehlers muß eine
endliche Größe sein, d h , es muß gelten
oo
E{\X\) = f \x\f(x)dx < oo A6 188)
812 16 Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik
Durch Zugrundelegung unterschiedlicher Fehlereigenschaften kommt man zu verschiedenen
Fehlerdichtefunktionen.
3. Fehler normal Verteilung
1. Dichte und Verteilungsfunktion In den meisten Fällen der Praxis kann davon ausgegangen
werden, daß die Meßfehler normal verteilt sind, und zwar mit dem Mittelwert ß = 0 und einer Streuung
er2 , d.h., für die Dichtefunktion f(x) und die Verteilungsfunktion F(x) von Meßfehlern soll gelten:
m--
i x\
e~2^ A6.
aV^TT
und Fw=^?/r^*=*G)
A6.189b)
Dabei ist <P(x) die Verteilungsfunktion der normierten Normal Verteilung (s. A6 73a, S 782) und
Tabelle 21.17, S. 1122). Im Falle von A6.189a,b) spricht man auch von der Fehlernormalverteüung
2. Geometrische Darstellung In Abb. 16.18a ist die Dichte der Fehlernormalverteilung A6.189a)
mit Wende- und Schwerpunkt dargestellt, in Abb. 16.18b das Verhalten bei drei verschiedenen Werten
der Streuung. Die Wendepunkte liegen bei den Abszissenwerten ±a , die Schwerpunkte der
Flächenhälften bei ±77. Der Maximalwert der Kurve bei x = 0 beträgt l/(ay/2n). Mit wachsendem a2 verbreitert
sich die Kurve, wobei der Flächeninhalt unter ihr konstant gleich Eins bleibt. Die Verteilung besagt,
daß, gemessen am absoluten Betrag, kleine Fehler häufig vorkommen, große selten.
4. Parameter zur Charakterisierung der Fehlernormalverteüung
Zur Charakterisierung der Fehlernormalverteüung werden außer der Streuung a2 bzw der
Standardabweichung a, auch mittlerer quadratischer Fehler genannt, noch andere Parameter verwendet, wie
das Genauigkeitsmaß h, der mittlere Fehler n und der wahrscheinliche Fehler 7
a)
-c -7 0 +Y +0
b)"
Abbildung 16 18
1. Genauigkeitsmaß Neben der Streuung a2 wird zur Charakterisierung der Breite der
Normalverteilung auch der Begriff Genauigkeitsmaß oder Genauigkeit
ä=-4= A6-190)
crv27T
benutzt. Je schmaler die GAUSS-Kurve ist, desto größer ist die Genauigkeit (Abb.16.18b). Wenn für
g die experimentell mit Hilfe von Meßwerten ermittelte Größe a bzw. äx eingesetzt wird, charakterisiert
das Genauigkeitsmaß die Genauigkeit der Meßmethode
2. Einfacher mittlerer Fehler Der Erwartungswert 77 des absoluten Betrages des Fehlers ergibt
sich zu
r) = E(\X\) = 2Jxf(x)dx.
A6 191)
16.4 Theorie der Meßfehler 813
3. Wahrscheinlicher Fehler Die Schranke 7 des absoluten Betrages des Fehlers mit der
Eigenschaft
P(\X\ <l) = \ A6.192a)
heißt wahrscheinlicher Fehler. Daraus folgt
+7
/ f(x) dx = 2<p(-t\-l = -, A6.192b)
-7
wobei <P(x) die Verteilungsfunktion der normierten Normalverteilung ist
4. Vorgabe einer Fehlergrenze Wenn eine obere Fehlergrenze a > 0 vorgegeben wird, die nicht
überschritten werden soll, dann kann mit der Formel
P(\X\ <a) = 2<P (-) - 1 A6.193)
die Wahrscheinlichkeit ausgerechnet werden, mit der der Fehler in das Intervall [—a, a] fällt.
5. Zusammenhang zwischen Standardabweichung, mittlerem und wahrscheinlichem
Fehler sowie Genauigkeit Im Falle der Fehlernormalverteilung gelten unter Benutzung des
Zahlenfaktors g = 0,4769 die folgenden Zusammenhänge:
fc=^ = vb=f (m94b) *(^)=5- (l6-195)
16.4.1.3 Meßfehlereinteilung nach quantitativen Merkmalen
1. Wahrer Wert und seine Näherungen
Der wahre Wert xw einer meßbaren Größe ist im allgemeinen unbekannt. Als Schätzwert für xw wird
man den Erwartungswert der Zufalls variablen wählen, deren Realisierung durch die Meßwerte X{ {% =
1,2,.. ,n) erfolgt. Demzufolge bieten sich als Näherungswerte für xw die folgenden Mittelwerte an:
1. Gleichgewichteter Mittelwert
_ 1 n k
x = - ^Xi A6.196a) bzw. x = ^ hjXj, A6 196b)
n i=i j=i
wenn die Meßwerte in k Klassen mit den absoluten Häufigkeiten hj und den Klassenmittelwerten Xj
(j = 1,2,.. ,k) eingeteilt worden sind
2. Gewichteter Mittelwert
x(p)=X>^/X>. A6 197)
»=i ' »=i
Dabei sind die einzelnen Meßwerte mit dem Gewichtsfaktorgi (gi > 0) gewichtet worden (s 16.4.1.6,bfl ,
S 817).
2. Fehler der Einzelmessung einer Meßreihe
1. Wahrer Fehler der Einzelmessung einer Meßreihe wird die Abweichung des Meßergebnisses
vom wahren Wert xw genannt. Da dieser meist unbekannt ist, bleibt auch der wahre Fehler Ei der i-ten
Messung mit dem Ergebnis Xi unbekannt.
£i = xw — X{. A6.198a)
814 16. Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik
2. Scheinbarer Fehler der Einzelmessung einer Meßreihe wird die Abweichung des
Meßergebnisses Xi vom arithmetischen Mittelwert genannt'
Vi = x-x{. A6.198b)
3. Mittlerer quadratischer Fehler der Einzelmessung oder Standardabweichung der
Einzelmessung Da der Erwartungswert der Summe der wahren Fehler Ei und der
Erwartungswert der Summe der scheinbaren Fehler v\ von n Messungen einer Größe verschwindet, werden die
verschiedenen Fehler mit Hilfe der Fehlerquadratsümmen berechnet'
£2 = f>2, A6 199a) v2 = f>2. A6 199b)
Für die praktische Auswertung ist nur A6 199b) von Interesse, weil nur die Werte Vi aus den
Meßergebnissen ermittelt werden können. Deshalb definiert man
\
EWy(n-l) A6 200)
i=i '
als mittleren quadratischen Fehler der Einzelmessung der Meßreihe Der Wert a ist ein Näherungswert
für die Standardabweichung a der Fehlerverteilung
Im Falle der Fehlernormal Verteilung gilt für a = a'
P(\e\ < er) = 2#A) - 1 = 0,68. A6.201)
Das bedeutet Die Wahrscheinlichkeit, daß der wahre Fehler betragsmäßig den Wert o nicht übersteigt,
beträgt ca 68%
4. Wahrscheinlicher Fehler ist die Bezeichnung für eine Zahl 7 , für die gilt.
P(\e\ < 7) = \ A6.202)
Das bedeutet: Die Wahrscheinlichkeit, daß der Fehler den Wert 7 nicht übersteigt, beträgt in diesem
Falle 50 %. Die Abszissenwerte ±7 teilen die linke und rechte Fläche unter der Dichtefunktion in je zwei
gleich große Hälften (Abb. 16.18a).
Im Falle der Fehlernormalverteilung besteht zwischen 7 und a der Zusammenhang
7 = 0,6745a « |cr = |Jf>2/(n - 1) A6.203)
5. Mittlerer Fehler ist die Bezeichnung für eine Zahl 77, die als Erwartungswert des absoluten
Betrages des Fehlers definiert wird-
00
fj = E(\e\) = 2 f xf(x) dx. A6 204)
0
Im Falle der Fehlernormal Verteilung ergibt sich rj = 0,798 . Auf Grund der Beziehung
P(\e\ <ri) = 2$(Jt\-i = 0,576 A6 205)
folgt daraus. Die Wahrscheinlichkeit, daß der Fehler den Wert 77 nicht übersteigt, beträgt ca. 57,6 %
Bei den Abszissenwerten ±77 liegen die Schwerpunkte der rechten bzw. linken Fläche unter der
Dichtefunktion (Abb.16.18a).
Im Falle der Fehlernormalverteilung gilt
w^=
0,7978Ö- « 0,85- = 0,
X>7(n-1) A6-206)
164 Theorie der Meßfehler 815
3. Fehler des arithmetischen Mittelwertes einer Meßreihe
Die Fehler des arithmetischen Mittelwertes x einer Meßreihe werden mit Hilfe der Fehler der
Einzelmessung wie folgt definiert
1. Mittlerer quadratischer Fehler oder Standardabweichung
*AM = * X>2/K™ " 1)] = 4= ' A6 207)
\ i=i I Vn
2. Wahrscheinlicher Fehler
1AM * f JX>2/[n(n- 1)] = |-^ A6.208)
3. Mittlerer Fehler
^M~0,8JE^7Kn-1I=0,8-7=.
\j=i ' V™
A6.209)
4. Sättigung des erreichbaren Fehlerniveaus Da die drei definierten Fehler A6.207-16.209) des
arithmetischen Mittels proportional zum entsprechenden Fehler der Einzelmessung A6.200,16 203 und
16.206) und umgekehrt proportional zur Wurzel aus n sind, ist es nicht sinnvoll, mit der Anzahl der
Einzelmessungen über einen gewissen Wert hinauszugehen. Eine merkliche Verringerung des Fehlers
kann nur durch Verbesserung des Genauigkeitsmaßes h der Meßmethode A6.190) erreicht werden
4. Absoluter und relativer Fehler
1. Absolute Unsicherheit, absoluter Fehler Die Unsicherheit eines Meßergebnisses, angegeben
als Fehler 6i, vi} G{, ji oder ??; bzw. e, v, o, 7 oder 77, ist ein Maß für die Zuverlässigkeit der Messungen.
Der Begriff der absoluten Unsicherheit, angegeben als absoluter Fehler, steht für alle diese Fehlergrößen
und die ihnen entsprechenden Ergebnisse von Fehlerfortpflanzungsrechnungen (s. 16.4.2, S. 818) Sie
zeichnen sich durch die gleiche Dimension aus wie die zu messende Größe. Der absolute Fehler wurde
eingeführt, um Verwechslungen mit dem Begriff des relativen Fehlers zu vermeiden. Als Formelzeichen
wird häufig Ax; bzw. Ax verwendet. Das Wort „absolut" hat hier eine andere Bedeutung als im Begriff
Absolutwert. Es bezieht sich lediglich auf den Zahlenwert der Meßgröße (z B. Länge, Ladung, Energie),
ohne auf ihr Vorzeichen Bezug zu nehmen.
2. Relative Unsicherheit, relativer Fehler Die relative Unsicherheit, angegeben durch den
relativen Fehler, ist ein Maß für die Qualität der Messungen, bezogen auf den Zahlenwert der Meßgröße im
oben definierten Sinne. Im Unterschied zum absoluten Fehler ist der relative Fehler dimensionslos, weil
er als Quotient aus dem absoluten Fehler und dem Zahlenwert der Meßgröße gebildet wird. Ist letzterer
nicht bekannt, dann setzt man den Mittelwert der Meßgröße x ein:
ÖXi = — « ^ . A6.210a)
x x
Der relative Fehler wird meist in Prozenten angegeben und heißt daher auch prozentualer Fehler:
Sxi/% = ÖXi ¦ 100 %. A6.210b)
5. Absoluter und relativer Maximalfehler
1. Absoluter Maximalfehler Ist die zu bestimmende Größe z eine Funktion der Meßgrößen x\, X2,
.., xn , d.h. z = }{x\,X2, . , xn), dann muß der resultierende absolute Fehler unter Berücksichtigung
dieser Funktion berechnet werden. Das geschieht entweder mit Hilfe des Fehlerfortpflanzungsgesetzes,
wodurch ein Ausgleich der Messungen vorgenommen wird, weil nach der Fehlerquadratmethode ein
Minimum von Y,(zi ~ zJ gesucht wird, oder man verzichtet auf den Ausgleich der Meßwerte und
berechnet lediglich eine obere Fehlerschranke, die absoluter Maximalfehler A2max genannt wird. Für den
816 16. Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik
Fall, daß es sich um n unabhängige Veränderliche x{ handelt, gilt:
A*™
dx~if{x^-
,*»)
Ax{,
A6.211)
wobei für die Xi der jeweilige Mittelwert x^ einzusetzen ist.
2. Relativer Maximalfehler Der relative Maximalfehler wird gebildet, indem der absolute
Maximalfehler durch den Zahlenwert der Meßgröße (meist ist das der Mittelwert z) dividiert wird.
ozm&x = « —-— A6 212)
16.4.1.4 Angabe von Meßergebnissen mit Fehlergrenzen
Eine realistische Einschätzung eines Meßergebnisses ist nur möglich, wenn der zu erwartende Fehler
mit angegeben wird; Fehlerangaben sind unverzichtbarer Bestandteil eines Meßergebnisses Aus den
Angaben muß zu erkennen sein, welche Fehlerart mit welchen Vertrauensgrenzen und bei welcher
Irrtumswahrscheinlichkeit angegeben wird.
1. Angabe der definierten Fehler Die Angabe des Meßergebnisses erfolgt für die Einzelmessung
in der Form
x = Xi ± Ax = Xi±ö, A6.213a)
für den Mittelwert in der Form
x = x ± Axam = x ± öam- A6.213b)
Dabei wurde für Ax jeweils die mit Abstand am häufigsten verwendete Standardabweichung eingesetzt.
Es können aber auch 7 und f) benutzt werden
X — xw
2. Vorgabe beliebiger Vertrauensgrenzen Die Größe T = — genügt im Falle einer N(fi. a2)
G
verteilten Grundgesamtheit der ^-Verteilung A6.97b) mit dem Freiheitsgrad / = n — 1 Für eine
geforderte Irrtumswahrscheinlichkeit a oder statistische Sicherheit S = 1 — a ergeben sich für den
unbekannten wahren Wert xw = /i mit Hilfe der t-Quantile £a/2,/ die Vertrauensgrenzen
fi = x±ta/2-f'äAM A6 214)
Somit liegt der wahre Wert xw mit der statistischen Sicherheit S = 1 — a, d.h. mit der
Wahrscheinlichkeit 1 — a , innerhalb dieses Intervalls mit den angegebenen Vertrauensgrenzen
Meist ist man daran interessiert, den Meßreihenumfang n so gering wie möglich zu halten. Das
Vertrauensintervall 2ta/2-f(JAM ist um so enger, je kleiner 1 — a gewählt wird und je größer die Anzahl
n der Messungen ist. Da gam mit l/\/n abnimmt und die Quantile ta/2;f mit / = n — 1 abnehmen
(bei n von 5 bis 10 ebenfalls mit 1/y/n (s. Tabelle 21.20, S. 1127)), verringert sich die Breite des
Vertrauensintervalls hier mit \jn
16.4.1.5 Fehlerrechnung für direkte Messungen gleicher Genauigkeit
Bei direkten Messungen gleicher Genauigkeit, d.h., wenn für alle n Messungen die gleiche Streuung
Gi realisiert werden kann, spricht man von Messungen mit gleicher Genauigkeit h = const. In diesem
Falle führt die Methode der kleinsten Quadrate auf die in A6.200), A6 203) und A6.205) angegebenen
Fehlergrößen.
¦ Es ist das Endergebnis für eine Meßreihe anzugeben (s nachfolgende Tabelle), die aus n = 10
direkten Messungen gleicher Genauigkeit besteht.
Xi
Vi • 103
Vi2 ¦ 106
1,592
- 12
144
1,581
- 1
1
1,574
+ 6
36
1,566
+ 14
196
1,603
-23
529
1,580
0
0
1,591
- 11
121
1.583
-3
9
1,571
+ 9
81
1,559
+ 21
441
16 4 Theorie der Meßfehler 817
x = 1,580, ö = JX^Vfa-l) = 0,0131, ötam = flr>/n = 0,041.
Endergebnis, x = x ± gam — 1,580 ± 0,041.
16.4.1.6 Fehlerrechnung für direkte Messungen ungleicher Genauigkeit
1. Gewicht einer Messung
Wenn die direkten Meßergebnisse x^ aus verschiedenen Meßverfahren stammen oder Mittelwerte von
Einzelmessungen darstellen, die zu dem gleichen Mittelwert x mit verschiedenen Streuungen <jj2
gehören, setzt man an die Stelle des gleichgewogenen Mittels das gewogene Mittel
^ = EWE*
und an die Stelle der Streuungen o? die Streuungsverhältnisse
<72
A6 215)
A6 216)
Für <7 steht ein beliebiger Wert öi (meist der mit dem geringsten Fehler), der aus dem Zahlenbereich
der Meßwerte ausgewählt wird Er dient als Standardabweichung der Gewichtseinheit, d.h., für öi — b
ist gi = 1. Aus A6.214) folgt: Das Gewicht einer Messung ist um so größer, je kleiner ihr Fehler öi ist.
2. Standardabweichungen
Die Standardabweichung der Gewichtseinheit ergibt sich als Schätzwert zu
\
£>W(n-l).
i=l '
A6 217)
Es ist darauf zu achten, daß cr(ff) < ä ist, im entgegengesetzten Falle ä^ > ä sind Xi mit systematischen
Abweichungen enthalten.
Die Standardabweichung der Einzelmessung lautet
Vi
.(g) :
y/9i
—z-Ci,
er
wobei di^ < äi erwartet werden kann.
Die Standardabweichung des gewogenen arithmetischen Mittels lautet:
*ft = *to\
\i=i
(n-l)E^*
A6.218)
A6.219)
3. Fehlerangabe
Die Fehlerangaben können wie inl641.4,S.816 dargestellt, entweder mit Hilfe der definierten Fehler
oder mit Hilfe der t-Quantile des Freiheitsgrades / erfolgen
¦ Es ist das Endergebnis für n = 5 Meßreihen mit den verschiedenen Mittelwerten Xi (i = 1,2, .., 5)
und den verschiedenen Standardabweichungen gam{ anzugeben.
818 16. Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik
Xi
1,573
1,580
1,582
1,589
1,591
\Xi)m
= 1,583
VAMi
0,010
0,004
0,005
0,009
0,011
=0,009
~2
°AMi
i,o-io-4
1,6-10~5
2,5-10-5
8,1-10-5
1,21-10-4
9i
0,81
5,06
3,24
1,00
0,66
n
J2di
t=i
=10,7
Zi
-1,2-10-2
-5,0-10-3
-3,0-10-3
+4,0-10-3
+6,0 IQ
9iZi
-9,7-10-3
-2,5-10
-9,7-10-3
4,0-10-3
3,9-10-3
J2diZi
t=i
=3,6-10-2
z?
1,44-10-4
2,50-10-5
9,0-10
1,6-10-5
3,6-10-5
9iZ?
1,16-10-4
1,26-10-4
2,91-10-5
1,6-10-5
2,37-10
n
Y.9iZi2
*=i
=3,1-10~4
Man berechnet (xi)m = 1,5830 und wählt Xq = 1,585 sowie a = 0,009 Mit Zi = X{ — x0 , gi = ä2/di2
berechnet man ~z = —0,0036 und erhält x = Xq + z = 1, 582 . Für die Standardabweichungen ergibt
xi£#^2/(ra-l) = 0,0088 < a und a,
sich ä{9) =
x = x±dx = 1,585 + 0,0027
&AM
0,0027 Das Endergebnis lautet
16.4.2 Fehlerfortpflanzung und Fehleranalyse
Häufig gehen die gemessenen Größen über eine funktionale Abhängigkeit in ein Endresultat ein Wenn
die Fehler klein sind, kann eine TAYLOR-Entwicklung nach den Fehlern durchgeführt werden, in der
man die Glieder 2. Ordnung vernachlässigt. Man spricht dann von Fehlerfortpflanzung
16.4.2.1 Gaußsches Fehler fort pflanz ungsgesetz
1. Problemstellung
Zu bestimmen sind Zahlenwert und Fehler einer Größe z , die über die Funktion z = f{x\, x2) • ,xk)
von den unabhängigen Variablen Xj (j = 1,2, , k) abhängt Die Werte Xj können als
Realisierungen von Zufallsgrößen angesehen werden und lassen sich als Mittelwerte Xj je einer Meßreihe mit n,-
Meßwerten bestimmen Ihre Streuung ist o2 Es ist zu untersuchen, wie sich die Fehler der
Variablen auf die Funktion f(x\,x2, , Xk) auswirken. Die Funktion f(x\, x2, , Xk) muß differenzierbar
sein, ihre Variablen müssen stochastisch unabhängig sein, sie dürfen aber beliebigen Verteilungen mit
unterschiedlichen Streuungen o2 genügen.
2. Taylor-Entwicklung
Da die Fehler relativ kleine Änderungen der unabhängigen Variablen darstellen, kann die Funktion
f(xi,X2, ¦ ,Xk) in der Nähe der Mittelwerte Wj durch den Linearanteil ihrer TAYLOR-Entwicklung
mit den Koeffizienten üj angenähert werden, so daß für ihren Fehler A/ gilt:
Af = f(xux2,....xk)-f(xux2, . ,xk), A6.220a)
A/ « df = ^-dxx + ^-dx2 + -
OX\ OX2
• + w—dxk ¦¦
oxk
i2^rdxJ = iZaJdxJ
j=i uxj
A6 220b)
wobei die partiellen Ableitungen df/dxj an der Stelle (xi, x2,..., xk) zu nehmen sind.
Streuung und Standardabweichung der Funktion ergeben sich zu
(jf = a\ aXl + a2 aX2 + • • • + ak aXk = 2_, Q>j &xj •
A6 221)
3. Näherung für die Streuung a-f
Da die Streuungen der unabhängigen Variablen Xj unbekannt sind, ersetzt man sie durch Streuungen
ihrer Mittelwerte, die aus den Meßwerten Xji (l = 1,2, , ni) der einzelnen Variablen wie folgt ermit-
164 Theorie der Meßfehler 819
telt werden
h1
°Xj
n3
1=1
nj{rij — 1)
Mit diesen Werten bildet man
<f/ =
E«/*|-
als Näherung
für
V
A6.222)
A6 223)
=i
Formel A6 223) wird GAUSSsches Fehlerfortpflanzungsgesetz genannt
4. Spezialfälle
1. Linearer Fall Ein häufig auftretender Fall ist die Addition der Fehlerbeiträge linear eingehender
Fehlergrößen mit üj — 1:
af = yjö^2 + a22 + • • • + dk2 A6 224)
¦ Am Ausgang des Impulsverstärkers eines Detektorkanals zur Spektrometrierung von Strahlungen
wird eine Impulsbreite festgestellt, die auf drei Anteile zurückgeführt werden kann: 1. Statistische
Energieverteilung der Strahlung des zu spektrometrierenden Übergangs einer Energie E0 , charakterisiert
durch astr, 2. statistische Umsetzungsprozesse im Detektor mit <7Det, 3 elektronisches Rauschen des
Verstärkers der Detektorimpulse öe\ Für die Gesamtimpulsbreite ergibt sich
*/ = >/*L + S£* + öä- A6.225)
2. Potenzgesetz Oft treten die Variablen Xj in der folgenden Form auf:
z = f(xux2l xh) = axxbl ¦ x2b2 ... xkh A6.226)
Durch logarithmische Differentiation ergibt sich der relative Fehler zu
dl = bld?l + b2^ + ... + bk<^, A6227)
/ Xi X2 Xk
woraus nach dem Fehlerfortpflanzungsgesetz für den mittleren relativen Fehler folgt:
°1 =
f ^
E{^J A6 228)
¦ Die Funktion f(xi,X2,xs) habe die Form f(xi,x2,X3) — ^Jx[x22 x33 , die Standardabweichungen
sind aXl , aX2 und aX3.
Der relative Fehler ergibt sich dann zu
5z=°4
J~\
m)+m+m
5. Unterschied zum Maximalfehler
Die Angabe des absoluten oder relativen Maximalfehlers A6.211,16.212) bedeutet, daß kein Ausgleich
zwischen den Meßergebnissen durchgeführt wird. Bei der Ermittlung des absoluten oder relativen
Fehlers mit Hilfe des Fehlerfortpflanzungsgesetzes A6 223) oder A6.226) wird mit einer vorgegebenen
Wahrscheinlichkeit innerhalb eines festgelegten Vertrauensintervalls zwischen den Meßergebnissen Xj
ausgeglichen Die Vorgehensweise erfolgt in der inl6414,S 816 angegebenen Weise.
16.4.2.2 Fehleranalyse
Unter Fehleranalyse versteht man allgemein die Analyse der Fortpflanzung von Fehlern bei der
Berechnung einer Funktion <p(xi), wenn Größen höherer Ordnung vernachlässigt werden. Im Rahmen der
820 16. Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik
Theorie der Fehleranalyse wird mit Hilfe eines Algorithmus untersucht, wie sich ein Eingangsfehler
Axi im Endergebnis (p(xi) auswirkt Man spricht in diesem Zusammenhang auch von differentieller
Fehleranalyse.
In der numerischen Mathematik versteht man unter Fehleranalyse die Untersuchung des Einflusses von
Verfahrens-, Rundungs- und Eingangsfehlern auf das Ergebnis (s. [19.26], [19.30])
821
17 Dynamische Systeme und Chaos
17.1 Gewöhnliche Differentialgleichungen und Abbildungen
17.1.1 Dynamische Systeme
17.1.1.1 Grundbegriffe
1. Typen dynamischer Systeme, Orbits
Ein dynamisches System ist ein mathematisches Objekt zur Beschreibung der Zeitentwicklung
physikalischer, biologischer und anderer real existierender Systeme Es wird definiert durch einen Phasenraum
M, der im weiteren oft der Rn, eine Teilmenge davon oder ein metrischer Raum ist, und eine ein-
parametrige Familie von Abbildungen ipl • M —? M, wobei der Parameter t (Zeit) aus R bzw. R+
(zeitkontinuierlich) oder Z bzw. Z+ (zeitdiskret) ist Für beliebiges x G M muß dabei
a) <p°(x) = x und
b) ipt((fs(x)) = (pt+s(x) für alle t, s aus der jeweiligen Zeitmenge gelten. Die Abbildung tpl wird kurz
als (p geschrieben.
Im weiteren wird die Zeitmenge mit r bezeichnet Dabei kann r = R, F = R+, r = Z oder F = Z+
sein. Ist F = R (R+), so nennt man das dynamische System auch Fluß (Semifluß) Da bei r = R und
r = Z wegen a) und b) für jedes tef neben (p* auch die inverse Abbildung (y>*)-1 = <£-' existiert,
spricht man hier von invertierbaren dynamischen Systemen
Ist das dynamische System nicht invertierbar, versteht man für eine beliebige Menge A C M und
beliebiges t > 0 unter ip~l(A) das Urbild von A bzgl. ipl, d.h. die Menge (p~l(A) = {x G M <pl(x) G A} .
Ist für jedes t G r die Abbildung ipl • M —> M stetig bzw. fc-mal stetig differenzierbar (dabei sei
M C Rn), so heißt das dynamische System stetig bzw. Ck-glatt.
Für beliebiges festes x G M definiert die Abbildung t \—? ^ (i), i G T eine Bewegung des dynamischen
Systems mit Anfang x zur Zeit t = 0. Das Bild 7(x) einer Bewegung mit Anfang x ist der Orbit (oder die
Trajektone) durch x,dh 7B) = {^*(a;)}ter Analog wird der positive Semiorbit durch a; als 7+(x) =
{<^*(a;)}t>o und, falls r 7^ R+ oder T / Z+ ist, der negative Semiorbit durch x als 7~(x) = {y*(aj)}t<o
definiert
Der Orbit 7C;) heißt Ruhelage, wenn 7C;) = {x} ist, und T-•periodisch, wenn ein T G F, T > 0,
existiert, so daß (/?*+r(x) = ^{x) für alle t e t und T G T die kleinste positive Zahl mit dieser
Eigenschaft ist Die Zahl T heißt Periode.
2. Fluß einer Differentialgleichung
Gegeben sei eine gewöhnliche Differentialgleichung
x = f{x), A7 1)
wobei /: M —* Rn ( Vektorfeld) eine r-mal stetig differenzierbare Abbildung ist und M = Rn oder eine
offene Teilmenge des Rn darstellt. Im weiteren wird im Rn stets die EUKLiDische Norm || • || benutzt,
d h., für beliebiges x G Rn , x = (x\, .., xn) ist ||x|| = JYh=\ x* . Schreibt man die Abbildung / in
Komponenten als / = (/1? .., fn), so ist A7.1) das System aus den n skalaren Differentialgleichungen
ii = fi(xu ,xn), i = 1,2, ...,n.
Die Sätze über die lokal eindeutige Lösbarkeit von PiCARD-LiNDELÖF und über die r-malige Diffe-
renzierbarkeit nach den Anfangsbedingungen (s [17 5]) garantieren, daß für jedes x$ G M eine Zahl
e > 0, eine Kugel Bs(x0) = {x: \\x — £0|| < $} aus M und eine Abbildung (p. (—e, e) x Bs(x0) —> M
existieren, so daß gilt
1. ip(-, •) ist (r + l)-mal stetig differenzierbar bzgl. des ersten Arguments (Zeit) und r-mal stetig
differenzierbar bzgl. des zweiten Arguments (Ortsvariable)
2. <p(-, x) ist für jedes fixierte x G B$(x0) eine lokal eindeutige Lösung von A7 1) auf dem Zeitintervall
(s,e) mit Anfang x zur Zeit t = 0, d.h., es gilt — (t,x) = <p(t,x) = f((p(t,x)) für alle t G (—e,e),
822 17 Dynamische Systeme und Chaos
ip@,x) = x, und jede andere Lösung mit Anfang x zur Zeit t = 0 stimmt für kleine Zeiten |t| mit
<p(t, x) überein.
Alle lokalen Lösungen von A7.1) seien eindeutig auf ganz R fortsetzbar. Dann gibt es zu jeder
Differentialgleichung A7.1) eine Abbildung ip: R x M —? M mit folgenden Eigenschaften:
1. v?@, x) = x für alle x G M.
2. ip(t + s, x) = <£>(£, <p (s, a;)) für alle £, s G R und alle x G M
3. (/?(•, •) ist bzgl. des ersten Arguments (r + l)-mal und bzgl. des zweiten Arguments r-mal stetig
differenzierbar.
4. </?(-, aj) ist für jedes fixierte x G M eine Lösung von A7.1) auf ganz R.
Der zu A7.1) gehörige Cr-glatte Fluß läßt sich dann durch die Beziehung ip1- = (p(t, •) definieren. Die
Bewegungen <^(-, x): R —? M eines Flusses von A7.1) heißen Integralkurven.
¦ Das System
x = a(y — x), y = rx — y — xz z = xy — bz A7 2)
heißt Lorenz -System der konvektiven Turbulenz (s. 17.2.4.3, S.850). Dabei sind a > 0, r > 0 und
6 > 0 Parameter. Dem LORENZ-System entspricht ein C°°-Fluß in M = R3 .
3. Zeit diskrete dynamische Systeme
Gegeben sei auf dem metrischen Raum (M, p) (s. 12.2.1, S. 624) die Differenzengleichung
xt+1=ip(xtI ter, A7 3)
die auch als Zuordnung x i—? ip(x) geschrieben werden kann. Dabei ist r G {Z+, Z_} , und ip: M —> M
ist eine stetige oder r-mal stetig differenzierbare Abbildung, wobei im letzten Fall McRn sei. Ist </?
invertierbar, so definiert A7 3) durch die Festlegung
ipl = ipo o(p, falls t > 0, (pl = ip~1o o(£-1, falls t < 0, (p° = id
t-mal, — t-mal,
ein invertierbares zeitdiskretes dynamisches System Ist ip nicht invertierbar, so sind die Abbildungen
ipl nur für t > 0 erklärt. Zur Realisierung von y>* s. E.87), S. 306.
¦ A: Die Differenzengleichung
xt+i = axt (l - xt), t = 0,1,... A7 5)
mit einem Parameter a G @,4] heißt logistische Gleichung Hierbei ist M = [0,1], und ip: [0,1] —* [0,1]
ist bei fixiertem a die Funktion (p(x) = ax(l — x). Offenbar ist ip unendlich oft differenzierbar, aber
nicht umkehrbar. Also definiert A7.5) kein invertierbares dynamisches System.
¦ B: Die Differenzengleichung
xt+i = Vt + 1 - ax\ , Vt+i = bxt, t = 0, ±1, ., A7 6)
mit Parametern a > 0 und b ^ 0 heißt Henon-Abbildung Die A7.6) entsprechende Abbildung
ip: R2 —? R2 ist durch tp(x,y) = (y+1—ax2 , bx) definiert, unendlich oft differenzierbar und umkehrbar
4. Volumenschrumpfende und volumenerhaltende Systeme
Das invertierbare dynamische System {(pt}ter auf M C Rn heißt volumenschrumpfend oder
dissipativ bzw. volumenerhaltend oder konservativ, wenn für jede Menge A C M mit einem positiven
n-dimensionalen Volumen vol(A) und jedes t > 0(t G T) die Beziehung vol(<p*(i4)) < vol(^4) bzw
vol(y>'(A))=völ(j4)gilt
¦ A: Sei tp in A7.3) ein Cr-Diffeomorphismus (d h.: ip. M —> M ist invertierbar, McRn offen, <p
und (p~l sind Cr-glatte Abbildungen) und sei D(p{x) die JACOBI-Matrix von ip in x G M. Dann ist
das zeitdiskrete System A7.3) dissipativ, falls | det D(p(x)\ < 1 für alle x G M ist, und konservativ,
falls | det Dip(x) \ = 1 in M ist.
/ —2ax 1 \
¦ B: Für das System A7.6) ist D(p(x,y) = f , ^ J und damit \detD(p(x,y)\ = \b\ Also ist
A7.6) dissipativ, falls \b\ < 1, und konservativ, falls |6| = 1.
17.1 Gewöhnliche Differentialgleichungen und Abbildungen 823
Die HENON-Abbildung läßt sich aus drei Teilabbildungen zusammensetzen (Abb. 17.1): Zunächst
wird der Ausgangsbereich durch die Abbildung x' = x,y' = y + 1 — ax2 flächenerhaltend gedehnt
und gebogen, dann durch x" — bx'' ,y" = y' in Richtung der rr'-Achse kontrahiert (bei |6| < 1) und
abschließend durch die Abbildung x'" = y", y'" = x" an der Geraden y" == x" gespiegelt.
-Ph
Abbildung 17.1
17.1.1.2 Invariante Mengen
1. a-und w-Grenzmenge, absorbierende Menge
Sei {ip^ter ein dynamisches System auf dem metrischen Raum (M, p) Die Menge A C M heißt
invariant unter {<£*}, falls ^(A) = A für alle t € T ist, und positiv invariant unter {</?*}, falls ^(A) C A
für alle t > 0 aus r ist
Für jedes x G M ist die u-Grenzmenge des Orbits durch x die Menge
u{x) = {yeM:3{tn}(^L1 CT, tn -> +oo , <ptn(x) -> y für n -» +oo}. A7 7)
Die Elemente von u(x) heißen u-Grenzpunkte des Orbits. Liegt ein invertierbares dynamisches System
vor, so heißt für jedes x G M die Menge
a(x) = {yeM:3 {tn}™=1 C T, tn -? -oo , <ptn{x) ^yiüin^ +cx)} A7 8)
a-Grenzmenge des Orbits durch x; die Elemente von a(x) heißen a-Grenzpunkte des Orbits.
Die lokale Eigenschaft des Volumenschrumpfens fuhrt bei vielen Systemen zur Existenz einer
beschränkten Menge im Phasenraum, in die alle Orbits für wachsende Zeiten gelangen und dort verbleiben Eine
beschränkte, offene und zusammenhängende Menge U C M heißt absorbierend bzgl {(pt}t€p, falls
¥>*({/) C U für alle positiven t aus r ist. (U ist die Abschließung von U )
¦ Gegeben sei in der Ebene das Differentialgleichungssystem
¦2) A7 9a)
= rsintf läßt sich die Lösung von A7.9a) mit
x = —y + x A - x2 — y2), y = x + y(l — x2 — y
Unter Verwendung von Polarkoordinaten x = r cos$, y
Anfang (r0, $o) zur Zeit t = 0 in der Form
r(t, r0) = [1 + (r0 - 1) e^]/2, tf(*, t?0) = * + ^o A7 9b)
schreiben. Aus dieser Lösungsdarstellung folgt, daß der Fluß von A7 9a) einen 27r-periodischen Orbit
besitzt, der als 7(A,0)) = {(cost, sin t), t G [0,27r]} dargestellt werden kann. Für die Grenzmengen
der Orbits durch p gilt:
@,0),
a(p) ={7(A,0)),
<1,
= 1,
>1
und
u(p)
./7(A,0)),
l @,0),
P^@,0),
P=@,0)
Jede offene Kugel Br = {(x, y). x2 -\-y2 < r2} mit r > 1 ist eine absorbierende Menge für A7.9a).
2. Stabilität von invarianten Mengen
Sei A eine unter dem dynamischen System {(pl}ter auf {M,p) invariante Menge. Die Menge A heißt
stabil, wenn jede Umgebung U von A eine andere Umgebung U\ C U von >l enthält, so daß (pl(Ui) C £/
für alle t > 0 gilt. Die unter {(/?*} invariante Menge A heißt asymptotisch stabil, wenn sie stabil ist und
folgende Beziehung gilt:
3 A > ° dtat^t) < A } däst^s). A) —> 0 für < -» +oo A7 10)
824 17. Dynamische Systeme und Chaos
Dabei ist dist (sc, A) — inf p(x, y).
yzA
3. Kompakte Mengen
Sei (M,p) ein metrischer Raum Ein Mengensystem {Ui}iEi aus offenen Mengen heißt offene
Überdeckung von M, wenn jeder Punkt aus M in mindestens einem Ui liegt Der metrische Raum (M,p)
heißt kompakt, wenn aus jeder offenen Überdeckung {Ui}iei von M endlich viele U^, ., Uir ausgewählt
werden können, so daß M = Uix U • • • U Uir ist. Die Menge K C M heißt kompakt, wenn sie als Teilraum
kompakt ist .
4. Attraktor, Einzugsgebiet
Sei {(p*}ter ein dynamisches System auf (M, p) und A eine unter {</?*} invariante Menge Dann heißt
W(A) = {x e M u)(x) C A} Einzugsgebiet von A
Eine kompakte Menge A C M heißt Attraktor von {</^}<er auf M , wenn A invariant unter {p1} ist und
es eine offene Umgebung U von A gibt, so daß u(x) = A für fast alle (im Sinne des LEBESGUE-Maßes
(s 12.9 1, S. 656)) xeU gilt.
¦ A = 7(A,0)) ist ein Attraktor des Flusses von A7.9a) Dabei ist W(A) = R2 \ {@,0)} .
Für manche dynamischen Systeme ist ein allgemeinerer Attraktorbegriff sinnvoll. So gibt es
invariante Mengen A, die in jeder Umgebung periodische Orbits besitzen, die nicht von A angezogen werden
(z B der FEIGENBAUM-Attraktor). Die Menge A muß auch nicht unbedingt durch eine einzige u
Grenzmenge aufgespannt werden.
Eine kompakte Menge A heißt Attraktor im Sinne von MiLNOR von {pt}ter auf M , wenn 4 invariant
unter {ip*} ist und das Einzugsgebiet von A eine Menge mit positivem LEBESGUE-Maß enthält
17.1.2 Qualitative Theorie gewöhnlicher Differentialgleichungen
17.1.2.1 Existenz des Flusses und Phasenraumstruktur
1. Fortsetzbarkeit der Lösungen
Neben der Differentialgleichung A7 1), die wir autonom nennen, treten auch Differentialgleichungen
auf, deren rechte Seite explizit von der Zeit abhängt und die deshalb nichtautonom heißen:
x = f(t,x). A711)
Dabei sei /• R x M —*¦ Rn mit der offenen Menge McR" eine Cr-Abbildung. Durch die neue Variable
^n+i : — i läßt sich A7.11) als autonome Differentialgleichung x = f(xn+\,x), xn+i = 1 auf M x R
interpretieren Die Lösung von A7.11) mit Anfang x0 zur Zeit t0 wird mit y>(-, £0, xo) bezeichnet
Um die globale Existenz der Lösungen und damit die Existenz eines Semiflusses von A7.1) zu zeigen.
sind folgende Sätze oft hilfreich
1. Kriterium von Wintner und Conti Ist in A7.1) M = Rn und existiert eine stetige Funktion
/•+00 l
uj [0, +oo) —? [1, +oo), so daß ||/(x)|| < u (\\x\\) für alle x eTC gilt und ist / —- dr = +oo. so
Jo Lü(r)
läßt sich jede Lösung von A7.1) auf ganz R+ fortsetzen.
¦ Für das Kriterium von Wintner und Conti sind folgende Funktionen geeignet u(r) = Cr + 1
und u(r) = C r|ln r\ + 1, wobei C > 0 eine Konstante ist.
2. Fort Setzungsprinzip Bleibt eine Lösung von A7.1) für wachsende Zeiten beschränkt, so existiert
sie für alle positiven Zeiten und damit auf ganz R+
Voraussetzung: Im weiteren wird stets die Existenz eines Flusses {(p^teR Dzw eines Semiflusses
{(ft}teR+ von A^-1) vorausgesetzt.
2. Phasenporträt
a) Ist ip(t) eine Lösung von A7.1), so ist mit einer beliebigen Konstanten c die Funktion p(t + c)
ebenfalls eine Lösung.
17 1 Gewöhnliche Differentialgleichungen und Abbildungen 825
b) Zwei beliebige Orbits von A7 1) haben keinen gemeinsamen Punkt oder stimmen überein. Der
Phasenraum von A7 1) zerfällt also in disjunkte Orbits. Die Zerlegung des Phasenraumes in disjunkte
Orbits heißt Phasenporträt.
c) Jeder Orbit, verschieden von einer Ruhelage, ist eine reguläre glatte Kurve, die geschlossen oder
nicht geschlossen sein kann
3. Satz von Liouville
Seien {<^}teR der Fluß von A7 1), D C M C Rn eine beliebige beschränkte und meßbare Menge,
Dt : = ^(D) und Vt : = vol(.Dt) das n-dimensionale Volumen von Dt (Abb.17.2a). Dann gilt für
Abbildung 17 2
beliebiges t G R die Beziehung — Vt — / divf(x) dx Für n = 3 lautet der Satz von LlOUVlLLE-
dt JDt
~diVt = JJJ d^/fai'^,x3)dxi dx2dx3. A7.12)
Dt
Folgerung: Gilt für A7.1) div/(x) < 0 in M, so ist der Fluß von A7.1) volumenschrumpfend Gilt
div/(x) = 0 in M, so ist der Fluß von A7.1) volumenerhaltend
(Wegen des Torus T2 in Abb.17.2b s. die Definition des Torus in 17.1.2 3,7., S 830 )
¦ A: Für das LORENZ-System A7.2) ist div/(x, y, z) = -(er + 1 + b). Wegen o > 0 und b > 0 ist
also div/(x, y, z) < 0. Mit dem Satz von LlOUVlLLE folgt für eine beliebige beschränkte und meßbare
Menge D C R3 offenbar — Vt = / / / -(a + 1 + b) dxx dx2 cte3 = -(a + 1 + b)Vt. Für die lineare
Dt
Differentialgleichung Vt = -{a + 1+ b)Vt lautet die Lösung Vt = V0 • e-{a+1+b)t, so daß Vt -+0 für
t —» +00 folgt
¦ B: Sei U C Rn x Rn eine offene Teilmenge und H: U —^ R eine C2-Funktion. Dann heißt ±i =
f)J-f riM
-^—(xiy)i yi — ~~ä—(xiV) (* = 1,2, . , n) HAMiLTONsche Differentialgleichung Die Funktion H
oy% 0X{
heißt Hamilton-Funktion des Systems Bezeichnet / die rechte Seite dieser Differentialgleichung, so
gilt offenbar
pfijj ß^H 1
= 0. HAMiLTONsche Differentialgleichungen sind also
dxidyi
fay)-
dyidxi
(x,y)
div f(x,y) = £
volumenerhaltend.
17.1.2.2 Lineare Differentialgleichungen
1. Hauptsätze
Es sei A(t) = [a»j(*)]?j=i eme Matrix-Funktion auf R, wobei jede Komponente a^: R —? R als stetige
Funktion vorausgesetzt wird, und es sei b: R —? Rn eine stetige Vektorfunktion auf R. Dann heißt
x = A(t)x + b(t) A7.13a)
inhomogene lineare Differentialgleichung erster Ordnung im Rn und
x = A(t)x A7 13b)
826 17 Dynamische Systeme und Chaos
die zugehörige homogene lineare Differentialgleichung erster Ordnung.
1. Hauptsatz über homogene lineare Differentialgleichungen Jede Lösung von A7 13a)
existiert auf ganz R Die Gesamtheit aller Lösungen von A7.13b) bildet einen n-dimensionalen
Untervektorraum Lh der C^-glatten Vektorfunktionen über R (Hauptsatz über homogene lineare
Differentialgleichungen).
2. Hauptsatz über inhomogene lineare Differentialgleichungen Die Gesamtheit aller
Lösungen Li von A7.13a) ist ein n-dimensionaler affiner Unterraum der C^-glatten Vektorfunktionen über
R in der Form Li = (p0 + Lh , wobei <po eme beliebige Lösung von A7 13a) ist (Hauptsatz übei
inhomogene lineare Differentialgleichungen) Seien y?1}... ,</?n beliebige Lösungen von A7 13b) und
$ — [ifi,.. , (pn] die zugehörige Lösungsmatrix Dann genügt 0 auf R der Matrix-Differentialgleichung
Z(t) = A(t)Z(t), wobei Z(t) G Rnn ist. Bilden die Lösungen ipu . ,<pn eine Basis von Lh , so heißt
$ — [^l) • • • j <Pn] Fundamentalmatrix von A7.13b). Bezüglich einer Lösungsmatrix $ von A7 13b) ist
W(t) = det$(t) die WRONSKi-Determinante. Für sie gilt die Formel von Liouville.
W(t) = SpA(t) W(t) (teR). A7.13c)
Für eine Lösungsmatrix ist W(t) = 0 auf R oder W(t) ^ 0 für alle i€R Das System ipu . , ipn ist
also genau dann eine Basis von Lh , wenn det[(ßi(t),..., tpn(t)} i=- 0 für ein t (und damit für alle) ist
3. Satz über die Variation der Konstanten Sei $ eine beliebige Fundamentalmatrix von A7 13b)
Dann läßt sich die Lösung (p von A7 13a) mit Anfang p zur Zeit t = r in der Form
t
<p(t) = ^(^(t)-1 p + / ^(t)^(s)-1 b(s)ds (t G R) A7 13d)
T
darstellen (Satz über die Variation der Konstanten)
2. Autonome lineare Differentialgleichungen
Gegeben sei im Rn die Differentialgleichung
x = Ax, A7 14)
wobei A eine konstante Matrix vom Typ (n, n) ist
Die Operator-Norm (s. auch 12.5.1 1, S. 639) einer Matrix A ist durch
||j4|| = max{||^4x||, x G Rn, ||x|| < 1} gegeben, wobei für die Vektoren des Rn wieder die EuKLiDische
Norm vereinbart sei
Seien A und B zwei beliebige Matrizen vom Typ (n, n). Dann gilt:
a) \\A + B\\ < PH + ||£||, b) \\\A\\ = |A| ||A|| (A € R),
(x€R"), d)pß||<P||||ß||,
wobei Amax der größte Eigenwert von ATA ist.
Die Fundamentalmatrix mit Anfang En zur Zeit t = 0 von A7 14) ist die Matrix-Exponentialfunktion
eAt = En + v + — + --- = j:— A715)
mit folgenden Eigenschaften j
a) Die Reihe für eAt konvergiert bezüglich t auf einem beliebigen kompakten Zeitintervall gleichmäßig
und für jedes t absolut;
b)||eAi|| <elW (*>0); I
c) j^(eAt) = (eAt) = AeAt = eAtA (t G R);
d) e(t+s)A = etAesA (S)teR).
e) eAt ist für alle t regulär und (eAt)~l — e~At;
17 1 Gewöhnliche Differentialgleichungen und Abbildungen 827
f) sind A und B kommutative Matrizen vom Typ (n, n), d h. gilt AB = BA, so ist B eA = eA B und
eA+B=eAeB^
g) sind ,4 und B Matrizen vom Typ (n, n) und ist Z? regulär, so ist eBAB~ = B eA B~l.
3. Lineare Differentialgleichungen mit periodischen Koeffizienten
Betrachtet wird die homogene lineare Differentialgleichung A7.13b), wobei A(t) = [a»j(£)]?j=i eme ^_
periodische Matrix-Funktion ist, d.h , es gilt a^(£) = Oy (t + T) (\/t G R, z, j = 1, . , n) In diesem
Falle nennt man A7 13b) eine lineare T-periodische Differentialgleichung. Dann läßt sich jede
Fundamentalmatrix # von A7.13b) in der Form $(i) = G(t)etR darstellen, wobei G(t) eine glatte, reguläre
T-periodische Matrix-Funktion ist und R eine konstante Matrix vom Typ (n, n) darstellt (Satz von
Floquet) Sei $(t) die bei t = 0 normierte Fundamentalmatrix ($@) = En) der T-periodischen
Differentialgleichung A7.13b) und <P(t) = G(t)etR eine Darstellung laut Satz von Floquet. Die Matrix
<P(T) = eRT heißt Monodromie-Matrix von A7.13b); die Eigenwerte pj von <P(T) sind die
Multiplikatoren von A7 13b). Eine Zahl p G C ist genau dann Multiplikator von A7 13b), wenn es eine Lösung
tp jk 0 von A7 13b) gibt, so daß <p(t + T) = pip(t) (t G R) gilt
17.1.2.3 Stabilitätstheorie
1. Lyapunov-Stabilität und orbitale Stabilität
Betrachtet wird die nichtautonome Differentialgleichung A7.11). Die Lösung ip(t, t0,Xo) von A7.11)
heißt LYAPUNOV-stabil, wenn gilt-
\\Xl-Uh^xQ)\\<ö\ MMi,*i)-^(Mo,*o)||<£
\/t > h A7.16a)
Die Lösung y?(i, £0, x0) heißt asymptotisch stabil im Sinne von LYAPUNOV, wenn sie stabil ist und gilt.
für t -> +00 A7 16b)
Für die autonome Differentialgleichung A7.1) läßt sich neben der LYAPUNOV-Stabilität der Lösungen
auch die orbitale Stabilität betrachten. Die Lösung <p(t,Xo) von A7.1) heißt orbital stabil
(asymptotisch orbital stabil), wenn der Orbit 7B:0) — {^(^^0), t G R} stabil (asymptotisch stabil) im Sinne
einer invarianten Menge ist. Eine Lösung von A7 1), die eine Ruhelage repräsentiert, ist genau dann
LYAPUNOV-stabil, wenn sie orbital stabil ist. Schon für periodische Lösungen von A7.1) können sich
beide Stabilitätsarten unterscheiden
¦ Gegeben sei ein Fluß in R3 , der den Torus T2 als invariante Menge besitzt. Lokal sei in
Winkelkoordinaten der Fluß beschrieben durch ©1 = 0, <92 = /2F>i), wobei f2: R —> R eine 27r-periodische
glatte Funktion sei, für die gilt:
V6>! G R 3 U&1 (Umgebung vonöi) V<$i, <52 € U0l 1. , (x , , , fx ,
6,^62 j-hW^hW-
Eine beliebige Lösung mit Anfang (<9i@), <92@)) auf dem Torus ist gegeben durch
0i(*)es0i(O), ö2(*) = ö2(O) + /2@i(O))t (teR).
An dieser Darstellung erkennt man, daß jede Lösung orbital stabil ist, aber nicht LYAPUNOV-stabil (s.
Abb.17.2b, S. 825)- Sind die Anfangswerte zweier Integralkurven auf dem Torus nahe zu einander, so
bleiben auch deren Orbits nahe zu einander, nicht aber die jeweils zum gleichen Zeitpunkt betrachteten
Punkte der Integralkurven (s. [17.15])
2. Satz von Lyapunov über asymptotische Stabilität
Eine skalarwertige Funktion V heißt positiv definit in einer Umgebung U des Punktes p G M C Rn ,
wenn gilt:
828 17. Dynamische Systeme und Chaos
1. V: U C M -> R ist stetig.
2. V(x) > 0 für alle xeU\{p} und V(p) = 0 .
Sei U C M eine offene Teilmenge und V U —> R eine stetige Funktion. Die Funktion V heißt
LYAPUNOV-Fwn^zon von A7.1) in U , falls V(<p(t)) für wachsende £ nicht wächst, solange für die Lösung
<p(t) € U gilt. Sei V. U —? R eine LYAPUNOV-Funktion von A7 1) und sei V positiv definit in einer
Umgebung U von p Dann ist p stabil Gilt außerdem, daß aus V((p(t,x0)) = const (t > 0) für eine
Lösung (p von A7.1) mit tp(t,x) EU (t > 0) immer <p(£,aJo) = P folgt, so ist die Ruhelage p sogar
asymptotisch stabil.
¦ Der Punkt @,0) ist Ruhelage der ebenen Differentialgleichung x = y, y = — x — x2y Mit V(x, y) =
x2 + y2 liegt eine Funktion vor, die positiv definit in jeder Umgebung von @,0) ist und für deren
Ableitung entlang einer beliebigen Lösung —V{x(t),y(t)) = -2x(tJy(tJ < 0 für x(t)y(t) ^ 0 gilt. Also
dt
ist @,0) asymptotisch stabil
3. Klassifizierung und Stabilität der Ruhelagen
Sei #0 eine Ruhelage von A7.1) Das lokale Verhalten der Orbits von A7 1) nahe x0 wird, unter gewissen
Voraussetzungen, durch die Variationsgleichung y = D f(x0)y beschrieben, wobei Df(xo) die Jacobi-
Matrix von / in Xq ist Besitzt Df(xo) keinen Eigenwert Xj mit Re A; = 0, so heißt die Ruhelage xo
hyperbolisch. Die hyperbolische Ruhelage x0 ist vom Typ (m, k), wenn Df(x0) genau m Eigenwerte
mit negativem Realteil und k = n — m Eigenwerte mit positivem Realteil besitzt Die hyperbolische
Ruhelage vom Typ (m, k) heißt Senke, wenn m = n ist, Quelle, wenn k — n ist, und Sattel, wenn m ^ 0
und/c^0ist (Abb.17.3).
Typ der Ruhelage
Eigenwerte der
JACOBI-Matrix
Phasenporträt
Senke
•
•
jf
Quelle
•
•
¥
Sattelpunkt
•
•
#
Abbildung 17.3
Eine Senke ist asymptotisch stabil; Quellen und Sattel sind instabil (Satz über Stabilität in der ersten
Näherung). Im Rahmen der drei topologischen Grundtypen von hyperbolischen Ruhelagen (Senke,
Quelle und Sattelpunkte) sind weitere algebraische Unterscheidungen üblich So heißt eine Senke
(Quelle) stabiler Knoten(instabiler Knoten), wenn alle Eigenwerte der JACOBI-Matrix reell sind, und stabiler
Strudel (instabiler Strudel), wenn Eigenwerte mit nicht verschwindendem Imaginärteil vorliegen Für
n = 3 ergibt sich daraus eine Einteilung der Sattelpunkte in Sattelknoten undSattelstrudel.
4. Stabilität periodischer Orbits
Sei (p(t,xo) eine T-periodische Lösung von A7.1) und 7B:0) = {<£(*> #o), t € [0, T]} ihr Orbit. Das
Phasenporträt nahe 7B:0) wird, unter gewissen Voraussetzungen, durch die Variationsgleichung y =
D f(ip(t,Xo))y beschrieben. Da A(t) = D f((p(t,x0)) eine T-periodische stetige Matrixfunktion vom
Typ (n,n) ist, folgt aus dem Satz von Floquet, daß die bei t = 0 normierte Fundamentalmatrix
<PX0 (t) der Variationsgleichung als <PX0 (t) = G(t)eRt darstellbar ist, wobei G eine T-periodische reguläre
glatte Matrixfunktion mit G(Ö) — En ist und R eine konstante Matrix vom Typ (n, n) darstellt, die
nicht eindeutig festliegt Die Matrix $x>(T) = eRT heißt Monodromie-Matrix des periodischen Orbits
7B:0), die Eigenwerte p\, ,pn von eR* sind die Multiplikatoren des periodischen Orbits 7B:0) Wird
der Orbit 7B:0) durch eine andere Lösung tp(t,xi) repräsentiert, d.h., ist 7B:0) = 7B:1), so stimmen
17.1 Gewöhnliche Differentialgleichungen und Abbildungen 829
die Multiplikatoren von 7B:0) und 7(^1) überein. Einer der Multiplikatoren eines periodischen Orbits
ist immer gleich Eins (Satz von Andronov-Witt).
Seien pi,..., pn-\,pn — 1 die Multiplikatoren des periodischen Orbits 7B:0), und sei $XQ(T) die Mono-
dromie-Matrix von 7(.t0) . Dann gilt
X> = Sp<MT)und ft PJ = det<PXo(T) = efoSVDf^x^dt
j=i j=i
= efodWf{v(t,Xo))dt (ll\7)
Ist also n = 2 , so ist p2 = 1 und Pl = eIod^f(^ *<>)) dt
¦ Sei (p(t, A,0)) = (cos£, sint) eine 27r-periodische Lösung von A7.9a). Die Matrix A(t) der
Variationsgleichung lautet
a/_l\ i^tf /j. /1 n\w ( — 2cos2£ —1 — sin2t
^) = D/MMi,o)))=^_sin2f _2sin2i
Die bei t = 0 normierte Fundamentalmatrix #(i,o)(£) ist
fh i+\ — (e~2tcost — sinA _ fcost — smt\ (e~2t 0\
^0)(t)-ye-2ts[nt cost)-{s[nt COSt){ 0 lj'
wobei das letzte Produkt eine FLOQUET-Darstellung von $(i>0)(£) darstellt Also ist p\ = e~4n und
p2 = 1 Die Multiplikatoren lassen sich auch ohne FLOQUET-Darstellung bestimmen Für System
A7 9a) ist div/(x,y) = 2 — Ax2 — 4y2 Damit ergibt sich div/(cos£,smt) = —2 Nach obiger Formel
ist pi = eSon~2dt = e~4n .
5. Klassifizierung periodischer Orbits
Hat der periodische Orbit 7 von A7 1) außer pn = 1 keinen weiteren Multiplikator auf dem komplexen
Einheitskreis, so heißt 7 hyperbolisch Der hyperbolische periodische Orbit heißt vom Typ (m, k), wenn
m Multiplikatoren innerhalb und k = n — 1 Multiplikatoren außerhalb des Einheitskreises liegen.
Ist m > 0 und k > 0, so heißt der periodische Orbit vom Typ (m, k) sattelartig Nach einem Satz
von ANDRONOV und Witt ist ein hyperbolischer periodischer Orbit 7 von A7 1) vom Typ (n — 1,0)
asymptotisch stabil. Hyperbolische periodische Orbits vom Typ (m, k) mit k > 0 sind instabil
¦ A: Ein periodischer Orbit 7 = {(p(t), t € [0, T}} in der Ebene mit den Multiplikatoren p\ und pi = 1
ist asymptotisch stabil, wenn M < 1, d.h. wenn tf divf(<p(t)) dt < 0 ist.
¦ B: Liegt außer pn = 1 noch ein weiterer Multiplikator auf dem komplexen Einheitskreis, so ist der
Satz von Andronov-Witt nicht anwendbar Zur Stabilitätsanalyse des periodischen Orbits reichen
die Informationen über die Multiplikatoren nicht aus.
¦ C: Als Beispiel sei das ebene System x = — y + x f(x2 4- y2), ,y = x + y f(x2 + y2) mit der glatten
Funktion / @, +00) —> R gegeben, die zusätzlich den Eigenschaften /(l) = f'(l) = 0 und f(r)(r —
1) < 0 für alle r / l,r > 0, genügt. Offenbar ist (p(t) = (cost,sint) eine 27r-periodische Lösung des
betrachteten Systems und
#(i,o) (t) — ( • / / ) ( 0 1 ) die FLOQUET-Darstellung der Fundamentalmatrix. Aus ihr erkennt
man, daß p\ = p2 = 1 ist. Die Verwendung von Polarkoordinaten führt zum System r = rf(r2), $ = 1
Aus dieser Darstellung folgt sofort, daß der periodische Orbit 7(A,0)) asymptotisch stabil ist
6. Eigenschaften von Grenzmengen, Grenzzyklen
Die in 17.1.1.2, S. 823 definierten a- und u;-Grenzmengen besitzen für den Fluß der
Differentialgleichung A7 1) mit McRn die folgenden Eigenschaften. Sei x G M ein beliebiger Punkt Dann gilt
a) Die Mengen a(x) und u)(x) sind abgeschlossen
; b) Ist 7+(x) bzw j~(x) beschränkt, so ist u(x) ^ 0 bzw. a(x) ^ 0. Außerdem ist u(x) bzw a(x) in
830 17. Dynamische Systeme und Chaos
diesem Fall invariant unter dem Fluß von A7 1) und zusammenhängend
¦ Ist z B 7+(x) unbeschränkt, dann mußa;(x) nicht unbedingt zusammenhängend sein (Abb.17.4a)
(®1h
a) I = b)
Abbildung 17 4
Für eine ebene autonome Differentialgleichung A7 1) (d h McR2) gilt der
Satz von Poincare—Bendixson: Sei ip(-,p) eine nicht periodische Lösung von A7.1), für die 7+(p)
beschränkt ist. Enthält uj(p) keine Ruhelagen von A7 1), so ist u(p) ein periodischer Orbit von A7 1)
Für autonome Differentialgleichungen in der Ebene sind also Attraktoren, die komplizierter als eine
Ruhelage oder ein periodischer Orbit sind, nicht möglich
Ein periodischer Orbit 7 von A7 1) heißt Grenzzyklus, wenn es ein x ^ 7 gibt, so daß entweder 7 C w(i)
oder 7 C a(i) gilt Ein Grenzzyklus heißt stabiler Grenzzyklus,wenn eine Umgebung U von 7 existiert.
so daß 7 = u(x) für alle x G U ist, und instabiler Grenzzyklus, wenn eine Umgebung U von 7 existiert,
so daß 7 = a(x) für alle x G U ist.
¦ A: Für den Fluß von A7 9a) gilt für den periodischen Orbit 7 = {(cost,sint),t G [0,27r)} die
Eigenschaft 7 = u(p) für alle p ^ @,0). Also ist U = R2\{@,0)} eine Umgebung von 7, mit der 7
zum stabilen Grenzzyklus wird (Abb. 17.4b)
¦ B: Für die lineare Differentialgleichung x — —y, y = x ist dagegen 7 = {(cost, sint),t G [0,27r]}
ein periodischer Orbit, aber kein Grenzzyklus (Abb. 17.4c).
7. m—dimensionale eingebettete Tori als invariante Mengen
Eine Differentialgleichung A7 1) kann einen m-dimensionalen Torus als invariante Menge besitzen. Ein
in den Phasenraum McRn eingebetteter m-dimensionaler Torus Tm wird durch eine differenzierbare
Abbildung g: Rm —? Rn, die als Funktion (G\,. ., Gm) t—> g(Gi,.. , Gm) in jeder Koordinate ßi als
27T-periodisch vorausgesetzt wird, definiert (Abb. 17.2b, S. 825).
¦ In einfachen Fällen läßt sich die Bewegung des Systems A7.1) auf dem Torus in Winkelkoordinaten
durch die Differentialgleichungen Q{ — Ui (i = 1,2,..., m) beschreiben Die Lösung dieses Systems
mit Anfang @i@), . , <9m@)) zur Zeit t = 0 ist G^t) = corf + 6^@) (z = l,2, . ,m,t€R)
Eine stetige Funktion / R —> Rn heißt quasiperiodisch, wenn / eine Darstellung in der Form f(t) -
g(cüit, uj2t,. ., unt), wobei g wieder wie oben eine differenzierbare Funktion, die 27r-periodisch in jeder
Komponente ist, besitzt und die Frequenzen U{ inkommensurabel sind, d.h. es keine ganzen Zahlen ni
n
mit J2 n\ > 0 gibt, so daß n\U\ + h nnun = 0 ist.
17.1.2.4 Invariante Mannigfaltigkeiten
1. Definition, Separatrixflächen
Sei 7 eine hyperbolische Ruhelage oder ein hyperbolischer periodischer Orbit von A7 1) Die stabile
Mannigfaltigkeit Ws{^) (instabile Mannigfaltigkeit ^G)) von 7 ist die Menge aller der Punkte des
Phasenraumes, durch die Orbits verlaufen, die für t —> +00 (t —? —00) gegen 7 streben:
Ws(>y) = {xeM: u(x) = 7} und Wu{j) = {x G M- a(x) = 7} . A7 18)
Stabile bzw instabile Mannigfaltigkeiten bezeichnet man auch als Separatrixflächen
¦ In der Ebene wird die Differentialgleichung
x = — x, y = y + x2 A7 19a)
17.1 Gewöhnliche Differentialgleichungen und Abbildungen 831
betrachtet. Die Lösung von A7.19a) mit Anfang (xo, yo) zur Zeit t = 0 ist durch
<p(t,x0,y0) = (e-'sö.e'jfc + ^ (e' - e')) A7.19b)
explizit gegeben Für die stabile bzw. instabile Mannigfaltigkeit der Ruhelage @,0) von A7.19a) erhält
man (s. Abb. 17.5a):
x2
VH@,0)) = {{x0lyo): lim p{t,x0,y0) = @,0)} = {(*<,,2/b): Vo + "T = °> >
VT(@,0)) = {(zo,3/o): lim </>(*, *o,lfo) = @,0)} = {(x0, J/b): *o = 0, y0 G R}
Ws(@,0))
Abbildung 17 5
Es seien M und N zwei glatte Flächen des Rn und LXM bzw. LXN die entsprechenden Tangentialebenen
durch x an M bzw. TV. Die Flächen M und TV heißen transversal zueinander, wenn für alle x G M C\N
die folgende Beziehung gilt.
dim LXM + dim LXN -n = dim (LXM D LxiV).
¦ Für den in Abb. 17.5b dargestellten Schnitt gilt dim LXM = 2, dim LXN = 1 und dim (LXM D
LXN) = 0. Also ist der in Abb. 17.5b dargestellte Schnitt transversal.
2. Satz von Hadamard und Perron
Wichtige Eigenschaften der Separatrixflächen werden durch den Satz von Hadamard und Perron
beschrieben:
Sei 7 eine hyperbolische Ruhelage oder ein hyperbolischer periodischer Orbit von A7.1).
a) VFSG) und Wu('f) sind verallgemeinerte C-Flächen (d.h. immersierte Cr-Mannigfaltigkeiten), die
lokal wie Cr-glatte Elementarflächen aussehen Jeder Orbit von A7.1), der für t —? +oo oder t —> — oo
nicht gegen 7 strebt, verläßt eine hinreichend kleine Umgebung von 7 für t —> +00 oder t —> — 00
b) Ist 7 = £0 eine Ruhelage vom Typ (m, k), so sind VKs(x0) und Wu(x0) Flächen der Dimension m
bzw. k. Die Fläche Ws(x0) bzw VKu(xo) tangiert in xo den stabilen Untervektorraum
Es = {yeRn: eDf{xo)ty -? 0 für t -? +00} von £ = Df(x0)y A7.20a)
bzw. den instabilen Untervektorraum
Eu = {yeTin: eDf{xo)ty - 0 für i -? -00} von y = D/(a;o)y. A7.20b)
c) Ist 7 ein hyperbolischer periodischer Orbit vom Typ (m, k), so sind Ws(i) und ^G) Flächen der
Dimension m + 1 bzw. fc + 1, die sich längs 7 transversal schneiden (Abb. 17.6a)
¦ A: Für die Bestimmung einer lokalen stabilen Mannigfaltigkeit der Ruhelage @,0) der
Differentialgleichung A7.19a) wird der folgende Ansatz benutzt:
Wtoc(@,0)) = {(x,y): y = h(x),\x\ < A,/i: (-A,A) -? R differenzierbar}. Sei {x(t),y{t)) eine
Lösung von A7.19a), die in W£c(@,0)) liegt. Aufgrund der Invarianz für zu t benachbarten Zeiten s
ergibt sich y(s) = h(x(s)). Durch Differentiation und Darstellung von x und y über das System A7.19a)
ergibt sich für die unbekannte Funktion h(x) das Anfangswertproblem h'(x)(—x) = h(x)+x2, h@) = 0.
Über den Reihenansatz h(x) = —x2 + —xs H , in dem h'@) = 0 beachtet wurde, ergibt sich durch
Einsetzen und Koeffizientenvergleich a<i — —2/3 und a^ = 0 für k > 3.
832 17. Dynamische Systeme und Chaos
¦ B: Für das System
x = -y + x(l - x2 - y2), y = x + y(l - x2 - y2), z = az A7 21)
mit einem Parameter a > 0 ist 7 = {(cost, sint, 0), t € [0, 2n]} ein periodischer Orbit mit den
Multiplikatoren pi = e-47r, p2 = ea2n und p3 = 1.
In Zylinderkoordinaten x = r cos $,y = rsin,#,2: = 2: hat die Lösung von A7 21) mit Anfang (r0, $o, -^o)
zur Zeit t = 0 die Darstellung (r(t,r0), #(£,#0) > eQ*2;o), wobei r(£,ro) und ^(t^o) die Lösung von
A7 9a) in Polarkoordinaten ist. Damit ist
Ws(<y) = {(x,y,z)- z = 0} \ {@,0,0)} und Wu(~i) = {(x,y,z): x2 + y2 = 1} (Zylinder)
Die beiden Separatrixflächen sind in Abb. 17.6b zu sehen.
Abbildung 17 6
3. Lokale Phasenporträts nahe Ruhelagen für n = 3
Wir betrachten die Differentialgleichung A7.1) mit der hyperbolischen Ruhelage 0 für n = 3 Sei A =
Df@) und det[A£—A] = \3+p\2+q\+r das charakteristische Polynom von A Mit den Bezeichnungen
S — pq — r und A = — p2q2+4p3r+4q3 — 18pqr + 27r2 (Diskriminante des charakteristischen Polynoms)
sind die verschiedenen Ruhelagetypen in Tabellel7.1 aufgeführt.
4. Homokline und heterokline Orbits
Es seien 71 und 72 zwei hyperbolische Ruhelagen oder periodische Orbits von A7.1) Die
Separatrixflächen VFsGi) und Wu(j2) können sich schneiden Der Schnitt besteht dann aus ganzen Orbits. Für zwei
Ruhelagen oder periodische Orbits heißt jeder Orbit 7 C WsGi) fl Wu(^2) heteroklin, falls 71 ^ 72 ist
(Abb.17.7a). und homoklin, falls 71 = 72 Homokline Orbits von Ruhelagen heißen auch
Separatrixschleifen (Abb. 17.7b).
Abbildung 17 7
¦ Das LORENZ-System A7 2) wird bei festen Parametern o — 10,6 = | und veränderlichem r
betrachtet Die Ruhelage @,0,0) von A7 2) ist für 1 < r < 13,926... ein Sattel, der durch eine
zweidimensionale stabile Mannigfaltigkeit Ws und eine eindimensionale instabile Mannigfaltigkeit Wu
charakterisiert wird. Bei r = 13,926 .. bilden sich in @,0,0) zwei Separatrixschleifen, d.h., die beiden
Aste der instabilen Mannigfaltigkeit kehren für t —> +00 über die stabile Mannigfaltigkeit in den
Ursprung zurück (s. [17.14], [17.22]).
17 1 Gewöhnliche Differentialgleichungen und Abbildungen 833
Tabelle 17.1 Ruhelagetypen im dreidimensionalen Phasenraum
Parameterbereich
£>0; g>0,r >0
A
A<0
A>0
Typ der
Ruhelage
Stabiler
Knoten
Stabiler
Strudel
Nullstellen des
char. Polynoms
Im Xj = 0
A7 <0, j = 1,2,3
ReAiJ <0
A3<0
Dimension von
Ws bzw Wu
dimWs = 3, d\mWu
= 0
A<0
A>0
Parameterbereich
<5<0; r <0, g >0
A
A<0
A>0
Typ der
Ruhelage
Instabiler
Knoten
Instabiler
Strudel
Nullstellen des
char. Polynoms
ImAj = 0
A7 >0, j = 1,2,3
ReAi,2 > 0
A3>0
Dimension von
Ws hzvt.Wu
dimW = 0, d\mWu
= 3
A<0-
A>0:
Parameterbereich
ö>Q;r <0, q<0
oder r < 0 , q > 0
A
A<0
A>0
Typ der
Ruhelage
Sattelknoten
Sattelstrudel
Nullstellen des
char. Polynoms
ImAj = 0
Ai,2 < 0, A3 > 0
ReAi,2 < 0
A3>0
Dimension von
Ws bzw.Wu
dimW* = 2, d\mWu = 1
A<0
A>0:
Parameterbereich
S <0; r >0, g<0
oder r > 0 , q > 0
A
A<0
A>0
Typ der
Ruhelage
Sattelknoten
Sattelstrudel
Nullstellen des
char. Polynoms
ImXj = 0
Ai,2 > 0, A3 < 0
ReAi 2 > 0
A3'<0
Dimension von
Ws bzw.Wu
dimWs = l,dimW/u = 2
A<0.
't*
f*L±
A>0:
T7T
834 17. Dynamische Systeme und Chaos
17.1.2.5 Poincare-Abbildung
1. Poincare-Abbildung für autonome Differentialgleichungen
Sei 7 = {(p(t,xo), t G [0, T]} ein T-periodischer Orbit von A7.1) und E eine (n — l)-dimensionale
glatte Hyperfläche, die in x0 den Orbit 7 transversal schneidet (Abb.17.8a).
periodischer Orbit
Abbildung 17 8
Dann gibt es eine Umgebung U von xq und eine glatte Punktion r : U —> R mit t(x0) = T und
ip(r{x),x) G E für alle x G U. Die Abbildung P- U D E -+ E mit P(x) = y?(r(x),x) heißt PoiN-
CARE-Abbildung für 7 in x0 Ist die rechte Seite / von A7 1) r-mal stetig differenzierbar, so ist P
ebenfalls so oft differenzierbar. Die Eigenwerte der JACOBI-Matrix DP(xq) sind die Multiplikatoren
/0i,. ., pn-i des periodischen Orbits, hängen also nicht von der Wahl des Xq auf 7 und der Wahl der
transversalen Fläche ab Der PoiNCARE-Abbildung kann ein System A7.3) in M = U zugeordnet
werden, das erklärt ist, solange die Bildpunkte in U bleiben. Den Ruhelagen dieses zeitdiskreten
Systems entsprechen periodische Orbits von A7.1), und der Stabilität dieser Ruhelagen entspricht die
Stabilität der periodischen Orbits von A7.1).
¦ Für das System A7.9a) wird in Polarkoordinaten die transversale Hyperebene
ST = {(r,'d):r >0,tf = tf0}
betrachtet Für diese Ebene kann U = £ gewählt werden. Offenbar ist r(r) = 2tt (Vr > 0) und damit
P(r) = [1 + (r - 1) e7r]-1/2,
wobei die Lösungsdarstellung von A7 9a) genutzt wurde Es gilt weiter P(E) = E> -P(l) = 1 und
P'(l) = e-47r < 1
2. Poincare-Abbildung für nicht autonome zeitperiodische
Differentialgleichungen
Eine nichtautonome Differentialgleichung A7.11), deren rechte Seite / bzgl. t die Periode T besitzt,
d h , für die f(t + T, x) = f(t, i)VtGR, Vx e M gilt, wird interpretiert als autonome
Differentialgleichung x = f(s. x), s = 1 mit zylindrischem Phasenraum M x {s mod T} Sei s0 G {s mod T} beliebig
Dann ist E = M x {50} eine transversale Ebene (Abb. 17.8b) Die PoiNCARe-Abbildung ist global
als P E —> E über xo 1—>• ip(so + T, sq, xo) gegeben, wobei <p(t, s0, x0) die Lösung von A7 11) mit
Anfang xq zur Zeit So ist.
17.1.2.6 Topologische Äquivalenz von Differentialgleichungen
1. Definition
Gegeben sei neben A7 1) mit dem zugehörigen Fluß {y'}t€R eme weitere autonome
Differentialgleichung
x = g(x), A7.22)
wobei g: N —+ Rn eine auf der offenen Menge iVcRn gegebene Cr-Abbildung ist. Der Fluß {ipl}teR
von A7 22) möge ebenfalls existieren
Die Differentialgleichungen A7.1) und A7 22) (bzw. deren Flüsse) heißen topologisch äquivalent wenn
es einen Homöomorphismus h • M —? N gibt, (d.h., h ist bijektiv, h und h~l sind stetig), der die
Orbits von A7 1) in Orbits von A7 22) unter Beibehaltung der Orientierung, aber nicht unbedingt der
17 1 Gewöhnliche Differentialgleichungen und Abbildungen 835
Parametrisierung überführt Die Systeme A7.1) und A7 22) sind also topologisch äquivalent, wenn es
neben dem Homöomorphismus h' M —> N eine stetige Abbildung r RxM^R gibt, die bei jedem
fixierten x € M streng monoton wachsend ist, R auf R abbildet, für die r@, x) = 0 für alle x G M ist
und die der Beziehung h((pl(x)) = ißT^t,x\h(x)) für alle iGM und teR genügt.
Bei topologischer Äquivalenz gehen Ruhelagen von A7.1) in Ruhelagen von A7.22) und periodische
Orbits von A7 1) in periodische Orbits von A7.22) über, wobei die Perioden nicht unbedingt
übereinstimmen. Sind also zwei Systeme A7.1) und A7.22) topologisch äquivalent, so stimmt die topologische
Struktur der Zerlegung des Phasenraumes in Orbits überein Sind zwei Systeme A7 1) und A7 22)
topologisch äquivalent über den Homöomorphismus h M —> N und erhält h sogar die Parametrisierung,
d h . gilt h{ipt{x)) = ^(h^)) W, x , so heißen A7.1) und A7.22) topologisch konjugiert.
Topologische Äquivalenz bzw. Konjugiertheit kann sich auch auf Teilmengen der Phasenräume M und
JV beziehen. Ist z B. A7 1) auf Ux C M und A7.22) auf U2 C N definiert, so heißt A7.1) aufUi
topologisch äquivalent zu A7 22) aufU2, wenn ein Homöomorphismus h: U\ —* U2 existiert, der die Schnitte
der Orbits von A7 1) mit U\ in Schnitte der Orbits von A7 22) mit U2 unter Beibehaltung der
Orientierung überführt.
¦ A: Homöomorphismen für A7 1) und A7.22) sind Abbildungen, bei denen z.B. Strecken und
Stauchen der Orbits erlaubt ist, Aufschneiden und Schließen der Orbits dagegen nicht. Die zu den
Phasenporträts von Abb.17.9a und Abb.17.9b gehörenden Flüsse sind topologisch äquivalent; die zu
Abb.17.9a und Abb.17.9c gehörenden Flüsse dagegen nicht.
Abbildung 17 9
¦ B: Gegeben seien die beiden linearen ebenen Differentialgleichungen (s. [17.19])
x = Ax und x = Bx mit A = l _„ _. 1 und B = [ n _o) Die Phasenporträts dieser Systeme nahe
@,0) sind in Abb.17.10a bzw. Abb.17.10b zu sehen
Der Homöomorphismus h. R2 —? R2 mit h(x) = Rx, wobei R = —j= ( . , ] ist, und die Funktion
r . R x R2 —> R mit r{t,x) = | t überführen die Orbits des ersten Systems in Orbits des zweiten
Systems, so daß eine topologische Äquivalenz vorliegt.
b)
jr xi
Abbildung 17 10
2. Satz von Grobman und Hartman
Sei p eine hyperbolische Ruhelage von A7.1). Dann ist die Differentialgleichung A7 1) nahe p
topologisch äquivalent zu ihrer Linearisierung y = Df(p)y.
836 17. Dynamische Systeme und Chaos
17.1.3 Zeit diskret e dynamische Systeme
17.1.3.1 Ruhelagen, periodische Orbits und Grenzmengen
1. Typen der Ruhelagen
Es sei x0 eine Ruhelage von A7.3) mit M C Rn. Das lokale Verhalten der Iteration A7.3) nahe x0 wird,
unter gewissen Voraussetzungen, durch die Variationsgleichung yt+i = D(p(x0)yt, t G T, bestimmt
Besitzt Dip(xo) keinen Eigenwert Xi mit |Aj| = 1, so heißt die Ruhelage Xo , analog zum
Differentialgleichungfall, hyperbolisch. Die hyperbolische Ruhelage xq ist vom Typ (m, k), wenn Df(xo) genau m
Eigenwerte innerhalb und k = n — m Eigenwerte außerhalb des komplexen Einheitskreises besitzt Die
hyperbolische Ruhelage vom Typ (m, k) heißt für m = n Senke, für k = n Quelle und für m > 0 und
k > 0 Sattel. Eine Senke ist asymptotisch stabil; Quellen und Sattel sind instabil (Satz über Stabilität
in der ersten Näherung für zeitdiskrete Systeme).
2. Periodische Orbits
Sei 7B:0) = {<Pk(xo), k = 0, • • •, T - 1} ein T-periodischer Orbit (T > 2) von A7 3). Dann heißt 7B:0)
hyperbolisch, wenn xo eine hyperbolische Ruhelage der Abbildung ipT ist.
Die Matrix D(pT(xo) = D(p(ipT~l(xo)) • • • D(f(x0) heißt Monodromie-M&tnx, die Eigenwerte p{ von
D(pT(x0) sind die Multiplikatoren von 7B:0) •
Sind alle Multiplikatoren pi von 7B:0) vom Betrag kleiner 1, so ist der periodische Orbit 7B:0)
asymptotisch stabil.
3. Eigenschaften der u;-Grenzmenge
Jede u;-Grenzmenge uj(x) von A7.3) mit M = Rn ist abgeschlossen, und es gilt u(<p(x)) = u(x) Ist
der Semiorbit j+(x) beschränkt, so ist uj(x) ^ 0 und u(x) ist invariant unter ip. Analoge Eigenschaften
gelten für a-Grenzmengen.
¦ Gegeben sei auf R die Differenzengleichung xt+\ = —xti t = 0, ±1, • • •, mit (p(x) = —x Offenbar
sind für x = 1 die Beziehungen cjA) = {1, —1}, cü((p(l)) = u(—1) = u(l), und ip(u(\)) = u(l) erfüllt
Zu beachten ist, daß u(l), im Unterschied zum Differentialgleichungsfall, nicht zusammenhängend ist
17.1.3.2 Invariante Mannigfaltigkeiten
1. Separatrixflächen
Sei x0 eine Ruhelage von A7.3). Dann heißt Ws(x0) = {y G M: (pl{y) —? 2:0 für i —> +00} stabile
Mannigfaltigkeit und Wu(xo) = {y G M: <pl(y) —> 2:0 für i —> —00} instabile Mannigfaltigkeit von x0
Stabile und instabile Mannigfaltigkeiten heißen auch Separatrixflächen
2. Satz von Hadamard und Perron
Der Satz von Hadamard und Perron für zeitdiskrete Systeme in M c Rn beschreibt Eigenschaften
der Separatrixflächen:
Ist Xo eine hyperbolische Ruhelage von A7.3) vom Typ (m, k), so sind Ws(x0) und Wu(xo)
verallgemeinerte Cr-glatte Flächen der Dimension m bzw. k, die lokal wie Cr-glatte Elementarflächen aussehen
Die Orbits von A7 3), die für i —> +00 oder i —*• — od nicht gegen x0 streben, verlassen hinreichend
kleine Umgebungen von 2:0 für i —? +00 oder i —? — 00. Die Fläche Ws(xo) bzw. Wu(xq) tangiert in x0
den stabilen Untervektorraum Es = {y G Rn : [D(p(x0)]1 y —? 0 für i -^ —00} von yi+i = Dip(xo)yi
bzw. den instabilen Untervektorraum Eu = {y G Rn : [D(p(xo)]ly —> 0 für i —> —00} .
¦ Es wird das folgende zeitdiskrete dynamische System aus der Familie der HENON-Abbildungen
betrachtet*
xi+1 = x] + yt - 2, yi+1 =xuieZ. A7 23)
Die beiden hyperbolischen Ruhelagen von A7.23) sind Px = (y/2, \/2) und P2 = (--\/2, -y/2).
Bestimmung der lokalen stabilen und instabilen Mannigfaltigkeiten von P\: Mit der
Variablentransformation X* = f j + \/2, Vi = Vi + V% geht A7.23) in das System &+1 = t£ + 2\/2 ^ + 77*, ryi+i = ^ mit
111 Gewöhnliche Differentialgleichungen und Abbildungen 837
der Ruhelage @,0) über. Den Eigenwerten Ai>2 = V^ ± y/3 der JACOBI-Matrix Df (@,0))
entsprechen die Eigenvektoren a\ = (y/2 4- >/3,1) bzw a2 = (y/2 — >/3,1), so daß i?s = {ta2, tGR} und
£" = {taut e R} ist. Indem Ansatz W£c(@,0)) = {(£,//) V = /?@> Ifl < A^- (~A>A) ~> R
differenzierbar} wird ß als Potenzreihe /3(f) = (yfi-y/2)£+k£2 + - • • gesucht. Aus (&, r/0 G W^c(@,0))
folgt (&+i, 7/t+i) £ W£c(@j 0)) • Dies führt zu einer Bestimmungsgleichung für die Koeffizienten der
Zerlegung von ß, wobei A; < 0 ist. Der prinzipielle Verlauf der stabilen und instabilen Mannigfaltigkeit ist
in Abb.17.lla zu sehen (s [17 13]).
Abbildung 17 11
3. Transversale homokline Punkte
Die Separatrixflächen Ws(x0) und Wu(x0) einer hyperbolischen Ruhelage x0 von A7.3) können sich
schneiden Ist der Schnitt Ws(xo) D Wu(x0) transversal, so heißt jeder Punkt y G Ws(xo) n Wu(x0)
transversaler homokliner Punkt
Dabei gilt* Ist y transversaler homokliner Punkt, so besteht der Orbit {<pl(y)} des invertierbaren
Systems A7 3) nur aus transversalen homoklinen Punkten (Abb. 17.IIb).
17.1.3.3 Topologische Konjugiertheit von zeitdiskreten Systemen
1. Definition
Gegeben sei neben A7 3) ein weiteres zeitdiskretes System
xt+i = 1>(xt) A7.24)
mit iß: N —> N, wobei N cKn eine beliebige Menge und tp stetig ist (M und N können auch allgemein
metrische Räume sein) Die zeitdiskreten Systeme A7.3) und A7 24) (bzw. die Abbildungen </? und
ijj) heißen topologisch konjugiert, wenn ein Homöomorphismus (konjugierender Homöomorphismus)
h M —? N existiert, so daß (p = h~l o ip o h ist Sind A7.3) und A7.24) topologisch konjugiert, so
überfuhrt der konjugierende Homöomorphismus h die Orbits von A7.3) in Orbits von A7.24)
2. Satz von Grobman und Hartman
Ist <p in A7.3) ein Diffeomorphismus (/?: Rn —> Rn,x0 eine hyperbolische Ruhelage von A7.3), so ist
A7 3) nahe x0 topologisch konjugiert zur Linearisierung yt+i = Dtp(xo)yt ¦
17.1.4 Strukturelle Stabilität (Robustheit)
17.1.4.1 Strukturstabile Differentialgleichungen
1. Definition
Die Differentialgleichung A7 1), d h das Vektorfeld /: M —? Rn , heißt strukturstabil (oder robust),
wenn bei kleinen Störungen von / topologisch äquivalente Differentialgleichungen entstehen Die
präzise Definition der Strukturstabilität erfordert einen Abstandsbegriff zwischen zwei Vektorfeldern auf M .
! Wir beschränken uns auf die Betrachtung solcher glatter Vektorfelder auf M , die alle eine feste offene,
j beschränkte und zusammenhängende Menge U C M als absorbierende Menge besitzen. Der Rand dU
| von U sei eine glatte (n — l)-dimensionale Hyperfläche und sei darstellbar als dU = {x G Rn h(x) =
838 17. Dynamische Systeme und Chaos
0} , wobei h. Rn —> R eine C1-Funktion mit grad h(x) ^ 0 in einer Umgebung von dU ist Sei Xl(U)
der metrische Raum aller glatten Vektorfelder auf M , versehen mit der ^-Metrik
p(/, 9) = sup II f(x) - g(x) || + sup || Df(x) - Dg(x) ||. A7.25)
: SUP |
xeu
\+8uv\\Df(x)-Dg(x)
xeu
(Im ersten Term der rechten Seite bedeutet || • || die EuKLiDische Vektornorm, im zweiten die Opera-
tornorm.) Diejenigen glatten Vektorfelder /, die transversal den Rand dU in Richtung U schneiden,
d.h., für die grad h{x)Tf(x) ^ 0, (x G dU) und (pf(x) G U {x G dU,t > 0) gilt, bilden die Menge
X+(£/) C X^C/). Das Vektorfeld / G X+(E7) heißt strukturstabil, wenn es ein 5 > 0 gibt, so daß jedes
andere Vektorfeld g G X+(i7) mit p(/, g) < 6 topologisch äquivalent zu / ist.
¦ Betrachtet wird die ebene Differentialgleichung g(-, a)
x = — y + x(a -
¦y2), y = x + y{a-x2-y2)
A7 26)
mit einem Parameter a , wobei \a\ < 1 sei. Die Differentialgleichung g gehört z B zu Xj_(E/) mit U =
{(x,y): x2 + y2 < 2} (Abb.17.12a). Offenbar gilt p(g{-,0),g{-,a)) = \a\{V% + 1). Das Vektorfeld
g(-, 0) ist strukturell instabil, da beliebig nahe von g(-, 0) Vektorfelder existieren, die topologisch nicht
äquivalent zu #(•, 0) sind (Abb. 17.12b,c). Dies wird klar, wenn man zur Polarkoordinatendarstellung
r = —r3 + ar, i) = 1 von A7.26) übergeht. Für a > 0 existiert immer der stabile Grenzzyklus r = y/ä
b) a^O
c) a>0
Abbildung 17.12
2. Strukturstabile Systeme in der Ebene
Die ebene Differentialgleichung A7 1) mit / G Xj_(t/) sei strukturstabil. Dann gilt:
a) A7.1) hat nur eine endliche Anzahl von Ruhelagen und periodischer Orbits.
b) Alle cj-Grenzmengen u(x) mit x G U von A7.1) bestehen nur aus Ruhelagen und periodischen
Orbits.
Satz von Andronov und Pontryagin: Die ebene Differentialgleichung A7.1) mit / G Xj.(J7) ist
genau dann strukturstabil, wenn gilt: _
a) Alle Ruhelagen und periodische Orbits in U sind hyperbolisch
b) Es gibt keine Separatrizen (d.h. heterokline oder homokline Orbits), die aus einem Sattel kommen
und in einen Sattel münden.
17.1.4.2 Strukturstabile zeitdiskrete Systeme
Im Falle von zeitdiskreten Systemen A7.3), d h. von Abbildungen ip M —> M, sei U C M C Rn
eine beschränkte, offene und zusammenhängende Menge mit glattem Rand. Sei Diff1(C/) der metrische
Raum aller Diffeomorphismen auf M , versehen mit der bezüglich U definierten C1 -Metrik Die Menge
Diff+(C/) C Diff1 (U) bestehe aus denjenigen Diffeomorphismen ip, für die ip(U) C U gilt Die Abbildung
<p G Diff+([/) (und damit das dynamische System A7.3)) heißt strukturstabil, wenn es ein ö > 0 gibt,
so daß jede andere Abbildung tp G Diff+(C/) mit p(ip, ip) < 6 topologisch konjugiert zu <p ist
17 1 Gewöhnliche Differentialgleichungen und Abbildungen 839
17.1.4.3 Generische Eigenschaften
1. Definition
Eine Eigenschaft von Elementen eines metrischen Raumes (M, p) heißt generisch (oder typisch), wenn
die Gesamtheit der Elemente A von M mit dieser Eigenschaft eine Menge der zweiten B AlREschen
Kategorie bildet, d h eine Teilmenge B C A ist darstellbar als B = fU= 1,2, Bm , wobei jede Menge Bm
offen und dicht in M ist.
¦ A: Die Mengen R und I C R (irrationale Zahlen) sind Mengen der zweiten BAlREschen Kategorie,
Q C R dagegen nicht.
¦ B: Dichtheit allein als Merkmal des „Typischen" reicht nicht aus- Q C R und I C R sind beide
dicht, können aber nicht gleichzeitig typisch sein.
¦ C: Zwischen LEBESGUE-Maß A (s. 12.9.1,2., S 656) einer Menge aus R und der BAlREschen
Kategorie dieser Menge besteht kein Zusammenhang So ist (s. [17.21]) die Menge B = f| Bk mit
fc=l,2,
Bk = U (fln — TTTi an + ttt) ' wobei Q = {an}?L0 die rationalen Zahlen darstellt, eine Men-
n>o k 2n k2n
ge der zweiten BAlREschen Kategorie. Andererseits gilt wegen Bk D Bk+i und X(Bk) < +00 auch
X(B) = lim X(Bk) < lim \ —L- = 0
k—oo k^oo kl — 1/2
2. Generische Eigenschaften von ebenen Systemen, Hamilton-Systeme
Für ebene Differentialgleichungen ist die Menge aller strukturstabilen Systeme aus X+(E/) offen und
dicht in X\(U). Strukturstabile Systeme sind für die Ebene also typisch. Typisch ist also auch, daß
jeder Orbit eines ebenen Systems aus X\(U) für wachsende Zeiten gegen eine endliche Anzahl von
Ruhelagen und periodischer Orbits geht. Quasiperiodische Orbits sind nicht typisch. Unter bestimmten
Voraussetzungen bleiben aber bei HAMILTON-Systemen quasiperiodische Orbits bei kleinen Störungen
der Differentialgleichung erhalten. HAMILTON-Systeme sind also keine typischen Systeme.
¦ Gegeben sei im R4 das HAMILTON-System (in Winkel-Wirkungsvariablen)
3i = 0, 32 = 0, 0i = 1—, 02 = ir- ,
dj\ d32
wobei die HAMILTON-Funktion H0(ji,j2) analytisch ist Offenbar hat dieses System die Lösungen ji =
Ci,32 — C2, S\ = u\t + c3, ©2 = Lü2t + c4 mit Konstanten ci, , c4 , wobei u\ und lü2 von c\ und c2
abhängen können. Die Beziehung (ji, J2) = (ci,C2) definiert einen invarianten Torus T2 (s ¦ 1 in
17.1.2.3,1., S 827) Es wird nun anstelle von H0 die gestörte HAMILTON-Funktion
H0{juJ2) + eH1{j1,J2,OuO2)
betrachtet, wobei H\ analytisch und e > 0 ein kleiner Parameter sei.
Das Theorem von KOLMOGOROV-ARNOLD-MOSER (KAM- Theorem) sagt in dieser Situation aus,
/ d2H \
daß, falls Ho nichtdegeniert ist, d.h. det I 0 I ^ 0 gilt, für hinreichend kleine e > 0 im gestörten
V dJk )
HAMILTON-System die Mehrzahl der invarianten nichtresonanten Tori nicht verschwindet, sondern nur
leicht deformiert wird. Mehrzahl ist in dem Sinne zu verstehen, daß das LEBESGUE-Maß der bezüglich
der Tori gebildeten Komplementmenge gegen Null geht, wenn e gegen 0 geht. Ein oben definierter
Torus, charakterisiert durch u\ und U2 , heißt nichtresonant, wenn es eine Konstante c > 0 gibt, so daß
1^1 -El
1^2 q\
3. Nichtwandernde Punkte, Morse-Smale-Systeme
Sei {<^}f€R ein dynamisches System auf der n-dimensionalen kompakten orientierbaren
Mannigfaltigkeit M Der Punkt p € M heißt nichtwandernd bezuglich {y?*} , wenn für eine beliebige Umgebung
für alle positiven ganzen Zahlen p und q die Ungleichung
^gilt
840 17 Dynamische Systeme und Chaos
Up C M von p gilt-
VT>0 3 t, \t\>T <p'(tfp)nt7p^0. A7.27)
¦ Ruhelagen und periodische Orbits bestehen nur aus nichtwandernden Punkten.
Die Menge ft(^') aller nichtwandernden Punkte des von A7 1) erzeugten dynamischen Systems ist
abgeschlossen, invariant unter {</?*} und enthält alle periodischen Orbits und alle cj-Grenzmengen von
Punkten aus M.
Das dynamische System {(/?*}teR auf M, erzeugt durch ein glattes Vektorfeld, heißt Morse-Smale-
System, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind:
1. Das System hat endlich viele Ruhelagen und periodische Orbits und alle sind hyperbolisch
2. Alle stabilen und instabilen Mannigfaltigkeiten von Ruhelagen bzw periodischen Orbits sind
transversal zueinander.
3. Die Menge aller nichtwanderenden Punkte besteht nur aus Ruhelagen und periodischen Orbits
Satz von Palis und Smale: MORSE-SMALE-Systeme sind strukturstabil
Die Umkehrung des Satzes von Palis und Smale gilt nicht- Es existieren für n > 3 strukturstabile
Systeme mit unendlich vielen periodischen Orbits.
Für n > 3 sind strukturstabile Systeme nicht typisch.
17.2 Quantitative Beschreibung von Attraktoren
17.2.1 Wahrscheinlichkeitsmaße auf Attraktoren
17.2.1.1 Invariantes Maß
1. Definition, auf dem Attraktor konzentrierte Maße
Gegeben sei das dynamische System {ip^ter auf (M? p) • Sei B die cr-Algebra der BOREL-Mengen auf
M und sei fi. B —? [0, +oo] ein Maß auf B Jede Abbildung tp* wird als //-meßbar vorausgesetzt Das
Maß /i heißt invariant unter {y>*}ter ' wenn /i((^~<(^)) — M(^) fur alle A € B und t > 0 gilt. Ist das
dynamische System {(pl}ter invertierbar, so läßt sich die Eigenschaft eines Maßes, invariant unter dem
dynamischen System zu sein, auch als fj,(ipt(A)) = fi(A) (A G B, t > 0) ausdrücken. Das Maß ja heißt
auf der BOREL-Menge A C M konzentriert, wenn /i(M \ A) = 0 ist Ist also A ein Attraktor von
{(pl}ter und /x ein unter {ip1} invariantes Maß, so ist dieses auf A konzentriert, wenn fi{B) = 0 für jede
BOREL-Menge B mit A fl B = 0 ist
Der Träger eines Maßes \i. B —> [0, +oo], bezeichnet mit supp ji, ist die kleinste abgeschlossene
Teilmenge von M , auf der das Maß /i konzentriert ist.
¦ A: Betrachtet wird auf M = [0,1] die Modulo-Abbildung
xt+i = 2xt (mod 1) A7 28)
In diesem Fall ist p [0,1] —> [0,1] mit (p(x) = < 2 '_ i i /ö <- ~" < 1 '
Anhand der Definition sieht man, daß das LEBESGUE-Maß invariant unter der Modulo-Abbildung
ist. Schreibt man eine Zahl x G [0,1) als Dualzahl x = £ an - 2~n (an = 0 oder 1), so kann man
71=1
diese Darstellung mit x = . a^a^ ... identifizieren. Das Ergebnis der Operation 2x(mod 1) läßt sich
schreiben als a'^a'^ ... mit a!{ = ai+\, d h., alle Ziffern a^ werden um eine Stelle nach links verschoben
und die erste Ziffer fällt weg
¦ B: Die Abbildung #• [0,1] -? [0,1] mit
W{y) \2(l-y), l/2<y<l {U ZJ}
17.2 Quantitative Beschreibung von Attraktoren 841
heißt Zelt-Abbildung und hat ebenfalls das LEBESGUE-Maß als invariantes Maß Der Homöomorphis-
2
mus h. [0,1) —? [0,1) mit y = — aresin y/x überführt die Abbildung ip aus A7 5) mit a = 4 in A7.29).
7T
Damit besitzt A7 5) bei a = 4 ebenfalls ein invariantes Maß, das absolut stetig ist Für die Dichten
Pi(y) = 1 von A7.29) und p(x) von A7.5) bei a = 4 gilt dabei
pi(y) = p(h~1(y)y\(h~l)'(y)\. Hieraus ergibt sich sofort p(x) — —, .
7rJx(l — X)
¦ C: Ist xo ein stabiler Periodenpunkt der Periode T des invertierbaren zeitdiskreten dynamischen
1 T_1
Systems {ip1} , so ist p = — J^ <^(xD) em invariantes Wahrscheinlichkeitsmaß für {p1} . Dabei ist 5Xo
das in Xq konzentrierte DlRAC-Maß.
2. Natürliches Maß
Sei A ein Attraktor von {ip1 }t€r in M mit Einzugsgebiet W Für eine beliebige BOREL-Menge A CW
und einen beliebigen Punkt x0 e W wird die folgende Größe gebildet.
ß(A-Xo)-= lim *(T';^o). A7 30)
i —>oo ±
Dabei ist t(T, ^4, xq) jeweils der Teil der Gesamtzeit T > 0, in dem der Orbitabschnitt {(^*(xo)}^0 m
der Menge A liegt. Wenn für A-fast alle Xo aus W sogar /i(^4, xo) = a ist, wird als natürliches Maß
p(A) := p(A\ xo) gesetzt Da fast alle Orbits mit Anfang xo G W für t —> +oo gegen A streben, ist //
ein Wahrscheinlichkeitsmaß, das auf A konzentriert ist.
17.2.1.2 Elemente der Ergodentheorie
1. Ergodische dynamische Systeme
Ein dynamisches System {(pl}ter auf (M, p) mit invariantem Maß p heißt ergodisch (man sagt auch,
das Maß ist ergodisch), wenn für jede BOREL-Menge A mit ^{A) = A (W > 0) entweder p(A) = 0
oder p(M \ A) = 0 ist.
Ist {ip1} ein zeitdiskretes dynamisches System A7.3), ip\ M —? M ein Homöomorphismus, M ein
kompakter metrischer Raum, so existiert immer ein invariantes ergodisches Maß (Satz von BOGOLJUBOV-
Krylov)
¦ A: Gegeben sei mit einem Parameter # G [0,2ir] die Rotationsabbildung des Kreises S1
xt+i=xt + <P (mod27r), t = 0,l,.. , A7 31)
mit ip. [0,2ir) —> [0, 2tt) , definiert durch ip(x) = x + ^ (mod 27r) Das LEBESGUE-Maß ist invariant
$ ^
unter y?. Ist — irrational, so ist A7.31) ergodisch; ist — rational, so ist A7 31) nicht ergodisch
27T Z7T
¦ B: Dynamische Systeme mit stabilen Ruhelagen oder stabilen periodischen Orbits als Attraktoren
sind bezuglich des auf diesen Attraktoren konzentrierten natürlichen Maßes ergodisch.
Ergodensatz von Birkhoff: Das dynamische System {(p^ter sei auf M ergodisch bezüglich des
invarianten Wahrscheinlichkeitsmaßes p Dann stimmen für jede integrierbare Funktion h G Ll{M, B, p)
die Zeitmittel entlang des positiven Semiorbits {^(xq)}^ , d.h. h(xo) = lim — / h{(pt{xo)) dt für
-i n—1
Flüsse und h(x0) = lim - J^ h (ipl(x0)) für zeitdiskrete Systeme, für p-iast alle Punkte x0 G M mit
n_>oc n i=o
dem Raummittel J hdp überein.
M
2. Physikalische oder SBR-Maße
Die Aussage des Ergodensatzes ist nur dann brauchbar, wenn der Träger des Maßes p möglichst groß
ist Seien (p: M —> M eine stetige Abbildung, p- B —? R ein invariantes Maß. Man sagt (s [17.6]), daß
842 17. Dynamische Systeme und Chaos
p ein SBR-Ma/?ist (nach Sinai, Bowen und Ruelle), wenn für jede stetige Funktion h: M —? R die
Menge aller der Punkte xq G M , für die
1 n_1 r
lim - Y h((pl(x0)) = hdp A7 32a)
M
gilt, ein positives LEBESGUE-Maß hat. Dafür ist ausreichend, daß die Folge der Maße
Mn-=-£ <W) A732b)
71 *=0
für fast alle x G M schwach gegen p konvergiert, d.h für jede stetige Funktion h M —> R immer
/ /i dpn —> / /id/i für n —> +oo gilt
M M
¦ Für einige wichtige Attraktoren, so für den HENON-Attraktor, wurde die Existenz eines SBR-Maßes
nachgewiesen.
3. Mischende dynamische Systeme
Ein dynamisches System {</?*}ter auf (M, p) mit invariantem Wahrscheinlichkeitsmaß p heißt mischend
wenn lim p [An(f~t{B)) = p(A)p(B) für beliebige BOREL-Mengen A,BcM gilt Für ein mischen-
t—»+oo
des System hängt also das Maß der Menge aller Punkte, die bei t = 0 in A und für große t in B liegen,
nur vom Produkt p(A)p(B) ab.
Ein mischendes System ist auch ergodisch. Seien {ip1} ein mischendes System und A eine BOREL-Menge
mit ip'^A) = A (t > 0). Dann gilt p{AJ = lim p(^-t(Ä) n A) = p(A) und p(A) ist 0 oder 1
Ein Fluß {(£*} von A7 1) ist genau dann mischend, wenn für beliebige quadratisch integrierbare
Funktionen g, h G L2(M, B, p) die Beziehung
^ /W'(x)) - g}[h{x) -h}dp = 0 A7 33)
M
gilt Dabei bezeichnen g und /i die räumlichen Mittel, die durch die zeitlichen Mittel ersetzt werden
¦ Die Modulo-Abbildung A7 28) ist mischend. Die Rotationsabbildung A7 31) ist bezüglich des
Wahrscheinlichkeitsmaßes A/27T nicht mischend
4. Autokorrelationsfunktion
Das dynamische System {ip^ter auf M mit invariantem Maß p sei ergodisch. Es seien h. M —> R eine
beliebige stetige Funktion, {^(^)}*>o ein beliebiger Semiorbit und das räumliche Mittel h sei ersetzt
1 fT
durch das zeitliche Mittel, d.h durch lim — / hi^ix^dt im zeitkontinuierlichen Fall und durch
T->oo T Jo
1 n— 1
lim — ^2 h (ipl(x)) im zeitdiskreten Fall. Bezüglich h wird die Autokorrelationsfunktion längs des Se-
miorbits {^(^)}t>o zu einem Zeitpunkt r > 0 für einen Fluß durch
1 T
Ch(r)= hm - fh(ipt+T(x))h(^(x))dt-h2 A734a)
7 —>oo ± J
0
und für ein zeitdiskretes System durch
Ch{r) = lim ± £> (<^+r(x)) /i (^(z)) - P A7.34b)
n-»oo 77, ^_o
definiert Die Autokorrelationsfunktion wird auch für negative Zeiten erklärt, indem Ch( ) als gerade
Funktion auf R bzw. Z aufgefaßt wird.
17.2 Quantitative Beschreibung von Attraktoren 843
Periodische oder quasiperiodische Orbits führen zu einem periodischen bzw quasiperiodischen
Verhalten von Ch . Ein schneller Abfall von Ch(r) für wachsende r und beliebiger Testfunktion h deutet auf
chaotisches Verhalten hin Fällt Ch(t) für wachsende r sogar mit exponentieller Geschwindigkeit, so
ist dies ein Anzeichen für mischendes Verhalten
5. Leistungsspektrum
Die FOURIER-Transformierte von Ch(t) heißt Leistungsspektrum (s auch 15.3.1 2,5., S. 749) und wird
+oo
mit Ph(uj) bezeichnet. Im zeitkontinuierlichen Fall ist, unter der Voraussetzung / |C/i(t)|c/t < oo.
+oo oo -°°
Ph(uj) = f Ch(T)e~[uJT dr = 2J Ch(r) cos(wt) dr . A7 35a)
-oo , 0
+00
Im zeitdiskreten Fall ist, falls E |C^,(A;)| < +oo gilt,
k——oo
Ph(u) = Ch{0) 4- 2 £ Ch{k) coscük A7.35b)
Liegt die absolute Integrierbarkeit bzw. Summierbarkeit von Ch(-) nicht vor, kann in wichtigen Fällen
Ph als Distribution aufgefaßt werden. Periodischen Bewegungen eines dynamischen Systems entspricht
ein Leistungsspektrum, das durch äquidistante Impulse charakterisiert ist. Bei quasiperiodischen
Bewegungen treten im Leistungsspektrum Impulse auf, die sich aus ganzzahligen Linearkombinationen
der Grundimpulse der quasiperiodischen Bewegung ergeben Ein „breitbandiges Spektrum mit
einzelnen Spitzen" kann dagegen als Indikator für chaotisches Verhalten gelten
¦ A: Seien ip ein T-periodischer Orbit von A7 1), h eine Testfunktion, so daß das zeitliche Mittel von
h((p(t)) Null ist, und habe h{<p(t)) die FOURIER-Darstellung h{ip(t)) = Y,k™-oo akeikuot mit lü0 = ^
Dann ist Ch{r) = Eg°-oo K|2 cos{ku0r) und Ph(u) = 2tt E£°-oo M2S{lj - ku0), wobei 6 die 6-
Distribution bezeichnet.
¦ B: Seien <p ein quasiperiodischer Orbit von A7 1), h eine Testfunktion, so daß das zeitliche Mittel
entlang ip Null ist, und habe h((p(t)) die Darstellung (zweifache FOURIER-Reihe) h(ip(t)) =
E£~-oo Zt™-oo afclfcae^^+^)'. Dann ist Ch(r) = £+£_„ £+"_„ K*2|2 ^(k^ +k2u2)r und
Ph(u>) = 27T EK-oo EK-oo \<Xklk2\2Ö(u - k^ - k2U2)
17.2.2 Entropien
17.2.2.1 Topologische Entropie
Sei (M, p) ein kompakter metrischer Raum und {ipk}ker ein stetiges dynamisches System mit diskreter
Zeit auf M Für beliebiges nGN wird eine Abstandsfunktion pn auf M durch
Pn{x, V) := max p (^(x), ^(j/)) A7.36)
0<t<n
definiert. Sei weiter N(s,pn) die größte Anzahl von Punkten aus M , die mindestens einen Abstand in
der Metrik pn von e zueinander haben Die topologische Entropie des zeitdiskreten dynamischen
Systems A7 3) bzw. der Abbildung ip ist h(ip) = lim limsup — In N(e, pn) Die topologische Entropie ist
£—0 n->oo n
ein Maß für die Komplexität der Abbildung Sei (Mi, pi) ein weiterer kompakter metrischer Raum und
(pi Mi —? Mi eine stetige Abbildung Sind dann die beiden Abbildungen ip und ipi topologisch
konjugiert, so stimmen ihre topologischen Entropien überein Insbesondere hängt die topologische Entropie
nicht von der Metrik ab Für beliebiges n € IN gilt h (ipn) = nh (ip). Ist p> sogar ein Homöomorphismus,
so gilt h (ipk) = \k\ h ((p) für alle k G Z Auf Grund der letzten Eigenschaft definiert man für einen Fluß
tp* = ip(t, •) von A7 1) auf M C Rn die topologische Entropie über hfo*) := h (ip1).
17.2.2.2 Metrische Entropie
t Sei {ipl}ter ein dynamisches System auf McRn mit dem Attraktor A und einem auf A konzentrierten
invarianten Wahrscheinlichkeitsmaß /x Für beliebiges e > 0 seien Qi(e),..., Qn(e){£) die Würfel der
!
I
844 17. Dynamische Systeme und Chaos
Form {(xi,..., xn) : ki£ < X{ < (ki + \)e (i = 1,2,..., n)} mit ki G Z, für die fi(Qi) > 0 ist Für
beliebiges x aus einem Qi wird der Semiorbit {^(^OJSo fur wachsende t verfolgt In Zeitabständen von
r > 0 (r = 1 in zeitdiskreten Systemen) werden jeweils TV-mal hintereinander die Nummern iu .i\
der Würfel notiert, in denen sich der Semiorbit befindet. Sei Eix if1 die Menge aller Startwerte nahe A,
deren Semiorbits zu den Zeitpunkten U = ir (i = 1,2, , N), jeweils in Qix,..., QiN liegen und sei
p{i\,'' •, *at) = M-^n, jN) die Wahrscheinlichkeit dafür, daß ein (typischer) Startwert in Eiu jijv liegt.
Die Entropie gibt den Zuwachs an Information an, den ein Versuch im Mittel liefert, der anzeigt, welches
Ereignis aus einer endlichen Anzahl disjunkter Ereignisse wirklich eingetreten ist In der vorliegenden
Situation ist dies
HN = - Y^ Vihr'-^N) In p (zi,---,iAr), A7 37)
(*i, An)
wobei über alle Symbolfolgen (ii, • • , ijv) der Länge N summiert wird, die durch Orbits in der oben
beschriebenen Weise realisiert werden.
Die metrische Entropie oder KOLMOGOROV-S IN AI- Entropie hß des Attraktors A von {ip1} bezüglich
TJ
des invarianten Maßes a ist die Größe hu = lim lim —— (Für zeitdiskrete Systeme entfällt der Grenz-
wert für e —> 0.) Für die topologische Entropie h((p) von ip: A —» A gilt hß < h((f) In vielen Fällen ist
h(ip) = sup{/iM: /x-invariantes Wahrscheinlichkeitsmaß auf A}
¦ A: Sei A = {xo} eine stabile Ruhelage von A7.1) als Attraktor, versehen mit dem in xo
konzentrierten natürlichen Maß /i. Bezuglich dieses Attraktors ist /iM = 0
¦ B: Für die Shift-Abbildung A7 28) gilt h(cp) = hß = In 2 , wobei /i das invariante LEBESGUE-Maß
sei.
17.2.3 Lyapunov—Exponenten
1. Singulärwerte einer Matrix
Sei L eine beliebige Matrix vom Typ (n, n). Die Singulärwerte V\ > a2 > • • • > on von L sind die
nichtnegativen Wurzeln der Eigenwerte a\ > • • • > an > 0 der positiv semidefiniten Matrix LTL Die
Eigenwerte a; sind, ihrer Vielfachheit entsprechend, angeführt.
Die Singulärwerte lassen sich geometrisch interpretieren Ist K£ eine Kugel mit Mittelpunkt in 0 und
Radius e > 0, so ist das Bild L(Ke) ein Ellipsoid mit den Halbachsenlängen OiE (i = 1,2,. . ,n)
(Abb.17.13a).
r^
fl> (xo)
~y(t,x0,ev)
\^y K_Sy \£v yP(xo+ev)
a)
Abbildung 17.13
2. Definition der Lyapunov-Exponenten
Sei {ip^tzr ein glattes dynamisches System auf M C Rn , das einen Attraktor A mit einem dort
konzentrierten invarianten ergodischen Wahrscheinlichkeitsmaß /i hat. Für beliebige t > 0 und x G A seien
&\{t, x) > • • • > an(t, x) die Singulärwerte der JACOBI-Matrix D(pt(x) von ip1 im Punkt x . Dann
existiert eine Folge von Zahlen Ai > • • • > An , die Lyapunov-Exponenten, so daß - In ai(t, x) —> A; für
t —*¦ +oo //-fast überall im Sinne von L1 gilt. Nach dem Satz von Oseledec existiert //-fast überall
eine Folge von Teilräumen des Rn
R" = £* 3 ££ D • • • D El+1 = {0} , A7 38)
17 2 Quantitative Beschreibung von Attraktoren 845
so daß für //-fast alle x die Größe - In \\D(pl (x)v\\ gleichmäßig bezüglich v € E*. \ E% gegen ein
Element XSj G {Ai,..., An} strebt
3. Berechnung der Lyapunov-Exponenten
Die Formel Xi(x) = ^m SUP ~ m ^*(*»x)» wobei ai(t, x) wieder als Halbachsenlängen eines aus der Ein-
t—>oo t
heitskugel mit Mittelpunkt x durch Deformation mit D^pt(x) hervorgegangenen Ellipsoids interpretiert
werden können, kann zur Berechnung der LYAPUNOV-Exponenten benutzt werden, wenn außerdem
noch Reorthonormalisierungsverfahren, wie das von HOUSHOLDER, herangezogen werden. Die
Funktion y(t, x, v) = D(pl(x)v ist Lösung der zum Semiorbit 7+(x) des Flusses {<£*} gehörigen
Variationsgleichung mit Anfang v zur Zeit t = 0 In der Tat, ist {(/?*}iGR der Fluß von A7 1), so lautet die
Variationsgleichung y = Df{(pt(x))y Die Lösung dieser Gleichung mit Anfang v zur Zeit t = 0 ist darstellbar als
y(t,x,v) = <Px(t)v , wobei $x(t) die bei t = 0 normierte Fundamentalmatrix der Variationsgleichung
ist, die, nach dem Satz über die Differenzierbarkeit nach den Anfangszuständen (s. 17.1.1 1,2., S 821),
Lösung der Matrix-Differentialgleichung Z = Df((pt(x))Z mit Anfang Z@) = En ist.
Die Zahl \(x, v) = lim sup - In ||£)(/?*(x)?;|| beschreibt das Verhalten der Orbits 7B; + ev), 0 < e <C 1,
mit Anfang x + ev bezüglich des Ausgangsorbits 7@;) in der Richtung v Ist \{x, v) < 0 , so heißt dies,
daß in Richtung v für wachsende t eine Annäherung der Orbits stattfindet, ist dagegen x(x,v) > 0 , so
entfernen sich die Orbits (Abb.17.13b)
Für die Summe aller LYAPUNOV-Exponenten von {^}ter mit dem Attraktor A und dem dort
konzentrierten invarianten Maß /i gilt für //-fast alle x G A im Falle eines Flusses von A7.1) Formel A7 39a)
und für ein zeitdiskretes System A7 3) Formel A7.39b)
1 * n -, fc-l
V Xi = lim - / divf{<ps(x))ds, A7.39a) Y \ = lim - Y ln I det D<P(<P%(x))\ • A7.39b)
n
In dissipativen Systemen gilt also J2 Xi < 0. Dies, zusammen mit der Tatsache, daß für Flüsse einer
*=i
der LYAPUNOV-Exponenten Null ist, falls der Attraktor keine Ruhelage ist, gestattet Vereinfachungen
bei der Berechnung der LYAPUNOV-Exponenten (s [17 16])
¦ A: Sei x0 eine Ruhelage des Flusses von A7 1) und seien a{ die Eigenwerte der JACOBI-Matrix in
xq . Mit dem in x0 konzentrierten Maß gilt für die LYAPUNOV-Exponenten Aj = Re en* (i = 1,2,..., n)
¦ B: Sei 7B:0) = {^(xo), t G [0, T]} ein T-periodischer Orbit von A7.1), und es seien pi die
Multiplikatoren von 7B:0) Mit dem in 7B:0) konzentrierten Maß gilt Xi = A/T) ln \pi\ für i = 1,2 , n.
4. Metrische Entropie und Lyapunov-Exponenten
Ist {ip1 }ter ein dynamisches System auf M C Rn mit dem Attraktor A und einem auf A konzentrierten
ergodischen Wahrscheinlichkeitsmaß /i, so gilt für die metrische Entropie h^ die Ungleichung
hfji < E Aj, wobei die LYAPUNOV-Exponenten entsprechend ihrer Vielfachheit aufgeführt werden
Ai>0
Die Gleichheit /i„ = J2 \ (PESiNsche Formel) gilt im allgemeinen nicht (s. auch 17.2.4.4, ¦ B, S.
Ai>0
851). Ist das Maß /i allerdings absolut stetig bezüglich des LEBESGUE-Maßes und tp: M —> M ein
C2-Diffeomorphismus, so gilt die PESiNsche Formel
17.2.4 Dimensionen
17.2.4.1 Metrische Dimensionen
1. Fraktale
Attraktoren oder andere invariante Mengen von dynamischen Systemen können geometrisch
komplizierter als Punkt, Linie oder Torus aufgebaut sein Fraktale sind, auch unabhängig von einer
Dynamik, Mengen, die sich durch eines oder mehrere Merkmale wie Ausfransung, Porosität, Komplexität,
846 17 Dynamische Systeme und Chaos
Selbstähnlichkeit auszeichnen. Da der übliche Dimensionsbegriff, wie er für glatte Flächen und Kurven
gebraucht wird, für Fraktale nicht anwendbar ist, müssen verallgemeinerte Definitionen der Dimension
herangezogen werden Eine ausführlichere Darstellung der Dimensionstheorie s [17 8], [17 20], [17 4]
¦ Das Intervall Gq = [0,1] wird in drei Teilintervalle gleicher Länge geteilt und das mittlere offene
Drittel entfernt, so daß die Menge G\ = [0, |] U [|, 1] entsteht. Dann werden von den beiden
Teilintervallen von Gi die jeweils mittleren offenen Drittel entfernt, so daß die Menge G<i = [O, §1 U [|, |] U
11,11 U [§, ll entsteht Diese Prozedur wird mit Gk fortgesetzt, indem aus jedem Teilintervall von Gfc_!
das mittlere offene Drittel entfernt wird Dadurch entsteht eine Folge von Mengen Gq D Gi D • D
Gn D • • •, wobei jedes Gn aus 2n Intervallen der Länge — besteht.
3n
Die CANTOR-Men^e C kann als Beispiel für ein Fraktal dienen; sie ist definiert als Menge aller der
oo
Punkte, die allen Gn angehören, d.h., C = f] Gn Die Menge C ist kompakt, überabzählbar, hat das
n=l
LEBESGUE-Maß Null und ist perfekt (d.h., C ist abgeschlossen, und jeder Punkt ist Häufungspunkt).
2. Hausdorff-Dimension
Die Motivation für diese Dimension ergibt sich aus der Volumenberechnung durch das LEBESGUE-Maß.
Wird eine beschränkte Menge AcR mit einer Überdeckung aus einer endlichen Anzahl Kugeln BTi
mit Radius r* < e versehen, so daß also Ui Bri D A gilt, erhält man für A das „Rohvolumen" J2 ^irrf
Bildet man nun über alle endlichen Überdeckungen von A durch Kugeln mit Radius r» < e die Größe
He{A) = inf-JX |7rrf} und läßt £ gegen Null gehen, so ergibt sich das äußere LEBESGUE-Maß X(A) von
A, das für meßbare Mengen mit dem Volumen vo\(A) übereinstimmt
Es seien M der EUKLiDische Raum Rn oder, allgemeiner, ein separabler metrischer Raum mit Metrik
p und Ad M eine Teilmenge. Für beliebige Parameter d > 0 und e > 0 wird die Größe
fidAA) = inf \ OdiarrLß0d • A c U Bi' diamßi < e > A7.40a)
gebildet, wobei Bi C M beliebige Teilmengen mit Durchmesser diamßi = sup p(x, y) sind
x,yGBi
Das äußere HAUSDORFF-Ma/? zur Dimension d von A wird durch
pd(A) = lim ud,£{A) = suppd,e{A) A7 40b)
£-+° e>0
definiert und kann endlich oder unendlich sein. Die HAUSDORFF-Dimension dn(A) der Menge A ist
dann der (einzige) kritische Wert des HAUSDORFF-Maßes
dH(A) = {
_ J +oo, falls Pd{A) ^ 0 für alle d > 0 ist,
inf{d > 0- ßd(A) = 0} .
A7 40c)
Bemerkung: Die Größen p,d,£(A) können auch mit Hilfe von Überdeckungen aus Kugeln vom Radius
t% < £ oder, im Falle des Rn , aus Würfeln der Kantenlänge < e gebildet werden.
Wichtige Eigenschaften der Hausdorff-Dimension:
(HD1) dnüb) = 0.
(HD2) Ist A C Rn, so gilt 0 < dH(A) < n.
(HD3) Aus AGB CM folgt dH(A) < dH{B).
(HD4) Ist Ai C M, i = 1,2,..., A = U£i A, so gilt dH(A) = sup^ dH{Ai)
(HD5) Ist A endlich oder abzählbar, so ist dn(A) = 0
(HD6) Ist (p: M —> M LiPSCHiTZ-stetig (d h existiert eine Konstante L > 0 mit p((f(x), y>(y)) <
Lp(x,y),\/x,y £ M), so gilt dn((p(A)) < o)h(A) Existiert die inverse Abbildung ip~l und ist diese
ebenfalls LiPSCHiTZ-stetig, so ist sogar dn(A) = dfi{(p{A))
17.2 Quantitative Beschreibung von Attraktoren 847
¦ Für die Menge Q aller rationalen Zahlen gilt wegen (HD5) d#(Q) = 0. Für die CANTOR-Menge
CistdH{C) = j^? «0,6309....
3. Kapazitätsdimension
Sei A im weiteren eine relativ kompakte Menge des metrischen Raumes (M, p) und sei Ne(A) die
minimale Anzahl von Mengen vom Durchmesser < e , die nötig ist, um A zu überdecken. Die Größe A7 41a)
heißt obere Kapazitätsdimension oder fraktale Dimension, die Größe A7.41b) untere
Kapazitätsdimension von A •
dc(A) = limsup
£-»0
\nN£(A)
ln± '
A7 41a)
dc(A) = liminf
In N£(A)
lni "
A7.41b)
Gilt dc(A) = dc(A) •= dc{A), so heißt dc{A) Kapazitätsdimension von A
Für eine beschränkte Menge AcR" kann in den obigen Definitionen die Zahl N£(A) auch
folgendermaßen definiert werden: Der Rn wird mit einem Gitter aus n-dimensionalen Würfeln der Seitenlänge
e überdeckt Dann kann für N£(A) die Anzahl der Würfel des Gitters, die A schneiden, genommen
werden.
Wichtige Eigenschaften der Kapazitätsdimension.
(KD1) Es gilt immer dH{A) < dc(A) < dc{A).
(KD2) Für m-dimensionale glatte und beschränkte Flächen FcRn ist dn(F) = dc{F) = m.
(KD3) Mit der Abschließung ~A von A gilt dc{A) = dc(Ä), während oft dH(A) < dH(Ä) ist.
(KD4) Ist A = (J An, An C M, n = 1,2,.. , relativ kompakt, so gilt für die Kapazitätsdimension im
n
allgemeinen nicht dc(A) = sup dc{An).
n
¦ Sei A = {0,1,1/2,1/3,...} . Dann gilt dH{A) = 0 und dc(A) = 1/2 .
Ist A die Menge aller rationalen Punkte in [0,1], so gilt wegen KD2 und KD3 dc(A) = 1 Andererseits
ist dH{A) = 0
4. Selbst ähnlichkeit
Einer Reihe geometrischer Figuren, die man selbstähnlich nennt, liegt folgende Entstehungsprozedur
zugrunde- Eine Ausgangsfigur wird durch eine neue Figur ersetzt, die aus p mit dem Faktor q > 1
linear skalierten Kopien der Ausgangsfigur besteht. Alle im k-ten Schritt vorhandenen fc-fach skalierten
Ausgangsfiguren werden jeweils wie im ersten Schritt behandelt.
A BA:
*J^J w\_, CANTOR-Menge: p = 2 , q = 3 .
¦ B: KoCHsche Kurve: p = 4, q = 3. Die ersten
Abbildung 17.14 3 Schritte sind in Abb.17.14 zu sehen.
¦ C: SiERPiNSKl-Drachen: p = 3, q =
2. Die ersten 3 Schritte zeigt Abb. 17.15.
(Die weißen Dreiecke werden jeweils
entfernt.)
¦ D: SlERPlNSKl-Teppich: p = 8, q =
3. Die ersten 3 Schritte zeigt Abb. 17.16.
(Die weißen Quadrate werden entfernt.)
Für die unter A - D genannten Mengen
\np
Abbildung 17.15
^^#^^^
W\%A\?8A\2l
ÄÄi
Bt PH
'^^'^^A
WWreWw
®MM%M%
gilt dc = dH =
Abbildung 17.16
mg '
848 17. Dynamische Systeme und Chaos
17.2.4.2 Auf invariante Maße zurückgehende Dimensionen
1. Dimension eines Maßes
Sei ji ein Wahrscheinlichkeitsmaß in (M, p), konzentriert auf A. Ist x G A ein beliebiger Punkt, Bs(x)
die Kugel mit Radius 6 und Mittelpunkt x , so bezeichnen A7 42a) und A7.42b) die obere und die untere
punktweise Dimension:
3„(z) = limsup^4¥^' A7-42a) ^(x) = liminfln^Bf)). A7 42b)
Ist dß(x) = dß(x) := c?M(x), so heißt ofM(x) Dimension des Maßes fi'mx.
Satz I von Young: Gilt für /i-fast alle x G A die Beziehung d^{x) = a, so ist
a = <M/x):= inf {<*„(*)}. A7 43)
XCA,fx(X)=l
Die Größe d//(/z) heißt Hausdorff-Dimension des Maßes fi
¦ Es sei M = Rn , und es sei A C Rn eine kompakte Kugel mit dem LEBESGUE-Maß A(A) > 0 Für
die Einschränkung von /i auf A gelte /2a — Dann ist fi(Bs(x)) ~ <5n und d//(/i) = n
A(A)
2. Informationsdimension
Der Attraktor A von {(pt}ter sei wie in A7 2.2.2) mit Würfeln Qi(e),. .. Qn(e)(e) der Seitenlänge e
überdeckt Sei /i ein invariantes Wahrscheinlichkeitsmaß auf A
Die Entropie der Zerlegung £?i(e), .., Qn(e)(e) ist
n(e)
#(e) = -J^PiOOlnpifc), wobei pi(e) = ^(Qi(e)), i = 1, ..,n(e) A7 44)
t=i
/-//Vi
gesetzt wurde Existiert der Grenzwert di(n) = — lim , so hat diese Größe die Eigenschaft einer
Dimension und wird Informationsdimension genannt.
Satz II von Young: Gilt für jz-fast alle x G A die Beziehung dß(x) = a, so ist
a = dH(ß) = dI(ß) A7 45)
¦ A: Das Maß \x sei auf einer Ruhelage x0 von {tp1} konzentriert. Da für e > 0 immer H£(/i) =
-1 In 1 = 0 ist, gilt d7(/x) = 0 .
¦ B: Das Maß fi sei auf einem Grenzzyklus von {ip1} konzentriert. Für e > 0 ist H£(fi) = — Ine und
deshalb d/(/i) = 1.
3. Korrelat ionsdimension
Es seien {</?*}<er ein zeitdiskretes dynamisches System auf M C Rn, A C M ein Attraktor und /i ein
auf A konzentriertes invariantes Wahrscheinlichkeitsmaß. Für x G A wird der Semiorbit {^(^OJjuo
betrachtet. Sind N G IN und e > 0 beliebig, so heißt
C(x,e,N) = —card{(i,j) • 0 < ij < N, dist ^i(x),ipj(x)) < e} A7 46a)
Korrelationssumme.
Nach dem Satz von Pesin-Tempelman existiert, falls /i ergodisch ist, für \i fast alle x G A der
Grenzwert
<M/i) = lim lim ]nC^N) A7 46b)
Avrv £-,on-cx> Ine
der Korrelationsdimension von // genannt wird
17 2 Quantitative Beschreibung von Attraktoren 849
4. Verallgemeinerte Dimension
Der Attraktor A von {<^}*<=r auf M mit invariantem ergodischem Wahrscheinlichkeitsmaß fi wird wie
in A7 2.2.2) mit Würfeln der Seitenlänge e überdeckt. Für einen beliebigen Parameter gGR,g/l
heißt
Hq(e) = -^ In J>(e)« mit Pi(e) = ßiQ^e)) A7.3a)
verallgemeinerte Entropie q-ter Ordnung bezüglich der Zerlegung Qi(e),..., Qn(£)(e).
Die Renyi-Dimension q-ter Ordnung ist
dq = - lim 4^ , ' A7.3b)
e^O In £
falls dieser Grenzwert existiert
Sonderfalle der Renyi-Dimension:
l.g = 0: d0 = dc(supp/i). A7 4a) 2. g = 1 di = lim d9 = d7(/i) A7 4b)
3. q = 2 d2 = dK(/x). A7.4c)
5. Lyapunov—Dimension
Sei {ipl}ter ein glattes dynamisches System auf M C Rn mit Attraktor A (bzw invarianter Menge) und
mit auf A konzentriertem invariantem ergodischem Wahrscheinlichkeitsmaß. Sind Ai > A2 > • • • > An
k fc+1
die LYAPUNOV-Exponenten bezüglich /i und ist k der größte Index, für den Yl K > 0 und J2 Aj < 0
*=1 i=l
ist, so heißt die Größe
|Afc+i|
Lyapunov-Dimension des Maßes \i.
n
Ist J2 Xi > 0, so wird g?l(aO = n gesetzt; ist Ai < 0 , wird di{ß) = 0 definiert.
t=i
Satz von Ledrappier: Es seien {</?*} ein zeitdiskretes System A7.3) auf M C Rn mit einer C2-
Funktion (p und fi, wie oben, ein auf dem Attraktor A von {<£*} konzentriertes invariantes ergodisches
Wahrscheinlichkeitsmaß. Dann gilt dn(ß) < d^ß),
¦ A: Der Attraktor A C R2 eines glatten dynamischen Systems {ip1} werde mit Ne Quadraten der
Seitenlänge e überdeckt. Es seien a\ > 1 > cr2 die gemittelten Singulärwerte von Dip. Dann gilt für
das dc-dimensionale Volumen des Attraktors m^ ~ N£ • edc . Aus jedem Quadrat der Seitenlänge
e entsteht unter tp näherungsweise ein Parallelogramm mit a2e und 0\£ als Seitenlänge. Nimmt man
Überdeckungen aus Rhomben mit der Seitenlänge a2£ , so ist Na2£ ~ N£— . Aus der Beziehung
02
N££dc ~ Nao£(£o-2)dc erhält man sofort cfc? — 1 — \ = 1 + 77—r • Diese heuristischen Überlegungen
ln<72 |A2|
geben also einen Hinweis auf die Herkunft der Formel für die LYAPUNOV-Dimension.
¦ B: Gegeben sei das HENON-SystemA7.6) mit a = 1,4 und b = 0,3. Das System A7.6) besitzt bei
diesen Parametern einen Attraktor A (Henon-Attraktor) mit komplizierter Struktur. Die numerisch
bestimmte Kapazitätsdimension ist dc(A) ~ 1,26. Für den Henon-Attraktor A läßt sich ein SBR-
Maß nachweisen. Für die LYAPUNOV-Exponenten Ai und A2 gilt Ai + A2 = In | detDip(x)\ = In6 =
InO, 3 ~ —1,204 Mit dem numerisch ermittelten Wert Ai ~ 0,42 ergibt sich A2 ~ — 1,62 . Damit ist
0 42
<fe(/i)* 1 + ^*1,26
850 11. Dynamische Systeme und Chaos
17.2.4.3 Lokale Hausdorff-Dimension nach Douady-Oesterle
Sei {v?*}t€r ein glattes dynamisches System auf McR" und A C M eine kompakte invariante Menge
Ein beliebiges t0 > 0 werde fixiert und # .= (pto gesetzt
Satz von Douady und Oesterle: Seien (Ji(x) > • • • > crn(x) die Singulärwerte von D<P(x) und sei
d G @, n] eine Zahl in der Darstellung d = d0 + s mit d0 G {0,1, , n — 1} und s G [0,1]
Ist sup [ai(x)a2(x) .. crd0(^d0+i(x)] < 1 > so S11* <MA) < d.
xeA
Spezielle Version für Differentialgleichungen: Seien {(^}*gr der Fluß von A7.1), A eine
kompakte invariante Menge und seien a\(x) > ••• > ctn(x) die Eigenwerte der symmetrisierten J ACOBi-Matrix
\[Df(x)T + Df(x)] in einem beliebigen Punkt x G A Ist d G @,n] eine Zahl in der Form d = d0 + .s
mit do € {0,..., n — 1} sowie s G [0,1] und gilt sup[ai(x) -\ \- ado(x) + sadQ+i(x)} < 0 , so ist
dH(A) <d. Die Größe xGA
dßo(z)
fO, falls ai(a;) <0,
\ sup{d: 0 < d < n, ai(rc) + •
• + a[d](x) -\-{d- [d])a[d]+l{x) > 0} sonst,
A7 6)
wobei x G A beliebig ist und [d] den ganzzahligen Anteil von
d bedeutet, heißt DOUADY-OESTERLE-Öimenszon im Punkt x
Unter den Voraussetzungen des oben formulierten Satzes von
Douady-Oesterle für Differentialgleichungen gilt dann d#(A) <
sup dDO{x).
xeA
¦ Das LORENZ-System A7.2) besitzt für er = 10, b = 8/3, r = 28
einen Attraktor A (LORENZ- Attraktor) mit der numerisch
ermittelten Dimension d#(A) « 2,06 (Abb.17.17, erzeugt mit Mathemati-
ca) Mit dem Satz von Douady-Oesterle erhält man für beliebige
b > 1, g > 0 und r > 0 die Abschätzung
dH(A)<Z-Z±*±l mit
1
(J + b +
(a - bf +
: + 2 )ar
Damit ergibt sich
Abbildung 17.17
für den LORENZ-Attraktor die Abschätzung d//(A) < 2,41
17.2.4.4 Beispiele von Attraktoren
¦ A: Die Hufeisenabbildung ip tritt in Verbindung mit PoiNCARE-Abbildungen auf, die
transversale Schnitte von stabilen und instabilen Mannigfaltigkeiten beinhalten. Das Einheitsquadrat M =
[0,1] x [0,1] wird zunächst in einer Koordinatenrichtung linear gestreckt und in der anderen Richtung
gestaucht. Anschließend wird das erhaltene Rechteck in der Mitte gebogen (Abb. 17.18) Wiederholt
man diese Prozedur ständig, entsteht eine Folge von Mengen M D ip{M) D • • •, für die A = f] cpk{M)
fc=0
eine kompakte unter 9? invariante Menge darstellt, die alle Punkte aus M anzieht Mit Ausnahme eines
Punktes läßt sich A lokal als Produkt „Linie x CANTOR-Menge" beschreiben.
¦ B: Sei a G @, |) ein Parameter und M = [0,1] x [0,1] das Einheitsquadrat Die Abbildung $
M -> M mit
V{x,y) =
Bar, ay),
falls 0 < x < 1/2 , y G [0,1],
Bx -l,ay+ 1/2), falls 1/2 < x < 1, y G [0,1]
heißt dissipative Bäcker-Abbildung. Zwei Iterationen der Bäcker-Abbildung sind in Abb. 17.19 dar-
gestellt. Man erkennt die entstehende „Blätterteigstruktur" Die Menge A = f] pk(M) ist invariant
A;=0
17 2 Quantitative Beschreibung von Attraktoren 851
fl
M <p(M) (p2(M)
Abbildung 17.18
ky
V//
1
i
1
ky
st^l
i
fy
lx lx
Abbildung 17.19
1 x
unter ip und alle Punkte aus M werden von A angezogen. Der Wert für die HAUSDORFF-Dimension
ist dj/(A)
1 +
In 2
. Für das dynamische System {<pk} existiert auf M ein invariantes Maß /x,
— Ina
verschieden vom LEBESGUE-Maß In den Punkten, wo die Ableitungen existieren, erhält man die
JACOBI-Matrizen Dipk((x,y)) =
2k 0
0 ak
Hieraus ergeben sich die Singulärwerte <7i(/c, (x,y))
2fc,cr2(/c, (x.y)) = ak und, demzufolge, die LYAPUNOV-Exponenten (bezüglich des invarianten Maßes
/i) Ai = In 2, A2 = In a Damit gilt für die LYAPUNOV-Dimension
In 2
dL(fi) = 1 + -
¦Ina
= dH(A) Die PESlNsche Formel für die metrische Entropie (s. auch 17.2 3,4., S.
845) stimmt hier, d.h., es gilt hß
Ai>0
= ln2
¦ C: Gegeben sei ein Volltorus T mit den lokalen Koordinaten F>, x, y), wie er in Abb. 17.20a zu
sehen ist Eine Abbildung (p: T —> T wird durch
ö/b+i = 20k,
Xk+l
Vk+i
1 fcos0k\ fxk
2\sin<9fcy \yk
(ib = 0,l,. .)
D@)
Abbildung 17 20
mit einem Parameter a G @,1/2) erklärt Das Bild <p(T), zusammen mit den Schnitten ip{T) C\ D(ß)
und (p2(T)r\D@), ist in Abb.17.20b und Abb.17.20c zu sehen. Im Ergebnis der Iterationen entsteht
die Menge A = f) <P (T), die Solenoid heißt Der Attraktor A besteht in Längsrichtung aus einem
k=0
Kontinuum von Kurven, von denen jede dicht in A ist und die alle instabil sind. Der Schnitt von A
transversal zu diesen Kurven ist eine CANTOR-Menge.
In 2
Für die HAUSDORFF-Dimension gilt d#(A) = 1 — . Die Menge A besitzt eine ganze Umgebung als
Ina
Einzugsgebiet Außerdem ist der Attraktor A strukturstabil, d.h , die oben formulierten qualitativen
Eigenschaften ändern sich nicht bei C1-kleinen Störungen von ip.
852 17. Dynamische Systeme und Chaos
¦ D: Das Solenoid ist ein Beispiel für einen hyperbolischen Attraktor
17.2.5 Seltsame Attraktoren und Chaos
1. Chaotischer Attraktor
Sei {(//}fer ein dynamisches System im metrischen Raum (M, p) Der Attraktor A dieses Systems heißt
chaotisch, wenn auf A eine sensitive Abhängigkeit von den Anfangszuständen vorliegt.
Die Eigenschaft „sensitive Abhängigkeit von den Anfangszuständen" wird in unterschiedlicher Weise
präzisiert Sie ist z.B. gegeben, wenn eine der beiden folgenden Bedingungen erfüllt ist.
a) Alle Bewegungen von {</?*} auf A sind in gewisser Weise instabil.
b) Der größte LYAPUNOV-Exponent von {</?*} bzgl. eines auf A konzentrierten invarianten ergodischen
Wahrscheinlichkeitsmaßes ist positiv.
¦ Sensitive Abhängigkeit im Sinne von a) liegt beim Solenoid vor. Die Eigenschaft b) ist z.B. beim
HENON-Attraktor zu finden.
2. Fraktale und seltsame Attraktoren
Ein Attraktor A von {<^}ter heißt fraktal, wenn er weder eine endliche Anzahl von Punkten, eine
stückweise differenzierbare Kurve oder Fläche noch eine Menge, die von einer geschlossenen stückweise
differenzierbaren Fläche umgeben wird, darstellt. Ein Attraktor heißt seltsam, wenn er chaotisch, fraktal
oder beides ist Die Begriffe chaotisch, fraktal und seltsam werden für kompakte invariante Mengen, die
keine Attraktoren sind, analog benutzt. Ein dynamisches System heißt chaotisch, wenn es eine
kompakte invariante chaotische Menge besitzt
¦ Im Einheitsquadrat wird die Abbildung
xn+1 = 2xn + yn (modl), yn+1 = xn + yn (mod 1) A7.7)
(ANOSOV-Diffeomorphismus) betrachtet Das System ist in Wirklichkeit auf dem Torus T2 als
adäquater Phasenraum definiert. Es ist konservativ, besitzt das LEBESGUE-Maß als invariantes Maß, hat
abzählbar unendlich viele periodische Orbits, deren Vereinigung dicht liegt, und ist mischend.
Andererseits ist A = T2 eine invariante Menge mit ganzzahliger Dimension 2.
3. Chaotisches System nach Devaney
Sei {(pt}ter ein dynamisches System im metrischen Raum (M, p) mit kompakter invarianter Menge A
Das System {(/?*}t€r (bzw. die Menge A) heißt chaotisch im Sinne von DEVANEY, wenn gilt:
a) {(pt}ter ist topologisch transitiv auf A, d.h., es gibt einen positiven Semiorbit, der dicht in A liegt.
b) Die periodischen Orbits von {(pt}t£r liegen dicht in A.
c) {<^}t€r ist auf A sensitiv bezüglich der Anfangswerte im Sinne von Guckenheimer,(s. [17.10]) d h ,
3e>0 VxGA \/6>0 3yeAnU5{x) 3 t > 0 p ((p* (x), cp1 (y)) > e, A7.8)
wobei Us{x) = {z € M- p{x, z) < S}.
¦ Gegeben sei der Raum der einseitig unendlichen Folgen aus zwei Symbolen
£ = {s = 5oSlS2 ..,5i€{0,l} (z = 0,l..)}.
Für zwei Folgen s = s0sis2 . . und s' = sf0s[s'2 ... sei der Abstand gemäß
( i\ _ / 0, falls s = s',
ft8>8)-\2->, falls s^s'
definiert, wobei j der kleinste Index mit Sj ^ s'j ist. Damit wird (£, p) ein vollständiger metrischer
Raum, der außerdem kompakt ist.
Die Abbildung a: s = soSiS2 ... i—? a(s) = sf = sis2ss ... heißt BERNOULLi-Shifl-Abbildung.
Die Shift-Abbildung ist chaotisch im Sinne von Devaney.
17.2.6 Chaos in eindimensionalen Abbildungen
Für stetige Abbildungen eines kompakten Intervalls in sich gibt es zahlreiche hinreichende
Bedingungen für die Existenz chaotischer invarianter Mengen. Drei Beispiele sollen genannt werden.
17 2 Quantitative Beschreibung von Attraktoren 853
Satz von Shinai: Sei tp: I —> / eine stetige Abbildung eines kompakten Intervalls / (z.B. / = [0,1])
in sich. Dann ist das System {ipk} auf / genau dann chaotisch im Sinne von Devaney, wenn die topo-
logische Entropie von ip auf /, d h h((p), positiv ist
Satz von Sharkovsky: Die positiven ganzen Zahlen seien folgendermaßen geordnet.
3 >- 5 >- 7 ^ >-2-3>-2-5)-..^22-3^22-5^. ^ 2 V 2 V 2 >~ 1. A7 9)
Sei ip . / —> I eine stetige Abbildung eines kompakten Intervalls in sich und habe {tpk} auf / einen
n-periodischen Orbit Dann hat {ipk} auch einen m-periodischen Orbit, wenn n y m ist
Satz von Block, Guckenheimer und Misiuriewicz: Sei ip - I —* I eine stetige Abbildung des
kompakten Intervalls / in sich, so daß {(pk) einen 2nra-periodischen Orbit (ra > 1, ungerade) besitzt
, / n In 2
Dann ist h(y) > ^T
17.2.7 Rekonstruktion der Dynamik aus Zeitreihen
17.2.7.1 Grundlagen, Rekonstruktionen mit generischen Eigenschaften
1. Meßfunktion, Zeitreihe
Betrachtet wird ein dynamisches System {(pt}ter mit r G {Z+, R+}, generiert durch eine Abbildung
tp G DiSl{U) (s 17 1 4 2, S 838) oder ein Vektorfeld / G X*_A7) (s 17.1 4 1 S. 837). Eine C1-
Funktion h U —> R, genannt Meßfunktion, soll zur Rekonstruktion der Dynamik aus Messungen
dienen Da in der Praxis häufig nur zu diskreten Zeiten gemessen werden kann, erfolge dies zu den Zeiten
[kr, k = 1,2,.. }cT, wobei r > 0 eine feste Zeit Verschiebung ist. Für m 6 N und k G { — 1,1} heißt
{(mv^mop^öo), ^K+<m"iwT(p)))}r=m-, ¦ (i7i°)
die zum Orbit {&*(&)} tsr mitp G U über die Meßfunktion h mit fester Zeitverschiebung r > 0 gemessene
Zeitreihe der Ordnung m in verzögerten (k = —1) bzw vorauseilenden (k = 1) Koordinaten
2. Immersion, Einbettung, Satz von Whitney
Sei U CR71 offen Die C1-Abbildung 0- U -> Rm heißt Immersion, falls die JACOBI-Matrix D$(u) in
jedem Punkt u G U den Rang n hat Die Immersion <3>:U—> Rm heißt Einbettung, wenn $ die Menge
U homöomorph auf $(U) abbildet ($(U) versehen mit der Teilraumtopologie des Rm). Der Satz von
Whitney sagt aus, daß bezüglich der offenen und beschränkten Menge C/cR" für jedes m > 2n + 1
die Gesamtheit aller Einbettungen <P: U —? Rm eine offene und dichte Teilmenge aller Cl-Abbildungen
U —> Rm bildet Für m > 2n + 1 ist $ also generisch eine Einbettung
3. Rekonstruktionssatz von Takens, Satz von Kupka und Smale
Ist DiSliU) und m > 2n + 1 eine beliebige natürliche Zahl, so ist die Gesamtheit aller Paare {(p, h) G
Diff|(C/) x Cl(U, R), für die die Rekonstruktionsabbildung (in vorauseilenden Koordinaten)
pef«^W = (%).%1(p)). .%<m-1(p))) A7-11)
eine Einbettung ist, offen und dicht in DiffJ; (U) xCl(U, R) Die Eigenschaft von Q^ , eine Einbettung
zu sein, ist also für m > 2n +1 generisch Eine solche Zahl m wird auch Einbettungsdimension genannt.
(Satz von Takens s [17 24]) Der Satz läßt sich auf Differentialgleichungen aus X+(C/) anwenden- Ist
m > 2n + 1 eine beliebige natürliche Zahl, so ist die Menge aller Paare (/, h) G Xj_(E/) x Cl(U, R), für
die die Rekonstruktionsabbildung
Peu^$lh(p) = (h(p),h(<p1(p)), ¦ Mvn-\p))) A7.12)
(mit {y>*}t>o als dem zu / gehörigen Semifluß) eine Einbettung ist, offen und dicht im Raum X^_(E/) x
Cl(U, R) Die Eigenschaft von $Vth , eine Einbettung zu sein, ist also generisch.
¦ Auf (—1 — e, 1 + e) (s > 0 , hinreichend klein) sei die Differentialgleichung x = —x = f(x) gegeben.
Da / stetig differenzierbar ist und /(-l) = 1 > 0 sowie /(l) = -1 gilt, ist / G X^(J7) mit U = (-1,1)
854 17. Dynamische Systeme und Chaos
Dies folgt auch sofort aus der expliziten Lösung ^(x) = xe t,t > 0, x € U Laut Satz von Ta-
kens ist für m > 3 die Rekonstruktionsabbildung <P^^ mit einer stetig differenzierbaren Meßfunktion
h. (—1,1) —? R generisch in X+(?7) x Cl{JJ, R) eine Einbettung. Beispielsweise leistet /ii(x) = x dies,
da x G (—1,1) H-» <?yt/ll (x) = (x, xe-1, xe-2) offenbar eine Einbettung in den R3 ist. Dagegen ergibt die
Meßfunktion h2(x) = x2 die Rekonstruktionsabbildung x € (—1,1) •—> $f,h2{x) = (x2,x2e-2,x2e-4),
die nicht injektiv und damit auch keine Einbettung ist.
Grundlage für den Rekonstruktionssatz von TAKENS ist der Satz von Kupka und Smale: Die
Gesamtheit aller Diffeomorphismen <p G Diff+(f/), für die jederPeriodenpunkt hyperbolisch ist und Ws(p)
transversal zu Wu(q) für beliebige Periodenpunkte ist, bildet eine Menge der zweiten BAiREschen
Kategorie, d.h , solche Diffeomorphismen sind typisch in Diff+(E/). Die Forderung m > 2m +1 ergibt sich
daraus, daß $Vth für typische (y>, h) G Diff+(£/) x Cl(U, R) nahe der Periodenpunkte eine Immersion
ist, die anschließend zu einer Einbettung auf ganz U fortgesetzt werden kann.
4. Dynamik im Rekonstruktionsraum
Der Satz von TAKENS impliziert, daß für generische (</?,/*) G Diff+(E/) x C1(Ui'R) die Menge $(U)
(Rekonstruktionsraum), mit # = <P^h das immersierte und homömorphe Bild von U ist und auf $(U)
die Abbildung tp = <P o tp o #-1 definiert ist. Für das (unbekannte) System {tpk}ke± auf U und das
System {ipk}ke± auf $(U) stimmen die topologischen Eigenschaften von korrespondierenden
Ruhelagen und periodischen Orbits sowie die Eigenwerte der JACOBI-Matrizen überein Übereinstimmend
sind auch Entropien und Dimensionen, wie z,B, die Korrelationsdimension (s. 17.2.7.2, S 854) sowie
die LYAPUNOV-Exponenten korrespondierender invarianter Maße Die Abbildung ip auf $(U) ist in
den Punkten vollständig beschrieben, die durch Zeitreihen erfaßt werden. Zur Demonstration dieses
Sachverhaltes sei r = 1.
Ein Punkt xk = {h{ipk(p)),..., h^171'1 (p))) G Rm, k G Z+ sei gegeben. Offenbar ist xk = $(qk),
wenn qk = ipk(p) gesetzt wird Dann gilt ip(xk) = @ o ip o ^-1)(^(gfc)) = x^+i, d.h. ip (h(qk),.. ,
h{Q.k+m-i)) — (h(Qk+i), h(qk+2),. , h(qk+m)) Anstelle der nicht zugänglichen Dynamik von tp auf U
erhält man also über die Messungen vollständige Orbits (mit r = Z+) von ip auf $(U) und kann daraus
Rückschlüsse auf die Dynamik von (p ziehen.
17.2.7.2 Rekonstruktionen mit prävalenten Eigenschaften
1. Prävalenz als metrische Variante der Generizität
Prävalenz oder metrische Generizität ist eine Ausweitung der für endlich-dimensionale Vektorräume
sinnvollen Eigenschaft „fast überall im Sinne des LEBESGUE-Maßes" (s. 12.9 1,2., S. 656) auf unendlich-
dimensionale Räume. Sie unterscheidet sich damit von der auf Mengen der zweiten BAiREschen
Kategorie zurückgehenden topologischen Form der Generizität (s. 17.1 4 3, S 839). Eine BOREL-Menge S
des BANACH-Raumes B heißt prävalent (s. [17.23]), wenn ein finites BOREL-Maß ß mit kompaktem
Träger K (s 17 2 1.1, S 840) existiert, so daß /iE + x) = ß{S) = n(K) für jedes xeB ist.
¦ A: Jede BOREL-Menge eines endlich-dimensionalen Vektorraumes, deren Komplement das Maß
Null hat, ist prävalent.
¦ B: Die Vereinigung und der Durchschnitt einer endlichen Anzahl prävalenter Mengen ist prävalent
¦ C: Eine prävalente Teilmenge in Cfc(£/,R), U C Rn offen und zusammenhängend, ist dicht im
BANACH-Raum Cfc(£/,R) aller der skalarwertigen Punktionen aus Ck(U, R), deren partielle
Ableitungen der Ordnung < k stetig in U sind.
2. Rekonstruktionssatz von Sauer, Yorke und Casdagli
Sei {^*}t>o em Semifluß, generiert durch das Vektorfeld / 6 Xj (s 17.1.4.1, 837) und sei A eine
kompakte Teilmenge in U mit der fraktalen Dimension dc(A) = d. Weiter seien m > 2d eine ganze Zahl
und r > 0 beliebig In A mögen von {(ft}t>o höchstens eine endliche Anzahl von Ruhelagen, keine
periodischen Orbits der Perioden r oder 2r und höchstens endlich viele periodische Orbits der Perioden
17 2 Quantitative Beschreibung von Attraktoren 855
3t, 4t, , tut sein, wobei die Multiplikatoren dieser periodischen Orbits (bis auf 1) jeweils verschieden
seien Dann bildet die Gesamtheit aller Meßfunktionen h: U —> R, für die die
Rekonstruktionsabbildung $f,h,T (m verzögerten Koordinaten)
peU~ #/Ar(p) = (h (<p(m-1)T(p)) , h (</"-2)T(p)) ,..., h(p)) A7 13)
die folgenden zwei Eigenschaften a) und b) hat, eine prävalente Menge Cl(U', R):
a) ^/,/i,r ist injektiv auf A;
b) $/,/j,t ist eine Immersion auf jeder Teilmenge U C A, die darstellbar ist als U = &(]¥), wobei
W - G H R* x {0, . , 0} , G C Rn offen, V: G -» Rn eine (^-Abbildung und jfc < d ist. (Satz von
n—fc
Sauer, Yorke, Casdagli, s [17.23].)
3. Abschätzung der Korrelationsdimension
Gegeben sei ein dynamisches System {(/?*}t€jr mit r G {Z+,R+}, generiert durch (/? G Diff.j;([/) bzw.
/ G X+(C7). In C/ habe {(pt}ter einen Attraktor A mit invariantem Wahrscheinlichkeitsmaß fi Es seien
h. U —> R eine Meßfunktion, ra G N der Ordnungsparameter, r = 1 die Zeitverschiebung und für
i = l,2,...
xi = (yiiyi+u ,yi+m)enm+1 A7.14)
mit */* = h(ipl(p)) eine zum Orbit {(pt}t^r mit p e U gemessene Zeitreihe der Ordnung ra+1 in
vorauseilenden Koordinaten. Für Vektoren Xi und x3 wird ihr Abstand durch dist(£i, Xj) = max \yi+s — yj+s\
definiert. Bezeichnet N > m eine natürliche Zahl und e > 0 eine reelle Zahl, so heißt der Ausdruck
Cm((f) = limsup —{Anzahl der geordneten Paare (xi: Xj) i,j G {1, . , N} , dist(xj, Xj) < e}
N—xx) iV
A7.15)
lnCm(£)
(diskretes) Korrelationsintegral (bzgl m und e). Falls die Größe d#(m) = lim — existiert, liefert
diese eine Schätzung der Korrelationsdimension oIk • Für h G C1(U,IV) ist dies nach dem Satz von
Takens generisch der Fall, falls m > 2n ist, bzw. nach dem Satz von Sauer, Yorke, Casdagli
prävalent, falls m + 1 > dc(A) ist und verzögerte Koordinaten benutzt werden
¦ Das LORENZ-System A7 2) (s 17 1.1.1,2. S. 822) gehört zu X+(E/), wobei beispielsweise U •=
{(x,y, z) G R3 . |[x2 + y2 + (z — a — rJ] < c} (c > 0, hinreichend groß), gewählt werden kann
Offenbar ist der LORENZ-Attraktor A (bei a = 10,6 = 8/3, r = 28) in U enthalten. Der Satz von
Douady-Oesterle (s. 17.2.4.3, S. 850) ergibt die Schranke dH(A) < 2,421. Numerische Integration
mit der Box-Counting-Methode liefert dH(A) « 2,06. Die Abschätzung der Korrelationsdimension
des natürlichen Maßes nach der Einbettungsmethode mit Zeitreihen in verzögerten Koordinaten (r «
0,12) ergibt für den LORENZ-Attraktor dK « 2, 03 (GRASSBERGER, [17 12]).
856 17. Dynamische Systeme und Chaos
17.3 Bifurkationstheorie und Wege zum Chaos
17.3.1 Bifurkationen in Morse—Smale—Systemen
Gegeben sei auf M C Rn ein von einer Differentialgleichung oder einer Abbildung erzeugtes
dynamisches System {(/?* }jer , das zusätzlich von einem Parameter e G V C Rz abhängt Jede Änderung der
topologischen Struktur des Phasenporträts des dynamischen Systems bei kleiner Änderung des
Parameters heißt Bifurkation. Der Parameter e = 0 G V heißt Bifurkationswert, wenn in jeder Umgebung
von 0 Parameterwerte £ G V existieren, so daß die dynamischen Systeme {ip\} und {</?q} auf M topolo-
gisch nicht äquivalent bzw nicht konjugiert sind. Die kleinste Dimension eines Parameterraumes, bei
der eine Bifurkation beobachtbar ist, heißt Kodimension der Bifurkation.
Man unterscheidet lokale Bifurkationen, die nahe einzelner Orbits des dynamischen Systems ablaufen,
und globale Bifurkationen, die sofort einen großen Teil des Phasenraumes betreffen
17.3.1.1 Lokale B ifurkat ionen nahe Ruhelagen
1. Satz über die Zentrumsmannigfaltigkeit
Betrachtet wird eine parameterabhängige Differentialgleichung
x = f(x,e) bzw. ±i = /i(#i,... ,£n»£ij • ?£j) (z = 1,2, . ,n) A716)
mit / M x V —? Rn , wobei M C Rn und V C Hl offene Mengen darstellen und / als r-mal stetig
differenzierbar vorausgesetzt wird Die Gleichung A7.16) läßt sich als parameterfreie
Differentialgleichung x = f(x, e), e = 0 im Phasenraum MxV interpretieren Aus dem Satz von Picard-LindelÖf
und dem Satz über die Differenzierbarkeit nach den Anfangswerten (s. 17 1.1.1,2., S. 821) folgt, daß
A7.16) für beliebige p G M und £ e V eine lokal eindeutige Lösung y?(-,p,e) mit Anfang p zur Zeit
t = 0 besitzt, die bezüglich p und £ dann r-mal stetig differenzierbar ist. Alle Lösungen mögen auf ganz
R existieren.
Es wird weiter vorausgesetzt, daß System A7.16) bei £ = 0 die Ruhelage x = 0 besitzt, d h , es gelte
/@,0) = 0. Es seien Ai, .., As die Eigenwerte von Dxf@,0) =
gM
mit ReAj = 0 Außer-
=i
dem habe Dxf@,0) genau m Eigenwerte mit negativem und k = n — s — m Eigenwerte mit positivem
Realteil
Nach dem Satz über die Zentrumsmannigfaltigkeit für Differentialgleichungen (Satz von Shoshitaish-
vili) (s. [17.14]) ist die Differentialgleichung A7 16) für £ mit hinreichend kleiner Norm ||e|| in einer
Umgebung von 0 topologisch äquivalent zu einem System
x = F(x, e) = Ax + g(x, e), y = -y, z = z A7.17)
mit x G Rs, y G Rm und z G Rfc , wobei A eine Matrix vom Typ (s, s) ist, die Ai, , As als Eigenwerte
hat, und g eine Cr-Funktion mit g@,0) = 0 sowie Dxg@,0) = 0 darstellt
Aus der Darstellung A7.17) folgt, daß Bifurkationen von A7 16) in einer Umgebung von 0 ausschließlich
durch die Differentialgleichung
x = F(x,e) A7 18)
beschrieben werden Die Gleichung A7 18) stellt die auf die lokale Zentrumsmannigfaltigkeit
Wfoc = {x, y: z' y = 0, z = 0} von A7 17) reduzierte Differentialgleichung dar. Die reduzierte
Differentialgleichung A7 18) kann oft durch eine nichtlineare parameterabhängige Koordinatentransformation,
die die topologische Struktur ihres Phasenporträts nahe der untersuchten Ruhelage nicht ändert, auf
eine relativ einfache Form (z B mit Polynomen auf der rechten Seite) gebracht werden, die Normalform
heißt Eine Normalform läßt sich nicht eindeutig bestimmen, in der Regel wird eine Bifurkation durch
unterschiedliche Normalformen äquivalent beschrieben.
2. Sattelknoten-Bifurkation und transkritische Bifurkation
Gegeben sei A7.16) mit / = 1, wobei / mindestens zweimal stetig differenzierbar ist und Dxf@,0) den
Eigenwert Ai = 0 und n — 1 Eigenwerte \j mit ReAj ^ 0 habe Nach dem Satz über die
Zentrumsmannigfaltigkeit werden in diesem Fall alle Bifurkationen von A7.16) nahe 0 durch eine eindimensionale
17.3 Bifurkationstheorie und Wege zum Chaos 857
dF
reduzierte Differentialgleichung A7.18) beschrieben Offenbar ist dabei F@,0) = -7— @,0) = 0 Wird
zusätzlich 7—rF@,0) ^ 0 und -7— @,0) 7^ 0 vorausgesetzt und die rechte Seite von A7 18) nach der
oxl de
TAYLOR-Formel entwickelt, so läßt sich diese Darstellung nach [17.14] durch
Koordinatentransformation umformen zur Normalform
x = a + x + •
d2F,
d2F
(bei ^-^-@,0) < 0), wobei a --
A7 19)
a(e) eine differenzierbare
(bei ^^@,0) > 0) bzw x = a - x2 + •
öxz
Funktion mit a@) = 0 ist und die Punkte Terme höherer Ordnung bedeuten Für a < 0 hat A7.19)
nahe x = 0 zwei Ruhelagen, von denen eine stabil, die andere instabil ist. Bei a = 0 verschmelzen diese
zur Ruhelage x = 0 , die instabil ist Für a > 0 hat A7 19) keine Ruhelage nahe 0 (Abb. 17.21b).
1-!
a)
a<0
oc=0
a>0
b)
Abbildung 17 21
a=0
Abbildung 17 22
oc>0
Die Übertragung auf den mehrdimensionalen Fall liefert eine Sattelknoten-Bifurkation nahe 0 in A7 16).
Für n = 2 und Ai = 0, A2 < 0 ist diese Bifurkation in Abb.17.22 zu sehen. Die Darstellung der
Sattelknoten-Bifurkation im erweiterten Phasenraum ist in Abb. 17.21a zu sehen Für hinreichend
glatte Vektorfelder A7.16) sind Sattelknoten-Bifurkationen generisch.
dF
Wird in den Bedingungen an F für eine Sattelknoten-Bifurkation die Voraussetzung -7— @,0) ^ 0
de
dF d2F
durch die Forderungen —— @,0) = 0 und @,0) 7^ 0 ersetzt, so ergibt sich aus A7 18) die
verkürzet oxoe
te Normalform (ohne Glieder höherer Ordnung) x = ax — x2 einer transkritischen Bifurkation Für
n = 2 und A2 < 0 ist die transkritische Bifurkation, zusammen mit dem Bifurkationsdiagramm, in
Abb. 17.23 zu sehen Sattelknoten- und transkritische Bifurkation gehören zu den Kodimension-1-
Bifurkationen
3. Hopf-Bifurkation
Gegeben sei A7.16) mit n > 2, / = 1 und r > 4 Für alle e mit |e| < e0 (e0 > 0 hinreichend klein)
gelte /@, e) = 0. Die JACOBI-Matrix Dxf(Q, 0) habe die Eigenwerte Ai = Ä^ = iu mit uj ^ 0 und n - 2
Eigenwerte Xj mit ReAj ^ 0 Nach dem Satz über die Zentrumsmannigfaltigkeit wird die Bifurkation
durch eine zweidimensionale reduzierte Differentialgleichung A7 18) in der Form
x = a(e)x - u(e)y + gi(x,y,e), y = u{e)x + a(e)y + g2(x.y,e) A7 20)
858 17. Dynamische Systeme und Chaos
i
oc<0
Abbildung 17 23
oc>0
beschrieben, wobei a, u, g\ und g<i differenzierbare Funktionen sind und u;@) = lü sowie a@) = 0 gilt
Durch eine nichtlineare Koordinatentransformation im Komplexen und Einführung von
Polarkoordinaten (r, $) läßt sich A7.20) auf die Normalform
r = a(e)r + a(e)r3 + •
' = uj(e) + b(e)r2 + •
A7.21)
bringen, in der mit Punkten die Glieder höherer Ordnung angedeutet werden. Die TAYLOR-Entwick-
lung der Koeffizientenfunktionen von A7.21) führt auf die verkürzte Normalform
r = a'{0)sr + a@)r3, ö = u{0) + u'@)e + 6@)r2 A7 22)
Der Satz von ANDRONOV und HOPF garantiert, daß A7.22) die Bifurkationen von A7.21) nahe der
Ruhelage bei e = 0 beschreibt.
Unter der Annahme a'@) > 0 ergeben sich für A7.22) folgende Fälle:
1 a@) < 0 (Abb.17.24a). 2. a@) > 0
(a) e > 0 • Stabiler Grenzzyklus und (a) e < 0.
instabile Ruhelage
(b) e = 0. Zyklus und Ruhelage verschmel- (b) e = 0:
zen in eine stabile Ruhelage.
(c) £ < 0: Alle Orbits nahe @,0) streben (c) £ > 0 •
wie in (b) für t —> +oo
spiralartig gegen die Ruhelage @,0)
(Abb.17.24b)
Instabiler Grenzzyklus.
Zyklus und Ruhelage
verschmelzen in eine instabile Ruhelage
Spiralartige instabile
Ruhelage wie in (b)
a) £>0
(^
e^0 b) £<0
Abbildung 17 24
Q)
e^0
Die Interpretation der obigen Fälle für das
Ausgangssystem A7.16) zeigt die Bifurkation eines Grenzzyklus
aus einer zusammengesetzten Ruhelage
(zusammengesetzter Strudel der Vielfachheit 1), die
Hopf-Bifurkation (oder auch Andronov-Hopf-
Bifurkation) genannt wird. Der Fall a@) < 0 heißt
dabei superkritisch, der Fall a@) > 0 subkritisch (unter
der Annahme a'@) > 0). Für n = 3, Ax = Ä^ =
i, A3 < 0, a'@) > 0 und a@) < 0 ist die Situation auf
Abb. 17.25 zu sehen
17 3 Bifurkationstheorie und Wege zum Chaos 859
HOPF-Bifurkationen sind generisch und gehören zu den Kodimension-1-Bifurkationen Die
angeführten Fallunterscheidungen illustrieren die Tatsache, daß eine superkritische HOPF-Bifurkation unter
den oben formulierten Voraussetzungen anhand der Stabilität eines Strudels erkannt werden kann
Die Eigenwerte \\(e) und X2(£) der JACOBI-Matrix der rechten Seite von A7.16) in 0 bei £ — 0 seien
rein imaginär, und für die restlichen Eigenwerte Xj gelte ReAj ^ 0 . Sei weiter — ReAi(e)|e=o > 0 und
sei 0 ein asymptotisch stabiler Strudel für A7 16) bei e = 0 Dann findet in A7 16) bei e = 0 eine
superkritische HOPF-Bifurkation statt
¦ Die VÄN-DER-POLsche Differentialgleichung x + s(x2 — l)x + x = 0 mit dem Parameter e kann
als ebene Differentialgleichung
x = y, y = -e(x2-l)y-x ' A7 23)
geschrieben werden Bei e — 0 geht A7 23) in die Gleichung des harmonischen Oszillators über und
hat deshalb nur periodische Lösungen und eine Ruhelage, die stabil, aber nicht asymptotisch stabil ist
Mit der Transformation u = y/e .x, v = \fey für e > 0 wird A7 23) zur ebenen Differentialgleichung
ü = v, v = -u - {u2 - e)v. A7 24)
Für die Eigenwerte der JACOBI-Matrix in der Ruhelage @,0) von A7 24) gilt: Ai,2(e) = -± Wy-1
und damit AiJ@) = ±i sowie — ReAi(e)|e=0 = ^ > 0 •
d t. , , x 1
^ReAl(^0=2
Wie im Beispiel von 17 1 2.3,1., S 827 gezeigt wurde, ist @,0) eine asymptotisch stabile Ruhelage von
A7.24) bei e = 0 Bei e = 0 findet eine superkritische HOPF-Bifurkation statt, und @,0) ist für kleine
e > 0 ein instabiler Strudel, der von einem Grenzzyklus umgeben ist, dessen Amplitude mit £ wächst.
4. Bifurkationen in zweiparametrigen Differentialgleichungen
1. Spitzen-Bifurkation Gegeben sei die Differentialgleichung A7 16) mit r > 4 und / = 2 Die
JACOBI-Matrix Dxf@,0) habe den Eigenwert Ai = 0 und n — 1 Eigenwerte Xj mit ReXj ^ 0 Für
dF d2F
die reduzierte Differentialgleichung A7 18) gelte F@,0) = -^-@,0) = ^r(°>0) = 0 und/3 =
ox oxz
d3F
t—-@,0) 7^ 0 Die TAYLOR-Zerlegung von F nahe @,0) führt auf die verkürzte Normalform (ohne
ox6
Glieder höherer Ordnung, s. [17 1])
x = ai + ot2X + sign I3X3 A7 25)
mit den Parametern a\ und a2 Die Menge {(ai,a2,x)- a\-\- a2x + sign l3x3 = 0} stellt im erweiterten
Phasenraum eine Fläche dar und wird Falte genannt (Abb. 17.26a).
Im weiteren sei Z3 < 0 Die nicht hyperbolischen Ruhelagen von A7 25) werden durch das
Gleichungssystem ai+a2x—x3 = 0 . a2—3x2 = 0 definiert und liegen auf den Kurven Si und S2 , die durch die Menge
{(«l, a2) 27a\ — Aa\ = 0} bestimmt werden und zusammen eine Spitze (cusp) bilden (Abb.17.26b)
Bei (ai,a2) — @,0) ist die Ruhelage 0 von A7 25) stabil. Das Phasenporträt von A7 16) nahe 0 , z B
für n = 2, /3 < 0 und Ai = 0 ist, für A2 < 0 (dreifach zusammengesetzter Knoten) in Abb. 17.26c und
für A2 > 0 (dreifach zusammengesetzter Sattel) in Abb.17.26d zu sehen (s. [17.14])
Beim Übergang von (a1? a2) = @,0) in das Innere des Gebietes 1 (Abb.17.26b) spaltet sich die nicht
hyperbolische Ruhelage 0 von A7 16) vom Typ eines zusammengesetzten Knotens in drei hyperbolische
Ruhelagen (zwei stabile Knoten und ein Sattel) auf (superkritische Gabelbifurkation)
Im Falle des zweidimensionalen Phasenraumes von A7 16) sind die Phasenporträts in Abb.l7.26c,e
zu sehen Beim Durchqueren des Parameterpaares von Si \ {@,0)} (i = 1.2) aus 1 in 2 bildet sich
eine zweifach zusammengesetzte Ruhelage vom Sattelknoten-Typ, die sich anschließend aufhebt Eine
stabile hyperbolische Ruhelage verbleibt
860 17. Dynamische Systeme und Chaos
3; ^v^2
a) Sl \<h
d)
Abbildung 17.26
2. Bogdanov-Takens-Bifurkation Für A7.16) gelte n > 2, / = 2, r > 2, und die Matrix
Ac/@,0) habe die beiden Eigenwerte Ai = A2 = 0 und n — 2 Eigenwerte Xj mit ReXj ^ 0. Die
reduzierte zweidimensionale Differentialgleichung A7.18) sei topologisch äquivalent zum ebenen
System
x = Vi V = Oi\ + a2x + x2 — xy. A7.26)
Dann findet auf der Kurve S\ = {(«i, 0:2): al ~ ^ai = 0} eme Sattelknoten-Bifurkation statt. Auf ^2 =
{(ai, «2)" ai = 0) a2 < 0} entsteht beim Übergang aus dem Gebiet a\ < 0 in das Gebiet a\ > 0 durch
eine HOPF-Bifurkation ein stabiler Grenzzyklus und auf S3 = {(«i, a2): e*i = — fea^ + • • •} (A; > 0,
const) existiert für das Ausgangssystem eine Separatrixschleife (Abb. 17.27), die im Gebiet 3 in einen
stabilen Grenzzyklus bifurkiert (s. [17 1], [17.17]).
Diese Bifurkation ist von globaler Natur und wird als Entstehung eines einzigen periodischen Orbits
aus dem homoklinen Orbit eines Sattels oder Auflösung einer Separatrixschleife bezeichnet
^
^
a.
J
K
K°-
Abbildung 17.27
3. Verallgemeinerte Hopf-Bifurkation Für A7 16) seien die Voraussetzungen der HOPF-Bifur-
kation mit r > 6 erfüllt und die zweidimensionale reduzierte Differentialgleichung habe nach einer
Koordinatentransformation in Polarkoordinaten die Normalform r = e\r + e^r3 — r5 + • • •, •d =
H . Das Bifurkationsdiagramm (Abb. 17.28) dieses Systems enthält die Linie S\ = {(£1, £2): £i =
0 , £2 7^ 0} , deren Punkte HOPF-Bifurkationen repräsentieren (s. [17.1]) Im Gebiet 3 existieren zwei
periodische Orbits, von denen einer stabil, der andere instabil ist. Auf der Kurve 52 = {(£1, £2): £l +
4£2 > 0 , £1 < 0} verschmelzen diese beiden nicht hyperbolischen Zyklen in einen zusammengesetzten
Zyklus, der im Gebiet 2 verschwindet
17 3 Bifurkationstheorie und Wege zum Chaos 861
Abbildung 17 28
5. Symmetriebrechung
Manche Differentialgleichungen A7 16) besitzen Symmetrien im folgenden Sinne: Es existiert eine
lineare Transformation T (oder sogar eine Gruppe von Transformationen), so daß f(Tx, e) = T f (x, e)
für alle x G M und s G V ist Ein Orbit 7 von A7 16) heißt symmetrisch bezüglich T, falls T7 = 7 ist.
Von einer symmetriebrechenden Bifurkation bei e = 0 spricht man z B. in A7.16) (bei 1 = 1), wenn für
e < 0 eine stabile Ruhelage oder ein stabiler Grenzzyklus vorliegt, die jeweils symmetrisch bezüglich
T sind, und bei e = 0 zwei weitere stabile Ruhelagen oder Grenzzyklen entstehen, die nicht mehr
symmetrisch bezüglich T sind
¦ Für System A7.16) mit f{x,e) = ex — x3 definiert T: x 1—> — x eine Symmetrie, denn f(—x,e) =
—/(x, e) (x G R, £ G R). Bei £ < 0 ist x\ = 0 eine stabile Ruhelage Bei £ > 0 gibt es neben x\ = 0 die
beiden anderen Ruhelagen x2,3 = ±\ß, die beide nicht symmetrisch sind.
17.3.1.2 Lokale Bifurkationen nahe einem periodischen Orbit
1. Satz über die Zentrumsmannigfaltigkeit für Abbildungen
Gegeben sei ein periodischer Orbit 7 von A7.16) bei e = 0 mit den Multiplikatoren p\,..., pn-i, pn — 1.
Eine Bifurkation nahe 7 ist möglich, wenn bei Änderung von £ mindestens einer der Multiplikatoren
auf den komplexen Einheitskreis trifft Die Verwendung einer zu 7 transversalen Fläche führt auf eine
parameterabhängige PoiNCARE-Abbildung
xi—>P(x,£) A7.27)
Dabei sei P- E x V -> R71, wobei E C Rn_1 und V C R! offene Mengen sind, eine Cr-Abbildung,
wobei die Abbildung P: E x V -> Rn_1 x Rl mit P(x, e) = (P(x, e), e) sogar ein Cr-Diffeomorphismus
sei. Es sei weiter P@,0) = 0 und die JACOBI-Matrix DxP@y 0) habe s Eigenwerte pi,..., ps mit
|pi| = 1, m Eigenwerte pa+i,. , ps+m mit |p;| < 1 und A; — n — s — m — 1 Eigenwerte p8+m+i,..., pn_i
mit |pi| > 1. Dann ist nach dem Satz über die Zentrumsmannigfaltigkeit für Abbildungen (s. [17.11]) P
nahe @,0)g£xV topologisch konjugiert zur Abbildung
(z,y, 2,e) ^^ (P(x,e), ^, ^u2,e) A7.28)
nahe @,0) G Rn_1 x Rl mit F(x, e) = ^cx + p(x, e) Dabei ist ^ eine Cr-differenzierbare Abbildung,
die den Bedingungen #@,0) = 0 und Dxg@, 0) = 0 genügt Außerdem sind Ac, As bzw. Au Matrizen
vom Typ (s, s), (m, m) bzw. (k, k) mit Eigenwerten auf, innerhalb bzw. außerhalb des Einheitskreises
Aus A7.28) folgt, daß Bifurkationen von A7.27) nahe @,0) ausschließlich durch die reduzierte
Abbildung
xi—>F(x,e) A7 29)
auf der lokalen Zentrumsmannigfaltigkeit Wf^. = {(x, y,z): y = 0, 2 = 0} beschrieben werden
2. Bifurkation eines zweifach zusammengesetzten semistabilen periodischen
Orbits
Gegeben sei das System A7 16) mit n > 2, r > 3 und / = 1 Das System A7 16) habe bei £ = 0 den
periodischen Orbit 7 mit den Multiplikatoren p\ = +1, \pi\ ^ l(i = 2,3,...,n — 1) und pn = 1. Nach
dem Satz über die Zentrumsmannigfaltigkeit für Abbildungen werden Bifurkationen in der PoiNCARE-
Abbildung A7.27) durch die eindimensionale reduzierte Abbildung A7.29) mit Ac = 1 beschrieben
862 17. Dynamische Systeme und Chaos
F(.,a)
b)
oc<0
a=0
oc>0
Abbildung 17 29
d2F dF
Wird dabei -jt-j @,0) ^ 0 und -7— @,0) ^ 0 vorausgesetzt, so führt dies auf die Normalformen
• F(x,a) = a + x + x2
A7 30)
d2F
(bei -—r@,0) > 0) bzw.
oxz
d2F,
öl + x - x2 (bei -^-@,0) < 0). Die Iterationsverläufe von A7 30)
nahe 0 und die zugehörigen Phasenporträts sind für verschiedene a in Abb.17.29a bzw. Abb.17.29b
zusehen (s. [17.1]).
Für a < 0 liegen eine stabile und eine instabile Ruhelage nahe x = 0 vor, die für a = 0 in der instabilen
Ruhelage x = 0 verschmelzen Für a > 0 existiert keine Ruhelage nahe x = 0 Die durch A7.30)
beschriebene Bifurkation in A7.29) heißt subkritische Sattelknoten-Bifurkation für Abbildungen.
Für die Differentialgleichung A7.16) beschreiben die Eigenschaften der Abbildung A7.30) die
Bifurkation eines zweifach zusammengesetzten semistabilen periodischen Orbits Bei a < 0 existieren ein
stabiler periodischer Orbit 71 und ein instabiler periodischer Orbit 72 , die bei a = 0 zu einem
semistabilen Orbit 7 verschmelzen, der sich bei a > 0 auflöst (Abb.l7.30a,b)
a a<0 oc=0 a>0
b) c)
Abbildung 17.30
3. Periodenverdopplung oder Flip-Bifurkation
Gegeben sei das System A7.16) mit n > 2, r > 4 und / = 1. Betrachtet wird ein periodischer Orbit 7
von A7.16) bei e = 0 mit den Multiplikatoren pi = -1, \p{\ ^ 1 (i = 2, . ,n — 1) und pn = 1. Das
Bifurkationsverhalten der PoiNCARE-Abbildung nahe 0 wird durch die eindimensionale Abbildung
A7.29) mit Ac = —1 beschrieben, von der die Normalform
x 1—? F(x, a) = (-1 + a)x + x3 A7 31)
angenommen werden soll. Die Ruhelage x = 0 von A7.31) ist für kleine a > 0 stabil und für a < 0
instabil. Die zweite iterierte Abbildung F2 hat bei a < 0 außer x = 0 noch die beiden stabilen Fixpunkte
x\%2 = ±y/—a + o(\a\), die keine Fixpunkte von F sind. Demzufolge müssen sie Punkte der Periode 2
von A7.31) sein.
17.3 Bifurkationstheorie und Wege zum Chaos 863
Allgemein formuliert, kommt es in einer C4-Abbildung A7.29) zur Entstehung eines zweiperiodischen
Orbits bei e = 0, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind (s. [17.2]):
dF dF2
F@,0) = 0, _@,0) = -l, ^-@,0) =0,
ox oe (\7'\tX\
d2F2 d2F2 d3F2 K }
^@,0)^0, ^@,0)=0, -^@,0) *0.
dF dF2
Da wegen —— @,0) = — 1 auch -7— @,0) = +1 ist, sind damit für die Abbildung F2 die Bedingungen
ox ox
für eine Gabelbifurkation formuliert.
Die Eigenschaften der Abbildung A7 31) implizieren für die Differentialgleichung A7.16), daß sich bei
a = 0 von 7 ein stabiler periodischer Orbit 7Q mit etwa doppelter Periode abspaltet
{Periodenverdopplung), wobei 7 seine Stabilität verliert (Abb.17.30c).
¦ Die logistische Abbildung <pa- [0,1] —> [0,1] ist für 0 < a < 4 durch (pQ(x) = ax(l — x), d.h. durch
das zeitdiskrete dynamische System
xt+i = axt(l - xt) A7.33)
gegeben. Die Abbildung besitzt nach [17.9] folgendes Bifurkationsverhalten. Für 0 < a < 1 hat A7 33)
die Ruhelage 0 mit dem Einzugsgebiet [0,1] Für 1 < a < 3 besitzt A7.33) die instabile Ruhelage 0
und die stabile Ruhelage 1 — £ , wobei letztere das Einzugsgebiet @,1) besitzt. Bei Qi = 3 wird die
Ruhelage 1 — ^ instabil und zerfällt in einen stabilen 2periodischen Orbit.
Beim Wert ot2 = 1 + >/6 wird auch der 2periodische Orbit instabil und durch einen stabilen 22-
periodischen Orbit ersetzt Die Periodenverdopplung setzt sich fort, und es entstehen stabile 29-perio-
dische Orbits bei a = aq Numerische Untersuchungen belegen für q —* +00 die Konvergenz aq —?
»oo « 3,570 ..
Bei a = a^ liegt ein Attraktor F vor (Feigenbaum-Attraktor), der die Struktur einer Cantor-
ähnlichen Menge hat. In beliebiger Nähe des Attraktors liegen Punkte, die nicht in den Attraktor,
sondern auf instabile periodische Orbits iteriert werden. Der Attraktor F hat dichte Orbits und
eine HAUSDORFF-Dimension dn(F) « 0,538 Andererseits liegt keine sensitive Abhängigkeit von
den Anfangszuständen vor Im Bereich a^ < a < 4 existiert eine Parametermenge A mit positivem
LEBESGUE-Maß, so daß für a 6 A das System A7.33) einen chaotischen Attraktor positiven Maßes
besitzt Die Menge A ist von Fenstern durchsetzt, in denen Periodenverdopplung auftritt
Das Bifurkationsverhalten der logistischen Abbildung ist auch in einer Klasse von unimodalen
Abbildungen, d.h von Abbildungen des Intervalls / in sich, die in / ein einfaches Maximum besitzen,
zu finden. Obwohl die Parameterwerte c^ , bei denen Periodenverdopplung auftritt, für verschiedene
solche unimodale Abbildungen sich voneinander unterscheiden, ist die Konvergenzrate, mit der diese
Parameter gegen den jeweiligen Wert a^ streben, gleich: ajt — a^ « CS~k, wobei 5 = 4,6692. .
die FEIGENBAUM-Konstante ist (C hängt von der konkreten Abbildung ab). Gleich sind auch die
Hausdorff-Dimensionen der Attraktoren F bei a = a^: dn(F) « 0,538....
4. Abspaltung eines Torus
Gegeben sei A7 16) mit n > 3,r > 6 und 1 = 1. Für alle e nahe 0 habe A7.16) einen periodischen
{TT 2tT ~]
0, —, —, TT >, pj (j = 3,. ., n — 1)
mit \pj\ ^ 1 undpn = 1.
Nach dem Satz über die Zentrumsmannigfaltigkeit ergibt sich in der vorliegenden Situation eine
zweidimensionale reduzierte C6-Abbildung
x>—>F(x,e) A7.34)
mit F@, e) = 0 für e nahe 0.
Hat die JACOBI-Matrix DxF@, e) für alle e nahe 0 die konjugiert komplexen Eigenwerte p(e) und ~p(e)
864 17 Dynamische Systeme und Chaos
mit |p@)| = 1, ist d •= — |/o(e)||e=o > 0 und ist p@) für g = 1,2,3,4 keine q-te Wurzel aus 1, so läßt
sich A7.34) durch eine glatte ^-abhängige Koordinatentransformation auf die Form x \-> F(x,e) =
F0(x,s) + 0(\\x\\5) bringen (O LANDAU-Symbol), wobei F0 in Polarkoordinaten durch
\p{e)\r + a(e)r3
gegeben ist. Dabei sind a,u und b differenzierbare Funktionen. Sei a@) < 0. Dann ist die Ruhelage
r = 0 von A7 35) für alle e < 0 asymptotisch stabil und für e > 0 instabil Außerdem existiert bei
e > 0 der Kreis r = J — , der invariant unter der Abbildung A7.35) und asymptotisch stabil ist
(Abb.17.31a).
Satz von Neimark und Sacker Der Satz von Neimark und Sacker (s. [17.18], [17 3]) sagt aus,
daß das Bifurkationsverhalten von A7.35) auch auf F zutrifft (Superkritische HOPF-Bifurkation für
Abbildungen).
¦ In der Abbildung A7.34), gegeben durch
x\ 1 ((l + e)x + y + x2 -2y2
\y) \/2 \-x + A +e)y + x2 - x3
findet bei e = 0 eine superkritische HOPF-Bifurkation statt.
Bezogen auf die Differentialgleichung A7 16) bedeutet die Existenz einer geschlossenen invarianten
Kurve der Abbildung A7.34), daß bei a@) < 0 der periodische Orbit 70 instabil wird und sich bei
e > 0 ein bezüglich A7 16) invarianter stabiler Torus abspaltet (Abb.17.31b).
Abbildung 17.31
17.3.1.3 Globale Bifurkationen
Neben der Entstehung eines periodischen Orbits durch Auflösung einer Separatrixschleife kann es in
A7.16) zu weiteren globalen Bifurkationen kommen. Zwei davon sollen am Beispiel erläutert werden
(s. [17.11]).
1. Entstehung eines periodischen Orbits durch Verschwinden eines Sattelknotens
¦ Das parameterabhängige System
x = x(l - x2 - y2) + y(l + x + a), y = -x(l + x 4- a) + y(l - x2 - y2)
hat in Polarkoordinaten x = r cos # , y = r sin # die Form
r = r(l - r2), ti = -A + a + r costf). A7 36)
Offenbar ist bei beliebigem Parameter a der Kreis r = 1 invariant unter A7 36), und alle Orbits (außer
der Ruhelage @,0)) streben für t —> +00 zu diesem Kreis. Für a < 0 liegen ein Sattel und ein stabiler
Knoten auf dem Kreis, die bei a = 0 zu einer zusammengesetzten Ruhelage vom Sattelknoten-Typ
verschmelzen Für a > 0 liegt keine Ruhelage mehr auf der Kreislinie, die dann einen periodischen
Orbit repräsentiert (Abb. 17.32).
17 3 Bifurkationstheorie und Wege zum Chaos 865
oc<0 a=0 a>0
Abbildung 17 32
2. Auflösung einer Sattel—Sattel—Separatrix in der Ebene
¦ Gegeben sei die parameterabhängige ebene Differentialgleichung
x = a + 2xy, y = 1 + x2 - y2 . A7 37)
Für a = 0 hat A7 37) die beiden Sättel @,1) und @, -1) und die y-
Achse als invariante Menge. Teil dieser invarianten Menge ist der he-
terokline Orbit. Für kleine |a| ^ 0 bleiben die Sattelpunkte erhalten,
während der heterokline Orbit zerfällt (Abb. 17.33)
17.3.2 Übergänge zum Chaos
Ein seltsamer Attraktor entsteht häufig nicht abrupt, sondern im Ergebnis einer Reihe von Bifurkatio-
nen, von denen die typischen in Punkt A7 3.1) dargestellt wurden Die wichtigsten Wege zur Bildung
seltsamer Attraktoren bzw. seltsamer invarianter Mengen sollen im weiteren beschrieben werden.
17.3.2.1 Kaskade von Periodenverdopplungen
Analog zur logistischen Gleichung A7.33) kann es auch in zeitkontinuierlichen Systemen zu einer
Kaskade von Periodenverdopplungen nach folgendem Szenario kommen. Das System A7.16) besitzt für
e < ei den stabilen periodischen Orbit 7M. Bei e = £\ findet nahe 7^ eine Periodenverdopplung
statt, bei der der periodische Orbit 7^ für e > £\ seine Stabilität verliert Von ihm spaltet sich ein
periodischer Orbit 7^) mit etwa doppelter Periode ab. Bei e = £2 findet erneut eine
Periodenverdopplung statt, wobei 7^ seine Stabilität verliert und ein stabiler Orbit 7^ mit nahezu doppelter Periode
entsteht Für wichtige Klassen von SystemenA7.16) setzt sich dieser Prozeß der Periodenverdopplung
fort, so daß eine Folge von Parameterwerten {£j} entsteht
Numerische Berechnungen für bestimmte Differentialgleichungen A7.16) (z.B bei hydrodynamischen
Differentialgleichungen wie dem LORENZ-System) belegen die Existenz des Grenzwertes
lim gJ+1~gJ =5, A7 38)
j^+OO £j+2 - £j + l
wobei S wieder die FEIGENBAUM-Konstante ist
Bei e* = lim e,- verliert der Zyklus mit unendlicher Periode seine Stabilität, und es kommt zur Bildung
j-+oo
eines seltsamen Attraktors.
Der geometrische Hintergrund der Entstehung dieses seltsamen Attraktors in A7 16) durch eine
Kaskade von Periodenverdopplungen ist in Abb.17.34a zu sehen. Der PoiNCARE-Schnitt zeigt dabei
näherungsweise eine Bäcker-Abbildung, die auf die Entstehung einer C ANTOR-Mengen-ähnliche Struktur
hindeutet.
17.3.2.2 Intermittenz
Gegeben sei ein stabiler periodischer Orbit von A7.16), der bei £ = 0 seine Stabilität verliert, indem
genau einer der Multiplikatoren, die innerhalb des Einheitskreises lagen, den Wert +1 annimmt. Nach
O
ttl
a<0 a^O a>0
Abbildung 17 33
866 17. Dynamische Systeme und Chaos
Abbildung 17.34
'dem Satz über die Zentrumsmannigfaltigkeit läßt sich die entsprechende Sattelknoten-Bifurkation der
PoiNCARE-Abbildung durch eine eindimensionale Abbildung in der Normalform
x i—> F(x, a) = a + x + x2 -\ beschreiben Dabei ist a ein Parameter, für den a = a(e) mit a@) = 0
gilt. Für positives a ist der Graph von F(-, a) in Abb. 17.34b zu sehen.
Wie die Abb. 17.34b zeigt, verweilen für a>, 0 die Iterierten von F(-,a) relativ lange in der
Tunnelzone. Für die Gleichung A7.16) bedeutet dies, daß die entsprechenden Orbits relativ lange in der
Umgebung des ursprünglichen periodischen Orbits bleiben. In dieser Zeit ist das Verhalten von A7 17)
nahezu periodisch (laminare Phase). Ist die Tunnelzone durchlaufen, entflieht der betrachtete Orbit,
was zu irregulären Bewegungen führt (turbulente Phase) Nach einem gewissen Zeitraum wird der
Orbit eingefangen und erneut eine laminare Phase eingeleitet. Ein seltsamer Attraktor entsteht in der
beschriebenen Situation dann, wenn der periodische Orbit verschwindet und seine Stabilität an die
chaotische Menge vererbt Die Sattelknoten-Bifurkation ist nur eine der generischen lokalen Bifurka-
tionen, die im Intermittenz-Szenario eine Rolle spielen Zwei weitere sind die Periodenverdopplung und
die Abspaltung eines Torus
17.3.2.3 Globale homokline Bifurkationen
1. Satz von Smale
Die invarianten Mannigfaltigkeiten der PoiNCARE-Abbildung einer Differentialgleichung A7 16) im
R3 nahe dem periodischen Orbit 7 seien wie in Abb. 17.IIb. Die transversalen homoklinen Punkte
Pj(xo) korrespondieren mit einem bezüglich 7 homoklinen Orbit von A7 16) Die Existenz eines
solchen homoklinen Orbits in A7 16) führt zu einer sensitiven Abhängigkeit von den Anfangs werten. In
Verbindung mit der betrachteten PoiNCARE-Abbildung lassen sich die auf Smale zurückgehenden
Hufeisen-Abbildungen konstruieren, die zu folgenden Aussagen führen
Satz von Smale: In jeder Umgebung eines transversalen homoklinen Punktes der
PoiNCARE-Abbildung A7.29) existiert ein periodischer Punkt dieser Abbildung. Darüber hinaus existiert in jeder
Umgebung eines transversalen homoklinen Punktes eine für Pm(m € IN) invariante Menge A, die vom
CANTOR-Typ ist. Die Einschränkung von Pm auf A ist topologisch konjugiert zu einem BERNOULLI-
Shift, d h. zu einem mischenden System
Die invariante Menge der Differentialgleichung A7 16) nahe des homoklinen Orbits sieht aus wie das
Produkt einer CANTOR-Menge mit dem Einheitskreis Ist diese invariante Menge anziehend, stellt sie
für A7.16) einen seltsamen Attraktor dar.
2. Satz von Shilnikov
Betrachtet wird die Differentialgleichung A7.16) im R3 mit einem skalaren Parameter s. Das System
A7 16) habe bei £ = 0 die hyperbolische Ruhelage 0 vom Sattelknoten-Typ, die für kleine \e\ erhalten
bleibe Die JACOBI-Matrix Dxf@,0) habe den Eigenwert A3 > 0 und die konjugiert komplexen
Eigenwerte Ai;2 = a ±iüü mit a < 0. Weiter habe A7.16) bei e = 0 eine Separatrixschleife 70 , d.h einen
homoklinen Orbit, der für t —? — 00 und t —> +00 gegen 0 geht (Abb. 17.35a)
Dann hat A7.16) nahe der Separatrixschleife folgende Phasenporträts.
a) Sei A3 + a < 0 Bricht die Separatrixschleife bei e ^ 0 in der mit A gekennzeichneten Variante
(Abb.17.35a) auf, so setzt bei e = 0 genau ein periodischer Orbit von A7.16) ein. Bricht die Sepa-
17 3 Bifurkationstheorie und Wege zum Chaos 867
ratrixschleife bei e ^ 0 in der mit B gekennzeichneten Variante (Abb. 17.35a) auf, so entsteht kein
periodischer Orbit.
b) Sei A3 + a > 0 Dann existieren bei e = 0 (bzw für kleine |e|) nahe der Separatrixschleife 70
(bzw. nahe der zerfallenen Schleife 70) abzählbar unendlich viele sattelartige periodische Orbits Die
PoiNC ARE-Abbildung bezüglich einer zu 70 transversalen Ebene erzeugt bei e = 0 eine abzählbar
unendliche Menge von Huf eisen-Abbildungen, von denen bei kleinen |e| ^ 0 eine endliche Anzahl
bleibt
b) W(p,
Abbildung 17.35
3. Melnikov-Methode
Gegeben sei die ebene Differentialgleichung
x = f(x) + eg(t, x), A7 39)
wobei e ein kleiner Parameter ist. Für e = 0 sei A7.39) ein HAMILTON-System, d.h. für / = (/1, f2)
ßH c)H
gelte /1 = -— und U = — -— , wobei H: U C R2 —? R eine C3-Funktion sei. Das zeitabhängige
ox2 oxi
Vektorfeld g • R x U —? R2 sei zweimal stetig differenzierbar und T-periodisch bezüglich des ersten
Arguments. Außerdem seien / und g beschränkt auf beschränkten Mengen. Bei e = 0 existiere in
A7 39) ein homokliner Orbit bezüglich des Sattelpunktes 0 Der PoiNCARE-Schnitt £fo von A7 39)
im Phasenraum {(xi,x2,t)} bei t = t0 sehe aus wie in Abb.17.35b. Die PoiNCARE-Abbildung PEtto.
^2tQ —> J2t0 nat mr kleine \e\ einen Sattel p£ nahe x = 0 mit den invarianten Mannigfaltigkeiten Ws(p£)
und Wu(p£). Ist der homokline Ortyt des ungestörten Systems durch ip(t — to) gegeben, so läßt sich der
Abstand der Mannigfaltigkeiten Ws(p£) und Wu(p£), gemessen entlang der Geraden, die durch (p@)
verläuft und senkrecht auf /(y>@)) steht, durch die Formel A7.40a) berechnen:
d{to) = £U(m)\\+(,(£2h A7'40a)
wobei M(-) die durch
+00
M(t0) = I f(tp{t - *0)) A g(t, <p(t - to)) dt A7.40b)
—00
definierte Melnikov-Funktion ist (Für a = @1,02) und b = (bi, b2) ist a A b = 0162 — 02^1)- Besitzt
die MELNIKOV-Funktion M in t0 eine einfache Nullstelle (d.h. gilt M(t0) = 0 und M'(t0) ^ 0), so
schneiden sich die Mannigfaltigkeiten Ws(p£) und Wu(p£) für genügend kleine e > 0 transversal Wenn
M keine Nullstellen besitzt, gilt Ws(p£) D Wu(p£) = 0 , d.h., es gibt keine homoklinen Punkte
Bemerkung: Das ungestörte System A7.39) besitze einen heteroklinen Orbit, gegeben durch ip(t—to),
der aus einem Sattel 0i in einen Sattel 02 läuft. Seien p\ undp2. die Sattel der PoiNCARE-Abbildung P£j0
für kleine \e\ Besitzt M, berechnet wie oben, in £0 eine einfache Nullstelle, so schneiden sich Ws(pl)
und Wu(pi) für kleine e > 0 transversal
¦ Betrachtet wird die periodisch gestörte Pendelgleichung x + sin x = e sin ut, d h. das System
x = y, y = — sin x + £ sin ut, in der e ein kleiner Parameter und u ein weiterer Parameter ist
Das ungestörte System x = y , y = — sinx ist ein HAMILTON-System mit H(x,y) = \y2 — cosx .
Es besitzt (u.a ) ein Paar heterokliner Orbits durch (—7r,0) und Gr,0) (im zylindrischen Phasenraum
868 17. Dynamische Systeme und Chaos
S1 x R sind dies homokline Orbits), gegeben durch (f±(t) = (±2arctan(sinh£), ±2—¦—) (t G R)
cosht
Die direkte Berechnung der MELNIKOV-Funktion liefert M(t0) = =f—n rr • Da M bei t0 = 0
coshGra;/2)
eine einfache Nullstelle besitzt, hat die PoiNCARE-Abbildung des gestörten Systems für kleine e > 0
transversale homokline Punkte.
17.3.2.4 Auflösung eines Torus
1. Vom Torus zum Chaos
1. Hopf-Landau-Modell der Turbulenz Die Frage des Übergangs von einem regulären
(laminaren) Verhalten zu einem irregulären (turbulenten) Verhalten ist besonders für Systeme mit verteilten
Parametern, die z B. durch partielle Differentialgleichungen beschrieben werden, von Interesse Aus
dieser Sicht läßt sich Chaos als zeitlich irreguläres, aber räumlich geordnetes Verhalten interpretieren
Turbulenz dagegen ist ein Systemverhalten, das sowohl zeitlich als auch räumlich irregulär ist. Das
HOPF-LANDAU-Modell erklärt die Entstehung der Turbulenz über eine unendliche Kaskade von HOPF
-Bifurkationen- Bei e = E\ entsteht aus einer Ruhelage ein Grenzzyklus, der bei £2 > £i instabil wird
und zu einem Torus T2 fuhrt Bei der k-ten Bifurkation entsteht ein fc-dimensionaler Torus, der durch
nicht geschlossene Orbits aufgewickelt wird. Das HOPF-LANDAU-Modell fuhrt im allgemeinen nicht zu
einem Attraktor, der durch sensitive Abhängigkeit von den Anfangsbedingungen und Durchmischung
gekennzeichnet ist.
2. Ruelle—Takens-Newhouse-Szenario Im System A7.16) sei n > 4 und / = 1. Bei Änderung
des Parameters e sei die Bifurkationssequenz Ruhelage —» Periodischer Orbit —? Torus T2 —> Torus T3
über drei aufeinander folgende HOPF-Bifurkationen realisiert.
Der auf T3 gegebene quasiperiodische Fluß sei strukturell instabil. Dann können schon bestimmte kleine
Störungen von A7.16) zum Zerfall von T3 und zur Bildung eines seltsamen Attraktors führen, der
strukturell stabil ist.
3. Satz über den Glattheitsverlust und die Zerstörung eines Torus T2von Afraimovich
und Shilnikov [17.1] Gegeben sei das hinreichend glatte System A7 16) bei n > 3 und 1 = 2.
Beim Parameterwert £0 habe System A7.16) einen anziehenden glatten Torus T2(e0), der aufgespannt
wird durch einen stabilen periodischen Orbit 7S, einen sattelartigen periodischen Orbit ju und dessen
instabile Mannigfaltigkeit Wu(ju) (Resonanz-Torus).
Die invarianten Mannigfaltigkeiten der Ruhelagen der PoiNCARE-Abbildung bezüglich einer Fläche,
die transversal zur Längsrichtung den Torus schneidet, sind in Abb. 17.36a dargestellt. Der
Multiplikator p von 7s, der dem Einheitskreis am nächsten liegt, sei reell und einfach Es sei weiter e(-) [0,1] —? V
eine beliebige stetige Kurve im Parameterraum, für die e@) = £q gilt, und für die das System A7 16)
bei e = e{l) keinen invarianten Resonanz-Torus besitzt Dann gelten folgende Aussagen-
a) Es existiert ein Wert s* G @,1), bei dem T2(e(s*)) seine Glattheit verliert. Dabei wird entweder der
Multiplikator p(s*) komplex, oder die instabile Mannigfaltigkeit Wu{^u) verliert ihre Glattheit nahe
7,
b) Es existiert ein weiterer Parameterwert s** G (s*, 1), so daß das System A7 16) für s € (s**, 1]
keinen resonanten Torus besitzt Der Torus zerfällt dabei nach einem der folgenden Szenarien-
ol) Der periodische Orbit js verliert seine Stabilität bei e = e(s**). Es kommt zu einer lokalen
Bifurkation wie der Periodenverdopplung oder der Abspaltung eines Torus.
ß) Die periodischen Orbits 7„ und 7S fallen bei e = e(s**) zusammen (Sattelknoten-Bifurkation) und
heben sich dabei auf.
7) Die stabilen und instabilen Mannigfaltigkeiten von ju schneiden sich bei e = e(s**) nicht transversal
(s. Bifurkationsdiagramm in Abb. 17.36c). Die Punkte auf der schnabelförmigen Kurve 5i entsprechen
dem Verschmelzen von js und 7^ (Sattelknoten-Bifurkation). Die Schnabelspitze C\ liegt auf einer
Kurve So , die der Abspaltung eines Torus entspricht.
Auf der Kurve #2 liegen die Parameterpunkte, bei denen ein Glattheitsverlust eintritt, während die
Punkte auf £3 die Auflösung eines T2-Torus charakterisieren. Auf 64 liegen die Parameterpunkte, für
17 3 Bifurkationstheorie und Wege zum Chaos 869
'»/
a)
b)
c)
> S,4 P ?4 ,S,
Abbildung 17.36
die sich stabile und instabile Mannigfaltigkeiten von yu nicht transversal schneiden Sei P0 ein
beliebiger Punkt in der Schnabelspitze, so daß bei diesem Parameterwert ein Resonanz-Torus T2 vorliegt. Der
Übergang von P0 nach Pi entspricht dem Fall a) des Satzes Wird dabei auf 52 der Multiplikator p zu
-1, so findet eine Periodenverdopplung statt Eine sich anschließende Kaskade von weiteren
Periodenverdopplungen kann zum Entstehen eines seltsamen Attraktors führen Trifft beim Überqueren von S2
ein Paar konjugiert komplexer Multiplikatoren piJ auf den Einheitskreis, dann kann es zur Abspaltung
eines weiteren Torus kommen, für den der Satz von AFRAIMOVICH und SHILNIKOV erneut anwendbar
ist
Der Übergang von P0 nach P2 repräsentiert den Fall ß) des Satzes: Der Torus verliert die Glattheit,
und beim Überqueren von S\ findet eine Sattelknoten-Bifurkation statt. Der Torus zerfällt, und ein
Übergang zum Chaos über Intermittenz kann stattfinden. Der Übergang von P0 nach P3 schließlich
entspricht Fall 7) Nach dem Verlust der Glattheit bildet sich beim Überqueren von S4 eine nicht
robuste homokline Kurve. Der stabile Zyklus js bleibt, und es entsteht eine zunächst nicht anziehende
hyperbolische Menge Wenn 7S verschwindet, kann aus dieser Menge ein seltsamer Attraktor entstehen.
2. Abbildungen auf dem Einheitskreis und Rotationszahl
1. Äquivalente und geliftete Abbildungen Beim Glattheitsverlust und Zerfall eines Torus
spielen die Eigenschaften invarianter Kurven der PoiNCARE-Abbildung eine wichtige Rolle Stellt man die
PoiNCARE-Abbildung in Polarkoordinaten dar, so erhält man unter gewissen Voraussetzungen
losgekoppelte Abbildungen der Winkelvariablen als aussagefähige Hilfsabbildungen auf dem Einheitskreis
Diese sind im Falle glatter invarianter Kurven (Abb. 17.36a) umkehrbar und im Falle nichtglatter
Kurven (Abb.17.36b) nicht umkehrbar. Eine Abbildung F. R -+ R mit F(<9+1) = F(9) +1 für alle 0 G
R, die das dynamische System
6W1 = F(ßn) A7.41)
erzeugt, heißt äquivariant. Jeder solcher Abbildungen läßt sich auch eine Abbildung auf dem
Einheitskreis/ S1 -+ SlmitSl =R\Z = {<9modl,6> G R} zuordnen Dabei ist f(x) := F@), wenn für die
Aquivalenzklasse [0] die Beziehung x = [0] gilt. Man bezeichnet F als eine von f geliftete Abbildung
Offenbar ist diese Zuordnung nicht eindeutig. Im Gegensatz zu A7 41) ist
xt+i = f(xt) A7 42)
ein dynamisches System auf Sl
¦ Sind uj und K zwei Parameter, so sei die Abbildung F(- ;lü ,K) für alle r G R durch F(cr;u, K) =
0 + Lü — K sin g definiert Das zugeordnete dynamische System
an+\ = an + lü — K sin an A7 43)
läßt sich durch die Transformation an = 2ir0n auf das System
<9n+i = On + Ü - — sin 27r<9n
Z7T
A7.44)
mit Q = —- überführen. Mit F((9, Sl, K) = O + Q sin 2-kO liegt eine äquivariante Abbildung vor,
Z7T 2lT
die die Standardform der Kreisabbildung erzeugt
870 17. Dynamische Systeme und Chaos
2. Rotationszahl Der Orbit 7(<9) = {Fn@)} von A7.41) ist genau dann ein q-periodischer Orbit
von A7.42) in S1, wenn er ein p/q — Zyklus von A7 41) ist, d h , wenn eine ganze Zahl p existiert,
so daß On+q = &n + p,(n € Z) gilt. Die Abbildung / : 51 —* 51 heißt orientierungstreu, wenn es
eine zugehörige geliftete Abbildung F gibt, die monoton wachsend ist Ist F aus A7 41) ein monoton
Fn(x)
wachsender Homöomorphismus, so existiert für jedes x G R der Grenzwert lim , und dieser
|n|-K» n
Fn(x)
Grenzwert hängt nicht von x ab. Es kann deshalb der Ausdruck p(F) := lim definiert werden
rV ' |nHoo n
Ist / : S1 —? S1 ein Homöomorphismus und sind F sowie F zwei von / geliftete Abbildungen, so
gilt p(F) = p(F) + k, wobei k eine ganze Zahl ist Aufgrund der letzten Eigenschaft läßt sich die
Rotationszahl (oder Windungszahl) p(f) eines orientierungstreuen Homöomorphismus / S1 —? Sl als
p(f) — p(F) m°d 1 definieren, wobei F eine beliebige von / geliftete Abbildung ist.
Ist / Sl —> S1 in A7.42) ein orientierungstreuer Homöomorphismus, so hat die Rotationszahl folgende
Eigenschaften (s. [17 11]):
a) Hat A7.42) einen ^-periodischen Orbit, so existiert eine ganze Zahl p, so daß p(f) = - ist.
b) Ist p(f) = 0, so hat A7.42) eine Ruhelage.
p
c) Ist p(f) = - , wobei p^O, ganzzahlig und q eine natürliche Zahl ist (p und q teilerfremd), so hat
A7.42) einen g-periodischen Orbit.
d) p(f) ist genau dann irrational, wenn A7.42) weder einen periodischen Orbit noch eine Ruhelage
besitzt
Satz von Denjoy- Ist /: S1 —> S1 ein orientierungstreuer C2-Diffeomorphismus und ist die
Rotationszahl öl = p(f) irrational, so ist / topologisch konjugiert zu einer reinen Drehung, deren geliftete
Abbildung F(x) = x + a lautet.
3. Differentialgleichungen auf dem Torus T2
Sei
0i = /iF>i,6>2), 6>2 = /2F>i,6>2) A7.45)
eine ebene Differentialgleichung, in der /1 und /2 differenzierbare und 1-periodische Funktionen in
beiden Argumenten sind. In diesem Fall definiert A7.45) einen Fluß, der auch als Fluß auf dem Torus
T2 = S1 x S1 bezuglich 6>i und 02 interpretiert werden kann. Ist fi{©i,02) > 0 für alle F>i, <92), so
besitzt A7.45) keine Ruhelage und ist äquivalent zur skalaren Differentialgleichung 1. Ordnung
gg» = /»(gi.ft). A746)
dßl /i@i,e2)- [uqo)
h
Mit den Bezeichnungen <9i = t, ©2 = x und / = — läßt sich A7.46) als nichtautonome Differential-
h
gleichung
x = f(t,x) A7 47)
schreiben, deren rechte Seite 1-periodisch bezüglich t und x ist.
Es sei ip(',xo) die Lösung von A7.47) mit Anfang x0 zur Zeit t = 0. Damit kann man A7 47) eine
Abbildung tp1^) = </?(l, •) zuordnen, die als geliftete Abbildung einer Abbildung / S1 —> 51 gelten
kann.
¦ Seien lji,U2 € R Konstanten und ©\ = u\, ©2 — ^2 eine Differentialgleichung auf dem Torus, die
Cc>2 ^2
für üüi 7^ 0 der skalaren Differentialgleichung x = — äquivalent ist. Damit ist ip(t, Xo) = —t + x0 und
(p (x) = \-x .
17.3 Bifurkationstheorie und Wege zum Chaos 871
4. Standardform einer Kreisabbildung
1. Standardform Die Abbildung F aus A7 44) ist für 0 < K < 1 ein orientierungstreuer Diffeo-
dF
morphismus, da —- = 1 — K cos 2ir,d > 0 ist Bei K — 1 ist F kein Diffeomorphismus mehr, aber
ov
noch ein Homöomorphismus, während für K > 1 die Abbildung nicht mehr invertierbar und damit
auch kein Homöomorphismus mehr ist. Im Parameterbereich 0 < K < 1 ist für F(-, Q, K) die
Rotationszahl p{ü,K) •= p{F(--Q,K)) definiert. Sei K G @,1) fixiert. Dann hat p(-,K) auf [0,1] folgende
Eigenschaften-
a) Die Funktion p(-,K) ist nicht fallend, stetig, aber nicht differenzierbar.
b) Für jede rationale Zahl - G [0,1) existiert ein Intervall Ip/q , dessen Inneres nicht leer ist und für
das p(Q, K) = - für alle ft G Ip/q gilt.
c) Für jede irrationale Zahl a G @,1) gibt es genau ein Q mit p(ft, K) = a
2. Teufelstreppe und Arnold-Zunge Für jedes K G @,1) ist p(-,K) also eine Cantor-
Funktion. Der Graph von p(-,K), der auf Abb. 17.37b dargestellt ist, heißt Teufelstreppe (deviVs
staircase) Das Bifurkationsdiagramm von A7.44) ist auf Abb.17.37a zu sehen. Von jeder rationalen
Zahl auf der Q-Achse geht ein schnabelförmiges Gebiet (ARNOLD-Zunge) mit nicht leerem Inneren
aus, in dem die Rotationszahl konstant und gleich der rationalen Zahl ist.
K
1
a)
k
o /
l/
1
3
/
(
1
2
\ /
i
3
\
\
\ 1
\l
Ü
Abbildung 17.37
Ursache für das Entstehen der Zungen ist eine Synchronisation der Frequenzen (Frequenzkopplung oder
frequency locking). Für 0 < K < 1 überlappen sich diese Gebiete nicht Von jeder irrationalen Zahl auf
der fi-Achse geht eine stetige Kurve aus, die immer die Gerade K = 1 erreicht. In der ersten ARNOLD-
Zunge mit p = 0 hat das dynamische System A7 44) Ruhelagen. Ist K fixiert und wächst Q. an, so
verschmelzen auf dem Rand der ersten ARNOLD-Zunge zwei dieser Ruhelagen und heben sich dabei
gleichzeitig auf Im Ergebnis einer solchen Sattelknoten-Bifurkation entsteht ein auf Sl dichter Orbit.
Ahnliche Erscheinungen lassen sich beim Verlassen der anderen ARNOLD-Zungen beobachten.
Für K > 1 ist die Theorie der Rotationszahlen nicht mehr anwendbar Die Dynamik wird komplizierter,
und es findet ein Übergang zum Chaos statt Dabei treten, ähnlich wie im Falle der Feigenbaum-
Konstante, weitere Konstanten auf, die für bestimmte Klassen von Abbildungen, zu denen auch die
Standard-Kreisabbildung gehört, gleich sind Eine davon wird im folgenden beschrieben.
V5 _ i
3. Goldenes Mittel, Fibonacci-Zahlen Die irrationale Zahl —-— heißt Goldenes Mittel (s.
111 4,3., S 4) und besitzt die einfache Kettenbruchdarstellung
— 1— Durch sukzessives Abschneiden des Kettenbruches erhält man eine Folge {rn}
1 + -
von rationalen Zahlen, die gegen
y/b-1
konvergiert Die Zahlen rn lassen sich in der Form rn -
2 0 „ . F^
darstellen, wobei Fn FiBONACCi-Zahlen sind (s. auch 5.4 1.5, S. 334), die sich durch die Iterationsvor-
872 17. Dynamische Systeme und Chaos
schrift Fn+i — Fn + Fn_i (n = 1,2, • • •) mit den Startwerten F0 = 0 und Fi = 1 bestimmen lassen
v/5 — 1
Sei nun f^ der Parameterwert von A7.44), für den p(Qoo, 1) = —-— ist und sei jeweils £ln der fi«,
am nächsten liegende Wert, für den p(fin, 1) = rn ist. Eine numerische Analyse ergibt den Grenzwert
«-°° O . - O
lim ^L_^zl = _2,8336..
873
18 Optimierung
18.1 Lineare Optimierung
18.1.1 Problemstellung und geometrische Darstellung
18.1.1.1 Formen der linearen Optimierung
1. Gegenstand der linearen Optimierung ist die Minimierung oder Maximierung einer linearen
Zielfunktion (ZF) von endlich vielen Variablen unter Einhaltung einer endlichen Anzahl von
Nebenbedingungen (NB) oder Restriktionen, die als lineare Gleichungen bzw Ungleichungen vorliegen
Die Bedeutung der linearen Optimierung besteht darin, daß viele praktische Aufgabenstellungen direkt
auf lineare Optimierungsprobleme führen bzw durch lineare Modelle näherungsweise als lineare
Optimierungsprobleme beschrieben werden können und daß Theorie und Lösungsverfahren anschaulich
und übersichtlich dargestellt werden können
2. Allgemeine Form Ein lineares Optimierungsproblem besitzt die folgende allgemeine Form:
ZF:
NB:
/(x) = C\X\ + • • • + crxr + cr+ixr+i + • • • + cnxn = max!
01,1^1 ^ •" altr%r + öl,r+l^r+l H h CL\,nXn < h ,
üSiiXi +•
• + as+i^rxr + as+i)r+ia:r+i + •
• + as+iinxn = bs+i,
"tti,l^l i***i Q'm,r'Er ~r ^*m,r+l ^"+1 i * * " i Ö77;
X\ > 0, ,xr>0, aJr+i) • j^n frei
Die abgekürzte Schreibweise wird Kurzform genannt
ZF: /(x) = c^x1 + c2V = max!
Dabei bedeuten*
A8.2a)
NB
= bm
Anx1 + A12x2 < b1,
A21X1 + A22x2 = b2 ,
x1 > 0, x2 frei.
A8.1a)
A8 lb)
A8 2b)
c2
\CrJ
, C"
Cr+2
\ Cn )
/flu 0-12 •'• ai,r\
021 Ö22 * * * Q>2,r
\fls,l as,2 ' ' * 0>s,r I
x2
\xr)
(Xr+l^
Xr+2
\ Xn )
/ 0>l,r+l al,r+2 '' Al,r+n\
Ö2,r+1 «2,r+2 ' * * «2,r+n
\ ö«,r+l ös,r+2 * * * &s,n
A8 2c)
A8 2d)
/fls+1,1 fls+1,2 *•' ös+l,r\
ös+2,1 «s+2,2 * * * ös+2,i
\ am,l «m,2
flm,r /
/fls+l.r+1 ßs+l,r+2 "• Gs+l,n \
ös+2,r+l as+2,r+2 * ' * ös+2,n
\flm,r+l Öm,r+2
Q"m,n /
A8 2c)
3. Nebenbedingungen Treten Nebenbedingungen mit „>"-Zeichen auf, dann werden diese durch
Multiplikation mit ( — 1) auf die obige Form gebracht
874 18 Optimierung
4. Minimumaufgabe Liegt eine Minimumaufgabe /(x) = min' vor, so wird diese in die äquivalente
Maximumaufgabe überführt:
-/(x) = rnax' A8.3)
5. Ganzzahligkeitsforderungen Mitunter werden an einige Variable zusätzlich Ganzzahligkeits-
forderungen gestellt Auf derartige diskrete Probleme soll hier nicht näher eingegangen werden
6. Formulierung mit vorzeichenbeschränkten Variablen und Schlupfvariablen Für die
Herleitung eines Lösungsverfahrens ist es günstig, das System der Nebenbedingungen A8.1b), A8 2b) als
Gleichungssystem mit vorzeichenbeschränkten
Variablen zu schreiben Dazu wird jede freie
Variable Xk durch die Differenz von jeweils zwei nicht
negativen Variablen Xk = x\ — x\ ersetzt Die
Ungleichungsbedingungen werden durch Addition
einer nichtnegativen Variablen, der Schlupf variablen,
in Gleichungen überführt Damit nimmt das lineare
Optimierungsproblem die nebenstehende Form an
Die Kurzform lautet:
ZF-/(x)
NB:
CiXi +
öi,i^i H
~r CnXn
ZF:
/(x) = cTx = rnax'
A8 5a)
NB:
x\ > 0,... ,xn > 0.
Ax = b , x > 0.
A8 4a)
A8 4b)
A8.5b)
Es kann vorausgesetzt werden, daß m < n, da anderenfalls das Gleichungssystem linear abhängige
bzw widersprüchliche Gleichungen enthält.
7. Zulässiger Bereich Die Menge aller nichtnegativen Vektoren x > 0, die allen
Nebenbedingungen genügen, bilden den zulässigen Bereich M-
M = {x € Rn • x > 0, Ax = b}. A8 6a)
Ein Punkt x* G M mit der Eigenschaft
/(x*) > /(x) für alle x € M A8 6b)
heißt Maximalpunkt oder Lösungspunkt des linearen Optimierungsproblems.
18.1.1.2 Beispiele und graphische Lösungen
1. Beispiel Herstellung zweier Produkte Für die Herstellung zweier Produkte E\ und E2 werden
die Ausgangsstoffe Ri, R2 und R3 benötigt Aus dem Schema 18.1 sind die für die Erzeugung einer
Produkteinheit (PE) der Produkte E\ und E2 erforderlichen Mengeneinheiten (ME) der
Ausgangsstoffe sowie die verfügbaren Materialkontingente
zu entnehmen. Der Verkauf einer
Produkteinheit von E\ bzw £2 er- Schema 18 1
bringt einen Gewinn von 20 bzw.
60 Gewinneinheiten (GE).
Gesucht ist ein
Produktionsprogramm, das maximalen Gewinn
sichert, wobei mindestens 10
Produktionseinheiten von Ei erzeugt
werden sollen.
Bezeichnet man mit x\ bzw. X2 die Anzahl der Produkteinheiten von E\ bzw E2, dann ergibt sich die
folgende Aufgabe
ZF: /(x) = 20xi + 60^2 = max!
Ei
E2
Kontingent
ME Ri pro PE
12
6
630
ME R2 pro PE
8
12
620
ME Rz pro PE
0
10
350
NB:
12zi + 6x2 < 630,
8x1 + 12x2 < 620,
10x2 < 350,
xi > 10
Einführung von Schlupfvariablen X3, X4, X5, xq führt auf.
18 1 Lineare Optimierung 875
ZF
NB.
/(x) = 20xi + 60x2 + 0 • x3 4- 0 • xA + 0 • t5 + 0 • x6 = max'
X'3
12xi + 6x2 +
8:ri + 12x2
10x2
-Xi
+
x4
x5
+
x6
= 630,
= 620,
= 350,
= -10.
A8 7)
2. Eigenschaften linearer Optimierungsprobleme An Hand
des Beispiels können einige Eigenschaften linearer
Optimierungsprobleme graphisch veranschaulicht werden. Dazu kann auf die
Einführung von Schlupfvariablen verzichtet werden
a) Eine Gerade a\X\ + ü2X2 = b teilt die Xi,x2-Ebene in zwei
Halbebenen Somit liegen alle Punkte (x\, t2), die die Ungleichung
d\X\ + a2x2 < b erfüllen, auf dieser Geraden bzw in einer der
Halbebenen Die graphische Darstellung der Punktmenge in einem karte-
sischen Koordinatensystem erfolgt durch Einzeichnen der
trennenden Geraden, und die Halbebene, die die Lösungsmenge der
Ungleichung enthält, wird mit Pfeilen gekennzeichnet. Die Ausführung der
graphischen Darstellung aller Nebenbedingungen liefert eine Menge Abbildung 18 1
von Halbebenen, deren Durchschnitt den zulässigen Bereich M bildet (Abb.18.1).
Im Beispiel bilden die Punkte von M eine Polygonfläche. Es kann auch vorkommen, daß M
unbeschränkt oder leer ist Treffen in einer Ecke des Polygons mehr als zwei begrenzende Geraden
aufeinander, dann spricht man von einer entarteten Ecke (Abb. 18.2)
Abbildung 18 2
b) Alle Punkte in der x\, x2-Ebene, die der Beziehung f(x) = 20xi+60.t2 = c0 genügen, liegen auf einer
gemeinsamen Geraden, der Niveaulinie zum Funktionswert c0 Bei verschiedener Wahl von c$ wird eine
Schar paralleler Geraden definiert, auf denen der Zielfunktionswert jeweils konstant ist Geometrisch
sind alle diejenigen Punkte Lösungen des Optimierungsproblems, die sowohl zum zulässigen Bereich M
als auch zu einer Niveaulinie 20xi +60x2 = c0 mit einem maximalen c0 gehören Im konkreten Fall ergibt
sich auf der Niveaulinie 20a;i + 60x2 = 2600 der Maximalpunkt (xi,x2) = B5,35). Die Niveaulinien
sind in Abb. 18.3 dargestellt, wobei die Pfeile in die Richtung wachsender Funktionswerte zeigen
Somit wird bei beschränktem zulässigen Bereich M das Maximum in mindestens einer Ecke von M
eingenommen Bei unbeschränktem M kann der Zielfunktionswert auch gegen unendlich streben
18.1.2 Grundbegriffe der linearen Optimierung, Normalform
Betrachtet wird die Aufgabe A8 5a,b) mit dem zulässigen Bereich M.
18.1.2.1 Ecke und Basis
1. Definition der Ecke Ein Punkt x € M heißt Ecke von M, wenn für alle Xi, x2 G M mit xt ^ x.2
x^ Ax! + A-A)x2, 0<A<1 A8 8)
gilt, d h., x liegt nicht auf der Verbindungsgeraden zweier verschiedener Punkte aus M .
876 18. Optimierung
P4=D,2,0)
Abbildung 18.3
Abbildung 18.4
2. Satz über den Eckpunkt Der Punkt x € M ist genau dann ein Eckpunkt von M, wenn die zu
den positiven Komponenten von x gehörenden Spalten der Matrix A linear unabhängig sind.
Unter der Annahme, daß der Rang von A gleich m ist, können nur maximal m Spalten von A linear
unabhängig sein. Deshalb kann ein Eckpunkt höchstens m positive Komponenten besitzen Die
restlichen n — m Komponenten sind gleich Null. Im Normalfall sind genau m Komponenten positiv. Ist die
Anzahl der positiven Komponenten jedoch kleiner als m , dann spricht man von einer entarteten Ecke
3. Basis Jeder Ecke können m linear unabhängige Spaltenvektoren der Matrix A zugeordnet
werden, so daß darunter die zu positiven Komponenten gehörenden Spalten enthalten sind. Dieses System
der linear unabhängigen Spaltenvektoren nennt man eine Basis der Ecke. Im Normalfall ist einer Ecke
eindeutig eine Basis zugeordnet. Einer entarteten Ecke hingegen können im allgemeinen mehrere
Basen zugeordnet werden. Es gibt höchstens ( ) Möglichkeiten, aus den n Spalten von A m linear
unabhängige auszuwählen. Demzufolge ist die Anzahl verschiedener Basen und somit auch der Ecken
»gleich (£).
höchstens i
, Ist M nicht leer, so hat M mindestens eine Ecke
ZF: /(x) = 2zi + 3x2 + 4z3 = max!
NB: xi + x2 + . x3 > 1,
x2 <2,
-xi + 2x3 < 2,
2zi - 3x2 + 2x3 < 2.
Der durch die Nebenbedingungen festgelegte zulässige Bereich M ist in Abb. 18.4 dargestellt.
Einführung von Schlupfvariablen £4, £5, x6, x7 führt auf
NB:
x\ + x2 +
x2
-xi + 2x3
2x\ — 3^2 + 2x3
x3 - xA
+ x5
+ x6
+ x7 ¦¦
Dem Eckpunkt des Polyeders P2 = @,1,0) entspricht im erweiterten System der Punkt x = (xi, x2, £3,
X4, £5, xq, x-j) = @,1,0,0,1,2,5). Die Spalten 2, 5, 6 und 7 von A bilden die zugehörige Basis. Dem
Punkt P\ entspricht die entartete Ecke A,0,0,0,2,3,0). Eine Basis dieser Ecke besteht aus den Spalten
1, 5, 6 und einer der Spalten 2, 4 oder 7.
18 1 Lineare Optimierung 877
4. Ecke mit maximalem Funktionswert Die Bedeutung der Aussagen über die Ecken des
zulässigen Bereiches M wird im folgenden Satz deutlich.
Ist M nicht leer und die Zielfunktion /(x) = cTx auf M nach oben beschränkt, so ist mindestens eine
Ecke von M ein Maximalpunkt.
Eine lineare Optimierungsaufgabe kann somit gelöst werden, indem unter allen Ecken eine mit
maximalem Funktionswert bestimmt wird Da aber die Anzahl der Ecken von M in praktischen
Problemstellungen sehr hoch sein kann, ist eine Methode erforderlich, die eine optimale Ecke zielsicher ansteuert.
Eine solche Methode ist das Simplexverfahren, auch Simplexalgorithmus genannt Zu seinem Einsatz
ist eine geeignete Darstellung der linearen Optimierungsaufgabe erforderlich, aus der eine Ecke direkt
abgelesen werden kann
18.1.2.2 Normalform der linearen Optimierungsaufgabe
1. Normalform und Basislösung Die lineare Optimierungsaufgabe kann immer, eventuell durch
Umbenennung der Variablen, folgendermaßen umgeformt werden.
ZF: /(x) = cixi H h cn.mxn.m + c0 = max! A8 9a)
NB: Öl,l#l + • • • + öl,n-m^n-m + ^n-m+1 = b\ ,
",m,l*^l i * ' * i U"m,n—m%n—m i %n — "m 5
Die letzten m Spalten der Koeffizientenmatrix sind offensichtlich linear unabhängig und bilden eine
Basis Die Basislösung (x\,X2, ,xn-m, xn-m+i, ,xn) = @, ., 0, b\,. , bm) kann sofort aus dem
Gleichungssystem abgelesen werden. Ist b > 0, dann heißt A8.9a,b) eine Normalform oder
kanonische Form des linearen Optimierungsproblems In diesem Falle ist die Basislösung zulässig, d.h , sie ist
x > 0, und somit eine Ecke von M In der Normalform bezeichnet man die Variablen xi,. ., xn_m als
Nichtbasisvariable und xn_m+1,..., xn als Basisvanable. Der zur Ecke gehörende Zielfunktionswert ist
Co, da die in der Zielfunktion auftretenden x-Komponenten, die Nichtbasisvariablen, verschwinden.
2. Ermittlung der Normalform Ist eine Ecke von M bekannt, dann kann eine Normalform des
linearen Optimierungsproblems wie folgt ermittelt werden. Man wählt eine zur Ecke gehörende Basis
aus m Spalten von A Im Normalfall sind diese Spalten durch die positiven Komponenten der Ecke
festgelegt. Die Basisvariablen werden zum Vektor xß und die Nichtbasisvariablen zum Vektor x^
zusammengefaßt Die zur Basis gehörenden Spalten bilden die Basismatrix Aß, die restlichen Spalten die
Matrix AN Dann gilt
' Ax = ANxN + AßXß = b A8.10)
Die Matrix A# ist regulär und besitzt die Inverse A^1, die sogenannte Basisinverse. Multiplikation von
A8 10) mit A^1 und Umstellung der Zielfunktion nach den Nichbasisvariablen liefert eine kanonische
Form des linearen Optimierungsproblems.
ZF- /(x) = cjx* + Co ,
NB Aß1 ANxN + Xß = A^b mit xN > Q, xß > 0
¦ Im obigen Beispiel ist x = @,1,0,0,1,2, 5) eine Ecke. Somit ist
X2 X5 Xq X7 X\ Xs X4
A8 9b)
A8.11a)
A8 IIb)
0 A8 12a)
0/
878 18. Optimierung
und
ABlAN
-(T
Xl
1
-1
2
5
£3
ergibt sich das System
Xi + X2 + X3
-xi - x3
—xi + 2x3
5xi + 5^3
+
i
X4
Xi
x4 + x5
3^4
+ £6
A^b =
A8.12b)
A8 13)
+ x7 ¦¦
Aus /(x) = 2xi + 3x2 + 4x3 erhält man durch Subtraktion der mit 3 multiplizierten ersten
Nebenbedingung eine auf Nichtbasisvariablen umgerechnete Zielfunktion
/(x) = -xx + x3 + 3x4 + 3. A8 14)
18.1.3 Simplex verfahren
18.1.3.1 Simplextableau
Mit dem Simplexverfahren wird eine Folge von Eckpunkten des zulässigen Bereiches mit wachsenden
Zielfunktionswerten ermittelt. Der Übergang zu einer neuen Ecke wird vollzogen, indem eine zur
gegebenen Ecke gehörende Normalform zu einer Normalform der neuen Ecke umgewandelt wird Zur
übersichtlichen Darstellung dieses Vorganges sowie zur Formalisierung der rechentechnischen Umsetzung
wird eine als bekannt vorausgesetzte Normalform A8.9a,b) in das Simplextableau (Schema 18.2a,
18.2b) eingetragen:
Schema 18 2a Schema 18.2b
Xn—m+l
Xn
Xi •
fll.l •
0>m,l '
Cl •
Xn—m
Q>l,n—m
Q"m,n—m
Cn—m
h
bm
-Co
oder kürzer
xß
2£jv
-Co
Die k-te Zeile des Tableaus ist zu lesen als
Xn—m+k ~r 0,k,lX\ ~r " * ' ~r CLk,n—mXn—m z
¦¦h.
A8 15a)
Für die Zielfunktion gilt
c\X\ -\ h cn_mxn_m = /(x) — c0 A8 15b)
Aus dem Simplextableau wird die Ecke (x^, xB) = @, b) abgelesen Gleichzeitig ist der Zielfunktions-
wert dieser Ecke durch /(x) = c$ bestimmt.
Auf jedes Tableau trifft genau einer der drei Fälle zu:
a) Cj < 0, j = 1, .. ,n — rn: Das Tableau ist optimal. Der Punkt (xjv,xß) = @,b) ist der
Maximalpunkt
b) Für mindestens ein j gilt Cj > 0 und %• < 0, i = 1, .., m- Das lineare Optimierungsproblem besitzt
keine Lösung, da die Zielfunktion in Richtung wachsender x^-Werte unbeschränkt wächst.
c) Für alle j mit Cj > 0 gibt es mindestens ein i mit a^ > 0: Man kann von einer Ecke x zu einer Ecke
x übergehen mit /(x) > /(x)- Für eine nichtentartete Ecke x gilt immer das „>"-Zeichen.
18.1.3.2 Übergang zum neuen Simplextableau
1. Nichtentarteter Fall Ist ein Tableau nicht entscheidbar (Fall c)), dann wird ein neues Tableau
(Schema 18.3) bestimmt, indem eine Basisvariable xp ausgewählt und gegen eine Nichtbasisvariable
18 1 Lineare Optimierung 879
xq unter Beachtung folgender Austauschregeln ausgetauscht wird:
a) < = £•
b) äPj
c) äiq
d) äij
¦ i*pj W'pq:
¦ U{q ' Upq
" 0>ij i Ö.p7
, — On ' flD<
*' ' " ' ff fH
i^P* cq = -cq • äpq. A8.16a)
i ^ P, 3 ^ Q,
bi =bi + bp- äiq, i ^ p, Cj = Cj + apj • cq, j ^ q, c0 = c0 + bq • cq.
Das Element apq heißt Pivotelement, die p-te Zeile Pivotzeile und die g-te Spalte Pivotspalte. Bei der
Auswahl von Pivotzeile und Pivotspalte sind zwei Bedingungen zu berücksichtigen:
a) Das neue Tableau muß zulässig sein, d.h., es muß gelten b > 0,
b) Es muß gelten c0 > Cq
Dann ist (xN,xB) = @,b) eine neue Ecke mit nicht kleinerem Zielfunktionswert /(x) = Cq. Die
angegebenen Bedingungen werden mit der folgenden Wahl des Pivotelementes erfüllt:
a) Wähle ein q mit cq > 0 als Pivotspalte;
b) wähle die Pivotzeile p so, daß gilt
A8.17)
bp
—^ = mm
apq Ki<m
\h
l«iQ
Sind die Ecken des zulässigen Bereiches nicht entartet, dann bricht das Simplexverfahren nach einer
endlichen Anzahl von Simplexschritten mit einem entscheidbaren Tableau ab (Fall a) oder Fall b)).
¦ Die zum Beispiel in 18.1.2, S. 876 gefundene Normalform kann direkt in ein Simplextableau
übertragen werden (Schema 18.4a). Das Tableau ist nicht optimal, da in der letzten Zeile noch positive
Koeffizienten der Zielfunktion auftreten. Die dritte Spalte wird als Pivotspalte festgelegt (auch die zwei-
Schema 18 3
Schema 18.4a
Schema 18 4b
Xß
-Co
Schema 18 4c
X2
X5
Xq
X7
X\
1
-1
-1
5
-1
x3 x4
1 -1
-1 1
2 0
5 -3
1 3
1
1
2
5
-3
1 : 1
X2
X4
Xq
X7
X\
0
-1
-1
2
2
Z3
0
-1
2
2
4
xb
1
1
0
3
-3
2
1
2
8
-6
Schema 18.4d
Schema 18.5
x2
X4
xs
x7
Xl
0
3
2
1
~2
1100
4
Xq
0
1
» toi
1
2
-1
-2
^5
1
1
0
COI
-3
2
2
1
6
-10
X2
x4
X3
Xl
Xl
0
1
2
1
6
1
3
4
3
Xq
0
0
1
3
1
~3
2
~3
x5
1
5
2
1
2
1
-7
2
5
2
2
-18
2/i
Vm
ZF
ZF*
X\ ' Xn
0-1,1 ' • ' al,n
Q"m,l ' ' ' Q"m,n
Cl '" Cn
m m
Yl Oj,l ' ' ' Z) Öj,n
J'=l J=l
6i
0
m
6:3
te Spalte wäre denkbar). Mit allen positiven Koeffizienten der Pivotspalte bildet man die Quotienten
bi/aiq. Die Quotienten wurden hinter der letzten Spalte des Tableaus notiert Der kleinste Quotient
legt die Pivotzeile fest. Ist die Pivotzeile nicht eindeutig zu bestimmen, dann ist die durch das neue Ta-
880 18 Optimierung
bleau bestimmte Ecke entartet. Mit den Austauschregeln erhält man das Tableau in Schema 18.4b.
Dieses Tableau bestimmt die Ecke @,2,0,1,0, 2,8), die dem Punkt P7 in Abb. 18.4 entspricht Da das
neue Tableau nicht optimal ist, wird jetzt xq gegen xs getauscht (Schema 18.4c) Die Ecke des 3. Ta-
bleaus entspricht dem Punkt Pq in Abb. 18.4. Nach einem weiteren Tausch erhält man ein optimales
Tableau (Schema 18.4d) mit dem Maximalpunkt x* = B,2,2,5,0,0,0), der dem Punkt P5 mit dem
maximalen Zielfunktionswert /(x*) = 18 entspricht.
2. Entarteter Fall Ist in einem Simplextableau nach erfolgter Pivotspaltenwahl die Festlegung der
Pivotzeile nicht eindeutig möglich, dann wird das neue Tableau eine entartete Ecke darstellen
Geometrisch ist eine entartete Ecke als Zusammenfallen mehrerer Ecken in einem Punkt interpretierbar Für
eine solche Ecke gibt es mehrere Basen. Somit kann der Fall eintreten, daß einige Austauschschritte
ausgeführt werden, ohne zu einer neuen Ecke zu gelangen Es sind sogar Beispiele konstruierbar, die
nach einigen Schritten ein bereits betrachtetes Tableau ergeben, so daß unendlich viele Zyklen
auftreten können.
Beim Auftreten einer entarteten Ecke ist es möglich, das Gleichungssystem durch Addition von el (mit
einem geeigneten e > 0) zu den Restriktionskonstanten bt so zu stören, daß diese und alle folgenden
Ecken des gestörten Systems nicht mehr entartet sind und das Optimum des gestörten Problems mit
dem des ungestörten Problems übereinstimmt, wenn man in der Lösung e = 0 setzt Algorithmisch
wird diese Störung durch einen Zusatz zum Simplextableau erreicht, worauf hier nicht eingegangen
werden soll
Werden die Pivotspalte und im nicht eindeutigen Fall die Pivotzeile „zufällig" gewählt, dann ist eine
Zyklenbildung in den meisten praktischen Fällen unwahrscheinlich.
18.1.3.3 Bestimmung eines ersten Simplextableaus
1. Hilfsprogramm und künstliche Variable Häufig ist es besonders bei einer großen Anzahl von
Nebenbedingungen schwierig, sofort eine Ecke und damit ein Simplextableau anzugeben. Daher stellt
man zunächst ein Hilfsprogramm auf, aus dessen Lösung sich ein Simplextableau der ursprünglichen
Aufgabe ergibt Dazu wird das Gleichungssystem Ax = b durch Multiplikation einzelner Gleichungen
mit (—1) so modifiziert, daß b > 0 gilt Nun wird auf der linken Seite jeder Gleichung eine künstliche
Variable y^ > 0 (k = 1,2, .., m) addiert und das folgende Hilfsproblem formuliert
ZF*: #(x,y) = -2/1 Vm = max! A8 18a)
NB*: a,i,\X\ H h ai>nxn + y\ = &i, 1
am,ixi +•••+ am,nxn +yn = bm,) A8 18b)
xu...,xn > 0; yi,...,ym > 0. J
Mit 2/i, ,ym als Basisvariable kann sofort ein erstes Simplextableau angegeben werden (Schema
18.5) Die letzte Zeile des Tableaus enthält die auf Nichtbasisvariable umgerechneten Koeffizienten
der Hilfszielfunktion ZF* Offensichtlich ist #(x, y) < 0 Ist für einen Maximalpunkt (x*, y*) des
Hilfsproblems g(x% y*) = 0, dann ist y* = 0 und folglich x* eine Lösung von Ax = b Andererseits besitzt
Ax = b bei #(x*, y*) < 0 keine Lösung
2. Fallunterscheidung Ziel der Lösung des Hilfsprogramms mit dem Simplexverfahren ist es, die
künstlichen Variablen aus der Basis zu entfernen Wird eine künstliche Variable zur Nichtbasisvariable,
dann kann die zugehörige Spalte im Tableau gestrichen werden. Man ermittelt so einen Maximalpunkt
(x*,y*) und unterscheidet*
1. g(x*,y*) < 0 Das System Ax = b besitzt keine Lösung
2. g{x*,y_*) = 0: Falls sich unter den Basisvariablen keine künstlichen Variablen befinden, ist sofoit ein
Tableau für die ursprüngliche Aufgabe gegeben Anderenfalls wird so lange aus einer zu einer
künstlichen Variablen gehörenden Zeile ein Pivotelement ^ 0 gewählt, ein Austauschschritt ausgeführt und
anschließend die Pivotspalte gestrichen, bis alle künstlichen Variablen aus dem Tableau entfernt
worden sind.
18.1 Lineare Optimierung 881
Durch die Einfuhrung von kunstlichen Variablen kann die Dimension des Hilfsproblems stark
anwachsen. Mitunter ist es nicht notwendig, zu jeder Gleichung eine künstliche Variable zu addieren War das
System der Nebenbedingungen vor der Einführung von Schlupfvariablen gegeben durch AiX > hx,
A2x = b2, A3x < bg mit bl5 b2, h$ > 0, dann sind nur in den ersten beiden Systemen künstliche
Variable erforderlich Für das dritte System können die Schlupfvariablen als erste Basisvariable gewählt
werden.
¦ Im Beispiel von Abschnitt 18.1 2, S. 875 ist nur in der ersten Gleichung eine künstliche Variable
erforderlich*
ZF*: 0(x,y)= -s/1 = max!
NB*: xi + x2 + x3 - X4 + Vi = 1,
X\ + X2 + £3 -
x2
-X\ + 2X3
2xi - 3£2 + 2^3
- 2/1
- x4 + 2/1
+ £5
+ £6
+ X7 ¦¦
2,
2,
2.
Das ermittelte Tableau (Schema 18.6b) ist mit #(x*,y*) = 0 optimal. Durch Streichen der zweiten
Spalte erhält man ein erstes Tableau für das Ausgangsproblem.
Schema 18.6b
1 : 1
2 1
2/1
x5
x6
x7
ZF
ZF*
Schema 18.6a
X\ X2 Xs £4
111-1
0 10 0
-10 2 0
2-320
2 3 4 0
111-1
1
2
2
2
0
1
x2
x5
Xq
x7
ZF
ZF*
X\ 2/1
1 1
-1 -1
-1 0
5 3
-1 -3
0 -1
x3 x4
1 -1
-1 1
2 0
5 -3
1 3
0 0
1
1
1
2
5
-3
0
18.1.3.4 Revidiertes Simplex verfahren
1. Revidiertes Simplextableau Das lineare Optimierungsproblem sei in einer Normalform
gegeben:
ZF: /(x) = C1X1 + • • • + cn_mxn_m + Co = max! A8.19a)
NB: ai,ixi + h ahn-mxn-m + xn-m+1 = ßx, )
Si^i "• 1- ai
m,n—m^n—m
~y xn Pjtj
A8.19b)
x\ > 0, .., xn > 0
Um zu einer anderen Normalform und damit zu einer anderen Ecke zu wechseln, genügt es, das
Gleichungssystem A8.19b) mit der entsprechenden Basisinversen zu multiplizieren. Das Simplexverfahren
kann also dahingehend modifiziert werden, daß in jedem Schritt anstatt eines neuen Tableaus nur die
Basisinverse ermittelt wird Vom eigentlichen Tableau sind nur die zur Bestimmung des neuen
Pivotelements erforderlichen Größen zu berechnen. Ist die Anzahl der Variablen sehr groß im Vergleich zur
Anzahl der Nebenbedingungen (n > 3m), dann erreicht man mit der revidierten Simplexmethode eine
beachtliche Verringerung an Rechenaufwand und Speicherplatz bei gleichzeitiger Erhöhung der
Rechengenauigkeit.
Die allgemeine Form eines revidierten Simplextableaus zeigt das Schema 18.7.
Die eingetragenen Größen haben die folgende Bedeutung:
xf,..., x^: Aktuelle Basisvariable.
Ci,.. , cn: Auf Nicht basisvariable umgerechnete Koeffizienten der Zielfunktion
61, ., bm: Rechte Seite der aktuellen Normalform.
Wert der Zielfunktion in der Ecke (xf,..., x%) = (bi
,bm)
882 18. Optimierung
01,71—m+1
Gl,r
\ Q"m,n—m+\' ' ' ' "m,7 .
r = (ri,...,rm)T. Aktuelle Pivotspalte.
Aktuelle Basisinverse, wobei die Spalten von A* die zu den Variablen
Xn-m+i,..., xn gehörenden Spalten der aktuellen Normalform sind.
xf
*l
Xl ¦
Cl •
Xn—m
• cn-m
Schema 18 7
^71 — 771+1
fll,n-m+l * * "
"TO, 71 — 771+1
Cn-m+l '••
^n
ßl,n
«771,71
Cn
bi
bm
-Co
xq
n
rm
cq
2. Revidierter Simplexschritt
a) Das Tableau ist nicht optimal, solange wenigstens ein Cj > 0 ist (j = 1,2, ., n).
Auswahl der Pivotspalte q für ein cq > 0
b) Berechnung der Pivotspalte r durch Multiplikation der q-ten Spalte der Koeffizientenmatrix von
A8 19b) mit A* und Eintragen des ermittelten Vektors in die letzte Spalte des Tableaus.
Ermittlung der Pivotzeile wie beim Simplexalgorithmus gemäß A8.17)
c) Berechnung des neuen Tableaus mit den Austauschregeln A8 16a-d), wobei formal aiq durch r*
ersetzt wird und die Indizes im Bereich n—m+1 < j < n liegen. Die Größen fj werden nicht eingetragen
Mit c = (cn_m+i, ., cn)T ermittelt man für j = 1, ,n — mcj = Cj + ajc , wobei Qj die j-te Spalte
der Koeffizientenmatrix von A8.19b) darstellt
¦ In die Normalform des Beispiels von 18.1 2, S 876 soll xA aufgenommen werden Die zugehörige
Pivotspalte r = 04 wird in das Tableau (Schema 18.8a) eingetragen
Schema 18 8b
x2
x5
Xq
X7
Schema 18 8a
Xi £3 X4
-113
X2 X5 Xq X7
10 0 0
0 10 0
0 0 10
0 0 0 1
0 0 0 0
1
1
2
5
-3
X4
-1
1
0
-3
3
1 1
X2
X4
Xq
X7
Xi £3 X4
2 4 0
x2
1
0
0
0
0
X5 Xq X7
1 0 0
1 0 0
0 1 0
3 0 1
-3 0 0
2
1
2
8
-6
xs
0
-1
Ilto
2
4
1 1 0 0\
0 10 0
0 0 10'
0 3 0 1/
/ 1
-1
2
V 5
Für j = 1,3,4 erhält man. Cj = Cj — 3a2j' (ci, c3, C4) = B,4,0).
Der ermittelte Eckpunkt x = @,2,0,1,0,2,8) entspricht dem Punkt P7 in Abb.18.4. Als nächste
Pivotspalte wird j = 3 bestimmt Die Größe r mit
r = (n,. .,rm) = A*a3 =
ist im 2 Tableau (Schema 18.8b) bereits eingetragen. Der weitere Rechengang erfolgt in Analogie
zum Beispiel von 18 1.3 2, S 879
18.1.3.5 Dualität in der linearen Optimierung
1. Zuordnung Jeder linearen Optimierungsaufgabe (primales Problem) läßt sich umkehrbar
eindeutig ein zweites Optimierungsproblem (duales Problem) zuordnen-
18 1 Lineare Optimierung 883
': /(x) =
3: AltlX!
A2,lXl
Kl >0,
Ci Xj 1 Qn —2 —
+ A1?2x2 < bj
+ A2,2x2 = b2
x2 frei.
ZF*:
NB*:
Duales Problem
#(u) = b^U! + bju2 = min! A8 21a)
A^xü! + Ajau2 > Ci,
A^Ui + A£2u2 = c2 ,
Ui > 0, u2 frei. A8 21b)
Primales Problem
max! A8.20a)
A8.20b)
Die Koeffizienten der Zielfunktion des einen Problems bilden die rechte Seite der Nebenbedingungen des
anderen Problems Jeder freien Variablen entspricht eine Gleichungs- und jeder
vorzeichenbeschränkten Variablen eine Ungleichungsbedingung des jeweiligen anderen Problems
2. Dualitätsaussagen
a) Besitzen beide Probleme zulässige Punkte, d h., M ^ 0, M* ^ 0, dann gilt
/(x) < g(u) für alle x € M, u G M*, A8.22a)
und für beide Probleme existieren Optimalpunkte
b) Die Punkte x € M und u G M* sind genau dann Optimalpunkte des jeweiligen Problems, wenn
gilt
/(x) = 0(u) A8 22b)
c) Ist /(x) über M nach oben bzw g(u) über M* nach unten unbeschränkt, so ist M* = 0 bzw M = 0
d) Die Punkte x e M und u G M* sind genau dann Optimalpunkte der jeweiligen Aufgaben, wenn
gilt
u^Ai^Xi + Aii2x2 - bj) = 0 und x^A^Ui + Ajau2 - Cj) = 0. A8 22c)
An Hand der letzten beiden Beziehungen kann man aus einer nicht entarteten Optimallösung u des
dualen Problems eine Lösung x des primalen Problems aus dem folgenden linearen Gleichungssystem
ermitteln:
A2,iXi + A2,2x2 - b2 = 0, A8.23a)
(Ai.iXx + Ai,2x2 - bji = 0 für u{ > 0 , A8.23b)
Xi = 0 für (A^Ui + A^u2 - cji ^ 0. A8 23c)
Zur Lösung des dualen Problems kann das Simplexverfahren verwendet werden.
3. Einsatzgebiete der dualen Aufgabe Die Bearbeitung des dualen Problems kann in den
folgenden Fällen von Vorteil sein.
a) Wenn für das duale Problem eine Normalform leichter zu finden ist, geht man von der primalen zur
dualen Aufgabe über
b) Wenn im primalen Problem die Anzahl der Restriktionen groß gegenüber der Anzahl der Variablen
ist, so kann bei der Lösung des dualen Problems mit dem revidierten Simplexverfahren der
Rechenaufwand verringert werden
¦ Für das Beispiel aus 18 1 2, S 876 gilt ohne Schlupfvariablen
Primales Problem
ZF: f(x) = 2xx + 3x2 + 4x3 = max'
NB: -xi - x2 - x3 < -1,
x2 < 2,
-xi + 2x3 < 2,
2xx - 3x2 + 2x3 < 2,
Wird das duale Problem nach Einführung von Schlupfvariablen und Aufstellung eines ersten Simplex-
tableaus mit dem Simplex verfahren gelöst, dann ergibt sich unter Vernachlässigung der Schlupfvaria-
ZF*:
NB*:
Duales Problem
g(u) = —u\ + 2u2 + 2u3 + 2w4
—u\ — u3 + 2uA > 2 ,
—U\ + u2 — 3ii4 > 3,
—u\ + 2u3 + 2u4 > 4,
Wl,W2,^3,ti4 > 0.
884 18. Optimierung
blen in der Lösung: u* = (it1} u2, u3, w4) = @,7,2/3,4/3) mit g(u) = 18. Daraus kann eine Lösung
x* des primalen Problems über das System (Ax — b)i = 0 für U{ > 0 ermittelt werden, d h , x2 = 2,
-xi + 2xz = 2, 2x1 - 3x2 + 2x3 = 2, so daß schließlich folgt, x* = B,2,2) mit /(x) = 18
18.1.4 Spezielle lineare Optimierungsprobleme
18.1.4.1 Transport problem
1. Modell
Ein von m Erzeugern Ei,E2,. ., Em in den Mengen ai, a2,.. , am produziertes Erzeugnis soll zu n
Verbrauchern Vi, V^,..., Vn mit dem Bedarf &i, b2, • • •, bn transportiert werden. Die Kosten des
Transportes einer Produkteinheit vom Erzeuger Ei zum Verbraucher V3 betragen Cy. Von Ei werden Xy
Produkteinheiten zu Vj transportiert. Gesucht ist eine, die Transportkosten minimierende Aufteilung
der Erzeugnisse auf die Verbraucher. Es wird vorausgesetzt, daß die Gesamtkapazität der Erzeuger
gleich dem Gesamt verbrauch ist, d.h.
f> = X>- A8.24)
i=l j=l
Man bildet die Kostenmatrix C und die Verteilungsmatrix X*
E: £
p _ / ci,i • • • ci,n \ Ei / aji,i • • • xi>n \ ai
' • j . , A8.25a) X= : * : A8 25b)
V: Vi-'-Vn E: h-'-bn
Ist die Bedingung A8.24) nicht erfüllt, dann werden zwei Fälle unterschieden:
a) Für £ Oi > £ 6j wird ein fiktiver Verbraucher Vn+1 mit dem Bedarf 6n+1 = J2 <k - E &j und den
Transportkosten Cj,n+i = 0 eingeführt.
b) Für J2ai < J2bj wird ein fiktiver Erzeuger Em+i mit der Kapazität am+i = Y^bj — £a» und den
Transportkosten cm+ii:7 = 0 eingeführt. Zur Bestimmung eines optimalen Verteilungsplanes ist das
folgende Optimierungsproblem zu lösen:
ZF: /(X) = J21t, ciJxiJ = min! A8 26a)
NB. ^Xij^ai (i = l,...,m), X^^^^ (j = l,. .,n), a?y > 0). A8 26b)
j=i *=i
Das Minimum dieses Problems wird in einer Ecke des zulässigen Bereiches angenommen. Von den m+n
Nebenbedingungen sind m + n — 1 linear unabhängig, so daß eine Ecke im nicht entarteten Fall, der
hier vorausgesetzt werden soll, m + n — 1 positive Komponenten Xij besitzt Die folgende Bestimmung
eines optimalen Verteilungsplanes wird als Transportalgorithmus bezeichnet
2. Ermittlung einer zulässigen Basislösung
Mit der „Nordwestecken-Regel" kann immer eine erste zulässige Basislösung (Ecke) ermittelt werden
a) Setze Xn = min(ai,&i) . A8.27a)
b) Ist ai < &i, streicht man die erste Zeile von X. A8 27b)
Ist a\ > &i, streicht man die erste Spalte von X. A8 27c)
Ist ai = &i, streicht man wahlweise die erste Zeile oder die erste Spalte von X A8.27d)
Liegen nur noch eine Zeile, aber mehrere Spalten vor, dann ist eine Spalte zu streichen und umgekehrt
c) Ersetze a\ durch a\ — X\\ und b\ durch b\ — x\\ und wiederhole den Vorgang mit dem reduzierten
Schema.
18 1 Lineare Optimierung 885
Alle bei diesem Verfahren im Schritt a) besetzten Variablen sind Basisvariable, alle anderen sind
Nichtbasisvariable und erhalten den Wert 0.
E E
5 3 2 7 \ Ei I xu xiJ xi,3 £i,4 \ ai=9
8 2 1 1 £2 , X = X2,l X2,2 ^2,3 £2,4 a2 = 10 .
9 2 6 3 / Ez \ x3ji x3J x3,3 x3L / a3 = 3
V Vi V2 I/3 ^4 £: &i =4b2 = 6b3 = 5b4 = 7
Ermittlung einer ersten Ecke mit der Nordwestecken-Regel:
1 Schritt 2. Schritt weitere Schritte
/4 \ 0 5 /45-\ )J0 /4 5 — \ 0
X= I MO , x= I 10 » X= I 154 ljÖ?)iO.
VI y 3 VI / 3 VI I 13/ 3
/i65 7 0057 0£7
0 ; /03
0
Verfahren zur Aufstellung eines ersten Verteilungsplanes, die auch die anfallenden Transportkosten
berücksichtigen (z B VOGELsche Approximationsmethode, s [18 15]), liefern im allgemeinen bessere
Erstlösungen
3. Lösung des Transportproblems mit der Potentialmethode
Bei der Aufstellung des gewöhnlichen Simplextableaus für dieses Problem erhält man ein riesiges
Schema vom Typ (ra + n) x (ra • n) mit einer großen Anzahl von Nullen Jede Spalte enthält nur zwei
1-Elemente. Deshalb arbeitet man besser mit einem reduzierten Schema Das Verfahren besteht aus
Simplexschritten, die nur mit Nicht Null-Elementen des theoretischen Simplextableaus durchgeführt
werden Die Matrix der Simplextableaus enthält die Koeffizienten der Zielfunktion Die Basisvariablen
werden iterativ gegen die Nichtbasisvariablen ausgetauscht, um so jeweils eine zugehörige modifizierte
Kostenmatrix zu berechnen Der Rechengang wird am Beispiel erläutert.
a) Ermittlung der modifizierten Kostenmatrix C aus C mittels
c*j = cij + Pi + Qj (^ — 1) • j m » J' = 1j • • • »n) » A8.28a)
unter den Bedingungen
Cij = 0 für (i,j) mit xij ist aktuelle Basisvariable. A8 28b)
Dazu werden in C die zu Basis variablen gehörenden Kosten markiert und pi = 0 gesetzt. Die weiteren
Größen pi und q^ auch Potentiale bzw Simplexmultiplikatoren genannt, werden so errechnet, daß zu
markierten Kosten gehörende pi und qj zusammen mit den Kosten Cy die Summe 0 ergeben.
( E) C) 2 ? \*=° /0 0 05 \
¦ C = 8 B) A) A) U = l ^ c= 4 0 00 A8 28c)
\ 9 2 6 C) ; P3 = -1 V 3^2] 3 0J
9i = -5 <72 = -3 q3 = -2 qA = -2
b) Berechnung von cpq = minjcL-} A8 28d)
' Ist cpq > 0, dann ist der gegebene Verteilungsplan X optimal; anderenfalls wird xpq als neue
Basisvariable gewählt Im Beispiel ist cpq = c32 = — 2
c) In C werden cpq und die zu Basisvariablen gehörenden Kosten markiert. Enthält C eine Zeile oder
Spalte mit maximal einem markierten Element, dann wird diese Spalte oder Zeile gestrichen Mit der
886 18 Optimierung
verbleibenden Restmatrix wird dieser Vorgang wiederholt, bis keine Streichungen mehr möglich sind.
/(j>) @) j) 0 \
C = 4 @) (i) @) . A8.28e)
\ I (-2) Is @)/
d) Die zu verbleibenden markierten Elementen Cy gehörenden Xij bilden einen Zyklus Man setzt
zunächst xpq = 8 > 0. Alle weiteren zu markierten Cy gehörenden xy- werden so bestimmt, daß die
Nebenbedingungen erfüllt bleiben Die Größe 8 errechnet sich aus
8 = xrs = mm{xij: Xij = x^ — ö}, A8.28f)
wobei xrs Nichtbasisvariable wird. Im Beispiel ist 8 = min{l, 3} = 1
X
/4 5
1-8
I
V S
4 6
_ \
5 4 + <5
T
—> 3 — 5/
5 7
10
X:
45
55
1 2
/(x) = 53
A8 5
Danach wird das Verfahren ab Schritt 1 und X
/ E) C) 2 7
C=| 8 2 A) A)
C)
V 9
Qi =
( 4
X =
-5 q2 =
5-8
I
1 + 8
B) 6
3 tf3 = -4 q4 = -4
C =
/ (ft) @) (^2) 3
\ k 2 @) @)
V MO) 3 @)
A8 28h)
8
T
5-8
\
5 + 8
T
2-8
8 = 2
X
432
37
3
/(X) - 49 A8 28i)
Die nächste zu bestimmende Matrix C enthält keine negativen Elemente. Deshalb ist X ein optimaler
Verteilungsplan.
18.1.4.2 Zuordnungsproblem
Die Darlegung erfolgt an Hand eines Beispiels.
¦ Es sollen n Transportaufträge an n Transportunternehmen so vergeben werden, daß jedes
Unternehmen genau einen Auftrag erhält. Gesucht ist die kostengünstigste Zuordnung, wenn das i-te
Unternehmen für die Ausführung des j-ten Auftrages die Kosten c^ berechnet.
Ein Zuordnungsproblem ist ein spezielles Transportproblem mit m = n und ai = bj = 1 für alle z, j
ZF: /(x) - Y, Yl ciJxiJ = min'
NB: Ylxij = 1 (i = 1T-
•,n),
J^Xij = 1 (j = l,...,n),
i=l
^€{0,1}
A8 29a)
A8.29b)
Jede zulässige Verteilungsmatrix enthält in jeder Zeile und jeder Spalte genau eine 1 und sonst Nullen
Ausgehend von einer zulässigen Verteilungsmatrix X kann das Zuordnungsproblem ohne Beachtung
der Ganzzahligkeitsforderungen mit dem Transportalgorithmus gelöst werden. Dabei ist jede zulässige
Basislösung (Ecke) entartet, da n — 1 Basisvariable gleich Null sind. Es sind daher Maßnahmen zur
18.1 Lineare Optimierung 887
Vermeidung von Zyklen zu treffen Dieses Vorgehen ist sehr zeitaufwendig Effektiver ist die Ungarische
Methode zur Lösung des Zuordnungsproblems (s. [18.11]).
18.1.4.3 Verteilungsproblem
Das Problem wird an Hand eines Beispiels dargelegt.
¦ Die m Produkte Ei, E2,..., Em sind in den Mengen ai, a2, .,flm herzustellen. Jedes Produkt kann
auf jeder der n Maschinen Mi, M2, , Mn produziert werden Zur Herstellung einer Produkteinheit
des Produktes Ei benötigt die Maschine Mj die Bearbeitungszeit b^ und verursacht dabei die Kosten
Cij. Die insgesamt für die Maschine Mj zur Verfügung stehende Maschinenzeit sei bj. Die auf jeder
Maschine Mj von jedem Produkt Ei herzustellenden Mengen x^ sollen so festgelegt werden, daß die
verursachten Gesamtkosten möglichst gering sind
Aus der Aufgabe ergibt sich das folgende allgemeine Modell eines Verteilungsproblems.
ZF: /(x) = Y^ JT djXij = min! A8.30a)
i=l3=1
m n
NB: ^Xij = üi (i = 1, . ,ra), X^üxü < h- (j = 1,. , n), x^ > 0 für alle z,j. A8.30b)
j=i *=i
Das Verteilungsproblem ist eine Verallgemeinerung des Transportproblems und kann mit dem
Simplexverfahren gelöst werden Sind alle b^ = 1, dann kann nach Einführung eines fiktiven Produktes
Em+l (s 18 1 4 1,1., S 884) der effektivere Transportalgorithmus (s. 18.1.4.1,1., S. 884) zur Lösung
herangezogen werden
18.1.4.4 Rundreiseproblem
Gegeben sind n Orte 0\, ö2,.. , On . Um von Oi nach Oj zu gelangen, muß ein Reisender die Entfernung
Cij zurücklegen. Dabei kann Cy ^ Cji möglich sein
Es ist eine kürzeste Reiseroute so zu wählen, daß ein Reisender jeden Ort genau einmal besucht und
am Ende zum Ausgangsort zurückkehrt
Wie beim Zuordnungsproblem ist wiederum in jeder Zeile und jeder Spalte der Entfernungsmatrix C
genau ein Element auszuwählen, so daß die Gesamtsumme der ausgewählten Elemente minimal wird.
Allerdings wird die numerische Lösung des Rundreiseproblems beträchtlich durch die Einschränkung
erschwert, daß eine Anordnung der markierten Elemente Cy in folgender Form möglich sein muß
ciui2ici2,iiT --^wn+i mit ik ^ ii für k t£1 und in+i=ii. A8 31)
Das Rundreiseproblem kann durch die Anwendung von Verzweigungsverfahren (branch and bound)
gelöst werden
18.1.4.5 Reihenfolgeproblem
Die Bearbeitung von n verschiedenen Produkten erfolgt in einer vom Produkt abhängigen Reihenfolge
an m verschiedenen Maschinen An jeder Maschine können nicht mehrere Produkte gleichzeitig
bearbeitet werden Zur Bearbeitung eines jeden Produktes wird an jeder Maschine eine vorgegebene
Arbeitszeit benötigt. Im Produktionsablauf können dabei sowohl Wartezeiten, in denen auf Grund belegter
Maschinen Produkte nicht bearbeitet werden können, als auch Maschinenstillstandszeiten auftreten.
Gesucht ist eine Reihenfolge der auf den einzelnen Maschinen nacheinander zu bearbeitenden
Produkte, die je nach ökonomischer Zielsetzung die Gesamtdurchlaufzeit aller Produkte, die Gesamtwartezeit
oder die Gesamtstillstandszeit aller Maschinen minimiert. Ein weiteres Ziel kann in der Minimierung
der Gesamtdurchlaufzeit bestehen, wenn zusätzlich entweder keine Wartezeiten oder keine
Stillstandszeiten nach der ersten Arbeitsaufnahme auftreten sollen
888 18. Optimierung
18.2 Nichtlineare Optimierung
18.2.1 Problemstellung und theoretische Grundlagen
18.2.1.1 Problemstellung
1. Nichtlineares Optimierungsproblem Unter einem nichtlinearen Optimierungsproblem
werden Aufgaben der Grundform
/(x) = min! für x G Rn mit A8.32a)
0»(x)<O, i€/ = {l,...,m}, fy(x) = 0, j€ J = {l,...,r} A8 32b)
verstanden, wenn mindestens eine der Funktionen /, &, /^ nicht linear ist. Die Menge M aller zulässigen
Punkte wird beschrieben durch
M = {x G Rn . #(x) <0,tG7, /ij(x) = 0, j G J}. A8 33)
Die Aufgabe besteht in der Bestimmung von Minimalpunkten.
2. Minimalpunkte Ein Punkt x* e M heißt globaler Minimalpunkt, wenn /(x*) < /(x) für alle
x G M gilt Ist diese Beziehung nur für zulässige Punkte x aus einer Umgebung U von x* erfüllt, dann
ist x* ein lokaler Minimalpunkt Aus den Kriterien für die Minimalpunkte ergeben sich die Optima-
litätsbedingungen
Da die Gleichungsrestriktionen hj (x) = 0 durch die zwei Ungleichungen
-Äj(x)<0, Äj(x)<0 A8 34)
beschrieben werden können, kann im folgenden von einer leeren Menge J(J = 0) ausgegangen werden.
18.2.1.2 Optimalitätsbedingungen
1. Spezielle Richtungen
a) Der Kegel der zulässigen Richtungen in x G M ist definiert durch
Z(x) = {d G Rn : 3ä>0: x + adG M, 0 < a < ä}, xeM, A835)
wobei Richtungen mit d bezeichnet sind. Ist d G Z(x)} dann liegen alle Punkte des Strahls x + ad für
hinreichend kleine a-Werte in M .
b) Eine Abstiegsrichtung im Punkt x ist ein Vektor d G Rn , für den es ein ä > 0 gibt mit
/(x + ad)</(x) VaG@,ä). A8 36)
In einem Minimalpunkt existiert keine Abstiegsrichtung, die zugleich auch zulässig ist Ist /
differenzierbar, so folgt aus V/(x)Td < 0 die Abstiegseigenschaft der Richtung d Mit V ist der Nablaoperator
bezeichnet, so daß V/(x) den Gradienten der skalaren Funktion / an der Stelle x darstellt.
2. Notwendige Optimalitätsbedingung
Ist / differenzierbar und x* ein lokaler Minimalpunkt, dann gilt
V/(x*)Td>0 für alle d G Z(x*). A8 37a)
Insbsondere gilt
V/(x*) = 0 , A8 37b)
falls x* im Inneren von M liegt.
3. Lagrange-Funktion und Sattelpunkt
Unter der Annahme von Zusatzvoraussetzungen soll die Optimalitätsbedingung A8 37a,b) auf eine für
die praktische Anwendung geeignete Form gebracht werden Dazu wird entsprechend der Lagran-
GEschen Multiplikatorenmethode zur Ermittlung der Extremwerte von Funktionen unter
Gleichheitsnebenbedingungen (s. 6.2 5.6, S. 419) die LAGRANGE-Funktion gebildet:
£(x, u) = /(x) + J2 ui9i(x) = /(x) + uT#(x), x G R, u G R^ A8 38)
18 2 Nichtlineare Optimierung 889
Ein Punkt (x*, u*) € Rn x R™ heißt Sattelpunkt von L, wenn gilt
L(x*,u) < L(x*,u*) < L(x,u*) für alle xeRn,ueRJ A8 39)
4. Globale Kuhn-Tucker-Bedingungen
Ein Punkt x* G Rn genügt den globalen KUHN-TUCKER-Bedingungen, wenn ein u* G R™, d h ein
u* > 0 existiert, so daß (x*, u*) ein Sattelpunkt von L ist.
Wegen des Beweises der KuHN-TuCKER-Bedingungen s. 12.5.6, S 646.
5. Hinreichende Optimalitätsbedingung
Ist (x*, u*) G Rn x R™ ein Sattelpunkt von L, dann ist x* ein globaler Minimalpunkt von A8 32a,b)
Sind die Funktionen / und gi differenzierbar, dann können lokale Optimalitätsbedingungen abgeleitet
werden
6. Lokale Kuhn-Tucker-Bedingungen
Ein Punkt x* G M genügt den lokalen KuHN-TuCKER-Bedingungen, wenn Zahlen u* > 0, i G io(x*)
existieren, für die gilt
-V/(x*) = XI WiV^(x*), A8.40a) wobei I0(x) = {i € {1,.
*e/o(x*)
.,m} . #(x) = 0} A8.40b)
die Indexmenge der in x aktiven Restriktionen ist
Der Punkt x* heißt dann auch KuHN-TuCKER-Pwn^ oder stationärer Punkt Geometrisch betrachtet
erfüllt ein Punkt x* G M die lokalen Kuhn-
TuCKER-Bedingungen, wenn der negative
Gradient —V/(x*) in dem durch die Gradienten der
in x* aktiven Nebenbedingungen V<ft(x*), i G
¦^o(x*) aufgespannten Kegel liegt (Abb. 18.5)
Oft wird die folgende äquivalente Formulierung
für A8 40a,b) verwendet- x* G Rn genügt den
lokalen KUHN-TuCKER-Bedingungen, wenn ein
u* G R+ existiert, so daß gilt
g{x*) < 0, A8.41a) g2fe)=0
Uigi(x*) = 0, i = 1, . ,m, A8.41b)
Vga(x*)
V/(x*) + E^V^(x*) = 0.
A8 41c)
Niveaulinien
f(x)=konst.
Abbildung 18 5
Vf(x*)
Vg2(x*)
7. Notwendige Optimalitätsbedingung und Kuhn-Tucker-Bedingungen
Ist x* G M ein lokaler Minimalpunkt von A8.32a,b) und erfüllt der zulässige Bereich in x* die Re-
gularitätsbedingung 3d G Rn : V^(x*)Td < 0 für alle i G /o(x*), dann genügt x* den lokalen
KuHN-TuCKER-Bedingungen. Für eine detaillierte Darstellung s [18.5]
18.2.1.3 Dualität in der Optimierung
1. Duales Problem Zu A8.32a,b) wird unter Verwendung der LAGRANGE-Funktion A8 38) das
folgende duale Problem gebildet
£(x,u) = max! für (x,u) G M* mit
M* = {(x,u) GRn xR'
L(x,u) = min L(z,u)}
z€Rn
A8.42a)
A8 42b)
2. Dualitätsaussagen Sind Xi G M und (x2,u2) G M*. dann gilt
a)L(x2,u2) </(xi)
b) Ist L(x2,u2) = /(xi), dann ist xx Minimalpunkt von A8.32a,b) und (x2,u2) Maximalpunkt von
A8.42a,b)
890 18 Optimierung
18.2.2 Spezielle nichtlineare Optimierungsaufgaben
18.2.2.1 Konvexe Optimierung
1. Konvexe Aufgabe wird die Optimierungsaufgabe
/(x) = min! bei &(x) < 0 (i = 1,.. , m) A8 43)
genannt, wenn die Funktionen / und g{ konvex sind Insbesondere können / und gt lineare Funktionen
sein. Für konvexe Aufgaben gilt.
a) Jedes lokale Minimum von / über M ist auch globales Minimum
b) Ist M nicht leer und beschränkt, dann existiert mindestens eine Lösung von A8 43)
c) Ist / streng konvex, dann existiert höchstens eine Lösung von A8.43).
2. Optimalitätsbedingungen
a) Ist / stetig partiell differenzierbar, dann ist x* G M genau dann Lösung von A8 43), wenn gilt
(x - x*)TV/(x*) > 0 für alle xGM A8 44)
b) Die SLATER-Bedingung ist eine Regularitätsbedingung für den zulässigen Bereich M Sie ist erfüllt,
wenn ein x G M mit #i(x) < 0 für alle nicht affin linearen Funktionen gi existiert
c) Ist die SLATER-Bedingung erfüllt, dann ist x* genau dann ein Minimalpunkt von A8 43), wenn ein
u* > 0 existiert, so daß (x*, u*) ein Sattelpunkt der LAGRANGE-Funktion ist. Sind darüber hinaus die
Funktionen /, gt differenzierbar, dann ist x* genau dann eine Lösung von A8 43), wenn x* den lokalen-
KUHN-TUCKER-Bedingungen genügt.
d) Für ein konvexes Optimierungsproblem mit differenzierbaren Funktionen / und gi kann das duale
Problem A8 42a,b) einfacher formuliert werden.
£(x,u) = max!, (x,u) G M* mit A8 45a)
M* = {(x,u) eRnxR; : VxL(x,u) = 0} A845b)
Der Gradient von L wird hier nur bezuglich x gebildet.
e) Für konvexe Optimierungsaufgaben gilt der starke Duahtätsatz:
Erfüllt M die SLATER-Bedingung und ist x* G M eine Lösung von A8 43), dann existiert ein u* G R™,
so daß (x*, u*) eine Lösung des dualen Problems A8.45a,b) ist, und es gilt
/(x*) - min/(x) = max L(x,u) = L(x*, u*). A8 46)
x€M (x,u)GM*
18.2.2.2 Quadratische Optimierung
1. Aufgabenstellung Die quadratische Optimierung umfaßt Aufgaben der Form
/(x) = xTCx + pTx = min', x G M C Rn mit A8 47a)
M = Mi. M = {x G Rn . Ax < b, x > 0} A8 47b)
Dabei ist C eine symmetrische (n, n)-Matrix, p G Rn, A eine (m, n)-Matrix und b G Rm
Der zulässige Bereich M kann alternativ in folgende Darstellungen überführt werden:
M = Mu M = {x : Ax = b, x > 0}, A8 48a)
M = Min: M = {x : Ax < b} . A8.48b)
2. Lagrange-Funktion und Kuhn-Tucker-Bedingungen
Die LAGRANGE-Funktion zum Problem A8.47a,b) ist
L(x, u) - xTCx + pTx + uT(Ax - b) A8.49)
Die KuHN-TuCKER-Bedingungen lauten mit
v=^ = p + 2Cx + ATu und y = -^ = -Ax + b A850)
<9x - - du
für den zulässigen Bereich:
18.2 Nichtlineare Optimierung 891
Fall I: Fall II: Fall III:
a) Ax + y = b, a) Ax = b, a) Ax + y = b, A8 51a)
b) 2Cx-v + ATu=-p, b) 2Cx-v + ATu=-p, b) 2Cx + ATu = -p, A8 51b)
c) x > 0, v > 0, y > 0, u > 0, c) x > 0, v > 0, c) u > 0, y > 0, A8.51c)
d) xTv + yTu = 0 d) xTv = 0 d) yTu = 0 A8.51d)
3. Konvexität Die Funktion /(x) ist genau dann konvex (streng konvex), wenn die Matrix C
positiv semidefinit (positiv definit) ist Alle Aussagen über konvexe Optimierungsprobleme können für
quadratische Aufgaben mit positiv semidefiniter Matrix C übertragen werden, insbesondere ist die
SLATER-Bedingung immer erfüllt, und deshalb ist für die Optimalität eines Punktes x* notwendig
und hinreichend, daß ein Punkt (x*, y, u, v) existiert, der das entsprechende System der lokalen Kuhn-
TUCKER-Bedingungen erfüllt ~
4. Duales Problem Ist C positiv definit, dann kann das zu A8 47a,b) duale Problem A8.45a,b)
explizit in folgender Weise formuliert werden:
L(x,u) = max', (x,u) <E M*, A8 52a)
M* = {(x,u)GRnxR^ : x = ~CT1(ATu + p)}. A8 52b)
Setzt man den Ausdruck —-C_1(ATu + p) für x in die duale Zielfunktion L(x, u) ein, dann entsteht
das äquivalente Problem
¥>(u) = -iuTACrxATu - (iAC-1p + b) u - ^PTC_1p = max! , u > 0 , A8 53)
für das gilt- Ist x* G M eine Lösung von A8 47a,b), dann besitzt A8 53) eine Lösung u* > 0, und es
gilt
/(x*) = <p(u*) . A8 54)
Das Problem A8.53) kann durch die äquivalente Formulierung
^(u) = uTEu + hTu = min!, u > 0 mit A8.55a)
E = i ACT1 AT und h = ^AC_1p + b A8 55b)
ersetzt werden
18.2.3 Lösungsverfahren für quadratische Optimierungsaufgaben
18.2.3.1 Verfahren von Wolfe
1. Aufgabenstellung und Lösungsprinzip Das Verfahren von Wolfe ist zur Lösung von
quadratischen Problemen der folgenden speziellen Form geeignet:
/(x) = xTCx + pTx = min!, Ax-b, x>Q. A8.56)
Für die hier beschriebene Version des Verfahrens wird C als positiv definit vorausgesetzt Die
Grundidee besteht in der Ermittlung einer Lösung (x*, u*, v*) des dem Problem A8 56) zugeordneten Systems
der KuHN-TuCKER-Bedingungen
Ax = b , A8 57a)
2Cx - v 4- ATu = -p , A8 57b)
x > 0 , v > 0 , A8 57c)
xTv = 0. A8.58)
892 18. Optimierung
Die Formeln A8.57a,b,c) stellen ein lineares Gleichungssystem mit m + n Gleichungen und 2n + m
nicht negativen Variablen dar. Auf Grund der Bedingung A8 58) muß entweder x» = 0 oder v{ = 0
(i = 1, 2,..., n) gelten. Daher besitzt jede Lösung von A8.57a,b,c,18 58) höchstens m + n von Null
verschiedene Komponenten und muß folglich eine Basislösung von A8.57a,b,c) sein.
2. Lösungsgang Mit Hilfe des Simplexverfahrens wird zunächst eine zulässige Basislösung (Ecke)
x des Systems Ax = b bestimmt Die zu den Basis variablen von x gehörenden Indizes bilden die
Indexmenge Iß. Um eine Lösung des Systems A8.57a,b,c) zu finden, die auch A8 58) erfüllt, formuliert
man das Hilfsproblem
-/i = min' (/i e R), A8.59)
Ax = b, A8.60a)
2Cx- v + ATu-/iq = -p mit q = 2Cx + p, A8 60b)
x > 0 , v > 0 , /i > 0; A8 60c)
xTv = 0. A8 61)
Für eine Lösung (x, v, u, fi) dieses Problems, die gleichzeitig A8 57a,b,c) und A8 58) erfüllt, muß ß = 0
gelten
Als zulässige Basislösung für das System A8.60a,b,c) ist (x, v,u, /x) = (x,0,0,1) bekannt, die
gleichzeitig der Bedingung A8 61) genügt. Eine zu dieser Basislösung gehörende Basis wird aus den folgenden
Spalten der Koeffizientenmatrix
A 0 0 0 \ i^I Einheitsmatrix, 0 Nullmatrix und 0^ A8 P21
l 2C — I AT — q / ' \Nullvektor entsprechender Dimension/
zusammengesetzt •
a) m Spalten, die zu Xi mit i E Iß gehören,
b) n — m Spalten, die zu Vi mit i £ Iß gehören,
c) alle m Spalten zu ui?
d) die letzte Spalte, dafür wird aber eine geeignete der unter b) und c) bestimmten Spalten wieder
weggelassen
Ist q = 0 , dann ist zwar der Austausch nach d) nicht möglich, es ist dann aber x bereits ein Lösungs-
punkt.
Man kann nunmehr ein erstes Simplextableau aufstellen. Die Minimierung der Zielfunktion erfolgt mit
dem Simplexverfahren unter der folgenden Zusatzregel, die xTY = 0 sichert
Bleibt in einem Austauschschritt Xi (i — 1, 2,... ,n) Basisvariable, dann darf v\ nicht Basisvariable
werden und umgekehrt
Für positiv definites C führt das Simplexverfahren unter Beachtung der Zusatzregel zu einer Lösung
des Problems A8.59), A8.60a,b,c), A8.61) mit /i = 0 Für positiv semidefinites C kann auf Grund
der eingeschränkten Pivotelementwahl der Fall eintreten, daß kein Austauschschritt mehr ausgeführt
werden kann, ohne die Zusatzregel zu verletzen, obwohl // > 0 gilt Man kann zeigen, daß in diesem Fall
Ii überhaupt nicht verkleinert werden kann
¦ /(x) = x\ 4- 4^2 — 10a;i — 32x2 = min! mit x\ + 2x2 + £3 = 7, 2x\ + x2 + x4 = 8
A _ (l 2 1 0\ K_ G\ r_ 0 4 0 0
A~ \2 1 0 1 J' -~ (s) ' ^000
1 0 0 0\ /-10\
- ¦ - - .32
0
V o /
\0 0 0 0/
In diesem Falle ist C lediglich positiv semidefinit. Eine zulässige Basislösung von Ax = b ist x =
@,0, 7,8)T, q = 2Cx + p = (-10, -32,0,0)T Als Basisvektoren werden gewählt.
a) die Spalten 3 und 4 von ( 9p, ), b) die Spalten 1 und 2 von ( _T ), c) die Spalten von ( .j
18 2 Nichthneare Optimierung 893
und d) die Spalte I _ j anstelle der 1 Spalte von ( _T 1 Aus diesen Spalten wird die Basismatrix
gebildet und die Basisinverse errechnet (s 18.1, S.
873) Durch Multiplikation mit der Matrix A8.62)
sowie des Vektors I ~ I mit der Basisinversen ergibt
sich ein erstes Simplextableau (Schema 18.9)
Auf Grund der Zusatzregel kann in diesem Tableau
nur x\ gegen v2 ausgetauscht werden Als Lösung
erhält man nach einigen Austauschschritten x* =
B,5/2,0,3/2)T Die letzten zwei Gleichungen von
2Cx — v + ATu — ßq = —p lauten: v3 = u\, v4 = u2
Man kann deshalb den Umfang des Problems zu
Beginn der Rechnung reduzieren, indem man die freien
Variablen U\ und u2 aus dem System eliminiert
18.2.3.2 Verfahren von Hildreth-d'Esopo
1. Prinzip Dem streng konvexen Optimierungsproblem
/(x) = xTCx + pTx = min', Ax < b
ist das duale Problem (s 1 )
003
X4
V2
Wl
u?.
V
Xi
1
2
64
10
0
0
2
10
2
10
Schema 18 9
X2
2
1
— 8
0
0
0
0
Vi
0
0
32
10
0 ¦
0
1
10
1
10
V3
0
0
12
10
- 1
0
1
10
1
10
vA
0
0
54
10
0
- 1
2
10
2
10
7
8
0
0
0
1
-1
^(u) = uTEu -I- hTu =
u > 0 mit
E = - ACT1 AT , h = i AC_1p + b
A8 63)
A8.64a)
A8.64b)
zugeordnet Die Matrix E ist positiv definit und besitzt positive Diagonalelemente e« > 0, (i =
1,2, . , m). Die Variablen x und u sind über die folgende Beziehung miteinander verknüpft.
X=~C-1(ATu + p).
A8.65)
2. Iterationslösung Das duale Problem A8 64a), das nur die Nebenbedingung u > 0 enthält, kann
mit Hilfe des folgenden einfachen Iterationsverfahrens in Schritten gelöst werden-
a) Setze u1 > 0 (z.B. u1 = 0), k = 1
b) Berechne wf+1 für i = 1,2,. ., m gemäß
A8.66a)
;{0,wf+1} A8.66b)
c) Falls ein Abbruchkriterium, z B. |^(ufc+1) - ip(uk)\ <£,£>0, nicht erfüllt ist, wird Schritt b) mit
k -t-1 an Stelle von k wiederholt
Unter der Voraussetzung, daß ein x mit Ax < b existiert, konvergiert die Folge {^(ufc)} gegen den
Minimalwert ipm-m und die mittels A8.65) gebildete Folge {xfc} gegen die Lösung x* des
Ausgangsproblems Dagegen konvergiert die Folge {\r} nicht immer.
Zu weiteren Verfahren zur Lösung quadratischer Optimierungsprobleme s [18 10].
18.2.4 Numerische Suchverfahren
Suchverfahren ermöglichen für eine Reihe von Optimierungsproblemen, mit geringem Rechenaufwand
akzeptable Näherungslösungen zu ermitteln. Sie beruhen prinzipiell auf dem Vergleich von
Funktionswerten.
894 18. Optimierung
18.2.4.1 Eindimensionale Suche
Viele Optimierungsverfahren beinhalten als Teilaufgabe die Minimierung einer Funktion f(x) für x €
[a, b] Oft ist dabei eine Näherung x für den Minimalpunkt x* ausreichend.
1. Aufgabenstellung Es sei / auf [a, b] unimodal und x* ein globaler Minimalpunkt. Dann soll ein
Intervall [c, d] C [a, b] mit x* € [c, d] und d — c < e, e > 0 bestimmt werden Dabei heißt f(x). xGR
eine unimodale Funktion im Intervall [a, 6], falls / auf jedem abgeschlossenen Teilintervall J C [a,6]
genau einen lokalen Minimalpunkt besitzt. ,
2. Gleichmäßige Suche Man wählt n (n ganzzahlig) so, daß 6 = < - gilt, und berechnet
die Werte f(xk) für xk = a + kö, k = 1,..., n. Ist f(x) unter diesen Funktionswerten ein kleinster
Wert, dann liegt der Minimalpunkt x* im Intervall [x — ö, x + S] Die für die geforderte Genauigkeit
notwendige Anzahl von Funktionswertberechnungen kann mittels
n> 2{6^a) _l ' (l867)
abgeschätzt werden.
3. Verfahren des Goldenen Schnittes und Fibonacci-Verfahren Das Intervall [a, b] = [ahbi]
wird schrittweise so verkleinert, daß das jeweils neue Teilintervall den Minimalpunkt x* enthält. Im
Intervall [ai,6i] werden die Punkte
Ai = ßi + A - r)(bi — ai) , fr = ai + r(bi — d\) mit A8 68a)
^5-
-1)« 0,618 A868b)
ermittelt. Das entspricht einer Teilung nach dem Goldenen Schnitt
Es sind zwei Fälle zu unterscheiden:
a) /(Ai) < f(tii)' Man setzt a2 = a\ , b2 = Hi und ß2 = Ai A8 69a)
b)/(Ai) >/(/ii): Man setzt a2 = Xi , b2 = h und A2 = //i- A8 69b)
Ist b2 — ö2 > £, dann wird das Verfahren mit dem Intervall [a2, b2] wiederholt, wobei aber nunmehr
einer der Werte f(X2) (Fall a)) bzw f(fi2) (Fall b)) aus dem ersten Schritt verwendet werden kann.
Zur Berechnung eines Intervalls [an,6n], in dem der Minimalpunkt x* liegt, sind somit insgesamt n
FunktionsWertberechnungen erforderlich. Aus der Forderung
e>bn-an = Tn-1(b1-a1) A8 70)
kann eine Abschätzung der notwendigen Schrittzahl n gewonnen werden.
Mit dem Verfahren des Goldenen Schnittes wird höchstens eine Funktionswertberechnung mehr
benötigt als mit dem Fibonacci-Verfahren. An Stelle einer Intervallunterteilung gemäß dem
Goldenen Schnitt erfolgt hier eine Unterteilung mit Hilfe der FiBONACCl-Za/i/en (s. 5.4 1 5, S 334 und
17 3.2.4,3.,3.,S. 871)
18.2.4.2 Minimumsuche im n-dimensionalen euklidischen Vektorraum
Die Suche nach einer Näherung für einen Minimalpunkt x* des Problems /(x) = min', x G Rn, kann
auf die Lösung einer Folge eindimensionaler Optimierungsprobleme zurückgeführt werden.
a) Man setzt x = x1, k = 1, wobei x1 eine geeignete Ausgangsnäherung für x* ist A8 71a)
b) Man löst für r = 1,2, , n die eindimensionalen Probleme
¥?(Qr) = /(xJ+1,...,a;j!+11,a;J + Qr,a;J+1,.. ,a£) = min!, ar e R A8 71b)
Ist är ein Minimalpunkt bzw eine Näherung des r-ten Problems, dann setzt man xk+1 = xk + är.
c) Unterscheiden sich zwei aufeinander folgende Näherungen hinreichend wenig, d.h gilt für die Norm
oder /(xfc+1) - fUk) < £2, A8 71c)
18.2 Nichtlineare Optimierung 895
dann ist xfc+1 eine Näherung für x*. Anderenfalls geht man mit k + 1 an Stelle von k zu Schritt b
über Die eindimensionalen Probleme im Schritt b können unter anderem mit den in 18.2.4.1, S. 894
beschriebenen Suchverfahren gelöst werden
18.2.5 Verfahren für unrestringierte Aufgaben
Es wird das allgemeine Optimierungsproblem
/(x) = min! für x € Rn A8 72)
mit einer stetig differenzierbaren Funktion / betrachtet Mit den in diesem Abschnitt beschriebenen
Verfahren wird eine im allgemeinen unendliche Punktfolge {xk} G Rn konstruiert, deren
Häufungspunkte stationäre Punkte sind. Die Punktfolge wird ausgehend von x1 G Rn nach der Vorschrift
= xk + akdk (fc = l,2,...)
A8.73)
berechnet, d h , in xk wird eine Richtung dfc G Rn bestimmt und mittels des Schrittweitenparameters
ü;fc G R festgelegt, wie weit xk+1 in Richtung dk von xk entfernt liegt. Ein so konstruiertes Verfahren
heißt Abstiegsverfahren , wenn gilt
/(xfc+1) < /(x*) (* = 1,2,...) A8.74)
Die Bedingung V/(x) = 0, wobei V der Nablaoperator ist (s 13.2.6 1, S 677), charakterisiert einen
stationären Punkt und kann als Abbruchtest für die Iterationsverfahren herangezogen werden.
Die in den folgenden Abschnitte angeführten Verfahren unterscheiden sich hinsichtlich der Festlegung
der Richtungen dk und der Schrittweiten ak .
18.2.5.1 Verfahren des steilsten Abstieges (Gradientenverfahren)
Ausgehend vom aktuellen Punkt xfe, wird dk als Richtung des lokal steilsten Abstieges festgelegt durch
dfc = -V/(xfc). A8 75a)
Es ist also
xfc+1 = xfc - akVf{xk). A8.75b)
Eine schematische Darstellung des Gradientenverfahrens mit den Niveaulinien /(x) = /(x*) zeigt die
Abb. 18.6. Die Schrittweite ak wird nach dem
CAUCHY-Prinzip, auch Prinzip der Strahlminimie-
rung genannt, ermittelt, d.h., ak löst die
eindimensionale Aufgabe
/(x* + adfc) = minl, a > 0. A8.76)
Dazu können Verfahren aus 18.2.4, S. 893ff
herangezogen werden. Das Gradientenverfahren A8.75b)
konvergiert relativ langsam. Für jeden
Häufungspunkt x* der Folge {xk} gilt V/(x*) = 0. Für eine
quadratische Zielfunktion, d.h. /(x) = xTCx+pTx,
Niveaulinien
;)=f(xi)
Vffei)
Abbildung 18 6
besitzt das Verfahren die Form:
xk+1 = xk + akdk A8.77a) mit dfe = -BCxfc + p) und ak =
dfcTdfc
2dfcTCdA:
A8.77b)
18.2.5.2 Anwendung des Newton-Verfahrens
Die Funktion / wird im aktuellen Näherungspunkt xk durch eine quadratische Funktion approximiert:
?(x) = /(xfc) + (x - xfc)TV/(xfc) + ^(x - xfc)TH(xfc)(x - xfc)
A8 78)
896 18. Optimierung
Dabei ist H(xfc) die HESSE-Matrix, d.h die Matrix der zweiten partiellen Ableitung von / im Punkt
x^ . Ist H(xfc) positiv definit, dann hat q(x) an der Stelle xfc+1 mit Vg(xfc+1) = 0 ein globales Minimum,
und man erhält für das NEWTON-Verfahren die Iterationsvorschrift
xfc+1 = xk - H(xA;)V/(xfc) (k = 1,2, ..), d.h., es ist A8 79a)
dk = -H(xfc)V/(xfc) und ak = 1 A8.79b)
Das NEWTON-Verfahren hat eine hohe Konvergenzgeschwindigkeit, der aber folgende Nachteile
gegenüberstehen.
a) Die Matrix H(xfc) muß positiv definit sein.
b) Das Verfahren konvergiert nur für hinreichend gute Startwerte
c) Es gibt keine Schrittweitensteuerung
d) Das Verfahren ist im allgemeinen kein Abstiegsverfahren.
e) Der Aufwand zur Berechnung von H_1(xfc) ist mitunter recht groß.
Einige Nachteile können durch die folgende Version eines gedämpften Newton -Verfahrens behoben
werden-
xfc+1=xfc-afcH-1(x*)V/(xfc) (fc = l,2,. .). A8 80)
Der Dämpfungsfaktor ak kann unter anderem durch Strahlminimierung ermittelt werden (s. 18.2 5 1.
S. 895).
18.2.5.3 Verfahren der konjugierten Gradienten
Zwei Vektoren d1, d2 G Rn heißen konjugierte Vektoren bezüglich einer symmetrischen, positiv defini-
ten Matrix C, wenn gilt
dlTCd2 = 0. A8 81)
Sind d\d2,... ,dn paarweise konjugierte Vektoren bezüglich einer Matrix C, dann ist das konvexe
quadratische Problem q(x) = xTCx + pTx, x G ün, in n Schritten lösbar, wenn ausgehend von
einem beliebigen x1 die Folge xfc+1 = xfc + Cikdk gebildet wird, wobei ak als optimale Schrittweite
in Abstiegsrichtung gewählt wird. Unter der Annahme, daß /(x) in der Nähe des Minimalpunktes x*
annähernd quadratisch ist, d.h. C « -H(x*), kann das für quadratische Zielfunktionen
resultierende Verfahren auch auf allgemeinere Funktionen /(x) angewendet werden, ohne daß dabei explizit die
Matrix H(x*) benutzt wird
Das Verfahren der konjugierten Gradienten besteht aus folgenden Schritten-
a) x1 e Rn , d1 = -V/(xJ), A8 82)
wobei x1 eine geeignete Ausgangsnäherung für x* ist.
b) xfc+1 = xfc + <*kdk {k = 1, ., n) mit ak > 0 so, daß f(xk + adk) minimiert wird A8 83a)
dk+l = -V/(xA:+1) + ßkdk (k = 1,. ., n - 1) mit A8 83b)
= V/(xfc+1) V/(xfc+1) und dn+1 = _v/(xn+i) A8 83c)
V/(xfc)TV/(xfc) " n~ V ]
c) Wiederholung des Schrittes b) mit xn+1 und dn+1 an Stelle von x1 und d1
18.2.5.4 Verfahren von Davidon, Fletcher und Powell (DFP)
Mit dem DFP-Verfahren ermittelt man, ausgehend von x1 G Rn, eine Punktfolge nach der Vorschrift
xfc+1 = xfc - afcMfcV/(xfc) (k = 1, 2,...). A8 84)
Dabei ist M& eine symmetrische, positiv dennite Matrix Die Idee des Verfahrens besteht in einer
schrittweisen Approximation der inversen HESSE-Matrix durch die Matrizen M^ in dem Falle daß
18 2 Nichtlineare Optimierung 897
/(x) eine quadratische Funktion ist Ausgehend von einer symmetrischen, positiv definiten Matrix Mi,
z B. Mi = I (I Einheitsmatrix), wird M* aus Mfc_i durch Addition einer Rang-Zwei-Korrekturmatrix
vVT (Mfc-iWfc)(Mfc_iW*)T
Mk = Mfc_i + T 77p— A8 85)
v^v* wfc Mfcwfc
mit vfc = xfc - xfc_1 und wfc = V/(xfc) - V/(xfc_1) (fc = 2,3,...) ermittelt. Die Schrittweite ak erhält
man durch Strahlminimierung aus
/(xfc - öMfcV/(xfc)) = min!, a > 0. A8.86)
Ist /(x) eine quadratische Funktion, dann geht das DFP-Verfahren für Mi = I in das Verfahren der
konjugierten Gradienten über.
18.2.6 Evolutionsstrategien
Evolutionsstrategien sind dem Vorbild der natürlichen Evolution nachgebildete stochastische
Optimierungsverfahren Sie beruhen auf den Prinzipien Mutation, Rekombination und Selektion
1. Mutation Aus einem Elternpunkt xE wird durch eine zufällige Variation d ein Nachkomme
x.n = *e + d gebildet. Mit einer normalverteilten Variation d sind kleine Änderungen wahrscheinlich,
große Abweichungen treten dagegen nur selten auf.
2. Rekombination Aus einer Population von m Eltern können Nachkommen durch Mischen der
Informationen zweier oder mehrerer zufällig ausgewählter Eltern gebildet werden. Ein Nachkomme
kann dabei z B. aus dem gewichteten Mittel von n Eltern gebildet werden:
n n
xAr = ^aiXEi, 53a< = l, 2<n<m. A8.87)
t=i *=i
3. Selektion Anhand eines Vergleiches der Zielfunktionswerte f(x) werden der oder die besten
Punkte für die nachfolgende Generation ausgewählt
Die Evolutionsstrategien werden bezüglich der Anzahl der Eltern und Nachkommen, der Anzahl der
an der Rekobination beteiligten Eltern sowie der Vorschriften für Mutation und Selektion klassifiziert.
Nähreses dazu findet man in [18 9].
18.2.6.1 Mutations-Selektions-Strategie
Dieses Verfahren gleicht dem Gradientenverfahren aus 18.2 5.1, S. 895 mit dem Unterschied, daß die
Richtung dk ein normal verteilter Zufallsvektor ist.
1. Mutationsschritt In der Generation k wird aus einem Elternpunkt durch Addition einer
normalverteilten Variation ein Nachkomme ermittelt gemäß:
xkN = xEk+adk A8.88)
Der Faktor a ist ein Parameter zur Steuerung der Schrittweite über den die Konvergenzgeschwindigkeit
beeinflußt werden kann.
2. Selektionsschritt Der Punkt mit dem kleineren Zielfunktionswert wird zum Elternpunkt der
nächsten generation fc + 1:
fx* falls /(x&) < /(x|) /1889x
\x| sonst ' ;
Das Verfahren wird beendet, wenn über eine bestimmte Anzahl von Generationen kein besserer
Nachkomme mehr ermittelt wird. Die Schrittweite a kann vergrößert werden, wenn die Mutation häufig zu
zu einem verbesserten Nachkommen führt. Bei geringer Erfolgsrate ist a zu verkleinern.
18.2.6.2 Strategien mit Rekombination
Ausgehend von einer Population von m Eltern der k-ten Generation XE = {xEl,..., x^m } wird durch
Rekombiantion und Mutation eine Menge von n Nachkommen X^ = {x^ , •. , x^m} gebildet. Jeder
Nachkomme wird durch eine Kombination von zwei oder mehr zufällig ausgewählten Eltern ermittelt.
vfc+i .
898 18. Optimierung
Aus den n + m Punkten der Mengen X\ und X^ werden die besten m Punkte für die nächste Elterngo-
neration X^+l = {xj^J, ^x^1} ausgewählt. Bei einigen Strategien nehmen nur die Nachkommen
Xjy an der Auswahl teil In diesem Falle können die Zielfunktionswerte der Nachkommen giößer sein
als die der Eltern und lokale Optima wieder verlassen werden.
18.2.7 Gradientenverfahren für Probleme mit
Ungleichungsrestriktionen
Wenn das Problem
/(x) = min' bei #(x) < 0 (i = 1,. ., m) A8 90)
mit einem Iterationsverfahren der Art
xfc+1 = x* + akdk (fc=l,2, ) A8 91)
gelöst werden soll, dann sind auf Grund des eingeschränkten zulässigen Bereiches zwei
Voraussetzungen zu beachten:
1. Die Richtung dfc muß eine in xfe zulässige Abstiegsrichtung sein.
2. Die Schrittweite ak ist so zu bestimmen, daß auch xk+1 in M liegt.
Die verschiedenen Verfahren gemäß Vorschrift A8 91) unterscheiden sich in der Konstruktion der
Richtung dfc Um die Zulässigkeit der Folge {xfe} C M zu sichern, werden a'k und ak folgendermaßen
bestimmt
a'k aus f(xk + adk) = min!, a>0 und a£ = max{a € R . xk + adk € M} . A8 92)
Daraus resultiert
ak = minjofj,, ak } . A8 93)
Wenn in einem Schritt k keine zulässige Abstiegsrichtung dk existiert, dann ist xk ein stationärer Punkt
18.2.7.1 Verfahren der zulässigen Richtungen
1. Richtungssuchprogramm Eine zulässige Abstiegsrichtung dk im Punkt xk kann durch Lösung
des folgenden Optimierungsproblems gewonnen werden.
er = min' A8 94)
V^(xfc)Td < er, iE Jo(xfc), A8 95a)
V/(xfe)Td < a , A8 95b)
||d|| < 1 A8 95c)
Gilt für die Lösung d = dk dieses Richtungssuchprogrammes a < 0, dann sichert A8 95a) die
Zulässigkeit und A8 95b) die Abstiegseigenschaft von dfc Mit der Normierungsbedingung A8.95c) wird der
zulässige Bereich für das Richtungssuchprogramm beschränkt. Ist a = 0, dann ist x^ ein stationärer
Punkt, da in xfc keine zulässige Abstiegsrichtung existiert.
Ein gemäß A8 95a,b,c) definiertes Richtungssuchprogramm kann innerhalb der Folge der
beschränkten xfc ein Zickzack-Verhalten verursachen Das kann vermieden werden, wenn die Indexmenge /o(xA)
durch die Indexmenge
/£fc(xfc) = {ie{l, .,m} -ek < 9i(xk) < 0}, ek>0 ' A8 96)
der sogenannten in xfc e^-aktiven Restriktionen ersetzt wird Dadurch werden lokale Abstiegsrichtun-
gen ausgeschlossen, die von xfc ausgehend näher an den von ^-aktiven Restriktionen gebildeten Rand
von M heranführen (Abb. 18.7)
Ist nach dieser Modifizierung a = 0 Lösung von A8 95a,b,c), dann ist xk nur dann ein stationärer
Punkt, wenn Io(xk) = ISk{^k) erfüllt ist Anderenfalls ist sk geeignet zu verkleinern und das
Richtungssuchprogramm zu wiederholen (s [18 6])
18 2 Nichtlineare Optimierung 899
gi(x)=0
g2(x)=0
Abbildung 18 7
2. Spezialfall linearer Restriktionen Sind die Funktionen ^(x) linear, d.h. ^(x) = a,Tx — ^,
dann kann ein einfacheres Richtungssuchprogramm aufgestellt werden:
c = V/(xfc) d = min! bei
a,Td<0, t€/o(xfc) bzw i e I£k{xk),
lldll < 1.
-Vf(xk)
a)
^?fä\
Abbildung 18 8
A8 97)
A8 98a)
A8 98b)
Die Wirkung der Wahl verschiedener Normen
j|d|| = maxfldil} < 1 bzw. ||d|| = y/^fd < 1
ist in Abb.l8.8a,b gezeigt.
Die in einem gewissen Sinne beste Wahl der Norm
ist ||d|| = ||d||2 = yf<fd, denn mit dem
Richtungssuchprogramm ermittelt man das d^, das
den kleinsten Winkel mit — V/(xfc) bildet Dann
ist das Richtungssuchprogramm jedoch nicht
linear und erfordert einen höheren Rechenaufwand
Dagegen ergibt sich mit ||d|| = ||d||oo = max{|<ii|} < 1 ein System linearer Nebenbedingungen
— 1 < di < 1 (i = 1,... ,n), so daß das Richtungssuchprogramm z.B. mit dem Simplexverfahren
gelöst werden kann.
Um zu sichern, daß das Verfahren der zulassigen Richtungen für quadratische Optimierungsprobleme
/(x) = xTCx+pTx = min! mit Ax < b in endlich vielen Schritten zum Ziel führt, wird das
Richtungssuchprogramm durch die folgende Konjugationsvorschrift ergänzt: Ist in einem Schritt a^_i = ot'k_i,
d h x* ist ein „innerer" Punkt, dann wird dem Richtungssuchprogramm die Bedingung
dfc-lTCd = 0 A8.99)
hinzugefügt. Weiterhin werden entsprechende Bedingungen aus vorhergehenden Schritten beibehalten
Die Bedingung A8 99) wird erst fallengelassen, wenn in einem Schritt ak = a'k' gesetzt wird
¦ /(x) = x\ + 4x1 ~ 10xi ~ 32-^2 = min! #i(x) = -xi < 0, g2(x) = -x2 < 0,
03(x) = xi + 2x2 - 7 < 0, 04(x) = 2xl + x2 - 8 < 0.
1 Schritt: Start mit x1 = C,0)T, V/(xx) = (-4, -32)T, ^(x1) = {2}
Richtungssuchprogramm
-4di - 32d2 =
-^2<0, ||d
< 1
d1^!,!I
Strahlmimierung. a'k = —
dk V/(xfc)
2dfcTCdfc
Maximal zulässige Schrittweite* a'k = min
9i(*k)
a/dfc
für i mit a/cT > 0
18
5 '
900 18. Optimierung
ai
2. Schritt
lT'3j 3' " ~ U'3j
8 _
3'
= {
:V/(x2) = (-|-f)T, /o(x2) = {4}.
Richtungssuchprogramm
~sdl ~ Yd2 = min!
2rf1 + d2<0, lldll«,^
.}
(-;•>)'
152
"öT'
3^o, = -l^ = C,2)\
3. Schritt: V/(x3) = (-4, -16)T, /0 = (x3) = {3,4}.
{—4di — 16^2 = min'
dI + 2d2<0, 2d1+d2<0,
1, a» = 3 =>o» = l, J£t=B.|)T
a
(-¦!)'
0
Das nächste Richtungssuchprogramm liefert a = 0
Daher ist x* = x4 der Minimalpunkt (Abb. 18.9).
18.2.7.2 Verfahren der projizierten
Gradienten
1. Aufgabenstellung und Lösungsprinzip
Gegeben ist das konvexe Optimierungsproblem
/(x) = min! bei a,Tx < bu A8.100)
mit i = 1, . .,ra. Eine zulässige Abstiegsrichtung dk
im Punkt xk G M wird auf folgende Weise ermittelt
Ist — V/(xfc) eine zulässige Richtung, dann wird dfc =
—V/(xfc) gesetzt. Anderenfalls liegt xfc auf dem Rand von
M und — V/(xfc) zeigt aus M hinaus. Mittels einer
linearen Abbildung Pfc wird der Vektor -V/(xfc) auf eine li-
1 2 3 4 xi
Abbildung 18.9
neare Teilmannigfaltigkeit des Randes von M projiziert die von einer Teilmenge der in xfc aktiven
Restriktionen gebildet wird. Die Projektion auf eine Kante zeigt die Abb. 18.10a, die Projektion auf eine
Seitenfläche die Abb. 18.10b. Unter der Voraussetzung der Nichtentartungsbedingung, d.h. für alle
x e Rn sind die Vektoren aj, i 6 70W, linear unabhängig, ist eine solche Projektion gegeben durch
dk = -PfcV/(xfc) = - (i - AfcT(AfcAfcT)_1Afc) V/(x*).
A8 101)
Dabei besteht Ajt aus allen den a^, deren entsprechende Nebenbedingungen die lineare Teilmannig-
faltigkeit bilden, in die —V/(xfc) projiziert werden soll.
-Vf(xk)^
b)
Abbildung 18.10
2. Algorithmus Das Verfahren der projizierten Gradienten besteht aus folgendem Algorithmus
Starte mit x1 £ M , setze k = 1 und gehe nach folgendem Schema vor:
18.2 Nichtlineare Optimierung 901
I: Ist —V/(xfc) zulässige Richtung, dann wird dk = —V/(xfc) gesetzt und mit III fortgesetzt.
Anderenfalls wird Ak aus den Vektoren azT mit i G Jo(xfc) gebildet und zu II übergegangen
II: Es wird dk = - (i - AfcT(AA;AA;T)~1Afc) V/(xfc) gesetzt Ist dk ^ 0, wird mit III fortgesetzt.
Ist dk = 0 und gilt u = -(AkA/J) AkVf(xk) > 0, dann ist xk ein Minimalpunkt. Die lokalen
KUHN-TUCKER-Bedingungen - V/(xfc) = £ u^ = AfcTu sind offensichtlich erfüllt.
i€/o(x/c)
Ist u ^ 0 , dann ist ein i mit Ui < 0 zu wählen, die i-te Zeile aus A& zu streichen und II zu wiederholen
III: Berechnung von ak sowie von xfc+1 = xfc + ctkdk und Übergang mit k = k + 1 zu I.
3. Bemerkungen zum Algorithmus Wenn —V/(xfc) nicht zulässig ist, wird dieser Vektor
zunächst in die Teilmannigfaltigkeit geringster Dimension, auf der xk liegt, abgebildet Ist dk = 0 , dann
steht —V/(xfe) senkrecht auf dieser Teilmannigfaltigkeit Gilt nicht u > 0 , dann wird durch Weglassen
einer aktiven Nebenbedingung die Teilmannigfaltigkeit um eine Dimension erweitert, wodurch dk ^ 0
eintreten kann (Abb. 18.10b) (mit Projektion auf eine Seitenfläche) Da A& häufig aus Ak-i durch
Hinzufügen bzw Streichen einer Zeile entsteht, kann die aufwendige Berechnung von (AfcAfcT)
erleichtert werden, indem die Kenntnis von (Ak-iAk-iT) genutzt wird (s [18.6], [18 10])
¦ Lösung des Problems im vorangegangenen Beispiel in 18.2.7.1,2., S 899
1 Schritt x1 = C,0)T,
1 V/(xx) = (-4, -32)T, -V/(x1) ist zulässig, d1 = D,32)T..
1 /1 fi 8\^
III Die Schrittweite wird wie im vorangegangenen Beispiel ermittelt: a\ = —, x2 = ( —, - ) .
20 \ 5 5/
2 Schritt:
—g-,—g-) (nicht zulässig),/0(x2) = {4}, A2 = B 1).
III a2 = 5,x3 = C,2)T.
3 Schritt:
I: V/(x3) = (-4, -16)T (nicht zulässig), 70(x3) = {3,4}, A3 = ( * ^) .
II.Pa=(S ^),d3 = @,0)T,u=(|,-?)Tu2<0: A3 = A 2).
4 Schritt
I: V/(x4) = (-6, -12)T (nicht zulässig), /0(x4) - {3}, A4 = A3
II P4 = P3, d4 = @,0)T, u = Q>0
Daraus folgt, daß x4 Minimalpunkt ist.
902 18. Optimierung
18.2.8 Straf— und Barriereverfahren
Das Grundprinzip dieser Verfahrensklasse besteht darin, daß ein Optimierungsproblem mit
Nebenbedingungen durch Modifikation der Zielfunktion in eine Folge von Optimierungsaufgaben ohne Neberi-
bedingungen umgeformt wird. Die modifizierten Probleme können z.B. mit Verfahren aus 18 2 5, S. 895
gelöst werden Bei geeigneter Konstruktion der modifizierten Zielfunktionen ist jeder Häufungspunkt
der Folge der Lösungspunkte dieser Ersatzprobleme eine Lösung der ursprünglichen Aufgabe
18.2.8.1 Strafverfahren
Das Problem
/(x) = min! bei #(x) < 0 (i = 1,2,... ,m) A8 102)
wird durch die Folge unrestringierter Minimumaufgaben
#(x,Pfc) = /(x)+PfcS(x) = min! mit x G Rn, pk > 0 {k = 1,2,. .) A8 103)
ersetzt. Dabei ist pk ein positiver Parameter Für 5(x) gilt
sv>-{zl VA <i8io4>
d.h., das Verlassen des zulässigen Bereiches M wird mit einer „Strafe" PkS(x) geahndet Das Problem
A8.103) wird mit einer gegen oo wachsenden Folge von Strafparametern pk gelöst. Es gilt
lim#(x,pfc) = /(x), xeM. A8 105)
k—>oo
Ist xk die Lösung des A:-ten Strafproblems, dann gilt
H(xk,Pk) > Jfte*-1,^-!), f(xk) > f^-1), A8.106)
und jeder Häufungspunkt x* der Folge {xk} ist eine Lösung von A8 102) Ist eines der berechneten xk
in M enthalten, so löst xfc das Ausgangsproblem.
Als Realisierungen für S(x) sind z B. geeignet:
5(x) = maxr{0,pi(x),.. ,pm(x)} (r = l,2, .) oder A8 107a)
S(x) = £maxr{0,^(x)} (r = l,2,...)
A8 107b)
Sind die Funktionen /(x) und <ft(x) differenzierbar, so erreicht man im Falle r > 1 auch auf dem Rand
von M Differenzierbarkeit der Straffunktion H(x,pk), so daß analytische Hilfsmittel zur Lösung des
Hilfsproblems A8.103) herangezogen werden können.
Abb. 18.11 zeigt eine Veranschaulichung des Strafverfahrens.
H(x/Pl)
Abbildung 18 11
Abbildung 18.12
18 2 Nichtlineare Optimierung 903
B /(x) = x\ + x\ = min! bei xi + x2 > 1, H(x,Pfc) = £? + #! + Pa: max2{0,1 — x\ — x2} .
Die notwendige Optimalitätsbedingung lautet
Vtf(x,pfcJ - {2x2-2pkmax{0,l-x1-x2}) ~ \0) '
Der Gradient von H wird hier nur bezüglich x gebildet. Durch Subtraktion beider Gleichungen folgt
Pk
x\ = x2 Die Gleichung 2x\ — 2pk max{0,1 — 2x\) = 0 besitzt die eindeutige Lösungx\ = x\ =
1 + 2pk
Pk 1
Durch den Grenzübergang k —> oo ergibt sich als Lösung sc? = xj = lim — = - .
k-*oo 1 + 2pk 2
18.2.8.2 Barriere verfahren
Es wird eine Folge von Ersatzproblemen der Form
ff (x, qk) = /(x) + qkB(x) = min!, qk > 0 A8.108)
betrachtet. Der Term qkB(x) verhindert, daß der zulässige Bereich M bei der Lösung von A8.108)
verlassen wird, indem die Zielfunktion bei Annäherung an den Rand von M unbeschränkt wächst. Die
Regularitätsbedingung
M° = {xeM : ft(x)<:0 (i = 1,2, ,m)}^0 und W = M A8.109)
sei erfüllt, d h , das Innere von M ist nicht leer und der Abschluß von M° ist gleich M.
Die Funktion B(x) ist auf M° definiert und stetig. Sie wächst auf dem Rand von M nach oo. Das
Ersatzproblem A8.108) wird mit einer gegen Null fallenden Folge von Barriereparametern qk gelöst
Für die Lösung xfc des fc-ten Problems A8.108) gilt
fUk)<f(xk-1), A8 110)
und jeder Häufungspunkt x* der Folge {xfc} ist eine Lösung von A8.102)
Abb.18.12 zeigt eine Veranschaulichung des Barriereverfahrens.
Als Realisierungen für die Funktion B(x) sind z.B geeignet
m
£(x) = - Yl - ln(-#(x)), x € M° oder A8.111a)
*=i
m -1
b(x) = Zt-T7ZW (»- = 1.2,...). S€M°. . A8.111b)
B/(x) = x\ + x2 = min! bei sci+xä > 1, H(x,qk) = xf + £2+ #*:(— ln(ici + x2 — 1)), Xi+x2 > 1,
V#(x,<fo) =
Bxx-qk -^
£i — a;2 — 1
2x2 - gfc-
©¦
Xi + £2 > 1
V *^2 Hk . .
\ Xi + X2 - 1 /
Der Gradient von H wird hier nur bezüglich x gebildet. Subtraktion beider Gleichungen ergibt x\ = x2,
1 « 1 o X\ qk 1
2xi-qk2x7^i = °'Xl>2^ Xi-y-T = 0'Xl>2'
, , l n r~ , n * , i
*1 = X2 = J + Y Yg + 4*b> * "^ °°' «fc ~* 0; «1 = *2 = ".
Die Lösung der Aufgaben A8.103) und A8 108) im fc-ten Schritt hängt nicht von den Lösungen der
vorangegangenen Schritte ab Bei der Verwendung großer Straf- bzw. kleiner Barriereparameter treten
bei der Lösung von A8.103) und A8.108) mittels numerischer Verfahren, z.B Verfahren aus 18 2.4,
S. 893 häufig Konvergenzprobleme auf, falls keine gute Startnäherung verfügbar ist. Praktisch nutzt
man deshalb den Lösungspunkt des fc-ten Ersatzproblems als Startwert der Lösung des (k + l)-ten
Problems.
904 18. Optimierung
18.2.9 Schnittebenenverfahren
1. Aufgabenstellung und Lösungsprinzip Es wird das Optimierungsproblem
/(x) = cTx = min!, c <G Rn A8 112)
über dem beschränkten Bereich M C Rn , der mit konvexen Punktionen ^(x) (i = 1, 2,. , m) durch
&(x) < 0 beschrieben ist, betrachtet. Ein Problem mit nichtlinearer, aber konvexer Zielfunktion /(x)
wird in diese Form überführt, indem
/(x)-z„+i<0, xn+1eR A8 113)
als weitere Nebenbedingung aufgenommen und
7(x) = xn+1 = min! für alle x = (x, xn+1) G Rn+1 A8.114)
mit <?^(x) = <7i(x) < 0 gelöst wird.
Die Grundidee des Verfahrens besteht in der iterativen linearen Approximation von M in der Nähe
des Minimalpunktes x* durch konvexe Polyeder, womit das Ausgangsproblem auf eine Folge linearer
Programme zurückgeführt wird.
Zunächst wird ein Polyeder
A8 115)
bestimmt. Aus dem linearen Programm
/(x) = min! bei xePj A8116)
wird ein bezüglich /(x) optimaler Eckpunkt x1
von Pi erhalten Ist x1 € M, dann ist die
Optimallösung des Ausgangsproblems gefunden.
Anderenfalls wird eine Hyperebene Hi = {x : as+1Tx =
b8+i, as+1Ta:1 > bs+i}, die den Punkt x1 von M
trennt, ermittelt, so daß das neue Polyeder
P2 = {*eP1 as+1Tx<^+i} A8 117)
erhalten wird.
Abb. 18.13 zeigt eine schematische Darstellung des
Schnittebenenverfahrens
2. Verfahren von Kelley Die verschiedenen Verfahren unterscheiden sich in der Wahl der
trennenden Hyperebenen Hk ¦ Beim Verfahren von KELLEY wird Hk auf folgende Weise bestimmt: Es wird jk
derart gewählt, daß gilt
gjk{xk) = max{9i(xk) (i = l,. .,m)}. A8 118)
Die Funktion gjk(ü) besitzt im Punkt x = xfc die Tangentialebene
T(x) = ghUk) + (x - x*)TV&(x*) A8 119)
Die Hyperebene Hk = {x G Rn . T(x) = 0} trennt den Punkt xfc von allen Punkten x mit gjk(x) <
0. Daher wird als weitere Restriktion für das (k + l)-te lineare Programm T(x) < 0 gesetzt Jeder
Häufungspunkt x* der Folge {xfc} ist ein Minimalpunkt des Ausgangsproblems
In der praktischen Rechnung zeigt das Verfahren eine geringe Konvergenzgeschwindigkeit Außerdem
steigt die Restriktionszahl ständig an (s. auch [18.10]).
P\ = {x € Rn a/x < fei, i = 1,..., s}
f(x)=const.
Abbildung 18.13
18.3 Diskrete dynamische Optimierung 905
18.3 Diskrete dynamische Optimierung
18.3.1 Diskrete dynamische Entscheidungsmodelle
Mit den Methoden der dynamischen Optimierung kann eine breite Klasse verschiedenartigster
Optimierungsaufgaben gelöst werden. Die Probleme werden dabei als natürlich oder formal in der Zeit
ablaufende Prozesse betrachtet, die über zeitabhängige Entscheidungen gesteuert werden Läßt sich
der Prozeß in endlich bzw abzählbar unendlich viele Stufen einteilen, dann spricht man von diskreter
dynamischer Optimierung, anderenfalls von kontinuierlicher dynamischer Optimierung Im Rahmen
dieses Abschnittes werden nur rc-stufige diskrete Prozesse untersucht.
Zur kontinuierlichen dynamischen Optimierung s [18.13].
18.3.1.1 n-stufige Entscheidungsprozesse
Ein n-stufiger Prozeß P startet in der Stufe 0 mit einem Anfangszustand x,
Zwischenzustände 2^, x2, • •, xn-i m den Stufen 1,2,
Rm Die Zustandsvektoren Xj liegen in Zustandsbereichen Xj C Rm. Zur Überführung eines Zustandes
Xj_! in den Zustand Xj ist eine Entscheidung Uj zu treffen Alle möglichen Entscheidungsvektoren Uj
bei Vorliegen des Zustandes xj_l bilden den Entscheidungsbereich Uj(xj_i) C Rs. Aus Xj_Y ergibt sich
der Folgezustand Xj über die Transformation (Abb. 18.14)
x^^x^u,.), j = l(l)n A8 120)
x0 und führt über die
1 in einen Endzustand xn = xe € Xe C
Xa = So
8i(Xo' u^
HiG ui(*o)
xi
g2(xlr u2)
U2G U2(xa)
*2
*n-l
?
gn (*n-l> ün)
1 x '
HnG Un&i-
Xn = Xe
?
i)
Abbildung 18.14
18.3.1.2 Dynamische Optimierungsprobleme
Das Ziel besteht nun in der Ermittlung einer Politik (u1?... ,un), die unter Beachtung aller
Nebenbedingungen den Zustand xa in den Zustand xe überführt und dabei eine Zielfunktion bzw.
Kostenfunktion /(/i(xo>Mi), .., fniXn-iiUn)) minimiert Die Funktionen fj(Xj_1,uj) werden als Stufenkosten
bezeichnet Damit lautet das dynamische Optimierungsproblem in der Standardform
A8 121a)
ZF: /(/iCxo.Ui), ..,/n(x„-i,un))—>min!
NB: Xj =^-(xi_i,uj)
l(l)n,)
l(l)n,
:l(l)n.J
A8 121b)
i = l(l)n,'
2£o = 2£a, xn = xe e Xe, Xj E Xj C Rm, j =
ii,- e UjUj^) c R™, j :
Die Beziehungen x^ heißen dynamische und die Beziehungen x0,Uj statische Nebenbedingungen
Alternativ zu A8.121a) kann auch ein Maximumproblem vorliegen Eine Politik (u1? ,un), die alle
Nebenbedingungen erfüllt, wird als zulässig bezeichnet Um die Methoden der dynamischen
Optimierung anwenden zu können, werden in 18.3.3, S. 906 einige Forderungen an die Form der Kostenfunktion
gestellt.
18.3.2 Beispiele diskreter Entscheidungsmodelle
18.3.2.1 Einkaufsproblem
In der j-ten Periode eines in n Stufen unterteilbaren Zeitraumes benötigt ein Betrieb Vj
Mengeneinheiten eines bestimmten Ausgangsstoffes. Zu Beginn einer Periode j sei dieser Stoff in der Menge Xj-\
906 18. Optimierung
vorrätig, speziell sei x0 = xa vorgegeben. Davon ausgehend ist eine Entscheidung darüber zu treffen
welche Menge Uj zum Preis Cj pro Mengeneinheit einzukaufen ist Dabei darf die vorhandene
Lagerkapazität K nicht überschritten werden, d.h. Xj-\ +Uj < K. Gesucht ist eine Einkaufspolitik (u1} , un),
die die Gesamtkosten minimiert Dies fuhrt auf das folgende dynamische Problem
n n
ZF: f(uu • ,un) = J2fj(uj) = J2CJUJ—>min' A8.122a)
3=1 3=1
NB: Xj = Xj-i + Uj - Vj , j = l(l)n, "j
xQ = xa , 0 < Xj < K , j = l(l)n, \ A8 122b)
Uj(xj-i) = {uj : max{0,fj — Xj-i} < Uj < K — £j_i} , j = 1A)^. J
In A8 122b) ist berücksichtigt, daß der Bedarf immer gedeckt ist und die Lagerkapazität nicht
überschritten wird. Enstehen zusätzlich Lagerkosten / pro Mengeneinheit und Periode, dann betragen die
mittleren Lagerkosten in der j-ten Periode (xj-\ + Uj — Vj/2)l, und die modifizierte Kostenfunktion
lautet
n
f(x0, UU • • , Xn-uUn) = J2(CJUJ + fo'-l + UJ ~ Vj/2) ' 0- A8 123)
3=1
18.3.2.2 Rucksackproblem
Von den Artikeln A\, ,An mit den Gewichten w\,...,wn und den Werten ci, .., cn sind einige so
auszuwählen, daß ein Gesamtgewicht W nicht überschritten wird. Die getroffene Auswahl soll einen
maximalen Gesamtwert erreichen. Dieses Problem hängt nicht unmittelbar von der Zeit ab Es wird
auf folgende Weise „künstlich" dynamisiert In jeder Stufe wird eine Entscheidung Uj über die Auswahl
des Artikels Aj getroffen. Dabei ist für ein ausgewähltes Aj uj = 1, anderenfalls ist Uj = 0 Wird die
zu Beginn einer Stufe noch verfügbare Kapazität mit Xj-\ bezeichnet, dann ergibt sich das folgende
dynamische Problem:
n
ZF: f(uu • iun) = ^2cjuj —> max' A8 124a)
NB:
A8 124b)
18.3.3 Bellmansche Funktionalgleichungen
18.3.3.1 Eigenschaften der Kostenfunktion
Voraussetzung für die Aufstellung der BELLMANschen Funktiohalgleichungen sind zwei Forderungen
an die Kostenfunktion
1. Separierbarkeit Die Funktion /(/i(x0, Ui),. •., /n(xn-i> un)) heißt separierbar, wenn sie mit zwei-
argumentigen Funktionen H\,..., #n-i und mit Funktionen Fi,. ., Fn in folgender Form geschrieben
werden kann.
f{fl(x0,Ul),'--Jn{Xn-l,Un)) = *l(/l (Xo, ül), , /nfen-l, uj) ,
Fi(/i(x0,u1),...,/n(xn_1,un)) = ifi(/iBc0,u1),F2(/2(x1,u2),. . ,/n(xn_i,un))) ,
A8.125)
Jb j Jb j — 1 UJ jLLj)
xo = W, 0<Xj<W,
Uj G {0,1}, falls Xj-i > Wj,
Uj = 0 , falls Xj-i < Wj,
3 = l(l)n,
3 = 1A)«.
}j = l(l)n
Fn-l{fn-l(Xn-2,Un-l)Jn(xn-liUn)) = ^n-1 (/n-l(xn_2, Un-l), Fn(fn(*n-1, ün))) .
Fn(/n(xn_1,Un)) = /n(xn_i,Un) .
18.3 Diskrete dynamische Optimierung 907
2. Minimumvertauschbarkeit Eine Funktion //(/(a), F(b)) heißt minimumvertauschbar, falls gilt:
min ff (/(a), F(b)) = min ff (/(a), min F(b)) A8 126)
Diese Eigenschaft ist zum Beispiel dann erfüllt, wenn H für jedes aEi bezüglich des zweiten
Argumentes monoton wachsend ist, d.h., wenn für alle a € A gilt.
H (/(a), Ffe)) < ff (/(a), F(b2)) für F(fc) < F(b2) A8.127)
Für die Kostenfunktion des dynamischen Optimierungsproblems wird nun die Separierbarkeit von /
und die Minimumvertauschbarkeit aller Funktionen Hj, j = l(l)n — 1, gefordert. Folgende häufig
Verwendung findende Klassen von Kostenfunktionen genügen beiden Bedingungen:
rm = t,fA^-uUj) bzw. fmax= max /,(*,_„»,) A8.128)
j=l J=l(l)n
Die Funktionen Hj lauten
i/fm = /i(xi_1>iii)+ £ ACaSfc-i,!!*) bzw. A8.129)
k=j+i
tff^maxj/^^^ A8-130)
18.3.3.2 Formulierung der Funktionalgleichungen
Es werden die folgenden Funktionen definiert
0i(xJ-_1)= min FjUjtej^Uj),. ., /n(xn_!,un)), j = l(l)n, A8.131)
k=j(l)n
0n+l(xn)=O A8 132)
Falls keine Politik (u^, , un) existiert, die den Zustand x7_i in einen Endzustand xe € Xe überführt,
wird (j>j(xj_i) = oo gesetzt. Die Ausnutzung von Separierbarkeit und Minimumvertauschbarkeit sowie
der dynamischen Nebenbedingungen liefert für j = l(l)n
<fe(Xj_i)= min Hjifjix^Uj), min Fj+1(fj+1(xjiuj+1)y...Jn(xn__11jin)))i
fc=j+l(l)n
0j(Xj_i)= min Hj(fj(Xj_uUj),<l>j+1(gj(Xj_uUj)j) A8 133)
Die Gleichungen A8.133) zusammen mit Gleichung A8 132) werden als BELLMANsc/ie
Funktionalgleichungen bezeichnet. </>i(x0) ist der Optimalwert der Kostenfunktion /
18.3.4 Bellmansches Optimalitätsprinzip
Die Berechnung der Funktionalgleichung
<fe(Xj_i) = min Hj (/^Xj-i,^),^!^)) A8 134)
908 18 Optimierung
entspricht der Bestimmung einer optimalen Politik (u*, . , u*) für den mit dem Zustand Xj_i
startenden Teilprozeß Pj , welcher aus den letzten n — j + 1 Stufen des Gesamtprozesses P besteht und dem
die Minimierung der Kostenfunktion
^¦(x^u,-), ,/n(Xn-i,uJ) —> min! A8 135)
zugrunde liegt Die optimale Politik des Prozesses Pj mit dem Anfangszustand Xj_i ist unabhängig
von den Entscheidungen u1? , Uj_i in den ersten j — 1 Stufen von P, die zum Zustand Xj_i führten.
Für die Ermittlung von 4>j(xij_l) wird die Größe <^J-+1(xJ-) benötigt Ist nun (u*, , u*) eine optimale
Politik für Pj} dann ist offensichtlich (u*+1,... ,u*) eine optimale Politik für den Teilprozeß Pj+i zum
Anfangszustand X-,- = gj(Xj_uu*). Diese Aussage wird im BELLMANschen Optimalitätspnnzip
verallgemeinert.
BELLMANsches Prinzip: Ist (uj,. , u*) eine optimale Politik eines Prozesses P und (xj, ., x*) die
zugehörige Zustandsfolge, dann ist für jeden Teilprozeß Pj,j = l(l)n, mit dem Startzustand x*_x die
Politik (u*,. . ,u^) ebenfalls optimal (s. [18.1]).
18.3.5 Bellmansche Funktionalgleichungsmethode
18.3.5.1 Bestimmung der minimalen Kosten
Mittels der Funktionalgleichungen A8 132), A8 133) werden, mit </>n+i(xn) = 0 beginnend, für
abnehmende j alle Funktionswerte 4>j(xj_1) mit Xj_i G Xj-\ bestimmt Dies erfordert für jedes x-_x G Xj-\
die Lösung eines Optimierungsproblems über dem Entscheidungsbereich C/j(xj_i). Für jedes Xj_i
ergibt sich dabei eine Minimalstelle Uj als optimale Entscheidung für die erste Stufe eines mit Xj_!
beginnenden Teilprozesses Pj Sind die Mengen Xj nicht endlich oder auch sehr groß, dann können die Werte
4>j unter Umständen an ausgewählten Stützstellen x^ G Xj-\ berechnet werden, woraus mittels
Interpolation gegebenenfalls Zwischenwerte ermittelt werden können Mit fa (x0) ist der Optimal wert der
Kostenfunktion für den Prozeß P gefunden Die Ermittlung einer optimalen Politik (uj, . , u*) sowie
einer zugehörigen Zustandsfolge (xj, , x*) kann auf 2 Arten erfolgen.
18.3.5.2 Bestimmung der optimalen Politik
1. Variante 1: Mit der Auswertung der Funktionalgleichungen wird für jedes x^ G Xj-i die
ermittelte Minimalstelle u^ abgespeichert. Nach der Berechnung von 0i(xo) ist eme optimale Politik einfach
dadurch zu erhalten, daß zunächst aus dem für x0 = xj gespeicherten u^ = uj der Folgezustand
xj = #i(xo, uj) errechnet wird. Die für diesen Zustand xj gespeicherte Entscheidung uj; liefert x^ usw
2. Variante 2: Zu jedem Xj_i G Xj-i wird lediglich der Wert (j)j(Xj-i) gespeichert Nachdem alle
0j(xj-i) bekannt sind, schließt sich eine Vorwärtsrechnung an Beginnend mit j = 1 und x0 = 2£o w^d
u*l für wachsendes j durch Auswertung der Funktionalgleichung
<^(x*_i)= min ^(//(xJ-^UjO.^+ifefxJ-i.Uj-))) A8 136)
bestimmt Daraus ergibt sich jeweils x* = <7j(x*_l5 u*) In der Vorwärtsrechnung ist somit auf jeder
Stufe nochmals ein Optimierungsproblem zu lösen.
3. Vergleich beider Varianten Bei Variante 1 ist der Rechenaufwand etwas geringer, da die bei
der Variante 2 erforderliche Vorwärtsrechnung entfällt Dagegen muß für jeden Zustand x_j_1 eine
Entscheidung Uj abgespeichert werden, was für höherdimensionale Entscheidungsräume Uj(xj_i) zu einem
wesentlich höheren Speicherplatzbedarf, verglichen mit Variante 2, führt, bei welcher nur die Größen
0j(xj_i) zu speichern sind Für die Computerlösung wird deshalb in vielen Fällen Variante 2
vorzuziehen sein.
18.3 Diskrete dynamische Optimierung 909
18.3.6 Beispiele zur Anwendung der
Funktionalgleichungsmethode
18.3.6.1 Optimale Einkaufspolitik
1. Problemstellung Das Problem der Bestimmung einer optimalen Einkaufspolitik aus 18.3.2.1,
S. 905
n
/(tii, ...,un) = Y, CjUj —> min!
Xj = Xj-i + Uj — Vj , j — l(l)n ,
Xq = xa , 0 < Xj < K , j = l(l)n,
Uj(xj-i) = {uj . max{0,i>7 — £j-i} < Uj < K — £j_i} , j = l(l)n
fuhrt auf die Funktionalgleichungen
0n+l(O=O,
(t>j{xj-i)= min {CjUj + (ßj+^Xj^ + Uj - Vj)),
ujeUjixj-i)
i(i)n
2. Zahlenbeispiel
n = 6, AT = 10, xa = 2.
c4 =
v4
C5 :
^5 :
: 4, c6 =
= 4, V6 ¦-
2,
= 3.
ci =4, c2 = 3, c3 = 5,
vi = 6, f 2 = 7, i>3 = 4,
1. Rückwärtsrechnung: Die Funktionswerte 4>j(xj-i) werden an den Stützstellen Xj-\ =0,1,. ,10
bestimmt Es genügt dann, die Minimumsuche nur für ganzzahlige Entscheidungen Uj durchzuführen
j = 6 06 (#5) = mm c6^6 = Cq max{0, v$ — x5} = 2 max{0,3 — x5}
u^eUcix^)
Gemäß Variante 2 der BELLMANschen Funktionalgleichungsmethode werden nur die Werte 06 (#5) in
die letzte Zeile der Tabelle eingetragen Exemplarisch wird 04@) bestimmt.
04@) = min Cw4 + 05 (u4 — 2))
2<U4<10
= minB8,27,26,25,24,25,26,27,30) = 24.
j=l
2
3
4
5
6
x3=0
59
44
24
22
6
1
56
39
21
18
4
2
75
53
34
18
14
2
3
50
29
15
10
0
4
47
24
12
6
0
5
44
21
9
4
0
6
41
18
6
2
0
7
38
15
4
0
0
8
35
12
2
0
0
9
32
9
0
0
0
10
29
6
0
0
0
2. Vorwärtsrechnung:
£jB) = 75 = min Dwi + 02(«i - 4))
Als Minimalstelle ergibt sich u* = 4 und somit x\ = Xq + u\ — v\ = 0 Dieses Verfahren wird für 02@)
und alle nachfolgenden Stufen wiederholt. Die optimale Politik lautet*
(u[, u*2, uj, itj, itj, izj) = D,10,1,6,0,3).
18.3.6.2 Rucksackproblem
1. Problemstellung Gegeben sei das Problem aus 18 3.2.2, S. 906
ZF:
NB:
/K
,Un)
¦- E c3uj ¦
3=1
A8.137a)
910 18 Optimierung
A8 137b)
Xj = Xj-i — WjUj , j = l(l)n,
xo = W, 0 < Xj < W, j = l(l)n,
Uj- 6 {0,1}, falls xj-! > Wj, 1 = , .
itj = 0 , falls Xj-i < Wj , j J v '
Da ein Maximumproblem vorliegt, lauten die BELLMANschen Funktionalgleichungen jetzt
4>n+l(Xn) =0,
MX3-l) = maX SCJU3 + ^J + l^j-l - WJUj)) » J = U1)™ •
Da lediglich die Entscheidungen 0 und 1 auftreten, empfiehlt sich die Anwendung der Variante 1 der
Funktionalgleichungsmethode. Es ergibt sich für j = n, n — 1, ., 1
M („ \-lC3+ tj+lfa-l - Wj) für X3-l > W3 Und CJ + tj+lfa-l ~ Wj) > (fij+iiXj-i) ,
mxJ-i) ~ \ 0j+1(^_1) sonst,
Uj{Xj-i) = |0
2. Zahlenbeispiel
1 für Xj-i > Wj und Cj + (j)j+i(xj-i — Wj) > 0j+i(xj_i),
sonst.
W = 10, n = 6.
ci = 1, C2 = 2, c3 = 3, c4 = 1, c5 = 5, c6 = 4,
Wi = 2, iu2 = 4, ^3 = 6, W4 = 3, w5 = 7, w6 = 6
Aufgrund der Ganzzahligkeit der Gewichte u>j ist Xj G {0,1,. ., 10}, j = l(l)n, 0:0 = 10. Die Tabelle
enthält für alle Stufen und alle Zustände Xj_i die Funktionswerte (j>j(xj-i) und die jeweilige
Entscheidung Uj(xj-\). Exemplarisch werden die Größen 06 (#5), 03B), 03 F), und 03(8) berechnet
Mzs) = |o'
sonst
1 = 6, sonst,
0aB) x2 = 2 < w3 = 3 0aB) = 04B) = 3, u3B) = 0
03F) x2 > w3 und c3 + 03(x2 - w3) = 6 + 3 < 04(^2) = 10
03(8) x2 > w3 und c3 + 03(x2 - w3) = 6 + 9 > 04(^2) = 10:
Die optimale Politik lautet
{u\,ul,ul,u\,ul,ul) = @,1,1,1,0,1), 0i(lO) = 19
0aF) = 10, tz3F) = 0.
03(8) = 15, u3($) = 1
7 = 1
2
3
4
5
6
Xj = 0
0,0
0;0
0,0
0,0
0,0
1
3,0
3;0
3,1
0,0
0;0
2
4;1
3;0
3;1
0;0
0;0
3
7, 1
6, 1
3;1
0;0
0;0
4
9;0
9, 1
6;0
6;0
6;1
5
10; 1
9,0
9,1
7;1
6,1
6
13; 1
10; 0
10; 1
7; 1
6,1
7
13; 1
12, 1
10,1
7;1
6, 1
8
15; 0
15, 1
10; 1
7;1
6, 1
9
16; 0
16,1
13; 0
13; 1
6,1
10
19; 0
19; 1
16,0
16; 1
13; 1
6,1
911
19 Numerische Mathematik
In diesem Kapitel werden häufig nur die Grundprinzipien numerischer Verfahren beschrieben Ihre
Anwendung zur Lösung praktischer Aufgaben auf dem Computer erfordert in der Regel den Einsatz
von Numerik-Bibliotheken der kommerziellen Software. Einige dieser Bibliotheken werden in 19 8 3, S.
973ff vorgestellt. Die speziellen Computeralgebrasysteme Mathematica und Maple und deren
Numerikprogramme sind in Kapitel 20.1, S. 982ff. und in 19 8.4, S 975ff. beschrieben. Der Einfluß von Fehlern,
die beim numerischen Rechnen auf Computern auftreten, wird in 19.8.2, S. 968ff behandelt.
19.1 Numerische Lösung nichtlinearer Gleichungen mit einer
Unbekannten
Jede Gleichung mit einer Unbekannten läßt sich auf eine der beiden Normalformen bringen
Nullstellengleichung: f(x) = 0 A9.1)
Fixpunktgleichung: x = ip(x). A9-2)
Die Gleichungen A9.1) und A9 2) seien lösbar. Lösungen sollen mit x* bezeichnet werden. Zur
Gewinnung einer ersten Näherung für x* versucht man, die zu lösende Gleichung auf die Form fi(x) = f2{%)
zu bringen, bei der der Verlauf der Kurven y = fi{x) und y = /^(z) leicht zu übersehen ist.
¦ f(x) = x2 — sin x = 0 Aus dem Kurvenverlauf von y = x2 und y = sin x ist x\ = 0 und x\ ~ 0,87
ablesbar (Abb.19.1).
]0 1 2
=0 x*2«0,87
Abbildung 19.1 Abbildung 19.2
19.1.1 Iterationsverfahren
Das allgemeine Prinzip der iterativen Methoden zur genäherten Lösung von Gleichungen besteht darin,
ausgehend von bekannten Näherungswerten x^ (k = 0,1, .. , n) für eine Lösung, schrittweise, also
durch Iteration, eine Folge von weiteren Näherungswerten zu erzeugen, die möglichst schnell gegen die
betreffende Lösung der gegebenen Gleichung konvergiert
19.1.1.1 Gewöhnliches Iterationsverfahren
Zur Lösung einer Gleichung, die auf die Fixpunktform x — (p(x) gebracht worden ist, verwendet man
die naheliegende Iterationsvorschrift
xn+i = ip{xn) (n = 0,1,2,...; x0 gegeben), A9.3)
die als gewöhnliches Iterationsverfahren bezeichnet wird. Es konvergiert gegen eine Lösung x*, wenn
es eine Umgebung von x* (Abb. 19.2) mit
\tp(x) - (f(x*)\
< K < 1 (K = const)
A9.4)
912 19 Numerische Mathematik
gibt und die Ausgangsnäherung x0 m dieser Umgebung liegt Ist ip(x) differenzierbar, dann lautet die
entsprechende Bedingung
\tf{x)\ <K <1. A9 5)
Die Konvergenz des gewöhnlichen Iterationsverfahrens ist um so besser, je kleiner die Zahl K ist
¦ x2 = sinx, d.h.
\/sin£n.
n
Xn
sinxn
0
0,87
0,7643
1
0,8742
0,7670
2
0,8758
0,7681
3
0,8764
0,7684
4
0,8766
0,7686
5
0,8767
0,7686
Hinweis 1: Im Falle komplexer Lösungen setzt man x = u + iv . Durch Trennung von Real- und
Imaginärteil geht die zu lösende Gleichung in ein System zweier Gleichungen für die reellen Unbekannten
u und v über.
Hinweis 2: Die iterative Lösung nichtlinearer Gleichungssysteme findet man in 19.2.2, S. 923
19.1.1.2 Newton-Verfahren
1. Vorschrift des Newton-Verfahrens Zur Lösung der Nullstellengleichung f(x) = 0 verfährt das
Newton- Verfahren nach der Vorschrift
Xn+\ Xn
(n = 0,1,2,... , xq gegeben),
A9 6)
d h , es benötigt zur Berechnung des neuen Näherungswertes xn+\ die Werte der Funktion f(x) und
ihrer 1. Ableitung f'(x) an der Stelle xn .
2. Konvergenz des Newton-Verfahrens Für die Konvergenz des NEWTON-Verfahrens ist die
Bedingung
f'(x) + 0 A9 7a)
notwendig, die Bedingung
I/(*)/"(*) I
ff2(x)
< K < 1 (K = const)
A9.7b)
hinreichend Die Bedingungen A9.7a,b) müssen in einer Umgebung von x*, die alle Punkte xn sowie
x* enthält, erfüllt sein Falls das NEWTON-Verfahren konvergiert, dann konvergiert es so gut, daß sich
bei jedem Iterationsschritt die Anzahl der genauen Stellen etwa verdoppelt. Man spricht in diesem Fall
auch von quadratischer Konvergenz
Zur Lösung der Gleichung f(x) = x2
gegeben) liefert das NEWTON-Verfahren die Iterationsvorschrift
_ 1 / a\
Xn+1 — TT ( Xn H 1
2 V xnJ
Für a = 2 erhält man-
= 0, d h speziell zur Berechnung der Werte x = y/ä (a > 0
A9.8)
n
Xn
0
1,5
1
M16 666 6
2
1,414215 7
3
1,414 213 6
3. Geometrische Interpretation Die geometrische Interpretation des NEWTON-Verfahrens ist in
Abb. 19.3 dargestellt* Die Grundidee des NEWTON-Verfahrens besteht in der lokalen Approximation
der Kurve y = f(x) durch eine Tangente.
4. Modifiziertes Newton-Verfahren Wenn sich im Laufe der Iteration die Werte von f'{xn) nur
noch unwesentlich ändern, kann man diese konstant lassen und mit dem sogenannten modifizierten
NEWTON-Verfahren
f(xn)
Xn+l
weiterrechnen
xn
f'{Xm)
(m fest, m < n)
A9 9)
19.1 Numerische Lösung nichtlinearer Gleichungen mit einer Unbekannten 913
Abbildung 19.3
Abbildung 19.4
Die Güte der Konvergenz wird durch diese Vereinfachung nicht wesentlich beeinflußt.
5. DifFerenzierbare Funktionen komplexen Argumentes Das Newton-Verfahren ist auch auf
differenzierbare Funktionen komplexen Arguments anwendbar.
19.1.1.3 Regula falsi
1. Vorschrift der Regula falsi Zur Lösung der Nullstellengleichung f(x)
falsi nach der Vorschrift
0 verfährt die Regula
\fixn) {n = 1,2,... ; m < n, x0, x\ gegeben),
/(*„)-/(xmr""" -—-•¦•>"—•——/¦ (l9l°)
d.h., sie benutzt nur Funktionswerte und geht aus dem Newton-Verfahren A9.6) dadurch hervor, daß
die Ableitung f'(xn) durch den Differenzenquotienten von f(x) zwischen xn und einem vorhergehenden
Näherungswert xm (m < n) ersetzt wird.
2. Geometrische Interpretation Die geometrische Interpretation der Regula falsi ist in Abb. 19.4
dargestellt: Die Grundidee der Regula falsi besteht in der lokalen Approximation der Kurve y = f(x)
durch eine Sekante
3. Konvergenz Das Verfahren A9.10) konvergiert sicher, wenn man m jeweils so wählt, daß f(xm)
und f(xn) verschiedene Vorzeichen haben. Ist bei fortgeschrittener Iteration die Konvergenz bereits
gesichert, so wird sie beschleunigt, wenn man ohne Rücksicht auf die Vorzeichenbedingung xm — xn-\
setzt.
¦ f(x) = x2 — sin x — 0 .
n
0
1
2
3
4
^Xn — Xji Xn—\
-0,3
0,0065
0,000229
-0,000003
%n
0,9
0,87
0,8765
0,876729
0,876726
f(xn)
0,0267
-0,0074
-0,000252
0,000003
Ayn = f(xn) - /(xn_i)
-0,0341
0,007148
0,000255
Ayn
0,8798
0,9093
0,8980
Falls sich im Verlaufe der Rechnung die Werte Axn/Ayn nur noch unwesentlich ändern, kann auf ihre
Neuberechnung verzichtet werden.
4. Steffensen-Verfahren
Durch Anwendung der Regula falsi mit xm = xn-i auf die Gleichung f(x) = x — tp(x) = 0 läßt
sich häufig die Konvergenz wesentlich beschleunigen oder im Falle ipf{x) < — 1 sogar erzwingen. Diese
Vorgehensweise ist unter dem Namen Steffensen- Verfahren bekannt geworden.
¦ Zur Lösung der Gleichung x2 — sin x = 0 mit Hilfe des Steffensen-Verfahrens soll die Gleichung
f(x) = x — Vsinx = 0 benutzt werden.
914 19 Numerische Mathematik
n
0
1
2
3
*-*Xn Xn •En—1
-0,03
0,006654
Xn
0,9
0,87
0,876654
0,876727
/(*n)
0,014942
-0,004259
-0,000046
0,000001
Al/ = /(*„) - /(s„-i)
-0,019201
0,004213
AXn
1,562419
1,579397
19.1.2 Lösung von Polynomgleichungen
Polynomgleichungen n-ten Grades haben die Form
f(x) = pn(x) = anxn + an_ixn_1 + • • + axx + a0 = 0. A9.11)
Zu ihrer effektiven Lösung benötigt man zunächst Verfahren zur Berechnung von Funktions- und
Ableitungswerten des Polynoms pn(x) sowie eine erste Orientierung über die Lage seiner Nullstellen.
19.1.2.1 Horner—Schema
1. Reelle Argumentwerte
Zur Berechnung des Funktionswertes pn(x) eines Polynoms ra-ten Grades an der Stelle x
seinen Koeffizienten geht man von der Beziehung
pn(x) = anxn + an-ixn~l H h a2x2 + a\X + a0 = (x - x0)pn-i(x) + pn{xo)
aus, wobei pn-i(x) ein Polynom vom Grade n — 1 ist
pn-i(x) = a'n_lxn x+a'n
• + dyX + an
= T0 aus
A9.12)
A9 13)
A9.14)
Durch Koeffizientenvergleich in A9 12) bezüglich xk erhält man die Rekursionsformel
a'k-i — xoak + ak {k = n, n — 1, .., 0, a'n = 0, a'^ = pn(xo)) •
Auf diese Weise werden aus den Koeffizienten ak von pn(x) die Koeffizienten a'k vonpn_i (x) sowie der
gesuchte Funktionswert pn(xo) bestimmt Durch Wiederholung dieser Vorgehens weise, d h , im nächsten
Schritt wird das Polynompn_i(x) mit dem Polynom pn-2(x) gemäß
pn-l(x) = (X- X0)pn-2(x) +Pn-l{x0) A9 15)
verknüpft usw., erhält man schließlich eine Folge von Polynomenpn(x), pn-i(x) , p\(x), po{x). Die
Berechnung der Koeffizienten und Funktionswerte dieser Polynome ist in A9.16) schematisch
dargestellt
Xq
Xq
Xq
Xq
0>n
a'n-l
<-2
fl(n-l)
ÜQ
In)
a0 =
On-1
Wn-1
a'n-2
XQa'n-2
an-3
(n-1
Pi{xq)
Po(xq)
Ün-2
Xoa'n_2
an-3 •
Z0<-3 •
<-4 •
.. a3 a2 a1 a0
xoa'3 Xoa'2 Xoa\ xoa'0
a'2 a[ a'0
.. Xoa'2' Xoa'l Xoüq
a'[ ag
Pn{x0)
Pn-l(Xo)
A9 16)
Aus dem Schema A9 16) liest man pn(xo) unmittelbar ab. Darüber hinaus gilt:
p'n{x0) = l!p„_i(z0), PnM = 2!pn_2(x0), • ,pnn)(x0)=n\po(x0).
A9 17)
19 1 Numerische Lösung nichtlinearer Gleichungen mit einer Unbekannten 915
pA{x) = x4 + 2x3 - 3x2 - 7.
Der Funktionswert und die
Ableitungswerte von p±(x)
an der Stelle xq = 2 sind
gemäß A9.16) zu berechnen.
2
2
2
2
2
12-30-7
2 8 10 20
14 5 10 113
2 12 34
1 6 17 |44
2 16
1 8 JJ33_
2
1 [l0_
1
Man liest ab'
p4B) = 13,
PiB) =44,
rfB) =66,
P'4"B) =60,
p<4)B) = 24
Hinweis: Das HORNER-Schema läßt sich auch für komplexe Koeffizienten a^ durchführen, indem man
für jeden Koeffizienten eine reelle und eine imaginäre Spalte gemäß A9.16) berechnet
2. Komplexe Argumentwerte
Sind die Koeffizienten a^ in A9 11) reell, so kann die Berechnung von pn{x0) für komplexe Werte Xq =
Uq + ii>0 ganz im Reellen ablaufen Dazu wird pn(x) wie folgt zerlegt:
pn(x) = anxn + an-ixn~l H 1- a\X + a0
(x2 - px - q)(a'n_2xn 2 + • • 4- a'0) + T\X + r0
(x - x0)(x -x0), dh p = 2w0, g = -(w02 + v02).
¦ p4(x) = x4 + 2x3 ¦
berechnen.
A9 18a)
A9 18b)
A9 18c)
HORNER-
A9.18A)
3x2 — 7 Der Funktionswert für xq = 2 — i, d h. p = 4 und q = — 5, ist zu
mit
x2 — px — q
Es ist dann
Pn(xo) = nx + r0 = (nito + r0) + inv0
Zur Realisierung von A9 18a) kann man nach Collatz das folgende sogenannte z\
Schema aufstellen.
Q
V
Q>n
<
-2
an_i an_2
qa'n-2 •
P<-2 Wn-3
<-3 ön-4
a3 a2 ai a0
.. ga^ ga2 qa\ qa'0
pa'2 pa[ pa'0
a[ af0
n r0
-5
4
1 2 -3
-5
4 24
1 6 16
0
-30
64
34
-7
-80
-87
Man liest ab:
p4(x0) = 34xo-87= -19-
34i.
19.1.2.2 Lage der Nullstellen
1. Reelle Nullstellen, Sturmsche Kette
Mit der kartesischen Zeichenregel kann man einen ersten Hinweis darauf bekommen, ob die
Polynomgleichung A9 11) reelle Nullstellen hat. Es gilt:
1. Die Anzahl der positiven Nullstellen ist gleich der Anzahl der Vorzeichenwechsel in der
Koeffizientenfolge
an, an_i, , au a0 A9 19a)
oder um eine gerade Anzahl kleiner.
916 19 Numerische Mathematik
2. Die Anzahl der negativen Nullstellen ist gleich der Anzahl der Vorzeichenwechsel in der Koeffizien-
tenfolge
a0, -au a2,.. , (-l)nan A919b)
oder um eine gerade Anzahl kleiner.
1 Pö(^) = x5 — 6x4 + 10a;3 + 13a:2 — 15x — 16 hat 1 oder 3 positive Wurzeln und 0 oder 2 negative
Wurzeln
Mit der STURMschen Kette (s S. 44) kann man genaue Auskunft über die Anzahl der reellen Nullstellen
zwischen zwei Stellen x = a und x = b bekommen.
Einen Überblick über den Verlauf der Kurve y = pn(x) und damit auch über die Lage ihrer Nullstellen
verschafft man sich dadurch, daß man mit Hilfe des HORNER-Schemas für gleichabständige
Argumentwerte xv = Xo + v - h (h — const) die Funktionswerte ermittelt. Hat man zwei Stellen x = a und x = b
gefunden, an denen pn(x) entgegengesetzte Vorzeichen hat, dann liegt zwischen ihnen mindestens eine
reelle Nullstelle.
2. Komplexe Nullstellen
Zur Eingrenzung des Bereichs, der in der komplexen Zahlenebene für die reellen oder komplexen
Nullstellen in Frage kommt, geht man von der Polynomgleichung A9 11) zu der Gleichung
f*(x) = k-ilr*-1 + |an_2|rn-2 + ... + |fll|r + \a0\ = \an\rn A9 20)
über und bestimmt z.B. durch systematisches Probieren eine obere Schranke r0 für die positiven
Nullstellen von A9.20). Es gilt dann für alle Nullstellen x*k (k = 1,2,..., n) von A9.11):
\x*k\ <r0. A9 21)
¦ f{x) = pt(x) = x4 + 4, 4x3 - 20, Olx2 - 50, 12x + 29,45 = 0, f*(x) = 4,4r3 + 20,01r2 +
50,12r + 29,45 = r4 . Man erhält für
r = 6. /*F) = 2000,93 > 1296 = r4,
r = 7: Jf*G) = 2869,98 > 2401 = r4,
r = 8: /*(8) = 3963,85 < 4096 = r4.
Daraus folgt |jcj|<8(fc = l,2,3,4). Tatsächlich gilt für die betragsgrößte Nullstelle
x\- -7 < x\ < -6.
Hinweis: Für die Bestimmung der Anzahl der komplexen Nullstellen mit negativem Realteil sind
z.B. in der Elektrotechnik in der sogenannten Ortskurventheorie spezielle Verfahren entwickelt
worden, die dort als Stabilitätskriterien bezeichnet werden (s. [19.11], [19 37]).
19.1.2.3 Numerische Verfahren
1. Allgemeine Verfahren
Alle in 19.1.1 angegebenen Verfahren sind zur Bestimmung reeller Wurzeln von Polynomgleichungen
anwendbar. Das Newton-Verfahren ist bei Polynomgleichungen besonders geeignet, da es rasch
konvergiert und die benötigten Werte f(xn) und f'(xn) mit Hilfe des HORNER-Schemas schnell berechnet
werden können. Ist der Näherungswert xn für eine Nullstelle x* der Polynomgleichung f(x) = 0 schon
ziemlich genau, dann kann die Korrekturgröße 5 = x* — xn mit Hilfe der Fixpunktgleichung
6=~jkö if{Xn) + hf{Xn)&2+' • •]= ^ A9-22)
iterativ verbessert werden
2. Spezielle Verfahren
Das BAIRSTOW- Verfahren ist ein Iterationsverfahren zur Bestimmung von Wurzelpaaren, auch
konjugiert komplexen Es geht von der Abspaltung eines quadratischen Faktors vom gegebenen Polynom
wie beim HORNER-Schema A9 18a-d) aus und hat die Ermittlung von Koeffizienten p und q zum Ziel,
die die Restkoeffizienten r0 und r\ zu Null machen (s. [19.36], [19.11], [19.37])
Falls nur die betragsgrößte oder betragskleinste reelle Wurzel gesucht ist, so kann diese nach der
Methode von Bernoulli recht einfach ermittelt werden (s. [19 36]).
19 2 Numerische Lösung von Gleichungssystemen 917
Vor allem aus historischer Sicht soll noch das Graeffe- Verfahren erwähnt werden, das alle Wurzeln
gleichzeitig liefert, auch die komplexen, aber mit erheblichem Rechenaufwand (s [19 11], [19 37])
19.2 Numerische Lösung von Gleichungssystemen
Bei vielen praktischen Aufgaben werden für n unbekannte Größen Xi (i = 1,2,
in Gleichungsform gestellt
Fi(xux2,
F2(xux2,
, n) m Bedingungen
A9 23)
Fm(xi,x2,...,xn) = 0.
Die Unbekannten X{ sind so zu bestimmen, daß sie eine Lösung des Gleichungssystems A9.23)
darstellen In der Regel ist m = n , d h , die Anzahl der Unbekannten stimmt mit der Anzahl der Gleichungen
überein Im Falle m > n bezeichnet man A9 23) als überbestimmtes System, im Falle m < n als
unterbestimmtes System.
Uberbestimmte Systeme haben in der Regel keine Lösung Man formuliert deshalb die zu A9 23)
gehörende Quadratmittelaufgabe
^2F?(xux2, ,:rn) = min
A9 24)
als Ersatzaufgabe Im unterbestimmten Fall können im allgemeinen n — m Unbekannte frei gewählt
werden, so daß die Lösung von A9 23) von n — m Parametern abhängt Man spricht dann von einer
(n — ra)-dimensionalen Lösungsmannigfaltigkeit
Man unterscheidet lineare und nichthneare Gleichungssysteme, je nachdem, ob in A9.23) die
Unbekannten nur linear oder auch nichtlinear auftreten
19.2.1 Lineare Gleichungssysteme
Gegeben sei das lineare Gleichungssystem
aii^i + a\2x2 +
a2iXi + a22x2 +
+ a\nxn = bi,
+ «2n^n = h ,
ßnl^l + an2x2 + * " * + annxn ~ ^n
Das System A9 25) lautet in Matrixschreibweise
Ax = b
A =
/flu öi2 • • • a>in\
a2i a22 • • a2n
\ ßnl ^n2 • • • ünn )
b =
''2
\bnJ
x2
\xnJ
A9 25)
A9 26a)
A9 26b)
Die quadratische Matrix A = (a^) (i,k = 1,2,... ,n) sei regulär, so daß das System A9 25) eine
eindeutige Lösung besitzt (s 44.2.1,2.,S. 281). Bei der numerischen Lösung von A9 25) kann man im
wesentlichen zwei Verfahrensklassen unterscheiden.
1. Direkte Verfahren, die durch elementare Umformungen das Gleichungssystem auf eine Form
bringen, aus der die Lösungen unmittelbar abzulesen oder leicht zu bestimmen sind Dazu gehören das
Austauschverfahren (s 4 4 1 2, S 279) und die in 19 2 1 1, S 918 bis 19 2.1 3, S 920 beschriebenen
Verfahren
918 19. Numerische Mathematik
2. Iterationsverfahren, die von einer bekannten Startnäherung aus eine Folge von
Näherungslösungen erzeugen, die gegen die Lösung von A9.25) konvergiert (s 19.2 1.4, S 922).
19.2.1.1 Dreieckszerlegung einer Matrix
1. Prinzip des Gaußschen Eliminationsverfahrens
Durch die elementaren Umformungen
1. Vertauschen von Zeilen,
2. Multiplikation einer Zeile mit einer von Null verschiedenen Zahl und
3. Addition eines Vielfachen einer Zeile zu einer anderen Zeile wird das System Ax = b in ein
sogenanntes gestaffeltes Gleichungssystem
T\n\
(rn
Rx =
mit R =
r*i2
72
^13
7*23
7*33
0
Tnn /
überführt. Da dabei nur äquivalente Umformungen vorgenommen werden, besitzt Rx
Lösung wie Ax = b. Man erhält sie aus A9.27):
Xi = — \Ci - 5Z rikxk (z = n - 1, n - 2,. , 1; xn = —).
A9 27)
c dieselbe
A9.28)
Die durch die Formel A9 28) angegebene Vorschrift nennt man Rückwärtseinsetzen, da die Gleichungen
von A9.27) in der umgekehrten Reihenfolge ihrer Entstehung benutzt werden
Der Übergang von A zu R erfolgt in n — 1 sogenannten Eliminationsschritten, deren Durchführung am
ersten Schritt gezeigt werden soll. Dieser überfuhrt die Matrix A in die Matrix Ai
äff a$...a^ \
0 '
0
Ö21
ß31
ai2
^22
Ö32
ain\
&2n
Ö3n
V Önl Ön2
0
A9 29)
Dabei ist wie folgt vorzugehen:
1. Man bestimme ein ari ^ 0 . Falls kein solches existiert, stop A ist singulär. Andernfalls heißt ar\
Pivot
2. Man vertausche die 1. und die r-te Zeile von A. Das Ergebnis ist die Matrix A
3. Man subtrahiere für i = 2,3, ., n das ln-f&che der 1 Zeile von der 2-ten Zeile der Matrix A.
Als Ergebnis erhält man die Matrix Ai und analog die neue rechte Seite bx mit folgenden Elementen
„W
— a>ik — hiüik , hi — =— ,
&r>=v
an
-kibi (i,fc = 2,3,...,n) A9 30)
Die in Ai (s. A9.29)) eingerahmte Teilmatrix ist vom Typ (n— 1, n—1) und wird analog zu A behandelt,
usw. Diese Vorgehensweise bezeichnet man als Gauss sches Eliminationsverfahren oder GAUSS sehen
Algorithmus (s 4 4.2.4, S 284)
2. Dreieckszerlegung
Das Ergebnis des GAUSSschen Eliminationsverfahrens kann wie folgt formuliert werden: Zu jeder
regulären Matrix A existiert eine sogenannte Dreieckszerlegung oder LR-Faktorisierung der Form
PA = LR A931)
19 2 Numerische Lösung von Gleichungssystemen 919
R:
(m
[
T\2
T22
0
ns •
r-23 •
7*33
• nn\
• T2n
T3n
L =
A
I21 1
^31 ^32 1
\ 'nl 'n2
A9.32)
*n,n—1 J- /
R heißt Rechtsdreiecksmatrix, L Linksdreiecksmatrix und P ist eine sogenannte Permutationsmatrix
Sie ist eine quadratische Matrix, die in jeder Zeile und in jeder Spalte genau eine 1 und sonst Nullen
enthält. Sie beschreibt die Zeilenvertauschungen in der Matrix A , die sich durch die Pivotwahl in den
Eliminationsschritten ergeben.
/3 1 6\ (xx\ B\
¦ Das G AUSSsche Eliminationsverfahren soll auf das System 2 1 3x2 = 7 angewendet
Vi 1 1/ \xj \4/
werden. In einer schematischen Schreibweise, bei der die Koeffizientenmatrix und der Vektor der rechten
Seite zu einer sogenannten erweiterten Koeffizientenmatrix zusammengefaßt werden, erhält man.
(A,b) =
3
2/3
1/3
1 6
1/3 -1 1
[2/3]-1
2
17/3
10/3
3 1 6
1/3 2/3 -1
2/3 1/2 1-1/2
2 >
10/3
4 >
,dh.
/l 0 0\ /3 1 6\ / 1 0 0\ /3 1 6 \
P = 0 0 1 =? PA = 1 1 1 ,L = 1/3 1 0 ,R= 0 2/3 -1 In den
\0 10/ \2 1 3/ V2/3 1/2 1/ \0 0 -1/2/
erweiterten Koeffizientenmatrizen sind die Matrizen A, Ai und A2 sowie die Pivots gekennzeichnet
worden.
3. Anwendung der Dreieckszerlegung
Mit Hilfe der Dreieckszerlegung kann die Lösung des linearen Gleichungssystems A x = b in 3 Schritten
beschrieben werden
1. PA = LR. Durchführung der Dreieckszerlegung und Substitution Rx = c.
2. Lc = Pb Bestimmung des Hilfsvektors c durch Vorwärtseinsetzen
3. Rx = c: Bestimmung der Lösung x durch Ruckwärtseinsetzen
Wird zur Lösung eines linearen Gleichungssystems die erweiterte Koeffizientenmatrix (A, b) wie im
obigen Beispiel nach dem GAUSSschen Eliminationsverfahren behandelt, dann wird die
Linksdreiecksmatrix L explizit nicht benötigt Sie wird aber besonders dann wirksam, wenn mehrere lineare
Gleichungssysteme mit derselben Koeffizientenmatrix, aber verschiedenen rechten Seiten gelöst werden
müssen.
4. Wahl der Pivots
Bei der Durchführung des /c-ten Eliminationsschrittes kommt jedes von Null verschiedene Element
a\x~ der ersten Spalte der Matrix A^_i als Pivot in Frage. Im Hinblick auf die Genauigkeit der
berechneten Lösung sind jedoch die folgenden Strategien zweckmäßig.
1. Diagonalstrategie Als Pivots werden sukzessive die Diagonalelemente gewählt, d.h , es werden
keine Zeilenvertauschungen vorgenommen. Diese Pivotwahl ist in der Regel nur dann sinnvoll, wenn die
Elemente der Hauptdiagonalen gegenüber den übrigen Elementen der betreffenden Zeile betragsmäßig
sehr groß sind.
2. Spaltenpivotisierung Vor Ausführung des A:-ten Eliminationsschrittes wird ein Zeilenindex r
so bestimmt, daß gilt.
k£ l)\ = if^\a^ 1}i
A9 33)
920 19 Numerische Mathematik
Falls r ^ k ist, dann werden die r-te und die Ar-te Zeile vertauscht Es läßt sich zeigen, daß durch diese
Strategie die Fortpflanzung von Rundungsfehlern gedämpft wird.
19.2.1.2 Cholesky-Verfahren bei symmetrischer Koeffizientenmatrix
In vielen Fällen ist in A9.26a) die Koeffizientenmatrix A nicht nur symmetrisch, sondern auch positiv
definit, d h , für die zugehörige quadratische Form Q(x) gilt:
<2(x) = xTAx = ^2^2 atkxixk > 0
t=i fc=i
A9 34)
für alle x 6 Rn,x/0 Da es zu jeder symmetrischen positiv definiten Matrix A eine eindeutige
Dreieckszerlegung
mit
LL1
(hi
hi
hi
*22
^32 ^33
\ ml 'n2 l"n
t"nn )
¦ = {^\
hk
Ak-i)
aik
hk
(i = k, k + 1, , n);
A9 35)
A9.36a)
A9 36b)
„(fc).
„(*-!> .
,n)
A9 36c)
b nach dem Cholesky-
¦hkljk {i,j = h + l,k + 2,
gibt, kann die Lösung des zugehörigen linearen Gleichungssystems Ax
Verfahren in folgenden Schritten durchgeführt werden.
1. A = L LT Ermittlung der sogenannten CHOLESKY-Zerlegung und Substitution LTx = c
2., L c = b: Bestimmung des Hilfsvektors c durch Vorwärtseinsetzen.
3. LTx = c: Bestimmung der Lösung x durch Rückwärtseinsetzen.
Für große Werte von n ist der Aufwand beim CHOLESKY-Verfahren etwa halb so groß wie bei der
LR-Zerlegung gemäß A9.31).
19.2.1.3 Orthogonalisierungsverfahren
1. Lineare Ausgleichsaufgaben
Gegeben sei das überbestimmte lineare Gleichungssystem
n
J2a^xfc = °i (i = 1,2, ...,ra; m > n), A9 37)
fc=i
in Matrixschreibweise
Ax = b. A9 38)
Die Koeffizientenmatrix A — (a^), die vom Typ (m, n) ist, habe den Maximalrang n, d.h., ihre Spalten
sind linear unabhängig. Da ein überbestimmtes lineares Gleichungssystem in der Regel keine Lösung
hat, geht man von A9 37) zu den sogenannten Fehlergleichungen
Ti — Y2aikxk — bi (i = l,2, ,m,,m > n) A9 39)
fc=i
mit den Residuen r» über und verlangt, daß die Summe der Quadrate der Residuen minimal wird
l2
En2
»=i
^2 &ikxk - bi
L jfe=i
= F(xi, a?2, • • •, xn) — min!
A9.40)
19 2 Numerische Lösung von Gleichungssystemen 921
Die Aufgabe A9 40) wird als lineare Ausgleichsaufgabe oder lineares Quadratmittelproblem bezeichnet
(s. auch 6 2 5 5, S 419) Die notwendigen Bedingungen dafür, daß die Fehlerquadratsumme F{x\, .x2,
xn) ein relatives Minimum annimmt, lauten
dF
— = 0 (fc = l,2, ..,n) A9.41)
OXfo
und führen auf das lineare Gleichungssystem
ATAx = ATb A9 42)
Der Übergang von A9.38) zu A9.42) heißt Gauss-Transformation, da das System A9 42) durch
Anwendung der GAVSSschen Fehlerquadratmethode (s 6 2 5 5, S 419) aus A9 38) entstanden ist Da für
A Maximalrang vorausgesetzt wurde, ist ATA eine positiv definite Matrix vom Typ (n, ra), und die
sogenannten Normalgleichungen A9.42) können mit Hilfe des Cholesky-Verfahrens (s. 19 2.1.2, S 920)
numerisch gelöst werden
Bei der Lösung des Normalgleichungssystems A9 42) können numerische Probleme auftreten, wenn
die Konditionszahl (s [19 26]) der Matrix ATA sehr groß ist Die Lösung x kann dann große relative
Fehler haben Deshalb ist es numerisch günstiger, zur Lösung linearer Ausgleichsaufgaben
Orthogonalisierungsverfahren zu verwenden.
2. Orthogonalisierungsverfahren
Grundlage der folgenden Orthogonalisierungsverfahren zur Lösung der linearen Quadratmittelaufgabe
A9 40) sind die folgenden Aussagen
1. Die Länge eines Vektors bleibt unter orthogonalen Transformationen invariant, d h , die Vektoren
x und x = Q0x mit
Q?Qo = E A9 43)
haben dieselbe Länge
2. Zu jeder Matrix A vom Typ (ra, n) mit Maximalrang ra (n < m) existiert eine orthogonale Matrix
Q vom Typ (ra, ra), so daß
frn rl2
T22
A = QR A9 44) gilt, mit QTQ = E und R =
r2n
\
O
A9 45)
Dabei ist R eine Rechtsdreiecksmatrix vom Typ (ra, ra), und O eine Nullmatrix vom Typ (ra — ra, n)
Die Faktorisierung A9 44) der Matrix A wird als QR-Zerlegung bezeichnet Damit können die
Fehlergleichungen A9 39) in das äquivalente System
ruxi + rX2x2 + + rinxn -bj = rx,
T22X2 + • + r2nXn ~&2 = h ,
A9 46)
überführt werden, ohne daß dabei die Summe der Quadrate der Residuen verändert wird Aus A9 46)
folgt, daß diese Quadratsumme für f\ = f2 = • • • = fn = 0 minimal wird und der Minimal wert gleich
der Summe der Quadrate von rn+i bis fm ist. Die gesuchte Lösung x erhält man durch Rückwäitseinset-
922 19. Numerische Mathematik
zen aus
Rx = b0, A9 47)
wobei b0 der Vektor ist, der aus den Werten h\, b2 , . , bn aus A9 46) gebildet wird.
Zur schrittweisen Überführung von A9 39) in A9.46) werden vor allem zwei Methoden verwendet
1. GlVENS-Transformation,
2. HOUSEHOLDER Transformation
Die erste erzeugt eine QR-Zerlegung der Matrix A durch Drehungen, die zweite durch Spiegelungen
Die numerischen Realisierungen findet man in [19.25]
Praktische Aufgaben der linearen Quadratmittelapproximation werden vorwiegend mit der HOUSE-
HOLDER-Transformation gelöst, wobei man in vielen Fällen noch die spezielle Struktur der
Koeffizientenmatrix A wie Bandstruktur oder schwache Besetztheit ausnutzen kann.
19.2.1.4 Iteration in Gesamt- und Einzelschritten
1. Jacobi- Verfahren
In der Koeffizientenmatrix des linearen Gleichungssystems A9.25) seien sämtliche Diagonalelemente
au (i = 1,2,..., n) von Null verschieden Dann kann die i-te Zeile nach der Unbekannten x* aufgelöst
werden, und man erhält unmittelbar die folgende Iterationsvorschrift, in der fi der Iterationsindex ist.
X(H-U = *L _ £ ^tj.00 (i = 1Ji. ,„) A9.48)
O'ii fc—i Q>ii
(fc#0
(/i = 0,1,2,. .; x[ , x2 j • • • >x^ gegebene Startwerte).
Die Vorschrift A9 48) wird als JACOBI-Verfahren oder auch als Gesamtschrittverfahren bezeichnet,
da sämtliche Komponenten des neuen Vektors x^+1) allein aus den Komponenten von x^ berechnet
werden. Das JACOBI-Verfahren konvergiert für beliebige Startvektoren x/°), falls gilt.
n 1 I
max ^2 ~ < 1 Spaltensurnmenkriterium A9 49)
oder
jfe=i
< 1 Zeilensummenkriterium. A9.50)
2. Gauß-Seidel-Verfahren
Hat man die 1 Komponente xf+ nach dem JACOBI-Verfahren berechnet, dann liegt es nahe, diesen
Wert bei der Berechnung von x2 bereits zu verwenden Geht man entsprechend bei der Berechnung
aller übrigen Komponenten vor, dann erhält man die Iterationsvorschrift
x(^i) = fc. _ g 0«^) _ £ 0^) A9 51)
an k=l Üii k=i+l a"
(z = 1,2,. ., n; xf\x{20\ . , x^ gegebene Startwerte, \x = 0,1,2, .)
Die Vorschrift A9 51) wird als Gauss-Seidel- Verfahren oder Einzelschrittverfahren bezeichnet Das
Gauss-Seidel-Verfahren konvergiert im allgemeinen schneller als das JACOBI-Verfahren, sein Kon-
vergenzsatz ist aber etwas komplizierter.
¦ 10xi - 3x2 - 4x3 + 2x4 = 14,
-Sxi + 26x2 + 5x3 - x4 = 22 ,
—4xi + 5x2 + 16x3 + 5x4 = 17,
2xi + 3x2 - 4x3 - 12x4 = -20
19 2 Numerische Lösung von Gleichungssystemen 923
Die dazugehörige Iterationsvorschrift gemäß A9 51) lautet-
>+i) _
'l4 + 34/l) + 44/i)-
¦2xP)
Einige Näherungen und die Lösung
enthält diese Zusammenstellung.
^+1> = ^B2 + 34'
.(m+1) .
26
¦ 5.t
¦P+xP)
X3
Jm+1)
-^A7 + 44m+1)-5x^+1).
(n)\
±- (-20 + 2x<r+1) + 3x
12 V
.(/*+!)
• 5:r!
-44"+I))
x@)
0
0
0
0
X(D
1,4
1,0077
1,0976
1,7861
XD)
1,5053
0,9946
0,5059
1,9976
XE)
1,5012
0,9989
0,5014
1,9995
X
1,5
1
0.5
2
3. Relaxationsverfahren
Die Iterationsvorschrift des Gauss-Seidel-Verfahrens A9 51) läßt sich auch in der sogenannten
Korrekturform
'< flifc (Ai+l)
lflifc>)
dh.
x(M+D=a.(M)+(
r(/0
•)
A9.52)
(i = 1,2,...,7i, // = 0,1,2,
schreiben Durch geeignete Wahl eines Relaxationsparameters u , so daß A9 52) in
3>+i) = x(ß) + wd(M) (^ i? 2,..., n, /i = 0,1,2,. .) A9 53)
übergeht, kann man versuchen, die Konvergenzeigenschaften des Einzelschrittverfahrens zu verbessern
Es läßt sich zeigen, daß Konvergenz nur für
0 < lü < 2 A9 54)
möglich ist Für u — 1 erhält man das Einzelschrittverfahren Im Fall u > 1 spricht man von Überre-
laxation, die zugehörigen Iterationsverfahren werden als SOR- Verfahren (successive over relaxation)
bezeichnet Die Bestimmung optimaler Relaxationsparameter ist nur für einige spezielle Matrizentypen
explizit möglich.
Die Anwendung iterativer Methoden zur Lösung linearer Gleichungssysteme ist vor allem angebracht,
wenn die Hauptdiagonalelemente aü der Koeffizientenmatrix gegenüber den übrigen Elementen a^
(i 7^ k) betragsmäßig stark überwiegen oder wenn durch Umstellung oder geeignete Kombination der
einzelnen Gleichungen eine solche Anordnung erreicht werden kann.
19.2.2 Nichtlineare Gleichungssysteme
Das System der n nichtlinearen Gleichungen
Fi(xi,x2, ,xn) = 0 (z = 1,2, , n) A9.55)
für die n Unbekannten x\, x2, . , xn habe eine Lösung. Diese kann in der Regel nur numerisch mit
Hilfe von Iterationsverfahren bestimmt werden.
19.2.2.1 Gewöhnliches It erat ions verfahren
Das gewöhnliche Iterationsverfahren geht davon aus, daß sich die Gleichungen A9.55) auf eine
Fixpunktform
Xi = fi(xi,x2, ,xn) (z = 1,2,. . ,n) A9.56)
bringen lassen. Dann erhält man, von den geschätzten Näherungswerten x[*, x2 ,.
verbesserte Werte durch
1. Iteration in Gesamt schritten
x^+1)=fi(x^\x^\ . ,:#>) (i = l,2,. ,n;/x = 0,1,2,...)
oder durch
r.@)
ausgehend,
A9 57)
924 19 Numerische Mathematik
2. Iteration in Einzelschritten
xY+l) = ft (x[ß+1\ ... ,*£tVjM\a#i. ,4M)) (i = 1,2,... ,n; /i = 0,1,'2, ). A9.58)
Für die Gute der Konvergenz dieser Verfahren ist ausschlaggebend, daß die Punktionen fo in der
Umgebung einer Lösung möglichst schwach von den Unbekannten abhängen, d.h., falls die fo differenzierbar
sind, müssen die Beträge der partiellen Ableitungen möglichst klein sein Als Konvergenzbedingung
erhält man
\dfi\
K < 1 mit K = max ( ^
1 \k=i
max
.k=i
\dxk
Mit dieser Größe K gilt die Fehler ab Schätzung
A9 59)
>+i) _ I ^ K mQV L(m+i) Jß)\
max \xKr } - Xi\ < - max \x f ; - xf'l A9.60)
Dabei sind a?j die Komponenten der gesuchten Lösung, xf' und x -M+ die zugehörigen /z-ten und (fi +
l)-ten Näherungen
19.2.2.2 Newton-Verfahren
Das Newton-Verfahren geht von der Nullstellenaufgabe A9 55) aus Nach Vorgabe von
geschätzten Näherungswerten x[ , x2 ,..., x$ werden die Funktionen Fi als Funktionen von n unabhängigen
Variablen x1} x2,. ¦ , xn nach Taylor (s 7.3 3 3,1., S 434) entwickelt Durch Abbruch dieser
Entwicklungen nach den linearen Gliedern erhält man aus A9.55) ein lineares Gleichungssystem, mit dessen
Hilfe man iterativ Verbesserungen nach folgender Vorschrift ermitteln kann-
Ft (sj"\ 4"\ • • •, *<?>) + ± j£ (x?\ ¦ ¦ ¦, xi"') (z<"+1) - 4"') = 0 A9.61)
*=1 °Xk
(i = 1,2,...,n; /i = 0,l,2,. .).
Die Koeffizientenmatrix des linearen Gleichungssystems A9 61), das in jedem Iterationsschritt zu lösen
ist, lautet
F\x^)==(^-{x[ß\x^\ .,xM)\ (t,fc = l,2,...,n)
A9.62)
und wird als 3 ACOBI-Matrix bezeichnet. Das Newton-Verfahren ist lokal quadratisch konvergent,
d h , seine schnelle Konvergenz ist wesentlich von der Güte der Startnäherungen abhängig Setzt man
in A9.61) x£+ — %k = dk > dann kann das NEWTON-Verfahren in der Korrekturform
$+1) = 4^ + 4ß) (i = 1,2,..., n; /* = 0,1,2,. .) A9 63)
geschrieben werden. Zur Herabsetzung der Startwertempfindlichkeit kann man dann analog zum
Relaxationsverfahren einen sogenannten Dämpfungs- oder Schrittweitenparameter 7 einführen
4M+1) = 4ß) + 74M) (i = 1, 2,..., n; /i = 0,1,2,...; 7 > 0) A9.64)
Angaben zur Bestimmung von 7 findet man in [19.26].
19.2.2.3 Ableitungsfreies Gauß-Newton-Verfahren
Zur Lösung der Quadratmittelaufgabe A9 24) geht man im nichtlinearen Fall (nichtlineare
Ausgleichsaufgabe) iterativ wie folgt vor:
1. Ausgehend von geeigneten Startnäherungen x[', x2 ,..., x$ approximiert man wie beim
NEWTON-Verfahren (s. A9.61)) die nichtlinearen Funktionen Fi(xi,x2)..., xn) (i = 1,2,...,m) durch
lineare Näherungen Fi(x\,x2, , xn), die in jedem Iterationsschritt gemäß
n fiP
Ft(xu . ,xn) = F{ (x["\ z<f>,.. , *M) + £ p. (*<">, ..., *<">) (xk - xf)
jfe=l OXk
19 3 Numerische Integration 925
(i = 1,2,.. ,n; /* = 0,1,2,...) A9 65)
berechnet werden
2. Man setzt in A9 65) d£ = Xk — x£ und ermittelt die Verbesserungen d£ nach der GAUSSschen
Fehlerquadratmethode, d h durch Lösung der linearen Quadratmittelaufgabe
m
J2^i(xu ..,xn) = min A9 66)
i=l
z.B. mit Hilfe der Normalgleichungen, (s A9.42)) oder des HOUSEHOLDER-Verfahrens (s. 19.6.2.2,
S 948)
3. Man erhält Näherungen für die gesuchte Lösung durch
4M+1) = 4^ + 4M) bzw A9-67a)
4"+1> = x[ß) + 74M) (k = 1,2, , n), A9 67b)
wobei 7 G > 0) ein Schrittweitenparameter wie beim Newton-Verfahren ist.
Durch Wiederholung der Schritte 2 und 3 mit x^+l) an Stelle von x[^ erhält man das Gauss-New-
ton- Verfahren. Es liefert eine Folge von Näherungswerten, deren Konvergenz sehr stark von der Güte
der Startnäherungen abhängt. Mit Hilfe des Schrittweitenparameters 7 läßt sich jedoch ein sogenannter
Abstieg, d.h. eine Verkleinerung der Fehlerquadrat summe, erzielen.
Wenn die Berechnung der partiellen Ableitungen ——- (xi ,..., x^J (i = 1,2,..., m; k = 1,2,.. , n)
OXk
mit großem Aufwand verbunden ist, kann man die partiellen Ableitungen durch Differenzenquotienten
sehr einfach approximieren
— (x{f\ , X%\ , xM} « -L I P- (r^ t!m). ^ -4- ^M) ^ ^
C/Xfc
Fi(xY\ -,x(kß\ ,4/x))j (i = l,2,...,m, fc = l,2,...,rc; p = 0,1,2,...). A9.68)
Die sogenannten Diskretisierungsschrittweiten h^ können in Abhängigkeit von Iterationsschritt und
Variablen speziell gewählt werden
Verwendet man die Näherungen A9.68), dann müssen bei der Durchführung des Gauss-Newton-
Verfahrens nur Funktionswerte Fi berechnet werden, d h , das Verfahren ist dann ableitungsfrei
19.3 Numerische Integration
19.3.1 Allgemeine Quadraturformel
Die numerische Auswertung des bestimmten Integrals
b
I(f) = jf(x)dx A9.69)
a
muß näherungsweise erfolgen, wenn der Integrand f(x) sich nicht elementar integrieren läßt, sehr
kompliziert ist oder nur an ausgewählten Stellen xv , den Stützstellen, aus dem Integrationsintervall [a, b]
bekannt ist. Zur genäherten Berechnung von A9.69) werden sogenannte Quadraturformeln benutzt.
Sie haben die allgemeine Form
QU) = £ <WIfe + £ <W„ + • • • + £ cwyf> A9 70)
mit yl^ = f{,2)(xu)(n = 1,2,. .,p, v= 1,2, .. ,n), ^ = /(x„), C/iI/ const. Es gilt
I(f) = Q(f) + R, A9-71)
926 19. Numerische Mathematik
wobei R der Quadraturformelfehler ist. Die Anwendung von Quadraturformeln setzt voraus, daß die
benötigten Werte des Integranden f{x) und seiner Ableitungen an den Stützstellen als numerische
Werte verfügbar sind Formeln, die nur Funktionswerte benutzen, heißen Mittelwertformeln, Formeln,
die auch Ableitungswerte benutzen, nennt man HERMlTEsc/ie Quadraturformeln
19.3.2 Interpolationsquadraturen
Die folgenden Formeln stellen sogenannte Interpolationsquadraturen dar Dabei wird der Integrand
f(x) bezüglich einiger (möglichst weniger) Stutzstellen durch ein Polynom p(x) entsprechenden Grades
interpoliert, und das Integral über f(x) wird durch das über p(x) ersetzt Die Formel für das Integral
über das gesamte Integrationsintervall ergibt sich dann durch Summation. Im folgenden werden nur
die praktisch wichtigsten Formeln für den Fall angegeben, daß die Stützstellen gleichabständig sind1
xv — xq + vh (v = 0,1,2, . ,n), xq = a, xn = b, h= . A9.72)
n
Zu jeder Quadraturformel wird eine obere Schranke für den Fehlerbetrag \R\ angegeben. Dabei
bedeutet MM eine für den gesamten Bereich der Stützstellen gültige obere Schranke für \f(ß\x)\.
19.3.2.1 Rechteckformel
Im Intervall [xq, Xq + h] wird f{x) durch die konstante Funktion y = y0f(xo) ersetzt, die f(x) an der
Stützstelle xq , also am linken Rand des Integrationsintervalles, interpoliert. Auf diese Weise erhält man
die linksseitige Rechteckformel
xo+h 2
f{x)dx^h-y0, \R\<YM*- A973a)
/
Durch Summation ergibt sich die zusammengesetzte linksseitige Rechtecksumme
b
i
f(x) dx « %0 + yi + 2/2 + • • • + 3/n-i), |Ä| < F tf)HMl. A9 73b)
Mit Mi wird eine für den gesamten Bereich der Stützstellen gültige obere Schranke für |/'(x)|
bezeichnet.
Analog erhält man die rechtsseitige Rechtecksumme, wenn man in A9.73a) yo durch y\ ersetzt Die
aufsummierte Formel lautet dann
/(*) dx » %! + y2 + • • • + yn), |Ä| < {f)'a)hMl. A9.74)
/
19.3.2.2 Trapezformel
Im Intervall [xq,Xq + h] wird f(x) durch ein Polynom 1. Grades ersetzt, das f(x) an den Stützstellen
Xq und X\ — Xq + h interpoliert Man erhält
" /(*)«fa»-(tto + y,), |fi|<-M2. A9 75)
/
Durch Summation ergibt sich die sogenannte zusammengesetzte Trapezformel oder Trapezsumme
Jf(x)dxKh(^ + y1 + V2 + - + Vn-i + *;), \R\<^=^M2 A976)
a
Mit M2 wird eine für den gesamten Bereich der Stützstellen gültige obere Schranke für \f"{x)\
bezeichnet. Der Fehler der Trapezsumme verhält sich wie h2 , d.h., die Trapezsumme hat die Fehlerordnung 2.
19.3 Numerische Integration 927
Daraus folgt für h —? 0 (also n —? oo) ihre Konvergenz gegen das bestimmte Integral, wenn
Rundungsfehler nicht berücksichtigt werden
19.3.2.3 Hermitesche Trapezfarmel
Im Intervall [xq,xq 4- h] wird f{x) durch ein Polynom 3. Grades ersetzt, das f(x) und f'(x) an den
Stützstellen xq und X\ = xq + h interpoliert
f(x)dx^-(y0 + y1) + -(y'0-y[)! \R\<—M,. A9.77)
Xq
Durch Summation ergibt sich die HERMiTEsc/ie Trapezsumme:
i
b
jf(x)dx*h(^ + yl+y2 + --- + yn_l + ^ + '^(y>0-y'n), |fi|<i^^-M4. A9.78)
O
Mit M4 wird eine für den gesamten Bereich der Stutzstellen gültige obere Schranke für \f^{x)\
bezeichnet Die HERMiTEsche Trapezsumme hat die Fehlerordnung 4 und ist für Polynome bis zum Grade 3
exakt.
19.3.2.4 Simpson-Formel
Im Intervall [xo, x0 + 2h] wird f(x) durch ein Polynom 2. Grades ersetzt, das f(x) an den Stützstellen
xo , X\ = Xo + h und X2 = x0 + 2h interpoliert:
j f(x)dx*-(yo + 4yi+y2), \R\ < -M4 A9.79)
xo
Für die zusammengesetzte SiMPSON-Formel muß n gerade sein. Man erhält.
b
i
f{x) dx « -(y0 + % + 2y2 + Ayz + • • • + 2yn_2 + 4yn_! + yn), A9.80)
,„, [b-a)h\r
|Ä|^ läo ^-
Mit M4 wird eine für den gesamten Bereich der Stutzstellen gültige obere Schranke für |/D)(:r)|
bezeichnet. Die zusammengesetzte SiMPSON-Formel hat die Fehlerordnung 4 und ist für Polynome bis
zum Grad 3 exakt.
19.3.3 Quadraturformeln vom Gauß—Typ
Quadraturformeln vom GAUSS-Typ sind Mittelwertformeln, aber im Ansatz
b n
f(x) dx^Yl c"Vv mit V* = f(x») A9.81)
/'
werden nicht nur die Koeffizienten cu , sondern auch die Stützstellen xu als freie Parameter aufgefaßt
Diese werden so bestimmt, daß die Formel A9.81) für Polynome möglichst hohen Grades exakt ist.
Die Erfahrung zeigt, daß Quadraturformeln vom GAUSS-Typ meist sehr genaue Näherungen liefern,
dafür müssen aber ihre Stützstellen sehr speziell gewählt werden.
19.3.3.1 Gaußsche Quadrat urformein
Setzt man in A9 81) als Integrationsintervall [a, b] = [—1,1], und wählt man als Stutzstellen die
Nullstellen der LEGENDREschen Polynome (s 9.1 2 6,3., S. 529, und Tabelle 21.12, S. 1096), dann können
die Koeffizienten cu so bestimmt werden, daß die Formel A9 81) Polynome bis zum Grad 2n + 1 exakt
928 19. Numerische Mathematik
integriert Die Nullstellen der LEGENDREschen Polynome liegen symmetrisch zum Nullpunkt. Für die
Fälle n = 1,2 und 3 erhält man.
n = 1 Xo = — #i, Co = 1,
xx = ^ = 0,577350269..., a = 1.
n = 2 xo = -x2, Co = - ,
_ 8
zi-0, Cl~9' A9 82)
x2 = W? = 0,774596669..., c2 = Co
n = 3. x0 = -x3, co = 0,347 854 854
zi = -x2, ci = 0,652145154. .,
x2 = 0,339981043 . , c2 = cx,
x3 = 0,861136311 . , c3 = co
Hinweis: Durch die Transformation t = —-—x ^ — läßt sich das allgemeine Integrationsintervall
auf das Intervall [—1,1] transformieren (t G [a. b], x € [—1,1]). Mit den obigen für das Intervall [—1,1]
gültigen Werten für xv und c„ gilt dann:
lf/W^^ta(^ + ^) A9.83)
19.3.3.2 Lobattosche Quadraturformein
In einigen Fällen ist es zweckmäßig, auch die Randpunkte des Integrationsintervalls als Stützstellen zu
wählen. Dann treten in A9.81) nur noch 2n freie Parameter auf. Diese können so bestimmt werden,
daß Polynome bis zum Grad 2n — 1 exakt integriert werden. Für die Fälle n = 2 und n = 3 erhält man:
n = 2: n = 3.
x0 = -l,co = -, z0 = -l, co^^'
3 6
4 A9 84a) 5
*i=0, ci = -, *i = -*2, C! = -, A9>84b)
x2 = 4= = 0,447213595 , c2 = cx,
v5
^3 = 1, C3 = Co .
/'
x2 = 1, c2 = Co
Der Fall n = 2 stellt die SlMPSON-Formel dar
19.3.4 Verfahren von Romberg
Zur Erhöhung der Genauigkeit bei der numerischen Integration empfiehlt sich das Verfahren von Rom-
BERG, bei dem von einer Folge von Trapezsummen ausgegangen wird, die sich bei fortgesetzter
Halbierung des Integrationsintervalls ergibt
19.3.4.1 Algorithmus des Romberg-Verfahrens
Das Verfahren besteht aus den folgenden Schritten:
rb
1. Trapezsummenbestimmung Als Näherung für das Integral / f(x) dx werden nach A9.76) für
Ja
die Schrittweiten
hi=h-^- (z = 0,l,2,...,m) A985)
19 3 Numerische Integration 929
die Trapezsummen T(hi) bestimmt. Dabei beachte man die rekursive Beziehung
TW) = T (Y) = ^ [\m + / (« + Y) + /(a + ^-i) + / (a + Ih^)
+/(a + 2^-x) + ... + / (fl + ^^f^-i) + \W)]
= ir^-x) + ^ £/ («+ ^ +Ä-i) (i = 1,2, ,m; n = 2')
A9.86)
Die Rekursionsformel A9 86) besagt, daß für die Berechnung von T(hi) aus T(hi-i) nur die
Funktionswerte an den neu hinzukommenden Stützstellen benötigt werden.
2. Dreiecksschema Man setzt T0i = T(hi) (i = 0,1,2, ) und berechnet rekursiv die Werte
Tki = Tk-U + Tk-1'i~Tk-1'i-1 (fc = l,2,.. ,m,i = A;,Ä; + l,. ) A9.87)
4K — 1
Die Anordnung der nach A9.87) berechneten Werte erfolgt am günstigsten in einem Dreieckschema,
dessen Berechnung spaltenweise durchgeführt wird-
T(ho) = Too
T(h1) = T01 Tn
T{h2) = T02 Tu T22 A9 88)
T(h3) = Tq3 T13 T23 T33
Das Schema wird nach unten mit fester Spaltenzahl so weit fortgesetzt, bis die Werte rechts unten im
Schema hinreichend gut übereinstimmen. Die Werte Tu (i = 1,2,...) der zweiten Spalte entsprechen
den nach der SlMPSON-Formel berechneten.
19.3.4.2 Extrapolationsprinzip
Das Romberg-Verfahren stellt eine Anwendung des sogenannten Extrapolationsprinzips dar Es soll
an der Herleitung der Formel A9.87) für den Fall k = 1 demonstriert werden Mit / werde das
gesuchte Integral, mit T(h) die zugehörige Trapezsumme A9.76) bezeichnet Ist der Integrand von / im
Integrationsintervall Bm + 2)-mal stetig differenzierbar, dann läßt sich zeigen, daß für den
Quadraturformelfehler R der Trapezsumme eine asymptotische Entwicklung bezüglich h der Form
R{h) = 1- T(h) = ai/i2 + a2h4 + • • • + amh2m + 0(h2m+2) A9 89a)
oder
T(h) = 1- axh2 - a2h4 amh2m + 0(h2m+2) A9.89b)
gilt Die Koeffizienten a\, a2 ,. . ,am sind von h unabhängige Konstanten
Man bildet T(h) und T I - ) gemäß A9.89b) und betrachtet die Linearkombination
T,(h) = aiT{h) + a2T (±\ = (ai + a2)I - a, (ax + ^) h2 - a2 (a, + g) h4 - • • • . A9 90)
CX.2
Setzt man a\ + a2 = 1 und ct\ + — = 0, dann hat Ti(h) die Fehlerordnung 4, während T(h) und
T(h/2) beide nur die Fehlerordnung 2 haben. Es ergibt sich
T 1 — I — T(h\
7\(fc) = -\t(K) + ±T (J) = T (^ + -AV_ . A9 91)
3 w 3 V2
930 19 Numerische Mathematik
Das ist die Formel A9.87) für k = 1. Fortgesetzte Wiederholung des eben beschriebenen Vorgehens
führt auf die Näherung T^ gemäß A9.87), und es gilt
Tki = I + 0(hf+2)
Für das bestimmte Integral /
A9.92)
/*1 ein nß
/ dx (Integralsinus, s. 82.5,1., S. 477), das sich nicht ele-
Jo x
mentar integrieren läßt, sind Näherungswerte zu ermitteln (8stellige Rechnung),
fc = 0 I fc = 1 I k = 2 I fc = 3
0,92073549
1. Romberg-Verfahren: 0,93979328 0,94614588
0,94451352 0,94608693 I 0,94608300
0,94569086 | 0,94608331 | 0,94608307 I 0,94608307
Für k = 3 liefert das Romberg Verfahren den Näherungwert 0,94608307. Der auf 10 Stellen genaue
Wert lautet 0,9460830704. Die Größenordnung O (A/8)8) w 6 • 10~8 des Fehlers gemäß A9 92) wird
bestätigt
2. Trapez- und Simpson-Formel: Aus dem Schema zum Romberg-Verfahren liest man
unmittelbar ab, daß für h3 = 1/8 die Trapezformel den Näherungswert 0,94569086 und die SlMPSON-Formel
den Wert 0,94608331 ergibt
0,30116868
Die Verbesserung der Trapezformel nach Hermite gemäß A9 77) liefert /
= 0,94608301
3. Gauß-Formel: Nach Formel A9 83) erhält man für
n = 2: /^Ijco/g^ + ^+c./^ + ^+c./g^ + I
t 0,94569086+-
0,94604113,
64-12
: 0,94608313,
n = 3 I'
co/
1 1
2Xo+2
¦*M
: 0,94608307
Man sieht, daß die GAUSS-Formel im Fall n = 3 , d.h. mit nur 4 Funktionswerten, einen auf 8
Dezimalen genauen Näherungswert liefert Diese Genauigkeit würde mit der Trapezsumme erst mit einer sehr
hohen Zahl (> 1000) von Funktionswerten erreicht.
Hinweise:
1. Eigenständige Bedeutung hat die Integration periodischer Funktionen im Zusammenhang mit der
Fourier -Analyse erlangt (s. 7 4 1 1,1., S 437) Ihre numerische Realisierung findet man unter dem
Stichwort Harmonische Analyse (s 19.6.4, S 954), die auf dem Rechner mit Hilfe der sogenannten
Schnellen FOURIER-Transformation FFT (Fast Fourier Transformation) durchgeführt wird
(s 19.6.4.2, S. 955)
2. In vielen Fällen ist es zweckmäßig, bei der numerischen Integration spezielle Eigenschaften des Inte-
granden auszunutzen Auf diese Weise sind neben den oben vorgestellten Quadraturformeln noch viele
andere entwickelt worden, und die Literatur zu Fragen der Konvergenz, der Abschätzung des
Quadraturformelfehlers oder zur Konstruktion optimaler Quadraturformeln ist sehr umfangreich (s [19 3])
3. Zur numerischen Integration mehrfacher Integrale muß auf die Literatur verwiesen werden (s. [19 29]).
19 4 Genäherte Integration von gewöhnlichen Differentialgleichungen 931
19.4 Genäherte Integration von gewöhnlichen
Differentialgleichungen
In vielen Fällen ist die Lösung einer gewöhnlichen Differentialgleichung nicht mehr durch einen
geschlossenen Formelausdruck, der bekannte elementare und höhere Funktionen enthält, darstellbar Die
dennoch unter sehr allgemeinen Voraussetzungen (s. 9 1 1.1,1., S 505) vorhandene Lösung muß dann
durch numerische Verfahren bestimmt werden. Diese liefern nur partikuläre Lösungen, ermöglichen
aber eine sehr hohe Genauigkeit Da man bei Differentialgleichungen von höherer als 1. Ordnung
zwischen Anfangswertaufgaben und Randwertaufgaben unterscheidet, sind für diese beiden
Aufgabenklassen auch unterschiedliche Verfahren entwickelt worden.
19.4.1 Anfangswertaufgaben
Das Prinzip der im folgenden dargestellten Verfahren zur Lösung der Anfangswertaufgabe
y' = f(x,y), y{xo) = vo A9-93)
besteht darin, für die gesuchte Funktion y(x) an ausgewählten Stützstellen Xi Näherungswerte yi zu
ermitteln In der Regel werden äquidistante Stützstellen mit der vorgegebenen Schrittweite h verwendet
Xi = x0 + ih B = 0,1,2, ) A9.94)
19.4.1.1 Eulersches Polygonzug verfahren
Durch Integration erhält man aus der Anfangswertaufgabe zu A9 93) die Integraldarstellung
X
y{x)=y* + J f(x,y{x))dx. A9.95)
Diese ist Ausgangspunkt für die Näherung
xo+h
y{xi) = Vo+ J f(x,y{x))dxtty0 + hf(xo,y0) = yi, A9 96)
Xo
die zu der folgenden Vorschrift des EuhERschen Polygonzugverfahrens verallgemeinert wird:
yi+1 = yi + hf{xi,yi) B = 0,1,2,... , y{x0) = y0) A9.97)
Zur geometrischen Interpretation s Abb.19.5 Vergleicht man A9.96) mit der TAYLORentwicklung
y(xi) = y(x0 + h) =
yo + f(xo,yo)h+V^p-h2 A9 98)
mit xo < £ < x0 + h, dann sieht man, daß die Näherung
y\ für den exakten Wert y{x\) einen Fehler von der
Größenordnung h2 hat Die Genauigkeit kann durch Verkleinerung
der Schrittweite h erhöht werden. Praktische Rechnungen
zeigen, daß sich bei Halbierung der Schrittweite h auch der
Fehler der Näherungen ^ etwa halbiert
Mit Hilfe des EuLERschen Polygonzugverfahrens kann man
sich sehr schnell einen Überblick über den ungefähren
Verlauf der Lösungskurve verschaffen
19.4.1.2 Runge-Kutta-Verfahren
1. Rechenschema Durch die Differentialgleichung y'(x) = f(x, y) ist in jedem Punkt (x0, y0) der
Lösungskurve die Richtung ihrer Tangente gegeben Das EULERsche Polygonzugverfahren verfolgt
diese Richtung bis zum nächsten Interpolationspunkt Beim RuNGE-KuTTA-Verfahren werden
zusätzliche Punkte zwischen (xo,yo) und dem nächsten Interpolationspunkt (x0 + /i, y\) einbezogen. Durch
geeignete Wahl dieser Zwischenpunkte bezüglich Anzahl und Lage erhält man eine höhere Genauigkeit
h h h
Abbildung 19 5
932 19. Numerische Mathematik
von yi. Das im folgenden angegebene Rechenschema stellt ein Verfahren 4. Ordnung dar (s. 19.4.1.5,1.,
S. 934) Zum Vergleich, das EULER-Verfahren ist ein Verfahren 1. Ordnung. Zur genäherten Lösung
der Anfangswertaufgabe A9.93) wird der Schritt von xq nach Xq + h wie folgt durchgeführt:
A9.99)
Die weiteren Schritte erfolgen nach demselben Schema. Der Fehler des Runge-Kutta-Verfahrens
gemäß A9.99) ist bei jedem Schritt von der Größenordnung h5 , so daß bei geeigneter Wahl der
Schrittweite eine sehr hohe Genauigkeit erzielt wird.
X
x0
Xq + h/2
Xq + h/2
x0-\-h
Xi = Xq + h
y
2/o
2/o + fci/2
2/o + h/2
yo + h
2/i=2/o +
J(*.
k = h- f{x,y)
h
k2
h
A4
+ 2k2 + 2ks + fc4)
~{x2 + y2) mit i/@):
= 0.7/@,5) ist in einem Schritt, x
¦ 2/
d.h. h = 0,5 , zu bestimmen (s. nebenstehende Tabelle) Der
auf 8 Dezimalen genaue Wert lautet 0,01041860.
2. Hinweise
1. Für die spezielle Differentialgleichung y' = f(x) geht
das RuNGE-KuTTA-Verfahren in die SlMPSON-Formel
(s. 19.3.2 4, S. 927) über
0
0,25
0,25
0,5
0,5
0
0
0,00390625
0,00781441
(*2 + 2/2)
0
0,00781250
0,00781441
0,03125763
0,01041858
2. Bei einer sehr großen Anzahl von Integrationsschritten kann sich ein Wechsel der Schrittweite als
zweckmäßig oder sogar notwendig erweisen Über einen Schrittweitenwechsel kann mit Hilfe einer
Fehlerschätzung entschieden werden, die dadurch gewonnen wird, daß man die Rechnung etwa mit
doppelter Schrittweite 2h wiederholt Hat man z.B. für y(xQ + 2h) die Näherungswerte y2(h) (Rechnung
mit einfacher Schrittweite) und y2{2h) (Rechnung mit doppelter Schrittweite) bestimmt, dann gilt für
den Fehler R2(h) = y(xQ + 2h) — y2(h) die Schätzung
R2(h) i
l[y2(h)-y2Bh)}
A9 100)
Informationen über die Realisierung der sogenannten Schrittweitensteuerung findet man in der
Literatur (s. [19.26]).
3. RUNGE-KuTTA-Schemata für Differentialgleichungen höherer Ordnung s. [19.26] Andererseits
können Differentialgleichungen höherer Ordnung in ein System von Differentialgleichungen 1. Ordnung
überführt werden (s. 9 1.2.1,1., S. 515). Dann besteht das Näherungsverfahren aus parallel
durchgeführten Rechnungen gemäß A9.99), die durch die Differentialgleichungen miteinander gekoppelt
sind.
19.4.1.3 Mehrschrittverfahren
Das EuLERsche Polygonzugverfahren A9.97) und das Runge-Kutta-Verfahren A9.99) sind
sogenannte Einschrittverfahren, da sie bei der Berechnung von yi+i nur auf das Ergebnis yi des
vorangegangenen Schrittes zurückgreifen Allgemeine lineare Mehrschrittverfahren sind dagegen von der Form
yi+k + ak-iyi+k-i + ak-2yi+k-2 H 1- ctiyi+1 + a0yi
= h(ßkfi+k + ßk-ifi+k-! + • • • + ßifi+i + ßofi) A9 101)
mit geeignet gewählten Konstanten ctj und ßj (j = 0,1,..., k; ak = 1). Die Vorschrift A9.101) wird
als k-Schrittverfahren bezeichnet, falls |a0| + \ßo\ ^ 0 ist. Es heißt explizit, falls ßk = 0 ist, weil dann in
den Werten fi+j = f(xi+j,yi+j) der rechten Seite von A9.101) nur die bereits bekannten
Näherungswerte yi, yi+i,... , 2/i+fc-i auftreten. Ist ßk ^ 0 , so heißt das Verfahren implizit, da dann der gesuchte
neue Wert yi+k auf beiden Seiten von A9.101) auftritt.
19.4 Genäherte Integration von gewöhnlichen Differentialgleichungen 933
Bei der Anwendung eines fc-Schrittverfahrens ist die Kenntnis von k Startwerten y0, yi, , yk_i
notwendig Diese verschafft man sich z.B. mit Hilfe eines Einschritt Verfahrens
Spezielle Mehrschrittverfahren zur Lösung der Anfangswertaufgabe A9 93) kann man dadurch
gewinnen, daß man in A9 93) die Ableitung y'(xi) durch Differenzenformeln (s 9.1 1 5,1., S 513) ersetzt
oder in A9 95) das Integral durch Quadraturformeln (s. 19 3.1, S 925) approximiert.
Beispiele für spezielle Mehrschritt verfahren sind.
1. Mittelpunktsregel Die Ableitung y'(xi+i) in A9 93) wird durch die Sekantensteigung bezüglich
der Stützstellen X{ und xi+2 ersetzt. Man erhält
yi+2 -yi = 2hfi+1. A9 102)
2. Verfahren von Milne Das Integral in A9 95) wird durch die SlMPSON-Formel approximiert
yi+2 -Vi = \{fi + 4/i+i + fi+2) • A9 103)
3. Verfahren von Adams-Bashforth Der Integrand in A9 95) wird durch das
Interpolationspolynom von Lagrange (s S 945) bezüglich der k Stützstellen xi, xi+\,... , Xi+k-i ersetzt. Man integriert
zwischen xi+k-i und Xi+k und erhält*
Ä;-l
Vi+k - Vi+k-i = 2J
/ Lj (x) dx
fc-i
f{xi+j, yi+j) = hY, ßjf(xi+j< yi+j) A9.104)
j=o
Das Verfahren A9 104) ist explizit bezüglich yi+k Zur Berechnung des Koeffizienten ßj s [19 1]
19.4.1.4 Prediktor-Korrektor-Verfahren
In der Praxis sind implizite Mehrschritt verfahren gegenüber expliziten vorzuziehen, da sie bei gleicher
Genauigkeit wesentlich größere Schrittweiten erlauben Dafür erfordert aber ein implizites
Mehrschrittverfahren zur Berechnung des Näherungswertes yi+k die Lösung einer im allgemeinen nichtlinearen
Gleichung Diese folgt aus A9 101) und ist von der Form
k k-l
Vi+k = h £ ßjfi+j - Y, ajVi+J = F(Vi+k) ' A9 105)
3=0 3=0
Die Lösung von A9.105) erfolgt iterativ Dabei geht man wie folgt vor Ein Startwert y\+k wird durch
ein explizites Mehrschritt verfahren, dem sogenannten Prediktor, bestimmt und anschließend durch die
Iterationsvorschrift
yltt1} = F(yti) (p = 0,l,2,...), A9.106)
dem sogenannten Korrektor, der aus dem impliziten Verfahren hervorgeht, verbessert Spezielle Predik-
tor-Korrektor-Formeln sind
(o) , h
12
y\ß+V] =Vi + ^(-/i-i + 8/, + 5/#{) {ß = 0,1, . ), A9 107b)
2. yf^ = Vi_2 + 9y,_x - 9Vi + 6fc(/i-i + fi), A9.108a)
^t1} = Ifc-i + |(/*-i H- 4/* + /Al) (/* = 0,1, ) A9 108b)
Die SlMPSON-Formel als Korrektor in A9 108b) ist numerisch instabil und kann ersetzt werden, z B.
durch
V%Xl) = 0,9^_! + 0, lVi + A@, i/._2 + 6,7/i_i + 30,7f + 8,l/#>) A9.109)
+i - di + ^U-2 ~ 16/i-i + 23/,), A9 107a)
934 19. Numerische Mathematik
19.4.1.5 Konvergenz, Konsistenz, Stabilität
1. Globaler Diskretisierungsfehler und Konvergenz
Einschrittverfahren kann man allgemein in der Form darstellen:
Vi+i =Vi + hF{xu yu h) (z = 0,1,2, .. ; 2/o gegeben). A9 110)
Dabei wird F(#, y, h) Zuwachsfunktion oder Fortschreitrichtung des Einschrittverfahrens genannt. Die
durch A9 110) gewonnene Näherungslösung hängt von der Schrittweite h ab und soll deshalb mit
y(x, h) bezeichnet werden. Ihre Abweichung von der exakten Lösung y(x) der Anfangswertaufgabe
A9.93) ergibt den globalen Diskretisierungsfehler g(x,h) (s. A9.111)), und man sagt: Das
Einschrittverfahren A9.110) ist konvergent mit der Konvergenzordnung p, falls p die größte natürliche Zahl mit
g(x, h) = y(x, h) - y(x) = 0(hp) A9 111)
ist Die Formel A9.111) besagt, daß für jedes x aus dem Definitionsbereich der Anfangswertaufgabe
die mit der Schrittweite h = bestimmte Näherung y(x, h) für jede Verfeinerung der Einteilung
n
mit h —? 0 gegen die Lösung y(x) konvergiert.
¦ Das EuLERsche Polygonzugverfahren A9 97) hat die Konvergenzordnung p = 1. Für das Runge-
Kutta-Verfahren A9.99) gilt p = 4
2. Lokaler Diskretisierungsfehler und Konsistenz
Die Konvergenzordnung gemäß A9.111) gibt an, wie gut die Näherungslösung y(x, h) die exakte Lösung
y(x) approximiert. Darüber hinaus ist die Frage interessant, wie gut die Zuwachsfunktion F(x, y, h) die
Ableitung y' — f[x, y) annähert. Dazu führt man den sogenannten lokalen Diskretisierungsfehler l(x, h)
(s A9.112)) ein und sagt Das Einschrittverfahren A9 110) ist konsistent mit der Ordnungp, fallsp die
größte natürliche Zahl mit
l(x, h) = V{X + h)~V{X) - F(x, y, h) = Ö(hP) • A9.112)
h
ist. Für ein konsistentes Einzelschrittverfahren folgt aus A9.112) unmittelbar
\im F{x,y,h) = f(x,y). A9.113)
h—»0
¦ Das EuLERsche Polygonzugverfahren hat die Konsistenzordnung p = 1, das RUNGE -Kutta-
Verfahren die Konsistenzordnung p = 4
3. Stabilität gegenüber Störung der Anfangs werte
Bei der praktischen Durchführung von Einschrittverfahren kommt zum globalen Diskretisierungsfehler
0(hp) noch ein Rundungsfehleranteil 0(l/h) hinzu. Das hat zur Folge, daß mit einer nicht zu kleinen,
endlichen Schrittweite h > 0 gerechnet werden muß. Dabei ist die Frage wichtig, wie sich die numerische
Lösung yi eines Einschrittverfahrens gegenüber Störungen des Anfangswertes verhält, und zwar auch
für den Fall Xi —? oo .
In der Theorie der gewöhnlichen Differentialgleichungen heißt eine Anfangswertaufgabe A9 93) stabil
bezuglich Störungen ihrer Anfangswerte, wenn gilt-
\y(x)-y(x)\<\yo-yo\. A9114)
Dabei ist y(x) die Lösung von A9.93) mit der gegenüber y0 gestörten Anfangsbedingung y(xo) =
yo . Die Abschätzung A9.114) besagt, daß die Lösungsänderung betragsmäßig nicht größer ist als die
Störung des Anfangs wertes.
Im allgemeinen läßt sich A9 114) nur schwer überprüfen Deshalb führt man die lineare Testaufgabe
y' — Xy mit y(xo) = yo (A const, A < 0) A9.115)
ein, die stabil ist, und prüft ein Einschritt verfahren an dieser speziellen Anfangswertaufgabe Man sagt
Ein konsistentes Einzelschrittverfahren heißt für die Schrittweite h > 0 absolut stabil bezuglich
Störungen des Anfangs wertes, wenn alle damit für das lineare Testproblem A9.115) berechneten Näherungen
yi der folgenden Abschätzung genügen:
|y<|<l2to|. A9H6)
19 4 Genäherte Integration von gewöhnlichen Differentialgleichungen 935
¦ Für A9 115) ergibt das EuLERsche Polygonzugverfahren yi+i = (l4-A/i)?/j (i — 0,1, . ). Man sieht,
daß A9.116) für |1 + Xh\ < 1 gilt, und erhält dadurch die Schrittweitenbeschränkung — 2 < Xh < 0
4. Steife Differentialgleichungen
Bei vielen Anwendungen, z B. in der chemischen Kinetik, führen mathematische Modelle auf
Differentialgleichungen, deren Lösungen sich aus verschieden stark exponentiell abklingenden Anteilen
zusammensetzen. Solche Differentialgleichungen werden als steif bezeichnet In dem Beispiel
y{x) = CxeXlX + C2eX2X (d, C2, A1; A2 const) A9.117)
mit Ai < 0, A2 < 0 und |Ai| <C |A2| leistet für den Fall Ai = — 1, A2 = —1000 der zu A2 gehörende
Term keinen Beitrag zur Lösung, er beeinflußt aber ganz wesentlich die Wahl der Schrittweite h eines
Näherungsverfahrens, so daß der Einfluß der Rundungsfehler sehr stark anwächst Dann ist die Auswahl
geeigneter Näherungsverfahren unbedingt notwendig (s [19.25])
19.4.2 Randwertaufgaben
Die wichtigsten Methoden zur Lösung von Randwertaufgaben bei gewöhnlichen
Differentialgleichungen sollen an der folgenden einfachen linearen Randwertaufgabe für eine Differentialgleichung 2
Ordnung beschrieben werden
y"{x) + p{x)y'(x) + q(x)y(x) = f(x) (a < x < b) mit y(a) = a , y(b) = ß A9.118)
Die Funktionen p(x), q(x) und f(x) sowie die Zahlen a und ß sind gegeben
Die beschriebenen Methoden lassen sich sinngemäß auf Randwertaufgaben bei Differentialgleichungen
höherer Ordnung übertragen
19.4.2.1 Differenzenverfahren
Man unterteilt das Intervall [a, b] durch gleichabständige Stutzstellen xv = x0 + vh {y = 0,1, 2,..., n,
Xo = a, xn = b) und ersetzt in der für die inneren Stützstellen angesetzten Differentialgleichung
y"(x„)+p(x„)y'(xu) + q(xu)y(xu) = !(xu) («/= 1,2, .,n-l) A9 119)
die Werte der Ableitungen durch sogenannte finite Ausdrücke, z.B..
i/M*>ti = y"+1üy"~1< A9-120a)
y"(x„) « y'l = v^-^ + v-i A9.120b)
Man erhält auf diese Weise n — 1 lineare Gleichungen für die n — 1 Näherungswerte yv « y(xv) im
Inneren des Integrationsintervalls [a, b], wenn man y0 = a und yn = ß beachtet Enthalten die
Randbedingungen Ableitungen, dann werden diese ebenfalls durch finite Ausdrücke ersetzt.
Eigenwertprobleme bei Differentialgleichungen (s 9.1 3.2, S 533) werden ganz analog behandelt. Die
Anwendung des Differenzenverfahrens, beschrieben durch A9 119) und A9 120a,b), führt dann auf ein
Matrizeneigenwertproblem (s 4.5, S. 286).
¦ Die Lösung der homogenen Differentialgleichung y" + X2y = 0 mit den Randbedingungen y@) =
y(l) = 0 führt auf ein Eigenwertproblem Das Differenzenverfahren überführt die Differentialgleichung
in die Differenzengleichung yu+\ — 2yu + yv_\ + h2X2yu = 0. Wählt man drei innere Punkte, also
h = 1/4, dann erhält man unter Beachtung von y0 — y@) = 0 , ?/4 = y{l) = 0 das Gleichungssystem
A2\
-2 + ^h/i+ ^ = 0,
16
yi + |-2+i!!r2 +
Dieses homogene System ist nur bei verschwindender Koeffizientendeterminante lösbar Aus dieser
Bedingung erhält man die Eigenwerte Ai2 = 9,37, A22 = 32 und A32 = 54,63, von denen allerdings nur
936 19. Numerische Mathematik
der kleinste dem ihm entsprechenden wahren Wert 9,87 nahekommt
Hinweis: Die Genauigkeit des Differenzenverfahrens kann erhöht werden durch
1. Verkleinerung der Schrittweite h,
2. Verwendung finiter Ausdrücke höherer Approximation (die Näherungen A9.120a,b) haben die
Fehlerordnung 0(/i2)),
3. Anwendung des Mehrschrittverfahrens (s 19.4 1 3, S. 932).
Ist eine nichtlineare Randwertaufgabe zu lösen, dann führt das Differenzenverfahren auf ein System
nichtlinearer Gleichungen für die unbekannten Näherungswerte yv (s. 19 2.2, 923).
19.4.2.2 Ansatz verfahren
Als Näherungslösung für die Randwertaufgabe A9.118) wird eine Linearkombination geeignet
gewählter Funktionen gi(x) verwendet, die einzeln die Randbedingungen erfüllen und linear unabhängig sind:
y(x)xsg{x) = Y;aigi(x) A9.121)
i=l
Setzt man g(x) in die Differentialgleichung von A9 118) ein, dann wird ein Fehler, der sogenannte Defekt
e(x, oi, 02,.. , on) = g"{x) + p(x)g'(x) + q{x)g(x) - f(x), A9 122)
auftreten. Die Bestimmung der Ansatzkoemzienten Oj kann nach den folgenden Prinzipien erfolgen
1. Kollokationsmethode Der Defekt soll an n Stellen xv , den Kollokationsstellen, verschwinden.
Die Bedingungen
e(xu;ai,a2, ,an) = 0 (i/=l,2,.. ,n), o < X\ < x2 < . < xn < b A9123)
liefern ein lineares Gleichungssystem für die Ansatzkoemzienten
2. Fehlerquadratmethode Man fordert, daß das Integral
b
F(a!,02, ,an)= s2(x]ai,ü2, ,on)dx A9124)
a
in Abhängigkeit von den Koeffizienten minimal wird. Die notwendigen Bedingungen
dF
— = 0 (i = l,2, .,n) A9 125)
Öüi
ergeben ein lineares Gleichungssystem für die Koeffizienten a^
3. Galerkin-Verfahren Man fordert die sogenannte Fehlerorthogonalität, d h , es muß
b
£(x;oi,a2,. ,an)gi(x)dx = 0 (i = l,2, .,n) A9126)
/•
gelten, und erhält auch auf diese Weise ein lineares Gleichungssystem zur Bestimmung der
Ansatzkoemzienten
4. Ritz-Verfahren Bei vielen Randwertaufgaben hat die Lösung y(x) die Eigenschaft, auch Lösung
einer sogenannten Variationsaufgabe zu sein, d h., y(x) macht ein Integral der Form
b
I[y}= jH(x,y,y')dx A9.127)
o
zum Minimum (s A0 4)) Kennt man die Funktion H(x,y,y'), so ersetzt man y(x) gemäß A9 121)
näherungsweise durch g(x) und macht I[y] = /(oi, 02,..., an) zum Minimum. Die dafür notwendigen
Bedingungen
-1=0 (i = l,2,...,n) A9.128)
liefern n Gleichungen für die Koeffizienten a^.
19 4 Genäherte Integration von gewöhnlichen Differentialgleichungen 937
¦ Unter bestimmten Voraussetzungen an die Funktionen p, q, f und y sind die Randwertaufgabe
-\p(x)y,(x)]' + q(x)y(x) = f(x), y(a) = a , y(b) = ß A9 129)
und die Variationsaufgabe
I[y] = Ja\p(x)y'2(x) +q(x)y2{x)-2f(x)y(x)}dx = min bei y{a) = a, y(b) = ß A9 130)
äquivalent, so daß man für Randwertaufgaben der Form A9.129) die Funktion H(x, y, y') aus A9.130)
unmittelbar ablesen kann.
An Stelle des Ansatzes A9 121) wird häufig auch
n
g{x)=go{x)^^aigi(x) A9 131)
i=l
verwendet, wobei go(x) die Randbedingungen erfüllt und die Funktionen Qi(x) den Bedingungen
9i{a)=9i(b) = 0 (i = 1,2, ..,n) A9 132)
genügen müssen. So kann z B. im Falle der Randwertaufgabe A9.118)
go(x) = q + t--^(z - a) A9.133)
o — a
gewählt werden
Hinweis: Bei linearen Randwertaufgaben führen die Ansätze A9 121) und A9 131) auf lineare
Gleichungssysteme zur Bestimmung der Ansatzkoeffizienten Im Falle nichtlinearer Randwertaufgaben
erhält man nichtlineare Gleichungssysteme, die nach den in 19.2.2, S. 923 angegebenen Verfahren zu lösen
sind.
19.4.2.3 Schießverfahren
Mit dem Schießverfahren wird die Lösung von Randwertaufgaben auf die Lösung von
Anfangswertaufgaben zurückgeführt Das Prinzip soll am sogenannten Einzielverfahren, auch einfaches
Schießverfahren genannt, beschrieben werden
1. Einzielverfahren Der Randwertaufgabe A9 118) wird die Anfangswertaufgabe
y"+p{x)y'+ q(x)y = f{x) mit y(a) = a , y'(a) = s A9 134)
zugeordnet Dabei ist s ein Parameter, von dem die Lösung y der Anfangswertaufgabe A9.134)
abhängt, d h , es gilt y = y(x, s) Die Funktion y(x, s) erfüllt gemäß A9.134) die erste Randbedingung
y(a, s) = öl . Der Parameter s ist so zu bestimmen, daß y(x, s) auch die zweite Randbedingung y(b, s) =
ß erfüllt Dazu ist die Gleichung
F{s) = y(b,s)-ß A9.135)
zweckmäßigerweise mit Hilfe der Regula falsi zu lösen Diese benötigt nur Funktionswerte F(s), aber
jede Funktionswertberechnung erfordert die Lösung der Anfangswertaufgabe A9 134) nach einem der
in 19 4 1, S 931 angegebenen Verfahren bis x = b für den speziellen Parameterwert s
2. Mehrzielverfahren Bei der sogenannten Mehrzielmethode wird das Integrationsintervall [a, b] in
Teilintervalle zerlegt und auf jedem Teilintervall die Einzielmethode angewendet Damit setzt sich die
gesuchte Lösung aus Teillösungen zusammen, deren stetiger Übergang an den Teilintervallgrenzen zu
sichern ist.
Diese Forderung ergibt zusätzliche Bedingungen. Zur numerischen Realisierung der Mehrzielmethode,
die vor allem bei nichtlinearen Randwertaufgaben verwendet wird, s [19 26]
938 19 Numerische Mathematik
19.5 Genäherte Integration von partiellen
Differentialgleichungen
Im folgenden wird nur das Prinzip der numerischen Lösung partieller Differentialgleichungen am
Beispiel linearer partieller Differentialgleichungen 2. Ordnung mit zwei unabhängigen Variablen unter
passenden Rand- oder/und Anfangsbedingungen gezeigt.
19.5.1 Differenzenverfahren
Das Integrationsgebiet wird durch ausgewählte Punkte (xß,y„) gitterförmig unterteilt Gewöhnlich
wird das Gitter rechteckig gewählt-
x^ = xq + iih, y„ = yo + vl (/x,i/ = l,2,. .) • A9136)
Für / = h erhält man ein quadratisches Gitter. Bezeichnet man die gesuchte Lösung mit u(x, y), dann
werden die in der Differentialgleichung und in den Rand- bzw Anfangsbedingungen auftretenden
partiellen Ableitungen durch finite Ausdrücke der folgenden Art ersetzt, wobei unter ußU ein Näherungswert
für den Funktionswert u(xß, yv) zu verstehen ist:
partielle Ableitung
du
du
d'u
d2u
d*{x'"V-)
d2u
finiter Ausdruck
-r{Uß+i,u ~ u^v) oder wr(un+hv ~ *V-i,«/)
y(^/i,i/+i - *w) °der 2i(wM)l/+i - V-i)
1 , .
TäK+l." ~ 2lW + UH-hv)
j2 (*V,"+1 _ 2*W + UW-l)
Fehlerordnung
0(h) oder 0{h2)
0A) oder 0{l2)
O(hl)
0(h2)
0A*)
A9 137)
In A9.137) ist die Fehlerordnung mit Hilfe des LANDAU-Symbols O angegeben.
In manchen Fällen ist es günstiger, die Näherung
äOfy'2/«')'
ufi+i,f+i
¦2ut
+ A - o)
• 2wMi„ + wM_i)t
A9 138)
dx*K *"""' h2 v ' h2
mit einem festen Parameter a @ < a < 1) zu verwenden. Die Formel A9 138) stellt eine
Konvexkombination zweier finiter Ausdrucke dar, die aus der entsprechenden Formel von A9 137) für die Werte
y = yv und y = yu+\ enstanden sind.
Mit den Formeln A9.137) kann eine partielle Differentialgleichung für jeden inneren Gitterpunkt in
eine Differenzengleichung überführt werden, wobei die Rand- und Anfangsbedingungen zu beachten
sind Das so entstehende Gleichungssystem für die Näherungswerte u^v , das für kleine Schrittweiten
h und l von großer Dimension ist, muß in der Regel iterativ gelöst werden (s 19 2 1 4, 922)
¦ A: Die Funktion u(x,y) erfülle die Differentialgleichung Au = uxx + uyy = —1 für alle Punkte
(x,y) mit \x\ < 1, \y\ < 2, d.h. im Innern eines Rechtecks, und genüge der Randbedingung u = 0
für \x\ = 1 und \y\ = 2. Die der Differentialgleichung entsprechende Differenzengleichung für ein
quadratisches Gitter mit der Schrittweite h lautet: 4wM)j, = u^+i^ + wM,i/+i + wM-i,i/ + %,i/-i + h2 Die
Schrittweite h = 1 (Abb. 19.6) liefert eine erste grobe Näherung für die Funktionswerte in den drei
inneren Gitterpunkten:
4n0,i = 0 + 0 + 0 + n0,o + 1, 4w0,o = 0 + u0,i + 0 + w0,-i + 1, 4w0,-i = 0 + u0,o + 0 + 0 + 1.
3 5
Man erhält- w0,o = = ~ 0,429, u0,i = «o,-i = tt ~ 0> 357 •
19 5 Genäherte Integration von partiellen Differentialgleichungen 939
i-u=0
'¦1.0=0
-1
2
-2
U0,2=
»0,1
u0,o
0
,-1
=0
«1,1=0
ui,o=0
1 X
Abbildung 19.6
¦ B: Die Gleichungssysteme, die bei der Anwendung des
Differenzenverfahrens auf partielle Differentialgleichungen entstehen, haben in der
Regel eine sehr spezielle Struktur. Das soll am Beispiel der folgenden,
etwas allgemeineren Randwertaufgabe gezeigt werden.
Integrationsgebiet sei das Quadrat G0<x<l,0<2/<1 Gesucht ist eine
Funktion u(x, y) mit Au = uxx + uyy '= f(x, y) im Innern von G,
u(x, y) = g(x, y) auf dem Rand von G. Die Funktionen / und g sind
gegeben Die zu dieser Differentialgleichung gehörende
Differenzengleichung lautet für h = l = l/n.
Vn,«/ + *W+i + mm-i,i/ + u^-i - 4uM>„ = ±zf(x^yu) [p,,v =
1,2, ., n — 1) Im Falle n = 5 hat die linke Seite dieses
Differenzengleichungssystems für die Näherungswerte u^v in den 4x4 inneren
Punkten die folgende Gestalt, wenn man das Gitter zeilenweise von links nach
rechts durchläuft und dabei beachtet, daß die Funktionswerte auf dem
Rand bekannt sind:
A-4
1
0
0
1
0
0
1 Q
\
1
-4
1 -
0
0
1
0
0
0
0
1
-4
1
0
0
1
0
0
0
1
-4
~ol
0
0
1
1 1
0
0
1 o
-4
1
0
0
1 T
0
0
0
0
1
0
0
1
-4
1
0
~ö"
1
0
0
0
0
1
0
0
1
-4
1
~ö~
0
1
0
0
0
0
1
Tl
0
i
-4
~Ö1
0
0
1
r
0
0
0
-4
1
0
0
1 1
0
0
0
0
1
0
0
~T
-4
1
0
~ö~
1
0
0
0
0
1
0
~ö~
1
-4
1
^r
0
i
0
ül
0
0
1
~Ö1
0
1
-4
~ö~|
0
0
1
1 ^~
0
0
0
-4
1
0
0
0
0
1
0
0
1
-4
1 -
0
0 0
0 0
1 0
0 1
0 0
1 0
-4 1
1 -4
)
(Un\
U21
U31
^41
Wl2
U22
U32
U42
Ul3
U23
^33
^43
Uu
U24
U34
\U44J
Man sieht- Die Koeffizientenmatrix ist symmetrisch und schwach besetzt. Ihre Gestalt wird als block
tridiagonal bezeichnet. Man beachte aber, daß die Gestalt der Koeffizientenmatrix davon abhängig ist,
wie die Gitterpunkte durchlaufen werden
Für die verschiedenen Aufgabenklassen bei partiellen Differentialgleichungen 2. Ordnung, insbesondere
bei elliptischen, parabolischen und hyperbolischen Differentialgleichungen, ist eine Vielzahl angepaßter
Differenzenverfahren entwickelt und auf Konvergenz und Stabilität hin untersucht worden Die Spezi-
alliteratur dazu ist umfangreich, Standardwerke s [19 24], [19 26].
19.5.2 Ansatzverfahren
Man macht für die gesuchte Lösung u(x,y) einen Näherungsansatz der Art
n
u(x,y) ^v{x,y) = v0(x, y) + ^ a^x, y). A9.139)
»=i
Dabei soll z B.
1. vq(x, y) die vorgelegte inhomogene Differentialgleichung erfüllen, und alle übrigen Ansatzfunktionen
Vi(x, y) (i = 1, 2, , n) die zugehörige homogene Differentialgleichung {Randmethode) oder
940 19. Numerische Mathematik
2. Vq(x, y) den inhomogenen Randbedingungen genügen und alle übrigen Vi(x, y) (i = 1,2, , n) den
homogenen Randbedingungen (Gebietsmethode).
Setzt man die Näherungsfunktion v(x,y) gemäß A9.139) im ersten Fall in die Randbedingungen, im
zweiten Fall in die Differentialgleichung ein, so wird in beiden Fällen ein Fehler, der sogenannte Defekt
e = e(x,y;a1,a2l... ,an), A9.140)
auftreten Zur Bestimmung der Ansatzkoeffizienten a^ kann man nach folgenden Prinzipien verfahren
1. Kollokationsmethode
Der Defekt e wird in n möglichst günstig verteilten Punkten, den Kollokationsstellen (xu,yu) (v = 1,
2, . , n), zum Verschwinden gebracht:
e{xv,yv;a\,a2,... ,an) = 0 [y = 1,2,... ,n) A9141)
Die Kollokationsstellen sind im 1 Fall Randpunkte (man spricht dann von Randkollokation), im 2 Fall
innere Punkte des Integrationsgebietes (man spricht dann von Gebietskollokation).
Es ergeben sich aus A9 141) n Gleichungen für die Koeffizienten Die Randkollokation ist in der Regel
der Gebietskollokation vorzuziehen
¦ Für das in 19.5.1, S. 938 mit dem Differenzenverfahren behandelte Beispiel werde ein Ansatz
verwendet, der bereits die Differentialgleichung erfüllt*
v(x, y\ ai, a2, a3) = — \{x2 + y2) + a\ + ü2{x2 — y2) + a3(x4 — ßx2y2 + y4). Die Koeffizienten werden
dadurch bestimmt, daß die Randbedingung in den Randpunkten (x\\ y\) = A; 0,5), {x2\ y2) = A,1,5)
und (x3; y3) = @,5; 2) erfüllt ist (Randkollokation). Man erhält das lineare Gleichungssystem
-0,3125 +ai +0,75a2- 0,4375a3=0,
-0,8125 +ai -l,25o2- 7,4375a3=0,
-1,0625 + ai - 3,75a2 + 10,0625a3 = 0
mit der Lösung a\ = 0,4562 , a2 = -0, 2000, a3 = —0,0143 . Mit Hilfe der Näherungsfunktion können
Näherungswerte für die Lösung in beliebigen Punkten des Integrationsgebietes berechnet werden Zum
Vergleich mit dem Differenzenverfahren seien die Werte v@; 1) = 0,3919 und v@,0) = 0,4562
angegeben.
2. Fehlerquadrat methode
Je nachdem, ob die Ansatzfunktion A9 139) die Differentialgleichung oder die Randbedingungen
erfüllt, verlangt man, daß
1. das über den Rand C erstreckte Linienintegral
/= f £2(x{t),y(t);au . ,an)dt, A9 142a)
(C)
wobei die Randkurve C durch die Parameterdarstellung x = x(t), y = y(t) beschrieben wird, oder
2. das über den Bereich G erstreckte Doppelintegral
J= ff e2{x,y; au...,an)dxdy A9.142b)
(G)
minimal wird. Aus den dafür notwendigen Bedingungen -pr— = 0 (i = 1,2,..., n) erhält man n Be-
Öüi
Stimmungsgleichungen für die Parameter a\, a2 , ..., an .
19.5.3 Methode der finiten Elemente (FEM)
Seitdem leistungsfähige Computer zur Verfügung stehen, ist die FEM zur wichtigsten Methode für
die numerische Lösung partieller Differentialgleichungen geworden. Sie ermöglicht es, in vielen
Anwendungsbereichen, über Mechanik und Baustatik hinaus, anspruchsvollere und damit aussagekräftigere
mathematische Modelle einzusetzen.
19 5 Genäherte Integration von partiellen Differentialgleichungen 941
Entsprechend den vielfältigen Anwendungen wird die FEM ganz unterschiedlich realisiert, so daß hier
nur ihre Grundidee skizziert werden kann Aus Analogiegründen sei auf das RlTZ-Verfahren (s. 19.4.2.2,
4., S. 936) zur numerischen Lösung von Randwertaufgaben bei gewöhnlichen Differentialgleichungen
und an die Splines (s 19 7, S. 959) erinnert.
Die Methode der finiten Elemente besteht aus folgenden Schritten.
1. Aufstellung einer Variationsaufgabe Zu der vorgegebenen Randwertaufgabe ist eine
Variationsaufgabe zu formulieren. Die Vorgehensweise wird an der folgenden Randwertaufgabe gezeigt:
Au = uxx + uyy = f im Innern eines Gebietes G, u = 0 auf dem Rand von G . A9 143)
Multipliziert man die Differentialgleichung in A9 143) mit einer hinreichend glatten Funktion v(x, y),
die auf dem Rand von G verschwindet, und integriert man anschließend über G , dann erhält man
S(^+d^)vdxdy=llSvdxdy- A9144)
(G) V J ' (G)
Durch Anwendung der GAUSSschen Integralformel (s 13.3.3 1,1., S 687), indem man in A3 121) P(x,y)
= —vuy und Q(x,y) = vux setzt, erhält man aus A9.144) die Variationsgleichung
a(u,v) = b(v) A9 145a)
mit
afav) = - JJ
(G)
du dv du dv
dx dx dy dy
dx dy, b(v)
jj fvdx dy.
A9 145b)
(G)
yt
y1
1
Yv
0
i
/
/.
/5
V
/
4/
/3
V
\
/
/
/
/
c
*^v
L x
Abbildung 19.7
Abbildung 19.8
2. Triangulierung Das Integrationsgebiet G wird in einfache Teilgebiete zerlegt In der Regel nimmt
man eine Triangulierung vor, bei der G durch Dreiecke so überdeckt wird, daß einander angrenzende
Dreiecke eine ganze Seite oder nur einen Eckpunkt gemeinsam haben Ein krummlinig begrenztes
Gebiet kann durch Dreiecke recht gut approximiert werden (Abb.19.7).
Hinweis: Um numerische Schwierigkeiten zu vermeiden, sollte die Triangulierung keine allzu stumpfen
Dreiecke enthalten
¦ Eine Triangulierung des Einheitsquadrates könnte in der in Abb, 19.8 angegebenen Weise erfolgen.
Dabei geht man von Gitterpunkten mit den Koordinaten xß = ßh, yu = vh (/i, v — 0,1, 2, , N ;
h = 1/N) aus Man erhält (N - lJ innere Punkte. Im Hinblick auf die Wahl von Ansatzfunktionen ist
es zweckmäßig, jeweils 6 Dreiecke, die im Punkte (xß, yv) zusammenstoßen, zu dem Flächenstück GßV
zusammenzufassen.
3. Ansatz Für die gesuchte Funktion u(x, y) wird in jedem Dreieck ein Ansatz gemacht. Ein Dreieck
mit zugehörigem Ansatz wird als finites Element bezeichnet Dafür eignen sich Polynome in x und y
In vielen Fällen reicht der lineare Ansatz
ü(x, y) = öi + ü2X + asy A9.146)
942 19. Numerische Mathematik
aus. Die Ansatzfunktionen müssen beim Übergang von einem Dreieck ins benachbarte zumindest stetig
sein, damit eine stetige Gesamtlösung entsteht
Die Koeffizienten ai, a2 und a3 in A9.146) lassen sich eindeutig durch die drei Funktionswerte u\, u2
und Us in den Eckpunkten des zugehörigen Dreiecks ausdrucken. Dadurch ist gleichzeitig der stetige
Übergang in die benachbarten Dreiecke gesichert Der Ansatz A9 146) enthält damit als unbekannte
Parameter die Näherungen ui für die gesuchten Funktionswerte. Als Ansatz, der im gesamten Gebiet
G für die gesuchte Lösung u(x, y) als Näherung verwendet wird, wählt man
N=1N-1
ü(x,y) = J2 E ®UuUuu(x,y).
A9 147)
Die Koeffizienten aal/ sind noch geeignet zu bestimmen. Für die Funktionen uuu(x,y) soll gelten Sie
stellen über jedem Dreieck von G^v eine lineare Funktion gemäß A9 146) dar und erfüllen die folgenden
Bedingungen
für k = /i, l :
1. u^(xkjyi) ¦¦
¦«
0 in allen anderen Gitterpunkten von GUi
2. uu„(x, y) = 0 für (x, y) <£ GUi
A9 148a)
A9 148b)
Die Darstellung von uul/(x, y) über Gav zeigt die Abb.19.9
Die Berechnung von uul/ über Guv , d.h über den Dreiecken
1 bis 6 in Abb. 19.8, soll für das Dreieck 1 gezeigt werden
uuu(x, y) = a\ + a2x + a% mit A9 149)
{1 für x = xu,y = yu,
0 imx = xa-uy = yv-i, A9.150)
0 füix = xfi,y = yl/-i
Aus A9.150) folgt ai = 1 ¦
erhält für Dreieck 1:
v, a2 = 0, Ö3 = l/h, und man
Abbildung 19.9
Analog berechnet man
1
uß„(x,y) = 1+ (- -v\
A9 151)
u{x,y) ¦
1-
1 +
1 +
G-)-(I-)
G-)
(-
/i +
für Dreieck 2,
für Dreieck 3,
für Dreieck 4,
für Dreieck 5,
für Dreieck 6.
A9.152)
4. Berechnung der Ansät zkoeffizienten Man bestimmt die Ansatzkoeffizienten aul/ durch die
Forderung, daß der Ansatz A9 147) die Variationsaufgabe A9 145a) für alle Ansatzfunktionen aflu
erfüllt, d h., in A9.145a) wird ü(x, y) für u(x, y) und uu„(x, y) für v(x, y) gesetzt Auf diese Weise ergibt
sich zur Bestimmung der Ansatzkoeffizienten das lineare Gleichungssystem
N-lN-l
>a(uul/, ukl) = b(ukl) (fc, / = 1,2,..., N - 1).
A9 153)
19.5 Genäherte Integration von partiellen Differentialgleichungen 943
In A9.153) bedeuten
o.(u^um) = JJ f
n.. \
Gki
dx
dx dy
duk
jdxdy, b(uki)= fukidxdy A9.154)
Bei der Berechnung von a{u^u, uu) ist zu beachten, daß Beiträge zur Integration nur die Fälle liefern, in
denen die Gebiete G^v und Gm keinen leeren Durchschnitt haben. Diese Gebiete sind in Tabelle 19.1
durch SchrafTur gekennzeichnet.
Tabelle 19 1 Hilfstabelle zur FEM
Flächenstück-
auswahl
1 v = l
A' v = l-l
Q fi = k + 1
6' v = l
p = k + l
4 v = l + l
ß = k
ö- v = l + 1
c LL = k — 1
V = l
7n=k-l
1 v=l-\
Graphische
Darstellung
Ä
C/
/
Ä
/
/
Ä
A
V
/
K
H
9
y
/3
y
H
/
4/
/
/
V
—
Dreiecke von
1 1
2 2
3 3
4 4
5 5
6 6
1 5
2 4
2 6
3 5
3 1
4 6
4 2
5 1
5 3
6 2
6 4
1 3
duki
dx
0
-l//i
-1/Ä
0
1/h
1/h
0
-1/h
-1/h
-1/h
-1/h
0
0
-1/h
1/h
1/h
1/h
0
dx
0
-1/h
-1/h
0
1/h
1/h
1/h
0
1/h
1/h
0
1/h
1/h
0
-1/h
-1/h
0
-1/h
duki du^
^ dx dx
4 '
h?
0
2
fr2
0
0
2
0
Die Integration erfolgt jeweils über ein Dreieck mit dem Flächeninhalt h2/2, so daß die Anteile der
partiellen Ableitungen nach x ergeben:
1 h2
— Daw - 2^+1,/ - 2ak-iti) — ¦
A9.155a)
944 19. Numerische Mathematik
Analog erhält man für die Anteile der partiellen Ableitungen nach y :
1 h2
— (AaM - 2aw+i - 2afc>z_1) — A9.155b)
Die Berechnung der rechten Seite b{uk\) von A9 153)ergibt:
b(uki) = Jj f(x, y)ukl(x, y) dx dy « fklVP , A9 156a)
Gki
wobei mit Vp das Volumen der von uki{x, y) über Gki beschriebenen Pyramide der Höhe 1 bezeichnet
wird (Abb. 19.9) Wegen
Vp = \'6'\h2 gÜt &(w«)«/«ä2 A9 156b)
Damit ergeben die Variationsgleichungen A9.153) für die Bestimmung der Ansatzkoeffizienten das
lineare Gleichungssystem
Aakt - ak+u - ak-u - akil+1 - aKl-i = h2fkl (k, l = 1,2, ., N - 1) A9 157)
Bemerkungen:
1. Sind die Ansatzkoeffizienten gemäß A9.157) bestimmt worden, dann stellt ü(x, y) aus A9.147) eine
explizite Näherungslösung dar, deren Werte für beliebige Punkte (z, y) aus G berechnet werden können
2. Muß das Integrationsgebiet mit einem beliebigen, unregelmäßigen Dreiecksnetz überzogen werden,
dann ist es zweckmäßig, sogenannte Dreieckskoordinaten (auch baryzentrische Koordinaten genannt)
einzuführen Dadurch ist die Lage eines Punktes bezüglich des Dreiecksnetzes leicht feststellbar, und
die Berechnung der mehrdimensionalen Integrale analog zu A9 154) wird vereinfacht, weil jedes
beliebige Dreieck besonders einfach auf ein Einheitsdreieck transformiert werden kann
3. Soll die Genauigkeit der Näherungsfunktion erhöht oder ihre Differenzierbarkeit gewährleistet
werden, dann muß man zu stückweise quadratischen oder stückweise kubischen Ansatzfunktionen
übergehen (s. z B [19 24]).
4. Bei der Lösung praktischer Probleme entstehen Aufgaben sehr großer Dimension Deshalb wurden
viele spezielle Verfahren entwickelt, z B auch für eine automatische Triangulierung und für eine
günstige Numerierung der Elemente (davon hängt die Struktur der Gleichungssysteme ab, die gelöst werden
müssen) Eine ausführliche Darstellung der FEM s. [19.13], [19 9], [19 24].
19.6 Approximation, Ausgleichsrechnung, Harmonische Analyse 945
19.6 Approximation, Ausgleichsrechnung, Harmonische
Analyse
19.6.1 Polynominterpolation
Die Grundaufgabe der Interpolation besteht darin, durch eine Reihe von Punkten (xu,yv) {y = 0,1,
. ., n) eine geeignete Kurve hindurchzulegen. Graphisch geschieht das mit Hilfe eines Kurvenlineals,
rechnerisch mit Hilfe einer Funktion g(x), die an den Stellen xv, den sogenannten Stutzstellen, die
gegebenen Werte yv als Funktionswerte annimmt, d.h., g(x) erfüllt die Interpolationsbedingung
g{xl/) = yu (i/ = 0,l,2,...,n) A9 158)
Als Interpolationsfunktionen sind in erster Linie Polynome gebräuchlich bzw. bei periodischen
Funktionen sogenannte trigonometrische Polynome Im letzteren Fall spricht man von trigonometrischer
Interpolation (s. 2., S 955) Werden n + 1 Stützstellen benutzt, so heißt n die Ordnung der
Interpolation, und der Grad des Interpolationspolynoms ist dann höchstens gleich n Da mit zunehmendem
Polynomgrad die Interpolationspolynome starke Oszillationen aufweisen, die in der Regel unerwünscht
sind, zerlegt man zweckmäßigerweise das Interpolationsintervall in Teilintervalle und geht zur Spline-
Interpolation über (s. 19.7, S 959).
19.6.1.1 Newtonsche Interpolationsformel
Zur Lösung der Interpolationsaufgabe A9 158) wird ein Polynom vom Grade n in der folgenden Form
angesetzt:
g(x) = pn(x) = a0+ai(x—Xo)+a2(x-x0)(x—Xi)-\ \-an(x-x0)(x-Xi)... (x—xn-i) A9 159)
Dieser Ansatz, auch NEWTONsc/ie Interpolationsformel genannt, ermöglicht die einfache Berechnung
der Koeffizienten a^ (i = 0,1, . , n), da die Interpolationsbedingung A9.158) unmittelbar auf ein
gestaffeltes lineares Gleichungssystem führt
¦ Für n = 2 erhält man aus A9 158)
das nebenstehende Gleichungssystem Das
Interpolationspolynom pn(x) ist durch die
Interpolationsbedingung A9.158)
eindeutig bestimmt Die Berechnung von Funktionswerten kann in einfacher Weise mit Hilfe des Ho-RNER
Schemas (s 19 1 2 1, S. 914) erfolgen.
19.6.1.2 Interpolationsformel nach Lagrange
Um durch n + 1 Punkte (xv , yu) {y = 0,1, .., n) ein Polynom vom Grade n hindurchzulegen, kann
man nach LAGRANGE den folgenden Ansatz benutzen:
n
g(x) = pn(x) = Y, V»Lß{x). A9 160)
Dabei werden mit Lß{x) (/i = 0,1,.. , n) die LAGRANGEschen Grundpolynome bezeichnet Der
Ansatz A9.160) erfüllt die Interpolationsbedingung A9.158), wenn gilt
M*„)=^={5SE{!^: A9-16D
Dabei ist 5^ das KRONECKER-Symbol Aus der Bedingung A9.161) und der Forderung, daß die
LAGRANGEschen Grundpolynome vom Grad n sein sollen, ergibt sich die Darstellung
l = (x ~ x°^x -xi)-'-(x~ x^-i)(x - Xp+i) -"{x-xn) = " x-xv 162.
V*£/x "^0ji,*^/Lt %l) ' ' ' \Xß Xß— \J \Xß Xß+i) • • • yXß Xn) u=q Xjj, Xv
[xo) = a0
[xi) = a0 + ai(xi -xo)
[x2) = a0 + ai(x2 - xo) + a2(x2 -
= 2/o
= 2/i
-x0)(x2-xi) =y2
946 19. Numerische Mathematik
¦ Die durch die Wertetabelle U:—q—ö~ gegebenen Punkte sollen mit Hilfe der LAGRANGEschen
Interpolationsformel A9 160) interpoliert werden Man erhält
«¦>-£^§4-^-»<•-»¦
r (x - 0) fr - 1) 1
L2W=C-0)C-l)=6l(l-1)-
5 17
p2(x) = 1 • L0{x) + 3 • Li(ar) + 2 • L2(x) = --x2 + —x + 1.
0 D
Das LAGRANGEsche Interpolationspolynom hängt explizit und zwar linear von den gegebenen
Funktionswerten yß ab Das ist für theoretische Überlegungen von Bedeutung (s z.B. das Verfahren von
Adams-Bashforth, 19 4.1 3,3., S 933) Für praktische Rechnungen ist die LAGRANGEsche
Interpolationsformel weniger geeignet
19.6.1.3 Interpolation nach Aitken—Neville
In vielen praktischen Fällen wird das Interpolationspolynom pn(x) explizit nicht benötigt, sondern
nur sein Funktionswert an einer vorgegebenen Stelle x des Interpolationsgebietes Zur Berechnung
dieses Funktionswertes kann man nach Aitken-Neville rekursiv vorgehen. Dazu verwendet man
zweckmäßigerweise die Bezeichnung
Pn(x) =Poi, ,n(z), A9 163)
in der die Indizierung die verwendeten Stützstellen und damit auch den Grad des
Interpolationspolynoms angibt Es gilt
poi Äx) = (x-x0)ph2, ,„(*)-fr-s„Ku, „..fr) _ (lg 164)
Xn ~ Xq
d h , der Funktionswert p0,i, ,n(x) ergibt sich durch lineare Interpolation aus den Funktionswerten von
Pi,2, ,n(x) und po i.2, ,n-i(x), zwei Interpolationspolynomen vom Grad < n — 1. Die gezielte
Anwendung von A9.164) führt auf ein Schema, das für den Fall n = 4 angegeben werden soll
A9 165)
Die Elemente von A9.165) werden spaltenweise berechnet Ein neuer Wert im Schema entsteht jeweils
aus dem links daneben stehenden und dem unmittelbar über,diesem stehenden Wert, z B
P23 = ——Z±I£±———Z±1£± = Ps + -(p3 ~ P2), A9 166a)
~- ~- x3-x2
Xq
Xl
x2
X3
£4
2/0 = Po
2/1 = Pi Poi
2/2 = P2 Pl2 P012
2/3 = P3 P23 Pl23 P0123
2/4 = PA P34 P234 P1234 P01234
= Pa(x)
[X - X2)P3 -{X-
X3 - X2
(X-Xi)p23 ~{X-
x3 - xi
(x~Xi)p234 - {X
x3)p2
— i
- x3)pl2
- x4)pi23
P123 = ——-^^———Mö,t'^ = p23 + ~(p23 - pl2), A9.166b)
~ X3 - Xi
P1234 = ——~ijyzöq—K——•^im^l = p234 + -fe>34 - P123) A9 166c)
X4 — Xi X4— Xi
Für die Durchführung des Algorithmus von Aitken-Neville auf dem Computer braucht man nach
[19 3] nur einen Vektor p mit n +1 Komponenten, der nacheinander die einzelnen Spalten von A9 165)
aufnimmt Dazu wird vereinbart, daß der Wert Pi-k,i-k+i, 4 (i = k,k + l, , n) der A:-ten Spalte die
i-te Komponente^ von p wird Damit sind die Spalten von A9.165) von oben nach unten zu berechnen.
19 6 Approximation, Ausgleichsrechnung, Harmonische Analyse 947
um die noch benötigten Werte zur Verfügung zu haben Der Algorithmus besteht dann aus folgenden
zwei Schritten
1 Für i = 0,1, ,n setze Pi = yi A9 167a)
2 Für k = 1.2, . , n und für i = n, n — 1, ., A; setze p? = p^ H —{Pi — Pi-i) A9 167b)
%i %i—k
Nach Abschluß von A9 167b) stellt pn den gesuchten Funktionswert von pn(x) an der Stelle x dar
19.6.2 Approximation im Mittel
Das Prinzip der Approximation im Mittel, bei dem zwischen stetigen und diskreten Aufgaben
unterschieden werden soll, wird auch als G AUSSsche Fehler quadratmethode bezeichnet oder unter dem Begriff
Ausgleichsrechnung zusammengefaßt
19.6.2.1 Stetige Aufgabe, Normalgleichungen
Eine Funktion /(x) ist über dem Intervall [a, b] durch eine Funktion g(x) in dem Sinne zu approximieren,
daß der Ausdruck
b
F = Juj(x)[f(x)-g(x)]2dx A9 168)
a
minimal wird, und zwar in Abhängigkeit von den Parametern, die die Funktion g(x) enthält Mit u(x)
ist eine gegebene Gewichtsfunktion bezeichnet, für die lj(x) > 0 im Integrationsintervall gelten soll
Macht man für die Näherungsfunktion g(x) den Ansatz
g{x) = JTai9l{x) A9.169)
t=0
mit geeigneten, linear unabhängigen Funktionen ^o(^), 9i(%), • ¦ ? 9n{x) > dann führen die
notwendigen Bedingungen
dF
— = 0 (i = 0,l,. ,n) A9.170)
für ein relatives Minimum von A9.168) auf das sogenannte Normalgleichungssystem,
T,ai(9i,9k) = (f,9k) (fc = 0,l,.. ,n) A9.171)
»=o
zur Bestimmung der Ansatzkoeffizienten ü{ Dabei werden die Abkürzungen
b
(9i, 9k) = I u(x)gi(x)gk(x) dx , A9 172a)
a
b
(/, 9k) = JLj(x)f(x)gk(x) dx (z, k = 0,1,..., n), A9 172b)
a
die auch als Skalarprodukte der betreffenden zwei Funktionen bezeichnet werden, verwendet.
Das System der Normalgleichungen ist eindeutig lösbar, da für die Ansatzfunktionen go(x), g\ (x),
gn(x) lineare Unabhängigkeit vorausgesetzt war Die Koeffizientenmatrix des Systems A9 171) ist
symmetrisch, so daß zur Lösung das Cholesky-Verfahren (s 19 2 1 2, S 920) verwendet werden sollte Die
Ansatzkoeffizienten a^ können direkt berechnet werden, ohne Lösung eines Gleichungssystems, wenn
das System der Ansatzfunktionen orthogonal ist, d h wenn gilt.
(gugk) = 0 für i± k A9 173)
948 19. Numerische Mathematik
Darüber hinaus spricht man von einem orihonormierten System, wenn gilt:
(*,*) = (? ^Ml* (a = o,i,...,n).
A9.174)
Mit A9 174) vereinfachen sich die Normalgleichungen A9 171) zu
ai = (f,gi) (i = 0,l,.. ,n). t A9175)
Linear unabhängige Funktionensysteme können orthogonalisiert werden. Aus den Potenzfunktionen
gi(x) = x% (i = 0,1,.. , n) erhält man je nach Wahl der Gewichtsfunktion und des
Integrationsintervalls die Orthogonalpolynome in Tabelle 19.2
Tabelle 19.2 Orthogonalpolynome
Mf
[-i,i]
[0,oo)
(—00,00)
u{x)
1
1
y/l-x2
e~x
e-x'/2
Bezeichung der Orthogonalpolynome
LEGENDREsche Polynome Pn(x)
TschebYSCHEFFsche Polynome Tn(x)
LAGUERREsche Polynome Ln(x)
HERMiTEsche Polynome Hn(x)
s.S.
9.1.2.6,3., 529
951
9.1.2.6,3., 531
9.1.2.6,3., 532
A9.176)
Mit dieser Auswahl können die wichtigsten Anwendungsfälle berücksichtigt werden
1. Endliches Approximationsintervall.
2. Einseitig unendliches Approximationsintervall, z B. bei zeitabhängigen Problemen
3. Zweiseitig unendliches Approximationsintervall, z.B bei Strömungsproblemen.
Man beachte, daß jedes endliche Intervall [a, b] durch die Substitution
b + a b — a , . r . in
* = — + —* (xG[a,6],t€[-l,l])
auf das Intervall [—1,1], für das viele Ansatzfunktionen definiert sind, transformiert werden kann
19.6.2.2 Diskrete Aufgabe, Normalgleichungen, Householder-Verfahren
Es seien N Wertepaare {xu, y„), z.B. durch Messung gefundene Werte, vorgegeben Gesucht wird eine
Funktion g(x), deren Funktionswerte g(xu) von den gegebenen Werten yv in dem Sinne möglichst wenig
abweichen, daß der quadratische Ausdruck
f'Elfc-jW]' A9177)
minimal wird, und zwar in Abhängigkeit von den Parametern, die die Funktion g(x) enthält Die
Formel A9.177) stellt die klassische Fehlerquadratsumme dar. Die Minimierung der
Fehlerquadratsumme mit Hilfe der notwendigen Bedingungen für ein relatives Extremum wird auch als als
Methode der kleinsten Quadrate bezeichnet. Mit dem Ansatz A9.169) und den notwendigen Bedingungen
dF
—— = 0 (i = 0,1,. . ,n) für ein relatives Minimum von A9 177) erhält man zur Bestimmung der
Ansatzkoeffizienten im diskreten Fall das lineare Gleichungssystem der Normalgleichungen
E <9i9k] = [V9k] (k = 0,1,..., n). A9 178)
Dabei werden in Anlehnung an die Gauss sehe Summensymbolik die folgenden Abkürzungen
verwendet
N N
[9i9k] = E 9iMgk{xv), A9.179a) [ygk] = E Vv9h(xv) (i, k = 0,1, , n). A9 179b)
19.6 Approximation, Ausgleichsrechnung, Harmonische Analyse 949
In der Regel gilt n ^ N
¦ Für den Polynomansatz g(x)
¦ a0 + a\x + • • + anxn lauten die Normalgleichungen
] + ••• + an[xk+n] = [xky] (fc = 0,1,..., n) mit [xk] = EÜi xu
¦¦ N, [xky] =
Hv=i xvkyu, [y] = Hv=i Vv Die Koemzientenmatrix des Normalgleichungssystems A9 178) ist
symmetrisch, so daß für die numerische Lösung das Cholesky-Verfahren in Frage kommt.
In Matrizenschreibweise haben die Normalgleichungen A9 178) und die Fehlerquadratsumme A9.177)
die folgende übersichtliche Form
GTGa = GTy, F = (y - Ga)T(y - Ga)
mit
G =
9o(x2)
goix-s)
9i(xi)
9i{xs)
92(xi)
92(x2)
92(x3)
9n(Xl) \
9n(x2)
9n{x3)
y =
fyi\
V2
93
(a°\
öl
a2
A9.180a)
A9 180b)
\9o{xn) 9i(xn) 92(xn) ... 9n{xN)) \Vn ] \an I
Würde man an Stelle der Forderung, die Fehlerquadratsumme zu minimieren, in den N Punkten (xu, yv)
die Interpolationsforderung stellen, dann ergäbe sich das Gleichungssystem
Ga = y, A9 181)
ein überbestimintes lineares Gleichungssystem im Fall n < N — 1, das in der Regel keine Lösung
hat Durch Multiplikation mit GT erhält man aus A9 181) das Normalgleichungssystem A9 178) bzw.
A9 180a)
Aus numerischer Sicht ist es jedoch günstiger, zur Lösung von Ausgleichsaufgaben auf A9 181) das
Householder-Verfahren (s 4.4.3 2,2., S. 286) anzuwenden, das eine Lösung im Sinne der minimalen
Fehlerquadrat summe A9 177) liefert
19.6.2.3 Mehrdimensionale Aufgaben
1. Ausgleichsaufgabe
Es soll die folgende diskrete mehrdimensionale
Ausgleichsaufgabe behandelt werden. Eine Funktion f(xi,x2, , xn) der n
unabhängigen Variablen x\, x2 , .. , xn sei formelmäßig nicht
bekannt, aber es seien N Funktionswerte /„, im allgemeinen
Meßwerte, in einer Wertetabelle gegeben (s nebenstehend)
Die Schreibweise wird übersichtlicher und die Analogie zur
eindimensionalen Ausgleichsaufgabe deutlicher, wenn man
folgende Vektoren einführt
Vektor der n unabhängigen Variablen.
Vektor der i/-ten Stützstelle (y — 1, . , N),
Vektor der N Funktionswerte in den N Stützstellen
xn) = /(x) werde ein Ansatz der Form
X\
x2
Xn
f
x{1) x{2)
xl) XU
rU) rB)
/l h
. X1
. ^2
• 4"'
fs
A9.182)
*(") :
>Xn)T
(xi,x2,
¦x2 • ,xn
£ =(/„/2, -fN)T
Zur Approximation von f(x\,x2.
g(xux2, ,xn) = ^jaigi(xi,x2, . ,x„)
t=0
verwendet Dabei sind die m + 1 Funktionen gi(x\,x2, . , xn) ¦
tionen
¦ A: Linearer Ansatz in n Variablen g(xi, x2i. ., xn) = oo + öi^i + a2x2 +
¦ B: Vollständiger quadratischer Ansatz in 3 Variablen
q{xi,X2, x3) = a0 + a\X\ + a2x2 + a3x3 + a4Xi2 + a5x22 + a6x32 + a7XiX2 + agXiX-j + a9x2x:i
A9 183)
<7»(x) geeignet gewählte Ansatzfunk-
• + anxn
Die Ansatzkoeffizienten sind so zu bestimmen, daß J2„=i \fv "
¦9(X:
.(") J»)
x{2\ ixtf)] = min gilt.
950 19 Numerische Mathematik
2. Normalgleichungssystem Bildet man analog zu A9.180b) die Matrix G, indem man formal
die Stützstellen xv durch die vektoriellen Stützstellen x/^ (y = 1,2, , N) ersetzt, dann kann man
auch im vorliegenden mehrdimensionalen Fall zur Bestimmung der Ansatzkoeffizienten das
Normalgleichungssystem
GTGa = GTf A9 184)
oder das überbestimmte lineare Gleichungssystem
Ga = f A9 185)
verwenden.
¦ Beispiel zur mehrdimensionalen Regression s. 16.3.4.3,3., S. 805.
19.6.2.4 Nichtlineare Quadratmittelaufgaben
Der prinzipielle Lösungsweg soll am eindimensionalen diskreten Fall gezeigt werden Die Ansatzfunk-
tion g(x) hänge nicht linear von einigen Parametern ab.
¦ A: g(x) = a0eaiX + a2ea3X In dieser Exponentialsumme treten die Parameter a\ und a3 nichtlinear
auf.
¦ B: g(x) = aoeaiX cos a2x. In diesem Ansatz sind a\ und a2 die nichtlinearen Paramter
Die Abhängigkeit der Ansatzfunktion g(x) von einem Parametervektor a = (ao, a\, . , an)T soll durch
die Bezeichnung
g = g{x,a) = g(x\ a0,ai,. .,an) A9186)
zum Ausdruck gebracht werden Es seien N Wertepaare (#„, yv) (u = 1,2,.. , N) gegeben Zur
Minimierung der Fehlerquadratsumme
N
^2[yv - g{x„; a0,ai,...,an)]2 = F(a0,ai, ,an) A9187)
dF
führen die notwendigen Bedingungen ^— = 0 (i = 0,1,. ., n) auf ein nichtlineares Normalgleichungs-
System, das iterativ z B mit Hilfe des Newton-Verfahrens (s. 19 2 2 2, S 924) gelöst werden muß
Einen anderen Lösungsweg, der bei praktischen Aufgaben in der Regel gegangen wird, vermittelt das
GausS-Newton-Verfahren (s. 19 2 2 3, S 924), das zur Lösung der nichtlinearen
Quadratmittelaufgabe A9.24) beschrieben worden ist. Die Übertragung auf die jetzt vorliegende nichtlineare
Approximationsaufgabe A9.187) erfordert die folgenden Schritte.
1. Linearisierung der Ansatzfunktion g(x, a) nach TAYLOR bezüglich der Parameter a^ Dazu müssen
Näherungswerte a\ ' (i = 0,1,..., n) bekannt sein-
j(x,a) « j(x,a) = <?(z,a<°>) + E |^(x,a@))(ai - af). A9 188)
t=0 Ü(Li
2. Lösung der linearen Ausgleichsaufgabe
N
X)[^-5(^,a)]2 = min! A9.189)
mit Hilfe des Normalgleichungssystems
GTG Aa = GT Ay A9190)
oder nach dem Householder-Verfahren. In A9.190) sind die Komponenten der Vektoren Aa und
Ay durch
Aa{ = tu - a\0) (i = 0,1,2,..., n) und A9 191a)
&Vv = yv-9{xv>d®) (^=1,2, ,N) A9191b)
19.6 Approximation, Ausgleichsrechnung, Harmonische Analyse 951
gegeben. Die Matrix G wird analog zu G in A9 180b) gebildet, indem man Qi(xv) durch —— (x„,a[ )
(i = 0,l, ,n, i/ = l,2, ,AQ ersetzt
3. Berechnung einer neuen Näherung durch
J».
„(°)
J1) .
' + Aa{ bzw a\l) = a\V) + lAa; (* = 0,1, 2,..., n), A9.192)
wobei 7 > 0 ein Schrittweitenparameter ist.
Durch Wiederholung der Schritte 2 und 3 mit a\ an Stelle von a\ usw. erhält man für die gesuchten
Parameter Folgen von Näherungswerten, deren Konvergenz sehr stark von der Güte der
Startnäherung abhängt Mit Hilfe des Schrittweitenparameters 7 läßt sich aber zunächst eine Verkleinerung der
Fehlerquadratsumme erzielen.
19.6.3 Tschebyscheff— Approximation
19.6.3.1 Aufgabenstellung und Alternantensatz
1. Prinzip der Tscheby scheff-Approximation
Unter TSCHEBYSCYLEFF-Approximation oder gleichmäßiger Approximation versteht man im stetigen
Fall die folgende Aufgabe In einem Intervall a < x < b ist die Funktion f(x) durch eine Näherungs-
funktion g(x) = g(x ; ao, ßi,.. , an) so zu approximieren, daß der größte Fehlerbetrag
max \f(x) -g(x, a0,au . ,an)| = 0{ao,au ,an) A9 193)
a<x<b
durch geeignete Wahl der Parameter a{ (i — 0,1,..., n) möglichst klein wird. Existiert für f(x) eine
solche Näherungsfunktion, dann wird der Maximalwert der Abweichung in mindestens n + 2 Punkten
xv des Intervalls, den sogenannten Alternantenpunkten, mit abwechselndem Vorzeichen angenommen
(Abb.19.10) Das ist der wesentliche Inhalt des sogenannten Alternantensatzes zur Charakterisierung
der Lösung einer TsCHEBYSCHEFFschen Approximationsaufgabe.
yj
0
i
rwT
! gw
a
\j/-i
b
X
y<
0
1
,f(x)-g(x)
r\ ?
1_^Z.
^N
h x
a)
b)
Abbildung 19.10
¦ Approximiert man auf dem Intervall [—1,1] die Funktion f(x) = xn durch ein Polynom vom Grade
< n — 1 im TsCHEBYSCHEFFschen Sinne, dann erhält man als Fehlerfunktion, wenn auf den
Maximalwert 1 normiert wird, das TsCHEBYSCHEFF-Po/?/nom Tn(x). Die Alternantenpunkte, die sich aus den
Randpunkten und genau n — 1 Punkten im Innern des Intervalls zusammensetzen, entsprechen den
Extremstellen von Tn{x) (Abb.l9.11a-f)
19.6.3.2 Eigenschaften der Tschebyscheff-Polynome
1. Darstellungen
Tn{x) = cos(narccosx), A9 194a)
Tn(x) :
Tn(x) :
i [{x+vi^iy+(x - Vx^t)
(cosnt, x = cost für \x\ < 1,
\ coshnt, x = cosht für \x\ > 1
(n = l,2, )
A9.194b)
A9.194c)
952 19 Numerische Mathematik
1 -1
b)
-1
T5(x)j
A,
IV
1 .
A
•\J
-1
X
1
e)
Abbildung 19.11
2. Nullstellen von Tn(x)
B/x - 1)tt
Xu = COS
2n
(/x= 1,2, ...,n).
3. Extremstellen von Tn(x) für x € [—1,1]
£„ = COS A/ = 0,1,2,.
n
,n).
4. Rekursionsformel
Tn+l = 2xTn(x) - Tn-i(x) {n = 1,2,
Daraus folgt z B
;To(aO = l,ri(x)=aO.
T2(x
T4(x
Te{x.
T7(x[
T8(x.
T9(X[
Tio{x]
= 2x2-l, T3(x) =4x3-3x,
= 8x4 - 8x2 + 1, T5(x) = Wx5 - 20x3 + 5x,
= 32x6 - 48x4 + 18x2 - 1,
= 6Ax7 - U2x5 + 56x3 - 7x,
= 128x8 - 256z6 + 160x4 - 32x2 + 1,
= 256x9 - 576x7 + 432x5 - 120x3 + 9x,
= 512x10 - 1280x8 + 1120x6 - 400x4 + 50x2 - 1.
A9 195)
A9 196)
A9 197)
A9.198a)
A9 198b)
A9 198c)
A9 198d)
A9 198e)
A9.1981)
A9.198g)
19 6 Approximation, Ausgleichsrechnung, Harmonische Analyse 953
19.6.3.3 Remes-Algorithmus
1. Folgerungen aus dem Alternantensatz
Der Alternantensatz ist der Ausgangspunkt für die numerische Lösung der stetigen Tschebyscheff-
schen Approximationsaufgabe. Wählt man als Näherungsfunktion
g(x) = j^ai9i{x) A9 199)
mit n + 1 linear unabhängigen, bekannten Ansatzfunktionen, dann sollen mit a^* (i = 0,1, , n) die
Koeffizienten der Lösung der TsCHEBYSCHEFFschen Aufgabe und mit g = <£(a0*,ai*, , an*) die
zugehörige Minimalabweichung gemäß A9 193) bezeichnet werden. In dem Fall, daß die Funktionen /
und gi (i = 0,1, . , n) differenzierbar sind, folgt aus dem Alternantensatz
£ Oi'giM + (-1)^ = f(xv), £ <kWiM = f'M (i/ = 1,2,..., n + 2). A9 200)
Die Stellen xu sind Alternantenpunkte mit
a < xi < x2 < < xn+2 <b. A9 201)
Die Gleichungen A9.200) stellen 2n+4 Bedingungen für die 2n+4 unbekannten Größen der
TsCHEBYSCHEFFschen Approximationsaufgabe dar- n + 1 Ansatzkoeffizienten, n + 2 Alternantenpunkte und die
Minimalabweichung g. Falls die Intervallrandpunkte zu den Alternantenpunkten gehören, brauchen
dort die Bedingungen für die Ableitung nicht zu gelten.
2. Bestimmung der Minimallösung nach Remes
Nach Remes geht man zur numerischen Bestimmung der Minimallösung wie folgt vor.
1. Man bestimmt eine Alternantennäherung xj® (v = 1, 2, ,n + 2) gemäß A9 201), z B.
gleichabständig oder als Extremstellen von Tn+\(x) (s 19.6.3 1, S 951).
2. Man löst das lineare Gleichungssystem
t,atgi(x^) + (-iyg = f(x^) (v = l,2,. ,n + 2)
t=0
und erhält als Lösung die Näherungen a^ (i = 0,1,.. , n) und g0 .
3. Man ermittelt eine neue Alternantennäherung xj-1^ (^ = 1,2,. , n + 2), z.B als Extremstellen
der Fehlerfunktion f(x) — £ Q>i®9i{x) • Dabei genügt es, Näherungen für diese Extremstellen zu ver-
wenden
Durch Wiederholung der Schritte 2 und 3 mit xv^ und a^ an Stelle von x^ und a/°) usw erhält
man Folgen von Näherungen für die Koeffizienten und die Alternantenpunkte, für deren Konvergenz
Bedingungen angegeben werden können (s. [19.28]) Man kann das Verfahren, das die Grundidee des
sogenannten Rem ES-Algorithmus wiedergibt, abbrechen, wenn z B von einem gewissen Iterationsindex
[i an
1^1 = max
o<a;<6
t=0
A9.202)
mit hinreichender Genauigkeit gilt.
19.6.3.4 Diskrete Tschebyscheff— Approximation und Optimierung
Von der stetigen TsCHEBYSCHEFFschen Approximationsaufgabe
max
a<x<b
f{x)-J2ai9iix)
A9 203)
954 19. Numerische Mathematik
kommt man zur zugehörigen diskreten Aufgabe, indem man N Stützstellen xv [y = 1,2,. ..N;N>
n + 2) mit der Eigenschaft a < x\ < x<i • • • < %n < b wählt und
max
i/=l,2, ,N
fordert. Substituiert man
A9 204)
7 = max
i/=l,2, ,JV
/M-£*&(**) , A9 205)
I i=0 I
dann folgt daraus unmittelbar
\f{xu) - JT ai9i(xA < 7 (i/ = 1, 2,..., N). A9 206)
I t=o I
Durch Auflösen der Beträge in A9.206) erhält man ein System von linearen Ungleichungen für die
Koeffizienten a^ und 7, so daß aus A9.204) die lineare Optimierungsaufgabe (s. 18.1.1.1, S. 873)
In
7 + E ai9i{xv) > f(xv),
i=n° (i/=l,2,...,W) A9 207)
7 - E a^i(^) > ~f(xv),
i=0
wird. Die Gleichung A9.207) besitzt eine Minimallösung mit 7 > 0 . Für eine hinreichend große Anzahl
N von Stutzstellen kann unter bestimmten Bedingungen die Lösung der diskreten Aufgabe als
Näherung für die Lösung der stetigen Aufgabe angesehen werden
n
Verwendet man an Stelle der linearen Näherungsfunktion g(x) = J2 di9i{x) eine Näherungsfunkti-
i=0
on g(x) = g(x\ a0, a\,..., an), die nichtlinear von den Parametern ao, ai, , an abhängt, dann erhält
man in analoger Weise eine Optimierungsaufgabe, und zwar eine nichtlineare Optimierungsaujgabe,
die in der Regel schon bei einfachen nichtlinearen Ansätzen nicht konvex ist. Das ist eine wesentliche
Einschränkung im Hinblick auf die Wahl numerischer Lösungsverfahren für nichtlineare
Optimierungsaufgaben (s 18 2.2 1, S 890)
19.6.4 Harmonische Analyse
Eine formelmäßig oder empirisch gegebene periodische Funktion f(x) mit der Periode 2ir ist durch ein
trigonometrisches Polynom oder eine FouRiERsc/ie Summe der Form
n n
9(x) = TT + ^2(ak coskx + bk sinkx), A9.208)
2 k=i
wobei die Koeffizienten ao, a^ und bk reell sein sollen, zu approximieren Die Bestimmung der Ansatz-
koefnzienten ist Gegenstand der harmonischen Analyse.
19.6.4.1 Formeln zur trigonometrischen Interpolation
1. Formeln für die Fourier-Koeffizienten
Da das Funktionensystem 1, cos kx , sin kx (k = 1, 2,..., n) bezüglich des Intervalls [0,27r] und
bezüglich der Gewichtsfunktion u = 1 orthogonal ist, erhält man durch Anwendung der
Fehlerquadratmethode im stetigen Fall gemäß A9.171) für die Ansatzkoeffizienten die Formeln
27T 27T
ak — — / f(x) cos kx dx, bk = — f{x) sin kxdx (A; — 0,1,2, ..,n) A9.209)
7T J IT J
0 0
Die Koeffizienten a^ und bk , die nach der Formel A9 209) berechnet werden, heißen
FOURIER-Koeffizienten der periodischen Funktion f(x) (s. 7.4, S. 437)
19.6 Approximation, Ausgleichsrechnung, Harmonische Analyse 955
Lassen sich die in A9 209) auftretenden Integrale nicht mehr elementar oder nur mit großem
Rechenaufwand integrieren oder ist die Funktion f(x) nur punktweise bekannt, dann kann man die Fourier-
Koeffizienten näherungsweise durch numerische Integration ermitteln.
Durch die Anwendung der Trapezformel (s. 19 3 2 2, S. 926) mit den gleichabständigen N + 1
Stützstellen
Ott
xu = uh (i/ = 0,l, ..,A0, h=J7 A9.210)
erhält man die Näherungsformeln
2 N 2 N
dk ~ äk = — ^2f{xv)coskxv, bkttbk = —^2 f{xu) sin kx„ (k = 0,1,2,.. ,n) A9.211)
Im vorliegenden Fall periodischer Funktionen ist die Trapezformel in die sehr einfache Rechteckregel
übergegangen. Diese ist hier von großer Genauigkeit, denn es gilt.
Ist f(x) periodisch und Bm + 2)-mal stetig differenzierbar, dann hat die Trapezformel die
Fehlerordnung 0{h2m+2)
2. Trigonometrische Interpolation
Einige spezielle trigonometrische Polynome, die mit den Näherungskoeffizienten äk und bk gebildet
werden, haben wichtige Approximationseigenschaften. Zwei davon sind.
1. Interpolation Es sei N = 2n. Das spezielle trigonometrische Polynom
1 n_1 ~ 1
gi{x) = -ä0 + ^(äkcoskx + bk sin kx) + -ancosnx A9.212)
2 jb=i 2
mit den Koeffizienten A9 211) erfüllt an den Stützstellen xu A9 210) die Interpolationsbedingung
9i(xv) = f(x„) (*/ = 1,2,. ,N) A9.213)
Infolge der Periodizität von f(x) ist f(xo) = f(xpj).
2. Approximation im Mittel Es sei N = 2n. Das spezielle trigonometrische Polynom
i m
92{%) = ^öo + ^{äk cos kx + bk sin kx) A9.214)
mit m < n und den Koeffizienten A9.211) approximiert die Funktion f(x) im diskreten quadratischen
Mittel bezuglich der N Stützstellen xv A9.210), d.h., die Fehlerquadratsumme
^»El/foO-&(*„)]* A9 215)
ist minimal. Die Formeln A9.211) bilden den Ausgangspunkt für verschiedene Verfahren zur effektiven
Berechnung der FOURIER-Koeffizienten
19.6.4.2 Schnelle Fourier-Transformation (FFT)
1. Numerischer Aufwand bei der Berechnung der Fourier-Koeffizienten
Die Summen, die in den Formeln A9 211) auftreten, kommen auch im Zusammenhang mit der diskreten
FOURIER-Transformation, z B. in der Elektrotechnik, in der Impuls- und vor allem in der
Bildverarbeitung, vor Dabei kann N sehr groß sein, so daß die betreffenden Summen äußerst rationell berechnet
werden müssen, denn die Berechnung der N Näherungswerte A9.211) für die FOURIER-Koeffizienten
erfordert etwa N2 Additionen und Multiplikationen Für den Spezialfall N = 2P läßt sich jedoch mit
Hilfe der sogenannten Schnellen FOURIER-Transformation FFT
(Fast Fourier Transformation) die Anzahl der Multiplikationen I r~j ~ , 1Q 91 fix
von N2 = 22p auf pN = pT> senken. Die Größenordnung dieser 101 ~ 10 | ~ 10 U« m>)
Reduzierung erkennt man an nebenstehendem Zahlenbeispiel.
V
10
20
N2
~ 106
-1012
pN
~ 104
~107
956 19. Numerische Mathematik
Dadurch sinkt der Rechenaufwand und damit auch die Rechenzeit so stark ab, daß für einige wichtige
Anwendungsgebiete bereits der Einsatz kleinerer Computer ausreicht
Die FFT nutzt die Eigenschaften der JV-ten Einheitswurzel, d.h. der Lösungen der Gleichung zN = 1,
aus, um die Summanden in A9.211) sukzessiv zusammenzufassen
2. Komplexe Darstellung der Fourier-Summe
Um das Prinzip der FFT möglichst einfach beschreiben zu können, bringt man die FouRiERsche
Summe A9.208) mit Hilfe der Formeln
cos kx = i (eikx + e-[kx) , sin kx = i (e-'lkx - elkx) A9 217)
auf die komplexe Form
g(x) = \<* + £>* cos kx + bk sin kx) = \ao + £ f^-Z-^ete + ^±J^e-A A9 218)
Setzt man
ck = ük ~ lbk , A9 219a) dann gilt wegen A9 209) ck = ^- P* f(x)e~'lkx dx, A9 219b)
2 27T 70
und A9.218) geht in die komplexe Darstellung derFöURiERschen Summe über
g(x) = £ ckelkx mit c_fc = cfc A9 220)
fc=-n
Sind die komplexen Koeffizienten c^ ermittelt worden, dann erhält man daraus die gesuchten reellen
FOURIER-Koeffizienten auf folgende einfache Weise*
a0 = 2c0, ak = 2Re(ck), bk =-2lm(ck) (k = 1,2, ,n). A9 221)
3. Numerische Berechnung der komplexen Fourier—Koeffizienten
Zur numerischen Bestimmung von ck wendet man auf A9.219b) analog zu A9.210) und A9 211) die
Trapezformel an und erhält die diskreten komplexen Fourier Koeffizienten ck
44E f{x»)e'lkx» = £ f^N (Ar = 0,l,2, . , n) mit A9 222a)
1 2-KV 27ri
U = ^J{xv), xv = — (i/ = 0,l,2, .,W-1), w^e"* A9222b)
Der Zusammenhang A9 222a) unter Beachtung von A9.222b) wird dann als diskrete komplexe Fou-
RIER -Transformation der Länge N der Werte /„ (y = 0,1,2, . , TV - 1) bezeichnet.
Die Potenzen u)vN = z (y = 0,1,2,... .N — 1) genügen sämtlich der Gleichung zN = 1. Sie werden
deshalb auch als N-te Einheitswurzel bezeichnet Wegen e~2m = 1 gilt*
<j# = 1, u;#+1 = ^ , u$+2 = u£,.. . A9 223)
Die effektive Berechnung der Summe A9 222a) ergibt sich aus der Tatsache, daß eine diskrete
komplexe Fourier- Transformation der Länge N = 2n auf zwei Transformationen der Länge N/2 = n in
folgender Weise zurückgeführt werden kann:
a) Für alle Koeffizienten c*. mit geradem Index, d.h. k = 21, erhält man:
2n-l n-1 n-1
Sa = E /^ = E [f*$r+u»uT+v)} = E [/-+/»+*] ^ A9-224)
i/=0 i/=0 i/=0
Dabei wurde beachtet, daß uj1}n+v' = o;^nu;^ = lj%u ist Substituiert man
V„ = U + fn+v (^ = 0,1,2, ,n-l) A9 225)
19.6 Approximation, Ausgleichsrechnung, Harmonische Analyse 957
und berücksichtigt man, daß u2N = uon gilt, dann ist
C21 = £ y*wln {v = 0,1,2,..., n - 1) A9.226)
i/=0
die diskrete komplexe FOURIER-Transformation der Werte yu A/ = 0,1, 2, .., n — 1) mit der Länge
n = N/2
b) Für alle Koeffizienten c*. mit ungeradem Index, d.h. mit k = 21 + 1, erhält man analog:
2n-l n-1
öa+i = E /^+1)" = E [(/* - /m*)«*] <•#" • A9-227)
^=0 iv=0
Substituiert man
2/n+„ = (/„ - /n+,Vü (i/ = 0,l,2, ,n-l) A9 228)
und beachtet man, daß auch hier <jjy = ujn gilt, dann ist
c2Z+1 = ^7/n+^ A/ = 0,1,2,..., n-1) A9.229)
i/=0
die diskrete komplexe FOURIER-Transformation der Werte 2/n+t, (y = 0,1,2,. ., n — 1) mit der Länge
n = N/2.
Die Reduzierung gemäß a) und b), d h die Zurückführung einer diskreten komplexen FOURIER-Trans-
formation auf jeweils zwei diskrete komplexe FOURIER-Transformationen der halben Länge, läßt sich
fortsetzen, wenn N eine Potenz von 2 ist, d.h. wenn N = 2P (p natürliche Zahl) gilt. Die p-malige
Anwendung der Reduzierung wird als FFT bezeichnet. Da jeder Reduktionsschritt wegen A9.228) N/2
komplexe Multiplikationen erfordert, ist der Rechenaufwand bei der FFT von der Größenordnung
N N^ kt
jP=j\og2N
A9 230)
4. Schemata zur FFT
Für den speziellen Fall N = 8 = 23 sollen die dazugehörigen 3 Reduktionsschritte der FFT gemäß
A9.225) und A9 228) im folgenden Schema 1 zusammengestellt werden:
Schema 1:
/o
h
h
h
u
h
h
fl
1. Schritt
2/o = /o + U
2/1 = /1 + h
2/2 = h + h
2/3 = h + h
2/4 = (/o - /4K
2/5 = (fl ~ /öVg
2/6 = (/2 - /eVl
2/7 = (/3 - h)<4
N = 8, n := 4, u;8 = e-2^
2. Schritt
2/0 := 2/0 + 2/2
2/1 = 2/1 + 2/3
2/2 •= B/0 - 2/2 V°
2/3 .= B/1 - 2/sVl
2/4 := 2/4 + 2/6
2/5 = 2/5 + 2/7
2/6 := B/4 - 2/6 V4
2/7 := B/5 - 2/7 Vi
JV := 4, n := 2, u;4 = cjf
3. Schritt
2/0 = 2/0 + 2/1
2/1 := B/0 - 2/1V2
2/2 := 2/2 + 2/3
2/3 := B/2 - 2/3 V°
2/4 •= 2/4 + 2/5
2/5 •= B/4 - 2/5V2
2/6 =2/6 + 2/7
2/7 := B/6 - 2/7V2
AT = 2, 71 '= 1, CJ2 = V4
= Q)
= c4
= c2
= Q>
= Ci
= Q>
= c3
= c7
Die Zuordnung der gesuchten komplexen FOURIER-Koeffizienten zu den ^/-Werten des 3 Schrittes
erkennt man, wenn man sich überlegt, wie in jedem Reduktionsschritt jeweils die Berechnung der
Koeffizienten mit geraden und ungeraden Indizes erfolgt In dem folgenden Schema 2 A9.231) ist diese
Verfahrensweise schematisch dargestellt.
958 19 Numerische Mathematik
Schema 2:
ck ¦¦
(fc = 0,l,
C2k
C2k+\
C4k+3 =>
,7) (fc = 0,l,2,3) (k = 0,1)
fc8fc
l Csk+4
f C8fc+2
l Cgk+6
f C8fc+1
l C8fc+5
f C8fc+3
l C8fc+7
(* = 0).
A9.231)
Koeffizienten dk auf und gibt
man die Dualdarstellung
ihrer Indizes vor dem ersten und
nach dem dritten
Reduktionsschritt an, dann erkennt man,
daß die Reihenfolge der
gesuchten Koeffizienten durch
sogenannte Bitumkehr auf
besonders einfache Weise ermittelt
werden kann, wie in dem
nebenstehenden Schema 3
dargestellt ist.
Schema 3:
Co
Cl
h
h
Ca
Qj
c6
Cl
Index
000
00L
0L0
OLL
L00
LOL
LLO
LLL
1 Schritt
Co
c2
Ca
c6
Ci
c3
c5
Cl
2 Schritt
Co
Ca
c2
Q>
C\
h
c3
Cl
3 Schritt
Co
ca
Cl
Cß
Cl
C5
c3
Cl
Index
000
L00
OLO
LLO
00L
LOL
OLL
LLL
{2tt2 für x = 0
o r.. „ ' o die periodisch mit der Periode 2ir sein soll,
x2 für 0 < x < 2tt , y
werde
mit Hilfe der FFT die diskrete FOURIER-Transformation durchgeführt Man wähle N = 8. Mit x„ =
^, U = \fM (^ = 0,1,2, .,7), lü8 = e'lP =0,707107A-1), ^82 = -i, u3s = -0,707107A +
i) erhält man das folgende Schema 4:
Schema 4:
/o = 2,467401
/i = 0,077106
h = 0,308425
h = 0,693957
/4 = 1,233701
/5 = 1,927657
/6 = 2,775826
/7 = 3,778208
1 Schritt
2/0 = 3,701102
2/i =2,004763
2/2 = 3,084251
2/3 = 4,472165
2/4 = 1,233700
2/5 = -1,308537A-i)
2/6 = 2,467401 i
2/7 = 2,180895A + i)
2 Schritt
2/o = 6,785353
2/i =6,476928
2/2 = 0,616851
2,3 = 2,467402 i
2/4 = 1,233700
+2,467401 i
2/5 = 0.872358
+3,489432 i
2/6 = 1,233700
-2,467401 i
yr = -o, 872358
+3,4894321
3. Schritt
2/o =
2/i =
2/2 =
2/3 =
2/4 =
2/5 =
2/6 =
2/7 =
13,262281 =c0
0,308425 = c4
0,616851+ 2,467402 i = c2
0,616851-2,467402 i = c6
2.106058 + 5,956833i = ci
0,361342-1,022031 i = c5
0,361342 + 1,022031 i = c.
2,106058-5,956833 i = c7
19.7 Darstellung von Kurven und Flächen mit Hilfe von Splines 959
a0 = 26,524 562
ai = 4,212 116
a2= 1,233 702
a3= 0,722 684
a4 = 0,616850
h =
b2 =
bs =
b4 =
-11,913 666
- 4,934 804
- 2,044 062
0
Aus dem dritten (letzten) Reduktionsschritt erhält
man die nebenstehend aufgeführten gesuchten reellen
FOURIER-Koeffizienten gemäß A9 221).
In diesem Beispiel kann man auch die allgemeine
Eigenschaft
cN-k = ck A9.232)
der diskreten komplexen FOURIER-Koeffizienten überprüfen. Für k = 1,2,3 sieht man, daß C7 =
c\, c6 = c2, c5 = c3 gilt
19.7 Darstellung von Kurven und Flächen mit Hilfe von
Splines
19.7.1 Kubische Splines
Da Interpolations- und Ausgleichspolynome höheren Grades in der Regel unerwünschte Oszillationen
zeigen, ist es zweckmäßig, das Approximationsintervall durch sogenannte Knoten in Teilintervalle zu
zerlegen und auf jedem dieser Teilintervalle die Approximation durch relativ einfache Funktionen
vorzunehmen In der Praxis werden dazu vor allem kubische Polynome verwendet Bei dieser stückweisen
Approximation ist ein glatter Übergang der Teilfunktionen an den Knoten zu gewährleisten.
19.7.1.1 Interpolationssplines
1. Definition der kubischen Interpolationssplines
Es seien N Interpolationspunkte (xi.fi) (i = 1,2,..., N) gegeben Der kubische Interpolationsspline
S(x) ist durch folgende Eigenschaften eindeutig festgelegt:
1. S(x) erfüllt die Interpolationsbedingung S(xi) = fi (z = 1, 2,..., N).
2. S(x) ist in jedem Teilintervall [x^ Xi+{\ (i = 1,2, , N — 1) ein Polynom vom Grad < 3.
3. S(x) ist 2mal stetig differenzierbar im gesamten Approximationsintervall [x1} xn] ¦
4. S(x) erfüllt spezielle Randbedingungen.
a) S"(xi) = S"(xpi) = 0 (man spricht dann von natürlichen Splines) oder
b) S'(xi) = //, S'(xN) = fN' (fi und f^ sind gegebene Werte) oder
c) S(x\) = S(xn), falls /1 = fN, und S'(xi) = S'(xn) sowie S"(xi) = S"(xn) (man spricht dann
von periodischen Splines).
Aus diesen Eigenschaften folgt, daß S(x) unter allen 2mal stetig differenzierbaren Funktionen g(x), die
die Interpolationsbedingung g(xi) = fi (i = 1,2,..., N) erfüllen, dadurch ausgezeichnet ist, daß
j[S"{x)]2dx < j[g"(x)Jdx A9.233)
X\ Xl
gilt (Satz von Holladay). Man sagt auf Grund von A9.233), S(x) hat minimale Gesamtkrümmung,
da für die Krümmung n einer ebenen Kurve in erster Näherung k « S" gilt (s. S. 236). Darüber hinaus
läßt sich zeigen- Legt man durch die Punkte (xi,fi) (i = 1,2,. ., N) ein dünnes, elastisches Lineal
(engl. Spline), so wird seine Biegelinie durch den kubischen Interpolationsspline S(x) beschrieben.
2. Bestimmung der Spline-Koeffizienten
Für den kubischen Interpolationsspline S(x) wird für x £ [xi, xi+i] der folgende Ansatz gemacht
S{x) = Si(x) = a{ + bi(x - x^ + a(x - x{J + d{{x - Xif (i = 1,2, . ,N -1). A9 234)
Die Länge der Teilintervalle wird mit hi = Xi+i — Xi bezeichnet. Zur Bestimmung der Ansatzkoeffizi-
enten für den natürlichen Spline kann man wie folgt vorgehen:
1. Aus der Interpolationsforderung folgt
ai = fi (i = l,2,...,W-l) A9.235)
960 19. Numerische Mathematik
Es ist zweckmäßig, den im Ansatz nicht auftretenden Koeffizienten a^ einzuführen und a^ — Jn zu
setzen
2. Die Stetigkeit von S"(x) an den inneren Knoten führt zu
et - Q_i
rfi-i
3hi-
(i = 2,3,. . ,iV- 1)
A9 236)
Aus den natürlichen Randbedingungen folgt c\ = 0 . und A9.236) gilt auch für i — N , wenn man c\
einführt und cn = 0 setzt.
3. Die Stetigkeit von S(x) an den inneren Knoten führt zu
<H- di-i 2q_i + Ci
bi-i = ; Ali-
(z = 2,3, . ,N).
/ii-i 3
4. Die Stetigkeit von S"(x) an den inneren Knoten ergibt
Ci-ihi-i + 2(/ij_i + /ii)Q + Cj+i/i* = 3
- ca
¦Oi-l
A9 237)
(i = 2,3, ,N-1) A9 238)
hi hi-i
Wegen A9.235) ist die rechte Seite des linearen Gleichungssystems A9 238) zur Bestimmung dei
Koeffizienten Ci (i = 2,3,.. , N — 1; c\ = cN = 0) bekannt Die linke Seite hat folgende Gestalt
f2{h1 + h2) h2 \ ( c2 \
h2 2(/i2 + /i3) h3 O c3
hs 2(/i3 + hi) hA II c4
O
V
hN-2
2(hN-2 + hN-i)J \cN-iJ
A9 239)
Die Koeffizientenmatrix ist tridiagonal, so daß sich das Gleichungssystem A9 238) durch eine LR
Zerlegung (s 19.2.1.1,2., S 918) sehr einfach numerisch lösen läßt. Aus den Koeffizienten q erhält man
über A9 237) und A9.236) die restlichen Koeffizienten
19.7.1.2 Ausgleichssplines
In der Praxis sind die gegebenen Werte fc häufig Meßwerte, also fehlerbehaftet. In diesem Fall ist die
Interpolationsforderung unzweckmäßig. Man führt deshalb den kubischen Ausgleichsspline ein Er
entsteht, wenn man beim kubischen Interpolationsspline die Interpolationsforderung durch
fi - S(xt)
&i
+ A
J [S"(x)]2
dx ¦
A9 240)
ersetzt Die Forderung nach Stetigkeit von 5. S' und S" bleibt erhalten, so daß sich zur Bestimmung
der Spline-Koeffizienten eine Extremwertaufgabe mit Nebenbedingungen in Gleichungsform ergibt
Die Lösung erfolgt mit Hilfe einer LAGRANGE-Funktion (s 6 2 5 6, S 419). Einzelheiten s [19 29],
[19.30]
In A9 240) stellt A (A > 0) einen Glättungsparameter dar, der vorgegeben werden muß Für A = 0 ergibt
sich als Spezialfall der kubische Interpolationsspline. für „große" A erhält man eine glatte
Näherungskurve, die dafür aber die Meßpunkte nur ungenau wiedergibt, und für A = oo ergibt sich schließlich
als weiterer Spezialfall die Ausgleichsgerade Eine geeignete Wahl von A kann am Computer im
Bildschirmdialog erfolgen.
Die Parameter <Ji (o* > 0) in A9.240) stellen die Standardabweichungen (s. 3.. S 814) der Meßfehler
dar, mit denen die Meßwerte fi (i = 1, 2, , N) eventuell behaftet sind
Bei den bisher betrachteten kubischen Interpolations- und Ausgleichssplines waren die Abszissen der
Interpolations- bzw Meßpunkte identisch mit den Knoten der Spline Funktion Das hat zur Folge, daß
bei großem N der Spline aus einer sehr großen Anzahl von kubischen Ansatzfunktionen A9.234)
besteht. Es liegt nahe, Anzahl und Lage der Knotenpunkte frei zu wählen, da man in der Praxis meist mit
19.7 Darstellung von Kurven und Flächen mit Hilfe von Splines 961
wesentlich weniger Spline-Stücken auskommt Darüber hinaus ist es numerisch günstiger, an Stelle des
Ansatzes A9 234) Splines in der Form
r+2
S{x) = Y,aiNiA(x) A9.241)
anzusetzen Dabei ist r die Anzahl der frei gewählten Knoten, und mit NiA(x) werden die sogenannten
normalisierten B-Splines (Basis-Splines) der Ordnung 4, d h vom Polynomgrad 3, zum i-ten Knoten
bezeichnet. Ausführungen dazu s [19.4].
19.7.2 Bikubische Splines
19.7.2.1 Anwendung bikubischer Splines
Bikubische Splines werden zur Lösung der folgenden Aufgabe verwendet.
Ein Rechtecksbereich R der x, y-Ebene, gegeben durch a<x<b,c<y<d, werde durch die
Gitterpunkte (xi, y.j) (i = 0,1,. ., n; j — 0,1,..., m) mit
a = x0 < X\ < • ¦ • < xn = b, c = yo < y\ < • • • < ym = d A9.242)
in die Maschen Rij zerlegt, wobei die Masche Ft+j aus den Punkten (x, y) mit rc» < x < xi+i ,yj<y<
yj+i (i = 0,1,..., n — 1, j = 0,1, . , m — 1) besteht. In den Gitterpunkten seien von der Funktion
f(x,y) die Funktionswerte
f(x»y,) = fi3 (t = 0,l,...,n; j = 0,l, .,m) A9 243)
gegeben Gesucht ist eine möglichst einfache, glatte Fläche über R, welche die Punkte A9 243)
approximiert
19.7.2.2 Bikubische Interpolationssplines
1. Eigenschaften
Der bikubische Interpolationsspline S(x,y) ist durch folgende Eigenschaften eindeutig festgelegt:
1. S(x,y) erfüllt die Interpolationsbedingung
S{xi,yj) = fij (i = 0,l, ,n; j = 0,1, . ,m). A9 244)
2. Auf jeder Masche Ri3 des Rechteckbereiches R ist S{x, y) identisch mit einem bikubischen Polynom,
d.h , es gilt die Darstellung
S(x,y) = Saix.v) = Y,*tam{x - x,)k(y - %)'. A9.245)
fc=0 1=0
Damit wird Sij(x, y) durch 16 Ansatzkoeffizienten repräsentiert, und für die Beschreibung von S(x, y)
sind 16 • m • n Koeffizienten notwendig
3. Die Ableitungen
^, ^, ™- A9246)
dx ' dy ' dxdy
sind stetig auf R Damit wird eine gewisse Glattheit der gesuchten Fläche gewährleistet.
4. S(x, y) erfüllt spezielle Randbedingungen:
dS
[Xi, yj) = Pij iur i = U, n; j = U, 1, ., m,
A9 247)
Tx(Xi>y>]
es. .
925
dxTy{Xi^]
= Pü
= Qu
Tij
für z = 0,n; j = 0,1, .,m,
für i = 0,1,. ,n;i;' = 0,m,
für i = 0, n; j = 0, m.
962 19. Numerische Mathematik
Dabei sind pij. % und rij vorgegebene Zahlenwerte.
Bei der Bestimmung der Ansatzkoeffizienten a^i können die Ergebnisse der eindimensionalen
kubischen Spline-Interpolation ganz entscheidend ausgenutzt werden Es zeigt sich
1. Es ist eine sehr große Anzahl Bn + m + s) linearer Gleichungssyteme, aber nur mit tridiagonaler
Koeffizientenmatrix, zu lösen.
2. Die linearen Gleichungssysteme unterscheiden sich im wesentlichen nur durch ihre rechten Seiten
Man kann im allgemeinen sagen, bikubische Interpolationssplines sind günstig bezüglich Reehenzeit
und Genauigkeit und damit recht gut geeignet für viele praktische Anwendungen Zur
rechentechnischen Realisierung der Koeffizientenbestimmung s. [19 6], [19 27]
2. Tensorprodukt-Ansätze
Der bikubische Spline-Ansatz A9 245) ist ein Beispiel für einen sogenannten Tensorprodukt- Ansatz,
der die Form
S(x1y) = J2YlaiJ9i{x)hj(y) A9 248)
i=0 j=0
hat und vor allem für Approximationen über Rechteckgittern geeignet ist Die Funktionen g^x) (i -
0,1, , n) und hj(y) (j = 0,1, .., m) bilden zwei linear unabhängige Funktionssysteme.
Tensorprodukt-Ansätze haben in numerischer Hinsicht den großen Vorteil, daß sich z B die Lösung der
zweidimensionalen Interpolationsaufgabe A9.244) auf die Lösung von eindimensionalen Aufgaben
zurückführen läßt Darüber hinaus gilt: Die zweidimensionale Interpolationsaufgabe A9 244) ist mit dem Ansatz
A9.248) eindeutig lösbar, wenn
1. die eindimensionalen Interpolationsaufgaben mit den Ansatzfunktionen gi(x) bezüglich der
Stützstellen x0, x\,. , xn und
2. die eindimensionalen Interpolationsaufgaben mit den Ansatzfunktionen hj(y) bezüglich der
Stützstellen y0, 2/i,.. , ym eindeutig lösbar sind
Ein wichtiger Tensorprodukt-Ansatz ist der mit kubischen B-Splines-
r+2 p+2
S(x, V) = E E aaNiA{x)NiA{y) A9.249)
»=i j=\
Dabei sind die Funktionen Ni^(x) und Nj^(y) normalisierte B-Splines der Ordnung 4 Mit r wird die
Anzahl der Knoten bezüglich x , mit p die Anzahl der Knoten bezüglich y bezeichnet. Die Knoten sind
frei wählbar, aber für die Lösbarkeit der Interpolationsaufgabe müssen gewisse Bedingungen an die
Lage der Knoten und die der Stützstellen der Interpolation gestellt werden
B-Spline-Ansätze führen bei der Lösung von Interpolationsaufgaben auf Gleichungssysteme deren
Koeffizientenmatrizen Bandstruktur haben, also von numerisch günstiger Struktur sind
Wegen Lösungen für verschiedene Interpolationsaufgaben mit Hilfe von bikubischen B Spline- Ansätzen
s [19 15]
19.7.2.3 Bikubische Ausgleichssplines
Der eindimensionale kubische Ausgleichsspline wird im wesentlichen durch die Extremalforderung
A9 240) charakterisiert. Für den zweidimensionalen Fall könnte eine ganze Reihe entsprechender Ex-
tremalforderungen aufgestellt werden, aber nur ganz bestimmte ermöglichen die eindeutige Existenz
einer Lösung
Geeignete Extremalforderungen und Algorithmen zur Lösung von Ausgleichsaufgaben mit bikubischen
B-Splines s. [19.20], [19.19]
19.7.3 Bernstein—Bezier—Darstellung von Kurven und Flächen
1. Bernsteinsche Grundpolynome
Die BERNSTEIN-BEZIER -Darstellung (kurz.B-B-Darstellung) von Kurven und Flächen verwendet die
BERNSTElNsc/ien Grundpolynome
19 7 Darstellung von Kurven und Flächen mit Hilfe von Splines 963
Bi
,n(t)=(Tl)ti(l-t)n-i (i =
0,1,
,n)
und nutzt vor allem die folgenden Eigenschaften aus*
1. 0 < Bi,n(t) < 1 für 0 < t < 1,
2. f>>n(*) = l
A9 250)
A9 251)
A9 252)
Die Formel A9 252) folgt unmittelbar aus dem binomischen Satz.
¦ A: B01(t) = l-t, Bhl(t) = t (Abb.19.12)
¦ B: B03(t) = A - tK , B1>3(*) = 3*A - tf , B2,3(t) = 3t2(l - t) B3,3(t) = t3 (Abb.19.13).
0 1
Abbildung 19 12
Abbildung 19.13
2. Vektordarstellungen
Im folgenden werde eine Raumkurve, deren Parameterdarstellung x = x(t), y = y(t), z = z(t) lautet,
vektoriell durch
F = f(£) = x(t) ex + y(t) ey + z(t) ez A9 253)
beschrieben Dabei ist t der Kurvenparameter. Die entsprechende Darstellung für eine Fläche lautet
r = r(w, v) = x(u, v) ex + y(u, v) ey + z(u, v) ez A9.254)
Dabei sind u und v die Flächenparameter
19.7.3.1 Prinzip der B-B—Kurvendarstellung
Gegeben seien n +1 Eckpunkte P» (?' = 0,1, , n) mit den Ortsvektoren P^ eines räumlichen Polygons,
das in diesem Zusammenhang als Stützpolygon bezeichnet wird. Durch die Vorschrift
wird diesen Punkten eine Raumkurve, die sogenannte
B-B-Kurve zugeordnet. Wegen A9 252) kann A9.255)
als „variable Konvexkombination" der gegebenen Punkte
aufgefaßt werden Die Raumkurve A9.255) hat folgende
wichtige Eigenschaften:
1. Die Punkte P0 und Pn werden interpoliert.
2. Die Vektoren P0Pi und Pn_iPn sind Tangenten von
r(t) in P0 bzw Pn
Den Zusammenhang zwischen Stützpolygon und B-B-
Kurve zeigt Abb. 19.14
A9 255)
(
<
=t
\
^/
p4
A
Abbildung 19.14
964 19. Numerische Mathematik
Die B-B-Darstellung wird vor allem für den Entwurf von Kurven eingesetzt, da man durch die
Änderung von Polygonecken den Kurvenverlauf auf sehr einfache Weise beeinflussen kann.
Häufig werden an Stelle der BERNSTElNschen Grundpolynome normalisierte B-Splines verwendet. Die
zugehörigen Raumkurven heißen dann B-Spline-Kurven. Ihr Verlauf entspricht prinzipiell dem der B-
B-Kurven, aber sie haben folgende Vorteile gegenüber diesen
1. Das Stutzpolygon wird besser approximiert.
2. Bei Änderung von Polygoneckpunkten ändert sich die B-Spline-Kurve nur lokal.
3. Neben der lokalen Änderung des Kurvenverlaufs kann auch die Differenzierbarkeit beeinflußt
werden. So lassen sich z B auch Knicke und Geradenstucke erzeugen.
19.7.3.2 B-B-Flächendarstellung
Gegeben seien Punkte P^ (i = 0,1, .., n; j = 0,1,.. , m) mit den Ortsvektoren Pi:7, die als
Netzpunkte einer Fläche längs Parameterlinien aufgefaßt werden können In Analogie zu den B-B- Kurven
A9.255) ordnet man den Netzpunkten durch
n m
?(", v) = £ £ BiMBimWPij A9 256)
t=0j=0
eine Fläche zu. Die Darstellung A9.256) ist für den Flächenentwurf geeignet, da auf einfache Weise
durch die Veränderung von Netzpunkten eine Variation der Fläche möglich ist Allerdings ist der Einfluß
aller Netzpunkte global, so daß man auch in A9.256) von den BERNSTElNschen Grundpolynomen zu
B-Splines übergehen sollte.
19 8 Nutzung von Computern 965
19.8 Nutzung von Computern
19.8.1 Interne Zeichendarstellung
Computer sind zeichenverarbeitende Maschinen Die Interpretation und Verarbeitung dieser Zeichen
wird durch die verwendete Software (Programme) festgelegt und gesteuert Die externen Zeichen,
Buchstaben, Ziffern und Sonderzeichen werden intern im Binärcode in Form von Bitfolgen dargestellt. Ein
Bit (Binary Digit) ist die kleinste darstellbare Informationseinheit mit den Werten 0 und 1 Acht Bit
werden zur nächsthöheren Einheit, dem Byte, zusammengefaßt In einem Byte können 28
Bitkombinationen erzeugt werden, die ihrerseits 256 Zeichen zugeordnet werden können. Eine solche Zuordnung
bezeichnet man als Code. Es gibt verschiedene Codes, einer der weit verbreiteten ist der erweiterte
ASCII (American Standard Code for Information Interchange).
19.8.1.1 Zahlensysteme
1. Bildungsgesetz
Zahlen werden in Computern in mehreren aufeinanderfolgenden Bytes dargestellt Basis für die interne
Darstellung bildet das Dualsystem, welches, wie auch das Dezimalsystem, zu den polyadischen
Zahlensystemen gehört.
Das Bildungsgesetz für polyadische Zahlensysteme lautet
n
a = ]T ZiB* (ra>0, n > 0, m,n ganz) A9.257)
i——m
mit B als Basis und Zi @ < z\ < B) als zugelassene Ziffern des Zahlensystems. Die Ziffern mit i > 0
bilden den ganzen, die mit i < 0 den gebrochenen Teil der Zahl.
¦ Die Dezimalzahldarstellung, d.h. B = 10 , für die Dezimalzahl 139,8125 lautet 139, 8125 = 1 • 102 +
3 H^ + g-H^ + S 10-1 + 1 • 10 + 2 • 10 + 5 • 10~4 .
Im Zusammenhang mit der Nutzung von Computern sind die in Tabelle 19.3 aufgeführten
Zahlensysteme gebräuchlich.
Tabelle 19 3 Zahlensysteme
Zahlensystem
Dualsystem
Oktalsystem
Hexadezimalsystem
(Sedezimalsystem)
Dezimalsystem
Basis
2
8
16
10
zulässige Ziffern
0,1 (als Zeichen 0,L)
0,1,2,3,4,5,6,7
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, A,B,C,D,E,F
(Die Buchstaben A-F stehen für die Werte 10-15 )
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9
2. Konvertierung
Die Umrechnung von einem Zahlensystem in ein anderes nennt man Konvertierung Werden mehrere
Zahlensysteme gleichzeitig benutzt, so ist es zur Vermeidung von Irrtümern üblich, die Basis als Index
anzuhängen
¦ Für die Dezimalzahl 139 8125 ergibt sich dann 139 8125i0 = 10001011 11012 = 213.648 = 8B.Di6
1. Konvertierung von Dualzahlen in Oktal- bzw. Hexadezimalzahlen Die Konvertierung
von Dualzahlen in Oktal- bzw Hexadezimalzahlen ist einfach dadurch möglich, daß man vom Punkt
ausgehend nach links und rechts Gruppen von drei bzw. vier Bits bildet und den Wert derselben
bestimmt Diese Werte sind dann die Ziffern des Oktal- bzw Hexadezimalsystems
2. Konvertierung von Dezimalzahlen in Dual-, Oktal- oder Hexadezimalzahlen Für die
Konvertierung vom Dezimal- in eines der anderen Systeme gelten für den ganzen und den gebrochenen
966 19 Numerische Mathematik
Teil der Dezimalzahl folgende Algorithmen:
a) Ganzer Teil: Ist G die ganze Zahl im Dezimalsystem, dann gilt für das Zahlensystem mit der Basis
B das Bildungsgesetz A9.257):
G = YJziBi (n>0)
i=0
A9 258)
Dividiert man G durch B , so erhält man einen ganzzahligen Teil (die Summe) und einen Rest
B=^ZiB +B'
A9.259)
Dabei nimmt z0 die Werte 0,1, .., B — 1 an und ist die niederwertige Ziffer des Zahlensystems Wendet
man das Verfahren jetzt auf die abgespaltete Summe wiederholt an, so ergeben sich die weiteren Ziffern.
b) Gebrochener Teil: Ist g ein echter Dezimalbruch, so lautet die Vorschrift für die Konvertierung
in das Zahlensystem mit der Basis B jetzt
gB = z-1 + jrz-iB-i+1.
t=2
Die wiederholte Anwendung auf die entstehenden Summen liefert die Werte z_2 , Z-
A9 260)
A: Umwandlung der Dezimalzahl
B: Umwandlung des Dezimalbruchs
139 in eine Dualzahl
139:2 = 69
69 • 2 = 34
34: 2 = 17
17:2= 8
8-2= 4
4:2 = 2
2.2= 1
1:2 = 0
Rest
Rest
Rest
Rest
Rest
Rest
Rest
Rest
1
1
0
1
0
0
0
1
A =
A =
@ =
A =
= 2o)
= *i)
= z2)
-z7)
0.8125 in einen Dualbruch
0 8125-2 = 1.625
0 625 -2 = 1.25
0 25 -2 = 05
0.5 -2=1.0
00 -2 = 00
0 8125io =0.1101
(l = *-i)
A = z-2)
@ = *_3)
A = z.4)
2
139io = IOOOIOH2
3. Konvertierung von Dual-, Oktal- oder Hexadezimalzahlen in Dezimalzahlen Der
Algorithmus für die Umwandlung eines Wertes aus dem Dual-, Oktal- oder Hexadezimalsystem in das
Dezimalsystem lautet, wobei der Dezimalpunkt nach z0 einzufügen ist:
a = Yl ziBl (m > 0 , n > 0 , ganz).
A9 261)
1110 1
2 6 14 28
1 3 7
14 [29
Die Auflösung erfolgt dabei zweckmäßig mit dem HORNER-Schema
¦ LLLOL = 1 • 24 + 1 • 23 + 1 • 22 + 0 • 21 + 1 • 2° = 29. L und O s. Tabelle
19.3. Das zugehörige HORNER-Schema s. nebenstehend
19.8.1.2 Interne Zahlendarstellung
Dualzahlen werden im Computer in einem oder in mehreren Bytes dargestellt Man unterscheidet dabei
zwei Darstellungsformen, die Festpunktzahlen (Festkommazahlen) und die Gleitpunktzahlen
(Gleitkommazahlen) Im ersten Fall steht der Dezimalpunkt an einer festen Stelle (bei ganzen Zahlen also nach
der Einerstelle), im zweiten Fall „gleitet" er mit der Änderung des Exponenten
19 8 Nutzung von Computern 967
1. Festpunktzahlen
Der Wertebereich für
Festpunktzahlen mit den angegebenen Parametern
'ergibt sich zu
0 < | a | < 2* - 1 A9 262)
Festpunktzahlen können in der Form
der nebensteheneden Abb. 19.15
dargestellt werden.
Dualzahl (t Bits)
T
Vorzeichen y der Festpunktzahl
Abbildung 19 15
2. Gleitpunkt zahlen
Für die Darstellung von Gleitpunktzahlen sind prinzipiell zwei verschiedene Formen üblich, wobei die
interne Realisierung im Detail variieren kann.
1. Normalisierte halblogarith-
mische Form Bei der ersten Form
werden die Vorzeichen für den
Exponenten E und für die Mantisse M der
Zahl a
a = ±MB±E A9.263)
gesondert gespeichert. Dabei wird
meist der Exponent E so gewählt,
daß für die Mantisse die Bedingung
l/B < M < 1 gilt. Man spricht dann
von der normalisierten halblogarith-
mischen Form (Abb. 19.16)
Exponent £
(p Bits)
Mantisse M
(t Bits)
Vorzeichen vE
des Exponenten
Vorzeichen vM
der Mantisse
Abbildung 19 16
Mit den angegebenen Parametern ergibt sich folgender absoluter Wertebereich für die
Gleitpunktzahlen
A9.264)
2-aP < | a | < (l - 2-') • 2<2P~1
-i)
2. IEEE-Standard Die zweite (heute übliche) Form der Gleitpunktdarstellung entspricht dem
1985 verabschiedeten IEEE- Standard (Institute of Electrical and Electronics Engineers) Dieser
befaßt sich mit der Normung der Rechnerarithmetik und enthält Festlegungen zu den Formaten, dem
Rundungsverhalten, den arithmetischen Operatoren, der Konvertierung von Zahlenwerten, zu
Vergleichsoperatoren und zur Behandlung von Ausnahmefällen wie Bereichsüberschreitungen. Dort wird
für die Gleitpunktzahl die in Abb. 19.17 dargestellte Form festgelegt
Die Charakteristik C wird aus dem
Exponenten E durch Addition
einer geeigneten Konstanten K
gebildet. Diese wird so gewählt, daß für
die Charakteristik nur positive Werte
auftreten. Die darstellbare Zahl
lautet
a = (-l)v • 2E • 1.6^2 6*_i
mit E = C-K A9265)
Charakteristik C
Mantisse M
T
Vorzeichen v der Gleitpunktzahl
Abbildung 19 17
Dabei gilt. Cm
1,CL
= 254 ; C = 0 und C = 255 sind reserviert.
Der Standard gibt zwei Basisformate (einfachgenaue und doppeltgenaue Gleitpunktzahlen) vor, läßt
aber auch erweiterte Formate zu. Tabelle 19.4 enthält die Parameter für die Basisformate
968 19. Numerische Mathematik
Tabelle 19.4 Parameter für die Basisformate
Parameter
Wortlänge in Bits
maximaler Exponent Emax
minimaler Exponent Emin
Konstante K
Anzahl Bits des Exponenten
Anzahl Bits der Mantisse
einfachgenau
32
+127
-126
+127
8
24
doppeltgenau
64
+1023
-1022
+1023
11
53
19.8.2 Numerische Probleme beim Rechnen auf Computern
19.8.2.1 Einführung, Fehlerarten
Für das Rechnen auf Computern gelten zwar prinzipiell die gleichen Gesichtspunkte wie beim
Rechnen von Hand, jedoch werden diese durch die vorhandene begrenzte und feste Stellenzahl, durch die
interne duale Darstellung der Zahlen und durch die fehlende Kritikfähigkeit des Computers gegenüber
Fehlern verstärkt. Hinzu kommt noch, daß auf Computern im allgemeinen wesentlich umfangreichere
Rechenprozesse ablaufen, als sie manuell möglich wären
Daraus ergeben sich Fragen nach der Beurteilung und der Beeinflussung von Fehlern, nach der
Auswahl des numerisch günstigsten Verfahrens unter mathematisch gleichwertigen, aber auch nach den
Abbruchbedingungen eines Iterationsverfahrens.
In den weiteren Ausführungen werden für die Angabe von Fehlern die folgenden Bezeichnungen
benutzt, wobei x der exakte Wert einer Größe ist, der häufig unbekannt ist, und x ist ein Näherungswert
für x:
I At I I T — T \
Absoluter Fehler: | Ax| = \x - x\ A9 266) Relativer Fehler: — = . A9 267)
I x I |x|
Häufig werden auch die Bezeichnungen
e(x) = x - x und erei(x) = A9 268)
verwendet.
19.8.2.2 Normalisierte Dezimalzahlen und Rundung
1. Normalisierte Dezimalzahlen
Jede reelle Zahl x ^0 läßt sich als Dezimalzahl in der Form
x = ±0,6i&2...-10£; Fi^0) A9 269)
darstellen. Dabei wird 0,6162 .. als Mantisse bezeichnet, die aus den Ziffern 6* G {0,1,2, ,9}
gebildet wird. Die Zahl E ist eine ganze Zahl, der sogenannte Exponent zur Basis 10. Wegen 61 ^ 0
bezeichnet man A9.269) als normalisierte Dezimalzahl.
Da in einem realen Computer nur mit endlich vielen Ziffern gearbeitet werden kann, muß man sich
auf eine feste Zahl t von Mantissenziffern und auf einen festen Wertebereich für den Exponenten E
beschränken Dadurch wird aus der Zahl x gemäß A9.269) durch Rundung, wie sie beim praktischen
Rechnen üblich ist, die Zahl
~ _ f ±0,6i62 • • • bt ¦ 10E für bt+1 < 5 (Abrunden),
X \ ±@,6i62 • • • bt + 10"*) 1015 für bt+i > 5 (Aufrunden),
d.h., für den durch Rundung verursachten absoluten Fehler gilt*
|Ax| = \x-x\ ^Ojö-KT'IO^.
A9.270)
A9.271)
19 8 Nutzung von Computern 969
2. Grundoperationen des numerischen Rechnens
Jeder numerische Prozeß setzt sich letztlich aus einer Folge von Grundrechenoperationen zusammen
Probleme ergeben sich insbesondere durch die endliche Stellenzahl bei der Gleitpunktarithmetik Diese
sollen kurz betrachtet werden. Es sei vorausgesetzt, daß x und y normalisierte fehlerfreie
Gleitkommazahlen gleichen Vorzeichens mit einem Wert ^ 0 sind.
x = mlBE^ y = m2BEi mit A9 272a)
t
mi = Y, a-lB~k> a-i ^ 0, und A9.272b)
„W. =
oder B - 1 für k > 1 (i = 1,2) A9 272c)
1. Addition Für E\ > E2 erfolgt der Exponentenangleich an E\ , da wegen der Normalisierung nur
eine Linksverschiebung des Punktes möglich ist. Die Mantissen werden addiert
Ist B~l <| mi + m2B-{El-E^ |< 2 A9.273a) und | mx + m2B^El-E2) |> 1, A9 273b)
so erfolgt die Punktverschiebung um eine Stelle nach links bei gleichzeitiger Erhöhung des Exponenten
um eins (Additionsüberlauf)
¦ 0,9604 • 103 + 0,5873 • 102 = 0,9604 • 103 + 0,05873 103 = 1,01913 • 103 = 0,1019 • 104 .
2. Subtraktion Der Exponentenangleich erfolgt wie bei der Addition, die Mantissen werden
subtrahiert. Ist
| m1 - m2B-{El~E2) |< 1 - B~l A9 274a) f und | mx - m2B-{El~E2) |< B~l, A9 274b)
so erfolgt die Punktverschiebung um maximal t Stellen nach rechts mit entsprechender Erniedrigung
des Exponenten
¦ 0,1004 • 103 - 0,9988 • 102 = 0,1004 • 103 - 0,09988 • 103 = 0,00052 • 103 = 0,5200 • 10° Das Beispiel
zeigt den kritischen Fall der Auslöschung führender Nullen Durch die beschränkte Stellenzahl (hier 4)
werden außerdem von rechts Nullen eingeschleppt, die eine erhöhte Anzahl gültiger Ziffern vortäuschen
3. Multiplikation Die Exponenten werden addiert und die Mantissen multipliziert Ist
m1m2 < B~l, A9 275)
so wird der Dezimalpunkt bei gleichzeitiger Erniedrigung des Exponenten um eins um eine Stelle nach
rechts verschoben (Multiplikationsunterlauf)
¦ 0,3176 • 103 • 0,2504 • 105 = 0,07952704 • 108 = 0,7953 • 107 .
4. Division Die Exponenten werden subtrahiert und die Mantissen dividiert. Ist
— > B~l , A9 276)
777.2
so wird der Dezimalpunkt bei gleichzeitiger Erhöhung des Exponenten um eins um eine Stelle nach
links verschoben (Divisionsüberlauf)
¦ 0,3176 • 103/0,2504 • 105 = 1,2683706 10~2 = 0,1268 • 10.
5. Resultat fehler Der Resultatfehler bei den vier Grundrechenarten mit vorausgesetzten
fehlerfreien Operanden resultiert dann lediglich aus der Rundung Für den relativen Fehler gilt mit der
Stellenzahl t und der Basis B die Schranke
^-B~l A9 277)
6. Vermeidung der Auslöschung Es ist ersichtlich, daß die Subtraktion nahezu gleich großer
Gleitkommazahlen die kritische Operation ist. Wenn möglich, sollte in solchen Fällen durch
Prioritätenänderungen oder andere Anordnung der Operanden die Reihenfolge der Operationen geändert werden
970 19. Numerische Mathematik
19.8.2.3 Genauigkeitsfragen beim numerischen Rechnen
1. Fehlerarten
Numerische Verfahren sind fehlerbehaftet. Es gibt die folgenden Fehlerarten, aus denen sich der
akkumulierte Fehler (Gesamtfehler) des Ergebnisses zusammensetzt (Abb.19.18).
x
Eingangsfehler
Gesamtfehler
Verfahrensfehler
l
Rundungsfehler
Abbruchfehler
Diskretisierungsfehler
Abbildung 19 18
2. Eingangsfehler
1. Begriff des Eingangsfehlers Eingangsfehler heißt der Fehler des Ergebnisses, der durch
fehlerbehaftete Eingangsdaten verursacht wird Die Bestimmung des Eingangsfehlers aus den Fehlern der
Eingangsdaten wird direkte Aufgabe der Fehlertheorie genannt Als inverse Aufgabe wird jene
bezeichnet, die untersucht, welche Fehler die Eingangsdaten besitzen dürfen, damit ein zugelassener
Eingangsfehler des Resultats nicht überschritten wird Die Abschätzung des Eingangsfehlers ist bei komplexeren
Aufgaben sehr kompliziert und kaum durchführbar *
Allgemein gilt für eine zu berechnende reellwertige Funktion y = f(x) mit x = (^i,X2,.. , £n)T für
den absoluten Eingangsfehler
\&y\ = \f(x1,x2, -,xn)- f(xux2i. ,x„)|
IE !£(&.&> • ,en)fe-fOI<E(max|g(x)|]|Ax,|,
A9 278)
wenn man für y = f(x) = f(xi,x2,..., xn) die TAYLOR-Formel (s. 7.3.3 3, S. 434) mit linearem
Restglied verwendet Mit £1, £2, . , fn werden dabei Zwischenstellen, mit x\, x2l..., xn Näherungswerte für
x\, #2, • • • » xn bezeichnet. Unter den Näherungswerten sind hier die fehlerhaften Eingangswerte zu
verstehen. In diesem Zusammenhang ist auch das GAUSSsche Fehlerfortpflanzungsgesetz (s. 16.4.2.1,1.
S 818) zu beachten.
2. Eingangsfehler für einfache arithmetische Operationen Für einfache arithmetische
Operationen sind die Eingangsfehler bekannt Mit den Bezeichnungen in A9 266) bis A9.268) erhält man
für die vier Grundrechenoperationen:
e(x ±y) = e(x) ± e(y), A9.279) e(xy) = ye(x) + xe{y) + e{x)e(y), A9 280)
e(y) + Glieder höherer Ordnung in e, A9 281)
y
xerei(x) ± yerei(y)
e(H^
erel(x±y
x
£rel{-) '¦
X ±1
- ,A9.282) erel(xy) = erel(x)+erel(y)+erel(x)erel(y) ,A9 283)
= erei(x) — erei(y) + Glieder höherer Ordnung ine
A9 284)
Die Formeln zeigen: Kleine relative Fehler der Eingangsdaten bewirken bei Multiplikation und Division
nur kleine relative Fehler des Ergebnisses Bei Addition und Subtraktion kann dagegen der relative
19 8 Nutzung von Computern 971
Fehler von Summe und Differenz groß werden, wenn |x±y| <C \x\ + \y\ gilt Dann besteht die Gefahr
der Stellenauslöschung.
3. Verfahrensfehler
1. Begriff des Verfahrensfehlers Verfahrensfehler leiten sich aus der Notwendigkeit ab, daß Kon-
tinuum und Grenzwert numerisch approximiert werden müssen. Daraus ergeben sich Abbruchfehler
bei Grenzprozessen (wie z.B. bei Iterationsverfahren) und Diskretisierungsfehler bei der
Approximation des Kontinuums durch ein endliches diskretes System (wie z.B. bei der numerischen Integration).
Verfahrensfehler existieren unabhängig von Eingangs- und Rundungsfehlern; sie können deshalb nur
im Zusammenhang mit dem verwendeten Lösungsverfahren untersucht werden.
2. Verhalten bei Iterationsverfahren Wird ein Iterationsverfahren zur Lösung eingesetzt, so muß
man sich bewußt sein, daß prinzipiell die beiden Fälle Ausgabe einer richtigen Lösung und Ausgabe
einer falschen Lösung möglich sind Es kann jedoch auch der kritische Fall auftreten, daß keine Lösung
gefunden wurde, obwohl eine existiert.
Um Iterationsverfahren transparenter und sicherer zu machen, sollten folgende Empfehlungen beachtet
werden:
a) Um „endlose" Iterationen zu verhindern, sollte die Anzahl der Iterationsschritte gezählt und in die
Abbruchbedingung einbezogen werden (Abbruch nach einer bestimmten Anzahl von Iterationszyklen
auch dann, wenn die geforderte Genauigkeit noch nicht erreicht wurde).
b) Verfolgung der Lösungsentwicklung auf dem Bildschirm durch die numerische oder graphische
Ausgabe von Zwischenergebnissen.
c) Nutzung evtl. bekannter Eigenschaften der Problemlösung wie Gradient, Monotonie usw.
d) Untersuchung der Möglichkeit der Skalierung von Variablen bzw. Funktionen.
e) Durchführung mehrerer Tests durch Variation von Schrittweite, Abbruchbedingung, Startwerten
usw
4. Rundungsfehler
Rundungsfehler entstehen dadurch, daß Zwischenergebnisse gerundet werden müssen. Sie sind
demnach für die Beurteilung eines mathematischen Verfahrens bezüglich der erzielbaren Genauigkeit der
Resultate von wesentlicher Bedeutung Sie entscheiden neben den Eingangs- und Verfahrensfehlern
darüber, ob ein numerisches Verfahren stark stabil, schwach stabil oder instabil ist. Starke Stabilität
und schwache Stabilität oder Instabilität liegen vor, wenn der Gesamtfehler mit wachsender Schrittzahl
abnimmt, von gleicher Größenordnung bleibt oder anwächst
Bei der Instabilität unterscheidet man die Anfälligkeit gegen Rundungs- und Diskretisierungsfehler
(numerische Instabilität) und gegen Fehler in den Ausgangsdaten bei exakter Rechnung (natürliche
Instabilität) Ein Rechenprozeß ist dann sinnvoll, wenn die numerische Instabilität nicht größer als die
naturliche Instabilität ist.
Für die lokale Fortpflanzung von Rundungsfehlern, d h , es werden die Rundungsfehler betrachtet, die
beim Übergang von einem Rechenschritt zum nächsten auftreten, gelten dieselben Überlegungen und
Abschätzungen, wie sie für die Eingangsfehler angestellt worden sind.
5. Beispiele zum numerischen Rechnen
An einigen Beispielen sei die Problematik des zweckmäßigen Vorgehens beim numerischen Rechnen
verdeutlicht.
¦ A: Wurzeln der quadratischen Gleichung:
ax2 + bx + c = 0 mit reellen Koeffizienten a, 6, c und D = b2 — 4ac > 0 (reelle Wurzeln). Kritische
Situationen ergeben sich für a) | Aac |<C b2 und b) 4ac « b2 . Vorgehen:
a) x\ = , X2 = (Vietascher Wurzelsatz)
2a ax\
b) Durch das direkte Auflösungsverfahren ist die Auslöschung bei der Berechnung von D nicht zu
beseitigen. Da jedoch der Summand b betragsmäßig überwiegt, tritt eine erhebliche Fehlerdämpfung
972 19. Numerische Mathematik
bei (b + signF) VD) ein.
¦ B: Volumen der dünnen Kugelschale für h <C r
(r _|_ M3 _ r3 2>r2h + 3r/?,2 + /i3
V = 47T ergibt wegen (r + h) « r starke Auslöschung; V = 47r - ergibt
jedoch keine Auslöschung
oo -j^
¦ C: Bildung der Summe S = ^P -^—- E = 1,07667. .) mit einer geforderten Genauigkeit
von drei Stellen Bei 8stelliger Rechnung müßten annähernd 6000 Summanden berücksichtigt werden.
Nach der identischen Umformung — = — — 70/10 r erhält man
k2 + 1 A;2 «2(/r + 1)
oo -i oo -| 2 oo -i
S = E ^ " E ^2 + !) und 5 = y ~ E fe2(A:2 + !) • Mit dieser Umformung sind nur noch
acht Summenglieder zu berücksichtigen
0 / x2 - y2
¦ D: Beseitigung der —Situation der Funktion z = A — Jl + x2 + y2)^—^7 für x = y = 0
0 x2- + yl
Die Erweiterung mit A + y/\ + x2 + y2) beseitigt diese Situation
¦ E: Beispiel eines instabilen rekursiven Prozesses. Algorithmen der allgemeinen Form yn+] =
ayn + byn-\ (n = 1, 2,. ) sind dann stabil, wenn die Bedingung
a , /a2
2±Vt+6
< 1 erfüllt ist Fii
den speziellen Fall yn+i = —3yn + 4?/n_i (n = 1, 2, . ) liegt Instabilität vor Besitzen nämlich yQ und
yx die Fehler £ und —e , so ergeben sich für y2,2/3,2/4,2/5, y§,. die Fehler 7e, —25e, 103e, —409^, 1639e,
. . Damit ist für die Parameter a = — 3 und b = 4 der Rechenprozeß instabil
¦ F: Numerische Integration einer Differentialgleichung. Für die gewöhnliche
Differentialgleichung 1. Ordnung
l/= f{x,y) mit f(Xly) = ay A9 285)
und der Anfangsbedingung y(x0) = y0 sollen die Probleme bei der numerischen Berechnung etwas
ausführlicher dargestellt werden.
a) Natürliche Instabilität Neben der exakten Lösung y(x) sei u(x) die Lösung zu einer gegenüber der
exakten Anfangsbedingung y(x0) = y0 fehlerbehafteten Anfangsbedingung Für die gestörte Lösung
wird ohne Beschränkung der Allgemeinheit der Ansatz
u(x) = y{x)+er)(x) A9 286a)
gemacht, wobei e ein Parameter mit 0 < e < 1 und rj(x) eine sogenannte Störfunktion ist Unter
Beachtung von u'{x) = f(x, u) ergibt sich bei Anwendung der TAYLOR-Entwicklung
u'{x) — f(x, y(x) + e r}(x)) = f(x, y) + e rj(x) fy(x, y) + Glieder höherer Ordnung A9 280b)
die sogenannte Differentialvariationsgleichung
ff{x) = fy(x1y)rI(x). A9 286c)
Die Lösung des Problems mit f(x,y) = ay lautet dann
rj(x) = ??o ea{x-xo) mit rj0 = rj(x0). A9 286d)
Für a > 0 führt eine kleine Anfangsstörung 770 zu unbeschränkt wachsender Störung r)(x) Damit liegt
natürliche Instabilität vor
b) Untersuchung des Verfahrensfehlers bei der Trapezregel Mit a = -1 ergibt sich die stabile
Differentialgleichung y'{x) = —y{x) mit der exakten Lösung
y(x) = y0e-{x-xo), wobei y0 = y(x0) gilt. A9 287a)
19 8 Nutzung von Computern 973
Die Trapezregel lautet
j y(x)dxt
' + Vi+l h mit h = xi+i - xt. A9.287b)
2
Angewendet auf die angegebene Differentialgleichung erhält man
Vi+i =Vi+ J (-y)dx = y{ h oder yi+1 = j—j-yi bzw
2 ^ fiö. A9.287c)
^2 + /i
Mit Xi = x0 + ih und daraus i — (x{ — Xo/h erhält man für 0 < h < 2
y% =
9 — h\ (xi~xo)/h
2 + h
hecW(Xi-xo) mit
w-^p-
/l2 /l4
12 . 80
A9.287d)
Unter der Voraussetzung yo = yo gilt dann & < yi, und damit strebt für h —> 0 auch ^ gegen die
exakte Lösung y0e~(Xi~Xo^
c) Eingangsfehler Unter b) war vorausgesetzt worden, daß exakter und näherungsweiser
Anfangswert übereinstimmen. Jetzt soll das Verhalten untersucht werden, wenn yo ^ i/o mit | yo — yo \< Sq
gilt. Wegen
(^i+i - yi+1) < Y—fim - y*) folgt (yi+i - yi+i) < l j—^ j (yo - Vo) A9 288a)
Damit ist ei+\ höchstens von der gleichen Größenordnung wie £o , und das Verfahren ist bezüglich des
Anfangswertes stabil.
Es sei jedoch darauf hingewiesen, daß für den Fall der numerischen Lösung obiger Differentialgleichung
mit dem SiMPSON-Verfahren künstlich Instabilitäten eingeführt werden. So wurde sich in diesem Fall
beispielsweise die allgemeine Lösung
y. = Cie-Xi + C2(-lYeXi/3 A9.288b)
für h —> 0 ergeben. Der Grund besteht darin, daß das numerische Lösungsverfahren Differenzen höherer
Ordnung benutzt, als es der Ordnung der Differentialgleichung entspricht.
19.8.3 Bibliotheken numerischer Verfahren
Im Laufe der Zeit sind unabhängig voneinander Bibliotheken von Funktionen und Prozeduren für
numerische Verfahren in unterschiedlichen Programmiersprachen entwickelt worden. Bei ihrer Entwicklung
wurden umfangreiche Computererfahrungen berücksichtigt, so daß bei der Lösung praktischer
numerischer Aufgaben die Programme einer solchen Bibliothek genutzt werden sollten. Sie stehen meist für
alle gängigen Betriebssysteme wie z B. WINDOWS, UNIX und LINUX zur Verfügung und sind bei
Einhaltung bestimmter Konventionen mehr oder weniger einfach zu nutzen.
Die Anwendung von Verfahren aus Programmbibliotheken entbindet den Nutzer nicht, sich Gedanken
über die zu erwartende Lösung seines Problems zu machen. Darin ist auch der Hinweis eingeschlossen,
sich gegebenenfalls über Schwächen und Stärken sowie über die mathematischen Voraussetzungen des
974 19. Numerische Mathematik
verwendeten mathematischen Verfahrens näher zu informieren
19.8.3.1 NAG-Bibliothek
Die NAG-Bibliothek (Numerical Algorithms Group) ist eine umfangreiche Sammlung numerischer
Verfahren in Form von Funktionen und Subroutinen/Prozeduren in den Programmiersprachen
FORTRAN 77, FORTRAN 90 und C. Hier ein Inhaltsüberblick.
1. Komplexe Arithmetik 14.
2. Nullstellen von Polynomen 15.
3. Wurzeln transzendenter Gleichungen 16.
4. Reihen 17.
5. Integration 18.
6. Gewöhnliche Differentialgleichungen 19.
7. Partielle Differentialgleichungen 20.
8. Numerische Differentiation 21.
9. Integralgleichungen 22.
10. Interpolation 23.
11. Approxim v. Daten d Kurven und Flächen 24.
12. Minima/Maxima einer Funktion 25.
13. Matrixoperationen, Inversion 26.
Eigenwerte und Eigenvektoren
Determinanten
Simultane lineare Gleichungen
Orthogonalisierung
Lineare Algebra
Einfache Berechnng. von Statist Daten
Korrelation und Regressionsanalyse
Zufallszahlengeneratoren
Nichtparametrische Statistik
Zeitreihenanalyse
Operationsforschung
Spezielle Funktionen
Mathem und Maschinenkonstanten
Matrixoperationen, Inversion
Darüber hinaus findet man in der NAG-Bibliothek eine umfangreiche Software zur Statistik und
Finanzmathematik
19.8.3.2 IMSL-Bibliothek
Die IMSL-Bibliothek (International Mathematical and Statistical Library) besteht aus drei
aufeinander abgestimmten Teilen
Allgemeine mathematische Verfahren,
Statistische Probleme,
Spezielle Funktionen
Die Teilbibliotheken enthalten Funktionen und Subroutinen in der Sprache FORTRAN 77, FORTRAN
90 und C Hier eine Inhaltsübersicht:
Allgemeine mathematische Verfahren
Optimierung
Vektor- und Matrixoperationen
Ellipische Funktionen, Funktionen von
Weierstrass und verwandte Funktionen
Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Verschiedene Funktionen
Stichprobenerhebung
Lebensdauerverteilgn und Zuverlässigkt
Mehrdimensionale Skalierung
Schätzung der Dichte- und Hasard- bzw
Risikofunktion
Zeilendrucker-Graphik
Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Zufallszahlen-Generatoren
Hilfsalgorithmen
Mathematische Hilfsmittel
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
>tat
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
Lineare Systeme
Eigenwerte
Interpolation und Approximation
Integration und Differentiation
Differentialgleichungen
Transformationen
Nichtlineare Gleichungen
istische Probleme
Grundlegende Kennzahlen
Regression
Korrelation
Varianzanalyse
Kategoriale und diskrete Datenanalyse
Nichtparametrische Statistik
Anpassungstests und Test auf Zufälligkeit
Zeitreihenanalyse und Vorhersage
Kovarianz- und Faktoranalyse
Diskriminanz-Analyse
Cluster-Analyse
8.
9.
10.
11.
. 12.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
19.8 Nutzung von Computern 975
Spezielle Funktionen
1.
2.
3.
4.
5.
Elementare Punktionen
Trigonometrische und hyperbolische
Punktionen
Exponentialfunktion und verwandte
Gamma-Funktionen und verwandte
Fehler- Punktionen und verwandte
6.
7.
8.
9.
10.
Bessel-Funktionen
Kelvin-Funktionen
Bessel-Funktionen gebrochener Ordnung
Elliptische Integrale
von Weierstrass und verwandte Funktionen
Verschiedene Funktionen
19.8.3.3 Aachener Bibliothek
Die Aachener Bibliothek basiert auf der Formelsammlung zur Numerischen Mathematik von
G. Engeln-MÜllges (Fachhochschule Aachen) und F. Reutter (Rheinisch-Westfälische
Technische Hochschule Aachen) Sie existiert in den Programmiersprachen BASIC, QUICKBASIC,
FORTRAN 77, FORTRAN 90, C, MODULA 2 und TURBO PASCAL. Hier ein Inhaltsüberblick-
1. Numerische Verfahren zur Lösung nichtlinearer und speziell algebraischer Gleichungen
2. Direkte und iterative Verfahren zur Lösung linearer Gleichungssysteme
3. Systeme nichtlinearer Gleichungen
4. Eigenwerte und Eigenvektoren von Matrizen
5. Lineare und nichtlineare Approximation
6. Polynomiale und rationale Interpolation sowie Polynomsplines
7. Numerische Differentiation
8. Numerische Quadratur und Kubatur
9. Anfangswertprobleme bei gewöhnlichen Differentialgleichungen
10. Randwertprobleme bei gewöhnlichen Differentialgleichungen
Die Programme der Aachener Bibliothek eignen sich besonders zum Studium von Einzelalgorithmen
der Numerischen Mathematik.
19.8.4 Anwendung von Computeralgebrasystemen
19.8.4.1 Mathematica
1. Hilfsmittel zur Lösung numerischer Probleme
Das Computeralgebrasystem Mathematica verfugt über einen mächtigen Apparat zur numerischen
Lösung vielfältiger mathematischer Aufgaben. Die Vorgehensweise von Mathematica ist jedoch hierbei
ganz anders als im Falle symbolischer Berechnungen. Mathematica ermittelt nach bestimmten,
voreingestellten Prinzipien eine Werteliste der beteiligten Punktionen, ähnlich der für graphische
Darstellungen, und bestimmt dann aus diesen Werten die jeweilige Lösung. Da die Anzahl der benutzten Punkte
endlich sein muß, kann es bei „schlechten" Funktionen zu Problemen kommen Mathematica wird zwar
auch hier versuchen, an problematischen Stellen mehr Stützpunkte zu wählen, aber schließlich muß es
Annahmen über die Stetigkeit in bestimmten Bereichen machen. Hier kann die Ursache für Fehler im
Resultat liegen Es ist in jedem Fall sinnvoll, so viel wie möglich qualitative Informationen über die
beteiligten Objekte einzuholen und, wenn irgend möglich, symbolische Berechnungen, zumindest in
Teilbereichen der Aufgabe, durchzuführen.
In Tabelle 19.5 sind Operationen für die numerische Auswertung dargestellt
Tabelle 19.5 Numerische Operationen
NIntegrate
NSum
NProduct
NSolve
NDSolve
berechnet bestimmte Integrale
berechnet Summen Y%= i /(*)
berechnet Produkte
löst numerisch algebraische Gleichungen
löst Differentialgleichungen numerisch
Nach dem Starten von Mathematica wird das „Prompt" In[l] = angezeigt, das die Bereitschaft für
die Eingabe angibt. Die Ausgabe des zugehörigen Ergebnisses kennzeichnet Mathematica mit Out[l] .
976 19. Numerische Mathematik
Allgemein. Der Text wird in die ,mit In[n] := gekennzeichnet Zeilen eingegeben. Die Zeilen, die mit
Out[n] versehen sind, gibt Mathematica als Antwort zurück Der in den Ausdrücken auftretende Pfeil
—> bedeutet z B ersetze z durch den Wert a.
2. Kurvenanpassung und Interpolat ions verfahren
1. Kurvenanpassung Mit Hilfe der Methode der kleinsten Quadrate (s 6 2 5, S 417ff) und der
Approximation im Mittel, Diskrete Aufgabe (s 19 6 2.2, S 948) kann Mathematica die Anpassung von
ausgewählten Funktionen an einen Datensatz durchführen Die allgemeine Anweisung dafür lautet
Fit [{yi, 2/2, • • •}, funkt, z] A9.289)
Dabei bilden die yi die Liste der Daten, funkt ist die Liste der ausgewählten Funktionen, die die
Anpassung bewerkstelligen sollen, und x steht für den zugehörigen Wertebereich der unabhängigen
Variablen Wählt man funkt z.B. als Table[zAi, {z, 0, n}], so wird die Anpassung durch ein Polynom n teri
Grades durchgeführt.
II Es sei die folgende Liste von Daten gegeben.
In[l] .= I = {1 70045,1 2523,0 638803,0.423479,0 249091,0 160321,0 0883432,0.0570776,
0 0302744,0.0212794}
Mit der Eingabe
In[2] = /l = Fit[J, {1, z, zA2, zA3, zA4} , x]
wird angenommen, daß den Elementen von / die Werte 1,2, ,10 von x zugeordnet sind. Man erhält
das folgende Approximationspolynom 4. Grades:
Out [2] = 2 48918 - 0 853487z + 0.0998996z2 - 0 00371393z3 - 0.0000219224z4
Mit dem Aufruf
In[3] •= Plot[ListPlot[Z, {z, 10}], /l, {z, 1,10}, Axes0ngin-> {0,0}]
erhält man eine Darstellung der Daten und der Approximationskurve (Abb. 19.19a).
175t
1.5
125
1
0 75
05
0 25
a) 2 4 6 8 10 b) 2 4 6 8 10
Abbildung 19.19
Für die gegebenen Daten ist diese völlig ausreichend Sie ergeben sich aus den ersten vier Gliedern der
Reihenentwicklung von e1_0 5x .
2. Interpolation Mathematica stellt spezielle Algorithmen für die Bestimmung von Interpolations-
funktionen zur Verfügung. Diese werden als sogenannte InterpolatingFunction Objekte dargestellt,
die ähnlich wie reine Funktionen aufgebaut sind Die Anweisungen enthält Tabelle 19.6 Anstelle der
Funkt ions werte yi kann eine Liste aus Funktionswert und spezifizierten Ableitungen an der jeweiligen
Stelle eingegeben werden
¦ Mit In[3] = Plot[lnterpolation[/][z], {z, 1,10}] erhält man Abb.19.19b. Man erkennt, daß
Mathematica eine präzise Nachbildung der Datenliste liefert
1 5
125
1
0 75
05
0 25
19 8 Nutzung von Computern 977
Tabelle 19.6 Anweisungen zur Interpolation
I Interpolation[{2/i,?/2, J] erstellt eine Näherungsfunktion mit den Werten ^ für die I
jeweiligen Xi = i als ganze Zahlen
| Interpolation[{{xi,yi}, {x2,j/2}, • •}] erstellt eine Näherungsfunktion für die Punktfolge (x^,?/i) |
3. Numerische Lösung von Polynomgleichungen
Wie in 20 4 2.1, S. 1015 gezeigt wird, kann Mathematica die Nullstellen von Polynomen numerisch
bestimmen. Dazu dient die Anweisung NSolve[p[x] == 0, x,n], wobei n die Genauigkeit vorgibt, mit
der die Bestimmung erfolgen soll Läßt man n weg, so wird mit Maschinengenauigkeit gerechnet. Man
erhält stets den vollständigen Satz der Lösungen, also m, wenn es sich um ein Polynom m-ten Grades
handelt.
¦ In[l] = NSolve[xA6 + 3xA2 - 5 == 0]
Out[l] = {x-> -1.07432}, {x-> -0.867262 - 1 152921}, {x-> -0 867262 + 1.152921},
{x-> 0 867262 - 1.152921}, {x-> 0.867262 + 1.152921}, {x-> 1.07432}} .
4. Numerische Integration
Für die numerische Integration stellt Mathematica die Anweisung NIntegrate zur Verfugung. Anders
als bei der symbolischen Methode wird bei dieser Anweisung mit einer Datenliste der zu integrierenden
Funktion gearbeitet. Als Beispiele werden zwei uneigentliche Integrale (s 8 2 3, S 470) betrachtet.
¦ A: In[l] = NIntegrate[Exp[-xA2], {x, -Inf lnity, Inf lnity}] Out LH = 1 77245 .
¦ B: In[2] .= NIntegrate[l/a;A2, {x, -1,1}]
Power:-infy. Infinite expression J encountered.
NIntegrate*:inum: Integrand Complexlnfinity is not numerical at{x} = {0}.
Mathematica erkennt im Beispiel B die Unstetigkeit an der Stelle x = 0 und gibt die
entsprechende Warnung als Antwort. Das hängt damit zusammen, daß Mathematica eine Datenliste mit erhöhter
Stützstellenzahl im problematischen Bereich anlegt und dabei den Pol erfaßt Dennoch kann die
Antwort in manchen Fällen fehlerhaft sein
Mathematica verwendet bei der numerischen Integration Voreinstellungen gewisser Optionen, die für
spezielle Fälle nicht ausreichend sind So wird mit den Parametern MmRecursion und MaxRecursion
die minimale bzw. die maximale Anzahl der Rekursionsschritte, mit denen Mathematica jeweils in
problematischen Bereichen arbeitet, bestimmt. Die Voreinstellungen sind jeweils 0 und 6. Erhöht man
diese, so wird Mathematica zwar langsamer arbeiten, jedoch auch bessere Resultate liefern
¦ In[3] :=NIntegrate[Exp[-xA2],{:r, -1000,1000}]
Mathematica ist nicht in der Lage, die Spitze bei x = 0 zu erfassen, da der Integrationsbereich sehr groß
ist, und antwortet
NIntegrate .ploss.
Numerical Integration stopping due to loss of precision Achieved neither the requested
PrecisionGoal nor AccuracyGoal;suspect one of the following:highly oscillatory integrand
or the true value of the integral is 0.
0ut[3] = 1.34946 10-26
Verlangt man jedoch
Infy] := NIntegrate[Exp[-xA2], {x, -1000,1000},MinRecursion-> 3,MaxRecursion-> 10],
so erhält man
Out [4] = 1.77245
Das gleiche Resultat wie im letzten Beispiel erhält man mit der erweiterten Anweisung:
NIntegrate[/wn, {#, xa, X\, #2, • • •, xe}]. A9.290)
978 19. Numerische Mathematik
Hier können neben unterer und oberer Grenze des Integrals weitere Stellen des Integrationsweges X{
angegeben werden, die das problematische Stück einengen und so Mathematica zwingen, hier genauer
zu evaluieren
5. Numerische Lösung von Differentialgleichungen
Bei der numerischen Lösung von gewöhnlichen Differentialgleichungen oder auch von Systemen von
Differentialgleichungen stellt Mathematica die Ergebnisse mittels eines InterpolatmgFunction
Objektes dar. Die gestattet den Wert der numerischen Lösung an beliebigen Punkten im gegebenen
Intervall zu bestimmen oder aber auch die Lösungskurve zu zeichnen Die gebräuchlichsten Anweisungen
sind in Tabelle 19.7 dargestellt.
Tabelle 19.7 Anweisungen zur numerischen Lösung von Differentialgleichungen
I NDSolve[dg/,?/, {x,xa,xe}\ liefert eine numerische Lösung der Differential- I
gleichung im Bereich zwischen xa und xe
InterpolatingFunction[Zis£e][.T] gibt die Lösung im Punkt x
Plot[Evaluate[y[x]/ lös]], {x,xa, xe}] zeichnet die Lösung
¦ Lösung der Differentialgleichungen für die Bewegung eines schweren Körpers in einem Medium mit
Reibung. Im Zweidimensionalen lauten die Bewegungsgleichungen
x = -i\]x2 + y2 -x, y = -g- l\Jx2 + y2 • y
Die Reibung wird hier proportional zur Geschwindigkeit angenommen. Setzt man g = 10.7 = Ol,
so kann mit den Anfangswerten x@) = y@) = 0 und x@) = 100, y@) = 200 folgende Eingabe zur
Lösung der Bewegungsgleichungen vorgenommen werden
In[l] .= dg = NDSolve[{x"[*] == -0.1Sqrt[o/[£]A2 + y'[t]A2] x'[t],y"[t] == -10
-0 lSqrt[x'[t]A2 + yf{t}A2] y'lt],x{0] == y[0] == 0,z'[0] == 100,^[0] == 200},
{*,2/},{*,15}]
Mathematica antwortet mit der Aufstellung der zugehörigen Interpolationsfunktionen:
Out LH = {{x-> InterpolatingFunction[{0., 15.}, <>],
y—> InterpolatingFunction[{0., 15.}, <>]}}
Man kann die Lösung mit
In[2] = Pdir<MetricPlot[{x[t],y[t]}/.dg, {£,0,2},PlotRange-> All]
als Parameterkurve darstellen (Abb.19.20a).
NDSolve akzeptiert eine Reihe von Optionen, die die Genauigkeit der Resultate beeinflussen
Mit AccuracyGoal kann die Genauigkeit für die Berechnung der numerischen Lösungen vorgegeben
werden Entsprechendes gilt für PrecisionGoal. Bei der internen Abarbeitung richtet sich
Mathematica jedoch nach der sogenannten WorkmgPrecision, diese sollte bei erhöhter Genauigkeit noch um
weitere 5 Einheiten erhöht werden.
Die Anzahl der Schritte, mit denen Mathematica den geforderten Bereich bearbeitet, ist auf 500
voreingestellt. Im allgemeinen wird Mathematica in der Nähe von problematischen Bereichen adaptiv die
Zahl der Stützpunkte erhöhen. Dies kann in der Umgebung von Singularitäten jedoch zur Erschöpfung
der Schrittreserven führen In solchen Fällen ist es möglich mit, MaxSteps größere Schrittzahlen
vorzugeben Die Einstellung Inf inity für MaxSteps ist möglich
¦ Die Gleichungen für das FouCAULTsche Pendel lauten:
x(t) + u2x(t) = 2ily(t), y(t) + u2y{t) = -2Qx{t).
Mit üj = 1, Ü = 0,025 und den Anfangsbedingungen x(Ö) = 0, y@) = 10, x(Q) = y@) = 0 ergeben
sich die zu lösenden Gleichungen-
In[3] = dg3 = NDSolve[{x"[t] == -x[t] + 0 töy'[t],y"[t] == -y[t] - 0 05a/[t],
19.8 Nutzung von Computern 979
x[0] == 0, y[0] == 10, x'[0] == y'[0] == 0}. {x, y}, {t, 0,40}]
Out [3] = {{x-> InterpolatingFunction[{0 ,40 }, <>],
y-> InterpolatingFunction[{0 .40.}, <>]}}
Mit
In[4J := ParametricPlot[{x[«],y[t]}/.dflf3,{t,0,40},AspectRatio-> 1]
erhält man Abb. 19.20b
30 t
25
Abbildung 19.20
19.8.4.2 Maple
Das Computeralgebrasystem Maple ist in der Lage, eine Vielzahl von Aufgaben der numerischen
Mathematik mit Hilfe eingebauter Näherungsverfahren zu lösen Dabei kann die Stellenzahl, mit der die
Berechnung zu erfolgen hat, durch die Einstellung der globalen Variablen Digits zu einem beliebigen
n vorgenommen werden. Es ist aber zu beachten, daß größere n als die Voreinstellung auf Kosten der
Rechengeschwindigkeit gehen
1. Numerische Berechnung von Ausdrücken und Funktionen
Nach dem Start von Maple wird das „Prompt" > angezeigt, das die Bereitschaft für die Eingabe angibt.
Zusammenhängende Ein- und Ausgaben werden oft in einer Zeile dargestellt, eventuell getrennt durch
den Pfeiloperator —>
1. Operator evalf Zahlenwerte von Ausdrücken, die ganz allgemein eingebaute und nutzerdefinier-
te Funktionen enthalten und die zu einer reellen Zahl auswertbar sind, können mit Hilfe des Befehls
evalf (ausdr, n) A9.291)
bestimmt werden. Mit ausdr wird der numerisch auszuwertende Ausdruck bezeichnet; das optionale
Argument n kann verwendet werden, um bei der jeweiligen Berechnung abweichend von der Einstellung
Digits mit n-stelliger Gleitpunktarithmetik zu arbeiten.
¦ Anlegen einer Tabelle der Funktionswerte der Funktion y = f(x) = \/x + In x
Zunächst wird die Funktion definiert, was mit dem Pfeiloperator erfolgen kann:
> / .= z -> sqrtB)+ ln(z),—?/ = z -> y/x-\-\nx.
Danach sind die benötigten Funktionswerte mit dem Aufruf evalf (/(x)),, wobei für x die numerischen
Werte einzusetzen sind, zu bestimmen.
Eine Tabelle von Funktionswerten in Schritten von 0, 2 zwischen 1 und 4 kann man mit
> f or x f rom 1 by 0.2 to 4 do pnnt(/[a;] = evalf (/(z), 12)) od;
erzeugen Hier wird z.B gefordert, mit zwölf Ziffern zu arbeiten.
Maple gibt das Ergebnis in der Form einer einspaltigen Tabelle mit Eintragungen der Art /[32] =
2 95200519181 aus
980 19. Numerische Mathematik
2. Operator evalhf: Neben evalf existiert der Operator evalhf Er kann auf ähnliche Art wie
evalf angewendet werden Sein Argument sind ebenfalls Funktionen, die zu einer reellen Zahl
auswertbar sind. Hier wird jedoch von Maple die maschinenspezifische Gleitpunktzahlgenauigkeit genutzt, alle
Rechnungen werden mit dieser durchgeführt und abschließend wird das Ergebnis in das Maple eigene
Gleitpunktzahlsystem überführt Bei der Nutzung dieses Befehls kann ein beträchtlicher Zeitgewinn
bei umfangreichen numerischen Rechnungen eintreten. Es ist jedoch zu beachten, daß die in 19.8.2,
S. 968 beschriebenen Probleme zu beträchtlichen Fehlern führen können.
2. Numerische Lösung von Gleichungen
Wie in Kapitel 20.1, Computeralgebrasysteme, S. 1027ff. erwähnt, kann Maple in vielen Fällen
Gleichungen und Gleichungssysteme numerisch lösen. Das ist insbesondere dann von Bedeutung, wenn es
sich um transzendente Gleichungen oder um algebraische Gleichungen handelt, die nur im Bereich der
reellen Zahlen auflösbar sind
Dafür wird der Befehl f solve eingesetzt. Er ist in der Syntax
fsolve(gln,var, Option) , A9 292)
zu verwenden. In der Regel wird der Befehl für allgemeine Gleichungen eine einzelne Wurzel bestimmen.
Für Polynomgleichungen jedoch liefert er alle reellen Wurzeln In der folgenden Tabelle 19.8 sind die
zur Verfügung stehenden Optionen angegeben.
Tabelle 19.8 Optionen des Befehls f solve
I complex bestimmt eine einzelne komplexe Wurzel (bzw. alle Wurzeln eines Polynoms) I
maxsols = n bestimmt zumindest n Wurzeln (gilt nur für Polynomgleichungen)
fulldigits verhindert die Verkleinerung der Genauigkeit unter die voreingestellte in
Zwischenrechnungen
Intervall sucht nach Lösungen im angegebenen Intervall
¦ A: Bestimmung aller Lösungen der Polynomgleichung x6 + 3x2 — 5 = 0. Mit
> eq := zA6 + 3 * xA2 - 5 = 0 : erhält man
> fSolvenz); —> -1.074323739, 1 074323739
Maple hat nur die beiden reellen Wurzeln bestimmt Mit der Option complex erhält man auch die
komplexen Wurzeln.
> fsolve(eg,:r, complex);
- 1.074323739, -0.8672620244 - 1.1529220121, -0 8672620244 + 1 1529220121,
0.8672620244 - 1.1529220121,0 8672620244 + 1 1529220121,1 074323739
¦ B: Bestimmung der beiden Lösungen der transzendenten Gleichung e~x — 4x2 = 0
Nach der Festlegung
> eq •= exp(—xA3) — 4 * xA2 = 0 erhält man mit
> fsolve(eg,aj),—»0.4740623572
die positive Lösung. Mit
> fsolve{eq,x,x = -2..0);—> -0.5412548544
bestimmt Maple auch die zweite (negative) Wurzel.
3. Numerische Integration
Die Berechnung bestimmter Integrale ist oft nur numerisch möglich. Das ist der Fall, wenn der Inte-
grand sehr kompliziert aufgebaut ist bzw. wenn die Stammfunktion nicht durch elementare Funktionen
ausdrückbar ist. In Maple wird dann der Befehl evalf dem Integrationsbefehl für die Berechnung des
bestimmten Integrals vorangestellt-
evalf(int(/(x), x = a .6), n). A9 293)
19 8 Nutzung von Computern 981
Darauf wird das Integral mit der geforderten Genauigkeit von Maple unter Zuhilfenahme von
Näherungsverfahren bestimmt In der Regel funktioniert diese Methode
f2 - ?
¦ Berechnung des bestimmten Integrals / e x dx Da die Stammfunktion nicht bekannt ist, wird
zunächst
> int(exp(-xA3),x =-2 2).—> f e^ dx
angezeigt. Gibt man jedoch
> evalf(int(exp(-a;A3),:r = -2 .2), 15);
ein, so erhält man 277 745841695583
Maple hat unter Benutzung des eingebauten Näherungsverfahrens die numerische Integration auf 15
Ziffern genau vorgenommen.
In gewissen Fällen versagt diese Methode, insbesondere wenn über große Intervalle zu integrieren ist
Dann kann man versuchen, mit dem Bibliotheksaufruf
readlib(vevalf/intv).
eine andere Näherungsprozedur aufzurufen, die ein adaptives Newtonverfahren verwendet.
¦ Die Eingabe
> evalf(int(exp(-.TA2),T =-1000 1000));
führt zu einer Fehlermeldung Mit
> readlib(vevalf/intv) .
> vevalf/intv (exp(-xA2),x = -1000 1000,10,_NCrule);
1.772453851
erhält man das richtige Resultat Hier ist das dritte Argument die Angabe der Genauigkeit und das
letzte die interne Bezeichnung des NäherungsVerfahrens
4. Numerische Lösung von Differentialgleichungen
In 20 4.4.1,4., S. 1026 wird die Lösung gewöhnlicher Differentialgleichungen mit Hilfe der Maple-Opera-
tion dsolve behandelt. In den meisten Fällen ist es jedoch nicht möglich, die Lösung in geschlossener
Form anzugeben In diesen Fällen kann man versuchen, die Gleichung numerisch zu lösen, wobei
entsprechende Anfangsbedingungen gegeben sein müssen.
Dafür wird der Befehl dsolve in der Form
dsolve(dgln, var, numeric) A9 294)
mit der Option numeric als drittes Argument verwendet. Hier enthält das Argument dgln neben der
eigentlichen Differentialgleichung auch die Anfangsbedingungen. Das Resultat dieser Operation ist
eine Prozedur, die, wenn man sie z B mit / bezeichnet, durch den Aufruf f(t) den Wert der Lösung für
den Wert t der unabhängigen Variablen berechnet
Maple benutzt für diesen Prozeß das Runge-Kutta-Verfahren (s. 19.4.1.2, S 931) Die voreingestellte
Genauigkeit für den relativen und den absoluten Fehler beträgt io_Dlglts+3 . Mit den globalen
Symbolen _RELERR und _ABSERR kann der Nutzer diese Einstellungen ändern Treten bei der Berechnung
Probleme auf, dann zeigt Maple dies durch verschiedenartige Meldungen an.
¦ Die Behandlung des Beispiels zum Runge-Kutta-Verfahren in 19.4.1 2, S 932 mit Maple liefert
> r -=dsolve({diffB/(a;).a;) = A/4) * (xA2 + y{x)A2),y@) = 0},y{x),numeric);
r = proc vdsolve/numeric/result2N (x, 1592392, [1]) end
Mit
> r@ 5);—>{xE)= 5000000000, y(x){ 5) = 01041860472}
kann z B der Wert der Lösung im Punkt x — 0 5 bestimmt werden.
982 20. Computeralgebrasysteme
20 Computeralgebrasysteme
20.1 Einführung
20.1.1 Kurzcharakteristik von Computeralgebrasystemen
1. Allgemeine Zielstellungen für Computeralgebrasysteme In der mathematischen Praxis
werden heute oft sogenannte Computeralgebrasysteme - Softwaresysteme, die „Mathematik machen
können"-eingesetzt Solche Systeme wie Macsyma, Reduce, MuPad, Maple, Mathematica gestatten auch
auf Einzelplatzrechnern (PC) die Lösung mathematischer Aufgaben wie z.B. die Umformung
komplizierter Ausdrücke, die Bestimmung von Ableitungen und Integralen, die Lösung von Gleichungen und
Gleichungssystemen, die graphische Darstellung von Funktionen einer und mehrerer Veränderlicher
und vieles andere mehr Mit ihrer Hilfe können mathematische Ausdrücke manipuliert, d h., nach
mathematischen Regeln umgeformt oder vereinfacht werden, sofern dies in geschlossener Form möglich
ist Auch numerische Lösungen können mit der geforderten Genauigkeit berechnet und funktionale
Zusammenhänge graphisch dargestellt werden
Die meisten Computeralgebrasysteme können mit externen Dateisystemen und Dateien
kommunizieren, d.h Daten ex- und importieren Neben einem Grundvorrat an Definitionen und Befehlen, der bei
jedem Start des Systems geladen wird, bieten die meisten Systeme umfangreiche Bibliotheken mit
Zusatzpaketen spezieller mathematischer Gebiete an, die nach Bedarf zugeladen werden können (s [20 4])
Computeralgebrasyteme ermöglichen Programmierungen zum Aufbau eigener Programmpakete Oft
ermöglichen sie die Kommunikation mit anderen Programmiersprachen (z.B C oder Java) Die
Möglichkeiten von Computeralgebrasytemen sollten jedoch nicht überschätzt werden Wenn für ein Integral
kein geschlossener Ausdruck existiert, dann kann auch mit Hilfe eines Computeralgebrasytems keiner
gefunden werden, allenfalls gelingt die Reduktion auf spezielle nicht-elementare Integrale.
Bezüglich der auftretender Fehler s 19.8 2, S. 968.
2. Beschränkung auf Mathematica und Maple Die zur Zeit bekannten Systeme unterliegen der
Weiterentwicklung Insofern kann jede konkrete Darstellung nur den aktuellen Stand reflektieren. Im
folgenden soll eine Einführung in die grundlegende Struktur solcher Systeme und ihre Anwendung in
wichtigen mathematischen Bereichen gegeben werden. Damit diese Einfuhrung gleichzeitig als
Anleitung für erste praktische Schritte bei der Arbeit mit Computeralgebrasystemen dienen kann, werden
die Darlegungen konkret auf die beiden Systeme Mathematica, Version 4.1 und Maple 8 beschränkt
Diese Auswahl ist willkürlich, jedoch scheinen diese beiden Systeme gegenwärtig die größte Verbreitung
gefunden zu haben.
3. Ein- und Ausgabe bei Mathematica und Maple In dieser Darstellung wird die konkrete
Einbindung des jeweiligen Computeralgebrasystems in das Betriebssystem des Computers nicht
behandelt Es wird davon ausgegangen, daß das Computeralgebrasystem über ein Kommando aus dem
Betriebssystem heraus gestartet wird und auf einer graphischen Oberoberfläche (GUI) und/oder einer
Kommandozeile ansprechbar ist.
Die Darstellung von Ein- und Ausgaben erfolgt für Mathematica (s 19.8 4 1, S 975 und Maple (s. 19.8 4 2,
1., S 979 in jeweils abgesetzten Zeilen, um sie deutlich von anderen Textpassagen abzuheben, etwa in
der Form
In[l] •= Solve[3 x — 5 == 0,x] in Mathematica, (ww
> solveC*x-5 = 0,x) in Maple. ^ U ^
Systemspezifische Symbole (Befehle, Typbezeichnungen und ähnliches) werden durch Darstellung in
Schreibmaschinenschrift hervorgehoben.
Aus Gründen der Platzersparnis werden zusammenhängende Ein- und Ausgaben oft durch
Zusammenziehen in eine Zeile (evtl. durch das Zeichen —> getrennt) dargestellt.
20 1 Einführung 983
20.1.2 Einführende Beispiele für die Hauptanwendungsgebiete
20.1.2.1 Formelmanipulation
Unter Formelmanipulaüon wird hier im weitesten Sinn die Umformung mathematischer Ausdrücke
zwecks ihrer Vereinfachung oder ihrer Darstellung in einer für weitere Manipulationen zweckmäßigen
Form, die Lösung von Gleichungen und Gleichungssystemen durch algebraische Ausdrücke, die
Differentiation von Funktionen, die Berechnung unbestimmter Integrale, die Lösung von
Differentialgleichungen, die Bildung unendlicher Reihen usw. verstanden.
¦ Lösung der folgenden quadratischen Gleichung-
x2 + ax + b = 0 mit a, b G R B0 2a)
In Mathematica wird eingegeben (man beachte das Leerzeichen zwischen a und x):
Solve[xA2 + a x + b == 0, x]. B0.2b)
Nach Betätigen des entsprechenden Eingabeabschlußbefehls (EINF oder SHIFT+ENTER) ersetzt
Mathematica diese Zeile durch
In[l] .= Solve[.xA2 + a x + b==0,x] B0.2c)
und beginnt mit der Abarbeitung. Nach kurzer Zeit erscheint eine neue Zeile mit dem Inhalt
-a + Sqrt[a2 - 46L r -a - Sqrt[a2 - 461,,
Out[l] = {{x-> ^ i},{^-> V 4}. B0 2d)
Mathematica hat die Gleichung gelöst und die beiden Wurzeln in Form einer Liste aus zwei Unterlisten,
die jeweils eine Lösung enthalten, dargestellt. Dabei ist Sqrt das Symbol für die Quadratwurzel
In Maple erfolgt die Eingabe in folgender Form
> solve({:rA2 + a * x + b = 0}, {x}), B0 3a)
Wichtig ist hier das Semikolon nach dem letzten Symbol Nach der Eingabebestätigung mit ENTER
bearbeitet Maple die Eingabe und liefert in der nächsten Zeile
{l/2(-a + (a2 - 46I/2)} , {l/2(-a - (a2 - 46I/2)} B0.3b)
Das Ergebnis ist in Form einer Folge von zwei Ausdrücken, den beiden Lösungen, dargestellt.
Abgesehen von den speziellen Zeichen für das jeweilige Computeralgebrasystem, besteht vom
grundsätzlichen Aufbau her große Ähnlichkeit. Am Anfang steht ein Symbol, das vom System als Operator
verstanden wird, der auf einen in Klammern stehenden Operanden anzuwenden ist. Das Ergebnis wird
als Liste oder Folge der Lösungen wiedergegeben Ahnlich werden viele Operationen der
Formelmanipulation dargestellt.
20.1.2.2 Numerische Berechnungen
Computeralgebrasysteme besitzen umfangreiche Prozeduren zur Behandlung von Aufgaben der
numerischen Mathematik Das betrifft sowohl die Lösung algebraischer Gleichungen, linearer
Gleichungssysteme, die Lösung transzendeter Gleichungen, aber auch die Berechnung bestimmter Integrale, die
numerische Lösung von Differentialgleichungen, Interpolationsprobleme und vieles andere mehr
¦ Gesucht Lösungen der Gleichung
x6 - 2x5 - 30x4 + 36x3 + 190:r2 - 36x - 150 = 0. B0.4a)
Diese Gleichung 6 Grades ist geschlossen nicht lösbar; sie besitzt jedoch 6 reelle Lösungen, die
numerisch zu finden sind
In Mathematica wird eingegeben:
In[2] = NSolve[xA6 - 2xA5 - 30xA4 + 36xA3 + 190xA2 - 36x - 150 == 0, x] B0.4b)
Als Antwort erhält man:
Out [2] = {{x-> -4 42228} , {x-> -2.14285} , {x-> -0 937397} , {x-> 0 972291} ,
{x-> 3.35802} , {x-> 5 17217}} B0 4c)
984 20. Computeralgebrasysteme
Das ist eine Liste mit den 6 Lösungen mit einer bestimmten Genauigkeit, die später erläutert wird
Die Eingabe in Maple lautet:
> f solve{(xA6 - 2 * xA5 - 30 * xA4 + 36 * xA3
+190 * xA2 - 36 * x - 150 = 0}, {x}); B0.4d)
Hier darf in der Eingabe „= 0" fehlen, und die zusätzliche Angabe „{x}" wäre wegen der Eindeutigkeit
auch nicht nötig Maple setzt den eingegebenen Ausdruck automatisch gleich Null. Als Ausgabe erhält
man die Folge der 6 Lösungen. Die Benutzung des Befehls f solve teilt Maple mit, daß
Fließkommazahlen als Ergebnis erwartet werden.
20.1.2.3 Graphische Darstellungen
Die meisten Computeralgebrasysteme gestatten die graphische Darstellung der eingebauten wie auch
der selbstdefinierten Funktionen In der Regel betrifft dies die Darstellung von Funktionen einer
Veränderlichen in kartesischen und Polarkoordinaten, die Parameterdarstellung und die Darstellung
impliziter Funktionen Funktionen von zwei Variablen lassen sich als räumliche Flächen darstellen, auch hier
sind Parameterdarstellungen möglich Es können Kurven im dreidimensionalen Raum erzeugt werden.
Darüber hinaus gibt es in den unterschiedlichen Systemen weitere graphische
Darstellungsmöglichkeiten von funktionalen Zusammenhängen, z.B'. in Form von Diagrammen. Alle Systeme verfugen über
ein reichhaltiges Angebot von Darstellungsoptionen, die von Linienform und -dicke über den Einbau
zusätzlicher Graphikelemente wie z.B. von Vektoren bis zu Beschriftung und Farbgestaltung reichen
In der Regel lassen sich erzeugte Graphiken als Dateien in gängigen Formaten wie eps, gif, jpeg, bmp
und andere exportieren und damit in andere Programme einbinden bzw direkt auf Drucker und Plotter
ausgeben
20.1.2.4 Programmierung in Computeralgebrasystemen
Alle Systeme bieten Möglichkeiten für den Aufbau eigener Programmblöcke zur Lösung spezieller
Aufgaben. Es handelt sich dabei einerseits um die bekannten Handwerkszeuge für den Aufbau von
Prozeduren wie Schleifenkonstruktionen und Kontrollstrukturen, z B DO, IF - THEN, WHILE, FOR usw ,
andererseits um mehr oder weniger ausgeprägte Methoden der funktionalen Programmierung, die für
viele Probleme elegante Lösungen anbieten
Selbsterstellte Programmblöcke können den bestehenden Bibliotheken hinzugefügt und bei Bedarf
jederzeit zugeladen werden.
20.1.3 Aufbau von und Umgang mit Computeralgebrasystemen
20.1.3.1 Hauptstrukturelemente
1. Objekttypen
Computeralgebrasysteme arbeiten mit einer Vielzahl von Objekttypen Objekte sind die dem jeweiligen
System bekannten Zahlen, Variablen, Operatoren, Funktionen usw , die mit dem Start des Systems
latent geladen sind und aufgerufen bzw. vom Nutzer entsprechend der Syntax definiert werden können.
Klassen von Objekten wie etwa Zahlenarten oder Listen usw. nennt man Typen
Die meisten Objekte werden durch ihren Namen identifiziert, den man sich zur Objektklasse Symbol
zugehörig denken kann und der bestimmten grammatikalischen Regeln genügen muß
Der Nutzer gibt in die Eingabezeile eine Folge von Objekten, d.h. deren Namen, entsprechend der
vorgeschriebenen Syntax ein, schließt die Eingabe mit einem dafür vorgesehenen Sonderzeichen und/oder
einem speziellen Systemkommando ab, worauf das System mit der Abarbeitung beginnt und in
weiteren Zeilen das Ergebnis darstellt (Eingaben können sich über mehrere Zeilen erstrecken)
Die nachfolgend beschriebenen Objekte bzw. Objekt typen und -klassen stehen in der Regel in allen
Computeralgebrasystemen zur Verfügung, wobei auf Besonderheiten bei der Besprechung der einzelnen
Systeme eingegangen wird
2. Zahlen
Die Computeralgebrasysteme kennen in der Regel die Zahlentypen ganze Zahlen, rationale Zahlen,
20.1 Einführung 985
reelle Zahlen (Gleitpunktzahlen), komplexe Zahlen, manche Systeme algebraische Zahlen, Wurzelzahlen
und weitere
Mit einer Vielzahl von Typprüfoperationen können Eigenschaften konkretei Zahlen, wie nichtnegativ,
Primzahl usw . festgestellt werden.
Gleitpunktzahlen können mit beliebiger Präzision genutzt werden In der Regel arbeiten die Systeme
mit einer Voreinstellung für die Präzision, die nach Bedarf verändert werden kann.
Die Systeme kennen spezielle Zahlen, die für die Mathematik von fundamentaler Bedeutung sind wie e,
7T und oo Sie gehen mit diesen Zahlen symbolisch um, können sie jedoch für numerische Berechnungen
auch in beliebiger Präzision verwenden
3. Variable und Zuweisungsoperatoren
Variable haben einen Namen, weiden in der Regel also durch ein vorn Nutzer bestimmtes Symbol
repräsentiert Vom System vergebene Namen, d h reservierte Begriffe, sind dabei verboten Solange der
Variablen kein Wert zugewiesen ist, steht das jeweilige Symbol für die Variable selbst
Variablen können mit Hilfe spezieller Zuweisungsoperatoren Werte zugewiesen werden Werte von
Variablen dürfen sowohl Zahlen, andere Variable als auch spezielle Sequenzen von Objekten, oft
Ausdrücke genannt, sein. In der Regel existieren mehrere Zuweisungsoperatoren, die sich insbesondere
durch den Zeitpunkt ihrer Auswertung, d h sofort bei Eingabe der Zuweisung oder erst beim
späteren Aufruf der Variablen, unterscheiden
4. Operatoren
Alle Systeme verfügen über einen Grundvorrat von Operatoren Dazu gehören die für die Mathematik
üblichen Operatoren+, —, *, /, A (oder **), >, <, =, für die die bekannte Rangordnung bei der
Abarbeitung gilt Stehen die Operatoren zwischen den Operanden, so bezeichnet man diese Schreibweise
als Infix-Form.
Die Palette der Operatoren, die in Präfix-Form vorliegen — in diesem Falle steht der Operator vor den
Operanden ist in allen Systemen beträchtlich Hierzu gehören in der Regel Operatoren, die auf
spezielle Objektklassen wie z.B. Zahlen, Polynome, Mengen, Listen, Matrizen, Gleichungssysteme wirken
und auch Funktionalopcratoren wie Differentiation, Integration usw Darübci hinaus sind in der Regel
Operatoren für die Gestaltung der Ausgaberesultate, die Manipulation von Zeichenketten und
weiteren dem System bekannten Objekten vorhanden Manche Systeme gestatten die Darstellung einiger
Operatoren in Suffix-Schreibweise, d h , der Operator steht hinter den Operanden Häufig benutzen
Operatoren optionale Argumente, die spezielle Anwendungssituationen steuern
5. Terme und Funktionen
Unter dem Begriff Term wird eine Anordnung von Objekten verstanden, die durch mathematische
Operatoren, in der Regel in der Infix Form, verknüpft sind, also Basiselemente, die in der Mathematik
ständig auftreten Ein Grundanliegen von Computeralgebrasystemen ist die Umformung von Termen
sowie die Lösung von Gleichungen
¦ Die folgende Sequenz
xAA - 5 * .rA3 + 2 * xA2 - 8 B0 5)
ist z B ein Term, in welchem x eine Variable ist
Computeralgebrasysteme kennen die üblichen elementaren Funktionen wie Exponentialfunktion,
Logarithmusfunktion, trigonometrische Funktionen und deren Umkehrfunktionen sowie eine Reihe
spezieller Funktionen. Diese Funktionen lassen sich anstelle von Variablen in Terme einbauen Auf diese
Weise werden neue, komplizierte Terme oder Funktionen erzeugt
6. Listen und Mengen
Alle Computeralgebrasysteme kennen die Objektklasse Liste, die als Aneinanderreihung von Objekten
verstanden wird Mit speziellen Operatoren kann auf die Elemente einer Liste zugegriffen werden In
der Regel sind Listen als Elemente von Listen zulässig. So entstehen verschachtelte Listen, die zur
Konstruktion spezieller Objekttypen wie Matrizen und Tensoren benutzt werden können; alle Systeme bie-
986 20. Computeralgebrasysteme
ten hierfür spezielle Objektklassen an. Hieraus ergibt sich die Möglichkeit, symbolisch in Vektorräumen
Objekte wie Vektoren und Tensoren zu manipulieren und lineare Algebra zu betreiben
Auch der Begriff Menge ist den Computeralgebrasystemen bekannt Die Operatoren der Mengenlehre
sind definiert.
In den folgenden Abschnitten werden die Hauptstrukturelemente und ihre Syntax für die beiden
ausgewählten Computeralgebrasysteme Mathematica 4 1 und Maple 8 erläutert.
20.2 Mathematica
Mathematica ist ein Computeralgebrasystem, das von der Firma Wolfram-Research, Ine entwickelt
wurde. Eine umfassende Darstellung der Version Mathematica 4 1 findet man in [20.7, 20.11] .
20.2.1 Haupstrukturelemente
Im System Mathematica werden die Hauptstrukturelemente einheitlich Ausdrücke genannt Ihre
Syntax lautet (es sei nochmals betont, daß die jeweiligen Objekte durch ihr zugehöriges Symbol, also ihren
Namen, anzugeben sind):
obj0[obj1,obj2,... ,objn] B0.6)
Man bezeichnet obj0 als Head (Kopf) des Audruckes; ihm ist der Index 0 zugeordnet Die Teile obj • (i =
1,.. , n) sind die Elemente des Ausdrucks und unter ihren Indices 1,..., n aufrufbar
In vielen Fällen ist der Head des Ausdrucks ein Operator oder eine Funktion, die Elemente sind die
Operanden oder die Variablen, auf die der Head wirkt.
Sowohl Head als auch Elemente eines Ausdrucks können wieder Ausdrücke sein Eckige Klammern sind
in Mathematica für die Darstellung von Ausdrücken reserviert, sie dürfen nur in diesem Zusammenhang
verwendet werden.
¦ Der Term xA2 + 2 * x + 1, der in Mathematica auch in dieser Infix-Form eingegeben werden darf,
hat die vollständige Form (FullForm)
Plus[l, Times[2, x], Power [z, 2]]
ist also ebenfalls ein Ausdruck Mit Plus, Power und Times werden die die entsprechenden
arithmetischen Operatoren bezeichnet.
Man erkennt an dem Beispiel, daß alle einfachen mathematischen Operatoren in der Präfix-Form
existieren und daß die Schreibweise als Term in Mathematica nur eine Vereinfachung ist.
Teile von Ausdrücken können extrahiert werden. Das erfolgt mit der Konstruktion Part[ausdr, i], wobei
i die Nummer des entsprechenden Elements ist Insbesondere wird mit i = 0 der Head des Ausdrucks
wiedergegeben.
¦ Gibt man in Mathematica
In[l] .= £A2 + 2*x + l
ein, wobei das Zeichen * auch weggelassen werden kann, und betätigt die Taste EINF, so antwortet
Mathematica mit
Out[l] = l-\-2x-\-x2
Mathematica hat die Eingabe zur Kenntnis genommen und sie in der mathematischen Standardform
wiedergegeben Hätte man die Eingabe mit einem Semikolon abgeschlossen, so wäre die Ausgabe
unterdrückt worden.
Gibt man
In[2] •= FullForm[%]
ein, so lautet die Antwort
0ut2 = Plus[l, Times[2, x], Power[z, 2]]
Das Zeichen % in der eckigen Klammer teilt Mathematica mit, daß die letzte Ausgabe als Argument für
die neue Eingabe zu verwenden ist Aus diesem Ausdruck kann man mit
20 2 Mathematica 987
In[3] •= Part[%, 3] z B Out [3] = Power[x, 2]
das dritte Element herausziehen, das in diesem Fall wiederum ein Ausdruck ist.
Symbole sind in Mathematica die Bezeichner der Grundobjekte; sie können beliebige Folgen von
Buchstaben und Zahlen sein und dürfen nicht mit einer Zahl beginnen. Das Sonderzeichen $ ist zulässig
Es wird zwischen Groß- und Kleinbuchstaben unterschieden. Systemimmanente Symbole beginnen
mit einem Großbuchstaben, bei zusammengesetzten Worten beginnt auch der zweite Teil mit einem
Großbuchstaben. Der Nutzer sollte deshalb zur Unterscheidung seine selbstdefinierten Symbole nur
mit Kleinbuchstaben schreiben.
20.2.2 Zahlenarten in Mathematica
20.2.2.1 Grundtypen von Zahlen in Mathematica
Mathematica kennt vier Arten von Zahlen, die in Tabelle 20.1 dargestellt sind.
Tabelle 20 1 Zahlenarten in Mathematica
Zahlenart
Ganze Zahlen
Rationale Zahlen
Reelle Zahlen
Komplexe Zahlen
Kopf
Integer
Rational
Real
Complex
Charakteristik
exakte ganze Zahl beliebiger Länge
teilerfremder Bruch der Form Integer/Integer
Gleitpunktzahl beliebiger spezifierter Präzision
komplexe Zahl der Form zahl + zahl *I
Eingabe
nnnnn
pppp/qqqq
nnnn.mmmm
Reelle Zahlen, d h Gleitpunktzahlen, dürfen beliebige Länge haben Wird eine ganze Zahl nnn in der
Form nnn geschrieben, so faßt Mathematica sie als Gleitpunktzahl, also vom Typ Real, auf
Mit Head[x] kann man den Typ einer Zahl x feststellen. So liefert In[l] = Head[51] Out[l] =
Integer, während In[2] •= Head[51 ] Out [2] = Real ergibt. Die reellen und imaginären
Komponenten einer komplexen Zahl können beliebigen Zahlentypen angehören Eine Zahl wie 5.731 + 0 I wird
Mathematica dem Typ Real zuordnen, während 5 731+0 / vom Typ Complex ist, da 0 als
Gleitpunktzahl mit dem genäherten Wert 0 aufgefaßt wird.
Es gibt einige weitere Operationen, um Auskünfte über Zahlen zu erhalten So liefert
In[3] = NumberQfa:] Out [3] •= True, wenn x eine Zahl ist B0.7a)
Anderenfalls ergibt sich Out [3] = False Hier sind True und False die Symbole für die BoOLEschen
Werte „Wahr" und „Falsch".
IntegerQ[a:] testet, ob x eine ganze Zahl ist, weshalb
InUJ =IntegerQ[2] Outty = False B0 7b)
ergibt Ahnliche Tests für Zahlen sind mit den Operatoren EvenQ, OddQ und PrimeQ durchführbar. Ihr
Sinn ist selbsterklärend. So ergibt
In[5] = PrimeQ[1075643] Out [5] = True, B0.7c)
während
In[6] = PrimeQ[1075641] Out [6] = False B0 7d)
liefert.
Die zuletzt genannten Tests gehören zu einer ganzen Gruppe von Testoperatoren, die alle mit Q enden
und jeweils mit True oder False im Sinne eines logischen Tests antworten (u.a Typprüfung)
20.2.2.2 Spezielle Zahlen
In Mathematica sind einige spezielle Zahlen enthalten, die häufig benötigt werden und mit beliebiger
7T
Genauigkeit aufgerufen werden können. Dazu gehören n mit dem Symbol Pi, e mit dem Symbol E, ——
als Umrechnungsfaktoi von Gradmaß in Bogenmaß mit dem Symbol Degree, Inf lnity als Symbol für
oo sowie die schon benutzte imaginäre Einheit I
988 20. Computeralgebrasysteme
20.2.2.3 Darstellung und Konvertierung von Zahlen
Zahlen sind in verschiedenen Formen darstellbar, die sich ineinander konvertieren lassen. So läßt sich
jede reelle Zahl x mit N[x, n] in eine Gleitpunktzahl mit n-stelliger Präzision konvertieren
IN[7] = N[£, 20] liefert Out [7] = 2 7182818284590452354 B0 8a)
Mit Rationalize[x, dx] kann die Zahl x mit der Genauigkeit dx in eine rationale Zahl gewandelt
werden So ergibt
In[8] = Rationalize[%, 10A - 5] 0ut[8] = —— B0.8b)
536
Mit der Genauigkeit 0 übermittelt Mathematica die bestmögliche Näherung der Zahl x durch eine
rationale Zahl.
Zahlen verschiedener Zahlensysteme können ineinander konvertiert werden. Mit BaseFormjir, b] wird
die Zahl x im Dezimalsystem in die entsprechende Zahl im System mit der Basis b umgewandelt. Ist
b > 10, so werden für die Darstellung der weiteren Ziffern wie üblich die fortlaufenden Buchstaben
a, 6, c,... benutzt.
¦ A: So wird z B
In[15] •= BaseForm[255, 16] zu Out [15] = //BaseForm = ff16 B0 9a)
oder
In[16] := BaseForm[N[£, 10], 8] Out [16] = //BaseForm = 2 5576052138 B0 9b)
Die Konversion einer Zahl zur Basis b ins Dezimalsystem wird mit bAAmmmm durchgeführt
¦ B: In diesem Sinne liefert
In[17] .= 8 AA735 Out [17] = 477 B0.9c)
Die Darstellung der Zahlen erfolgt mit der jeweiligen Präzision (voreingestellt hierfür ist die
Maschinenpräzision) und bei großen Zahlen in der sogenannten wissenschaftlichen Schreibweise, d.h. in der
Form nnnn mmmm 10A ± qq .
20.2.3 Wichtige Operatoren
Viele Grundoperatoren dürfen in der vereinfachten Schreibweise mit der in der Mathematik üblichen
Infix-Form < symbi op symb2 > benutzt werden. Jedoch ist in jedem Fall diese nur ein vereinfachendes
Synonym für die vollständige Schreibweise als Ausdruck Eine Reihe häufig vorkommender Operatoren
und ihre vollständige Form enthält die Tabelle 20.2
Tabelle 20.2 Wichtige Operatoren in Mathematica
a + b
a b oder a * b
aAb
a/b
u—> v
r = s
Plus[o, b]
Times
Power
Times
o, b]
a, 6]
a, Power[6,
Rule[w, v]
Set[r, s]
-i]]
u == v Equal[ti, v]
w\ = v Unequal[w, v]
r > t Greaterjr, t]
r >= t GreaterEqual[r, t]
s < t Less[s, t]
s <= t LessEqual[s, t]
Die meisten Bezeichnungen in Tabelle 20.2 sind selbsterklärend. Bei der Multiplikation in der Form
a b ist unbedingt auf das Leerzeichen zwischen den Faktoren zu achten.
Es sei auf die Ausdrücke mit den Heads Rule und Set hingewiesen Set weist dem Ausdruck r auf der
linken Seite, z.B. einer Variablen, den Wert des Ausdrucks s auf der rechten Seite, z B eine Zahl, zu.
Von hier an wird r bis zum Zeitpunkt der Aufhebung dieser Zuordnung durch den zugewiesenen Wert
dargestellt Die Aufhebung erfolgt entweder durch die Zuweisung eines neuen Wertes oder durch x = .
bzw. Clear[x], d h durch Löschen aller bisherigen Zuweisungen Die Konstruktion Rule dagegen ist
als Transformationsregel aufzufassen. Sie tritt oft im Zusammenhang mit dem Ersetzungsoperator /
auf.
20 2 Mathematica 989
Replace[£, u —> v] oder tj. u—> v bedeutet, daß alle im Ausdruck t enthaltenen Elemente u durch
den Ausdruck v zu ersetzen sind.
¦ In[5] -=x + y2 /. y-> a + b
0ut[5] = x + (a + bJ
Für beide Operatoren ist typisch, daß sofort nach Aufstellung der Zuweisung oder der
Transformationsregel die rechte Seite ausgewertet wird. Damit werden die linken Seiten bei jedem nachfolgenden
Aufruf durch die festgelegten rechten Seiten ersetzt.
Daneben gibt es zwei weitere Operatoren, die verzögert wirken:
u = v FullForm = SetDelayed[w, v] B0.10a)
u>v FullForm = RuleDelayed[w, v] B0.10b)
Auch hier gilt bis zur Aufhebung der Zuweisung bzw. der Transformationsregel, daß für die linke Seite
immer die rechte eingesetzt wird, jedoch erfolgt die Auswertung der rechten Seite erst zum Zeitpunkt
des Aufrufes der linken
Der Ausdruck u—=v oder Equal[u, v] bedeutet, daß u und v identisch sind Equal wird z.B. benutzt,
um Gleichungen zu manipulieren.
20.2.4 Listen
20.2.4.1 Begriff und Bedeutung
Listen sind in Mathematica wichtige Instrumente für die Manipulation ganzer Gruppen von Größen,
die vor allem in der höherdimensionalen Algebra und Analysis von großem Wert sind. Da auch
allgemein Ausdrücke vielfach Ähnlichkeiten mit Listen besitzen, wird der Umgang mit Listen zu einem
Musterbeispiel für Manipulationen auf bestimmten Klassen von Ausdrücken.
Unter einer Liste versteht man die Zusammenfassung mehrerer Objekte zu einem neuen Objekt, der
Liste, wobei in der Liste zunächst alle Objekte gleichwertig sind und sich nur durch ihren Standort in
der Liste voneinander unterscheiden. Die Aufstellung einer Liste erfolgt mit der Angabe
List[al, a2, a3, ] = {al, a2, a3, } B0 11)
Zur Erläuterung der Arbeit mit Listen wird eine konkrete Liste benutzt, die mit 11 bezeichnet wird*
In[l] .= 11 = List[al, a2, a3, a4, aö, a6] Out Li] = {al, a2, a3, a4, ab, a6} B0.12)
Mathematica benutzt bei der Wiedergabe der Liste die Kurzform: Einschluß in geschweifte Klammern
In Tabelle 20.3 sind Befehle dargestellt, die auf Elemente bzw. mehrere Elemente zugreifen und dann
eine „Unterliste" ausgeben
Tabelle 20.3 Befehle für die Auswahl von Listenelementen
Firstf/1
Last
Part
Part
i]
/, n] oder l[[n\]
l {nl, n2, .. }]
J[[{nl, n2, }]]
Take
Take
Drop
Drop
/, m]
/, {m, n}\
l, n]
l, {m, n}]
wählt das erste Element aus
wählt das letzte Element aus
wählt das n-te Element aus
erstellt eine Liste aus den Elementen mit den angegebenen Nummern
äquivalent zur vorherigen Operation
ergibt die Liste der ersten m Elemente von /
ergibt die Liste der Elemente von m bis n
ergibt die Liste ohne die ersten n Elemente
ergibt die Liste ohne Elemente von m bis n
¦ Für die Liste 11 in B0 11) gilt z.B.
InL2] := First[/1] 0utL2] = al In[3] = Ü[[3]] OutL3] = a3
In[4] ¦= ü[[{2, 4, 6}]] OutL4J = {a2, a4, a6} InL5] = Take[ü, 2] Out[5] = {al, a2}
990 20 Computeralgebrasysteme
20.2.4.2 Verschachtelte Listen
Die Elemente von Listen können wiederum Listen sein, so daß verschachtelte Listen entstehen Setzt
man z.B
In[6] =al= {611, 612, 613, 614, 615}
In[7] =a2= {621, 622, 623, 624, 625}
In[8] •= a3 = {631, 632, 633, 634, 635}
und analog für aA , ab und a6 , so entsteht eine verschachtelte Liste, die hier wegen ihres Umfangcs nicht
explizit dargestellt werden soll. Mit Part[/, i, j] greift man auf das j-te Element der z-ten Unterliste
zu Das gleiche Resultat erhält man mit l[[i, j}}. Im betrachteten Beispiel (in 20.2 4 1, S 989) wird
In[12] = /1[[3, 4]] Out[12] = 634
Des weiteren liefert Part[/, {il, 12 }, {jl, j2 }] oder Z[[{ü, i2, .}, {jl, j2, }]] eine
Liste, die aus den mit il, i2, .. numerierten Listen besteht, welche jeweils die mit jl, j2 numerierten
Elemente enthalten
¦ Für das oben betrachtete Beispiel (in 20 2 4 1, S 989) etwa
In[13] = /1[[{3, 5}, {2, 3, 4}]] Out[13] = {{632, 633, 634}, {652, 653, 654}}
Aus diesen Darlegungen ist das Prinzip der Verschachtelung von Listen erkennbar. Es macht keine
Mühe, Listen mit der Verschachtelungsstufe 3 und höher zu entwerfen und auf diese mit entsprechenden
Auswahloperationen zu wirken.
Die Möglichkeit der Verschachtelung von Listen öffnet den (symbolischen) Zugang zu einer Reihe von
Spezialgebieten der Mathematik So lassen sich Vektoren und Matrizen erzeugen, wodurch die lineare
Algebra symbolisch möglich wird Des weiteren können Tensoren definiert und symbolische
Tensorrechnung betrieben werden
20.2.4.3 Operationen mit Listen
Mathematica bietet eine Reihe weiterer Operationen, mit denen Listen abgefragt, erweitert oder
verkürzt werden können:
Tabelle 20 4 Operationen mit Listen
Position}/, a]
MemberQ[/, a]
FreeQ[Z. a]
Prependf/, a]
Append
Insert
Delete
/, a]
/, a, i]
i, V, i, il
ReplacePart[/, a, i]
liefert eine Liste der Positionen, an denen a in
prüft, ob a Element der Liste ist
prüft, ob a nirgendwo in der Liste auftritt
fügt a an den Anfang der Liste hinzu
fügt a am Ende der Liste hinzu
fügt a an der Stelle i zur Liste hinzu
löscht die Elemente mit den Nummern i, j,
ersetzt das Element an der Stelle i durch a
der Liste auftritt
aus der Liste
¦ Mit Delete kann man z B die Liste 11 um das Glied aß verringern
In[14] := 12 = Delete[/1, 6] 0ut[14] = {al, a2, a3, a4, a5},
wobei jedoch in der Ausgabe die ai durch ihre Werte - sie sind selbst Listen - ersetzt erscheinen
20.2.4.4 Spezielle Listen
Mathematica stellt eine Reihe von Operationen bereit, die spezielle Listen aufbauen Eine dieser Ope-
rationen^ die häufig bei der Arbeit mit mathematischen Funktionen eine Rolle spielt, ist Table
Tabelle 20.5 Die Operation Table
Table[/, {imax}} erzeugt eine Liste mit imax Werten von / = f(i)
Tablej/, {i, imin, imax}] erzeugt eine Liste von Werten von / von imin bis imax
Table[/, {z, imin, imax, di}] das gleiche wie letztes, nur in Schritten di
¦ Tabelle der Binomiiialkoeffizienten zu n = 7
20.2 Mathematica 991
In[15] •= Table[Binomial[7, i], {z, 0, 7}]] 0ut[15] = {1, 7, 21, 35, 35, 21, 7, 1}
Mit Table können auch mehrdimensionele Tabellen hergestellt werden. So erhält man mit
Table[/, {i, ü, z2}, {j, jl, j2}, ]
mehrstufige verschachtelte Tabellen, so etwa aus
In[16] = Table[Binomial[z, j], {i, 1, 7}, {j, 0, i}]
die Binominalkoeffizienten bis zur Stufe 7:
0utft67 = {{1, 1}, {1, 2, 1}, {1, 3, 3, 1}, {1, 4, 6, 4, 1},
{1, 5, 10, 10, 5, 1}, {1, 6, 15, 20, 15, 6, 1}, {1, 7, 21, 35, 35, 21, 7, 1}}
Mit der Operation Range lassen sich speziell fortlaufende Zahlenlisten erzeugen:
Range[n] erzeugt die Liste {1, 2, , n}
Entsprechend wirken Range[nl, n2] und Range[nl, n2, dn], die Zahlenlisten von nl bis n2 in den
Stufen 1 bzw dn erstellen
20.2.5 Vektoren und Matrizen als Listen
20.2.5.1 Aufstellung geeigneter Listen
Eine Reihe spezieller (Listen-) Anweisungen steht für die Definition von Vektoren und Matrizen bereit.
Eine einstufige Liste der Art
v= {vi, v2, . ., vn} B0 13)
läßt sich jederzeit als Vektor im n-dimensionalen Raum mit den Komponenten vi, v2,. ., vn auffassen.
Die spezielle Operation Arrayjv, n] erzeugt die Liste (den Vektor) {v[1], v[2],..., v[n]}. Mit Vektoren
dieser Art kann symbolische Vektorrechnung betrieben werden.
Die oben eingeführten zweistufigen Listen 11 (s. 20 2.4.2, S. 990) und 12 (s. 20 2 4.3, S 990) können als
Matrizen mit den Zeilen i und den Spalten j aufgefaßt werden. In diesem Falle wäre bij das Element
der Matrix in der z-ten Zeile und der j-ten Spalte Mit 11 ist eine Rechteckmatrix vom Typ F,5), mit
12 eine quadratische Matrix vom Typ E,5) gegeben.
Mit der Operation Array[6, {n, m}] wird eine Matrix vom Typ (n, m) erzeugt, deren Elemente mit
b[i, j] gekennzeichnet werden. Mit i werden die Zeilen numeriert, i läuft von 1 bis n; j numeriert die
Spalten und läuft von 1 bis m. In dieser symbolischen Form läßt sich 11 darstellen-
ü = Array[6, {6, 5}] , B0.14a)
wobei für die Elemente gilt
b[i, j]= bij (i = 1, , 6 j = 1,. ., 5). B0 14b)
Die Operation IdentityMatnx[n] erzeugt die n-stufige Einheitsmatrix.
Mit der Operation DiagonalMatnx[/zste] wird eine Diagonalmatrix mit den Elementen von liste auf
der Hauptdiagonalen erzeugt.
Die Operation Dimension[/zs£e] gibt die Dimension einer Matrix, deren Struktur durch liste gegeben
ist Schließlich erhält man mit MatrixForm[/zs£e] eine matrixartige Darstellung von liste. Eine weitere
Möglichkeit zur Definition von Matrizen lautet: Es sei f(i,j) eine Funktion der ganzen Zahlen i und j
Dann kann mit Table[/, {i, n}, {j, m}] eine Matrix vom Typ (n, m) definiert werden, deren Elemente
die jeweiligen f{i,j) sind.
20.2.5.2 Operationen mit Matrizen und Vektoren
Mathematica ermöglicht die formale Manipulation von Matrizen und Vektoren Dafür stehen die in
Tabelle 20.6 aufgeführten algebraischen Operationen zur Verfügung
992 20 Computeralgebrasysteme
Tabelle 20.6 Operationen mit Matrizen
c a
a . b
Det[a]
Inverse[a]
Transpose [a]
MatrixPower[a, n]
Eigenvalues[a]
Eigenvectorsja]
die Matrix a wird mit dem Skalar c multipliziert
das Produkt der Matrizen a und b
die Determinante der Matrix a
die zu a inverse Matrix
die zu a transponierte Matrix
die n-te Potenz der Matrix a
die Eigenwerte der Matrix a
die Eigenvektoren der Matrix a
A: Es sei
In[18] :=r = Array[a, {4, 4}] Out[18] =
Mit
In[19] := Transpose[r] erhält man Out [19] =
{{a
{a
{a
{a
{{a
{a
{a
{a
[1, 1
2, 1
3, 1
4, 1
i ö
i ö
, a
, a
1, 2
2, 2
3, 2
4, 2
, a
i O
, a
, a
1. 3
2, 3
3, 3
4, 3
, a
, a
, a
, a
1, 41
2. 4
3. 4
4, 4
[!> !
1, 2
1, 3
1, 4
i a
, a
, a
, a
2, 1
2, 2
2. 3
2, 4
, a
i a
i a
j a
3, 1
3, 2
3, 3
3, 4
i a
. a
. a
. a
4, 11
4, 2
4, 31
4, 4
die zu r transponierte Matrix r.
Definiert man den allgemeinen vierdimensionalen Vektor v mit
In[20] .= v = Array[w, 4] ,
so erhält man
Out[20] = -041], u[2], rz[3], w[4]}
Nun kann das Produkt der Matrix r mit dem Vektor v gebildet werden, was bekanntlich einen neuen
Vektor liefert (s. Rechenoperationen mit Matrizen. 4 1.4, S. 262)
In[21] := r . v
Out [21] = {a
a
[1.1
2, 1
3, 1
4, 1
u
u
u
1
1
T
1
+ a
+ a
+ a
+ a
1, 2
2, 2
3, 2
4, 2
w
u
u
CM CM CM CM
+ a
+ a
+ a
+ a
1, 3
2, 3
3, 3
4, 3
u
u
u
u
CO CO CO CO
+ a
+ a
+ a
+ a
1. 4
2, 4
3. 4
4, 4
u
u
u
u
4
4
4
4
Eine Unterscheidung von Spaltenvektoren und Zeilenvektoren gibt es in Mathematica nicht Im
allgemeinen ist die Matrixmultiplikation nicht kommutativ (s. 4.1.4, S. 262). Der Ausdruck r . v entspricht
in der linearen Algebra dem Produkt einer Matrix mit einem nachfolgenden Spaltenvektor, während
v . r dem Produkt eines Zeilenvektors mit einer nachfolgenden Matrix entspricht.
¦ B: Im Abschnitt CRAMERsche Regel D 4 2 3, S 283) ist das lineare Gleichungssystem pt = b mit
der Matrix
In[22] :=p = MatrixForm[{{2, 1, 3}, {1, -2, 1}, {3, 2.
Out [22] = //MatrixForm --
2 1 3
1 -2 1
3 2 2
2}}]
und den Vektoren
In[23] = t = Array[x, 3]
In[24] := b = {9, -2, 7}
Out[23] = {z[l], x[2], x[S]}
Out [24] = {9, -2, 7}
behandelt worden. Da in diesem Fall det(p) ^ 0 ist, kann man das System gemäß t = p
Das geschieht durch
In[25] := Inverse[p] . b mit der Ausgabe des Lösungsvektors Out [25] = { —1
sofort lösen
2, 3}
20 2 Mathemaüca 993
20.2.6 Funktionen
20.2.6.1 Standardfunktionen
Mathematica kennt eine Vielzahl mathematischer Standardfunktionen, die in Tabelle 20.7 aufgelistet
sind.
Tabelle 20.7 Standardfunktionen
Exponentialfunktion
Logarithmusfunktionen
Trigonom Funktionen
Arcusfunktionen
Hyperbol Funktionen
Areafunktionen
Exp
Log
Sin
X
X
X
, Log[b,x]
, Cosfx], Tanfx], Cotfx], Secfx], Cscfx]
ArcSin[x], ArcCos[x], ArcTan[x], ArcCot[x], ArcSec[x], ArcCscjx]
Sinh[x], Cosh[x], Tanh[x], Coth[x], Sech[x], Csch[x]
ArcSmh[x], ArcCosh[x], ArcTanhjx], ArcCoth[x], ArcSech[x], ArcCsch[x]
Alle diese Funktionen sind auch für komplexe Argumente verfügbar
In jedem Fall ist auf Eindeutigkeit der Funktionen zu achten Bei reellen Funktionen muß gegebenenfalls
ein Zweig der Funktion ausgewählt werden, bei Funktionen mit komplexem Argument ist der
Hauptwert (s. 14 5, S 720) zu wählen.
20.2.6.2 Spezielle Funktionen
Mathematica kennt auch eine Anzahl spezieller Funktionen. Die Tabelle 20.8 listet einige auf
Tabelle 20.8 Spezielle Funktionen
BESSEL-Funktionen Jn(z) und Yn(z) BesselJ[n,z], BesselY[n,z]
Modifizierte BESSEL-Funktionen In(z) Kn(z) Bessell[n,z], BesselK[n,z]
LEGENDREsche Polynome Pn(x) LegendrP[n,x]
Kugelfunktionen Y™^, 0) SphericalHarmonicY[Z, ra, theta,phi]
Weitere Funktionen können mit entsprechenden Spezialpaketen zugeladen werden (s auch [17 1]).
20.2.6.3 Reine Funktionen
Mathematica bietet die Möglichkeit, sogenannte reine Funktionen zu nutzen Das sind Funktionen ohne
spezielle Namen. Man bezeichnet sie mit Function[x, rümpf ] Mit rümpf wird der Ausdruck für die
Funktion in der Variablen x bezeichnet
In[l] == Function^, xA3 + xA2] Out[l] = Function[x, xs + x2] B0 15)
und mit
In[2] := Function^, xA3 + xA2][c] wird Out[2] = c3 + c2 B0 16)
Man kann für reine Funktionen eine vereinfachte Schreibweise nutzen Sie lautet rümpf &, wobei die
zu benutzende Variable mit # gekennzeichnet wird Anstelle der vorhergehenden zwei Zeilen kann man
also schreiben
In[3] = (#A3 + #A2) & [c] Out [3] = c3 + c2 B0.17)
Es lassen sich auch reine Funktionen mehrerer Veränderlicher definieren:
Function] {xi, £2, • }? rümpf] oder in Kurzform rümpf &, wobei die Variablen in rümpf durch die
Elemente #1, #2,. bezeichnet werden Die Benutzung des Zeichens & zum Abschluß ist sehr wichtig,
da hieran erkannt wird, daß der vorstehende Ausdruck als reine Funktion zu betrachten ist.
20.2.7 Muster
Mathematica gestattet d<
nutzen.
Mit In[l]:=f[x_] := Polynom(x) B0.18)
Mathematica gestattet dem Nutzer, eigene Funktionen zu definieren und sie in seinen Berechnungen zu
nutzen.
994 20 Computeralgebrasysteme
mit Polynom(x) als beliebigem Polynom der Variablen x , wird eine spezielle Funktion durch den
Anwender definiert
In der Definition der Funktion f steht nicht x , sondern x_ (gesprochen x -blank) mit _ als dein
Unterstrich Das Symbol x_ steht für ,,Irgendetwas mit dem Namen x". Von hier an wird Mathematica
jedesmal, wenn ein Ausdruck f [Irgendetwas] erscheint, dies durch seine obige Definition ersetzen. Diese
Art der Definition wird Muster genannt Mit dem Symbol blank ist das Grundelement eines Musters
bezeichnet, y_ steht für ein Muster namens y Es ist auch möglich, in der entsprechenden Definition
nur ein _ zu verwenden, also etwa yA_ Dieses Muster steht für beliebige Potenzen von y mit
irgendwelchen Exponenten, also für eine ganze Klasse von Ausdrücken mit der gleichen Struktur. Entscheidend
an einem Muster ist, daß es eine Struktur festlegt Wenn Mathematica einen Audruck bezüglich eines
Musters prüft, vergleicht es die Struktur der Elemente des Ausdrucks mit der Struktur des Musters.
Mathematica prüft nicht auf mathematische Gleichheit1 Dies wird folgendermaßen deutlich- Sei / die
Liste
IN[2] .= / = { 1, y, yAa, yASqrt[x}, {f [yA{rlq% 2Ay } } B0 19)
Setzt man
In[3l .= I /. yA_ -> ja B0 20)
so antwortet Mathematica mit der Liste
Out[3] = { 1. j/, ja, ja, {f[ja], 2*> }} B0 21)
Mathematica hat die Elemente der Liste in bezug auf ihre Strukturidentität mit dem Muster yA_
untersucht und in allen Fällen, in denen Übereinstimmung festgestellt wurde, das jeweilige Element durch
ja ersetzt Die Elemente 1 und y wurden nicht ersetzt, da sie nicht von der vorgegebenen Struktur sind,
obwohl y° = 1, y1 = y gilt.
Bemerkung: Der Mustervergleich erfolgt immer über die FullForm Prüft man
InI4J = b/y /. yA_ -> ja so wird Outl^I = b ja B0 22)
Das ist eine Folge dessen, daß die FullForm von b/y Timesß, Power[y, —1] ] lautet und beim
Strukturvergleich das zweite Argument von Times als zur Struktur des Musters passend erkannt wird
Mit der Definition
In [51 =f[x_] = xA3 B0 23a)
ersetzt Mathematica entsprechend dem vorgegebenen Muster
In[6] = f[r] durch Out [6] = r3 usw B0.23b)
In[7]:=f[a] + f[x] ergibt Out [7]= a3 + x3 B0 23c)
Hätte man definiert
In[8]-=f[x] =xA3, so wäre bei gleicher Eingabe In[7l.= ... B0 23d)
die Ausgabe
Out [71 = f[a] + x3 B0 23e)
entstanden In diesem Fall spricht also nur die „identische" Eingabe auf die Definition an.
20.2.8 Funktionaloperationen
Bekanntlich operieren Funktionen auf Zahlen oder algebraischen Ausdrücken. Der symbolische
Charakter von Mathematica gestattet jedoch ebenso Operationen auf Funktionen, da die Namen von
Funktionen wie Ausdrücke behandelt und damit auch wie Ausdrücke manipuliert werden können
1. Inverse Funktion Die Bestimmung der inversen Funktion zu einer gegebenen Funktion f(x)
erreicht man mit der Funktionaloperation InverseFunction.
¦ A: In[II •= InverseFunction[./] [x] Out[lI = f~l [x]
¦ B: In[2l = InverseFunction[Exp] Out[21 — Log
20.2 Mathematica 995
2. Differentiation Mathematica nutzt die Möglichkeit, die Differentiation von Funktionen als
Abbildung im Raum der Funktionen aufzufassen. Der Operator der Differentiation lautet in Mathematica
Derivative[l][/] oder abgekürzt f'. Ist die Funktion f definiert, so erhält man mit f' ihre Ableitung.
¦ In[3] =f[x_] •= Sin[x]Cos[x]
Mit
InUJ = f wird OutUl = Cos[#l]2 - Sin[#l]2&,
also f' als reine Funktion dargestellt und entsprechend
In[5] =%[x] Out [5] = Cos[x}2 - Sin[x]2
3. Nest Die Angabe Nest[/, x. n] bedeutet, daß die Funktion f n-mal verschachtelt auf x
anzuwenden ist Das Resultat lautet f [f [ f[x\] ].
4. NestList Durch NestList[/, x, n] wird eine Liste {x, f[x], f[f[#]], ...} erzeugt, wobei bis
einschließlich zur Stufe n verschachtelt wird
5. FixedPoint Durch FixedPoint[/, x] wird die Funktion wiederholt angewendet, bis sich das
Ergebnis nicht mehr ändert
6. FixedPointList Die Funktionaloperation FixedPointListf/, x] erzeugt die fortlaufende Liste
mit den Anwendungsergebnissen von f , bis sich der Wert nicht mehr ändert.
¦ Zur Demonstration dieser Art von Funktionaloperationen wird Nest auf die Näherungsformel (s.
19 1.1 2, S 912) von Newton für Wurzeln der Gleichung f(x) = 0 angewendet. Es sei eine Wurzel der
Gleichung x cos x = sin x in der Nähe von 37r/2 zu finden:
In[6] .= f[x_] .= x - Tan[.x] In[7] = f [x] 0ut[7] = l - Sec[x]2
In[8] = g[x_] - x - ±\x\l±'[x\ In[9] := NestList[#, 4 6, 4] // N
Out [9] = {4.6, 4 54573, 4.50615, 4.49417, 4.49341}
In [10] = FixedPoint[#, 4 6] Out [10] = 4 49341.
Man hätte auch eine größere Präzision des Ergebnisses verlangen können
7. Apply Es sei / eine Funktion, die im Zusammenhang mit einer Liste {a, b, c, ...} erklärt ist
Dann ergibt
Apply[/, {a, 6, c, . .}] /[a, 6, c,. .] B0.24)
¦ In [1] •— Apply [Plus, {u, v, w}] Out[l] = u+ v + w
In[2] -= Apply[List. a + 6+ c] Out [2] = {a, 6, c}
Man erkennt hier gut das allgemeine Schema, wie Mathematica mit Ausdrücken von Ausdrucken
umgeht Dazu schreibt man die letzte Operation in FullForm.
In[3] = Apply[List, Plus[a, b, c]} Out[3] = List[a, b, c]
Die Funktionaloperation Apply ersetzt offensichtlich den Head des zu behandelnden Ausdruckes Plus
durch den geforderten List
8. Map Die Operation Map führt, bei entsprechend definierter Funktion /, zu dem Ergebnis
Map[/, {o, 6, c, }] {/[a], /[&], /[c],...} B0 25)
Map erstellt eine neue Liste, deren Elemente durch die Anwendung der Funktion / auf die Elemente der
Ausgangsliste entstehen
¦ Es sei / die Funktion f(x) = x2 Sie wird durch
In [4] =f[x_] = xA2
definiert Mit diesem / erhält man
In[5] .= Map[/, {u, >ik w}\ Out[5] = {n2, v2, w2}
Auch Map kann im oben genannten Sinn auf allgemeinere Ausdrücke angewendet werden-
In[6] •= Map[/, Plus[a, b, c]] Out [6] = a2 + b2 + c2
20.2.9 Programmierung
Mathematica nutzt für die Programmierung die bekannten Schleifen- und Kontrollstrukturen IF, FOR,
WHILE, DO Hierzu gehören u.a die beiden Befehle
996 20 Computeralgebrasysteme
Vo[ausdr, {i,il,i2,di}] B0 26a) und While[test, ausdr] B0 26b)
Der erste Befehl bewirkt die Evaluierung des Ausdruckes ausdr, wobei i den Wertebereich von ü bis
%2 in Schritten di durchläuft Läßt man di weg, so werden Einer-Schritte verwendet. Fehlt noch ü so
wird bei 1 begonnen.
Der zweite Befehl evaluiert den Ausdruck, solange test den Wert True besitzt.
¦ Zur Berechnung eines Näherungswertes von e2 werde die Reihenentwicklung der
Exponentialfunktion benutzt
In[l] •= sum = 1.0;
Do[sum = sum + BAi/i\), {i, 1,10}]; , .
sum ^ '
Out LH = 7.38899
Die Do-Schleife evaluiert entsprechend einer vorgegebenen Anzahl, die While-Schleife dagegen so lange,
bis die vorgebene Bedingung ungültig wird
Mathematica bietet insbesondere für die Programmierung die Möglichkeit, Variable lokal zu definieren
und zu nutzen Das geschieht mit der Anweisung
Module[{U, *2,...}, proced] B0 28)
Die in der Liste eingeschlossenen Variablen oder Konstanten sind bezüglich ihrer Nutzung im Modul
lokal, die ihnen zugewiesenen Werte sind außerhalb des Moduls nicht bekannt.
¦ A: Es ist eine Prozedur (Funktion) zu definieren, die die Summe der Quadratwurzeln von 1 bis n
berechnet.
In[l] .= sumq[nj\ .=
Module[{sura = 1.}, , ,
Vo[sum = sum + N[Sqrt[i]], {i, 2, n}], lzu zyj
sum ];
Der Aufruf sumq[30] liefert dann z.B. 112.083
Eine besondere Stärke der Programmiermöglichkeiten in Mathematica ist die Nutzung funktionaler
Methoden der Programmierung, die mit den Operationen Nest, NestWhile, Apply, Map, ReplaceList
und weiteren möglich werden.
¦ B: Beispiel A läßt sich funktional für den Fall, daß eine Genauigkeit auf 10 Ziffern gefordert ist,
folgendermaßen schreiben:
sumq[n_] := N[Apply[Plus, Table[Sqrt[i], {i, 1, n}]], 10], sumq[S0] liefert dann 112.0828452.
Für Einzelheiten muß auf [20 6] verwiesen werden
20.2.10 Ergänzungen zur Syntax, Informationen, Meldungen
20.2.10.1 Kontexte, Attribute
Mathematica muß mit einer Vielzahl von Symbolen umgehen, darüber hinaus lassen sich weitere
Programmoduln je nach Bedarf hinzuladen. Um Mehrdeutigkeiten zu vermeiden, bestehen die Namen von
Symbolen in Mathematica aus zwei Teilen, dem Kontext und dem Kurznamen.
Als Kurznamen bezeichnet man die Benennungen (s. 20.2, S. 986) von Heads und Elementen der
Ausdrücke. Darüber hinaus benötigt Mathematica für die Benennung von Symbolen Angaben über die
Zugehörigkeit des Symbols zum jeweiligen Programmteil Dies wird durch die Angabe des Kontext
gewährleistet, der den entsprechenden Programmteil benennt Der vollständige Name eines Symbols
besteht daher aus dem Kontext und dem Kurznamen, die durch ein ' verbunden werden
Beim Start von Mathematica sind immer zwei Kontexte präsent System'sowie Global'. Über die
Verfügbarkeit weiterer Programmoduln kann man sich mit dem Befehl Contexts[ ] informieren lassen
Alle in Mathematica eingebauten Funktionen laufen unter dem Kontext System', während die vom
Nutzer definierten unter dem Kontext Global' abgelegt werden.
20.2 Mathematica 997
Ist ein gegebener Kontext aktuell, also der entsprechende Programmteil geladen, so können die Symbole
mit ihrem Kurznamen angesprochen werden
Beim Einlesen eines weiteren Mathematica-Programmoduls mit << NamePackage werden die
dazugehörigen Kontexte geöffnet und der schon vorhandenen Liste vorn hinzugefügt. Es kann vorkommen,
daß vor dem Zuladen des neuen Moduls ein Symbol mit einem Namen eingeführt wurde, der jetzt in
dem neu eröffneten Kontext unter einer anderen Definition ebenfalls vorhanden ist In diesem Falle
informiert Mathematica in einer Meldung darüber Dann ist entweder der vorher definierte Name mit
Remove[Global'name] zu löschen, oder aber man verwendet für das zugeladene Symbol den
vollständigen Namen
Neben den Eigenschaften, die Symbole per Definition besitzen und die in der Regel spezieller Natur
sind, kann man ihnen allgemeinere Eigenschaften, nämlich Attribute wie Orderless, d h.
ungeordnet, kommutativ. Protected. d h , Werte können nicht geändert werden, oder Locked, d h, Attribute
können nicht geändert werden u a. zuordnen. Auskunft über die für das jeweilige Objekt zutreffenden
Attribute erhält man mit Attributes!/]
Eigene Symbole können mit Protect[eigenesSymbol] geschützt werden, so daß keine anderen
Definitionen für diese Symbol eingeführt werden können. Mit Unprotect kann das Attribut wieder entfernt
werden
20.2.10.2 Informationen
Informationen über eingebaute Objekte und deren Haupteigenschaften kann man mit folgenden
Befehlen ausgeben lassen
7'symbol Information über das Objekt mit dem Namen symbol ausgeben
77symbol Ausführlichere Information über das Objekt ausgeben
7B* Informationen über alle Mathematica-Objekte, deren Namen mit B beginnen, ausgeben
Es ist auch möglich, über spezielle Operatoren Informationen zu erhalten, z B mit ? = über den
Zuweisungsoperator
20.2.10.3 Meldungen
Mathematica verfügt über einen Meldeformalismus, der für verschiedenen Zwecke eingesetzt werden
kann Die Meldungen werden während der Berechnungen erzeugt Ihre Ausgabe erfolgt in einer
einheitlichen Form symbol tag, so daß die Möglichkeit besteht, sich im weiteren auf diese Meldung zu
beziehen. Zur Illustration werden folgende Fälle betrachtet-
¦ A: In[l] =f[x_] = l/x, In[2] .= f[0]
Power: :mfy:Infinite expression - encountered. Out[2] = Complexlnf lnity
¦ B: In[3] = Log[3, 16, 25]
Log: : argt: Log called with 3 arguments; 1 or 2 arguments are expected.
Out [3] = Log[3, 16, 25]
¦ C: In[4] = Multply[.T, xAn]
General: :spelll: Possible spelling Error: new symbol name , ,Multiply'' is similar
to existmg symbol , jMultiply''. Out [4] = Multply[x. xAn]
Im Beispiel A warnt Mathematica daß im Verlaufe der Abarbeitung ein Ausdruck mit dem Wert 00
aufgetaucht ist. Die Berechnung selbst kann durchgeführt werden. Im Beispiel B ist der Aufruf des
Logarithmus mit drei Argumenten erfolgt, was entsprechend der Definition nicht zulässig ist
Mathematica reagiert nicht Im Beispiel C stößt Mathematica auf einen Symbolnamen, der neu ist, jedoch
einem bekannten ähnelt Mathematica weist daraufhin und reagiert nicht
Der Nutzer kann mit Of f [s : : tag] eine Meldung abschalten. In diesem Falle wird sie nicht ausgegeben
Mit 0n läßt sich die Meldung wieder zuschalten
Mit Messages[.s?/ra6o/] können alle Meldungen angezeigt werden, die sich auf das Symbol mit dem
Namen symbol beziehen
998 20 Computeralgebrasysteme
20.3 Maple
Das Computeralgebrasystem Maple wurde an der Waterloo-Universität (Ontario Canada) entwickelt.
Es wird in der Version Maple 9 von Waterloo Maple Software vertrieben. Eine gute Einführung findet
man neben den Handbüchern in [20.6].
20.3.1 Hauptstrukturelemente
20.3.1.1 Typen und Objekte
In Maple haben alle Objekte (Daten, Ausdrücke usw ) einen Typ, der ihre Zugehörigkeit zu einer
Objektklasse bestimmt Ein Objekt kann mehreren Typen zugeordnet sein, so z B , wenn eine bestimmte
Objektklasse eine durch zusätzliche Relationen definierte Unterklasse enthält. Als Beispiel sei erwähnt, daß
die Zahl 6 vom Typ integer und vom Typ posmt ist Mit Hilfe der Typisierung und damit auch einer
Hierarchisierung aller Objekte wird die widerspruchsfreie Formulierung und Abarbeitung bestimmter
Klassen von mathematischen Aufgaben garantiert.
Der Nutzer kann jederzeit den Basistyp eines Objektes mit der Anfrage
> whattype(ofy'), B0 30)
erfragen Nach Abschluß der Eingabe ist unbedingt das Semikolon zu setzen Die Rückgabe ist der
Basistyp des Objektes Maple kennt folgende, in Tabelle 20.9 dargestellten Basistypen:
Tabelle 20 9 Basistypen in Maple
* v
v <= v
exprseq
integer
set
Matrix
v + v
v <> v
float
list
string
Vector [column]
v = v
fraction
vnotv
symbol
Vector [row]
V ~ V
function
or
table
- .. -
Nandv
hfarray
procedure
uneval
v < v
array
indexed
series
Array
Die weitergehende Typstruktur kann mit Abfragen der Art type(obj,typname), deren Werte die Boo-
LEschen Funktionen true oder f alse sind, ermittelt werden. In der Tabelle 20.10 ist eine kleine
Auswahl der Maple bekannten Typnamen dargestellt
Tabelle 20.10 Typenübersicht
*
=
algn
colourabl
expanded
intersect
minus
numeric
posint
radfunext
relation
symmfunc
vector
**
A
algnumext
connected
facint
laurent
monomial
odd
positive
radical
scalar
taylor
+
PLOT
and
constant
float
linear
name
oddfunc
primeint
radnum
series
tree
PLOT3D
anything
cubic
fraction
list
negative
Operator
procedure
radnumext
set
trig
RootOf
array
digraph
function
listlist
negint
or
quadratic
ränge
sqrt
type
<
algebraic
biconnect
equation
graph
logical
nonneg
planar
quartic
rational
Square
undigraph
<
algext
bipartite
even
indexed
mathfunc
nonnegint
point
radext
ratpoly
string
uneval
<>
algfun
boolean
evenfunc
integer
matrix
not
polynom
radfun
realcons
subgraph
union
Auch die Typprüffunktion selbst besitzt einen Typ, nämlich type Grob gesprochen, charakterisieren
die Basistypen Klassen von grundlegenden Datenstrukturen (Zahlenarten, strukturierte Datentypen)
und Basisoperatoren, während die übrigen tiefergehenden Klassifizierungen der Basistypen bzw
Sachverhalte algebraischer Natur widerspiegeln bzw. mit bestimmten Prozeduren von Maple verknüpft sind
Wichtige Objekte in Maple sind Ausdrücke. Diese umfassen Konstanten (Zahlen), Operatoren,
zusammengesetzte Objekte aus Variablen und Operatoren, Datenstrukturen, Funktionsaufrufe usw Auch
20.3 Maple 999
Prozeduren und Module können (zumindest im technischen Sinne) als Ausdrucke aufgefaßt werden
Namen sind in Maple Aneinanderreihungen von Charakteren (einer oder mehrere), welche eindeutig
ein Kommando, eine Variable oder andere Objekte identifizieren
Zu unterscheiden sind dabei indizierte Namen und Symbole Ein indizierter Name hat die Form
name [index]. etwa > A[l, 2] —> ^[1,2]
Symbole sind nichtindizierte Namen Indizierten Namen können ebenso wie Symbolen Werte
zugewiesen werden.
20.3.1.2 Eingaben und Ausgaben
Im System Maple haben Eingaben oft die Form
obj^obj^objj, . ,objn), B031)
Auch hier ist der erste Teil des Terms, d h. der vor der öffnenden Klammer, in der Regel ein Operator,
eine Anweisung oder eine Funktion, die auf die in der Klammer stehenden Teile wirken. In bestimmten
Fällen sind als Argumente spezielle Optionen zulässig, die spezifische Anwendungen des Operators oder
der Funktion steuern Wichtig ist das abschließende Semikolon, es teilt Maple mit, daß die Eingabe
beendet ist Wird die Eingabe mit einem . beendet, so folgt daraus für Maple, daß die Eingabe zwar
abzuarbeiten, das Ergebnis jedoch nicht darzustellen ist
Symbole, d h Namen in Maple, können aus Buchstaben, Zahlen und dem Unterstrich(_) bestehen An
erster Stelle darf keine Zahl stehen. Zwischen Groß- und Kleinbuchstaben wird immer unterschieden
Der Unterstrich wird von Maple für interne Symbole verwendet, er sollte deshalb in selbstdefinierten
Symbolen vermieden werden
Zeichenketten, d h Objekte vom Typ string, sind in Anführungszeichen " gefaßt einzugeben.
> S = "Dies ist ein String", B0 32)
S = " Dies ist ein String"
Die Typprüfung mit whattype ergibt string.
Solange einem Symbol kein Wert zugewiesen ist, ist das Symbol vom Typ string bzw. name, d h , die
Typprüfung
> type(symb, name), bzw. type(sym,b, string), B0 33)
ergibt true.
Ist dem Nutzer nicht bekannt, ob ein Symbol in Maple schon mit einem Wert belegt ist, so läßt sich das
mit der Eingabe ?name erfragen Antwortet Maple mit dem Hinweis, daß es diesen Namen nicht kennt,
so ist das Symbol frei verfügbar.
Nachdem dem Symbol ein Wert mit dem Zuweisungsoperator = zugewiesen wurde, nimmt das Symbol
automatisch den Typ des zugewiesenen Wertes an
¦ Es sei xl ein Symbol, das hier als Variable dienen soll Gibt man ein
> whattype(.xl); so antwortet Maple mit string
Wird nunmehr eine Wertzuweisung etwa mit einer ganzen Zahl vorgenommen:
> xl = 5. —? xl '= 5
und danach > whattype(.xl), eingegeben, so lautet die Antwort jetzt integer
Maple kennt je nach Version eine beträchtliche Anzahl von Anweisungen, Funktionen und Operatoren.
Nicht alle sind beim Start des Systems sofort aufrufbar. Eine Vielzahl spezieller Funktionen und
Operationen ist in Fachgebietspaketen in der Maple-Bibliothek vorhanden Es gibt z B. Pakete zur linearen
Algebra, zur Statistik usw. Diese Pakete müssen bei Bedarf mit dem Befehl > uith(paketname);
zugeladen werden (s. Ergänzungen zur Syntax, 20.3.9.1, S. 1008) Erst danach stehen ihre Operationen
und Funktionen dem Nutzer in der üblichen Art zur Verfügung
1000 20. Computeralgebrasysteme
20.3.2 Zahlenarten in Maple
20.3.2.1 Grundtypen von Zahlen in Maple
Maple kennt die in Tabelle 20.11 aufgeführten Grundtypen von Zahlen.
Tabelle 20 11 Zahlenarten in Maple
Zahlenart
Ganze Zahl
Bruchzahlen
Gleitpunktzahlen
Typ
integer
fraction
float
Darstellungsform
nnnnnn Kette beliebig vieler Ziffern
ppp/qqq Bruch zweier ganzer Zahlen
nn.mmm oder in wissenschaftlicher Notation n mm * 10A(pp)
Mit Hilfe der Typprüfungsfunktionen können weitere Eigenschaften von Zahlen erfragt werden*
1. Rationale Zahlen (Typ rational): Rationale Zahlen sind in Maple die ganzen Zahlen und die
Brüche, wobei ein Bruch, der zur ganzen Zahl vereinfacht werden kann, von Maple nicht als Bruch
(Typ fraction) erkannt wird
2. Gleitpunktzahlen (Typ float): Setzt man hinter eine ganze Zahl den Dezimalpunkt (nun ), so
wird sie automatisch als Gleitpunktzahl interpretiert.
3. Gemeinsamkeiten: Alle drei Zahlenarten haben die Typen realcons, numeric und constant
Die letzten beiden Typen treffen auch für komplexe Zahlen zu
4. Komplexe Zahlen: Komplexe Zahlen werden mit der imaginären Einheit / wie üblich gebildet
Die Zahl / repräsentiert, wie in der Mathematik üblich, die Quadratwurzel aus —1 Sie ist vom Typ
complex Ihre Definition lautet intern
/ =Complex(l) B0.34)
Für die Darstellung komplexer Zahlen existiert intern der Complex-Konstruktor
> Complex(:r,2/) B0.35)
liefert, wenn x und y Zahlen sind, x + yl.
20.3.2.2 Spezielle Zahlen
Maple kennt eine Reihe spezieller Zahlen der Mathematik wie z.B. Pi, E, gamma
20.3.2.3 Darstellung und Konvertierung von Zahlen
1. Gleitpunktzahlen
Der Befehl evalf (zahl); wandelt rationale Zahlen oder zunächst symbolisch dargestellte Zahlen und
Ergebnisse von Berechnungen in Gleitpunktzahlen mit der voreingestellten Präzision um, d.h in der
Regel 10 Stellen.
¦ > eval(£); 2.718281828
Die Präzision wird in Maple durch die Umgebungsvariable Digits gesteuert. Ist die Voreinstellung für
die konkrete Aufgabe nicht geeignet, so läßt sich mit
> Digits := m; m gewünschte Ziffernanzahl B0 36)
eine Änderung herbeiführen Diese gilt bis zur nächsten Neufestlegung.
2. Zahlen verschiedener Basis
Die Umwandlung von Zahlen im Zehnersystem in Zahlen einer anderen Basis erfolgt mit dem Befehl
convert Dieser Befehl ist in seiner Grundform
convert(ausdr, form, opt) B0 37)
von besonderer Bedeutung, da er Ausdrücke von einer Form in eine andere umwandelt, sofern dies
sinnvoll ist. Das Argument form kann einer der in Tabelle 20.12 aufgezählten Typen sein
20 3 Maple 1001
Tabelle 20.12 Einige ausgewählte Argumente der Funktion convert
v -hv
degrees
factorial
lessthan
multiset
rational
vector
* v
diff
float
lessequal
name
ratpoly
D
double
fraction
list
octal
RootOf
array
eqnlist
GAMMA
listlist
parfrac
series
base
equality
hex
In
polar
set
bmary
exp
horner
matrix
polynom
sincos
confrac
expln
hostfile
metric
radians
sqrfree
decimal
expsmcos
hypergeom
mod2
radical
tan
Die Tabelle zeigt, daß füi die Umwandlung von Zahlen eine Vielzahl von Formfunktionen zur Verfügung
stehen
¦ Beispiele für Formfunktionen:
> convertG3. binary), —> 1001001 > convertG3, octal), —> 111
> convertG9,hex); —? 4F > convert(l.45, rational); —? —
> convertA1001101,decimal,binary),—> 205 > convert(lFFA2\ decimal,hex);—> 65442
Im letzten der 6 Beispiele ist die Hexadezimalzahl in Linksakzenten einzusehließen.
Mit dem Befehl convert (list, base, basl, bas2) erfolgt die Umwandlung einer Zahl zur Basis basl, die
in Listenform einzugeben ist, in eine Zahl zur Basis bas2, die in Listenform ausgegeben wird Eingabe
in Listenform heißt, daß die Zahl in der Form z — z\ * (bas)° + z2* (basI + z3 * (basK + zu schreiben
ist und die Liste [ , 23, z2, Z\] einzugeben ist
I Die Oktalzahl 153 soll in eine Hexadezimalzahl umgewandelt werden
> convert([1.5,3],base,8,16), —> [9,14]
Die Ausgabe erfolgt als Liste
20.3.3 Wichtige Operatoren in Maple
Wichtige Operatoren sind+, —, *, /, A als die bekannten arithmetischen Operationen, =, <, <=
, >, >=, <> als relationale Operatoren und .= als Zuweisungsoperator.
Von spezieller Bedeutung ist der cat Operator, der abgekürzt in Infixform auch als 11 geschrieben wird
Mit diesem Operator können Symbole (Namen) und/oder Strings miteinander verknüpft werden Es
gilt-
> cat(va\6) —> va6v > whattype(%) —? string B0 38a)
> cat(a, vfrv) —> ab > whattype(%) —> symbol B0.38b)
Die Verknüpfung liefert also ein Resultat, welches den Typ des ersten Arguments übernimmt
Entsprechendes gilt für die Infixform || der Operand links vom Operator bestimmt den Typ des Resultats
vav||6, —> va6v a\\" b\ —> ab B0 39)
Mit dem Verknüpfungsoperator lassen sich Folgen von Symbolen erzeugen
¦ > i —A,2,3,4,5) eine Folge ganzer Zahlen
> y\\i, Verknüpfung der Folge mit einer Variablen y —> yl,y2,y3,y4,y5
oder einfacher
> 2/||(l 5); mit. als Bereichsoperator
20.3.4 Algebraische Ausdrücke
Mit Hilfe der arithmetischen Operatoren lassen sich aus Variablen (Symbolen) algebraische Ausdrücke
konstruieren Sie alle haben den Typ algebraic, zu welchem die „Untertypcnu integer, fraction,
float, string, indexed, series, function, uneval sowie die arithmetischen Operatortypen und
der Punktoperatortyp gehören
1002 20. Computeralgebrasysteme
Man erkennt, daß eine einzelne Variable (ein Symbol) auch vom Typ algebraic ist Die
Basiszahlentypen gehören ebenfalls dazu, denn zu ihnen lassen sich algebraische Ausdrücke in der Regel mit dem
Befehl subs auswerten
¦ > p ¦= XA3 - 4 * xA2 + 3 * x + 5 .
Hier wird ein Ausdruck, in diesem Fall ein Polynom dritten Grades in x, definiert. Mit dem
Substitutionsoperator subs kann man der Variablen x im Polynom (Ausdruck) Werte (Zahlen) zuweisen und
die Auswertung veranlassen.
347
> subs(x = 3,/?); —? 5 > subs(x = 3/4, p); —> ——
> subs(x = 1.54,p), —? 3.785864
Der Operator op dient zur Extraktion von Unterausdrucken aus einem Ausdruck Mit
op(p); B0 40)
erhält man die Folge (s. 20 3 5, S. 1002) der Teilausdrücke auf der ersten Ebene, also
x3,-4x2,3x,5 B0 41)
In der Form op(i,p), wird der i-te Term zurückgegeben, also liefert z.B opB,p) den Term — Ax2, mit
op@,p) wird der Basistyp von p, nämlich + zurückgegeben. Die Anzahl der Terme (Operanden) des
Ausdrucks ermittelt man mit nops(p),
20.3.5 Folgen und Listen
Maple versteht unter einer (Ausdruck-)Folge die Aneinanderreihung von Ausdrücken, die durch
Kommas getrennt sind. Die Reihenfolge der Elemente ist signifikant. Folgen mit gleichen Elementen in
unterschiedlicher Reihenfolge sind verschiedene Objekte Die Folge ist ein Basistyp von Maple exprseq
¦ > /l -=a;A3,-4*xA2,3*:z,5- B0.42a)
definiert eine Folge, denn
> type(/l, exprseq), liefert true B0 42b)
Mit dem Befehl
> seq(/(i),z = l..n); wird die Folge /(l),/B),. .,/(n) B0 43)
erzeugt.
¦ Mit > seq(z2, i = 1 .5); erhält man 1,4,9,16,25 .
Die Bereichsfunktion ränge definiert Laufbereiche von ganzzahligen Variablen, die in der Form i =
n..m dargestellt werden, und bewirkt, daß die Indexvariable i nacheinander die Werte n,n + l,n +
2,..., m annimmt. Der Typ dieser Struktur lautet
Eine äquivalente Form der Erzeugung von Folgen bietet die vereinfachte Schreibweise
> f(i)$i = n..m, B0 44)
die ebenfalls f(n),f(n + 1), . ,/(m) erzeugt Entsprechend liefert $ra..ra; die Folge n,n + 1, . ,m
und x$i; die Folge mit i Gliedern x.
¦ Indizierte Variablen (Namen) erzeugt man durch
> a[i]$i i = 1..4;—> ai, 02, «23,A4
Folgen können durch Anhängen weiterer Glieder ergänzt werden-
folge,a,b, .. B0 45)
Klammert man eine Folge / in eckige Klammern, so entsteht eine Liste, die vom Typ list ist
¦ > / := [i$i = 1..6)]; —? / := [1, 2,3,4,5,6]
20 3 Maple 1003
Mit dem schon bekannten Operator op erhält man über op(/is£e), die der Liste zugrundeliegende Folge
zurück
Um Listen zu erweitern, sind sie zunächst mit op(liste) in Folgen umzuwandeln, diese dann
entsprechend zu erweitern und mit eckigen Klammern erneut in Listen umzuwandeln.
Listen können als Elemente wiederum Listen enthalten, ihr Typ ist listlist. Strukturen dieser Art
spielen bei der Konstruktion von Matrizen eine Rolle
Der Zugriff auf Elemente einer Liste erfolgt mit dem Befehl op(n, liste), Dieser liefert das rc-te Element
der Liste Einfacher ist es, wenn der Liste ein Name gegeben wurde, etwa L, und dann L[n], aufgerufen
wird. Bei einer zweifachen Liste findet man die Elemente auf der unteren Ebene mit op(ra, op(n, L));
oder mit dem gleichbedeutenden Aufruf L[n][m],.
Es bereitet keine Schwierigkeit, Listen mit höherem Verschachtelungsgrad aufzubauen.
¦ Erzeugung einer einfachen Liste
> Ll.= [a,6,c,d,eJ], —? LI = [a, 6,c,d, e,/]
Extraktion des 4 Elements dieser Liste.
> opD,L); oder > L[A}\ —> d
Erzeugung einer zweifach verschachtelten Liste
> L2 = [[o,6,c],[d,e,/]]
(Ausgabe unterdrückt') Der Zugriff auf das 3 Element der 2 Unterliste
> opC,opB,L)); oder L[2][3]; —> f
Erzeugung einer dreifach verschachtelten Liste:
> L3.= [[[a,6,c],[dIc,/]],[[a,t]>[tt,i;]],[[a:>y]J[ii;^]]] •
20.3.6 Tabellen- und feldartige Strukturen, Vektoren und
Matrizen
20.3.6.1 Tabellen- und feldartige Strukturen
Maple besitzt zur Konstruktion tabellen- und feldartiger Strukturen die Befehle table und Array Mit
table(z/c, list) B0.46)
erzeugt Maple eine tabellenartige Struktur, in der ifc eine Indexfunktion ist (s 20.3.6.3, S. 1005) und
liste eine Liste von Ausdrücken, die Gleichungen als Elemente enthält In diesem Fall benutzt Maple
die linken Seiten der Gleichungen als Indices der Tabelleneinträge und die rechten Seiten als die
jeweiligen Tabelleneinträge Enthält die Liste nur Elemente, so nimmt Maple die natürliche Indizierung der
Tabelleneinträge, beginnend mit der 1, an.
¦ > T •= table([a, b, c]); —? := table([l = a, 2 = b, 3 = c])
> R-=täble([a = x,b = y,c = z])i —> R = table([a = x,b = y, c = z\)
Ein erneuter Aufruf von T oder R liefert nur die Symbole T oder R zurück Erst mit op(T); oder auch
eval(T), gibt Maple die Tabelle zurück, beim Aufruf op(op(T)), erhält man die Komponenten der
Tabelle in der Form einer Liste der Gleichungen für die Tabellenwerte Hieran erkennt man, daß das
Evaluierungsprinzip für diese Strukturen von der Regel abweicht. In der Regel evaluiert Maple einen
Ausdruck bis zum Ende, d h bis keine weiteren Umformungen mehr möglich sind. Im gegebenen Fall
wird die Definition zwar zur Kenntnis genommen, jedoch die weitere Auswertung unterdrückt, bis sie
mit der speziellen Anweisung op ausdrücklich gefordert wird
Eine Tabelle kann implizit durch Wertezuweisung an einen indizierten Namen erzeugt werden:
Ta.b(index)
¦ Tab[a] = x Tab[6] = y . Tab[c] .= z :
> eval(Tafr); —? table([a = x,b = y,c = z\)
1004 20 Computeralgebrasysteme
Mit dem Befehl > tableQ, erzeugt man eine leere Tabelle table(
erhält man durch > T'{index)
. Zugriff auf die Werte einer Tabelle
> Tab l
[1],[2],[3] > indices(JR); liefert
Die Indizes von T erhält man als Folge mit dem Befehl mdices(T);, eine Folge der Glieder mit entries
(n
¦ Für die obigen Beispiele gilt
> mdices(T); liefert
und entsprechend z B
> entnes(i?), liefert [#], [y], [<z]
Mit dem Befehl
array (z/c, 6er, list); B0.47)
lassen sich spezielle Tabellen erzeugen, die mehrdimensional sein können und ganzzahlige Laufbereiche
für jede Dimension besitzen
ifc ist wiederum eine Indexfunktion (s 20.3 6.3, S 1005), her bestimmt die Dimension des Arrays
(Anzahl der angegebenen Bereiche), list kann eine Liste von Gleichungen, eine Liste von Werten oder
eine verschachtelte Liste von Listen sein Wird her nicht angegeben, so wird die Dimension aus den
Einträgen von list entnommen.
20.3.6.2 Eindimensionale Arrays
Mit array(l. 5), erzeugt man z B ein eindimensionales Array der Länge 5 ohne explizite Elemente, mit
v := array(l .5, [a(l),aB),aC),aD),aE)]), ebenfalls, jedoch mit den angegebenen Komponenten
Solche eindimensionalen Arrays interpretiert Maple auch als Vektoren. Mit der Typprüfungsfunktion
type(v, vector); erhält man true. Fragt man jedoch whattype(i>);, so wird daraus symbol Das hängt
mit der schon erwähnten Spezialform der Evaluierung zusammen.
20.3.6.3 Zweidimensionale Arrays
Entsprechend definiert man zweidimensionale Arrays, etwa mit
A = array(l.ra,l n, [[a(l, 1),... ,a(l,n)], . ,[a(ra,l), . ,a(ra,rc)]]); B0.48)
Die so definierte Struktur verstellt Maple als Matrix der Dimension n x m. Die Werte von a(i, j) sind
die entsprechenden Matrixelemente.
¦ > X :=arrayA.3, [xl,a;2,x3]),
X '= [xl x2 x3]
ergibt einen Vektor Eine Matrix bekommt man z B mit
> A:=array(l .3,1..4,[]),
A = array(l .3,1..4,[])
iese wird mit
> eval(A);
zu
"?[1,1] 7[1,2] ?[1,31 ?[1,4]"
?[2,1] ?[2,2] ?[2,3] ?[2,4]
.?[3,1] ?[3,2] ?[3,3] ?[3,4]_
Maple hat hier die nicht festgelegten Werte des Feldes (der Matrix) durch die Einträge Tfjj] eharakteri
siert. Weist man jetzt allen oder einigen dieser Einträge durch Zuweisungen Werte zu, etwa durch
> A[l, 1] := 1 i4[2,2] •= 1 : A[3,3] = 0
so führt ein erneuter Aufruf von A zur Ausgabe der Matrix mit den nunmehr festgelegten Werten
1
> eval(A),
r[2,l]
?[3,1]
1
?[3,2]
0
'[3,4]
20 3 Maple 1005
Mit dem Aufruf
> B =array([[611,612,613], [621,622,623], [631,632,633]]),
[611 612 613]
B = 621 622 623
[631 632 633
stellt Maple die erzeugte Matrix mit ihren Elementen dar, da diese in der Definition explizit angegeben
sind Die optionalen Dimensionsangaben sind hier nicht nötig, da durch die vollständige Angabe der
Matrixelemente die Definition eindeutig ist. Kennt man allerdings von einer Matrix nur einige Werte,
so muß der jeweilige Laufbereich angegeben werden; Maple ersetzt die nichtdefinierten Werte durch
ihren formalen Wert-
> C .= array(l. 3,1..4, [[eil, cl2, cl3], [c21, c22], []]),
eil cl2 cl3 C[i,4]"
C21 C22 C[2,3] C[24]
C[3,l] C[3,2] C[3,3] C[3f4]
C[4,l] C[4,2] C[4,3] C[4,4]_
Als optionale Argumente können Indexfunktionen der Art diagonal, identity, Symmetrie,
antisymmetric, sparse benutzt werden. Man erhält damit die entsprechenden Matrizen
> arrayA..3,1. 3, antisymmetric);
?
[1,2] '[1,3]
•'[1,2]
0
?,
•r[l,3] ~r[2,3]
[2,3]
0
Ein weiterer Befehl zur Konstruktion von mehrdimensionalen Strukuren ist Array. Dieses Kommando
hat die gleiche Form wie array, läßt aber wesentlich mehr Optionen zu. Intern unterscheiden sich
beide Befehle durch die Art der Datendarstellung (Hash-table (assoziativer Array), feste Blocktabelle
(normaler Array))
20.3.6.4 Spezielle Anweisungen zu Vektoren und Matrizen
Für Aufgaben der linearen Algebra stellt Maple zwei unterschiedliche Spezialpakete bereit. Das
Paket linaig basiert auf der Grundstruktur array und stellt entsprechende Spezialkonstruktionen wie
matrix, vector und andere sowie entsprechende Operatoren bereit.
Das Paket Linear Algebra basiert auf der Array-Struktur, stellt Konstruktionen wie Matrix, Vector
und eine große Anzahl spezieller Konstruktions- und Manipulationsvorschriften der linearen Algebra
bereit
¦ Mit der Matrix B und dem Vektor X aus dem vorigen Beispiel wird nach dem Zuladen des Pakets
lmalg mit > wit/ilinalg,
> evalm(£?& * x);
[611 xl + 612x2 + 613x3 ,621 xl + 622x2 + 623x3 ,631 xl + 632x2 + 633x3]
Die Multiplikation einer Matrix mit einem Spaltenvektor ergibt wieder einen Spaltenvektor. Eine
Multiplikation in der umgekehrten Reihenfolge hätte zu einer Fehlermeldung geführt
20.3.7 Prozeduren, Funktionen und Operatoren
20.3.7.1 Prozeduren
Der Begriff Prozedur spielt in Maple eine bedeutende Rolle. Etwas vereinfacht dargestellt, hat eine
Prozedur folgende Form
> P = proc(parral,parra2,... ,parmri) B0.49)
1006 20 Computeralgebrasysteme
Beim Aufruf der Prozedur sind dem Namen der Prozedur die benötigten Parameter in runden
Klammern zu übergeben.
¦ > / =proc(ir)
> xAn
> end proc —> / := proc(x) xn end proc
und der Aufruf dieser Prozedur ergibt > /(£); —? tn
20.3.7.2 Funktionen
Maple enthält eine große Anzahl vordefinierter Funktionen, die beim Start des Systems sofort
verfügbar sind bzw. aus Spezialpaketen zugeladen werden können Sie gehören zum Typ mathf unc Eine
Auflistung kann mit ?inif cns erhalten werden.
In den folgenden zwei Tabellen 20.13 und 20.14 sind einige aus der großen Anzahl von Standars-
und speziellen Funktionen gegeben
Tabelle 20 13 Standardfunktionen
Exponentialfunktion exp
Logarithmusfunktionen log, In
Trigonom Funktionen sin, cos. tan, cot, sec, esc
Arcusfunktionen arcsm, arecos, aretan, arecot,
Hyperbol. Funktionen sinh, cosh, tanh. coth, sech, csch
Areafunktionen arcsinh, aresosh, aretanh, arecoth,
Tabelle 20 14 Spezielle Funktionen
BESSEL-Funktionen Jn(z) und Yn(z) BesselJ(v, z), BesselY(v,z)
Modifizierte BESSEL-Funktionen In(z) Kn(z) Bessell(i>, z), BesselK(?;, z)
Gamma- Funktion Gamma(a:)
Integralexponentialfunktion Ei (x)
Unter den speziellen Funktionen sind auch die FRESNELschen Funktionen
Das Paket für orthogonale Polynome enthält neben anderen HERMiTEsche, LAGUERREsche, Legen-
DREsche, J ACOBische und TsCHEBYSCHEFFsche Polynome. Für Einzelheiten wird auf [20.6] verwiesen
In Maple verhalten sich Funktionen wie Prozeduren Etwas vereinfacht- der Name einer Funktion,
sofern sie in Maple definiert ist, wird als Prozedur aufgefaßt Mit anderen Worten, type(sin, procedure).
liefert true Hängt man an die Prozedur das Argument oder auch mehrere, sofern dies nötig ist in
runden Klammern an, so entsteht die entsprechende Funktion von der angegebenen Variablen
¦ > type(cos, procedure), liefert true und > type(cos, function); liefert false
Setzt man als zu prüfendes Argument jedoch cos(a:) ein, so liefert die Typprüfung genau die umgekehrte
Aussage
Maple bietet daher die Möglichkeit, selbstdefinierte Funktionen in Form von Prozeduren zu erzeugen
Dazu dient der Erzeugungsoperator x-> . Mit
> F = x-> mathausdr : B0 50)
und mit mathausdr als algebraischer Ausdruck in der Variablen x, wird eine neue Funktion in
Prozedurform mit dem Namen F festgelegt Der algebraische Ausdruck kann dabei schon vorher definierte
und/oder eingebaute Funktionen enthalten Hängt man an das so erzeugte Prozedursymbol eine
unabhängige Variable in runden Klammern an, so entsteht die zugehörige Funktion dieser unabhängigen
Variablen
¦ > F .= x-> sin(x) * cos(x) + xA3 * tan(x) + xA2 .
20.3 Mäple 1007
> F{y); —? F(y) •= sin(y) cos(y) + yi tan(y) + y2
Mit der Übergabe von Zahlenwerten (etwa als Gleitpunktzahlen) an dieses Argument, also durch
Aufrufe der Art
> F(nnmmm);
liefert Maple den Funktionswert für diesen Wert
Umgekehrt erzeugt man aus einer Funktion (man denke etwa an ein Polynom in der Variablen x) die
zugehörige Prozedur mit der Anweisung unapply(function, var) So entsteht aus F(y) mit
> unapply(FB/),2/), —> F
wieder die Prozedur mit dem Symbol F
20.3.7.3 Funktionaloperatoren
Funktionaloperatoren sind Spezialformen von Prozeduren Sie dienen als Anweisungen zur
Manipulation und Kombination von Funktionen (Prozeduren) Mit Operatoren kann man nach den üblichen
Regeln arbeiten Summe und Differenz zweier Operatoren sind wieder Operatoren Bei der
Multiplikation ist zu beachten, daß darunter die Hintereinanderanwendung beider Operatoren zu verstehen ist.
Maple benutzt dafür das spezielle Multiplikationssymbol @ Diese Multiplikation ist im allgemeinen
nicht kommutativ.
¦ Es sei F = x—> cosB * x) und G := x—> xA2. Dann gilt
> (G<3F)(x); —? cos2Bx),
während
> (F*G)(x)\ —? cosBz2)
liefert
Will man das Produkt zweier Funktionen bilden, die in Operatordarstellung gegeben sind, so benutzt
man die Schreibweise (F * G)(x) = (G * F)(x), die F(x) * G(x) liefert
20.3.7.4 Differentialoperatoren
Der Operator der Differentiation lautet in Maple D. Seine Anwendung erfolgt auf Funktionen in
Prozedurform entsprechend D(F) bzw D[i](G). Im ersten Fall wird die Ableitung einer Funktion von einer
Variablen in Prozedurform bestimmt Das Anhängen der geklammerten Variablen ergibt die Ableitung
als Funktion In anderer Form läßt sich dies als D(F)(x) = diff(F(x),x) schreiben. Höhere
Ableitungen erhält man durch Mehrfachanwendung des Operators D, was sich vereinfacht als (DO ®n)(F)
schreiben läßt, wobei @ @ n die n-te „Potenz" des Differentialoperators bedeutet.
Ist G eine Funktion mehrerer Variabler, so erzeugt D[«](G) die partielle Ableitung von G nach der i-
ten Variablen Auch dieses Ergebnis ist wieder eine Prozedur. Mit D[z, j](G) erhält man D[z](D[j](G)),
d.h. die zweite partielle Ableitung nach der j-ten und i-ten Variablen Entsprechend kann man höhere
Ableitungen bilden
Für den Diffentialoperator D gelten die aus der Differentialrechnung (s. 6.1 2.2, S. 395) bekannten
Grundregeln, wobei F und H differenzierbare Funktionen sind.
D(F + H) = D(F) + D(#), B0 51a)
D(F * H) = (D(F) *H) + (F* D(H)), B0 51b)
D(F @ H) = D(F) QH*D(H). B0.51c)
20.3.7.5 Der Funktionaloperator map
Der Operator map kann in Maple benutzt werden, um einen Operator bzw. eine Prozedur auf einen
Ausdruck bzw dessen Komponenten anzuwenden SeizB Feine Prozedur, die eine Funktion repräsentiert
Dann liefert map(F, x + xA2 + x * y) den Aussdruck F(x) + F(x2) + F(x y). Entsprechend erhält man
mit map(F; y * z) das Resultat F(y) * F(z).
¦ map(/,[a,6,c1d]); —» [f(a)J(b)J(c)J(d)}
1008 20. Computeralgebrasysteme
20.3.8 Programmierung in Maple
Maple stellt für den Aufbau eigener Prozeduren und Programme die üblichen Kontroll- und
Schleifenstrukturen in spezifischer Form bereit
Fallunterscheidungen werden mit dem if-Befehl vorgenommen. Seine Grundstruktur ist
if bed. then anwl eise anw2 end if B0 52)
Der else-Zweig kann fehlen
Vor dem else-Zweig können beliebig viele weitere Zweige mit der Struktur
elif bedi then anwi end if B0 53)
eingefügt werden.
Schleifen erzeugt man mit f or bzw while, die den Anweisungsteil in der Form do .. anw . end do
verlangen.
In der f or-Schleife ist der Laufindex in der Form
i from n to m by di
zu schreiben, hier ist di die Schrittweite. Fehlen Anfangswert und Schrittweite, so werden diese
automatisch auf 1 gesetzt.
In der while-Schleife lautet der erste Teil
while bed do anw end do
Auch Schleifen können mehrfach ineinander verschachtelt werden
Um in sich abgeschlossene Programme zu gestalten, benutzt man in Maple die Prozeduranweisung
Sie kann sich über viele Zeilen erstrecken, entsprechend abgespeichert und unter ihrem Namen in die
laufende Arbeit eingefügt werden. Ihre Grundstruktur lautet:
proc(args)
local
options . . B0 54)
anw
end proc,
Die Anzahl der Argumente der Prozedur muß nicht mit der im eigentlichen Körper benutzten Anzahl
übereinstimmen; speziell kann die Angabe ganz fehlen Alle mit local definierten Variablen sind nur
intern bekannt.
¦ Es soll eine Prozedur geschrieben werden, die die Summe der Quadratwurzeln aus den ersten n
natürlichen Zahlen bestimmt
> sumqw := proc(n)
> local s,z,
> s[0] := 0,
> f or i to n
> do s[i] '= s[i — 1] + sqrt(i) end do,
> evalf(s[rc]),
> end proc,
Maple liefert die so definierte Prozedur zurück
Dann wird die Prozedur über ihren Namen mit dem gewünschten Argument n aufgerufen. > sumqwCQ):
Es folgt- 112 0828452
20.3.9 Ergänzungen zur Syntax, Informationen und Hilfe
20.3.9.1 Nutzung der Maple-Bibliothek
Maple besteht aus drei Hauptkomporienten dem Kernel, einer Maple-Bibliothek und der
Benutzeroberfläche Der Kernel ist in C geschrieben und sichert die Grundfunktionalität des Systems nebst mathe-
20 3 Maple 1009
matischen Basisoperationen Der Hauptteil der mathematischen Funktionalität liegt in dei Bibliothek
Je nach Bedarf werden die entsprechenden Teile automatisch hinzugeladen.
Darüber hinaus besitzt Maple eine umfangreiche Bibliothek von Spezialpaketen.
Die Zuladung eines Spezialpaketes erfolgt mit dem Befehl
> with(narae), B0.55)
Hier ist narrte der Name des jeweiligen Pakets, also etwa linaig für das Spezialpaket Lineare Algebra
Nach dem Aufruf listet Maple alle Befehle des Spezialpakets auf und warnt, falls im Paket
Neudefinitionen schon vorher verfügbarer Befehle vorliegen.
Soll nur ein spezieller Befehl aus einem Bibliothekspaket genutzt werden, so erfolgt der Aufruf mit
paket[bef ehl] B0 56)
20.3.9.2 Umgebungsvariable
Die Ausgaben von Maple lassen sich mit einer Reihe von Umgebungsvariablen steuern Bereits
vorgestellt ist die Variable Digits (s. 20.3 2 3,1., S 1000), mit der die Anzahl der auszugebenden Ziffern
von Gleitpunktzahlen festgelegt werden kann
Die allgemeine Art der Resultatausgabe wird durch prettyprint festgelegt Voreinstellung ist hier
> mterf ace(prettyprint = true) B0 57)
Diese sorgt für die zentrierte Ausgabe im mathematischen Druckstil. Setzt man diese Option auf f alse,
so beginnt die Ausgabe am linken Rand und nutzt die Eingabeschreibweise.
20.3.9.3 Informationen und Hilfe
Hilfe zur Bedeutung von Befehlen und Schlüsselwörtern erhält man durch die Eingabe
begriff-, B0 58)
Anstelle des Fragezeichens kann auch help(begriff) verwendet werden Es folgt ein Hilfsbildschirm,
der die entsprechenden Aussagen des Bibliothekshandbuches zum geforderten Begriff enthält.
Läuft Maple unter Windows, so öffnet ein Aufruf von HELP ein sich jeweils nach rechts erweiterndes
Menü, durch das man sich durch Anklicken mit der Maus bis zur Erläuterung des gewünschten Begriffs
auf dem Hilfsbildschirm bewegen kann
1010 20 Computeralgebrasysteme
20.4 Anwendungen von Computeralgebrasystemen
In diesem Unterkapitel wird die Behandlung mathematischer Problemkreise mit Computeralgebiasy-
stemen vorgestellt Die Auswahl der betrachteten Problemkreise wurde sowohl nach ihrer Häufigkeit in
Praxis und Ausbildung als auch nach den Möglichkeiten für ihre Bearbeitung mit
Computeralgebrasystemen getroffen. Es werden Funktionen, Anweisungen. Operationen und ergänzende Syntaxhinweise
für das jeweilige Computeralgebrasystem angegeben sowie Beispiele behandelt Wo nötig, werden
zugehörige Spezialpakete kurz erläutert
20.4.1 Manipulation algebraischer Ausdrücke
In der Praxis treten häufig algebraische Ausdrücke (s. 1.1.5, S. 10) auf, die für die weitere Arbeit, wie
z B Differentiation, Integration, Reihendarstellung, Grenzwertbildung oder numerische Auswertung
umzuformen sind In der Regel werden diese Ausdrücke als über dem Ring (s 5 3 6, S 323) der ganzen
oder dem Körper (s 5 3 6,2., S 323) der rationalen Zahlen gebildet verstanden Es sei aber betont,
daß Computeralgebrasysteme z.B. auch mit Polynomen über endlichen Körpern bzw über Erweite-
rungsköipern (s 5.3 6,3., S 323) der gebrochenrationalen Zahlen umgehen können Für Interessenten
muß dazu auf die Spezialliteratur verwiesen werden Eine besondere Rolle spielen algebraische Opeia-
tionen auf Polynomen über dem Körper der rationalen Zahlen
20.4.1.1 Mathematica
Mathematica stellt die in Tabelle 20.15 dargestellten Funktionen und Operatoren für die Umformung
algebraischer Ausdrücke zur Verfügung
Tabelle 20 15 Anweisungen zur Manipulation algebraischer Ausdrücke
Expand[p]
Expand[p, r]
PowerExpand[a]
Factor[p]
Collect [p, &•]
Collect[p, {.x, y,
}]
ExpandNumerator[r]
ExpandDenommator[r]
ExpandAll[r]
Together[r]
Apart [r]
Cancel[r]
löst die Potenzen und Produkte in einem Polynom p durch
Ausmultiplikation auf
multipliziert nur die Anteile in p aus, die r enthalten
lost auch Potenzen von Produkten und Potenzen von Potenzen auf
faktorisiert ein Polynom vollständig
ordnet das Polynom nach Potenzen von x
das gleiche wie vorstehend, nur mit mehreren Variablen
entwickelt nur den Zähler eines rationalen Ausdrucks
entwickelt nur den Nenner
multipliziert sowohl Zähler als auch Nenner vollständig aus
stellt den Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner dar
stellt den Ausdruck als Summe von Tennen mit einfachen Nennern dar
(Partialbruchzer legung)
kürzt gemeinsame Faktoren in den jeweiligen Termen
1. Multiplikation von Ausdrücken
Diese Operation der Multiplikation algebraischer Ausdrücke ist in jedem Falle durchführbar Dabei
können Koeffizienten auch unbestimmte Ausdrücke sein
¦ In[l] = Expand[(£ + y - z)A4] liefert
Out [1] = x4 + 4 x3 y + 6 x2 y2 + 4 x y:i + y4 - 4 x3 z - 12 x2 y z - 12 x y2 z - 4 y3 z
+6x2 z2 + 12xy z2 + 6y2 z2 - 4xz3 - 4y z3 + z4
Entsprechend wird
In[2] = Expand[(a x + byA2)(c xA3 - d yA2)]
Out [2] = aex4 — adxy2 -\-bcx3y2 — bdy4
2. Fakt orzer legung von Polynomen
Die Faktorzerlegung von Polynomen über ganzen oder rationalen Zahlen wird von Mathematica nur
ausgeführt, wenn sie im Bereich der ganzen oder rationalen Zahlen möglich ist Anderenfalls gibt Ma-
20 4 Anwendungen von Computeralgebrasystemen 1011
thematica den Ausdruck unverändert zurück.
¦ In[2] •= p = xA6 + 7a:A5 + 12xA4 + 6zA3 - 25a:A2 - 30a: - 25,
In[3] := Factor[p] , dies liefert
0ut[3] = (E + x) A + x + a:2) (-5 + x2 + x3))
Mathematica hat das Polynom in drei über dem Körper der rationalen Zahlen irreduzible Faktoren
zerlegt.
Wenn ein Polynom über dem Körper der komplexen rationalen Zahlen vollständig reduzibel ist, kann
man mit der Option Gaussianlntegers eine vollständige Zerlegung erreichen.
¦ In[4J = Factor[x2 - 2x + 5] —> Out [4] = 5 - 2x + x2 , aber
In[5] •= Factor[%,Gaussianlntegers—> True]
Out [5] = (-l-2I + x)(-l + 2I + x)
3. Operationen auf Polynomen
Die Tabelle 20.16 enthält eine Auswahl von Operationen, mit denen sich Polynome über dem Körper
der rationalen Zahlen algebraisch manipulieren lassen
Tabelle 20.16 Algebraische Polynomoperationen
PolynomialGCD[pl,p2] bestimmt den größten gemeinsamen Teiler der beiden
Polynome p\ und p2
PolynomialLCM[pl,p2] bestimmt das kleinste gemeinsame Vielfache der Polynome
pl und p2
PolynomialQuotient[pl, p2, x] Division von pl (als Funktion von x) durch p2 unter
Fortlassung des Restes
PolynomialRemainder[pl, p2, x] Bestimmung des Restes bei der Division von p\ durch p2
M Es werden zwei Polynome definiert*
In[l] =p = .ta6 + 7xA5 + 12xA4 + 6xA3 - 25xA2 - 30a: - 25,
q = xA4 + xA3 - 6xA2 - 7x - 7;
Mit diesen Polynomen ergeben die nachfolgenden Operationen
In[2] •= PolynomialGCD[p, q] —? Out [2] = 1 + x + x2
In[3] = PolynomialLCM[p, q]
Out[] = 3(-7 + x){l + x + x2)(-25 - 5x + 5a:2 + 6x3 + x4)
In[4J := PolynomialQuotient[p, q, x] —? Out[4] = 12 + 6x + x2
In[5] = PolynomialRemainder[p, q, x] —> Out [5] = 59 + 96a: + 96a:2 + 37x3
Unter Berücksichtigung der letzten beiden Ergebnisse gilt also
x6 + 7a:5 + 12a:4 + 6a:3 - 25a:2 - 30a; - 25 , „ _ 37a:3 + 96x2 + 96a: + 59
x4 + x3 - 6a:2 -Ix - 7 x4 + x3 - 6a:2 - 7x - 7
4. Partialbruchzerlegung
Mathematica zerlegt Quotienten zweier Polynome in Partialbrüche Auch das ist nur über dem Körper
der rationalen Zahlen möglich.
¦ Unter Nutzung der beiden Polynome p und q des voranstehenden Beispiels erhält man
r , , r n -6 -55 + IIa: + 6a:2
In[6J = Apart[g/P] - 0ut[6j = 3^^^ + 35 (_5 + ,, + ^
1012 20. Computeralgebrasysteme
5. Manipulation nicht polynomialer Ausdrücke
Mit dem Befehl Simplif y können oft komplizierte Ausdrücke, die nicht polynomialer Natur zu sein
brauchen, vereinfacht werden. Mathematica wird immer versuchen, algebraische Ausdrucke unabhängig
von der Natur der symbolischen Größen zu manipulieren. Dabei verwendet es eingebaute Kenntnisse
So kennt Mathematica z.B. Regeln der Potenzrechnung (s. 1.1 4 1, S. 8)
In[1] •= Simplify[aAn/aAm)] —? Out [1] = a(_m+n) B0.59)
Mit dem Befehl FullSimplif y[ausdr] wird Mathematica einen wesentlich breiteren Ansatz zur
Vereinfachung einsetzen. Für die Manipulation trigonometrischer Ausdrücke stehen die Befehle Tr igExpand,
TrigFactor, TrigFactorList und TrigReduce zur Verfügung.
¦ In[l] := TrigExpand[Sin[2x] Cos[2z]]
Out[l] = 2Cos[x]Cos[2/]2Sin[x]-2Cos[x](Cos[?/] + Sin[?/])
In[2] := TrigFactor[%]
0ut[2] = 2Cos[o;]Sin[a;](Cos[2/]-Sin[y])(Cos[y] + Sin[y])
In[3] •= TrigReduce[%]
Out[3] = (l/2)(Sin[2x-2y] + Sin[2x + 2y])
Schließlich sei darauf hingewiesen, daß der Befehl ComplexExpand[ausdr] reelle Variable ausdr
voraussetzt, während ComplexExpand[ausdr, {xl, x2,...}] von komplexen Variablen xi ausgeht.
m In[l] .— ComplexExpand[Sin[2 x], {x}]
" Out [1] = Cosh[2 Im[x]] Sin[2 Re[x}] + / Cos[2 Re[x}\ Sinh[2 Im[x]]
20.4.1.2 Maple
Maple stellt die in Tabelle 20.17 dargestellten Operationen für die Umformung und Vereinfachung
algebraischer Ausdrücke bereit.
Tabelle 20 17 Operationen zur Manipulation algebraischer Ausdrücke
expand(p, gl, g2,...) löst die Potenzen und Produkte in einem algebraischen Ausdruck p auf
Die optionalen Argumente qi verhindern die weitergehende Auflösung der
Unterausdrücke qi.
f actor(p, K) faktorisiert den Ausdruck p. K ist ein optionales RootOf Argument,
simplify(p, gl, #2,.. ) wendet eingebaute Vereinfachungsregeln auf p an. Bei Anwesenheit der
optionalen Argumente werden nur diese zur Anwendung gebracht
radsimp(p) vereinfacht p bezüglich seiner Wurzelanteile,
normal (p) stellt p in der Normalform einer rationalen Punktion dar
sort(p) sortiert die Glieder des Polynoms p nach fallenden Potenzen,
coef f (p, x, i) liefert den Koeffizienten des Gliedes mit x%.
collect(p, v) faßt Glieder mit der Variablen v eines Polynoms mehrerer Veränderlicher
zusammen.
1. Multiplikation von Ausdrücken
Im einfachsten Fall zerlegt Maple den Ausdruck in eine Summe von Potenzen der Variablen-
¦ > expand((:r + y — ^)A4);
4 x3y - 4 x3z + 6 x2y2 + 6 x2z2 + 4 xy3 - 4 xz3 - 4 y3z + 6 y2z2 - 4 yz3 + x4 + y4 + z4
-12 x2yz - 12 xy2z + 12 xyz2
¦ Hier erkennt man das Vorgehen von Maple bei Ab- und Anwesenheit eines optionalen Arguments
> expand((a * xA3 + b * yA4) * sinC * x) * cosB * x));
8 ax3 sin(:r) cos(xL — 6 ax3 sin(x) cos(icJ + ax3 sin(rr) -I- 8 by4 sin(x) cos(xL
—6 by4 sin(x) cos(xJ + by4 sin(x)
20 4 Anwendungen von Computeralgebrasystemen 1013
Der Ausdruck wird vollständig ausmultipliziert
> expand((a * xA2 — b * yA3) * sin(S * x) * cosB * x), a * xA2 — 6 * yA3),
8 (ax2 — fa/3) sin(a;) cos(xL — 6 (ax2 — by3) sin(x) cos(xJ -f (ax2 — by3) sin(x)
Maple hat den Ausdruck des optionalen Arguments unverändert beibehalten
¦ Dies demonstriert die Fähigkeiten von Maple
> expand(expB * a * x) * sinhB * x) + ln{x3) * ,smD * x))\
2ear2 sinh(:r) cosh(z) + 24 ln(a;) sin(x) cos(.tK — 12 ln(a;) sin(x) cos(x)
2. Faktor Zerlegung von Polynomen
Maple ist in der Lage Polynome über algebraischen Erweiterungskörpern zu zerlegen, sofern dies
prinzipiell möglich ist (s. 5 3.6.3., S. 323).
¦ > p = xA6 + 7 * xA5 + 12 * xA4 + 6 * xA3 - 25 * xA2 - 30 * x - 25
q = xA4 + xA3 -6*xA2-7*x-7.
> pl = f actor(p);
(x + 5) (x2 + x + 1) (z3 + r2 - 5) und
> ql = idLCtor(q),
(.r2 + x + l)(.r2-7)
Zunächst hat Maple eine Faktorzerlegung der beiden Polynome in irreduzible Faktoren bezüglich des
Körpers der rationalen Zahlen durchgeführt Will man eine weitere Zerlegung über einem algebraischen
Erweiterungskörper, so ist folgendermaßen vorzugehen
¦ >p2 =factor(j9,(-3)A(l/2)),
(.r3 + x2 - 5) B.t + 1 - y/^S) Bx 4- 1 + v71^) (x + 5)
4
Maple hat den zweiten Faktor weiter zerlegt (in diesem Fall nach einer formalen Erweiterung des Körpers
mit v7—3)
In der Regel weiß man nicht, ob eine solche Erweiterung möglich ist Sind die Grade der gefundenen
Faktoren < 4, so ist dies immer möglich Mit der Operation RootOf lassen sich dann die Wurzeln als
algebraische Ausdrücke darstellen
¦ > r .= RootOf (x3 + x2 - 5) . k = allvalues(r)
> Mi],
1/3
i/l33 >
> fc[2],
3/133 L
18 +
18
133 V65EV3
~5^+ 18
18/133 + .VS55VI
Ver! V3
/ .
133 VsEüVä
54 18
1/3
54 18 J133 v/655V3
1014 20. Computeralgebrasysteme
Der Aufruf von k[3] ergibt den konjugiert komplexen Wert von k[2].
Die in diesem Beispiel beschriebene Prozedur liefert im Falle eines Polynoms, das nur über dem Körper
der reellen oder komplexen Zahlen reduzibel ist, eine Folge der Wurzeln als Gleitpunktzahlen.
3. Operationen auf Polynomen
Neben den schon bekannten Operationen sind vor allem die Operationen gcd und 1cm von Bedeutung
Sie finden den größten gemeinsamen Teiler (ggT) bzw das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) zweier
Polynome. Entsprechend liefern quo(p, q, x) den ganzzahligen Anteil der Division der Polynome p und
q und rem(p, q, x) den Rest.
¦ > p := x6 + 7 * x5 + 12 * x4 + 6 * xs - 25 * x2 - 30 * x - 25
q := x4 + x3 — 6*:r2 — 7 * z — 7 :
> gcd(p,g),
x2 + x + 1
> lcm(p,g);
210x + 5rr6 - 43a;5 - 109x4 - 72z3 + 150a:2 + 175 + 7x7 + x8
Mit dem Befehl normal kann man den Quotienten zweier Polynome über dem Körper der rationalen
Zahlen in Normalform bringen, d.h. als Quotienten zweier gekürzter Polynome darstellen
¦ Mit den Polynomen des voranstehenden Beispiels wird
> normal(p/q);
x4 + 6x3 + 5x2 -5x-25
x2 -1
Mit numer und denom lassen sich Zähler und Nenner getrennt darstellen.
> f actor(denom(x + l)/(a;A2 - 7), G)A(l/2));
[x +JJ)(x- y/T)
4. Partialbruchzerlegung
Die Partialbruchzerlegung erfolgt in Maple mit dem Befehl convert, der mit der Option parf rac
aufzurufen ist.
¦ Unter Benutzung der Polynome p und q der voranstehenden Beispiele erhält man
> convert (p/q, parf rac, x),
2 n 1rt 372T + 59
x2 + 6x + 12 + —-—— und
x2 — 7
> convert (q/p, parf rac, x),
6 -55 + 11 £ + 6x2
~35x + 175 + 35z3 + 35x2 - 175
5. Manipulation allgemeiner Ausdrücke
Die in der folgenden Tabelle aufgeführten Operationen erlauben die Umformung algebraischer und
transzendenter Ausdrucke mit rationalen und algebraischen Funktionen, die in Maple eingebaute oder
selbstdefinierte Funktionen enthalten. In der Regel lassen sich dabei optionale Argumente angeben, die
die Umformung unter bestimmten Bedingungen ausführen.
Der Befehl simplif y kann hierfür exemplarisch eingesetzt werden. In der einfachen Form
simplif y(ausdr) versucht Maple eingebaute Vereinfachungsregeln auf den Ausdruck anzuwenden
¦ > t = sinhC * x) + cosh(A * x) .
> simplify(t);
4 sinh(a;) cosh(a;J — sinh(x) + 8 cosh(xL — 8 cosh(xJ + 1
20 4 Anwendungen von Computeralgebrasystemen 1015
Entsprechend wird
> r = sinB * x) * cosC * x) :
> simplify(r),
8 sin(x) cos(xL - 6 sin(jc) cos(xJ
Darüber hinaus existiert der Befehl combme, der im gewissen Sinne die Umkehrung von expand ist
¦ > t •= tan{2 * xJ •
> t\ := expand(t);
4 sin(xJcos(xJ
~ B cos(xJ - lJ
> combme(tl,trig);
cosBa:)-2-l
Hier wurde combme mit der Option trig aufgerufen, die dafür sorgt, daß trigonometrische
Grundregeln angewendet werden Benutzt man den Befehl simplif y, so wird
cosB xJ - 1
> t2 = simplify(*);,—> v ,' NO
F )U cosB:rJ
Hier hat Maple die Tangensfunktion auf die Kosinusfunktion zurückgeführt
Umformungen lassen sich auch mit Exponentialfunktionen, Logarithmus- und weiteren Funktionen wie
etwa Besselfunktionen, Gammafunktionen und andere durchführen
20.4.2 Lösung von Gleichungen und Gleichungssystemen
Computeralgebrasysteme kennen Befehlsroutinen zur Lösung von Gleichungen und
Gleichungssystemen Sofern Gleichungen im Bereich der algebraischen Zahlen explizit lösbar sind, werden die Lösungen
mit Hilfe von Wurzelausdrücken dargestellt Ist es nicht möglich, Lösungen in geschlossener Form
anzugeben, so lassen sich zumindest numerische Lösungen im Rahmen festlegbarer Genauigkeit finden
Im folgenden werden einige Grundbefehle vorgestellt. Der Lösung linearer Gleichungssysteme ist der
spezielle Abschnitt 20 4.3 2,1., S. 1021 gewidmet
20.4.2.1 Mathematica
1. Gleichungen
Mathematica ermöglicht die Manipulation und Lösung von Gleichungen in einem breiten Rahmen. Eine
Gleichung wird in Mathematica als logischer Ausdruck aufgefaßt. Wenn man schreibt
In[l] -=g = xA2 + 2x-9==0, B0 60a)
so interpretiert Mathematica dies als die Aufstellung einer Identität Gibt man
In[2] .= %/. x-> 2, ein, so erscheint Out [2] = False, B0 60b)
weil mit diesem Wert von x linke und rechte Seite nicht identisch sind.
Die Anweisung Roots[#, x] veranlaßt, die obige Identität in eine Form zu bringen, die x explizit enthält
Mathematica stellt das Ergebnis mit Hilfe des logischen ODER wieder in der Form einer logischen
Aussage
darin [2] = Root s [g, x] liefert
Out[2] = x==-l- VlÖ\\x == -1 + >/lÜ B0 60c)
In diesem Sinne können logische Operationen mit Gleichungen durchgeführt werden
Mit der Operation ToRules können nachfolgend Gleichungen des logischen Typs wie oben in
Transformationsregeln umgewandelt werden So ergibt
In[3] .= {ToRules[%]} ->
Out[3] = {{x-> -l-VTÖ},{x-> -1 + vTÖ}} B0.60d)
1016 20 Computeralgebrasysteme
2. Lösung von Gleichungen
Mathematica stellt die Anweisung Solve für die Lösung von Gleichungen zur Verfügung. In gewissem
Sinne führt Solve nacheinander die Operationen Roots und ToRules durch.
Mathematica ist nur in der Lage, Gleichungen symbolisch zu lösen, wenn dies in Form algebraischer
Ausdrücke überhaupt möglich ist, d h. höchstens Gleichungen vierten Grades Wenn jedoch
Gleichungen höheren Grades durch algebraische Manipulationen wie Faktorisierung in einfachere algebraische
Ausdrücke umgeformt werden können, dann ist Mathematica auch hier in der Lage, Lösungen zu bieten
Solve versucht in solchen Fällen, mit den eingebauten Operationen Expand und Decompose
entsprechende Zerlegungen vorzunehmen.
Prinzipiell kann Mathematica unter bestimmten Voraussetzungen numerische Lösungen anbieten
¦ Allgemeine Lösung einer Gleichung dritten Grades:
In[4J := Solve[xA3 + a xA2 + b x + c== 0,x]
Mathematica liefert
Out[4] ={{x-> ^
6 i
23 (-Q2 + 3fr)
1
I / , o.nx ¦ ,,o ¦ , o ^ , . ^ .A3
3(-2a3 + 9a6-27c + 32 yj- (a2b2) +463 + 4a3c - 18a6c + 27 c2]
(-2a3 + 9a& - 27c + 3§ ^-(a2 62) + 463 +4a3c-18a&c +27c2
i
3
1 -},
323
Wegen der Länge ihrer Terme wurde in der Lösungsliste nur die erste Lösung explizit aufgeführt Will
man eine Gleichung mit gegebenen Koeffizienten a,b,c lösen, so ist es besser, die Gleichung selbst mit
Solve zu behandeln, als die Werte von a, b, c der formalen Lösung zuzuweisen.
¦ A: Für die kubische Gleichung (s. 1 6 2 3, S 40) x3 + 6x + 2 = 0 wird-
In[5] = Solve[xA3 + 6z + 2==0,:r]
OutCSj = «,-> 2V3 . *,}, {,_> i_^ _ iW3}> {,_> _i_^3 _ iW3}}
¦ B: Lösung einer Gleichung 6. Grades:
In[6] : = Solve[xA6 - 6xA5 + 6xA4 - 4xA3 + 65xA2 - 38a; - 120 == 0, x]
Out[6] = {{x-> -l},{a:->4},{x->3},{a:-> 2},{x-> -l-2z},{x-> -l + 2i}}
Mathematica ist es gelungen, die Gleichung in Beispiel B mit internen Mitteln zu faktorisieren; danach
wird sie problemlos gelöst
Wenn es um numerische Lösungen geht, sollte man von vornherein die Anweisung NSolve benutzen,
sie ist meist schneller
¦ Die folgende komplizierte Gleichung löst man mit NSolve:
In[7] : = NSolve[^A6 - 4xA5 + 6xA4 - 5xA3 + SxA2 - ix + 2 == 0, x]
Out [7] = {{x-> -0.379567- 0.76948 z}, {x-> -0.379567 +0 76948z},
{x-> 0 641445}, {x-> 1. - 1. z}, {x-> 1. + 1. z}, {x-> 2.11769}}
3. Lösung transzendenter Gleichungen
Mathematica ist in der Lage, auch transzendente Gleichungen zu lösen. In der Regel ist dies symbolisch
nicht möglich Außerdem können solche Gleichungen oft unendlich viele Lösungen haben Daher sollte
man Mathematica in solchen Fällen eine Vorgabe für die Umgebung machen, in der eine Lösung
gefunden werden soll Das ist mit der Anweisung FindRoot[g, {x,xs}] möglich, wobei xs der Startwert für
20 4 Anwendungen von Computeralgebrasystemen 1017
die Lösungssuche ist
¦ In[8] . = FindRoot[x + ArcCoth[x] - 4 == 0, {x, 1.1}]
Out [8] = {x-> 1 00502} und
In[9] = FindRoot[z + ArcCoth[:z]-4==0jz,5}] —> Out [9] = {x-> 3 72478}
4. Lösung von Gleichungssystemen
Mathematica kann simultan mehrere Gleichungen lösen Die dafür eingebauten Operationen sind in
Tabelle 20.18 dargestellt und betreffen die symbolische, nicht die numerische Lösung von
Gleichungssystemen
Tabelle 20.18 Operationen zur Lösung von Gleichungssystemen
Solve[{/i == ri, li == r2,.. }, {sc, y,...}] löst das gegebene Gleichungssystem nach den
Unbekannten auf
Eliminate[{/i == ri, },{#, }] eliminiert die Elemente x. . aus dem
Gleichungssystem
Reduce[{/i == rx,...}, {x,. .}] vereinfacht das Gleichungssystem und liefert alle
möglichen Lösungen
Wie im Falle einer Unbekannten, erhält man mit der Anweisung NSolve eine numerische Lösung
Beispiele für die Lösung von linearen Gleichungssystemen werden in 20 4 3, S 1019, behandelt
20.4.2.2 Maple
1. Wichtige Operationen
Die beiden grundsätzlichen Operationen zur symbolischen Lösung von Gleichungen in Maple sind solve
und RootOf bzw roots Mit ihnen und ihren möglichen Variationen durch bestimmte optionale
Argumente gelingt es, eine Vielzahl von Gleichungen, auch transzendente, zu lösen Wenn eine Gleichung
nicht in geschlossener Form lösbar ist, kann Maple nur numerische Näherungslösungen anbieten
Die Funktion RootOf ist das Symbol für alle Wurzeln einer Gleichung einer Variablen Mit
k := RootOf {xA3 - 5 * x + 7, x) —> k .= RootOf (_Z3 - 5 _Z + 7) B0 61)
versteht Maple unter k die Gesamtheit der Wurzeln der Gleichung xs — hx + 7 = 0 Dabei wird der
eingegebene Ausdruck, wenn möglich, in eine einfache Form gebracht und mit der globalen Variablen
_Z dargestellt Der Aufruf allvaluesfA;) liefert eine Folge der Wurzeln.
Der Befehl solve liefert die Lösung einer Gleichung, sofern diese existiert
¦ > k := solve(xA4 + xA3 - 6 * xA2 - 7 * x - 7, x);
während
>r = solve(a:A6 + 4*a:A5-3*x + 2,x);;—> r := RootOf(_Z6 + 4_Z5 - 3_Z + 2)
ergibt Diese Gleichung besitzt im Bereich der rationalen Zahlen keine Lösungen Mit allvalues erhält
man genäherte numerische Lösungen.
2. Lösung von Gleichungen mit einer Unbekannten
1. Polynomgleichungen Polynomgleichungen mit einer Unbekannten, für deren Grad < 4 gilt,
kann Maple symbolisch lösen
¦ > solve(xA4 - 5 * zA2 - 6); —> I, -I, >/6, -\/6
2. Gleichungen 3. Grades Mit Maple kann man die allgemeine Gleichung dritten Grades mit all-
1018 20 Computeralgebrasysteme
a
gemeinen Koeffizienten in geschlossener Form lösen.
¦ >r = solve(xA3 + a * xA2 + b*x + c, x)
>r[l]1
ba_c_a?_ y/4 fe3 - b2a2 - 18 bac + 27 c2 + 4 ca3\/3
~6~ ~ 2 ~ 27 + 18
3 9
Ibä c ä3 y/4 fr3 - b2a2 - 18 frac + 27 c2 + 4 ca3y/3 3
V~6~~ 2 ~ 27 + 18
Man erhält entsprechende Ausdrücke für r[2], r[3], die wegen ihrer Länge hier nicht explizit angegeben
werden.
3. Allgemeine Gleichung 4. Grades Auch die allgemeine Gleichung vierten Grades wird von
Maple ohne Probleme gelöst
Benutzt man in solve eine Gleichung, in der Koeffizienten als Gleitpunktzahlen geschrieben sind, so
löst Maple die Gleichung numerisch.
¦ > solve(l. * xA3 + 6. * x + 2 , x),
-3 27480002, .1637400010 - 2.465853271, .1637400010 + 2 465853271
Maple kann Gleichungen lösen, die Wurzelausdrücke der Unbekannten enthalten Hier ist jedoch zu
beachten, daß Maple nur dann Lösungen anbietet, wenn die Gleichung (die ja quadriert werden muß)
keine Scheinlösungen liefert.
¦ Für die Gleichung y/x + 7 + y/2x — 1 — 1 = 0 bietet Maple keine Lösung, da zweimal quadriert
werden muß und die resultierende quadratische Gleichung eine Scheinlösung der Ausgangsgleichung
liefert.
¦ Die Gleichung yfx — x + 1 = 0 löst Maple dagegen ohne Probleme:
> solve(a: A A/3) -x + l,x); liefert A08+12^I/3 + . 2
A08 + 12X/69I/3
3. Lösung transzendenter Gleichungen
Gleichungen, die transzendente Teile enthalten, lassen sich im allgemeinen nur numerisch lösen Maple
bietet für die numerische Lösung von Gleichungen beliebiger Art den Befehl f solve . Mit seiner Hilfe
versucht Maple, reelle Wurzeln der untersuchten Gleichung zu finden. Dabei wird in der Regel nur eine
Wurzel angegeben. Oft haben jedoch transzendente Gleichungen viele Wurzeln. Deshalb erwartet der
Befehl f solve als drittes Argument die optionale Angabe des zu betrachtenden Bereichs für die Suche
nach einer Wurzel.
¦ > f solve(x + arccoth(x) - 4 = 0,x,2..4), —> 3.724783628 aber
> f solve(a; + arccoth(x) - 4 = 0, x = 1.005); —> 1.005020099 B0 62)
4. Lösung von nichtlinearen Gleichungssystemen
Systeme von Gleichungen lassen sich mit denselben Befehlen solve und f solve lösen Dazu sind als
erstes Argument des Befehls alle Gleichungen in geschweifte Klammern zu fassen, als zweites
Argument erwartet der Befehl die Unbekannten, nach denen aufgelöst werden soll, ebenfalls in geschweiften
Klammern:
> solve({#/1,0/2,. }, {xl, x2, }); B0 63)
¦ > solve{{xA2-yA2 = 2,xA2 + yA2 = 4},{x,y}); B0 64)
{y = iiX = v^}, {y = l,x = -Vs},{y = -l,a; = V^}, {y = -l,x = -VS\
20.4 Anwendungen von Computeralgebrasystemen 1019
20.4.3 Elemente der linearen Algebra
20.4.3.1 Mathematica
In 20.2.4, S 989 wurden der Begriff der Matrix und eine Reihe von Operationen mit Matrizen auf
der Grundlage von Listen definiert Der Einsatz von Mathematica im Rahmen der Theorie linearer
Gleichungssysteme baut auf diesen Festlegungen auf Es sei im folgenden
p = Array[p, {m, n}] B0 65)
eine Matrix vom Typ (m, n) mit den Elementen pij = p[[i, j]], des weiteren seien
x = Array[x, {n}] und b = Arrayß, {m}] B0 66)
zwei n- bzw. m-dimensionale Vektoren. Mit diesen Definitionen läßt sich das allgemeine System
linearer inhomogener bzw. homogener Gleichungen schreiben (s. 4.4.2, S. 280)
p x==b p x==0 B0 67)
1. Spezialfall n = m , detp ^ 0
Im Spezialfall n = m , detp ^ 0 hat das inhomogene System eine eindeutige Lösung, die mit
x = Inverse[p].6 B0.68)
sofort gefunden werden kann. Mit Mathematica können Systeme dieser Art mit etwa 50 Unbekannten in
erträglicher, vom Computersystem abhängender Zeit, gelöst werden. Eine äquivalente, jedoch eventuell
schneller ermittelbare Lösung kann mit LinearSolve[p, b] gefunden werden.
2. Allgemeiner Fall
Mit den Anweisungen LmearSolve und NullSpace lassen sich alle in 4 4 2, S 280ff. beschriebenen
Fälle behandeln, d h , es läßt sich festzustellen, ob prinzipiell eine Lösung existiert, und wenn ja, dann
wird diese ermittelt Im Folgenden werden Beispiele aus 4 4.2 betrachtet
¦ A: Das Beispiel E auf S. 282
X\ — X2 + 5^3 — X4 = 0
X\ + X2 — 2x3 + 3x4 = 0
3xi — X2 + 8x3 + X4 = 0
xi + 3x2 — 9x3 + 7x4 = 0
hat als homogenes System nichttriviale Lösungen, die aus Linearkombinationen von Basisvektoren des
Nullraumes der Matrix p bestehen. Das ist jener Teilraum des n-dimensionalen Vektorraumes, der bei
Transformationen mit p auf die Null abgebildet wird Ein Satz solcher Basisvektoren läßt sich mit der
Anweisung NullSpace[p] erzeugen Mit der Eingabe
In[l] •= p = {{1, -1,5, -1}, {1,1, -2,3}, {3, -1,8,1}, {1,3, -9,7}}
erzeugt man die für das System zuständige Matrix, deren Determinante tatsächlich Null ist, was sich
mit Det[p] überprüfen läßt. Nun wird eingegeben
In[2] = NullSpace[p]
und als Ausgabe erscheint
0utß7 = {{-^,1,0}, {-1,-2,0,1}}
eine Liste mit zwei linear unabhängigen Vektoren des vierdimensionalen Raumes, die im
zweidimensionalen Nullraum der Matrix p eine Basis bilden Beliebige Linearkombinationen dieser beiden Vektoren
liegen ebenfalls im Nullraum, sind also Lösungen des homogenen Gleichungssystems. Ein Vergleich mit
der Lösung des betrachteten Beispiels E auf S 282 zeigt die Identität
¦ B: Man erzeugt gemäß Beispiel A, S. 281,
Xi — 2x2 + 3x3 — x4 + 2x5 = 2
3xi — X2 + 5x3 — 3x4 — £5 = 6
2xi + X2 4- 2x3 — 2x4 — 3x5 = 8
1020 20 Computeralgebrasysteme
die Matrix ml, die vom Typ C,5) ist und den Vektor bl
In [3] = ral = {{1,-2,3,-1,2},{3.-1,5,-3,-1},{2,1,2,-2,-3}},
In/#.= 61 = {2,6,8}:
Auf die Anweisung
In[Jf.] = LinearSolve[ral,61]
erscheint die Meldung
LinearSolve : : nosol Linear equation encountered which has no Solution
Danach wird die Eingabe nochmals ausgegeben
¦ C: Gemäß Beispiel B aus 4.4.2.1, S 281,
x\ — X2 + 2x3 = 1
Xi - 2x2 - x3 = 2
3xi — %2 + 5x3 = 3
-2a;i + 2x2 + 3x3 = -4
wird eingegeben
In[5] := m2 = {{1, -1,2}, {1. -2, -1}, {3, -1. 5}, {-2,2.3}};
InZ[7-=62 = {l,2,3,-4};
Da in diesem Fall das System überbestimmt ist, wird geprüft, ob sich die Matrix m2 aufgrund linearer
Abhängigkeiten der Zeilen reduzieren läßt. Mit
In[7] := RowReduce[ra2], —? Out [7] = {{1,0.0}, {0,1,0}, {0,0,1}, {0,0,0}}
geschieht das Danach gibt man ein
In[8] =LinearSolve[ra2,62],—> Out[8] = { — ,--,--}
Die Ausgabe enthält die bekannte Lösung
3. Eigenwerte und Eigenvektoren
In 4 5, S 286 sind Eigenwerte und Eigenvektoren von Matrizen definiert worden Mathematica bietet
die Möglichkeit, diese mit speziellen Anweisungen zu bestimmen So liefert Eigenvalues[m] eine Liste
der Eigenvektoren der quadratischen Matrix m, Eigenvectors[ra] eine Liste der Eigenvektoren von
m Setzt man anstelle von m aber N[ra], so erhält man die numerischen Eigenwerte. Bei Matrizen mit
der Ordnung n > 4 kann man im allgemeinen keine algebraischen Ausdrücke mehr erwarten, da die zu
lösende Polynomgleichung höher als vierten Grades ist Deshalb kann man in diesen Fällen nur nach
numerischen Werten fragen
¦ In[9] =/i = Table[l/(i+j-l),{i,5},{j,5}]
Das erzeugt eine 5 -dimensionale sogenannte HlLBERT-Matrix.
1 1 1 1 1 1 1 1. 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Out[9] - U1'2'3'4'5J'^2'3'4'5'6^'^3'4'5'6'7^' M'5'6'7'8^'^5'6'7'8'9^
Mit der Anweisung
In[10] •= Eigenvalues[/i]
antwortet Mathematica
Eigenvalues.:eival Unable to find all roots of the characteristic polynomial
Gibt man aber ein
In [11] •= Eigenvalues[N[/i]] ,
so erhält man
Out [11] = {1 56705,0 208534,0.0114075,0 000305898,3 287931(T6}
20 4 Anwendungen von Computeralgebrasystemen 1021
20.4.3.2 Maple
Die Maple-Bibliothek verfügt über die Spezialpakete linaig und LinearAlgebra. Bezüglich der
Unterschiede zwischen beiden Paketen muß auf die Dokumentation von Maple verwiesen werden. Nach
dem Befehl
> with(linalg) . B0 69)
stehen alle 100 Befehle und Operationen dieses Pakets für die Anwendung zur Verfügung. Wichtig ist,
daß bei Nutzung dieses Pakets Matrizen und Vektoren mit den speziellen Anweisungen matrix und
vector erzeugt werden sollten und nicht mit den allgemeineren Strukturen array.
Mit matrix(ra, n, s) wird eine m x n-Matrix erzeugt Fehlt s , so sind die Elemente dieser Matrix nicht
spezifiziert, können jedoch nachträglich durch Zuweisungen der Art A[i,j] = ... festgelegt werden. Ist
s eine Funktion / = f(i,j) der Indizes, so erzeugt Maple die Matrix mit diesen Elementen Schließlich
kann s eine Liste mit Listen der Elemente bzw. Vektoren sein. Die Definition von Vektoren erfolgt
analog mit vector(n, e) Ein Vektor ist eine 1 x n-Matrix, wird jedoch als Spaltenvektor interpretiert
Die Tabelle 20.19 gibt einen Überblick über einige wesentliche Operationen mit Matrizen und
Vektoren
Tabelle 20 19 Matrizenoperationen
transpose(j4) bestimmt die zu A transponierte Matrix
det(j4) bestimmt die Determinante der quadratischen Matrix A
mverse(A) bestimmt die zur quadratischen Matrix A inverse Matrix
adjoint(j4) bestimmt die zur quadratischen Matrix A adjungierte Matrix, d h
A &* adjoint(j4) = det(A).
mulcol(j4, s, ausdr) multipliziert die s-Spalte der Matrix A mit ausdr
mulrow(A, r, audr) multipliziert die r-te Zeile mit ausdr
Für die Addition von Vektoren und Matrizen steht der Befehl add(w, v, k, l) zur Verfügung. Er addiert
die jeweils mit k und / skalar multiplizierten Matrizen oder Vektoren u und v. Die optionalen Argumente
k und / können fehlen Die Addition funktioniert nur, wenn die entsprechenden Matrizen arithmetisch
verknüpfbar sind.
Die Matrizenmultiplikation wird mit multiply(w, v) ausgeführt oder mit der Kurzform &* (s 20 3 6.4,
S. 1005) als Infix-Operator.
1. Lösung linearer Gleichungssysteme
Zur Behandlung linearer Gleichungssysteme stellt Maple spezielle Operationen bereit, die im Paket für
linare Algebra enthalten sind. Speziell handelt es sich um linsolve(^, c) Das lineare
Gleichungssystem liegt in der Form
A-x = c B0.70)
vor, wobei A seine Matrix bezeichnet und c den Vektor der rechten Seite des Gleichungssystems
Besitzt das System keine Lösung, dann wird die Null-Sequenz Null zurückgegeben. Hat das System
mehrere linear unabhängige Lösungen, so werden diese in Parameterdarstellung wiedergegeben.
Die Operation nullspace(,4) findet eine Basis im Nullraum der Matrix A, der für eine singulare Matrix
von Null verschieden ist
Für die Lösung von Gleichungssystemen können auch die Operationen der Matrixmultiplikation und
die Bestimmung von inversen Matrizen benutzt werden.
¦ A: Es wird das Beispiel E aus 4 4 2.1,2., S 282, des homogenen Systems
X\ — X2 + 5X3 — X\ = 0
Xi 4- X2 — 2x3 -h 3x4 = 0
3^1 — X2 + 8x3 + £4 = 0
xi + 3x2 - 9.T3 + 7x4 = 0
1022 20. Computeralgebrasysteme
betrachtet, dessen Matrix singulär ist Das dort untersuchte homogene System besitzt nichttriviale
Lösungen Zur Lösung wird zunächst die Matrix A definiert
> A := matrix([[l, -1,5, -1], [1,1, -2,3], [3, -1,8,1], [1,3, -9, 7]]) .
Mit det(A) kann man sich überzeugen, daß sie singulär ist, und über
> a ¦= nullspace(^) —> a = j | ——, —, 1,01 , [-1, -2,0,1]|
kann die Liste zweier linear unabhängiger Vektoren bestimmt werden. Diese Vektoren bilden eine Basis
im zweidimensionalen Nullraum der Matrix A
Für den allgemeinen Fall stellt Maple Operationen zur Anwendung des GAUSSschen Algorithmus zur
Verfügung, die in Tabelle 20.20 aufgeführt sind
Tabelle 20.20 Operationen des GAUSSschen Algorithmus
pivot(j4, i, j) erzeugt aus A durch Addition von Vielfachen der i-ten Zeile zu allen
anderen Zeilen eine Matrix, deren j-te Spalte außer A^ aus Nullen besteht
gausselim(^4) erzeugt die durch Zeilenpivotisierung entstehende GAUSSsche
Dreiecksmatrix Die Matrixelemente müssen rationale Zahlen sein
gauss j ord(A) erzeugt eine Diagonalmatrix nach dem GAUSS-JORDAN- Verfahren, die
Matrixelemente können Gleitpunktzahlen sein
augment(,4, u) erzeugt die Matrix, die durch Anfügen einer Spalte (gegeben durch den
Vektor u) aus A entsteht
Hat man ein Gleichungssystem mit gleicher Anzahl von Gleichungen und Unbekannten sowie nichtsin-
gulärer Matrix, so löst man das System mit lmsolve
¦ B: Es soll das System aus 19 2 1 4,2., S 922
10xi - 3x2 - 4x3 + 2x4 = 14
-3xi + 26x2 + 5x3 - x4 = 22
—4xi + 5x2 + 16x3 + 5x4 = 17
2zi + 3x2 - 4^3 - 12x4 = -20
gelöst werden Hier ist
> A := matnx([[10, -3, -4, 2], [-3,26,5, -1], [-4, 5,16,5], [2,3, -4, -12]])
> v := vector([14,22,17, -20]) •
Mit linsolve erhält man
> linsolve(yl, v);, -
Der Gauss-Algorithmus wird mit
i>i»
> F = gaussjord(augment(,4,i>));,
F-=
1000^
2
0 1001
OOloi
000 12
angewendet
¦ C: Es soll das inhomogene Gleichungssystem des Beispiels B aus 4 4.2 1,2., S 281 für das
inhomogene System
X\ — X2 + 2X3 = 1
xi - 2x2 - x3 = 2
3xi — x2 4- 5x3 = 3
-2xi + 2x2 + 3x3 = -4
20 4 Anwendungen von Computeralgebrasystemen 1023
gelöst werden. Dazu werden zunächst die zugehörige Matrix und der Vektor der rechten Seite definiert
> A =matnx([[l,-l,2],[l,-2,-l],[3,-l,5],[-2,2,3]]) :
> v := vector([l,2,3, -4]) •
Das System ist überbestimmt. Um es zu lösen, kann lmsolve nicht benutzt werden Daher bestimmt
> F := augment(yl, v);; -
F:=
1-1 2 11
1-2-1 2
3-153
-2 2 3-4
Mit gaussjord kann die Matrix F in eine obere Dreiecksform gebracht werden-
10-
> Fl = gaussjord(F),,-
Fl :=
1 00
0 10
00 1-
000
Der Lösungsvektor ist unmittelbar aus Fl ablesbar.
2. Eigenwerte und Eigenvektoren
Maple stellt mit eigenvals und eigenvects spezielle Operatoren für die Bestimmung von Eigenwerten
und Eigenvektoren quadratischer Matrizen bereit Dabei ist zu beachten, daß die Eigenwertgleichung
bei Matrizen der Ordnung n > 4 im allgemeinen nicht mehr geschlossen lösbar ist. Daher liefert Maple
in diesem Fall die Eigenwerte als genäherte Gleitpunktzahlen
¦ Es sind die Eigenwerte der 5-dimensionalen HiLBERT-Matrix (s. 20.4.3.1,3., S. 1020) zu finden
Im Paket lmalg ist eine spezielle Anweisung zur Erzeugung n-dimensionaler HiLBERT-Matrizen
vorhanden Sie lautet hilbert(n, x) Ihre Matrixelemente sind l/(i + j — x) Wird x nicht angegeben, so
setzt Maple automatisch x — 1 Die Aufgabe wird daher mit der Eingabe
> eigenvals(hilbertE)),
gelöst Maple antwortet mit
RootOf (-1 + 307505_Z - 1022881200_Z2 + 92708406000_Z3
-476703360000_Z4 + 266716800000_Z5)
Mit allvalues kann man dies in eine Folge genäherter Eigenwerte umwandeln. ?
20.4.4 Differential- und Integralrechnung
20.4.4.1 Mathematica
In 20 2 8, S 994 wird der Begriff der Ableitung als Funktionaloperator erläutert. Mathematica verfügt
über eine Vielzahl von Möglichkeiten, um Operationen der Analysis wie die Bestimmung von
Differentialquotienten beliebiger Ordnung, partieller Ableitungen, die Bildung vollständiger Differentiale,
unbestimmter und bestimmter Integrale, Reihenentwicklung von Funktionen sowie die Lösung einer
Reihe von Differentialgleichungen durchzuführen.
1. Berechnung von Differentialquotienten
1. Operator der Differentiation Der Differentiationsoperator von Mathematica (s. 20 2 8, S 995)
wurde als Derivative eingeführt Seine vollständige Schreibweise lautet
Derivative[ni, 7i2,.. •] B0.71)
Die Argumente geben an, wie oft nach der jeweiligen Variablen differenziert werden soll. In diesem Sinne
handelt es sich um einen Operator der partiellen Differentiation. Mathematica versucht die Darstellung
des Ergebnisses als reine Funktion.
1024 20 Computeralgebrasysteme
2. Differentiation von Funktionen Die Differentiation einer vorgegebenen Funktion kann
vereinfachend durch den Operator D durchgeführt werden. Mit D[/[a:],x] wird die Ableitung der Funktion
f(x) angegeben.
D gehört zu einer Gruppe von Differentialoperationen, die in Tabelle 20.21 aufgeführt sind
Tabelle 20.21 Operationen der Differentiation
D[/[a:], {x. n}] liefert die n-te Ableitung der Funktion f(x) Entsprechend liefern
D[/, {xi. ri\}, {^2, r^}, • •] mehrfache Ableitungen jeweils r^-mal nach Xi (i = 1,2, • • •)
Dt [/] das vollständige Differential der Funktion /
Dt [/, x] die vollständige Ableitung — der Funktion
Dt [/, x\, X2, ] das vollständige Differential einer Funktion mehrerer Veränderliche!
Für die beiden Beispiele aus 6 1 2 2 S 397 eihält man
¦ A In[l] : = D[Sqrt[xA3 Exp[4x] Sinja:]], x]
E4xx2 (xCos[x}+3Sm[x}+4xSi.n[x})
0ut[1J ~ 2Sqrt[E4^3Sm[a:]]
¦ B : In[2] • = D[B.x + 1)aCt), x]
Out[2] = 6x{l + 2a:)+3x + 3 A + 2xfx Log[l + 2x]
Die Anweisung Dt liefert die vollständige Ableitung bzw das vollständige Differential
¦ C • In[3] . - Dt[xA3 + yA3] —>
Out [3] = 3x2Dt[x] + 3y2üt[y]
¦ D. In[4J --Dt[xA3 + 2/A3,x] —> Out[4] = 3x2 + 3y2Dt[y<x]
Mathematica nimmt in diesen letzten Beispielen an, daß y eine Funktion von x ist, die es jedoch nidit
kennt, und schreibt den zweiten Teil der Ableitung deshalb wieder symbolisch.
Wenn Mathematica bei der Differentiation auf eine symbolische Funktion stößt, beläßt es diese in der
allgemeinen Form und drückt die Ableitung in der Form /' aus
¦ E In[5] -=D[xf[x]A3,x] —> 0ut[5] = f[x]3+ 3xf[x]2f'[x]
Mathematica kennt die Regeln für die Differentiation von Produkten. Quotienten und die Kettenregel
und kann diese auch formal anwenden.
¦ F In[6] •= D[f\m\x\] x] Out[6] = f'fubl] u\x]
G In[7] := D[u[x]/v[.t].x] Out[7] =
u' kr
v[x] v[x]2
2. Unbestimmte Integrale
Mit der Anweisung Integrate[/, x] versucht Mathematica, das unbestimmte Integial / f(x)dx zu b(>-
stimmen Wenn das Integral Mathematica bekannt ist. gibt es dieses ohne die Integrationskonstanto
wieder Mathematica nimmt an, daß jeder Ausdruck, der die Integrationsvariable nicht enthält, auch
nicht von dieser abhängt Im allgemeinen findet es unbestimmte Integrale, wenn sich diese durch
elementare Funktionen, wie rationale Funktionen, Exponential- und Logarithmusfunktionen sowie den
trigonometrischen und deren inversen Funktionen ausdiückcn lassen. Wenn Mathematica nicht in der
Lage ist, das Integral zu bestimmen, gibt es die Eingabe zurück Allerdings kennt Mathematica
einige spezielle Funktionen, die durch nicht elementar bestimmbare Integrale definiert sind, wie z B die
elliptischen Funktionen und andere.
20 4 Anwendungen von Computeralgebrasystemen 1025
r smx . f vuv
/ . dx — — / —7= mit t = cos x
J x/coso: J ¦
Zur Demonstration der Möglichkeiten von Mathematica werden einige Beispiele aus 8.1, S. 444ff.
behandelt.
1. Integration gebrochenrationaler Funktionen (s. 8.1.3 3, S. 449ff.)
¦ A : In[l]:= Integrate[Bx + 3)/(zA3 + xA2 - 2x), x]
0ut[l] = 5L°g[~1+a:] _ 3L°gM _ L°g[2 + *1
3 2 6
¦ B : In[2] • = Integrate[(a;A3 + l)/{x(x - l)A3),x]
Out [2] = - (-1 + x)~2 -^— + 2Log[-l + z] - Logfx] B0.72)
—1 + x
2. Integration trigonometrischer Funktionen (s 8 1 5, S. 455ff )
¦ A: Es wird das Beispiel A in 8 1 5 2, S 456 mit dem Integral
/ sin2 x cos5 x dx = / sin2£ A — sin2 xJ cosx (ix = t2(l — t2Jdt mit £ = sin:r
betrachtet:
In[3] = Integrate[Sin[x]A2Cos[x]A5,a;]
5Sin[x] Sin[3x] 3Sm[5x] Sin[7i]
Ut ~ —64 192 32Ö 448
¦ B: Es wird das Beispiel B in 8.1.5.2, S 456 mit dem Integral
sinx f dt
, dx — — / —7:
/coso; J y/t
betrachtet
In[4J := Integrate[Sin[a;]/Sqrt[Cos[x]],a;]
Out [4] = -2Sqrt[Cos[x]]
3. Hinweis: Im Falle nichtelementarer Integrale versucht Mathematica diese durch ihm bekannte
spezielle Funktionen (deren es eine Vielzahl gibt) auszudrücken. Ist das nicht möglich, so wird das
Integral unverändert zurückgegeben.
¦ In[5] := Integrate[xAx,x] —> Out [5] = Integrate[xx,x]
3. Bestimmte Integrale, Mehrfachintegrale
1. Bestimmte Integrale Mit der Anweisung Integratej/, {x,xa,xe}] kann Mathematica das
bestimmte Integral der Funktion f(x) mit der unteren Grenze xa und der oberen Grenze xe bestimmen.
¦ A : In[l] := Integrate[Exp[—x2], {x, —Inf lnity, Inf lnity}]
0utfl7 = Sqrt[Pi]
Mathematica liefert den Wert tt (s. Tabelle 21.8, S. 1086, Nr. 9 für a = 1).
¦ B: Gibt man aber ein
In[2] : = Integrate[l/xA2, {x, -1,1}], so wird
Out [2] = 00
unendlich, da es sich um ein uneigentliches Integral mit einem Pol des Integranden bei x = 0 handelt.
Bei der Berechnung bestimmter Integrale ist Vorsicht geboten Wenn man die Eigenschaften des
Integranden nicht kennt, sollte man sich vor der Integration eine Graphik der Funktion im interessierenden
Bereich anfertigen.
2. Mehrfachintegrale Zweifache bestimmte Integrale ruft man mit der Anweisung
Integrate[f [x, y], {x, xa, xe}, {y, ya, ye}] B0.73)
1026 20 Computeralgebrasysteme
auf Die Abarbeitung erfolgt von rechts nach links, zunächst wird also die Integration über y
durchgeführt Die Grenzen ya und ye können daher Funktionen von x sein, die in die Stammfunktion
eingesetzt werden Danach wird das Integral über x bestimmt
¦ Für das Integral A zur Berechnung einer Fläche zwischen Parabel und einer, diese zweifach
schneidenden Geraden, in 8.4.1.2, S. 489, erhält man
32
In[3] .= Integrate[x yA2, {x.0,2}. {y,xA2,2x}} —> 0ut[3] = —
Auch hier ist Aufmerksamkeit in bezug auf Unstetigkeiten der beteiligten Funktionen geboten
4. Lösung von Differentialgleichungen
Mit Mathematica können gewöhnliche Differentialgleichungen symbolisch behandelt werden, wenn eine
Lösung in geschlossener Form prinzipiell möglich ist In diesem Fall liefert Mathematica in der Regel
die Lösung. Die hierfür zutreffenden Befehle sind in Tabelle 20.22 aufgelistet
Tabelle 20 22 Anweisungen zur Lösung von Differentialgleichungen
T)Solve[dgl, y[x],x] löst eine evtl implizite Darstellung der Lösung der
Differentialgleichung nach y[x] auf (falls möglich)
DSolve[d#/, y, x] liefert die Lösung der Differentialgleichung in Form einer reinen
Funktion
DSolve[{d^/i, dgl2, . }, y, x] löst ein System gewöhnlicher Differentialgleichungen
Die Lösungen werden (s 9 1,1., S 504) mit den entsprechenden willkürlichen Konstanten C[i] als
allgemeine Lösungen dargestellt Anfangswerte oder Randbedingungen können in den Teil der Liste der
die Gleichung bzw Gleichungen enthält, mit eingefügt werden In diesem Falle erhält man eine spezielle
Lösung.
Als Beispiele werden hier zwei Differentialgleichungen aus 9 1 1 2, S 506 betrachtet
¦ A: Es ist die Lsung der Differentialgleichung y'(x) — y(x) tanx = cosx zu bestimmen
In/17 .= DSolve[y'{x] - y[x) Tan[x] == Cos[x],?/,x]
Mathematica löst diese Gleichung und gibt die Lösung als reine Funktion mit einer
Integrationskonstanten C[l] wieder
Out[lJ = {{y -. p^lwl[MSl«>t[11]DC(l) + Si4iSlot[ll] + 2Slat[l])]}}
Das Symbol Slot steht für #, es ist dessen FullForm.
Verlangt man, daß die Lösung für y[x] bestimmt wird, dann liefert Mathematica
ri/~ r, rSec[x] B.T + 4CA) + Sin[2d),
In[2] :=y[x}/ %1 —> 0ut[2] = { U-± -^ [-J1}
Man hätte in diesem Beispiel die Substitution auch für andere Größen, wie etwa y'[x] oder y[l]
durchführen können Hier wird der Vorteil der Benutzung reiner Funktionen deutlich
¦ B: Es ist die Lösung der Differentialgleichung y'(x)x(x — y(x)) + y2(x) = 0 (s. 9.1.1.2,2., S. 506) zu
bestimmen
In[3] = DSolve[y'[x] x(x - y[x\) + y[x]A2 == 0,y[x],x]
Mathematica meldet-
InverseFunction . • if un Inverse Functions are beeing used Values may be lost
x
Hier ist ProductLogjz] der Hauptwert der Lösung von z = wew inw .
In solchen Fällen kann man nach numerischen Lösungen (s 19 8 4 1 5., S 978) suchen Auch im Falle
der symbolischen Lösung von Differentialgleichungen darf man wie bei der Berechnung unbestinimtei
Out [3] = < < y[x]-> -xProductLog
20.4 Anwendungen von Computeralgebrasystemen 1027
Integrale Mathematica nicht überfordern. Wenn die Resultate nicht als algebraischer Ausdruck
elementarer Funktionen darstellbar sind, bleibt nur der Weg, numerische Lösungen zu suchen
Mit DSolve[#/ezc/i, y\x\,..., xn], {x\, ,xn}] können auch partielle Differentialgleichungen gelöst
werden.
20.4.4.2 Maple
Maple verfügt über eine Vielzahl von Möglichkeiten zur Behandlung von Aufgaben der Analysis
Neben der Differentiation von Funktionen gehören dazu die Berechnug unbestimmter und bestimmter
Integrale, die Berechnung mehrfacher Integrale und die Entwicklung von Funktionen in Potenzreihen
Grundelemente der Theorie analytischer Funktionen werden zur Nutzung angeboten Zahlreiche
Differentialgleichungen können gelöst werden
1. Differentiation
In 20 3 7, S 1005ff. wird der Operator der Differentiation D eingeführt Seine Anwendung mit
verschiedenen optionalen Argumenten gibt die Möglichkeit, Funktionen in Operatordarstellung zu
differenzieren
Seine vollständige Syntax lautet*
D[i](/) B0 74a)
Hierdurch wird die partielle Ableitung der (Prozedur-) Funktion / nach der i-ten Variablen bestimmt.
Das Resultat ist wiederum eine Funktion in Prozedurdarstellung D[i, j](f) ist äquivalent zu
D[i](D[;1(/))undD0(/) = /. B0 74b)
Das Argument / ist dabei ein als Prozedur behandelter Funktionsausdruck. Dieser kann neben
vordefinierten Funktionen auch selbstdefinierte Funktionsnamen, mit Pfeiloperatoren definierte Funktionen
usw enthalten.
¦ Es sei
> / =(x,y)—> exp(x * y) + sin(x + y) :
Dann wird
> D[](/), — /
> D[l](/); —> (x,y)-> y exp(x y) + cos(x + y)
> D[2](/), —? (x.y)—> x exp(x y) + cos(a: + y)
> D[l,2](/); —> (x,y)-> exp(x y) + x y exp(x y) - sm(x + y)
Neben dem Operator der Differentiation existiert die Operation dif f mit der Syntax
diff(ausdr.xl,x2, ,xn) B0 75a)
Hier ist ausdr ein algebraischer Ausdruck in den Variablen xl,a:2, Das Resultat ist die partielle
Ableitung des Ausdrucks nach den Variablen xl,.. ,xn. Wenn n > 1 ist, dann erhält man das gleiche
Resultat durch Mehrfachanwendung der Operation dif f:
dif f (a, zl, z2) = dif f (dif f (a, zl), x2) B0 75b)
Mehrfache Differentiation nach ein und demselben Argument kann mit dem Folgenoperator $
dargestellt werden.
¦ > diff(sin(.T),x$5); (= diff(sm(x),x,x,x,x,x)) —? cos(x)
Ist die Funktion f(x) nicht definiert, dann liefert die Operation dif f die auftretenden Ableitungen
symbolisch —f(x)
dx
> diif(f(x)/g(x)),
g(x) g(xJ
> diff(x*/(x),x); — f{x)+x—f{x)
1028 20. Computeralgebrasysteme
2. Unbestimmte Integrale
Wenn zu einer gegebenen Punktion f(x) die Stammfunktion F(x) als Ausdruck elementarer
Funktionen darstellbar ist, kann Maple diese nach dem Aufruf int(/, x) in der Regel finden. Die Integrations-
konstante wird nicht ausgegeben. Ist die Stammfunktion Maple in geschlossener Form nicht bekannt,
so gibt es den Integranden zurück Maple kennt jedoch viele Spezialfunktionen und wird, sofern das
möglich ist, diese für den Rückgabewert einsetzen Anstelle des Operators int kann auch die Langform
mtegrate benutzt werden.
1. Integrale gebrochenrationaler Funktionen
¦ A . > int(B * x + 3)/(xA3 + xA2 - 2 * x), x\ —? ~ \n{x) - \ ln(x + 2) + \ \n(x - 1)
2 6 3
¦ B : > mt((xA3 + l)/(x * (x - 1)A3),x); —+ - ln(ar) - , * l—- + 2ln(x - 1)
(x — \y x — i
2. Integrale von Wurzelfunktionen Mit Maple können die in den Tabellen Unbestimmte Integrale
(S 1053ff.) dargestellten Integrale entsprechend bestimmt werden.
¦ Setzt man > X = sqrt(xA2 — aA2) -so findet man
1 r-n ö 1
> int(X,z); —? -xVx2 - a2 - -o2 ln(x + Vx2 - a2) B0 76)
> int(X/x, x), —? y/x2 — a2 — aarcsec ( - J
> int(X*z,aO; —+ Ux2 - a2K/2
3. Integrale mit trigonometrischen Funktionen
¦ A: > int(xA3 * sin(a*x),x),
-a3x3 cos(ax) + 3a2x2 sin(ax) - 6 sin(ax) + 6ax cos(ax)
__ /.,/// \\An \ 1 cos(ax) 1 ln(csc(ax) - cot(ax)
¦ B: > int(l/(sin(a*x))A3,x); —> --—r4—^ + -— — —-
wv v n ' 2asin(axJ 2 a
4. Hinweis: Im Falle nichtelementarer Integrale (die auch durch dem System bekannte
Spezialfunktionen nicht dargestellt werden können) wird lediglich eine Umformung vorgenommen.
¦ > mt(xAx,x); so erhält man xx dx,
denn dieses Integral ist elementar nicht darstellbar
3. Bestimmte Integrale, Mehrfachintegrale
1. Bestimmte Integrale Zur Berechnung bestimmter Integrale ist der Befehl int mit dem zweiten
Argument x = a.. b zu verwenden Hier ist x die Integrationsvariable, und a.. b gibt die untere und
obere Grenze des Integrationsbereiches an
¦ A. > mt(a;A2,a; = a..ö); —> -b3 - -a3
> int(xA2,x = 1..3); —> —
¦ B. > iiit(exip(—xA2),x = —infinity..infinity), —> y/n
¦ C: > int(l/3A4,s = -l-.l); —? oo
Wenn Maple das Integral symbolisch nicht lösen kann, gibt es die Eingabe zurück In diesem Fall kann
man versuchen, eine numerische Integration (s. 19 3, S. 925ff.) durchzuführen
20 4 Anwendungen von Computeralgebrasystemen 1029
2. Mehrfachintegrale Auch Mehrfachintegrale können, soweit explizit möglich, mit Maple
berechnet werden, indem man die Operation int entsprechend oft (verschachtelt) anwendet
¦ A- > int{mt(xA2 + yA2*exip(x + y),x)}y);
)-xzy + ex+y(x + yf - 2(x + y)et+y + 2ex+y - 2 ((z + y)ex+y - ex+y) x + ex+yx2
32
¦ B. > int(int(x*?/A2,?/ = :rA2. 2*x),x = 0 .2), —> —
5
4. Lösung von Differentialgleichungen
Mit der Operation dsolve in ihren verschiedenen Formen bietet Maple die Möglichkeit,
gewöhnliche Differentialgleichungen und Systeme symbolisch zu lösen Die Lösung kann sowohl als allgemeine
Lösung als auch als spezielle Lösung für vorgegebene Anfangsbedingungen erhalten werden Die Lösung
wird entweder explizit oder implizit als Funktion eines Parameters angegeben. Der Operator dsolve
erlaubt als letztes Argument die in Tabelle 20.23 dargestellten Optionen
Tabelle 20 23 Optionen der Operation dsolve
explicit liefert die Lösung, falls möglich, in expliziter Form
laplace verwendet die LAPLACE-Transformation zur Lösung
series benutzt die Zerlegung in Potenzreihen zur Lösung.
numeric liefert als Ergebnis eine Prozedur zur Berechnung numerischer Lösungswerte.
1. Allgemeine Lösung
> dsolve(dif f (y(x), x) — y(x) * tan(x) = cos(x), y(x))\ B0.77a)
= lcos(.)sin(.) + * + 2_Cl
yy ' 2 cos(:e) v ;
Maple liefert die allgemeine Lösung mit einer Konstanten in expliziter Form. Im folgenden Beispiel wild
die Lösung implizit angegeben, da die Auflösung der definierenden Gleichung nach y{x) nicht möglich
ist. Die zusätzliche Option explicit führt hier zu keinem Ergebnis.
> dsolve(dif f (y(x), x) * (x - y(x)) + y(x)A2, y(x)), B0 78a)
e~y^)x - Ei A, -M = _C\ B0.78b)
V y(x)J
2. Lösung mit Anfangsbedingungen Es wird die Differentialgleichung y' - ex — y2 = 0 mit
?/@) = 0 betrachtet. Hier wird die Option series eingesetzt Dabei ist zu beachten, daß diese Option
die Anfangsbedingungen bei x = 0 erwartet. Das gleiche gilt für die Option laplace .
> dsolve({dif f (y(x), x) - exp(x) - y(x)A2, y@) = 0}, y(x), series), B0 79a)
1 1 7 Q1
y(x) = x+-x> + -x* + -x* + —x5 + 0(x6) B0 79b)
Man erkennt, daß Gleichung und Anfangsbedingungen in geschweifte Klammern einzuschließen sind
Das gleiche gilt für die Behandlung von Systemen von Differentialgleichungen.
1030 20. Computeralgebrasysteme
20.5 Graphik in Computeralgebrasystemen
Mit der Bereitstellung von Routinen für die graphische Darstellung mathematischer Zusammenhänge
in Form von Funktionsgraphen, räumlichen Kurven und räumlichen Flächen bieten moderne
Computeralgebrasysteme vielschichtige Möglichkeiten zur Kombination von Formelmanipulationen, speziell
im Bereich der Analysis und Vektorrechnung bis zur Differentialgeometrie, und graphischen
Darstellungen.
20.5.1 Graphik mit Mathematica
20.5.1.1 Grundlagen des Graphikaufbaus
Mathematica baut graphische Objekte aus eingebauten Graphik-Primitiven auf. Das sind Objekte wie
Punkte (Point), Linien (Line) und Polygone (Polygon) sowie Eigenschaften dieser Objekte wie Dicke
und Farbe.
Des weiteren verfügt Mathematica über viele Optionen, die angeben, in welcher Umgebung und in
welcher Art die graphischen Objekte dargestellt werden sollen.
Mit dem Befehl Graphics[/is£e], wobei liste eine Liste graphischer Primitiven ist, wird Mathematica
aufgefordert, eine Graphik aus den aufgelisteten Objekten zu erstellen Der Objektliste kann eine Liste
von Optionen für die Art der Darstellung folgen.
Mit der folgenden Eingabe
In[l] :=g = Graphics[{Line[{{0,0}, {5,5}, {10,3}}], Circle[{5,5}, 4], B0 80a)
Text[FontForm["Beispiel","Helvetica-Bold",25], {5,6}]}, AspectRatio-> Automatic] B0.80b)
wird eine Graphik aus folgenden Elementen aufgebaut.
a) Linienzug von zwei Linien, beginnend im Punkt @,0) über den Punkt E,5) zum Punkt A0,3)
b) Kreis mit dem Mittelpunkt im Punkt E,5) und dem Radius 4.
c) Text mit dem Inhalt „Beispiel", geschrieben im Schriftfont Helvetica-Bold (der Text erscheint zum
Bezugspunkt E,6) zentriert).
Mit dem Aufruf Show[g] liefert Mathematica das Bild der erzeugten Graphik
D • • i \ (Abb.20.1) Hierbei werden gewisse Voreinstellungen der Graphikoptionen
* » benutzt Im gegebenen Fall wurde die Option AspectRatio auf Automatic
gesetzt Ihre Voreinstellung lautet 1/GoldenRatio Das entspricht einem
Verhältnis zwischen der Ausdehnung in der x-Richtung zu dem der y-Richtung
von 1 : 1/1,618 = 1 • 0,618. Mit dieser Einstellung wäre der Kreis verzerrt
als Ellipse dargestellt worden. Die Einstellung dieser Option auf Automatic
Abbildung 20.1 bewirkt, daß die Darstellung unverzerrt erfolgt.
20.5.1.2 Graphik-Primitive
Mathematica stellt die in Tabelle 20.24 aufgelisteten zweidimensionalen Graphikobjekte zur Nutzung
Tabelle 20.24 Zweidimensionale Graphikobjekte
bereit.
Point[{:r, y}]
Line[{{xi,2/i},{x2,2/2},...}]
Rectangle[{xiu, yiu}, {x
roi Vrojl
Polygon[{{xi,2/i}, {x2,2/2}, • • •}]
Circle"
Circle
Circle
Circle
{xiy},r,{a1,a2}]
{x,y},{a,b}}
{x,y},{a,b},{ai,a2}}
Disk[{x,y},rJ
Text[text, {x,y}]
Punkt an der Position x, y
Linienzug durch die angegebenen Punkte
ausgefülltes Rechteck mit den angegebenen Koordinaten links
unten, rechts oben
ausgefülltes Polygon mit den angegebenen Eckpunkten
Kreis mit dem Radius r um den Mittelpunkt x, y
Kreisbogen mit den jeweiligen Begrenzungswinkeln
Ellipse mit den Halbachsen a und b
elliptischer Bogen
ausgefüllte Kreise bzw Ellipsen (anstelle von r
Halbachsenangabe)
ergibt text zentriert auf den Punkt x, y
20.5 Graphik in Computeralgebrasystemen 1031
Neben diesen Objekten bietet Mathematica für die Art der Darstellung weitere Primitiven, die
Graphikanweisungen Sie legen fest, wie die Graphikobjekte dargestellt werden Zu ihnen gehören die in
Tabelle 20.25 aufgelisteten Anweisungen.
Tabelle 20 25 Graphikanweisungen
PomtSize[a] Punkte werden mit dem Radius a als Bruchteil der
Gesamtbildgröße gezeichnet
AbsolutePomtSizeß] zeichnet die Punkte mit dem absoluten Radius b (gemessen in
Druckerpunkten pt)
Thickness[a] zeichnet Linien mit der relativen Breite a
AbsoluteThicknessß] zeichnet Linien mit der absoluten Breite b (ebenfalls in pt)
Dashing[{ai,a2,a3,...}] zeichnet Linien als sich wiederholende Folge von Strichen der
angegebenen Länge (in relativem Maß)
AbsoluteDashmg[{6i, b2,...}] das gleiche wie vorstehend, aber in absolutem Maß bestimmt die
GrayLevel[p] die Graustufe des Objekts (p = 0 ergibt schwarz, p = 1 weiß)
Darüber hinaus gibt es Anweisungen für Farbeinstellungen, auf die hier nicht eingegangen wird
20.5.1.3 Graphikoptionen
Mathematica bietet eine Vielzahl von Graphikoptionen, die die Gestaltung des Bildes als Gesamtheit
betreffen In Tabelle 20.26 ist eine Auswahl der wichtigsten gegeben. Für eine umfassende Darstellung
wird auf [20.5] verwiesen.
Tabelle 20 26 Einige Graphikoptionen
AspectRatio —> w
Axes —> True
Axes —> False
Axes —> {True,False}
Frame —> True
GridLines —> Automatic
AxesLabel-> {xsymbol,ysymboi}
Ticks —> Automatic
Ticks -> {{xi,x2i },{j/i
2/2,
setzt das Verhältnis w von Höhe zu Breite. Automatic
bestimmt w aus den absoluten Koordinaten, Voreinstellung
ist w = 1/GoldenRatio
setzt Koordinatenachsen
setzt keine Koordinatenachsen
zeichnet nur die x-Achse
erzeugt Rahmen
erzeugt Gitterlinien
beschriftet die Achsen mit dem angegebenen Symbol
setzt Skalierungsstriche automatisch, mit None werden
diese unterdrückt
}} an den angegebenen Stellen werden Skalenmarken gesetzt
20.5.1.4 Syntax der Graphikdarstellung
1. Aufbau von Graphikobjekten
Wenn ein graphisches Objekt aus den Primitiven aufgebaut werden soll, ist zunächst eine Liste der
entsprechenden Objekte mit ihren Hauptangaben zu erstellen, etwa in der Form
{objekti,objekt2,...}, B0.81a)
wobei die Objekte selbst wieder Listen von Graphikobjekten sein können. So sei Objekt 1 z B.
In[l] := ol - {Circle[{5,5}, {5,3}], Line[{{0,5}, {10, 5}}]}
und entsprechend
In[2] =o2 = {Circle[{5,5},3]}.
Will man eines der Graphikobjekte, etwa o2, mit speziellen Graphikanweisungen versehen, so ist es mit
der entsprechenden Anweisung in einer Liste zusammenzufassen
In[3] •= o3 = {Thickness[0.01],o2}.
1032 20 Computeralgebrasysteme
Die Anweisung gilt für alle nachfolgenden Objekte in der gleichen Klammer, auch für eventuell weiter
verschachtelte, jedoch nicht für solche außerhalb der Listenklammer.
Aus den erzeugten Objekten werden zwei unterschiedliche Graphiklisten festgelegt
In[4J .= gl = Graphics[{ol,o2}] ; g2 = Graphics[{ol,o3}]; ,
die sich im zweiten Objekt durch die Strichdicke des Kreises unterscheiden. Mit dem Aufruf
Show[pl] und Show[#2,Axes -> True] B0 81b)
erhält man die in Abb.20.2 dargestellten Bilder.
Beim Aufruf des Bildes Abb.20.2b wurde die Option Axes -> True eingefügt Das führt zur
Ausgabe des Achsenkreuzes mit einer von Mathematica gewählten Markierung auf den Achsen und der
entsprechenden Skalierung.
b) 2 4 6 8 10
Abbildung 20.2
Abbildung 20.3
2. Graphische Darstellung von Funktionen
Mathematica stellt spezielle Anweisungen für die graphische Darstellung von Funktionen zur
Verfügung. Mit
Plot[f [x], {x, xmin, xmax}} B0 82)
wird die Funktion f(x) im Bereich zwischen x = xmin und x = xmax graphisch dargestellt Mathematica
erstellt nach internen Algorithmen eine Funktionstabelle und gibt die sich daraus ergebende Graphik
über die Graphikprimitiven zurück.
¦ Wenn die Funktion sin2x im Bereich zwischen —27T und 1-k graphisch dargestellt werden soll, ist
einzugeben
In[5] := Plot[Sin[2x], {x, -2Pi, 2Pi}]
Mathematica liefert die in Abb.20.3 dargestellte Kurve
Man erkennt, daß Mathematica bei der Darstellung gewisse voreingestellte Graphikoptionen benutzt So
werden automatisch Achsen gezeichnet, diese entsprechend skaliert und mit x- und y-Werten versehen
An diesem Beispiel erkennt man auch die Wirkung der Voreinstellung von AspectRatio. Das Verhältnis
der Gesamt breite zur Gesamthöhe entspricht 1 : 0,618 Mit dem Befehl InputForm[%] kann man sich
die volle Darstellung des Graphikobjektes anzeigen lassen Man erhält für das betrachtete Beispiel die
Ausgabe:
Graphics[{{Line[{{-6 283185307179587,4 90059381963448* 10A - 16},
Liste vieler Punkte aus der von Mathematica berechneten Funktionstabelle
{6 283185307179587, -D.90059381963448* 10A - 16)}}]}},
{PlotRange—> Automatic, AspectRatio—> GoldenRatioA(—1),
DisplayFunction > $DisplayFunction,ColorOutput—> Automatic,
Axes—> Automatic, AxesOrigm—> Automatic, PIotLabe 1—> None,
AxesLabel—> None,Ticks—> Automatic, GridLmes—> None, Prolog—> {},
Epilog—> {}, AxesStyle—> Automatic,Background—> Automatic,
DefaultColor—> Automatic,DefaultFont :> $DefaultFont,
20 5 Graphik in Computeralgebrasystemen 1033
RotateLabel—> True, Frame—> False,FrameStyle—> Automatic,
FrameTicks—> Automatic, FrameLabel—> None,PlotRegion—> Automatic}]
Das Graphikobjekt besteht demzufolge aus zwei Unterlisten. Die erste enthält die Graphikprimitive
Line , mit der die nach dem internen Algorithmus berechneten Kurvenpunkte durch Linien miteinander
verbunden werden Die zweite Unterliste enthält die für die gegebene Graphik benutzten Optionen Das
sind die Voreinstellungen. Soll das Bild in bestimmten Positionen bei der Wiedergabe verändert werden,
so sind die veränderten Optionseinstellungen in die PI ot-Anweisung nach den beiden Haupteingaben
anzuschließen. Mit
In[6] := Plot[Sin[2n;], {x, -2Pi, 2Pi}, AspectRatio-> 1] B0 83)
würde die Wiedergabe mit absolut gleich großen x- und y-Bereichen erfolgen.
Man kann mehrere Optionen gleichzeitig hintereinander angeben
Mit der Eingabe
Plot[{f1[x]J2[x], }, {x,xmin,xmax}] B0 84)
werden mehrere Funktionen in eine Graphik gezeichnet
Mit der Anweisung
Shou\plot. Optionen] B0.85)
kann ein früher erzeugtes Bild erneut, wenn gewünscht mit veränderten Optionen, dargestellt werden
Mit
Show[GraphicsArray[/iste]], B0.86)
können (mit liste als Liste von Graphikobjekten) Bilder nebeneinander, untereinander und matrixför-
mig zueinander angeordnet werden
20.5.1.5 Zweidimensionale Kurven
Als Beispiele sollen eine Reihe von Kurven aus dem Kapitel Funktionen (s. 2 1, S. 48ff.) erzeugt werden.
1. Exponentialfunktionen
Eine Kurvenschar mit mehreren Exponentialfunktionen (s 2 6 1, S 72) erzeugt Mathematica (Abb.
20.4a) mit folgenden Eingaben:
In[l] = f[x_] = 2Ax;g[x_] .= 10Ax;
In[2] = h[x_] .= (l/2)Ax, i[x_] •= (l/E)Ax;k[x_] := (l/10)Ax,
Das sind die Definitionen der beteiligten Funktionen. Die Funktion ex braucht nicht definiert zu werden,
da sie in Mathematica eingebaut ist. In einem zweiten Schritt werden die folgenden Graphiken erzeugt
In[3] =pl = Plot[{f[x],h[x]},{x,-4,4},PlotStyle-> Dashing[{0.01,0 02}]]
In[4J .= p2 = Plot[{Exp[x], j[x]}, {x, -4,4}]
In[5] .= p3 = Plot[{g[x], k[x]}, {x, -4,4}, PlotStyle-> Dashing[{0 005,0 02,0 01,0 02}]]
Das gesamte Bild (Abb.20.4a) erhält man mit.
In[6] := Show[{pl p2,p3},PlotRange-> {0,18}, AspectRatio-> 1 2]
Auf die Anbringung von Text an den Kurven wurde hier verzichtet Das wäre mit der Graphikprimitiven
Text möglich gewesen.
2. Funktion y = x + Arcoth x
Unter Berücksichtigung der in 2 10, S 92 dargestellten Eigenschaften der Funktion Arcoth x läßt sich
y = x + Arcoth x folgendermaßen graphisch darstellen.
In[l] .= /l = Plot[x + ArcCoth[x], {x, 1.000000000005, 7}]
In[2] = /2 = Plot[x + ArcCoth[x], {x, -7, -1.000000000005}]
InO := 3Show[{/l,/2},PlotRange-> {-10,10}, AspectRatio-> 1 2,Ticks->
1034 20. Computeralgebrasysteme
10
2,5
a)
Abbildung 20.4
{{{-6, -6}, {-1, -1}, {1,1}, {6,6}}, {{2.5,2.5}, {10,10}}}
Die große Präzision der x-Werte nahe 1 und —1 wurde gewählt, um hinreichend große Funktionswerte
für den gewünschten ^/-Bereich zu erhalten Als Resultat erhält man die Abb.20.4b
J(n,z) n=l,3,5
Abbildung 20.5
3. Bessel-Funktionen s. 9.1.2.6,2., S 528
Mit den Aufrufen
In[l] = bjO = Plot[{BesselJ[0, z], BesselJ[2, z], BesselJ[4, z]}, {z, 0,10},
PlotLabel-> „J(n, z) n = 0,2,4"]
In[2] := bjl = Plot[{BesselJ[l,z],BesselJ[3, z],BesselJ[5,z]}, {z,0,10},
PlotLabel-> „ J(n, z) n = 1,3,5"] B0 87)
werden Graphiken der BESSEL-Funktion Jn(z) für n = 0,2,4 und n = 1,3,5 erzeugt, die danach mit
dem Aufruf
In[3] := Show[GraphicsArray[{fej0,6jl}]]
nebeneinander dargestellt werden können (Abb.20.5)
20.5.1.6 Parameterdarsteilung von Kurven
Mathematica verfügt über eine spezielle Graphikanweisung, mit der Kurven in Parameterform
dargestellt werden können Der grundlegende Befehl dafür lautet:
ParametricPlot[{/x(t),/y(t)},{t,ti,t2}] B0.88)
Es besteht die Möglichkeit, mehrere Parameterkurven in eine Graphik zu zeichnen Dazu ist in der
Anweisung eine Liste von mehreren Kurven einzugeben. Mit der Option AspectRatio—> Automatic
zeichnet Mathematica die Kurven in ihrer natürlichen Form
Die in Abb.20.6 dargestellten Parameterkurven archimedische Spirale (s 2.14.1, S. 105) und
logarithmische Spirale (s. 2.14.3, S. 106) werden mit den folgenden Eingaben aufgerufen:
In[l] '= ParametncPlot[{£ Cos[t],t Sin[t]}, {£,0,3Pi}, AspectRatio-> Automatic]
In[2] := ParametricPlot[{Exp[0 lt] Cos[t],Exp[0.1t] Sin[t]}, {t,0,3Pi},
20.5 Graphik in Computeralgebrasystemen 1035
AspectRatio—> Automatic]
Mit
In[3] .= ParametncPlot[{£ - 2 Sin[i], 1 - 2 Cos[*]}, {t, -Pi, HPi}, AspectRatio-> 0.3]
kann eine der in 2 13.2, S. 102 beschriebenen Trochoiden erzeugt werden (Abb.20.7).
Abbildung 20.7
Abbildung 20 6
20.5.1.7 Darstellung von Flächen und Raumkurven
Mathematica bietet die Möglichkeit, dreidimensionale Graphikprimitive darzustellen Dadurch lassen
sich, ganz ähnlich wie im zweidimensionalen Fall, dreidimensionale Graphiken aufbauen und mit der
Anwendung verschiedener Optionen aus unterschiedlichster Perspektive betrachten. Insbesondere ist
deshalb die graphische Darstellung gekrümmter Flächen im dreidimensionalen Raum möglich, d h die
graphische Darstellung von Funktionen zweier Veränderlicher So ist es möglich, Kurven im
dreidimensionalen Raum, z B. in Parameterdarstellung, zeichnen zu lassen. Eine ausführliche Beschreibung der
dreidimensionalen Graphikprimitive s. [20 5] Der Umgang mit diesen Darstellungen erfolgt analog zu
dem mit den zweidimensionalen Primitiven.
1. Graphische Darstellung von Oberflächen
Der Befehl Plot3D verlangt in seiner Grundform die Angabe einer Funktion zweier Variablen und die
Wertebereiche dieser Variablen, für die die Darstellung erfolgen soll:
InO = Plot3D[f[x1y],{xixaixe},{y1yaiye}] B0.89)
Alle Optionen sind zunächst mit der Voreinstellung belegt.
¦ Für die Funktion z = x2 + y2 erhält man mit der Eingabe
In[l] •= Plot3D[xA2 + yA2, {x, -5,5}, {y, -5,5}, PlotRange-> {0,25}]
die Abb.20.8a, während Abb.20.8b mit
In[2] = Plot3D[(l - Sin[x]) B - Cos[2 y]), {x, -2,2}, {y, -2,2}]
erzeugt wird
Abbildung 20.8
Bei der Halbkugel wurde die Option PlotRange mit den gewünschten z-Werten eingegeben, um das
Objekt an der Ebene z = 25 abzuschneiden
1036 20. Computeralgebrasysteme
2. Optionen für 3D-Graphik
Die Zahl der Optionen für 3D-Graphik ist groß. In Tabelle 20.27 werden nur einige aufgelistet, wobei
Optionen, die aus der 2D-Graphik bekannt sind, nicht aufgeführt werden Sie lassen sich sinngemäß
übertragen.
Tabelle 20 27 Optionen zur 3D-Graphik
Boxed voreingestellt ist True, dies zeichnet einen dreidimensionalen Rahmen um die
Fläche
HiddenSurf ace bestimmt die Undurchsichtigkeit der Oberfläche, voreingestellt ist True
ViewPoint bestimmt den Punkt (x, y, z) im Raum, von dem aus die Oberfläche
betrachtet wird. Voreingestellt ist {1 3, -2 4,2}
Shadmg voreingestellt ist True, damit wird die Oberfläche schattiert, False liefert
weiße Oberflächen
PlotRange ist hier für die Werte All, {za, ze}, {{xa, xe}, {ya, ye}, {za, ze}} wählbar
Voreinstellung ist Automatic
Hier sei besonders auf die Option ViewPoint hingewiesen, mit der sehr unterschiedliche
Ansichtsperspektiven für die jeweilige Oberfläche ausgewählt werden können.
3. Dreidimensionale Objekte in Parameterdarstellung
Ahnlich wie bei der 2D-Graphik können auch dreidimensionale Objekte, die in Parameterdarstellung
gegeben sind, gezeichnet werden. Mit
ParametricPlot3D[{/x[/, u], fy[t, u],fz[t, w]}, {t. ta< te}, {u, uG, ue}} B0 90)
wird eine parametrisch vorgegebene Oberfläche gezeichnet, mit
ParametricPlot3D[{/r[*],/y[t],/4[*]},{t,t0.te}] B0 91)
wird eine dreidimensionale Kurve parametrisch erzeugt.
¦ Die Objekte in Abb.20.9a und Abb.20.9b wurden mit den folgenden Befehlen erstellt-
In[3] .= ParametncPlot3D[{Cos[£] Cos[n].Sin[t] Cos[u],Sin[w]}, {/,0.2Pi},
{u,-Pi/2,Pi/2}]
In[4] = ParametricPlot3D[{Cos[i],Sin[£], t/4}, {£,0,20}] B0 92)
Mathematica stellt weitere Anweisungen zur Verfügung, mit denen Dichte und Konturdiagramme.
Abbildung 20 9
Balken- und Sektordiagramme sowie Kombinationen der unterschiedlichsten Diagrammarten erzeugt
werden können.
¦ Die Darstellung zum Lorenz- Attraktor (s 17 2.4 3, S. 850) wurde mit Mathematica erzeugt
20 5 Graphik in Computeralgebrasystemen 1037
20.5.2 Graphik mit Maple
20.5.2.1 Zweidimensionale Graphik
Maple kann über plot-Befehle mit einer Vielzahl von Optionen Funktionen graphisch darstellen Als
Eingabefunktionen sind sowohl explizite Funktionen einer Variablen, Funktionen in
Parameterdarstellung und Listen von zweidimensionalen Punkten zugelassen. Maple berechnet aus der Eingabefunktion
nach bestimmten internen Algorithmen eine Wertetabelle, deren Punkte nach einem Spline-Verfahren
zu einer glatten Kurve verbunden werden. Mit Hilfe einer Reihe von Optionen kann die Gestaltung der
Graphik beeinflußt werden Die Graphik selbst wird in einer eigenständigen Umgebung dargestellt und
kann mit entsprechenden Systembefehlen in Arbeitsdokumente eingebunden bzw. in entsprechenden
Formaten auf Drucker oder Plotter ausgegeben werden Die Ausgabe in Dateien verschiedenen Formats
einschließlich Postscript ist möglich.
1. Syntax zweidimensionaler Graphik
Der zweidimensionale Plot-Befehl hat die prinzipielle Struktur
iplot(funct, hb, vb, options); B0 93)
Das erste Argument funct kann folgende Bedeutung besitzen
a) eine reelle Funktion einer unabhängigen Variablen, etwa f(x);
b) eine Prozedur (Funktionssymbol), die z.B mit dem Pfeilsymbol erzeugt wurde;
c) die Parameterdarstellung einer reellen Funktion in Form einer Liste [u(t),v(t),t = a b], wobei t =
a..b den Laufbereich des Parameters angibt,
d) mehrere, in geschweifte Klammern eingeschlossene Funktionen, die gemeinsam dargestellt werden
sollen,
e) eine Liste von Zahlen (gerade Anzahl), die fortlaufend als (x, y)-Koordinaten von Punkten
interpretiert werden
Tabelle 20.28 Optionen des Plot-Befehls
coords = polar bewirkt die Darstellung einer parametrischen Eingabe in
Polarkoordinaten (der erste Parameter ist der Radius, der zweite das Argument)
numpoints = n legt die minimale Anzahl der generierten Punkte fest (Voreinstellung 49)
resolution = m Setzt die horizontale Auflösung der Darstellung in pixel (Voreinstellung
m = 200)
xtickmarks = p Setzt die Anzahl der Skalenstriche auf der x- Achse
style = SPLINE veranlaßt die Verbindung mit kubischer Spline-Interpolation
(Voreinstellung)
style = LINE veranlaßt lineare Interpolation
style = POINT zeichnet nur die Punkte
title = T Setzt den Titel für die Graphik, T muß ein String sein
Das zweite Argument hb ist der Laufbereich der unabhängigen Variablen, er ist in der Form x = a b
einzugeben Wird kein Argument eingegeben, so nimmt Maple automatisch den Laufbereich —10.. 10
an Es ist möglich, einer oder beiden Grenzen den Wert — oo und/oder oo zuzuordnen In diesem Fall
wählt Maple eine Darstellung der x-Achse mit arctan.
Das dritte Argument vb steuert den Darstellungsbereich der abhängigen (vertikalen) Variablen Auch
er ist in der Form y = a. b einzugeben Wird er fortgelassen, so nimmt Maple die sich aus der
Funktionsgleichung ergebenden Werte für den jeweiligen Bereich der unabhängigen Variablen Dies kann
problematisch werden, wenn in diesem Bereich z.B eine Polstelle liegt. Daher sollte man, wenn nötig,
diesen Bereich begrenzen
Als weitere Argumente können eine oder mehrere Optionen folgen, die in Tabelle 20.28 dargestellt
sind.
Zur Darstellung mehrerer Funktionen durch Maple in einer Graphik werden diese in der Regel in
verschiedenen Farben oder in unterschiedlicher Linienstruktur erzeugt Die auf graphischen Oberflächen
laufenden Versionen von Maple bieten die Möglichkeit, direkt an der Graphik über entsprechende Menüs
1038 20 Computeralgebrasysteme
Veränderungen wie z.B. das Verhältnis von horizontaler zu vertikaler Abmessung, die Rahmung des
Bildes, Änderung der Linienstärke usw. vorzunehmen
2. Beispiele für zweidimensionale Graphiken
Die folgenden Graphiken wurden mit Maple erzeugt, danach mit Coreltrace vektorisiert und mit Co-
reldraw' nachbearbeitet. Dies war notwendig, weil die unmittelbare Konversion einer Maple-Grapliik
in eine EPS-Datei nur sehr kleine Liniendicken ergibt und damit unansehnliche Bilder liefert.
1. Exponential- und Hyperbelfunktionen Mit der Konstruktion
> plot({2Ax, 10Ax, (l/2)Ax, (l/10)Az, exp(x), l/exp(x)}, x = -4 4, y = 0 20, B0 94a)
> xtickmarks = 2,ytickmarks = 2). B0 94b)
erhält man die in Abb.20.10a dargestellten Exponentialfunktionen.
a) -4 -2
4x b)
Abbildung 20.10
Ähnlich liefert der Befehl
> plot({sinh(x), cosh(x), tanh(x), coth(x)}, x = -2 1 2.1, y = -2 5..2 5);
die gemeinsame Darstellung der vier Hyperbelfunktionen (s 2 9 1, S 88) in Abb.20.10b
J(n,z) «=0,2,4 y f /-x J(n,z) rc=l,3,5
Abbildung 20.11
2. Bessel-Funktionen (s. auch 20 5.1.5,3., S 1034) Mit den beiden Aufrufen
> plot({BesselJ@, z), BesselJB, z), BesselJD, z)}, z = 0..10), B0 95a)
> plot({BesselJ(l,z),BesselJC,z),BesselJE,z)},z = 0 10); B0 95b)
erhält man die ersten drei BESSEL-Funktionen J(n, z) mit geradem n (Abb.20.IIa) und mit
ungeradem n (Abb.20.11b) und (Abb.20.11c).
In ähnlicher Art und Weise lassen sich die anderen in Maple vordefinierten speziellen Funktionen
darstellen.
3. Parameterdarstellung Mit dem Aufruf
> plot([* * cos(t), t * sin(t), t = 0..3 * Pi]), B0 96a)
erhält man die in Abb.20.12a dargestellte Kurve
Auf die folgenden zwei Aufrufe liefert Maple eine trochoidenähnliche Schleifenfunktion (vgl verkürzte
Trochoide in 2 13 2, S. 102 bzw eine hyperbolische Spirale in 2.14.2, S 106).
> plot([t - sinB *£),!- cosB * t), t = -2 * Pi..2 * Pi}); B0 96b)
20.5 Graphik in Computeralgebrasystemen 1039
> plot([l/i, t,t = 0..2 * Pi\, x = - 5..2, coords = polar);
B0.96c)
Durch die Einfügung der Option coords in die Anweisung interpretiert Maple die Parameterdarstellung
als Polarkoordinaten.
c)
i i i
Abbildung 20.12
3. Spezialpaket plots
In der Maple-Bibliothek findet man das Spezialpaket plots mit zusätzlichen graphischen Operationen
Im zweidimensionalen Fall sind hier besonders die beiden Anweisungen conf ormal und polarplot von
Interesse Mit
polarplot(L, options) B0 97)
können Kurven in Polarkoordinatenform gezeichnet werden. Mit L kann eine Menge (in geschweifte
Klammern eingeschlossen) mehrerer Funktionen r((p) bezeichnet sein Maple interpretiert die
eingehende Variable (p als Winkel und zeichnet die Kurven im Bereich zwischen — n < ip < tt , wenn nicht
ein davon abweichender Bereich explizit eingegeben wird
Der Befehl
conf ormal(F, rl, r2, options) B0.98)
bildet mit Hilfe der komplexen Funktion F die Gitterlinien eines rechteckigen Gitters in ein
Kurvengitter ab. Die neuen Gitterlinien schneiden sich ebenfalls rechtwinklig Mit dem Bereich rl werden die
ursprünglichen Gitterlinien festgelegt Er ist voreingestellt auf 0..1 + (—lI/2. Der Bereich r2 legt die
Größe des Fensters fest, in welchem die Abbildung liegt. Hier werden als Voreinstellung die sich aus der
Abbildung ergebenden Maxima und Minima benutzt.
20.5.2.2 Dreidimensionale Graphik
Für die Darstellung von Funktionen zweier unabhängiger Variablen als räumliche Flächen oder auch zur
Darstellung räumlicher Kurven stellt Maple den Befehl plot3d zur Verfügung. Die mit diesem Befehl
erzeugten Objekte werden von Maple ganz analog wie auch die zweidimensionalen in einem eigenen
Fenster dargestellt Die Anzahl der Optionen zur Darstellung ist wesentlich größer, insbesondere sind
zusätzliche Optionen zur Betrachtungsperspektive von besonderer Bedeutung.
1. Syntax des plot3d-Befehls
Der Befehl ist in vier verschiedenen Formen verfügbar
a) plot3d(/wnc£, x = a .b,y = c .d). In dieser Form ist funct eine Funktion zweier unabhängiger
Variabler, deren jeweilige Laufbereiche von x — a..b und y = cd festgelegt werden. Das Ergebnis ist
eine räumliche Fläche.
b) plot3d(/, a .6, c .d). Hier ist / eine Prozedur mit zwei Argumenten, z.B. mit dem Pfeiloperator
erzeugt, die Laufbereiche beziehen sich auf diese Argumente
c) plot3d([w(s, t), v(s, t), w(s, t)],s = a. b,t = c d) Die drei Funktionen u, v, w der beiden Parameter
s und t definieren die Parameterdarstellung einer räumlichen Fläche, begrenzt durch die Laufbereiche
der beiden Parameter.
d) plot3d([/, g,h),a 6, c. d). Das ist die äquivalente Form der Parameterdarstellung, wobei /, g, h
Prozeduren in zwei Argumenten sein müssen.
Alle weiteren Argumente des Operators plot3d interpretiert Maple als Optionen. Einige wichtige
Optionen sind in Tabelle 20.29 dargestellt. Sie sind in der Form Option = wert zu benutzen.
1040 20. Computeralgebrasysteme
Tabelle 20 29 Optionen des Befehls plot3d
numpomts — n
grid[ra, n]
labeis = [x.y,z
style = s
coords = c
projection = p
orientation = [theta,phi]
view = z\ zl
setzt die minimale Zahl der generierten Punkte (Voreinstellung ist
n = 625)
legt die Dimension des Rechteckgitters fest, auf dem die Punkte
generiert werden
spezifiziert die Achsenbezeichnungen (string erforderlich)
s ist ein Wert von POINT, HIDDEN, PATCH, WIREFIRE. Hiermit wird
die Art der Darstellung der Oberfläche festgelegt
/ kann die Werte BOXED, NORMAL, FRAME oder NONE annehmen
Hiermit wird die Darstellung der Achsen spezifiziert
spezifiziert das zu benutzende Koordinatensystem Werte sind
cartesian, sperical, cylindrical Voreinstellung ist cartesian
p nimmt Werte zwischen 0 und 1 an und bestimmt die
Betrachtimgsperspektive Voreinstellung ist 1 (orthogonale Projektion)
spezifiziert die Winkel des Raumpunktes im sphärischen
Koordinatensystem, von dem aus die Oberfläche betrachtet wird
gibt den Bereich der z-Werte, für die die Oberfläche dargestellt wird
Voreinstellung ist die gesamte Oberfläche
In der Regel sind fast alle Optionen über die entsprechenden Menüs im Zeichnungsfenster erreiclihar
und entsprechend einstellbar Auf diese Weise kann man nachträglich die Anschaulichkeit der
darzustellenden Oberfläche wesentlich verbessern.
2. Zusätzliche Operationen aus dem Paket plots
Das schon erwähnte Bibliothekspaket plots liefert weitere Möglichkeiten für die Darstellung
räumlicher Strukturen. Besonders soll hier die Darstellung von Raumkurven mit dem Befehl spacecurve
erwähnt werden Dieser erwartet als erstes Argument eine Liste mit drei Funktionen eines Parameters,
das zweite Argument muß den Laufbereich dieses Parameters festlegen. Darüber hinaus sind die
Optionen des Befehls plot3d zugelassen, sofern sie für diesen Fall sinnvoll sind Weitere Informationen s
Literatur.
¦ Mit den Eingaben
> plot3d([cos(£) * cos(w). sin(£) * cos(u), sin(u)], t = 0 2 * Pi, u = 0 2 * Pi) B0 99a)
> spacecurve([cos(*),sin(£).£/4],* = 0 7 * Pi) B0 99b)
werden die Graphiken einer perspektivisch dargestellten Kugel (Abb.20.13a) und einer perspektivisch
dargestellten räumlichen Spirale (Abb.20.13b) erzeugt
Abbildung 20.13
1041
21 Tabellen
21.1 Häufig gebrauchte Konstanten
7T
17.
1%.
e
Ige = M
M
C
3,141592654 ..
0,01
0,001
2,718281828..
0,434294482 ..
2,302585093...
0,577215665...
LuDOLFsche Zahl
Prozent
Promille
EuLERsche Zahl
EuLERsche Konstante
21.2 Fundamentale physikalische Konstanten
Die Tabelle wurde unter Verwendung von [21.12], [21.13] zusammengestellt. In runden Klammern ist
die relative Standard Abweichung der letzten Ziffern der angegebenen Zahlenwerte ausgewiesen
Universelle Konstanten
Lichtgeschwindigkeit (Vakuum)
Fallbeschleunigung
Gravitationskonstante
Induktionskonstante
Influenzkonstante
PLANCKsches
Wirkungsquantum
Wellenwiderstand (Vakuum)
c0,c
9n
G
ßo
£o
h
h
Zo
= 299 792458ms-1 (exakt)
= 9,806 65 ms-2 (exakt) D5° geogr Breite, Meereshöhe)
= 6,6742 A0) • 101 nr^kg-V2
= 47T-10-7 NA-2 = 12,566370614. .-10 NA-2 (exakt)
= l//iec2 = 8,854187817 . -102 Fm (exakt)
= 6,626 069 3A1) • 10~34 Js = 4,135 667 43C5) • 105 eVs
= h/2n = 1,054 57168A8)-10-34 Js
= 6,58211915E6)-10-16eVs
= 376,730 313461 ü (exakt).
Elektromagnetische Konstanten
Elementarladung, elektrische
Elektronenladung, spezifische
Feinstrukturkonstante
Flußquant, magnetischer
JOSEPHSON-Konstante
V. KLITZING-Konstante
Leitfähigkeitsquant
Zirkulationsquant
e
e/h
-e/me
a
1/a
#0
K3
Rk
Go
s
= 1,60217653A4)-10-19C
= 2,41798940B1)-1014AJ_1
= -1,758 82012A5)-10nC kg
= ßece2/2h = 7,297 352 568B4) • 10
= 137,03599911D6)
= h/2e = 2,067833 72A8)-10-15Wb
= 2e/h = 483 597,898A9) • 109 HzV
= h/e2 = 25812,807 449D1) Q
= 2e/h = 7,748 091696B8) • 10 S
= h/2me = 3,636 947 550B4)-10 mV1 )
Atomhülle
BOHRsches Magneton
BOHRscher Radius
klassischer Elektronenradius
RYDBERG-Konstante
RYDBERG-Energie
THOMSON-Querschnitt
ßB
a0
re
#oo
hCToo
^0
= eh/2me = 9,274 00899 C7) • 106 JT_1
= 5,788 381804C9) • 10~5 eVT-1
= h2/E0{e)e2 = re/a2 = 0,529177 2108A8)-100 m
= a2a0 = 2,817 940 325B8) • 105m
= no2me4cs/8h3 = 10973 731,568 525G3) m
= 13,605 692 3A2) eV
= 87rre2/3 = 0,665245854A5)-KT28 m2
1042 21 Tabellen
Atomkern, Elementarteilchen
Atomare Masseneinheit
COMPTON-Wellenlänge
Elektron
Neutron
Proton
Kernmagneton
Kernradius
Magische Neutronen- und
Protonen-Zahlen
Ruheenergie
Atomare Masseneinheit
Elektron
Proton
Neutron
Ruhemasse
Elektron
Proton
Neutron
Magnetisches Moment
Elektron
Proton
Neutron
rau
Ac
Ac,e
Ac,n
Ac,P
A*k
R
Nm,Zm
Nm
E0(u)
Eo(e)
Eo(p)
E0(n)
me
mp
mn
ße
VP
Mn
= lu= (kgmol)/^ = ^mA2C) = 1,660 53886B8)
•10-27kg = 931.494043(80) MeVc = 1822,89me
= h/mec
= 3,861 592 642B8)-10-13m
= 2,100194142A6)-10-16m
= 2,103 089 089A6)-KT16 m
= e%/2mp = 5.050 783 43D3) • 107 JT
= 3,152 451 259B1). 10-8 eVT
= ro41/3,ro = (l,2. . 1,4) fm, 1 < A < 250-
r0 < R < 9 fm
= 2, 8, 20, 28, 50, 82;
= 126. eventuell 184; Zm = eventuell 114, 126
= 931,494013C7) MeV
= 0,510 998 902B1) MeV
= 938,271998C8) MeV
= 939,565 330C8) MeV
- 9,109 382 6A6) • 10~31 kg = 5,485 799 0945B4) • 10~4 u
= 1,672 621 71B9)-10-27 kg =1836,152 672 61(85)me
= 1,00727646688A3) u
= 1,674 927 28B9) • 107 kg = 1 838,683 659 8A3)rae
= 1,008 664915 60E5) u
= -1,001159 652 1859D1)/iB
= -928,476 412(80) • 106 JT-1
= +2, 792 847337B8)//k = 1,410606 71A2)-lO6 JT_i
= -1,913 042 72D5)/ik = 0,966 236 45B6) • 10~26 JT
Wechselwirkungskonstanten (dimensionslose, zum Vergleich)
Starke Ww.
Elektrom Ww
Schwache Ww.
Gravität ions-Ww.
&k
OLG
aF
&G
= 0,08. .14
= 1/137
= 3-10-12
= 5, MO9
Physikalische Chemie, Thermodynamik
AvoGADRO-Konstante
BOLTZMANN-Konstante
Gaskonstante, universelle
FARADAY-Konstante
LOSCHMIDT-Konstante
Molarvolumen, ideales Gas
(r = 273,15K,p= 101,325kPa)
1 PLANCKsche Strahlungskonstante
2 PLANCKsche Strahlungskonstante
STEFAN-BOLTZMANN-Konstante
WiENsche Verschiebungskonstante
b = AmaxT = c2/4,965 114 231..
NA
k
Ro
F
n0
vm
C\
c2
CT
b
= 6,0221415A0)-1023mor1
= Rq/Na = 1,380 6505B4)-10-23 JK_1
= 8,617343A5) • 10~5 eVK-1
= NAk = 8,314472A5) Jmol"^-1
= iVAe = 96485,3383(83) Cmol-1
= NA/Vm = 2,686 777D7) • 1025 m~3
= RoTo/po = 2,2 413 996C9) • 10-2 m3mor1
= 2-Khcl = 3,74177138F4)-10-16W-m2
= hco/k = 1,438 775 2B5) • 10 m-K
= (tt2/60)A;4/^3c2 = 5,670 400D0) -lO"8 WmK
=2,897 768 5E1)-10-3 m-K
21 3 Dezimalvorsätze 1043
21.3 Dezimal vor sätze
Vorsatz
Yocto
Zepto
Atto
Femto
Pico
Nano
Mikro
Milli
Zenti
Dezi
Potenzschreibweise
1Q-24
io-21
10-18
105
io-12
io-9
io-6
io-3
io-2
IO
Abkürzung
y
z
a
f
P
n
M
m
c
d
Vorsatz
Deka
Hekto
Kilo
Mega
Giga
Tera
Peta
Exa
Zetta
Yotta
Potenzschreibweise
IO1
IO2
IO3
IO6
IO9
IO12
IO15
IO18
IO21
IO24
Abkürzung
da
h
k
M
G
T
P
E
Z
Y
¦ IO3 = 1000. ¦ IO - 0,001.
¦ 1/xm A Mikrometer) = 10_6m ¦ 1 nm A Nanometer) = 10_9m
21.4 Physikalische Einheiten im Sl-System
Weitere Informationen zu den physikalischen Einheiten s. auch [21 16]. [21.7], [21.17]
Grundgrößen
Länge
Zeit
Masse
Temperatur
Stromstärke
Stoffmenge
Lichtstärke
m
s
kg
K
A
mol
cd
Meter 1
Sekunde
Kilogramm
Kelvin
Ampere |
Mol A mol = A Stück, A = AvOGADRO-Zahl)
Candela |
Ergänzende SI-Einheiten
Ebener Winkel
Raumwinkel
rad
sr
Radiant
Steradiant
a = l/r, 1 rad = 1 m/1 m
Q = S/r2 , 1 sr = 1 m2/l m2
Abgeleitete SI-Einheiten mit selbsständigem Namen
Frequenz
Kraft
Druck, Spannung
Energie, Arbeit,
Wärmemenge
Leistung
Elektrizitätsmenge
Elektrische Spannung
Elektrische Kapazität
Elektrischer Widerstand
Elektrischer Leitwert
Magnetischer Fluß
Magnetische Flußdichte
Induktivität
Lichtstrom
Beleuchtungsstärke
Hz
N
Pa
J
kWh
w
c
V
F
Q
S
Wb
T
H
Im
lx
Hertz
Newton
Pascal
Joule
Kilowattstunde
Watt
Coulomb
Volt
Farad
Ohm
Siemens
Weber
Tesla
Henry
Lumen
Lux
1 Hertz = 1/s
1 N = 1 kg • m/s2
1 Pa = 1 N/m2
1 J = lNm= lkgm2/s2
lkWh = 3,6-106J
1 W=lkgm2/s3 = IN m/s
1C=1As
lV=lkgm2/(As3)
1 F = 1 A2s2/(J2)
m = lkgm2s3/(A2s3)
1 S = 1 A2s3/(kg m2)
1 Wb = 1 kg m2/(A s2)
lT = lkg/(As2)
1 H = 1 kg m2/(A s2)
1 Im = 1 cd sr
1 lx = 1 cd sr/m2
1044 21. Tabellen
Abgeleitete SI-Einheiten mit selbsständigem Namen
Aktivität
Aquivalentdosis
Energiedosis
Bq
Sv
Gy
Becquerel
Sievert
Gray
Bq = IS
Sv^Jkg
Gy-Jkg-1
Weitere abgeleitete SI-Einheiten
Geschwindigkeit
Winkelgeschwindigkeit
Impuls
Drehmoment
Wirkung
Fläche
Dichte
Elektrische Feldstärke
Wärmekapazität
Entropie
m/s
rads-1
kg ms-1
Nm2
Js
m2
kg/m3
V/m
J/K
J/K
Beschleunigung
Winkelbeschleunigung
Drehimpuls
Trägheitsmoment
Energie
Volumen
Teilchenzahldichte
Magnetische Feldstärke
Spezifische Wärmekapazität
Enthalpie
m/s2.
rad s~2
kgm2s_1
kgm2
Ws
m3
m~3
Am
J/(Kkg)
J
Ausgewählte Sl-fremde gesetzliche Einheiten
Fläche
Wirkungsquerschnitt
Volumen
Geschwindigkeit
Masse
Energie
Brechkraft
Druck
Ebener Winkel
Zeit
Ausgewählte SI-fre
Länge
Volumen
Ebener Winkel
Geschwindigkeit
Energie
Druck
ar
b
1
km/h
u
t
eV
dpt
bar
mmHg
Grad
Minute
Sekunde
min
h
d
a
mde nichl
AE
pc
Lj
Ä
sm
bbl
gon
kn
cal
atm
Ar
barn
Liter
Atomare Masseneinheit
Tonne
Elektronenvolt
Dioptrie
Bar
mmHg-Säule
1° - tt/180
1° = 0,017453293. rad
1' = tt/10800
1" = tt/648000
Minute
Stunde
Tag
Jahr
^gesetzliche Einheiten
Astronomische Einheit
Parsec
Lichtjahr
Angstr0m
Internationale Seemeile
Barrel
Neugrad
Neuminute
Neusekunde
Knoten
Kalorie
Phys. Atmosph
lar = 100mJ
lbarn= 108m2
ll=10-3m-3
1 km/h = 0,277778 ms
1 u=l, 6605655 -10~27 kg
lt= 1000 kg
leV= l,602m2kg/s2
1 dpt = 1/m
1 bar = 105 kg/(s2m)
1 mmHg =133,322 kg/(s2m)
1° = 0,017453293...
A rad = 57,29577951 .. °)
V = 000290888 ...
1" = 000004848 ...
1 min = 60 s
lh = 3,6-103s
ld = 8,64-104s
la = 365d = 8760h
1AE= 149,597870-10ym
lpc = 30,857-1015m
lLj = 9,46044763 -1015m
1Ä = 10-I0m
1 sm = 1852 m
1 bbl = 0,158988 m3
lg = 0,57r-10-2rad
lc = 0,5?r 10 rad
lcc = 0,57r.l0-6rad
lkn= lsm/h = 0,5144 m/s
lcal = 4,1868kgm2/s2
1 atm = 1,01325- 105kg/(s2m)
Zu Einheiten, die gemäß EG-Richtlinie nur in einigen EG-Staaten zugelassen sind, s. [21.17]
21 5 Wichtige Reihenentwicklungen 1045
21.5 Wichtige Reihenentwicklungen
Funktion
(a±x)n
(l±x)m
(ra>0)
(l±s)i
{l±x)i
(l±x)i
(l±x)%
(l±x)'i
(l±.T)~m
(m>0)
(l±a;)-7
(l±x)-i
(l±x)-i
(lix)-1
(l±x)-2
(l±:r)-2
Reihenentwicklung
Algebraische Funktionen
Binomische Reihe
Nach Umformung auf die Gestalt am 11 ±
wird man auf die nachfolgenden Reihen geführt:
Binomische Reihe mit positiven Exponenten
1 ± mr + gfrlZi) g* ± "(" ~ 1)(" ~ 2) ^3 + . .
+ (±1)n^(">-l) • (m-« + l)gB +
1 ± ia:-
4
1_
4
1
3
2 2
, ¦ 3 3
1=t2*+2
i , 5 5
1=t2*+2
-^±-
1-3-7
-8-12*
.Z o J. - Z - 0 o
—x ± x —
6 3-6-9 3-6-9
1
4
1-
•3
8
2-
•7-
12
5 g
11
16
.4
:r4±-
1 2-L 1-1 3
~IX ± -—; OL
4 2-4-6
1 1-3
3 11, 3
xd + -
4X T 2-4-6
2 0 ö " J. q 0
~AX 2~T^>X' ~ 2
4-6
1-1
4 6
3-1
4-6
12
-.t =f •
-aT=F-
Binomische Reihe mit negativen Exponenten
m(m+l) 9 m(m + l)(m + 2) o
lTmi+^j V^ — gP V + - •
1-5
1 =F 7* + \
4 4 •
1 1-4
;X =F
1-5-9
4-8 12
^° + -
1-5-9-13
12-16
^=F-
1 - - - 2 ! 4 3
1 4 7-10^4
3-6-9 12"
x "=F-
1-3
1 3-5
1 T -.t H x* =F ¦
^2 2-4 ^ 2-4-
1 =F x + x2 =F x3 + x4 =p •
-ar +
1-3-5-7
2-4-6-
^ =F-
3-5
3-5-7
1 =F 2a: + 3x2 =f 4x3 + 5x4 =F
3-5-7-9
2-4-6-
-x* =F •
Konvergenzbereich
\x\ < a
fürra > 0
\x\ < a
fürm < 0
|s| <1
\x\ < 1
|x|<l
\x\<l
\x\ < 1
\x\<l
x\ < 1
x\ < 1
x\ < 1
x\ < 1
x| < 1
x\ < 1
x\ < 1
21 Tabellen
Funktion
Reihenentwicklung
Konvergenzbereich
(l±x)-i
(l±x)~3
(l±x)~4
(l±x)
1 5 5-7 ,
.5-7-9
'2-4-6
x° +
5-7-9- ll
2-4-6-8
x*T • •
1 =F y-zB • 3x =F 3 • 4x2 + 4 • 5x3 q= 5 • 6x4 + • • •)
IT
1-2-3
1=F
1
B • 3 • 4x =f 3 • 4 • 5x2
+4 • 5 • 6x3 =F 5 • 6 • 7x4 + • • •)
-B-3-4-5x=f3-4-5-6x2
1-2-3 4V
+4 • 5 • 6 • 7x3 =F 5 • 6 • 7 • 8x4 + • • •)
Trigonometrische Funktionen
~5 ~2n+l
sin(x + a)
X~ü+V
sin a + x cos a — ¦
¦ + (-l)n
Bn+l)!
±--
x4sina xnsin(a + ^)
+—7\— + • • • + ^ —
1-¥ + i!-¥ + --- + (-1)"B^)!±
cos(x + a)
tanx
cotx
cos a — x sin a —
2! 3!
x4cosa xncos(a+^)
4!
+ .
n'
1 o 2 r 17 7 62 q
|22"B2"-l)B„j2n_1 |
Bn)l
x i3 2x5 x7
3 + 45 + 945 + 4725 +'"
22n£„
Bn)l '
1+2* +24X +
61
^ +
277
;1° + -
720 8064
+ B«)!
|*| <1
|x| <1
|x|<l
|x|<l
|x| < oo
|x| < oo
|x| < oo
|x| < oo
M<5
0 < \x\ < 7T
21.5 Wichtige Reihenentwicklungen 1047
Funktion
Reihenentwicklung
Konvergenzbereich
In
ex - 1
In x
In x
In x
ln(l + x)
ln(l-x)
1+x
1 1
- + «Z + T^Z + -
31
-xJ + -
127
x 6 360 15120 604800
+
x' +¦
2B2n-l _ 1}
Bn)>
'-Bnx*
Exp onent ialfunkt ionen
x x2 x3 xn
1 + Ti+2T+3!+--- + ^ + ---
x In a (x In aJ (x In aK (x In a)n
1 + —r~ + -—^-^ + ^—^-+ *•• + - H^ + -
1 1 i £ 1 *—
2 2! 4' 6'
B r2n
Bn)!
Logarithmische Funktionen
x-l {x-lf (x-lM
x + 1 3(x + lK 5(x + lM
(x-lJ
Bn + l)(x+lJn+1
(,_1)_(^ + (^1)!_^1L +
3 4
+(-l)"+i (g)W±.
a-x.
= 2 Artanh x
n
x-l (x-lJ (x-lK (x-l)n
h — + — H h — + •
x 2x2 3x3 nxn
,-^+^-^+...+(-ir>£±...
x + —+ — + — + — + ••. + —+ •
2 3 4 5 n
X+ — + — + — + ••• + - r
3 5 7 2n + 1
0 < |x| < TT
\x\ < oo
|x| < oo
|x| < 2tt
x>0
0<x
x >
<2
1
2
-1 <x < 1
-1 <x < 1
1*1 <1
1048 21. Tabellen
Funktion
"(St)
= 2 Arcoth x
ln|sin:r|
In cos x
In |tan x\
aresin x
arecos x
aretan x
aretan x
arecot x
Reihenentwicklung
2
1111 1
x + 3x3 + 5x5 + 7^ + ' " + Bn + 1) z2n+1 +
x2 x4 x6 22n~1Bnx2n
n \x\ - — - — - ^^ n Bn)'
rr2 x4 x6 17x8
~T ~ 12 ~ 45 ~ 252Ö
22nB2" -l)Bnx2n
n{2n)!
i i i 1 2 7 4 62 6
ln^ + 3* +9ÖX+2835X+---
22-B2-1 - 1M 2
+ nBn)!
Inverse trigonometrische Funktionen
x3 l-3x5 l-3-5x7
<£ _| 1 1 1_ . . .
2-3 2-4-5 2-4-6-7
l-3-5---Bn-l)x2n+1
+ 2-4-6---Bra)Bn + l) + " '
TT
2~
x3 l-3x5 l-3-5x7
x -1 1 1 1- • • •
2-3 2-4-5 2-4-6-7
l-3-5---Bn-l)x2n+1
+ 2-4-6---Bn)Bn+l) +'"
rpO ~.5 rpl rp2n-\-\
-t + t-t+-+(-1) äm±-
TT 1 1 1 1
2~x + 3^~5^ + 7^
+ (_l)n+l * ± . . .
1 ; Bn+l)x2"+1
7T
™o ~,5 ~,7 ™2ti+1
Konvergenzbereich
|z| > 1
0 < \x\ < TT
1 1 ^
N<2
0 < |i| < -
|x|<l
|x|<l
N<i
|z|>l
|x|<l
21 5 Wichtige Reihenentwicklungen 1049
Funktion
Reihenentwicklung
Konvergenzbereich
sinhx
cosh x
tanh x
coth x
sech x
cosech x
Hyperbelfunktionen
x2n+l
x2 x4 x6 x2n
1 3 2 5 17 - 62 9
X- -X6 + —X - ~ X + —— X* - •
15 315 2835
(_l)n+l22nB2n_l)
Bn)!
1 sc x3 2x5 x7
x + 3 ~ 45 + 945 ~ 4725 + '''
(_l)n+l 22n
£n^
61
1-T^ + T^-e\" + -
1385
Bn)
+ ir^ £^n^2n ±
1 a; 7 a;3 31a;5
+ -^7- 7^77^ + '
Bn)l
x 6 360 15120
+ 2(-l)-(^-l)fl^1 + .
Bn)
Arsinh x
Arcosh a;
Artanh a:
Arcoth a;
1 o 1-3
X-^3^ + 2T4^
Areafunktionen
1-3-5
2-4-6-7
1-3-5 --Bn-l)
n j 2-4-6---2nBn+l)
± In Ba;)-
1
1-3
1-3-5
2 • 2x2 ~ 2 • 4 • 4a:4 ~ 2 • 4 • 6a;6
/«O ~,ö ™J rpZTl-J-L
I _L _L _L i
ä: + 3a:3 + 5a:F + 7a:7+"'+Bn+l) £2n+1
|a;| < oo
|x| < oo
0 < |a;| < 7T
i i n
N<2
0 < \x\ < TT
\x\<\
X > 1
|s|<l
|x|>l
1050 21. Tabellen
21.6 Fourier-Ent Wicklungen
1 y — x für 0< x < 2tt
2. y = x für 0< x < tt
y = 2tt — x für tt < x < 2tt
v\aaa^-
-2ji
0 2ji 4ji 6tt x
n /sina; sin 2a: sin 3z \
TT 4 /
2 TT V
7T 4 / cos 3a: cos 5a:
2/ = I cos x H — 1 — h •
32
52
3 » =
A
-7l/
X für — TT < X < TT
¦y
/I A A A .
0 k/ 3h/A bh/ 7h/
* 2jt ' 4ji " ort "
/-**,
X
n /sina:
sin 2a; sin 3ar
-)
4. y = x fur —TT < x < TT
7T 37T
y = 7T-a;fur-<a;<Y
4 f -
— sin a: ¦
TT \
sin 3a: sin 5a:
5. 2/ = a für 0< x < tt
y = — a für tt < x < 2tt
4a / .
— sin x
TT V
sin 3a: sin 5a:
+ ^7— + —¦=— + •
0 k 2k 3tc 4tc 57t 6tc 7tc X
21.6 Fourier-Entwicklungen 1051
6 y = OfürO < x < a und für7r — a < x < ir + a und 2n — a < x < 2tt
y = a iiir a < x < TT — a ; y = —a für TT + a < x < 2tt — a
TT
2
Li
a /t-oc
Nr 37i
!! 2
Ott Ü
2 u
r..
571 jj
2 LI
y = — I cos a sin x + - cos 3a sin 6x
7T \ 3
+-cos 5a sin 5a; + •
5
)
7. y = — für — a < x < a
a
y = a für a < x < ir — a,
a(n -x)
y = für 7r — a < x < ir + a ,
a
y = — a für ir + a < x < 2ir — a
4a/ 1
= [sin a sin x + — sin 3a sin 3x
7T a \ öz
+—r sin 5a sin 5x + •
¦)
Insbesondere gilt für a =
6\/3o
V3a / . 1
-x- sm x - —
7T2 V 5'
_ sin 5x + — sin Ix - —-r sin Ilse + •
5^ ll W
1 für —7T < X < TT
7T A /COS
cos x cos 2x cos 3x
22 32
¦71 \0 7t 2jz37l4jt57t67t77t
! = x(ir — x) für 0 < x < ir
+y
7T2 /cos2x cos4x cos6x
l2 22
32
-7t 0 7t 27t 37t 4jt
10 y = x(n — x) für 0 < x < tt
y = (ir — x)Bn — x) für ir < x < 2k
ty
3tt2/4
8 ( ¦ 1
0„ sin 3x + — sin 5x + •
36 5d
-tf^/fo 7t^S2jt 37K^/47t
1052 21. Tabellen
11 y = sin x für 0 < x < tt
-% 0 71 2% 371 47C X
2 4 /cos 2a: cos 4a: cos 6a: \
V = ~t~t ~ n V 1-3 + 3-5 + 5-7 + " ')
_ 4 /2sii
'~ TT l"T
4 / 2 sin 2a: 4 sin 4a: 6 sin 6a:
13. y = sin x für 0 < a: < tt
y = 0 für 7T < a: < 2tt
VN A
¦7C 0 n 2n 3n x
11. 2 /cos2a: cos4a:
cos 6a:
14. v = cos ux für —7T < a: < 7T
2wsinw7r [ 1 cosa: cos 2a: cos 3a:
smw7r I"
~7T [2
L2w2 «2-l w2-4 w2-9
(n eine beliebige, jedoch nicht ganze Zahl)
15. y = sinwa: für — tt < x < tt
2sinw7r / sina: 2 sin 2a: 3 sin 3a:
V = tt \l-u2 ~ A-u2 + 9-u2 + '
(u eine beliebige, jedoch nicht ganze Zahl)
16. y = x cos x für — n < x < tt
1 . 4 sin 2a: 6 sin 3a: 8 sin 4a:
17. y = -In B sin- J für 0 < x < tt
y = cos x + - cos 2a: + - cos 3a: + •
18. y = In Bcos-J für 0 < x < tt
y = cos x - - cos 2a: + - cos 3a: - •
1 x
19. y = - In cot — für 0 < x < tt
¦ cos x + - cos 3a: + - cos 5x + •
3 5
21 7 Unbestimmte Integrale 1053
21.7 Unbestimmte Integrale
(Hinweise zur Nutzung der Tabellen s. in 8.1.1 2,2., S. 445)
21.7.1 Integrale rationaler Funktionen
21.7.1.1 Integrale mit X = ax + b
Bezeichnung. X = ax + 1
1 [Xndx= , l ^Xn+l (n^-1),
J a(n + l) v ^ ;
n f dx 1, ^
2 / — = -lnX.
/
(fürn = -l s Nr 2).
3. / xXn dx =
Xn
a2(n + 2) a2(n+l)
(n ^ -1, ^ -2), (für n = -1, = -2 s. Nr 5 und 6).
4 fxmXndx=-^f(X-b)mXndX (n^-1,^-2, .., ^ -m)
Das Integral wird für m < n oder bei ganzzahligem m und gebrochenem n angewandt, in diesen Fällen
wird (X — b)m nach dem binomischen Lehrsatz (s. 1.1.6.4, S. 12) entwickelt.
* x dx x b
AnX
' i
'/
rxdx 1 / —1 6
7 ~X"=~a^ \(n-2)Xn-2 + (n - l)*"-1
»¦ r^=iiix2-2bx+b2i»x)
x
a <
xdx b
~X2=~a^X
xdx 1
~X3=~a~*
a2
X + 2X2)'
(Ml,^2).
10
11
12
13.
14.
15
f x2 dx
J ~X2~ =
r x2 dx
J ~X*~ =
r x2 dx
J Xn
r x3dx
J ~~?T =
r x3 dx
J "x2""
r x3dx
J ~~X*~ =
a3
X-261nX-M
73(lnX + x-2X-2)'
1
-1 26
(n-3)Xn~3 (n-2)Xw-2 (n -
.(£!.S!+^.,,„,).
?(t-«+*)-
h
(*-»-*-?+£)
62
- 1)X"-!
(r.^1,^2,/3).
1054 21 Tabellen
„ fx3dx 1 /, v 36 362 b3 \
r x3dx 1 f
17 l^=A
-1 36
(n-4)Xn~4 (n-3)Xn~3
f dx _ IX
J xX b x
r dx 1 /. X ax\
19 /^ = -^r7+x)-
/• dx 1 /, X 2ax a2x2\
20 yxX^ = -6^(ln7+X--2X^j-
21 /_*L = -i
y xX» 6«
~~ f dx 1
22. / =
y x2X 6x
r X ^ /n - l\(-a)V
[nx M * J *** .
a , X
+ 6^ln7-
362
(n - 2)X"-2 + (n -
(n > 1).
63
-l)Xn~\
(n^l,^2,^3,^4)
1
-E
n\ (—a)*x*~
«yci-ijx«-1
H na In —
2aX
f dx _ _ r_^_ 1 2 X]
23 y x2X2- aL62X + a62x 63lnxJ
r dx _ _ r 1 2 1 _ 3_ Xi
y x2X3 ~ a i.262X2 + 63X + a63x 64 n x J
r dx
J x^X
f dx _ 1
y x^x "3
r dx _ 1
y x3x2 ~ ~s
/• dx _ 1
y x3x3 ~ ~#
r dx
J x~*X'
24
25
27.
(n > 2).
a In h ^^r
28.
29
30
3a2 In — + —- +
x X
6a2 In — + —-
x X
X2]
2x2
X2 3aX]
" 2x2 x
a4x2 X2
2.
r2 2x2
4aXl
X
1
^
i=3
{-a)lx% :
(i - 2)X^"
a2X2 (n + l)aX
2x2
n(n + l)a2, X
+ 0 ln-
2 x
(n>3)
/* dx
J xmXn
fom+n
1 _m^r2/^m + n-2
i 2^
H-a)'
(m-i- l)!;-*-1 '
Wenn der Nenner des Gliedes unter dem Summenzeichen verschwindet, dann ist ein solches Glied durch
das folgende zu ersetzen.
frn + n-2\ nX
V ra — 1 / x
21.7 Unbestimmte Integrale 1055
Bezeichnung: A = bf — ag\
f ax + b , ax Z\ , , ,
f dx _ 1 ^fx + g
J (ax + b)(fx +
32
33.
34.
35.
36
-ln-
(ax + b)(fx + g) A ax + b
b
(A^O).
/¦ xdx 1
J (ax + b){fx + g) ~ Ä
ln(ax + 6) - ^ ln(/x + p)
(A^O)
/¦ dx _ 1 / 1 _/ fx + g\
J (ax + 6J(/x + a) " A lax + 6 + Ä ~a~x~Tb ) ( ^ J'
/* xdx
J (a + x)F +
a , a + x
m-
(a + x)F + xJ (a-6)F + x) (a - bJ 6 + x
/• xzdx
J (a + x)F + xJ = "
62
- ln(a + x) +
(a^6).
b2 - 2ab
lnF + x) (a ^ 6)
(a + x)F + xJ F-a)F + x) F - aJ v y F - aJ
/ dx _ -1 / 1 1 \ 2 a + x
y (a + xJF + xJ ~ (a-6J U + x + 6 + xj + (a - bf 6 + x {a * h
/" xdx _ 1 f a 6 \ a + 6 a + x ( / h\
J (a + xJF + xJ = (a-6J \a~+^ + bTi) + (a-6K n6T^ (ö ^ }
39
/• x'dx
y (a + xJF + x
-1
a2 62
+ ¦
2ab , a + x
+ 7 —te-
(a + xJF + xJ (a-6J\a + x 6 + x/ (a-6K 6 + x
21.7.1.2 Integrale mit X = ax2 + bx + c
(a^b).
Bezeichnungen: X = ax2 + 6x + c; A = Aac — b2
40
dx
r dx
J ~X
2 2ax + b
—F= arctan p=—
2 A 2ax + l
f-Ä
: Artanh -
/-Ä
1 , 2ax + £
: In-
"•/
V^A 2ax + b + <
dx 2ax + 6 2a r dx
(für A>0),
(für A<0),
(für A<0).
X2
AX
la r dx
~ÄJ ~X
f dx _ 2ax + 6/1 3a \ 6a2 r dx
y x3 ~ a {2X2+äxy+Ä2" y y
f dx _ 2ax + 6 Bn - 3Ja /• dx
' y X^ " (n - DAX« + (n - 1)A J Xn~1'
(s Nr 40).
(s Nr.40).
1056 21. Tabellen
44.
45.
46.
47.
xdx 1 b f dx
~JT = 2a~11 ~YaiH
xdx bx -\-2c b f dx
"X2
xdx
AX AJ X
bx + 2c bBn - 3)
r xdx bx + 2c b{2n — 6) r dx
J ~X"~ = "(n-lJAI"-1 ~ (n-l)A ./ Xn~1'
' x2 dx
r x'dx _ x
J X a
b , „ b2 - 2ac /• dx
2^lnX + "^
49
50
51
52
53
£2 dx (b2 — 2ac)x + bc 2c f dx
x2 dx
Xn
: f dx
' J ~X
f x'dx _ [b* - 2ac)x + bc 2c r dx
J "X2" ~ a~ÄX + Ä y ~X
i
rxmd.
' J ~1&
aAX
—x
xm dx
c f dx (n — 2N r xdx
Bn - 3)aXn-T + Bn - 3)a i F~ Bn - 3)a y ~X"
x™-1 (ra-l)c rxm-2dx
{2n-m- l)aXn~l Bn - m - 1)
(n — m)b f xm~l dx
a J
)b__ r:
¦l)aJ '
Xn
(ra^2n-l);
Bn-m-l)a7 Xn
¦2n~ldx 1 fx2n~3dx c rx2n-3dx b rx2n~2dx
r ar" 1 dx _ 1 /• r"~° dx er ar" ° dx b r
J Xn aJ Xn~l ~aJ Xn aJ
/dx lx2 b r dx
x~X = 2c'n^C~2c'JY
r dx 1 b r dx 1 r dx
J x~X^ = 2c{n-l)Xn-1 ~2~cJ "X^^'cJ xXn~x'
} x2X~~2c~2 x*~cx + \2c2 c J
Xn
(s Nr 40)
(s Nr 40)
(s Nr 40)
(s Nr 40)
(s. Nr 43 u. 46)
(für m = 2n - 1 s. Nr.51)
(s. Nr 40)
55.
56.
r dx _ 1
y xmXn ~ ~(m-l)cxm-1Xn-1 ~
r dx _ 1
y {fx + g)X = 2(cf2 - gbf + g2a)
b2 a\ f dx
~X
Bn + m — 3)a
(m — l)c
(fx + 9J
J x1
dx
-2Xn
(n + m-2)b
(m — \)c
dx
r dx
J xm~l
/In
X
2ga - bf
2(c/2 - gbf + g2a) J X
1 /
+ g*a)J
Xn
dx
(s. Nr 40).
(m> 1)
(s. Nr 40)
21.7.1.3 Integrale mit X — a2 ± x
Bezeichnungen- X = a ± x ,
x
aretan - für das Vorzeichen „ + " ,
a
x 1 a ~\~ x
Y = { Artanh — = - In für das Vorzeichen „ — u und \x\ < a ,
a 2 a - x
X 1 X ~h CL
Arcoth — = - In für das Vorzeichen „ — " und \x\ > a
a 2 x-a ' '
Im Falle eines Doppelvorzeichens in einer Formel gehört das obere Vorzeichen
zuX = a2 + x2 , das untere zu X = a2 — x2 , a > 0
/:
57 lf.il-
X a
64
65
r dx _ x 1
58- J JÖ ~ 2a^X + 2a^Y-
59 [dx = x ¦ 3* 3
V X3 4a2X2 8a4X 8a5 '
f dx _ x 2n— 1 r dx
' J Xn+* = 2na2Xn + 2na2 i X^'
/• x dx 1
62 Jjp^VC
r xdx 1
63' i "X^ = T4X^
r xdx 1 , ...
r x2 dx _ x x 1
7 "X3" ~ ^ix2" 8^X 8^
nn [ x2 dx x , 1 r dx , . n.
f x3dx , x2 a2 . „
69/—= ±y-TlnX
x3 dx _ a2 1
X2"-2X + 2
x3 dx _ 1
X3"""^ ' 4X2'
f x3 dx 1 a2
y X"+! = ~2(n - ^X"-1 + 2nX" (n >
,2
71 f^-~ +
72.
/"da; 1 , r2
73 JxX = ^nT
dx _ 1 lx2
iX2 " 2a2X + 2^ nx*
da: _ 1 1 1 x]_
xJÖ ~ 4a2X2 + 2a4X + 2^ "x"
dg 1_ _1_
x2X a2a; a3
1058 21. Tabellen
77.
78
79.
80
dx
x2X2
dx
x2X3
dx
x^X =
dx
x3X2
2a4X ^ 2a5
x 7x
a?x
1 x
~aQx T4a4X2
8a6X ^ 8a7
1 1 £2
a2x2lf 2a4 n X
2a4.T2
1 2.1 ^_
2a4X T a6 n X
f dx 1_ _1_ 1
7 x^X3 - "^V TÄT 4a4X2 ^
3 , z2
82
cb
c\ii{b + cx)-l\nX±-Y
2 a
F + cx)X a2c2 ± b2
21.7.1.4 Integrale mit X = a3 ± x3
Bezeichnungen, a3 ± x3 = X: im Falle eines Doppelvorzeichens in
einer Formel gehört das obere Vorzeichen zu X = a3 + x3 , das untere
zul = fl3-i3
83
84
85
86
87
88
89.
90
91.
92
93.
94.
/dx
~X =
±6^
(a ±xJ 1 2x =F a
—z ö + n r- arctan 7=-
a2^ax + x2 a2v3 aV3
dx
. a2 =f ax + x2 ,
In ; ; rr ± -
{a±x2)
r dx x 2 r dx
J X2 = 3a3X + 3^ y ~X
r xdx 1
y ~y~=6^
/
/
/
/
/
/
/
/
y x2^2
1 2:r =fa
—= arctan =-.
i>/3 aV^
xdx
~X2~ =
x2 dx
X
x2 dx
"x2"
x3 dx
X
x3 dx
~JB~
dx
~x~X =
dx
x~JÖ =
dx
x~V( =
dx
x2 1 f xdx
= 3a3X + 3^ y ~X~
=4inx
i
~Zf3X'
o r dx
x 1 r dx
= TSX ZJlX
1 , x3
wlnx'
1 1 x3
~ 3a3X 3a6 "x*
1 1 r xdx
a3x a3 J X
1 x2 4
(s Nr 83)
(s. Nr 85)
(s. Nr.83)
(s Nr 83)
3a6X T 3a6
/
xdx
(s Nr 85)
(s Nr 85)
21 7 Unbestimmte Integrale 1059
/dx 1 1 f dx . _ _ rtrt.
*x—üü**h (s Nr83)
f dx 1 x 5 f dx . nn.
96 Ix^ = -2o^^^X^mJx ' (S-Nr83)
21.7.1.5 Integrale mit X = a4 + x4
r dx 1 1 x2 + ax V2 + a2 1 ax\/2
97 / — T = 7= In 7= 1 7= arctan — -
J a4 + x4 4a3^2 x2-ax\/2 + a2 2a3\/2 a2 - x2
/x dx 1 x2
—* 7 — :r-^ arctan —.
a4 + x4 2a2 a2
f x2 dx 1 , x2 + axy/2 + a2 1 ax\/2
99 / — - = 7= In 7= h 7—7= arctan -
J i
100
a4 + x4 4av^ x2-ax>/2 + a2 2a>/2
¦3 dx 1 ,
/• x°dx 1 4 4
/ —; 7 = T "H" + z )
7 a4 + x4 4 v J
21.7.1.6 Integrale mit X = a4 - x4
*~* f dx l . a + x 1 x
101 / — = —— In h r-^- arctan -
Ja4- x4 4a3 a - x 2a3 a
r xdx 1 a2 + x2
J a4-x4 = 4a~* na2-x2'
r x2 dx 1 . a + x 1 x
103 / — t = — In —- arctan -.
J ar — x4 4a a — x 2a a
104. /4^- = -Ilri(a4-x4).
7 a4 - x4 4 v y
21.7.1.7 Einige Fälle der Part ialbruchzer legung
105 l ~ l ( h «
(a + bx)(f + gx) fb-ag \a + bx f + gx
1 A B C
(x + a)(x + b)(x + c) x + a x + b x + c'
wobei gilU = — -, B = — -, C = — -
{o — a){c — a) {a — b){c — o) [a — c)\p — c)
1 A B C D
107 TT —, = + r + + -
(x + a)(x + b)(r + c)(x + d) x + a x + b x + c x +
wobei gilt A = — — — , B
108.
{b - a)(c - a){d - a)' {a-b)(c- b){d - b)
1 1 / b q
(a + bx2)(f + gx2) fb-ag \a + bx2 f + gx2
1060 21. Tabellen
21.7.2 Integrale irrationaler Funktionen
21.7.2.1 Integrale mit y/x und a2 ± b2x
Bezeichnungen:
arctan für das Vorzeichen „ + ",
X = a*±b2x,Y=i, 1 a + ^
- In —= für das Vorzeichen „ — ".
2 a — b\Jx
Im Falle eines Doppelvorzeichens in einer Formel gehört das obere
Vorzeichen zu X = a2 + b2x, das untere zu X — a2 — b2x.
tyftdx _ 2JZ 2a
Uy' J X ~± b2 T 63 ^
fVö*dx_ 2y^ 2a2 yß 2a?_
J ~JT~ ~ 3 b2 64 + 65
fyftdXy/x 1
y X2 +62X aö3
/ Vx^dx _ 2y/x* Sa2y/x 3a
' J x2 ~ ~b2Y+ b4x ~¥
13 fJ^ = lY.
J Xy/x ab
15 |^ = ^ + 4y.
16.
X2v^ a2X a36
y rfs _ 2 3b2y/x~ 36
V X2V^3 ~~ a2Xyß T a*X T a5 '
21.7.2.2 Andere Integrale mit y/x
-~ f \/xdx 1 . x + a\/2x + a2 1 a-\/2ä?
17. /— - = 7= In p= -H 7= arctan — .
J aA + x2 2ay/2 x - ay/2x + a2 ay/2 a2 - x
r dx 1 . x + a>/2x + a2 1 a\/2x
18. / tu ox r- — —^~r= m 7= ö + „ /- arctan -
7 a4 + x2V£ 2a3x/2 x-av/^ + a2 .
19
(a4 + x2)v/£ 2a3\/2 x-a\/2^ + a2 a3\/2
y^ dx 1 a + -y/x 1 y^
f Jx dx 1 . a + \/x 1 vx
/ -^ = — In ¦= arctan
J a4 — xl 2a a — yjx a a
r dx _ 1 a + y/x 1 y^
J (a* — x2)y/x 2a3 a — \fx a3 a
21.7.2.3 Integrale mit Vax + b
Bezeichnung: X — ax + b
21 7 Unbestimmte Integrale 1061
.21 [y/Xdx=—y/X*
J 6a
22. xVXdx=— -^
J 15a2
23
15a2
./ 105a3
./ >/* a
.25 /^ = 2(flg-226)^.
i >/X 3a2
/ x2rfT _ 2Ca2.x2-4aft:r + 8ft2)y/X
y vx ~ loa5
27
28
29
30
31
^X
dx
xy/X
Vx
dx
Vx
Vx
2 ^ [X 1 . y/X-y/b ... . n
7= Arcoth W — = —p In —7= 7= rur 0 > 0 ,
V^ V b y/b yfX + y/b
2 [Y r , „
= arctan w —- für b < 0
-b V —0
/
J x I xsfX
I
r*
y/X a r dx
~2bJ x\/X
J;
y/X a f dx
x = 1-
/-
J xn
dx
x 2 1 Xy/X
y/X Bn - 3)a
G?- l)bxn~l Bn-2)b
2y/X^
yfx'
32 [y/X*dx
.33 j' xyfJÖdx=^($yf)Ö- 7by/X*'
r dx
J xn-ly/
Vx'
5a
2
' 35^2
34 [jVx»*r = l(^-»S*+!y*
J a3 \ 9 7 5
35
36
37
/
2v/A3
- 2by/X + b2 f
dx
xy/X
i%-h(*
xdx 2 (
+ •
J yfJÖ a3 V 3
b2
Vx
(s. Nr 127)
(s Nr 127)
(s. Nr. 127)
(s Nr. 127)
1062 21. Tabellen
138.
139
140
dx
xVx* bVx
dx 1
/
I x2VX*
f X±n'2dx--
ii
dx
cVX
3a
3a r dx
~2VJ x^/X
bxVx b2Vx
2XB±n)/2
aB ± n)
(X{A±n)/2 bXB±n)/2
2±n
Vx
(s. Nr. 127)
(s. Nr. 127).
r o / W4±n)/2
141. xX±n'2dx = -0 ^-
7 a2 \ 4±n
,.o /" 2^±n/2j 2 (X^'2 26XD±-)/2 62XB±-)/2
142 / x2X±n/2 dx = — — + —
J a3\ 6±n 4 ± n 2 ± n
-Xnl2dx 2Xnl2
143
144
145
r Xn'*i
J x
i
i
X(n-2)/2
J X
dx _ 2
xXn/2 ~ (n - 2)bX^~2)/2 ' 6
dx 1
1 r dx
bJ xX^~2)/2'
dx
x2Xn/2
teX(n-2)/2
na r dx
~ 26 J ~x~X^<
21.7.2.4 Integrale mit y/ax + b und V/^ + 9
Bezeichnungen: X = ax + 6, Y = fx + g, A = 6/ — ag
146.
147.
148.
149.
dx
Txy
xdx
VXY~ '
dx
VxVY*'
/=57
arctan
[X_
aY
2 A , //*
-= Artanh W ——
y/af V <Y
X^ ag + bf
für a/ < 0 ,
für a/ > 0 ,
für a/ > 0 .
a/ 2a/
2y/X
2
7:
dx
7xy
(s. Nr. 146).
: arctan
//*
y\/x
1 ,fy/X-y/ET
;ln
150. /vxr^=A + 2°rVxF-A2
/<
4a/
151 j^dx^-VXY-^J-
8a/
dx
7xy
1
für A/ < 0,
für A/ > 0.
dz
/AY
(s. Nr. 146).
(s. Nr 146)
21 7 Unbestimmte Integrale 1063
/
y/Xdx 2y/X A
/
dx
152 '-F- —+ /;w*
Yndx
>Yn~ldx
153 r dx = 2 L/xY" nA[Y Ü
J y/X Bn + l)a\ J y/x
f dx 1 j y/X / _3\ /•
154
dx
155 [y/XYndx=,n \ By/XYn+1+A f^B)
J Bn + 3)/ V J VX J
r y/Xdx _ 1 / y/X a y
J Yn ~ (n-l)f [ Yn~l + 2J "
156
(n -1)/ V yn_1 ' 2 ^ v^y«-1
21.7.2.5 Integrale mit \/«2 — x2
Bezeichnung: X — a2 — x2
157
'dx=-\ xvX + a2 aresin -
2 \ a
158 / xy/Xdx = ~Vx*
159 Jx2Vxdx = -^V^+j(xVx + a2 Riesin-)
fx3VXdx--
160
xh wx3
— a
162
163
/
vT
x
Vx
161 /— dx = VX-a\n
J x
3
a + y/X
y/X . x
dx = arcsm -.
' \/X , y/X 1 , a + y/X
¦ + —- In -
r-T*--
f dx
164 / —7= = arcsin
2x2 2a
x
a
166
167
168
/
x2 dx x r— a2 x
,— = — -VX -f — arcsin —
y/X 2 2 a
rxUix VX* 2 r-
f dx
J xy/X
1, a + y/X
= — In
(s Nr 149)
(s Nr 153)
.064 21. Tabellen
169
170.
171
172
173
174
175.
176
177.
178.
179.
180
181
182
183
184
r dx
J x2Vx~
f dx
J x*y/X~
fVx^dx
fxVx^dj
___Vx_
a2x
VX 1 a + VX
2a2x2 2a3 n x
= \(xVV
5
[x2VJÖdx = -X-^
J 6
Jx*VT*dx = ^--
f^dx
J X
l~^dx
l¥*
r dx
r xdx
/7F =
r x2 dx
J 7x* =
r x3dx
r dx
J x\fiÖ~
r dx
J WF
r dx
J WF
V)Ö ,
VX*
X
Vx*
2x2
X
a2Vx'
1
Vx'
3a2x r—
a2xVX*
5 '
3a4
—— arcsm
2
16
X
l«^-l.»
ZVX 3a,
—+ yln
X . X
—7= — arcsin -
VX a
Vx + 4=.
Vx
i i
" a2VX ~ ~a~z
aA \ x
1
2a2X2>/5
. a + VX
-In .
X
X \
3
t + 2a4VX
arcsin-.
a
a + VX
X
3 , a-\
2a5
3
a6 . x
f- — arcsin -.
16 a
vVx
X
21.7.2.6 Integrale mit Vx2 + a2
Bezeichnung: X = x2 + a2
185. fVXdx= i(Wx + a2Arsinh-) + C
= i [x>/X + a2ln (z + VX)] + Ci.
21 7 Unbestimmte Integrale 1065
186 f xVXdx = ]-Vx*.
187 [x2VXdx=^s/jÖ-^(xVX + a2ATsmh-)+C
= ^SJÖ-j[xVx + a2\n(x + Vx)]+C1
188
189
jx^dx = ^L
V^ a2VX*
3
V^ , A7 , a + VX
/ dx = Va — a In
7 x
190. f^4-dx = -— + Arsinh - + C = - — + In (x + Vx) + d
J xz x a x v y
7 x3 2x2 2a x
192 [ -j== = Arsinh - + C = In (x + y/x) 4- Ci
» /$-<*
194. /^*.£^P-^ABliib£ + C-£^f-^li>(« + ^f) + C,
7 yX 2 2 a 2 2 ^ '
rx3dx VX* 2 y—
196 /4= = _I]n^±^
7 xy/X a x
197 /_^_ = _^
i x2^ a2x'
198 y w^=_^v+^ln_^-
199 / v^dx = \ fxv/^+^v/X + ^ Arsinh -^ + <?
i 4 \ 2 2 a)
200 f xVx* dx = ^Vx*
201 / iW dx = —- -f- -^ Arsinh - + C
J 6 24 16 16 a
xv^ a2xV^ a4xv^ a6 / /^\ ^
= 24 16 I^n(* + ^)+^
202. fx^dx = ^-^
J 7 5
1066 21. Tabellen
203.
f VX3 , VX3 2 r-
I dx = — h aVX - a'
J x 3
In
a +VX
204. f^dx=-— + \xVx + la2 Arsinh- + C
7 x2 x 2 2 a
^\*x^+*a2\n(x + Jx)+Cl.
205
206.
207
x 2 2
>/F, VX* 33 fa + VX
dx
i
X3 a?\fX'
r xdx 1
J Vx*z = ~7x'
[ ^=4 = 7= + Arsinh - + C = ^= + In (z + Vx) + d.
J x/X3 a/X a VX V y
~~~ f X3 dx prz a2
209-/tf=^+7f
208
210. /^ = ^_llna+^
z
VX3 a2VX a3
211. / * =-J^ +
7 a^Vx3 a4 V x
212.
J X-
x'y/X3
dx
1
3 3 , a + VX
+ ^rrhi-
3\f)Ö 2a2x2VX 2a4VX 2a5 x
21.7.2.7 Integrale mit y/x2 — a2
Bezeichnung: X = x2 — a2
213. f^Xdx= ^(xy/X-a2 Arcosh -) + C
= i [xVx - a2ln (x + Vx)] + Ci.
214. fxVxdx^^Vx3.
215. Jx2VXdx=^Vx3 + j(xy/X-a2Arcosh^) + C
= | VX3 + ^ [z VX - a2 In (z + y/x)} + d
Vx* ^Vx3
216. fx3y/Xd:
//Je
~dx = y/X-a
x
*= —+ ' 3
a
arecos—.
21.7 Unbestimmte Integrale 1067
218 f^dx = -— + Arcosh - + C = -— + In (x + Vx) + d.
J xl x a x v '
o,„ [y/Xj VX 1 a
219 / —— dx = —-r—r- + — arccos -.
J x6 2x2 2a x
220. f -^L = Arcosh - + C = In (x + Vx) + d
222. /£l^ = ^+^ Arcosh-+ C = ^Vx + ^ln(x + Vx)+C1.
7 ^/x 2 2 a 2 2 v '
223 ' 73c
x3dx y/X*
[x¦ äx VA-3 2 /—
a
nnA f dx 1
224 / —7= = - arccos —
J xy/X a
225.
J x2
xy/X a x
dx y/X
y/X a2x'
oo* f dx VX l
226 / /_ = ^ 0 0 + ^-5- arccos -
•/ X'
227 / >/Fdx = 1 ^VX^-^v/X + ^ Arcosh -") + C
7 4 \ 2 2 a)
.l^.^Vx + ^ln^ + Vx^+C,
228. f xVJÖ dx = ^Vx*
Jx2Vx^
xVlÖ a2xyfJP a4xVX
™„ / 2 /v, , ^v^ a2xy/X* a4xy/X a6 A , x ^
229 / xVX3 cte = -V— + —-f- -jr- + — Arcosh - + C
6 24 16 16 a
24 16 +X« + ^+C.
yfiC a2yfX*
230 Jx3VWdx = l— +
oo, /"VX* , V^ o /TT 3 a
231. / dx = a^y/X + a6 arccos-.
' J x 3 x
/ —— dx = h -x\/X - -a2 Arcosh - + C
J x2 2 2 2 a
232
-^ + |zVx - \a2 In (* + VX) + d.
^oo /" VX3 y^ 3\/X 3 a
233 / —— dx = — n - H -a arccos -.
7 xJ 2x2 2 2 x
1068 21 Tabellen
234
235.
236
237
238
239
240.
r dx _
J 7x^ = ~ä-
J 7x*~ Vx
xdx
7F
' x2 dx
2Vx'
1
f ar dx x . , x _, x , / /—\ _,
r x3dx r— a2
J x
I
J X'
dx
X*
dx
a2VX a;
r arccos -
x2VX* ~ "a^ \^T + ~Jx
dx
—7= — 7= 7= — 7Z~7 arccos -
*yf)Ö 2a2x2VX 2a4VX 2a5 x
21.7.2.8 Integrale mit y/ax2 + bx + c
4a
Bezeichnungen: X = ax2 + bx + c, A = 4ac — b2 , /c = —
241.
y dxf
J 7Z
—= In f2v/öX + 2ax + b)+C
1 . . 1 2ax + 6 _,
—= Arsinn = h Ci
Va VA
-7= lnBax 4- b)
1 . 2ax + 6
== arcsm —,
V-ä V-A
für a > 0,
für a > 0 , A > 0 ,
für a > 0 , A = 0 ,
für a < 0 , A < 0 .
242
243
244
/
/
/
dx 2Bax + b)
xVx aVx
dx _ 2{2ax + b) f 1
3AVX U + 2fc)
2Bax + b)
XBn+l)/2 ~ Bn _ !)AXBn-l)/2 '
x2Vx
dx
2k(n-l)
2n-
R f d:
1 J XBn
dx
¦l)/2
245. fVXdx =
246. /xVX
Bax + b)VX 1
4a
/
dx
2kJ y/X
dx=BaX + b)VX,x 3
8a V 2/c
248. J X^2n+1)/2 dx ¦¦
{2ax + 6)X<2n
4a(n + 1)
+l)/2
3 /• dx
+ 8^2"/ 7x
5f 15 \ 5 r dx
k+w) + Wk*J ~JX
^±R-[X^V2dx
2fc(n + l) J
(s. Nr. 241)
(s. Nr 241)
(s. Nr 241)
21.7 Unbestimmte Integrale 1069
249.
/
250./
251./
252
(X__b_ f dx
a ~2aJ y/x
2(bx + 2c)
aVx
1 b_ r a\
~ Bn - DaX^-D/2 ~2ai ~X<&
xdx
7x =
xdx
Xs/X~
xdx
XB«+1)/2 ~ Bn - 1).
x 36
die
¦+l)/2
r x2 dx (
J
3b2 - 4ac r dx
2a 4a2) v" ' 8^ J ~jx
Vx-
x2 dx _ Bb2 - 4ac)x + 26c 1
253 / ^-^ = ^ ""'- ' -~~ + -/-$=
J XVX aA^X aJ y/x
254. fxVxäX = ^-b{2a::b)VX-^-J^
3 3o 8a2 AakJ y/X
. [xxVxdx=^X-±- fxVXc
J 5a 2a 7
255
5a
XBn+3)/2
". dx
256 / xX^^2 dx = £ — - ±- /" X^+D/2 a1*
7 Bn + 3)a 2a 7
«** / 2 A7, / 56\ Xv/X 562-4ac f r-
' 1 , /2\/cX 2c
258
259
260
261.
262.
dx
x~7x
/—
¦ + - + 6 +C
X X j
1 . . 6z + 2c _,
-=. Arsmn =- + Gi
VC xVA
1 , 6x + 2c
—^ln
Vc x
1 . 6z + 2c
i i— arcsm —==
l \J-c xy/-A
für c> 0,
für c> 0, A > 0 ,
für c> 0, A = 0,
für c < , A < 0.
/
dx
ex
2c J
dx
dx
x2\fX ex 2c J x^X
l \fXdx rrr b f dx r d
J^r = v*+2J7x=+cJxvx
r \fXdx _ \fX f dx b r dx
J ~^~ ~ "~ + aJ 7x + 2 J xVx
. Jf Bn+l)/2
;fBn+l)/2
XC2n-l)/2
ix 2n+l 2J ix
dx
(s Nr 241).
(s. Nr. 244).
(s. Nr. 241).
(s. Nr 241).
(s. Nr. 241).
(s. Nr 246).
(s Nr. 248).
(s. Nr 245).
(s. Nr. 258)
(s. Nr. 241 und 258).
(s. Nr. 241 und 258)
(s Nr. 248 und 260)
1070 21. Tabellen
nnr, . xdx r- ;r . x — a
265. / —=====. = — \J2ax — xz + aarcsin -
f xdx r- ^
/ —===== = — \J2ax — xz + flf
i \/2ax - x2 a
2
/ y/2ax — x2 dx = —-—V2ax — x2 + — aresin :
266 / y/2ax-
~^_ f dx 1 xJaq — bf , , ,
J (ax2 + b)y/fx2 + g Vb^/ag - bf Vb^fx2 + g
= rl lnVbV7^+xVbf^äg {ag_bf<0)
2y/by/bf — ag y/b\/fx2 + g — Xy/bf — ag
21.7.2.9 Integrale mit anderen irrationalen Ausdrücken
~„~ f n/ 7 , n(ax + b) n/ r
268. / Vax + bdx = -± -^ Vax + b.
J (n + l)a
J \/ax + b (ra-l)a tyax + b'
269
(n + l)a
dx n(ax + 6) 1
nf9n r dx 2 1 a + V^Tö^
270 / —. = In ¦== .
J x\Jxn + a2 na yjxn
«-. f dx 2 a
271. / —, = — arecos —f=.
J x\Jxn — a2 na yjxn
n„n f Jxdx 2 . fx\3
21.7.2.10 Rekursionsformeln für ein Integral mit binomischem Differential
273. f xm{axn + b)pdx
= \xm+1(axn + bf + npb fxm(axn + bf dx] ,
ra + np + lL v ' J v ' J '
- ^ \-xm+1(axn + b)p+1 + (m + n + np + 1) / xm(azn + 6)p+1 dx] ,
= -; 1—— |xm+1(a:rn + b)p+1 - a(m + n + np + 1) f xm+n{axn + b)p dx] ,
= \xm-n+l(axn + b)p+1 - (m - n + 1N / xm-n(axn + b)p dx]
a(m + np + l) L v ' v W v y J
21.7.3 Integrale trigonometrischer Funktionen
(Integrale von Funktionen, die neben Hyperbel- und Exponentialfunktionen auch die Funktionen sin x
und cos x enthalten sind in den Tabellen Integrale anderer transzendenter Funktionen (s. 21 7 4. S 1080
aufgeführt )
21.7.3.1 Integrale mit Sinusfunktion
274 / sin axdx = — cos ax
a
275 / sin2 ax dx = -x — — sin 2ax.
2 4a
h
h
21 7 Unbestimmte Integrale 1071
/\ \
sin3 axdx = — cos ax -\ cos3 ax
a 3a
277 / sin4axdx = -x — — sin2ax + 7^— sin4ax
278
8 4a 32a
sinn_1 ax cos ax n — 1
r . _ . sin" "axcosax n - 1 r . __2 , . _ _. ^N
. / sin ax ax = 1 / sin ax ax (n ganzzanlig, > 0)
J na n J
n„„ f . . smax xcosax
279. / x sin axdx = — .
J al a
280 / xz sin ax dx = —r- sin ax — ( ) cos ax
az \ a a-
/ x2 sin
rt0. f 3 . _, /3x2 6\ . (x3 6x
281. / x sm axdx = — sinax — 7
7 \a2 a4J \a a3
/X^ T) f
xn sin axdx = cos ax H— / xn-1 cos az dz (n > 0).
a a y
6x^
I cos ax.
282,
^^^ /"sinax, (axK (axM (axO
283. /_(fa=ax-yr + i_i__L7if+.
Das bestimmte Integral / dt nennt man Integralsinus (s. 8.2.5,1., S. 477) und bezeichnet es mit
0
si(x)
Die Berechnung des Integrals s. 14 4 3.2,2., S. 719. Die Reihenentwicklung si(x) = x — -—— + -——
3-3! 5-5!
x7
—— + ••• s 8 2 5,1., S. 477.
7-7!
. , sinax f cos axdx
284 ' ' • '
r smax , sinax r cos axdx , XT nnn.
/ ——dx = + a / (s. Nr.322).
nnm, /'sinax , 1 sinax a rcosax , , AT rt^jX
285 / dx = + / dx (s. Nr.324).
J xn n-\ xn~l n-lJ xn~l v '
nnn r dx f , 1, ax 1 . . N
286. / — = / cosec axdx = -In tan— = - m(cosecaxcotax).
i sinai i a 2 a
/;
^_ 1 dx 1
287. / -r-ö— = —cotax.
dx cosax 1 ax
-r-ö— = —-—r-ö 1- 7—In tan—-.
sin ax 2a sin ax 2a 2
/" — cos ax n — 2 r dx
J sinnax a(n - 1) sinn_1 ax n—lJ sinn_2ax
f xdx 1 /
7 sinax a2 \
0rt„ . _ . . (axK 7(axM 31(axO
290. / = — [ax+ V4r + . . ' , + ;
3-3! 3-5-5! 3-7-7!
1072 21. Tabellen
+ 127(ax)* 2B2^-l)
+ 3-5-9' + + Bn+l)! n( j
Mit Bn sind die BERNOULLlschen Zahlen (s 7.2 4.2, S 428) bezeichnet.
nM .xdx x 1
291 / t-ö— — ~-cotax-\—-lnsinax
f x^x xcosax 1 n — 2rxdx
J sinnax (n — l)asinn_1 ax (n — l)(n — 2)a2sinn-2ax n—lJ sinn-2ax
a
xdx
nn ax (n — l)asinn_1 ax (n - l)(n - 2)a2sinn_2ax
r dx \ (tt ax\
293 / ; = — tan - - — .
i l+sinaa; a V4 2 /
f dx 1 (tt ax\
294 / : = - tan - + —
J 1 — sin ax a \ 4 2 /
^ f xdx x /TT ax\ 2 , /7T ax\
295 / ; = tan - - — + — In cos - - — .
J 1+sinax a \4 2 / a2 V4 2 /
-«« f xdx x (tt ax\ 2 , . [TT ax\
196 / : = - cot - - — + -TT lnsin - - — .
J 1-sinax a W 2 ) a2 U 2 )
f sinaxdx , 1 (tt ax\
297. / —— = ±x + - tan - =f — .
i lisinaa; a V4 2 /
ÄÄ„ f dx 1 /tt ax\ 1 . ax
298. / ,„ , . r = - tan - =F —- + - In tan —-
J smax(l ±sinax) a \4 2 / a 2
~~~ f dx \ (iT ax\ 1 o /7T ax\
299 / - : = tan - - — - — tan3 - - — .
J 1 + sinax2 2a V4 2/ 6a V4 2)
300. / ^ - = — COt ( t ~ ^ ) + TT ™t3 ( T ~ ^
A + sinax):
r d:
J A -sinaxJ 2a V4 2) ' 6a™ V4 2
f sinaxdx 1 /tt ax\ 1 ., /7r ax
301 / - : = -— tan - - — + — tan3 - - —-
J A + sinaxJ 2a V4 2 ] 6a V4 2
/sin axdx 1 /7r ax\ 1 o /tt ax\
(l-SinaxP=-^COtD-Y) + ^COt U-y)
™« f dx 1 /3sin2ax-]
303 / r-ö— = —7=- arcsin ——s
./ 1 + sin ax 2\J2a \ sin ax + 1
f dx f dx 1
304. / —ö— = / —5— = - tan ax
7 1 — sm ax 7 cos ax a
™^ /" • • , , sin(a - 6)x sin(a + b)x ,.,,,,. ,... , , .,. *T rt„rx
305 smaxsmbxdx = —j -^ -j -^- (|a| ^ \b\, für |a| = |6| s Nr 275)
f dx 2 otanax/2 + c ,. ,9 0
306 / ; = —. arctan . ' für b2 > c2 ,
7 0 + csmax ay/b2 — c2 yb2 — c2
1 , b tan ax/2 + c — y/c2 — b2 . ., 9
= —/ » ni . / » für o < c •
aVc2 - b2 otanax^ + c+Vc2-^
21 1 Unbestimmte Integrale 1073
rtrtÄ r sin axdx x b r dx , ___x
307 / —— = / ——, (s Nr 306)
i o + csmax c c J o + csinax
«~« /" d# 1 . ax c r dx /AT o^^n
308. / = — In tan / (s Nr 306)
J smaxyb + csmax) ab 2 67 o + csinax
nn„ f dx ccosax b f dx , 0^„x
309 / irr,—:—ü = -m—2üt^—•—t + ü—2 / rr—-— s- Nr-306 •
J (o + csmaxJ a(b2 - c2)(b + csmax) b2 — c2 J o + csmax
dx ccosax b f dx
F +csinaxJ a{b2 — c2)(b -f csinax) b2 ¦
Ä„^ , sin axdx bcosax c f dx
310 ' '
r sin axdx bcosax c r dx , .
J F +csinaxJ a(c2 — b2)(b-\-csinax) c2 — b2 J 6 +csinax
r dx 1 \Jb2 + c2 tan ax ., .
\ t^ ö ö— — , arctan (o > 0).
J b2 + c2sin2ax aby/b2 + c2 b V ;
„ ^ , dx 1 \Jb2 — c2 tan ax
312 ' —¦" —
f dx 1 y/tr — cztanax /l9 9 . ^
/ « 2 • 2 = ^7ro=^ arctan^ (b2 > c2 , 6 > 0),
7 b2 - c2sin ax aövo2 - c2 o
1 Vc2 - 62 tan ax + 6 2 2
In -=== (c2 > b2, o > 0)
2a6\/c2 — fr2 \/c2 — ö2 tan ax — b
21.7.3.2 Integrale mit Kosinusfunktion
¦ /
313. / cos axdx = - sin ax
a
/l i
cos2 axdx = -x + — sin 2ax.
2 4a
315 / cos3 axdx = - sin ax — —- sin3 ax
a 3a
/«
/3 1 1
cos4 axdx = -x + — sin 2ax + —— sin 4ax.
8 4a 32a
n-.~ f , cos71-1 axsinax n—lr __2
317. / cos axdx = 1 / cos axdx.
J na n J
n_n f . cosax xsinax
318 / x cos axdx——- 1
J a2 a
2
' sinax.
o-.^ f 2 j 2x (x<1 2
319 / x cos axdx = —z cos ax + I :
J a2 \a a-
onA /3 _, /3x2 6\ (
320. / x cos axdx = I — J cos ax + I
oo-. f n j xnsinax n f n_1 .
321. / x cosax ax = Ix sin axdx.
J a a J
«~« /" cosax, . , , (axJ (axL (axN
322. |__dl = ln(aa;)_L:i. + L:ir_L:ir + ...
Das bestimmte Integral — / dt nennt man Integralkosinus und bezeichnet es mit Ci(x) Es gilt
die Reihenentwicklung Ci(x) = C + lnx - -^— + -^— - -^— + • • • (s. 8.2 5,2., S 477); mit C ist
1074 21. Tabellen
die EULERsche Konstante (s 8 2 5,2., S 477)) bezeichnet
" cos ax , cos ax f sin ax dx
323
rcosai , cosax fsmaxdx , XT ^ .
/ —— dx = a (s Nr 283)
f cosax 7 cosax a fsmaxdx , . „w ^T ' ,.
324. / dx = -- r - / — (n^l)(s Nr.285).
««^ f dx 1 . . . . , . . 1 . fax 7r\ 1
325 / = - Artann Artanh(smax) = - In tan — + — = - misecax + tanax)
J cosax a a \ 2 4/ a
/dx 1
-— = -tanax
cos2 ax a
f dx sinax 1 , /n ax\
327 / —3— = ö—2— + t~lntan 7 + ~r
7 cos*3 ax 2a cos2 ax 2a V 4 2 /
f dx 1 sin ax n — 2 f dx
328 / = -7 TT i + 7/ 5 (n>l).
7 cosn ax a\n — 1) cosn_1 ax n — 1 J cosn_2 ax
. „,_ 1 /(axJ (axL 5(axN 61(ax)8 1385(axI0
r xdx 1 ((axJ (axL 5(axN
y cosax = ^ y 2 + 4-2' + 6-4'
En(axf^
Bn + 2)Bn')
Mit £n sind die EuLERschen Zahlen (s 7 2 4 2. S 429) bezeichnet
, xdx x 1
330.
331.
f xdx x I
/ -— = — tan ax H—- In cos ax
y cos2 ax a a2
r x dx x sin ax 1 n — 2 r xdx
J cosn ax (n — l)acosn_1 ax (n — l)(n — 2)a2 cosn_2 ax n — 1 J cosn_2 ax
Ä„Ä /" dx 1 ax
332 / = - tan —.
J 1 + cos ax a 2
~~„ f dx 1 ax
333 /- = — cot —
y 1 — cos ax a 2
xdx x ax 2 ax
= - tan 1—-In cos —
¦f cos ax a 2 a2 2
. xdx x ax 2 , . ax
335 / = —cot — + — In sin —
- cos ax a 2 a2 2
. cos axdx 1 ax
336. /- = x--tan —-.
- cos ax a 2
nnmm / cos axdx 1 ax
337 / = -x cot —
- cos ax a 2
/r
/" COS(
y t+~c
/" COS(
y r^
~~~ f dx 1 , /TT ax\ 1 ax
338. / - = -lntan - + — --tan —
J cosax(l + cosax) a \4 2J a 2
dx 1 _ /7T ax\ 1 ax
r = - In tan I — 4- -7- 1 cot —
cosax(l — cosax) a \4 2 / a 2
21 7 Unbestimmte Integrale 1075
r dx 1 ax 1 o ax
340 / - = — tan — + — tan3 —.
J A + cosaxJ 2a 2 6a 2
/" dx 1 ax 1 a ax
341 / = - — cot — - — cot3 —
Irr-
A-cosaxJ 2a 2 6a 2
„ ,Ä f cos axdx 1 ax 1 ,ai
342 / = — tan tan3 —.
J A + cosaxJ 2a 2 6a 2
nAn f cos axdx 1 ax 1 n ax
343. / - = — cot — - — cot3 —
J A -cosaxJ 2a 2 6a 2
dx 1 . /1 — 3 cos2 ax
344
/tt
cos ax 2v2a \ 1 + cos12 ax
nAmf dx r dx 1
345 / — = / -r-s— = — cot ax
J 1 — cos2 ax 7 sin ax a
n*„ r 7 , sin(a - 6)x sin(a + b)x .. . ..... /r„ . . ... .. 01 .N
346 / cosax cos ax dx =—- -f- + —-7 rf- ( a Mb ); für a = 6 s Nr 314)
2(a — 0) 2(a + 0)
f dx 2 (b — c)tanax/2 .... f9 9N
347 / — = arctan ^ ' 7 für b2 > c2)
7 0 + ccosax ayb2 — c2 vo2 — c2
l , (c — 6) tan ax/2 + \/c2 — b2 ,. j9 9.
= —. In . (für b1 < &)
aVc2-b2 (c-6)tanax/2-Vc2-62
cos axdx x b f dx
r cos axdx x b r dx , __ rt.„.
/ ri = / rr (s Nr-347)
J 0 + c cos ax c cJ 0 + c cos ax
f dx 1 . /ax ir\ c f dx , nAnX
\ n 7 = -7 Intan ( — + - ) - - / (s. Nr 347)
J cos ax{b + ccos ax) ab \2 4/ 0./ 0 +ccosax
f dx = csinax L_ f dx (S Nr.347)
i F +ccosaxJ a(c2 — 62)F + ccosax) c2 — b2 J 6 +ccosax
/ cos axdx ösmax c f dx . .
y F +ccosaxJ aF2 — c2)F + ccosax) b2 — c2 J 0 +ccosax
„_ f dx 1 ötanax
352 / — = 7== arctan , n (b > 0)
J 62 + c2cos2ax aov/PT^2 Vb2 + c2 V y
r dx 1 btanax /l9 9 . rtX
353 ja—2—2—=-r7fr=farctan-?fr::^ (b2>c2,b>o).
7 ¥ - cz cos2 ax aby b - c2 v b2 — c2
1 , b tan ax — \/c2 — b2 /9 j9 . .
In . (c2 > b2 , 6 > 0)
2aby/c2 — b2 ¦ b tan ax + \/c2 — b2
21.7.3.3 Integrale mit Sinus- und Kosinusfunktion
354 / sin ax cos axdx = — sin2 ax
J 2a
f . 2 2 1 x sin4ax
355 / sin ax cos ax dx = — ——.
J 8 32a
356. / sinn ax cos ax dx = — sinn+1 ax (n ^ — 1).
7 a(n + l) v y
1076 21. Tabellen
357. / sin ax cosn ax dx = ; — cosn+1 ax (n ¦=£¦ -1).
7 a(n + l) \ t )
n-n f . « m , sin axcos^" ax n - 1 /" . __2
358 / sin ax cos axdx = ; 1 / sin ax cos axdx
J ain + m) n + mJ
sinn l ax cosm+1 ax n—l
a(n + m)
(Erniedrigung der Potenz n, m und n > 0)
sinn+1 ax cosm_1 ax m — 1
m — 1 f . „
/ sin
n + m J
a(n + m)
(Erniedrigung der Potenz m; m und n > 0)
/dx 1
= -lntanax.
sin ax cos ax a
360 / — = - In tan - + — - -
J sin ax cosax a L \4 2 J sinaxj
_„ r dx 1 /. ax 1 \
361. / 5— = - In tan— +
J smaxcos^ax a \ 2 cosax/
f dx 1 / 1 \
362. / —ö = - I mtanax ö— •
J sin ax cosax a V 2sm ax)
n„n f dx 1 / 1 \
363. / 5— = - lntanax + 5—
J smaxcos^ax a V zcos^ax/
axcosm 2axdx
~„< f dx 2
364. / —^ ^— = —cot2ax
J sin
sin2 ax cos2 ax a
/" dx 1 r sinax 1 3, /n ax\~\
365. / -7-5 — = - -2 : + -lntan - + —
J sm axcosdax a Licos^ax sinax 2 \4 2 )\
~„„ f dx 1/1 cosax 3, ax\
366. / -7i — = 7r^5— + - In tan — )
J sin ax cos ax a \
cos ax 2 sin2 ax 2 2 / '
dx _ 1 r dx
sin ax cosn ax a(n — 1) cosn_1 ax 7 sin ax cosn~2 ax
367 / — = - -r= —+ /- 9 (n^l) (s Nr 361 und 363)
7 sin ax cosn ax a(n — 1) cosn_1 ax J sin ax cosn~^ ax
368. /—=-^ = : r^—=zr—+ / n_2dX (n^l)(s Nr.360 und 362)
y sin ax cosax a(n — l)sm ax 7 sin ax cosax
r dx _ 1 1 n + m — 2/" dx
7 sinnaxcosmax a(n — 1) sinn-1 axcos771-1 ax n—l 7 sinn~2 ax cosm ax
(Erniedrigung der Potenz n; m > 0, n > 1),
1 1 n + m — 2r dx
a(m — 1) sinn_1 ax cosm_1 ax n—l 7 sinn ax cosm~2 ax
(Erniedrigung der Potenz m ; n > 0 , ra > 1)
««.^ /"sin axdx 1 1
370. / - = = -secax.
J cos^ax a cosax a
21 7 Unbestimmte Integrale 1077
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
sin ax dx
r sin ax dx 1 I"
./ cos3ax a [
* sin2 ax dx
1
381
382
383
384.
385
386
387
¦ + C =
1
2a cos2 ax 2a
1
a(n — 1) cosn_1 ax
tan2 ax + C\.
sin ax dx
cosn ax
sin2 ax dx
cosax
sin2 axdx 1 f sinax
1 . 1, /7T ax\
- - sin ax + - In tan I — + —
a a \4 2 /
1 . /7T ax
- In tan — + —
2cos2ax 2 V4 2
/"sin axdx sinax 1 f dx . . , nnr, nn„ nnn.
/ = -: : : / 5— (n 7^ 1) (s. Nr 325, 326, 328)
J cos" ax a(n — 1) cosn_1 ax n — 1 J cosn 2 ax
sin ax dx
cos ax
sin3 ax dx
cos2 ax
sin3 ax dx
a(n - 1)
1 /sin2ax
+ In cos ax
= - cos ax + -
1
)sax/
cos" ax
sin" ax
1
(n — 1) cosn_1 ax (n — 3) cosn-3 ax
(n ^ 1, n ^ 3)
cosax
sinn ax
dx =
dx -
sin"
" a(ra - 1)
ax /• sinn 2 ax dx
/
(n ± 1).
n — m + 2
cosm ax
cos ax dx
sin2 ax
cos ax dx
sin3 ax
cos ax dx
sinn ax
cos2 ax dx
sin ax
cos2 ax dx
sin3 ax
cos2 ax dx
sinn ax
cos3 ax dx
a(m — 1) cosm_1 ax
sin"-1 ax
a(n — ra)cosm_1 ax
sin"-1 ax
a(m — l)cosm_1 ax m
1 1
= — cosec ax
a sin ax a
1 y co
-dx
n — 1 r sin" 2 ax dx
n - 1 /•
n — m J
cogm-z ßT
(*n*l),
(ra 7^ n),
(m^l).
1
2a sin2 ax
1
2a
a(n — l)sinn l ax
1 / ax\
- cos ax + In tan —
a V 2 7
1 /cos ax ax
— —- I —-R in tan —
2a Vsin ax 2
1
(n — 1) yasin" ax
1 {cos2 ax .
— h In sin ax
7 sin
dx
(n^l)
(s Nr 289)
1078 21. Tabellen
388.
389.
390
391
f cos ax dx 1 / . 1 \
/ ——ö = — sin ax + .
J sin oi a \ sinax/
i
392
393.
394
395.
396.
397.
398.
399
cos3 ax dx
/co:
si
/
sin ax
cosn ax
(n —3)sinn 3 ax (n — l)sinn
(n^ l,n^3)
dx =
smax
cosn ax dx
a(n — 1)
7
cosn 2axdx
cosn+1 ax
m + 2 /• cosn ax dx
sin ax
dx
a(m — l)sinm ax
cosn_1 ax
-( x • m-i— +
a(n — m) sin ax
cosn_1 ax
a(m — l)sinm_1 ax
1
n — m + 2 /*
ra — 1 7
n — 1 /•
771 — 1 J
n — l r
m— 1 J
1 /* cosn 2 ax dx
sin ax
cosn_2 ax dx
sinax(l ± cosax)
dx
cosax(l ± sinax)
sin ax dx
= ±
= T
1 ax
^ .„ , r + — In tan —
2a(l± cosax) 2a 2
1
2a(l db sinax)
1 , (-K ax\
+ ^lntanU + Y)-
1 1 ± cos ax
= - In
cosax(l ± cosax) a cosax
cos ax dx
sinax(l ± sinax)
sin ax dx
1 . 1 ± sm ax
--In—; .
a sin ax
cosax(l ± sinax) 2a(l± sinax)
cos ax dx 1
1 /7T ax\
: — In tan — + — .
2a V4 2 )
sinax(l ± cosax)
sin ax dx
sin ax ± cos ax
cos ax dx
. 1 i ax
2a(l± cosax) 2a 2
- =F — m(sin ax ± cos ax).
= ±—I lnfsin ax ± cos ax)
sin ax ± cos ax 2 2a
(m^l),
(m 7^ n),
(m ^ 1).
400.
401
402.
403.
404.
f dx 1 . /ax , 7T\
/ = —7= In tan — ± —
7 sin ax ± cos ax av2 V 2 8 /
f dx , 1, / , ax\
/ — = ±- In 1 ± tan —
7 1+ cos ax ± sm ax a \ 2 /
/• dx 1 1 + ax + 0
J b sin ax + c cos ax a V&2 + c2 x" """" 2
f sinax dx 1 . .. x
/ = m(o + ccosax).
J 6 +ccosax ac
f cosax dx 1 . ,. . ,
/ = — ln(o + csmax).
J b + c sin ax ac
mit sin 0 =
Q
Vb2 + c2
21 7 Unbestimmte Integrale 1079
dx
mit sin 6 = / $ , r2 und tan 6 = — (s Nr 306)
f — f \ aJ
J b + c cos ax + / sin ax J b + \/c2 + /2 sin(ax +
.™ f dx 1 /c \
406. / — 5— = —— arctaii 7 tan ax
J b1 cos2 ax + <r sin ax abc \b J
r dx _ 1 ctaxLax + b
J b2 cos2 ax — c2 sin2 ax labe c tan ax — b
/cos(a + b)x cos(a — b)x , 9 . ,9. .„ . XT „_..
sin ax cos 6x dx = -7 -7 -7 -f- a2 ^ b2 ; für a - 6 s Nr 354
2(a + b) 2(a-b) v ^ ; v ;
21.7.3.4 Integrale mit Tangensfunktion
409 / tan axdx = — In cos ax
A ^ f o , tanax
410. / tan axdx = •
J a
f 11
411 / tan3 ax dx = — tan2 ax + - In cos ax
J 2a a
412 / tann ax dx = — tann_1 ax — / tann_2 ax dx
J a(n — 1) J
h
413. Ixunaxdx=- + — + — + — + ...+ (J+i)|
Mit Bn sind die BERNOULLischen Zahlen (s. 7.2 4.2, S 428) bezeichnet.
J3 2(axM 17(axO 22nB2n - l)Bn(axJn-1
x ~"~ ' 9 + 75 + 2205 + * ' + Bn - l)Bn')
' tann ax , 1
a(rc+l) '
dx , x 1
/¦tanaxdx (axK 2(axM 17(axO 22nB2n - l)J3n(axJ
414 / = ax + ^r^ + ^rA + „L: + • • + —At; ^ ,/ + •
A^m f tan" ax , 1 _+1 , . 1N
415 / dx = — tan ax (n ^ — 1).
J cos^ax a[n+ 1)
/ax x 1
= ±—I lnfsin ax ± cos ax).
tan ax ± 1 2 2a v '
,„_ f tan axdx x 1 , , . , ,
417 / = — qp — lnfsin ax ± cos ax)
y tanaxil 2 2a v ;
21.7.3.5 Integrale mit Kotangensfunktion
418 / cot ax dx — - In sin ax
J a
,-r> f 1 , cotax
419. / cot axdx = x
J a
420 / cot3 ardx = cot2 ax In sin ax.
J 2a a
421 / cotnaxdx = ; -cotn_1ax — / cotn~2 axdx (n^l).
J a(n — 1) J
1080 21 Tabellen
422
/ x cot ax dx =
X
a
ax3
~9~"
a3x5
~~225~~"
Mit Bn sind die BERNOULLischen Zahlen (g
423
424.
f cot ax dx
J X
f cotn ax
/ ~r~2 dx =
1
ax
~~^T,
ax
3
1
n _L TA
(axK
135
¦ cotn+1 ax
22nBna2n-
Bn +
i 7 2.4.2, S
2(axM
4725
(n^-
-lx2n+l
428) bezeichnet.
i).
22nBn
Bn-
.(axJ"
" l)Bn)!
sin ax
/* dx r tan axdx
425. / — = / —- s. Nr.417
J 1 ± cot ax J tan ax ±1
21.7.4 Integrale anderer transzendenter Punktionen
21.7.4.1 Integrale mit Hyperbelfunktionen
426. / sinh axdx = - cosh ax.
J a
427 / cosh axdx = - sinh ax.
J a
f 1 1
428 / sinh2 axdx = — sinh ax cosh ax x.
2a 2
429. / cosh axdx = — sinh ax cosh ax -\- -x
2a 2
/¦
/<
430 / sinhn ax dx
431.
432
433.
434
435
436.
= — sinhn l ax cosh ax / sinhn 2 ax dx
an n J
= — — sinhn+1 ax cosh ax / sinhn+2 ax dx
a(n + l) n+lJ
/ coshn ax dx
l.i i n-l n
= — sinn ax cosh ax -\—
an
= ; r sinh ax coshn+1
a(n + l)
f dx 1 . . ax
/ ^—: = - In tanh —.
y smhax a 2
/ — = - aictaneax.
J coshax a
/ x sinh ax dx = -x cosh ax -
7 a
/ x cosh axdx = -xsinhax -
J a
/ tanh axdx = - In cosh ax
J a
— \ r
/ coshn-2 ax dx
n J
, n + 2 f y.n+2
ax H / cosh T ax dx
n + 1 7
- ^r sinh ax
a2
—- coshax.
a2
(für n > 0),
(für n<0)(n ^-1).
(für n > 0),
(fürn<0)(n^ -1)
21.7 Unbestimmte Integrale 1081
437 / coth axdx = - In sinh ax
a
i
438 / tanh2axdx = x —
2 . tanh ax
ixdx = x
a
coth ax
Anrx f . 0 . coth
439. / coth axdx = x
J a
440 / sinh ax sinh bx dx = ——— (a sinh 6x cosh ax — b cosh 6x sinh ax) (a2 ^ b2).
J a2 — b2
441. / cosh ax cosh bx dx = ——— (a sinh ax cosh bx — b sinh 6x cosh ax) (a2 ^ 62)
./ a2 — b2
442 / cosh ax sinh 6x dx = — — (a sinh bx sinh ax — b cosh bx cosh ax) (a2 ^ b2).
J a2 — b2
443 / sinh ax sin axdx = — (cosh ax sin ax — sinh ax cos ax)
444 / cosh ax cos axdx = — (sinh ax cos ax + cosh ax sin ax)
7 2a
445 / sinh ax cos axdx = — (cosh ax cos ax + sinh ax sin ax).
446 / cosh ax sin axdx = — (sinh ax sin ax — cosh ax cos ax)
21.7.4.2 Integrale mit Exponentialfunktionen
447 feaxdx = -eax
J a
448 f xeaxdx = ^-(ax-1).
7 a2
,*„ [in,, n<r (^ 2x 2 \
449 / x2eax dx = eax\ 5- + -ö .
y \a a2 a6 J
450. / xneaa; dx = -xneax - - f xn~leax dx.
J a a J
[ eax , , ax (axJ (axK
45i /_(fa = iIia: + _ + L:ir + LJr + ...
X .
/e
— dt nennt man Integralexponentialfunktion (s. 8.2.5,4., S 478) und
—oo
zeichnet es mit Ei(x). Für x > 0 divergiert dieses Integral im Punkt t — 0, in diesem Falle versteht
man unter Ei(x) den Hauptwert des uneigentlichen Integrals (s. 8.2.5,4.,S 478).
? e* , _, . . . x x2 x3 xn
j -dt = c + in\x\ + — + _ + _ + ... + _ + ...
—oo
Mit C ist die EuLERsche Konstante (s 8 2.5,2., S. 477) bezeichnet
/„ax i , ax * „ax x
— dx = -( - + a / Tdx) (n^l).
xn n - 1 V xn~l J xn~l ) y '
be-
1082 21. Tabellen
453.
454.
455.
J i +
f —
J b +
1 ea:
-Ingo.
dx
a 1 + e'
a: 1
7 6T
ceax 6 a6
eax da: _1_
ac
cea-
ln(b + ceax).
\n{b + ceax).
„r. f dX 1 /M/A
456. / = —p=arctan e \ -
J beax + ce~ax aVbc \ V cj
1 , c + eax\f-bc
. an
2a\J—bc c — eaxy—bc
Fc > 0),
Fc < 0).
xeax dx
f xeu-
J Jl + axJ ~ a2(l + aa:)'
/eax In x 1 /" eax
ea:r In x dx = / — dx;
a a J x
/eax
eax sin bx dx = ——— (a sin bx — b cos bx).
az + er
eax cos 6a; dx = ——— (a cos bx -\-b sin 6a:).
az + 6
(s. Nr.451)
/c sin a:
eax sinn x dx = ———-— (a sin x — n cos x)
a2 + riz
n(n — 1)
a2 + n2 J
eax sinn xdx:
/c cos a:
ea;E cosn xdx = ———2— (a cos ^ + n SU1 ^)
a2 + n2
n(n — 1)
a2 + n2 J
eaxcosn~2xdx,
(s. Nr.447und459).
(s. Nr 447 und 460).
463. xeaxsinbxdx
464 / a:eax cos 6a: da:
a:e"x
a2 + 62
a:eax"
(a sin bx — b cos 6a:) —
(a2 + 62J
[(a2 — b2) sin 6a: — 2a6 cos bx]
(a cos 6a: + 6 sin bx) — -
a2 + 62V ; (a2 + 62J
21.7.4.3 Integrale mit logarithmischen Funktionen
465 \nxdx = xlnx — x.
466. [(lnxJdx = x(lnxJ-2xlnx + 2x.
467. /(In a:K da: = x(ln a:K - 3x(ln xJ + 6a: In a: - 6x.
468 f(\nx)ndx = x(\nx)n - n I\lnx)n~l dx (n ^ -1).
[(a2 — 62) cos bx + 2a6sin 6a:]
21 7 Unbestimmte Integrale 1083
469.
(lnxJ (lnxK
f dx . . , (inxy (lnxr
/ — = In Ins + Ina? + ^—T + V^T + '
J \nx 2-2! 3-3'
Das bestimmte Integral / -— nennt man Integrallogarithmus (s. 8.2.5,3., S. 477) und bezeichnet es
o
mit Li(x) Für x > 1 divergiert dieses Integral im Punkt t = 1 In diesem Fall versteht man unter Li(x)
den Hauptwert des uneigentlichen Integrals (s. 8.2.5,3., S. 477)
Der Integrallogarithmus hängt mit der Integralexponentialfunktion (s. 8.2.5,4., S. 478) zusammen.
Li(x) = Ei(lnx)
470
r dx _ x 1 r dx
J {lax)n ~"{n-l)(]nx)n-1 + n-li (Inj;)"-1
471 fxmlnxdx = xrn+1
(n^l); (s. Nr 469)
[m+1 (ra+1J
xm+1(lnx)n
(lnx)n
(ro^-1).
r"mllnr)" n r
xm(\nx)ndx = K—-!¦ xrn{\ivx)n-1 dx (m^-l,n^-l; (s. Nr.470).
v } m+1 m + lJ v ' \ t , t , \ )
(lnx)n _ (lnx)n+1
473
/'
-dx -
474. f — dx = -
475
476.
r In
J x'
r{\nx)n
J xm
n + 1
lnx
(m - l)^771-1 (m - lJxm_1
(lnx)n ra /" (lnx)"-1 7
dx = -, v ./_ , + / - - da;
(m — l):*;™-1 m
r xmdx r e~y ,
/ 1 = / — d2/
J lux J y
(m ^ 1).
(m ^ 1), (s. Nr.474).
mit 2/=-(ra +l)lnx, (s. Nr.451)
y xm dx _ xm+1 m + 1 y xmcfa;
* 7 (h^~~(n-l)(lnx)"-1+7rTy (lnx)-1 (n ^ ^
478. /-^-= In Ins.
7 xlnx
A„n f dx , , , 1N1 (n-lJ(lnxJ (n - lK(lnxK
479. / —-— = lnlna;-(n-l)lnx + - — - - — -¦
2-2!
3-3!
480
f dx = Zl {n4l)
' J x{\nx)n (n-l)(\nx)n-1 K r }'
f dx _ -1 p—lr dx / _z i\
J xP{\nx)n ~ x*>-l{n - l){\nx)n~l n-lJ ^(lnx)"
Aan r . , x3 x5 22n-1Bnx2n+1
482. / In sin x dx = x In x — x — —- — —— - • • • — —
J 18 900 nBn + l)!
Mit ßn sind die BERNOULLischen Zahlen (s. 7 2.4 2, S 428) bezeichnet.
22n-lB2n_l)jBn^+i
483.
/,„
cos x dx = ¦
6 60 315
nBn + l)!
1084 21 Tabellen
,o. f, x" lxb 22nB2n-1-l)Bn 2n+1
484 / In tan x da: = x\nx-x + — +-— H 1 —yz ttj—x2n+1 + •
J 9 450 rcBrc + l)!
485 / sin In x dx = — (sin In x — cos In x)
/x
cos Ina; da; — -(sin In x + cos In x).
487. / eax In a; dx = -eax In a? - - / — dx , (s Nr 451)
7 a a J x
21.7AA Integrale mit inversen trigonometrischen Funktionen
488. / aresin — dx = x aresin —h \/a2 — x2.
Ja a
/nß I nß^ n \ XX
x aresin - dx = [ I aresin —I—Va2 — x2.
a \2 4 j a 4
490 / x2 aresin - dx = — aresin —h -(x2 + 2a2) Va2 — x2
J a 3 a 9
aresin-da; x 3 1 . 3 a;5 1-3-5 a;7
491 / Ol = I I I h • • •
J x a 2 - 3 • 3 a3 2-4-5-5 a5 2- 4-6-7-7 a7
aresin^da; x T 1 a + ^ZT^l
492 / ^— = — aresin In .
J xz x a a x
493. / arecos - dx = x arecos Va2 — x2
Ja a
494 / x arecos — dx = arecos v'a2 — x2.
J a V 2 4 / a 4
495. / x2 arecos — dx — — arecos -(x2 + 2a2)Va2 — x-
J a 3 a 9
. arecos - dx
/OüL Ks\^\JO U/O, _
S— = -Ina;
x 2
TT, x 1 a;3 1 • 3 x5 1 • 3 • 5 x7
a 2-3 3 a3 2-4-5-5 a5 2-4-6-7-7a7
arecos^dx 1 x , ß + ^TT^
497. / ^ = —arecos- + - In-
J x2
x a a x
498 / aretan — dx — x aretan ln(a2 + x2).
J a a 2
499. / x aretan - dx = -(x2 + a2) aretan —
J a 2V J a 2
/o x x x ax a , 9 9.
500 / x aretan - dx = — aretan 1 lnia + x )
J a 3 a 6 6 v J
™-< f n X . XH+1 X ü f XU+1 dx . . _
501. / x aretan - dx = aretan / — [n ^ — 1)
J a n + 1 a n + lJ a2 + x2 ^ ^ >
x
f aretan - dx x x3 x$ xi
\ ~— = --^-T + ?F5-^-7+--- (M < M)-
J x a 32a3 52a5 72a7
502
21.7 Unbestimmte Integrale 1085
arctan ^dx x x x 2 + x2
503. / ^— = — arctan In -n—.
a 2a xl
r arctan - dx 1
/—^- = --'
J xl x
x ,
. arctan - dx
arctan - ax 1 x a f dx , /1N
504 / ö— = —. arctan - + / ry^ — (n ^ 1)
J xn (n-l)^ a n- 1 J xn~l{a2 + x2) v
505. / arccot - dx — x arccot - + - ln(a2 + x2)
J a a 2
/ X i / 2 2\ *^ flX
506. / x arccot - dx = -(# + a ) arccot —h —
J a 2 a 2
507 / ar arccot - dx = — arccot —I lnfa + x )
7 a 3 a 6 6 v ;
-«« f » x 1 xU+1 x a f xn+1dx . . .,.
508. / x arccot - dx — arccot —I / — (n j* — 1).
J a ra + 1 a n+lJ a2 + x2 v ^ '
x
- arccot - dx ^ x x3 x5 x7
509 y^^-=2lnX-ä + 3^-5V-7V-"-
arccot-dz 2 x x 2 + x2
510. / ^— = — arccot - + — In -
J xl x
a 2a
x ,
. arccot - dx
arccot-ax x x a f dx , , ^
511 / ö— = -arccot -/ 77-^ ^ (n ^ 1).
7 xn {n-\)xn-1 a n- 1 J xn~l{a2 + x2) v ^ '
21.7.4.5 Integrale mit inversen Hyperbelfunktion
512. / Arsinh - dx = x Arsinh Vx2 + a2.
Ja a
513 / Arcosh - dx = x Arcosh Vx2 - a2.
Ja a
514 / Artanh - dx = x Artanh - + - ln(a2 - x2)
Ja a 2
515 / Arcoth - dx = x Arcoth - + - \n(x2 - a2).
Ja a 2
1086 21 Tabellen
21.8 Bestimmte Integrale
21.8.1 Bestimmte Integrale trigonometrischer Funktionen
Für natürliche Zahlen m, n gilt
2-k 2tt 2-k
1 sinnxdx = 0 B1.1) 2. cosnxdx = 0. B1.2) 3 / sinnxcosmxdx = 0 B13)
ooo
0 für m ^ n , 7 ( 0 für m ^ n,
r umrmf n, /• u iur m ^ n,
4 / sin rix sin mx dx = < B1.4) 5. / cos rix cos mx dx = < B15
J I 7T für m = n J I 7r für m = n
o K o v
2 4 6 8 n-1
für n ungerade,
/¦ — — — ~ im iL uiigcicwac ,
smnxdx=\ ^iH n-1 (n^2) B16>
1 2 2l6-'-^rfÜrngerade
7T/2
7a. Jsin^xcoS^xdx = ^^ß^ = 1-B(a + l,ß+l) B17a)
^(X)r(^)
Mit B(x, y) = —— — ist die Betafunktion oder das EULERsche Integral 1 Gattung bezeichnet, mit
v yj r(x + y)
r(x) die Gammafunktion oder das EULERsche Integral 2. Gattung (s 8 2.5,6., S. 478)
Die Formel B1 7a) gilt für beliebige a und ß, man verwendet sie z.B zur Bestimmung der Integrale
tt/2 tt/2 tt/2
/ Vsinx dx, / v^sin x dx, / ,. usw.
J J J x/cosx
o o
Für a, ß ganzzahlig und positiv ergibt sich
^ alßt
7b. / sin2a+1 x cos2/H1 x dx = , a'f B1 7b)
J 2(a + /?+l)' V ;
Tsinax ( ~ füra>0,
8 / dx=l l B1.8)
{ x [ - - für a < 0.
f cosaxdx /,,.,. x
9. / = oo (a beliebig) B19)
o
10. 7^°*«** J I fÜra>°' B110)
£ z [ - - für a < 0
f cos ax — cos bx , , b .
11 / dx = \n- 2111
J x a
21.8 Bestimmte Integrale 1087
2 für|a|<l,
fsmxcosax \ % . „^
12. / ds={?[ für |a| = 1, B112)
o 4
l 0 für \a\ > 1.
oo . oo
fSmX , /"COSX , /7T /rt. „rt.
13 l^dx = lißdx = h- B113)
0 V 0 V
oo .
14. / — dx = ±—e~'a6l (das Vorzeichen stimmt mit dem Vorzeichen von b überein). B1 14)
J (X "i JL Zi
0
oo
X5 /g> = ^. BU5)
0
ie.7=L^fc-J|a|. B1.16)
0
-j-oo +oo
17 / sin(x2) dx = f cos(x2) dx = J^. B1 17)
TT/2
/• sinxdx 1 1 + fc . . /o-i io\
18 / /i 72 • 2 = = ^ln! £ &**<!• B1.18)
•/ V1 - k2 sin2 x 2/c 1 - k
o
tt/2
19 / . cosxdx : = larcsinA: für \k\ < 1. B119)
•/ v 1 - A:2 sin x k
o
20. 7 *E^^ 1(K-E) für |fe| <1. B1.20)
^ V1 - /c2 sm2 x Ä2
In diesem und dem folgenden Integral sind E und K vollständige elliptische Integrale (s. 8.1 4 3,2.,
S 454).
E = E (k, ^) , K = F (k, ^) (s. auch Tabelle Elliptische Integrale, 21.9, S 1091).
21 / hC0S[X2dX, =p[E-(l-fc2)K]. B1.21)
•/ V1 - k2 sin2 a; &2
22
o
o
cos ax dx nbc
f cosaxdx nba , . , ,. n .,. ,rt., nn.
/ 1—^ nä = 1 ü bei ganzzahligem a > 0, \b < 1. B1 22)
J 1 — Ab cos x + ir 1 — er
21.8.2 Bestimmte Integrale von Exponentialfunktionen
(zum Teil kombiniert mit algebraischen, trigonometrischen und logarithmischen Funktionen)
r(n+l)
23.
o
fxne-axdx= ^* ] füra>0, n>-l, B1.23a)
= ^-7 füra>0,n = 0,l,2, . B1.23b)
1088 21 Tabellen
Mit r(n) ist in dieser und in der nächsten Formel die Gammafunktion (s 8.2 5,6., S. 478) bezeichnet:
(s auch Tabelle Gammafunktion 21.10, S 1093)
24 / xne'ax dx = )'( für a > 0, n > -1, B1 24a)
0
2a
l-3---Bfc \)yß für n = 2fc (jfc = l,2,. ), a>0, B1.24b)
2/c+lafc+l/2
25.
o
2ak+1
für n = 2k + 1 (fc = 0,1.2, ), a > 0 B1 24c)
26
o
/ e-a2x2 dx=jl für a > 0 B1 25)
j x2e~a2x2 dx = ^ füra>0. B1 2G)
27 / e-a2a;2 cos bxdx = ^> e~b2/4a2 für a > 0. B1 27)
J 2a
o
o
29 7^- = ^. B129)
JeHl 12 v '
o
dx = arccot a = arctan - für a > 0 B1 30)
x a
o
oo
31. / e~x In x dx =-C « -0,5772 B1.31)
o
Mit C ist die EuLERsche Konstante (s 8 2 5,2., S 477) bezeichnet
21.8.3 Bestimmte Integrale logarithmischer Funktionen
(kombiniert mit algebraischen und trigonometrischen Funktionen)
i
32 / In | In x | dx = -C = -0, 5772 (wird zurückgeführt auf Nr. 2131). B1 32)
o
Mit C ist die EuLERsche Konstante (s. 8.2.5,2., S. 477) bezeichnet
1 1 2
33 f -^L dx = ?- (wird zurückgeführt auf Nr 21 28) B1 33)
J x — 1 6
o
1 1 2
f -^- dx = -^— (wird zurückgeführt auf Nr. 21 29). B1 34)
34. ¦ lnX
21.8 Bestimmte Integrale 1089
35-/Ä^ = ?- B135)
o
0
37. /(-) dx = r(a + l) für(-l<a<oo). B1.37)
o
Mit r(x) ist die Gammafunktion (s. 8.2 5,6., S 478) bezeichnet (s. auch Tabelle Gammafunktion 21.10,
S 1093)
TT/2 TT/2
38. [\nsinxdx= f In cos acte = ~ In 2 B1.38)
39. / a; In sin xdx =
o
7T/2
40
ö
0
TT2 In 2
fx\nsmxdx = -* " . B1 39)
o
tt/2
/ sin x In sin x dx = In 2 - 1. B1.40)
41. An(a±&cosx)<te = 7rln^i^ fura>6. B141)
o
} o o f27rlna für (a > b > 0),
42. /ln(a2-2a6cosx + 62)da;= ^ , ~ B1.42)
J K B7rln6 für F > a > 0). K J
TT/2
43 f \nta,nxdx = 0. B143)
o
tt/4
44 /ln(l + tana;)da; = ^ln2 B1.44)
o
21.8.4 Bestimmte Integrale algebraischer Funktionen
45 }x«(l-xfdx = 2 ]x^\l-xydx=r{a + Y}^
{ l r(a + P + 2)
= B (a + 1, /? + 1), (wird zurückgeführt auf Nr. 21.7a). B1.45)
rix) r(y)
Mit B(x, y) = v ; vyy ist die Betafunktion (s. 21 8.4, S 1086) oder das EuLERsche Integral 1.
Gattung bezeichnet, mit r(x) die Gammafunktion (s 8.2.5,6., S. 478) oder das EuLERsche Integral 2
Gattung
oo
46. /, x =-ü— füro<l. B1.46)
7 (l-t-£)£a sina7T
o
1090 21. Tabellen
/dx
— = -TT cot an für a < 1. B1 47)
(l-x)xa v '
o
~a—1
48
fTZ^dx=r^ für0<a<6. B1.48)
q ~*~ b sin —
} dx ^P(-)
49. ^£= = jö^L. B1.49)
Mit -T(x) ist die Gammafunktion (s. 8.2.5,6., S 478) bezeichnet (s. auch Tabelle Gammafunktion 21 10,
S 1093)
f dx a
50
/——^ , = -?- (<><a<£) B150)
y l + 2rrcosa + £2 2sina V 2/ v ;
o
oo
51. 7—^ ; = ^- (o<a<£). B1.51)
7 l + 2zcosa + £2 sinx V 2/ v ;
21 9 Elliptische Integrale
21.9 Elliptische Integrale
21.9.0.1 Elliptische Integrale 1. Gattung F((p, fc), k == sin et
w°
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
a/°
0
0,0000
0,1745
0,3491
0,5236
0,6981
0,8727
1,0472
1,2217
1,3963
1,5708
10
0,0000
0,1746
0,3493
0,5243
0,6997
0,8756
1,0519
1,2286
1,4056
1,5828
20
0,0000
0,1746
0,3499
0,5263
0,7043
0,8842
1,0660
1,2495
1,4344
1,6200
30
0,0000
0,1748
0,3508
0,5294
0,7116
0,8982
1,0896
1,2853
1,4846
1,6858
40
0,0000
0,1749
0,3520
0,5334
0,7213
0,9173
1,1226
1,3372
1,5597
1,7868
50
0,0000
0,1751
0,3533
0,5379
0,7323
0,9401
1,1643
1,4068
1,6660
1,9356
60
0.0000
0.1752
0,3545
0,5422
0,7436
0,9647
1,2126
1,4944
1,8125
2,1565
70
0,0000
0,1753
0,3555
0,5459
0,7535
0,9876
1,2619
1,5959
2,0119
2,5046
80
0,0000
0,1754
0,3561
0,5484
0,7604
1,0044
1,3014
1.6918
2,2653
3,1534
90
0,0000
0,1754
0.3564
0,5493
0,7629
1,0107
1,3170
1,7354
2,4362
oo
21.9.0.2 Elliptische Integrale 2. Gattung E (<£>, k), k = sin a
w°
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
a/°
0
0,0000
0,1745
0,3491
0.5236
0,6981
0,8727
1,0472
1,2217
1,3963
1,5708
10
0,0000
0,1745
0,3489
0,5229
0,6966
0,8698
1,0426
1,2149
1,3870
1,5589
20
0,0000
0,1744
0,3483
0,5209
0,6921
0,8614
1,0290
1,1949
1,3597
1,5238
30
0,0000
0,1743
0,3473
0,5179
0,6851
0,8483
1,0076
1,1632
1,3161
1,4675
40
0,0000
0,1742
0,3462
0,5141
0,6763
0,8317
0,9801
1,1221
1.2590
1,3931
50
0,0000
0,1740
0,3450
0,5100
0.6667
0,8134
0,9493
1,0750
1,1926
1,3055
60
0,0000
0,1739
0,3438
0,5061
0,6575
0,7954
0,9184
1,0266
1,1225
1,2111
70
0.0000
0,1738
0,3429
0,5029
0,6497
0,7801
0,8914
0,9830
1,0565
1,1184
80
0,0000
0,1737
0,3422
0,5007
0,6446
0,7697
0,8728
0,9514
1,0054
1,0401
90
0,0000
0,1736
0.3420
0,5000
0,6428
0,7660
0,8660
0,9397
0.9848
1,0000
21. Tabellen
21.9.0.3 Vollständige elliptische Integrale K und E, k = sin a
et/*
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
K
1,5708
1,5709
1,5713
1,5719
1,5727
1,5738
1,5751
1,5767
1,5785
1,5805
1,5828
1,5854
1,5882
1,5913
1,5946
1,5981
1,6020
1,6061
1,6105
1,6151
1,6200
1,6252
1,6307
1,6365
1,6426
1,6490
1,6557
1,6627
1,6701
1,6777
E
1,5708
1,5707
1,5703
1,5697
1,5689
1,5678
1,5665
1,5649
1,5632
1,5611
1,5589
1,5564
1,5537
1,5507
1,5476
1,5442
1,5405
1,5367
1,5326
1,5283
1,5238
1,5191
1,5141
1,5090
1,5037
1,4981
1,4924
1,4864
1,4803
1,4740
*/°
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
K
1,6858
1,6941
1,7028
1,7119
1,7214
1,7312
1,7415
1,7522
1,7633
1,7748
1,7868
1,7992
1,8122
1,8256
1,8396
1,8541
1,8691
1,8848
1,9011
1,9180
1,9356
1,9539
1,9729
1,9927
2,0133
2,0347
2,0571
2,0804
2,1047
2,1300
E
1,4675
1,4608
1,4539
1,4469
1,4397
1,4323
1,4248
1,4171
1,4092
1,4013
1,3931
1,3849
1,3765
1,3680
1,3594
1,3506
1,3418
1,3329
1,3238
1,3147
1,3055
1,2963
1,2870
1,2776
1,2681
1,2587
1,2492
1,2397
1,2301
1,2206
*/°
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
K
2,1565
2,1842
2,2132
2,2435
2,2754
2,3088
2,3439
2,3809
2,4198
2,4610
2,5046
2,5507
2,5998
2,6521
2,7081
2,7681
2,8327
2,9026
2,9786
3,0617
3,1534
3,2553
3,3699
3,5004
3,6519
3,8317
4,0528
4,3387
4,7427
5,4349
00
E
1,2111
1,2015
1,1920
1,1826
1,1732
1,1638
1,1545
1,1453
1,1362
1,1272
1,1184
1,1096
1,1011
1,0927
1,0844
1,0764
1,0686
1,0611
1,0538
1,0468
1,0401
1,0338
1,0278
1,0223
1,0172
1,0127
1,0080
1,0053
1,0026
1,0008
1,0000
21.10 Gammafunktion 1093
21.10 Gammafunktion
X
1,00
Ol
02
03
04
1,05
06
07
08
09
1,10
11
12
13
14
1,15
16
17
18
19
1,20
21
22
23
24
1,25
r(x)
1,00000
0,99433
0,98884
0,98355
0,97844
0,97350
0,96874
0,96415
0,95973
0,95546
0,95135
0,94740
0,94359
0,93993
0,93642
0,93304
0,92980
0,92670
0,92373
0,92089
0,91817
0,91558
0,91311
0,91075
0,90852
0,90640
X
1,25
26
27
28
29
1,30
31
32
33
34
1,35
36
37
38
39
1,40
41
42
43
44
1,45
46
47
48
49
1,50
r(x)
0,90640
0.90440
0,90250
0,90072
0,89904
0,89747
0,89600
0,89464
0,89338
0,89222
0,89115
0,89018
0,88931
0,88854
0.88785
0,88726
0,88676
0,88636
0,88604
0,88581
0,88566
0,88560
0,88563
0,88575
0,88592
0,88623
X
1,50
51
52
53
54
1,55
56
57
58
59
1,60
61
62
63
64
1,65
66
67
68
69
1,70
71
72
73
74
1,75
r(x)
0,88623
0,88659
0,88704
0,88757
0,88818
0,88887
0,88964
0,89049
0,89142
0,89243
0,89352
0.89468
0,89592
0,89724
0,89864
0,90012
0,90167
0,90330
0,90500
0,90678
0,90864
0,91057
0,91258
0,91467
0,91683
0,91906
X
1,75
76
77
78
79
1,80
81
82
83
84
1,85
86
87
88
89
1,90
91
92
93
94
1,95
96
97
98
99
2,00
r(x)
091906
0,92137
0,92376
0,92623
0,92877
0,93138
0.93408
0,93685
0,93969
0,94261
0,94561
0,94869
0,95184
0,95507
0.95838
0,96177
0,96523
0,96877
0,97240
0,97610
0,97988
0,98374
0.98768
0,99171
0,99581
1,00000
Die Werte der Gammafunktion für x < 1 (x =^ 0,-1,-2, ..) und x > 2 lassen sich mit Hilfe der
folgenden Formeln berechnen:
r(x) = r(x + 1), r(x) = {x-i) r(x -1).
¦ Asr(o,7) = 4£ = ^ = i.2«»-
v ; 0,7 0,7
¦ B: rC,5) = 2,5 • TB,5) - 2,5 • 1,5 • T(l, 5) = 2,5 1,5-0,88623 = 3,32336.
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CO CN CN T-H O O i-H
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O O O T-1
1 1 +
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1 1 +
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LO r-l CM O
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CM O CO O^
Cf ©"* CD *-*
1 1 +
CO Ol H O
O b- tP O
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O CM LO O
O O O rH
1 +
CO LO TP O
O CM 00 O
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cf cf cf r-T
00 O 00 O
co lo co o
00 r-l LO O
Lo^b-^oq^o^
cf cf cf r-T
LO O LO O
oo oi oi o
O O O r-l
21.13 Laplace-Transformationen 1097
21.13 Laplace-Transformat ionen
(s. 15.2.1 1,S 733)
OO
F(p) = f e~ptf(t) dt, f(t) = 0 für t<0
o
Die in der Tabelle auftretende Konstante C ist die EuLERsche Konstante C = 0, 577216 (s 8.2 5,2.,
S 477)
Nr
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
Hp)
0
1
p
1
pH
1
(p — a)n
1
{p-a)(p- ß)
P
{p-a)(p- ß)
1
p2 + 2ap + ß2
OL
p2 + a2
a cos /? + p sin /?
p2 + a2
P
p2 + 2ap + ß2
P
P2 + OL2
p cos ß — öl sin /?
p2 + a2
a
p2 — a2
P
P2 — OL2
f(t)
0
1
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(n-1)!
e/3* _ ea*
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sin(at + /?)
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Pv^ a * v/^~z
cosat
cos(atf + /?)
sinh at
cosh at
, — - \
"in JR1 n2 t
—^siny^ a t\
e-at
1098
21 Tabellen
Nr.
15
16
17
18
19
20
21
'22
23
24
25
26
27
28
29
F(p)
1
(p - a)(p - ß)(p - 7)
1
(p-a)(p-ßJ
P
(p-a)(p-ßJ
P2
(p-a){p-ßf
1
(p2 + a2)(p2 + /?2)
P
(p2 + a2)(p2 + /?2)
p2 + 2a2
p(p2 + 4a2)
2a2
p(p2 + 4a2)
p2 - 2a2
p(p2 — 4a2)
2a2
p(p2 - 4a2)
2a2p
p4 + 4a4
a{p2 + 2a2)
p4 + 4a4
a(p2 - 2a2)
p4 + 4a4
P3
pA + 4a4
ap
(p2 4- a2J
/«
(/3 - 7)eat + G - a)e# + (a - ß)e7t
(a-/?)(/?-7)G-a)
eQ< - [1 + (a - /?)t] e^
(a-/?J
aeat-[a + j9(a-]9)t]e(St
(a-/?J
aV - [2a - ß + /?(a - ß)t] ßeßt
a sin ßt — ß sin at
a/?(a2 - ß2)
cos ßt — cos at
(a2-/32)
cos2 at
sin2 at
cosh2 at
sinh2 at
sin at • sinh at
sin at • cosh at
cos at • sinh at
cos at • cosh at
t . .
- sin at
21.13 Laplace-Transformationen 1099
Nr.
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
F(P)
ap
(p2 _ Q2J
aß
(p2 — a2)(p2 -
P
-ß2)
(p2 - a2){p2 - ß2)
1
Py/P
1
Pny/P
1
Vp + a
y/p + a - \Jp + ß
\J\/P2 + OL2 - p
/\/p2 4-a2 -p
V p2 + a2
/\/p2 + a2 +p
V p2 + a2
/ \/p2 - a2 - P
V p2 - a2
/Vp2 - a2 + p
V p2 - a2
1
py^pTä
1
(p + a)VpT^
/(*)
- sinh at
2
ß sinh at
a2
cosh at —
a2 —
1
~JTt
— a sinh /?£
-ß2
cosh /ft
/?2
2^
n\ 4n
Bn)! 0F
x/tt£
sinat
tn 2 (n > 0, ganz)
tV2?rt
2~
sinat
cosat
— sinh at
irt
/ — cosh at
1 nt
2_
2e~
dr
x/(/3-«)t
yJ*(ß-<*)
i >~
dr
1100
21. Tabellen
Nr
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
F(p)
yJp + Ot
P
1
y/p2 + <*2
1
y/p2 - a2
1
1
0)
e1^
Py/P
arctan —
arctan
arctan
lnp
P
Inp
(InpJ
2ap
p2 - a2 + /?2
p2 - ap + ß
aß
In
p — a
P3^
. p + a rt . a
In = zartann—
p — a p
In
In
p2+ß2
p2-ß2
e"ut
7^
dr
Jo(at) (BESSEL-Funktion Oter Ordnung s 9.1.2.6,2.,2., S 527)
Io(at) (modifizierte Bessel Funktion Oter Ordnung
s. 9.1.2 6,2.,3.,S 528)
-^.Js^lt
e-at-J0(y/a^Ft)
sinh2-\/t
sin at
t
2
- sin at • cos ßt
eQt-l
sin/ft
-C-ln*
^(n)-lnfl, V(n) = l + i + ..- + i-C
(ln£ + CJ
- sinh atf
cos /?£ — cos at
i
cosh ßt - cosh at
i
21 13 Laplace-Transformationen 1101
Nr
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
F{p)
e~a^P, Rea>0
^-e~a^, Rea>0
(VP2 + OL2 - pj
y/p2 + a2
)— y/p2 — a2)
y/p2 - a2
Rev> -1
, Re^>-1
e~ßp (ß > 0, reell)
/p2+a2
y/p2 + a2
y/p2 — OL2
yj(p + a){p + ß)
p-ßy/p2+a2
-ßy/p2-a2
ß +
y/p2 + a2
ß+-
P2 — OL2 \ y/p2 — OL2
p-ßp _ p-ßy/P2+cc2
-ßy/p2-a2 _
f(t)
-a2/4t
lyft t\/i
-a2/4t
yfwt
auJv(at) (s BESSEL-Punktion 9.1.2.6,2.,2., S. 527)
auIu(at) (s. BESSEL-Funktion 9.1.2.6,2.,2., S. 528)
' 0 für t < ß
kl für t > ß
0 für t < ß
J0 (ay/t2 - ß2) fürt>ß
0 für * < ß
h (ay/t2 - ß2) für t > ß
fürt<>
e-(«+0i/o (?L-ljt*-p\ imt>ß
0 für * < ß
y/t2 - ß2
-Jx
a^/t2 - /32)
imt> ß
0 fürt<ß
-——h Uy/t2 - ßA imt>ß
0 für * < ß
-^J1(ay/F^p)fuit>ß
0 für t < ß
1102 21 Tabellen
Nr.
73
74
F(P)
1 - e~ap
P
e-ap _ e-ßp
P
/(*)
( 0 für t > a
{ 1 für 0 < t < öl
( 0 für 0 < t < öl
\ 1 für a < t < ß
{ 0 für * > ß
21 14 Fourier-Transformationen 1103
21.14 Fourier-Transformationen
In den Tabellen vorkommende Symbole sind wie folgt definiert:
C: EuLERsche Konstante (C = 0,577215...)
0-t+z-\ m Re 2 > 0 (Gamma-Funktion s 8.2.5,6., S 478),
r(z) = J e-Hz~l dt
o
J (Z) = V l } [2 >
(BESSEL-Funktionen s. 9 1.2.6,2.,2.,
S. 527),
Kv{z) = |7r(sinGri/))-1[/-.(^) -/„(*)] mit
1 f cos t
e ¦2l7ruJy{ze^lir) (modifizierte BESSEL-Funktionens 9.1.2 6,
2.,3., S 527),
dt
C(x) = -^= f r
V2^J Vi
„, x 1 fsin^ ,
S(x) = -= / —j=r dt
} y/2^1 Vi
Si(x) = f^dt
o t
si(z) = -7^dt = Si(x)-|;
<*>cos£
Ci(x) = - / —— dt
x t
(FRESNEL-Integrale s. 14.4 3.2,5., S. 720),
(Integralsinus s 8 2 5,1., S. 477),
(Integralkosinus s 8 2.5,2., S. 477).
In der Tabelle vorkommende Abkürzungen für Funktionen entsprechen den in den Kapiteln
eingeführten Definitionen.
21.14.1 Fourier—Kosinus—Transformationen
Nr.
1.
2.
3
4.
5.
/(*)
1, 0<t<a
0, t> a
t, 0<t<l
2-t, l<t<2
0, t>2
0, 0<t<a
1
t > a
t
1
Vt
—p , 0 < t < a
Vi
0, t> a
oo
Fc(u>) = f f(t) cos{tu)dt
0
sin(ao;)
u
4 ( cos u sin2 — j u~2
—Ci(au)
PK 1
V2 V5
fW 2C{ouü)
V2 y/ö
1104 21. Tabellen
Nr.
6
7.
8.
9
10
11.
12.
13.
14
15.
16
17.
18.
19.
/(*)
0 0<t<a
—7= , t > a
Vi
(a + t), a>0
(a - £)_1 , a > 0
(a2 + ^2)
(a2 -12)'1
b b
b2 + (a - *J + 62 + (a + *J
a + t a — £
62 + (a + tJ + fc2 + (a - *J
(a2 + ^2)-^
(a2 - £2)~^ , 0 < t < a
0, t> a
t~u , 0<Rez/<l
e-at
e-w _ e-a<
t
v^e-a<
e-at
~7t
oo I
Fc(a;) = J f(t) cos(tu)dt
0
/7fl-2C(acj)
V2 V^
[— si (au) sin(aa;) — Ci(au) cos(acj)]
cos(aa;) Ci(au) 4- sin(aa;) ( — + Si {au) 1
TT e-™
2 a
7T sin(aa;)
2 ü
7T e_6ü; cos(acj)
7T e_öa; sin(au;)
a:0 (a^)
- JQ (au)
sin(^) ra-i/)^-1
a
ö2 + cj2
1 , /a2+u;2\
2ln[WTu^)
\pK . 2 2. 3 /3 /^\\
—- (a + u ) 4 cos 1 - arctan ( — 1 1
jW la + (a2+u2)lAl
V2 y a2+u2 )
21 14 Fourier-Transformationen 1105
Nr
20.
21
22.
23
24.
25
26.
27.
28
29.
30.
31.
32.
/(*)
fe-flt
tv-\ e-at
1 .1 1
7B +
e-at2
1 a
* 2e t
3 o
£ 2e t
Int,
o,
Int
Vt
{t2 - a2)-1
(t2 - a2)
f ln(l + t)
n\b-t\
e~at \nt
0< t < 1
t> 1
ln(tö)
oo
Fc(u) = f f(t) cos{tu)dt
0
n!a"+1(a2+)~"(n+1) E (-l)m(V~ ^ ("f ™
0<2m<n+l \2m J \aj
r(v) (a2 + lü2)~% cos (i/ arctan ( — 1 J
_llnA_e-2-)
-^—a 2e 4a
/| e->/2a^(cos ^y^j _ sin y/2Öü)
J^e-^^cosV^ä^
Si(w)
-yr(c+i+ln4w)
7T 1
— - (sin(au;) Ci(acj) — cos(acj) si (aa;))
7T 1
— - {sin(aa;) [Ci(au) — ln(ab)] — cos(aa;)si(aa;)}
1
2
[(°(!)H"(S)I
1 f 7T
— < — [cosFu;) — cos(au;)]
+ cosFa;) Si (bu) + cos(aa;) Si (aw)
— sin(aa;) Ci(acj) - sin(foj) Ci(bu) >
c
1 \nC 1 ö Wn2 1 /
>2+a;2 [ ' 2 ( ' ~
;2) +a; arctan (—)
1106 21. Tabellen
Nr.
33.
34
35.
36.
37
38
39
40.
41.
42.
43.
44.
45.
fW
<°(m)
In
a2 + t2
b2-t2
t \a-tj
ln(a2 + *2)
v^T*2
>K)
In
t2
sin(at)
t
t sin(at)
t2 + b2
sin(at)
t (t2 + b2)
e~bt sin(at)
e~l sin£
t
sin2 (at)
t
sin(at) sin(bt)
i
oo I
Fc(lü) = f f(t)cos(tu)dt
0
- (e"^ - e_au;)
- (cos(M - e""")
— 2 7T si (acj)
-[(c + h(£))*0M]
l-e_aw 1
7T
1 — cos(aa;)
7T
7T
2' w<0
TT
— , lü = a
4
0 , u > a
- e~ab coshFa;) , lü < a
— — e_6a; tanh(afe) , lü > a
^b-2(l-e~ab coshFu;)), u < a
^b~2 e"^ tanh(afc) , lü > a
1
2
o + u>
b2 + (a + LüJ
a — lü
b2 + (a-LüJ
iarctang)
J-
i-
i-4
a;2
(a + bJ - lü2
(a - bJ - uj2
21 14 Fourier-Transformationen 1107
Nr
/(*)
Fc(u) = f f(t) cos{tcü) dt
o
4G.
sin2 (at)
~T2
0,
üü <2a
lü > 2a
47
sin3 (at)
- {(u; + 3a) ln(u; + 3a)
+(u — 3a) In \uj — 3a| — (lü + a) ln(a; + a)
— (a; — a) In \lü — a\\
48.
sin3 (at)
¦ Ca2 - J1) ,
,2
4W
16
0,
Ca - üjJ
0 < lü < a
lü = a
a < üü < 3a
tu > 3a
49
1 — cos(at)
In
50
1 — cos(at)
¦ (a — lü) ,
0,
51
cos(a£)
b2 + t2
TT e_a6 coshFcj)
2 b
7T e_6a; cosh(a6)
2 6
lü < a
lü > a
52
e 6* cos(at)
1
62 + (a-ic/J 62 + (a + a>J
53
e M cos(at)
1 fW
az +uü*
yje" 46 coshg)
54.
t
b2 + t2
tan(ai)
TT coshFcj)(l + e2afe)-
55.
62 + £2
cot (at)
TT cosh(bLü)(e2ab-l)-1
21. Tabellen
Nr
56
57
58.
59
60.
61.
62
63.
64.
65.
66
67.
68.
Sit)
sm(at2)
sin[a(l-t2)]
sin(at2)
t2
sin(at2)
t
e at* sin(bt2)
cos(at2)
cos[a(l -12)]
e-°<2 cos(bt2)
1 . fa\
-tSm{l)
7rnfi)
(*)'-(?)
1 fa\
v*cosU)
(^) cosG)
Fc(u) =Jf{t)cos(tuj)dt
0
l^¥a{C0S{i)-Sin{^))
1 /? / i w2\
-2VäcoT+i+iJ
7T
2W
K=)-°(=)
TT ll
2 |2
K9
• sin
1 nr r
2 V2a [
-]2 r
]+^sin^ + Q
<m \
-\au2(a2 + tf
1 /6\
- arctan -
2 ^;
cos(£) + sin(£).
6a;2 "
4(a2 + 62)_
1 fW ( TT U2\
2VäS1Ha+4 + 4ij
• cos
-±au,2(a2 +
" 6a;2
_4(a2 + 62)
b2)-1
i fb\
- arctan -
2 V»A
- J0 B v/ötJ)
- J^- [sinB VätJ) + cosB y/äü) - e^
i a/^ [sinB yfiü) + cosB Vau) + e~2^"]
i \/?~ [cos^2 v^) " sin^2 ^^ + e~2^]
i J^ [cosB s/Eü) - sinB Vau) + e~2^]
21 14 Fourier-Transformationen 1109
Nr
/(*)
Fc(lü) = f f(t) cos(toü)dt
0
69
-_ sin (a y/ij
¦ji
°'=)*(=)-»(=)-(=
70
e~bt sm(ay/i)
a2u> 3 fuo
______ --arctanf-
71
¦(a>/t)
4a; / l 4a;
72
—= cosfa yi)
Vi
TT . TT ÖT
u \4 4a;
73
yft
sibVi)
V5F(a» + wriC-ifl6?(fl2 + fia)'1
62o; 1 /oA
— rr — - arctan —
a2+o;2 2 \aj
4(a2+o;2)
74
- a y/i
os(a y/i)
_3 _oi
y/Ü a Ba;) 2 e 2u;
^
75.
V*
[cos(a y/i) — sin(av^)]
e 2w
21.14.2 Fourier—Sinus-Transformationen
Nr
1.
2
3
4
/(*)
1 , 0<t<a
0, * >a
t, 0<t<l
2-t, l<t<2
0, t>2
1
7
- , 0 < t < a
0 , t > a
Fs(uj) = Jf(t) sm{tu)dt
0
1 — cos(ao;)
üü
4o;~2 sin _ sin2 ( — )
7T
2
Si (ocj)
1110 21. Tabellen
Nr.
5
6
7.
8.
9
10
11.
12.
13
14.
15
16
17.
18
f(t)
0, 0< t <a
-, t>a
1
vi
-7=, 0 < t < a
Vi
0, t > a
0, 0<* <a
1
—f , t > a
Vi
($
(a + t) (a>0)
{a-t)~l (a>0)
t
a2 + t2
(a2 - *2)-1
6 6
62 + (a - tJ 62 + (a + *J
a 4-1 a — t
b2 + (a 4-1J 62 + (a - tJ
*
a2-*2
1
t (a2 -t2)
1
t (a2 +12)
Fs(lj) =Jf(t)sin(tuj)dt
0
— si (au;)
/7T 1
V2 75
/7f 2 ^(aa;)
V2 v^J
fW 1-2 S(au)
V2 ^
\Ztt2u
[sin(au) Ci(aa;) — cos(aa;) si (au)]
sin(aa;) Ci(aa;) — cos(au) ( - + Si(acj))
2
- [sin(ac<;) C\(au) — cos(au) Sifaa;)
7T e_öw sin(au;)
7T e_6w cos(au;)
— — cos(aa;)
7T 1 — cos(aa;)
2 S
TT l-e-™
2 a^
21.14 Fourier-Transformationen 1111
Nr
19
20
21
22
23
24.
25.
26.
27
28
29
30
31
/(*)
r*\ 0<Rez/<2
e-at
e-at
g-a* _ e~bt
t2
Vte~at
e-at
~7t
tn e-at
4.1/—1 p—at
e-\l {l - e-1)-1
te~at2
1 o
t 2 e t
3 a
t e~t
Int, 0 < t < 1
0, Ol
oo
¦F-M = J f(t)sm{tu)dt
0
cos(t0 J^1-")""
u
12+U2
arctan f — J
1 , (b2 + uj2\ , /oA /oA'
- u In — + b arctan — 1 — a arctan —
2 \a2 + Lü2J \b J \aJ
\ft / 2 2x-^ • T3 fU\]
[a + u ) 4 sm - arctan — 1
2 v y L2 WJ
| (a2+u;2J -a\
l a2+u;2 1
m = o \2ra + l) \aj
r(u) (a2 + o;2)-^ sin v arctan ( — J
— - tanhGru;)
V a 4a
JL e-\/2a^ [cos ^2Öüü + sin \/2äcJ]
V 2üj
f^e-V2^ Siny/2äw
Ci(uj)-C~\nu
tu
1112 21 Tabellen
Nr.
32.
33.
34.
35
36
37.
38.
39
40.
41
42
43.
44.
/(*)
In*
Int
t(t2-a2)~l ln(to)
t(t2-a2)-l\n(-)
a
e~at \nt
i la + *l
lnl^7|
i la + *l
In
\a — t\
1 /a + A2
, (a2 + t2 + t\
In
f2
lnfg2 + (" + *H
- lnll -a2t2|
iln
t
1-*
t2
OO 1
Fs(u) = J f(t)sm{tu)dt
0
~(C + lnw)
V2w 12 J
7T
— [cos(au;) (ln(afr) — Ci(aa;)) — sin(aa;) • si(aa;)]
7T
— — [cos(aa;) Ci(au) + sin(au) si (au)]
a' + u1 L Va/ 2 J
— < In ( - 1 + cosFa;) CiFa;) — cos(aa;) Ci(au)
+ sin(öa;) Si(foj) — sin(acj) Si(au;)
+— [sinFu;) 4- sin(aa;)] \
— sm(aa;j
u
2ir
— [1 — cos(au) — au si(au)]
a
2tt -uJJ^\ . (u\
u \2J
2
— [C + \n(au) — cos(au) Ci(au) — sin(ac<;) Si(aa;)]
u
2n
— e-™ sin(bu)
u
-a(!)
7T [C + \n(au) - Ci(acj)]
21.14 Founer-Transformationen 1113
Nr.
45
46
47.
48.
49.
50
51
52
53
54.
/(*)
sin (ai)
t
sin(at)
t2
sm(irt)
1-t2
sm(at)
b2 + t2
e~bt sin(at)
e~bt sin(at)
t
e~bt2 sin(at)
sin2 (at)
i
sin(ai) sin(bt)
t
sin2 (at)
T2
oc
¦F-M =If{t)sm{tu)dt
0
1 , la; + al
- In
2 la; — al
TT
— lü , 0 < lü < a
TT
— a , to > a
2
sina; , 0 < lü < tt
0, LÜ>TT
tt e~ab
— —— tanhFa;) , 0 < lü < a
2 b
tt e'0"
— —— tanh(aö) , lü > a
h
1 1
62 + (a-a;J 62 + (a + a;J
1 /62 + (a; + aJ\
4 nV62 + (a;-aJy
1 fW 1 a2+u;2 , faU\
_^_e-5 b tanh(_j
- , 0 < lü < 2a
4
TT
0 . a; > 2a
0, 0<a;<a-6
7T
— . a — b < lü < a + b
4
0 , a; > a + b
- \(lü + 2a) ln(a; + 2a)
-\-(lü — 2a) In \lü — 2a| — -lü Ina;
1114 21. Tabellen
Nr.
55
56.
57.
58.
59.
60.
61.
62.
/(*)
sin2 (at)
cos(at)
t
t cos(at)
b2 + t2
sin(at2)
sin(at2)
t
cos(at2)
cos(a£2)
t
e-aVi sm(a^)
oo
Fs(lü) = f f(t) sm{tu)dt
0
TT ( Lü\
-lü 12a- -J , 0 < u; < 2a
TT o
— a , lü > 2a
0 , 0 < lü < a
TT
— , lü = a
4
TT
-, u>a
- | e~ab tanhFu;) , 0 < lü < a
— e-6u; cosh(afr) , lü > a
Wa
TT
2
™(s)c(s)+'ta(s)
K=H(=I
nr
V 2Ö
TT
2
A
HSM9-»©
m+>m
~ a _«i
2üü y/üJ °
«(£)]
*(=):
21.14.3 Fourier-Transformationen
Obwohl die FOURIER-Transformation F(lü) durch die FOURIER-Kosinus-Transformation Fc(uj) und
die FOURIER-Sinus-Transformation Fs(cj) gemäß A5 76a) in 15.3.1.2,2.,3., S 749 darstellbar ist,
werden hier noch einige FOURIER-Transformationen F(lü) direkt angegeben
Nr.
1
2.
3.
/(*)
S(t) (DlRACsche ^-Funktion)
6^(t)
6^{t-a)
oo
F(u) = f e-**f(t)dt
—oo
1
Mn
(iu;)ne-iaa; (n = 0,1,2,...)
21 14 Founer-Transformationen 1115
Nr
4
5
6.
7
8
9.
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
/(*)
1
tn
H(t) = 1 für t > 0
H(t) = 0 für t < 0
(HEAVlSiDEsche Sprungfunktion
s. 15 2 1.3, S. 737)
tnH{t)
e~at H(t) = e~at für t > 0
e-ai # (*) = 0 für t < 0
1 r-tVDa)
V47ra
J_P-«KI
2a '
1
t2 + a2
t
t2 + a?
H(t + a)-H(t-a) = l für \t\ < a
H(t + a)-H(t-a) = Q für \t\ > a
eiat
cos at
sin at
1
cosht
1
sinh£
sin at2
cos a£2
oo
F(lj) = f e-'^ f{t) dt
—oo
2ttö(u)
2?rin^n)(cj) (n=l,2, .)
— + 7tS(lü)
ILO
-^ + *in8W{u>) (n = l,2, )
—— (a > 0)
e~auj2 (a > 0)
-^—ä (a>0)
üü2 + a2
a
—i7re-a'w'signa;
2 sin au;
2tt5(uj — a)
tt[ö(lü + a) 4- £(cj — a)]
i7r[<5(a; + a) — £(u; — a)]
7T
. 7TO;
cosn —
2
7ra;
—i7r tanh —
£(=??) (•>•>
ß(=-s) <•>»>
1116 21. Tabellen
21.14.4 Exponentielle Fourier—Transformationen
Obwohl die exponentielle FOURIER-Transformation Fe(u) gemäß Fe(u) = -F(—u) (s. A5.77b) in
15.3.1.2,2.,3., S. 749) durch die FOURIER-Transformation F(u>) darstellbar ist, werden hier noch einige
exponentielle FOURIER-Transformationen direkt angegeben.
Nr.
1.
2
3.
4.
/(*)
f(t) = o
1
(a + it)"
1
(a-ity
für a <t <b
sonst
für 0 < t < b
sonst
(n = l,2, .)
Rei/>0
Re^ > 0
Fe(u>) =\ J f{t)e**dt
—oo
id(^_^)
1
2
n!(-iu;)-(n+1)-ei^y: —t (-iu)™-"-1 bm
-^— tu e-™ für u > 0
r{y)
0 für uj < 0
0 für u > 0
r
^_ (-w)"-1 e^ für w < 0
21.15 Z-Transformationen 1117
21.15 Z-Transformat ionen
Definition s 15 4.1.2, S. 757, Rechenregeln s. 15 4.1.3, S 758, Umkehrung s. 15.4 1.5, S. 760
Nr
Originalfolge fn
Bildfunktion
F(z) = Z(fn)
Konvergenzbereich
("l)n
an
10
11
12
13
14
sin bn
cos bn
z
z-\
z
z + l
(z-iy
2B + 1)
B - 1K
z(z + 4z
B-1
z
z - ea
z
+ 1)
L
(z-
az(z
(*-
(z-
aJ
+ a)
-af
z
l)k+i
('+')'
z2-
z
z2-
z sin b
2z cos
' z — cos
2z cos
b+1
b)
6+1
> 1
> 1
> 1
> 1
> 1
>\ea\
>\a\
>0
>\a\
> 1
>0
> 1
> 1
1118
21 Tabellen
Nr.
Originalfolge fn
Bildfunktion
F(z) = Z(fn)
Konvergenzbereich
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
ean sin bn
ean cos 6n
sinh bn
cosh 6n
an sinh bn
an cosh 6n
/„ = 0 für n^ k,
A = l
/2n — 05 /2n+l = 2
/2n = 0,
/2n+1 = 2Bn + l)
/2n = 0, 9
/2n+l —
7i7T
COS
2
(n + l)ean
pt(n+l) _ po(n+l)
2n + l
z2
z2
z2
z2
z2
zea sin b
- 2zea cos & + e2a
z(z — ea cos 6)
— 2zea cos 6 + e2a
z sinh 6
— 2z cosh 6+1
2B — cosh b)
— 2z cosh 6+1
za sinh 6
— 2za cosh 6 + a2
2B — a cosh 6)
22 — 2za cosh 6 + a2
22
22-l
2z(z2 + 1)
(z2 - lJ
2-1
In
2 + 1
(n- l)ra(n + l)
22+l
z2
B-e«J
22
B - ea) B -
22
-eb)
B-1L
>|e»|
>|e*|
> max(|eb|,|e-6|)
>max(|e5|,|e-6|)
> max(|ae6|,|ae~6|)
> max(|ae6|,|ae~6|)
>0
> 1
> 1
> 1
> 1
>M
> max(|ea|,|e6|), a^b
z\ > 1
21.15 Z-Transformationen 1119
Nr.
29
30
31
Originalfolge fn
/o = 0, fn = -, n>\
n
(-i)"
Bn + 1)!
(-1)"
Bn)l
Bildfunktion
F(z) = Z(fn)
1„^-
2—1
,- . 1
wz sin —=
1
COS -7=
Konvergenzbereich
\z\>\
|z| >0
1120 21. Tabellen
21.16 Poisson-Verteilung
Wertetabelle der PoiSSON-Verteilung P(X = k) = — e~x (s auch 16.2.3.3, S. 780V
k
k
0
1
2
3
4
5
6
7
A
0,1
0,904837
0,090484
0,004524
0,000151
0,000004
0,2
0,818731
0,163746
0,016375
0,001091
0,000055
0,000002
0,3
0,740818
0,222245
0,033337
0,003334
0,000250
0,000015
0,000001
0,4
0,670320
0,268128
0.053626
0.007150
0.000715
0,000057
0,000004
0,5
0,606531
0,303265
0,075816
0,012636
0,001580
0,000158
0,000013
0,000001
0.6
0,548812
0,329287
0,098786
0,019757
0,002964
0,000356
0,000035
0,000003
k
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
A
0.7
0,496585
0,347610
0,121663
0,028388
0,004968
0,000696
0,000081
0,000008
0,000001
0,8
0,449329
0,359463
0,143785
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0,9
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0,367879
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0,270671
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0,224042
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0,000013
0,000003
0,000001
21.16 Poisson-Verteilung 1121
(Fortsetzung)
k
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
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20
21
22
23
24
25
26
27
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0,195367
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5,0
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0,175467
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0,160623
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7,0
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0,000085
0,000030
0,000010
0,000003
0,000001
8,0
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0,139587
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0,072190
0,048127
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0,000061
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0,000008
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0,000001
9,0
0,000123
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0,004998
0,014994
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0,060727
0,091090
0,117116
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0,131756
0,118580
0,097020
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1124 21. Tabellen
21.18 x2-Verteilung
Die Formel der x2~Verteilung s 16.2 4.6, S. 785
X2-Verteilung. Quantile x2,,
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129,6
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6,6
9,2
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21,7
23,2
24,7
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27,7
29,1
30,6
32,0
33,4
34,8
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37,6
38,9
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45,6
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49,6
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76,2
88,4
100,4
112,3
124,1
135,8
21 19 Fishersche F- Verteilung
21.19 Fishersche F—Verteilung
Die Formel der FlSHERsehen F-Verteilung s. 16.2.4.7, S. 785.
FiSHERsche F-Verteilung Quantile /a,„
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4,24
4,23
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19,00
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1128 21. Tabellen
21.21 Zufallszahlen
Wegen der Bedeutung der Zufallszahlen s 16.3.5.2, S. 806.
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9371
9734
1129
22 Literatur
1. Arithmetik
[1 1] Asser, G.: Grundbegriffe der Mathematik. Mengen. Abbildungen, natürliche Zahlen -
Deutscher Verlag der Wissenschaften 1980
[1.2] Bosch, K.: Finanzmathematik. — Oldenbourg Verlag 1991
[1 3] Heilmann, W.-R.. Grundbegriffe der Risikotheorie — Verlag Versicherungswirtschaft 1986
[1 4] Isenbart, F., MÜNZER, H.- Lebensversicherungsmathematik für Praxis und Studium
Verlag Gabler, 2 Auflage 1986
[1 5] DUCK, W.; KÖRTH, H.; Runge, W.; Wunderlich, L : Mathematik für Ökonomen, Bd 1
u. 2. — Verlag H. Deutsch 1989.
[1 6] Fachlexikon ABC Mathematik. — Verlag H. Deutsch 1978
[1 7] Heitzinger, W.; Troch, L; Valentin, G.: Praxis nichtlinearer Gleichungen. C Hanser
Verlag 1984
[1 8] Nickel, H. (Hrsg ): Algebra und Geometrie für Ingenieure — Verlag H Deutsch 1990
[1.9] Pfeifer, A.- Praktische Finanzmathematik Verlag H Deutsch 1995
[1 10] Wisliceny, J.: Grundbegriffe der Mathematik Rationale, reelle und komplexe Zahlen —
Verlag H Deutsch 1988
2. Funktionen und ihre Darstellung
[2 1] Asser, G.. Einführung in die mathematische Logik, Teil I bis III. - Verlag H Deutsch 1976-
1983
[2.2] Fetzer, A.; Fränkel, H.: Mathematik Lehrbuch für Fachhochschulen, Bd 1. — VDI -Verlag
1995
[2 3] Fichtenholz, GM.: Differential- und Integralrechnung, Bd 1 Deutscher Verlag der
Wissenschaften 1964, Verlag H Deutsch 1989-1992, seit 1994 Verlag H Deutsch
[2 4] GÖRKE, L.: Mengen - Relationen - Funktionen. -- Verlag H Deutsch 1974.
[2 5] PAPULA, L.: Mathematik für Ingenieure, Bd 1 bis 3. — Verlag Vieweg 1994-1996
[2 6] Sieber, N.; Sebastian, H.J.; Zeidler, G.- Grundlagen der Mathmatik, Abbildungen,
Funktionen, Folgen. — BSB B G Teubner, Leipzig, (MINÖL, Bd 1). 1973, Verlag H. Deutsch,
(MINÖA, Bd 1), 1978.
[2 7] Smirnow, W.I.: Lehrgang der höheren Mathematik, Bd 1 — Deutscher Verlag der
Wissenschaften 1953; Verlag H. Deutsch 1987-1991, seit 1994 Verlag H Deutsch unter dem Titel Leln-
buch der höheren Mathematik.
[2 8] Stöcker, H. (Hrsg.): Analysis für Ingenieurstudenten, Bd. 1 — Verlag H Deutsch 1995
3. Geometrie
[3 1] BÄR, G Geometrie B G Teubner 1996
[3 2] Baule, B.. Die Mathematik des Naturforschers und Ingenieurs, Bd. 1 u. 2. — Verlag H.
Deutsch 1979.
[3 3] BÖHM, J.: Geometrie, Bd 1 u. 2 — Verlag H Deutsch 1988
[3 4] DRESZER, J.: Mathematik-Handbuch für Technik und Naturwissenschaft — Verlag H
Deutsch 1975.
[3.5] Efimow, N.V.: Höhere Geometrie. Bd 1 u 2 — Verlag Vieweg 1970
[3 6] Fischer, G.: Analytische Geometrie — Verlag Vieweg 1988
[3.7] Kleine Enzyklopädie Mathematik — Verlag Enzyklopädie, Leipzig 1967. — Gekürzte Ausgabe
Mathematik Ratgeber - Verlag H Deutsch 1988.
1130 22. Literatur
[3.8] Klingenberg, W.: Lineare Algebra und Geometrie — Springer-Verlag 1993
[3 9] Klotzek, B.: Einführung in die Differentialgeometrie, Bd 1 u 2 — Verlag H. Deutsch 1995
[3.10] KOECHER, M.: Lineare Algebra und analytische Geometrie. — Springer-Verlag 1992
[3.11] Mangoldt, H. v.; Knopp, K.: Einführung in die höhere Mathematik, Bd IL — S. Hirzel
Verlag 1978.
[3 12] MARSOLEK, L.: BASIC im Bau- und Vermessungswesen. — B G Teubner 1986.
[3.13] Matthews, V.: Vermessungskunde Teil 1 u 2 — B. G. Teubner 1993.
[3.14] Nickel, H. (HRSG.): Algebra und Geometrie für Ingenieure. — Verlag H Deutsch 1990.
[3 15] Pauli, W. (Hrsg.): Lehr- und Übungsbuch Mathematik, Bd. 2 Planimetrie, Stereometrie und
Trigonometrie der Ebene — Verlag H. Deutsch 1989
[3.16] Raschewski, P.K.: Riemannsche Geometrie und Tensoranalysis. — Verlag H Deutsch 1995
[3.17] ROTHE, R.: Höhere Mathematik für Mathematiker, Physiker, Ingenieure, Teil III. Flächen
im Raum Linienintegrale und mehrfache Integrale. Gewöhnliche und partielle
Differentialgleichungen nebst Anwendungen. — BSB B. G Teubner, Leipzig, 12 Auflage 1962.
[3.18] Schöne, W.: Differentialgeometrie. — BSB B. G. Teubner, Leipzig, (MINÖL, Bd. 6), 1975;
Verlag H Deutsch, (MINÖA, Bd. 6) 1978.
[3.19] Schröder, E.: Darstellende Geometrie. — Verlag H. Deutsch 1980.
[3.20] SlGL, R.: Ebene und sphärische Trigonometrie — Verlag H Wichmann 1977
[3 21] Steinert, K.-G.: Sphärische Trigonometrie. — B. G Teubner 1977.
4. Lineare Algebra
[4.1] Baule, B.: Die Mathematik des Naturforschers und Ingenieurs, Bd. 1 u. 2. — Verlag H
Deutsch 1979.
[4.2] Berendt, G.; Weimar, E.: Mathematik für Physiker, Bd 1. — VCH, Weinheim 1990
[4.3] Boseck, H.: Einführung in die Theorie der linearen Vektorräume. — Verlag H Deutsch 1984
[4.4] Bunse, W.; Bunse-Gerstner, A.: Numerische lineare Algebra — B. G Teubner 1985
[4.5] FADDEJEW, D.K.; FADDEJEWA, W.N.: Numerische Methoden der linearen Algebra. —
Deutscher Verlag der Wissenschaften 1970
[4 6] JÄNICH, K.: Lineare Algebra. — Springer-Verlag 1993.
[4.7] KIELBASINSKI, A.; SCHWETLICK, H.: Numerische lineare Algebra Eine computerorientierte
Einführung. — Verlag H Deutsch 1988
[4.8] KLIN, M.Ch.; PÖSCHEL, R.; Rosenbaum, K.: Angewandte Algebra. — Verlag H. Deutsch
1988
[4.9] Klingenberg, W.: Lineare Algebra und Geometrie — Springer-Verlag 1993
[4.10] KOECHER, M.: Lineare Algebra und analytische Geometrie. — Springer-Verlag 1992.
[4.11] Lippmann, H.: Angewandte Tensorrechnung. Für Ingenieure, Physiker und Mathematiker —
Springer-Verlag 1993.
[4.12] Manteuffel, K.; Seiffart, E.; Vetters, K.: Lineare Algebra. — BSB B G Teubner.
Leipzig (MINÖL, Bd. 13), 1975; Verlag H Deutsch, (MINÖA, Bd 13), 1978
[4 13] Nickel, H. (Hrsg.): Algebra und Geometrie für Ingenieure — Verlag H. Deutsch 1990.
[4.14] Pfenninger, H.R.: Lineare Algebra. — Verlag H Deutsch 1991.
[4.15] Raschewski, P.K.: Riemannsche Geometrie und Tensoranalysis — Verlag H. Deutsch 1995
[4.16] SCHULTZ-PlSZACHiCH, W.: Tensoralgebra und -analysis. — BSB B G Teubner, Leipzig.
(MINÖL, Bd. 11), 1977; Verlag H. Deutsch, (MINOA, Bd. 11), 1979.
[4 17] Smirnow, W.I.: Lehrgang der höheren Mathematik, Teil 111,1. — Deutscher Verlag der
Wissenschaften 1953; Verlag H Deutsch 1989-1991, seit 1994 Verlag H. Deutsch unter dem Titel
Lehrbuch der höheren Mathematik.
1131
[4.18] ZURMÜHL, R.; Falk, S.: Matrizen und ihre Anwendung - 1. Grundlagen. — Springer-Verlag
1992
5. Algebra und Diskrete Mathematik
Algebra und Diskrete Mathematik, allgemein
[5 1] AiGNER, M. Diskrete Mathematik — Verlag Vieweg 1993.
[5 2] Belkner, H.: Determinanten und Matrizen — Verlag H. Deutsch 1988
[5 3] Burris, S.; Sankappanavar, H. P.: A Course in Universal Algebra — Springer-Verlag
1981
[5.4] DÖRFLER, W.; PESCHEK, W.: Einführung in die Mathematik für Informatiker. — C. Hanser
Verlag 1988
[5.5] Ehrig, H.; Mahr, B . Fundamentals of Algebraic Specification 1 — Springer-Verlag 1985.
[5 6] Metz, J.; Merbeth, G.: Schaltalgebra— Verlag H Deutsch 1970.
[5 7] Wechler, W.: Universal Algebra for Computer Scientists. — Springer-Verlag 1992
[5.8] Winter, R.. Grundlagen der formalen Logik — Verlag H Deutsch 1996
Algebra und Diskrete Mathematik, Gruppentheorie
[5 9] Alexandroff, PS.: Einführung in die Gruppentheorie — Verlag H Deutsch 1992
[5.10] Belger, M., Ehrenberg, L.. Theorie und Anwendungen der Symmetriegruppen. — BSB
B G. Teubner, Leipzig, (MINÖL Bd. 23), 1981; Verlag H Deutsch (MINÖA Bd. 23), 1981
[5 11] Fässler, A.; Stiefel, E. Gruppentheoretische Methoden und ihre Anwendungen — Birk-
häuser-Verlag 1992.
[5.12] Hein, W. Struktur und Darstellungstheorie der klassischen Gruppen. — Springer-Verlag
1990.
[5.13] Heine, V.- Group Theory in Quantum Mechanics — Dover, Mineola 1993
[5 14] Lidl, R., Pilz, G.- Angewandte abstrakte Algebra I — BI-Wissenschaftverlag 1982.
[5.15] Ludwig, W., Falter, C. Symmetries in Physics Group Theory Applied to Physical
Problems — Springer-Verlag 1996
[5.16] Margen AU, M., Murphy, G.M. Die Mathematik für Physik und Chemie. — B. G. Teubner,
Leipzig 1964, Verlag H Deutsch 1965.
[5 17] Mathiak, K., Stingl, P. Gruppentheorie für Chemiker, Physiko-Chemiker, Mineralogen
— Deutscher Verlag der Wissenschaften 1970.
[5 19] Stiefel, E., Fässler, A. Gruppentheoretische Methoden und ihre Anwendung — B G.
Teubner1979.
[5 20] Varadarajan, V.: Lie Groups, Lie Algebras and their Representation — Springer-Verlag
1990.
[5.21] Van der Waerden, B • Gruppentheoretische Methoden in der Quantenmechanik. —
Springer-Verlag 1932
[5.22] WiGNER, E. Group Theory and its Application to the Quantum Mechanics of Atomic Spectra
— Academic Press 1959.
[5.23] Weyl, H.- The Theory of Groups and Quantum Mechanics — Dover, Mineola 1993
[5 24] Zachmann, H.G.. Mathematik für Chemiker — VCH, Weinheim 1990.
Algebra und Diskrete Mathematik, Zahlentheorie
[5.25] Bundschuh, P.- Einführung in die Zahlentheorie. — Springer-Verlag 1992.
[5 27] Padberg, F. Elementare Zahlentheorie. — BI- Wissenschaftsverlag 1991
[5.28] Rivest, R.L., Shamir, A., Adleman, L.. A Method for Obtaining Digital Signatures and
Public Key Cryptosystems. — Comm. ACM 21, A978), 12 - 126.
1132 22. Literatur
[5 29] Scheid, H.. Zahlentheorie — BI- Wissenschaftsverlag 1991, 2. Auflage Spektrum
Akademischer Verlag 1995
[5 31] Schulz, R.: Codierungstheorie — Verlag Vieweg 2001.
Algebra und Diskrete Mathematik, Kryptologie
[5 32] Bauer, F. L.: Kryptologie — Methoden und Maximen. — Springer-Verlag 1993
[5 33] Schneider, B.- Angewandte Kryptologie — Protokolle, Algorithmen und Sourcecode in C.
— Addison-Wesley-Longman 1996.
[5.34] Stinson, D.- Cryptography Theory and Practice. — CRC Press Company 2002
[5.35] WOBST, R.: Methoden, Risiken und Nutzen der Datenverschlüsselung. — Addison-Wesley-
Longman 1997.
[5.36] httpY/csrc nist gov/publications/fips/fips46-3/fips46-3.pdf
[5 37] httpY/csrc.nist gov/publications/fips/fipsl97/fips-197.pdf.
Algebra und Diskrete Mathematik, Graphentheorie
[5 38] BiESS, G.- Graphentheorie. — Verlag H. Deutsch 1979
[5.39] Edmunds, J.. Paths, Trees and Flowers. — Canad J Math 17, A965), 449-467
[5 40] Edmunds, J., Johnson, E.L.- Matching, Euler Tours and the Chinese Postman. — Math
Programming 5, A973), 88-129.
[5.41] NÄGLER, G., Stopp, F.: Graphen und Anwendungen — B. G. Teubner 1995
[5 42] Sachs, H.. Einführung in die Theorie der endlichen Graphen — B G Teubner, Leipzig 1970
[5.43] Volkmann, L.. Graphen und Diagraphen. — Springer-Verlag 1991.
Algebra und Diskrete Mathematik, Fuzzy-Logik
[5.44] BANDEMER, H., GOTTWALD, S. Einführung in Fuzzy-Methoden - Theorie und
Anwendungen unscharfer Mengen. — Akademie-Verlag, 4. Auflage 1993
[5 45] Driankov, D., Hellendorn, H., Reinfrank, M.: An Introduction to Fuzzy Control
Springer-Verlag 1993
[5.46] Dubois, D., Prade, H.- Fuzzy-Sets and System-Theory and Applications — Academic
Press, Ine , London 1980
[5.47] GOTTWALD, S.* Mehrwertige Logik. Eine Einführung in Theorie und Anwendungen -
Akademie-Verlag, Berelin 1989.
[5 48] Gräuel, A.. Fuzzy-Logik Einführung in die Grundlagen mit Anwendungen. — B.I Wissen-
schaftsverlag, Mannheim 1995
[5.50] Kahlert, J., Frank, H: Fuzzy-Logik und Fuzzy-Control Eine anwendungsorientierte
Einführung mit Begleitssoftware. — Verlag Vieweg 1993.
[5 51] Kruse, R., Gebhardt, J., Klawonn, F.: Fuzzy-Systeme — B.G Teubner 1993.
[5 53] PEDRYCZ, W.: Fuzzy Evolutionary Computations. Ch 2.3 — Kluwer Academic Publishers.
Boston 1997.
[5 56] Zimmermann, H-J., Altrock, C. Fuzzy-Logik, Bd. 1, Technologie. — Oldenbourg-Verlag
1993
6. Differentialrechnung
[6 1] Baule, B.: Die Mathematik des Naturforschers und Ingenieurs, Bd. 1 u 2 — Verlag H
Deutsch 1979.
[6.2] Fetzer, A.; Fränkel, H.: Mathematik Lehrbuch für Fachhochschulen, Bd. 1, 2 — VDI
Verlag 1995.
[6.3] Fichtenholz, G.M.: Differential- und Integralrechnung, Bd. 1 bis 3. — Deutscher Verlag der
Wissenschaften 1964; Verlag H Deutsch 1989-92, seit 1994 Verlag H. Deutsch
1133
[6.4] Harbarth, K.; Riedrich, T.: Differentialrechnung für Punktionen mit mehreren Variablen.
— BSB B G Teubner, Leipzig (MINÖL, Bd. 4), 1976; Verlag H. Deutsch, (MINÖA, Bd 4)
1978
[6 5] Joos, G.E.; Richter, E.: Höhere Mathematik Ein kompaktes Lehrbuch für Studium und
Beruf — Verlag H. Deutsch 1994
[6 6] Knopp, K.- Theorie und Anwendung der unendlichen Reihen. — Springer-Verlag 1964
[6 7] KÖRBER, K.-H.; PFORR, E.A : Integralrechnung für Funktionen mit mehreren Variablen. —
BSB B. G. Teubner, Leipzig, (MINÖL, Bd 5), 1974; Verlag H. Deutsch, (MINOA, Bd. 5), 1980
[6.8] MANGOLDT, H. v.; Knopp, K.: Einführung in die höhere Mathematik, Bd. 2 u. 3. — S. Hirzel
Verlag 1978-81
[6.9] PAPULA, L.: Mathematik für Ingenieure, Bd. 1 bis 3. — Verlag Vieweg 1994-1996.
[6 10] Pforr, E.A.; Schirotzek, W.: Differential- und Integralrechnung für Funktionen mit einer
Variablen. —BSB B G Teubner, Leipzig, (MINÖL, Bd 2), 1973, Verlag H Deutsch, (MINÖA,
Bd. 2) 1978
[6 11] Rothe, R.: Höhere Mathematik für Mathematiker, Physiker, Ingenieure, Teil I.
Differentialrechnung und Grundformeln deer Integralrechnung nebst Anwendungen. — BSB B. G.
Teubner, Leipzig, 20 Auflage 1962.
[6 12] SMIRNOW, W.I : Lehrgang der höheren Mathematik, Bd. II u III — Deutscher Verlag der
Wissenschaften 1953; Verlag H. Deutsch 1987-1991, seit 1994 Verlag H. Deutsch unter dem
Titel Lehrbuch der höheren Mathematik.
[6 13] Stöcker, H. (Hrsg.): Analysis für Ingenieurstudenten — Verlag H. Deutsch 1995.
[6 14] Zachmann, H.G.: Mathematik für Chemiker — VCH, Weinheim 1990
7. Unendliche Reihen
[7 1] Apelblat, A.: Tables of Integrals and Series. — Verlag H Deutsch 1996
[7 2] Baule, B.: Die Mathematik des Naturforschers und Ingenieurs, Bd. 1 u 2. — Verlag H.
Deutsch 1979.
[7 3] Fetzer, A.; Fränkel, H.: Mathematik Lehrbuch für Fachhochschulen, Bd. 1, 2. — VDI-
Verlag 1995
[7 4] Fichtenholz, G.M.: Differential- und Integralrechnung, Bd. 1 bis 3 — Deutscher Verlag der
Wissenschaften 1964, Verlag H Deutsch 1989-92, seit 1994 Verlag H. Deutsch.
[7 5] Harbarth, K.; Riedrich, T.: Differentialrechnung für Funktionen mit mehreren Variablen.
— BSB B. G. Teubner, Leipzig, (MINÖL, Bd. 4), 1976; Verlag H Deutsch, (MINÖA, Bd. 4),
1978.
[7 6] Knopp, K.: Theorie und Anwendung der unendlichen Reihen — Springer-Verlag 1964.
[7 7] KÖRBER, K.-H.; PFORR, E.A.: Integralrechnung für Funktionen mit mehreren Variablen. —
BSB B. G Teubner, Leipzig (MINÖL, Bd. 5), 1974, Verlag H. Deutsch, (MINÖA, Bd. 5), 1980.
[7 8] Mangoldt, H. v ; Knopp, K., Hrg. F. LÖSCH: Einführung in die höhere Mathematik, Bd. 1
bis 4 — S. Hirzel Verlag 1989.
[7 9] PAPULA, L.: Mathematik für Ingenieure, Bd 1 bis 3 — Verlag Vieweg 1994-1996.
[7 10] Plaschko, P.; Brod, K.: Höhere mathematische Methoden für Ingenieure und Physiker
—Springer-Verlag 1989
[7 11] Pforr, E.A.; Schirotzek, W.- Differential- und Integralrechnung für Funktionen mit einer
Variablen — BSBB G Teubner, Leipzig, (MINÖL, Bd 2), 1973; Verlag H. Deutsch, (MINÖA,
Bd 2), 1978
[7 12] Rothe, R.: Höhere Mathematik für Mathematiker, Physiker, Ingenieure, Teil IL
Integralrechnung. Unendliche Reihen Vektorrechnung nebst Anwendungen. — BSB B G. Teubner,
Leipzig, 17 Auflage 1965
[7 13] SCHELL, H.-J.: Unendliche Reihen. — BSB B G Teubner, Leipzig, (MINOL, Bd 3), 1974,
Verlag H. Deutsch, (MINÖA, Bd 3), 1978.
1134 22. Literatur
[7 14] SMIRNOW, W.L: Lehrgang der höheren Mathematik, Bd. II u. III. — Deutscher Verlag der
Wissenschaften 1953; Verlag H Deutsch 1987-1991, seit 1994 Verlag H Deutsch unter dem
Titel Lehrbuch der höheren Mathematik
[7 15] Stöcker, H (Hrsg.): Analysis für Ingenieurstudenten. — Verlag H. Deutsch 4. Auflage 2000
8. Integralrechnung
[8 1] Apelblat, A.: Tables of Integrals and Series — Verlag H Deutsch 1996
[8 2] Baule, B.: Die Mathematik des Naturforschers und Ingenieurs, Bd 1 u 2 - Verlag H
Deutsch 1979
[8.3] Brytschkow, J.A.; Maritschew, O.L; Prudnikov, A.P.: Tabellen unbestimmtei
Integrale. — Verlag H. Deutsch 1992.
[8 4] Courant, R.: Vorlesungen über Differential- und Integralrechnung, Bd 1 und 2 — Springer
Verlag 19771-72
[8 5] Fetzer, A.; Fränkel, H : Mathematik Lehrbuch für Fachhochschulen, Bd 1.2 - - VDI
Verlag 1995
[8.6] Fichtenholz, G.M.: Differential- und Integralrechnung, Bd 1 bis 3 — Deutscher Verlag der
Wissenschaften 1964; Verlag H Deutsch 1989-92, seit 1994 Verlag H Deutsch
[8 7] Harbarth, K.; RlEDRiCH, T.: Differentialrechnung für Funktionen mit mehreren Variablen
— BSB B G Teubner, Leipzig, (MINÖL, Bd 4), 1978, Verlag H Deutsch, (MINÖA, Bd 4)
1978
[8 8] JOOS, G.E.; Richter, E.: Höhere Mathematik Ein kompaktes Lehrbuch für Studium und
Beruf — Verlag H. Deutsch 1994
[8.9] Kamke, E.: Das Lebesgue-Stieltjes Integral — B. G. Teubner, Leipzig 1960
[8.10] Knopp, K.: Theorie und Anwendung der unendlichen Reihen. Springer-Verlag 1964
[8 11] KÖRBER, K.-H.; Pforr, E A.: Integralrechnung für Funktionen mit mehreren Variablen
BSBB G Teubner, Leipzig, (MINÖL, Bd 5), 1974, Verlag H Deutsch, (MINÖA, Bd 5), 1979
[8.12] Mangoldt, H. v.; Knopp, K., Hrg. F. LÖSCH: Einführung in die höhere Mathematik. Bd 1
bis 4 — S Hirzel Verlag 1989.
[8 13] Mangoldt, H. v.; Knopp; Lösch: Einführung in die höhere Mathematik, Bd IV S
Hirzel Verlag 1975.
[8.14] PAPULA, L.: Mathematik für Ingenieure, Bd. 1 bis 3 - Verlag Vieweg 1994-1996
[8 15] Pforr, E.A.; Schirotzek, W.: Differential- und Integralrechnung für Funktionen mit einer
Variablen - BSB B. G Teubner, Leipzig, (MINÖL, Bd 2), 1973, Verlag H Deutsch, (MINÖA.
Bd 2), 1978.
[8 16] Rothe, R.: Höhere Mathematik für Mathematiker, Physiker, Ingenieure, Teil I.
Differentialrechnung und Grundformeln deer Integralrechnung nebst Anwendungen — BSB B G
Teubner, Leipzig, 20 Auflage 1962
[8 17] Rothe, R.: Höhere Mathematik für Mathematiker, Physiker, Ingenieure, Teil II
Integralrechnung. Unendliche Reihen. Vektorrechnung nebst Anwendungen. — BSB B G Teubner,
Leipzig, 17 Auflage 1965
[8 18] Rothe, R.: Höhere Mathematik für Mathematiker, Physiker, Ingenieure, Teil III Flächen
im Raum. Linienintegrale und mehrfache Integrale. Gewöhnliche und partielle
Differentialgleichungen nebst Anwendungen - BSB B. G Teubner, Leipzig, 12. Auflage 1962
[8.19] Schell, H.-J.- Unendliche Reihen — BSB B. G Teubner, Leipzig, (MINÖL, Bd 3). 1974.
Verlag H. Deutsch, (MINOA, Bd. 3), 1978.
[8.20] Smirnow, W.L: Lehrgang der höheren Mathematik, Bd. II u. III — Deutscher Verlag der
Wissenschaften 1953; Verlag H Deutsch 1987-1991, seit 1994 Verlag H Deutsch unter dem
Titel Lehrbuch der höheren Mathematik
[8 21] Stöcker, H. (Hrsg.): Analysis für Ingenieurstudenten — Verlag H. Deutsch 1995.
1135
[8 22] Zachmann, H.G.: Mathematik für Chemiker. — VCH, Weinheim 1990.
9. Differentialgleichungen
Differentialgleichungen, allgemein
[9 1] Baule, B.: Die Mathematik des Naturforschers und Ingenieurs, Bd. 1 u 2 — Verlag H
Deutsch 1979.
[9 2] Braun, M ¦ Differentialgleichungen und ihre Anwendungen. — Springer-Verlag 1991.
[9 3] COLLATZ, L : Differentialgleichungen — BG Teubner 1990.
[9 4] COLLATZ, L.: Eigenwertaufgaben mit technischen Anwendungen. — Akademische
Verlagsgesellschaft 1963
[9 5] COURANT, R.; HlLBERT, D.: Methoden der mathematischen Physik, Bd 1 u. 2. — Springer-
Verlag 1968.
[9 6] Fetzer, A.; Fränkel, H.: Mathematik Lehrbuch für Fachhochschulen, Bd 1, 2. — VDI-
Verlag 1995
[9 7] Frank, Ph.; Mises, R. v.: Die Differential- und Integralgleichungen der Mechanik und
Physik, Bd 1 u. 2 — Verlag Vieweg 1961
[9 8] GOLUBEW, V.V.: Differentialgleichungen im Komplexen. — Deutscher Verlag der
Wissenschaften 1958.
[9 9] Greiner, W.: Quantenmechanik, Teil 1 — Verlag H. Deutsch 1992.
[9 10] Greiner, W.; Müller, B.: Quantenmechanik, Teil 2 — Verlag H. Deutsch 1990.
[9 11] Heuser, H.: Gewöhnliche Differentialgleichungen. Einführung in Lehre und Gebrauch —- B
G Teubner1991.
[9 12] Kamke, E.: Differentialgleichungen, Bd 1-2 — B G Teubner, Leipzig 1969, 1965
[9.13] Kamke, E.: Differentialgleichungen, Lösungsmethoden und Lösungen, Teil 1 u. 2. — BSB B
G Teubner, Leipzig 1977
[9.14] Kuntzmann, J: Systeme von Differentialgleichungen — Berlin 1970.
[9 15] Landau, L.D ; LiFSCHlTZ, E.M.- Quantenmechanik — Akademie-Verlag 1979, Verlag H
Deutsch 1992.
[9.16] MAGNUS, K.: Schwingungen. — B G Teubner 1986
[9 17] Meinhold, P., Wagner, E.: Partielle Differentialgleichungen — BSB B G. Teubner,
Leipzig, (MINÖL, Bd 8), 1975, Verlag H. Deutsch, (MINÖA, Bd. 8), 1979
[9 18] MlCHLlN, S.G.. Partielle Differentialgleichungen in der mathematischen Physik — Verlag H
Deutsch 1978.
[9 19] Petrowski, LG.: Vorlesungen über die Theorie der gewöhnlichen Differentialgleichungen. —
B G. Teubner, Leipzig 1954.
[9.20] Petrowski, I.G.: Vorlesungen über partielle Differentialgleichungen. — B. G. Teubner,
Leipzig 1955.
[9 21] POLJANIN, A.D.; Saizew, V.F.: Sammlung gewöhnlicher Differentialgleichungen. — Verlag
H Deutsch 1996.
[9.22] Rothe, R.: Höhere Mathematik für Mathematiker, Physiker, Ingenieure, Teil III. Flächen
im Raum Linienintegrale und mehrfache Integrale. Gewöhnliche und partielle
Differentialgleichungen nebst Anwendungen. — BSB B. G. Teubner, Leipzig, 12 Auflage 1962.
[9 23] Rothe, R.; SzabÖ, L: Höhere Mathematik für Mathematiker, Physiker, Ingenieure, Teil VI
Integration und Reihenentwicklung im Komplexen. Gewöhnliche und partielle
Differentialgleichungen — B G Teubner, Stuttgart, 2. Auflage 1958.
[9 24] Smirnow, W.L: Lehrgang der höheren Mathematik, Teil 2. — Deutscher Verlag der
Wissenschaften 1953, Verlag H Deutsch 1987-1991, seit 1994 Verlag H. Deutsch unter dem Titel
Lehrbuch der höheren Mathematik.
[9.25] Sommerfeld, A : Partielle Differentialgleichungen der Physik. — Verlag H Deutsch 1992.
[9.26] Stepanow, W.W.: Lehrbuch der Differentialgleichungen. — Deutscher Verlag der
Wissenschaften 1982.
1136 22. Literatur
[9 27] Wenzel, H.: Gewöhnliche Differentialgleichungen 1 und 2 — BSB B. G Teubner, Leipzig.
(MINÖL, Bd. 7/1, 7/2), 1974, Verlag H Deutsch, (MINÖA, Bd 7/1, 7/2), 1981
[9.28] Wladimirow, V.S.: Gleichungen der mathematischen Physik. — Deutscher Verlag dei
Wissenschaften 1972.
Nichtlineare partielle Differentialgleichungen, Solitonen etc.
[9.29] Ablowitz, M.J., Clarkson, P.A : Solitons, Nonlinear Evolution Equations and Inverse
Scattering. — Cambridge University Press 1991.
[9 32] Eilenberger, G.: Solitons- Mathematical Methods for Physicists. — Springer-Verlag 1983
[9 33] Gu CHAOHAO (Ed.). Soliton Theory and Its Applications — Springer-Verlag 1995.
[9.36] Nettel, S.- Wave Physics. Oscillations-Solitons-Chaos — Springer Verlag 1995
[9 38] TODA, M. Nonlinear Waves and Solitons. — Verlag Kluwer 1989.
[9 39] VVEDENSKY, D.. Partial Differential Equations with Mathematica — Addison-Wesley 1993
10. Variationsrechnung
[10.1] Blanchard, P.; BrÜning, E.: Variational methods in mathematical physics — Springer-
Verlag 1992
[10 2] Klingbeil, E.: Variationsrechnung — BI-Verlag 1988.
[10.3] Klötzler, R : Mehrdimensionale Variationsrechnung — Birkhäuser Veilag 1970
[10 4] KOSMOL, P.: Optimierung und Approximation — Verlag W de Gruyter 1991
[10.5] Michlin, S.G.. Numerische Realisierung von Variationsniethoden Akademie-Verlag 19G9
[10 6] Rothe, R., VON SCHMEIDLER, W : Höhere Mathematik für Mathematiker, Physiker,
Ingenieure, Teil VII Räumliche und ebene Potentialfunktionen Konforme Abbildung
Integralgleichungen. Variationsrechnung — B G Teubner, Suttgart, 2 Auflage 1956
[10.7] SCHWANK, F.: Randwertprobleme — B. G Teubner, Leipzig 1951
11. Integralgleichungen
[11.1] CORDUNEANU, I.C.: Integral Equations and Applications Cambridge University Press
1991
[11.2] ESTRADA, R.; Kanwal, R.P.. Singular Integral Equations. — John Wiley 1999
[11.3] FenyÖ, S.; Stolle, H.W.: Theorie und Praxis der linearen Integralgleichungen Bd 1 bis 4
— Birkhäuser-Verlag 1998.
[11.4] HACKBUSCH, W.: Integralgleichungen. Theorie und Numerik. — B G Teubner 1989.
Springer-Verlag 1995.
[11.5] Kanwal, R.P.: Linear Integral Equations — Springer-Verlag 1996
[11.6] KRESS, R.: Linear Integral Equations — Springer-Verlag 1999
[11.7] Michlin, S.G , Prössdorf, S.: Singular Integral Operators — Springer Verlag 1986
[11 8] MUSCHELISCHWILI, N.I.: Singulare Integralgleichungen — Akademie-Veilag 1965
[11.9] Pipkin, A.C.: A Course on Integral Equations. — Springer-Verlag 1991
[11.10] POLYANIN, A.D.; Manzhirov, A.V : Handbook of Integral Equations — CRC Press 1998
[11 11] ROTHE, R., VON SCHMEIDLER, W.: Höhere Mathematik für Mathematiker, Physiker.
Ingenieure, Teil VII. Räumliche und ebene Potentialfunktionen Konforme Abbildung
Integralgleichungen Variationsrechnung — B G Teubner, Suttgart, 2. Auflage 1956.
[11.12] SCHMEIDLER, W.: Integralgleichungen mit Anwendungen in Physik und Technik —
Akademische Verlagsgesellschaft 1950
[11 13] SMIRNOW, W.I.: Lehrgang der höheren Mathematik, Bd IV/1 — Deutscher Verlag der
Wissenschaften 1953, Verlag H Deutsch 1987-1993, seit 1994 Verlag H. Deutsch unter dem Titel
Lehrbuch der höheren Mathematik , Bd. IV/1.
12. Funktionalanalysis
1137
12 1
12 2]
12 3
12 4]
12 5
12.6]
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12.22
12 23
12 24
12.25
12 26]
12.27]
Achieser, N.I.; Glasmann, I.M.: Theorie der linearen Operatoren im Hilbert-Raurn —
Berlin 1975
Aliprantis, C.D.; Burkinshaw, O : Positive Operators. — Academic Press Inc., Orlando
1985.
Aliprantis, CD.; Border, K.C.; Luxemburg, W.A. J.: Positive Operators, Riesz Spaces
and Economics — Springer Verlag 1991
Alt, H.W.: Lineare Funktionalanalysis — Eine anwendungdorientierte Einführung. —
Springer-Verlag 1976.
BALAKRISHNAN, A.V.: Applied Functional Analysis — Springer-Verlag 1976
BAUER, H.: Maß- und Integrationstheorie — Verlag W de Gruyter 1990.
Bronstein, I.N.; SEMENDAJEW, K A.: Ergänzende Kapitel zum Taschenbuch der
Mathematik. — BSB B G. Teubner, Leipzig 1970; Verlag H Deutsch 1990.
COLLATZ, L.: Funktionalanalysis und Numerische Mathematik — Springer-Verlag 1964
DUNFORD, N.; Schwartz, J.T.: Linear Operators Teil I bis III. — Intersciences Publishers
New York, London 1958, 1963, 1971.
Edwards, R.E.: Functional Analysis. — Holt, Rinehart and Winston, New York 1965
Gajewski, H.; GrÖGER, K.; Zacharias, K : Nichtlineare Operatorengleichungen und
Operatordifferentialgleichungen. — Akademie-Verlag 1974.
GÖpfert, A.; RlEDRlCH, T.: Funktionalanalysis. — BSB B. G Teubner, Leipzig, (MINÖL,
Bd 22), 1980; Verlag H Deutsch, (MINÖA, Bd.* 22), 1980
Halmos, P.R.: A Hubert Space Problem Book. — Van Nostrand Comp Piinceton 1967.
HEUSER, H.: Funktionalanalysis. — B. G. Teubner 1986.
Hutson, V.C.L.; Pym, J.S.: Applications of Functional Analysis and Operator Theory. —
Academic Press, London 1980
Hewitt, E.; Stromberg, K.: Real and Abstract Analysis. — Springer-Verlag 1965
JOSHI, M.C.; BOSE, R.K.: Some Topics in Nonlinear Functional Analysis. — Wiley Eastern
Limited, New Delhi 1985
Kantorowitsch, L.V., Akilow, G.P.: Funktionalanalysis (in Russisch) —Nauka, Moskau
1977
KOLMOGOROW, A.N.; Fomin, S.W.: Reelle Funktionen und Funktionalanalysis. —
Akademie-Verlag 1975.
KrasnoSEL'sku, M.A.; LiFSHiTZ, J.A., SOBOLEV, A.V.: Positive Linear Systems. —
Heldermann Verlag Berlin 1989
Ljusternik, L.A.; SOBOLEW, W.I.: Elemente der Funktionalanalysis — Akademie-Verlag,
4. Auflage 1968, Nachdruck. Verlag H Deutsch 1975
Meyer-Nieberg, P.: Banach Lattices — Springer-Verlag 1991
Neumark, M.A.: Normierte Algebren. — Berlin 1959
RUDIN, W.: Functional Analysis — McGraw-Hill, New York 1973
SCHAEFER, H.H.: Topological Vector Spaces. — Macmillan, New York 1966.
Schaefer, H.H.: Banach Lattices and Positive Operators. — Springer-Verlag 1974.
YosiDA, K.: Functional Analysis. — Springer-Verlag 1965
13. Vektoranalysis und Feldtheorie
13 1] Baule, B.: Die Mathematik des Naturforschers und Ingenieurs, Bd. 1 u 2 — Verlag H
Deutsch 1979.
13.2] BREHMER, S.; Haar, H.: Differentialformen und Vektoranalysis. — Berlin 1972
13.3] DOMKE, E.: Vektoranalysis Einführung für Ingenieure und Naturwissenschaftler — BI-
Verlag 1990.
[13 4] Reichardt, H.: Vorlesungen über Vektor- und Tensorrechnung. — Deutscher Verlag der
Wissenschaften 1968.
1138 22 Literatur
[13.5] Rothe, R.: Höhere Mathematik für Mathematiker, Physiker, Ingenieure, Teil II
Integralrechnung Unendliche Reihen Vektorrechnung nebst Anwendungen — BSB B G Teubnoi.
Leipzig, 17 Auflage 1965.
[13.6] SCHARK, R.: Vektoranalysis für Ingcnieurstudenten — Verlag H Deutsch 1992.
[13 7] Wunsch, G.: Feldtheorie. — Verlag Technik. Leipzig 1971
14. Funktionentheorie
[14 1] Abramowitz, M.; Stegun, I. A.: Pocketbook of Mathematical Functions — Verlag H
Deutsch 1984
[14 2] Baule, B.: Die Mathematik des Naturforschers und Ingenieurs, Bd 1 u 2 — Verlag H
Deutsch 1979.
[14.3] BEHNKE, H.; Sommer, F. Theorie der analytischen Funktionen einer komplexen
Veränderlichen — Springer-Verlag 1976
[14 4] Fichtenholz, G.M.: Differential- und Integralrechnung, Bd 2 — Deutscher Verag der
Wissenschaften 1964, Verlag H Deutsch 1989-92, seit 1994 Verlag H. Deutsch
[14.5] FISCHER, W.; Lieb, L. Funktionentheorie. Verlag Vieweg 1992
[14.6] Freitag, E.; Busam, R.: Funktionentheorie — Springer-Verlag, 2 , erweiterte Auflage 1994.
[14.7] Greuel, O.: Komplexe Funktionen und konforme Abbildungen — BSB B G. Teubner.
Leipzig, (MINÖL, Bd 9), 1978, Verlag H. Deutsch, (MINÖA, Bd 9) 1978
[14 8] Jahnke, E ; Emde, F.: Tafeln höherer Funktionen — B G Teubner, Leipzig 1960
[14 9] JÄNICH, K.: Funktionentheorie. Eine Einführung. - - Springer-Verlag 1993
[14.10] Knopp-Funktionentheorie — Verlag W de Gruyter 1976
[14 11] Lawrentjew, M.A.; Schabat, B.W.: Methoden der komplexen Funktionentheorie
Deutscher Verlag der Wissenschaften 1966
[14 12] Magnus, W.; Oberhettinger, F.: Formeln und Sätze für die speziellen Funktionen der
mathematischen Physik — Springer Verlag 1948.
[14.13] Oberhettinger, F.; Magnus, W : Anwendung der elliptischen Funktionen in Physik und
Technik - Springer-Verlag 1949
[14.14] Rothe, R., SzabÖ, I.: Höhere Mathematik für Mathematiker, Physiker, Ingenieure. Teil VI
Integration und Reihenentwicklung im Komplexen Gewöhnliche und partielle
Differentialgleichungen. — B G. Teubner, Stuttgart, 2 Auflage 1958
[14 15] Rothe, R.; von Schmeidler, W.- Höhere Mathematik für Mathematiker, Physiker,
Ingenieure, Teil VII Räumliche und ebene Potentialfunktionen Konforme Abbildung.
Integralgleichungen Variationsrechnung. — B. G. Teubner, Suttgart, 2 Auflage 1956.
[14 16] RÜHS, F.: Funktionentheorie - Deutscher Verlag der Wissenschaften 1976
[14 17] SCHARK, R : Funktionentheorie für Ingenieurstudenten. — Verlag H. Deutsch 1993
[14.18] Smirnow: Lehrgang der höheren Mathematik, Bd III —Deutscher Verlag der
Wissenschaften 1954, Verlag H. Deutsch 1987-91, seit 1994 Veilag H Deutsch unter dem Titel Lehrbuch
der höheren Mathematik
[14.19] Wunsch, G : Feldtheorie — Verlag Technik 1975
15. Integraltransformationen
[15.1] Blatter, C: Wavelets - Eine Einführung — Vieweg 1998
[15 2] Doetsch, G.: Handbuch der Laplace-Transformation, Bd 1 bis 3. — Birkhäuser Verlag 1950
1958.
[15 3] Doetsch, G : Anleitung zum praktischen Gebrauch der Laplace Transformation - Olden-
bourg-Verlag, 6. Auflage 1989
[15 4] Fetzer, V.: Integral-Transformationen. — Hüthig Verlag 1977
[15.5] FÖLLINGER, O.: Laplace und Fourier Transformation — Hüthig, 6 Auflage 1993
[15 6] GAUSS, E.: WALSH-Funktionen für Ingenieure und Naturwissenschaftler - B G. Teubner
1994
1139
[15 7] Gelfand, I.M ; SCHILOW, G.E.: Verallgemeinerte Funktionen (Distributionen), Bd 1 bis 4
— Deutscher Verlag der Wissenschaften 1962-66
[15 8] Hubbard, B.B.: Wavelets Die Mathematik der kleinen Wellen — Birkhäuser 1997
[15 9] JENNISON, R.C.: Fourier Transforms and convolutions for the experimentalist — Pergamon
Press 1961
[15 10] Louis, A. K.; Maass, P.; Rieder, A.: Wavelets. Theorie und Anwendungen. — B G Teub-
ner Stuttgart 1994
[15 11] Oberhettinger, F.: Tabellen zur Fourier-Transformation — Springer-Verlag 1990
[15 12] Oberhettinger, F.; Badil, L.: Tables of Laplace Transforms — Springer-Verlag 1973.
[15.13] Stopp, F.: Operatorenrechnung. — BSB B G Teubner. Leipzig, (MINÖL, Bd. 10), 1976,
Verlag H Deutsch, (MINÖA, Bd 10), 1978
[15.14] ViCH, R.: Z Transformation, Theorie und Anwendung — Verlag Technik 1964
[15 15] Voelker, D.; Doetsch, G.: Die zweidimensionale Laplace-Transformation — Birkhäuser
Verlag 1950.
[15 16] Wagner. K.W. • Operatorenrechnung und Laplacesche Transformation —JA Barth Verlag
1950.
[15 17] Zypkin, J.S.: Theorie der linearen Impulssysteme. — Verlag Technik 1967.
16. Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik
[16 1] Bandemer, H.; Bellmann, A. Statistische Versuchsplanimg —BSB B G Teubner,
Leipzig, (MINÖL, Bd. 19/2), 1976, Verlag H Deutsch, (MINÖA, Bd 19/2), 1979
[16 2] Baule, B.: Die Mathematik des Naturforschers und Ingenieurs. Bd. 1 u. 2. — Verlag H
Deutsch 1979
[16.3] Behnen, K., Neuhaus, G. Grundkurs Stochastik. — B G Teubner, 3 Auflage 1995
[16 4] Beyer, O. et al • Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik — BSB B G
Teubner, Leipzig, (MINÖL, Bd 17). 1976, Verlag H Deutsch, (MINÖA. Bd 17), 1980
[16 5] Beyer, O. et AL.: Stochastische Prozesse und Modelle. — BSB B. G. Teubner, Leipzig,
(MINÖL, Bd 19/1), 1976. Verlag H. Deutsch. (MINÖA, Bd. 19/1), 1980
[16 6] Fisz, M.: Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik. — Deutscher Verlag der
Wissenschaften, 11 Auflage 1988.
[16.7] Friedrich, H.; Lange, C* Stochastische Prozesse in Natur und Technik. — Verlag H
Deutsch 1999
[16 8] Gnedenko, B.W.: Lehrbuch der Wahrscheinlichkeitstheorie 10 Auflage - Verlag H
Deutsch 1997
[16.9] Hartmann; Lezki; Schäfer: Mathematische Methoden in der Stoffwirtschaft. — Deutscher
Verlag für Grundstoffindustrie.
[16 10] Heinhold, J.; Gaede, K.-W.: Ingenieurstatistik — Oldenbourg-Verlag 1964.
[16 11] Hochstädter, D.: Statistische Methodenlehre. — Verlag H Deutsch 1993.
[16 12] Hochstädter, D., Kaiser, U.: Varianz- und Kovarianzanalyse. - Verlag H Deutsch 1988
[16 13] HÖPCKE, W : Fehlerlehre und Ausgleichrechnung — Verlag W de Gruyter 1980.
[16 14] HÜBNER, G.: Stochastik Eine anwendungsorientierte Einführung für Informatiker. Ingenieure
und Mathematiker - - Vieweg, 3 Auflage 2000
[16.15] Kolmogoroff: Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung. — Springer-Verlag 1977
[16 16] Krengel, U.. Einführung in die Weahrscheinlichkeitstheorie und Statistik — Vieweg 1991.
[16 17] Lahres. Einführung in die diskreten Markoff-Prozesse und ihre Anwendungen — Verlag
Vieweg 1964
[16 18] Manteuffel, K.; Stumpe, D.: Spieltheorie — BSB B G Teubner, Leipzig, (MINÖL,
Bd 21/1), 1977; Verlag H Deutsch, (MINÖA, Bd 21/1I979
[16 19] Piehler, J.; Zschiesche, H.-U.: Simulationsmethoden — BSB B G. Teubner, Leipzig,
(MINÖL, Bd 20), 1976, Verlag H. Deutsch, (MINÖA, Bd. 20), 1978.
1140 22 Literatur
[16.20] Precht, M.; Voit, K.; Kraft, R.: Mathematik 1 für Nichtmathematiker. — Oldenbourg-
Verlag 1990.
[16.21] Reny, A.: Wahrscheinlichkeitsrechnung — Deutscher Verlag der Wissenschaften 1966
[16.22] Rinne, H.: Taschenbuch der Statistik. — Verlag H. Deutsch, 2. Auflage 1997.
[16.23] Sobol, I.M.: Die Monte-Carlo-Methode — Verlag H. Deutsch 1991.
[16 24] Storm, R.: Wahrscheinlichkeitsrechnung, mathematische Statistik und statistische
Qualitätskontrolle. — Fachbuchverlag, 10. Auflage 1995.
[16.25] Taylor, J.R.: Fehleranalyse. — VCH, Weinheim 1988.
[16.26] WEBER, E.: Grundriß der biologischen Statistik für Naturwissenschaftler, Landwirte und
Mediziner. — Gustav Fischer Verlag 1972.
[16.27] Weber, H.: Einfuhrung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik für Ingenieure. —
B. G. Teubner, 3. Auflage 1992.
[16.28] ZURMÜHL, R.: Praktische Mathematik für Ingenieure und Physiker. — Springer-Verlag 1984
17. Dynamische Systeme und Chaos
[17.1] Afraimovich, V.S.; Ilyashenko, Yu.S.; Shilnikov, L.P.: Bifurcations. — In: Dynamical
Systems, 5. Springer-Verlag 1991.
[17.2] Argyris, J.; Faust, G.; Haase, M.: Die Erforschung des Chaos. — Verlag Vieweg 1994
[17.3] Arrowsmith, D.K.; Place, C.M.: An Introduction to Dynamical Systems. — Cambridge
University Press 1990.
[17.4] Boichenko, V.A.; Leonov, G.A.; Reitmann, V.: Dimension Theory for Ordinary
Differential Equations. — B.G. Teubner 2005.
[17.5] BRÖCKER, Th.: Analysis III. — Wissenschaftsverlag Zürich 1992
[17.6] De Melo, W.; Van Strien, S.: One-Dimensional Dynamics — Springer-Verlag 1993
[17.7] Edgar, G.A.: Measure, Topology and Fractal Geometry. — Springer-Verlag 1990
[17 8] FALCONER, K.: Fractal Geometry. — Wiley 1990.
[17.9] Grebogi, C.; Ott, E.; Pelikan, S.; Yorke, J.A.: Strange attractors that are not chaotic
— Physica 13 D 1984.
[17.10] Guckenheimer, J.; Holmes, P.: Nonlinear Oscillations, Dynamical Systems and
Bifurcations of Vector Fields. — Springer-Verlag 1990.
[17.11] HALE, J.; Kocak, H.: Dynamics and Bifurcations. — Springer-Verlag 1991.
[17.12] Kantz, H.; Schreiber, T.: Nonlinear Time Series Analysis. — Cambridge University Press
1997
[17.13] Kirchgraber, U.: Chaotisches Verhalten in einfachen Systemen. — Elemente der
Mathematik 1992.
[17.14] Kuznetsov, Yu., A.: Elements of Applied Bifurcation Theory, 112. In. Applied Mathematica
Series. — Springer-Verlag 1995.
[17.15] Leonov, G.A., Reitmann, V.; Smirnova, V.B.: Non-Local Methods for Pendulum-Like
Feedback Systems — B. G. Teubner 1987.
[17 16] Leven, R.W.; Koch, B.-P.; Pompe, B.: Chaos in dissipativen Systemen. — Akademie-
Verlag 1994.
[17.17] Marek, M.; Schreiber, L: Chaotic Behaviour of Deterministic Dissipative Systems —
Cambridge University Press 1991.
[17 18] Medved' , M.: Fundamentals of Dynamical Systems and Bifurcations Theory — Adam Hilger
1992.
[17.19] Perko, L.: Differential Equations and Dynamical Systems. — Springer-Verlag 1991
[17.20] Pesin, Ya.B.: Dimension Theory in Dynamical Systems. Contemporary Views and
Applications. Chicago Lectures in Mathematics. The University of Chicago Press 1997.
[17.21] Pilyugin, S. Yu.: Introduction to Structurally Stable Systems of Differential Equations. —
Birkhäuser 1992.
[17.22] Reitmann, V.: Reguläre und chaotische Dynamik. — B. G. Teubner 1996.
1141
[17 23] Sauer, T., Yorke, J. A.; Casdagli, M.: Embedology. — J Stat Phys.. 65 C/4) A991)
579 616.
[17 24] Takens, F.: Detecting stränge attractors in turbulence In Dynamical Systems and Turbu-
lence Editors RAND, D. A.; Young, L. S. Lecture Notes in Mathematics 898. - Springer-
Verlag 1981, 366-381
18. Optimierung
[18 1] Bellman, R.: Dynamic Programming — Princeton University Press 1957
[18.2] BERTSEKAS, D.P.: Nonlinear Programming — Athena Scientific 1999.
[18 3] Chvatal, V: Linear Programming — W.H Freeman 1983
[18.4] Dantzig, G.B.: Linear Programming and Extensions. — Princeton University Press 1998
[18 5] ELSTER, K.-H.: Einführung in die nichtlineare Optimierung — B G Teubner 1978.
[18.6] Grossmann, C.; Kleinmichel, H.: Verfahren der nichtlinearen Optimierung — B G.
Teubner, Leipzig 1976
[18 7] Grossmann, Terno, J.: Numerik der Optimierung — B G Teubner 1997
[18.8] KOSMOL: Methoden zur numerischen Behandlung nichtlinearer Gleichungen und
Optimierungsaufgaben — B G. Teubner, 2 Auflage 1992
[18 9] Kost, B.: Optimierung mit Evolutionsstrategien. — Verlag Harri Deutsch 2003
[18 10] Krelle, W.; KÜNZI, H.P., Randow, R V.: Nichtlineare Programmierung - Springer-
Verlag 1979.
[18.11] Kuhn, H.W.: The Hungarian Method for the Assignment Pioblem — Naval Res Logist
Quart , 2 A995)
[18 12] Optimierung und optimale Steuerung Lexikon der Optimierung -- Akademie-Verlag 1986
[18 13] Pontrjagin, L S. et al.: Mathematische Theorie der optimalen Prozesse — Deutscher
Verlag der Wissenschaften 1964
[18 14] Rockafellar, R.T.: Convex Analysis — Princeton University Press 1996
[18 15] Seiffart, E.; Manteuffel, K.: Lineare Optimierung — BSB B. G Teubner, Leipzig,
(MINÖL, Bd. 14), 1974, Verlag H. Deutsch, (MINÖA, Bd 14), 1981
[18 16] THAPA, M.N.; DANTZIG, G.B.: Linear Programming 1. Introduction. Springer-Verlag
1997
19. Numerische Mathematik
[19 1] Chapra, S.C.; Canale, R.P.: Numerical Methods for Engineers — McGraw-Hill Book Co
1989.
[19.2] COLLATZ, L.: Numerical Treatment of Differential Equations. — Springer 1966
[19 3] Davis, P.J.; Rabinowitz, P: Methods of numerical Integration — Academic Press 1984
[19 4] De Boor, C.: A practical guide to splines — Springer-Verlag 1978
[19 5] Engeln-MÜllges, G.; Reutter, F.: Formelsammlung zur Numerischen Mathematik mit
FORTRAN 77-Programmen. — Bibliographisches Institut 1988
[19 6] Engeln-MÜllges, G.; Reutter, F.: Numerische Mathematik für Ingenieure —
Bibliographisches Institut 1987
[19 7] Engeln-MÜllges, G.; Reutter, F.. Numerik-Algorithmen. Entscheidungshilfe zur
Auswahl und Nutzung — VDI-Verlag, Düsseldorf 1996
[19.8] Golub, G., ORTEGA, J.M.- Scientific Computing — B. G. Teubner 1996.
[19 9] GROSSMANN, Ch.; ROOS, H.-G.: Numerik partieller Differentialgleichungen — B G
Teubner 1992
[19 10] HÄMMERLIN, G ; Hoffmann, K.-H : Numerische Mathematik — Springer-Verlag, 4
Auflage 1994
[19 11] Heitzinger, W.; Troch, I.; Valentin, G.: Praxis nichtlinearer Gleichungen - C Hanser
Verlag 1984
1142 22 Literatur
[19.12] KIELBASINSKI, A.; SCHWETLICK, H.: Numerische lineare Algebra. Eine computerorientierte
Einführung. — Verlag H. Deutsch 1988.
[19.13] Knothe, K.; Wessels, H.: Finite Elemente Eine Einfuhrung für Ingenieure. — Springer
Verlag 1992.
[19 14] Lancaster, P; Salkauska, S.K.: Curve and Surface Fitting. — Academic Press 1986.
[19.15] Locher, F.: Numerische Mathematik für Informatiker. — Springer-Verlag 1992
[19.16] Maess, G.: Vorlesungen über numerische Mathematik, Bd 1 u. 2. — Akademie-Verlag 1984-
1988
[19.17] Meinardus, G.; Merz, G.: Praktische Mathematik. Für Ingenieure, Mathematiker und
Physiker, Bd. 1 u. 2. — Bibliographisches Institut 1979-82
[19.18] Meis, T.; Markowitz, U.: Numerische Behandlung partieller Differentialgleichungen -
Springer-Verlag 1978.
[19.19] MÜHLIG, H.; Stefan, F.: Approximation von Flächen mit Hilfe von B-Splines. — Wiss Z
TU Dresden 1991
[19.20] MULANSKY, B.: Glättung mittels zweidimensionaler Tensorprodukt-Spline-Funktionen
Wiss. Z TU Dresden 1990.
[19.21] Myschkis, A.D.: Angewandte Mathematik für Physiker und Ingenieure. — Verlag H Deutsch
1981.
[19.22] Reinsch, Chr.: Smoothing by Spline Functions — Numer. Math. 1967.
[19.23] Samarskii, A.A.: Theorie der Differenzenverfahren. — Akademische Verlagsgesellschaft
1984.
[19.24] SCHWARZ, H.R.: Methode der finiten Elemente. — B. G. Teubner Stuttgart, 3 Aufl. 1991.
[19 25] SCHWARZ, H.R.; Kockler, N.: Numerische Mathematik. — B G. Teubner Stuttgart,
Leipzig, Wiesbaden, 5. Aufl. 2005
[19.26] Schwetlick, H.; Kretzschmar, H.: Numerische Verfahren für Naturwissenschaftler und
Ingenieure — Fachbuchverlag 1991. f
[19.27] Späth, H.: Spline-Algorithmen zur Konstruktion glatter Kurven und Flächen. — Olden-
bourg-Verlag 1983
[19.28] Stoer, J.; BULIRSCH, R.: Numerische Mathematik, Bd. 1 u 2. — Springer-Verlag 1989-90
[19 29] Stroud, A.H.: Approximate calculation of multiple integrals — Prentice Hall 1971
[19.30] Stummel, F.; Hainer, K.: Praktische Mathematik — B.G Teubner Stuttgart, 2 Auf! 1982
[19.31] TÖRNIG, W.: Numerische Mathematik für Ingenieure und Physiker, Bd. 1 u. 2 — Springer-
Yerlag 1990
[19 32] Überhuber, C: Computer-Numerik 1, Computer-Numerik 2 — Springer-Verlag 1995.
[19.33] Weller, F.: Numerische Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler. — Verlag
Vieweg 1995.
[19.34] WERNER, J.: Numerische Mathematik, Bd. 1 u. 2. — Verlag Vieweg 1992.
[19.35] Willers, F.A.: Mathematische Maschinen und Instrumente — Akademie-Verlag 1951
[19.36] Willers, F.A.: Methoden der praktischen Analysis. — Akademie-Verlag 1951.
[19.37] ZurmÜhl, R.: Praktische Mathematik für Ingenieure und Physiker. — Springer-Verlag 1984.
20. Computeralgebrasysteme
[20 1] Benker, M. Mathematik mit Mathcad. — Springer-Verlag 1996
[20.2] Burkhardt, W. Erste Schritte mit Mathematica. — Springer-Verlag, 2. Auflage 1996
[20.3] Burkhardt, W.: Erste Schritte mit Maple. — Springer-Verlag, 2 Auflage 1996.
[20 4] Char, Geddes, Gönnet, Leong, Monagan, Watt: Maple V Library, Reference Manual
— Springer-Verlag 1991.
[20.5] Davenport, J.H., Siret, Y.; Tournier, E.: Computer Algebra. — Academic Press 1993.
[20 6] Gloggengiesser, H.: Maple V. — Verlag Markt & Technik 1993
[20 7] Grabe, H.-G.; Kofler, M. Mathematica Einführung, Anwendung, Referenz — Addison
Wesley 1999.
1143
[20 8] Jenks, R D ; SuTOR, R.S.: Axiom. — Springer-Verlag 1992
[20 9] Kofler, M.: Maple V, Release 4, —Addison Wesley, (Deutschland) GmbH, Bonn 1996
[20 10] Maeder, R : Programmierung in Mathematica, Second Edition. — Addison Wesley 1991
[20 11] Wolfram, S : The Mathematica Book. — Cambridge University Press 1999 -- Addison
Wesley 1992
21. Tabellen
[21.1] Abramowitz, M.; Stegun, I. A.: Pocketbook of Mathematical Functions — Verlag H.
Deutsch 1984.
[21 2] Apelblat, A.. Tables of Integrals and Series. — Verlag H. Deutsch 1996
[21.3] Brytschkow, Ju A.; Maritschew, O.I.; Prudnikow, A.P.: Tabellen unbestimmter
Integrale — Verlag H Deutsch 1992.
[21.4] Emde, F.: Tafeln elementarer Funktionen. — B. G. Teubner, Leipzig 1959.
[21 5] Gradstein,LS ; Ryshik, I.M.: Summen-, Produkt- und Integraltafeln, Bd 1 u. 2 --Verlag
H Deutsch 1981
[21 6] GrÖbner, W.; Hofreiter, N.: Integraltafel, Teil 1. Unbestimmte Integrale, Teil 2:
Bestimmte Integrale. — Springer -Verlag, Teil 1, 5 Auflage 1975, Teil 2, 5. Auflage 1973.
[21.7] a) ISO 1000' 11 92-SI units and recommendations for the use of their multiples and of certain
other units b) ISO 31-0 bis ISO 31-XIII
[21 8] Jahnke, E.; Emde, F., LÖSCH, F.: Tafeln höherer Funktionen. — B G. Teubner, Leipzig
1960
[21 9] Madelung , E.: Die mathematischen Hilfsmittel des Physikers — Springer - Verlag, 7. Auflage
1964
[21.10] Magnus, W ; Oberhettinger, F.: Formeln und Sätze für die speziellen Funktionen der
mathematischen Physik — Springer-Verlag 1948
[21 11] Meyer zur Capellen, W.: Integraltafeln. — Springer-Verlag 1950
[21 12] Mohr, P. J; Taylor, N.: physics.nist gov./constants, CODATA Recommcnded Values of the
Fundamental Physical Constants J Phys. a. Chem. Ref. Data 28[6] A999). Rev Mod. Phys
72[2] B000)
[21 13] Mohr, P. J; Taylor, N.: physics nist.gov./constants; CODATA Recommended Values of the
Fundamental Physical Constants 2002
[21 14] Müller, H.P.; Neumann, P ; Storm, R.: Tafeln der mathematischen Statistik. — C
Hanser Verlag 1979.
[21.15] Poljanin, A D ; Saizew, V.F.. Sammlung gewöhnlicher Differentialgleichungen Verlag
H Deutsch 1996
[21 16] PTB-Broschüre. Die gesetzlichen Einheiten in Deutschland. — Phys Techn. Bundesanstalt
[21 17] Richtlinie 80/181/EWG des Rates über Einheiten im Meßwesen vom 20 12 1979
(Abl.Nr.L39/40 vom 15.12.1980. geändert durch Richtlinie 89/617/EWG.)
[21 18] SCHÜLER: Acht- und neunstellige Tabellen zu den elliptischen Funktionen, dargestellt mittels
des jACOBischen Parameters q — Springer-Verlag 1955
[21.19] SCHULER, M.; GEBELEIN, H.: Acht- und neunstellige Tabellen zu den elliptischen Funktionen
— Springer-Verlag 1955
[21 20} Schütte, K.: Index mathematischer Tafelwerke und Tabellen — München 1966
22. Gesamtdarstellungen der höheren Mathematik
[22 1] Abramowitz, M.; Stegun, I. A.: Pocketbook of Mathematical Functions — Verlag H
Deutsch 1984.
[22.2] Baule, B.: Die Mathematik des Naturforschers und Ingenieurs, Bd 1 u. 2. — Verlag H
Deutsch 1979
[22 3] Berendt, G.; Weimar, E.. Mathematik für Physiker, Bd 1 u 2 — VCH, Weinheim 1990
[22 4] Bronstein, J.N.; Semendjajew, K.A.: Taschenbuch der Mathematik. — B G Teubner
Leipzig 1976, 17 Auflage, Verlag H Deutsch 1977
1144 22 Literatur
[22.5] Bronstein, J.N.; Semendjajew, K.A.: Taschenbuch der Mathematik. — B. G Teubner
Leipzig 1989, 24., neubearbeitete Auflage, Verlag H Deutsch 1989,
[22 6] Bronstein, J.N.; Semendjajew, K. A.: Taschenbuch der Mathematik, Ergänzende Kapitel.
— Verlag H. Deutsch 1991.
[22.7] Bronstein, J.N.; Semendjajew, K.A.; Musiol, G.; Mühlig, H.: Taschenbuch der
Mathematik 5. überarbeitete und erweiterte Auflage — Verlag H. Deutsch 2000.
[22.8] Bronstein, J.N.; Semendjajew, K.A.; Musiol, G.; Mühlig, H.: Handbook of Mathe-
matics. 4th Edition — Springer-Verlag 2004.
[22 9] Dallmann, H.; Elster, K.-H.; Elster, R.: Einführung in die höhere Mathematik, Bd 1-
3. — Gustav Fischer Verlag 1991.
[22.10] Dreszer, J.: Mathematik-Handbuch für Technik und Naturwissenschaft. — Verlag H
Deutsch 1975.
[22.11] Fachlexikon ABC Mathematik. — Verlag H Deutsch 1978
[22.12] Fichtenholz, G.M.: Differential- und Integralrechnung, Bd. 1 u. 3. — Deutscher Verlag der
Wissenschaften 1964, Verlag H. Deutsch 1989-92, seit 1994 Verlag H. Deutsch
[22.13] Fischer, H.; Kaul, H.: Mathematik für Physiker, 1. — B. G. Teubner 1990.
[22.14] Hainzl, J.: Mathematik für Naturwissenschaftler. — B. G. Teubner 1985.
[22.15] Joos, G.; Richter, E.W.: Höhere Mathematik für den Praktiker. — Verlag H Deutsch 1994
[22.16] Kleine Enzyklopädie Mathematik. — Verlag Enzyklopädie, Leipzig 1967 — Gekürzte Ausgabe
Mathematik Ratgeber. — Verlag H. Deutsch 1988.
[22.17] Mangoldt, H. v.; Knopp, K., Hrg. F. Lösch: Einführung in die höhere Mathematik, Bd 1
bis 4 — S Hirzel Verlag 1989
[22 18] MARGENAU, H.; Murphy, G.M.: Die Mathematik für Physik und Chemie, Bd 1 u 2 —
Verlag H Deutsch 1965-67.
[22.19] Mathematik für Ingenieure, Naturwissenschaftler, Ökonomen und Landwirte — BSB BG
Teubner, Leipzig, (MINÖL, Bd. 1 bis 23), 1973 bis 1981.
Mathematik für Ingenieure, Naturwissenschaftler, Ökonomen und sonstige anwendungsorien-
tierte Berufe. — Verlag H. Deutsch, (MINÖA, Bd. 1-23) 1973-1981.
[22.20] NETZ, H.; Rast, J.: Formeln der Mathematik. — C. Hanser Verlag 1986
[22 21] Papula, L.: Mathematik für Ingenieure, Bd. 1 bis 3. — Verlag Vieweg 1994-1996
[22.22] PLASCHKO, P.; Brod, K.: Höhere mathematische Methoden für Ingenieure und Physiker —
Springer-Verlag 1989.
[22.23] Precht, M.; Voit, K.; Kraft, R.: Mathematik für Nichtmathematiker, Bd lu 2 -
Oldenbourg-Verlag 1991.
[22.24] Rothe, R.: Höhere Mathematik für Mathematiker, Physiker, Ingenieure, Teile I bis VII —
BSB B G. Teubner Leipzig, Teile I bis V 1962 - 1965; B. G. Teubner Stuttgart, Teile VI, VII
1956 - 1958
[22.25] Schmutzer, E.: Grundlagen der theoretischen Physik, Bd. 1 u. 4. — Deutscher Verlag der
Wissenschaften 1991
[22.26] Smirnow, W.L: Lehrgang der höheren Mathematik, Bd. 1 bis 5. — Deutscher Verlag der
Wissenschaften 1953; Verlag H. Deutsch 1987-1991, seit 1994 im Verlag H. Deutsch unter dem
Titel Lehrbuch der höheren Mathematik.
[22.27] Stöcker, H.: Taschenbuch mathematischer Formeln und moderner Verfahren. — Verlag H
Deutsch, 3 Auflage 1995.
[22 28] Zeidler, E. (Hrsg.). Teubner-Taschenbuch der Mathematik. — B. G. Teubner, Stuttgart,
Leipzig, Teil 1 1996, Teil 2 1995.
Stichwortverzeichnis 1145
Stichwortverzeichnis
Abbildung, 303, 305
äquivalente, 869
Bäcker-, 850
Bernoulli-Shift-, 852
bijektive, 306, 620
chaotische, 852
eineindeutige, 305
Einheitskreis, 869
Funktion. 49
geliftete, 869
Henon-, 822, 836
Hufeisen-, 850
injektive. 305, 620
Kern, 312
komplexe Zahlenebene, 706
kontrahierende, 628
lineare, 327, 329, 620
Modulo-, 840
Poincare-, 834
reduzierte, 861
reguläre, 328
Rotations-, 841
Shift-, 844, 852
surjektive, 306, 620
topologisch konjugierte, 837
Umkehr-, 306
Zelt-, 840
zwischen Gruppen, 312
Abbildung, konforme, 696
Exponentialfunktion, 701
Fixpunkt, 698
gebrochenlineare Funktion, 698
Inversion, 698
Kreisverwandtschaft, 698
lineare Funktion, 697
Logarithmus, 701
quadratische Funktion, 699
Quadratwurzel, 700
Summe aus linearer u gebrochenlinearer Fkt , 700
Abbrechpunkt, 240
AßELsche
Gruppe, 309
Integralgleichung, 611
Abgeschlossenheitsrelation, 638
Abhängigkeit, lineare
lineare Gleichungssysteme, 280
Vektorraum, 327
Ableitung
äußere, 397
Bruch, 397
Distribution, 661
eine Veränderliche, 394
FRECHET-, 652
Funktion
elementare, 395
implizite, 398
inverse, 398
komplexe, 693
mehrere Veränderliche, 408
mittelbare, 397
Parameterdarstellung, 399
gemischte, 411
höherer Ordnung, 401, 411
inverse Funktion, 402
Parameterdarstellung, 402
innere, 397
linksseitige, 395.
logarithmische, 397
partielle, 408
räumliche, 671
rechtsseitige. 395
Richtungs-, 670
Tabelle, 396
Vektorfunktion, 663
verallgemeinerte, 660
Volumen-, 670
Abschlag, 21
Abschließung einer Menge, 627
Abschluß, transitiver, 305
Abschreibung, 26
arithmetisch-degressive, 26
digitale. 27
geometrisch-degressive, 27
lineare, 26
Abschreibungsgefälle, 26
Absolutbetrag
komplexe Zahl, 35
Vektor, 185
Absolutglieder, 280
absolutintegrier bar, 472
absolutkonvergent, 472
absolutstetig, 659
Absorptionsgesetz
Aussagenlogik, 296
BoOLEsche Algebra, 355
Mengen, 302
Abstand
Ebenen, 223
Gerade, 201
Hamming, 625
metrischer Raum, 624
Punkt-Ebene, 222
Punkt -Gerade, 224
sphärischer, 163
zwei Geraden, 225
zwei Punkte, 197
zwei Punkte, Raum, 218
Abstieg, 925
Abstiegsverfahren, 895
Abszisse, 195, 214
Abszissenachse, 195
Abweichung
Meßfehler, 811
signifikante, 802
Abwickelkurve, 244
Adäquatheitstest, 806
Addition, 969
komplexe Zahlen, 36
Addition
Attraktor
Polynome, 11
rationale Zahlen, 1
Additionstheoreme
Areafunktionen, 94
Hyperbelfunktionen, 91
inverse trigonometrische Funktionen, 87
trigonometrische Funktionen, 80, 82
Additivität, cr-Additivität, 656
Adjazenz, 361
Adjazenzmatrix, 363
Adjunkte, 267
Admittanzmatrix, 368
Ahnlichkeitsdifferentialgleichung, 506
Ahnlichkeitstransformation, 288, 289
Äquivalenz
Beweisführung, 5
logische, 296
topologische, 834
Wahrheitstafel, 295
Aquivalenzklasse, 306
Aquivalenzrelation, 306
Algebra
BoOLEsche, 355, 770
endliche, 356
BORELsche er-, 656
Faktor-, 353
freie, 354
kommutative, 634
lineare, 259
normierte, 634
ft-Algebra, 353
D-Unteralgebra, 353
Schalt-, 355, 358
«T-Algebra, 655
BORELsche, 656
Term-, 354
universelle, 353
Algorithmus
Aitken-Neville, 946
Dantzig, 371
EuKLlDischer, 3, 14
naturliche Zahlen, 333
Polynomringe, 325
FORD-FULKERSON, 372
GAUSSscher, 284, 918
Graphentheorie, 361
Kruskal-, 369
Maximalstrom, 372
QR-Algorithmus, 291
Rayleigh-Ritz, 291
Remes, 953
Romberg, 928
Satz zum EuKLlDischen, 334
Allquantor, 298
a-Grenzmenge, 823, 829, 836
a-Schnitt, 378
scharfer, 378
Alternantenpunkt, 951
Alternantensatz, 951
Altgradeinteilung, 133
Amplitude, 76, 83
Amplitudenfunktion, 726
Amplitudenspektrum, 750
Analyse
harmonische, 954
Multi-Skalen-, 766
Anfangsbedingungen, 504
Anfangsphase, 76, 83
Anfangswertaufgabe, 504, 931
Anhangen, polares, 150
Ankathete, 133
Annuität, 23
Annuitätentilgung, 24
Annulator, 644
ANOSOV-Diffeomorphismus, 852
Ansatzverfahren, 936, 939
Antikink-Soliton, 570
Antisoliton, 569
Apollonius, Satz, 204
Applikate, 214
Approximation, 945
5-Funktion, 740
gleichmäßige, 951
im Mittel, 947
Einordnung, 418
sukzessive
BANACH-Raum, 642
Differentialgleichungen, 513
Integralgleichungen, 587
TschebYSCHEFFsche, 951
Zahlen, 4
Approximationsaufgaben
Lösung durch Extremwertbestimmung, 418
Approximationsproblem, 636
Approximationssatz
Liouville, 4
Weierstrass, 627
Arbeit
allgemein, Integration, 486
speziell, Integration, 467
ARCHlMEDlsche Spirale, 105
Areafunktion, 92
Areakosinus, 92
Areakotangens, 93
Areasinus, 92
Areatangens, 93
Argument, 48, 120
ARNOLD-Zunge, 871
Artikelnummer, europaische, 343
ASCII, 965
Assoziativgesetz
Aussagenlogik, 296
BoOLEsche Algebra, 355
Matrizen, 262
Mengen, 302
Tensoren, 272
Vektormultiplikation, 189
Astroide
Definition, 104
Flächeninhalt, Integration, 491
Asymptote, 241
Definition, 241
Kurve, 238
Attraktor, 824
chaotischer, 852
Attraktor
BESSELsc/ie
fraktaler, 852
Henon-, 849, 852
hyperbolischer, 852
Lorenz-, 850
seltsamer, 852
Aufgabe
diskrete, 948
mehrdimensionale, 949
stetige, 947
Auflösung, Torus, 868
Aufschlag, 21
Aufzinsungsfaktor, 22
Ausdruck
algebraischer, 10
Manipulation, 1010
allgemeingültiger, 297, 299
analytischer, 49
Definitionsbereich, 49
explizite Darstellung, 49
implizite Darstellung, 49
Parameterdarstellung, 50
Aussagenlogik, 295
BoOLEscher, 356
finiter, 935, 938
ganzrationaler, 11
gebrochenrationaler, 11, 14
Interpretation, 298
irrationaler, 11, 17
nichtalgebraischer, Manipulation, 1012
Prädikatenkalkül, 298
Prädikatenlogik, 298
transzendenter, 11
vektoranalytischer, 680
Ausgangsgrad, 361
Ausgleichsaufgabe
lineare, 920
nichtlineare, 110, 924
verschiedene Bezeichnungen, 418
Ausgleichsrechnung, 945, 947
diskrete Aufgabe, 948
mehrdimensionale Aufgabe, 949
Meßfehler, 811
stetige Aufgabe, 947
Ausgleichssplines, 960
bikubische, 962
kubische, 960
Ausklammern, 11
Auslöschung, 969
Aussage
duale, 355
logische, 295
Aussagenlogik, 295
Ausdruck, 295
Grundgesetze, 296
Aussagenvariable, 295
Aussagenverbindung, 295
extensionale, 295
Austauschschema, 279
Austauschschritt, 279
Austauschverfahren, 279, 282
Matchings, 370
Autokorrelationsfunktion, 842
Axialfeld, 664
Axiome
abgeschlossene Menge, 627
der Halbnorm, 645
einer Algebra, 634
geordneter Vektorraum, 621
metrischer Raum, 624
normierter Raum, 631
offene Menge, 626
Skalarprodukt, 635
Vektorraum, 616
Azimut, 164
Azimutalgleichung, 562
Bahn, elementare, 371
BAiREsche Kategorie, 2 , 839
BAIRSTOW-Verfahren, 916
BANACH-Raum, 632
Beispiele, 633
Reihe, 632
Bandstruktur, 922
Basis
kontravariante, 274
kovariante, 274
Potenz, 8
Vektorraum, 327, 619
Basisinverse, 877
Basissatz, 312
Basisvariable, 877
Basisvektor
kontravarianter, 274
kovarianter, 274
Baum, 367
geordneter binärer, 368
Höhe, 367
regulärer binärer, 367
Wurzel, 367
BAYESscher Satz, 773
B-B-Darstellung
Flache, 962
Kurve, 962, 963
Bedienungstheorie, 792
Bedingung
Caratheodory, 651
DiRiCHLETsche, 438
Kuhn-Tucker, 889
Belegung, Wahrheitswert, 296
Beobachtungswert, 811
Bereich, zulässiger, 874
BERGEscher Satz, 370
Bernoulli, Gesetz der großen Zahlen, 787
BERNOULLi-L'HosPiTALsche Regel, 56
BERNOULLISche
Ungleichung, 31
Zahlen, 428
BERNOULLI-SHIFT-Abbildung, 852
BERNSTEiNsche Grundpolynome, 962
Besetztheit, schwache, 922
Besetzungszahl, 796
BESSEL-Funktion, 527
modifizierte, 528
BESSELsche
Differentialgleichung, 526, 745
Ungleichung, 638
Bestapproximation
Clebsch-Gordan
Bestapproximation, 638
Betafunktion, 1086
Beweis
direkter, 5
durch Widerspruch, 5
indirekter, 5, 297
konstruktiver, 6
Schluß von n auf n + 1, 5
vollständige Induktion, 5
Beziehung, <-Beziehung, 299
Bibliotheken numerischer Verfahren, 973
Aachener , 975
IMSL-, 974
NAG-, 974
Bifurkation
Bogdanov-Takens-, 860
Flip , 862
Gabel-, 859. 863
globale, 856, 864
homokline, 866
Hopf-, 857, 860
Kodimension, 856
lokale, 856
Sattelknoten-, 857
Spitzen 859
transkritische, 857
Bild
Funktion, 49
Unterraum, 328
Bildbereich. 730
Menge, 49
Bildfunktion, 730
Binom
lineares, 71
quadratisches, 71
Binomialkoeffizient, 13
Binomialverteilung, 777
Binormale, Raumkurve, 246. 248
Bisektionsverfahren. 291
Bit, 965
Bitumkehr, 958
Bogen, Graph. 361
Kette, 371
Länge, 364
Bogendifferential, 253
Bogenelement, 233
Bogenfolge, 371
Bogenlänge
ebene Kurve, 144, 466
Ellipse, 205
Hyperbel, 208
Kreissegment, 144
Kurvenintegral 1 Art, 482
Parabel, 210
räumliche Kurve, Integration, 482
Raumkurve. 254
Bogenmaß 133
Bogenschnitt, 153
Bolzano-Weierstrass- Eigenschaft, 648
BoOLEsche
Algebra. 355, 770
endliche, 356
Funktion, 296, 356
n-stellige, 356
Variable, 356
BoOLEscher Ausdruck, 356
BOREL- Menge. 656
BORELsche cr-Algebra, 656
Brachistochronenproblem, 573
Bravais-Gitter, 320
Breite, geographische, 165, 252
Breit WiGNER-Kurve 95, 754
Brennpunkt
Ellipse; 204
Hyperbel, 206
Parabel, 208
Brennpunktradius, 206
Briefträgerproblem, chinesisches, 366
Bruch
Dezimal-, 1
echter, 15
Ketten-, 3
unechter. 15
Byte, 965
Cantor
Funktion, 871
Menge, 846, 847, 850
CARATHEODORY-Bedingung, 651
CARDANOsche Formel, 41
Carson Transformation, 731
CASSiNlsche Kurve, 100
CAUCHY-Folge, 628
CAUCHY-Integral, 613
CAUCHY-RiEMANNsche Differentialgleichung, 694
CAUCHYsche Integralformel. 711
Anwendungen. 717
CAUCHYscher Hauptwert 474
CAUCHYsches Prinzip, 628
CAUCHYsches Problem, 536
CAUCHY-SCHWARZsche Ungleichung, 31
CAVALiERisches Prinzip, 467
CAYLEY
Satz, 312 368
Tafeln, 309
Chaos, 566, 821, 868
eindimensionale Abbildungen, 852
seltsame Attraktoren, 852
Übergänge zum Chaos, 865
über Intermittenz, 869
vom Torus zum Chaos 868
Wege zum Chaos, 856
Charakter
Darstellung, 315
Gruppenlement, 314
charakteristischer Streifen, 537
X2-Aiipassungstest, 798, 799
Chiffrierung s Kryptologie, 346
Chinesischer Restsatz, 338
X2-Verteilung, 785
Cholesky
Verfahren 286, 920
Zerlegung, 920
CLAiRAUTsche Differentialgleichung, 509, 538
Clebsch Gordan
Koeffizient, 316
Clebsch-Gordan
Differential
Reihe, 316
Theorem, 316
Code
Abstand, 343
ASCII, 965
fehlerkorrigierender, 343
linearer, 344
t- fehlerkorrigierender, 343, 344
^-perfekt, 344
zyklischer, 344
Codewort. 343
Codierung, 341
Computeralgebrasysteme
Anwendungen, 1010
Differential- und Integralrechnung, 1023
Elemente der linearen Algebra, 1019
Funktionen, 985
Gleichungen und Gleichungssysteme, 1015
Graphik, 1030
Hauptstrukturelemente, 984
Infix-Form, 985
Listen, 985
Manipulation algebraische Ausdrucke, 1010
Mengen, 985
Objekte, 984
Operatoren, 985
Präfix-Form, 985
Programmierung, 984
Suffix-Schreibweise, 985
Terme, 985
Typen, 984
Variable, 985
Zahlen, 984
Zielstellungen, 982
Computernutzung, 965
CORNU-Spirale, 107
COULOMB-Feld, Punktladung, 667, 690
CRAMERsche Regel, 283
Dampfung, Schwingungen, 84
Dämpfungsparameter, 924
D'ALEMBERTsche Formel, 556
DARBOUXscher Vektor, 250
Darstellung
adjungierte, 313
äquivalente, 314
direkte Summe, 315
direktes Produkt, 315
Eigenschaften, 313
explizite, 49
Gruppe, 313
inäquvalente, 314
irreduzible, 315
treue, 313
unitäre, 313
Unterräume, 314
vollständig reduzible, 316
Darstellungsmatrix, 313
Darstellungsraum, 313
Darstellungssatz, 378
Datentyp, 353
Deckabbildung, 309
Decodierung, 343
DEDEKlNDscher Schnitt, 301, 307
Defekt, 936, 940
Vektorraum, 328
definit
negativ, 289
positiv, 289, 920
Definitionsbereich, 121
Funktion, 48
Menge, 49
Operator, 620
Deflation, 293
Defuzzifizierung, 388
Dekrement, logarithmisches, 84
DELAMBREsche Gleichungen, 172
E-Distribution, 661
5-Funktion, 656, 661
Anwendungen, 740
Approximationen, 740
DiRACsche, 737
E-Funktional, 644
Deltatensor, 273
de MORGANsche Regel, 297, 302
BoOLEsche Algebra, 355
Derive, 982
DESCARTESsche Regel, 45
Determinante, 267
Berechnung, 269
Differentiation, 269
Funktional-, 653
Jacobi-, 653
Multiplikation, 269
Nullwerden, 268
Rechenregeln, 268
Spiegelung, 268
Wronski-, 518, 826
Deviationsmoment, 271
Dezimalbruch, 1
irrationale Zahlen, 2
Dezimalsystem, 965
Dezimalvorsätze, 1043
Dezimalzahl, 965
normalisierte, 968
Dezimalzahldarstellung, 965
Diagonalmatrix, 260
Diagonalstrategie, 919
Diagonalverfahren, MAXWELLsches, 706
Dichtemittel, Meßwerterfassung, 797
Diedergruppe, 309
Diffeomorphismus, 822
Anosov, 852
orientierungstreuer, 870, 871
Differential
2 Ordnung, 411
Begriff, 408
Bogen, 253
Haupteigenschaften, 409
höherer Ordnung, 410
Integrabilität, 485
partielles, 410
totales, 410
vollständiges, 410, 411
n-ter Ordnung, 412
2 Ordnung, 411
Differential - Operationen
Differentiation
Differential-Operationen
räumliche, 670
Rechenregeln, 679
Übersicht, 679
Vektorkomponenten, 680
Verknüpfungen, 679
Differential-Operatoren
Maple, 1007
nichtlineare, 651, 652
Hammerstein-, 651
Nemytskij-, 651
Urysohn -, 652
räumliche, 670, 677
Divergenz, 673
Gradient, 671
LALACE-Operator, 678
Nablaoperator, 677
Rotation, 675
Vektorgradient, 673
Differentialgeometrie, 232
Differentialgleichung, 504
1 Ordnung,
allgemeine Lösung, 504
Anfangsbedingungen 504
Anfangswertaufgabe, 504
auf dem Toms, 827, 870
autonome, 824
BERNOULLlsche, 508
BESSELsche, 526
CLAlRAUTsche, 509, 538
definierende Gleichung, 526
Differentialvariationsgleichung, 972
Eigenfunktion, 533, 560
Eigenwert, 533, 560
elliptischer Typ, 540, 542
EULERsche, 522
Variationsrechnung, 575
exakte, 506
Existenzsatz, 505
Fluß, 821
FOURIER-Transformation, 754
gewöhnliche, 504
genäherte Integration, 931
lineare, 754
graphische Integration, 514
HAMiLTONsche, 825, 867
HELMHOLTZsche, 559
HERMiTEsche, 532
homogene, 506
hyperbolischer Typ, 540, 542
hypergeometrische, 531
implizite, 504, 509
Integral, 504
Integralfläche, 536
Integralkurven, 505
integrierender Faktor, 507
konstante Koeffizienten, 518, 744
LAGRANGEsche, 509
LAGUERREsche. 531
LAPLACEsche, 691
LEGENDREsche, 529
lineare, 825
1 Ordnung, 507
2 Ordnung, 525
Hauptsatz. 826
homogene. 826
inhomogene, 825
mit periodischen Koeffizienten, 827
n-ter Ordnung, 518
Lösung, 504
Matrix-Differentialgleichung, 826
numerische Integration, 514
Orthogonalitätsrelation, 533
parabolischer Typ, 540, 542
partielle, 535, 746, 755
1 Ordnung, 535
2 Ordnung, 540
genäherte Integration, 938
lineare, 535
nichtlineare, 566
quasilineare, 535
vollständiges Integral, 537
partikuläre Lösung, 504
PoiSSONsche, 557, 689, 691
Quadratur, 519
Randwertaufgabe, 504
Randwertbedingungen, 504
Randwertproblem, 532
reduzierte, 856
RiCCATische, 508
Richtungsfeld, 505
selbstadjungierte, 532
Semifluß, 821
Separationsansatz, 559
singulärer Punkt, 511
steife, 935
topologisch äquivalent, 834
ultrahyperbolischer Typ, 542
Van DER-Po-Lsche 859
Variation der Konstanten, 519
veränderliche Koeffizienten, 745
vollständig integrier bare, 540
WEBERsche. 564
Differentialgleichungen
CAUCHY-RiEMANNsche, 548
Charakteristik des Systems, 536
charakteristische Streifen, 537
charakteristisches System, 535
Feldtheorie 691
Fundamentalsystem, 518
höherer Ordnung, 515
kanonisches System, 537
Normalform, 522
Normalsystem. 538
partielle, 535
Superpositionssatz, 518
System linearer, 522
Systeme, 515
Zerlegungssatz, 518
Differentialquotient (s auch Ableitung), 394
Differentialrechnung, 394
Hauptsätze, 403
Differentialtransformation, affine. 696
Differentiation
Funktion
Differentiation
Dreieck
eine Veränderliche, 394
elementare, 395
implizite, 398, 413
inverse, 398
komplexe, 693
mehrere Veränderliche, 408
Parameterdarstellung, 399
graphische, 399
Grundregeln, 395
höherer Ordnung
inverse Funktion, 402
Parameterdarstellung, 402
logarithmische, 397
mehrere Veränderliche, 413
mittelbare Funktionen, 413
Quotientenregel, 397
unter dem Integralzeichen, 476
Vektorfunktion, 663
zusammengesetzte Funktion, 413
Differentiationsregeln
Ableitung höherer Ordnung, 401
Funktion einer Veränderlichen, 395
Funktion mehrerer Veränderlicher, 395, <
Tabelle, 400
Vektoren, 663
Differenz, 303
beschränkte, 380
symmetrische, 303
Differenzenbildung
finite Ausdrucke, 935
Z-Transformation, 759
Differenzengleichung, 757, 938
2 Ordnung, 762, 763
lineare, 761
Randwerte, 763
Differenzenquotient, 925
Differenzenschema, 18
Differenzenverfahren, 553, 935, 938
Differenzierbarkeit
Funktion einer Veränderlichen, 394
Funktion mehrerer Veränderlicher, 410
komplexe Funktion, 693
nach den Anfangsbedingungen, 821
stetige, 652
Diffusionsgleichung, 571
dreidimensionale, 556
Diffusionskoeffizient, 557
Dimension, 845
auf invariante Maße zurückgehende, 848
Douady-Oesterle-, 850
Einbettungs-, 853
eines Maßes, 848
Hausdorff-, 846
Informations-, 848
Kapazitats-, 847
Korrelations-, 848
Lyapunov-, 849
metrische, 845
obere punktweise, 848
Renyi-, 849
untere punktweise, 848
Vektorraum, 327, 619
verallgemeinerte, 849
Dimensionsformel, 328
DiRAC-Maß, 656
DiRACsche Distribution, 661
DlRACscher Satz, 367
DlRlCHLETsche Bedingung, 438
DiRiCHLETsches Problem, 547, 691
disjunkt, 301
Disjunktion, 295
Diskretisierungsfehler
globaler, 934
lokaler, 934
Diskretisierungsschrittweite, 925
Diskriminante, 540
Dispersion, 776
Distanz, metrischer Raum, 624
Distanzmatrix, 364
Distribution, 660, 661, 740
DiRACsche, 661
reguläre, 661 *
Distributionsableitung, 660
Distributionstheorie, 737
Distributivgesetz
Aussagenlogik, 296
Boc-LEsche Algebra, 355
Matrizen, 262
Mengen, 302
Ring,Körper, 323
Tensoren, 272
Vektormultiplikation, 189
Divergenz
Differential-Operation
Definition, 673
Hinweis, 671
mit Nablaoperator, 677
Vektorfeld, 673
Vektorkomponenten, 680
verschiedene Koordinaten, 674
Zentralfeld, 674
Reihe, 425
Zahlenfolge
bestimmte, 421
unbestimmte, 421
Division, 969
komplexe Zahlen, 37
Polynome, 14
rationale Zahlen, 1
Dodekaeder, 158
Doppelgerade, 211
Doppelintegral, 488
Anwendungen, 491
Doppelpunkt, Kurve, 240
Drehfehler, 342
Drehungsinvarianz, 273
Drehungsmatrix, 196, 217, 265
orthogonale, 270
Drehungswinkel, 218
Dreibein, begleitendes, 246
Dreieck
Bestimmungsgrößen, 135
ebenes, 135
Flächeninhalt, 145, 147, 199
Grundaufgaben, 147
Inkreisradius, 146
Dreieck
Element
rechtwinkliges, 145
Sätze des Euklid, 145
schiefwinkliges, 145, 146
Tangensformeln, 146
Umkreisradius, 146
EuLERsches, 168
gleichschenkliges, 135
gleichseitiges, 135
Höhe, 135
Inkreis, 135
Mittellinie, 136
Mittelsenkrechte, 135
Orthozentrum, 135
PASCALsches, 13
rechtwinkliges, 136
Schwerpunkt, 135
Seitenhalbierende, 135
sphärisches, 166
Berechnung, 173
EuLERsches, 168
Grundaufgaben, 173
rechtwinkliges, 173
schiefwinkliges 175
Umkreis, 135
Winkelhalbierende, 135
Dreiecke
ähnliche, 137
kongruente, 136
Dreieckskoordinaten, 944
Dreiecksmatrix, 261
obere, 261
untere, 261
Dreiecksschema, 18
Dreiecksungleichung
komplexe Zahlen, 30
metrischer Raum, 624
Normaxiome. 266
Normen, 631
reelle Zahlen, 30
unitärer Raum, 635
Vektoren, 186
Dreieckszerlegung. 918
Dreifachintegral, 491
Anwendungen, 497
Dreikant, 168
Dritter, ausgeschlossener 296
Druck, Integration, 468
dual. 355
Dualisieren. 355
Dualität
lineare Optimierung, 882
nichtlineare Optimierung. 889
Dualitätssatz, starker, 890
Dualitätsprinzip, BoOLEschen Algebra, 355
Dualsystem, 965
Dualzahl, 965
DuHAMELsche Formel, 745
Durchmesser, 143
Ellipse, 204
Hyperbel, 207
konjugierter
Ellipse, 204
Hyperbel. 207
Parabel, 209
Durchschnitt, 301
Fuzzy-Mengen, 379
Mengen, 301
unscharfe Mengen, 378
Ebene
Punkte. 197
Raum, 154, 220
rektifizierende, 246. 248
Vektorgleichung, 193
Ebenen
Orthogonalitätsbedingung, 223
parallele. 154
Abstand, 223
Parallelitätsbedingung, 223
Ebenengleichung, 220
Achsenabschnittsform, 221
allgemeine, 220
HESSEsche Normalform, 221
Ecke, 155
dreiseitige. 155
konvexe. 155
symmetrische, 155
Eigenfunktion, 533, 560
Integralgleichung, 585, 590
normierte, 534
Eigenvektor
Eigenwertaufgaben, 286
Hauptachsenrichtung, 272
Operator, 643
Eigenwert, 286, 533, 560
Integralgleichung, 585 590
Operator, 643
Eigenwertaufgabe, 286
Eigenwertbedingung, 287
Eigenwertproblem
allgemeines, 286
spezielles, 286
Einbettung, 853
Einbettungsdimension, 853
Eingangsgrad. 361
Einheitliches Kontormmmernsystem EKONS, 342
Einheitsmatrix, 261
Einheitsvektor, 186, 188
Einheitswurzel, 956
Einhüllende, Kurvenscharen, 244
Einschrittverfahren, 932
EiNSTElNsche Summenkonvention. 270
Einzahlung
einmalige. 22
nachschüssige. 22
regelmäßige, 22
unterjährige, 22
vorschüssige, 22
Einzelschritt verfahren, 922, 924
Einziel verfahren, 937
Einzugsgebiet, 824
Element, 300
finites. 553, 941
generisches, 839
inverses, 309
neutrales, 308
Element
Exzentrizität, numerische
positives, 621
singuläres, 510
Elementardisjunktion, 358
Elementarereignis, 770
Elementarformel, 298
Elementarintervall, 457
Elementarkonjunktion, 358
Elementarzelle
Kristallgitter, 320
nichtprimitive, 320
primitive, 320
Elementbeziehung, 300
Eliminationsprinzip, GAUSSsches, 284
Eliminationsschritt, 918
Ellipse, 204
Binom, 71
Bogen, 205
Brennpunktseigenschaften, 204
Definition, 204
Durchmesser, 204
Flächeninhalt, 205
Halbparameter, 204
Krümmungskreisradius, 205
Tangente, 204
Transformation, 211
Umfang, 205
Ellipsengleichung, 204
Ellipsoid, 226
Fläche 2 Ordnung, 230
imaginäres, 230
Mittelpunksfläche, 230
Endomorphismus, 621
Endpunkt, 361
Entartung, 561
Entfernungsmatrix, 364
Entropie
metrische, 843
topologische, 843, 853
verallgemeinerte, 849
Entwicklung
FOURIER-Entwicklung, 440
LAURENT-Entwicklung, 714
McLAURiN-Entwicklung, 435
TAYLOR-Entwicklung, 405, 434
Entwicklungskoeffizient, 188
Entwicklungssatz, LAPLACEscher, 267
Enveloppe, 244
Epitrochoide, 105
Epizykloide, 103
verkürzte, 105
verlängerte, 105
Epsilontensor, 273
ERASTOSTHENES-Sieb, 330
Ereignis, 770
Elementar-, 770
sicheres, 770
unabhängiges, 773
unmögliches, 770
zufälliges, 770
Ereignisart, 770
Ereignismenge, 770
Ereignissystem, vollständiges, 773
Erfüllungsgrad, 387
Ergiebigkeit, Quelle, 690
Erwartungswert, 776
Erweiterungsprinzip, 382
Erzeugende, 159
geradlinige, Fläche, 229, 257
Erzeugendensystem, 310
EuKLiDische
Norm, 328
Vektornorm, 266
EuKLlDischer
Algorithmus, 3, 14
Polynomringe, 325
Vektorraum, 328
EuLER-HiERHOLZER-Satz, 365
EuLERsche
Differentialgleichung, 522
Formel, 255
Formeln, 437
Funktion, 341
Konstante, 477
Linie, 365
Relation, 36
komplexe Zahlen, 721
Winkel, 218
Zahlen, 429
EuLERscher Polyedersatz, 159
EuLERsches
Integral 1 Gattung, 1086
Integral 2 Gattung, 476
Polygonzugverfahren, 931
Evolute, 244
Evolutionsfunktion, 567
Evolutionsgleichung, 567
Evolutionsstrategien, 897
Evolvente, 244
des Kreises, 107
Exponent, 8
Exponentialfunktion
allgemeine, 721
komplexe, 701
naturliche, 720
Exponentialsumme, 73
Exponentialverteilung, 783
Extensionalitätsprinzip, 300
Extrapolationsprinzip, 929
Extremale, 574
Krümmungsradius, 578
Extremwert, 51, 405
absoluter, 405
relativer, 405
von Funktionen, 417
Extremwertbestimmung, 406
allgemeine Regel, 407
globale Extremwerte, 407
höhere Ableitung, 406
implizite Funktion, 407
Nebenbedingungen, 419
Vorzeichenvergleich, 406
Exzentrizität, numerische
Ellipse, 204
Hyperbel, 206
Kurve 2 Ordnung, 212
Parabel, 208
Exzeß, sphärischer
Fläche
Exzeß, sphärischer, 168
Faktor
Multiplikation. 7
Polynome, 43
Faktoralgebra, 353
Faktorgruppe, 312
Faktormenge, 306
Faktorregel. 395
Faktorring. 324
Fakultät, 13, 479
FALKsches Schema, 263
Faltung
einseitige, 752
FOURIER-Tiansformation, 752
LAPLACE-Transformation, 736
Z-Transformation. 759
zweiseitige. 752
Fehler
Abbruchfehler, 971
absoluter, 815, 968
Maximalfehler, 815
definierter, 816
Diskietisierungsfehler, 971
einfacher mittlerer. 812
Eingangsfehler, 970
Einzelmessung, 813
Fehlerfunktion, 478
Meßfehlereinteilung
qualitative Merkmale, 811
quantitative Merkmale, 813
mittlerer. 812, 814, 815
quadratischer 438, 814, 815
prozentualer, 815
relativer, 815, 968
Maximalfehler, 816
Resultatfehler, 969
Rundungsfehler, 971
scheinbarer, 814
Standardabweichung, 814
Verfahrensfehler, 971
wahrer, 813
wahrscheinlicher. 812-815
Zusammenhang zwischen Fehler arten, 813
Fehlerabschätzung
Iterationsverfahren, 924
Mittelwertsatz, 405
Fehleranalyse. 819
Fehlerarten, Computerrechnen, 970
Fehlerfortpflanzung, 818
Fehlerfortpflanzungsgesetz. GAUSSsches, 815, 818
Fehlergleichung, 920
Fehlerintegral, GAUSSsches, 478, 782
Fehlerkorrektur, Codes, 343
Fehlernormalverteilung, 812
Fehlerorthogonalität, 936
Fehlerquadratmethode, 110, 285, 936, 940, 947
Ausgleichsrechnung, 811
GAUSSsche Einordnung, 418
Regressionsanalyse, 803
Fehlerquadratsumme, 285, 921, 948
Fehlertheorie
direkte Aufgabe, 970
inverse Aufgabe; 970
Fehler verteilungsdichte. 811
FEIGENBAUM-Konstante, 863, 865
Feld
Axialfeld, 664
COULOMB-Feld, Punktladung, 667, 690
Fluß, 685
Gravitations Feld, Punktmasse, 690
konservatives, 683
Kreisfeld, 667
Kugelfeld, 664
NEWTONsches, 667
Potentialfeld, 683
Quellenfeld, 689
Skalarfeld, 664
Superposition, 690
zentralsymmetrisches, 664
zylindersymmetrisches, 664
Feldfunktion, 703
Feldlinie, 669
Feldtheorie
Differentialgleichungen, 691
Grundbegriffe, 663
FEM, 940
Fernpunkt, 198
Festpunktzahl, 966. 967
FFT. 955
FlBONACCI
Folge, 334
Zahlen, 334, 871
Finanzmathematik, 21
Fixpunkt
konforme Abbildung, 697, 698
stabiler, 862
Fixpunktgleichung, 911
Fixpunktsatz
Banach, 628, 651
Brouwer, 653
Schauder, 653
Fläche, 251
2 Ordnung, 226, 230
Gestalt, 230
Invariantenvorzeichen, 230
Mittelpunktsflächen, 230
1 quadratische Fundamentalform, 254
2 quadratische Fundamentalform, 256
abwickelbare, 258
B-B-Darstellung, 962
Darstellung mit Splines, 959
GAUSSsche Krümmung, 257
geodätische Linie 258
geradlinige Erzeugende, 229, 257
Gleichung, 219
Hauptkrümmungskreisradius, 255
Hauptnormalschnitt, 255
Kegelfläche, 220
konstanter Krümmung. 257
Krümmungslinie, 256
Krümmung von Kurven, 255
Linienelement, 253
Metrik, 254
Minimalfläche, 257
mittlere Krümmung, 257
Fläche
FOURIER-Transformaüon
Normalenvektoi, 252
orientierte, 499
Regelfläche, 257
Rotationsfläche, 220
Tangentialebene, 252, 253
transversale, 830
Zylinderfläche, 220
Flächenelement, 254
Ebene, Tabelle, 492
gekrümmte Flächen, 499
Integralrechnung
Tabelle, Ebene, 492
Tabelle, Raum, 499
Parameter form, 498
Vektorkomponenten, 681
Flächenformel, HERONische, 147
Flächengleichung, 219, 230
in Normalform, 226
Raum, 251
Flächeninhalt
ähnlicher ebener Figuren, 137
Doppelintegral, 491
Dreieck
ebenes, 145, 199
ebenes, schiefwinkliges, 147
sphärisches, 169, 172
ebene Flächen, 465
Ellipse, 205
Flächenstück, 254
gekrümmtes Flächenstück, 499
Hyperbel, 208
Kreis, 143
Kreisabschnitt, 144
Kreisringteil, 144
Kreissektor, 144
krummlige Begrenzung, 465
Kurvensektor, 465
Parabel, 210
Parallelogramm, 138, 194
Polyeder, 194
Rechteck, Quadrat, 138
Rhombus, 138
Sehnenviereck, 140
Tangenten viereck, 140
Teilmenge, 655
Vieleck, 199
Flächennormale, 252, 253
Flächenpunkt, 256
elliptischer, 256
hyperbolischer, 257
Kreisfläche, 256
Kreispunkt, 257
Nabelpunkt, 257
parabolischer, 257
singulärer, 252
Flächenstuck, Flächeninhalt, 254
Fluchtlinien-Nomogramm, 128
Fluchtlinientafel, 127, 128
Fluß
Differentialgleichung, 821
Skalarfeld, 685
Vektorfeld
Skalarfluß, 685
Vektorfluß, 686
Folge, 420
beschrankte, 618
Cauchy-, 628
finite, 618
fundamentale, 628
konvergente, 626
metrischer Raum, 626
zu Null konvergente, 618
Form, quadratische
reelle, 289
reelle, positiv definite 290, 920
Formel
binomische, erste, 12
binomische, zweite, 12
Cardano, 41
D'ALEMBERTsche, 556
DuHAMELsche, 745
EuLERsche, 255
FRENETsche, 250
geschlossene. 298
HERONische, 147
KiRCHHOFFsche, 555
Liouville, 518, 826
MOIVRE
Hyperbelfunktionen, 91
komplexe Zahlen, 38
trigonometrische Funktionen, 81
PARSEVALsche, 752
PESlNsche, 845, 851
Plemelj, Sochozki, 613
PoiSSONsche, 556
Rechteck-, 926
RiEMANNsche, 549
Schwarz-Christoffel. 701
Simpson-, 927
STlRLINGsche, 479
TAYLORsche, 405
Formelmanipulation, 983
Formeln, EuLERsche, 437
Fortsetzung
analytische, 714
linearer Funktionale, 645
Fortsetzungssatz von Hahn, 645
FOURIER-Analyse. 437
FOURIER-Entwicklung, 437
Formen, 440
FOURIER-Integral, 441, 747
äquivalente Darstellungen, 747
komplexe Darstellung, 747
FOURIER-Koefnzienten, 437, 954
Bestimmung, 418
numerische Bestimmung, 441
FouRiER-Reihe, 437
BESSEL-Ungleichung, 638
Bestapproximation, 638
HlLBERT-Raum, 638
komplexe Darstellung, 438
FOURIER-Summe, 438, 954
komplexe Darstellung, 956
FOURIER-Transformation, 747
Additionssatz, 751
Fourier- Transformation
Ahnlichkeitssatz, 751
Bildfunktion, 753
Dämpfungssatz, 751
Definition, 748
Differentiation
Bildbereich, 751
Originalbereich, 751
diskrete komplexe, 956
exponentielle, 749 »
Faltung
einseitige, 752
zweiseitige, 736, 752
FOURIER-Kosinus-Transformation, 748
FOURIER-Sinus-Transformation, 748
Integration
Bildbereich, 751
Originalbereich, 752
inverse, 748
Linearitätssatz, 751
schnelle, 955
Spektralinterpretation, 749
Tabellen, 749
Übersicht, 731
Vergleich mit LAPLACE-Transformation, 753
Verschiebungssatz, 751
Fraktal, 845
Fraktil, 775
Frames, 766
FRECHET-Ableitung, 652
FREDHOLMSche
Alternative, 592, 650
Integralgleichung, 583, 629
1 Art, 598
2 Art, 584
Lösungsmethode, 589
Sätze, 589
Fremdpeilung, 177
FRENETsche Formeln, 250
Frequenz, 76, 83
Kreisfrequenz, 83
Frequenzkopplung (frequency locking), 871
Frequenzspektrum, 750
diskretes, 441
kontinuierliches, 441
FRESNELsches Integral, 720
Fundamentalform
1. quadratische der Fläche, 254
2 quadratische der Flache, 256
Fundamentalmatrix, 826-828
Fundamentalsatz
Algebra, 43
elementare Zahlentheorie, 331
Fundamentalsystem, Differentialgleichungen, 518
Funktion
abhängige, 124
absolutintegrierbare, 472, 475
algebraische, 62
analytische, 694
Areafunktion, 92
Arkusfunktion, 85
beschränkte, 51
Bessel-, 527
Funktion
modifizierte, 528
Betafunktion, 1086
BoOLEsche, 296, 356
Cantor-, 871
Definitionsbereich, 48
diskrete, 757
doppelperiodische, 726
eigentlich monotone, 50
eine Veränderliche, 48
Einheits-, 737
elementare
Definition, 62
transzendente, 720
elliptische, 715
EuLERsche, 341
Exponential-, 63, 72
komplexe, 701
Extremwert, 51
Fehlerfunktion, 478
Funktionenreihe, 430
ganzrationale, 62
1 Grades, 64
2 Grades, 64
3 Grades, 64
n-ten Grades, 65
gebrochenlineare, 62, 66
gebrochenrationale, 62, 66
gerade, 51
goniometrische, 76
GREENsche, 550
Grenzwert, 53
im Unendlichen, 54
iterierter, 125
linksseitiger, 54
rechtsseitiger, 54
TAYLOR-Entwicklung, 57
unendlicher, 54
Grenzwertsätze, 55
Größenordnung, 57
Hamilton-, 538, 825
harmonische, 691, 694
Heaviside, 662
holomorphe, 694
homogene, 124
Hyperbelfunktion, 88
hyperbolische, 134
hypergeometrische, 531
integrierbare, 458
inverse, 52
Ableitung, 398
Ableitung höherer Ordnung, 402
Existenz, 61
Hyperbelfunktion, 92
trigonometrische, 63, 85
irrationale, 63, 71
Komplement, 382
komplexe, 48, 693
beschränkte, 695
gebrochen lineare, 698
lineare, 697
quadratische, 699
Quadratwurzel, 700
komplexer Veränderlicher, 693
Funktion
komplexwertige, 48
Kosekans 78
Kosinus 76
Kotangens, 77
Kugel-
L Art, 529
2 Art, 530
Kugelflächen-, 564
Lagrange, 888
LAPLACEsche, 691
lineare, 62, 64
logarithmische, 63, 73
Logarithmus, komplexe Funktion, 701
lokalsummier bare, 660
Lyapunov-. 827, 828
MACÖONALDsche, 528
mehrerer Veränderlicher 48, 120
meromorphe, 715, 726, 742
meßbare, 657
mittelbare
Ableitung, 397
Zwischenveränderliche, 397
Mittelwert, 461
monoton
fallende, 50
wachsende, 50
nichtelementare, 62
Parameterdarstellung
Ableitung höherer Ordnung, 402
periodische, 52, 739
positiv homogene, 578
Potenzfunktion. 71
quadratische, 62
reelle, 48
reguläre, 694
RlEMANNsche, 548
Sekans, 78
Sinus, 76
Sprung-, 737
Stetigkeit, 58
einseitige, 59
im Intervall, 59
stückweise, 59
Stichprobenfunktion, 794
streng monotone, 50
stückweise stetige, 58
STURMsche, 44
Summe aus linearer u gebrochenlinearer Fkt ,
summierbare, 657
Tangens, 77
transzendente, 63
trigonometrische, 63, 76, 133
Umkehrfunktion, 52
unabhängige, 124
ungerade, 51
Unstetigkeitsstelle, 58
endlicher Sprung, 59
hebbare Unstetigkeit, 59
Verlauf ins Unendliche, 59
verallgemeinerte. 660. 661. 740
Verteilungsfunktion, 774
Wahrheitsfunktion, 295, 296
WEBERsche, 527
Wertebereich, 48
Zufallsgrößen, 774
zusammengesetzte, 63
zyklometrische, 85
Zylinder-, 527
Funktion, elliptische, 453, 726
Amplitudenfunktion, 726
JACOBI-Funktion, 726
Thetafunktion, 727
WEIERSTRASSSche, 728
Funktion, komplexe
algebraische, 720
elementare, transzendente, 720
inverse, trigonometrische, 722
trigonometrische, 721
Funktional 574, 639
Definition, 48
lineares, 329, 620. 621
stetiges, 643
stetiges im L;,-Raum. 644
Funktionaldeterminante. 274, 490, 653
Funktion mehrerer Veränderlicher, 124
Funktionalmatrix, 653
Funktionaloperator. 1007
Funktionensystem
orthogonales, 947
orthonormiertes, 948
Funktionentheorie, 693
Funktionsbegriff. 48
Funktionsgraph, 48
Funktionspapier
Begriff 118
doppelt logarithmisches, 118
einfach logarithmisches, 118
reziproke Skala, 118
Fuzzy
Inferenz. 386
Linguistik, 375
Logik. 374
Regelung, 389
Relation, 383
Relationenprodukt, 385
Relationsmatrix. 384
System, 392
Systeme. Anwendungen, 389
Wertigkeit, 383
Fuzzy-logisches Schließen, 386
Fuzzy-Menge
Ähnlichkeit, 378
Durchschnitt, 378
Höhe, 378
Komplement, 378
leere, 377
normale, 378
Schnitt, 378
Darstellungssatz, 378
subnormale, 378
Teilmenge, 377
Toleranz, 377
Träger, 374
universelle, 377
Vereinigung, 378
Fuzzy-Menge
Gleichung
Verkettung, 385
Verknüpfung, 378
Verknüpfungsoperator, 385
Fuzzy-Mengen
Durchschnitt, 379
Schnitt-Mengen, 379
Vereinigung, 380
GABOR-Transformation, 766
GALERKIN-Verfahren, 936
Galois field, 325
Gammafunktion, 476, 478, 1093
Ganzzahligkeitsforderung, 874
Gauss
Schritt, 284
Transformation, 285, 806, 921
GAUSS-KRÜGER-Koordinaten, 166
GAUSS-NEWTON-Verfahren, 924
ableitungsfreies, 925
GAUSSsche
Fehlerquadratmethode, 921, 947
Einordnung, 418
Glockenkurve, 73, 782
Koordinaten, 251
Krümmung, Fläche, 257
Summensymbolik, 948
Zahlenebene, 35
GAUSSscher
Algorithmus, 284, 918
Integralsatz, 687
GAUSSsches
Eliminationsprinzip, 284
Eliminationsverfahren, 918
Fehlerfortpfianzungsgesetz, 818
Fehlerintegral, 478, 782
Gauss-Seidel-Verfahren, 922
Gebiet, 121
abgeschlossenes, 121
drei- und mehrdimensionales, 121
einfach zusammenhängendes, 121, 709
mehrfach zusammenhängendes, 121
nicht zusammenhängendes, 121
offenes, 121
zweidimensionales, 121
zweifach zusammenhängendes, 121
Gebietskollokation, 940
Gebietsmethode, 939
Geburtsprozeß, 792
Gegenkathete, 133
Gegenpunkt, 163
GENAU DANN, WENN, 295
Genauigkeit, 812
Genauigkeitsmaß, 812
Generizitat, 839
metrische, 854
Geometrie, 131
analytische, 185
Ebene, 195
Raumes, 213
Differentialgeometrie, 232
Gerade, 64, 131
Gleichung
Ebene, 199
Raum, 223
imaginäre, 211
Raum, 154, 223
Vektorgleichung, 193
Geraden
Gleichung, 223
kreuzende, 154
orthogonale, 131, 202
parallele, 131, 154, 202
Schnittpunkt, Ebene, 201
senkrechte, 131, 202
windschiefe, 154
Winkel zwischen, 202
Geradenbüschel, 201
Geradengleichung
Ebene, 199
Achsenabschnittsform, 200
allgemeine, 200
durch einen Punkt, 200
durch zwei Punkte, 200
HESSEsche Normalform, 200
Polarkoordinaten, 201
im Raum, 223
Richtungskoeffizient, Ebene, 200
Geradenpaar, Transformation, 211
Gerüst, 367, 368
Gesamtschritt ver fahren, 922, 923
Gesetz der großen Zahlen, 787
Gewicht
Messung, 817
Orthogonalität, 533
statistisches, 776
Gewichtsfaktor, statistischer, 813
ggT und kgV, Zusammenhang, 334
Girard, Satz, 169
Gitter
Bravais-Gitter, 320
Kristallographie, 320
Gitterpunkt (bei Splines), 961
Glättungsparameter, 960
Gleichheit
asymptotische, 435
komplexe Zahlen, 35
Matrizen, 262
Vektoren, 185
Gleichheitsbeziehung, Identität, 10
Gleichung, 10
1 Art, 650
1 Grades, 39
2 Art, 650
2 Grades, 40
3 Grades, 40
4 Grades, 42
algebraische, 38, 43
charakteristische, 286, 511, 520, 523
definierende, 526
DiOPHANTische, 335
Ebene
allgemein, 220
im Raum, 220
Ellipse, 204
Exponentialgleichung, Lösung, 46
Fläche, 219
Gleichung
Grenzwert
2 Ordnung, 230
im Raum, 251
Normalform, 226
Gerade
Ebene, 199
im Raum. 223
Grad, 39
homogene, 650
Hypeibel, 206
Hyperbelfunktion, Lösung, 47
inhomogene, 650
KORTEWEG-DE VRIES, 568
Kreis, 202
kubische, 40, 64
Kugel, 251
Kurve
2 Ordnung, 210
Ebene, 199, 232
Lösung, 38
lineare, 39
logarithmische, Lösung, 46
logistische, 822, 863
nichtlineare, numerische Lösung, 911
Normal form, 38
n-ten Grades, 43
Operatorengleichung, 650
Parabel, 209
PARSEVALsche, 438, 534, 600, 638
quadratische, 40, 64
Raumkurve, 220, 245
Vektorform, 246
SCHRÖDINGER
lineare, 557
nichtlineare, 567, 569
Sinus-GORDON, 569
Systeme, 39
Termalgebra, 354
transzendente, 38
trigonometrische, Lösung, 46
vektorielle. 192
Wurzel, 38
Gleichungen
DELAMBREsche, 172
L'HuiLiERsche, 172
MOLLWElDEsche, 146
NEPERsche, 172
Gleichlingssystem
gestaffeltes, 284, 918
homogenes, 280
inhomogenes, 280
lineares, 279, 280, 917
Austauschverfahren, 282
Fundamentalsystem, 281
triviale Lösung, 281
überbestimmtes, 285, 920
nichtlineares, 917, 923
numerische Lösung, 917
direktes Verfahren, 917
Iterationsverfahren, 918
überbestimmtes, 917
unterbestimmtes. 917
Gleitpunktzahl, 966, 967
halblogarithmische Form, 967
IEEE-Standard, 967
Maple, 1000
Mathematica, 987
Goldener Schnitt, 198
Goldenes Mittel, 871
Grad (Winkel)
Altgrad, 133
Neugrad, 133
Gradient
Definition 671
Hinweis, 671
mit Nablaoperator, 677
Skalarfeld, 671, 672
Vektorkomponenten, 680
verschiedene Koordinaten, 672
Gradientenverfahren, 581, 895
Gradmaß, 133
Graeffe Verfahren, 917
GRAM-ScHMiDTsches Orthogonalisierungsverfahren, 288
Graph
Baum, 362
bewerteter, 364
Bogen, 361
ebener, 362, 370
Funktionsgraph, 48
gemischter, 361
gerichteter. 361
Isomorphie, 362
Kante, 361
Knoten, 361
Komponenten, 364
Kreis, 371
nichtplanarer, 370
paarer, 362
planarer, 370
regulärer, 362
schlichter, 361
spezielle Klassen, 362
stark zusammenhängender, 371
Strom, 372
Transportnetz, 362
unendlicher, 362
ungerichteter, 361
Untergraph, 363
Unterteilung, 370
vollständig paarer, 362
vollständiger, 362
zusammenhängender, 364, 371
Zyklus 371
Graphentheorie, Algorithmen, 361
Gravitationsfeld, Punktmasse, 690
GREENsche
Funktion. 550
Integralsätze, 688
Methode, 550, 551
Grenzpunkt, 244
Grenzwert
bestimmtes Integral, 457
Folge im metrischen Raum, 626
Funktion
einer Veränderlichen, 53
komplexer Veränderlicher, 693
mehrerer Veränderlicher, 125
Grenzwert
Höhenwinkel
Funktionenreihen, 430
Partialsummen, 430
Reihe, 422
Zahlenfolge, 421
Grenzwertsatze
Funktionen, 55, 421
Zahlenfolgen, 421
Grenzwertsatz
BERNOULLlscher, 787
Lindeberg-Levy,788
Grenzzyklus, 830, 859
instabiler, 830
stabiler, 830
Größe, infinitesimale, 458, 464
Größenordnung, Funktion, 57
größter gemeinsamer Teiler (ggT), 333
Linearkombination, 334
Großkreis, 163, 179
Grundaufgaben
ebene Trigonometrie, 147
sphärische Trigonometrie, 173
Grundformeln
ebene Trigonometrie, 145
sphärische Trigonometrie, 169
Grundgesamtheit, 793
zweistufige, 777
Grundgesetze
Aussagenlogik, 296
Mengenalgebra, 302
Grundintegrale
Begriff, 445
Tabelle, 445
Grundvektor, 191
reziproker, 191
Gruppe, 309
ABELsche, 309
Diedergruppe, 309
Faktorgruppe, 312
Homomorphiesatz, 312
Untergruppe, 310
Gruppenhomomorphismus, 312
Gruppenisomorphismus, 312
Gruppentafel, 309
Gruppieren, 11
Häufigkeit, 771, 796
absolute, 796
relative, 771, 796
Summenhäufigkeit, 796
Häufigkeitsverteilung, 796
Häufungspunkt, 627
Hakenintegral, 719
Halbgruppe, 308
Halbnorm, 645
Halbordnung, 307, 621
Halbparameter, 204
Parabel, 71
Halbseitensatz, 170
Halbwinkelsatz
ebene Trigonometrie, 82, 146
sphärische Trigonometrie, 170
HAMEL-Basis, 619
Hamilton
Differentialgleichung, 825, 839, 867
Funktion, 538, 825
Kreis, 366
Operator, 558
System, 839
Hamiltonian, 558
HAMMING-Abstand, 625
HANKEL-Transformation, 731
Harmonische Analyse, 945
HASSE-Diagramm, 307
Hauptachsenrichtung, 273
Hauptachsentransformation, 272, 289
Hauptaufgabe
1 , der Triangulierung, 151
2 , der Triangulierung, 152
Hauptgröße, 11
Hauptideal, 324
Hauptkrummungskreisradius, Fläche, 255
Hauptkrümmungsrichtung, Fläche, 255
Hauptnormale, Raumkurve, 246, 248
Hauptnormalschnitt, Fläche, 255
Hauptsatz
Funktionentheorie, 710
homogene lineare Differentialgleichungen, 826
inhomogene lineare Differentialgleichungen, 826
Integralrechnung, 458, 475
Hauptwert
Argument der komplexen Zahl, 35
Arkusfunktionen, 85
CAUCHYscher, 474
Integral, uneigentliches, 471
inverse Hyperbelfunktion, 722
inverse trigonometrische Funktion, 722
Logarithmus, 721, 722
HAUSDORFF-Dimension, 846
Heaviside
Einheitsfunktion, 737
Entwicklungssatz, 741
Funktion, 662
HELMHOLTZsche Differentialgleichung, 559
HENON-Abbildung, 822, 836
HENON-Attraktor, 849
HERMlTEsche Polynome, 532, 565, 637
HESSE-Matrix, 895
HESSEsche Normalform
Ebenengleichung, 221
Geradengleichung, Ebene, 200
Hexadezimalsystem, 965
Hexadezimalzahl, 965
HlLBERT-Matrix, 1020
HiLBERT-Raum, 636
isomorpher, 639
Skalarprodukt, 635
Histogramm, 796
Hodograph, Vektorfunktion, 663
Höhe
Dreieck, 135
Kegelfiguren, 160
Kugelteile, 161
Polyederfiguren, 156
Zylinderfiguren, 159
Höhenlinie, 121
Höhenwinkel, 148
HOLDER Stetigkeit
Integral
Holder Stetigkeit, 612
HÖLDERsche Ungleichung, 32
Hohlzylinder. 160
Holladay, Satz, 959
Holoedrie, 321
Homöomorphismus, 834
konjugierender, 837
orientierungstreuer, 870
Homogenitätsgrad, 124
Homomorphiesatz, 353
Gruppen, 312
Ring, 324
Homomorphismus, 312, 353, 621
Algebren, 634
natürlicher, 312, 324
Ring, 324
Vektor verbände, 623
HOPF-Bifurkation, 857
HOPF-LANDAU-Modell der Turbulenz, 868
HORNER-Schema, 914, 966
zweizeiliges, 915
HOUSEHOLDER
Tridiagonalisierung, 291
Verfahren, 286, 948
Hülle
abgeschlossene lineare, 636
konvexe. 619
lineare, 617
transitive, 305
Hufeisen-Abbildung, 850
L'HuiLlERsche Gleichungen, 172
Hyperbel, 206
Asymptoten, 207
Binom, 71
Brennpunkt, 206
Brennpunktseigenschaften, 206
Definition, 206
Durchmesser, 207
Flächeninhalt, 208
gleichseitige, 66, 208
Halbparameter, 206
konjugierte, 207
Krümmungskreisradius, 208
Leitlinieneigenschaft, 206
Scheitel, 206
Tangente, 207
Tangentenstück, 207
Transformation, 211
Hyperbelbogen, 208
Hyperbelfunktion, 133, 134
komplexe, 721
inverse, 722
Hyperbelgleichung, 206
Hyperbelkosekans, 88
Hyperbelkosinus. 88
Hyperbelkotangens, 88
Hyperbelsegment, 208
Hyperbelsekans, 88
Hyperbelsinus, 88
Hyperbeltangens, 88
Hyperboloid, 226
einschaliges, 226. 229
Mittelpunksfläche, 230
zweischaliges, 227
Mittelpunksfläche, 230
Hyperebene, 645
Hyperfiäche, 121
Hyperteilraum, 645
Hypotenuse, 133
Hypotrochoide, 105
Hypozykloide, 104
verkürzte, 105
verlängerte, 105
Ideal, 324
Hauptideal, 324
Idempotenzgesetz
Aussagenlogik, 296
BoOLEsche Algebra, 355
Mengen, 302
identisch erfüllt, 11
Identität, 10
BoOLEsche Funktion, 357
LAGRANGEsche, 190
IEEE-Standard, 967
Ikosaeder, 158
Imaginärteil, 34
imaginäre
Einheit, 34
Zahlen, 34
Immersion, 853
Implikation, 295
Beweisführung, 5
implizite Darstellung, 49
Impulsfunktion, 737
Individuenbereich, 298
Induktionsschluß, 5
Infimum, 623
infinitesimal, 458
Infixschreibweise, 308
Informationsdimension, 848
Inkommensurabilität, 4, 830
Inkreis, 135
Dreieck, ebenes, schiefwinkliges. 146
Tangentenviereck, 140
Inkrement, 409
Innenproduktraum, 635
Instabilität
Rundungsfehler, numerische Rechnung, 971
Integrabilität
Differential, 485
vollständige, 540
Integrabilitätsbedingung, 485, 486, 683
Integral
absolut konvergentes, 475
elementare Funktionen, 445
EuLERsches. 476, 478
FOURIER-Integral, 441, 747
FRESNELsches. 720
komplexe Funktion, 657
Kurvenintegral, 479
LEBESGUE-Integral, 657
Vergleich mit RlEMANN-Integral, 470
Linienintegral, 479
nichtelementare Funktionen. 448
nichtelementares, 477
Integral
Integraltransformation
Oberflächenintegral, 496
Parameterintegral, 476
RlEMANNsches, 458
Vergleich mit STIELTJES-Integral, 470
singuläres, 510
Stammfunktion, 444
STIELTJES-Integral
Begriff, 470
Hinweis, 648
Vergleich mit RlEMANN-Integral, 470
Umlaufintegral, 479, 485
Integral, bestimmtes, 457
Begriff, 444
Differentiation, 460
Tabelle, 1086
algebraische Funktionen, 1089
Exponentialfunktionen, 1087
logarithmische Funktionen, 1088
trigonometrische Funktionen, 1086
Integral, elliptisches, 453
1 Gattung, 448, 453, 725
2 Gattung, 453
3 Gattung, 453
bestimmtes, 454
Reihenentwicklung, 479
unbestimmtes, 453
unvollständiges, 454
vollständiges, 454
Integral, komplexes
bestimmtes, 707
unbestimmtes, 708
Integral, unbestimmtes, 444
andere transzendente Funktionen
Tabelle, 1080
Begriff, 445
elementare Funktionen, 445
Tabelle, 1053
Exponentialfunktionen
Tabelle, 1081
Grundintegrale, 445
Hyperbelfunktionen
Tabelle, 1080
inverse Hyperbelfunktionen
Tabelle, 1085
inverse trigonometrische Funktionen
Tabelle, 1084
irrationale Funktionen
Tabelle, 1060
Kosinusfunkt ionen
Tabelle, 1073
Kotangensfunktion
Tabelle, 1079
logarithmische Funktionen
Tabelle, 1082
Sinus- und Kosinusfunktionen
Tabelle, 1075
Sinusfunktionen
Tabelle, 1070
Tabelle Grundintegrale, 445
Tabellen, 1053
Tangensfunktion
Tabelle, 1079
trigonometrische Funktionen
Tabelle, 1070
Integral, uneigentliches, 457
Begriff, 470
divergentes, 473
Hauptwert, 471, 474
konvergentes, 471, 473
Integralexponentialfunktion, 478
Tabelle unbestimmte Integrale, 1081
Integralfläche, 536
Integralformel
CAUCHYsche, 711
Gauss, 687
Integralgleichung
1 Art, 583
2 Art, 583
ABELsche, 611
ausgearteter Kern, 584, 598
charakteristische, 612
Eigenfunktion, 585
Eigenwert, 585
FREDHOLMsche, 629
1 Art, 598
2 Art, 584
homogene, 583
inhomogene, 583
Iterationsverfahren, 587
iteratives Verfahren, 604
lineare, 583
quadratische Integrierbarkeit, 599
singulare, 611
transponierte, 585, 612
VOLTERRAsche, 630
1 Art, 583, 605
2 Art, 605
Integralgleichungen, Orthogonalsystem, 599, 603
Integralkosinus, 477
Integralkriterium, Cauchy, 425
Integralkurven, 505, 822
Integrallogarithmus, 448, 477
Tabelle unbestimmte Integrale, 1082
Integralnorm, 660
Integralrechnung, 444
Hauptsatz, 458, 475
Mittelwertsatz, 461
Integralsatz, 687
Cauchy, 710
Gauss, 687
Green, 688
Stokes, 687
Integralsinus, 477, 719
Integraltransformation, 730
Anwendung, 732
Bildbereich, 730
CARSON-Transformation, 731
Definition, 730
eine Veränderliche, 730
FOURIER-Transformationen, Übersicht, 731
GABOR-Transformation, 766
HANKEL-Transformation, 731
Kern, 730
LAPLACE-Transformation, Übersicht, 731
Linearität, 732
Integraltransformation
Kantenfolge
mehrere Veränderliche, 732
Mehrfach-Integraltransformation, 732
MELLIN-Transformation, 731
Operatorenmethode, 732
Originalbereich, 730
schnelle Wavelet-Transformation, 766
spezielle, 730
Stieltjes- Transformation, 731
WALSH-Transformation, 767
Wavelet-Transformation, 763, 765
Integrand, 445
Integraph, 464
Integration
allgemeine Regel, 445
Funktion, nichtelementare, 477
graphische, 449, 463
im Komplexen, 707, 717
Intervallregel, 460
Konstantenregel, 445
logarithmische, 447
mit Hilfe von Reihenentwicklung, 448
numerische, 925
mehrfache Integrale, 930
partielle, 448
rationale Funktionen, 449
Reihenentwicklung, 462, 477
Substitutionsmethode, 448
Summenregel, 446
unter dem Integralzeichen, 476
Vektorfelder, 681
Vertauschungsregel, 461
Volumen, 467
Integrationsgrenze, 458
obere, 458
parameterabhängige, 476
untere, 458
Integrationsintervall, 458
Integrationskonstante, 445
Integrationsregeln
bestimmte Integrale, 458
unbestimmte Integrale, 447
Integrationsvariable, 458
Begriff, 445
Integrationsweg, 480
Integrierbarkeit
p-fache, 659
quadratische, 599
integrierender Faktor, 507
Intensität, Quelle, 690
Intermittenz, 865, 869
Internationale Standard-Buchnummer ISBN, 342
Interpolation
Aitken-Neville, 946
Fuzzy-Systeme, 392, 393
Spline, 945
trigonometrische, 945, 954, 955
wissensbasierte, 392
Interpolationsbedingung, 945
Interpolationsformel
LAGRANGEsche, 945
NEWTONsche, 945
Interpolationsquadratur, 926
Interpolationssplines, 959
bikubische, 961
kubische, 959
Interpretation, Ausdruck, 298
Intervall, 2, 796
Null (O)-Intervall, 622
Intervallregel, 460
Invariante, 728
Fläche 2 Ordnung, 231
Kurve 2 Ordnung, 211
skalare, 190, 218
Invarianz
Drehungsinvarianz, 273
Transformationsinvarianz, 273
Translationsinvarianz, 273
Inverse, 621
Inverses, Gruppenelement, 309
Inversion
kartesisches Koordinatensystem, 277
konforme Abbildung, 698
Raum, 277
Involute, 244
Inzidenzfunktion, 361
Inzidenzmatrix, 363
Irrationalität
algebraische, 2
quadratische, 2
Irrfahrtsprozesse, 809
Irrtumswahrscheinlichkeit, 776, 799
Isometrie, Raum, 631
Isomorphie
Graphen, 362
Vektorräume, 621
Isomorphismus, 312, 353
BoOLEsche Algebra, 356
Iteration, 911
inverse, 291
Iterationsverfahren, 291, 911, 918, 922
gewöhnliches, 911, 923
JACOBI
Determinante, 653
Funktion, 726
Matrix, 653, 924
dynamische Systeme, 822
Verfahren, 291, 922
Jacobian, 653
Jordan
Matrix, 290
Normalform, 290
Junktor, 295
KAM-Theorem, 839
kanonisches System, 537
Kante, Figur, 155
Kante, Graph, 361
Bewertung, 364
Länge, 364
Kantenfolge, 364
Elementarkreis, 364
geschlossene, 364
Kreis, 364
offene, 364
Weg, 364
Kantenwinkel
Komplementfunktion
Kantenwinkel. 155
Kapazitätsdimension, 847
Kapazität, Bogen, 372
Kardinalzahl, 300, 307
Kardioide. 99
kartesisches Blatt, 96
Kaskade. Periodenverdopplungen, 865, 869
Kategorie, 2 BAlREsche, 839
Katenoide, 89, 108
KDNF, 358
Kegel. 160, 227, 634
erzeugender, 622
imaginärer, 230
Mittelpunktsfläche, 230
normaler. 634
regulärer. 634
solider, 634
Vektorraum, 620
Kegelfläche. 160, 220
Kegelpunkt, 252
Kegelschnitte, 161, 210, 212
zerfallende, 212
Kegelstumpf, gerader. 160
Keil. 158
Keilwinkel, 166
Kennzahl. 10
Ker. 621
ker, 354
Kern. 312
Homomorphismus, 354
Integralgleichung, 584
ausgearteter, 584, 595
iterierter, 588. 607
lösender 588, 590
Integraltransformation, 730
Kongrucnzrelation, 354
Operator, 621
Ring, 324
Unterraum, 328
Kernapproximation
Integralgleichungen, 594
Spline-Ansatz, 595
Tensorprodukt-Approximation, 595
Kette, 307
Graph, 371
elementarer, 371
MARKOFFsche, 789
homogene, 789
stochastische, 788
STURMsche, 44
Kettenbruch, 3
Kettenlinie, 89, 108, 576
Kettenregel, 664
mittelbare Funktion, 397
Kink-Soliton, 570
KlRCHHOFFsche Formel, 555
KKNF, 358
Klasse
gleichungsdefinierte 354
Meßwerterfassung, 796
Klassenmitte, Meßwerterfassung, 797
Kleinkreis, 163, 180
Bogenlänge, 181
Kurswinkel, 181
Radius, ebener, 180
Radius, sphärischer, 180
Schnittpunkte. 181
KLElNsche Vierergruppe, 311
kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV), 334
Klothoide, 107
Knickpunkt, 240
Knoten. 833
Abstand, 364
Approximationsintervalle, 959
dreifach zusammengesetzter, 859
Graph, 361
isolierter, 361
Niveau. 367
Quelle. 372
Sattelknoten, 828, 833
Senke, 372
stabiler, 828
Knotenebene, 561
Knotengrad, 361
Knotenpunkt, 511
KoCHsche Kurve, 847
Kodierung, 347
Kodimension, 856
Koeffizient, 39
algebraischer Ausdruck, 11
Clebsch-Gordan, 316
metrischer, 191
Vektorzerlegung, 187
Koeffizientenmatrix, 280
erweiterte, 281, 919
Körper, 323
endliche, 324
Erweiterung, 323
Er weiter ungs-, 326
Kollinearität Vektoren. 189
Kollokation
Gebietskollokation 940
Randkollokation, 940
Kollokationsmethode, 596, 936, 940
Kollokationsstellc 936, 940
Kombination, 768
mit Wiederholung, 768
ohne Wiederholung, 768
Kombinatorik, 768
Kommensurabilität, 4
Kommutativgesetz
Aussagenlogik, 296
BooLEsche Algebra, 355
Matrizen, 262, 263
Mengen, 302
Vektoren 263
Vektormultiplikation, 189
Kommutator, 329
Komplement, 301
algebraisches, 267
Mengen, 301
orthogonales, 636, 644
Sugeno- Komplement, 383
unscharfe Mengen. 378
YAG ER-Komplement, 383
Komplementfunktion, 382
Komplementsätze
Koordinatensystem
Komplementsätze, 80
Komplementwinkel, 132
komplexe Zahlen, 34
Komplexifikation, 621
Konchoide
allgemeine, 98
der Geraden, 98
des Kreises, 98
des Nikodemes, 97
Konditionszahl, 921
Konfidenzbereich, 804
Konfidenzintervall, 804
Kongruenz
algebraische, 337
ebener Figuren, 136
Ecken, 155
gleichsinnige, 136
lineare, 338
nichtgleichsinnige, 136
Polynomkongruenz, 340
quadratische, 339
simultane lineare, 338
System simultaner linearer, 338
Kongruenzmethode, 807
Kongruenzrelation, 353
Kern, 354
Kongruenzsätze, 136
Kongruenztransformation, 136
konjugiert komplexe Zahlen, 36
Konjugiertheit, topologische, 837
Konjunktion, 295
konkav, 235
Konklusion, 386
Konsistenz, 934
Ordnung p, 934
Konstante
aussagenlogische, 295
EuLERsche, 477
in Polynomen, 62
Tabelle, 1041
Konstanten
fundamentale physikalische, Tabelle, 1041
Konstantenregel, 395
Kontinuum, 308
Kontonummernsystem, einheitl., EKONS, 342
Kontradiktion, BoOLEsche Funktion, 357
Kontraktionsprinzip, 628, 629
Kontrapositionsgesetz, 297
Konvergenz, 934
absolute, 425, 432, 712
BANACH-Raum, 632
bedingte, 425, 712
gleichmäßige, 431, 432
Funktionenfolgen, 626
im Mittel, 438
Integralkriterium, 425
Konvergenzsatze, 422
Ordnung p, 934
Quotientenkriterium, 424
Reihe, 423, 425
Reihe, komplexe Glieder, 711
schwache, 649
unendliche Reihe, komplexe Glieder, 712
ungleichmäßige, 431
Vergleichskriterium, 423
WEIERSTRASS-Kriterium, 431
Wurzelkriterium, 424
Zahlenfolge, 421
komplexe Glieder, 711
Konvergenzbereich, 430
Konvergenzintervall, 432
Konvergenzkreis, 712
Konvergenzkriterium
Cauchy, 53, 125
Integralkriterium, 425
LEiBNizsches, 426
Quotientenkriterium, 424
Vergleichskriterium, 423
Wurzelkriterium, 424
Konvergenzordnung, 934
Konvergenzradius, 432
Konvergenzsätze, 658
Konvertierung, Zahlensysteme, 965
konvex, 235
Koordinaten
affine, 188, 191
baryzentrische, 944
DESCARTESsche, 195
Dreieckskoordinaten, 944
GAUSSsche, 251
Gauss-KrÜGER, 165
gemischte, 275
Geodäsie, 148
geographische, 165
kartesische, 187, 191, 196
Ebene, 195
Raum, 214
kontravariante, 193
kovariante, 193
krummlinige, 195, 251, 274
dreidimensionale, 215
Kugelkoordinaten, 215
Polarkoordinaten, 195, 196
räumliche, 215
Punkt, 195
rein kontravariante, 276
rein kovariante, 276
Soldner, 165
Vektor, 187
verzögerte, 853
vorauseilende, 853
Zylinderkoordinaten, 215
Koordinatenachse, 195
Koordinatendarstellung
Skalarfelder, 665
Vektorfelder, 667
Koordinatenfläche, 215, 274
Koordinatengleichung
ebene Kurve, 199
Raumkurve, 248
Koordinateninversion, 277
Koordinatenlinie, 215, 274
Koordinatensystem
doppelt logarithmisches, 118
Ebene, 195
einfach logarithmisches, 118
Koordinatensystem
Kryptologie, klassische
Gauss-Krüger, 148
linkshändiges, 213
orthogonales, 186
orthonormiertes, 186
Raum, 213
rechtshändiges, 213
SOLDNERsche, 148
Transformation, 270
Koordinatentransformation, 196, 217, 275, 668
Kurvengleichungen 2 Ordnung
Mittelpunktskurven, 211
parabolische Kurven, 212
Koordinatenursprung
Ebene, 195
Raum, 214
Korrektor 933
Korrekturform, 923
Korrelation, lineare, 802
Korrelationsanalyse, 802
Korrelationsdimension. 848
Korrelationskoeffizient. 803
empirischer, 803
Korrelationssumme, 848
KORTEWEG-DE-VRIES-Gleichung, 567
Kosekans, 78
hyperbolicus, 88
Kosekansfunktion, 133
Kosinus, 76
hyperbolicus, 88
Kosinusfunktion, 133
hyperbolische, 134
Kosinussatz, 146
polarer, 169
sphärischer, 169
Kotangens, 77
hyperbolicus, 88
Kotangensfunktion, 133
Kovarianz, zweidimensionale Verteilung, 803
Kredit, 22
Kreis
apollonischer, 704
Definition, 142, 202
Ebene, 202
gefährlicher. 153
Graph, 371
Großkreis, 163, 179
Hamilton, 366
Kleinkreis, 163, 180
Tangente 203
Kreisabbildung, 869, 871
Kreisabschnitt, 144
Kreisausschnitt. 144
Kreisfeld, 667
Kreisfiguren, ebene, 142
Kreisflächenpunkt, 256
Kreisfläche, 142
Kreisfrequenz, 83
Kreisfunktion, 133
Kreisgleichung
kartesische Koordinaten, 202
Parameterdarstellung, 203
Polarkoordinaten, 203
Kreiskegel, 160
Kreislinie, 142
Kreisperipherie, 142
Kreispunkt, 257
Kreisring, 144, 161
Kreissegment, 144
Kreissektor, 144
Kreistonnenkörper, 162
Kreisumfang, 142
Kreiszylinder, 159
Kristallklassen. 321
Kristallographie
Gitter, 320
Symmetroegruppen. 320
Kristallsysteme, 321
Kriterien
Funktionenreihen, 430
Konvergenz von Reihen, 422
Konvergenz von Zahlenfolgen, 421
Teilbarkeit, 332
KRONECKER
Produkt, 266
Symbol, 261, 273
Krümmung
ebene Kurve, 236
Fläche, 255, 257
konstanter Krümmung, 257
GAUSSsche Fläche, 257
Kurven auf einei Fläche, 255
minimale Gesamtkrümmung. 959
mittlere der Fläche, 257
Raumkurve, 248
Totalkrümmung, 250
Krümmungskreis, 237
Krümmungskreismittelpunkt, 237
Krümmungskreisradius, 237
ebene Kurve, 236
Extremale, 578
Kurve, 236
Kurven auf einer Fläche, 255
Raumkurve 249
Krümmungslinie, Fläche, 256
Kryptoanalysis, klassische
Methoden, 349
KASISKI-FRIEDMAN-Test, 349
statistische Analyse, 349
Kryptologie, 346
AES-Algorithmus. 352
Aufgabe, 346
DiFFiE-HELLMAN-Konzept, 350
Einwegfunktionen. 351
IDEA-Algorithmus, 352
Kryptosystem, 346
mathematische Präzisierung, 346
One-Time-Tape, 350
RSA-Verfahren, 351
Sicherheit von Kiyptosystemen, 347
Verfahren mit öffentlichem Schlüssel, 350
Verschlüsselung
kontextfreie, 346
kontextsensitive, 346
Kryptologie, klassische
Methoden, 347
affine Substitutionen, 348
Kryptologie, klassische
Kurve
HiLL-Chiffre, 348
Matrixsubstitutionen, 348
VlGENERE-Chiffre, 348
Substitution, 347
monoalphabetische, 347
monographische, 347
polyalphabetische, 347
polygraphische, 347
Transposition, 347
Kuan, 366
Kubikwurzel, 8
Kugel, 161
als Ellipsoid, 226
Gleichung in drei Formen, 251
metrischer Raum, 626
Kugelabschnitt, 161
Kugelausschnitt, 161
Kugelfeld, 664
Kugelflächenfunktion, 564
Kugelfunktion
1 Art, 529
2 Art, 530
Kugelkoordinaten, 215
Vektorfeld, 668
Kugelschachtelungssatz, 628
Kugelschicht, 161
Kugelzweieck, 166
KUHN-TUCKER-Bedingungen, 889
Hinweis, 646
KURATOWSKI-Satz, 371
Kursgleiche, 182
Kurswinkel, 164
Kurve
3 Ordnung, 67, 95
4 Ordnung, 97
Abbrechpunkt, 240
algebraische, 95, 199
n-ter Ordnung, 241
ARCHiMEDische Spirale, 105
Areakosinus, 92
Areakotangens, 93
Areasinus, 92
Areatangens, 93
Arkuskosinus, 85
Arkuskotangens, 85
Arkussinus, 85
Arkustangens, 85
Astroide, 104
Asymptote, 238, 241
asymptotischer Punkt, 240
B-B-Darstellung, 962
CASSiNische, 100
Darstellung mit Splines, 959
Doppelpunkt, 240
ebene, 232
Bogenelement, 233
Normale, 233
Richtung, 232
Scheitelpunkt, 239
Tangente, 233
Winkel, 235
empirische, 109
Enveloppe, 244
Epitrochoide, 105
Epizykloide, 103
Evolute, 244
Evolvente, 244
des Kreises, 107
Exponentialkurve, 72
Punktion, 48
GAUSSsche Glockenkurve, 73, 782
gedämpfte Schwingungen, 84
Gleichung
Ebene, 199
Raum, 220
Hyperbelkosinus, 89
Hyperbelkotangens, 90
Hyperbelsinus, 89
Hyperbeltangens, 90
hyperbolische Spirale, 106
hyperbolischer Typ, 70, 72
Hypotrochoide, 105
Hypozykloide, 104
imaginäre, 199
Involute, 244
isolierter Punkt, 240
Kardioide, 99
kartesisches Blatt, 96
Katenoide, 108
Klothoide, 107
Knickpunkt, 240
KoCHsche, 847
Konchoide des Nikodemes, 97
konkave, 235
konvexe, 235
Kosekans, 78
Kosinus, 76
Kotangens, 77
Krümmung, 236
Krummungskreisradius, 236
Länge, Kurvenintegral 1 Art, 482
Lemniskate, 101
logarithmische, 73
logarithmische Spirale, 106
LORENTZ-Kurve, 95
Mehrfachpunkt, 241
n-ter Ordnung, 65, 199
parabolischer Typ, 65
PASCALsche Schnecke, 98
Rückkehrpunkt, 240
Raum, 245
Schleifenserie, 1038
Sekans, 78
Selbstberührungspunkt, 240
semikubische Parabel, 95
Sinus, 76
sphärische, 163, 179, 664
Spirale, 105
Strophoide, 96
Tangens, 77
Traktrix, 108
transzendente, 199
Trochoide, 102
Versiera der Agnesi, 95
Wendepunkt, 238
Zissoide, 96
Kurve
Linearfonn
Zykloide. 101, 102
Kurven
2 Ordnung, 210
Mittelpunktskurven, 211
Polargleichung, 213
sphärische, 179
Schnittpunkte, 184
Kurvengleichung
2 Ordnung, 210
Ebene, 199, 232
komplexe Form, 723
Raum, 220
Kurvenintegral, 479
1 Art. 480
Anwendungen, 482
2 Art, 482
allgemeiner Art, 484, 683
Vektorfeld, 681
Kurvenpunkt, ebene Kurve, 238
Kurvenschar, Einhüllende, 244
Kurvenuntersuchung,allgemeine 243
Länge
Bogen, 254
geographische, 165, 252
Intervall, 655
Kurvenintegral 1 Art, 482
reduzierte 179
Vektor, 194
Lagrange
Funktion, 888
Funktionen, 419
Identität, 190
Interpolationsformel. 945
Multiplikatorenmethode, 419
Satz, 311
LAGUERREsche Polynome, 531, 638
LANCZOS-Verfahren, 291
LANDAU-Symbole, 57
LAPLACE-Operator, 667
Polarkoordinaten, 417
Vektorkomponenten, 680
verschiedene Koordinaten. 678
Wellengleichung, 555
LAPLACEsche Differentialgleichung, 557, 691
LAPLACEscher Entwicklungssatz, 267
LAPLACE-Transformation, 733
Additionssatz, 734
Ahnlichkeitssatz, 734
Bildbereich, 733
Bildfunktion, 733
Dämpfungssatz, 734
Definition, 733
Differentation
Bildbereich, 735
Originalbereich, 735
Differentialgleichung, 744
konstante Koeffizienten, 744
partielle, 746
veränderliche Koeffizienten, 745
diskrete, 759
Divisionssatz, 736
Faltung, 736
einseitige 736
komplexe, 737
Integration
Bildbereich. 735
Originalbereich, 735
inverse, 733, 741
Konvergenz, 733
Linearitätssatz, 734
Originalbereich, 733
Originalfunktion 733
Partialbruchzerlegung, 741
Reihenentwicklung, 742
Sprungfunktion. 737
stückweise differenzierbare Funktion, 738
Tabelle. 1097
Übersicht, 731
Umkehr integral, 743
Vergleich mit FOURIER-Transformation, 753
Verschiebungssatz, 734
Zusammenhang mit Z-Transformation, 759
Laurent
Entwicklung, 714
Reihe, 714, 759
LEBESGUE Integral, 657
Vergleich mit Riemann -Integral. 470
LEBESGUE-Maß, 656
LEGENDRESche
Differentialgleichung. 529
Polynome
1 Art, 529, 637
2 Art, 530
assoziierte, 530
zugeordnete, 530
LEGENDRE-Symbol 339
LElBNlZsche Regel, 401
Leistungsspektruni, 843
Leitkurve, 159
Leitlinie
Ellipse, 204
Hyperbel. 206
Parabel, 208
Traktrix, 108
Leitlinieneigenschaft
Ellipse, 204
Hyperbel, 206
Kurven 2 Ordnung, 212
Parabel, 208
Lemma
Jordan, 717
Schur. 316
Lemniskate, 101, 241
Limes
bestimmtes Integral, 457
Funktion, 53
Reihe. 422
superior, 432
Zahlenfolge, 421
linear
abhängig, 327
unabhängig, 327
Linearcode. 344
Linearform, 620, 621
Linearform
Maple
stetige, 643
Linearkombination
Vektoren, 84, 186, 189
Linie
EuLERsche, 365
offene, 366
geodätische, 163, 258
Linienelement
Flache, 253
Vektorkomponenten, 681
Linienintegral, 479
Linksdreiecksmatrix, 919
Linksnebenklasse, 310
Linkspol, 167
Linksschraube, 249
Linkssingulärvektor, 293
Linkssystem, 213
Linsenform, Ellipsoid, 226
LlOUVILLE
Approximationssatz, 4
Formel, 518, 826
Satz, 825
LiPSCHiTZ-Bedingung, 505, 515
Lösungsmannigfaltigkeit, 917
Lösungspunkt, 874
Logarithmentafel, 10
Logarithmieren, 9
logarithmische Nor mal Verteilung, 782
logarithmisches Dekrement, 84
Logarithmus
binärer, 10
BRiGGSscher, 9
Definition, 9
dekadischer, 9
dualer, 10
Haupt wert, 721
komplexe Funktion, 701
natürlicher, 9, 721
NEPERscher, 9
Logik, 295
Aussagenlogik, 295
Fuzzy-Logik, 374
Pradikatenlogik, 298
LORENTZ-Kurve, 95, 754
LORENZ-System (Attraktor), 822, 825, 850, 865
Lot, sphärisches, 175
Loxodrome, 182
Bogenlänge, 182
Kurswinkel, 183
Schnittpunkte, 183
Schnittpunkte zweier Loxodromen, 184
Lp-Raum, 659
LR-Faktorisierung, 918
Lyapunov
Dimension, 849
Exponenten, 844
Funktion, 827
Satz, 827
Stabilität, 827
MAcDONALDsche Funktion, 528
MACLAURiNsche Reihe, 435
Macsyma, 982
Mächtigkeit, Menge, 307
Majorante, 429
MAMDANI-Methode, 389
Manipulation
algebraische Ausdrucke, 1010
nichtalgebraische Ausdrucke, 1012
Mannigfaltigkeit
instabile, 830, 836
invariante, 830, 836
stabile, 830, 836
Mantelfläche
Kegel, 160
Kugel, 161
Polyeder, 156
Pyramide, 157
Quader, 156
Tonnenkörper, 162
Torus, 161
Würfel, 156
Zylinder, 159
Mantisse, 10, 968
Maple
algebraische Ausdrucke, 1001
Manipulation, 1012
Multiplikation, 1012
Attribute, 1008
Ausdruck, 998
Differentialgleichungen, 1029
Differentialoperatoren, 1007
Differentiation, 1027
Ein- und Ausgabe, 979, 982, 999
Elemente der linearen Algebra, 1021
Ergänzungen zur Syntax, 1008
Faktorenzerlegung, Polynome, 1013
feldartige Strukturen, 1003
Folgen, 1002
Formelmanipulation, Einfuhrung, 983
Funktionaloperator, 1007
Funktionen, 1006
Gleichungen
eine Unbekannte, 1017
transzendente, 1018
Gleichungssysteme, 1018
Eigenwerte und Eigenvektoren, 1023
lineare, 1021
Gleitpunktzahlen, Konversion, 1000
Graphik, 1037
dreidimensionale, 1039
Einfuhrung, 984
zweidimensionale, 1037
Hauptstrukturelemente, 998
Hilfe und Informationen, 1009
Integrale
bestimmte, 1028
Mehrfachintegrale, 1028
unbestimmte, 1028
Kontexte, 1008
Kurzcharakteristik, 982
Listen, 1002
Manipulation, allgemeine Ausdrucke, 1014
Matrizen, 1003
Name, 999
indizierter, 999
Maple
Mathematica
numerische Berechnung, Einfuhrung, 983
Numerische Mathematik, 979
Ausdrücke und Funktionen, 979
Differentialgleichungen 981
Gleichungen, 980
Integration, 980
Objekte, 998
Objektklassen, 998
Operationen
auf Polynomen, 1014
wichtige, 1017
Operatoren
wichtige, 1001
Partialbruchzerlegung, 1014
Programmierung, 1008
Prozeduren, 1005
Spezialpaket plots. 1039
Symbol, 999
Systembeschreibung. 998
Tabellenstrukturen, 1003
Typen, 998
Umgebungsvariable, 1009
Vektoren, 1003
Zahlenarten, 1000
Zahlenkonversion, verschiedene Basis, 1000
Masche (bei Splines), 961
Maß, 656
auf eine Menge konzentriertes, 840
DiRAC-, 656
einer Dimension, 848
ergodisches, 841
Hausdorff-, 846
invariantes, 840
Lebesgue-, 656, 840
natürliches, 841
physikalisches, 841
SBR-, 841
<7-endliches, 659
Träger, 840
Wahrscheinlichkeits-, 659
Masse
Doppelintegral, 491
Dreifachintegral, 497
Kurvenintegral 1 Art, 482
Massenmittelpunkt, 197, 219
Maßraum, 656
von unten, 656
Maßstab, 1
Maßstabsfaktor, 116, 150
Matching, 369
gesättigtes, 369
maximales, 369, 370
perfektes, 369
Mathcad. 982
Mathematica
3D-Graphik, 1036
algebraische Ausdrücke
Manipulation, 1010
Multiplikation, 1010
Apply, 995
Attribute, 996
Ausdrücke, 986
Differential- und Integralrechnung, 1023
Differentialgleichungen, 1026
Differentialquotienten, 1023
Differentiation, 995
Ein- und Ausgabe, 975, 982, 986
Elemente, 986
der linearen Algebra, 1019
Faktorenzerlegung, Polynome, 1010
FixedPoint, 995
FixedPointList, 995
Flächen und Raumkurven, 1035
Formelmanipulation, Einführung. 983
Funktionaloperationen, 994
Funktionen, 993
inverse, 994
Gleichungen, 1016
Manipulation, 1015
transzendente, 1016
Gleichungssysteme, 1017
allgemeiner Fall, 1019
Eigenwerte und Eigenvektoren. 1020
Spezialfall, 1019
Gleitpunktzahlen, Konversion, 988
Graphik, 1030
Einführung, 984
Funktionen, 1032
Optionen, 1031
Primitive I, 1030
Primitiveil 1030
Hauptstrukturelemente, 986
Integrale
bestimmte, 1025
Mehrfachintegrale 1025
unbestimmte, 1024
Kontexte, 996
Kopf, 986
Kurven
Parameterdarstellung. 1034
zweidimensionale 1033
Kurzcharakteristik, 982
Listen, 989
Manipulation von Matrizem, 991
Manipulation von Vektoren, 991
Map, 995
Matrizen als Listen, 991
Meldungen, 997
Muster, 993
Nest, 995
NestList, 995
numerische Berechnung, Einführung, 983
Numerische Mathematik, 975
Differentialgleichungen. 978
Integration, 977
Interpolation, 976
Kurvenanpassung, 976
Polynomgleichurigen, 977
Oberflächen, 1035
Objekte, dreidimensionale, 1036
Operationen, auf Polynomen, 1011
Operatoren, wichtige, 988
Partialbruchzerlegung, 1011
Programmierung, 995
Schreibweise, 988
Syntax. Ergänzungen, 996
Mathern at/ca
Menge
Systembeschreibung, 986
Vektoren als Listen. 991
Zahlcnarten. 987
Matrix, 259
Adjazenz 363
adjungierte 259. 268
antihermitesche. 261
antisymmetrische, 260
block ti idiagonale, 939
Diagonalmatrix, 260
Drehungsmatrix. 265
Dieiecksmatiix, 261
Di eieckszei legung, 918
Einheitsinatiix, 261
Entfemungs, 364
Funktional , 653
Hauptdiagonalelement, 260
hermitesche 261
Hesse-Matrix, 895
inveise, 264. 268
Invertierung, 280
Inzidenz, 363
Jacobi-, 653
JORDANsche, 290
komplexe, 259
konjugieit komplexe, 259
normale, 260
Nullmatrix, 259
orthogonale, 265
positiv definite, 290
quadratische, 259, 260
Rang, 264
rechteckige, 259
reelle, 259
reguläre, 264
reziproke, 264
schiefsymmetrische, 260
schwach besetzte, 939
selbstadjungierte, 261
singulare, 264
Skalarmatrix, 260
Spur, 260
stochastische, 789
symmetrische, 260
transponierte, 259
unitäre, 265
Valenz, 368
Vollrang, 285
Matrix-Exponentialfunktion, 826
Matrix-Gerüst Satz, 368
Matrixprodukt
skalares, 262
Verschwinden, 265
Matrizen
Assoziativgesetz, 262
Distributivgesetz, 262
Division, 262
Eigenvektoren, 286
Eigenwertaufgabe, 286
Eigenwerte, 286
Gleichheit, 262
Kommutativgesetz, 262, 263
Multiplikation, 262
Potenzieren, 266
Rechenoperationen, 262
Rechenregeln, 265
max-min-Verknüpfung, 385
Maximalpunkt, 874
Maximalwertsatz, 695
Maximum
absolutes, 51, 406
globales, 51, 406
lokales, 51
relatives, 51, 405
Maximum-Kriterium-Methode, 388
MAXWELLsches Diagonalverfahren, 706
Median
Meßwerterfassung, 797
Stichprobenfunktionen, 795
Mehriach-Integr altr ansformation, 732
Mehrfachintegral, 488
Mehrfachkante, 361
Mehrfachpunkt, 241
Mehrschritt verfahren, 932
Mehrzielverfahren, 937
MELLiN-TYansformation, 731
MELNIKOV-Methode, 867
Membranschwingungsgleichung, 545
Menge
abgeschlossene, 627
Abschließung, 627
absorbierende, 823
abzählbar unendliche, 307
Axiome der abgeschlossenen, 627
Axiome der offenen, 626
beschränkte im metrischen Raum, 626
BOREL-Menge, 656
dichte, 627
disjunkte, 301
Element, 300
Faktormenge, 306
fundamentale, 636
Fuzzy, 374
ganze Zahlen, 1
gleichmächtige Mengen, 307
invariante, 823
chaotische, 852
fraktale, 852
stabile, 823
irrationale Zahlen, 1
kompakte, 648, 824
komplexe Zahlen, 34
konvexe, 619
Koordinaten {x,y), 303
leere, 300
lineare, 617
Mächtigkeit, 307
Mengenbegriff, 299
meßbare, 656
natürliche Zahlen, 1
offene, 626
ordnungsbeschränkte, 622
Potenzmenge, 300
rationale Zahlen, 1
reelle Zahlen. 2
relativkompakte, 648
Menge
Multiplikation
Schranke, 622
Teilmenge, 300
uberabzählbar (unendliche), 307
unendliche, 307
unscharfe, 374
Mengenalgebra, Grundgesetze, 302
Mengenlehre, 299
Mengenoperation, 301
Differenz, 303
Durchschnitt, 301
kartesisches Produkt, 303
Komplement, 301
symmetrische Differenz, 303
Vereinigung, 301
Meridian, 165, 252
Meridiankonvergenz, 174
Meßfehlereinteilung
qualitative Merkmale, 811
quantitative Merkmale, 813
Meßfehlerverteilung, 811
Meßfehlerverteilungsdichte, 811
Meßfunktion, 853
Meßprotokoll, 811
Meßwert, 811
Meßwerterfassung, 795
Strichliste, 796
Methode
BERNOULLische, 916
der finiten Differenzen, 553
der finiten Elemente, 553, 581, 940
der Flächenhalbierung, 388
der größten Fläche, 388
der kleinsten Quadrate, 948
Einordnung, 418
der parametrisierten Flächenhalbierung, 388
der statistischen Versuche, 810
der unbestimmten Koeffizienten, 16
GREENsche, 550
Mamdani-, 389
Maximum-Kriterium-, 388
Mean-of-Maximum-, $88
mittlere Ziffern von Quadraten, 806
Monte-Carlo-, 806
RiEMANNsche, 548
schrittweise Näherung, 513
Sugeno-, 389
sukzessive Approximation, 513
BANACH-Raum, 642
ungarische, 887
Variation der Konstanten, 519
Metrik, 624
Flache, 254
Maximum-, 625
Meusnier, Satz, 255
Minimalflache, 257
Minimalgerust, 369
Minimalpunkt, 888
globaler, 888
lokaler, 888
Minimum
absolutes, 51, 406
globales, 51, 406
lokales, 51
relatives, 51, 405
Minimumaufgabe, 874
MiNKOWSKische Ungleichung, 33
Mittel
arithmetisches, 19, 776
geometrisches, 20
gewogenes, 776, 817
harmonisches, 20
quadratisches, 20
Mittellinie, Dreieck, 136
Mittelpunkt
sphärischer, 180
Strecke
Ebene, 197
Raum, 219
Mittelpunktsflächen, 226
Mittelpunktskurve, 211
Mittelpunktsregel, 933
Mittelpunktswinkel, 133
Mittelsenkrechte, Dreieck, 135
Mittelwert, 19, 776
Funktion, 461
gewichteter, 813
gleichgewichteter, 813
Meßwerterfassung, 796
Stichprobenfunktionen, 794
zweidimensionale Verteilung, 803
Mittelwertformel, 926
Mittelwertmethode, 109
Mittelwertsatz
Differentialrechnung, 404
verallgemeinerter, 405
Integralrechnung, 461
verallgemeinerter, 461
Modalwert, Meßwerterfassung, 797
Modul, 185
analytische Funktion, 694
eines Elements, 623
komplexe Zahl, 35
Modulo-Abbildung, 840
MoiVREsche Formel
Hyperbelfunktionen, 91
komplexe Zahlen, 38
trigonometrische Funktionen, 81
MOLLWEiDEsche Gleichungen, 146
Moment (Tragheits-), 468
Moment (Statistik)
Ordnung n, 776
zentrales, Ordnung n, 776
Monodromie-Matrix, 827, 828, 836
Monotonie, 656
Funktion, 50
Zahlenfolge, 420
Monotoniebedingung, 403
Monte-Carlo-
Methode, 806
Anwendung in der numer Mathematik, 808
gewöhnliche, 808
Simulation, Beispiel, 808
MORSE-SMALE-Systeme, 839
Multi-Skalen-Analyse, 766
Multiindex, 633
Multiplikation, 969
Multiplikation
Oberfläche, Doppelintegral
komplexe Zahlen, 37
Polynome, 11
rationale Zahlen, 1
Multiplikatoren, 827, 828 836
Multiplikatorenmethode, LAGRANGEsche, 419
Muster, periodische, 566, 567
Mutation, 897
Nabelpunkt, 257
Nablaoperator
Definition, 677
zweifache Anwendung, 678
Nachrichtenwort, 343
Näherung, asymptotische, 15
Näherungsformeln
empirische Kurven, 109
Reihenentwicklung, 435
Näherungsgleichung, 513
NAND-Funktion, 297
nat, 354
Nautik, 177
Navigation, 179
Nebenbedingung
dynamische, 905
statische, 905
Variationsaufgabe, 572, 576
Nebenwinkel, 132
Negation. 295
BoOLEsche Funktion, 357
doppelte, 297
Neigungswinkel. 148
NEPERsche Gleichungen, 172
Netz, isometrisches, 697
Netztafel 127
drei Veränderliche, 127
mehr als drei Veränderliche, 130
NEUMANNsche Reihe, 588, 607
NEUMANNsches Problem, 691
NEWTONsche Interpolationsformel 945
NEWTON-Verfahren. 652, 912. 924
adaptives, 981
modifiziertes, 652, 912
nichtlineare Optimierung, 895
gedämpftes, 896
NICHT, 295
Nichtbasisvariable, 877
nichtnegative ganze Zahlen, 1
Niveaufiäche, 665
Niveaulinie 121, 665
Nomogramm, 127
Nomographie, 127
NOR-Funktion, 297
Nordrichtung
geodätische, 174
geographische, 174
Norm. 285
EuKLiDische, 266, 328
Integralnorm 660
Matrizennorm, 266
Spaltensummennorm, 267
Spektralnorm, 267
Zeilensummennorm, 267
zugeordnete Norm. 267
normierter Raum, 631
Operator. 826
Operator-Norm. 639
6-Norrn. 379
i-Norm, 379
Vektor norm, 266
Betragssummennorm, 266
EuKLiDische Norm, 266
Matrizennorm, 266
Normale, ebene Kurve, 233
Normalebene, Raumkurve. 246, 248
Normalenabschnitt, 234
Normalenvektor
Ebene, 220
Fläche, 252
Normalform, 358
Gleichung einer Fläche, 226
JORDANsche, 290
kanonisch disjunktive, 358
kanonisch konjunktive, 358
lineare Optimierung, 875
reduzierte Differentialgleichung, 856
Normalgleichung, 921 947, 948
Normalgleichungssystem, 805, 947
Normalteiler, 311
Normalverteilung, 780
logarithmische, 782
normierte, 782
Tabelle, 1122
zweidimensionale, 803
Normal Verteilungsgesetz, 780
Beobachtungsfehler, 73
Normierungsbedingung, 560
Normierungsfaktor, 200
Normisomorphic. 646
Notation
polnische, 368
Postfix- Notation. 368
Präfix-Notation, 368
umgekehrte polnische. 368
Null (OHntervall. 622
Nullmatrix, 259
Nullpunkt, 1
Nullpunktsschwingungsenergie, 565
Nullpunktstranslationsenergie, 561
Nullstelle, komplexe Funktion, 695
Nullstellengleichung, 911
Nullteiler, 324
Nullvektor, 186
Numerik-Bibliothek, 911
Numerus, 10
Nutationswinkel 218
NYSTRÖM-Verfahren 593
Obelisk, 158
Oberflächeninhalt
Kegel, 160
Kugel. 161
Polyeder, 156
Tonnenkörper, 162
Toms, 161
Zylinder, 159
Oberfläche, Doppelintegral, 491
Oberflächenintegral
Optimierungsverfahren
Oberflächenintegral, 496, 684, 685
1 Art, 496
2 Art, 499, 500
allgemeiner Art, 502
ODER, 295
exklusives, 357
Oktaeder, 158
Oktalsystem, 965
Oktalzahl, 965
u;-Grenzmenge, 823, 829, 836
Operation, 308
äußere, 308
algebraische, 272
arithmetische, 1
assoziative, 308
binäre, 308
kommutative, 308
n-stellige, 308
Operator
abgeschlossener, 641
adjungierter, 646
Begriff, 49
beschränkter, 639
demistetiger, 655
differenzierbarer, 652
endlichdimensionaler, 649
Gamma-, 382
Hamilton-, 558
Hammerstein-, 651
idempotenter, 648
inverser, 621
isotoner, 654
koerzitiver, 655
kompakter, 649
kompensatorischer, 382
kontrahierender, 628
Lambda-, 382
linearer, 329, 620
beschränkter, 639
stetiger, 639 '
linearer, Begriff, 329
linearer, Kommutativität, 329
linearer, Produkt, 329
linearer, Vertauschbarkeit, 329
monotoner, 655
Nemytskij-, 651
ODER-, 382
positiv definiter, 648
positiver, 623
selbstadjungierter, 648
singulärer, 612
stetiger, 631
inverser, 641
streng monotoner, 655
UND-, 382
Urysohn-, 652
Verknüpfungs-, 385
vollstetiger, 649
Operatorenmethode, 552
Integraltransformation, 732
Operatorenschreibweise, Differentialgleichungen,
Operatornorm, 826
Optimalitätsbedingung, 888, 890
hinreichende, 889
Optimalitätsprinzip, BELLMANsches, 907
Optimierung, diskrete
dynamische, 905
Einkaufsproblem, 905
Funktionalgleichungen, 907
BELLMANsche, 906
Funktionalgleichungsmethode, 908
kontinuierlich dynamische, 905
Kostenfunktion, 906
Minimumvertauschbar keit, 907
n-stufige Entscheidungsprozesse, 905
optimale Einkaufspolitik, 909
optimale Politik, 908
Rucksackproblem, 906, 909
Optimierung, lineare, 873
allgemeine Form, 873
Basis der Ecke, 876
Dualität, 882
Ecke, 875
Eckpunkt, 876
Eigenschaften, 875
entartete Ecke, 876
Formen, 873
Grundbegriffe, 875
Nebenbedingung, 873
Reihenfolgeproblem, 887
Rundreiseproblem, 887
Transportproblem, 884
Verteilungsproblem, 887
Zuordnungsproblem, 886
Optimierung, nichtlineare, 888
Abstiegsverfahren, 895
Barriere-Verfahren, 903
Dualität, 889
Evolutionsstrategien, 897
Gradientenverfahren, 895
Ungleichungsrestriktionen, 898
konvexe, 646, 890
Konvexität, 891
Mutation, 897
NEWTON-Verfahren, 895
numerisches Suchverfahren, 893
Prinzip der Strahlminimierung, 895
quadratische, 890
Rekombination, 897
Richtungssuchprogramm, 898
Sattelpunkt, 888
Selektion, 897
Optimierungsaufgabe
duales Problem, 882
konvexe, 890
lineare
Basislösung, 877
Normalform, 877
nichtlineare, 954
primales Problem, 882
Optimierungsproblem
dynamisches, 905
lineares, 884
Optimierungsverfahren
des steilsten Abstiegs, 895
DFP-Verfahren, 896
Ophrnierungsverfahren
PARSEVALSche
FiBONACCi-Veifahren, 894
gedämpftes, 896
Goldener Schnitt, 894
Hildreth-d'Esopo. 893
Kelley, 904
konjugierte Gradienten 896
projizierte Gradienten, 900
Schnittebenen- Verfahren. 904
Straf- und Barriere-Verfahren, 902
unrestringierte Aufgabe, 895
Wolfe, 891
zulassige Richtungen, 898
Orbit, 821
heterokhner, 832
homokliner, 832, 867
periodischer, 821
hyperbolischer, 829
sattelartiger, 829
zweifach zusammengesetzter, periodischer,
Ordinate, 195, 214
Ordinatenachse, 195
Ordnung, 307
Flächen 2 , 226
Kurve n-ter Ordnung, 199
Kurven 2 , 210
lexikographische, 307
partielle, 307
vollständige, 307
Wavelet, 764
Ordnungsintervall, 622
Ordnungsrelation, 306
vollständige, 307
OREscher Satz, 367
Orientierung, 277
Koordinatensystem, 213
Zahlengerade, 1
Originalbereich, 730
Menge 49
Originalfunktion, 730
Ort
gegißter, 182
geometrischer, 199
Orthodrome, 179
Bogenlänge, 180
Kurswinkel, 179
nordpolnächster Punkt, 179
Schnittpunkte, 180
zweier Orthodromen, 184
Orthogonahsierungsvcrfahren, 920, 921
GiVENSsches, 922
GRAM-ScHMiDTsches, 288. 638
HouSEHOLDERsches, 286, 922
ScHMiDTsches, 599
Oithogonalität
Geraden, 131
Gewicht, 533
HlLBERT-Raum, 636
reeller Vektorraum, 328
trigonometrischer Funktionen, 328
Vektoren, 189
Orthogonalitätsbedingung
Ebenen, 223
Gerade-Ebene. 226
Geraden im Raum, 225
Orthogonalitätsrelation, 533
Orthogonaliät
Eigenvektoren, 288
Orthogonalpolynom, 948
Orthogonalraum, 636
Orthonormierung, Vektoren, 270
Orthozentrum, 135
Ortskoordinaten, Spiegelung, 277
Ortskurventheorie, 916
Oszillator, linearer harmonischer, 564
Paar, geordnetes, 303
Parabel, 208
Achse, 208
Binom. 71
Brennpunkt, 208
Definition 209
Durchmesser, 209
Flächeninhalt, 210
Gleichung, 209
Halbparameter, 208
Krümmungskreisradius 210
kubische. 64
Leitlinie, 208
n-ter Ordnung, 66
Parameter, 209
quadratisches Polynom. 64
Scheitel, 208
semikubische, 95 v
Tangente, 209
Transformation, 211
Parabelbogen, Länge, 210
Paraboloid, 228
elliptisches, 228
hyperbolisches, 228, 229
Mittelpunksfläche, 230
Invariantenvorzeichen
elliptisches, 230
hyperbolisches, 230
parabolisches, 230
Rotations-, 228
Parallelepiped, 156
Parallelitätsbedingung
Ebenen, 223
Gerade-Ebene, 226
Geraden im Raum, 225
Parallelkreis, 252
Parallelogramm, 138
Parallelogrammgleichung, unitärer Raum, 635
Parameter
algebraischer Ausdruck, 11
Funktion, 50
Parabel, 209
statistische. 796
Parameterdarstellung, 50
Kreis, 203
Parameterintegral, 476
Parameter räum, Stochastik, 788
Parität, 564
PARSEVALSChe
Formel, 752
Gleichung, 438, 534, 600, 638
Partialbruchzerlegung
Partialbruchzerlegung, 15
spezielle Fälle, 1059
Partialsumme, 422
Partikulärintegral, 459
Partikularisator, 298
PASCALsche Schnecke, 98
PASCALsches Dreieck, 13
Pendel
FoucAULTsches, 978
mathematisches, 725
Pendelgleichung, 867
Periode, 52, 83
Sekans, 78
Sinus, 76
Tangens, 77
Periodenparallelogramm, 726
Periodenverdopplung, 862
Kaskade, 863, 869
Periodisierungsfaktor, 739
Peripheriewinkel, 143
Permutation, 768
Permutationsgruppe, 311
Permutationsmatrix, 919
PESiNsche Formel, 845, 851
PESIN-TEMPELMAN-Satz, 848
Pfeildiagramm, 304
Pharmazentralnummer, 342
Phase, 83
Sinus, 76
Phasenporträt, 824
Phasenraum, 821
Stochastik, 788
Phasenspektrum, 750
Phasenverschiebung, 83
Physikalische Einheiten, 1043
PiCARDsches Iterationsverfahren, 587
Pivot, 918
Pivotelement, 279, 879
Pivotspalte, 279, 879
Pivotzeile, 279, 879
Planimeter, 464
Planimetrie, 131
PoiNCARE-Abbildung, 834
PoiSSONsche
Differentialgleichung, 557, 689, 691
Formel, 556
PoiSSONsches Integral, 552
PoiSSON-Verteilung, 780
Pol
analytische Funktion, 695
auf der Kugel, 167
Funktion, 60
Koordinatenursprung, 186, 195
Ordnung m, komplexe Funktion, 715
Vielfachheit m, komplexe Funktion, 715
Polabstand, 252
Polarachse, 195
Polardreieck, 167
Polare, 167
Polargleichung, 562
Kurve 2 Ordnung, 213
Polarkoordinaten, 195, 196
räumliche, 215
Prä-HlLBERT -Raum
Polarnormalenabschnitt, 235
Polarsubnormale, 235
Polarsubtangente, 235
Polartangentenabschnitt, 235
Polarwinkel, 195
Polyeder, 156
konvexes, 159
reguläres, 158
Polyedersatz, EuLERscher, 159
Polygon, 140
Polygonierung, 151
Polygonzugverfahren, EULERsches, 931
Polynom, 11, 64
1 Grades, 64
2 Grades, 64
3 Grades, 64
charakteristisches, 286
ganzrationale Funktion, 62
irreduzibles, 325
Minimal-, 326
n-ten Grades, 65
primitives, 325
quadratisches, 64
trigonometrisches, 954
Polynome
BERNSTEINsche Grundpolynome, 962
HERMiTEsche, 565, 637
LAGUERREsche, 531, 638
LEGENDREsche, 529, 637
Produktdarstellung, 43
TSCHEBYSCHEFF-Formel, 88
TSCHEBYSCHEFFSChe, 951
Polynomgleichung, Lösung, 914
Polynominterpolation, 945
Polynomring, 323, 325
PoSAscher Satz, 367
positiv definit, 920
Postfix-Notation, 368
Potential
komplexes, 703
konservatives Feld, 683
retardiertes, 556
Potentialfeld, 683
Rotation, 677
Potentialgleichung, 557
Potenz
Begriff, 8
reziproke, 70
Potenzieren
komplexe Zahlen, 38
Matrizen, 266
reelle Zahlen, 8
Potenzmenge, 300
Potenzreihe, 432
asymptotische, 435
komplexe, 712
Umkehrung, 434
Potenzreihenentwicklung, 434
analytische Funktion, 711
Prädikat, 298
n-stelliges, 298
Prädikatenlogik, 298
Prä-HiLBERT-Raum, 635
Prävalenz
Quadratmittelproblem
Piävalenz, 854
Präzessionswinkel 218
Prediktoi, 933
Prediktor-Konektor Verfahren, 933
Primelemente, 330
Primfaktorzerlegung, 331
kanonische, 331
Primzahl. 330
Drillinge, 331
FERMATsche. 331
MERSENNEsche, 331
Vierlinge, 331
Zwillinge, 331
Prinzip «•
CAUCHYsches, 628
CAVALiERisches. 467
der Zweiwertigkeit, 295
NEUMANNsches. 317
Prisma, 156
gerades, 156
reguläres, 156
Problem
CAUCHYsches, 536
DlRlCHLETsches, 547, 691
inhomogenes, 556
isoperimetrisches, allgemeines, 573
kürzester Weg, 364
NEUMANNsches, 691
regularisiertes, 286
STURM-LlOUViLLEsches, 533
Problemstellung, korrekte. 554
Produkt, 7
algebraisches, 380
direktes
Gruppen, 311
f2-Algebra, 354
drastisches, 380
dyadisches
Tensoren, 272
Vektoren, 263
kartesisches, 303, 383
n-faches, 384
Kronecker , 266
n-faches direktes, 356
Produktzeichen, 7
Rechenregeln, 7
vektorielles, 188
Produktansatz, 543
Produktregel. 396
Programmierung
Computeralgebrasysteme, 984
Maple, 1008
Mathematica, 995
Projektionssatz, 146
Orthogonalraum. 636
Projektor, 648
Proportionalität
direkte, 64
umgekehrte, 66
Proportionalitätsfaktor, 64
Proportionen 17
Protokoll, 795
Prozent, 21
Prozentrechnung, 21
Prozeß
Geburtsprozeß, 792
PoiSSON-Prozeß, 791
stochastischer, 788
Todesprozeß 792
Prüfverfahren
Prinzip, 802
statistische, 797
Prüfzeichen, 342
Prüfziffer, 342
Pseudoskalar, 278
Pseudotensor, 277, 278
Pseudovektor, 277, 278
Pseudozufallszahlen, 807
PTOLEMÄUS, Satz, 139
Punkt, 131
asymptotischer, 240
Berührungs-, 627
der größten Annäherung, 244
Häufungs-, 627
innerer, 626
isolierter, 240, 627
Koordinaten, 195
77 -dimensionaler Raum, 120
nichtwandernder, 839
rationaler, 1
Sattel . 512
singulärer, 232, 240, 510, 511
isolierter, 511
Knoten-, 511
Strahl-, 512
Strudel-, 512
Wirbel-. 512
stationärer, 889
transversaler homokliner, 837
Umgebung, 626
uneigentlicher, 198
Punktspektrum, Operator, 643
Pyramide, 157
gerade, 157
n-seitige, 157
reguläre, 157
Pyramidenstumpf, 157
Pythagoras
rechtwinkliges Dreieck, 145
schiefwinkliges Dreieck, 146
QR-Algorithmus, 291
QR-Zerlegung, 921
Quader, 156
Quadrant, 195
Quadrantenrelationen 79
Quadrat, 138
quadratische Form
reelle, 289
reelle, positiv definite, 290, 920
Quadratmittelaufgabe, 917
nichtlineare, 950
verschiedene Bezeichnungen, 418
Quadratmittelmethode, 806
Quadratmittelproblem
lineares, 285, 921
Quadratmittelproblem
Rechtecksumme
rangdefizienter Fall, 286
Quadraturformel, 925
GAUSS-Typ, 927
HERMlTEsche, 926
Integralgleichung, 592
Interpolationsquadratur, 926
LoBATTOsche, 928
Quadratwurzel
komplexe, 700
naturliche Zahlen, 8
Quadrupel, 303
Quantenzahl, 560
Bahndrehimpuls-, 562
magnetische, 563
Schwingungs-, 565
Quantifizierung, beschränkte, 299
Quantil, 775
Quantisierungsbedingung, 565
Quantor, 298
quasiperiodisch, 830
Quelldichte, 689
Quelle, 828, 836
Knoten, 372
Vektorfeld, 673
Quellenfeld
reines, 689
wirbelfreies, 689
Quellenverteilung
diskrete, 690
kontinuierliche, 691
Quersumme
1 Stufe, 332
2 Stufe, 332
3 Stufe, 332
alternierende
1 Stufe, 332
2 Stufe, 332
3 Stufe, 332
Quintupel, 303
Quotientenregel, 397
Rabatt, 21
Radialgleichung, 562
Radiant, 133
Radikal, 510
Radikand, 8
Radius
Kreis, 143
Polarkoordinaten, 195
Radiusvektor, 186
komplexe Zahlenebene, 35
Radizieren, 8
komplexe Zahlen, 38
Rahmen, YouNGscher, 316
Randbedingung, 572
Randintegralgleichungsmethode, 553
Randkollokation, 940
Randmethode, 939
Randverteilung, 777
Randwertaufgabe, 504, 935
Randwertbedingungen, 504
Randwertproblem, 532
HiLBERTsches, 613
Index, 614
homogenes, 532
inhomogenes, 532
lineares, 532
Rang
Matrix, 264
Vektorraum, 328
Raum
abstrakter, 49
endlichdimensionaler, 648
geordneter normierter, 634
HlLBERT-Raum, 635
isometrischer, 631
KANTOROVICH-Raum, 623
linearer, 616
Lp-Raum, 659
mehrdimensionaler, 120
metrischer, 624
normierbarer, 632
normierter, Axiome, 631
RlESZscher-Raum, 623
separabier, 627
SOBOLEW-Raum, 633
unitärer, 635
vollständiger, 628
Rauminversion, 277
Skalarprodukt, 278
Spatprodukt, 278
Raumkurve, 245
begleitendes Dreibein, 246
Binormale, 246, 248
Gleichung, 220, 245
Hauptnormale, 246, 248
Koordinatengleichung, 248
Krümmung, 248
Krummungskreisradius, 249
Normalebene, 246, 248
Richtung, 246
Schmiegungsebene, 246, 248
Tangente, 246, 248
Vektorgleichung, 246, 248
Windung, 250
Windungsradius, 250
Raumrichtung, 185, 216
Raumwinkel, 155
RAYLEiGH-RiTZ-Algorithmus, 291
Reaktion, chemische, Konzentration, 118
Realteil, 34
Rechenschieber, 10
logarithmische Skala, 116
Rechnen
mit Polynomen, 326
Rechnen, numerisches, 971
Computer, 968
Genauigkeit, 970
Grundoperationen, 969
Rechte-Hand-Regel, 189, 684
Rechteck, 138
Rechteckformel
linksseitige, 926 '
rechtsseitige, 926
Rechteckimpuls, 719, 737
Rechtecksumme, 926
Rechtsdreiecksmatrix
Richtung
Rechtsdreiecksmatrix, 919
Rechtsnebenklasse, 310
Rechtspol, 167
Rechtsschraube, 249, 684
Rechtssingulärvektor, 293
Rechtssystem, 213
Reduce, 982
Reduktionsformeln, trigonometrische Funktionen,
Regel
Bernoulli -L'HospiTALsche, 56
CRAMERsche, 283
DE MoRGANsche, 297
DESCARTESsche, 45
GuLDiNsche, 1 , 469
GüLDlNsche, 2 , 470
LEiBNizsche, 401
linguistische, 390
NEPERsche, 173
SARRUSsche, 269
Regelfläche, 257
Regression
lineare, 803
mehrdimensionale, 804
Regressionsanalyse, 802
Regressionsgerade, 803, 804
Regressionskoeffizient, 804
Regula falsi, 913
Regularisierungsparameter, 286
Regularisierungsverfahren, 294
Regularitätsbedingung, 889, 903
Reihe
absolute Konvergenz, 432
allgemeines Glied, 422
alternierende, 426
arithmetische, 18
BANACH-Raum, 632
binomische, 14
CLEBSCH-GORDAN-Reihe, 316
divergente, 422
Divergenz, 425
endliche, 18
FOURIER-Reihe, 437
komplexe Darstellung, 438
Funktionenreihe, 430
geometrische, 19
unendliche, 19, 422
harmonische, 422
hypergeometrische, 531
Integralkriterium, 425
konstante Glieder, 422
konvergente, 422
Konvergenz, 425
gleichmäßige, 431, 432
ungleichmäßige, 431
Konvergenzbereich, 430
Konvergenzsätze, 422
MAcLAURiNsche, 435
NEUMANNsche, 640
Partialsumme, 422
Potenzreihe, 432
Quotientenkriterium, 424
Restglied, 422, 430
Summe, 422
TAYLOR-Reihe, 405, 434
unbestimmter Koeffizienten, 514
unendliche, 420, 422
Vergleichskriterium, 423
WEIERSTRASS-Kriterium, 431
Wurzelkriterium, 424
Reihenentwicklungen, 742
Reihenfolgeproblem, 887
Reihenrest, 422
Abschätzung, 429
Rekombination, 897
Rekonstruktion (System aus Zeitreihen), 853
Rekonstruktionsabbildung, 853
Rekonstruktionsraum, 854
Rekonstruktionssatz
Sauer, Yorke, Casdagli, 854
Takens, 853
Rektifizierung, 109
Relation, 303
Aquivalenzrelation, 306
binäre, 304
fuzzy-wertige, 383
inverse, 304
Kongruenzrelation, 353
n-stellige, 303
Ordnungsrelation, 306
Relationenprodukt, 304
Relationsmatrix, 304
Relaxationsparameter, 923
Relaxationsverfahren, 923
Relief, analytische Funktion, 694
Rem ES-Algorithmus, 953
Rente
ewige, 24
nachschussig konstante, 25
Rentenbar wert, 25
Rentenendwert, 25
Rentenrechnung, 24
RENYl-Dimension, 849
Residualspektrum, Operator, 643
Residuensatz, 715, 716
Anwendungen, 717
Residuum, 285, 716, 920
Resolvente, 588, 590, 607
Resolvente, Operator, 642
Resolventenmenge, Operator, 642
Resonanz-Torus, 868
Rest, quadratischer modulo ra, 339
Restglied, 422
Restklasse, 337
prime, 338
primitive, 338
Restklassenaddition, 337
Restklassenmultiplikation, 337
Restklassenring, 323, 337
modulo m, 337
Restspektrum, Operator, 643
Rhombus, 138
Richtung
ebene Kurve, 232
Raum, 185, 216
Raumkurve, 246
Richtungsableitung
Satz
Richtungsableitung, 670, 672
Skalarfeld, 670
Vektorfeld, 670
Richtungsfeld, 505
Richtungskoeffizient, 67, 188
Ebene, 200
Richtungskosinus, Raum, 216
Richtungstripel, 186
kartesische Koordinaten, 187
Richtungswinkel, Geodäsie, 149
RlEMANN-Integral, 458
Vergleich mit LEBESGUE-Integral, 470
Vergleich mit STIELTJES-Integral, 470
RlEMANNsche
Fläche, mehrblättrige, 707
Formel, 549
Funktion, 548
Methode, 548
RlEMANN-Summe, 458
Ring, 323
Faktorring, 324
Homomorphiesatz, 324
Polynom-, 323
Unterring, 324
Ringhomomorphismus, 324
Ringisomorphismus, 324
Risikotheorie, 21
RlTZ-Verfahren, 581, 936
Rn (n-dimensionaler euklidischer Vektorraum), 262
ROMBERG-Verfahren, 928
Rotation
Definition, 675
Hinweis, 671
mit Nablaoperator, 677
Potentialfeld, 677
Vektorfeld, 675
Vektorkomponenten, 680
verschiedene Koordinaten, 676
Rotations-Abbildung, 841
Rotationsellipsoid, 226
Rotationsfläche, 220
Rotationskörper, Mantelfläche, 466
Rotationsparaboloid, 228
Rotationszahl, 870
Rotator, raumfreier starrer, 561
Ruckkehrpunkt, 240
Rückversetzung, 179
Rückwärtseinsetzen, 918
Rückwärtseinschnitt
Cassini, 153
Snellius, 152
RüELLE-TAKENS-NEWHOUSE-Szenario, 868
Ruhelage, 821
hyperbolische, 828
Rundreiseproblem, 887
Rundung, 968
Rundungsfehler, 971
RuNGE-KuTTA-Verfahren, 931
Saitenschwingungsgleichung, 543
SARRUSsche Regel, 269
Sattel, 828, 836
Sattelpunkt, 512, 888
Satz
Abel, 432
abgeschlossener Graph, 641
Afraimovich-Shilnikov, 868
Andronov-Pontryagin, 838
Andronov-Witt, 828, 829
Apollonius, 204
Arzela-Ascoli, 649
BAiREscher Kategoriensatz, 628
Banach, 641
Banach-Steinhaus, 641
Bayes, 773, 774
Berge, 370
Beschranktheit einer Funktion
eine Veränderliche, 62
mehrere Veränderliche, 126
binomischer, 12
Birkhoff, 354, 841
Block, Guckenheimer, Misiuriewicz, 853
Bogoljubov-Krylov, 841
BOLZANO
eine Veränderliche, 61
mehrere Veränderliche, 126
Cayley, 312, 368
Chinesischer Restsatz, 338
Denjoy, 870
Differenzierbarkeit n d Anfangsbedingungen, 821
DlRAC, 367
Douady-Oesterle, 850
Euklid, (Sätze), 145
Euler, 341
Euler-Hierholzer, 365
EuLERscher Polyedersatz, 159
Fatou, 659
Fermat, 341, 403
Fermat-Euler, 341
Floquet, 827
Fundamentalsatz
Algebra, 43
elementare Zahlentheorie, 331
Girard, 169
Grobman-Hartman, 835, 837
Hadamard-Perron, 831, 836
Hahn (Fortsetzungssatz), 645
Hauptsatz
Funktionentheorie, 710
homogene lineare Differentialgleichung, 826
inhomogene lineare Differentialgleichung, 826
Integralrechnung, 458, 475
Hellinger-Toeplitz, 641
HlLBERT-SCHMIDT, 650
Holladay, 959
Hurwitz, 520
Integralsatz, Cauchy, 710
Konstanz, analytische Funktion, 695
Krein-Losanowskij, 641
Kugelschachtelungssatz, 628
Kupka-Smale, 853
Kuratowski, 371
Lagrange, 311
Lebesgue, 659
Ledrappier, 849
Leibniz, 426
Satz
Schwerpunktmethode
Leray-Schauder,654
Levi. B . 658
Liouville, 695, 825
Lyapunov, 827
Maximalwert, analytische Funktion, 695
Meusnier, 255
Ore, 367
Oseledec, 844
Palis-Smale, 840
Pesin-Tempelman, 848
PlCARD-LlNDELÖF, 630, 821
Poincare-Bendixson, 830
Posa. 367
Ptolemaus, 139
Pythagoras
Orthogonalraum, 636
rechtwinkliges Dreieck, 145
schiefwinkliges Dreieck, 146
Radon-Nikodym,659
Riemann, 426
Riesz, 644
Riesz-Fischer, 638
Rolle, 404
Sauer, Yorke, Casdagli, 854
Schauder, 649
SCHWARZscher Vertauschungs-, 411
Sharkovsky, 853
Shilnikov, 866
Shinai, 853
Shoshitaishvili, 856
Smale, 866
Stabilität in erster Näherung, 828
Stabilität zeitdiskreter Systeme, 836
Superpositionssatz, 690
Takens, 853
Taylor, 405
Tschebyscheff, 453
Tutte, 369
Variation der Konstanten, 826
vollständige Wahrscheinlichkeit, 773
Weierstrass, 431, 627
eine Veränderliche, 62
mehrere Veränderliche, 126
Whitney, 853
Wilson, 341
Wintner-Conti, 824
Wurzelsatz, VlETAscher, 44
Young, 848
Zentrumsmannigfaltigkeit
Abbildungen, 861
Differentialgleichungen, 856
Zerlegungssatz, 306
zum EuKLlDischen Algorithmus, 334
Schatzwert, 794, 802
Schaltalgebra, 355, 358
Schaltfunktion, 358
Schaltwert, 358
Scheitel
ebene Kurve, 239
Ellipse, 204
Parabel, 208
Scheitelpunkt, 131
Scheitelwinkel, 132
Schema, FALKsches, 263
Schenkel, 131
Schieberegister, lineare, 326
Schießverfahren, 937
einfaches, 937
Schleifenfunktion, 1038
Schleppkurve, 108
Schlinge. Graph, 361
Schlüsselgleichung, 127
Schlupfvariable, 874
Schluß von n auf n + 1, 5
Schmiegkreis, 237
Schmiegungsebene, Raumkurve, 246, 248
Schnitt
DEDEKlNDscher, 301, 307
Fuzzy-Menge, 378, 379
goldener, 198
Mengen, 301
scharfer a-, 378
unscharfe Mengen, 379
Schnittebene, 163
Schnittebenen-Verfahren, 904
Schnittkreis, 163
Schnittpunkt
drei Ebenen, 222
Ebene und Gerade, 225
Geraden, 201
Geraden im Raum, 225
vier Ebenen, 223
Schnittwinkel, 164
SCHOENFLIESS-Symbolik, 317
Schranke
Folge, 420
Funktion, 51
Menge, 622
unscharfe, 383
Schraubenlinie, 249
Schrittweite, 931
Schrittweitenparameter, 924
Schrittweitensteuerung, 932
SCHRÖDINGER-Gleichung
lineare, 557
nichtlineare, 567, 569
zeitabhängige, 558
zeitunabhängige, 559
Schwankung, Funktion, 62
ScHWARZ-BuNJAKOWSKi-Ungleichung, 635
SCHWARZ-CHRISTOFFEL-Formel, 701
SCHWARZscher Vertauschungssatz, 411
SCHWARZsches Spiegelungsprinzip, 703
Schweredruck, Integration, 468
Schwerpunkt, 197, 219
beliebige ebene Figur, Integration, 470
Bogenstuck, Integration, 469
Dreieck, 135
geschlossene Kurve, Integration, 469
Trapez, Integration, 470
Schwerpunktkoordinaten
Doppelintegral, 491
Dreifachintegral, 497
Kurvenintegral 1 Art, 482
Schwerpunktmethode, 388
parametrisierte, 388
Schwerpunktmethode
Spaltensummenkriterium
verallgemeinerte, 388
Schwingung, harmonische, 83
Schwingungsdauer
Pendel, 725
Schwingungen, 83
Sehne, 144
schneidende, 142
Sehnensatz, 142
Sehnentangentenwinkel, 143
Sehnenvieleck, 140
Sehnenviereck, 139
Sehnenwinkel, 143
Seitendruck, Integration, 468
Seitenfläche, 155
Seitenhalbierende. 135, 146
Seitenkosinussatz, 169
Sekans, 78
hyperbolicus, 88
Sekansfunktion. 133
Sekante, 142
Sekantensatz, 142
Sekantentangentensatz, 143
Sekantentangentenwinkel, 143
Sekantenwinkel, 143
Sektorformel, 687
Selbstähnlichkeit, 847
Selbstberührungspunkt, 240
Selektion, 897
semimonoton, Norm, 634
Semiorbit, 821
Senke, 828, 836
Knoten, 372
Vektorfeld. 673
sensitiv bezüglich der Anfangswerte, 852
Separationsansatz, 543, 559
Separationskonstante, 560
Separatrixfiäche, 830, 836
Separatrixschleife, 832. 866
Sexagesimaleinteilung, 133
SHIFT-Abbildung, 844, 852
Sicherheit, statistische, 799, 800
Sieb des Erastosthenes, 330
Sierpinski
Drachen, 847
Teppich, 847
er-Additivität, 656
cr-Algebra, 655
BORELsche, 656
Signal, 763
Signalanalyse, 763
Signalsynthese, 763 764
Signatur, 353
Signifikanz, 802
Simplexschritt, revidierter, 882
Simplextableau, 878
Hilfsprogramm 880
revidiertes, 881
Simplex verfahren, 877, 878
revidiertes, 881
SiMPSON-Formel, 927
Simulation
digitale, 806
Monte-Carlo
Begriff, 806
Singleton, 377
Singulärwerte, 293, 844
Singulärwertzerlegung, 293
Singularität
analytische Funktion, 695
außer wesentliche, 715
hebbare, 695
isolierte, 715
wesentliche, 695, 715
Sinus, 76
hyperbolicus, 88
Sinus-Kosinussatz, 169
polarer, 170
Sinusfunktion, 133
hyperbolische, 134
Sinus-GORDON Gleichung, 567, 569
sinusoidale Größen, 83
Sinussatz, 146, 169
Skala
Begriff, 116
logarithmische, 116
Skalar. 185
Drehinvarianzeigenschaft, 278
invarianter, 271
Skalarfeld. 664
Axialfeld, 664
ebenes, 664
Gradient, 671, 672
Koordinatendarstellung, 665
Richtungsableitung, 670
Zentralfeld, 664
Skalarmatrix, 260
Skalarprodukt, 188, 328
HiLBERT-Raum, 635
kartesische Koordinaten, 190
Koordinatendarstellung, 192
Vektoren, 263
zwei Funktionen, 947
Skalengleichung, 116
SLATER-Bedingung, 890
SOBOLEW-Raum, 633
Solenoid, 851
Soliton
Antikink, 570
Antisoliton, 569
boussinesc, 571
Burgers, 571
Hirota, 571
Kadomzev-Pedviashwili, 571
Kink, 570
Kink-Antikink, 570
Kink-Antikink Dublett, 570
Kink-Antikink-Kollision, 570
Kink-Gitter, 571
Kink-Kink-Kollision, 570
KORTEWEG-DE VRIES, 568
nichtlineares SchrÖdinger-, 569
Solitonen, 566
Wechselwirkung, 567
SOR-Verfahren, 923
Spaltenpivotisierung, 919
Spaltensummenkriterium, 922
Spannungstensor
Stützstelle
Spannungstensor, 271
Spannweite
Meßwerterfassung, 797
Stichprobenfunktionen, 795
Spatprodukt, 190
kartesische Koordinaten, 190
Koordinatendarstellung, 192
Spektralradius, linearer stetiger Operator, 640
Spektraltheorie, lineare Operatoren, 642
Spektrum
FOURIER-Transformation, 750
kontinuierliches, 643
linearer Operator, 642
Operator, 643
stetiges, 643
Spiegelsymmetrie, Ebene, 136
Spiegelung
am Kreis, 698
am Punkt, 136
an der Geraden, 136
Ortskoordinaten, 277
Spiegelungsprinzip, SCHWARZsches, 703
Spirale, 105
ARCHiMEDische, 105
CORNUsche, 107
hyperbolische, 106
logarithmische, 106, 240
Spline-Interpolation, 945
Splines
Ausgleichssplines, 960
Basissplines, 961
bikubische, 961
Ausgleichssplines, 962
Interpolationssplines, 961
Interpolationssplines, 959
kubische, 959
Ausgleichssplines, 960
Interpolationssplines, 959
natürliche, 959
normalisierte ß-Splines, 961
periodische, 959
Sprung, endlicher, 59
Sprungfunktion, 737
spezielle Definition, 719
Spur
Matrix, 260
Tensor, 274
Stabilität, 934
absolut stabil, 934
erste Näherung, 828
invariante Mengen, 823
Lyapunov, 827
orbitale, 827
periodische Orbits, 828
Ruhelagen, 828
Rundungsfehler, numerische Rechnung, 971
Störung der Anfangswerte, 934
strukturelle, 837, 838
zeitdiskrete Systeme, 836
Stabschwingungsgleichung, 544
Stammfunktion, 444
Standardabweichung, 776, 814, 815, 817
Standardform, Kreisabbildung, 869, 871
Startpunkt, 361
Stationierung, freie, 151
Statistik, 768
Berechnung von Unsicherheiten, 811
beschreibende, 795
mathematische, 768, 793
Meßwerterfassung, 795
Schätzwert, 794
Stichprobenfunktion, 794
STEFFENSEN-Verfahren, 913
Steigung, Tangente, 234
Steradiant, 155
Stereometrie, 154
Stetigkeit, Funktion, 59
eine Veränderliche, 58
elementare, 60
komplexe, 693
mehrere Veränderliche, 126
mittelbare, 61
Stichprobe, 777, 793
Umfang, 777
zufällige, 793
Stichprobenfunktion, 794
Stichprobenvariable, 793, 794
STIELTJES-Integral
Begriff, 470
Hinweis, 648
Vergleich mit RiEMANN-Integral, 470
STIELTJES-Transformation, 731
STiRLiNGsche Formel, 479
Stochastik, 768
Begriffe, 788
Störung, 554
STOKESscher Integralsatz, 687
Strahl, 131
Strahlensatze, 137
Strahlpunkt, 512
Strategie
Evolutions-, 897
mit Rekombination, 897
Mutations-Selektions-, 897
Strecke, 131
Streifen, charakteristische, 537
Streuung, 776
Meßwerterfassung, 797
Stichprobenfunktionen, 794
zweidimensionale Verteilung, 803
Strichliste, 796
Strom, Bogen, 372
Stromfunktion, 703
Strophoide, 96
Strudel, 828, 833
Sattelstrudel, 828, 833
zusammengesetzter, 858
Strudelpunkt, 512
Struktur
algebraische, 295
klassische algebraische, 308
Stutzfunktional, 646
Stützhyperebene, 646
Stutzpolygon, 963
Stutzstelle, 925, 945
aquidistante, 931
Stufenwinkel
TAYLOR-Entwicklung
Stufenwinkel, 132
STURM-LlOUViLLEsches Problem, 533
STURMsche
Funktion, 44
Kette, 44, 916
Subnormale, 235
Substitution
affine, 348
Integrationsmethode, 452, 455
Intergrationsmethode, 448
Kryptologie, 347, 348
Subtangente, 235
Subtraktion, 969
komplexe Zahlen, 36
Polynome, 11
rationale Zahlen, 1
Suchverfahren, numerisches. 893
SuGENO-Methode, 389
Summe, 6
algebraische, 380
drastische, 380
Rechenregeln, 6
Summenzeichen, 6
Summenhäufigkeit, 796
Summenkonvention, EiNSTElNsche, 270
Summenregel, 395
Summensymbolik, GAUSSsche, 948
Summierbarkeit
quadratische, 659
Superposition
Felder, 690
nichtlineare, 569
Schwingungen, 83
Superpositionsprinzip, 705
Superpositionssatz, 690
Differentialgleichungen, 518
Supplementsätze, 80
Supplementwinkel, 132
Supremum, 623
Sylvester, Trägheitsgesetz, 290
Symbol
Kronecker, 273
Landau, 57
Legendre, 339
Symmetrie
axiale, 136
FOURIER-Entwicklung, 439
Spiegelsymmetrie, 136
zentrale, 136
Symmetriebrechung, Bifurkation, 861
Symmetrieelement, 317
Symmetriegruppe, 317
Symmetriegruppen
Kristallographie, 320
Symmetrieoperation, 317
Drehspiegelung, 317
Drehung, 317
Kristallgitterstrukturen, 320
ohne Fixpunkt, 317
Spiegelung, 317
System
aus vier Punkten, 219
chaotisches, nach Devaney, 852
Differentialgleichungen
höherer Ordnung, 515
kanonisches, 537
Lösungs-, 515
lineare, 522
Normal-, 538
dynamisches, 821
Bewegung, 821
chaotisches 852
Cr-glattes, 821
dissipatives, 822
ergodisches, 841
invertierbares, 821
konservatives, 822
mischendes, 842
Rekonstruktion aus Zeitreihen, 853
stetiges. 821
volumenerhaltendes, 822
volumenschrumpfendes, 822
zeitdiskretes, 821. 822. 836
zeitdynamisches, 822
zeitkontinuierliches, 821
Gleichungen
lineare. 281
nichtlineare, 923
numerische Lösung, 917
überbestimmtes, 285
kognitives 390
lineares, 279
mischendes, 852
Normalgleichungen, 285
orthogonales, 637
orthonormiertes. 637
trigonometrisches, 637
vollständiges, 638
wissensbasierte Interpolation. 392
zeitdiskretes, strukturstabiles, 838
Tabelle mit doppeltem Eingang, 121
Tangens, 77
hyperbolicus, 88
Tangensformeln, 146
Tangensfunktion, 133
hyperbolische, 134
Tangerissatz, 146
Tangente
ebene Kurve, 233
Kreis, 142, 203
Raumkurve, 246. 248
Tangentenabschnitt 234
Tangentenneigungswinkel, 234, 394
Tangentensteigung, 234
Tangenten vieleck, 140
Tangentenviereck, 140
Tangentenwinkel, 143
Tangentialebene, 163, 410
Fläche, 252, 253
Tangiermeridian, 182
Tautologie
Aussagenlogik, 297
BoOLEsche Funktion, 357
Prädikatenlogik. 299
TAYLOR-Entwicklung, 57, 405
TAYLOR-Entwicklung
Transposition
eine Veränderliche, 434
m Veränderliche, 413
Vektorfunktion, 664
zwei Veränderliche, 412
TAYLOR-Formel, 405
TAYLOR-Reihe, 405, 434
analytische Funktion, 713
eine Veränderliche, 434
m Veränderliche, 413
zwei Veränderliche, 412
Teilbarkeit, 330
Teilbarkeitskriterien, 332
Teilbarkeitsregeln, elementare, 330
Teiler, 14, 330
größter gemeinsamer (ggT), 333
ganze Zahlen, 333
Linearkombination, 334
Polynome, 14
positiver, 331
teilerfremd
indirekter Beweis, 5
Polynome, 14
Zahlen, 333
Teilgraph, 363
Teilmenge, 300
Teilraum, 617
affiner, 617
Teilung
äußere, 197
harmonische, 198
innere, 197
stetige, 198
Strecke
Ebene, 197
Raum, 219
Telefongesrächsverteilung, 792
Telegrafengleichung, 549
Tensor, 270
0 Stufe, 271
1 Stufe, 271
2 Stufe, 271
Addition, Subtraktion, 276
antisymmetrischer, 272
Definition, 270
Deltatensor, 273
dyadisches Produkt, 272
Eigenwert, 272
Epsilontensor, 273
invarianter, 273
Komponenten, 270
Multiplikation, 276
n-ter Stufe, 270
Rechenregeln, 272
schiefsymmetrischer, 272, 277
Spur, 274
symmetrischer, 272, 276
Überschiebung, 276
Verjüngung, 272, 276
Tensorinvariante, 273
Tensorprodukt, 272
Ansatz, 962
Vektoren, 263
Term, 10
Termalgebra, 354
Termersetzungssystem, 353
Testaufgabe, lineare, 934
Tetraeder, 157, 158, 219
Teufelstreppe (devil's staircase), 871
Theorem, STURMsches, 45
Thetafunktion, 727
Tilgung, 23
Tilgungsrecrmung, 23
Todesprozeß, 792
Toleranz, 378
Tonnenkörper, 162
parabolischer, 162
topologisch
äquivalent, 834
konjugiert, 834
Torus, 161, 851, 852
Abspaltung, 863, 868
Auflösung, 868
Differentialgleichung auf dem, 827
Glattheitsverlust, 868
invariante Menge, 830
m-dimensionaler (Definition), 830
Resonanztorus, 868
Totalkrummung, 250
Träger
Funktion, 595
Geradenbuschel, 201
kompakter, 766
Maß, 840
Zugehörigkeitsfunktion, 374
Trägermenge, 353
Trägheitsgesetz, Sylvester, 290
Trägheitsindex, 290
Trägheitsmoment
Doppelintegral, 491
Dreifachintegral, 497
Integration, 468
Kurvenintegral 1 Art, 482
Trägheitstensor, 271
Trajektorie, 821
Traktrix, 108
Transformation
geometrische, 145
Hopf-Cole, 571
kartesische in Polarkoordinaten, 416
lineare, 270, 329, 620
rechtwinklige Koordinaten, 217
Wavelet-Transformation, 763
Transformationsdeterminante, 217
Transformationsinvarianz, 273
Transformationsmodul, 9
Transformationsverfahren, 291
Transitivitat, 29
Translation
Koordinatensystem, 273
primitive, 320
Translationsinvarianz, 273
Transportnetz, 372
Transportproblem, 884
Transposition
Kryptologie, 347, 348
Transposition
Varianz
Matrizen, 266
Trapez, 138
Trapezformel, 926
HERMlTEsche, 927
Trapezsumme, 926
HERMlTEsche, 927
Trennbarkeit von Mengen, 646
Trennung der Variablen, 543
Trennungssätze, 646
Treppenfunktion, 757, 767
Triangulierung
FEM, 941
Vermessungstechnik, 151
Tridiagonalisierung, 291
Triederecke, 168
Trigonometrie
ebene, 145
sphärische, 163
Tripel, 303
Trochoide, 102
TSCHEBYSCHEFF
Approximation, 951
diskrete, 953
Polynome, 951
Formel, 88
Satz, 453
Ungleichung, 31
Tupel, n-Tupel, 120
Turbulenz, 822, 868
TUTTE-Satz, 369
Typ, 353
Überdeckung, offene, 824
Übergangsmatrix, 789, 790
Übergangs Wahrscheinlichkeit, Stochastik, 789
Überschiebung, 274
Umfang
Ellipse, 205
Kreis, 143
Vieleck, 141
Umformung, identische, 11
Umgebung eines Punktes, 626
Umkehrabbildung, 306
Umkehrfunktion, 52
Hyperbelfunktionen, 92
trigonometrische, 85
Umkehrtransformation, 730
Umkreis, 135
Dreieck, ebenes, schiefwinkliges, 146
Sehnenviereck, 139
Umlaufintegral, 479, 485
Vektorfeld, 683
Verschwinden, 487
Umlaufsinn
Figur, 136
Spiegelsymmetrie, 136
Unabhängigkeit
lineare
Elemente des Vektorraumes, 619
Gleichungssysteme, 280
vom Integrationsweg, 485, 709
UND, 295
unendlich, 1
abzählbar 307
überabzählbar, 307
Ungleichung, 28
1 Grades. 33
2 Grades, 33
arithmetisches Mittel, 30
BERNOULLIsche, 31
BESSELsche, 638
binomische, 31
CAUCHY-SCHWARZsche. 31
Dreiecks-, 30
geometrisches Mittel, 30
HÖLDERsche, 32
MiNKOWSKische, 33
quadratisches Mittel, 30
SCHWARZ-BUNJAKOWSKI -, 635
spezielle, 30
TSCHEBYSCHEFFSche, 31, 777
verschiedene Mittelwerte, 30
Universalsubstitution, 455
Unsicherheit
absolute, 815
fuzzy, 374
Meßergebnisse, 811
relative, 815
Unstetigkeit, hebbare, 59
Unstetigkeitsstelle, 58
Unterdeterminante, 267
Untergraph, 363
induzierter, 363
Untergruppe. 310
triviale, 310
zyklische, 310
Untergruppenkriterium, 310
Unterraum, 328
invarianter, 314
Unterraumkriterium, 328
Unterring. 324
trivialer, 324
Unterringkriterium. 324
Untervektorraum
instabiler, 831, 836
stabiler, 831, 836
Urbildbereich
Menge, 49
Urliste (Meßprotokoll). 795, 811
Urnenmodell, 777
Vagheit, 374
Valenzmatrix, 368
VAN-DER-PoLsche Differentialgleichung, 859
Variable
abhängige, 48, 279
Aussagenvariable, 295
BoOLEsche, 356
freie 298
gebundene, 298
künstliche, 880
linguistische, 375
unabhängige, 48, 120, 279
Variablentrennung, 543
Varianz, 776
Variation
Vektorverbände, homomorphe
Variation, 708, 7G9
mit Wiederholung, 769
ohne Wiedei holung, 769
Variation dei Konstanten 519
Satz, 826
Vaiiationsaufgd.be, 936
allgemeinem, 580
einfac he
eine Veränderliche. 574
mehrere Veränderliche, 579
Variationsgleichung, 828, 836, 845, 941
Variationsproblem, 572
1 Ordnung 572
DiRiCHLETsches, 580
höherer Ordnung, 572
Parameterdarstellung, 572
Variationsrechnung, 572
1 und 2 Variation, 582
numerische Lösung, 580
Ritz Verfahren, 581
Varietät, 354
Vektor 185,261,617
Absolutbetrag, 185
axialer, 185
Spiegelungsverhalten, 277
DARBOUXscher, 250
Differentiationsregeln, 663
ebenes Flächenstück, 684
Einheitsvektor, 186
freier, 185
gebundener, 185
gemischtes Produkt, 190
Grundvektor, 191
kollineaier, 186
komplanarer, 186
Komponenten, 669
konjugierter, 896
Koordinaten, 187
Länge, 194
linienfluchtiger, 185
linkssingulärer, 293
Modul 185
Nullvektor, 186
orthogonaler, 189
polarer, 185
Spiegelungsverhalten, 277
Radiusvektor, 186
rechtssingulärer, 293
reziproker, 191
reziproker Grundvektor, 191
skalar invarianter, 678
Spaltenvektor, 261
stochastischer, 789
Zeilenvektor. 261
Zerlegung, 187
Vektor algebra, 185
Vektoranalysis. 663
Vektordiagramm,Schwingungen, 84
Vektoren
dyadisches Produkt, 263
Kommutativgesetz, 263
Skalarprodukt 263
Tensorprodukt. 263
Winkel zwischen, 194
zyklische Vertauschung, 213
Vektorfeld 665, 821
Divergenz. 673
kartesische Koordinaten, 667
Komponenten, 669
Koordinatendarstellung, 667
Kreisfeld, 667
Kugelkoordinaten, 668
punktförmige Quellen, 690
Quelle, 673
Richtungsableitung, 670
Rotation, 675
Senke, 673
sphärisches 667
Umlaufintegral, 683
zentrales. 666
Zylinderkoordinaten, 668
zylindrisches, 667
Vektorfunktion
Ableitung, 663
Hodograph, 663
lineare, 275
skalare Variablen, 663
TAYLOR-Entwicklung, 664
Vektorgleichung
Ebene, 193
Gerade, 193
Raumkurve, 246, 248
Vektorgradient, 673
mit Nablaoperator, 677, 678
Vektoriteration, 291. 293
Vektorpotential, 689
Vektorprodukt, 188
doppeltes. 190
Hinweis, 264
kartesische Koordinaten, 190
Koordinatendarstellung, 192
Vektorraum. 327, 616
alle Nullfolgen, 618
beschränkte Folgen, 618
ß(T), 618
C([o, 6]). 618
C(fc>([a,6]), 618
EuKLiDischer, 328
n-dimensionaler, 262
finite Zahlenfolgen, 618
Folgen, 617
f(T), 618
Funktionen, 618
geordneter, 621
Halbordnung, 621
K",617
komplexer, 617
konvergente Folgen, 618
LP, 659
F, 618
n-dimensionaler, 327
reeller, 327. 617
s aller Zahlenfolgen, 618
unendlichdimensionaler, 327
Vektor verbände, homomorphe, 623
Vektorverband
Volumen
Vektorverband, 623
Vektorzerlegung, 187
VENN-Diagramm, 301
Verband, 355
distributiver, 355
Vereinigung
Fuzzy-Mengen, 380
Mengen, 301
unscharfe Mengen, 379
Verfahren
Adams-Bashforth-, 933
Austausch-, 279
Bairstow-, 916
Bisektions-, 291
Cholesky-, 286, 920
Galerkin-, 9ß6
Gauss-Newton-, 924
ableitungsfreies, 925
Gauss-Seidel-, 922
Graeffe-, 917
GRAM-SCHMiDTsches, 288
HOUSEHOLDER-, 286, 948
Iterations-, 291
Jacobi-, 291
Lanczos-, 291
Milne-, 933
Newton-, 912, 924
modifiziertes, 912
Orthogonalisierungs-, 286, 288
Prediktor-Korrektor-, 933
Ritz-, 936
Romberg-, 928
runge-kutta-, 931
SOR-, 923
Steffensen-, 913
Transformations-, 291
Vergleichsfunktion, Variationsaufgabe
eine Veränderliche, 574
mehrere Veränderliche, 579
Verifizieren, Beweisführung, 5
Verjüngung, 272
Tensor, 276
Verkettung, 385
Verknüpfung
max-average, 386
max-min, 385
max-prod, 386
Verknüpfungsoperator, 385
Verknupfungsprodukt, 385
Verknupfungsregeln, 386
Versicherungsmathematik, 21
Versiera der Agnesi, 95
Vertauschbarkeit, lineare Operatoren, 329
Vertauschung, zyklische
Seiten und Winkel, 145
Vektoren, 213
Vertauschungssatz, SCHWARZscher, 411
Verteilung
Binomial-Verteilung, 777
X2-Verteilung, 785
diskrete, 777
FlSHER-Verteilung, 785
Häufigkeitsverteilung, 796
hypergeometrische, 777, 779
logarithmische Normal-Verteilung, 782
Meßfehlerverteilungsctichte, 811
Normalverteilung, 780
PoiSSON-Verteilung, 780
stetige, 780
Student-Verteilung, 786
i-Verteilung, 786
Weibull-Verteilung, 784
Verteilungsdichte, mehrdimensionale, 777
Verteilungsfunktion, 774
stetige, 775
Verteilungsproblem, 887
Vertrauensgrenze
Mittelwert, 800
Regressionskoeffizient, 804
Streuung, 801
Vorgabe, 816
Vervollständigung, 631
Vieleck
ähnliches, 137
Außenwinkel, 141
Basiswinkel, 141
ebenes, 140
Flacheninhalt, n-Eck, 141
Inkreisradius, 141
Innenwinkel, 141
regelmäßiges, konvexes, 140
Seitenlänge, 141
spezielle regelmäßige, 141
Umfang, 141
Umkreisradius, 141
Zentriwinkel, 141
Vielfaches, 14
des Teilers, 330
kleinstes gemeinsames (kgV), 334
Vielflach, 155
Viereck, 138, 139
konvexes, 139
Umfang, 140
Vierergruppe, KLElNsche, 311
VlETAscher Wurzelsatz, 44
Vollwinkel, 132
ebener, 133
räumlicher, 156
VOLTERRASChe
Integralgleichung, 630
1 Art, 583, 605
2 Art, 605
Volumen
Doppelintegral, 491
Dreifachintegral, 497
Hohlzylinder, 160
Kegel, 160
Keil, 158
Kugel, 161
Obelisk, 158
Polyeder, 156
Prisma, 156
Pyramide, 157
Quader, 156
Teilmenge, 655
Tetraeder, 219
Volumen
Winkel
Tonnenkörper, 162
Torus, 161
Würfel 156
Zylinder, 159
Volumenableitung, 670 672
Volumenelement
beliebige Koordinaten, 495
kartesische Koordinaten, 492
Kugelkoordinaten, 495
Tabelle. 496
Vektorkomponenten, 681
Zylinderkkordinaten, 493
Volumenintegral, 491
Volumenskala, 117
Vorwärtseinschnitt
auf der Kugel. 177
durch zwei Strahlen, 151
ohne Visier, 152
Vorzeichenfunktion, 50
vrai sup, 659
Wärmeleitungsgleichung
dreidimensionale. 556
eindimensionale, 547, 746
Wahrheitsfunktion, 295, 296
Äquivalenz, 295
Disjunktion, 295
Implikation. 295
Konjunktion, 295
NAND- Funktion, 297
Negation, 295
NOR-Funktion, 297
Wahrheitstafel. 295
Wrahrheitswert. 295
Wahrscheinlichkeit, 772
bedingte, 773
Flächeninterpretation. 775
vollständige, 773
Wahrscheinlichkeitsdichte, 775
Wahrscheinlichkeitsintegral 782
Wahrscheinlichkeitsmaß, 840
ergodisches, 844
invariantes. 841
Wahrscheinlichkeitspapier. 797
Wahrscheinlichkeitsiechnung, 768 770
Wahrscheinlichkeitsvektor, 790
Walsh Funktionen, 767
Walsh Systeme, 767
Warteschlange, 792
Wavelet 764
Daubechies- Wavelets, 766
Haar- 764
mexikanischer Hut 764
orthogonales, 766
Wavelet-Transformation, 763, 765
diskrete 766
Haar Wavelet Transformation, 766
dyadische 765
schnelle. 766
WEBERsche Funktion. 527
Wechsel winkel, 132
Wechselwirkung
Kraftbegriff, 558
Solitonen, 567
Weg, Giaph
alternierender, 370
zunehmender, 370
Wegberechnung, Integration. 467
WEIBULL-Verteilung, 784
Weierstrass
Approximationssatz, 627
elliptische Funktion, 728
Satz, 431
eine Veränderliche, 62
mehrere Veränderliche, 126
Welle
ebene, 764
nichtlineare, 567
Wellenfunktion
klassisches Problem, 555
SCHRÖDINGER-Gleichung, 557
Wärmeleitungsgleichung 557
Wellengleichung
eindimensionale, 755
n dimensionale, 555
Wellenlänge, 83
Wendepunkt, 238, 405. 407
Wendepiinktbestimmung
gemäß Gleichung, 243
gemäß höherer Ableitungen, 406
WENN DANN Regel
Fuzzy -Logik, 386
Logik, 295
Wert, wahrer, 813
Wertebereich
Funktion, 48
Menge, 49
Operator, 620
Wertesystem, 120
wertverlaufsgleiche Ausdrücke, 296, 358
Windung, Raumkurve. 250
Windungsradius, Raumkurve, 250
Windungszahl, 870
Winkel, 131
an Geraden, 132
an Parallelen, 132
Bogenmaß, 133
ebene Kurven, 235
Ebenen, 222
ebener, 155
entgegengesetzte, 133
EuLERsche, 218
Gegenwinkel, 132
Gerade und Ebene, 226
Geraden, Raum, 225
gestreckter. 132
Gradmaß, 133
Raumwinkel 155
rechter, 132
Rück Versetzung, 179
spitzer, 132
Stufenwinkel, 132
stumpfer, 132
überstumpfer, 132
zwischen
ebenen Kurven, 235
Winkel
Zins es Zinsrechnung
Raumkurven, 254
Vektoren, 194
Winkelbegriff, 131
Winkelbezeichnungen, 132
Winkelfunktion, 76
Winkelhalbierende, 135, 146
Winkelkosinussatz, 169
Winkelsumme
ebenes Dreieck, 135
sphärisches Dreieck, 168
Wirbeldichte, 689
Wirbelfeld
quellenfreies, 689
reines, 689
Wirbelflußdichte, 691
Wirbellinien, 675
Wirbelpunkt, 512
Wort
IEEE-Standard, 968
metrischer Raum, 625
Worthalbgruppe, 308
WRONSKI-Determinante, 518, 826
Würfel, 156, 158
Wurzel
Begriff, 8
Gleichung, 43
Wurzelbaum, 367
Wurzelkriterium, 424
Wurzelsatz, VlETAscher, 44
Wurzelziehen
komplexe Zahl, 38
positive Zahl, 8
XOR (exklusives ODER), 357
YoUNGscher Rahmen, 316
Zahlen, 1
Approximation, 4
BERNOULLische, 428
EuLERsche, 429
FERMATsche, 331
Fibonacci, 334, 871
ganze, 1
imaginäre, 34
irrationale, 1, 2, 307
komplexe, 34
Absolutbetrag, 35
Addition, 36
algebraische Form, 34
Argument, 35
Division, 37
Exponentialform, 36
Hauptwert, 35
Modul, 35
Multiplikation, 37
Potenzieren, 38
Radizieren, 38
Subtraktion, 36
trigonometrische Form, 35
konjugiert komplexe, 36
MERSENNEsche, 331
naturliche, 1
nichtnegative ganze, 1
Primzahlen, 330
rationale, 1
reelle, 2
teilerfremd, 333
transzendente, 1, 2
zusammengesetzte, 330
Zahlendarstellung, interne, 966
Zahlenebene
GAUSSsche, 35
komplexe Abbildung, 706
Zahlenfolge, 420
beschrankte, 420, 618
Bildungsgesetz, 420
Divergenz, 421
finite, 618
Glieder, 420
Grenzwert, 421
im metrischen Raum, 626
konvergente, 626
Konvergenz, 421
monotone, 420
obere Schranke, 421
unendliche, 420
untere Schranke, 421
zu Null konvergente, 618
Zahlengerade, 1
erweiterte, 656
Zahlenintervall, 2
Zahlensystem, 965
Zahlentheorie, elementare, 330
Zeichendarstellung, interne, 965
Zeichenregel, kartesische, 915
Zeilensummenkriterium, 922
Zeit-Frequenz-Analyse, 766
Zeitreihe
Ordnung p, 853
Zelt-Abbildung, 840
Zenit, 148
Zenit winkel, 148
Zentralfeld, 664
Zentralwert, Stichprobenfunktionen, 795
Zentriwinkel, 133
Kreis, 144
Vieleck, 141
Zentrum, Vektorfeld, 666
Zentrumsmannigfaltigkeit, 856
Abbildungen, 861
Differentialgleichungen, 856
lokale, 861
Zerfall
radioaktiver, 791
Torus, 868, 869
Zerlegung, 306
orthogonale, 636
Zerlegungssatz, 306
Differentialgleichungen, 518
Zielfunktion, lineare, 873
Zielpunkt, 361
Zigarrenform, Ellipsoid, 226
Zinsen, 22
Zinseszins, 22
Zinseszinsrechnung, 22
Zinssatz
Zylinderkoordinaten
Zinssatz, 22
Zissoide 96
Z-TVansformation, 757
Bildfunktioii, 757
Dämpfung, 759
Definition 757
Diffeientation, 759
Differenzcnbildung. 759
Faltung, 759
Integiation, 759
inverse, 760
Originalfolge, 757
Rechenregeln, 758
Summa<"ion, 758
Translation, 758
Z-transformierbar. 757
Zusammenhg m LAPLACE-Transformation, 759
Zufallserscheinung, 768
Zufallsgröße, 774
diskrete, 774
kontinuierliche, 774
stetige. 775
unabhängige. 802
zweidimensionale, 802
Zufallsvektor
mathematische Statistik, 793
mehrdimensionale Zufalls veränderliche, 777
Zufallsveränderliche 774
mehrdimensionale, 777
unabhängige, 777
Zufallszahlen, 793, 806
andere Verteilung, 807
Anwendung, 807
Erzeugung, 807
gleichverteilte. 806
Kongruenzmethode, 807
Pseudozufallszahlen, 807
Tabelle 1128
Zugehörigkeitsfunktion, 374, 375
glockenförmige, 376
trapezförmige, 375
Zugehörigkeitsgrad 374
Zuordnungsproblem, 886
Zustand
entarteter, 561
stationärer, 559
Teilchen. 557
Zustandsraum, Stochastik, 788
Zuverlässigkeitsuntersuchung, 792
Zuwachsfunktion, 934
Zweieck, sphärisches, 166
Zweifachintegral, 488
Zweiflach, 155
Zweikörperproblem, 538
Zwischenveränderliche, 397
Zwischenwertsatz
eine Veränderliche, 61
mehrere Veränderliche, 126
Zykloide, 101
Basis, 101
gewöhnliche, 101
kongruente, 101
verkürzte, 102
verlängerte. 102
Zyklus
Grenzzyklus, 859
Kette, 371
Zylinder, 159. 230
elliptischer, 230
hyperbolischer, 230
Invariantenvorzeichen
elliptischer, 230
hyperbolischer, 230
parabolischer, 230
parabolischer, 230
Zylinderabschnitt, 159
Zylinderfläche, 159, 220
Zylinderfunktion, 527
Zylinderhuf, 159
Zylinderkoordinaten, 215
Vektorfeld, 668
MATHEMATISCHE ZEICHEN
Beziehungszeichen
= gleich
= identisch gleich
= gleich per definitionem
C sehr viel kleiner
« ungefähr gleich
< kleiner
> größer
» sehr viel größer
<
>
±
ll>
kleiner oder gleich
größer oder gleich
ungleich, verschieden von
entspricht
x <x' und x y x' Reihenfolgerelationen in Mengen
Griechisches Alphabet
A a Alpha
H rj Eta
Nu Ny
T t Tau
const
TT = 3,14159
A,B
->A,Ä
AaB,h
AV B,U
A^B
A&B
A, B, C,
A
AcB
ACB
A\B
AAB
AxB
x e A
caidA
AHB
AuB
Vz
{x e X p(x)}
T X—*Y
e
H = Hl®H2
B ß Beta r 7 Gamma
9 6 •& Theta I1 Iota
E £ Xi O 0 Omikron
T v Ypsilon ^ ^ Phi
A 6 Delta
K k Kappa
77 TT Pi
X x Chi
Konstanten
konstante Größe (Konstante)
Verhältnis des Kreisumfanges zum
Kreisdurchmesser
C = 0,57722
e = 2,71828
Algebra
Aussagen
Negation der Aussage A
Konjunktion, logisches UND
Disjunktion, logisches ODER
Implikation, WENN A, DANN B
Äquivalenz, A GENAU DANN, WENN B
Mengen
Abschließung der Menge A oder
Komplement von A bezuglich einer Grundmenge
A ist echte Teilmenge von B
A ist Teilmenge von B
Differenz zweier Mengen
symmetrische Differenz
kartesisches Produkt
x ist Element von A
Kardinalzahl der Menge A
Durchschnitt zweier Mengen
Vereinigung zweier Mengen
für alle Elemente x
Teilmenge aller x aus X
mit der Eigenschaft p(x)
Abbildung T aus dem Raum X in
den Raum Y
Restklassenaddition
orthogonale Zerlegung des Raumes H
N
Z
Q
R
R+
Rn
C
RoS
x <£ A
0
niLi^i
LEU*
3x
{x p(x)},
{x\p{x)}
9*
~fi
0
A ® B
Ee Epsilon Z C, Zeta
A \ Lambda M p My
P p Rho E a Sigma
$ ip Psi I? u) Omega
Eulersche Konstante
Basis der natürl Logarithmen
Menge der naturlichen Zahlen
Menge der ganzen Zahlen
Menge der rationalen Zahlen
Menge der reellen Zahlen
Menge der positiven reellen Zahlen
n dimension euklid. Vektorraum
Menge der komplexen Zahlen
Relationenprodukt
x ist nicht Element von A
leere Menge, Nullmenge
Durchschnitt von n Mengen A%
Vereinigung von n Mengen Aj
es existiert ein Element x
Menge aller x mit der
Eigenschaft p(x)
Isomorphie von Gruppen
Aquivalenzrelation
Restklassenmultiplikation
KRONECKER-Produkt
supp Träger (support)
sup M Supremum Kleinste obere Schranke der nach oben beschränkten, nichtleeren Menge M (M C R)
inf M Infimum Größte untere Schranke der nach unten beschränkten, nichtleeren Menge M (M C R)
Mathematische Zeichen 1193
[a, b] abgeschlossenes Intervall, d h {.r G R a < x < b}
(a, b), ]o, ö[ offenes Intervall, dh {zeRa<r<b}
(a, b], ]a, b] linksoffencs Intervall, d h {x € R a < x < b}
[a, 6), [a, 6[ icchtsoffenes Intervall dh {x 6 R a < x < b}
signa Voizeichen (signum) der Zahl o,zB sign (±3) = ±1. signO = 0
| a | Absolutbetiag der Zahl a
am a in der m-ten Potenz
ec bzw expx Exponentialfunktion
y/ä Quadratwurzel aus a
yfä n-te Wurzel aus a
log6 a Logarithmus der Zahl a zur Basis 6, z B log2 32 = 5
log a dekadischer Logarithmus (Basis 10) der Zahl o,zB lg 100 = 2
In a natürlicher Logarithmus (Basis e) der Zahl a.zB In e = 1
a\ b a teilt b
a\b a teilt b nicht
a = b mod rn. a = b(m) a ist kongruent zu b modulo m, dh b — a ist durch m teilbar
ggT(ai.a2, ,aTl) größter gemeinsamer Teiler von ai,a2, ,an
kgV(ai,a2, ,an) kleinstes gemeinsames Vielfaches von a\,a2, ,an
:)
Binomialkoeffizient
LEGENDRE-Symbol
\bJ
n' = 1 2 3 n Fakultät, zB 6'= 123456 = 720, speziell 0» = 1' = 1
Bn)" = 246 Bn) = 2n n\ speziell 0" = 1" = 1
Bn +1)» = 1 3 5 Bn + l)
A = (üij) Matrix A mit den Elementen a^
AT transponierte Matrix
A_1 inverse Matrix
det A, D Determinante der quadratischen Matrix A
E = i^ij) Einheitsmatrix
0 Nullmatrix
6ij KRONECKER-Symbol Sij = 0 für i ^ j und Sij = 1 für i = j
a Spaltenvektor im Rr'
a° Einheitsvektor in Richtung a
11 a 11 Norm von a
a, b , c Vektoren im R3
i, j k ex . ev , e2 Basisvektoren (orthonormiert) des kartesischen Koordinatensystems
ax , üy , az Koordinaten (Komponenten) des Vektors a
| a | Betrag, Länge des Vektors a
a a Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar
a b, ab, (ab), (a, b) Skalarprodukt
a x b , [a x b], [a, b] Vektorprodukt
a (b x c) = abc Spatprodukt (gemischtes Produkt)
0, Ö Nullvektor
T Tensor
G = (V,E) Graph mit der Knotenmenge V und der Kantenmenge E
1194 Mathematische Zeichen
_L
#
A
*
orthogonal (senkrecht)
gleich und parallel
Dreieck
Geometrie
rad
Bogenstuck, z B AB
Winkel, zB £ABC
Grad ^
Minute > als Maß für Winkel und Kreisbogen, z B 32° 14' 11,5"
Sekunde J
Neugrad C60° = 400 gon, s Tabelle 3 5, S 149 und Tabelle 21 4, S 1044)
parallel
ähnlich, z B AABC ~ ADEF,
proportional
Radiant
Komplexe Zahlen
i (mitunter j)
Im (z)
arg z
z oder z*
Imaginäre Einheit (i2 = — 1)
Imaginarteil der Zahl z
Argument von z
Die zu z konjugiert komplexe Zahl,
zB-2 = 2 + 3i,f = 2-3i
Re(*)
1*1
Ln2
Realteil der Zahl z
Betrag von z
Logarithmus (natu
plexen Zahl
Kreisfunktionen, Hyperbelfunktionen
sin
tan
sec
Arsinh
Artanh
Arsech
aresin
arctan
arcsec
sinh
tanh
sech
Sinus
Tangens
Sekans
Areasinus
Areatangens
Areasekans
Hauptwert von Arkussinus
Hauptwert von Arkustangens
Hauptwert von Arkussekans
Hyperbelsinus
Hyperbeltangens
Hyperbelsekans
cos
cot
cosec
Arcosh
Arcoth
Arcosech
arccos
arccot
arccosec
cosh
coth
cosech
Kosinus
Kotangens
Kosekans
Areakosinus
Areakotangens
Areakosekans
Hauptwert von Arkuskosinus
Hauptwert von Arkuskotangens
Hauptwert von Arkuskosekans
Hyperbelkosinus
Hyperbelkotangens
Hyperbelkosekans
lim xn = A
n—»oo
lim
X—»O
/ =
/ =
A =
A =
i=l
n.
f(x) = B
o(g) für x
O(g) für :
= max'
= max
SU
lE-i
/(), <p{ )
A
d
d
dx'
d2
dx2'
'¦ —> a
v —* a
dn
dxn
Analysis
A ist Grenzwert der Folge (xn) Man schreibt auch xn —> A für n —? oo,
zB lim (l + ^)n = e
B ist Grenzwert der Funktion f(x), wenn x gegen a strebt
LANDAU-Symbol „klein o" bedeutet f(x)/g(x) —> 0 für x —? a
LANDAU-Symbol „groß O" bedeutet f{x)/g{x) —> C {C = const, C ^ 0) für x -* a
Ausdruck A ist zu maximieren, analog min', extrem'
Ausdruck A ist maximal, analog min, extrem
Summe, in der i (der Laufindex) von 1 bis n läuft
Produkt, in dem i (der Laufindex) von 1 bis n läuft
Bezeichnung einer Funktion, z B y = f{x), u = <p(x,y, z)
Differenz oder Zuwachs, z B Ax
Differential, z B dx
Bildung der ersten, zweiten, , n-ten Ableitung
Mathematische Zeichen 1195
/'(*), rix),/"
/D)(*), ,/(ri
oder
y,y, ,
<9 <9
dxdy
L>
grad
div
rot
j,l»)
«92
<9x2'
rxi Jry
'(*),
0
,/yy:
erste, zweite, , n-te Ableitung der Punktion f(x)
Bildung der ersten, zweiten, , n-ten partiellen Ableitung
Bildung der zweiten partiellen Ableitung zunächst nach x, dann nach y
erste, zweite, partielle Ableitung der Funktion f(x,y)
Differentialoperator, z B Dy = y', D2y = y"
Gradient eines skalaren Feldes (grad <p = V<p)
Divergenz eines Vektorfeldes (div v = V v)
Rotation eines Vektorfeldes (rot v = V x v)
V = — i + — j + — k Nablaoperator, hier in kartesischen Koordinaten (auch HAMiLTONscher
Differentialoperator genannt, nicht zu verwechseln mit dem Hamilton-
Operator der Quantenmechanik)
dx dy dz
d?_ d?_ <?_
dx2 dy2 dz2
a & d2 d2 T
A = £-2 + w~ö + «-ö LAPLACE-Operator
— Richtungsableitung, d h Ableitung eines
Ca Q(n
skalaren Feldes <p nach der Richtung a — = a grad ip
da.
b b
/ f(x)dx, / f(x)dx bestimmtes Integral der Funktion / zwischen den Grenzen a und b
/ f(x, y, z)ds Kurvenintegral 1 Art bezüglich der Raumkurve K mit der Bogenlänge s
K
<b (P dx + Q dy) Integral über eine geschlossene Kurve (Umlaufintegral)
(K)
I / f(x,y)dS Doppelintegral über einem ebenen Flächenstuck S
(S)
/ f(x, y, z) dS Oberflächenintegral 1 Art über einer raumlichen Flache S
s „
U dS — (h)U(r) dS Oberflächenintegral 2 Art über einer geschlossenen Oberfläche
(S) (S)
/ f(x, y, z) dV, I f(x, y, z) dV Dreifachintegral oder Volumenintegral über dem Volumen V
Tabelle 6.1 Ableitungen elementarer Funktionen in Intervallen,
in denen diese definiert und die auftretenden Nenner ^ 0 sind (s. S. 396)
Funktion
C (Konstante)
X
xn (n G R)
1
X
1
xn
y/x
^(n6R,n/0,i>0)
ex
ebx FgR)
ax (a > 0)
abx (b G R, o > 0)
Ina;
logax (o > 0, a ^ 1, x > 0)
lg x (x > 0)
sinx
cosx
tanz (x ^ Bfc+l)^, fceZ)
COtX (x 7^ /C7T, /c G Z)
Ableitung
0
1
nxn~l
1
X2
1
2^/i
1
n/ r, 1
n vxn x
6e6x
a^lno
babx In a
1
X
- lOga e = —i
x xlno
1, 0,4343
- lg e «
X X
cosx
— sinx
1 2
—^— = sec x
cosJx
-1 2
—ö~ = — cosec x
sin x
Funktion
secx
cosec x
aresin x (|x| < 1)
arecosx (|x| < 1)
aretan x
arecot x
aresee x
sinhx
coshx
tanhx
coth x (x^0)
Arsinhx
Arcoshx (x > 1)
Artanhx (|x| < 1)
Arcothx (|x| > 1)
[f(x))n (n G R)
ln/(x) (/(x)>0)
Ableitung
sinx
cos2x
— cosx
sin2x
1
%/1-x2
1
Vl-x2
1
1 + x2
1
1 + x2
1
x\Jx2 — 1
1
x\Jx2 — 1
coshx
sinhx
1
cosh2 x
1
sinh x
1
y/l+x2
1
Vx2-1
1
1-x2
1
x2-l
n[f(x)]n-lf(x)
fix)
TabelJe 8.1 Grundintegrale (s S 446)
Potenzen
J*nd*=WTl t"*-1)- /f = '"W
Trigonometrische Funktionen
/ sin x dx = — cos x, / cos x dx = sin x
1 tan x dx = — In | cos x\
/ cot xdx = In | sin a:|
-dx- =tanx, /-^f—= -cotx
J cos" x J sin x
Gebrochenrationale Punktionen
/ dx _ 1 \rtanh z _ 1 i 1 a + x 1
Jal-jl aJVTlanna '2am\a-x\
(für |x| < a)
f dx _ 1 A^tu £ _ 1 i„ 1 x — a 1
J x2 _ a2 - -äArcotn ä - 2S ln 1 xTä
(für |x| > a)
Exponentialfunktionen
/ex dx = ex, fax dx = ^
Hyperbelfunktionen
/ sinh xdx = cosh x, / cosh xdx = sinh x
/ tanh x dx = In | cosh x|
/ coth x dx = In | sinh x|
/ dxi = tanh x, / d\ = - coth x
y cosh x J sinh x
Irrationale Funktionen
/ dx nrrHn x
7 x/a2 - x2 arCuin *
r j
/ dx Anirih x — In lr 1 i/r2 1 rr2l
y Va2+x2 Ar°mna lnF ' vx ' a 1
/ dx ArrrHn x' In lr 1 -»Ar2 ,r2l
Tabelle 8.5 Wichtige Eigenschaften bestimmter Integrale (s S 459)
Eigenschaft
Hauptsatz der Integralrechnung
Vertauschungs- j f{x)dx = -J f{x)dx
a b
Intervallregel
Unabhängigkeit von der Bezeichnung
der Integrationsvariablen
Differentiation nach
variabler oberer Grenze
Mittelwertsatz der Integralrechnung
Formel
b
f f(x) dx = F{x) \ba= F(b) - F(a) mit
F(x) = / /(x) dx + C bzw F'{x) = f(x)
Gldche Integration. jf(x)dx = 0
beb
/ /(x) dx = / /(x) dx + / /(x) dx
a a c
b b b
1 f(x) dx = 1 f(u) du = / /(x) dx
a a o
±jf(x)dx = f(x)
b
Jf(x)dx = (b-a)f(t) (a<£<6)
a
Tabelle 8.2 Wichtige Integrationsregeln für unbestimmte Integrale (s S 447)
Regel
Integrationskonstante
Integration und
Differentiation
Faktorregel
Summenregel
Partielle Integration
Substitutionsregel
Spezielle Form des
Integranden
Integration der
Umkehrfunktion
Formel für die Integration
/ f(x) dx = F(x) + C (C const)
F<W = f = /(*)
/ af(x) dx — a f(x) dx (a const)
/ [u(x) ± v(x)] dx = / u(x) dx ± v(x) dx
/ u(x)v'(x) dx = u(x)v(x) — / u'(x)v(x) dx
x = u(t) bzw t = v(x),
u und v seien zueinander Umkehrfunktionen
1 f{x)dx= f f(u{t))u'{t)dt bzw
J JK ) J v'(u(t))
f f'(x)
1 / dx — In |/(a;)| + C (logarithmische Integration)
J /(r)
2 Jf'(x)f(x)dx=^f2(x) + C
u sei inverse Funktion zu v
/ u(x) dx = xu(x) — F(u(x)) + C\ mit
F(x) = / u(x) dx + C2 (Ci, C2 const)
Tabelle 3.22 Zusammenhang zwischen kartesischen, Kreiszylinder- und Kugelkoordinaten (s S 216)
Kartesische Koordinaten
X
y
z
V*2 + y2
y
arctan —
X
z
y/x2 +y2 + z2
arctan —
z
arctan -
X
Zylinderkoordinaten
= gcos(f
= q sin ip
= z
= Q
= ip
= z
= y/g2 + z2
Q
= arctan -
z
= <P
Kugelkoordinaten
= r sin "d cos ip
= r sin d sin <p
= rcos'd
= rsm.'d
= <p
= r cos d
= r
= <P
Tabelle 8.7 Kurvenelemente (s S 482)
Ebene Kurve in
der x,y- Ebene
Raumkurve
Kartesische Koordinaten x,y = y(x)
Polarkoordinaten </?, p = p{<p)
Parameterdarstellung in kartesischen
Koordinaten x = x(t), y = y(t)
Parameterdarstellung in kartesischen
Koordinaten x = x(t),y = y(t), z = z(t)
ds=y/l + [y'{x)]2dx
ds = y/p2(ip) + [p'(cp)]2dcp
ds = y/[x'(t)]2 + [y'{t)]2dt
ds = vW)]2 + ly'(t)J + [z'(t)]Ht
Tabelle 8.8 Ebene Flächenelemente (s S 492)
Koordinaten
Kartesische Koordinaten x, y
Polarkoordinaten p, </?
Beliebige krummlinige u, i>-Koordinaten
Flächenelemente
dS = dx dy
dS = pdp d(p
dS = \D\dudv D Funktionaldeterminante
Tabelle 8.11 Volumenelemente (s S 497)
Koordinaten
Kartesische Koordinaten #, y, z
Zylinderkoordinaten p,<p,z
Kugelkoordinaten r, d, </?
Beliebige krummlinige Koordinaten u, v, w
Volumenelemente
dV = dx dy dz
dV = pdpdip dz
dV = r2 sin fl dr dfi d<p
dV = \D\dudvdw D Funktionaldeterminante
Tabelle 8.12 Flächenelemente gekrümmter Flächen (s S 499)
Koordinaten
Kartesische Koordinaten x,y,z = z(x,y)
Zylindermantel R (konstanter Radius),
Koordinaten </?, z
Kugeloberfläche R (konstanter Radius),
Koordinaten -d, <p
Beliebige krummlinige Koordinaten w, v
{E, F,Gs Differential des Bogens, 3 6 3 3,1., S 253)
Flächenelemente
^-^i^g)'**
dS = Rdipdz
dS = R2 sintf dtf d<p
dS=\/EG-F2dudv
Tabelle 13.1 Zusammenhang zwischen den Komponenten eines Vektors in kartesischen, Zylinder-
und Kugelkoordinaten (s S 669)
Kartesische Koordinaten
V = Vxex + Vvey + Vzez
yx
Vy
vz
Vx cos <p + Vy sin ip
— Vx sin <p + Vy cos v?
Vz
Vx sin $ cos <p+Vv sin -d sin <p + Vz cos ti
Vx cos d cos <p + Vy cos i9 sin ip — Vz sin d
— Vx sin (f + Vy cos <£
Zylinderkoordinaten
Ke7> + K»e* + Vz^z
= Vp cos ip — V<p sin v?
= Vp sin ip + Vj, cos <p
= vz
= ^p
= v„
= Vz
= Vp sin # + Vz cos #
= Vp cos $ — Vz sin $
= Vy
Kugelkoordinaten
Vrer + Vd£ß + V^e~
= Vr sin d cos </? + V? cos d cos </?
- VpSilK/?
= Vr sin tf sin <p + V,j cos i9 sin </>
+ V^ cos (p
= Vrcosr?-Vtfsint?
= Vrsin# +Vtfcostf
= v*
= V costf- Vtfsintf
= Vr
= V*
= K>
Tabelle 13.3 Vektoranalytische Ausdrücke in kartesischen, Zylinder- und Kugelkoordinaten (s S 680)
ds = dr
gradt/
divV
rotV
At/
Kartesische Koordinaten
e^dx + e'ydy + ezdz
^dU ^dU ^dU
e*dx+eydy+ezdz
dvL + dV1 + dvz_
dx dy dz
(SV, _ 9Vy\
' \dy dz)
¦^(¦äT-ftTJ
<92t/ d2u d2u
dx2 dy2 dz2
Zylinderkoordinaten
epdp + e^pdip + e^dz
^dU ^ldU ^dU
dp p dip dz
lö.,n 1 <9V, ÖV2
pdp H p dp dz
p \p dtp dz J
+e-; -— pV^ --—^
VpÖ/9 ^ JOÖV'/
1 ö / dU\ 1 d2£/
pdp \ dp J p2 dtp2
d2U
+ dz2
Kugelkoordinaten
erdr + e^rdd + e^r sin i9dtp
^dU _ldU w 1 0t/
dr r dv r sin ü cv
41^^) + —^^(V*sintf)
r2 dr r sin # cW
i i dvv
rsini? dtp
rsintf [ö?9 ^ d<p J
r |_sin# <9</? dr ^ J
Ufa™)
r2 dr \ dr J
1 d ( . dU\
+ r2ünvdv \Sm^dv)
1 d2U
+ r2sin2v d<p2