1
ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ГРУПП
Ф. Гюрши*
(Лекции, прочитанные в 1963 г. в Летней школе теоретиче-
теоретической физики при Гренобльском университете, Лезуш,
Франция)
ВВОДНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
Хорошо известно соотношение между законами сохранения и
принципами инвариантности, связанными с определенными группами.
Например, сохранение энергии связано с инвариантностью относи-
относительно группы трансляций вдоль оси времени, что в свою очередь
описывает некоторое свойство однородности пространственно-времен-
пространственно-временного континуума. В общем римановом пространстве-времени все еще
могут существовать симметрии и сзойства однородности, такие, как
изотропность, что значительно упрощает проблему адекватного опи-
описания геометрии Вселенной. Это будет иметь место в случае про-
пространств, допускающих непрерывную группу движений. Дискретные
группы симметрии возникнут при изучении таких преобразований,
как четность, обращение времени или зарядовое сопряжение, когда
в искривленном пространстве-времени будут описываться комплексные
поля. Конечные группы появятся также под видом фундаментальных
групп при рассмотрении топологии многосвязных пространственно-
временных многообразий. Различные типы гравитационного излучения,
или :типы пространств с исчезающим тензором Риччи, лучше всего
классифицировать, согласно их свойствам симметрии.
Существует также проблема другого типа, объединяющая общую
теорию относительности с остальной физикой. В настоящее время мы
привыкли связывать частицы с неприводимыми представлениями группы
Пуанкаре (неоднородной группы^ Лоренца). Что произойдет с понятием
„частица" в римановом пространстве-времени, в котором группа Пуан-
Пуанкаре всегда имеет только локальный смысл, если это пространство
допускает глобальную группу движений, отличающуюся по своей
структуре от группы Лоренца? Как мы будем описывать взаимодей-
взаимодействующие поля в этом случае?
Подобных примеров, вероятно, достаточно для иллюстрации того
факта, что теория групп имеет отношение к общей теории относи-
относительности в той же мере, как и к теории элементарных частиц.
Поэтому мы начнем с обзора некоторых общих свойств абстрактных
групп и групп ^Ли, а затем изучим некоторые специальные группы,
* F. Gfirsey, в книге .Relativity, Groups and Topology", eds С. De
Witt, B. DeWitt, New York —London, 1964.

26 Ф. Г ю р ш и
такие, как группа вращений, группа Лоренца и группа де Ситтера.
Наконец, мы немного поговорим о римановых пространствах, допу-
допускающих группы движений.
Затруднения в теории групп имеют главным образом семантиче-
семантическую природу. Формализм теории сравнительно прост, но некоторую
трудность вызывает нагромождение специальных терминов, не всегда
в достаточной степени очевидных и легко приводящих к путанице.
Единственное, что можно посоветовать читателю, это пользоваться
своим собственным словарем до тех пор, пока многие, теоремы, зву-
звучащие таинственно, не станут казаться тривиальными.
§ 1. АБСТРАКТНЫЕ ГРУППЫ. ОБЩИЕ СВОЙСТВА
Определение. Абстрактная группа G есть множество элементов
0={А, В, С, ...},
для которых определен закон композиции (или умножение). Упорядо-
Упорядоченное произведение АВ любых двух элементов группы должно удо-
удовлетворять следующим условиям:
1. Замыкание: если А ? О, B?G, то AB = C?G.
2. Ассоциативность: если А ? G, B?G, C?G, то
(АВ) С=А (ВС)
для любой тройки элементов, так что любую часть этого равенства
можно обозначить через ABC.
3. Единичный элемент: существует такой элемент / ? G, назы-
называемый единицей, или единичным элементом, что для каждого А ? G
имеет место
4. Обратные элементы: для каждого элемента A?G существует
такой элемент А~ ? G, что
Замечание. В действительности аксиомы 3 и 4 слишком сильны
и могут быть заменены более слабыми требованиями, утверждающими
существование левой (правой) единицы и левого (правого) обратного
элемента. Тогда аксиомы 3 и 4 будут следовать из более слабых
требований.
Полугруппы. Полугруппа есть множество элементов, удовлетво-
удовлетворяющих первой и второй аксиомам, но не обязательно удовлетво-
удовлетворяющих аксиомам 3 и 4.
Элементы абстрактной группы не были специализированы для
выделения определяющей структуры множества. Реализацию абстракт-

/. Введение в теорию групп 27
ной группы можно осуществить, если выбрать в качестве ее элемен-
элементов числа, гиперкомплексные числа, матрицы, операторы симметрии
геометрических фигур, перестановки предметов, отображения, преоб-
преобразования координат и т. д. при условии, что в каждом случае
определен соответствующий закон композиции.
Коммутативность. Два элемента группы А и В коммутируют
друг с другом, если АВ — ВА.
Например, / коммутирует со всеми элементами О.
Абелева группа. Группа называется абелевой, если все ее эле-
элементы коммутируют друг с другом.
Например, множество целых чисел образует группу со сложением
в качестве группового закона композиции.
Аддитивная запись. Для абелевых групп удобно принять адди-
аддитивную запись:
—Л,
А" ч-> пА.
Порядок группы. Порядок группы О есть число g элементов
в группе О. В случае конечных групп число g — положительное
целое. Если g бесконечно, но счетно, как и в случае аддитивной
группы целых чисел, то группу называют бесконечной дискретной
группой.
Элементы некоторых групп образуют непрерывное множество.
В этом случае уже неприменимо указанное выше определение порядка
группы. Если непрерывное множество элементов наделено определен-
определенными топологическими свойствами, определяющими многообразие, то
мы имеем топологическую группу. Группы Ли — пример этого типа
бесконечных непрерывных групп. Они будут рассмотрены позднее.
Порядок элемента конечной группы. Пусть А ? О, причем
группа G конечна. Тогда порядок элемента А есть такое наименьшее
положительное целое число, что Аа — 1.
Циклические группы. Циклическая группа состоит из степеней
только одного элемента А. Если группа имеет порядок п, то она
обозначается через Сп, и Аа = 1. Множество всех целых чисел обра-
образует бесконечную циклическую группу по отношению к сложению.
Группа Сп может быть реализована вращениями в плоскости
вокруг точки О на угол 2л(ди/я), где т принимает значение 1,
2, ..., п. Любой элемент группы СП есть степень элемента" А, где
А—поворот на угол 2я/«.
Циклические группы обязательно абелевы, так

28
Ф. Г ю рши
Поэтому может быть использована аддитивная запись, и если порядок
группы есть п, то
Таблица умножения
В случае конечных групп групповая структура может быть опи-
описана таблицей умножения. Так, для группы порядка 2, О : {/, А},
мы получим
/ I / A
/ ! А
/
A
I
A
или более просто
Группа порядка 2 циклична. Это группа С2. Группа порядка 3 ecfb* C'3t*x)
так как таблица умножения может иметь только следующий Ш у:"
I \ А В
А\В I
В \ I A ...
так что В = А2.
Существуют две группы порядка 4, обе абелевы. Одна из них
С4 : {/, А, А2, А3}', другая — 4-группа, или группа призмы D2.
(D2)
Группа С4 может быть реализована последовательными вращениями
в плоскости на угол л/2. Группа D2 соответствует симметриям по
отношению к осям, образующим друг с другом угол л/2, подобно
осям Ох и Оу.
Если х имеет компоненты (х, у), то группу D2 получаем, полагая
/х = х, Ах = (— х, у), Вх = (х, — у),. Сх = — х.
Вообще группа Сп есть группа симметрии геометрического объекта
относительно оси вращения я-го порядка. Эта группа имеет порядок п.
Dn есть группа симметрии объекта, имеющего ось вращения я-го
порядка и систему осей второго порядка, перпендикулярных оси
вращения. Эта группа имеет порядок 2«.
/
А
В
С
А
I
С
В
В
с
I
А
С
в
А
I

/. Введение в теорию групп
29
Существует одна группа порядка 5, а именно С5, и две группы
порядка 6: С6 и D3. Группа D3 имеет таблицу умножения вида
I \ А В С D F
А
В
С
D
F
1
F
D
С
В
D
1
F
А
С
F
D
I
В
А
В
С
А
F
I
С
А
В
I
D
и не является абелевой.
Группа порядка 7 есть С7.
Существуют пять групп порядка 8, причем две из них неабелевы.
Мы приведем таблицу умножения для кватернионной группы порядка 8.
Вместо А, В, С, ... будем использовать символы —/, et, — ех и т. д.
^1
в I —— I
— ч
—— Pn
^
«1
/
/
«3
*3
«2
«2
/
— /
«3
p
— ч
«2
— e
— I
I
p
e
ез
I
~4
/
Изоморфизм
Две группы О и О' изоморфны (обозначаются О« О'), если их
элементы могут быть поставлены в одно-однозначное соответствие,
такое, что из АВ = С следует А'В' = С и наоборот. Поэтому изо-
изоморфные группы имеют по существу одинаковую структуру и одина-
одинаковую таблицу умножения.
Примеры.
1. Рассмотрим следующие группы порядка 4: группу Ох с эле-
элементами {1, I, —1, —/}, причем закон композиции есть обычное
умножение, и группу О2 с элементами {/, io2, —/, —1а2), где / и а2
представляют собой 2 X 2-матрицы
1 0\ /Q — Г
.о J' a2~U о

30 Ф. Гюрши
а закон композиции есть матричное умножение. Мы видим, что Gt
и О2 изоморфны друг другу и группе С4г
Gj « G2;«С4.
2. Рассмотрим группу 53 перестановок трех объектов A 2 3).
Определим
/A 2 3) = A 2 3). А{\ 2 3) = B 1 3), В{\ 2 3) = A 3 2),
СA 2 3) = C 2 1), D(l 2 3) = B 3 1), F(\ 2 3) = C 1 2).
Эти символы имеют ту же таблицу умножения, что и группа D3
порядка 6. Поэтому можно записать
Комплексы, подгруппы
Рассмотрим подмножество К группы О, состоящее из элементов
А, В, С Зпишем
и назовем К комплексом группы О.
Определим сложение комплексов таким же образом, как в теории
множеств определяется объединение множеств:
так что если К — А-\-В-\-С, L=A-\~B-\-D, то
К-\- L = A
Произведение комплексов К и L определяется как комплекс,
получаемый формальным раскрытием произведения '
где
* /С + /С+ ... и L =
Умножение комплексов ассоциативно и дистрибутивно по отношению
к сложению.
Если каждый элемент комплекса К есть также элемент ком-
комплекса L, то говорят, что К содержится в L, или что L содержит К,
и записывают
К cz. L, или Z, :э К
так же, как и в теории множеств. Если /С с L и К г? L, то К =*= I-

/. Введение о теорию групп 31
Подгруппа Я группы G есть комплекс, удовлетворяющий груп-
групповым постулатам. Сама группа G и единичный элемент / являются
тривиальными подгруппами. Другие подгруппы G носят название соб-
собственных подгрупп.
Теперь мы докажем фундаментальную теорему о порядке подгруппы.
Теорема Лагранжа
Если Я есть подгруппа группы G, то существует множество эле-
элементов Ах . . . Ап группы О, такое, что
+ ... -\-НАп,
и множество В1 . . . В„, такое, что
О = В^Н-\-В2Н-{- •••
где Л, =5,=/, причем любая пара комплексов HAt и НА, (или
BtH и BjH) не имеет общих элементов, и каждый комплекс содержит
одинаковое число элементов h (порядок подгруппы Я). Отсюда сле-
следует, что h = gjn, где ^ — порядок группы G, а п — положитель-
положительное целое число.
Для. доказательства теоремы рассмотрим случай Я Ф G. Возьмем
элемент А2, не принадлежащий Я. Все элементы комплекса НА2
отличны друг от друга, и не один из них не содержится в Я. Если
Я = Нг-f-Я2-f- ... -\-Hh, то, предполагая, что Яг-Л2 = ЯуЛ2(/=?./),
мы имели бы Ht=:Hj. С другой стороны, если HlA2 = Hj, то мы
имели бы A2 — HT1Hj?H, что противоречит допущению. Если Я
и НА2 не исчерпывают группы * О, добавим комплекс НА3, для
которого Аг не принадлежит ни Я, ни НА2, и так далее до тех пор,
пока не будет исчерпана вся группа О. Теорема доказывается анало-
аналогично и для элементов В.
Смежные классы подгруппы. В разложении Лагранжа группы G
комплексы НА2 НАп носят название2) правых смежных клас-
классов подгруппы Я, а В2Н ВпН — ее левые смежные классы.
Индексом подгруппы Я группы О называется число n = gjh.
В качестве непосредственного следствия теоремы Лагранжа мы
видим, что порядок любого элемента группы О есть множитель
порядка группы g; группа, порядок которой есть простое число,
обязательно циклично (как мы уже видели это в случае групп
порядка 2, 3, 5 и 7); все подгруппы циклической группы обяза-
обязательно цикличны.
') В оригинале употребляется термин right (left) cosets of a subgroup —
правые (левые) сомножества подгруппы, не принятый в отечественной ли-
литературе. — Прим. ред.

32 Ф. Г ю р ш и
Независимые элементы. Генераторы. Ранг
Элементы группы О являются независимыми, если ни один из
них не может быть выражен через другие. Если существует множе-
множество независимых элементов, так что любой элемент X ? О может
быть выражен через элементы этого множества, то последнее назы-
называют множеством независимых генераторов группы. Рангом группы
называется число этих генераторов.
Примеры. Циклическая группа имеет ранг 1, так как любой
элемент Сп может быть выражен как степень одного генератора.
4-группа ?>2 и группа D3 имеют ранг 2. Для группы D2 мы имеем Ь2:
{/, А, В, АВ}, причем Л1 = В1 = 1 к АВ — ВА. В случае группы D3
в качестве генераторов могут быть выбраны элементы А и D, так
как В = AD, С = AD2, F — D2, а Л и О обладают следующими
свойствами:
О3 = Л2 = /, DA = AD2=AD~\
так что можно также написать С = AD~l и F — D~l. Если группа О
есть абелева группа ранга k с генераторами ?\ Ek, то любой
элемент X группы О может быть записан в виде
X = nlE1 -f ... + 4Ek>
где nt — целые числа. Здесь мы используем аддитивную запись.
Группа Ст всех целых чисел порождается одним генератором, так
как любой из ее элементов может быть выражен в виде пЕ.
Сопряженные элементы. Классы. Нормализатор
Два элемента А и В сопряжены в группе О, если существует
такой элемент Т ?G, что
Комплекс, состоящий из всех элементов, сопряженных элементу А,
носит название') класса элемента А в группе О и обозначается (А):
Ясно, что А ?(А).
Если (А) = А, то говорят, что элемент Л самосопряжен. Каждый
элемент является самосопряженным в абелевой группе.
Определим число элементов в классе (Л) для группы О. Для этого
прежде всего определим нормализатор элемента А, обозначив его
через NA как комплекс всех элементов группы О, коммутирую-
коммутирующих с А. Легко видеть, что нормализатор обладает.свойствами групп
') В отечественной литературе употребляется более полный термин
класс сопряженных элементов. — Прим. ред.

/. Введение в теорию групп 33
и, являясь подгруппой группы G, имеет порядок n = g/h, где А—его
индекс в разложении Лагранжа
Теперь мы докажем теорему, утверждающую, что число элементов
в классе. (Л) равно индексу h нормализатора NА. Фиксируем эле-
элемент А и рассмотрим элемент Х~1АХ, где X пробегает g элементов
группы О: сначала нормализатор NA, затем NАТ2 и т. д. Когда X
пробегает NА, выражение Х~ АХ дает п раз элемент Л; оно
дает п раз элемент Т^хАТ% когда X пробегает NAT2, так как NA
коммутирует с А, так что в конечном итоге мы получим класс (Л)
п раз. Таким образом, (Л) содержит gjn == h элементов, где h —
индекс нормализатора NА.
Для абелевых групп NA — G и й=1, так что (А) —А для
любого элемента Л.
Теорема. Различные классы в группе О не перекрываются, так
что О есть сумма отдельных классов:
где (/) = /.
Доказательство. Допустим, что классы (Л2) и (Л3) имеют
общий элемент F. Тогда существуют такие элементы Т и S, что
T~lA2T = S~lA3S=F,
но поскольку
Л2 = TS~lA3ST-1 = (ST~yl A3ST~\
это приводит к тому, что элемент Л3 сопряжен элементу Л2, чего
не может быть, так как мы предположили, что Л3 не принадлежит (Л2).
Отсюда следует
§-=1 + А2+ ... hk,
где ht есть индекс ЛЦ.
Инвариантные подгруппы
Подгруппа Н группы О называется инвариантнойх), если она
коммутирует с любым элементом X группы О. Другими словами, все
элементы, сопряженные элементам подгруппы Н, содержатся в Н.
Таким образом,
') В отечественной литературе для обозначения инвариантной подгруппы
также используется термин нормальный делитель. — Прим. ред.
3 Зак. 612

34 Ф. Г ю j) ш и
С подгруппой F, не являющейся инвариантной, мы можем связать
другие подгруппы группы О, а именно
X~lFX, Y~lFY,
которые носят название подгрупп, сопряженных подгруппе F. Они
совпадают с F, если F — инвариантная подгруппа.
В качестве непосредственного следствия этого определения можно
установить, что:
1. Все подгруппы абелевой группы О являются инвариантными
подгруппами.
2. Все подгруппы индекса 2 с необходимостью являются инва-
инвариантными подгруппами.
3. Инвариантная подгруппа составлена из замкнутых классов
группы G. Таким образом,
Факторгруппа О/Я
Теорема. Пусть Н — инвариантная подгруппа группы О. Рас-
смотрим разложение
О = ЯЯ, + ЯЯ, + ...,+ ЯЯ„ (Я, =/),
где g = hn.
Те п смежных классов подгруппы Н, на которые разлагается
группа О, носят название !) факторгруппы группы О по подгруппе Н.
Факторгруппа обозначается О\Н и имеет порядок п = gjh.
Доказательство. Так как Н есть подгруппа, то, как мы
уже видели, п смежных классов имеют каждый по h элементов и
любые два смежных класса не имеют общих элементов. Поскольку Я
есть инвариантная подгруппа, получим
Отсюда по правилу умножения комплексов
(HBt) (HBj) = HHBtBj = HBk,
где Bk = BlBj. Заметим, что Bk не обязательно совпадает с одним
из Bj, встречающимся в разложении группы О. Однако комплекс HBk
должен совпадать с одним из смежных классов подгруппы Н, по-
поскольку Bk обязательно содержится в одном из п смежных классов.
Тогда, если он содержится в т-и смежном классе, получаем
НВк = НВт. Этим устанавливается аксиома замыкания. Ассоциатив-
') В оригинале также употребляется термин quotient group (группа-
частное), не принятый в нашей отечественной литературе. — Прим. ред.

- /. Введение в теорию групп 35
ность следует из равенства
(HBl)(HBj)(HBl) = HBiBjBl.
Единичный элемент есть Н, а элемент, обратный HBj, есть HBJ1.
Понятие факторгруппы играет первостепенную роль в теории
групп и имеет широкое применение.
Центр группы
Множество самосопряженных элементов группы G образует абе-
леву инвариантную подгруппу Z, называемую центром группы О.
По определению, центр Z состоит из всех элементов Zt группы G,
коммутирующих с каждым элементом О. В частности, Z содержит
единичный элемент. Пусть
Z=,Z,^Z2+ ... + Z, (Z1==/).
а X — произвольный элемент группы О. Тогда из
ZiX^XZ-, и Z}X
вытекает
Z sZfX = ZiXZi = X ZsZ^,
так что
ZjZt 6 Z.
/ есть единица. Остальные групповые свойства очевидны. Кроме того,
Z есть инвариантная подгруппа, так как если X ? G, то
по определению Z.
Взаимные отображения групп
Рассмотрим теперь другое фундаментальное понятие, широко
используемое в многочисленных разделах современной математики.
Это — понятие взаимного отображения групп. Различаются две
категории отображений в зависимости от того, является ли отобра-
отображение одно-однозначным или много-однозначным.
Изоморфное отображение. Если группы О и О' изоморфны,
так что мы имеем одно-однозначное соответствие между элементами
групп G и G', обладающее свойствами
X\Х] •«-> X\Хj если Xi-*r-*Xi и ¦ Xj ¦+-+¦ Xj,
то это соответствие носит название изоморфного отображения (или
изоморфизма) между двумя группами.
3*

36 Ф. Гюрши
Гомоморфное отображение. Это много-однозначное отображение
элементов большей группы О на элементы меньшей группы О', при-
причем такое, что оно сохраняет произведение.
Пусть
K
где Kj изображает комплекс
и пусть
о' = f/i -f- f/2 Ч-
где Un есть элемент группы О'. Рассмотрим соответствие
Km —>• Um,
отображающее комплекс группы О в элемент группы О' таким об-
образом, что из
Kt-*U'i и Kj-> U'j
вытекает
KtKj-* U [и).
Тогда мы будем говорить, что О гомоморфно отображается на О',
а само' много-однозначное отображение будем называть гомоморфиз-
гомоморфизмом /. Группа О' называется образом отображения /, или гомо-
гомоморфом группы О. Гомоморфизм будем обозначать
Отображения внутри группы. Автоморфизм и эндоморфизм
Если отображение одно-однозначно, то в качестве группы О'
•можно выбрать саму группу О. Так, говорят, что группа О допускает
автоморфизм, если она может быть изоморфно отображена сама
на себя.
Пример. Пусть А — фиксированный элемент группы О. Рас-
Рассмотрим отображение
Это — одно-однозначное, сохраняющее умножение отображение
элементов группы О на элементы группы О. Следовательно, имеем
автоморфизм. Автоморфизм этого рода носит название внутреннего
автоморфизма; все другие виды относятся к внешнему автомор-
автоморфизму.
Эндоморфизм. В качестве О' выберем теперь Н, подгруппу О.
Если группа О может быть гомоморфно отображена на одну из ее
собственных подгрупп, то говорят, что она допускает эндоморфизм.

/. Введение в теорию групп 37
Установим теперь некоторые теоремы относительно отображений.
Теорема. Все автоморфизмы группы О образуют группу, на-
называемую группой автоморфизмов группы О (и обозначаемую Aut О).
Для доказательства этого утверждения будем нумеровать авто-
автоморфизмы индексом /га, так что
есть одно-однозначное соответствие внутри группы О. Рассмотрим
отображение X ч-> at [a;- (X)]. Поскольку
X'U)Y'U) = а, {X) а, (К) = a, (XY)
ai{X)ai{Y)=ai{XY),
имеем
a* (х'иМ = at (X'U)) щ (Y'U)) - at [ay (X)} at [ay(K)l = a, [ay (XY)}.
Таким образом, соответствие
также является автоморфизмом. Тождественный автоморфизм щ задается
как j
Хр) = ai (X) = X,
так что единица в Aut G есть отображение каждого элемента группы О
на себя, а обращение автоморфизма <хг определяется посредством
равенства
a-ifA-^A", если X' = al =
Теорема. Внутренние автоморфизмы группы О образуют под-
подгруппу группы Aut О.
Это справедливо потому, что множество внутренних автомор-
автоморфизмов также обладает свойствами группы.
Слово „инвариантная" в термине "инвариантная подгруппа" оправ-
оправдывается также тем, что инвариантная подгруппа группы О является
инвариантной относительно группы внутренних автоморфизмовг)
группы О.
Ядро гомоморфного отображения
Пусть дан гомоморфизм G_J_±G'. Рассмотрим комплекс С группы О,
отображающийся на./' — единичный элемент группы О':
') Группу внутренних автоморфизмов группы G в отечественной лите-
литературе часто называют присоединенной группой группы Q [12]. -—Прим.

38 Ф. Гюрши
С носит название ядра гомоморфизма;
С = Кегп/.
Теорема. Ядро гомоморфного отображения О на О' есть инва-
инвариантная подгруппа О.
Доказательство. Пусть С = С1~\~ ... -|- Ст (Сг ? С). С есть
группа, так как
из Ci-^-V, Cj-+I' вытекает Cfij-^Г
вследствие сохранения умножения, так что Cfij ? С. Единичный
элемент / группы О также должен отобразиться на /', так что /?С,
и мы можем положить / = (?,. Действительно, если бы элемент /
отображался на ХГФ1', то комплекс Cl = ICl отображался бы на
Х'1' = Х' и С; не был бы элементом С.
¦ Комплекс С есть инвариантная подгруппа, поскольку
Х~1СХ -» К'-7'К' = Л
так что
Поскольку С есть инвариантная подгруппа группы О, имеет место
разложение
О = Г1С + 7'2С+ ... +ТпС (Г,=/),
и я смежных классов С образуют группу О/С С другой стороны,
в гомоморфизме
мы имеем
TtC -+ Y'i,
где ¦ . .'--•'
Y'?G' и Ki' = /'.
Следовательно, соответствие между элементами групп О/С и О'
является одно-однозначным и сохраняет умножение. Отсюда вытекает,
что эти две группы изоморфны. Таким образом, мы доказали сле-
следующую теорему:
Если С = Kern / в гомоморфизме О —¦*¦ О', то О/С я* О', или
О/Кегп./я*Гт/. -
В частнбсти, рассмотрим гомоморфизм, отображающий центр Z
группы О на единичный элемент группы О'. Имеем
п, G
0 **т-
Это называется делением группы на ее центр, * '-

/. Введение в теорию групп 39
Приведем несколько примеров.
Если O = I-\-A-\-B-\-C-\-D-{-F есть группа ?K (или 53). то
H — I-\- D-\- /7 = /-j-D-f- D2 есть инвариантная подгруппа, и мы
имеем разложение
со следующими правилами умножения для двух смежных классов
подгруппы Н:
Отсюда следует, что группа смежных классов подгруппы Н изоморфна
циклической группе порядка 2 и
Соответствие Х-+А~1ХА в группе D3, для которого
/-*->/, А *-+ А, В*г+С, D*-*F,
есть внутренний автоморфизм группы ?K. Он оставляет подгруппу Н
инвариантной.
Если О есть кватернионная группа Q с элементами 1, —1, е1(
— ех, е2, —е2, е3, — е3, то
Z={1, -1}
есть центр группы Q. Группа Q/Z имеет 4 элемента, и мы получаем
Если О есть 4-группа D2 с элементами /', А', В', С, то Aut D2
имеет 6 элементов, определяемых следующим изоморфным отображе-
отображением в группе D2:
I: {/', А', В', С'} *-+ {/', Л', В', С),
Л : {/', Л', S', С) *->{/', Л', С, В'},
В : {/', Л', В', С) *-+ {/', С, В', Л'},
С : {/', Л'. В', С'} *-+ {/', В', Л', С'},
?>:{/', Л', В', С'} *-»{/', В', С, Л'},
Z7:!/', Л', В', C'l^f/', С,-И'. В'}.
Легко проверить, что таблица умножения такая же, как и для
группы D3, так что

40 Ф. Г юрши
Прямое произведение
Говорят, что группа Г является прямым произведением групп С
и С (Г = О ® О'), если ее элементами являются упорядоченные
пары (X, X') с законом умножения
(X, X')(Y, Y') = {XY, X'Y').
Если g и g' — соответственно порядки групп G и G', то порядок
группы Г равен gg'. Единица группы Г есть (/, /').
Пример.
?J = С2 ® С2.
Полупрямое произведение
Прямое произведение двух произвольных групп всегда опре-
определено. Полупрямое произведение групп О и JL определено только
тогда, когда Jl есть группа автоморфизмов группы О.
Пусть JI — подгруппа группы AutG и a,?t/?, так что at(X)
есть образ элемента X при автоморфизме at. Рассмотрим упорядо-
упорядоченные произведения (X, а) с законом умножения
(X, а) (К, р) = (*а(К), ар).
Множество Г с элементами (X, а) образует группу, называемую
полупрямым произведением групп О и jI, которую мы будем обо-
обозначать
Групповые свойства легко устанавливаются. Порядок группы Г есть
произведение порядков групп О и JL-
Если группа О абелева, то для элементов группы О может быть
использована аддитивная запись, и тогда получим
(Л, а) (В, р) = (Л-Ь<х(Я), ар).
• Пример. Мы видели, что Aut?J = D3. Возьмем в качестве под-
подгруппы группы D3 ee инвариантную подгруппу
Группа О2®<А имеет порядок 12 и изоморфна группе тетраэдра Т,
имеющей ранг 2 и генераторы К, L со свойствами
и
Группа О © Aut носит название голоморфа группы G.

/. Введение в теорию групп 41
Теорема. В прямом произведении О® О' содержатся инва-
инвариантная подгруппа, изоморфная группе О, и инвариантная под-
подгруппа, изоморфная группе О'. В полупрямом произведении 0©^
содержится инвариантная подгруппа, изоморфная группе О.
Доказательство следует непосредственно. Таким образом, С2 есть
инвариантная подгруппа группы ?>2 = С2 ® С2 и D2 — инвариантная
подгруппа группы Т — D2 © Л.
Простые и полупростые группы
Простые группы не имеют собственных инвариантных подгрупп.
Полупростые группы могут иметь собственные инвариантные под-
подгруппы, но не имеют абелевых инвариантных подгрупп.
Примеры. Группы С2 и С3 просты. Группы D2, D3, Q, Т не полу-
полупросты и, конечно, не просты. Неабелева простая группа наимень-
наименьшего порядка есть J" — группа икосаэдра порядка 60.
Накрывающая группа
Пусть W — подгруппа центра Z группы О. Группа W обяза-
обязательно абелева. Рассмотрим группу
Г— G
~~W
В этом случае говорят, что группа О является накрывающей группой
группы Г. В частности, группа О есть накрывающая группа своей
факторгруппы по своему центру.
Пример. Группа Q есть накрывающая группа группы D2, так как
Коммутатор. Производная группа
С элементами X ?0 и Y?G связывают элемент XY~lXY — С,
называемый коммутатором элементов X и К. Если С — коммута-
коммутатор, то С~ и каждый элемент класса (С) также являются коммута-
коммутаторами. Единица / также является коммутатором (X = К).
Коммутант, или производная группаг) группы О, есть наи-
наименьшая подгруппа группы О, содержащая все коммутаторы группы О.
') В оригинале употребляется выражение commutator subgroup (под-
(подгруппа коммутаторов), однако в отечественной литературе [12] общеприня-
общепринятыми являются приведенные нами термины, которые в дальнейшем мы и
будем употреблять. — Прим. ред.

42 Ф. Гюрши
Если обозначить производную группу группы О через Нс, то
можно показать, что Нс есть инвариантная подгруппа группы G и
факторгруппа OJHC абелева. Группа называется совершенной, если
О = НС.
Пример. Производная группа группы Q есть ее центр Z.
§ 2. ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУПП
Матрицы
Мы используем следующие обозначения для п X я-матриц над
полем комплексных чисел:
2-1
А'1, если A~lA=I.
Напомним также определения:
матрица 5 симметрична, если S = Sr;
матрица А антисимметрична, если А = — Аг;
матрица Н эрмитова, если H = Hf;
матрица F антиэрмитова, если F — — F*;
матрица Q ортогональна, если QQ =/;
матрица U унитарна, если UU^ = F.
Матричная группа
Группа с матрицами в качестве элементов и матричным умноже-
умножением в качестве группового закона композиции называется матричной
группой.
Группа линейных преобразований
Матрица представляет собой линейное преобразование в вектор-
векторном пространстве L, которое имеет размерность п в случае лХя-
матриц. Матричной группе соответствует группа линейных преобра-
преобразований в пространстве L. С элементом М матричной группы мы
связываем линейное преобразование Мх = х'.
Представления групп
Представление Г группы О есть матричная группа, на которую
гомоморфно отображена группа G. О—>Т.

Л Введение в теорию групп
43
Матрица D(A) поставлена в соответствие каждому элементу А
группы О таким образом, что
D(A)D(B) = D(AB).
Говорят, что Г есть п-мерное представление группы О в вектор-
векторном пространстве L, если размерность пространства L есть п. Про-
Пространство L называется пространством представления.
Существование обратного элемента показывает, что матрица D(A)
должна быть несингулярной, так как
Кроме того,
D (/) = /.
где / — единичная иХи-матрица.
Точные и неточные представления
Представление Г называется точным, если Г«О. Оно будет
неточным представлением, если более чем один элемент группы
представляется одной и той же матрицей.
Пусть Н = Kern / в гомоморфизме О —->¦ Г. Тогда Г будет точ-
точным представлением факторгруппы GJH.
Примеры. Одномерное представление группы ?K есть
{/, D, F}~>\,
где [А, В, С}-> — 1. Пусть H — I+ D-{ F. Тогда D3/H « Г. Сле-
Следующее двумерное представление группы D3 является точным:
1 О
О 1
D(A) =
1
О
О —1
D(B):
2
1/1 1
2
/3
LJ \м-
2
/3
2
V
1
2
Г
3
2
1
9
2
*
2 2
/3
2
3 1
2

44 Ф, Г ю р ши
или, вводя матрицы Паули
1 0\ /0 1\ /0 — I
и используя некоторые символы для представлений как для элемен-
элементов группы, получаем
и — — "oV- —10
Одномерное представление группы Q имеет вид
Ядро гомоморфизма есть С4, факторгруппа QjCi = C2, и Г есть
точное представление группы С2. Существует точное двумерное пред-
представление группы Q, а именно
/, — /, ± е3 = ± io3, ±ег=± lav ±e2—± 1о2.
Эквивалентные представления
Преобразуем базис и-мерного пространства представления L,
Тогда
х = Су, х' = Су',
так что преобразование
Мх = х', если M = D(A),
дает
МСу = Су' или (СГ'уИС) у = у',
и
-.-1
= C~lD (А) С
есть новое представление группового элемента А. Оно называется
эквивалентным представлением.
Характер представления
В предыдущем примере мы получили SpAf = Sp./H, так что след
представления одинаков для эквивалентных представлений. Определим
как характер элемента А в представлении D. Если рассматриваемое
представление отмечено индексом ц, то мы будем обозначать характер
элемента А в представлении D через у}1 {А).

/. Введение в теорию групп 45
В этом случае у_ (/) = п, где п — размерность представления.
Характер представления ц есть множество g величин
хЧО- хЧА2) x»(Ag) (А = О.
где Ах Ag—элементы группы G.
Элементы одного и того же класса имеют одинаковые характеры,
так что характер есть функция класса сопряженных элементов.
Если полная группа имеет k отдельных классов Сг Ck, то
множество k характеров
определяет представление.
Например, группа D3 имеет три класса
D3 = Cj -)- С 2 -\- С3
где
С, =(/) = /.
Отсюда следует, что для двумерного представления должны суще-
существовать только три характера
X2 (С,) »= ХB) (/) = 2, хB) (Q = хB) (X) = О,
Для одномерного представления
Приводимые и неприводимые представления
Рассмотрим два представления группы О. Представление Г: раз-
размерности п с элементами
А(^) о, (лр
и представление Г2 размерности т с элементами
Мы можем построить новое представление группы О размерности
п -j- /и, рассматривая матрицы
0
Преобразование подобия, примененное к матрице D, дает экви-
эквивалентное п -j- /и-мерное представление, которое уже не будет иметь
ящично-диагональный вид. Например, перенумеровка строк и столбцов
является преобразованием подобия.

46 Ф. Г to рши
Определение. Представление, которое преобразованием подобия
может быть приведено к ящично-диагональной форме, называется
вполне приводимым. Если такого преобразования не существует, то
представление называется неприводимым.
Матрица D называется прямой суммой матриц Dx и D2 и обозна-
обозначается D = DX@D2.
Если матричная группа может быть преобразованием подобия при-
приведена к виду
D1 X
О D8l
то она называется приводимой. Для конечных матриц справедлива
теорема, что если любая конечная матричная группа приводима, то
она вполне приводима. Это утверждение не справедливо для беско-
бесконечных матриц.
Унитарные представления
В квантовой механике пространством представления является гиль-
гильбертово пространство, и группа симметрии должна оставлять инва-
инвариантными скалярные произведения (х j|у)" = х*ауа, поскольку они
интерпретируются как амплитуды вероятности. Отсюда следует,
что матрицы преобразования, соответствующие группе симметрии,
должны обладать свойством UfU = f, вытекающим из равенства
Поэтому группа О должна быть представлена унитарной матричной
группой, называемой унитарным представлением 1) группы О. Имеет
место важная теорема.
Теорема. Любое представление конечной группы О несингу-
несингулярными унитарными матрицами может быть преобразовано в уни-
унитарное представление преобразованием подобия.
Теорема доказывается явным построением матрицы преобразо-
преобразования 5.
Основным методом в этой и других теоремах теории представлений
является построение инвариантов посредством суммирования по всем
элементам группы. В случае бесконечных групп этот метод следует
применять с большой осторожностью.
Пусть имеется группа матриц
Г: [А, Ag).
') Мы не касаемся здесь антиунитарных представлений, которые обсу-
обсуждаются в книге Вигнера [3].

/. Введение в теорию групп 47
где некоторые элементы At могут совпадать',1 если представление не
является точным. Образуем следующую сумму по элементам группы:
Н = 2 А,А,\
Матрица Н эрмитова (# = #f). Диагонализуем Н преобразованием
подобия
где
Матрица Д положительно определена. Построим теперь матрицы
эквивалентные матрицам А(. Покажем, что эти матрицы унитарны.
• Действительно, из Д = 5~'Я5 имеем
= A
"'1'
= A'4iAt B AjA/) А?А~ъ.
Но вследствие группового свойства Ai(^iAjA/)Aif = ^lAjAjf, так
что UiUi =1, и матрица
унитарна, причем матрица 5 диагонализует эрмитову сумму
Мы видели, что, задавая представление Г, можно получить из него
другие эквивалентные представления преобразованием подобия. В част-
частности, мы всегда можем перевести его в унитарное представление.
Можно ли из представления Г получить еще какие-либо другие пред-
представления?
Комплексно сопряженное представление Г*
Это — представление, получаемое заменой каждой матрицы на ее
комплексно сопряженную.
Тогда если
то
так что D*(At) дает нам другое представление.

48 Ф. Гюрши
Присоединенное представление Ff
Это — представление 1), получаемое заменой каждой матрицы D{Aj)
на матрицу [D*(At)]~\ Имеем D~l(At) = ЖЛ"')' [Df(A,)]-l =
^D^iA^1). Вследствие D(A{)D(A2)~ D(AXA2) получаем
Эквивалентны ли новые представления представлению Г? Существуют
три типа представлений:
1. С помощью преобразования подобия можно получить Г = Г*.
Тогда это представление эквивалентно действительному представлению.
2. Представление Г эквивалентно представлению Г*, но не суще-
существует такого преобразования подобия Г->Г* , что Г' = Г" .
Тогда D (Al) = U~1D(Ai)U (матрица U аналогична оператору
зарядового сопряжения). В этом случае присоединенное представление
также может быть записано как
3. Представления Г и Г* не эквивалентны (матрицы U не суще-
существует). В этом случае комплексно сопряженное представление является
новым представлением.
Тривиальное представление и регулярное представление
Всегда существует одно тривиальное представление группы О,
являющееся одномерным, именно
D(Aj)=l.
Для этого представления k характеров имеют вид
Тривиальные представления неприводимы. Точное представление
группы О всегда может быть построено следующим образом.
Рассмотрим таблицу умножения. Каждая строка может быть по-
получена из первой строки путем умножения первой строки слева на
элемент группы At, С другой стороны, каждая» строка есть переста-
перестановка первой строки. Отсюда следует, что каждому элементу At со-
соответствует элемент симметрической группы перестановок g предметов.
Группа О всегда изоморфна подгруппе группы Sg. Это утверждение
известно под названием теоремы Кала. Теперь каждая перестановка
') Обычно это представление называют контрагредиентным (см.
статью 2 настоящего сборника), сохраняя принятый здесь термин за пред-
представлением, которое осуществляет группа внутренних автоморфизмов (см.
стр. 37 и работу [12]). — Прим. ред.

/. Введение в теорию групп 49
может быть представлена g X ^-матрицей, так как она действует
в линейном векторном пространстве g измерений. Таким образом,
мы получаем g матриц для представления g элементов группы G.
Это представление носит название регулярного представления и
является точным. Но оно приводимо. Мы увидим, что оно содержит
все неприводимые представления. Матрицы DR (Xt) находятся сле-
следующим образом.
Пусть рТ — строка, образованная элементами Хх=^1, Х2 X
группы G. Тогда XjpT есть перестановка группы О. Определим ма-
матрицу DR {X Л выражением
Отметим здесь, что рТ есть специальная определенная выше матрица-
строка и не может быть заменена произвольной матрицей-строкой.
Теперь если
то имеет место соотношение
XtXfi? = Xi9r DR (X}) = (Г DR (Xt) DR (Xj),
так что матричная группа DR (Xt) изоморфна группе G. Мы также
имеем Хр= [DR(Xj)]Tp для матрицы-столбца р.
Пример. Группа С3.
Мы имеем одномерное точное неприводимое представление
Г(С3); D(/)=l, D(A)
Регулярное представление есть
/1 0 0\ /0 0 1\ /0 1 0>
D«(/) = |0 1 о), D«(A) = ll 0 о). DR(A2)= 0 0 1
\0 0 1/ \0 1 0/ \1 0 0;
Мы не можем сразу сказать, является ли это представление приво-
приводимым или нет. Однако оно приводимо и существует преобразова-
преобразование подобия, приводящее его к виду
/1 0 0\ /1 0 0
DR (/) = 0 1 0 ], DR (А) = 0 е 0 ], DR (Л2) = 10 е*
\0 0 1/ \0 0
е==е2пЦЗ и ХД(/) = 3> хД(
Отсюда следует, что преобразование приводимо, причем оно является
прямой суммой трех одномерных неприводимых представлений, а
именно тривиального представления, приведенного выше представле-
представления Г(С3) и представления Г*(С3). Вообще говоря, для регулярного
4 Зак. 612

50 Ф, Гюрши
представления произвольной группы порядка g мы имеем %{I) = g,
Х(Л,) = 0 для А,Ф/.
При рассмотрении приведенного выше примера возникают сле-
следующие вопросы:
1. Что является критерием неприводимости представления?
2. Каково число неэквивалентных неприводимых представлений?
3. Каковы их размерности?
4. Определяются ли представления своими характерами?
5. Как' получить характеры каждого представления?
6. Как построить представление после того, как найдена таблица
характеров?
На эти вопросы отвечает теория, развитая Фробениусом, Шуром
й Бернсайдом. Мы ограничимся формулировкой результатов. Крае-
Краеугольным камнем этой замечательной теории является лемма Шура.
Лемма Шура
Матрица, коммутирующая со всеми матрицами неприводимого
представления, кратна единичной матрице.
Доказательство. Возьмем унитарное представление и пусть
матрица М коммутирует с U^T (/=1, ..., g). Тогда М тоже
коммутирует с Ut. Отсюда следует, что М ± Mf также коммути-
коммутируют с Ut. Поэтому мы можем ограничиться эрмитовыми матрицами М.
Тогда М может быть диагонализована матрицей V, так что
M = Mf = V6iV~i = V/Wj' (VVf=l),
где матрица Д диагональна и положительно определена. Рассмотрим
преобразование
U'i = V~lUtV = V^UiV.
Полученное представление также унитарно и эквивалентно первому.
Матрица Д коммутирует с матрицей Ut. Так как U't не имеет ящично-
диагонального вида, то Д кратна единичной матрице. Отсюда сле-
следует, что М также кратна матрице /.
Пример. Для 2Х2-матриц преобразование
а, о\/а ь\(т; °\ /а и
,0 dj[c d)\ л 1 ) [с d
дает

/. Введение в теорию групп 51
и мы получаем либо dr = d2 (лемма Шура), либо b = с = 0, и мат-
матрица
fa b\
Vе d,
приводима.
Вторая лемма Шура
Если Dj и D2 — два различных неприводимых представления
группы О размерности от и га и если гаХт"матРиЦа Г удовлетво-
удовлетворяет условию
Dl(At)F=FD2(Ai) (/=1. .... g),
то матрица F является нулевой. Доказательство мы опускаем1).
Соотношения ортогональности
1. Пусть D(A()— элементы неприводимого унитарного га-мерного
представления группы О. Построим матрицу
i-l J-l
где X — произвольная матрица.
Можно легко' показать, что матрица М коммутирует с
и отсюда по первой лемме Шура она должна быть кратна /:
Выберем матрицу X такой, чтобы вч:е ее элементы были нуле-
нулеи, за исключением Xlm=\, и возьмем к='к[т. Имеем
выми
j-1
Для ?==./', суммируя по всем k, получаем
2 2 Dkl (At) D\m(At) = 2 Dml (A^-1) = 2 bm = nXlm,
i * . , »
так что
l) Доказательство можно найти в книге [5]. — Прим. ред.
4*

52 Ф. Гюрши
Таким образом, мы доказали, что
е
^D^^DVW-fd^A,, B.1)
1=1
где g — порядок группы О, а и — размерность представления D.
2. Аналогичным образом, отправляясь от матрицы
можно показать, что
так что, согласно второй лемме Шура, F = 0. Это дает
где «^—размерность представления (j,. Таким образом, каждое не-
неприводимое представление определяет п^ векторов Dkj(il\Al) (k, j —
==\ гац), которые ортогональны друг другу и векторам DlJy\Al),
связанным с другим неэквивалентным представлением. Векторы имеют
размерность g. Поскольку число ортогональных векторов в прост-
пространстве g измерений не превышает g, то для полного числа взаимно
ортогональных векторов, принадлежащих неприводимым представле-
представлениям, справедливо соотношение
Используя разложение регулярного представления на прямую
сумму неприводимых представлений, мы покажем позже, что
2V = ir. B.3)
Это очень полезное соотношение показывает, что число неприводи-
неприводимых представлений не превышает g.
Суммируя B.2) по k и j, получаем
1jXWx W **,„. B.4)
Далее, мы знаем, что характеры, соответствующие элементам одного
класса, равны между собой, так что если группа О имеет k классов
Кх Кь, содержащих каждый соответственно hx, .... hk элемен-
элементов, то, обозначая характеры класса через ^r(r = l k), no-

/. Введение е теорию групп 53
лучаем
, JjArX,°V(v)=tf<W B.5)
Для данного \i k характеров Xr^Y^rlS образуют вектор. Все век-
векторы такого типа ортогональны. Отсюда следует, что число неэк-
неэквивалентных представлений группы G меньше или равно к. Мето*
дами групповой алгебры (алгебры матриц представления Г) можно
показать, что имеет место равенство, и мы получаем фундаменталь-
фундаментальную теорему:
Число неприводимых представлений группы О равно числу
ее классов. Таким образом, характеры образуют &Х^"таблицу, на-
называемую таблицей характеров группы О.
Характеры подчиняются также следующему условию ортогональ-
ортогональности:
k
(V)==t6»- ~ B'6)
Критерий неприводимости представления
Произвольное представление может быть разложено в прямую
сумму неприводимых представлений
D(At) = ^avD(v)(Al), . B.7)
V
где av—положительные целые числа, указывающие, сколько раз
представление Dv содержится в представлении D. Взяв след от обеих
частей этого равенства, получаем
Z, = 2«vZ/v) 0- = l А). B-8)
V
в то время как элементы At берутся последовательно из классов
К\ Кк. Умножая на Xr*Mkr и суммируя по г, получаем
2 х/ <«хА = 2 «v 2 %; V-
г ¦ v t
Воспользовавшись теперь выражением B.5), приходим к равенству
так что коэффициенты в выражении B.7) задаются формулой
B-9)

54 Ф. Гюрши
Эта формула, зависящая только от характеров, позволяет узнать,
сколько раз представление D(w содержится в представлении D. Отсюда
вытекает, что если два представления имеют один и тот же набор
характеров, то у них числа а^ совпадают и они эквивалентны. Это
ответ на наш вопрос 4. Для регулярного представления D# (At) мы
имеем
так что выражение B.9) дает
Таким образом, каждое регулярное представление содержит п раз
каждое неприводимое представление ц, где п^ — размерность пред-
представления.
Чтобы ответить на вопрос 1, умножим выражение B.8) на -?hT
и просуммируем. Мы получим
V- B.10)
г ц
В частности, если представление неприводимо, все числа «ц равны
нулю, за исключением одного, которое равно единице, так что в этом
случае
' ^5> B.11)
Это критерий неприводимости.
Для регулярного представления имеем , Xi = g, %r —^ (r =h О и
fln = ren' поэтому
Этот результат был приведен ранее без доказательства.
Пример. Для регулярного представления группы С3 мы имеем
Xi = 3, х2 = Хз = 0, hx = h2=zh3=\, g = 3, так что
Отсюда заключаем, что регулярное представление содержит три
одномерных неприводимых представления, что нами было уже про-
проверено. Полное число неприводимых представлений также равно 3.

/. Введение в теорию групп
55
Таблица характеров строится следующим образом:
Классы Кх = {1) К2 ... Kk
hx = 1 А2 ... hk
Число элементов в классе
Тривиальное представление D(h
tv есть размерность представле- D(
ния D(v).
> = «2 1®
Представление, для которого все k характеров отличны друг от
друга, является истинным представлением. Для группы С3 мы имеем
hx = Г А2 = 1
D
Z)
D
е
Для группы D3 имеем три класса и три представления:
Dd)
DB)
rf)
Ki = (I)
1
1
1
2
Kr = (Л)
3
1
J
0
AT3 = (D)
2
1
1
•_1
Представление D в этом случае является точным.
Другие полезные результаты:
I = ± 1 или О,
в зависимости от того, является ли представление D представлением
первого, второго или третьего типа1).
2. Размерность неприводимого представления является делителем
его порядка, а также делителем индекса каждой из максимальной
инвариантной абелевой подгруппы О. (Для группы Q п = \ или 2.)
') См. стр. 48. —Прим. ред.

56 Ф. Г to рши
3. Каждая неприводимая абелева группа является циклической
и одномерной.
4. Число одномерных представлений группы G равно индексу
gjhc ее производной группы. (Для группы Q gjhc = 4.)
Пример. Алгебра Дирака, порождаемая элементами Уц. которые
удовлетворяют условию
имеет 32 элемента и 17 классов. Поэтому таблица характеров имеет
вид 17X17. Размерность п^ неприводимого представления является
делителем числа 32, причем имеет место соотношение
откуда следует, что п^—1, 2 или 4. Поскольку в этой сумме должно
быть 17 членов, то п^ — 2 выпадает, и мы имеем
п1 = п2= ... = п16, = 1, я17 —4,
так что существует 16 одномерных представлений, одно из которых
тривиально, т. е. единица, и одно неприводимое точное представле-
представление 4 X 4, являющееся представлением Дирака. Регулярное пред-
представление есть 32 X 32. Оно содержит представление Дирака 4 раза
и каждое из одномерных представлений один раз.
§ 3. ГРУППЫ ЛИ. ОБЩИЕ СВОЙСТВА
Топологические группы. Группы Ли
Рассмотрим теперь случай бесконечных групп, для элементов
которых заданы геометрические свойства, такие, как близость, сепа-
сепарабельность и т. д. Короче говоря, мы наделяем множество элементов
группы О топологией. Это значит, что мы определяем такую систему
подмножеств G, что каждый элемент G содержится по крайней мере
в одном из этих подмножеств; в этой системе имеется также
пустое множество и само множество О; пересечение (множество об-
общих элементов) двух подмножеств и их объединение также содер-
содержится в этой системе подмножеств. Тогда мы говорим, что О есть
топологическое пространство, а элементы О называются точками
этого пространства.
Однако множество G обладает также свойствами группы; это
означает, что лфбым двум его элементам поставлен в соответствие
третий элемент, являющийся их произведением. Таким образом,
с любыми двумя точками а и b множества О мы связываем некоторую
другую точку ф(а, Ь). Если фиксировать точку а, то каждой точке b
будет соответствовать точка <р(а, Ь). Каждой точке b соответствует

/. Введение в теорию групп 57
также другая точка, являющаяся ее обращением. Если эти отобра-
отображения множества О на себя, индуцируемые групповыми операциями,
являются непрерывными, то говорят, что множество G образует топо-
топологическую группу. Таким образом, множество О обладает структурой
двух родов: геометрической структурой, превращающей его в топо-
топологическое пространство, и групповой структурой, индуцирующей
непрерывные отображения множества О на самое себя.
Топологические группы будут обладать топологическими свой-
свойствами как в малом (свойства в окрестности точки), так и в большом
(компактность, связность, свойства, которыми обладают римановы
поверхности, и т. д.). Все это геометрические свойства группового
пространства.
К простейшему виду топологических групп относятся те, которые
локально обладают свойствами r-мерного евклидова пространства Ег,
так что окрестность точки может быть непрерывно и одно-однозначно
отображена (гомеоморфное отображение) в окрестность точки про-
пространства Ег Такое топологическое пространство носит название
r-мерного многообразия. Например, риманово пространство есть
многообразие. Топологическая группа, являющаяся многообразием,
называется группой Ли.
Можно показать (это сделали фон Нейман, Понтрягин, Монтго-
Монтгомери и др.), что отображения, индуцированные групповыми опера-
операциями, являются дифференцируемыми и аналитическими'). Таким
образом, также установлено, что группа Ли есть топологическая
группа, пространство элементов которой является аналитическим
многообразием.
Группа Ли как группа преобразований
Рассмотрим группу непрерывных дифференцируемых преобразова-
преобразований координат «-мерного пространства, зависящих от г параметров
«j, ..., аг Тогда каждое преобразование Та определяется множе-
множеством а(ах аГ), которое может быть изображено точкой простран-
пространства Vr. Пространство V'т локально обладает евклидовыми свойствами-,
так что это есть многообразие. Отсюда вытекает, что многообразие,
образуемое всеми возможными преобразованиями Та, есть группа Ли,
а соответствующее пространство носит название группового, или па-
параметрического пространства. Мы можем также ввести на многообра-
многообразии метрику, так что будут определены такие метрические свойства,
как расстояние между соседними точками и элемент объема вокруг
точки. Тогда для группы Ли групповое пространство становится по
существу римановым пространством Vr, в котором заданы определен*
ные аналитические отображения.
') Это утверждение является содержанием знаменитой пятой проблемы
Гильберта (см. [16J). — Прим. ред.

58 Ф. Гюрши
Пример. Рассмотрим следующие группы преобразований одно-
одномерного пространства:
х' = х + а = Тах. C.1)
Имеем ТаТь= Та+Ь (ТаТь) Тс = Та (Т„Те), I = Т0Т~1 = Г_а. Таким обра-
образом, групповые свойства операторов Та установлены. С другой стороны,
мы можем изобразить каждое преобразование Та как геометрическую
точку на прямой, являющейся одномерным евклидовым многообразием.
При этом преобразование Та будет изображаться точкой, имеющей
' координату а по отношению к началу координат, которое будет
изображать единичный элемент (или нулевой элемент, так как
группа абелева), обозначаемый нами через То. Если ТаТь = Тс, то
функция, осуществляющая отображение, с = ф(а, b) = a -\-b, будет
аналитической функцией от а и Ь Следующий пример представляет
собой масштабное преобразование:
х' = kx = Ткх, k>0,
C2
Групповое пространство есть полупрямая, из которой исключена на-
начальная точка.
Теперь возьмем группу одномерных вращений в двумерном про-
пространстве
х' = х cos 0 -j- у sin 0,
У = — х sin 0 -J- у cos 0, C.3)
так что
cos 0 sin 0 \
^— sin 9 cos0/'
В этом случае точки 0 и 0-)-2я/ (/ — целое число) должны быть
отождествлены, так как
Таким образом, групповое пространство есть окружность. Это^-
одномерное риманово пространство, имеющее евклидовы свойства
в малом, но не в большом. Длина кривой конечна. Это пример
компактной группы.
В качестве другого примера возьмем группу вращений в трех
измерениях.
Параметрами, характеризующими вращение, выберем компоненты
вектора, направление которого является осью вращения, а длина
равна ф/л, где <р — угол вращения. Таким образом, если |, ц и ?—

/. Введение в теорию групп * 59
компоненты этого вектора, а 0 и Ф — полярные углы оси вращения,
то
% = 1. sin 0 cos Ф,
D it
т) = -2 sin 0 cos Ф, C.4)
так что
Так как —я < ф < я, то (ф/яJ<1. Таким образом, соотношение
I2 +-Г12-Ь?2< 1
представляет все вращения в виде точек внутри сферы единичного
радиуса. Далее, диаметрально противоположные точки этой сферы
изображают одно и то же вращение, так что эти точки должны быть
отождествлены. Группа является компактной, ее групповое простран-
пространство обладает определенными топологическими свойствами, отличаю-
отличающимися в большом от соответствующих свойств евклидового 3-про-
странства. Однако небольшая ячейка группы вращений имеет евкли-
евклидовы свойства, так что мы имеем дело с многообразием.. Центр сферы
соответствует тождественному вращению.
Групповые свойства
Пусть а = (а1, .... аг) и b = (bv .... br) — две точки группо-
группового пространства группы, G, соответствующие преобразованиям
в «-мерном пространстве представления [х = (хг хп)]. (Отметим,
что Та для удобства действует справа налево.) Далее, с точками а
и b мы связываем точку с, такую, что
и b с*
где
cv = (pv(a, b), v = (l г) или с = ф(а, Ь). C.5)
Таким образом, мы имеем .
или
/(/(*. а), Ь) = /[х, Ф(а. *)]
в качестве группового закона композиции, причем ф есть непрерыв-
непрерывная, произвольное число раз дифференцируемая функция. [Отметим
здесь, что если принять обозначение х'' = f(x, a) — Tx, как в бодь-

60 Ф. Гюрши
шинстве книг по теории групп, то функция <р(а, Ь) соответствует
преобразованию ТьТа.\ Для элементов абстрактной группы мы просто
1 напишем
Чтобы Та образовывали группу, для функции <р, определяемой зако-
законом композиции C.5), должны выполняться следующие условия:
1. Ассоциативность
ТЛТьТс) = (ГаТь)Тс или Ф[а, Ф(*. сI = ф[ф(«. *). с]. C.6)
2. Существование единицы. Существует единичный элемент, та-
такой, что
а = <р(а, ао) = ф(ао, а).
Выбирая а0 в качестве начала координат группового пространства,
имеем ао=О, так что
а = ф(а, 0) = ф@, а). C.7)
3. Существование обратного элемента. Существует связанный
с элементами Та элемент Т~ —Т-, такой, что Т^ Та = ТаТа1 =1,
и таким образом
q>v(a, a) = q>v(a, a) = 0. C.8)
Чтобы это было возможно, якобиан преобразования должен под-
подчиняться условию
Det^O.
dbx
Инфинитезимальная группа
Вместо того чтобы пытаться непосредственно определять функции,
удовлетворяющие условиям C.6) — C.8), Ли изучал часть группового
многообразия в окрестности начала координат, которое мы выбрали
в качестве единичного элемента. Поэтому он смог получить диффе-
дифференциальные уравнения для функций уУ.
Прежде всего определим инфинатезимальные генераторы труппы.
Рассмотрим F(a), функцию элемента а группы. Умножим а справа
на элемент 6а, близкий к единичному элементу группы ао = О. Таким
образом, Ьа — малая величина. В результате умножения получим эле-
элемент
Ьа).
Но поскольку ф—непрерывная функция, элемент а должен лежать
в окрестности элемента а, так что можно записать a — a-\-da и,

/. Введение в теорию групп 61
выписывая г компонент, имеем
Га« = Фа(а, 6а) (а=1 г). C.9)
Если бы мы имели дело с соответствующими преобразованиями
в координатном пространстве xl (i—l n), то мы записали бы
хТа+аа = хТаТи. C.10)
Теперь, пренебрегая высшими степенями 6а, получаем на основании
C.9)
Полагая
и замечая, что
находим
daa = \i „а(аNа®. C.11)
Вернемся теперь к изменению функции F(a), обусловленному
этим преобразованием. Имеем
dF (а) = F (а) — F (а) = F (а + da) — F (а) = SC- daa,
так что
??/7(а)==(баР)(х„а(а)—- = Fа$) X»F(a), C.12)
где мы ввели операторы
У а, , д / д(ра (а, Ь)\ д . гу.
Р даа \ db® /й=о даа
Операторы Х& носят название инфинатезималъных генераторов
группы Ли. Рассматривая в C.12) особый случай F(a) = a, полу-
получаем
day = |
что опять дает C.11).
Чтобы определить Х&, мы должны определить ц " а следова-
следовательно, функцию ф(а, ?). Затем изучим эту функцию в окрестности
начала координат а = Ь = 0. Пренебрегая членами рыще четвертого

62 Ф. Гюрши
порядка малости, имеем разложение в степенной ряд
Далее, вследствие свойств единичного элемента
q>v(o, 0) = 0
и
а=ф(а, 0) = ф@, а)
находим
так что разложение приобретает вид
+ hk^bWm + 0 D). C.15)
Удовлетворим теперь условию ассоциативности C.6) с точностью до
членов третьего порядка. После несколько утомительных алгебраи-
алгебраических преобразований мы получаем только условие для антисимме-
антисимметричной части коэффициентов /^v. Таким образом, определяя
Ckiv = -Cuv = fkKv-fikv. C.16)
получаем условие ассоциативности
**ЛаР + CokV + CKo"CvkP = 0. ;C.17)
Константы ckyv играют фундаментальную роль в теории групп Ли и
носят название структурных констант. Они характеризуются двумя
-свойствами C.16) и C.17)')•
Теперь покажем, что структурные константы связаны с комму-
коммутаторами группы. Коммутатору группы преобразований
и == 1 а ' Ь 1 а* Ь
соответствует элемент группы
и = ф(ф(а. V), ф(а, Ь)), C.18)
где а, Ь — элементы, обратные элементам а, Ь. Вычислим и для слу-
случая, когда а к b малы (в окрестности единичного элемента). Сначала
•вычислим а, используя разложение C.15). для ср, и определим опера-
•) Условие C.17) часто называют тождеством Якоби. — Прим. ред,

/. Введение в теорию групп 63
цию " таким образом, чтобы выполнялось условие C.8). Находим
ev = -/ttV«Vf0C) C.19)
и
q>v (a, J) = -av-bv + Д/ (а V + аV + *V) + 0 C).
Наконец, используя C.16), получаем
_ C.20)
Теперь покажем, что структурные константы со свойствами C.16)
и C.17) полностью определяют структуру группы, т. е. функции (р(а, Ь),
и поэтому можно найти разложение <р вплоть до любого порядка по а
и Ь. Далее покажем, что условия на структурные константы являются
условиями интегрируемости системы дифференциальных уравнений,
которым удовлетворяет функция <р(а, Ь).
Дифференциальные уравнения для <р(а, Ь).
Возвратимся к уравнению C.11)
Можно ввести матрицу Xev, обратную jj," Это всегда может быть
сделано, так как якобиан функции <р не равен нулю. Имеем
Далее,
Теперь положим
с = ф(а, Ь),
Имеем
с4- dc = ф (a, b -f- db).
Но
= Xa& (a) daa. C.22)
так что вследствие ассоциативности
c + dc = (p(a, (p(b, &>)) = ф(ф(а, b), 6b).
Отсюда
Ca + dc" = ф° (с, bb) = Ф« <fi, 0) 4-
Это дает
dca = ^
Применяя C.22) к Ь, получаем

64 Ф. Г to рши
Таким образом, мы должны иметь
^-=^\с)Ху\Ь), C.23)
или
Мы получили дифференциальные уравнения для определения ф. Усло-
Условия интегрируемости можно найти, заметив, что выражение
dV (a. ft) д i a
дЬЧЬУ ~W[^
должно быть симметрично по е и y> так что
¦^Г К" (О */(*>} -~ W(c)le\b)}, C.24)
или, замечая, что
получаем
Ц^Г- »<? (с) [V (*) ^ (*) - X," (ft) Ч
Меняя немые индексы в левой стороне равенства и собирая
с помощью соотношений ортогональности C.21) все функции от с
на одной стороне равенства, а все функции от b на другой, находим
Так как левая часть этого равенства зависит только от с, а правая —
только от Ь, они обе должны быть равны одним и тем же констан-
константам. Эти константы можно определить, полагая, например, с = 0, и
мы имеем

/. Введение в теорию групп 65
На основании определения Цра(а) в C.10) и разложения C.15) для
Ф(а, Ь) находим
а на основании определения C.21) матрицы кав имеем
КЕ@) = Ьаг- , C.28)
Подставляя эти значения в C.26) и используя определения струк-
структурных констант при помощи C.16), находим
или
фва (с) ф" (с)
-~1^КЧС) Ъ^ ЪР<-е)==счЪаЮ- C-29)
Аналогично, выражая правую часть равенства C.25) через структур-
структурные константы, находим уравнение для матрицы А.ре, которое имеет
вид
Эти уравнения1) можно теперь рассматривать как уравнения для опре-
определения матрицы Д-р8, которая, будучи найдена, позволит проинтегри*
ровать уравнения C.23), так что функция ф может быть определена.
Затем мы должны показать, что система уравнений C.30) интегри-
интегрируема. Левая часть этих уравнений имеет вид ротора и поэтому
должна иметь нулевую дивергенцию, так что условие интегрируемости
системы C.30) есть
дХо дЦ\
+Цперест-по (avp)=±
Ч^СЧ перест. =0.
Легко может быть проверено, что это дает опять условие C.17),
так что уравнения C.30) могут быть удовлетворены, что позволяет
найти функцию ф, решая уравнения C.23).
') Эта система уравнений иногда называется формулой Маурера [12]. ¦
Прим. ред.
5 Зек. 612

66 Ф. Гюрши
Соотношения коммутации для инфинитезимальных генераторов
Мы определили инфинитезимальные генераторы как операторы
Имеем
и, используя уравнение C.29), получаем
так что имеет место фундаментальное уравнение
l*a. ^p] = V^V C-31)
Тождество Якоби
ЦХа, Х&], Хе] + [[Хе, Ха\, А-рЦ-С [А-р. А"е]. *а] = 0
автоматически удовлетворяется вследствие уравнения C.17).
Координатные преобразования и преобразования параметров
Мы изучили группу, не обращаясь к координатному пространству х,
в котором действует оператор Та, где Та — координатное преобразо-
преобразование, связываемое с групповым элементом а. Отсюда вытекает, что
при замене координат х новыми координатами у мы получили бы
ту же самую группу. Действительно, пусть
У = ?•'(*) (/=1 я), C.32)
Символически запишем это в виде
y = xS.
Тогда если
x'*=xTa = f{x, a),
to
так что преобразование
действующее в у-пространстве, представляет группу, изоморфную
группе О с элементами а.

/. Введение в теорию групп 67
a+da — * а'
Теперь, взяв
определим
x'-\-dx' = x'Tba=*f{x', Ьа)
и найдем-
dx'1 = (^g^-) Ьаа - uj (/) V (a) da\ C.33)
где мы использовали C.22) и ввели
Рассмотрим, как произвольная функция Ф(х) изменяется при беско-
бесконечно малых преобразованиях, соответствующих элементу Ьа. Имеем
d<D в -Щ- dx1 = ~ иа1 (х) ба« = Ьа«ХаФ (х),
ил ОХ
где операторы
являются генераторами бесконечно малого преобразования в х-про-
странстве.
Из C.33) видно, что если мы произведем замену параметров
ар = фр (а1),
оставляя Ьа фиксированным, то функции Х„а ведут себя как компо-
компоненты ковариантных векторов в групповом пространстве с законом
преобразования
в то время как функции иа' ведут себя как контравариантные век-
векторы с законом преобразования
,l , j дх'1
если координаты х преобразуются в х', опять оставляя элемент Ьа
фиксированным.
С другой стороны, мы можем изменять бесконечно малый эле-
элемент 6а в окрестности начала координат, применяя к нему постоян-
постоянное линейное преобразование
Ьаа = К^аЬа\ C.36)

68 Ф. Г ю р ши
Так как C.33) не изменяется под действием этого постоянного одно-
однородного преобразования, то мы имеем законы преобразования
%^{а) = Кх%х{а) и иа\х') = Кааи'а1{х'), C.37)
где коэффициенты К определяются из равенства
КаХа = бтй. C.38)
Из уравнения C.30) видно, что структурные константы преобразуются
под действием C.36), согласно закону преобразования
са^г=с'рхаКавКоРК&%. C.39)
Чтобы отличать различные трансформационные свойства, индексы,
относящиеся к постоянному линейному преобразованию, можно за-
заключить в скобки
У0)(а)' !*<„>»• с(а0)(8> C-40)
и писать для генераторов
*(а)=^(а)Р(а)~¦• С3'41)
Таким образом, матрицу Я,„(а'(а) можно рассматривать как набор
г ковариантных векторов в групповом пространстве, нумеруемых
индексом (а). Постоянное линейное преобразование этих векторов
индуцирует преобразование C.39) структурных констант.
Если Vе (а) есть контравариантный вектор в групповом про-
пространстве (преобразующийся аналогично элементу da®), то можно
определить инвариантные компоненты вектора V через базисные
векторы Я,„( , а именно - "
Иа)(а) = ^(а)(а)К0(а). C.42)
Эти величины будут инвариантны при изменении параметров. В группо-
групповом пространстве может быть подобным образом определен дальний
параллелизм, поскольку удовлетворяются соответствующие условия
интегрируемости для К.
Каноническая форма
- Линейные преобразования структурных констант используются
для преобразования коммутационных соотношений в стандартную
форму. Возьмем произвольный фиксированный инфинйтезимальный
оператор А (линейную комбинацию операторов АГ(а)) и решим уравне-^
ние на собственные значения:
И. **1=

/. Введение в теорию групп 69
где pft— собственное значение оператора А, соответствующее „соб-
„собственному вектору" Xk. Будут ли существовать г собственных зна-
значений по одному для каждого генератора или некоторые собственные
значения будут вырождены? Картан показал, что для полупростых
групп (не имеющих абелевых инвариантных подгрупп) только соб-
собственное значение р —0 вырождено. Пусть р = 0 имеет /-мерное
вырождение, причем оператор А выбран таким образом, что число /
максимально. Тогда число / называется рангом полупростой группы.
Остальным г собственным значениям соответствует по одному соб-
собственному вектору. Отсюда следует, что стандартная форма комму-
коммутаторов имеет вид
[Л, Я,] = 0 (/=1 /),
[А,Еа)=*аЕа (а—.1 г - /). (ал*>
Далее,
\А. lHt,'E?] = [A. HtAa]-[A, EaHt\r=
= \А. Ht\Ea + Ht[A. Ea]-[A, Ea]Ht-Ea[A, HA=a\Ht. Ea],
так что если Еа есть собственный вектор, соответствующий соб-
собственному значению а, то существует еще / собственных векторов
{#(, Еа), принадлежащих тому же собственному значению. Так как
собственное значение а не вырождено, то все они должны быть
пропорциональны Еа. Таким образом, мы имеем
[Ht, Ea]^rt(a)Ea (l=U ..... .
где величина гДа), которая может рассматриваться как /-компонент-
/-компонентный вектор, называется корневым вектором, соответствующим соб-
собственному значению а. Напомним, что существует г — / различных
собственных значений а.
Теперь изучим коммутатор [Еа, ?р]. На основании тождества
Якоби, примененного к операторам А, Еа и Е&, находим
[А. [Еа. ?„11«*(а-И)[?а, Ев].
Следовательно, коммутатор [Еа, ЕЛ в том случае, когда он не равен
нулю, является собственным вектором оператора А. Отсюда вытекает
следующее: . ,
если a-f-P есть корень, то
[Еа, ?р] =/afsca+p;
если a-fp = 0, то коммутатор [Еа, ЕЛ есть линейная комбинация
операторов Ht: - '
[Еа, ?е] ==[?„, ?_а] = Са1_а'Я,;
если а-(-Р не корень, то коммутатор [Еа, ЕЛ^ равен нулю,

70 Ф. Г to put и
Далее, можно показать, что
<ъ-a'^ («О = *'
где g№ — метрический тензор, связанный с каноническими структур-
структурными константами. Определение метрического тензора, связанного
с данным выбором структурных констант, мы дадим в следующей
главе [уравнения D.6) и D.8)]. Таким образом, можно написать
[Еа, ?_J = r'(a)tf,.
Замечая, что оператор А, согласно C.43), является собственным
вектором, принадлежащим собственному значению р = 0, получаем
А = XlHt, так что
[Ht. Я;-] = 0.
Отсюда следует, что стандартная форма коммутационных соотноше-
соотношений инфинитезимальной группы есть
[Я,, Hj] = Q (I, у= 1 /),
[Ht, Ea] = rt(a)Ea,
C-45)
Величины ЛЛв_ также могут быть выражены через корневые
векторы, так что мы знаем группу, если известны ее корни. Эти
корни обладают свойством
Ц/-,(а)гу(а) = б,/. C.46)
а
где а может принимать только г — I значений:
а=±1. ±2 ±^(г_/). C.47)
Далее, выражения
о г (а) ¦ г (Р) _ дГ(а)-г(Р) , ..
2 г(а).г(а)-т' 2r(P).r(P)-« C-48)
являются целыми числами, и поэтому
r(P)-2r(a)li^f C.49)
также является корнем. Геометрически это означает, что новый
корень может быть получен отражением корня г(р) относительно
гиперплоскости, перпендикулярной корню г(а). Кроме того,
дС0^ф = 1 C50)

/. Введение в Теорию групп 71
где ф —угол между корневыми векторами. Это ограничивает угол ф
значениями 0, я/6, я/4, я/3 и я/2. Из C.48) получаем отношение
длин двух корневых векторов:
Для
Ф = -д-, к — неопределенная величина.
Например, если 1=1, то единственная диаграмма имеет вид
г(-1) 0 гA)
О О ¦ О
Мы увидим, что эта диаграмма соответствует группе О3 трехмерных
вращений или унимодулярной унитарной двумерной группе SU2.
Если 1 = 2, то существуют 4 диаграммы (А2В2С2О^) для простых
групп, две из которых эквивалентны в том смысле, что одна диа-
диаграмма получается из другой путем поворота. Только три из этих
диаграмм различны. Если две диаграммы по существу совпадают, то
соответствующие группы локально изоморфны, так как оии имеют
одну и ту же систему корней.
При 1 = 2 мы получаем также пятую диаграмму D2, которая
разлагается на две системы взаимно ортогональных корней. Такая
диаграмма изображает группу, являющуюся прямым произведением
тех групп, которым соответствует каждая из этих систем корней.
Отсюда следует, что эта группа не проста. Корневые диаграммы
полупростых групп Ли ранга 2 изображены на фиг. 1. Число пара-
параметров (порядок) каждой группы получается добавлением к рангу
(/ = 2) числа корневых векторов.
Диаграмма А2 изображает специальную унитарную группу в трех
измерениях SU3, которая является группой унитарных матриц с еди-
единичным детерминантом. Эта группа оставляет инвариантной форму
в трехмерном комплексном пространстве представления.
Диаграммы В2 и D2 изображают ортогональные группы О5 и О4,
являющиеся соответственно группами действительных вращений в пяти-
пятимерных и четырехмерных пространствах.

72
Ф. Г ю р ши
Диаграмма С2, изоморфная В2, в этом случае изображает симплекти-
ческую группу ранга 2. Если ^ и д2- действительные кватернионы,
соответствующие компонентам кватернионного вектора в двумерном
[SU3(8nap)] [05(Юпар)]
05]
П2
[О, ~ SP, ~О3® О3]
F пар)
A4 пар)
Ф и г. 1.
¦кватернионном пространстве, то преобразования "группы С2 оставдяют
инвариантной форму
Здесь черта означает кватернионное сопряжение, так что если
Ч =
есть кватернион с действительными компонентами qv, то сопряженный
кватернион есть
Группа О2 называется исключительной группой, так как сущест-
существует всего пять групп с диаграммами, принадлежащими к той же
самой категории.
Картан показал, что единственными типами диаграмм, которые
встречаются по мере увеличения ранга группы, являются диаграммы
типа А,-В, С и D.
К категории А относятся группы SUn, унитарные унимодуляр-
ные группы в комплексном, пространстве п измерений, оставляющие

/. Введение в теорию групп 73
инвариантной форму
К категории В относятся действительные ортогональные группы в п
измерениях О„, оставляющие инвариантной форму
в то время как к категории D относятся группы О2я, ортогональные
группы в 2/1 измерениях.
К категории С относятся симплексические группы Sp^, оставляю-
оставляющие инвариантной форму
Ван дер Варден показал, что единственными другими простыми
группами являются пять исключительных групп (группа О2 является
первой в этой категории). • '
Все перечисленные выше группы носят название классических
групп. Из них можно образовать новые группы, не являющиеся
полупростыми, взяв прямое произведение с абелевыми группами1).
§ 4. ПРЕДСТАВЛЕНИЯ И НЕКОТОРЫЕ
ГЛОБАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ГРУПП ЛИ
Все понятия и результаты абстрактной теории трупп, за исклю-
исключением тех, для которых существенна конечность порядка группы,
. продолжают выполняться для топологических групп, и в частности
для групп Ли. Подгруппы, смежные классы, инвариантные под-
подгруппы, факторгруппы и т. д. определяются так же, как и раньше.
Подгруппа соответствует подпространству группового многообразия.
Если она инвариантна, то групповое пространство факторгруппы
будет факторпространством от полного группового пространства по
') Отметим, что существование четырех серий Ап, Вп, С„, Dn и пяти
исключительных простых групп Ли было открыто Кнллннгом. Картан
сформулировал идею Кнллннга в математически корректной форме. Ван дер
Варден дал окончательное изложение теории, учитывающее результаты
Вейля (построение канонического базиса) и Схоутена (корневые диаграммы).
Следует заметить, что классическими группами называют обычно Группы
серий Ап, Вп, Сп и Dn и не относят к ним исключительные группы. Серия
Вп включает ортогональные группы O2/I+i вращений пространства нечетного
числа измерений. Кроме того, вся приведенная классификация относится,
собственно говоря, к максимальным компактным подгруппам простых
групп Ли. В общем некомпактном случае классификация имеет несколько
другой вид: существует четыре серии комплексных групп SL{n-\-\, С),
SO Bп +1, С); SO Bя, С), SpBn, С) и пять исключительных комплексных
групп. По всем указанным вопросам см., например, работы [11—13, 17],
а также статью 4 настоящего сборника н вступительную статью. — Приц.
ред.

74 Ф. Гюрши
его инвариантному подпространству. Теория групп обе'спечивает нас
алгебраическими операциями на топологических пространствах. Про-
Простая группа Ли — это группа, не имеющая инвариантных подгрупп,
а полупростая группа Ли не имеет абелевых инвариантных под-
подгрупп.
Линейным представлением группы Ли О является и-мерная
матричная группа D, на которую группа О гомоморфно отображена,
причем матрица D (а) соответствует элементу а?О. Если это ото-
отображение— изоморфизм, то представление группы является точным.
Матрицы D(a) будут действовать на векторы «-мерного простран-
пространства представления.
Если пространство представления есть гильбертово пространство,
то представление является бесконечномерным и унитарным. Элемент
группы представляется линейным унитарным оператором U (а), кото-
который, действуя на векторы состояния гильбертова пространства, оста-
оставляет инвариантным скалярное произведение (х|Ф) любых двух век-
векторов. Такие представления используются в квантовой механике, где
элемент группы может быть представлен оператором, действующим
на функции, а скалярное произведение двух функций определяется
интегрированием. Если использовать базис из взаимно ортогональных
функций, то линейные операторы принимают вид бесконечных мат-
матриц.
Чтобы найти представление группы Ли, можно в качестве проме-
промежуточного шага найти представление генераторов бесконечно малых
преобразований, определяющих кольцо Ли1), а именно
D.1)
2
Цикл. (
Теперь покажем, что всегда существуют по крайней мере два
представления. Одно из них есть тривиальное представление,
в котором каждый генератор представляется нулем. Очевидно, что
это представление не является точным. Другое представление реали-
реализуется в случае г-параметрической группы г X r-матрицами. Это —
присоединенное представление, играющее в теории групп Ли роль,
аналогичную той, которую играло регулярное представление для
конечных групп2).
') Строго говоря, линейное пространство, натянутое на генераторы
группы Ли, не является ни алгеброй, ни кольцом в точном смысле этих
терминов (вследствие замены условия ассоциативности тождеством Якоби).
Соответствующая структура носит название алгебры Ли и является приме-
примером неассоциативных алгебр (см. [13, 11]). — Прим. ред.
2) Присоединенное представление часто называют регулярным предста-
представлением и в теории групп Ли (о различных случаях употребления термина
«регулярное представление» см. статьи 2 и 4 настоящего сборника). — Прим.
ред.

/. Введение в теорию групп 75
Присоединенное представление кольца Ли
Пусть
S = i(P)*(p) D.2)
есть фиксированный элемент в кольце Ли. Любому элементу
принадлежащему кольцу Ли, можно поставить в соответствие линей-
линейный оператор А (а), такой, что
А(аI = 1' = [а, I], D.3)
где |' является другим элементом кольца
Имеем
I' = сД(р) [ХМ, Х(р)] = сП
так что оператор А (а) индуцирует на компонентах элемента | пре-
преобразование
S —« с(ор) S — Аф) W § i
' где
Л Л/> D.4)
есть матрица, соответствующая элементу а кольца, т. е.
Если теперь в качестве а выбрать элемент X^)t то уравнение
D.4) дает
JX) {x), D.5)
так что структурные константы сами по себе образуют матричные
представления генераторов, если один из нижних индексов структур-
структурных констант используется для нумерации различных генераторов.
Матрицы, определяемые уравнением D.4), действительно образуют
представление, поскольку можно показать, что закон композиции
двух операторов (являющийся операцией их коммутирования) сохра-
сохраняется при отображении а-> А (а), не являющемся с необходимостью
одно-однозначным, так как некоторые генераторы могут коммути-
коммутировать. Действительно,
А(а)А$I = [а, [р, Щ,
Л(р)Л(а)| = [р. [а, HI,
так что
[Л (а), Л(р)]| = [а. [р, у}} — [р, [а, |Ц = [[а, р]Ц.

76 : Ф. Г Ю p Ul U
Это соотношение показывает, что
[Л (а), Л(р)} = Л([а, Р1).
т. е. представление коммутаторов двух элементов кольца Ли есть
коммутатор представлений этих элементов.
Скалярное произведение двух элементов кольца Ли
Поставим теперь в соответствие двум элементам, аир, кольца
Ли число (а • Р), которое будем называть их скалярным произведе-
произведением. Пусть Л (а) и Л (р) — матрицы, соответствующие в присоеди-
присоединенном представлении элементам аир. Определим
(а • Р) = Sp А (а) А (р) = а(о)р<т W1* V)(P) = a<0)P(t)S<«t>,
где мы ввели симметричный декартов тензор1)
&(т<т) s(<rt) ~ Vp) Vn) • D.0)
Он обладает тензорными свойствами по отношению к заключен-
заключенным в скобках индексам и линейно преобразуется при изменении
базиса кольца Ли. Чтобы поднять эти индексы, необходим тензор,
обратный тензору g(Xgy Он будет существовать, если
o)^0. D.7)
Тогда можно определить тензор
g<rt)g{w) = bj>. D.8)
Картан показал, что условие D.7) необходимо и достаточно
для того, чтобы группа была полупроста. Если группа не полу-
полупроста, то она будет иметь инвариантную абелеву подгруппу, кото-
которая обратит в нуль такое подмножество структурных констант, что
будет следовать Detg-(ta) = O. Теперь удается установить, что заклю-
заключенные в скобки индексы могут быть подняты только в случае
полупростой группы.
Наша следующая задача — показать, что величины g^a) могут
рассматриваться как инвариантные компоненты метрического тензора,
определенного везде в групповом пространстве, где уже введены
векторы А^Ч
Длина и объем в групповом пространстве
Так как бесконечно малый элемент daa ведет себя в групповом
пространстве как ковариантный вектор, то мы можем определить его
инвариантные компоненты по отношению к локальному базису А^ (а),
') Введенная здесь форма (a-Р) носит название формы Киллиига —
Картана. — Прим. ред.

/. Введение 6 teciputo групп 77
следуя определению C.42) для любого ковариантного вектора.
Находим
la^(a)daa = ba{yi\ D,9)
так что бесконечно малый элемент группы 6а в начале координат
имеет компоненты 6a<v), являющиеся инвариантными компонентами
вектора da по отношению к Ка^(а).
Длина вектора da теперь может быть определена как длина век-
вектора (>а, которому он параллелен. Находим
\da р = Вш Ьа^ ftew = *^e°V daa da' = g^ (a) da* da*,
D.10)
где
есть ковариантные компоненты метрического тензора в групповом
пространстве.
Элемент объема есть детерминант, образованный г независимыми
бесконечно малыми смещениями в некоторой точке группового про-
пространства, так что
fifo = Det | Ka(v) (a) | dTa, D.12)
или
Для полупростых групп можно использовать также матрицу
являющуюся обратной матрицей для ^a(v), и написать
<to={Det||i(v)«4pVa. D.13)
Группа компактна, если полный групповой объем ее группового
пространства | dm конечен. Мы дадим более общее определение
компактности в связи с глобальными свойствами групп Ли.
Картан показал, что для компактных полупростых групп метри-
метрический тензор g^v) положительно определен, так что в соответ-
соответствующим образом выбранном базисе кольца Ли он принимает вид
«V)=Av D-14)
Этот результат оправдывает выбор g^ в качестве метрического
тензора группы. Мы примем без доказательства теорему о том, что
каждое приводимое представление полупростой группы Ли .также
вполне приводимо. Чтобы дать пример противного, рассмотрим группу

78 Ф. Г ю р ш и
одномерных трансляций
х' = х-\-а = Тах,
которая является абелевой и поэтому не полупростой. Элементы
группы Та допускают 2 X 2-представление
Г
которое приводимо, но не вполне приводимо, так как оно не может
быть диагонализовано.
Групповое пространство как риманово пространство
с дальним параллелизмом
Итак, мы показали, что поскольку групповое пространство полу-
полупростой группы Ли порядка г обладает метрикой gm, то оно может
рассматриваться как r-мерное риманово пространство. Далее, в этом
пространстве всегда может быть введен абсолютный параллелизм
с помощью поля векторов A,a(v)(a). Это поле связано с группой пре-
преобразований группового пространства, определяемых как
, Ь)
при фиксированном а. Эта группа носит название первой параме-
параметрической группы группы G. Определим новую группу преобразо-
преобразований (изоморфную группе О), фиксируя b в композиционной формуле
и интерпретируя ее как преобразование, переводящее а в с. Тогда
мы получим вторую параметрическую группу, с которой связано
новое поле векторов A,a(v)(a), позволяющее определить дальний парал-
параллелизм второго рода. Таким образом, в групповом пространстве суще-
существуют метрика и два определения дальнего параллелизма.
Оператор Казимира
Поскольку метрический тензор g№ti всегда существует для полу-
полупростых групп, то мы можем определить в кольце Ли новый опе-
оператор, именно оператор Казимира
C^g(^X(ll)X(v). , D.15)
Оператор Казимира имеет то важное свойство, что он коммутирует
со всеми инфинитезимальными операторами, так что
[С, Х(т)] = 0. D.16)
Доказательство проводится непосредственно. Так как оператор С
коммутирует со всеми матрицами представления, то, согласно лемме
Шура, он должен быть кратен единичной матрице. Таким образом,
численное значение, которое оператор С принимает для данного пред-

1. Введение в теорию групп 79
ставления, может быть использовано для характеристики этого пред-
представления.
Могут существовать другие однородные формы от операторов Х(а),
коммутирующие со всеми элементами кольца Ли. Они также назы-
называются операторами Казимира и используются для характеристики
представлений.
Если группа компактна, то, согласно теореме Картана, существует
базис, в котором оператор Казимира приобретает вид
C=,trxwXlv) = %X(M*. D.17)
Отметим, что мы рассматриваем базис, в котором операторы Х^
эрмитовы. В противном случае тензор g(llV) отрицательно определен
и оператор С имеет противоположный знак по сравнению с выра-
выражением D.17).
Пример. Группа трехмерных вращений О3.
Следующая корневая диаграмма группы Ли порядка 3 и ранга 1
изображает ортогональную группу О3:
г(-1) 0 гA)
о о о
Нормируя гA) и Nlt _j на 1, для кольца Ли получаем соот-
соотношения
[/Л, E_il = — ?_!• D.18)
Эти соотношения связаны с обычными коммутационными соотно-
соотношениями для эрмитовых операторов группы вращений Ji выражениями
. D.19)
Уравнения D.18) эквивалентны соотношениям
D.20)
где гт — совершенно антисимметричный тензор.
Найдем присоединенное представление группы О3. Возьмем е ка-
качестве фиксированного элемента кольца Ли

80 Ф. Гюрши
Присоединенное представление операторов Ех, Нх, Е_х находится
вычислением соответствующих матриц с помощью соотношений типа
[Ех, 1\=-1% + Г*Я, + О • Е_х = (ЕХНХЕ_Х) D (?,) 1°
Затем находим
1 0 0\ /0—1 0'
0 0 0 j, D(?,) = [ 0 0 1
,0 0 —1/ \0 0 0,
/ 6 0 0'
D (?_,) = ! —1 0 0], D.21)
\ 0 10
и элемент Д кольца, имеющий вид
Л = а1?1 + а°Я1 + а-1?_1,
будет представлен матрицей
/ а0 —а1 0
О(Д)=[ —а 0 а1 \. D.22)
\ 0 а —а°
Квадрат элемента А равен
' -^a-V). D.23)
т. е. мы находим, что метрическим тензором группы вращений
в базисе (Ех, Нх, Е_х) будет тензор
^(аР, = 26ар. D.24)
Оператор Казимира есть
C=,g(*)X(a)X^ = 2W-\-E1E.1-\-.E.1E{). D.25)
так что с помощью обычных операторов Jt мы находим для квад-
квадрата оператора J
^C ? + Ji. , D.26)
Этот пример иллюстрирует тот факт, что тензор g(a^ на самом
деле ведет себя как метрический тензор кольца Ли и что он поло-
положительно определен для группы О3, которая является компактной.
Следовательно, для характеристики неприводимых представлений могут
быть использованы собственные значения оператора J • J.

/. Введение в теорию групп 81
Линейные и нелинейные представления. Пример
Проиллюстрируем на примере, как группа преобразований, по своей
форме не являющаяся линейной, может быть представлена матрицами,
соответствующими линейным преобразованиям в другом пространстве.
Рассмотрим проективную группу
х' = —,
определяемую нелинейными преобразованиями. Она имеет по существу
три параметра, так как мы всегда можем поделить числитель и зна-
знаменатель на ненулевую функцию параметров. Пусть
А' = а' d' — c'b'
и поделим числитель и знаменатель на УД'. Получим
где
Д = a d — be = 1.
Этой группе преобразований мы можем поставить в соответствие
линейную группу с единичным детерминантом
_ (А = 1). D.29)
Если мы положим
-11 = *' и ¦?- = *, D.30)
то вновь получим группу D.28), причем группы D.29) и D.28) изо-
изоморфны и матрицы
\ DetD(A)=l, D.31)
действующие в двумерном векторном пространстве, осуществляют
представление одномерной проективной группы. Матричная группа D.31)
есть унимодулярная линейная группа в двух измерениях и обозна-
обозначается SLB). Абелева подгруппа получается, если положить a=d=l,
c = b = O. Это есть как раз матрица группы трансляций, приведен-
приведенная выше.
Компактность и связность. Накрывающая группа
Нами был уже определен элемент объема da многообразия, пред-
представляющего собой группу Ли, и было отмечено, что группа ком-
компактна, если ее объем внутри всей области изменения параметров
6 Зак. 618

82 Ф. Гюрши
конечен. Более общим определением, справедливым для всех тополо-
топологических групп, является следующее: топологическая группа G ком-
компактна, если ее групповое пространство 5 компактно в топологи-
топологическом смысле, т. е. если любое бесконечное подмножество простран-
пространства 5 содержит последовательность, сходящуюся к некоторому
элементу пространства 5. Например, группа О3 компактна, в то время
как SLB) нет.
Другим важным топологическим понятием является связность.
Рассмотрим две 3-параметрические группы Ли: О3 и SU2. Они ло-
локально изоморфны, так как обладают одной и той же алгеброй Ли,
но отличаются своими глобальными свойствами. Таким образом, одна
и та же алгебра Ли может представлять топологически различные
группы.
Для определения связности возьмем произвольную точку Р груп-
группового пространства 5 группы О. Рассмотрим две замкнутые кри-
кривые Lx(t) и L2{t), обе начинающиеся и кончающиеся в точке Р.
Здесь t есть параметр, который параметризует замкнутые кривые
таким образом, что одной точке кривой соответствует только одно
значение параметра t. Далее, f = 0 в начале кривых и t = 1 в конце.
Если существует функция A, (s, t), непрерывная как по s, так и по t,
причем такая, что
X (О, *) = М9. ML O = As(O.
а значения 0 < s < 1 соответствуют промежуточным кривым, лежащим
между Lx{t) и L2(t), то говорят, что эти две кривые гомотопны.
Это означает, что они могут быть непрерывно деформированы друг
в друга изменением параметра 5 от 0 до 1. Если все замкнутые кри-
кривые, исходящие из произвольной точки Р пространства, могут быть
деформированы в нуль (гомотопны нулю), то пространство является
просто связным. Если существуют т замкнутых кривых, которые
не могут быть деформированы друг в друга, то пространство является
т-связным.
Рассмотрим теперь некоторые примеры групповых пространств.
R: аддитивная группа действительных чисел (или одномерных
трансляций). Групповое пространство есть бесконечная прямая; группа/?
некомпактна и просто связна.
G2: ее групповым пространством является окружность. Замкнутая
кривая, k раз оборачивающаяся вокруг окружности, не может быть
деформирована в кривую, оборачивающуюся вокруг окружности / раз.
Таким образом, группа О2 компактна и бесконечно связна.
О3: группа трехмерных вращений была ранее параметризована при
помощи векторов, направленных по оси вращения и равных по вели-
величине углу вращения. Диаметрально противоположные точки на поверх-
поверхности сферы должны быть отождествлены.

Л Введение в теорию групп
83
Рассмотрим замкнутую кривую Lx (фиг. 2), начинающуюся и кон-
кончающуюся в точке О и не имеющую с поверхностью сферы общих
точек: такая кривая гомотопна нулю. Другая кривая L2, пересекаю-
пересекающая поверхность сферы в точке Q, вернется обратно в точку О из
диаметрально противоположной точки Q'. Очевидно, что Lx и L2 не
могут быть деформированы друг в друга. Кривая L2 гомотопна оси,
Фиг. 2.
представляющей подгруппу О2 группы О3. Кривые, пересекающие
поверхность сферы нечетное число раз, гомотопны оси, в то
время как те кривые, которые пересекают поверхность четное число
раз, гомотопны нулю. Таким образом, группа О3 дважды связна.
Фиг. 3.
SU2: групповое пространство группы SU2 превращается в груп-
групповое пространство группы О3 таким же образом, как двулистная
риманов^ поверхность становится плоскостью с разрезом.
Изобразим групповое пространство группы SU2 в виде двух сфер
и отождествим точку Р на первой сфере с диаметрально противо-
противоположной точкой Р' на второй сфере (фиг. 3). Тогда кривая, начи-
начинающаяся в точке О и достигающая поверхности первой сферы в точке Р,
перескочит в точку Р' второй сферы. Из точки Р' она может перейти
в другую точку Q' на второй сфере, от которой кривая снова может
перескочить обратно на поверхность первой сферы в точку Q, чтобы
прийти в конце концов в точку О, так что кривая будет замкнутой.
Сдвигая точку Р к точке Q и Р' к Q', стягивая P'Q' в нуль и затем
стягивая замкнутую кривую ОРО в нуль, можно показать, что наша
первоначальная кривая гомотопна нулю. Поэтому все замкнутые

84 Ф. Г ю р ш и
кривые в групповом пространстве группы SU2 гомотопны нулю, так
что группа SU2 компактна и просто связна.
Группа п-мерных трансляций. Ее групповое пространство есть
re-мерное евклидово пространство, и поэтому она просто связна.
Для п > 2 «-мерная сфера также просто связна.
Фундаментальная группа
Свойства связности топологического пространства лучше всего
изучать, связав с ними некоторую конечную группу, называемую фун-
фундаментальной группой. Чтобы определить эту группу, рассмотрим два
пути аир, не обязательно замкнутые. Мы параметризуем их действи-
действительным числом и в пределах 0<^й<^1, так что одно значение пара-
параметра и соответствует одной точке на каждой кривой. Если пути а
и р имеют одно и то же начало и один и тот же конец и могут
быть непрерывным образом деформированы друг в друга, то они
гомотопны друг другу, и мы будем писать а<—р. Путь, обрат-
обратный а(й), определяется как а~1(и) = аA—и), т. е. это тот же
самый путь, только проходимый в противоположном направлении.
Если конец пути а совпадает с началом пути р, т. е. аA) = р@),
то произведением путей а и р будет путь у = ар, состоящий из
обоих путей вместе, так что у(и) — аBи) при О-^й-^/г и у(и) =
= РBй— 1) при х/2 -^ й -< 1. Нулевой путь состоит из одной точки.
Можно показать, что если а — р, то путь ар гомотопен нулевому
пути.
Рассмотрим теперь множество всех замкнутых путей, начинаю-
начинающихся и заканчивающихся в определенной точке Р топологического
пространства S. Класс всех путей, гомотопных а, обозначается [о].
Умножение гомотопных классов определяется как
[а] [р] '= [ар].
Геометрически очевидно, что.произведение классов не зависит от кон-
конкретного выбора путей а и р в каждом классе.
Проверим теперь, что эти классы образуют группу, называемую
фундаментальной группой я (S) топологического пространства S.
Действительно, удовлетворяются следующие аксиомы.
1. Замыкание: если [а]?яE), [р]?лE), то [а] [Р] = [ар] ? я E).
2. Ассоциативность: ([а] [р]) [у] = [а] ([р] ft]). Это следует из
(ap)Y~a(P\0-
3. Единичный элемент. Это класс нулевых путей [1], поскольку
[a][l] = [a].
4. Обратный элемент: [a~1] = [a]~1, так как [а] [а] = [1].
Из определения фундаментальной группы следует, что фундамен-
фундаментальная группа просто связного пространства состоит только из еди-
единичного элемента — класса нулевых путей. Фундаментальная группа

Л Введение в теорию групп :85
круга есть бесконечная циклическая группа, состоящая из единичного
элемента и целых степеней класса пути, обходящего круг один раз.
Фундаментальная группа группового пространства группы Oj состоит
из двух элементов. Следовательно, это циклическая группа С2. Мы
рассматриваем примеры абелевых фундаментальных групп, но в общем
случае фундаментальная группа неабелева.
Теперь мы оценим важность теории конечных групп для теории
групп Ли, групповым пространством которых является /я-мерное
многообразие. С такими группами Ли связана фундаментальная группа
порядка ш.
Два топологических пространства, которые могут быть отобра-
отображены, друг на друга с помощью одно-однозначного соответствия,
имеют одну и ту же связность и одну и ту же фундаментальную
группу. Например, я-мерная сфера при я>2 просто связна, так как
она может быть отображена при помощи стереографической проек-
проекции на евклидово пространство.
Универсальная накрывающая группа
Можно показать, что для любой многосвязной группы Ли О суще-
существует такая просто связная группа О, которая может быть гомо-
гомоморфно отображена на О. Эта просто связная группа О носит назва-
название универсальной накрывающей группы О. Тогда О содержит такую
дискретную инвариантную подгруппу А, что О/А изоморфна О.
Группы G и G локально изоморфны и имеют одну и ту же алгебру
Ли, хотя и различаются своими глобальными свойствами.
Для группы О2 универсальная накрывающая группа имеет своим
групповым пространством открытую спираль, гомотопную прямой.
Отсюда следует, что для группы О2 универсальной накрывающей
является группа одномерных трансляций R.
Универсальная накрывающая группы О3 есть группа SU2, которая
просто связна. Элементы группы SU2 могут быть отображены на эле-
элементы группы ,О3 при помощи два-однозначного гомоморфизма, так
что матрицы U и —U, каждая из которых является точным пред-
представлением элемента группы SU2, соответствуют одной и той же
матрице, связанной с одним элементом группы вращений.
Можно доказать, что универсальная накрывающая О группы О
единственна. Все группы Ли, имеющие ту же алгебру Ли, что и О,
имеют вид G/Д, где А — некоторая инвариантная дискретная подгруппа
группы G.
Возвращаясь к примеру группы SU2, представим элемент группы SU2
при помощи 2 Х2-матрицы с единичным детерминантом D(n, 0), опре-
определяемой как
D(n, Q) = el№°-a (n.n=l). D.32)

86 Ф. Гюрши
Такие матрицы осуществляют линейные преобразования элементов z^
и z2, оставляющие инвариантной форму z\z1 -f- z*z2.
Два элемента группы, а именно
D(n, 0)=1 и ?>(п, 2я) = — 1, D.33)
образуют в группе SU2 дискретную абелеву инвариантную подгруппу.
Это центр Z2 группы SU2. Имеем Z2« C2. Из общих теорем сле-
следует, что факторгруппа SU2jZ2 должна иметь такую же алгебру Ли,
что и SU2, причем подобная группа единственна. Это группа О3, так
что имеем
Пусть теперь группа О /и-связна. Ее универсальная накрывающая
группа О просто связна. Поэтому каждому элементу группы О соот-
соответствует т различных элементов ее универсальной накрывающей О.
Точное неприводимое представление группы О тогда даст нам т-знач-
ное представление группы О.
Отсюда можно установить, что если группа О многосвязна, то
существуют многозначные представления группы О, являющиеся
точными неприводимыми представлениями ее универсальной накры-
накрывающей О. Так, неприводимое точное представление группы SU2
является двузначным точным представлением группы О3.
Соотношения ортогональности для компактных групп. Характеры
Если группа компактна, то суммирование по элементам группы
может быть заменено интегрированием по групповому пространству,
причем инвариантным элементом объема является элемент da, опре-
определяемый формулой C.12). Это так называемое интегрирование Гур-
витца. Как и в случае конечных групп, можно построить унитарное
представление компактной группы Ли из данного конечномерного
представления при условии, что интеграл
'av = 2 J D (а)щ°* (fl)vp rftt> D-34>
Р
СХОДИТСЯ.
Для двух различных представлений, обозначаемых индексами ц
и v, выполняются соотношения ортогональности
№fife. J *o, D.35)
где /„ — размерность представления (ц).
Характер x(|i)(a) представления (ц) группы Ли определяется
опять как след матрицы ^\а) и поэтому является функцией коор-

/. Введение в теорию групп 87
динат точки а группового многообразия. Характеры компактных групп
удовлетворяют соотношению ортогональности
J X(|i)*(«)X(v) («)*» = *,« J d<i>- D'36>
Как было сказано ранее, приводимые представления компактной
группы Ли вполне приводимы и неприводимые представления экви-
эквивалентны унитарным представлениям. Эти два свойства не выпол-
выполняются для некомпактных групп, которые допускают конечные пред-
представления, не эквивалентные унитарным представлениям, и их приводи-
приводимые представления не являются с необходимостью вполне приводимыми.
Унитарные представления некомпактных групп Ли бесконечномерны,
и мы дадим соответствующий пример в следующем параграфе.
Группа вращений О} и ее двузначные представления
Мы уже видели, что SU2, унимодулярная унитарная группа в
двумерном комплексном пространстве, является универсальной накры-
накрывающей группы О3. Следовательно, ее однозначные представления
накрывают все однозначные и двузначные представления группы О3.
Рассматриваемая как группа преобразований в двумерном комплекс-
комплексном линейном пространстве группа SU2 соответствует преобразованию
ф' = ?/ф, D.37)
где
являются комплексными векторами линейного пространства, а 2 X 2-ма-
трицы U обладают свойствами
Dett/= I, Ulf=\. D.38)
Мы уже упоминали, что матрицы U можно представить в кано-
канонической форме
U(n, 0) = е'(в/2)..п (п,п = 1), D.39)
где в явном виде показана зависимость U от трех действительных
параметров.
Другая форма для U есть
— /or.а/2 ^
Легко проверить, что оба условия D.38) удовлетворены. Можно также
написать,
и -\-1о2и%-\-1Огц, D.41)

88 Ф. Гюрши
где действительные параметры uv (v = 1 4) удовлетворяют условию
«i + M22 + «! + «4=1' D-42)
откуда следует, что групповое пространство SU2 есть трехмерная
поверхность гиперсферы в четырехмерном пространстве. Тогда пара-
параметры а, определяемые выражением D.40), представляют собой как
раз стереографическую проекцию координат гиперсферы в отображе-
ни», ставящем в соответствие точке а евклидова пространства Е3
точку на гиперсфере. **
Найдем теперь бесконечномерное приводимое унитарное предста-
представление группы SU2 в гильбертовом пространстве; это позволит нам
получить все конечные представления.
Пусть ф есть вектор в гильбертовом пространстве. Каждому эле-
элементу группы SU2 мы ставим в соответствие унитарный оператор
exp(iQ) в гильбертовом пространстве (оператор Q эрмитов), такой,
что скалярное произведение двух произвольных векторов не изме-
изменяется при преобразовании. Таким образом, если
ф' = [ехр (Й2] ф, <р' = [exp (JQ)] <р,
то
Для бесконечно малых преобразований имеем
где
6Q = /j 6<Oi -f-Л бсо2 + -46со3 == J • бо> D.43)
есть бесконечно малый элемент кольца Ли с генераторами Jlt J2 и J3,
подчиняющимися коммутационным соотношениям D.20).
Построение гильбертова пространства для SU2
Мы будем строить гильбертово пространство, используя собст-
собственные векторы числовых операторов Na и Nb, связанных с двумя
коммутативными операторами рождения а и b . Эрмитово сопряжен-
сопряженные им операторы а и Ъ являются операторами уничтожения. Свой-
Свойства этих операторов определяются коммутационными соотношениями
[a, af]=l, [b, b+] = i, [a, b]=[a, bf] = 0. D.44)
Указанные числовые операторы имеют вид
Na^afa, Mb = b4 ([Na. Wt] = 0). D.45)
Собственными значениями операторов Na и Nb являются соответственно
положительные целые числа пх и п2. Состояние, представляющее
собой общий собственный вектор операторов Na и Nb и соответст-

/. Введение в теорию групп '89
вующее собственным значениям пх и я2, обозначается кет-вектором
Дирака \пх, я2), а эрмитово сопряженное состояние—бра-вектором
Дирака (я,, п2\х). Следовательно,
N а\пхп2) = пх\щ я2),- Nb\nx, щ) = п2\пх, я2). D.46)
Векторы нормированы так, чтобы
(пх, п2\пх, я2)=1. D,47)
Вакуумный вектор определяется как |0)=|0, 0) и обладает свой-
свойствами
а|0)-=6|0> = 0. D.48)
Все ортонормированные векторы | пх, я2) теперь можно получить
из вакуумного вектора последовательным применением операторов
af и bf:
„fn, tfn,
I я,. я2) =-4= " |0), D.49)
причем
/я' я'|я,яЛ = б ,6 ,. D.50)
\ 1 2|12/ nxnx n2n2 v '
Представления кольца Ли группы SU2
Введем теперь операторы
или, в явном виде,
J3= afa~bfb t JxJru2 = arb, Jx — U2 = b"ra. D.52)
Коммутационные соотношения D.20) удовлетворяются, так что мы
получили представление для операторов вращений Уг в гильбертовом
пространстве. Поскольку матрицы а и b бесконечномерны, то и
¦представление бесконечномерно. Оно также унитарно, так как вы-
выражения D.51) для генераторов инфинитезимальной группы эрмитовы.
Определим оператор
J = ±(Na + Nb) = ±(a+a +ЬЧ). D.53)
Этот оператор коммутирует с Jt и имеет собственные значения
(я!-{-я2)/2, так что
•/К яа)=^±^|й1+яа). D.54)
') Скалярное произведение двух векторов обозначается (| ). Выражения
.бра-вектор" и „кет-вектор" были введены Дираком и происходят от двух
половинок английского слова bracket (скобка). — Прим. ред.

90 Ф. Г to put и
Используя D.52) и D.53), находим, что оператор Казимира имеет вид
^ \ \ l). D.55)
Различные неприводимые представления группы SU2 можно харак-
характеризовать собственными значениями оператора С/2 или J. Обозначая
собственные значения оператора J через J, получаем
y=«L±"L. D.56)
и собственными значениями оператора С/2 будут у (у —|— 1). Обозначим
через т собственные значения оператора J3. Тогда
?^ D.57)
Таким образом, мы можем характеризовать состояния числами j и т,
причем У — положительное полуцелое, а т принимает 2j-\- 1 значений:
-У. --У+1 У-1. У-
Переопределим базисные векторы в виде
У, !»)=»/ =• / 10). D.58)
7 /(У + т)! К(УтI ' ' J
Операторы J и J3 диагональны, так что
AJ- t«)—j\j, m), J3\j, m)=tm\j, m). D.59)
Матричные элементы оператора а можно найти, действуя операто-
оператором а на базисный вектор. Имеем
так что единственными нейсчезающими матричными элементами опе-
оператора а являются
Аналогично находим
*1*+|У л)УУ и+1 D.62)
-|. и—J-|o|y. /к) = У7+^, D.63)
(у—j. »+il*iy.

* /. Введение в теорию групп 91
Используя тождество
[b, bn] = kbn~\ D.65)
получаем
аЧ\], 1и) = УС/ + »+1)(/ —»)|У. т+1) D.66)
и
tfa\j, m) = VU-m + \)U + m)\j, m-\), D.67)
так что неисчезающие матричные элементы операторов группы вра-
вращений Jl окончательно определяются формулами
U, m\J3\/, m) = m.
(У, m + 11У, + U2\j. m) = У(/ + и+1)(/ —и), D.68)
(у. /к- НЛ-ВД. и) = УС/-i»+i)(/4-«).
Теперь очевидно, что представление приводимо, поскольку каждое
значение j определяет Bу —|— 1)-мерное подпространство гильбертова
пространства, остающееся инвариантным под действием операторов
группы вращений. Формулы D.68) дают все конечномерные непри-
неприводимые представления кольца Ли группы SU2, когда J принимает
все возможные полуцелые положительные значения. Если j — целое,
то представление группы О3 однозначно; при j полуцелом оно дву-
двузначно (спинорное представление).
Двузначные и однозначные представления конечных вращений
Так как j не изменяется под действием операторов группы вра-
вращений, то мы можем определить BJ -(- 1)-мерные матрицы вращений,
соответствующие элементу группы ©=п6, с помощью формулы
___ га')- D.69)
. т' ]
Это дает для матричных элементов оператора Z);-(<») выражение
Dmm>'(a>) = (j- m'|e'-JW>|/. m), D.70)
где J(y)— матрицы, соответствующие представлению (у) и опреде-
определяемые при помощи D.68).
Если для параметризации вращений использовать углы Эйлера
а, р, y> то получим
Dmm-'io., p, y) = G. т'\еи>1еН&е11*\], т). D.71)
Приведем примеры.
При y=*=V? из D.68) находим
J(i)=4°- D-72)

92
Ф. Гюрши
где а1 — матрицы Паули. Это дает
D.73)
При j = 1
'1 О
У8A)=|0 О
0 =
V0 О — Ь
D.74)
Это представление эквивалентно обсуждавшемуся ранее присоединен-
присоединенному представлению группы. Находим
cila + y) 1 + COSP _eioi!"P. gi(o-V)
2 /2
1-COS
cosp
-rt 1-COS
2 . У2"
Наконец, заметим, что вследствие
Jt j 0) = 0
имеет место
e-i(a+v)i±?2!i
D.75)
D.76)
D.77)
и поэтому при вращении операторы си 6 преобразуются согласно
закону
:,)=(;„;;:„.«)=«'•¦-(;)¦ .^
Неприводимые тензорные представления группы О3
Другая форма унитарных представлений группы О3 может быть
получена при рассмотрении бесконечно малых вращений дрехмерного
действительного пространства представления (л^, дг2, xs). Если вы-
вычислить эрмитовы генераторы инфшштезимальной группы C.35), то

/. Введение в теорию групп 93
найдем
д д
h^.^r) ,- ,(х * x м D-79)
Полагая
^ = -^> %='**¦ (ft = I. 2.3),
имеем
Новые операторы а,, а2» аз. определяемые как
«*=-р=(/>*+ '?*). в+*=у=:(Р*-^*). D.80)
удовлетворяют коммутационным соотношениям для операторов трех
независимых гармонических осцилляторов, а именно
[ak. с,+] = вм, [aft>a;] = 0. D.81)
Операторы Уй Теперь можно выразить через операторы ak. Имеем
¦/3 = ^(»lf»2 — »2»1+). Л = К»2+»3 — »3+»2). У2 —'(«3+«1 — «If«3>-
D.82)
Таким образом, представление „орбитального момента" D.79) можно*
задавать в виде операторов в гильбертовом пространстве, порож-
порождаемом действием трех операторов рождения на вакуумное состоя-
состояние | 0), определяемое как
aft|0> = 0. D.83)
Векторы этого гильбертова пространства
|^^^ D.84)
образуют пространство представления унитарной 9-параметрической
группы U3, генераторы которой определяются как
Кц = а?а}. D.85)
Генераторы группы О3 порождают подгруппу группы ?/3> и, со-
согласно D.82), соответствующими элементами подалгебры Ли являются
•/„ = *WKte. D-86)
Чтобы найти подпространства, остающиеся инвариантными под-
действием операторов D,86), построим два оператора Казимира,

94 ф. Гюрши
коммутирующие с операторами Jn, именно
Cl = JnJn = -eimnbknKlmKjk D.87)
и
C2 = Knn = afax + aJa2 + aJaz. D.88)
Здесь оператор С2 диагоналей и его собственные значения имеют
вид (Я] + я2-(-Яз), так как
Чтобы построить состояния, являющиеся общими собственными
векторами операторов Сх и С2, рассмотрим состояния, получаемые из
вакуума действием на него однородных полиномов от ak+ степени г.
Они соответствуют собственному значению г оператора С2, где г —
положительное целое число. Например, при г = 1 или 2 имеем
Vk = ak+\0), Tmn = Tnm = aJan^\O): D.89)
Видно, что такие состояния соответствуют симметричным тензорам
ранга г, так как ай+ ведет себя как вектор относительно вращений.
Получаемый подобным образом симметричный тензор не будет в об-
общем случае собственным состоянием оператора С,, хотя это и есть
собственное состояние оператора С2. Собственные состояния опера-
оператора С, образуют неприводимые тензорные представления группы О3
и являются линейными комбинациями тензоров ранга г. При г = 1
мы находим, что
CiVk = Ciak+\0) = 2Vk. D.90)
Таким образом, Vh есть неприводимый тензор ранга 1. При г = 2
имеем
D.91)
где подразумевается суммирование по повторяющимся индексам.
Мы видим, что оператор С2 имеет целые собственные значения,
в то время как собственные значения оператора Сх имеют вид 1A-\- 1),
где I — положительное целое число. Это свойство может быть дока-
доказано в общем случае. Подобным образом мы находим конечномерные
представления группы О3, эквивалентные представлениям, получен-
полученным ранее в случае J = l. Таким образом, представлениям „орби-
„орбитального момента" D.79) или D.82) соответствуют только однознач-
однозначные представления группы О3.
В качестве последнего замечания, касающегося группы вращений,
мы дадим явное выражение группового закона композиции для слу-
случая, когда группа параметризована с помощью координат а, полу-
полученных в результате стереографической проекции. Закон композиции

/. Введение в теорию групп 95
имеет вид
ТаТь = * с = * Ф(а, Ь)>
а ф(а, Ь) находится из равенства
1 -ffo ¦ с/2 _ 1 -\-ia- а/2 \-\-ia- Ь/2
1 — га • с/2 ~~" 1 — га -а/2 1 — га • Ь/2 ' (.4.У^!)
В явной форме это дает
D-93)
На основании этой формулы могут быть проверены все свойства
функции ф, а также вычислены функции ^(а) для группы вра-
вращений.
§ 5. НЕКОТОРЫЕ ПОЛУПРОСТЫЕ ГРУППЫ, СВЯЗАННЫЕ
С ОБЩЕЙ ТЕОРИЕЙ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
В этом параграфе мы будем иметь дело главным образом с пред-
представлениями четырехмерной группы вращений О4> которая является
группой движений трехмерного пространства постоянной положи-
положительной кривизны (статического пространства Эйнштейна), а также
с однородной группой Лоренца, являющейся группой лоренц-инвари-
антных космологии (подобно вселенной Милна), и с группой де Сит*
тера, 10-параметрической группой движений пространства-времени по-
постоянной кривизны — максимальной непрерывной группой симметрии,
которую может допускать риманово пространство-время. По вопрос
сам, связанным с неоднородной группой Лоренца (группой Пуан-
Пуанкаре) с отражениями или без них, читателю могут быть рекомендо-
рекомендованы лекции профессора Вигнера в трудах Стамбульской летней
школы 1962 г. Мы не имеем возможности рассматривать здесь эту
группу, но мы сможем упомянуть о ней как о пределе группы
де Ситтера при стремлении кривизны к нулю.
Группа О4 интересна с двух точек зрения. Во-первых, она опи-
описывает симметрию статического пространства Эйнштейна в общей
теории относительности. Во-вторых, О4 есть группа движений груп-
группового пространства группы SU2. Отсюда следует, что изучение
группы О4 позволит понять свойства симметрии некоторого специаль-
специального группового многообразия, именно топологического пространства,
образуемого группой 5t/2.
Мы начнем с установления коммутационных соотношений для
кольца Ли «-мерной действительной ортогональной группы.

96 Ф. Гюрши
Группа On
Мы будем иметь дело лишь с группой О„+, той частью «-мер-
«-мерной ортогональной группы, которая может быть непрерывно дефор-
деформирована в единицу. Рассматриваемая как группа преобразований
действительного «-мерного векторного пространства группа О„ со-
состоит из всех ортогональных « X «-матриц с детерминантом, равным
единице. Выполняется равенство
QQr = QrQ = /, E.1)
и матрицу Q можно следующим образом выразить через антисимме-
антисимметричную матрицу:
Q = еА, (А = — Ат). E.2)
Отсюда следует, что группа имеет «(«—1)/2 параметров. Для инфи-
нитезимальных преобразований матрица А=ЬА мала, и мы имеем
где х — вектор-строка в «-мерном пространстве представления.
Последнее соотношение можно переписать как
dxt = Xj bAjt,
и инфинитезимальные генераторы имеют вид
U^-Uj^x^-Xj-^L. E.3)
Достаточно использовать это специальное представление для полу-
получения следующих коммутационных соотношений, которые можно
было бы получить непосредственно из корневой диаграммы для
кольца Ли:
Vab- Jrs\ = i ФаЛ* + <Wer ~ <W»r ~ <W«). E-4)
где индексы изменяются от 1 до « и операторы Jab антисимметричны.
Группа четырехмерных вращений Он
Введем обозначения
У12 = Ж3> Угз = Mlt У31 = М2,
JiS = N3, Jn = Nu У42 = ^2 E>5)
для шести генераторов кольца Ли группы О4. Коммутационные со-
соотношения E.4) при « = 4 принимают вид
[Mlt Mj] = ieljkMk,
[Nt, Mj] = teijkNk, E.6)
где теперь все индексы изменяются от 1 до 3.

1. Введение в теорию групп 97
Пространство постоянной положительной кривизны, в котором
действует группа, может быть погружено в плоское четырехмерное
пространство, где оно принимает вид трехмерной поверхности гипер-
гиперсферы радиуса R, уравнение которой
h2~\-h2 + h2 + h2 = R2- E.7)
Таким же образом, как и для группы SU2, это пространство может
быть параметризовано при помощи трех координат х стереографи-
стереографической проекции. Это соответствует отображению пространства Эйн-
Эйнштейна на трехмерное евклидово пространство. Имеют место соотно-
соотношения
E.8)
(г2 = х • х).
Линейный элемент в этом пространстве есть
^)~2 E.9)
На основании корневой диаграммы группы О4 мы уже знаем, что
она должна быть прямым произведением двух трехмерных групп
вращений. Это можно обнаружить немедленно, если ввести шесть
новых генераторов К и L с помощью соотношений
K = 4(M + N), L = i(M-N). E.10)
В этом базисе алгебра Ли- принимает вид
[Kt. К}\ = 1г1}кКк> [Ц, Lj\ = izljkLk, [Kt, 1,1 = 0. E.11)
откуда видно, что группа распадается на прямую сумму двух групп
вращений.
Интегральную форму этого преобразования можно легко найти,
заметив, что унитарная 2 X 2-матрица, определяемая выражением E.8),
остается унитарной, если ее умножить справа или слева на унитар-
унитарную матрицу. Эти два рода преобразований коммутируют друг с дру-
другом, и каждый из них связан с отдельной группой SU2- Таким обра-
образом, мы имеем
I't-b to ¦ Ъ'= е'""'(& +to-Яе4"*. E.12)
где {а, Р) — набор шести действительных параметров.
Это линейное преобразование, действующее на |v, индуцирует
проективное преобразование трех координат xt, задаваемое равенством
¦/.»¦<¦ l + io-x/2R у,,.»
~~е 1 мгх/2/? е '
1 — ia ¦ x'/2R ~~е 1 — мг-х/2/?
7 Зак. 612

98 Ф. Гюрши
Преобразования (а, 0) и @, Р) называются соответственно левой
и правой трансляциями Клиффорда.
Преобразование (а, —а) есть вращение, так как
ff.x'_ei(W»-a]ff.xe-|W2) »-). EЛ4)
С другой стороны, преобразование (a/R, a/R) дает в пределе
больших R
(^) E.15)
так что преобразования (a/R, a/R) могут рассматриваться как смеще-
смещения, заменяющие трансляции евклидова пространства. Однако в отли-
отличие от евклидовых трансляций эти преобразования не образуют группы
и два таких преобразования не коммутируют.
В общем случае всегда можно написать
1(г/2) о-а] _ |(</2) а-а/Я] |(//2) о-»]
с? •—. с с? ,
е\{Щ) »•»] _ е-[(//2) •••1е!(//2) .-а/Л] E- J 6)
и характеризовать элементы группы О4 вращениями-смещениями (to, a}
вместо клиффордовых трансляций (а, Р). Отметим, что левая (правая)
клиффордова трансляция состоит из вращения с последующим смеще-
смещением, т. е. имеем левое (правое) винтовое движение, что следует из
разложения
(a, 0) = {f,/?f} и @, вЦ-Р.,/?!}. E.17)
Генераторами бесконечно малых преобразований {to, 0} являются опе-
операторы М, представляющие собой операторы момента количества
движения, в то время как те из преобразований @, а}, которые не
коммутируют, являются операторами смещения
n = ~LN,. E.18)
поскольку
№ УкМк. E.19)
В пределе /?->оо операторы П коммутируют и представляют
собой операторы импульса в трехмерном евклидовом пространстве.
Отсюда следует, что в пространстве Эйнштейна должны использо-
использоваться некоммутируюшие операторы импульса, если хотят определить
импульсы глобально, а не только в плоском касательном пространстве
в данной точке искривленного пространства.

/. Введение в теорию групп 99
Операторы Казимира для группы О\
Используя данное ранее определение оператора Казимира, находим
с точностью до постоянного множителя
С, = К • К Ч- L • L = 1 (М2 + L2) = 1J^. E.20)
Так как К и L — операторы группы вращений, то их собствен-
собственные значения равны соответственно
К-К=А(А+-1) и L-L = /(/-fl), E.21)
где k и / — положительные полуцелые числа. Собственные значения
оператора Казимира даются формулой
. E.22)
Существует другой оператор, коммутирующий со всеми элемен-
элементами кольца Ли группы О4, именно
с собственными значениями
С2 = А(*4 !) — *(*-И). E.23)
Вследствие леммы Шура оба оператора С1 и С2 характеризуют
неприводимые представления. Отсюда следует, что неприводимое
представление может быть задано парой чисел {k, l), где
k^O, 1, 1, |, ...; 7 = 0, 1, 1, I E.24)
Унитарные представления будут иметь вид
?<*¦ (> («. р) = Dk (а) ® D( (p), E.25)
где матрицы Dft — определенные выше матрицы унитарных предста-
представлений группы вращений.
Из предыдущего анализа также следует, что универсальная на-
накрывающая группы О4 есть группа SU2®SU2.
Однородная группа Лоренца Л
Рассмотрим теперь непрерывные линейные преобразования с еди-
единичным детерминантом и гомотопные тождественному преобразованию,
которые оставляют инвариантной форму
*в+ *? + *§-*§. E.26)
Вели мы положим
ix0 = х4,

100 Ф. Гюрши •
то группа Л превратится в О4. Но если произвести соответствующие
преобразования в матрицах Dk и D1, то обнаружится, что эти ма-
матрицы уже больше не унитарны. Причина этого заключается в том,
что группа Л не компактна и поэтому больше не существует конечно-
конечномерной матрицы, которая преобразовывала бы данную конечномерную
матрицу в унитарную. Следовательно, мы должны строить унитарные
представления в надлежащем гильбертовом пространстве. Для реше-
решения этой задачи будет использоваться бесконечномерное приводимое
представление группы SU2.
Изучим прежде всего структуру группы на конечном BХ2)-мер-
ном представлении. Определим эрмитовы 2Х2-матрицы
- х) = Х*. E.27)
Линейное преобразование
X' = LXLf, E.28)
где L — комплексная 2Х2-матрица, подчиняющаяся ограничению
Det 1 = 1, E.29)
которая оставляет форму E.26) инвариантной и не изменяет эрмито-
вого характера матрицы E.27). Вычисляя детерминант от обеих ча-
частей равенства E.28), находим
Det X' = Det X = x2Q — х ¦ X = х* — х' ¦ х'.
В случае преобразования, гомотопного тождественному преобразова-
преобразованию, каноническая форма матрицы L имеет вид
L(u, (а) = е^а-ае1(а-^2. E.30)
Тот факт, что L всегда можно записать как произведение эрмитовой
матрицы на унитарную, может быть доказан следующим образом.
Пусть по определению е°'и = LLf; так как
то отсюда следует, что матрица внутри фигурных скобок унитарна
и имеет детерминант 1, так что можно положить
Таким образом, равенство E.30) доказано. Физический смысл этого
разложении хорошо известен.; Лоренцево преобразование L записано
в виде произведения собственно лоренцева преобразования и и про-
пространственного вращения <й = «9.
Из E.28) видно, что две матрицы:
L(a, «9) и L[a, »(9 + 2я)] = — L(u, »9) E.31)

/. Введение в теорию групп 101
соответствуют одному и тому же преобразованию Лоренца. Можно
установить следующее.
Группа унимодулярных комплексных матриц, соответствующая
специальной двумерной комплексной линейной группе SLB), гомо-
гомоморфно отображается на однородную группу Лоренца. Это соответ-,
ствие дву-однозначно, так что матрица L в E.30) осуществляет дву-
двузначное представление. Центр Z2 группы SLB) состоит из матриц
1 и —1. Отсюда
51B)—¦> Л,
SL B) . E-32)
л
Так как SLB) просто связна, то это есть универсальная накрываю-
накрывающая группы Л.
Специальное представление E.30), конечное и неунитарное, полу-
получается из представления
группы О4 подстановкой
С каждым неприводимым унитарным представлением группы О4 можно
при помощи того же соответствия связать неунитарное конечное пред-
представление группы Л, так что
- D(k>l) = (iu, ш) E.33)
будет неприводимым представлением группы Л.
Коммутационные соотношения для группы Л находятся введением
генераторов А бесконечно малых преобразований, соответствующих
параметрам а. Тогда связь с группой О4 задается равенством
A = tN, E.34)
и алгебра Ли получается немедленно из E.6). Коммутационные соот-
соотношения имеют вид
[At. Mj} = tBi]kAk, E.35)
так что при переходе к группе О4 лишь изменяется знак последнего
соотношения.
Представление Майораны однородной группы Лоренца
?: Бесконечные унитарные представления группы Лоренца полностью
у рассмотрены в книге Наймарка [47], посвященной исключительно

102
Ф. Гюрши
группе Лоренца. Здесь мы ограничимся только одним примером, пред-
представляющим собой первое унитарное представление группы Л, дан-
данное Майораной.
Мы будем использовать гильбертово пространство с векторами
\j, m), отделяемыми для группы вращений выражением D.58).
Рассмотрим теперь представление Дирака для
V5 =Pl-
E.36)
где а и р — два набора коммутирующих 4Х4-матриц группы вра-
вращений, причем матрицы р3 и а3 диагональны, а р2 и а2—чисто
мнимы.
Каждому элементу {и, (Л) группы Лоренца мы ставим в соответ-
соответствие матрицу J2? в гильбертовом пространстве, определяемую как
¦ oiA-UolM-a
E.37)
где А и М — эрмитовы операторы, подчиняющиеся соотношениям
E.35). Чтобы найти явные выражения для операторов А и М, вве-
введем оператор-столбец
E.38)
и сопряженную ему величину
E.39)
Тогда М и А будут бесконечными эрмитовыми матрицами, опреде-
определяемыми как
М = ф<тф, А = фщф = фгу5аФ- E.40)
Это делает матрицу Л? в E.37) унитарной. В представлении E.36)
E.41)
Матрицы М имеют те же самые матричные элементы, что и опе-
операторы / для группы вращений. Определим теперь матричные эле-

/. Введение в теорию групп 103
менты оператора А. Используя D.60), находим
afbf\j, m) = YU-\-m+l)U — m + T)\j+l, m),
ab\j, m) = УU + m)(J—m)\j—l, m),
r
a*\], m) = y<J-\-m){j-\-m—\)\j~\, m—
*\j. m) =
= yu-m)U — tn— 1I./
b*
так что единственными неисчезающими матричными элементами опе-
оператора А будут
(у-1-1. m\A3\j, m) = — ~ya-\-m-\-\)U-m-\-\),
(у —1, m\A3\j, m) = j У (j + *») (У — /») •
<уЧ- 1, «4 1М
(у—1, m— 1 \A1 — iA2\j, m) = — ^Уи -{- m)(j -{- tn— I),
1, и— 11 ^i — lA2\j, m) = —^y<J —
Необходимо отметить, что вектор | 0), остающийся инвариантным
относительно вращений, будет изменяться под действием собственно
лоренцевых преобразований, соответствующих А • и.
Операторы Казимира для группы Л
- Операторы Казимира теперь имеют вид
С1=|(),
2 E.43)
С2 = М-А.
По вопросу о том, какие возможны собственные значения у опера-
операторов Cj и С2, мы отсылаем читателя к лекциям Паули [48] и к ра-
работе Наймарка [47]. Здесь мы просто приведем результаты,
а) Если С2 Ф 0, то имеет место
Г2
1С — Р- 1— —
Jo

104 - Ф Гюрши
гДе Jo — минимальное значение J. Здесь у (У —f— 1) есть собственное
значение оператора М2. Значение j0 определяется из
где
( = (У| A \j- 1)(У- 11 А |У)Bу- 1)BУ+ 1),
а А есть оператор, для которого Л2 = А2. В этом случае
5
Wo J
б) Если С2 = 0, У^-У0>0, то мы опять имеем ф(уо) = О,
2С, = ^-1, ф(У) = /2-У2.
в) Если С2 = 0, У^-0, то Ct < 0. В этом случае либо
2С,=^—1— v2, C2 = yov,
где уо = О, 1, 2, ... или уо = 1/2, 3/2, ... и v—действительное число,
либо 2С1 = а?— 1, С2 = У0==0, где0<а<1.
Группа де Ситтера
Группа де Ситтера есть группа движений, которую допускает
космологическое пространство с линейным элементом
— ds2 = f dx^ dx^ = f [(rfx1J + (dx2f -f- (rfx3J —
• - " (X4 = lxd. E.44)
где
E-45)
Здесь мы будем рассматривать только случай положительной про-
пространственной кривизны.
Это пространство может быть погружено в пятимерное простран-
пространство-время, где оно приобретает вид четырехмерной поверхности
сферы радиуса R. Координаты х** являются стереографическими
проекциями координат сферы, подчиняющихся уравнению
2 iele = (I02 + (У2 + (§зJ + (Uf - (loJ -= &> E.46)
0 = 1
Координаты х^ связаны с |" соотношением

1. Введение в теорию групп 105
где латинские индексы изменяются от 1 до 5, а греческие индексы —
от 1 до 4. Матрицы уа — пять антикоммутирующих эрмитовых матриц
алгебры Дирака
= 26ай. E.48)
Тогда для линейного элемента получаем
. E.49)
Ясно, что интервал E.49) инвариантен относительно линейных преоб-
преобразований координат \а по пятимерной 10-параметрической группе
вращений. Если надлежащим образом приняты во внимание условия
вещественности, то это будет группа де Ситтера.
Сразу же можно найти 4 X 4-матричное представление, записав
ь%ь, E.50)
это дает
так что матрица
SWA)Y«V>a» ' E.51)
осуществляет двузначное представление группы де Ситтера. Это есть
однозначное представление подгруппы унимодулярной комплексной
четырехмерной линейной группы. Матрицы 5 подчиняются ограниче-
ограничениям
y5Sy5 = CS*C-\ y4y5STy5y4S=l, E.52)
снижающим число свободных параметров до 10. Представление E.51)
не унитарно, так как параметры, со4а (а=1, 2, 3, 5) мнимы.
. При условии
% = ТГ E-53)
преобразование с этими параметрами дает
Y^=eV5Y,V2SY^e-Y5Y,y2* E54)
и при больших R получаем
() E-55>
так что преобразование E.54) есть смещение, являющееся эквива-
эквивалентом преобразования пространства де Ситтера. При больших R
группа становится похожей на неоднородную группу Лоренца. Это

106 Ф. Гюрши
можно ясно увидеть из коммутационных соотношений. Пятимерная
группа вращений, будучи разделена на генераторы, соответствующие
параметрам ю5A, и генераторы, соответствующие параметрам а
подчиняется соотношениям
E-56)
где
П^-^-Лц. E.57)
При /?->оо
П^ЯЦ, . E.58)
где Рц — оператор 4-импульса, соответствующий пространственно-
временным трансляциям, и мы получаем алгебру Ли неоднородной
группы Лоренца.
Определим Р^ как
Представлению кольца Ли группы де Ситтера принадлежат пяти-
пятимерные операторы момента количества движения
- 1аь- E-60)
Теперь можно выразить Jab только через стереографические коорди-
координаты х . Находим
L^ = х^Ру — xvP^
1 _ . _i / о\ _ X,, _ E.611!
где
а функция ф задается равенством E.45).
Закон преобразования общего момента количества движения можно
записать в компактной форме, вводя матрицы
^- E-62)
Тогда закон преобразования под действием E.50) будет иметь вид
\ E.63)

1. Введение в теорию групп 107
где S— трансформационная матрица E.51). Таким образом, при
преобразовании де Ситтера операторы Е^, (являющиеся аналогом им-
импульса в пространстве Минковского) перемешиваются с операторами
момента. Это перемешивание вызывается только преобразованиями
смещения, являющимися аналогами трансляций.
Операторы Казимира
Мы имеем два оператора Казимира, именно
Л = - гиг J«bJab = ~ ПА - •%? Vnv = М* E-64)
l2 = -WaWa, E.65)
где
Wa=^eabcdeJbcJde. E.66)
E-67)
Если определить W5 и Vk выражениями
w =le J J =J_J J /5 68)
то получим
/2=:_V\V\_-i_tt72. E.69)
По отношению к группе Лоренца Vk есть 4-вектор, a W5 — псевдо-
псевдоскаляр. Они перемешиваются операторами смещения группы де Сит-
Ситтера.
В пределе /?->оо операторы Казимира приобретают вид
E.70)
где т и s — соответственно масса покоя и спин, характеризующие
представление, так что 1Х и /2 переходят в операторы Казимира не-
оЯнородной группы Лоренца.
Представления группы де Ситтера могут характеризоваться соб-
собственными значениями операторов /j и /2> являющимися обобщениями
массы и спина. Поэтому частица во вселенной де Ситтера будет об-
обладать не определенной массой и определенным спином, а опреде-
определенными собственными значениями операторов /, и /2. Например, /,
является комбинацией обычной массы и момента количества движения.
Обобщение уравнения Дирака на пространство де Ситтера
f Вернемся теперь к теории поля спина 1/.2. 4 X 4-матричное пред-
предоставление кольца Ли группы де Ситтера осуществляется при помощи
Ы

108 tf". Гюрши
10 матриц
так что мы имеем представление
Jab = Lab + ^yayb. E.72)
В стереографической проекции
"Vv == xv- v *v "ц ~г " YjiYv
_ j ; E.73)
пь = "^ -/» = Пь + -2R №
где П^ — полный момент количества движения, соответствующий
смещениям в группе де Ситтера. Так как это представление совпа-
совпадает с представлением спина 7г неоднородной группы Лоренца в пре-
пределе R—> оо, то мы назовем его представлением спина '/г группы
де Ситтера. Отметим, что во вселенной де Ситтера импульс содержит
также спиновую часть.
Обобщенное уравнение Дирака должно быть линейным по импуль-
импульсам, которые здесь заменяются операторами момента Lab. Отсюда
следует, что уравнение должно иметь вид -
^ = lR W» V = **" E'74)
Это уравнение было предложено Дираком в 1935 г. Оператор L
не является эрмитовым, так что нельзя ожидать, чтобы константа X
представляла массу. Чтобы отделить ее мнимую часть, используем
некоторые тождественные преобразования. Мы можем написать
где
^ E.76)
Выражение E.75) также можно представить в виде
1 = -1 + *"' ^К) VsY, PJV-1. E.77)
Если теперь ввести матрицу-столбец т|, определяемую как
, <5.78)
то уравнение E.74) примет вид
( |). E-79)

1. Введение в теорию групп 109
Теперь, поскольку оператор (YsYj/VJ эрмитов, мы должны получить
^~I~~d") = "I2 = Действительное число. E.80)
С другой стороны, введя новые матрицы Дирака
можно переписать E.72) в виде
Yj/Vl = *»*(**) Ч- E.81)
При /?->оо из E.78) видно, что
lim л^Ф " lim <?(x2) = l.
так что уравнение E.81) в этом пределе переходит в обычное урав-
уравнение Дирака. Отметим, что E.81) есть как раз та форма, которую
уравнение Дирака принимает в конформно плоской вселенной, зада-
задаваемой метрикой E.44). Таким образом, уравнение E.81) есть обще-
общерелятивистская форма уравнения Дирака. Мы показали, что оно экви-
эквивалентно теоретико-групповой форме уравнения Дирака E.74), которая
теперь может быть переписана в виде
(f + 27Г YeV»4«»L>= »Ч>- E-82)
Инвариантность уравнения относительно 10-параметрической
группы де Ситтера в этой форме очевидна, в то время как в реля-
релятивистской форме E.81) она замаскирована. Причина заключается
в том, что ф имеет простые трансформационные свойства:
в то время как вследствие преобразования E.78) величины ц не
обладают подобными простыми трансформационными свойствами отно-
относительно группы де Ситтера.
Нейтринный случай
Рассмотрим случай /ге = 0; при этом уравнение E.82) прини-
принимает вид
В форме E.81) это соответствует уравнению
которое инвариантно относительно преобразования

110 Ф. Гюрши
Отсюда вытекает, что уравнение E.83) инвариантно относительно
преобразования
ty^V(x)y5V(x)~lty или ф->^ф, E.84)
где мы использовали для V выражение E.76). Таким образом, опе-
оператор (l/#)Ya!a ведет себя при действии на ф подобно оператору \5.
Отсюда вытекает, что мы можем разложить ip на правовинтовое
поле, определяемое как
Цр-^-Ч*)*- *+№*> ф, E.85)
й на левовинтовое поле
ф^ = V (х) (-Ц*5-) V" (*)Ф - * ~ (Уа//?) Ф- E.86)
Каждое из них в отдельности удовлетворяет уравнению E.83), так
что в пространстве де Ситтера мы имеем эквивалент обычным двух-
компонентным нейтрино.
Однако если пространство де Ситтера задано глобально урав-
уравнением псевдосферы
lala = &. E-87)
то это пространство инвариантно относительно дискретной группы
la^-la- E-88)
Это эквивалентно преобразованию
YA-* — -^~- E-89)
Под действием этой группы
$!.-*%• Фя">Ф?- E-90)
Отметим, что этот принцип инвариантности специфичен для простран-
пространства де Ситтера, так как преобразование E.89) не имеет аналога
в пространстве-времени Минковского, когда R—>oo.
Если пространство де Ситтера допускает симметрию E.89),
то должны существовать 4-компонентные нейтрино, так как условие
не инвариантно относительно группы E.89).
Известно :), что электронное нейтрино ve и мюонное нейтрино v
') См. [52—54J. - Прим. ред.

1. Введение в теорию групп 111
можно рассматривать как одно 4-компонентное нейтрино, если
положить _
ve = Фа. ^ = фЛ,
так что оба нейтрино являются левовинтовыми. Тогда дискретная
группа E.89) в пространстве де Ситтера индуцирует преобразования
' ,., ve-*\> \-*ve.
Однако пространство де Ситтера с метрикой E.37) могло бы иметь
топологию дважды связной гиперсферы, т. е. быть похожим скорее
на групповое пространство группы О3, чем группы SU2. Тогда
группа E.89) в подобной вселенной не существовала бы и также
не существовало бы левовинтового нейтрино. Этот пример показы-
показывает, как топология вселенной в большом может проявить себя
в физике элементарных частиц.
Другой момент, который мы хотели бы подчеркнуть, это то, что
вся концепция элементарных частиц зависит от существования и
структуры группы движений. Мы характеризуем частицы их массами
и спинами, которые являются собственными значениями операторов
Казимира неоднородной группы Лоренца, справедливой только
в плоском пространстве-времени. Однако в данных космологических
обстоятельствах группой движений, имеющей более чем локальное
значение, уже больше не является группа Лоренца. В расширяющейся
вселенной группа де Ситтера представляет собой лучшее приближение
к группе движеций, которую допускает вселенная в целом, чем не-
неоднородная группа Лоренца. Отсюда следует, что если мы хотим
отождествить частицу в какой-либо далекой галактике с частицей
в нашей солнечной системе, то представляется более естественным
использовать для описания таких частиц представления группы де Сит-
Ситтера таким образом, чтобы собственные значения операторов Кази-
Казимира для этих частиц заметно не изменялись при применении к ним
операторов очень больших конечных смещений де Ситтера.
ЛИТЕРАТУРА1)
Общая
1. Поитрягин Л. С, Непрерывные группы, М., 1954.
2. Hammermesh M., Group Theory and Its Application to Physical Pro-
Problems, London, 1964. (См. перевод: М. Хамермеш, Теория групп и
ее применение к физическим проблемам, изд-во «Мир», 1966.)
3. W i g n e r E. P., Group Theory and Its Application to the Quantum Me-
Mechanics of Atomic Spectra, New York — London, 1959. (См. перевод:
') Литература, отмеченная звездочкой, добавлена редактором перевода.

*• Г ю рш и
Е. В и г н е р, Теория групп и ее применение к квантовой механике, ИЛ,
1947.)
4. Group theoretical Concepts and Methods in Elementary Particle Physics,
Lectures of the Istambul Simmer School of theoretical physics, New
York—London, 1964.
*5. Любарский Т. Я., Теория групп и ее применение в физике, М., 1953.
*6. X е й н е В., Теория групп в квантовой механике, ИЛ, 1963.
*7. Беймаи Б. Ф., Лекции по применению теории групп в ядерной спек-
спектроскопии (перевод с английского), М., 1963.
*8. Элементарные частицы и компенсирующие поля, сб. под ред. Д. Иванен-
Иваненко, изд-во «Мир», 1964.
*9. Бурбаки Н., Алгебра, ФМ, I, 1962, II, 1965, III, 1966.
*10. Курош А. Ф., Теория групп, М., 1953.
*11. Шевалле К., Теория групп Ли, т. I—III, ИЛ, 1948—1958.
*12. Чеботарев Н. Г., Теория групп Ли, М., 1940.
*13. Джекобсон Н., Алгебры Ли, изд-во «Мир», 1964.
*14. Картан Э., Геометрия групп Ли и симметрические пространства, ИЛ,
1949.
*15. Хельгасон С, Дифференциальная геометрия и симметрические про-
пространства, изд-во «Мир», 1964.
*16. Эйзенхарт Л. П., Непрерывные группы преобразований, ИЛ, 1948.
*17. Же л об ен ко Д. П., Лекции по теории групп Ли, Дубна, 1965.
*18. В ей ль Г., Классические группы, их инварианты н представления, ИЛ,
1947.
*19. В ей ль Г., Интегрирование в топологических группах н его применение,
ИЛ, 1950.
§ 1. Абстрактные группы
20. Ledermann W., Introduction to the Theory of Finite Groups (Oliver
and Boyd).
21. Lorn on t J. S., Applications of Finite Groups (Academic Press).
*22. Шмидт О. Ю., Абстрактная теория групп, М., 1933.
*23. X о л л М., Теория групп, ИЛ, 1962.
§ 2. Представления групп')
24. Boer пег Н., Group Representations, Berlin, 1955.
25. Littlewood D. E., The Theory of Group Characters, Oxford, 1950.
*26. M у р н а г а н Ф. Д., Теория представлений групп, ИЛ, 1950.
') См. также математическую литературу к статьям 2—4 настоящего
сборника, ~~Прим. ред,

/. Введение в теорию групп ИЗ
§ 3 и 4. Группы Ли
27. С а г t a n E., Oeuvres Completes, Paris, 1952.
28. R а с a h Q., Group Theory and Spectroscopy, Princeton, 1951 (препринт
ОИЯИ, R-1864, Дубна, 1964).
29. Статьи Шпайзера и Рака в [4].
*30. Мальцев А. И., Изв. АН СССР, сер. мат., 8, 143 A944).
*31. Дынкин Е. Б., Усп. матем. наук, 2 D), 59 A947).
*32. Дынкин Е. Б., Максимальные подгруппы классических групп, Труды
Моск. матем. об-ва, 1, 39 A952).
*33. Дынкин Е. Б., Математический сборник (новая серия), 30 B), 349
A952).
*34. Семинар «Софус Ли», Теория алгебр Ли. Топология групп Ли, ИЛ, 1962.
*35. Дынкин Е. Б., Онищик, Усп. матем. наук, 10D), 3 A955).
*36. Гельфанд И. М., Найм.арк М. А., Унитарные представления клас-
классических групп, Труды матем. ин-та им. Стеклова, 36, 1950.
*37. Б е р е з и и Ф. А., Г е л ь ф а н д И. М., Граев М. И., Н а й м а р к М. А.,
УМН, 9, № 6, 13 A956).
*38. Граев М. И., Унитарные представления вещественных групп Ли, Труды
- матем. ин-та им. Стеклова, 7, 335 A958).
*39. Кириллов А. А., Усп. матем. наук, 17, 4 A962).
*40. М а к к и Г., Бесконечномерные представления групп, Математика, 6, № 6,
57 A962).
*41. К а р.т а н Э., Теория спиноров, ИЛ, 1947.
*42. Рашевский П. К., Усп. матем. наук, 10, 2 A954).
*43. В и л е н к и и Н. Я., Специальные функции и теория представлений групп,
М., 1965.
Группа вращений
44. S с h w i n g e г J., On Angular Momentum, Nuclear Development Corp, of
America Rept. NYO-3071 (January 26, 1952).
145. Гельфанд И. М., Минлос Р. А., Шапиро 3. Я., Представления
. группы вращений и группы Лоренца, М., 1958.
§ 5. Группа Лоренца
46. Статьи Вигнера и Мишеля в [4].
47. Н а й м а р к М. А., Линейные представления группы Лоренца, М., 1958.
48. Pauli W., Continuous Groups in Quantum Mechanics (CERN lecture
notes).
Группа де Cummepa
49. Статья Гюрши в [4].
50. G Q r s е у F., L е е Т. D., Proc. Nat. Sc. Sci., 49, 179, 1963.
*51. Fronsdal C, Rev. Mod. Phys., 37, 221 A965).
Нейтрино
*52. Соколов А. А., ЖЭТФ, 33, 794 A957).
*53. Соколов A. A., Phys. Letters, 3, 211 A963).
*54. Соколов А. А., Элементарные частицы, М., 1963,
8 Зак, 612