В. И. ФИСТУЛЬВведениеВ ФИЗИКУ
ПОЛУПРОВОДНИКОВИЗДАНИЕ ВТОРОЕ, ПЕРЕРАБОТАННОЕ
И ДОПОЛНЕННОЕДопущено Министерством высшего и среднегоспециального образования СССРв качестве учебного пособиядля студентов вузов, обучающихсяho специальностям «Полупроводники и диэлектрики»и «Технология специальных материаловэлектронной техникиМОСКВА «ВЫСШАЯ ШКОЛА» 1984
ББК 22.379
Ф63УДК 537,311.33Рецензент — кафедра физики твердого тма Саратовского государственного
университета (зав, кафедрой, проф., д-р физ.-мат. наук 3. И. Кирьяшквна]Фистуль В. И.Ф63 Введение в физику полупроводников: Учеб. пособие для
вузов по спец. «Полупроводники и диэлектрики» и «Техноло¬
гия специальных материалов электронной техники». — 2-е
изд., перераб. и доп. — М.: Высш. шк., 1984. — 352 с., ил.В пер.; 1 р. 10 к.В книге изложены основные разделы физики полупроводников; освещены важ¬
нейшие области ах применения; рассмотрены наиболее распространенные методы
измерения параметров полупроводниковых материалов. Содержание второго издания
(1-е вышло в 1975 г.) переработано с учетом новых технологических приемов. Добав*
лены разделы физические явления в аморфных и стеклообразных полупроводниках
и др.2403000000-191	ББК 22.379001 (01)—84 I'M-»4	531.9© Издательство «Высшая школа», 1975
© Издательство «Высшая школа», 1984, с изменениями
ПРЕДИСЛОВИЕНастоящая книга написана на основе курсов лекций «Фи¬
зика полупроводников» и «Экспериментальные методы иссле¬
дования полупроводников», которые автор читает в Москов¬
ском институте тонкой химической технологии им. М. В. Ломо¬
носова в течение двадцати лет.Общение с технологами убедило автора в необходимости
создания учебного пособия по физике полупроводников, в ко¬
тором бы четко прослеживалась связь свойств полупроводни¬
кового материала с характером и концентрацией дефектов в
кристаллах. Понимание различных аспектов такой связи необ¬
ходимо в практической деятельности тех инженеров, которые
на основании изучения свойств судят о чистоте и совершенст¬
ве кристаллов, и тех, для которых знание свойств позволяет
правильно применять полупроводниковый материал в при¬
борах.Подобная книга является синтезом сведений из различных,
иногда далеких друг от друга наук — общей физики и кванто¬
вой механики, термодинамики, химии и физической химии,
радиотехники и электроники. Разумное сочетание всех этих
сведений в одном учебном пособии весьма затруднительно.
Однако автор пытался в какой-то степени преодолеть эти
трудности в первом издании настоящего учебного пособия.
Многочисленные отклики ученых и официальные рецензии,
появившиеся в периодической печати, показали, что общая
структура книги (объемы разделов и связь между ними) пред¬
ставляет интерес.Со времени выхода в свет первого издания этого учебного
пособия (1975) в полупроводниковой технике произошли зна¬
чительные изменения. Главные из них — более широкое рас¬
пространение эпитаксиальной технологии, появление принци¬
пиально новых технологических приемов (ионная импланта¬
ция, молекулярная эпитаксия, лазерное легирование), расши¬
рение использования многокомпонентных твердых растворов
и гетероструктур на их основе, достижение сверхвысокой ком¬
пенсации в кристаллах для фотоэлектроники. В области прак¬
тического применения полупроводников также появились но¬
вые направления, например использование аморфного крем¬
ния для солнечной энергетики, создание дискретных оптронов
и интегральных схем оптического диапазона, приборов с за¬
рядовой связью, новых типов полупроводниковых датчиков.3
Все это потребовало и некоторых изменений в преподава¬
нии физики полупроводников — увеличения объема одних и
углубления содержания других разделов, введения новых
разделов, таких, как магнитные явления в полупроводниках,
явления в неупорядоченных системах, в частности в аморфных
полупроводниках, и др. Потребовался также пересмотр мето¬
дики изложения некоторых вопросов, чтобы не допустить
сильного увеличения объема курса физики полупроводников.
В связи со всем перечисленным второе издание учебного посо¬
бия значительно переработано. В нем также учтены пожела¬
ния, высказанные в рецензиях на первое издание.Изложение, как и в первом издании, построено так, что
его связность не нарушается при опускании разделов, напеча¬
танных пегитом, содержащих математические выводы, дан¬
ные разъясняющего характера и контрольные вопросы. Неко¬
торые главы сопровождаются задачами, прототипом которых
послужили встречающиеся в практической инженерной дея¬
тельности.Большую пользу принесли советы и замечания проф.
3. И. Кирьяшкиной и коллектива возглавляемой ею кафедры
физики твердого тела Саратовского государственного универ¬
ситета, рецензировавшего рукопись.Неоценимую помощь в работе над книгой оказал М. В. Фи¬
стуль.Отзывы о книге направлять по адресу: 101430, Москва,
ГСП-4, Неглинная ул., 29/14, издательство «Высшая школа».Автор4
ЧАСТЬ ПЕРВАЯФИЗИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ
В ПОЛУПРОВОДНИКАХГлава 1ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ СПЕКТР НОСИТЕЛЕЙ ЗАРЯДА
В ИДЕАЛЬНЫХ ПОЛУПРОВОДНИКАХ§ 1.1. Основные определенияИзвестно большое число веществ, которые по своим свойствам от¬
носятся к классу полупроводников.Полупроводниковые свойства присущи некоторым веществам и в
аморфном, и в жидком состояниях. Например, Bi2S3, Sb2S3, Cu2S
и в жидком состоянии остаются полупроводниками. Применение жид¬
ких полупроводников, безусловно, перспективно, но практическая зна¬
чимость таких веществ в технике еще невелика. Большинство полу¬
проводников имеет кристаллическую структуру, поэтому им в насто¬
ящей книге уделено наибольшее внимание.Что же такое полупроводник? Историческое, но не физическое опре¬
деление полупроводника основано на различной способности веществ
проводить электрический ток, т. е. на различии в значениях электри¬
ческой проводимости. Издавна было замечено, что хорошо проводящие
ток материалы обычно являются металлами. Значения их удельной
проводимости а составляют более 104 (Ом*см)-1. Вещества, обладаю¬
щие малой удельной проводимостью, порядка 10~7 (Ом*см)-1 и менее,
всегда относили к изоляторам (диэлектрикам). Все материалы, кото¬
рые имели ст = 104ч-10—7 (Ом*см)-1, принято было называть полупро¬
водниками.Развитие учения о полупроводниках, познание их природы показа¬
ло недостаточность такого определения. Известно, что при очень боль¬
шом содержании примесей, даже у таких хорошо известных полупро¬
водниковых кристаллов, как германий и кремний, удельная электри¬
ческая проводимость становится равной примерно 104 (Ом*см)-1, но
от этого они не перестают быть полупроводниками. Точно так же кри¬
сталлы арсенида галлия при соответствующем легировании, напри¬
мер введением примесей хрома, железа или кислорода, становятся
практически изоляторами. Их удельная проводимость падает до
Ю~7 (Ом-см)-1, но по всем остальным свойствам эти полуизолирующие
кристаллы по-прежнему являются полупроводниками.Таким образом, отличие полупроводников от металлов и диэлектри¬
ков, состоящее в разных значениях удельной электрической проводи¬
мости, хотя и имеет место в большинстве случаев, но вовсе не явля¬
ется необходимым.А. Ф. Иоффе обратил внимание на то, что от металлов полупровод¬
ники отличаются прежде всего не значением, а характером зависимо-
сти удельной электрической проводимости от температуры (рио. 1.1):б
у металлов она слабо уменьшается, а у
полупроводников она сильно увеличивает¬
ся при нагревании кристалла.От электролитов полупроводники отли¬
чаются видом носителей заряда: в полупро¬
водниках ток переносится электронами, а
в электролитах — ионами. Таким образом,
по определению А. Ф. Иоффе, полупровод¬
никами являются вещества, электропровод¬
ность которых обусловлена переносом элек¬
тронов и возрастает при повышении тем¬
пературы.Некоторые вещества с электронной при¬
родой электропроводности, плохо проводя¬
щие электрический ток при комнатной тем¬
пературе, часто относят к диэлектрикам,
но по характеру изменения свойств и они оказываются полупровод¬
никами. Типичными примерами таких веществ являются оксиды
металлов NiO, ТЮ2, А1203 и др.Определение, данное Иоффе, сегодня вызывает ряд возражений. Во-
первых, у сильно легированных полупроводников электропроводность
с повышением температуры не растет, а слабо уменьшается, почти как
у металлов. Во-вторых, из приведенного определения следует, что у
полупроводников в отличие от металлов принципиально не может су¬
ществовать явление сверхпроводимости — рост а при Т -*■ 0 (см.
рис. 1.1), а это утверждение в настоящее время весьма обоснованно ос¬
паривается теоретиками твердого тела. И наконец, все большее внима¬
ние привлекают к себе так называемые ионные полупроводники, элект¬
ропроводность которых обуоловлена переносом ионов, а не электронов.
К таким полупроводникам относятся некоторые оксидные стекла, на¬
пример, на основе Si02 и др.Таким образом, дать какое-либо единое определение понятия
полупроводника весьма затруднительно.Важно, что наиболее существенной особенностью полупроводни¬
ков является их способность изменять свои свойства в очень широ¬
ких пределах под влиянием различных воздействий (температура,
освещение, электрическое и магнитное поля, внешнее гидростати¬
ческое давление и т. д.). Под их действии характристики полупро-
о дников, например электропроводность, могут изменяться в 10'’— ДО7
раз. Такой чувствительностью не обладают ни металлы, ни элект¬
ролиты. Столь большая чувствительность и обусловила широкое
применение полупроводников в технике. Чувствительность к темпе¬
ратуре лежит в основе действия таких приборов, как термисторы,
чувствительность которых, т. е. изменение сопротивления, доходит
до 5% на градус, что примерно в 20 раз больше, чем у металлов.
На большой чувствительности к свету основано действие полупро¬
водниковых фотоприемников. Чувствительность к слабым сигна¬
лам электрического напряжения позволила создать различные по¬
лупроводниковые диоды и триоды. Чувствительность к магнитному6Рис. 1.1. Температурная за¬
висимость удельной электри¬
ческой проводимости метал¬
лов и полупроводников
полю используют при создании полупроводниковых приборов для
измерения весьма слабых напряженностей магнитного поля и т. д.В чем же причина столь большой чувствительности полупро¬
водников к внешним воздействиям? Чтобы это понять, вернемся
к численным значениям удельной электрической проводимости ме¬
таллов и полупроводников. Примем для оценки их значения ом и
<тп, характерные для хорошо проводящих металлов (медь) и таких
полупроводников, как Ge и Si при комнатной температуре, которые
соответственно равны 10~5—10-6 и 10-3—10~2 (Ом*см)-1. Удель¬
ная проводимость <т связана с концентрацией электронов п и их
подвижностью и соотношениема—пей.	(1.1)Эту формулу легко получить на основе следующих соображений. Если в
1 см2 содержится п электронов и все они движутся в направлении электрическо¬
го поля g со скоростью v, то через площадку в 1 см* за секунду пройдут все
электроны, содержащиеся в объеме параллелепипеда длиной о. Их число будет
nv. Заряд, перенесенный ими, называют плотностью тока J. Он равен env; J == gS. Сравнивая оба последних выражения, получаем о—еп . Поскольку от-0ношение v!$ представляет собой скорость в единичном поле, а это и есть подвиж¬
ность и, то получаем формулу (1.1)Примем подвижности электронов в металле и полупроводнике
одинаковыми и равными 100 см2/(В-с).В действительности значения подвижности, как это будет показано в после¬
дующих разделах, могут меняться в широких пределах. Однако для ориентиро¬
вочной оценки принимаем их равными и постоянными.Тогда для металла из (1.1) получаем концентрацию электро¬
нов, равную 5*1021 — 5-1022 см-3, а для полупроводника — 5-1013—•
5 • 1014 см~3. Таким образом, в металле число электронов, участву¬
ющих в электропроводности, близко к числу атомов в 1 см3 кри¬
сталла. Следовательно, каждый или почти каждый атом в кри¬
сталлической решетке металла отдал электрон для переноса элект¬
рического заряда. По-иному обстоит дело в полупроводниковом
кристалле. Количество электронов проводимости в нем на несколь¬
ко порядков меньше числа атомов, т. е. далеко не каждый атом
отдал электрон для участия в явлении электропроводности. Сле¬
довательно, ту же электропроводность, например, в полупроводни¬
ке еще можно увеличить, если каким-либо способом ионизовать
еще дополнительное количество атомов в кристаллической решетке.Малое число носителей заряда приводит к тому, что их увели¬
чение или уменьшение существенно сказывается на свойствах по¬
лупроводников. Следовательно, если уметь управлять количеством
свободных носителей заряда в полупроводнике, то можно управ¬
лять и свойствами полупроводника. Это управление подразумева¬
ет, во-первых, создание носителей заряда и, во-вторых, управление
их движением внутри полупроводника.7
§ 1.2. Зонная структура энергетического спектра
носителей зарядаСтоящая перед нами задача сводится к рассмотрению свойств
и поведения электронов в кристаллическом твердом теле.Из курсов атомной физики и квантовой механики известно
поведение электронов в отдельно взятом изолированном атоме.
В этом случае электроны могут обладать не любыми значениями
энергии Е, а лишь некоторыми. Энергетический спектр электро¬
нов приобретает дискретный характер, как это показано на рис.
1. 2, в. Переходы с одного энергетического уровня на другой свя¬
заны с поглощением или выделением энергии.Возникает вопрос, как изменятся энергетические электронные
уровни в атомах, если приближать атомы друг к другу, т. е. кон¬
денсировать их в твердую фазу. Упрощенная картина такого од¬
номерного кристалла приведена на рис. 1.2, а.Качественный ответ на этот вопрос получить нетрудно. Рассмотрим,
какие силы действуют в отдельном атоме и какие — в кристалле. В изо¬
лированном атоме существуют сила притяжения ядром атома всех
своих электронов и сила отталкивания между электронами. В кристал¬
ле из-за близкого расстояния между атомами возникают новые силы.
Это — силы гзаимодействия между ядрами, между электронами, при¬
надлежащими разным атомам, и между всеми ядрами и всеми электро¬
нами атомов, составляющих твердые тела.Под влиянием этих дополнительных сил энергетические уровни
электронов в каждом из атомов кристалла каким-то образом должны
измениться. В этом состоит первое следствие сближения атомов. Вто¬
рое следствие связано с тем, что электронные оболочки атомов, в осо¬
бенности внешние, могут не только соприкасаться друг с другом, но
способны даже перекрыться. В результате электрон с одного уровняРис. 1 2. Схема образования энергетических зон в кристал¬
лах:а — расположение атомов в одномерном кристалле; б — распреде¬
ление внутрикристаллического потенциального поля; в — располо¬
жение энергетических уровней в изолированном атоме, г — распо¬
ложение энергетических зон
в каком-либо из атомов может перейти на уровень в соседнем атоме без
затраты энергии и, таким образом, свободно перемещаться от одного
атома к другому.Поэтому нельзя утверждать, что данный электрон принадлежит ка¬
кому-нибудь одному определенному атому, наоборот, электрон в такой
ситуации принадлежит всем атомам кристаллической решетки одно¬
временно. Иными словами, происходит обобществление электронов.
Разумеется, что полное обобществление происходит лишь с теми элект¬
ронами, которые находятся на внешних электронных оболочках. Чем
ближе электронная оболочка к ядру, тем сильнее ядро удерживает
электрон на этом уровне и препятствует перемещению электронов от од¬
ного атома к другому.Совокупность обоих следствий сближения атомов приводит к появ¬
лению на энергетической шкале вместо отдельных уровней целых энер¬
гетических зон (рис. 1.2, г), т. е. областей таких значений энергий, ко¬
торыми может обладать электрон, находясь в пределах твердого тела.Ширила зоны должна зависеть от степени связи электрона с ядром.
Чем сильнее эта связь, тем меньше расщепление уровня, т. е. тем ^же
зона. В изолированном атоме имеются запрещенные значения энергии,
которыми не может обладать электрон. Нечто аналогичное происходит
н в твердом теле. Между зонами (теперь уже не уровнями) могут быть
запрещенные зоны. Характерно, что если в отдельном атоме расстоя¬
ния между уровнями будут невелики, то в кристалле запрещенный уча¬
сток может исчезнуть за счет перекрытия образующихся энергетичес¬
ких зон.Следует отметить, что строгое рассмотрение показывает возможность пере¬
крытия зон только в трехмерном случае, что имеет место в кристаллах.Таким образом, энергетический спектр электронов в кристалле име¬
ет зонную структуру. Интуитивно можно представить, что различие
в свойствах разных кристаллических веществ должно быть связано
с разной структурой энергетического спектра электронов (разная ши¬
рина разрешенных и запрещенных зон).Теперь рассмотрим количественное решение задачи о спектре элект¬
ронов в кристалле.Аналогичная задача для отдельного атома решается, как известно,
с помощью уравнения Шредингера, имеющего следующий вид:(1.2)Здесь А = д2/дх2 + d2/d//2+d2/dz2 — оператор Лапласа; V0 (г) — по¬
тенциальная энергия электрона; г — радиус-вектор электрона; ф (г)—
волновая функция электрона; Е — полная энергия электрона.В квантовой механике для объяснения ряда свойств рассматривают эле¬
ментарные частицы-, в том числе и электрон одновременно и как частицу, и Как
некую волну. Т. е. электрон можно одновременно характеризовать значениями
энергии Е и импульса р, а также длиной волны X, частотой ш и волновым век¬
тором k = p/ft. При этом Я = ftw и р = 2яЛ'Я. Тогда движение свободных мск-9
тронов может быть описано плоской волной, именуемой волной де-Бройля, с по¬
стоянной амплитудой а:(1.3)Важный физический смысл имеет квадрат амплитуды волновой функции Л
Он характеризует вероятность w нахождения электрона в данной точке прост¬
ранства, определяемой радиусом-вектором г: до = | а81 = г|л}>%
где tf>* — комплексно-сопряженная волновая функция.Задавая конкретный вид потенциальной энергии V0 (г) и квантово¬
механические граничные условия, можно получить конкретные выра¬
жения волновой функции ч|> (г) для решаемой физической задачи.Кристалл, как отмечалось, представляет собой систему, состоящую
из многих электронов и атомных ядер. Наиболее полные сведения о
свойствах такой системы, в том числе и об ее энергетическом спектре,
можно получить, также решая уравнение Шредингера, соответствующее
стационарным состояниям этой системы. Но из-за того что в кристал¬
ле имеет место большое число взаимодействий, уравнение Шредингера
приобретает сложный вид:0-4)где т, М — соответственно массы электронов и ядер; гг, R, — радиу¬
сы-векторы г-ro электрона и /-го ядра; Z}, Zn — атомные номера ядер;
RJn, rih, гi) — расстояния между соответствующими ядрами и элект¬
ронами; S — полная энергия кристалла; V — собственная волновая
функция системы электронов и ионов.Первое слагаемое в (1.4) описывает кинетическую энергию электро¬
нов, второе — кинетическую энергию ядер. Множители при волновой
функции в следующих трех слагаемых описывают соответственно по¬
тенциальную энергию взаимодействия ядер друг с другом, электронов
друг с другом и энергию взаимодействия электронов с ядрами. Точное
решение уравнения (1.4) невозможно из-за того, что в случае кристал¬
ла волновая функция зависит от огромного числа (1024 — 1025) не¬
зависимых переменных (число ядер атомов в 1 см3 составляет пример¬
но 5- К)22 и каждый атом содержит большое число электронов).Задачей теории является отыскание таких допущений, которые по¬
зволили бы найти приближенное решение уравнения (1.4), сохранив его
принципиальные черты, отличающие кристалл от отдельного изолиро¬
ванного атома. Одно из них — адиабатическое приближение.Адиабатическим называют такой процесс, который происходит без обмена
энергией с окружающей средой.Обратим внимание на то, что масса ядра много больше массы элект¬
рона. Даже если бы кристалл состоял из самых легких атомов — ато¬
мов водорода, то М = 1840 т. Из-за разницы масс будет и разница в
скоростях теплового движения ядер и электронов.Ю
Следовательно, при любой конфигурации ядер, пусть даже неравне-
вееной, электроны практически безынерционно приходят в равновесно
между собой. Иными словами, ядра можно считать неподвижными по
сравнению с электронами. Таким образом, движение электронов и ядер
можно считать независимым, происходящим без обмена энергией меж¬
ду электронной и ядерной подсистемами частиц. В этом и состоит смысл
адиабатического приближения.Тогда волновую функцию ¥ можно представить в виде произведе¬
ния электронной ij) (гг, Rj) и ядерной Ф (R;) волновых функций:(1.5)Подстановка (1.5) в уравнение Шредингера (1.4) позволяет разделить
его па два более простых-
уравнение для электроновв котором Rj уже не переменные, а постоянные параметры, и уравне¬
ние для ядергде Е — энергия электронов, движущихся в поле малоподвижных ядер.Таким образом, состояние электронов теперь описывается уравне¬
нием (1.6), которое уже не содержит ни кинетической, ни потенциаль¬
ной энергии ядер. Координаты ядер входят, как постоянные параметры,
от которых зависят потенциальная энергия и собственные значения пол¬
ной энергии электронов.В ряде случаев поведение электронов все же теснейшим образом связано с
движением ядер. В этих случаях адиабатическое приближение уже несправед¬
ливо.Второе допущение называют одноэлектронным приближением.
Чтобы понять это допущение, выделим для рассмотрения из всей сово¬
купности электронов какой-либо один. Тогда все остальные электроны
можно заменить неким эффективным зарядом, определенным образом
распределенным в пространстве. Выбранный нами электрон будет на¬
ходиться под воздействием внешнего электрического поля этого заряда.
В действительности напряженность такого поля меняется во времени,
но одноэлектронное приближение заменяет переменное во времени элект¬
рическое поле от всех электронов постоянным усредненным полем, на¬
пряженность которого обозначим Q (г). Тогда величиной Q (г) можно
заменить второе слагаемое в левой части уравнения (1.6). Так как те¬
перь рассматривается только один электрон, то в первом слагаемом опу¬
скается знак суммы. Если теперь третье слагаемое, отражающее потен¬
циальную энергию выбранного нами электрона с неподвижными ядра-11
Рио. 1.3. Потенциальная энер¬
гия электрона в изолированном
атомеРис. 1.4. Аппроксимация потен¬
циальной функции электрона в
кристалле по Кронигу — Пенними, обозначить V (г), то (1.6) опять-таки для частицы с одной степенью
свободы (ось г) переходит в(1-8)Таким образом, выражение (1.8) хотя и записано для одномерного
случая, похоже на (1.2). Различие заключается в том, что вместо V0(r)
в уравнении Шредингера для кристалла входит другая потенциальная
функция, которую обозначим U (г):(1.9)В результате обоих приближений — адиабатического и одноэлект¬
ронного — удалось свести задачу к обычному уравнению Шредингера,
но с другой потенциальной функцией. В изолированном атоме, как из¬
вестно, потенциальная функция имеет вид гиперболы (рис. 1.3). В кри¬
сталле, естественно, будет чередующийся ход таких гипербол, показан¬
ный пунктиром на рис. 1.2, б. Суммирование значений потенциальных
функций отдельных атомов с учетом Q (г) приводит к функции U (г),
показанной на рис. 1,2, б сплошной линией.Для решения уравнения Шредингера надо найти аналитическое вы¬
ражение этой функции. Возьмем наиболее простой вид U (г), при кото¬
ром, однако, не теряется общность рассмотрения. Решение такой зада¬
чи было найдено КрОнигом и Пенни. Главной чертой функции U (г)
является ее периодичность. Кристалл тем и отличается от других
видов состояния веществ, что в нем имеется периодическое потенциаль¬
ное поле.Рассмотрим решение Кронига — Пенни для потенциальной функ¬
ции электрону, зависящей только от одной координаты х (одномерный
кристалл).Функцию U (х) аппроксимируем рядом одинаковых чередующихся
прямоугольных потенциальных барьеров (рис. 1.4). Ширину барьера
обозначим Ьу ширину потенциальной ямы — а и высоту барьера —
U*. Таким образом, величина с = а + b есть период кристалличе¬
ской решетки рассматриваемого одномерного кристалла. Примем для
определенности, что энергия электрона, находящегося в таком перио¬
дическом поле, меньше высоты барьеров, т. е. Е < U*,12
Для области 0 < х < а решение уравнения (1,8) или, что то же самое, урав*
нения (1.2), как известно из квантовой механики, имеет вид(1 ю)а в области —- b < х < 0:(1 И)В этих выражениях а, Р, у, 6 — постоянные коэффициенты, а величины
Я и к представляют собой сокращенную запись выражений(1-12)Так как все элементарные ячейки кристалла одинаковы, то и вероятность
нахождения электрона в них одинакова, следовательно, г|д|)* должно быть перио¬
дической функцией с периодом, равным периоду решетки. Отсюда следует, что
значения самой функции в соответственных точках соседних ячеек отличаются
лишь фазовым множителем: ф (х + с) = е‘ф ф (я), поэтому для области а < х <г.(1.13)Граничными условиями, необходимыми для решения, являются условия не¬
прерывности функции (1.10), (1.11), (1.13) и их производных на общих границах.
Общими границами для (1.10) и (1.11) является плоскость при х = 0, а для (1.10)
и (1.13) — при х — а.Приравнивая на границе (* = 0) значения (1.10) и (1.11) и их производных,
получим(1.14)(1.15)Аналогично, подставляя х = а в (1.10), в (1.13) и в производные от этих
выражений, получаем(1.16)
(1*7)Полученные четыре уравнения представляют собой систему с четырьмя не¬
известными а, Р, у и 6.Решение приводит к уравнению(1.18)Так как X и х выражаются через энергию Я [см. выражение (112)),
то, задавая различные значения ф и решая (1.18), можно найти Е (<р),
т. е. искомый энергетический спектр. Однако решение трансцендент¬
ного уравнения (1.18) сложно. Следуя Кронигу и Пенни, рассмотрим
предельный случай для этой задачи. Будем уменьшать ширину барье¬
ров, устремляя ее к нулю: Ь -► 0, и в то же время будем увеличивать
их высоту до бесконечности: U* -> оо. Но обе эти операции будем де¬
лать не произвольно, а так, чтобы произведение bU* оставалось посто¬
янным, и его значение обозначим h2PI(ma), т. е. bU* = Р — const.Физический смысл величины 1 IP заключается в том, что она ха¬
рактеризует прозрачность потенциального барьера.П
С точки зрения классической физики частица
может преодолеть потенциальный барьер, только
перескочив через него сверху. Согласно пред¬
ставлениям квантовой физики, кроме такого про*
цесса возможен и другой, называемый туннель¬
ным эффектом. Его смысл заключается в том,'
что плотность вероятности нахождения электро*
на в пространстве w ~ | г|> J 2 = имеет вид,
показанный на рис. 1.5, поэтому, если барьер до¬
статочно узок, что схематически показано на
рис. 1.5 пунктиром, то за ним вероятность на¬
хождения электрона отлична от нуля. Таким об¬
разом, электрон как бы поосачивается под
барьером в следующую потенциальную яму.
Теория показывает, что вероятность туннельного
эффекта экспоненциально возрастает по мере
уменьшения высоты и ширины потенциального
барьера.Поэтому для простоты можно изменять Ь и U* любым образом, лишь
бы сохранить постоянным произведение bU*. В этом случае сохраня¬
ется эффективность потенциального барьера по отношению к проходя¬
щему через него электрону.
Подстановка Ъ -> 0 и (/*->- оо в (1.18) приводит к неопределенно¬
сти. Раскроем ее следующим путем.Поскольку b 0, то из рис. 1.4 видно, что с а. Из-за того что U* -> оо,
получим по (1.12) х оо и %/к 0. Можно показать, что кЬ ~]/b -*■ О,
так какпоэтому (ен6 + е“к&)/2 -v 1; (екЬ — е”х*)/2 -> 0.Теперь рассмотрим множитель при sin Ха в (1.18):В первом сомножителе разделим числитель и знаменатель на к2, а ко вто¬
рому применим формулы разложения е** « 1 + ъЬ и « 1 — nbf ТогдаПосле раскрытия неопределенности выражение (1.18) принимает вид(1.19)Решение такого трансцендентного уравнения можно найти для лю¬
бого ф графически. Для этого обозначим левую часть в (1Л9) F (Ха)
и построим график данной функции в зависимости от Ха.
Вид функции F (Ха) показан на рис. 1.6. Чтобы найти значения Ха,
соответствующие некоторым значениям q>, строим рядом с графиком
F (Ха) график правой части уравнения (1Л9), т. е. cos q>.Рис. 1.5. Плотность вероят¬
ности нахождения электрона
в пространстве (для просто¬
ты взят одномерный случай)Г4
Рис. 1.6. Графическое изображение решения уравнения Шредингера по Кронигу —ПенниЗадав некоторое <р1( находим соответствующее значение cos <рг.
Проведя на высоте у = cos <рх прямую, параллельную оси абсцисс, на¬
ходим точки пересечения ее с графиком F (Ал); абсциссы этих точек и бу¬
дут корнями уравнения (1.19), соответствующие данному ф1# Так как
cos ф может меняться лишь от + 1 до —1, то очевидно, что левую
часть уравнения (1.19) следует рассматривать в области между двумя
горизонтальными параллельными линиями, показанными на рис. 1.6
пунктиром.Из точек пересечения этих прямых с графиком F (ка) опускаем
перпендикуляры на ось Ха и находим корни уравнения (1.19).
Видно, что они находятся лишь в некоторых участках на оси абсцисс.
Эти участки обозначены вертикальными черточками на оси Ха. Таким
образом, допустимые значения X, а следовательно, и Е [см. выражение
(1.12)J имеют дискретный зонный характер. Если теперь ось Ха (см.
рис. 1.6) с указанными на ней областями допустимых значений Ха
перевернуть в вертикальное положение, то получим картину, полно¬
стью совпадающую с той, что была найдена в результате качественных
рассуждений и изображена на рис. 1.2, г.Следовательно, и количественное рассмотрение приводит к выводу,
что энергетический спектр электронов в кристалле имеет зонную струк¬
туру.Рассмотрим некоторые следствия из проведенного решения.1)	Р оо. Это случай сильной связи электронов со своими атома¬
ми (барьеры непрозрачны). При этом, например, F (0) = Р + 1-> оо,
т е. функция F (ка) очень круто спадает к оси Ха. Это значит, что ши¬
рина разрешенных зон уменьшается, а запрещенных — увеличивает¬
ся. Этот случай приближается к изолированному атому, так как в пре¬
деле разрешенные зоны превращаются в дискретные уровни.2)	Р -> 0. Это наоборот, случай слабой связи электронов со свои¬
ми атомами (барьеры прозрачны для электронов). При Р -*■ О уравне¬
ние (1.19) переходите простое: cos Ал = cos ф, нет никаких запрещен¬
ных зон и этот случай приближается к случаю полностью свободного
электронного газа.3)	Р > 1. Значение Р велико, но не обращается в бесконечность.
Это промежуточный случай между очень сильной и очень слабой свя-15
зью электронов с атомом. Из рис. 1.6 видно, что разрешенные значени я
ка примыкают к значениям пп слева. Их можно записать в виде(1.20)где п — целое число, определяющее номер зоны: п = ± 1, ± 2, ± 3,
6 — имеет значение меньше единицы.Если |6| <с 1, то sin ка и cos fax можно преобразовать следующим образом!
Тогда уравнение (1.19) примет видОтсюда найдеми, подставляя это выражение в (1.20), получим(1.21)Теперь, сопоставляя (1.21) с (1.12), найдем значения энергии:(1.22)В этом выражении при возведении в квадрат пренебрегли квадратом второго
члена, так как Р > 1, а числитель квадрата второго члена ограничен»Энергию Еп теперь можно представить в виде(1.23)гдеРассмотренное решение задачи об электронном спектре кристалла
является самым простым. Можно как угодно детализировать вид функ¬
ции U (х) и получать решения уравнения Шредингера, отличающиеся
несколько друг от друга, но общий вывод о существовании энергети¬
ческих зон от этого не изменится.§ 1.3. Энергетический спектр электронов
в трехмерном кристаллеКристаллические решетки характеризуются так называемыми эле¬
ментарными ячейками. В силу периодичности строения кристалличес¬
кой решетки параллельным переносом ее основной ячейки можно ис¬
черпать весь кристалл.16
Рис. 1.7 Индексы, применяемые для обозначения кристаллографиче¬
ских плоскостейа — индексы Миллера; б — примеры обозначения некоторых плоскостей в ку¬
бической решеткеДля обозначения кристаллографических направлений и плоскостей
пользуются специальными индексами. Поясним их сущность. Примем
центр, например, кубической ячейки за начало координат и проведем
из него три координатные оси, параллельные трем ребрам элементарной
ячейки (рис. 1.7, а).Любая кристаллографическая плоскость отсекает на выбранных
осях некоторые отрезки. Длиной этих отрезков и задается положение
плоскости в кристалле. Но для удобства задают не абсолютные длины
этих отрезков, а относительные, равные отношению их к длине ребра
элементарной ячейки. Таким образом, кристаллографические плос¬
кости принято обозначать в виде (hkl)> где Л, k и / — целые и простые
числа. Эти числа называют индексами Миллера.Следует помнить, что индекс h означает относительный отрезок, отсекаемый пло¬
скостью на оси х, /г-на оси у и / — на оси г.Индексы h, k, I могут быть и дробными, но так как их всегда можно изме¬
нить на общий множитель (или общий делитель), то для удобства их обозначают
целыми числами.Кроме того, плоскости, параллельные какой-либо из выбранных осей, от¬
секают на этой оси отрезок, равный бесконечности, и потому опять-таки для
удобства индексы Миллера представляют обратными значениями относительных
отрезков, отсекаемых на осях. Например, принятые обозначения типа (001)
или (110) надо было бы обозначить в виде (ooool) и (11оо), что разумеется менее
удобно.На рис. 1.7, б приведены примеры обозначения некоторых плоско¬
стей в элементарной кубической ячейке. Видно, что любой из индексов
(Ш), не равный нулю, означает, что данная плоскость пересекает соот¬
ветствующую координатную ось. И, наоборот, если какой-либо мил-
леровский индекс равен нулю, это означает, что данная плоскость па¬
раллельна соответствующей координатной оси. Так как грани ячейки
могут располагаться по обе стороны от начала координат, то индексом
Миллера может быть приписан знак минус, проставляемый над индек¬
сом, например (ТОО) и (010) на рис. 1.7, б.17
Кристаллографические направления, перпендикулярные соответст¬
вующим кристаллографическим плоскостям, обозначают теми же ин¬
дексами, что и данную плоскость, но вместо круглых пишут квадрат¬
ные скобки. Так, направление оси х, перпендикулярное плоскости
(100), обозначают [100]. Соответственно направления от начала коор¬
динат в стороны, противоположные положительным направлениям,
имеют отрицательный знак. Например, направление [100] для оси +*
и [Т001 для оси — х (см. рис. 1.7, а).Многие полупроводниковые кристаллы обладают элементарной ку¬
бической ячейкой (германий, кремний, соединения Лшву, Ли/Зу| и
др.). Но имеются полупроводники, кристаллизующиеся в других систе¬
мах. Например, теллур обладает тригональной ячейкой. В отличие от
кубической, для тригональной и гексагональной элементарных ячеек
принята система кристаллографических символов, состоящая не из
трех, а из четырех индексов Миллера.Для решения задачи о состояниях электронов, находящихся в трех¬
мерном периодическом потенциальном поле, надо также определить
волновую функцию г|> из уравнения Шредингера. В случае трехмерного
кристалла потенциальная функция U (г) будет периодична уже по всем
трем осям х, у, z. Для кубической элементарной ячейки период по всем
трем осям одинаков и равен с.Модель Кронига — Пенни, состоящая из периодических прямо¬
угольных барьеров по каждому из трех направлений, показана на
рис. 1.8. Пунктирной линией дана элементарная ячейка кубического
кристалла. Точки 1,2, 3, 4 — узлы решетки. Из этого рисунка видно,
что вдоль каждой из осей х, у, г будет уже рассмотренный ранее слу¬
чай одномерного кристалла, т. е. можно найти ij)*, г|зу, г|>2 — волновые
функции вдоль каждой из осей кристалла. Полную волновую функцию
ij) можно получить, пользуясь известным в квантовой механике соот¬
ношениемсправедливым, если переменные в уравнении Шредингера разделяются.Конкретное решение данной задачи из-за его громоздкости здесь не
приводится. Отметим лишь, что как и в одномерном кристалле, в трех¬
мерном — энергетический спектр электронов состоит из отдельных
энергетических зон, которые разделены между собой запрещенными
зонами.Выражение (1.22), показывающее связь энергии электрона с шири¬
ной потенциальной ямы, прозрачностью барьера Р и номером зоны,
верно для одномерного кристалла. В трехмерном кристалле решение
задачи приводит к аналогичному выражению, которое при большом
значении Р имеет вид [ср. с (1.23)]т. е. в трехмерном кристалле значения энергии уже зависят от трех
квантовых чисел пх, пу, пг, каждое из которых равно 1,2,3... Каждой
тройке этих чисел соответствует один определенный уровень энергии.(1.24)(1.25)18
Рис. 1.8. Модель потенциальной
функции по Кронигу — Пенни для
трехмерного кристаллаРис. 1.9. Зонная структура полупро¬
водниковЕслиравны, то (1.25) принимает простой вид(1.26)Выражение, находящееся в скобках выражения (1.26), можно пред¬
ставить как квадрат длины некоторого вектора к:(1.27)Тогда (1.26) перейдет в выражение(1-28)Вспоминая, что энергия свободного электрона Е — р21(2т), можно
отождествить величину Ш с неким импульсом электронов в зоне.В отличие от истинного импульса, ветор Йк называют квазиимпуль-
сом электрона в кристалле.А так как значение импульса равно tnv, то, учитывая, что для элект¬
ронов X — hi (то), получим окончательно k — 2л/Х, т. е. к есть не что
иное, как волновой вектор, показывающий, сколько длин волн укла¬
дывается на единице длины.Полученный закон Е (k) в виде (1.28) для одномерного кристалла
и непрерывных значений волнового вектора графически изображается
параболой, показанной пунктиром на рис. 1.9, а, и соответствует зако¬
ну дисперсии для свободного электрона вне кристалла. На рис. 1.9, б
показана зонная диаграмма.Совершенно очевидно, что зонный характер энергетического спект¬
ра должен сказаться и на зависимости Е (k). Так как электрон в крис¬
талле может обладать не всеми значениями энергии, то из кривой Е (k)
Должны быть исключены участки, соответствующие запрещенным зо¬
нам. По аналогии с отражением рентгеновских лучей можно рассмат-19
ривать отражение электронных волн от кристаллических плоскостей
и получить формально границы разрешенных зон. При этом будет вы¬
полняться условие отражения Вульфа — Брегга:(1.29)где X — длина волны электрона; с — расстояние между соседними ато¬
мами, т. е. период кристаллической решетки; 0 — угол между направ¬
лением скорости электрона и плоскостью кристалла, равный 90°.Пользуясь (1.28) и (1.29), нетрудно убедиться в том, что границы
между запрещенными и разрешенными зонами лежат при значениях
волнового вектора, равных ±пл/с. Поэтому зонный спектр электронов
в координатах Е — k приобретает вид, показанный на рис. 1.9, а
сплошными линиями. Более строго это можно показать, пользуясь
формулой (1.23). Предлагаем это сделать читателю самостоятельно
(см. задачи 1.3 и 1.4 к гл. 1).Области значений к, при которых энергия электронов изменяется
непрерывно, а на границах претерпевает разрыв, называют зонами
Бриллюэна.В одномерном кристалле при изменении волнового вектора от
—л/с до +я/с имеем первую зону Бриллюэна, при изменении от —2л/с
до — л/с и от л/с до 2я/с получим вторую зону Бриллюэна и т. д.Однако нет необходимости рассматривать энергию во всех зонах
Бриллюэна, ибо периодичность системы приводит к тому, что состоя¬
ния электрона со значениями волнового вектора к и(1.30)физически неразличимы.В самом деле, уравнению Шредингера (1.8), описывающему движение элек¬
трона в периодическом поле, удовлетворяет функция Блоха, которая для одно¬
мерного кристалла имеет вид(1.31)Эта функция является произведением плоской волны е^г, описывающей
движение свободного электрона в поле с постоянным потенциалом и периодиче¬
ской функции иъ (г), период которой совпадает с периодом кристаллической ре¬
шетки с, т. е.Нетрудно убедиться, что уравнению Шредингера удовлетворяет и функция(1.32)Так как функции и£ (г) и ик (г) имеют один и тот же период, то действитель¬
но векторы к' и к эквивалентны.Это обстоятельство позволяет любое состояние электрона с волно¬
вым вектором к' выразить посредством волнового вектора к, находяще¬
гося в пределах зоны Бриллюэна, т. е. привести все зоны Бриллюэна
к первой зоне.20
При приведении второй зоны следует сместить всю правую ветвь
кривой Е (k) на рис. 1,9, а влево на 2я/с, а всю левую ветвь — на 2я/с
вправо. Полученный после такой операции вид кривой Е (k) показан
на рис. 1.9, а штрих-пунктиром.Понятие зон Бриллюэна распространяется и на случай трехмерных
решеток. В этом случае k-пространство также трехмерно с осями коор¬
динат kx, kv> kz. Геометрические места точек в k-пространстве, в кото¬
рых происходит разрыв энергии, образуют набор плоскостей, располо¬
женных симметрично относительно начала координат.Для описания плоскостей и направлений в зонах Бриллюэна при¬
меняется символика, аналогичная той, что принята для описания обыч¬
ных кристаллических решеток, которая была рассмотрена в начале
параграфа, т. е. символика, подобная индексам Миллера.В трехмерном пространстве все зоны Бриллюэна также можно при¬
вести к первой. Для этого вводят понятие обратной решетки так,
что ее базовые векторы blt Ъ2, Ь3 связаны с базовыми векторами истин¬
ной решетки cx, с2, с3 соотношениями:где Vi = cL [с2, с3| — объем элементарной ячейки кристалла.Произвольный вектор обратной решетки(1.33)где пи п2, п3 — целые числа.При введении понятия обратной решетки выполняется условие(1.34)являющееся аналогом (1.30).Таким образом, п представляет собой сдвиг, необходимый для при¬
ведения всех зон Бриллюэна к первой.В простой кубической решетке с, = ег = с, = с и bt = 6, = b3 = Ь.
В результате b = 2п!с и тогда п = п2тс, т. е. эта величина, которая действи¬
тельно определяла связь k' с k в (1.30),§ 1.4. Заполнение зон. Эффективная масса
носителей зарядаДо сих пор рассматривались возможные значения энергии электро¬
нов и было установлено, что все энергетические уровни, которыми мо¬
гут обладать электроны, расположены в зонах. Возникает вопрос:
все ли из возможных уровней в действительности заняты электронами,
т- е. каково заполнение зон?Качественно этот вопрос можно проанализировать, если вспомнить,
каково же заполнение энергетических уровней в изолированном атоме.Совокупность N электронов в атоме, обладающих одним значением главного
квантового числа п, образует оболочку, обозначаемую буквами К, L, М, N,
О и т. д., по мере удаления от ядра,21
Электроны стремятся заполнить оболочки с наименьшим п. Когда их число
достигает максимально возможного значения 2/г2, получается устойчивая струк¬
тура и следующий электрон начинает заполнение следующей оболочки и т. д.В результате незаполненной или частично заполненной может быть лишь
внешняя оболочка, т. е. внешний валентный уровень.Так как в нейтральном изолированном атоме внутренние энергети¬
ческие уровни полностью заполнены, а не полностью заполненным
может быть лишь крайний валентный уровень, то и заполнение зон в
кристалле оказывается различным. Зоны, произошедшие от внутрен¬
них уровней, всегда полностью заполнены электронами.Только зона, образованная от валентных уровней, может оказаться
в ряде случаев заполненной не полностью. Зону, произошедшую от ва¬
лентных уровней атомов, образующих кристалл, называют валентной
зоной.Степень заполнения валентной зоны электронами зависит прежде
всего от химической природы атомов, из которых состоит кристалл,
определяемой величиной Z, от кристаллической структуры и от многих
других более тонких факторов.В случае одноатомных кристаллов с простой структурой, т. е. с ба¬
зисом, состоящим из одного атома, полное число электронов в кристал¬
ле составит NZ, где N — число атомов в кристалле; Z — число электро¬
нов, приходящихся на один атом (атомный номер). Число же кванто¬
вых состояний в каждой отдельной разрешенной зоне равно 2N.Тогда количество заполненных электронами зон будет NZ/2N =
= Z/2. Таким образом, если Z нечетно, то заполненным оказывается
нецелое число зон, т. е. элементы с нечетным атомным номером, если
они кристаллизуются в простой решетке, будут иметь не полностью
заполненную зону, произошедшую от валентных уровней. Из даль¬
нейшего изложения станет ясно, что обратное утверждение о том, что
у элементов с четным Z эта зона должна быть заполнена полностью,
неправильно.В изолированном атоме выше валентного уровня находятся уров¬
ни энергии, на которых хотя электронов и нет, но они могут там нахо¬
диться при возбуждении атомов. Для этого валентному электрону не¬
обходимо преодолеть энергетический барьер, равный потенциалу воз¬
буждения атома. Точно так же и в кристалле: выше валентной зоны име¬
ется полностью свободная от электронов зона, которую называют зо¬
ной проводимости. Заполнение зоны проводимости может начаться
только в том случае, когда электроны в валентной зоне получат допол¬
нительную энергию, достаточную для преодоления энергетического
барьера, равного ширине запрещенной зоны, лежащей между валентной
зоной и зоной проводимости.Изобразим теперь возможные случаи зонной структуры с учетом
степени заполнения зон. Таких случаев может быть четыре (рис. 1.10).С л у ч а й а. Валентная зона заполнена не полностью. При прило¬
жении к такому кристаллу электрического поля электроны будут по¬
лучать от него энергию и будут соответственно переходить на более вы¬
сокие энергетические уровни. Из рис. 1.10, а видно, что во всех глубоко
лежащих зонах этот процесс невозможен, так как в глубоких зонах все
22
Рис. 1.10. Возможные случай зонной структуры твердых тел:а — металл, состоящий нз одновалентных атомов; б — металл, состоящий из двухвалентных атомов; в
полупроводник; полупроводник с большой величиной запрещенной зоны (диэлектрик)
уровни полностью заняты. Валентная зона заполнена лишь частично
и в ней переходы электронов происходят беспрепятственно, что обеспе¬
чивает прохождение электрического тока через такой кристалл при лю¬
бой температуре. Здесь, таким образом, имеем дело с хорошо проводя¬
щим ток кристаллом, проводимость которого не меняется с изменением
температуры, т. е. с металлом.Действительно, этот случай реализуется, например, для однова¬
лентных металлов типа натрия. У атома натрия имеется один валент¬
ный электрон, в то время как полностью заполненная валентная обо¬
лочка должна была бы содержать два электрона. Поэтому валентная
зона в кристалле натрия оказывается заполненной только наполовину.Случай б. Валентная зона заполнена полностью, но запрещен¬
ная зона между валентной зоной и зоной проводимости отсутствует
(рис. 1.10, б).Такой кристалл опять-таки хорошо проводит электрический ток и
его электропроводимость также не зависит (или почти не зависит) от
температуры.Таким образом, и этот случай соответствует металлическому крис¬
таллу. Отличие от случая а заключается в том, что в отдельных атомах,
из которых образуется этот металл, валентные уровни заполнены пол¬
ностью, но ближайшие к валентным уровни находятся на столь близ¬
ких расстояниях, что при образовании зон валентная зона и зона про¬
водимости оказываются перекрытыми друг другом. Примером такого
типа кристалла может служить кристалл металла, состоящий из двух¬
валентных атомов, например, кальция.Случай в, г. Валентная зона заполнена полностью и не пере¬
крыта зоной проводимости (рис. 1.10, в, г). Это случаи, когда переме¬
щение электронов под действием электрического поля не может проис¬
ходить до тех пор, пока каким-либо способом, например нагревом, не
будет переведена часть электронов из валентной зоны в зону проводи¬
мости, т. е. эти случаи описывают кристаллы, электропроводимость
которых должна повышаться с увеличением температуры. Такие кри¬
сталлы, как было определено (см. рис. 1.1), называют полупроводни¬
ками.Различие случаев в и г состоит лишь в ширине запрещенных
зон. Очевидно для преодоления большего энергетического зазора
(рис. 1.10, г) потребуется и более высокая температура. Поэтому кри¬
сталлы, у которых электропроводность возникает при очень высоких
температурах, принято относить к диэлектрикам. Условно принято
считать, что кристаллы такого типа являются диэлектриками, если
ширина запрещенной зоны АЕх больше 2 эВ (46,12 ккал/(г-моль)). Хо¬
тя с физической точки зрения и такие кристаллы являются полупровод¬
никами.Анализ степени заполнения зон позволяет в дальнейшем исключить
из рассмотрения все глубокие зоны, лежащие ниже валентной, так как
электроны в этих зонах не участвуют в прохождении электрического
тока через кристалл. Таким образом, зонную структуру, которую рас¬
смотрим в дальнейшем, будем изображать так, как она показана на
рис. 1.11. Обычно принято для краткости изображать лишь потолок24
Рис. 1.11. Схема
возникновения
движения электро¬
нов в валентной
зонеРис. 1 12. Классическая аналогия,
поясняющая понятие эффективной
массы электронавалентной зоны, обозначаемый Ev, подразумевая, что сама валентная
зона располагается ниже уровня Е„. Точно так же принято изображать
дно зоны проводимости, т. е. ее нижний уровень, обозначаемый Е*.
Ширину запрещенной зоны принято обозначать Eg*.Как отмечалось, проводимость в полупроводнике возникает только
после того, как часть электронов будет переброшена из валентной зоны
в зону проводимости. Этот переброс показан на рис. 1.12 пунктиром.
После этого валентная зона оказывается уже не полностью заполнен¬
ной и в ней станет возможным перемещение электронов, т. е. повыше¬
ние их энергии при приложении электрического поля.Таким образом, механизм прохождения электрического тока через
рассматриваемый кристалл обусловлен одновременным перемещением
электронов и в зоне проводимости, и в валентной зоне. Разумеется, что
такое перемещение должно отличаться от движения действительно сво¬
бодных электронов в вакууме, так как в кристалле на электроны дейст¬
вует еще и внутреннее периодическое потенциальное поле.Привычным является описание движения тел в рамках классичес¬
кой механики Ньютона, которая устанавливает связь между внешней
силой F, приложенной к телу, и его ускорением а = dvldt:(1.35)В кристалле же на электрон действует периодическое поле, явив¬
шееся следствием действия на электрон многих внутренних сил. Эти
силы также должны учитываться величиной F. Поэтому рассчитать ис¬
тинную траекторию электрона в кристалле не представляется возмож¬
ным, так как нельзя точно решить задачу действия многих сил. Если
такую задачу и удалось бы решить, то законы действия этих сил оказа¬
лись бы не столь наглядными по сравнению с законами ньютоновской
механики.* Индекс с от англ. conduction — проводимость.** Индекс g — от англ. gap — промежуток (щель).25
Рис. 1.13. Распространение волнового пакетаНеприменимость ньютоновской механики для электронов в кристал¬
ле легко показать на основании известного в квантовой механике прин¬
ципа неопределенности, по которомуПринимая в качестве Лл: период кристаллической решетки и учиты¬
вая, что Ар = Д (mv), можно вычислить Av, т. е. неопределенность
(или что то же самое — ошибку) в значении скорости электрона:Но электрон в кристалле должен обладать обычной тепловой ско¬
ростью, равной 107 см/с. Следовательно, неопределенность в значении
скорости оказалась больше самой скорости, что является абсурдом.
Таким образом, для электрона в кристалле понятие о мгновенной ско¬
рости теряет смысл. Остается лишь понятие о средней скорости элект¬
рона V.Поясним это посредством классической аналогии — движением шарика по
гофрированной поверхности (рис. 1.12). Скорости шарика на гребне и в глубине
впадины различны по значению и по направлению. Но средняя скорость его по¬
ступательного движения (если нет трения) остается постоянной, если гофриро¬
ванная поверхность, как и кристалл, имеет периодическую структуру. Очевид¬
но, что поступательное движение шарика возможно только в том случае, если
его кинетическая энергия достаточна для преодоления гребней. В отличие от
шарика электрон может двигаться от атома к атому (от гребня к гребню),
проникая и под потенциальный барьер.Чему же равна средняя скорость электрона в кристалле? Ее можно
определить как групповую скорость волн, с помощью которых описы¬
вается электрон:(1.36)По представлениям волновой механики электрон отождествляется с волной,
или, точнее, группой волн (волновой пакет), безгранично распространяющихся
во времени и в пространстве.Это значит, что электрон можно считать локализованным там, где резуль¬
тирующая амплитуда волнового пакета отлична от нуля. Распространение та¬
кого пакета для совершенно свободного электрона графически изображено на
рис. 1.13, где обозначено: у — результирующая амплитуда группы волн; г —
аргумент, от которого зависит эта амплитуда:а со (k) — частоты отдельных волн, составляющих волновой пакет.26
Максимальное значение амплитуды принимаем при г » О, т. •* при х =
-- (d(d/dk)k&fi9 t, Именно в этой точке можно считать электрон локализованным.
Последующие максимумы настолько малы, что их можно не учитывать. Поэтому
скорость распространения максимальной амплитуды(1.36')можно отождествить со средней скоростью электрона. В кристалле волновой па*
кет отличается лишь тем, что его результирующая амплитуда будет меняться еш|
и периодически вдоль осей х, у, г q периодом решетки, но определение (f.oo'j
сохранится.Так как Е &= Л©, то из (1,36') получаем (1.36),Точно так же можно ввести и усредненное ускорение для электрона
в кристалле:(1.37)Так как время и квазиимпульс независимы, то в (1.37) можно по¬
менять их местами:(1.38)Внешняя сила F совершает с рассматриваемым электроном работу,
равную dA, так что в среднем за время dt произойдет изменение скоро¬
сти электрона, а значит, и изменение его энергии dE, равное совершен¬
ной работе: dE = dA — Fds = Fvdt. Отсюда(1.39)Подставляя (1.39) в (1.38) и учитывая, что внешняя сила F от k не
зависит, получим(1.40)Дифференцируя (1.36) и подставляя полученное в (1.40), найдем
окончательно(1.41)Перепишем эго выражение в форме, аналогичной закону Ньютона:(1.42)Сравнивая (1.42) с законом Ньютона для обычных тел (1.35), можно
увидеть полное сходство, если величину(1.43)трактовать как аналог массы электрона. Величину т* называют эф¬
фективной массой.27
Смысл введения эффективной массы заключается в том, что с ее по¬
мощью учитывают совместное действие периодического потенциального
поля и внешней силы на электрон в кристалле. Посредством введения
эффективной массы удалось сложные законы движения электронов в
кристалле свести к законам, которые по форме (только по форме!) сов¬
падают с хорошо известными законами классической механики.Следует понимать, что эффективная масса ничего общего не имеет с
обычной массой, т. е. она не является мерой инерции и не связана с си¬
лами тяготения. Более того, из рис. 1.9, а видно, что Е является пере¬
менной величиной в зависимости от k, а значит, и d2E!dk* может быть
переменной величиной, т. е. эффективная масса может быть не постоян¬
ной в отличие от обычной истинной массы электрона.Таким образом, эффективная масса есть лишь коэффициент пропор¬
циональности в законе, связывающем внешнюю силу> действующую на
электрон в кристалле с его ускорением.Рассмотрим некоторые свойства эффективной массы. Для этого вы¬
делим одну из зон в пространстве импульсов (см. рис. 1.9, а) так, как
это показано на рис. 1.14, а. Последовательно дифференцируя графи¬
чески эту кривую два раза, получим кривые рис. 1.14, б, в. Наконец,
пользуясь выражением (1.43), можно построить т* (£), изображенную
на рис. 1.14, г. Сопоставление кривых рис. 1.14, а и 1.14, г приводит к
выводу, что у дна зоны эффективная масса электрона положительна,
а у потолка зоны — отрицательна.Следовательно, возвращаясь к описанию перемещения электронов
в зонах (см. рис. 1.11), приходим к необходимости описывать его дви¬
жением электронов в зоне проводимости с
хотя и переменной по значению, но все-таки
с нормальной положительной эффективной
массой и одновременно — движением элек¬
тронов с аномальной (отрицательной) массой
в валентной зоне.Во избежание трудностей при описании
такого движения было введено понятие поло¬
жительной дырки, перемещение которой в
электрическом поле происходит в противопо¬
ложном направлении по сравнению с элек¬
троном. Тогда масса такой положительной
дырки будет положительна.Понятие дырки легко уяснить из рис. 1.11.
Из этого рисунка видно, что движение элек¬
трона в валентной зоне носит характер эста¬
феты: электрон переходит на верхний сво¬
бодный уровень и остается на нем, на осво¬
бодившийся уровень приходит электрон с еще
более низкого уровня и т. д. При таких пере¬
мещениях электронов, происходящих вверх
по шкале энергий, освобождающийся энерге¬
тический уровень движется вниз в глубь ва¬
лентной зоны. Поэтому противоположно на-28Рис. 1.14. Схема, иллю¬
стрирующая свойства эф¬
фективной массы элек¬
трона
Рис. 1.15. Энергетический
спектр электронов и дырок
в координатах Е — кРис. 1.16. Зонная структура германия (а)
и кремния (б)правленные движения электрона и освобождающегося уровня в валент¬
ной зоне эквивалентны. Освобождающийся уровень и отождествляет¬
ся с некой фиктивной частицей, которая имеет равный по значению, но
противоположный по знаку заряд по сравнению с электроном. Эта час¬
тица и есть дырка. Дырки с меньшей энергией располагаются у потолка
валентной зоны и увеличивают свою энергию, перемещаясь по шкале
энергий в глубь валентной зоны. Иными словами, для дырок и электро-
нов отсчет энергий идет в противоположных направлениях.Энергетический спектр Е (k) приобретает вид, изображенный на
рис. 1.15.Можно провести аналогию между движением дырки и движением пузырь»
ка воздуха в сосуде, заполненном водой. Например, в поле тяжести пузырек
всплывает вверх, потому что вода перемещается вниз. Но при рассмотрении дви¬
жения жидкости удобнее рассматривать движение не всей массы воды, а пузырь¬
ка, как шарика, масса которого равна массе вытесненной им воды с обратным
знаком. Таким образом, эффективная масса пузырька определяется не плотно-
стью газа, а плотностью жидкости. Аналогично и в квантовой механике эффек¬
тивные массы дырки и электрона определяются свойствами кристалла и отли¬
чаются от истинных масс свободного электрона.Следует упомянуть еще об одном важном свойстве эффективной мас¬
сы, в общем случае она является тензорной величиной. Это значит, что
в разных направлениях в зоне Бриллюэна эффективная масса различ¬
на, что является следствием анизотропных свойств некоторых кристал¬
лов.В таких случаях зависимость Е (k) не может характеризоваться од¬
ним значением т*, как это следует из (1.28). Вместо этого будут иные
зависимости. Так, в германии и кремнии зона проводимости (рис. 1.16,
я, б) описывается двумя значениями масс т\ и т\:(1.44)29
Это уравнение эллипсоида вращения с большой полуосью, распо¬
ложенной в германии вдоль направления [111] и в кремнии вдоль [100].
Малая полуось эллипсоида располагается в произвольном направлении
в перпендикулярной плоскости, например 1001] и [010] в кремнии и
11101 и [112] в германии.Валентная зона германия и кремния состоит, как оказалось, из трех
подзон. Связь между энергией в первых двух подзонах Е1>2 с волновым
вектором приближенно может быть описана уравнением следующего
вида:(1.45)где £(0)—значение Е при 6 = 0; А, В и С—безразмерные констан¬
ты; т0—истинная масса электрона.В этом случае эффективную массу можно считать скалярной ве¬
личиной:(1.46)Отсюда видно, что существует два вида дырок:(1.47)с эффективными массами, находящимися в соотношении т*\ > т*рч,
т. е. в валентной зоне германия и кремния имеются тяжелые и легкие
дырки.Для третьей подзоны Е (k) имеет вид(1.48)где Е&п—смещение подзоны от первых двух на шкале энергий при 6 = 0.Эффективная масса дырок в третьей подзоне является скалярной ве¬
личиной:(1.49)Хотя эффективные массы электронов и дырок не связаны с ис¬
тинной массой электрона, но все же их удобно выражать в долях
истинной массы (табл. 1.1), т. е. под величинами т*п и т% (индексы п
и р от англ. negative и positive относятся к электронам и дыркам),Таблица 1.1. Эффективные массы электронов и дырок в германии и кремнии♦***ПолупроводникАвСт а'1Lт.П1Р\
т ()тр2тп3тГерманий13 18,312,51,580.080,330,0420,077Кремний4,01,1 1I 4,10.910.190,490 160 24530
Таблица 1.2. Эффективные массы электронов и дырок в полупроводниковых
соединениях типа АШВУ(300К)Полупро¬водникInSbInAsInPCaSbCaAsCaPAlSbi‘ 1нцп0,0120,0250,0770,0470,070,340,39>'р!т00,50,30,20,390,50,50,4принято подразумевать отношения т*п1т0 и трт0, где т0 — масса
электрона, равная 9.10-28 г.У полупроводниковых соединений типа AmBv, как оказалось, изо-
энергетические поверхности зоны проводимости и валентной зоны мож¬
но считать сферическими, т. е. зависимость(1.50)и поэтому эффективные массы электронов и дырок являются скаляр¬
ными величинами (табл. 1.2).Контрольные вопросыВ чем существенная особенность полупроводников, отличающая их от
других видов веществ? 2. Чем объясняется большая чувствительность полупро¬
водников к внешним воздействиям? 3. Чем отличается энергетический спектр
электронов в кристалле от спектра в изолированном атоме? 4. Как зависит
ширина разрешенной зоны от степени связи электрона с ядром? 5. В чем сущ¬
ность адиабатического и одноэлектронного приближений при решении уравне¬
ния Шредингера для электронов в кристалле? 6. Чем отличается потенциаль¬
ная функция электрона в кристалле от потенциальной функции электрона в изо¬
лированном атоме? 7. В чем сущность модели Кронига—Пенни? 8. Что такое
кяазиимпульс электрона? 9. Каковы различия в зонной структуре металлов,
полупроводников и диэлектриков? 10. В чем заключается физический смысл по¬
нятия эффективной массы?Задачи1.1.	Изобразить графически в кубической решетке кристаллографические
плоскости (211), (002), (002), (200), (001/2).1.2.	Определить расстояние А между двумя соседними плоскостями {Ш)
в кубической решетке, ребро которой равно с,Ответ:1.3.	Вывести общее выражение для ширины п-й энергетической зоны. Для
вывода воспользоваться выражением (1.23).Ответ:31
1.4. Вывести общее выражение для ширины запрещенной зоны, располо¬
женной между двумя соседними разрешенными зонами п и (п + 1). Для вывода
воспользоваться выражением (1.23),Ответ:§ 2.1. Дефекты в кристаллахПолупроводники, обладающие зонной структурой, в которых пере¬
ход электронов в зону проводимости происходит из валентной зоны,
называют собственными полупроводниками. Электропроводность в та¬
ких полупроводниках, обусловленную одновременным движением элект¬
ронов в зоне проводимости и дырок в валентной зонеу называют собст¬
венной электропроводностью.Рассмотренная зонная структура полупроводника явилась следст¬
вием существования в кристалле внутреннего периодического поля,
которое до сих пор принималось идеально правильным.Какие-либо нарушения идеальности периодического поля влекут
за собой нарушения идеальности зонной структуры. Реальный кристалл
всегда содержит значительное количество нарушений (дефектов) кри¬
сталлической решетки. Прежде чем рассматривать конкретные виды
дефектов, найдем те общие черты, которые отличают реальный кристалл
с дефектами от идеального кристалла без дефектов. Если количество
дефектов в кристалле невелико, то они находятся на значительных рас¬
стояниях друг от друга, т. е. дефекты решетки кристалла в этом слу¬
чае локализованы. Потенциал внутреннего поля в кристалле при этом
мржно представить в виде U = U0 + U\ где U0 — потенциальная
функция идеального полупроводника; U' — добавочное слагаемое,
отличное от нуля только в локализованной области вблизи дефекта.
Поэтому изменяются энергетические состояния только тех электронов,
которые находятся в этой области, что приводит к образованию локаль¬
ных энергетических состояний, накладывающихся на идеальную зон¬
ную структуру. Число таких локальных состояний либо равно числу
дефектов, либо превышает его, если с дефектом связано несколько таких
состояний. Расположение локальных состояний ограничено областью
вблизи дефекта. Электроны, находящиеся на этих энергетических уров¬
нях, оказываются связанными с дефектом (если только специальными
мерами, например повышением температуры, не оторвать их от дефек¬
та) и поэтому они не могут участвовать в электропроводности. А это
значит, что уровни дефектов, на которых они расположены, не лежат
ни в зоне проводимости, ни в валентной зоне. Они располагаются в за-Литература: [Ц — (5]•Глава 2ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ СПЕКТР НОСИТЕЛЕЙ ЗАРЯДА.
В РЕАЛЬНЫХ ПОЛУПРОВОДНИКАХ32
Рис. 2.1. Локальные энергетические уровне
в запрещенной зоне:
а — уровни доноров; б — уровни акцепторовпрещенной зоне полупровод¬
ника. Если они расположены
вблизи дна зоны проводимо¬
сти (рис. 2.1, а), то при нагре¬
вании кристалла дефекты бу¬
дут легко ионизоваться и
электроны с этих уровней
переходят в зону проводимо¬
сти. Из-за того, что £„ < Eg,
этот процесс происходит при
таких температурах, при ко¬
торых собственная электро¬
проводность еще отсутст¬
вует.Дефекты, способные при ненарушенных валентных связях в кристал¬
ле отдавать электроны в зону проводимости, называют донорами, а по¬
лупроводник, содержащий доноры, называют полупроводником с элект¬
ронной электропроводностью или полупроводником п-типа. Соответ¬
ственно электропроводность полупроводника, обусловленную переме¬
щением только одних электронов в зоне проводимости, называют элект¬
ронной электропроводностью.Если уровни дефектов расположены непосредственно вблизи потол¬
ка валентной зоны (рис. 2.1, б), то уже при небольшом нагревании
электроны из валентной зоны смогут перейти на эти уровни и в ва¬
лентной зоне возникает дырочная электропроводность. Дефекты, спо¬
собные воспринимать электроны из валентной зоны, называют акцеп¬
торами, а полупроводник, содержащий акцепторы, называют или по¬
лупроводником с дырочной электропроводностью, или полупроводником
р-типа.Сказанное вовсе не означает, что уровни доноров всегда располага¬
ются в верхней половине запрещенной зоны, а акцепторные — в ниж¬
ней. Могут быть случаи и противоположного расположения уровней.
Донорный или акцепторный характер уровней зависит от природы де¬
фектов, образующих данные уровни, а не от расположения уровней в
запрещенной зоне.Необходимо помнить, что доноры могут отдавать электроны не толь¬
ко в зону проводимости, а любому из дефектов, имеющих акцепторную
природу. Соответственно акцепторы наряду с захватом электронов из
валентной зоны могут в принципе воспринимать электроны от любых
доноров, имеющихся в кристалле.Отметим, что акцептор может сначала захватить электрон из валент¬
ной зоны, а затем отдать его уже не обратно в валентную зону, а в зону
проводимости. Однако при первичном захвате электрона акцептором
происходит нарушение валентных связей и поэтому последующая отда¬
ча электрона не может быть приписана донорным свойствам дефекта.Наконец, существуют дефекты такого типа, которые проявляют
амфотерные свойства, т. е. они могут быть как донорами, так и акцеп¬
торами. Характер их состояния в кристалле зависит от присутствия
других дефектов.2 Зак. 176633
Теперь рассмотрим классификацию дефектов.Если дефекты рассматривать как «-мерные нарушения в кристалли¬
ческой решетке, то они могут быть: точечными (п =0); линейными
(п — 1); плоскими (п — 2); объемными (п — 3).Кроме того, различные «-мерные дефекты при благоприятных усло¬
виях могут взаимодействовать друг с другом с образованием сложных
ассоциированных дефектов.Кточечным дефектам относят атомы посторонней при¬
меси, которые могут располагаться как в узлах, так и в междоузлиях
основной решетки (матрицы) кристалла; вакансии — пустые узлы мат¬
рицы; междоузельные атомы самой матрицы; посторонние атомы, ад¬
сорбированные на поверхности кристалла.Линейные дефекты представляют собой дислокации.К плоским дефектам принадлежат границы зерен крис¬
таллов-двойников, границы самого кристалла и зоны Гинье — Прес¬
тона, представляющие особый вид скоплений примесных атомов в кри¬
сталле, но еще пока когерентных с самой матрицей, т. е. так называе¬
мую область предвыделения.Объемные дефекты, по существу, являются макроско¬
пическими нарушениями — это закрытые и открытые поры, трещины,
включения посторонней фазы.Сложные дефекты наименее изучены. Они могут возни¬
кать за счет взаимодействия атомов или ионов примесей с вакансиями.
Поэтому такие дефекты еще называют ассоциированными.§ 2.2. Примесные атомыИз всех перечисленных наиболее важным типом дефектов для уп¬
равления свойствами полупроводникового материала являются ато¬
мы примесей.Чужеродные примесные атомы с матрицей основного кристалла мо¬
гут образовывать либо твердые растворы замещения, либо твердые раст¬
воры внедрения. В первом случае примесные атомы находятся в уз¬
лах кристаллической решетки, во втором — в междоузлиях (рис. 2.2).
Та или другая ситуация зависит в основном от двух факторов: геомет¬
рического и электрохимического.Формулировка геометрического фактора принад¬
лежит Юм-Розери с сотрудниками, установившим, что растворы заме¬
щения образуют лишь те атомы, радиусы которых отличаются от ра¬
диусов матричных атомов не более, чем на 15%. Это правило является
эмпирическим. Оно было найдено на основании тщательного статисти¬
ческого анализа большого числа известных сплавов.Чтобы применять это правило, необходимо выбрать определенный
способ оценки атомных радиусов (табл. 2.1).Анализ большинства металлических сплавов показывает, что наиболее удоб¬
но в качестве атомного радиуса брать половину наименьшего межатомного рас¬
стояния кристалла из чистого элемента. Преимущество такого определения оче¬
видно: нет необходимости знать структуру сплава,34
Таблица 2.1. Ковалентные радиусы ряда химических элементов
/по С. С. Бацанову)		ZЭлементг. АZЭлемент0r, A1н0,3733As1,223Li1,3234Se1,174Be0,9646Pd1,305В0,8447Ag1,42бС0,7748Cd1,438О0,7449In1,4612Mg1,3850Sn1,4013А11,2651Sb1,4114Si1.1752Те1,3715Р1,1056Ba1,9716S1,0457La1,6820Са1,7458Ce1,6224Сг1,1974W1,3026Fe1,2075Re1,2527Со1.1878Pt1,3028N*1,1779Au1,4329Си1,2580Hg1,4530Zn1,2782Pb1,5031Ga1,2583Bi1,4932Ge1,2290Th1,58Однако при таком определении атомного радиуса возникают затруднения
из-за того, что в кристалле из чистого элемента атомы могут находиться в одном
состоянии, а в сплаве — в другом, например, за счет ионизации.Из-за того, что в полупроводниковых кристаллах преобладает ко¬
валентный характер химической связи, в качестве геометрического фак¬
тора принято считать разность ковалентных радиусов атомов приме¬
си и матрицы.Электрохимический фактор был также проанализи¬
рован Юм-Розери. Для образования растворов замещения необходимо,
чтобы атомы примеси и матрицы были электрохимически подобны, т. е.Рис, 2,2. Возможные располо¬
жения примесных атомов в
кристалле:а — оаствор замещения; б — раст¬
вор внедренияРис. 2.3. Изменение свободной
энергии двухкомпонентного
раствора в зависимости от его
состава2*35
находились бы не слишком далеко друг от друга в ряду напряжений, хо¬
рошо известном в химии. В противном случае один из компонентов бу¬
дет слишком электроположителен, а другой электроотрицателен, а это
приведет скорее к образованию химического соединения, а не к твер¬
дому раствору.Понижение растворимости при образовании химического соединения легко
уяснить из рис. 2.3, показывающего изменение свободной энергии в зависимо¬
сти от состава в системе из двух компонентов А и В.При образовании твердого раствора свободная энергия понижается так, как
это показывает кривая р. Аналогичная кривая может быть изображена и для
химического соединения определенного состава, например AXB^ (кривая q).
Так как соединение имеет определенный состав, то ветви этой кривой слева и
справа от	круто поднимаются вверх. Энергетически выгодно образованиесмеси двух фаз: твердого раствора а и химического соединения Ьу поскольку при
этом будет более низкий уровень свободной энергии сплава. Составы обеих фаз,
находящихся в равновесии, определяются точками касания общей касательной
ab к кривым р и q. Чем эффективнее образуется химическое соединение, т. е.
чем оно стабильнее, тем ниже располагается кривая свободной энергии для со¬
става АдВу (кривая q'). Из рис. 2.3 видно, что при этом точка а будет сдвигаться
влево, т. е. содержание компонента В в твердом растворе действительно понижа¬
ется при образовании химического соединения.Количественной характеристикой электрохимического фактора яв¬
ляется разность электроотрицательностей примесного и матричного
атомов.Для образования растворов замещения необходимо, чтобы эта раз¬
ность была мала.Понятие электроотрицательности характеризует способность атома в молеку¬
ле притягивать валентные электроны. Количественные расчеты значения электро¬
отрицательности могут быть выполнены различными путями: посредством термо¬
химических констант, из спектроскопических данных, из определения потенциа¬
лов ионизации и др.Следует отметить, что концепция электроотрицательности лишь фиксирует
результаты химического взаимодействия атомов и не вскрывает механизм само¬
го взаимодействия.Для большинства химических взаимодействий важным является сродство
к электрону. Поэтому концепция электроотрицательности нашла широкое при¬
менение в химии.Советский ученый В. К. Семенченко попытался объединить оба фак¬
тора. С этой целью им было введено поня гие обобщенного момента
атома J:(2.1)где е — заряд электрона; Z — валентность иона; г — ионный радиус.Образование твердых растворов замещения, по В. К. Семенченко,
проходит более благоприятно при малых разностях обобщенных мо¬
ментов матричного и примесного атомов.Исследование образования твердых растворов внедрения было про¬
ведено американским ученым Хаггом. Им было показано, что твердые
растворы внедрения подчиняются сравнительно простому правилу:
отношение радиуса внедряющегося атома к радиусу атома матрицы
должно быть меньше, чем 0,59, т. е. разница в атомных диаметрах долж¬
на быть больше, чем 41%, от диаметра большего из атомов.36
Рис. 2.4. Схема, иллюстрирующая образование доноров и
акцепторов в кристалле с примесями:
а — ковалентный беспримесный кристалл; б — образование доноровз
в — образование акцепторовМожно показать, что значение 0,59 соответствует наибольшей сфере,
которая может уместиться в промежутках плотно упакованной ре¬
шетки.Таким образом, если отношение гп/гм (лп — радиус примесного ато¬
ма; гм — радиус матричного атома) заключено в пределах 0 < гп/гм<
<0,59, то примесь образует раствор внедрения, а если 0,85 <Г rjrм<
<!,15 — раствор замещения, область же 0,59 < гп/гм < 0,85 вообще
неблагоприятна для образования твердых растворов.Перейдем теперь к тем изменениям энергетического спектра элект¬
ронов в кристалле, которые вносят примеси замещения и внедрения.Примеси замещения рассмотрим на примере кристаллов германия
м кремния. Их кристаллическая решетка состоит из четырехвалент-
пых атомов, между которыми имеет место ковалентная связь, при кото¬
рой валентные электроны матричных атомов объединяются в элект¬
ронные пары. Схематически эта связь показана на рис. 2.4, а.Если в такой решетке один из узлов заместить примесным атомом с
большей валентностью, например пятивалентным атомом сурьмы
(рис 2.4, б), то четыре валентных электрона атома сурьмы будут уча¬
ствовать в образовании ковалентной связи так же, как и у обычного
матричного (германиевого или кремниевого) атома, и лишний пятый
электрон уже не сможет находиться в валентной зоне кристалла из-за
отсутствия в ней свободных энергетических уровней. Следовательно,
этот электрон будет находиться либо в запрещенной зоне, либо в зоне
проводимости. Чтобы он попал в зону проводимости, примесный атом
необходимо ионизировать, затратив для этого энергию ионизации £д.
Величина Ед будет отличаться от обычной энергии ионизации Et сво¬
бодного атома, так как атом примеси находится в кристалле, т. е. он по¬
гружен в среду с некоторой диэлектрической постоянной и. При этом
примесный атом можно рассматривать теперь как содержащий только
один электрон, т. е. как водородоподобный атом.Из-за поляризующего действия всей решетки сила притяжения элек¬
трона примесным атомом будет уже не е21г> а е2/(кг), т. е а этом случае
формально можно уподобить примесный атом атому водорода с £ =
^ )/к.37
Как известно, энергия ионизации атсмаДля электрона на круговой орбите в классическом представлении справед*
ливо равенствогде 7,е — заряд ядра; гп — радиус орбиты; п — номер орбиты,В квантовой теории момент количества движения может принимать лишь
дискретные значения, кратные постоянной Планка Л, И условием устойчивости
электрона будет равенство моментов:Эти формулы позволяют найти энергию электрона на устойчивых (стацио¬
нарных) орбитах:а энергия ионизации центра с зарядом Ze, удерживающего электрон кулоновским
потенциалом, равна по модулю энергии основного Qi = 1) состояния. Отсюда,
полагая в последнем выражении п » 1, находим £*.Аналогично можно записать для водородоподобного атома примеси
в кристалле:(2-2)Сравнивая оба эти выражения, получаем для примесных атомов в
кристалле(2.3)Значения энергии ионизации Et атомов в свободном состоянии со¬
ставляют обычно 10—15 эВ. Для германия х = 16, для кремния «==11.
При подстановке в (2.3) значений £,• и т*1т0 значения Ел составят со¬
тые доли электрон-вольта. Это означает, что связь электрона примеси
со своим положительным зарядом ослаблена поляризующим действием
электронов окружающих атомов решетки.Таким образом, для отрыва пятого электрона от примесного пятива¬
лентного атома и перевода его в зону проводимости необходимо затра¬
тить энергию « 0,01 эВ, т. е. в 70 раз меньше, чем £„ германия, и в
100 раз меньше, чем Eg кремния. Следовательно, уровни электронов
примесных пятивалентных атомов располагаются в запрещенной зоне
вблизи дна зоны проводимости так, как это показано на рис. 2.1, а.
Такие уровни называют мелкими.Теперь рассмотрим тот же кристалл, но в качестве замещающего
атома возьмем атом с меньшей валентностью, например трехвалент¬
ный атом In (рис. 2.4, в). В этом случае для образования устойчивой
ковалентной (парноэлектронной) связи атома In с окружающими ато¬
мами матрицы будет не хватать одного электрона. На химическом язы¬
ке можно сказать, что у атома In недостает для полного завершения его38
валентной оболочки одного электрона. Этот электрон атом In способен
захватить из валентной зоны кристалла. Соответственно в валентной зо¬
не появится свободная дырка.Рассуждая аналогично тому, как это делали при выводе выражения
(2.3), можно убедиться, что энергетические уровни электронов трехва¬
лентных атомов располагаются вблизи потолка валентной зоны (см.
рис. 2.1, б), т. е. тоже являются мелкими.Таким образом, атомы примесей замещения образуют в запрещен¬
ной зоне полупроводника локальные уровни, проявляющие при меньшей
валентности (по сравнению с валентностью атомов матрицы) акцептор-
ный, а при большей валентности — донорный характер.Следует обратить внимание на локальность примесных уровней. Она
имеет место только до тех пор, пока примеси расположены на боль¬
ших расстояниях друг от друга, т. е. пока их мало в кристалле. При
увеличении их концентрации расстояние между примесными атомами
уменьшится и при некоторой концентрации примеси станет возможным
перекрытие орбит пятых электронов соседних атомов, произойдет их
обобществление и примесные уровни сольются в примесную зону.Если примесные атомы распределяются в решетке кристалла строго на рав¬
ных расстояниях друг от друга, то расстояние между ними(2.4)где N — число атомов примесей в 1 см® кристалла.При случайном хаотическом распределении N атомов примеси в кристалле
среднее расстояние между ними уменьшается в 0,7 раза:(2.5)В то же время радиус электронной орбиты водородоподобного атома в кри¬
сталле опять-таки из-за ослабления связи электрона о ядром за счет поляриза¬
ции увеличится:(2-6)где а0 — радиус первой воровской орбиты свободного атома водорода; о„ =
= 0,53 А.Перекрытие волновых функций (или орбит) электронов соседних примесных
атомов произойдет при условии аП = а. Из этого условия следует, что образова¬
ние иримесной зоны начнется при концентрации N (см-3), определяемой какЛегко убедиться, что для германия а « 53 А, а концентрация, при которой
начнется перекрытие волновых функций примесных электронов, N ж 2« 101* см--**Это напоминает образование энергетических зон, рассмотренное в
§1.2, где речь шла об образовании твердого тела при сближении атомов.Сложнее ведут себя те примеси замещения, валентность которых от¬
личается от валентности атомов основного кристалла больше чем на
±1*Донорный или акцепторный характер примеси в этом случае по-
прежнему определяется соотношением валентностей. Атомы с меньшей39
Рис. 2.5. Энергетические
уровни различных при¬
месей в германиивалентностью по сравнению с атомами кристалла будут вести себя как
акцепторы, а с большей — как доноры. Однако теория энергетических
уровней электронов таких примесей не разработана. Эксперименталь¬
но установлено, что и донорные и акцепторные примеси такого рода,
как правило, образуют уровни, лежащие далеко от дна зоны проводи¬
мости и соответственно от потолка валентной зоны. Эти уровни назы¬
вают глубокими. Кроме того, такие примеси способны в ряде случаев
образовывать не один примесный уровень, а несколько, соответствую¬
щих различным зарядовым состояниям. Например, в германии атомы
меди создают три уровня, соответствующих присоединению одного,
двух или трех электронов, т. е. соответствующих трем типам ионов:
Си-, Си=, Си=. Расположение энергетических уровней, образованных
различными примесями в германии и кремнии, приведено на рис. 2.5 и
и 2.6.Среди замещающих примесей могут быть и такие, которые прояв¬
ляют свойство амфотерности, т. е. они способны образовывать и донор-Рис. 2.6. Энергетичес¬
кие уровни различных
примесей в кремнии40
Рис. 2.7. Примесные уровни в арсениде галлияные, и акцепторные уровни
одновременно. Так ведет
себя, например, примесь
золота в германии и крем¬
нии (см. рис. 2.5 и 2.6).При рассмотрении пове¬
дения замещающих приме¬
сей в сложных полупровод¬
никах, например в АШВУ
(GaAs, InSb, InAs и др.),
приведенные рассуждения остаются в силе, так как и в этих полупро¬
водниках в основном имеет место ковалентная химическая связь.Замена пятивалентного атома в AU,BV атомом более высокой ва¬
лентности, например атома As в GaAs атомом группы VI периодической
системы (S, Se, Те), приводит к появлению мелкого донорного уровня,
так как место иона As+ занимает двухзарядный ион. Если же замещаю¬
щим будет атом группы II периодической системы, например Zn или
Cd, то он займет место иона Ga_ и будет находиться в виде двухзарядно¬
го отрицательного иона. При этом образуется мелкий акцепторный
уровень. Поэтому основными легирующими примесями для кри¬
сталлов AUIBV служат элементы из групп II и VI периодической
системы.Иначе в A111 Bv ведут себя элементы группы IV периодической сис¬
темы, т. е. четырехвалентные атомы. Пользуясь критериями Юм-Ро-
зери или В. К- Семенченко, можно показать, что такие атомы могут
замещать как атом Аш, так и атом Bv. В первом случае они должны
проявлять донорные свойства, а во втором —акцепторные. Проявле¬
ние подобного амфотерного действия примесей группы IV в AUIBV
рассмотрено в гл. 3.Элементы из других групп периодической системы дают в An,Bv
глубокие уровни. Многие из них, так же как в германии и кремнии, об¬
разуют целый спектр уровней. В качестве примера на рис. 2.7 и 2.8
приведены значения примесных уровней в GaAs и InSb, известные к мо¬
менту написания настоящей книги.Примеси внедрения. В этом случае электроны примесных атомов
уже не участвуют в образовании валентных химических связей, а при¬
надлежат только самому примесному атому. При такой ситуации донор¬
ный или акцепторный характер внедренного атома не зависит прямым
образом от их валентно¬
сти, а определяется значе¬
нием электроотрицатель¬
ности.Если электроотрица¬
тельность примесных ато¬
мов Лц больше, чем ато¬
мов основного кристалла
■A'j.j, то примесь проявляет
акцепторные свойства. При
обратном соотношенииРис. 2,8. Примесные уровни в антимонн-
де индия41
электроотрицательностей: Хп < Хм атомы примеси будут доно¬
рами.Из табл. 2.2 видно, что атомы пяти- и семивалентных элементов об¬
ладают, как правило, более высокими значениями электроотрицатель¬
ности, чем атомы первых трех групп периодической системы. Поэто¬
му если внедренный атом имеет валентность 1—3, то он в большинстве
случаев будет донором в кристаллах A1V и AI,!BV. Типичным приме¬
ром является примесь лития в германии. Атом лития из-за большого
значения электрохимического фактора по критериям Юм-Розер и входит
в решетку германия в виде примеси внедрения, а так как его электро¬
отрицательность меньше, чем атомов германия (см. табл. 2.2), то литий
является донором в германии.Из этих рассуждений следует, что если примесь может входить в ре¬
шетку и в виде раствора замещения, и в виде раствора внедрения, то
может проявиться ее амфотерность. Например, кислород в кремнии
в замещенном состоянии является донором, а во внедренном состоя¬
нии — акцептором.§ 2.3. ВакансииСледующим видом точечных дефектов являются вакансии. Разли¬
чают два вида вакансий, вакансии поФреш eiio и вакансии по Шотгки
(рис. 9.9).При образовании вакансии по Френкелю оторвавшийся атом зани¬
мает в решетке положение в междоузлии, иногда его также называют
дислоцированным атомом (рис. 2.9, а). В плотноупакованных кристал¬
лах размеры междоузлий обычно невелики и образование фреякелев-
ских вакансий поэтому маловероятно. Они могут образовываться в до¬
статочно рыхлых кристаллах, таких, например, как кристаллы щелоч¬
ных металлов, ионы которых очень малы по сравнению с размером меж¬
доузлия.В полупроводниках более вероятным является образование вакан¬
сий по Шоттки, при котором атомы, покидающие свое место в решетке,
уходят на какие-либо стоки. Стоками вакансий могут служить
дислокации, границы блоков, наконец, поверхность кристалла.Последний случай показан
на рис. 2.9, б.Физическая природа обра¬
зования вакансий связана с
тепловыми колебаниями ато¬
мов. Амплитуда колебаний
атомов при умеренных темпе¬
ратурах может достигать не¬
скольких процентов от меж¬
атомного расстояния.Колеблющиеся вокруг
центров равновесия (узлов
решетки) атомы имеют раз¬
личные скорости: от очень ма-Рис. 2 9. Вакансии в кристалле:а — вакансии по Френкелю; б — вакансии оо
Шоттки42
лых до весьма больших. Это значит, что в общем числе атомов есть и та¬
кие, которые обладают скоростью, а значит, и кинетической энергией,
превышающей среднюю кинетическую энергию, присущую большинст¬
ву атомов при данной температуре. Высокоэнергетические атомы
имеют возможность срываться со своих равновесных положений и
диффундировать в объеме кристалла.Этот процесс аналогичен испарению атома с поверхности при повышении
температуры. В кристалле происходит как бы внутреннее испарение атома в меж¬
доузлие.Если сорвавшийся атом остается в междоузлии, то возникает френ-
келевская вакансия, если же он блуждает по кристаллу до тех пор, по¬
ка не удалится на поверхность или на иной сток, то появляется вакан¬
сия по Шоттки.Из общих соображений очевидно, что концентрация вакансий обоих
типов зависит, от температуры и от энергии образования вакансии, ко-
торую называют энергией дефектообразования. В случае вакансии оо
Френкелю эта энергия равна энергии отрыва атома от равновесного по¬
ложения, а в случае вакансии по Шоттки к этой энергии добавляется
энергия, затрачиваемая на перемещение атома к стокам.Процесс образования вакансий имеет вероятностный характер,
поэтому концентрация вакансий(2.7)где А — коэффициент пропорциональности, зависящий от общего
числа атомов в единице объема кристалла и от числа пустых мест, в ко¬
торые может перескочить атом; W — энергия дефектообразования.Обычно значения энергии дефектообразования W велики и состав¬
ляют 1—2 эВ для различных кристаллов.Если для оценки принять W — 1,0 эВ и А = 1022 см-3, то концент¬
рация вакансий будет меняться с изменением температуры очень быст¬
ро (табл. 2.2):Таблица 2.2. Концентрация вакансий в кристалле
при различных температурах (оценочный расчет)Г, к01003008007009001100NVy см~302» Ю~326-1042<Ю102-1014101в2-101*Из этой таблицы следует, что при комнатной температуре концеят-
рация вакансий ничтожно мала. Однако если выдержать кристалл не¬
которое время при высокой температуре, т. е. образовать в нем боль¬
шое количество вакансий, а затем быстро охладить кристалл (такой ре¬
жим называют закалкой), то повышенное количество вакансий заморо¬
зится, т. е. не успеет исчезнуть, и кристалл будет содержать повышен¬
ное неравновесное количество вакансий. Поэтому количество вакансий
в реальном кристалле помимо температуры и энергии дефектообразова-43
ния определяется предыдущей термообработ¬
кой, или, как часто говорят, — биографией
кристалла.Конечно, избыточное по сравнению с равно¬
весным количество вакансий должно исчезнуть
(залечиться) с течением времени. Но при ком¬
натной температуре диффузия проходит очень
медленно и поэтому «залечивание» вакансий
практически не идет. Этот процесс можно
значительно ускорить, нагревая кристалл, но
не настолько, чтобы началась генерация ва¬
кансий в соответствии с (2.7).Процесс исчезновения замороженных вакан¬
сий при нагревании с выдержкой во времени
называют отжигом.Так обстоит дело в простых полупровод¬
никах типа германия и кремния. В полу¬
проводниковых соединениях, например в кристаллах AnIBv, об¬
разование вакансий связано с нарушением строгой стехиометрии
кристалла. На рис. 2.10 приведена диаграмма состояния системы из
двух компонент А111 и Bv с образованием соединения AmBv. Пункти¬
ром на диаграмме показана область гомогенности. Левую пунктирную
ветвь можно рассматривать как кривую солидус в системе А1П —
— AIUBV, т. е. кривую растворимости элемента А1П в соединении
АШВУ. Соответственно правая пунктирная ветвь описывает раствори¬
мость элемента Bv в AIHBV. Иными словами, если имеется отклонение от
точной стехиометрии в ту или иную сторону, значит кристалл содержит
избыток одного из компонентов, который играет роль либо донора, ли¬
бо акцептора в зависимости от того, какой из компонентов находится
в избытке. Избыток компонента Bv проявляется как донор, а избыток
компонента А111 — как акцептор.На этот процесс влияет специфика поведения компонентов при из¬
готовлении кристалла, например их различие в летучести. Так или
иначе отклонение от стехиометрии, приводящее к образованию вакан¬
сии одного из компонентов и заполнению их атомами другого компонен¬
та, может существовать в кристаллах в широком диапазоне темпера¬
тур>, вплоть до самых низких. В этом состоит существенное отличие
кристаллов типов AUIBV, A11 BVI и других от элементарных полупро¬
водников германия и кремния.Какие же изменения вносят вакансии в полупроводниках в элект¬
ронный спектр идеального кристалла? Как всякий точечный дефект, ва¬
кансии приводят к нарушениям внутреннего периодического поля в
кристалле. Следовательно, это должно приводить к возникновению
локальных уровней в запрещенной зоне полупроводника. В германии
и кремнии эти уровни должны носить акцепторный характер. Действи¬
тельно, удаление одного из матричных атомов в таких кристаллах при¬
водит к незавершенности электронных орбит соседних с вакансией ато¬
мов, т. е. эти атомы способны воспринимать электроны из валентнойРис. 2.10. Принципиаль¬
ная диаграмма состояния
системы с образованием
полупроводника типа
АШВУ44
зоны. Таким образом, возникновение вакансии эквивалентно образо¬
ванию четырехзарядного акцептора.Акцепторная природа вакансий в германии в кремнии была подт¬
верждена опытом. Но было найдено, что такие акцепторы имеют заряд,
равный двум, а не четырем. Такое расхождение трудно объяснимо в
рамках простой теории.В гетерополярных полупроводниках типа AInBv, например, акцеп¬
торный или донорный характер уровней вакансий зависит от того, како¬
го из атомов не хватает в решетке кристалла. Пустые металлоидные уз¬
лы, т. е. вакансии А111, являются донорами, а вакансии Bv—акцепто¬
рами.§ 2.4. Поверхностные уровниНа поверхности кристалла (см. рис. 2.4) граничные атомы имеют не¬
завершенные химические связи, т. е. они могут воспринимать электро¬
ны. Это значит, что поверхностные атомы основного кристалла ведут
себя иначе, чем атомы в его объеме. Существование самой поверхности,
как было указано И. Е. Таммом, уже является нарушением внутреннего
потенциального периодического поля. И как при всяком нарушении
периодичности, в этом случае должны возникать локальные уровни
внутри запрещенной зоны полупроводника. Характер этих уровней
может быть как акцепторным, так и донорным. Отличительной чертой
этих уровней является их локализация не только по энергии, но и в про¬
странстве — они сосредоточены лишь на самой поверхности раздела
полупроводника с вакуумом или газом. Такие поверхностные уровни на¬
зывают таммовскими уровнями.Плотность таммовских уровней равна числу атомов на 1 см2 поверх¬
ности. Так как параметры кристаллической решетки составляют при¬
мерно 3* 10—8 см, то плотность таммовских уровней составляет около
101Б см-2. Роль этих уровней велика, когда их количество станет срав¬
нимо с количеством объемных уровней. Это возможно в-тех случаях,
когда объемные процессы, определяющие работу того или иного полу¬
проводникового устройства, происходят в тонких поверхностных слоях
порядка 10~® см.Таммовские уровни должны существовать на чистой поверхности.
Однако в реальных условиях на поверхности почти всегда присутству¬
ет оксидная пленка или значительное число адсорбированных атомов
и ионов посторонних веществ. Они также создают уровни, располо¬
женные в запрещенной зоне кристалла вблизи поверхности.§ 2.5. ДислокацииДислокация представляет собой нарушение правильной структуры
вдоль некоторой линии в кристалле. Эта линия не обязательно являет¬
ся прямой и не обязательно лежит в одной плоскости. Но наиболее час¬
то встречаются дислокации, линии которых расположены все же в од¬
ной плоскости. Отличительной чертой дислокации является образова¬
ние вдоль нее границы, разделяющей две части кристалла, сдвинутые45
друг относительно друга.
Образование дислокации
иллюстрируется рис. 2.11.Сделаем мысленно в
кристалле неполный над¬
рез по линии AD и сдви¬
нем верхнюю и нижнюю
половины кристалла на
определенную длину b в
направлении стрелок, ука¬
занных на рис. 2.11, а.
После этого «залечим» над¬
рез. Очевидно, что во всех
частях кристалла кроме
области, примыкающей к
линии AD, все атомы ре-Рис. 2.11. Схема образования
дислокаций:
а — надрез вдоль плоскости, сме¬
щение и последующее залечивание
надреза; б — краевая дислокация
(линия AD —■ край лишней атомной
полуплоскости ABCD); в — винто¬
вая дислокация (линия AD пре¬
вращает поверхность в наклонней
спиральный спуск)шетки не изменят своих положений. В области же линии AD образует¬
ся своеобразная складка —это и есть линия дислокации (рис. 2.11, б).Здесь рассмотрен случай, когда линия дислокации перпендикуляр¬
на направлению сдвига. Такую дислокацию называют краевой. Если ли¬
ния дислокации параллельна вектору сдвига, то такую дислокацию на¬
зывают винтовой (рис. 2.11, в).В действительности сдвиг вовсе не является необходимым. Напри¬
мер, случайные нарушения в процессе выращивания кристаллов также
приводят к возникновению дислокаций.Дислокацию характеризуют двумя параметрами: вектором сдвига
и направлением линии дислокации.Вектор сдвига b — величина постоянная вдоль всей линии дислока¬
ции. Этот вектор называют вектором Бюргерса.Вопрос о влиянии дислокаций на энергетический спектр носителей
заряда является сложной теоретической задачей, ибо дислокация пред¬
ставляет собой не точечный, а линейный дефект, т. е. в этом случае речь
идет о значительных нарушениях кристаллической решетки, а следова¬
тельно, и внутри кристаллического периодического поля.Шокли предложил рассматривать дислокацию как лишнюю атомную
полуплоскость (см. рис. 2.11, б), атомы которой имеют незаполненную
валентную электронную оболочку. Следовательно, такие атомы ведут
себя как акцепторы. Эти идеи были развиты Ридом, который исходил
из того, что дислокации создают в запрещенной зоне ряд близко рас-46
положенных акцепторных уровней, энергия которых равна энергии
электрона, захваченного на незаполненную связь атома, входящего в
лишнюю полуплоскость. При таком рассмотрении влияние дислокации
полностью тождественно легированию кристалла примесными атома¬
ми. Ясно, что такой подход слишком упрощен. Главное отличие от при¬
месных атомов заключается в весьма близком друг к другу расположе¬
нии атомов вдоль дислокационной линии, что приводит к близкому рас¬
положению соответствующих акцепторных уровней. Расстояния между
ними могут быть настолько близки, что уже нельзя пренебрегать их
взаимодействием, т. е. перекрытием волновых функций электронов со¬
седних атомов и обычным электростатическим взаимодействием.
Вследствие перекрытия уровней возникает дислокационная энергетичес¬
кая зона.Более строгое квантово-механическое рассмотрение задачи об энергетнче*
ском спектре кристалла с дислокациями показало, что дислокация приводит
к появлению не локальных уровней и даже не зоны, а сплошного спектра энерге¬
тических состояний в запрещенной зоне. Но так как плотность этих состояний нё
велика, то этот спектр можно представить в виде тонкой вуали, наброшенной
на запрещенную зону.Экспериментальные данные по исследованию влияния дислокаций
на энергетический спектр носителей заряда еще недостаточны для окон¬
чательного суждения о виде спектра.Все же предпочтение следует отдать или системе уровней внутри запре¬
щенной зоны, или даже непрерывному энергетическому спектру,§ 2.6. Плоские и сложные дефектыВ ряде случаев в полупроводниковых кристаллах возникают не¬
большие разориентировки смежных частей кристалла. Эти разориен-
тировки могут составлять углы от нескольких угловых секунд до не¬
скольких градусов. При таких дефектах кристалл в действительности
представляет собой неправильную мозаику, состоящую из многих слег¬
ка разориентированных по отношению друг к другу субкристалликов.
Это явление хорошо объясняется дислокационной теорией.В структуре кристалла, показанной на рис. 2.11, в, появление лиш¬
ней полуплоскости должно было бы изогнуть кристалл, но этому пре¬
пятствуют те напряжения, которые оказывает окружающая матрица
на эту лишнюю полуплоскость. При отсутствии напряжений, если кри¬
сталл обладает, например, рыхлой структурой или если напряжения
сняты отжигом, будет получаться изогнутая структура. Ряд таких
структур объединяется с образованием разориентировки этих кристал¬
лов или, как говорят, с образованием границы под малым углом. Ма¬
лоугловые границы могут образовываться как в процессе роста кри¬
сталла, так и в случае пластической деформации уже выращенного
кристалла.Очевидно не последнюю роль в их образовании должны играть при¬
меси в кристалле. Однако этот вопрос изучен еще недостаточно.Одним из видов разориентации является образование двойников.
Согласно принятому определению двойниковый кристалл состоит из47
двух индивидуальных кристаллов, ориентация которых симметрична
относительно какой-либо плоскости, называемой двойниковой плоско¬
стью, или относительно какой-либо оси (двойниковой оси), В большин¬
стве случаев кристаллические решетки двух половин двойникового кри¬
сталла являются вертикальным отражением друг друга в двойниковой
плоскости.Влияние рассмотренных дефектов на электронный спектр не иссле¬
довано.К сложным дефектам относятся различные ассоциации точечных
дефектов. Примерами могут служить комплексы вакансия — примесь,
которые образуются при облучении полупроводников различным кор¬
пускулярным излучением (электроны, протоны, нейтроны). При об¬
лучении происходит выбивание атомов из узлов решетки в междоузлия
с образованием вакансий.В большинстве случаев после облучения происходит обратный пере¬
ход (отжиг дефектов). Однако при определенных условиях дефекты
живут долго и способны объединяться с примесными атомами в ассо-
циаты. Подобные комплексы образуют локальные уровни в запрещен¬
ной зоне полупроводника. Как правило, это глубокие уровни.Комплексы типа вакансия — примесь могут образовываться и в от¬
сутствие облучения, если кристалл содержит достаточно большое коли¬
чество примесных атомов и вакансий.К сложным дефектам следует отнести и комплексы, состоящие из
примесных атомов и атомов матрицы. Типичным примером образо¬
вания таких дефектов является поведение кислорода в кремнии с об¬
разованием ассоциатов типа Si04.Плоские и сложные дефекты в полупроводниках являются наименее
изученными. При разработке технологии получения полупроводника
стараются избегать подобных дефектов, считая скорее из общих сообра¬
жений, нежели на основании экспериментальных фактов, что эти де¬
фекты ухудшают качество полупроводников. Так ли это — предсто¬
ит узнать в будущем.Развитие науки показывает, что любое отрицательное физическое
явление рано или поздно приносит пользу. Вспомним классический
пример с токами Фуко, играющими отрицательную роль в трансформа¬
торах, но использованными с успехом в практике высокочастотного
нагрева металлов.Не исключено, что и образование плоских и сложных дефектов бу¬
дет использовано для придания полупроводниковым материалам нуж¬
ных свойств.Контрольные вопросы1. Что тзкое собственный полупроводник? 2. Что такое доноры и акцепто¬
ры? 3. Приведите примеры точечных, линейных и плоских дефектов. 4. В чем
сущность геометрического и электрохимического факторов, определяющих обра¬
зование растворов замещения или внедрения примесных атомов в кристалле?
5. Какие изменения вносят примеси замещения в энергетический спектр элек¬
тронов? в. Каков будет тип электропроводности кристаллов германия и крем¬
ния при легировании их примесью железа, никеля, меди и олова? 7. Что такое
амфотерность примесей в полупроводниках? Приведите примеры амфотерныя48
примесей в кристаллах AIV и AInBv. 8. Какие виды вакансий могут существо¬
вать в кристаллах? Какова физическая природа образования вакансий в кристал¬
лах А1 , АШВУ и AnBVI? 9. Какие изменения в энергетический спектр
электоонов вносят вакансии? 10. Что такое уровни Тамма? Какова их природа?
11. Какова природа образования краевой и винтовой дислокации? 12. В чем
проявляется влияние дислокаций на энергетический спектр электронов в кри¬
сталле?Литература: [3], [6] — [И].Глава 3ТЕРМОДИНАМИЧЕСКОЕ РАВНОВЕСИЕНОСИТЕЛЕЙ ЗАРЯДА§ 3.1. Основные положения статистической физикиНосители заряда, как всякие частицы в условиях термодинамичес¬
кого равновесия, должны подчиняться статистическим закономерно¬
стям. Их отличие, например, от обычных газовых частиц заключается
в том, что они подчиняются квантовым законам.Они могут обладать не любыми значениями энергии, а только диск¬
ретными. В одном состоянии не может находиться более одного элект¬
рона. Эти отличия обусловливают особенности статистических законо¬
мерностей, которым подчиняются носители заряда. Для их понимания
следует вспомнить основные положения статистической физики.Понятие функции распределения. Рассмотрим движение частиц в
шестимерном пространстве х> у, г, рХУ pv, рг. Элемент объема этого про¬
странства(3 I)В общем числе частии имеются такие, координаты которых лежат в
интервалах(3.2)а составляющие импульсов заключены соответственно между значе¬
ниями(3.3)Введем вероятность W того, что частица имеет координаты и импуль¬
сы, лежащие в указанных интервалах. Тогда W возрастает (или убы¬
вает) пропорционально изменению интервалов Дя, Ау> Дz и Дрху
Друу Дрг. Коэффициент пропорциональности в свою очередь может яв¬
ляться также функцией координат и импульсов:(3.4).Таким образом, w имеет простой физический смысл — это плот¬
ность вероятности попадания частицы в данный элемент объема Ду
шестимерного пространства.49
Так как вероятность попадания частицы в любой элемент рассматри¬
ваемого пространства равна единице, то функция w должна удовлетво¬
рять условию нормировки:(3.5)где интегрирование производится по всему шестимерному объему Г.Вид функции w характеризует то или иное распределение частиц
по состояниям, где под состоянием понимают интервалы (3.2) и (3.3).Поэтому функцию w называют еще функцией распределения.Нахождение средних величин. Пользуясь функцией распределения
w, можно вычислять средние значения любой физической величины
Q, зависящей от координат и импульса. По правилу нахождения сред¬
них имеем(3.6)Это выражение справедливо для частиц, способных непрерывно за¬
нимать любые элементы шестимерного объема Ау. Если же частицы мо¬
гут находиться лишь в отдельных дискретных состояниях, то вместо
интеграла в (3.6) должна стоять сумма:(3.7)Теорема Лиувилля. Ее подробное и строгое доказательство, которое
можно найти в любых курсах статистической физики, утверждает, что
функция распределения в замкнутой системе во времени сохраняется по¬
стоянной. Это значит, что w является такой функцией от координат и
импульсов, которая не меняется при движении частиц. Подобные функ¬
ции, инвариантные при движении тела, называют в механике интегра¬
лами движения.Интегралы движения. Рассмотрим два элемента шестимерного объ¬
ема и Ау.,. Вероятности нахождения одной частицы в Ауи а другой
— в Ауг будут:(3.8)(3.9)Так как частицы считаем не взаимодействующими друг с другом, то
их попадания в разные объемы Ау — события независимые. Поэтому
вероятность W одновременного нахождения первой частицы в
Аух и второй в Ду2 равна произведению вероятностей отдельных собы¬
тий:(3.10)Эти две частицы можно рассматривать как одну сложную и описы¬
вать ее состояние в фазовом пространстве, элемент которого ДГ равен
произведению AytAy2. Вероятность нахождения такой сложной части¬
цы в Дг50
Приравнивая (ЗЛО) и (3.11) и логарифмируя, получим(3.12)Отсюда видно, что логарифм функции w является величиной адди¬
тивной и слагается из логарифмов плотностей вероятностей отдельных
частиц.Таким образом, In до является аддитивным интегралом движения.
В то же время к аддитивным интегралам движения, как известно из ме¬
ханики, относятся полная энергия тела Е, его количество движения Р,
его момент количества движения J. Следовательно, функцию распреде¬
ления w, зависящую от координат и импульсов, можно заменить функ¬
цией, зависящей от аддитивных интегралов движения, и тогда, пользуясь
(3.12), запишем(3.13)где а, Ь, с, d — постоянные коэффициенты.Распределение Гиббса. До сих пор мы оперировали с отдельной час¬
тицей. Если же вместо шестимерного рассматривать 6Л^-мерное
пространство, где N—число частиц в системе, то такое рассмотрение
будет справедливым и для замкнутых систем, состоящих из многих
частиц.Наряду с этим число частиц N — это тоже интеграл движения и к
тому же аддитивный, как Е, Р и J. Учитывая это, для системы с пере¬
менным числом частиц перепишем (3.13) в виде(3.14)где е — постоянный коэффициент.Если система — совокупность всех рассматриваемых частиц—не со¬
вершает ни поступательного, ни вращательного движения, то Р —
= О, J = 0 и (3.14) перейдет в(3.15)Даже если система в целом движется в пространстве, то всегда имеется возмож¬
ность перейти к системе координат, жестко связанной с самой системой, и тогда
(3.15) остается справедливым,Из (3.15) следует(3.16)где 0 = — 1 lb, Q = а0, р. — ев.Полученное распределение (3.16) носит название большого канони¬
ческого распределения или распределения Гиббса с переменным числом,
частиц.Рассмотрим физический смысл величин, входящих в это выражение.
Модуль распределения 0. Полагая в (3.15) величины а, е и N по¬
стоянными, получим(3.17)
51
Так как состояния с бесконечно большой энергией должны быть
бесконечно маловероятными, то величина b должна быть существенно
отрицательной, а модуль распределения 0 иметь размерность энергии
и быть положительным. Как показано в статистической физике, он оп¬
ределяет среднюю энергию частиц, т. е. величина 0 — это температура,
выраженная в энергетических единицах. Она связана с абсолютной
температурой Т соотношением 0 = kT, где k — постоянная Больцма¬
наТермодинамический потенциал Q. Запишем (3.16) в виде(3.18)
где(3.19)Подставим (3.18) в условие нормировки (3.5) и продифференцируем
его по 1/0. Так как Е есть функция только координат и импульсов и,
следовательно, она не зависит от 1/0, то в результате дифференцирова¬
ния получимоткуда, учитывая (3.5) и то, что F и 1 0 не зависят от переменных ин¬
тегрирования, получима отсюдаИнтеграл в этом выражении по общему правилу вычисления сред¬
них величин (3.6) есть не что иное, как средняя энергия системы £. По¬
этому(3.20)В термодинамике известно практически такое же выражение:(3.21)справедливое при постоянных температуре и объеме и отражающее
связь энергии системы Е с той ее частью F, которая определяет способ¬
ность системы производить работу, т. е. со свободной энергией. Следо¬
вательно, £2 [см. (3.19)] определяет возможность изменения свободной
энергии системы. Поэтому ее называют термодинамическим потенциа¬
лом.52
Химический потенциал ц. Представим себе, что система частиц
находится при температуре абсолютного нуля. Тогда изменение энер*
гии системы dE может происходить только за chci изменения свобод¬
ной энергии, и по (3.20) получаем равенство(3.22)Но ведь энергия системы изменится, если добавить (или исключить)
некоторое число частиц, входящих в нее. Следовательно, равенство
(3.22) должно учитывать еще и вариацию числа частиц(3.23)Положим dE\r=o = 0, т. е. будем считать, что никаких изменений
энергии нет. Тогда величина [г определится как(3.24)
или более строго:(3.25)Таким образом, величина ji представляет собой ту часть изменения
свободной энергии, которая происходит при изменении количества час¬
тиц на одну частицу. Или, иначе: показывает возможность измене¬
ния свободной энергии системы путем обмена частицами с внешней
средой или другой системой. Поэтому ее называют химическим потен¬
циалом.Так обстоит дело в случае систем, на частицы которых не действуют ни вну¬
тренние, ни внешние поля.При воздействии на них, например, внешним электрическим полем, потен¬
циал которого ф, вместо (3.23) следует писать(3.26)где dq — изменение заряда в системе.Если рассматриваемыми заряженными частицами являются электроны, то
общий заряд dq равен произведению заряда электрона на число частиц, поэтому(3.27)Новый коэффициент при dN теперь представляет собой алгебраическую
сумму химического и электростатического потенциалов и носит название элек¬
трохимического потенциала. Обычно электрохимический потенциал обозначают
той же буквой [Л, что и химический потенциал.Распределение Ферми — Дирака. Теперь перейдем к статистичес¬
ким законам распределения электронов.В предыдущем рассмотрении пренебрегали взаимодействиями час¬
тиц. Это позволяло представить отдельную частицу как замкнутую сис¬
тему.Электроны подчиняются принципу Паули, по которому в каждом
квантовом состоянии может находиться не более одного электрона. По¬
этому электроны уже нельзя рассматривать как невзаимодействующие
частицы. В этом случае замкнутой системой является квантовое состоя¬
ние, так как между частицами, занимающими различные квантовые со¬
стояния, взаимодействия нет.53
Таким образом, для каждого квантового состояния применимо рас¬
пределение Гиббса (3.16).		Найдем среднее количество частиц N, способных заполнить энерге¬
тический уровень Е. 	Функциональная связь N с энергией состояния Е есть не что иное,
как функция распределения, которую обозначим/.По правилу вычисления средних величин (3.7) имеем(3.28)где N — число электронов, способных заполнить уровень Е, которое
из-за принципа Паули может принимать лишь два значения: =0
и ЛГ,= 1.В (3.28) величина wn — вероятность попадания N электронов на
уровень Е.В качестве примем распределение Гиббса (3.16), которое запи¬
шем в виде(3.29)где С — постоянная величина, которую легко найти из условия норми¬
ровки, аналогичного (3.5):(3.30)Так как энергия всех электронов Ец складывается аддитивно из
энергий отдельных частиц, то(3.31)Подставляя (3.29) с учетом (3.30) и (3.31) в (3.28), получим(3.32)Суммирование с учетом того, что для электронов N = 0; 1, приво¬
дит к функции Ферми — Дирака:(3.33)Для анализа этой функции рассмотрим ее производную по энергии:(3.34)Если умножить числитель и знаменатель в (3.34) на ехр [— 2 (Е — ц)/
l(kT)), что не должно изменить df/dE, то получим(3.35)
54
Сравнивая оба эти выражения, видим,
что производная сохраняет свое значение
при изменении знака величины (Е — \х)!/(кТ), т, е. функция df/dE четная, а это
значит, что ее значения симметрично рас¬
полагаются относительно значения энергии
£■ = (!, что видно из рис. 3.1.Нетрудно убедиться, что в этой точке(3.36)а так как эта производная является тан¬
генсом угла наклона касательной к кривой
/ (Е), проведенной в точке Е = ц, то ясно,
что в этой точке функция / убывает. Из
(3.36) следует также, что крутизна функ¬
ции / (£) в точке Е = (х уменьшается при
понижении температуры и при абсолютном
нуле df/dE обращается в — оо, т. е. каса¬
тельная перпендикулярна оси абсцисс и
функция / (Е) приобретает ступенчатую
форму.Вид функции / (Е) показан на
рис. 3.2. Из него видно, что при Е —— ц. = О значения функции f (Е) при
всех температурах, за исключением
абсолютного нуля, равны 1/2.Следовательно, химический потенциал можно отождествить с не¬
которой энергией Ер, именуемой уровнем (энергией) Ферми, вероятность
заполнения которого равна половине.Распределение Больцмана. Функция распределения Ферми — Дира¬
ка (3.33) при условии(3.37)аппроксимируется более простой формулой(3.38)совпадающей с известным распределением Больцмана, справедливым
для частиц, подчиняющихся классической статистике. Таким образом,
распределение Больцмана
можно трактовать как пре¬
дельный случай распределе¬
ния Ферми—Дирака.Критерий вырождения.Электронный газ, подчиняю¬
щийся распределению Ферми—Дирака, принято называть
вырооюденным, а величину
(Е — \x)t{kT) — степенью вы¬
рождения.Подразделение на вырож¬
денный и невырожденный га-Рис. 3.2. Графическое изображение функ*
ции распределения Ферми — Дирака55Рис. 3.1. Производная функции
распределения Ферми — Дирака
чы в значительной степени условно, ибо нельзя провести четкую гра¬
ницу между ними. Этой границей является условие(3.39)Если за нуль отсчета принять то из (3.39) следует, что границей
вырождения электронов является Е « kT. В качестве такой границы
принимают Е — 2kT. В области энергий Е < 2kT электронный газ бу¬
дет вырожденным, а при Е > 2kT невырожденным.В заключение этого параграфа приведем функцию распределения
Бозе—Эйнштейна:(3.40)которой подчиняются квантовые частицы с целым или нулевым значе¬
нием спина. В частности, статистике Бозе — Эйнштейна подчиняются
кванты света.Выражение (3.40) получается из общей формулы для функции распределе¬
ния (3.32) с учетом того, что в каждом квантовом состоянии может находиться
любое число частиц. Поэтому в (3.32) суммирование необходимо провести от нуля
до бесконечности.Нетрудно убедиться, что знаменатель в (3.32) при этом представляет собой
I еометрическую прогрессию вида(3.41)Сумма этой прогрессии, состоящей из бесконечного чи<\ла членов (N -v во),(3.42)Числитель в (3.32) будет ничем иным, как(3.43)Таким образом, / = 1/(е“ — 1), а после замены а на (Е — n)/(kT) получа¬
ем формулу Бозе—Эйнштейна (3.40).§ 3.2. Связь концентрации носителей заряда в разрешенных
зонах с уровнем ФермиЗадачей, поставленной в этом параграфе, является определение кон¬
центрации свободных носителей заряда в разрешенной зоне. Сделаем
это сначала для электронов в зоне проводимости, а затем распростра¬
ним полученный результат и на валентную зону.Рассмотрим интервал энергии dE. Число электронов проводимости
с энергиями в интервале dE определяется числом свободных мест т. е.
числом состояний в этом интервале и степенью их заполнения. Число
состояний в интервале dE можно представить в виде р (Е) dE, где р (Е)
— функция, показывающая, как изменяется плотность состояний в за¬
висимости от энергии в зоне проводимости.Степень заполнения энергетических состояний электронами есть
функция распределения электронов по энергиям / (Е).06
Таким образом, концентрация электро¬
нов в интервале dE будет равна произве¬
дению р (E)dE на/(£). Концентрацию элек¬
тронов во всей зоне проводимости п опреде¬
лим путем интегрирования этого произве¬
дения по всей зоне проводимости:(3.14)Нижним пределом интегрирования яв¬
ляется минимально возможное значение
энергии электрона, т. е. энергия, соответствующая дну зоны проводи¬
мости Ее. Верхний предел интегрирования должен быть равен макси¬
мально возможному значению энергии электрона £тах. Но так как
функция / (Е) при £> ц резко стремится к нулю (см. рис. 3.2), то верх¬
ний предел интегрирования в (3.44) можно заменить бесконечностью.В качестве f (Е) в (3.44) подставим полученную в предыдущем пара¬
графе функцию распределения Ферми — Дирака (3.33). Остается най¬
ти вид функции р (Е), т. е. найти плотность энергетических состояний.Прежде всего определим понятие энергетического состояния. Состо¬
яние электрона можно отождествить с тем объемом, который прихо¬
дится на электрон при его изображении в фазовом пространстве. Най¬
дем этот объем. По принципу неопределенности Гайзенберга имеем(3.45)т. е если известен один из сомножителей, то другой можно определить
только с точностью до h.Это означает, что электрон как бы размазан в фазовом пространстве
координат и импульсов по каждой из его координат на величину Д. Фа¬
зовый объем такого электрона(3.46)Соответственно под состоянием электрона можно понимать мини¬
мальный фазовый объем (2яhf-Таким образом, задача определения р (Е) свелась к нахождению ко¬
личества элементарных объемов (2яЛ)'\ соответствующих энергетичес¬
кому интервалу dE.Значению £ — Ес соответствует импульс электрона р. Эти величи¬
ны связаны известным соотношением:(3.47)Изменение энергии электрона на dE равносильно изменению его им¬
пульса на dp. Из рис. 3.3 видно, что все электроны, обладающие энер¬
гиями в интервале dE, расположены в пространстве импульсов в шаро¬
вом слое между сферами радиусами р и р + dp.Объем такого слоя(3.48)Рис. 3.3. Иллюстрация к вы¬
воду функции р(£)67
а число состоянийПодставляя сюда р2 и dp из (3.47) и учитывая (3.48), получим(3.50)Электроны подчиняются принципу Паули. Поэтому одним и тем же
значением энергии могут обладать два электрона с разной ориентацией
спина. Следовательно, выражение (3.50) необходимо удвоить и тогда
окончательно получаем(3.51)Подставляя теперь в интеграл (3.44) обе функции f (Е) и р (£),
получим полную концентрацию электронов в зоне проводимости:(3.52)Для дальнейшего изложения удобно ввести безразмерные парамет¬
ры — приведенный уровень Ферми ц* и приведенную энергию е*:(3.53)После этого получим искомое выражение, связывающее концентра¬
цию электронов в зоне проводимости с уровнем Ферми:(3.54)
гдеИнтеграл в (3.54)(3.55)(3.56)называют интегралом Ферми половинного индекса. Значения интегра¬
ла F1/2 ((А*) определены численно и даны в специальной литературе *.
Определим физический смысл величины N'c. Выражение (3.54) получе¬
но при подстановке в качестве функции f (Е) распределения Ферми —
Дирака, что, как отмечалось, соответствует вырожденному электрон¬
ному газу. Если значение приведенного уровня Ферми отрицательно,
то вместо распределения Ферми—Дирака можно пользоваться распре¬
делением Больцмана (3.38). В этом случае говорят, что полупроводник* Интегралы Ферми Fn (ц)* с различными значениями п играют большую
роль при количественном описании различных явлений в полупроводниках.
Поэтому разработаны таблицы численных значений интегралов с индексами я,
равными 0, 1,2, 3, 4, — 1/2, 1/2, 3/2, 5/2, 7/2, 9/2, 11/2,58
не вырожден. Соответственно полупроводники, для которых ц* >> О,
называют вырожденными.Для невырожденного полупроводника выражение (3.54) принимает
вид(3.57)Интеграл в этом выражении является табличным и равным Уя/2.
В этом случае общее число электронов(3.58)Из выражения (3.58) видно, что отношение n/N0 совпадает со зна¬
чением функции распределения (3.38), если положить Е — Ес, т. е.
величина n/Nc показывает в этом случае степень заполнения уровня
Ес в классическом пределе.Величину(3.59)принято называть плотностью возможных состояний в зоне проводимо¬
сти при отсутствии вырождения электронного газа.Таким образом, получены два выражения, отражающие связь кон¬
центрации электронов в зоне проводимости с уровнем Ферми: общее вы¬
ражение (3.54) и частное (3.58), справедливое только при отсутствии вы¬
рождения электронного газа. При этом концентрация электронов, вы¬
численная по (3.58), будет определена с ошибкой, составляющей, напри¬
мер, при р.* = 0 приблизительно 20%. Для более точного нахождения
концентрации следует пользоваться таблицей значений интеграла
Е\ц (f^*) и формулой (3.54) либо графическим изображением зависи¬
мости (3.54), представленной в виде номограммы на рис. 3.4.Теперь распространим полученные результаты на валентную зону
полупроводника. Концентрация дырок в валентной зоне определяется
выражением, аналогичным (3.44):(3.60)Вероятность того, что состояние Е занято дыркой, эквивалентна
вероятности отсутствия в этом состоянии электрона:(3.61)Интегрирование в (3.60) необходимо провести по всей валентной
зоне. Верхним пределом интегрирования поэтому является величина
а нижним пределом принимают — оо, так как fp (Е) быстро спада¬
ет до нуля при Е <. j*.59
Рис. 3.4, Номограмма для вычисления концентрации
носителей заряда (по Панкову)По аналогии с (3.51) можно получить выражение рр (£). Для этого
необходимо учесть, что для дырок вместо (3.47) имеем(3.62)Тогда, подставляя в (3.60) рр (Е) и функцию fp (Е) из (3.61), найдемВведем безразмерное значение энергии и для валентной зоныСопоставляя это выражение с (3.53), легко получитьгде Eg — приведенная ширина запрещенной зоны:60(3.63)(3.64)(3.65)(3.66)
В этих обозначениях выражение для концентрации дырок (3 63)
перепишем в виде, аналогичном выражению для концентрации электро¬
нов:(3.67)где Fi/2 (—Eg — И*) — интеграл, по форме совершенно аналогичный
интегралу (3.56), но зависящий от своего аргумента. Как и для элект-оронов, величину N'v можно представить в виде N'v = —— N„, гдеуп(3.68)представляет собой эффективную плотность состояний в валентной зо¬
не. В выражении (3.67) величину ц* отсчитывают по-прежнему от дна
зоны проводимости, как и при выводе (3.54) для полупроводника п-ти-
па. Именно поэтому отсчет в (3.67) сдвинулся на Eg. Если для дырок от¬
счет (л вести от потолка валентной зоны и в этом случае приведенный
уровень Ферми обозначить Цр, где(3.69)то концентрацию р можно определять не из (3.67), а из выражения(3.70)Тогда для определения р можно пользоваться той же номограммой
(см. рис. 3.4), что и для определения п. В случае отсутствия вырожде¬
ния в валентной зоне остаются в силе также и все рассуждения о воз¬
можности вычисления концентрации р по более простой формуле типа
(3.58):(3.71)§ 3.3. Связь концентрации носителей заряда
на локальных уровнях с уровнем ФермиДо сих пор в разрешенных зонах рассматривались электроны, не
связанные с какими-либо конкретными атомами. Они трактовались
как газ свободных электронов и поэтому они подчинялись обычной
статистике Ферми — Дирака.Функция распределения Ферми — Дирака показывала распреде¬
ление свободных электронов по квантовым состояниям. Электроны, на¬
ходящиеся на локальных центрах, наоборот, нужно трактовать как
связанные и это обстоятельство существенно сказывается на виде их
функции распределения.В этом случае необходимо иметь функцию их распределения не по
квантовым, а по энергетическим состояниям.В отличие от свободных, для связанных электронов уже нельзя ото¬
ждествлять их энергетическое состояние с квантовым. Действительно,
связанные с атомом (центром) электроны могут обладать одинаковой61
энергией, но различными значениями спина, орбитального момента и
т. д.Учитывают это обстоятельство путем введения в каждое из слагае¬
мых сумм (3.32) множителя gN — статистического веса, соответствую¬
щего энергетического состояния, именуемого еще фактором вырожде¬
ния *В общем случае примесные центры вводят в запрещенную зону основной
энергетический уровень (основное состояние электрона) и целый спектр более
высоколежащих в зоне уровней E-t, соответствующих возбужденным состояниям
электрона.Эффективный фактор вырождения ^-состояния(3.72)Из (3.72) видно, что для вычисления gN необходимо знать спектр возбужден¬
ных уровней и для каждого из них знать величину gN! — парциальный фактор
вырождения. Эта задача вряд ли может быть решена и поэтому обычно величину
gN считают одним из параметров, который следует находить из опыта.Рассмотрим выражение (3.32) в этом случае. На локальном центре
принципиально могут быть реализованы следующие три случая, раз¬
личающиеся числом электронов N, их суммарной энергией En и ста¬
тистическим весом gN'-1)	центр свободен от электронов: N — О, EN — 0, g0;2)	центр занят одним электроном: N = 1, En = Elt gt;3)	центр занят двумя электронами: N — 2, En = 2+ £„, g2.
Здесь Ев — энергия взаимодействия двух электронов.С учетом этих значений из (3.32) получим(3.73)Эта формула в общем виде отражает функцию распределения элект¬
ронов, локализованных на примесном центре с учетом их энергий взаи¬
модействия и с учетом вырождения энергетического состояния £, и
Ег + Ев.В действительности из-за сильного электростатического отталкива¬
ния энергия взаимодействия Ев очень велика и поэтому вторым слагае¬
мым в числителе и третьим слагаемым в знаменателе (3.73) можно пре¬
небречь по сравнению с единицей.Численные значения g,v-факторов для свободного и занятого элект¬
роном центров составляют соответственно 1 и 2.* Не следует путать с фермиевским вырождением, рассмотренным в § 3.2,
Здесь имеется в виду совпадение по энергии нескольких электронов, находящихся
в разных квантовых состояниях.62
Относительно величины gN существует представление о ее связи со структу¬
рой зон кристалла. Действительно, в случае простого одновалентиого донора,
у которого волновая функция валентного электрона соответствует s-состоянию,
его захват может происходить двояко в зависимости от направления спина. По¬
этому нейтральное состояние центра (с захватом электрона) будет иметь вдвое
больший статистический вес по сравнению с ионизированным состоянием (без
электрона), т. е. ^ = 2, a g0 = *•Отметим, что в литературе в качестве фактора вырождения наряду с gN
используют и обратную величину 1 /gN, что, впрочем, всегда понятно из контек¬
ста. Если примесный уровень отщеплен от разрешенной зоны, имеющей несколь¬
ко экстремумов, то = 4. Значительно большими значениями gN обладают
электроны сложных центров.Энергию Еи входящую в (3.73), в случае локального центра можно
выразить через его энергию ионизации £п: £, = £с — Еп. Тогда из
(3.73) получим(3.74)где £д = EJ(kT).Если общее число локальных центров одного типа в кристалле со¬
ставляет N я, то средняя концентрация локализованных на них элект¬
ронов будет(3.75)Для вероятности заполнения акцепторных уровней дырками вмес¬
то (3.72) следует записать 1—/ (Ег), в котором £! = £„ + £а, а сред¬
нюю концентрацию дырок, находящихся на этих уровнях, соответствен¬
но находим из выражения(3.76)где Ыл — концентрация акцепторных центров.В этом выражении ц по-прежнему отсчитывается от дна зоны прово¬
димости, как и при выводе (3.75).§ 3.4. Решение уравнения нейтральности для собственного
полупроводникаВ предыдущих параграфах были получены уравнения, связывающие
концентрации электронов и дырок с уровнем Ферми. Очевидно, если бы
были известны в каждом конкретном случае значения |х*, то по полу¬
ченным уравнениям можно было бы вычислить концентрации носите¬
лей заряда. Для нахождения уровня Ферми всегда необходимо соста¬
вить так называемое уравнение нейтральности.Дело в том, что, несмотря на существование в полупроводнике сво¬
бодных электронов, дырок, примесных ионов с зарядом различного зна-63
ка, в целом кристалл остается незаряженным телом. Это значит, что
в полупроводнике количество отрицательно заряженных частиц равно
количеству положительно заряженных частиц. Математическая за¬
пись такого условия представляет собой уравнение нейтральности. На¬
иболее простой вид уравнение нейтральности приобретает в случае
собственного полупроводника(3.77)Эту одинаковую концентрацию электронов и дырок обычно обозна¬
чают пг, где индекс i означает собственную проводимость. Подставив
в это равенство выражения (3.54) и (3.67), получим уравнение нейтраль¬
ности, из которого находят ц*. Для простоты будем считать полу¬
проводник невырожденным и тогда в (3.77) следует подставить соот¬
ветствующие выражения (3.58) и (3.71):(3.78)(3.79)После логарифмирования, замены fi* и E*g на ft и Eg, подстановки
N0u N0n принимая за нуль отсчета энергию Ее, получим(3.80)Из этого уравнения видно, что в собственном полупроводнике при
Т = 0 уровень Ферми находится точно посередине запрещенной зоны.С повышением температуры уровень Ферми изменяется так, как
показано на рис. 3.5. Темп изменения ц с изменением температуры определяется, как это видно из (3.80), ве¬
личиной m*plm*n.Собственную концентрацию носите¬
лей заряда щ находят обратной подста¬
новкой (3.80) в (3.78) или прямо в (3.79):(3.81)Если ширина запрещенной зоны су¬
щественно больше kT, а это имеет место
для подавляющего большинства полу¬
проводников, температурная зависи¬
мость nt (Т) определяется в основном
экспоненциальным членом формулы
(3.81), так как величина	изме¬няется с изменением температуры всего
лишь как Т3/г. Поэтому в координатах
In щ — МТ выражение (3.81) будет
иметь вид прямой линии (рис. 3.6).64Рис. 3.5. Температурная зави¬
симость уровня Ферми в собст¬
венном полупроводнике (учтена
зависимость Eg от темпера¬
туры)
Более строго следовало бы строить
график этой зависимости в координа¬
тах In (nt/T®/2) — 1/Т. Обычно так и
делают при обработке эксперимен¬
тальных результатов измерения nt (Т)
в области собственной проводимости.Рассмотрим теперь ту информа¬
цию о свойствах полупроводника, ко¬
торую можно извлечь из зависимости
nt (Т), в случае ее эксперименталь¬
ного определения *. Прежде всего —
это ширина запрещенной зоны Eg, ко¬
торую можно определить из тангенса
угла наклона прямой In (/гг/Т)3/2 от
1/Т или, более грубо,— из наклона
прямой In nt от\/Т. При этом следует
помнить, что сама Eg зависит от тем¬
пературы, что и показано на рис. 3.5.В первом приближении функцию
Eg (Т) можно представить в виде(3.82)где индекс 0 относится к Т *■ 0; а — постоянный коэффициент, т. е. в
простейшем случае ширина воны меняется с температурой по линейному
закону.Подставляя (3.82) в (3.81), получимРис. 3.6. Температурная зависи¬
мость концентрации собственных
носителей заряда в германии(3.83)В полулогарифмических координатах In tii/T3/* от 1/Т опять-таки
получится прямая, но ее наклон уже позволит определить Eg0, а не
Eg. Чтобы найти температурный коэффициент а из (3.83), кроме Eg0
необходимо знать еще ml и т% из данных других экспериментов. Если
же, наоборот, из других опытов определен коэффициент а, то из (3.83)
можно найти mtrrfp. Этим практически исчерпываются те сведения,
которые можно получить из зависимости nt (Т).И наконец, рассмотрим одно важное следствие статистического рас¬
пределения носителей заряда. Используя выражения (3.58) и (3.71),
можно получить(3.84)а сравнивая это выражение с (3.81), найдем(3.85)Это соотношение показывает, что при данной температуре произ¬
ведение концентраций электронов и дырок в невырожденном полупровод¬
нике есть величина постоянная и зависящая только от свойств полу про-С,ами методы экспериментальною определения пг рассмотрены во второй
части этой книги.3 Зак. 175665
водника (через величины Eg, ml, т*р). Соотношение (3.85) по аналогии
с терминологией химической термодинамики называют законом дей¬
ствующих масс.Действительно, в химии для реакции разложения солей, например NaCl,
можно написатьКонстанта равновесия этой реакции
отсюдаДля насыщенных растворов при Т = const произведение [Na+] [Cl-J = L,
где /. — произведение растворимости, являющееся постоянной величиной при
данной температуре. Константа химического равновесия выводится из закона
действующих масс. Поэтому и (3.85) называют законом действующих масс.В частном случае собственной проводимости п = р, но во многих
других случаях, как увидим далее, пФ р. Однако соотношение (3.85)
остается справедливым всегда и позволяет вычислить концентрацию
одного из носителей заряда в данном полупроводнике при данной тем¬
пературе, если известна концентрация носителей заряда противопо¬
ложного знака.§ 3.5. Решение уравнения нейтральности в случае
полупроводника с одним типом однозарядных доноровРассмотрим полупроводник, модель которого изображена на
рис. 2.1, а. Составим уравнение нейтральности для этого случая. От¬
рицательными зарядами по-прежнему будут только электроны, а по¬
ложительными — дырки в валентной зоне и положительно заряжен¬
ные ионы доноров. Поэтому уравнение нейтральности примет вид(3.86)где концентрация ионизированных доноров(3.87)Из (3.86) и (3.87) получим(3.88)Для простоты положим, что электронный газ не вырожден, тогда,
подставляя в (3.88) вместо п, р и пл выражения (3.58), (3.71) и (3.75),
получим уравнение нейтральности для этого случая в явном виде:(3.89)В этом уравнении всего одно неизвестное fA*, относительно которо¬
го и необходимо решить уравнение (3.89). Однако решение этого урав¬
нения громоздко, поэтому рассмотрим частный случай, когда прояв-Ь6
ляется только примесная проводимость. В действительности всегда име¬
ют место переходы электронов из валентной зоны в зону проводимости,
которые происходят одновременно с ионизацией доноров. Но для уп¬
рощения задачи считаем, что есть переходы электронов только с при¬
месных уровней. Это равносильно тому, что рассмотрение ограничива¬
ется только областью низких и средних температур, т. е. таких темпера¬
тур, при которых концентрация собственных носителей очень мала.
Тогда в (3.88) можно положить р = 0, а уравнение (3.89) примет вид(3.90)Преобразуем правую часть этого равенства:С учетом этого преобразования (3.90) примет вид(3.91)Рассмотрим вначале область низких температур. Под низкими тем¬
пературами понимают такие, при которых в знаменателе правой части(3.91)	можно пренебречь единицей. Это имеет место при + И* > 1.
Положив Ес = 0 (отсчет энергий от зоны проводимости), из (3.91) по¬
лучим(3.92)Отсюда видно, что при Т — 0 уровень Ферми располагается точно
посередине между дном зоны проводимости и уровнями доноров. Вто¬
рое слагаемое в (3.92) из-за того, что Мс ~ Г3/2, изменяется с измене¬
нием температуры как Г (In Л — 3/2 In Т), где А — постоянная вели¬
чина. Это значит, что сначала второе слагаемое будет увеличиваться с
изменением температуры, а затем начнет уменьшаться, и в результате
ход уровня Ферми в рассматриваемой области очень низких темпера¬
тур будет выглядеть так, как это показано на рис. 3.7.Для нахождения концентрации носителей в этом случае опять-таки
надо подставить (3.92) в (3.91). Эту операцию можно упростить, если
вместо (3.92) подставить сразу ехр ц* из (3.58):Такая операция вполне правомочна, ибо в рассматриваемом случае
Уровень Ферми не достигает нуля (см. рис. 3.7), т. е. электронный газ
не вырожден, а значит, действительно можно пользоваться выражени-3*67
ем (3.58). Конечно, это справедливо только до тех пор, пока Nn<. Nс,
что следует из формулы (3.92).Выражение (3.93) является обыкновенным квадратным уравнением,
решение которого имеет видЭто выражение путем несложных алгебраических преобразований
можно привести к видуТеперь можно конкретизировать условие малости температур:При выполнении этого условия можно пренебречь единицами в
(3.95), тогдаИз (3.96) видно, что понятие низкой температуры существенно зависит от
содержания примесей /Уд, от их природы (через Ел) и от вида полупроводника
(через Шп).Из (3.97) следует, что в области низких температур приближенно
зависимость п (Т) описывается прямой линией в координатах 1п п —
— 1 IT, как и в случае собственной проводимости (см. § 3.4). Разнима
заключается в том, что теперь эта прямая имеет наклон неЕсли температура значительно повышается, так что условие (3.96)
не выполняется (но собственная проводимость все еще пренебрежимо
мала), то в (3.95) роль второго слагаемого под радикалом уменьшается
и приконц®н' рьция п приближается к Nn. т. е. в этом случае п — Ns, а
это значит, что все донорные примеси ионизированы полностью.Заметим, что такая ситуация соответствует состоянию, когда уро¬
вень Ферми опустился ниже уровней примеси (ведь все состояния ниже
уровня Ферми должны были бы быть заполнены электронами!). Это сле¬
дует из выражения (3.92) для р. и показано графически на рис. 3.7.Итак, выяснен вид зависимости п (Т) в трех областях: низкотем¬
пературной, в которой п (Т) выражается в виде (3 97), области полной68(3.94)(3.95)(3.96)(3.97)(3.98)
Рис. 3.7. Температурная зави¬
симость уровня Ферми в при¬
месном полупроводнике п-типа
без учета Ее(Т)Рис. 3.8. Температурная зави¬
симость концентрации электро¬
нов в примесном' полупровод¬
никеионизации примесей (ее еще называют областью истощения примесей),
в которой п = Nд, и в области собственной проводимости (3.81).Хотя Каждый из случаев был рассмотрен раздельно, в действи¬
тельности они проявляется одновременно и суммарная кризая имеет
вид, изображенный на рис. 3.8.Проанализируем физическую сущность полученной картины. В об¬
ласти крайне низких температур начинается ионизация донорных при¬
месей (кривая ЛХЛ2). Собственная проводимость (прямая	eu*e
крайне мала. При определенной температуре Тш все примеси полно¬
стью ионизированы и при дальнейшем повышении температуры концен¬
трация носителей почти не меняется, так как собственная концентра¬
ция все еще мала.Температуру Тап иногда называют температурой истощения примесей.
Величина Тап может быть найдена из условияпри котором уровень Ферми пересекает примесный уровень £д. Из (3.99) полу¬
чаемЛишь при очень высоких температурах собственная проводимость
становится преобладающей и концентрация вновь растет с изменением
температуры (прямая ВгВг).Кривая СгС на рис. 3.8 показывает, какой вид имел бы график п (Т),
если бы концентрация примесей осталась прежней, а энергия Ея
\ меньшилась бы в несколько раз. Кривая DtD показывает, какой вид(3.99)(3.100)69
имела бы зависимость п (Т), если Ея осталась бы прежней, но умень¬
шилась концентрация примесей Л^д.Таким образом, вид кривой п (Т) существенно зависит от таких па¬
раметров полупроводника, как Eg, Ед, Nд.§ 3.6. Решение уравнения нейтральности в случае
полупроводника с одним типом однозарядных
акцепторовМодель полупроводника, содержащего один тип однозарядных ак¬
цепторов, изображена на рис. 2.1, б. Уравнение нейтральности в этом
случае имеет вид(3.101)где концентрация ионизированных акцепторов(3.102)Из (3.101) и (3.102) получаем(3.103)Ограничим рассмотрение случаем примесной электропроводности»
т. е. будем считать, что отсутствуют переходы электронов из валентной
зоны в зону проводимости. Следовательно, п = 0 и (3.103) примет вид(3.104)Подстановка в (3.104) выражений (3.71) и (3.76) позволяет найти
выражение для уровня Ферми в рассматриваемом случае:(3.105)Здесь опять-таки отсчет энергий производится от дна зоны прово¬
димости, т.е. Ее = 0.Из (3.105) видно, что при Т = 0 уровень Ферми находится посере¬
дине между акцепторным уровнем и потолком валентной зоны, а при
Т > 0 уровень Ферми сначала приближается к валентной зоне, а за¬
тем из-за того, что Nv~ Т3/а, пройдет через минимум и начнет удалять¬
ся от валентной зоны (рис. 3.9). При данной температуре Т,р, опреде¬
ляемой из условия совпадения уровня Ферми с уровнями акцепторов
(ц = —Eg -j- Ел), т е. из условия(3.108)получаем(3.107)При еще большей температуре значительно возрастут собственные
переходы и уровень Ферми будет стремиться к середине запрещенной
зоны, как это было установлено при рассмотрении случая собственной70
Рис. 3.10. Энергетические
уровни в полупроводнике
п-типа, содержащем одно¬
валентные компенсирующие
примесиэлектропроводности в § 3.4. Ход функции ц(Т) во всем температур¬
ном интервале также показан на рис. 3.9.Читатель без труда самостоятельно сможет получить кривую р (Г),
которая полностью идентична кривой п (Т) (см. рис. 3.8). Физическая
сущность этой зависимости также полностью аналогична физической
сущности зависимости п (Т), рассмотренной в § 3.5.§ 3.7. Решение уравнения нейтральности в случае
полупроводника, содержащего одновалентные
компенсирующие примесиРассмотрим модель полупроводника, показанную на рис. 3.10.
Предположим, что в широкой области температур полупроводник об¬
ладает электропроводностью п-типа, т. е. уровень Ферми всегда нахо¬
дится в верхней половине запрещенной зоны. Это, в свою очередь, при¬
водит к тому, что расположенные под уровнем Ферми акцепторные
уровни будут заполнены электронами, т. е. все акцепторные атомы бу¬
дут полностью ионизированы:Уравнение нейтральности в рассматриваемом случае:(3.108)Если дополнительно ограничиться областью низких и средних тем¬
ператур, при которых еще не играет роли собственная электропровод¬
ность, т. е. р — 0, то (3.108) примет вид(3.109)Будем считать, что электронный газ в данном полупроводнике не
вырожден, тогда, подставляя в правую часть (3.109) пя из (3.75), по¬
лучим(3.110)Рис. 3.9. Температурная за¬
висимость уровня Ферми в
примесном полупроводнике
р-типа
Для решения этого уравнения надо заменить в нем ехр ц* на n/N0
из выражения (3.58), справедливого в отсутствие вырождения. В ре¬
зультате получаем квадратное уравнение относительно п:(3.111)Решением его будет(3.112)Полагая в (3.112) Na = 0, т. е. переходя к случаю полупроводника
с одновалентным донором без компенсации акцепторами, получим вы¬
ражение, совпадающее с найденным ранее выражением (3.95).Проанализируем теперь выражение (3.112). При высоких темпера¬
турах, из-за того, что ехр ££ « 1 и Nc > Na, Na, знаменатель обра¬
щается в 2 и(3.113)При понижении температуры третье слагаемое в знаменателе (3.112)
сперва сравнимо с единицей, а затем становится больше единицы.Будем считать, что компенсация невелика (Na NR). Тогда мож¬
но найти такую область температур, где(3.114)Пользуясь (3.114) и условием Na N п, можно пренебречь соот¬
ветствующими слагаемыми в знаменателе (3.112), поскольку они малы
по сравнению с единицей, после чего(3.115)Это выражение полностью совпадает с (3.97).Если еще больше понижать температуру, так что условие (3.114)
уже не будет выполняться, выражение (3.115) окажется несправедли¬
вым. С понижением температуры в знаменателе (3.112) перестанет пре¬
обладать третье слагаемое и, наоборот, главную роль будут играть пер¬
вых два слагаемых вида 2^ ехр Е\. Это произойдет при(3.116)В этом случае
Таким образом, зависимость п (Т)
будет иметь вид кривых, показанных
на рис. 3.11. Здесь кривая 1 соответ¬
ствует отсутствию компенсации и от¬
ражает выражение (3.97). Кривая 2
соответствует малой степени компен¬
сации. На этой кривой проявляются
три участка. Первый (при высоких
температурах) соответствует полной
ионизации, второй (при средних тем¬
пературах), отражающий зависимость(3.115),	так называемый участок по¬
ловинного наклона, и третий участок
(в области низких температур) — об¬
ласть целого наклона, описываемая
уравнением (3.117).Все сказанное относилось к слу¬
чаю Na < Nд. При более высокой
степени компенсации участок поло¬
винного наклона укорачивается (кри¬
вая 3) и, наконец, он может вовсе не
проявляться (кривая 4). Кривые 2
и 3 указывают на то, что компенсация начинает сказываться лишь
при достаточно низких температурах. Для кривой 4 степень компенса¬
ции настолько велика, что во всем интервале температур из-за Nn л*iVa последнее слагаемое в знаменателе (3.104) мало и поэтому при¬
менимо следующее приближенное выражение:(3.118)Сопоставление экспериментальной кривой, измеренной в широком
интервале температур п(Т), с теоретическими выражениями (3.113),(3.115),	(3.117), а в некоторых случаях и с (3.118) позволяет найти раз¬
дельно концентрации доноров и акцепторов Nл и vVa, что является
одной из важнейших технологических сядач.§ 3.8. Решение уравнения нейтральности в случае
полупроводника, содержащего многовалентные примесиВ ряде случаев полупроводник может содержать многовалентную
примесь, которая создает в запрещенной зоне не один, а несколько
уровней, в том числе и глубокие. Такие примеси (или в общем случае
— центры) называют еще многозарядными. Типичным примером много¬
зарядной примеси является золото в германии, образующее четыре уро¬
вня (см. рис. 2.5).Рассмотрим сначала качественную сторону вопроса. На рис. 3.12
показаны примеры распределения электронов в кристалле с двухва¬
лентными донорами и акцепторами.73Рис. 3.11. Температурная зависи¬
мость концентрации электронов в
полупроводнике с компенсирован¬
ными донорами:/-iVa* 0 (компенсация отсутствует);
2 — Na =» Ю14 см-3: 3 — Net =* Ю16 см-3:
4~N&~ 101в см-3
Рис. 3.12. Энергетические уров¬
ни двухвалентных доноров:
а — нейтральное состояние; б — од¬
нократно ионизированное состояние;
в — двукратно ионизированное со¬
стояниеРис. 3.13. Энергетические уров¬
ни двухвалентных акцепторов:а, б, в — то же, что и на
рис. 3.12В кристалле с двухвалентным донором будем вести отсчет энергий
от дна зоны проводимости. Когда уровень Ферми достаточно высок
(рис. 3.12, а), каждый донор электрически нейтрален (вспомним, что
все энергетические состояния с £ <. (л заполнены электронами). Зна¬
чит, он удерживает два электрона с полной энергией связи Ег + Ег,
где Ei — энергия, необходимая для однократной ионизации донора, а
£2 — энергия связи второго электрона с уже однократно ионизирован¬
ным донором.На рис. 3.12, б показан случай, когда Ег •< и < £2. При этом все
(или почти все) доноры будут находиться в состоянии однократно за¬
ряженных ионов, обладающих энергией £ = £„ — Ev При даль¬
нейшем понижении уровня Ферми доноры ионизируются еще раз и
переходят в состояние £ = £с — £2. Это показано на рис. 3.12, в.В кристалле с двухвалентным акцептором удобнее вести отсчет энер¬
гий от потолка валентной зоны. Тогда нейтральное состояние двух¬
валентного акцептора будет наблюдаться при полностью незаполнен¬
ных электронами уровнях £„ + £i и £„ + £2. Уровень химического
потенциала соответственно будет располагаться между нижним из
уровней £0 + £х и потолком валентной зоны £„ (рис. 3.13, а). При дру¬
гом крайнем расположении уровня химического потенциала — выше
второго из уровней £„ + £2, двухвалентный акцептор будет двукрат¬
но ионизован (рис. 3.12, в).Для простоты мы рассматриваем случаи, когда оба уровня двухвалентно¬
го центра располагаются выше или ниже Eg!2. Может иметь место расположе¬
ние уровней и £, по разные стороны от «демаркационной» линии EJ2. Коли¬
чественный анализ в этих случаях несколько усложняется, но качественная кар¬
тина всегда может быть проанализирована в зависимости от взаимного распо¬
ложения уровня Ферми и уровней центра.Из этого рассмотрения видно, что зарядность многовалентного при¬
месного иона зависит только от относительного расположения уровня
Ферми и примесных уровней. Последние заданы природой кристалла и75
примеси, а положение уровня Ферми можно менять в широких преде¬
лах, варьируя, как мы видели в предыдущих параграфах, температуру
кристалла и концентрацию мелких примесей. Поэтому проблему мно¬
гозарядных центров имеет смысл рассматривать только в конкрет¬
ной ситуации присутствия посторонней мелкой примеси.В большинстве случаев многозарядные примеси являются акцеп¬
торными. Примерами могут служить Au, Ag, Си, Ni, Fe в германии,
Zn в кремнии, Си в арсениде галлия и т. д. Поэтому количественный
анализ проведем для полупроводника р~типа, в котором содержится
N многозарядных центров одного типа.Кроме многозарядных центров необходимо учитывать еще и другие
центры, создающие свои уровни в запрещенной зоне. Пусть в данном
интервале температур, все эти дополнительные уровни расположены
далеко от fi, т. е. все они находятся в неизменных зарядовых состоя¬
ниях. Обозначим их полную концентрацию /Уфоа. Например, если по¬
лупроводник содержит мелкие доноры, тоВ общем случае, когда имеются мелкие доноры и мелкие акцепторы, тоN фон ~ N д — N а •Обозначим заряд центра через Ze, где е — заряд электрона. Вели¬
чина Z может принимать несколько последовательных целых значений:
0,1,2,... в зависимости от природы центра. Например, то же золото в
германии (см. рис. 2.5) дает значения Z от — 1 до +3.Обозначим концентрацию центров в состоянии Z через Nz. В рав¬
новесии соотношение между различными Nz определяется распреде¬
лением (3.92), пользуясь которым можно получить(3.119)Здесь Ez энергия, требуемая для присоединения к центру, находя¬
щемуся в состоянии Z — 1, одного электрона (центр в результате это¬
го переходит в состояние Z). Отношение gjgz—i есть отношение ста¬
тистических весов состояний Z и Z — 1.Рассмотрим для простоты только три возможных значения
Z : 0,1,2, что соответствует нейтральному, одно-и двукратно заряжен¬
ному состоянию центра.Обычно расстояние между соседними уровнями центра значительно больше
kT. Если, например, уровень Ферми расположен вблизи Ег, то в соответствии
с (3.119) доля всех состояний, кроме Z и (Z — 1), пренебрежимо мала,Поэтому можно принять(3.120)Уравнение нейтральности в данном полупроводнике с двухвалент¬
ным акцептором в присутствии посторонней фоновой примеси донор-
иого типа имеет вид(3.121)75
Если считать, что данный полупроводник во всем интервале тем¬
ператур сохраняет электропроводность р-типа, то N£ = Na. С уче¬
тов этого, а также с учетом (3.119) уравнение нейтральности можно за¬
писать как(3.122)Напомним, что отсчет энергий ведется от потолка валентной зоны, т.е.
Е0 — 0. Введем обозначения(3.123)
и, кроме того, учтем, что(3.124)Тогда (3.122) преобразуется к виду(3.125)а используя (3.120), окончательно получим(3.126)Такой вид уравнения нейтральности довольно громоздок и его удоб¬
нее переписать в безразмерных координатах.Для этого обозначим:(3.127)
тогда (3.126) примет вид(3.128)Пренебрегая слагаемыми третьего порядка малости, получим(3.129)Положительное решение этого квадратного уравнения имеет вид(3.130)(3.131)Причем б всегда меньше единицы, так как Ег> Elt а у 1 при
й> 1 и, наоборот, 7 > 1, если (а — 1) < 1.Так как рассматривается кристалл р-типа, то (а — 1) всегда поло¬
жительно. В результате из (3.130) вытекают решения для двух облас¬
тей Y:(3.132)76
В координатах In р — 1 IT уравнение (3.132) изображается прямой
с наклоном Ev Эго так называемая прямая целого наклона.Точнее, (3.132) является кривой со слабо меняющимся наклоном, так кая
в р входит плотность состояний Nv, пропорциональная Г3^2,Рис. 3.14. Температурная зави¬
симость концентрации дырок в
виде прямой целого наклонаРис. 3.15. Температурная
зависимость концентра¬
ции дырок в виде двух
прямолинейных участков
половинного (1) и цело¬
го (2) наклоновВид зависимости р (Т), получающейся в этом случае, показан на
рис. 3.14.В области у > 1 зависимость р(Т), показанная на рис. 3.15, состо¬
ит уже из двух прямолинейных участков. В области низких темпера¬
тур справедливо уравнение (3.134), совпадающее с (3.132), т. е. опять-
таки имеем прямую целого наклона. С повышением температуры это
решение переходит в (3.133) с наклоном, представляющим полусумму
(Е1 + Еа)12. Эта — прямая половинного наклона.При еще более высоких температурах, когда двухвалентный центр
оказывается полностью двукратно ионизованным, эта кривая, как
и кривая на рис. 3.14, переходит в плато, что и показано на обоих ри¬
сунках.Концентрация р на плато(3.135)Уравнения (3.132) — (3.135) содержат четыре неизвестных: Nд,
N, glt g2, которые необходимо знать для правильного определения по
экспериментально измеренной зависимости р (Т) значений Et и Ег
Двухвалентного примесного центра. В то же время для их вычисления
имеются лишь три уравнения, В этом случае либо делают некие пред¬
положения о значениях факторов вырождения, например, принимая их77
равными 2 или 4, либо используют специальные меры для уменьшения
числа неизвестных.Для этого, например, используют прием двойного легирования об¬
разцов, при котором наряду с двухвалентной приместью в кристалл
вводят известное количество мелкой примеси /Vд,а (доноров или акцеп¬
торов, в зависимости от природы фоновой примеси) в соотношении(3.136)В этом случае в уравнениях нейтральности вместо неизвестной кон¬
центрации Мфоч фигурирует определенная концентрация Мд'а, кото¬
рую необходимо определить независимым методом. Мощным средством
для этого является использование меченых (радиоактивных) примесей.В ряде случаев вместо определения Nn или A^,a определяют ка¬
ким-либо независимым методом концентрацию многовалентной приме¬
си N.Проведенное в этом параграфе рассмотрение относилось к полупро¬
воднику /?-типа с двухзарядным акцептором. Для кристалла /г-типа с
дзухзарядиым донором и фоновой акцепторной примесью концентра¬
ция электронов п удовлетворяет уравнению, аналогичному (3.125), с
той лишь разницей, что уУд будет заменена на jVa, а вместо рх и рг бу¬
дут введены nv ti2:(3.137)При этом следует помнить, что за нуль отсчета энергии будет при¬
нято уже дно зоны проводимости.Помимо рассмотренных могут быть и случаи двухзарядного акцептора в
полупроводнике л-типа или двухзарядного донора в кристалле p-типа электро¬
проводности. Наконец, имеются примеси, которые по мере их заполнения ме¬
няют не только величину заряда, но и его знак. Так, атомы золота в германии
образуют три акцепторных и один донорный уровень. Уравнения нейтрально¬
сти во всех этих случаях будут более громоздкими, но их составление не встре¬
чает особых трудностей при использовании выражения (3.119),§ 3.9. Статистика носителей заряда в полупроводнике,
содержащем амфотерную примесьАмфотерная примесь может образовывать в полупроводнике как
донорные уровни £д, так и акцепторные £*а. Поэтому уравнение нейт¬
ральности в этом случае то же самое, что и для полупроводника, со¬
держащего обычные взаимокомпенсирующие примеси, т. е. рассмотрен¬
ное в § 3.7:(3.138)Различие заключается в том, что в случае амфотерной примеси об¬
разуется система зависимых уровней, а в § 3.7 анализировался случай
независимых уровней, образованных разными примесями. Такое раз¬
личие должно приводить к ряду особенностей в распределении элект¬
ронов между уровнями. Здесь имеем случай, в котором содержатся
черты простой компенсации и одновременно черты многовалентной при-73
меси. Действительно, в § 3.8 было показано, что зарядность примесного
иона Z может меняться в зависимости от положения уровня Ферми и
принимать значения 0, 1, 2,.... Но Z может принимать значения и —1,
—2,..., тогда уровень будет уже не акцепторным, а донорным.Амфотерная примесь как раз и приводит к тому, что некоторая ее до¬
ля находится в состояниях Ez, Ez+1. Ez+2* •••» а некоторая доля—
в состояниях £_z, £_(z+1,, £_(2+2)Ограничим рассмотрение одновалентной амфотерной примесью, т.е.
будем считать, что в запрещенной зоне есть лишь два уровня Ел и
£а, отсчитанные от своих зон. Это значит, что зарядность Z может при¬
нимать следующие значения: — 1, 0,4-1- Тогда концентрацию нейт¬
ральных доноров обозначим концентрацию заряженных доноров—и соответственно концентрации нейтральных и заряженных акцеп¬
торов — №а и N а".Используя соотношение (3.32) аналогично тому, как это делалось
при получении (3.119), имеем два уравнения:(3.139)Для простоты опустим здесь статистические веса. В случае необхо¬
димости читатель всегда сможет включить их в рассмотрение. При¬
ведем (3.139) к одной системе отсчета энергий. Как обычно, за нуль от¬
счета примем дно зоны проводимости. Тогда уравнения (3.139) примут
вид:(3.140)Разделив первое из этих уравнений на второе, получим(3.141)Ранее были получены (3.58) и (3.81), из которых следует, что(3.142)Далее необходимо учесть, что отношение N\!N\ — есть функция
температуры. Легче всего это понять, используя химическую аналогию.
Для этого рассмотрим переход амфотерной примеси из донорного состо¬
яния D в акцепторное А, как некую химическую реакцию типа(3.143)способную идти в ту или другую сторону в зависимости от температу¬
ры. Константа равновесия этой реакции, как известно из химической
термодинамики,(3.144)
19
Подставляя (3.142) и (3.144) в (3.141), получим(3.145)Применяя сокращенную запись, перепишем это выражение в виде(3.146)(3.147)Из (3.146) видно, что физический смысл Ki прост — это есть отно¬
шение концентраций заряженных доноров и заряженных акцепторов
в собственном полупроводнике, когда п — щ.Теперь можно перейти непосредственно к решению уравнения ней¬
тральности (3.138). Перепишем его в виде(3.148)Наложим еще дополнительное условие, которое вытекает из опре¬
деления амфотерности примеси:(3.149)где N — полная концентрация атомов амфотерной примеси в кристалле.Разделим (3.149) на (3.148) и в результат подставим соотношение
(3.146):(3.150)отсюда окончательно получаем(3.151)Это и есть решение уравнения нейтральности для полупроводника
с амфотерной примесью. Такое решение содержит связь п и р с темпера¬
турой и полной концентрацией амфотерной примеси N.Анализ формулы (3.151) весьма сложен. Достаточно сказать, что
даже при очень малом р она представляет собой уравнение третьего по¬
рядка относительно п. Исследование (3.151) облегчается, если исполь¬
зовать эффект закалки, о котором шла речь в § 2.3. После закалки, на¬
пример, до комнатной температуры Т0 соотношение между донорами и
акцепторами останется прежним: а условие нейтральности примет вид(3.152)Комбинируя (3.152) с (3.138), запишем для температуры Т0: п — р=*
— пи, что в совокупности с законом действующих масс (3.85) дает(3.153)
ео
Ряс. 3.16. Зависимость концентра¬
ции электронов, измеряемой при
комнатной температуре, от полной
концентрации амфотерной приме¬
си NТаким образом, концентрация п при любой температуре была вы¬
ражена через концентрацию п0, относящуюся к комнатной температу¬
ре. Теперь можно связать п0 с полной концентрацией примеси N. Для
этого подставим (3.153) в (3.151):(3.154)Эту зависимость проанализировать уже значительно легче.
Малая концентрация амфотерной примеси: njtii < 1.
Из (3.154) следует, что(3.155)т. е. должна наблюдаться линейная зависимость между N и п0, кото*
рая при Kt < 1 (низкие температуры) переходит в равенство N = п0.Большая концентрация амфотерной примеси. С ростом N концент¬
рация п0 будет возрастать, пока не достигнет максимально возможного
значения (n0)max- Это произойдет при обращении в нуль знаменателя
в (3.154):(3.156)Опять-таки при низких температурах, когда Кг С Ь (3.156) пе¬
рейдет в(3.157)Графически результаты проведенного анализа показаны на рис.
3.16.81
§ 3.10. Статистика носителей заряда в полупроводнике,
содержащем вакансииЕсли полупроводник содержит Nд одновалентных доноров с уров¬
нями энергии Ед и акцепторных вакансий с энергией £а, то урав¬
нение нейтральности будет тем же самым, что в случае обычной компен¬
сации доноров акцепторными примесями:(3.158)Соответственно и его анализ будет совпадать с тем, который был
проведен в § 3.7.Часто бывает, что вакансия способна захватить не один, а два элект¬
рона (а возможно и более чем два). Тогда приходим к случаю одновре¬
менного присутствия в кристалле многовалентных акцепторов и одно¬
валентных доноров, т. е. к случаю, рассмотренному в § 3.8, или более
сложному, ибо уровни многовалентной вакансии могут располагаться
не в одной из половин запрещенной зоны, а по разные стороны «де¬
маркационной» линии, Eg!2.§ 3.11. Статистика электронов в полупроводнике
с дислокациямиДислокацию будем рассматривать как дефект, образующий некую
дислокационную зону, о чем говорилось в § 2.5.Обозначим плотность дислокации через ND. Так как дислокация
носит акцепторный характер, то она может захватить на единицу дли¬
ны по электронов. Кроме того, полупроводник содержит обычные
мелкие доноры и акцепторы в концентрациях Nд и Na, которые будем
считать полностью ионизованными. Тогда уравнение нейтральности
будет иметь вид(3,150)Для простоты в дальнейшем будем считать р — 0 (полупроводник
n-типа в области температур, далеких от собственной области). Необ¬
ходимо найти по в зависимости от температуры и положения уровня
Ферми.Ясно, что степень заполнения дислокации электронами, так же как
и обычных акцепторов, тем больше, чем ниже температура. При повы-
шеяии температуры часть захваченных дислокацией электронов поки¬
нет дислокацию, что равносильно захвату некоторого количества ды¬
рок ро- Число электронов на единице длины дислокации при данной
температуре(3.160)где riD (0) — число электронов, захваченных на единице длины дисло¬
кации при Т = 0.82
Если температура не очень высока, то
число дырок ро будет мало по сравнению о
по (0). Применяя выражение (3.71) к дисло¬
кационной зоне, можно по аналогии * напи¬
сать(3.161)Рис. 3.17. Энергетический
спектр электронов полу¬
проводника с дислока¬
циямигде Mv — эффективная плотность состояний
в одномерной дислокационной зоне; £v —
энергия дна дислокационной зоны (рис. 3.17).Величина Nv аналогична NB для стандартной валентной зоны(3.162)где т*рч — эффективная масса дырок, соответствующая тому кристал¬
лографическому направлению, вдоль которого идет дислокация. Для
простоты рассмотрим изотропный случай, т. е. положим m*pv = т*р.
Подставляя (3.161) в (3.169), найдем(3.163)В реальных кристаллах может быть и не одна дислокационная зо¬
на. В этом случае в теории заменяют большое число дислокационных
зон одной эффективной зоной. В результате(3.164)где g — аналог статистического веса эффективной зоны; — дно эф¬
фективной дислокационной зоны.Чем больше образовано дислокационных зон в кристалле, тем боль¬
ше значение g.Из опыта можно найти температурные зависимости по (0), по и ц.
Тогда, пользуясь формулой (3.163) или в общем случае формулой(3.164), можно найти зависимость £v (Т) или E'v (Т).Строгая теория дает выражение, позволяющее оценить величину g:(3.165)где f — степень заполнения дислокации; d — период кристаллической
решетки; п — концентрация электронов в кристалле.Для оценок полагают / «0,1. После подстановки числовых значе¬
ний констант, входящих в (3.165), получаем формулу(3.166)* Здесь, по*сутеству, валентная зона заменена на дислокационную, однако
в теории выражение (3.161) выводится строго,83
по которой можно оценить, велико g или мало, т. е. оценить примени¬
мость одной из двух формул (3.163) или (3.164) для обработки экспе¬
риментальных данных.§ 3.12. Статистика электронов при образовании
сложных дефектов в кристаллеОбычно такие сложные дефекты, как трещины, поры и раковины,
не рассматриваются, так как все практические применения полупро¬
водников исключают использование кристаллов с такими дефектами.
Из разнообразных сложных дефектов изучаются пока лишь ассоциа¬
ции точечных дефектов: примесь — примесь и примесь — вакансия.
К сожалению, термодинамике таких взаимодействий посвящено не
очень большое число работ и ее нельзя считать выясненной до конца.
Рассмотрим лишь общие черты взаимодействия примесных донорных
атомов D с акцепторными вакансиями V. Будем считать, что в резуль¬
тате такого взаимодействия образуется комплекс Z, состоящий из од¬
ной вакансии, удерживающей т атомов D. Используя символику хими¬
ческой реакции, запишем процесс образования комплекса:(3.167)Далее предположим, что равновесие в этой реакции наступает доста¬
точно быстро, а температура настолько низка, что содержание атомов
D в кристалле остается неизменным, т. е. элемент D не испаряется из
кристалла. Оба эти предположения весьма существенны, ибо они на¬
кладывают ограничения на условия экспериментального исследования
комплексообразования.Реакцию (3.167) можно переписать иначе, включив в нее свободные
электроны:(3.168)Заметим, что можно было в (3.167) включить и дырки, т. е. считать вакан¬
сию заряженной.По известному закону химической термодинамики сумма химичес¬
ких потенциалов отдельных составляющих статистической системы
должна равняться нулю:(3.169)Входящие в это равенство химические потенциалы имеют вид:(3.170)84
где F — свободная энергия при постоянном давлении; NL — концент¬
рация собственных атомов кристалла; С™ — число способов, которыми
может быть образован комплекс Z вокруг вакансии, т. е. это число со¬
четаний из четырех (4 ближайших соседа)* по т.Таким образом,(3.171)где хг — число мест в решетке кристалла, которое может быть занято
комплексами.Подставляя (3.170) в (3.169), находим(3.172)(3.173)представляет собой энергию связи комплекса.Если при температуре Т электронный газ не вырожден, то из (3.58)(3.174)И соответственно (3.172) примет вид(3.175)Так как комплексы Z считаем нейтральными, то заряженными час¬
тицами в кристалле будут электроны, дырки, заряженные отрицательно
вакансии и ионы доноров. Уравнение нейтральности примет вид(3.176)Уравнение (3.176) совершенно подобно уравнению (3.138), если в
нем заменить Na на N$. Поэтому можно воспользоваться его решени¬
ем в виде (3.151):(3.177)В левой части этого уравнения стоит сумма концентраций заряженных до¬
норов и акцепторов. Могут представиться два случая: независимости Л^д и Ny
и, наоборот, случай, когда содержание вакансий определяется количеством вве¬
денных в кристалл доноров. Тогда надо будет в (3.177) включить функцию
Nv (Nb> которую необходимо найти из каких-либо других представлений или
из опыта.После закалки, как и в случае присутствия амфотерной примеси
(3.153), зависимость п (Г), выраженная через концентрацию при ком¬
натной температуре п0, примет вид(3.178)* Рассматривается полупроводник с алмазоподобной решеткой или с ре¬
шеткой цинковой обманки,
В первом приближении можно считать, что количество заряженных
вакансий при комнатной температуре мало по сравнению с количест¬
вом заряженных доноров, тогда(3.179)Полная химическая концентрация доноров Na составляет(3.180)или, подставляя сюда (3.175) с учетом (3.179), получим(3.181)где п (Т) определяется выражением (3.153).Если полная химическая концентрация введенных в кристалл до¬
норов Nа известна, то с помощью этой формулы можно найти m — чис¬
ло доноров в комплексе и G — энергию связи комплекса.Для этого надо провести отжиг образцов с разным содержанием
Nn при одной температуре Т и экспериментально найти зависимость
п (Т). Кроме того, в каждом из образцов после закалки необходимо
найти концентрацию электронов п0 при комнатной температуре. После
этого следует построить экспериментальную зависимость у — f {х),
где(3.182)Согласно формуле (3.181) должна получиться прямая линия с уг¬
ловым коэффициентом а, равным а «■ т. На оси у, как видно из (3.181),
эта прямая отсекает отрезокоткуда, уже зная т, легко получить энергию связи комплекса:(3.184)Рассмотренными примерами не исчерпываются многочисленные слу¬
чаи, которые могут встретиться на практике. Укажем на некоторые
из них.Сильное легирование. При сильном легировании прежде всего про¬
исходит взаимодействие электронов соседних примесных атомов и ло¬
кальные уровни расплываются в примесную зону. По мере увеличе¬
ния степени легирования кристалла эта зона расширяется и сливается
с ближайшей разрешенной зоной. В последнем случае образуется еди¬
ная разрешенная зона и концентрация электронов в ней определяется
выражением (3.54). Так как при сильном легировании ц > 0, то интег¬
рал Flf2 (ц.*) в (3.54) уже нельзя заменять на ехр р.*.Таким образом, в случае сильно легированных кристаллов необхо¬
димо пользоваться статистикой Ферми и поэтому решение конкретных86
' равнений нейтральности усложняется. Некоторые из них можно най¬
ти в специальной литературе.До тех пор, пока примесная зона еще не слилась с разрешенной,
статистику электронов следует рассматривать по двухзонной модели.
При этом легированный полупроводник оказывается частным случаем
неупорядочной системы. Как следствие неупорядоченности, в примес¬
ной и основных разрешенных зонах возникают специфические особен¬
ности, основные из которых рассмотрены в гл. 11.Влияние облучения кристаллов. При облучении кристаллов ядер-
ными частицами могут происходить два эффекта. Это ядерные реакции
с образованием новых химических элементов (ядерное легирование
кристалла) и образование дефектов, преимущественно по Френкелю.При необходимости читатель составит и проанализирует уравнение
нейтральности самостоятельно.Влияние деформации кристаллов. Изотропная (всесторонняя) уп¬
ругая деформация для большинства полупроводников эквивалентна
термическому расширению (или сжатию) кристаллической решетки и
вызывает в первую очередь изменение ширины запрещенной зоны, а
следовательно, и положения £д и £а. Поскольку волновые функции
электронов примесных центров связаны с волновыми функциями элект¬
ронов разрешенных зон, то это вызывает дополнительное изменение
положения уровней как при изотропной, так и анизотропной упругих
деформациях кристалла.Контрольные вопросы1. Каков физический смысл функции распределения? 2. Что такое хими¬
ческий потенциал? 3. Каково заполнение электронами энергетических уровней
меньших, чем уровень Ферми, больших уровня Ферми и самого уровня Ферми?
4. Что такое вырождение электронного газа? 5. Где расположен уровень хи¬
мического потенциала в собственном полупроводнике? в. В какой из половин за-
прещенной зоны находится уровень Ферми в полупроводниках л- и р-типов?Задачи1.	Вычислить значение уровня Ферми при комнатной температуре в герма*
нии, легированном мышьяком до концентрации 1014, 1015, 101в см—3.2.	Повторить решение задачи 1 для Т = 77 К.3.	Определить концентрацию легирующей примеси в кремниевых кристал¬
лах, если по данным независимых опытов значение приведенного уровня Фермя
при комнатной температуре оказалось равным в одном кристалле — 0,1» а дру¬
гом + 2,0.4.	В каком из полупроводников InSb или GaAs л-типа вырождение на¬
ступит при меньшей температуре, если известно, что концентрации электронов в
InSb составляют 101в см~3, а в GaAs — 1017 см~3. Чему равны эти температуры?5.	Вычислить положение уровня Ферми в собственном кремнии при темпе¬
ратуре 77, 300, 500 и 800 К.6.	Найти значение произведения татр в собственном германии, если кон¬
центрация собственных носителей заряда при 500 К оказалась равной 2* 101в см-8.
При решении температурным коэффициентом изменения ширины запрещенной
зоны пренебречь.7.	Оценить температурный коэффициент изменения ширины запрещенной
зоны полупроводника, у которого произведение эффективных масс электронов
и дырок равно 0,235, а концентрация собственных носителей заряда при 50G К
равна 2-1016 см~3, а при 280 К — 8*1012 см-"3»87
8.	Вычислить концентрацию электронов в кремнии, легированном фосфо¬
ром при 2, 4, 20, 100 К.9.	Используя решение задачи 7, определить в том же образце и при тех же
температурах концентрацию дырок.10.	Полупроводник легирован примесью до 6‘Ю16 см~8. При некоторой
температуре уровень Ферми совпадает с уровнями этой примеси. Какова кон¬
центрация носителей заряда в этом полупроводнике?Литература: [12] — [16].Глава 4КИНЕТИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ В ПОЛУПРОВОДНИКАХ§4.1. Способность полупроводников проводить
электрический ток и теплоВ данной главе рассмотрим полупроводник, на который действуют
внешние силы (электрическое и магнитное поля, градиент температуры
и т. п.). При этом носители заряда находятся уже в неравновесных ус¬
ловиях: возникает направленное перемещение носителей — явление
переноса.На рис. 4.1 приведены примеры воздействия на кристалл различ¬
ных внешних сил.Внешнее электрическое поле, приложенное к однородному кристал¬
лу (рис. 4.1, а), вызывает электрический ток, обусловленный перено¬
сом свободных носителей заряда в разрешенных зонах кристалла,
плотность которого(4.1)Коэффициент пропорциональности о называют удельной электричес¬
кой проводимостью вещества.Если на кристалл п действовать какой-либо другой внешней силой,
например, создав на гранях кристалла градиент температур у7\ то из-
за того, что средняя энергия, а часто и концентрация носителей заряда
возрастают при повышении температуры, в направлении —\Т воз¬
никает поток свободных зарядов. В разомкнутой цепи в стационарном
состоянии плотность тока во всех точках равна нулю. Это означает,
что образовавшееся электрическое поле S вызывает в каждой точке по¬
лупроводника ток, компенсирующий поток носителей заряда.На гранях кристалла возникнет разность потенциалов (рис. 4.1,6),
известная под названием термо-э.д.с. Полная термо-э.д.с.(4 2)Коэффициент пропорциональности а называют коэффициентом диф¬
ференциальной термо-э.д.с. Запас кинетической энергии электронов
приводит к тому, что горячие электроны перемещаются к холодному
концу кристалла, а холодные — в противоположном направлении. По
кристаллу распространяется поток тепла(4.3)88
где к — удельная теплопроводность кри¬
сталла.К кристаллу могут быть приложены
одновременно несколько внешних сил,
например электрическое и магнитное по¬
ля, векторы напряженности которых
взаимно перпендикулярны (рис. 4.1, в).
В этом случае помимо направленного
движения носителей заряда вдоль оси х
под влиянием $, под влиянием магнит¬
ного поля Н появляется дополнительная
составляющая в направлении оси у. На
противоположных гранях кристалла в
этом направлении появится э.д. с. ё\,
именуемая холловской. Этот эффект на¬
зывают эффектом Холла, а коэффициент
пропорциональности R в выражении(4-4)называют коэффициентом Холла.Во всех случаях воздействия на полу¬
проводник какой-либо силой Ft в кристал¬
ле возникают явления переноса носителей
заряда, называемые кинетическими явле¬
ниями. Коэффициенты а, а, х, R и дру¬
гие в выражениях типа (4.1) — (4.4) на¬
зывают кинетическими коэффициентами.На примере удельной электрической
проводимости рассмотрим качественные
факторы, определяющие эти коэффи¬
циенты.При приложении внешнего электри¬
ческого поля к идеальному кристаллу,
т. е. к такому, в котором отсутствуют
всякие нарушения внутреннего периоди¬
ческого поля, скорость электронов бес¬
препятственно росла бы во времени и
такой идеальный кристалл обладал бы
нулевым сопротивлением, или бесконеч¬
ной электропроводностью. Тем не менее
реальные кристаллы обладают конечной
электропроводностью, что обусловлено
искажениями периодического поля кри¬
сталла.Одним из существенных видов нару¬
шения периодичности являются тепло¬
вые колебания атомов решетки. Траек¬
тория движущихся электронов, попадаю¬
щих в сферу действия таких колеблю-Рис. 4.1. Схема возникновения
некоторых кинетических эффек¬
тов:а — электропроводность; б — тер-
мо-э. д. с.; в — эффект ХоллаРис. 4.2. Перемещение носите¬
лей заряда в полупроводнике
под воздействием внешней си¬
лы
щихся атомов, искривляется, т. е. они рассеиваются. Кроме того, в
реальном кристалле имеются различные дефекты, искажающие кри¬
сталлическую решетку: атомы примесей, вакансии, дислокации и т. д.
Эти дефекты также приводят к рассеянию электронов. В результате
электрон в кристалле движется по сложной траектории, которая ме¬
няется после каждого акта рассеяния. При этом все же имеет место
и направленное перемещение носителей заряда (рис. 4.2).Количественной мерой рассеяния служит длина свободного пробега
I (среднее расстояние, проходимое носителем между двумя столкнове¬
ниями) или среднее время т между столкновениями, причем(4.5)где v — скорость электрона.Время т называют также временем релаксации, так как оно характе¬
ризует затухание тока при выключении внешней силы, действую¬
щей на кристалл.Таким образом, на носители заряда, с одной стороны, действует вне¬
шняя сила, упорядочивающая движение, с другой — рассеяние, стре¬
мящееся вернуть носители к разупорядоченному хаотическому дви¬
жению. В результате действия этих двух противоположно действующих
сил устанавливается движение носителей заряда в кристалле со сред¬
ней скоростью v, которая пропорциональна электрическому полю:(4.6)Значение и, равное средней скорости носителя в поле с напряжен¬
ностью 1 В/см, называется подвижностью носителей заряда. Ее
размерность [см2/(В-с)].Средняя скорость, подвижность и, следовательно, удельная элект¬
рическая проводимость(4.7)зависят от числа и характера столкновений, т. е. числа и характера
актов рассеяния. Поэтому можно предположить, что все кинетические
коэффициенты определяются временем релаксации свободных носителей
заряда.Задача количественного рассмотрения явлений переноса заключа¬
ется в нахождении связи каждого из кинетических коэффициентов с
зременем релаксации т, а также зависимости т от механизма рассеяния,
т. е. вида рассеивающих центров.Первая из этих задач решается с помощью уравнения Больцмана.§ 4.2. Метод уравнения БольцманаОграничимся рассмотрением лишь слабых внешних сил. Под сла¬
быми понимают такие, которые не изменяют равновесную концентра¬
цию носителей заряда, а лишь несколько меняют их функцию распре¬
деления. Такие слабые силы будем называть возмущениями.В общем случае функцию распределения f следует рассматривать
как функцию координаты г, волнового вектора к и времени t.90
Уравнение, отражающее изменение функции распределения носи¬
телей заряда во времени, принимает вид(4.8)где v = drldt — скорость электрона; F = % 	обобщенная сила,действующая на носители заряда в кристалле. Эта сила определяется
одновременно и внешними воздействиями и любыми нарушениями пе¬
риодичности внутрикристаллического поля.Вследствие уже известной теоремы Лиувилля dfldt = 0. Тогда из
(4.8) следует(4.9)Обобщенную силу F можно представить в виде суммы внешних и
внутренних сил Fj и F/, тогда (4.9) примет вид(4.10)Действие внутренних сил можно трактовать как соударения элект¬
рона с рассеивающим центром. В самом деле, область действия рас¬
сеивающего центра простирается на расстояние не более нескольких
периодов решетки, т. е. примерно ка 10-7 см, а тепловая скорость
электрона и время взаимодействия электрона с центром составят со¬
ответственно 107 см/с и 10~14с. За столь малое время весьма сильно ус¬
певают измениться скорость и квазиимпульс электрона, что позволяет
провести аналогию с ударом в механике.Выделим в (4.10) ту часть, которая связана с действием внутренних
сил и отражает изменение функции распределения во времени в резуль¬
тате соударений, и обозначим ее (dfldt)е:(4.11)Остальную часть уравнения (4.10) обозначим (dfldt)п:(4.12)Величина (df/dt)„ показывает изменение функции распределения
за счет действия внешних сил, т. е. переноса.Таким образом, выражение (4.10) принимает вид(4.13)Записанное в такой форме, оно и представляет собой кинетическое
Уравнение Больцмана.Видно, что изменение функции распределения частиц во времени
обусловлено действием двух конкурирующих процессов: направленно-91
го переноса носителей заряда и их хаотических столкновений с различ¬
ными нарушениями периодического поля кристалла.В дальнейшем будем рассматривать стационарные кинетические яв¬
ления, в которых регистрируемый на опыте макроскопический эффект
возникает после многочисленных микроскопических актов столкнове¬
ний частиц системы. Поэтому можно считать состояние такой системы
установившимся, т. е. dfldt = 0. В этом случае (4.13) принимает вид(4.14)Теперь сделаем простейшее предположение о протекании процесса
соударений: будем считать, что в некоторый момент времени действие
внешней силы выключается и перенос носителей заряда прекращается,
т. е. (dfldt)п — 0. Из (4.13) следует, что при этом изменение функции
распределения происходит только за счет соударений.В момент выключения внешней силы система частиц находилась
в неравновесном состоянии, следовательно, соударения должны приве¬
сти ее в равновесное состояние, характеризуемое равновесной функци¬
ей распределения /0 (г, к). Можно предположить, что скорость восста¬
новления равновесия пропорциональна отклонению от равновесия, т. е.(4.15)где h — добавка к равновесной функции распределения f0, необходи¬
мая для получения неравновесной функции распределения f, справед¬
ливой при действии внешних возмущающих сил, причем(4.16)1/т (к) — коэффициент пропорциональности, физический смысл кото¬
рого будет раскрыт позже.Коэффициент т зависит от к и г, но в дальнейшем интерес предста¬
вит зависимость лишь от к, поэтому в (4.15) зависимость т от г опущена.Новую функцию распределения f можно представить в виде разло¬
жения(4.17)Здесь и далее всюду опущена зависимость f от г, так как рассматриваются
лишь однородные полупроводники.Ограничиваясь в (4.17) первыми двумя членами разложения, запишем до¬
бавку к равновесной функции распределения в виде произведения функций, за¬
висящих от к и Е:(4.18)так как возмущенная функция распределения определяется не только энергией
частиц, но и их скоростью. Теперь задача сводится к отысканию явного вида
С (Е) и X (к). Положим, что на кристалл действует лишь одна внешняя сила
е% от однородного электростатического поля %. Тогда кинетическое уравнение
приобретает вид
Отсюда видно, что
иТогдаДля вычисления левой части этого выражения с точмснльго до первого по¬
рядка в fi достаточно положить в соответствии с (4.16) / а /в, При этом(4.20)а (4.19) 8апишем в следующем виде:(4 21)(4.22)(4.23)(4 24)В результате упрощений выражение (4.17) можно представить в виде(4.25)Можно показать, что тождество X. (к) = к остается справедливым и в слу*
чаях действия других сил. Но это не имеет места в отношении функции С (£),
определены' б в виде (4.23).Вид функции С (Е) существенно зависит от того, какие силы дейст¬
вуют на носители заряда в кристалле. Именно эта функция и опреде¬
ляет тот или иной кинетический коэффициент.Метод кинетического уравнения позволяет выразить плотность по¬
токов электричества J и теплоты q через функцию /1; т. е. в конечном
счете через С (Е).Проиллюстрируем это на примере электропроводности. Как извест¬
но, плотность электрического тока J = ejv dn, где dn — число носи¬
телей заряда в элементе пространства волновых чиселВ результате(4.26)Подставляя сюда (4.25) и, принимая во внимание, что в отсутствие
внешних сил ток равен нулю, т. е.(4.27)
получим(4.28)Подставляя (4.20) в (4.28), имеем93
и, интегрируя в сферических координатах k, в, <р, где
найдем, что в направлении х плотность тока(4.29)или, подставляя сюда выражение для С (Е) нз (4.23), найдем(4.30)Сопоставляя это выражение с известным Jх — а$х, получим выра¬
жение для удельной электрической проводимости:(4.31)Аналогично действуя на кристалл иными силами, можно получить
выражения для других кинетических коэффициентов. Так, если на кри¬
сталл действует кроме электрического еще и магнитное поле, то вместо
(4.23) получим С (Е) = С (%, Н) и соответственно найдем выражение
для постоянной Холла. В общем случае функция С (Е) является функ¬
цией приложенных сил.В табл. 4.1 показано, к каким кинетическим эффектам приводит
то и иное внешнее воздействие. Подробное рассмотрение большинства
из этих эффектов и составит предмет следующих параграфов данной
главы.Таблица 4.1. Выражения для силы Ft в кинетическом уравнении БольцманаКинетический эффектЭлектропроводностьЭффект ХоллаТермо-э. д.с.Т еплопровод ность
Эффект Нернста — Эт¬
тингсгаузена94
Время релаксации. В выражение (4.30) для электропроводности,
а в дальнейшем будет показано, что и в формулы для других кинети¬
ческих коэффициентов входит величина т. Это явилось следствием того,
что т определяет вид члена столкновений (4.11) в кинетическом уравне¬
нии. Если проинтегрировать его явный вид, т. е. выражение (4.15),
то из / — /0 = |/ — /0|*=о ехр (— Их) видно, что т—это время, в тече¬
ние которого разность / — f0, уменьшается в е раз по сравнению с пер¬
воначальным значением. Следовательно, время т показывает, насколь¬
ко быстро система частиц приходит к равновесию, а это и есть время ре¬
лаксации.По определению, т — функция скорости частиц т (k) или их энер¬
гии т (Е).Использование понятия времени релаксации представляет собой
приближение, которое достаточно строго обосновано лишь при выпол¬
нении двух условий: если столкновения частиц упругие, т. е. измене¬
ние энергии носителей заряда при столкновении мало (АЕ £), и
если время рассеяния зависит только от угла рассеяния.В ряде случаев процесс рассеяния не описывается скалярной величиной вре¬
мени релаксации. Так, если поверхности постоянной энергии не сферы, а эллип¬
соиды, то время релаксации оказывается уже тензором второго ранга;В случае еще более сложного закона дисперсии, например, в беи Si дыроч¬
ного типа электропроводности, понятие времени релаксации вообще невозможно
строго ввести и теория кинетических явлений значительно усложняется. В дан¬
ной книге она не рассматривается.Таким образом, если время релаксации можно ввести, то оно будет
функцией энергии т (£), или, что то же самое, х (k). Если т (Е) подста¬
вить в (4.30) и в качестве /0 взять, например, функцию Ферми —
Дирака, то после интегрирования (4.30) можно получить окончатель¬
ное выражение о.Поэтому дальнейшее рассмотрение кинетических эффектов можно
выполнить лишь после изучения различных механизмов рассеяния,
каждому из которых присуще свое выражение для времени релакса¬
ции т (£).§ 4.3. Рассеяние носителей заряда на ионизированных
примесяхПроцесс рассеяния представляет собой искривление трактории дви¬
жения носителя заряда под влиянием сил, действующих на электрон
или дырку со стороны рассеивающего центра. Если таким центром яв¬
ляется положительный ион донора, то рассеивающей силой будет ку-
лоновский потенциал(4.32)где и — диэлектрическая постоянная; г — расстояние, отсчитывае¬
мое от центра иона.Графически отклонение электрона и дырки в кулоновском поле ио¬
низированного донора изображено на рис. 4.3. Предположим, что элект¬
рон начинает свое движение из бесконечности со скоростью о по прямо-95
Рис. 4.3. Рассеяние электрона и дырки ионом
примесилинейной трактории. Рас¬
стояние, на котором про¬
шел бы электрон мимо
иона, если бы он не откло¬
нялся, называют прицель¬
ным расстоянием (на
рис. 4.3 обозначено буквой
Ь). На этом же рисунке по¬
казана траектория дырки,
начавшей движение с той
же скоростью и с тем же
прицельным расстоянием Ь.Из уравнений траекторий
движения электрона и дырки следует, что при равенстве эффективных
масс углы отклонения 0 также равны.Задача заключается в том, чтобы вычислить зависимость угла 0 от
прицельного расстояния b и скорости v. Понятно, что чем выше ско¬
рость, тем более вероятно проскакивание электрона без рассеяния, т.е.
с увеличением скорости рассеяние должно происходить на меньшие уг¬
лы 0. Аналогично должно действовать и увеличение прицельного рас¬
стояния. Это видно и из формулы (4.32). На больших расстояниях рас¬
сеиваемого носителя заряда от иона (увеличение г) уменьшается значе¬
ние рассеивающего потенциала. Подобная задача рассматривалась
Резерфордом при анализе рассеяния а-частиц в веществе. Им было ус¬
тановлено, что величины 0, & и и связаны соотношениемМожно показать, что в кулоновском поле донора дырка движется
по гиперболе, как это изображено на рис. 4.3, и ее прицельное расстоя¬
ние выражается точно такой же формулой. Это же выражение справед¬
ливо и для рассеяния электрона на доноре, когда потенциальная энер¬
гия притяжения равна (4.32) со знаком минус.Движение по гиперболе при этом, конечно, будет лишь в случае, ког¬
да полная энергия электрона /га/®/2+ U (г) > 0.Сделаем два предположения, которые понадобятся для дальнейшего
рассмотрения процесса рассеяния носителей заряда на ионах примеси.
Будем считать, что:1)	примесные ионы распределены по кристаллу хаотически и при
таком случайном распределении, например по Гауссу, наиболее вероят¬
ное расстояние между примесными атомами(4.33)2)	электроны экранируют положительно заряженные доноры на
некотором расстоянии и за счет этого рассеивающий кулоновский по¬
тенциал как бы обрезается на этом расстоянии — радиусе экранирова¬
ния.Если в плоскости, проходящей через центр иона А, перпендикуляр¬
но направлению скорости v выделить кольцо, ограниченное радиусами96
b и b + db, то все электроны, которые пересекут это кольцо, отклонят¬
ся на углы, заключенные в интервале 0 и 0 + dQ. Площадь кольца
2nbdb представляет собой такую площадь при попадании, в которую
электроны рассеиваются. Эту площадь называют дифференциальным
поперечным сечением рассеяния и обозначают о (0) dQ, где dQ — телес¬
ный угол:(4 34)
Отсюда следует, чтои из (4.32) имеем(4.35)поэтому(4.30)(4.37)Определим полное сечение о, как интеграл о (0) по всему телесному
углу:Установим связь между а (0) и вероятностью рассеяния W. Пусть
в объеме V имеется кулоновский центр и N электронов, движущихся
в одном направлении со скоростью о. В 1 с на этот центр упадет потокэлектронов, равный р у. Полное число электронов, рассеянных в 1 сна угол между 0 и 0 + dQ, с одной стороны, равно ^ v а (0) dQ, с дру¬
гой — это же число равно NWdQ. Таким образом,(4.38)В реальных кристаллах электроны движутся хаотически. В резуль¬
тате усреднения по всем направлениям скоростей вместо (4.38) получимПравая часть этого равенства имеет размерность с-1. Время релак¬
сации найдем из выраженияЕсли в объеме V имеется N независимо рассеивающихся ионов, тогде nt — концентрация ионов NIV.4 Зак. 1766	97
Подставляя сюда вместо dQ выражение (4.34), получим(4.39)Здесь нижним пределом интегрирования должен быть нуль, но при
этом интеграл обращается в бесконечность. Это можно устранить, ис¬
пользуя второе из сделанных предположений. Тогда сферу действия
каждого иона естественно ограничить половиной среднего расстояния
между ионами, т. е. ЬтйХ — пГ1/3/2 (здесь принята полная ионизация,
т. е. nt — Nд), или, подставляя это в выражение для Ь, найдем(4.40)0 0 0
Заменяя в (4.39) (1 — cos 0) и sin 0 на 2 sin2 -j и 2 sin cos j нподставляя вместо а (0) выражение (4.37), после интегрирования с уче¬
том (4.40) получаем(4.41)Это выражение для времени релаксации при рассеянии на ионах
примеси часто называют формулой Конвелл — Вайскопфа.Учитывая, что mv1!2 = Е, и вводя безразмерную энергию е* =>
= Е /(kT), перепишем (4.41) в виде(4.42)Здесь произведена замена т на т*. Логарифм в (4 42) функция сла¬
бая, так что практически время релаксации(4.43)Мы проанализировали рассеяние на ионах в классическом рассмот¬
рении. Квантово-механическое рассмотрение и более строгий учет эк¬
ранирования приводят к выражению:(4.44)(4.45)(4.46)
Формула (4.44) носит название формулы Брукса — Херринга.
Функция g (т)) является медленно меняющейся при изменении г| в ши¬
роких пределах, поэтому по-прежнему можно пользоваться формулой
(4.43), в которой(4.47)§ 4.4. Рассеяние на нейтральных примесяхРассеяние на нейтральных примесях можно рассматривать как рас¬
сеяние электронов (или дырок) на атоме водорода, погруженного в сре¬
ду с диэлектрической постоянной и. Тогда рассеяние можно предста¬
вить так, как это показано на рис. 4.4. Рассеиваемый электрон /, по¬
падая в сферу действия нейтрального атома, сталкивается с ним и вы¬
бивает электрон 2, принадлежащий до этого атому. Потеряв свою
энергию, рассеиваемый электрон остается в атоме, а выбитый, получив
энергию, движется уже вовсе не по той траектории, которой обладал
первый электрон. Так как электроны не различимы, то для внешнего
наблюдателя акт обмена местами электронов воспринимается как акт
изменения траектории электрона, т. е. рассеяние.Процесс осложняется и тем, что рассеиваемая частица своим полем
вызывает у атома индуцированный момент электрического диполя, ко¬
торый, в свою очередь, создает электрическое поле, действующее на
рассеиваемую частицу.Расчет сечения рассеяния и времени релаксации тдг в этом случае
представляет собой сложную задачу, решаемую лишь численными ме¬
тодами. Для времени релаксации при учете электронного обмена и
индуцировании электрического момента диполя у рассеивающего ато¬
ма получаем(4.48)где N0 — концентрация нейтральных атомов примеси в кристалле при
данной температуре.Характерной особенностью рассеяния на нейтральных атомах яв¬
ляется независимость т# от энергии рассеиваемых носителей заряда и
температуры* Последнее справедливо, конечно, лишь в том случае,
когда N0 не зависит от температуры.Рис. 4.4 Обменное взаимодей¬
ствие при рассеянии электрона
нейтральным примесным ато¬
мом99
§ 4.5. Рассеяние на тепловых колебаниях атомов
кристаллической решеткиПри температурах, отличных от абсолютного нуля, атомы в кристал¬
ле начинают колебаться около своих положений устойчивого равно*
весия. Так как все атомы твердого тела связаны друг с другом упруги¬
ми силами, то колебания любого из них передаются соседнему, и, та*
ким образом, по всему кристаллу во всевозможных направлениях рас¬
пространяются упругие волны.В действительности равновесное расстояние между атомами в кри¬
сталле определяется действием двух противоположно направленных
сил притяжения и отталкивания, которые сложным образом и по-
разному зависят от расстояния между атомами г. Если энергию крис¬
талла U представить в виде суммы U1 энергии сил отталкивания и V2—
энергии сил притяжения, то суммарная функция U (г) будет иметь вид,
показанный на рис. 4.5.Так как ^ (г) быстро спадает с увеличением расстояния между ато¬
мами, то основной вклад в U дают силы притяжения. Функция (/2 (г)
зависит от вида химической связи и различна в разных кристаллах.
Так, например, в ионных и металлических кристаллах £/2 ~ 1/г, в слу¬
чае проявления сил Ван-дер-Ваальса U1/г®, в кристаллах с кова¬
лентными связями — силы притяжения носят квантово-механичес¬
кий характер и не выражаются простой формулой, хотя и они быстро
убывают с расстоянием.Аналитическое выражение зависимости U (г) оказывается слишком
сложным для решения задачи о тепловых колебаниях атомов, поэтому
обычно делается допущение малости колебаний (смещений от равновес¬
ного положения) атомов по сравнению с межатомным расстоянием:
\ип | < а, где ип — смещение n-го атома; а — период решетки.Для простоты сначала рассмотрим одномерную цепочку, состоящую
из атомов одного вида.Сделанное допущение позволяет рассматривать силу взаимодейст¬
вия F между атомами как упругую.Упругая сила, как известно, пропорциональна смещению:где с — упругая постоянная вещества.Знак минус в (4.49) показывает, что
сила F возвращает тело в равновесно* по¬
ложение.(4.50)для силы, действующей между атома¬
ми п и п — 1:Применительно к рассматриваемой
цепочке атомов (рис. 4.6, а) можно
написать выражение для, силы, дей¬
ствующей между атомами пип-f 1:Рис. 4.5. Зависимость энергии
взаимодействия атомов от рас¬
стояния между ними(4.51)100
Рис. 4.6. Колебания атомов
кристаллической решетки:
а — смещения атомов в решетке о
одним видом атомов; б — смещения
атомов в решетке с двумя видами
атомов; в — акустические колеба¬
ния — колебания в фазе; г — опти¬
ческие колебания - колебания в
противофазеРезультирующая сила, действующая на п-й атом,
а уравнение движения п-го атома:(4.52)(4.53)Рассматриваемую бесконечную цепочку с упруго взаимодействую¬
щими атомами можно уподобить струне. Известно, что для бесконечной
струны существует простой тип движения в виде бегущей монохрома¬
тической волны, для которой отклонение струны и от положения рав¬
новесия в точке х в момент времени t будет(4.54)где А — амплитуда; X — длина волны; v — частота колебаний струны.Введя понятия волнового вектора q и круговой частоты © = 2nv,
(4.54) можно представить в виде(4.55)Условимся рассматривать не только положительные, но и отри¬
цательные значения q, тогда получим волны, распространяющиеся как
вдоль положительной оси х (q > 0), так и в противоположном направ¬
лении (q <; 0).Удобнее представить и (х, t) не в виде (4.55), а в комплексной форме:(4.56)В рассматриваемой цепочке атомов координаты атомов фиксирова¬
ны в отличие от непрерывной координаты х в случае струны.Поэтому для атомов кристаллической цепочки примем х — ап, где
а — период кристаллической решетки В этом случае(4.57)101
Подставляя (4.57; в уравнение движения п-го атома (4.53), получаем(4.58)После подстановки (4.57) в (4.53)
Сокращая на	получаем(4.59)Воспользовавшись соотношением(4.59)	можно привести к видуа отсюда следует связь частоты <в с длиной волны Л в виде (4.58).Выражение (4.57) удовлетворяет уравнению (4.53) при любом п.Соотношение (4.58) называют соотношением дисперсии или диспер¬
сионным уравнением.Таким образом, в дискретной атомной цепочке наблюдается диспер¬
сия, т. е. частота колебаний <о, не пропорциональна волновому числу
q, как это имело место для непрерывной струны.Рассмотрим более сложный случай той же одномерной кристалли¬
ческой цепочки, но состоящей из атомов не одного, а двух видов с раз¬
ными массами Мi и М2 (рис. 4.6, б). Узлы /г, заняты атомами с массой
Ми а узлы п2 — атомами с массой Мг. В общем случае будем считать
коэффициент упругой силы, действующей между атомами в положени¬
ях щ и п2, равным Ci, а между атомами в положениях пх и п2 — 1, рав¬
ным с2. Обозначая смещения лГго и п2-го атомов через и'п и и"п, получим
при учете взаимодействия только смежных атомов уравнения движе¬
ния, аналогичные ранее рассмотренному (4.53):Легко убедиться, что этой системе уравнений удовлетворяют соот¬
ношения:Подставляя (4.61) в (4.60), найдем соотношение дисперсии для рас¬
сматриваемого случая:(4.60)(4.61)(4.62)102
гдеИз сравнения законов дисперсии для обоих
типов атомных цепочек видно существенное
различие между (4.62) и (4.58), заключающееся
в том, что для цепочки разных атомов имеет¬
ся два решения ю3. Эти решения графи¬
чески показаны на рис. 4.7. Нижняя кривая
соответствует знаку минус в (4.62), а верх¬
няя — знаку плюс.Таким образом, в цепочке, состоящей из атомов двух видов, диспер¬
сионная кривая распадается на две ветви. Одну из них, ту, для ко¬
торой при q > 0 значение v -> 0, называют акустической, а вторую—
оптической. Эти названия возникли в результате рассмотрения характе¬
ра смещений атомов в обеих ветвях. Оказывается, что в бесконечно
длиной волне акустической ветви (q = 0) два соседних атома в цепоч¬
ке в данный момент времени смещаются в одну сторону (колебания в
одной фазе) (см. рис. 4.6, в). В оптической ветви две соседние частицы
смещаются в разные стороны, т. е. колеблются в противофазе, что пока¬
зано на рис. 4.6, г.В первом случае движение атомов подобно случаю распространения
упругих акустических волн. Этим и объясняется название соответствую¬
щей ветви колебаний. При прохождении света через кристаллы наблю¬
дается сильное взаимодействие его с колебаниями второй ветви, кото¬
рая и получила поэтому название оптической.Если между атомами с массами Мх и М% имеет место ионная связь, то
их смещение в разные стороны приводит к изменению электрического
момента диполя между атомами. Такие колебания называют полярны¬
ми оптическими.Распространим полученные результаты на трехмерные кристалли¬
ческие решетки. Математическая теория в этом случае достаточно слож¬
на. Но качественно картина подобна той, что была рассмотрена ранее.
Если кристалл содержит один атом в элементарной ячейке, то существу¬
ют только акустические колебания, если же два атома, то существуют
еще и оптические колебания.В случае более сложных решеток, имеющих т атомов в ячейке (т > 2) воз*
никает три ветви акустических колебаний, для которых все атомы одной элемен¬
тарной ячейки колеблются вместе как единое целое иЗ(т — I) оптической вег
ви, соответствующие колебаниям атомов внутри ячейки.Колебания атомов кристалла можно рассматривать и иначе, а имен¬
но, с корпускулярной точки зрения. При таком подходе изменение энер¬
гии колебаний (волны) на один квант рассматривается как появление
или исчезновение особой частицы — фонона, имеющего энергию Е = А®
и движущегося со скоростью звука. Фононы обладают импульсом
Р = /jq.Рис. 4.7. Дисперсионные
кривые (о (?) для двух-
атомной цепочки103
Среднее число фононов Пф в одном квантовом состоянии определя¬
ется соотношением(4.63)где Еф — средняя энергия фононов.Отождествляя возникновение фонона с возбуждением осциллятора
и подставляя в (4.63) известное из квантовой механики значение сред¬
ней энергии осциллятораполучаем(4.64)Очевидно, что фононы подчиняются статистике Бозе — Эйнштейна.
Определим диапазон частот, с которыми колеблются атомы крис¬
талла, или энергетический спектр фононов. Если по-прежнему рассмат¬
ривать одномерную цепочку атомов, уподобляя ее струне, то частоты
распространяющихся колебаний будут находиться в интервале:Здесь(4.65)где v — скорость распространения колебаний; L — размеры кристал¬
ла; а — период кристаллической решетки.Вместо максимальной частоты vma, спектр колебаний принято опи¬
сывать так называемой характеристической температурой, или тем¬
пературой Дебая (табл. 4.2):(4.66)Таблица 4.2. Температура Дебая некоторых полупроводниковПолупровод¬никGeSjAlSbGa AsGaSblnPInAsInSbе, к406689370365250420280170Процесс рассеяния электронов на тепловых колебаниях атомов
решетки теперь можно рассматривать как столкновение с фононом.
При таком столкновении должны соблюдаться законы сохранения
энергии и импульса(4.67)где knq — волновые векторы электрона и фонона до столкновения;
к' — волновой вектор электрона после столкновения.Процесс, соответствующий знаку плюс в этих соотношениях, сле¬
дует интерпретировать, как поглощение электроном фонона, а знаку
минус соответствует испускание электроном фонона.104
Таким образом, в некоторых отношениях фононы ведут себя все-таки не так,
как обычные частицы. Во-первых, среднее число фононов зависит от температуры
и, во-вторых, при взаимодействии, например, с электронами или друг с другом
фононы возникают и исчезают. Поэтому они и называются квазичастицами.Поскольку число фононов определяется температурой, то и рассея¬
ние носителей заряда должно зависеть от температуры.Строгий вывод выражения времени релаксации при рассеянии элект¬
ронов на фононах связан с громоздкими вычислениями и проводится
по-разному для рассеяния на акустических и оптических фононах, в
атомных и ионных кристаллах.Приведем лишь окончательные результаты. Так, при рассеянии
на акустических фононах время релаксации(4.68)где с, — упругая постоянная кристалла при продольных колебаниях;изменение края разрешенной зоны Е0 при измененииначального объема V0 элементарной ячейки кристалла при деформа¬
ции. Величина Ех характеризует изменение дна зоны при колебаниях,
т. е. при сжатии и растяжении кристалла.Выражение (4.68) по аналогии с (4.43) запишем в виде(4.69)Сравнение (4.68) с (4.42) показывает, что температурные зависи¬
мости x0l (Т) и тei (Т) существенно различны: в случае рассеяния на
ионах время релаксации растет как Г®/2, а при рассеянии на акусти¬
ческих колебаниях время релаксации уменьшается как Т3/г. Кроме
того, тl и Т| по-разному зависят от энергии рассеиваемой частицы.При рассеянии на полярных оптических фононах следует различать
два случая: ниже и выше температуры Дебая.В случае Т 0(4.70)где Ze — заряд иона; (о0 — частота оптических фононов (о>„ = 2nv0);средняя масса ионов; у — фактор, учитывающий по¬
ляризуемость ионов.В случае Т > 0(4.71)§ 4.6. Рассеяние на других дефектахРассеяние на дислокациях. Существует два механизма рассеяния
носителей заряда на дислокациях. Первый обусловлен полем упру¬
гих напряжений вблизи дислокации. Упругие напряжения вызывают108
локальные изменения объема кристалла, и, следовательно, имеется не¬
которая аналогия с деформацией, которая проявлялась в случае рас¬
сеяния тепловыми фононами.Второй механизм связан с акцепторным характером дислокаций в
таких полупроводниках, как германий и кремний. В кристаллах п-тнпа
дислокация приобретает отрицательный заряд, который должен быть
окружен цилиндрической областью равного положительного заряда и
дислокационная линия создает сильный потенциал, который рассеива¬
ет электроны. Такой механизм рассеяния отсутствует в кристаллах
/>типа.Рассеяние на вакансиях. В первом приближении вакансию можно
рассматривать, как ионизированную примесь. Тогда энергетическая
зависимость времени релаксации не будет отличаться от выражения
(4.43), полученного в § 4.3.Однако если вакансия не заряжена, то рассеивающий потенциал
имеет вид U = А8 (г), где А — постоянная, характеризующая потен¬
циал вблизи дефекта: б (г) — дельта-функция. В этом случае время ре¬
лаксации(4.72)где Nv — концентрация вакансий в кристалле.Зависимость времени релаксации от энергии оказалась такой же,
кзк и в случае рассеяния на акустических фононах.Сложные дефекты. Рассеяние на сложных дефектах почти не изуча¬
лось. Имеются сведения, что дефекты упаковки и границы между кри¬
сталлитами оказывают существенное влияние на рассеяние носителей
заряда. Существует гипотеза, по которой дефекты упаковки рассеива¬
ют даже сильнее, чем дислокации.Электрон-электронное рассеяние. В первом приближении этот вид
рассеяния можно уподобить рассеянию на ионизированных примесях.§ 4.7. Смешанное рассеяние носителей заряда
в полупроводникахВ реальных кристаллах действуют одновременно несколько меха¬
низмов рассеяния. При исследовании того или иного кинетического
эффекта необходимо решать задачу о смешанном рассеянии носителей
заряда. Для этого необходимо выделить основные доминирующие меха¬
низмы рассеяния, а затем, если это удастся, определить их вклад в на¬
блюдаемый кинетический эффект. Необходимо иметь в виду, что вклад
каждого типа рассеяния может весьма сильно меняться с изменением
температуры и концентрации примесей в образце. Чрезвычайно редко
возникает ситуация, при которой один из механизмов рассеяния был
бы намного вероятнее всех других. Если такое положение еще встре¬
чается в беспримесных полупроводниках, то в легированных оно прак¬
тически не реализуется. Чаще проявляются два механизма рассеяния:
на ионах и акустических фононах и на ионах и оптических фононах.10S
Первая пара механизмов должна проявляться в атомных полупровод¬
никах с ковалентными связями между атомами, такими, как Ge и Si.
Вторая должна действовать в полупроводниках с ионной межатомной
связью, в том числе и в соединениях типа AniBv.Каждой из механизмов рассеяния характерен своей вероятностью,
т. е. сечением рассеяния Si и Sl- Вероятность сложного события
есть сумма вероятностей отдельных событий:где тЛ — время релаксации, определяемое k-u механизмом рассеяния.Запишем выражение для т при одновременном действии нескольких
механизмов рассеяния. При этом обратим внимание на то, что все фор¬
мулы для т (е*), полученные в предыдущих параграфах при рассея¬
нии: на ионах (4.43), на нейтральных примесях (4.48), на акустиче¬
ских и оптических фононах (4.68), (4.70), (4.71) и на вакансиях (4.72)——	можно представить в видегде г = 0 — при рассеянии на акустических фононах и на незаряжен¬
ных вакансиях; г — 1/2 — при рассеянии на оптических фононах ниже
температуры Дебая и при рассеянии на нейтральных примесях; г — 1 —
при рассеянии на оптических фононах выше температуры Дебая; г =2—	при рассеянии на ионах примеси.Подставляя (4.75) в (4.73), получим для одновременного действия
акустических фононов и ионов примеси:или, переходя к временам релаксации,(4.73)(4.74)0.75)(4.76)где(4.77)Аналогично для одновременного рассеяния на ионах, и, например,
на оптических фононах выше температуры Дебая время релаксации
Рис. 4 8. Зависимость
концентрации электронов
or времени релаксации
при одновременном рас¬
сеянии носителей акусти¬
ческими фононами и
ионами примесейРис. 4.9. Температурная за¬
висимость времени релак¬
сации при одновременном
рассеянии носителей акусти¬
ческими фононами и ионами
примесейВыражение (4.73) позволяет проанализировать зависимость времени
релаксации от концентрации ионизированной примеси и от температу¬
ры. Подставляя в (4.73) выражения (4.44) и (4.68), получим зависимости,
ход которых показан на рис. 4.8 и 4.9.§ 4.8. Электропроводность полупроводниковВ § 4.2 было получено выражение для удельной электрической
проводимости (4.30) в общем виде. Теперь, после того как найдены
выражения для т при различных механизмах рассеяния, можно про¬
анализировать его до конца. Для этого в интеграле (4.31), заменяя k
на Е и пользуясь отношением Е = й2&а/(2т*), а также переходя к
безразмерной энергии е*, получима так как а = пеи09 где иа — дрейфовая подвижность электронов;
п — их концентрация, определяемая по (3.53), то, сравнивая два по¬
следних выражения, можно написать и выражение для дрейфовой
подвижности:(4.79)103
Подставляя %, соответствующее смешанному механизму рассеяния
(4.76), а в качестве /0 — функцию Ферми — Дирака, получимЭтот интеграл вычислен численно и табулирован в специальной ли¬
тературе. Однако наибольший вклад в значение Ф3 (р.*, а) дает область
е* порядка средней г*. В невырожденном полупроводнике ё* ~ 1, а
в вырожденном е* ~ р*.Проанализируем (4.80) и (4.81). Пусть а2 < (е*)а, что соответствует
случаю, когда носители заряда в основном рассеиваются на тепловых
колебаниях атомов решетки и вклад от рассеяния на ионах примеси
пренебрежимо мал. В этом случае интеграл Ф8 (р.*, а) упрощается и
переходит в интеграл Ферми F0 (ц*). В этом легко убедиться, интегри¬
руя Ф3 по частям. ТогдаЗдесь и далее употреблен дополнительный индекс L для обозначе¬
ния величин, относящихся только к случаю рассеяния на акустичес¬
ких колебаниях атомов решетки.Выражения (4.83) и (4.84) справедливы при любой степени вырожде¬
ния. Если вырождение отсутствует, т.е. р.* <С 0, то (4.83) и (4.84) уп¬
рощаются. Для этого случая воспользуемся аппроксимациями интег¬
ралов F, и Fl/%, справедливыми при р,* <С 0: Fn (р,*) Г (п + 1) х
Хехр (р.*), где Г(п + 1)—гамма-функция, значения которой приведе¬
ны в математических справочниках. В результате получаемЕсли же в (4.83) и в (4.84) положить р.* > 0, то справедлива уже
другая аппроксимация: Fn (р,*) = р.*"+1/(/г + 1) и получатся выраже¬
ния, справедливые для рассеяния на акустических колебаниях в слу-(4.81)(4.80)где интеграл Ф8 (р*, а) имеет вид(4.82)(4.83)и(4.84)(4.85)(4.86)100
чае сильного вырождения. Предоставляем возможность получить эти
выражения читателю самостоятельно (задача 4.3).Рассмотрим теперь противоположный случай: а2 > (е*)2, что со¬
ответствует проявлению только одного примесного рассеяния. Пренеб¬
регая в знаменателе (4.82) е*2, видим, что интеграл Ф3 (jn*,a) перейдетзтеперь в ^5 Fz (ц*), а выражения для удельной электрической прово¬
димости (4.80) и дрейфовой подвижности (4.81) с учетом того, что
ToL-Чг — а*> примут видИндекс i употреблен здесь для обозначения величин, относящихся
только к случаю рассеяния на ионах примеси.Как и при рассеянии на акустических фононах, получим выраже¬
ния для at и u-ot в предельном случае ц* 0:Выражения (4.86) и (4.90) показывают, что подвижность пропорци¬
ональна времени релаксации, т. е. качественно тот анализ смешанного
механизма рассеяния, который был выполнен в § 4.7, можно распро¬
странить и на подвижности. Иными словами, приближенно можно скла¬
дывать не обратные времена релаксации, а подвижностигде k — определяет механизм рассеяния.Поэтому при одновременном действии рассеяния на акустических
колебаниях и на ионах примеси графики зависимости подвижности
от концентрации ионов и от темпаратуры имеют тот же вид, что и т(п) и
т (Т), приведенные на рис. 4.8 и 4.9.§ 4.9. Эффект ХоллаРассмотрим теперь кристалл, помещенный в электрическое и маг¬
нитное поля с напряженностями S \\ Н соответственно (см. рис. 4.1, в).
Градиент температуры вдоль образца по-прежнему будем считать от¬
сутствующим (s/T = 0). Взяв выражение для силы, действующей при
этом на электроны из табл. 4.1, запишем кинетическое уравнение:(4.87)(4.88)(4.89)(4.90)(4.91)(4.92)но
При этом учтено, что Vcf в (4.10) равно нулю из-за того, что
VrТ = 0. Отсюда надо найти С (Е).Вычислим отдельно второй член в левой части (4.92), подставив / из (4.25)
с учетом (4.20):Первое слагаемое в фигурных скобках равно нулю, так как (v [ vHj) ?= 0*
а второе слагаемоеПренебрегая членом второго порядка малости и используя циклическое свой¬
ство скалярно-векторного произведения*, получаем(4.93)Подставляя это выражение в (4,92) и решая его относительно С (Е) с учетом
получаем(4.94)Для решения этого векторного уравнения вспомним, что если имеется урав¬
нение типа(4.96)причем(4.96)так как (b [b, х]) s 0,то, подставляя в правую часть (4.95) вместо х само выражение {4.95), получима используя тождественное преобразование [a [bc]J=b(ac)—с (ab) и выражение
(4,96), получимTenepbj возвращаясь к (4.94), можем записатьТак как с самого начала рассмотрение ограничено малыми полями (силами),
можно разложить (4,97) в ряд по малому параметру ет Н/(m*c)t Кстати, отсюда
получаем критерий слабого магнитного поля: Н т*с/(ет).Разложим (4.97) в ряд и ограничимся членами с первой степенью Н.* [аЫ с as [bcl а (см., например; Смирнов В, И, Курс высшей математики,
т. И, §105, М.~Л„ 1951,Ш
Функция С (Е) будет иметь вид(4.98)Теперь можно подставить полученное выражение для С (Е) в выраже¬
ние для плотности тока (4.29), точно так же, как это делалось выше при
выводе удельной электрической проводимости, и получить(4.99)Первое слагаемое представляет собой обычный электрический ток
через кристалл, а второе — пропорциональное (Н$], отражает прояв¬
ление силы Лоренца, действующей на носители заряда, движущиеся
в магнитном поле. Таким образом, второе слагаемое описывает ток в
направлении, перпендикулярном плоскости S и Н, т. е. холловский ток
Ух- Известно, что(4 100)где <#х = $ у — холловская э. д. с.; R — коэффициент пропорцио¬
нальности, называемый коэффициентом Холла; J — плотность тока,
проходящего через образец в направлении х.Перейдем в (4.99) от векторных величин к компонентам:(4.101)где(4.102)Так как ток через образец проходит только в направлении оси
х (J == J*), то Jv = 0 и из (4.101) получимУчитывая, что $ х — Л а, запишем(4.103)Из сравнения этого выражения с (4.100), получим112(4.104)
или, подставляя сюда а, данную в общем виде в (4.31)00I0- оо1Из (4.104) следует, что произведение Rao должно иметь размерность
подвижности, так как отношение /2//1 имеет размерность времени.
Поэтому можно ввести так называемую холловскую подвижность:(4.105)Дальнейший анализ постоянной Холла и холловской подвижности
проводят так же, как ранее исследовалась удельная электрическая
проводимость и дрейфовая подвижность, т. е. в качестве т принимают
выражение (4.76), а в качестве /0 — функцию распределения Ферми.
Тогда, заменяя k на Е и переходя к безразмерной энергии е*, получим(4.107)
(4.108Vгде интеграл Фа/2 (|л*, а) имеет вид(4.109)Проанализируем холловскую подвижность. Пусть снова а* < (в*)8
(рассеяние только на акустических фононах), при этоми, следовательно,(4.110)из
Отсюда легко получить холловскую подвижность в отсутствие вы¬
рождения (ц* <С 0), воспользовавшись аппроксимациями интеграловF-i/» и/7#:(4.111)В случае действия лишь рассеяния на ионах считаем
Тогда(4.112)a Uxi, соответствующая случаю р* 0, имеет вид(4.113)Проанализируем теперь коэффициент Холла. Сопоставляя (4.107)
с выражением для концентрации электронов (3.53) и комбинируя их,
запишем(4.114)Входящая в это выражение величина А, называемая холл-факто¬
ром, представляет собой следующую комбинацию интегралов:(4.115)Холл-фактор является функцией механизма рассеяния и степени
вырождения, как и другие кинетические коэффициенты.Принимая по-прежнему а* < (г*)2 н а« (в*)8, можно без труда по¬
лучить выражения для А, справедливые при проявлении рассеяния
только на фононах, либо только на ионах:(4.116)(4.117)Полагая в каждом из этих выражений р.* < 0, получимАь = Зя/8 = 1,18,	(4.118)At = 315 я/512 — 1,93.	(4.119)Читатель самостоятельно может убедиться, что при ц* 0 (4.116)
и (4.117) перейдут вAi^At = 1.	(4.120)114
Последние три выражения показывают, что холл-фактор в широком
интервале концентраций носителей заряда и температур несильно отли¬
чается от единицы. Тогда (4.114) приближенно можно записать в виде
соотношенияR = М{пес),	(4.121)играющего чрезвычайно важную роль в физике полупроводников. Оно
показывает, что концентрация носителей заряда может быть найдена
экспериментально измерением холловской э.д.с. и определением коэффи¬
циента Холла (4.100).Выполнив измерения при различных температурах и получив таким
образом зависимость п (Т), удается извлечь информацию и о ширине
запрещенной зоны полупроводника, и о положении энергетических ло¬
кальных уровней, и о концентрации легирующей примеси в кристал¬
ле так, как это было показано в гл. 3. Возвращаясь к рис. 4.1, в, не¬
трудно убедиться, что в зависимости от того, переносится ток J элект¬
ронами или дырками, будут меняться знаки U% на клеммах потенци¬
альной цепи, т. е. по знаку коэффициента Холла можно определить тип
электропроводности кристалла. В этом состоит еще одно важное прак¬
тическое применение измерений коэффициента Холла.§ 4.10. Термоэлектрические явленияПусть в полупроводнике на носители заряда действует лишь одна
внешняя сила — градиент температуры V7\ Так как средняя энергия,
а в слабо легированных полупроводниках и число носителей заряда
возрастают при повышении температуры, то в направлении —V7*
возникает погок зарядов. Если имеет место стационарное состояние и
образец не включен в замкнутую электрическую цепь, то плотность
тока во всех точках образца равна нулю. Это означает, что поток но¬
сителей заряда от VT в кристалле компенсируется другим током, кото¬
рый возникает в нем под влиянием образовавшегося в кристалле поля
%. Электродвижущую силу, появляющуюся при этом на концах полу¬
проводника, называют термоэлектродвижущей силой — термо-э.д.с.Для получения термо-э. д. с. необходимо вычислить разность потенциалов
на концах цепи металл—полупроводник—металл: U = —Jу <fdx, где ф —
электростатический потенциал.При этом возникает трудность, связанная с тем, что на обоих контакта*
между металлическими участками цепи и полупроводником потенциал меняется
скачком из-за контактной разности потенциалов 1/ц.В обоих контактах величины Uu разные, так как Uk зависит от температуры.Однако заменой этого интеграла другим: t/'=J у ^	*pj dx эту трудностьлегко обойти.Действительно, U' — U-\	JVnd*. но уц = 0, так как оба металла врассматриваемой цепи одинаковы и концы цепи находятся при одной и той же
температуре.Следовательно, U' = U. К тому же величина v (ц/е — <р) не претерпевает
скачка в контактах металл—полупроводник, так как условием равновесия в кон¬
такте является равенство электрохимических потенциалов.Поэтому в табл. 4.1 обобщенная сила F*, действующая на электроны, в
Рассматриваемом случае приведена к виду — еу (ср — \х!ё)%115
Теперь, пользуясь выражением для силы Fj при VT Ф 0, приведен¬
ным в табл. 4.1, и, подставляя его в (4.12) с учетом (4.20) и (4.25), за¬
пишем кинетическое уравнение (4.9) в виде(4.122)Хотя в этом случае F* = е%, как и при анализе удельной элект¬
рической проводимости, кинетическое уравнение отличается присутст¬
вием члена vV/, поскольку теперь V/ отлично от нуля из-за \Т Ф 0.Чтобы записать V/ в явном виде, будем, как и раньше, считать до¬
бавку /х к невозмущенной функции малой по сравнению с/0. В этом слу¬
чае(4.123)и кинетическое уравнение приобретает вид, (4.124)или, решая это уравнение относительно С (£), предварительно подста-вив выражение Vk/ из (4.20) и заменяя v на к, получим(4.125)Подставив (4.125) в (4.29), справедливое при действии поля
найдем компоненту плотности тока в направлении оси х:(4.126)В стационарных условиях для разомкнутой цепи Jх — 0, т. е.(4.127)Введем понятие дифференциальной термо-э.д.с.:116(4.128)
т. е. дифференциальная термо-э. д. с. — это полная термо-э. д. с.,
отнесенная к градиенту температуры на образце. Тогда из (4.127)
можно получить(4.129)где k0 — константа Больцмана.Или, перслодя к е* вместо k, получим(4.130)Как и в предыдущих параграфах, принимаем в качестве f0 функ¬
цию Ферми, а вместо т подставляем его выражение в случае смешан¬
ного рассеяния (4.76). Окончательно получаемгде Фа — определен по (4.82), а Ф4 ему аналогичен:(4.131)(4.132)Рассматривая те же частные случаи, что и ранее: а9 < (ё*)2 (рас¬
сеяние на фононах), а аа> (е*)* (рассеяние на ионах), из (4.131) легко
получить при а2 < (е*)г:приВыражение (4.133) при ц* < 0 примет вид(4.133)(4.134)(4.135)
117
В литературе эта формула фигурирует, как формула Писаренко.
При ц.* С 0 (4.134) соответственно принимает вид(4.136)При этом были использованы аппроксимации соответствующих ин¬
тегралов Ферми.Если использовать аппроксимацию, справедливую в другом край¬
нем случае при ц* > 0, то нетрудно убедиться, что и (4.133) и (4.134)
переходят в <xl — а* = 0.Нулевые значения термо-э.д.с. получились из-за грубости аппрок¬
симации, в которой учтен лишь первый член разложения подынтег¬
ральной функции в Fh (ц*). Если воспользоваться более сложной ап¬
проксимацией с учетом второго члена разложения, то получается соот¬
ветственно:(4.137)(4.138)которые совпадают с формулами, ранее выведенными для металлов.Рассмотренное явление образования термо-э.д.с. при приложении
к кристаллу градиента температур носит еще название эффекта Зе-
ебека. Помимо этого эффекта имеют место еще два важных термоэлект¬
рических явления: эффект Пельтье и эффект Томсона.Сущность эффекта Пельтье состоит в том, что при прохождении элек¬
трического тока через контакт двух полупроводников в области их кон¬
такта в дополнение к обычной джоулевой теплоте выделяется (или по¬
глощается) некоторое количество дополнительной теплоты Qn- В от¬
личие от джоулевой теплоты, которая пропорциональна квадрату силы
тока, величина Qn пропорциональна первой степени тока:(4.139где t — время прохождения тока; П — коэффициент пропорциональ¬
ности, называемый коэффициентом Пельтье и зависящий от природы
материалов, образующих контакт. Выделение или поглощение теплоты
Пельтье зависит от направления тока.Явление Томсона заключается в выделении дополнительного коли¬
чества теплоты Qt в однородном проводнике при одновременном дейст¬
вии проходящего тока и градиента температур. Количество теплоты(4.140)тдеШ — коэффициент Томсона.Все три термоэлектрических коэффициента: дифференциальная
термо-э. д. с. а, коэффициенты Пельтье (П) и Томсона (Ш) — связаны
между собой соотношением(4.141)118
§ 4.11. Теплопроводность полупроводниковДо сих пор, рассматривая перенос носителей заряда, его связывали
с прохождением по кристаллу электрического тока. Но поток электро¬
нов сопровождается еще и потоком энергии, т. е. тепловым пото¬
ком W:где dn — число носителей заряда в элементе пространства волновых
чисел:Таким образом,Подставляя в это выражение / (к) в общем виде из (4.25) и интегри-
руя в сферических координатах к, 0, <р, получим* компоненту тепло¬
вого потока в направлении оси х:(4 Л 42)Так как в кристалле имеется градиент температур VT, то С (Е) бу¬
дет определяться тем же выражением (4.125), что и при возникновении
термо-э.д.с.В результате получим(4.143)где для краткости записи обозначено:(4.144)Входящую в (4.143) величину V (е<р) получим из выражения для
плотности тока (4.127). Тогда удельная теплопроводность кв =*
= — WXNT будет иметь вид(4.145)Заметим, что G0 == /„ где 1г — интеграл (4.102), фигурирующий во
всех кинетических эффектах, рассмотренных ранее. Так, выражение
Для удельной электрической проводимости (4.31) можно записать в ви¬
де(4.146)* При выводе считаем, что J Ekf0 (k) rfk8 = 0, так как при отсутствии в нет-
них сил тепловой поток в кристалле отсутствует*119
Разделив (4.145) на (4.146), получим соотношение(1.147)Для многих веществ опытным путем было найдено, что отношение
удельной теплопроводности к удельной электрической проводимости
при данной температуре является величиной постоянной, т. е.(4.148)где постоянная L именуется числом Лоренца, а (4.148) — законом Ви-
демана — Франца.Сравнивая два последних выражения, можно записать(4.149)Для конкретизации полученных выражений подставим в интег¬
ралы Gj время релаксации т (k), справедливое для смешанного рас¬
сеяния (4.76) и функцию распределения Ферми. Тогда, переходя от
интегралов Gt к интегралам Ф;, получим вместо (4.145):(4.150)вместо (4.147)
и вместо (4.149)(4.151)(4.152)Проанализируем подробнее полученные соотношения. Для крат¬
кости будем писать лишь выражения для хв.В случае рассеяния электронов на акустических колебаниях атомов
решетки а2 (е*)2 получим(4.153)Эта формула в случае невырожденного электронного газа при fi*«(0
принимает вид(4.154)При этом, как и раньше в подобных случаях, использованы соот¬
ветствующие аппроксимации интегралов Ферми.При рассеянии на ионах примеси а2 (в*)2. Пренебрегая в знаме¬
нателях интегралов Ф„ величиной е*2, получим из (4.150)(4.155)
которое при (л* < 0 принимает вид(4.156)В суммарную теплопроводность кристалла помимо электронной со-
ставляющей должна входить и теплопроводность кристаллической ре¬
шетки. Такая решеточная часть теплопроводности не связана с перено¬
сом теплоты движущимися носителями заряда. Она связана непо¬
средственно с рассеянием самих фононов.Впервые теория решеточной теплопроводности была развита Дебаем.
Он рассматривал тепловое движение, как совокупность всех возможных собствен¬
ных колебаний тела. Каждое из этих колебаний создает упругие волны, которые
при своем распространении в теле рассеиваются. Центрами рассеяния в этой те¬
ории являются сами же упругие волны. Очевидно, что встреча двух идеально
гармонических волн не может привести к их рассеянию и, следовательно, встре¬
ча таких волн не вызывает никакого теплового сопротивления. Если же имеет
место энгармонизм волн, то волна, встречаясь о флуктуациями плотности (сгу¬
щения и разрежения) в кристалле, меняет направление своего распространения,
т. е. рассеивается. Такое рассеяние создает тепловое сопротивление.Дебай ввел в рассмотрение понятие средней длины свободного про¬
бега / (расстояние, на которое распространяется упругая волна, преж¬
де чем ее интенсивность уменьшится в е раз по сравнению с ее началь¬
ным значением) и получил формулу для хр, аналогичную формуле, вы¬
текающей из кинетической теории газов *:(4.157)гдесу — теплоемкость 1 см3 кристалла; v — средняя скорость распро¬
странения упругих волн в кристалле.По теории Дебая при Т >©, где 0 — температура Дебая, решеточ¬
ная теплопроводность хр должна уменьшаться с ростом температуры
пропорционально 1/7, что подтверждалось опытом.Пайерлс видоизменил теорию Дебая в соответствии с квантовыми
представлениями, рассматривая рассеяние фононов-квантов энергии
колебательного спектра кристалла. Если в кристалле имеется гради¬
ент температуры, то распространение фононов уже не будет равновес¬
ным. Столкновения между фононами упорядочивают их движение, соз¬
давая стремление их к равновесному состоянию. Скорость процесса
восстановления равновесного состояния фоионов определяет теплопро¬
водность. Это аналогично восстановлению электронного равновесия при
рассеянии электронов, описываемого понятием времени релаксации т.Как рассеяние электронов на электронах не изменяет электропро¬
водность кристалла, если нет передачи импульса решетке, так и рассея¬
ние фононов друг на друге не ограничит теплопроводность, если не бу¬
дет передачи импульса всей решетке в целом, т. е. имеет место соотно¬
шение(4.158)* Формула Дебая отличалась лишь численным коэффициентом (1/4 вместо1/3),121
где q, и q2 — волновые векторы фононов до столкновения; q3 — после
столкновения; п=2япЬ—часть импульса, передаваемая решетке. Вели¬
чина п представляет собой вектор обратной решетки, а b — единич¬
ный вектор, возможные направления которого зависят от симметрии
кристалла (см. § 1.3).Такой тип рассеяния Пайерлсом был назван (/-процессом
(Umklapp — процесс переброса).Условие (4.158) накладывает ограничение и на энергию фононов,
участвующих в процессе переброса. Лишь фононы с энергиями, боль¬
шими, чем 60/2, могут испытывать переброс при столкновении. Числотаких фононова тепловое сопротивление(4.159)Здесь / (Т) — функция, описывающая вероятность встречи трех
фононов, которая растет с температурой примерно как Т", где п не¬
сколько больше единицы. Из (4.159) видно, что при стремлении тем¬
пературы к абсолютному нулю теплопроводность должна бесконечно
возрастать. Однако при переходе к низким температурам длина свобод¬
ного пробега фононов уже настолько возрастает, что на их рассеянии
начинают сказываться физические границы самого кристалла. С уче¬
том этого для бесконечно длинного цилиндрического кристалла с иде¬
ально гладкой поверхностью было получено выражение для кр 1Вт/
/(см-град)]:(4.160)где г — радиус кристалла; р (v)—функция, зависящая от средних
скоростей фононов и равная примерно 1,4 для многих кристаллов;
А — константа в законе cv = AT3.Таким образом, теория дает две противоположные зависимости
кр(Т), проявляющиеся в двух крайних случаях: высоких и низких
температур. Графически ожидаемые зависимости ир от температуры
показаны на рис. 4.10.В области максимума кривой хр (Т) необходимо учитывать несколь¬
ко механизмов рассеяния фононов (процессы переброса, границы кри¬
сталла, примеси, точечные дефекты
и др.) по соотношению(4.161)Формулы для каждого из чле¬
нов в (4.161) выведены в ряде тео¬
ретических работ и содержатся в
специальной литературе.Справа от максимума кривой
кр (Т), особенно при Г>0, теория
теплопроводности развита значи¬
тельно хуже. Поэтому эксперимен-122Рис. 4.10. Температурная зависимость
решеточной составляющей теплопро¬
водности полупроводника
таторам для оценки хр при Т >0 при¬
ходится использовать ряд полуэмпири-
ческих зависимостей. Наибольший ин¬
терес представляет формула А. Ф. Иоффе:(4.162)где величина В характеризует степень
ангармоничности и не зависит от темпе¬
ратуры. Значения В различны для раз¬
ных тел, но для веществ с одинаковым
характером межатомных сил связи и
одинаковой кристаллической решеткой
они близки. Эта формула применима,
пока величина I не станет близкой зна¬
чению периода решетки.Соотношение (4.162) можно записать
в развернутом виде, заменив 0 явным
выражением через плотность кристал¬
ла d, сжимаемость х и молекулярный вес Л, а также выразив v через
У Eld, где Е — модуль упругости:Рис. 4.11. Зависимость тепло*
проводности от среднего моле¬
кулярного веса полупроводника(4 163)Из этой формулы следует, что при данной температуре
должен быть пропорционален 1/3 lg А. Действительно, кривые
рис. 4.11, представляющие опытные данные, хорошо ее подтверждают.
Характерно, что с увеличением доли ионной связи хр уменьшается,
что и следует из (4.162), ибо у полупроводников с ионной связью ато¬
мов температуры Дебая ниже, чем у кристаллов о ковалентными свя¬
зями (см. табл. 4.2).Получила распространение также полуэмпирическая формула
Лейбфрида—Шлёмана:(4.164)где у — константа Грюнайзена.Меньшее распространание получили формула Кея, связывающая
теплопроводность кристалла с его точкой плавления, и формула Та¬
вернье, который также нашел связь между х-и Тая.Для полноты следует упомянуть о работе В. П. Жузе, в которой
найдена корреляция между хр и коэффициентом линейного расшире¬
ния б, и о работах, где обоснована связь ир с твердостью кристалла.Более подробное рассмотрение различных полуэмпирических за¬
висимостей хр с различными явлениями содержится в специальных
монографиях, посвященных теплопроводности и теплофизическим
свойствам полупроводников.123
Несколько подробнее рассмотрим влияние примесей на решеточную
составляющую теплопроводности.При высоких температурах (Т >0) влияние примесей на хр было
рассмотрено А. Ф. Иоффе и А. В. Иоффе. Они ввели в рассмотрение по¬
нятие поперечного сечения рассеяния фононов s каждым примесным
центром: s = фа2, где <р — параметр.Если в решетке кристалла содержится N атомов примеси, то пол¬
ное сечение рассеяния S — sN. Число столкновений фононов с приме¬
сями v в кристалле с простой кубической решеткойгде N0 — число атомов основной решетки в 1 см3 кристалла.Тогда(4.165)где к0 и /0 — относятся к чистому беспримесному кристаллу.В эту формулу входит величина ф. Как показали авторы этой фор¬
мулы, если атомы примеси образуют в кристалле раствор замещения,
то q> ^ 1, если раствор внедрения, то ф > 1, а в случае осаждения при¬
меси на дефектах ф < 0.Условием применимости формулы Иоффе является малость кон¬
центрации N по сравнению с N0.Помимо рассмотренных механизмов рассеяния фононов, теплота
в кристаллах может переноситься и рядом других механизмов, на¬
пример за счет диффузии пар электрон—дырка и за счет переноса фо¬
тонов (электромагнитным излучением). Эти механизмы переноса теп¬
лоты играют небольшую роль в обычных полупроводниках.§ 4.12. Термомагнитные явленияПоместим полупроводник с градиентом температуры на нем VT
в магнитное поле Н (рис. 4.12). При этом возникающая сила Лоренца
отклоняет носитель заряда, как и в обычном эффекте Холла, с тойлишь разницей, что движение свободных
носителей обусловлено не внешним элек¬
трическим полем %, а полем V (ф — р/е)
аналогично возникновению термо-э. д. с.
Появляющаяся в этом случае дополни¬
тельная электродвижущая сила	в
направлении оси у носит название э. д. с.
Нернста—Эттингсгаузена (Н—Э). Ее яв¬
ный вид найдем из выражения для J, кото¬
рое, в свою очередь, определим, как и
прежде, по (4.28) при подстановке С (Е).Рис 4.12. Возникновение
термомагнитных эффектов124
Таким образом, по-прежнему, задача сводится к отысканию необхо¬
димого С (Е). Для этого, используя соответствующее выражение для
Fj (см. табл. 4.1), запишем кинетическое уравнение:(4.166)В левой части этого уравнения сделаем преобразование с помощью
(4.93) и (4.123). При этом (4.166) примет видЗаменяя в этом выражении v на ^ к и решая его относительно
С (Е), получим(4.167)где Р представляет собой сокращенную запись(4.168)Выражение (4.167) имеет тот же вид, что и (4.94). Решая его тем же
методом, получим(4.169)В случае эффекта Н—Э ограничимся слабым полем Н, тогда по
аналогии с (4.98) получим(4.170)Подставляя это выражение в (4.28) и переходя от векторов к ком¬
понентам, запишем составляющие J по координатным осям:(4.171)125
где коэффициенты аь а2, Ьг, Ьг имеют вид:(4.172)(4.173)(4.175)(4.174)Нетрудно убедиться, что (4.171) включает и ранее рассмотренные
кинетические эффекты. Так, полагая ЧТ = 0 (при этом V[i = 0) и
Н — 0, легко получить (4.30), а следовательно, и ст.Полагая в (4.171) \Т = 0, Н Ф 0, получим систему из двух урав¬
нений, совпадающую с (4.101) и соответствующую эффекту Холла.Если в (4.171) считать Н = 0, но VT Ф 0, то из Jх — 0 легко най¬
ти V* (—ф), а значит, и дифференциальную термо-э. д. с. а, т. е.
(4.128).Таким же образом получим так называемую постоянную Н—Э Q1,
которую определим из соотношениягде $у показано на рис. 4.12, а индекс _L показывает, что вектор маг¬
нитного поля Н перпендикулярен градиенту температуры VT.
Эффект Н—Э считаем изотермическим, т. е. VУТ = 0. Поэтомуи, сравнивая это выражение с (4.176), после подстановки коэффициен¬
тов (4.172)—(4.175) получим(4.178)(4.176)(4.177)Из (4.171) легко найти
Поскольку ограничились действием слабого магнитного поля, то вто¬
рым слагаемым в знаменателе (4.178) можно пренебречь.Для дальнейшего анализа (4.178) поступим так же, как и при ис¬
следовании других кинетических коэффициентов. Подставим в интег¬
ралы вместо /о функцию распределения Ферми, а вместо т его выраже¬
ние для смешанного рассеяния (4.76). Переходя от k к г*, получим(4.181)(4.182)а интегралы Фз, Ф4, Ф9/2 были определены в предыдущих параграфах.При а2 < (е*)2, т. е. в отсутствие примесного рассеяния, (4.181)
примет вид(4.183)Если при этом еще положить ц* 0, то получим хорошо известное
выражение, справедливое для чистых и слабо легированных полупро¬
водников:(4.184)или, с учетом, напрпмер (4.111), перепишем (4.184) в виде
или, учитывая (4.81):(4.185)(4.186)где «хо и ы„о — холловская и дрейфовая подвижности электронов в
чистом или слабо легированном полупроводнике.Отметим, что обычно в литературе приводится именно последняя
формула без указания того, какая подвижность в нее входит.В противоположном предельном случае, когда носители рассеива¬
ются на ионах примеси о3 > (е*)а, (4.181) примет вид(4.187)которое при ц* < 0, в свою очередь, дает(4.188)
127
или, используя <4.113) и (4.90), получим(4.189)(4.190)В случае сильно легированных полупроводников (р* > 0)(4.191)(4.192)Обратим внимание на то обстоятельство, что в зависимости от меха¬
низма рассеяния величины Qt и Qt имеют различные знаки. Именно
по этой причине экспериментальное изучение эффекта Н—Э нашло
широкое распространение. Правда, И. М. Цидильковский показал,
что отрицательный знак Q/ однозначно характеризует рассеяние на
ионах лишь в полупроводниках с параболичной зоной. В случае полу¬
проводников типа InSb, у которого зона проводимости значительноотклоняется от параболичной, т. е. Е Ф —, знак эффекта Н—Э непозволяет определить механизм рассеяния.Кроме определения преимущественного механизма рассеяния, дей¬
ствующего в кристалле, из исследования коэффициента Н—Э, как это
видно из приведенных формул, можно непосредственно определять
подвижность носителей заряда. Для монокристаллических полупро¬
водников это вряд ли имеет смысл, ибо измерения эффекта Холла и
удельной электрической проводимости осуществить методически зна¬
чительно проще. Но в поликристаллических образцах межкристаллит-
ные прослойки (если их химический состав отличается от состава зе¬
рен) значительно слабее будут влиять на эффект Н—Э, чем на величи¬
ну а. Поэтому эффект Н—Э может оказаться полезным для определе¬
ния подвижности носителей в поликристаллических образцах полу¬
проводников с плохо проводящими прослойками. И наоборот, совпаде¬
ние значений подвижностей, найденных из эффекта Н—Э, и по форму¬
ле и = Ro свидетельствует о неизменности химического состава кри¬
сталлов полупроводника и межкристаллитных прослоек.Из других термомагнитных эффектов следует упомянуть продоль¬
ный эффект Нернста, принцип возникновения которого иллюстриру¬
ется рис. 4.12. Так как значения этого эффекта почти на порядок мень¬
ше, чем значения поперечного эффекта Н—Э, то продольный эффект
почти никогда не применяется для получения информации о свойствах
полупроводника.§ 4.13. Другие кинетические эффектыИз содержания предыдущих параграфов ясно, что, комбинируя
различные внешние силы, действующие на кристалл, можно получать
различные кинетические эффекты. Некоторые из них приведены в128
табл. 4.1 • Всего же теоретически возможно существование 560 эффек
тов! Из не рассмотренных явлений упомянем еще лишь некоторые-
Магнитосопротивление — изменение удельного со
противления в магнитном поле:(4.193)где ро — удельное сопротивление в отсутствие магнитного поля; рн —
удельное сопротивление при воздействии магнитного поля напряжен¬
ностью Н.Этот эффект возникает при тех же условиях, что и эффект Холла,
т. е. при прохождении через кристалл тока и приложении поля Н пер¬
пендикулярно вектору тока.Величина Ар/р0 определяется подвижностью носителей заряда и
напряженностью магнитного поля:(4.194)где X — кинетический коэффициент магнитосопротивления, являю¬
щийся подобно любому кинетическому коэффициенту функцией време¬
ни релаксации, т. е. функцией механизма рассеяния.Выражение (4.194) легко получить из системы уравнений (4.101). Из
второго уравнения этой системы следует найти выражение для $у (при Jy = 0)
и подставить в первое уравнение. Сравнивая эатем полученное выражение для
тока Jx с известным J = о#, определим удельную электрическую проводимость
Off в присутствии магнитного поля, после чего уже легко найти и До/о„ или
Лр/ Ро-Эффект Маджи Риг и—Л е д ю к а — изменение элект¬
ронной доли теплопроводности в поперечном магнитном поле. Этот
эффект аналогичен магнетосопротивлению.Эффект Риг и—Л е д ю к а. Если грани кристалла поддер¬
живаются при различных температурах и перпендикулярно градиенту
температур приложено магнитное поле, то горячие электроны, движу¬
щиеся от горячей грани к холодной, отклоняются в одну сторону, а
холодные электроны, движущиеся от холодной грани, — в другую. В
результате обе грани кристалла, на которые приходят горячие и хо¬
лодные электроны, имеют разные температуры. Таким образом, воз¬
никает дополнительный градиент температур на образце. Этот гради¬
ент перпендикулярен основному градиенту температур и магнитному
полю. Кинетический коэффициент эффекта Риги—Ледюка связан с
удельной электрической проводимостью и теплопроводностью и явля¬
ется функцией механизма рассеяния.Большинство кинетических эффектов хотя и рассмотрены теорией,
не используются на практике, ибо основная информация — механизм
рассеяния и концентрация носителей заряда — может быть получена
по измерениям лишь нескольких кинетических эффектов. Поэтому наи¬
большее распространение получило исследование эффекта Холла,
удельной электрической проводимости, удельной теплопроводности,
термо-э. д. е. и поперечного эффекта Нернста—Эттингсгаузена.6 Зак. 1756129
Контрольные вопросы1. Чго такое рассеяние носителей заряда? 2. Какие величины являются
количественной мерой рассеяния? 3. Дайте определение термина «подвижность
носителей заряда». 4 Какие внешние силы приводят к возникновению: а) элек¬
тропроводности; б) эффекта Холла: в) термо-э. д. с.; г) теплопроводности;
д) эффекта Нернста—Эттингсгаузена? 5. В чем сущность метода кинетическо¬
го уравнения? 6. Какие механизмы рассеяния имеют место в беспримесных по¬
лупроводниках? 7. Какие механизмы рассеяния могут проявляться в полупро¬
водниках, содержащих различные дефекты? 8. Что такое температура Дебая?
9. В чем состоит физическая сущность рассеяния носителей заряда нейтральны¬
ми примесями? 10. В чем состоит физическая трактовка рассеяния носителей за¬
ряда дислокациями? 11. По какому закону складываются времена релаксации
при одновременном действии нескольких механизмов? 12. Как связаны коэф¬
фициент Холла и концентрация носителей заряда? 1$. Какие существуют термо¬
электрические эффекты, в чем их физическая сущность? 14. Какова причина
возникновения решеточной составляющей теплопроводности? 15. Какие вы зна¬
ете механизмы рассеяния фононов?4.1.	Пользуясь выражением (4.75), получить самостоятельно выражения
(4.76) и (4.78).4.2.	Пользуясь выражением (4.75), найти формулы для одновременного
действия следующих двух механизмов рессеяния: а) на акустических фононах
и на нейтральных примесях; б) на ионах примеси и на оптических фононах ниже
температуры Дебая.4.3.	Получить из общих выражений (4.83) и (4.84) формулы, справедливые
для акустического рассеяния в случае сильного вырождения,Ответ:4.4 Полагая в (4.87) и в (4.88) \х* » 0, найти выражения для с* и а^
спр вые в случае вырождения для примесного рассеяния,О I в е тг4.5.	Доказать, что при сильном вырождении значение холя-фактора равно
единице независимо от механизма рассеяния. При решении следует воспользо¬
ваться общими выражениями для холл-фактора — (4.116) и (4.117).4.6.	Определить концентрацию носителей заряда в кристаллах, если изме¬
рения коэффициента Холла дали следующие результаты a) R = 2,0-103 см3/Кл;
б) R » 3,1.10* см3/Кл; в) Я =» 6,2 см8/Кл.4.7.	Вычислить фононную составляющую термо-э. д. с. в образце германия
/»-типа, если концентрация электронов в нем составляет 1015, 10*7, 10** см~3.4.8.	Вычислить составляющую термо-э. д. с.> обусловленную рассеянием
на ионах в кремнии, легированном фосфором до концентраций 1Q1®, Ю1*, М5*® см~3«4.9.	Проанализировать возможность определения типа электропроводно¬
сти кристалла по измерению термо-э. д. с,ЗадачиЛитература: [13], [17J — [23].130
Глава 5ОПТИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ§ 5.1 Взаимодействие света с кристаллической средойПри воздействии на полупроводник светом в кристалле происходит
взаимодействие квантов света с обеими подсистемами — атомной и
электронной, составляющими кристалл.Взаимодействие света с атомами кристаллической решетки приво¬
дит к превращению энергии квантов света в энергию фононов, т. е.
при поглощении фотона в кристалле рождается один (однофононное
поглощение) или несколько фононов (многофононное поглощение). Та¬
кой тип взаимодействия получил название решеточного или фононно-
го поглощения.Взаимодействие света с электронной подсистемой весьма разнооб¬
разно. Это прежде всего взаимодействие фотонов с электронами ва¬
лентной зоны, т. е. с собственными электронами атомов, составляющих
кристаллическую решетку. Фотоны определенной энергии способны
отдать свою энергию этим электронам, оторвать их от атомов и пере¬
вести электроны на более высокие энергетические уровни в зоне про¬
водимости.В этом случае фотоны поглощаются в кристалле. Такой вид погло¬
щения называют собственным или фундаментальным.Фотоны могут реагировать и со свободными носителями заряда в
разрешенных зонах, т. е. с электронами в зоне проводимости или с
дырками в валентной зоне. При этом опять-таки энергия фотонов рас¬
ходуется на перевод носителей заряда на более высокие уровни. Такой
вид поглощения света называют поглощением на свободных носителях
заряда.Третий, важный вид поглощения света происходит при взаимодей¬
ствии фотонов с примесными центрами. В этом случае, во-первых, свет
может отдавать энергию электронам этих атомов, отрывать их и пе¬
реводить в зону проводимости (или переводить электрон из валентной
зоны на примесный уровень), а во-вторых, свет может не ионизовать,
а лишь возбуждать примесные атомы.Наконец, имеется так называемое экситонное поглощение света,
при котором в кристалле образуется пара электрон — дырка, связан¬
ная кулоновским взаимодействием.Такую пару впервые исследовал теоретически Я. И. Френкель (1931) и дал
efi название экситон (от англ. ex Italian — возбуждение).При рассмотрении оптических явлений в полупроводниках следу¬
ет различать слабые и сильные взаимодействия фотонов с кристаллом.Если используются относительно слабые световые потоки, а именно
такие, при которых свет (электромагнитная волна) не изменяет ни
спектр носителей заряда, ни фононный спектр в кристалле, то опти¬
ческие характеристики среды не будут зависеть от интенсивности све¬
та В этом случае значение поглощенной кристаллом световой энергииI»
линейно связано с интенсивностью света. Это и есть случай слабых
взаимодействий или случай линейной оптики.При очень больших плотностях световых потоков, например при
облучении полупроводников лазерным светом большой мощности,
возникают специфические явления, связанные с тем, что оптические
характеристики вещества сами уже становятся функционально зави¬
симыми от интенсивности света. Этот случай относят к разделу нели¬
нейной оптики.В данной книге ограничимся рассмотрением линейных оптических
явлений. Рассмотрим общие оптические характеристики кристалла.
Для описания оптических явлений достаточно использовать две ха¬
рактеристики: показатели преломления п и поглощения k.Показатель преломления определяется как отношение скорости
распространения световой волны в вакууме с к ее скорости в кристаллеV.(5.1)Показатель поглощения или коэффициент экстинции определяется
через линейный коэффициент поглощения света а, измеряемый в см-1
и длину волны падающего света К:(5.2)В свою очередь, коэффициент поглощения а отражает число фото¬
нов, поглощенных на единице длины кристалла. Величина п должна
характеризовать преломление световой волны в кристалле с учетом
ее частичного поглощения. Поэтому п является комплексной величи¬
ной:(5.3)где п° — показатель преломления в отсутствие поглощения.Справедливость (5.3) легко установить, используя выражение, опи¬
сывающее изменение электрического вектора % световой волны, рас¬
пространяющейся по кристаллу:(5.4)где %0 — амплитуда волны, прошедшей в образец; со — ее частота. Из(5.1)	и (5.3) найдем \/v и подставим в (5.4), после чего получим(5.5)При k = 0, т. е. в отсутствие поглощения волна, описываемая вы¬
ражением (5.5), переходит в плоскую волну, распространяющуюся с
постоянной амплитудой и фазовой скоростью cln°, что имеет место для
непоглощающих сред.132
§ 5.2. Собственное поглощение света в полупроводникахОбозначим через /0 интенсивность света, т. е. количество световой
энергии, падающее на 1 см2 поверхности кристалла в единицу време¬
ни. Соответственно интенсивность прошедшего через кристалл света
обозначим 1т-Измеряемая на опыте величина, называемая коэффициентом про¬
пускания света Т, определяется как отношение этих интенсивностей:(5.6)Коэффициент пропускания связан с поглощением света, которое
в полупроводниках обычно принято характеризовать не показателем
поглощения k, а коэффициентом поглощения а, введенным в (5.2).
Выражение (5.2) следует непосредственно из (5.5).Действительно, из (5.5) видно, что при k = const амплитуда волны
a	cokx	,00	exp — экспериментально убывает с расстоянием в толще кристал-ла. Так как плотность энергии, т. е. число фотонов в единице объема,
пропорциональна квадрату амплитуды волны, то ослабление интенсив¬
ности света пропорционально ехр ^). Обозначив эту экспонен¬
ту как ехр (—ал;) и используя соотношения со = 2nv и Я = c/v, нахо¬
дим а из формулы (5.2).Таким образом, 1/а — это некоторое расстояние, на котором падаю¬
щая на кристалл интенсивность света /0 (плотность энергии волны)
уменьшается за счет поглощения в е раз.Таким образом,(5.7)Это выражение известно в оптике как закон Бугера—Ламберта.Рассмотрим более подробно физический смысл величины а. Для
этого обозначим число фотонов в единице объема светового пучка как
qv Тогда через 1 см2 поверхности кристалла за 1 с пройдет q = qxc фо¬
тонов. Переносимая ими энергия будет равна qh<o. Соответственно для1	(х) получаем(5-8)Обозначим вероятность поглощения одного фотона некоторым по¬
глощающим центром через а. Если концентрация таких центров
N (см-3), то в слое толщиной dx содержится Ndx центров, поглоща¬
ющих свет. Число поглощенных фотонов в единицу времени(5.9)Интегрирование (5.9) дает(5.10)Умножим равенство (5.10) на энергию фотона Нсз и r соответствии
с (5.8) получим закон ослабления интенсивносш света:(5.11)133
Рис. 5.1. Энергетические потоки
в кристаллическом образце с
учетом многократного отраже¬
ния светаЭто и есть закон Бугера-Ламберта, записываемый обычно через коэффициент
поглощения а в виде (5.7).Сравнение (5.11) с (5,7) позволяет установить равенствоОтсюда следует важный вывод о том, что коэффициент поглощения —
это вероятность поглощения фотона на расстоянии, равном единице
длины. Обратная величина а-1 = (oN)-1, таким образом, имеет
смысл средней длины свободного пробега фотона в поглощающей среде
(кристалле).Выражение (5.7) описывает пропускание света без учета отражения
от освещаемой поверхности кристалла. Если же имеет место частичное
отражение светового потока, то вместо /0 в (5.7) будет фигурировать
величина (1 — R)I0, где R — коэффициент однократного отражения
света, равный отношению интенсивности отраженной световой волны
Ir к интенсивности падающей волны /0:Таким образом (1 — R) характеризует долю световой энергии, во¬
шедшую через освещаемую поверхность внутрь кристалла. В реаль¬
ных кристаллах конечной толщины свет отражается не только от ос¬
вещаемой поверхности, но и от противоположной ей, другой поверх¬
ности плоского образца. В результате в толще образца свет испыты¬
вает внутреннее многократное отражение. На рис. 5.1 показаны све¬
товые потоки в образце при многократном отражении. После каждого
акта отражения интенсивность прошедшего света уменьшается и в
конечном счете значение /г определяем как сумму убывающей гео¬
метрической прогрессии(5.12)(5.13)(5.14)что после операции суммирования дает(5.15)134
Вероятностный характер а позволяет представить полный коэффи¬
циент поглощения света кристаллом в виде суммы парциальных ко¬
эффициентов поглощения at (вероятности независимых процессов скла¬
дываются):(5.16)где i — число центров поглощения разной природы, различающихся
вероятностью поглощения света.Полная спектральная зависимость коэффициента поглощения в
таких материалах, как Ge и Si, показана на рис. 5.2. Здесь построена
зависимость а от энергии кванта Йсо. Часто спектральную зависимость
коэффициента поглощения представляют в виде кривой а (X), где к —
длина волны падающего света (см. рис. 7.1, а). Обе кривые a (hiо) и
а (Я) разнозначны, ибо между энергией и длиной волны имеется про¬
стое соотношение:(5.17)Здесь Е = На выражена в эВ; X — в мкм.Для объяснения кривой а (Нсо) обратимся к зонной диаграмме по¬
лупроводников типа германия (рис. 5.3). Если энергия кванта падаю¬
щего света достаточно велика для того, чтобы вырвать электрон из
валентной зоны и перебросить его в зону проводимости (Йш ^ Eg)t
начинается быстрый рост коэффициента поглощения. Так как абсо¬
лютный минимум зоны проводимости смещен по оси k относительно вер¬
шины валентной зоны, то переброс электрона происходит с изменением
его первоначального значения квазиимпульса. Такое изменение тре¬
бует участия в процессе переброса кроме фотона и электрона еще и
какого-либо третьего тела, которое заберет часть импульса на себя.
Таким третьим телом может быть фонон или ион примеси. Переходы с
участием третьего тела называют непрямыми.Дальнейшее увеличение энергии падающих квантов света до зна¬
чения Йсо = Е{) (см. рис. 5.3) вызывает прямые переходы, т. е. непосред¬
ственный переброс электронов из верхней части валентной зоны на уров¬
ни в зоне проводимости, лежащие при том же значении квазиимпульса k.На кривой a (hoy) (см. рис. 5.2) при этом наблюдается излом с даль¬
нейшим резким возрастанием а. Если энергия квантов падающегоРис. 5.2 Спектральная зависимость ко¬
эффициента поглощения света в полу¬
проводнике:N — концентрация примесейРис. 5 3. Прямые и непрямые
оптические переходы135
света настолько мала, что они не могут перебрасывать электроны из
валентной зоны в зону проводимости, электроны могут совершать пе¬
реходы внутри разрешенной зоны, также приводя к поглощению све¬
та. Это так называемое поглощение свободными носителями. Этот вид
поглощения проявляется тем сильнее, чем более легирован полупро¬
водниковый материал (левые участки кривой на рис. 5.2).В общем случае коэффициент поглощения а является функцией
частоты (длины волны) света, концентрации носителей заряда и свойств
полупроводника. В частных случаях прямых и непрямых переходов
или при различных механизмах рассеяния носителей заряда при по¬
глощении свободными носителями зависимости а (йсо) имеют различ¬
ный вид.Рассмотрим кратко основные отличия различных видов поглоще¬
ния света.Собственное поглощение. Характер спектральной зависимости ко¬
эффициента поглощения определяется двумя факторами: зависимостью
плотности состояний от энергии в обеих разрешенных зонах и зависи¬
мостью вероятности перехода W. В квантово-механической теории пе¬
реходов выводится выражение для а (Е), имеющее вид(5.18)где А — коэффициент пропорциональности; /k.i^ — сила осциллятора
для перехода из состояния с волновым вектором кг в валентной зоне
в состояние с в зоне проводимости; Nif (Е) — комбинированная плот¬
ность состояний, участвующих в оптическом переходе.В свою очередь, сила осциллятора является величиной, пропор¬
циональной вероятности перехода:(5.19)Дальнейший анализ сводится к рассмотрению энергетических за¬
висимостей, т. е. зависимостей от /ко, величин, входящих в (5.18) для
оптических переходов разного типа.Прямые переходы. Пусть электрон из начального состояния в ва¬
лентной зоне с волновой функцией поглотив квант света, перехо¬
дит в состояние с волновой функцией tyfkf в зоне проводимости.Будем считать импульс фотона А’ф значительно меньшим импульса
электрона в начальном и конечном состояниях:(15.20)Это предположение не выполняется лишь в некоторой области не¬
посредственно вблизи потолка зоны. Так, для Si при энергии фотона
в 1 эВ соотношение (5.19) справедливо для состояний в валентной зо¬
не, удаленных от вершины зоны уже на 10-5 эВ. Тогда закон сохране¬
ния импульса при прямом переходе приобретает вид(5.21)133
Полное число прямых переходов получается суммированием по всем
состояниям, для которых справедлив закон сохранения энергии с уче¬
том зависимости вероятности перехода от энергии. Очевидно, что при
любой зависимости Е от k в начальной и конечной зонах каждому со¬
стоянию в валентной зоне с данным значением вектора kj соответствует
только одно состояние в зоне проводимости с тем же значением векто¬
ра kj. Таким образом, энергии электрона в начальной зоне Е% ив ко¬
нечной зоне Ef однозначно определяются энергией фотона. В простей¬
шем частном случае изотропных зон с квадратичным законом диспер¬
сии при данной энергии фотона в процессе прямых переходов прини¬
мают участие только состояния, расположенные на сферах с энерги¬
ями(5.22)где nti и rnf — эффективные массы плотности состояний начальной и
конечной зон;(5.23)Схема энергетических поверхностей в пространстве, иллюстрирую¬
щих прямые переходы, приведена на рис. 5.4. Плотность состояний в
валентной зоне в интервале энергий от Et до Et + dEt без учета спина
по аналогии с (3.50)(5.24)На рис. 5.4 наглядно показано, что именно эта плотность состояний
участвует в прямых переходах при энергиях фотонов, заключенных
в интервале Йю-ч-Й (со + rf«). Поэтому, используя (5.22) и (5.24), мож¬
но представить комбинированную плот¬
ность состояний Nlf(E) в виде(5.25)где Е определено выражением (5.23).Для анализа энергетической зависимо¬
сти вероятности прямого перехода разло¬
жим ее в ряд в окрестности значений к0:(5.26)Следует отметить, что прямые переходы в
точке к0 подразделяются на разрешенные
и запрещенные. Для первых W (к0) Ф 0,1ЭТРис. 5.4. Схема энергетиче¬
ских поверхностей в Е— к
координатах, иллюстрирую¬
щая прямые переходы
для вторых W (к0) = 0. Поэтому для разрешенных переходов можно
в (5.26) ограничиться первым членом. Тогда сила осциллятора fkfkf
будет постоянной величиной, не зависящей от энергии Е — Но». Для
запрещенных переходов первое слагаемое в (5.26) обращается в ноль,
а при подстановке второго слагаемого в (5.19) получаемПодставим теперь полученные энергетические зависимости величин
Мц и fkjkf в (5.18), заменив Е на ftco, и найдем спектральные характе¬
ристики коэффициента поглощения в случаях прямых разрешенных
и прямых запрещенных переходов соответственно:Эти выражения справедливы для параболичных зон. Отклонение от
параболичности начальной и конечной зон может быть учтено введе¬
нием в (5.22) и соответственно в (5.25) эффективных масс, зависящих
от энергии.Заметим, что для всех полупроводников эффективная масса электро¬
нов обычно существенно меньше эффективной массы дырок. С учетом
этого обстоятельства из (5.22) следует, что энергия дырок составит
лишь небольшой процент от энергии, определенной в (5.23). Так, для
Ge, у которого вблизи к = 0 т„ = 0,036то и т*р = 0,34то энергия
дырок составит всего 10% от (На — Eg), т. е. в этом случае можно счи¬
тать, что рассмотрение не выходит за пределы параболического участ¬
ка вершины валентной зоны при рассмотрении края прямых перехо¬
дов.Итак, только непараболичность зоны проводимости, если она су¬
ществует, может обусловить отклонение измеряемой на опыте кривой
а (/ко) для прямых переходов от зависимости (5.28).В случае непараболичных зон энергетическая зависимость вероятно¬
сти перехода определяется степенью отклонения от параболичности и
оказывается достаточно сложной.Таким образом, непараболичность зон проявляется в спектраль¬
ной зависимости двояко: в увеличении плотности состояний по сравне¬
нию с плотностью состояний, определяемой неизменной эффективной
массой, и в увеличении вероятности перехода с ростом энергии. Оба
эти эффекта изменяют коэффициент поглощения в одну сторону и поэ¬
тому их действие не может быть разделено экспериментально одними
только оптическими исследованиями.В этом смысле увеличение вероятности перехода с энергией фор¬
мально равносильно еще большему увеличению плотности состояний
при постоянной вероятности. Это обстоятельство было использовано
Г. Б. Дубровским для описания эффективной плотности состояний о
учетом вероятности перехода путем введения так называемой дейст¬
вующей эффективной массы электронов mRitt.(5 27)(5.28)(5.29)138
Тогда вместо (5.24) будетТак как Ef > Eh то определяющую роль играет структура зоны
проводимости. Вводя тд/ (Ef) вместо пи, полагая на основании (5.22)
Ef « Е (при m* > mf) и используя (5.36), получаем для эффективной
плотности состояний, участвующих в прямых переходах, вместо (5.28)
выражениеКоэффициент поглощения(5.31)(5.32)Отсюда следует, что отклонение наблюдаемой на опыте кривой
а (Е) для прямых переходов вблизи края поглощения от кривой (5.28)
определяет эффективную непараболичность зоны проводимости. По¬
следняя характеризуется зависимостью действующей эффективной
массы от энергии.При сопоставлении экспериментальных кривых а (йо) G теорети¬
ческими (5.28), (5.29) и (5.32) следует помнить, что в сильна легирован¬
ных полупроводниках у когда имеет место фермиевское вырождение в
одной из зон, состояния вблизи экстремума этой зоны оказываются
заполненными носителями заряда. Поэтсжу край поглощения в этом
случае сдвигается в сторону больших энергий. Этот так называемый
бурштейновский сдвиг, но при сильном легировании проявляется и
другой эффект — сужение запрещенной зоны за счет слияния при¬
месной зоны с краем ближайшей разрещенной зоны. Если этот эффект
значителен, то край поглощения сдвинется в сторону меньших энер¬
гий.Непрямые переходы. Схема, иллюстрирующая непрямые переходы,
показана на рис. 5.5. Переход из начального состояния в зоне i в ко¬
нечное состояние в зоне / можно рассмат¬
ривать как двухступенчатый процесс: элек¬
трон с импульсом kh близким к нулю,
под действием света с энергией hсо совер¬
шает прямой переход в зону проводимости
в виртуальное состояние, а затем рассеи¬
вается каким-либо центром рассеяния и
переходит в конечное состояние / с им¬
пульсом ку.Во многих случаях удобно рассматривать
реальный процесс как последовательную сумму
нескольких других процессов. При этом все про¬
межуточные процессы, хотя и не существуют
реально, но с их введением появляется возмож¬
ность либо лучше понять действительный про¬
цесс, либо описать его количественно. Такие про-Рис. 5.5. Схема энергетиче¬
ских зон, поясняющая про¬
цесс непрямого перехода i —
/ с участием промежуточно¬
го состояния а133
межуточные процессы носят название виртуальных. Соответственно промежу¬
точные состояния частиц называют виртуальными состояниями.Время нахождения электрона в виртуальном состоянии ничтожно,
поэтому для всего перехода в целом имеет место сохранение энергии.
Полная вероятность непрямого перехода Wt определяется уже извест¬
ной нам вероятностью прямого перехода W и вероятностью рассеяния
электрона Ws. Теория дает соотношение:(5.33)где Egо — ширина запрещенной зоны в точке k = 0; Еа, Eg, Ef пока¬
заны на рис. 5.5.Если считать, что We не зависит от частоты фотона, то энергети¬
ческая зависимость полной вероятности непрямого перехода будет
определяться лишь знаменателем в (5.32) и энергетической зависимо¬
стью вероятности прямого перехода W (Е), которая появляется, как
было показано, для запрещенных переходов.Если для полупроводника выполняется неравенство(5.34)(это, например, имеет место в кремнии), то знаменатель в (5.33) мож¬
но положить равным Eg0 — Eg и, следовательно,(5.35)Для определения a (h<o) по-прежнему пользуемся выражением
(5.18) с учетом (5.19). Тогда для невырожденного полупроводника в
случае непрямых разрешенных переходов после подстановки Nif ~ Е2
и W = const получаем(5.36)В случае непрямых запрещенных переходов в (5.18) следует подста¬
вить (5.27) при том же Nif ~ Е%. В результате(5.37)где С и D — коэффициенты пропорциональности.Выражения (5.36) и (5.37) были получены при упрощающем условии
(5.34), которое для большинства полупроводников не выполняется
(оно, например, не имеет места для германия). Это означает, что в об¬
щем случае в (5.36) и (5.37) вместо Н<а фотона должна быть учтена и
энергия фонона /гсоф, участвующего в оптическом переходе электрона:(5.38)В этих выражениях +йо)ф соответствует испусканию фонона при
оптическом непрямом переходе электрона, а —Йсоф — поглощению
фонона.Невыполнение равенства (5.35) приводит в общем случае к возник¬
новению дополнительной энергетической зависимости вероятности Wt.
Вместо одного значения Wt появятся две вероятности: вероятность,140
непрямого перехода с поглощением фонона и вероятность процесса,
идущего с испусканием фонона.Первая должна определяться числом фононов Л/ф — функцией
Бозе—Эйнштейна (3.40), вторая—функцией Л^ф + 1:(5.39)В результате, поскольку а (Йсо) — величина аддитивная 1см. (5.16)],
получаем для непрямых разрешенных переходов:(6.40)Здесь первое слагаемое описывает оптическое поглощение, происхо¬
дящее с поглощением, а второе — с испусканием фононов, энергия
которых Йсоф = £„в (k0 — постоянная Больцмана).Соответственно для непрямых запрещенных переходов можно по¬
лучить аналогичное выражение самостоятельно (см. задачу 5.1).Сопоставление значений a (heо) для прямых и непрямых переходов
показывает, что в случае прямых переходов полупроводники сильнее
иоглощают свет. Это легко понять, так как вероятность процесса, про¬
исходящего с двумя частицами (электрон и фотон), больше, чем с тре¬
мя частицами (электрон, фотон, фонон).§ 5.3. Поглощение света свободными носителями зарядаПо существу, задача о взаимодействии световой волны с газом сво¬
бодных носителей заряда сводится к рассмотрению коллектива сво¬
бодных электронов в переменном электрическом поле частоты to:(5.41)где %0 — амплитуда волны.Эта задача полностью аналогична той, что была рассмотрена в
гл. 4 для постоянного электрического поля % (см. § 4.2, 4.8). Разли¬
чие заключается лишь в том, что в уравнении Больцмана (4.19) сле¬
дует заменить напряженность постоянного электрического поля на на¬
пряженность переменного поля (5.41). Следствием этого (см. задачу
5.2) является отличающееся от (4.25) выражение для неравновесной
функции распределения(5.42)Соответственно и проводимость электронного газа в переменном элек¬
трическом поле оказывается комплексной величиной:(5.43)141
Нетрудно показать (см. задачу 5.3), что вещественная и мнимая части
в выражении для проводимости определяются следующим образом:(5.44)(5.45)При со -+■ 0 а, переходит в статическую электропроводность (4.31), а
03 -v 0, чего и следовало ожидать.В отсутствие вырожденияправая часть (5.44) оказывается пропорциональной концентрации
электронов N и формулу (5.44) можно выразить через N и статическую
проводимость:(5.46)Теперь найдем связь коэффициента поглощения а с комплексной про¬
водимостью а. Для этого обратимся к закону Бугера—Ламберта (5.7).
Продифференцируем обе его части по х и выразим а:(5.47)но d!T!dx — это мощность, поглощенная в единице объема кристалла,
поэтому ее можно записать через удельную проводимость:(5.48)a cava величина 1т равна модулю вектора Умова—Пойнтинга элект>
ромагаитной волны, которой является свет, т. е.(5.49)Поэтому в (5.49) с — скорость света в среде кристалла, равная сп,
где с — уже скорость света в пустоте; п — показатель преломления
света в кристалле.Подставляя (5.48) и (5.49) в (5.47), находим(5.50)или, заменяя а по (5.46)и, как и в (4.85),
В гл. 4 показано, что величины т для электронов и дырок при ком¬
натной температуре составляют 10~u—10-18 с. Следовательно, в диа¬
пазоне частот, ббльших 1013 Гц, выполняется соотношение cot > 1 и
выражение для коэффициента поглощения примет вид(5.52)Таким образом, спектральная зависимость се (йа>) в случае погло¬
щения свободными носителями заряда зависит от энергетической за¬
висимости времени релаксации т (Е), которая различна для разных
механизмов рассеяния.В гл. 4 было показано, что т (Е) можно представить в виде т ~
~ £v-i/2 При разных г в зависимости от механизма рассеяния.Используя эти значения, получим для рассеяния на акустических
фононах (г = 0)(5.53)на оптических фононах (при Т > 0 г = 1):(5.54)на ионах примеси (г — 2):(5.55)При одновременном проявлении нескольких механизмов рассея¬
ния коэффициент оптического поглощения определяется по правилу
аддитивности (5.16).Приведенные выражения показывают, что в зависимости от меха¬
низма рассеяния частотная зависимость коэффициента поглощения
оказывается разной. Интересно, что и концентрационная зависимость
а при этом тоже различна. В случае примесного рассеяния коэффици¬
ент поглощения пропорционален произведению концентраций ионов
примеси и электронов, т. е. квадрату концентрации носителей заряда.
При рассеянии на фононах коэффициент поглощения зависит от кон¬
центрации электронов в первой степени. Именно эти особенности и
позволяют экспериментально отличить тот или иной механизм погло¬
щения света.Выражения (5.53)—(5.55) имеют место в полупроводниках с параболической
зоной проводимости. Отклонение от параболичности приводит к иным зависи¬
мостям а (Ла>). Так, в теории рассмотрен этот случай при рассеянии на ионах
примеси. Это наиболее важно, ибо при малых концентрациях примеси носители
заполняют состояния лишь на самом дне зоны проводимости, где отклонения от
параболичности малы,В результате было получено выражение для а:(5.561Следует отметить, что свободные носители заряда в разрешенных
зонах могут повышать свою энергию под влиянием света непрерывно
из-за квазинепрерывности спектра состояний в этих зонах. Поэтому143
Рис. 5.6. Оптические пе¬
реходы при селективном
поглощении света сво¬
бодными дырками:рт, рл — подзоны тяжелых
и легких дырок соответст¬
венно; Eso — подзона, от¬
щепленная спин-орбиталь-
ным взаимодействием носи¬
телей зарядав спектральных кривых поглощения на сво-
бодных носителях заряда не должно наблю¬
даться никаких особенностей, что и показано
штриховыми линиями на рис. 5.2. Такой тип
спектра называют неселективным. Особенно¬
сти в спектре поглощения на свободных носи¬
телях заряда все же могут появляться, если
полупроводник обладает сложной зонной
структурой. Это наглядно видно на примере
оптического поглощения свободными дырками
в германии и в кремнии. Зонная структура
валентной зоны германия и кремния приведе¬
на на рис. 1.16. На рис. 5.6 схематически по¬
казаны оптические переходы в окрестности
точки к = 0 в валентной зоне такого типа.
Оптические переходы 1—2 между подзонами
тяжелых (рТ) и легких (рл) дырок не имеют
порога, так как обе подзоны соприкасаются в точке к = 0. Переходы
же в отщепленную подзону (Eso) должны иметь пороги поглощения.
Таким образом, в этом виде поглощения, хотя свет поглощается
свободными носителями заряда, но одновременно происходят и
«межзонные» переходы.Полный анализ а (Ясс) в широкой области длин волн света для та¬
кого случая сложен, так как при переходах между подзонами от /ш
зависят и комбинированные плотности состояний, и вероятности пере¬
ходов, входящие в (5.18). Подобный анализ можно найти в специаль¬
ной литературе. Ограничимся иллюстрацией экспериментально наблю¬
даемого спектра поглощения в германии p-типа (рис.5.7). На рисунке
наглядно представлена селективность поглощения при ft со = Eso.Селективное поглощение может происходить и при взаимодействии
света со свободными электронами, если зона проводимости состоит изнескольких близко расположен¬
ных подзон.Близость подзон в зоне про¬
водимости, как, впрочем, и в
валентной зоне, необходима
из-за того, что при Eso & Eg
селективное поглощение сво¬
бодными носителями заряда
трудно наблюдать на фоне
большого собственного погло¬
щения.Рис. 5.7. Спектральная характеристи¬
ка селективного поглощения в герма¬
нии р-типа:/ — 300 К; 2 — 77 к144
§ 5.4. Поглощение света примесными центрамиКванты света могут взаимодействовать с примесными центрами
двояко. Прежде всего — это ионизация примесных центров, т. е. пе¬
ревод электрона, находящегося на примесном уровне, в зону проводи¬
мости, или, наоборот, заброс электрона из валентной зоны на примес¬
ный уровень.При втором механизме поглощения света примесными центрами
энергия фотона расходуется на возбуждение колебаний самого при¬
месного атома.Рассмотрим первый механизм. Для этого рассмотрим некий при¬
месный уровень совместно с зонной структурой кристалла в к-про-
странстве. Для простоты возьмем структуру прямозонного полупро¬
водника (рис. 5.8) и обычной водородоподобной примеси, для которой
радиус локализации электрона равен боровскому радиусу (2.6), «по¬
правленному» на эффективную массу электрона и диэлектрическую
постоянную кристалла.Из принципа неопределенности Д (hk)2a Н получаем область ло¬
кализации основного примесного состояния в к-пространстве равной
Дк = 1/ (2а), т. е. для водородоподобного примесного атома волновая
функция локализованного на нем электрона находится в пределах сфе¬
ры радиуса а, а вне этой сферы она быстро спадает до весьма малого
значения. На рис. 5.8, а показано основное примесное состояние доно¬
ра, протяженность которого в k-пространстве составляет 1/ (2а). На
рис. 5.8, б показано аналогичное состояние акцептора. Величина Дк
в этом случае меньше, так как > ml [см. (2.6)]. Протяженность
возбужденного состояния Дкв примесного центра (рис. 5.8, а) также
меньше, чем Дк из-за того, что боровские радиусы растут с увеличени¬
ем главного квантового числа п.Из рис. 5.8, а легко понять, что в спектре поглощения света долж¬
на наблюдаться относительно широкая полоса примесного поглоще¬
ния за счет переходов «основное состояние — зона проводимости», а
на ее длинноволновом краю (при малых Йсо) будут проявляться болееРис. 5.8 «Размеры» примесного уровня в к-пространстве
оптические переходы уровень — зона проводимости:
а — донорный уровень: б — акцепторный уровень145
узкие линии поглощения, обусловлен¬
ные переходами электронов с возбуж¬
денных состояний примесного центра
в зону проводимости. Этот качествен¬
ный вывод наблюдается эксперименталь¬
но. Для иллюстрации на рис. 5.9 пока¬
зан типичный спектр примесного погло¬
щения полупроводника с мелкими водо¬
родоподобными донорами.Свет может взаимодействовать с уже
ионизированными донорами или акцеп¬
торами. Электронные переходы при по¬
глощении света такого типа показаны на
рис. 5.8, б для случая ионизированного
акцептора. Легко убедиться, что энергии поглощаемых квантов света
должны удовлетворять условиям:Рис. 5.9. Спектр примесного по¬
глощения света кристаллами
кремния, легированного бором(5.57)(5.58)соответственно для ионизированных доноров и акцепторов.Если примесные центры — мелкие, то Ея< а <£ Eg и полоса такого
примесного поглощения должна лежать вблизи края собственного по¬
глощения, частично перекрываясь с электронными переходами зона-
зона.Количественная теория рассмотренных видов примесного погло¬
щения света более или менее разработана для водородоподобных
(мелких) примесных центров.В этом случае(5.59)Из этого выражения видно, что вначале при Йсо < £д_ а, а растет
с увеличением /гсо, затем при Ао> = £'Д] а проходит через максимум,
после чего уменьшается. При этом не надо забывать, что растущая часть
кривой a (ha) может маскироваться электронными переходами в зону
проводимости с возбужденных состояний примесного центра, что и на¬
блюдается на кривой поглощения, показанной на рис. 5.9.Для состояний неводородоподобных примесей строгая теория отсутствует.
Поэтому количественное описание а (Асо) для этого случая затруднено. Тем не
менее часто экспериментальные данные хорошо описываются формулами Луков-
ского, полученными в приближении S-образного потенциала примесного иена
U (г) = А Ь (г), где А определяется энергией основного состояния центра Ef.еде п — показатель преломления кристалла.14о
Первая из этих формул справедлива для переходов электронов из валент¬
ной зоны на локальный центр, а вторая — для переходов с этого центра в зону
проводимости.На рис. 5.8, а кроме переходов электронов в зону проводимости
указан переход из основного Еп в возбужденное состояниеЭто так называемый внутрицентровой переход. Его главная отли¬
чительная черта — резонансный характер поглощения, т. е. такое по¬
глощение имеет место только при условии(5.60)и проявляется в виде узкого пика поглощения на кривой а (/ш), что
и показано на рис. 5.2 в области /гсо, предшествующей собственному
поглощению. Похожий узколинейчатый спектр поглощения света воз¬
никает при втором, упомянутом ранее механизме поглощения. Здесь
энергия квантов света передается примесному атому целиком. Это про¬
исходит при совпадении частоты фотона со с частотой собственных
колебаний примесного атома со„. Об этом механизме поглощения чрез¬
вычайно важно знать технологам, так как для каждого типа примеси
характерен свой вид спектра собственных колебаний. Поэтому иссле¬
дование такого поглощения света является одним из важных приемов
экспериментального обнаружения и идентификации ряда примесей в
полупроводниках.Типичным примером является примесь кислорода в германии и
кремнии. При этом в спектре поглощения появляются характерные
полосы (пики) поглощения. Они обусловлены возбуждением колеба¬
ний связей Ge—О и Si—О. В Ge наиболее интенсивная полоса погло¬
щения, связанная с присутствием кислорода, обнаруживается при дли¬
не волны 11,7 мкм, а в Si — при 9,1 мкм.§ 5.S. Решеточное (фононное) поглощение светаВ отличие от локальных колебаний примесных атомов, в кристал¬
лической решетке существуют делокализованные колебания собствен¬
ных атомов кристалла — фононы (см. § 4.5).При непосредственном расходовании энергии кванта света на
«рождение» одного или нескольких фононов происходит решеточное
поглощениеЕсли образуется один фонон (оЗнофонное поглощение), то законы
сохранения энергии и импульса имеют вид(5.61)где величины без индекса относятся к фотону, а с индексом — к фо-
ьону.Связь частот с волновым вектором фононов (закон дисперсии) была
установлена с помощью формулы (4.62) в § 4.5 и графически показана
па рис.. 4.7 Покажемтеперь дисперсионные кривые еще раз нтермин?х
круговой частоты со и более подробно (рис. 5.10). В отличие от рис. 4.7,
вдесь показано не по одной акустической (А) и оптической (О) ветви147
колебаний, а по две, соответствующие про¬
дольным (LA и LO) и поперечным* (ТА и
ТО) фононам.На этот график надо нанести закон дис¬
персии со (q) фотона и проанализировать точ¬
ки пересечения с кривыми щф, что и будет
соответствовать выполнению условий (5.61).Зависимость со (q) фотона легко найти по
определению:(5.62)где с — скорость света в кристалле.На рис. 5.10 это соотношение показано
штриховой линией. Можно показать (см. за¬
дачу 5.4), что кривая (5.62) не пересекается с кривыми ТА и LA,
т. е. поглощение света не может рождать акустические фононы в
кристаллической решетке. Наоборот, прямая (5.62) пересекает обе
оптические ветви колебаний, т. е. свет может рождать только опти¬
ческие фононы. Поскольку рожденные фонон и фотон по закону
сохранения импульса (5.61) обязаны иметь одинаковые направления
волновых векторов, то свет будет создавать только поперечные ТО-
фононы.Напомним, что световая волна представляет собой поперечные электромаг¬
нитные колебания.На кривой поглощения а (Лео) однофононное поглощение проявля¬
ется в виде узкого пика с относительно большим значением а ж
« 104 см-1 в области Йсо, лежащей в далекой инфракрасной области
спектра,примерно на порядок дальше по длинам волн по сравнению
с узкими линиями колебательного спектра примесного поглощения.Однофононное решеточное поглощение, как явствует из вывода
дисперсионных кривых (§ 4.5), присуще скорее бинарным и более
сложным полупроводникам.В гомополярных полупроводниках типа германия и кремния так¬
же происходит решеточное поглощение света, но оно уже не одно-, а
многофононное. Энергия фотона поглощается в этом случае некоторы¬
ми комбинациями фононов.Подобные комбинации могут включать и оптические фононы в слож¬
ных полупроводниках.Спектральная кривая a (ftco) при многофононном поглощении изо*
билует большим числом узких линий поглощения. Соотношение меж¬
ду частотами этих линий является индивидуальной характеристикой
данного кристалла, что и используется для изучения фононного спект¬
ра полупроводников.Рис. 5.10. Графическое
изображение законов
дисперсии фононов и фо¬
тонов в полупроводнике* От англ. longitudinal — продольный и transverse — поперечный*148
§ 5.6. Экситонное поглощение светаПри рассмотрении собственного поглощения (см. § 5.2) мы счита¬
ли процесс одночастичным, т. е. рассматривали переход электрона из
валентной зоны в зону проводимости и не принимали во внимание об¬
разование при этом дырки.В то же время между электроном и дыркой может существовать
кулоновское взаимодействие. Поэтому наряду с образованием свобод¬
ного газа носителей заряда в разрешенных зонах могут существовать
и связанные пары электрон—дырка. Такое связанное состояние —
экситон можно рассматривать как совместное движение электрона и
дырки, вращающихся синхронно по квантовой орбите вокруг общего
центра тяжести и одновременно движущихся поступательно па кри?
сталлу.Важно отметить, что движение экситона в кристалле происходит следующим
образом: электрон в возбужденном атоме переходит в основное состояние, а вы¬
делившаяся при этом энергия передается валентному электрону соседнего атома
и т. д. Таким образом, движение экситона — это перемещение возбужденного
состояния, а не движение электрона или дырки в отдельности.Каждому возбужденному состоянию атома должен соответство¬
вать экситонный уровень. Число таких возбужденных состояний оп¬
ределяется главным квантовым числом п. Пределом энергетического
спектра экситонов является дно зоны проводимости, которое можно
рассматривать как уровень полностью коллективизированных элект¬
ронов.Энергию связи носителей заряда в экситоне можно определить по
формуле (2.3), поскольку к экситону также применима водородопо¬
добная модель центра:(5.63)где 13,6 — потенциал ионизации атома водорода; п — квантовое чис¬
ло, принимающее значения 1, 2, 3, ...;/ПэК0— эффективная масса эк¬
ситона:(5.64)Отсчет уровня £эк0 ведется от дна зоны проводимости вниз. Значения
Еько составляют сотые доли электрон-вольта. Поэтому экситон может
существовать лишь при низких температурах. В противном случае
тепловой энергии kT достаточно для его диссоциации на свободные
электрон и дырку. Именно поэтому экситоны не образуются термичес¬
ким путем, так как для заброса электрона из валентной зоны нужна
тепловая энергия Ел — £8КС, которая намного превышает Еэно.Светом же легко сообщить электронам энергию(5.65)при низкой температуре кристалла.149
При соблюдении условия (5.65) должен
наблюдаться дискретный спектр поглощения
света, состоящий из серии узких линий, рас¬
положенных у края собственного поглощения
и приближающихся к краю Ес пропорцио¬
нально 1 /п2, а при более строгом анализе —
пропорционально 1 In3.Из-за сложной структуры валентной зоны,
состоящей во многих полупроводниках из не¬
скольких подзон, может образовываться не¬
сколько серий экситонных линий поглощения
(по числу подзон). Пример экситонного погло¬
щения для германия показан на рис. 5.11.Исследование экситонного поглощения ис¬
пользуется для определения Eg.Для этого измеряется разность энергий
Й©2 и htoi ДВУХ экситонных линий с п = 2 и
n = 1. Эта разность позволяет найти(5.66)Рис. 5.11. Пики экситон¬
ного поглощения в гер¬
мании при разных темпе¬
ратурахИ(5.67)Эти выражения предоставляем получить читателю самостоятельно
(см. задачу 5.5).Использование экситонного поглощения для нахождения Eg ока¬
зывается очень важным методическим приемом, так как определение
Eg по краю собственного поглощения часто приводит к ошибкам из-
за необходимости экстраполировать кривую a (ftсо) к нулевым значе¬
ниям а.§ 5.7. Отражение светаКоэффициент отражения света (5.13) связан с показателями пре¬
ломления п и поглощения k известной в оптике формулой Френеля:(5.68)Спектральная зависимость коэффициента отражения R (Я) для та¬
кого полупроводника, как германий /г-типа, приведена на рис. 5.12.
Для других полупроводников кривые R (Я) имеют аналогичный вид.
Эти кривые соответствуют уравнению (5.68). Величины п и k связаны
друг с другом и с диэлектрической постоянной и соотношением(5.69)150
Если рассматривать электрон как осдиллятор, совершающий вынужденные
колебания под действием внешнего поля	то для свободного электронасправедливо классическое уравнение движения:Решение этого уравнения имеет видгде х — атомная поляризуемость, т. е. ориентация атома в поле электромаг¬
нитной волны, определяющей поляризацию единицы объема:где N — концентрация свободных электронов в кристалле.Диэлектрическая постоянная кристалла к и поляризуемость % связаны
соотношениемгде и0 — диэлектрическая постоянная кристалла в отсутствие свободных но¬
сителей заряда.Комбинируя последние три уравнения, получимТак как
постоянной, найдемт. е. формулу (5.69).то, выделяя вещественную часть диэлектрическойДля большинства полупроводников в инфракрасной области спект¬
ра справедливо неравенство со2т2 > 1. Тогда выражение (5.69) пере¬
ходит в(5.70)Из уравнения (5.68) следует, что в точке минимума кривых
(рис. 5.12) имеет место равенство п = 1.Рис. 5 !2. Зависимость коэффициен¬
та отражения от длины волны пада-
ющего света для кристаллов герма¬
ния п-типа с различной концентраци¬
ей доноров. Образцы с концентраци¬
ей (см-3):I — 3,6 • 1019; 2 — 3,2 • 10'9; 3 — 2,5 • 1019;
4 — 1,9 • 10!9- 5 — 1,8 • 10’9; 6 — 1,5 • 10,в
7 — 1,3 • 1019; 8 - 1,2 • 1019; 9 — 8,3 • 1018
10 — 4.5 • 10’8
Если при этом пренебречь величиной k по сравнению с пу то в точ¬
ке Rmla будет длина ВОЛНЫ, которую обозначим ?wmn и по (5.70) най*
дем(5.71)На основании этого выражения посредством измерения Ят)п мож¬
но определять либо концентрацию носителей заряда при известной
эффективной массе т*, либо, наоборот, вычислять т* при известной
концентрации, которую, в свою очередь, можно определить измерением
коэффициента Холла.Левая ветвь кривых рис. 5.12 находится в такой области длин волн,
где поглощением можно пренебречь, т. е. в (5.68) можно считать к =*
=» 0, тогда легко получить слева от Ятти опять это выражение можно использовать либо для определения N,
либо для нахождения т*, но уже не по одной измеренной точке, а по
ряду точек кривых, что, конечно, значительно точнее.В этом состоит интерес самостоятельного исследования отражения
света полупроводниковыми кристаллами в инфракрасной области
спектра.Кроме того, значения коэффициента отражения необходимы для
правильного определения коэффициента поглощения, ибо величина
R входит в формулу для а (5.15).Обращаясь к реальной зонной структуре полупроводников, напри¬
мер к зонной структуре германия (см. рис. 1.16), видим, что в точках
к Ф 0 ширина запрещенной зоны превышает 1 эВ, т. е. в пересчете на
длины волн получаются кванты света, находящиеся в ультрафиоле¬
товой области спектра. Таким образом, изучение R (X) в ультрафио¬
летовой области дает сведения о зонной структуре полупроводника.При отражении света от кристаллической решетки полупроводника,
как и при решеточном поглощении (см. § 5.5), фотоны могут рождать
ГО-фононы или комбинации, состоящие из фононов других типов.
Этот эффект проявляется, так же как и в поглощении, в виде острого
интенсивного пика на кривой R (hui) или R (А.), расположенного при
длинах волн за восходящей частью кривых рис. 5.12. Эффект сильного
отражения в узкой спектральной области (Лш = fuого) получил на¬
звание явления остаточных лучей.§ 5.8. Эффект ФарадеяЭффект Фарадея заключается во вращении плоскости поляризации
световой волны, проходящей через кристалл и направленной парал¬
лельно приложенному к кристаллу внешнему магнитному полю.(5.72)152
Световая волна, как всякие электромагнитные колебания, характеризует¬
ся двумя векторами: электрическим % и магнитным Н, которые неотделимы друг
от друга. Свет от элементарного излучателя распространяется в пространстве
так, что вектор % перпендикулярен направлению распространения световой
волны. Свет, испускаемый макроскопическими телами, состоит из излучений
большого числа элементарных излучателей, расположенных хаотически. Поэтому
в не^ нет преимущественного направления вектора %. Такой свет называют ес¬
тественным. Если же с помощью какого-либо устройства (кристалла, жидкости),
называемого поляризатором, выделяются световые лучи, векторы % которых
имеют определенное направление относительно пути распространения луча,
то такие лучи называют поляризованными.Поляризация может быть эллиптическая, круговая и линейная в зависимо¬
сти от того, какие фигуры описывают концы векторов % и Н в плоскости, пер¬
пендикулярной направлению распространения.Плоскополяризоваиный свет можно разложить на две круговые
поляризации: правополяризованный и левополяризованный свет, в за¬
висимости от того, правые или левые спирали описывает электричес¬
кий вектор в пространстве.В кристалле при наложении магнитного поля право- и левополя¬
ризованные лучи преломляются неодинаково. На выходе из кристалла
световые лучи, складываясь, снова дадут плоскополяризоваиный свет,
но с плоскостью поляризации, повернутой на некоторый угол ft по
отношению к плоскости поляризации первоначально падающего на
кристалл света.Вращение плоскости поляризации количественно характеризуется
углом поворота(5.73)где со — круговая частота; d — толщина образца; пц и гц — коэф¬
фициенты преломления для право- и левополяризованных по кругу
компонентов, на которые плоскополяризованная волна может быть
разложена.Положительное значение О соответствует вращению по часовой
стрелке волны, распространяющейся вдоль направления магнитного
поля в сторону от наблюдателя.В области длин волн инфракрасного диапазона вращение плоскости
поляризации может определяться как свободными, так и связанными
носителями заряда.В достаточно легированных полупроводниках имеет место эффект
Фарадея на свободных носителях заряда. Простой классический ана¬
лиз этого случая показывает, что(5.74)где N — концентрация свободных носителей заряда; В — магнитная
индукция; Я — длина волны; к0 — диэлектрическая проницаемость
вакуума; п — коэффициент преломления падающего на образец света.Вывод этого выражения предполагает выполнение следующих ус¬
ловий:(5.75)153
гдет — время релаксации; юс — частота: <ой = еВ!т*‘, к — показатель
поглощения света образцом.Соотношения (5.75) в полупроводниках выполняются в области
длин волн за краем поглощения.Более строгое исследование эффекта Фарадея на свободных носи-
телях заряда, выполненное в рамках кинетического уравнения Больц¬
мана, дает выражение, в котором учтена зонная структура полупро¬
водника.Для такого полупроводника, как германий, выражение для Ф ока¬
зывается содержащим параметр анизотропии кристаллагде т]| и т\ — продольная и поперечная эффективные массы электро¬
нов в двух взаимно перпендикулярных направлениях в зоне прово¬
димости кристалла. В этом случае(5.77)Для того же германия, но обладающего дырочным типом электро¬
проводности, угол поворота плоскости поляризациигде рТ и р„ — концентрации тяжелых и легких дырок; шт и тл — их
эффективные массы.Характерно, что для связанных электронов (при w > сое)зде (о0 — круговая частота, соответствующая ширине запрещенной
гоны полупроводника.Это выражение справедливо для межзонных переходов. Из него
следует, что квадратичная зависимость О от длины волны в этом случае
уже не имеет места.Отличительными чертами теоретических выражений для О в случае
эффекта Фарадея на свободных носителях являются прямая пропор¬
циональность между #, концентрацией носителей заряда и квадратом
длины волны падающего света, а также обратная пропорциональность
между ф и величиной /п*2. В связи с этим экспериментальное изучение
эффекта Фарадея может представлять двоякий интерес: при известной
эффективной массе по измеренным значениям О может быть определена
концентрация носителей заряда N, либо соотношение между рТ и ря
и, наоборот, если известна концентрация носителей заряда, то можно
найти значение эффективной массы т*.Контрольные вопросы1. Какие существуют взаимодействия света с электронами в полупровод¬
никах? 2. В чем состоит сущность прямых и непрямых оптических переходов?
3. Какие переходы называют разрешенными и запрещенными? 4. Что такое
бурштейновский сдвиг? 5. Каков механизм взаимодействия света с кристал-(5.76)(5.78)(5.79)154
л и ческой решеткой? в. При каких длинах волн в спектре поглощения германия
и кремния обнаруживаются линии поглощения, обусловленные присутствием
примеси кислорода в этих кристаллах? 7. Какова природа поглощения света
примесными атомами? 8. Что такое экситон? 9. В какой области длин волн на¬
блюдается экситонное поглощение света? 10. Какую информацию о свойствах
полупроводника можно получить из исследований отражения света? 11. В чем
сущность эффекта Фарадея?Задачи6.U Найти выражение а (Лео) для непрямых запрещенных переходов, для
чего воспользоваться выражениями (5.42), (5.43) и (5.16).5.2.	Показать отсутствие пересечения кривых (5.68) и (4.о2>.5.3.	Доказать справедливость выражений (5.72) и (5,73), Воспользоваться
для этого условием (5.71) и формулой (5.69),Литература: [13J, [19J, [24J —[27].Глава 6РЕКОМБИНАЦИЯ НОСИТЕЛЕЙ ЗАРЯДАВ ПОЛУПРОВОДНИКАХ§ 6.1. Основные определенияДо сих пор рассматривались концентрации электронов и дырок,
устанавливающиеся при термодинамическом равновесии полупровод¬
ника. Далее всюду эти концентрации обозначим индексом «нуль»: п0
и /?0. Но в полупроводнике можно создать концентрацию носителей за¬
ряда, превышающую равновесную, например действуя на кристалл
квантами света с энергией, большей чем ЕД. Такой световой квант мо¬
жет передать свою энергию электрону и перевести его с примесного
уровня в зону проводимости. Аналогично, свет может перевести элект¬
рон на акцепторный уровень из валентной зоны и образовать в ней дыр-
ку.Если энергия кванта превысит ширину запрещенной зоны Eg, то
свет будет возбуждать одновременно и электроны и дырки, так как при
эгом часть электронов валентной зоны, получив достаточную энергию,
преодолеет потенциальный барьер Eg и перейдет в зону проводимости.Очевидно, что число неравновесных носителей заряда, возбуждае¬
мых светом (или каким-либо другим способом), не может расти до бес¬
конечности. Этому препятствуют обратные переходы электронов в ис¬
ходные состояния. Чем больше создано свободных электронов и ды¬
рок, тем чаще оказываются встречи их друг с другом, т. е. тем вероят¬
нее заполнение электроном свободного уровня и, следовательно, коли¬
чество обратных переходов становится больше.Процесс образования избыточных носителей заряда называют
процессом генерации электронно-дырочных пар. Если генерация пар
происходит в полупроводнике п-типа, то относительное приращение
концентрации электронов в зоне проводимости Anln0 будет невелико,
а приращение концентрации дырок в валентной зоне Ар/р0, наоборот,
будет значительным. При генерации пар в кристалле p-типа имеет155
место обратная картина. Обобщая, можно сказать, что при генерации
пар в полупроводнике с ярко выраженным тем или иным типом элект¬
ропроводности увеличивается концентрация неосновных носителей
заряда. В этом случае говорят об инжекции неосновных носителей за-
ряда.Обратный процесс «сваливания» электронов из зоны проводимости
в валентную зону называют процессом рекомбинации носителей. Почти
все электронные полупроводниковые приборы основаны на явлении
инжекции неравновесных носителей заряда при воздействии на кри¬
сталл внешними силами (световое или электромагнитное излучение
радиочастотного диапазона, облучение частицами и т. д.). Поэтому от
скорости рекомбинации носителей заряда, например, зависит, готов
или не готов кристалл (точнее, прибор) к повторному приему внешне¬
го воздействия, т. е. пришли ли носители заряда в разрешенных зонах
к равновесному состоянию в промежуток времени между импульсами
внешнего воздействия — сигнала. Очевидно, что большей скорости
рекомбинации будет соответствовать способность к приему сигналов,
следующих с большей частотой.Процессы генерации и рекомбинации можно уподобить (как это
делалось ранее с равновесными носителями) некой химической реак¬
ции:(6.1)Эта реакция характеризуется двумя скоростями: скоростью гене¬
рации Ki и скоростью рекомбинации К2-Скорость генерации — число носителей заряда, генерируемых в
1 см9 за 1 с, а скорость рекомбинации — число рекомбинирующих носи¬
телей в 1 см8 за 1 с.Таким образом, в 1 см8 кристалла в 1 с генерируется g() равновес¬
ных электронно-дырочных пар обычным тепловым способом и при воз¬
действии, например, светом — g пар неравновесных носителей заря¬
да.Следовательно, скорость генерации(6.2)За это же время рекомбинирует Kt электронно-дырочных пар,
причем в случае прямой рекомбинации, т. е. такой, которая происхо¬
дит непосредственно между электронами зоны проводимости и дырка¬
ми валентной зоны(6.3)где у — коэффициент пропорциональности, зависящий от свойств по¬
лупроводника, но не зависящий от п и р.В состоянии теплового равновесия, когда Cbei выключен (g = 0),
/С2 = Уп0р0, а так как Ki = К2, то(6.4)156
Когда свет включен (g Ф 0), то в течение некоторого времени
К2 Ф Кг. С течением времени А/С = К2 — Кг убывает до нуля, т. е.
до тех пор, пока число рекомбинирующих пар не уравновесит число
генерируемых пар. Таким образом, Д/С есть не что иное, как изменение
концентрации носителей заряда во времени —dnldt или —dpldt. Знак
минус показывает, что число носителей заряда во времени уменьша¬
ется.Таким образом, используя (6.2)—(6.4), запишем(6.5)Если избыточная концентрация мала по сравнению с равновесной:(6.6)то (6.5) можно упростить. Для этого запишем равенство(6.7)Это равенство легко получить следующим образом. В собственном
полупроводнике и в полупроводнике с полностью ионизированными примесями
выполняется равенство Ап — Ар, т. е.(6.8)Выразим отсюда р и подставим в (tip — «оРо);Теперь подставим сюда п из (6.8):Поскольку величина Дга мала, в квадратной скобке (6.7) ею можно
пренебречь, тогда это выражение принимает видУравнение (6.5) теперь упрощается:(6.9)После выключения света генерация пар прекращается и g = 0. В
этих условиях рекомбинацию описывает уравнение(6.10)где величина у (п0 + р0), зависящая только от свойств полупроводника
и не зависящая от А«, обозначена через 1/т. Из (6.10) видно, что т име¬
ет размерность времени. Рассмотрим физический смысл этой величины.
Для этого обратимся к рис. 6.1, на котором изображено изменение кон¬
центрации носителей заряда в кристалле до и после его освещения. До
времени t0 свет не включен и в кристалле установилась равновесная
концентрация л0. Как только включается свет (t = t0), начинается ге¬
нерация избыточных носителей заряда, причем скорость генерации
превышает скорость рекомбинации. Так будет происходить до тех пор,
пока обе эти скорости не уравновесят друг друга (/ = ti). В кристалле157
установится стационарная концентрация электронов п0. Затем, если
выключить свет в момент времени t — t2, то в результате рекомбина¬
ции концентрация носителей заряда начнет уменьшаться до тех пор,
пока она снова не достигнет первоначального равновесного значения
п$. Спад концентрации п (f) на участке t > t2 описывается уравнением,
которое легко получить интегрированием (6.10)(6.11)где С — постоянная интегрирования, равная пс.Отсюда видно, что за время т число избыточных носителей заряда
убывает в е раз. Таким образом, величина т характеризует быстроту
спада кривой рис. 6.1, или определяет время существования избыточных
носителей заряда, а точнее, среднее время жизни электронно-дырочных
пар.Очевидно, что в общем случае (например, когда рекомбинируют
электроны на примесном уровне и дырки в валентной зоне) вовсе не
обязательно равенство времени жизни электронов и дырок, как необя¬
зательны и принятые соотношения Ап — Ар и Ап С «о + Ра-Поэтому вводят в рассмотрение разные времена тп и тр [см. (6.10)]:(6.12)где Rn и Rp — полные скорости рекомбинации электронов и дырок в
кристалле.Эти скорости можно представить в виде(6.13)Здесь г„ и гр — скорости захвата электронов и дырок в единице объе¬
ма кристалла; gn и gp — скорости генерации электронов и дырок. Ин¬
декс «нуль» относится к случаю равновесия, так как в равновесии ско¬
рости рекомбинации и генерации равны нулю. Таким образом, (6.13)
есть уравнение баланса скоростей. Если преобладает первое слагаемое,
то результирующая скорость рекомбинации отлична от нуля.Если определение времени жизни осуществляется в нестационар¬
ных условиях после выключения источника генерации (света), то
скорости рекомбинации Rn и Rp совпадают с dn/dt и dp/dt (в частном
случае прямой рекомбинации dn/dt = dp/dt). Тогда в (6.12) величины
Rn и Rp можно заменить на dn/dtи dp/dt\шг, где t2 — началь¬
ный момент выключения света (см. рис. 6.1). Таким образом, времена
жизни носителей заряда определяются соотношениями(6.14)Следует различать стационарные и нестационарные времена жиз¬
ни носителей заряда. Первые характеризуют рекомбинацию в услови¬
ях непрерывного внешнего воздействия, т. е. при постоянной скорости
генерации носителей:	g (см3 • с-1).В этом случае концентрации неравновесных носителей заряда
возрастают до тех пор, пока скорости рекомбинации Кп и Кр не станут
равны скорости генерации g. Таким образом, стационарные времена158
Рис. 6.1. Нарастание и спад коп¬
ает рации неравновесных носите¬
лей заряда во времениРис. 6 2. Различные виды рекомбина¬
ции:а — рекомбинация зона — зона; б — реком¬
бинация через глубокие локальные центрыпределяют по формулам т„ = Дя/g и тр = Дpig. Абсолютные значе¬
ния %п и %р в этом случае могут значительно отличаться друг от друга,
если Ап Ф А р. Нестационарные времена характеризуют рекомбина¬
цию в отсутствие генерации, т. е. после выключения внешнего воздей¬
ствия на кристалл.При Ап Ф Ар стационарные и нестационарные времена жизни
оказываются неравными. Этот эффект называют эффектом прили¬
панияВ общем случае значения т„ и тр зависят от вида и механизма ре¬
комбинации, состава полупроводника, температуры, а также от ус¬
ловий, в которых производят их определение.Существуют два вида рекомбинации. Первый вид — зона — зона,
при котором избыточные электроны из зоны проводимости непосредст¬
венно «сваливаются» в валентную зону, и второй вид — такой, при ко¬
тором рекомбинация идет через глубокие уровни в запрещенной зоне по¬
лупроводника (рис 6.2).При генерации носители заряда получают энергию от внешнего
воздействия, в рассматриваемом случае — освещения. Естественно,
что при обратном акте рекомбинации эта энергия должна выделяться.
При этом вовсе не обязательно, чтобы поглощенная в виде светового
кванта энергия выделялась также в виде света. Именно поэтому клас¬
сификацию механизмов рекомбинации принято осуще твлять по спо¬
собу отвода энергии, выделяющейся при акте захвата носителей заря¬
да при рекомбинации.Наиболее вероятными механизмами рекомбинации является: !)
излучательная рекомбинация, при которой энергия выделяется в виде
квантов электромагнитного излучения; 2) фононния рекомбинация,
связанная с непосредственной передачей выделяющейся энергии ко¬
лебаниям атомов кристаллической решетки; 3) ударная рекомбинация
(эффект Оже), при которой энергия вначале передается ближайшему
свободному электрону (или дырке), который затем отдает свою избы¬
точную энергию, либо колебаниям атомов решетки, либо другим но¬
сителям.Все три механизма могут осуществляться как при рекомбинации
вона—зона, так и при рекомбинации через локальные центры. Кро¬
ме того, на обоих этапах рекомбинации через локальные центры (при
захвате электрона и дырки) могут иметь место различные механизмы159
рекомбинации. Следовательно, могут представиться девять случаев
рекомбинации.Анализ всех девяти случаев и вычисление соответствующих им
вероятностей элементарных актов захвата составляет квантово-меха¬
ническую часть задачи о рекомбинации носителей заряда в полу-
проводниках. В каждом из этих случаев вероятности захвата оказы¬
ваются различными функциями концентрации равновесных носителей
п0 и р0, температуры, ширины запрещенной зоны, энергетического по¬
ложения глубоких уровней и других характеристик полупроводни¬
ка. По этим различиям и определяют экспериментально преобладание
того или иного случая из девяти перечисленных.§ 6.2. Межзонная излучательная рекомбинацияРассмотрим рекомбинацию электронов зоны проводимости и дырок
валентной зоны, когда каждый элементарный рекомбинационный акт
сопровождается излучением фотона.Представим себе сначала полупроводник в термодинамическом рав¬
новесии. Это означает, что в разрешенных зонах содержится п0 и р0
свободных электронов и дырок. Кроме того, в 1 см3 в 1 с количество ис¬
пускаемых фотонов при рекомбинации равно количеству поглощен¬
ных фотонов. Эта скорость рекомбинации г0 должна быть равна ско¬
рости генерации g0 и пропорциональна произведению п0р0:(6.15)где Vn — коэффициент (вероятность) захвата носителей заряда с из¬
лучением фотона, называемый коэффициентом излучательной реком¬
бинации.Из (6.15) имеем(6 16)Если полупроводник не находится в термодинамическом равнове¬
сии, то вместо я0 и р0 в зонах будет п электронов и р дырок. Но в зоне
проводимости и в валентной зоне равновесные и неравновесные носи'
тели заряда неразличимы, поэтому процесс рекомбинации тех и дру*
гих должен быть одинаков. Следовательно, и в отсутствие термодинами¬
ческого равновесия излучательная рекомбинация должна характери¬
зоваться коэффициентом у%:(6.17)Из (6.12) с учетом (6.16) и (6.17) времена жизни неравновесных элек¬
тронов и дырок будут(6.18)* Это утверждение справедливо для всех механизмов рекомбинации, кро¬
ме ударной,160
Подставляя сюдаполучим в общем виде(6.19)(6.20)Обычно имеет место равенство А п — А р. Тогда (6.20) примет вид(6.21)Теперь получим более простые выражения для ряда частных слу¬
чаев. Могут быть два случая: малый и большой уровни инжекции. При
малом уровне инжекции Ап ^ п0 + р0 и с учетом (6.17) выражение
(6.21) примет вид(6.22)При большом уровне инжекции, наоборот, Ап > п0 + р0 и (6.21)
примет вид(6.23)Полученные выражения справедливы как для собственного, так
и для примесного полупроводников. Обычно полупроводниковые ма¬
териалы содержат существенно различные количества донорных и ак¬
цепторных уровней, так что пф р.При малом уровне инжекции (Ап С «о + Ро) Для полупроводника
«-типа (п0 р0) из (6.22) получим(6.24)а для полупроводника р-типа (р0 > п0)(6.25)При большом уровне инжекции для кристаллов п- и р-типа выраже¬
ние для тп = тр снова имеет вид (6.23). Для нахождения тг положим
в (6.22) п0 — р0 = nt, тогда(6.26)Можно выразить т через для этого подставим (6.26) в (6.21):(6.27)Графически изменение т/ (2тг) с изменением njnt показано на
рис. 6.3. Практически по оси абсцисс на этом рисунке отложен уро¬
вень Ферми, это легко доказать, пользуясь выражением (3.58), причем6> Загс. 1756	161
Рис. 0.3. Зависимость времени
жизци от концентрации носи¬
телей заряда в случае излуча-
тельной рекомбинации при по¬
стоянной температуреnjrii = 1 соответствует положению ц посередине запрещенной зоны.
Кривые на рис. 6.3 имеют две особенности. Первая заключается в пол¬
ной симметрии их относительно значения п0/пг = 1. Второй особен¬
ностью является то, что при больших уровнях инжекции (Дл/я* ^ 10)
время жизни в широком интервале изменений уровня Ферми не зави¬
сит от концентрации примесей.Окончательно судить о связи т со свойствами полупроводника мож¬
но только после анализа коэффициента излучательной рекомбинации
уи, входящей в формулы для т. Предположим, что при поглощении каж¬
дого фотона с энергией йа> = Eg в кристалле образуется пара элект¬
рон—дырка, т. е. квантовый выход генерации светом равен единице.
Значит, если бы можно было узнать скорость поглощения фотонов
(число фотонов, поглощаемых в 1 см* кристаллов в 1 с), то была бы из¬
вестна скорость генерации электронно-дырочных пар g. В условиях
термодинамического равновесия, как отмечалось, скорости генерации
и рекомбинации равны. Таким образом, величину уи можно найти из
(6.16), приравняв g0 скорости поглощения фотонов с энергией Лео = Еg
в условиях термодинамического равновесия кристалла Выражение
для g0, т. е. числа фотонов, аналогичное выражению для концентра¬
ции электронов (3.44), запишем в видегде р (ш) — плотность фотонов в интервале частот d<a; / (со) — веро¬
ятность поглощения фотона с частотой со в единицу времени.В качестве f (о) следует, как было установлено в §3.1, принять
функцию распределения Бозе—Эйнштейна, справедливую для фото¬
нов:где g (<о) — вероятность поглощения данного кванта.Функцию р (to) можно найти так же, как находили р (£) (см. § 3.2). Дейст¬
вительно, все фотоны, обладающие энергиями в интервале Й<о — Л (ю + do), бу¬
дут в пространстве импульсов заключены в шаровом слое между сферами радиу¬
сами р и р + dp. Объем этого слоя [см. (3.48)1* V — 4npPdp.(6.28)(6.29)Г62
Величина р может быть выражена через частоту и скорость света в вещее?*
ве с':или, заменяя с' = сЫ, где с — скорость света в вакууме, п — показатель пре¬
ломления света в кристалле, получимФункцию р (<в) da найдем по формуле (3.49), разделив V на (2nh)9:Это выражение надо удвоить, так как световая волна может иметь двойную
поляризацию.Функция р (trt)d(o будет иметь вид(6.30)Общее число квантов света, поглощаемых в 1 см8 за 1 с, найдем по¬
сле подстановки (6.29) и (6.30) в (6.28). Затем, приравнивая (6.28) вы¬
ражению (6.16), найдем(6.31)На опыте вместо вероятности поглощения g (а) удобнее пользо¬
ваться коэффициентом поглощения а, так как эти величины связаны
друг с другом соотношением(6.32)Следовательно,(6.33)где(6.34)Пользуясь этим выражением, перепишем формулн (6.22)—(6.25)
для т.1.	Общий случай собственного и примесного полупроводников при
малом уровне инжекции(6.35)2.	Примесный полупроводник n-типа при малом уровне инжекции(6.36)6*	163
3.	Примесный полупроводник p-типа при малом уровне инжекции(6.37)4.	Большой уровень инжекции (независимо от степени легирования
и типа электропроводности) полупроводника(6.38)Времена жизни, как видно из полученных формул, существенно
зависят от коэффициента поглощения света в собственной области, вхо¬
дящего в подынтегральную функцию J (со).Воспользовавшись аналитическими зависимостями а (со) для пря¬
мых (5.32) и непрямых (6.41) переходов, можно J (со) представить в
виде(6.39)(6.40)где у — коэффициент захвата, см3/с; А — константа, не зависящая от
температуры и равная 2600 эВ2 • см-1 для Ge, 3600 эВ2 • см-1 для Si
и 2500 эВ2 • см-1 для SiC; 0 — температура Дебая.Вычисляя упрям и Унепрям. убеждаемся в том, что упрям > унепрям.
Это значит, что излучательная межзонная рекомбинация более вероят¬
на в тех полупроводниках, у которых преобладают прямые переходы,
т. <». потолок валентной зоны и дно зоны проводимости находятся при
одном значении волнового вектора к (см. рис. 5.3).Из выражений (6.36)—(6.38) вытекают важные следствия. Во-пер¬
вых, только при малых уровнях инжекции излучательное время жизни
зависит от степени легирования полупроводника (через п0 и р0). Во-
вторых, в достаточно сильно легированном полупроводнике измеряемые
времена жизни определяются концентрацией неосновных носителей за¬
ряда, т. е. в кристалле п-типа — дырками, а в кристалле р-типа —
электронами. В-третьих, с увеличением степени легирования значение
излучательного времени жизни уменьшается, так как при этом растет
концентрация основных носителей заряда, а концентрация неосновных
носителей падает в соответствии с законом действующих масс. Зависи¬
мость излучательного времени жизни от температуры определяется
температурными зависимостями п0, р0, ni и Eg. Конкретный вид т (Т)
может быть получен читателем самостоятельно при использовании
формул данного параграфа совместно с соответствующими выраже¬
ниями гл. 3.§ 6.3. Межзонная безызлучательная рекомбинацияБезызлучательный механизм межзонной рекомбинации предпола¬
гает передачу энергии, освобождающейся в процессе рекомбинации,
тепловым колебаниям решетки.164
Значение этой энергии, равное ширине запрещенной зоны, при этом долж¬
но размениваться на энергию большой группы фононов. Так, в GaAs Eg = 1,5 эВ
при комнатной температуре, a ft со оптического фонона составляет приблизитель¬
но 0,03 эВ, т. е. в процессе безызлучательной рекомбинации должна участвовать
группа из приблизительно 50 оптических фононов на каждую рекомбинирующую
пару носителей заряда, что маловероятно.Для элементарного акта безызлучательной рекомбинации зона—
зона, которая, несмотря на малую вероятность, все же может иметь
место, скорость генерации не должна зависеть от концентрации избы¬
точных носителей заряда, а скорость рекомбинации пропорциональна
(в невырожденном полупроводнике) произведению пр. Таким обра¬
зом, здесь имеем условия, аналогичные тем, которые рассматривались
при излучательной рекомбинации. Следовательно, и безызлучатель-
ная рекомбинация описывается уравнениями (6.15) и (6.17), т. е. безыз-
лучательная межзонная рекомбинация даст некоторую поправку (сла¬
гаемое) к эффективному значению г0 в уравнениях § 6.2.Эту поправку можно считать малой. Действительно, чтобы вероят¬
ность безызлучательной рекомбинации была не малой, необходимо
предполагать, что, по крайней мере, один из носителей заряда сильно
взаимодействует с решеткой. Но это противоречит условию, чтобы до
рекомбинации и электрон, и дырка являлись свободными. Кроме того,
нет и экспериментальных данных, указывающих на безызлучательные
переходы зона—зона.В настоящее время установлено, что значительная часть безызлу-
чательных рекомбинационных переходов связана с локальными уров¬
нями (см. § 6.6).§ 6.4. Межзонная ударная рекомбинация
(Оже-рекомбинация)Процесс ударной рекомбинации предполагает участие трех носи¬
телей заряда: рекомбинирующую пару электрон—дырка и еще один
электрон или дырку, которым передается энергия, выделяющаяся при
рекомбинации. Таким образом, этот процесс характеризуется не одним
сечением захвата, а двумя; упп — вероятность захвата при передаче
энергии электрону и урр — при передаче энергии дырке. Кроме того,
скорость захвата г пропорциональна не квадрату, а кубу концентра¬
ции носителей заряда из-за участия трех носителей в процессе реком¬
бинации. Учитывая эти особенности, запишем для межзонной ударной
рекомбинацииВ условиях термодинамического равновесия
Подставляя эти величины в (6.41), найдем(6.41)а полный коэффициент захвата(6.42)(6.43)165
Соответственно полный коэффициент захвата(6.44)Теперь запишем выражение для скорости генерации. Будем счи¬
тать, что ударной рекомбинации соответствует обратный процесс —
ударная ионизация, под которой понимают образование дополнитель¬
ных, неравновесных носителей заряда за счет выбивания электронов
из атомов ускоренными электрическим полем электронами. Подроб¬
нее это явление рассмотрено в гл. 8. Здесь достаточно принять, что
скорость генерации посредством ударной ионизации пропорциональна
числу быстрых избыточных электронов:(6.45)Из условий термодинамического равновесия(6.46)С учетом равенства в равновесных условиях скоростей генерации
и рекомбинации (gn0 = rnn; gp0 = гр0) запишем полную скорость ре¬
комбинации (6.13):что после простых преобразований дает(6.47)Переходя с помощью (6.12) к выражению для времени жизни, по¬
лучим(6.48)или, подставляя сюда выражение (6.7), имеем(6.49)Преобразуем это выражение несколько иначе. Вынесем в знамена¬
теле за скобки гадр0:(6.50)(6.51)Введем теперь величину тг — время жизни при ударной рекомби¬
нации в собственном полупроводнике (/г0 = р<, = «г) при малом уров¬
не инжекции (Дя < п0, р0) и дополнительном условии(6.52)
166
Величина р (р0 + Ап), находящаяся в знаменателе (6.50), отража¬
ет роль процессов, при которых выделяющаяся энергия передается
дырке. Поэтому физический смысл условия (6.52) заключается в том,
что вероятность таких процессов значительно меньше вероятности
процессов, при которых энергия передается электронам.Обычно в полупроводниках т* < щ и поэтому коэффициент < 1. Сле¬
довательно, неравенство (6.52) может нарушиться только в кристаллах с ярко
выраженным дырочным типом электропроводности.Как следует из (6.50), при этих условиях(6.53)Используя это выражение, перепишем (6.50) в виде(6.54)Как и в § 6.3 при рассмотрении излучательной рекомбинации, про¬
анализируем ряд частных случаев.Малый уровень инжекции (Ап < п0, р0). Из формулы (6.54) по¬
лучаем(6.5 5)Если полупроводник обладает каким-либо ярко выраженным ти¬
пом электропроводности, тодля п-типа
для р-типа(6.56)Сравнение этих выражений с аналогичными для излучательной ре¬
комбинации (6.24) и (6.25) показывает их существенное отличие: вре¬
мена жизни при ударной рекомбинации в легированных полупроводни¬
ках обратно пропорциональны квадрату разновесной концентрации но¬
сителей заряда, в то время как при излучательной рекомбинации они
обратно пропорциональны первой степени концентрации.Большой уровень инжекции (Ап п0, р0). Из (6.54) видно, что
по мере увеличения Ап(6.57)Так как обычно Р < 1, то(6.58)На рис. 6.4 показано изменение т/т* в зависимости от положения
уровня Ферми, т. е. от степени легирования при различных уровнях
инжекции. В приведенных выражениях для т фигурировали величины
гп0 и Гр0 — скорости захвата, определяемые через вероятность захвата167
Рис. 6.4. Зависимость времени жив-
ни от концентрации носителей за*
ряда при ударной рекомбинация
для различных уровней инжекцииУ Tin и урр. Величины упп и урр определяют связь времени жизни носи¬
телей заряда со свойствами полупроводника. Вычисление этих вели*
чин составляет предмет квантово-механического рассмотрения элемен¬
тарных актов рекомбинации. Опуская подробный вывод, запишемгде Wi — энергетический зазор, зависящий от реальной структуры
энергетических зон:В (6.59) в показателе экспоненты стоит энергия, превышающая Eg при
к = 0 на величину Wi. Это связано с тем, что если учесть законы сохранения им¬
пульса и энергии, то оказывается электрон не может создать пару при kn = kp =
= 0, перейдя сам в состояние с kn =. О, так как тогда некому поглотить его
импульс. Поэтому минимальная энергия, при которой электрон может создать
пару, Е > Eg или Е = Eg 4* Wi,Из (6.59) видно, что времена жизни существенно зависят от темпе¬
ратуры и от ширины запрещенной зоны. Можно сделать вывод, что
в полупроводниках с узкой запрещенной зоной вероятность ударной ре¬
комбинации возрастает. Вероятность ударной рекомбинации увели-
личивается с ростом температуры. Это следует из (6.59), в котором ос¬
новную роль играет экспоненциальный множитель.Время жизни при ударной рекомбинации соответственно обратно
пропорционально вероятности рекомбинации, т. е. уменьшается с по¬
нижением температуры.§ 6.5. Рекомбинация через однозарядные
локальные центры (теория Шокли — Рида)Для технологии полупроводников чрезвычайно важно знать зави¬
симость времени жизни от вида и концентрации примесей, вводимых
в кристалл. Знание такой зависимости позволяет, во-первых, по изме¬
ренным на опыте временам жизни определять рекомбинационные ха¬
рактеристики примесных центров и, во-вторых, изготавливать полу¬
проводниковые материалы с разными параметрами рекомбинации, что
является одной из важнейших технологических задач.(6.69)168
В этом параграфе рассмотрим простей¬
ший случай рекомбинации через один тип
локальных центров. Этот случай изображен
на рис. 6.5. Обозначим концентрацию таких
уровней Nt, а их расстояние от дна зоны
проводимости Ef. Процесс рекомбинации
сводится к захвату этими уровнями элек¬
тронов из зоны проводимости (процесс /),
а затем к захвату дырки из валентной зоны
(процесс 2). Кроме того, электроны с этих
уровней могут обычным тепловым способом
возбудиться обратно в зону проводимости
(процесс Г). Аналогично, наряду с процес¬
сом 2 имеет место и процесс 2 .Вероятность процесса / пропорциональ¬
на числу электронов в зоне проводимости
п и числу свободных от электронов уровней Nt (1 — /)• гДе / — сте*
пень заполнения уровней рекомбинации электронами. Вероятность
процесса Г пропорциональна числу электронов, находящихся на уров¬
нях Ntf. В результате конкурирующего действия обоих процессов
скорость рекомбинации электронов, т. е. изменение концентрации
электронов в зоне проводимости — dn/dt, будет(6.60)где т>„ и рп — коэффициенты пропорциональности, физический смысл
которых будет рассмотрен в дальнейшем.Если имеет место термодинамическое равновесие, т. е. в зоне про¬
водимости установилась равновесная концентрация п = п0, не изме¬
няющаяся во времени, то dn/dt = 0 и / » /0.Из (6.60) при этих условиях получим(6.61)Подставляя сюда в качестве /0 функцию распределения Ферми, от¬
ражающую степень заполнения рекомбинационных уровней, в которой
для простоты опущен g-фактор:и концентрацию электронов в зоне проводимости в случае отсутст¬
вия вырождения: п0 = Л/ее*1/<*7'>, найдем соотношение(0.62)Подставляя (6.62) в общее выражение (6.60), в отсутствие равнове¬
сия получим(6.63)Рис. 6.5. Схематическое изо¬
бражение переходов при ре¬
комбинации через примес¬
ные уровни
Точно так же вероятность захвата дырок на центры рекомбинации
(процесс 2) пропорциональна числу дырок р в валентной зоне и числу
уровней, свободных от дырок, т. е. заполненных электронами Ntf. Чис¬
ло обратных переходов (процесс 2') пропорционально числу дырок на
уровнях Nt (1 — /).Следовательно, скорость рекомбинации дырок(6.64)И снова из условия равновесия, при котором
найдем(6.65)здесь энергии отсчитываются от дна зоны проводимости.Используя (6.65), перепишем (6.64):(6 66)В стационарном случае число приходящих и уходящих электронов
в единицу времени одинаково, т. е.
равнивая (6.63) и (6.66), найдем(6.67)Учитывая соотношение n1pl = tif = п0р0 и подставляя в (6.63),
найдем скорость рекомбинации электронов(6.68)Используя равенства п = пп + Ап, Ап = Ар и соотношение (6.7),
получим выражение для времени жизни(6.69)Теперь вскроем физический смысл величин уп и ур. Рассмотрим
полупроводник n-типа. В таком материале п0 > р0, если еще наложить
условие малого уровня инжекции: Ап С п0 + пх, Ар <С р0 + Pi и
ма того числа центров рекомбинации, т. е. nt <С п0, ру С Ро> то (6.69)
примет вид(6.70)Таким образом, время жизни в легированном полупроводнике Ti¬
rana определяется только концентрацией центров рекомбинации и ве¬
роятностью захвата дырки центром рекомбинации.Аналогично в легированном кристалле p-типа время жизни опре¬
деляется концентрацией центров рекомбинации и вероятностью захва¬
та электронов рекомбинационным центром. Следовательно, величины170
имеют смысл времени жизни неосновных носителей
заряда в легированных полупроводниках. Их принято обозначать
Тро и тпо. причем индекс нуль указывает на малый уровень инжекции*.Используя эти обозначения, перепишем (6.69):(6.71)Эта формула носит название формулы Шокли—Рида. В ней содер¬
жится зависимость времени жизни электронно-дырочных пар т от кон¬
центрации основных равновесных носителей заряда пв и р0, от концен¬
трации избыточных носителей, т. е. от уровня инжекции Ап, от времен
жизни неосновных носителей заряда тд0 и тр0, от концентрации Nt и
вида рекомбинационных центров, так как пг и рх определяются значе¬
нием Et и, наконец, от температуры, ибо п0, р0, nlt рх являются силь¬
ными функциями температур.В общем виде формула Шокли—Рида довольно сложна для анализа.
Поэтому рассмотрим несколько частных случаев.Малый уровень инжекции, т. е. Ап ■С «о> Ра- Пренебрегаем вели¬
чиной Ап в (6.71) и получаем(6.72)Для определенности принимаем, что полупроводник во всей об¬
ласти температур обладает /г-типом электропроводности. Тогда
И если уровень Et расположен в верхней половине за¬
прещенной зоны, то «1 > Рх и из (6.72) найдем(6.73)При расположении £* в нижней половине запрещенной зоны и при сохра-Piьении n-типа электропроводности имеем />, » я, ит(* тро + тпо — .щВыражение (6.73) позволяет качественно проанализировать тем¬
пературную зависимость т0. Будем считать, что от температуры в (6.73)
зависят только пх и п0. Зонная диаграмма рассматриваемого кристал¬
ла изображена на рис. 6.6, а. На рис. 6.6, б показана температурная
зависимость п0 (Т), полученная в гл. 3.В области малых температур ионизируются мелкие уровни, а более
глубокие дают малый вклад, т. е. можно считать, что n, « const, по¬
этому время жизни определяется лишь зависимостью п0 (Г) и т0 будет
уменьшаться по мере увеличения температуры (рис. 6.6, в). При неко¬
торой температуре наступает истощение мелких примесей, которые
полностью ионизированы (п0 = N я = const) и по (6.69) время жиз¬
ни определяется уже зависимостью пг (Т). При увеличении темпера¬
туры пл растет и т0 в этой области температур также растет. Этот рост
продолжается до тех пор, пока из-за повышения температуры уровень* Напомним, что индекс нуль при концентрациях п0 и соответствует
равновесным концентрациям носителей заряда в зонах.171
Ферми не опустится ниже уровней центров рекомбинации. При этом
все эти центры будут ионизированы, т. е. nl = const, но уже заметный
вклад будут давать переходы электронов из валентной зоны (рис. 6.6, а).
Следовательно, п0 (Т) опять начнет расти, а время жизни т0 — падать.
В действительности все процессы, указанные стрелками на рис. 6.6, а,
идут одновременно, но в различных температурных интервалах пре¬
валирует один из них и в результате получается зависимость, качест¬
венный ход которой и показан на рис. 6.6, в.С изменением концентрации рекомбинационных центров вся кри¬
вая перемещается параллельно оси ординат (рис. 6.7). Углы наклона
отдельных участков кривой определяются значениями Ея, Eg и Еи
как это показано на рис. 6.6, в и 6.7.Аналогично для кристалла р-типа (6.72) примет вид(6.74)и анализ этой формулы совпадает с проведенным анализом (6.73).Отметим важное следствие, которое вытекает из формул (6.73) и(6.74): времена жизни хп0 и хро являются одновременно предельными вре¬
менами при увеличении концентрации основных носителей заряда.Большой уровень инжекции, т. е. Ап > п0, р0. Разделим числи¬
тель и знаменатель в формуле Шокли—Рида (6.73) на п0 + р0:Сумма, состоящая из первого и третьего слагаемых в числителе
этого выражения, есть не что иное, как выражение (6.72), т. е. т0 —
время жизни при малом уровне инжекции. Поэтому(6.75)где(6.76)(6.77)Могут представиться три случая: а = с и тогда т = т0; а> с и
тогда т растет с увеличением уровня инжекции; а < с — время жиз¬
ни падает с увеличением Ап. Из (6.77) видно, что с обратно пропорци-Рис. 6.6. К выводу температурной зависимости времени жизни при ре¬
комбинации через примесные центры в полупроводнике п-типа:
а, — схема электронных переходов; б — зависимость равновесной концентрации
электронов ОТ температуры; в — температурная зависимость времени жизни172
Рис. 6.7. Температурная зави¬
симость времени жизни в полу¬
проводнике «-типа при различ¬
ной концентрации глубоких ре¬
комбинационных	центровРис. 6.8. Зависимость
времени жизни от уровня
инжекции при рекомби¬
нации через глубокие
центры:/ — ЧИСТЫЙ полупроводник;
2 — сильно легированный по¬
лупроводник; 3 — средний
уровень легирования полу¬
проводникаонально суммарной концентрации равновесных носителей заряда, т. е.
с пропорционально удельному сопротивлению полупроводника. Это
означает, что в собственном полупроводнике, в котором концентрация
Hq ~f“ Ро === 2tit минимальна, время жизни убывает и в пределе, как это
видно из (6.75) с учетом (6.76), т стремится к т»:(6.78)не зависящему от уровня инжекции.Изменение т от уровня инжекции в полупроводниках с различной
степенью легирования показано на рис. 6.8.В заключение отметим, что в рассмотренной теории предполага¬
лось Ал = Др В действительности, при рекомбинации через локаль¬
ные центры, в отличие от рекомбинации зона—зона, это соотношение
может и не выполняться. Это явление, как говорилось в § 6.1, называ¬
ют эффектом прилипания. В этом случае выражения для тп и тр не
равны друг другу и вообще кривая релаксации п (f) уже не будет опи¬
сываться одной экспонентой, как это следовало из (6.11).§ 6.6. Механизм рекомбинации через локальные центрыВ теории Шокли—Рида фигурировали коэффициенты захвата
электронов и дырок уп и ур. Именно эти величины определяют време¬
на жизни неосновных носителей заряда [см. (6.70)], а через них и вре¬
мена жизни основных носителей заряда.Как и при рекомбинации зона—зона, величины у оказываются раз¬
ными при различных механизмах рекомбинации через локальные
центры.Излучательная рекомбинация на локальных центрах. Эксперимен¬
тально рекомбинационное излучение при переводе носителей заряда
из соответствующих зон на энергетические уровни локальных цент¬
ров наблюдалось в германии и кремнии, а затем и в AnlBv. Однако стро¬
гой теории этого механизма до сих пор нет. Были сделаны попытки173
построить такую теорию в предположении водородоподобной модели
рекомбинационного центра. Полученное выражение для у (см3/с),
которое приводим без вывода, имеет вид(6.79)где п — показатель преломления света в кристалле; Z — зарядовое
состояние ионизированного локального центра.Для излучательной рекомбинации через глубокие уровни это вы¬
ражение уже не годится, так как глубокие ловушки никак нельзя рас¬
сматривать в виде водородоподобных центров. Тем не менее выраже¬
нием (6.79) можно пользоваться для оценки (табл. 6.1).Таблица 6.1. Излучательная рекомбинация дырок на заряженных
акцепторах в германии и кремнии при Т=300 К
(Ei отсчитано от валентной зоны)ПолупроводникКремнийГерманийРекомбинационн ый
центрВ-Al-Ga“in-СиСи=Еь эВУэкси Ю14, см3/с0,0462,8О.067
2,70,0712,50,15
1,60,055110,2530Твыч Ю14> см3/с3,85,65,9121422Фононная рекомбинация на локальных центрах. В этом механизме
рекомбинации существенную роль играет энергия ионизации ловушки
£{. Если Et не превышает максимально возможной энергии фонона
(ftco)max, то захват носителя заряда сопровождается испусканием од¬
ного фонона. Если же Et больше (/ш)тах, то рекомбинация сопровож¬
дается испусканием нескольких фононов. Обычно эффективными
центрами являются глубокие уровни, энергия которых составляет не¬
сколько десятых долей электрон-вольта, тогда как величина (Лю)шах
примерно в десять раз меньше. Таким образом, для реализации захва¬
та носителей заряда в этом случае необходимо предположить испуска¬
ние 10 или более фононов. Величины у, полученные теоретически в
предположении одновременного испускания всех 10 фононов, оказа¬
лись на 2—3 порядка меньше тех значений, которые наблюдаются на
опыте. Поэтому Лэкс предложил модель каскадного испускания фо¬
нонов. По этой модели свободный электрон (или дырка) первоначально
захватывается не на основной уровень центра рекомбинации, а на его
возбужденный уровень, расположенный ближе к краю разрешенной
зоны. При этом испускается один фонон. Затем происходит каскад¬
ный процесс постепенного перехода захваченного электрона в основное
состояние данного центра рекомбинации. Каждый переход также со¬
провождается испусканием фонона (или фотона). Вероятность захвата
в такой модели определяется первой стадией процесса, т. е. захватом
на возбужденное состояние центра. Дальнейшая судьба захваченно-174
го, а следовательно, локализованного носителя заряда практически
уже не важна.Расчеты Лэкса, которые здесь не приведены, показали хорошее со¬
гласие с опытом в тех случаях, когда имеется кулоновское притяже¬
ние между носителем заряда и центром захвата. Это захват электрона
на положительно заряженный или дырки на отрицательно заряжен¬
ный центр. Если рекомбинация идет через нейтральные центры, или
в случае захвата носителя на одноименно заряженный центр, теория
Лэкса не применима, ибо при этом нет возбужденных уровней.У нейтрального центра возбужденные уровни могут появиться за счет
поляризации, но однозначное доказательство этого факта пока отсутствует.В то же время для таких центров экспериментально найдены у, по
порядку значений, совпадающие со значениями для случаев кулонов-
ского притяжения. Сколько-нибудь удовлетворительного объяснения
этим фактам теория в настоящее время не дает.Ударная рекомбинация на локальных центрах. В случае ударной
рекомбинации на локальных центрах высвобождающаяся энергия пе¬
редается электрону (или дырке), находящемуся в непосредственной
близости от центра рекомбинации. Вероятность захвата при этомгде А и Ь — постоянные величины, зависящие от свойств полупровод¬
ника — эффективной массы /п* и диэлектрической постоянной к.Важно, что в данном полупроводнике, содержащем определенные
центры рекомбинации (Et — const), коэффициент захвата у пропор¬
ционален величине п0/ (1 + Ьп0)г.Из этого следует, что при концентрациях п0<. Ь величина 7 растет
по мере увеличения равновесной концентрации носителей заряда. Это
специфическое обстоятельство позволяет выделить этот механизм из
всех других при экспериментальном исследовании явления рекомби¬
нации.При л0 > Ь, наоборот, у падает при увеличении п0. Величина b мо¬
жет быть вычислена по формулегде Ер — энергия, выделяющаяся при акте захвата, которую в пер¬
вом приближении можно считать равной энергии ионизации рекомби¬
национного центра Et.§ 6.7. Соотношения между различными видами
и механизмами рекомбинации в полупроводникахРанее были рассмотрены различные виды и механизмы рекомби¬
нации. Каждый из них характеризуется определенной вероятностью,
так что в различных конкретных случаях легированных полупровод¬
ников, содержащих примесные центры или другие дефекты, превалп-(6.80)(6.81)175
Рис. 6.9. Зависимость времени жизни но¬
сителей заряда от их концентрации в
германии:/ — излучательпая рекомбииация; 2 — удар¬
ная рекомбинация зона — зона; 3 — фонон-
ная рекомбинация на глубоких уровнях; 4 —
ударная рекомбииация на глубоких уровняхРис. 6.10. Зависимость времени жизни
носителей заряда от их концентрации
в гипотетическом полупроводнике с
параметрами германия, но с прямы¬
ми межзонными переходами:1 — излучательная рекомбинация; 2 —
ударная рекомбинация зона — зона; S —•
фононная рекомбинация на глубоких уров*
нях; 4 — ударная рекомбинация на глубо¬
ких уровняхрует один из видов рекомбинации при том или ином механизме выде¬
ления энергии.При наличии нескольких механизмов рекомбинации суммарное
время жизни носителей заряда % определяется, так же как время ре¬
лаксации при рассеянии [см. (4.74)]:(6.82)где xik — парциальное время жизни при i-м виде и k-u механизме ре¬
комбинации.Отсюда следует правило, что при одновременном действии несколь¬
ких видов и механизмов рекомбинации результирующее время жизни
определяется наименьшим из времен жизни, соответствующем наибо¬
лее вероятному способу рекомбинации.На рис. 6.9 приведены значения времени жизни в германии при
четырех способах рекомбинации. Из этого рисунка с учетом (6.82) вид¬
но, что в германии в широком интервале концентрации основных но¬
сителей заряда определяющую роль играет фононный механизм реком¬
бинации на локальных центрах (кривая 3). Лишь при очень больших
концентрациях можно ожидать появления ударной рекомбинации
зона—зона (кривая 2). Излучательная межзонная рекомбинация (кри¬
вая 1) может быть значительная для общего времени жизни лишь при
концентрациях носителей заряда, превышающих 1018 см-3. Ударная
рекомбинация на глубоких примесях в германии (кривая 4), по-види¬
мому, является маловероятным процессом. Аналогичные результаты
имеют место и в кремнии.На рис. 6.10 приведены значения т в некотором гипотетическом по¬
лупроводнике, у которого все свойства (параметры спектра, эффектив¬на
ные массы и т. д.) те же, что и у германия, с той лишь разницей, что в
этом полупроводнике ширина запрещенной зоны Eg относится к пря¬
мым переходам зона—зона. Видно, что это обстоятельство определило
излучательную межзонную рекомбинацию как главный процесс уста¬
новления времени жизни.Действительно, в случаях, когда в полупроводнике возможны пря¬
мые межзонные переходы (GaAs), существенную роль играет излу¬
чательная рекомбинация.Строго говоря, выражение (6.82) несправедливо. Более правильной являет¬
ся формула Калашникова, полученная для одновременной рекомбинации на не¬
скольких центрах:(6.83)где vm — выражает взаимное влияние центров рекомбинации.В случае большого уровня инжекции (или малой суммарной концентрации
центров рекомбинации) величиной \т можно пренебречь. Но при малом уровне
инжекции это можно сделать только в некоторых случаях. Тем не менее упрощен¬
ное выражение (6.82) позволяет наглядно выявить соотношение между различ¬
ными видами и механизмами рекомбинации в полупроводниках.§ 6.8. Особые случаи рекомбинации носителей зарядаРекомбинация на многозарядных центрах. Существенной особен¬
ностью этого вида рекомбинации является изменение зарядового со*
стояния примесного центра. Это может происходить под влиянием тем¬
пературы или изменения равновесной концентрации носителей заря¬
да.Рассмотрим такую рекомбинацию на примере полупроводника с
двухзарядным акцептором Л, который способен находиться в нейт¬
ральном Л°, однократно заряженном Л“ и двукратно заряженном
Л* состояниях. Энергетические уровни, соответствующие заряженным
состояниям Ег и £2, отсчитанные от потолка валентной зоны, пока¬
заны на рис. 6.11. В равновесных условиях возможны различные по¬
ложения уровня. Пусть уровень Ферми лежит ниже уровня Ех на
несколько kT (на рис. 6.11 он обозначен щ). Это значит, что центр на¬
ходится преимущественно в состоянии Л°.При малом уровне инжекции, например при слабом освещении кристалла,
отклонение от равновесия мало и преимущественное состояние центра в виде А0
сохранится.В этой ситуации рекомбинирующие
электроны могут захватываться только цент¬
рами Л°, а дырки —центрами в состоянии
Л-, возникающими после захвата электро¬
на (Л° + е~ ->Л”). Рекомбинация, таким
образом, идет только через один уровень
Ех. Время жизни стремится к тп0=(7^)"1,
что хорошо видно из (6.69) для полупровод¬
ника р-типа при малом числе центров Л
(см. §6.5).177Рис. 6.11. Энергетические
уровни двухзарядного ак¬
цептора
Рассмотрим другой случай, при котором уровень Ферми располо¬
жен выше уровня £2 (ца на рис. 6.11). При этом все центры находятся
в состоянии А=. Поэтому они будут эффективно захватывать дырки.
Рекомбинация и в этом случае идет только через один уровень, но те¬
перь уже через второй из двух возможных уровней центра А. Соответ¬
ственно, как следует из (6.69), для полупроводника «-типа время жиз¬
ни в этом случае стремится к тр0 = (yJNt)~x.При промежуточных положениях уровня Ферми в рекомбинации
участвуют оба уровня: Ех и £2. Если их значения известны и известна
полная концентрация центров рекомбинации, то можно найти степень
заполнения обоих уровней электронами, т. е. найти соотношения между
NT и NT. Это было сделано в § 3.8.Дырки захватываются центрами Лг=, а электроны — N~. Если
известны коэффициенты захвата у^ и у^, то можно найти тп0, тро и
соответственно времена жизни электронно-дырочных пар по формуле
Шокли — Рида. Это будут времена, характеризующие рекомбинацию,
идущую через уровни Ег и Е% в отдельности.Результирующее время жизни определяется по-прежнему выра¬
жением (6.82).Рекомбинация на дислокациях. В большом количестве эксперимен¬
тальных работ убедительно показано, что дислокации существенно
влияют на значения времен жизни носителей заряда. Однако теория
рекомбинации на дислокациях разработана крайне недостаточно,
да и то только для простейшего типа дислокации — краевой.Пусть полупроводник обладает /г-типом электропроводности и со¬
держит Na примесных атомов. Плотность дислокаций обозначим
ND, см-*. Вокруг линии дислокации в равновесных условиях появля¬
ется объемный заряд цилиндрической симметрии из-за ее акцепторного
характера и притяжения свободных электронов. Этот объемный от¬
рицательный заряд создает потенциальный барьер, препятствующий
захвату неравновесных электронов. Значение такого барьера(6.84)где К — некая малая величина, определяемая длиной волны электро¬
на; г0 — эффективный радиус объемного заряда вокруг дислокации,
равный(6.85)Удобно ввести обозначение eVi (kT) = bZ. Тогда скорость реком¬
бинации(6.86)Здесь индекс ноль по-прежнему относится к равновесным условиям.В (6.86) первое слагаемое отражает концентрацию захватываемых
дислокаций, второе — испускаемых (термическая ионизация) носи¬
телей заряда.
Для дырок теория дает несколько иное выражение(6.87)Физический смысл слагаемых в (6.87) и (6.86) одинаков. Различие
(6.86) и (6.87) проистекает от акцепторных свойств дислокации.Строго говоря, значения постоянных времени td в обоих выражениях не
должны быть одинаковыми. Но основные черты рекомбинации на дислокациях
удается вскрыть и в таком упрощенном приближении.Главный результат теории рекомбинации на дислокации заклю¬
чается в том, что дислокация проявляет сильные рекомбинационные
свойства лишь при малом значении bZ0.Действительно, из (6.86) видно, что при большом значении bZ0 теп¬
ловой выброс электронов затруднен и дислокация является плохим
«рекомбинационным центром» и, наоборот, хорошим «центром прили¬
пания».В первом случае время жизни т л* xD, во втором случае т « йт0,где(6.88)Рекомбинация с участием экситонов. В гл. 5 было показано, что
при определенных условиях при поглощении света энергия падающе¬
го кванта света расходуется на образование экситона. Возможен и
обратный процесс — рекомбинация электрона и дырки, составляющих
экситон, при которой он исчезает.§ 6.9. Понятие о поверхностной рекомбинацииАнализ рекомбинационных процессов показал, что с увеличением
концентрации глубоких локальных центров время жизни носителей
заряда уменьшается. В кристалле же всегда есть область, в которой
концентрация локальных центров велика. Этой областью является по¬
верхность кристалла. В реальных условиях, поскольку полупровод¬
ник контактирует с внешней средой, на его поверхности всегда при¬
сутствуют слои оксида и адсорбированные примеси. Различают по¬
верхностные состояния двух типов: быстрые и медленные. Быстрые
состояния характеризуются временами захвата на них электронов и
дырок порядка нескольких микросекунд, а для медленных состояний
эти времена составляют обычно миллисекунды, а в ряде случаев они
достигают даже нескольких часов!Установлено, что быстрые состояния расположены на границе меж¬
ду полупроводником и пленкой оксида. Медленные состояния нахо¬
дятся внутри и на поверхности оксидного слоя.Количество тех и других состояний, а соответственно и результи¬
рующая скорость рекомбинации носителей заряда зависят от обработки
поверхности полупроводника и от свойств внешней среды, с которой
он соприкасается.179
Если при этом окажется, что носители заряда рекомбинируют на
поверхности быстрее, чем в объеме, то эффективное время жизни т
всего кристалла в соответствии с правилом (6.82) уже не будет равно
объемному времени т0.В результате все усилия технологов, направленные на изготовле¬
ние кристалла с заданным объемным временем жизни носителей за¬
ряда окажутся напрасными, ибо в суммарное т более значительный
вклад вносит рекомбинация на поверхности. Кроме того, непостоян¬
ство условий на поверхности полупроводника во времени (испарение
примесей, миграция их и т. п.) является причиной нестабильности
суммарного времени жизни носителей в кристалле т, что приводит
к нестабильности характеристик различных приборов, в которых ис¬
пользуются полупроводниковые кристаллы.Явление поверхностной рекомбинации принято характеризовать
не временем жизни та носителей заряда на поверхности, которое за¬
висит от отношения поверхности кристалла к его объему, а скоростью
поверхностной рекомбинации, смысл которой станет ясным из следую¬
щих рассуждений.Пусть для примера кристалл обладает электропроводностью п-ти¬
па. В равновесных условиях поток дырок, приходящих к поверхности,
должен быть скомпенсирован потоком дырок, движущихся в обратном
направлении от поверхности в объем кристалла. В обратный поток не¬
обходимо включить как вновь возникающие дырки, так и отраженные
от поверхности. Обозначим среднюю вероятность отражения дырок от
поверхности через г Тогда в единицу времени на площадку поверхно¬
сти в 1 см2 будет падать \-vTp дырок (ит—средняя тепловая скорость)а число дырок, уходящих от поверхности, будет jrvTp + 5, где S —скорость возникновения (генерации) дырок на единичной площадке
поверхности.В равновесии(6.89)
отсюда(6.90)При отклонении от равновесия прямой и обратный потоки уже не
будут равны и результирующая скорость поглощения дырок у поверх¬
ности, которую обозначим Sa, будет определяться уравнением(6.91)Это уравнение перепишем в виде(6.92)где коэффициент пропорциональности s, имеющий размерность см/с,
и есть скорость поверхностной рекомбинации.180
Таким образом, по определению, скорость поверхностной рекомби¬
нации — это количество носителей заряда в 1 см3, рекомбинирующих
на 1 см2 поверхности в 1 с.Из изложенного ясно, что величина скорости поверхностной реком¬
бинации существенно зависит от характера обработки поверхности по¬
лупроводника. Так, для шлифованной поверхности германия, сопри¬
касающейся с воздухом, характерно значение s, равное 10* см/с. Если
шлифованную поверхность протравить, то значение s на свежепротрав-
ленной поверхности германия падает до 50—100 см/с, но с течением
времени из-за адсорбционных процессов скорость поверхностной ре¬
комбинации растет и достигает примерно 103 см/с.Таким образом, при изготовлении полупроводниковых приборов
возникают две важные задачи: поиск таких обработок поверхности,
при которых происходит значительное понижение скорости поверхно¬
стной рекомбинации, и поиск способов длительного сохранения достиг¬
нутых величин s. Последняя задача решается посредством нанесения
на поверхность кристалла специальных веществ и герметизации кор¬
пусов готовых полупроводниковых приборов.§ 6.10. Диффузионная длина носителей зарядаПомимо времени жизни явление рекомбинации можно характери¬
зовать так называемой диффузионной длиной lD. Эта величина, по оп¬
ределению, представляет собой расстояние, на котором концентрация
неравновесных носителей заряда уменьшается в е раз.Если генерация носителей заряда происходит равномерно во всем
кристалле и поверхностная рекомбинация отсутствует, то генериро¬
ванные носители в нем перемещаться не будут, если не приложено
внешнее электрическое поле или градиент температур. Но если гене¬
рация имеет место лишь в малой области кристалла (освещение узкой
полоской света), то в этой области концентрация носителей заряда я
будет выше, чем в остальных точках кристалла. Под влиянием гради¬
ента концентрации Ап/Ах = (п — п0)/Ах сразу же начнется диффузия
избыточных носителей заряда из области их генерации. Очевидно, что
путь lD, который пройдут в кристалле носители заряда, определяется
временем жизни, ибо в конце его избыточные носители рекомбини¬
руют, а также подвижностью, так как рассеяние затрудняет переме¬
щение носителей. В результате между lD и т имеет место следующее
соотношение:где D — коэффициент диффузии носителей заряда, определяемый вы¬
ражением, известным под названием соотношения Эйнштейна:(6.93)(6.94)где р — подвижность электронов или дырок.
Контрольные вопросыI. Что называют процессом генерации электронно-дырочных пар? 2. В чем
смысл понятия инжекции носителей заряда? 3. Что называют процессом реком¬
бинации носителей заряда? 4. Дайте определение скоростей генерации и ре¬
комбинации носителей. 5. Дайте определение понятия времени жизни носителей
заряда. 6. Чем отличаются стационарные и нестационарные времена жизн i
носителей заряда? 7. В чем сущность эффекта прилипания? 8. Какие существуют
виды рекомбинации? 9. Какие существуют механизмы рекомбинации? В чем
проявляются их различия? 10. Как изменяется значение излучателышго времени
жизни с изменением степени легирования полупроводника? 11. В каких
полупроводниках излучательная межзонная рекомбинация наиболее вероятна?
12. В чем сущность межзонной ударной рекомбинации? 13. Что такое поверх¬
ностная рекомбинация? Какую роль она играет при использовании полупро¬
водников в полупроводниковых приборах? 14. Каков физический смысл понятия
диффузионной длины? Каким образом она связана с временем жизни носи^ъ-
лей заряда?Задачи6.1.	Время жизни носителей заряда при излучательной межзонной реком¬
бинации в германии при комнатной температуре оказалось равным 8• 10—2 с.
Концентрация носителей заряда при этом составляла п = 2-1018 см~8. Опре*
делить коэффициент излучательной рекомбинации. Уровень инжекции при
измерении считать малым,6.2.	В примесном полупроводнике л-типа концентрация равновесных элек¬
тронов равна 5‘Ю16 см~3. Время жизни электронов при излучательной реком¬
бинации в условиях малого уровня инжекции составляет 10“б с. Оценить зна¬
чения времени жизни при изменении концентрации электронов до: 2*1017#
5-1017 и 7• 1017 см-*.6.3.	Проанализировать температурную зависимость излучательного вре¬
мени жизни в собственном германии.Принять случай малого уровня инжекции. При анализе считать коэффи¬
циент Уи не зависящим от температуры.6.4.	Проанализировать температурную зависимость излучательного времени
жизни дырок в германии p-типа, легированного галлием до концентраций
2-10й см-8. Для анализа принять область температур 4К < Т ^ 77 К.6.5.	Во сколько раз и как изменится время жизни при ударной рекомбина¬
ции при изменении степени легирования кремния с 4* 1018 до 8*1019 см~3? Ле¬
гирующая примесь — фосфор.6.6.	Пользуясь данными о подвижностях электронов и дырок в германии
и кремнии, вычислить значения коэффициентов диффузии Dn, р при 77 и 300 К.6.7.	Значение времени жизни электронов в образце германия при 300 К
составило 2-10—4 с. Вычислить диффузионную длину. При решении воспользо¬
ваться значением Пп, найденным в задаче б.Литература: |14|, (28) — [30J.Глава 7ФОТОЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ§7.1. Фотопроводимость полупроводниковСущность фотопроводимости или изменения удельного сопротивле¬
ния полупроводника при освещении состоит в том, что при поглощении
света происходят те или иные переходы носителей заряда, в резуль¬
тате которых в разрешенных зонах — зоне проводимости или в ва-182
Рис. 7.1. Спектральные зависи¬
мости коэффициента оптиче¬
ского поглощения (а) и фото¬
тока (б):J — полоса собственного поглоще¬
ния: 2, 3 —■ пики примесной фото¬
ионизации; 4, 5 — электронные пе¬
реходы на возбужденные состояния;
6 — поглощение на свободных но¬
сителях; 7 — примесные колебания;
8 — собственная фотопроводимость;
9, 10 — примесная фотопроводи¬
мость; 1J — фототсрмическая иони¬
зациялентной зоне — может воз¬
растать концентрация сво-
бодных носителей. Прирост
концентрации свободных
носителей заряда и вызы¬
вает увеличение удельной
электрической проводимо¬
сти полупроводника.Различают собственную фотопроводимость, связанную с межзон-
ными оптическими переходами, и примесную, обусловленную примес¬
ными уровнями, т. е. переходами либо электронов на эти уровни из
валентной зоны, либо, наоборот, электронов с примесных уровней в
зону проводимости. Это зависит от того, где расположен уровень Фер¬
ми, т. е. от того, заполнены или пусты локальные примесные уровни.Для иллюстрации связи фотопроводимости с поглощением света
на рис. 7.1 показаны спектральные кривые коэффициента поглощения
и интенсивности фототока.Собственному поглощению (кривая 1) соответствует собственная
фотопроводимость (кривая 5), порог которой совпадает с порогом по¬
глощения (fm — Eg). Этот порог еще называют красной границей фо¬
топроводимости или фотоэффекта. По мере увеличения поглощения
при уменьшении X происходит рост фототока. Затем фототок достигает
максимума, после чего спадает. Это связано с тем, что при больших а
поглощение происходит в тонком приповерхностном слое d ~ 1/а, в
котором из-за поверхностной рекомбинации время жизни фотоносит'е-
лсй мало, а фототок как раз и определяется числом генерированных но¬
сителей заряда и их временем жизни:Далее из рис. 7.1 видно, что примесному поглощению света (пики 2, 3)
соответствует примесная фотопроводимость (пики 9, 10). Спектраль¬
ные участки, в которых проявляются оба эффекта, совпадают.Как было показано в гл. 5, в спектре оптического поглощения на¬
блюдаются пики, связанные с переходами в примесные возбужденные
состояния (кривые 4, 5 на рис. 7.1). При таком механизме поглощения
дополнительные свободные носители заряда в разрешенных зонах не
образуются и возникновения фотопроводимости в этом участке спектра
ожидать не приходится. Однако носитель, заброшенный на возбуж¬
денный уровень, может быть доброшен в разрешенную зону теплотой.(7.1)183
Это — явление фототермической ионизации. Для его наблюдения не¬
обходимо соблюсти условие (5.66) и условиеПри этом в кристалле появится фототок, показанный на рис. 7.1 в ви¬
де пика 11.На том же рис. 7.1 приведены поглощение на свободных носителя*
(кривая 6) и пик поглощения 7, вызывающий колебания примесного
атома, например, кислорода (см. §5.4). Ни тот, ни другой механизм по¬
глощения не генерирует свободные носители заряда и поэтому не про¬
является в спектральной характеристике фототока.Именно это обстоятельство часто позволяет путем сравнения обоих спектров
экспериментально различить механизмы поглощения света, создающие и не со¬
здающие свободных носителей заряда.В явлении фотопроводимости проявляется и экситонное поглоще¬
ние. Оно само по себе не создает свободных носителей заряда, но при
термической диссоциации экситона появляются электрон в зоне про¬
водимости и дырка в валентной зоне. Они уже могут участвовать в
электрическом токе, проходящем через кристалл.Для большинства полупроводников фотопроводимость наблюдается
в инфракрасной области спектра. Это обусловило использование по¬
лупроводников в качестве детекторов (приемников) инфракрасного
излучения. Значение и спектральная зависимость фотопроводимости
в первую очередь зависят от механизма оптических переходов и ин¬
тенсивности падающего света. Однако последнюю не имеет смысла уве¬
личивать вьше некоторого предела, ибо по мере увеличения концент¬
рации фотоносителей будет расти вероятность рекомбинации, снижаю¬
щая время жизни носителей, а значит и фототок (фотопроводимость).
Для дальнейшего изложения рассмотрим количественные характе¬
ристики фотопроводимости.Обозначим удельную проводимость кристалла, обусловленную но¬
сителями заряда, генерированными при освещении, аф. Соответствен¬
но проводимость без освещения — темповую проводимость — ат. Их
значенияВведем еще понятие фоточувствительности полупроводника, опре¬
делить которую можно несколькими способами.При первом способе под фоточувствительностью понимают фото¬
проводимость, отнесенную к единице интенсивности излучения, гене¬
рирующего фотоносители. Часто рассматривают удельную фоточувст¬
вительность р, которая, по определению, представляет собой отноше¬
ние(7.2)(7.3)(7.4)(7.5)184
где S — площадь между токовыми электродами на образце, которую
положим равной освещаемой площади образца; /0 — интенсивность
света, отнесенная к 1 см2 поверхности, т. е. размерность 6 —
|см • Ом-1 • Вт-1].Проанализируем, от каких параметров зависит удельная г)оточув-
ствительность.Используя (7.1) для электронов и аналогичное ему выражение для
дырок, перепишем (7.3) в виде(7.6)Скорость генерации (см. §6.1)(7.7)В этом выражении т] — «коэффициент полезного действия» процесса
генерации, определяющий число электронно-дырочных пар при по¬
глощении одного фотона. Коэффициент г| именуют квантовым выходом.Подставляя (7.6) с учетом (7.7) в выражение для удельной фоточув¬
ствительности (7.5), находим(7.8)Из этого выражения видно, что удельная фоточувствительность,
называемая еще фотоответом, не зависит от интенсивности освещения
и электрического напряжения, приложенного к образцу для наблюде¬
ния аф или фототока Уф. Значение 0 определяется исключительно свой¬
ствами полупроводникового кристалла.Разумеется, сделанный вывод справедлив не всегда. Он не имеет места
при большом уровне инжекции, при сильном электрическом поле, приложен¬
ном к образцу, когда нарушается закон Ома и в ряде случаев, когда не выпол¬
няется соотношение (7.1).Связь р со свойствами кристалла и независимость от условий опы¬
та обусловливает применимость определения фоточувствительности
по (7.5) в физических исследованиях и технологических разработках
материалов. В последнем случае (7.5), а соответственно и (7.8) позво¬
ляют оценивать перспективу применения материала в фотоэлектро¬
нике.При втором способе за значение фоточувствительности принимают
такую интенсивность падающего на образец излучения, которая вызы¬
вает сигнал фотопроводимости, равный шуму образца.Шум в электрической цепи с образцом полупроводника появляется
по разным причинам: явления в электрических контактах к образцу
(см. гл. 9), флуктуации концентрации носителей заряда в кристалле
и интенсивности поглощаемого света, а также флуктуации теплового
излучения веществ, окружающих образец.Фоточувствительность, определенная таким образом, чаще исполь¬
зуется в технике, поскольку кристалл полупроводника, включенный
в электрическую цепь как резистор, используется в качестве детекто¬
ра излучения. В этом случае превышение <тф над шумовой электропро¬
водностью ош или, что то же самое, превышение /ф над средней /ш185
определяет так называемую обнаружительную способность полупро¬
водникового фотодетектора.При третьем способе фоточувствительность определяется как кон¬
центрация фотоносителей, проходящих через кристалл в 1 с, приходя¬
щаяся на один поглощенный фотон. Это отношение еще называют фо¬
тоэлектрическим усилением К:(7.9)где V — объем кристалла.Эту же величину можно выразить иначе:(7.10)где tn и tp — времена пролета через кристалл электронов и дырок со¬
ответственно.Время пролета — это время, за которое носитель заряда проходит
через кристалл расстояние d от одного электрического контакта до
другого:(7.11)где S — напряженность поля в меж контактном пространстве в кри¬
сталле: \S\-dlU (U — электрическое напряжение).Используя (7.11) и заменяя S на U, получим вместо (7.10):(7.12)Из (7.12) и (7.8) нетрудно установить связь между р и К.Наконец, часто для оценки фоточувствительности полупроводни¬
кового материала используют отношение аф/ат или Дп/п0.В заключение укажем, что различают стационарную и нестацио¬
нарную фотопроводимость (см. рис. 6.1). На нарастающем и спадающем
участках кривой Ап (t) мы имеем дело с кинетикой фотопроводимости,
а на плато Ап — const. Это и есть стационарная фотопроводимость.
Выражение (7.1) и все изложение в этой главе относятся к стационар¬
ной фотопроводимости.Кинетика фотопроводимости чаще используется для измерения вре¬
мен жизни носителей заряда (см. § 12.6).§ 7.2. Примесная фотопроводимостьВ полупроводнике с примесными уровнями возникает фотопрово¬
димость за счет процессов фотоионизации примесей. Порог примесной
фотопроводимости лежит в области ft® < Eg. Поэтому путем легиро¬
вания полупроводника примесями с различной энергией ионизации
удается варьировать длинноволновую границу фотоответа. Это обсто¬
ятельство определило применимость полупроводниковых фоторезис¬
торов в качестве детекторов оптического излучения в различных уча¬
стках спектра.На рис. 7.2 показана энергетическая схема полупроводника с глу¬
боким акцептором Et, расположенным в верхней половине запрещен¬ие
Рис. 7.2. Схема образования
электронной примесной фо¬
топроводимости (фоточув-
ствительный уровень в верх¬
ней половине запрещенной
зоны)Рис. 7.3. Схема образования
дырочной примесной фотопро¬
водимости (фоточувствитель-
ный уровень в нижней полови¬
не запрещенной зоны)ной зоны. Часть уровней Et закомпенсирована электронами от мелко¬
го донора Ед. При освещении такого полупроводника светом Лео >
> £е — Et электроны с закомпенсированных уровней генерируют¬
ся в зону проводимости (gn.) и в кристалле возни кает фотопроводимость.
Если при этом окажется, что Ло < Et — Ev, то электронных забросов
на уровень Et из валентной зоны не будет и фотопроводимость будет
монополярной, т. е. фотоносителями будут только электроны. Если же
Лю > Et—Ев, то генерируются и электроны, и дырки. Фотопроводи¬
мость — биполярная.Частично компенсированный акцепторный уровень Et может быть
расположен и в нижней половине запрещенной зоны (рис. 7.3). В этом
случае при fm > Et — Ev происходит заброс электронов из валентной
зоны на незакомпенсированные уровни Et, возникает генерация дырок
(gp) и примесная монополярная фотопроводимость дырочного типа.
При дальнейшем увеличении /ко она перейдет в биполярную, как толь¬
ко реализуется условие ftto > Ее — Et.Из этих двух примеров видно, что количественная интепретация
примесной фотопроводимости является сложной задачей, в которой
результирующая концентрация фотоносителей зависит одновременно
от равновесных (компенсация) и неравновесных (рекомбинация) па¬
раметров полупроводника.Теория примесной фотопроводимости осложняется еще и многоза-
рядностью многих глубоких уровней или одновременным присутст¬
вием нескольких уровней разной природы в кристалле. Поэтому на¬
хождение связи (7.1) в каждом конкретном случае является самостоя¬
тельной задачей. Для иллюстрации приведем без подробностей два при¬
мера.1. Возьмем полупроводник с одним типом глубоких примесных
центров Nt с небольшим числом мелких доноров N я при малом уровне
пижекции, т. е. рассмотрим случай, проанализированный в теории ре¬
комбинации Шокли—Рида (см. § 6.5). Наложим дополнительное усло¬
вие монополярной фотопроводимости.
Время жизни электронов, возбужденных с закомпенсированной
части уровней Et в зону проводимости, можно представить в виде(7.13)
скорость генерации(7.14)В этих выражениях q — сечение захвата фотона; not — равновесная
концентрация электронов на уровнях Et; остальные обозначения те
же, что и в § 6.5.Подставим (7.13) и (7.14) в (7.1) и получим концентрацию фотоно¬
сителейИз этого выражения видно, что значение примесной фотопроводи¬
мости зависит от параметров q, у, характеризующих глубокий примес¬
ный уровень его концентрации Nt, от степени заполнения not локаль¬
ного уровня, от положения глубокого уровня в запрещенной зоне,
поскольку (см. § 6.5) пг — N0 exp [—Et! (kT)\ и от интенсивности ос¬
вещения /0.Все концентрационные параметры из числа перечисленных связа¬
ны друг с другом через уровень химического потенциала. Поэтому
примесную фотопроводимость можно в общем виде представить в виде
функции Ап Г(л/ (kT)]. Графический вид этой функции показан на
рис. 7.4.Теория дает значение (/г0)т, при котором фотопроводимость макси¬
мальна:(7.16)Сама величина(7.17)Из этих выражений и из кривых рис. 7.4 следует важный вывод о
главенствующей связи примесной фотопроводимости со степенью за¬
полнения фоточувствительного уровня. Однако глубокие уровни при
температурах 300 К и ниже находятся практически в неионизирован-
ном состоянии и для их заполнения необходима компенсация другой
примесью, противоположного типа с мелким уровнем.Необходимость компенсации следует и из определения фоточувст¬
вительности (<Хф/ат). Действительно, чем более компенсирован полу¬
проводник, тем меньше его темновая проводимость и выше фоточувст¬
вительность.138
Рис. 7.4. Зависимость стацио¬
нарной примесной фотопрово¬
димости полупроводника от
уровня химического потенциа¬
ла (концентрации равновесных
электронов) и содержания глу¬
боких примесных уровней:1—4 — Nti<Nt2<Nt3<NtAРис. 7.5. Люкс-амперная харак¬
теристика компенсированного
полупроводника (безразмерные
величины) при б
i — 1,0; 2-0,1; з - 10,0Строгий анализ компенсации для условий, котопые оговяриияттсъ
при анализе теории Шокли—Рида, дает выражении для относи гельныл
значений
припригде(7.18)(7.19)(7.20)здесь Sn — сечение захвата электронов уровнем /:г; vT — тепловая
скорость электронов.Зависимость Ап от /0, называемая люкс-амперной характеристи¬
кой (л. а. х.) при разной степени компенсации, показана на рис. 7.5.
Видно, что при а ^ 10-^30 происходит насыщение л. а. х. Это явля¬
ется особенностью примесной фотопроводимости, в отличие от собст¬
венной. Кроме того, отклонение степени компенсации б от 1 в ту или
другую сторону приводит к снижению фоточувствительности.2. Рассмотрим кристалл с многозарядной примесью. Наглядным
примером может служить германий, легированный одновременно
мелким донором — сурьмой и глубоким акцептором — медью. Медь
(см. рис. 2.5) создает в германии три уровня с энергиями Е&1 =
= Е„ + 0,04 эВ, ЕйЪ = Ев + 0,34 эВ и £а3 — Еа — 0,26 эВ.При компенсации этих уровней электронами сурьмы в зависимости
от соотношения концентраций атомов меди и сурьмы возможны пять189
вариантов заполнения уровней (рис. 7.6). При соотношении 0 ^
< Nsh < Ncu (рис. 7.6 а) частично компенсирован только пер¬
вый уровень меди. Кристалл обладает электропроводностью р-типа
и низким удельным сопротивлением из-за того, что все атомы меди,
поскольку £а 1 мало, ионизированы при комнатной температуре. Та¬
кой кристалл нецелесообразно исполь¬
зовать в качестве фотодетектора, ра¬
ботающего на примесной фотопрово¬
димости, так как он при Т ж 300 К
чувствует кванты света ha = Eg—EaU
что близко к Е8 и фоточувствитель¬
ность будет низкой из-за больших
значений от.При соотношении легирующих при¬
месей NCu < Nsb < 2/Vcu (Рис- 7-б, 6)
нижний уровень меди компенсирован
полностью, а второй уровень £аг —
частично. Кристалл по-прежнему об¬
ладает электропроводностью р-типа,
но уже имеет высокое удельное со¬
противление при комнатной темпера¬
туре, поскольку ехр [—Ез2/ (2кТ)]
оказывается чрезвычайно малой.Такой кристалл проявляет фото¬
чувствительность (от — мало) в обла¬
сти Eg/2 > /гсо 2? £а2. Эта фотопро¬
водимость будет монополярной и ды¬
рочной. Последнее делает этот кри¬
сталл не очень перспективным для
фотоприемников, так как подвижность
дырок меньше, чем электронов, и зна¬
чение Сф оказывается небольшим.Если йо) не будет меньше Eg!2, то,
как видно из рис. 7.6, б, имеют место
двойные оптические переходы: заброс элек¬
трона на уровень Eai из валентной зоны
и затем выброс электрона с уровня Еа в
зону проводимости. Фотопроводимость бу¬
дет биполярной.Третий вариант заполнения уров¬
ней показан на рис. 7.6, в при соот¬
ношении 2Nca <■ A^sb < ЗЛ/cu- В этом
случае два уровня компенсированы
полностью, а третий £а3, лежащий в
верхней половине запрещенной зо¬
ны, — частично. При этом практиче¬
ски нет переходов электронов из ва¬
лентной зоны на уровень £а3 и с
него —в зону проводимости. ПоэтомуРис. 7.0. Различные варианты ком¬
пенсации уровней меди в германии
электронами донорного уровня
сурьмы:о — 0 < Л/5|> < ЛГси; б — WCu < Nsb <
<2NCa: в — 2JVCu < JVsb<3NCu; г —Wsb=3WCu; <>-wsb>3.Vcu190
кристалл будет обладать электропровод¬
ностью л-типа и высоким удельным сопро¬
тивлением при Т = 300 К. Еще большая
компенсация при Ns,b — 3#си (рис. 7.6, г)
приводит к колоссальному увеличению
удельного сопротивления уже при неболь¬
шом снижении температуры. Так, на опыте
в Ge < Sb, Си >• удается получить р «1012 Ом • см при Г = 77 К.Этот случай наиболее выгоден для фото¬
электрических применений. Кристалл чув¬
ствителен к квантам света Асо~^Ев—Еа3Рис. 7.7. Зависимость темновой концентрации
п„, концентрации фотоносителей Дп и фото¬
чувствительности пА/пп кристаллов Ge<Sb,Cu> от степени компенсации 6=A,sb/A,cu:/ — Па\ 2 — Дл; 3 — Дл/л0и имеет достаточно высокую фоточувствительность из-за низкой от и
одновременно высокой аф.Если же Nsb > 3/Vcu (рис. 7.6, д), то электропроводность кри¬
сталла определяется избыточными атомами сурьмы: я = Nsb —
— ЗЛГси и кристалл становится низкоомным со слабой фоточувст¬
вительностью в области Лео Э5 Ев — £аа вплоть до очень низких тем¬
ператур вымораживания мелкого уровня сурьмы.Для наиболее выгодного с точки зрения фотоэлектрических при¬
менений случая 2/Vcu < A^sb ^ 3jVCu условие точной компенсации
NCaимеет вид: 36 = 3 -тт— = I. Выражение л. а. х. в этом случае несколь-/VSbко усложняется по сравнению с (7.18) и (7.19), справедливыми для од¬
нозарядного центра, и имеет вид*:(7.21)где величины noi, q и v относятся к фоточувствительному уровню меди
Ел3. Входящие в (7.21) величины п0, not, а также и степень компенса¬
ции б определяют путем решения уравнения нейтральности (см. § 3.7
и 3.8).* Теоретический расчет взят из работы С. М. Рывкииа, Л. Г. Парицкого,
Р. Ю. Хансеварова, И. Д. Ярошецкого. Физика твердого тела, Т. 3, 1961, № 2,191
Эта процедура не сложна, но громоздка и поэтому не приведена.Зависимость Ап, п0 и Anln0 от степени компенсации 36 при некото¬
рых условиях, реализуемых на опыте (NSb = 3 • 1015 см-3, qjjy =
= 109 см-8, Т = 77 К), показана на рис. 7.7.Характерно, что наибольшая относительная фоточувствительность
Ап1п0 достигается при значениях 36 = 1,001-И ,01, а не при 36 = 1,0,
когда Ап — максимальна.§ 7.3. Фотовольтаические эффектыПомимо фотопроводимости освещение полупроводникового кри¬
сталла может вызывать появление электродвижущей силы. Для этого
в кристалле в отсутствие источника внешнего электрического напря¬
жения должно по тем или иным причинам появиться внутреннее элек¬
трическое поле, способное направить фотоэлектроны и фотодырки в
разные стороны. Тогда противоположные стороны образца зарядятся
разноименно и возникнет фото-э.д.с.Различные эффекты, приводящие к появлению фото-э.д.с., при
освещении полупроводников объединяют в класс фотовольтаических
явлений. Рассмотрим некоторые из них.Объемная фото-э.д.с. Она появляется при освещении полупро¬
водника, неоднородного по концентрации равновесных носителей за¬
ряда. Экспериментально этот эффект наблюдается в возникновении
электрического напряжения на торцах пластинки полупроводника
(рис. 7.8, а), а его природу поясняет рис. 7.8, б. Для определенности
взят полупроводник л-типа, в котором для простоты будем считать,
что неоднородность концентрации распространяется только в одном
направлении, т. е. dnjdx ф 0, a dnjdy = dnjdz = 0.Тогда в каждом сечении образца вдоль оси х будет разная концен¬
трация носителей заряда п0, а следовательно, и разные значения хи¬
мического потенциала ц, но уровень химического потенциала во всей
системе (образце) выравнивается и края зон Ес и £0 оказываются на¬
клонены по отношению к уровню Ферми. В кристалле появится вну¬
треннее постоянное электрическое поле. Без освещения в этом поле не
возникает электрический ток, так как потоки электронов и дырок, воз¬
никшие под влиянием поля —
дрейф носителей заряда, уравно¬
вешиваются диффузионными по¬
токами этих же носителей, на-
правтенных в сторону меньшей
их концентрации, т. е. против
дрейфа.При освещении равновесие
нарушается и появившиеся по¬
токи фотоэлектронов и фотоды¬
рок, направленные в разные
стороны, заряжают противопо¬
ложными знаками торцы об¬
разца. Возникает фото-э. д. с.Рис. 7 8 Схемы, поясняющие возникно¬
вение объемной фото-э. д. с.:а — принципиальная схема опыта; 6 — энер¬
гетическая диаграмма неоднородного полупро¬
водника192
Значение возникшего напряжения
V0 связано с градиентом концентра¬
ции dttjdx следующей зависимостью:(7.22)где LDp — диффузионная длина неос¬
новных носителей — дырок в рассмот¬
ренном кристалле «-типа.Для кристалла/?-типа справедлива
та же формула с заменой обозначе¬
ний п на р.Эффект Дембера представляет
собой однородный полупроводник,
но освещение его производится неод¬
нородно. Экспериментально это, на¬
пример, наблюдается при освеще¬
нии поверхности кристалла квантами
света, энергия которых вызывает появление фотоносителей в одной
или в обеих разрешенных зонах. Если коэффициент поглощения
света велик, то он поглощается в тонком приповерхностном слое по¬
лупроводника. Электроны (или дырки), а если происходили переходы
электронов из валентной зоны в зону проводимости, то и электроны,
и дырки, диффундируют в область кристалла с меньшей освещенно¬
стью. Это вызывает появление э. д. с. на кристалле между его частями,
освещенными по-разному.Приведем выражение для напряжения Дембера Vu без вывода:(7.23)справедливое в случаях собственной и примесной биполярной фотопро¬
водимости. Если же в приповерхностном слое возникает только при¬
месная монополярная фотопроводимость, то в (7.23) следует прирав¬
нять нулю либо и„, либо ир в зависимости от того, генерируются ли
электроны с доноров или они забрасываются на акцепторы.Фотомагнитный эффект (ФМЭ), или аффект Кикоина—Носкова*.
Он заключается в появлении поперечной э.д.о., перпендикулярной
световому потоку, вызывающему эффект Дембера при наложении маг¬
нитного поля (рис. 7.9).В этом случае на диффундирующие от поверхности электроны и
дырки действует сила Лоренца, аналогично тому, как это было при
поперечном эффекте Нернста—Эттингсгаузена. Под влиянием силы
Лоренца электроны и дырки отклоняются в противоположных направ¬
лениях, т. е. к противоположным граням кристалла, между которыми
и возникает э. д. с. фотомагнитного эффекта.* Этот же эффект иногда называют фотоэлектромагнитным (ФЭМ-эф¬
фект! .7 Зак. 1758193Рис. 7.9. Возникновение фотомаг¬
нитного эффекта
Фотомагнитная э. д. с.(7.24)где г) — квантовый выход фотопроводимости; S — площадь контак¬
тов к образцу, между которыми измеряется <$фмэ-Рассмотренными примерами не исчерпываются фотовольтаические
эффекты. Вообще они возникают в двух случаях: либо освещение полу¬
проводника должно быть неоднородным, либо полупроводник дол¬
жен быть неоднородным. Возможны и комбинации того и другого ус¬
ловий. Наконец, неоднородности могут быть не монотонны и неодно¬
мерны. Все это осложняет количественный анализ наблюдаемых на
опыте фотовольтаических явлений, но, конечно, не меняет их физи¬
ческую сущность.§ 7.4. ФотолюминесценцияВсе твердые тела в той или иной степени излучают свет. Следует
различать тепловое излучение, которое является равновесным свой¬
ством кристалла и излучение электромагнитных колебаний нетепло¬
вого происхождения — люминесценцию.Люминесценция представляет собой процесс выделения избыточной
энергии, полученной кристаллом при переходе в неравновесное состоя¬
ние. Наиболее наглядно этот процесс был рассмотрен при изучении
рекомбинации носителей заряда (см. гл. 6). Излучательная рекомбина¬
ция (см. § 6.2) — это и есть один из видов люминесценции — рекомби¬
национное излучение полупроводника.По определению С. И. Вавилова, люминесценция есть избыток над
температурным излучением тела, если это избыточное излучение об¬
ладает конечной длительностью, значительно превышающей период
световых колебаний.Намоним, что период световых колебаний составляет примерно
10-и с. Длительность, например, отражения света, которое тоже яв¬
ляется неравновесным излучением такого же порядка. Именно инер¬
ционность люминесценции отличает ее от всех других видов неравно¬
весных излучений (отражения, рассеяния, и др.). Из того же приме¬
ра рекомбинационного излучения понятно, что его длительность оп¬
ределяется временами жизни генерированных избыточных носителей,
заряда, кроме того, люминесценция происходит и после выключения
генерации носителей заряда, т. е. в отсутствие возбуждения полупро¬
водника. В этом случае говорят о послесвечении кристалла.Люминесценцию можно классифицировать по видам и механиз¬
мам. Вид люминесценции определяется способом возбуждения веще¬
ства, т. е. способом перевода его в неравновесное состояние. Если из¬
быточная энергия сообщается веществу светом, то излучение света
при обратном переходе кристалла в равновесное состояние называют
фотолюминесценцией. При возбуждении электронным ударом возни¬
кает катодолюминесценция. При приложении сильных электрических194
центров. В то же время во многих случаях удается найти количест¬
венную связь между интенсивностью различных полос люминесцен¬
ции и концентрацией примесных центров и сечениями захвата элект¬
ронов и дырок этими центрами.Однако нахождение такой связи в каждом конкретном случае пред¬
ставляет собой тщательный анализ всех рекомбинационных процессов
и является достаточно сложной задачей, выходящей за рамки данного
учебного пособия.Контрольные *опросы1. В чем состоит сущность явления фотопроводимости? 2. Как связана
фотопроводимость с поглощением света? 3. Что такое красная граница фото¬
проводимости? 4. Каков механизм фототермической ионизации? 5. Участвуют
ли экситоны в возникновении фотопроводимости? в. Какие вы знаете определе¬
ния фоточувствительности? 7. В чем состоит отличие моно- и биполярной при¬
месной фотопроводимости? 8. Какова роль заполнения примесных уровней в
фотопроводимости? 9. Что такое люкс-амперная характеристика полупровод¬
ника? Какими параметрами она определяется? 10. Что такое фотовольтаиче-
ские явления? 11. Какие условия требуется выполнить для возникновения фото-
вол ьтаических явлений? 12. Объясните природу объемной фото-э. д. с. 13.
Какова сущность эффекта Дембера? 14. Каков механизм появления фотомагнит-
ной э. д. с.? 15. В чем сущность фотолюминесценции? 16. Какие виды люминес¬
ценции вы знаете? 17. От каких факторов зависит интенсивность люминесцен¬
ции?Литература: [29], [31] — [35].Глава 8ПОЛУПРОВОДНИКИ в сильном
ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ§ 8.1. Разогрев носителей заряда в электрическом полеПри описании явлений переноса и рекомбинации рассматривались
случаи воздействия на кристалл слабым электрическим полем, т. е.
предполагалось, что ток, проходящий через кристалл, подчиняется
закону Ома:(8.1)Это значит, что величина о оставалась постоянной при воздействии
электрическим полем S на кристалл, т. е. поле не изменяло ни кон¬
центрацию, ни подвижность носителей заряда.Подвижность носителей заряда(8.2)где vT — тепловая скорость носителя заряда.Постоянство подвижности носителей заряда при воздействии сла¬
бым полем позволяет утверждать, что при этом остается постоянной
скорость электрона. В то же время при изучении явлений переноса196
полей можно получить электролюми¬
несценцию. Бомбардировка рентге¬
новскими лучами, v-квантами и дру¬
гими ядерными частицами, также
приводящая к возбуждению кристал¬
ла, приводит к излучению света и в
этом случае его называют радиолю¬
минесценцией.Механизмы люминесценции в по¬
лупроводниках различают по тому,
происходит ли она внутри примесно¬
го центра или с участием электрон¬
ной подсистемы всего кристалла.В первом случае процесс аналогичен
внутрицентровому поглощению света (см. § 5.4). Такие механизмы
получили название мономолекулярной и метастабильной люминес¬
ценции.Мономолекулярная люминесценция представляет собой свечение при об¬
ратном переходе электрона с возбужденного уровня на основной. Если же на
возбужденный центр одновременно действуют еще какие-либо внешние факторы,
то говорят о метастабильной люминесценции.Во втором случае имеет место рекомбинационное излучение, смысл
которого ясен из предудыщего изложения.Мономолекулярная и метастабильная люминесценции проявля¬
ются в таких материалах квантовой электроники, как рубин (А1203),
с замещением части атомов алюминия атомами хрома. Переходы элект¬
ронов внутри уровней, принадлежащих иону Сг8+, обусловливают
две линии излучения, которые беспрепятственно выводятся из широко¬
зонного кристалла А1203. Это явление используется в лазерах, или
оптических квантовых генераторах.В полупроводниках большую роль играет рекомбинационное из¬
лучение, которое происходит как непосредственно между электрона¬
ми зоны проводимости и дырками валентной зоны, так и с участием
уровней примесных центров.Общий вид рекомбинационного излучения полупроводника пока¬
зан на рис. 7.10. Крайним пиком люминесценции является межзон-
иое излучение, энергия квантов которого равна Eg. Эту полосу излу¬
чения называют краевой люминесценцией. В спектре люминесценции
на рис. 7.10 показаны полосы с ftco < ЕЙ, происхождение которых
связано с рекомбинацией через локальные центры — это примесная
люминесценция.Количественно люминесценция, как любое электромагнитное из¬
лучение, характеризуют интенсивностью — числом квантов (энерги¬
ей), излучаемых с 1 см2 поверхности кристалла в единицу времени.Интенсивность люминесценции зависит от относительного вклада
излучательной и безызлучательной рекомбинации. Поэтому ни сама
интенсивность, ни площадь пика примесной люминесценции не явля¬
ются величинами, пропорциональными концентрации примесныхРис. 7.10 Общий вид рекомбина¬
ционного излучения полупровод¬
ника7*196
рассматривалось упорядочение движения носителей заряда под влия¬
нием электрического поля, т. е. рассматривалось изменение их скоро¬
сти. В этом нет противоречия, ибо слабое электрическое поле изменя¬
ет скорость лишь по направлению, но абсолютная величина скорости
остается неизменной. В действительности, электрическое поле изме¬
няет (увеличивает) тепловую скорость vT на некоторую величину Ас/, но
до тех пор, пока добавка Да мала по сравнению с ит, электрическое
поле можно считать слабым.Если относительное изменение Av/vT составит 10%, то поле, вызы¬
вающее такое изменение, принято считать сильным. Напряженность
электрического поля, вызывающего десятипроцентное изменение ско¬
рости носителей заряда, называют критическим полем и обозначают
<^к.На основании выражения (4.6) запишем(8.3)Отсюда видно, что одно и то же изменение скорости будет у полу¬
проводников с большей подвижностью в меньшем поле. Это подгвер-
ждается опытом (табл. 8.1).Таблица 8.1. Значения напряженности электрического поля <?к
при котором наблюдается Ду/ит= 10% (Т—300 К)Полупроводники, см^В-^с”1В см~1Ge и-тип3900900Ge р-тип15001400Si п-тип12002500Si р-тип5007500Из (8.3) следует, что добавка к скорости определяется подвижно¬
стью, т. е. временем релаксации т. Проанализируем влияние сильного
поля на подвижность при различных механизмах рассеяния. Для это¬
го, воспользовавшись ранее полученными соотношением (4.75), найдем(8.4)где г — фактор рассеяния, равный нулю при рассеянии на акустичес¬
ких фононах и равный двум при рассеянии на ионах примеси.Подставляя в (8.4) вместо энергии Е ее значение, равное m*vll2,
найдем, что в случае рассеяния на фононах(8.5)а при рассеянии на ионах(8.6)Сильное поле, увеличивая скорость, по-разному влияет на время
релаксации т. В первом случае оно уменьшает т, а во втором — уве¬
личивает.197
В реальных кристаллах имеет место смешанный механизм рассея¬
ния. При малых концентрациях примеси (см. рис. 4.8) преобладает
фононный механизм рассеяния и в таких чистых или весьма слабо ле¬
гированных полупроводниках подвижность уменьшается с ростом на¬
пряженности при S^S-g. В легированных полупроводниках су¬
ществен вклад рассеяния на ионах и подвижность растет с увеличени¬
ем напряженности электрического поля.С этих же позиций легко проанализировать температурную зави¬
симость связи подвижности с напряженностью поля (см. рис. 4.9). В
области низких температур рассеяние носителей заряда происходит
на ионах и их подвижность согласно (8.6) растет с ростом напряжен¬
ности поля. Так как суммарная подвижность определяется соотноше¬
ниемто с ростом щ при увеличении напряженности поля первое слагаемое
в этом соотношении уменьшается. В кристалле начинает сильнее ска¬
зываться рассеяние на фононах. Подвижность ul должна в соответ¬
ствии с (8.5) падать с увеличением напряженности поля. В результате
при низких температурах зависимость подвижности от напряженности
поля приобретает вид, показанный на рис. 8.1.При высоких температурах, поскольку рассеяние на фононах пре¬
обладает над примесным рассеянием, подвижность падает во всем ин¬
тервале значений S в области действия сильного поля.Сопоставив кривые рис. 8.1 с кривыми рис. 4.9, видим, что увели¬
чение напряженности электрического поля эквивалентно росту тем¬
пературы. Поэтому для описания влияния сильного поля на поведе¬
ние носителей заряда часто вводят понятие электронной температуры
Те, т. е. температуры электронного газа. По определению Те вычис¬
ляют из соотношениягде v — скорость электронов, но уже не тепловая.Заметим, что если температура кристалла при этом Т, тоилиНосители заряда в этом случае не находятся в тепловом равнове¬
сии с решеткой. Такие носители заряда называют горячими.Этот подход к описанию электронов и дырок в сильном электричес¬
ком поле нагляден и удобен. Он прежде всего сразу позволяет про¬
анализировать зависимость всех кинетических коэффициентов от на¬
пряженности электрического поля. «Нагрев» электронов (дырок)
приводит к пониманию ряда других эффектов, появляющихся в полу¬
проводниках только в сильном электрическом поле. В качестве при¬
мера приведем возникновение анизотропии электропроводности даже198
Pile. 8.1 Зависимость подвижности
от напряженности электрического
поля в области сильных полей при
различных температурахРис. 8.2. Проекции эллип¬
соидов энергии и направле¬
ния ускорений электронов в
них для германия я-типав таких кристаллах кубической симметрии, как Ge и Si, которые об¬
ладают полной изотропией а в слабом электрическом поле.Физические причины этого явления нетрудно уяснить, если обра¬
титься к рис. 8.2, изображающему проекцию эллипсоидов энергии
энергетического спектра электронов в Ge. Ускорения электронов, за¬
висящие от т*, в каждой долине направлены по приложенному по-
лю S.Так как в разных долинах эффективные массы т* и т* различны
(табл. 1.2), то и электроны в них нагреваются по-разному, а значит
в разних долинах могут быть различные концентрации электронов и
разные значения подвижности. Суммирование по всем долинам не
устранит анизотропию электропроводности. Таким образом, в сильном
электрическом поле векторы % и J оказываются непараллельными
друг другу.В слабом поле температура электронов во всех долинах практичес¬
ки одинакова, равна температуре кристалла и концентрация электро¬
нов в них также одинакова. Поэтому, хотя вклад в электропроводность
от каждой долины анизотропен, но при суммировании по всем долинам
электропроводность оказывается изотропной величиной.Другим примером является увеличение тока термоэлектронной
эмиссии из полупроводника при приложении к нему сильного электри¬
ческого поля. В этом случае для «горячих» электронов работа выхо¬
да их из кристалла оказывается ниже, чем для обычных «холодных»
электронов, находящихся в тепловом равновесии о кристаллической
решеткой.§ 8.2. Опыты ИоффеСильное электрическое поле способно влиять не только на подвиж¬
ность, но и на концентрацию носителей заряда. Это влияние приво¬
дит к повышению концентрации. Выяснено это было двумя весьма убе¬
дительными опытами, поставленными А. Ф. Иоффе.199
В первом опыте на кристалл, к которому было приложено сильное
поле %, действовали светом так, чтобы в зоне проводимости создава¬
лась избыточная концентрация носителей заряда Ап. При этом через
кристалл проходил ток с плотностью /ф,а в отсутствие освещения —
с плотностью JT, которую будем называть темновой. Очевидно, что
(см. § 7.1):и убедился, что с ростом поля быстро увеличивается ат (рис. 8.3). Про¬
водимость при освещении также растет с напряженностью поля, но
величина Аа = Оф — ат оказалась постоянной, как и показано на
рис. 8.3. В некоторых опытах Да тоже увеличивалась с полем, но очень
незначительно.Постоянство Да указывает на то, что и концентрация фотоэлектро¬
нов Ап и их подвижность и не зависят от поля. Можно предполагать,
что и темновые электроны и фотоэлектроны обладают одинаковой под¬
вижностью. Во всяком случае нет никаких оснований думать, что это
не так. Тогда рост ат ($) можно объяснить только ростом п0 с увели¬
чением напряженности электрического поля S.Схема второго опыта Иоффе показана на рис. 8.4. Вдоль пластинки
полупроводника приложено слабое электрическое поле $0. В том,
что оно слабое, легко убедиться, так как в цепи проходит ток /0, под¬
чиняющийся закону Ома. Перпендикулярно направлению тока /0 к
пластине прикладывалось сильное поле %. Поскольку ток / не подчи¬
няется закону Ома, нетрудно было убедиться, что поле % действи¬
тельно является сильным. В этом опыте было установлено, что при
включении сильного поля % изменяется также и ток /0, проходящий
в продольном направлении. Ток /0 при этом возрастал во столько жеотсюда(8.7)(8.8)Иоффе определил первоначально темновую проводимость(8.9)Рис. 8.3. Зависимость темновой
проводимости (Тт и фотопроводи¬
мости Оф от напряженности элек¬
трического поляРис. 8.4. Схема Иоффе, обнаружив¬
шего влияние сильного электрическо¬
го поля на концентрацию носителей
заряда200
раз, во сколько увеличивалась удельная электрическая проводимость
а в поперечном направлении. Отсюда также следует подтверждение
того, что рост о обусловлен повышением концентрации носителей за¬
ряда, а не их подвижности.Рассмотрение этого явления показало, что могут проявляться не¬
сколько механизмов увеличения концентрации в сильном электричес¬
ком поле. Таким механизмами являются термоэлектрическая иониза¬
ция (эффект Френкеля), электростатическая ионизация (туннельный
эффект) и ударная ионизация. Рассмотрим физическую сущность этих
процессов.§ 8.3. Термоэлектрическая ионизация
(эффект Френкеля)Сильное электрическое поле, приложенное к кристаллу, изменяет
вид потенциальных барьеров между атомами кристаллической решет¬
ки. Выберем в кристалле направление х, вдоль которого приложено
поле$. Если поле отсутствует, то в кристалле между атомами дейст¬
вует периодическое поле, вид которого был показан на рис. 1.2, б и
повторен для одной ячейки в виде пунктирной гиперболической кри¬
вой на рис. 8.5. Если приложено электрическое поле %, то на перио¬
дический потенциал U наложится
дополнительный потенциал Ug —= eSx и ход потенциального барье¬
ра примет вид, показанный на
рис. 8.5 сплошной кривой. Как
видно из рисунка, влияние силь¬
ного поля проявляется в уменьше¬
нии потенциального барьера на ве¬
личину A W. Если рассматриваемый
барьер относится к примесному
атому, то концентрация носителей
заряда, переходящих за счет иони¬
зации в зону проводимости, будет(8.10)где А — слабо зависящая от температуры функция; Еа — энергия
ионизации примесных атомов в отсутствие поля.Выражение (8.10) можно представить в виде(8.11)где п0 — концентрация носителей заряда в зоне проводимости в от¬
сутствие электрического поля.В соответствии с рис. 8.5 потенциал(8.12)201Рис. 8.5. Схема, иллюстрирующая эф¬
фект Френкеля
В некой точке л;в значение потенциала достигнет максимального
итлХ. В этой точке dUldx 1Я=ЗС|) = 0, т. е.(8.13)Из этого условия находим(8.14)Подставляя х0 в (8.12), находим(8.15)Соответственно из (8.11) получим(8.16)Таким образом, переходя к выражению для тока посредством (8.1)
найдем(8.17)где сг0 — удельная электрическая проводимость полупроводника в
слабом поле.Эта зависимость показывает, что ток растет с увеличением напря¬
женности поля пропорционально exp VS. Такой закон был найден
на опыте задолго до его объяснения. Приведенное теоретическое
объяснение было получено Я. И. Френкелем.Оценка концентрации по формуле (8.16) показывает, что эффект
Френкеля должен наблюдаться при S = 10* -г 103 В/см. На опыте же
было установлено, что $ = 5 • 103 Ч- 5 • 104 В/см. Такое расхождение
было устранено введением в теорию Френкеля ряда поправок. Главная
поправка заключается в том, что на вид потенциала вблизи примесно¬
го атома сказывается экранировка ядра электронами, в результате ко¬
торой UmbX становится больше по абсолютному значению и располо¬
жено ближе к ядру, т. е. к оси U. Вследствие этого влияние поля будет
слабее.§ 8.4. Электростатическая ионизация (туннельный эффект)В отсутствие электрического поля переход электронов из валент¬
ной зоны в зону проводимости, как известно, требует затраты опре¬
деленной энергии, равной ширине запрещенной зоны Eg (рис. 8.6, а)
С приложением электрического поля к кристаллу происходит наклон
энергетических зон (рис. 8.6, б). Происхождение этого наклона то же,
что и в предыдущем случае (см. рис. 8.5). Из рис. 8.6, б видно, что в
присутствии электрического поля появляется вероятность горизон¬
тального перехода электрона из валентной зоны в зону проводимости.
При таком переходе в отличие от вертикального перехода энергия
электрона до и после перехода остается неизменной. В таком переходе202
1ектрон как бы проходит вдоль пу-
m АВ под энергетическим барье¬
ром ABC. Это так называемый тун¬
нельный эффект. Аналогичное явле¬
ние имело место при образовании
зон по модели Кронига—Пени (см.
гл. 1). Там было показано, что про¬
зрачность барьера характеризуется
величиной 1 IP, где(8.18)здесь Ь и U* — ширина и высота барьера; а — период кристалличес¬
кой решетки.Вероятность просачивания электрона за счет туннельного эффекта(8.19)Строго говоря, выражение (8.18) было получено для энергетичес¬
кого барьера прямоугольной формы, но без ущерба для качественной
картины явления используем его и для треугольного барьера, изобра¬
женного на рис. 8.6. Из этого рисунка видно, что величина U* тож¬
дественно равна Eg, а величина Ь равна расстоянию АВ.Вдоль расстояния АВ действует сила е$, тогда произведение
eS (АВ) должно быть равно ширине запрещенной зоны Eg, откуда(8.20)Подставляя АВ и U* == Eg в (8.18), а соответственно и в (8.19),
получим(8.21)Оценка по формуле (8.21) для полупроводников: Ge, Si, GaAs
(Eg 1 эВ) показывает, что туннельный эффект становится заметным
при напряженности поля порядка 107 В/см.Отличить на опыте существование туннельного механизма увели¬
чения концентрации носителей заряда от других механизмов можно
но отсутствию зависимости w от температуры в (8.21).§ 8.5. Ударная ионизацияВ области сильных электрических полей возникает еще один меха¬
низм размножения электронов — ударная ионизация. При этом элект¬
роны, находящиеся в зоне проводимости, разгоняются в электрическом
поле, сталкиваются с решеткой, теряя при этом часть своей энергии на
длине свободного пробега, однако после нескольких пробегов наби¬
рают энергию, достаточную для ионизации других, связанных элект¬
ронов. Последние после соударения переходят в зону проводимости.Рис. 8.6. Зонная структура беспри¬
месного полупроводника в слабом
(а) и сильном (б) электоическом
поле203
На длине пробега от поля % электрон получит энергию Е — е%1.
Потеря энергии при столкновении составитгде р — некоторая функция отношения масс сталкивающихся частиц.Приравнивая обе энергии, найдем(8.22)где a (mlМ) — также функция отношения масс соударяющихся час¬
тиц.Если электрическое поле настолько сильно, что электрон на длине
свободного пробега приобретает энергию, равную ширине запрещен¬
ной зоны, то при соударении с основными атомами кристаллической
решетки произойдет дополнительное выбивание электронов из валент¬
ной зоны в зону проводимости.В этом случае выражение (8.22) примет вид(8.23)которое является условием начала ударной ионизации.В действительности формула (8.23) дает лишь грубую оценку, так как дли¬
на свободного пробега сама зависит от напряженности поля.Так как длина свободного пробега, или связанное с нею время ре¬
лаксации т, является функцией температуры и чистоты материала,
то и величина S, при которой наблюдается ударная ионизация, ока¬
зывается зависящей от температуры и содержания примесей в кристал¬
ле. Эти зависимости наблюдаются на опыте.Существует два механизма ударной ионизации. При одном из них
электрон набирает энергию, достаточную для ионизации ударом сразу
на одной длине свободного пробега, а при другим — не сразу. На од¬
ной длине свободного пробега он приобретает энергию, несколько
ббльшую, чем та, которую он теряет при столкновении. Тогда элект¬
рон приобретает энергию, необходимую для ионизации постепенно на
нескольких длинах свободного пробега. Очевидно, что второй меха¬
низм должен наступать при меньших напряженностях поля, чем пер¬
вый.Опыт показывает, что ударная ионизация наступает при S —
= 108-М0« В/см.При ударной ионизации электрон ионизирует атом и в результате
в зоне проводимости оказываются два электрона, затем каждый из
них набирает энергию от поля, снова ионизирует и в зоне проводимости
оказываются уже четыре электрона и т. д. Ударная ионизация носит
лавинообразный характер и в конце наступает электрический пробой
полупроводника. Однако пробой наступает лишь при напряженностях
поля, превышающих 107 В/см. При меньших напряженностях лавина
не может нарастать до бесконечности, так как при ударной ионизации
образуются пары электрон—дырка и возрастает вероятность рекомби¬
нации, препятствующей наступлению пробоя.201
Рис. 8.7. Различные проявления
действия сильного электрического
поля на электропроводность полу-
водниковТаким образом, влияние сильного поля на электропроводность
полупроводников можно представить в виде схемы, показанной на
рис. 8.7.§ 8.6. Эффект Франца — КелдышаСильное электрическое поле влияет не только на электропровод¬
ность, но и на ряд других свойств полупроводника, в том числе и на
оптическое поглощение.В отсутствие электрического поля край собственного поглощения,
как было показано в гл. 5, имеет четкий порог, причем пороговая час¬
тота <о0 связана с шириной запрещенной зоны соотношением Лщ =
= Eg. Кванты света с меньшей частотой не могут поглощаться. Силь¬
ное электрическое поле приводит к размытию края поглощения. Это
происходит потому, что, как показывает теория, при наложении поля
энергия края разрешенной зоны размывается наВ результате становится возможным поглощение квантов света
энергия которых меньше Ей на АЕ.Выражение (8.24) легко получить, пользуясь принципом неопределенности.
Действительно, изменение энергии электрона АЕ от поля $ на участке траек¬
тории Ах будетНо врличвны Аде и Ар связаны соотношением неопределенностиСледовательно,что совпадает с (8.24).Экспериментально этот эффект, впервые проанализированный
Францем и Келдышем, проявляется в смещении порога поглощения
в сторону более длинных волн по мере увеличения напряженности
электрического поля, приложенного к кристаллу. Его существова¬
ние в кристаллах германия было доказано экспериментально. В. С. Ва¬
виловым и К. С. Брицыным.(8.24)(8.25)(8.26)205
§ 8.7. Рекомбинация носителей заряда в сильном
электрическом полеСильное электрическое поле приводит к новым, специфическим эф¬
фектам в явлении рекомбинации носителей заряда. Это связано с тем,
что коэффициенты захвата носителей заряда у, фигурирующие при
описании рекомбинации, являются функциями энергии рекомбинирую¬
щих носителей. Следовательно, разогрев носителей заряда полем дол¬
жен изменять основную характеристику рекомбинации — время жиз¬
ни электронов и дырок.Будем считать, что заряженный центр рекомбинации имеет проти¬
воположный знак, чем захватываемый им носитель заряда, т. е. имеет
место кулоновское притяжение носителя центром.Наиболее эффективно захватывают относительно медленные элект¬
роны, ибо они достаточно долгое время находятся вблизи притягиваю¬
щего центра. Высокоскоростные «горячие» электроны имеют большую
вероятность проскочить мимо центра без захЕага.Обратный тепловой выброс захваченного электрона определяется
температурой кристалла, если поле не настолько сильно, чтобы выз¬
вать эффеф Френкеля, туннельный эффект или ударную ионизацию
примесного центра. Тогда обратный выброс носителя (ионизация цент¬
ра) почти не зависит от приложенного электрического поля. В резуль¬
тате, это поле вызовет перераспределение вероятностей захвата и об¬
ратного выброса, так что время жизни захватываемого носителя уве¬
личивается с ростом напряженности поля.В противоположном случае одноименности зарядов глубокого
центра и захватываемого носителя последнему необходимо преодоле¬
вать отталкивающий барьер или туннелировать сквозь него. Вероят¬
ность захвата носителя в этом случае возрастает с увеличением его
энергии, т. е. с ростом напряженности электрического поля. Соответ¬
ственно время жизни одноименно заряженного носителя при его на¬
греве полем уменьшается.Этот эффект экспериментально наблюдался, например, в германии,
содержащем отрицательно заряженные акцепторные примеси меди,
золота.§ 8.8. Токовые неустойчивости в однородных
полупроводниках в сильном электрическом полеПод влиянием сильного электрического поля, как было показано,
ток, проходящий через кристалл, перестает подчиняться закону Ома.
Это приводит к тому, что вольт-амперные характеристики (в. а. х.)
кристалла оказываются существенно нелинейными. Встречающиеся
характеристики изображены на рис. 8.8.На рис. 8.8, а показаны характеристики, отличительная черта ко¬
торых заключается в том, что во всех ее точках ток растет с увеличени¬
ем напряженности поля, т. е. дифференциальная проводимость всюду
положительна:(8.27)20 >
Рис. 8.8. Типы вольт-амперных характеристик:
а — суперлинейная (/); сублинейная (2); б — характеристика iV-типа; в«
рактеристика 5-типаДва других типа в. а. х., встречающихся на опыте, приведены на
рис. 8.8, б, в. Их отличает участок, на котором дифференциальная
проводимость отрицательна:(8.28)Отметим, что характеристику рис. 8.8, б, для которой заданным
считается ток, называют характеристикой N-типа, а характеристику,
для которой заданным считается напряжение (рис. 8.8, в), называют
характеристикой 5-типа.Проанализируем возникновение неустойчивости в кристаллах, об¬
ладающих теми или иными типами характеристик, а затем рассмотрим
физические причины, приводящие к такого рода характеристикам.Рассмотрим в качестве примера характеристику S-типа. Пусть за¬
дано электрическое поле #х. Такому полю отвечают три значения
плотности тока Jlt У2. (рис. 8.9, а). Состояние с /а неустойчиво, так
как для него od < 0, а состояния с Jt и Ja — устойчивы, так как для
них od > 0.Возникшая по каким-либо причинам случайная флуктуация заря¬
да (локальное отклонение от нейтральности) обычно рассасывается поРис. 8.9. Схема возникновения шнурования тока при поме*
щении образца в сильное электрическое поле при в. а, х*
5-типа207
—f/xMзакону, пропорциональному е , где
тм — максвелловское время:(8.29)где к — диэлектрическая постоянная
кристалла.При <Г 0 флуктуация не рассасы¬
вается, а нарастает во времени пропор¬
ционально et/tM. Таким образом, систе¬
ма, выведенная из равновесия, не вер¬
нется в прежнее состояние. Вот почему
состояние кристалла с плотностью тока
J2 является неустойчивым.Так как полю $х соответствуют два
устойчивых состояния /х и J 3, равно¬
правных во всех отношениях, то си¬
стема, стремясь к устойчивости, с;амо-Рис. 8.10. Схема возникновения доменов
сильного поля в образце при в. а. х.
W-типапроизвольно разобьется на области (домены) с большой плотностью
тока (большая концентрация носителей) и малой плотностью тока
(малая концентрация носителей). Образец расслоится вдоль направ¬
ления тока. Произойдет так называемое шнурование тока. Образо¬
вание таких токовых доменов показано на рис. 8.9, б. До точки А
и выше точки В образец остается однородными только в области А Б,
где <Тд < 0, в кристалле возникает неоднородное распределение тока
по сечению образца.Этот процесс не надо путать с возникновением каналов или шнуров тока
за счет врожденной неоднородности кристалла. Последнее происходит при
ой > 0 и не имеет никакого отношения к процессу шнурования тока в однород¬
ном кристалле.В кристалле с характеристикой ЛЛ-типа заданному значению плот¬
ности тока Jx соответствуют три значения напряженности поля $ъ
S2, Sъ (рис. 8.10, а). Состояние с $% неустойчиво, так как при этом
ad < 0, а состояния с и <^8 — устойчивы. В результате объем кри¬
сталла разобьется на домены, но уже в этом случае не на продольные, а
поперечные. Вне домена напряженность поля будет малой ($х), а в
домене — большой ($а) (рис. 8.10,6).Если к кристаллу с характеристикой N-типа приложить импульс
электрического напряжения (длительное напряжение может вызвать
нагрев образца), то домен сильного поля возникнет у катода и будет
двигаться к аноду, т. е. в направлении дрейфа электронов. Подойдя к
аноду, домен исчезнет. При образовании домена ток в цепи уменьшит-208
ся, при исчезновении — возрастет. В кристалле возникнут колебания
тока — токовая неустойчивость.Было установлено, что скорость перемещения домена равна дрей¬
фовой скорости электронов: кдр = uS, а частота колебаний(8 30)где тд — время движения домена через образец; / — длина образца.Впервые подобная токовая неустойчивость наблюдалась Ганном и
поэтому явление носит название эффекта Ганна. В его опытах / =
= 200 мкм, и — 5 • 108 см2/ (В • с) (GaAs), $ — 3 • 10® В/см. В ре¬
зультате наблюдались колебания тока с частотой /== 0,5 • 10® Гц в
полном соответствии с (8.30).Уменьшая длину образца, можно получить еще более высокочастотные ко¬
лебания. Но при очень малой длине образца возможно, что домен, не успев раз¬
виться, будет вынесен дрейфом из образца. Поэтому существует некая мини*
мально допустимая длина образца — длина сноса:В кристаллах с характеристикой S-типа также возникает генера¬
ция колебаний. Однако этот процесс рассматривать не будем, так как
он во многом аналогичен процессу в кристалле с характеристикой
Л/-типа.В качестве иллюстрации влияния сильного поля рассмотрим воз¬
никновение колебаний при ad > 0, т. е. в случае характеристик, по¬
казанных на рис. 8.8, а. Пусть проводимость кристалла будет моно-
полярная(8-31)
или биполярная(8.32)В сильном электрическом поле подвижности и концентрации носи¬
телей заряда зависят от напряженности поля. Как при монополярной,
так и при биполярной электропроводности выделим два параметра,
противоположно зависящие от напряженности
поля: один параметр растет с ростом напря¬
женности, другой — уменьшается.Рассмотрим наиболее простой случай би¬
полярной проводимости. Пусть ап уменьшает¬
ся с напряженностью поля, а ар — растет.При этом общая дифференциальная проводи¬
мость ad пусть остается положительной Вклю¬
чим такой кристалл в электрическую цепь
постоянного тока, как показано на рис. 8.11.Если соблюдено условие RH > RKриот, то на¬
пряженность поля в кристалле будет опреде¬
ляться только его проводимостью, так какРис. 8.11. Схема включе¬
ния образца для наблю»
дения токовой неустой¬
чивости209
Флуктуация одной из компонент проводимости, например оп, вы¬
зовет изменение о, а следовательно, и S в образце. В результате из¬
менится и вторая компонента проводимости 0Р.Таким образом, величины оа и ар связаны друг с другом через на¬
пряженность поля в кристалле. В такой системе могут возникнуть ав¬
токолебания. Частота колебаний со определяется временами жизни
«горячих» электронов т„ и дырок тр в поле с напряженностью $\Возникновение колебаний за счет различных неустойчивостей в
полупроводниках открывает определенные практические перспективы.
Дело в том, что до последнего времени источниками высокочастотных
п сверхвысокочастотных колебаний являлись различные вакуумные
приборы: клистроны, магнетроны и т. д. Устройство их сложно, они
имеют большие габариты и значительную массу.Теперь рассмотрим некоторые основные физические причины, при¬
водящие к установлению тех или иных типов в. а. х. Первой причи¬
ной является разогрев носителей. В этом случае характерные времена
рассеяния импульса тр и энергии т£ будут функциями напряженности
электрического поля или температуры электронов. Тогда проводи¬
мость кристалла также будет функцией температуры электронов:В стационарном случае удельная мощность, получаемая электрон¬
ным газом от поля, равная джоулевой мощности Р = }S, должна быть
приравнена удельной мощности Р (Те), передаваемой электронным
газом кристаллической решетке:где с„ — теплоемкость электронного газа; Т0 — температура кристал¬
ла.Из (8.34)—(8.36) найдем дифференциальную проводимость:Для характеристики S-типа в точке перегиба od = оо. Приравнивая
нулю знаменатель в (8.37), найдем температуру электронного газа, Те,
соответствующую началу S-образности. Условием существования(8.33)(8.34)Величина(8.35)о(8.36)(8.37)2Ю
S-образности будетJНапример, в случае рассеяния импульса
на ионах примеси, а энергии электронов —
на акустических фононахгде vT — тепловая скорость; s — скорость
звука в кристалле.В этом случае	т. е. должнабыть характеристика S-типа. Эксперимен¬
тально это наблюдается в кристаллах InSb с п= 1013-И014 см-а
при гелиевых температурах.Другим известным примером получения в. а. х. S-типа является
низкотемпературный пробой. Электрическое поле, достигнув значе¬
ния Sx, достаточного для ударной ионизации примесей, скачком
уменьшается до достаточного для поддержания пробоя (рис. 8.12).
Вертикальный подъем тока связан со шнурованием тока, о котором
уже шла речь.Изменение времени жизни носителей заряда при рекомбинации в
сильном поле, рассмотренное в § 8.7, также может привести к образо¬
ванию характеристик S и /У-типов.Теперь рассмотрим одну из наиболее интересных причин, приво¬
дящих к образованию характеристики jV-типа. Будем считать, что зо¬
на проводимости состоит из двух минимумов (/ и 2), расположенных
один выше другого на величину энергии А (рис. 8.13). Из-за разной
кривизны эффективные массы электронов в обоих минимумах будут
различны. Соответственно разными будут и подвижности электронов
в обоих минимумах: ы2 < uvВ сильном электрическом поле электронный газ разогревается и
«горячие» электроны перекачиваются во второй минимум, где они за-Рис. 8.12. В. а. х. кри¬
сталла при электриче¬
ском пробое по механиз¬
му ударной ионизации
примесейРис. 8.13. Структура зоны про¬
водимости, в которой может
возникнуть эффект ГаннаРис. 8.14 Зависимость дрей¬
фовой скорости (тока) от
электрического поля в эф¬
фекте Ганна211
медляются. Дрейфовая скорость vnv = и$ или плотность тока J =
= envдР = enuS будут иметь вид, показанный на рис. 8.14.Значение соответствует полю, при котором электроны начинают
заполнять второй минимум зоны проводимости. Это приводит к умень¬
шению тока. При очень сильных полях вступят в действие другие ме¬
ханизмы рассеяния и ток снова начнет расти с напряженностью поля.
Таким образом получается в. а. х. N-типа. Именно эта причина об¬
разования кривой W-типа лежит в основе эффекта Ганна.Контрольные вопросы1. Каким образом слабое электрическое поле изменяет скорость электро¬
нов в кристалле? 2. Что такое критическое поле? 3. Каким образом влияет ме¬
ханизм рассеяния на зависимость подвижности от напряженности электриче¬
ского поля? 4. В чем состоит физический смысл понятия электронной темпера¬
туры? Какие носители называют горячими? 5. Какими опытами было доказано
влияние сильного электрического поля на концентрацию носителей заряда?
6. Каков механизм воздействия сильного поля При термоэлектрической иони¬
зации? 7. Как можно различить опытным путем термоэлектрическую Иониза¬
цию и туннельный эффект? 8. Каков механизм воздействия сильного поля при
ударной ионизации? 9. При каких полях наблюдаются термоэлектрическая
ионизация, туннельный эффект, ударная ионизация и электрический пробой по¬
лупроводника? 10. В чем заключается эффект Франца—Келдыша? 11. Какие
известны механизмы токовой неустойчивости и в чем их сущность?Литература: [19], (261, 1^1» [37]*Глава 9КОНТАКТНЫЕ ЯВЛБННЯ§ 9.1. Контакт металл — полупроводникВ предыдущих разделах рассматривали полупроводниковый крис¬
талл как таковой, т. е. изолированный от каких бы то ни было других
веществ. В действительности использование полупроводниковых кри¬
сталлов так или иначе связано с тем, что их поверхность находится в
контакте с каким-либо другим веществом. Чаще всего это металл или
полупроводник. Реже встречается контакт полупроводника с каким-
либо жидким раствором типа электролита. Во всех подобных случа¬
ях в приконтактной области полупроводника возникает ряд новых фи¬
зических явлений, обусловленных обменом через границу раздела сво¬
бодными носителями заряда, принадлежащими обоим контактирую¬
щим телам. Поэтому, чтобы понять природу контактных явлений, не¬
обходимо рассмотреть условия выхода электронов из вещества.Будем считать, что поверхность, из которой выходят электроны,
граничит с вакуумом. На границе имеется потенциальный барьер,
препятствующий выходу электронов из вещества. Этот барьер отра¬
жает притяжение электронов внутри кристалла положительными ио¬
нами кристаллической решетки. Выход электронов из любого вещества
определяется некоторой энергией, именуемой работой выхода, которую
Рис. 9.1. Зонная диа¬
грамма полупроводника,
граничащего с вакуумомРис. 9.2. Зонная диаграмма
металла, граничащего с ва¬
куумомнеобходимо затратить для преодоления электроном этого пригранич¬
ного потенциального барьера.Рассмотрим энергетическую диаграмму вблизи поверхности полу*
проводника и металла (рис. 9.1). Здесь взят полупроводник п-типа, в
котором уровень Ферми находится в верхней половине запрещенной
зоны.Различают две работы выхода: внешнюю %0, отсчитываемую от дна
зоны проводимости, и термодинамическую %, отсчитываемую от уровня
Ферми.В последнее время вместо термина «внешняя работа выхода» все
более широко употребляют термин электронное сродство или сродст¬
во к электрону.Плотность тока электронов, преодолевающих потенциальный ба¬
рьер и выходящих из полупроводника в вакуум Ja> определяют из¬
вестной формулой термоэлектронной эмиссии:где — термодинамическая работа выхода полупроводника.В (9.1) фигурирует обычная масса электрона, а не эффективная, по¬
скольку речь идет об электронах, покинувших кристалл и являющих¬
ся действительно свободными.На рис. 9.2 приведена энергетическая диаграмма вблизи поверхно¬
сти металла. Отличие металла от полупроводника заключается в том,
что уровень Ферми у него находится в зоне проводимости и поэтому
Хо > %• Плотность тока электронной эмиссии из металла в вакуум(9.2)где хм — термодинамическая работа выхода металла.Теперь рассмотрим, что произойдет, если привести полупроводник
и металл в контакт друг с другом. Заметим, что даже у плотно контак¬
тирующих тел всегда имеется зазор, который обозначим d. Энергети¬
ческая схема в области контакта показана на рис. 9.3.Вначале (рис. 9.3, а) из полупроводника в металл пойдет электрон¬
ный ток, плотность которого определяется по (9.1). В то же время плот-213
Рис. 9.3. Явления, происходящие в обла¬
сти контакта полупроводника с метал¬
лом:а, б — возникновение контактной разности
потенциалов; в — образование аапирающего
слояность тока, выходящего из метал-
ла, определяется по (9.2). Для оп¬
ределенности будем считать(9.3)Тогда Jа > JM и поверхность ме¬
талла будет заряжаться приходя¬
щими электронами отрицательно
по отношению к поверхности полу¬
проводника. Этот заряд накапли¬
вается до тех пор, пока в зазоре d
не установится электрическое поле
$, которое будет препятствовать
дальнейшему приходу электронов
на поверхность металла. Между по¬
верхностями полупроводника и ме¬
талла возникнет разность потен¬
циалов U.Таким образом, теперь термо¬
динамическая работа выхода уве¬
личится на ф = —eU (рис. 9.3, б)
и плотность электронного тока из
полупроводника(9.4)Плотность тока /м при этом останется неизменной. В стационарном
случае JM = J'„. Это условие приводит к соотношению(9.5)показывающему, что между металлом и полупроводником возникает
контактная разность потенциалов, равная разности работ выхода кон¬
тактирующих тел.При этом в зазоре d напряженность электрического поля(9.6)Для общности (если бы в зазоре d был не вакуум, а другой диэлект¬
рик) в (9.6) введена диэлектрическая проницаемость диэлектрика х.
Плотность избыточных электронов на 1 см2 поверхности(9.7)214
Толщину слоя вещества L (см), из которого уходят (или в который
входят) эти избыточные электроны, можно определить по формулегде п — концентрация электронов в объеме вещества.Примем для оценки хм — Хп — 1 эВ, и = 10, л„ = 10м см-* илм = 1022 см-3. Тогда Ln л; 5 • 10_1° и LM « 5 • 10”18Нетрудно убедиться, что при больших d значения LB и LM оказы¬
ваются весьма малыми, т. е. при больших зазорах все изменения в кон¬
центрации носителей заряда происходят лишь на поверхности (отме¬
тим, что значения L < 10~7 см не имеют смысла). Иначе обстоит дело
при непосредственном контакте полупроводника с металлом. В этом
случае d « 10~7 см. Значение LM по-прежнему останется малым, а
Ln увеличится до 50 мкм. Это означает, что в полупроводнике обра¬
зуется слой достаточной толщины, из которого удалены все электроны.Концентрация свободных электронов в этом слое убывает из глу¬
бины полупроводника к границе контакта по закону(9.9)(9.8)здесь п0 — концентрация электронов в глубине полупроводника, гдеФ = 0.Рис. 9.4. Образование запирающего и антизапира¬
ющего слоев в области контакта металла с полу¬
проводниками различного типа электропроводно¬
сти при различном соотношении работ выхода215
Подставляя в (9.9) я0 из (3.58), получим(9.10)Отсюда видно, что энергия электронов в обедненном слое возрастает
по мере приближения к границе контакта. Графически это изображе¬
но на рис. 8.2, в. Повышение энергии, как видно из этого рисунка,
приводит к искривлению дна зоны проводимости вблизи контакта.
Так как ширина запрещенной зоны полупроводника не должна ме¬
няться, то вблизи поверхности раздела происходит искривление и по¬
толка валентной зоны.В рассмотренном случае контакт осуществлялся с полупроводником
/г-типа при соотношении хп < Хм- Аналогично могут существовать слу¬
чаи контакта с полупроводником /г-типа, но при соотношении Хп > Хм
и с полупроводником p-типа при Хп > Хм и Хп < Хм- Искривление
энергетических зон во всех четырех случаях показано на рис. 9.4. В
случаях, представленных на рис. 9.4, а, г, в приконтактном слое кон¬
центрация свободных носителей заряда меньше, чем в объеме полупро¬
водника, т. е. удельное сопротивление обедненного слоя выше, чем
удельное сопротивление иоходного кристалла. Такой слой называют
зтирающим. В случаях, представленных на рис. 9.4, б, в, прикон-
тактные слои, наоборот, оказываются обогащенными свободными
носителями заряда. Такие слои называют антизапирающими.§ 9.2. Выпрямление тока на контакте металл—полупроводникВ приконтактном слое концентрация носителей заряда отличается
от концентрации ионизированных доноров или акцепторов, т. е. если
в толще образца полупроводник электронейтрален, то в приконтактной
области электронейтральность нарушается. В приконтактных слоях
возникает объемный заряд, плотность которого обозначим р. Его зна¬
чение будет изменяться по мере продвижения от границы металл-
полупроводник в глубь кристалла.Примем за начало отсчета координаты х саму границу раздела металл —
П!лупроводник. Тогда плотность заряда(9.11)Потенциал U (х) связан с р известным из электродинамики уравнением
Пуассона:(9.12)Учитывая, что q> = — eU, и подставляя в (9.12) выражение (9.9), найдем(9.13)Если возникает запирающий слой, то (р > 0 и е—<?4>/(*T) быстро спадает
по мере увеличения <р, т. е. по мере приближения к поверхности раздела. Поэтому
в области запирающего слоя с некоторым приближением можно считать(9.14)216
Граничные условия, необходимые для решения этого уравнения, опреде¬
лить достаточно просто. На дальней границе приконтактного слоя, т. е. при
х — L, где L — толщина запирающего слоя, электрическое поле отсутствует:
ij) (L) — О,где А и В — постоянные интегрирования.Подстановка граничных условий (9.15) в (9.16) позволяет найти: А = 0
н 8 = 0, Следовательно,Так как на левой границе, т. е. при х = 0: q> = <р (0) = ф0, то на самой гра¬
нице разделаРассмотренные приконтактные слои находились в равновесии, т. е»
уровни Ферми в металле и полупроводнике были равны.Теперь приложим к контакту металл—полупроводник внешнее
электрическое поле, т. е. подключим к этому контакту батарею с на¬
пряжением U. Как показано на рис. 9.5, включим источник питания так,
чтобы минус был на полупроводнике, а плюс на металле. Напряжение
U падает на приконтактном слое, соответственно контактная разность
потенциалов станет на eU меньше:где индексом нуль теперь обозначена равновесная контактная разность
потенциалов, которая устанавливается на контакте в отсутствие ис¬
точника внешнего напряжения.Уровень химического потенциала теперь в полупроводнике проходит
на eU выше, чем в металле. Если контактный слой был запирающим,
как показано на рис. 9.4, то понижение барьера на eU приведет к по¬
вышению концентрации электронов в нем по сравнению с той, что бы¬
ла в отсутствие напряжения U. Но все же и при включении напряже¬
ния концентрация в приконтактном слое будет меньше по сравнению с
концентрацией носителей в толще полупроводника. Соответственно
при включении напряженния U толщина запирающего слояОбщее решение уравнения (9.14) имеет вид(9.15)(9.16)(9.17)(9.18)Отсюда легко определить толщину запирающего очпя
Толщина приконтактного слоя объемного заряда(9.19)(9.20)(9.21)217
Рис. 9.5. Контакт металла с полу¬
проводником при включении внеш¬
него напряженияРис. 9 6. Вольт-амперные ха¬
рактеристики:/ — запирающий слой; 2 — п-р-пе¬
реходТаким образом, с увеличением приложенного напряжения при по-
ложительных значениях U (минус на полупроводнике) толщина запи¬
рающего слоя уменьшается. При eU ^ ф0 запирающий слой исчезает
полностью. Пока запирающий слой существует, он, являясь более вы¬
сокоомным по сравнению с толщей полупроводника, препятствует про¬
хождению электрического тока. Как только этот слой исчезает, сила
тока, проходящего через контакт металл—полупроводник, резко уве¬
личивается. В результате зависимость плотности тока от приложен¬
ного напряжения оказывается нелинейной: при малых положительных
напряжениях ток очень мал и слабо растет с увеличением напряжения,
а начиная с некоторого напряжения U0 = <р0/е, называемого напряже¬
нием отсечки, он существенно возрастает. Вид такой зависимости тока
от напряжения показан на рис. 9.6 (кривая У, область U > 0).Если к контакту приложить напряжение обратной полярности
(плюс на полупроводнике, а минус на металле), которое принято счи¬
тать отрицательным, то контактная разность потенциалов <р0, наобо¬
рот, возрастает на eU. Следовательно, толщина запирающего слоя приотрицательном напряжении увеличивается и
ток практически остается малым в широком
интервале напряжений. Конечно, при очень
больших напряжениях, при которых напря¬
женность электрического поля станет настоль¬
ко большой, что в кристалле возникнут явле¬
ния типа эффекта Френкеля и ударной иони¬
зации, произойдет электрический пробой полу¬
проводника, при котором плотность тока
возрастет и при отрицательных напряже¬
ниях.Такой вид зависимости J (V) показан на
рис. 9.6 (кривая /, область U < 0).В результате в. а. х. контакта оказывается
нелинейной: при положительном напряжении
плотность тока велика, а при отрицательном
мала. Поэтому если к контакту металл—полу¬
проводник приложить переменное напряже-Рис. 9.7. Выпрямление
электрического тока:а — переменное напряжение,
приложенное к контакту
металл—полупроводник или
к р-я-пер^ходу; 6 — посто¬
янный vile вправлению)
ток2I&
пне и = м0 cos ш/ (рис. 9.7, а), то ток имеет вид, показанный н:.
рис. 9.7, б. Таким образом, на контакте металл—полу проводит-,
происходит выпрямление переменного тока.§ 9.3. Электронно-дырочный переход (/9>л-переход)Как отмечалось, полупроводник может находиться в контакте не
только с металлом, но и с другими веществами. Наибольший интерес
представляет контакт полупроводника с полупроводником. Этот ин¬
терес вызван следующими двумя обстоятельствами. В случае контакт#
металл—полупроводник выпрямляющими свойствами контакта мож¬
но управлять с помощью только одной из половин контакта, а именно,
со стороны полупроводника. Это видно хотя бы из того факта, что
весь запирающий (или антизапирающий) слой лежит в полупровод¬
никовой области (рис. 9.5) и его толщину, а значит, и ток можно регу¬
лировать концентрацией носителей п0, т. е. выбором типа кристалла,
легированием полупроводника, температурой, освещением и т. д.
Второе обстоятельство заключается в том, что практически поверх¬
ности металла и полупроводника никогда не образуют идеального
контакта друг с другом. Всегда между ними находятся адсорбирован¬
ные атомы или ионы посторонних веществ. Адсорбционные слои экрани¬
руют внутреннюю часть полупроводника так, что фактически они оп¬
ределяют свойства выпрямляющих контактов или во всяком случае
существенно влияют на них.В случае контакта полупроводник — полупроводник оба недостат¬
ка отсутствуют. Конечно, если просто привести в соприкосновение два
полупроводниковых кристалла, то такой контакт мало чем будет
отличаться от рассмотренного контакта с металлом. Но в случае полу¬
проводника контакт можно осуществить в пределах одного монокри¬
ст ала. Представим себе, чго одна из половин единого монокри¬
сталла, например германия, легирована донорами и обладает элект¬
ропроводностью «-типа, а другая легирована акцепторами и является
полупроводником р-типа (рис. 9.8, а). В общем случае содержание до¬
норов и акцепторов может быть неодинаковым, что и показано на
рис. 9.8, а, б.Электроны диффундируют из правой половины, где их концентра¬
ция выше, в левую часть кристалла. Дырки же диффундируют в проти¬
воположном направлении. Такая взаимная диффузия продолжается
до тех пор, пока электрическое поле, которое возникает от заряда не¬
подвижных доноров и акцепторов, не прекратит дальнейшего увели¬
чения диффузионного тока. Таким образом, внутри полупроводника
появляется потенциальный барьер Ud, препятствующий самопроиз¬
вольному току в кристалле. Этот потенциал играет роль контактной
разности потенциалов. В целом энергетическую диаграмму вблизи
контакта полупроводника п- и р-типов легко представить себе, если
приложить друг к другу две картины, соответствующие рис. 9.4, а, г.
Действительно, часть кристалла /г-типа играет роль металла (много
электронов) для части кристалла /?-типа и, наоборот, часть кристалла
P-типа играет роль металла для полупроводника п-типа. В результате219
зонная диаграмма в области р-п-перехода, как именуют такой контакт,
приобретает вид, показанный на рис. 9.9, а.Область перехода между р- и я-частями кристалла имеет толщину
L, которую можно разбить на две доли L„ и Lp, расположенные соответ¬
ственно в л- и p-областях кристалла. Значения Ln и Lp определяются
выражением, аналогичным (9.19), с той лишь разницей, что роль <р0
играет величина eUDl2 (рис. 9.9, а)(9.22)где концентрации п0 и р0 по обе стороны от р-п-перехода заменены
концентрациями доноров Nn, и акцепторов Na, которые считаются пол¬
ностью ионизированными.Из (9.22) легко получить(9.23)Отсюда следует, что р-п-переход располагается преимущественно в
наименее легированной области.Рис. 9.8. Схематическое изображение
р-п-перехода.
а — распределение примесей и носителей за¬
ряда в кристалле с р-п-переходом; б — рас*
пределение концентраций доноров и акцепто¬
ров; в — равновесное (в отсутствие тока) рас¬
пределение носителей заряда: г — распределе¬
ние пространственного заряда: д—распреде¬
ление потенциалаРис. 9.9. Зонная структура в обла¬
сти /7-л-перехода:а — переход в равновесии, б — внешнее
напряжение включено в пропускном
направлении; в ■— внешнее напряжение
включено в запорном направлении220
Электронно-дырочные переходы бывают нескольких типов. Их
можно классифицировать прежде всего по концентрации примесей по
обе стороны перехода. Если эти концентрации равны, то переход на¬
зывают симметричным, так как в таком переходе Ln = Lp. Если
концентрации не равны, то переход называют несимметричным, ибо
Ln Ф Lp. Следует отметить, что, как видно из (9.22), чем меньше кон¬
центрация примесей, тем больше величина Ln J). Следовательно, боль¬
шая часть несимметричного р-я-перехода располагается всегда в наи¬
менее легированной его области.Кроме того, р-п-переходы подразделяют по характеру распределе¬
ния примесей. Переходы могут быть резкими и плавными. В первом
случае потенциал Ud простирается на весьма малую длину, а во вто¬
ром — на значительную. В случае плавного перехода из теории сле¬
дует слабая зависимость(9.24)а для резкого перехода, как это следует из (9.22),(9.25)Рассмотрим теперь р-п-переход, когда к нему приложено напря¬
жение от внешнего источника. Если напряжение источника питания
приложить так, чтобы плюс был подсоединен к p-области кристалла,
а минус к я-области (см. рис. 9.9, б), то такое направление называется
положительным или пропускным. При такой полярности как электро¬
ны, так и дырки при напряжении U ^ UD пройдут через р-я-переход,
потому что они будут притягиваться соответствующими электродами—
дырки к катоду, а электроны — к аноду. Переход оказывает неболь¬
шое сопротивление электрическому току и ток будет большой. При
этом в левой части кристалла p-типа ток переносится дырками, а в
правой части кристалла я-типа — электронами. Дырки, проникающие
через переход в «-область, не могут там существовать и рекомбиниру¬
ют. Время их существования в области п-типа определяется временем
жизни, а расстояние, на которое они проникают в область я-типа, оп¬
ределяется диффузионной длиной. Аналогичные рассуждения отно
сятся к электронам, попадающим через переход в область р-типа.При обратной полярности, когда положительный полюс источникя
питания подсоединен к области п-типа, а отрицательный— к области
p-типа, потенциал в области перехода становится равным Ud + U,
электроны в «-области и дырки в p-области отталкиваются от перехода
в глубь полупроводника к электродам и ток через р-п-переход практи¬
чески не проходит. Это напряжение называется обратным или запор¬
ным. Наблюдаемый малый ток при обратном направлении обусловлен
неосновными носителями заряда в обоих частях р-я-перехода (см
рис. 9.9, в). Обратное напряжение имеет благоприятную полярность
для вытягивания неосновных носителей заряда через переход. Но так
как неосновных носителей всегда очень мало из-за соотношения пр=п}
то и обратный ток имеет ничтожное значение, значительно меньшее,
чем в случае контакта металл—полупроводник. Типичная вольт-ам¬
перная характеристика р-я-перехода показана на рис. 9.6 (кривая 2).22i
Из-за меньших обратных токов р-л-переход обладает лучшими выпря¬
мительными свойствами по сравнению с контактом металл—полупро¬
водник.Характер вольт-амперной характеристики: кривизна восходящей
ветви, напряжение отсечки, абсолютные значения токов, коэффициент
выпрямления, определяемый как отношение прямого и обратного то¬
ков при напряжении \U\ = 1 В:(9.26)и другие параметры определяются видом полупроводника, концентра¬
цией и типом распределения примесей вблизи р-п-перехода. Так как
последними можно управлять с помощью различных технологических
приемов, то это и обусловило разработку на базе лишь нескольких по¬
лупроводниковых материалов (Ge, Si, GaAs, InSb) чрезвычайно боль¬
шого числа полупроводниковых приборов, различающихся по харак¬
теристикам.В заключение отметим, что в настоящее время известно большое
число технологических методов изготовления р-л-переходов. Наибо¬
лее распространенные из них, обеспечивающие образование р-п-пере-
хода: сплавление, диффузия, эпитаксиальное наращивание, ионная
имплантация.§ 9.4. ГетеропереходыСовременная технология позволяет изготовлять так называемые
гетеропереходы, в которых по обе стороны перехода находятся полу¬
проводники с различной шириной запрещенной зоны, например герма¬
ний— арсенид галлия, арсенид галлия — фосфид галлия и др. За¬
мечательным достижением технологии является изготовление гетеро¬
перехода в едином монокристалле, как обычного гомогенного перехо¬
да.Типичные схемы гетеропереходов показаны на рис. 9.10. Гетеро¬
переходы также могут быть резкими или плавными, симметричными и
несимметричными.Поскольку обе части гетероперехода могут обладать одним типом
электропроводности (рис. 9.10, а) или разным (рис. 9.10, б), то гете¬
ропереходы подразделяют еще на изотипные и анизотипные соответ¬
ственно.Главную особенность гетероперехода в отличие от обычного р-п-пе¬
рехода (его еще называют гомопереходом) нетрудно понять из энерге¬
тических схем рис. 9.10.В гомопереходе работы выхода электрона обеих его частей были
одинаковы, а в гетеропереходе—разные. Поэтому, откладывая от
уровня электрона в вакууме (Е0 на рис. 9.10) вниз значения и х2,
получаем значения Ее1 и Ес2 и видим, что на границе раздела (х = 0)
в гетеропереходе образуется разрыв в зоне проводимости. «Достраивая»
схему до валентных зон, нетрудно убедиться в образовании разрыва
и в £„.222
В равновесии, когда выравниваются
уровни химического потенциала, в общем
случае эти разрывы сохраняются, а вся
энергетическая диаграмма приобретает
вид, показанный на рис. 9.10, а. Харак¬
тер разрывов Ее и Ev различен. Первый
часто называют разрывом типа «крюк»,
а второй — типа «стенка».В случае анизотипного гетеропере¬
хода, например р-я-гетероперехода
(рис. 9.10, б), разрыв «стенка» возни¬
кает, наоборот, в зоне проводимости, а
«крюк» — в валентной зоне.Покажем на примере р-я-гетероперехода»
изображенного на рис. 9.10, б, как находят
ход кривых Ее (х), Ее (х) и соответственно
значения разрывов зон АЕс и AEv.Рис. 9.10. Зонная структура кристалла с гете¬
ропереходом:
а — переход типа п-п; б — переход типа п-рВ рассматриваемом гетеропереходе в обеих его частях возникают обеднен¬
ные слои объемного заряда. Это дает возможность воспользоваться решением
(9.17) для потенциала, полученным при рассмотрении контакта металл—полу¬
проводник в § 9.2 с той лишь разницей, что п- и p-области гетероперехода обла¬
дают различными значениями диэлектрической постоянной,В р-областив п-области(9.27)(9.28)На границе гетероперехода при х = 0 должно выполняться условие непре¬
рывности нормальной составляющей электрической индукции:Полагаянаходим(9.29)(9.30)
(9М)а из (9.29) после подстановки (9.27) и (9.28) получаем(9.32)Полная контактная разность потенциалов на границе гетероперехода(9.33)223
Из (9«32) и (9.33) находим толщины слоев
объемного заряда(9.34)(9.35)Выражения (9.27)—(9.35) определяют все
особенности идеализированного гетероперехо¬
да распределение потенциала ср (*), изгиб
энергетических зон — eip (х), толщину объем¬
ного заряда Ln + Lp и отношение контакт
ных разностей потенциалов Фм/Фо?.Применение гетеропереходов в отличие от обычных гомопереходов
позволяет осуществить ряд эффектов, важных для различных практи¬
ческих применений. Укажем в качестве примера на более легкое по¬
лучение лазерного эффекта. Для этого осуществляют полупроводни¬
ковую структуру, состоящую из двух одинаковых широкозонных
кристаллов п- и p-типа электропроводности, между которыми встроена
прослойка из другого узкозонного полупроводника.В этом среднем слое оказывается легче осуществить большой уро¬
вень инжекции, что и позволяет получить лазерный эффект. Подроб¬
нее о практическом использовании гетеропереходов будет рассказано
в ч. III этой книги.Следует отметить, что на внутренней границе раздела в гетеропере¬
ходе могут возникать поверхностные состояния, искажающие идеали-
зованные диаграммы, показанные на рис. 9.10, б, в.Диаграмма с поверхностными состояниями изображена на рис. 9.11.
В этом случае переход носителей заряда через гетерограницу может ид¬
ти через поверхностные уровни. Этот путь показан стрелками. Причем
из зон на поверхностные уровни носители могут попасть туннельным
эффектом.Рекомбинация носителей заряда через поверхностные уровни ухуд¬
шает запирающие свойства гетероперехода, затрудняет осуществлять
большой уровень инжекции и т. д.Поверхностные состояния могут иметь различную природу. Одна
из них та же, что приводила к появлению таммовских уровней (см.
§ 2.4), но чаще поверхностные уровни появляются за счет так назы¬
ваемых дислокаций несоответствия, а они возникают из-за различия
в периодах кристаллической решетки и термических коэффициентов
линейного расширения полупроводников, составляющих гетеропере¬
ход.Поэтому качественные переходы удается изготовить лишь в огра¬
ниченном числе пар кристаллов.Перспективным в этом смысле является использование многокомпонентных
твердых полупроводниковых растворов типа Ga^^Iti* Asi—y Р;/. В этом случае
вариация состава (* и у) позволяет снивелировать различия в структурных в
термических характеристиках компонентов гетероперехода.Рис. 9.11. Гетеропереход с по¬
верхностными состояниями на
гетерогранице224
Контрольные вопросы1. С чем связано появление контактных явлений? 2. Что такое работа вы*
хода электрона? 3. Что такое контактная разность потенциалов? Каким обра¬
зом она возникает? 4. Как меняется зонная структура полупроводника в
приповерхностном слое в случае контакта металл—полупроводник? 5. Что
такое запирающие и антизапирающие слои? 6. Объясните механизм выпрямле¬
ния тока на контакте металл—полупроводник. 7. Что такое р-п переход?
В чем его отличие от контакта металл—полупроводник? 8. Как классифициро¬
вать р-л*переходы? 9. Чем отличается гетеропереход от обычного гомогенного
перехода? 10. Какое направление принято считать положительным при под¬
соединении р-л-перехода к источнику внешнего напряжения?Литература: [28), [38], [39].Глава 10МАГНИТНЫЕ ЯВЛЕНИЯ В ПОЛУПРОВОДНИКАХ§ 10.1. Общие сведения о магнетизмеВ любом теле, помещенном во внешнее магнитное поле напряжен¬
ностью Н, индуцируется дополнительное магнитное поле НВектор
Н' может быть направлен как в ту же сторону, что и вектор Н, так и
в противоположную. Вещества, в которых векторы Н и Н' совпадают
по направлению, называют парамагнетиками, а те, в которых направ¬
ление Н и Н' не совпадает, — диамагнетиками.Результирующую напряженность магнитного поля в рассматри¬
ваемом теле В = Н + Н' называют вектором магнитной индукции.
Связь между В и Н имеет вид(ЮЛ)где М — вектор намагниченности, или просто намагниченность, рав¬
ная моменту единицы объема магнетика; х — магнитная восприимчи¬
вость.Помимо пара- и диамагнетиков существуют вещества, которые от¬
носят к ферромагнетикам. Их отличает, в первую очередь, нелиней¬
ная зависимость В от Н, т. е. значения х в таких веществах не являют¬
ся постоянными, а сами зависят от Н. Кроме того, в ферромагнетиках
значения магнитного момента весьма велики по сравнению с пара- и
диамагнетиками.При микроскопическом подходе к объяснению магнетизма различ¬
ных тел исходят из взаимодействия элементарных носителей магнит¬
ного момента в веществе с внешним магнитным полем и взаимодействия
этих носителей друг с другом.Элементарными носителями магнитного момента являются электро¬
ны, ядра атомов и элементарные частицы, составляющие ядро — про¬
тоны и нейтроны.Однако суммарный магнитный момент ядра, как показывают экс¬
периментальные исследования, на несколько порядков меньше элект¬
ронного магнитного момента и поэтому при рассмотрении магнитных8 Зрк. 1756225
свойств веществ ядерный магнитный момент
не принимают во внимание.Возникновение любого вида магнетизма
веществ может быть объяснено только с по¬
мощью количественной квантово-механиче¬
ской теории. Однако существование магнит¬
ного момента у электрона можно понять и ос¬
новываясь на выводах классической физики.
Для этого обратимся к рис. 10.1, на котором
изображено движение электрона вокруг ядра
по круговой орбите радиуса г в отсутствие
внешнего магнитного поля. Обозначим линей¬
ную скорость движения электрона v, а угловую — со. Момент коли¬
чества движения(10.2)Всю орбиту можно трактовать как виток с током(10.3)Этот виток обладает магнитным моментом Мь который определяет¬
ся как произведение тока на площадь витка (орбиты) яг2. В результа¬
те получаем(10.4)Пропорциональность магнитного и механического моментов име¬
ет место в квантовой механике с той лишь разницей, что величина L
квантуется (L = пА, где п = 1, 2, ...), следовательно, квантуется и ор¬
битальный магнитный момент электрона М{:(10.5)При п = 1 получаем универсальную постоянную, называемую
магнетоном Бора(10.6)и имеющую смысл единицы элементарного магнетизма. Ее значение
равно 9,27 • 10~21 эрг/гс. Помимо орбитального движения электрон
вращается вокруг своей оси, т. е. обладает вторым механическим мо¬
ментом — спином S. В силу теоремы о пропорциональности магнитного
и механического моментов у электрона возникает еще один магнитный
момент — спиновый Ms. Однако коэффициент пропорциональности
между Ms и S в два раза больше, чем в выражении (10.4):(Ю.7)Причина этого лежит исключительно в квантово-механических расчетах и
не имеет классического аналога.Все вещества, за исключением водорода, состоят не из одноэлект¬
ронных атомов, а из многоэлектронных. Их полные механический J
и соответственно магнитный М моменты будут представлять собой не¬
которую комбинацию орбитальных L и спиновых S моментов. Кван-Рис. 10.1. Магнитный мо¬
мент электрона, вращаю¬
щегося по круговой ор¬
бите226
товая механика позволяет и в этом случае получить выражение, похо¬
жее на (10.4):(10.8)В этом выражении коэффициент пропорциональности g называют
множителем Ланде или просто g-фактором*>.Его значение определяется квантовыми числами Jy L, S:(109)В свою очередь, полные моменты L и S всей совокупности электро¬
нов в сложном атоме складываются из орбитальных L* и спиновых S*
моментов отдельных электронов:(10.10)
Соответственно(10.11,Такую связь моментов называют LS-связью или Рассел-Саундерсовской свя-
еью. Она предполагает только электростатическое взаимодействие электронов
в атоме и пренебрегает их магнитным взаимодействием. В ряде случаев все же
между магнитными моментами электронов орбитальным Щ и спиновым
может иметь место спин-орбитальное взаимодействие, приводящее к дополни¬
тельному расщеплению энергетических уровней сложного терма.Роль спин-орбитальных взаимодействий возрастает с увеличением поряд¬
кового номера Z. Тем не менее для электронов глубоких уровней даже тяжелых
элементов LS-связь хорошо выполняется.Большинство многоэлектронных атомов имеют заполненные элект¬
ронные оболочки. Полный момент количества движения заполненных
оболочек равен нулю. Поэтому у таких атомов и магнитный момент в
отсутствие внешнего магнитного поля равен нулю.Атомы некоторых элементов имеют не полностью заполненные обо¬
лочки и за счет этого — неспаренные электроны. Это атомы с d- я f-
оболочками, т. е. атомы переходных и редкоземельных элементов. У
таких атомов уже в отсутствие внешнего магнитного поля может быть
собственный магнитный момент МФО. Отличается магнитный момент
от нуля или нет, определяется правилом Хунда, по которому электро¬
ны заполняют оболочку так, чтобы возможные значения орбитально¬
го момента количества движения и спинового момента были одновре¬
менно максимальны. Тогда полный механический момент J = L — S
для оболочек, заполненных менее чем наполовину, и J = L + S для
оболочек, заполненных болеё чем наполовину.В веществах, состоящих из атомов сМ^=0, могут быть несколько
(четыре) случаев упорядочения отдельных магнитных моментов в от¬
сутствие внешнего магнитного поля.Полное разупорядочение (рис. 10.2). При наложении внешнего
магнитного поля Н отдельные магнитные моменты стремятся ориенти¬
роваться в направлении Н. Поскольку направление ориентации маг-Не следует путать с g-фактором, фигурирующим в статистических выраже¬
ниях гл. 3 и отражающим кратность вырождения энергетических уровней дефек¬
тно в запрещенной зоне полупроводника.
Рис. 10.2. Разупорядоче¬
ние спинов и температур¬
ная зависимость магнит¬
ной восприимчивости па¬
рамагнетикаРис. 10.3. К расчету маг¬
нитного момента пара¬
магнетиканитных моментов совпадает с вектором Н, то рассматриваемое вещест¬
во является парамагнетиком. Однако тепловое движение стремится
разориентировать атомные магнитные моменты. В результате конку¬
рирующего действия магнитного поля и теплоты установится статис¬
тическое равновесие. Оно и определяет результирующую парамагнит¬
ную восприимчивость вещества %р.Для вычисления %р обратимся к рис. 10.3, на котором некоторый
угол между Ми Н обозначен 0. Так как многие эффекты определяются
энергией взаимодействия магнитного момента М с Н, которая пропор¬
циональна МН, то для их анализа оказывается важным скалярное про¬
изведение МН = Мг\Н\, где индекс г — означает ось, параллельную
Н. Поэтому на рис. 10.3 ось г совпадает с осью Н. Тогда М cos 0 —
проекция на ось Н — представляет собой результирующий магнитный
момент при намагничивании вещества.Какова же вероятность различных ориентаций магнитного момента
при равновесии? Определить это можно в рамках классической физи¬
ки, положив допустимыми все возможные ориентации 0. Энергия взаи¬
модействия магнитного атомного диполя с полем Н будет МН cos 0,
а вероятность его ориентации в направлении между 0 и 0 + d0, т. е.
внутри угла dQ, будет(10.12)Из рис. 10.3 видно, что dQ = 2л sin QdQ, тогда (10.12) принимает
вид:(10.13)Из (3.6) получим усредненное значение результирующего магнит¬
ного момента (проекции на ось Н):(10.14)228
а величину %р, отнесенную к 1 молю вещества, определим по формулегде N — концентрация молей.Вычисление интегралов (10.14) и подстановка в (10.15) дает извест¬
ную формулу Ланжевена:В слабых полях (а < 1) функцию X (а) можно разложить в ряд,
ограничиться первыми двумя членами разложения (cth а « 1/а +
+ а/3) и получить вместо (10.16) выражениеизвестное как закон Кюри.Таким образом, магнитная восприимчивость парамагнетика обрат¬
но пропорциональна температуре, что и показано на рис. 10.2.В действительности квантовая механика налагает ограничения на
допустимые значения ориентации (углов 0) магнитных атомных мо¬
ментов во внешнем магнитном поле. Магнитные моменты могут ориен¬
тироваться только (2J + 1) способами.Среднее значение(10.15)где X (а) — функция Ланжевена:
в которой(10.16)(10.17)(10.18)(10.19)(10.20)Вычисляя эти статистические суммы и подставляя Мн в
получим(10.15),(10.21)где Bj (Р) — функция Бриллуена:(10.22)аПри р < 1 разложение (10.22) в ряд дает выражение:(10.23)(10.24)229
и соответственно(10.25)т. е. опять Хр определяется законом Кюри с более сложным обобщен¬
ным выражением постоянной Кюри С, которая для наименьшего из
возможных значений J = 1/2 переходит в постоянную Кюри, входя¬
щую в (10.19), так как при J = 1/2 имеем Вi/г(Р) = cth Р, т. е.
практически функцию Ланжевена.Упорядочение с параллельными спинами (рис. 10.4). Такой вид
упорядочения проявляется у очень ограниченного круга веществ —
ферромагнетиков. Исследования таких веществ показали, что основ¬
ной вклад в ферромагнетизм вносят спиновые магнитные моменты.
Вклад орбитальных магнитных моментов в общую намагниченность
ферромагнетиков крайне мал.Замечено, что атомы ферромагнетиков обязательно имеют неза¬
полненную электронную оболочку. Второе условие, необходимое
для появления ферромагнетизма, достаточно близкое расположение
таких атомов друг к другу.Количественная теория ферромагнетизма пока разработана недо¬
статочно. Качественно же его возникновение объясняется электро¬
статическим взаимодействием соседних магнитных атомов с учетом
прииципа Паули.Действительно если у магнитных атомов происходит частичное
перекрытие незаполненных электронных оболочек, то часть (/) элек¬
тронов займут состояния со спином «вверх», а часть (k) — со спином
«вниз».Потенциальная энергия двух соседних атомов(10.26)где А — обменный интеграл, представляющий собой потенциал меж¬
ду двумя атомами.Первое слагаемое в (10.26) определяется обычным кулоновским
взаимодействием, второе — выражает затраты энергии на специфиче¬
ское обменное взаимодействие, существующее дополнительно к куло-
новскому.Квантовая механика позволяет вычислить обменный интеграл. Его
нзменет е при разных значениях межатомного расстояния г показаноРис. 10.4. Упорядочение
спинов в ферромагнетикеРис. 10.5. Изменение обмен¬
ного интеграла с межатом¬
ным расстоянием230
на рис. 10.5, из которого видно, что есть об¬
ласть г >гкр, в которой обменный интеграл
положителен. В этом случае, как следует
из (10.26), более выгодной оказывается кон¬
фигурация с параллельными спинами SjffSft.В области г < гкр знак А отрицателен и
электростатическая энергия U минимальна
при конфигурации с антипараллельными спи¬
нами St и sft.Интересно, что в эту область попадают и
элементы с незаполненной d-оболочкой (на
рис. 10.5 — Мп), хотя они и обладают боль¬
шим спиновым магнитным моментом. Однако
те же атомы Мп в составе соединений MnSb
или MnAs находятся друг от друга на рас¬
стояниях, попадающих в область г >• гкр, и между ними возникает
ферромагнитное взаимодействие, обусловливающее ферромагнетизм
этих соединений.Для веществ с г > гкр значение обменного интеграла падает до
нуля и явление ферромагнетизма у них практически отсутствует.Таким образом, в ферромагнетиках упорядочение собственных
магнитных моментов атомов настолько велико, что формально можно
считать это следствием некоего внутреннего ориентирующего их
магнитного поля.Существованием внутреннего молекулярного магнитного поля и пытались
ранее объяснять ферромагнетизм с позиций классической физики (Розинг —
1892 г. и Вейсс — 1907 г.).В результате у ферромагнетиков имеется спонтанная намагничен¬
ность вещества Ms и в отсутствие внешнего магнитного поля.Точнее — в магнитном поле Земли.Естественно, что повышение температуры приводит к разупоря-
дочению спиновых магнитных моментов и значение Ms уменьшается
(см. рис. 10.4). При некоторой температуре Тс, называемой ферро¬
магнитной температурой Кюри, произойдет полная разориентация
спинов и значение Ms станет равным нулю. При дальнейшем повыше¬
нии температуры вещество ведет себя подобно парамагнетику и его
магнитная восприимчивость изменяется обратно пропорционально
температуре по закону(10.27)известному, как закон Кюри—Вейсса.Упорядочение с антипараллельными равными моментами (рис. 10.6).
Оно характерно для веществ — антиферромагнетиков. В области низ¬
ких температур значение % у них очень мало. С повышением темпера¬
туры ее значение возрастает до тех пор, пока спиновые моменты
разориентируются полностью, после чего вещество становится пара-Рис. 10.6. Упорядочение
с антипараллельными
равными спинами в анти¬
ферромагнетике231
Рис. 10.7. Кристаллическая струк¬
тура МпО (стрелками указаны на¬
правления магнитных моментов
отдельных ионов марганца)Рис. 10.8. Упорядочение с ан¬
типараллельными неравными
моментами в ферримагнетикемагнитным и его магнитная восприимчивость подчиняется закону Кю-
ри-Вейсса:(10.28)в котором 0 — отрицательна.Температуру разориентации спинов Тм называют температурой
Нееля.При квантово-механической трактовке антиферромагнетизма тре¬
буется, чтобы знак обменного интеграла в (10.26) был отрицательным.
Однако реализации одного этого условия еще недостаточно для утвер¬
ждения об упорядоченном чередовании спинов соседних атомов.Необходимо еще так расположить магнитные атомы (ионы), чтобы
было выгодным образование магнитных подрешеток, сопротивляющих¬
ся взаимной намагниченности.Проще всего это понять на примере МпО с кристаллической ре¬
шеткой типа решетки NaCl (рис. 10.7). Ионы кислорода и марганца
в этом соединении образуют двегранецентрированные кристаллические
решетки, расположенные так, что ближайшими соседями иона марган¬
ца являются только ионы кислорода и, наоборот, вблизи ионое кисло¬
рода оказываются только ионы марганца. Спины ионов Мп, располо¬
женных в плоскостях (111), параллельны и направлены «вверх»,
а спины ионов Мп, расположенных в смежных плоскостях, параллель¬
ны между собой, но направлены «вниз». Таким образом, всю подрешет-
ку марганца можно представить состоящей как бы из двух подрешеток,
намагниченных противоположно.Магнитные моменты оказываются скомпенсированными и резуль¬
тирующий магнитный момент антиферромагнетика в отсутствие внеш¬
него магнитного поля равен нулю.Упорядочение с антипараллельными неравными моментами
(рис. 10.8). Оно представляет собой практически такое же упорядоче¬
ние, что и в антиферромагнетике, но с неполной компенсацией маг-232
нитного момента обеих магнитных подрешеток. Такие вещества назы¬
вают ферримагнетиками. Результирующий магнитный момент у них
в отсутствие магнитного поля не равен нулю; они обладают спонтанной
намагниченностьюПомещенные в магнитное поле ферримагнетики ведут себя подоб¬
но ферромагнитным веществам.Теперь вернемся к рассмотрению простейшего носителя магнетиз¬
ма — электрону, вращающемуся вокруг ядра (см. рис. 10.1). В отсутст¬
вие внешнего магнитного поля он обладает собственным магнитным
моментом(10.29)Поместим такой электрон (виток с током) в магнитном поле Н. По
закону Ленца всякое изменение магнитного потока через электриче¬
ский контур индуцирует в нем ток такого направления, что его магнит¬
ный эффект противодействует указанному изменению, вследствие чего
возникает магнитный момент, связанный с индуцированным током.
Это и есть диамагнитный момент, обозначенный на рис. 10.1 как Md.
Взаимодействие диамагнитного момента с внешним магнитным полем
приводит к прецессии всей электронной орбиты вокруг вектора Н
с частотой Q, называемой ларморовой частотой прецессии.Для определения Q запишем кулоновскую силу, удерживающую
электрон на орбите: F = е21г. Эта сила уравновешивается центробеж¬
ной силой тпо§, где со0 — частота вращения электрона в отсутствие
магнитного поля.При включении магнитного поля на электрон действует еще сила
Лоренца и условие уравновешивания сил примет видгде о> — частота вращения электрона при включенном поле Н.Второе слагаемое в левой части этого уравнения предсывляет собой чяс*
ленную величину силы Лоренца:так как v = ’•0) и sin (vt Н) — 1 из-за того, что И перпенликуляпяя плоскости
орбиты.Комбинируя оба условия равенства сил при Н 0 и Нф U, по¬
лучим уравнениерешение которого имеет вид
Здесь введено обозначение(10.31)(10.32)(10.30)S33
как раз и представляющее собой ларморову частоту. Прецессия Z
электронов с этой частотой эквивалентна току (10.3):а магнитный момент, равный произведению этого тока на площадь
контура,(10.33)где Z — число электронов в атоме; р2 — среднее значение квадрата
расстояния электрона от оси, параллельной напряженности магнит¬
ного поля Н.Отрицательный знак индуцированного магнитного момента и оп¬
ределяет наблюдаемую на опыте отрицательную магнитную восприим¬
чивость диамагнетиков.Если принять за начало координат атомное ядро, воспользоваться
понятием среднего квадрата расстояния г2 = ж2 + у2 + г2 и допустить
сферическую симметрию распределения электронного заряда в атоме— г/2 = г2, то г2 = ~ р2 и выражение (10.33) примет вид(10.34)а для магнитной восприимчивости единицы объема вещества, пользу¬
ясь выражением % — М/Н, найдем(10.35)где N — число атомов в единице объема вещества.Это выражение носит название формулы Ланжевена.Таким образом, диамагнетизм присущ всем без исключения вещест¬
вам. Принадлежность же вещества к диа-, пара-, ферро-, антиферро-
или антиферримагнетикам определяется типом преимущественного
вклада того или иного вида магнетизма в общую намагниченность ве¬
щества.§ 10.2. Магнетизм полупроводниковых веществВ связи с тем что диамагнетизмом обладают все без исключения
атомы, обычные полупроводники, рассмотрению которых были посвя¬
щены предыдущие главы, являются диамагнетиками. Будем считать
их немагнитными. В силу различных причин в них может возникать
парамагнетизм. Это становится возможным в тех случаях, когда в
кристалле появляются локализованные магнитные моменты. Носите¬
лями таких моментов могут быть свободные электроны и дырки, при¬
месные атомы, другие различные точечные дефекты и их ассоциаты.Если абсолютные значения магнитных моментов невелики и но¬
сителей магнитных моментов в кристалле мало, то прямая химическая
связь между ними (прямой обмен) отсутствует.234
Обмен между ними может происходить не прямым взаимодействием,
а посредством свободных электронов проводимости. Такой тип взаимо¬
действия между носителями магнитных моментов называют косвен¬
ным обменом.До тех пор, пока прямой обмен отсутствует, а косвенный на¬
столько слаб, что в полупроводнике не возникает упорядочения маг¬
нитных моментов, полупроводники являются немагнитными. При¬
мерами немагнитных полупроводников являются все известные кристал¬
лы типа AIV, Аш BVI, A11 BVI, AIV BVI, либо не содержащие
примесей с незаполненными d- или /-оболочками, либо при малых
концентрациях таких примесей. Малых настолько, что даже значитель¬
ные магнитные моменты d- или /-атомов еще остаются локализованны¬
ми.Присутствие локализованных магнитных моментов не влияет на
фундаментальные свойства полупроводника — зонную структуру, оп¬
тическое поглощение и люминесценцию, связанные с переходами
зона—зона и др. В то же время свойства полупроводников, определяе¬
мые примесями — примесная проводимость, рекомбинации на приме¬
сях, гальваномагнитные явления и т. д.,—становятся зависимыми от
присутствия примесей с локализованными магнитными моментами.Специфические магнитные эффекты появляются и непосредственно
под воздействием магнитного поля на газ свободных электронов про¬
водимости в обычных полупроводниках, не содержащих d- или /-при¬
месей.Во всех перечисленных случаях имеют место магнитные явления
в немагнитных полупроводниках.В некоторых полупроводниках растворимость атомов с незаполнен¬
ными d- или /-оболочками значительна. Примером служат кристаллы
Pbj-j. МпжТе, РЬх-я FexTe, в которых значения х могут достигать не¬
скольких процентов без выделения второй фазы и без потери монокри¬
сталличности.При столь значительной растворимости атомов Мп и Fe между
ними в кристалле возникают более сильные взаимодействия. Проис¬
ходит образование магнитных кластеров, объединяющих значитель¬
ное число магнитных моментов. Например, в Pbi-* FeaTe уже при
х = 5‘10~2% наблюдаются кластеры, содержащие от единиц до не¬
скольких тыся € атомов железа. Тип упорядочения внутри кластеров
может быть как ферро-, так и антиферромагнитным.Следовательно, такие полупроводники содержат магнитоупорядо¬
ченные области внутри диамагнитной кристаллической матрицы. По¬
добные кристаллы получили название полу магнитных полупровод¬
ников.Значительная связь (обмен) электронов, принадлежащих магнито¬
упорядоченному кластеру с электронами всего остального кристалла,
уже более эффективно изменяет все «примесные» свойства полупровод¬
ника, а в ряде случаев может повлиять и на его фундаментальные свой¬
ства.Наконец, имеется класс магнитных полупроводников. Носителями
магнитных моментов в них являются непосредственно атомы, состав-235
ляющие основную кристаллическую решетку. Это обычно кристалличе¬
ские химические соединения переходных и редкоземельных металлов,
в которых появляется магнитное упорядочение атомов, распространяю¬
щееся целиком, по крайней мере, на одну из подрешеток кристалла.Типичными примерами магнитных полупроводников являются ок¬
сиды d-металлов (N10, Fe304) и халькагениды двухвалентного евро¬
пия (EuO, EuS, EuSe и EuTe).Особенность магнитных полупроводников состоит в том, что в них
одновременно происходит обменное взаимодействие между свободны¬
ми носителями заряда и локализованными электронами незаполненных
оболочек магнитных ионов и взаимодействие локализованных элек¬
тронов этих оболочек внутри протяженной упорядоченной системы.
Оба типа взаимодействий приводят к тому, что в магнитных полу¬
проводниках формирование самой зонной структуры и соответствен¬
но всех фундаментальных свойств происходит с участием собственно¬
го решеточного магнетизма.§ 10.3. Энергетический спектр носителей заряда
в магнитном полеПри действии на кристалл внешним магнитным полем волновые
функции электрона и связь энергии электрона с его квазиимпульсом
претерпевают существенные изменения. Пусть магнитное поле прило¬
жено в направлении г. Тогда вдоль оси г электрон по-прежнему обла¬
дает непрерывными значениями энергии, которая определяется вы¬
ражением (1.28) с квазиимпульсом kz. В плоскости ху при Н Ф О
возникает орбитальное движение, которое, как было показано в § 10.1,
квантовано и происходит с ларморовой частотой (10.32). Полная энер¬
гия электрона представляет собой сумму обоих видов движений:где N — целые числа, обозначающие порядок квантования.При учете спина в (10.36) следует включить и энергию спинового
вращения в магнитном поле (парамагнетизм Паули):При заданных значениях проекции спина на ось г и волнового числа
кг возможные значения энергии Е образуют ряд эквидистантных уров¬
ней (рис. 10.9, а) с расстоянием между ними йсос = 2ftcoL.Соответственно в k-пространстве возникают одномерные (вдоль
kz) подзоны (рис. 10.9, б), получившие название подзон Ландау, так
как «расщепление» энергетических уровней в магнитном поле теоре¬
тически было показано Л. Д. Ландау (1930).Следует отметить, что при не очень больших Н расщепление Лан¬
дау можно не учитывать и описывать энергетический спектр электро¬
нов классически, как это было сделано в гл. 1. Это возможно, если(10.36)(10.37)236
Рис. 10.9. Энергетический спектр
электрона в магнитном полеРис. 10.10. Плотность электрон¬
ных состояний в магнитном по¬
ле (пунктир — плотность состо¬
яний при Н= 0)энергия электрона Е, равная kT (или уровню Ферми |л), будет равна
или больше Йо)с. Отсюда определяем значение напряженности крити¬
ческого магнитного поля Якр, выше которого наступает эффект кван¬
тования энергетических уровней:(10.38)Такие магнитные поля называют квантующими.В квантующих магнитных полях изменится и плотность энергети¬
ческих состояний в зоне проводимости. В выражение (3.51) войдут кван¬
тованные значения энергии (10.37) или без учета спина (10.36):(10.39)Здесь отсчет энергий ведется не от Бс, как в (3.51), а от соответст¬
вующего уровня Ландау. Графический вид функции (10.39) показан
на рис. 10.10, из которого видно, что р (£) — осциллирующая функ¬
ция с периодом Йю„.§ 10.4. Осцилляционные явленияПериодичность плотности электронных состояний в магнитном поле
влечет за собой осцилляционные зависимости от магнитного поля мно¬
гих равновесных и неравновесных параметров полупроводника. Су¬
ществует два типа осцилляционных эффектов.Первый тип — связан с прохождением уровня Ферми че¬
рез систему уровней Ландау. Эти осцилляции можно наблюдать толь¬
ко в сильно легированных полупроводниках, у которых уровень Фер¬
ми расположен в зоне проводимости. Тогда по мере увеличения Я,
через уровень Ферми поочередно проходят уровни Ландау с различ¬
ным номером N. При каждом таком прохождении из-за резкого уве¬
личения р (Е) (см. рис. 10.10) возникает всплеск измеряемого кине-237
тического эффекта. Для примера на рис. 10.11
показаны осцилляции магнитосопротивления.Осцилляции кинетических эффектов, оп¬
ределяемые рассеянием электронов и возни¬
кающие из-за осцилляционного характера
функции р (£), называют осцилляциями Шуб-
никова,—де Гааза.Второй тип — можно наблюдать не
в сильно легированных полупроводниках.
Его природа связана с рассеянием на фоно¬
нах при условии совпадения энергии опти¬
ческого фонона ft со 0 с энергией какого-либо
из уровней Ландау — Nha)c.В этом случае электрон поглощает фонон
и переходит с уровня Е на уровень Е + N.
Этот эффект был предсказан теоретически Гуревичем и Фирсовым,
получил название магнитофононного резонанса и неоднократно на¬
блюдался экспериментально.Аналогичный эффект возникает и при совпадении /»о0 с расстоя¬
нием между двумя уровнями с разным направлением спина. Этот эф¬
фект получил название спин-магнитофононного резонанса.Осцилляции р (Е) в магнитном поле должны приводить к осцилля¬
циям любых свойств полупроводника, зависящих от плотности элек¬
тронных состояний. Помимо явлений переноса электронов к ним от¬
носятся магнитная восприимчивость носителей заряда, поглощение
звука, теплопроводность и др.§ 10.5. Магнитная восприимчивость немагнитных
полупроводниковМагнитная восприимчивость немагнитных полупроводников %, из¬
меряемая на опыте, представляет собой сумму отдельных составляю¬
щих, характеризующих различные компоненты кристалла:(10.40)магнитные восприимчивости кристалличе¬
ской решетки, носителей заряда и дефектов (примесей) соответственно.По современным представлениям систему взаимодействующих атомов рас¬
сматривают как совокупность двух подсистем ионных остовов, образующих
кристаллическую решетку, и систему коллективизированных электронов, кото¬
рую в неметаллических телах образуют электроны химических связей.В квантовой механике восприимчивость атомов и молекул, не имеющих
собственного магнитного момента, определяют следующим образом:(10.41)в котором первое слагаемое описывает диамагнитный вклад электронов (диама¬
гнетизм Ланжевена), второе — поляризационный парамагнетизм Ван-Флека,
физический смысл которого связан с виртуальными переходами при Н — О238Рис. 10.11. Осцилляции
магнитосопротивления
In As при 7'=4,2К
между основным п и возбужденным состояниями ri электрона. В (10,41) W (л, п')
— вероятность такого перехода, а Еп* и Еп — значения энергий возбужденно¬
го и основного состояний соответственно.Диамагнитный член представляет собой сумму диамагнитных токов отдель¬
ных электронов, и поэтому все изменения этой компоненты восприимчивости при
конденсации атомов в твердое тело обусловлены деформацией электронных ор¬
бит, т. е. изменением г*. Такая деформация тем меньше, чем электронная орбита
ближе расположена к ядру. Поэтому диамагнетизм заполненных электронных
оболочек меняется несущественно при конденсации атомов в твердое тело.Ван-Флековский парамагнетизм ионных остовов, имеющих сферическую сим¬
метрию, очень мал, так как разность энергий основных и возбужденных состоя¬
ний электронов, как правило, велика.При конденсации атомов в твердое тело гораздо большие изменения дол¬
жен претерпевать вклад валентных электронов, так как их орбиты при образова¬
нии химических связей испытывают значительную деформацию.В неметаллических кристаллах химическая связь может быть представлена
как гибридизация двух предельных случаев: ионной и ковалентной связей.При чисто ионной связи можно считать, что ионы обладают центральной
симметрией и не испытывают деформации. В таком случае магнитная восприим¬
чивость ионного кристалла подчинялась бы правилу аддитивности восприимчи¬
востей ионов, составляющих кристалл. В реальных кристаллах имеет место на¬
рушение сферической симметрии в распределении электронной плотности из-за
электростатического взаимодействия электронных оболочек. Это приводит к по¬
явлению парамагнитного вклада Ван-Флека. Его значение тем больше, чем силь¬
нее взаимная деформация электронных оболочек, т. е. чем сильнее связь отлича¬
ется от чисто ионной. Еще большую роль играет Ван-Флековский парамагнетизм
в кристаллах с ковалентной связью из-за анизотропии распределения валентных
электронов, образующих ковалентные «мостики» связи.Следует отметить, что теории, способной дать строгую количест¬
венную оценку решеточной магнитной восприимчивости, пока не су¬
ществует. Поэтому обычно Хреш отождествляют с измеряемой на опы¬
те магнитной восприимчивостью нелегированного монокристалла, ис¬
следуемого полупроводника, который таким образом играет роль эта¬
лона. Магнитная восприимчивость свободных носителей заряда Хнос
слагается из пара- и диамагнитных компонент. При этом могут встре¬
титься случаи полупроводников с параболичным (Ge, Si) и непарабо-
личным (InSb) законами дисперсии энергетических зон, с невырож¬
денным и вырожденным электронным газом.Парамагнетизм электронов проводимости (парамагнетизм Паули)
легко понять, если рассматривать зону проводимости, состоящей из
двух подзон, содержащих электроны с разным направлением спинов
(рис. 10.12, а). При Н = 0 число тех и других электронов одинаково
и суммарный магнитный момент всей совокупности электронов прово¬
димости равен нулю. При включении внешнего поля Н одна группа
электронов увеличит свою энергию на величину полученной магнит¬
ной энергии + МвН, другая — уменьшит ее на — МвН. В резуль¬
тате обе подзоны электронов сместятся друг относительно друга на
2МвН (рис. 10.12, б) и значения уровня Ферми для этих двух групп
электронов будут разными. Условие термодинамического равновесия
приводит к выравниванию уровней Ферми (химического потенциала).
Поэтому число электронов со спином, направленным вниз, больше,
чем число электронов со спином, ориентированным вверх (рис. 10.12, в),
Соответственно больше будет и электронов с магнитным моментом,
ориентированным вдоль оси Н.23Э
Ограничимся рассмотрением слабых, неквантующих магнитных
полей. В этом случае число этих электронов(10.42)где р (Е) — плотность электронных состояний в зоне проводимости,
полученная в гл. 3 в виде (3.51); /0 — равновесная функция распре¬
деления электронов по энергиям.Выражение (10.42) аналогично (3.44) с интервалом энергий dE —
— 2МвН.Магнитный момент Мр всей совокупности этих электронов равен
произведению Ап на значение спинового магнитного момента Ms
одного электрона (10.7) со значением спинового квантового числа
s = 1/2, а магнитная восприимчивость электронного газа в зоне про¬
водимости (хР = Мр/Н):(10.43)Это выражение в общей форме представляет собой парамагнитную
составляющую свободных электронов зоны проводимости для случая
произвольной сферической зоны и произвольной степени вырождения.Его можно представить несколько иначе:(10.44)где п — концентрация электронов; g — фактор спектроскопическо¬
го расщепления для электрона в зоне проводимости; е = E/(kT) —
приведенная энергия электронов.Угловые скобки в (10.41) обозначают интегралы типа:(10.45)где f0 — функция распределения электронов по энергиям; k — вол¬
новой вектор.Рис. 10.12. Электроны зоны проводимости в магнитном поле:
а — плотность состояний в двух половинах зоны при Я — 0; 6 — смещение подзон
и неравновесное заполнение их электронами при Н Ф 0; в — смещение подзон и
равновесное заполнение их электронами при Н ФО240
Таким образом, (10.44) представляет со¬
бой закон Кюри с постоянной Кюри, опре¬
деляемой усредненной величиной g-факто¬
ра. Электроны зоны проводимости обла¬
дают и диамагнетизмом, возникновение ко¬
торого представляет собой чисто кванто¬
во-механический эффект, появляющийся за
счет изменения орбитального движения
электронов во внешнем магнитном поле.При квантово-механическом подходе в
случае сильного вырождения [\x!{kT) > 01(10.46)Рис. 10.13 Магнитная вое-
приимчивость электронов
проводимости в GaA*>
[сплошная кривая — расчет
по (10 46)1где у — мера отклонения зоны проводимости от параболичной:(10.47)Положив в (10.46) 7 = 0» нетрудно получить %d для сильно вы¬
рожденного полупроводника с обычной параболичной зоной проводи¬
мости. В случае совершенно невырожденного электронного газа (при
\i/kT « 0)(10.48)Применимость приведенных выражений хорошо иллюстрируется на
примере магнитной восприимчивости электронного газа, измеренной
в монокристаллах арсенида галлия (рис. 10.13).В полупроводниках р-типа из-за больших значений эффективных
масс магнитная восприимчивость дырок оказывается малой и ею,
как правило, пренебрегают по сравнению с другими составляю¬
щими %•Кроме того, необходимо отметить, что теоретическая интерпрета¬
ция магнитной восприимчивости дырок затруднена из-за более слож¬
ного строения валентной зоны по сравнению с зоной проводимости.
Таким образом, магнитную восприимчивость %яос можно вычислить
по (10.44), (10.46), (10.48) в зависимости от условий (ц* > 0 илиИ* « 0).В сильных, квантующих полях магнитная восприимчивость носи¬
телей заряда имеет осиилляционный характер за счет осцилляций обе¬
их составляющих %р и Ха-241
§ 10.6. Локализованные магнитные моменты
в немагнитных полупроводникахПрисутствие локализованных магнитных моментов в обычных не¬
магнитных полупроводниках прежде всего определяет в (10.38) со¬
ставляющую ХдеФ- Кроме того, локализованные магнитные моменты
вызывают и ряд специфических физических явлений.Рассмотрим природу локализованных магнитных моментов в не¬
магнитных полупроводниках. Магнитным моментом могут обладать
примесные атомы, если количество электронов в их внешней валентной
оболочке отличается от числа электронов, необходимых для образо¬
вания валентных связей или примесный атом имеет незаполненные
внутренние оболочки.Простейшим случаем является магнетизм невзаимодействующих
мелких доноров и акцепторов, находящихся при низких температурах
в неионизированном состоянии. Примесный атом при этом находится
в S-состоянии (орбитальный момент равен нулю), его магнитные свой¬
ства определяются только спиновым моментом избыточного электрона.
Парамагнитная восприимчивость описывается в этом случае известной
формулой Ланжевена (10.16) в магнитным моментомКроме того, избыточный электрон примесного атома обладает
ларморовским диамагнетизмом. Магнитный момент Md определяют по
(10.34), а магнитная восприимчивость имеет вид (10.35).Из (10.16) и (10.35) видно, что в области низких температур должно
наблюдаться уменьшение суммарной диамагнитной восприимчивости
полупроводников, подчиняющееся закону Кюри, что подтверждается
на опыте при отсутствии межпримесного взаимодействия.Другой вид локализованных магнитных моментов представляют
взаимодействующие друг с другом мелкие доноры. Такое взаимодейст¬
вие приводит, как было показано в гл. 2, к образованию примесной зо¬
ны. Однако теоретический анализ магнитной восприимчивости показал,
что более реальным является приближение, рассматривающее примес¬
ное взаимодействие ка'к образование «квазиводородных молекул». Эти
молекулы могут находиться в синглетном или триплетном состоянии
(с антипараллельной или параллельной ориентацией электронных
спннов).Различие в энергиях этих состояний АЕ определяется расстоянием
между взаимодействующими донорами в такой молекуле. Величина
АЕ оценивалась как АЕ в молекуле водорода, поправленная на ди¬
электрическую проницаемость и эффективную массу электронов в кри¬
сталле, как это делалось для Et (см. §2.2).В результате оказалось, что парамагнетизм взаимодействующих
доноров описывается формулой(10.49)(10.50)(10.51)
А и В — константы.242
Наибольший вклад в хдеф вносят при¬
месные атомы переходных металлов (Г-ме¬
таллов) с незаполненной d-оболочкой. Ос¬
новное состояние незаполненной d-оболоч¬
ки Г-атома, как было показано в § 10.1,
определяется правилом Хунда. Соответст¬
венно его магнитный момент имеет вид
(10.8) с g-фактором (10.9), а восприимчи¬
вость парамагнитной Г-примеси подчиняет¬
ся закону Кюри (10.19).На опыте наблюдаются отклонения от
(10.19), что, в первую очередь, связано с влия¬
нием возбужденных уровней Г-примеси. Магнит¬
ную восприимчивость при этом вычисляют как сумму по всем уровням, рас¬
щепленным кристаллическим полем.Важными, хотя еще недостаточно изученными центрами локализа¬
ции магнитного момента, являются ассоциированные дефекты различ¬
ного типа: примесь—примесь, примесь—вакансия или более сложных.
Например, в кремнии экспериментально обнаружены кластеры (груп¬
пировки) из междоузельных атомов марганца типа Мп4, обладающие
магнитным моментом.В слабых магнитных полях, в отсутствие квантования, в немагнит¬
ных полупроводниках наблюдается ряд специфических магнитных эф¬
фектов. Рассмотрим некоторые из них.Отрицательное магнитосопротивление (ОМС). Оно проявляется в
том, что при низких температурах имеет место уменьшение удельного
сопротивления р при включении внешнего магнитного поля. Типичные
зависимости Ар/р от напряженности магнитного поля показаны на
рис, 10.14.Следует отметить, что обычная теория гальвано-магнитных эффектов
(гл. 4) оперирует моделью, в которой электрон во внешнем магнитном поле ис¬
кривляет свою траекторию. Возникающая сила Лоренца закручивает электрон
по круговой орбите вокруг вектора Н. В результате удельное сопротивление
должно увеличиваться, так как удлиняется путь электрона и соответственно ста¬
новится больше столкновений на этом пути, значит уменьшается длина свобод¬
ного пробега электрона и падает его подвижность. Удельное сопротивление по¬
этому должно расти с увеличением Н по закону р /V/ Я2.На рис. 10.14 видно, что при больших Н действительно наблюдается линей¬
ная зависимость р от Я2, но в области малых полей р уменьшается. Наблюдае¬
мую на опыте кривую можно разложить на две составляющие: нормальную поло¬
жительную (лоренцевскую) и аномальную отрицательную, которая сначала рас¬
тет по абсолютному значению с ростом напряженности поля, а затем выходит на
насыщение.Если в кристалле имеются электроны с локализованными магнит¬
ными моментами (спинами), которые непосредственно не участвуют в
переносе электрического заряда через кристалл, то между этими элек¬
тронами и электронами, принадлежащими свободному электронному
газу зоны проводимости, возможен обмен. Так как спины обмениваю¬
щихся электронов могут быть и не параллельны, то при их обмене
(при Н = 0) затрачивается энергия на переориентацию спина. Этот243Рис. 10.14. Отрицательное
магнетосопротивление полу¬
проводника
процесс представляет собой неупругое рассеяние, существующее до¬
полнительно к тем, которые были рассмотрены в гл. 4.При включении магнитного поля происходит ориентация всех сво¬
бодных и локализованных электронов по магнитному полю и энергия
на переориентацию спина при электронном обмене не затрачивается.
Таким образом, дополнительный неупругий механизм рассеяния как
бы выключается внешним магнитным полем, что приводит к уменьше¬
нию удельного сопротивления, т. е. к ОМС. По мере увеличения Н
растет количество ориентированных спинов. При некотором Нт уста¬
навливается определенное соотношение между количеством ориенти¬
рованных и неориентированных спинов и наступает насыщение вели¬
чины (— Лр/р)т.ОМС наблюдается в полупроводниках, легированных примесными
атомами переходных металлов (Г-металлов) с незаполненными d-обо¬
лочками (Fe, Мп, Сг и др.). Однако и в полупроводниках, не содержа¬
щих Г-примеси, имеет место ОМС, природа которого связывается с
квантовыми поправками к обычному классическому сопротивлению.Аномальный эффект Холла. Он возникает при пропускании тока
с плотностью J через намагниченный образец и внешне проявляется
в возникновении электрического поля %, в направлении, перпенди¬
кулярном вектору J и вектору намагниченности I Подчеркнем, что в
отличие от нормального эффекта Холла, аномальный эффект возникает
лишь в ферро- и парамагнетиках и его э. д. с. пропорциональна на¬
магниченности образца.В то время как обычный эффект Холла вызван действием силы
Лоренца на носители заряда, физической природой аномального эф¬
фекта Холла является асимметричное рассеяние носителей заряда на
локализованных магнитных моментах. Такое рассеяние носителей за¬
ряда обеспечивается возмущением их орбитального движения магнит¬
ным полем спинов магнитных ионов (спин-орбитальным взаимодейст¬
вием).В связи с тем что напряженности электрических полей нормально¬
го и аномального эффектов Холла складываются, измеряемую в про¬
цессе эксперимента разность потенциалов U записывают в виде суммы:(10.52)где Ri и Rx — аномальный и обычный коэффициенты Холла.Для парамагнитных веществ в случае слабых магнитных полей на¬
магниченность(10.53)где х — магнитная восприимчивость.С учетом (10.53) выражение (10.52) перепишем в виде:(10.54)откуда экспериментально измеряемый коэффициент Холла в рассма¬
триваемом случае(10.55)244
Следовательно, в области низких температур, когда Rx = const,
аномальная составляющая R,% должна вносить значительный вклад,
поскольку магнитная восприимчивость, подчиняющаяся закону Кюри,
существенно возрастает.§ 10.7. Резонансные явленияВсе резонансные явления проявляются в том, что в исследуемом
кристалле при определенных условиях наблюдается резкое увеличение
поглощения электромагнитных колебаний. Если электромагнитное
излучение падает на кристалл, то поглощение имеет место при всех
частотах, но при определенной частоте, называемой резонансной, воз¬
никает резкий пик поглощения (рис. 10.15).Электромагнитное излучение в веществе может взаимодействовать
со спинами (магнитными моментами) ядер атомов. В этом случае име¬
ет место ядерный магнитный резонанс (ЯМР). Если взаимодействие про¬
исходит со спинами электронов в примесных атомах кристаллической
решетки, то возникающий резонанс называют электронным парамаг¬
нитным (ЭПР) или электронным спиновым (ЭСР).Если поглощение электромагнитной энергии осуществляется вза¬
имодействием электрического поля электромагнитной волны со сво¬
бодными электронами (или дырками), то наблюдаемый резонанс назы¬
вают циклотронным или диамагнитным.Помимо перечисленных могут наблюдаться и более сложные ре¬
зонансы, в которых поглощение обусловлено взаимодействием элек¬
тромагнитных колебаний одновременно с ядрами и электронами.Рассмотрим физическую сущность резонансных явлений сначала
с классической точки зрения. Пусть какая-либо частица обладает ме¬
ханическим и магнитным моментами. Поместим ее в постоянное маг¬
нитное поле Н (рис. 10.16). Для упрощения задачи положим направле¬
ния обоих моментов одинаковыми. В § 10.1 показано, что оба моментаРис. 10.15. Типичная кривая ре<
зонансного поглощения элек¬
тромагнитного излученияРис. 10.16. Влияние сла¬
бого вращающегося маг¬
нитного поля на угол
между Ми Н245
прецессируют относительно Н с ларморовой частотой Q, определяемой
по формуле (10.32).Наложим теперь на систему, показанную на рис. 10.16, дополни¬
тельное слабое вращающееся магнитное поле Нх, перпендикулярное
Н и J. Будем считать выполненными следующие условия:(10.56)б)	направление вращения этого дополнительного поля Н2 совпа¬
дает с направлением прецессии;в)	частота вращения / дополнительного поля совпадает с ларморо¬
вой частотой Й.Тогда на частицу будет действовать пара сил, стремящихся повер¬
нуть J, увеличивая или уменьшая угол между векторами J и Н. Так
как / и Й совпадают, то эффект изменения угла в течение времени на¬
капливается и изменение угла достигает большого значения. Если
же / и £2 не совпадают, то фазы вращения поля и прецессии J бы-/чстро расстраиваются и изменение угла (J, Н) уменьшается. Таким
образом, совпадение / и й и есть условие резонанса.Из (10.32) видно, что настройку в резонанс можно осуществить
либо меняя частоту вращающегося поля /, либо изменяя напряжен¬
ность магнитного поля Я. Последнее осуществить удобнее, используя
электромагниты. Вместо вращающегося из практике используют ко¬
лебательное поле.При этом предыдущее описание принципа возникновения резонанса не ме¬
няется, ибо колебательное поле можно рассматривать как результат сложения
двух полей, вращающихся с одной и той же частотой, но в противоположных на¬
правлениях. Поле, вращение которого совпадает с ларморовой прецессией*приводит к изменению угла (J, Н) аналогично вращающемуся полю. Состав¬
ляющая же поля, вращающаяся в противоположную сторону, увеличивает угол(J, Н) в одну половину периода и уменьшает — в другую. Поэтому в целом этасоставляющая поля не оказывает влияния на угол (J, Н), т. е. на поглощение
электромагнитной энергии.Приведенное описание принципа резонансного поглощения энер¬
гии основано на законах классической механики. Атомные частицы
подчиняются законам квантовой механики, по которым, например,
изменение ориентации момента J не может происходить непрерывно.Квантово-механический принцип явления можно понять, рассмо¬
трев известный в оптике эффект Зеемана. Этот эффект заключается
в расщеплении одной спектральной линии на несколько при нахож¬
дении вещества в магнитном поле. Рассмотрим электрон, вращающий¬
ся вокруг ядра по круговой орбите и помещенный в магнитное поле,
направленное перпендикулярно плоскости орбиты (см. рис. 10.1).При определении ларморовой прецессии в § 10.1 было получено
уравнение баланса сил, удерживающих электрон на орбите, решение
которого (10.31) имело два корня. Нетрудно убедиться, что в реально
достижимых магнитных полях Q < со0, тогда из (10.31) имеем(10.57)246
Следовательно, частота электрона,
вращающегося почасовой стрелке (если
смотреть от конца вектора Н), увели¬
чивается на Q, а частота электрона,
вращающегося против часовой стрелки,
уменьшается на Q. Переходя от угловых
частот к линейным, можно утверждать,
что в магнитном поле существуют две
частоты, отличающиеся от о)в/(2п) на(10.58)Величина Av наблюдается на опыте в ви¬
де расщепления спектральной линии в
магнитном поле. Такая классическая мо¬
дель эффекта Зеемана объясняет расщеп¬
ление линии на ограниченное число линий, а квантовая механика
утверждает, что любой энергетический уровень в магнитном поле рас¬
щепляется на систему подуровней. Количество подуровней опреде¬
ляется правилом отбора(10 59)где J — спиновый (собственный механический) момент частицы.В простейшем случае У = 1/2 и N == 2 (рис. 10.17). Энергетическое
расстояние между уровнями(10.60)т. е. практически соответствует выражению (10.58).В условиях расщепления уровней явление резонансного поглоще¬
ния электромагнитной энергии электронами можно трактовать как
затраты энергии переменного поля Ях на изменение заселенности поду¬
ровней, т. е. на переходы с нижнего уровня на верхний. Заселенность
изменяется в том случае, когда угловая частота / переменного поля бу¬
дет такой, что hf станет равной АЕ, т. е.(10.61)Это и есть условие резонанса, выраженное через электронный
магнетон Бора. Строгая теория показывает, что это условие выглядит
несколько иначе:(10.62)
(10.63)где g — фактор Ланде, определяемый по (10.9); — гиромагнитное
отношение для электронов [уе = gel(2mc)].Для свободных электронов g-фактор равен двум. В твердом теле
значение g-фактора может изменяться за счет взаимодействия электро¬
нов в кристаллическом поле решетки.Рис. 10.17. Расщепление энер¬
гетического уровня в магнитном
поле247
Ядерный магнитный резонас (ЯМР). Он определяется тем, что в
магнитном поле уровни расщепляются и все ядра распределяются по
подуровням согласно соотношению(10.64)где N_ и N+ — концентрация ядер, обладающих энергиями, соот¬
ветствующими верхнему и нижнему подуровням; уь — гиромагнитное
отношение для ядер:(10.65)здесь gk — g-фактор ядра; М — масса протона.Как только добавочное высокочастотное поле Нх будет иметь ре¬
зонансную частоту и будет выполнено условие резонанса, аналогичное
(10.63):(10.66)некоторая доля ядер перейдет в состояние верхнего подуровня. В
этом и состоит явление ядерного резонанса.Измеряя на опыте резонансную частоту и магнитное поле, при
котором наблюдается резонанс на определенном виде ядер, можно
из (10.66) найти значение yh, а из (10.65) —g-фактор ядер. Эти сведе¬
ния в первую очередь важны для ядерной физики.В отличие от g фактора для электронов, ^-факторы ядер до сих пор не уда¬
ется объяснить теоретически, так как это задача теории ядра и взаимодействия
нуклонов в ядре.Из экспериментов по ЯМР установлено, что для различных ядер значение
g-фактора лежит в диапазоне 2—10.Для исследования свойств твердых тел большое значение имеет
изучение так называемой спин-решеточной релаксации. Ее смысл
заключается в кинетике прихода системы ядерных моментов к рав¬
новесию.Обозначим равновесные (т. е. при включенном поле Н) концентра¬
ции ядер с энергией на верхнем уровне «2, а на нижнем — п\. Тогда
равновесная разность заселенностей Ап° = п\ — п\ 0.Если включено радиочастотное поле Нх и количество ядер на
верхнем уровне увеличивается, имеет место неравновесная заселен¬
ность уровней пх и п%.Соответственно неравновесная разность заселенностей Ап — i\% —
— rtj < An0.После выключения радиочастотного поля Я, будет происходить
обратный переход ядер с верхнего на нижний уровень. Этот процесс
описывается уравнениемОтсюда следует, что(10.67)где Т — постоянная времени процесса; при t оо Ап -> Ап°.248
Величина Т есть время релаксации,
характеризующее скорость прихода систе¬
мы ядер в равновесное состояние. Эта вели¬
чина определяется механизмом отдачи энер¬
гии ядрами, возвращающимися в исходное
равновесное состояние. Поскольку меха¬
низмы отдачи энергии решетке могут быть
различны и каждый из них характеризует¬
ся своим значением Ть то суммарное вре¬
мя релаксации, как и при обычном рассея¬
нии носителей заряда, будет(10.68)Выясним теперь более подробно физи¬
ческий смысл времени релаксации. Для
этого рассмотрим магнитный момент М об¬
разца в целом, который обусловлен намагниченностью ядер при по¬
мещении образца в постоянное магнитное поле Н и слабое радиоча¬
стотное поле Нх.Очевидно, ориентация отдельных ядерных спинов определяется
как их взаимодействием с решеткой вследствие теплового движения,
так и взаимодействием ядерных магнитных моментов между собой.
Первую из этих причин называют спин-решетснным взаимодействием,
вторую — спин-спиновым.Через некоторое время после включения постоянного магнитного
поля Нг = Н в образце устанавливается равновесная ядерная намаг¬
ниченность Мг0 вдоль оси г (рис. 10.18):(10.69)ГДе Хо — магнитная восприимчивость ядер.Установление равновесного значения намагниченности обеспечи¬
вается взаимодействием ядерных спинов с кристаллической решеткой
и определяется температурой образца. При этом система ядер, находясь
в постоянном магнитном поле, переходит в другое энергетическое со¬
стояние. Энергия системы спинов в силу условия (10.56) определяется
в основном ориентацией отдельных спинов относительно направления
постоянного поля.Поэтому одно только спин-спиновое взаимодействие не может из¬
менить эту энергию. Оно не оказывает влияния на равновесную на¬
магниченность в направлении оси г. В силу этого введем понятие
времени спин-решеточной релаксации 7\. Тогда можно записать урав¬
нение(10.70)которое описывает поведение компоненты Мг после выключения по¬
стоянного магнитного поля Н.Решение этого уравнения с использованием начального условия
имеет вид(10.71)
249Рис. 10.18. Проекции равно¬
весного и неравновесного
магнитных моментов на ко¬
ординатные оси
Время Ти характеризующее скорость
исчезновения Мг, называют также вре¬
менем продольной релаксации. Вместе с
тем уравнения, описывающие поведение
х- и «/-компонент поперечной намагни¬
ченности, следует записать в виде(10.72)Введенное в этих уравнениях время
поперечной релаксации Т% отличается
от времени Ту. Это объясняется тем, что
в противоположность релаксации про¬
дольной компоненты релаксация попе¬
речных компонент не сопровождается
изменением энергии магнитного момента
в постоянном магнитном поле. Релак¬
сация поперечных компонент, конечно,
зависит от спин-решеточного взаимодей¬
ствия, так как при исчезновении попе¬
речных компонент Мх и Му также возможна передача энергии от
ядерных спинов кристаллической решетке. Однако релаксация попе¬
речных компонент определяется еще и спин-спиновым взаимодействием.Действительно, в твердом теле, где каждое ядро окружено другими
ядрами, один из возможных простых механизмов релаксации попереч¬
ных компонент обусловлен магнитными полями, действующими со
стороны магнитных моментов одних ядер на магнитные моменты дру¬
гих. При этом в зависимости от окружения на магнитный момент каж¬
дого ядра действует дополнительное локальное поле. Оно либо склады¬
вается с постоянным магнитным полем, либо вычитается из него, что
ведет к разбросу значений скорости прецессии для магнитных момен¬
тов отдельных ядер. Последнее обстоятельство приводит к нарушению
совпадения фаз прецессирующих магнитных моментов.Вследствие такой расфазировки векторная сумма моментов сущест¬
венно уменьшается, что и приводит к затуханию поперечной компонен¬
ты намагниченности.Таким образом, время продольной релаксации Ту определяется
лишь спин-решеточным взаимодействием, а время поперечной ре¬
лаксации Тг определяется как спин-решеточным, так и спин-спиновым
взаимодействием. Значения 7\ и Т2 определяют параметры спектраль¬
ной линии или ее производной. Под параметрами линии понимают ее
ширину (Ao)i/2 на полувысоте и интенсивность /0. Можно ввести и
полевую полуширину (A#)i/2, если вместо со откладывать по оси аб¬
сцисс значение напряженности поля Я (рис. 10.19).На значения Тх и Т% могут оказывать влияние различные факто¬
ры: поступательное и вращательное движения исследуемых ядер в
кристаллической решетке; присутствие в числе окружающих исследуе¬
мые ядра других ядер, обладающих парамагнитными свойствами; об¬
разование комплексов исследуемых ядер с другими ядрами или де-Рис. 10.19. Форма резонансной
линии и ее производная250
фектами; анизотропия ядерных моментов, локальные магнитные поля
соседних ядер и т. д. Все эти и многие другие причины так или иначе
влияют на 7\ и Т2, а соответственно на ширину и интенсивность спек¬
тральных линий.Исследование связи перечисленных влияний с параметрами наблю¬
даемых на опыте линий составляет основную задачу при исследова¬
нии ЯМР в твердых телах. Решение подобных задач и эксперименталь¬
ное применение ЯМР к исследованию полупроводников еще только
начинается. Медленное развитие метода ЯМР применительно к иссле¬
дованию полупроводников обусловлено прежде всего относительно
низкой чувствительностью имеющейся экспериментальной аппарату¬
ры к содержанию примесей]и дефектов в кристаллах. Однако присутст¬
вие в кристалле примесей в количествах порядка 1017 см-8 уже может
влиять на форму линии ЯМР основного компонента (например, при¬
месь Те в GaAs влияет на линию Ga) из-за различных эффектов взаимо¬
действия. Поэтому исследование спектров ЯМР оказывается полез¬
ным для изучения поведения примесей и при относительно небольших
нх содержаниях. Кроме того, на интенсивность линий в спектре ЯМР
сказываются отклонения в стехиометрии полупроводниковых кристал¬
лов.Сущность ЯМР была рассмотрена на примере ядер, обладающих
спином J = 1/2. Если спин J > 1/2, то количество подуровней оказы¬
вается в соответствии с (10.59) большим двух. Соответственно возра¬
стает и число линий в спектре ЯМР, но эффект его возникновения и
принципиальная связь параметров спектральных линий со свойствами
полупроводника остаются прежними.Ядерный квадрупольный резонанс (ЯКР). При рассмотрении
ЯМР принимались во внимание только магнитные взаимодействия ядра
с внешним окружением ядра в кристалле. Влияние электрических
полей на ориентацию ядра не учитывалось. Если электрический поло¬
жительный заряд ядра равномерно распределен по сфере (рис. 10.20, а),
то окружающие ядро отрицательные заряды (или поля) никак не
повлияют на ориентацию ядра в пространстве. Если же распределение
плотности положительного заряда р (г) не имеет сферической сим¬
метрии (рис. 10.20, б), то ядро при наличии в месте его расположения
электрического поля стремится повернуться в положение, показан¬
ное на рис. 10.20, в, так как в этом положении положительные концы
ядра — «сигары» находятся ближе к отрицательным зарядам и ядро
обладает более низкой энергией.Таким образом, сферически несимметричное ядро должно обла¬
дать специфическим электрическим моментом, который называют элек¬
трическим квадрупольным моментом атомного ядра. По определению
этот момент(10.73)где dV — элемент объема.Если распределение заряда ядра вытянуто вдоль оси г (ось направ¬
лена по направлению спина #), то Q положительно. Если распределе¬
ние заряда сплюснуто по оси г, то Q отрицательно (рис. 10.21). Раз-251
Рис. 10 20. Ядро в поле
четырех зарядов (+? на
оси к и —q на оси у):а — квадрупольный момент
равен пулю; б, в —квадру*
пбльный момент отличен or
нуляРис. 10.21. Ориентация
ядерного спина J при по¬
ложительном и отрица¬
тельном квадрупольных
моментахмерность квадрупольного момента ядра —
произведение электрического заряда на пло¬
щадь.Не все ядра обладают квадрупольным мо¬
ментом. В природе таких ядер 130, а элемен¬
тов около 40. Вообще квадрупольным мо¬
ментом обладают лишь те ядра, для которых
ядерный спин J ^ 1.Строгая теория ядерного квадрупольного
резонанса утверждает, что квадрупольные эф¬
фекты возможны лишь при наличии в месте
расположения ядра градиента электрического
поля. Последнее, очевидно, не может быть
реализовано, например, в кристаллах, имею¬
щих правильную кубическую решетку. Заме¬
тим, что если такую кубическую решетку
подвергнуть деформации, то в решетке воз¬
никнут искажения, в месте расположения
ядра возникнет электрическое поле и появят¬
ся квадрупольные взаимодействия.Согласно законам квантовой механики
энергия квадрупольного взаимодействия(10.74)где q — градиент электрического поля в ме¬
сте расположения ядра; т — проекция спина
на направление электрического поля в кри¬
сталле.Из (10.74) видно, что в отсутствие внешне¬
го магнитного поля положение ядер в прост¬
ранстве с проекциями спина на направление
электрического поля, равными + т и — т,
энергетически эквивалентны.Приложенное извне высокочастотное маг¬
нитное поле с неравной нулю компонентой,
перпендикулярной оси z, вызовет резонансные
переходы между уровнями с |Am| = 1, т. е.
с изменением числа т на единицу. Внешне
это проявится в резком увеличении поглоще¬
ния высокочастотной мощности. Отличитель¬
ной чертой этого резонанса является отсут¬
ствие постоянного магнитного поля. В этом
случае оно не требуется, так как расщепление
уровней достигается за счет взаимодействия
квадрупольного момента с внутрикристалли-
ческим полем.Рассмотренное явление называют ядерным
квадрупольным резонансом (ЯКР)252
Частоты, при которых наблюдается ЯКР, зависят от свойств ядра,
структуры кристалла, природы химической связи в кристалле и дру¬
гих причин. Значения частот для различных ядер лежат в интервале
от сотен до тысяч мегагерц.Пока имеются лишь единичные примеры использования метода ЯКР
при исследовании свойств полупроводниковых кристаллов. Однако
можно наметить ряд перспективных направлений. Это — исследова¬
ния природы химической связи, в частности, прямое определение доли
ионности в смешанной связи; изучение фазовых переходов; исследова¬
ние степени упорядочения в сплавах; определение состава полупровод¬
никовых твердых растворов; определение вида и концентрации приме¬
сей в кристаллах. К сожалению, последнее можно осуществлять лишь
в очень сильно легированных материалах.Как и в методе ЯМР, большую роль в ЯКР играют релаксацион¬
ные явления: спин-решеточная и спин-спиновая релаксации. Основная
трудность применения ЯКР состоит в теоретическом осмыслении свя¬
зи времен релаксации Тг и Т2 с различными явлениями в кристалле.Электронный парамагнитный резонанс (ЭПР). В ЭПР или, как
его еще называют, электронном спиновом резонансе, частицами, по¬
глощающими энергию, являются электроны. Их спины в постоянном
магнитном поле расщепляются на два спиновых подуровня, между
которыми становятся возможны переходы, т. е. изменение их заселен¬
ности.Рассмотрим возникновение ЭПР с точки зрения намагниченности
вещества в магнитном поле.Без поля электронные спины ориентированы в пространстве хао¬
тически и суммарный магнитный момент образца равен нулю. При
наложении постоянного магнитного поля спины ориентируются либо
по направлению поля, либо против него.Поскольку параллельная ориентация спина по отношению к маг¬
нитному полю оказывается энергетически более выгодной, чем анти-
параллельная, то большая часть электронных спинов оказывается
ориентированной в направлении магнитного поля. В результате в объе¬
ме образца возникает наведенная намагниченность.Индуцированная добавка к внешнему магнитному полю параллель¬
на ему, т. е. в образце возникает парамагнетизм Паули* (рассмотрен¬
ный для свободных электронов зоны проводимости в § 10.5).Таким образом, постоянное магнитное поле приводит к тому, что
в кристалле начинают преобладать электроны с М f f Я по сравнению
с электронами с Я. Добавочное высокочастотное поле при оп¬
ределенной частоте сообщит этим электронам энергию, достаточную для
переброса их обратно в состояния с М\ \ Я. Наступает резонансное
поглощение энергии высокочастотного электромагнитного поля.ЭПР можно наблюдать не на любых электронах. Рассмотрим, на¬
пример, атом натрия. Находясь в изолированном состоянии, он об¬
ладает одним валентным электроном в s-состоянии. Во внешнем маг¬
нитном поле уровень, обусловленный s-состоянием, должен расще-* Отсюда и происходит название рассматриваемого вида резонанса,253
пяться на два подуровня, соответствующих разным направлениям
электронного спина относительно магнитного поля. Между этими
подуровнями возможны переходы электронов с поглощением энергии
радиочастотного поля, т. е. в принципе можно было бы наблюдать
сигнал ЭПР. Однако когда образуется такой кристалл, как NaCl,
атом натрия отдает свой валентный электрон атому хлора для за¬
полнения его 3/7-оболочки, содержащей ранее в изолированном со¬
стоянии атома хлора пять электронов. Теперь 3/7-оболочка атома хло¬
ра, имеющая три энергетических уровня, содержит шесть электро¬
нов, разбитых на три пары, в каждой из которых электроны соглас¬
но принципу Паули имеют противоположно направленные спины.В магнитном поле каждый из энергетических уровней 3/7-оболоч-
ки также распадается на два подуровня, но эти подуровни заполнены
электронами, поэтому переходы электронов между ними невозможны.
Электронный спиновый резонанс отсутствует.Из этого простого примера видно, что ЭПР может проявляться
только в тех случаях, когда в кристалле содержатся электроны с не¬
спаренными спинами. Для большинства диэлектриков ЭПР можно на¬
блюдать только после какого-либо воздействия, нарушающего спарен-
ность спина.Некоторые атомы, такие, как атомы редкоземельных элементов и
переходных металлов типа железа, имеют незаполненные внутренние
оболочки и обладают неспаренными спинами. На таких атомах очень
хорошо наблюдать ЭПР.Метод ЭПР более развит по сравнению с методами ЯМР и ЯКР.
С помощью ЭПР изучают вещества, содержащие атомы переходных
элементов, причем экспериментальная техника позволяет надежно ре¬
гистрировать концентрации этих элементов в кристаллах порядка
1011—1012 см-3. Далее ЭПР применяется для исследования мелких до¬
норов и акцепторов в полупроводниках, их взаимодействия, образова¬
ния примесных зон, а также для исследования дефектов, которые мо¬
гут быть ловушками электронов и дырок.Характер спектральных линий ЭПР связан еще более, чем в слу¬
чае ЯМР, с воздействием атомов окружающих исследуемый центр.
Понимание механизма этого воздействия и извлечение информации
о таком воздействии из параметров спектральных линий (интенсивно¬
сти, ширины, количества и положения на шкале Я) является весьма
трудной задачей, которую необходимо решать в каждом конкретном
случае.Циклотронный (диамагнитный) резонанс. Он наблюдается на сво¬
бодных электронах, которые в поле Н описывают замкнутую орбиту,
плоскость которой перпендикулярна вектору Н.В этом случае в отличие от (10.30) условие равенства сил, удержи¬
вающих электрон на этой орбите, не включает кулоновскую силу и
вместо т фигурирует т*:(10.75)
откуда(10.76)254
Но с учетом квантовой природы электронов эта формула принимает
вид(10.77)где I — орбитальное квантовое число.Энергия этого орбитального движения(10.78)Переменное высокочастотное поле, вектор % которого направлен
перпендикулярно Н, способно перебросить электрон с одной орбиты
на другую так, чтобы А/ = ± 1. Для этого потребуется энергия(10.79)Такой переброс возможен только при определенной частоте высоко¬
частотного поля:(10.80)именуемой циклотронной частотой. Поэтому и резонанс получил на¬
звание циклотронного.В циклотроне реализуется аналогичная картина: электроны вращаются в
постоянном поле по круговой траектории, получают после каждого оборота энер¬
гию от высокочастотного поля и изменяют свою траекторию. Этот процесс повто¬
ряется до тех пор, пока электроны не накопят достаточную энергию, после чего
они выводятся из циклотрона.Циклотронный резонанс происходит только на свободных электро¬
нах или дырках, т. е. на носителях заряда, находящихся в разрешен¬
ных зонах. Кроме того, циклотронный резонанс можно эксперименталь¬
но наблюдать, если полученная от высокочастотного поля энергия не
успевает рассеяться за период колебаний поля Т — 1 N. Следователь¬
но, т — время между двумя столкновениями при рассеянии энергии
должно быть больше Т. Это налагает ограничение, вследствие которо¬
го циклотронный резонанс может наблюдаться только в чистых полу¬
проводниках, у которых еще не сказывается примесный механизм рас¬
сеяния носителей заряда.Измеряя на опыте значения циклотронной частоты и напряженно¬
сти постоянного магнитного поля, из (10.80) можно определить зна¬
чение эффективной массы носителей заряда. Именно для этих целей
и используется циклотронный резонанс при исследовании полупровод¬
ников.Исследуя с помощью циклотронного резонанса т* в кристаллах,
различно ориентированных по отношению к магнитному полю своими
кристаллографическими плоскостями, удается изучать анизотропию
эффективной массы, т. е. анизотропию зонной структуры полупровод¬
ника.255
§ 10.8. Полумагнитные полупроводникиВ полумагнитных полупроводниках концентрация локализованных
магнитных моментов увеличивается настолько, что возникают взаимо¬
действия между ними. Разумеется, этому способствует значительное
увеличение растворимости магнитных примесей в кристалле. Поэтому
типичными примерами полумагнитных полупроводников являются
твердые растворы типа МЖВУ1, в которых матрицей-раствори¬
телем являются полупроводники AIV BVI , а М — переходный ме¬
талл с незаполненной d-оболочкой.Полупроводники AIV BV1 используются в качестве растворителя,
так как растворимость атомов переходных металлов в них намного вы¬
ше чем, например, в Si, A111 Bv и A11 BV1.Отметим, например, что содержание Мп в РЬТе до 6% еще не приводит к
потере монокристалличности и выделению второй фазы, в то время как в CaAs
предел растворимости того же марганца не превышает 1018 см-*.Для полумагнитных полупроводников характерно образование
магнитных кластеров — объединений некоторого количества маг¬
нитных атомов, в группу, внутри которой происходит тот или иной вид
упорядочения магнитных моментов.Таким образом, ферро- и антиферромагнитные кластеры оказы¬
ваются изолированными друг от друга в диамагнитной матрице.Магнитную восприимчивость кристалла X, содержащего одиноч¬
ные магнитные атомы и кластеры, состоящие из N таких атомов, мож¬
но представить как сумму парциальных магнитных восприимчивостей
с учетом вероятности Pt присутствия различных кластеров:(10.81)где 0 — безразмерная температура, равная температуре Т, отнесен¬
ной к обменному интегралу А, определенному в (10.26); i — число
кластеров.Типичная зависимость магнитной восприимчивости полупровод¬
ника с кластерами-триадами (N — 3) от температуры приведена нарис. 10.22.Так как при высоких темпе¬
ратурах обменное взаимодействие
в кластере разрушается, то маг¬
нитная восприимчивость кристалла
приближается к восприимчивости
полупроводника со свободными иона¬
ми и вместо (10.81) получимРис 10.22. Магнитная воспри¬
имчивость полупроводника с
кластерами(10.82)где Nt — число атомов в j-м клас¬
тере.266
При низких температурах восприимчивость каждого кластера так¬
же стремится к постоянному значению:(10.83)где Ji — квантовое число полного механического момента г'-го клас¬
тера; S — спиновый момент свободного иона.Из сопоставления рассчитанных и экспериментальных кривых
Х(Г) находят значения A, Pt, Nt. Возникновение обменно-связанных
пар, триад и более сложных кластеров отражается и на спектрах ЭПР
в виде появления дополнительных линий по сравнению со спектром
полупроводника с одиночными ионами примесей.§ 10.9. Магнитные полупроводникиМагнитные полупроводники — это полупроводниковые соединения
переходных и редкоземельных металлов с магнитным упорядочением
атомных магнитных моментов по всей метал¬
лической подрешетке соединения.Типичными представителями магнитных
полупроводников являются халькогениды
европия — соединения Ей с элементами VI
группы периодической системы: EuO, EuS,EuSe, ЕиТе и халькогенидные хромовые
шпинели CdCr2S4, CdCr2Se4.Главной чертой, роднящей магнитные полу¬
проводники с обычными, является зонный ха¬
рактер электропроводности. Наряду с этим
для магнитных полупроводников характерно
сильное обменное взаимодействие между спи¬
нами электронов s- и /-оболочек (или между
спинами s- и cf-оболочек). В результате такого
взаимодействия энергетический спектр маг¬
нитного полупроводника приобретает важные
отличия от спектра обычного полупроводни¬
ка. Оба вида спектра в упрощенном виде
показаны на рис. 10.23.Элементы редкоземельного ряда (лантаноиды)
имеют в своей электронной конфигурации стабиль¬
ный остов ксенона (4d105s25pe), под которым идет
заполнение 4/-уровня, способного вместить 14 элек¬
тронов, и над остовом валентные электроны
5^яб5т-оболочек. Халькоген имеет валентные элек¬
троны, располагающиеся в 2р-оболочке.Зона проводимости магнитного полупро¬
водника образуется из 5 dn с примесью
бя-электронов редкоземельного металла. Ва¬
лентная зона формируется из 2/9-электронов
халькогена. 4/-уровни Ей оказываются рас¬
положенными в запрещенной зоне.Рис. 10.23 Зонный спектр
немагнитного (а) и
магнитного (б) полупро¬
водников® 8ак. 1756257
Главная особенность магнитного полупроводника состоит в том, что
при температурах, меньших температуры Кюри Те, в его внутреннем
магнитном поле происходит расщепление зоны проводимости на две
подзоны. В одной электроны имеют направление спинов «вверх», а в
другой — «вниз». Это, по существу, зеемановское расщепление, уже
рассмотренное в § 10.5 при объяснении парамагнетизма Паули для сво¬
бодных электронов зоны проводимости во внешнем магнитном поле.
Аналогичный эффект возникает во внутреннем магнитном поле метал¬
лической подрешетки магнитного полупроводника.При температуре выше Те тепловое движение снимает расщепление
зоны проводимости и она приобретает вид, характерный для обычного
полупроводника.Расщепление зоны проводимости при Т < Т0 приводит к ряду
эффектов, присущих только магнитным полупроводникам. Из них
рассмотрим только оптическое поглощение. При увеличении тем¬
пературы энергетический зазор между занятыми 4/-уровнями
и зоной проводимости (рис. 10.23, б) увеличивается. Это значит,
что край оптического поглощения с ростом температуры сме¬
щается в сторону коротких длин волн (увеличения энергии квантов
света). Этот эффект получил название красного смещения края поглоще¬
ния. В обычных полупроводниках с увеличением температуры ширина
запрещенной зоны уменьшается и сдвиг края поглощения происходит
в обратную сторону — увеличения длин волн.Внешнее магнитное поле усиливает эффект красного смещения
(рис. 10.24). Следует отметить, что кривая /ко = / (Т, Н) при Н Ф 0
соответствует кривой Бриллуена (10.22). Это свидетельствует о про¬
порциональности эффекта намагниченности образца.Из других эффектов, присущих магнитным полупроводникам, ука¬
жем на гигантское ОМС. Например, сопротивление того же Ей
(рис. 10.25) в области приблизительно 60 К изменяется в 108 раз при
приложении поля с напряженностью Н — 50 кЭ. Природа гигант¬
ского ОМС определяется обменным рассеянием электронов на локали¬
зованных моментах, как и в обычных полупроводниках (см. § 10.6).
Но в обычных полупроводниках локализованных моментов мало, а в
магнитных полупроводниках их число велико, так как носителями маг¬
нитного момента являются сами атомы Еи-подрешетки.Высокая чувствительность многих свойств магнитных полупровод¬
ников к магнитному полю определяется сильным обменным взаимо¬
действием. Поэтому выяснение характера обменных взаимодействий
в них представляет серьезную еще не до конца решенную проблему.Из рассмотренных типов обменного взаимодействия в магнитных
полупроводниках упорядочение магнитных моментов главным образом
происходит за счет косвенного обмена. Прямой обмен практически не
имеет места, поскольку редкоземельные атомы в решетке отделены
друг от друга атомами халькогена. Однако последние все же могут
участвовать в эффектах упорядочения, т. е. не последнюю роль в маг¬
нетизме магнитных полупроводников может играть и сверхобмен, при
котором происходит обмен электронами между магнитным и немагнит¬
ным соседями через зону проводимости.258
Рис. 10.24. Температурная
зависимость края поглоще¬
ния ЕиО (эффект красного
смещения)Рис. 10 25. Температурная
зависимость сопротивления
ЕиОВ заключение укажем, что имеются магнитные полупроводники
как с ферро-, так и с антиферромагнитным типом упорядочения. Так,
в ряду халькогенидов европия ЕиО и EuS — ферромагнитные, а ЕиТе
— антиферромагнитный полупроводники. Это, как было показано в
§ 10.1, определяется значением обменного интеграла в (10.26), являю¬
щегося в свою очередь функцией межатомного расстояния (см. рис. 10.5),
т. е. в халькогенидах европия — периодом кристаллической решетки.
Отсюда следует перспективный путь изменения магнитных свойств
кристаллов: создание твердых растворов типа M*X, где R —
редкоземельный металл, М — Na1+, К1+, Са2+, Sr2+, Ва2+, Nd3+#
Gd3+, Sm2+, Yb2+ и др.Вариация периода решетки в широких пределах в подобных твер¬
дых растворах позволяет существенно изменять энергетический спектр,
концентрацию носителей заряда, температуру Кюри, т. е. многие элек¬
трические, оптические и специфические магнитные характеристики
кристаллов.Контрольные вопросыI. Чем определяется суммарный магнитный момент одноэлектронного ато¬
ма? 2. Как определяется суммарный магнитный момент многоэлектронных ато¬
мов? 3. Какие виды упорядочения магнитных атомов существуют в твердых те¬
лах? 4. Как зависит магнитная восприимчивость парамагнетика от температу¬
ры, от магнитного поля? 5. Какова сущность обменных взаимодействий?
6. Какие виды магнетизма характерны для полупроводниковых веществ? 7. Чем
отличаются полумагнитные и магнитные полупроводники от немагнитных?
8 Что такое уровни Ландау? 9. Объясните природу осцилляционных явлений
в полупроводниках. 10, В каких эффектах проявляются локализованные маг*
i/лтпые моменты, присутствующие в полупроводниках? П. В чем на экспери-259
менте проявляются резонансные явления? 12. Как резонансные явления объяс¬
няются с позиций классической физики? 13. Как резонансные явления объясня¬
ются с помощью квантово-механического подхода? 14. Какие взаимодействия
приводят к ЯМР? 15. Какие взаимодействия приводят к Я КР? 16. Какие взаимо¬
действия приводят к ЭПР? 17. В чем заключается принципиальное отличив
циклотронного резонанса от ЯМР и ЭПР? 18. В каких целях используют ЯМР*
ЯКР и ЭПР применительно к исследованию полупроводников? 19. С какой це¬
лью используют циклотронный резонанс при изучении свойств полупроводни¬
ковых кристаллов? 20. В чем состоят отличия зонной структуры магнитных
и немагнитных полупроводников? К каким эффектам приводят эти отличия?Литература: [4J, [311, ““ Н4Ь
Глава 11ПОЛУПРОВОДНИКОВЫЕ СВОЙСТВА
НЕУПОРЯДОЧЕННЫХ ВЕЩЕСТВ§ 11.1. Неупорядоченные системыРассмотренные в предыдущих главах полупроводниковые вещества
являлись кристаллическими. Кристаллические вещества, как извест¬
но, от всех других веществ отличают две фундаментальные особенно¬
сти. Это — правильное расположение ближайших соседних атомов,
т. е. так называемый ближний порядок, и правильное (периодическое)
чередование групп атомов с ближним порядком в большой области
кристалла. Последнюю особенность называют дальним порядком.
Все остальные вещества, не обладающие дальним порядком, относят к
неупорядоченным.В гл. 1 было показано, что основное отличие кристаллических ве¬
ществ — зонный характер энергетического спектра — является след¬
ствием периодичности внутрикристаллического поля, которая, в свою
очередь, определяется, казалось бы, исключительно дальним поряд¬
ком. Однако опыт показывает, что ближний порядок во многих неупо¬
рядоченных системах сохраняется. Именно это и объясняет появление
полупроводниковых свойств у ряда неупорядоченных веществ.Таким образом, приходится считать, что зонные представления
имеют более широкую применимость. Для этого достаточно реализо¬
вать в веществе лишь ближний порядок в расположении атомов. Впер¬
вые эта мысль была высказана еще в сороковых годах нашего столетия
А. Ф. Иоффе и А. Р. Регелем.Однако не исключено, что для сохранения полупроводниковых свойств в не¬
упорядоченном веществе все же требуется некоторая упорядоченность. Иными
словами, должны существовать области размером в несколько кристаллических
ячеек, внутри которых имеет место упорядоченность расположения атомов.Такие области — кластеры —действительно наблюдаются с помощью рент¬
геноструктурного анализа в жидкостях или расплавленных металлах вблизи
точки плавления. В пользу кластерной модели говорят и эксперименты по наблю¬
дению потерь полупроводниковых свойств расплавленными веществами при
сильном повышении температуры сверх точки плавления.Простейшим видом неупорядоченного вещества является полупро¬
водник, сильно легированный примесями. В этом случае примесные ато¬
мы занимают узлы кристаллической решетки случайным, хаотическим260
образом и при большой их концентрации представляют собой неупо¬
рядоченную систему, находящуюся внутри упорядоченной кристал¬
лической матрицы.Более сложными видами неупорядоченных веществ являются
аморфные, жидкие и стеклообразные. В них неупорядоченность рас¬
пространяется не на примесные, а на основные атомы веществВ аморфном состоянии могут быть получены многие обычные по¬
лупроводники: селен, теллур, германий, кремний, арсенид галлия.
Разработаны специальные технологические приемы получения пере¬
численных полупроводников в аморфном состоянии. Установлено, на¬
пример, что аморфную модификацию селена удается получить при бы¬
стром охлаждении расплава.Многие из полупроводников удается перевести в аморфное состоял
ние посредством ионной бомбардировки. Высокоэнергетичные ионы
за счег соударений с атомами кристалла создают столь большое число
структурных нарушений, что некоторый приповерхностный слой кри¬
сталла толщиной до микрона полностью амоофизируется.Наконец, путем конденсации в вакууме м югие вещества удается
получить в виде аморфных тонких (100—300 А) пленок на металличе¬
ской подложке.К жидким полупроводникам относят такие полупроводниковые
кристаллы, у которых при плавлении сохраняется ближний порядок.
Примерами могут служить те же селен и теллур, а также Bi2S3, Sb2S3,
CdTe, ZnTe.Полупроводниковыми свойствами обладает и значительное коли¬
чество стеклообразных веществ. Впервые полупроводниковые свойства
у стеклообразных веществ были обнаружены Б. Т. Коломийцем и
Н. А. Горюновой. Эти исследования были выполнены на халькогенид-
ных стеклах — соединениях As, Р, Sb, Bi с одним из халькогенов
(S, Se, Те).В настоящее время известно большое число бинарных соединений
такого типа, а также и более сложных типа (As2Se3)m-(As2Te3)n,
обладающих специфическими полупроводниковыми свойствами.У таких стекол наблюдается отрицательный температурный коэф¬
фициент удельного сопротивления, порог оптического поглощения,
явление фотопроводимости и ряд других свойств, характерных для
обычных кристаллических полупроводников.§ 11.2. Основные особенности сильно легированных
полупроводниковПрежде всего проследим генезис изменения плотности состояний
в полупроводнике с увеличением концентрации примесных атомов
Полупроводник, слабо легированный примесями, был рассмотрен в
гл. 3, и было показано, что плотность состояний в разрешенных зонах
определяется выражением (3.51). Графически изменения рс и р0 для
этого случая показаны на рис. 11.1. Там же показана б-образная плот*
ность состояний, соответствующая примесному уровню. Примесные
атомы в таком слабо легированном полупроводнике ведут себя, как261
Рис. 11.1. Плотность со¬
стояний в идеальном по¬
лупроводникеРис. 11.2. Плотность со¬
стояний в слабо легиро¬
ванном полупроводнике
с одним типом доноровизолированные, ибо ни волновые функции электронов, локализован¬
ные на примесных уровнях, ни силовые поля соседних атомов не пере"
крываются. Количественно одно из условий слабого легирования за¬
пишем в виде(П.1)где N — концентрация примеси; аБ — боровский радиус в кристалле
Левая часть (11.1) представляет собой среднее расстояние между
примесными атомами, а условие (11.1) определяет отсутствие перекры¬
тия волновых функций электронов соседних примесных атомов.Для дальнейшего изложения необходимо учесть, что кулоновский
потенциал ионизированного примесного центра экранируется полем
отрицательно заряженных свободных электронов (заряженные акцеп¬
торы — полем положительных дырок).В результате такой экранировки потенциальная энергия примес¬
ного иона V отличается от кулоновской (4.32) экспоненциальным мно¬
жителем:(11.2)где г0 — радиус гкранирования, имеющий смысл радиуса той обла¬
сти, в которой в основном находится экранирующий заряд.Величина г0 оказывается зависящей от концентрации свободных электро¬
нов п0, а значит и от концентрации примесей. Теория дает для г0 два выражения,
справедливые соответственно для случаев невырожденного и полностью вырож¬
денного электронного газа:До тех пор, пока выполняется неравенство(11.3)(11.4)(11.5)262
потенциальные ямы (или горбы), W, локализованные около соседних
дефектов, не перекрываются. Таким образом, (11.5) является вторым
необходимым условием слабого легирования.С увеличением концентрации примесей оба условия (11.1) и (11.5)
нарушаются. Сначала перестанет выполняться неравенство (11.5),
так как по мере роста N примесные атомы сближаются и электрон, ло¬
кализованный у одного из них, начнет испытывать воздействие и со
стороны соседних атомов. Под влиянием этого энергетический уровень
электрона несколько сместится по шкале энергий. Но поскольку не¬
равенство (11.1) еще не нарушено, то примесные уровни остаются по-
прежнему дискретными. Смещение уровней зависит от взаимного
расположения примесных атомов, которое, как известно, хаотиче¬
ское. Поэтому в разных частях кристалла положение примесного уров¬
ня относительно Ес разное и в запрещенной зоне вместо одного уровня
появится некоторый набор локальных уровней (рис. 11.2), который
экспериментально проявляется в уширении плотности состояний.
Это уширение происходит за счет статистического усреднения. Его
называют классическим.При еще большей концентрации примесей исчезнет знак строгого
неравенства и в (11.1), т. е. существенным станет перекрытие волно¬
вых функций электронов соседних атомов. Дискретные уровни уши¬
ряются настолько, что преобразуются в примесную зону (рис. 11.3).
Такой вид уширения называют квантовым. Оба вида уширения уров¬
ней происходят при концентрациях примеси, которые принято отно¬
сить к среднему или промежуточному уровню легирования.Наконец, при достаточно больших N полностью нарушаются оба
неравенства (11.1) и (11.5) — наступает состояние сильного легиро¬
вания. При этом примесная зона продолжает расширяться и в конце
концов сливается с зоной проводимости (в кристаллах л-типа) или
с валентной зоной (в кристаллах/мгипа), что показано на рис. 11.4.
Наблюдается сужение запрещенной зоны, и плотность разрешенных
состояний оказывается отличной от нуля практически во всей запре¬
щенной зоне полупроводника. Этот эффект является одной из главныхРис. 11.3. Уширение плот¬
ности примесных состоя¬
ний при увеличении сте¬
пени легирования полу¬
проводникаРис. 11.4. Образование
сплошного спектра со¬
стояний в полупроводни¬
ке при сильном легиро¬
вании263
особенностей сильно легированных полупроводников. Он известен,
как образование хвостов плотности состояний при сильном легирова¬
нии.Характерно, как показывает строгий теоретический анализ, что
даже при легировании примесью одного типа хвосты плотности состоя¬
ний образуются около обеих разрешенных зон.Следующая важная особенность сильно легированных полупровод¬
ников связана с уже упомянутым взаимодействием электронов одного
атома одновременно с несколькими соседними. Именно такое взаимо¬
действие приводит к движению носителей заряда в случайном силовом
поле. Действительно, при слабом легировании электрон взаимодейст¬
вует только с одним из атомов примеси и энергия взаимодействия оста¬
ется постоянной независимо от того, что сами примесные атомы в кри¬
сталле расположены хаотически.При сильном легировании электрон взаимодействует сразу с не¬
сколькими атомами, число которых и их координаты различны в раз¬
ных частях кристалла. Постоянство потенциальной энергии примесных
электронов уже отсутствует и она приобретает случайный характер.
Это значит, что потенциальное поле примесей представляет собой трех¬
мерные случайно расположенные потенциальные ямы и горбы, форма
и амплитуда которых также меняются в разных участках кристалла
случайным образом. Но при этом уже нет ни дискретных уровней, ни
обособленной примесной зоны. Таким образом, случайный характер
примесного потенциала приводит к гофрировке зон, показанной схе¬
матически на рис. 11.5.Ямы в этой схеме представляют собой скопления атомов примеси
в областях сг<г() а горбы — наоборот, области того же размера,
без примесных атомов в них.Необходимо подчеркнуть, что случайное потенциальное поле при¬
водит к гофрировке обеих зон, даже если кристалл легирован одним
каким-либо видом примеси — донорами или акцепторами. Это обус-Рис. 11.5. Схема, иллюстрирующая потенциальную энергию
носителей заряда в случайном поле примесей264
ловлено тем, что потенциальная
яма для электронов одновременно
является горбом для дырок.Однако если сильное легирова¬
ние осуществлено примесью одного
типа, то, как было показано в
гл. 3, уровень химического потен¬
циала располагается в соответст¬
вующей разрешенной зоне. Если же
осуществить сильное легирование
одновременно донорами и акцепто¬
рами, т. е. осуществить и компен¬
сацию в полупроводнике, то уро¬
вень химического потенциала мож¬
но перевести в запрещенную зону.Это трудно сделать с мелкими водородоподобными примесями, так
как технологически сложно соблюсти условие Nn — Nu, необходимое
для сильной компенсации (п = р). Если же одной из примесей будет
глубокая Nt, то для компенсации достаточно соблюсти условие
Nn, ибо избыток глубокой примеси Nt —Nn из-за ее большой
энергии ионизации будет давать мало носителей.Образование гофрировки зон в сильно легированном и сильно ком¬
пенсированном полупроводнике показано на рис. 11.6. Кристалл с не¬
однородным, хаотическим распределением примесей можно мысленно
разбить на контактирующие друг с другом части, в которых примесь
распределена упорядоченно. В каждой из таких частей будет свое по¬
ложение химического потенциала [уровня Ферми (рис. 11.6, а)]. Но при
контакте подсистем уровень химического потенциала, как известно,
выравнивается и опять имеет место гофрировка зон (рис. 11.6, б), но с
уровнем Ферми, как и полагается в отсутствие вырождения — в за¬
прещенной зоне.Обе особенности сильно легированного полупроводника— хвосты
плотности состояний и их флуктуационный характер — проявляются
во многих физических явлениях. Рассмотрим лишь два из них: равно¬
весное (проводимость) и неравновесное (фотопроводимость).Чтобы понять, каким образом происходит явление электропровод¬
ности — прохождение электрического тока в неупорядоченном полу¬
проводнике— обратимся к рис. 11.5. Проведем, например, в гофри¬
рованной зоне проводимости некоторый энергетический уровень, обо¬
значенный на этом рисунке как Ev Тогда большинство электронов,
скопившихся в потенциальных ямах, окажутся изолированными друг
от друга. Переход электронов из одной ямы в другую при Е < в
этом случае невозможен.При некотором повышении выделенного уровня до величины Еъ
становится возможен переход электронов между некоторыми близкими
ямами посредством перескоков (прыжковая проводимость) или туннель¬
ного эффекта. И только при достаточно большом уровне энергии элек¬
тронов ЕП, как видно из рис. 11.5, практически все электроны, ско¬
пившиеся в ямах, смогут сообщаться друг с другом и по зоне проводи-265Рис. 11.6. Схема образования гофри¬
рованных зон в сильно легированном
и сильно компенсированвом полупро¬
воднике:а — случайное распределение примесныя
уровней по координате х; б — гофриров*
ка краев зон
мости сможет протекать электронный ток. Этот уровень Еа называют
уровнем протекания.Рассмотренную картину легко понять из следующей аналогии:
представим себе рельеф участка земной поверхности, на которой имеют¬
ся хаотически расположенные ямки и бугорки. Как будет заполняться
этот рельеф во время дождя? Вначале вода будет скапливаться в ям¬
ках и они не сообщаются друг с другом. Эти «лужицы» показаны штри¬
ховкой на рис. 11.7, /. По мере усиления дождя увеличиваются обла¬
сти, занятые водой, т. е. все большее количество ямок оказывается за¬
литым (рис. 11.7, 2). При еще большем количестве воды ее уровень по¬
вышается настолько, что, несмотря на отдельные бугры, возвышающие¬
ся над водой, она может беспрепятственно омывать их и протекать по
всему рассматриваемому участку земли (рис. 11.7,3).Возвращаясь к протеканию электронов в неупорядоченном кри¬
сталле, легко понять, что его удельная проводимость должна подчи¬
няться закону(11.6)где Еп — отсчитано от уровня химического потенциала |х. Величина
Еа определяется, конечно, амплитудой и масштабом (по оси х) флук¬
туаций «дна», зоны проводимости.Физический смысл формулы (11.6) заключается в том, что электро¬
нам для протекания необходимо преодолеть энергетический барьер,
средняя величина которого равна £п.Рис. 11.7. Схема, иллюстри¬
рующая прохождение элек¬
трического тока в кристалле
с крупномасштабными флук¬
туациями примесного потен¬
циалаРис. 11.8 Генерационные и ре¬
комбинационные переходы в
сильно легированном и сильно
компенсированном полупровод¬
нике2GG
Явление фотопроводимости в полупроводнике с гофрированными
зонами рассмотрим на примере сильно легированного и сильно компен¬
сированного оолупроводника (рис. 11.8). При освещении его светом(11.7)электроны из валентной зоны перебрасываются в зону проводимости
прямыми переходами (/). Однако из-за стремления системы занять
состояния с меньшей энергией они скапливаются в ямах гофрирован¬
ного дна зоны проводимости (2).Аналогично дырки, образованные за счет переходов 1, «всплыва¬
ют» (3) и заполняют горбы валентной зоны. Происходит разделение
электронов и дырок в пространстве.Электроны в ямах зоны проводимости и дырки в горбах валентной
зоны обеспечивают фотопроводимость путем протекания. Как только
свет выключен и генерация носителей заряда прекращена, в кристалле
должна преобладать рекомбинация носителей. Непрямые рекомбина¬
ционные переходы маловероятны, а для прямого обратного перехода
(4) электрону необходимо «взобраться» обратно на потенциальный
горб (5). Для этого надо преодолеть высоту барьера Д. Если время
жизни электрона в этом же полупроводнике при слабом легировании
тп, то из-за необходимости преодолеть барьер Д время жизни увеличи¬
вается до(11.8)Величина Д в свою очередь зависит от степени компенсации и
степени легирования полупроводника и составляет 0,05—0,15 эВ.
Поэтому, например, при 77 К значения т на много порядков превы¬
шают значения т0, т. е. флуктуации примесного потенциала приво¬
дят к гигантскому увеличению времени жизни, что, как следует из
гл. 7, существенно сказывается на фотопроводимости.§ 11.3. Аморфные полупроводникиДля аморфных полупроводников, как и для сильно легированных,
применимы понятия случайных атомных конфигураций. Полная не¬
упорядоченность основных атомов аморфного вещества сопровождает¬
ся абсолютным невыполнением неравенств (11.1) и (11.5) при подста¬
новке в них в качестве N концентрации собственных (основных) ато¬
мов вещества.Следствием этого является аналогия в характере энергетического
спектра аморфного и сильно легированного кристаллического полупро¬
водника. Разница состоит лишь в том, что в аморфном полупроводни¬
ке уже изначально отсутствует зонная структура, независимо от того
есть в нем примеси или нет.Тем не менее у всех аморфных полупроводников наблюдается рост
зависимости удельной проводимости от температуры, что характерно
для полупроводников (см. рис. 1.1). Более того, эта зависимость име¬
ет обычный для полупроводниковых веществ вид(11.9)267
со слабой температурной зависимостью коэффициента пропорциональ¬
ности.Это дало повод трактовать энергию активации как аналог ши¬
рины запрещенной зоны, хотя читателю уже должно быть понятным,
что ни о каком квантово-механическом обосновании зонной структуры
не может идти речь из-за отсутствия периодического потенциального
поля.Дело в том, что в достаточно глубоких потенциальных ямах могут
возникать дискретные уровни. Природа их вовсе не примесная. Это
могут быть уровни, создаваемые за счет случайного потенциального
поля структурных дефектов, концентрация которых в аморфных по¬
лупроводниках того же порядка, что и концентрация собственных
атомов. Такие уровни называют флуктуационными. Они могут сущест¬
вовать в дискретном виде и не размываться в зону из-за трудностей
перехода электронов из одной глубокой ямы в другую. Такой переход
мог бы произойти в результате туннельного эффекта, но для этого
центры локализации должны быть близки в пространстве и близки
(или даже равны) соответствующие им уровни энергии.Такое совпаде¬
ние обоих условий маловероятно.Таким образом, в аморфных полупроводниках сохраняются пред¬
ставления о непрерывном и дискретном видах энергетического спектра.
Первый с успехом можно назвать зоной проводимости или валентной
зоной, а второй— «примесным».При понижении температуры электроны переходят на локальные
уровни и электропроводность становится прыжковой. Ее температур¬
ная зависимость имеет уже другой вид:(11.10)Это соотношение называют формулой Мотта. Температура Мотта
Т0 имеет смысл температуры перехода от активационного механизма
проводимости к прыжковому.Сущность прыжковой проводимости заключается в непосредствен¬
ных переходах электронов от одного центра к соседнему, минуя раз¬
решенный спектр. Такая проводимость не требует затрат на энергию
активации электронов. Прыжковая проводимость возможна из-за
слабого перекрытия хвостов волновых функций соседних примесных
центров.Аналогия в свойствах аморфных и обычных полупроводников про¬
стирается и на оптические, и фотоэлектрические свойства. Однако
следует различать аморфные полупроводники двух типов А и Б. В А-
полупроводниках наблюдается резкий порог оптического поглощения,
причем пороговая энергия фотона Йсо оказывается близкой к Eit фи-
гурирующей в (11.9). Здесь имеет место полная аналогия с чистыми
кристаллическими полупроводниками.В Б-полупроводниках наблюдается хвост оптического поглощения.
Его легко связать с хвостом плотности состояний. Тогда поглощение
при h(o < Et можно трактовать, как электронные переходы из хво-268
ста валентной зоны в хвост зоны проводимости. Спектральная характе¬
ристика a (hoy) хорошо описывается законом Урбаха:(11.11)где С — коэффициент, слабо зависящий от частоты света; Е0 — энер¬
гия, различная для разных веществ, но зависящая от температуры:(11.12)что указывает на фононную природу поглощения света. Следователь¬
но, чтобы электрон смог перейти в непрерывный спектр при поглоще¬
нии фотона Л<о, он должен приобрести энергию, равную, по крайней ме¬
ре, Et. Недостаток необходимой энергии, равный Е% — Йсо, доставляет¬
ся фононами.Следует отметить, что именно в аморфных полупроводниках типа
Б наблюдается переход Мотта.Характерно, что в аморфных полупроводниках обоих типов сов¬
сем незначительную роль играют примеси, но зато существенное влия¬
ние на их свойства оказывает способ изготовления аморфного полу¬
проводника. Это лишний раз подтверждает большой вклад структурных
дефектов в формирование свойств аморфных полупроводников. Оче¬
видно, по мере совершенствования технологии, при достаточно сильном
легировании специфические примесные явления все же проявятся
и в них, как это имеет место, например, в аморфном кремнии, насыщен¬
ном водородом.В аморфных полупроводниках проявляются и специфические свой¬
ства, не имеющие аналога в кристаллических полупроводниках. Приме¬
ром может служить эффект переключения. Он проявляется в сильном
(на несколько порядков) изменении проводимости аморфного полупро¬
водника при приложении к нему электрического поля. Важно, что это
изменение обратимо и весьма малоинерционно. Время переключения
составляет всего 10~9—10~10 с, что открывает перспективу практиче¬
ского применения аморфных полупроводников в схемах автоматики
и в ЭВМ. Объяснение этого эффекта к моменту издания этой книги от¬
сутствует.§ 11.4. Жидкие и стеклообразные полупроводникиПри плавлении полупроводников их кристаллическая решетка
разрушается и в жидком состоянии ни о каком дальнем порядке гово¬
рить не приходится. Но ближний порядок может и сохраняться. По¬
этому у некоторых веществ можно ожидать сохранения полупровод¬
никовых свойств и при плавлении. Останется или нет вещество полу¬
проводником при переходе из твердого состояния в жидкое, зависит от
характера химической связи.Если при плавлении, т. е. при разрыве ковалентных связей, дело-
кализованные в кристалле электроны вновь локализуются около
своих атомов, то вещество останется полупроводником. Значение его
проводимости будет отличным от того, которое было в кристалле, но269
характер ее температурной зависимости останется тем же, что у полу¬
проводника. Если же при плавлении электроны по-прежнему останутся
делокализованными, то атомы расплава будут иметь металлическую
связь и проводимость, что характерно для металлов, будет уменьшать¬
ся с понижением температуры.Примерами таких веществ являются кристаллы, обладающие струк¬
турой алмаза (германий, кремний) и цинковой обманки (AHIBV).Веществами, сохраняющими полупроводниковые свойства, являют¬
ся теллур, селен, большое количество сульфидов и оксидов металлов.Наиболее наглядно изменение полупроводниковых свойств при
плавлении и последующем нагревании прослеживается у теллура и
селена. Кристаллы этих веществ имеют гексагональную решетку с
цепочечным расположением атомов (рис. 11.9, а), причем каждый тре¬
тий атом в цепочке лежит в другой плоскости над другим атомом той
же цепочки (рис. 11.9, б). Между атомами, составляющими цепочку,
химическая связь ковалентная, а между цепочками — ван-дер-вааль-
сова.Зависимость удельной электропроводности теллура в широкой об¬
ласти температур показана на рис. 11.10. Ниже температуры плавления
(Т < 500° С) электропроводность кристаллического теллура растет с
увеличением температуры. При переходе через точку плавления элек¬
тропроводность претерпевает скачок, но продолжает еще расти при
дальнейшем нагревании.Исследование показало, что сначала при плавлении разрушаются
более слабые ван-дер-ваальсовы связи, а ближний порядок в виде
цепочек или достаточно протяженных фрагментов цепочек с ковалент-
но-связанными атомами теллура сохраняется. Лишь нагрев до темпе¬
ратур, близких к 1000° С, приводит к столь сильной диссоциации
атомных цепочек, что в расплаве теллура уже не сохраняется полупро¬
водниковая электропроводность.Приведенные рассуждения подтверждаются и измерениями коэф¬
фициента Холла, температурная зависимость которого приведена нарис. 11.11, из которого видно, что
при плавлении коэффициент Хол¬
ла резко уменьшается и при даль¬
нейшем нагревании расплава про¬
должает уменьшаться. Знак коэф¬
фициента Холла по обе стороны от
точки плавления не меняется и
остается положительным, т. е. элек¬
тропроводность была дырочной в
кристалле и такой же осталась в
расплаве. При температуре, близ¬
кой 575°С, коэффициент Холла ме¬
няет знак на отрицательный. Это
значит, что в этой области темпера¬
тур имеет место смешанная элек¬
тропроводность: и дырочная, и
электронная. Последняя прояв-Рис. 11.9. Кристаллическая структура
теллура270
Рис. 11.10, Температурная за¬
висимость удельной электро¬
проводности теллура (направ¬
ление стрелок влево и вниз
соответствует повышению, а
вправо и вверх — снижению
температуры)Рис. 11.11. Температурная зависи¬
мость коэффициента Холла теллу¬
ра (направление стрелок обозна¬
чает то же, что и на рис. 11.10}ляется при разрыве ковалентных связей и атомных цепочках и «ме¬
таллизации» расплава.Формирование полупроводниковых свойств у стеклообразных и
жидких веществ по физической сущности аналогично. Это понятно,
так как стекло — это сильно переохлажденная жидкость.Наиболее изученной благодаря трудам советских ученых Н. А. Го¬
рюновой, Б. Т. Коломицием и др. является группа халькогенидных
стекол. Их основным компонентом являются элементы VI группы перио¬
дической системы: S, Se, Те, которые с другими металлами создают со¬
единения, аналогичные оксидам.Халькогенидные стекла обладают чисто электронной электропровод¬
ностью, значительной фотопроводимостью, хорошо пропускают свет в
инфракрасном участке спектра.Величины электро- и фотопроводимости халькогенидных стекол
удается изменять в широких пределах за счет изменения состава стек¬
ла и включения добавок других элементов (Ge, Au, Ag, Си). Для при¬
мера в табл. 11.1 показано, как изменяются проводимость и длина вол¬
ны света при максимуме фогочувствительности некоторых халькоге¬
нидных стекол в зависимости от их состава.Таблица 11.1. Свойства халькогенидных стекол различного составаСостав стеколПроводимость, (Ом см)-1Tlmax. мкмmAs2Se3*/fTe2Se10-13_Ю-70,6—1,25/7iAs2Se3*/2Sb2Se310*3—ю-70,6-0,9mTe2Se3-rtAs2Se310-14—10 80,6—1,1271
Контрольные вопросы1. Что такое ближний и дальний порядок структуры? 2. Какие вещества
относят к неупорядоченным? 3. Назовите виды неупорядоченных веществ. 4. В
чем состоит сущность критериев слабого или сильного легирования полупровод¬
ников? 5. Что такое хвосты плотности состояний? 6. Как образуются «гофри¬
рованные» зоны? 7. В чем состоит физическая сущность потенциальных ям и
горбов при случайном распределении примесей? 8* Каким образом появляются
флуктуации примесного потенциала в сильно легированном и сильно компенси¬
рованном полупроводниках? 9. В каких физических явлениях имеет место флук-
туационный характер примесного потенциала? 10. Чем похожи и чем отличают¬
ся аморфные полупроводники от сильно легированных кристаллических?
11. Что такое флуктуационные уровни? 12. Что такое переход Мотта? 13. Ка¬
кую роль играет водород в аморфном кремнии? 14. Какова природа сохранения
полупроводниковых свойств в жидких, расплавленных полупроводниках?
15, Рассмотрите ответ на вопрос 14 на примере теллура. 16. Какова природа
полупроводниковых свойств стеклообразных полупроводников?Литература: [13], [45| — [50J.
ЧАСТЬ ВТОРАЯЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ
ИССЛЕДОВАНИЯ ПАРАМЕТРОВ
ПОЛУПРОВОДНИКОВЫХ МАТЕРИАЛОВГлава 12МЕТОДЫ ИЗМЕРЕНИЯ ОСНОВНЫХ ПАРАМЕТРОВ
ПОЛУПРОВОДНИКОВЫХ МАТЕРИАЛОВ§ 12.1. Основные параметры, характеризующие
полупроводниковые материалыФизические величины, характеризующие полупроводник, можно
разделить на несколько групп. К первой группе относят величины,
которые мало зависят от степени чистоты кристаллов, т. е. от при¬
сутствия примесей, или от степени дефектности кристалла, если под
дефектом понимать и примеси, и структурные дефекты, и вообще —
любое нарушение периодического поля в кристалле. Примерами ве¬
личин, составляющих первую группу, являются ширина запрещенной
зоны Eg, эффективные массы электронов и дырок т*п и т*р, концен¬
трация собственных носителей заряда щ, параметр решетки а, решеточ¬
ная теплопроводность kl, температура дебая 0 и ряд других. Ве¬
личины первой группы называют фундаментальными параметрами.Ко второй группе относят такие величины, которые существенно
зависят от концентрации и вида дефектов, т. е. от содержания приме¬
сей, дислокаций и вакансий. К ним в первую очередь относятся концен¬
трации самих дефектов: NR, N&, No и Ny, а затем зависимые от них
величины: удельное сопротивление р, подвижность электронов и дырок
м„ и ир, времена жизни, неравновесных носителей заряда т„ и тр.Эти величины называют характеристическими параметрами.Величины, относящиеся к этой группе, в зависимости от содержа¬
ния дефектов могут изменяться в десятки миллионов раз. Поэтому ва¬
риация именно этих величин и обусловливает применение полупровод¬
никовых материалов в самых разнообразных приборах. Эти величины
могут одновременно являться технологическими параметрами, характе¬
ризующими качество материала, выпускаемого промышленностью.
В зависимости от задач, связанных с областью применения материала,
выбирают те или иные величины из этой группы в качестве контроли¬
руемых. Допустимые пределы их изменения указывают в технических
условиях (ТУ) на материал.Методики измерения технологических параметров, которыми ру¬
ководствуются ОТК заводов, описывают в специальных методических
инструкциях, где указывают принципиальные основы методики, тре-273
бования, предъявляемые к образцам, способы их подготовки к изме¬
рениям, принципиальную схему измерений с указанием типов приме¬
няемых аппаратов и приборов, метод обработки экспериментальных
результатов и гарантируемую погрешность измерений.Наконец, имеется и третья группа величин, знание которых не¬
обходимо для правильной разработки технологии получения полупро¬
водниковых материалов. Эти величины в основном имеют физико-хи¬
мический характер, например пределы растворимости примесей в дан¬
ном полупроводнике с, коэффициенты распределения k, теплота испа¬
рения L, коэффициенты диффузии D и др. Разумеется, что величины
этой группы, как и величины первой группы, не являются технологи¬
ческими параметрами.§ 12.2. Зондовые методы измерения удельного
сопротивленияЗондовые методы основаны на том, что при прохождении электри¬
ческого тока через кристалл в нем возникает электрическое поле. Если
ток / распространяется в однородной изотропной среде от одного то¬
чечного электрода (рис. 12.1), то напряженность поля S и потенциал
U в некоторой точке, удаленной от места касания электрода на расстоя¬
ние г, соответственно будутт. е. потенциал этого питающего электрода (в дальнейшем называе¬
мый токовым зондом) при / = const зависит только от удельного со¬
противления среды и расстояния от точки измерения потенциала до
точки касания токового зонда с поверхностью изучаемой среды.Когда используется несколько токовых зондов, потенциал будет оп¬
ределяться набором расстояний гъ г2, ..., гп, измеряемых от токовых
электронов 1, 2, ..., п до точки измерения, которую называют потен¬
циальной. В случае двух токовых зондов потенциалгде гх и т% — расстояния от токовых зондов до потенциальной точки.Практически определяют не потенциал, а разность потенциалов
AU в двух потенциальных точках. Поэтому наибольшее распростра¬
нение получил четырехзондовый метод, в котором используют два то¬
ковых и два потенциальных зонда. В этом случае AU является функ¬
цией типа AU = AU (/, р, ram, гЬт, гцП, гЬп), где индексы а, b и т,
п обозначают соответственно точки касания двух токовых и двух по¬
тенциальных зондов с поверхностью полупроводника. Эти точки и
расстояния между ними показаны на диаграмме рис. 12.2. Пользуясь
этой диаграммой и выражением (12.2), запишем(12.1)(12.2)(12.3)т
Рис. 12.1. Точечный зонд
на границе раздела двух
сред:1 — среда с удельным со¬
противлением р; 2 — линия
тока; 3 — линии равного по¬
тенциала; 4 — зондРис. 12.2. Векторная диа¬
грамма четырехзондового
метода;
а, Ь — токовые зоиды; т, п —
потенциальные зоидыОтсюда удельное сопротивление(12.4)Величину К называют коэффициентом четырехзондовой головки.В практике нашли применение лишь две конструкции зондовых
головок. Это случаи расположения зондов в линию (рис. 12.3,а, б)
и по углам прямоугольника (рис. 12.4, д).В общем случае, задавшись соотношением /х//а = а, где lt — рас¬
стояние между токовым и ближайшим к нему потенциальным зондом;
/2 — расстояние между потенциальными зондами, из (12.3) можно най¬
ти К. Наиболее проетой случай представляет собой эквидистантную
зондовую головку с одинаковыми межзондовыми расстояниями I.рис I? Я. Различные способы расположения зондов на поверхности образ¬
цов27S
Таблица 12.1. Значения поправочного множителя Ft
((онды расположены параллельно краю образца — рис. 12.3, о)Udl/L0, 10,20,51,02,05,010,01 000,00,99960,99710,96340,84100,65790,53290,50360,50,20,99070,98620,95050,83330,65350,52910,50500,49601,00,66140,65190,59990,50500,40810,34840,33670,33235,00,14350,14130,12910,10770,08690,07510,07290,072110,00,07170,07060,06460,05390,04340,03740,03650,0361Величина К при этом равна для линейного расположения зондов
л/ и для расположения зондов по углам квадрата 7,59/.Выражение (12.4) справедливо лишь для полубесконечных образ¬
цов. Эго значит, что границы образца как в плоскости расположения
зондов, так и по глубине образца удалены от зондов на бесконечность.
В реальных случаях за счет конечности образцов удельное сопротив¬
ление(12.5)где Ft — поправочный множитель, являющийся функцией межзондо-
вого расстояния /, толщины образца d и расстояния от зондов до бли¬
жайшей границы образца L (табл. 12.1—12.4). Соответствующие
схемы расположения зондов показаны на рис. 12.3.Четырехвондовый метод применяется для измерений как на пла¬
стинках, так и на целых слитках. В последнем случае измерения про¬
водят по торцу слитка и по образующей.Для обычно используемых зондовых головок характерные значе¬
ния / находятся в интервале 0,7—1,3 мм, а диаметр слитков составляет
20—30 мм. Таким образом, при измерении удельного сопротивления
по образующей значение lid всегда больше 0,06, а это значит, что кра¬
евой эффект определяется только величиной 1/L. Этот вывод тем бо¬
лее справедлив при измерении р по торцу слитка, ибо длина слитков
всегда больше их диаметра. Следовательно, при измерении на слитках
значения Fг можно брать из табл. 12.1 и 12.2 при значении lid — 0.
Эги значения в таблицах приведены жирным шрифтом.Таблица 12.2. Значения поправочного множителя F2
(зонды расположены перпендикулярно краю образца — рис. 12.3,6)l/dt/L0,2| 0,51 i.o2,05,010,0OO0,00,99720,98100,94390,88240,79650,75020,69000,20,98940,97500,94010,88000,79490,74900,68871,00,65680,63730,61060,57830,53980,51930,49105,00,14240.13780,13160,12420,11620,11240,107710,00,07120,06890,06580,06210,05810,05620,0639Примечание. Если зонды расположены на торце плоского образца (рис. 12.3,в)*
в этом случае для нахождения F3 следует пользоваться таблицей для F2t но под величи¬
ной d надо понимать нолутолщину, как это показано на рисунке.276
Таблица 12.3. Значения поправочного множителя Ft
(зонды расположены по диагонали — рис. 12.3,г)Udl/L0,10,20,51,02,05,0.0,00,11,731.591,341,151,061,001,000,51,831,701,471,281,191.121,101.02,442,312,101,861,691,561,536,0И ,4610,909,888,757,867,227,03Таблица 12.4. Значения поправочного множителя F»
(зонды расположены по углам квадрата — рис. 12.3, д)l/d0,10,20,51.02,05,010,01,00051,0041.0571,3442,3785,91611,832Для снижения влияния краевого эффекта при измерениях по об¬
разующей вдоль слитка делают так называемую измерительную до¬
рожку. Эта операция сводится к шлифованию части цилиндрической
поверхности слитка, с тем чтобы зонды располагались на плоской по¬
верхности.Обычно применяются зонды из вольфрама, молибдена, тантала и
твердых сплавов типа ВК-6 (WC + 6%Со). Зонды необходимо зата¬
чивать, так как теория четырехзондового метода предполагает точеч-
ность зондов, т. е. диаметр зондов в точке касания с образцом должен
быть много меньше всех других размеров, характеризующих систему
зонд—образец. Заточку зондов производят электролитически.Принципиальная электрическая схема измерений р четырехзон-
довым методом приведена на рис. 12.4. Разумеется, в современных
схемах в качестве измерительных приборов используют цифровую
технику. Измерения производят компенсационным методом без отбора
тока в цепь потенциальных зондов. Этот прием позволяет исключить
проявление различных эффектов, возникающих в области контактов
металлических зондов с полупро¬
водником. Ошибки измерений че-
тырехзондовым методом могут
иметь различную природу. Наи¬
большая погрешность обуслов¬
лена колебанием межзондовых
расстояний в процессе измере¬
ний. В ряде случаев могут воз¬
никать ошибки за счет инжекции
носителей заряда из токовых
зондов, за счет различных теп¬
ловых эффектов, например из-заРис. 12.4. Схема измерений удельного
сопротивления четырехзондовым мето¬
дом:1 —» зонды; 2 — источник постоянного тока;
3 —токовый прибор; 4 — нуль-гальванометр;
5 — потенциометр постоянного тока277
Рис. 12.5. Форма образцов при измерениях методом Ван-дер-Пауве:а — произвольное расположение контактов; б — симметричное распо-
дожеиие контактов; в — образцы специальной формыразного теплоотвода с поверхности кристалла через контакты, из-за
нагревательного действия тока, проходящего через образец, и т. д.
Практически общую погрешность измерений удельного сопротивле¬
ния четырехзондовым методом удается снизить до 5%.Распространенной модификацией четырехзондового метода являет¬
ся метод Ван-дер-Пауве. Этот метод позволяет производить измерения
на образцах — пластинках произвольной формы. Вид такого образ¬
ца показан на рис. 12.5. Если пропустить ток через контакты от и
измерить разность потенциалов на контактах Ьп, то отношение UbJIam
будет иметь размерность сопротивления. Обозначим это отношение
Катьп• Аналогично, пропуская ток через контакты тп и измеряя на¬
пряжение между Ь и а, получим другое сопротивление Ятпьа■ Удель¬
ное сопротивление, измеряемое этим методом,(12.6)где d — толщина образца; / — множитель, зависящий только от от¬
ношения RambJRmnba (РИС. 12.6).Метод Ван-дер-Пауве является экспрессным способом опреде¬
ления р и для него характерна наименьшая погрешность из всех зон-
довых методов. При использовании специальных образцов клеверо¬
образной формы (см. рис. 12.5, в) и учете специальных поправок на
неточность зондов погрешность метода можно снизить до 3%.В измерительной практике также широко применяется двухзон-
довый метод (рис. 12.7). Используя закон Ома, нетрудно убедиться, чтоудельное сопротивление в
этом случае определяется
выражением(12.7)Этот метод имеет суще¬
ственное отличие от четы¬
рехзондового из-за того,Рис. 12.6. Поправочный множи¬
тель при вычислениях удельно¬
го сопротивления, измеренного
методом Ван-дер-Пауве278
Рис. 12.7. Схема измерений удель¬
ного сопротивления двухзондовым
методом:/, 2 — потенциальные зонды; 3, 4 — то¬
ковые контакты; $ — потенциометр по¬
стоянного тока; 6 — эталонный рези¬
стор для измерения тока, протекающе¬
го через образец; 7 — измеряемый кри¬
сталлРис 12.8. Принцип метода дви¬
жущегося зонда:1 — образец; 2 — движущийся зонд;
3 — входной каскад электрической
схемы; 4 — дифференцирующий
блок; 5 — самопишущий электрон*
иый потенциометрчто в (12.7) входит значение площади поперечного сечения образ¬
ца S. Это указывает на необходимость выполнения измерения на
образцах правильной геометрической формы. В противном случае
требуются достаточно точные измерения S, что на практике в большин¬
стве случаев сделать без разрезания слитка затруднительно.На рис. 12.8 показан принцип метода движущегося зонда. Зонд дви¬
жется равномерно со скоростью v по поверхности образца, через ко¬
торый проходит постоянный ток. Потенциал этого зонда, являющийся
функцией времени,(12.8)где р (5) — удельное сопротивление образца в точке 5; л: — точка
в которой находится зонд в момент времени L
Дифференцируя (12.8), получаем(12.9)Таким образом, перемещая зонд с постоянной скоростью и диф¬
ференцируя напряжение потенциального зонда, можно получить за¬
висимость р (х), т. е. распределение удельного сопротивления по длине
образца.Дифференцирование по времени производится автоматически с по¬
мощью дифференцирующей RC-ячейки. При реализации этого метода
предполагается, что измеряемые образцы имеют правильную геометри¬
ческую форму, т. е. значение S не меняется по длине образца.279
§ 12.3. Бесконтактные методы измерения удельной
электрической проводимостиБольшинство бесконтактных методов измерения удельной элек¬
трической проводимости основано на взаимодействии полупроводни¬
ка с электромагнитным полем высокой частоты. При этом возможны
два метода измерений. В первом — мостовом (рис. 12.9) — образец
полупроводника с помощью емкостной связи введен в одно из плеч
моста, питаемого переменным током высокой частоты. Измеряя зна¬
чения С и R, добиваются компенсации моста. При этом величина R
будет равна электрическому сопротивлению образца R0бр. Другой
класс бесконтактных методов основан на взаимодействии полупровод¬
ника с электромагнитным полем радиотехнического колебательного
контура LC, при этом добротность последнего изменяется.Добротностью Q контура называют отношение реактивного сопро¬
тивления контура к его активному сопротивлению. Изменение доб¬
ротности обусловлено тем, что введение образца в контур вызывает
дополнительные диэлектрические потери. Значение этих потерь, а
следовательно, и значение AQ функционально связано с сопротивле¬
нием образца. Функцию AQ = f (р) предварительно получают по¬
средством измерения образцов с известным удельным сопротивлением,
т. е. она является градуировочной кривой, по которой и определяется
величина р.Таким образом, погрешность бесконтактных методов определяется,
в первую очередь, погрешностью градуировки. Все бесконтактные
методы различаются между собой способом введения в контур иссле¬
дуемых образцов.Рис. 12.9. Схемы бесконтактных ме¬
тодов измерения удельной электриче¬
ской проводимости:
а — мостовой метод; б —емкостный методРис. 12.10. Градуировочная кривая,
используемая в конденсаторном мето¬
де измерения удельного сопротивле¬
ния280
В конденсаторном методе плоский обра¬
зец помещают между обкладками конденса¬
тора, а образец в виде слитка вводят в конден¬
сатор, изготовленный в виде разрезных ме¬
таллических колец (рис. 12.9, б). В обоих
случаях добротности контура можно изме¬
рять посредством стандартного прибора
Q-метра на частотах 30—50 мГц. Градуиро¬
вочная кривая имеет вид, показанный на
рис. 12.10.При малых удельных сопротивлениях (об¬
ласть 1 на рис. 12.10) образец подобен ме¬
таллу и не вносит дополнительных потерь в
контур. При очень больших удельных сопро¬
тивлениях (область 3) добротность опреде¬
ляется уже добротностью самого Q-метра и
поэтому в такой области метод нечувствите¬
лен к вносимым в контур образцам. Проме¬
жуточная область 2 является рабочим участ¬
ком кривой. Меняя емкость конденсатора в
контуре, можно сдвигать рабочую часть гра¬
дуировочной кривой в различные диапазоны
удельных сопротивлений.Одним из преимуществ конденсаторного метода является измерение
слитков в полиэтиленовой пленке, предохраняющей материал от за¬
грязнений. Недостатком метода является использование образцов
только правильной геометрической формы.В индуктивном методе образец вносят в индуктивную катушку.
Этот метод получил меньшее распространение по сравнению с конден¬
саторным из-за того, что он малочувствителен к измерению высокоом¬
ных образцов.Широко применяется этот метод при измерении удельного сопро¬
тивления расплавленных полупроводников. Расплав помещают в ам¬
пулу, а ее располагают внутри индуктивной катушки.Модификацию индуктивного метода представляет собой беззондо-
вый метод Фистуля—Оржевского (рис. 12.11). Индуктивная катушка
/ в этом методе представляет собой кольцо из магнитомягкого матер
ала, например феррита, со щелью размером L. Вокруг кольца имеет¬
ся намотка 2. Катушка прижимается к поверхности образца 4. Для
лучшего взаимодействия контура с образцом в зазор L помещена мед¬
ная посеребренная пластинка 3. При замыкании зазора L образцом
изменяется добротность катушки. Удельное сопротивление определя¬
ется по градуировочной кривой, имеющей вид, показанный па
рис. 12.10. Недостатком этого метода является существенное влиянт*
краевого эффекта. Для правильных измерений необходимо, чтобы рас¬
стояние от датчика до ближайшей границы образца превысило
(L - 6).Характерным преимуществом этого метода является совпадение
градуировочных кривых для различных полупроводников. Это обус-281Рис. 12.11. Взаимное рас¬
положение датчика и об¬
разца в беззондовом ме¬
тоде Фистуля — Оржев¬
ского:/ — ферритовое кольцо; 2 —
обмотка; 3 — экранирующая
металлическая пластина; 4 —
образец
ловлено тем, что глубина проникновения электромагнитного поля в
образец определяется магнитной проницаемостью полупроводника,
а эта величина для всех полупроводниковых материалов не отличается
от единицы. Таким образом, градуировкой, полученной, например,
по хорошо измеренным германиевым образцам, можно пользоваться
для определения р таких полупроводников, как GaAs и др.Получили распространение также бесконтактные методы, в которых
используются колебания СВЧ-диапазона (приблизительно 10® Гц).
Наиболее точными из них являются резонаторные методы. В области
СВЧ добротность объемных резонаторов велика (103—104), поэтому
внесение в резонатор полупроводникового образца резко снижает доб¬
ротность. Образец либо помещают внутрь резонатора, либо закрывают
им отверстие в стенке резонатора.Метод измерения сводится к нахождению зависимости отношения
прошедшей мощности к падающей от удельного сопротивления образ¬
цов. Градуировку производят по специальным образцам — эталонам.§ 12.4. Измерение концентрации и подвижности
носителей зарядаНаиболее распространенным методом определения концентрации
носителей заряда п является измерение коэффициента Холла R, ко¬
торый обратно пропорционален п. Одновременное измерение удельной
электрической проводимости позволяет найти холловскую подвиж¬
ность:(12.10)Принципиальная схема установки для измерения величин R к и
приведена на рис. 12.12. Через образец пропускаютток от внешнего ис¬
точника Б. Подбором сопротивления г осуществляют режим генера¬
тора тока (г > гобразца).Многоконтактным переключателем S4 можно включить измери¬
тельную часть схемы на измерение разностей потенциалов между лю¬
быми из контактов, указанных цифрами около образца. Кроме того,
можно измерить ток по значению падения напряжения между точками
А и В. Измерительная часть может работать в двух режимах: электро¬
метрическом (для высокоомных кристаллов р= 103—1010 Ом* см) и в
потенциометрическом (для низкоомных образцов с р <С 10s Ом-см).В электрометрическом режиме измерений в качестве нуль-прибора
используется электрометр Э, а гальванометр зашунтирован кнопкой
«Успокоение» потенциометра П. Во втором режиме измерений электро¬
метр Э зашунтирован тумблером Тъ а гальванометр Г служит, как
обычно, нуль-прибором.Переключатели S2 и $5 переключают полярности тока, проходя¬
щего через образец, и измеряемых напряжений на контактах образца.
При измерениях коэффициента Холла образец помещают в магнитное
поле с напряженностью порядка 5000 Э в зазоре электромагнита.
Питание электромагнита производится стабилизированным источни¬
ком постоянного тока.282
Для правильных измерений необходимо
исключить паразитные э. д. с., возникаю¬
щие на холловских контактах. Эти э. д. с.
появляются по различным причинам. Одна
из них связана с тем, что холловские кон¬
такты могут располагаться не на одной
эквипотенциальной поверхности. Затем па¬
разитные э. д. с. могут возникать за счет
термоэлектрических и термомагнитных эф¬
фектов,т.е. явлений переноса под влиянием
теплоты, выделяющейся в образце, и внеш¬
него магнитного поля. Часть этих эффектов
зависит от направлений электрического то¬
ка и магнитного поля. Поэтому почти все
паразитные эффекты можно исключить,
проделав четыре измерения при двух на¬
правлениях тока через образец и двух на¬
правлениях магнитного поля\Тогда разность потенциалов, по кото¬
рой вычисляют о,(12.11)где индексы 1 и 2 означают, что измерения
выполнены на контактах / и 2. Аналогич¬
но измеряют U%'* и окончательно получаем(12.12)Рис. 12.12. Принципиальная
схема измерений коэффици¬
ента Холла и удельной элек¬
трической проводимости:
/—4 — контакты к образцу; Я ~
потенциометр постоянного тока;
Г — гальванометр; Э — электро¬
метрсоответственно(12.13)где для получения р — в Ом-см следует подставить Ua — в В, / —
в А, линейные размеры a,d, I — в см. Коэффициент К учитывает фор¬
му и размеры образца (рис. 12.13):где у = a/S (S — площадь поперечного сечения образца).Для образцов, размеры которых приведены на рис. 12.13, величи¬
на К равна 0,96.Среднее (из четырех измерений) значение холловского сигнала(12.14)(12.15)2ВЗ
При этом U (/, Н) берут со знака¬
ми, определенными при измерении,
т. е. выражение (12.15) представ¬
ляет собой алгебраическую сумму.Аналогично можно найти Ur-*
и соответственно значение холлов-
ского сигнала, усредненное по об¬
разцу:Рис. 12.13. Фигурный образец, приме¬
няемый для определения концентра¬
ции и подвижности носителей заряда(12.16)Значения коэффициентов Холла, концентрации носителей заряда
в яримесной области и их подвижности вычисляют по формулам:где R выражают в см3-Кл-1; п — в см-3; и — в см2-В-1 • с-1.Помимо фигурных образцов (см. рис. 12.13) можно применять и
образцы в виде параллелепипедов (пластинок). При этом во избежание
ошибок измерений необходимо соблюдать определенное соотношение
длины и ширины образца llh > 3.На образцах произвольной формы коэффициент Холла можно оп¬
ределять методом Ван-дер-Пауве (см. § 12.2). Образец (см. рис. 12.5, б)
при этом отождествляют с прямоугольной пластинкой. Через контакты
Ь и т пропускают ток, на контактах аил измеряется потенциал при
Н — 0 и при Н Ф 0. Значения холловской подвижности и концен¬
трации носителей заряда соответственно будутгде ДRbman — изменение сопротивления Rbman в магнитном поле;
р — определяют по (12.6).Выражение (12.17) справедливо в примесной области. В примене¬
нии к области собственной проводимости, когда п = р, выражение
для коэффициента Холла имеет видгде и„ и ир — подвижности электронов и дырок.Введем величину b — ип1ир, тогда вместо (12.21) получим(12.17)(12.18)
(12.19)(12.20)(12.21)Наряду с этим в собственной области(12.22)(12.23)284
Последние два выражения позволяют по измеренной зависимости
Rt (Т) найти не только Eg, но и Ь, построением прямой lg (1/i?) =
= f (1 IT) и экстраполяции ее к lg {MR) = 0. Читатель легко убедит¬
ся в этом самостоятельно.§ 12.5. Методы раздельного определения концентрацийдоноров и акцепторов в полупроводниках типа
Aiv и Аш BvАтомы примеси в кристалле находятся частично в нейтральном со¬
стоянии, а некоторая их доля представляет собой положительные и
отрицательные ионы соответственно доноров и акцепторов. На языке
химической символики процесс ионизации доноров может быть пред¬
ставлен в виде реакции:где d — нейтральный атом донорной примеси; d+ — положительный
ион; ег—электрон.Константа этой реакцииПерепишем это выражение в обозначениях, принятых при описании
явлений в полупроводниках:Можно показать, что константа реакциит. е. определяется энергией активации процесса, которая в данном
случае совпадает с энергией ионизации доноров Ед.Решение уравнения (12.24) относительно п было рассмотрено в
§ 3.7. Графически это решение представлено на рис. 3.11. Для раздель¬
ного определения концентраций доноров и акцепторов необходимо про¬
вести сопоставление экспериментальной кривой lg п — f(VT) с теми
выражениями, которые были получены теоретически в § 3.7.Для практических целей достаточно пользоваться двумя уравне¬
ниями, справедливыми в области высоких температур:(12.25)и в области ничких температур [см. вывод (3.108)]:(12.26)(12.27)285
Из этих двух уравнений нахо¬
дим(12.28)Рнс. 12 14. Зависимость температуры,
соответствующей максимуму подвиж¬
ности от концентрации ионов:1,2 — расчетные кривые с учетом различ¬
ных теорий рассеяния, 3 — эксперимен¬
тальная кривая для германия я-типаИз (12.28) следует, что, изме¬
ряя пх и я2, т. е. концентрацию
электронов в полупроводнике при
высоких и низких температурах
можно определить и концентрации
примесей. Но для этого надо пред¬
варительно определить величину
К- Поэтому практически измеряют
всю температурную зависимость
п(Т) (см. рис. 3.11), по углу на¬
клона низкотемпературной части находят £л, вычисляют К по
уравнению (12.25), пользуясь табличными значениями констант, а
затем определяют Nд и Na из (12.28).Для определения Na и Na в германии п (Т) следует измерять в
диапазоне температур от 300 до 4,2 К, а в кремнии — от 300 до 20 К.Рассмотренный метод раздельного определения Nл и приго¬
ден только в тех случаях, когда существуют локальные мелкие уровни,
отделенные от основной зоны энергетическим зазором. В случае же
большого содержания примесей примесная зона сливается с основной
зоной, локальные уровни исчезают и раздельное определение концен¬
трации доноров и акцепторов можно надежно произвести только для
германия я-типа и с некоторым приближением для кремния я-типа.
Это осуществляется измерением температурной зависимости подвиж¬
ности электронов. Такая зависимость имеет вид кривой с максимумом
(см. рис. 4.9). Низко- и высокотемпературная часть кривой (слева и
справа от максимума ) связаны с рассеянием электронов на ионах при¬
меси и на акустических колебаниях атомов решетки. Положение
максимума Т0 зависит от концентрации ионов примеси. С увеличе¬
нием содержания примесных ионов Nt максимум подвижности сдви¬
гается в сторону ббльших температур. На рис. 12.14 приведены
расчетные и экспериментальные кривые Т0 — / (Nt), по которым
определяют концентрацию ионов:(12.29)где «о — холловская концентрация при температуре Т0.Из холловских измерений при Т — 300 К имеем выражение
(12.26).Совместное решение (12.29) и (12.26) дает возможность найти Na
и Na отдельно.Для кристаллов германия и кремния p-типа этот метод неприме¬
ним из-за того, что сложность механизма рассеяния носителей заряда28(5
в них не позволяет найти столь простую градуировочную кривую
Т0 —	как для германия и кремния л-типа.В кристаллах арсенида галлия «-типа энергия ионизации мелких
примесей весьма мала и составляет менее 0,001 эВ. Если учесть, что
эта энергия еще уменьшается с ростом легирования, то придем к слу¬
чаю, почти аналогичному тому, когда локальные уровни отсутствуют
В этой ситуации практически единственным методом раздельного оп¬
ределения концентрации доноров и акцепторов является их оценка
по значениям подвижности.Для этого сделаем предположение, что электроны в арсениде гал¬
лия рассеиваются на ионах примеси и на акустических колебаниях
решетки. Тогда суммарное время релаксации(12.30)причем тi является функцией Nh a xL — нет.Значение tl известно из теории. Так как ul — етdm*, то ul =
— 104 см2/(В-с) по результатам вычислений по формуле для решеточ¬
ного рассеяния.Значение можно вычислить по формуле Брукса—Херринга для
разных концентраций ионов Nt. Надо только знать значение уровня
Ферми, которое вычисляют для разных концентраций свободных элек¬
тронов п.Если полупроводник не компенсирован, т. е. Л/а — 0, то iV{ = п.
Если же имеется компенсация, то Afi>- п.Введем понятие коэффициента компенсации(12.31)Для разных значений К при одном и том же п концентрации ионов
различны:(12.32)При данной концентрации п, задаваясь значением К, можно рас¬
считать по (4.44) т,-, далее найти т по (12.30) и, наконец, суммарную под¬
вижностьНабор кривых и (п) для разных значений К для арсенида галлия
показан на рис. 12.15. Верхняя кривая на каждом из этих рисунков
относится к некомпенсированному полупроводнику.Раздельное определение Nл и Мл с помощью этих кривых произ¬
водят следующим образом. При комнатной температуре измеряют ко¬
эффициент Холла R и удельную электрическую проводимость а.
Определяют я и м. Из кривых рис. 12.15, а находят значение К.Так как при комнатной температуре(12.33)то из совместного решения этого уравнения и уравнения (12.31) по¬
лучают выражения(12.34)по которым и находят Мл и Na в отдельности.287
Рис. 12.15. Теоретическая зависимость подвижности электронов в- арсенидеа — при 300 К:288
галлия от их концентрации при различной степени компенсации:
б — при 77 КЮ зак. J756289
При определении Na и Na таким методом всегда имеется опас¬
ность ошибок за счет допущения (12.30). В ряде случаев может иметь
место еще какой-либо механизм рассеяния, например, на неоднород¬
ностях, на структурных дефектах и т. п., а это не учтено в (12.30).
Чтобы избежать ошибок такого рода, определение К повторяют при
77 К по кривым рис. 12.15, б. Совпадение величин Ks00 и указы¬
вает на отсутствие дополнительных механизмов рассеяния.Из-за сложности зонной структуры кристаллов GaAs р-типа (два
сорта дырок) и неясности механизмов рассеяния в этих кристаллах
определение Ыя и Na этим методом в настоящее время невозможно.Во всех методах, рассмотренных в этом параграфе, используются
те или иные допущения и приближения. Это приводит к значительным
погрешностям в определении Ыл и N&. Значения Nп и Na определяют¬
ся с погрешностью ±50% в большинстве случаев. Для практических
целей такая погрешность считается вполне допустимой.§ 12.6. Методы измерения времени жизни носителей
зарядаМетод модуляции проводимости в точечном контакте заключается
в следующем: на поверхность образца опускается зонд, острие кото¬
рого образует точечный контакт с исследуемым кристаллом. Второй
контакт к образцу является омическим и должен иметь большую пло¬
щадь и малое сопротивление. Оба контакта подключают к генератору
сдвоенных импульсов (рис. 12.16). Через точечный контакт в прямом
направлении в режиме генератора тока пропускают два прямоуголь¬
ных импульса тока, сдвинутых на величину t друг от друга. В момент
действия первого импульса в область точечного контакта инжектиру¬
ются неравновесные носители заряда, увеличивающие проводимость
этой области. По окончании первого импульса концентрация неравно¬
весных носителей убывает по закону ехр (—t/т). По такому же закону
убывает и проводимость образца. Следовательно, в режиме генератора
тока нарастает падение напряжения на сопротивлении R, включенномв цепь точечного зонда. Это на¬
растание показано пунктирной
кривой на картине импульсов
рис. 12.16. Из рисунка видно,
что разность амплитуд обоих им¬
пульсов при изменении времени
задержки t меняется также по
закону exp (— th). Таким обра¬
зом, измерение т сводится к оп¬
ределению такой задержки t,
при которой разность амплитуд
обоих импульсов будет равна
числу е.Этот метод позволяет из¬
мерять время жизни неравновес¬
ных носителей заряда на слит-Ряс. 12.16. Схема измерения времени
жизни носителей заряда по методу моду¬
ляции проводимости в точечном кон¬
такте:1 — генератор сдвоенных импульсов; 2 — регу¬
лятор тока; 3 — ограничитель; 4 — усилитель;
б — осциллограф; 6 — образец; Z — блок фор¬
мирования импульса290
как германия и кремния в
пределах от 3 до 500 мкс.Допустимый интервал
удельных сопротивлений
образцов составляет 0,1—100 Ом* см. Максимальная
погрешность метода—30 %.Преимущества метода
состоят в том, что он позво¬
ляет производить измере¬
ния на образцах любой
формы и его результаты
мало зависят от качества
обработки поверхности об¬
разца и от присутствия
центров прилипания.Недостатками метода являются существенные зависимости показа¬
ний от длительности и амплитуды первого инжектирующего импульса.
Это связано с тем, что при малых длительности и амплитуде носители
заряда не могут распространяться в глубь образца из приконтактной
области.Опытным путем установлено, что длительность инжекционного им¬
пульса должна быть не менее 1,5т. Значения амплитуды первого им¬
пульса подбирают экспериментально.Сущность метода затухания фотопроводимости понятна из его
схемы, приведенной на рис. 12.17. Через образец пропускают ток в
режиме генератора тока. В момент времени t0 образец освещается им¬
пульсом света от какого-либо устройства типа искры или лампы-вспыш¬
ки. После выключения освещения инжектированные светом носители
заряда рекомбинируют на поверхности и в объеме образца. Закон за¬
тухания фотопроводимости имеет вид ряда, состоящего из суммы чле¬
нов, каждый из которых затухает во времени. Однако, спустя некоторый
промежуток времени, равный или больший чем 2т, закон затухания
становится экспоненциальным:Для образцов большой толщины при малой скорости поверхност¬
ной рекомбинации значение тэфф определяется объемным временем
жизни. Для этого толщина образца I должна превышать диффузионную
длину, по крайней мере, в пять раз.При измерениях необходимо выполнить ряд условий.1.	Напряженность электрического поля в образце должна быть ме¬
нее 5 В/см. В противном случае неравновесные носители заряда могут
вытягиваться через торцевые контакты, а также может искажаться их
затухание вследствие дрейфа в поле.2.	Свет не должен попадать в приконтактные области, для чего пу¬
чок света диафрагмируется. Расстояние от освещенного участка образ¬
ца до торцевых контактов должно составлять несколько диффузионных
длин.Рис. 12.17. Схема метода затухания фотопро¬
водимости10*291
3. Для исключения влияния уровней прилипания необходима по*'
стоянная подсветка образца.Методом затухания фотопроводимости г.ожно измерять время жиз¬
ни носителей заряда от нескольких микросекунд до 2 мс. Погрешность
измерений-составляет примерно 20%. Измерения на тонких пластинах
позволяют определять скорость поверхностной рекомбинации.Для измерения малых времен жизни в случае высокоомных образ¬
цов широкое распространение получил фазовый метод. Его принцип
показан на рис. 12.18. Как и в методе затухания фотопроводимости,
образец находится в режиме генератора тока. Через диафрагму на не¬
го падает пучок света. Однако в данном случае используется не им¬
пульсный, а непрерывно меняющийся во времени свет. При этом если
интенсивность света / меняется по закону / = /„ cos со/, то напряже¬
ние на сопротивлении R будет Ur = U0 cos (<at + ф), где ф —
сдвиг по фазе, происходящий из-за инерционности носителей заряда
в образце, связанной с их рекомбинацией.Теория метода показывает, что ф связано с х соотношениемВ схеме, приведенной на рис. 12.18, имеется устройство, называе¬
мое дискриминатором, которое сравнивает фазы измеряемого напря¬
жения Ur и напряжения Uj, снимаемого с резистора в цепи фотоэле¬
мента, на который падает тот же свет, что и на образец. На выходе дис¬
криминатора возникает сигнал, равный tg ф.С помощью фазового метода удается контролировать время жизни
в пределах от 50 до 3000 не в кремнии с удельным сопротивлением
свыше 100 Ом-см.Часто в паспортных данных в качестве контролируемой величины
указывается не время жизни, а диффузионная длина носителей заряда.
Ее можно рассчитать по формуле Id = VDt, пользуясь значениями
коэффициентов диффузии D, которые, в общем случае, можно вычис¬
лить по соотношению Эйнштейна:где ип> р — подвижность соответствующих носителей заряда.Кроме того, существует и пря¬
мой метод контроля диффузионной
длины носителей заряда в герма¬
нии, метод подвижного светового
зонда, принципиальная схема кото¬
рого показана на рис. 12.19. Плос¬
кая поверхность образца (торец
слитка или специально отшлифо¬
ванная измерительная дорожка на
его поверхности) освещается узкой
полоской света. Обычно исполь¬
зуют свет, модулированный о по¬
мощью вращающегося диска с от¬
верстиями. На некотором расстоя-Рис. 12.18. Схема фазового метода
измерения времени жизни носителей
заряда:/ — источник света; 2 — диафрагма; 3 —
образец; 4 — усилитель; 5 — дискримина¬
тор; 6 — фотоэлемент292
Рис. 12.19. Схема метода светового подвижно¬
го зонда:1 — образец; 2 —лампа, / — вогнутое зеркало, 4
оптическая щель; б — диск модулятора; 6 —электро¬
мотор; 7 —линза; 8 — блок формовки контакта; 9 —
батарея смещения; 10 — фильтр; //— ламповыв
вольтметр; 12 — микрометрический винтнии от освещенного места
находится точечный зонд—
коллектор. Инжектирован¬
ные светом носители заря¬
да диффундируют, поэтому
концентрация инжектиро¬
ванных носителей, напри¬
мер дырок, убывает по оси
д: от места их генерации по
определенному закону,
имеющему вид(12.35)где Д/?0 — избыточная кон¬
центрация неравновесных
носителей заряда в плос¬
кости г = 0 (в области ге¬
нерации светом); Н (г//о)—
функция Ханкеля; г —
расстояние от области осве¬
щения до коллектора; Id —
диффузионная длина. При
условии rllo > 1 эта функ¬
ция переходит в почти экспоненциальную зависимость(12.36)Предварительно по этому уравнению строят семейство кривых
Н0 — / (г) с величиной Id в качестве параметра Измеряют фото-
э. д. с., возникающую между коллекторным электродом и неосвещенной
частью образца. Эта величина при малых сигналах (U <^kT!e) про¬
порциональна концентрации неосновных носителей заряда в области
коллектора, т. е. она определяется величиной Н0.Экспериментальную кривую Я„ (г) совмещают с одной из рассчи¬
танных по наилучшему совпадению, откуда и определяют Id-Участок совмещения кривых простирается в интервале от //4 дэ
Wlb, где W и / — ширина и длина световой положи. Вне указанно¬
го интервала выражение (12.35) несправедливо.Метод подвижного светового зонда широко применяют для изме¬
рения диффузионной дчины носителей заряда в слитках германия.
Пределы измеряемой величины 0,1—5,0 мм. Перед измерением слиток
цпифуют порошком карбида бора, травят в кипящем 30%-ном раство¬
ре Н202, промывают деионизированной водой и сушат беззольным
фильтром. Коллекторный зонд обычно изготовляют из вольфрама
при измерении образцов «-типа и из сплава Ag + 2% As при работе
с образцами р-типа.Метод обеспечивает погрешность не более 20%. Наиболее просто
его применение для германия. Для других материалов необходимо
принимать специальные меры, исключающие нелинейность вольт-293
Рис. 12.20 Схема метода стационарной фотопроводимости:} — источник света; 2 — модулятор; 3 — оптическая система; 4 — смен¬
ные фильтры; 5 — объектив с диафрагмой; 6 — отражатель; 7 — об¬
разец; 5 —подсветка; 9 — генератор тока; 10 — усилитель; 11 — вибра**
ционный гальванометр; 12 — ламповый вольтметр; 13 — фотодиодамперной характеристики коллекторного зонда и влияние высоких ско-
ростей поверхностной рекомбинации.В ряде случаев крайне необходимо контролировать малые значе¬
ния времени жизни (т < 2 мкс). Это прежде всего можно осуществить
методом стационарной фотопроводимости. Схема этого метода при¬
ведена на рис. 12.20. Поверхностную генерацию носителей заряда мож¬
но создать с помощью специальных фильтров: водяной фильтр для
германиевых образцов, фильтр из 2%-ного СиС12 для кремниевых
и т. д. Для генерации носителей заряда в объеме образца используют
фильтр из того же материала, что и исследуемый образец. Толщина
фильтра должна быть больше толщины образца.При освещении образца на нем возникает сигнал(12.37)где I — длина освещаемого участка; с? и с — толщина и ширина об¬
разца; ир — подвижность неосновных носителей заряда; b — отноше¬
ние ип!ир\ Ар — избыточная концентрация неосновных носителей за¬
ряда, усредненная по всей толщине образца.Могут быть реализованы два случая.Случай 1. Выполняется условие ad > 1 • При этом(12.38)где А — скорость поверхностной генерации; s — скорость поверхност¬
ной рекомбинации, которая принята одинаковой на освещенной и не¬
освещенной поверхностях образца.Если т таково, что 1/т 2sld, то(12.39)294
Из (12.37) и (12.39) видно, что э. д. с. фотопроводимости обратно
пропорциональна скорости поверхностной рекомбинации. В рассма¬
триваемом методе необходимо измерять величину А посредством изме¬
нения интенсивности освещения. Измерение интенсивности произво¬
дят с помощью фотоэлемента, причем получаемый сигнал калибруют
в значениях скорости поверхности рекомбинации.Этим методом можно контролировать s- до значений 10е см/с. Ог¬
раничением метода является условие а > slD.Случай 2. Выполняется обратное условие ad 1. Из теории
следует в этом случае Др = gx, где g — скорость объемной генерации
пар. Для тонких образцов {dflо < 1) при большой скорости поверх¬
ностной рекомбинации как на освещенной, так и на неосвещенной по¬
верхностях образцат. е. такой образец может быть принят за эталон. Сравнивая величины
фотоответа контролируемого образца, для которого Ар — gx, с фото-
ответом от эталона, находят g, а затем и величину т.Для измерения малых времен жизни используется также метод
фотоэлектромагнитного эффекта (ФЭМ). Установка для измерения
э. д. с. ФЭМ-эффекта отличается от установки для контроля стационар¬
ной фотопроводимости (см. рис. 12.20) наличием электромагнита. Си¬
ловые линии магнитного поля перпендикулярны направлению свето¬
вого потока и длине образца.Генерированные светом носителя заряда, диффундируя к неосве¬
щенной поверхности образца, отклоняются в магнитном поле и созда¬
ют э. д. с. ФЭМ-эффекта. Измерение ФЭМ проводят двумя способами.
В первом — ФЭМ-э. д. с. компенсируется напряжением фотопроводи¬
мости, а во втором — измеряется непосредственно абсолютное значе¬
ние ФЭМ-э. д. с. В первом случае расчетная формула для Id (см)
имеет видгде и„х, «рх — холловские; ип и ир — дрейфовые подвижности
электронов и дырок; Н — напряженность магнитного поля; D — ко¬
эффициент диффузии неосновных носителей; F — площадь попереч¬
ного сечения образца; I — ток компенсации; р — удельное сопротивле¬
ние образца.единице из-за малых отклонений от единицы Холл—фактора А.Расчетная формула (12.41) справедлива при условии s <£ 2D/d.
Это условие поддается контролю, так как величину s (см/с) в методе
ФЭМ определяют экспериментально по формуле(12.40)В первом приближении отношениепринимают равным(12.42)т
При непосредственном измерении напряжения методом ФЭМ-эф»
фекта Uфэм время жизни т (мкс) вычисляют по формуле(12.43)Скорость поверхностной генерации пар определяют по эталонным
образцам.Метод ФЭМ-эффекта позволяет измерять времена жизни в герма¬
нии, кремнии, антимониде индия и арсенидах галлия и индия.При измерении малых времени жизни часто имеет место расхожде¬
ние в величинах т, найденных методами ФЭМ-эффекта и стационарной
фотопроводимости. Это связано с тем, что методом ФЭМ всегда опре¬
деляется время жизни неосновных носителей заряда, а в методе стацио¬
нарной фотопроводимости измеряемые времени имеют вид для кристал¬
лов я-типа(12.44)
для кристаллов р-типа(12.45)Только при Дп = Др получим Тф„ = тнеосв. Если же имеет ме¬
сто эффект прилипания (Ап Ф Ар), то§ 12.7. Оптические, фотоэлектрические
и фотолюминесцентные методы исследованияСущность ряда оптических методов исследования полупроводников
была рассмотрена в гл. 5—7. Были рассмотрены поглощение и отраже¬
ние света, фотопроводимость и люминесценция. Кроме того, в § 12.6
рассматривалось использование явлений фотопроводимости и фото-
магнитного эффекта для определения времени жизни носителей заряда
в полупроводниках. Поэтому здесь остановимся кратко на основных
принципах техники выполнения оптических исследований.В общих чертах постановку оптических исследований, наиболее
часто встречающуюся в практике, можно иллюстрировать схемой
рис. 12.21. Свет от источника 1 проходит через специальное устройст¬
во 2, предназначенное для выделения лучей какой-либо длины волны.
Такое устройство называют монохроматором. После этого свет интен¬
сивности /0 направляется на исследуемый образец 3. Часть света 1ц
отражается от поверхности образца, а часть /г проходит сквозь обра¬
зец. Величины /0 и /г связаны между собой, как было показано в296
гл. 5, посредством коэффициентов
поглощения а и отражения R:(12.46)где d — толщина образца;(12.47)Для регистрации прошедшего и
отраженного света в схеме имеются
приемники излучения 4> преобразую¬
щие тем или иным способом световую
энергию в электрические сигналы, ко¬
торые и фиксируются регистрирую¬
щими системами 5.Образец 4 можно помещать при необходимости в положение 4'
до монохроматора. В этом случае образец освещается белым светом и
прошедшая часть света анализируется монохроматором.В ряде случаев, а именно при необходимости анализировать ре¬
лаксационные явления, следует соблюдать условие At> т, где Д/ —
время, следующее после прекращения освещения образца, а т — время
релаксации, характеризующее кинетику какого-либо физического яв¬
ления, протекающего в кристалле под действием (или после действия)
света. Для этих целей необходимо иметь не постоянную иьт нсивно т>
света /0, а периодически изменяющуюся или имеющую импульсный
характер, т. е. освещение образца должно быть прерывистым. Это
достигается либо применением импульсных источников света, либо
использованием специальных устройств — модуляторов света, по¬
мещаемых в схеме рис. 12.21 в положение 3.Рассмотрим элементы схемы рис. 12.21.Источники света. Наиболее развито использование сле-
дущих источников: лампы накаливания, газоразрядные лампы, си-
литовые стержни и лазеры.В лампах накалывания источником является металлическая вить, чаще
всего из вольфрама. Лампы накаливания дают свет всевозможных длин волн,
или белый свет.В газоразрядных лампах имеются пары какого-либо элемента. Их спектр
представляет собой преимущественную длину волны или узкую область длин
волн. Примером газоразрядной лампы является ртутная лампа.Силитовые стержни, часто называемые глобарами, изготовляют из техничес¬
кого карбида кремния. Эти стержни излучают свет при нагреве их электрическим
током. Они весьма часто применяются при исследованиях полупроводников,
так как в спектре их излучения преобладает участок инфракрасной области.Лазеры выгодно использовать в тех случаях, когда требуется либо большая
интенсивность света, либо его чрезвычайно узкая направленность. Так, явление
фотопроводимости в сильно легированных полупроводниках невозможно на¬
блюдать при освещении лампами или глобарами, ибо интенсивность их света до¬
статочна лишь для генерации 1014—1015 пар носителей заряда и генерированные
носители не удается наблюдать на фоне, например, 101*—Ю1® см“3 основных
равновесных носителей заряда. С помощью же лазера легко удается генериро¬
вать носители в концентрациях, превышающих даже 1019 см~3,Рис. 12.21. Схема постановки опы¬
тов по измерению коэффициентов
поглощения и отражения света:1 — источник света; 2 — монохроматор;
3 — модулятор; 4, 4' — образец; 5 — фо¬
топриемник; 5 — регистрирующая си«
стемз29*
Недостатком существующих лазеров является ограниченный набор их по
длине волны света.Монохроматоры. Простейшими монохроматорами являют¬
ся фильтры из различных материалов, пропускающие свет определен¬
ного участка спектра. В частности, в качестве фильтров используют
полупроводниковые материалы, которые, как известно, пропускают
свет в области длин волн короче, чемчто легко понять из рис. 5.1.В качестве фильтров используют набор так называемых интерфе¬
ренционных фильтров.Фильтры применяются, во-первых, если требуется не очень стро¬
гая монохроматичность света, и, во-вторых, для упрощения конструк¬
ций экспериментальных установок.Во всех других случаях используют специальные монохрома¬
торы. Существуют призматические монохроматоры и монохромато¬
ры с дифракционной решеткой.Принципиальная схема призматического монохроматора показана на
рис* 12.22.Свет от источника 1 падает на плоское зеркало 3, затем на сферическое зер¬
кало 2 и от него на образец 5. Для предохранения образца от попадания прямых
лучей источника 1 имеется непрозрачная алюминиевая пластина 4. Собственно
монохроматор начинается с входной диафрагмы 6. Через нее свет проходит на
параболическое зеркало 10 и, отражаясь от него, попадает на призму //. Прони¬
кая через нее, сплошной свет делится на составляющие лучи разных длин волн,
которые, отражаясь от плоского зеркала 12, вновь проходят через призму 11 на
зеркало 10. На зеркало 13 при этом попадает свет, длина волны которого зависит
от взаимного геометрического расположения зеркал 10, 12, 13 и призмы //.
Монохроматический свет от зеркала 13 через выходную диафрагму 9 и еще одно
зеркало направляется к приемнику света 8.Поворотом зеркяла 12 на выходную диафрагму 9 можно приводить пооче¬
редно лучи р зличной длины волны.Рис. 12.22. Принципиальная схема устройства призматического моно¬
хроматора:/—источник света; 2 — сферическое зеркало; 3, 7, 12, 13 — плоские зеркала;
4 — экран; б —исследуемый образец; € — входная щель; 8 — фотоприем ник;
9 — выходная щель; 10 — параболическое зеркало; 11 — призма(12.48)т
Чтобы перекрыть диапазон длин волн от 1 до 40 мкм, используют
призмы:ОбластьМатериал	гпектра, мкмСтекло , 				<2Кварц 		2—3,5LiF	.......	3,5-8,0NaCl	8,0—15КС1	15-21КВг	21-29Кристаллы КРС (соли таллия) 		29—40Приемники света. Приемники света подразделяют на
неселективные, способные воспринимать лучи любых длин волн,
и селективные, работающие в узком участке спектра.К неселективным относятся термостолбик, болометр и оптико-акустический
преобразователь (ОАП).Термостолбик представляет собой термопару из двух проволочек, торць!
которой приварены к тонкой металлической фольге, воспринимающей свет, на¬
гревающейся и передающей теплоту проволочкам термопары, на холодных кон¬
цах которых возникает термо-э. д.с. Порог чувствительности термостолбика со-
составляет 10”11—10“10 Вт.Действие болометра основано на изменении удельного сопротивления ве¬
щества при нагревании. Болометры бывают металлические, полупроводннко&ые
и сверхпроводниковые. Последние применяются значительно реже, так как тре¬
буют охлаждения до водородных или гелиевых температур. Чувствительность
металлических и полупроводниковых болометров составляет 10-*°—10-9 Вт.Оптико-акустические преобразователи действуют по принципу теплового
расширения газа. Измеряемая радиация проходит через окно в замкнутую ка¬
меру, заполненную газом. В камере помещена тонкая мембрана (пленка), покры¬
тая тонким слоем вещества, поглощающего большую часть светового потока.
Таким веществом служит обычно алюминий. В результате нагревания пленки
происходит нагревание газа и его расширение. Если на ОАП направлен модули¬
рованный поток света, то давление газа в нем — пульсирующее. Пульсации же
давления могут быть превращены в электрические колебания с помощью микро¬
фона той или иной системы.К селективным фогоприемникам относятся фотоэлементы, фотосопротивле-
ния и фотоумножители.Вакуумные фотоэлементы и фотоумножители работают в видимой области
сйектра.Фотосопротивления из полупроводниковых материалов PbS, PbTe, PbSe,
InSb, Ge + Au применяют для регистрации инфракрасного излучения. Их пре¬
имуществами являются малая инерционность (приблизительно 10~7 с) и высо¬
кая чувствительность (10~14—10~12 Вт).Источники световых импульсов. Чаще всего
используют механические прерыватели света. На рис. 12.23 приведе¬
ны три типа таких прерывателей. На рис. 12.23, а показан прерыва¬
тель в виде вращающегося диска. Свет поступает из диафрагмы ши¬
риной б и проходит перпендикулярно плоскости листа в вырез диска.
При вращении диска диафрагма периодически перекрывается, в ре¬
зультате чего получаются трапецеидальные импульсы света, длитель¬
ность которых(12.49)где а — угол выреза сектора в диске; N — число оборотов диска.299
Рис. 12.23. Различные типы модулятора света:а — крыльчатка; б — диск с отверстиями; в — вращающееся зеркало; г
форма световых импульсов, получаемых с помощью модулятораВремя нарастания импульсов(12.50)а период повторения импульсов(12.51)где v — число прорезей в диске.С помощью такого модулятора удается получать импульсы с вре¬
менем нарастания t2 порядка 10-в с. Это значит, что с его помощью
можно изучать времена релаксации т не менее 5* 10—в—1 * 10—6 с.Аналогично действует и модулятор, изображенный на рис. 12.23,6.
Более короткие времена нарастания импульсов света можно получить
с помощью вращающегося зеркала (призмы). Действие такого модуля¬
тора поясняется рис. 12.23, в.Импульсы, получаемые в этом случае, определяются следующими
параметрами:где г| — коэффициент увеличения системы объектива и зеркала
при проектировании источника света из диафрагмы б! на диафрагмуС помощью вращающегося зеркала можно снизить время t2 до
10-7 с.Кроме механических модуляторов известны и другие, например газораз-
рядные импульсные лампы, или такие, в которых используются эффект Керра,
искровой разряд в воздухе между платиновыми электродами и i. д.1. Какие параметры полупроводника называют фундаментальными? При¬
ведите примеры таких параметров. 2. Какие параметры полупроводниковых ма¬
териалов относятся к характеристическим? 3. Что указывается в методических
инструкциях, которыми руководствуются ОТК заводов при контроле качества
выпускаемых промышленностью полупроводниковых материалов? 4. В чем со¬
стоит принцип четырехзондового метода измерения удельного сопротивления?6.	Каким образом учитывается краевой эффект при измерении удельного сопро¬
тивления четырехзондовым методом? 6. Из каких материалов изготовляют зон¬
ды при использовании зондовых методов измерения удельного сопротивления?7.	Чем обусловлена наибольшая шнрешность четырехзондового метода? 8. В(12 52)Контрольные вопросы300
чем сущность метода Ван-дер-Пауве? Каковы его преимущества и недостатки по
сравнению с обычным четырехзондовым методом? 9. В чем сущность двухзон-
дового метода измерения удельного сопротивления? 10. Чем обусловлена наи¬
большая погрешность двухзондового метода? 11. Для каких целей используют
метод движущегося зонда? 12. В чем сущность бесконтактных методов измерения
удельного сопротивления? 13. Чем обусловлена наибольшая погрешность бес¬
контактных методов измерения удельного сопротивления? 14. Каким образом
исключаются паразитные э. д. с. при измерении коэффициентов Холла? 14. Ка¬
кие требования предъявляются к образцам для обеспечения правильных измере¬
ний коэффициента Холла? 16. Каковы принципы раздельного определения кон¬
центраций доноров и акцепторов в полупроводниках типа AIV и AinBv? 17. В
чем состоит принцип метода модуляции проводимости при определении времени
жизни носителей заряда? 18. В чем сущность метода затухания фотопроводи¬
мости? 19. В каких случаях необходимо использовать для измерения времени
жизни фазовый метод и каков его принцип? 20. Как определить непосредствен¬
но диффузионную длину носителей заряда в германии? 21. Объясните принцип
метода стационарной фотопроводимости и ФЭМ-эффекта. 22. Какие вам извест¬
ны источники и приемники света, применяемые при исследовании оптических
свойств полупроводниковых материалов? 23. Какие эксперименты следует по¬
ставить, чтобы определить: а) механизм рассеяния носителей заряда; б) эффек¬
тивную массу электронов; в) ширину запрещенной зоны; г) степень чистоты по¬
лупроводникового материала?Литература: [35], [51] — [57].Глава 13МЕТОДЫ ИЗМЕРЕНИЯ ОСНОВНЫХ ПАРАМЕТРОВЭПИТАКСИАЛЬНЫХ структур§ 13.1. Определение толщин эпитаксиальных слоевДля измерения толщин эпитаксиальных слоев пользуются меха¬
ническими или оптическими методами. При механических методах
производят шлифовку эпитаксиальной структуры абразивным мате¬
риалом с помощью специального шлифовальника. Обычно изготовляют
косые или сферические шлифы (рис. 13.1). Шлифование приводит к
расширению наблюдаемых частей эпитаксиального слоя. При просмо¬
тре в микроскоп или при использовании термозонда (в случае р-п-
структуры) измеряют значение / на косом шлифе и хорду L — на
сферическом.По этим величинам и определяют толщину эпитаксиального слоя(13.1)где D — диаметр шлифовального шара.Для лучшего визуального наблюдения величин / и L применяют
окрашивание эпитаксиальной пленки на шлифе каким-либо химиче¬
ским веществом. Для кремния, например, используют плавиковую кис¬
лоту HF с добавкой малого количества HN03.При оптических методах используют явление интерференции све¬
товых лучей, отраженных от поверхности эпитаксиальной пленки и от
подложки.301
Рис. 13.1. Виды шлифов —
косой (вверху) и сфериче¬
ский (внизу):/ — стальной шар — шлифоваль*
ник; 2 — эпитаксиальный слой;
3 — подложка; 4 — вид окрашен¬
ного шлифа в планеРис. 13.2 Ход лучей света
при интерференционном ме¬
тоде измерения толщины
эпитаксиального слоя:1 — эпитаксиальный слой; 2 —
подложкаДля возникновения этого явления необходимы два условия: про¬
зрачность эпитаксиального слоя в выбранном интервале длин волн све¬
та и отличие оптических постоянных подложки и слоя.Из рис. 5.12 видно, что за минимумом плазменного резонанса ко¬
эффициент отражения резко увеличивается. Именно свет этих длин
волн целесообразно использовать для интерференционного метода оп¬
ределения толщины эпитаксиального слоя.Ход лучей показан на рис. 13.2. Для простоты рассмотрим лишь
однократное отражение света. Между лучами /х и /2 происходит ин¬
терференция и наблюдаются максимумы и минимумы интенсивности
отраженного света при тех длинах волн, при которых разность фаз
между /j и /2 равна целому числу полуволн.В точке А луч 1Х изменяет свою фазу на <р1( а в точке В отраженный
луч также изменяет свою фазу, но уже на ц>2 из-за различия оптиче¬
ских констант слоя и подложки. В точке С луч /а будет находиться в
одной фазе с лучом, отраженным от точки В.Сдвиг фазы (Pi может быть принят равным я, поскольку эпитакси¬
альный слой представляет собой непоглощающую свет среду.Разность фаз Д = <рх — ср2 лучей /г и /2, как это следует из
рис. 13.2, будет(13.2)Из того же рис. 13.2 видно, что АВ + ВС — 2rf/cos 0' и AD =
= 2d tg 0' sin 0. Подставляя эти выражения, а также закон отраже¬
ния sin 0 = пх sin 0' в (13.2), получим(13.3)302
Интерференционная картина, как известно, состоит из большого
числа максимумов и минимумов. Их число определяется порядком Р
наблюдаемых экстремумов, который, по определению, связан с А со¬
отношением А = 2пР. Или, используя (13.3), можно записать поря¬
док экстремума Pi на длине волны Яг:(13.4)Для исключения неизвестного d запишем (13.4) для двух соседних
экстремумов и воспользуемся соотношением(13.5)
Тогда(13.6)где т — разность порядков, равная целому числу (1, 2, ...), если оба
экстремума — максимумы, и дробное 1/2, 3/2, ..., если рассматривают¬
ся максимум и минимум.Таким образом, определив сначала по положению двух экстрему¬
мов порядок одного из них, находим из (13.4) искомую толщину d.
Необходимые для этого величины фазовых сдвигов cp2i табулированы
и опубликованы в специальной литературе. Избранные примеры их
значений приведены в табл. 13.1.Спектральный диапазон и степень легирования подложки должны
быть такими, чтобы интерференционная картина содержала как мож¬
но большее число экстремумов (максимальный порядок) с большой ам¬
плитудой.Так, для кремниевых слоев и подложек удельное сопротивление
последних не должно превышать 0,02 Ом-см, а кванты света должны
лежать в диапазоне длин волн 2—50 мкм.Обычно интерференционным методом возможно определить толщи*
ны слоев Л > 2 мкм.Абсолютную погрешность метода определить практически невоз¬
можно из-за отсутствия надежных эталонов и более надежных неза¬
висимых методов измерения толщины эпитаксиальных слоев.Еще одним перспективным оптическим методом определения тол¬
щины эпитаксиальных слоев является эллипсометрический. В его ос-Таблица 13.1. Фазовые сдвиги для кремнияК, мкмР.Ом*смкремний /г-типакремний р-типа0,0060,010,0050,0120,0270,0220,0340,03040,0450,0360,0530,049100,0900,0690.1Ю0,089200,1880,1170,2200,151303
нове лежит изменение поля¬
ризации света, отраженного
от поверхности образца Прин¬
ципиальная схема эллипсо-
метра и хода лучей показана
на рис. 13.3.В качестве первичного лу¬
ча, падающего на поверхность
эпитаксиального слоя, ис¬
пользуется линейно поляри¬
зованный свет, электрическое
поле которого можно пред¬
ставить в виде двух компо¬
нент: параллельной плоскости
падения(13.7)называемой p-компонентой, и перпендикулярной плоскости падения(13.8)называемой s-компонентой.Состояние поляризации падающего луча можно характеризовать
двумя величинами:(13.9)После отражения свет становится эллиптически поляризованным с
характеристиками(13.10)Обе характеристики поляризации зависят от оптических свойств
подложки, т. е. от коэффициента экстинции К2 и показателя прелом¬
ления п2, а также от угла падения 0, толщины слоя d и от его оптиче¬
ских характеристик Кг и nv Теория эллипсометрии дает уравнения, свя¬
зывающие измеряемые на опыте tg г|) =* tg \px/tg ф0 и Д = — Д0
с величиной б, в которую входит искомая толщина d:(13.11)В то же время я]; и А являются периодическими функциями толщины
с периодом(13.12)Таким образом, практическая задача эллипсометрии сводится к
экспериментальному определению гр и А, нахождению периода изме¬
нения этих значений, и сопоставления с заранее рассчитанными кри¬
выми ф (б) и Д (б) для данного d0. Это сопоставление позволяет опреде¬
лить б, а следовательно, по (13.11) и (13.12) и толщину эпитаксиаль¬
ного слоя d.Для измерения толщин полупроводниковых слоев применяется
инфракрасный свет, а для оксидных слоев — видимый.Рис 13.3. Принципиальная схема эллипсо-
метра:I — эпитаксиальный слой; 2 — источник света; 3 —
монохроматический фильтр, 4 — коллиматор; £ —
поляризатор; 6 — четвертьволновая пластинка; 7 —
анализатор; в — фотоприемник; 9 — подложка304
Диапазон измеряемых толщин определяется периодом d0, т. е. за¬
висит от длины волны падающего света. При использовании стандарт¬
ного рубинового лазера с X = 10,6 мкм величина d0, например, для Si
составляет 1,6 мкм. Применение глобара с монохроматором позволяет
получить свет с X > 50 мкм и расширить диапазон измеряемых тол¬
щин до 8—10 мкм.Погрешность измерений эллипсометрическим методом, обычно реа¬
лизуемая на опыте, равна ± (0,01—0,03) мкм с доверительной вероят¬
ностью 95%.§ 13.2. Методы измерения удельной проводимостиЕсли эпитаксиальный слой и подложка имеют различный тип элек¬
тропроводности, т. е. на гетерогранице между ними существует р-п-
переход, то измерение удельного сопротивления возможно обыч¬
ными зондовыми методами, рассмотренными в гл. 12.При использовании четырехзондового метода обязателен учет по¬
правок на краевой эффект, который обусловлен в этом случае малой
толщиной эпитаксиального слоя.Наиболее часто применяется метод Ван-дер-Пауве при контроли¬
руемой глубине контактов Необходимо следить за тем, чтобы все кон¬
такты были к эпитаксиальному слою и не касались подложки.Сложнее обстоит дело при определении проводимости или сопро¬
тивления слоев, выращенных на подложках того же типа электропро¬
водности, и в особенности — на сильно легированных подложках, т. е.
структур типа пп+ и рр+. В этих случаях используют трехзондовый
метод, основанный на измерении напряжения пробоя контакта зонд—
полупроводник.При этом методе (рис. 13.4) на экране осциллографа наблюдается
вольт-амперная характеристика между зондом 2 и омическими кон¬
тактами 1 и 3. При увеличении напряжения наступает пробой, что вы¬
ражается в виде резкого увеличения тока на отрицательной ветви вольт-
амперной характеристики, показанной на рис. 9.6. Связь напряжения
пробоя Unp с удельным сопротивлением
имеет вид Uav — сра, где с и а — пара¬
метры, которые находят из опыта для ис¬
следуемых материалов не в виде эпитак¬
сиальных слоев, а в виде объемных слит¬
ков или пластинок. Найденная таким
образом приведенная зависимость яв¬
ляется калибровочной для определения
р эпитаксиальных слоев.В отличие от четырехзондового, при
трехзондовом методе нет необходимости
знать толщину эпитаксиального слоя,
но она должна быть больше ширины
объемного заряда при пробое, иначе в
явлении пробоя будет участвовать и под¬
ложка.Рис. 13.4 Схема трехзондо»
вого метода измерения
удельного сопротивления
эпитаксиального слоя:1—3 _ зонды; 4 — источник по¬
стоянного напряжения; 5 — ос-305
Погрешность измерений этим методом составляет не более ± 10%
для удельных сопротивлений от 0,1 до 4,0 Ом-см.Трехэондовый метод измерения можно использовать и по-иному —
в режиме метода растекания. В этом случае через зонды 1 н 2 пропус¬
кают ток /, а напряжение U измеряют между зондами 2 и 3. Падение
напряжения на зонде 1 в такой схеме измерений исключается.Удельное сопротивление определяют по (12.1), но с учетом попра¬
вочного множителя F, учитывающего влияние подложки на характер
растекания тока центрального зонда. Величины F рассчитаны теоре¬
тически для структур типа р-п, п-п+ и р-р+ и приведены в специальной
литературе. Недостатком метода растекания является необходимость
калибровки по эталонным образцам, поскольку действующая величи¬
на г (12.1) не совпадает с площадью зонда. При измерениях на эпи¬
таксиальных слоях калибровка особенно трудна из-за неэквивалент¬
ности состояния поверхности измеряемого слоя и эталона. Эти труд¬
ности сдерживают широкое применение метода.§ 13.3. Определение концентрации носителей зарядаДля определения концентрации носителей заряда в эпитаксиаль¬
ных слоях к ним изготовляют выпрямляющий контакт и измеряют
вольт-емкостную характеристику С (U). Выпрямляющий контакт ме¬
талл—полупроводник, рассмотренный в гл. 9, именуемый барьером
Шоттки, можно рассматривать как конденсатор. По обе стороны барь¬
ера находятся положительные и отрицательные заряды, так же как
на обкладках обычного конденсатора. Ширина барьера L, как было
показано в гл. 9 [см., например, (9.19)], связана с концентрацией
носителей заряда в полупроводнике.Выражение для емкости конденсатора, как известно, имеет видЭту емкость можно выразить через ток / (/), обусловливающий из¬
менение заряда Q на ней:Из этого выражения видно, что по вольт-емкостной характеристике
С (U) можно найти п (х).Производную в (13.15) находят графическим дифференцированием
кривой С (U).Метод применим для слабо легированных слоев (л •< 10м см-8).(13.13)(13.14)Из обоих уравнений нетрудно получить(13.15)306
Применение прецизионных емкостных мостов позволяет измерять
емкость с весьма малой погрешностью (менее 1 %). Поэтому основная
погрешность метода определяется точностью дифференцирования и
измерением площади барьера Шоттки. Погрешность дифференцирова¬
ния можно снизить за счет уменьшения конечных приращений AU
и А (1/С2), которыми на практике заменяют дифференциалы, а также
за счет применения ЭВМ. Ошибки в определении площади барьера
Шоттки диаметром более 0,5 мм могут быть снижены до 0,5—1,0%,
при тщательной технике маскирования поверхности во время его из¬
готовления напылением. При меньших площадях барьера Шоттки уже
трудно получить четкий его контур.В производственных условиях на кремниевых эпитаксиальных
слоях вместо напыленного или вплавленного барьера Шоттки с успехом
применяется контакт со ртутью. Для этого ртуть помещают в капил¬
ляр и ее мениск приводят в контакт с поверхностью образца. Метод
прост, но погрешность в этом варианте возрастает до 5,0% из-за не¬
равенства истинной площади барьера и площади капилляра, а также
из-за влияния давления ртути в капилляре, нестабильности условий
смачивания поверхности кристалла ртутью и т. п.Отметим, что вольт-емкостные измерения нашли широкое приме¬
нение в исследовательской практике при дополнительных воздейст¬
виях на кристалл, вызывающих изменение концентрации носителей
заряда. Типичным примером являются измерения фотоемкости, т. е.
изменение емкости барьера Шоттки при освещении образца светом.
Изменяя длину волны падающего на него света и вызывая тем самым
ионизацию глубоких уровней, можно менять концентрацию свобод¬
ных носителей заряда, что и отражается в изменении емкости. Таким
образом удается зондировать присутствие глубоких уровней по всей
ширине запрещенной зоны. Этот метод получил название емкостной
спектроскопии.Из других методов, позволяющих определить концентрацию носи¬
телей заряда в эпитаксиальных пленках, укажем на обычное отражение
света и эффект Фарадея, рассмотренные в гл. 5.На спектральной кривой отражения (см. рис. 5.12) наблюдается
минимум, длина волны которого связана с концентрацией носителей
заряда выражением (5.71), откуда она и определяется.Метод является неразрушающим, пригодным, наоборот, для силь¬
но легированных слоев (п > 5- Ю18 см-3) и объемных монокристаллов.Реализуемая практически погрешность определения концентрации
носителей заряда этим методом не превышает 10%.При использовании эффекта Фарадея измеряемое на опыте значе¬
ние поворота плоскости поляризации Ф связано с п выражениями
(5.74) для изотропного и (5.77) для анизотропного кристаллов. Интер¬
вал длин волн, используемый в этом методе, выбирают так, чтобы свет
поглощался свободными носителями заряда.Метод пригоден, так же как и метод отражения, в области п > 5 X
X 10м см-8.Погрешность измерений концентрации носителей заряда состав¬
ляет 5—10% в зависимости от степени легирования образца.307
§ 13.4. Методы контроля неоднородности
эпитаксиальных структурВ производстве сложных по составу эпитаксиальных структур,
представляющих собой обычно твердые растворы на основе АШВ*
{GaASi-jcP*, InAsj—^Pх, GaPj-^Sb*. Ga.vInj-^As^Pi-y и др.), необ¬
ходимо контролировать х и у по толщине структуры. Поскольку тол¬
щины структур находятся в пределах 5—100 мкм, то к методу конт¬
роля состава предъявляют требование высокой локальности. Ее до¬
стигают с помощью пучков электронов или ионов, которые относи¬
тельно легко сфокусировать в тонкий луч (зонд). Принципиальная
схема электронно-зондового метода показана на рис. 13.5. При бомбар¬
дировке образца пучком электронов с энергиями в несколько килоэлек¬
трон-вольт эта энергия передается различным электронам атомов ве¬
щества. В результате из вещества происходит своего рода люминесцен¬
ция различного излучения (рис. 13.5). Каждое из них несет информа¬
цию о природе тех атомов, которым была передана энергия первичных
электронов при ударе.Прямая информация о химической природе атомов получается при
регистрации рентгеновского излучения. Это — метод, локального рент¬
геноспектрального анализа (ЛРСА). Аппаратура, в которой реализует¬
ся этот метод, позволяет регистрировать характеристическое рентгенов¬
ское излучение почти всех атомов элементов периодической системы,
за исключением наиболее легких (до Mg) и наиболее тяжелых (после
Bi). Длинноволновое рентгеновское излучение, соответствующее К-
сериям легких атомов и L- и Af-сериям тяжелых, сильно поглощается
самим анализируемым веществом, что и снижает чувствительность и
точность определения их концентрации.Главным преимуществом ЛРСА является высокая локальность ме¬
тода, определяемая малым диаметром электронного зонда (0,5—1 мкм).
Область возбуждения, из которой люминесцирует рентгеновское излу¬
чение, оказывается больше, но все же не превышает 2—5 мкм по по¬
верхности образца. Локальность по глубине зависит от энергии первич¬
ных электронов и может меняться от десятых долей до единиц микро¬
метров.Абсолютная чувствительность метода за счет высокой локальности
оказывается также высокой: 10-14—10~18 г. Однако относительная
чувствительность ЛРСА, как правило, не превышает 0,01—0,1 вес. %
или 1018—1019 атом/см3. Поэтому метод используется для определе¬
ния содержания компонентов твердых растворов эпитаксиальных
структур и не может применяться для определения концентрации при¬
месей в них.ЛРСА обычно используется на заранее изготовленных косых шли¬
фах эпитаксиальных структур или на сколах, перпендикулярных их
плоскости. В этих случаях сканированием электронного зонда по шли¬
фу или по сколу удается исследовать распределение концентрации ком¬
понентов твердого раствора по толщине. Оптическое излучение (катодо-
люминесценция) при электронном возбуждении в схеме рис. 13.5 ис¬
пользуется в микрокатодолюминесцентном анализе (МКЛА). Этот308
Рис. 13.5. Принципиальная схе¬
ма электронно-зондового мето¬
да:/ — первичные электроны; 2 — от¬
раженные электроны; 3 — вторич¬
ные электроны; 4 — поглощенные
электроны; 5 — рентгеновское из¬
лучение; 6 — катодолюминисценцияРис. 13.6. Принципиальная схема ионного
микроанализатора:1 — образец; 2 — ионный пучок; 3 — ионный
источник; 4 — вторичные ионы, 5 — масс-спектро-
метр; 6 — самописец; 7 — фотоумножитель, S —
катод; 9 — микроскоп; 10 — кристалл сцинцилляторметод обладает значительно большей чувствительностью, чем ЛРСА.
Поэтому он позволяет регистрировать концентрацию примесей. Вы¬
сокая локальность, почти такая же, как в ЛРСА, обеспечивает возмож¬
ность контроля распределения профиля примесей по толщине эпитак¬
сиального слоя. Опыт показывает, что МКЛА эффективно может быть
использован в области концентраций примесей 1016—1018 см~3.Методом МКЛА можно с высокой точностью (погрешностью менее
1%) определять и содержание компонентов раствора.Для этого используют известную зависимость ширины запрещен¬
ной зоны полупроводникового твердого раствора от его состава.Еще более высокой локальностью обладает ионный микроанализ
(ИМА), при котором используются одновременно-масс-спектрометр
и ионный эмиссионный микроскоп. Схема ионного микроанализатора
показана на рис. 13.6. В специальном ионном источнике с помощью га¬
зового разряда формируется пучок ионов инертного газа. Этот пучок
направляется на исследуемый образец и выбивает вторичные ионы
кристаллической матрицы и тех примесей, которые в ней находятся.
Вторичные ионы далее разделяются масс-спектральным устройством,
направляются на катод и выбивают электроны, которые попадают на
кристалл-сцинциллятор. Вспышки света сцинциллятора регистрируют¬
ся либо электрическим методом, либо путем наблюдения в микро¬
скоп.Таким образом, в отличие от ЛРСА и МКЛА, этот метод является
разрушающим: первичные ионы «снимают» слой вещества с исследуе¬
мого образца. Скорость такого съема составляет примерно 50 А/с. По¬
этому ИМА позволяет получать распределение примесей в очень малом309
объеме вещества. Чувствительность ИМА составляет 10~u г при объе¬
ме анализируемого под лучом образца 10~9 г, что составляет 10~4 ат. %
или примерно 5* 1016 см~3.Контрольные вопросы1. Какие методы используются для измерения толщин эпитаксиальных сло¬
ев? 2. В чем сущность интерференционного метода измерения толщин тонки к
слоев? 3. Каков принцип эллипсометрии? 4. Возможно ли измерение удель¬
ного сопротивления эпитаксиальных слоев зондовым методом? 5. Каким обра¬
зом осуществляется измерение удельного сопротивления методом растекания?
6. Какую информацию о свойствах полупроводника получают с помощью ем¬
костных методов исследования? 7. Как осуществляется емкостная спектроско¬
пия примесных уровней? 8. В чем состоит принцип электронно-зондовых мето¬
дов исследования неоднородностей? 9. Как осуществляется ионный микроана¬
лиз? 10. Каковы чувствительность и погрешности измерений методами ЛРСА,
МКЛА, ИМА?Литература: [58J — [60J.
ЧАСТЬ ТРЕТЬЯОСНОВНЫЕ ОБЛАСТИ ПРИМЕНЕНИЯ
ПОЛУПРОВОДНИКОВЫХ МАТЕРИАЛОВГлава 14РАДИОТЕХНИЧЕСКИЕ И ЭЛЕКТРОТЕХНИЧЕСКИЕ
ПРИБОРЫ§ 14.1. Силовые диоды (выпрямители]Силовые диоды—приборы, предназначенные для преобразования
переменного электрического напряжения в постоянное. Их действие
основано на выпрямляющих свойствах р-п-перехода (см. рис. 9.7
и 9.8).Большие значения выпрямленного тока и мощности, высокий ко¬
эффициент полезного действия, достигающий 98%, длительный срок
службы, составляющий примерно 10 тыс. ч, обусловили их более ши¬
рокое применение по сравнению с газотронами, кенотронами и игни¬
тронами. Силовые диоды используют для питания всех видов радио¬
устройств, электролизных ванн и электропечей в металлургии и т. д.Изготовление силовых диодов с несколькими р-п-переходами по¬
зволило создать управляемые полупроводниковые диоды, структура
которых и их вольт-амперные характеристики приведены на рис. 14.1.
При той полярности напряжения U, которая показана на этом рисун¬
ке, видно, что р-п-переходы 1 и 3 включены в пропускном направле¬
нии, а переход 2 — в запирающем. Через все три перехода проходит
один и тот же ток /. До тех пор, пока переход 2 находится в запираю¬
щем положении, через него будет проходить только обратный ток ма¬
лого значения. Лишь после того как обратное напряжение на этом пере¬
ходе станет равным напряжению пробоя, этот переход будет способен
пропустить весь ток /. Поэтому при увеличении напряжения U ток,Рис. 14.1. Структура и вольт-амперные характеристики управляе¬
мого вентиляЗИ
проходящий через прибор, медленно растет до тех пор, пока напряже¬
ние не достигнет определенного значения f/nep, при котором ток через
прибор резко возрастает, а падение напряжения на диоде становится
значительно меньше, чем Uaep. Изменяя величину так называемого
тока базы /б, можно управлять значением UBep.Управляемые полупроводниковые диоды представляют собой ана¬
лог ртутных выпрямителей, поэтому они нашли широкое применение
для питания электровозов на транспорте.Лучшим материалом для изготовления силовых диодов является
кремний. Применение германия для этих целей нецелесообразно из-за
низких рабочих напряжений и температуры.Кроме кремния применяют селен, хотя по техническим характери¬
стикам селеновые выпрямители значительно уступают кремниевым.Перспективными материалами для силовых диодов являются арсе-
нид галлия, фосфид галлия и карбид кремния, выдерживающие более
высокие рабочие температуры.§ 14.2. СтабилитроныСтабилитроны или, как их еще называют, опорные диоды, предназ¬
начены для стабилизации напряжения питания различных радиотех¬
нических и электронных устройств, схем автоматики и управления
счетно-решающими машинами и т. п.Идеализированная вольт-амперная характеристика стабилитрона
изображена на рис. 14.2. Там же приведена нагрузочная кривая R„.
До напряжения пробоя £/пр характеристика стабилитрона аналогич¬
на характеристике обычного диода. В области пробоя ток может
меняться на несколько порядков при одном и том же напряжении на
диоде. Такое напряжение и будет напряжением стабилизации. Это
было бы так, если бы вольт-амперная характеристика в области про¬
боя была параллельна оси токов. В действительности же она имеет
определенный наклон. Поэтому напряжение стабилизации £/ст неравно Unр и зависит от выбора ра¬
бочей точки (на рис. 14.2 точка Л).
Наклон характеристики в области
пробоя называют динамическим со¬
противлением:(14.1)Рис. 14.2. Идеализированная вольт-
амперная характеристика стабили¬
тронаЭта величина является важным
параметром, определяющим степень
стабилизации напряжения с по¬
мощью данного диода. В идеальном
случае при Rn = О изменение тока
не вызовет никаких изменений на¬
пряжения на диоде.Другим важным параметром,
определяющим работу стабилитро-312
на, является температурный коэффициент напряжения стабилизации-ткн.В гл. 8 было показано влияние температуры на эффект Френкеля
и на ударную ионизацию. Поскольку они определяют напряжение про¬
боя, то с изменением температуры меняется и значение напряжения
стабилизации. В относительно чистых слабо легированных полупровод¬
никах время свободного пробега носителя заряда падает с увеличением
температуры. Поэтому для того чтобы носитель за меньшее время про¬
лета набрал энергию, достаточную для ударной ионизации, поле в
р-п-переходе должно быть большим. Тогда ТКН будет положительным.
В сильно легированных полупроводниках рассеяние носителей заряда
обусловлено взаимодействием с примесными ионами и время свобод¬
ного пробега увеличивается с ростом температуры. Соответственно
ТКН будет отрицательным.Значение ТКН выражают в процентах на градус и по определению(14.2)Основным материалом для производства стабилитронов служит
кремний. В зависимости от удельного сопротивления используемого
материала удается изготовлять приборы с различными значениями
Uaр, а следовательно, и с различными значениями (УСт. В кремниевых
стабилитронах значение Uaf> связано с удельным сопротивлением за¬
висимостью(14.3)§ 14.3. Импульсные диодыИмпульсные диоды предназначены для изменения (переключения)
полярности чрезвычайно коротких (10~* с) электрических импульсов.
Когда на диод подано прямое смещение (положительное напряжение),
инжектированные в базу (толщу полупроводника за переходом) неоснов¬
ные носители заряда снижают ее сопротивление и через диод проходит
большой ток (см. рис. 9.6). При перемене полярности неосновные но¬
сители заряда, скопившиеся в базе под действием электрического то¬
ка, начнут двигаться обратно. До тех пор, пока они все не уйдут из
базы, значение обратного тока будет
несколько выше, чем обычный обрат¬
ный ток в стационарном случае, т. е.
изменение тока через диод в зависи¬
мости от времени будет иметь вид,
показанный на рис. 14.3. Время на¬
зывают временем восстановления дио¬
да. Задачей конструирования им¬
пульсных диодов является снижение
параметра tx до минимально возмож¬
ных значений. Время tr зависит, в пер¬
вую очередь, от времени жизни неос¬
новных носителей заряда в базе. По-*13Рис. 14.3 Зависимость тока от
времени для импульсного диода
этому для импульсных диодов применяют материалы с малым т, что
достигается легированием их примесями, образующими центры реком¬
бинации. Такими материалами являются германий и кремний с при¬
месью золота. Перспективными материалами могут явиться кристаллы
A,nBv и, в первую очередь, арсенид галлия, имеющие времена жиз¬
ни неосновных носителей яаряда порядка Ю-9—10-1° с.§ 14.4. СВЧ-детекторыДетекторы сверхвысоких частот — это приборы, предназначенные
для выпрямления напряжения сверхвысоких частот (СВЧ). Вольт-
амперные характеристики СВЧ-детекторов на постоянном токе прак¬
тически ничем не отличаются от обычных выпрямляющих диодов.
Свойства детекторов определяются не столько видом вольт-амперной
характеристики, сколько рядом специфических высокочастотных пара¬
метров прибора: емкостью С и сопротивлением R р-п-перехода, сопро¬
тивлением базы rs, индуктивностью и емкостью корпуса прибора.Из-за необходимости обеспечить малые значения С и г$ СВЧ-де-
текторы изготовляют из сильно легированных материалов. Для этих
целей используют кремний с концентрацией носителей заряда 1017—
!018 см~®.§ 14.5. Диоды с переменной емкостью (варикапы)Электронно-дырочный переход можно рассматривать как слой ди¬
электрика между п- и ^-областями кристалла. По обе стороны перехода
находятся противоположно заряженные ионы доноров и акцепторов.
Поэтому р-п-переход, можно представить в виде плоского конденсатора
с расстоянием между пластинами L, на обкладках которого сосредото¬
чены NЛ отрицательных и NЛ положительных зарядов. Емкость та¬
кого конденсатора(14.4)где S — площадь р-п-перехода; L — толщина р-п-перехода.Емкость С8 называют зарядной емкостью. Помимо зарядной ем¬
кости р-п-переход обладает еще и диффузионной емкостью Со- Ее про¬
исхождение связано с тем, что при прохождении тока через р-п-пере-
ход носители заряда проникают сквозь него и создают определенный
заряд на некотором расстоянии от перехода, равном диффузионной
длине носителей заряда.Значение диффузионной емкости определяется плотностями электронного
и дырочного тока Jn и Jp и временами жизни дырок в ft-обласги и электронов в
/7-области кристалла:(14.5)Так как плотность тока Jp можно всегда выразить как долю полной плот¬
ности тока //Jp =5 а/, а плотность полного тока является суммой / = Jn +
то (14.5) примет вид(14.6)314
При подаче на диод переменного напряже¬
ния U = Uо cos со/ зарядная емкость р-п- пере¬
хода меняется во времени. Это явление исполь¬
зуется для создания усилителей, в которых
переменный конденсатор служит элементом,
накапливающим электромагнитную энергию
и способным изменять свое реактивное сопро¬
тивление за счет внешнего источника энергии.Такие усилители и соответственно диоды на¬
зывают параметрическими. С их помощью соз¬
даны усилители СВЧ-колебаний, используе¬
мые в радиолокации, а также для приема сла¬
бых сигналов, например от передатчиков, уда¬
ленных на космические расстояния.На рис. 14.4 приведена эквивалентная
схема варикапа. Помимо емкости качество
варикапа определяется сопротивлением р-п-
перехода Ra, включенным параллельно конденсатору, и сопротивле¬
нием базы прибора rs, соединенным последовательно с р-п-переходом.
В целом качество варикапа определяется таким параметром, как доб¬
ротность Q.Добротность определяют отношением реактивного сопротивления
Хс к активному сопротивлению г:(14.7)Полное сопротивление схемы, показанной на рис. 14.4,(14.8)Из (14.7) и (14.8) найдем добротность варикапа:(14.9)Если варикап работает на низких частотах [rs < 1/(<оС)1, то доб¬
ротность определяется лишь емкостью С и сопротивлением /?„:(14.10)На высоких частотах Ra 1/(ыС) добротность определяется ем¬
костью С и сопротивлением базы rs:(14.11)Выражения (14.10) и (14.11) показывают, что независимо от того,
на каких частотах работает варикап, его добротность при данной ем¬
кости тем выше, чем меньше сопротивление га и чем больше сопротив¬
ление р-п- перехода Ra.Первое требование можно удовлетворить применением низкоомных
легированных полупроводников. Второе требование большого сопро¬
тивления перехода Ra заставляет применять высокоомные чистые ма¬
териалы. Наиболее перспективным методом преодоления столь противо-315Рис. 14.4. Эквивалентная
схема варикапа
речивых требований является эпитаксиальное наращивание высоко¬
омного слоя на низкоомной подложке.Для параметрических диодов, работающих на СВЧ, требуются
монокристаллы с большой подвижностью электронов и дырок. Обычно
их изготовляют из германия и кремния. В настоящее время для этих
целей начато освоение арсенида галлия.§ 14.6. Туннельные диодыВ обычных полупроводниковых диодах на монокристаллах с кон*
центрацией примесей менее 1017 см-3 толщина р-п-перехода, вычисляе¬
мая по (9.22), составляет примерно 10-4—10-5 см. Напряженность
электрического поля S (В/см) в таком переходе в отсутствие смещения
невелика:(14.12)Таким образом, р-п-переход в обычном диоде характеризуется до¬
статочно большой толщиной и относительно малой напряженностью
поля. В этом случае заброс электронов в свободную зону, т. е. преодо¬
ление ими некоторого энергетического барьера, может происходить
лишь при сообщении им дополнительной энергии. Случай сильных
полей в обычном р-п-переходе реализуется лишь при больших напря¬
жениях. При этом сильное поле (S = 105 В/см) приводит к возникно¬
вению добавочных носителей заряда, число которых значительно уве¬
личивается с ростом напряженности поля, как это было показано в
гл. 8. Одним их механизмов, приводящих к увеличению тока, является
туннельный эффект, который и реализуется в туннельных диодах. В
туннельном диоде применяют полупроводники, содержащие примеси
в количестве 1018—1020 см-8. Уровень Ферми при таких концентра¬
циях находится уже не в запрещенной, а внутри разрешенных зон.
Соответственно энергетическая диаграмма вблизи р-/г-перехода туннель¬
ного диода имеет вид, изображенный на рис. 14.5. Толщина р-п-пере¬
хода в этом случае, как следует из (9.22), уменьшится до 100—200 А.
Напряженность поля на р-п-переходе резко возрастает до 105—10е
В/см. В этих условиях электрону в зоне проводимости «-области кри¬
сталла не надо сообщать дополнительную энергию для преодоления
энергетического барьера. Он может оказаться на другой стороне р-п•
перехода в валентной зоне в силу туннельного эффекта. Если к такому
р-п-переходу приложить малое напряжение в пропускном направлении,
то уровни Ферми по обе стороны перехода не будут уже находиться
на одной горизонтали (рис. 14.6, а). Количество электронов, просачи¬
вающихся справа налево, будет больше, чем количество электронов,
проходящих слева направо. Через р-п-переход пойдет ток, характери¬
стика которого приведена на том же рисунке справа.Если увеличить смещение до значения, при котором уровень Фер¬
ми р.р окажется на одной горизонтали с краем зоны Есп, ток увеличит¬
ся и достигнет значения /та1 (рис. 14.6, б). Дальнейшее увеличение при¬
ложенного напряжения повлечет за собой уменьшение тока (рис.
14.6, в), так как против той части электронов, которые могли бы перей-316
ти налево, оказываются запрещенные уров¬
ни. Наконец, при расположении краев зон
Есп и Evp на одной горизонтали ток упа¬
дет до нуля (рис. 14.6, г). Дальнейшее уве¬
личение смещения вызывает прохождение
через р-п-переход обычного диодного тока
(рис. 14.6, д). Нетрудно убедиться в том,
что смещение/?-л-перехода в противополож¬
ном направлении приведет к сильному ро¬
сту тока. Таким образом, ток туннельного
диода является суммой двух токов — тун¬
нельного и обычного диффузионного.
В реальных приборах туннельный ток ни¬
когда не спадает до нуля. Он может до¬
стигать достаточно больших значений, со¬
ставляющих, например, в кремниевых тун¬
нельных диодах 1/4 от /тах.Таким образом, вольт-амперная харак¬
теристика туннельного диода приобретает
вид, приведенный на рис. 14.7. Туннелиро¬
вание носителей заряда происходит прак¬
тически безынерционно. Поэтому туннель¬
ный диод является быстродействующим
прибором. Важнейшие области его приме¬
нения — генерация и усиление СВЧ-коле-
баний, а также быстродействующее пере¬
ключение. Использование туннельного дио¬
да в этих областях основано на особенно¬
стях его вольт-амперной характеристики,
а именно, на существовании падающего
участка (часть кривой, обозначенная на
рис. 14.7 цифрой 3), соответствующего от¬
рицательному сопротивлению диода.Основное требование реализации тун¬
нельного диода — малая толщина р-п-пе¬
рехода, как указывалось, обеспечивается
применением сильно легированных полу¬
проводников. Экспериментально установ¬
лено, что лучшими параметрами обладают
туннельные диоды с базой из арсенида гал¬
лия, легированного цинком. Электронно-ды¬
рочный переход получают вплавлением
олова, обеспечивающего сильное легирова¬
ние /г-части кристалла из-за большой раст¬
воримости олова в арсениде галлия. Изго¬
товляют также диоды из германия, легиро¬
ванного галлием. В этом случае переход
получают вплавлением сплава олова с
мышьяком, в котором содержание мышья-Рис. 14.5. Зонная структура
в области р-л-перехода тун¬
нельного диодаРис. 14.6. Вольт-амперные
характеристики туннельного
диода при различных сме¬
щениях р-я-перехода317
ка не превышает нескольких процен¬
тов.Перспективными материалами яв¬
ляются антимоииды галлия и индия.
Последний требует охлаждения диода
до низких температур.Помимо туннельных диодов получи¬
ли распространение так называемые
обращенные диоды. Они отличаются от
туннельных тем, что у них только одна
сторона />-п-перехода представляет собой
сильно легированный (сильно вырож¬
денный) полупроводник, а противопо¬
ложная сторона перехода является либо
невырожденным, либо слабо вырожден¬
ным полупроводником. Параметры об¬
ращенного диода зависят от характери¬
стик полупроводникового материала так
же, как и параметры туннельного диода.Наиболее перспективными областями
применения обращенных диодов являют¬
ся: использование в высокочастотных детекторах и смесителях часто¬
ты, в детекторах видеосигнала, где обращенные диоды обладают зна¬
чительно меньшими шумами, чем обычные диоды. Обращенные диоды
используют в вычислительных устройствах совместно с туннельными
диодами и т. д.§ 14.7. ТранзисторыТранзисторы — это приборы, предназначенные для усиления элек¬
трических сигналов. Транзисторы подразделяют на биполярные и по¬
левые. Принцип устройства биполярного транзистора показан на
рис. 14.8. Пластина полупроводника содержит два р-п-перехода: эмит-
терный Э и коллекторный К. База обладает электропроводностью п-
типа. При небольшом напряжении UK (несколько десятых долей воль¬
та) и при большом напряжении UK (несколько вольт или даже десят¬
ков вольт) дырки из эмиттера проходят в область базы, а электроны
из базы проходят в эмиттер. Если область эмиттера легирована силь¬
нее, чем база, то поток дырок превышает встречный поток электронов.
Если область базы достаточно тонкая, то большая часть (95—99%)
попавших в нее дырок не успевает рекомбинировать с электронами
и попадает на коллектор, создавая ток /„ в его цепи. Малая доля
рекомбинирующих дырок создает ток /б в цепи базовой области.
Вольт-амперные характеристики такого транзистора показаны на
рис. 14.9.Рассмотрим их особенности. Если на коллектор подано напряже¬
ние, значительно меньшее по абсолютному значению, чем напряжение
базы, т. е. \UK\ < |£/в|, то коллекторный переход заперт и ток коллек¬
тора /к возрастает. Этот участок вольт-амперных характеристик наРис. 14.7. Вольт-амперная ха¬
рактеристика туннельного
диода:1	— туннельная компонента тока;2	— диффузионный ток; 3 — избы¬точный ток318
Рис. 14.8. Структура и схема вклю¬
чения биполярного транзистора
типа р-п-ррис. 14.9, б обозначен цифрой 1. Как
только напряжение |f/K| становится
больше, чем |1/0|, коллекторный пе¬
реход запирается, так как на нем
«минус» по отношению к базе, и ток
коллектора почти не изменяется при
дальнейшем увеличении напряжения
коллектора. Этот участок характери¬
стик, отмеченный на рис. 14.9, б циф¬
рой 2, называют активной областью.Активная область простирается
вплоть до очень больших напряже¬
ний, при которых возникает пробой
коллекторного перехода, и ток I рез¬
ко возрастает (участок 3 вольт-ампер-
ных характеристик, называемый об¬
ластью пробоя).Как усилитель транзистор работает в активной области характе¬
ристик: малому сигналу на эмиттере (/э соответствует усиленный сиг¬
нал ил на коллекторе. Напряжением (/б можно смещать рабочую точ¬
ку характеристики, как это делается с помощью сетки в вакууммных
триодах.Усилительные свойства транзистора характеризуются коэффи¬
циентом усиления по току а, который равен отношению малого при¬
ращения тока коллектора А/к к малому приращению тока эмиттера
Д/э при постоянном значении UK:(14.13)Помимо рассмотренного примера /?-л-р-транзистора существует
транзистор типа п-р-п с базой p-типа. Принципы действия обоих типов
приборов аналогичны.Рнс. 14.9. Схема включения (а) и вольт-амперные ха¬
рактеристики (б) биполярного транзистора319
Области использования транзисторов весьма разнообразны: ра¬
диовещательные приемники, телевизоры, магнитофоны, системы связи,
обслуживающие космические аппараты, и т. д.В настоящее время создана и выпускается широкая номенклатура
транзисторов, отличающихся типом, конструкцией и назначением.Основными материалами для производства транзисторов служат
германий и кремний. Параметры исходных материалов в каждом кон¬
кретном случае определяются типом, назначением и технологией
изготовления транзисторов. Поэтому отечественная промышленность
выпускает более двадцати различных марок германия и кремния. Из
других полупроводников, по-видимому, только арсенид галлия смо¬
жет стать конкурентоспособным материалом для этих целей.§ 14.8. Полевые транзисторы, МДП-транзисторы
и приборы с зарядовой связьюОдной из разновидностей транзисторов является полевой транзи¬
стор. Его структура схематически показана на рис. 14.10. В кремние¬
вой пластине /7-типа изготовляют специальный канал п-типа электро¬
проводности с двумя контактами, обозначенными на рис. 14.10 Я и С,
что означает исток и сток. Оба контакта являются омическими. По
каналу /г-типа проходит ток основных носителей заряда — электронов
от истока к стоку. Кроме того, к верхней p-области структуры изго¬
товляют также омический контакт Зи называемый затвором. Аналогич¬
ный контакт 32 изготовляют к нижней части кремниевой пластины.
Таким образом, в рассматриваемой структуре есть два /?-п-перехода.
При изменении обратного напряжения на р-п-переходах меняется их
толщина, а следовательно, и толщина канала /г-типа. Таким образом
можно управлять током основных носителей в канале. Управление осу¬
ществляется вариацией напряжения на одном или на обоих затворах
В связи с тем что обратные токи р-п-переходов невелики, для.
управления достаточны малые мощности, потребляемые от источника
сигнала в цепи затвора. Поэтому полевой транзистор способен усили¬
вать электромагнитные колебания как
по мощности, так и по току и по напря¬
жению.Полевой транзистор подобен вакуумному
триоду. При этом имеется соответствие исто¬
ка — катоду триода, стока — аноду, а зат¬
вора — сетке.Таким образом, полевой транзистор-
это прибор, в котором ток через канал
управляется электрическим полем, воз¬
никающим при приложении электриче¬
ского напряжения между затвором и
истоком.Каналы полевых транзисторов могут
иметь электропроводность как п-, такРис. 14.10 Полевой транзистор
с двумя управляющими р-л-пе-
реходами320
и /хгипа. Технологически для изоляции истока, стока и затвора ис¬
пользуют слой оксида, наносимый на поверхность полупроводника.Наиболее широко распространенный материал для полевых транзи¬
сторов — кремний. Важным видом полевого транзистора является
прибор с затвором, изолированным от канала слоем диэлектрика.
Такой прибор получил название МДП-транзистора (металл—диэлек¬
трик—полупроводник). Основные типы МДП-структур показаны на
рис. 14.11. Поверхность кремния покрыта слоем оксида Si02, обычно
выращиваемым с помощью термического оксидирования.Перспективным может быть использование вместо SiO» других диэлек¬
трических слоев, например натрида кремния. Весьма перспективны и новые спо¬
собы их нанесения — плазменное и лазерное оксидирование.В диэлектрическом слое делаются «окна» для изготовления контак¬
тов стока и истока. На поверхность слоя из Si02 наносят слой того же
алюминия, служащий затвором.В МДП-структуре, изображенной на рис. 14.11, а, предваритель¬
но до оксидирования изготовляют слаболегированную ^-область. По¬
том при вплавлении (или диффузии) алюминия в окна под истоком и
стоком эти р-области легируются дополнительно алюминием и стано¬
вятся />+-областями. Таким образом, в МДП-транзисторе этого вида ка¬
нал p-типа оказывается встроенным технологическим путем.На рис. 14.11, б показана иная МДП-структура, в которой замет¬
ный ток от истока к стоку начинает проходить только при определен¬
ном пороговом напряжении Um пор между затвором и истоком. При
этом электрическое поле проникает под затвором в полупроводник и у
его поверхности образуется обедненный основными носителями заря¬
да (электронами) слой, а при Um, превышающем пороговое значение,
обедненный слой вообще станет инверсионным, т. е. приобретает элек¬
тропроводность p-типа. Иными словами, под затвором канал с электро¬
проводностью р-типа в этой структуре индуцируется, т. е. его не по¬
лучают технологически.В 1970 г. была предложена и сегодня широко реализуется структу¬
ра с несколькими МДП-приборами, изготовленными в одной кремние¬
вой пластине (рис. 14.12). Под затвором каждой из МДП-структур
индуцируется канал, т. е. за счет приложения электрического поля,
под затвором при Um < U3a пор образуется потенциальная яма. В
ней происходит накопление неосновных носителей заряда. Перемеще¬
ние накопленных зарядов от одного затвора к другому осуществляется
только при определенных значениях разности напряжений между со¬
седними затворами. Такие приборы получили название приборов с
зарядовой связью (ПЗС). Схема последовательного изменения напряже¬
ний на затворах, осуществляемая с помощью электрических импульсов,
понятна из рис. 14.12, б—г (для простоты закорочены затворы 1—4
2—5, и 3—6). Приведенная структура работает по трехсекционной схе¬
ме. В реальных применениях ПЗС-структуры конечно работают как
многосекционные. Количество затворов в них достигает нескольких со¬
тен. Причем располагаются они на полупроводниковой пластине не
только в одном, но и в двух направлениях, образуя МДП-матрицуи 3aji. 1756321
Рис. 14.11. Структуры МДП-транзи-
сторов с каналом р-типа:а — со встроенным каналом; б — с инд>ци*
рованиым каналомРис. 14.12, Структура и принцип дей¬
ствия прибора с зарядовой связью
(ПЗС):а — структура ПЗС; б — запись (хранение)
сигнала под пзрвым затвором; в — перенос
сигнала от первого ко второму затвору;
г—считывание (выход) сигнала со стокас достаточно сложной коммуникацией переноса зарядов от различных
затворов к истоку.Возможность накопления зарядов в ПЗС определила три главных
области их применения: в качестве запоминающих устройств ЭВМ, уст¬
ройств обработки аналоговой информации и устройств, в которых
электрические сигналы преобразуются в оптическое изображение.В последнем случае кроме кремния перспективными являются раз¬
личные материалы типа AIUBV и их твердые растворы.§ 14.9. Принципы построения интегральных схемОсновные задачи электронной техники — повышение надежности
электронных устройств, увеличение плотности размещения их в про¬
странстве, снижение тепловыделения при их эксплуатации и удешевле¬
ние технологии — привели к созданию своеобразного направления —
микроэлектроники.Главным объектом разработки и научных исследований полупро¬
водниковой микроэлектроники является полупроводниковая инте¬
гральная микросхема. Она представляет собой изделие, состоящее из
нескольких компонентов, изготовленных в одном кристалле и связан¬
ных друг с другом так, что все изделие в целом предназначено выпол¬
нять определенные функции преобразования электрических сигналов.В настоящее время разрабатываются интегральные схемы для преобразова¬
ния оптических сигналов видимого и инфракрасного участков спектра.В микросхемах различают активные и пассивные компоненты, К
первым относят диоды и транзисторы, ко вторым — резисторы и кон¬
денсаторы.322
Рис. 14.13. Полупроводниковая интегральная схема:а структура; б — эквивалентная схемаВсю интегральную схему характеризуют плотностью упаковки —
числом элементов в 1 см8 полупроводника и степенью интеграции—
числом элементов, входящих в состав одной микросхемыСтепень интеграции составляет 3 и более, а плотность упаковки до¬
стигает 10* см-8.Чтобы представить, много это или мало, напомним, что плотность упа¬
ковки чувствительных элементов человеческого глаза («колбочек» и «палочек^
составляет около 107 см~а. Так что до высококачественного копирования при¬
роды полупроводниковой микроэлектронике еще далеко.Простейшая структура полупроводниковой интегральной схемы
показана на рис. 14.13. Ее активные элементы изготовляют в объеме
полупроводникового монокристалла, а пассивные — в виде тонких
пленок на слое диэлектрика, которым покрывают монокристалл.Понятие интегральной схемы сегодня отражает не только интегра¬
цию (объединение) компонентов схемы, но и объединение технологиче¬
ских приемов ее изготовления.Контрольные вопросы1. Как можно классифицировать области применения полупроводниковых
материалов? 2. Для каких целей предназначены силовые полупроводниковые
диоды? 3. Каковы структура, вольт-амперные характеристики и принцип
действия управляемых полупроводниковых диодов? 4. Какие полупроводника
вые материалы применяют для изготовления силовых диодов? 5. Объясните
принцип действия стабилитрона. 6. Какими параметрами характеризуют ка-
чество стабилитронов? 7. Какой полупроводниковый материал используют для
производства стабилитронов? 8. Какие материалы применяют для изготовле¬
ния импульсных диодов? 9. Из каких материалов изготовляют СВЧ-детекторы?
Ю. Чем определяется емкость р-п-перехода? 11. Какое свойство /?-я-перехода
лежит в основе действия варикапа? 12. Из каких материалов изготовляют ва¬
рикапы? 13. Объясните принцип действия туннельного диода. 14. Применени¬
ем каких полупроводниковых материалов обеспечивают выполнение требований,
предъявляемых к туннельным диодам? 15 Объясните принцип действия тран¬
зистора. 16. Какие полупроводниковые материалы применяют для производст¬
ва транзисторов? 17. В чем состоит принцип зарядовой связи? 18. Чго такое
интегральные схемы?Литература: [28], (38], |61f — [64].II*323
Глава 15ФОТОЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ И ДРУГИЕ ПРИБОРЫ
С р-п-ПЕРЕХОДАМИ§ 15.1. Солнечные батареиСолнечные батареи, по существу, являются полупроводниковыми
фотоэлементами, т. е. приборами, в которых под влиянием освещения
на р-п- переходе возникает э. д. с.Для уяснения принципа действия солнечной батареи обратимся
к рис. 15.1. В условиях теплового равновесия в полной темноте кон¬
центрации электронов и дырок по обе стороны р-п- перехода сбаланси¬
рованы благодаря тому, что на переходе возникает потенциальный барь¬
ер Up. При освещении в обеих частях р-п-перехода начнется генера¬
ция электронно-дырочных пар. Избыточные электроны, образующиеся
в р-области, скатываются по потенциальному барьеру в зону прово¬
димости л-области кристалла. Избыточные дырки аналогичным образом
из л-области переходят в валентную зону р-части кристалла. Перемеще¬
ние избыточных носителей заряда показано на рис. 15.1 стрелками.
В результате область р-типа заряжается положительно, а область п-
типа — отрицательно. В режиме разомкнутой цепи, когда ток равен
нулю, на концах полупроводника возникает разность потенциалов U,
называемая фото-э. д. с.Значение фото-э. д. с. пропорционально скорости генерируемых пар,
т. в. числу пар, создаваемых светом в 1 см3 полупроводника в 1 с. Это
значит, что фото-э. д. с. пропорциональна интенсивности света. Кро¬
ме того, значение фото-э. д. с зависит от диффузионных длин неоснов¬
ных носителей заряда. Это легко понять, ибо эффективная ширина фото-
чувствительной области равна примерно lon + by из-за того, что но¬
сители заряда, генерированные светом, на расстояниях от р-л-перехо¬
да, больших, чем lDn или lDp, не успевают дойти до него из-за рекомби¬
нации Этот процесс показан на рис 15. J волнистыми стрелками.Основными характеристиками фотоэлемента являются: интегра¬
льная чувствительность, коэффициент полезного действия, частотныеи температурные характеристики.По определению, интегральная чув¬
ствительность(15 1)где /кв — фототок, проходящий при за¬
мыкании концов перехода, через нагру¬
зочное сопротивление; Ф — световой
поток.Значения К полупроводниковых фо¬
тоэлементов в настоящее время лежат в
широком интервале от 600 до
20 ООО мкА/Лм.Рис. 15.1. Схема образования
фото-э. д. с. на р-п-переходе324
Спектральная характеристика есть не что иное, как зависимость
/кз от длины волны падающего света при постоянном световом потоке,
который условились принимать равным 1 лмСледует отметить, что фотоэлементы являются инерционными при¬
борами, поэтому значение фото-э. д. с. значительно уменьшается с уве¬
личением частоты световых импульсов. Это ограничивает использова¬
ние фотоэлементов для преобразования лишь постоянных световых сиг¬
налов в электрические.Коэффициент полезного действия солнечной батареи(15.2)где Р — мощность, выделяемая фотоэлементом; S — активная пло¬
щадь фотоэлемента; W — мощность светового потока.Коэффициент полезного действия зависит от многих факторов. Его
теоретическое значение определяется зонной структурой полупровод¬
ника (шириной запрещенной зоны, присутствием или отсутствием
непрямых переходов). Максимальные теоретические значения т] со¬
ставляют около 22% при Eg —1,4 -г 1,5 эВ. Поэтому основными мате¬
риалами для изготовления солнечных батарей являются кремний и
арсенид галлия.Вполне возможно, что для высокотемпературных применений ока¬
жется удобным использовать фосфид галлия, реальные значения к. п. д.
которого хотя и ниже теоретических, но все же достаточно высоки и со¬
ставляют у лучших образцов приборов 15—20%.Солнечные батареи нашли применение при энергоснабжении кос¬
мических аппаратов. Они весьма перспективны при конструировании
энергосистем в южных и засушливых районах.§ 15.2. Полупроводниковые приемники излученийФотоприемники (фотосопротивления, фотодиоды и фототранзи¬
сторы) — приборы, тем или иным способом реагирующие на освещение
их светом различной длины волны.В основе действия полупроводниковых фотосопротивлений лежит
изменение электрического сопротивления полупроводника под дейст¬
вием света. Это явление фотопроводимости рассматривалось в гл. 7.Принцип действия фотодиодов и фототранзисторов не отличается
от принципа действия солнечных батарей. Различие заключается
в том, что в солнечной батарее р-п-переход находится в режиме разом¬
кнутой цепи и ток через него равен нулю, а в фотодиоде на тот же пе¬
реход, показанный на рис. 15.1, подано запирающее напряжение.
В диоде устанавливается обратный ток насыщения. При освещении
он увеличивается за счет генерации избыточных носителей заряда.Полупроводниковые фотоприемники широко применяют для ре¬
шения задач автоматики, телемеханики, космической техники, ноч¬
ного видения и т. д. Современные полупроводниковые фотоприемни¬
ки реагируют на тепловое (инфракрасное) излучение предметов, нахо¬
дящихся на расстоянии более 1000 км от наблюдателя.325
Перечень полупроводниковых материалов, применяемых для из¬
готовления фотоприемников, очень велик. Для этих целей находят
применение почти все известные полупроводники. Приведем некото¬
рые из них:МатериалSePbS .
Ge + Au
Ge “f" Zn
CdHgTe
Si + B .
In As
InSb .К, wkm0,4—0.8
0,5—8,0
11,014.020.0
10,03,5-4,0
7,5Подобно тому как освещение р-п-перехода светом приводит к по¬
явлению электрического напряжения, попадание в область перехода
ядерной частицы вызывает во внешней цепи полупроводникового дио¬
да электрический импульс, который может быть усилен и зарегистри¬
рован.Для изготовления такого детектора ядерных излучений необхо¬
димо осуществить /ы-п-структуру, где i — область полупроводника
собственной электропроводности. В этой области происходит генера¬
ция носителей заряда ядерными частицами.Разрешающая способность детектора и диапазон регистрируемых
энергий зависят от протяженности /-области. Материалами для со¬
здания детекторов служат германий и кремний. Для получения ка¬
чественных приборов необходимы монокристаллы этих материалов со¬
вершенной структуры с минимальным содержанием примеси кисло¬
рода, присутствие которого препятствует образованию протяженной
/-области. Весьма перспективными материалами являются GaAs и SiC§ 15.3. Полупроводниковые источники света и лазерыПолупроводниковые источники света основаны на способности но¬
сителей заряда при рекомбинации излучать энергию, полученную,
ими при генерации. В ряде случаев излучение происходит не в виде
фононов, а в виде фотонов (см. гл. 6). При этом генерация носителей
может происходить любым способом, в том числе и за счет инжекции
током, проходящим через р-л-переход или гетеропереход.Спектр излучения (т. е. длина волны или цвет) определяется
свойствами полупроводника: шириной запрещенной зоны и родом ле¬
гирующих примесей.Коэффициент полезного действия полупроводниковых источников
света гораздо выше, чем у обычных ламп накаливания. Главное же
их преимущество — безынерционность. Наиболее перспективными ма¬
териалами для изготовления светодиодов являются фосфид галлия
(красное и зеленое свечение), карбид кремния (желтое свечение) и
арсенид галлия (свечение в инфракрасной области). Гамму излучае¬
мых длин волн можно создать на основе твердых растворов фосфида и
арсенида галлия различного состава.326
Полупроводниковые лазеры. При определенных условиях излуче¬
ние света из светодиодов может стать когерентным, т. е. все излуче¬
ние будет иметь одну длину волны и одну фазу. Это приводит к колоо
сальному увеличению яркости и к. п.д. Так, обычная лампа накалива¬
ния с вольфрамовой нитью имеет яркость 50 Вт/см3 при к. п. д. 2%.
В то же время полупроводниковый лазер обеспечивает яркость 10е
Вт/см2 при к. п. д. 40%. Световой поток при этом оказывается узко¬
направленным.Возможности применения лазеров в технике огромны. Лазер —
это единственный источник света, позволяющий генерировать световые
волны так же, как радиоволны. Поэтому лазеры эффективно исполь¬
зуют в технике связи. Узкая направленность лазерного луча обеспе¬
чивает связь на сверхдальние космические расстояния. Большая ча¬
стота света дает возможность пропускать по одной линии лазерной свя¬
зи на длине волны 1 мкм около 10 ООО телевизионных каналов. С помо¬
щью лазеров можно осуществлять локальный нагрев до весьма вы¬
соких температур.Для изготовления инжекционных полупроводниковых лазеров
наиболее часто используют GaAs, InAs, InP, GaAs + GaP, позво¬
ляющие получить длины волн света К (мкм) соответственно 0,84, 0,31,
0,91, 0,65—0,84, а также твердые растворы различного состава на
основе AUIBV.Наряду с кристаллами A,,lBv в лазерной технике используют
полупроводниковые материалы групп A"BVI (HgSe, CdSe, HgTe,
CdTe и др.) и A,nBVI (селениды и теллуриды галлия и индия).§ 15.4. Приборы оптоэлектроникиПод оптоэлектроникой понимают научно-техническое направление,
в котором одновременно используются электрические и оптические
средства генерации, передачи, переработки и приема информации.
Сюда же относятся и возможности хранения или запоминания информа¬
ции в процессе ее прохождения от генерации до приема.Под оптоэлектроникой подразумевают
твердотельное исполнение всех ее компонен¬
тов, в том числе и канал оптической связи, по
которому передается информация от генера¬
тора света до фотоприемника.Главный прибор оптоэлектроники — опт¬
рон (рис. 15.2). В качестве источника света 1
используется светодиод или полупроводнико¬
вый лазер на гомо- или гетеропереходе. В ис¬
точнике происходит преобразование электри¬
ческой энергии Эх в световую С. Свет прохо¬
дит по оптической среде 5. В качестве такой
среды сначала использовались полимерные
клеи и лаки е хорошим пропусканием света и
обладающие высокой адгезией к полупровод¬
никовым кристаллам. В настоящее время
наиболее перспективными световодами яв-*27Рис. 15.2. Принципиаль¬
ная схема оптрона:/ — излучатель; 2 — крнетал-
лодержатели; 3 — электриче*
ский вывод; 4 — фотоприем-
ник: 5 —• оптическая среда
ляются кварцевые волокна. Такие световые «провода» при малом вату-
хании света могут использоваться для оптической связи на большие
расстояния, обеспечивающей одновременно до 104 «разговоров» между
источником и приемником сигнала.Неменьший интерес представляет в качестве оптической среды
тот же полупроводниковый кристалл, в котором создаются источник
и приемник света.Через светопроходящую среду свет поступает на фотоприемник я
снова преобразуется в электрический сигнал Э2. В результате в оп¬
троне происходит двойное преобразование энергии по схеме Э1-*-С-*-
-*■ Э2. Можно построить оптрон, действующий и по другой схеме1
Сх -*• Э Са. В этом случае оптрон регистрирует световые сигналы,
перерабатывает их и выдает информацию также в виде светового сиг¬
нала. Световые сигналы С1 и С2 могут находиться в разных участках
спектра, например, Сх — в инфракрасном, а С2 — в видимом.Более подробное изложение различных аспектов приборов опю-
электроники читатель найдет в специальной литературе.Контрольные вопросы1. Объясните принцип действия полупроводникового фотоэлемента. 2. Ка¬
кие величины являются основными характеристиками фотоэлементов? 3. Из
каких материалов изготовляют солнечные батареи? 4. Какое физическое явление
лежит в основе действия фотосопротивлений? 5. Чем различаются принципы
действия фотодиодов и солнечных батарей? 6. Какую структуру р-/1-перех->да
следует осуществить для регистрации ядерных частиц? 7. Из каких материалов
изготовляют детекторы ядерных частиц? 8. В чем состоит принцип действия по¬
лупроводниковых источников света и лазеров? 9. Какие полупроводниковые
материалы являются перспективными для изготовления полупроводниковых ис¬
точников света?Литература: (39), (61), |65) — |67).Глава 16ПОЛУПРОВОДНИКОВЫЕ ПРИБОРЫБЕЗ р-п-ПЕРЕХОДОВ§ 16.1. Термоэлектрические полупроводниковые
приборыВозникновение электродвижущих сил при наличии градиента тем¬
ператур в полупроводнике лежит в основе большой группы полупро¬
водниковых приборов. Для выяснения принципа их действия рассмо¬
трим термоэлемент, показанный на рис. 16.1. Обе ветви термоэлемен¬
та будем характеризовать параметрами аи а,, х1 и а2, а2, х2. Площади
поперечного сечения ветвей Sx и S2, а их длины — 1Х и /2.При пропускании тока через термоэлемент в направлении, указан¬
ном на рис. 16.1, на спае 4 выделяется теплота Пельтье, а на спае 3
она поглощается. Если спай 4 поддерживать при постоянной темпера¬
туре То, то спай 3 охлаждается до такой температуры 7\, при которой328
теплота, приходящая к нему по ветви
термоэлемента Q* и из окружающей
среды Q0, не скомпенсирует поглощаю¬
щуюся в спае 3 теплоту Пельтье.В этом случае теплота отбирается от
окружающего пространства и термоэле¬
мент работает как холодильник. Если
же, наоборот, поддерживать постоянным
градиент температуры, т. е. обе темпера¬
туры Т0 и Ти то на спаях 3 и 4 возни¬
кает разность потенциалов и термоэле¬
мент работает как генератор электриче¬
ского напряжения.При пропускании тока через тер¬
моэлемент кроме «полезного» эффекта —поглощения теплоты Пельтье Qn имеет место и «вредный» эффект —
выделение теплоты Джоуля <3д. В равновесии будет выполнено
условие(16.1)Рис. 16.1. Термоэлемент из дв^х
ветвей:1, 2 —вегви; 3 — горячие спаи; 4 —
холодные спаиВ явном виде это выражение приобретает вид(16.2)где R и k — общие электрическое сопротивление и теплопроводность
термоэлемента соответственно:(16.3)Основным параметром, характеризующим термоэлектрический хо¬
лодильник или генератор, является коэффициент преобразования теп¬
ловой энергии в электрическую(16-4)где W — электрическая энергия, потребляемая или выделяемая в
термоэлементе.Коэффициент(16.5)Максимальное значение фтаХ достигается при определенном токе,
который легко найти из условия d<p/a,T = 0. Само значение сртаХ при
этом будетгде(16.6)(16.7)32»
в котором(16.8)Расчет, который здесь не приведен, из условия dQjdT позволяет
найти силу тока, соответствующего максимальной мощности охлажде¬
ния, и максимально возможный перепад температурТак как величина Z определяет и максимальный перепад темпе¬
ратур, и коэффициент преобразования для любого малого градиента
температур, то она является общей характеристикой термопары.Для данных двух материалов, составляющих термоэлемент, имеется
максимум величины Z, который достигается при оптимальном соотно¬
шении между размерами ветвей. Для этого необходимо, чтобы произ¬
ведение Rk стало минимальным. Это будет приДля характеристики термопар обычно вводят раздельные коэффи¬
циенты Zt для каждой из ветвей:Величину Z называют коэффициентом добротности термоэлектри¬
ческого материала.Для создания термоэлектрических устройств требуются полупро¬
водниковые материалы с большим коэффициентом добротности. Среди
них ZnSb, CoSb3, PbS, Bi2Te3, SnTe, PbTe, Cu2Te, сплав Ge+Si и др.В настоящее время создано большое число термоэлектрогенерато¬
ров и термоэлектрохолодильников различных конструкций, используе¬
мых для питания радиоустройств, охлаждения биологических препа¬
ратов, конденсации паров в высоковакуумных ловушках и т. д.§ 16.2. Полупроводниковые тензометрыКак известно, при деформации полупроводниковых или металличе¬
ских образцов их удельное сопротивление изменяется. Относительное
изменение удельного сопротивления на единицу относительной дефор¬
мации называют тензочувствительностыо. Эта величина безразмер¬
ная, вполне однозначно определяющая изменение удельного сопро¬
тивления при деформации. Однако удобнее измерять размерную величи¬
ну, называемую пьезосопротивлением (или тензосопротивлением). Еели
X— механическое напряжение; Др/р — изменение удельного сопротив¬
ления образца при действии напряжения X, то пьезосопротивление(16.9)Если это условие выполнено, то(16.10)(16.11)(16.12)330(16.13)
Обычно X выражают в дин/см2, П имеет размерность см2/дин.
Величина П различна в разных направлениях в кристалле. Однако
всегда имеется преимущественное направление, в котором пьезосопро¬
тивление максимально.Для полупроводниковых тензометров оказались пригодными кар¬
бид кремния, а также сильно легированные германий и кремний. Тен¬
зометры из карбида кремния способны работать при повышенных тем¬
пературах.§ 16.3. Датчики э. д. с. ХоллаПоявление холловской э. д. с. при помещении полупроводниковой
пластинки с током в поперечное магнитное поле используется в боль¬
шом числе измерительных устройств и схем автоматики, в магнето¬
метрах, предназначенных для измерения напряженности постоянных
и переменных магнитных полей, токомерах для измерения токов, про¬
ходящих в электрических кабелях, ваттметрах, преобразователях по¬
стоянного тока в переменный, генераторах электрических колебании
и т. д.Преимуществами этих приборов являются их безынерционность,
отсутствие подвижных частей и малые габариты. Холловское напря¬
жениеUx. — RJHId,	(16.14)где R — коэффициент Холла; J — плотность тока, проходящего
через датчик Холла; Н — напряженность магнитного поля; d — тол¬
щина пластинки полупроводника.Приложенное к датчику напряжение U можно заменить отноше¬
нием У/о, где о— удельная электрическая проводимость полупровод¬
ника. Тогда вместо (16.14) получимUx/(UH)= Raid.	(16.15)Отношение U\I(UH) представляет собой относительную чувстви¬
тельность датчика Холла. Из (16.15) видно, что чувствительность за¬
висит от Ra, т. е. от подвижности основных носителей заряда в приме¬
няемом полупроводнике.Кроме чувствительности одним из требований, предъявляемых к
датчикам Холла, является их температуростабильность.Для изготовления датчиков Холла успешно применяют германии
и кремний. Однако наилучшие результаты получаются при исполь¬
зовании InSb, InAs, твердого раствора In As	HgSe, HgTe.Контрольные вопросыI. Какими физическими величинами определяется добротность {качества)
полупроводникового материала, используемого для термоэлектрических прибо¬
ров? 2. Какие полупроводниковые материалы наиболее пригодны для изготов¬
ления термоэлектрических приборов? 3. Какое физическое явление лежит в ос¬
нове действия полупроводниковых тензометров? 4. Какие материалы пригодны
для изготовления полупроводниковых тензометров? 5 Что такое чувствитель¬
ность датчика Холла и какое свойство полупроводника ее определяет? 6. Из
каких материалов изготовляют датчики Холла?Литература: (68] — {711.
ПРИЛОЖЕНИЯПриложение /Числовые значения некоторых физических константОбозначе¬Числовое значениеНаименованиениев ед. системы СГСв ед. оистемы СИСкорость светас2,997-1010 см/с2,997 -10» м/сЗаряд электрона1 е4,803249 10-10 сгс1,6021913-10-*» КлПостояннаяБольцманаk1,380622-10-1» эргГС1,380622 -Ю-23 Дж/К.Универсальная га¬
зовая постоян¬
наяR8,31434-107 эрг/моль°С8,31434 -103 Дж/кмоль КЧисло АвогадроN6,022035-1023 моль-16,022035 -1026 кмоль-'Масса покоя элек¬
тронате9.109548-Ю-2» г9,109548-10-31 кгМасса покоя про¬
тонаГПр1,6726513-10-» г1,6726513- 10-,г кгПостоянная План¬
ка/г6,626189-10-» эрг-с6,626189-10-34 Дж сПостоянная План¬
каИ2л1,054-10-ет эрг-с1,054-10-34 Дж-сРадиус первой во¬
ровской орбитыhа°~ тцё*0,529 10-' см0,529-Ю-,# мМагнетон Бора.. ehМя	2m.eC—0,92712-10-20 эрг/гс—0,92712-10-23 Дж/ТДлина волны фо¬
тона, обладаю¬
щего энергией
1 эВ11,2396-10-» см1,2396 Ю-10 мЧастота, соответ¬
ствующая фото¬
ну с энергией
1 эВ^02,418357-1014 с-'2,418357 1014 с-1Волновое число
фотона с энер¬
гией 1 эВко8066 см-180,66 м332
Приложение 2Перевод величин в различные системы единицНаименование величиныЧтобы из ре¬
зультата, выра¬
женного в еди¬
ницахПолучить
значение
в единицах СИНадо этот
результат
умножить наЭнергияэргэВДж!0~7
1,601864-10-19Мощностьэрг/сВт10“7Сила токаСГСЕ 11 А1 3,33 10“10ЗарядСГСЕ 11 Кл1 3.33 ю-10Йапряженность электрическо¬
го поляСГСЕв/смВ/м3 104
100ПотенциалСГСЕВ300Электрическая емкостьСГСЕфарад1,11 10!2Удельное электрическое со¬
противлениеСГСЕОмм8 987 -10»Удельная электрическая прово¬
димостьСГСЕСм/м9-10®Напряженность магнитного по¬
ляэрстедА/м79,5775Магнитная индукция |гаусс IТл I10~*Приложение 3Фундаментальные параметры некоторых важнейших полупроводниковПараметрыGeS!Ga AsПериод кристаллической решетки (Т*=*
= 298 К), А5,657545,430725,6534Плотность (Т=298 К), г/см3I 5,32342,32835,307Температура плавления, °С 11 937,214171240Скрытая теплота плавления,
10“4 Дж/моль3,405,15Скрытая теплота испарения,
10~б Дж/моль3,734,405Удельная теплоемкость, Дж/моль:
при 300 К
» 77 К29,8И.119,55,222,711,9Ширина запрещенной зоны (7 = 298 К),
эВ0,661.11,43Температурный коэффициент ширины
запрещенной зоны, 10~4 эВ/град |-4,4—4*1—5,0
Приложение 4Интегралы ФермиИнтегралы Fn (м*) принадлежат к классу интегралов с которыми экспери*
ментатор встречается весьма часто. При этом приходится пользоваться и табля*
цами значений интегралов Ферми и их аппроксимационными формуламиНаиболее часто употребляемая аппроксимация интегралов Ферми для невы*
рожденного случая имеет вид:где Г (п + 1) — гамма функция, вначения которой табулированы и приведены
в математических справочниках.Из (П.4.1) можно получитьЭти аппроксимации годятся тем лучше, чем больше по абсолютному значе*
нию |fx*|, т. е. они отражают случай совершенно невырожденного электронного
газа. Предел применимости выражений (П.4.2) легко установить, вычисляя
ошибку при определении значений Fn с их помощью. Вычисления показывают,
что верхний предел составляет \х* = — 1. При ц* = — 1 погрешность оказы¬
вается равнойИнтегралг*^—1/2f1/2F3/2FtРЫ2FtF7f2F9/2Погрешность,%189251275321I334(П.4.1)
Аппроксимационные формулы для вычисления Fn с меньшей погрешностью
имеют уже более громоздкий вид по сравнению с (П.4.2) и поэтому они не при¬
ведены. При необходимости читатель найдет их в специальной литературе.Простейшая аппроксимация интегралов Ферми для случая сильного вырож¬
дения имеет вид]Применимость этой формулы, которая называется аппроксимацией первого
порядка, ограничивается областью значений ja* > 10. Поэтому приходится поль¬
зоваться аппроксимацией второго порядка;G помощью этих выражений удается вычислять значения Fn(n*) при
[г* > 1,5 с погрешностью, не превышающей 10%, что вполне удовлетворяет тре¬
бованиям практики.Наиболее труден для аппроксимации промежуточный случай небольших по
абсолютному значению величин ц*.С малой точностью (десятки процентов) и при \х* ~ 0 можно пользоваться
приведенными аппроксимациями. Если же требуется более высокая точность, то
приходится пользоваться только численными значениями Fn (ц*).Эти значения приведены в табл. П.4.1 и П.4.2.(П.4.3)(П.4.4)В связи с этим при и* > 0 интегралы Fn (ja*) приобретают вид(П. 4.5)33 i
Таблица П.4.1. Интегралы Ферми целочисленных индексовИ*Роf,р,F,Р,—40,0180,0180,0370,1100,433—30,0480,0490,0990,2981,194—20,1270,1310,2660,8053,234—10,3130,3390,7052,1608,72100,6930,8221,8035,68223,3411,3141,8064,31214,3960.9822,1273,5139,44534,30123,233,0496,09618,8775,72363,744,0189,62734,59154,2814,655,00714,1458,12290,9167566,00219,6491,74513,0324977,00126,14137,3853,4593688,00033,64197,013511028699,00042,14272,62051170161010,0051,64366,23005270341212,0073,64615,55906616821414,0099,64960,7105901,3-Юб1616,00129,61418176592,4-1051818,00163,62003278544,2.10s2020,00201,62732419856,9-Ю5Таблица П.4.2 Интегралы Ферми дробных индексовЦ*F — 1/2f1/2F3/2РЫЧp7/2P9/2f11/2—40,0320,0160,0240,0610,2130,9585,272—30,0850,0430,0660,1650,5782,60314,32—20,2190,1440,1760,4441,5657,06338,90— 10,5210,2900,4611,1864,21319,10105,501,0720,6781,1533,08211,1851,29284 ,S11,8201,3962,6627.62628,83136,4762.422,5952,5025 53717.5370,76340,6200233,2353,97710,3536,93162,6846,2509543,8745,77117,6371,35346,8194712 4-Ю*54,3837,83827,80127,5687,3420028,6-10*64,83410,1441,26213,11273850062,3-10*75,24212,6658,34336,8222316,2-10’12.8-Ю485,61715,3879,35508,1368729,3-10*25,0-10495,96718,28104,6737,1584750,4-10*46,5-Ю4Ю6,29721,34134,31035892683,3-10*82,6-10»126,90827,95208,1188218,9.10s20,4-10423,2-I05147,46735,14302,6315036,2.10s44,5-10457,6-105167,96745,87419,5494564,2-10*88,9-10412,4-10"188,47451,11560,3738410.7-10416,5-Ю526,5-10e208,935i59,81I726,610,6-10»16,9-10428,7-10*■50,8-10»336
Приложение бДанные о подвижностях электронов и дырок в чистых беспоимесных
полупроводникахПолупроводникХолловея я подвижности ах, ом" / В - оэлектроныдыркиGe4500/ Т \-1.6(зоо// Т \ — 2, 333500 [ —\300/Si1300/ Т 4—2.0[зоо// Т \-2.7
500 —\300/AlSb200(-Г\т)/ Т \ —1
400 (—\т)GaSb4000/ Т 4 — 2.0(зоо// Т \-0.9
1400 —\ж)InSb78000/тх-м\300/<St1HigGaAs8500/ Т \— 1.0(з00// Т \-2.I
420 I —\mjInAs33000/ Т \-t.2(зоо/1 Т \ 2.3
«0 -
\ш)InP4600/ Т 4—2.0(зоо/( Т \-2.4150 (зоо)GaP110f-Г'’\300// Т \-Ь875 (зоо)PbS500/ Т \—2#5(зоо// Т \-2.e500 Ш-2'8
\300// Т \— 2, 91400 —\зоо/PbTe1400(зоо)PbSe2000/ Т \-2.e(зоо// Т \ —2,9
2000 —\ш)Приложение вВспомогательные Операции при измерении основных параметров полупро¬
водниковых материаловКонтроль качества полупроводниковых материалов производят на специаль¬
но подготовленных образцах. Операции подготовки образцов обычно состоят
из придания образцу необходимой геометрической формы, размеров и изготов¬
ления омических контактов к йёму, с помощью которых образец включается в со¬
ответствующую электрическую схему.Форму и размеры образцу придают с помощью операций резки и шлифовки.Резку образцов производят на специальных станках Первоначально моно-
кристаллические слитки наклеивают с помощью пицеина на слиткодержатель и337
разрезают на пластины с помощью латунных или медных дисков, режущая кром¬
ка которых армирована алмазным порошком. Режущие диски бывают двух типов:
с внешней и внутренней режущей кромкой. С помощью последних удается полу¬
чать пластины полупроводника толщиной от 100 мкм и выше. Толщина реза со¬
ставляет примерно 100—200 мкм. При использовании режущих станков типа Ал¬
маз-4 и ЖК-2405 обеспечивается достаточная плоскопараллельность получаемых
пластин.Существуют также специальные станки для резки стальными полотнами с аб¬
разивным порошком, применяемым в виде водной суспензии. Этот метод применя¬
ется при необходимости изготовления одновременно очень большого числа пла¬
стин, ибо режущий инструмент может со¬
стоять из ряда полотен, отстоящих друг
от друга на регулируемое расстояние.Из плоскопараллельных пластин выре¬
зают при необходимости (например> для
контроля концентрации и подвижнссш
носителей заряда) фигурные образцы
такого типа, какой показан, на рис. 12 13.
Для этого случая лучше всего исполь¬
зовать ультразвуковую резку, принципи¬
альная схема которой показана на рис,
П. 6.1. Режущий инструмент — пуансои
3 — имеет на торце специальные вырезы,
соответствующие необходимой форме об¬
разца. Пуансон должен быть изготовлен из
магнитострикционного материала (пермен
дюр), но может быть сделан и из обычной
стали. Пуансон одновременно является м
концентратором механических колебаний,
получаемых от магнитостриктора 7. В
магиитострикторе с помощью ферромаг¬
нитного сердечника, помещенного в ка¬
тушке 6, через которую проходит ток от
генератора электромагнитных колебании 5.
создаются >льтразвуковые колебания с частотой 18—25 кГц. Катушка 8 служит
для подмагничивааия ферромагнитного сердечника постоянным током.На специальном столике 1 закрепляют пластину полупроводника 2. Пуан¬
сон прижимается к пластине. К месту прижима в процессе резки подается водная
суспензия абразивного порошка. Обычно осуществляется автоматическая подача
столика /, что обеспечивает скорость резания порядка 0,5 см/мин.В качестве абразивного порошка почти для всех полупроводниковых мате*
риалов при резке используют карбид бора различной зернистости. Только при вьь
резке образцов из SiC применяют алмазную пудру из синтетических (роже
естественных) алмазов.Мелкие порошки карбида бора маркируют в соответствии с ГОСТ 3646—71
номерами от М28 до М5. Их характеристика приведена в табл. П.6,1.Таблица П.6.1 Классификация зерен по размерам тонких порошкозкарбида бораНомер зернаM2SМ20М14мюМ7м ьРазмеры зерен, мкм28—20toо14—10с*-1О7—55-3После резки поверхность образцов на глубине примерно 40—60 мкм пред¬
ставляет собой слой нарушенной структуры. Этот слой удаляют шлифовкой, шли-338Рис. П6 1. Принципиальная схема
ультразуковой резки:1 - столик; 2 — образец; 3 — пуан¬
сон, 4 — вибратор; 5 — генератор вы
сокочастотиых колебаний; 6 — обмот¬
ка магнитостриктора; 7 — сердечник
магнитостриктора, 8 — обмотка под-
маг ннчивания
фоака производится на стеклянных дисках вручную или иа специальных станках
с применением порошков, указанных в табл. П.6.1. Обычно образцы приклеива-
к>! пицеином, воском или смесью воска с канифолью на специальный металличе¬
ский диск-держатель. После шлифовки одной стороны образец переклеивают для
шлифовки противоположной стороны. После шлифовки образцы хорошо промы¬
вают водой для удаления остатка абразивного материала.Для полного удаления слоя, нарушенного в результате резки и шлифовки, я
для очистки поверхности образцов служит травление. Перед травлением образ¬
цы обезжиривают в ацетоне, четыреххлористом углероде, бензоле или спирте.
Травление производят в специальной посуде из фторопласта, кварца или полиэти¬
лена с соблюдением правил техники безопасности при работе с химическими ве¬
ществами.В табл. П. 6.2 приведены типичные травители, применяемые для основных
полупроводниковых материаловТаблица П.6.2. Типичные травители, применяемые для подготовки
образцов из основных полупроводниковых материаловСостав травителяОбласть применениян,02 (30%)ГерманийКОН (10%)КремнийН202 (30%) + H20 + H2S04 (rf=l,84) в соотношении
1:2:5 или 1:1:3Арсенид галлия
(ft = 10**—10*® см-3)Н202 (30%) + NaOH (5%) в соотношении 1 :5Арсенид галлия
(л=1017—1019 см-3)HF + HN03 в соотношении 1 :2Фосфид галлияNaAКарбид кремнияВ случае контроля оптических свойств полупроводников после шлифовки
производят полировку образцов, выполняемую, как правило, вручную на сукне,
шелке или на специальной смоле без применения абразивного материала. Лишь
в ряде случаев применяют тонкий порошок оксида хрома (паста ГОИ).Контроль качества полировки в промышленных условиях обычно не произ¬
водят, хотя для этого и могут быть использованы профилометры или интерферен¬
ционные микроскопы, с помощью которых определяют неровности поверхиоств
порядка сотых долей микрометра. После полировки образцы обезжиривают и
промывают водой. Применяют дистиллированную или деионизованную воду.
После промывки образцы сушат при 120°С в сушильном шкафу.В ряде случаев контроль параметров полупроводникового материала требу¬
ется производить на образцах, вырезанных в определенных кристаллографичес¬
ких направлениях. Для этого производят так называемую ориентацию образцов
оптическим или рентгеновским методом.Вырезанные, отшлифованные и очищенные образцы поступают на операцию
изготовления омических контактов. Омический контакт должен удовлетворять
следующими основным требованиям:I) контакт не должен выпрямлять, г. е. его сопротивление не должно зави¬
сеть от направления тока, проходящего через образец;339
2)	conpoiивление контакта не должно зависеть от значения проходящего
тока;3)	сопротивление контакта должно быть, по крайней мере, на порядок мень¬
ше сопротивления образца;4)	контакт должен быть малошумящим при рабочих токах, протекающих
через образец;5)	контакт должен быть механически прочным.Известно весьма большое количество методов изготовления омических кон¬
тактов Наиболее распространенные из них: прижимной контакт, формованный,
вплавной, напыленный, электролитический, химически осажденный, термоком¬
прессионный.Прижимной — простейший вид контакта, при котором осуществляется при¬
жим проволочного (или ленточного) зонда к исследуемому кристаллу. Для этого
используют металлы с хорошими пружинящими свойствами: вольфрам, фосфори¬
стая бронза и т. п. Часто применяют твердые сплавы типа В Кб (WC + 6% Со).
Кончик зонда должен иметь сферическую форму и гладкую ровную поверх¬
ность. Это достигается электролитическим травлением острия зонда в соответст¬
вующем электролите. Режим заточки подбирают опытным путем.Формованный контакт отличается от прижимного тем, что через зонд и
кристалл пропускают импульс тока. Вследствие электрического пробоя прикон-
гактной области, ее сопротивление снижается. Наилучшие результаты получают¬
ся при добавлении в металл зонда примесей, создающих тот же тип электропро¬
водности, который имеет исследуемый полупроводниковый кристалл. Например,
фосфористая бронза — для полупроводников я-типа и алюминиевая проводка
для полупроводников р-типа.При импульсах тока большой мощности происходит сварка зонда с кристал¬
лом Такой контакт носит название сварного.Формованный и сварной контакты не всегда обладают хорошими механичес¬
кими свойствами и, кроме того, в этом случае часто искажаются свойства при-
контактной области на значительную глубину в кристалле.Вплавной контакт является наиболее надежным и удовлетворяющим, кая
правило, всем перечисленным требованиям. Для вплавлеиия применяются раз¬
личные сплавы на основе олова, индия, свинца, алюминия и золота. Сплав дол¬
жен содержать примеси доноров для кристаллов n-типа и акцепторов—для мате¬
риала />*гипа.Состав наиболее употребительных сплавов, обеспечивающих омические кон¬
такты с важнейшими полупроводниковыми материалами, приведен в табл. П.6.3,Вплавление производится в специальных графитовых кассетах в вакууме
или в атмосфере водорода, гелия. Для получения контактов малой площади с ус¬
пехом может применяться расплавление лазерным лучомРазновидностью вплавления является пайка. Пайка производится специаль¬
ными припоями на основе олова или индия Часто используются различные
флюсы.Напыление, как метод изготовления омических контактов, используется при
исследованиях селена, сульфида кадмия, закиси меди и некоторых других полу¬
проводников. Для SiC, AIV и AHI Bv напыление носит вспомогательный ха¬
рактер, как операция, предшествующая вплавлеиию. Напыление обычно про¬
изводят в хорошем вакууме 10~5 — 10~7 мм рт. ст. Хорошие результаты
достигаются при напылении на горячую подложку.Электро гитическое осаждение позволяет изготовлять омические контакты на
низкоомных материалах. При этом полупроводник является катодом, а анодом
служит осажденный металл. Опытом установлено, что хорошо наносятся следую¬
щие металлы: медь, никель, палладий, родий, цинк, индий, олово. Достоинство
метода заключается в его быстроте. Однако такие контакты обладают большими
шумами и пригодны только для измерений при комнатных температурах.Химическое осаждение применяют вместо электролитического в случае вы¬
сокоомных материалов. Такой контакт достигается тем, что сначала на поверх¬
ность образца высаживают из водного раствора хлорид осаждаемого металла,
например PdClo, а затем образец обрабатывают другим раствором, восстанавли¬
вающим осадок до металла.340
Таблица П.6.3. Сплавы, используемые для изготовления
омических контактов к важнейшим полупроводниковым материаламСостав вплаваОбласть примененияSn+флюс (СН3СНОНСООН1ГерманийAu+Sf-f-Al 90% : 7% : 3%Кремний я-типаАц-f Si+Sb 90% : 7% : 3%Кремний /i-типаInАрсенид галлия (я= КР-г-Ю19 см~3)InАнтимонид галлияInАнтимонид индияIn + Te 970/o : 3%Легированные арсенид и фосфид галлия
п-типа (п=* 10,6ч-101м см~ч)In+Zn 95% : 5%Легированные арсенид и фосфид галлия
р-типаSn+флюс (SnCl2)Арсенид галлия я-типа (л~10п-г*
10!6 см-3)WNi (объемное соотношение 2:1)Карбид кремния п- и р-типов
(р—Ю-^-МО1 Ом см)Ta+Au+Ai 45% : 40% : 5%Карбид кремния p-типа (р^Ю Ом см)Ta+Au 50% : 50%Карбид кремния /i-тииа (р^Ю Ом см)Химически и электролитически осажденные контакты получили распростра¬
нение при промышленном контроле только некоторых марок германия и кремния.Термокомпресснонный контакт получается за счет молекулярного сцепле¬
ния поверхностей металла и полупроводника Для этого тонкая металлическая
проволока прижимается под большим давлением к нагретой поверхности полу¬
проводника.Этот метод позволяет получать контакты малой площади. Кроме того, он
применяется для изготовления выводов контактов, предварительно напыленных
или осажденных.Проверка качества контактов осуществляется с помощью различных харак¬
териографов, позволяющих измерять или наблюдать на экране осциллографа
вольт-амперную характеристику контакта. Качество контакта проверяют также
измерением переходного сопротивления, определяемого по падению напряже¬
ния в месте контакта. При переходе с металла на полупроводник наблюдают ска¬
чок потенциалаЗная скачок потенциала UK и ток /, проходящий по образцу, находят пере¬
ходное сопротивление RK по формуле /?к= ^ S, в которой S — площадь кон¬
такта.341
ОБОЗНАЧЕНИЯ ОСНОВНЫХ ВЕЛИЧИН, ПРИНЯТЫЕ В КНИГЕА — комплексная амплитуда волны
а — амплитуда волн де-Бройля
с — период кристаллической ре¬
шетки; скорость света
d — толщина образца
8 — напряженность электрического
поля
Е — энергия
£д — энергия ионизации доноров
Еа — энергия ионизации акцепто¬
ровEg — ширина запрещенной зоны
« — заряд электрона
F — свободная энергия
Fi — силаFn — интеграл Ферми п-го индекгя
/ — функция распределения
g— скорость генерации носюе^еи
заряда; g-фактор
A, h — постоянная Планка
/ — комплексная единица
/ — сила тока
/ — плотность го ка
к — волновой вектор
k — константа Больцмана
К — константа химического ряярги
весия; коэффициент компенса¬
цииL ~ толщина р-п-перехода
/ — длина свободного пробега
iD — диффузионная длина носи¬
телей заряда
М — масса ядра/п, т0 — масса свободного электрона
тп — эффективная масса электронов
тр — эффективная масса дырок
п — концентрация носителей за¬
ряда; показатель преломления све¬
таП( — концентрация электронов в соб¬
ственном полупроводнике
#а — концентрация акцепторов—	концентрация доноров
Nv — концентрация вакансий
Nd — плотность дислокаций
Nf — плотность глубоких центров
Nc — плотность состояний в зоне
проводимости
Nv — плотность состояний в валент¬
ной зонер — импульс частицы
Q1 — коэффициент Нернста — Эт-
тингсгаузеиаЯ — коэффициент Холла; коэффи¬
циент отражения света
г — расстояние
г — радиус-вектор
S — площадь; сечение рассеяния
s — скорость поверхностной реком¬
бинацииТ — температура; коэффициент про¬
пускания света
t — времяV — электрический потенциал
ип — подвижность электронов
Up — подвижность дырок
v — скорость
Vf) — потенциальная энергия
а — коэффициент дифференциаль¬
ной термо-э.д.с.; коэффициент пог¬
лощения светау -— коэффициент (вероятность)
вахвата носителей заряда различ¬
ными центрамие* — приведенная энергия носи¬
телей заряда0 — температура Дебая; угол рас¬
сеяния; угол поворота плоскости
поляризации света
и — диэлектрическая постоянная;
удельная теплопроводность
— решеточная составляющая
теп лопроводи мости
хе — электронная доля теплопрово¬
да мостиЯ — длина волны{А — химический потенциал(уровень Ферми)М* — приведенный уровень Ферми
v — частотар — удельное сопротивление; плот¬
ность энергетических состояний
о — удельная электропроводимость
т — время релаксации; время жиз¬
ни носителей заряда
г|) — волновая функция—	комплексно-сопряженная
волновая функция
w — круговая частота342
АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬАдиабатическое приближение 40
Акцепторы 33Аморфные полупроводники 267, 268
Ангармоничность колебаний 121
Антизапирающий слой 216База транзистора 318
Барьер потенциальный 12
Батарея солнечная 324
Блоха функция 20Бозе—Эйнштейна распределение 104
Болометр полупроводниковый 299
Больцмана распределение 55
Больцмана уравнение 91
Бора магнетон 226
Боровский радиус 39
Бриллюена зоны 20
Брукса—Херринга формула 98, 99
Бугера—Ламперта закон 133, 142
Бурштейновский сдвиг 139Елттеитная зона 22, 24
Ван-дер-Пауве метод 278
Варикап 314Вектор обратной решетки 21
Вертикальный переход 202
Вероятность захвата 160—	перехода оптического 134—	рассеяния 97
Видемана-—Франца закон 120
Виртуальные состояния 140
Волновая функция электрона 9, 10
Волновой вектор электрона 19, 20
	фонона 104Вольт-амперная характеристика 218
Время физики носителей заряда 158	неосновных 171..	При большом уровне ин-жекции 167, 172	излучательное 161, 163,164Воемя релаксации 95	при рассеянии на акустическихфононах 105
	при рассеянии на ионах при¬
меси 9S—98	при рассеянии на нейтральныхпримесях 99—при рассеянии на полярных ко¬
лебаниях 105
Выпрямление 216
Вырождение спиновое 62—	ферм невское 55, 56Ганна эффект 212
Генератор термоэлектрический 330
Германий 37, 40
Генерация носителей 156
Гетеропереход 222—224
Гиббса распределение 51
Глубокие уровни 40
Горячие носители 198
Групповая скорость электронов 26Дебая температура 104
Дембера эффект 193
Дефекты решетки 32	ассоциированные 34	 линейные 34	объемные 34	плоские 34, 45, 47	точечные 34, 42Дислокации 45Диод импульсный 313, 314—	силовой 311, 312—	обращенный 318—	туннельный 316, 317
Диффузионная длина 181Длина свободного пробега электро¬
нов 90		фононов 121Доноры 33
Дырка 28Ечкость ^-«-перехода 314	—	диффузионная 314Жидкие полупроводники 269—217Запирающий слой 216
Закон Ома, отклонения 197
Затвор полевого транзистора 320
Зеебека эффект 118
Зеемановское расщепление 246
Зона валентная 22, 24—	дислокационная 47343
—	заплетенная 39—	проводимости 22
Зонная структура 9Излучательная рекомбинация 159
Излучение лазерное 327
Измерение параметров 273—	времени жизни 290—296—	концентрации носителей 282—285—	коэффициента оптического погло¬
щения 296, 297—	коэффициента Холла 283
Импульс фонона 104
Индексы Миллера 17
Инжекция носителей 156
Интегралы Ферми 58
Интегральная микросхема 322
Ионизация термоэлектрическая 201—	ударная 203, 204Исток полевого транзистора 320
Истощение уровней 69Катодолюминесценция 194
Квазиимпульс фонона 104—	электрона 19Кикоина—Носкова фотомагнитный
эффект 193, 194
Кинетические явления 88, 89
Колебания атомов решетки 100—104	 акустические 103	 оптические 103	поперечные 103	продольные 103Коллектор 318
Компенсация 71, 73
Конвел—Вайскопфа формула 98
Контакт металл—полупроводник 212
Контактная разность потенциалов
214Контактные явления 212
Концентрация носителей заряда 57,
282—285
Коэффициент выпрямления 222—	кинетический 89—	магнитосопротивления 129—	Нернста—Эттингсгаузена 126—	термо-э.д.с. 88, 116—	ударной ионизации 204—	Холла 89Край оптического поглощения 139
Кронига—Пени модель 12Лазер полупроводниковый 327
Ландау уровни 236, 237
Ланде множитель 227
Ларморова частота 233
Лоренца сила 233—	число 120
Люминесценция 194344Магнетизм атомов 226—	электронов 239—241
Магнитная восприимчивость 229,231, 238Магнитосогротивление отрицатель*
ное 243Магнитофононрый резонанс 238
Магнитные полупроводники 257
Магнитный момент 225—227
Мааый уровень инжекции 161, 167,
171МДП-транзистор 321
Масса эффективная 28—31
Межзонные переходы 136—139
Мелкие уровни 38
Многозарядные уровни 40, 73, 177Нелинейная оптика 132
Непрямой переход 139
Нернста — Эттингсгаузена эффект
124-128
Несимметричный ^-/г-переход 221
Неустойчивость токовая 206—208Обедненный слой 215
Обогащенный слой 216
Обратная решетка 21
Обратное напряжение 221
Одноэлектронное приближение 11
Оже-рекомбинация 159, 165
Оптрон 327
Отражение света 150—	— коэффициент 150—	— спектральная зависимость 151Пельтье эффект 118—	коэффициент 118
Переноса явления 88, 89
Переход р~п 219Поверхностная рекомбинация 179	 скорость 180Поверхностные уровни 45
Плотность состояний 56—	— на дне зоны проводимости 59—	— у потолка валентной зоны 61
Поглощение света 131—— внутрицентровое 147—	— примесными центрами 145—	— свободными носителями 135,
136	 собственное 133—	—электронное 131, 149
Подвижность электронов 90■	зависимость от температуры108—	— от электрического поля 199
	холловская ИЗПодзоны 237Полумагнитные полупроводники 256
Потенциал ионизации 38
—■ химический 53
химический приведенный 58
Преломления показатель (коэффи*
циент) 132
Прилипания эффект 159
Проводимость 6—	собственная 63, 64—	удельная 5, 7, 88
Процессы переброса 122
Прямой переход 136, 137Работа выхода 213
Рассеяние фононов 121, 122
Рассеяние электронов 89, 90—	—на акустических фононах 105	на ионах примеси 95—98	на оптических фононах 105	смешанное 106, 107Резерфорда формула 96
Рекомбинационное излучение 195
Резонанс диамагнитный (циклотрон*ный) 254—	квадрупольный 251, 252—	парамагнитный 253—	ядерный магнитный 248
Рекомбинация носителей заряда 156
	безызлучательная (фонон-ная) 159, 160, 164	 излучательная 159		 поверхностная 179	прямая межзонная 160, 164	ударная 159, 165Риги—Ледюка эффект 129Симметричный р-я-переход 221
Собственный полупроводник 63
Соотношение Эйнштейна 181
Спектр отражения 151—	поглощения 135
Сродство электронное 213
Стабилитрон 312Стеклообразные полупроводники
269—271
Сток полевого транзистора 320Температура Мотта 268
Теплопроводность 119—	решеточная 121—124—	электронная 119—121
Термогенератор 330
Термохолодильник 330
Термоэлектрическая добротность 320
Термоэлектрические явления 115
Термо-э.д.с. коэффициент 88, 116
Термоэлемент 328, 329
Транзистор биполярный 318—	полевой 320
Томсона коэффициент 118Удельное сопротивление 274—	— двухзондовые измерения 278,
279—	— четырехзондовые измерения
274—276Уровень Ферми 55Уровни водородоподобные 37, 38—	глубокие 40—	Ландау 236, 237—	мелкие 38—	поверхностные 45
—• Тамма 45Фарадея эффект 152—154
Ферми—Дирака распределение 53
Фонолы 103Ф товольтаические эффекты 192
Фотолюминесценция 194—	метастабильная 195—	мономолекулярная 195—	примесная 195
Фотопроводимость 182—	примесная 186—190—	собственная 183
Фоточувствительность 184—186
Фото-э.д.с. 192Фотоэлектромагнитный эффект 193,
194Франца—Келдыша эффект 205
Френеля формула 150
Френкеля вакансии 42—	экситон 131—	эффект 201Холла коэффициент 89—	фактор 114—	э.д.с. 89, 112—	эффект 89Циклотронный резонанс 254Частота циклотронная 255Шнурование тока 208
Шокли—Рида модель 169—	теория 169—173
Шоттки вакансии 42
Шредингера уравнение 9—20
Шубникова — де Гааза осцилляция238Экситон 131Электролюминесценция 194
Электронная температура 198
Электрическая проводимость 5, 7		в сильном электрическом поле197—	отрицательная дифференци¬
альная 207
Энергия ионизации примесей 38
Эффективная масса электронов 27—
30		дырок 30, 31Явления переноса 88, 89
Ядерный магнитный резонанс 248245
ЛИТЕРАТУРА1.	Займан Дж. Принципы теории твердого тела. — М.: Мир, 1974.2.	Киттель Ч. Элементарная физика твердого тела. — М.: Наука*
1965.3.	У э р т Ч., Томсон Р. Физика твердого тела. — М.: Мир, 1966.4.	Цидилькорский И. М. Электроны и дырки в полупроводни¬
ках. — М.: Наука, 1972.5.	Харрисон У. Теория твердого тела. — М.: Мир, 1972.6.	Полупроводники Под ред. Б. X е н н е я. - М.: ИЛ,. 1962.7.	Ю м-Р озер и В. Введение в физическое металловедение. — М.:
Металлургия, 1965.8.	Ван-Бюрен Г. Дефекты в кристаллах. — М.: ИЛ, 1962.9.	М и л н б А. Примеси с глубокими уровнями в полупроводниках. —
М: Мир, 1977.10.	Ф и с т у л ь В. И. Распад пересыщенных полупроводниковых твер¬
дых растворов. — М.: Металлургия, 1977.И. У гай Я. А. Введение в химию полупроводников. — М.: Высшая
школа, 1975.12.	G а м о й л о в и ч А. Г, Термодинамика и статистическая физика. —
М.: Гостехиздат, 1953.13.	Ф и о т у л ь В. И. Сильно легированные полупроводники. — М.:
Наука, 1967.14.	Б л е к м о р Д ж. Статистика электронов в полупроводниках. —
М.: Мир, 1964.15.	Г и п п и у с А. А. и К о л е с н и к Л. И. Ст. в Сб. «Дислокации
и физические свойства полупроводников», — М.: Наука, 1967.16.	Винецкий В. Л. и Холодарь Г. А. Статистическое вза¬
имодействие электронов и дефектов в полупроводниках. — Киев: Наукова
думка, 1969.17.	Блатт Ф. Д ж. Теория подвижности электронов в твердых се*
лах. — М.—Л.: Физматгиз, 1953.18.	Цйдйл ьковокий И. М. Термомагнитные явления в полупро¬
водниках, — М.: Физматгиз, 1960.19.	Ст и л ь б а н о Л. С. Физика полупроводников. — М.: Советское
радио, 1967.20.	Могилевский Б. М., Чудновский А. Ф, Теплопровод*
ность полупроводников. — М.: Наука, 1972.21.	Аскеров Б. М. Кинетические эффекты в полупроводниках. —
М.: Наука, 1970.22.	Г р я з н о в О. С. Вычисление кинетических коэффициентов для nor
лупроводников. — Л.: Наука, 1977.23.	С м и р я о в И. А., Т а м а р ч е н к о В. И. Электронная тепло¬
проводность в металлах и полупроводниках. — Л.: Наука, 1977.24.	Л а н д с б е р г Г. С. Оптика. — М.: Наука, 1976.25.	М о с с Т. С. Оптические свойства полупроводников. — М.: ИЛ,
1964.26.	Вавилов В. С. Действие излучения на полупроводники, — М.:
Физматгиз, 1963,27.	Г. Ф э н. Фотон — электронное взаимодействие в кристаллах. — М,:
Мир, 1969.28.	П и к у о Г, Е* Основы теории полупроводниковых приборов, — М.:
Наука, 1965,346
29.	Р ы в к и и С. М. Фотоэлектрические явления в полупроводниках. —
М.: Наука, 1964.30.	Р ж а н о в А. В. Электронные процессы на поверхности полупровод¬
ников. — М.: Наука, 1971.31.	Бонч-Бруевич В. Л., Калашников С. Г« Физика
полупроводников. — М.: Высшая школа, 1977.32.	Б ь ю б Р. Фотопроводимость твердых тел. — Mv. ИЛ, 1962.33.	Т а у ц Я. Фото* и термоэлектрические явления в полупроводниках.-	М.: ИЛ, 1962.34.	Р о у 8 А. Основы теории фотопроводимости. — М.; Мир, 1966.35.	Р а в и ч Ю. И. Фотомагнитный эффект в полупроводниках и его при¬
менение. — М.: Советское радио, 1967.36.	Бонч-Бруевич В. Л., Звягин Н. П., Миронов А. Г.
Доменная электрическая неустойчивость в полупроводниках. — М.: Наука,
1972.37.	П о ж е л а Ю. К. Плазма и токовые неустойчивости в полупровод¬
никах. — М.: Наука, 1977.38.	Ф е д о т о в Я. А. Основы физики полупроводниковых приборов. —
М.: Советское радио, 1969.39.	Ш а р м а Б. Л., Пурохит Р. К. Полупроводниковые гетеро¬
переходы. — М.: Советское радио, 1979.40.	Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М. Фейнмановские лек¬
ции по физике. — М.: Мир, 1966.41.	Ермаков С. С. Физика металлов. Изд-во ЛГУ, 1975.42.	Н а г а е в Э. Л. Физика магнитных полупроводников. — М.: На¬
ука, 1979.43.	М е т ф е с с е л ь 3., Маттис Д. Магнитные полупроводники.-	М.: Мир, 1972.44.	Редкоземельные полупроводники/ Сб. под ред. В. П. Ж у з • в И. А
Смирнова.— Л.: Наука, 1977.45.	В о н ч - Б р у е в и ч В. Л. Вопросы электронной теории сильно
легированных полупроводников.—В кн.: Итоги науки. Физика твердого тела/
Под ред. С. В. Тябликова,- М.: ВНИИТИ, 1965.46.	М о т т Н, Электроны в неупорядоченных структурах. — М.: Мир,
1969.47.	Мотт Н., Дэвис Э. Электронные процессы в некристалличе¬
ских веществах. — М.: Мир, 1974.48.	Г л а з о в В. М., Чижевская G. Н., Глаголев а Н. Н.
Жидкие полупроводники. — М.: Наука, I967f49.	Шкловский Б. И.| Эфрос А. Л, Электронные свойства
легированных полупроводников. — М.: Наука, 1979.50.	В о н ч - Б р у е в и ч В. Л. и др. Электронная теория неупорядо¬
ченных полупроводников. — М.: Наука, 1981.51.	П а в л о в Л. П. Методы определения основных параметров полу¬
проводниковых материалов. — М.: Высшая школа, 1975.52.	Ковтонюк Н, Ф., Концевой Ю. А. Измерение параметров
полупроводниковых материалов. — М.: Металлургия, 1970.53.	Технология полупроводниковых материалов: Пер, с англ./ Под ред,
М. И. Игл ицы на. - М.: Оборонгиз, 1961.54.	Б у ш Г. и В и н к л е р У. Определение характеристических пара¬
метров полупроводников. — М.: ИЛ, 1959.55.	Фистуль В. И., Мейер А. А. Зондовые методы исследова¬
ния удельного сопротивления полупроводников. — Изд. ЦНИИ информации
MUM, 1968.56.	Б а т а в и н В. В. Контроль параметров полупроводниковых мате¬
риалов и эпитаксиальных слоев. — М.: Советское радио, 1976.57.	Б а р а б а т А. М, и др. Оптические измерения. — Киев: Техника,
1967.58.	Б е р м а н Л. С., Л е б е д е в А. А, Емкостные методы исследо¬
вания полупроводников, — Л,: Наука, 1981,317
59.	Г и м е л ь ф а р б Ф. А., Шварцман С. Л* Современные ме¬
тоды контроля композиционных материалов. — М.: Металлургия, 1979.60.	К о н н и к о в С. Г., Сидоров А. Ф. Электр о ннозондовые ме*
тоды исследования полупроводниковых материалов и приборов. — М.: Энергия,
1978.61.	Пасынков В. В., Ч и р к и н Л. К., Шинков А. Д*
Полупроводниковые приборы. — М.: Высшая школа, 1981.62.	Соминский М. С. Полупроводники. — М.: Наука, 1967.63.	Б е р м а н Л. С. Варикапы. — М.: Энергия, 1965.64.	Ф и с т у л ь В. И., IU в а р ц Н. 3. Туннельные диоды. Успехи
физических наук. Т. 77, вып. 1. 1962.65.	М а с л о в А. А. Электронные полупроводниковые приборы. — М.:
Энергия, 1967.66.	Наследов Д. Нм Сметанникова Ю. С. Полупроводни¬
ковые приемники инфракрасного излучения. Изд-во ЛДНТП, 1964.67.	Дирнли Дж., Нортроп Д. Полупроводниковые счетчики ядер-
ных излучений. — М.: Мир, 1966.68.	И о ф ф е А. Ф. Полупроводниковые термоэлементы. Изд-во АН СССР,
I960.69.	Полупроводниковые тензодатчики/ Под ред. М. Д и н. — М. Энер¬
гия, 1965.70.	Б о г о м о л о в В. Н. Устройства с датчиками Холла и датчиками
магнетосопротивления. — М.- Госэнергоиздат, 1961.71.	В и к у л и н И. М., С т а ф е е в В. И. Полупроводниковые дат¬
чики. — М.: Советское радио, 1975.
ОГЛАВЛЕНИЕПредисловие 		...............	3Часть перваяФизические явления в полупроводникахГлаве I. Энергетический спектр носителей заряда в идеальных полу¬
проводниках 		«...		5§ 1.1. Основные определения	5§ 1.2. Зонная структура энергетического спектра носителей заряда	8| L3. Энергетический спектр электронов в трехмерном кристалле	16§ 1.4. Заполнение зон. Эффективная масса носителей заряда ...	21Глава 2. Энергетический спектр носителей заряда в реальных полупроводниках			32§ 2.1, Дефекты в кристаллах	......			32| 2.2. Примесные атомы		 . • . .	34§ 2.3. Вакансии			.	• . . . ♦	42§ 2.4. Поверхностные уровни . 				45§ 2.5. Дислокации ......		 . . . .	45§ 2.6 Плоские и сложные дефекты .............	47Глава 3. Термодинамическое равновесие носителей заряда	49§ 3.1. Основные положения статистической физики .......	49§ 3.2. Связь концентрации носителей заряда в разрешенных зонахс уровнем Ферми			56§ 3.3. Связь концентрации носителей заряда на локальных уровняхс уровнем Ферми			61§ 3.4. Решение уравнения нейтральности для собственного полу¬
проводника 	 .....	63§ 3.5. Решение уравнения нейтральности в случае полупроводника содним типом однозарядных доноров			66$ 3.6. Решение уравнения нейтральности в случае полупроводникас одним типом однозарядных акцепторов	70§ 3.7. Решение уравнения нейтральности а случае полупроводникасодержащего одновалентные компенсирующие примеси ...	71
§ 3.8 Решение уравнения нейтральности в случае полупроводника,содержащего многовалентные примеси	73§ 3.9, Статистика носителей заряда в полупроводнике, содержащемамфотерную примесь	78§ 3.10. Статистика носителей заряда в полупроводнике содержа¬
щем вакансии ... 	 ...........	8?§ З.П. Статистика электронов в полупроводнике с дислокациями	82
$ 3.12. Статистика электронов при образовании сложных дефектовв кристалле	84Глава 4. Кинетические явления в полупроводниках		 • .	88§ 4.1. Способность полупроводников проводить электрический тони тепло 				88§ 4.2. Метод уравнения Больцмана • 		.*•••••	90349
§ 4.3. Рассеяние носителей заряда на ионизированных примесях	95^ 4.4. Рассеяние на нейтральных примесях	99§ 4.5, Рассеяние на тепловых колебаниях атомов кристаллическойрешетки			100§ 4.6. Рассеяние на других дефектах	105§ 4.7. Смешанное рассеяние носителей заряда в полупроводниках	106§ 4.8. Электропроводность полупроводников	103§ 4.9. Эффект Холла	НО§ 4.10. Термоэлектрические явления . . 		115§ 4.11. Теплопроводность полупроводников	119§ 4.12. Термомагнитные явления	.	124§ 4.13 Другие кинетические эффекты 		128Глава 5. Оптические явления .........		 ....	131§ 5.1. Взаимодействие света с кристаллической средой ......	131§ 5.2, Собственное поглощение света в полупроводниках .....	133§ 5.3. Поглощение света свободными носителями заряда .....	141§ 5.4. Поглощение света примесными центрами	145§ 5.5. Решеточное (фононное) поглощение света	147§ 5.6. Экситонное поглощение света	149§ 5.7’. Отражение света	150§ 5.8. Эффект Фарадея			152Глава 6. Рекомбинация носителей заряда в полупроводниках	155§ 6.1. Основные определения			155§ 6.2. Межзонная излучательная рекомбинация	160§ 6.3. Межзонная безызлучательная рекомбинация	164§ 6.4. Межзонная ударная рекомбинация (Оже-рекомбинация) . .	165
§.6.5. Рекомбинация через однозарядные локальные центры (теорияШокли-Рида)	168§ 6.6. Механизм рекомбинации через локальные центры	173§ 6.7. Соотношения между различными видами и механизмами ре¬
комбинации в полупроводниках 		175§ 6.8. Особые случай рекомбинации носителей заряда	- *	177§ 6.9. Понятие о поверхностной рекомбинации	179§ 6.10. Диффузионная длина носителей заряда 	181Глава 7. Фотоэлектрические явления	182§ 7.1. Фотопроводимость полупроводников	182§ 7.2. Примесная фотопроводимость			186§ 7.3. Фотовольтаические эффекты . 				190§ 7.4. Фотолюминесценция			194Глава 8. Полупроводники в сильном электрическом поле . 		196§ 8.1. Разогрев носителей заряда в электрическом поле	196§ 8.2. Опыты Иоффе	199§ 8.3. Термоэлектрическая ионизация (эффект Френкеля)	201§ 8.4. Электростатическая ионизация (туннельный эффект) ....	202§ 8.5. Ударная ионизация	203§ 8.6. Эффект Франца—Келдыша	205§ 8.7. Рёкомбинация носителей заряда в сильном электрическомполе	206§ 8.8. Токовые неустойчивости в однородных полупроводниках всильном электрическом поле 		206Глава 9. Контактные явления			212$ 9.1. Контакт металл-полупроводник	212§ 9.2. Выпрямление тока на контакте металл—полупроводник . . . 216§ 9.3. Электронно-дырочный переход, (р-/г-пере ход)	219§ 9.4. Гетеропереходы	222350
Глава 10. Магнитные явления в полупроводниках	225§ 10.1. Общие сведения о магнетизме	225§ 10.2. Магнетизм полупроводниковых веществ ♦ .	234§ 10.3. Энергетический спектр воителей заряда в магнитном поле 236§ 10.4. Осцилляционные явления	237§ 10.5. Магнитная восприимчивость немагнитных полупроводников 238
<5 10.6. Локализованные магнитные моменты в немагнитных полу*проводниках 	 ........... 242§ 10.7. Резонансные явления 				245§ 10.8. Полумагнитные полупроводники ......	256§ 10.9. Магнитные полупроводники . 		257Глава 11. Полупроводниковые свойства неупорядоченных веществ . . . 260§ 11.1. Неупорядоченные системы	260§ 11.2. Основные особенности сильно легированных полупроводников 261§ 11.3 Аморфные полупроводники	267§ 114. Жидкие и стеклообразные полупроводники	269Часть втораяЭкспериментальные методы исследования параметров п>лупроводни-
ковых материаловГлава 12. Методы измерения основных параметров полупроводниковыхматериалов	273§ 12.1. Основные параметры, характеризующие полупроводнико¬
вые материалы	273§ 12.2. Зондовые методы измерения удельного сопротивления . . . 274
§ 12.3. Бесконтактные методы измерения удельной электрическойпроводимости	280§ 12.4. Измерение концентрации и подвижности носителей заряда 282
§ 12.5. Методы раздельного определения концентраций доноров и ак¬
цепторов в полупроводниках типа AIV и АШВУ	285§ 12,6. Методы измерения времени жизни носителей заряда .... 290
§ 12.7. Оптические, фотоэлектрические и фотолюминесцентные ме¬
тоды исследования	296Глава 13. Методы измерения основных параметров эпитаксиальныхструктур	301§	13.1.	Определение толщин эпитаксиальных слоев	301§	13.2.	Методы измерения удельной проводимости ........ 305§	13.3.	Определение концентрации носителей заряда	306§	13.4.	Методы контроля неоднородности эпитаксиальных структур 308Часть третьяОсновные области применения полупроводниковых материаловГлава 14. Радиотехнические и электротехнические приборы . .... t 311§	14.1. Силовые диоды (выпрямители)				 . 311§	14.2, Стабилитроны			312§	14.3. Импульсные диоды 		*	313§	14.4. СВЧ-детекторы ...»			314§	14.5. Диоды с переменной емкостью (варикапы)	314§	14.6. Туннельные диоды			316§	14.7. Транзисторы					318§	14.8. Полевые транзисторы МДП-транзисторы и приборы с заря¬
довой связью			320§	14.9, Принципы построения интегральных схем 		322351
Глава 15. Фотоэлектрические и другие приборы с р-п-переходами . . • 324§ 15.1. Солнечные батареи	....... 324§ 15.2. Полупроводниковые приемники излучений ........ 325§ 15.3. Полупроводниковые источники света и лазеры 		326§ 15.4.	Приборы оптоэлектроники	327Глава 16. Полупроводниковые приборы без р-п-переходов	. . 328§ 16.1. Термоэлектрические полупроводниковые приборы	328§ 16.2. Полупроводниковые тензометры	. . . 330§ 16.3. Датчика э. д. с. Холла	.	.331Приложения .........	*	332Литература . 					 ♦ . 334Виктор Ильич Фистуль
Введение в физику полупроводниковЗав, редакцией Л. А. Романова. Редактор И. Г. Волкова. Художественный редак*
тор JI. К. Громова. Переплет художника В. В. Гарбузова Технический редактор
Т. Д. Гарина. Младший редактор И. А. Исаева. Корректор В. В. КожуткинаИБ № 4413Изд. № ЭР—351.	Сдано в набор 31 08.83.	Подп. к печати 28 02 84. Т-06648.Формат 60X907ie.	Бум. тип. № 1. Гарнитура литературная. Печать высокая.Объем 22 уел. печ. л. 22,5 уел. кр.-отт. 22,99 уч.-изд. л. Тираж 10 000 экз. Заказ 1756,Цена 1 р. 10 к.Издательство «Высшая школа*101430, Москва, ГСП-4, Неглинная ул., 29/14Московская типография № 4 Союзполиграфпрома
при Государственном комитете СССР
по делам издательств, полиграфии и книжной торговли
129041, Москва, Б. Переяславская ул., д. 46