/
Автор: Л.К. Конышева Д.М. Назаров.
Теги: математическая кибернетика основы математики математическая логика информатика
ISBN: 978-5-459-00735-0
Год: 2011
Текст
ЧЕБНОЕ
’ПОСОБИЕ
С^пптет
СТАНДАРТ ТРЕТЬЕГО ПОКОЛЕНИЯ
Л. К. Конышева Д. М. Назаров
Основы теории
I ^четких
множеств
ДЛЯ
БАКАЛАВРОВ
И СПЕЦИАЛИСТОВ
РЕКОМЕНДОВАНО УМО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
ОБЛАСТИ ПРИКЛАДНОЙ ИНФОРМАТИКИ
УЧЕБНОЕ
й
ПОСОБИЕ
СТАНДАРТ ТРЕТЬЕГО ПОКОЛЕНИЯ
Л. К. Конышева, Д. М. Назаров
Основы теории
нечетких
множеств
ДЛЯ БАКАЛАВРОВ И СПЕЦИАЛИСТОВ
Рекомендовано Учебно-методическим объединением
по образованию в области прикладной информатики
в качестве учебного пособия для студентов высших учебных
заведений, обучающихся по специальности 080801 «Прикладная
информатика (по областям)» и другим экономическим
специальностям
ПИТЕР
Москва - Санкт-Петербург • Нижний Новгород - Воронеж
Ростов-на-Дону - Екатеринбург - Самара - Новосибирск
Киев • Харьков - Минск
2011
ББК 22.126я7
УДК 519.766.2(075)
К65
1 :1'
Конышева Л. К., Назаров Д. М.
К65 Основы теории нечетких множеств: Учебное пособие. — СПб.:
Питер, 2011. — 192 с.: ил.
ISBN 978-5-459-00735-0 '
Данное учебное пособие является введением в теорию нечетких множеств, ко-
торая представляет собой современный аппарат формализации различных видов
неопределенностей, возникающих при моделировании широчайшего класса ре-
альных объектов любой природы. Теория нечетких множеств является стратеги-
ческим инструментом управления сложными системами. На практике постоянно
приходится принимать решения в условиях неполной информации, и математиче-
ский аппарат теории нечетких множеств позволяет моделировать рассуждения че-
ловека, а технологии и алгоритмы, разработанные в рамках этой теории, являются
универсальными по применимости, и, следовательно, сфера применения этой тео-
рии необычайно широка и касается решения как технических, так и гуманитарных
задач. Методы формализации, разработанные в рамках этой теории, позволяют
применять теорию нечетких множеств даже в традиционно «гуманитарных» обла-
стях, таких как, например, экономика.
Рекомендовано УМО по образованию в области прикладной информатики в ка-
честве учебного пособия для студентов вузов обучающихся по специальности
080801 «Прикладная информатика» и другим экономическим специальностям.
ББК 22.126Я7
УДК 519.766.2(075)
Все права защищены. Никакая часть данной книги не может быть воспроизведена в какой бы
то ни было форме без письменного разрешения владельцев авторских прав.
Информация, содержащаяся в данной книге, получена из источников, рассматриваемых изда-
тельством как надежные. Тем не менее, имея в виду возможные человеческие или техниче-
ские ошибки, издательство не может гарантировать абсолютную точность и полноту приводи-
мых сведений и не несет ответственности за возможные ошибки, связанные с использовани-
ем книги.
ISBN 978-5-459-00735-0
©ООО Издательство «Питер», 2011
Содержание
Введение..............................................................7
1. Нечеткие множества и операции над ними..................9
1.1. Примеры обычных и нечетких множеств................9
1.2. Множества а-уровня................................16
1.3. Методы построения функций принадлежности..........21
1.4. Меры нечеткости множества.........................25
1.5. Отношение включения нечетких множеств.............36
1.6. Операции над нечеткими множествами................38
Контрольные вопросы....................................53
Задания для самостоятельной работы.....................55
2. Нечеткие числа ............................... 60
2.1. Определение нечеткого числа.......................60
2.2. Алгебраические операции над нечеткими числами.....62
2.3. Принцип обобщения.................................78
Контрольные вопросы....................................80
Задания для самостоятельной работы.....................80
3. Нечеткие бинарные отношения и соответствия.... 83
3.1. Бинарные отношения................................83
3.2. Нечеткие бинарные отношения.......................96
3.3. Композиция и транзитивное замыкание нечетких
бинарных отношений....................................99
3.4. Свойства и виды нечетких бинарных отношений......104
3.5. Нечеткие бинарные соответствия...................112
Контрольные вопросы...................................116
Задания для самостоятельной работы....................116
6
Содержание
4. Лингвистическая переменная.......................120
4.1. Понятие лингвистической переменной...........120
4.2. Синтаксическое и семантическое правила.......123
4.3. Понятие «профессионализм» как лингвистическая
переменная......................................;..128
Контрольные вопросы...............................132
5. Нечеткие булевы переменные........................133
5.1. Булева алгебра...............................133
5.2. Нечеткие булевы переменные и логические операции
над ними..........................................137
5.3. Анализ функции нечетких булевых переменных...142
5.4. Лингвистические переменные «истина» и «ложь».158
Контрольные вопросы...............................160
Задания для самостоятельной работы................160
6. Лабораторные работы........................... 162
6.1. Лабораторная работа 1. Нечеткие множества и операции
над ними..п.......................................162
Задача 6.1.....................................162
6.2. Лабораторная работа 2. Нечеткие числа и операции
над ними..........................................166
Задача 6.2.....................................166
Задача 6.3................................... 169
6.3. Лабораторная работа 3. Моделирование экономических
процессов и явлений с помощью аппарата теории
нечетких множеств.................................170
Задача 6.4. Вывод на рынок новой марки товара..170
Задача 6.5. Анализ риска банкротства...........178
Список литературы.................................. 189
Введение
Предлагаемое учебное пособие является введением в теорию нечет-
ких множеств — самого «модного» раздела современной математики.
Почему же теория множеств, сравнительно молодой раздел матема-
тики, достаточно быстро находит применение практически во все
сферах деятельности? Объяснение этому факту относительно про-
стое. Дело в том, что теория нечетких множеств есть современный
аппарат формализации различных видов неопределенностей, возни-
кающих при моделировании широчайшего класса реальных объектов
любой природы. Заметим, что первый этап формализации практиче-
ски любого процесса (объекта) — это описание, использующее слова
естественного языка. В рамках же теории нечетких множеств разра-
ботаны методы формализации именно такого рода содержательных
понятий, что позволяет применять теорию нечетких множеств в тра-
диционно «гуманитарных» областях, таких как, например, экономика.
В качестве примера приведем ряд экономических понятий: «высокий
уровень инфляции», «устойчивое положение на рынке», «средний
уровень доходов» и т. д., которые можно формализовать примени-
тельно к конкретному экономическому процессу или явлению с ис-
пользованием аппарата теории нечетких множеств.
Таким образом, математический аппарат теории нечетких мно-
жеств позволяет моделировать рассуждения человека, а следова-
тельно, сфера применения этой теории необычайно широка и каса-
ется решения как технических, так и гуманитарных задач. Необхо-
димость на практике постоянно принимать решения в условиях не-
полной и нечеткой информации показывает, что теория нечетких
множеств является стратегическим инструментом управления слож-
ными системами. Технологии и алгоритмы, разработанные в рамках
этой теории, являются универсальными по применимости.
Впервые термин «нечеткие множества» (Fuzzy Sets) предложил
американский ученый Л. Заде в 1965 г. Именно его идеи дали тол-
чок для развития «нечеткой математики», включающей в себя наря-
ду с аппаратом нечетких множеств и другие приемы работы с неоп-
ределенностью.
8
Введение
Основная идея Л. Заде состоит в расширении классического кан-
торовского понятия множества. Если функция принадлежности
«обычного множества» может принимать только два значения —
О или 1, то в случае нечеткого (fussy) множества ее значения запол-
няют весь отрезок [0, 1]. В терминах теории нечетких множеств
Л. Заде определил понятие лингвистической переменной, а также
разработал аппарат для описания неопределенностей и нечеткостей
процессов интеллектуальной деятельности человека.
В настоящее время заметно увеличилось количество диссертаци-
онных работ, монографий и статей, в которых рассматриваются раз-
личные аспекты теории нечетких множеств. Однако учебной лите-
ратуры по теории нечетких множеств и ее приложениям явно недос-
таточно. Настоящее учебное пособие призвано восполнять этот не-
достаток.
Работа с пособием подразумевает тщательное изучение теорети-
ческого материала, аккуратный разбор всех примеров и выполнение
задач для самостоятельной работы, имеющихся в конце каждой гла-
вы. Практическая направленность учебного пособия обеспечена
примерами алгоритмов решения экономических задач с использова-
нием аппарата теории нечетких множеств.
Предложена реализация алгоритмов в электронной таблице
Excel.
1. Нечеткие множества
и операции над ними
1.1. Примеры обычных и нечетких
множеств
Множество — это неопределяемое понятие математики. Георг Кан-
тор (1845-1918) — немецкий математик, чьи работы лежат в основе
современной теории множеств, говорил: «...множество — это многое,
мыслимое как единое».
Каждый раздел математики использует свои множества. Начиная
решать какую-либо задачу, прежде всего определяют множество тех
объектов, которые будут в ней рассмотрены. Например, в задачах
математического анализа изучают всевозможные числа, их последо-
вательности, функции и т. п.
Множество, включающее в себя все объекты, рассматриваемые
в задаче, называют универсальным множеством (для данной задачи).
Универсальное множество принято обозначать буквой U. Универ-
сальное множество является максимальным множеством в том
смысле, что все объекты являются его элементами, т. е. утверждение
X&U в рамках задачи всегда истинно. Минимальным множеством
является пустое множество 0, которое не содержит ни одного эле-
мента.
Все множества, рассматриваемые в данной задаче, являются под-
множествами множества U. Напомним, что множество А называют
подмножеством множества В, если все элементы А являются также
элементами В. Задание множества А — это правило, позволяющее
относительно любого элемента х универсального множества U од-
нозначно установить, принадлежит х множеству А или не принадле-
жит. Другими словами, это правило, позволяющее определить, какое
из двух высказываний, х ё А или х ё А, является истинным, а какое
ложным.
10
1. Нечеткие множества и операции над ними
Одним из способов задания множеств является задание с помо-
щью характеристической функции.
Определение 1.1. Характеристической функцией множества
А называют функцию цл(х), заданную на универсальном множестве
U и принимающую значение единица на тех элементах множества U,
которые принадлежат А, и значение нуль на тех элементах, которые
не принадлежат А:
[0, если* £ А;
Цд(Х) = 1 (11)
А [1, еслихеА (xeU).
В качестве примера рассмотрим универсальное множество U={1,
2, 3, ..., 10} и два его подмножества: А — множество чисел, меньших
7, и В — множество чисел, немного меньших 7. Характеристическая
функция множества А имеет вид
{1, еслих<7;
0, если х > 7.
Записать характеристическую функцию множества В, используя
лишь 0 и 1, невозможно. Например, включать ли в В числа 1 и 2?
«Намного» или «ненанемного» число 3 меньше 7? Ответы на эти
и подобные им вопросы могут быть получены в зависимости от ус-
ловий задачи, в которой используются множества U и В, а также от
субъективного взгляда того, кто решает эту задачу.
Множество А в данном примере является обычным множеством1,
множество В — нечетким множеством. При составлении характери-
стической функции рв(х) решающий задачу (эксперт) может выска-
зать свое мнение относительно того, в какой степени каждое из чи-
сел множества U принадлежит множеству В. В качестве степени
принадлежности можно выбрать любое число с отрезка [0, 1]. При
этом Цв(х) = 1 означает полную уверенность эксперта в том, что
XjgB; цв(х2) = 0 — столь же полную уверенность, что х2ёВ; рв(х3) =
= 0,5 говорит о том, что эксперт затрудняется в ответе на вопрос,
принадлежит ли х3 множеству В или не принадлежит. Если цв(х) > 0,5,
то эксперт склонен отнести х к множеству В, если же цв(х) < 0,5, то
не склонен.
1 В литературе прилагательное «обычный» в сочетании со словом «множе-
ство» пишут в кавычках. Однако, чтобы не загромождать текст, в даль-
нейшем кавычки будем опускать.
1.1. Примеры обычных и нечетких множеств
11
Установленные экспертом значения степени принадлежности не-
четкому множеству В каждого из элементов универсального множе-
ства U представляют собой функцию, определенную на множестве U
и принимающую значения на отрезке [0,1]. Такую функцию назы-
вают функцией принадлежности нечеткому множеству В. Функ-
ция принадлежности отражает субъективный взгляд специалиста на
задачу, вносит индивидуальность в ее решение.
Характеристическую функцию ЦА(+) обычного множества А
можно рассматривать как функцию принадлежности этому множе-
ству, но, в отличие от нечеткого множества, |ДА(х) принимает лишь
одно из двух значений: 0 или 1.
Так, если U={1, 2, ..., 10}, А — множество чисел, меньших 7, В —
множество чисел, немного меньших 7, то ЦА(х) и Цв(+) можно пред-
ставить в виде следующей таблицы:
х(х<£ U) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 1 1 1 1, 1 0 0 0 0
0 0 0,5 0,6 0,8 0,9 0 0 0 0
В литературе (например, [2]) используется более компактная за-
пись конечных или счетных нечетких множеств. Так, вместо приве-
денного выше табличного представления подмножеств А и В, эти
подмножества можно записать следующим образом:
А = 1/1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6;
В = 0,5/3+0,6/4+0,8/5+0,9/6.
В приведенных равенствах указаны значения функции принад-
лежности для соответствующих элементов множества {7, знак «+»
означает объединение одноэлементных подмножеств [7, для которых
значения функции принадлежности больше нуля. Такое объедине-
ние называют несущим множеством, или носителем соответст-
вующего нечеткого множества. Так, несущее множество для В со-
стоит из чисел: {3, 4, 5, 6}.
Общая форма записи нечеткого подмножества для случаев, когда
U конечно или счетно, имеет вид
A = ^iiM/ui (u,eU). (1.2)
1. Нечеткие множества и операции над ними /
12
Элемент множества U, на котором значение функции принад^
лежности равно 0,5, называют точкой перехода. Точкой перехода
для множества В в рассмотренном выше примере является х=3.
Точка перехода — это точка, о которой мнение эксперта можно вы-
разить словами «неизвестно», «не определено» и т. п.
Если функция принадлежности нечеткого множества достигает 1,
то множество называют нормальным, если не достигает — субнор-
мальным. Поскольку в разобранном примере ни одно из значений
|1в(х) не достигло своего возможного максимального значения — 1,
то В — нечеткое субнормальное множество.
Субнормальное множество можно нормировать, разделив все
значения функции принадлежности на ее наибольшее значение.
Множество В после нормирования примет следующий вид:
е о о
В =-/3 +—/4 +-/5 +1/6.
норм g Z 3 х 9
В некоторых случаях удобно графическое представление нечет-
ких множеств в виде диаграмм Заде (рис. 1.1).
Рис 1.1. Графическое изображение функций принадлежности обычного множества Л
и нечеткого множества В (диаграмма Заде)
Рассмотрим другой пример. Пусть U = {х,х е R:l< х <3} — рост
взрослого человека в метрах; А — высокий рост, В — средний рост,
С — маленький рост. Множества А, В и С являются нечеткими.
В данном примере несущими множествами для них являются про-
межутки числовой оси. На рис. 1.2 представлены графики возмож-
ных функций принадлежности каждого из этих множеств.
1.1. Примеры обычных и нечетких множеств
13
Рис. 1.2. Возможные графики функций принадлежности нечетким множествам
Несущие множества для Л, В и С: UA = (1,7; 2,8), UB = (1,6; 2,1),
Uc = (1,0; 2,05). Функция цд(х) имеет единственный максимум. Та-
кую функцию называют унимодальной. Все три множества, А, В
и С, являются нормальными, так как достигают наибольшего воз-
можного значения — 1. По аналогии с конечными нечеткими мно-
жествами, запишем Л, В и С в следующей форме:
А = J^a(u)/u' B = f Рв(и)/и> С = f №с(и)/и-
Ул "в Ус
В общем случае нечеткое множество А с непрерывным носителем
U будем обозначать символом
А = /цЛ(и)/и. (1.3)
V
Использование символа А = ^цА(и)/и не означает интегриро-
и
вания, но предполагает, как и в случае использования символа
У? Ил (Ч ) / Ч (см. Ф°РмУлУ (1*2) ), объединение по всем элементам
i=l
несущего множества U. Знак интеграла показывает, что несущее
множество, в отличие от формулы (1.2) , является частью числовой
оси. Поскольку объединение множеств называют также логической
суммой (см., например, [13]), оба эти символа, ^цА(и)/и
и А = (щ) / щ (щ е U), будем читать «сумма по множеству U ».
i=i
14
1. Нечеткие множества и операции над ними
Приведем примеры записи нечетких множеств с помощью раз-
личных символов. /
1. U = [33, 42] — диапазон температуры тела человека.
А — нормальная температура; В — повышенная температура; С J-
высокая температура; D — очень высокая температура.
Функции принадлежности множеств А, В, С и D заданы графи-
ками (рис. 1.3).
Рис. 1.3. Функции принадлежности нечетких множеств А, В, С и D
Каждый из графиков, изображенных на рис. 1.3, соответствует
определенной формуле:
М0 =
МО =
10/31 -120,
1,
185-5£,
5t -189,
36 < £ < 36,3;
36,3 < t < 36,8; |ЛВ(Г) =
36,8 < Г <37;
37,8 <t
<38;
1, 38<t<42; ’
МО =
2,5t-92,
1,
95 - 2,5t,
36,8 < t < 37,2;
37,2 < t < 37,6;
£-38,5 38,5 <£<39,5;
1, 39,5 < t < 42.
Запишем множества А, В, С и D в форме сумм по их несущим
множествам
UA = [36,37), Uв = [36,8; 38) , Vc = [37,8; 42), UD = [38,5; 42]:
А= f f |^£-12o|/£ + J l/t+ f (185-5£)/£;
36<r<37 36<£<36,3^ ' 36,3<t<36,8 36,8<£<36,8
B = f цв(£)/£ = J (2,5г - 92)/£ + f l/t+ f (95-2,5t)/t;
36,8<t<38 36,8<£<37,2 37,2<t<37,6 36,8<£<36,8
1.1. Примеры обычных и нечетких множеств
15
С = J iic(t)/t= f (51 —189)/г + f 1/t;
37,8<«42 37,8<t<38 38<t<42
D= f »D(t)/t= f (t-38,5)/t + f 1/t.
38,5<f<42 38,5<t<39,2 39,5<t<42
2. Игра в кости заключается в подбрасывании двух игральных кос-
тей — кубиков, на каждой грани которых выставлены очки от 1
до 6. Игрок делает следующие ставки: на выпадение числа очков
от 2 до 4 он ставит 5 руб., от 5 до 7 — 10 руб., от 8 до 10 — 20
руб., от И до 12 — 10 руб. Пусть ставки, сделанные игроком, —
это значения функции принадлежности нечеткому множеству
А — ожидаемое число очков, выпадающих при подбрасывании
двух игральных костей. Носителем нечеткого множества А яв-
ляется множество U = {2, 3..., 12}. Нормируем множество Л, раз-
делив все ставки на максимальную ставку — 20 руб. Запишем
множество А в трех различных формах:
1) табличной:
щ — число выпавших очков 2,3,4 5,6,7 8,9,10 11,12
0,025 0,5 1 0,5
2) в виде поэлементной суммы по множеству U:
А = 0,025/2 + 0,025/3 + 0,025/4 + 0,5/5 + 0,5/6 + 0,5/7 + 0,5/11 +
+ 0,5/12 + 1/8+ 1/9+ 1/10;
3) как сумму по множеству U:
12 4 7 10
л=£нл(«.)/ч=£°>025/ч+Е°>5/ч+ Е
i=2 t=2 :=5 i=5 i=ll,12
В заключение дадим определения введенных понятий.
Определение 1.2. Нечетким множеством А называют пару
(U, цл(г/)), где U — универсальное множество, цл(м) — функция, оп-
ределенная на множестве U и принимающая значения на отрезке
[0,1]. Функцию цл(м) называют функцией принадлежности
нечеткого множества А.
Нечеткое множество А записывают в виде (1.2), если U дискрет-
но, и в виде (1.3), если U непрерывно.
16
1. Нечеткие множества и операции над ними
Определение 1.3. Несущим множеством, или носителем, не-
четкого множества А называют подмножество множества U, состоя-
щее из элементов, на которых цл(м) > 0.
В выражениях (1.2) и (1.3), как правило, указываются лишь эле!
менты несущего множества. I
Определение 1.4. Точкой перехода нечеткого множества А на-
зывают элемент множества U, на котором цл(м) = 0,5.
Точек перехода может быть несколько. Если эксперт, опреде-
ляющий значения цл(м), затрудняется в выборе, то на этом элементе
и несущего множества достигается максимальная нечеткость множе-
ства А и цл(м) =0,5.
Определение 1.5. Нечеткое множество А называют нормальным,
если существует uQ(uQe U) такое, что Цл(и0) = 1, и субнормальным
в противном случае.
Субнормальное нечеткое множество А можно нормировать, раз-
делив все значения цл(и) на 8иррл(м). (Напомним, что 8ирр,л(м) —
и и
наименьшее из чисел 5, для которых выполняется неравенство s >
> цл(м) для всех U)).
Определение 1.6. Функцию принадлежности цл(м) нечеткого
множества А называют унимодальной, если 8ирцл(м) достигается
лишь в одной точке множества U. и
Определение 1.7. Диаграмма Заде — представление нечеткого
множества в виде графика его функции принадлежности в коорди-
натах (1/,цл(м)) на плоскости этого декартова произведения.
Определение 1.8. Сингельтон — пара (х,цл(м)), где на первом
месте стоит элемент xg U, а на втором — его степень принадлежно-
сти. Сингельтон называется четким, если цл(х) = 1.
1.2. Множества а-уровня
Определение 1.9. Множеством a-уровня нечеткого множества
(17, цл) называют обычное множество, состоящее из всех тех элемен-
тов универсального множества U, для которых выполняется нера-
венство цл > а.
Множества a-уровня, как будет ясно в дальнейшем, широко ис-
пользуются при оперировании с нечеткими множествами. Это одно
из важных понятий теории нечетких множеств.
Рассмотрим следующий пример, обратив особое внимание на ис-
пользуемую символику.
1.2. Множества a-уровня
17
Пусть А = 0,1/1 + 0,3/2 + 0,4/5 + 0,7/6 + 0,8/9 + 1/10 и а е {0,1;
0,3; 0,5; 0,7; 0,9}. Составим множества a-уровня для всех возможных
значений а:
Л01 = {1,2, 5, 6, 9, 10};
Л03 = {2, 5, 6, 9, 10};
Л03 = {6, 9, 10};
А0’7 = {6, 9, 10};
Л09 = {10}.
Множество 0,1-Л0,1 = Л0,1 — это нечеткое множество
Л01 =0,1 Л01 =0,1/1 + 0,1/2 + 0,1/5 + 0,1/6 + 0,1/9 + 0,1/10
с функцией принадлежности , = 0,1.
Аналогично
Л03 = 0,3 • Л03 = 0,3 / 2 + 0,3 / 5 + 0,3 / 6 + 0,3 / 9 + 0,3/10, цд,.э = 0,3;
Л°2 3 = 0,5 • Л03 = 0,5 / 6 + 0,5 / 9 + 0,5 /10, цл.,5 = 0,5;
Л0,7 = 0,7 • Л0,7 = 0,7 / 6 + 0,7 / 9 + 0,7 /10, рд0.7 = 0,7;
Л0,9 = 0,9 • Л0,9 = 0,9 /10, цл,9 = 0,9.
Составим нечеткое множество Л, выполнив последовательно два
действия:
1. Объединим множества Л0,1, Л03, Л03, Л0,7, Л0,9:
Л0,1 + Л03 + Л03 + л0'7 + Л0,9 = 0,1 • л0’1 + 0,3 • Л03 + 0,5 • Л03 +
+ 0,7-Л0,7 + 0,9-Л0,9 =0,1/1+ 0,1/2+ 0,1/5+ 0,1/6 + 0,1/9 +
+ 0,1/10 +0,3/2 + 0,3/5 + 0,3/6+0,3/9+0,3/10 + 0,5/6 +
+ 0,5/9+ 0,5/10 +0,7/6+ 0,7/9+ 0,7/10 +0,9/10 = 0,1/1 +
+ (0,1 V 0,3)/2 + (0,1 V 0,3) / 5 + (0,1 V 0,3 V 0,5 V о,7)/6 +
+ (0,1 V 0,3 V 0,5 V 0,7) / 9 + (0,1 V 0,3 V 0,5 V 0,7 V 0,9) /10.
ПРИМЕЧАНИЕ---------------------------------------------------
Здесь и в дальнейшем символом логической суммы V будем обозначать
операцию нахождения супремума.
2. Из значений функции принадлежности, соединенных знаками ло-
гических сумм, выберем наибольшее (супремум) и будем считать
18
1. Нечеткие множества и операции над ними
его значением функции принадлежности нечеткого множества А
на соответствующем элементе несущего множества: /
А = 0,1/1 + 0,3/2 + 0,3/5 + 0,7/6 + 0,7/9 + 0,9/10.
В данном случае А А , так как цл (5) = 0,4 Ф (5) = 0,3;
/гл(9) = 0,8 Ф /^(9) = 0,7 . Однако если бы множество значений а
включало все значения функции принадлежности множества А,
то множества А и А совпали бы.
Подтвердим это следующим примером.
Пусть универсальным множеством является множество нату-
ральных чисел N = {1, 2, 3,...}. Нечеткое множество А — числа, при-
мерно равные 5, причем
А = 0,3/2 + 0,7/3 + 1/4 + 1/5 + 0,9/6 + 0,5/7 + 0,2/8 + 0,1/9.
Отсюда следует, что несущим множеством является множество
UA = {2,3,4,5,6,7,8,9}, множеством значений функции принадлежно-
сти - цл(х) € М = {0,1; 0,2; 0,3; 0,5; 0,7; 0,9; 1}.
Составим все множества a-уровня, где аеД = {0,1; 0,2; 0,3; 0,4;
0,5; 0,6; 0,7; 0,8; 0,9; 1}:
Ло,|={2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}; Л0,2={2, 3, 4, 5, 6, 7,8}; Лоз={2, 3, 4, 5, 6, 7}; Л04={3, 4, 5, 6, 7}; Л0,5={3, 4, 5, 6, 7};
Л°'6={3, 4, 5, 6}; Ло,7={3, 4, 5, 6}; Л08={4, 5, 6}; Л0,9={4, 5, 6}; Л*={4, 5}.
Обратим внимание на то, что М <^Д.
Выпишем все множества a-уровня и соответствующие им нечет-
кие множества и затем объединим нечеткие множества:
А0’1 =0,1-А0,1 =0,1/2 + 0,1/3 + 0,1/4 + 0,1/5 + 0,1/6 + 0,1/7 4-0,1/8 + 0,1/9
А0,2 =0,2 А0,2 =0,2/2+ 0,2/3+ 0,2/4+ 0,2/5+ 0,2/6+ 0,2/7+ 0,2/8
А0,3 = 0,3 • А0,3 = 0,3 / 2 + 0,3 / 3 + 0,3 / 4 + 0,3 / 5 + 0,3 / 6 + 0,3 / 7
А0,4 = 0,4 • А014 = 0,4 / 3 + 0,4 / 4 + 0,4 / 5 + 0,4 / 6 + 0,4 / 7
А0,5 = 0,5 • А0,5 = 0,5 / 3 + 0,5 / 4 + 0,5 / 5 + 0,5 / 6 + 0,5 / 7
А0,6 = 0,6 • А0,6 = 0,6 / 3 + 0,6 / 4 + 0,6 / 5 + 0,6 / 6
А0,7 = 0,7-А0,7 = 0,7/3 + 0,7/4+ 0,7/5+ 0,7/6
А0,8 = 0,8 • А0’8 = 0,8 / 4 + 0,8 / 5 + 0,8 / 6___________
А = £ А“ = £а -Аа = (0,1V 0,2 V 0,3)/2+(0,1V 0,2 V 0,3 V 0,4 V 0,5 V 0,6 V
V0,7)/3+(0,1V 0,2 V... V l)/4+(0,1V 0,2 V... V l)/5+(0,1V 0,2 V... V 0,9)/6+
+(0,1 V 0,2 V 0,3 V 0,4 V 0,5)/7+(0,l V 0,2)/8+0,l/9.
1.2. Множества a-уровня
19
Найдем логические суммы, выбрав в качестве их значений наи-
большие слагаемые, выделенные полужирным шрифтом:
А = 0,3/2+0,7/3+1/4+1/5+0,9/6+0,5/7+0,2/8+0,1/9 = А.
Окончательно имеем
а=1 а=1
А = А = + = 52аЛ“ •
а=0,1 а=0.1
Очевидно, что аналогичный результат был бы получен и в том
случае, если бы множества М и Д были равны: М = Д, т. е. а пробе-
гала бы лишь те значения, которые принимает рл.
В общем случае, если носитель UA нечеткого множества А явля-
ется дискретным и [iA(x)eM(xe UA), асДиМ сД, справедливо ра-
венство
Л = =^а-Ла, (1.4)
аеА аеА
где произведение а-Ла обозначает присваивание элементам обычно-
го множества Аа степени принадлежности а, иными словами, обра-
щение его в нечеткое множество Аа.
Представление нечеткого множества в виде равенства (1.4) на-
зывают разложением нечеткого множества по множествам
уровня.
Если носитель нечеткого множества непрерывен, то разложение
его по множествам уровня записывают с помощью интеграла:
1 1
А = J*А“ = Ja A“ . (1.5)
о о
1 1
Как и ранее, оба символа, Аа = a • Аа , J* Аа = j* a • Л“, бу-
аеА аеА q о
дем читать так: сумма множеств a-уровня, понимая под этим объе-
динение или логическую сумму множеств.
В заключение рассмотрим еще один, более сложный пример раз-
ложения нечеткого множества по множествам а-уровня.
Пусть имеем нечеткое множество А, носителем которого являет-
ся отрезок числовой оси хе [1,3], а функция принадлежности имеет
1
вид Цл(х) = -(1 + cos(rcc)) (рис. 1.4).
20
1. Нечеткие множества и операции над ними
Рис. 1.4. Множество a-уровня Ла = [хрх2] для нечеткого множества А
1
с функцией принадлежности цл(х) = —(14- cos(nx))
Множеством a-уровня является отрезок [х1? х2], концы которого
определяются из уравнения (х) = - (1 + cos(tcx)) = а, х е [1,3].
Решением такого уравнения будут два числа:
1 1
xt = 2---arccos(2a — 1) и х2 = 2 Н—arccos(2a -1) .
л л
Следовательно, Аа
1
2----arccos(2a -1)
л
1
2 + —arccos(2a-l)
л
Разложение множества А по множествам уровня имеет вид
Л = /а
О
1 П 1
2----arccos(2a -1) , 2-----arccos(2a -1)
л I I л
Разбив отрезок [ОД] на подходящее число частей, получают при-
ближенное разложение нечеткого множества.
Разобьем отрезок [0,1] на десять частей, получим дискретный на-
п
бор значений a € {0;0,1;0,2;...!} = — ,
(п = 0,1,..., 10). Тогда при-
ближенное разложение множества А по множествам уровня примет
следующий вид:
9 1
2 4—arccos --
я 15,
1.3. Методы построения функций принадлежности
21
1.3. Методы построения функций
принадлежности
Наиболее уязвимым для критики вопросом теории нечетких мно-
жеств является вопрос о методах построения главной характеристи-
ки нечеткого множества — функции принадлежности. «Основной
трудностью, мешающей интенсивному применению теории нечетких
множеств при решении практических задач, является то, что функ-
ция принадлежности должна быть задана вне самой теории и, сле-
довательно, ее адекватность не может быть проверена непосредст-
венно средствами теории. В каждом известном методе построения
функции принадлежности формулируются свои требования и обос-
нования к выбору именно такого построения» [14, с. 259].
Вот почему в настоящее время, наряду с теорией нечетких мно-
жеств, разрабатываются и применяются другие методы работы с не-
полной, неточной, нечеткой информацией (см., например, [16]).
В большинстве алгоритмов так называемых мягких вычислений
кроме методов теории нечетких множеств используются робастные,
вероятностные, интервальные методы и т. п.
Основной класс методов построения функций принадлежности —
методы экспертных оценок. При использовании этих методов следу-
ет учитывать, что имеется два типа свойств: свойства, которые мож-
но непосредственно измерить, и свойства, которые являются качест-
венными и требуют попарного сравнения объектов с целью опреде-
ления их относительного места в ряду объектов, обладающих дан-
ным свойством. Важным является также и характер измерений
(первичный или производный) и тип шкалы, в которой получают
информацию от эксперта и которая определяет допустимый вид
операций, применяемых к экспертной информации.
В литературе выделяют два основных метода построения функ-
ций принадлежности — прямой и косвенный.
Прямой метод. При определении нечеткого множества эксперт
или эксперты просто задают значения функции принадлежности
для каждого значения универсума. При этом не требуется слишком
точного задания функции принадлежности, достаточно фиксации ее
вида и характерных значений.
Косвенный метод. Если у формализуемого объекта имеются из-
меримые свойства, то используют косвенные методы построения.
К таким методам, например, относят метод попарных сравнений на
22
1. Нечеткие множества и операции над ними
конечных дискретных множествах. Для этого сначала строят неко-
торую матрицу А = [а. ] в предположении, что ее элементы главной
диагонали равны единице, а симметричные относительно главной
диагонали — взаимно обратны. Заметим, что atj = (х )’
этому определение функции принадлежности сводится к нахожде-
нию некоторого вектора ц из системы линейных уравнений
Ар = Хц, где X — максимальное из возможных собственных значе-
ний матрицы А.
Построение функции принадлежности скорее является не мате-
матической, а психологической проблемой, связанной с индивиду-
альным восприятием свойств объектов. Методы построения функ-
ций принадлежности, основанные на математической психологии,
подробно рассмотрены в работе [14].
Таблица 1-1. Функции принадлежности нечетких множеств «величина хмала»
1.3. Методы построения функций принадлежности
23
У ниверсальное График функции
множество принадлежности
Формула функции принадлежности
U = R+ U {0}
|1(х) =
1,
а2 - х
#2
о,
если 0<x<ai;
если а, < х < а2',
а2<х
1-аг*,
если 0<x<-j=;
Va
1
если —= < х
Ча
U = Я+ U {0} ц
Таблица 1.2. Функции принадлежности нечетких множеств «величина ^большая»
Универсальное множество График функции принадлежности Формула функции принадлежности
и = R+ U {0} И 1 1 [0, если 0 < х < а; [1, если х>а
1
0 а х
U = R+ U {0} И' 1 [0, если 0 < х < а; Ц(х) = j й(х_а) а<х- 11 — е , если и \ х, k > 0
0 -a+yk
24
1. Нечеткие множества и операции над ними
При построении моделей, включающих теорию нечетких мно-
жеств, необходимо уделять особое внимание указанной проблеме.
Но в дальнейшем мы будем считать, что выбор той или иной функ-
ции принадлежности обоснован и функция задана либо таблично,
либо в виде графика, либо формулой.
1.4. Меры нечеткости множества
25
В табл. 1.1 и 1.2 приведены наиболее часто используемые функ-
ции принадлежности для нечетких множеств «величина х мала»,
«величина х большая» [7]. Для нечетких множеств «величина |х|
мала» и «величина |х| велика» в формулах функций принадлежно-
сти х заменяется на |х|, областью определения является вся число-
вая ось, а график симметричен относительно оси ординат.
1.4. Меры нечеткости множества
Пусть U — универсальное множество. Очевидно, что «самое четкое»
его подмножество — это обычное множество, функция принадлеж-
ности (характеристическая функция) которого принимает значение
О или 1. «Самое нечеткое» подмножество — это множество, состоя-
щее из точек перехода, в которых функция принадлежности прини-
мает значение 0,5: ц (и) = 0,5.
Пусть А — какое-либо нечеткое подмножество множества U. Ес-
ли Цл(и0) близко к значению 1 или 0, то вклад элемента и0 в нечет-
кость множества А мал. Если же цл(м0) близко к значению 0,5 или,
что то же самое, значительно отличается как от 1, так и от 0, то его
вклад в нечеткость А будет значителен. Таким образом, вклад в не-
четкость каждого элемента множества определяется близостью зна-
чения функции принадлежности на этом элементе к числам 1 и 0
или отдаленностью от них. Естественно определить меру нечеткости
всего множества как сумму вкладов каждого его элемента.
Исходя из этих соображений мерой нечеткости множества А яв-
ляется функция, которая множеству А ставит в соответствие опре-
деленное действительное число rf(A), удовлетворяющее следующим
требованиям:
1) d(A) = 0 тогда и только тогда, когда А — обычное множество;
2) d(A) принимает максимальное значение тогда и только тогда,
когда ц (и) = 0,5;
3) если при любом u(ueU) функции принадлежности множеств А
и В связаны соотношениями:
На(«) < ЦВ(«). если щ(“) <0,5;
Цл(м) > Цв(м), если >0,5;
цл(ы)- любое, если Щ(и) = 0,5,
d(A) < d(B);
то
26
1. Нечеткие множества и операции над ними
4) если Ц5(г/0) = 1 — Ца(^о), то d(A) = d(B). (Симметричность отно-
сительно точки перехода, в которой функции принадлежности
принимают значение 0,5.)
Требования 1-4 называют аксиомами меры нечеткости. Чаще
всего в качестве меры нечеткости выбирают расстояние от нечеткого
множества А до ближайшего к нему обычного множества Ло.
Дадим определение понятия «обычное множество, ближайшее
к нечеткому».
Определение 1.9. Обычным множеством, ближайшим к не-
четкому множеству А с функцией принадлежности ^А(и)(ие U),
называют подмножество Ло множества U, характеристическая функ-
ция которого имеет вид
1,
= 0,
1
если
если
На > 0,5;
На < 0,5;
(1.6)
или 0, если |1Л = 0,5.
Геометрический смысл понятия «обычное множество Ло, бли-
жайшее к нечеткому множеству Л» иллюстрирует рис. 1.5.
Рис. 1.5. Значения |цл — при различном расположении точек графиков
функций: • — функция цл ; ° — функция
Как видно на рисунке, справедливы неравенства
|На “ HaJ < 0,5, если цл > 0,5 или цл < 0,5;
|нл - Мл | = 0,5, если = 0,5,
независимо от того = 1 или = 0.
1.4. Меры нечеткости множества 27
Если А — обычное множество, то оно является ближайшим к са-
мому себе. Это следует непосредственно из определения 1.9.
Необходимо договориться о том, каким образом определять рас-
стояние между множествами (четкими и нечеткими). Функции при-
надлежности всех множеств на универсальном множестве U образу-
ют функциональное множество М. Другими словами, М — это мно-
жество всех функций, определенных на U и принимающих значения
на отрезке [0, 1]. Определить расстояние между элементами множе-
ства М означает наложить метрику на это множество. Метрика на
каком-либо множестве X — это функция р(х, у), сопоставляющая
каждой паре элементов х, у еХ действительное число и обладающая
следующими свойствами (аксиомы метрики):
1) аксиома тождества
р(х,у) > О,
причем р(х, у) = 0 тогда и только тогда, когда х =у\
2) аксиома симметрии
р(х, у) = р(у, х);
3) аксиома треугольника
p(x,i/)>p(x,z) + p(z,#).
Значение р(х, у) называют расстоянием между элементами хи у
(х, у еХ). Напомним, что при изучении векторной алгебры рассмат-
ривались множества точек плоскости или пространства и для опре-
деления расстояний между точками 4(xt, yif zt) и В(х2, у2, z2) ис-
пользовалась так называемая евклидова метрика:
|ЛВ| = 7<х2 -*1)2 + (у2 -Ух)2 + (*2 -Zj)2 •
Строго говоря, правило вычисления расстояний между элемен-
тами множества может быть задано любой формулой, лишь бы по-
лученный результат удовлетворял аксиомам метрики. В функцио-
нальных пространствах наиболее часто используют два способа вы-
числения расстояний (табл. 1.3).
Мера нечеткости множества, определенная как расстояние от
этого множества до ближайшего к нему обычного множества
ад = р(цл ,цло)(ы,€ и),
удовлетворяет аксиомам метрики независимо от того, какая их них
(линейная или евклидова) при этом использована.
28
1. Нечеткие множества и операции над ними
Таблица 1.3. Некоторые виды метрик функциональных пространств1
Вид метрики Вид множества
U — дискретное множество, п число его элементов U = [а, Ь] — непрерывное множество
Линейное расстояние (расстояние Хемминга) р(ил.цв) = £ |ил(*,) - и8Сч)| i=l ь Р(Цд>Цв) = /|ил(х)-цв(х)|^ а
Евклидово расстояние
Р(Рл - Ив ) = (ЦЛ (х,) - gB (х,))2 1 Ь Р(Рл.Щ) = JJ (Цл(х)-Цв(х))2Лс 1 я
Рассмотрим пример. Пусть даны нечеткие множества
А = 0,3/1 + 0,5/2 + 0,2/3 + 0,7/4 + 0,6/5;
В = 0,7/1 + 0,5/2 + 0,8/3 + 0,3/4 + 0,4/5;
С = 0,5/1 + 0,5/2 + 0,5/3.
Обратим внимание на то, что множества А и В удовлетворяют
условию четвертой аксиомы меры нечеткости, т. е. их функции при-
надлежности симметричны относительно точки перехода 0,5:
Ил(«) = 1 - цв(«), (« е {1, 2, 3, 4, 5}).
Согласно второй аксиоме меры нечеткости, самым нечетким
множеством должно быть множество С, так как все значения
равны 0,5. Найдем меры нечеткости множеств А, В и С, использовав
разные метрики. Для этого выполним последовательно следующие
действия:
1) найдем обычные множества, ближайшие к Л, В и С:
Ао = 0/1 + 0/2 + 0/3 + 1/4 + 1/5;
Во = 1/1 + 0/2 + 1/2 + 0/4 + 0/5;
Со = 0/1 + 0/2 + 0/3;
1 В табл. 1.3 знаки суммы и интеграла означают именно сложение и интег-
рирование, но не объединение точечных множеств, как в подразделах 1.1
и 1.2.
1.4. Меры нечеткости множества
29
2) вычислим меру нечеткости по линейной метрике:
dL(A) = |0,3 - 0| +10,5 - 0| +|0,2 - 0| +|0,7 -1| +|0,6 -1| = 1,7,
dL(B) = |0,7 -1| +|0,5 - 0| +|0,8 -1| +|0,3 - 0| +|0,4 - 0| = 1,7,
dL(C) = |0,5 - 0| +10,5 - 0| +|0,5 - 0| = 1,5;
3) вычислим меру нечеткости по метрике Евклида:
dE(A) = V(0,3 - О)2 + (0,5 - О)2 + (0,2 - О)2 + (0,7 -1)2 + (0,6 -1)2 = 1,109,
dE (В) = 7(0,7 -1)2 + (0,5 - О)2 + (0,8 -1)2 + (0,3 - О)2 + (0,4 - О)2 = 1,109,
dE (С) = 7(0,5 - О)2 + (0,5 - О)2 + (0,5 - О)2 « 0,866.
Очевидно, что независимо от выбора метрики d(A) = d(B), т. е.
принятая мера удовлетворяет четвертой аксиоме меры нечеткости.
Но мера нечеткости множества С оказалась при обеих метриках ни-
же, чем множеств Л и В, что на первый взгляд противоречит второй
аксиоме. Однако противоречие это только кажущееся, так как носи-
тель множества С не равен носителю множеств А и В: Uc = {1, 2, 3},
UA = UB = {1, 2, 3, 4, 5}. Выйти из этого положения можно двумя
способами: во-первых, можно дополнить носитель множества С эле-
ментами 4 и 5, на которых функция должна иметь «вполне чет-
кие» значения — 0. Это объяснит, почему множества А и В являют-
ся более нечеткими, чем С; во-вторых, модифицировать выбранную
меру нечеткости так, чтобы с ее помощью можно было сравнивать
нечеткость множеств на различных носителях.
ПРИМЕЧАНИЕ------------------------------------------------------
Ло — обычное множество, ближайшее к нечеткому множеству А, ^(х) —
характеристическая функция множества Ао, вычисляемая по формуле (1.6).
Чтобы с помощью р(Рл,Цло) можно было сравнивать нечеткие
множества, имеющие различные носители, надо нормировать
Р(Цл,Цло), потребовав, чтобы для любого множества мера нечеткости
не превышала какой-то определенный порог, например 1. Нормиро-
ванное расстояние р(Ил>Ило) между нечетким множеством А и бли-
жайшим к нему обычным множеством называют индексом нечет-
кости и обозначают /л. Запишем основные формулы вычисления
индекса нечеткости (табл. 1.4).
30
1. Нечеткие множества и операции над ними
Таблица 1.4. Основные формулы вычисления индексов нечеткости множеств
Вид метрики Вид множества
U — дискретное множество, п число его элементов U = [а, 6] — непрерывное множество
Линейное расстояние (расстояние Хемминга) 2 " । । w i=l Л1 = -14 оф* а
Евклидово расстояние
2 1 л =^JE(P'4(jCI)-gA,U))2 У ЬР JA= [7—
Применим формулы, приведенные в табл. 1.4, для вычисления
индексов нечеткости множеств Л, В и С, рассмотренных выше. Учи-
тывая формулы из табл. 1.3 и выполненные ранее вычисления рас-
стояний между этими множествами, получаем:
Ila =Ilb =|1,7 = 0,68,
9
Iе = 1е 1,109 и 0,992,
5/5
M =-.1,5 = 1,
с 3
О
0,866 «1.
>/з
Как и следовало ожидать, самое нечеткое множество — множест-
во С — имеет самые большие индексы нечеткости.
Таким образом, чтобы ответить на вопрос «Какое из двух мно-
жеств „более нечетко”?», надо вычислить и сравнить индексы нечет-
кости этих множеств. «Более нечетким» является то множество, ко-
торое имеет больший индекс нечеткости.
Например, даны множества
А = 0,3/1 + 0,5/2 +0,7/3 + 0,9/4 + 1/5 и
В = 0,3/7 + 0,5/8 + 0,8/9 + 0,8/10.
Требуется оценить, какое из них «более нечетко». Вычислим ин-
дексы нечеткости IL и Iе множеств А и В. Для этого выполним ряд
действий:
1) запишем обычные множества, ближайшие к Л и В:
Ло = 0/1 + 0/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5,
Во = 0/7 + 0/8 + 1/9 + 1/4 + 1/10;
1.4. Меры нечеткости множества
31
= 0,48,
2) вычислим индексы нечеткости, используя расстояние Хемминга:
Ila = | (|0,3 - 0| +10,5 - 0| +10,7 -1| +|0,9 -1| +11 -1|) =
О О
ILB = | (|0,3 - 0| +10,5 - 0| +10,8 -1| +10,8 -1|) = ^- = 0,6;
3) вычислим индексы нечеткости, используя расстояние Евклида:
/д = -i >/(0,3 - О)2 + (0,5 - О)2 + (0,7 -1)2 + (0,9 -1)2 + (1 -1)2 =0,593,
л/5
1ЕВ = >/(0,3 - °)2 + (0>5 - °)2 + (°>8 - о2 + (0,8 -1)2 =0,648.
>/4
Рис. 1.6. Графики функций принадлежности нечетких множеств: а — функция
принадлежности множества Л; б — функция принадлежности множества В
32
1. Нечеткие множества и операции над ними
Множество В «более нечетко», чем множество А, так как его ин-
дексы нечеткости при любой метрике больше соответствующих ин-
дексов множества А. Рассмотрим вопрос о сравнении нечеткости
множеств в случае, когда их носителями являются непрерывные
множества. Пусть множества А и В, заданные на U = /?+и{0}, явля-
ются множествами больших величин (см. табл. 1.2). Их функции
принадлежности заданы графиками, изображенными на рис. 1.6.
Сравним нечеткость множеств А и В. Для этого вычислим их ин-
дексы нечеткости, использовав линейную метрику.
I. Вычислим индекс нечеткости множества А, выполнив приведен-
ную ниже последовательность действий:
1) запишем функцию принадлежности множества А
Нл(*> =
О, если 0 < х < 1,
х-1 4 / X
------, если 1<х<4,
4 — 1-“ *
1, если 4 < х;
2) запишем характеристическую функцию обычного множества
Ао, ближайшего к А. Как видно из графика, функция цл явля-
ется неубывающей функцией с точкой перехода х = 2,5. Сле-
довательно, имеет вид
Мж>=
О, если 0 < х < 2,5,
1, если 2,5 < х;
3) вычислим индекс нечеткости множества А, воспользовавшись
формулой из табл. 1.4:
2 л
—-1 dx =
3
91 v2 3 4 19 9
- — + 1,5-6 =-(8-0,5-4,5) = —
9[ 2 , I 9V ' 3
=0,6667.
1.4. Мерынечеткости множества
33
II. Вычислим индекс нечеткости множества В, выполнив аналогич-
ную последовательность действий:
О, если 0 < х < 1,
1) Цв(*) =
(х -1)2, если 1 < х < 2,
1, если 2 < х;
если
если
—2 (х 1)3|( x|t i
*2 7
0,0808.
2) |Ц(х) =
Очевидно, что нечеткость множества А значительно превышает
нечеткость множества В.
Рассмотрим более подробно третью аксиому меры нечеткости.
Пусть В — нечеткое множество, заданное на универсальном мно-
жестве U. Пусть также множество А удовлетворяет условию ак-
сиомы 3:
Цл(«)>Рв(м),
если цв(м) < 0,5;
если цв(м)>0,5;
|1л(м) - любое, если |1в(м) = 0,5.
Множество А, для которого справедлива указанная система нера-
венств, называют заострением множества В. На рис. 1.7 показан
пример графиков функции принадлежности фиксированного мно-
жества В и его заострения А.
34
1. Нечеткие множества и операции над ними
Рис. 1.7. Функции принадлежности множества В и его заострение А
Согласно третьей аксиоме, если множество А является заостре-
нием множества В, то б/(цл) < (цв) и, следовательно, 1А < 1В.
Пусть
^ = 4цл(Ч)/Ч>
:=1
причем рА (ц) < 0,5, i= 1,2, ..., п. Тогда
Лi 2 =&2Л (“()/“,
Х=1
является заострением множества А, поскольку для любого е U)
справедливо неравенство рл (ц ) < рл (щ ) < 0,5. Следовательно,
1А2 <1а и множество А «более нечеткое», чем А2. Если рл (ц) < 0,5,
i = 1,2, ..., п и А0,5 = д/Нл(ч) /Ч > то 0’5 < рл(м.) < у]^А(и{) , мно-
t=i
жество А является заострением множества А0,5. Следовательно,
1А < ^ло,5 и множество А менее нечеткое, чем А0,5.
Очевидно, что если 0 < Цл(^) < 1, то неравенства |А2л(ц) < рл(ц)
и цл(ц) < yj\tA(uiy продолжают выполняться, но множества А2 и А0,5
могут быть как более нечеткими, чем А, так и менее нечеткими.
Действительно, линейные индексы нечеткости этих множеств имеют
вид
1.4. Меры нечеткости множества
35
IL =
1А
кМ*р<0,5
цл(х*)>0,5
А2
2 2 / \ z J 2
“52 U Л<Х«)-НЛ2 (*<)=“
nti'l Ао \ п
52 v2a<xj)+ 52 о-^лС*»))
j
. Нл<>/0Л
k
М-л>0,5
цл>Д5
IL
22 #и<х>>+ 52 •
J k
\(x})<Q,5 4Й7>0,5
Нд<0,52 Нл>0,52
После некоторых преобразований приведенных выше формул
получаем два условия:
1) если выполнено неравенство
И, <0,5
™^Г2
>52^/1“^/) + 52 (Ну-°’5)’
^Т2 ^>^2
то Ila > Ila2 и А «более нечетко», чем Л0,5;
л —
2) если выполнено неравенство *
Ц;<0,25
0,25<ц? <0,5
ц;->0,5 0,25<ц;<0,5
то 1\ > 1^>5 и А «более нечетко», чем Л0,5.
ПРИМЕЧАНИЕ----------------------------------------------------
Для сокращения записей использовано обозначение Цд(Лу) s Ц>. Суммирование
ведется по всем элементам универсального множества U, для которых
выполняются неравенства, записанные под знаком Е.
36
1. Нечеткие множества и операции над ними
Переход от множества А к множеству А2 называют операцией
концентрирования множества А, а переход от Я к Л0,5 — операци-
ей растяжения множества А. Применяются следующие обозначе-
ния:
СОЫ(Д) = А2, (1.7)
ОЩД) = Д0’5. (1.8)
Обе эти операции используются в работе с лингвистическими
переменными и в нечеткой логике.
1.5. Отношение включения нечетких
множеств
Напомним, что если А и В — обычные множества, то А есть под-
множество В тогда и только тогда, когда каждый элемент множе-
ства А является элементом В. Диаграмма Эйлера-Венна является
графическим способом иллюстрации отношений между множества-
ми и операций над ними (рис. 1.8). Множество А является подмно-
жеством множества В\ А В.
Рис. 1.8. Диаграмма Эйлера-Венна: универсальное множество
Отношение множества и подмножества называют отношением
включения. Запись А с В читается так: «Д включено в В» или
«В включает А».
Обратим внимание на то, что любое множество А является под-
множеством самого себя: Д с Д, поскольку все элементы А являются
элементами Д. Если выполняются включения Д с В и В с Д, то
множества А и В равны: А = В.
Характеристическая функция подмножества при любых значениях
аргумента не превосходит характеристическую функцию множества.
1.5. Отношение включения нечетких множеств
37
Характеристические функции равных множеств равны при любом
значении х. Верны также и обратные утверждения:
1. Если для любого хе U справедливо цА(х)< цВ(х), то А с В.
2. Если для любого хе U справедливо цА(х)< цВ(х), то А = В,
Понятия включения и равенства множеств естественным образом
обобщаются на случай нечетких множеств. Пусть задано дискретное
(U = {их, и2, ..., ип}) или непрерывное (U ~ [а, Ь]) универсальное
множество.
Определение 1.10. Нечеткое множество А = (ц.) / щ
Л = J* Цл(«)/“
и
называют подмножеством множества
В = &в(м,)/Ч
1=1
B = f ^в(и)/и
и
если для любого элемента и
универсального множества U выполняется неравенство
р.л(а) < цв(а). (1-9)
Как и в случае с обычными подмножествами, если для любого
элемента и универсального множества U выполняется равенство
цл(и) < Цд(м), то А = В. При чтении записи А с В используются
термины «А включено в В» или «В включает А».
Если (Vw, и е U)[iA (и) < (и) и (Эи, и е U)цА (и) (й) , то
включение называют строгим: А с В, а подмножество А — правиль-
ной частью В.
Для геометрической иллюстрации отношений между нечеткими
множествами вместо диаграмм Эйлера-Венна используют графики
функций принадлежности (рис. 1.9 и 1.10).
Рис. 1.9. Функции принадлежности нечетких множеств В С А с U
38
1. Нечеткие множества и операции над ними
Рис. 1.10. Функции принадлежности нечетких множеств В с А с U
Универсальное множество U можно рассматривать как нечеткое
множество, функция принадлежности которого тождественно равна
1, а пустое множество 0 — как нечеткое множество, функция при-
надлежности которого тождественно равна 0. В этом случае все
обычные и нечеткие подмножества, определенные на 17, включая U
и 0, образуют множество всех нечетких подмножеств множе-
ства U. Будем обозначать это множество символом 3. Множество U
является наибольшим множеством в 3, а 0 — наименьшим. Если
Я с В, то говорят, что А не больше, чем В. Таким образом, отноше-
ние включения на множестве 3 устанавливает порядок, т. е. делает
3 упорядоченным множеством. Однако порядок этот частичный:
существуют множества, не сравнимые друг с другом по отношению
включения: А &В, В <zA, А*В (см. рис. 1.7).
1.6. Операции над нечеткими
множествами
Операции над обычными множествами были изучены в курсе дис-
кретной математики. Напомним определение алгебраической опера-
ции, заданной на каком-либо множестве X (например, на множестве
действительных чисел).
Двуместной, или бинарной, алгебраической операцией на
множестве X называют соответствие, по которому каждой паре (а, Ь)
элементов множества X сопоставляется определенный элемент с мно-
жества X.
Например, бинарными алгебраическими операциями на множе-
стве действительных чисел R являются сложение и умножение: для
1.6. Операции над нечеткими множествами
39
любых двух действительных чисел (а, Ь) найдется единственное
число с, которое является их суммой, и единственное число d, кото-
рое является их произведением:
а + b = с, а • b = б?, a, b, с, d е R,
Одноместной, или унарной, алгебраической операцией на мно-
жестве X называют соответствие, по которому каждому элементу
а множества X сопоставляется определенный элемент b множества X,
Например, унарной алгебраической операцией на множестве действи-
тельных чисел R является нахождение противоположного числа: для
любого числа а найдется единственное противоположное число - а.
В первую очередь рассмотрим три основные алгебраические опе-
рации на множестве 3 всех нечетких подмножеств множества U:
1) дополнение Л,
2) пересечение А п В,
3) объединение А и В.
Определения этих операций над обычными и нечеткими множе-
ствами, а также геометрические иллюстрации к определениям даны
в табл. 1.5.
Определения операций над нечеткими множествами записаны
для случая дискретного универсального множества. Если же U не-
прерывно, то результаты выполнения этих операций должны быть
записаны следующим образом:
1) дополнение А = J(1 - [1А(и))/и;
и
2) пересечение AnB = Jmin(iiA(u),jiB(u))/и ;
и
3) объединение AUB = J" max(iiA(u),iiB(u)) / и.
и
Рассмотрим несколько примеров выполнения этих операций.
Примеры.
1. Пусть U = {1, 2, ... 10}, А = 0,8/3 + 1/5 + 0,6/6, В = 0,7/3 + j +
+ 0,5/6. А = (1 - 0)/1 + (1 - 0)/2 + (1 - 0,8)/3 + (1- 0)/4 +
+ (1 - 1)/5 + (1 - 0,6)/7 + (1 - 0)/8 + (1 - 0)/9 + (1 - 0)/10 =
= 1/1 + 1/2 + 0,2/3 + 1/4 + 0,5 + 0,4/6 + 1/7 + 1/8 + 1/9 + 1/10.
Обратим внимание на то, что в записи нечеткого множества А
участвуют лишь элементы несущего множества {3, 5, 6}, т. е. под-
40
1. Нечеткие множества и операции над ними
множества U, на котором значения функции принадлежности >
> 0. На подмножестве {1, 2, 4, 7, 8, 9, 10} цл(м) = 0. Следователь-
но, согласно формулам (см. табл. 1.5), на этих элементах (и) —
= 1.
Учитывая это замечание, запишем
В-1/1 +1/2+ 0,3/3 +1/5+ 0,5/6 +1/7+ 1/8 +1/9 +1/10.
В соответствии с формулами (см. табл. 1.5), выполним другие
операции над множествами А и В:
Ас\В - 0,7/3 + 0,5/6;
АоВ = 0,8/3 + j + 1/5 + 0,6/6;
A nA = 0,2/3 +0,4/6 *0;
В U В — 1/1 + 1/2 + 0,7/3 + 1/4+ 1/5 + 0,5/6 + 1/7 + 1/8 +
+ 1/9+1/10 *U.
Пересечение нечеткого множества со своим дополнением может
не быть пустым (АпА * _0), а объединение — не составлять
универсальное множество ( В о В Ф U ).
2. Множества А — «величина х велика» и В — «величина х мала»
заданы на отрезке [0, 6]. Их функции принадлежности
о, если о 1Л Н Л 1, если о< х <1;
х — 1 3-х
цл(*)= 3 ’ если 1<х<4; и цв(х) = 2 ’ если 1< х<3;
1, если С£> VI н V 0, если 3< :х<6
показаны на рис. 1.11
Рис. 1.11. Функции принадлежности цл(х), щ(х)
Таблица 1,5. Операции над обычными и нечеткими множествами
Обычные множества Нечеткие множества
Определение Диаграмма Эйлера- Венна Таблицы и формулы, характ. функции Определение Графическое пояснение
Дополнением множества А называют множество А , состоящее из тех и только тех элементов универсального множества U, которые не принадлежат множеству А Дополнением нечеткого множества Л = £цл («,)/«,. называют и множество з=23(1-цл(и,»/«( и
I-'--"-' ' Ил ИИ 1
0
1 SfiS
/ / Н А
Пересечением множеств А и В называют множество АпВ, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат как множеству А, так и множеству В Пересечением нечетких множеств Л = £М“<)/“. и и B = J2gB(ai)/u/ называют и нечеткое множество л л В = £пнп(цл(и,),цв(ц))/ц и
и Z^\ —(к в) t A ' Ил ия 1-. Ял Щ
0 0
0 1
1 0 кйН
1 1 Ж
НловОО = min(nx,gB) =
Объединением множеств А и В называют множество A\jB, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат либо множеству Л, либо множеству Д либо обоим множествам Объединением нечетких множеств Л = 52Дл(ч)/Ц и называют и нечеткое множество л U В = 22тах(цл(и,),цв(и,))/ц, и
и Ил и* 1 “ На й*7 /
0 0
0 1
1 0 JlSt
1 1 Ж
И Лив(х) = тах(цл,цв) =ил + нв-цлщ
42
1. Нечеткие множества и операции над ними
Выполним над множествами Л и В ряд операций.
1. Дополнения множеств А и В.
Воспользуемся формулой А = J (1 — цл (и)) / и, Функции
и
принадлежности ц-, ц- и их графики (рис. 1.12) в со-
ответствии с этой формулой имеют вид
1-0,
1
Г
1-1,
Нл(*) =
если 0 < х < 1 1, если 0 < х < 1,
А А 4~Х А / / А
если 1<х<4=------, если 1<х<4,
_ _ 3 ~ -
если 4 < х < 6 0, если 4 < х < 6;
Рис. 1.12. Функции принадлежности: а — множества А; б — множества В
Окончательно получаем
1 4 / 3 о 6
^/•/x + /^7x;B = Jlz3/z+/1/x.
О 1 ° 1 Z 3
2. Объединение множеств АиВ.
Воспользуемся формулой ЛиВ = Jтах(цл(г/),цв(м))/г/.
и
График функции принадлежности цЛиВ в соответствии с этой
формулой имеет вид, представленный на рис. 1.13.
1.6. Операции над нечеткими множествами
43
Рис. 1.13. Функция принадлежности |1ЛиВ
Найдем функцию принад лежности объединения множеств А и В:
тах(1,0) = 1, если
0<х<1
max
М'Аив(х) —
Гх-1 3-х)
I 3 1 2 J
если
max
х-1 3-х)
"З-’ 2 J
если
2,2 < х < 4
тах(1,0) = 1, если
1, если 0 < х < 1;
3 - х , . ~ о
------, если 1<х<2,2;
= 2
х — 1
----, если 2,2 < х < 4;
3
1, если 4 < х < 6.
Окончательно получаем
AUB
3. Пересечение множеств А и В .
Воспользуемся формулой
AnB = f тт(цА(и)гцд(и))/и.
и
44
1. Нечеткие множества и операции над ними
График функции принадлежности НЛп5(х) представлен на
рис. 1.14. Обратим внимание на то, что А С В, так как цл(х)
<цв(х), (хе [0,6]).
Рис. 1.14. Функция принадлежности (х)
Найдем функцию принадлежности пересечения множеств Л и В.
Окончательно получаем А С В, (х) = ЦЛп5(х) и А П В = А.
ПРИМЕЧАНИЕ--------------------------------------------------
Вывод о том, что А С В => АПВ = А , носит общий характер и справедлив
как для нечетких, так и для обычных множеств.
Рис. 1.15. Функция принадлежности Цлив (х)
1.6. Операции над нечеткими множествами
45
4. Объединение множеств А и В.
График функции принадлежности показан на рис. 1.15.
Обратим внимание на то, что В с А, так как цв(х) < (х),
(хе [0,6]).
Найдем функцию принадлежности объединения множеств А
и В.
если 0 < х < 1
если 1 < х < 3
если 3 < х < 4
если 4 < х < 6
4-х л .
= —-—, если 1<х<4 = цЛ(х).
0, если 4 < х < 6
Окончательно получаем, В с А, Цв(х) < ц-(х) и Л п В =
= А. ,
ПРИМЕЧАНИЕ----------------------------------------------------
Вывод о том, что В С А => Ли В = А , носит общий характер и справедлив
как для нечетких, так и для обычных множеств.
max
max
4-х 3 — х^
I 3
max(0,01) = 1,
1. если
2
4-х
3
4-х
з“
з
=
1
Пусть 3 — множество всех подмножеств (обычных и нечетких),
заданных на универсальном множестве U. Пусть также U (U с
сЗ) — множество всех обычных подмножеств U. Любое обычное
множество можно рассматривать как нечеткое, функцией принад-
лежности которого является его характеристическая функция. Если
выполнять операции объединения, пересечения и дополнения в U,
то и результат этих операций не выйдет^ за пределы U. Большинст-
во свойств операций, выполняемых в U, присущи этим операциям
иво всем множестве 3. Свойства операций объединения, пересече-
ния над обычными и нечеткими множествами и дополнения в 3
приведены в табл. 1.6.
46
1. Нечеткие множества и операции над ними
Таблица 1.6. Свойства операций пересечения, объединения и дополнения
над обычными и нечеткими множествами
Операция Свойство
пересечения объединения
Коммутативность А п В = В п А А и В = В о А
Ассоциативность Аг\{В п 0= (А п В) n С Аи(Ви 0= (А и В) и С
Дистрибутивность An(Bu0 = (АпДЮ(Ап0 (дистрибутивность пересечения относительно объединения) A\j(BcyC) = {А\эВ)гу^АоС) (дистрибутивность объединения относительно пересечения)
Свойство нуля А п0 = 0 А и 0 = А
Свойство единицы Лп U = A A u U= U
Идемпотентность А п А = А Аи А = А
Свойство поглощения Ап(АиВ)=А A u (А п В) = А
Законы де Моргана Агу В = АиВ АиВ = АпВ
Свойство порядка А^ВсА и А ГУ В В AgAuB и В qA^jB
Покажем справедливость некоторых свойств, приведенных в табл. 1.6,
для нечетких множеств.
Поглощение А п (А о В) = А. Поскольку А и В определены на
одном и том же универсальном множестве 17, равенство будет вер-
ным, если для любого х е U справедливо = ЦаОО-
Покажем справедливость этого равенства.
U4r4AuB)O) = = тт(цл(х),тах(|1л(х),цв(х)) =
= шт(|Лл(х),цл(х)) = |лл(х), если цл(х) > gB(x);_
тш(цл(х),|Лв(х)) = цл(х), если Цл(х)<ив(х).
Таким образом, какое бы из двух возможных соотношений, Цл(х) >
> Щ(х) ИЛИ |1л(х) < Цв(х), НИ ВЫПОЛНЯЛОСЬ, ЦЛп(АиВ)(Л) = Ца(х)-
Равенство доказано.
Закон де Моргана А и В = А И В. Покажем справедливость ра-
венства ~ (для любого х е U):
Нлй5<х) = 1 ~ тах(цл(х),р.в(х)) =
1-цл(х),
1 “ |Ав(х)(
если
если
цл(х)>цв(х)
1.6. Операции над нечеткими множествами
47
= цл(х), если 1-цл(х)< 1-цв(х) =
Ц5(х), если 1-|1л(х)> 1-щ(х)
ця(х), если цл(х) < |15(х) .
= Uw. =
В цепочке равенств использованы простейшие свойства число-
вых неравенств: a>b=>\ — а<\ — b, a<b=>l-a>l-b.
Аналогично доказываются и остальные свойства операций, при-
веденных в табл. 1.6.
Для нечетких множеств не действуют два закона, имеющих
большое значение как в теории множеств, так и в логике. В_логике
эти законы называют законом исключения третьего (A u А = U)
и законом противоречия (Ас\ А = 0).
Именно нарушение этих законов и определяет своеобразие тео-
рии нечетких множеств. Если для обычных множеств и обычной
логики может быть справедливым только либо А, либо неА = , то
для нечетких множеств и логики имеют право на существование и
другие варианты. Если в теории обычных множеств и обычной ло-
гики А и неА = полностью исключают друг друга, то для нечетких
множеств и логики они могут существовать совместно.
Подтвердим сказанное примером. Пусть U = {1, 2, 3, 4, 5}, А =
= 0,3/1 + 0,5/2 + 0,7/3 + j + 0/5. Тогда А = (1 - 0,3)/1 + (1 - 0,5)/2 +
+ (1 - 0,7)/3 + (1 - 1)/4 + (1 - 0)/5 = 0,7/1 + 0,5/2 + 0,3/3 + 0/4 +
+ V5.
Найдем А и А, А п А и покажем, что равенства A u А = U
и А п А = 0 нарушены.
А и А = тах(0,3; 0,7) /1 + тах(0,5; 0,5) / 2 + тах(0,7; 0,3) / 3 +
+ тах(1,0) / 4 + тах(0,1) / 5 =
= 0,7/1 + 0,5/2 + 0,7/3 + 1,0/4 + 1/5^ С7,
А П А = min(0,3; 0,7) /1 + min(0,5; 0,5) / 2 + min(0,7; 0,3) / 3 +
+ min(l ,0) / 4 + min(0,1) / 5 =
= 0,3/1+ 0,5/2+ 0,3/3+ 0/4+ 0/5 = 0,3/1 + 0,5/2 + 0,3/3^0.
Множество с двумя бинарными операциями, которые обладают
свойствами идемпотентности, коммутативности, ассоциативности
и поглощения, в общей алгебре называют решеткой [1]. В общем слу-
чае решеточные операции называют решеточным пересечением
48
1. Нечеткие множества и операции над ними
и решеточным объединением. Используются обозначения: {Р, л, v } —
решетка, Р — множество, л — знак решеточного пересечения, v —
знак решеточного объединения.
Множество 5 всех подмножеств (обычных и нечетких), заданных
на универсальном множестве U, с операциями пересечения (п)
и объединения (о) (см. табл. 1.5) образует решетку, так как эти опе-
рации обладают четырьмя необходимыми свойствами (см. табл. 1.6).
Кроме решетки {S, п, и} на множестве 5 могут быть заданы и
другие решетки, в которых решеточное объединение и решеточное
пересечение определены по-иному [13,16]. Определить различными
способами решеточное пересечение и решеточное объединение по-
зволяют так называемые Г-нормы (триангулярные нормы) и Г-ко-
нормы. Приведем формулы для наиболее типичных Г-норм и соот-
ветствующих им Т-конорм (табл. 1.7).
Таблица 1.7. Типичные Окормы и Лконормы
Типичные Т-нормы Соответствующие Т-конормы
Логическое произведение Операция максимум
7лг(^у) = 1 min(x,y) Su(x,y) = } max(x, у)
Алгебраическое произведение ТР(х,у) = ху Вероятностная сумма $Р(х,у) = х + у-х-у
Граничное произведение TL(x, у) = тах(х + у -1,0) Граничная сумма SL{x,y) = min(x + у,1)
Слабая Т-ш )рма у, если х — 1 х, если у = 1 0, во всех других случаях Сильная Т-1 сонорма yt если х = 0 х, если у = 0 1, во всех других случаях
Пусть Л = ^2цл(^)/^ и В = У^рд(ц)/цр(Ц е U). Используя
и и
различные типы Г-норм и Г-конорм (см. табл. 1.7), получаем сле-
дующие виды операций пересечения (л) и соответствующего объе-
динения (v) на множестве 5:
1) ЛлВ-^ГдДц^иДц/и,.))/!/,.,
и
Л V В = SM(nA (и,), (и{ ))/ut;
1.6. Операции над нечеткими множествами 49
2) ЛлВ = £Тр(цл(ц),цв<«>))/«м ЛУВ = £5р(цл(10,цв(ц))/ц ;
и и
3) ЛлВ = ^Г1(цл(ц),цв(м<))/ц , XV В = 525£(м.Л(и|.),цв(и1.))/ы1.;
и и
4) =
и
В =
и
/
ПРИМЕЧАНИЕ---------------------------------------------------------
Первый вид операций пересечения и объединения, определенный через
логическое умножение и операцию максимум (см. табл. 1.7), есть операции
пересечения и объединения обычных и нечетких множеств, определенные
ранее (см. табл. 1.5).
Можно проверить, что какие бы Г-нормы и соответствующие
Т-конормы ни были использованы в определениях операций пере-
сечения (л) и объединения (v), множество {S,a,v } сохранит струк-
туру решетки. Иными словами, каким бы из перечисленных выше
способов ни были определены пересечения и объединения нечетких
множеств, все утверждения, которые справедливы для решеток, бу-
дут справедливы и для множества {S,a,v }.
В теории нечетких множеств в качестве триангулярных норм
наиболее часто используются логическое и алгебраическое произве-
дения. Если операция пересечения определена через логическое
произведение, то она является жесткой в том смысле, что в ней
недостаточно учитываются функции принадлежности обоих мно-
жеств. В противоположность этому операция пересечения, опреде-
ленная через алгебраическое произведение, является мягкой. Как
определить пересечение, зависит от смысла, вкладываемого в эту
операцию в конкретной задаче.
Кроме операций пересечения, объединения и дополнения над не-
четкими множествами можно определить и другие операции:
1. Умножение
AB=^th(ui) VB(ui)/ui w™ AB = f Ил(«)Цв(м)/«.
щеи 'if
Если А и В — обычные множества (А, В g U ), то операция ум-
ножения и операция пересечения есть одна и та же операция (см.
50
1. Нечеткие множества и операциинад ними
табл. 1.5). Если же А и В — два нечетких множества, эта опера-
ция является операцией пересечения с ГР-нормой и результат та-
кой операции не совпадает с результатом операции пересечения,
определенным по Г^-норме. Частным случаем операции умноже-
ния является операция умножения на число.
2. Умножение на число
a A = ^2a'l^A(ui)/ui или а-А = I а \кА(и)/и при условии
и
asuppA(u)<l.
и
Умножение множества на число имеет аналоги в линейной ал-
гебре. Можно говорить о выпуклой комбинации нечетких мно-
жеств Alf А2,..., Ап:
л = &л<Ч)/Ч >
и
где цл(н) = wi цл1(н) + w2 цЛ2(м) +...+ wn ЦЛя(м), wn, - чи-
словые коэффициенты линейной комбинации, 0 < < 1 (г = 1,2,
..., п), Ц1(н) + Ц2(и) + - + 1, 0 < Pi(w) < 1 (и е U, i = 1, 2,...,
п).
Понятие выпуклой линейной комбинации нечетких множеств
оказывается полезным при описании таких лингвистических не-
определенностей, как «существенно», «типично» и т. п.
3. Возведение в целую неотрицательную степень
Аа / и или Аа = Г (цл(м))° /и, где atN (1.10)
и и
Если а 6 R+f то формула (1.10) определяет операцию возведения
нечеткого множества в степень. Частными случаями этой
операции являются операция концентрирования и операция рас-
тяжения, рассмотренные в подразделе 1.5 (см. формулы (1.7)
и (1.8)).
На множестве S используется оператор нечеткости К, который
служит для преобразования обычных множеств в нечеткие и для
увеличения нечеткости нечетких множеств. В случае дискретного
универсального множества U задать такой оператор можно в виде
матрицы, определяющей результат его действия на каждый элемент
множества U.
1.6. Операции над нечеткими множествами
51
Пусть, к примеру, U = {1, 2, 3, 4} — универсальное множество.
На Зм задан оператор увеличения нечеткости
^11 ^12 ^13 ^14
g _ ^21 ^22 ^23 ^24
^31 ^32 ^33 ^34
h b k k
1*41 «42 «43 Л44
Действие оператора К на какое-либо множество А
Л = цл(1)/1 + Ил(2)/2 + цл(3)/3 + цл(4)/4
из Зм заключается в следующем.
Элемент цл(1) /1 преобразуется в нечеткое множество Лр
Рд(1)/1-А=Рл(1)-^/1 + Нл(1)Л1/2 + М1)Л1/3 + Ил(1)^41/4 = ЕМ1)-^/^
»=1
Аналогично
Нл (2) / 2 Д = цл (2) А /1 + М2) А / 2 + М2) А / 3 + Нл (2) А / 4 = £ М2) • *12 / *
1=1
Нл(3)/3 - Д = Цл(3) А Л + М3)А /2 + Нл(3) А /3 + Ил(3) ka /4 = £>л(3)• ka /V,
1=1
Ил(4)/4 - Д = Цл(4) A Z1 + Нл(4)А /2 + М4)• /3 + Нл(4)• /4 = £цл(4) А /«•
1=1
Обратим внимание на то, что единице в каждом из множеств Alf
А2, А3 и А4 соответствует произведение первой строки матрицы К на
столбец (|1Л(1), Цл(2), Цл(3), цл(4))т, двойке — произведение второй
строки К и т. д.
Затем множества Л2, Л3 и Л4, объединяются по какому-либо из
правил объединения нечетких множеств, например, по правилу ло-
гической конормы Sj^x, у) = max (х, у):
КЛ = Л1иЛ2иЛ3иЛ4 =
= L Пл (1) Л Л + £>/2) А2 / * + £>л (3) • ki3 /i + ^л (4) ’ / * =
i—1 i=l i=l i=l
=E E 0) • M / *=E E <нл G) л) / * •
j=i i=l t=l ;=1
(Последнее равенство справедливо, поскольку объединение нечет-
ких множеств коммутативно и ассоциативно.)
Таким образом, если ЛеЗ — множество (обычное или нечеткое),
U — {ulf и3} — универсальное множество и К — оператор нечет-
кости, действующий в 3, то результат действия оператора К на
52
1. Нечеткие множества и операции над ними
множество А есть нечеткое множество КАеЗ, причем
Илл = У^Рв(Ц-)/Ц •
и
(1.11)
Рассмотрим пример выполнения действий с оператором нечеткости.
Пусть U = {а, Ь, с},
0,3 0,7 1 '
К = 0,7 0,5 0 , А ={а, с}, В = 0,3/а + 0,7/6 + 0,9/с, С = 0,5/а +
0,8 0,6 0,5
7 7 /
+ 0,5/6 + 0,5/с.
Найдем множества КА, КВ и КС:
КА =
0,3
0,7
0,8
\
0,7
0,5
0,6
КВ =
0 = тах(0,3; 1)/а + 0,7 / 6 + тах(0,8; 0,5) / с =
0,51 11
/ /
= 1/л + 0,7/6 + 0,8/с;
0,7
0,5
0,6 0,5] 10,91
0,3
0,7
0,8
0,3
0,7 = тах(0,09; 0,49; 0,9) / а +
1
0
1 '
0
КС =
+ max(0,21; 0,35) / 6 + тах(0,24; 0,42; 0,45) / с =
= 0,9/а + 0,35/6 + 0,42/с.
0,7 1 [0,5'
0,5 0 • 0,5 = 0,5/а + 0,35/6 + 0,4/с.
0,6 0,5 0,5
0,3
0,7
0,8
ПРИМЕЧАНИЕ-----------------------------------------------------
2
Обратим внимание на то, что индекс нечеткости JKC = - (|0,5 - 0| +|0,35 - 0| +
2
-Ь (0,4 - 0|)« 0,83 множества КС меньше индекса нечеткости Jc — - (|0,5 - 0| +
+10,5 - 0| +10,5 — 0|) = 1 множества С (см. табл. 1.4), т. е. действие оператора К
на нечеткое множество не обязательно ведет к увеличени нечеткости послед-
него.
Контрольные вопросы
S3
Операция увеличения нечеткости, введенная Л. Заде [4], играет
важную роль при рассмотрении таких лингвистических неопреде-
ленностей, как «более или менее», «слегка», «несколько» и т. п.
Еще один пример действий с оператором нечеткости.
Пусть U = {2009, 2008, 2007, 2006};
А - «недавно»: А = {1/2008, 0,8/2007, 0,7/2006};
fl 0 0 0)
К — «более или менее»: К =
0,9
0,9
0
0 0
1 0
0 0 0,8 0
Найдем множество 7С4 — «более или менее недавно»:
КА
1 / 2006 + шах(0,9; 0,8) / 2005 +
+ тах(0,72; 0,7) / 2004 + 0,56 / 2003 =
= 1 / 2006 + 0,9 / 2005 + 0,72 / 2004 + 0,56 / 2003.
ПРИМЕЧАНИЕ---------------------------------------------------
Как уже было отмечено выше, действие оператора К на нечеткое множество
не обязательно ведет к увеличению нечеткости последнего. В то же время
любые обычные множества, функции принадлежности которых состоят из
нулей и единиц, превращаются под действием этого оператора в нечеткие
множества. Именно с этой точки зрения данный оператор и можно называть
оператором увеличения нечеткости.
Контрольные вопросы
1. Сформулируйте понятие нечеткого множества и сравните его
с понятием обычного множества.
2. Что называют носителем нечеткого множества?
3. Дайте определение точки перехода, унимодальной функции
принадлежности, нормального и субнормального нечеткого
множества.
4. Сформулируйте понятие множества a-уровня и запишите фор-
мулу разложения нечеткого множества по множествам уровня.
54
1, Нечеткие множества и операции над ними
5. Приведите пример нечеткого множества с дискретным и непре-
рывным носителем.
6. Сформулируйте аксиомы меры нечеткости.
7. Дайте определение обычного множества, ближайшего к нечет-
кому.
8. Запишите формулу расстояния между двумя произвольными
нечеткими множествами по Хеммингу и Евклиду для дискрет-
ного и непрерывного носителя.
9. Запишите основные формулы вычисления индексов нечеткости
по Хеммингу и Евклиду для дискретного и непрерывного носи-
теля.
10. Что называют заострением нечеткого множества? Запишите
операции растяжения и концентрации.
И. Дайте определение подмножества нечеткого множества.
12. Сформулируйте определение основных операций над нечеткими
множествами и проведите их сравнение с аналогичными для
четких множеств. Чем они различаются? В чем сходство? Мож-
но ли назвать операции над канторовскими множествами част-
ным случаем соответствующих операций над нечеткими?
13. Единственны ли определения операций дополнения, пересече-
ния и объединения?
14. Сравните свойства операций над обычными и нечеткими множе-
ствами. Какие важнейшие логические законы не выполнимы над
нечеткими множествами?
15. Дайте определение Т-нормы и Т-конормы. Для чего введены эти
понятия?
16. Если в качестве операций дополнения, пересечения и объе-
динения взять другие определенные Т-нормы и Г-конормы,
можно ли утверждать, что все свойства операций над нечеткими
множествами сохранятся?
17. Как определяют операции умножения нечетких множеств,
возведения в целую неотрицательную степень, умножения на
число?
18. Дайте определение оператора нечеткости. Для чего применяют
этот оператор? Каковы границы его применимости?
Задания для самостоятельной работы S5
Задания для самостоятельной
работы
1. Пусть U = {понедельник, вторник, среда, четверг, пятница, суб-
бота, воскресенье}. Выступая в роли эксперта запишите в форме
(1.2) следующие нечеткие множества: А — начало недели, В —
середина недели, С — конец недели, D — не начало, но и не конец
недели. Есть ли среди определенных вами функций принадлеж-
ности унимодальные?
2. Пусть U = {0, 1, 2,... 120} — возможный возраст человека. Высту-
пая в роли эксперта, постройте графики функций принадлежно-
сти следующих нечетких множеств: А — молодой, В — старый,
С — очень молодой, D — не старый. Запишите эти множества
в форме (1.3). Сравните полученные вами графики с графиками
ваших коллег. Если есть различия, попытайтесь объяснить при-
чины этих различий.
3. Игра состоит в двукратном подкидывании игрального кубика. На
каждую сумму 5 выпавших очков (от s = 2 до s = 12) делается
ставка, причем сумма всех ставок не превышает 100 усл. ед. За-
пишите свои ставки на каждое значение 5.
Совпадают ли сделанные вами ставки с вероятностями (в про-
центах) выпадения соответствующих сумм?
Рассматривая сделанные вами ставки как функцию принадлеж-
ности нечеткого множества В = ожидаемая сумма выпавших оч-
ков при двукратном подбрасывании игральной кости, выполните
следующие задания:
1) нормируйте множество В;
2) запишите В в форме (1.2);
3) запишите несущее множество;
4) запишите в виде таблицы ряд распределения вероятностей
случайной величины 5, дополнив его строкой нормированной
функции принадлежности.
Можно ли рассматривать вероятности p(s) как функцию принад-
лежности Цв($) нечеткому множеству В? Можно ли, наоборот,
рассматривать цв(5) как вероятности соответствующих значений
s? Обоснуйте свое суждение.
56
1. Нечеткие множества и операции над ними
4. Пусть U — множество дисциплин, изучаемых в текущем семест-
ре. Присвойте номер каждой дисциплине и, выступая в роли экс-
перта, запишите нечеткие множества:
А — мне нравится эта дисциплина;
В — я не понимаю эту дисциплину;
С — мне не нравится эта дисциплина;
D — я хотел бы изучать эту дисциплину глубже.
Представьте разложения каждого из нечетких множеств по мно-
жествам уровня.
5. U = 7?+и{0} — множество неотрицательных действительных чи-
сел. Заданы функции принадлежности нечетких множеств:
М*) =
1, если
О, если
Нв(л-) =
е 5
°,
если
О,
если
а.;
цс(х) =
х — а<
а2 а\
1,
если
если
1
а{<х<а2-, HdU) = 1 + 2x2’ 0^х<оо.
Для каждого нечеткого множества требуется:
1) построить график функции принадлежности;
2) записать разложение по множествам уровня;
3) записать приближенное дискретное разложение, разбив отре-
зок [0, 1] на пять частей.
6. Пусть U — цены автомобилей, 4 < и < 5000 (усл. ед.).
1) выступая в роли эксперта, постройте графики функций при-
надлежности следующих нечетких множеств:
А — цены автомобилей для среднего класса,
В — цены автомобилей для богатых людей,
С — цены автомобилей для небогатых людей;
Задания для самостоятельной работы
57
2) для каждой кривой найдите подходящую формулу и запишите
функции принадлежности аналитически (при выполнении за-
дания воспользуйтесь табл. 1.1 и 1.2;
3) запишите разложение по множествам уровня каждого из не-
четких множеств;
4) запишите приближенное дискретное разложение, разбив отре-
зок [0, 1] на десять равных частей.
7. Даны нечеткие множества:
А = 0,4/5 + 0,7/6 + 1/7 + 0,8/8 + 0,6/9 и
В = 0,8/1 + S + 0,8/3 + 0,5/4.
Требуется:
1) записать множества CON(A), DIL(A), CON(B), DIL(B);
2) сделать два чертежа: на одном изобразить множества А,
CON(A), DIL(A), на втором — множества В, CON(B), DIL(B);
3) вычислить индексы нечеткости по метрике Хемминга для всех
шести множеств;
4) вычислить индексы нечеткости по евклидовой метрике для
всех шести множеств;
5) сравнить степень нечеткости множества А со степенью нечет-
кости множеств CON(A), DIL(A), а также множества В с мно-
жествами CON(B), DIL(B).
8. Л — нечеткое множество, заданное на U — 7?+и{0}, с функцией
z ч 1-1 sin(— (х-1)), если х<2\ z
принадлежности ц(х) — 2 2 2 (см.
0, если 2 > х
табл. 1.1). Требуется:
1) записать множества CON(A) и DIL(A);
2) построить графики функций принадлежности множеств Л,
CON(A), DIL{A)\
3) вычислить индексы нечеткости по метрике Хемминга для всех
трех множеств;
4) сравнить степень нечеткости множества А со степенью нечет-
кости множеств CON(A), DIL(A).
9. Докажите, что для любого нечеткого множества А справедливы
утверждения: CON(A) с А с DIL(A).
58
1. Нечеткие множества и операции над ними
10. На универсальном множестве U = {a, b, с, d, е, f, g} заданы не-
четкие множества
А = 0,3/Ь + 0,7/с + 1/d + 0,2// + 0,6/g;
В = 0,3/а + 1/Ь + 0,5/с + 0,8/6? + 1/е + 0,5// + 0,6/g;
С=1/а + 0,5/Ь + 0,2/rf + 0,2// + 0,9/g.
Требуется:
1) найти множества:
АЛВ, ЛиВ, АлВ, (АиВ)пС, (ЛПВ)ПС, (ЛПЛ)’(ВПВ)
и дать геометрическую интерпретацию выполненных опера-
ций;
2) найти множества: 0,8Л2 U 0,5В2 U 0,ЗС2, 0,6(Л • В) Г) С2;
3) найти множества: А Л В, В V С, (А V С) Л В , (А Л В) V
V(A Л С), если операции решеточных пересечения и объеди-
нения определены по правилам:
а) граничного произведения и граничной суммы;
б) слабой Т-нормы и сильной Т-конормы.
И. На универсальном множестве U = [0, 3] заданы нечеткие мно-
жества А= f — /u и В= [——^-/и.
Требуется:
1) построить графики функций принадлежности множеств
А и В;
2) записать множества: А о В, А и В, А П В, Ли В, А Л В,
(А Л А)-(В Л В) и построить графики их функций принад-
лежности.
12. Пусть U = {a, b, с, d, е} — множество молодых людей. На U зада-
но нечеткое множество А:
А = молодой человек хорошо владеет компьютером,
А = 0,8/а + 0,6/с + 0,9/d + 1/е.
Требуется:
1) используя операции концентрирования и растяжения, запи-
сать множества:
Задания для самостоятельной работы
59
В = CON(A) = молодой человек очень хорошо
владеет компьютером;
С = DIL(A) = молодой человек не слишком хорошо
владеет компьютером;
2) записать множество С, используя оператор увеличения не-
четкости:
К =
0,9 1 0,6 0
0,8 0,6 0,4 1
0,5 0,5 0,5 1
0,2 0,5 0,8 0
1 0,7 0,7 0
7 7 J
2. Нечеткие числа
2.1. Определение нечеткого числа
Рассмотрим простейшую задачу. В студенческой столовой чай стоит
примерно 7 руб., пирожок — примерно 10 руб. Сколько денег при-
ближенно будет стоить такой завтрак?
В задаче использованы два нечетких числа: а = {примерно 7], b =
= {примерно 10}. Надо найти их сумму: а + b = {примерно 7 + при-
мерно 10}. Нечеткие числа а и b можно рассматривать как нечеткие
множества А и В, заданные экспертом (в данном случае студентом).
Пусть они имеют вид
А = 0,3/5 + 0,8/6 + 1/7 + 0,7/8, В = 0,7/9 + 1/10 + 0,6/11 + 0,8/12.
Сумма а + b также будет нечетким множеством, носитель которого
состоит из всевозможных сумм чисел, входящих в несущие множества
Ua = {5, 6, 7, 8} и Ub = {9, 10, И, 12}: Ua+b = {5+9,5 + 10,..., 8 + 12} = {14,
15, 16, 17, 18, 19, 20}. Встает вопрос: как по известным функциям при-
надлежностей anb найти функцию принадлежности а + Ь?
Применим следующий подход. Каждой паре слагаемых (a,, bj) по-
ставим в соответствие минимальное из чисел и р^: = min (цш,
ц), а затем объединим полученные одноточечные нечеткие множества
Цш+ty /(ai + bj) по правилу логической Г-конормы. Эти действия удоб-
но оформить в виде таблицы, в клетке (i, j) которой, т. е. в клетке,
стоящей на пересечении г-й строки и j-ro столбца, записано одното-
чечное множество ц /(af + Л) = min(p,fl ) /(а. + &, ):
/а
Щ, / bj 0,3/5 0,8/6 1/7 0,7/8
0,7/9 0,3/14 0,7/15 0,7/16 0,7/17
1/10 0,3/15 0,8/16 1/17 0,7/18
0,6/11 0,3/16 06/17 0,6/18 0,7/19
0,8/12 0,3/17 0,8/18 0,8/19 0,7/20
2.1. Определение нечеткого числа
61
Далее клетки, в которых а, + имеют равное значение, например
такие, как выделенные полужирным шрифтом, объединим одното-
чечные множества, попавшие в клетки с одинаковой раскраской.
Получим
а + b = 0,3 /14 + тах(0,3; 0,7) /15 +
+ тах(0,7; 0,8; 0,3) /16 + тах(0,7; 0,6; 0,3) /17 +
+ тах(0,7; 0,6; 0,8) /18+ тах(0,7; 0,8) /19 + 0,7 / 20 =
= 0,3/14 + 0,7/15 + 0,8/16 +1/17 + 0,8/18 + 0,8/19 + 0,7/20.
В рассмотренной задаче нечеткие числа были натуральными.
Обобщим понятие нечеткого числа на множество всех действитель-
ных чисел.
Определение 2.1. Нечетким числом а называют нечеткое под-
множество А множества действительных чисел 7?.
Множество R является универсальным множеством, его проме-
жуток [6Zb а2] (отрезок или интервал) — носителем множества Л, на
R задана функция принадлежности нечеткого числа цЛ(х)
(х е R,fxa(x) е [0,1]), принимающая над (6Zt, я2) положительные зна-
чения, а в остальных точках числовой оси равная нулю. Множество
всех функций, принимающих значения на отрезке [0,1], будем обо-
значать символом 3(/?).
Таким образом, множество нечетких чисел — это пара (7?,3 (/?)),
где 3(7?) — множество всех отображений (функций) множества R
в отрезок [0,1].
Определение 2.2. Нечеткое число а называют нормальным не-
четким числом, если шах цл(х) = 1.
xeR
Определение 2.3. Нечеткое число а называют унимодальным
нечетким числом, если ца(х) достигает своего наибольшего значе-
ния либо в единственной точке числовой оси, либо на непрерывном
подмножестве числовой оси.
Определение 2.4. Нечеткое число а называют выпуклым нечет-
ким числом, если для любых действительных чисел х, у и z из нера-
венства х < у < z следует неравенство ца(г/) > min (ра(х), pa(z)).
С нечеткими числами можно выполнять те же операции, что и с обыч-
ными числами:
1) сравнение;
2) сложение, вычитание;
3) умножение, деление.
62
2. Нечеткие числа
Желательно также, чтобы над множеством нечетких чисел были
определены основные элементарные функции: степенные, логариф-
мические, тригонометрические и т. п.
2.2. Алгебраические операции
над нечеткими числами
Пусть даны два нечетких числа, а и 6, представляющие собой нечет-
кие множества: А = {Ua, pfl(x), хе Ua} и В = {Ub, ЦЛ(х), х е Ub}, где Ua с
с R, Ub с R — носители множеств А и В. При выполнении операций
над числами всегда будем пользоваться логическими Г-нормой и Т-ко-
нормой:
Л(г), цв(х))/х, AuB = f тах(цА(х), цБ(х))/х.
R R
Дадим определения арифметических операций над числами а и Ь.
Определение 2.5. Суммой (разностью) нечетких чисел а и b
называют нечеткое множество а ± b = J* min(pa(x), р,ь(у)) / и.
и—х±у
Определение 2.6. Произведением нечетких чисел а и b называ-
ют нечеткое множество a b= J* min(pfl(x), pA(z/)) / и .
и=х-у
Определение 2.7. Частным нечетких чисел а и b называют не-
четкое множество а: b = J min(pa(x), [ib(y))/и.
«=х:у(у^0)
Порядок выполнения каждой из этих четырех операций доста-
точно прост: найти одноточечные нечеткие множества:
min(pa(a.), p6(Z0/(a:. *, а затем объединить их. (Символом «*»
обозначена любая из четырех арифметических операций.) Однако
практическое выполнение этих действий в общем случае оказывает-
ся столь сложным, что приходится резко ограничивать класс функ-
ций принадлежности для того, чтобы применять нечеткие числа в ма-
тематических моделях.
Сравнение нечетких чисел в общем случае также оказывается
трудно выполнимым. Отношения «больше», «меньше», «равно» во
множестве нечетких чисел определяются через операции нечеткий
максимум и нечеткий минимум.
2.2. Алгебраические операции над нечеткими числами 63
Определение 2.8. Нечеткое число с называют нечетким мак-
симумом с = max (я,6) чисел а и Ь, если функция принадлеж-
ности цс(2) этого числа удовлетворяет равенству pc(z) =
= =пиху)(тт(ив(х),ц»(г/))] (х,у е R).
Определение 2.9. Нечеткое число с называют нечетким мини-
мумом с = min (a,b) чисел а и Л, если функция принадлеж-
ности цс(2) этого числа удовлетворяет равенству pc(z) =
= {х,у е R).
Определение 2.10. Нечеткое число а не больше числа b (а < Ь),
если а есть нечеткий минимум чисел а и b\ а = min {а + Ь).
Определение 2.11. Нечеткое число b не меньше числа а (Ь > а),
если b есть нечеткий максимум чисел а и b: b = max (а, Ъ).
Рассмотрим пример нахождения нечеткого максимума для чисел
а = {примерно 7} и b = [примерно 10} и если А = 0,3/5 + 1/7 + 0,7/8
и В = 0,7/9 + 1/10 + 0,6/11 + 0,8/12. Согласно определению 2.8,
нечеткое число с является нечетким максимумом чисел а и Ь, если
функция принадлежности цс(2) этого числа удовлетворяет равенству
pc(z) = max ^min(pa(x), (x,y e R) . Поскольку в данном
примере носителями нечетких множеств А и В являются множества
Uа = {5, 7, 8} и UB ~ {9, 10, И, 12}, соответственно нечеткое число
тах(я, Ь) представляет собой нечеткое множество
4/3
тах(я, Ь)= У^тах У^(тт(ц., р.)/тах(ар Л) .
Используя эту формулу, оформим решение в виде табл. 2.1.
Таким образом, шах(я, Ь) = 0,7/9 + 1/10 + 0,6/11 + 0,8/12=6,
следовательно, b > а.
С помощью аналогичной таблицы легко получить
тах(я, Ь) = 0,3/5 + 1/7 + 0,7/8 = а.
Следовательно, а<Ь.
Свойства операций над нечеткими числами значительно отлича-
ются от свойств операций над обычными числами. Сложение и ум-
ножение нечетких чисел обладают свойствами коммутативности и ас-
социативности, но дистрибутивность, свойство нуля, свойство едини-
цы, а также антисимметричность неравенства могут быть нарушены.
Таблица 2.1. Алгоритм нахождения нечеткого максимума
мА М.А max(a, b) = = ]Tmax ^(min(M.;, ц;)/тах(а,., Z>y)l j=l =! J
0,3/5 1/7 0,7/8
i = 1 i = 2 i = 3
0,7/9 min(0,3; 0,7) / max(5;9) = = 0,3/9 min(l; 0,7) / max(7; 9) = = 0,7/9 min(0,7; 0,7) / max(8;9) = 0,7/9 max (0,3; 0,7; 0,7) / max (9; 9; 9) = = 0,7/9
1/10 min(0,3; 1) / max(5; 10) = = 0,3/10 min(l; 1) / max(7; 10) = = 1/10 min(0,7; 1) / max(8;10) = 0,7/10 max (0,3; 1; 0,7) / max(10; 10; 10) = = 1/10
0,6/11 min(0,3; 0,6) / max(5; 11) = = 0,3/11 min(l;0,6) / max(7; 11) = = 0,6/11 min (0,7; 0,6) / max(8; 11) = 0,6/11 max (03; 0,6; 0,6) / max (11; 11; 11) = = 0,6/11
0,8/12 min (0,3; 8) / max(5; 12) = = 0,3/12 min(l; 0,8) / max(7; 12) = = 0,8/12 min(0,7; 0,8) / max(8;12) = 0,7/12 max (0,3; 0,8; 0,7) / max (12; 12; 12) = >4 = 0,8/12
2.2. Алгебраические операции над нечеткими числами
65
Существуют нечеткие числа, для которых справедливы утвер-
ждения:
1) а(Ь + с)=* а-Ь + а с;
2) а + (-а)*0;
3) а-^1;
а
4) если а > b, то не всегда Ь<а.
Нарушение обычных свойств операций над числами делает вы-
полнение арифметических действий над нечеткими числами с не-
прерывными носителями и сравнение таких чисел довольно трудной
задачей. Рассмотрим правила выполнения алгебраических операций
над классом нечетких чисел, в который входят нормальные, унимо-
дальные нечеткие числа, выпуклые слева и справа от точки макси-
мума функции принадлежности.
Рассмотрим пример выполнения операций над числами этого
класса. Пусть а = {примерно 1} иЬ = {примерно 10},
л с х-4 / , г 9-х .
Л= J — /х + J — /х,
хе(4. 7] хе(7, 9)
D р х-6 , , г 15-х .
в= J J т/:’-
х€[6,10] хе(10, 15]
Графики функций принадлежности нечетких чисел а и b изобра-
жены на рис. 2.1.
Носителями нечетких чисел а и b являются отрезки: Ua = [4, 9],
^=[6,15].
Пусть множеством a-уровня числа а является отрезок [av а?\
(4 < av а2 < 9 ). Это означает, что для любого х(х g [av а2]} выпол-
няется неравенство pfl(x) > а. Числа и а2 найдем, решив уравнения:
z ч х-4 z ч 9-х
Мх) = ~т~ = а’ Мх) = ~т~ = а-
О
X = at = ц-1 (а), х = а2 = (а),
= 4 + За, а2 = 9 - 2а,
х — 4
где ц1Л(х) =------функция принадлежности числа а на интер-
3
9 — х
вале ее возрастания х е [4, 7], ц1о(х) = —--функция принад-
лежности числа а на интервале убывания х е [7,9].
66
2. Нечеткие числа
ИХ*)*
Рис. 2.1. График функции принадлежности нечеткого числа:
а — а = J а /[4 4- За, 9 - 2а] и множества уровня у“]
ае[0,1]
(а = 0, 0,2, 0,4, 0,6, 0,8, 1) этого числа;
6 — b = J а/[6 +4а, 15-5а] и множества уровня
ае[0,1]
(а — 0, 0,2, 0,4, 0,6, 0,8, 1) этого числа z
Обозначим \1и(х) = у{ и р[а(х) = у2 и разрешим равенства от-
носительно х. В результате получим функции .
НмОб) = х, = 4 + Зг/j и Ц^(г/2) = х2 = 9 - 2у2,
х — 4
обратные функциям =------------ и ц1а(х) =
3
9-х
2
Интервал
К > «21 = [Нм <“)> Нм (а)] = [4 + За, 9 - 2а]
является множеством a-уровня числа а, поскольку для всех х этого
интервала выполняется неравенство
ца(х)>а (хе [4 + За,9-2а]).
2.2. Алгебраические операции над нечеткими числами
67
Разложение числа а по множествам ос-уровня имеет вид
а= J* а/[цТо1(а),ц“1(а)] = J* а/[4 +За, 9-2а].
ае[0,1] ае[0,1]
Напомним, что символ J* а/[ц^(а), ц^(а)] означает объедине-
ае[0,1]
ние всех нечетких множеств, носителями которых являются интер-
валы вида [p^(oc),H7a(a)L а Функция принадлежности на каждом
из этих интервалов принимает значение а. - "
Выполнив аналогичные преобразования, получим разложение по
множествам a-уровня числа Ь:
b= J" а/[ц^,(а),ц^)1(а)] = J* а/[6 +4а, 15-5а].
ае[0,1] ае[0,1]
Обозначим р.-1 (а) = 8“, ц"1 (а) = 8“, ц’1 (а) = у“, ц’/ (а) = у“ ;
х е[8“,У“]^ х = ха; х€[8“,у“]=>х = уа.
Разложение по множествам a-уровням нечетких чисел а и b по-
казано на рис. 2.1.
Учитывая простейшие свойства числовых неравенств, получаем
множества а-уровня:
1) для суммы: ’'• « > • • - * 1
; ,, ? ;..м
8“ <ха <у“ " ‘ ?
5^ <Уа < У? =>a/(a + b) = а/[8аа +8аь,Га + Y“]!
8:+8“<хо+уо<у:+У“ .... ,
2) разности: ,. <• .' / ' \ ’
з:<ха<у“ .
-Гь<-Уа<-^ь " " ^а/(а-3) = а/[5в“-Т?>у:-5П;
Ьаа-Гь<ха-уа<Га-Гь
3) произведения: . . , < * - - . . • < t
О < 8“ < ха < I
о < 5“ < г/а < у“ =ф а/(а-Ь) = а/[6? • 8“,у? • у“]
Ьаа-8аь<ха.уа<Га-Гь
(8:>0, 8“ >0);
68
2. Нечеткие числа
4) частного:
(8“>0, 8“ >0);
5) для максимума и минимума:
тах(8“, 8“) < тах(х„, уа) < тах(у“, у“)
=>а/тах(а, Ь) = а/[тах(8“, 8£),(тах(у“, у“)];
min(8“, 8“) < min(x„, уа) < min(y“, у“)
=> a/min(a, b) = a/[min(8“, 8“),(y“, y“)]-
Выполним все арифметические действия над числами а и b из
приведенного выше примера:
5“ =44-За; у“=9-2а; 5“=6 + 4а, у“ = 15-5а;
a + b = J a/[4 + 3a+6+4a,9-2a + 15-5a]= J а/[10 + 7а,24-7а];
ае[0,1] <хе{0,1]
a-b = J a/[4 + 3a-15+5a, 9-2а-6-4а]= J а/[-11+8ос, 3-6а];
ае[0,1] осе[0,1]
ab= f а/[(4 + За)(6 + 4а),(9-2а)(15-5а)] =
а€(0Д1
= f а /[24 + 34а + 12а2, 135 - 75а + 10а2];
ае[0,1]
а _ г
h J
° ае[0,1]
4 4-За 9-2а
15 - 5а ’ 6 + 4а
тах(я, Ь)= (а /[тах(4 4- За, 6 4- 4а), тах(9 - 2а, 15 - 5а)] =
ае(0Д]
= J а /[6 4- 4а, 15 - 5а] = 6;
ае[0,1]
2.2. Алгебраические операции над нечеткими числами
69
min(a, b) = J a /[min(4 + За, 6 + 4а), min(9 - 2а, 15 - 5а)] =
а€[0,1)
= J а /[4 + За, 9 - 2а] = а,
ае(0,1]
Составим таблицу множеств уровня нечетких чисел а и b для ае
е {0; 0,2; 0,4; 0,6; 0,8; 1} (табл. 2.2).
Таблица 2.2. Множества уровней нечетких чисел а и b
a 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1
fxa va । а+Ь {10, 24} [11,4; 22,6] [12,8;21,2] [14,2; 19,8] [15,6:18,4] {17}
Га-Ь [-11, 3] [-9,4; 1,8] [-7,8; 0,6] [-6,2;-0,6] [-4,6;-1,8] {-3}
la:.-?:; [24, 135] [31,28,120,4] [39,52; 106,6] (48,72; 93,6] [58,88; 81,4] {70}
Q0 о| а R о|а R [_4 -1 115’ б] [4,4 8,61 ~ [14 ’бЛр «[0,31; 1,26] [5,2 8,21 [13’7,б)~ «[0,4; 1,08] [5,8 7.81 112 ’8,41 ~ «[0,48; 0,93] [м и] [и ’э,2]~ «[0,58;0,78] {0,7}
По данным, приведенным в табл. 2.2, построим графики функций
принадлежности суммы, разности, произведения и частного этих
нечетких чисел (рис. 2.2).
При разложении по множествам a-уровня нечетких чисел вы-
числялись значения функций, обратных функциям принадлежности
на интервалах возрастания и убывания: а~ J a/[|i^(a),g^(а)].
а€[0Д]
Напомним, что однозначная обратная функция f\y) существует
на промежутке [xt, х2], если функция/(х) непрерывна и монотонна
на этом промежутке. Вот почему из множества всех нечетких чи-
сел был выделен класс нормальных, унимодальных нечетких чисел,
выпуклых слева и справа от точки максимума функции
принадлежности.
Пусть
1) а = f^a(x)/x, b = fnb(x)/x;
V. иь
2) Ha(«o) = l нД) = 1 (60е^);
70
2. Нечеткие числа
Рис. 2.2. График функций принадлежности: а — суммы нечетких чисел а и Ь;
б — разности нечетких чисел а и Ь; в — произведения нечетких чисел а и Ь;
г — частного нечетких чисел а и b
3) Цв(х) = М*)> хе(-оо,а0], ц6(х) = цт6(х), хе(-ооД] -
функции принадлежности чисел а и b возрастают (не убывают)
на интервалах (—оо,а0] и (—оо,А0];
4) Ца(х) = р|а(х), х€[а0,оо), щ(х) = ц16(х), xe[bQJoo) -
функции принадлежности чисел а и b убывают (не возрастают)
на интервалах [я0,ос) и [Л0,оо).
Тогда правила выполнения арифметических операций над нечет-
кими числами определяются следующими формулами:
(a + b)= f а/[8:+5:,у:+у“], (2.1)
ас[0,1]
(a-b)= f а/[5:-у?,у:-8“], (2.2)
<хе[0,1]
(a-b)= f а/[8“-8“,у“ у“] (8?>0, 8“>0), (2.3)
ас[0,1]
2.2. Алгебраические операции над нечеткими числами
71
(8:>0, 8“>0),
max(a,Z>) = J а/[тах(8“,8“),тах(у“, у“>],
ае[0,1]
min(a, b)= f а /[min(8“, 8“ ), min(y“, у“ )],
ае[0,1]
(2.4)
(2.5)
(2-6)
где 8“ = ц-‘(а), 8“ = ц^(а), уаа = ^‘(а), у“ = ц[6‘(а).
Рассмотрим вопрос о равенстве и нечетком равенстве нечетких
чисел. Числа а = {Ua,yLa(x)(x eUa)} и b = {Ub,^b(x)(x eUb)} равны
друг другу, если Ua = Ub и при любом х выполняется равенство ца(х) =
= щ(х). В теории нечетких множеств закономерен также вопрос о
нечетком или приближенном равенстве нечетких чисел, который
решается с использованием понятия обычного множества, ближай-
шего к данному нечеткому множеству. Напомним, что обычным
множеством, ближайшим к нечеткому множеству а = {Ua, ца(х)(х е
е Ua)}, называют множество Ао, характеристическая функция кото-
рого имеет вид
»Ч(*) =
о,
1,
или 1,
если ца(х)<0,5;
если ца(х)>0,5;
если цд(х) = 0,5.
Отметим, что при вычислении индексов нечеткости (см. подраз-
дел 1.5) такое определение множества Ао вполне удовлетворительно,
поскольку индексы нечеткости определяются разностями вида
I Нл(х) - Цло(х) I или (|1л(х) " Шо(х))2> которые имеют значение 0,5
или 0,52 при цл(х) = 0,5 независимо от того, какое из двух возмож-
ных значений, цл(х) = 0 или цл(х) = 1, выбрано. Однако при реше-
нии вопроса о нечетком равенстве необходимо выбрать какой-то
определенный вариант. Примем
0, если щ < 0,5;
1, если > 0,5.
Очевидно, что для каждого нечеткого числа существует единст-
венный промежуток числовой оси, ближайший к нему. Но любой
интервал или отрезок числовой оси является ближайшим множест-
вом для различных нечетких чисел (рис. 2.3).
72
2. Нечеткие числа
Рис. 2.3. Приближенно равные нечеткие числа: а « Ъ « с
На рисунке носителем каждого из чисел а, & и с является отрезок
[хь х2]. Отрезок [а19 а2] — обычное множество, ближайшее к каждо-
му из этих нечетких чисел.
Определение 2.12. Нечеткие числа а = {Ua, ца(х)(х е Ua)} и b =
— {Ub, цй(х)(х е Ub)} называют приближенно равными, если aQ =
[«1, а2] — обычное множество, ближайшее как к а, так и к Ь.
Отметим, что если принять
М*>=
О, если |ifl < 0,5;
1, если > 0,5.
то результат сравнения нечетких чисел может оказаться другим, чем
при первоначальном выборе (рис. 2.4).
Рис. 2.4. Зависимость приближенного равенства нечетких чисел а и b от выбора
обычного множества, ближайшего к этим числам
2.2. Алгебраические операции над нечеткими числами
73
Так, если в качестве обычного множества, ближайшего к &, вы-
брать множество с функцией принадлежности
О, если
1, если
н» < 0,5;
> 0,5,
то ца0 = Рй01 и а « Если же выбрать
=
0, если < 0,5;
1, если
Ш > 0,5,
то цао = И*1, Цао * Р-42 и приближенного равенства нет.
Для построения моделей, в которых используются нечеткие чис-
ла, достаточно знать такие характеристики функций принадлежно-
сти этих чисел, которые позволяют отнести число к определенному
классу приближенно равных чисел. Это очень облегчает оперирова-
ние с нечеткими числами. Так, большую роль в моделировании иг-
рают числа (L-R)-типа и 5-типа.
Определение 2.13. Нечеткое число а называют числом (L-R)-
типа, если оно является нормальным унимодальным множеством,
функция принадлежности которого имеет вид
ш(*) =
Т (а - х)
L ------ , если х < а;
I a J
если х>а,
(2.7)
причем функции L(t) и R(t) обладают следующими свойствами:
2) £(0) =/?(0) = 1,
(2.8)
(2.9)
3) L
неубывающая функция слева от точки х = а, (2.10)
4) R
х — а
.“Г,
невозрастающая функция справа от точки х = а. (2.И)
Любое число (L - /?}-типа определяется тройкой параметров А =
— {а, а, Р), где а — мода числа, т. е. действительное число, достав-
74
2. Нечеткие числа
ляющее функции принадлежности максимум, равный единице: ]1л(а) =
= 1;аир(а>0, Р>0) — левый и правый коэффициенты нечетко-
сти, задаваемые экспертом.
Пусть Alr = (а, а, р), BLR = (i, у, 3) арифметические действия
для чисел (L - 7?)-типа выполняются по следующим правилам:
1) сложения:
(а, а, 0)£Д + (Ь, у, 8)£Д = (а + Ь, а + у, 0 + 6)£Д; (2.12)
2) вычитания (при условии (а, а, Р)1Д = (—а, Р, a)LR ):
(а, а, 0)£Д - (6, у, 8)£Д = {а - Ь, а + 5, 0 + у)£Д; (2.13)
3) умножения (при условии а > О, b > 0):
(а, а, 0)£Д (Ь, у, 3)£Д «(a-Z>, ay + ба, а-8 + 6-0)£Д; (2.14)
4) умножения (при условии а < 0, b > 0):
(а,а,0)£д (8,у,8)£Д »(a-Z>, З а-а-8, й-0-а у)£д; (2.15)
5) умножения (при условии а < 0, b < 0 ):
(а, а, 0)£Д • (Ь, у, 6)LJt « (а Ь, (-Ь 0 - а • 8), (-8 • а - а • у))£Д ;(2.16)
6) нахождения обратного нечеткого числа (при условии х > 0,
а>0):
(а, а, 0)1 =(-> 4- 41 : <2-17)
(а а а )£Д
7) деления (при условии х > 0, а > 0, b > 0 ):
/ //I (а а-Ь + Ь а а у + А-01 ,„.о.
(а, а, 0)£Д / (Ь, у, 8)£Д «-----2----, —-Ej • (2.18)
Рассмотрим пример вычислений по формулам (2.12) — (2.18).
Пусть а = {примерно 7} и b = {примерно 10} — нечеткие числа
с функциями принадлежности
X — i , __ tttjt А 1 • х-6 С/ /лл АЛТТТЛ Г\ V* 111*
, ССЛИ *± Л , 3 ~ и,.= , ССЛИ V Л 1и, 4 15-х ... л/-» ттм 111 IS*
, CUJ1И / \ Л 17, 12 , если IV Л 5
(см. рис. 2.1).
2.2. Алгебраические операции над нечеткими числами
75
Покажем, что числа а и b являются нечеткими числами (Z - /?)-
типа.
Рассмотрим число а. Очевидно, что
цл(х) =
если х < а;
если х > а,
если х < 7 ;
если х > 7, причем а = 7, а = 3,
Р = 2.
Легко проверить, что функции £л и RA удовлетворяют свойствам
(2.8) — (2.11) в определении 2.13:
2) £(0) = 1 - 0 = 1, а Я(0) =1-0=1;
3) 1А
-------неубывающая функция слева от точки х = 7,
что легко проверить, найдя ее производную: L'A =
— >0;
3
(х —4)
I 3 J
4) Ra
а-х
~г.
невозрастающая функция справа от точки х =
9 — х
2
= а, что также легко проверяется с помощью производной.
Итак, число а = {примерно 7} является числом (L - 7?)-типа, при-
чем А = (а, а, р) = (7, 3, 2).
По аналогии легко показать, что и число b = {примерно 10} также
является числом (L - 7?)-типа:
76
2. Нечеткие числа
Ив 00 ~
если х < Ь\
если х > Ь,
причем
а следовательно, b = 10, у = 4, 8 = 5; В = (й, у, 8) = (10, 4, 5).,
Выполним над числами а и b арифметические операции по фор-
мулам (2.12), (2.13), (2.14) и (2.18) (см. рис. 2.2):
1) сложение (7, 3, 2) + (10, 4, 5) = (17, 7, 7);
2) вычитание (7, 3, 2) - (10, 4, 5) = (-3, 8, 6);
3) умножение (7, 3, 2) • (10, 4, 5) « (7 • 10, 7 • 4, + 10 • 3,7 • 5 +
н- 10 2) = (70, 58, 55);
4) деление
(7, 3, 2)-г-(10, 4, 5)»(— ,7'5 + 10'3,7 4±10'2] = (0,7; 0,65; 0,48).
v v 7 Ц0 102 102 )
Наиболее часто используются так называемые треугольные
и трапезоидные нечеткие числа. Их функции принадлежности
имеют вид
Нл(“)=
0,
а\ “ аъ
1,
aR “ а2
о,
при
u<aL
при aL < и < «р
при ах<и<а2,
при а2 < и < aR;
при
(2.19)
Нечеткие числа (L - /?)-типа, имеющие функции принадлежно-
сти вида (2.19), называются трапезоидными (трапециевидными, тра-
пецеидальными), если ах < а2, и треугольными, если а{ — а2 = а.
Графики функций принадлежности трапезоидных и треугольных
чисел приведены на рис. 2.5. -
2.2. Алгебраические операции над нечеткими числами
Рис. 2.5. График функции принадлежности:
а — трапезоидного нечеткого числа; б — треугольного нечеткого числа
С помощью трапезоидных чисел можно кодировать следующие
выражения естественного языка: «число лежит в диапазоне пример-
но от aL до аЛ». При этом ребра трапеции обеспечивают формализа-
цию понятия «примерно», а их наклон выражает степень «пример-
ности». Кроме того, с помощью трапезоидных чисел можно кодиро-
вать и следующую качественную характеристику некоторого пара-
метра: среднее значение параметра примерно от aL до aR.
Треугольные нечеткие числа формализуют выражения типа
«число приблизительно равно а». Именно треугольные числа наи-
более часто используются при решении экономических задач, при-
чем чаще всего в качестве прогнозных значений измеряемого пара-
метра.
78
2. Нечеткие числа
2.3. Принцип обобщения
Принцип обобщения для нечетких множеств, в частности для нечет-
ких чисел, представляет собой, в сущности, основное равенство, по-
зволяющее расширить область определения U отображения или от-
ношения, включив в нее наряду с точками (числовой оси) нечеткие
подмножества множества U [2].
Пусть, к примеру, на универсальном множестве U = {1, 2,..., 10}
задано нечеткое число а = 1/1 + 1/2 + 0,8/3 + 0,6/4 = 0,4/5. Тогда
нечеткое число а2 = 1/1 + 1/4 + 0,8/9 + 0,6/16 + 0,4/25. Связь между
множествами а и а2 есть отображение множества Ua = {1, 2, 3, 4, 5} во
множество f(U) = {1, 4, 9, 16, 25}, причем f(u) = и2, а ра(/(«)) =
= Ца(м) для любого и {и g Ufl).
Пусть f — отображение U —> V. Дадим формулировку прин-
ципа обобщения для дискретных и непрерывных носителей:
1) А = pj / их + ц2 / и2 +... + / ип — нечеткое подмножество (не-
четкое число) с дискретным носителем. Тогда
/М) = /(Ml /«1 + М-2 /«2 + ••• + /ип) =
= Hi / /(«1) + Ш / /(«2) + - + Ш / /(«.); (2.20)
2) А = J ЦА(и)/и — нечеткое подмножество (нечеткое число) с не-
и
прерывным носителем. Тогда
/М) = / /ил(и)/и =fvA(u)/f(u)-
(2.21)
Во многих случаях удобно применять принцип обобщения, ис-
пользуя разложение множества А по множествам а-уровня:
А= f a/Aa^f(A) = f( f а/А)= f а//(А), (2.22)
ае[0,1] а€[0,1] <хе[0,1]
А = £а/А =Ф/(Л) = /(^а/А) = £а//(А). (2.23)
Рассмотрим пример использования принципа обобщения.
Пример. Пусть множество 17 = [1, 10] отображается во множест-
во V = [0, 1] по закону v = Igu. Множество U является носителем
2.3. Принцип обобщения
79
нечеткого множества А = J —--------/ и. Найдем образ множества А
и 9
при данном отображении. Для этого разложим множество А по a-уров-
ням:
А= f a/A-
ае[0,1]
где Аа~ отрезки числовой оси, над которыми выполняется неравен-
z ч u-i .
ство jx(zz) = - - > а.
Разрешая это неравенство относительно и и учитывая, что и е [1, 10],
получаем 9a + 1 < и < 10, т. е. Ла = [9a + 1, 10].
Найдем образ множества А при отображении v = Igu. Общая
формула, согласно принципу обобщения, имеет вид
lg/= f a/lg4= f a/[lg(9a + l), lgl0] = J a/[o,l].
acfO.l] a€[0,l] aelO.l]
r=Ig(9a+l)
10* -1
Из равенства v = lg(9a +1) получаем a =---------, v е [0, 1].
9
Таким образом, lgX= / ---------------/v является нечетким множе-
ое[0,1] 9
ством, носителем которого служит отрезок V = [0, 1], а функцией
Рис. 2.6. Функция принадлежности: a — цл(м) ; б — P|gА (0
Построим по точкам графики функций принадлежности Цл(а)
(и е [1, 10]) и plg^ (v G [0, 1]) (рис. 2.6). Для этого запишем табли-
цу значений данных функций:
80
2. Нечеткие числа
и 1 — — — 10
/ \ W-1 М«) = -9- 0 — — — 1
V 0 0,25 0,5 0,75 1
/х 10"-1 Higx(0 = 9 0 0,09 0,24 0,51 1
Контрольные вопросы
1. Сформулируйте понятие нечеткого числа.
2. Какие нечеткие числа называют нормальными, унимодальными
и выпуклыми? Сравните определения с соответствующими опре-
делениями нечетких множеств. В чем различие? Сходство?
3. Дайте определения алгебраических операций над нечеткими чис-
лами.
4. Что называют нечетким минимумом и максимумом нечетких чи-
сел? Как сравнить два нечетких числа?
5. Перечислите свойства операций над нечеткими числами, которые
в некоторых случаях нарушаются или выполняются всегда.
6. Как определяются отношения «равенство» и «нечеткое равенст-
во» для нечетких чисел? Какие нечеткие числа называют при-
ближенно равными? В чем различие понятий равенства для
обычных и нечетких чисел?
7. Дайте определение нечетких чисел (£-Я)-типа.
8. Приведите пример треугольных и трапециевидных чисел.
9. Сформулируйте принцип обобщения для нечетких множеств.
Охарактеризуйте границы его применимости и практическую
значимость.
Задания для самостоятельной
работы
1. Даны нечеткие числа: а = «немного больше 3» и b = «примерно 3»,
если А = 1/4 + 0,5/5 + 0,2/6 и В = 0,3/1 + 0,8/2 + 1/3 + 0,8/4 +
+ 0,3/5.
Заданиядлясамостоятельнойработы
81
Выполнить арифметические операции и сравнить нечеткие числа
с дискретными носителями.
2. Пусть U = {0, 1, 2..., 25} является носителем следующих нечетких
чисел:
а = «в городе N проезд на метро стоит приблизительно 8 руб.»;
b = «проезд на маршрутке в этом городе стоит не менее 15 руб.»;
с = «мне надо проехать на метро раз пять»;
d = «мне надо проехать на маршрутке по крайней мере раза
три».
Требуется:
1) выступая в роли эксперта, запишите нечеткие числа а, Ь, си d
в форме объединения точечных нечетких множеств;
2) найти х = «примерная сумма расходов на транспорт в горо-
де N»;
3) разложить нечеткие числа a, i, с, d и х по множествам
a-уровня, если а е {0; 0,2; 0,4; 0,6; 0,8; 1};
4) построить графики функций принадлежности чисел a, b,c,d^ х.
3. Пусть а = «немного больше 3» и b = «примерно 5», причем
A. f^+
х€(3,6] хб[3,5] xg(5,7J
Требуется:
1) разложить нечеткие числа а и b по множествам a-уровня, ес-
ли а е {0; 0,2; 0,4; 0,6; 0,8; 1};
2) построить график функций принадлежности этих чисел, ис-
пользуя полученные разложения;
3) записать функции принадлежности и построить их графики
для чисел а + Ь, а - />, а • Z>, а : Ь\
4) сравнить числа а и Ь.
4. Доказать, что нечеткие числа а и b являются числами (£-Л)-типа,
если
. г х , г 6-х , п г х-3 . г 10-х ,
А = J 7/Х+ J ~Г/х;В= J ~1~/X+ J ~~5~/х-
хе[0,4] хе(4,6] х€[3,5] хе(5,10]
Выполнить над а и b все арифметические операции и сравнить
эти числа.
82
2. Нечеткие числа
5. Множество U — [-1, 1] является носителем нечеткого множества
А = Г -—— / и. Множество U отображается во множество V =
“ . I
= [0,11.
Применяя принцип обобщения, найдите образы следующих не-
четких множеств:
1) Д = 1 —А2;
2) Д = 2й’1;
3) A, =sin^4.
Постройте графики функций принадлежности множеств Aif Л2,
А3. '!
' । г h. . '
I
'• r
3. Нечеткие бинарные
отношения и соответствия
3.1. Бинарные отношения
Бинарные отношения1 на обычных множествах изучаются в курсе
дискретной математики. Напомним основные положения теории
бинарных отношений.
Пусть А — какое-либо множество, дискретное или непрерывное.
Определение 3.1. Декартовым квадратом множества А назы-
вают множество А2 всех пар элементов этого множества.
Например, декартов квадрат множества А = {а, Ь, с} — это мно-
жество всех пар элементов а, b и с:
А2 = {(а, а), (а, Ь), (а, с), (Ь, а), (Ь, Ь), (Ь ,с), (с, а), (с, Ь), (с, с)}.
Определение 3.2. Бинарным отношением на множестве А на-
зывают подмножество Г множества А2.
Например, для множества A ={а, b, с} Г ={(а, а), (а, с), (Ь, а),
(b, с)} С А2; Г — график бинарного отношения на множестве А.
Определение 3.3. Если Г С Л2 — бинарное отношение на мно-
жестве Ли (а, й) е Г, то элемент b (be А) называют образом эле-
мента а (а е А) в отношении Г, элемент а — прообразом эле-
мента b в отношении Г. Множество всех образов элемента а обра-
зует полный образ этого элемента, а множество всех прообразов
элемента b — полный прообраз b в отношении Г. Множество обра-
зов всех элементов А составляет полный образ множества А, а мно-
жество прообразов всех его элементов — полный прообраз множе-
ства А в отношении Г.
Поясним приведенные термины на примере отношения Г ={(а, а),
(а, с), (й, а), (Ь, с)} с А2 ( А = {а, й, с}), представив их в виде таблицы:
1 В современной литературе по алгебре понятия «бинарные отношения» и «би-
нарные соответствия» не разделяются. В данном пособии традиционное
разделение этих понятий оказалось удобным с методической точки зре-
ния*
84
3. Нечеткие бинарные отношения и соответствия
Термин Элементы множества А Полный образ множества А в отношении Г
а b с
Образ элемента множества А в отношении Г а с а с — {а, с}
Прообраз элемента множества А в отношении Г а b — а Ь {а, Ь}
Бинарное отношение может быть задано несколькими способами.
1. График бинарного отношения. Если множество А конечно, то
график Г — это список пар из множества А2, в которых элемен-
ты соединены отношением. Если А — это часть числовой оси
или вся ось, то график может быть представлен геометрически в си-
стеме координат.
2. Характеристическое свойство бинарного отношения.
Характеристическое свойство — свойство, определяющее
характер связи между элементами в парах. Для обозначения
характеристического свойства употребляется символ «р».
Например, apb: «а старше Ь» (на множестве людей), apb:
«а2 + Ь2 = 1» (на множестве чисел) и т. п.
3. . Граф бинарного отношения. Граф бинарного отношения — чер-
теж, состоящий из точек (вершин графа) и направленных отрез-
ков или дуг (ребер графа). Вершины графа соответствуют эле-
ментам множества А. Ребра графа соединяют элементы множе-
ства А с их образами. Пример графа бинарного отношения
Г ={(л, а),(а, а),(Ь, с)} на множестве А ={а, Ь, с} приведен
на рис. 3.1.
Рис. 3.1. Граф бинарного отношения Г ={(д, а),{а, с),(Ь, а),(Ь, с)}
на множестве А ={а, Ь, с}
4. Матрица бинарного отношения. Матрица Jr = (x#) бинарного
отношения Г на множестве А, содержащем п элементов, — это
3.1. Бинарные отношения
85
матрица порядка п, элементы которой х$ (i = 1, 2,..., n, j = 1, 2,
..., п) имеют следующие значения:
1, если (ара.)€Г
’ 0, если (а.,ау)£Г
(aitaj е А),
Так, матрица отношения Г, изображенного на рис. 3.1, имеет вид
1 0 f
1 0 1
ООО
/
5. Характеристическая функция. Характеристическая функция
ц,(х, у) бинарного отношения Г на множестве А — это функ-
ция от двух аргументов, х и у (х, у е А), такая, что
№,у) =
1, если (х,у)еГ‘,
О, если (х, у) Г.
Например, характеристическую функцию отношения Г (см. рис.
3.1) можно записать в виде таблицы:
Ц(а,а) ц(а,Л) g(a,c) V<b,b) Ц(М Ц(с,а) ц(с,с)
1 0 1 1 0 1 0 0 0
С точки зрения математической логики элементы матрицы би-
нарного отношения, так же как и значения характеристической
функции, являются значениями истинности высказываний
(ар ау)€Г. Например, характеристическую функцию в терминах
математической логики можно записать следующим образом:
истина,
ложь,
Ц(Х,1/) =
если (х, у)еГ;
если (х, у) Г.
Определение 3.4. Композицией бинарных отношений Tt и Г2,
заданных на множестве А, называют отношение Г = Г1 ° Г2 такое, что
Va(a е А), МЬ(Ъ е А): ((а, Ь) е Г о Вс(с е А): (а, с) е Г, Л (с, Ь) е Г2).
Пусть А —{а, h, с}. Отношения и Г2 заданы матрицами:
А
Л= 1
о
о 1)
0 1— (х^ )3х3, Jj
1 о
/
0 1 1'
о о 1 =(г/..);
1 0 0
р /3x3 ’
86
3. Нечеткие бинарные отношения и соответствия
Найдем композицию Г — Г\ о Г2. Для этого:
1) используя матрицы Jr и /г , запишем графики отношений
и Г2: Г\ = {(a, а), (а, с), (6, а), (6, с), (с, Ь)}, Г2 = {(а, 6), (а, с),
(Ь, с),(с, а)};
2) построим графы отношений Г\ и Г2 и объединим их (рис. 3.2);
Рис. 3.2. Графы отношений Г\ и Г2 и их объединение
ПРИМЕЧАНИЕ 1-----------------------------------------------
Графы rt и Г2 построены в виде двудольных графов, причем входы графа G
являются выходами графа Г2
ПРИМЕЧАНИЕ 2------------------------------------------------
Пути в объединении графов и Г2 ведут от элементов множества А к их
образам в отношении Г] и далее к образам в отношении Г2
3) выпишем все пути, ведущие от элементов а, b и с к их образам
в отношении Г, а также промежуточные элементы в этих путях,
посредством которых осуществляются связи в отношении Г. Ре-
зультат представим в виде табл. 3.1;
Таблица 3.1. Пути от элементов множества
Пути от элементов множе- ства А к их образам в отношении Г = о Г2 Элемент, осуществляющий опосредованную связь в композиции отношении Г, и Г2 Элементы графика отношения Г = Г]оГ2
а —> а —> b а (а,Ь)
а-+ с а (а, с)
3,1. Бинарные отношения
8У
Пути от элементов множе- ства Л к их образам в отношении Г = © Г2 Элемент, осуществляющий опосредованную связь в композиции отношений Г1 и Г2 Элементы графика отношения г = г1»г2
а —> с а С (а, с)
а-+ b а (b,b)
bа^> с а (Ь,с)
Ь^> а с (Ь,а)
с-^Ь-^с ь (с, с)
4) запишем график отношения Г = °Г2 ={(а, а), (а, 6), (а, с),
(Ь, Ь),(Ь, с),(Ь> а),(с, с)} и построим его граф (рис. 3.3).
Рис. 3.3. Граф композиции отношений Г = rt оГ2
Рассмотрим вопрос об отыскании элементов композиции отно-
шений с точки зрения математической логики. Например, высказы-
вание (а, а) е rt о Г2 является истинным, если истинна дизъюнкция
высказываний:
((а, а) е Г\ Л (а, а) е Г2 )v( (а, Ь) е Г, Л (Ь, а) е Г2) v
( (а, с) е rt Л (с, а) е Г2).
ПРИМЕЧАНИЕ----------------------------------------------------
Напомним, что знаками л и v в математической логике обозначаются
операции конъюнкции и дизъюнкции высказываний. Высказывание алЬ
истинно, если истинны оба высказывания, как а, так и Ь, высказывание avb
истинно, если истинно хотя бы одно из них. Конъюнкцию называют также
операцией «И», или логическим умножением, дизъюнкцию — операцией
«ИЛИ», или логическим сложением,
Истинность или ложность каждого простого высказывания, уча-
ствующего в этом сложном высказывании, соответствует единице
3. Нечеткие бинарные отношения и соответствия
или нулю в первой строке матрицы Jr и первом столбце матрицы
Л •
Например,
(а, а) € Г1 = = 1 => (а, а) е Г, — истина,
(а, а) е Г2 = у}[ — 0 => (а, а) G Г2 — ложь,
(а, а) е Г4 Л (а, Ь) € Г2 = хп Л ytl = xlt • i/n = mm(xn, г/п) =
= min(l, 0) = 0 => (a, a) G Г\ A (a, b) G Г2 — ложь.
Аналогично
(а, b) G Г\ Л (b, a) G Г2 = х12 Л y2i = х12 • y2i = min(x12, #21) =
= min(0, 0) = 0 => (a, b) G Г\ Л (b, a) G Г2 — ложь,
(а, с) G Л (с, a) G Г2 = х13 Л у„ = х13 • y3l = min(x13, г/п) =
= min(l, 1) = 1 => (а, с) G Г\ Л (с, a) G Г2 — истина.
Значение истинности высказывания (a, fl) G ° Г2 равно значе-
нию истинности дизъюнкции всех трех конъюнкций или, по-
другому, логической суммы трех произведений:
{a, a) G Л (а, Ь) G Г2 или (a, b) G Г\ Л (b, a) G Г2 или
(fl, с) G Tj Л (с, fl) G Г2 =
— Я“ц • У a + -^12 * 3^21 + х13 ‘ Уз1 “ C*TP Х12 ’
Ун
Х1зУ' Ун =
= max(min(xli; z/21),min(x13, y3i)) =
= max(0, 0, 1) = 1.
Следовательно, (a, a) G Tt ° Г2 — истина.
Чтобы проверить истинность утверждения (a, b) G Г\ о Г2, следу-
ет таким же способом выполнить умножение первой строки матри-
цы Jr на второй столбец матрицы /Гг:
У12
(х1Р х12, х13)‘ у22 — max(minx, #),min(x, z/),min(x, у)) =
32,
= max(min(l, l),min(0, 0),min(l, 0)) =
= max(l, 0, 0) = 1.
Следовательно, (a, b) G Tt о Г2 — истина.
3.1. Бинарные отношения 89
Умножая элементы i -й строки матрицы /г на соответствующие
элементы j -го столбца матрицы Jr2 и складывая полученные про-
изведения, находим элемент srj, стоящий на пересечении i -й строки
и j -го столбца матрицы U. Элемент s~ максиминного произведе-
ния матриц Jr и Jr2 равен 1, если соответствующая пара элемен-
тов множества А принадлежит композиции произведений о Г2,
и равен 0, если не принадлежит. Это означает, что матрица
/Г1 • Jr2 = J есть матрица отношения Г = Г\ о Г2.
ПРИМЕЧАНИЕ---------------------------------------------------
Умножение матриц отношений называют максиминным, так как операции
сложения и умножения выполняются по правилам максимума и минимума:
а + b = тах(а, Ь), a b = min(a, b).
Таким образом, чтобы получить матрицу Г композиции отноше-
ний U, надо перемножить матрицы Jr* и Jr2: J = • JY2. Прави-
ло умножения матриц бинарных отношений такое же, как и умно-
жения любых матриц п -го порядка:
где Г — элемент, стоящий на пересечении i -й строки и j -го столб-
ца матрицы J, х* и у^ — элементы матриц Jr и JV2 соответст-
венно. Однако под умножением здесь понимают нахождение мини-
мума, а под сложением — максимума:
=тах(шт(хй, ^)).
(3.1)
В рассматриваемом примере
J Jrt ’ Jr2
1
1
О
10+00+11
10+10+11
0-0 + 10 + 01
11+00+10
11+00+10
01+10+00
11 + 01 + 10'
11+01+11
01+11+00
1 1 1'
1 1 1
0 О 1
Матрица J = Jr • Jr2 выявляет так называемые опосредованные
связи, или опосредованные влияния. Например, как видно на рис. 3.2,
элемент b не влияет на элемент b ни в отношении Da С U2, ни
в отношении Г2, но в включена пара (Ь,а), а в Г2 — пара (а,Ь).
90
3. Нечеткие бинарные отношения и соответствия
Таким образом, опосредованно, через а, элемент b влияет на себя
в результирующем отношении (Ь, Ь) е Г = Г\ о Г2.
Введем для строк матриц Jr, Jv и Jr следующие обозначения:
а» = (ап> а»2’ агз) ~ *‘я строка матрицы Jr ;
Р> = (Ри > ₽;2> Р.з) - г’я строка матрицы Д;
Y, = (Y,i, Y»2’ Y<3) ~ г‘я строка матрицы Jr (г = 1, 2, 3) .
Тогда
Jr, = а2
«3
1
1
О
\
0 1 р, 0 1 1 Yi 1 1
0 1 + =р2 0 0 1 ’ Jr = Y2 1 1
1 0 7 Рз 1 0 0 / Y3 ° 0
1'
1
1
/
Сравнив строки матриц, можно обнаружить, что все элементы
(j = 1, 2, 3) первой строки матрицы Jr не меньше соответст-
вующих элементов aly, ЬХ] первых строк матриц Jr и Jv, т. е.
г' $11 > и
Sj2 ^12 Я $12 ^12J
$13 — й13 И $13 — ^13*
Кратко это можно записать так: yt > at и Yj > Pi. Аналогичные
неравенства справедливы и для вторых строк: у2 > а2 и у2 > р2.
Для третьих строк оба неравенства, у3 > а3 и у3 > Р3, ложны, так
как некоторые элементы этих строк в матрицах и Г2 больше со-
ответствующих элементов матрицы Г = о Г2. Неверны и обрат-
ные неравенства: а3 > у3 и Р3 > у3. Третья строка матрицы Jr не
сравнима с третьими строками матриц Jr и Jr^. Что касается мат-
риц Jr и Jp2, то ни одна из строк матрицы Jv не сравнима с со-
ответствующей строкой матрицы Jv.
Рассмотрим композицию отношений Г2 = Г2 о Г2. Найдем мат-
рицу этого отношения:
(1 О 11
(00 + 1 0 + 1-1 0 1 + 10 + 10
(О 1 11
— 001— (у~ )3х3,
1 о о
1 11 (0 1 1)
0 10 0 1
0 о] [1 о о
01 + 1-1 + 1-0)
1
о
00 + 0-0 + 1-1 0-1 + 0 0 + 1-0 0 1 + 0-1 + 1-0 = 1 о
1-0 + 0-0 + 0 1 1 1 + 0-0 + 0-0 1-1 + 0-1 + 0 0 0 1
/ \
1
о
1
/
3.1. Бинарные отношения
91
Ни одна из строк результирующей матрицы не сравнима ни с од-
ной из строк перемножаемых матриц. Опосредованные влияния, не
учтенные в /Г1ОГ2, обнаруживаются при сравнении матриц
и определяются элементами s1P s21, s32, $33 n: в матрице Jr элемен-
ты г/1Р г/21, у32, у33 равны 0, a s1P s2P s32, в матрице b равны 1.
Проанализируем выявленные путем сравнения матриц /Гг и а
опосредованные влияния:
$и =0-0 + 10+ 1-1 = 1
=> (((я, с) е Г2 Л (с, а) е Г2) - истина j (а, а) е Г2,
s21 = 10 + 00+11 = 1
=>«(/>, с) €Г2 Л (с, а) е Г2) — истина} =+ (Ь, а) е Г2,
s32 = 1-1 +0 • 0 + 0 • 0 = 1
=> (((с, а) е Г2 Л (я, Ь) е Г2) - истина} => (с, Ь) е Г2,
$33 = 1-1+01 + 0-0 = 1
=> (((с, а) е Г2 Л (а, с) е Г2) - истина} => (с, с) е Г2.
В каждой из сумм слагаемое, выделенное полужирным шриф-
том, — определяющее значение этой суммы. Выделенные слагаемые
соответствуют конъюнкциям высказываний о принадлежности оп-
ределенного элемента множества А2 отношению Г2, а значение
всей суммы — высказыванию о принадлежности соответствующей
пары отношению Г2 = Г2 ° Г2.
Любой элемент s. матрицы , меньший или равный элементу
£ Jr2) ’ свидетельствует о том, что либо опосредованная связь
учтена в самом отношении Г2, либо такая связь отсутствует.
Например, $13 = г/13 = 1. Равенство s13 = 1 означает, что сущест-
вует опосредованное влияние элемента а на элемент с. Можно ви-
деть, что влияние это осуществляется через элемент
рГоГ (3,1) = 0.7:
s13 = 0-1+ 1-1 +1-0 = 1 =>
=> (((я, Ь) е Г2 Л (6, с) е Г2) - истина} => (а, с) е Г2.
Однако равенство z/13 = 1 говорит о том, что влияние а на с уч-
тено в самом отношении Г2.
Другой пример. Справедливо неравенство s23 < у23 ($23 = 0,
у23 = 1). Запишем элемент s23 в виде суммы: $23 = 0 • 1 + 0 • 1 + 1 • 0 =
= 0. Во множестве А нет ни одного элемента, через который осу-
ществлялось бы опосредованное влияние b на с.
92
3. Нечеткие бинарные отношения и соответствия
Это становится очевидным, если перевести сложение и умножение
в 523 на язык логики высказываний. Действительно, (Ь, с) £ Г2 —
истина, так как истинна каждая из следующих конъюнкций:
(Ь, а) £ Г2 Л (а, с) е Г2;
(Ь, Ь)^Г2/\(Ь, с)еГ2;
(Ь, с) е Г2 Л (с, с) £ Г2
В то же время непосредственная связь между элементами b и с
учтена в отношении Г2, так как yri — 1.
Определение 3.5. Бинарное отношение Г С А2 называют тран-
зитивным бинарным отношением, если для любых а, b и с
(а, Ь, се А) из того, что (а, с) е Г и (с, Ь) е Г, следует, что
(а, Ь)еГ.
Другими словами, отношение Г С А2 транзитивно, если оно
включает все опосредованные связи между элементами. Отсюда
следует, что условием транзитивности отношения Г является
выполнение неравенства
Jr — Jr2 ’
где Jr, Jr2 — матрицы отношений Г и Г2 соответственно, причем
каждый элемент матрицы Jr не меньше соответствующего элемента
матрицы Jr2.
Отношения Г2 и Г2 не являются транзитивными. Найдем по-
следовательно матрицы отношений Г2, Г2,..., Г2:
0 1 1 0 1 1' 1 0 1
Л* _ ^г| г2 “ 0 0 1 •001 == 1 0 0
1 0 °, 1 0 0 0 1 1
1 0 1' 0 1 1' 1 1 1
•Ai ~ Л1г2 ~ 1 0 0 •001 = 0 1 1
0 1 1 1 0 0, 1 0 1
1 1 1 0 1 1' 1 1 1
Zrf — *Атг2 ~ 0 1 1 •001 1 0 1
1 1 1 1 0 0 11 1 1
1 1 1 0 1 1 1 1 f
J^2 ~ Jrf г2 — 1 0 1 •001 = 1 1 1
Д 1 1 1 0 0 1 1 1 /
3.1. Бинарные отношения 93
Легко проверить, что J_6 = Jrl = ...= Jrn (Vn(n е N): п > 6) .
I 2 1 2 1 2 А
Определение 3.6. Транзитивным замыканием Г бинарного
отношения Г с А2 называют объединение степеней этого бинарно-
го отношения:
r = Qr. (3.2)
П = 1
Транзитивное замыкание отношения Г2 в рассматриваемом при-
мере имеет вид
А 6
Г2 = U Г” = {(a, a), (a, b),(a, c),(b, d),(b, b),(b, с),
П=1
(с, а), (с, Ь),(с, с)} = А2,
Пусть на множестве А = {1,2,3,4} отношение Г задано графом,
изображенным на рис. 3.4. Запишем матрицу Jr этого отношения и
найдем его транзитивное замыкание.
Рис. 3.4. Граф отношения Г = {(1, 2),(1, 4),(3, 2), (3, 4), (4, 2)}
на множестве А = {1, 2, 3, 4}
Матрица отношения имеет вид
0 10 1
0 0 0 0
Jr~ 0 1 0 1
0 10 0
/
Для нахождения транзитивного замыкания будем умножать мат-
рицу Jr на себя, получая J?, ,..., J", до тех пор, пока не выпол-
нится равенство J”"1 = J”. Дальнейшее умножение не будет приво-
дить к изменению матриц. Транзитивное замыкание получим по
формуле (3.2).
94
3. Нечеткие бинарные отношения и соответствия
Любой элемент матрицы не превосходит соответствующий
элемент матрицы Jr, т. е. Jr> J?. Это означает, что Г включает
все опосредованные связи между элементами и, следовательно, Г
является транзитивным бинарным отношением. Покажем, что его
транзитивное замыкание совпадает с самим Г.
Умножение нуль-матрицы на любую другую матрицу есть нуль-
матрица. Поэтому JP = (0) для любых п > 3.
Транзитивное замыкание отношения Г найдем, используя фор-
мулу (3.2) и матрицы Jv и :
Г = Г U Г2 = {(1, 2),(1, 4),(3, 2),(3, 4), (4, 2)} U {(1, 2),(3, 4)} =
= {(1, 2),(1, 4),(3, 2),(3, 4),(4, 2)}=Г.
Как и следовало ожидать, поскольку отношение Г является
транзитивным, оно совпадает со своим транзитивным замыканием.
Справедливы следующие утверждения.
Утверждение 1. Транзитивное бинарное отношение совпадает со
своим транзитивным замыканием.
Утверждение 2. Транзитивное замыкание бинарного отношения
есть наименьшее по числу элементов транзитивное отношение, со-
держащее данное бинарное отношение.
Утверждение 3. Транзитивное замыкание Г есть ближайшее к Г
транзитивное отношение.
ПРИМЕЧАНИЕ----------------------------------------------------
Напомним, что расстояние между множествами rt и Г2 определяется либо
как линейное расстояние, либо как евклидово расстояние (см. табл. 1.3).
3.1. Бинарные отношения
95
Не следует думать, что последовательность степеней матрицы
отношения всегда имеет предел, т. е., начиная с некоторого шага п,
выполняется равенство J” = . Приведем простой пример, пока-
зывающий, что это не так.
Пусть матрица отношения Г на множестве А = {а, Ь} имеет вид
Тогда
для любого п > 1.
Тем не менее Г = [J Г” = {(a, b), (b, a)} U {(а, а), (Ь, Ь)} = А2.
П=1
Наиболее важными свойствами бинарных отношений являются
свойства рефлексивности, симметричности, антисимметричности
и транзитивности (табл. 3.2).
Особую роль в приложениях теории бинарных отношений игра-
ют отношения эквивалентности и отношения порядка.
Определение 3.7. Отношением эквивалентности называют
рефлексивное, симметричное и транзитивное отношение.
Определение 3.8. Отношением порядка называют антисиммет-
ричное и транзитивное отношение.
По отношению эквивалентности множество разбивается на непе-
ресекающиеся классы эквивалентности. В каждый класс попадают
элементы, попарно связанные друг с другом отношением эквива-
лентности, элементы из разных классов отношением не связаны.
Пересечение любых двух различных классов пусто, объединение
всех классов равно всему множеству.
Отношение порядка делает множество, на котором оно задано,
упорядоченным множеством. Различают частичные порядки и ли-
нейные порядки. В частично упорядоченном множестве существуют
элементы, не связанные отношением порядка. В линейно упорядо-
ченном множестве каждая пара элементов связана отношением по-
рядка.
96
3. Нечеткие бинарные отношения и соответствия
3.2. Нечеткие бинарные отношения
Пусть U — какое-либо множество, U2 — декартов квадрат этого мно-
жества.
Определение 3.9. Нечетким бинарным отношением на мно-
жестве U называют нечеткое подмножество tT2:
Г = £цг(«р«у)/(«р«Л (3.3)
и2
r = f цг(х, у)/(х, у). (3.4)
и2
функция принадлежности нечеткого бинарного отношения цг (х, у)
является аналогом характеристической функции в случае обычных
бинарных отношений.
Способы задания нечетких бинарных отношений те же, что и для
обычных отношений. Приведем их.
1. График нечеткого бинарного отношения. Формулы (3.3) и (3.4)
задают графики нечетких бинарных отношений. Если U— ко-
нечное множество, то используется формула (3.3), если U —
часть числовой оси или вся числовая ось, — формула (3.4).
2. Характеристическое свойство нечеткого бинарного отношения.
Например, apb: «а имеет сходство с 6» (на множестве людей),
apb'. «а много больше, чем 6» (на множестве чисел) и т. п.
3. Граф нечеткого бинарного отношения. Граф нечеткого бинарного
отношения — ориентированный взвешенный граф (рис. 3.5). Ка-
ждое ребро (х, #)(х, у е U) графа имеет вес, равный значению
функции принадлежности цг(х,у).
Рис. 3.5. Граф бинарного отношения Г =0,3/(а, а)+0,7/(а, с)+1/(6, а)+0,5/(6, с)
на множестве U ={а, Ь, с}
3.2. Нечеткие бинарные отношения
97
4. Матрица инциденций нечеткого бинарного отношения. Матрица
Jr —(ху) бинарного отношения Г на множестве U, содержащем
п элементов, — это матрица порядка п, элементами которой яв-
ляются значения функции принадлежности: х^=цг(ц, w;)
(i — 1, 2,..., пу j = 1, 2,..., п) .
Рассмотрим пример. Пусть нечеткое бинарное отношение apb:
«а значительно меньше, чем Ь» задано на множестве U — {1, 2, 3, 4}
и имеет график
Г = 0,3/(1; 2) 4- 0,8/(1; 3) + 1/(1; 4) + 0,3/(2; 3) +
+0,8/(2; 4) + 0,3/(3; 4)
Граф такого отношения изображен на рис. 3.6, а матрицей отно-
шения является матрица J, в клетках которой записаны значения
функции принадлежности для каждого элемента множества СТ2:
Рис. 3.6. Граф
Пример нечеткого отношения с непрерывным носителем: U ~ R;
Г -М
хру. «х близко к у», график отношения — Г = I е ' 2 1 /(%, у) .
R2
Разложение нечетких отношений по a-уровням называют деком-
позицией нечеткого отношения. Декомпозиция нечеткого отноше-
ния определяется следующим равенством:
Г= f a/Da, (3.5)
98
3. Нечеткие бинарные отношения и соответствия
где Da С U2, причем для любой пары (х, у) из множества Da выпол-
няется неравенство цг(х, у)> а. Можно показать, что если а < р, то
Da С . Раскладывая нечеткое отношение по a-уровням, переходят
от нечетких отношений к обычным подмножествам множества U2.
Выполним декомпозицию отношения Г = J е 121 /(х, у) .
я2
-1—1
е ' 2 ' > а, (а > 0);
|х— z/| < —21п а = — 1па2;
Х>1/
х — у < — In а2
Х< у
х~у> In а2
I- ’• 1 , .• 1Г i'n. ii |i »
=>£а = {(x,z/)eJ?2 :х + 1па2 < г/<х-1па2;
(0<а <!)}.
Все преобразования выполнены на основании свойств элемен-
тарных функций. Семейство областей Da (0 < а < 1) представляет
собой систему вложенных друг в друга полос (рис. 3.7). С уменьше-
нием а ширина полосы возрастает, lim Da = R2. При а = 1 полоса
вырождается в прямую х = у. “ *
• ае[0Д]
-1—1
г = Jе 2 /О’ у)
R2
3.3. Композиция и транзитивное замыкание нечетких бинарных отношений 99
3.3. Композиция и транзитивное
замыкание нечетких бинарных
отношений
Пусть Tj и Г2 - нечеткие отношения на множестве U и цг (х, у),
Мт2 (х’ У) ~ их Функции принадлежности.
Определение ЗЛО. Композицией нечетких бинарных отноше-
ний rt и Г2 называют нечеткое бинарное отношение Г = Г\ ° Г2,
причем
ЦГ).г2 (*> У> /(х> у) = и ((м-Г1 (х, *) /(*’ г)) п (цГ2 (z, у) /(z, г/))). (3.6)
2SU '
Пересечение одноточечных нечетких множеств цг (х, z) /<х, z)
и цГг (z, у) /(z, у) обычно выполняется по логической Т-норме,
а объединение — по логической Г-конорме: a A b — min(a, Ъ),
a U b = = шах(а, Ь) .
При этом формула (3.6) принимает вид
Нг,.г2 (х< у)/(х> у) = (max(щш(цГ)(х, z), цГг (z, у)^/(х, у). (3.7)
График композиции отношений определяется следующими фор-
мулами:
Г ° г2 = ЕХгп U у) /<х> у) =
L/2
= 52 (max (min(Hr, (х> z)> Иг, О у))] /(х> у) > <3-8)
I/2 \ геи /
если U — конечное множество; >
° Г2 = J* Цг10г2 2/)/(^ У)
и2
= f (max (min(jiri (х, z), цГг (z, z/))) /(x, у), (3.9)
и2
если U — часть числовой оси или вся числовая ось.
Из формулы (3.6) следует, что для случая, когда U— конечное
множество, матрица композиции отношений /Г1ОГз есть максимин-
ное произведение матриц Jr и /Гг:
/г,.г2 = А, /г2 =(тах(тт(цГ)(ирМД цГ2(и*(ы;.)]^ = (нГ1.г2(«р“>))яхя-
где п — число элементов множества U.
100
3. Нечеткие бинарные отношения и соответствия
Пусть, например, нечеткие отношения архЬ: «а примерно равно
b » и cuf^b: «а немного больше b » на множестве U = {1, 2, 3, 4} за-
даны матрицами г
' 1 0,7 0,2 0 0 ' 0 0 0 0 О'
0,7 1 0,7 0,2 0 1 0 0 0 0
А - 0,2 0,7 1 0,7 0,2 ’ ^г2 - 0,4 1 0 0 0
0 0,2 0,7 1 0,7 0,1 0,4 1 0 0
( 0 0 0,2 0,7 1 , 0 0,1 0,4 1 0,
Найдем /Г оГг:
' 1 0,7 0,7 1 0,2 0,7 0 0,2 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 О' 0
Jr^r2 ~ Jt\ ° Jv2 ~~ 0,2 0,7 1 0,7 0,2 0,4 1 0 0 0
0 0,2 0,7 1 0,7 0,1 0,4 1 0 0
0 0 0,2 0,7 1, 0 0,1 0,4 1 0;
0,7 0,2 0 0 0
1 0,7 0,2 0 0
= 0,7 1 0,7 0,2 0
0,4 0,7 1 0,7 0
0,4 0,4 0,7 1 0
Покажем, как найдены некоторые элементы матрицы Jr Гг:
цГ оГ2(1,1) = max(min(l; 0),min(0,7; l),min(0,2; 0,4),min(0; 001),
min(0, 0)) = max(0; 0,7; 0,2; 0, 0) = 0,7;
цГ оГ2(1, 2) = max(min(l; 0),min(0,7; 0),min(0,2; l),min(0; 0,4),
min(0; 0,1)) = max(0; 0; 0,2; 0; 0) = 0,2 и т. д.
Рассмотрим опосредованные влияния в композиции отношений
Г\ о Г2. Например, цГ1 (3, 1) = 0,2 < 0,5, цГ2 (3, 1) = 0,4 < 0,5, т. е., по
оценкам экспертов, высказывания «3 примерно равно 1» и «3 не-
много больше 1» в данном случае скорее ложны, чем истинны. Но
Иг оГ (3, 1) — 0,7 > 0,5, т. е. опосредованная связь между 3 и 1 явно
имеется. Какие же элементы являются посредниками этого влия-
ния?
3.3. Композиция и транзитивное замыкание нечетких бинарных отношений 101
Чтобы ответить на этот вопрос, составим схему вычисления
1):
|НГ1(3,1), Цг>(1,1)| М3»1)] К(3,5), Иг/5,1)|
|иГ1(3,4), ИГз(4Д)|
|1Г1ог2 СМ) = тах(тт(о5^),Ш^О^^,тт(1Д4), min(0,7;0,l), ппп(0Д;0)) = 0,7.
Выделенное слагаемое, которое определяет значение
ЦГ1вГ (3,1) = 0,7 , есть минимум |1г (3, 2) и цГ2 (2, 1):
ц=0,7 ц=1
3 примерно равно 2 и 2 немного больше 1.
Отсюда следует
g—0,7
3 примерно равно, причем чуть больше
1.
Таким образом, влияние 3 на 1 в композиции отношений Г\ о Г2
данного примера осуществляется через 2.
Представим каждую матрицу Jr , Jv и Jr о Jr в виде поля
клеток 5x5, в котором значения функции принадлежности ц(ц,м.)
соответствуют различной штриховке клеток (рис. 3.8).
Рис. 3.8. Матрицы нечетких бинарных отношений в виде полей клеток
Пусть теперь а, b и с — три психологические характеристики
личности человека: а — интеллект, b — сила воли, с — трудолюбие
(U = {а, Ь, с}). По оценкам экспертов, влияние друг на друга этих
качеств определено, например, следующей матрицей:
(0,8 0,5 0,7)
Л= о О-2
0,9 0,5
1
0
102
3. Нечеткие бинарные отношения и соответствия
Интерпретируем некоторые элементы матрицы Jr.
Влияние интеллекта на силу воли эксперты сочли индифферент-
ным: оно в равной степени может быть или не быть ( цг(а, Ь) = 0,5 ),
а вот влияние силы воли на трудолюбие, по оценке экспертов, очень
сильно ( цг(6, с) = 1).
Выявим опосредованные влияния этих качеств друг на друга.
Для этого найдем матрицу композиции Г ° Г = Г2:
0,8 0,5 0,7
0 0,2 1
0,9 0,5 0
0,8 0,5 0,7
0 0,2 1
0,9 0,5 0
0,8 0,5 0,7
0,9 0,5 0
0,8 0,5 0,7
Матрица Jr2 обнаруживает весьма существенные опосредован-
ные влияния показателя b (силы воли) на показатель а (интеллект):
цг(6, а) = 0, цг2 (6, а) = 0,9,
а также показателя с (трудолюбие) на себя:
|1Г (с, с) = 0, |1г2 (с, с) = 0,7 .
Проанализируем, каким образом возникают эти влияния.
1. ^(b, а) = max(min(0; 0,8),min(0,2; 0), min(l; 0,9) ) = 0,9.
Используя названия этих показателей (а — интеллект, b — сила
воли, с — трудолюбие), вывод об опосредованном влиянии силы
воли на интеллект можно записать такой фразой:
«Силой воли можно воспитать трудолюбие (цг(6, с) = 1),
трудолюбие усиливает интеллект ( цг(с, а) = 0,9 )».
Из этого следует вывод:
«Сила воли через воспитание трудолюбия усиливает интеллект
( цг2 (6, а) = 0,9 )».
2. Цг2(с, с) = max( min(0,9; 0,7) min(0,5; 0),min(0; 0)) = 0,7 :
«Трудолюбие повышает интеллект ( цг(с, а) = 0,9),
интеллект усиливает трудолюбие (|1г(а, с) = 0,7 )».
Следовательно,
«Трудолюбие дополнительно усиливается через интеллект
(рг(с, с) = 0,7)».
3.3. Композиция и транзитивное замыкание нечетких бинарных отношений 103
Вычислим матрицы более высоких степеней отношения Г:
0,8 0,5 0,7' 0,8 0,5 0,7' 0,8 0,5 0,7
JрЗ Jр2ор 0,9 0,5 0 • 0 0,2 1 = 0,8 0,5 0,7
0,8 0,5 0,7 0,9 0,5 0 X / 0,8 0,5 0,7
0,8 0,5 0,7' 0,8 0,5 0,7' 0,8 0,5 0,7'
*/г4 JГ^оГ 0,8 0,5 0,7 • 0 0,2 1 = 0,8 0,5 0,7
0,8 0,5 0,7 \ / 0,9 0,5 0 0,8 0,5 0,7
Очевидно, что JР» ь/рЗ ДЛЯ > любого п > 3.
Найдем транзитивное замыкание нечеткого отношения Г, т. е.
объединение всех степеней отношения Г. Значение функции при-
надлежности пары (ui9 Uj)(uit и}U) по правилу логической
Т-конормы имеет вид
Нг(Ч> ы>) = тах(цг(мр i/Д цг2(ы,, w.),...,|1Г, (и,(3.10)
В данном примере
тах(цг(ы;, Uj), |Xr2(wp ы7),...,цг,(ы;, w;),...) = тах(цг(ыр «Д
иДи^ы,, «;))•
Этот максимум находим, сравнивая элементы, стоящие на пере-
сечении г-й строки и j -го столбца в матрицах и выби-
рая наибольший:
г = гиг2иг3 =0,8/(л, л) + о,5/(а, Z>) + 0,7/(a, c) + 0,9/(Z>, а) +
+0,5 /(Z>, b) +1 /(b, с) + 0,9 /(с, а) + 0,5 /(с, Ь) + 0,7 /(с, с).
Изобразим различной штриховкой матрицы степеней отношения
Г и его транзитивного замыкания (рис. 3.9).
Рис. 3.9. Матрицы степеней нечеткого отношения Г и транзитивного замыкания
этого отношения
104
3. Нечеткие бинарные отношения и соответствия
Свойство транзитивности нечеткого бинарного отношения опре-
деляется через матрицу отношения.
Определение 3.11. Нечеткое бинарное отношение Г называют
транзитивным, если каждый элемент матрицы J2 не превосходит
соответствующий элемент матрицы Jr, т. е. < Jr.
Эквивалентное определение транзитивности нечеткого отноше-
ния можно дать через функцию принадлежности цг(х, г/)(х, у eU).
Определение 3.12. Нечеткое бинарное отношение Г называют
транзитивным, если для любой пары (х, у) G U2 справедливо не-
равенство цг(х, у) > max(min(|xr(x, z), |xr(z, у)).
С практической точки зрения значительно более удобным явля-
ется определение 3.11.
Определение транзитивного замыкания Г нечеткого бинарного
отношения Г — У^ЦГ(Ч> w;)/(wp uj) или f |1г(х, у)/(х, у)
и2 и1
совпадает с определением 3.6 транзитивного замыкания обычного
отношения. При этом нахождение степеней отношения и операция
объединения выполняются по правилам оперирования с нечеткими
множествами.
Так же, как и в случае обычных бинарных отношений, любое не-
четкое транзитивное отношение Г совпадает со своим транзитив-
ным замыканием Г, а транзитивное замыкание есть наименьшее
транзитивное отношение, включающее в себя отношение Г.
3.4. Свойства и виды нечетких
бинарных отношений
Основными свойствами любых бинарных отношений являются реф-
лексивность, симметричность, антисимметричность, транзитивность
(табл. 3.2). В табл. 3.3 эти свойства записаны в символах теории не-
четких множеств. Определение свойства транзитивности не дается,
так как оно подробно рассмотрено в разделе 3.3.
Обычные отношения, обладающие свойствами рефлексивности,
симметричности и транзитивности, являются отношениями эквива-
лентности, антисиммеричные и транзитивные отношения — отно-
шениями порядка.
Отношения эквивалентности разбивают множества на классы эк-
вивалентности, отношения порядка — упорядочивают множества.
Таблица 3.2. Свойства бинарного отношения Г С А2
Свойство График Г Характеристическое свойство apb Матрица отношения Jr = (Xi,j)nxn Характеристическая функция ц(а,6)
Рефлексив- ность {а, а) е Г (а € А) ара — истина, (а € А) хй = 1 (i = 1, 2,... п) ц(а, а) = 1, (аеА)
Симметрич- ность (а, Ь) е Г => (Ь, а)е Г (a, be А) apb => bpa — истина, (a, be А) II "к и Л || |i(a, b) = 1 => р(й, а) = 1, (a, be А)
Антисимме- тричность (а, Ь) е Г Л (Ь, а) € Г & а = b , {а, b е А) apb Л bpa => а — b — истина, (a, be А) = 1ЛХ^ =1 ^>i = j Jr Jr — £ р(а, b) = 1Л p(Z>, а) = 1 о a = b, (a, be А)
Транзитив- ность (а, Ь)егл(Ь, с)е е Г => (а, с) е Г , (а, Ь, с € А) apb Л Ьрс => арс — истина, (а, Ь, се А) /г — Jr р(а, Ь) = 1Лр(Ь, с) = 1 => => ц(а, с) = 1, (а, bf се А)
1 0 ... О
Примечание. Символом обозначена транспонированная матрица Jr , Е — единичная матрица
О 0 ... 1
106
3. Нечеткие бинарные отношения и соответствия
Таблица 3.3. Свойства нечетких бинарных отношений
Г = &г(“*- «;), Г = f Рг(Х’У)/(Х’У)
и2 U2
Свойство Матрица отношения Jr = (M“i- Uj))n,n Характеристическая функция Нг(*> У)
Рефлексив- ность € U): pr(wp wf) = 1 (i = 1, 2,... n) Ух(х е U): цг(х, х) = 1
Антирефле- ксивность e U): цг(ц, wt) = 0 (i = 1, 2,... ri) Чх(х е U): Цг(х, х) = 0
Симметрич- ность Jr=Jr V(x, у)(х, yeU)-. Иг(*« У) = Иг(У> *)
Антисимме- тричность Vuit Uj(uh иj eU, i* j) : (gr(“i, “.))V v(gr(«i, «;) = Иг(«р “«) = °) V(x, у)(х, уeU.xr у) (цг(х, *))V V(nr(*. У} = Нг(У- х> = = 0)
Виды нечетких отношений приведены в табл. 3.4.
Таблица 3.4. Виды неЧетких бинарных отношений
Отношение Свойство
1 Рефлексивность Антирефлексивность Транзитивность Симметричность 1 Антисимметричность 1
Предпорядок + +
Сходство + +
Несходство + +
Подобие + + +
3.4. Свойства и виды нечетких бинарных отношений
107
Отношение Свойство
Рефлексивность Антирефлексивность Транзитивность Симметричность Антисимметричность
Порядок + 4-
Нестрогий порядок + + 4-
Строгий порядок + 4- 4-
ПРИМЕЧАНИЕ--------------------------------------------------
«+» отмечены те свойства, которыми должно обладать отношение, чтобы его
можно было отнести к указанному виду отношений.
Отношение предпорядка. Покажем, что если отношение Г реф-
лексивно, то Jr > Jr. В самом деле, рефлексивность отношения оз-
начает, что все числа главной диагонали матрицы Jr — единицы:
' 1 Н12
т _ М-21 1 ••• Р-2П
Jr ~~ •
Ai Н„2 ••• 1 ,
Элемент s^(i, j = 1, 2,..., п) матрицы есть максиминное про-
изведение i-й строки матрицы Jr на ее j-й столбец:
%; = max(min(pft р^)) = max(min(p:1, р,.),min(pi2, р2?
пйп(Цй, рД...тш(р^, р„)) =
= max(min(pfl, p1;),min(p:2, p2.),...,min(l, p.),...,min(p^, p„)) =
= max(min(pip p^min^, p2;),..., p^,..., min(p^, p^)) >pr
Отношение предпорядка выделяет из всех рефлексивных отно-
шений транзитивные отношения. Транзитивные нечеткие отноше-
ния играют особую роль в приложениях теории нечетких множеств,
так как определяют некоторую правильную структуру множества, на
108
3. Нечеткие бинарные отношения и соответствия
котором они заданы. Если отношение Г не является транзитивным,
то ближайшим к нему транзитивным отношением будет транзитив-
ное замыкание Г.
Отношение сходства. Нечетко^ отношение сходства задается
с помощью матриц сходства либо неориентированных взвешенных
графов [7]. Матрицы отношений сходства, для которых свойства
рефлексивности и симметричности имеют естественную интерпре-
тацию, могут быть получены в результате как измерения некоторого
физического параметра, отражающего связи между объектами, так
и опроса экспертов, которые для каждой пары объектов из U ука-
зывают их степень сходства по некоторой шкале сравнений. Града-
ции этой шкалы могут быть составлены из слов русского языка, от-
ражающих силу сходства между объектами и линейно упорядочен-
ных между собой. Например, такая шкала может состоять из фраз
типа: «очень сильное сходство», «сильное сходство», «сходство сред-
ней силы», «слабое сходство», «очень слабое сходство» и т. п.
Отношение несходства. В определенном смысле отношение не?
сходства является противоположным отношению сходства. Дейст-
вительно, если Г С А2 является^ рефлексивным и симметричным
отношением, то его дополнение Г представляет собой антирефлек-
сивное и симметричное отношение1.
Пусть, например, имеется матрица рефлексивного и симметрич-
ного отношения (отношения сходства)
' 1 0,3 0,8 0,6'
0,3 1 1 0,5
0,8 1 1 0,2
0,6 0,5 0,2 1
Значения функции принадлежности противоположного ему от-
ношения Г, т. е. дополнения Г до А2, находим по правилу
Uf (Ч> «>) = 1 - Нг(“,- uj)’ <(ui> uj) € А2)
(см. табл. 1.5). Используя эту формулу, получаем
1 Верно и обратное утверждение, если Г является антирефлексивным и сим-
метричным отношением (отношение несходства), то противоположное
ему отношение Г рефлексвно и симметрично (отношение сходства).
3.4. Свойства и виды нечетких бинарных отношений
109
' 0 0,7 0,2 0,4'
0,7 0 0 0,5
Л = 0,2 0 0 0,8
0,4 0,5 0,8 о,
Матрица J- является матрицей антирефлексивного и симмет-
ричного отношения, то есть отношения несходства (см. табл. 3.4).
Отношение подобия. Отношение подобия выделяется из класса
отношений сходства добавлением свойства транзитивности
(см. табл. 3.4), что обеспечивает возможность разбиения множества
А на классы подобия.
Пусть, например, отношение сходства Г на множестве
А = {1, 2, 3, 4} задано матрицей инциденций
' 1 0,3 0,8 0,6'
0,3 1 0,6 0,5
Jv ~ 0,8 0,6 1 0,2
0,6 0,5 0,2
Проверим, транзитивно ли отношение Г:
г2
' 1 0,8 0,8 0,6
0,8 1 0,6 0,5
; Г С Г2
0,8 0,6 1 0,6
0,6 0,5 0,6 1 /
Следовательно, Г не является транзитивным отношением. Най-
дем ближайшее к Г транзитивное отношение, т. е. транзитивное
замыкание Г:
Г= U Г".
п=1, 2,...
Для этого вычислим матрицы инциденций следующих степеней
отношения Г:
1
0,8
0,8
0,6
0,8 0,8 0,6'
1 0,6 0,5
0,6 1 0,6
0,5 0,6 1 t
' 1 0,3 0,8 0,6'
0,3 1 0,6 0,5
0,8 0,6 1 0,2
0,6 0,5 0,2 1
110
3. Нечеткие бинарные отношения и соответствия
' 1 0,8 0,8 0,6'
_ 0,8 1 0,8 0,6
~ 0,8 0,8 1 0,6 ’
0,6 0,6 0,6 1 ,
л Очевидно, что Г4,Г5,... совпадут с Г3. л Следовательно,
Г = Г U Г2 U Г3, причем Jr, > Jt2 > JT, а значит, Г = Г3 — транзи-
тивное замыкание отношения Г, т. е. Г3 — ближайшее к Г транзи-
тивное отношение.
Построим графы отношений Г, Г2, Г3 по множествам а-уровня
(рис. 3.10 - 3.12).
а=0,8
Рис. 3.10. Графы отношения Г , построенные по множествам уровня а
Рис. 3.11. Графы отношения Г2, построенные по множествам уровня а
3.4. Свойства и виды нечетких бинарных отношений
111
Рис. 3.12. Графы отношения Г = Г3 , построенные по множествам уровня а
ПРИМЕЧАНИЕ-----------------------------------------------------
Поскольку обычные и нечеткие бинарные отношения определяются как под-
множества универсального множества U* 2 (см. определения 3.2, 3.9), то поня-
тие множества a-уровня (см. раздел 1.3) естественным образом распростра-
няется и на случай бинарных отношений.
Анализируя последовательность графов, изображенных на
рис. 3.10, можно видеть, что при а = 0,2 множество А = {1, 2, 3, 4}
объединено отношением в один класс, так как все элементы множе-
ства связаны отношением Г. При а = 0,3, а = 0,5, а = 0,6 классы
не образуются, поскольку некоторые элементы А отношением Г не
связаны. При а = 0,8 множество А распадается на три непересе-
кающихся класса: А = {1,3} U {2} U {4}, а при а — 1 — на четыре одно-
точечных класса: А = {1} U {2} U {3} U {4}.
Анализ последовательности графов, представленных на рис. 3.11,
показывает, что при а = 0,5 множество А = {1, 2, 3, 4} объединено
в один класс, так как все его элементы связаны отношением Г2.
При а = 0,6 и а = 0,8 классы не образуются, поскольку некоторые
элементы А отношением Г2 не связаны. При а = 1 множество А
распадается на четыре одноточечных класса: А — {1} U {2} U {3} и {4}.
Транзитивное отношение Г = Г3 (см. рис. 3.12) разбивает А = {1,
2, 3, 4} на непересекающиеся классы при любых значениях а. Все
элементы, попадающие в один класс, попарно связаны друг с другом
этим отношением. Если а = 0,6, то образуется один класс
А = {1, 2, 3, 4}, при а = 0,8 — два класса А = {1, 2, 3} U {4,}, при
а = 1 — четыре класса А = {1} и {2} и {3} и {4}.
Рассмотренный пример иллюстрирует справедливость следующе-
го утверждения о нечетких отношениях подобия (рефлексивных,
симметричных и транзитивных отношениях).
Утверждение. Нечеткое отношение подобия на любом а-уровне
разбивает несущее множество на непересекающиеся классы.
112
3. Нечеткие бинарные отношения и соответствия
Отношение порядка. Если нечеткое отношение является каким-
либо из отношений порядка (см. табл. 3.4), то ему обычно придается
смысл «предпочтения», «доминирования», «подчиненности». В этих
случаях транзитивность обеспечивает возможность естественного
упорядочения объектов, выделения «наилучших», «недоминируе-
мых» объектов и т. п.
3.5. Нечеткие бинарные
соответствия
Определение 3.13. Бинарным соответствием на множестве
Ах В называют подмножество Г декартова произведения множеств
А п В: ГС АхВ.
Декартово произведение А х В — множество всех пар, в которых
на первом месте стоит элемент множества А , а на втором — элемент
множества В . Бинарные отношения Г С Л2 (см. подразделы 3.1-3.4)
можно рассматривать как частный случай бинарных соответствий,
когда А = В . Бинарные соответствия (обычные и нечеткие) задают
так же, как и бинарные отношения.
1. График Г нечеткого бинарного соответствия — Г С А х В.
2. Характеристическое свойство нечеткого бинарного соответст-
вия — apb(a е Л, be В).
3. Граф нечеткого бинарного соответствия — ориентированный
взвешенный двудольный граф (рис. 3.13). На рисунке направле-
ние стрелок — от элементов множества А к элементам множест-
ва В; веса ребер — функции принадлежности ц(а, Ь) нечеткого
соответствия.
Рис. 3.13. Ориентированный взвешенный двудольный граф, граф бинарного
соответствия Г с А х В, А = {1, 2, 3}, В = {а, Ь, с, е, /}
3.5. Нечеткие бинарные соответствия
113
4. Матрица инциденций нечеткого бинарного соответствия
Г С Ах В имеет вид Jr — )тхп, где т — количество элементов
множества А, п — количество элементов множества В, х~ =
= ц(ар ЬА — значение функции принадлежности пары (яр ft.),
(af € Л, € В) бинарному соответствию Г.
Пусть даны множества А—{понедельник, вторник, среда, четверг,
пятница, суббота, воскресенье} — множество дней недели,
В={солнечно, тепло, ветрено, дождь, гроза, резкое похолодание} —
погодные условия. На множестве А х В задано бинарное соответст-
вие apb: «в день а ожидается погода Ь» (ае A, be В) . Синоптики
задали свой прогноз матрицей инциденций
0,6 0,7 0 0 0,3 0 '
0,2 0 0,8 0,6 0 0
0 0 0,6 0,9 0,5 0,8
Л = 0,3 0,5 0,3 0,4 0 0,4
0,2 0,5 0,7 0,8 0,1 0,1
0,5 0,5 0,6 0,7 0,3 0,5
0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5
Как следует из матрицы инциденций, синоптики предполагают,
что, к примеру, вторник (вторая строка матрицы инциденций)
вряд ли будет солнечным ( ц (вторник, солнечно) = 0,2 ), наверня-
ка, не будет теплым (ц (вторник, тепло) = 0), скорей всего, будет
ветреным (ц (вторник, ветрено) — 0,8), возможно, будет дождь
(Ц (вторник, дождь) = 0,6), но грозы и резкого похолодания не
предвидится ( ц (вторник, гроза) — 0, |1 (вторник, резкое похолода -
ние) ~ 0 ).
Композиция бинарных соответствий определяется аналогично
композиции бинарных отношений (см. определение 3.10):
Определение 3.14. Композицией нечетких бинарных соответ-
ствий T\QAxB и Г2 С В х С называют нечеткое бинарное соот-
ветствие Г = Г1оГ2СЛхС, причем
Р-г,»г2(х> y) = U(^r1(x> 2)Ж г)пМт2(2- #)/(2, У>)
(хе А, у еС). (3.11)
Пересечение одноточечных нечетких множеств цг (х, z) /
/(х, г) П ЦГз (z, у) /(z, у) так же, как и в случае бинарных отноше-
114
3. Нечеткие бинарные отношения и соответствия
ний, обычно выполняется по логической Т -норме, а объединение —
по логической Т -конорме:
a A b = min(a, b), a U b = шах(а, Ь) .
При этом формула (3.11) принимает вид
Иг,.г2(*> У>/(х’ = г),цГ2(г, г/))]/(х, у)
(хеА,уеС). (3.12)
График композиции соответствий определяется формулами:
Г1 ° Г2 =£Х°Г2(Х- У)/(Х’ У) =
АхС
= S (min(Hr, (х> Д Нг2 (?> У>)) /<х, У) , (3-13)
если А, В и С — конечные множества;
Г1 ° Г2 = / ЦГ).Г2 (Х<У)/(Х> У) =
АхС
= [ (max(min(Ur (х, z), цг (г, у))/(х, у), (3.14)
ZED 1 z
АхС
если множества А, В и С представляют собой промежуток число-
вой оси или всю числовую ось.
Из формулы (3.13) очевидно, что для случая, когда А, В и С —
конечные множества, матрица композиции отношений Jr г есть
максиминное произведение матриц Jr и /Гг:
Jr, .гг = Л, • Л2 = (max (min(gr (х,., zk), цг (z4, у})] =
= (Нг,»г2(^>
где p — количество элементов множества В; тп — количество эле-
ментов множества А; п — количество элементов множества С.
Композиция бинарных соответствий, так же как и композиция
бинарных отношений, выявляет скрытые, опосредованные связи
между элементами множеств А и С, если заданы соответствия на
множествах АхВ и ВхС.
Рассмотрим пример. Пусть A = {xt, х2, х3} — качества личности,
где — интеллект, х2 — сила воли, х3 — трудолюбие; В = {zv z2,
z3, z4} — социальные показатели, где zt — успешность в бизнесе,
z2 — среднемесячный доход, z3 — жилищные условия, z4 — семей-
3.5. Нечеткие бинарные соответствия
115
ное положение, С = {у у 2} — показатели качества жизни, где у{ —
количество детей в семье, у2 — регулярность отдыха. Пусть также,
по оценкам экспертов, влияние друг на друга этих качеств опреде-
лено следующими матрицами:
Выявим скрытые опосредованные влияния качеств личности на
качества жизни. Для этого перемножим матрицы и J2 :
0,8 0,5 0,2 0,9
J = Jl J2= 1 0,9 0,7 0,3
0,7 0,5 0 0,5
7 /
0,8
0,2
0,9
1
0,5
0,7
0,3
0,7,
0,9 0,7
0,8 0,7
0,7 0,5
X /
0,7
0,7
Интерпретируем наиболее значимые опосредованные влияния
качеств личности на качества жизни:
1) =0,9;
= max( min(0,8;0,8) ,min(0,5;0,2),min(0,2;0,9),min(0,9;l))=0,9.
Значение логической суммы sn = 0,9 определяется выделенным
слагаемым min(0,9;l), которое представляет собой логическое
произведение функций принадлежности (х{, z4) • ц2 (z4, ух).
Используя названия показателей (xt — интеллект, z4 — семей-
ное положение, ух — количество детей в семье), вывод об
опосредованном влиянии xt на ух можно записать такой фразой:
«Интеллект влияет на семейное положение ( щ(хр z4) = 0,9 ),
семейное положение определяет количество детей в семье
(Ш(24- У1) = 1)>.
Из этого следует вывод:
«Интеллект, обеспечивая устойчивое семейное положение,
оказывает большое влияние на количество детей в семье».
2) 521 = 0,8 ;
= max (min(l; 0,8) , min(0,9; 0,2),min(0,7; 0,9), min(0,3; l))=0,8.
Выделенное слагаемое min(l; 0,8) является произведением
щ(*2, z1)-|ll2(z1, 2/t). Применив аналогичные рассуждения в этом
случае, запишем:
116
3. Нечеткие бинарные отношения и соответствия
«Сила воли ( х2 ) определяет успешность в бизнесе
( , pt(x2, 2i) — 1 )> успешность в бизнесе ( ) позволяет
планировать количество детей в семье ( ух, ц2(гг У1) = 0,8 )».
Из этого следует вывод:
«Сила воли, определяя успешность бизнеса, оказывает большое
влияние на количество детей в семье».
Контрольные вопросы
1. Дайте определение нечеткого бинарного отношения.
2. Перечислите способы задания нечетких бинарных отношений.
3. Сравните способы задания нечетких и обычных бинарных отно-
шений.
4. Что называют декомпозицией нечеткого отношения?
5. Сформулируйте определение композиции транзитивного нечет-
ких бинарных соотношений транзитивного замыкания.
6. Перечислите основные свойства нечетких бинарных отношений.
7. Приведите типы нечетких бинарных отношений и сравните их
с обычными.
8. Что называют нечеткими бинарными соответствиями? В чем
различие нечетких бинарных отношений и соответствий? В чем
сходство нечетких бинарных отношений и соответствий?
9. Как с помощью введенных определений трактовать понятие
«опосредованное влияние»?
10. Какие процедуры формализует транзитивное замыкание нечет-
ких бинарных отношений и соответствий?
Задания для самостоятельной
работы
1. Пусть А — {а, Ь, с, J, е} — члены семьи Ивановых. На множестве
А задано отношение хру : «х внешне похож на у» (х, у е А) .
Требуется:
1) выступая в роли эксперта, задайте график отношения р ;
Задания для самостоятельной работы
117
2) построить граф отношения;
3) записать матрицу инциденций отношения;
4) проверить, является ли отношение транзитивным, и записать
матрицу его транзитивного замыкания (если оно существует).
2. На отрезке U = [-1, 1] задано
fn(x-2/))/z ч
2 /(Х’
Выполните
ния. Запишите множества а -уровня
нечеткое отношение
декомпозицию отноше-
1 42
для «1--, а2= —,
V3
ач = —
3 2
3. На множестве U = {1, 2, 3, 4} заданы бинарные отношения:
Г1 = 1 /(1, 1) + 0,8 /(1, 3) +1 /(2, 1) +1 /(2, 2) + 0,4 /(2, 4) +
+0,7 /(3, 1) +1 /(3, 3) + 0,6 /(4, 2) +1 /(4, 4);
Г2 = 1 /(1, 2) + 0,8 /(1, 3) + 1 /(1, 4) +1 /(2, 3) + 0,4 /(2, 4) +
+0,7 /(3, 1) +1 /(3, 2) + 0,6 /(4, 2) +1 /(4, 3) . Требуется:
1) построить графы отношений;
2) записать матрицы инциденций отношений rt и Г2;
3) найти матрицу инциденций и график композиции отношений
Г^Г2.
4. На множестве U = {av а2, а3, ал, а5, а&} задано отношение:
хру : «х оказывает влияние на у», (х, у е U),
матрица инциденций которого имеет вид
' 1 0,6 0,5 0,2 0,1 0,4
1 1 0,4 0,1 0,1 0,6
0,7 0,7 1 0,8 0,8 1
Л 0,4 0,6 0 1 0,7 1
0,3 0,4 1 1 1 0,3
0,8 X 1 0,1 0,3 0,5 0,2 1
Требуется выявить и интерпретировать наиболее существенные
опосредованные влияния элементов множества друг на друга.
118
3. Нечеткие бинарные отношения и соответствия
5. Пусть U = {av а2, а3, а*} — несколько девушек вашей группы.
На множестве U заданы отношения:
хр1У'.«х такая же симпатичная, как у», (xfyeU),
хр2у : «х немного старше, чем у», (х, у е U) ,
хр3у: «х и у учатся примерно одинаково», (х, у Е U) .
Задайте матрицы инциденций этих отношений так, чтобы отно-
шения обладали свойствами:
1) д — антирефлексивности и симметричности;
2) ft — антирефлексивности и антисимметричности;
3) ft — рефлексивности и симметричности.
Есть ли среди полученных отношений отношения сходства, от-
ношения несходства, отношения подобия, отношения строгого
или нестрогого порядков? (Ответ обоснуйте.)
6. Выпишите матрицы инциденций отношений д, ft и ft из зада-
ния 5:
1) для каждого из отношений запишите множества а-уровня,
для ае{0,2; 0,4; 0,6; 0,8; 1}. Постройте графы «обычных» от-
ношений для каждого из множеств а -уровня;
2) найдите транзитивные замыкания отношений д, ft и ft (ес-
ли они существуют) и постройте множества а-уровня и их
графы для каждого из транзитивных замыканий.
7. На множествах А == {av 02, а3, а±, а3} и В = {Z\, Z>2, b3, Z>4} матри-
цами инциденций заданы бинарные отношения:
1 0,7 0,3 0,2
0,8 1 0,9 1
Ja = 0,5 0,9 1 0
0,3 0,5 0,8 1
k 1 0,4 0,6 0,8
0,4
0,6
0,8
0,2
1,
' 1 0,3 0,9 0,5'
И = 0,7 1 0,6 0,4
0,4 0,2 1 0,8
.0,9 1 0,6 Г
которые будем интерпретировать как отношения влияния эле-
ментов друг на друга внутри множеств А и В .
Также с помощью матрицы задано соответствие на множестве
ЛхВ:
Задания для самостоятельной работы
0,3 0,6 0,8 1
0,6 0,8 1 0,3
0,8 1 0,3 0,6
1 0,3 0,6 0,8
0,3 0,6 0,8 1
\ 7 1 1 /
Требуется:
1) выявить и интерпретировать опосредованные влияния эле-
ментов внутри множеств А и В;
2) выявить и интерпретировать опосредованные влияния эле-
ментов множества А на элементы множества В, используя
следующие матрицы:
а) J A' JАхВ »
б) J АхВ * Jb ’
в) J a' JАхв ' Jb-
4. Лингвистическая
переменная
4.1. Понятие лингвистической
переменной
В школьном курсе математики значениями переменных являются
числа. Такие переменные величины называют числовыми перемен-
ными. Например, предложение «х — 3» означает, что числовой пе-
ременной х присвоено значение 3.
Принципиальное отличие лингвистической переменной от пере-
менной числовой состоит в том, что ее значениями являются не
числа, а слова или предложения в естественном или формальном
языке. Лингвистическая переменная позволяет приближенно опи-
сывать явления, которые настолько сложны, что не поддаются опи-
санию в общепринятых количественных терминах.
Пусть лингвистическая переменная х имеет смысл «возраст».
С переменной х связано универсальное множество U = [0,100], каж-
дый элемент которого есть число лет, прожитых человеком. Однако
значениями лингвистической переменной х являются не числа из
множества С7, а слова: «молодой», «немолодой», «старый», «очень
старый», «не молодой и не старый» и т. п. По аналогии с числовой
переменной предложение «возраст» = «молодой» означает, что лин-
гвистической переменной «возраст» присвоено значение «молодой».
Слова, являющиеся значениями лингвистической переменной, на-
зываются термами и объединяются в терм-множество Т(х). Так,
терм-множество лингвистической переменной «возраст» составляют
указанные выше слова.
Термы можно рассматривать как имена нечетких множеств, за-
данных на универсальном множестве U и имеющих определенную
функцию принадлежности. Если X — элемент терм-множества лин-
гвистической переменной х, то это есть название нечеткого множе-
ства X = или Х= Г цх(и)/и.
и и
К примеру, одно из возможных значений лингвистической пере-
менной «возраст» является терм «старый». Это есть название не-
четкого подмножества универсального множества U = [0,100].
4.1. Понятие лингвистической переменной
121
Функция принадлежности нечеткого множества Хг = «старый» мо-
( спГ2)"1
z ч . и-50
жет иметь вид |1Х (и) ~ 14- —-—
у О )
Другой возможный терм Х2=«очень старый». Его функцию при-
надлежности можно получить, применив к нечеткому множеству Xt
операцию концентрирования (см. формулу (17)):
-2 Г2
и - 50
5
Запишем нечеткие множества Хх и Х2 как суммы одноточечных
ц-50а~2Г1
5
100
множеств: «старый» =
9 50
-2 Г2
100
и — 50
5
«очень старый» —
50
Построим графики функций принадлежности |1старый = (и) и
Цочень старый = О) нечетких множеств X, и Х2 (рис. 4.1).
Рис. 4.1. Графики функций принадлежности нечетких множеств «старый»
и «очень старый»
= 1 +
Определение 4.1. Пусть х — название лингвистической перемен-
ной. Слово или группу слов, являющихся значениями переменной
X, называют термом. Каждый терм является именем нечеткого
подмножества универсального множества U.
Терм, состоящий из одного слова или нескольких слов, объеди-
ненных друг с другом в определенном порядке, называют атомар-
ным термом. Терм, состоящий из одного или более атомарных
термов, называют составным термом.
122
4. Лингвистическая переменная
Результат приписывания друг к другу цепочек-компонент со-
ставного терма называют конкатенацией.
Конкатенация некоторых компонент составного терма называет-
ся подтермом.
Строго говоря, элементы терм-множества являются именами не-
четких подмножеств Xi9 Х2, ... множества U . Но во многих случаях
имена множеств и сами множества отождествляются. При таком
отождествлении терм-множество Т можно представить в виде объе-
динения всех значений лингвистической переменной X:
T = XlUX2U... = ^Xi.
Приведем несколько примеров, иллюстрирующих смысл введен-
ных понятий и символику, применяемую для их записи.
Пусть лингвистическая переменная х = «возраст» имеет базовое
множество U = [0,100]. Атомарными термами являются, в частно-
сти, термы, о которых уже упоминалось: «молодой» и «старый».
Атомарные термы входят в составные термы: «более или менее моло-
дой» (подтермы — «более или менее» и «молодой»), «очень старый»
(подтермы — «очень» и «старый»).
Терм-множество переменной «возраст»'.
Т(«возраст») = «старый» и «очень старый» и «не старый» и
«более или менее молодой» и «вполне молодой» и
«не очень молодой и не очень старый».
Каждый терм в Т(«возраст») является названием нечеткого под-
множества универсального множества U = [0,100].
Теперь рассмотрим лингвистическую переменную X = «количе-
ство» с базовым множеством U = {1,2,3,..., 10} и терм-множеством
Т («количество») = «немного» и «несколько» и «много».
Здесь равенство «количество»=«немного» означает, что лингвис-
тической переменной «количество» присвоено значение «немного»
из терм-множества этой переменной.
Элементы терм-множества являются именами нечетких подмно-
жеств множества U, определенных, например, следующим образом:
«немного» = 0,4/1 + 0,8/2 + 1/3 + 0,4/4;
«несколько» = 0,5/3 + 0,8/4 + 1/5 + 1/6 + 0,8/7 + 0,5/8;
«много» = 0,4/6 + 0,6/7 + 0,8/8 + 0,9/9 + 1/10.
Лингвистические переменные могут соединяться в пары, образуя
составную лингвистическую переменную. Например, составной
4.2. Синтаксическое и семантическое правила
123
лингвистической переменной является переменная (х; у) = «равны».
Пусть базовое множество этой переменной — декартов квадрат
множества X = {1, 2, 3, 4}, а терм-множество состоит из двух термов:
Т = «приближенно равны» и «более или менее равны»,
где
' 1 0,6 0,4 0,2
0,6 1 0,6 0,4
./приближенно равны 0,4 0,6 1 0,6
0,2 0,4 0,6 1
' 1 0,8 0,6 0,4
0,8 1 0,8 0,6
./более или менее равны 0,6 0,8 1 0,8
0,4 0,6 0,8 1 /
матрицы инциденций этих отношений.
4.2. Синтаксическое и семантическое
правила
В примерах, рассмотренных в подразделе 4.1, терм-множества лин-
гвистических переменных х были заданы списком, т. е. все элементы
множества Т(х) были перечислены, но такие случаи, вообще говоря,
мало интересны. С практической точки зрения важно иметь не спи-
сок термов, а правило, которое позволяло бы из определенного набо-
ра слов получать все возможные значения лингвистической пере-
менной. Такое правило называют синтаксическим правилом. Син-
таксическое правило можно рассматривать как алгоритмическую
процедуру для порождения элементов множества Г(х). Все термы,
полученные с помощью синтаксического правила, составляют терм-
множество.
Пусть задана лингвистическая переменная х = «возраст» и эле-
ментами терм-множества Т(х) являются термы «старый», «очень
старый», «очень, очень старый», «очень, очень, очень старый» и т. п.
Синтаксическое правило образования элементов множества Т(х)
может быть сформулировано следующим образом.
124
4. Лингвистическая переменная
Обозначим конкатенацию символьных цепочек х и у символом
ху. В данном примере х— «очень», у= «старый», ху — «очень
старый». Если А и В — множества цепочек:
А = Xj + х2 +
В = У\ + У2 +
то конкатенация АВ = (х{ + х2 + .,.)(yi + у2 +...) = . Напри-
мер, если А = «очень», В = «старый» + «очень старый», то АВ =
= «очень»(«старый + «очень старый») = «очень старый» + «очень
очень старый».
Используя эти обозначения, терм-множество Г(«возраст») можно
рассматривать как решение уравнения
Т = «старый» + «очень Т». (4.1)
Уравнение (4.1) имеет следующее смысловое содержание: мно-
жество Т состоит из терма «старый» и термов, представляющих со-
бой конкатенации терма «очень» и некоторого терма из Т.
Решим уравнение (4.1) методом итераций, используя рекуррент-
ное соотношение
T'+i = «старый» + «очень Г», i = 0, 1, ...
Приняв Г° = 0, получаем все элементы терм-множества Т:
Т° = 0,
Т{ = «старый» + «очень TQ» = «старый»,
Т2 = «старый» + «очень Т]» = «старый» + «очень старый»,
Т3 — «старый» + «очень Т2» = «старый» + «очень старый» +
+ «очень, очень старый»...
Синтаксическое правило в данном примере выражается уравне-
нием (4.1) и его решением. В дальнейшем синтаксическое правило
будем обозначать символом «G», а терм-множество, образованное
с помощью этого правила, — «Г(G)».
Каждый терм из Т (G) является именем нечеткого подмножества
множества U. В связи с этим, помимо синтаксического правила G,
необходимо правило, позволяющее для термов X, образуемых с по-
мощью G, получать функции принадлежности этих нечетких под-
множеств Такое правило называют семантическим правилом.
Семантическое правило, как и синтаксическое, можно рассматри-
вать как алгоритмическую процедуру для порождения функций
4.2. Синтаксическое и семантическое правила
125
принадлежности нечетких подмножеств X множества U. Семантиче-
ское правило будем обозначать символом «ЛГ».
Рассмотрим термы = «старый» и Х2 = «очень старый».
ТермА\ является первичным термом, элементом терм-множества.
Одновременно Хх является нечетким подмножеством универсаль-
ного множества U = [0,100] с функцией принадлежности
(м) —
(см. рис. 4.1). Терм Х2 образован из
первичного терма с помощью модификатора «очень».
Модификатор меняет функцию принадлежности нечеткого
подмножества на функцию принадлежности нечеткого
подмножества Х2 путем применения операции концентрирования
(см. формулу (1.7)):
X2=CON Хх.
Следовательно,
Hx2(«) = Hx,(“)
и — 50
Если терм Хп+х получен из терма Хп применением синтаксиче-
ского правила (4.1), а действие модификатора «очень» сводится
к операции концентрирования для любого терма Хп из Т (G), то
соответствующее семантическое правило имеет вид
*^i=CONJV„ или =
Применяя метод итераций, получаем последовательность:
Нх, = 1 +
(и-50 Г2
' 5 ,
Нх2 — Hconx, ~
Нх3 — HcONX2 “ 1 +
и-50 Г2
5 J
126
4. Лингвистическая переменная
Их
~ М-CONX,, —
1+
1м-50Г2
I 5 J
Дадим теперь строгое определение лингвистической переменной.
Определение 4.2. Лингвистической переменной называют набор
(х, Цх), Uf G,M),
где х — название переменной; Г( х ) — терм-множество, т. е. множе-
ство имен значений переменной х, причем каждому из этих имен
соответствует нечеткое подмножество X, заданное на универсальном
множестве U с базовой переменной w, G — синтаксическое правило,
порождающее имена X значений переменной х; М — семантическое
правило, которое ставит в соответствие каждому элементу терм-
множества нечеткое подмножество X универсального множества U.
Синтаксическое и семантическое правила, связанные с лингвис-
тической переменной, можно рассматривать как алгоритмические
процедуры для порождения элементов множества Г(х) и вычисле-
ния значений функций принадлежности нечетких подмножеств
множества U с именами из Г(х).
В рассмотренных примерах термы, являющиеся значениями лин-
гвистической переменной и одновременно именами нечетких мно-
жеств, были получены применением модификатора «очень» к уже
имеющимся термам. В качестве модификаторов обычно используют
слова «более или менее», «вполне», «существенно» и т. п. Конкатена-
ция модификатора h и терма X меняет функцию принадлежности
Семантическое правило, по которому происходит это изменение,
определяется смыслом терма и модификатора, а также целью реше-
ния задачи. Смысл этот, а значит, и само семантическое правило
задает специалист, решающий задачу и определяющий цели ее ре-
шения. Семантическое правило может представлять собой алгорит-
мическую процедуру для вычисления значений функций принад-
лежности, конкретную операцию над нечетким множеством, дейст-
вие оператора нечеткости, элементы матрицы которого заданы экс-
пертами, и т. п. Так, действие модификатора «очень» рассматрива-
лось выше как операция концентрирования.
В заключение приведем пример, иллюстрирующий зависимость
результата действия модификатора от выбора семантического пра-
вила. Пусть х — «экзамен сдан», первичным термом множества Т(х)
4.2. Синтаксическое и семантическое правила
127
является слово X = «успешно». Задано нечеткое подмножество X
универсального множества
U = {т(математика), /(физика), {(информатика), е(экономика)}:
X = 0,5/?w + 0,3// + 0,9/z + l/e
и модификатор «более или менее». ’ ‘ ' * 1
Рассмотрим два способа задания семантического правила:
1) изменение нечеткого множества X под действием оператора не-
четкости (см. формулу (1.10)):
1 0,5 0 0 }т
к_ 0,8 1 0,3 0 f , .
0 0,7 0,9 1 /’ ’
0 0 1 0,7 е
2) применение операции растяжения DIL (см. формулу (1.8))
к множеству X.
Нечеткое множество КХ = «более или менее успешно» находим
по правилу (1.10):
1 0,5
0,8 1
0 0,7
0 0
0
0,3
0,9
1
0 '
0
1
0,7
0,5
0,3
0,9
= тах(0,5;0,15) / т +
1
/
+ тах(0,4; 0,3; 0,27)// + тах(0,21;0,81;1)/г +
тах(0,9;0,7)/е = 0,5/т + 0,4// + 1/г + 0,9/е.
Применение операции DIL к нечеткому подмножеству X дает
следующий результат:
DIL(X) = X0'5 = Vo/5 / т + Дз / / + 7^9 / i + y/i / е «
«0,71/те + 0,55// + 0,95/г + 1/е.
Результаты применения операции растяжения и оператора не-
четкости значительно различаются. Какой из них предпочтительнее,
сказать нельзя, так как цель решения задачи в данном случае явля-
ется чисто дидактической.
128
4. Лингвистическая переменная
4.3. Понятие «профессионализм»
как лингвистическая переменная
В качестве примера применения лингвистической переменной рас-
смотрим модель понятия «профессионализм» [11].
Формализация таких понятий, как «профессионал», «профессио-
нализм», «квалификация», «профессиональное мастерство», инвари-
анты профессионализма и т. д. затруднена, во-первых, лингвистиче-
ской неопределенностью рассматриваемого понятия на естественном
языке, во-вторых, наличием в системе подготовки специалиста мно-
жества неопределенностей, связанных с человеческим фактором,
составляющим базис этой системы. Математический аппарат, обес-
печивающий адекватное описание и формализацию такого рода не-
определенностей, предоставляет теория нечетких множеств, позво-
ляющая задавать параметры и показатели модели с помощью лин-
гвистических переменных. Как было отмечено (см. подраздел 4.1),
основная особенность лингвистической переменной состоит в том,
что ее значениями являются не числа, а слова или предложения
в естественном или формальном языке.
В [И] предложена формализация понятия «профессионализм»
как лингвистической переменной:
Р & Т(Р) = {Рр Р2, Р3} - ^(4(0) и Г2(Д(О) и Г3(Л(О) > (4.2)
где Р — «профессионализм» — лингвистическая переменная;
Г(Р) = {Рр Р2, Р3} = Г1(Л1(0)иГ2(Л2(0)иГ3(Л3(0) — терм-множе-
ство переменной Р.
Переменная Р имеет значения:
Pt — «низший уровень профессионализма»,
Р2 = «средний уровень профессионализма»,
Р3 = « высокий уровень профессионализма».
Терм-множество Т(Р) представляет собой объединение трех
терм-множеств: Тх(Д(0), Т2(А(О), Г3(А(0), которые имеют сле-
дующие имена:
1) 7^(Д(0) — теоретические знания и умения, владение способами
деятельности; способность решать проблемы, возникающие
в профессиональной деятельности. Данный терм объединяет наи-
более общие характеристики системы профессиональной дея-
тельности;
4.3. Понятие «профессионализм» как лингвистическая переменная 129
2) — система требований к нормированию и перенормиро-
ванию профессиональной деятельности. Терм определяет измене-
ние характеристик деятельности в зависимости от внешних и вну-
тренних системных факторов;
3) Г3(Лз(^))— личностные (психофизические и умственные) качест-
ва специалиста как совокупность его культурных и духовных цен-
ностей, творческая активность в условиях гармоничного разви-
тия личности с учетом влияния внешних политических и эконо-
мических факторов.
Понятие профессионализм (Р) в каждый момент времени t опре-
деляется следующими переменными:
О A 1(f) ~ уровнем профессиональной деятельности;
О Л2(0 “ уровнем требований к профессиональной деятельности;
О A3(t) — уровнем личностных качеств специалиста.
Будем полагать, что каждая A^t), г = 19 2, 3, представляет собой
совокупность определенного количества параметров.
Предложим технологию оценки параметров модели. Выбор таких
параметров может быть осуществлен на основании метода прямых
экспертных оценок. Например, в нашей модели в качестве Д(£)
принимаются:
О хорошие знания основ соответствующей области науки и техники;
О умение вести самостоятельные исследования;
О умение делать неожиданные сопоставления и находить ориги-
нальные связи между явлениями;
О способности к комбинированному синтезу идей и т. п. [И].
Проведем анализ предлагаемой модели в общем виде. Пусть вы-
делены п параметров модели. Поставим каждому параметру в соот-
ветствие некоторое нечеткое число, имеющее функцию принадлеж-
ности треугольной формы (рис. 4.2).
Значение этого числа пронормировано по принадлежности мно-
жеству [0; а]. Эти числа моделируют высказывание следующего ви-
да: «параметр приблизительно равен а и однозначно находится в диа-
пазоне [0, а]». В нашем случае а совпадает с .
Такая формализация понятия «профессионализм» позволяет
учесть не только содержательный аспект, но и этапность форми-
рования профессиональных качеств специалиста, т. е. выделить
130
4. Лингвистическая переменная
временной инвариант подготовки специалиста. Можно предполо-
жить, что наиболее значимое формирование того или иного качества
профессионализма зависит от этапа подготовки. Инвариант профес-
сионализма специалиста учитывает это. Поэтому для количествен-
ной оценки инварианта профессионализма целесообразно разбить
все показатели профессионализма на три группы (профиля) и каж-
дому поставить в соответствие свою функцию принадлежности. На
рис. 4.2 представлен профиль показателя модели, формирование
которого значимо не зависит от этапа профессиональной подготовки
(профиль А). На рис. 4.3 изображен профиль показателя модели,
формирование которого может быть начато на раннем этапе подго-
товки специалиста (профиль В). На рис. 4.4 представлен профиль
показателя модели, формирование которого может быть начато толь-
ко на более позднем этапе подготовки специалиста (профиль С).
Величины Ли и Ли задают смещение наиболее вероятного значе-
ния показателя профессионализма относительно центра и опреде-
43. Понятие «профессионализм» как лингвистическая переменная
131
ляют его вклад в показатель инварианта. Эти величины — вход-
ные параметры модели, задаваемые экспертным путем, причем по
смыслу Да > Дм. Зададимся произвольным уровнем функции при-
надлежности нечеткого показателя p(jr) = р и рассчитаем интерва-
лы значений показателя, удовлетворяющих этому равенству. Такой
интервал и будем считать инвариантом профессионализма /(р) (для
каждого профиля показателя в отдельности). В результате получим
следующие интервальные переменные:
_ ар ар
ар
р; я - -у- + Дор
(4.3)
а . ар
- - Дур; а —- Дур
где ХА — интервал для профиля показателя А; Хв - интервал для
профиля показателя В; Хс — интервал для профиля показателя С.
Пусть в модели профессионализма т — показателей профиля А,
k — показателей профиля В, s — показателей профиля С.
Согласно технологии выполнения алгебраических операций над
нечеткими числами имеем интервал, задающий значение показателя
инварианта профессионализма:
132
4. Лингвистическая переменная
k + т + s
k + m + s
(4.4)
Для того чтобы представить этот интервал в виде треугольного
нечеткого числа, необходимо найти значение показателя дляр=1:
k + т + $
Таким образом, показатель инварианта профессионализма можно
представить в виде следующего нечеткого числа треугольного вида:
(4-5)
Контрольные вопросы
1. Что называют термом? В чем принципиальное различие атомар-
ного и составного термов?
2. Дайте понятие составной лингвистической переменной.
3. Какие правила называют синтаксическими?
4. Определите сущность семантического правила. В чем различие
и сходство семантического и синтаксического правил?
5. Дайте определение лингвистической переменной.
6. Приведите примеры лингвистических переменных из различных
областей науки.
5. Нечеткие булевы
переменные
5.1. Булева алгебра
Алгебра высказываний и предикатов является одним из разделов
бинарной (обычной) математической логики. Высказывание — ут-
верждение, относительно которого можно сказать, истинно оно или
ложно, предикат — утверждение, содержащее одну или несколько
переменных. При одних значениях переменных предикат становится
истинным высказыванием, при других — ложным. Высказывание
и предикат можно понимать как переменную р, принимающую два
возможных значения «истина» = 1 или «ложь» = 0.
Определение 5.1. Переменная, множеством значений которой
является множество В = {0, 1}, называется булевой переменной.
Если р — высказывание или предикат, то р — булева переменная,
т. е. переменная, принимающая лишь одно из двух возможных зна-
чений: 0 или 1. Вот почему ту часть математической логики, которая
занимается высказываниями и предикатами, называют бинарной
(двоичной) логикой.
Пусть р2,..., p„, — булевы переменные. Каждая из них может
принимать значение 0 или 1. Последовательность (рь р2,..., рп) есть
n-мерный двоичный вектор. Существует 2П различных п -мерных
векторов, компонентами которых являются булевы переменные.
Функция, ставящая каждому n-мерному вектору определенное зна-
чение из множества В, называется булевой функцией. Булеву
функцию можно задать в виде таблицы, содержащей 2” строк и п +
+ 1 столбец. В первых п столбцах таблицы записаны все возмож-
ные двоичные n-мерные векторы, а в последнем столбце — соответ-
ствующее значение функции.
Пусть булева функция от трех переменных задана табл. 5.1.
Таблица 5.1. Булева функция от трех переменных
Pi Р2 Рз У = (Pl. Р2. Рз)
0 0 0 1
/
134
5. Нечеткие булевы переменные
Pi Р2 Рз У = (р«. Ръ Рз)
0 0 1 1
0 1 0 0
0 1 1 0
1 0 0 1
1 0 1 0
1 1 0 0
1 1 1 1
Трехмерные двоичные векторы в первых трех столбцах табл. 5.1
можно рассматривать как номера этих векторов (от номера 0 до но-
мера 7), записанные в двоичной системе счисления.
На множестве булевых переменных определены логические опе-
рации отрицания, конъюнкции, дизъюнкции, импликации, эквива-
ленции и ряд других (табл. 5.2).
Таблица 5.2. Операции над булевыми переменными
Операция Таблица истинности Описание операций
Отрицание Р р Унарная операция, строится с помощью слов «не», «неверно, что...». Отрицание высказывания обозначается символом р , который читается «не р»
0 1
1 0
Конъюнкция Р <1 PW Бинарная операция, строится с помощью союза «и». Конъюнкция высказываний обозначается символом р л q, который читается «р u q»
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1
Дизъюнкция р <1 pv? Бинарная операция, строится с помощью союза «или». Дизъюнкция высказываний обозначается символом pvq, который читается: «р или q»
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 1
5.1. Булева алгебра
135
Операция Таблица истинности Описание операций
Импликация Р q Бинарная операция, строится с помощью слов «если... то». Импликация высказы- ваний обозначается символом р=> q, который читается «если р то q».
0 0 i
0 1 i
1 0 0
1 1 1
Эквиваленция р q p^>q Бинарная операция, строится с помощью слов «тогда и только тогда», «если и только если». Эквиваленция высказыва- ний обозначается символом р q, кото- рый читается «q тогда и только тогда, когда р»
0 0 i
0. 1 0
1 0 0
1 1 1
Кольцевая сумма р q Бинарная операция, строится с помощью слов «сумма», «плюс». Циклическая сумма высказываний обозначается сим- волом р © q, который читается «сумма р и q»
0 0 0
0 i 1
1 0 1
1 i 0
ПРИМЕЧАНИЕ----------------------------
Символами pnq обозначены высказывания.
Таблицы истинности операций отрицания, конъюнкции и дизъ-
юнкции совпадают с таблицами характеристических функций опе-
раций дополнения, пересечения и объединения множеств (см. табл.
1.5). Такое совпадение таблиц истинности означает, что множество
всех подмножеств универсального множества U с операциями до-
полнения, пересечения и объединения и множество высказываний
с операциями отрицания, конъюнкции и дизъюнкции являются раз-
личными интерпретациями одной и той же математической модели.
Эта модель называется булевой алгеброй. Все свойства операций
над множествами (см. табл. 1.6) присущи также и соответствующим
операциям над высказываниями. Например, свойство порядка для
конъюнкции и дизъюнкции имеет вид р Kq<p и р /\д<д,
pV д> р и р V д>д.
136
5. Нечеткие булевы переменные
Высказывания или их отрицания, соединенные знаками логиче-
ских операций, образуют формулу логики высказываний, или
формулу булевой алгебры. Две формулы называются эквивалент-
ными, если при любых наборах значений входящих в них перемен-
ных они принимают одинаковые значения. Две эквивалентные фор-
мулы соединяют знаком равенства. _ _
Докажем, что формулы р V q и р Aq эквивалентны. Составим
таблицу истинности этих формул (табл. 5.3).
Таблица 5.3. Таблица истинности
р Q PV? PV? р q РЛ?
0 0 0 1 1 i 1
0 1 1 0 1 0 0
1 0 1 0 0 i 0
1 1 1 0 0 0 0
Выделенные столбцы, в которых записаны значения истинности
формул р V q и р /\q , совпадают, т. е. при любых значениях выска-
зываний р и q формулы р V q и р /\q принимают одинаковые зна-
чения, что и означает их эквивалентность.
Известно, что любую булеву функцию можно представить в виде
формулы, содержащей операции отрицания, конъюнкции и дизъ-
юнкции. Напомним на примере, как это делается.
Представим импликацию f(p, q)~p=>q формулой, содержащей
указанные выше операции.
р q р=>9 Элементарные конъюнкции
0 0 1 РЛ?
0 1 1 рл?
1 0 0
1 1 1 рл?
((Р => Q) = (Р Л q) У (р V q) V (р Л q)]
5.2. Нечеткие булевы переменные и логические операции над ними 137
Формула {(р Л g) V (р V g) V (р Л q)j называется совершенной
дизъюнктивной нормальной формой (СДНФ) импликации. Для
сокращения записей знаки конъюнкции опускают или заменяют
знаками умножения. Опускают также скобки, договорившись, что
в формуле без скобок сначала выполняются все конъюнкции, а за-
тем над ними производятся дизъюнкции. При таких_ договоренно-
стях СДНФ импликации выглядит так: p^q — pq\fpq\/p-q.
Пользуясь свойствами операций булевой алгебры, СДНФ имплика-
ции можно упростить:
p^q = pqVpq\/pq =
= р- qV р- qV p-qV p-q = p (qV q)V (pV p) q =
= plVlq — pVq.
При выполнении преобразований были использованы следующие
свойства операций булевой алгебры:
1) идемпотентность дизъюнкции х V х — х;
2) ассоциативность дизъюнкции xVpVz=xV (у V z) и дистрибу-
тивность конъюнкции относительно дизъюнкции: х • у У х z =
= x-(i/V2);
3) закон исключения третьего х V х — 1;
4) свойство единицы для конъюнкции х! = х.
5.2. Нечеткие булевы переменные
и логические операции над ними
Определение 5.2. Нечеткой булевой переменной называют пере-
менную р, которая является именем нечеткого подмножества мно-
жества U = [0,1].
В дальнейшем для сокращения записей будем обозначать одним
и тем же символом саму нечеткую переменную и функцию принад-
лежности нечеткого множества, именем которого она является. Над
нечеткими булевыми переменными, так же как и над обычными бу-
левыми переменными, осуществимы операции отрицания, конъюнк-
ции и дизъюнкции.
Пусть р и q — две нечеткие булевы переменные. Запишем прави-
ла выполнения логических операций над ними:
138
5. Нечеткие булевы переменные
1) отрицание нечеткой булевой переменной р — 1 - р;
2) конъюнкция нечетких булевых переменных р f\q = p*q =
= min(p, q);
3) дизъюнкция нечетких булевых переменных р V q = max(p, q).
Напомним, что конъюнкция и дизъюнкция нечетких переменных,
выполненные по правилам 2 и 3, в общем случае называются, соответст-
венно, логическим умножением и операцией максимум (см. табл. 1.7).
Множество булевых переменных с операциями отрицания,
конъюнкции и дизъюнкции и множество всех нечетких подмно-
жеств какого-либо универсального множества U с операциями до-
полнения, пересечения и объединения являются интерпретациями
одной и той же математической модели. Операции отрицания,
конъюнкции и дизъюнкции над нечеткими булевыми переменными
обладают всеми свойствами, указанными в табл. 1.6. В алгебре не-
четких высказываний так же, как и в алгебре нечетких множеств,
нарушаются два логических закона: закон исключения третьего
( р V р = 1) и закон противоречия ( р Л р = 0 ).
Определение 5.3. Пусть pv р2,..., рп — нечеткие булевы перемен-
ные. Функцию f(px, р2,->, Рп) называют функцией нечетких буле-
вых переменных, если она принимает значения на отрезке [0,1].
Аналогично формулам булевой алгебры, можно получать форму-
лы нечеткой логики, каждая из которых представляет определенную
функцию нечетких переменных. Чтобы записать значения функции,
представленной формулой, содержащей лишь знаки конъюнкции,
дизъюнкции и отрицания, можно использовать таблицы, аналогич-
ные таблицам истинности в двоичной логике.
Рассмотрим пример на составление таблицы -функции нечетких
переменных. Пусть f(p, q) = (р Л р) V (р Л q /\ q)^ Составим все
возможные соотношения между переменными р, р, q и q, учиты-
вая, что р = 1 — р, q = l — q (табл. 5.4).
Таблица 5.4. Значение функции f(p, q) = (р Л р) V (р Л q Л q)
Вид неравенства р Ар = _ = min(p, р) р A q А_д = = min(p, q, q) f(p, q) = (P ^p)V V(p Aq Aq) = = max(min(p, p), min(p, q, q))
1 VI 1 VI VI Р q q
5.2. Нечеткие булевы переменные и логические операции над ними
139
Вид неравенства p Np= _ — min(p, p) p Nq /\_g — = min(p, 7, q) f(P, Q) = (php)V \/(p /\q /\q) = = max(min(p, p), min(p, q, q))
1 VI VI I VI p Q Q
— —- —— —
VI VI VI p p p
— *— r— —
a. VI о VI VI p p p
1 VI 1 ЙЦ VI VI p Q p
1 o VI VI 1 VI Sy p Q p
QPPQ p Q p
— — — — —
sy VI VI VI sy p Q p
Задача сводится к тому, чтобы составить последовательность че-
тырех символов, между которыми поставлены знаки неравенства
« < ». Существует четыре способа выбора первого элемента последо-
вательности: самым маленьким числом среди чисел р, р, q и q
может быть любое из них. Пусть, например, самым маленьким чис-
лом является р. Тогда самым большим числом будет число
р = 1 — р. Следовательно, выбор первого элемента последователь-
ности однозначно определяет выбор ее последнего элемента. После
выбора первого числа остается две возможности выбрать второй
элемент последовательности. Выбор второго элемента последова-
тельности однозначно определяет выбор третьего числа. Например,
если на второе место поставлено число q, то на третье место можно
поставить только число q — 1 — q . Таким образом, существует_во-
семь способов составления последовательности переменных р, р, q
и q, соединенных знаками неравенства:
p<q<q<p> p<q<q<p;
p<q<q<p, p<q<q<p\
q<P<P<q, q<P<P<q\
qppq, q<P<P<q>
140
5. Нечеткие булевы переменные
Определение 5.4. Функции j\ и /2 называют равносильными,
или тождественными, если они имеют одну и ту же таблицу зна-
чений, включающую все возможные соотношения между перемен-
ными.
Существует четыре различные функции от одной нечеткой пере-
менной р (табл. 5.5).
Таблица 5.5. Функции от одной нечеткой переменной
Вид неравенства Функция
/1 /г /з fl
р < р р р р р
р<р р р р р
Однако функций от двух переменных существует уже 48=65536,
функций от п переменных — (2rifnl'ry [6]. Только незначительная
часть всех этих функций может быть представлена с помощью опе-
раций отрицания, конъюнкции и дизъюнкции над нечеткими пере-
менными.
Определение 5.5. Функцию f от нечетких булевых переменных
называют аналитической функцией, если она может быть пред-
ставлена формулой, содержащей операции конъюнкции и дизъюнк-
ции, выполняемые над аргументами функции и их отрицаниями.
_ Составим таблицу простейших аналитических функций р Л q,
р /\q , р /\q , р /\q , р V q , р V q , р V q , pV q от двух переменных
(табл. 5.6).
Таблица 5.6. Простейшие функции от двух нечетких булевых переменных
Вид неравенства рм phq phq pvq p\/q pVq pvq
1 VI 1 VI VI р q p q q p Q P
P<q<q<P р q p q q p q P
p<q<q<P q p q p p q p q
а, VI VI 1 VI 1 q p q p p q p q
1 VI 1 Л, - VI VI q Q p p p p q q
5.2. Нечеткие булевы переменные и логические операции над ними
141
Вид неравенства рЛ? РМ pKq pVq p\/q p^q p^q
1 VI VI 1 VI q q р Р P p q q
qppq р р q q q q p p
VI VI 1 VI 1 р р q q q q P p
Формулы, представляющие аналитические функции, можно уп-
рощать, используя свойства операций над нечеткими переменными,
однако при этом необходимо помнить о нарушении в нечеткой ло-
гике закона исключения третьего и закона противоречия:
р V и р Л р 0, если р 1,' р 0 . (5.1)
Например, упрощение СДНФ импликации во множестве обычных
булевых переменных приводит к простой формуле (см. подраздел 5.1):
p^q = p-q\/p-q\/p>q=pVq.
Отметим,_ что во множестве функций нечетких переменных
f(p,q} = pqV pqV pq не поддается упрощению в силу нера-
венств (5.1):
/(р,<7) ~P'qVpq4pq = P'q4pqVpqVpq =
= p(qVq)Vq(pVp).
Поскольку qV q^l и р V р * 1, дальнейшие преобразования
невозможны.
Составим таблицу СДНФ импликации нечетких переменных
(табл. 5.7).
Таблица 5.7. СДНФ импликации нечетких переменных
Вид неравенства p q=_ _ = min(p, q) P4=_ = min(p, q) pq = = min(p, q) p-qVp-qV Vpq = — max(min(p, q), min(p, q), min(p, q))
1 VI 1 V) VI q q P q
1 VI VI, 1 VI i q q P q
VI 1 V) VI 1 P P q q
142
5. Нечеткие булевы переменные
Вид неравенства РЯ=_ _ = min(p, q) РЯ=_ = min(p, q) РЯ = = min(p, q) p-qV p-qV Vpq= = max(min(p, q), min(p, q), min(p, q))
VI VI 1 VI 1 P P Я Я
q<P<P<q p Я Я P
q<P<P<q p Я Я p
qppq Я P p p
q<P<P<q Я P p p
5.3. Анализ функции нечетких
булевых переменных
Выясним, при каких условиях аналитическая функция /(р, q) от
двух нечетких булевых переменных попадает в заданный промежу-
ток [а, Р) отрезка [0, 1].
Пусть р G [лр а2\С [0, 1] и q € |Д, b2\С [0, 1].
Возможны шесть вариантов взаимного расположения точек а{, Ьь а2,
Ь2 на отрезке [0, 1], и каждому из них соответствует определенное мно-
жество значений аналитических функций /(р, q) = р f\q и f(p, q) —
= pVq (pe[aita2], q €[6P fej) (рис. 5.1).
Очевидно, что при любых возможных соотношениях между аи bit
а2, Ь2 справедливы следующие утверждения:
р Л <7 G [min(ap b2)], (5.2)
р V q е [max(at, b{), max(a2, b2)]. (5.3)
Из утверждений (5.2) и (5.3) получаем аналогичные включения
для конъюнкций и дизъюнкций, содержащих отрицания р и q\
р KqE [min(at, 1 - b2), min^, 1 - bx)], (5.4)
pA q € [min(l - a2, 6J, min(l-apZ>2)], (5.5)
pA<7e[min(l-fl2, 1-Z>2), min(l-apl-fy)], (5.6)
5.3. Анализ функции нечетких булевых переменных
143
pA?G[aP а2], pyq&[bv b2]
в < 6^2
П ^2
Г
^2
pA?G[ap а2], pV?G[Z>p b2]
pAqe[bt, a2], pVqe[bv b2]
Рис. 5.1. Возможные варианты взаимного расположения точек aif Ьь а2, Ь2
6 *'' b, b2 д2
bi
8 r
Щ a2
pAqt[at, b2], pVq&[bt, a,]
2 < 6?2 < Z?2
pKqe[bv 62], pV?C[flp a2\
e bx < b2 < ax < a2
Г
Oi «2
pAq€[bltb2], pVqe[ava2]
pV?G[max(a(, 1-62), тах(а2,1 -6,)], (5.7)
pAq G[max(l-«2, &,), тах(1 — (5.8)
pA^G[max(l-a2> 1 — b2), max(l-af, 1 —А,)]. (5.9)
Покажем, как, например, получается соотношение (5.4):
q € [йр b2] => q G [1 - b2, 1 - =?>
=> р Aq & [min(ap 1 - b2), min(a2, 1 — b{)].
Соотношения (5.5) — (5.9) выводятся аналогично.
Получим условия, при которых функция f(p, q) = р a q попадет
в промежуток [а, 0):
р Aq е [min(ap 6J, min(a2, b2)) => р A q G [а, 0) о
min(ap Z>j) > а;
mm(o2, b2) < 0.
144
5. Нечеткие булевы переменные
Очевидно, что min(flp bt) > а о
>а; . ,
, т. е. оба числа а{ и
Ц > а,
должны быть больше а. Действительно, если хотя бы одно из чисел,
аг или 6t, удовлетворяет противоположному соотношению, напри-
мер, а{ < а < , то min(flp 1\) = а{ < а. Поэтому неравенство
тт(ар fy) > а эквивалентно системе неравенств
щ > ос;
Ьх > а.
В то же время неравенство min(«2, b2) < Р будет выполнено, если
хотя бы одно из чисел, ах или Ьх оказалось меньше р. Действительно,
если, например, а2 > Р > Ь2, то min^, b2) = Ь2 < р, т. е. неравенство
min(fl2, b2) < Р эквивалентно совокупности неравенств
а2 < Р;
*2<Р.
Таким образом, система неравенств
mm(a1, h ) > а;
, п эквивалент-
min(fl2, b2) < Р
на системе, состоящей из системы
я. > а;
, и совокупности нера-
> а
венств
а2 < р;
А<Р-
Окончательно получаем
р A q е [а, Р)
«1 > ос;
1\ > а;
а2 < Р;
А<Р,
или, учитывая, что р е [а1га2] и q е |Д,Ь2]
р Л q € [а, Р) 4»
(5.10)
Рассуждая аналогично и используя соотношения (5.2) — (5.8),
получаем условия попадания простейших аналитических функций
от двух нечетких булевых переменных в заданный промежуток
[а, Р) (табл. 5.8).
5.3. Анализ функции нечетких булевых переменных
145
Таблица 5.8. Условия выполнения неравенства а < f(p, q) < р
№ п/п /(Р, ?) Условия, при кото- рых a<f(p, q) < P № n/n f(p< q) Условия, при кото- рых a < f (p, q) < P
1 p^q ! Л - T 43 43 ’ A A IV IV T3D та p p 5 p^q • a a di ax Al Al V V gX,
2 p^q d di 1 .. 1 - s _ co. VI A| A V g^ ^4 6 p\Jq 1 1 43 A V IV |A та P 1 I та P
3 p^q a co. if Д di Jh Al VI V A 7 pvq fp>a; |<? < 1 - a; (p < P; 1?>1-P
4 p/\q S В di ax Illi 4—1 4—1 4—< 4—1 VI VI A A . a, » a, 8 p\/q а а а & iiii VI VI A A a, . a. »
Системы и совокупности неравенств определяют объединения
и пересечения числовых множеств. Их можно рассматривать как
множества истинности соответствующих предикатов. Например,
система 6 (см. табл._5.8) есть множество истинности двуместного
предиката Н(р, q) : р V q 6 [а, р), который является результатом
выполнения логических операций над одноместными предикатами:
Н{р, q) = (Л,(р) V h^q)) А 1ц(р) A h^q), где /г/р): (р < 1 - а),
h?(q)'- (?>«), А3(р): (р>1-Р), /г4(9) :(^<р) —одноместные
предикаты.
146
5. Нечеткие булевы переменные
Определим, при каких условиях СДНФ кольцевой суммы
/(хр х2) = Xi • х2 V Xj • Х2 попадает в промежуток [0,1; 0,3).
Перепишем табл. 5.3, сделав ее более удобной для решения тако-
го рода задач (табл. 5.9).
Таблица 5.9. Условия выполнения неравенства а < Л(д q) < р
f(p> q) Условия, обеспечиваю- щие нижнюю границу промежутка а</(р, q) Условия, обеспечиваю- щие верхнюю границу промежутка / (р, q) < Р
p/\q IV IV а Я 1 1 1 di со. V V
pAq р < 1 - а; q >а ‘Q Л V 1 та
pAq ‘Q ' 1Л IV я di 9- V Л
pAq р < 1 - а; q < 1-а 1 1 di СО. 1 1 №f T“l л л й, >>
p\/q ! IV IV Р Я । ! 1 I ! Л Л : Та> та
p\/q р < 1 - а; q > а di 1 Л V
pvq ! 1 .. f V, ‘Q “Q ' V Л 1 та
p\/q 1Л 1Л 1—к ( 1 р Я bQ ^3 V V h-Л. Н-л. 1 1 та 3?
5.3. Анализ функции нечетких булевых переменных
147
Обозначим Xi • х2 = р, х, • хг = q. Согласно табл. 5.9, получаем
р > 0,1;
Я(р, q) Л G(p, q): р V q£ [0,1; 0,3)
q > 0,1;
Р < 0,3;
q < 0,3,
где Н(р, q):
Р > 0,1;
q >0,1
и G(p, q):
р < 0,3;
— двуместные предикаты
q < 0,3
бинарной логики.
Множество истинности предиката Н(р, q) обеспечивает нижнюю
границу промежутка [0,1; 0,3), а предиката G(p, q) — его верхнюю
границу. Предикат Н(р, q) есть дизъюнкция одноместных предика- ।
тов ^(р): (р > 0,1) и h^q): (q > 0,1), предикат G(p, q) — конъюнк-
ция предикатов gt(p): (р < 0,3) и_£2(<?): (q < 0,3) .
Поскольку p=xt х2 и q — xi -хг, предикаты Л/р), h^q), gt(p) и
g2(q) являются предикатами от двух переменных, xi и_х2, _которые
входят в предикаты либо сами, либо своими отрицаниями xi и Х2:
Л1(р) = й1(х1, х2):(0,1 < xi • х2),
Л2(?) = Л2(х1, х2):(0,1<х1 -хг),
gi(p) = gi(xt> *2):(xi • х2 < 0,3),
~ g?(Xv -^2) •( ' -*’2 < )•
В соответствии с табл. 5.8, получаем множества истинности пре-
дикатов ^(xp х2), /^(Хр х2), g((Xp х2), g2(Xp х2):
(0,1 < xi х2)
Х1 < 0,9;
х2 > 0,1,
(O.l^Xj Х2)-^>
х. > 0,1;
х2 < 0,9,
( Х1 • х2 < 0,3 )
( х( • Х2 < 0,3 )
lxt > 0,7;
х2 < 0,3,
xt < 0,3;
х2 > 0,7.
Таким образом, функция /(хр х2) = xt х2 Vx( хг попадает
в промежуток [0,1; 0,3), если выполняется система неравенств
148
5. Нечеткие булевы переменные
/(хр х2, х3) = Xi • х2 V х1 • хз е [ОД; 0,3) <=>
‘ . .. ••• ••••• "V V • . ‘V’
Г . I i t ..
Xi < 0,9;
х2 > 0,1;
Xi > 0,1;
х2 < 0,9;
хх > 0,7;
х2 < 0,3;
xt < 0,3;
х2 > 0,7.
Для упрощения записи, запишем полученную систему в виде
конъюнкции двух двуместных предикатов: Н(хр х2) = /z/Хр х2) v
v /г2(Хр х2) и G(Xp x2) = g1(Xp *2) Ag2(xp хг)’ которая обеспечива-
ет нижнюю и верхнюю границы промежутка [0,1; 0,3): ' л ,
/(Хр х2, х3) = Xi х2 V Xj • хз € [0,1; 0,3) <=>
Xi < 0,9;
х2 > 0,1;
: л
Xi > 0,1;
х2 < 0,9;
хх > 0,7;
х2 < 0,3;
xt < 0,3;
х2 > 0,7.
Проиллюстрируем порядок построения множества истинности
двуместного предиката xi • х2 V х{ • хг € [0,1; 0,3) рис. 5.2. \ м
Рассмотрим более сложный пример. Найдем, каким промежуткам
отрезка [0,1] должны принадлежать нечеткие переменные х1? х2, х3,
чтобы для функции /(Хр х2, х3) = xi • х2 V xt • хз выполнялось нера-
венство 0,6 </< 0,9. ‘ <
Обозначим р = xi • х2, q = xt • х3. Множество истинности двуме-
стного предиката Н(р, q) : 0,6 < р У q < 0,9 определяется условиями:
Р > 0,6;
q > 0,6;
г или
Р < 0,9;
q < 0,9;
xi • х2 > 0,6;
Xj • хз > 0,6;
xi х2 < 0,9;
xt • хз < 0,9.
5.3. Анализ функции нечетких булевых переменных
149
I / '
\>0.7 1Гхг<0.3
х2<0.3Л{,4>0.7
Сл:
_______
е
0.7
0.7
х<0.9 [х> O.f) ГГх>0.7
vi а
Лэ >0.1 |^<0.9J Цх2<0.3
^<0.3^1
^>0.7}
Рис. 5.2. Геометрическая иллюстрация построения множества истинности
двуместного предиката q • h
Xi ’ х2 > 0,6;
_ выполнение ко-
х{ • хз > 0,6,
торой является условием, обеспечивающим нижнюю границу интер-
Рассмотрим отдельно совокупность
вала [0,6; 0,9), и систему
Xi ‘ х <с 0,9;
_2 ’ ’ которая обеспечивает верх-
х{ • хз < 0,9,
нюю границу интервала.
Неравенство xi • х2
Xi • х2 € [0,6; 1]. Для попадания такой функции в указанный интер-
вал, согласно табл. 5.8, необходимо выполнение системы условий:
означает, что конъюнкция
150
5. Нечеткие булевы переменные
х{ < 1 — 0,6;
х2 > 0,6;
х{ > 1 -1;
х2 < 1.
Поскольку неравенства х{ > 0 и х2 < 1 выполняются при любых
значениях нечетких булевых переменных, за исключением крайних
случаев х{ = 0 и х2 = 1, которые следует рассматривать особо, спра-
ведлива равносильность:
Рассуждая аналогично в отношении неравенства xt • хз > 0,6
и используя табл. 5.9, получаем цепочку эквивалентностей:
\х{ >0,6;
xt -хз >0,6 о
х3 < 0,4;
xt < 1;
х3 > 0;
х{ > 0,6;
х3 < 0,4.
Таким образом, условием H(xv х2, х3), обеспечивающим ниж-
нюю границу интервала [0,6; 0J)), в который должна попасть функ-
ция /(хр х2, х3) = xi • х2 V xt • хз, является выполнение совокупно-
сти двух систем неравенств:
П(хр х2, х3):
Xi < 0,4;
х2 > 0,6;
Xi > 0,6;
х3 < 0,4.
Аналогичные рассуждения с использованием табл. 5.9 приводят
к выводу о том, что условием G(xv х2, х3), обеспечивающим верх-
нюю границу интервала [0,6; 0,9), в который должна попасть функ-
ция /(хр х2, х3) = xi ♦ х2 V Xi • хз, является выполнение системы
двух совокупностей неравенств:
G(Xp х2, х3):
xt > 0,1;
х2 < 0,9;
хх < 0,9;
х3 > 0,1.
5.3. Анализ функции нечетких булевых переменных 151
Чтобы функция f(xv х2, х3) = xt • х2 V х, • хз попала в заданный
промежуток, необходимо выполнение как условия H(xv х2, х3), так
и условия G(xp х2, х3):
Я(хр х2, х3)л(7(хр х2, х3) :
х, < 0,4;
х2 > 0,6;
: л
х, > 0,6;
х3 < 0,4;
xt > ОД;
х2 < 0,9;
х, < 0,9;
х3 > 0,1.
Условие Н(Хр х2, х3) выполняется, если справедлива хотя бы
одна из двух систем неравенств: Ht:
х, > 0,6;
х3 < 0,4.
Условие G(xp х2, х3) можно представить следующим образом:
G(Xp х2, х3) = (g, V g2)• (g3 V g4),
где g, : (X| > 0,1), g2 : (x2 < 0,9), g3: (x, < 0,9), g4: (x3 > 0,1) - од-
номестные предикаты.
Используя свойства конъюнкции и дизъюнкции, преобразуем
предикат G(xt, х2, х3):
G(Xp х2, х3) = (g, V g2)• (g3 V g4) = gj • g3 V gj • g4 V g2 • g3 V g2 • g4 =
xt > 0,1;
x( < 0,9;
X] > 0,1;
x3 > 0,1
x2 < 0,9;
x, < 0,9;
x2 < 0,9;
x3 > 0,1.
Предикат G(xv x2, x3) становится истинным, если переменные
х(, х3, х3 удовлетворяют хотя бы одной из четырех систем:
х, > 0,1;
х( < 0,9,
Xj > 0,1;
х2 < 0,9;
х2 < 0,9;
х3 > 0,1.
Таким образом, выполнение условий Я(хр х2, х3) и G(xp х2,
х3) распадается на восемь систем неравенств:
152
5. Нечеткие булевы переменные
2) Я,лС2
1) H,aG,
3) HtAG3
4) H,aG(
5) H2aGj
6) H2aG2 =
7) H2aG3 =
8) H2aG4 =
Xj < 0,4; x2 > 0,6; 4Ф- xt > 0,1; x, < 0,9; ГОД < xt < 0,4; | x2> 0,6;
Xj < 0,4; 0,1 < Xj < 0,4;
x2 > 0,6; о x, > 0,6;
x{ > 0,1; x3 > 0,1; xt < 0,4; x3 > 0,1;
x2 > 0,6; <=> Xi < 0,4;
x2 < 0,9; < 0,9; Xi < 0,4; 0,6 < x2 < 0,9; 0,1 < x{ < 0,4;
x2 > 0,6; 0,6 < x2 < 0,9;
x2 < 0,9; x3 > 0,1; xt > 0,6; x3 > 0,1;
x, < 0,4; 0,6 < xt < 0,9;
xt > 0,1; xt < 0,9; xt > 0,6; x3 < 0,4;
Xo < 0,4; о xt >0,6;
xt > 0,1; x3 > 0,1; x{ > 0,6; 0,1 < x3 < 0,4; 0,6 < Xj < 0,9;
Xo < 0,4; d ~ о - x2 < 0,9; x2 < 0,9; X, < 0,4;
xt < 0,9; xt > 0,6; xt > 0,6;
x3 < 0,4; о 0,1 < x3 < 0,4;
x2 < 0,9; x3 > 0,1; x2 < 0,9.
5.3, Анализ функции нечеткихбулевых переменных
153
Истинность любого из этих восьми предикатов обеспечивает по-
падание функции f(xv х2, х3) = Xi ♦ х2 V хх • хз в промежуток
[0,6; 0,9). Пусть, например, истинным является предикат
Н2 л G2 !
xt > 0,6;
0,1 < х3 < 0,4.
Данная система неравенств не содержит пе-
ременной х2, но поскольку х2 — нечеткая булева переменная, она
удовлетворяет двойному неравенству 0 < х2 < 1.
Найдем множество значений функции /(хр х2, х3) = xt • х2 V
Vxt • хз при условии истинности Н2 a G2:
1)
0,6 < х{ < 1;
0 < х2 < 1; =т*
0,1 < х3 < 0,4;
0 < х. < 0,4;
0 < х2 < 1; .
0,6 <х3 <0,9;
2) Xi • х2 е [min(0, 0),min(0,4; 1)] = [0; 0,4];
3) х. • хз е [min(0,6; 0,6),min(l; 0,9)) = [0,6; 0,9);
4) f(XyX2,x3) = Xi • x2 V xt- хз e [max(0; 0,6),max(0,4; 0,9)) =
= [0,6; 0,9).
Подводя итог, можно сказать, что анализ аналитических функ-
ций нечетких булевых переменных сводится к оперированию
предикатами бинарной (обычной) логики.
Аналогично тому, как строятся схемы реализации булевых функ-
ций от обычных бинарных переменных, можно построить схему
реализации нечеткой булевой функции. Задача состоит в том, чтобы
задать последовательность действий преобразования произвольного
набора входных сигналов е [а1Р 1] (i = 1, 2,...) в заранее
заданный выходной сигнал. Решение такой задачи называется син-
тезом нечеткой функции [6].
Рассмотрим, каким образом можно построить схему реализации
нечеткой булевой функции на следующем примере. Пусть требуется
построить схему реализации функции f(x\, х2) = х^х2-(х\У Х2),
обеспечивающую выполнение условия /(хр х2) е [0,4; 0,7), если
х t€ [0,2; 0,6] и х2 € [0,4; 0,8].
Найдем и запишем в таблицу условия, которым должны удовле-
творять входные сигналы х{ и х2 для_того^ чтобы на выходе оказа-
лось выполненным включение хх • х2 • (xi V Х2) е [0,4; 0,7).
154
5. Нечеткие булевы переменные
Введем обозначения: р = • х2, q = xi V Х2, тогда f = p-q. На
основе табл. 5.9 получим табл. 5.10.
Таблица 5.10. Условия выходного сигнала
Условия, обеспечивающие нижнюю границу выходного сигнала / Условия, обеспечивающие верхнюю границу выходного сигнала f
IV IV о о Л Л <=> о 1
- х, х2 > 0,4; xt V x-i > 0,4 х, • х2 < 0,7; xi V Х2 < 0,7
xt > 0,4; х2 > 0,4; *t < 1-0,4; х2< 1-0,4 х( < 0,7; х2 < 0,7; xt >1-0,7; х2 >1-0,7
о о О о~ о Л1 Л1 VI VI , -rH CS СМ М. н V V Л Л о о о о w SP
Легко показать, что сигналы х [0,2; 0,6] и х2 е [0,4; 0,8], посту-
пающие на вход схемы реализации, не обеспечивают нужного сиг-
нала на ее выходе.
Действительно, xt е [1 — 0,6; 1 — 0,2] = [0,4; 0,8],
е [1- 0,8; 1-0,4] = [0,2; 0,6],
( хх • х2 G [min(0,2; 0,4), min(0,6; 0,8)] = [0,2; 0,6],
х\ V X2 € [тах(0,4; 0,2), тах(0,6;0,8)] = [0,4; 0,8],
• х2 • (xi V Х2) € [min(0,2; 0,4), min(0,6; 0,8)] = [0,2; 0,6] [0,4; 0,7).
Чтобы сигналы xt и х2 обеспечивали нужный выход, введем
параметры согласования. Параметры согласования — это множи-
БЗ^Анализфункции нечетких булевых переменных
155
тели входных сигналов, обеспечивающие нижнюю и верхнюю гра-
ницы выходного сигнала:
J** J* J* 1Л 1Л IV IV о о © с сл сп й. К > х1 тщ < 0,7; х2т2< 0,7; xl-mi> 0,3; х2 mi > 0,3.
Поскольку xt > 0,2 , х2 > 0,4 ,
xt < 0,6 и х2 < 0,8, параметры со-
гласования находятся из следующих равенств:
kt =2
0,2=0,4; 0,6 - = 0,7;
0,4 k2 =0,4; 0,8/722 = 0,7; ^ = 1
л
0,6-^ =0,6; 0,2-/Из =0,3; = !
0,8=0,6; 0,4-/и4=0Д- з «4 — Т
Для построения схем
реализации используются следующие эле-
менты:
— устройство параметрического согласования; умножает
входной сигнал на параметр согласования;
— логический элемент, реализующий объединение ин-
тервалов;
— логический элемент, реализующий пересечение интер-
валов;
— логический элемент, реализующий операцию 1 - х;
® — устройство, задающее нижний предел; пропускает сигналы,
удовлетворяющие неравенству р > а ;
®— устройство, задающее верхний предел; пропускает сигналы,
удовлетворяющие неравенству р < Р .
Используя эти элементы, построим схему, реализующую попа-
дание функции /(хр х2) = • х2 • (xi V хг) в интервал [0,4; 0,7)
(рис. 5.3).
Блоки 1 и 2 обеспечивают нижнюю границу промежутка
[0,4; 0,7).
156
5. Нечеткие булевы переменные
Рис. 5.3. Схема реализации попадания функции /(хр х2) = xt • х2 • (xi V хг)
в интервал [0,4; 0,7) при условиях xi 6 [0,2; 0,6) , х2 G [0,4; 0,8)
Блок 1. На вход поступают сигналы х tG [0,2; 0,6] и х2 е [0,4;
0,8]. Проходя через устройства параметрического согласования, они
умножаются на числа = 2 и k2 = 1: kxx [2 • 0,2; 2 • 0,6] = [0,4; 1,2]
и k2x2 G [0,4; 0,8]. Устройство И выполняет операцию пересечения
интервалов: р = k^x^N k2x2 G [0,4; 1,2] П [0,4; 0,8] = [0,4; 0,8].
Блок 2. Сигналы х tG[0,2; 0,6] и х2 g[0,4; 0,8], проходя устрой-
ства параметрического согласования, умножаются на числа k3 = 1 и
— 0,4; — 0,8
4 4
= [0,3; 0,6]. Далее сиг-
налы преобразуются устройством НЕ, которое выполняет операцию
вычитания из 1: k3xt G [1 - 0,6; 1 — 0,2] = [0,4; 0,8] и k4x2 G
G [1 — 0,6; 1 — 0,3] = [0,4; 0,7]. Устройство ИЛИ выполняет операцию
объединения промежутков, выдавая сигнал q = k3x{ V k±x2 G
G [0,4; 0,7] U [0,4; 0,8] = [0,4; 0,8].
5.3. Анализ функции нечетких булевых переменных
157
Сигналы р € [0,4; 0,8] и q е [0,4; 0,8] поступают на устройство И,
выполняющее операцию пересечения промежутков: Н = р f\q£
е [0,4; 0,8] П [0,4; 0,8] = [0,4; 0,8].
Блоки 3 и 4 обеспечивают верхнюю границу промежутка [0,4;
0,7).
Блок 3. Сигналы х jC [0,2; 0,6] и х2 € [0,4; 0,8], проходя через
устройства
7
= « и
о
параметрического согласования, умножаются на числа
'7 7
— 0,2; — 0,6
6 6
14.4,2
6 ’ 6
= [0,2(3); 0,7] и
тхх jE
7 7
— 0,4; — 0,8
8 8
е
= [0,35; 0,7]. Устройство ИЛИ выполняет опе-
рацию объединения интервалов:
р = т.ху т2х2 е [0,2(3);0,7] U [0,35; 0,7] = [0,2(3); 0,7].
Блок 4. Устройства параметрического согласования умножают
3 3
сигналы х te [0,2; 0,6] и х2 е [0,4; 0,8] на числа 17%=— и т4= —:
2 4
3 _ 3
3 3 3 3
т^х te — 0,2; — 0,6 =[0,3; 0,9], w4x2 е — 0,4; - 0,8 =[0,3; 0,6]. Да-
2 2 4 4
2 2
лее эти сигналы поступают на устройства НЕ, выполняющие опера-
цию вычитания из единицы: тп^х^ € [1 - 0,9; 1 - 0,3] = [0,1; 0,7], [0,4;
0,7]. Устройство И выполняет операцию пересечения интервалов:
q - т3х1 А т4х2 е [0,1; 0,7] П [0,4; 0,7]= [0,4; 0,7].
Сигналы р е [0,2(3); 0,7] и q Е [0,4; 0,7] с блоков 3 и 4 проходят
устройство ИЛИ, которое выполняет операцию объединения интер-
валов: G = р V q е [0,2(3); 0,7] U [0,4; 0,7] = [0,2(3); 0,7].
Сигнал Н € [0.4,0.8] проходит устройство, которое задает ниж-
ний предел и пропускает лишь сигналы, не меньшие 0,4. Сигнал
G е [0,2(3); 0,7] проходит через устройство, которое задает верхний
предел и пропускает лишь сигналы, меньшие 0,7. Сигнал h пройдет
через устройство, задающее нижний предел, полностью. Сигнал g
выйдет с устройства, задающего верхний предел, в виде
G € [0,2(3); 0,7). Устройство И на выходе схемы выполнит опера-
цию пересечения промежутков Н е [0,4; 0,8] и G е [0,2(3); 0,7]. Та-
ким образом, на выходе схемы будет сформирован сигнал
f = HKGe [0,4; 0,8]П[0,2(3); 0,7) = [0,4; 0,7).
158
5. Нечеткие булевы переменные
5.4. Лингвистические переменные
«истина» и «ложь»
Нечеткие булевы переменные можно рассматривать как функции
принадлежности термов лингвистической переменной х.
Приведем пример. Пусть х = «прогноз погоды» — лингвистиче-
ская переменная. Терм-множество переменной х включает в себя
термы: «солнечно», «ветрено». Сами синоптики дают оценку своим
прогнозам, к примеру, с точки зрения теории вероятностей и указы-
вают надежность своих прогнозов следующим образом:
О р = «солнечно», р е [0,7;0,8);
О q = «ветрено», q е [ОДО,5);
О h — «пасмурно», h е [ОДО,9).
С точки зрения синоптиков, например, прогнозу «солнечно» сле-
дует доверять на 70 — 80%, аналогично другим прогнозам.
Пусть прогноз на завтра, т. е. значение лингвистической пере-
менной х = «завтра будет солнечно или пасмурно и ветрено». По-
строенное таким образом предложение представляет собой аналити-
ческую булеву функцию от нечетких переменных х = р v q • h. Най-
дем промежуток, в который попадают значения этой функции:
о q-h e[min(0,3; 0,8),min(0,5; 0,9)) = [0,3; 0,5),
о pV qh e[max(0,7; 0,3), max(0,8; 0,5)) = [0,7; 0,8).
На завтра прогноз синоптиков был оценен как «не слишком ис-
тинный», т. е. определенному значению лингвистической перемен-
ной х была поставлена в соответствие модифицированная лингвис-
тическая переменная «истина».
Таким образом, значения лингвистических переменных можно
рассматривать как нечеткие высказывания, к которым применимы
оценки с точки зрения истинности или ложности. Однако эти оцен-
ки сами являются лингвистическими переменными, т. е. именами
нечетких подмножеств множества U = [0, 1].
В обычной бинарной логике оценка истинности высказывания
или предиката имеет лишь два значения: 1 («истина») и 0 («ложь»).
В нечеткой логике такая оценка может принимать любое значение
на отрезке [0, 1]. Значение функции принадлежности нечеткой
переменной р может рассматриваться как результат действия како-
го-либо модификатора на термы «истинно» (Т) или «ложно» (F).
5.4. Лингвистические переменные «истина» и «ложь»
159
Например, ц/р) = 0,5 можно интерпретировать как «we истинно
и не ложно», liy(p) = 0,6 — «не слишком истинно», цХр) = 0,6 ~
«слегка ложно» и т. п.
Приведем типичный график функций принадлежности лингвис-
тических переменных «истинно» и «ложно» (рис. 5.4) [2].
0,2 0,4 0,6 0,8 1,0
Рис. 5.4. Функции принадлежности лингвистических переменных
«ложь» и «истина»
Значения истинности переменной Х= р v q • h е [0,7; 0,8) отме-
чены на рис. 5.4 штриховкой. Как видно на рис. 5.4, промежутку
[0,7; 0,8) на оси и соответствует промежуток [0,15,0,65) на оси ц, т. е.
истинность прогноза синоптиков X = «завтра будет солнечно или
пасмурно и ветрено»= pv q h е [0,7; 0,8) оказалась весьма невысо-
кой: е [0,15;0,65), что и может соответствовать терминам «не
слишком истинно», «истинность прогноза весьма низкая» и т. п.
Функции принадлежности лингвистических переменных «исти-
на» и «ложь» симметричны относительно прямой и = 0,5 (см. рис.
5.4). При работе с этими функциями можно применять формулы:
М* чистина*
1 . .
= - 1 + sin — •
2[ [2
п 2х — 1 — а{
12 1-а
1
И" «ЛОЖЬ.
1 - а, - 2х
1-а(
хе[а„ 1]; (5.11)
хе[0, 1-а,];
(5.12)
где at е (0,1) — параметр, задаваемый экспертом.
160
5. Нечеткие булевы переменные
Контрольные вопросы
1, Дайте понятие булевой переменной, формулы булевой алгебры,
основных операций над булевыми переменными.
2. Дайте понятие нечеткой булевой переменной.
3. Что называют функцией нечетких булевых переменных?
4. Какие функции нечетких булевых переменных над тождествами?
5. Какие функции нечетких булевых переменных называют анали-
тическими?
6. В чем заключается смысл анализа аналитических функций не-
четких булевых переменных?
7. Дайте понятие лингвистических переменных «истина» и «ложь».
Приведите примеры функций принадлежности этих переменных.
Задания для самостоятельной
работы
1. Функции нечетких булевых переменных заданы формулами:
/t(Xp х2, хз) = хх V Х2 V xtx3 , /2(хр Х2’ хз) = V Х2 V Х1Х3 ,
/3(Хр х2, хз) = XjX2X3 V XtX3 , f4(xt, х2, хз) = Xi V Х2 V Хз V xtx2x3...
Требуется:
1) упростить формулы;
2) найти значения функций, если xt = 0,4, х2 = 0,4, х3 = 0,9.
2. Функции нечетких булевых переменных заданы формулами:
/(Хр х2) = Xi V x2xi V х2, f2(xv хг) = xiX1 v Х2Х2>
/з(ХР Хг) = Х1Х2 V XlX2 ’ A(XV Х2> = Xl V Х2Х1Х^ -
/5(Хр х2) — ХхХ2Х\ V х2 .
Требуется:
1) упростить формулы (если это возможно);
2) построить таблицы значений функций;
3) записать множества истинности предикатов / е [0,4; 0,8) i =
1, 2, 3, 4, 5 и дать их геометрическую интерпретацию;
Задания для самостоятельной работы
161
4) построить схемы реализации каждой функции, если е [0,2;
0,5), х2 е [0,5; 0,9).
3. Выступая в роли эксперта, оцените истинность и ложность еле*
дующего рекламного текста: «Здесь Вы можете приобрести то-
вар по Вашему вкусу и очень недорого», если заказчики рекламы
так оценивают достоверность ее высказываний:
р ~ «Вы можете приобрести товар по вашему вкусу» е [0,6; 0,8),
q ~ «Вы можете приобрести товар очень недорого» е [0,3; 0,9).
4. С помощью формул (5.11) и (5.12) рассмотрите несколько значе-
ний параметра ах. Сформулируйте ваши заключения с помощью
модифицированных термов «истина» и «ложь».
6. Лабораторные работы
6.1. Лабораторная работа 1.
Нечеткие множества и операции
над ними
Задача 6.1
Дано множество W = {alf а2, ... «3} и Два его нечетких подмножества:
X = {х, щ(х)} и Y = {у, ц2О)}, X у е IV:
«1 «2 «3 «4 «5 «6 «7
Ц1СО 0,1 0,6 0,9 1 0,5 0,8 0,4 0,5
Ца(г/> 0,7 0,5 1 0,6 0,4 0,3 0 0,2
Требуется:
1) представить X и У геометрически;
2) найти функции принадлежности и представить геометрически
множества: X, У, X U У, X П У, X ® У ;
3) найти расстояние между множествами X и У:
• абсолютное и относительное расстояние Хемминга,
• абсолютное и относительное Евклидово расстояния;
4) найти подмножества (обычные), ближайшие к X и У. Вычислить
индексы нечеткости X и У.
Решение. Приведем решение задачи в электронной таблице Excel
(рис. 6.1-6,3).
6.1. Лабораторная работа 1. Нечеткие множества и операции над ними
163
Рис. 6.1. Геометрическая интерпретация решения задачи
0 1 0.6 ’o> 1 О/ 0,8 0.4* O.5 | |
Е/Ш _ 0,~ 0/ 1 0.6 0,4 0 3 0 0,2
4 (л) = пш1(П1(.г),аэСт)) 0.1 * 6/ б» 0,6 0.4 0.3 0.0 0.2 ^MlIHiK.BA) я.
5 (A) = O' 0.6 1.0 1.0 0,5 0.8 0.4 0.5 «МАКС№2.ВЗ)
ь- 09 0.4 0,1 0.0 05 0.1 0,6 0,5 . :ц1-В2
7 >/y(v) = !-,//, (г) 0.3 0.5 0.0 0.4 0.6 0,7 1,0 0.8 «1ВЗ-.
0 У'ГпГ 0Л 0.4 0,1 0.0 0.4 0.2 0.0 0.2
9 I'AfvF 03 0,6 0,9 1.0 0.6 0,8 1,0 0.8 .^ЫАКС(В2,В>’1
10 '<UX^Y 0.1 0,5 0.0 0.4 0,5 0,7 0,4 03
, 1 = 2W_ fi.9 (1.5 0,1 0.4 0.5 0.7 0.6 05 »МАКС(В6310}
0,6 0.1 0.1 0.4 0.1 0.5 0.4 0.3 ' '*-АВ5(В2-Ю)
0,4 00 00 0,2 0,0 6,3 02 0.1 !«ДЙ.Щ
14 j/A>l (v) 0.0 1.0 1.0 1.0 1.0 1,0 00 1II ..... ,‘=ОКРУГЛ<В2.0)
15 WV* 1,0 1.0 1.0 1.0 0.0 0.0 0.0 0.0
w :<b- *<> 0.1 04 0,1 0,0 0,5 0.2 0.4 0.5 >АДВ8(Ш-Ы4)
17 ;<*У- Уо J • Il , " I I ° 1 i- , •11. 11 '' - -7-
wi Oi
Рис. 6.2. Решение задачи в Excel (и. 2)
164
6. Лабораторные работы
«______________________________
$7'; Абсолютное расстояние по Хеммингу
Д^Абсолютное расстояние по Евклиду
^^Относительное расстояние по Хеммингу
ОнОтмосительное расстояние по Евклиду
_______________________7
$3! Индекс нечёткости X по Хеммингу
IW; Индекс нечёткости Y по Хеммингу
|С...
2.5000
1.0247
0.3125
0,3579
____2,2
____2,1
0,55
0,525
....
,«КОРеНЫСУММ(В13;ИЗ))
^Б87В________________
м<орень(89&В)
>СУММ(81В:Н&)
~СУММ(Б17Л7)
-*6102/8*2
ж;....
ж
..
Рис. 6.3. Решение задачи в Excel (п. 3, 4)
Вариант 1.1
Таблица 6.1. Варианты заданий
а2 «3 «4 «5 а6 «7 «8
ЦиСО 0,2 0,8 0,5 1 0 0,9 0,3 0,4
Шг(у) 0,7 0 0 0,6 °’4 1 0 0,4
Вариант 1.2
at а2 «3 «4 «5 йб «7 «8
Ри(х) 1 0,6 0,3 0 0 0,5 0,5 0,9
Ц|2<г/) 0,7 0,4 0 0,5 0,8 1 1 0,6
Вариант 13
Л1 а2 ЙЗ «4 «5 «7 «8
PiiW 0,5 0,3 0 0,8 0,9 1 0,4 0,2
Му) 0,5 1 1 0,8 0,4 0 0 0,5
6.1. Лабораторная работа 1. Нечеткие множества и операции над ними
165
Вариант 1.4
01 а2 аз «4 а5 ав а7 а8
0 0 0,7 0,6 0,1 0,5 0,8 1
0,5 0,3 0 0,6 0,7 1 0,7 0,5
Вариант 1.5
01 а3 «4 05 а6 0? а8
Ш1(*) 0,4 0,7 0,2 0 0,3 0,7 1 0,7
0,5 0,1 0 0,5 0,7 0,9 1 1
Вариант 1.6
01 а2 аз «4 а8 а8 07 а8
1 1 0,6 0 0,7 0,4 0,1 0
Ц«(г/) 0,6 0,9 0,5 0,3 0 0,5 1 0.7
Вариант 1.7
at а2 а3 04 а3 at 07 а8
IMW 0,5 0,8 1 0,4 0 0 0,2 0,6
И12(г/) 0,5 0,2 0,1 0 0 0,6 0,8 0,6
Вариант 1.8
at а2 аз 04 а$ Об а7 а8
1 0,5 0,6 0,9 0 0,5 0,4 0,2
0 0,7 0,8 0,9 0,5 1 1 0
166
6. Лабораторные работы
Вариант 1.9
ai d2 д4 а5 «в а7 08
р-иСО 0,6 0,4 0,8 0,5 0,9 0,3 0 0,2
Ни(г/) 0,8 0,6 0,9 1 1 0,3 0 0
Вариант 1.10
«1 а2 ^3 ^4 а5 «в й7
0,4 0,5 0,2 0 0,5 0,7 0,9 1
0,4 0,2 0,6 0,9 1 0,7 0,3 0,1
Упражнение. Индексы нечеткости по евклидовой метрике вычис-
лите самостоятельно по аналогии.
6.2. Лабораторная работа 2.
Нечеткие числа и операции над ними
Задача 6.2
При анализе продажи четырех различных магазинов было отмечено:
О магазин А обеспечивает уровень продаж в течение месяца на
сумму от 40 до 100 тыс. руб. в зависимости от спроса, но с наи-
большей вероятностью можно ожидать сумму продаж от 50 до
70 тыс. руб.;
О магазин В надежно обеспечивает высокий уровень продаж на
сумму от 100 — 110 тыс. руб. в месяц;
О магазин С ненадежен и обеспечивает уровень продаж не более
20 тыс. в месяц;
О расходы D составят около 50 — 100 тыс. руб., но наиболее веро-
ятна выплата 80 тыс. руб.
Таким образом, имеем три источника доходов и один источник
расхода. Построим на основе их описаний трапециевидные функции
принадлежности для каждой из четырех нечетких переменных
(табл 6.2).
6.2. Лабораторная работа 2. Нечеткие числа и операции над ними
167
Таблица 6.2. Интерпретация нечетких переменных
После задания всех нечетких переменных, встает задача опреде-
ления суммы всех доходов от продаж, которая также будет нечеткой
величиной. Для этого надо уметь выполнять простейшие арифмети-
ческие операции над нечеткими переменными.
Определение этих операции рассмотрим для случая двух нечет-
ких переменных, Ди Г2, которые заданы своими трапециевидными
функциями принадлежности вида
168
6. Лабораторные работы
Д =(Щ-"гРарР1)> *
Л = (п^,in,,а2,^2). !
Результатом операции будет также нечеткая переменная А =
= (/и,йг,а,Р), которая также имеет трапециевидную функцию при-
надлежности, параметры которой определяются в зависимости от
типа арифметической операции (табл. 6.3).
Таблица 6.3. Арифметические операции
Операция Зависимости параметров функций принадлежности
л = Д(+)Д m = т — т^А-п^, а — щ + а2, Р = Pi +Р2-
А = Д(-)Д т = тх -т?, т = тх~т.2, а - а, + Р2, (3 = р, + а2.
А = Д(х)Д Ш Щ , ТП = ТПХ *7^, а = тх +т2-(т1 -а2), р = (тх + р() * (га, + р2) - тх * пц.
А = Д(/)Д т = /Tfy, т = тг / а = тх * р2 4- гщ * /(п% + * Р2), • р = т{ * pt 4- гп{ * а2 /(п£ -+ й^ *а2).
На основе приведенных выше описаний арифметических опера-
ций для рассматриваемого примера можно определить оценку дохо-
да от продаж без учета расходов (F) как сумму трех источников до-
хода. Причем результат будет также нечеткой переменной с трапе-
циевидной функцией принадлежности:
F = А (+)В(+)С=(50+100+0, 70+110+0,10+0+0,30+0+20) =
= (150, 180, 10, 50).
Для получения оценки чистого дохода необходимо из F вы-
честь D:
F-D = (150-80, 180-80, 10+20, 50+30)=(70, 100, 30, 80).
Таким образом, чистый доход составит от 40 до 180 тыс. руб., но
с наибольшей степенью уверенности можно говорить от 70 до
100 тыс. руб.
Упражнение. Реализуйте решение этой задачи в Excel.
6.2. Лабораторная работа 2. Нечеткие числа и операции над ними 169
Задача 6.3
Крупный московский автодилер торгует автомобилями популярной
французской марки. Большую часть времени продажи автомашин
колебались от 4 до 7 в неделю, в конце ноября и начале декабря бы-
ла проведена рекламная акция общей стоимостью 30 тыс. долларов,
в результате продажи автомашин выросли и составили около 16 ав-
томобилей в неделю. Удельная прибыль от продажи каждого авто-
мобиля составила 1,5 тыс. долл. Время действия акции 3 недели.
Оценить эффективность проведенной рекламы.
Решение. Построим модель оценки эффективности рекламы по
самому простому критерию — увеличению объема продаж.
Выберем сначала переменные, значимо влияющие на эффектив-
ность рекламы с точки зрения выбранного критерия, и учтем, что
они являются функциями времени:
О P(t) — совокупные продажи некоторого товара или услуги;
О q(t) — удельная прибыль, т. е. сумма, зарабатываемая нами на
продаже каждой единицы товара или услуги;
О C(t) — совокупная стоимость рекламной кампании.
Коэффициент эффективности рекламной кампании может быть
вычислен по формуле
£ = Д5(р = S2(t)-S\t) = Р2(0 ^(О-Р/0 g(0
1 ' C(t) C(t) C(t)
где 5i(t), 52(0 — совокупная прибыль от рекламной кампании, по-
лученная от продаж некоторого товара или услуги до и после рек-
ламы; Р/0, Р2(0 — совокупные продажи некоторого товара или
услуг до и после рекламной кампании соответственно.
Полученная формула в математике называется функционалом,
поэтому эффективность рекламы можно оценить как некоторый
функционал. Из анализа формулы следует, что
О если 0 < E(t) < 1 — рекламная кампания не эффективна, т. е. при-
рост продаж не оправдал средств, затраченных на рекламу;
О если E(t) > 1 — рекламная кампания эффективна.
Рассмотрим пример оценки показателя рекламной эффективно-
сти, основанный на предлагаемом подходе.
Кодируя продажи в неделю как некоторые трапециевидные
и треугольные нечеткие числа, используя правила операций над
170
6. Лабораторные работы
трапезоидными числами, получим, что коэффициент эффективности
рекламы имеет следующее интервальное значение: 1,3 < E(t) < 1,9.
Упражнение. Реализовать задачу в Excel.
6.3. Лабораторная работа 3.
Моделирование экономических
процессов и явлений с помощью
аппарата теории нечетких множеств
Задача 6.4. Вывод на рынок новой марки
товара1
Решение задачи о выводе на рынок новой марки товара состоит из
двух этапов:
1) построение подходящей обычной (четкой) математической модели
с ожидаемыми наиболее вероятными (четкими) параметрами;
2) преобразование четкой математической модели в нечеткую, пу-
тем размывания параметров, т. е. представление параметров не-
четкими числами.
В качестве четкой математической модели рассмотрим оценку
эффективности инвестиционного проекта. Проект состоит в созда-
нии производства некоторого вида продукции в районе, отдаленном
от иногородних производителей этой продукции, и вывода новой
марки товара (в дальнейшем — товара) на рынок [12] при условии,
что товар поставляется на местный рынок иногородней фирмой.
Используются следующие обозначения:
О t — время, прошедшее с момента выхода на рынок товара местно-
го производства;
О L(t) — планируемый объем продаж товара местного производства
за месяц;
О K(t) — объем продаж завозимого товара иногороднего производ-
ства за месяц;
О F(t) — суммарный объем продаж товара местного и иногороднего
производства за месяц.
1 www.aup.ru/artices/marketing/15.htp
Лабораторная работа 3. Моделирование экономических процессов
171
Суммарный объем продаж F(t) удобно представить в следующем
виде:
L(t) + K{t) = F(t) = F^(t\ (6.1)
где Fmax — максимальный суммарный объем месячных продаж;
d(t) — функция сезонности спроса, т. е. относительных объемов про-
даж, изменяющаяся от 0 до 1. Значения Fmax и d(t) определяются
в результате маркетинговых исследований.
Введя новые обозначения:
О L(t) / F(t) = j(t) — удельный объем товара местного производст-
ва;
О K(t) / F(t) = y(t) — удельный объем товара иногороднего произ-
водства,
получим упрощенную формулу:
ЛО+у(О = 1. (6.2)
Функцию j(t), отражающую динамику продаж товара, предста-
вим в виде
яо =;тах^(о, (б.з)
гДе Утах — максимальная доля товара местного производства от всего
товара данного вида, который реализуется в районе; R(t) — некото-
рая функция (профильная кривая). Поскольку R(t)= спра-
ведливо неравенство: 0 < R(t) < 1.
Как показывают маркетинговые исследования, достаточно хоро-
шее (и простое) приближение профильной кривой R(t) достигается
накопительной функцией распределения Вейбулла:
R(t) = 1 - exp [(-(? / />)Э1. (6-4)
принимающей значения от 0 до 1 и имеющей параметры rub.
Параметр г определяет форму кривой R(t), поэтому его называют
параметром формы. Если принять г = 2, то это обеспечит кривой
R(t) необходимую гладкость. Из формулы (6.4) следует, что пара-
метр Ь, находится в обратной связи с ростом продаж: чем больше Ь,
тем медленнее нарастают продажи местного товара.
Параметр b можно определить по характерной точке на кривой
R(t), например, в момент времени £05, когда новая торговая марка
займет 50 % своего предельного долевого уровня jmax на местном
рынке. При R(t) = 0,5 и г = 2 из равенства (6.4) имеем
6 = t05/Vln2. (6.5)
172
6. Лабораторные работы
Учитывая, что L(t) / F(t) = j(t), а также равенства (6.1), (6.3)
и (6.4), получаем окончательную математическую модель натураль-
ного объема продаж товара местного производства:
i(o = ^(o^fi-3rj. (6.6)
Именно планируемый объем продаж L(t) является целевой
функцией модели.
Риск инвестирования проекта связан с размытостью (нечетко-
стью) экзогенных параметров модели. Для оценки риска примем
следующие допущения:
1) все экзогенные параметры представляют собой нечеткие тре-
угольные числа;
2) для каждого экзогенного параметра а функция принадлежности
ц(а) свое наибольшее значение, равное 1, принимает в точке а —
— а0, где а0 — значение параметра а, определенное в результате
экспертных оценок: ц(а) = 1.
Пусть инвестор задал уровень а, который можно рассматривать
как уровень достоверности наших рекомендаций. Потребуем, чтобы
для каждого экзогенного параметра а выполнялось неравенство
ц(а) > а. Вычислим в этих предположениях интервал размытости
целевой функции L(t). Именно этот интервал и является мерой рис-
ка инвестирования проекта при заданном инвестором уровне функ-
ции принадлежности р(а) > а.
Пример. Пусть а = 0,8 — уровень достоверности, предъявляемый
инвестором к нашим расчетам, начало исследования — апрель. Тре-
буется оценить риск инвестирования проекта, используя в качестве
меры риска степень размытости натурального объема продаж товара
местного производства:
Экспертные оценки параметров модели:
=3 (млн ед./мес.);
Утах = h = 0<7; • ;
Zo>5 = t0= 4 мес.;
b = £0 />/1п2 ;
</0(О задана табл. 6.4.
Лабораторная работа 3. Моделирование экономических процессов
173
Таблица 6.4. Функция сезонности спроса
t — — - 0 1 2 3 4 5 6 7 8
Месяц I II Ill IV V VI VII VIII IX X XI XII
4(0 0,92 0,85 1,00 0,77 0,62 0,54 0,50 0,58 0,65 0,65 0,73 0,85
Согласуем с экспертами интервалы размытости каждого пара-
метра. Пусть в результате согласования имеем
mMe[O,5Fo; l,5F0] = [1,5; 4,5];
j [07Л; 1.3;0] - [0,49; 0,91]«[0,5; 0,9];
t o,5^ [O,75£o; l,25£0 ] = [3; 5];
e [rfmin(O, dmax(t)] = [0,5; 1]; t = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.
Рис. 6.4. Графики функций принадлежности экзогенных параметров математической
модели натурального объема продаж «местного» товара
На рис. 6.4 показаны графики функций принадлежности экзо-
генных параметров Fmax, jmax, £05. Для записи этих функций использу-
ем уравнение прямой в виде
*/ = —-—(х-х() + ^,
х2 -хг
где (хь уА), (х2, у2) — координаты двух точек, через которые прохо-
дит прямая. Имеем
^^(Ттах -1,5) + 0; 1,5 < Fmax < 3,0
Z 77 \ 3,0 -1,5
ц( т“)~ 0-10
- 3,0) +1,0; 3,0 < Fmax < 4,5
4,5 — 3,0
174
6. Лабораторные работы
Р>0,5 ) —
-1-0; l,5<Fmax<3,0
I?*-)
-^ти+3,0; 3,0<Fm„<4,5;
1,5
- 0,5) + 0; 0,5 < 7пвх < 0,7
^=^-(;тм - 0,7) +1,0; 0,7 < 7та1 < 0,9
5,07ти -1,0; 0,5<7явх<0,7
’ -5,07ти+4,5; 0,7 < 7тах < 0,9;
^7^Go,o5-3,O) + O; 3,0<г0.5 <4,0
j^f^(t005-4,0) + l,0; 4,0<t05<5,0
_ >0,5 — 3,0; 3,0 <^5 <4,0
~^о,5 “Ь 5,0; 4,0 < t0 5 < 5.
Положив а = 0,8 найдем множества a-уровня нечетких чисел
^max> jmaxJ ^0,5* 5 ' г
№ах)>а^№ах)>0,8^
77^х-1>0,8; 1,5<Fmax <3,0
lj о
10
"iV-nax +3>0,8; 3,0<7^ <4,5
1} о
Хх >2,7; 1,5 <^<3,0
^<3,96; 3,0<Fmax<4,5
=>2,7 <Fmax< 3,96;
НС’пшх) > «=* иОп^) > 0,8 =>
5,07тах —1,0 > 0,8; 0,5<7пих<0,7
-5,07пих + 4,5 > 0,8; 0,7<7тах<0,9
Л™ >0,36;
Лах<0,74;
0-5 < Ут»
0,7 < 7ти
<0,7^
Лабораторная работа 3. Моделирование экономических процессов
175
=Ф 0,36 <^<0,74;
И(^пах • Утах ) > « =* К^пах ' Лах ) > 0,8 44
4Ф 2,70 • 0,36 < FmdX • jmax < 3,96 0,74 =4 0,9720 < • jmax < 2,9304;
|Ж,5) > a => g(£0 5) > 0,8 =4
t0>5 - 3,0 > 0,8; 3,0 < t0 5 < 4,0
-£os + 5,0 > 0,8; 4,0 < t0 5 < 5,0
>3,8;
Найдем отрезок, в который отображается множество а-уровня
нечеткого числа t0i5 накопительной функцией распределения Вей-
булла
R(t)=( 1 — exp[-(t Vln2 /105 )2] = 1 - exp ‘°5 .
Множество a-уровня нечеткого числа £05: ц(£0 5) > 0,8 44
44 3,8 < £05 < 4,2.
Согласно принципу обобщения, имеем
р(£25) > 0,8 44 3,82 < t23 < 4,22 44 14,44 < £25 < 17,67 ;
р(£2 • > 0,8 44 0,0392Г2 < ln2. 'r2 < 0,0480£2;
^0,5 ^0,5
р(е1п 2 • rV ) > 0,8 44 е-0,0480'2 < е'1п2'%’ < е-°’0392‘2;
/ ^0,5
Ц(Я(0) > 0,8 & 1 - е"0’0392'2 < R(t) < 1 - е"0’0480'2 .
Получим формулу множества a-уровня значений d(t), заданных
таблично с учетом включения d(t) е [0,5; 1]. Введем обозначение:
d0(t) = dQl d(t) = d. Тогда функция принадлежности нечеткого числа
d имеет вид
p(J) =
1,0 d§
176
6. Лабораторные работы
Множество а -уровня нечеткого числа d
ц( d) > (W
1’0 (d - 0,5) > а; 0,5 < d < t/0
uq 0,5
—^-(J-</(,) +1,0 > а; </0<</<l,0
1,0 Uq
d > a(rf0 — 0,5) 4- 0,5; 0,5 < d <
d < (1 - a)(l - d0) 4- d0; d0 < d < 1
=> arfn 4- 0,5(1,0 - a) < d < arf0 4- (1,0 - a).
При a = 0,8: O,8Jo + 0,1 < d < O,8Jo + 0,2,
Таким образом, имеем
0,9720 <Fmax 7max <2,9304,
R{ - 1 - e-°’0392f2 < R(t) < 1 - e-°’0480? = R2,
d{ = O,8Jo + 0,1 < d < O,8Jo 4- 0,2 = d2.
Следовательно, для каждого момента времени t натуральный
объем продаж товара местного производства L(t) = T7max/max/?(0 d(t)
«размывается» до множества a-уровня (а ~ 0,8):
Ц = 0,9720(1 - е'0 0392*2 )(O,8rfo 4- 0,1) < L(t) <
< 2,9304(1 - е’0 0480*2 )(O,8rfo + 0,2) = L2. (6.7)
Используя формулу (6.7), найдем множества a-уровня величины
L(t) для t — 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. Найдем также «четкие» значения
L(t) по формуле
— Fq • jQ
<Х0 = 2,1(1-е-°МЗЗ(2)Ч(О- (6-8)
Расчеты оформим в виде табл. 6.5.
Упражнение. Даны параметры модели натурального объема про-
даж товара местного производства Fmax, 7шах, и £0)5- Используя значе-
ния функции сезонности спроса d(t) (табл. 6.6), найти для указан-
ных месяцев множества a-уровня (Zb Z, Z2) натурального объема
продаж товара местного производства.
Таблица 6.5. Множества a-уровня (а = 0,8) натурального объема продаж местного товара (£х, L2t L3)
t ЖО = l-e-0’0433^ 4t(O l-e-°'0392f2 d,^ = гЬ 0,1 Я2=1-е-°’0480'2 = 0,8<Zq 4- 0,2 А L h
0 0 0,77 0 — 0 — 0 0 0
1 0,0424 0,62 0,0384 0,596 0,0469 0,696 0,0222 0,0552 0,0868
2 0,1590 0,54 0,1451 0,532 0,1747 0,632 0,0750 0,1803 0,3235
3 0,3227 0,50 0,2973 0,500 0,3508 0,600 0,1445 0,3388 0,6168
4 0,4998 0,58 0,4659 0,564 0,5360 0,664 0,2554 0,6088 1,0429
5 0,6612 0,65 0,6247 0,620 0,6988 0,720 0,3765 0,9025 1,4774
6 0,7696 0,65 0,7561 0,620 0,8224 0,720 0,4556 1,0505 1,7352
7 0,8802 0,73 0,8535 0,684 0,9048 0,784 0,5674 1,3493 2,0787
8 0,9374 0,85 0,9186 0,780 0,9537 0,880 0,6964 1,6732 2,4593
Таблица 6.6. Варианты заданий
Параметр Номер варианта
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Fmax млн ед. 3,2 3,3 3,5 3,6 3,7 3,8 3,9 4,0 4,1 4,2
Лпах 1,0 0,9 0,8 0,7 0,6 1,0 0,9 0,8 0,7 0,6
f0,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0
Месяцы 1-5 2 -6 3-7 9-12, 1 10-12, 1, 2 И, 12, 13 12,1-4 1-5 2-6 1-3, И, 12
а 0,7 0,75 0,8 0,85 0,9 0,7 0,75 0,8 0,85 0,9
178 б. Лабораторные работы
Задача 6.5. Анализ риска банкротства1
Требуется дать количественную оценку истинности экспертного
заключения о риске банкротства предприятия.
Решение. Введем лингвистическую переменную g = «риск бан-
кротства предприятия». Универсальным множеством для перемен-
ной g является отрезок [0, 1], а множеством значений переменной
g — терм-множество G — {Gb G2, G3, G4, G5}, где
О Gt = «предельный риск банкротства»;
О G2 = «степень риска банкротства высокая»;
О G3 = «степень риска банкротства средняя»;
О G4 = «низкая степень риска банкротства»;
О G5 = «риск банкротства незначительный».
Каждый терм из множества G является именем нечеткого под-
множества на отрезке [0, 1]. Будем рассматривать эти нечеткие под-
множества как трапециевидные нечеткие числа (рис. 6.5).
Рис. 6.5. Функции принадлежности подмножеств терм-множества g
Составим таблицу функций принадлежности каждого терма
(табл. 6.7), используя формулу функции принадлежности трапезо-
идного нечеткого числа х = (aif а2, а3, ал):
1 ww.aup.ru/articles/finance/htm
Лабораторная работа 3. Моделирование экономических процессов
179
0, если X ' <av
х- at если «1 < х< б?2 j
«2 -Й, ’
р.(х) = 1, если < X < аз>
если о3 < X < а,;
а ч Jb
0, если XZ >а>-
(6.9)
Таблица 6.7. Функции принадлежности подмножеств Терм-множества д
Терм Gk Функция принадлежности нечеткого множества Gk
G5 ~ «риск банкротства незначительный» G5 € [0; 0,25] Н5 = 1, если 0 < g < 0,15 10(0,25 - g), если 0,15 < g < 0,25
G4 - «низкая степень риска банкротства» G4 6 (0,15; 0,45] 1 -10(0,25 - g), если 0,15 < х < 0,25 1, если 0,25 < х < 0,35 10(0,45 —g), если 0,35 < х < 0,45
G3 — «степень риска банкротства средняя» G3 е (0,35; 0,65] Из = 1-10(0,45-g), если 0,35 <х< 0,45 1, если 0,45 < х < 0,55 10(0,65 - g), если 0,55 < х < 0,65
G2 — «степень риска банкротства высокая» G2 € (0,55; 0,85] ц2 - 1 -10(0,65 - g), если 0,55 < х < 0,65 1, если 0,65 < х < 0,75 10(0,85 - g), если 0,75 < х < 0,85
— «предельный риск банкротства» Gj € [0,75; 0,1] Hi = 1 -10(0,85 - g), если 0,75 < g < 0,85 1, если 0,85 < g < 1
ПРИМЕЧАНИЕ-----------:--------------------------------------
В формулах функций отброшены интервалы, на которых функция принад-
лежности принимает нулевое значение.
180
6. Лабораторные работы
Значение функции принадлежности будем рассматривать как
меру истинности терма Например, если было установлено, что
g = 0,62, то отличную от нуля функцию принадлежности имеют два
терма: G3 — «степень риска банкротства средняя» и G2 — «степень
риска банкротства высокая». При этом
ц3(0,62) = 10(0,65 - g)| g=0;62= 0,3 и
Ш(0,62) = 1 -10(0,62 - g)| g=0.62= 0,7 .
Таким образом, для g = 0,62 высказывание «степень риска бан-
кротства высокая» является «более истинным», чем высказывание
«степень риска банкротства средняя».
Заключение о риске банкротства эксперт делает на основании
анализа финансовых показателей предприятия. Показатели следует
выбирать так, чтобы рост каждого отдельного показателя Xt был
сопряжен со снижением степени риска банкротства, с улучшением
самочувствия рассматриваемого предприятия. Если для какого-либо
финансового показателя наблюдается противоположная тенденция,
* то в анализе его следует заменить сопряженным.
Пусть эксперт выбрал систему из шести следующих показателей:
О Х{ — коэффициент автономии (отношение собственного капитала
к валюте бизнеса);
О Х2— коэффициент обеспеченности оборотных активов собствен-
ными средствами (отношение чистого оборотного капитала к обо-
ротным активам);
О Х3 — коэффициент промежуточной ликвидности (отношение
суммы денежных средств и дебиторской задолженности к крат-
косрочным пассивам);
О Х4 — коэффициент абсолютной ликвидности (отношение суммы
денежных средств к краткосрочным пассивам);
о Х5 ~ оборачиваемость всех активов в годовом исчислении (от-
ношение выручки от реализации к средней за период стоимости
активов);
О Х6 — рентабельность всего капитала (отношение чистой прибыли
к средней за период стоимости активов).
Каждый финансовый показатель — числовая переменная, или, по-
другому, переменная, принимающая свои значения на определенном
числовом промежутке. Каждую из этих числовых переменных будем
Лабораторная работа 3. Моделирование экономических процессов
181
рассматривать как множество носитель лингвистической перемен-
ной Д, состоящей из следующих термов:
О Bit — «очень низкий уровень показателя Х,>;
О Bi2 — «низкий уровень показателя Хг»;
О В^ — «средний уровень показателя
О Bi4 — «высокий уровень показателя Хр;
О В^ — «очень высокий уровень показателя Х{».
Примем, что каждая лингвистическая переменная имеет трапецие-
видную функцию принадлежности, которая может быть определена
четверкой чисел: х = (aif а2, а4), т. е. функция принадлежности
каждого терма By имеет вид (6.9).
Экспертные оценки всех термов By, (г = 1, 2, 3, 4, 4, 6, j = 1, 2, 3,
4, 5) даны в табл. 6.8.
Таблица 6.8. Экспертные оценки финансовых показателей предприятия
Показатель Терм
Вл в.2 ви ва
(0; 0; 0,1; 0,2) (0,1;0,2; 0,25; 0,3) (0,25; 0,3; 0,45; 0,5) (0,34; 0,5; 0,6; 0,7) (0,6; 0,7; 1; 1)
х2 (-1; -1; -0,005; 0) (-0,005; 0; 0,09; 0,11) (0,09; 0,11; 0,3; 0,35) (0,3; 0,35; 0,45; 0,5) (0,45; 0,5; 1; 1)
Хз (0; 0; 0,5; 0,6) (0,5; 0,6; 0,7; 0,8) (0,7; 0,8; 0,9; 1) (0,9; 1; 1,3; 1,5) (1,3; 1,5; °°; оо)
(0; 0; 0,01; 0,03) (0,03; 0,03; 0,08; 0,1) (0,08; 0,1; 0,3; 0,35) (0,3; 0,35; 0,5; 0,6) (0,5; 0,6; оо; оо)
Х5 (0; 0; 0,12; 0,14) (0,12; 0,14; 0,18; 0,2) (0,18; 0,02; 0,3; 0,4) (0,3; 0,4; 0,5; 0,8) (0,5; 0,8; OOJ оо)
*6 (—о°; —0; 0) (0; 0; 0,006; 0,01) (0,006; 0,01; 0,06; 0,1) (0,06; 0,1; 0,225; 0,4) (0,225; 0,4; оо’ оо)
Из данных, приведенных в табл. 6.8, и формулы (6.9) следует,
что если, к примеру, Х3 = 0,78, то состояние этого показателя мо-
жет быть оценено как В32 = (0,5; 0,6; 0,7; 0,8) — «низкий уровень
показателя Х3» или как В33 = (0,7; 0,8; 0,9; 1) — «средний уровень
182
6. Лабораторные работы
v ТТ *“0,8 “0,02 АП
показателя Х3». При этом ц32 = ------------ =---------= 0,2 —
0>7-0,8х=078 -0,1
„ лг — 0,7 0,08 АС
оценка истинности В™; =------- =---------= 0,8 — оценка
32 33 0,8 - 0,7 х=0 78 0,1
ИСТИННОСТИ В33.
Теперь необходимо перейти от финансовых показателей X = (Хь
Х2, Х3, Х3, Х5, Х6) к высказываниям о степени риска банкротства
предприятия G ~ (Gb G2, G3, G4, G5).
Для формирования правила перехода от значений финансовых
показателей к лингвистическим переменным Gf надо проранжиро-
вать финансовые показатели по степени их вклада в риск банкрот-
ства предприятия, т. е. сопоставить каждому показателю Х{ его вес гг,
определяющий вклад показателя в меру риска банкротства пред-
приятия.
Если веса показателей упорядочены, т. е. имеется информация
о том, что > г2 > ... > гп, и более никакой информации об этих ве-
личинах нет, то вес определяют по правилу Фишберна:
2^-zJ-l)
(п — 1)п
Оценка (6.9) соответствует максимуму энтропии наличной ин-
формационной неопределенности об объекте исследования.
Если показатели равнопредпочтительны или системы предпочте-
ний нет, то будем считать, что они обладают равным весом:
г=-. (6.11)
п
Для выбранных выше показателей Xi9 I = 1, 2, 3, 4, 5, 6 примем
формулу (6.11):
6’
При выбранной системе весов показателей, согласно [12], прави-
ло перехода от значений финансовых показателей к весам термов
лингвистической переменной g имеет вид
б
* = 1,2, 3,4, 5. (6.12)
»=1
Лабораторная работа 3. Моделирование экономических процессов
183
Вычислив наблюдаемые веса каждого терма лингвистической пе-
ременной G., получим значение самой переменной g по формуле
5 _
£ = £ = 1,2, 3,4, 5, (6.13)
k=l
где gk — середина промежутка, который является носителем терма
(akv аы\ •
Переход от финансовых показателей к лингвистическим оценкам
риска показан на рис. 6.6.
Рис. 6.6. Схема перехода от финансовых показателей к высказываниям о степени
риска банкротства
184
6. Лабораторные работы
Применим изложенный алгоритм к оценке риска банкротства
предприятия, на котором были изучены финансовые показатели за I
и II кварталы. Уровни показателей (трапециевидные числа) для их
наблюдаемых значений взяты из табл. 6.8, значения функций при-
надлежности каждого нечеткого числа вычислены по формуле (6.9).
Первичная обработка финансовых показателей представлена
табл. 6.9.
Таблица 6.9. Первичная обработка финансовых показателей
Наблюдаемое значение показателя Уровень показателя (трапезоидные числа) Значение функции принадлежности
1 квартал II квартал I квартал II квартал
Xi = 0,619 X, = 0,566 В15 = (0,6; 0,7; 1; 1) В14=(0,45; 0,5; 0,6; 0,7) His = 0Л9 Ни = 0,81 1*14 = 1
Х2= 0,294 Х2 = 0,262 В23 = (9,09; 0,11; 0,3; 0,35) Цгз = 1 Ц23 = 1
Х3= 0,670 Х3= 0,622 В32 = (0,05; 0,6; 0,7; 0,8) Ц32 ~ 1 Ц32 — 1
Х4 = 0,112 Х4 = 0,048 В42 = (0.02; 0,03; 0,08; 0,1) В43 = (0,08; 0,1; 0,3; 0,35) Цдз = 1 1*43= И
Х5 = 2,876 Х5=3,46 В55 = (0,5; 0,8; °°; °°) Ц55 = 1 Ц55 = 1
Х&= 0,113 Х6 = 0,008 В62 = (0; 0; 0,006; 0,01) В63 = (0; 0; 0,006; 0,01) Вб, = (0,06; 0,1; 0,225; 0,4) Цб4 = 1 11 II II р р Ъ1 СП
Вычислим значение функции принадлежности лингвистической
переменной g — «риск банкротства предприятия» за I квартал в со-
ответствии со схемой, изображенной на рис. 6.6 (табл. 6.10).
Таблица 6.10. Вычисление значений функции принадлежности лингвистической
переменной д = «риск банкротства предприятия» за I квартал
Вес терма д лингвистической переменной g Множество но- ситель /-го терма лингвис- тической пере- менной g Середи- на про- межутка G>, gi i II 1 II с ьб II
6 Р5 =£гА1 =°: >1 G5 е [0; 0,25] 0,125 0
Лабораторная работа 3. Моделирование экономических процессов
185
Вес терма рг лингвистической переменной g Множество но- ситель i-ro терма лингвис- тической пере- менной g Середи- на про- межутка Si II 'g ьо II
б 11 А = = 6^32 = 6 ~ 0,16667 Gt е (0,15; 0,45] 0,3 0,05
6 1 2 Рз ~ гДЬ‘з ~ т(Цгз + Шз) = д ~ 0’ 33333 7=1 Ь О G3 е (0,35; 0,65] 0,5 0,16667
6 d 1 81 ft = « 0,30167 /=1 в о G2e (0,55; 0,85] 0,7 0,21117
6 1 1 1Q Р. = Епн>5 = ^(Н.5 + Н55) = « 0,19833 7=1 О О Gj е [0,75; 0,1] 0,0875 0,01735
5 £ = =0,445 1=1
Используя табл. 6.10, найдем значения функций принадлежности
m(g) для g = 0,445:
ц4 (0,445) = 10(0,45 - g)|g=0 445 = 0,05;
|15 (0,445) = 1 -10(0,45 - g)|g=0445 = 0,95;
щ =0 для k = 1, 2, 3.
Описание состояния предприятия за I квартал:
' G4 ( ц4 = 0,05 ) или G5 ( ц5 = 0,95 ):
«низкая степень риска банкротства» или
«риск банкротства незначительный».
Вычислим значение функции принадлежности лингвистической
переменной g = «риск банкротства предприятия» за II квартал
(табл. 6.11):
Ц3(0,49) = 1.
186
6. Лабораторные работы
Таблица 6.11. Вычисление значений функции принадлежности лингвистической
переменной д = «риск банкротства предприятия» за II квартал
Вес терма р, лингвистической переменной g Множество носи- тель i-го терма лингвистической переменной g Середина проме- жутка Gi, 6i gi = Pi' gi
6 Ps = =0 j=i G5 g [0; 0,25] 0,125 0
6 1 15 Pi = = £ (Нз2 + Пег) = у = °.25 G4 e (0,15; 0,45] 0,3 0,15
6 1 Рз = УлШз = -(^23 + Шз + Нез) = 2 5 = -1—^0,41667 6 G3 e (0,35; 0,65] 0,5 0,20834
6 1 1 p2 = Lw = 6g,4 = 6* 0’16667 G2 e (0,55; 0,85] 0,7 0,11667
6 11 Pl = £ W = gP55 = g ~ 0,16667 G, e [0,75; 0,1] 0,0875 0,01458
5 g = £g,= 0,490 i=l
Описание состояния предприятия за II квартал:
G3(p3 = 1): «низкая степень риска банкротства» или
«риск банкротства незначительный».
В табл. 6.12 даны номера вариантов лабораторной работы.
В каждом варианте даны значения финансовых показателей ра-
боты предприятия за два квартала.
Требуется:
1) выполнить первичную обработку финансовых показателей рабо-
ты предприятия по образцу табл. 6.9 и 6.10;
Таблица 6.12. Варианты заданий
Номер варианта
1 2 3 4 5
I квартал I квартал I квартал II квартал I квартал II квартал I квартал II квартал I квартал II квартал
X, 0,15 0,15 0,16 0,15 0,2 0,1 0,12 0,15 0,02 0,15
Х2 0,32 0,32 0,001 0,002 0,012 0 0,02 0,1 0 0
Х3 0,92 0,92 1,6 1,3 1,64 1,7 1,0 1,7 1,6 1,6
х4 0,7 0,7 0,55 0,5 0,53 0,55 0,45 0,35 0,55 0,55
Х5 1,0 1,0 0,8 0,82 0,88 0,8 0,98 0,82 0,8 0,8
Х6 0,3 0,3 0,1 0,12 0,11 0,11 0,21 0,15 0,1 0,1
6 7 8 9 10
I квартал I квартал I квартал П квартал 1 квартал II квартал I квартал II квартал I квартал II квартал
Xt 0,16 0,12 0,2 0,15 0,15 0,02 0,15 0,15 0,15 0,1
Х2 0,001 0,02 0,012 0,32 0,1 0 0,32 0,002 0 0
Хз 1,6 1,0 1,64 0,92 1,7 1,6 0,92 1,3 1,6 1,7
х4 0,55 0,45 0,53 0,7 0,35 0,55 0,7 0,5 0,55 0,55
Х5 0,8 0,98 0,88 1,0 0,82 0,8 1,0 0,82 0,8 0,8
х6 0,1 0,21 0,11 0,3 0,15 0,1 0,3 0,12 0,1 0,11
188
6. Лабораторные работы
2) найти значения функций принадлежности лингвистических пе-
ременных «риск банкротства предприятия в I квартале» и «риск
банкротства предприятия во втором квартале»;
3) дать словесное описание состояния предприятия за I и II кварта-
лы и сравнить степень риска банкротства предприятия в каждом
из этих периодов.
Список литературы
1. Баранский В. А. Введение в общую алгебру и ее приложения:
Учебное пособие. Екатеринбург, 1998.
2. Бернштейн Л. С., Боженюк А. В. Нечеткие графы и гиперграфы.
М.: Научный мир, 2005.
3. Вопросы анализа и процедуры принятия решений / Под ред.
И. Ф. Шахнова. М.: Мир, 1976.
4. Заде Л. Понятие лингвистической переменной и его применение
к принятию приближенных решений. М.: Мир, 1976.
5. Классификация и кластер / Под ред. Дж. Вэн Райзина. М.: Мир,
1980.
6. Корн Г. А., Корн Т. М. Справочник по математике для научных
работников и инженеров. М.: Наука, 1974.
7. Кофман А. Введение в теорию нечетких множеств. М.: Радио и
связь, 1982.
8. Лебедев В. И. Функциональный анализ и вычислительная мате-
матика. М.: Физматлит, 2000.
9. Люггер, Джордж Ф. Искусственный интеллект. Стратегии и ме-
тоды решения сложных проблем / Пер. с англ. М.-СПб.-Киев,
2003.
10. Моисеев Н. Н. Математические задачи системного анализа. М.:
Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1981.
И. Назаров Д. М. Совершенствование организационно-экономичес-
кого механизма подготовки персонала промышленных предпри-
ятий в условиях рынка. Автореф. дис. канд. экон. наук. Екате-
ринбург, 2004.
12. Недосекин А. О. Нечетко-множественный анализ риска фондо-
вых инвестиций. СПб.: Типография «Сезам», 2002.
13. Нечеткие множества в моделях управления и искусственного
интеллекта / Под ред. Д. А. Поспелова. М.: Наука. Гл. ред. физ.-
мат. лит., 1986.
190
Список литературы
14. Нечеткие множества и теория возможностей. Последние дости-
жения / Под ред. Рональда Р. Ягера. М.: Радио и связь, 1986.
15. Экспертные системы. Принципы работы и примеры / Под ред.
Р. Форсайта. М.: Радио и связь, 1987.
16. Ярушкина Н. Г. Основы теории нечетких и гибридных систем.
М.: Финансы и статистика, 2004.
Людмила Константиновна Конышева, w»
Дмитрий Михайлович Назаров (i '"a ten
Основы теории нечетких множеств: Учебное пособие
ТУ • > г:*
Заведующий редакцией
Руководитель проекта
Ведущий редактор
Художественный редактор
Корректор
Верстка
А. Кривцов
А. Кривцов
; Ю. Сергиенко
Л. Адуевскоя
И. Тимофеева
Л. Харитонов
ООО «Мир книг», 198206, Санкт-Петербург, Петергофское шоссе, 73, лит. А29.
Налоговая льгота — общероссийский классификатор продукции ОК 005-93,
том 2; 95 3005 — литература учебная.
Подписано в печать 16.03.11. Формат 60x90/16. Усл. п. л. 12,000. Тираж 2000. Заказ 63.17
Отпечатано по технологии CtP в ООО «Северо-Западный Печатный двор»,
188300, Ленинградская обл., г. Гатчина, ул. Железнодорожная, 45Б