В.В. СМЕЛОВ
ЛЕКЦИИ по теории переноса нейтронов
В.В. СМЕЛОВ
ЛЕКЦИИ по теории переноса нейтронов
ИЗДАНИЕ ВТОРОЕ, ПЕРЕРАБОТАННОЕ И ДОПОЛНЕННОЕ
Допущено Министерством высшего и среднего специального образования СССР в качестве учебного пособия для студентов физико-математических специальностей высших учебных заведений
МОСКВА АТОМИЗДАТ 1978
УДК 539.125.523.3+539.125.523.43(075.8)
I
Смелов В. В. Лекции по теории переноса нейтронов. Изд. 2-е, перераб. и дополн. — М.: Атомиздат,' 1978, 216 с.
Книгу можно рассматривать как введение в теорию важнейшего класса уравнений современной физики — в теорию переноса. Предпринята попытка изложить основы теории переноса нейтронов в максимально доступной форме, но в то же время с соблюдением разумной математической строгости. Сначала излагается односкоростная теория, а затем теория, учитывающая энергетическую зависимость. Большое место в книге уделяется математической постановке задач как в строгой, так и в приближенной формулировке. Все это делается на основе четкого разъяснения физического смысла изучаемых процессов. Формулируется сопряженная задача, описывающая поведение функции ценности частицы по отношению к тому или иному функционалу, а также элементы теории возмущений. Уделено внимание некоторым вопросам, связанным с проблемой термализации нейтронов.
Рнс. 29. Список литературы 57 наименований.
Рецензент академик Г. И. Марчук
ИБ № 757 Владислав Владимирович Смелов ЛЕКЦИИ ПО ТЕОРИИ ПЕРЕНОСА НЕЙТРОНОВ Редактор Г. В. Чернышова. Художественный редактор А. Т. Кирьянов. Переплет художника С. Н. Голубева. Технический редактор Н. А. Власова. Корректор Н. С. Карцева
Сдано в набор 12.VIII. 1977 г. Подписано к печати 28.1П. 1978 г. Т-05039. Формат 60X90/«. Бумага типографская № 2. Усл. печ. л. 13,5. Уч.-иэд. л. 14,29. Тираж 3270 экз. Зак. изд. 74118. Зак. тип. 301 Цена 80 коп.
Атомиздат, 103031, Москва, К-31, ул. Жданова, 5
Московская типография № 10 Союзполитрафпрома при Государственном комитете Совета Министров СССР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли. Москва, М-1114, Шлюзовая иаб., 10.
30315—019
034(01)—78 0,9—78
© Атомиздат, 1978
ОГЛАВЛЕНИЕ
Список основных обозначений ....	...................... 5
Предисловие ко второму изданию........................................... 6
Предисловие к первому изданию............................................ 7
ГЛАВА 1.	ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ПОНЯТИЯ ....................................... 9
§ 1.	Ядериые реакции н ядериый реактор............................... 9
§ 2.	Аддитивные функции области (основные понятия) ....	12
ГЛАВА 2.	ОДНОСКОРОСТНАЯ ТЕОРИЯ..........................................14
§ 3.	Сечения ядерных реакций.........................................14
§ 4.	Простейшая задача о прохождении пучка нейтронов через слой вещества....................................................15
§ 5.	Средняя длина свободного пробега................................17
§ 6.	Плотность нейтронов..................................... .	19
§ 7.	Плотность столкновений. Плотность потока нейтронов ...	20
§ 8.	Односкоростное диффузионное уравнение. Граничные условия	24
§ 9.	Решение простейших задач с помощью диффузионного уравнения	33
§ 10.	Точное односкоростное уравнение переноса нейтронов. Граничные условия........................................................  40
§ 11.	Интегральное уравнение Пайерлса................................50
ГЛАВА 3. ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ОДНОСКОРОСТНОГО УРАВНЕНИЯ ПЕРЕНОСА ............................................................58
§ 12.	Метод сферических гармоник.....................................58
§ 13.	Использование конечных разностей в методе сферических гармоник	68
•Д’ § 14. Строгое обоснование конечно-разностиого алгоритма ....	78
£ § 15. Итерационный принцип решения односкоростного стационарного уравнения переноса. Сходимость итерационного процесса в ограниченных областях...................................................112
§ 16.	Метод Владимирова ............................................118
§ 17.	Sn-метод (метод Карлсона) .	.	..................122
§ 18.	Балансный метод ускорения сходимости итерационного процесса 127
§ 19.	Метод расщепления .	.	...........................130
•Д- § 20. Математическое обоснование метода расщепления	....	136
ГЛАВА 4. ОСНОВЫ МНОГОСКОРОСТНОЙ ТЕОРИИ ПЕРЕНОСА ....	144
§ 21.	Уравнение переноса с учетом зависимости плотностя потока нейтронов от скорости (энергии) ............................... 144
§ 22.	Функция рассеяния в модели упругого соударения нейтрона с ядром	.	.	.................................151
§ 23.	Замедление нейтронов в бесконечных однородных средах	. .	156
§ 24.	Диффузионно-возрастное приближение .	..................160
§ 25.	Функция ценности нейтрона. Сопряженное уравнение	.	.	166
§ 26.	Формулы теории возмущений.....................................177
3
ГЛАВА 5. ТЕРМАЛИЗАЦИЯ НЕЙТРОНОВ..................................180
§ 27.	Вводная часть..............................................180
§ 28.	Вывод аналитических выражений для вероятностей соударений и функции рассеяния в области термализации для газовой модели замедлителя .	.	.	.............................182
§ 29.	Замечание о двух этапах решения уравнения переноса ...	188
§ 30.	Приближенный метод решения уравнения переноса в области термализация....................................................189
§ 31.	Функции ao(v, v') и <Xi(v, »') для одноатомного газового замедлителя .................................................. s	. 193
Прило	жение А. Классическая проблема Милна...................196
Приложение Б. Запись уравнения переноса н его представления по методу сферических гармоник в произвольных . криволинейных ортогональных координатах	.	.	.	 202
Список литературы..................................................*214
Предметный указатель................................................216
СПИСОК ОСНОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИИ
г — пространственная координата
t — время
v — скорость
v — модуль скорости
Е — энергия
J — плотность плоскопараллельного пучка нейтронов	'
п — плотность нейтронов а — микроскопическое сечение
Ста, as, а/ — микроскопические сечения захвата, рассеяния, деления соответственно
#— плотность ядер среды
S = a.V — макроскопическое сечение
Sa, Ss, S/ — макроскопические сечеиия захвата, рассеяния, деления соответственно
I — средняя длина свободного пробега нейтронов ф=ш> — плотность потока нейтронов
noS = q)S — плотность столкновений
/+,	— односторонние плотности тока нейтронов
In — результирующая плотность тока нейтронов
J — векторный ток нейтронов
и — единичный вектор
q — плотность источников нейтронов
D — коэффициент диффузии
v — средний выход вторичных нейтронов на одни акт деления O=V/0
(Д2)д , (ДцДО)^ q — пучок нейтронов
00') —плотность вероятности рассеяния
|Xq — 00
Фо (г, t) = f ф(г, О, Z)dO
— символ Кронекера
, ф* — функция ценности нейтрона
ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ
Настоящее издание книги «Лекции по теории переноса нейтронов» фактически следует считать третьим, если счет вести с одноименного ротапринтного издания, выпущенного в свет Новосибирским государственным университетом (НГУ) и Вычислительным центром СО АН СССР в 1970 г. В основу книги положен лекционный курс (спецкурс), который автор в течение ряда лет читает в НГУ. Это издание существенно дополнено и переработано. В частности, сейчас в «Лекциях» больше внимания уделено математическому обоснованию ряда методов и алгоритмов. Особо хотелось бы выделить § 14, где дано строгое и очень подробное обоснование разностной схемы на неравномерной сетке для уравнения диффузии с разрывными коэффициентами. Пусть читателя не пугает относительно большое число страниц этого параграфа — автору удалось выполнить все обоснования в рамках простейшего математического аппарата, так что от читателя потребуется лишь знание формулы Тейлора и основных теорем о среднем значении для определенного интеграла. Ясно, что некоторых читателей проблемы обоснования «волновать» не будут (по крайней мере при первом чтении). В книге это предусмотрено и все, что отмечено «звездочкой» (&), можно без ущерба для понимания материала пропускать.
В заключение автор считает своим долгом поблагодарить выпускников НГУ П. А. Шмурыгина, Н. М. Ерш и В. Н. Усова, ценные замечания которых учтены в предлагаемом издании.
ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ
Теория переноса — это теория важнейшего класса уравнений современной физики.
Уравнения переноса (в общем случае ннтегро-дифференциаль-ные) описывают самые разнообразные явления окружающего нас мира: процессы, происходящие в ядерных (атомных) реакторах; рассеяние света в атмосфере; прохождение рентгеновского и у-излучений через вещество; перенос нзлу-чення в звездных атмосферах; процессы взаимодействия солнечной плазмы с магнитным полем Земли и т. п. Таким образом, уравнения переноса находят широкое применение в физике, геофизике, астрофизике *.
Хотя название книги и интерпретация излагаемого материала относятся к нейтронно-физическим вопросам, нд деле читатель оказывается подготовленным к пониманию процессов переноса в разных областях математической физики (перенос лучистой энергии, перенос у-квантов, процессы переноса в плазме и др.).
В связи с тем, что в последнее время особо важ.Чое значение придается умению сформулировать ту или иную задачу, большое место в книге отведено математической постановке задач как в строгой, так и в приближенной формулировке. Все это делается на основе четкого разъяснения физического смысла изучаемых процессов. Содержание книги построено таким образом, что сначала излагается односкоростная теория, а затем теория, учитывающая зависимость решения от скорости (энергии) частицы.
В книге не преследуется цель описать как можно больше способов решения уравнений переноса, а потому в ней приводится только несколько основных приближенных методов (метод сферических гармоник, метод Владимирова, 5я-метод Карлсона, метод расщепления). В гл. 4 формулируется сопряженная задача, описывающая поведение функции ценности частицы по отношению к тому или иному функционалу, а также элементы теории возмущений.
В настоящее время опубликовано довольно много литературы по теории переноса, требующей от читателя предварительной подготовки [1—6], поэтому автору хотелось бы дать читателю такую
* Поскольку истоки теории переноса связаны с кинетическим уравнением Больцмана для распределения молекул, уравнения переноса часто называют кинетическими уравнениями или уравнениями Больцмана.
7
«подготовку». С этой целью предпринята попытка изложить основы теории переноса нейтронов в максимально доступной форме, но в то же время с соблюдением необходимой математической строгости.
Поскольку излагаемый материал интерпретируется и иллюстрируется переносом нейтронов в веществе (например, в ядерном реакторе), в § 1 схематически описывается картина нейтронноядерных взаимодействий.
Предлагаемая книга предназначается в первую очередь математикам, занимающимся прикладными вопросами ядерной энергетики, а также студентам старших курсов, специализирующимся по уравнениям математической физики.
В заключение уместно предупредить читателя, что приведенный в книге библиографический материал никоим образом не претендует на полноту и носит в какой-то степени случайный характер. Обширную литературу по теме данной книги можно найти, например, в монографиях [1—6].
Автор приносит глубокую благодарность Г. И. Марчуку за постоянное внимание к данной работе и ценные советы, а также В. П. Кочергину, В. В. Пененко, Г. Я. Румянцеву и А. Д. Франк-Каменецкому, прочитавшим книгу в рукописи и высказавшим ряд полезных замечаний.
Автор чрезвычайно признателен В. В. Пененко, написавшему по просьбе автора § 19 и 20 о методе расщепления уравнения переноса.
ГЛАВА 1
ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ПОНЯТИЯ
§ 1. ЯДЕРНЫЕ РЕАКЦИИ И ЯДЕРНЫЙ РЕАКТОР
Как известно, составляющими атомного ядра любого вещества являются элементарные частицы двух типов — положительно заряженные протоны и электрически нейтральные нейтроны. Кроме того, в любом объеме окружающей нас материи всегда присутствуют .(пусть даже в незначительном количестве) свободно блуждающие нейтроны *. Наличие их может быть вызвано, например, космическим излучением. Именно нейтроны имеют особо важное значение в процессе получения ядерной энергии в ядерных реакторах. Действительно, в отличие от заряженных частиц, таких, как протон, нейтрон не испытывает электрического отталкивания при приближении к положительно заряженному ядру. Следовательно, нейтрон, обладающий даже небольшой кинетической энергией, способен «войти в непосредственный контакт» с атомным ядром и в некоторых случаях разрушить его. При разрушении ядра освобождаются новые нейтроны, что создает благоприятные условия для развития цепной реакции. В результате разрушения ядер вещества выделяется тепло, которое и используется, например, на атомных электростанциях.
Рассмотрим теперь более обстоятельно, чем вообще может закончиться контакт нейтрона с ядром. Согласно одной из моделей, сближение нейтрона с ядром может привести к образованию так называемого составного ядра (ядро атома + нейтрон). После захвата нейтрона получающееся составное ядро всегда находится в «состоянии возбуждения», обладая при этом некоторым избытком энергии. Оно может, во-первых, потерять свою избыточную энергию, испустив у-кванты. Ядерные процессы, при которых частица захватывается, а избыток энергии затем испускается в виде у-излу-чения, называются реакциями радиационного захвата. Во-вторых, статистические перераспределения избытка энергии в возбужденном составном ядре между частицами ядра могут привести к тому, что какой-нибудь нейтрон составного ядра приобретет энергию, достаточную для того, чтобы преодолеть внутренние ядерные силы и покинуть ядро. Вообще говоря, испускаемый нейтрон имеет меньшую кинетическую энергию и другое направление движения по сравнению с нейтроном, прореагировавшим с ядром.
* Свободно блуждающие частицы других типов нас сейчас не интересуют.
9
Описанный процесс — частный случай так называемой реакции рассеяния. В широком смысле под термином «рассеяние» понимают любой механизм взаимодействия нейтрона с ядром, конечными продуктами которого являются свободный нейтрон и первоначальное ядро. Хорошо известен, например, механизм рассеяния, при котором составное ядро не образуется [1].
Помимо этих двух ядерных реакций для некоторых веществ с тяжелыми атомными ядрами (уран, плутоний) возможен третий тип нейтронно-ядерных взаимодействий, а именно: образование составного ядра в возбужденном состоянии столь неустойчивого, что оно распадается на два меньших ядра (осколка) с одновременным испусканием нескольких нейтронов. Это — процесс деления, о котором мы уже упомянули. В частности, при взаимодействии нейтронов достаточно низких энергий с изотопом урана 235U в каждом акте деления высвобождается (как установлено экспериментально) в среднем около 2,5 нейтрона. Наряду-с образованием осколков и вылетом нейтронов деление сопровождается выделением энергии.
Следует отметить, что на самом деле картина нейтронно-ядерных взаимодействий значительно сложнее, но мы сознательно на протяжении всей книги будем игнорировать все другие эффекты, кроме приведенных выше.
После описания трех основных типов ядерных реакций можно без труда вообразить себе ситуацию, которая возникает в среде, не содержащей делящегося материала, и которая может возникнуть в среде, содержащей делящееся вещество. В первом случае свободные нейтроны, оказавшиеся в среде, могут испытывать только рассеяние и радиационный захват и в конечном итоге либо будут поглощены, либо вылетят за пределы рассматриваемой среды в результате механического перемещения в пространстве.* Во втором случае начинается реакция, умножающая нейтроны, так что в среде наблюдаются конкурирующие процессы: с одной стороны, радиационный захват и утечка, уменьшающие число нейтронов в среде, с другой — реакция деления, увеличивающая их число. Если число нейтронов в среде, возникающих в результате реакции деления, больше суммарного числа поглощенных и покинувших среду нейтронов, то развивается так называемый лавинный процесс: случайно оказавшиеся в среде свободные нейтроны в силу статистических законов примут участие во всех видах ядерных реакций, и следующее поколение нейтронов окажется более многочисленным; это поколение нейтронов, в свою очередь, воспроизведет более многочисленное очередное поколение и т. д. По такому же лавинному закону высвобождается ядерная энергия — в итоге может произойти ядерный взрыв.
Если захват и утечка преобладают над делением, то возможен только затухающий процесс. Наконец, если воспроизводство нейтронов в точности уравновешивается захватом и утечкой, в среде
* Процесс вылета нейтронов за пределы изучаемой области принято называть утечкой нейтронов.
10
возможна стационарная самоподдерживающая'ся цепная реакция, в результате которой равномерно (по времени) выделяется энергия. Такую систему назовем ядерным реактором.
Каковы же принципиальные возможности выхода на стационарный режим в размножающей среде?
Заметим, что любая размножающая нейтроны среда всегда может быть взята в столь малом объеме, что будет осуществляться только затухающий процесс. В самом деле, реакция деления протекает во всем объеме среды, а утечка нейтронов происходит через ее внешнюю поверхность. Следовательно, справедлива следующая грубая пропорция:
Число вылетающих нейтронов Площадь внешней поверхности
Число актов деления	Объем среды
(k — коэффициент пропорциональности). Но правая часть записанного равенства неограниченно растет с уменьшением объема среды, а это означает, что в малом объеме утечка подавит реакцию деления и процесс воспроизводства нейтронов затухнет.
А что произойдет, если, отправляясь от малого объема размножающей среды, постепенно наращивать его? Формально уже ясно, что отрицательная роль утечки будет при этом падать. Этот важный в теории реакторов факт заслуживает того, чтобы на очень простой модели осознать его физическую суть.
Пусть в нашем распоряжении имеется некоторый объем V размножающей среды. Если по какой-либо причине в объеме V окажутся свободные нейтроны, то часть их будет потеряна в результате утечки в окружающее пространство. Очевидно, что эти нейтроны уже не представляют никакой ценности для реакции деления. Предположим далее, что к объему V вплотную приблизили такой же объем того же самого вещества. Теперь часть нейтронов, вылетающих из одного объема, будет попадать в другой и наоборот— объемы «питают» друг друга нейтронами! Это означает, что вылетевшие из одного и попавшие в другой объем нейтроны еще имеют возможность внести определенный вклад в реакцию деления. Еще больше уменьшится отрицательная роль утечки в случае большого числа сдвинутых вплотную объемов V — взаимная подпитка нейтронами здесь гораздо существеннее, чем в случае двух объемов. Так, в быту усиленно разжигаемое полено «не хочет» гореть в одиночку (большая утечка тепла в окружающее пространство!), но несколько поленьев, сложенных вместе, могут великолепно гореть длительное время (горящие поленья взаимно подогревают друг друга). Итак, наращивая объем размножающей среды, мы постепенно уменьшаем роль утечки, в результате чего могут возникнуть условия для осуществления самоподдерживаю-щейся цепной реакции (разумеется, если процесс радиационного захвата не настолько велик сам по себе, чтобы подавить воспроизводство нейтронов).
Другой путь выхода на критический режим — введение в делящееся вещество неделящегося вещества с очень сильным радиа-
11
ционным захватом. Если взять какой-то объем этой смеси «горючего» и поглотителя и постепенно извлекать из него непроизводительно поглощающее нейтроны вещество, то снова можно надеяться достичь условий для возникновения стационарного само-поддерживающегося процесса.
В заключение параграфа обсудим роль отражателя в реакторе. Пусть нам удалось подобрать объем делящегося вещества, в котором идет стационарная цепная реакция. Если этот (критический) объем окружить слоем неделящегося вещества, которое рассеивает нейтроны, но не поглощает их или поглощает очень слабо, то ... что же произойдет? Те нейтроны, которые раньше вылетали из размножающей среды и безвозвратно терялись для процесса воспроизводства, теперь будут попадать в рассеивающий слой. В этом слое, претерпевая рассеивающие столкновения, нейтроны могут менять свои направления движения и часть их будет снова возвращаться в размножающую среду. Возвратившиеся нейтроны создадут условия для развития лавинного процесса. Чтобы вернуть реактор в условия стационарного режима, нужно, очевидно, уменьшить размеры размножающей среды. Положительная роль добавленного слоя (отражателя) бесспорна: отражатель экономит делящийся материал и одновременно играет роль биологической защиты от нейтронного излучения.
§ 2. АДДИТИВНЫЕ ФУНКЦИИ ОБЛАСТИ (ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ)
Одно из основных понятий математического анализа — понятие функции точки. Однако в анализе и его приложениях часто встречаются функции другого рода, в которых роль аргумента играют уже не отдельные точки, а целые множества, например плоские или пространственные фигуры. Такие функции называются функциями множества, или функциями области.
Примеры: Если G — переменная область на плоскости (в пространстве), то под F(G) можно понимать площадь (объем) области G; m(G) может означать массу области G, a P(G) —вероятность того, что значение некоторой случайной величины окажется принадлежащим области G и т. д.
Определение 1. Функция области F(G) называется аддитивной при выполнении следующих условий:
1) если F(G) определена для областей Gi и G2, то она определена и для их объединения Gi(JG2;
2) если Gi и G2 не имеют общих внутренних точек, то
f(GlUG2) = ^(G1) + F(G2).
В приведенных примерах все функции являются аддитивными. Можно привести и другие примеры аддитивных функций: количество световой энергии, падающей на поверхность; поверхностный заряд; интеграл по данной области G.
12
Определение 2. Пусть F(G) — некоторая аддитивная функция области, a |G|—мера области G *. Пусть область G стягивается к точке Af0 (G—>тЛ1о, J G|—*0). Если существует предел отношения F(G)/|G| при ]G|—>>0, то последний называется производной аддитивной функции F(G) по области G и обозначается символом
lim [F(G)/IG |] или dF/dG.	(2.1)
ЮНО
Эта производная будет уже функцией точки. В физике величинам dF/dG сопутствует слово плотность. Так, в приведенных примерах приходим к понятиям: плотность вещества, плотность вероятности, плотность заряда и т. п.
Рассмотрим дополнительный пример. В некотором объеме имеются нейтроны различных энергий. Будем под областью G понимать четырехмерную область, являющуюся совокупностью переменного объема V с переменным энергетическим интервалом АЕ: G=^(V, АЕ). Под величиной F(G) будем понимать количество нейтронов в объеме V, энергии которых не выходят за пределы заданного энергетического интервала АЕ. «Точкой» M0^G в нашем случае будет четырехмерная точка
М(г.»	= у„ z„ Е„),
а мерой области G служит произведение |G|=V|AE|. Запись Ma<=G означает: (х0, Уо, z0)eV, ЕоеАЕ. Величина
lim F(G)/\G[ = n(xe, yt, z9, E„)
|G|-»0
называется плотностью нейтронов. С этой величиной, широко используемой в нейтронной физике, мы еще неоднократно встретимся на протяжении всей книги.
Наряду с задачей о нахождении производной функции области важно уметь решать и обратную задачу: задана функция точки f(M); найти функцию области F(G), производная которой по области совпадала бы с f(M). В математическом анализе доказывается, что для непрерывной функции f(M) функция F(G) определяется однозначно:
F(G) = i f(M)dG.	(2.2)
b
Если область G достаточно мала, то вместо точного равенства (2.2) можно использовать следующее приближенное:
F(G) == f (2И) | GI,	(2.3)
где М — произвольная точка области G. Формула (2.3) следует как из (2.1), так и из (2.2).
* Знак модуля в обозначении меры мы будем часто опускать, если нет опасности приписать ей отрицательный знак. Так, если V — трехмерная ограинченная область, то ее меру (объем) будем обозначать тем. же символом V. Если же, например, областью является конечный интервал ДЕ энергетической оси (ДЕ= = {Е: Ei<E<£2}), то в обозначении меры в этом случае уместно знак модуля не опускать: |ДЕ| = |Е1—Е2|.
ГЛАВА 2
ОДНОСКОРОСТНАЯ ТЕОРИЯ *
§ 3.	СЕЧЕНИЯ ЯДЕРНЫХ РЕАКЦИЙ
В § 1 мы познакомились с тремя типами взаимодействия нейтрона с атомным ядром: рассеянием, радиационным захватом (с испусканием у-квантов) и делением (с последующим испусканием нейтронов). Все необходимые понятия введем, изучая для примера реакцию радиационного захвата. Чтобы изучить эту реакцию в «чистом виде», предположим, что в данном веществе отсутствуют реакции рассеяния и деления. Кроме того, предположим, что вещество является элементом, т. е. состоит из ядер одного сорта.
Рассмотрим бесконечно тонкий слой вещества .(толщиной в 1 атом!), и пусть Na — поверхностная плотность атомов (ядер) данного вещества, т. е. число атомов (ядер), приходящихся на 1 см2 рассматриваемого слоя.
Поставим следующий вопрос: какова вероятность нейтрону с энергией Е, пущенному перпендикулярно на пластину, поглотиться в ней? Прежде чем перейти к изучению этого вопроса, целесообразно отметить, что эта вероятность зависит от энергии Е налетающего нейтрона. Дело в том, что ядро вещества имеет некоторую «сферу влияния», превышающую его геометрические размеры. Эффективный размер сферы влияния зависит от скорости (энергии) налетающего на ядро нейтрона. Чтобы найти интересующую нас вероятность, проведем достаточно большое число испытаний. Для этого перпендикулярно на пластину пустим равномерный по пространству пучок нейтронов с энергией Ё. Пусть /0— плотность пучка, т. е. число нейтронов, падающих на каждый квадратный сантиметр слоя за 1 сек. Подсчитаем число нейтронов, пролетевших сквозь пластину за 1 сек в расчете на 1 см2, т. е. плотность непоглотившихся нейтронов. Пусть это число равно /х. Число нейтронов, поглотившихся в 1 см2 за 1 сек, равно, таким образом, С=](г—Ц- Частота интересующего нас события (поглощение нейтронов) равна
ОД = (/.-Л)//.= 1-Л/Л.
* В настоящей главе изучается частный случай, когда все нейтроны имеют одинаковую энергию, т. е. одинаковую по модулю скорость.
14
С одной стороны, при большом числе испытаний, т. е. при большой величине /о, частота события близка к его вероятности и можно положить
р=СМ0 = 1-ЛМ0.
(3.1)
С другой стороны, если обозначить эффективную площадь сечения сферы влияния одного ядра о, то можно записать вероятность Р и в другом виде (рис. 1):
P=°Na-	(3.2)
Приравнивая правые части (3.1) и (3.2), получаем
Q^a=c/Je= I — Л//О.	(3.3)
Из этого равенства находим:
о = С/^0 = (1-Л/А)Ж-	(3.4)
Выражение (3.4) обычно принимают за определение величины о, называемой сечением захвата или микроскопическим сечением захвата (поглощения) данного элемента.
Рассуждая аналогично, можно прийти к понятиям микроскопических сечений и других реакций (рассеяния и деления).
Чтобы эти сечения различать, их отмечают индексами: ва — микроскопическое сечение захвата;
Os — микроскопическое сечение рассеяния;
оу— микроскопическое сечение деления.
Итак, микроскопическое сечение ядра какой-либо реакции есть характеристика этого ядра, зависящая от энергии налетающего нейтрона.
Как следует из определения (3.4), размерность о такова: [о] = =1 / [ЛГ0] =см2.
©	е о ® &	в
1см	
Рис. 1. Схема размещения эффективных сечений ядер вещества в 1 см2 моиоатомного слоя
§ 4.	ПРОСТЕЙШАЯ ЗАДАЧА О ПРОХОЖДЕНИИ ПУЧКА НЕЙТРОНОВ
ЧЕРЕЗ СЛОЙ ВЕЩЕСТВА
Введенное определение микроскопического сечения является чисто теоретическим, ибо практически невозможно поставить эксперимент на мономолекулярном слое. Разберем поэтому сейчас задачу, решение которой подскажет нам путь для экспериментального определения о.
Пусть имеется слой вещества толщиной Н, причем вновь предполагаем, что вещество только поглощает нейтроны и является элементом. Пусть, далее, на грань пластины х=0 падает перпендикулярно равномерный пучок нейтронов с плотностью /0 (рис. 2). Если бы среда не поглощала нейтроны, то через квадратный сантиметр любой плоскости, проходящей внутри слоя перпендикулярно оси X, протекало бы в единицу времени одно и то же количество нейтронов, а именно Jq. Из-за наличия поглощения плотность
15
нейтронного пучка ослабевает от грани х=0 к грани х=Н. Обозначим J(x) количество нейтронов, за 1 сек пересекающих 1 см2 плоскости, имеющей координату х [в частности, J(O)=Jo]. Найти функцию Цх) —такова сейчас наша задача. Для дальнейших рас-суждений введем в рассмотрение объемную плотность ядер вещества (N), т. е. количество ядер вещества в 1 см3 (N=pNQ/A- р — плотность вещества, г/см3’, А — его атомная масса; No—6,022X X 1023 моль-1 — число Авогадро).
Рассмотрим теперь слой вещества между точками х и х+Ах (рис. 3; х и Ах произвольны). Число ядер вещества в 1 см2 выде
Рис. 2. Облучение пластины равномерным плоскопараллельным пучком нейтронов
Рис. 3- Пластина вещества с выделенным внутри тонким слоем
ленной пластины толщиной Ах равно NAx. При Ах—>0 величину NAx можно рассматривать как Na (см. § 3). Таким образом, к рассматриваемой бесконечно тонкой пластине можно применить формулу (3.3), понимая под величиной С выражение J(x)—/(х+Ах), а под Jo — плотность пучка нейтронов, падающих на грань с координатой х, т. е. Х(х). В результате имеем
о#Дх = [/(х)-/(х-|-ДхЯ//(х),	(4.1)
или
[J (х + Дх) — J (х)]/Дх+aNJ (х) — 0.
При Ах—*-0 получаем дифференциальное уравнение
dlfdx + oNJ (х) = 0,
общее решение которого имеет вид
J (х) = A exp (—aNx).
Константу А определим из условия J(O)=Jo, т. е. окончательно
J(x) = Joexp(—oJVx).	(4.2)
Этот результат подводит нас вплотную к методу экспериментального определения величины а. В самом деле, если в формулу (4.2) подставим х=Н, то получим плотность выходящего из пластины пучка нейтронов 1р.
(4.3) 16
Если есть возможность измерить коэффициент ослабления пучка
то из последней формулы сразу определяется величина о*.
В нейтронных задачах удобнее вместо о рассматривать произведение 2=o/V, которое называют макроскопическим сечением (2а=Л^0а, Ss=iVos> 2/=Ata/). Макроскопическое сечение численно представляет собой суммарную площадь сечений всех ядер в 1 см3 и имеет следующую размерность:
[Е] = [<з] [N]^cm2-cm-3 = cm-'.
Если рассматриваемое вещество состоит из ядер нескольких типов, то макроскопическое сечение определяется по формуле
Б = Nici -|--|-... -|- Nici -|-
где Nt — число ядер г-го сорта в 1 см3 вещества, а щ — микроскопическое сечение данного процессса для этих ядер.
Формулу (4.2) теперь можно переписать в виде
J (х) = J„ exp (—Ex).
(4-4)
Если слой вещества неоднороден, но макроскопическое сечение есть функция только переменной х, т. е. 2=2 (х), то вместо формулы (4.4) легко установить следующее равенство:
/(х) = /оехр —f 2 (a) da.
(4-5)
Полученные результаты позволяют вывести некоторые следствия, часто используемые в нейтронных задачах. Этому вопросу посвящен следующий параграф.
§ 5.	СРЕДНЯЯ ДЛИНА СВОБОДНОГО ПРОБЕГА
Вернемся снова к пластине, которую рассматривали в предыдущем параграфе, и предположим, что на ее грань х=0 (см. рис. 2) падает перпендикулярно нейтрон. Если нейтрон претерпевает захват в пластине, то расстояние х, на котором он поглощается, является случайной величиной непрерывного типа. Такую случайную величину можно охарактеризовать вероятностью появления в произвольной области G, которая в рассматриваемом примере представляет собой произвольный слой между точками х и х+Дх (см. рис. 3). Найдем вероятность того, что нейтрон, упавший перпендикулярно на грань пластины х=0, поглотится в слое между координатами х и х+Дх. С помощью формулы (4.4) эта вероятность определяется чрезвычайно легко:
Р(Дх) = [7(х) —1(х4-Дх)]//0 = ехр(—Ex) [1 — ехр(—ЕДх)].	(5.1)
* Формулу (4.3) чаще всего непосредственно не используют для определения сеченнй реакций, ибо она выведена для идеализированного вещества, однако она подсказывает основную идею постановки эксперимента в лабораторных условиях.
2—301
Это выражение не очень удобно для дальнейшего использования, и потому обычно предпочитают иметь дело не с вероятностью Р(Ах), а с плотностью этой вероятности. Последняя, по определению (см. § 2), равна
'<*>-/£ + fa>=-^Sexp(-Sx). (5.2)
Очевидно, что формулы (5.1) и (5.2) в равной мере справедливы для полубесконечной среды, к рассмотрению которой мы сейчас перейдем.
Пусть на грань х—0 полубесконечной среды (которую снова будем предполагать только поглощающей) падает перпендикулярно пучок нейтронов плотностью /0 (рис. 4). Попытаемся найти
Рис. 4. Облучение полубесконечной среды равномерным плоскопараллельным пучком нейтронов
«среднюю глубину проникновения нейтронов в вещество. Предполагая, что все полупространство разбито на элементарные слои, рассмотрим один из них (х<, Xj + Ax,) (см. рис. 4). В этом слое из пучка /о «погибает» Jof(^,i)Axi нейтронов (x^gj^Xi+i), где f (х) — плотность вероятности поглощения (5.2). Суммарный их путь до места гибели равен
(5.3)
-Суммарный путь, пройденный всеми /0 нейтронами до места их захвата средой, получим, если просуммируем (5.3) по всем слоям:
/о2Ш-)Дхг. i
Переходя в этой сумме к пределу при maxAx£ —0, находим сум-i
марный путь в виде интеграла
J xf (х) dx.	(5.4)
о
Средний путь I, проходимый одним нейтроном до поглощения (т. е. средняя глубина проникновения нейтрона в вещество), определится, если разделить (5.4) на /0, т. е.
I = xf(х) dx.	(5.5)
6
18
Величина I называется средней длиной свободного пробега нейтронов (относительно поглощения). Обычно ее называют просто длиной свободного пробега, опуская слово «средняя». В терминах теории вероятностей длина свободного пробега есть математическое ожидание случайной величины х, которую мы ввели в начале параграфа.
Подставляя в (5.5) вместо f(x) ее выражение (5.2), получаем окончательно
I — J xS ехр(—Zx)dx— 1/S.	(5.6}
о
Размерность величины I: [/]=!/[2]=сл. Если в формуле (5.6) 2 заменить oN, то получим
1=1 laN.
Из этого выражения видно, что средняя глубина проникновения в вещество тем меньше, чем больше N, т. е. чем плотнее вещество, и чем больше о, т. е. чем большую мишень представляет собой ядро атома. Заметим, что I и S — функции энергии нейтрона, поскольку таковой является величина о.
Разумеется, определение средней длины свободного пробега распространяется и на случай реакций рассеяния и деления.
§ 6. ПЛОТНОСТЬ НЕЙТРОНОВ
Рис. 5. Материальная среда Vo с выделенным внутри произвольным объемом V
В трех предыдущих параграфах рассмотрена простейшая ситуация, когда все частицы в веществе движутся в одном и том же строго определенном направлении и в среде возможна только реакция захвата. Теперь откажемся от этих ограничений, допустив возможность разных ядерных реакций в среде и хаотичность движения нейтронов в ней. Хотя содержание настоящего параграфа, по существу, уже приведено в форме примера в гл. 1, повторим наши рассуждения, чтобы сохранить единство изложения.
Пусть нейтроны заполняют (вообще говоря, неравномерно) некоторую область V$ (рис. 5). Если обозначить F(V, t) число нейтронов в области V в момент времени t, где V — произвольная по объему, форме и местоположению часть об
щей области Vo, то F(V, t) будет, как легко видеть, аддитивной функцией переменной области V. Производная этой функции по* области представляет собой функцию точки и называется плотностью нейтронов:
п(х, у, г, t)=n{M, /) = lim F (V, t)IV.
V->0
2*
19'
Из общей теории аддитивных функций области следует, что число нейтронов в произвольном объеме V (см. рис. 5) (в частности, объемом V может быть и вся область Vo) равно
F(V, t)= [ п(х, у, z, t)dV.	(6.1)
v
Если нас интересует количество нейтронов в очень малой области ДУ, то вместо точного равенства (6.1) можно пользоваться следующим приближенным соотношением:
Е(ДУ, ?)гг=га(л", у, z, t)&V,	(6.2)
которое будет тем точнее, чем меньше объем ДУ рассматриваемой области.
Отметим, наконец, что на протяжении всей книги плотность нейтронов предполагается столь малой, что можно пренебречь столкновениями нейтронов между собой при их хаотическом движении в среде. Это предположение хорошо выполняется, например, в реальных ядерных реакторах всех типов.
$ 7. плотность СТОЛКНОВЕНИЙ. ПЛОТНОСТЬ ПОТОКА НЕЙТРОНОВ
плотность нейтронов
Рис. 6. Иллюстрация хаотичности движения нейтронов в элементарном объеме среды
Пусть нейтроны заполняют некоторую область Vo (см. рис. 5), причем скорости всех нейтронов по абсолютному значению одинаковы (см. название главы) и равны v. Через определенную выше можно выразить такие величины, как число актов захвата, рассеяния или деления в произвольном объеме V области Уо за произвольный промежуток времени.от до Для определенности рассмотрим реакцию захвата и предположим сначала, что объем ДУ и промежуток времени А/ малы настолько, насколько нам это потребуется. Если п(х, у, z, t) — плотность нейтронов в момент времени t, то число их в это мгновение в малом объеме ДУ выражается формулой (6.2).
Направления движений нейтронов в веществе ориентированы произвольным образом в пространстве, что схематически изображено на рис. 6. (Здесь точками изображены нейтроны, стрелками — направления их скоростей, а квадрат условно изображает элементарный объем ДУ.)
Предположим на некоторое время, что:
а)	в объеме ДУ отсутствуют какие бы то ни было источники нейтронов;
б)	стенки объема АУ непроницаемы для нейтронов (можно представить себе, например, что нейтрон, наталкиваясь на стенку объема ДУ, отскакивает от нее, как упругий шарик). Разумеется, 20
Рис. 7. Облучение пограничного слоя AZ полубесконечной среды равномерным плоскопараллельным пучком нейтронов
пункт б) носит явно надуманный характер, но временно можно с этим примириться.
Чтобы подсчитать количество нейтронов, поглощенных в объеме ДУ за время At, сформулируем следующую вспомогательную задачу: на грань х=0 полупространства i(cm. рис. 4), состоящего из рассматриваемого вещества, в некоторый момент времени t упали перпендикулярно и равномерно нейтроны со скоростью и и с плотностью J0=F(AV, /) [см. (6.2)], т. е. на каждый квадратный сантиметр грани упало ровно столько нейтронов, сколько их насчитывается в выбранном объеме ДУ. Во вспомогательной задаче можно, не нарушая общности, мыслить среду нерассеивающей, поскольку в объеме ДУ (с непроницаемыми стенками!) акты рассеяния ровным счетом ничего не меняют в хаотичной картине блуждающих нейтронов.
Теперь ясно, что нейтроны, движущиеся хаотично в объеме ДУ (см. рис. 6), и нейтроны в нашей вспомогательной задаче в процессе своего движения находятся в совершенно равных условиях. Кроме того, количество нейтронов в «объеме ДУ равно числу нейтронов, упавших на 1 см2 грани во
довательно, за промежуток времени At в объеме ДУ поглотится ровно столько нейтронов, сколько их поглотится за At во вспомогательной задаче. Для вспомогательной задачи это число С легко подсчитать с помощью формулы (3.3). В самом деле, за промежуток времени At нейтроны пройдут слой вещества толщиной А1= =vAt (рис. 7). Этот слой при достаточно малом At можно считать имеющим толщину в 1 атом. Число ядер вещества в 1 см2 слоя А1 равно Na—NAl, где А' —число ядер вещества в 1 см3. Таким образом, по формуле (3.3) имеем
C = F(AV, t)saNAl.
К Na
Полученное равенство можно переписать в виде
С = nAV<iaNvAt=nvZaAVAt.	(7.1)
Покажем теперь, что формула (7.1) справедлива и при снятии ограничений а) и б). Прежде всего при отказе от ограничения а) объем ДУ за промежуток времени At получает некоторую добавку нейтронов, пропорциональную и ДУ, и At*. Далее, снятие ограничения б) означает, что объем AV за промежуток времени At может получить еще некоторую добавку (положительную или отри
* Предполагается, что возможные источники нейтронов не имеют характера о-функции [7, 8] ни по пространственной переменной, ни по времени.
вспомогательной задаче. Сле-
21
цательную), которая, очевидно, должна быть пропорциональна величине ASA/, где AS— площадь поверхности объема AV. Уточним порядок малости этой добавки путем достаточно обстоятельного анализа более тонких эффектов. Такого рода анализы тонких эффектов проводятся и в других параграфах гл. 2.
Предположим, что внутри рассматриваемой среды выделена элементарная площадка As, ориентация которой в пространстве определяется вектором единичной нормали п к одной из сторон площадки As (см. ниже рис. 10). При хаотическом перемещении нейтронов в среде часть их пересекает площадку As в сторону нормали п, а часть — в противоположном направлении. Разность этих двух величин представляет собой результирующее перетекание нейтронов в сторону нормали п (эта разность может оказаться и отрицательной, если через As в направлении п «течет» меньше нейтронов, чем в обратную сторону).
Результирующее перетекание нейтронов через площадку As за промежуток времени А/ в направлении п пропорционально, очевидно, произведению AsAt Эту величину можно записать в виде /n(r)AsA/, где /'п(г)—коэффициент пропорциональности, зависящий от координаты г точки пространства и от ориентации вектора п*. Если площадку As переместить параллельно самой себе вдоль вектора п на малое расстояние е, то результирующее перетекание в новом положении площадки As запишется в виде /П(г + еп) AsA/. Если в той части среды, где мы рассматриваем перемещение площадки, плотность нейтронов является гладкой функцией, то и величина /п(г-]-еп) как функция параметра е будет гладкой, т. е. дифференцируемой по е.
Представим теперь, что выбранный объем имеет форму параллелепипеда, что не нарушает общности рассуждений. Рассмотрим какие-нибудь две противоположные грани параллелепипеда. Можно считать, что одна из этих граней является результатом смещения другой грани параллельно самой себе. Ясно, что добавка нейтронов в объем AV за счет перетекания нейтронов только через эти две противоположные грани выразится разностью
[/«(Г) — (Г-|-en)] AsA/.
Эта разность при малом е может быть переписана в виде
[/„ (г) — !п (г + en)] As А/ ^=— %-
eAsA/.
Но eAs=AV, поэтому полученная величина в конечном итоге оказывается пропорциональной ДУА/. Поскольку для других пар противоположных граней рассуждения ничем не отличаются от только что проведенных, то окончательный вывод таков: снятие ограничения б) означает, что объем AV за промежуток времени А/ может получить добавку, пропорциональную ДУД/.
* Функция jn (г) подробно изучается в § 8.
22
Таким образом, отказ от ограничений а) и б) эквивалентен добавке нейтронов, пропорциональной АКАЛ
Итак, если из основной массы нейтронов (6.2), имеющей порядок малости AV, доля поглощенных нейтронов (7.1) приобрела дополнительный малый множитель St, т. е. оказалась порядка AVAt, то из добавки от снятых ограничений, пропорциональной AVSt, доля поглощенных нейтронов будет иметь, очевидно, порядок малости уже AVA/2. Это означает, что при AV—>0 и St—-*0 величиной порядка АИА^2, которая должна быть добавлена к правой части равенства (7.1), можно пренебречь. Таким образом, формула (7.1) обоснована и для реальной ситуации.
Замечание. Может пдказаться, что сейчас наши рассуждения противоречат той пропорции, которая приведена в § 1. На деле же никакого противоречия нет, так как в рассуждениях настоящего параграфа мысленное выделение объема ДУ в среде ие нарушает нейтронного поля, которое в пределах малого объема ДУ можно считать линейным. Именно за счет этого мы и «зарабатываем» дополнительный порядок малости на разнице «втекающие минус вытекающие» нейтройы >(втекает почти столько же нейтронов, сколько и вытекает, и разница совсем мала!). Напротив, в § 1 обсуждалось физическое изменение объема ДУ, влекущее за собой изменение функции п(х, у, г, t). В результате нет линеаризации этой функции с уменьшением ДУ, а потому нет и эффекта разности двух близких величин.
Как видно из формулы (7.1), С—аддитивная функция переменной области G в четырехмерном пространстве (х, у, z, t), мерой которой служит произведение SVSt. Производная функции C(SV, St) по области G равна
Um C(^t} = nv£a.	(7.2)
ld->0
Величина nvSa называется плотностью поглощающих столкновений и физически представляет собой число актов захвата нейтронов в 1 см3 за 1 сек (т. е. отнесенное к единице объема и единице времени).
Произведение nv принято обозначать ср и называть плотностью потока нейтронов. Следовательно, выражение для плотности поглощающих столкновений можно переписать в виде
n»So = ?S0.
Количество нейтронов, поглощенных в объеме V за промежуток времени от t{ до t2, выразится интегралом
С(КЛ2-Л)=	(7.3)
t\ V
Аналогичными рассуждениями можно прийти к понятиям плотность рассеивающих столкновений и плотность столкновений, приводящих к делению.
Полезно отметить, что результат деления правой части равенства (7.2) на плотность нейтронов п, т. е. величина
vZa=waN,
23
представляет собой, очевидно, вероятность захвата нейтрона в единицу времени (точнее, плотность вероятности). Эта вероятность пропорциональна плотности ядер вещества, микроскопическому сечению захвата и скорости нейтрона.
Такими же формулами выражаются плотности вероятности рассеяния и деления:
vS,s — vasN; vE} — WfN.	(7.4)
§ 8. ОДНОСКОРОСТНОЕ ДИФФУЗИОННОЕ УРАВНЕНИЕ.
ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ
Нейтроны диффундируют в веществе в результате рассеяния их ядрами атомов. Типичная траектория нейтрона имеет зигзагообразный вид и состоит из прямолинейных отрезков различной длины, соединяющих места отдельных столкновений. Каждая из индивидуальных траекторий обрывается там, где нейтрон либо поглощается средой, либо вылетает за пределы объема, занятого рассматриваемым веществом.
Диффузионное уравнение, вывод которого рассматривается ниже, описывает поведение большого числа нейтронов, когда индивидуальные особенности отдельных траекторий «усредняются».
Рассмотрим сначала некую вспомогательную задачу. Пусть вещество, в котором изучается диффузия нейтронов, заполняет все пространство. Пусть, далее, в объеме этого вещества распределены нейтроны с некоторой, вообще говоря, неравномерной плотностью n(r, t) [п(г, /)==п(х, у, z, t)}. Наконец, считаем, что в среде отсутствуют какие бы то ни было источники нейтронов *'.
Выделим малую площадку AS в плоскости XY, проходящую через начало координат (рис. 8). Подсчитаем, сколько нейтронов перейдет через площадку AS из верхнего полупространства в нижнее за некоторый малый промежуток времени от t до t + Xt. Для краткости изложения единичный акт перехода нейтрона через площадку AS из верхнего полупространства в нижнее в нужный промежуток времени (t, /-1-АГ) назовем cross-событием или, короче, С-событием. Отметим, что каждому С-событию обязательно предшествуют рассеивающие столкновения в каких-то точках пространства (см. рис. 8). Если бы это было не так, то это означало бы, что «проскочивший в окно AS» нейтрон прошел предварительно бесконечно длинный прямолинейный путь без единого столкновения с ядрами вещества. С помощью формулы (5.2), где под S нужно понимать суммарное сечение захвата и рассеяния, легко убедиться, что вероятность осуществления такого явления равна нулю.
В цепочке рассеивающих столкновений, предшествующих С-событию, последнее столкновение в точке М (см. рис. 8) можно назвать «удачным» в том смысле, что именно оно привело к осуществлению С-события.
* Предполагается, что источники, обусловившие наличие нейтронов в среде, уже перестали функционировать.
24
Из всего сказанного следует, что каждое С-событие имеет в верхнем полупространстве свою единственную точку М, где нейтрон испытал «удачное» соударение. Это означает, что подсчет общего количества С-событий можно заменить подсчетом числа «удачных» столкновений. Последняя задача оказывается сравнительно простой и состоит в том, что из всех рассеивающих столкновений, произошедших в верхнем полупространстве, нужно отфильтровать «удачные» столкновения и подсчитать их число.
Рис. 8. Схема пролета нейтрона через элементарную площадку AS после нескольких рассеивающих столкновений
Рис. 9. Расположение элементарного объема AV и элементарной площадки AS
Для дальнейших рассуждений введем следующие ограничения:
1)	в рассматриваемой среде сечение захвата пренебрежимо мало по сравнению с сечением рассеяния Ss (Za<CSs);
2)	рассеяние изотропно в лабораторной системе .координат XYZ, т. е. нейтрон может отлететь от рассеивающего центра (ядра) в любом направлении с равной вероятностью;
3)	среднее время между двумя последовательными рассеивающими соударениями (t=Zs/v) ничтожно мало по сравнению с временем, в течение которого заметно изменяется распределение нейтронов в веществе.
Ниже будет введено еще одно ограничение, естественным образом вытекающее из аппроксимации плотности потока нейтронов конечным отрезком ряда Тейлора.
Пусть теперь AV—произвольный малый объем в верхнем полупространстве (рис. 9). «Удачное» соударение в объеме AV может, как легко видеть, произойти только в промежуток времени от t' до t' + kt (t'—t—r/v), поскольку для прохождения расстояния г от объема AV до площадки AS (см. рис. 9) нейтрону требуется время, равное r/v. Общее число актов рассеяния в объеме AV в интервале времени (t',	составит (AV и А/, малые!):
Syp (г, t — r/y)AVAA
25
Из этого количества, ввиду допущения 2), в направлении площадки AS рассеется
f-r/W	(8.1)
нейтронов. Только эти нейтроны можно рассматривать «кандидатами в удачные». Из пучка (8.1), идущего в направлении площадки AS, нейтроны могут выбывать в результате и рассеяний, и поглощений. Опираясь на результат (4.4), можно записать число нейтронов пучка (8.1), достигших в промежуток времени от t да t+М площадки AS и, следовательно, прошедших через нее:
-^£9-Ss?(r, ^-r/n)exp{-(Ss. + Sa)r}AVAZ. (8.2)
Эта величина и есть число С-событий, обусловленных элементом ДЕ. Полное число С-событий получится суммированием выражений (8.2) по всем элементам ДЕ верхнего полупространства:
J	ехр [-(Ss + Sa) г] ? (г, t - ф) dV. (8.3)
По верхнему полупространству
Величина (8.3) — аддитивная функция переменной области С= = (AS, AZ). Если /_ обозначить производную этой функции по области G (равную числу нейтронов, пересекающих за 1 сек единичную площадку* в направлении —z) и ввести в рассмотрение сферические координаты ((/E=r2sin QdrdQdty), то получим
/_ =-^- Jdr J (/ф J d6<f> (г, t — г/ц)ехр[—(Ss + SJ г] cos 9 sin 9. (8.4) ООО
Величина /_ называется плотностью тока нейтронов в направлении —z.
Для дальнейших операций с интегралом (8.4) воспользуемся тем существенным обстоятельством, что в (8.4) под знаком интеграла находится экспоненциальный множитель ехр [—(Ss+2a)c]. Этот множитель быстро убывает с ростом (Ss + Sa)r (т. е. по мере удаления от площадки AS), а потому основной вклад в перетекание нейтронов через площадку AS дают рассеивающие центры, расположенные в непосредственной близости от площадки AS. Можно считать, что на расстояниях, превышающих три длины свободного пробега [г>3/, 1=1/(Ss + Sa)], функция ехр [— (Ss + Sa)r) спадает практически до нуля |(более чем в 20 раз!). Если плотность потока нейтронов ср разложить в ряд Тейлора около начала координат, то в этом разложении достаточно сохранить лишь столько членов, сколько их нужно для хорошей аппроксимации ср в окрест
* Здесь и ниже в слова типа «через единичную площадку за 1 сек» вкладывается смысл: в пересчете на единицу площади и на единицу времени, 26
ности нуля. Теперь можно сформулировать некое дополнительное ограничение диффузионной теории. А именно, потребуем, чтобы на расстояниях до трех длин свободного пробега плотность потока нейтронов хорошо описывалась членами нулевого и первого порядков в тейлоровском разложении. Но на таких расстояниях, в силу допущения 3), можно положить <p(r, t—,r/v)=(f>(r, t), так что наша цепочка упрощений будет выглядеть следующим образом:
<Р(Г, / —г/о) = <р(г, /) = (Рв4-х(^-)	, (8-5)
V /о \ у Jо	\ /о
где индекс «О» означает, что соответствующие величины берутся в начале координат, т. е. в месте нахождения элементарной площадки AS. Можно несколько упростить дальнейшую задачу, если на основе допущения 1) положить
Es+Ea=--Es.	(8.6)
Легко видеть, что члены, содержащие х и у в разложении (8.5), дают при интегрировании нуль. Таким образом, заменяя в (8.5) г на rcos0 и подставляя (8.5) и (8.6) в (8.4), получаем
со	2п -к/2
О	оо
2те	тс/2
г) dr J (/ф j cos2 9 sin 9(/9 о	о
со
о
(8.8)
/г
(8-9)
о
(8-7)
Плотность тока нейтронов в направлении +z получается точно таким же образом, за исключением того, что интегрирование по 0 проводится от л/2 до л (т. е. только по нижнему полупространству). Величина /+ оказывается равной
/ —1s________L
J +	4	6Ss
Результирующая плотность тока нейтронов /г в положительном ‘ направлении оси z равна разности между /+ и так что
1 (ду\ 3Ss \ dz Ja‘
Замечание 1. В формулах (8.7) и 1(8.8), дающих односторонние плотности токов нейтронов, точность ограничена членами нулевого и первого порядков в разложении (8.5). Однако в формуле (8.9) точность оказывается более высокой, а именно включая члены второго порядка в разложении (8.5). Дело в том, что члены второго порядка при иитёгрировании дают либо нуль, либо выражения, в точности совпадающие для /+ и j- и потому взаимно погашающиеся в выражении (8.9).
Замечание 2. Наличие экспоненциального множителя под знаком интеграла дает возможность распространить результаты на конечные объемы, лишь бы нх граница была удалена от рассматриваемой площадки не менее чем иа три длины свободного пробега.
27
Полученные результаты сохраняют свою силу н 'при наличии в 'среде распределенного источника нейтронов, если только плотность источника много меньше плотности рассеивающих столкновении.
Наконец, результаты будут справедливы и в средах с локальными неоднородностями, лишь бы эти неоднородности были удалены от исследуемых точек среды не менее чем на три длины свободного пробега. Дело, в частности, в том, что
вблизи от более или менее концентрированного источника или сильного поглоти-
теля или вблизи границы двух физически разных сред плотность потока нейтронов резко меняется с расстоянием. В таких участках даже на малых расстояниях разложение (8.5) может оказаться слишком
Рис. 10. Элементарная площадка AS, ориентированная произвольным образом в пространстве
грубым, а потому будет поставлена под сомнение пригодность формул (8.7) — (8.9).
Из всего сказанного в данных замечаниях следует такой практический вывод: на расстояниях, превышающих три длины свободного пробега от сильного источника или поглотителя или от границы, формулы (8.7)—(8.9) дают практически достаточную точность, причем точность формулы (8.9) выше точности формул (8.7) и (8.8).
Если теперь поместить площадку AS в произвольную точку пространства и ориентировать ее произвольным образом (рис. 10), то легко убедиться, что плотности тока нейтронов в направлении нормали пив противоположном направлении выразятся формулами:
где ду/дп — производная в направлении вектора п, а индекс М отмечает принадлежность к точке М пространства (см. рис. 10). Результирующая плотность тока в точке М в направлении вектора п равна
•	•	•	1	/ иТ \
/л —I .
° \	/ /VI
Используя известную формулу из теории поля д<?/дп = п grad <р = nv<p, перепишем выражение (8.11) в виде
/„ = -(l/3SJnV?.
(8.Н)
(8.12)
Величину —(l/3Ss) V<cp принято называть векторным током нейтронов и обозначать символом j:
j = — (1/3S J grad ? - (1/3SJ V?.
28
Таким образом, результирующий ток нейтронов в направлении единичного вектора п равен скалярному произведению векторного тока нейтронов j на вектор п.
Замечание 3. Из формулы (8.11) следует, что суммарное (результирующее) перетекание нейтронов происходит из области с большей плотностью нейтронов в область с меньшей плотностью.
Приступим теперь непосредственно к выводу односкоростного диффузионного уравнения.
Рассмотрим в пространстве некоторую область Vo, где имеются нейтроны. Пусть, далее, V — произвольный объем в области Vo. Зафиксируем два момента времени: t и В момент времени t в объеме V находится J n(r, t)dV нейтронов. Соответственно в момент времени t+At в этом объеме находится уже J п(г, t+At)dV нейтронов. Следовательно, за промежуток времени At в объеме V произошел прирост нейтронов, равный
[ [п (г, t + At) — п (г, t)\ dV. v
Этот прирост обусловлен следующими тремя процессами: а) функционированием некоего источника нейтронов (если, конечно, такой имеется); б) поглощением нейтронов; в) диффузионным перетеканием нейтронов в пространстве. Подсчитаем вклад каждого из перечисленных процессов в объеме V за малый промежуток времени At:
Рис. 11. Элементарная ориентированная площадка ASt на поверхности S, ограничивающей объем V
а)	если обозначить q(r, t) плотность источников, то, согласнообщей формуле (2.2), вклад от источников в объеме V за малый промежуток времени At изобразится интегралом
At f q (г, t) dV;
v
б)	количество нейтронов, поглощенных в объеме V за время At, согласно формуле (7.3), выразится в виде
Ы f So?d7;
v
в)	подсчитаем теперь «уход» нейтронов из объема V за время At в результате диффузии. Обозначим 5 поверхность, ограничивающую объем V,an — вектор единичной внешней нормали к этой поверхности. Разобьем теперь поверхность S на элементарные пло-
29
щадки ASj (рис. 11). В направлении внешней нормали через площадку AS, за время At «вытекает», согласно формуле ;(8.12),
AZ(-nV?/3E,)AS/
нейтронов. Чтобы подсчитать количество нейтронов, вытекающих из объема V через всю поверхность S за время At, нужно просуммировать полученный (результат по всем элементам AS,. В итоге придем к следующему интегралу:
Д^§(—nV?/3SJ^S.	(8.13)
з
Переведя поверхностный интеграл в (8.13) в объемный по формуле Гаусса — Остроградского:
§ (-nV?/3Ss)^S=: f V(-V?/3Ss)dV, S	V
мы сможем записать, следующее условие баланса:
I
[[А(г, tAf) — n(r, t)]dV = v
= Д^р(г, /) —S0<p(r, o+v^V?(r. v 
Поделив левую и правую части полученного равенства на At и устремив Ай к нулю, получим
J?(г, o + Se?(r, 0-V-3^-V?(r, 0]rfV=O. v
Ввиду произвольности объема V делаем заключение о тождественном равенстве нулю выражения в квадратных скобках:
Если обозначить l/3Ss=D и учесть, что <р=но, то полученное уравнение можно переписать в виде
+	(8-14)
Уравнение (8.14) называется диффузионным уравнением, а величина Z)=l/32s— коэффициентом диффузии нейтронов. Если D не зависит от г, то его можно вынести за знак оператора V:
4lr==£)V!<p-Sa<P + <7.	(8.15)
Оператор V2, часто обозначаемый символом А, называется оператором Лапласа. Этот оператор, как и все другие операторы тео-
30
рии поля, целесообразно выражать в таких координатах, которые наиболее удобны для конкретной изучаемой задачи. Так, в прямоугольных координатах оператор Лапласа определяется как
V72 — JLj—
v — дх2 "Г ду‘ ' dz‘ >
.тогда как в сферических координатах он имеет вид	’
V	W1" r2sinfl дЦ8,П ° J "I- г2 sin2 9 дФ2 ”
а в цилиндрических координатах
________д_ _д__|_1 d2 д2 v р dp Р йр р2 дф2 'дг2'
Уместно заметить, что при выводе уравнения диффузии не использованы формулы (8.10) для односторонних токов, точность которых недостаточно высока, а применена более точная формула (8.12) для результирующего нейтронного тока.
Уравнения (8.14) и (8.15) широко используют в теории реакторов. Нужно только помнить: эти уравнения справедливы лишь в таких точках среды, которые удалены более чем на две-три. длины свободного пробега от сильных источников, сильных поглотителей, границ среда — вакуум и границ раздела сред с сильно различающимися свойствами.
Полученное диффузионное уравнение является дифференциальным и потому должно быть дополнено начальным условием <р(г, 0)=/i(r) [/(г)—заданная функция] и некоторыми граничными условиями, постановка которых приводится ниже.
Рассмотрим сначала границу диффузионной среды с пустотой. Предполагая, что заполненный средой объем представляет собой выпуклое тело и что в пустоте нет источников нейтронов, необходимо в точках границы приравнять нулю плотность тока нейтронов из пустоты в среду. Другими словами, это означает, что в точках границы /_==0, если считать, что единичная нормаль к границе среды направлена в пустоту. С использованием второй из формул (8.10) это требование можно записать в виде
(<f/2-\-Dd<f/dn)s = 0.	(8.16>
В качестве упражнения рекомендуем читателю установить с помощью простых умозаключений, что граничное условие (8.16) неверно на строго вогнутых участках границы (в то время как на невогнутых участках справедливо).
На контактной границе двух сред, обладающих различными диффузионными характеристиками, принято также формулировать некоторые условия, естественным образом вытекающие из диффузионной теории. Например, естественно было бы потребовать непрерывности плотности результирующего тока нейтронов jn на любом участке границы: сколько нейтронов теряет зь
одна среда через площадку AS в результате обоюдных перетека-яий, столько же нейтронов через эту площадку приобретает другая среда. Однако оказывается, что одного этого условия недостаточно для обеспечения единственности решения.
Нетрудно, однако, догадаться, как столь же естественно сформулировать два условия на границе раздела сред. Этими условиями, очевидно, будут требования непрерывности плотностей односторонних токов нейтронов через любой участок границы раздела. В самом деле, если представить себе любой элемент AS границы раздела, слева от которой находится некоторая среда А, а справа— другая среда В, то все нейтроны, движущиеся слева направо и входящие в «окно» AS со стороны среды А, в том же количестве выйдут из «окна» AS в среду В, и наоборот. Таким образом, для любой точки границы раздела можно записать
(/+)з—о (1‘+)$+о' (i - )s—о ~ О - )s+o,
(8-17)
где символами S—О, S+0 отмечены левосторонний и правосторонний пределы на границе раздела. Условия (8.17) с использованием формул (8.10) могут быть переписаны более подробно в следующем виде:
____D	д^\	__/	у___D	ду \
4	2	дп Js^0	\	4	2	дп	Js^-o
’_у__I_D_	Оу \	__/_у___j_£>	ду \
4	"Т"	2	дп Js_q- {	4	-г	2	дп )
(8.18)
Сложение и вычитание этих равенств дает:
(<P)s_o = (?)s+o 5 (W^«)s-o = (W^«)s+o.	(8.19)
Второе из полученных условий, представляющее собой требование непрерывности плотности результирующего тока нейтронов jn, дополнено теперь условием равенства плотности потоков нейтронов по обе стороны границы.
Относительно условий (8.16), (8.18) и (8.19) необходимо сделать следующие замечания: во-первых, эти условия получены на основе менее точных формул (8.10) по сравнению с использованной формулой (8.12) при выводе уравнения диффузии; во-вторых, мы нарушили «табу» — не приближаться к границам ближе чем на 2—3 свободных пробега. Условия (8.16), (8.18) и (8.19) действительно грубы и портят искомое решение, но в рамках только диффузионной теории нет возможности предложить более совершенные граничные условия *.
* На базе уравнения переноса можно получить исправленные условия иа границе раздела сред и на границе с пустотой, существенно улучшающие диффузионную теорию. В частности, решение классической проблемы Милна (см. Приложение А) вносит заметную поправку в условие на границе среда — вакуум, а улучшение «сшивки» на границе двух сред может быть выполнено, например, иа основе работы Ю. А. Романова {9].
32
$ 9. РЕШЕНИЕ ПРОСТЕЙШИХ ЗАДАЧ
С ПОМОЩЬЮ ДИФФУЗИОННОГО УРАВНЕНИЯ
В настоящем параграфе дается аналитическая * реализация достаточно простых диффузионных стационарных задач, решение которых удовлетворяет уравнению
DV>-Ea? + <7=0.	(9.1)
1. Точечный источник в бесконечной среде. Рассмотрим точечный изотропный источник в бесконечной однородной диффузионной среде, испускающий q нейтронов за 1 сек. Выберем систему координат с началом в точечном источнике; в этой системе распределение нейтронов будет сферически-симметричным, а потому удобно ввести сферическую систему координат. Если еще учесть, что вне начала координат нет источников нейтронов, получим из (9.1):
-L-J-r,4-x'? = 0)	(9.2)
гг dr dr ’	'	>
где г=/=0 и x2=2a/£>=3SoSs>0. Для решения уравнения (9.2) положим у—и) г, тогда уравнение приводится к виду
z2u=0.	(9.3)
Общее решение уравнения <(9.3) имеет вид
и = А ехр (—хг) -|- В ехр (хг), так что
=	(9.4)
При г—*оо <р(г) должна оставаться ограниченной величиной, т. е. необходимо положить В=0. Итак, имеем
Для определения величины А необходимо использовать заданную в условии интенсивность источника q. Если /г — результирующая плотность тока нейтронов на поверхности сферы радиусом г, то, очевидно, должно быть
lim 4w’ jr = q.	(9.5)
г-»0
Определяя jr с помощью формулы (8.11), найдем
ir=—D ^=AD -^г-г exP (—xr)-
* Численный метод решения одномерных диффузионных задач (с разрывными, вообще говоря, параметрами) подробно разбирается в § 13 и 14.
3—301	33
Подставляя этот результат в (9.5), запишем 4nAD==q, т. е. А= =>q/4nD. Окончательно получаем
=	(9.6)
Любопытно отметить, что константу А можно искать на основе другого принципа. Поскольку процесс стационарен и утечки нейтронов из среды нет (вследствие ее бесконечной протяженности), инициируемые источником нейтроны должны компенсироваться нейтронами, поглощенными во всем объеме среды. Используя результат (7.3) (при —/]=1 сек), этот баланс запишем в виде q = J Eo<Pd V = ЛЕа j d| j sin 6d6 f г8 ехрЬг) dr == 4«ЛЕа/х8 = 4®ДО,
V	000
откуда для А получаем прежний результат.
Следует заметить, что результат (9.6) зависит только от величины г, т. е. от расстояния исследуемой точки до источника. Если источник находится не в начале координат, а в некоторой точке го=(хо, уо, 20), то плотность потока в произвольной точке г= =(х, у, г) выразится в виде
m /г) _ Я ехр (—х|г — г.|) “' ' 4r,D [г — г01	’
где	___________________________
1Г — г J = /(х — х0)8 + (г/ — г/0)8 + (z - Z,)2 .
2. Бесконечный плоский источник. Представим себе бесконечный плоский источник, испускающий равнормерно q нейтронов с 1 см2 за 1 сек в бесконечной однородной среде (предполагается, что каждая точка плоского источника испускает нейтроны изотропно). Выберем систему координат так, чтобы плоскость источника была плоскостью х=0. В этом случае при х=/=0 уравнение (9.1) примет вид
В силу симметрии задачи относительно плоскости х=0 ограничимся рассмотрением только области 0<х< + оо. Общее решение уравнения (9.7) записывается в виде
<р (х) = А ехр (—хх) + В ехр (хх).
Учитывая условие ограниченности плотности потока нейтронов на бесконечности, полагаем В=0, т. е.
<р(х) = Лехр(—хх).	(9.8)
Чтобы найти константу А, используем заданную в условии плотность источника q. Около плоского источника результирующая плотность тока нейтронов jx равна q/2:
lira/х = <7/2.	(9.9)
х->0
34
Определяя jx из (9.8):
/х = —£>^-=хОЛехр(—-хх)	(9.10)
и подставляя ее в (9.9), получаем А=д/2кй, т. е.
'?W = 2^exp(—хх).	(9.11)
Разумеется, константу А можно получить, как и в п. 1, на основе второго принципа:
00
<7/2 = JSa?(x)^x.
о
Замечание 1. Величина /х после подстановки в (9.10) найденного значения А принимает вид
/х =	ехр (—хх).	(9.12)
Отличие (9.12) от (4.4) заключается в коэффициенте показателя степени и обусловлено тем, что в рассматриваемой задаче кроме реакции захвата есть реакция рассеяния и движение нейтронов в среде иосит блуждающий характер, а не мо-нонаправленный.
Рис. 12. К расчету поля нейтронов от плоского нсточиика при помощи точечных источников
Формулу (9.11) можно получить и другим путем. Для этого рассмотрим наш плоский источник как составленный из бесконечного числа точечных источников. Пусть Дх,— один из таких элементарных «точечных» источников (рис. 12). Интенсивность его равна q&Si. Инициируемая выделенным источником плотность потока нейтронов (pf(x) в точке х находится с помощью выражения для точечного источника (9.6):
	<9-13)
3*
35
Полная плотность потока получится суммированием (9.13) по всем площадкам As*:
оо 2к
т(х)=5 Т,(Х)=^ С	J
i	О О
Перейдем от переменной интегрирования р к г. Имеем г2=р2+х2, rdr—pdp. Следовательно,
оо	2-я	оо
? (х) = 4^- j Г dr J ехр	= 20 J ехр (—xr) dr =	ехр (—хх).
х	0	х
Полученный результат полностью совпадает с найденным ранее выражением (9.11).
Замечание 2. В рассмотренных примерах снова нарушено требование — не приближаться к концентрированным источникам ближе чем на 2—3 длины свободного пробега.
3. Простейшая задача на вычисление критического размера. Предположим, что имеется некоторая материальная однородная среда, в состав которой входит делящееся вещество (например, уран). Предположим, далее, что нейтроны в рассматриваемой среде могут появляться только в результате реакции деления в уране, т. е. посторонних источников нейтронов нет. Если обозначить v среднее количество нейтронов, возникающих на один акт деления, и предположить, что все процессы моноэнергетичны (в частности, возникающие при делении нейтроны имеют ту же энергию, что и нейтроны, блуждающие в среде), то уравнение диффузии (8.15) примет следующий частный вид:
4^- = W2?-Sa? + vE/?,
где Sa=2c + 2y; 2с — макроскопическое сечение захвата, не приводящего к делению.
Сформулируем теперь следующую физическую задачу: можно ли (а если можно, то при каких условиях) из рассматриваемого вещества сделать шар, в котором поддерживалась бы стационарная цепная реакция?
Математически эта задача формулируется так: можно ли (а если можно, то при каких условиях) в некоторой сфере конечного радиуса получить отличное от нуля положительное решение следующего однородного стационарного уравнения диффузии:
W2? + (vSf-Ea)? = 0,	(9.14)
подчиненное граничному условию (8.16)?
Проанализируем сначала эту задачу физически.
Если vS/<Sa, то это означает, что в каждом элементе объема число нейтронов, воспроизводимых в результате деления урана, меньше числа нейтронов, поглощаемых в этом элементе объема. Член DV2q>, ответственный за перемещение нейтронов в среде, 36
«работает» в том же направлении, что и захват нейтронов — в среде конечных размеров имеет место утечка нейтронов из нее. Очевидно, что стационарной цепной реакции в этом случае не может быть.
Если	то в каждом элементе объема число нейтронов,
воспроизводимых в результате деления урана, в точности равно числу нейтронов, выбывающих из этого элемента объема вследствие захвата. Стационарная цепная реакция может идти, если ис.ключить утечку нейтронов из среды, т. е. сделать среду бесконечно протяженной.
Если vS/>Sa, то в каждом элементе объема число нейтронов, воспроизводимых в результате деления, превышает число нейтронов, поглощаемых в этом элементе объема. Избыток рождающихся нейтронов над поглощаемыми можно попытаться скомпенсировать утечкой нейтронов из конечной среды. В этом случае есть надежда получить стационарную цепную ядерную реакцию в среде конечных размеров.
Дадим теперь строгое математическое обоснование всем трем случаям, рассмотренным выше.
1)	Уравнение (9.14) примет при этом вид
—Г -г- г2 — ХФ = О, г2 dr dr ~	’
где x2=(Sa—vS/)/O>0. Полученное уравнение точно совпадает с уравнением (9.2), общее решение которого дается формулой (9.4).
Прежде всего для нашей задачи легко написать граничное условие при г=0. Поскольку плотность потока нейтронов ср должна быть ограничена в центре сферы, из общего решения сразу получаем А=—В, т. е.
?(г) = Л^*.	(9.15)
Если допустить, что имеется некоторая сфера радиусом R, в пределах которой задача имеет положительное, отличное от нуля решение (9.15) (4>0), то на границе с пустотой должно еще удовлетворяться условие (8.16). Подставляя (9.15) в (8.16), получаем
1/2хО-(- cthz/— 1/у = 0, #=-х/?>0 или
F. (у) = 1/2x0,	(9.16)
где
/'о(г/)= 1/у—cthy = (sh г/ —у chz/)/yshy.
* Условие в центре сферы можно сформулировать н иначе: в центре сферы плотность результирующего тока нейтронов равна нулю, что, согласно формуле фр
(8.11), дает условие	=0. В результате получим то же выражение
37
Функцию F„(y) доопределим при у = 0 равенством F,(0) = = limFe(i/). С помощью правила Лопиталя легко находим F(0) = 0.
На основе неравенства shу >у (z/>0) находим
dF „ (у)	1 ।	1	„
При//>0.
Следовательно, функция F0(y) монотонно убывает, начиная с Fo(O)=O, а потому не может при г/>0 принять положительного значения 1/2х£) в соответствии с уравнением (9.16). Таким образом, поставленная задача не имеет решения.
2)	vS/=Sa- Уравнение (9.14) примет при этом вид
Г dr dr
Общее решение этого уравнения легко получить:
<р(г) = Д/г+В.	(9.17)
Из ограниченности решения в центре следует А=0, а из условия (8.16) на внешней границе среды В—0. Итак, интересующей нас сферы конечного радиуса не существует *.
3)	vS/>Sa. Уравнение (9.14) запишется как
(9-18>
где x2=s(vS/—Sa) lD>0. Нетрудно убедиться, что общее решение уравнения (9.18) имеет вид:
, ,	. sin кг I о cos кг
?(Г) = л——ня——.
Требованию ограниченности решения в центре сферы можно удовлетворить, положив В=0, т. е.
?(г) = Л^^.	(9.19)
На границе искомой сферы r=R воспользуемся условием (8.16). Это приводит к трансцендентному уравнению
Ft(z/)= 1/2х£), z/>0,	(9.20)
где y = xR, и
Я. (У) =^1у — ^У = (sin У — у cos у)/у sin у.
Доопределим функцию Fi(y) при z/=0. Как и в п. 1), легко получим Fi(0)=0. При изменении у от 0 до +оо функция Fi(y)
В бесконечном пространстве из (9.17) имеем <p(r)=B=const.
38
претерпевает разрывы в точках yk=kn (k=l, 2, ...). Изучим подробно первый интервал непрерывности Fi(y), т. е. 0^л/<л. С учетом неравенства siny<y (z/>0) получаем
{у)
Таким образом, на промежутке 0^/<л функция F\(y) монотонно растет от 0 до +<ю [р!(0)=0, Е1(л)=+оо]. Следовательно, график функции Fi(y) на интервале 0^/<л пересечет горизонтальную прямую у=\/2нЕ*>0, причем в силу монотонного характера изменения F\(y) такое пересечение произойдет только один раз. Итак, на промежутке OsCy<jt уравнение (9.20) имеет единственный корень уо<п. Корень уо~ наименьший из бесконечного множества положительных корней уравнения (9.20) и определяет критический размер сферического реактора Ко=уо!к: при R<Rq тривиальное стационарное состояние реактора ф(г)^0 устойчиво и цепная реакция в сфере отсутствует; при R>Ro стационарное состояние <р(г)=0 абсолютно неустойчиво и цепная реакция неизбежно зародится и превратится в лавинный процесс.
В заключение отметим, что при r^R0 величина хг не превосходит ^0—у0<л, а потому плотность потока нейтронов (9.19) (при 4>0) будет строго положительной. Если же рассмотреть любой из промежутков O^r^Rk, где R& — радиус сферы, отвечающий какому-нибудь другому корню уь уравнения (9.20) (ук^Уо), то из равенства (9.19) легко убедиться, что <р(г) будет принимать как положительные, так и отрицательные значения. Этот анализ еще раз показывает, что только величина Ro имеет физический смысл (плотность потока нейтронов не может быть отрицательной!).
Замечание 3. Все три случая, рассмотренные выше, можно интерпретировать как следующую задачу на собственные значения:
Ясно, что собственные числа этой задачи суть функции параметра R: K=ik(R). Нужно теперь отыскать такое число /?>0, чтобы по меньшей мере одно из собственных чисел удовлетворяло требованию
f (So-vSf)/D>0
X (R) = (	0
в случае 1);
в случае 2);
(9.22)
— (v£f — 2o)/D<0 в случае 3).
При любом радиусе сферы R>0 все собственные значения задачи (9.21) отрицательны. Это означает, что требование (9.22) в случаях 1) и 2) не реализуется, а для случая 3) приходим к следующему уравнению для определения R:

Разумеется, это уравнение сводится к уравнению (9.20).
39
§ 10.	ТОЧНОЕ ОДНОСКОРОСТНОЕ УРАВНЕНИЕ ПЕРЕНОСА НЕЙТРОНОВ. ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ
Проблемы, связанные с перемещением нейтронов в веществе от областей с высокой плотностью нейтронов к областям с низкой плотностью, были рассмотрены в § 8 с помощью теории диффузии. Однако многочисленные ограничения диффузионной теории сильно сужают область ее применимости. В настоящем параграфе сформулируем интегро-дифференциальное уравнение для описания распределения нейтронов, при этом снимем все существенные ограничения диффузионной теории. Единственным ограничением (которое будет снято в гл. 4) останется предположение, что все нейтроны имеют одинаковую энергию *.
Для вывода уравнения переноса потребуется следующее определение. Пусть Е(ДУ, ДЙ, () —число нейтронов в объеме ДУ около некоторой точки г, направления скоростей которых заключены в телесном угле ДЙ около некоторого направления Я, и все это зафиксировано в момент времени t. Легко видеть, что F есть аддитивная функция области Дб=(ДУ, ДЙ). Производная этой функции по области ДО
lim
|ДС|->0
г(ду, да, о дуда
= п(г, Я, t)
называется фазовой плотностью нейтронов. Очевидно, что введенная ранее плотность нейтронов п(г, tt) связана с фазовой плотностью п(г, Я, 0 равенством
п (г, t)= Сп(г, Я, t)dQ,
где (в сферических координатах) dQ=sin 0 dQdty.
Величину <р (г, Я, t)=vn(r, Я, ty назовем плотностью фазового потока нейтронов**, причем
<р(г, t)= у <р(г, Я, t)dQ.	(10.1)
Для дальнейших целей удобно ввести термин пучок нейтронов (Дй)а, понимая под последним всю ту совокупность нейтронов, направления скоростей которых заключены в элементарном телесном угле ДЙ около направления Я. Вектор Я здесь и всюду в дальнейшем предполагается единичным по модулю.
Наконец, обозначим СДДУ, ДЙ, ДО число актов i-ro процесса {i=a, s или f), вызываемого нейтронами пучка (Дй)а в объеме ДУ в течение промежутка времени Д£. Тогда производную этой аддитивной функции по области б=(ДУ, ДЙ, ДО (|О|=ДУДЙД0
* Фактически еще предполагается, что нейтроны не «сталкиваются» между собой. Снятие этого ограничения—предмет нелинейной кинетической теории.
** Если по тексту ясно, о каком потоке или какой плотности идет речь, будем опускать слово «фазовый».
40
получении формулы
Рис. 13. Перетекание нейтронов через элементарную площадку AS в направлении вектора й
назовем фазовой плотностью соударений в i-м процессе. Она описывается формулой
Ez(r, /)?(г, ЙД i = a, s, f.	(10.2)
Установить этот результат значительно проще, чем аналогичную формулу (7.2) диффузионной теории. В самом деле, в диффузионной теории приходилось формулировать эквивалентную вспомогательную задачу, перестраивая хаотически движущиеся нейтроны в плоскопараллельный пучок. При (10.2) мы имеем дело с ансамблем нейтронов, скорости которых ориентированы в одном направлении (вдоль вектора й) и вспомогательная задача становится излишней.
Прежде чем переходить к выводу уравнения переноса, рассмотрим вспомогательную задачу: сколько нейтронов из пучка (ДЙ)й пройдет за элементарный промежуток времени А/ через элементарную площадку АЗ в сторону ее единичной нормали п (рис. 13)?
В случае идеализированного пучка, когда последний не претерпевает изменений (нейтроны из пучка не выбывают и не прибывают в него), все прошедшие через пло
щадку АЗ за время А/ нейтроны пучка (АЙ)й заполнят цилиндр, основание которого есть АЗ, а образующая параллельна вектору й и имеет длину уД|/ (см. рис. 13). Объем этого цилиндра равен ДЗпД^йп, так что подлежащая определению величина запишется в виде
и (г, Й, /) ДЙДЗиД/йп = йп<р (г, Й, /)ДЙД/Д3.	(10.3)
Отметим, что полученный результат пропорционален произведению АЙАV (А Е=^АЗуА/йп) .
Если нейтронный пучок (АЙ)й претерпевает изменение в результате ядерных реакций, а также из-за возможного наличия постороннего источника нейтронов, непрерывно распределенного по всем переменным г, й, t, то это изменение в объеме AV за время Ай пропорционально, как легко видеть, произведению АЙДЕА/, т. е. является величиной более высокого порядка малости, чем (10.3), и может не приниматься во внимание. Таким образом, формула (10.3) обоснована и в общем случае.
На основе формулы (10.3) несложно подсчитать плотности односторонних токов /+ и а также результирующую плотность тока нейтронов jn в направлении вектора п [эти величины определены в § 8, и их выражения через плотность потока нейтронов на основе приближенной диффузионной модели даны формулами (8.10) и (8.11)]. Учитывая, что /+, j- и jn, по определению, нор-
41
мированы на единицу площади и единицу времени, легко находим из (10.3):
/+ = J Й1гр(г, й, t)d£l.
(Qn>0)
Аналогично
/_ =—	§ йп<р(г, й, /)dQ.
(йп<0)
(В последней формуле знак минус перед интегралом введен для компенсации знака минуса скалярного произведения йп, поскольку, по определению, /_ неотрицателен.) В итоге получаем
J„(r, O = /+-/- = J«n<|>(r, Й, t)dQ. (10.4)
Это равенство можно переписать в виде
/п(г, O = «j(r. О-где
j(r, 0 = ^S2<f>(r, Й, t) dS2	(10.5)
есть векторный ток нейтронов. (Напомним, что с вектором j (г, () мы уже встречались в диффузионной теории.)
Перейдем теперь к выводу уравнения переноса. Пусть имеется некоторая область 1/0, заполненная нейтронами. Выделим внутри этой области произвольный объем V. Будем вести наблюдение только за теми нейтронами из объема V, которые принадлежат пучку (Ай)а-
Подсчитаем сначала убыль нейтронов из нашего пучка за промежуток времени At в объеме V. Прежде всего нейтроны выбывают из пучка благодаря реакциям захвата - и рассеяния. Общее количество актов захвата и рассеяния нейтронов пучка (Дй)й в объеме V за время At выразится, согласно формуле (10.2), в виде
AQ.At f £(г)<р(г, Й, t)dV (S = Sa + Es). (10.6) v
Если поглощенные нейтроны полностью выбывают из пучка, то из числа рассеявшихся нейтронов часть остается снова в пучке (Ай)а— это те нейтроны, которые в результате рассеяния меняют направление движения в пределах телесного угла Ай. Покажем, что этой долей нейтронов можно пренебречь по сравнению с величиной (10.6). В самом деле, нз общего числа рассеявшихся нейтронов
ДЙД/ f 2; (г) <р (г, Й, t)dV v
доля оставшихся в пучке пропорциональна Ай, так что эта доля имеет порядок малости Ай2А/, в то время как (10.6) имеет поря-42
док малости ДОД(*. Далее нейтроны могут уходить из объема V вследствие механического перемещения в пространстве. Количество нейтронов рассматриваемого пучка, выбывающих из объема V за время Д/ в результате перемещения в пространстве, легко подсчитать с помощью формулы (10.3); это количество нейтронов равно
ДЙД/§(2п?(г, S2, t)dS. s
Подсчитаем теперь прибыль нейтронов в пучке за время Д/ в объеме V. Очевидно что нейтроны могут прибывать в пучок (Дй)ц из других пучков (ДЙ')й'. в которых они претерпели рассеяние с изменением направления скорости с S2' на (2. Для математического выражения этого факта введем в рассмотрение вероятность того, что нейтрон, имевший до акта рассеяния направление движения S2', попадает после рассеяния в пучок (Дй)ц. Нетрудно видеть, что в однородной изотропной среде эта вероятность Р зависит не от каждого из векторов S2' и (2 в отдельности, а только от угла между ними, т. е. от скалярного произведения £212'. Кроме того, Р, разумеется, зависит от величины Д£2. Обозначим g(r, £2(2') плотность этой вероятности**:
, „„ ч	г Pfr, ЙЙ\Д2)
g(r, йй')= Нт 	(10.7)
|ДВ|->ОО
Из определения плотности вероятности .следует тождество:
Jg(r, fifi')d£2=l.	(10.8)
Покажем теперь, что прибыль в пучок (Д(2)п за время Д/ в объеме V из всех других пучков в результате рассеяния в них дается интегралом
Д£2Д/ ^dV У dQ'Ss(r)<p(r, й', t)g(r, йй').	(10.9)
Действительно, произведение
Ss(r)<p(r, й', t)dVdQ'&t	(10.10)
является уже привычной для нас формулой и представляет собой количество актов рассеяния в элементе объема dV за промежуток времени \t из числа нейтронов, принадлежащих пучку (сй2')цг.
* В настоящем параграфе, а также в § 7 подробно обосновываются тонкие детали, связанные со сравнением бесконечно малых величии разных порядков. В дальнейшем такой анализ опускается.
** Зависимость от г здесь означает, например, что изучаемая область может быть собрана из сред с разными свойствами.
43
Из массы рассеявшихся нейтронов (10.10) в пучок (Ай)а попадает следующая доля:
Ss(r) <p(r, Q', t)dVdQ'Mg(r, йй')ДЙ.	(10.11)
Интеграл (10.9) получается в итоге суммирования вкладов (10.11) по всем элементам объема dV и по всем пучкам (dQ')fl'.
Наконец, прибыль в данный пучок может быть обусловлена функционированием источников нейтронов плотностью q (г, О, () (например, реакцией деления ядер урана). Этот вклад в наш пучок выразится интегралом
ДЙД/ [ q (г, й, t)dV.
v
Составим теперь баланс нейтронов так, как мы это делали при выводе уравнения диффузии:
ДЙ J [п (г, й. t Ы) — п (г, й, /)] dV =&£№ I — фйп<р (г, й, t) dS -|-v	( s
+J [jEs(r)g(r, йй')<р(г, й', t)dQf — Y,(г)<р(г. й, t) + ?(г, й, t)]dV\
(10.12)
Если в равенстве (10.12) перевести поверхностный интеграл в объемный по формуле Гаусса — Остроградского, поделить обе части равенства на АЙД/ и перейти к пределу при А4—И), то получим
-+й\7<р + 2<р-?—[Ssg(n flfl')?(r. й'-	=
V
Из произвольности объема V в последнем равенстве следует интересующее нас уравнение, называемое уравнением переноса, или кинетическим уравнением Больцмана:
L^0yL0_+fiV(p(r> а, О + Е(г)?(г, Й, t)
=J£s(г)g(г, Йй')?(г> й'> 0^'+<7(г. й> 0-	(10.13)
Уравнение (10.13), будучи дифференциальным по пространственной и временной переменным, требует задания начального и граничных условий. Поскольку задание начального условия для уравнения (10.13), как и для диффузионного уравнения, является традиционным с точки зрения уравнений математической физики, мы обсудим только постановку граничных условий.
44
Рассмотрим сначала границу раздела двух сред, которую предполагаем кусочно-гладкой. Выберем на границе раздела произвольную площадку S и заключим ее в «тонкий» объем V (поперечный разрез этой картины схематически изображен на рис. 14). Если теперь уравнение нейтронного баланса (10.12) считать записанным для избранного объема, а затем «стя-
Рис. 14. Поперечный разрез элементарного объема, охваты-
вающего элемент границы раздела двух сред
нуть» этот объем к поверхности S (Si—>-S, S2—bS, V—>0), то все объ-
емные интегралы в равенстве (10.12)
обратятся в нуль, а потому обратится в нуль и поверхностный ин
теграл:
lim f йп1<?(г, й, 0 dS-f- lim ffinl<p(r, й, t)dS— \[йп,<р(г -f-О, й, 0+
+ ЙП2<Р (r — 0, й, t)]dS = O.
В силу произвольности площадки 5 из полученного равенства следует равенство нулю подынтегрального выражения. Обозначая И] через п и учитывая, что п2=—пь получаем окончательно
fin<f>(rs — 0, й, t) = йп<?(rs + 0, й, t).	(10.14)
Разумеется, это условие можно получить и на основе формулы (10.3).
Замечание. В равенстве (10.14) обе части содержат общий множитель Йп. Одиако сокращение равенства на этот множитель может привести к нежелательным последствиям. Например, во многих приближенных методах используется ие само условие (10.14), а разного рода интегральные соотиошеиия, получаемые из него. В этих случаях подынтегральный весовой множитель йп несет важную нагрузку и его отсутствие может превратить метод в некорректный (см. замечание в конце § 12). Когда же сокращение на множитель йп оправдано, мы будем это делать. Данное замечание в равной мере относится и к следующему равенству (10.15).
Если среда, представляющая собой выпуклое тело, граничит с вакуумом, то (в случае отсутствия в вакууме внешних источников) нейтроны из пустоты в среду не поступают. Рассуждая как и выше, легко получаем условие на границе с вакуумом:
йп<р(г3, й, 0 при йп<0,	(10.15)
где единичная нормаль п предполагается направленной в вакуум.
В заключение рассмотрим наиболее важные частные формы уравнения (10.13), обусловленные выбором той или иной системы координат для пространственной переменной г. Отметим сразу же при этом, что вектор направления движения нейтронов (2 мы бу-
45
дем всегда связывать с некоторой сферической системой координат *.
1. Прямоугольная система координат. В этом случае вектор £2 можно определять углами 0 и ф, отсчитываемыми, например, от осей Z и X. Плотность потока нейтронов в нестационарном случае оказывается, таким образом, функцией шести координат: ф=<р(х, у, z, 0, ф, /). Учитывая, что
q = sin 0 cos ф i -f- sin 0 sin ф j + cos 0 k;
перепишем уравнение (10.13) в виде
— -^--]-sinO f cosф -^--ф-зтф-^- ) + cos®4^4“^? —
v dt 1	\ T dx 1	‘ dy j 1 dz ’	~
2k	x
j g(x, y, z, n.)?(x, y, z, 0', ф', Osin0'd0' + 0	0
y, z,.Q, ф, /),	(10.16)
где
|ao = QQZ = cos 0 cos 0' -f- sin 0 sin 0' cos (ф — ф').
Уравнение (10.16) существенно упрощается, если процессы переноса изучаются в бесконечной по двум направлениям (например, по х и у) пластине, когда 2, 2«, g, q не зависят от координат х и у (плоскопараллельный случай). При этом чаще всего функция источника не зависит от азимута ф. Очевидно, что при этих предположениях искомая функция <р зависит от г, 0 и te Если еще ограничиться стационарным случаем, то уравнений (10.16) запишется как 2« л
cos0= f б/ф' Jg(z, ц.)?(г, O')sin0'd0'+^(z, 0). о о
В полученном уравнении проинтегрируем по ф' известную заранее функцию g(z, ро) и перейдем к переменной р,—cos 0. Окончательно имеем
I
p-^~ + E<p(z>	=	Ь н')^' + ?(г, р),	(10.17)
где
2к
g(z, и. и')= f g(z>	(10.18)
__________ 6
* В Приложении Б дается общая форма записи уравнения переноса в произвольной криволинейной ортогональной системе координат, а найденные ниже представления уравнения (10.13) для трех вариантов наиболее употребительных координатных систем формально вытекают из этого Приложения как частные случаи.
46
Условие (10.14) на границе раздела двух сред z=H примет аид
ц) = цср(Я + О, |i).	(10.19)
Соответственно на границе с вакуумом z=№, если, например, вакуум простирается от этой границы в положительном направлении оси Z, из (10.15) получаем
рмр (№, р.) = 0 при |4<0.	(10.20)
В многочисленных теоретических исследованиях плоскопараллельную задачу часто изучают при изотропном рассеянии нейтронов в лабораторной системе координат. Изотропное рассеяние означает следующий вид вероятности рассеяния P(r, (2S2', А£2):
Р(г, йй', ДЙ) = ДЙ/4*.	(10.21)
Из формулы (10.7) с учетом (10.21) находим
g(r, йй')=1/4«.	(10.22)
откуда для функции g (10.18) имеем
g(z, ц, р/)=1/2.
Таким образом, уравнение (10.17) в случае изотропного рассеяния принимает вид
1
Р-^-+2?(г, р) = -у-	+<7(z, р)-	(10.23)
—i
2. Цилиндрическая система координат оказывается особенно
удобной, если задача цилиндрически-симметричная. Именно этот случай мы н рассмотрим сейчас. Вектор £2 можно определять
углами 9 и if, первый из которых отсчитывается от оси цилиндра, а второй является углом между проекцией S2 на плоскость поперечного сечения цилиндра и лучом в этой плоскости, проходящим через ось цилиндра и точку М местонахождения нейтрона (рис. 15). Ограничиваясь сразу стационарным случаем, убеждаемся, что плотность потока нейтронов ф зависит от четырех переменных: ф= =ф(р, z, е, ф).
Отметим теперь следующее важное обстоятельство: если фиксированы координаты 0 и ф вектора (2, то это вовсе не означает, что вектор (2 сохраняет свою ориентацию в пространстве [если перемещать точку М (р, и, z) вдоль окружно
Рис. 15. Координаты для описания положения нейтрона и направления его движения в цилиндрически-сим-метричных задачах
47
сти p=const, z=const, то при фиксированных значениях 0 и ф вектор £2 будет менять свое направление!], и наоборот, если вектор £2 сохраняет в пространстве свое направление, то определяющая его совокупность координат (0, ф) изменяется [угол 0 хотя и остается постоянным, но ф меняется при перемещении точки Л4 (р, to, z) вдоль, например, той же окружности p=const, z=const].
При выводе уравнения .переноса (10.13) полагалось, что направление пучка произвольно, но фиксировано. В силу сделанного выше замечания это означает, что в выбранных координатах оператор V в уравнении (10.13) действует не только на координаты р и z функции <р(р, z, 0, ф), но и на координату ф, зависящую от to. Используя выражение для градиента в цилиндрической системе координат [10]:
dU . 1 dU . ди
^и~ + г’
записываем д<?	, 1 df dty , df
 	V7'p = X-e Ч----е + ^-е-.
v ' др р * р дФ da> “ 1 дг г
Из геометрических соображений элементарно устанавливается, что йф=—da. Если еще учесть равенство
8 = sin0 cos<|>ep-|-sin6 8шфеш-|- cos 0ег,
то получим
X—7	- в/ , д? вшф df\ I в df
aV?=sin0jcos4>^-----------J-j+cosO^.
Таким образом, стационарное уравнение (10.13) примет вид
2те	те
sin0 ^созф y^^+cosO + = JJg(p. г, ^0)Х о о
Х<р(р, Z, 0', <|>')sin0'd0' + <7-	(10.24)
Граничные условия (10.14) и (10.15) без труда можно записать в цилиндрических координатах, если использовать приведенное выражение для £2 и учесть, что на концентрических,границах цилиндра п=>=ер, а на перпендикулярных к оси цилиндра плоских границах n=±ez.
3.	Сферическая система координат находит естественное применение для сферически-симметричных задач. В этом частном случае обе системы координат — и та, что служит для регистрации точки в пространстве, и вторая, которую мы выбираем для описания направления движения нейтрона, — сферические. Если первая из этих систем фиксируется в пространстве, то вторую, как и в случае цилиндрической геометрии, удобно мыслить привязанной к переменной точке М изучаемой сферически-симметричной среды. При этом широтный угол 0 вектора £2 принято отсчитывать от продолжения радиус-вектора точки М, проведенного из центра 48
нейтро-
16. Координаты
для опн-
Рис.
сания положения нейтрона и направления его движения в сферически-симметричных задачах
О первой координатной системы. Описанная геометрическая ситуация схематически представлена на рис. 16 в виде сечения пространства плоскостью, проходящей через радиус-вектор точки М и вектор (2.
В силу сферической симметрии можно утверждать, что в уравнении (10.15) плотность источников q, а следовательно, и искомая плотность потока нейтронов <р как функции векторного аргумента <2 могут зависеть только от широты 0. В стационарном режиме, которым мы сейчас ограничимся, плотность потока нов <р будет, таким образом, функцией только двух переменных г и 0.
Для записи уравнения (10.13) в сферической системе координат основную (хотя и легко преодолимую) трудность представляет слагаемое S2V<p. Эта трудность, как и в цилиндрической геометрии, связана с тем, что при фиксированной ориентации вектора S2 соответствующая ему широта 0 зависит от положения точки М в пространстве (см. рис. 16). Следовательно, оператор «обязан» действовать на обе переменные г и 0. С учетом этого замечания выражение для градиента V<p наиболее изящно можно получить следующим образом. Поскольку в левой части уравнения (10.13) вектор S2 по отношению к оператору V фиксирован, свяжем именно с этим вектором сферическую систему координат для
пространственной точки М (см. рис. 16). В этом случае широтная координата 0 точки Л4(г)=Л4(г, 0, со) будет тождественно совпадать с аргументом 0 в плотности потока нейтронов <р(г, 0). Но это означает, что на функцию <р(г, 0) можно теперь смотреть как на функцию точки М(г, 0, со) при отсутствии зависимости <р от азимутального угла со.
В выбранной таким образом системе координат, по определению, можно записать [10]:
I 1 df ЭГе'-+-Г‘д0'е9-
Чтобы вычислить произведение (2 V<p, целесообразно вектор £2 разложить по тем же ортам ег иев, в которых записан градиент V<p. Из рис. 16 следует, что
n = ercos0— eesin0.
Умножая скалярно (10.26) на (10.25), получаем
—,	л df sin 0 df
aV? = cos0^~ —
(10.25)
(10.26)
4—301
49
Если ввести переменную p=cos 0, то найденное выражение перепишется в виде
v-7	d<f I 1 — u.2 д?	,	.
^ = ^+-7^, ? = Iх)-
Таким образом, в стационарном и сферически-симметричном случаях уравнение (10.13) примет вид
1
4.	= £s jg(r,	f*')du'4-<7(г, ц), (10.27)
—1
~ 2я
где	g(r, р, р/) = | g(r, pjcty'.
Полученное уравнение часто записывают в несколько иной форме, а именно:
I
—У
х?(г. р'Мн' + <7(с ц).	(10.28)
Граничные условия (10.14) и (10.15) легко переписать для сферически-симметричной задачи, если учесть, что n=er, а £2 дается формулой (10.26).
§ 11. ИНТЕГРАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ПАЙЕРЛСА
В предыдущем параграфе было выведено интегро-дифференциальное уравнение, описывающее детальную картину распределения нейтронов в среде при достаточно общих предположениях относительно свойств среды. Если, однако, на характеристики среды наложить некоторые ограничения, а именно предположить, что:
1)	среда однородна и представляет собой выпуклое (невогнутое) тело;
2)	рассеяние в среде изотропно;
3)	источники нейтронов изотропны, то интегро-дифференциальное уравнение (10.13) можно заменить интегральным уравнением (уравнение Пайерлса). Решение интегрального уравнения часто оказывается более простой задачей, так как подлежащая определению функция является уже плотностью не фазового потока нейтронов ф(г, £2, t), а глобального потока
<?,(г, 0 = J?(r> Я-
который зависит от меньшего числа переменных. Например, можно сослаться на классическую проблему Милна [11], исследова-50
ние и решение которой могут быть очень изящно выполнены на основе интегрального уравнения (Приложение А).
В настоящем параграфе дадим сначала непосредственный вывод интегрального уравнения Пайерлса, а затем получим его из уравнения переноса (10.13). Тем -самым будет доказана эквивалентность этих уравнений в предположениях 1)—3).
1. Непосредственный вывод интегрального уравнения. Пусть некоторая однородная среда V заполнена свободными нейтронами. Выберем внутри области V произвольную точку го и окружим
Рис. 17. Схема облучения нейтронами площадки AS с элемента сферической поверхности ДГ
ее элементарным объемом AV0- Количество нейтронов пучка (ДЙ)й, находящихся в момент времени t0 в объеме ДУ0, выражается, по определению, формулой
п(г0, Й, /,)ДЙДУв.	(11.1)
Кроме того, как было показано в § 10, величину (11.1) можно интерпретировать как число нейтронов из пучка (ДЙ)^, которые пересекают за промежуток времени от t0 до ^0+Д^ площадку Д5, помещенную в точку Го и ориентированную нормально к вектору О, при условии, что
иД5Д/ = AV0.
(11.2)
Итак, попробуем подсчитать величину (П-1), основываясь на второй интерпретации. На расстоянии р от площадки AS нейтроны, направления скоростей которых принадлежат пучку (ДЙ)й и которым предстоит пройти площадку Д5, могут быть «собраны» только с определенного участка сферической поверхности радиусом р, площадь которого равна ДГ=р2ДЙ (рис. 17). При этом нужно иметь в виду следующее обстоятельство: если нейтрон прошел сквозь площадку AS в момент времени t0, то поверхность ДГ он покинул в момент времени t—t0—p/v. Число актов рассеяния в слое ДГДр=р2ДрДЙ за промежуток времени от t=t0—p/v до Ь+At равно
Ss?o(r, О?гдРд^дЛ	(11-3)
4*	51
где r=r0—рй — координата некоторой точки поверхности АГ, а ?о(г 0 = j ?(г> В, t)d&.
В силу изотропности рассеяния доля нейтронов, покидающих объем АГАр в направлении площадки AS, равна
^2sf,(r, /)ргДрДЙДА	(11.4)
Аналогично можно подсчитать долю нейтронов, покидающих объем АГАр в направлении AS, от непрерывно распределенного источника нейтронов плотностью q(r, t,). Эта величина дается формулой
(г, 0р2ДрДад*-	(Ц-5)
Нейтронные ансамбли (11.4) и (11.5) в процессе полета от АГ до AS ослабнут в ехр (—Sp) раз (S=Sa+Se), т. е. до площадки Д5 дойдет только
^-[Ss<p0(r,	/)]ехр(—Ер)ДрДЙД£ нейтронов.
' Полное количество нейтронов, пересекающих площадку AS за промежуток времени от t0 до Z0+Af и принадлежащих пучку (Ай) £2> получится суммированием вкладов каждого из слоев АГАр от точки г0 до внешней границы области V (предполагается, что область V ограничена и извне нейтронами не облучается). Итак, в итоге имеем
Л(го, -В)
п (г0, В, /о) АЙДУ» =	j F(r, t) ехр (—Sp) do,
о
где
F(r, 0 = Ss?,(r, 0 + ?(r. t),	(11.6)
R (г0, —й) —расстояние от точки г0 до внешней границы области V вдоль вектора (—й), а величины г и t — функции переменной интегрирования р согласно формулам:
t = tt — рМ г=г0 —рв.	(11.7)
Заменив в полученном уравнении АГ0 по формуле (11.2) и поделив затем обе его части на ASAQA^, найдем
Л(г0, -В)
?(Г„. В, = У F(r, 0 ехр (—Sp) dp.	(11.8)
о
52
После интегрирования (11.8) по угловой переменной получим «(г„, -ft)
?o(ro-U = iJ dQ f	Oexp(—Sp)p*dp.	(11.9)
'6
Интеграл в правой части этого равенства есть объемный интеграл в сферических координатах с полюсом в точке г0, который можно переписать в виде
р (г>	ехрД—Sp)	dV = p2(/p(/Q.
v
Здесь аргумент г играет роль пространственной переменной интегрирования, что с очевидностью следует из второй формулы в (П.7). Следовательно, оставшиеся переменные t и р под знаком интеграла должны быть выражены через г. Это легко сделать с помощью формул (11.7):
Р = |Г — г.|, / = —|г—rj/щ	(11.10)
В итоге равенство (Н.9) примет следующий вид:
+?(г,	ехр^-Уl}rfF- (11Л1)
Это и есть искомое интегральное уравнение. Уравнение (11.11) особенно упрощается в случае стационарного режима:
?. (r.)= J [Ss?. (г) + q (г)] ехр<7^~Г<,|} dV. (11.12)
Задачу (11.11), зависящую от времени, можно свести к стационарной задаче типа (11.12), если только допустить, что свойства среды не изменяются со временем. Такую процедуру можно осуществить, например, на основе преобразования Лапласа [6].
Замечание 1. При выводе уравнения (11.11) мы ограничились для простоты конечными размерами области V. Однако в наших рассуждениях ничего не изменится, если предполагать область V бесконечной или, например, полубес-конечной. Таким образом, уравнения (11.11) и (11.12) справедливы для любой однородной неограниченной среды с невогнутой границей.
Замечание 2. Отказ от некоторых ограничений, сформулированных в начале параграфа, позволяет обобщить уравнения (11.11) и (11.12). В частности, в рамках прежних предположений об изотропности рассеяния и источников несложно вывести интегральное уравнение для неоднородной среды. В этом случае ослабление пучка нейтронов описывается не функцией ехр (—Sp), а выражением (4.5), в то время как остальные математические выкладки остаются без изменений. В итоге получим следующее обобщение уравнения (11.1'1):
53
dV
Хехр
L
(«•., zo) =’47 v
(11.13)
где F (г, О = Ss (r) y„ (r, t) + q (r, t).
2. Преобразование интегро-дифференциальногб уравнения переноса в интегральное. Сформулированные в начале параграфа предположения об изотропном характере процесса рассеяния нейтронов и внешних источников позволяют переписать уравнение (10.13) в виде
O.+QVy(r> й> 0+&р(Г) t) =
У	1
= 4^'Ро(Г’ 0+'4^'7(г,	(11.14)
где (г, 0 = J ?(г, Я, /) dQ, а изотропная функция источников уравнения (10.13) представлена в виде q(r, й, () = ^-</(г, f), так что q(r, /)=у<7(г, й, t)dQ. Переменные г и t в уравнении (11.14), предполагавшиеся до сих пор независимыми, подчиним сейчас следующей связи:
Г = г,4~ и (? — /„) Й.	(11.15)
Физический смысл соотношения (11.15) вполне очевиден: функция r(() =ro + f ((—(о)Я отвечает закону.движения свободного нейтрона, который в момент времени t=to находился в точке г=г0 и имеет скорость у=ой.
Легко видеть, что использованные ранее формулы (11.7) можно рассматривать как параметрическую запись уравнения (11.15) с параметром р, а потому и плотность потока нейтронов <р после наложения связи (11.15) становится функцией р. Сейчас мы покажем, что первая пара слагаемых уравнения (11.14) есть (—д(р[др). В самом деле, второе уравнение (11.7) можно подробно записать в виде
х = х,— pQj у = у„ — pQy; z = z,— pQ2, так что
ду  д<р dt  df dx । dy dy । df dz  1 dy d? dt dp 'dx dp  dy dp ’ dz dp	v dt
_	_q A s _ LL 4-HV?1
x dx & dz 2 dz [ v dt 1 v T j
54
Это тождество позволяет переписать уравнение (11.14) в виде
—а-	s<p(г, —pa, q, t„ — ^ =
= “if(r«-pQ-	<11Л6)
где F(r, () определена формулой (11.6).
При фиксированных г0, Я и /0 уравнение (11.16) можно рассматривать как обыкновенное дифференциальное уравнение, решение которого имеет вид
<р(г, —PQ, Q, —р/о) = <р(г, —P,Q. Q, *. — рЛ)ехр{(р — р.)Е} —
— --L j F(r„ — p'q, t9 — p'/n)exp{(p — p')S}dp'.	(11.17)
р»
Предполагая область V ограниченной, положим в равенстве (11.17) р=0, a p0=j?(r0, —Я) (см. п. 1 настоящего параграфа). В силу граничного условия, означающего отсутствие потока нейтронов извне, получим
R <г„ -Q)
?(r.. Q, = J	(г, —?□, /,-^exp(-p£)dp.
о
Поскольку найденный результат в точности совпадает с равенством (11.8), дальнейшую его обработку можно не продолжать — такая процедура уже выполнена в п. 1.
Замечание 3. Наши рассуждения в процессе преобразования интегро-дифференциального уравнения в интегральное легко перенести и на случай неограниченной среды. В этой ситуации следует дополнительно учитывать, что при Цо=/?(Го, —Q)=oo и р=0 слагаемое ф(г0—p0Q, Q, tt>—р0/и) ехр {(р—p0)S} в равенстве (11.17) обращается в нуль. Последнее утверждение, разумеется, справедливо, если плотность потока нейтронов ограничена на бесконечности или растет медленнее, чем ехр (|г—г0|2).
Замечание 4. При стационарном режиме интегральное уравнение разумнее было бы выводить, исходя из стационарного иитегро-дифференциального уравнения переноса. В этом случае техника преобразований несколько проще, так как в уравнении (11.14) первое слагаемое отсутствует, а второе является производной функции <р в направлении вектора Q, что позволяет сразу записать уравнение (11.14) в форме типа (11.16).
3. Интегральное уравнение в плоскопараллельной геометрии. Для примера рассмотрим стационарное уравнение Пайерлса в однородной пластине, бесконечной по у и г. Положим, что источник q зависит только от переменной х. При этих условиях, как это следует из уравнения (11.12), плотность глобального потока нейтрона <ро(г) фактически зависит только от х, и уравнение
55
(11.12) можно переписать в виде
®, М =	f F (х) dx Idy Idz exP (*- х«)2+(У~У»)2+^-г0)\’
Y 4n J ' J J (х-Хо)2+(У-Уо)2 + (г-го)2 a	—oo —oo
(11.18)
где F(x)=2s(prj(x)+?(x); а и ft —границы пластины. Отметим, что случаи а=—оо и ft=-f-oo не исключаются, так что пластина может быть лолубесконечной или бесконечной по переменной х. Если в плоскости YOZ ввести полярные координаты с полюсом в точке (у0, z0), то уравнение (11.18) примет вид
' ?. и.)= 4 fF wdx f expbf£<*-*.);±d pdP.
Z J	J	(* — *o) +p
a	0
Введем новую переменную v:
V2 = [(X — V + p2]/(x — x0)2.
Тогда последнее уравнение еще несколько упростится:
Ь	оо
?. (*.)= 4 р (X)	J е-хр <~vS-1* ~ *°11 dv.	(11.19)
а	1
Наконец, хорошо известные в астрофизике и ядерной физике специальные функции [12, 13]:
E^x)=^^dv, х^О	(11.20)
позволяют переписать уравнение (11.19) в следующей форме (с непринципиальными изменениями в символике):
ь
?0 W = 4 J ® + Я (s К - х\)	(11.21)
а
Если пластина неоднородна, но такова, что макроскопические сечения Ss и 2 зависят только от х, совсем несложно получить обобщение уравнения (11.21). Для этого нужно повторить вышеописанные преобразования, отправляясь от стационарной формы уравнения (11.13). Убедившись, что уравнение приведено к виду
b	оо	v [х—х01
<?„ (х0)=4 {F(x)dx	fv	’exp — f	s(x-----M-;—4i J
I	J	J \	У | л "* Xq ] j	I
a	1	L 0	J
56
делаем еще одну подстановку: т—х—а(х—х0)/>у|х—х0|- Снова переобозначая независимые переменные, окончательно получаем
6 / * \
?. W=-г f Is* ® ?•’(*>+? (ЭД £* (J s (’)dz I dt
а	х
t;
JS(T)dx/(? — х) есть среднее значение полного сечения на интер-X
вале (х, £). Обозначим эту величину S(x, g). Тогда последнее уравнение становится по форме почти совпадающим с уравнением (11.21):
ь
?. (•*) = 4- J	® ?. (*) + Я (5)] Я. (S (*. ?) 15 - X I) (R.
а
Более подробные сведения по интегральным уравнениям теории переноса приведены в работах [3—6, 12—15].
ГЛАВА 3
ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ОДНОСКОРОСТНОГО УРАВНЕНИЯ ПЕРЕНОСА
§ 12. МЕТОД СФЕРИЧЕСКИХ ГАРМОНИК
Рассмотрим один из наиболее эффективных и распространенных методов решения уравнения переноса — метод сферических гармоник. Прежде всего целесообразно привести определения и основные свойства полиномов Лежандра, присоединенных функций Лежандра и сферических функций [12, 16], на базе которых строится описываемый ниже метод.
1. Полиномы Лежандра. За определение полинома Лежандра n-й степени Рп(ц) можно принять следующую формулу (формула Родрига):
= [(>*-1)”1-
Полиномы Лежандра связаны рекуррентной формулой
(п+1)Рл+1Ы-н(2п+1)Рл(н) + лР„-1(н) = 0,	(12.1)
позволяющей последовательно вычислять их, начиная с Рг(ц) [Р0(р)=1, Р!(р)=р]. На отрезке [—1, 1] последовательность полиномов Лежандра образует полную ортогональную систему:
’	(0, если т^=гг,
если т=п. <12-2>
2. Присоединенные функции Лежандра Р^'"> (ц) можно определить через полиномы Лежандра:
откуда следует, что Р*о> (р) = Рл (р) и, далее,
Р^т>(р)==0 при	(12.3)
Присоединенные функции Лежандра связаны рекуррентной фор-
(п _ т + 1) р^ (И) _ ц (2п + I) Р™ М+(п + т) Р^ (р) = 0. (12.4) Это тождество переходит автоматически в (12.1) при /й=0.
• 58
Присоединенные функции Лежандра при фиксированном т также образуют полную ортогональную систему на отрезке 1—1. 1]:
*	(0,	если
J 2	(	,	(12.5)
J	ЬТ+Т (n-m)”’ еСЛИ	П-
Соотношение (12.5) переходит в (12.2) при т—0. В Приложении Б приводится ряд дополнительных тождеств, которым удовлетворяют присоединенные функции Лежандра.
3. Сферические функции У^п) (р,, ф) можно определить через присоединенные функции Лежандра следующим образом:
У(т) (р., ф) = Р{т) (р) sin/пФ, m>0; 1 п т/ п 7 Т	f	(12 6)
Y'~m) (р, <^>)=P^m) (р) cos/пф, т 3= 0. J
Сферические функции образуют полную ортогональную систему в области —Is^psgU, 0^ф^2л:
2«	1
(Ч
О —1
( 2п(1 + йто) (п + |/п|)!
I—о Т ,--- , , J, , если т. =т. = т; п. = п, = п;
= < 2п + 1	(п—|/п[)! ’	*	2	*	2
I 0	во всех остальных случаях.
Здесь 8(/— символ Кронекера: 8;. = | и ’ (1 при i = j.
На этом можно закончить краткое знакомство с очень важными ортогональными системами функций, необходимыми для метода сферических гармоник.
Предположим теперь, что имеется некая функция f, определенная в точках поверхности сферы единичного радиуса, т. е. f= =f(M), Alex2+у2 + г2—1=0. Поскольку каждая точка М сферической поверхности определяется однозначно единичным радиусом-вектором й, проведенным из начала координат в точку М, то вместо записи f(M) можно употребить такую:	Если, на-
конец, с центром сферы связана некоторая сферическая система координат, то ^(£1) в итоге будет зависеть от двух аргументов: ц и ф (p=cosO). Следовательно, функции f—f(£2) можно поставить в соответствие ее ряд Фурье по сферическим функциям:
00 п
f(a)^ S S ^yf’(H, Ф).	(12.7)
л=0 т~—п
59
где
2к 1
Апт =	[ йф f f («) Y((н, ф) dK
1У/ пт J J	п
О	—1
дг ______ 2я (1 4- 8т) (л -|- |/и|)!
пт 2л+ 1 (л —|/п|)!-
Если, в частности, функция f не зависит от ф, то с учетом выражений (12.6) легко убедиться в том, что все Апт с т=#0 обращаются в нуль, так что ряд (12.7) превращается в ряд по полиномам Лежандра
f(t^	(12.8)
п=0
в котором 1
—г
Разумеется, разложение (12.8) можно получить сразу на основе ортогональной системы полиномов Лежандра, не привлекая сферических функций.
Часто разложения (12.7) и (12.8) записывают4 в несколько измененной форме:
Б Е аЛ'Х) Z+S» (>2-9>
л=0 т——п
где 2л 1
CnOT=J^ Jf(«)yf’(^ ФЖ 0	—1
Соответственно
ОО
(12.10)
п—0 где
сп= pwP„(rt^-
—1
Итак, теперь можно в двух словах изложить суть метода сферических функций. В уравнении переноса (10.13) один из аргументов — единичный радиус-вектор й, поэтому можно попытаться искать решение этого уравнения в виде ряда по сфери-60
ческим функциям (сферическим гармоникам) (12.9)]:
[см. разложение
00 п
»• *>=S S	«.
П=эО —п
(12.11>
Здесь коэффициенты фтата(г, 0 — неизвестные (искомые) функции. Для определения фтат(г, t) нужно подставить разложение (12.11) в уравнение (10.13), в котором функцию источника q также следует записать в виде ряда по сферическим функциям. Подстановка разложений <р и q в уравнение переноса не приводит автоматически к представлению самого уравнения в виде явного ряда по той же системе сферических функций—-для этого необходимо (и, как следует из Приложения Б, всегда возможно!) выполнить еще некоторые тождественные преобразования. Пусть, наконец, нам удалось записать интегро-дифференциальное уравнение переноса в виде ряда по бесконечной ортогональной системе функций {О* < Если это разложение умножать поочередно на каждую из сферических функций и интегрировать по ф и ц, то в силу ортогональности сферических гармоник получим бесконечную систему дифференциальных уравнений, связывающих функции Фпт(г, t). Разумеется, преобразованиям нужно подвергнуть и граничные условия (10.14), (10.15). В общем случае выкладки достаточно сложны и громоздки, так что сейчас мы ограничимся рассмотрением частной плоскопараллельной задачи (10.17)*.
Поскольку плотность потока нейтронов ф в уравнении (10.17) не зависит от ф, ее можно, согласно (12.10), искать в виде
ОО
ф(г, }*)=
п—0
где
1
<р„(г)= J<p(z, }*)Р„(р.)ф.
(12.12)
(12.13)
Отметим, что первые коэффициенты Фурье имеют простой физический смысл: фо(г) и ф](г) с точностью до множителя 2л представляют собой соответственно плотность полного потока нейтронов и результирующую плотность тока jz [см. равенства (10.1) и (10.4)].
Для получения интересующей нас системы относительно функций фп(г) фактически нет надобности предварительно подставлять разложение (12.12) в уравнение, как это было «для порядка» ска
* Для произвольной криволинейной ортогональной системы координат метод сферических гармоник дан в Приложении Б.
61
зано выше. Достаточно эту процедуру подразумевать выполненной. Поэтому сразу начнем с того, что умножим уравнение (10.17) на Ра(ц) (£=0, 1, 2, ...) и проинтегрируем в пределах от —1 до 1. Первый член уравнения с использованием формул (12.1) и (12.13) преобразуется следующим образом:
1 1
f d? n / \ / d С /	№ + О Pk+i (*) + kPk-1 ФО г
^^Рй(ц)Ф —-	p.)S r.J,	..
—1	—1
= 9ГХТ [(* +1)	+k	•
2k+ 1 I'	1 'az ' az I
Второй член уравнения с использованием выражения (12.13) преобразуется тривиально:
1
J Е<р(г, }i)Pk(n)dn = B(pk(z). —1
Для преобразования интегрального члена уравнения разложим известную функцию g(z, ц0) в выражении (10.18) в ряд по полиномам Лежандра:
ОО
g (2. I*.) =	^2 gn (г) Рп (}*.),
п=0
где
g„(z) = JgC?- vJPMd?.'.	(12.14)
Согласно определению (10.18), функция f(z, ц, ц') примет вид оо	2тс
g(z, J*. }*') =	?1+Jgrn(z) J Pjpjcty', цо = йй'.	(12.15)
n=0	0
Для дальнейшего преобразования этого выражения воспользуемся формулой (теорема сложения для полиномов Лежандра):
Р. (»’>=₽. (|*)Р. (!•') + 2 J £^$,Р™ (rt Р“ М c°sm - t’)-т=\
(12.16)
Подставляя (12.16) в (12.15) и интегрируя, получаем
ОО
g(z, J*. м,,) = 2тС ^2j^gn(z)Pn(v-)p,Av-')-
п»0
62
Теперь интегральный член преобразуется элементарно: 1	00
^g(z> Р-. Р-')?(2> Р>') dp.' = 2itSs^ 2-^-тг Sn (z) РП (Р-) X
—i .	,	n=o
1	со
х ( f (Z, юpn (Ю dp.' = 2^ V 2dl±l gn (2) (z)Pn W.
J	w	z
—1	n=0
В результате умножения уравнения (10.17) на Рд(ц) и интегрирования по р. от —1 до 1 интегральный член уравнения приводится к виду
2nSs^fe(z)<pfe(z).
Наконец, «обработав» функцию q(z, ц) в уравнении (10.17), получим систему дифференциальных уравнений относительно искомых, величин фл(г):
^^-+(^+1)^-+(2й+1)Ет = (2Ж)^. * = 0, 1,2,...,
(12.17}
где
Sft = S-2^ft.	(12.18)
В частности, при &=0 из равенств (10.8) и (12.14) элементарно находим £о=1/2л, т. е. So=2—Ss=Sa.
Для более простого уравнения (10.23) с изотропной функцией рассеяния (10.22) имеем ту же систему (12.17), но с S&, определяемыми формулой
так как в (12.18)
1 1
—1	—1
если 0 [см. (12.2)].
Перейдем теперь к представлению граничных условий (10.19) и (10.20) в рамках метода сферических гармоник. Умножая условие (10.19) на Pft(p) и интегрируя от —1 до 1, получаем (почти дословно повторяя преобразования первого члена уравнения):
(*+|1)?*+.	0) + ^_,(Я- 0) =
= (*+1)?4+. (#+.0) + ^- (# + 0)*, ^0,1,2,... (12.20)
* Если в равенствах (12.20) придавать k последовательно значения 0, 2, 4, ..., то легко убедиться в непрерывности функций с нечетными индексами: фгл+1 {Н—0) =<p2*+i(//-|-0) (/г=0, 1, 2, ...). В частности, при k — О это означает непрерывность плотности результирующего тока нейтронов. Заметим, что аналогичного заключения относительно функций фп с четными индексами сделать нельзя.
63
Обратимся теперь к граничному условию (10.20). Нетрудно убедиться, что его невозможно «обработать» по аналогии с уравнением (10.17) и условием (10.19), поскольку равенство (10.20) имеет смысл не во всем интервале —l^lpsg: 1, а лишь в его половине — 1<щ<0. Это обстоятельство ставит нас перед необходимостью конструировать (в рамках метода сферических: гармоник) некие искусственные граничные условия, которые в том или ином смысле наилучшим образом аппроксимировали бы условие (10.20). Таких конструкций можно придумать множество, однако естественно требовать, чтобы каждая из них удовлетворяла физическому условию баланса
/_г(Н’)= — 2itJ w(#°, ^)^=0,	(12.21)
вытекающему из общей формулы для одностороннего тока нейтронов /_ (см. § 10) и краевого условия (10.20). На практике наибольшее распространение получили так называемые условия Маршака [3, 4]. Суть этих условий состоит в следующем. Поскольку функция цф (Н°, р) тождественно равна нулю в интервале — l^ip^O, то это эквивалентно обращению в нуль всех ее коэффициентов Фурье по любой полной и ортогональной в промежутке [—1, 0] системе функций. В качестве такой системы можно было бы взять, например, тригонометрическую систему {cos л £ц}, которая обеспечивает (при k—О) выполнение балансного условия (12.21). Напротив, система {sinл£ц}, будучи полной и ортогональной в интервале —l-g^p^O, должна быть забракована в силу требования (12.21). Однако в духе метода сферических гармоник представляется более естественным использовать набор либо четных, либо нечетных полиномов Лежандра, каждый из которых полон и ортогонален в промежутке — Is^p^O. Требованию (12.21) удовлетворяет только четный набор полиномов Лежандра, так что окончательно условие (10.20) можно заменить равенствами
о.
f	jx)P2fc(р.)<^р. = О, £ = 0,1,2,...,	(12.22)
—1
где ф(/7°, р,) предполагается в виде (12.12). С помощью рекуррентного соотношения (12.1) легко убедиться, что условия (12.22) эквивалентны таким:
о
J <Р(Я», р)Р2А+1 ((1)^ = 0, £ = 0,1.2,...,	(12.23)
которые и называются условиями Маршака. Заметим, что после подстановки ряда (12.12) в условия (12.23) все нечетные слагаемые, кроме (2£ + 1)-го, обратятся в нуль.
Полученная бесконечная система уравнений (12.17), дополненная теми или иными граничными условиями, только в исключительных случаях может быть решена полностью. Таким образом, 64
для решения большого круга практически важных задач необходимо сделать какие-то допущения, упрощающие задачу. Разумеется, эти упрощения достигаются ценой превращения метода в приближенный. Можно, например, допустить, что в разложении (12.12) функция ф(х, ц) достаточно хорошо аппроксимируется первыми (jV+1) слагаемыми. Это означает, другими словами, что в пределах некоторой заданной точности плотность потока нейтронов ф(г, ц) как функция аргумента ц содержится в конечномерном пространстве SPN, порожденном ортогональным базисом Ро (ц), Р1(ц), ..., Pn(ii). Кроме того, предположим, что предусмотренные постановкой задачи операции над функцией ф(х, ц) (интегро-дифференциальный оператор уравнения переноса, операторы граничных условий) в пределах упомянутой точности не выводят нас из пространства fPN. Получаемое при этом приближение называется Р^-приближением метода сферических гармоник.
Остановимся теперь более подробно на наиболее употребительных в практике Р2- и Р3-приближениях.
Ррприближение. Представление искомой функции ф(г, ц) с помощью базиса Р0(ц) = 1, Р\ (ц) — ц, согласно формуле (12.12), имеет вид
?(2, р.) = [?.(£) + Зр.ф,(г)]/2.	(12.24)
Компоненты уравнения переноса (10.17) по базису ^i={l, ц} дают на основе соотношений (12.17) систему двух дифференциальных уравнений:
(12-25>
Компоненты граничного условия (10.19) по базису на основании формул (12.20) принимают вид
Ф, (И - 0)=(Я + 0); ф0 (Я - 0) = ф. (Я + 0).	(12.26)
Наконец, условие (10.20), трансформированное соотношением (12.23), превращается в
Ф,(Я°)-2фх(Я») = 0.	(12.27)
Если вакуум простирается от плоскости z~Ha в отрицательном направлении Z, то вместо условия (12.27) имеем
Ф0(Я»)+2фх(Я») = 0.	(12.28)
Решив систему дифференциальных уравнений (12.25) с необходимым набором граничных условий и подставив функции ф0(г), Ф1(г) в формулу (12.24), получим приближенное решение исходной задачи в Pi-приближении.
На систему (12.25) и условия (12.26) — (12.28) интересно посмотреть с несколько иной точки зрения, при этом для некоторого упрощения рассуждений рассмотрим случай, когда функция источников q в уравнении (10.17) изотропна, т. е. q\ в системе 5—301	65
(12.25) равна нулю. Из второго уравнения этой системы получаем
Т. = -Д-	(d=±\	(12.29)
az	az к	/
Если вспомнить физический смысл функций фо и фЬ то оказывается, что соотношение (12.29) с точностью до значения коэффициента диффузии (1/3S1 вместо l/3Ss) совпадает с равенством (8.12). Для случая же изотропного рассеяния в лабораторной системе координат и слабого поглощения Sa<CSs (ограничения диффузионной теории, см. § 8) на основании равенств (12.19) будем иметь Si = S=-S.s, т. е. 1/32]^ l/3Ss, что приводит к полному совпадению выражений (12.29) и (8.12).
Подставив (12.29) в первое уравнение (12.25), получим дифференциальное уравнение второго порядка относительной функции фо(г):
(12.30)
которое оказывается не чем иным, как стационарным уравнением диффузии (9.1), полученным нами ранее непосредственно.
Наконец, граничные условия (12.26) и (12.27) с использованием равенства (12.29) превращаются в диффузионные условия (8.19) и (8.16).
Таким образом, с точностью до «мелких деталей» Р,-приближение метода сферических гармоник оказывается эквивалентным диффузионной теории. Это заключение остается в силе и в самом общем случае применения /^-приближения, т. е. для более сложных геометрий, чем плоскопараллельная (см., например, § 24).
Р2-приближение. В данном случае искомая функция, система дифференциальных уравнений и граничные условия формируются с помощью базиса
Рг(№
В результате имеем:
? (г, Р-) = 'у- [?о (2) Рл (р) + 3?, (z) Pt (р.) + 5<р2 (z)P2 (р,)];

^+2 4-+зе.т.=з,.;
(12.31)
2 ^- + 52^ = 5^.
Из условий (12.20) получаем только два соотношения (k—О и fe=2 приводят к одному и тому же результату):
?,(#—0) = <р1(Я+0), 2<pa-f-<pe|/f_0^=2<pa-|-<pe/Af_H,. (12.32)
66
Наконец, условие (12.23) дает
ад. (Я‘)+ад: (# °)+ад. (#’)=о;
afe = (2A + l)J°	£ — 0,1,2.
В рассматриваемом случае число граничных условий такое же, как и в Pi-приближении, а число уравнений в системе (12.31) на единицу больше, чем в Л-приближении. На первый взгляд, может показаться, что задача недоопределена (недостает граничных условий). Однако на самом деле математическая корректность задачи не нарушена, поскольку в системе (12.31) только два уравнения дифференциальные [в этом легко убедиться: если dq-Jdz выразить из первого уравнения и подставить в третье, то последнее превращается в алгебраическое уравнение, связывающее функции tpo(z) и ф2(z)]. Таким образом, задача в /^-приближении оказывается незначительно сложнее задачи в Ргприближе-нии, тогда как выигрыш в точности может быть ощутимым [|17].
Интересно отметить, что граничные условия в Р2-приближении (12.32) допускают разрыв плотности потока нейтронов <р0 на границе раздела сред (но сохраняют непрерывность плотности результирующего тока нейтронов tpi!) (см. также сноску на с. 63).
Рз-приближение. Поступая, как и выше, получаем
у (z, ц) = -i-	(2k + 1) <fk (z) Pk (н);
4r+2 >+3M.=3?,;
2>+3Ф-+5е-ь=^
3^- + 7E.f. = 7?..
(12.33)
Условия (12.20) означают непрерывность на границе раздела сред следующих функций: фЬ 2ф2+фо, Зф3 + 2ф1 и <р2. Отсюда элементарно убеждаемся в непрерывности каждой из функций фй(х) (k=0, 1, 2, 3) в отдельности:
<P.(H-0W.(H + 0); ?1(Я-0) = ?1(// + 0);| ?2(Н-0) = <Р2(Я + 0); ?,(Я-0) = ?,(Я+0)./
Наконец, на внешней границе имеем
S аЛ(Я‘)=0, 2 Мй(Я°) = 0,	(12.35)
&===о
5*
67
где
о
= (2fe + 1) j Pk (p,) Pt (p,) dp,
о
bk = (2k + 1) J
—1
причем а, = &1 = 0.
Замечание. Предположим, что в условии (10.19) обе части равенства сокращены на множитель р, или, что то же, в условии (10.14)—на Qn. Тогда, применив изложенную выше процедуру, вместо условий (12.20) получили бы
(12.36)
Можно показать, что для нечетных Ргг+1-приближеннй условия (12.20) всегда сводятся к условиям (12.36) [сравните (12.26) н (12.34)]. Однако для четных /^-приближений из (12.36) получаем больше условий на границе двух сред, чем это необходимо для решения системы дифференциальных уравнений. Например, в случае Ра-приближения вместо двух условий (12.32) имеем три: непрерывность фо, ф[ и фо. В сложившейся ситуации приходится жертвовать какими-то краевыми условиями. Но какими? Четкого алгоритма на этот счет не вырисовывается. Наконец, и жертвы не помогают—решения оказываются малоудовлетворительными.
Итак, сокращение равенства (10.14) на множитель Qn [соответственно сокращение (10.19) на ц] приводит к тому, что в рамках метода сферических гармоник четные приближения (в отличие от нечетных) оказываются некорректными. Исторически именно так и случилось, что в условии (10.14) множитель Qn всегда отбрасывался. Нечетные приближения от этого не страдали, а четные стали считаться «неполноценными». Позже (в работах Г. Я. Румянцева [Г8] и Г. И. Марчука [3]) причина неполноценности четных приближений была выявлена и устранена и эти приближения завоевали право на существование.
§ 13. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ
В МЕТОДЕ СФЕРИЧЕСКИХ ГАРМОНИК
В предыдущем параграфе был рассмотрен метод, позволяющий сводить интегро-дифференциальное уравнение переноса к системе дифференциальных уравнений. Хотя получаемая система и превращается в конечную в случае конечного Р jv-приближения, решить ее аналитически чаще всего либо очень сложно, либо невозможно. Так обстоит дело, например, если среда многозонна, порядок N рассматриваемого ^-приближения достаточно велик и геометрия среды более сложная по сравнению с плоскопараллельной. В таких случаях дифференциальные уравнения обычно аппроксимируют конечно-разностными уравнениями, что существенно упрощает задачу. Излагаемый ниже конечно-разностный алгоритм проиллюстрируем на примере плоскопараллельной задачи в рамках Р3-приближения. Рассмотрим плоскопараллельную геометрическую систему, состоящую из материальных сред нескольких сортов и симметричную относительно плоскости х=0*. На рис. 18 изображен вариант такой системы из двух сред А и В.
* В этом параграфе мы заменили символ независимой переменной г на -68
Физические параметры каждой зоны многослойной среды предполагать постоянными не будем — пусть в пределах зоны они (а также плотность нейтронных источников q) будут непрерывными и достаточно гладкими функциями переменной х. Так, параметры активной зоны * ядерного реактора могут быть постоянными по г в начале процесса, но по мере неравномерного выгора-
ния ядерного топлива и неравномерного накопления шлаков (из-за существенной неравномерности нейтронного поля в активной зоне) эти параметры могут стать
заметно зависящими от г.
В силу симметрии задачи решение системы (12.33) достаточно искать только в области х^О, сформулировав условия при х—0. Эти условия получаются из (12.13), если учесть, что функция <р(0, р.) четная по переменной у,, а четность полиномов Лежандра совпадает с четностью их индексов. В результате получаем
Фк(0)=0 при нечетном k. (13.1)
Рис. 18. Плоскопараллельная система, состоящая из слоев А и В с разными физическими свойствами
Излагаемый ниже метод позволяет преобразовать систему дифференциальных уравнений (12.33) к векторно-матричному дифференциальному уравнению второго порядка, совпадающему по форме с диффузионным .уравнением (12.30), а затем распространить один из приближенных методов решения уравнения диффузии на полученное векторно-матричное уравнение.
Для простоты плотность источников q в уравнении (10.17) считаем изотропной, т. е. в системе (12.33) 7о#=О, ql = q2=q3=G. Введем в рассмотрение две векторные функции <р(х) и /(х):
L?2 (x)J	L<Mx)J
Систему (12.33) теперь нетрудно переписать в векторно-матричном виде как систему двух уравнений
(13.3)
где IF, —матрицы, q—вектор:
Г1 °]; IF2 = [S° 0 1;
L2 з]	[0 5S2j
IF3 = [’ 21; IF4 = [3S1 ° ]•	<7 = 1 'М
[о з] [О 7S3]	4 L 0 J'
В
* Активной зоной называется та часть общей частности, активная зона может совпадать и со
области V, в которой всей областью V.
69
Выражая из второго уравнения системы-(13.3) вектор /:
/ = -К
d<f dx ’
2 '
9S,
73, J
0
и подставляя его в первое уравнение, получаем векторно-матричное дифференциальное уравнение второго порядка
-1'7'
Числовую матрицу Wi можно внести под знак производной и переписать последнее уравнение в виде
D W +s W ? w=?	<13-4)
где

33, (х) 2
2
а , 27 s,(x) ;
4 “Г 7 З3 (х).
S(x)=lFt(x).
Обратимся теперь к векторно-матричной формулировке граничных условий для уравнения (13.4). При х=0 на основании (13.1) и (13.2) получаем /(0)=0 и, далее, с использованием связи /=—Kdy/dx
На границе раздела сред х=Н условия (12.34) примут вид
<р(Я —0) = <р(Я + 0);
—К^-\ Н—0	dX |н+0 ’
К dx
Для дальнейших целей удобно несколько преобразовать второе из выписанных условий, умножив его на невырожденную числовую матрицу К7]. С учетом равенства jD=1Fi# в итоге имеем
?(Н-0) = ?(/?4-0); d£\ = D^| . ах |я—о	ах |н+о
(13.6)
Наконец, переписав условия (12.35) на внешней границе х=Нй в виде
Г «о «2 1	! R1 0 1 ?-__Q
1ь» ьД т ' [о ь,\
и снова воспользовавшись равенством /=—Kdyjdx, получим
где [с учетом конкретных значений а;, Ьг (i=0, 1, 2, 3)J
Г 4 51-
1—1 5J’
<JAj
2
9_Si_
7 S, J
(13.7)
(13.8)
г___1_
ь— 8
О
70
Итак, в Рз-приближении получено представление (13.4) — (13.7), совпадающее по форме с аналогичной задачей диффузионной теории*. Это означает, что любой конечно-разностный аналог задачи (13.4) — (13.7) можно автоматически перенести на диффузионную модель, т. е. (если это специально не оговорено) можно не задумываться, идет ли речь о Р3- или /^-приближении (диффузионном). И, наконец, чтобы наши выводы носили универсальный характер, заменим граничные условия (13.5) и (13.7) следующими более общими условиями:
=g.	=g-	аз-9)
\	/х=0	\	J х=Н°
Замечание 1. Равенства (13.9) описывают все многообразие естественных граничных условий для уравнения (13.4). В частности, при Л10=£ (Е — единичная матрица) н Lo=go=g=O имеем условия (13.5) и (13.7). Не равные нулю правые части в (13.9) отвечают облучению пластины с внешних сторон некими заданными источниками. Наконец, хорошо известное в диффузионной теории реакторов условие на экстраполированной границе [1] получается при £=1, Л1=£=0; условия на поверхности «черных» и «серых» тел [3] также описываются с помощью равенств (13.9). Отметим, что прн любом корректном граничном условии диффузионной теории коэффициенты Lo, L и М в равенствах (13.9) неотрицательны.
Сейчас будет описан метод получения одной конечно-разностной схемы, обладающей важнейшими достоинствами лучших схем подобного класса. Можно только сожалеть, что эта схема (в силу исторических причин) не занимает ведущего места в арсенале схем, обеспечивающих равномерную сходимость приближенного решения к точному с порядком О (А2), где h — максимальный шаг разностной сетки. Автор надеется, что строгое и детальное математическое обоснование предлагаемой схемы, выполненное в следующем параграфе для диффузионного (скалярного) варианта, привлечет внимание читателей к ней и выдвинет ее в ряд популярных. Поскольку строгому обоснованию алгоритма отводится специальный параграф (см. § 14), здесь вывод разностной схемы осуществим на «полуинтуитивном» уровне. Этот акт вполне оправдан, так как определенную категорию читателей не будут интересовать математические тонкости.
Итак, для численного решения дифференциальной задачи (13.4), (13.9) уравнение и граничные условия представим в конечно-разностной форме. Для этого разобьем весь промежуток изменения переменной х (Os^xs^//0) на конечное число интервалов hh 2, . .., N), каждый из которых может иметь произвольную длину (рис. 19) **. На такое разбиение наложим всего одно ограничение: границы раздела сред с разными физическими свойствами должны находиться только в точках «стыка» интервалов
* В цилиндрических, сферических и других криволинейных системах координат описанный выше прием приводит к представлениям, которые в и Р3-при-ближениях могут не быть идентичными по форме.
** В дальнейшем под символом hk будет пониматься не только k-Ъ. интервал, но и его длина.
71
Х1	Хк-1 Хк	ХК*1	Хк ив
Х=0	Х-п
Рнс. 19. Схема построения сеткн узлов на интервале 0<Сг^//°
при этом допускается случай, когда все точки стыка интервалов являются границами раздела физических сред.
Середину каждого интервала hk примем за расчетный узел (см. рис. 19). Заметим, что в силу такой конструкции точки х=0, х=Н° и физические границы раздела сред не совпадают с расчетными узлами сетки.
Замечание 2. Во многих проблемах теории переноса приходится вычислять разного рода, функционалы от нейтронного поля, например такие:
С [?] = j" р (г) (г) dV. v
где Фо(г)—плотность глобального потока нейтронов, а р(г)—некоторая заданная функция. В одномерном варианте, который мы сейчас рассматриваем, ннте-гралы вида J f(x)dx (с возможными разрывами подынтегральной функции в точ-о
ках xs±/t*/2) наиболее просто вычислять по квадратурной формуле прямоугольников со средней ординатой:
Я»	N
j f(x)dx^ hkf(xk). _	(13.10)
0
Если f" (х) существует почти всюду на0<х<//"н ограничена, то погрешность формулы (13.10) равна О (/г2) (ft = max/г*). Но как раз с погрешностью того же k
порядка О (Л2) (см. § 14) дает решение задачи разностная схема, к построению которой мы приступаем.
Итак, если иметь в виду формулу (13.10)—простейшую из квадратурных формул, то выбор середины интервала /г* в качестве узла х& можно признать дополнительным достоинством конструируемой конечно-разностной схемы.
Конечно-разностную схему строим, используя так называемый метод фиктивных точек. Для этого возьмем один из интервалов hk и параметры среды, соответствующей этому интервалу, непрерывно и гладко продолжим на расстояние Aft/2 вправо и влево от концов интервала hk. Фиктивные концы расширенного интервала отметим символами aft и bk (рис. 20). Подразумевается, что эта операция осуществлена для всех интервалов hk (k=l, 2, ..., N).
Рнс. 20. Конструкция расширенного интервала
72
Гладкое продолжение параметров среды из интервала hk на интервал [ак, &Д означает, что любое решение <р(х) уравнения (13.4) в промежутке ak^xs^bk будет гладким. Функцию Y(x)=D(x)dcp/dx также можно считать гладкой в [ак, Ьк] (см. подробнее § 14), что позволяет записать следующее приближенное равенство:
I____d т\ d<? \	____/____dY \	1 Гу /
\ dx U dx Jx=xk	dx )x=xk	[ \ 6
_у / г I \ 1
* {i" 2 I •
2 I
Подставляя этот результат в уравнение (13.4) при х=хк (k= — 1, 2, ..., N), получаем
----(jX/i: + ~‘Г^] + £	0- (13.11)
Далее можно выписать такие приближенные равенства:
У (** —г) = с (*« - Т +°)	:
Г (х. +	== D (л.+i - 0) JLfciW..
(13.12)
С учетом последних выражений (13.11) принимает следующий вид:
д У (xk) — ? (ak)  ц ?(хД — ?(М .1
* hk	~Г k hk i-
+ S(x*)?(xft)-<7(xA)^0, 6=1,2, ...,1V,	(13.13)
где
Aa = A-d(xa-4+o); П, = -^Д^+4_Оу. (13.14)
Теперь заметим, что в точке стыка х—Н двух соседних интервалов hk и условия (13.6) справедливы независимо от того, терпят в этой точке разрыв параметры среды или нет. Чтобы представить условия (13.6) в конечно-разностной форме, обратимся к рис. 21. На этом рисунке схематически изображено взаимное расположение двух соседних расширенных интервалов [ак, Ьк] и [afe+i, 6fe+i], которые для наглядности сдвинуты друг относительно друга по вертикали. Из рис. 21 ясно, что односторонние предельные значения <р(Я±0), Dd<pldx\H±o можно приближенно записать так:,
<р (Я Д- 0)~ [ср (afe+l)+ <р (х*+1)] = <р (хй+1) -	[<p(xft+1)—<р (ай+1)];
<р (Я _ 0) «=> -1- [ф (хк) + <р (6А)] ±= <р (хк)------------[<р (xk) — <р (&й)[;
* Символы Л и П подчеркивают определенный конец промежутка hk: Л,—
левый, П — правый.
73
df dx
D
Afe+1 [<p(x*+l) — <p (a*+i)];
Я+0
DSr\
Перепишем равенства (13.6), используя последние соотношения:
<p(^+i)l+[<p(-x‘*+1)—?(«*+!)]—[? (**)—? (Ml = °И (13.15)
Л*+1 fe (**+i) — <Р («л+ Л — nfe [? (М — <Р W = °-	J
При решении разностной задачи знаки ~ в формулах (13.13) и (13.15), естественно, заменяются на =. Это означает, что вместо
Рис. 21. Взаимное расположение двух соседних расширенных интервалов (a*, 6*J и [а4+1, 64+1].
<p(aft), <р(хь), <р(М (й=1, 2.N),	отвечающих точному реше-
нию задачи, мы получим какие-то другие величины (приближенное решение), которые условимся обозначать 'Ра*, ?*,
С учетом этого замечания перепишем (13.13) и (13.15) в форме строгих равенств:
Л* ^=^- + n/2^L + S(^)^-<Z(xft)=0, k= 1, 2, N;
(13.16)
2(?Л - <p* +>) + (?*+» - <РаЛ+1) ~ (<Р* - ?£>*) —0;
^k+l (?*+1 Фл£ + 1)	((?bk	,
й=1, 2......N— 1.
13.17)
Исключая из последних двух уравнений разность <рА+1 — получаем
<Р* —	(Ak+i + па)-1Л*+1 (<р* — <Рй + 1).	(13.18)
Точно так же из условий (13.6) на стыке интервалов hk-i и hk имеем
— ?afe — 2(Aft4-Hfe_1) 1 H*-i (<р*	<P*-i)-
74
Исключив с помощью последних равенств разности <pk — <pOfe и <pfe— — в (13.16), получим конечно-разностное уравнение, которое уже не содержит фиктивных величин <pafc и
Ak(<Pk —	— A+i(?i+i —	+ M (**)?* =М(*л). (13.19)
где Л^г^ + Л;1)-’-
Замечание 3. Если сетка равномерна и параметры уравнения сохраняют непрерывность и гладкость в [О, Я0], то схема (13.19) превращается в хорошо известную классическую схему [19]:
— р	---~h----------------------h-J +
+ S (**) % = q (xk).
Из самого способа получения уравнения (13.19) легко усмотреть, что оно имеет силу для k=2, 3, ..., N— 1. При выводе разностных уравнений, отвечающих k=l и k=N, учесть граничные условия (13.9). С использованием точек эти условия можно записать приближенно:
г У (а.) + У (Х1) _ дл ?(х,) —у(д,) _ „ _ л.
2	h	°0 V’
r ¥ (xN) + у (bN) у (bN) — у (xN)
L ------2----------------------------°
или в форме строгих равенств (относительно величин V
необходимо фиктивных
(13.20)
(13.21)
Последние уравнения целесообразно переписать иначе, а именно:
?i-?ai = 2й, (йД + 2Л10)- ’ (L.cp, — g0); - % = 2hN (hNL + 2Л1)-1 (L<?n - g).
Если теперь из первого равенства, а также из уравнений ((13.16) и (13.18), записанных для 6=1, исключим разности <р, —<ра, <р, — <р6, содержащие фиктивные значения, то в результате получим конечно-разностное выражение вида
+	(13.22)
где <д>1 и Fi даются ниже формулами (13.25). Аналогичным образом получаем уравнение для Ji=N:
Ам (<Рн -	= f w	(13.23)
75
Равенства (13.19), (13.22) и (13.23) запишем в виде одного уравнения:	• ' I
4t(<P*—	—	(?*+! — ‘P*)4-‘M’fe = Ffe> 6=1,2, .... N, (13.24)
где
(О	при k=\ и k —
—12 (П—\4-A71)-* при k — 2, 3, ..., N;

 й, [S (х,) 4-2Л, (AjL, 4-27ИО) -’Л,] при й=1; hk^(xk)	при /? = 2, 3, .... N — 1;
4v[S(^)4-j2nv(A/4-2A4)-1L] при k = N;
(13.25)
61[?(х1)4-2Л1(й1104-2Л1<,)-,ёг0] при 6=1;
при k = 2, .... N — hN[q(xN)-]-2JlN(hNL-[-2M)-1g] при k=N.
1;
Система разностных уравнений (13.24) эффективно решается методом прогонки, к описанию которого мы и приступаем.
Положим, что имеется матрично-векторная или скалярная система уравнений вида
A/Wk-i Bk<?k~\~Ck<?k+i=	6=1, 2, ..... N, (13.26)
где Л1 = Су=0, а все остальные коэффициенты предполагаются ненулевыми*. Представим первое уравнение системы (13.26) в виде
ф1=р2ф2"Ь22,	(13.27)
где
р.^В/С,; Z2=BY'Ft.	(13.28)
Покажем, что представление типа (13.27) справедливо и для последующих значений k. Доказательство легко провести по методу математической индукции. Предположим, что на (6—1)-м этапе ерь—1=ркф* + Zk. Подставляя это ф*_] в (13.26), получаем ф* такой же конструкции:
(13.29) где
Pfe+i=(^fe	|	(13 30)
2*+1=(В*-АА)-’(^4-л^). J
Полезно отметить, что равенства (13.28) алгоритмически более удобно рассматривать как частный случай формул (13.30)—это очевидно, если вспомнить, что Л1=0; при этом Pi и Z^ можно взять произвольными, например Pi = 0 и Zi = 0. Заметим попутно, что рЛ’+1=0, так как СЛ-=0.
* В частности, в системе уравнений (13.24) Ак даются формулой (13.25); С*=Д*+1; В*=4*+С*+<0а (й=1, 2, ..., Л1)-76
Приведем теперь окончательную схему решения задачи.
1.	Начиная с Pi = 0, Zi = 0, по рекуррентным формулам (13.30) последовательно находим
1з, =0, рг> ...,	...,	— 0;
ZI—0, Zt, Z3, ..., Zk, ZN, zN+1.
2.	По формуле (13.29) вычисляем (в направлении убывания индекса k) последовательно величины
<?ЛГ = ^+Р Тлг-Р ?у-2...
При формальном описании метода прогонки предполагалось, что в формулах (13.30) величины (В&—А^)-1 имеют смысл при всех k=l, 2, ..., N. Обосновать этот факт особенно легко для варианта скалярной системы уравнений (13.26) при условии, что
I41 + |C*I<I5J. k =	(13.31)
и хотя бы при одном значении k (k=k0) выполняется строгое неравенство
+	(13.32)
Очевидно, что коэффициенты системы (13.24) подчиняются неравенствам (13.31) (см. сноску на с. 76). Более строгое неравенство (13.32) также выполняется, если отлично от нуля по крайней мере одно из неотрицательных чисел в (13.25).
Доказательство проведем методом математической индукции. Согласно условию (13.31), Вг—Ai'Pi==Bi=^0. Кроме того, из первого равенства (13.28) находим, что [Рг]^!. Пусть нам удалось дойти до величины р& и при этом ни разу знаменатель не обратился в нуль. Пусть попутно установлено: |Pf|<С 1 (г=2, 3, ..., k). Покажем, что используемая для вычисления pft+i величина Вй—Aftpft не равна нулю и |Pfe+i|^l. В самом деле, при k<N с учетом неравенств (13.31) находим
l?A+1| = |Cfe|/[Bfe - Afepft|<|CJ/|Cfe|=l.
При k=N из этих неравенств уже нельзя сделать нужного нам заключения, так как CN=0. Ситуация, однако, не безнадежна, если вспомнить, что еще не использовано условие (13.32). В силу последнего при k~^k$ получаем более строгие неравенства
|Bft Aftpfe | > |Ck |, |pft+1|<l.
В частности,
| BN ANfiN | > ICN | = 0,
t. e. BN—A^-pw=#0. Утверждение полностью доказано. Более подробные сведения о методе прогонки для скалярных и матричных конечно-разностных уравнений можно найти, например, в работах [19—22].
77
Вернемся еще раз к задаче (13.24). Предположим, что все уже найдены. Если нас интересуют значения функции <р(х) в точках х=0, х=Н°, а также в точке стыка х—Н любых двух интервалов hk и Лй+ь то их можно вычислить по формулам:
?(0)=(я+^- ь.)-1 (ч?> + 4^);
/	\—1 / h„ \
?(И) = (Щ 4- Aft+1)_1 (Пй<рй + Лй+,cpfe+,), которые получаются в результате элементарных выкладок на основе следующих приближенных представлений:
?(O) = -^-(cpai + tp1); <р (Я0) %	(<?,, + <?bN);
ср (Н) ~ (ср* + <pb/) = 4-
§ 14.	СТРОГОЕ ОБОСНОВАНИЕ КОНЕЧНО-РАЗНОСТНОГО АЛГОРИТМА
В настоящем параграфе даны детальное и строгое математическое обоснование метода фиктивных точек и анализ свойств разностной схемы (13.24) в рамках диффузионного варианта, отвечающего уравнению (13.4) со скалярными (вообще говоря, разрывными) функциями Ь(х), 2(х) и q(x). Мы ограничиваемся диффузионной моделью не случайно — читатель легко убедится, что даже в этом простейшем случае обоснование сопряжено с немалыми затратами усилий. Подчеркнем, что трудоемкость обоснования разностной модели на неравномерной сетке для задач с разрывными коэффициентами не есть особенность метода фиктивных точек — она присуща всем известным методам обоснования такого рода схем [19, 21].
На протяжении почти всего параграфа предполагаем, что D(x)^>iDo>0 в [О, Я0]. И лишь в заключительной части параграфа ослабим это требование, допустив обращение D(x) в нуль в точке х=0 [точнее, в нуль обращается комбинация л\Я(х), играющая роль функции £>(х)]. Последняя ситуация отвечает записи уравнения диффузии в цилиндрических и сферических системах координат. Функцию 2(х) на промежутке [О, Н°] предполагаем неотрицательной [2 (х) >0];. Наконец, на протяжении всего параграфа считаем, что выполнено по крайней мере одно из следующих условий:
a)	S(x)>S°>0 при a<x<9, 0<а<8<№;
б)	Lo¥=O (L^O)
Эти условия совершенно естественны, и их суть состоит в том, что при стационарном положительном источнике стационарное ней-78
(14-1)
тронное поле возможно только при наличии «оттока» нейтронов — либо в результате поглощения в среде (не обязательно во всем ее объеме), либо вследствие утечки из среды. При анализе метода прогонки требовалось, чтобы по меньшей мере одно оц [см. (13.25)] было отлично от нуля, а это и обеспечивается условиями (14.1), которые впредь будем именовать условиями разрешимости.
В дальнейшем используется следующая символика: C(s)[a, Ь] — множество функций, непрерывных в замкнутом промежутке а<^х<^Ь вместе со своими производными до s-го порядка включительно; Q<s>[a, &] — множество функций, определенных в промежутке а^хё^Ь, кусочно-непрерывных вместе со своими производными до s-ro порядка включительно с возможными разрывами первого рода в точках	   <Нпг}с[а, Ь]. Дру-
гими словами, функция из множества Q(s)[a, b] в пределах каждого подынтервала Hi^x^.Hi+x (i=0, 1, ..., m; Н0—а, Hm+l=b) принадлежит О>[/Д, Яг+i] *.
Чтобы в дальнейшем избежать какой бы то ни было неопределенности в толковании слов «функция q>(x) является решением уравнения (13.4)», условимся понимать под ними следующее:
1) <р(х) обращает уравнение (13.4) в тождество в точках, где непрерывна каждая из функций D(x), S(x), q(x)-,
2) 4>(х) удовлетворяет условиям (13.6) в точках, где хотя бы одна из функций D(x), S(x), q(x) имеет разрыв.
Из пунктов 1) и 2) следует, что на всем промежутке
?(=С[0,Д1, D^GCIO.W].	(14.2)
Здесь С[а, &] = С(°)[а, Ь]—множество непрерывных на [а, 6] функций.
Для удобства излагаемый далее материал разобьем на несколько разделов.
1. Переход к эквивалентной задаче. Первая из проблем, в которой нам предстоит вскоре обстоятельно разобраться, — это проблема аппроксимации. Для выяснения этого вопроса сделаем следующие предположения относительно коэффициентов и правой части уравнения (13.4):
£, <7(EQ(2>[0,/Г], DSQ(3)[0. Н*].	(14.3)
(Случай кусочно-постоянных коэффициентов — весьма важный в теории реакторов — требованиям (14.3), естественно, удовлетворяет.) Для последующих рассуждений сформулируем и докажем две леммы.
Лемма 1. Если в уравнении (13 A) S, q [0, //’]. D €= g=Q(s-,)[O, Н°] (s>2), mo любое его решение принадлежит <?<*> [О, Н°].
* Для краткости каждый промежуток [Hi, Hi+i] будем называть промежутком гладкости.
79
Доказательство. Пусть <р(х) — решение уравнения. В силу (14.2) <psC[0, Я0]. Из уравнения (13.4) и условий леммы вытекает, что
dYJdx е Q(0) [О, Я°] {Y = Ddy/dx).
Но это означает, по определению, что yeQ(’>[0, Я0]. Из последнего результата (с учетом сформулированного ранее предположения D(x)>D0>0 и второго условия леммы) следует
d<p/dx = y/DGQ(l40, Я0]-
Таким образом, cpeQ(2>[0, Я0]. Если s>2, то, приняв полученный результат за исходный, повторим начало доказательства леммы еще раз. Схематически второй цикл доказательства изобразится следующей цепочкой:
? е <э<’> => -- е => y G => e Q<’> ? e Q<‘>.
Такие циклы нужно повторять до тех пор, пока не достигнем требуемого результата. Заметим только, что при нечетном $ последний цикл имеет несколько отличную от стандартного цикла структуру, а именно:
? G Q<s-*’ G> g- G	2) Y G Q's-’> g-’ G Q(S~’> G ? G Q(S) •
Лемма доказана.
Следствие. Если, в уравнении (13.4) S, GC<s-2)	?г],
DGC<S_1) &, У, то любое его решение <р GC(S) [? ?,].
Почти очевидной является следующая
Лемма 2. Пусть D, 2, ?еС[£1, £г]. Чтобы <р(х) была решением уравнения (13.4) на промежутке	необходимо
и достаточно, чтобы <р(х) была решением этого уравнения . на полуоткрытых промежутках ci^x<g, g<x<cg2 (ii<£<£г), а в точке х=£ удовлетворяла условиям
T(!-O) = T(S+O).	ОМ)
(Второе условие, естественно, равносильно такому: D</<p/dx|^_0 = =Dd<fldx\w).
Доказательство. Необходимость утверждений леммы очевидна в силу (14.2). Покажем их достаточность. Итак, пусть некоторая функция ср (х) (gi<cx^g2) удовлетворяет уравнению (13.4) на каждом промежутке	и выполнены
условия (14.4). Поскольку на каждом из интервалов Bj^x<£, |<х<с§2 функция ф(х) непрерывна, то в сочетании с (14.4) это означает, что tpeC'fgi, £2]. Следовательно, и
S?-<7GC[M,L	(14.5>
80
поскольку S,	На каждом полуоткрытом промежутке
|<х^2 функция ф(х) обращает уравнение (13.4) в тождество:
Из этого тождества, а также из (14.5) следует, что производная dYldx имеет конечный предел в точке x=g. В силу известного утверждения математического анализа [23] в этом случае в точке x=g производная d¥[dx существует и равна своему пределу, т. е.
=Е G) <₽(!•)- <?((=).
Последний факт означает, что в точке х—<% функция <р(х) удовлетворяет уравнению (13.4). Лемма доказана.
Замечание 1. Лемма 2 остается в силе, если на промежутке [£i, У имеется конечное число точек g, в которых требование обращения уравнения в тождество заменено условиями (14.4).
Сейчас уместно напомнить, что в предыдущем параграфе в точках стыка каждой пары интервалов hh и hk+i (£—1, 2, ..., N—1) мы подчиняли искомую функцию условиям (13.6) независимо от того, претерпевают параметры уравнения в этих точках разрывы или нет. Из доказанной леммы 2 следует законность этого акта*.
Рассмотрим теперь какую-нибудь конкретную сетку, нанесенную на промежуток [О, Я0], по рецепту § 13. На выбранной сетке условимся именовать задачей А уравнение (13.4) для всех внутренних точек интервалов hk с условиями сшивки (13.6) в точках стыка каждой пары интервалов hk и hk+i и с граничными условиями (13.9).
Ниже объектом нашего изучения станет задача Б (эквивалентная задаче А), для формулировки которой нам придется проделать небольшую подготовительную работу.
Пусть параметры дифференциальной задачи удовлетворяют условиям (14.3). В силу определения класса функций Q(s)[a, Ь] на каждом интервале hh имеем
MGC'W D^C^[hk}.	(14.6)
Функции £>(х), 2(х), 7(х) можно бесконечным числом способов продолжить за пределы интервала hk (например, на промежуток а^х^Ь, где а=—Я0, Ь=2Я°) с сохранением свойств (14.6). Выполняя один из вариантов такого продолжения по отношению к интервалу hk, обозначим продолженные функции D{H)(x), 2(й)(х), <?<а) (х) (а^х^й). Подразумевается, что такие продолжения выполнены для всех интервалов hh (fe=l, 2, ..., N). (Из предыдущего параграфа читатель уже знает, для чего нужны эти продолжения.)
* Леммы 1 и 2, а также все последующие результаты,, относящиеся к задаче аппроксимации, справедливы и для матрично-векторного уравнения (13.4). При этом вместо скалярного условия D(x)^Do>0 следует считать, что ни в одной точке промежутка [О, Я0] матрица D(x) не вырождается (det D(x) #=0).
6—301	81
Следуя только что высказанной общей идее продолжения функций D, 2, q, реализуем достаточно конкретный ее вариант, а именно: вышеописанное продолжение функций D, 2, q достаточно выполнить для каждого промежутка гладкости
(i=0, 1, ..m; Но=О,	. Полученные функции £>(i)(x),
2(0 (х), <7(i)(x) (a^2x^2b) можно теперь «тиражировать», отождествляя с ними D(hl(x), 2(*)(х), q(k){x), если hkcz[Hi, 7Д+1] (конструкция нашей сетки такова, что промежуток гладкости [Я4, Hi+l] состоит из целого числа интервалов сетки hk). Таким образом, число фактически различных функций £>(*)(х) [соответственно 2(й)(х), 7(*)(х)], фиксировано и не превосходит т+1, какую бы сетку семейства мы ни рассматривали. В дальнейшем будет существенно, что эти функции не зависят от сетки.
Замечание 2. В операциях продолжения функций всегда можно соблюсти требование D(*> (х) Ss > О (я<х<£»; k = 1, 2, ..., У; P0<D0), что и предполагается в дальнейшем.
Резюмируя все сказанное выше, можно записать
С<’> [а, &], ^1,2...N, (14.7)
и, далее,
D(k)(x)^D(x)-, S{{!) (х) з= 2 (х); qM'(x) = q\{x), если хе Л*.
(14.8)
Будем теперь говорить, что система функций
<Р(1)(х), ?(.)(X),	<Р(ДГ)|(Х), а<х<Ь	(14.9)
является решением задачи Б, если
а)	в каждой точке промежутка а^хе^Ь функции ф(*)(х) (k—1, 2, N) удовлетворяют уравнениям
- ^-Л«(4^-+2ш(-«)тш(^)=<7ш(х);	(14.10)
б)	в точках xft+I/2 стыка интервалов hk и hk+i (xk+42 -\-hk/2—xk+i — ftfe+,/2) выполняются равенства
?(й) (-*-*4-1/2) — ?(*+!> (-*-*4-1/2)’

dx
xk+\!2	I xk+\!2
(14.11)
(k=l, 2, ..., N)
в)	функция ф(1)(х) удовлетворяет первому из условий (13.9), а функция qiw (х) — второму.
Из следствия к лемме 1 непосредственно вытекает, что каждая функция ф(*)(х) системы (14.9) отвечает включению
ф(0 ес<‘> [а, Ь].	(14.12)
82
Замечание 3. Тиражирование функций, о котором говорилось выше, приводит к тому, что система (14.10) содержит группы идентичных уравнений. Решения, уравнений каждой такой группы, подчиненные условиям б) ив), также идентичны. В самом деле, пусть
-°(А) (х)	^(*+1) (х); s(fc) (х) = 2(й+о (х);
<7(*) (х) = ш+0 (х), х£[а, Ь].
Функция г (х) s (х)— Ш+1) (х)> как это следует из (14.10) и (14.11), удовлетворяет уравнению
s (Х)+ D(W(x) £ W- D{k)(x) е(х)—0 и условиям
Е (Xfe+l/2) —s' (х*+1/2) ~ °-
Решение такой задачи Коши как влево, так и вправо от точки xft_|_1/2 есть тождественный нуль [24], т. е. ш> (х) =	(<).
Таким образом, фактически различных функций в наборе (14.9) оказывается не более т+1 и они не зависят от сетки, т. е. ни от числа узлов N, ни от их размещения на промежутке [О, Н9].
Теперь следует показать, что задачи А и Б эквивалентны*. Пусть (14.9) — решение задачи Б. Построим функцию
<р(х)=з(х) при xf-hk, k=l,2,...,N.	(14.13).
Очевидно, что эта функция есть решение задачи А.
Пусть, обратно, <р(х)—решение задачи А. Рассмотрим эту функцию в пределах одного из промежутков По лемме 1 на концах интервала hk существуют конечные значения <р и dqldx. Эти величины (на каждом из концов промежутка hk в отдельности) можно принять за начальные условия задач Коши для уравнения (14.10) соответственно для значений х влево от интервала hk и вправо от него. Так как Т>да(х)^50>0, то решения этих задач Коши существуют и единственны [24]. Этот факт дает нам принципиальную возможность каждому интервалу hk сопоставить функцию <рда(х), которая удовлетворяет тождеству (14.13) и по лемме 2 уже всюду на а^х^Ь удовлетворяет уравнению (14.10). Построенная система функций (14.9), очевидно, удовлетворяет пунктам б) ив), входящим в определение задачи Б.
Показанное взаимно-однозначное соответствие между решениями задач А и Б плюс тождества (14.13) дают нам право назвать задачи А и Б эквивалентными.
2. Аппроксимация. В § 13 дифференциальное уравнение, условия в точках контакта интервалов hk и а также граничные условия были заменены приближенными равенствами (13.13), (13.15) и (13.20). Задача аппроксимации состоит в том, чтобы оценить, насколько левые части перечисленных приближенных равенств отличаются от нуля.
* Поскольку в условиях разрешимости (11.1) решение задачи А существует и единственно (это известный факт из теории краевых задач второго порядка [25]), то из эквивалентности вытекает существование и единственность решения задачи 5.
6*	83
Решение этой задачи начнем с приближенного равенства (13.13), которое перепишем [с учетом (14.8) и (14.13)] в форме строгого равенства с неизвестной правой частью 6k'-
д ~ I п Ш) ~ У(А> I
* hk	'	* hk	'
H-E(*>(x*)<p(ft) (х*) —?<*)(х*)==8*, 6=1, 2, ...» N, (14.14)
где ak=xk — hk, bk=xk-^-hk, а Лй и ПА можно представить в виде ]см. (13.14)]
л* = L>U) (хй_1/2)/лй; Щ = £>(*) (xk+il2)lhk.
Оценка модуля величины 8k и есть наша ближайшая цель.
Полагая, что в уравнение (14.10) подставлено его решение и «оно, следовательно, превращено в тождество, проинтегрируем это тождество в пределах от xk_}j2 до xft+I/2:
-**4-1/2
^[^)(xA_1/2)-r(ft)(^+1/2)] + ^ J <bilt}(x)dx^0, (14.15)
xk—1/2 где
Уш (x) = Dw (x)	®U) (%)	(x) <Pu>,(x) - qw (x).
(14.16)
В силу (14.7) Ф(А) gC(!) [a, b], а потому Ф<й) (x) можно записать с помощью формулы Тейлора в виде
Фш (X) = (Xft) + (x|- XJ Ф'ш (xft) 4- ф" U) (X)],
(14.17)
причем Щх) — xft|<|x — xk\. Подставляя (14.17) во второе слагаемое тождества (14.15), находим
^l^(xA_I/2)- ru,(xA+i/2)J + ®U)(xft)^jS<1),	(14.18)
где
*Н-1/2
J (х —хА)2Ф"(й> [5(x)]rfx.
xk~1/2
Из (14.17) следует интегрируемость функции (х — хй)'ф"(&) Р(х)], а включение Ф(А) (= С(2) [а, Ь] означает ।	(х) | <3^’= const на
всем промежутке а<х<Ь. Из п. 1 вытекает, далее, что число различных функций Ф(А)(х) не может превосходить т -{-1 и они инвариантны относительно всего семейства сеток. Но тогда мы вправе 84
считать, что число различных констант в наборе	не пре-
восходит /и-|-1 и они, очевидно, не зависят от сетки. Обозначим Bi=-LmaxB!*). Теперь легко написать оценку для величины б?5: 24 k к

где ft=maxftA. k
Для преобразования выражения в квадратных скобках в тождестве (14.18) воспользуемся включением (14.12), которое позволяет выписать следующие представления для <р(й)(хь) и ф^Двь) по формуле Тейлора:
з
<₽(*> fe) * ,=0	'	2 '	^~1/2
Д / hk V
4! I 2 I I й* I *
'	'	' 'ft
где t &[xk — hk, хй]. Из этих двух равенств ’легко находим
ф' ,/г	1—y(fe) ~ у	) —
Т (ft)	нк	3! I 2 ) “	'•й—1/2'
Afe (hk V	]
96 \ 2 / IA dx* Jk+ V dx* Ji- ]’
и, далее,
(-W= A, ><»><-»> - T,,, hk - S™ , (14.19)
где
w - 2Г w ?'”<*> w; (14-2°)
»(2) _J_MftVn /r \l(d^fW\	(d*<fW\ ]
dft ~ 96 ( 2 j U(k} (xk-i/2> ( dx* L+ I dx* )»- Г
Из (14.7) и (14.12) следует ограниченность D(h}(x) и |di^(k)ldxi| на замкнутом промежутке [а, /?], что дает возможность выписать следующую оценку для 8^2):
|8<2>|<BfX
’ k ’ k k
где
BT = ife max D(*) <x) max I. K	as^x^b ax> |
Снова фиксируем, что число различных констант В^2) не превосходит т-|-1 и они не зависят от сетки. Пусть В1 = тахВ‘2). Для k
8^2) можно написать теперь универсальную оценку |8f ^ВД^В^.
85
Аналогично найдем
1 у t /у. \ тг У(*> (М y<fe> Iх д Vf.dr \hL В*3)	(14 21>
hk ' (*) \Хк}Л12> U*	hk	41 (k) \Xk+l/2> nk °k ’
где
Подставляя (14.19) и (14.21) в тождество (14.18) и заменяя в последнем величину Ф<л)(хл) ее развернутым выражением (14.16), получаем представление (14.14) с
4
/=1
где 8* \	8^3> были введены ранее, а
«Г1 = - hk{wk (хА+1/2) -	(л,_1/2)1.
Из формулы (14.20) и включений (14.6), (14.12) вытекает, что €=С(,) [а, Ь], а потому на основе известной формулы Лагранжа 3^4) можно переписать в виде
3<4)=х —, lk(=hk, k	\ dx I t,k R R
причем производные T'^x) (&=1, 2, ..., А) ограничены на [a, b] и для оценки их модулей потребуется не более т+1 константа, из которых, в свою очередь, можно выбрать универсальную константу В4, такую, что
Итак, в равенстве (14.14) правая часть оценивается следующим образом:
4
|8ft|<B/i%<B/is, B=VB;, /i = max/ife, (14.22) ,=i	k
где В (подчеркнем еще раз) не зависит от сетки.
Перепишем теперь приближенные равенства (13.15) в форме строгих равенств с неизвестными правыми частями %+1/2 и
[ф(А) (Xfe) + ?(fe) (М] — [?(fe+1) (X*4-l) + ?(Л+1) (a44-j)] = “*+1/21
1) (-^й4-1)	?(fe + l) (^£4-1)]	(^k)	(14 23)
— T(*> (-«*)] =₽*-t-i/2
(A=l, 2, .... N- 1).
86
Для оценки величин %+1/2 и ₽&+!/2 используем снова формулу Тей. лора и в результате найдем:
ай4-1/2 = ~4~ й? (й) ('’^-1-1/2)	й + 1¥ (й+1) (^4-1/2)] “Ь
+ *Х,,+Л‘»+.“й!да	(>4-24)
Рй4-1/2==^ й+1®"(й + 1) (ХЛ4-!/2) k (X*4-l/2) +
+ А’<1/2+^й+«Й1/2.	(14.25)
где Чг[й)(х) дается формулой (14.20), а
laX?l<(V> С1/21<Р.- г’=Ь 2.	(14.26)
В последних оценках etc и ip0 не зависят от сетки.
Наконец, приближенные равенства (13.20) перепишем в виде
j ?(o(a») + ?h)(xi) _ м
ьо	2	hi	so * •’
j V(N)(xn) + ?(JV)(M 1 M	?(JV)(*w)	_	„	(	2 )
L---------_.......+	M------------f--------g = Y
и оценим неизвестные величины уй и у. По известному уже рецепту без труда найдем
lYob 1х1<^	(14-28)
где К не зависит от сетки.
В заключение настоящего раздела выпишем уравнения для погрешности
•й = ?(й) (xk) — <pft; в = <р(й) (afe) — ® ; fe	fe
{bk) — <fbk, k^l, 2, N. ft
Вычитая из (14.14) равенство (13.16), получаем
. SJfe- еп	£k--£Ъ	♦
Лй—_—fc-4-Hft——k	Е(й) (xft) eft = 8*, k=\, 2, ..., N.
nk	14г.
Аналогично из (14.23) и (13.17) найдем
2(е* eft+J) (eA+J — еа&+1) — (е* s6a) = %+|/2;
Лй+1 (®й+1 ®afe+P ~ E* (S6fe S*) ~₽ft+l/2’
A=l, 2, .. .,	1.
(14.29)
(14.30)
(14.31)
87
Наконец, из (14.27) и (13.21) устанавливаем
(14.32)
Полученные уравнения для погрешности играют важную роль при анализе скорости сходимости приближенного решения к точному по мере уменьшения параметра сетки /г=шах hk- Этот вопрос k
подробно рассмотрен в следующем разделе.
3. Основные свойства разностной схемы (13.24). Оценка скорости сходимости. Установим несколько важных свойств системы разностных (скалярных) уравнений (13.24), которые потребуются при исследовании сходимости приближенного решения к точному. Сформулируем эти свойства в форме лемм, которые, кстати, представляют и самостоятельный интерес, так как могут быть использованы при анализе многих других разностных схем.
Лемма 3. Если в системе (13.24) хотя бы одно ш отлично от нуля, то эта система однозначно разрешима.
Напомним, что все ш неотрицательны [см. (13.25)], а требование «не все сой равны нулю» есть прямое следствие условий разрешимости (14.1).
Лемма будет доказана, если мы установим, что однородная система
— Уй-Л-Л+ЛТй — <Рй+1) + ®й?й = О> й=1, 2, .. ., N,
(14.33)
имеет только нулевое решение.
Предположим противное: однородная система имеет нетривиальное решение. Не умаляя общности, можно считать, что среди чисел фь ф2, •  , ф.х есть положительные. Следовательно, наибольшее из чисел фл (пусть оно отвечает индексу s) также положительно, т. е.
<ps>0, если	k— 1, 2, ..., N. (14.34)
В дальнейшем будем различать два случая:
1) <Р1 = ф2= • • • =ф№|Г,	»	(14.35)
2) не все фй (£=1, 2, ..., N) равны между собой. В первом случае ц>0, как это вытекает из (14.34). Далее, цепочка равенств (14.35) обращает систему (14.33) в следующие соотношения:
(Ойц,=0,	Л=1, 2, ..., 'N,
КОТОрые ВОЗМОЖНЫ ЛИШЬ При (01 = (1)2 = ••• =<Hn = 0, что противо' речит условию леммы.
88
Переходя к анализу второго случая, обозначим ц=шахф*. k
Из (14.34) следует р,>0. Пусть <pi = jx. Может случиться, что и Ф2=ц и т. д. Но в последовательности <pi, ф2, фз, ... рано или поздно первый раз встретится такое фя, что
ф8=р, фб+1<р, l^s<M	(14.36)
Если бы это было не так, т. е. s=N, то мы оказались бы в условиях уже разобранного первого случая.
В системе (14.33) выделим уравнение, отвечающее k=s, и перепишем его с учетом (14.36) в форме
4+1 (Р- — <Ь+1) + А (Р- — <Ь-.) 4- «М1=0-	(14.37)
Такое равенство невозможно, так как первое слагаемое в силу (14.36) и (13.25) строго положительно, а остальные неотрицательны. К такому же противоречию приходим, допустив <p.v=pi.
Пусть, наконец, фг^р,, ф^^ц, т. е. максимальное значение р, достигается при каком-то k=s, не равном 1 и N. Повторяя предыдущие рассуждения, снова можно добиться ситуации (14.36), так как ф№/=р,. Заключительный анализ равенства (14.37) приводит нас опять к противоречию. Лемма доказана.
Лемма 4. Если (в условиях леммы 3) в системе (13.24) Ek='6ks (6hS — символ Кронекера), то решение системы строго положительно, причем последовательность фь фг, . • •, <р» монотонно растет, а последовательность фа, фа-н, • • •> <Pn монотонно убывает, так что фа^фь (Л=1, 2, .... М).
Доказательство. Как уже было показано выше, однородная система (14.33) имеет только нулевое решение. Отбросим в этой системе последнее уравнение, отвечающее номеру k=N. Такая «урезанная» однородная система уже допускает нетривиальные решения. Пусть {ufe}Nfe=i — одно из таких решений. Его можно найти следующим образом. Зададим «t произвольно, но так, чтобы «1>0. Так как Л1=0, то из первого уравнения системы (14.33) находим
Далее элементарно устанавливаем
«, =иг 4- (®1«1 4-	> «»•
Предположим, что
*-i
(14.38)
/=t
Содержащееся в (14.38) равенство подставим в fe-e уравнение системы (14.33) и найдем
k
«*4-
7=1
89
Следовательно, по методу математической индукции получена конструктивная формула (14.38), позволяющая получить монотонно растущее положительное решение однородной «урезанной снизу» системы.
Если теперь в системе (14.33) отбросить первое уравнение, выбрать произвольное число vN>0, то таким же путем можно получйть положительное монотонно убывающее решение {vfe}fe=i «урезанной сверху» однородной системы (14.33), причем

/=*+!
Решение неоднородной системы
— <Pfe->) + 4fc+i(?* — ?fe+i) + TOfe?ft = 8fes, A=l, 2, .... N
(14.39)
строим на основе найденных последовательностей и {Vfe}2Li по следующему рецепту:
где С и В — пока неизвестные константы. Для их определения требуются два уравнения. Одна связь между этими параметрами усматривается сразу:
Cus — Bvs.
(14.41)
Заметим теперь, что последовательность {фь}ль=1 при любых С и В удовлетворяет всем уравнениям системы (14.39) с нулевой правой частью. Таким образом, остается потребовать, чтобы в этой системе было удовлетворено уравнение и при &=s:
CAS (us — us _,) + As+i (Cus — Bvs+1) + Cwsus = 1.	(14.42)
Решение системы (14.41) — (14.42) имеет вид
C = vs[Ws, B=us/Ws,
где
U7S = Asvs (ug — us_ J 4- As+ius (vs — vs+i) + vsusvs. (14.43) Величина U7S обладает замечательным качеством — она не зависит от индекса s. Это свойство крайне важно для получения дальнейших результатов, и сейчас мы его докажем.
Рассмотрим любое целое s из интервала 2^s^jV—1. Во втором и третьем слагаемых в (14.43) вынесем us за скобки и, учитывая, что переменные ns_], vs, vs+1 удовлетворяют однородному уравнению (14.33) при k=s, легко установим
Ws = A. (usvs_, — us.vs). О	О \ О О 1	О 1 О /
(14.44)
90
Если в (14.43) скомбинируем первое и третье слагаемые, то аналогично найдем и другое представление для 47s:
^ = A+i(«s+A — usvs+l).	(14.45)
Наконец, при s=l и s=N получим по одному представлению
^.=Л(«А-“А). Wn = An(unvn-i ~un-ivn)- (14.46)
Из равенств (14.44) — (14.46) следует, что WX — W^ = ...=WN — = W.
Если рассмотреть равенство (14.43) для s, при котором <os>0 (см. условие леммы), то из положительности и монотонности последовательностей	следует, что 47 >0. Поскольку, на
конец, упомянутые последовательности определены с точностью до постоянного множителя, их всегда можно выбрать так, что 47=1. Равенство 47=1 в дальнейшем всюду предполагается.
Подставляя найденные значения С и В в (14.40) и учитывая последнее замечание, получаем
ukvs, k — 1, 2, . .., s;
,vkus, k = s, s-f-l, ..., IV,
(14.47)
откуда следует утверждение леммы.
Решение системы (14.39) (со специфической правой частью вида Bfe=6feS) принято называть функцией Грина и обозначать символом G(k, s). В этой символике (14.47) примет вид
G(k, $) = /“Л’
k<s;
k^S.
Из последней формулы сразу видна симметрия функции Грина: G(k, s) =G(s, k).
С помощью функции Грина решение системы (13.24) с произвольной правой частью Fh (&=1, 2, ..., iN) можно записать, очевидно, как
N
= 2 G (k, s)Fs, k=l, 2, ..., N.	(14.48)
Докажем лемму, оценивающую функцию Грина сверху.
Лемма 5. Если в дифференциальной постановке задачи выполнено по крайней мере одно из условий разрешимости (14.1), го для функции Грина G(k, s) разностной задачи (14.39) справедлива оценка
G{k, s)<Gt, k, s= 1, 2, .. ., IV.
(14.49)
где Go не зависит от сетки.
91
При £о¥=О (£t/=0) для функции G(k, 1) |)G(k, JV)] выполняется также следующая (более частная) оценка:
) *=>2.......
(14.50)
Доказательство. Прежде всего отметим, что G(k, s)^ ^G(s, s) (k=l, 2, ..., N), так что для получения неравенств (14.49) и (14.50) достаточно оценить величины G(s, s), G(l, 1) [G(N, Af)] соответственно. Просуммируем теперь в системе (14.39) уравнения, отвечающие номерам й=1, 2, ..., j—1. Поскольку Д1==0, в итоге получим
-ЛДО(/, s) — G (/—— 1, s)]+£ ®ftG(£, s)=2 8fes, (14.51)
*=i	fe=i
/e=2, 3, ..., ЛГД-1.
Так как Av+1 = 0, то из полученной формулы при j=N+l следует равенство
N
2 4>kG(k, s)=l.	(14.52)
Если суммирование в (14.39) выполнено по номерам k=j, j +1, ..., N, то
N	N
AjlGtj, s)-G(j-\, s)] + %^G(k, s)^%8ks, /=1, 2, k=j	*=/
(14.53)
Полученная формула при /=1 снова приводит к равенству (14.52).
Найдем сначала оценку функции Грина, когда выполнено первое условие разрешимости. Пусть на промежуток	при-
ходятся узлы сетки с номерами ko, &о+1, ko+p (естественно считать, что по меньшей мере один узел сетки попадает в интервал	в противном случае поглощающая нейтроны область
окажется «неучтенной»). Пусть, далее, G(k', s)—наименьшее из положительных чисел G(k0, s), G(k-(-l, s), ..., G(k0-(-p, s). Согласно (14.52) и (44.1) получаем
1> 2 <0ftG(fe, s)^G(k’, s)kh, bh= 2
а потому
G(k', s)<
(14.54)
92
Пусть &'>s. Из равенства (14.51) находим
1 tl
G(j-1, s) — G(j, s)<j: 2j5^’ i==2’ 3’ •••’ N'
fe=i
Суммируя эти неравенства no j от 8+1 до tf, получаем
G{s, S)-G(k',s)< £ ^jj8As= S ¥’
т. e. с учетом (14.54)
k>
s4r+ S i 	<14-55>
/=’+1
«Проработаем» более детально правую часть этого неравенства. Пусть р — а—Д. Легко видеть, что|Д — Дл|< h (/г=max/г*), т. е.
k
ИтДл = Д. Таким образом, величина 1 /ЕвДй ограничена сверху не-ft-»о
которой константой G1( не зависящей от сетки. Далее, из формул
(13.25) несложно получить оценку
k>	k'
=S“H	/=54-1
В итоге неравенство (14.55) можно усилить, так что окончательно
G(s, s)<Gs,	(14.56)
где G2=GX + H°/DQ не зависит от сетки.
Если оказалось, что k'<s, то из (14.53) находим N
G(j, S)-G(j~l, s)<A- ^8fes, j = 2, 3, .... N. k=i
Суммируя эти неравенства по / от k'+l до s, получаем
G (s, s)<.G(kr, s)-|-	а^~ ’
откуда, как и выше, снова имеем оценку (14.56). Наконец, эта оценка справедлива и при s=k', как это следует из (14.54).
Перейдем теперь к оценке функции Грина, когда выполнено второе условие разрешимости. Пусть для определенности £о#=О, а значит, <01 #=0. Согласно (14.52) находим
s=I-2.......N- <!4-57>
93
где за G3 можно принять величину (H°L0+2M0)/2L0D(0), не зависящую от сетки. Полученное неравенство играет ту же роль, что и (14.54) в предыдущих рассуждениях. Поэтому, как и ранее, приходим к неравенству
G(s, s)^G3 + №/£). = G4.
При £=/=0 аналогично получим
G<N’ 2’ N <14-58) и, далее,
G(s, sXG54-//°/£>o=G6.
Итак, для всех возможных случаев оценка (14.49) обоснована.
Наконец, при £о¥=О (L=^=0) установим более детальные оценки (14.50). Эти оценки можно легко получить на основе неравенств (14.57) и (14.58). В самом деле,
G(k, 1)<G(1, l)<(filL<, + 2Mt)/2LtD(0), 6=1, 2....N.
Точно так же находится оценка для G(k, N). Лемма доказана.
В качестве следствия установим справедливость следующего (необходимого в дальнейшем) неравенства:
\Ak[G(k, s) — G(k — 1, s)]| =| Ak [G(s, k) — G(s, k— l)]j<l, (14.59)
k, s = 1, 2...N.
При j<^s из (14.53) находим
0<ЛДО(/, s)-G(/~1, s)]< 1.
Если j^s+1, то из (14.51) имеем
0<ЛДО(/-1, S)-G(/, з)]<1.
Из полученных двух неравенств следует (14.59).
На этом завершается та подготовительная работа, на основе которой нам предстоит сейчас разобраться в проблеме сходимости — главной проблеме данного параграфа. На интересующий нас вопрос полностью дает ответ следующая важная теорема.
Теорема. Если в дифференциальной постановке задачи выполнено по крайней мере одно из условий разрешимости (14.1), то решение разностной задачи (13.24) равномерно сходится к точному решению (к решению дифференциальной задачи) с порядком O(h2). Другими словами,
| <р(хй) — |<C/i2, k= 1, 2, ..., N; h=maxhk, (14.60) k
где константа С является общей для всего семейства сеток.
Доказательство. В предыдущем разделе была выписана система уравнений (14.30)—(14.32), которой подчиняется интересующее нас отклонение приближенного решения от точного. Эту 94
разность выше мы назвали погрешностью. Правые части системы (14.30) — (14.32) неизвестны, но мы знаем их оценки. На основе этих оценок предстоит оценить решение системы, а это как раз и будет итоговым результатом теоремы.
Обратим теперь внимание на такую деталь: система (14.30) — (14.32) содержит значения погрешностей в фиктивных точках, в то время как подготовленный нами математический аппарат (леммы 3—5) относится к системе (13.24), где фиктивных точек уже нет. Чтобы устранить это непринципиальное несоответствие, исключим из системы (14.30) —(14.32) фиктивные значения. С процедурой такого исключения мы уже хорошо знакомы, так что выпишем сразу окончательный результат:
A(efe — Sfe-1) — Лг+i (sfe+i — sfc)+	=/4+ /* + /! >	(14.61)
k—\,2,...,N,
где Ak, G)h определены формулами (13.25), a
ft1[8I + 2AlTe/(ftI£e + 24)], k=l;
hkbk,	k = 2, 3,	N—1-,
hN[bN+2HN1/(hNL+2M)], k = N;
fk "2 (^ + iafe+l/2	1/2)’
2"	^k+^k+1/2/
Л=1, 2......N.
В силу линейности задачи (14.61) ее решение будет суммой трех частных решений, первое из которых обусловлено правой частью fk, второе —правой частью f% и третье — правой частью . Если мы оценим каждое из этих частных решений, то получим и общую оценку. Следующие три этапа в доказательстве теоремы будут как раз отвечать трем типам правых частей уравнения.
1. Рассмотрим уравнение (14.61) с правой частью, равной fk. При оценке решения будем различать следующие три варианта:
a)	io = А = 0;
б)	LB=£Q, L=0 (L^O, Ь. = 0);
в)	L0^0,
Рассмотрим для примера вариант б), оставив читателю в качестве упражнения варианты а) ив).
Итак, пусть Lo#=O, L=0. Поскольку L и М одновременно в нуль обращаться не могут, из равенства L=0 следует Л1#=0.
95
На основе формулы (14.48) можно записать
S=1
Используя оценки (14.22), (14.28), (14.49) и (14.50), получим
N
зм,| S.I + I-. I „Д-2Д|| о (к, 1) + S=1
4“ IТI т G (*. N) < (О.ВЯ’ +	+ KGfi
Выражение в скобках при h2 в этой оценке не зависит от сетки. Если его обозначить Ci, то последний результат можно коротко переписать в виде
|sft|<CX, ^«=1, 2,	(14.62)
Замечание 4. В приведенной цепочке неравенств при оценке слагаемого
20 (0) Ibl h,L, + 2Mt G('k’
использована частная оценка (14.50) вместо общей (14.49). Дело в том, что при £о¥=О параметр Л40 может быть равен нулю, а потому при h—>-0 и общей оценке (14.49) для функции Грнна не удалось бы получить неравенства (14.62) с константой Cj, общей для всего семейства сеток.
2. Пусть теперь правой частью уравнения (14.61) служит величина f“. По формуле (14.48) имеем
N	N—1
8ft = J<3(£, s)/: = 4 J] As+i[G(k, s)—G(k, s-H)]as+1/2. s=|	s=l
Здесь учтено, что Л,с=ЛЛГ+|=0. Если в полученном равенстве заменить величину as+1/2 ее развернутым выражением (14.24), то
Ч =	4-	(14.63)
где
=	s) — G(k, s4-l)H^S)(^W~
*=i
s+1? (s+i) (•*'s-|.l/2)b
N-l
Ч2’=4“S A^[G{k' S)-G(k> ®4-1)1(Л%<;1/24-л%+.Ч+. A S=1
06
Оценим прежде всего величину е^2). С использованием неравенства (14.59) и оценок (14.26) элементарно получаем
Z.V 1	N— 1	\	,N—1	N—1	ч
। •” । < тг (S +S ) < т (Sh-+S ) *s 5 = 1	/	'S~l	5=1	'
(14.64)
Величину представим в виде
e<fel) = ^SA’s{4+llG(^	5+W'(s)(Xs+1/2)-
— As [G (fc, s — 1) — G (k, s)l <?"(s) (xs_,/2)} =
= -§" Ц	{?"(*) <X+i/2) 14+I (G (k, s) — G (k, s + 1)) +
5=1
4-4(G(£, s) — G(k, s— 1))]-}-4[G(£, $) —
— G(fe, s — 1)] [<p"u) (xs_ll2) — <?"(s} (xs+1/2))}.
Функция Грина удовлетворяет системе уравнений (14.39), так что
4+1 [G(k, s) — G(k, s-f-1)] + As [G(£, s) — G(k, s — 1)1 = = Sfes — “>sG(k, S).
Далее, в силу (14.12) можно записать
ф (s) (XS-1/2)	Ф (i)	==	G
Все это позволяет переписать в виде
— 4“У] ^(xs+ll2)WsG(k, s)-p 5=1
+4- 5 кл [g (k, s) - g (k, S -1)] ?;;;(u. S = 1
Наконец, учитывая явное представление переменной ак согласно формуле (13.25), получаем
Sk} = 4	(ХА+1/2) — 4“ S ?''(*> (Xs+l/2) Е (Xs) G (6. S) Il’s —
5=1
4 ¥ (1) (x3/2)	+2Л4О )	4 Ф ) йд^ + глг X
XG^, до+4Sh3^ iG s) -Gs- in ?;;; (у.
5=1
7—301
97
Теперь уже легко, используя лемму 5, неравенство (14.59) и равномерную ограниченность функций ?"<*) (х) и <р(А) (х) для всего семейства сеток, установить оценку
[е^|<С(1)йг	(14.65)
с некоторой константой С<’), не зависящей от сетки. В итоге из (14.63) — (14.65) получим
|ем|^С2й2, 6=1, 2, ..., N,	(14.66)
где С2 не зависит от сетки.
3. На заключительном этапе полагаем правую часть уравнения равной f* . Снова по формуле (14.48) можем записать
N	N
4 = s)[XA_1/2/ns_1+A+1^+1/2/As+1]G(Z!, s)=
S=1	S=1
N—1
.—___!_ VI Гs4~l) _i_ Q(fe- s) 1 д о	/14 67\
S=1
Рассмотрим один из промежутков гладкости	Пусть
ему принадлежат узлы сетки с номерами $0, «о+1, •••, $о+р. Выделим из суммы (14.67) слагаемые, отвечающие этим номерам, и эту частичную сумму обозначим ем- Из детального представления величин П8, As+i, As+i и р6+1/2 нетрудно установить, что выражение
[ G(fe, д+1) । G(k, s) 1 .	(
[ Щ ' A.s+1 J л«+Л+1/2
по параметру $ связано с двумя интервалами: hs и /г3+ь Это означает, что в ем первые Sq+p слагаемых «привязаны» только к промежутку	и лишь для последнего слагаемого такого
рода связь (через посредство пары интервалов) распространяется еще и на соседний интервал гладкости Нц^х<^Нг+\. С учетом этого обстоятельства величину ем целесообразно записать в виде
7	г(1)
ek — sk ~rrk ’
где е^1! объединяет первые s, -f-слагаемых и легко преобразуется к виду
?о4-?’ I	л
•!’=- £	s+l) + ^(*.*)ls^b	(14-68)
98
a г£’ есть последнее нерегулярное слагаемое в ek:
_(1)	1 f G(fefSe+p+l) ; ^(^> so +/*) 1 л а
Г“ — 2 [ DSe+/> f“ ASo+p+, J^+P+iP^+1/2-
Величину оценить очень легко. В самом деле, непосредственно из определения величин IIfe, A.k и Ак следует
< 2- А,+р+1/\+р4-1 < 2>
так что с учетом оценки (14.49):
I7?I<2O.I₽^p+,bI.
Используя конкретный вид переменной ^ij2 [см. формулы (14.25)], легко установить, что
причем константа Rt не зависит от сетки.
Рассмотрим теперь величину После подстановки в (14.68) развернутого выражения для Ps+I/2 имеем
= +
где
_(2)___ VI ‘hsO(k, s + О + hs+1G(k, s) 8 ™.	,	.
k — Zj	Iй s+i*<s+i)(-rs+i/2J
A Л /2Я ’
-I
,(2>— VI />sG(fe' s'+0+/1s+iG(fe. s) ГЫ o(D fir.» o(2)	,
rk ~~ Zj	hs + hs+i	I" A+i/2 ~r" s+iPs+i/21-
S=Sg
Оценим г®. В силу (14.49) дроби перед квадратными скобками не превышают Go. Воспользовавшись неравенствами (14.26), легко найдем
|г‘2)|<2О0Н0Р.Л1.
Для оценки e(fe2) предварительно ее преобразуем. Прежде всего учтем, что функции Ч^х) для номеров s0> «о+1, «о+р тождественны, так как они — «продукт» тиражирования. Все эти функции будем отмечать, например, индексом s0.
7*	99
Таким образом,
<2, = -S°S ^k’ s+^+h.+fi(k, s)](A,+1-As)Tw(xw)= S—S'o
= - S° s"' ^(So) (^+1/2) [G (k, s + 1) - G (k, s)] hshs+i + s~t0
+ ^IG(^s4-1)T(So)(xs+1/2)^- s' G(k, s-1)^(So)(xs_1/2)A2s. S=S0	S = SO-}“1
Величину s(ft2) удобно переписать в виде e(2)=r(’)ft + r<4> + r<5),
где
d3--5-H)-g(*- s)1U+i; s=s0
s+n*(s>e+1/2)-G(^ s-n^GWJ;
rf = G(k, s+1)T(So)(xSo+1/2)A2So-
-G(k, s.^p-l)WM(x^p_il2)h\+p.
Из (14.49) и ограниченности всего семейства Чг(й)(х) на а<^х<^Ь сразу же получаем оценку последней величины:
Для оценки г<3) воспользуемся неравенством (14.59), из которого следует
|G(*. s-\-l) — G(k,	+	(14.69)
В итоге имеем
|<3)|<Я,Й2.
Для оценки величины г^4) представим выражение в квадратных скобках под знаком суммы в виде
G (*. * -Н) ^о) K+I/2) - G (k, s - 1) 4T(io) (xs_1/2) -[G (k, s + 1) - G (k, s - 1)] 4T(Se) (xs+1/2) + + G (k, s - 1) [4T(it) (xs+1/2) - 4T(Sg) (xs_,/2)].
too
Согласно (14.69):
|G(A, s-]-l)-G(k, s- 1)|<|G(A, s-|-l) —G(&, s) | + + |G(£, s)-G(A, s-1)|<1/Л5+,+ 1/Л5<2/г/£>..
Наконец,
*<M (•X's+i/z)	'®r(s„)(-*'s—1/2)= (s) 0s)^s> ^s ^s.
Из последних двух результатов уже без труда находим
|г<4)|</?4/Л
Объединяя все полученные оценки, можем записать
|eJ<C,/i\	(14.70)
Эта оценка получена для тех слагаемых правой части равенства (14.67), которые отвечают одному промежутку гладкости. Но таких промежутков конечное число, а именно т+1, так что из конечного числа оценок (14.70) можно сформировать общую оценку для ед:
|e*|<C3/i\ А=1, 2, ..., N,	(14.71)
где С3 не зависит от сетки.
Объединяя оценки (14.62), (14.66) и (14.71), завершаем доказательство теоремы с константой
С=С1 + С2 + С3.
4. Разностная схема для цилиндрической и сферической систем координат. Если диффузионная задача изучается в области с цилиндрической или сферической симметрией, то ее естественно записывать в соответствующей системе координат. Хорошо известно, что в этих случаях для уравнения диффузии можно обойтись одним выражением
(14.72)
где v= 1 соответствует цилиндрической системе координат, a v=2 — сферической. Уместно отметить, что при v=0 уравнение (14.72) превращается в плоскопараллельный вариант диффузионного уравнения (13.4). На границе раздела сред с разными диффузионными характеристиками, а также на внешней границе решение уравнения (14.72) подчиняется тем же условиям, что и в плоской задаче. Роль краевого условия прн х—0 теперь будет играть требование ограниченности решения:
|<р(х) | <const.	(14.73)
Пусть параметры уравнения D(x), S(x) и q(x) удовлетворяют тем же требованиям, что и в плоскопараллельном варианте. Дополнительно, однако, будем считать, что формальное продолжение
101
этих функций в отрицательную область х<^0 по закону четности /(—x)=f{x) не ухудшает их гладкости на промежутке — ^х^Я1 по сравнению с промежутком гладкости О^х^Яь т. е.
ЯСС^[-Я„ Я,],	(14.74)
если	[О, Я^ и D(—x)^D(x) и т. д.
Последние требования вполне естественны для задач с цилиндрической и сферической симметрией.
Уравнение (14.72) можно переписать в виде
-^-D(x)^+Z(x)<?(x)-q(x) = Q,	(14.75)
где
D(x)=x',D(x), £'(х) = хЯ (х), q(x) = x',q(x).
Уравнение (14.75) по форме ничем не отличается от уравнения (13.4), и может показаться, что весь математический аппарат предыдущих разделов можно автоматически перенести на случай рассматриваемых криволинейных координат. На самом же деле это не так из-за единственной детали: £>(х) обращается в нуль при х=0 (при этом от истинного коэффициента диффузии D(x) по-прежнему требуем выполнения условия D(x)^D0>Q на [О, Я0]). Однако эта деталь требует пересмотра целого ряда проделанных ранее рассуждений и внесения необходимых корректив.
Прежде чем перейти к построению и анализу разностной схемы, необходимо подробно изучить поведение ограниченного решения в окрестности особой точки х=0. Для выполнения такого локального анализа можно ограничиться достаточно малым промежутком изменения независимой переменной: Os^Xs^ie. В частности, считаем, что [0, е] полностью содержится в первом интервале гладкости [О, Я1]’. Обозначим
Ф (х) = S (х) <?(x) — q (х); Y (х) = D (х) £~=х* D (х)-^.
Здесь <р(х) —ограниченное в окрестности нуля решение уравнения (14.72)*. Покажем прежде всего, что непрерывная в полуоткрытом интервале 0<х<е функция Р(х) ограничена в нуле и, более того,
НтУ(х)=0.	(14.76)
х->0
В самом деле, из уравнения (14.72) получаем х0
Y(x)=Y(xa) — |ГФ(5)^,	(14.77)
X
* Подчеркнем, что ограниченность а (х) в 0<х«Се не предполагает существования lim <? (х).
Х-.0
102
где О<л<ло<е. Так как V®(t)GC[O, е], то из последнего равенства следует существование конечного предела ПтУ(х) = х->0
= У (0) оо. Убедимся теперь, что У(0) = 0. Из тождества У(х)^ ~ x'D^dvIdx находим
X ~
<p(x) = <p(x,)4-v=l,2.
*0
По условию <р(х) ограничена в нуле, но это возможно только тогда, когда в последнем равенстве ИшУ(|)|!=0.
По аналогии с символом Р(х) введем функцию
У (х) = £> (х) d^dx У (х)/х	(14.78)
и покажем, что
1ппУ(л) = 0.	(14.79)
Действительно, из ограниченности Ф(х) и формулы (14.77) (при хо=О) следует оценка
fy (х) |< const х'"1’1, 0<х<е,	(14.80)
а из (14.78) и (14.80) — требуемый результат.
Теперь уже нетрудно установить, что lim«>(x) существует. х->0
Этот результат легко получить из приведенного выше выражения дЛя ф(х) и оценки (14.80). Таким образом, установлено: <реС[0, е], а потому и ФеС[0, е]. Поскольку £>(х) ^£>0>0, из (14.79) следует:
/ d<f \
=lim-^=lim
У(х)____л*
Р(х) —и •
(14.81)
Первое дифференциальное свойство решения в нуле (14.81) получено на основе предварительно установленного свойства функции У(х). Точно так же можно изучать дальнейшие дифференциальные свойства решения в нуле, если исследовать в окрестности нуля функцию У(х).
Установим прежде всего формулу дифференцирования функции У(х), предполагая, что ФеС<5>[0, е]. Непосредственно из уравнения (14.72) получаем
У'(х)=Ф(х) — dL у (х).	(14.82)
* Равенство' f —jr- j =0 можно теперь использовать в качестве граничного \	/ х==в
условия вместо условия ограниченности.
103
Дифференцирование (14.82) дает (при х=/=0):
У"(х) = Ф' (х)-^-
K(v+1)^=
J г [Ф(?)-Ф(Х)]^
= ф' (л) + V (V + 1) 5---5^2-------
(14.83)
Покажем теперь, что при х=+0 справедлива следующая общая формула:
У(")(Х)==ФР->)(Л)+_ЕГ_
X
(14.84)
где п>2.
Доказательство проведем методом математической индукции. При п=2 последняя формула верна, так как тождественно совпадает с результатом (14.83). Предположив, что (14.84) верно для п, убедимся, что оно верно и для п+1. Дифференцируя равенство (14.84), находим
1
Г('’+*)(х) = Ф(п>(х)Н-------
— (В — х)п-2
Ф(п-‘>(х) (п —2)!
п—2
О
V-f-П
£=0
х
,fe Ф<я>(х) ' Л!

п—I
^Ф^+^^И
k Ф<‘>(х) И
Л=0


1 ( (п-1)! J о
7-Т-;7....Г (5— Х)П-2(К
(п + >)(п — 2)! J v ’
о
Несложно убедиться, что выражение в последних квадратных скобках есть тождественный нуль. Требуемое равенство доказано.
104
Установим теперь, что dnYjdxn (Is^n^s +1) имеет конечный предел при х->0. Пусть сначала п=1. По известной теореме о среднем значении имеем
X J	1 V
6
Из равенства (14.82) и последней формулы видно, что при х-+0 yz(x) имеет конечный предел равный (p(0)/(H-v) (т. е. УеО’ЦО, в]). Пусть теперь п^2. Запишем тождество
X
О
п-2
k Ф^(Х)
k\
k=0

Функция
1
хФ
п—2
Ф(Е)_£(Е_^*т
А=0
непрерывна на отрезке [0, х] (включая и точку g=x). Действительно, выражение в квадратных скобках есть не что иное, как остаточный член формулы Тейлора, который целесообразно записать в форме Лагранжа, т. е.
__2 (!• - x)k	(9),
*=о
(14.85)
Из полученного равенства находим 1- ,еч г Ф(п-1)(0) Ф^-Дх) , tan X (Е) = l.m	-(jdir * “
Итак, формулу (14.84) можно представить в виде уе’ЦлО^Ф!"-’>(*)+( П (— о) 4^	0<6,<л.
Принимая во внимание равенство
С $’ ($ _ x\k =------------------------
yv, л) us	+ 2) ... (v +	1)
О
Л ,
105
получаем
УС"> (х) = Ф<я-,>(х) —	1)!.
Наконец, снова используя формулу Тейлора (14.85), устанавливаем
У(«> (х) = Ф<я- ’> (х) -	Ф<п“’) (6,), 0 < 6, < е, < х,
т. е.
limyw(x)=-^—Ф(п-’>(0).	(14.86)
Х-*0	п + V
Последний результат означает, что из ФеС<3)[0, в] следует е].
Итак, если нам известны характеристики параметров задачи D(x), 2(х), q(x) (их дифференциальные свойства, структура в окрестности нуля и т. п.), то по формулам (14.78), (14.84) и (14.86) можно установить те или иные свойства ограниченного решения уравнения (14.72) в окрестности нуля. В частности, основываясь на упомянутых формулах, без труда можно убедиться в справедливости леммы 1 для ограниченных решений уравнения (14.72). Уместно отметить попутно, что лемма 2 автоматически распространяется на изучаемое нами уравнение, так как ее обоснование не использует информацию о решении в нуле.
Теперь нам предстоит последовательно выполнить программу предыдущих разделов, очередным этапом которой являются уже знакомые нам операции продолжения функций D(x), S(x) и q(x), а также их «тиражирование». Как легко усмотреть из последующих рассуждений, продолжение этих функций достаточно выполнить только вправо от точки х=Н° и не продолжать их влево от х=0. Следовательно, продолженные функции будут отвечать промежутку	(& = 2№), так что при ссылках на резуль-
таты из предыдущих разделов следует мысленно заменять промежуток [a, ft] на [0, &].
Наконец, под решением задачи Б будем понимать систему ограниченных функций (14.9), удовлетворяющих пунктам а)—в) (см. с. 82). В этих пунктах требуется лишь небольшая корректировка, а именно, в а) вместо уравнений (14.10) нужно записать уравнения со структурой (14.72), а пункт в) читать как «функция <P(w>(x) удовлетворяет второму из условий (13.9)».
Перейдем теперь к построению разностной системы уравнений типа (14.14) с параллельным выявлением порядка аппроксимации. Прежде всего получим тождество типа (14.15):
J хФСА>(х)</х^0,	(14.87)
xk—1/2
106
где в силу (14.76)
?b)(*i/2) = 0 (*1/2 = 0).
В тождестве (14.87) функцию Ф<й)(х) запишем по формуле (14-17). Тогда интегральный член тождества представится в виде
"ЛТ J Л’ф(*) ^)^^*(1 + -^-^-)ф(*)(^*)-^8^1) , **-1/2
где
8;
**+1/2
—1 +?'12 —.(g —--./Ау---------|	х’(х—xft)f Ф"и)[6(х)]</х;
3 *k \2 J 2hkxl J
**-1/2
(14.88)
8v2 —символ Кронекера. В последнем равенстве обратим внимание на отношение Ф'(й) (xk)/xk. Из соотношений (14.73), (14.74) и (14.81) устанавливаем, что ф'(^)(х)->0 при х->0, а потому lim [Ф'(4) (х)/х] =
= ПтФ"(й) (х) и равен конечной величине. Таким образом, семей-х->0
ство последовательностей {Ф'(й) (xk)/xk}^ равномерно ограничено, так что первое слагаемое в (14.88) не превосходит по модулю const-h2k- При оценке второго слагаемого в (14.88) учитывается равномерная ограниченность семейства функции Ф"й)(х), а потому
**+1/2
v| f х (х-хк)2Ф"(ь) [Ч*)1 dx <
-A I J
**-1/2
**-1/2
В результате
Тождество (14.87) можно теперь переписать в виде
~h^	^(*) (xk—1/2)	Y(k) (xk+i/2)j+
+ xk (1 + -ТГ 7^) ф(*) (xk)	x'k •	(14.89)
107
Используя равенства (14.19) и (14.21), преобразуем тождество (14.89) к виду
Ч {(1 - <)’
- (1 + О’ [П*	-^1»'	Л«]} +
у ('|_|_5а_2!к')	Га‘” 4-f 1 - A-Ys® 4-
г^а\‘т 12 ха* / (fc)'	* L *	' \ 2хЛ/ °*	।
_|_Л _1_ A_VS<3) 1
*	1 । 2xk J k J 
При v = 1, 2
Л + A_Y— i + v J* I v<v —0 f hk у 2xk)	2xfe *	2 2хй J ’
поэтому тождество можно переписать так:
/г А* V л ?(*> <х*) ~ ?(*) (afe) _
^k — -5-J
(„ 1 hk tt ?(*) (^*) f(*l Iх*) 1
— ^fe + -rj u*---------JTk T~
+ xk (1 +	+ xk { [1 + -(T ° (-fe) ] X
X [^(A) (Хн-1/2)- ^(fe) (XA-l/2)]	+
=*; |«r +(> - O’s” +(‘+йО*8’ ] (14-90)
Функция T(a)GC(’> [0, 6], так что Т(й) (xA+I/2) -	(xA_1/2) =
= ййТ'(й) ($й) (5Й£/1Й). Из последнего результата и неравенства hkl2Xk^l устанавливаем, что первое слагаемое в фигурных скобках не превосходит по модулю constЛегкой оценке второго слагаемого в этих же скобках мешает множитель 1/А, который неограниченно растет по мере «измельчения» сетки. Возникшее препятствие несложно преодолеть, если воспользоваться разложением
^(*> (^±1/2) =	(xk) ± 4- V'(k) (^), Sf G hk,
из которого следует
l^(A) (Л*-1/2) + ^<*> (^А-Н/гИ = ^Xk + ^Г[^(А)(^)-^(А> О"
108
Второе слагаемое правой части ограничено, так что осталось установить ограниченность дроби ^(Л)(х*)/х*. Для этого воспользуемся разложением
?'"(*) (*)= ?'"(*) (0) +	(Ох) (0 < 9 < 1).
Покажем, что в этом разложении <р"'(й)(0) =0. В самом деле, выше уже показано, что ф'(й)(0)=0. Это означает, согласно равенству (14.86), что Y"ft)(0)=0. Наконец, из формул (14.78), (14.79) и условий (14.74) получаем нужный результат. Таким образом,
(W"(*) (хА) 1 D оу) 0
Xk	24х^	24	(R) v R'T(k) v
есть ограниченная величина и, следовательно, все выражение в фигурных скобках в (14.90) не превосходит по модулю const-/i2h. Обозначая это выражение — 8*4), получаем в итоге следующее тождество:
/ hk V л ?(*) (хй) — ?(й) (°й)	?(*) (М — ?(*) (ха) д_
( *k - -г )	( Xk “г~TJ	h~k Г
+< 0 + итй) ф<*> <**)=*?*>	<14-91)
где
8й==8(»+Л _ ^у8<2> +fi +^_у8<3>+8(<).
*	£ * \	J ~k ’	1 2х£ j &	1 k
Величины 8*1’ и 8*4> оценены только что, а 8(2) и 8*3)—на с. 85—86. k	k	ft ft
Из найденных неравенств 18^Z) | < const-h2 (i=l,..., 4) следует \bk\<Bh\^Bh\
В результате отбрасывания в тождестве (14.91) малой правой части, имеющей порядок О (Л2), приходим к конечно-разностной схеме:
/ hb\v л ^аь f , й^\',тт	— l?k ।
.	А*ТгНх‘+’!П П,—15—+
+^(1 + -Trw)ls(Xft)cp&-9(Xft)1=0’ k=l’ 2.....N-
Для исключения фиктивных значений и в полученной системе следует воспользоваться разностными условиями «сшивки» на стыке соседних интервалов йд и /zft+1, а также разностным граничным условием. Эти условия дают формулы (13.17) и второе равенство (13.21). Исключая фиктивные значения, приходим к разностной схеме:
44+1 (?*+.-?*)k=i> 2’-> N’ (14-92)
109
где
Ak= (xk}- ^-Y—--------г (1 - 5fc.) (I - 5 N,.);
» у *	2 J JI—।_ д—i ' Ka/ ' ft,
а41+'^5г)х*е(хД k=1,2’-’ N~u
Г /	»«9 h*N \ ,	2AHW (//•)’ 1
M (1 -Hr s^)+	’k;
Fk =
O + 'fe-pr)x^(Xi)’ *=I’ 2’"” N~ 1:
A2....h-g(x ) I 2gn" (//0)- 1
12 х’л /	I hNL + 2M
k = N.
Разумеется, для решения полученной разностной системы можно, как и в плоском варианте, рекомендовать метод прогонки.
Наконец, оценим скорость сходимости приближенного решения разностной задачи (14.92) к точному решению дифференциальной задачи. Формулы (14.23) — (14.28) полностью сохраняют силу для цилиндрического и сферического вариантов. Погрешности (14.29) подчиняются уравнению
/	. AfcVrT -bk~'k 1
(Х*	2 J^k hk (х*+ 2 J ^к hk
+ <(l + ^^^xk)Sk = xk5k, £=1, 2,...,N, системе (14.31) и второму равенству в (14.32).
Обоснованию сходимости в плоском варианте предшествовали леммы 3—5. Оказывается, что леммы 3 и 4 остаются полностью в силе и в рассматриваемом случае, лишь номер уравнения (13.24) нужно заменить на (14.92). Наконец, существенную роль при обосновании сходимости для плоского варианта играли оценки функции Грина, которые были сформулированы в лемме 5. Теперь (при тех же предположениях) оценка функции Грина будет следующей:
G(k, s)<G, I +	«	(14.93>
а при L^=0 для функции G(k, N) справедлива более частная оценка G(k, N)^(hNL-{-2M)/2 (Н°У LD(Ha).
Убедимся в справедливости этих оценок. Рассмотрим сначала случай а) в критериях разрешимости (14.1). Если конечный интервал	таков, что а=0, то ничто не мешает нам умень-
шить его длину так, чтобы <а было больше нуля. Поэтому сразу предположим, что OCasgx^p.
110
Из (14.52) получаем (как и в плоском варианте):
М-р
s)^h,
k=*ko
т. е.
G(k', s^l/SVAftCG^const.	(14.94)
Если k' > s> то
ь'
G(k, s)<G(s, s)<G(k’, s)+ £ ^-<G,+
/=«+i
□___i p JL2_±^L_<G -4____________!_______X
T2°o 2j (Xj-hj/iy" 1-r 2(Xs+hs/2y De
/-s+l
for
XS	<14-95>
/ам$4»1
Очевидно, что полученная оценка сохраняет силу и при s—k'. При k'<s
S
G(k, s)<G(s,s)<G(fe', $)+
+_i_ v Asl±1_<g14—
^2D. 2j (X/-V2)’'
/=*'+<
<(#’)’ [G, + -~^]l (W t-)’.	(14.96)
При втором критерии разрешимости б), когда £#=0, имеем
Из (14.52) находим
1	hfjL + 2Л4	hfjL + 2М
G(N, s)<_J_<—(LJ:--------—-----<
V ’ <JN 2hN(H<>yilNL 2 (HO)" LD(H<>)
<----^.c£±2^ 	(14.97)
2 (H*yLD{Ha)
Полученное неравенство играет ту же роль, что и (14.94) в предыдущих рассуждениях, а потому
G(k, S)<G(S, S)<r"!L+_g£+^LU(^+M\ (14.98) L/q	^L,U x11 f J/\	J
Из оценок (14.95), (14.96), (14.98) следует первое утверждение (14.93).
Более детальную оценку для G{k, N) получим, если учтем, что
G(_k, ^)^G(I^, N) (k=\, 2, .... N), и воспользуемся неравенст-
111
вом (14.97). В результате
G(k, N)<G(N, N)<(hNL-\-2M)/2(H,yLD(H*).
Перейдем теперь непосредственно к оценке скорости сходимости. При этом нет нужды повторять довольно утомительные выкладки, которые мы уже проводили при исследовании плоского варианта. Лишь об одной детали уместно сказать несколько слов. А именно, из оценки (14.93) следует неограниченность правой части этого неравенства на семействе сеток. Однако при проведении выкладок эта неограниченность не мешает, так как она «гасится» множителями х*, (Xk—hk/2)'>, входящими в F&, Ak, Ий. В конечном итоге снова оказывается справедливой оценка (14.60).
§ 15.	ИТЕРАЦИОННЫЙ ПРИНЦИП РЕШЕНИЯ
ОДНОСКОРОСТНОГО СТАЦИОНАРНОГО УРАВНЕНИЯ ПЕРЕНОСА. СХОДИМОСТЬ ИТЕРАЦИОННОГО ПРОЦЕССА В ОГРАНИЧЕННЫХ ОБЛАСТЯХ
Излагаемые в двух последующих параграфах приближенные методы решения стационарного уравнения переноса основаны на следующей итерационной схеме:
=	J^(r, яя'^-’Цг, Q')dQ' + q(r, я); (15.1)
япу(ге) (rs, Я) = 0 при яп<0,	(15.2)
где п — индекс итерации; rs— произвольная точка невогнутой внешней границы S области У.
Полагаем в дальнейшем область V ограниченной, а полное сечение 2 (г) = 2s(r) + 2я(г) всюду (для простоты) отличным от нуля (т. е. без участков вакуума внутри V) и ограниченным сверху. Введем ряд определений и обозначений, а именно:
1)	d = sup |rt — гг| — диаметр области V;
1*1 >
2)	S0 = supS(r);
3)	9, = sup2a(r)/2(r);
4)	G = {(r, Я): rgV, Q&U}, где U — множество единичных векторов в трехмерном пространстве;
5)	L2 v (G) — пространство квадратично суммируемых функций в области G с весом 2(г), в котором скалярное произведение и норма даются интегралами:
(<р, 4>) = ря JrfWp; ||<p|| = ydQ	(15.3)
112
6)	А и В — операторы:
А<рн=-|-Яу<р4-<р;
Вер =	J g (г, qq') <р (г, q') d£l';
7)	D — класс функций {<р}, удовлетворяющих условию (15.2), а также требованиям
<р £ А2> s (G); А<р £ L2 Е (G)
[свойства функции рассеяния g(r, qq') предполагаются такими, что любой элемент <p£L2S(G) отображается интегральным оператором В снова в элемент из L2 Е (G)];
8)	наконец, норму любого ограниченного в £2,1 (G) оператора S’ определим известным образом [22, 26]:
И = sup (НЗД/Н).	(15.4)
S <G)
Введенные обозначения позволяют записать стационарное уравнение переноса в компактной операторной форме
Аф=В'ф + Р,	(15.5)
где Q ==<?/£ [полагаем Q(EzL2 S(G)].
Установим теперь некоторые важные свойства операторов А и В, причем в первую очередь докажем существование оператора А-1 из L2 s(G) в D и оценим его норму. Введем прямоугольную декартову систему координат т], £ таким образом, чтобы ось £ была параллельна вектору й и ее положительное направление совпадало с направлением Q (рис. 22). [Любое изменение вектора О влечет за собой переориентацию системы £, -ц, £.] При таком построении системы т], £ можно, очевидно, записать:
Используя это представление, получаем
(А?, а?)=(4'-Й_“Ь’
= CdQ	CdQ f dyqgL+|[<. (15.7)
J J \	/ J J
8—301
11s
Рассмотрим сначала второй интеграл правой части:
Р» (Е>1)
72 = jdQ j’l^Ldy=J dQ рГ J	=
Й	ГР, (t >!)
F^, цу, £2)-?’(5, Т), FJ6, -п); й)].
Г
•(Содержание символов Г, Л(|, г|) и F2(|, л) легко понять из рис. 22. Заметим, что Г, Fi и F2 зависят от Q как от параметра.)
Рис. 22. Область V в координатной системе $, т), t, согласованной с вектором Я
В силу построения координатной системы ц, Z вектор £2 в любой точке поверхности Fi(|, ц) направлен внутрь области V (или, быть может, по касательной к ее границе), т. е. на Fi(|, ц) выполнено условие Qn^O. Согласно граничному условию (15.2), имеем
?(?, т), F^, -П); “М (?, т))еГ.	(15.8)
В итоге приходим к такому неравенству:
(15.9)
Чтобы получить оценку первого интеграла в (15.7), выполним предварительно ряд элементарных преобразований. Если точка (|, ц, ^)eV, то с учетом (15.8) можно записать:
<р (5, к;, С; Я) = J	Я),^,^
F, (Е. 3)
114
Далее, с использованием неравенства Коши—Буняковского, выпишем цепочку неравенств:
(с	\!
А (Е.	'
С	С	F, (Е. 1)	s
< f -Г-Г-Ж-Y^' f	f -17* YdC, (15JO>
1 £i \ l/’a j	I	I	\ 4a i
Fi (E, 4)	Fi (E. «))	Fi (E, 1)
где £e и d определены в пп. 1) и 2). Обозначим
Л <5’ ’1) л 2
ф(1, т); «)= j	<15л1>
Fl (Е> 1)
Определение нормы в (15.3) с использованием (15.10), (15.11), а также пп. 1) и 2) порождает следующую цепочку неравенств:
Fi (Е. 1)
< £od J dQ ( ЕФ (5, 1); Q) dV < £2,d j dQ J cT j dC® (5, tj; й)=
V	/ Г Fi d 4)
= E\d JdQ рГФ(5, v> Q)l^(5,	tj)]<
Г
(I, fl)
<£!.d2JdQ JdTQ(5, ij; Q) = E!0d2 JdQ рГ J	=
г	гр, (E, 1)
V
Полученная цепочка неравенств заканчивается как раз интересующим нас интегралом Ji, так что
J, = JdQ pv 4-	1]<.	(15.12)
v
Итак, из (15.7) с учетом (15.9) и (15.12) получаем
(А<р, А<р)>(1-|--^—Л|[<, т. е.
ЦА?||^(1 + ^г),/2|Н	(15.13)
Пусть оператор А отображает D в некоторое множество M(Z.L2 s (G). Поскольку доказано неравенство (15.13), то в силу теоремы о существовании линейного обратного оператора [26] заключаем, что из М z .D существует оператор А-1, причем
1|А-'Л<1// 1+тгзг=в, <1-	(15.14>
8*
115
Оператор А имеет достаточно простой вид (15.6), и его обращение формально сводится к решению линейного обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка:
сйр/сК; + 2<р = [.
Если формально выписать решение такого уравнения в явном виде через квадратуры, то из анализа полученной формулы следует [27], что для любого элемента / G L2> s (G) существует прообраз «ре/), так что M = L2 ^(G). Утверждение доказано.
Исследуем теперь оператор В. Снова используя неравенство Коши—Буняковского, получаем
(В<Р,	= pQS^y^|g(r, йй')?(г, й')^2 =
v
Jg(r, йй)ё (г> йй')?а(г. v
Поскольку функция рассеяния зависит не от каждого из векторов й и О' в отдельности, а только от их скалярного произведения, то отсюда вытекает, что
Cg(r, йй') Ж'= f g (г, йй')б/П.
Каждый из выписанных интегралов равен единице согласно нормировочному тождеству (10.8). С учетом этого факта полученное неравенство можно переписать в виде
(В?, B<p)<JdV[dQS	QQ')?a(r. a')dQ' —
V
=JdVS 0^Yjdfiy(r, й') JdQg(r, йй') = v
jdQV(r, й')<9е0 jdVS [W(r, Я) = 0ао11?!|а-V	V
Согласно п. 3) (см. с. 112) Os^Oo^l, так что по определению (15.4) || В || <9osC 1-
Установленное ранее существование оператора А-1 дает возможность преобразовать уравнение (15.5) в следующее:
<р = А-*В<р+$, Q = A-'QgD.	(15.15)
116
В этом уравнении
||А-*В||<|1А-Ч|.||В:|<6Д< 1.	(15.16)
Итерационный процесс (15.1) перепишем в операторной форме:
<р(") = А-,В<р<я-,) + $, <р<’> G £2> s (G).	(15.17)
Поскольку оператор А-1 отображает L2 E(G) в D и Q(=D [см. (15.15)1, то все элементы последовательности {(р(”)}“_1 принадлежат D.
Предположим, что уравнение (15.15) [или, что то же, уравнение (15.5)] имеет решение ф в классе функций D. Обозначим 8<«)=ф—ф(п) погрешность на n-м итерационном шаге. Очевидно, 8(п)ед Вычитая (15.17) из (15.15), получаем
s<”> = А-1Ве<”_1>.
Отсюда с учетом (15.16) имеем
||8(«)|| = ||A-*Bs<n-*>|| < ||А-’ВЦ• ||е<”-1>|| < 91><"-’>||, 9 = 9,9., или
||8(п)||<9я||е(’)|!, т. е.
lira ||s(n’|| = 0. rt->oc
Итак, итерационный процесс (15.17) по норме (15.3) сходится к решению ф уравнения (15.5).
Легко убедиться, что это решение единственно. В самом деле, если бы существовало два решения ф1 и ф2:
<р, = A-'Bcp. + Q, <p2 = A-’Bp. + Q, то в результате вычитания тождеств мы бы нашли
а ^огда
II?. - ?г||<||А-*ВЦ.||?1 - ?2||.
По предположению ф1#=ф2, т. е. ||ф1—ф2|| #=0. Отсюда следует 1^||А-1В||, что противоречит неравенству (15.16).
Полезно представлять себе, в каких случаях итерационный процесс будет сходиться быстрее и в каких — медленнее. Скорость сходимости оценивается константой 0=0o0i, а это в соответствии с (15.14) и п. 3) означает, что сходимость будет тем быстрее, чем меньше диаметр области V, чем меньше верхняя граница полного сечения S (г) и чем больше доля сечения захвата Sa (г) в полном сечении S (г).
Рассуждения настоящего параграфа — это по существу пересказ известного принципа сжатых отображений [26]. Если D явит
ляется подпространством в L2E(G), т. е. обладает свойством полноты по норме (15.3), то из принципа сжатых отображений следует и существование решения уравнения (15.15). Детальный анализ этих проблем выходит за рамки данной книги.
Изложение материала настоящего параграфа выполнено «на разумном уровне математической строгости», и это в известной степени позволило сконцентрировать внимание на основной идее доказательств. Прекрасное изложение подобного рода проблем «на высоком уровне математической строгости» содержится в работе [27]L
§ 16.	МЕТОД ВЛАДИМИРОВА
Излагаемый ниже метод был предложен в 1952 г. В. С. Владимировым для решения уравнения переноса в сферически-симмет-ричных областях [28]*. Для простоты рассмотрим метод Владимирова применительно к уравнению переноса с изотропной функцией рассеяния и изотропными источниками. Метод элементарно распространяется на случай, когда названные функции анизотропны. Итак, предполагая изотропность, можно переписать уравнение переноса (10.27) в следующем виде:
(16.1)
—1
На внешней границе сферы г=7?0 можно записать
ф(/?о, рс)=О при pi<0**.	(16.2)
Если сфера состоит из разных сред, то на границе их раздела r=iR должно быть выполнено условие
<р(Я—0, ц)=<₽(/? + 0, и).	(16.3)
Дифференциальную часть уравнения (16.1) можно упростить. Для этого вместо аргументов г и ц введем новые переменные
х==а(г, ц); z/=p(r, pi),	(16.4)
где а и р — независимые, но пока не определенные функции. В результате получим
до  1—и.2 до f да ,1—ц.2 да \ до । “Г (и	-эгJ to +
 +H+iz^)4-	<16-5>
*	Позже метод Владимирова был обобщен для задач с цилиндрической симметрией Б. Л. Гаврилиным [13]. Отметим попутно, что ‘предлагаемый метод называют еще методом характеристик, а также методом прямого интегрирования.
*	* Условия (16.2) и (16.3) получены из равенств (10.15) и (10.14), предварительно сокращенных на множитель On. Метод Владимирова оправдывает такое сокращение (см. Замечание на с. 45).
118
Попытаемся теперь обратить в нуль какое-нибудь из выражений в скобках в правой части (16.5), например второе. Это означает, что требуется найти функцию [J(r, у), удовлетворяющую следующему уравнению в частных производных:
(16.6)
дг 1 г др.	'	'
Из теории дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка [24] известно, что общее решение, уравнения (16.6) будет найдено, если найти первый (в данном случае он же и общий) интеграл уравнения
dr/y=rdy/(l—.у2).	(16.7)
Общий (первый) интеграл уравнения (16.7) имеет вид
г ]/1 — уЛ = const,	(16.8)
откуда следует, что общее решение уравнения (16.6) запишется в форме
Р(г, y) = F(r/T^?),	(16.9)
где F — произвольная дифференцируемая функция.
Для наших целей достаточно иметь лишь одно частное решение уравнения (16.6) и вполне естественно постараться получить его в наиболее простом виде. Последнюю задачу, очевидно, решает функция р(г, у) — г]/1—iy2, вытекающая из общего решения (16.9). Таким образом, одно из равенств в (16.4) стало вполне определенным:
у^гуТ^.	(16.10)
Обратить в нуль оставшееся слагаемое в правой части равенства (16.5) уже нельзя, поскольку для х=а(г, у.) тогда получим либо формулу вида (16.10), либо другое, более сложное выражение, но обязательно функционально зависящее от правой части (16.10). В принципе, за функцию а (г, у) можно взять любую функцию, не связанную с j}(r, у) функциональной зависимостью. Однако эту функцию желательно выбрать так, чтобы неравный нулю коэффициент при Лр/дх в (16.5) был возможно проще. В идеале желательно обратить его в единицу, что приведет к уравнению
fe-=l.	(16.11)
дг 1 г Оц.	'	'
Снова ссылаясь на теорию дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка, заменим задачу интегрирования уравнения (16.11) эквивалентной задачей интегрирования следующей системы обыкновенных дифференциальных уравнений:
drlp — rdy(\ — y’) = da/l.	(16.12)
119
Один первый интеграл системы (16.12) уже был получен выше и использован в (16.10). Чтобы получить другой первый интеграл, сложим между собой числители и знаменатели первых двух дробей в (16.12), умножив предварительно числитель и знаменатель первой дроби на р. В результате получим ^(гц)=Л, т. е. второй интеграл есть
а—zip=const.	(16.13)
Поскольку уравнение (16.11) неоднородно, общее решение его следует записать через посредство первых интегралов (16.8) и (16.13) системы (16.12) в следующем неявном виде [24]:
р.2, а —г|*) = 0,	(16.14)
где V — произвольная дифференцируемая функция двух переменных.
Из общего решения (16.14) нужно извлечь теперь такое частное решение, чтобы определяемая им функция а (г, ц) не зависела функционально от найденной ранее функции р(г, ц), или, что то же, от левой части интеграла (16.8). Для этого достаточно потребовать, чтобы в искомом частном решении вовсе отсутствовала левая часть интеграла (16.8). Самый простой результат, вытекающий из общего решения (16.14), который содержит левую часть интеграла (16.13), но не содержит левой части интеграла (16.8), имеет вид а—гц=0, т. е. а(г, у.) —гр. В соответствии с первым равенством в (16.4) имеем
х—гц.	(16.15)
Заметим, что после того, как получено выражение для у (16.10), выражение для х (16.15) можно легко угадать. В самом деле,
г/ = г У 1 — |*2 = г sin 6 (у = cos 6),
но тогда естественно «заподозрить», что x=rcos9=rp.
Итак, в уравнении (16.1) произведем замену переменных по формулам
х = Г|1, у = гУ\ — |12	(16.16)
и преобразуем его к виду
^-+S(r)<p=4-[Ss(r)T.(r) + ^(r)],	(16.17)
где г = ]/х*4-^2 й [ср. с формулой (12.13)]
1
?.('•)= J?(r, v^dp..	(16.18)
—1
120
Областью определения функции ср в новых переменных, как это следует из формул (16.16), будет полукруг x2 + z/2<C^?2o, Граница раздела двух сред r—R и внешняя граница r=Ro перейдут соответственно в полуокружности: x2 + y2=R2 (у^О) и x2 + y2—R2o (У>Ъ).
Если бы правая часть уравнения (16.17)
/(r) = 4-[Ss(r)?0(r) + ?(r)]	(16.19)
была известна, то при любом фиксированном значении у (O^y^'Ro), играющем роль параметра, можно было бы легко определить решение обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка на линии MN (рис. 23), непрерывное в точках L и Р [см. (16.3)] и подчиненное условию
?(7И) = ?(-]Л^.-1/2, У) = 0,	(16.20)
которое вытекает из (16.2).
Только что высказанное замечание позволяет сформулировать следующий итерационный процесс. По произвольно заданному начальному распределению /(г) находим функцию <р, решая уравнение
-g-+S(r)? = f(r).	(16.21)
С помощью найденной функции <р по формуле (16.18) определяем
Фо(г), а затем по формуле (16.19) f(r). Далее процесс повторяем.
Рис. 23. Область изменения переменных x=rp., y=rV 1—р2 в сферически-симметричных задачах
Рис. 24. Расчетная сетка узлов в методе Владимирова
В § 15 была доказана сходимость этого процесса и оценена скорость его сходимости. Такова общая идея метода Владимирова.
Опишем теперь очень удобный для практической реализации алгоритм численного решения этой задачи. Область определения функции <р(х, у) покроем сеткой линий r2=x2 + z/2=const и у=const так, как это показано на рис. 24. Каждую узловую точку сетки отметим двумя индексами, второй из которых обозначает
121
номер координатной линии z/=const, начиная с линии z/=0, а первый — порядковый номер точки на каждой из линий z/=const слева направо, начиная с точки Л1 (см. рис. 23). Таким образом, если k — порядковый номер окружности, начиная с внешней, то точки пересечения ее с линией yi будут определяться «индексами» (A, i) и {&', i), где k'—tN—2(i—1) — (k—1) (N — число ‘ узловых точек на линии у—0). Итак, пусть на каком-то итерационном шаге правая часть уравнения (16.21) известна во всех узлах сетки. Мы не будем описывать хорошо известные конечно-разностные методы решения задачи Коши для линейного обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка. Читатель, знакомый по крайней мере с одним из таких методов, легко получит дискретное решение задачи (16.20), (16.21) на каждой из линий ус
Фн, Ф2Ь • • • , фйъ  • •	(16.22)
После того как определены значения <р« во всех узлах сетки, нетрудно получить приближенное значение функции фо (г) [см. (16.18)], воспользовавшись квадратурной формулой
?» (rfe) =	f*'»)’
i
где суммирование проводится по всем точкам полуокружности с номером k; ahi — коэффициенты квадратурной формулы для точек данной окружности. Наконец, по формуле (16.19) находим новые значения f(r>) для следующего итерационного шага и т. д.
Замечание 1. При решении уравнения переноса методом Владимирова, а также Sn-методом, о котором пойдет речь в следующем параграфе, используем итерационный процесс. Часто такой процесс может оказаться медленно сходящимся. В этом случае целесообразно применять методы улучшения сходимости последовательных приближений. Одни из такого рода методов рассмотрен в § 18. Более подробные сведения по этому вопросу читатель может найти, например, в монографиях ,[3, 15].
Замечание 2. Нелишне иметь в виду, что переход от точной задачи (16.17), (16.18) к конечно-разностной модели лишает нас права безоговорочно ссылаться на результаты § 15 — обоснование итерационной процедуры и оценка скорости сходимости иа основе § 15 носят в этой ситуации нестрогий характер. «Строгость» можно восстановить, если в результате применения процедуры § 15 к операторам разностной модели получить оценку типа (15.16).
§ 17.	Sn -МЕТОД (МЕТОД КАРЛСОНА)
Основные идеи излагаемого метода были впервые сформулированы Карлсоном [29, 30]. Позднее 5п-метод непрерывно развивался и совершенствовался и к настоящему времени сформировался в перспективный и широко применяемый алгоритм. Следует отметить, что помимо Карлсона и его зарубежных коллег очень крупный вклад в развитие метода внесли советские специалисты. В частности, в настоящем параграфе нашли отражение результаты, полученные В. Н. Морозовым [31].
122
Мы проиллюстрируем метод на примере уравнения (16.1), которое было рассмотрено в § 16 для сферически-симметричных областей с изотропной функцией рассеяния и изотропными источниками. Дифференциальную часть этого уравнения нам удобно сейчас записать в соответствии с представлением (10.28). Как и в § 16, предполагаем использование итерационного процесса, что позволяет рассматривать уравнение (16.1) в виде
+ + (17Л)
где правую часть /(г) в каждой итерации считаем известной и равной
/(r)=J-[Es?e(r) + 7(r)],
причем
1
¥.('')= J?(r> Р-Мр-
—I
(17.2)
На внешней границе и на границах раздела сред используем условия (16.2) и (16.3).
Разобьем интервал —IsgTip’sC 1 на п (п — четное число) равных частей (|4j, p,j+i), начиная с цо=—1. Далее, разобьем промежуток на N интервалов (rh, rk+i) так, чтобы границы раздела сред (если таковые имеются) содержались среди точек а, про-
Рис. 25. Расчетная сетка узлов в Sn-методе
k+1,j+1
Рис. 26. Отдельная ячейка расчетной сетки в Sn-методе
нумерованных в порядке возрастания радиуса г, начиная с Го=0 (рис. 25).
Рассмотрим произвольную ячейку расчетной сетки Skj (рис. 26). В фазовом пространстве г, ц элемент «объема» с точностью до константы равен
dS= r2drd\i.
(17.3)
123
Проинтегрируем уравнение (17.1) в пределах ячейки Sitj с учетом (17.3):
r*+i	ty-Н	2
j r2dr j	=
rk	v-i
rk+l
= Др. J / (r) r2 dr, rk
где Ap — p,+i—gj. Преобразование первых двух слагаемых не представляет труда, так что в результате имеем
u/+i	*/-Н
r%+> j V^(rk+t, v.)dv. — r2k J р.<р(Г4, p.)dp> +
+ (1- P-’j+i) J r(?(r’ Pj+Jdr-tl -p2,) J r<?(r, p.;)dr + rk	rk
rk+i	p'/+i	rk+i
-f- J S(r)r’dr J <p (r, p.)dp. = Др. J f(r)r2dr. (17.4) rk	rk
В пределах ячейки Skj аппроксимируем функцию <р(г, р) интерполяционной формулой, которая получается в результате последовательного осуществления линейной интерполяции сначала по одной переменной, а затем по другой (результат не зависит от порядка проведения последовательных интерполяций):
?(С ^)=д^Г [(гл+1-г) (^/+1 - ?*/ +
+ (^+i — И (Р- - Р*/)	/+1 + (г ~ гь) (»*•/+ . ~ 10 ?*+.,/ +
+ (*- ^)(Р- — Р-рТл+i.i+il,	(17-5>
где <pfej — значение функции <р(г, ц) в точке (a, щ); &rk= = rk+i—rk — шаг по переменной г, который может не быть постоянным, вследствие чего мы используем индекс k.
Соответственно функцию f{r) в промежутке аппроксимируем линейной интерполяционной формулой
f (г) = t(rk+i - г) fk + (г - rk) /А+1].	(17.6)
Подставляя (17.5) и (17.6) в (17.4) и выполняя все интегрирования, получаем
+ / +	/ +	+ ~^kfk-}-Pkfk+i< (I7-7)
124
где
AkI = - г^Др. - (1 - p.2;) г+Дг4 + 4
Bkj = Г\+ 1(1+Д|1 - (1 - p.2y) rk+ brk +^. (r\+,) - Дг4Дц;
CkI = -r\v.~+ >+(l -^/+1)г>4+4(г!*)+Дг‘Д'1; (17.8}
Dkj = '2А+1Ц/+1Др- + (1 - Рч+1) rk+£rk + +-^-(''2а+1)- Д^Др.;
Ek = (r\)+^rk^; Fk = (r\+1)~ Дг4Дц,	>
причем
,	2y./ + (x;- + 1	_ 2(лу + 1 + р.;-
< =-------з----; ^) + 1 =------з-----
+ 2rk+rk+i - _ 2/-fe+1+a .
k	3>4+i	3	(П.9)
/„2 4 +_2rsft+(rft+rft+i)2 /2	___ 2r2fe+i + (rfe + ^fe+1)2
V k) —	6	’ v 4+J —	6	’
Sfe = S(rfe + Arfe/2).
Обратимся теперь к описанию численной процедуры, позволяющей в некотором порядке последовательно определять значения cpkj на основе равенства (17.7). Граничное условие (16.2) означает равенство нулю значений функций ф в узлах линии ab (см. рис. 25), т. е. <pjvj=O (/=0, 1, ..., п/2). Отмеченное обстоятельство подсказывает: последовательное вычисление значений ср в узлах сетки нужно выполнять по формуле (17.7), начиная со значений на линии ab и продвигаясь вниз к линии сО (см. рис. 25). Легко убедиться, однако, что число искомых величин (fkj превышает число уравнений (17.7), а потому задача оказывается недоопределенной. Однако систему уравнений (17.7) легко доопределить неким конечно-разностным соотношением, связывающим искомые величины фьо на линии ас (см. рис. 25). В самом деле, если в уравнении (17.1) положить ц = — 1, то оно обращается в обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка по переменной г:
-l)-f(r)	(17.10)
с начальным условием
Ф(^о, -1)=0.	(17.11)
Если теперь задачу Коши (17.10), (17.11) решать каким-нибудь конечно-разностным методом, то мы придем к конечно-разностной
125
формуле относительно величин <рм, причем <pwo=O*. Предположим, что это дополнительное уравнение решено, т. е. известны значения <р в узлах линии ас (см. рис. 25). Значения ф^ в узловых точках (k, j) при	могут быть определены по формуле
=	(17.12)
•	TCj	’ '	К]
где
Ry Qk . ~ (.^kfk 4“ kfft + 1	A/l, i-	/ - 1	&k, I - 1?Л4-1~ j -1)‘
Следует особо подчеркнуть, что счет «сверху — вниз» по формуле (17.12) при l^j^n/2 совпадает с направлением устойчивости •счета. При n/2<jsCn счет, напротив, устойчив «снизу — вверх». В этом случае расчетная формула, получаемая из (17.7), имеет вид
=	(17.13)
где
^k, j-i/Dk, j-й
Dk	~ &k,
Для реализации счета по формуле (17.13) нужно знать значения функции ф на линии Qd (см. рис. 25). Наиболее естественно эти значения получить из следующего условия, обеспечивающего нейтронный баланс в центре сферы:
ф(У==фО, п—j>
После того как значения функции фЙ5- получены во всех узлах расчетной сетки, легко подсчитать для следующей итерации значения функции фо (г) (17.2). В соответствии с аппроксимацией (17.5) имеем
tP»(rk) = ~Y (?*•“Ь2?Л1 + 2?feI + ••• + 2<рА п_, +<Р4Л)-
Далее итерационный процесс может быть повторен необходимое число раз (возможно, с применением ускорения сходимости). Обоснование (нестрогое!) сходимости итерационного процесса Sn-метода следует из § 15 (см. также Замечание 2 к § 16).
Замечание 1. Выше был указан тот порядок последовательного вычисления значений <р*/, который необходим для устойчивости 5п-алгоритма [12].
* В духе излагаемого метода конечно-разностную аппроксимацию уравнения (17.10) естественнее всего реализовать в предположении линейности функции ф(г, —1) между каждой парой расчетных узлов на линии ас (см. рис. 25). 126
Однако предлагаемый порядок выполнения вычислений не является достаточным^ условием устойчивости. В некотором смысле роль достаточного условия играет требование положительности коэффициентов 6^ и G^ в формулах (17.12) и (17.13) [12]. Запишем упомянутые коэффициенты в форме разложения по параметру ел=ДгЛ/гЛ:
akj ± bkjsk~}~   • >
где akj = (2 |р.Т | — SfeДг*)/(2 [|*~ | + SaAz>). Для подавляющего большинства точек сетки есть малый параметр, а потому знак G^. преимущественно определяется знаком akj. Следовательно, требование G^>0 сводится в итоге к неравенству
ДгА<т1п(2 |p.^|S*).
Замечание 2. Как следует из уравнения (17.1), а также из соображений симметрии, в центре изучаемой сферы поток не должен зависеть от угловой координаты, т. е. во всех точках линии cd (см. рис. 25) значения функции <р должны быть равны друг другу: Фоо=фо1=фо2= ••• =фо,п-1=фои. Это обстоятельство в расчетном алгоритме не отражено, а потому приведенная цепочка равенств-может служить контрольным критерием точности расчета.
§ 18. БАЛАНСНЫЙ МЕТОД УСКОРЕНИЯ СХОДИМОСТИ
ИТЕРАЦИОННОГО ПРОЦЕССА
В случае медленной сходимости метода Владимирова, 5п-ме-тода или любого другого, основанного на итерационном принципе (15.1)*, приходится прибегать к приемам ускорения сходимости. Опишем один из таких приемов, который можно назвать балансным методом ускорения сходимости. Этот метод известен уже сравнительно давно [|32] и с успехом применяется как при решении односкоростных задач, так и в проблемах многоскоростной теории (см. § 30). Из многих приемов ускорения сходимости остановимся на балансном ввиду его простоты и глубокого физического содержания.
Итак, рассмотрим сходящийся итерационный процесс (15.1), который коротко может быть записан в форме
Вф(п-1) + Q.	(18.1)
Операторы А, В и функция Q определены на с. 113.
Предположим, что в уравнение (15.5) подставлено решение, в результате чего получено тождество. Умножим это тождество скалярно [см. (15.3)] на некоторую функцию р(г, й)>0:
([А—В]ф, p) = (Q, р).	(18.2)
* Из ссылок на отдельные формулы § 15 не следует, что предварительное изучение § 15 обязательно.
127
Если итерационный процесс (18.1) при данном п еще нельзя оборвать (разность ф<п>—(pf71-1) заметно отличается от нуля), то на рассматриваемом итерационном этапе функция ф<п), вообще говоря, не удовлетворяет равенству (18.2), так как она в этом случае подчиняется другому соотношению:	'
([A-B]?w, p) = (Q, /?)4-(B[cp(ra_1) — cp<ra,J, р).
Из последней формулы видно, что требуемое равенство (18.2) заведомо удовлетворяется только при п—-оо.
А если модифицировать итерационный процесс (18.1) таким образом, чтобы на каждом итерационном шаге выполнялось равенство (18.2)? Хочется думать, что этот прием «подстегнет» итерационный процесс и ускорит его сходимость.
После того как высказана общая идея, модификацию итерационного процесса уже легко придумать. Можно, например, полученную функцию ф<п)(г, £2) умножить на некоторую константу Сп, подобранную с таким расчетом, чтобы функция Cn<p(n)(r, й) удовлетворяла тождеству (18.2). В итоге приходим к следующему модифицированному процессу:
А?(га> = В^"-1» + Q;	(18.3)
где <р(п) следует рассматривать, как некоторый промежуточный результат, а
Cn = (Q, р)!№~Ъ]^, р).	(18.4)
В полученной формуле (Q, р) #=.0, так как р>0, а функция источников Q неотрицательна и не равна тождественно нулю. Следовательно, Сп=^б.
Хотя доказательство сходимости предложенного модифицированного процесса в общем случае не получено [|15], практическое применение алгоритма (18.3) в ряде случаев весьма эффективно.
Замечание 1. Для вычисления коэффициента Сп используется, прежде всего, уже найденная функция А<р(га), равная	+Q [см. (18.3)]. Вычисле-
ние второй функции Ву(”) «не пропадает даром», так как величина В<р(”), необходимая для выполнения следующего итерационного шага, определяется по фор-чмуле B<f>(”) =CnBy(”).
^Замечание 2. Используя первое из равенств (18.3), нетрудно полу-ить для Сп следующую формулу:
1+ (В [?")-?("-»)], />)
(Q, р)_ (В [7(«)-?("-Ч], р) '
(18.5)
Оценим в этом выражении скалярное произведение (В (<?(”>—<p(rt—1)], р). Полагая, что <р есть точное решение задачи (15.5), обозначим е(п) =<р—^(я); е(га) — = <р— <р(п). Вычитая первое равенство (18.3) из (15.5), получаем
Ае(га) = Bs(«->) или е(га) = A_,Bs(n-->).
128
С учетом оценки (15.16) имеем
Отсюда
||7(«)||<цв(«->)||.
||^(П) — ?(л-1)||, = ||.(''-’) —7('')||<|[е('’-‘)|| +||е(«)|| <2 ||»<»-»)||.
Наконец, с использованием неравенств Коши— Буияковского « ||В||«С1 (см. § 15) находим оценку скалярного произведения
|(В [^) -	- •)], р) | < ||В (?Ъ) - ¥(«- 0)|| • ||р|| <
<||В|1-|1р1Н1?(п) - ?(ra-l>ll <2
В случае сходящегося итерационного процесса (18.3) ||е<п>||—>-0 при п—>-<ю. В соответствии с полученной цепочкой неравенств это означает, что скалярное произведение (ВЦ<р<п>—ф1"-1’], р)—И). Поскольку (Q, р}=£0, то из формулы (18.5) следует, что Сп—»-1 при п—ьоо. Последний результат позволяет в известной степени следить за итерационным процессом: в любом случае его не следует обрывать, пока Сп «заметно отличается от единицы».
Наконец, полезно обратить внимание еще на одну деталь. А именно: по мере приближения параметра Сп к единице все слабее «срабатывает» второе уравнение (18.3). Это означает, что с ростом п модифицированный процесс постепенно становится почти эквивалентным итерационному алгоритму (18.1). Другими словами, модифицированный процесс (Г8.3) наиболее эффективен на первых итерациях, что позволяет быстро получить «в общих чертах» нейтронное поле. В последующих итерациях (при С„=к1) начинается уже более медленная «шлифовка» этого поля. Кстати, такой характер сходимости присущ и некоторым другим итерационным ^методам, например методу минимальных невязок [33, 22].
Р^смотрим теперь важный частный случай, когда р==1. Выпишем с необходимыми преобразованиями каждый из элементов равенства (18.2):
(Аф,р)= JdV f dQ(fiV? + 2?) = f	f + f d&\
v	v	J V
Преобразуя второе слагаемое по формуле Гаусса—Остроградского, получаем
(А®, р) = ( SdV (	( dQ § ЙПф^З.
v •	s
С учетом граничного условия (г®, Q)sO при йп^О находим окончательно
(Аф, p) = js(r)dvj?(r,	j Йпф(г, O)dQ.
второй элемент равенства (18.2) принимает соответственно вид
(Вф, />) = { dV Jss(r)dQjg(r, йй')ф(г, Si')dQ' =
v !Я
= J (r) dV Г ф (г, О')dQ.' f g (г, 00') dQ, v
9—301
129
или с учетом нормировочного равенства (10.8)
(By, р) = J (г) dV j (г ,Й) dQ.
v
Убедившись, что
(Q, р) = [ dV f q (г, Й) dQ, v J
перепишем, наконец, равенство (18.2) в развернутой форме:
[2a(r)dV J ?(г, J})dQ + <5>dS J Йп?(г, Q)dQ = JdvJ<7(r, Q)dQ.
V	s nft^O	V
(18.6)
Полученное равенство означает: в стационарном режиме за единицу времени полное число нейтронов, поглощенных в среде и вылетевших за ее пределы, равно числу нейтронов, генерируемых источником. Таким образом, равенство (18.6) представляет собой запись физического баланса нейтронов, а модифицированный итерационный процесс (18.3) сводится (в случае р=1) к тому, что на каждом итерационном шаге мы искусственно добиваемся выполнения физического баланса частиц. Последние слова полностью раскрывают смысл названия данного параграфа.
§ 19. МЕТОД РАСЩЕПЛЕНИЯ *
В широком смысле под термином метод расщепления можно понимать любой математический прием, позволяющий сложную задачу «расщепить» на ряд более простых, последовательное решение которых приводит в итоге к решению исходной задачи. С этой точки зрения, метод прогонки, рассмотренный в § 13, является методом расщепления уравнения (13.26) на более простые уравнения (13.29) и (13.30).
В настоящем параграфе рассматривается некий итерационный метод решения стационарного уравнения переноса, где на каждом итерационном шаге расщепляется интегро-дифференциальный оператор. Иллюстрацию метода проведем на простейшем уравнении (10.23) с граничными условиями
|j.<p(0, (ь) = 0, р.^0;	р.) = 0, р.<0.	(19.1)
Условия (19.1) означают, что ни одна из граней пластины конечной толщины Н, помещенной в пустоту, не облучается извне. Если область 0^z^/7 состоит из сред с разными физическими свойствами, то на границе раздела таких сред должны быть соблюдены условия (10.19).
* По просьбе автора § 19 и 20 написаны В. В. Пененко. Автор внес некоторые (несущественные) Изменения в оригинал, чтобы увязать стиль текста В. В. Пененко с общим стилем книги. Дополнительно автор описал метод поиска итерационного параметра т, а также несколько изменил разностную модель.
130
Для того чтобы естественным образом прийти к сформулированной ниже итерационной схеме (19.7), воспользуемся известным приемом замены стационарного уравнения (10.23) нестационарным:

(19.2)
где
1
= —-у- E = 2s4-2a-
—1
Из физических соображений совершенно ясно, что при стационарных граничных условиях (19.1) и стационарно функционирующем источнике нейтронов q(z, ц) решение уравнения (19.2) при £->оо должно выйти на асимптотический стационарный режим с любого начального распределения. Поскольку в этом случае в уравнении (19.2) d(p/dt обратится в нуль, полученное асимптотическое решение и будет решением задачи (10.23), (19.1). (Подробнее по этому вопросу см., например, [22, 34].)
Итак, допустим, что решение задачи (19.2), (19.1) при /->оо является решением стационарной задачи (10.23), (19.1). Для упрощения уравнения (19.2) аппроксимируем его разностным уравнением по переменной t по следующей неявной схеме [22, 34]:

(19.3)
где
fW = ?(z, fX, tn}-	Л = Л, + Л2.
После простейших тождественных преобразований уравнение (19.3) принимает вид
(I + г„Л) (<р<«+’ > - Т<">) = - 2г„ (Л?<я> - q),	(19.4)
где I — тождественный оператор; тп = аЛ^п/2.
Если бы в уравнении (19.4) нам удалось сложный оператор 1+тпЛ представить в виде произведения более простых операторов, то основные трудности определения искомой функции фп+1 из уравнения (19.4) снялись бы [см. ниже уравнение (19.7), систему (19.11) и далее по тексту]. Попытки осуществить эту процедуру на основе тождественных операторных преобразований не приводят к желаемому результату, в то время как приближенными приемами это сделать совсем несложно. Для этого оператор 1+тпЛ представим формально в виде
HvV-(I+V4) (1+ъА) - <ЛгЛ,. (19.5)
Полученное операторное тождество может интересовать нас, как это будет видно из дальнейшего, только на классе функции 3) (19.8). Легко убедиться, что на этом классе функций как левая 9*	131
часть тождества (19.5), так и каждое слагаемое правой части имеют смысл.
С использованием тождества (19.5) уравнение (19.4) можно переписать в виде
(I-НА) (1+^л.) (?<«+*) - ?(«)) - <лл (?("+’) - ?(")) =
= -2t„(A¥W-?).	(19.6)
Сделаем сейчас, вообще говоря, необоснованное предположение, что при тп->0 в левой части последнего уравнения можно пренебречь вторым слагаемым с малым скалярным множителем т2п (этот акт был бы строго обоснован, если бы оператор Л2Л1 в классе 3) был ограниченным [26]). Тогда уравнение (19.6) можно переписать в желаемом виде:
(I + ^Л2)(I + VU^п+1} ~ ¥<">) = - 2т„(Л?Р) - ?).	(19.7)
А теперь обратим внимание читателя на следующую любопытную деталь: высказанное выше необоснованное предположение и сопутствующее ему требование малости параметра т2п фактически можно игнорировать! Все дело в том, что на уравнение (19.7) можно смотреть теперь как на некий формальный итерационный процесс, не увязывая его больше с уравнением (19.4), а значит, и с уравнением (19.2). Если итерационный процесс (19.7) сходится к решению задачи (10.23), (19.1), то совершенно безразлично, следует закон приближения ф<п> к искомой функции ф закону, даваемому нестационарным уравнением (19.2), или нет — важен только окончательный результат!
Конечно, можно было бы сразу формально определить итерационный процесс формулой (19.7) (как это часто и делают) и доказать его сходимость к искомой функции, но тогда для многих «неискушенных» читателей такой путь показался бы неестественным.
В отличие от вошедших уже в монографии [2—4]i методов предыдущих параграфов излагаемый метод расщепления сравнительно нов и потому менее известен. В силу этого нам представляется целесообразным изложить его со всеми необходимыми обоснованиями, приведенными в § 20.
Для дальнейших целей введем следующие обозначения:
G = {-Kp.<l;	]
L2 (G) — пространство суммируемых с квадратом функций в области G;	I
S) —класс функций {<р}, удовлетворяющих граничным условиям (19.4), а также требованиям <p€E42(G), &(<?)•
(19.8)
В § 20 доказана сходимость итерационного процесса (19.7) по норме пространства 42(G) к решению задачи (10.23), (19.1) при некоторых (достаточных) условиях, которые мы сейчас сформулируем.
132
Если сечения рассеяния и захвата 2S, 2а как функции перемен- . ной г в интервале O^z^H кусочно-непрерывны и ограничены следующим образом:
0<(г)<Sj<-]-оо; 0<а,<(г)<а,<-|-(19.9)
параметр тп представляет собой невозрастающую функцию целочисленного аргумента п и не выходит за пределы некоторого произвольного, но фиксированного конечного интервала:
0<7'о^Тп^7’1< + оо,	(19.10)
и q(z, p)eZ.2(G), то итерационный процесс (19.7) сходится к решению уравнения (10.23) в классе функций 3).
Обратимся теперь к схеме реализации итерационного процесса
(19.7). Введем обозначения
а ("+»> == ?(«+') _ ?(«);	= (I^Л,)a("+I).
Тогда (19.7) можно переписать в виде следующей системы:
(I4-xJVs)8(',+,)=2t^7W;
(1+тлЛ1)«(Л+,)=₽(,,+*>; •
(19.11)
где F(”)=— (Лф(п>—q) — невязка итерационного процесса. Таким образом, уравнение (19.7) оказалось расщепленным на более простые уравнения (19.11).
Рассмотрим теперь последовательно алгоритмы решения каждого из уравнений системы (19.11). Перепишем первое уравнение этой системы подробнее:
/ \
Ъг I _ А С j=2t/(n), 4 -1 '
(19.12)
и проинтегрируем его по р. В результате получим (используя равенство 2=2s+Sa):
(1+^Ей)^+1) = 2^п),	(19.13)
где
(19.14)
Определяя из равенства (19.13) и подставляя его в уравнение (19.12), находим
После того как функция <р<п+9(г, р) найдена, приступаем к решению второго уравнения системы (19.11), которое представляет 133
(19.16)
собой обыкновенное линейное дифференциальное уравнение первого порядка по переменной z, параметрически зависящее от ц:
(19.15)
Решение этого уравнения при р,=?^0 ищем при условиях [см. (19-1)]:
ца(/7, р) = 0, если р<0;
рл (0, р.) = 0, если р.^=0.
При р=0 из уравнения (19.15) сразу получаем искомое решение а('г+*)(г, 0) = ^"+*) (z, 0),
причем функция a(n+1)(z, 0) удовлетворяет каждому из условий (19.16).
Наконец, из третьего уравнения в (19.11) получаем функцию <p(n+1)(z, р), которая, как и функция cp(n)(z, ц), в силу условий (19.16) удовлетворяет граничным условиям (19.1).
Далее, на следующем итерационном шаге, весь цикл (19.11) повторяется и т. д.
Выбор итерационного параметра тп может быть выполнен различными способами, лишь бы они обеспечивали монотонный характер изменения тп и его ограниченность вида (19.10). В частности, можно положить
=const =1/2„ s,= sup S(z).
В работе [35] предлагается «извлекать» параметр тп из достаточно простой приближенной задачи (например, из диффузионной) . На этом пути можно получить
- const = 1 /а,, а, = sup 2а (z).
Если qp(z, ц) (хотя бы грубо) описывается диффузионной моделью (а такой факт может быть известен a priori), то второй вариант для тп может обеспечить существенно более быструю сходимость итерационного процесса. Обоснование указанных двух вариантов выбора тп дается в следующем параграфе. Наконец, эффективный выбор параметра тп, зависящего от номера итерационного шага, можно выполнить с использованием метода минимальных невязок [22, 33], Следует, однако, оговориться, что метод минимальных невязок предполагает несколько иную конструкцию итерационного процесса, чем (19.7), а именно:
(I + овЛ2) (I -НА) (?<»+’> - ?(“)) - - 2т„	- q).
В этом уравнении параметр о„ принимают, например, равным Тп—1, а тп подбирают с таким расчетом, чтобы минимизировать норму (см. § 20) невязки Яп+1)(з, ц) [22].
134
Для численной реализации метода расщепления на каждый из промежутков —1^ц^1,	наносят сетку узлов. Интегралы
(19.14) аппроксимируют подходяще выбранной квадратурной формулой, а решение дифференциального уравнения первого порядка (19.15) (непрерывное на границах раздела сред с разными свойствами) находят с помощью хорошо известных конечно-разностных схем. В соответствии с граничными условиями (19.16) счет по любой конечно-разностной схеме нужно вести в сторону возрастания координаты z при ц>0 и в противоположном направлении — при р,<0. Сейчас мы опишем одну из таких схем, обеспечивающую устойчивость вычислений и сохраняющую важнейшие качества операторов исходной задачи.
Разобьем промежуток —l^p^l на четное число равных интервалов. Середину каждого из таких интервалов примем за узел сетки по угловой переменной. Условимся отмечать отрицательными индексами узлы, отвечающие отрицательным значениям ц, и положительными индексами — положительным значениям ц. Таким образом, нумерация узлов на промежутке —1 sCjisC 1 будет следующей:
—/о, —/о+	—2, —1, 1, 2, ..., /о—1, /о»
и, следовательно,
|lj= |Л— j.
На промежуток О^з^Я нанесем, вообще говоря, произвольную сетку узлов
Zo=O<Zi<z2< . ..	1<£к=Я.	(19.17)
Сетку (19.17) всегда можно построить так, чтобы контактирующие границы сред с разными физическими свойствами приходились на ее узлы. Это требование впредь считаем выполненным. Наконец (очень важная деталь!), пара индексов k, j в символе любой двумерно-сеточной функции ак, впредь означает следующее соответствие точкам сетки:
л(гА, И/), если />0;
k, /\	' ’
\(zk_u Н/). если /<0.
Разностные операторы обозначим прежними символами Aj и Л2. Положим
(Л.?)*/
¥Ы-1, / — fkj hk
i<0;
(19.19)
(A1?)ft/ = Sft?ft/-^-(Ss)ft £	(19.20)
135
где	k=l, 2,..., N; j—± 1.......... ±	j0,
Aft=zft-2ft_,; Д|х=1//.; 2ft’=E (zft_I/2); (EJft = Es(zft_I/2); zft-i/2==(2*-I+zfe)/2- В формулах (19.19) нужно считать <роУ = = |?я+1,/ — 0 — это следует из граничных условий (19.1) и индексной схемы (19.18).
В разностном варианте детальная запись алгоритма (19.11) имеет следующий вид:
, .	/о
=-(Л.ч}(Я))^-(Ла?(Я))А/+^/; F{kn}=^ 2
i=-h
о(л4-1) _ 2тя Г (ДО^	г(«) I г(л)]
Р*' l+T„Sft L 2 (1 + (S0)ftx„) rk 1~rft/J’
a(n-f-l) _____J____ /Ip-zI	(«4-1) i о(я4~1)У
ft/- . -• 1 + hx/^/M hk k-WH.i -TPki }'
^(n+I) _ ^(«) I a(«+l); kj	k[ * k[
где	k — 1, 2,..., N; j— ± 1,..., ±/,;
^ki = 4(.zk-i/2’ Iх/)’ (^a)ft = 2ft ~ (^s)ft’	= aN+l, j = 0-
Мы рассмотрели метод расщепления для решения уравнения переноса простейшего вида (10.23). Применение этого метода для более сложных форм уравнения переноса можно найти в работах [34, 36, 37]!.
Формальным описанием принципа расщепления мы завершили знакомство с некоторыми приближенными методами, которые, разумеется, далеко не исчерпывают всего арсенала методов решения односкоростного уравнения переноса. Из опущенных методов в первую очередь следует назвать вариационные методы и методы Монте-Карло, с которыми читатель может познакомиться в работах [27, 38—40].
§ 20. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБОСНОВАНИЕ МЕТОДА РАСЩЕПЛЕНИЯ
Некоторые формулировки и доказательства настоящего параграфа (например, лемма 3 и ее доказательство) в какой-то степени дублируют материал § 15. Мы идем сознательно на такие повторения, чтобы читатель мог знакомиться с любым из этих параграфов независимо.
Покажем, что итерационный процесс (19.7), который можно переписать еще и в таком виде:
(I + V4) (I + т„Л,) ?(П+’> = (I - ’А) (I - г„Л,) ¥(Я) + 2^</, (20.1) сходится к решению задачи (10.23), (19.1) на классе функций 3) [см. (19.8)],, если соблюдены достаточные условия (19.9) и (19.10). Описанная в § 19 итерационная процедура связана с процессом разрешения уравнения (19.7) [или эквивалентного ему 136
уравнения (20.1)] относительно функции ф<п+’). Фактически это сводится к обращению операторов I+ТпЛг н I+ТпЛь Наша задача сейчас состоит в том, чтобы доказать существование операторов (И-ТпЛг)-1 и (1+тпЛ1)-1 и выявить некоторые их свойства.
Установим сначала основные свойства операторов Ai и Аг- Для проведения доказательств придется иметь дело со скалярным произведением в пространстве L2(G), а также с нормами элемента и оператора в этом пространстве. Вот эти определения:
1 н
(<р, ф)= jt/р, J dzyty; ||<р||г = (<р, <р); ||А||г — sup(A% А<р)/|[<р|[г-—1 о
Оператор А будем называть положительным на множестве М, если для любого отличного от нуля элемента	имеем
(А<р, ф) >0. Оператор А будем называть положительно определенным иа М, если (Аф, ф)^с||ф||2 (с>0) для всех феМ.
Лемма 1. Оператор Aj является положительным на классе функций 3).
Доказательство. Пусть фе<2). Тогда
1 н	1 н
(Л>?. ?)= —го	-10
 1	о
J (Н, р.) dp — J рфг (0, р.) dp
-о	—1
что и требовалось доказать.
Лемма 2. Оператор Аг является положительно определенном в пространстве L2(G).
Доказательство.
1 н
(* 2J Г
I ¥ — I -f-
—1	о
На основе неравенства Коши — Буняковского можно записать следующую цепочку неравенств:
137
Отсюда [с использованием ограничений (19.9)] получаем требуемый результат:
hi	н 1
(Л2<р, <р) > С Sdz J <padp. — § Ssdz J
0—1	0—1
н	i
= C £adz J <p2dp. > a, (<p, <p) = a, II <P Ji2. 0	—1
Лемма 3. Оператор (I-HA)-1 (т>0) существует и ограничен из пространства L2(G) в 3).
Доказательство. Пусть Тогда в силу определения класса Si (19.8) элемент (I -1~ тЛ,) <р принадлежит пространству L,(G). Пусть операция ф = (1-]-тЛ1)ф переводит Si в некоторое множество AfQL2(G). Поскольку
|| (I +гЛ,)< = |)<+2г(Л1?, (р)+т2||Л](?1|2>й||2, (20.2) то на основании теоремы о существовании линейного обратного оператора [26] заключаем, что из М в 3) существует линейный обратный оператор (1+тЛ1)-1, причем || (1+тЛ1)~Ч1^ 1- Оператор (1+тЛ1)_1 в нашем частном случае легко выписывается аналитически, откуда сразу'1 видно, что Л4 —£2(G), т. е. (1+тЛ1)_! переводит L2(G) в 3>. Этот же результат следует непосредственно из работы [27].
Аналогично доказывается
Лемма 4. Оператор (I-f-тЛг)-1 (т>0) существует и ограничен в пространстве L2(G).
В силу лемм 3 и 4 уравнение (20.1) можно переписать в виде
Г*’’ = КЯ<Р<"> +gn,	(20.3)
где
К„ - (1+sA)-’ (I + *A)-’d - *А) (I - «А);
gn=А (I + •« А)"1 (I + ’А)" ’ я-
Нетрудно видеть, что gn(=Si. В самом деле, по условию q€^L2(G). Оператор (1-|-т;„Лг)_’ по лемме 4 переводит q в £2(G): П + -(-ТА)-1? — ФСЬДС). Далее, элемент ф оператором (I-J-n^A,)-’ согласно лемме 3 переводится в класс £0: (1-|-т„Л1)~’ф = <р^й1. Следовательно, gn = 2тп<р£&.
Точно такими же рассуждениями устанавливаем, что оператор к„ переводит любой элемент из класса Si снова в класс £0: КЯ(®)С®. Кроме того, очевидно, что К„ — линейный оператор. Теперь из равенства (20.3) непосредственно следует, что при <р<")(=й5 и ?^£г(д).
Перейдем, наконец, к заключительному этапу наших рассуждений — к доказательству сходимости итерационного процесса 138
(20.3).	Пусть — решение уравнения (10.23) (существование которого мы будем предполагать):
Лф=^,	Л=Л1~|-Л2.
Введем в рассмотрение погрешность е(п):
g(n)=cp—ф(п).	(20.4)
Из (20.4) и (20.1) легко получить уравнение для погрешности:
(I + т„л2) (14- эА) 8(n+,) = И - ’А) (I - *А) 8(П) или
*	s(B+1)=KBs<">.
Если бы удалось оценить норму оператора Ки и если бы при этом оказалось, что 11Кп11^0<1 (n=0, 1, 2, ...), то отсюда следовал бы факт сходимости итерационного процесса (20.3). Однако-найти такую оценку для IIKnll весьма непросто. Это обстоятельство вынуждает нас предпринять некий обходный маневр, в результате которого дело сводится к сравнительно легко реализуемой оценке нормы некоторого другого оператора Ри. Начнем со следующей цепочки тождеств:
||(1 + ««„Л,) е<в+’>11	||(1 +VM К„е(га)|| - ||(1 + SA)' ’ X
Х(1 - эА) (I - т„Л,) sni 1,(1 + <Д)-‘ (I - ТА») (I - T„AJX
х (I+эЛ)-1 (I+’А.) II -1Р» (1+ъА) 8(П)1|,	(20.5)
где
р„	(I+V4) -1 (I - vM (I -’АО (I+’АО 
Дальнейшее преобразование тождества (20.5) будет опираться на следующее замечание:
.если	и то ||(I-|-'t'A1)<pi|<||(I-|-'t"A1)<p||. (20.6)
Неравенство (20.6) является прямым следствием формул (20.2) и леммы 1 данного параграфа. Тождество (20.5) с учетом монотонного характера изменения параметра тп (см. § 19) и неравенства (20.6) порождает цепочку неравенств
(|(1+ъА) 8 <"+’> II < 1|Р„|1 • lid+’АО 8<B> I! < ЦР„11  11(1+А) в II-Ниже показано, что
||РП(|<0< 1, n = 0, 1, 2,...,	(20.7)
откуда следует
11(1 + ’АО 8(В+1) II <011(1-И»- АО 8(В)11 < 92 II (I + 'п- А) е<"- ” II <<
<6и||(1 + %Л!)е(>)||.	(20.8)
Из неравенств (20.2) и (20.8) получаем
||е(”+,)1) < НО + ’АО 8<B+t)|l < в” lid + ’АО 8(1>II•
139
В силу того что 6<1, из полученного неравенства следует lim |[e<">j] = O, т. е. || <р —	—>0,
д->оо
что и доказывает сходимость итерационного процесса.
В заключение осталось восполнить пробел в доказательстве, а именно обосновать оценку (20.7). Для оценки ||РП|| используем неравенство
||Р„|| - ||(1 + гЛ)-’ (I - т„Л8) II • 11(1 - V4 (I + г„л,)-‘||.
Докажем далее два наравенства:
||(1 + т„Лг)-*(1-т„Лг)|1<9< 1;
||(1 - г„Л1)(1 + ^Л1)’,|1<1-
(20.9)
(20.10)
Для доказательства неравенства (20.9) воспользуемся тем обстоятельством, что операторы (1+ТпЛ2)-1 и (I—тпЛ2) перестановочны между собой. Убеждаемся прежде всего в том, что поочередное применение операторов (1+тпЛ2)-1 и (I—тпЛ2) к произвольному элементу из Л2(б) допустимо в любом порядке. Если ip^L2(G), то имеем
(I + тяЛ2)~* (I - V4) Ф = (I + гЛ)"1 [21 - (I + ъЛ)] Ф = ^га+г^-Ф-а+^-’о+^Ф^за+тА)-^-
- (I + т„Лг) (I + *А) -1 ф = [21 - (I + г„Л,)] (I + ъА)"1Ф = = (1 — тяЛ2) (1-)-тяЛ2)“‘ф,
что и доказывает перестановочность операторов.
Итак, теперь оценим норму
||(i-xA)(i+v4)-,ll =
sup
Фе1» «?)
Ф^о
((I—тяЛа) (1 + т„Лг)-1Ф, (1— тяЛа) (I+t„A2)-4)
(Ф, Ф)
Обозначим (1Д-T„A2)'^|< = <pgL2(G). Тогда предыдущее равенство примет вид
11(1- V4)(I + 'VkT,||= sup 4>eL« <G> <₽^o
((/— хяЛ2) у, (1 —хяЛа)<р) ((1 +	?, (I + traAa) ?)
_ _.1П |1?11г — 2тя(Ла<р, <р) + тгя || Ла<р ||г _ (G) П?11“ + 2'я (М- ?) + ИМИ2
е^0
___	1 — 2тя (Ла<р, <?)/||<р1|г + хгп I|Лгу|Iа/1 |у|Г ?еД(С) 1 +2гя(Ла?, ?)/||Т||г+тгя||Ла¥||г/||?Ц2
Срд^О
140
Оценим правую часть полученного равенства. Прежде всего напомним, что доказательство леммы 2 завершалось неравенством
(Л,?,
(20.11)
Ниже показано [см. (20.12)], что отношение ||Л2ф112/||ф||2 ограничено сверху, а, по определению, точная верхняя граница этого отношения есть ||Л2||2, так что
В итоге получаем
|'(I-t„As)(I + v4)-1|1<
<(1 -27A + rj!A2||s)/(l+2rA + r\l|AJ|s) = 0< 1,
где То и Т1 — границы изменения параметра тп (19.10); йо —оценочная константа из неравенств (19.9).
Докажем теперь неравенство (20.10):
i!(i -
< sup со
фт&О
((I—(I-TaAQ	Ф)
(Ф, Ф)
Обозначим (14-'сгаЛ1)_,ф = ф. На основании леммы 3 заключаем что фЕЕ® при любом ф^Т2(0). Предыдущее равенство перепишем
в виде
||(1 - т„л,) (I + т„л2) - = sup tea <рэ*о
((I —т„Ад)у, (I—ТдАОу) __ ((1+тяЛ,)?, (1 + тчЛ1)?)
чип llfll2 — 2тп (Л1?, ?) + ~гга II At<? ||2 11911s + 2тп (Aw, 9)-)-t2„||AwII2
<f^0
поскольку (Л.ф, <р)>0 на элементах <р из класса ® (см. лемму 1).
Таким образом, неравенства (20.9) и (20.10) доказаны, а следовательно, доказано и неравенство (20.7), чем и завершается доказательство сходимости итерационного процесса (19.7) по норме пространства L2(G).
Покажем теперь, как вывести формулы для итерационного параметра тп, предложенные в § 19. Если говорить о принципиальной постановке задачи, то она предельно ясна — нужно так подобрать этот параметр, чтобы норма введенного выше оператора Рп была минимальной. В такой постановке задача слишком сложна, а потому постараемся сделать возможно меньшей оценочную константу 0(тп) в неравенстве (20.7). Напомним, что эта константа появляется из неравенства (20.9).
141
Получим необходимую в дальнейшем оценку ИЛгфН:
н	1	/	1 V
||Лг<р||2 — (Лг<р, Лг<р) = fdz fdpJsp —	J <рсф. I ~
о -1	'	-1	'
И	1	Н	/ 1	\«
= Js2dz J<p2dp.- JdzS^S— O—l	О	—1
Н	1
<fs2Jz J?2a'fi.<S2o0?||2.	(20.12)
о	—1
Введем обозначения
/?(?) = (Лг<р, ?)/1Мг; q (?) = Ц Лгр II7II? ]|=.
Из (20.11) и (20.12) следуют оценки
Р^а-, q{<f)<T9.	(20.13)
Полученное ранее представление для || (I—тЛ2) (1 + тЛ2)'-1Н теперь можно переписать в виде*
||(1—'сЛг)(1 + 'сЛг)-,||= sup Ф(<р, т), ;cls (G)
где
ф (?. ’') = [!— %*Р (?) + ^q (?)]/[ 1 + 2тд (ср) 4- Jq (ср)].
Так как дФ/др^.0 (при т^О), то на основе первой из оценок (20.13) получим
1 — 2то0 +^г<?(?) _ г ,	.
1 +2тл0 +'г<7 (?)	(?’ )’
Легко убедиться, что dG/dq^Q. Этот результат плюс вторая из оценок (20.13) означают, что при любом т>0
Ф(<р,
Подберем такое т>0, которое минимизирует функцию 0(т) на 0<т<оо. Из условия 8/(т)=0 находим нужное To=1/Sq. Как легко убедиться, 0"(то)>О, что означает наличие именно минимума функции 0(т) в найденной точке.
Итак, поставленная задача решена. Отметим попутно, что при т0=1 /So оценка в неравенстве (20.7) становится вполне конкретной:
llPJI<e=(So-a.)/(s.+a.).
* Итерационный параметр тп в предлагаемом варианте не зависит от индекса п, так что мы его опускаем.
14»
Теперь кратко остановимся на втором способе получения тп (с использованием диффузионной модели). Итак, пусть даже очень приближенно плотность потока нейтронов описывается уравнением (12.30) с соответствующими диффузионными граничными условиями. Обозначив
(20.14)
и повторив рассуждения § 19, приходим к схеме (19.7), Пересматривая, далее, содержание § 20 с операторами (20.14) и с (у, ф) =
н
= J ftpdz, мы получаем фактически все результаты этого параграфа, о
и только в (20.12) оценка окажется иной:
1|Лг<«Л||?||г-
В процессе оптимизации итерационного параметра находим т=1/а1. Таким образом, мы обосновали метод расщепления и указали несколько возможных вариантов выбора итерационного параметра в идеальных условиях, когда реализация алгоритма выполняется на основе точных операторов Ai и Ла. Несложно убедиться, что все наши выводы по обоснованию метода расщепления и выбору параметра т сохраняют силу и для приближенных операторов (19.19) и (19.20).
ГЛАВА 4
ОСНОВЫ МНОГОСКОРОСТНОЙ
ТЕОРИИ ПЕРЕНОСА
§ 21. УРАВНЕНИЕ ПЕРЕНОСА С УЧЕТОМ ЗАВИСИМОСТИ ПЛОТНОСТИ ПОТОКА НЕЙТРОНОВ ОТ СКОРОСТИ (ЭНЕРГИИ]
В изложенной односкоростной теории предполагалось, что все нейтроны обладают одной и той же энергией (т. е. модули скоростей всех нейтронов одинаковы). Между тем известно, что при реакции деления ядер испускаются нейтроны высоких энергий, которые затем замедляются в результате соударений с ядрами замедлителя*. Это обстоятельство имеет важное значение в теории реакторов, поскольку среднее расстояние по прямой, на которое смещается нейтрон в процессе замедления, связано с утечкой нейтронов из реактора и в конечном итоге имеет прямое отношение к критическим размерам реактора.
Давать вывод уравнения переноса с энергетической зависимостью столь же подробно, как это было сделано в § 10, нет необходимости, поскольку можно использовать многие результаты § 10. Более подробно осветим лишь те моменты, которые являются новыми по сравнению с § 10.
Расширим сейчас определение фазовой плотности нейтронов, сформулированное в § 10. Пусть F(AV, До, Дй, t)—количество нейтронов в объеме ДУ около некоторой точки г, абсолютные значения скоростей которых заключены в интервале (v, v+Av), а направления скоростей — в телесном угле Ай около некоторого направления О, и все это зафиксировано в момент времени t. Легко видеть, что F есть аддитивная функция области AG— =(ДУ, Av, Дй). Производная этой функции по области
.. д(дц, До. да, г)
X |ДУДоД2|
— n(r, v, S2, t)
называется фазовой плотностью нейтронов.
Фазовой плотностью потока нейтронов назовем теперь величину <р(г, v, О, t)—vn{r, v, О, t). Далее нам удобно будет пользоваться термином «пучок нейтронов (Дг>ДЙ)_, понимая под последним всю ту совокупность нейтронов, направления скоростей которых заключены в телесном угле Дй около направления О, а абсолютные значения скоростей —в интервале Av около значения V.
* Замедлителем в теории реакторов называют вещество, в котором нейтроны слабо поглощаются, а при рассеянии на его ядрах достаточно быстро теряют свою энергию (скорость).
144
Перейдем теперь к выводу уравнения переноса. Пусть имеется некоторая область Vo> заполненная нейтронами. Выделим внутри этой области произвольный объем V и будем вести наблюдение только за теми нейтронами из области V, которые принадлежат пучку (4o4Q)v Q.
Убыль нейтронов из рассматриваемого пучка за промежуток времени Д/ в объеме V выразится, как и в § 10, интегралом
ДоДЙД/ f [<p(r, v, Q, f)(£a + S,) + °V?(r. °, Q, Z)W- (21.1) й
Подсчитаем теперь прибыль нейтронов в наш пучок за время At в объеме V. Очевидно, что нейтроны могут прибывать в пучок (ДпДП)0 а из других пучков (До'ДЙ')о, гДе они претерпели рассеяние с изменением скорости с v' на v. Для математического выражения этого факта введем в рассмотрение вероятность того, что нейтрон, имевший до акта рассеяния скорость v', попадает после рассеяния в пучок (ДоДП)с Q. В изотропной среде эта вероятность Р, как и в односкоростном случае, зависит не от каждого из векторов Q и Я' в отдельности, а только от их скалярного-произведения р,0 = ЯЯ', т. е. P = P(v, v’, OQ'f Av, ДЙ)*. Обозначим g(v, и', ЯЯ') плотность этой вероятности:1
г , ОО') = limД2).	(21 -2>
Д2-»0
причем, по определению, должно выполняться следующее нормировочное соотношение:
Jdo§d£lg(v, v', ОЯ') = 1.	(21.3)
о
Теперь можно записать прибыль в пучок (ДоДЙ)„ а за время At в объеме V из всех других пучков в результате рассеяния в них:
AvAQAt JdV J do' JdQ'Ss(o') <p (r, v', q', t)g(v, v’, я»').	(21.4)
Прибыль в данный пучок может быть обусловлена также реакцией деления ядер некоторых изотопов урана, плутония, которые могут находиться в изучаемой среде. Для простоты положим, что-в среде находится только один делящийся изотоп. Обозначим v(v') среднее число вторичных нейтронов на один акт деления, вызванного в горючем нейтроном со скоростью o'= |v'|. Аналогично случаю рассеяния процесс деления можно охарактеризовать веро
* Во всех функциях, отражающих свойства материальной среды, мы будем впредь опускать аргумент г.	'
10—301	145-
ятностью того, что в результате захвата делящимся изотопом .нейтрона с параметрами v', Q' высвободившийся вторичный нейтрон деления окажется принадлежащим пучку (ДоДЙ)о Как показывает эксперимент, угловое распределение нейтронов деления сферически-изотропно, т. е. не зависит от угла между векторами Q и £Г. Обозначая плотность этой вероятности Х(о, v') /4л, можно в следующем виде записать прибыль в пучок (ДоД£2)о Q за счет реакции деления:
ДоДЙД/-^- (dV ^dv'v(v')Y,f(v')y (v, o') JdQ'<p(r, o', я', t). (21.5) v о
Наконец, прибыль в данный пучок может быть обусловлена •функционированием постороннего источника нейтронов плотностью q (г, о, Q, t). Вклад этого источника в пучок выразится интегралом
LvLQLt q (г, о, я, t)dV.	(21.6)
v
Составляя из выражений (21.1), (21.4) — (21.6) баланс нейтронов и повторяя такие же преобразования, как в § 10, приходим к уравнению переноса нейтронов для многоскоростных процессов:
J fo(r, р. Я, 0|й^у(Г| й /)_[_Е(У)Т(Г) Vt Q> t) =
ОО
= J Zs(v')dv' J g(v, v', яа')<р(г, o', a', Z)dQ'-|-
+J v(o') E? (o') x(o, v')dv' J <p (r, o', ®r, t)dQ' -]-q (r, 0, Q, t),
0
(21-7) тде
E (0) = Es (0) + Ea (0) =	(0) + Ef;(o) + Ec (0).
Граничные условия (10.14) и (10.15) для односкоростногс уравнения остаются справедливыми и для уравнения (21.7)—по является лишь дополнительная параметрическая зависимость с скорости. Итак, на границе раздела сред имеем
ЯП'р (rs — 0, о, я, /) = Qn<p(rs-|-0, о, я, t).	(21.
‘Соответственно на границе с вакуумом
Я1ир(г5, о, я, t) = 0 при яп<0.	(21.9)
Разумеется, в тех случаях, где это необходимо, предполагаем заданным начальное условие
<р(г, о, я, tt) — f(r, о, я)	(21.10)
(f — известная функция).
146
Формулировкой задачи (21.7) — (21.10) подведена математическая основа под многочисленные физические явления, так или иначе связанные с процессами взаимодействия нейтронов с веществом. В частности, задача (21.7) — (21.10) охватывает описанные в общих словах в гл. 1 лавинные, затухающие и стационарные самоподдерживающиеся процессы.
Остановимся более подробно на последнем из перечисленных процессов. Математически это означает, что в некоторой ограниченной области V (в пределах которой Sy=£O) должно существовать отличное от нуля положительное решение однородного стационарного уравнения
QVf + S? = J W)dv' f g(y, v', QQ')<p(r, v’, Q')dO,’ + о 00
J v(n')2f (и')х(и, v')dv' j <p(r, V, a')dQ',	(21.11)
подчиненное однородным условиям (21.8), (21.9).
Из теории однородных краевых задач известно, что в общем случае уравнение (21.11) с условиями (21.8), (21.9) имеет только нулевое решение — нетривиальное решение может существовать только при каких-то «удачных» сочетаниях параметров задачи (геометрические размеры активной зоны, концентрация горючего и т. п.). Такие «удачные» сочетания параметров заранее исследователю неизвестны, а потому их поиск (или поиск одного параметра при заданных остальных) является одним из элементов решения задачи (21.11), (21.8), (21.9). Этот поиск удобно организовать на основе разного рода задач на собственные значения. Пример такой задачи — приводимое ниже уравнение (с собственным значением X) в комбинации с условиями (21.8), (21.9):
+ s? — J ^s(v’)dv' у g(и, и', QQ')<p(r, и’, a')d£l' =
="5t J v(u') (и') X (и> u')dv' <p(r, v', Q')d£2'.	(21.12)
о
В работах [41—43], при достаточно общих предположениях доказано, что наименьшее по модулю собственное значение к= = Х0— положительное число, а отвечающая ему собственная функция всюду положительна и единственна. Принимая во внимание высказанное утверждение, попытаемся вникнуть в физический смысл сформулированной задачи.
Предположим, что Хо оказалось в точности равно единице. При этом значении Хо уравнение (21.12) тождественно уравнению (21.11). А это значит, что параметры задачи (21.11), (21.8), (21.9) случайно оказались критическими, обеспечивающими стационарный самоподдерживающийся режим, причем плотность по-10*	147
тока нейтронов, согласно высказанному утверждению, будет положительной функцией.
Пусть теперь л&>1. Представим себе на минуту, что мы в силах менять физическую природу делящегося вещества, например в силах увеличить в 7.о раз выход вторичных нейтронов v(y) на один акт деления. А теперь подчеркнем, что на уравнение (21.12) можно смотреть как на тождество, если в роли % выступает Хо, а <р (г, v, П)>0— положительная собственная функция, соответствующая собственному значению %0. Это тождество не изменится, если л& заменить единицей, a v(y') заменить v3(j>(v') =%ov(v')- Но в этом последнем варианте тождество отвечает стационарному самоподдерживающемуся режиму со средним выходом вторичных нейтронов тэф(о'), который волей нашего воображения увеличен в Ло раз против истинного. Совершенно ясно, что в реальных условиях процесс может быть только затухающим: заниженный до нормальной величины выход нейтронов деления уже не компенсирует потерь нейтронов.
Наконец, Хо<1 соответствует случаю, когда искусственно следует уменьшить число нейтронов, возникающих в результате деления [уэф(у) =Aov(v) <v(v)], чтобы обеспечить равновесие между потерей и воспроизводством нейтронов — в реальных условиях процесс будет лавинным.
Сформулируем теперь алгоритм поиска того или иного параметра исходной задачи (21.11), (21.8), (21.9), обеспечивающего стационарный ненулевой режим. Пусть таким параметром будет, например, радиус У? сферической активной зоны. Ясно, что каждому значению R отвечает свое наименьшее по модулю собственное значение %о=Хо(-/?) (ср. с Замечанием в конце § 9). Если кривая Ло=Х0(|/?) пересекает прямую линию Хо=1, то значение R, при котором это пересечение произошло, и есть искомый критический размер.
При решении задачи (21.12), (21.8), (21.9) обычно применяют так называемый метод итерации источников [3, 44]I:
оо
+ 2ф(П) — f (у') dv' J g (у, у', qq') X
Х?(Л)(г, у', Q')rf£' = Q(',’*)(r, у);	(21Л3^
= Q(«-«) (г, u)/Q(") (г, v),
где
ОО
Q(")(r, и) = J v(y') Sf (у')х(у, v')dv'^^ni (г, у', a')d£l'. о
Процесс (21.13) повторяют до тех пор, пока в пределах задан ной точности величина Л^п> не окажется константой. Исследова-ние сходимости метода итерации источников можно найти, например, в работе'[44].
448
Замечание. По установившейся традиции обычно предпочитают иметь дело не с Хо, а с величиной йЭф<= 1 /Хо, называемой эффективным коэффициентом размножения нейтронов. Очевидно, что йЭф<1 соответствует затухающему (подкритическому) режиму, £Эф=1—стационарному'(критическому) режиму, а йЭф> > 1 — лавинному (надкритическому) режиму.
Уравнение переноса (21.7) часто рассматривают в зависимости не от скорости нейтрона V, а от его энергии Е—v2/2 (масса нейтрона принята за единицу) или от так называемой летаргии и=\п(Е0/Е)=2 ln(uo/w), где (соответственно, и0= У2Е11) есть некоторое фиксированное значение энергии (скорости). При переходе к другой переменной целесообразно не просто произвести формальную замену переменной, но и перенормировать функции g, х, q на единичный интервал новой переменной*.
Поясним процедуру перенормировки на примере функции ф(г, v, й, t). Рассмотрим некоторый интервал скоростей Ди = = Pi—v0. В энергетической шкале этому интервалу однозначно соответствует интервал ДЕ=Е]—Ео, где E0=v2b/2, Ei = v2J2. Если под величиной Е(ДУ, ДЕ, ДЙ, t) понимать количество нейтронов в объеме ДУ около некоторой точки г, энергии которых заключены в интервале ДЕ=Е1—Ей, а направления скоростей — в телесном угле ДЙ около некоторого направления й, то эта величина, очевидно, равна введенной в начале этого параграфа величине Е(ДУ, Ди, Дй, if), если Ди=и1—и0=]/2Ё1 ~У2Ё\
Введя обозначение AG'—(ДУ, ДЕ, ДЙ), определим плотность нейтронов в энергетической шкале n(r, Е, Й, t) с помощью предела
п(г, Е, Q, t) — lim
AG-+0
Е(ДК, ДЕ, Д2, t) | ДУДЕДЭ|
G другой стороны, .. Е(ду, де, да, t) _ .. Е(дк, д», да, t) Д0“0 |Д7ДЕда| д0™ |дудцда|
т. е.
n(r, Е, Q, t) = n(r, v, а, 0
или
п(г, Е, О, t) | dE | = п (г, v, °, Z)|<fo|.
До
ДЁ ’
(21.14)
Из равенства (21.14) следует
n(r, Е, Q, t) = -L- п(г, v, Q, t).	(21.15)
Умножая обе части (21.15) на v, получаем
<?(г, Е, Q,	V, й, У	(21.16)
• Функции Sa(u), 2а(ц), 2/(ц), v(ц) не являются 'производными по области от каких-то аддитивных функций области, а потому перенормировке не подлежат.,
149
Аналогичная перенормировка функций g и х с о на Е (но не с у' на Е'— по этим переменным выполняется формальная замена переменной!) дает
g(E, Е’, QQ') = -i- g (v, v', QQ'); X(E, E') = -^Z(u, u').
(21.17)
Перенормировка функции источников проводится по этому же рецепту.
При переходе к летаргии следует, например, в плотности потока исходить из соотношения [ср. с равенством (21.14) ]|:
<р(г, и, О, t) | du ] = <р (г, v, й, 0| du|.
Отсюда, а также из равенства (21.16) получаем
<р (г, и, О, /) =	(г, v, О, ty;=E<p(r. Е, Q, 0
и т. д.
В качестве примера воспроизведем уравнение (21.7) в энергетической переменной E=v2/2. Используя равенства (21.16) и (21.17), после несложных операций получаем
ОО
+ QV? + S? = J Ss (£') dE' J g (E, E', QQ') X 0
oo
Х«р(г, E', O', Oda' + iJv(E')M£'W, E')dE'X о
x J ? (r, E’, Q', 0^Q' + ^(r, E, a, 0-	(21.18)
В заключение параграфа отметим, что функциональная зависимость макроскопических сечений Ss, Sa, 2/ от скорости (энергии) нейтрона в основном определяется экспериментом. Экспериментом же установлено, что функции v(a') и %(v, v') слабо зависят от переменной v', благодаря чему на практике этой зависимостью часто пренебрегают, считая v константой (v = 2,46 для 235U), а X — функцией одной переменной и. Для 235U функция х с достаточной точностью аппроксимируется формулой [1]:
X (а) = 0,484а ехр (— v‘/2) sh v [х (Е) — 0,484 ехр (— Е) sh ]/2Е].
Наконец, аналитическое выражение функции рассеяния g(v, v', ЯЯ') для важнейшей модели упругого рассеяния будет получено в следующем параграфе.
150
§ 22. ФУНКЦИЯ РАССЕЯНИЯ В МОДЕЛИ УПРУГОГО СОУДАРЕНИЯ НЕЙТРОНА С ЯДРОМ
Рассеяние нейтрона на ядре называется упругим, если кинетическая энергия системы нейтрон-|-ядро при этом не меняется *. При рассмотрении упругих столкновений нейтронов с ядрами атомов ограничимся рассеивающей средой, состоящей из ядер одного сорта. Распространение результатов на случай среды, состоящей из ядер нескольких элементов, не представляет затруднений.
В этом параграфе нам предстоит использовать две системы отсчета: лабораторную систему L и систему центра инерции С. В. первой из них покоящимся считается ядро-мишень, а во второй — центр инерции системы нейтрон+ядро. Для теоретического рассмотрения система отсчета С проще, однако окончательные выводы нам необходимо иметь в системе L, ибо эта система (в отличие от системы С) является единой для всей изучаемой среды. Последнее утверждение следует из того факта, что скорости теплового движения ядер ничтожно малы по сравнению со скоростями замедляющихся нейтронов, и мы вправе считать ядра покоящимися.
Для целей дальнейшего изложения примем следующие гипотезы:
1)	взаимодействующие между собой нейтрон и ядро образуют систему, изолированную от воздействия внешних сил;
2)	к системе нейтрон-|-ядро приложимы законы сохранения импульса и кинетической энергии (упругое рассеяние);
3)	рассеяние нейтронов изотропно в системе С.
Пусть в какой-то системе координат г — радиус-вектор нейтрона; Го — радиус-вектор ядра; гс — радиус-вектор центра инерции. Считая массу нейтрона равной единице, а массу ядра равной М, можем записать
гс — (г + ^г»)/( 1 + М).
Дифференцируя это равенство по времени, получаем связь между скоростями нейтрона, ядра и центра инерции:
м 'j	(22.1)
dt X+M\dt' dt}-	>
Обозначим буквой v скорости в системе L, а буквой g — в системе С. Кроме того, скорости частиц до столкновения будем отмечать штрихами. Читателю, очевидно, хорошо известна формула
v=v©-|-g,	(22.2)
в которой v и g — скорости движущейся точки в системах L и С соответственно, a vc — скорость поступательного перемещения системы С относительно системы L (в нашем конкретном варианте vc — скорость центра инерции ансамбля нейтрон-4-ядро в лабораторной системе L).
* Именно такого рода столкновения играют главную роль в реакторах на тепловых нейтронах.
151
(22.5)
В дальнейшем будем считать, что скорость нейтрона относительно ядра-мишени (т. е. в системе L) нам задана и равна v'. Очевидно, что все появляющиеся в процессе преобразований векторные и скалярные величины должны в конечном итоге выражаться через этот вектор v' (или его модуль), а также через массу ядра М.
А теперь установим два предварительных результата. До соударения нейтрона с ядром скорость ядра в системе L равна нулю: v'o=0. С учетом этого из формулы (22.1) получаем
Vc=v7(l+M) *.	(22.3)
Если, далее, воспользоваться формулой (22.2) (в которой символы v и g дополнены штрихами — состояние системы нейтрон-|-ядро до рассеяния!), то легко можно найти
6'=ГТЯ’’.	(22.4)
Приступим теперь к выявлению существенных следствий из второй гипотезы, которая означает следующее:
v' = v -|- 7Hv0 — закон сохранения импульса;
v 2 = и2 -|- ЛЬ20 — закон сохранения э нергии.
Эти два равенства записаны с учетом того, что v'o=O. Определяя скалярное произведение (а, Ь) двух векторов а и Ь как произведение модулей этих векторов на косинус угла между ними, находим из первого равенства
= (v„ v0) =	(v' - v, v' - v) =	(у'2 - 2w' cos 60 + o2),
где 0o —угол рассеяния в системе L. Подставляя полученный результат во второе равенство (22.5), легко приходим к следующему важному результату:
с М +1 v М — 1 v’	с,
cos6„ = ——----------5-----.	(22.6)
0	2 V' 2 v	v
Замечание 1. Из третьей гипотезы следует, что'угол рассеяния 0 в системе С (угол между векторами скоростей нейтронов | и |') может принять любое значение из промежутка	т. е. н угол 0о может оказаться любым в пре-
делах [0, л]. >Ну а тогда из формулы (22.6) следует, что при заданном векторе V и модуль вектора v однозначно определен быть не может. А именно, его модуль зависит от того, каким оказался угол рассеяния 0о-
Кстати, неоднозначность скорости V рассеянного нейтрона следует непосредственно из системы (22.5). В самом деле, эта система состоит из четырех скалярных уравнений, а содержит шесть неизвестных — это три компоненты скорости v н три компоненты скорости Vo. Таким образом, система (22.5) . недоопределена и потому однозначного решения иметь не может.
* Скорость центра инерции vc не изменяется от акта столкновения нейтрона С ядром, а потому нет нужды отмечать эту скорость штрихом.
152
Попутно с формулой (22.6) уместно получить формулу и для cos 0, которая также потребуется в дальнейшем. Учитывая коллинеарность векторов vc и у' [см. !(22.3)], из формулы (22.2) находим
¥ = (v — у., v — vc)=Vs — 2w. cos	и®,
v	V	V/	V	V I I"*
Правую часть этого равенства легко преобразовать на основе формул (22.3) и (22.6) и установить, что
(22.7)
Кстати, из сопоставления формул (22.7) и (22.4), следует, что в системе С в результате соударения абсолютная величина вектора скорости нейтрона сохраняется (меняется только направление скорости). Замечая, наконец, что векторы и ус коллинеарны — это следует из равенств (22.3) и (22.4), — снова из формулы (22.2) находим
иг = (Vc 44, vc + g) = v*c 4- 2vct cos 6 4- V.	(22.8)
Модуль вектора vc определим из (22.3), a g дается формулой (22.7). В итоге cos 6 из равенства (22.8) выразится в форме
=	(22.9)
Из формулы (22.9) следует, что:
1) при «скользящем» соударении (0=0) модуль скорости нейтрона в системе L не меняется (и/о'=1);
2) при «лобовом» соударении (0=л) модуль скорости нейтрона в системе L принимает наименьшее из возможных значений [ц/ц'=(Л4—1) I(Л44-1)]•
Таким образом, в лабораторной системе скорость нейтрона после соударения не может превышать скорости до соударения и не может (за исключением случая водорода, когда Л1=1) стать сколь угодно малой, т. е.
[{М- 1)/(Л44-1)]и'<п<и'.	(22.10)
Обратимся теперь к выводу функции рассеяния g(v, v', йй')> определенной равенством (21.2). Прежде всего напомним, что в системе L с помощью этой функции вероятность попадания нейтрона после столкновения в элементарный пучок (dvd£2)vQ дается выражением
g(v, v', ЙЯ')|<ЫЙ|.	(22.11)
Если в системе L ввести сферические координаты, связав их с вектором у' (рис. 27, L), то fl!!Q=sin 00 dOodty и выражение (22.11) . перепишется в виде
g(v, v', cos 6e) [ cfo sin |-
153
Наконец, обозначив cos 0о=Цо, запишем вероятность попадания нейтрона в область dvd\LOd^ в виде *
g (f. V, р,) | dvd^d^ |.	(22.12)
Функцию g(v, v', go) будем получать на основе изотропного закона рассеяния нейтронов в системе С (третья гипотеза). Если обозначить da элементарный телесный угол в системе С, то вероятность попадания нейтрона в него после рассеяния равна | da | /4л. В системе С введем также сферические координаты, связав их с вектором у', коллинеарным вектору % (см. рис. 27, С). Изо-
Рис. 27. Лабораторная L и инерциальная С системы координат
тропный закон рассеяния |dco|/4л преобразуется при этом в закон распределения по углам 0 и ф:
| dm ]/4тг = sin 6 | dftdty |/4тг,
где, очевидно,
|</ф|/2л — закон распределения по углу ф;
sin 0 |d01/2 —закон распределения по углу 0.
Закон распределения по углу 0 (в системе С) легко преобразовать в закон распределения по скоростям v (в системе £), если воспользоваться формулой (22.9). Дифференцируя равенство (22.9), в итоге имеем
(22. i3>
Выражение (22.13) представляет собой перенормировку плотности вероятности при переходе от 0 к у — в том же аспекте, как это было сделано при выводе формулы (21.14). Итак, закон распределения рассеявшихся нейтронов по азимутальному углу ф и скоростям v имеет вид
ШГ-?-г|<ЫН	(22.14)
* Фразы типа «вероятность попадания нейтрона в область dadjiodip (в Угол do, в элемент djio и т. д.)» носят условный характер и означают «попадание» не нейтрона, а его параметров v и й.
154
Для превращения двухмерного закона распределения (22.14) в трехмерный (22.12) нужно умножить (22.14) на вероятность попадания нейтрона в элемент dp0 около значения ц0 при условии, что нейтрон попал в область dvdty около о и яр. Ввиду «жесткой» однозначной связи v с ц0 [см. (22.6)] интересующую нас условную вероятность следует записать с помощью д-фуикции [7]:
,'М +1 v \Т“ о7
(22.15)
Умножая (22.14) на (22.15) и сопоставляя полученный результат с (22.12), находим выражение для искомой функции рассеяния:
g(v, v',	=	—----__(22.16)
Для дальнейших целей полезно привести в качестве справочного материала следующие основные свойства ©-функции [7]:
ь
( 8 (х — х,) dx —
а
1, если а < х0 < 6;
О, если х0 < а или х0 > Ь;
(22.17)
b(x)8(x-x,)dx=lfW’ еСЛИ а<х°<Ь'	(22.18)
J	[0, если х0 < а или х0 > о;
8 (Zx) = -pq-8 (х).
(22.19)
Замечание 2. В среде, состоящей нз ядер одного сорта, пределы интегрирования по v' в интеграле рассеяния в уравнении (21.7) определяются неравенствами
v	V,	(22.20)
которые вытекают из неравенств (22.10). Пределы интегрирования (22.20) авто матически «контролируются» функцией рассеяния (22.16):
— Г М+\ 1 |M-H v если v' е V, ц_. I f , то —2-o'
М — 1 v'
2 v
> 1
и обращение g в нуль следует из определения 6-функцни, поскольку |ро|^1-
В энергетической переменной и в летаргии функция рассеяния имеет вид
S(E, Е', р.о) = (1+^-±-Х
\ 2 V Е’ 2 V Е У1*]’
g (u, W, (x0) =(1	exp {—(« - «')}X
ч.в/Л<+1	( и— и') M — 1	«']	\ |
Х8 —ехр--------—--------— expl—2~J—р-J. |
\	I J	1	> I j
(22.21)
155
§ 23. ЗАМЕДЛЕНИЕ НЕЙТРОНОВ В БЕСКОНЕЧНЫХ ОДНОРОДНЫХ СРЕДАХ
Изучим один очень важный случай, когда уравнение переноса принимает предельно простой вид и легко решается. Речь пойдет о нахождении стационарного энергетического спектра замедляющихся нейтронов' в бесконечной однородной среде. Такой спектр формируется в результате функционирования стационарного изотропного источника нейтронов, равномерно распределенного во всем бесконечном пространстве. Следует подчеркнуть, что эта задача интересна не только с методической точки зрения, но и с чисто прикладной. Например, в глубине большого реактора, где градиент нейтронного поля мал, зависимость потока нейтронов от энергии достаточно хорошо описывается энергетическим спектром нейтронов в бесконечной среде того же состава, что и исследуемая область реактора. Такая энергетическая характеристика активной зоны реактора дает богатую информацию о многих общих свойствах реактора.
Итак, рассмотрим бесконечную неразмножающую среду с равномерно распределенным в пространстве изотропным источником нейтронов. Предположим для простоты, что изучаемая среда состоит из ядер одного сорта с массой М, а рассеяние в среде носит чисто упругий характер.
Из общих физических соображений, а также из анализа уравнений переноса (21.7) или (21.18) нетрудно сделать вывод, что искомая плотность потока нейтронов может зависеть только от скоростной (энергетической) переменной. Если для определенности остановиться на уравнении (21.18), то последнее на основании только что сделанного вывода (а также с учетом замечания 2 из § 22, которое в равной мере относится и к энергетической переменной Е) примет следующий вид:
£/а
£(£)?(£) = j Vs(E’)<?(E')dE' \g(E,E', О»') <Й2'+ <? (Е), (23.1) Ё
где а=[(М—I) / (М+ I)]2. Внутренний интеграл в правой части уравнения (23.1) легко находится в случае упругого рассеяния. Действительно, первая формула в (22.21) и свойство б-функции (22.17) дают возможность мгновенно записать результат:
fg(E, £',
J S \	£ г
Таким образом, уравнение (23.1) перепишется в виде
Е/а
Г(Е)?(Е) = <Ц^1 ( Ss(£')?(E')^+ <?(£)
Е
156
или, наконец, так:
f (£)=(Ц^)1 j' hs(E')F(E')^- + q(E),	(23.2>
Е
где F(£)=S(£)q>(£)—суммарная плотность столкновений;
As(£)=Se(£)/S(£).
Рассмотрим в первую очередь случай водорода (Л1=1), когда уравнение (23.2) принимает особенно простой вид:
оо
F(E) = ps(E')F(E')^- + <7(E).	(23.3>
Е
Предполагая, что функция источников q(E) имеет производную, продифференцируем уравнение (23.3):
+ h, (£) Ш = Ж.	(23.4>
dE 1 *' 7 Е dE	v z
Уравнение (23.4) должно быть дополнено каким-то условием на функцию F(E). Это условие легко получить, если учесть вполне разумную ситуацию, когда q(E)=0 при Е^Ед, где Ео — достаточно высокое значение энергии. Ввиду того что нейтрон при упругом соударении может только терять энергию [см. (22.10)], при Е'^Еп в среде не может быть нейтронов, так что
F(£o)=O.	(23.5)
Решение линейного дифференциального уравнения первого порядка (23.4), подчиненное условию (23.5), имеет вид
F(£)
£0	,Е'
?dq(E') Г , ,CnxdE"
“]-7Ё^ехР J ^(Е'')-ёгг
Е
dE'.
В последнем равенстве интеграл целесообразно преобразовать па частям, что дает
F (£) = q (Е) + f q (£') hs (£') ехр f hs (£")
E	E	>
Если ввести в рассмотрение функцию /ia(£)=Sa(£)/Х(Е) = =1—hs(E), то полученный результат легко привести к виду
Е„
F (£) = <?(£) +4-Р(£')ЙД£') ехр
Е
dE'. (23.6>
Замечание 1. Вспомним, что при получении уравнения (23.4) мы потребовали дифференцируемости функции q(E). Однако в окончательном решении-(23.6) ‘производная dq/dE нигде не присутствует. Более того, нас вовсе не должна беспокоить мысль, удовлетворяет или нет найденное решение (23.6) диффе
137
ренциальному уравнению (23.4). Достаточно убедиться, что это решение удовлетворяет исходному интегральному уравнений) (23.3). Если решение (23.6) подставить в уравнение (23.3) (в котором, разумеется, верхний предел интегрирования можно «опустить» до значения Е=Ео) и осуществить все необходимые преобразования до выявления тождества, то нетрудно убедиться, что в процессе всех преобразований нам ни разу не придется встретиться с производной dq/dE. Таким образом, от функции источников q(E) достаточно требовать фактически только интегрируемости.
Такого рода прием, когда в промежуточных преобразованиях на исследуемый объект налагают дополнительные требования, а в конечном итоге от них обоснованно отказываются, в математике встречается не столь уж редко.
Рассмотрим теперь несколько интересных частных случаев. Пусть, например, функция источников <?(Е) отлична от нуля только в интервале E^E^Eq (Ei>0). Тогда в области энергий E^Ei решение (23.6) примет вид
ехр
(23.7)
где
Е
Q = const = |' q (Е) hs (Е) ехр | ha (Е')
Et
dE.
Результат (23.7) становится особенно изящным, если в области замедления захват нейтронов отсутствует. Строго говоря, совсем игнорировать захват нельзя: в отсутствие захвата нейтронов и их утечки, но при функционирующем источнике нейтронов не может быть стационарного режима. Однако можно предположить, что сечение захвата отлично от нуля только где-то в области очень малых энергий нейтрона [Sa(E)#=0 при OsgEsge]. Таким образом, в интервале е^Е^Е) выражение (23.7) принимает вид
F(E) = Q/E, е<Е<Е,,	(23.8)
где
Е„
Q = const — j" q (Е) dE.	(23.9)
Et
Если интервал £,<£<£„ где задана функция источников <?(Е), стянуть в точку (Et-~@, Et-+&, E^g^Ej, сохраняя общую интенсивность источников Q (23.9), то в результате придем к задаче с моноэнергетическим источником
q(E) = Qb(E-&).	(23.10)
Формула (23.7) в случае моноэнергетического источника (23.10) становится более простой [см. (22.18)]:
F(£)=:£^£)exp -J/i0(E')^- .	(23.11)
I Е	>
158
В отсутствие захвата из равенства (23.11) получаем [ср. с формулой (23.8)]:
£(£)=Q/£, е^£<^.
Перейдем теперь к изучению проблемы замедления в среде, состоящей из ядер с массой Af>'l. В этом случае верхний предел интегрирования в уравнении (23.2) не обратится в бесконечность (а=#0), как это было при М—1, а будет переменной величиной вместе с нижним пределом. Если к уравнению (23.2) применить знакомый нам процесс сведения к дифференциальной форме, то полученное дифференциальное уравнение будет связывать функцию £ при разных значениях аргумента, а именно £<(£) и £(£/а). Этот факт, разумеется, затрудняет решение задачи.
Сейчас в общих чертах познакомимся с неким многошаговым процессом, принципиально решающим задачу (23.2). Предположим, как мы это делали и выше, что q(E)=Q при £^£0. Это означает, что и
F(£)sO при £^£0.
(23.12)
Рассмотрим сначала энергетический интервал аЕ0-^Е^Е0. Для любого значения энергии £ из этого интервала имеем Eja^Eo. Это обстоятельство с учетом тождества (23.12) позволяет переписать уравнение (23.2) в виде
F (F) = Т J	F (р) ДГ + а^Е<Еа.
В этом уравнении верхний предел есть константа, что дает возможность без всяких изменений воспользоваться уже описанным для случая М=1 методом. В результате легко можем определить функцию F(E) в интервале а£0^£^£0.
Пусть теперь £ пробегает интервал а2Ео^Е^аЕо, непосредственно примыкающий к предыдущему интервалу. Для любого значения £ из этого второго интервала верхний предел интеграла в уравнении (23.2) попадает внутрь предыдущего интервала: Е/а^аЕо- Принимая во внимание эту важную деталь, перепишем уравнение (23.2) в виде
hs(E')F(E')^- +q(E), ^Ea<E<aEe, (23.13)
где
«(£)=«(£)+Чя21 j л.(£')Г(г’)^ •
159
Функцию q (Е) можно считать известной, поскольку выше значения аЕ0 функция F(E) уже найдена. В уравнении (23J13) верхний предел снова фиксирован, а значит, снова применима уже знакомая процедура. В итоге находим функцию Е(Е) в пределах интервала а2Е0^Е<^.аЕ0. Продолжая этот процесс далее, находим функцию F(E) в очередном интервале а3Ео^Е^а2Ео и т. д.
Замечание 2. Внимательный читатель, очевидно, заметил, что в описанном многошаговом процессе рассматриваемые энергетические интервалы монотонно убывают. Чтобы дойти до энергии £=0, нам потребовалось бы сделать бесконечное число шагов. На самом же деле ситуация такова, что мы не имеем права приближаться сколь угодно близко к значению £=0, а потому наш многошаговый процесс автоматически должен оборваться после конечного числа шагов. Все дело в том, что уравнение (23.2) теряет свою силу в области достаточно малых энергий нейтрона (область термализации). Действительно, это уравнение было получено нами на основе механизма упругого рассеяния нейтрона на неподвижном ядре, а в области термализации уже нельзя пренебрегать тепловым движением ядер среды и некоторыми другими эффектами *.
В заключение параграфа следует отметить, что при моноэнер-гетическом источнике q(E)=Qb(E—&) и в отсутствие захвата нейтронов в области замедления в описанном многошаговом процессе разумно делать только несколько первых шагов, а далее пользоваться асимптотическим решением. Можно показать, что асимптотическим решением будет функция вида F (£’)=const/£', которая удовлетворяет уравнению (23.2) с hs (£)—1 и q(E)=O.
Более подробные сведения о замедлении нейтронов в бесконечных средах можно найти, например, в работах [1, 4, 6].
§ 24. ДИФФУЗИОННО-ВОЗРАСТНОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ
Разобранную в предыдущем параграфе задачу можно причислить к весьма малочисленному списку проблем, для которых удается найти точное решение уравнения переноса. В подавляющем же большинстве случаев уравнение переноса приходится решать приближенно. С некоторыми приближенными методами для односкоростного уравнения переноса мы уже познакомились в гл. 3.
В настоящем параграфе рассмотрим широко известный в теории реакторов метод приближенной замены интегро-дифференциального уравнения переноса с энергетической зависимостью более простым уравнением, укладывающимся, по существу, в рамки классического курса уравнений математической физики.
Для простоты предположим, что замедлитель состоит из ядер одного сорта и что в нем может происходить только упругое рассеяние. Если в замедлителе размещено горючее, то будем пренебрегать процессами рассеяния в нем.
Для демонстрации метода возьмем, например, уравнение (21.12), в котором сразу же осуществим переход от переменной v к летаргии и=21п(цо/у) —в разумности такой замены мы убе-
* Подробнее о термализации нейтронов см. гл. 5. 160
димся несколько позже. В итоге получим
QV?(r> и, «)4-£(и)<р(г, и, Я) =
= J Ss (и') du' J g (и, и', pue)cp(r, и', и—в
4--^- j v(u')^i (и')х(и, u')du' J1? (г, и', ®')d£l',	(24.1)
—00
где пределы интегрирования в первом интеграле правой части обусловлены неравенствами (22.20), причем е=1п [(Л4-}-1) / (М—I)]2.
Повторим кратко процедуру преобразования уравнения переноса по методу сферических гармоник, изложенную в § 12. Целесообразность этого повторения диктуется, во-первых, тем, что сейчас мы не будем привязываться к конкретной пространственной системе координат (прямоугольная, цилиндрическая и т. п.). Во-вторых, /^-приближение имеет некоторые индивидуальные особенности (по сравнению с общим /^-приближением), которые удобно использовать как для компактности записи, так и для сокращения математических выкладок.
Итак, приступим к преобразованию уравнения (24.1). Для этого плотность потока нейтронов <р(г, и, й) как функцию вектора О разложим по сферическим функциям [см. (12.11)]:
00 п
<f(t, и, Я) =	£ ^^У^, ф),	(24.2)
n=0m»—п
где
2*	1
Сят(г, a) = Jd<p fT(r, а, Я)^’^.	(24.3)
и	—1
V _____ 2”(1 + (п + 1 от|)!
яя,~~	2п+1 (п — \т\)\ •
Ограничиваясь случаем /^-приближения (СПщ=0 при «5=2), получаем из (24.2)
?(г,а,	+	(24.4)
где
Уц°’==11; У,0’ =ц—созб; У*~1) = sin6cosф; У*’1 = sin$ sin^;
N„ = 4it; Nlt =	Ntt = 4k/3.
Легко усмотреть, что
fl = y<-1)i4-y<1>j4-y«°>k.	(24.5)
11—301
i6i
Здесь i, j, к — локальный ортонормальный базис, в котором регистрируются сферические координаты 0 и ф вектора Q.
Введем обозначения:
<?0(г, ы)=С00(г, и);	|	4 6.
<р,(г, m) = Cj _,(г, «)i-|-C11(r, u)j + Cw(r, «)к- J
Тогда из (24.4) имеем
?(г, и, а) = ~ [<?0 (г, и) + Зфй, (г, и)],	(24.7)
где, как это следует из (24.3) и (24.6),
?,(г, и) — J?(r, и, Q)dQ; ф,(г, u) = ^Q<f>(r, и, ®)dQ.
Обратим внимание на физический смысл функций <ро(г, «) и <pi(r, и). Первая есть плотность полного (глобального) потока нейтронов, а вторая представляет собой векторный ток нейтронов j(г, и) [см. (10.5)].
Для получения уравнений, связывающих функции фо и фь используем прием из § 12, т. е. умножим уравнение (24.1) на каждую из сферических функций и проинтегрируем по всем направлениям. Ввиду (24.5) это сведется в нашем случае к интегрированию уравнения (24.1) соответственно с весами 1 и й. Интегрирование с весом 1 дает скалярное уравнение, а с весом О — векторное уравнение, так что в совокупности получим четыре скалярных уравнения:
\7ф! + 2(«)?,= J 2Л«')Яо(ы> «')?.(г- u')du' + и—в
+ Я J v (и') («') X (и, «') <р0 (г, и') du';
и
-у ^<?0 + 2(«)Ф1— J	«')Ф1(г. U’)du’,
и—6
(24.8)
где
.g0(u, u')=\g(u, и', p,0)dQ = 2n: tg(u, и', i*0)dp.,; J .	-i
1
gt(u, u') = ^g(u, и', p.0)dQ = 2it
Интегрирование равенства (21.8) с весами* 1 и й приводит к следующим условиям на контактной границе двух сред:
% (rs — 0, и) = % (rs + 0, и);
ПФ1 (rs — 0, и) = Пф, (rs + 0,' и).
(24.9)
162
Наконец, на границе с вакуумом следует воспользоваться интегральным условием
яп<р(г5, и, fi)dQ = 0.
(24.10)
fin's”
[По поводу этого условия см. подробнее в § 12 принцип формирования равенства (12.22).] Заменяя в равенстве (24.10) функцию <p(rs, и, 12) правой частью представления (24.7), после некоторых преобразований получаем условие на внешней (невогнутой) границе:
?o(rs- «)-2n<pt(rs, «) = 0.
(24.11)
Замечание 1. «Технику» получения системы (24.8) и граничных условий (24.9), (24.11) читатель может полностью извлечь из Приложения Б.
Замечание 2. Полученные сейчас результаты позволяют легко выписать общую формулировку задачи в Pi-приближенни для односкоростного варианта, который в § 12 был рассмотрен только для частного случая плоскопараллельной геометрии.
В изучаемом случае «односортного» упругого замедлителя на основе аналитического выражения для функции g(u, и', р0) (22.21) и свойств б-функции (22.17) и (22.18) получаем следующие аналитические выражения для функций go(u, и') и gi(u, и'):
g, (и, и') = (-Ц^- ехр [- (и - и')] П (« - и»);
gi ««').= ехР I- (« ~ «')] X
[М +’1	/ И— и'\ М— 1 III— и'Мтт/ .,м
-3—ехр/-----2—1----2~expl—2~I П(« -и ),
(24.12)
где
если ?G[0, е];
если £(Е[0, е].
Для дальнейшего преобразования системы (24.8) наложим на замедлитель дополнительное ограничение, считая его ядра достаточно тяжелыми (Л4^> 1) *. «Обработка» задачи (24.8) заключается в упрощении интегральных членов, описывающих процесс рассеяния. Для этого функции 23фо и Ss<pi, стоящие под знаком интеграла, разложим в ряд Тейлора по переменной и' в окрестности точки и.
На этом этапе удобно пояснить преимущество переменной и перед Е или V. Мы уже знаем (см. § 23): если в области замедления (здесь под «областью» мыслится энергетический интервал) отсутствуют захват и источники нейтронов, то в итоге решения
* Это ограничение, к сожалению, исключает нз рассмотрения водород (М = = 1) и все важные на практике водородсодержащие замедлители.
11*	163
чисто энергетической задачи плотность рассеивающих соударений F (Е) =Ss(E)<f>(E) в асимптотике оказывается равной
F(E)=const/E.
В переменных v и и эта функция принимает соответственно следующий вид (см. с. 149—150):
/:’(ц)=сопэ1/ц; fl(zz)=const.
При наличии захвата и источников в области замедления и при конечных размерах среды последние три формулы хотя и несправедливы, но позволяют с достаточной достоверностью считать, что плотность рассеивающих соударений по «энергетической» переменной изменяется наиболее слабо, когда эта «энергетическая» переменная есть летаргия и. Значит, представление функции Ss<p (и ее коэффициентов Фурье Евфо и 28q>i) конечным отрезком ряда Тейлора по «энергетической» переменной следует ожидать более точным в переменной и.
Ввиду условия Л43> 1 величина е, а следовательно, и интервал интегрирования (и—е, и) будут малыми. Это означает, что в разложениях Ss<po и 2s<pi можно ограничиться малым числом членов. Кроме того, экспоненциальный спад g(u, и') и gi(u, и') как функций и' по мере удаления от точки и «работает» тоже в пользу сокращения числа членов в разложениях Е«фо и Ss<pi.
Принимая во внимание, что в разложении (24.7) функция фо (г, и) представляет собой главный член разложения, а ф1(г, и) описывает некоторую поправку (если бы это было не так, мы не имели бы права использовать Л-приближение!), ограничимся в разложении 2«ф0 двумя слагаемыми, а в Ss<pi — одним:
ЕЛ"')?.(Г «') = 2s(«)?.(r, «)+ («'-«)?.(г. «Л;
М«И(Г> «') = 2s(“)4>i(^ «)•
(24.13)
На основе разложений (24.13) интегральные члены уравнения (24.8), описывающие рассеяние, преобразуются следующим образом:

= (и) (г. «) -5 i (£А);
(24.14)
J Es(u'^,(r, и') gt(u, и,)</и' = р.вЕ5(и)ф1(г, и).
При получении правых частей (24.14) использованы равенство
J £.(«» u')du' = l,
164
следующее из (24.12), и обозначения
и	и ,
(•= С (и — и') g„(u, u')du' = ( du' С dQ! (и — u')g(u, и', р.о); w	V	J
U-8	U—8
U	U
He= J u')du'== J du' ^dQ'^g(и, и', Но). и—£	и—8
Снова используя формулы (24.12), нетрудно получить аналитические выражения для | и р,о‘-
.	, (М — I)2	.	(.И— I)2 , М + 1 —	2
6—1 4М	244	1ПЛ1-1; Ро — ЗМ-
Подставив теперь выражения (24.14) в систему (24.8), запишем последнюю в виде
Vq>, + («)	(^Л)=
= 1 J v(u')£f (и')/(и. и')?о(г- и’) du'; —00
4” V?.+ Sfr (и)Ч>1 = 0,
(24.15)
где 2гг(и)=2а(«)+2з(и) (1—цо)—транспортное сечение*. Исключая из системы (24.15) векторную функцию фь получаем скалярное уравнение относительно функции фо:
(®з?о) = V Я V ?о —	+
+ 1 Jv(u')£z(u')x(u, u')?,(r, u')du\ (24.16)
—00
Здесь D=l/32tr(u) —коэффициент диффузии нейтронов. Соответственно граничные условия принимают вид:
<Po(r5-O, u) = ?o(rs + O, и);
г\ д?о I ______rj dy»
дп |г$_ о дп г5+о’
на контактной границе,
r = 0 — на внешней границе, где' д^/дп — п^^.
Уравнение (24.16), как и уравнение (21.12), решают обычно методом итерации источников, подставляя предыдущее приближение
* Термин «транспортное сеченне» широко распространен в теории реакторов. 12—301	165
?о" !)(г- и) под знак интеграла в правой части уравнения (24.16) и получая последующее приближение (г, и) в результате * решения уравнения
i (ад = V D V + Q..	(24.17)
где
Q.(r, и) = J v (и') (и') х (и, ы')ср("-1)(г, u')du’. —оо
Собственное значение Хо определяется по тому же рецепту, что и в §21.
Если коэффициент диффузии D не зависит от координат, то, вводя новый аргумент т и новую функцию q:
и т у du , cj о
жреобразуем уравнение (24.17) к виду
Это уравнение представляет собой по форме классическое уравнение теплопроводности (с поглощением «тепла»). Переменную т=т(ы) принято называть возрастом нейтронов, а само уравнение — диффузионно-возрастным.
§ 25.	ФУНКЦИЯ ЦЕННОСТИ НЕЙТРОНА.
СОПРЯЖЕННОЕ УРАВНЕНИЕ
С новым понятием ценности нейтрона мы познакомимся сначала на частных примерах и только потом дадим ему общее формальное определение.
Пример 1. Пусть в некотором объеме V происходят нейтронноядерные реакции (рассеяние, захват, деление). Предположим, что нас интересуют акты захвата нейтронов в некотором объеме VFczV в течение некоторого конечного промежутка времени
Если в момент времени to в точке ГоеЕ по направлению Qo впущено Q нейтронов со скоростью и0, то можно говорить о числе С актов захвата в объеме W за промежуток времени от ti до t2 тех и только тех нейтронов, «родословная» которых связана со впущенными Q нейтронами (это либо нейтроны непосредственно из числа Q, либо нейтроны-«потомки», возникшие в результате реакции деления и обязанные своим происхождением первоначально впущенным Q нейтронам). Очевидно, что величина С зависит от точки впускания нейтронов г0, от скорости впускаемых нейтронов Vo—Пойо, от момента впускания to, а также от числа впускаемых нейтронов Q.
166
Величину C/iQ — число актов захвата на один впущенный нейтрон— назовем ценностью нейтрона по отношению к процессу,захвата в заданном объеме W за промежуток времени от до t2 и обозначим символом <р*(го, Оо, &о, ^о)- Отметим, что функция <р* уже не зависит от Q.
Другие примеры. Можно дословно повторить всю описанную процедуру по отношению к реакциям деления и рассеяния и получить определения соответствующих функций ценности; понятие ценности можно ввести по отношению к той или иной реакции на заданном сорте ядер (или на заданном изотопе); можно рассматривать функцию ценности нейтрона по отношению, например, к процессу рассеяния тех нейтронов, направления скоростей которых не выходят за пределы заданного телесного угла, и т. д. Подчеркнем, что каждому из этих случаев отвечает своя функция ценности нейтрона.
Все эти предварительные рассуждения на частных примерах подготовили нас к тому, чтобы в самом общем случае осмыслить понятие ценности нейтрона. Эту задачу несложно осуществить, если к описанию нейтронно-ядерных процессов, происходящих в некотором объеме V, привлечь такие математические понятия, как скалярное произведение и функционал.
Обозначим Н область, являющуюся прямым произведением следующих четырех областей:
а)	трехмерной области V (r<=V);
б)	одномерной области абсолютных скоростей нейтрона (•=^Ц<оо);
в)	двухмерной области U направлений скоростей нейтрона (Й<=£7);
г)	одномерной области изменения времени (—оо</<оо).
Пусть ф и р — две функции, определенные в области Н. Назовем их скалярным произведением величину
' (?> /0= J 'ipdH--н
— dV J dv J dQ Jd/<p(r, v, Я, t)p(r, v, Я, t).	(25.1)
Й О	—оо
Предполагается, что при v—>-оо и t—>±оо произведение функций Ф и р изменяется таким образом, что несобственные интегралы в правой части (25.1) сходятся. В форме скалярного произведения (25.1) записываются многочисленные физические величины, с которыми постоянно приходится иметь дело в теории переноса. Так, отождествив в (25.1) функцию <р с плотностью потока нейтронов, а р — с макроскопическим сечением какого-нибудь нейтронноядерного процесса (захват, рассеяние, деление), получим полное число актов этого процесса; положив функцию р равной -^-6 (t—£0), найдем количество нейтронов в объеме V в момент времени и т. д.
12*	167
Если в скалярном произведении (25.1) функцию р зафиксировать, то на это произведение можно смотреть как на функционал, который каждой функции ф, допустимой в смысле существования интеграла в правой части (25.1), ставит в соответствие некоторое число С[<р].
Вернемся теперь к первому примеру и посмотрим с другой точки зрения на введенное там понятие ценности. Впускание Q нейтронов в разные моменты времени, в разных точках объема и с разными скоростями приводит к тому, что каждый раз получаются разные плотности потока нейтронов <p(r, v, О, t) *. Каждая функция ф из этого многообразия определяет свое число актов захвата С. Эта величина С есть не что иное, как функционал С[ф] (25.1) с весовой функцией
, о (Eo(f) ПРИ и/1</</2;
p(r, v, £г, 0 = {	(25.2)
(О во всех остальных случаях.
Теперь можно сказать, что в первом примере этого параграфа было введено понятие ценности по отношению к конкретному функционалу, определяемому весовой функцией (25.2). Рассмотренное затем бегло на частных примерах расширенное понятие ценности сводилось просто к ценности нейтрона по отношению к другим функционалам.
Эти примеры подсказывают нам, что в самом общем случае можно говорить о ценности нейтрона по отношению к произвольному функционалу. Повторим для общего случая определение ценности. Пусть задана конкретная функция p(r, v, Й, /), формирующая функционал С[ф] на основе формулы (25.1), Если в момент времени to в точке roeV по направлению Йо выпущено Q нейтронов со скоростью v0, то в результате этого акта в объеме V сформируется поток нейтронов плотностью ф(г, v, Й, /; r0, vQ, Йо, /0; Q) (см. первую сноску на этой странице). Этому потоку однозначно отвечает значение функционала С[ф]— С(Го, »о, По, /о; Q). Функцию ф* (г, и, Й, </)==(? (г, v, Й, t\ Q)/Q назовем ценностью нейтрона по отношению к рассматриваемому функционалу **.
Чтобы при таком расширенном толковании понятия ценности было проще рассуждать в дальнейшем, условимся в скалярном произведении (25.1) множитель ф всегда отождествлять с плотностью потока нейтронов, а второй множитель р всегда трактовать (в ряде случаев чисто фиктивно!) как макроскопическое сечение какого-то р-процесса. В этой интерпретации функции р скалярное произведение (ф, р) означает число актов р-процесса.
Итак, мы достаточно подробно познакомились с объектом нашего исследования — с понятием ценности нейтрона. Покажем
* Если в объеме V уже есть какие-то нейтроны, то подфункцией ф(г, v, ft, t) нужно понимать «надбавку» к уже имеющейся плотности потока нейтронов, обусловленную Q впущенными нейтронами. Отметим также, что в рассматриваемой ситуации более подробно функцию ср следовало бы писать в виде ср (г, о, Я, t; t>o, ЙО, to, Q), где отражена зависимость ср от параметров впускаемых нейтронов.
** В последнем тождестве индекс «О» у переменных г, v, Я и t опущен.
168
теперь, что функция ценности <р* (г, v, й, t) подчиняется некоторому интегро-дифференциальному уравнению. Вывод этого уравнения начнем с того, что снова рассмотрим процесс впускания Q нейтронов в точке г по направлению О в момент времени t со скоростью V. Общая их ценность Q«p* (г, V, О, t) есть, по определению, то число актов рассматриваемого р-процесса, которое должно быть инициировано как впущенными Q нейтронами, так и их нейтронами-потомками (Q')- В частности, в первом примере параграфа Q<p*(r, v, О, t) —это те нейтроны из числа Q-f-Q', которым «суждено» поглотиться в объеме W за промежуток времени Л<^2-
к .моменту времени t'=t-[-At нейтроны, обусловленные Q впущенными нейтронами, будут иметь разные судьбы, а значит, и разные ценности. Из определения ценности следует, что общая ценность первоначально впущенных Q нейтронов равна происшедшему за время At числу актов рассматриваемого р-процесса плюс суммарная ценность нейтронов, которые к моменту времени
+Д/ остались из числа Q впущенных (часть их могла поглотиться!), плюс ценность тех нейтронов, которые за промежуток времени At воспроизвелись за счет тех же впущенных Q нейтронов в результате реакции деления.
За промежуток времени At не испытавшие столкновения нейтроны из числа Q впущенных проходят путь vAt, причем до точки г'=г+иД£й доходят (при малом A/!) Qi=Q(l—оА/2) нейтронов. Выражение для Qj следует, например, из формулы (4.1), где нужно отождествить /(х), J(x-j-Ax), Ах и oN соответственно с Q, Qt, vAt и S. Ценность каждого дошедшего до точки г' нейтрона равна <р*(г+иДШ, v, й, (-f-A£), так что их общая ценность представится в виде
Q(1-»ДД)?*(г + »ДЯ>, V, «, ^4-ДО-
Из числа нейтронов, претерпевших соударение на пути от г до г', рассеялось Q2 = QuAffis нейтронов. Выражение для Q2 снова следует из формулы (4.1), где необходимо отождествить Цх)~ —J(x-|-A%) с Q2; J(x) — с Q, oN и Ах — с Ss и vAt. Из числа Q, рассеянных нейтронов в произвольный пучок (Ди'ДЙ')р,_ попадает Q2g(u', v, ^')Av'AC!' нейтронов. Далее, из числа нейтронов, претерпевших соударение на пути от г до г', Q, — QvAt^j нейтронов вызывают деление ядер. Из числа вторичных нейтронов, возникших в результате реакции деления, в пучок (Ди'ДЙ')ц, Q, попадает ^.у(и)х(иг, и)До'ДЙ' нейтронов. Поскольку рассеяние нейтронов или захват нейтронов с делением могли произойти в любой точке между гиг', ценность каждого из нейтронов, оказавшихся в результате в пучке (Av'A®')v, будет разной. Однако при малом At всем этим нейтронам можно приписать среднюю ценность, отнесен-
169
ную к некоторому моменту времени t-\- гД/(0<г< 1): ?*(г-ф-4-даД/й, v', О',	Таким образом, суммарная ценность всех
рассеянных нейтронов, а также всех вторичных нейтронов выразится интегралом
Qv&t dv' f dQ' [Ss (о) g (o', v, QO') «/ J 0
(0)7(0', o)jp*(r-|-t>8Afl>, v', O', ^4-8Д/).
Наконец, число актов интересующего нас р-процесса за промежуток времени Д/ запишется в виде
Q4 = Qt>A^p(r, v, О, t).
Величина Q< конструируется в точности по тому же рецепту, что и выражения для Q2 и Q3, поскольку мы трактуем функцию р(г, 0, О, t) как макроскопическое сечение (см. выше). В результате можно записать следующий баланс ценности нейтронов:
Q<p*(r, о, О, /) = QoA^p(r, о, О,
4-Q(l — 0Д/2)?*(г4-0Д/О. и, О, /4-д/)4-
-j- Qvht J dv' J dQ' [£s (0) g (0', 0, Ой') -f-0
(0) 7(0', o)j<?*(r-(-t®A#>, 0',O', Ц-еД^).	(25.3)
Поделим полученное равенство на QvAt и перепишем в виде
<?* (г+рД/й, о, Q, t -j- Д/) —г*(г. й, t) I уД/	'
-j-S(0)f*(r-|-0A/Q, v, й, £-|-Д£) = p(r, v, 0,04“
+ Jd0'V, Ofi')-f-о
।	v(n', 0)1 (г4~оеД^®, 0', О', £-(-еД£).	(25.4)
"Т" 4л	J
Перейдем в равенстве (25.4) к пределу при М —»0. Первое его 1	д<?*
слагаемое превращается при этом в величину----------гле
^-—производная по направлению вектора и. Эту производную 01
можно переписать в виде	так что окончательно получаем
170
следующее интегро-дифференциальное уравнение для ценности нейтрона:
Q’ 0 _ QV<P*(r, и, а, О + ЭД<Р*(г> °. а. 0 =
— 2s(o) Jdo' JdQ'g(u', v, аа')?*(г, v', a', f)-f~ 0
_]—v (p)ffi	^х(ц', v)dv' §dQ'y* (r, v', a', 0 + j°(r> v> a> O’ (25.5)
6
Отметим, что функции ценности для всего множества функционалов (25.1) описываются одним и тем же уравнением (25.5), но только с разными свободными членами.
Замечание. Если замедлитель состоит из ядер одного сорта н соударения нейтрона с ядром носят упругий характер, то в интеграле рассеяния интегрировала — 1
ние по переменной v' мыслится в пределах отдо v, как это вытекает из
неравенств (22.10).
Дополним теперь уравнение (25.5) граничными условиями. Из самого определения ценности следует, что нейтрон, пересекая границу раздела двух сред, должен сохранить свою ценность, т. е.
<p*(rs —0, v, а, /) = <p*(rs + O, v, а, t).	(25.6)
Если среда граничит с вакуумом и представляет собой выпуклое (или невогнутое) тело, то нейтрон, находящийся на границе среда — вакуум и движущийся в сторону вакуума, уже ни при каких обстоятельствах не сможет «внести своего вклада» в рассматриваемый р-процесс (уже не сможет поглотиться в объеме W в случае примера, который рассмотрен в начале параграфа), а потому ценность такого нейтрона равна нулю. Это означает, что на границе с вакуумом
<p*(rs, v, а, /) —0 при on > 0,	(25.7)
где единичная нормаль п предполагается направленной в вакуум.
Если воспользоваться приемом интегрирования уравнения (25.5) по «тонкому» объему, окружающему элемент границы раздела двух сред или внешней границы (см. подробнее в § ГО), то вместо условий (25.6) и (25.7) получим следующие эквивалентные им условия:
Qn<p*(rs — 0, v, а, 7)=(jn<p*(rs-|-0, v, Q, t);	(25.8)
Qn<p*(rs, v, Q, /) = 0 при ап-^О.	(25.9)
В § 10 и 12 было разъяснено, почему для уравнения переноса граничные условия с весовым множителем On предпочтительнее. Высказанные там соображения в равной мере относятся и к задаче о ценности нейтрона, так что условия (25.8) и (25.9) следует считать основными.
171
Выявим теперь глубокую внутреннюю связь между уравнением переноса (21.7) и уравнением ценности нейтрона (25.5). Для установления этой связи потребуется описать для класса функций Ф={<р} и Ф* *—{<р*} и ввести в рассмотрение два оператора L и L*.
В класс Ф отнесем функции <р(г, v, ft, (), определенные в области Н, кусочно-гладкие по переменной г (с возможным нарушением гладкости на границах сред с разными физическими свойствами), удовлетворяющие условиям (21.8), (21.9) и следующему дополнительному требованию:
?(Г, О, а, 01^-00=0.	(25.10)
'Класс функций Ф*, определенных в области Н и кусочно-гладких по переменной г, подчиним условиям (25.8), (25.9) и требованию
й> 0|^+оо = 0.	(25.11)
Покажем прежде всего, что требования (25.10) и (25.11) физически вполне естественны. Действительно, для нестационарных задач все имеющие практический смысл случай соответствуют тому, что источники нейтронов q(r, v, ft, t,) функционируют лишь в течение некоторого конечного промежутка времени, а отсюда сразу же следует условие (25.10). Далее, если исследователя интересует ценность нейтрона по отношению к какому-нибудь процессу, то вполне уместно считать, что это какой-то ограниченный во времени процесс:	(см., например, начало параграфа).
И если промежуток времени [4, уже прошел (/>^)> то нейтрон не сможет внести вклада в процесс, ограниченный рамками [#i, h], т. е. ценность такого нейтрона равна нулю, а это как раз и совпадает с требованием (25.11).
Обозначим L оператор уравнения переноса (21.7):
L =	^-4-йV -j- S - J Ss (o') dv' Jg (v, v’, QQ')V^' -
0
oo
“ i fv	j vdQ'*-
0
С помощью этого оператора уравнение (21.7) перепишется в виде
Lty—q.	(25.12)
ь
* Под символом J k (х, x').V dx' понимается интегральный оператор: а
(ь	\ ь
f k (х, х') v dx' / = J k (x, x') f (x') dx'.
a	/a
172
Аналогично уравнение (25.5) можно представить в форме
£*<?* = Л	(25.13)
где
оо
£*== - V 4“qV 4-S - ss(V) j dv' Jg(V, v, QQ') V dQ' -
0
oo
---—&)... J X (у', f)dv' J V dQ'. 0
Теперь мы полностью подготовлены к тому, чтобы перейти непосредственно к выяснению связи между уравнениями (21.7) и (25.5). А именно, покажем, что операторы L и L* сопряжены, т. е. тождественно удовлетворяют равенству
(£<р, ?*)-(?, IV) = 0,	(25.14)
где ф&Ф и ф*еф*. Для доказательства тождества (25.14) убедимся, что в нем взаимно компенсируются слагаемые, определяемые соответствующими элементами операторов L и L*. С этой цельк> осуществим следующий ряд поэтапных преобразований.
СО	00
1.	4- ?*)=fdV f— (dQ f^-?*dZ =
v dt ’ ~ J J J t> J J T
v о	—So
00
= f dv ( — f dQ
J J v J
V 0

Величина ??*l-oo равна нулю ввиду условий (25.10) и (25.11), так что окончательно получаем:
Lit 9* v dt ’ ‘
У’ v dt
(25.15)
2.	Преобразуем теперь выражение (Q\7?, ?*), причем считаем среду однозонной:
сначала
(QX7?, ?*) = ( dv J dQ f d/f ?*Q V7?dV = О	—oo V
= J do J dQ J J dV [QV (V) - V?*] = 0	—CO к
0	00	f- -	Л
f dv f dQ $dt § Qn<pip*dS — f <pQV9*dV .
0 J bs v
173
Ввиду условий (21.9) и (25.9) поверхностный интеграл в правой части равенства обращается в нуль, так что имеем
(QV?, ?*) = -(?> о\7?*).
(25.16)
Если среда многозонна, то преобразования с интегралом по объему V нужно выполнить по каждой из зон отдельно. В силу условий (21.8) и (25.8) поверхностные интегралы по границам между зонами взаимно уничтожаются и мы снова приходим к равенству (25.16).
3.	Тождество
(2<р, ?*)=:(?• 2?*)	(25.17)
очевидно. 4.
1,s(v')dv' J g (и, v', QQ')<p(r,	°',	<?*
= J dVdv JdQ J <p*(r, v, 0, 0 dt Ss (o') dv' X V 0	—oo	6
Xfg(o, O', QQ')?(r, o', Q'.	Tdt JSs(o')^o'X
V —So 0
Xj?(r,
= j" dV J dt j" (o) dv J <p (r, v, 0, t) dQ, ^dv' J g (v', v, Ой') X Й —oo 6	0
X <P*(r, °', Q', 0	= (?>	(°) J dv' g (v', v, 00') X
\	о
X?*(r, v', Q', t)d& ].	(25.18)
5. Так же как и в п. 4, получим
о°	X
Jv (и') ЕДо')у(v, v')dv'^<f{r, v', О', t)d&, q>*j =
о	1
(oo	\
.p,	Cy(u', v)dv' C<p*(r, o', O', t)dQ' I.T (25.19)
|	j	/
6	'
Из равенств (25.15) — (25.19) непосредственно следует доказываемое тождество (25.14).
Интересно отметить, что тождество (25.14) дает возможность вычислять любой функционал С от плотности потока нейтронов ф
174
двояким образом:
С==(('Р> Р)<	(25.20)
1(<7. ?*)•
В самом деле, с использованием равенств (25.12) — (25.14) получаем
С=(<р, р) = (<?,	=	<?*) = (q, ср*).
В заключение параграфа уместно остановиться на понятии ценности и, соответственно, на сопряженном уравнении в частном случае стационарного самоподдерживающегося режима. Как мы уже знаем, в конечной среде, содержащей делящееся вещество, такой режим может быть обеспечен подходящим выбором критического параметра Ло (см. § 21). В условиях стационарного критического режима, когда плотность потока нейтронов <р не зависит от времени, особый интерес представляют функционалы вида
(<р, р) = J dV J dv J dQ<p (г, v, Q) p (г, и, Q).	(25.21)
V о
Такого рода функционалы получаются из общей формулы для скалярного произведения (25.1), если положить
р (г, v, Q, t) = p(r, v, &)TL(t — tc),	(25.22)
где ^ — произвольный, но фиксированный момент времени, а
{1, если 11;
—.
0, если [0, 1].
Перейдем к следующему этапу наших рассуждений. Пусть сначала в рассматриваемом критическом объеме V нет нейтронов. Если теперь в некоторый момент времени to в точке гоеИ по направлению Йо впустить Q нейтронов со скоростью v0, то в силу критичности через достаточно продолжительное время (т. е. при t—to—ноо) в объеме V установится стационарное распределение нейтронов [44]:
<р (г, v, Q) = lim<p(r, v, Q, t).	(25.23)
Этой стационарной плотности потока нейтронов ф(г, и, Й), обусловленной впущенными Q нейтронами, отвечает [при фиксированной функции р(г, v, Й)] вполне определенное значение функционала (25.21), которое зависит от точки впускания нейтронов, от направления и модуля скорости впускаемых нейтронов, но не зависит от момента впускания to, как это следует из формул (25.23) и (25.21). Таким образом, ценность нейтрона по отношению к функционалу (25.21), определяемая дробью (ф, р) /Q, будет функцией, не зависящей от времени: (<р, р)/<2=ф*(г0, v0, Йо).
175
Как же выглядит уравнение для функции <р* в частном случае критического режима? Пересматривая вывод уравнения для ценности нейтрона применительно к этому случаю, следует учитывать, что: 1) <р* не зависит от времени и 2) за промежуток времени А/ от момента впускания t0 до момента /'=/0+А/ исходные нейтроны непосредственно не внесут вклада в интересующий нас функционал, поскольку этот вклад подсчитывается через бесконечно длинный интервал времени от момента впускания. Другими словами, при подсчете величины Qi (см. выше) мы используем функцию р(г, v, й, t) в форме (25.22), из которой следует, что р тождественно равна нулю в интервале /o^Z^o+AZ, так как te отвечает уже установившемуся режиму (/с»/0--|-А().
С учетом этих двух замечаний приходим к следующему стационарному и однородному уравнению:
00
—Q\7<p* —f—— Sjy) J dvr j*dQ'giv*, у, Oi>z)cp*(r, vf, О') — о
00
=	у(0)2Ду) ^х(у', v)dv' ^<р*(г, v', Q')dQ'.	(25.24)
о
Полученное уравнение имеет отличное от нуля решение, ибо параметр Хо, будучи положительным собственным значением уравнения (21.12), является собственным значением и сопряженного уравнения (25.24) [26, 43]. Более того, решение <р* уравнения (25.24) —всюду положительная функция [43].
Интересно отметить, что в случае самоподдерживающегося критического режима уравнение (25.24) определяет целое семейство функций ценности аф*(г, v, й), где а — произвольная постоянная. Этот факт не случаен. Действительно, в случае нестационарного режима бесконечное множество вариантов в выборе функций р(г, v, й, () влечет за собой такое же множество функционалов (25.1) и соответствующих им функций ценности [решений уравнения (25.5)]. В случае стационарного режима бесконечное множество функционалов (25.21) снова обеспечивается бесконечным множеством вариантов в выборе весовой функции р(г, v, й). Но эта функция не входит в уравнение (25.24), а потому не может сама по себе формировать множество функций ценности— это множество формируется с помощью произвольной постоянной а.
Можно порекомендовать читателю выполнить в качестве упражнения следующую программу:
1) вывести уравнение для ценности нейтрона в рамках односкоростной теории и доказать сопряженность соответствующих операторов L и L*;
2) получить диффузионно-возрастное приближение для уравнения (25.24).
Более подробные результаты по материалам этого и следующего параграфов читатель найдет в работах [44—47].
176
§ 26. ФОРМУЛЫ ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ
Во всех предыдущих параграфах при изучении нейтронно-ядерных процессов в материальной среде предполагалось, что свойства этой среды неизменны. Однако очень часто на практике и в теоретических вопросах мы сталкиваемся с условиями, когда свойства среды меняются (возмущаются). Характер этих изменений может быть как естественным (выгорание делящегося вещества со временем в работающем реакторе и накопление в нем продуктов деления; погружение регулирующих стержней в активную зону реактора или извлечение их оттуда; аварийный режим при прорыве, например, канала с жидким теплоносителем в реакторе и т. д.), так и искусственным, когда, например, уточняются сечения нейтронно-ядерных реакций на основе более совершенного эксперимента (в этом случае объективные свойства веществ не меняются, а меняются лишь наши сведения о них) или фиктивно меняются параметры среды для упрощения математической модели (в частности, это относится к методам гомогенизации гетерогенной активной зоны реактора [48], к получению многогрупповых констант при так называемом многогрупповом методе решения уравнения переноса [3] и т. д.).
Для большей систематичности изложения, как и выше, все рассуждения проведем сначала на примере неоднородного уравнения (21.7), или, что то же, (25.12).
Пусть нас интересует какой-то конкретный функционал С[ф]. Очевидно, что с изменением свойств среды этот функционал может измениться (и, как правило, изменяется!). Изменение функционала, рассчитанное непосредственно как разность между исходным и «возмущенным» функционалами, может оказаться практически непригодным при малых изменениях свойств среды, поскольку вычитаются близкие величины. Обойти эту трудность можно с помощью сопряженного уравнения — в этом случае удается получить формулу для вычисления вариации (возмущения) функционала бС «без потери точности». Получим эту формулу.
Условимся все, что относится к возмущенному состоянию*, отмечать штрихом. Легко видеть, что изменение свойств среды — это изменение оператора L в уравнении (25.12):
L—>-Z. '=L -1-, откуда следует, что
—|—8<р; С—*С = С —]— 8С.
Возмущенное состояние описывается уравнением
LV^(L + 8L)?'=<7.	(26.1)-.
Наряду с уравнением (26.1) рассмотрим невозмущенное сопряженное уравнение (25.13), соответствующее изучаемому функцио-
* Следует заметить, что любое из двух состояний среды можно считать возмущенным относительно другого состояния.
177
налу С. Уравнение (26.1) умножим скалярно на <р*, а уравнение (25.13) —на <p'. Вычитая второй результат из первого и пользуясь условием сопряженности (25.14), получаем
(8Л/, ч>*)==(<7, ?*) — (/?, ?')
или, учитывая (25.20),
8С=-(8£?', <р*).	(26.2)
Если различия в параметрах возмущенной и невозмущенной задач малы, то в (26.2) <р' можно заменить на <р, не внося при этом заметной погрешности в дС. Действительно,
8С = -(8£?', <р*) = - (8L (ф + 8<р),	=	?*)-(8L8?, <?*).
При малых возмущениях слагаемое (6L6<p, <р*) является бесконечно малой величиной более высокого порядка, чем (бА<р, <р*), так что приближенно получаем
8C = -(8L?, ?*).	(26.3)
В формулах (26.2) и (26.3) возмущение оператора 8L известно исследователю «без потери точности», так что «потери точности» не будет и в величине 6С.
Может оказаться, что с изменением свойств среды меняются одновременно правые части уравнений (25.12) и (25.13). В этом случае формула для возмущения функционала имеет вид
' 8C=-(8L?', ?*) + (§?. ?*) + (?'. З^-или в случае малых возмущений
8С=-(8£?, <р*) + (8?, ?*) + (?• М-	(26.4)
В заключение параграфа остановимся кратко на однородном уравнении (21.12). Предположим, что найден критический параметр нашей задачи Хо. Если изменить свойства среды, то это должно привести к изменению параметра Хо. Чтобы получить в компактном виде формулу для вычисления возмущения 6Хе, запишем уравнения (21.12) и (25.24) в операторной форме:
=	=	(26.5)
где в роли собственного значения X выступает критический параметр Хо (т. е. наименьшее собственное значение). Надеемся, что читатель легко воспроизведет самостоятельно вид операторов S, Я, S* и й*.
Возмущенное уравнение для плотности потока нейтронов запишется в виде
(^ + 8^)/ = (Я, + 8Я0)(^ + 8^)ч>'.	(26.6)
Умножая скалярно уравнение (26.6) на <р*, а второе уравнение в (26.5) — на <р', вычитая один результат из другого и разрешая 178
полученное равенство относительно 6ХО, получаем
s, _(W-X'.W. ?*) ~ (я<ег, у*)
или в случае малых возмущений
._(8gy-x,8&y, у»)
° •	(<Я.у, у*)
(26.7)
Формулы для малых возмущений (26.3), (26.4) и (26.7) принято называть формулами теории возмущений.
Для иллюстрации материала этого параграфа рассмотрим следующий пример. Пусть Vi и У2 — объемы активной зоны и отражателя реактора. Были рассчитаны критический параметр Ло и соответствующие ему функции <р(г, v, Q) и <р*(г, v, й). Несколько позже в распоряжение исследователей поступили более точные данные о сечении захвата материала отражателя. Как рассчитать поправку в критическом параметре Ло? Для этой цели следует воспользоваться формулой (26.7), которая в нашем частном случае примет вид
ОО
dV J 8Sa (и) dv J у* (г, v, Q) у (г, v, Q) dQ
____________ о	 ’•	CO	00
( dV dv J у* (r, », Q) J v (v') Sf (v') x (и, v') dv' J у (г, v', Q) dQf r, e	»
ГЛАВА 5
☆ ТЕРМАЛИЗАЦИЯ НЕЙТРОНОВ
§ 27. ВВОДНАЯ ЧАСТЬ
В предыдущих главах достаточно обстоятельно изложены главные механизмы взаимодействия нейтрона с веществом. Однако при этом молчаливо предполагалось, что скорости теплового движения атомов (молекул) среды ничтожно малы по сравнению со скоростями блуждающих в среде нейтронов. Это давало право считать ядра атомов покоящимися. В частности, в этих предположениях были получены формулы для плотности столкновений (см. § 7), конкретные формы уравнения переноса (10.13), (21.7) и сопряженного уравнения (25.5), а также аналитическое выражение для функции рассеяния в модели упругого соударения (22.16).
В каких же случаях оказывается правомерным предположение о неподвижности ядер среды? Это предположение правомерно, например, при описании нейтронно-ядерных процессов в реакторах, на быстрых нейтронах. Материальная среда таких реакторов состоит преимущественно из ядер тяжелых элементов, а потому в каждом акте рассеяния энергия (скорость) нейтрона уменьшается незначительно [см. (22.10)]. Следовательно, появившийся в результате акта деления быстрый нейтрон должен испытать много рассеивающих соударений, прежде чем его энергия сравнится с энергией теплового движения ядер. Если бы в такой ситуации заметная доля'рождающихся быстрых нейтронов достигала низких энергий, то это означало бы, что все эти нейтроны испытали множество столкновений с рассеянием и не испытали ни одного поглощающего столкновения. Очевидно, достаточно наличия сравнительно небольшого захвата, чтобы вероятность такого исхода оказалась близкой к нулю, а значит, в среде отсутствовали бы нейтроны низких энергий. Именно так и обстоит дело в реакторах на быстрых нейтронах.
Напротив, в реакторах, где в качестве замедлителя используются ядра легких элементов, быстрый процесс замедления приводит к тому, что в среде находятся нейтроны как высоких, так и низких энергий (скоростей). В этом случае уже нельзя предполагать ядра покоящимися по отношению к нейтронам низких энергий. Более того, для таких нейтронов оказываются существенными молекулярные и кристаллические связи в веществе [49, 50].
Для дальнейших рассуждений удобно разбить все нейтроны условно на две группы согласно сформулированному ниже призна-180
ку. В группу быстрых объединим нейтроны, энергия которых столь велнка, что можно пренебречь тепловым движением атомов (молекул) среды, а также молекулярными и кристаллическими связями. Тепловая группа будет содержать те нейтроны, скорости которых сравнимы со средней скоростью теплового движения атомов (молекул) среды. При этом тепловые нейтроны в процессе рассеяния могут взаимодействовать уже не с отдельными ядрами замедлителя, а с молекулой в целом или кристаллической решеткой.
Механизм рассеяния нейтронов на свободных и неподвижных ядрах замедлителя приводит к тому, что нейтроны быстрой группы после каждого соударения могут только терять энергию [см. (22.10)]. Напротив, механизм рассеяния тепловых нейтронов таков, что после соударения нейтрон может как потерять, так и приобрести энергию [см. (28.21)]. Поскольку механизм рассеяния является важным фактором при формировании энергетического распределения нейтронов, зависимость плотности потока нейтронов от энергии существенно различна для нейтронов быстрой и тепловой групп. Так, если захват в среде невелик, энергетическая зависимость в быстрой области описывается приблизительно следующей функцией: const/E (фермиевский спектр) (см. § 23), а зависимость от энергии для нейтронов тепловой группы близка к максвелловскому спектру: const•£-ехр (—E/kT), где k— постоянная Больцмана, Т — температура среды [1].
В соответствии с установившейся терминологией формирование плотности потока нейтронов под влиянием теплового движения атомов (молекул) вещества, а также молекулярных и кристаллических связей будем называть термализацией. В этой главе попытаемся осветить некоторые важные вопросы, связанные с проблемой термализации.
Первый пункт изучаемой проблемы — поиск конкретных выражений для вероятностей соударений и функции рассеяния в области термализации. В общем случае эта задача чрезвычайно сложна, н для углубленного ее изучения можно рекомендовать читателю книгу В. Ф. Турчина [50]. Ниже рассматривается только простейший, но крайне важный случай, когда замедлитель представляет собой одноатомный газ * или смесь таких газов. В этой ситуации кристаллические и молекулярные связи отсутствуют и учитывать необходимо лишь тепловое движение ядер замедлителя. Чтобы не загромождать деталями технику получения интересующих нас функций, ограничимся случаем, когда замедлитель состоит из рассеивающих ядер только одного сорта.
* В частности, газовая модель применима ко исем элементам, масса ядра которых превосходит массу ядра алюминия [49].
181
§ 28. ВЫВОД АНАЛИТИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ
ДЛЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ СОУДАРЕНИЙ И ФУНКЦИИ РАССЕЯНИЯ В ОБЛАСТИ ТЕРМАЛИЗАЦИИ ДЛЯ ГАЗОВОЙ МОДЕЛИ ЗАМЕДЛИТЕЛЯ
Пусть N — общее количество ядер одноатомного газа в единице объема. Поскольку ядра движутся, можно говорить о числе тех ядер, абсолютные значения скоростей которых заключены в интервале dv0 около скорости vo, а направления скоростей не выходят за пределы элементарного телесного угла dQo- В условиях теплового равновесия число таких ядер описывается, как известно, следующим законом Максвелла [49]:
(28.1) где
(уо) y^\2kjrj v 0 ехР 2йг)’	(28.2)
М—масса ядра; Т — абсолютная температура газовой среды; k — постоянная Больцмана.
Вероятность того, что нейтрон со скоростью v за единицу времени испытывает рассеивающее столкновение с группой ядер (28.1), зависит от относительной скорости нейтрона к ядрам (28.1) и легко может быть записана на основе формулы (7.4):
^о^До*) J£(o0)do0t/Q0,
или
^v^^^dv.d^,	(28.3)
где
Ss(^) = A4(Oj?); yy? = lv-v0| = /usH-us.-2(v, v0) ; (28.4)
(v, vo) — скалярное произведение векторов v и vq.
На основе формулы (28.3) вероятность рассеяния нейтрона за единицу времени ws(v) запишется в виде интеграла
(28-5)
о
Аналогично вероятность захвата нейтрона за единицу времени wa(v) примет вид
ОО
wa (») = i j dv. j dti.v^vj dU. (o0).	(28.6)
0
Получим сначала функцию ws (v). Интегрирование в , (28.5) можно провести до конца аналитически, если сечение рассеяния Ss(vR) аппроксимировать подходяще выбранной функцией, заданной аналитическим выражением. Считаем, что сечение рассеяния 2s(vr) можно аппроксимировать суммой экспонент [49]:
2S(^) =2.1 ехр (-у^)+2ог ехр (-у^) + ...,
причем, не нарушая общности, достаточно рассмотреть случай
2Дод) =2, ехр (-ргд).	(28.7)
Заметим, что представление (28.7) содержит в себе наиболее простой и в то же время наиболее важный в практическом отношении вариант 2s(fR)=20=const, который отвечает случаю у=0. Подставляя в формулу (28.5) явные аналитические выражения для
(vR) и Л'(т’о), получаем
ОО	2тс те
(и) = 20 ^у/2 J и20ехр (~ж>20) dva J J vR ехр (-yv2R) sin 0otZ0 О	0	0
(28.8)
где n=M/2kT. Если фиксированный вектор v принять за начало отсчета углов 0О, то правая часть равенства (28.8) сразу же интегрируется по фо"
ОО	1
ws (v) = yL х3/2 J < exp (—w’o) dv„ J vR exp (—p\) d^,	= cos 0„.
о	—i
Нд основе равенства v2R=v2-srv\~2vv0pa перейдем в последнем интеграле от переменной интегрирования р.о к vR. Получим
00	»+».
ws(v) = ^=^'2 j\exp (-w20) A, j v‘Rexp(~^v‘R)dvR> О	[и——Dq|
или, чтобы исключить модуль | V — v01,
ws(v)
— 2\_ иЗ/2 О Кл
"оо	»+&.
p0exp(-xu20)<fo0 J v2Rexp(~jv2R)dvR~
*-о	о
Jt>oexp(—xo2e)tfo0 у огдехр(—уо\)^ —
О	о
оо
yo0exp(-w20)tfo„ у о2Лехр(- ^v2R)dvR .
V	0	-*
(28.9)
183
Все три интеграла в последнем равенстве имеют конструкцию вида
Д	Сх-^-О
/ — f х ехр (—zx!) dx J г/2 ехр(—^yl)dy. а	о
Проинтегрируем это выражение по частям, положив
Cx+D
U— #2ехр(—^y^dy, dV = xexp(—%x2)dx. о
В результате находим
/ = ^-|-ехр(-хх2) j ^*exp(-Y^*)rf!/|® + '	о
4- С J (Сх -f- D)* ехр [—их2 — Y (Сх 4~ D)*} ^х|. л	’
Если полученный результат применить к равенству (28.9) и учесть легко проверяемое тождество в	Г	в	1
С х* ехр (—х2) dx = - | Л ехр (—Д’) — В ехр (—В2) 4- J е*Р (—*') dx I , a	*	a	J
то окончательно будем иметь
(о)₽=2,огх’ [^с2х 4- erf (/Ж tx) ехр	4-
+й^ехР(-Жл‘)]’	‘	<28Л°)
где
vr=y2kT; •в’ = Л1/(Л14-уо1г); x = v/vr;
erf z = -^= f ехр (—t*) di. r J
О
В частном случае 2ДоЛ) = 2, = const формула (28.10) принимает вид
». w =*А [ О'+2-к) ««(^) +	.
Обратимся теперь к формуле (28.6). В практическом отношении наибольший интерес представляют следующие два случая:
I) сечение поглощения подчиняется закону 1/а
( vg) — 2а (or)	(28.11)
184
2) сечение поглощения отклоняется от закона 1 /V, но атомная масса поглотителя велика (уран, плутоний и др.).
В первом случае из (28.6) и (28.11) сразу получаем . wa (v) = иг2а (иг) = п2а (») = const.
Что касается второго случая, то здесь необходимо сделать некоторые пояснения. Прежде всего заметим, что максвелловский спектр v#(u0) практически весь «укладывается» в промежуток
О < V, < 3 уйшл=3vT!VM'
При изменении v0 в указанном промежутке величина t>H=|v—vol не выходит за пределы одного из двух интервалов:
V — 3vT/]/'M<^vR<Cv~}~3vT/yМ, если 3nr/j/Af; 1
_	_ г (28.12)
0<C.vR<^6vT/yM, если v< Зот/УМ,	J
которые достаточно малы при большом М. В пределах малых промежутков (28.12) произведение ин2а(ов) можно считать слабо меняющимся [тем более что 2о(0н) обычно не сильно отклоняется от закона 1/и] и принять равным oSa(t»). В результате из формулы (28.6) получим
wa(v) = v%a(v).	(28.13)
Таким образом, как для случая 1), так и для случая 2) функция wa(v) описывается одной формулой (28.13). Аналогичный результат можно записать и для функции Wf(y), относящейся к реакции деления:
wf (o) = oSf (v).
Переходим теперь к получению функции рассеяния. Обозначим g(y'—>-v, v0)dvdQ условную вероятность перехода нейтрона со скоростью у' в элемент dvdQ около скорости v в результате происшедшего рассеивающего соударения с ядром, имеющим скорость Vq. Тогда вроятность изменения скорости нейтрона с v' на v в единицу времени представится в виде интеграла:
00
a)(v'-*v)dndQ = ^- Jdn0 J(п'Л) JC(v0)g(v'->v, v0), (28.14) о
где n,H=|v/—vq|. Для работы с формулой (28.14) потребуется знать функцию g(y'—>v, Vo). Эту функцию будем искать в рамках гипотез, сформулированных в § 22.
Прежде всего задачу о соударении нейтрона с движущимся ядром сведем к подробно изученной в § 22 задаче о рассеянии нейтрона на неподвижном ядре. Для этого достаточно ввести в рассмотрение систему координат, жестко связанную с движущимся ядром. В этой системе координат ядро покоится, а потому 13—301	185
имеют силу все результаты § 22. В частности, основной результат этого параграфа — формула (22.16)—может быть переписан в виде
v'R, cos(v^ v'R)) =
(l+M)2 vR fM+l vR м-l t>'R	\
~	..2s	-----^-^-cos<v«’ v*>	’ <28Л5)
где Vh=v—vo; v'r—v'—v0. Существенно отметить, что интересующая нас величина g(y'—vo) не может быть прямо приравнена выражению (28.15). Дело в том, что эти функции имеют разные нормировки (см. § 21), а потому можно записать только такое равенство [ср. с формулой (21.14)]:
g(v'-*v, vt)')\dvdQ\ = g(vR, v'R, cos (v^, v'R))	(28.16)
Вычисляя якобиан перехода от переменных v, й к переменным vr, Ar, устанавливаем, что
v2dvd£> = v2advDdQ.D	(28.17)
Из равенств (28.15) — (28.17) находим
g(v'^v, v0)=-^-g(t^, v'R, cos(vR, v'R)) =
(l+МУ v2 S/M+1 "у? M — lv'R	\
=	. ,1----Fo-Sf -i--r------5---cos(v„, V') • (28.18)
v	2 v'R 2 vR	R’ R' J	>
Дальнейшая наша задача состоит в преобразовании правой части формулы (28.18). Прежде всего на основе формулы (22.19) получаем
g(v'-v, v,) =
(1 +Л4)г 4лЛ4
й fM. + 1 2
—Л~
М— 1 >2	.	, . \
2 VR ^R' V R> j •
Если в аргументе 6-функции величины vR и v'R заменить развернутыми выражениями согласно формуле (28.4) и снова воспользоваться формулой (22.19), то окончательно будем иметь
g(v'^v, v.)
(1 +М)2 и2	—	К*	..
4тШ2	v'r,	2	2М
АХ	/
(28.19)
где g = v —v'. После подстановки (28.2), (28.7) и (28.19) в (28.14) приходам к следующему выражению для w (v'-*v):
у
t0(v'-»v) =-Д v ' 4л
Xjexp(-TO;2-^8^-L_^+^_(g; ¥в)^йв. (28.20)
186
Для вычисления интеграла (28.20) перейдем от сферической системы координат к прямоугольной: t)2odnodiQo—*dv0xdv0ydv0z. При этом координатные оси ОХ и OY расположим в плоскости векторов v' и v, направив ось X по направлению вектора g
Рис. 28. Расположение координатных осей ОХ и ОУ по отношению к вектору £=v'—v
(рис. 28). Интеграл (28.20) можно теперь представить в виде произведения трех интегралов 11г /2, /3:
—ОО
44 + 1\ 2 оа . nvT / М +
—
4VM
Выражение для /з было получено с учетом правил действия с.6-функцией (22.18) и (22.19). Перемножая полученные выраже-13*	187
ния и замечая, что v'x—(v2—u/2g2) /2g, окончательно имеем
,	.	.	So	(М+ I)2	т2	V2
® (v	V) —	4	(яЛ1)з/2	Vt	I V — v'	I	X
Хехр Г-Р-"/'1	2 + т2	(28.21)
г [	*	4т2и2г у М	1	|v — v'| j J ’ '	\
где 2 = 1 —j—уИ(1 — т2).
В том частном случае, когда 2s(n.R)=So=const, выражение (28.21) несколько упрощается (у—0, т=Л=1).
После подробного математического описания процессов взаимодействия нейтрона с веществом в области термализации мы можем и в группе быстрых нейтронов, и в тепловой группе пользоваться одной и той же формой уравнений (21.7) и (25.5), если в области термализации формально положить
(v) = ws (v)/v; 2a (у) = wa (v)/v;	(у) = wf (v)/v;
^s(v')g(v> v'.
§ 29. ЗАМЕЧАНИЕ О ДВУХ ЭТАПАХ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ПЕРЕНОСА
Положим, что нас интересует решение задачи о стационарном распределении нейтронов в неразмножающей среде. Именно к этому случаю формально сводится реализация одного итерационного шага в схеме (21.13). Обозначим угр условную граничную скорость между группой быстрых и группой тепловых нейтронов. Эта величина, очевидно, должна удовлетворять (с некоторой разумной степенью точности) следующему принципу:
Ss(y')g(y, у', ЙО') = 0 ПРИ у>угР и <Хгр- (29.1) Соответствующее нашей задаче уравнение переноса можно записать в виде
V, «') +
v’, йй')?(г> V1, й')4_<7(г>	а)- (29.2)
Ргр
Если у>угр, то в силу равенства (29.1) первый интеграл в уравнении (29.2) равен нулю. Это означает, что поток нейтронов быстрой группы «не чувствует» распределения тепловых нейтронов. Данное обстоятельство позволяет разбить решение задачи на два этапа. На первом этапе в области у>огр ищется решение уравнения
й\7ср-|-2ср— J dv’ J (у') g (у, у', йй')?(г> v’> й')~Ь <7(г>	й)-
° гр
(29.3)
188
О простейшем приближенном способе решения этого уравнения в случае тяжелого замедлителя рассказано в § 24. С более общими и более точными методами решения уравнения (29.3) можно познакомиться, например, в книге Г. И. Марчука [3].
Следующий этап решения задачи относится к области 0<п< <игр. В этом случае второй интеграл в (29.2) будет уже известной функцией, так что речь пойдет о решении уравнения вида
й\7?(г> и> й) + а (и) v (r> v> Q) = arp
= J dv' J tZQ'a (v'-»v) (r, v', Q') 4~ s (r, v> й),	(29.4)
о
где
a(o) = _L (И) _|_ Wa (И)];	a(v'^v) = yffi(v'-v). (29.5)
§ 30. ПРИБЛИЖЕННЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ПЕРЕНОСА
В ОБЛАСТИ ТЕРМАЛИЗАЦИИ
Сразу же оговоримся, что описываемый в данном параграфе метод обладает известной общностью, поскольку все относящиеся к нему математические операции не связаны с предположением о конкретном механизме взаимодействия нейтрона с веществом. Этот метод проверен как в рамках газовой модели замедлителя, так и на базе моделей, учитывающих молекулярные и кристаллические связи [50].
В основу метода положен метод сферических гармоник, подробно разобранный в § 12 и Приложении Б. Для простоты ограничимся изучением плоской задачи. После применения к уравнению (29.4) описанной в § 12 процедуры приходим к следующей системе уравнений:
(ятгт?-+2-гттт-)+»т*(г. «)=
“гр
— j <хА(п, п')?,а(2» u')^' + s*(2> u), k — G, 1, 2,..., (30.1) о
где
i	i
<fk & у)= £?(2> о, н)^(н)^; sk(z, v)= $s(z, v, ц)Рк(ц)(!ц;
—Г	—i
1
(о, v') = f a (v'—v) Pk (?.,) dfi = 2it f a (v' v) Pk (fi.)	(30.2)
IS = cos(v, v').
189
Для дальнейшего упрощения системы интегро-дифференциальных уравнений (30.1) разобьем область 0<и<Игр на т интервалов Vj<v<ZVj+i (/=1, 2, т; ^1=0; om+i=orp). Если среда, в которой ищется решение, многозонна, то сконцентрируем временно наше внимание на какой-нибудь одной из зон и представим в ней функцию <p(z, v, ц) в виде
cp(z, v, (i) = р (и) v (г, V. р.).	(30.3)
Функцию p(v) в (30.3) для данной зоны нужно выбрать с таким расчетом, чтобы по возможности лучше учесть характер изменения <p(z, v, ц) по переменной V. Если, найример, размеры зоны достаточно велики (порядка нескольких длин свободного пробега), то в качестве р(о) целесообразно выбрать энергетический спектр плотности потока нейтронов в бесконечной среде, заполненной веществом рассматриваемой зоны. При расчете периодической решетки активной зоны гетерогенного реактора размеры зон в большинстве случаев оказываются малыми и во всей решетке устанавливается некоторый усредненный энергетический спектр. Тогда в качестве р(и) для всех зон можно выбрать энергетический спектр бесконечной среды, полученной формальной гомогенизацией решетки.
Определение функции р(и) представляет собой сравнительно простую задачу [49]. Отметим, что в самом грубом приближении в качестве р(и) можно взять максвелловский спектр
р (о) — const и3 ехр (—v^kT), который является решением однородного уравнения переноса в бесконечной непоглощающей среде. Таким образом, по пространственной координате р(и) будет кусочно-постоянной функцией с возможными разрывами на границах, разделяющих зоны с разными физическими свойствами.
Все сказанное выше дает возможность считать функцию v(z, v, ц) в (30.3) слабо зависящей от v во всем интервале 0<о< <Игр. В пределах же каждого отдельного подынтервала и;<и< <из+1 зависимостью v от скорости вообще пренебрежем. Если теперь проинтегрировать уравнения (30.1) по каждому из интервалов	и перейти к интегральным значениям
... /+1
(Z)== J ?й(г, v)dv, vi
то с учетом высказанного предположения получим следующую систему дифференциальных уравнений:
Л+1 2fe+l dz
___k d<f^\ 2k + 1 dz /
m
(z) = £]	+
t=i

£ = 0, 1, 2,...; / = 1,..., m, (30.4)
190
где
a/+i
J v’)p(y')dv';
vi	' .
Аналогично преобразуются и граничные условия.
В случае конечного Р jv-приближения (k=0, 1, 2, ..N) систему обыкновенных дифференциальных уравнений (30.4) можно преобразовать в конечно-разностное матрично-векторное уравнение и применить к последнему, например, метод матричной прогонки подобно тому, как мы делали это в § 13. Существенно, однако, подчеркнуть, что порядок матриц и векторов будет теперь в т раз выше, чем в случае односкоростной теории. Но при большом т метод единой (т. е. для всей системы сразу) прогонки начинает уступать другим алгоритмам, так как реализация прогонки связана (при большом т) с обращением матриц высокого порядка, а это приводит к большим затратам машинного времени на ЭВМ.
Более эффективным в этих условиях следует признать итерационный процесс, организованный по известному принципу Зейде-ля [21]. Сейчас мы кратко опишем схему решения задачи этим способом. Обозначим (z) значение функции (z) на п-м итерационном шаге. В этих обозначениях итерационный процесс решения системы (30.4) выглядит так:
fe+1 ^i, „ ,________k	n
2k + 1	dz ‘ 2k + 1	dz

(30.5)
где
j—I	m
(z)=2 Wk!n^+S+sk}<z>-
Z=1	l=j
Решение уравнений (30.5) осуществляется последовательно по номерам j в порядке их возрастания. Каждый итерационный цикл завершается решением уравнения системы (30.5) с номером j—m. Затем выполняется следующий цикл и т. д.
При реализации описанного итерационного процесса есть все основания рекомендовать балансный метод ускорения сходимости (см. § 18). Например, при расчетах плотности потока нейтронов
191
в пределах отдельной ячейки гетерогенного реактора [51] применение балансного метода может дать приемлемый для практических целей результат за три-четыре итерационных цикла, что при сравнении с обычным итерационным процессом означает приблизительно десятикратное ускорение сходимости.
Наконец, заметим, что конечно-разностный аналог каждого из уравнений системы (30.5) является хорошо изученной односкоростной задачей (§ 13, 14), для решения которой применение метода прогонки вполне оправдано.
Получим теперь полезные для расчетов контрольные соотношу
шения. Суммируя величины «0 по индексу j и используя легко проверяемое равенство
ОО as(v) = v^dv' о получаем т l-*i j 1	°£p
лч—~	J	p(y)dv J	a0(vr,	v)dv' —
f=l	о
’l+l	Ol + t	00
J	a.s(v)p(v)do —	j	p(v)dv	J a„(u', v)dv'.
vi	°l	°rp
Отсюда в силу равенства (29.1) имеем т 2%=^°, /=1, 2, ..., т.	(30.6)
7=1
Если контрольные равенства (30.6) выполняются с недостаточной <-7 степенью точности, необходимо вводить поправки в величину (так как погрешность, как правило, возникает в результате двойного
интегрирования), умножая, например, все a0 (Z=l, 2,..., т) на поправочные множители T)z, чтобы равенства (30.6) были точными.
В заключение главы получим аналитическое представление двух практически наиболее важных угловых моментов функций рассеяния ао(ц, v') и ai(y, v'), определяемых формулами (30.2), для случая одноатомного газового замедлителя.
192
§ 31. ФУНКЦИИ a0[t), v'J и v'j ДЛЯ ОДНОАТОМНОГО ГАЗОВОГО ЗАМЕДЛИТЕЛЯ
Полагая в формуле (30.2) k=0; 1 и используя выражения (29.5) и (28.21), получаем
а.(о, п,)=-^^-гехр(^ут2п'2)Х
lc-0'l
«>(». f')=22^exp(-Yi;2v'2)X
{и4-у'
J	(31.1)
lo-o'| v+v'	»
(*	-2 Г M ( \	,	2 U2-- V' 2 \ 21 I
J £ еХР [ 4т2р2г (_ЛГ^ + Х	с J
10—o'l	'
где
к = 2 _(Л£+_1)Х.
• 2Mvr /тШ ’
C = |v — v'|.
Правые части равенства (31.1) содержат интегралы вида
ь
jexpf—	dt-,
а
b
j>exp[-(л/ + 4)2] а
dt.
Здесь
a=|v —у'|; b = vA = X./2wT],/"M; В = '~^-(иг — v'г).
Рассмотрим класс интегралов
ь
а
(31.2)
где п — целое число. Интегрируя (31.2) по частям, нетрудно получить следующую рекуррентную формулу:
= 2^ {(2« + 1) Jn + 2В24_ - t^' ехр [-[At + Ay] Q.
“(31.3)
193
Как следует из формулы (31.3), весь набор интегралов Jn (п=0, ±1, ±2, ...) может быть найден, если известны какие-нибудь два из них с индексами, разнящимися на единицу. Проще всего могут быть найдены интегралы /о и J-i, к вычислению которых сейчас и приступим. Рассмотрим сначала интеграл
ь
/0 = Jexp[-^+4)2]^. а
Введем переменные v и ц посредством следующих соотношений:
v = Ai+B/t; v. = v-JrCt = (A-JrC)t-{-B/t,	(31.4)
где С — неопределенная константа. Соотношения (31.4) можно рассматривать как параметрическое уравнение кривой в плоскости v|x, где t играет роль параметра. Интеграл /0 в новых переменных превращается в криволинейный интеграл
Л = -^- Jexp(—v2)(dp — dv),	(31.5)
L
где L — кривая, определяемая уравнениями (31.4). Замечая из (31.4), что ц—v—Ct, a n~[-v—(C-1f-2A)t-{-2B/t, получаем
р2—v2=C (С+2Л) t2+2BC.
Если теперь положить С——2А, то в последнем равенстве член с I2 пропадет, так что
{Х2_л,2==_4ЛВ.	(31.6)
Интеграл (31.5) с использованием (31.6) перепишется в виде
 ___ 1
° — 2А
Jexp(—vs) dv — exp(—4AB) Jexp(—p2)dp — l	*
- Ab+B/b
___i_	c
~'2a	J
'Aa^-B/a
erfz
—Ab+B/b
v2) dv — ехр (—4АВ)	j ехр (—р2) dp
—Аа~^~В/а
Ab+Blb ,	f I-ib+Blb-\
— exp (—4AB) erf z Aa-j-B/a	I—Aa-^-B/a J
Для вычисления интеграла J-i введем переменные
v = At-^B/t; v. = vA-Clt = Ai + (B^-C)/t.
(31.7)
С
Отсюда получим р2 — v2 = 2АС	(С -|~ 2В). Полагая С — — 2В,
194
окончательно имеем
ь
/.1=jexp[-(A+4)1]" = а
1/Г" Г	АЬ—В/Ь	Ab-^B/bl
= -го- ехр(—4AB)erfz	—erfz		(31.8)
4В L	’ Аа—В/а	Аа+В/а]	'	'
Если теперь воспользоваться формулами (31.7) и (31.8), то выражения для ao(v, v') и ai(n, v') окончательно примут вид
*. (v, V') =- 20	£-г [ехр	2) (erf z. + в erf z2) +
-f-exp(x'2 — Zx2) (erfz3 — s erfzj];
^ = S0^^^-^|exp(-TTVrx'2)X
x[GH - v71 - dr) (erf z>+e erf + 7=^ exP (—z’>) ~
—	|X~,X 1 exp(— z2s)]+exp(%'2 — Zx2)X
tJt') (erfz3 -serfzjl, \ A	A	A A j	I
где
x = n/or; x' —v'fvT; 0 = (Al -[- 1)/2тУM-, т) = т;УЛ1 — 0;
v = t]/A1/Z; z3 = x0 — x'tj; z2 = x0-j-x'tj; z3 = x'0 —xtj;
z4 = x'0 -j- Xi);
__( 1 при x<x';
I —1 при x>x'.
ПРИЛОЖЕНИЕ А
КЛАССИЧЕСКАЯ ПРОБЛЕМА МИЛНА *
При изучении диффузионной модели (см. § 8) было установлено, что все результаты этой теории могут иметь законную билу лишь в тех точках области V, которые отстоят от ее границы не менее чем иа две-трн длины свободного пробега. В нарушение этого условия мы, тем не менее, использовали вторую формулу (8.10) для постановки граничного условия (8.16). Ясно, что этому условию уже «предопределено» исказить решение диффузионной задачи во всей области V.
Сейчас будет подробно разобрана одна модельная задача, получившая название проблемы Милна, решение которой позволяет, в частности, заменить грубое граничное условие (8.16) более точным. Разговор о проблеме Милна лучше всего начать с очень простой диффузионной задачи. Пусть в пустоту помещен слой однородного вещества толщиной 2Я. Предположим, что рассматриваемое вещество не поглощает нейтроны, а только изотропно рассеивает их. Наконец, пусть точно посередине слоя функционирует стационарный бесконечно тонкий плоский источник интенсивностью 2q нейтрон/ (см2-сек). Эта задача (с учетом симметрии относительно плоскости источника х—Н) в диффузионном варианте сводится к уравнению
d^f/dx2—f), 0<х<Н,
общее решение которого имеет вид
<р(х) =Ах+В.
На границе с вакуумом (х=0) решение <р(х) подчиним условию [см. (8.16)]:
=0’
откуда находим: B=2DA, так что
ф(х)=Л(х+2£>).
Поскольку в объеме слоя поглощение отсутствует, интенсивность выходящего из среды через грань х=0 излучения равна q, т. е.
4	2 dx /	\ dx \ -ил-q.
\	/ x=0	\ /x=o
Следовательно, можно записать окончательно
?(х) = ^-(х +2D),	(А.2)
* В процессе работы над настоящим Приложением были использованы записи лекций Е. С. Кузнецова.
196
Обратим теперь внимание на то, что решение (А.2) ие зависит от толщины пластины Н. Начнем неограниченно увеличивать толщину пластины, сохраняя при этом точно в ее середине положение источника. Решение (А.2) остается при этом неизменным [увеличивается только область определения функции ф(х)]. Наконец, в предельном случае (Н—оа) имеем
у (х) = -gp (х 2D), 0 < х < со.
(А.З)
Результат (А.З) означает, что в случае полубескоиечиой рассеивающей среды можно говорить о нетривиальном решении однородного (с нулевой правой частью) уравнения диффузии с однородным граничным условием (8Л6). Это решение можно интерпретировать как нейтронное поле, индуцированное стационарным нсточннком из бесконечности.
Все, что мы рассмотрели до снх пор, было фактически введением в проблему Милна. Теперь мы приступим к формулировке этой задачи. Пусть имеется полу-бесконечная среда, в которой рассеяние изотропно, а поглощение отсутствует. Уже установлено, что однородная диффузионная задача в этих условиях допускает нетривиальное решение. Но диффузионная модель является некоторой аппроксимацией уравнения переноса (см. Pi-приближение в § 12). Следовательно, есть все основания ожидать, что однородное уравнение переноса в полубескоиечиой рассеивающей среде также имеет нетривиальное решение. Более того, естественно ожидать, что плотность глобального потока нейтронов дад(х)= / ф(х, fl)dQ будет близка к линейной функции.
Интегро-дифференциальное уравнение переноса с соотиетствующим граничным условием на границе среда — вакуум можно заменить эквивалентным уравнением Пайерлса (11.21) с а—0, 6 = оо, 2=28 и q^O. Если к тому же ввести новую переменную z=2x и отбросить индекс «О» при фо, то уравнение Пайерлса примет вид
00
4 о
(А.4)
Итак, классическая проблема Милна сводится к поиску нетривиального решения уравнения (А.4).
Задача Милна решалась многими способами [41, 14, 62]. Мы останоинмся на итерационном принципе ее решения, который позволит одновременно доказать существование нетривиального решения.
Предварительно выпишем некоторые свойства функции Еп(х) [см. (1,1.20)], а именно:
n 11m
1)	Mm < „
х->о ( Еп (x) =i l/(n— 1), n>l;
2)	£я(х)>£п+1(х);
3)	пЕя+1(х) =e-x—xE„(x);
4)	limxex£„(x)<l;
X->CO
„ dE„ (x)
5)	—=
00
6)	En (x) = Jd„-i (D'dl;
X
7)	(n — 1) En (x) < пЕя+1 (x);
8)	[E, (|x-g])dg = 2-E2(x);
6
GO
9)	j^i(|x-&)^=2x+£,(x).
o.
Доказательства всех этих свойств несложны, и их полезно выполнить в качестве упражнения.
197
Теперь можно приступить к поиску решения уравнения (А.4) итерационным методом в виде
ОО
(lz~	(А-5>
о
В качестве нулевого приближения Фо(г) естественнее всего было бы взять решение «диффузионной проблемы Милна», которое в переменной z=Sx имеет вид 3<?(г+2/3). В этом выражении множитель 3q несуществен, так как решение задачи (А.4) определяется с точностью до произвольного множителя. Итак, следовало бы положить ф0(г)=а+2/3. Мы, однако, возьмем за нулевое приближение несколько иное выражение, а именно:
ф0(г)=г+1/2.
Это незначительное изменение в нулевом приближении вызвано чисто «техивче-скнми причинами» — при нулевом приблвжении вида г+1/2 упрощается процедура обоснования итерационного процесса.
Покажем, что итерационный процесс (А.5) сходится. Для этого воспользуемся свойствами 8 и 9, которые перепишем в виде
со
1=-1-Ea(z) +_Lj	(А.6)
О
г=_-^-Ва(г)+	(А.7>
О
Умножим (А.6) на константу С и сложим с (А.7):
сю
z + C=4- [СЕ2 (z) — E3 (г)] + -у j (5 + С) Е, (|г - ?|) dt.
О
Придадим теперь параметру С значения 1 и 1/2. В первом случае получим
00
z + 1 = -L [Е2 (г) - Е3 (г)] + ~ j (? + 1) Et (|z - ?|) d?.
О
Принимая во внимание свойство 2, приходим к неравенству 00 г + 1 > -у J (? + 1) Е. (|z — ?|) rf?. 0 При С = 1/2 имеем 00 г_|_	(г) — E3(z)j + -у- J (? + т) 0 198	(А.8) Е> (|z-?|)d?.
С учетом свойства 7 убеждаемся в справедливости неравенства
OO и о
(А.9)
£|(|г-?|) dt
Докажем теперь две очень простые леммы.
Лемма 1. Последовательность функции {?я (z)}^L0 монотонно возрастает, т. е.
?n(z)<?„+1(z),	0<z<oo.
Доказательство проведем методом математической индукции. Так как фо (г) =2’+!/2, то
00
О
G учетом неравенства (А.9) получаем
?. (г)>z 4-1/2 ~ Ъ (z).
Предположим теперь, что выполнено неравенство <pn(z)><pn-i(z). Рассмотрим <Pn+i(z):
00	’	00
?п+1 (г) =“2~ j (?) (]z —si) d?>4"	(1г — М) d? н ?„(?)
о	о
Лемма доказана.
Лемма 2. Все члены последовательности {?„ (г} ограничены сверху одной и той же функцией z4-l, т. е.
(г) < z 4-1, zi=O, 1, 2,...
Доказательство. Воспользуемся неравенством (А.8) и методом математической индукции. Имеем q>o(z) =z4-l/2<z4-l- Пусть фп(г)<г4-1. Тогда
оо
?п+1 (z) = 2	fn (^) &1 С2 <
О оо
<4”У (? + !)£. (|г-Ч) d?<z 4-1. О
Лемма доказана.
Из лемм 1 н2 следует, что последовательность (г)}^о имеет предел при любом 0 =Сг <оо, т. е.
limf„(z) =? (г),	0<z<co.
Л-.00
Факт существования предельной функции <p(z), который мы только что установили, еще не означает, что <p(z) удовлетворяет интегральному уравнению (А.4). Чтобы в этом убедиться, докажем сначала непрерывность функций фп (z) и Ф(г) на 0^z<oo. Введем в рассмотрение новые функции еп(£)=фп(г)—г и е(г) =ф(г)—z. Из лемм 1 н 2 следует, что
l/2sgen(z)<l.	(А. 10)
1 99
Далее из равенств (А.5) и (А.7) находим
(г) =4- [£з (г)+Р"-1 (?) £* (|2~?|) d?]-о
Положив для определенности Дг>0, представим разность en(z+Az)—en(z) в виде
2
U + Дг)—ел (z) —	Дг) —E3(z) + j en-t (?) [Et (г + Дг—?)—
о
Z-|-Az
_E,(z-?)]d? + J (?)	+	+
Z
00
+ J еп_, (?) [Е, (?-г-Дг) - Е, (?—г)] d?|. г+Дг
Учитывая монотонный характер убывания функций Еп (г) (свойство 5) н оценку (А. 10), получаем из последнего равенства
2 len (z + дг) — еп (2) I < Е 3 (z) — Е 3 (z + Дг) + j [Я t (z — ?) — Е t (z—?+Дг) ]	+
о
z+Дг	z+Az
+ j Е1(г-? + Дг) d?+ J E,(? —z)d? + z	z
+ j [E1(?-z-Az)-E1(?-z)]d? = E8(z)-E,(z + Az) + Z-j-iZ
+ j* E, (?) d? - J E, (?) d?+2 J E, (?) d? +
0	Az	0
+J E, (?) d?- j E, (?) d?. 0	Az
С использованием свойства 6 имеем
2 |e„ (г + Дг) — е„ (z) | < [Е3 (z) — Е3 (z + Дг)] + 4 [Ег (0) — Ег (Дг)] —
— [Ег (z) — Ег (z + Дг)] < [Е, (г) — Е3 (z + Дг)] + [Ег (г) — Ег (г + Дг)] +
+ 4 [Е2 (0)-Ег (Дг)].	(А.11)
Из монотонности и ограниченности функций Е2(г) и Е3(г) на 0^г<оо вытекает равномерная непрерывность их на этом множестве, т. е. для любого е>0 всегда найдется б>0, такое, что
\Ei (z) — Ei (z + Дг)| <e, «=2, 3,
при любом г£[0, оо) и |Дг| <3. Теперь нз оценки (А.11) следует
|ея (z + Дг) — ея (2)l <3е-	(А.12)
200
где ze[0, оо), |Az|<6. Таким образом, доказана равномерная непрерывность-всех функций en(z), причем параметры равномерной непрерывности в и 6 являются общими для всех п.
Рассмотрим, наконец, разность
|е (z + Az) — е (z) I < |е (z + Az) — e„ (z + Az) | +
+ Iе» (z + Az) — e„ (z) I + |e„ (z) — e (z) |.
В силу поточечной сходимости e„(z) к e(z) для фиксированных г и Аг найдется, такой номер N, что при n>N
Iе» (г) — е (z)| <е; |е„ (г + Az) — е (z + Az)| <е.
Наконец, с учетом (А. 12), находим
|е (z + Az) — е (z) I < 5е,
что и доказывает равномерную непрерывность функции е(г), а значит, и функции <p(z).
Из доказанных фактов элементарно следует существование несобственного* интеграла
00
(?) £, (|z-?|) dK	(А. 13).
о
при каждом z из промежутка '[0, оо). Теперь уже можно формально применить известное утверждение математического анализа '[53], которое в нашем конкретном варианте сформулируется так: пусть при фиксированном z неотрицательная функция <рп (С) £j (| z—?[) непрерывна note каждом из промежутков 0^<г, z<?<oo и стремится, возрастая с ростом п (см. лемму 1), к предельной функции! ф(?)£1(|г—С|), также непрерывной в указанных промежутках. Тогда из существования, интеграла (А. 13) вытекает справедливость формулы
00	00
lim f <fn (?) £. (|z - ?|) rf? = f [lira <fn (?)] £, (|z - ?[) d?. «—►co J	J
В силу (A.5) предел левой части последнего равенства есть 2(р(г), в то время как правая часть равна
00
J? (?)£>(|z~?|) d?, о
откуда следует, что предельная функция <р(г) удовлетворяет интегральному уравнению (А.4).
Мы уже оговаривались выше, что вместе с функцией <p(z) решением уравнения (А.4) будет целое семейство: const-<p(z). В работе [54] показано, что других решений уравнение (А.4) не имеет. Анализ этого вопроса сложен, н мы его опускаем.
Усилиями ряда ученых [11, 52] решение задачи Милна доведено до конкретного результата и установлено, что асимптотой функции <р(г) является линейная функция z+0,71044. Это асимптотическое решение можно воспроизвести теперь в рамках диффузионной теории, если в точке х=0 (напоминаем, что x==z/S) «подобрать» подходящее граничное условие. Совсем элементарно находим это. условие в виде
(I-1.0657^
14—301
2<Н
Последний результат не так уж сильно отличается от условия (А. 1.) диффузионной модели: коэффициент 1,0657 вместо единицы.
Какие же практические выводы можно получить из решения проблемы Милана? Можно, например, уточнить внешнее граничное условие диффузионной теории. В самом деле, условия в формулировке задачи Милна «почти совпадают» с условиями применимости диффузионной теории (см. § 8). Это означает, что в диффузионной среде (характерные размеры которой много больше длины свободного пробега) по диффузионной модели можно получить более надежным результат, •если вместо граничного условия (8.16) иа границе среда — вакуум положить d<p \
(-f+1,06577)-^-] =0.	(А.14)
Разумеется, этот прием предполагает малую кривизну границы (если она кривая), т. е. /=1/2<|/? (7? —радиус кривизны).
Замечание. Очевидно, что асимптотическое решение 2х+0,71044 задачи Милна можно получить, решая уравнение диффузии в области х0<х<оо (х0= =—0,71044/2) с граничным условием tf>(xo)=0. Последним приемом часто пользуются в диффузионной теории, заменяя граничное условие (А.14) более простым требованием гр=О на экстраполированной границе (отстоящей от истинной границы на расстоянии 0,71044/2(Г).
С обобщенной проблемой Милна (анизотропное рассеяние и т. п.) читатель может познакомиться в работе [55].
* ПРИЛОЖЕНИЕ Б
ЗАПИСЬ УРАВНЕНИЯ ПЕРЕНОСА
И ЕГО ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ПО МЕТОДУ
СФЕРИЧЕСКИХ ГАРМОНИК В ПРОИЗВОЛЬНЫХ КРИВОЛИНЕЙНЫХ ОРТОГОНАЛЬНЫХ КООРДИНАТАХ
Широко используемая запись одиоскоростного* уравнения переноса (10.13) является бескоордииатной формой, отражающей инвариантный характер уравнения. Однако практическая реализация любого метода решения уравнения (10.13) требует построения координатных систем. В ряде случаев целесообразно для вектора г использовать одну систему координат (L), а для вектора £2 —другую (G). Координатная система L строится с учетом особенностей конкретной задачи и может быть либо прямоугольной декартовой, либо той или иной криволинейной. В качестве G выбирают, как правило, сферическую систему координат, «привязанную» к текущей пространственной точке г вполне определенным способом (см. § 10).
Некоторые варианты записи уравнения (10.13) и системы уравнений метода сферических гармоник в наиболее часто употребляемых системах L (декартова прямоугольная, сферическая, цилиндрическая) даны в § 10 и 12.
В то же время решение многих прикладных задач требует использования и других криволинейных систем L, о чем и пойдет речь в этом Приложении. Из всех криволинейных систем рассмотрим только ортогональные.
1.	Краткое описание способа построения координатной системы G и получение некоторых предварительных результатов. Пусть ф, fe <7з—параметры, регистрирующие положение точки в пространстве некоторой криволинейной ортогональной системе координат L [10]. Система L в каждой точке пространства формирует локальную ортогональную систему координат, образованную векторами еь е2, е3 (еь е2> е3 — единичные векторы по касательным к координатным линиям, направленные в сторону возрастания qi,
* В настоящем Приложении внимание сосредоточено иа односкоростной модели, так как распространение результатов на общий случай тривиально.
.202
q2, <7з соответственно). Именно в этой системе координат регистрируется тремя-проекциями единичный вектор Я в работе [56].
Однако ортогональный базис {ег}3, = 1, «навязанный» криволинейной системой L, в приложениях может быть не всегда самым удобным, в то время как -какой-то другой ортонормированный базис 5i(Af), 52(Л1), |3(Л4), однозначно определенный в каждой точке Л4, лучше учитывает особенности конкретной задачи. Например, -при облучении плоскопараллельным пучком нейтронов сферической-области V (точки которой регистрируются в сферической системе координат L) может оказаться целесообразным такой принцип построения локальной системы G, при котором один из векторов ее базиса {5t(M}3i=1 в любой точке сферы V совпадал бы с направлением облучающего пучка.
Ниже реализован именно более общий подход с базисом {£i}3i = i* **.
Криволинейную систему координат L в совокупности с локальной системой координат G, порожденной обобщенным базисом {5Д3.=1, назовем обобщенной системой координат {L, G}.
Задание базиса	(т. е. локальной системы координат G) равносильно-
тому, что в -представлении
з
ег = 3 aiklk, /=1, 2, 3,	(Б.1>
й=1
заданы вполне определенные коэффициенты агк=аш (qit q2, qs). Матрица 4 = — (aih) ортогональна, т. е. 44Т==Е (здесь и ниже «т» — символ транспонирования).
Предположим теперь, что задано некоторое векторное -поле Я=Я(Л4) (чтобы результаты настоящего пункта обладали большей общностью, вектор Я пока не будет предполагаться единичным по модулю!). Для регистрации вектора Я(Л4) введем сферические координаты p = cos0, ф, г, «привязанные» к базису {|i}3, = i, при этом условимся угол 0 всегда отсчитывать от орта 5з, а угол ф— от орта ||. Имеем
Я (М) = г [ К(§, cos Ф + § 2 sin Ф) + р53].	(Б.2)-
С другой стороны, вектор Я(Л4) можно задать в виде разложения по базису
з
Я(М)=3«;ег.	(Б.З)
г=1
Из (Б.1) — (Б.З) получаем соотношения
az=r[/l—(j.2 (a;i cos Ф + aZ2 sin Ф) + р.аг-3], i = 1, 2, 3.	(Б. 4)
О о
Введем в рассмотрение алгебраические векторы а и Я:
a = (04, a2, a3)T; 2 = (r К1—р2С03ф, Г К1—р281пФ, гр.) т.
Тогда равенства (Б.4) примут вид
a = 42»*.	(Б.5)
Для дальнейших целей потребуются частные -производные dr/dqk, dty/dqk, dp/dqk (k—\, 2, 3), к получению которых мы сейчас и приступим. Дифференци-
* Вариант {5г-}3г-=1 = {et}’z=i (см. [56]) вытекает из данного Приложения-как частный случай.
О
** Подчеркнем, что алгебраический вектор Я не идентичен геометрическому вектору Я |[см. (Б.2)], поскольку в -представление последнего входят геометрические орты* 51, 52, §3.
14»	203-
фуя (Б.З) по Ал, имеем
Подставив в полученное равенство известные тождества {10]
де, _ dqk ~
1 дНк
Ht dqt l^k>
1-Ssfe дНк .
Hs dqs es’ l~k’
где Нк—коэффициенты Ламэ [10], найдем
О да	9о
+	* = 1.2,3.	(Б.6)
Здесь = Ще2, Ще3)т — алгебраические векторы, а $%к—кососимметрические матрицы, иаддиагоиальные элементы которых выписаны в следующей таблице:
		Л13		
	1 дНг	1 дНг	0	
	Hi dq2	нз dq3		
	1 дНг	0	1	дН2
	Hi dqt		H3	dq3
	0	1 днз	1	дН3
кТЬ 8		dqi	H3	dq2
С другой стороны, из (Б. 5) следует
да	дА ° дй
дад dqk т dqk
Приравнивая правые части (Б.6) и (Б. 7), находим
о
„о ? дА о д2
о
В полученном равенстве преобразуем величину дЯ/dqk:
дй _	дй	др д2	дф дЯ	дг
dqk	dp	dqk	+ дф	dqk	+ dr	dqk	’
(Б.7)
(Б.8)
(Б.9)
Если в (Б.9) алгебраические векторы д2/др, д2/дФ, дЯ/дг рассматривать как столбцы некоторой матрицы С, а скаляры др./д^, дф/д^, dr/dqk объединить 204
в алгебраический вектор Х& то (Б.9) можно переписать в виде
dQ/dqk = CXk,
(Б. Ю)
где
С =
— • cos Ф — г К1 — р.2 sin Ф И 1 —р.2
-у =Г'=~ sin Ф
VI —р.2 cos ф \
г К1 — р.2 cos ф
К1 —р.2 sin Ф
о
I*
Подставляя (Б. 10) в (Б.8) и используя (Б.б), получаем
^=c-W + ^-
(Б.Н)
Здесь
= A^k A-A^~Fk= C-'A4k.
(Б.12)
, Нетрудно убедиться, что — кососимметрические матрицы (полностью ляемые заданием матрицы Л). Наддиагональные элементы w$, цы Wk удобно в (дальнейшем обозначать соответственно —
Для реализации (Б. 11) потребуется матрица С-1:
опреде-матри--4».
С-1 =
(----у ] —р.г cos Ф
 sin Ф
\	К1 —р.2 cos ф
К1 —ц2 sin <|>
1-К
сояф
г
Ki —р.2 sin Ф
О
И
(Б. 13)
Вычислим теперь вектор C~iWkQ. Прежде всего легко убедиться, компонента его равна нулю. В самом деле, как видно из (Б.13), третья комповен-•	9
та есть/--1 [2ТГ*2]. С одной стороны, эта величина — скаляр, а с другой—кососимметрическая матрица, следовательно, 42ТИ7Й2 = 0. Непосредственное вычисле-
О иие первых двух компонент вектора	приводит нас окончательно к такому
результату:
' ~д^~\ I—р.2 (»2ftScos Ф + “'з*5 s*n 4" дФ dqk дг
\ dqk/
где F^ (i — l, 2, 3) — компоненты вектора Fk-
Если теперь в некоторой области V трехмерного пространства задана ная функция вида
ф=ф[ЛГ, Q (Л4)] =з Ф (<?,, дг, д,; р., ф, г),
-j-	— = (wl2k> sin Ф — cos Ф) 4- F^
f(3)
что
третья
(Б. 14)
скаляр-
205
то формула (Б.14) является конструктивной основой для вычисления в обобщенной системе {L, G] ее градиента (см. [10]):
з
V е* (дф дФ	д».	дФ	дФ	дФ дг \
(dqk	+ dp.	dqk	дф	dqk	dr dqk J	'	(  >
k=l

2.	Запись уравнения переноса в обобщенной системе координат {L, G}. Для записи уравнения (10.13) в системе координат {L, G} нетривиальным оказывается только представление слагаемого flVicp. Замечая, что в (10.13) Я(Л4) есть векторное поле единичных по модулю векторов, имеющих одну и ту же ориентацию в пространстве, убеждаемся в равенстве нулю векторов Щ О
и Рь>. Теперь на основе представлений (Б.З) и (Б.15) можно записать ззз
gfe dy dy у"' ak dp , fo VI ak дФ Hk dqk + dp. Hk dqk ‘+’ дф Hk dqk ’
й=1	k=l	k=l
где величины ak даются формулой (Б.4), a dp./d^ н dfy/dqk— формулой (Б.14) прн =р(2) = 0
3.	Модифицированный математический аппарат метода сферических гармоник. Если решение уравнения (10.13) искать в виде ряда (12.11), то в результате формальных преобразований функций sin/пФ, cos/пФ, Р^ (р.) появятся выражения, содержащие (в самом общем случае)	(р),	(р),
Pj/Zlt'; (р) н т. д. При /п = 0, 1, а также прн п=0 у этих функций либо одни, либо оба индекса отрицательны. Таких функций в разложении (12.11) нет. Избавиться от такого рода присоединенных функций Лежандра можно двумя путями. Во-первых, при п=0, а также прн /п=0, 1 преобразование уравнения (10.13) можно вести в несколько иной форме, не допуская с самого начала появления P«m^ (р) с «нежелательными» индексами. [Разумеется, это приводит к неоправданным затратам усилий на двукратную обработку уравнения (10.13).] Во-вторых, можно подвергнуть уравнение (10.13) общей одноразовой формальной обработке с последующим «избавлением» от функций Р^ (р) с нежелательными индексами на основе известных соотношений [57]:
(р) = Р‘т) (р); Р(Гт} (р) = (-1)т г(;+~т+1)..W (Б-16>
(т — целое число; v— произвольное комплексное число). Такой прием снимает целый ряд технических трудностей, присущих первому подходу. На этом пути можно добиться дальнейшего прогресса, если несколько модифицировать присоединенные функции Лежандра, а следовательно, и сферические функции.
Введем вместо Р^ (р) (/п — целое число, а к — пока произвольное комплексное число) пропорциональную ей функцию
(р)=Г«Р<т»(р)/Г^+/п + 1), 1 = К^Т.	(Б. 17)
Если V = п — целое число ип+т>0, то
(р.) = 1"’/^ (ц)/(п + /п)!	(Б. 18)
С помощью формул (Б. 16), учитывая, что
Р(пт> (р.) = 0 при 0 < п < т;
Г(0), Г(—1), Г (—2)... Г(—k). ... =±оо,
206
•получаем следующие важные соотношения:
^пт> (*) =	(р.);	(р.) = 0 при п <0;
(р.) = 0 прн \т\ > п,
где тип — целые числа.
Функциональные тождества, которым подчинены присоединенные функции Лежандра Р™ (>*)• легко можно преобразовать в соотношения для функций &(„т>(р). Вот важнейшие из них:
(2п + 1) ^(пт> (ри) = ((„ + 1)2 -	£РW (pu) +	((X);	(Б.20)
( 2ГТТ W - (« + т + («+™+2) ^Й-t1 ’(!*)]; (IX) =	" +
I 2^ТГ 1^-Т” <Н-) - (n-m+1) (Л-/П+2)	(И)];
(Б.21)
(^~ О	(И) =
' [ („ + 1) 2 _ И2]	W _ (п + 1)	(ри) ;
2л 4- 1 [ (л + 0 2 — т21 (Iх) 2л + 1 ^“п—1 м;
' п^™' OO-^i (Р-);
/лри^) (|Х) + i /b=V (л +т + 1)	(р.);
-^^^'(р.) + i	(л - т + 1) ^пт-^ (р.);
(Б. 22)
Ф-)	(р-);
(Б.23)
1
I бл(т}
I J п
если k ф п;
(р.) (pu) dp. = {	2
I 72M^(T-/n)T(7+"mj-! , если k = «•
О, 2
(Б.24)
Наконец, приведем теорему сложения для полиномов Лежандра:
п
(р-.)=4* S (-i)m(п -т)! •<"+от)!	^т) е‘т <ф_ф,)-
т=—п
(Б.25)
где p.0=QQz — скалярное произведение единичных векторов Q h Q'; р., Ф и р/, ф'—координаты этих векторов в сферической системе координат G; ^“п (р.) = = ^0!(!х).
4.	П реоб разоаание у равнения переноса на основе модафацаро-ванного метода сфераческах гармоник в обобщенной системе координат {L, G}. Рассмотрим систему сферических функций в следующей форме:
У(р,, ф)	(р.) е‘тф, л=0, 1, 2,	т=0, +1........... ±п.	(Б.26)
207
Соответственно решение уравнения (10.13) ищем в виде ряда
00 п
?(г,Я, O = J] (2«+l)(«-m)!(rt + m)!C^(r, /)Г<"’> (у-. Ф), п=0 т——п
(Б.27) где
2х 1	_____________
Спт (г- 0 = f <*Ф f dp.<f (г, р., Ф, t) Y™ ((X, Ф) .	(Б.28)
о	—1
На основании тождеств (Б. 191 и определения (Б.26) легко убедиться,, что СПт(г, t)=G, если п<0 или |m|>n.
Для получения системы уравнений метода сферических гармоник умножим уравнение (10.13) на (р, Ф) и проинтегрируем по области 0<Ф<2п, —IsQisgl. Легко видеть, что нетривиальные преобразования связаны только с HV<pss=V(<pH) и интегральным членом. Рассмотрим сначала интеграл
2те 1	____________
f d* С dp. [QY(nm) (р., Ф)] V¥,	(В.29)
о -1
для преобразования которого потребуются представления \7Y^ и QY^'n> через сферические функции.
Начнем с очевидного тождества
d^‘(m>
VY™ = V 1^(пт) (р) е1тф] = е''”ф	. Vjx + 1/пе!тф^т» (р) VI- (Б.ЗО)
Далее, согласно формулам (Б.15) и (Б.14),
з
W =	J7~ 1 — у-г(/’йе!ф +~Pk е~’ф),
k=v
где
^ = (^2А) — М*’)/2-Аналогично
=Е w I~1 /rfv {р^~^е~,ф) ] • ft=l
Подставляя выражения для Vipi и Уф в (Б.ЗО) и используя последние две формулы в (Б.22), получаем
з
vr^) = i	lmW\k> Y(am> - Pk (n + m + I) Y^ -
k=i
-7H«-« + i)
(Б.31)
208
Далее, с учетом формул (6.3), (Б.4) и тождеств (Б.20), (Б.21) находим
з
ОУ(пт) = ~2ni~r [(п - т + 1) (п - т + 2) Y^l) -У^1»] -
-bk [(п + т + 1) (л + т + 2) Y^ - y£+1'] +
+ ^3[((« + 1)г-^)У^1+гЛ1}>	(Б-32)
где	bk = (ak2 + ia*,)/2.
Для завершения преобразований, связанных с интегралом (Б.29), в первую очередь воспользуемся комплексно-сопряженным вариантом формулы (Б.32). Затем с учетом тождества
J if	= V J У?! Ч^О. - J	= \?Cnm - J KY™ dQ
и комплексно-сопряженной записи формулы (Б.31) окончательно находим
2ч 1
f di J dp.Y(nm> (p., Ф) QV? =	...{Q^ (g V - S^) Cn+1, m_ t-(gV+
o —i
+ s'°Lm) cn_.,	Cn + i, m+i + (PV+SW) Сд- i, m+14*
+ l(n + 1)Z — w2I (aV +	—m) ^n+i, m + (aV — T^n) ^n-i,
+ PP йт Cn-i, m-2 — QntnCn+i, m-n) +
+ PP (Qn, —i. m+2 — Qn^—m^n+i. fn+a)}>
где л=0, 1, 2,...; m—0, ±1....................... ±n;
i
Чпт = П (n — m + >); Snm = (« + m + /72) ap — (m + 1 — /) pw; »=1
Tnm = (« + m — 1 + 3/> gp + (n — m — 1 + 3/)pp — maw; 3	3	3
*=i	k=i	k=\
Pk	Cl 1 ЭСпт
p=iLwefe: vc'im=liw ~d^~ek-k=i	k=i
Приступим теперь к обработке интегрального члена уравнения (10.13): 2ге	1	2л 1
/ S f	di	J	</|*Г^)(р., Ф) J	di’ J d^’g (ЙЙ')	Ч (г,	р/,	t) =
0-1	0-1
2ч	I	2ж	I	_______
= J di’	J	dp.'?	(г,	р/,	i',	t)	J di	$ dp.g (SiSi’)	V£n> (?., Ф).	(Б.ЗЗ)
0—1	0—1
209
2л 1	/О, если
[ d* [d^k (Р„) yW (р, ф) = I _4л_
о—1	I (2п + О
Представим функцию рассеянии g (ц0) (ц0=ЙЙ') в виде ряда по полиномам Лежандра:
00	1
L2k + 1	С
2	(й!)2	(р.о) gk‘, gk ~ j g ('J-o) k (lxo) dj^o- (Б.34>
*=0	—1
Подставляя (Б.34) в (Б.33), находим
оо	2к 1	2л 1
J S у] ^-^QWgk dtf Jdp'?(r, р/, Ф', t) j" d’!? Jd^kf^yY^ (р, ф).
А=0	0—1	0—1
Используя формулы (Б.24) и (Б.25), убеждаемся, что
k ф п;
((*•'’ Ф') ’ если k = n.
Таким образом,
J = 2л (rd) gnCnm, п=0, 1, 2,...; щ = 0, +1, ±ji.
Чтобы получить систему уравнений для коэффициентов фпт(г, /) вещественного разложения (12.11), следует в системе уравнений для коэффициентов. Cnm(r, t) сложить и вычесть попарно уравнения, отвечающие индексам (п, т) и (п, —т), и воспользоваться легко проверяемыми тождествами:
(1 - «о. И|) и («•> 0 = i[ml + 1	(Спт (г, 0 - С„, _т (г, 01 sign т-„
Vn, —|m| (г>	2	' ^ат (г’	~т (г'
5.	Примеры. В § 10 на основе непосредственных геометрических соображений осуществлялся поиск координатной формы уравнения переноса для трех классических систем координат. Сейчас те же результаты для цилиндрической и сферической геометрий мы получим на основе общего формального алгоритма..
Цилиндрическая система координат L. Положим
<Z1=PJ <72=<е; q&=z.
Прежде всего найдем коэффициенты Ламэ Нс
Если учесть, что x = pcos<a; i/ = psinffl;	z = 2,
то элементарно получаем
//1 = 1; //г — р*, Нз~1,
В § 10 мы отсчитывали углы ф и .0 соответственно от ортов ep=ei и ег=е3. Настоящее Приложение обязывает отсчитывать углы ф и 0 от ортов и Sja. Из: этих двух требований однозначно следует
в1=§1, ез=§з.
210
Чтобы ортогональная тройка векторов gi, |з имела ту же ориентацию (правую), что и координатная система р, ш, г, нужно положить е2=&г. Итак, система (Б.1) сформирована, откуда вытекает, что А=Е — единичная матрица.
По формуле (Б.4) теперь легко находим
«1 = К1—р.гсозф; а2=К1—р?з1пф; а3=р..	(Б.35)
Полученные выше коэффициенты Ламэ позволяют найти кососимметрические матрицы SKk (k = 1, 2, 3):
I °	1	0\
^i=^,=0; ^2=	-1	0	0	.
\ 0	0	0 '
Далее, по формулам (Б.12) определяем матрицы Wk (k=l, 2, 3):
Г1=Г3=0; Г2=^2.	(Б.36)
•Следующий этап — определение производных d^i/dqk и dty/dqk (k=l, 2, 3). На основании формул (Б. 14) и равенств (Б.36) устанавливаем:
В результате можем записать (см. п. 2):
^<Р=И1-Р-г|со8ф-5?-+-^-^15----------3TJJ+P-57-.	(Б.37)
В цилиндрически-симметричном случае, когда <?<р/<?ш = 0, из равенства (Б.37) следует представление уравнения переноса в форме (10.24).
Проиллюстрируем теперь процедуру получения системы уравнений метода сферических гармоник. Выполнив элементарный подсчет, найдем
A = A=A=0; 61 =i/2; Ьг = 1/2; 63=0;
«=е3; р = (ie3 + е2)/2; w—— ie2/p; р=0;
S^ = i(®+l-/)/2P; Г<{>=0,
после чего уже легко записать 'искомую систему уравнений:
1 д^пт ।	* f ,	1 1 \ /	। r>\ ( ^п+1» т -1 _
V dt +г(2п+1) Vw —m+ w —m + 2 \
т—1	i d£n+i, nt-i \
р Сn+i, m-i —	J + (п + т + 1) (« + m + 2) X
( dCn+t. m+i	*	fn	1	i	dC„+lj m+1
X V df	*	p	cn+i, m+i + —	J	—
(дСп-i, m-i	m—1	i	dCn..i' m-t
df	f	Cn *1 • m"1 — ~p	da	J	~~
f	m+l , m _f_ 1	i dCn-t, m+i \
~ \ df 1 p cn-i.m+t + -	) —
_ 21 [(« 4- 1)’ - m‘]	_ 21 —Tz---j = [S- 2« («!) gn] Cnm = qnm,
тде n=0, 1, 2, ...; m=0, +il, +2...+n.
Рекомендуем в качестве упражнения из выписанных равенств сформировать систему уравнений для коэффициентов cpnTn(r, t) вещественного разложения (12.11) (например, для случая Р3-приближения).
211
Сферическая система координат L. В данном случае обе системы координат L и G являются сферическими. Поскольку символы ф и 0 уже «закреплены» за системой Q, аналогичные углы в системе L обозначим ф и 0. Положим
?! = '•; ?а = 8; ?3 = Ф-
Так как
X=rsin8cosi|); у =rsin 8 sin ф; z = rcos8,
го
Нг = г\ /73'—г sin 8.
0 от орта er = ei (см. рис. 16), а в настоящем
Я, = 1;
В § 10 мы отсчитывали угол
Приложении этот же угол отсчитывается от орта |3, так что необходимо положить ei=g3. Отсчет угла ф в § 10 можно было выполнять (ввиду сферической симметрии) от произвольного луча в плоскости, ортогональной орту ег=еь Выберем для определенности в качестве этого луча орте~=е2 (см. рис. 16). Одна-0
ко настоящее Приложение обязывает отсчитывать ф от орта gi. Таким образом,, следует положить ег—?|. Чтобы система ортов = 1 (как и система {ei}3i=i} имела правую ориентацию, следует считать венств сразу определяется матрица А:
/° А = 1 \о
Всю последующую информацию выпишем
векторных- ра-
е3=|2- Из полученных
h
01.
о/
без пояснений:
о о
1
at = у.; а2 = 1 — рЛ cos Ф; а3 = VI — рЛ sin ф;
О
О
0
о о о
1
о о
sin 8
О
О
cos 8
О
О
— sin 8
— cos 8
/О
W, =0; Г2 = |0 \1
/ 0
Ws = I—cos 8
cos 8 О
О —sin 9 р
sin 8 О'
ду. д?,
др. д^
\ 0
И1—рЛсояф;	—р.2 81пф81пЭ;
^ = 0; дф
дф
d^-jn^rsin^
I j, .—cos ф sin 9.
cos 9 —
о о о
° ;

В итоге получаем
QVt==m--^
d<p । К1 — рЛ (	д? , sin Ф	дч
----1	COS Ф —~~T~---~-----
\	d8 sin 6 дф
1-pZ d¥____рЛ sin Ф ctg 8 d<p
дф *
г др.
212
В сферически-симметричном варианте, когда плотность потока нейтронов не зависит от 0, фиф, уравнение переноса упрощается и принимает вид (10.27).
Получить систему уравнений метода сферических гармоник предлагается читателю в качестве упражнения.
Другой вариант построения системы координат {L, G} для цилиндрической* геометрии. Если в трех классических системах координат рассматривать одномерные задачи, когда плотность потока нейтронов зависит только от одной координаты (х — в декартовой системе, р — в цилиндрической иг— в сферической), то в первом и третьем случаях координатная система G такова, что угол 0 отсчитывается от нормали к координатной поверхности х=const и, соответственно, r=const. Эти поверхности суть поверхности уровня плотности потока нейтронов ср. Напротив, в цилиндрическом варианте система G такова, что угол 0 отсчитывается от прямой, лежащей ла поверхности уровня плотности потока ф.
Если асимптотически (при г—>-оо) уравнение переноса для сферическя-сим-метричных задач переходит в одномерное уравнение для плоской геометрии (с оговоренным выше отсчетом угла 0), то в цилиндрически-симметричных задачах этого нет. Чтобы цилиндрически-симметричный случай укладывался в одну схему с плоским и сферическим и асимптотически (при р—>-оо) переходил в вышеупомянутый плоский вариант, будем сейчас отсчитывать угол 0 от нормали к координатной поверхности p = const, а азимутальный угол ф — от оси г. В этом* варианте, как легко убедиться,
С]=5з; ^2 = —ез=|ь так что /0	0
Л=I0 —1	0 .
\1	о	о/
Далее,
а1=р.; а2 = — К1—р251пф; а3 = V 1 —рЛсовф;
/ ° 1 0\
^. = Жз = 0; Жг= -1 о о ;
\ о о о/
/0	о	0\
JF1=JF8=0; Г2=	0	0	1 ;
\0	—1	о/
дц. _ дф __ др. _ дф
д?1	д<?! ~~dq^~ dq3	=	:
Следовательно,
о„ д? I т/т----------2 / I Sin ф д«р \
QV<P=H.-^-+K 1 -и2 розф-^--------—	+
sin Ф Г	дф	д<р 1
+ — |(1-р2)81пф^-рС03ф-4-]
и т. д. В завершение раздела предлагается выполнить.
Упражнение. Система координат L — цилиндрическая; вектор Q реги-•стрируется в неподвижной координатной системе G, совпадающей с «базовой» декартовой системой, так что ii = i; ?2 = j; |з = к. В этом случае, как легко-усмотреть,
е3 = cos со -j- S2 sin co; 1
е2 =—§!sin со -f- §2 cos со; >
е3 = §3.	J
Найти представление О^/ф в предложенной системе {£, G).
213
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1.	Глесстон С., Эдлунд М. Основы теории ядерных реакторов. Пер. с англ. М., Изд-во иностр, лит., 1954.
2.	Галанин А. Д. Теория ядерных реакторов на тепловых нейтронах. М., Атомиздат, 1957.
3.	Марчук Г. И. Методы расчета ядерных реакторов. М., Госатомиздат, 4961.
4.	Дэвисон Б. Теория переноса нейтронов. Пер. с англ. Под ред. Г. И. Марчука. М., Атомиздат, I960.
5.	Вейнберг А., Вигнер Е. Физическая теория ядерных реакторов. Пер. с англ. М., Изд-во иностр, лит., '1961.
‘6	. Мегреблиан Р., Холмс Д. Теория реакторов. Пер. с англ. М., Госатомиздат, 4962.
7.	Иваненко Д. Д., Соколов А. А. Классическая теория поля. М., Гостехиздат, >1951.
8.	Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. М., «Наука», 4972.
9.	Романов Ю. А. Точные решения односкоростного кинетического уравнения и их использование для расчета диффузионных задач (усовершенствованный Диффузионный метод). — В кн.: Исследования критических параметров реакторных систем. М., Атомиздат, 'I960,
ПО. Кочин Н. Е. Векторное исчисление и начало тензорного исчисления. М., Изд-во АН СССР, 19511.
11. Placzek G., Seidel W. Milne’s problem in transport theory. — «Phys. Rev.», 1947, v. 72, p. 550.
42. Белл Д., Глесстон С. Теория ядерных реакторов. М., Атомиздат, 1974.
13.	Кейз К., Цвайфель П. Линейная теория переноса. М„ «Мир», 1972.
14.	Карлсон Б., Латроп К. Теория переноса. Метод дискретных ординат. — В кн.: Вычислительные методы в физике реакторов. М., Атомиздат, 1972.
15.	Марчук Г. И., Лебедев В. И. Численные методы в теории переноса нейтронов, М, Атомиздат, 1971.
36. Никифоров А. Ф., Уваров В. Б. Основы теории специальных функций. М., «Наука», 1974.
17. Румянцев Г. Я. Об использовании четных приближений в методе сферических гармоник. — В кн.: Исследование критических параметров реакторных систем. М., Атомиздат, .1960.
18. Румянцев Г. Я. Граничные условия в методе сферических гармоник. — «Атомная энергия», '196Г, т. 40, вып. 1, с. 26.
19. Самарский А. А. Введение в теорию разностных систем. М., «Наука», 1971.
.20. Годунов С. К., Рябенький В. С. Разностные схемы. М., «Наука», 1973.
21.	Бахвалов Н. С. Численные методы. Т. 1. М., «Наука», 4973.
22.	Марчук Г. И. Методы вычислительной математики. М., «Наука», 1977.
23.	Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 1. М., «Наука», 1969.
24.	Степанов В. В. Курс дифференциальных уравнений. М.—Л., Гостехтеориздат, 1950.
2'5. Михлин С. Г. Вариационные методы в математической физике. М., «Наука», 1970.
26.	Люстериик Л. А., Соболев В. И. Элементы функционального анализа. М., Физматгиз, 1965.
27.	Владимиров В. С. Математические задачи односкоростной теории переноса частиц. — «Труды мат. ин-та им. В. А. Стеклова АН СССР», 1961, № 61. (М, Изд-во АН СССР.)
28.	Владимиров В. С. Численное решение кинетического уравнения для сферы. —' «Вычислит, мат.», 1958, № '3, с. 3.
29.	Carlson В. G. Solution of the transport equation SB-approximations, Los Alamos Scientific Laboratory Report LA-1891, 1955.
30.	Карлсон Б., Белл Дж. Решение транспортного уравнения Sn-методом. — В кн.: Труды Второй международной конференции по мирному использованию атомной энергии. Женева, 1958. Избранные доклады иностранных ученых. Т. 3. М., Атомиздат, 1959, с. 408.
214
3'1. Морозов В. Н. О решении кинетических уравнений с помощью 5„-метода.— В кн.: Теория и методы расчета ядерных реакторов. <М., Госатомиздат, 1962.
32.	Takahashi Н. The thermal spectrum of neutrons in heterogeneous reactor. — «Nucl. Sci. and Engng», 1959, v. 5, p. 338.
33.	Красносельский M. А., Крейн С. Г. Итерационный процесс с минимальными невязками. — «Матем. сб.», 1952, т. 31, с, 2.
34.	Яненко Н. Н. Метод дробных шагов решения многомерных задач математической физики. Новосибирск, «Наука», 11967.
35.	Пененко В. В., Султангазин У. М., Балаш Б. А. Решение кинетического уравнения методом расщепления. — В кн.: Вычислительные методы в теории переноса. М, Атомиздат, 1969.
36.	Марчук Г. И., Пененко В. В., Султаигазин У. М. О решении кинетического уравнения методом расщепления. — В кн.: Некоторые вопросы вычислительной и прикладной математики. Новосибирск, «Наука», 1966, с. 15'2.
37.	Марчук Г. И., Яненко Н. Н. Решение многомерного кинетического уравнения методом расщепления. — «Докл. АН СССР», <1964, т. 157, № 6, с. "1291.
38.	Метод Монте-Карло в проблеме 'переноса излучений. Сб. статей. Под ред. Г. И. Марчука. М, Атомиздат, 1967.
39.	Михайлов Г. А. Некоторые вопросы теории методов Монте-Карло. Новосибирск, «Наука», 1974.
40.	Калос М., Накач Ф., Селник Дж. Методы Монте-Карло в применении к решению реакторных задач. — В кн.: Вычислительные методы в физике реакторов. Пер. с англ. Под ред. X. Гринспена. М, Атомиздат, '1972.
41.	Шихов С. Б. О существовании и единственности положительного решения критического уравнения с учетом замедления. — В кн.: Некоторые вопросы, физики и техники ядерных реакторов. М., Атомиздат, 1965, с. 5.
42.	Шихов С. Б. Некоторые вопросы математической теории критического состояния реактора. — «Журн. вычислит, мат. и мат. физ.», 1967, т. 7, № 1, с. 113.
43.	Шихов С. Б. Вопросы математической теории реакторов (линейный анализ).' М, Атомиздат, 197'3.
44.	Усачев Л. Н. Уравнение для ценности нейтронов, кинетика реактора и теория возмущений. — В ки.: Реакторостроение и теория реакторов. М., Изд-во АН СССР, .1955, с. 251.
45.	Кадомцев Б. Б. О функции влияния в теории переноса лучистой энергии. — «Докл. АН СССР», 1957, т. ГИЗ, № 3, с. 544.
46.	Марчук Г. И., Орлов В. В. К теории сопряженных функций — В кн.: Нейтронная физика. Под ред. П. А. Крупчицкого. М., Госатомиздат, 1961, с. 30.
47.	Льюине Дж. Ценность. Сопряженная функция. Пер. с англ. М„ Атомиздат,. '1972.
48.	Смелов В. В. О приближенном методе гомогенизации гетерогенного реактора. — «Атомная энергия», <1969, т. 6, вып. 5, с. 546.
49.	Когеи Е. Обзор теории замедления нейтронов до тепловых энергий. — В кп.: Экспериментальные реакторы и физика реакторов. М., Гостехтеориздат, 1956, с. 257.
50.	Турчин В. Ф. ^Медленные нейтроны. М., Госатомиздат, 1963.
51.	Методы расчета спектра медленных нейтронов. — «Атомная энергия», 1962, т. 13, вып. 6, с. 534. Авт.: Г. И. Марчук, В. Ф. Турчин, В. В. Смелов, Г. А. Плясова.
52.	Le Caine J. Application of a variational method to Milne’s problem. — «Phys. Rev.», 1947, v. 72, p. 564.
53.	Фихтенгольц Г. M. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 2. М, «Наука», 1969.
54.	Hopf Е. Mathematical problems of radiative equilibrium. — «Cambridge Math. Tracts», 1934, N 31.
55.	Масленников M. В. Проблема Милна с анизотропным рассеянием. — «Труды: мат. ин-та им. В. А. Стеклова АН СССР», 1968, т. 97. (М, «Наука».)
56.	Годунов С. К-, Султангазин У. М. О диссипативности граничных условий: В. С. Владимирова для симметрической системы метода сферических гармоник.— «Журн. вычислит, мат. и мат. физ.», 1971, т. '11, № 3, с. 688.
57.	Градштейн И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов-и произведений. М., Фнзматгнз, 1962.
215.
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Аддитивная функция области 12—13
Аддитивной функции по области производная 13
Аппроксимация 83
Асимптотическое решение 160, 201
Больцмана кинетическое уравнение 44
'Быстрых нейтронов группа 181
-Векторный ток нейтронов 28, 42, 162
Владимирова метод 118
Возраст нейтронов 166
Газ одноатомный 181
Газовая модель замедлителя 181
Гладкости промежуток 79
Граничные условия 45, 63—68, 70—71, 101, 118, 130, 146, 162—165, 171, 196, 201—208
Грина функция 91
Деления процесс (реакция) 10, 14
.Диффузионное уравнение 30
Диффузии коэффициент 30, 165
Диффузионно-возрастное уравнение 166
Захвата радиационного реакция 9, 14
Изотропность рассеяния 25, 47, 66, 151
Коэффициент размножения эффективный 149
Ламэ коэффициенты 204, 210
Лапласа оператор 30
Лежандра полиномы 58, 207—210
— присоединенные функции 58, 206— 208
Летаргия 149, 160
Макроскопическое сечение 17
Максвелловский спектр 181, 190
Маршака условия 64
Микроскопическое сеченне захвата (рассеяния, деления) 15
.Милна проблема (задача) 196
Норма элемента 112
— оператора 113, 137
•Обобщенная система координат
{£, G} 203
Оператор положительный 137
-----определенный 137
•Отражатель 12 .
Пайерлса интегральное уравнение 50, 197
Плотность нейтронов 13, 19
------ фазовая 40, 144
—	потока нейтронов 20, 23
-------фазовая 144
-------глобальная (полная) 50, 55, 61, 162
—	столкновений 20
----поглощающих (рассеивающих, приводящих к делению) 23
— тока нейтронов односторонняя 26, 41, 64
-------результирующая 27, 41, 61 — вероятности рассеяния 43, 145 Полное сечение 2=2s+2a 42
Ду-приближение метода сферических гармоник 65
Pi-приближение 65, 161
Р2-приближение 66
Рз-приближение 67
Прогонки метод 76
Пучок нейтронов 40, 144
Разрешимости условия 79
Рассеяние упругое 151
Рассеяния функция 151, 153
Расщепления метод 130
Реакции ядерные 9
Реактор ядерный 9, 11
Свободного пробега средняя длина 17, 19
Составное ядро 9
Скалярное произведение 112, 137, 152, 167
Спектр нейтронов энергетический 156 5л--метод 122
Сферические функции 59, 207
Сферических гармоник метод 58, 161, 206
Теории возмущений формулы 177
Тепловая группа нейтронов 181
Термализация нейтронов 180—181
Тиражирование функций 82, 83, 106
Уравнение переноса нейтронов одио-скоростное 44—50
-------с учетом зависимости от скорости 146—150
— сопряженное 166, 176
Утечка нейтронов 10
Фермиевский спектр 181
Фиктивных точек метод 72
Функционал 72, 168, 174
Функции множества (области) 12
Ценность нейтрона 166, 168
Ценности нейтрона функция 166
Экстраполированная граница 202