• Е- я г??Ю7Г •

и
(ОБРАНІЕ ЗАДАЧЪ
Г. ІСШІІХЪ ИАЧЛ ІЫ1ЫХ Ь и РЕМЕ'ЛТЕНКПХ !> Л Ч'Р- шѵЬ,
ТОРГОВЫХЪ ыколъ.
ВЕЧЕРНИХЪ, и ВОСКРЕСНЫХЪ КЛАССОВЪ,
ш  <
I
ДЕ-ВРГОЕ ИЗДАНІЕ.
гк..'фАВЛ&» )Е И ДОГС.КѴ, ііИОС.
а
V
X
Я
 .	’ ,> । у!.і, Оі іѴлеьі> " । ' ч.ч'даго ЕІ,омиіфСуУ га-• г »•-
ні. іч- . ти' руно?’дггвя	«і і >ших. іі|хмф •иеянихі
,:-ѵ іс>.фиоэ ус*иш*>	Ученьци- Кчмитвіемъ ч. Н. Ии* ьг	.
нъ мѵѵгаі )> с"і "гві* ил к-і • іских  уччліщі и**'	'  *'•
м о СКЬ А.—1е»:
Тнг т«і-'г₽*ф:« нѵі.«»-п-4л>е»ги«;<“- і"> Ппі чли -
. *'	~ .'-<ч *л.. ।	.,.»ы,іь.	Те.«?*'ЖЬ	• -і
В. Я. ГЕБЕЛЬ.
НАЧАЛА АЛГЕБРЫ
— II —
СОБРАНІЕ ЗАДАЧЪ
для
ВЫСШИХЪ НАЧАЛЬНЫХЪ и РЕМЕСЛЕННЫХЪ УЧИЛИЩЪ,
ТОРГОВЫХЪ школъ,
ВЕЧЕРНИХЪ и ВОСКРЕСНЫХЪ КЛАССОВЪ.
Цѣна 50 коп.
ДЕВЯТОЕ ИЗДАНІЕ,
ИСПРАВЛЕННОЕ и ДОПОЛНЕННОЕ.
1-е изданіе допущено Отдѣленіемъ Учебнаго Комитета Мин. Нар. Просвѣ-
щенія въ качествѣ руководства для низшихъ промышленныхъ училищъ;
2-е изданіе условно допущено Ученымъ Комитетомъ МиН. II. Просвѣщенія
въ качествѣ руководства для городскихъ училищъ по полож. 1872 г.
МОСКВА,—1915.
Типо-литографія Русскаго Товарищества Печатнаго и Издательскаго дѣла.
Чистые пруды, Мыльниковъ пер., сэб. д. Телефонъ 18-35.
ОТДѢЛЪ ПЕРВЫЙ.
Предварительныя понятія.
§ 1. Алгебра, такъ же какъ и ариѳметика, занимается на-
хожденіемъ рѣшеній различныхъ вопросовъ, относящихся къ
числамъ. Но между этими двумя науками есть существенная
разница:
1. Алгебра имѣетъ дѣло не съ числами, а съ буквами, кото-
рыя обозначаютъ какія угодно числа.
2. Въ ариѳметикѣ мы стараемся найти рѣшеніе только одного
даннаго вопроса съ извѣстными опредѣленными числами; въ
алгебрѣ —найти общее рѣшеніе всѣхъ вопросовъ одного рода,
какія бы числа ни были даны.
Чтобы выяснить, что такое общее рѣшеніе численнаго во-
проса, рѣшимъ нѣсколько задачъ.
I. Два путешественника выходятъ въ одно и то же время
другъ другу навстрѣчу изъ двухъ городовъ, находящихся на
разстояніи 240 верстъ. Первый проходитъ въ день 25 верстъ,
второй 35 верстъ. Черезъ сколько дней послѣ своего отправле-
нія они встрѣтятся?
Въ каждый день они приближаются другъ къ другу на
25 35 = 60 верстъ; слѣдовательно, они пройдутъ весь раздѣ-
ляющій ихъ путь и встрѣтятся черезъ -^^=4 дня.
Предположимъ теперь, что требуется рѣшить ту же задачу,
но не надъ тремя данными числами 240, 25 и 35 верстъ, а надъ
япяилш угодно числами. Это часто дѣлается для того, чтобы рѣ-
шеніе вопроса имѣло болѣе общее значеніе, т.-е. годилось бы
для всѣхъ одинаковаго рода задачъ, какія бы цѣлыя или дроб-
ныя числа ни были даны. Въ такомъ случаѣ мы уже не можемъ
означать данныя величины цифрами, имѣющими одно извѣстное
Начала алгебры.	1
— 2 —
числовое значеніе, а должны пользоваться какими-нибудь дру-
гими знаками, подъ которыми можно было бы подразумѣвать
какія угодно числа. За такіе знаки берутъ обыкновенно буквы ла-
тинской или французской азбуки.
Назовемъ поэтому число верстъ между 2-мя городами черезъ а,
число верстъ, проходимыхъ въ день первымъ путешественни-
комъ, черезъ Ъ, а вторымъ черезъ с.
Рѣшая задачу въ этомъ общемъ видѣ, найдемъ, что оба пу-
тешественника приближаются другъ къ другу въ каждый день
на Ь-^-с верстъ и, слѣдовательно, встрѣтятся черезъ столько дней,
сколько разъ сумма Ьф-с верстъ заключается въ а верстахъ
раздѣляющаго ихъ пути, т.-е. черезъ дней. Полученное вы-
раженіе представляетъ общее рѣшеніе даннаго вопроса. Под-
ставивъ вмѣсто буквъ числа и произведя дѣйствія, найдемъ
240 и
прежній отвѣтъ: 25-|-35 ~
Буквенное или общее рѣшеніе имѣетъ слѣдующія выгоды
предъ числовымъ или частнымъ рѣшеніемъ:
1. Оно пригодно не для одной предложенной задачи, но для
всѣхъ однородныхъ задачъ, какія бы числа въ нихъ ни были
даны. Напр., если вмѣсто 240, 25 и 35 даны числа 360, 20 и 40,
то, подставивъ ихъ въ полученное выраженіе вмѣсто а, Ъ и с,
360
найдемъ, что искомое число дней — орр^р~6. Если а~ 1638;
_	1305,4 і
-341+301-8.261	5
Ъ — 341; с=304, то число дней
и такъ далѣе.
2.
ствія
нами
3.
Изъ буквеннаго выраженія - ясно видно, какія дѣй-
и въ какомъ порядкѣ надо совершить надъ данными величи-
для полученія искомаго отвѣта.
Легко замѣтить, что при рѣшеніи вопросовъ, подобныхъ
данному, имѣетъ существенное значеніе не именованіе предметовъ
или понятій, данныхъ въ задачѣ, но количественная величина ихъ,
а потому прямо переходимъ къ мысли, что нашу задачу можно
предложить въ болѣе широкомъ смыслѣ, т.-е. обобгцитъ.
Напр., два предмета одновременно начинаютъ двигаться изъ
двухъ мѣстъ, находящихсся на разстояніи а единицъ длины
— 3 —
(какихъ все равно: верстъ, футовъ, метровъ и т. д.) Первый пред-
метъ проходитъ въ каждую единицу времени (сутки, часъ, секун-
ду) Ъ, а второй с такихъ единицъ длины. Черезъ сколько еди-
ницъ времени они встрѣтятся? Рѣшеніе, очевидно, будетъ прежнее:
а
черезъ ур; единицъ времени.
II. Смѣшано 3 сорта чая: 2 фунта по 1,8 руб., 5 ф. по 2 р. п
6 ф. по 2,5 р. за фунтъ. Сколько стоитъ 1 фунтъ смѣси?
Отвѣтъ, какъ легко провѣрить, будетъ: -— = 2,2 р.
.ІО	“
Рѣшимъ эту задачу въ общемъ видѣ: Пусть чаю
1-го сорта будетъ а фунт. по т руб. за 1 фуптъ.
2-го „
3-го р
п
р
»	7)
С Г	Т)
У>	«
п
Стоимость всего чая 1-го сорта будетъ а.т руб., 2-го сорта
Ъ.п руб. и 3-го с.р руб. Общая стоимость всего смѣшиваемаго
ч.ъя.==а.т-\-Ъ.п-\-с.р руб. Раздѣливъ ее на число всѣхъ фунтовъ,
т.-е. на а -ф- Ь с, получимъ искомую цѣну 1 фунта смѣси
а т-А-Ъ.п-Д-с.р а
=—а~І Т | с— РУ6- и°Дставивъ въ найденное выраженіе вмѣсто
буквъ соотвѣтствующія имъ числа, найдемъ прежній отвѣтъ:
----24Т54-6----~	ОчевиДно> что буквенное выра-
женіе представляетъ общее рѣшеніе всѣхъ такъ называемыхъ
задачъ перваго рода на смѣшеніе.
Ш. Сколько рублей прибыли принесетъ капиталъ въ а рубл.,
отданный на і мѣсяцевъ по (годовыхъ)?
р рублей получаются со 100 р. за 12 мѣс.; съ 1-го рубля за
то же время получимъ въ 100 разъ менѣе, т.-е. руб., а съ
а рубл. въ а разъ болѣе, т.-е. ~ руб. Прибыль за 1 мѣсяцъ бу-
детъ въ 12 разъ менѣе, т.-е. а за мѣсяцевъ въ і разъ
х ѵ	р. а. I
болѣе, т.-е. уо012 рублей.
Найденное буквенное или алгебраическое выраженіе предста-
вляетъ общее рѣшеніе всѣхъ задачъ на нахожденіе прибыли или
процентныхъ денегъ на данпый капиталъ, находившійся въ обо-
Т)
п
•п
У)
Т)
У)
У)
Т)
— 4 —
ротѣ извѣстное время. Полагая а = 3600; 1 = 5; ^ = 4 и подста-
вивъ эти числа вмѣсто буквъ, получимъ, что прибыль съ капи-
„„ПЛ	г .	5.3600.4
тала 3600 р., отданнаго на 5 мѣс. по 4%, равна	₽•>
что легко провѣрить непосредственнымъ разсужденіемъ.
Итакъ, алгебра имѣетъ цѣлью находитъ общія рѣшенія во-
просовъ, относящихся къ числамъ, а также обобгцать эти вопросы.
Кромѣ того, алгебра занимается тѣмъ, чтобы эти общія рѣ-
шенія представлять въ наиболѣе простомъ и ясномъ видѣ, и по-
тому учитъ, какъ преобразовывать одно буквенное выраженіе въ
другое, тождественное съ нимъ, т.-е. въ такое, которое остается
равнымъ первому при какихъ угодно числахъ * *)•
§ 2.	Знаки. Знаки дѣйствій въ алгебрѣ употребляются тѣ же,
какъ и въ ариѳметикѣ, т.-е. 4- (плюсъ) для сложенія, — (минусъ)
для вычитанія, точку . для умноженія, которую, впрочемъ, по-
чти всегда опускаютъ, и двѣ точки : или горизонтальную черту
для дѣленія. Такъ что
а-\-Ь есть сумма двухъ количествъ а и Ь
а—Ъ	„	разность	я	я	я
а . Ъ или аЪ	„	произведеніе	„	„	„
, о-
а : Ъ „ -	„	частное	„	„	„
Кромѣ того для обозначенія соотношеній между величинами
употребляются: знакъ равенства = и знакъ неравенства >, обра-
щаемый отверстіемъ къ большей величинѣ, а остріемъ къ мень-
шей, напр., а = Ъ (а равно Ъ); т<.п (т меньше п)
§ 3.	Коэффиціентъ. Произведеніе изъ нѣсколькихъ множите-
лей а, Ъ, с, д, пишется такъ: аЬсд. Если, кромѣ буквенныхъ мно-
жителей, есть и численный (все равно, цѣлый или дробный), то
онъ ставится обыкновенно впереди и называется коэффиціентомъ.
Такимъ образомъ,
произведеніе величинъ «, Ъ, с, д, 4 пишутъ такъ: 4«6сй
3	3
я	„	п,$,р	„ я -тпр.
2
Числа 4 и суть коэффиціенты. Очевидно, что ^аЪсд=аЪс(1-\-
э
3 тпр	тпр	тпр
4- аЪсдА-аЪсдА-аЪсд и точно такъ же	? тпр = —г~ -----=---]—?—
3	0	0	0
д-4—Ь съ ЪЛ 1 съ
*) НапР” ~=с+? ит-д-
— 5 —
Итакъ, коэффиціентъ показываетъ, сколько разъ цѣлое алгебра
ическое выраженіе или извѣстная часть его берется слагаемымъ.
Если при алгебраическомъ выраженіи нѣтъ коэффиціента,
то должно подразумѣвать, что онъ = 1, такъ какъ а = 1.а;
Ьс = 1.Ьс и такъ далѣе.
§ 4.	Возвышеніе въ степень. Кромѣ сложенія, вычитанія, умно-
женія и дѣленія количествъ въ алгебрѣ изучаются еще нѣко-
торыя другія дѣйствія, изъ которыхъ мы разсмотримъ теперь
два: возвышеніе количествъ въ степень и извлеченіе изъ нихъ
корня.
Возвышеніе или возведеніе количества въ степень есть дѣй-
ствіе, посредствомъ котораго данное количество повторяется
множителемъ нѣсколько разъ. Степенью называется произведеніе
одинаковыхъ множителей, а число, показывающее, сколько
разъ количество берется множителемъ, называется показателемъ
степени.
Такимъ образомъ аа=а2 есть возвышеніе во 2-ю степень,
ааа=а3	„	„	„	3-ю	„
ааао=а4	„	„	„	4-ю	„
Точно такъ же 3.3 = 32 = 9; 3.3.3 = 33 = 27; 3.3.3.3 = 34 = 81;
25 = 32; ІО3 = 1000 и т. д.
Возвышеніе во 2-ю степень называется также возвышеніемъ
въ квадратъ, а въ 3-ю степень—возвышеніемъ въ кубъ. Эти на-
званія заимствованы изъ геометріи, такъ какъ возвышеніе во 2-ю
степень числа, выражающаго длину стороны квадрата, даетъ
числовую величину площади этого квадрата, а возвышеніе въ
3-ю степень числа, выражающаго длину ребра куба, даетъ чис-
ловую величину объема этого куба. Если при количествѣ не
стоитъ показателя, то оно называется количествомъ 1-й степени,
такъ какъ а = а1-, Ьс—Ыс1-, 3 = 3* и т. д.
При возвышеніи въ степень дроби, очевидно, слѣдуетъ воз-
высить въ степень отдѣльно ея числителя и знаменателя.
/5\’_ 5 5_52_25. /2\*_2 2 2 2_24_16
\6/ ~ 6'6—62 “36; ѵу - 3 ’ 3 ’ 3'3“ 3*— 81 И Т" Д'
§ 5.	Извлеченіе корня. Извлеченіе корня есть дѣйствіе, въ
которомъ по данной степени какого-либо количества находится
это количество. Знакъ корня изображается . Подъ верхней
чертой его пишется такъ называемое подкоренное количество, т.-е.
данная степень искомаго количества, а надъ нимъ число, назы-
— 6 —
ваемое показателемъ корпя, означающее, какая степень вели-
чины дана.
|/49 или }/49 (показатель 2 обыкновенно не пишется) есть
корень 2-й степени изъ 49. Подкоренное количество 49 есть 2-я
степень (квадратъ) искомаго числа. Найти это число и значитъ
извлечь корень 2-й степени изъ 49. Искомое число, очевидно,
есть 7, такъ какъ 7. 7=72=49.
|/б4 есть корень 3-й степени изъ 64. Извлечь его, значитъ
найти число, 3-я степень (кубъ) котораго равняется 64 (или
иначе, которое, будучи повторено множителемъ 3 раза, дастъ 64).
Искомое число = 4, такъ какъ 4.4.4=43 = 64.
Извлечь $/81, значитъ найти число, 4-я степень котораго —81,
или, которое, будучи повторено множителемъ 4 раза, дастъ 81.
Искомое число = 3, такъ какъ 3.3.3.3 = 34 = 81.
Такимъ образомъ, корень даннаго количества есть число,
которое, будучи повторено множителемъ извѣстное число разъ,
равняется данному количеству.
Корень 2-й степени называется обыкновенно квадратнымъ
корнемъ, а корень 3-й степени — кубичнымъ корнемъ.
Итакъ: )/49 = 7, т.-е. квадратный корень изъ 49 равенъ 7.
|/б4=4	„	кубичный „	в 64	,,	4.
|/8І = 3	„	корень 4-й	степени	„81	„	Зит.д.
Изъ ариѳметики извѣстно, что сложеніе и умноженіе предста-
вляютъ прямыя дѣйствія, которымъ соотвѣтствуютъ обратныя
дѣйствія: вычитаніе и дѣленіе. Точно такъ же возвышеніе числа
въ степень есть прямое дѣйствіе, а извлеченіе корня предста-
вляетъ обратное ему дѣйствіе. Въ самомъ дѣлѣ, при возвышеніи
въ степень дается первая степень количества и требуется опре-
дѣлить его 2-ю, 3-ю, 4-ю и т. д. степень, а при извлеченіи корня,
наоборотъ, дается 2-я, 3-я, 4-я и т. д. степень количества и
требуется опредѣлить его первую степень.
При извлеченіи корней изъ дробей слѣдуетъ извлекать корень
отдѣльно изъ числителя и изъ знаменателя:
/Г 3	/ЗѴ_32_9. з /"Г 2
У 16 = 4’ такъ какъ \4/ _42’~ 16’ у 125 = 5’
©3 23	8
= г--=т-,ѵ и т- Д-
о3 125
Примѣчаніе. Для практики полезно запомнить квадраты
п кубы небольшихъ чиселъ. (См. приложеніе).
— 7 —
§ 6.	Одночлены и многочлены. Алгебраическимъ выраженіемъ
или формулой, какъ мы уже видѣли, называется соединеніе
буквъ и чиселъ помощью знаковъ. Алгебраическія выраженія
раздѣляются на одночлены и многочлены.
Одночленъ есть алгебраическое выраженіе, не содержащее
знаковъ 4~ или—. Напр.,
а, За3Ъ*, 0,1 аЬс3, -^-а у/т2п— суть одночлены.
. Многочленъ есть соединеніе нѣсколькихъ одночленовъ зна-
ками + и—. Одночлены, входящіе въ составъ многочлена, назы-
ваются членами его. Многочленъ, состоящій изъ двухъ членовъ,
называется двучленомъ, изъ трехъ членовъ — пгрехчленомъ и т. д.
Напр., а-\-Ъ, Зш2— \аЪ суть двучлены; « + ь + с>
А
5т2 — 0,2а2	ра— трехчлены;	2а-\-Ъ — Зс Ь — четырехчленъ
и т. д.
§ 7.	Измѣреніе многочлена и одночлена. Сумма показателей
всѣхъ буквъ цѣлаго одночлена называется измѣреніемъ его.
Такимъ образомъ а, Зм— суть одночлены перваго измѣренія; 5а2,
Ъс — второго измѣренія; ЗаЬ4, 0,8сй2т2— пятаго измѣренія и т. д.
Многочленъ, всѣ члены котораго одного измѣренія, назы-
вается однороднымъ. Измѣреніе каждаго изъ его членовъ есть
вмѣстѣ съ тѣмъ и измѣреніе всего многочлена. Напр., выраженіе
«3— Зш2б 5сй2 2«бс есть однородный многочленъ 3-го измѣ-
ренія.
§ 8.	Выраженія цѣлыя, дробныя, раціональныя, ирраціональныя.
Алгебраическое выраженія, въ которое не входятъ буквенные
дѣлители, называется цѣлымъ, въ'противномъ случаѣ дробнымъ
2
или алгебраической дробью. Напр., 7а2Ъ, т2 4- Ьс — выраженія
а3 гп 4- п	.	,
цтьлыя\ ----------- выраженія дробныя,
ѵ Ъ2 т— п	х
Выраженія, не содержащія корней, назыв. раціогшлъными,
а содержащія ихъ ирраціональными или радикальными. Напр.,
всѣ только что написанныя цѣлыя и дробныя выраженія вмѣстѣ
съ тѣмъ и раціональныя.
у/а, 3 |/і24-а|/»?т — выраженія ирраціональныя или радикальныя.
§ 9.	Скобки. Когда хотятъ показать, что слѣдуетъ произвести
извѣстное дѣйствіе надъ двучленомъ, трехчленомъ и вообще
— 8 —
многочленомъ, то ихъ заключаютъ въ скобки.Скобки бываютъ трехъ
родовъ: простыя, квадратныя и } фигурныя. Чтобы уяснить
значеніе скобокъ, сравнимъ нѣсколько буквенныхъ выраженій.
I.	(а— Ь)с; а — Ъс Въ первомъ случаѣ разность а — Ь умно-
жается на с, а во второмъ изъ а вычитается произведеніе Ьс.
II.	[(За2ф76)с— 2т] :д; За2-]-7Ьс—2т:д.
Въ первомъ случаѣ: 1) сумма За2 ф- 7Ъ множится на с; 2) изъ
этого произведенія вычитается 2т и 3) полученная разность
дѣлится на й. Во второмъ случаѣ: изъ суммы За2 ф- 7Ьс вычи-
тается частное отъ дѣленія 2т на Л.
III.	(аф Ь) (а — Ъ) ф- (т -I- и)5; а-\-Ъа — Ьф-тф-п6.
Въ 1-мъ случаѣ сумма двухъ количествъ а и Ъ множится на
ихъ разность и къ произведенію прибавляется пятая степень
суммы количествъ т и п. Во второмъ случаѣ изъ суммы а ф- Ьа
вычитается Ь и къ полученной разности прибавляется количество
т и пятая степень количества п.
Скобки не ставятся, когда порядокъ дѣйствій ясенъ самъ по
себѣ. При этомъ необходимо замѣтить, что если алгебраическое
выраженіе не имѣетъ скобокъ, то порядокъ дѣйствій при вычис-
леніи долженъ быть слѣдующій: сперва производятъ возвышеніе
въ степень и извлеченіе корня, затѣмъ умноженіе и дѣленіе и на-
конецъ сложеніе и вычитаніе.
Напр.. въ выраженіи аЬ3 ф- с: д надо сперва количество Ь
возвысить въ кубъ и затѣмъ умножить на а, потомъ полученное
произведеніе сложить съ частнымъ отъ дѣленія с на й.
Точно такъ же въ выраженіи т:\/п— асъ надо сперва т раздѣ-
лить на квадратный корень изъ п и изъ частнаго вычесть про-
изведеніе а на пятую степень с.
Горизонтальная черта при дѣленіи и извлеченіи корня замѣ-
няетъ собою скобки. Напр., (а2 ф- тгі): (с — 2<ф пишутъ часто въ
такомъ видѣ: а	Корень, напр., квадратный изъ а2Ьф-Зс4
рѣдко пишутъ въ видѣ 1/ (а26ф-3с4), но почти всегда ]/а26-фЗс4.
При возвышеніи въ степень одночлена, состоящаго болѣе,
чѣмъ изъ 1-й буквы, слѣдуетъ также заключать его въ скобки.
?5Ѵ
Выраженія (За)2,(а^)3,!? I очевидно, различны отъ выраженій
	За2,аЪ3, у).
>) Объясните эти различія!
— 9 —
Многочленъ, заключенный въ скобки, а также многочленъ,
представляющій подкоренное количество г), составляетъ какъ бы
одно цѣлое и потому принимается за одночленъ. Напр., выра-
женія (а -|- Ь — с)3, ]/т2-[-па и т. п. считаются одночленами.
§ 10. Численная величина. Численной величиной алгебраиче-
скаго выраженія называется число, которое получится, если вмѣсто
буквъ подставимъ соотвѣтствующія имъ числа и произведемъ
дѣйствія, указанныя знаками. Такъ въ § 1 мы нашли числовыя зна-
ченія для выраженій:	4 (при а—240; Ь=25; с=35);	60
С/~і С	Іѵѵ,
(при р = 4; а — 3600; I =. 5) и т. д.
Найдемъ еще для примѣра
выраженій
1°.
численныя величины двухъ
2°.
при
2
а=1; Ь = 2;
о
3
Зт/аг++_ З.|/1*+23
4/^р+Г 4 /(|)2+2+| “ 4/Я-< “ 2/р ” 2.|
т:\/п—ас3 при т~200; п — 4; а — 3; с=2.
200: /4 —3.25 — 200:2 — 3.32 = 100 — 96 = 4.
2/1+8
Отрицательныя числа.
§ 11. Для опредѣленія какой-либо величины необходимо преж-
де всего измѣрить ее, т.-е. сравнить съ другой однородной съ
ней величиной, принятой за единицу мѣры. Въ результатѣ тако-
го сравненія или измѣренія получается ариѳметическое число
цѣлое или дробное, представляющее размѣръ данной величины.
Существуетъ, однако, много различныхъ величинъ, для опре-
дѣленія которыхъ ариѳметическое число является недостаточ-
нымъ.
Такъ, если возьмемъ нѣкоторую прямую линію и на ней
опредѣленную точку О, то ариѳметическія числа, выражающія
разстоянія другихъ точекъ А, В, С, Р, Е,... лежащихъ на этой
прямой, отъ точки О будутъ недостаточны для опредѣленія
положенія этихъ точекъ.
Е С	О А В Р
-5-4-4-2-1 б І 2 3 4 5 6
•) Такъ какъ черта надъ знакомъ корня замѣняетъ скобки.
— 10 —
Дѣйствительно, такъ какъ разстоянія отъ точки О могутъ
отсчитываться въ двухъ противоположныхъ направленіяхъ, а имен-
но влѣво и вправо, то для опредѣленія положенія какой-нибудь
точки А недостаточно сказать, что разстояніе ея отъ точки О
равно, напр., 2 дюймамъ, но необходимо еще прибавить вправо,
т.-е. указать ея направленіе. Точка С тоже находится на разсто-
яніи 2 дюймовъ отъ точки О, но влѣво. То же самое можно ска-
зать относительно положенія другихъ точекъ В, Е, Е...
Итакъ, для опредѣленія положенія точекъ на прямой отно-
сительно выбранной постоянной точки О, необходимо знать не
только размѣры ихъ разстояній отъ этой точки, но и направленія
этихъ разстояній. Одно направленіе (напр., вправо) принято
считать положительнымъ, а другое ему противоположное (напр.,
влѣво) — отрицательнымъ. Точно такъ же и числа, выражающія
разстоянія по одному направленію, называются положительными
и обозначаются знакомъ-)-, а числа, выражающія разстоянія по
противоположному направленію, называются отрицательными и
обозначаются знакомъ —.
Такимъ образомъ разстояніе О А обозначается черезъ-)-2, а
разстояніе ОС черезъ —2; разстояніе ОВ обозначается черезъ
+ 5, а разстояніе ОЕ черезъ — 4 и т. д.
Существуетъ очень много величинъ, которыя, подобно ука-
заннымъ въ предыдущемъ примѣрѣ, могутъ принимать два зна-
ченія, противоположныя по смыслу или по направленію. Напримѣръ:
прибыль и убытокъ, имущество и долгъ, выигрышъ и проигрышъ.
Величину времени, считая его отъ извѣстнаго даннаго момента,
можно понимать въ двухъ противоположныхъ значеніяхъ или напра-
вленіяхъ (будущее и прошедшее время). Точно такъ же путь дви-
женія можно отсчитывать отъ даннаго мѣста въ двухъ проти-
воположныхъ направленіяхъ (впередъ и назадъ, вправо и влѣво,
вверхъ и внизъ). Градусы термометра выше нуля ('называемаго
точкой замерзанія воды) называются градусами тепла, а ниже
нуля — градусами холода.
Одни значенія этихъ величинъ принято называть положитель-
ными (прибыль, имущество, выигрышъ, будущее время, направленіе
движеніявпередъ,вправо,вверхъ,градусытепла),апротивоположныя
имъ значенія — отрицательными (убытокъ, долгъ, проигрышъ, про-
шедшее время, направленіе назадъ, влѣво, внизъ, градусы холода).
Первыя величины обозначаются положительными числами, а
вторыя отрицательными.
— 11 —
§ 12. Необходимость введенія отрицательныхъ чиселъ и пра-
вилъ дѣйствій надъ ними заставила расширить понятіе числа,
вслѣдствіе чего было введено понятіе объ алгебраическомъ числѣ
или количествѣ, которое показывало бы не только размѣръ (какъ
ариѳметическое число), но и направленіе величины. Алгебраическое
чисю или количество можетъ быть какъ положительнымъ, при
чемъ передъ нимъ ставятъ или подразумѣваютъ знакъ + (плюсъ),
такъ и отрицательнымъ, при чемъ передъ нимъ всегда ставятъ
знакъ — (минусъ) г).
Границей, отдѣляющей положительныя числа отъ отрицатель-
ныхъ, служитъ нуль, который не имѣетъ никакого знака.
Совершенно очевидно, что двѣ равныя величины, изъ кото-
рыхъ одна положительная, а другая отрицательная, взаимно
уничтожаются. Напр., 10 руб. имущества и 10 руб. долга,
(-}- 10 и — 10), 5 шаговъ впередъ и 5 шаговъ назадъ (-}- 5 и — 5)
и т. п. взаимно уничтожаются.
§ 13. Введеніе понятія объ отрицательныхъ числахъ составля-
етъ существенное отличіе и преимущество алгебры сравнительно
съ ариѳметикой. При помощи этого понятія значительно обобща-
ются, какъ рѣшенія вопросовъ, такъ и самые вопросы. Рѣшимъ
Для примѣра двѣ задачи.
I. Нѣкоторый товаръ былъ купленъ за Ъ рублей, а проданъ
за а рублей. Какъ велика полученная прибыль? Отвѣтъ будетъ
а — Ъ рублей, независимо отъ того, каковы численныя величины
а и Ъ. Разсмотримъ 3 возможные здѣсь случая:
1) а>Ъ; 2) а — Ъ-, 3) а<Ъ.
Если а>Ъ, напр., а=15 р.; 5 = 12 р.; прибыль =а — Ъ —
= 15 —12 = 3 р. (прибыль положительная);
если а = Ъ, напр., а = 15 р„ 5 = 15 р., прибыль =а — Ъ —
= 15 — 15 = 0 р. (прибыь нулевая, т.-е. нѣтъ прибыли):
если асЪ, напр., а = 15р., 5 = 19 р., прибыль = а — 5 = 15—19.
Третій случай представляетъ невозможную въ ариѳметикѣ
задачу, такъ какъ изъ меньшаго числа (15) приходится вычитать
большее (19). Однако совершенно ясно, что въ этомъ случаѣ по-
лучится не прибыль, а убытокъ въ 4 рубля. Обозначая убытокъ
*) Алгебраическія числа называются также относшпемными, так1*- какъ они
характеризуютъ отношеніе выражаемыхъ ими воличестві. къ одному или про-
тивоположному роду величинъ или новяііВ, называемыхъ нами положительными
и отрицательными.
— 12 —
отрицательнымъ числомъ, можемъ написать: 15 —19=—4, т.-е.
въ этомъ случаѣ слѣдуетъ изъ большаго числа вычесть меньшее
и передъ полученной разностью поставить знакъ — (минусъ).
15	7
Точно такъ же 10,5—26,7 =—16,2; т — „ =— и т. п.
4 Ь	12
Поэтому иногда говорятъ, что отрицательное число есть
условная разность, полученная при вычитаніи большаго числа изъ
меньшаго *).
II. Тѣло подвинулось отъ точки О, лежащей на горизонталь-
ной прямой АВ, направо на с футовъ и затѣмъ налгьво на д, фу-
товъ. Въ какомъ разстояніи тѣло находится теперь отъ точки Оі) 2)?
Огпвѣгпъ. На разстояніи с — А футовъ.
При ой, напр., с = 5 ф,; й = 3 ф.; с — й = 5— 3 = 2 ф., т.-е.
тѣло находится на 2 ф. вправо отъ точки О.
При с = й, напр., с = 5 ф., й=5 ф., с —й = 5— 5 = 0 ф., т.-е.
тѣло возвратилось въ точку О.
При с<й, напр., с=5 ф., й = 8 ф., с — й=5 — 8 = — 3 ф., т.-е.
тѣло находится на 3 ф. влѣво отъ точки О.
Очевидно, если бы не было введено въ алгебру понятія объ
отрицательныхъ количествахъ, то нельзя было бы пользоваться
выведенными рѣшеніями а — Ъ, с — й и т. д. во всѣхъ трехъ слу-
чаяхъ, а только въ первыхъ двухъ, какъ въ ариѳметикѣ. Но это
значило бы почти все равно, что отказаться отъ составленія
общихъ рѣшеній вопросовъ, такъ какъ при употребленіи буквъ
очень часто бываетъ неизвѣстно, какая изъ нихъ означаетъ
большее количество и какая меньшее, и, слѣдовательно, всякое
выраженіе, содержащее разность, надо было бы ограничивать
разными условіями, чтобы изъ меньшаго не пришлось вычитать
большаго.
§ 14. Абсолютной величиной какого-либо количества называется
число единицъ и частей единицы, заключающееся въ этомъ ко-
і) Полученіе отрицательнаго числа 9—12= — 3 можно объяснить слѣдующимъ
образомъ: отнимемъ отъ уменьшаемаго все, что можно отъ него отнять, т.-е.
9 единицъ. Остались, слѣдовательно, невычтенными 3 единицы. Эти 3 единицы
мы и напишемъ со знакомъ минусъ для указанія невыполненнаго вычитанія.
Такимъ образомъ 9—12= — 3.
Разность—3 сохраняетъ общее свойство разностей, т. е., если приложить ее къ
вычитаемому, то получится уменьшаемое.Дѣйствительно, 12-}—(—3)=9-}-3-}-(—3)=9.
*) Учаащимся очень рекомендуется сдѣлать чертежъ втой задачи.
— 13 —
личествѣ, независимо отъ того, положительно оно или отрица-
тельно.
Извѣстно, что при одномъ и томъ же уменьшаемомъ остатки
будутъ тѣмъ меньше, чѣмъ вычитаемое будетъ больше. Распро-
странивъ это правило и на отрицательныя числа, сдѣлаемъ рядъ
такихъ вычитаній: 4—1=3; 4 — 2 = 2; 4 — 3 = 1; 4 — 4 = 0;
4 — 5 = —1; 4 — 6 = — 2; 4 — 7 =—3. Такъ какъ
3>2>1>0> —1> — 2> — 3, то заключаемъ:
1) Всякое отрицательное количество меньше нуля.
2) Изъ нѣсколькихъ отрицательныхъ количествъ то большее,
котораго абсолютная величина меньше.
Итакъ, въ алгебрѣ кромѣ ряда положительныхъ чиселъ
1,2, 3..., которыя идутъ отъ нуля, увеличиваясь, разсматривается еще
такой же рядъ отрицательныхъ чиселъ: —1, —2, —3..., кото-
рыя идутъ отъ нуля, уменьшаясь.
Сказанное о числахъ, очевидно, всецѣло примѣняется и къ
буквеннымъ выраженіямъ, такъ что при всякомъ выраженіи слѣ-
дуетъ писать или по крайней мѣрѣ *) подразумѣвать его знакъ.
Поэтому количества т, ЗЬс положительны,— т, —ЗЬс отрицатель-
ны и т. д.
§ 15. Приведеніе подобныхъ членовъ. Подобными членами назы-
ваются такіе члены, которые или совершенно одинаковы или раз-
личаются только коэффиціентами и знаками и —. Напр., въ
многочленѣ За2Ъ-\-ЬаЪс2-\-2а2Ъ— ІаЪс2— \а2Ъ члены За2Ь, 2а2Ь, —\а2Ъ
— подобные; точно такъ же ЬаЪс2 и — ЪаЪс2 — подобные члены. Если
въ многочленѣ есть подобные члены, то его можно привести къ
простѣйшему виду соединеніемъ подобныхъ членовъ въ одинъ.
Такое дѣйствіе называется приведеніемъ подобныхъ членовъ. Раз-
смотримъ встрѣчающіеся здѣсь 2 случая.
I. Подобные члены имѣютъ одинаковые знаки. Напримѣръ,
За2Ь-]-2а2Ъ.
Знакъ +, подразумѣваемый передъ За2Ь, показываетъ, что слѣ-
дуетъ прибавить За2Ь; знакъ -|- передъ 2а2Ь показываетъ, что слѣ-
дуетъ прибавить 2а2Ъ. Но прибавить сперва За2Ь, а потомъ 2а2Ъ
все равно, что сразу прибавить 5а2Ъ. Поэтому: За2Ъ-]-2а2Ь = 5а2Ъ.
Положимъ теперь, что оба члена отрицательные: — За2Ь — 2а2Ъ.
Знакъ—передъ первымъ членомъ показываетъ, что слѣдуетъ
отнять За2Ь; тотъ же знакъ передъ вторымъ членомъ показы-
*) Въ случаѣ положительныхъ величинъ.
— 14 —
ваетъ, что слѣдуетъ отнять 2а2Ь. Но отнять сперва За2Ь, а потомъ
2а2Ь все равно, что сразу отнять 5а2Ь. Итакъ:
— За2Ь — 2аѢ = — Ьа2Ъ.
II. Подобные члены имѣютъ разные знаки. Напр.,
За2Ь— 2а2Ь.
Знаки членовъ показываютъ, что сперва слѣдуетъ прибавить
За2Ь, а потомъ отнять 2а2Ь, но это все равно, что сразу приба-
вить а2Ъ. Итакъ:
За2Ь — 2а2Ь = а2Ь.
Положимъ теперь, что первый членъ отрицательный, а второй
положительный: —За2Ь-\-2а2Ъ. Разсуждая по предыдущему, на-
ходимъ, что сперва надо отнять За2Ъ, а потомъ прибавить 2а2Ь,
но это все равно, что сразу отнять а2Ь. Итакъ:
— За2Ъ-\-2а2Ъ = — а2Ь.
Изъ сказаннаго легко вывести слѣд. правило приведенія по-
добныхъ членовъ:
1. Если подобные члены имѣютъ одинаковые знаки, то скла-
дываютъ ихъ коэффиціенты и удерживаютъ ихъ общій знакъ.
2. Если подобные члены имѣютъ разные знаки, то изъ большаго
коэффиціента вычитаютъ меньшій и удерживаютъ знакъ большаго.
Очевидно, что при приведеніи одинаковыхъ членовъ съ раз-
ными знаками они взаимно уничтожаются, т.-е. даютъ въ резуль-
татѣ нуль.
За2Ь — За2Ь=О.
Примѣры. 1. За2Ь ЬаЪс2 ф- 2а2Ь— ІаЬс2—\а2Ъ = ^а2Ъ — 2аЪс2.
2. 5а63 — За2т2с — О,3а — а2т2с — 10,5аЬ3 ф- а ф- 6аЬ3ф-
ф- 4а2ш2с — ЗаЬ3 — — 2,5аЬ3 ф- 0,7а.
Примѣчаніе. Легко видѣть, что приведеніе подобныхъ
членовъ можно дѣлать двояко:
1) Сдѣлать приведеніе первыхъ двухъ членовъ 5аЬ3—
10,5аЬ3, затѣмъ сдѣлать приведеніе результата, т.-е. — 5,5аЬ3
и 3-го члена 6аЬ3 и, наконецъ, 2-го результата, т.-е. 0,5аЬ3
и 4-го члена — ЗаЬ3 или
2) Сдѣлать сперва приведеніе однихъ положительныхъ
членовъ, т.-е. 5аЬ3 и 6аЬ3, затѣмъ приведеніе однихъ отри-
цательныхъ членовъ, т.-е. — 10,5а63 и — ЗаЬ3 и, наконецъ,
приведеніе обоихъ результатовъ, т.-е. ПаЬ3 и — 13,5аЬ3.
- 15 —
Четыре алгебраическія дѣйствія.
§ 16. Дѣйствія надъ алгебраическими буквенными выраже-
ніями, т.-е. надъ одночленами и многочленами совершить на са-
момъ дѣлѣ, какъ въ ариѳметикѣ, нельзя, а можно только указать
ихъ знаками и преобразовать полученный результатъ, чтобы
представить его въ простѣйшемъ видѣ.
Такъ какъ буквенныя выраженія представляютъ алгебраическія
числа, которыя могутъ быть положительными и отрицательными,
то необходимо предварительно установить общія правила дѣй-
ствій надъ алгебраическими числами и уже затѣмъ вывести изъ
нихъ правила дѣйствій надъ одночленами и многочленами.
Сложеніе.
§ 17. Сложеніе двухъ или нѣсколькихъ алгебраическихъ чиселъ
есть дѣйствіе, въ которомъ находится ихъ сумма, т.-е. алгебраи-
ческое число, заключающее въ себѣ столько положительныхъ и
отрицательныхъ единицъ и частей ихъ, сколько ихъ содержится
во всѣхъ данныхъ слагаемыхъ числахъ.
При сложеніи положительныхъ и огприцагпелъныхъ чиселъ со-
храняютъ силу тѣ же правила, какія были выведены для приве-
денія подобныхъ членовъ:
1). Если слагаемыя имѣютъ одинаковые знаки, то складываютъ
ихъ абсолютныя величины и удерживаютъ общій знакъ.
2). Если слагаемыя имѣютъ разные знаки, то изъ слагаемаго, ко-
тораго абсолютная величина больше, вычитаютъ слагаемое, кото-
раго абсолютная величина меньше, и удерживаютъ знакъ большей
величины. Въ самомъ дѣлѣ:
І).(+5) 4-(+2) = 4-7 = 5+ 2; (-5) 4-(-2) = -7 = -5-2 *),
такъ какъ 5 отрицательныхъ единицъ да еще 2 отрицательныя
единицы составятъ 7 отрицательныхъ единицъ.
II). (4-5) 4- (-2) = (4-3) 4- (+2) + (-2) = 4- 3 = 5 - 2.
Разлагаемъ слагаемое съ большей абсолютной величиной на
два числа, изъ которыхъ одно по абсолютной величинѣ равно
і) Слагаемыя положительныя и отрицательныя числа поставлены въ скобкахъ
чтобы не было смѣшенія знаковъ или —, стоящихъ передъ ними и означаю-
щихъ только направленія зтихъ величинъ, со знакомъ дѣйствія сложенія или
со знакомъ — дѣйствія вычитанія.
— 16 —
второму слагаемому. Два числа-]-2 и —2, равныя по абсолют-
ной величинѣ, но противоположныя по своимъ знакамъ, очевид-
но, взаимно уничтожаются. Сдѣлавъ это, получимъ искомую
сумму + 3 = 5 — 2.
Точно такъ же (—5) + (+2) = (—3) + (—2) + (+2) = — 3 =
= — 5 + 2.
§ 18. Сложеніе одночленовъ и многочленовъ. Принимая во внима-
ніе найденные результаты:
(+5) + (+2) =7 = 5+2	I (+5) + (-2) = 3 = 5-2
(—5) + (-2) = — 7 = — 5 — 2	| (—5) + (+2)= —3=—5 + 2,
указывающіе, что во всѣхъ случаяхъ сложенія сумму можно за-
мѣнить выраженіемъ, составленнымъ изъ слагаемыхъ, взятыхъ
съ ихъ знаками, выводимъ слѣдующее правило сложенія простѣй-
шихъ алгебраическихъ выраженій, т.-е. одночленовъ, представля-
ющихъ, какъ извѣстно, какія-нибудь алгебраическія (положи-
тельныя или отрицательныя) числа:
для сложенія одночленовъ слѣдуетъ писать всѣ слагаемыя одно
за другимъ съ сохраненіемъ ихъ знаковъ и затѣмъ, если возможно,
сдѣлать приведеніе.
Такимъ образомъ « + ( + &) = « + &; —» + (—Ь) = — а — Ь;
а + (—Ъ)=а — Ъ; — а + (+&) = — а + Ъ; а + (+0 + (—с)=а-\-Ъ—с;
а + (— 362) + (— 262) = а — Зі2 — 2Ъ2 = а — 5Ъ\
Результатъ алгебраическаго сложенія называется алгебраиче-
ской суммой. Очевидно, что алгебраическая сумма можетъ быть
не только больше (какъ въ ариѳметикѣ), но и меньше каждаго
изъ своихъ слагаемыхъ, такъ какъ прибавить отрицагпельное
число все равно, что вычесть равное ему положительное. Напр.,
5 + (—3) = 2 = 5 — 3.
Въ случаѣ многочленовъ правило сложенія остается то же
самое, т.-е. елгъдуетъ писать многочлены одинъ за другимъ съ со-
храненіемъ ихъ знаковъ и затѣмъ, если возможно, сдѣлать приведеніе.
Въ самомъ дѣлѣ, каждый многочленъ можно разсматривать
какъ алгебраическую сумму всѣхъ его членовъ. Поэтому прило-
жить къ многочлену (а-[-Ъ—с) многочленъ (д—е) все равно, что
къ суммѣ 3-хъ одночленовъ « + (+^) + (—с) прибавить еще
сумму двухъ одночленовъ й + (—е) или найти сумму 5-ти од-
ночленовъ а + (+^) + (—с) + (+«!) + (—е).
Итакъ: (<?+&—с) —]— (й—~в) =: а + (+^) —(—с) —]— (+й) + (—е) :=
—а + Ъ — с + й — е.
— 17 —
Примѣръ. (За»г34-262с)-|-(86—ат3—с2й)	(—362с—5с-{-5с2й) =
= Зат3 -|- 262с	86 — ат3 — с3Л — ЗЬ3с — 5с -|- 5с3д=
— 2ят3 — 62с-|-86-|-4^с2й- 5с.
Примѣчаніе. Если слагаемые многочлены содержатъ подоб-
ные члены, то рекомендуется писать ихъ одинъ подъ другимъ,
размѣщая такъ, чтобы подобные члены находились подъ подоб-
ными.
Примѣры. 1. 5ах— ЗЪу-\-^сг
— 2ах	46г/ —•
— ах-}~ 7Ъу — сг
Чах —11 Ъу -|- ІОсз
11ах— ЗІу-^-Юсг
2. За2 — 5а-|-26— 4
7а_4Ь_|_5— 3&»
2а2 — а— Ъ —2Ъ3
5а2а — 364-1 — 562
Вычитаніе.
§ 19.	Вычитаніе алгебраическихъ чиселъ есть дѣйствіе обрат
ное сложенію; въ немъ по данной суммѣ двухъ слагаемыхъ, называ-
емой уменьшаемымъ, и одггому изъ нихъ, называемому вычитаемымъ,
находится другое, называемое разностью.
Иначе говоря, вычесть одно алгебраическое число изъ другого
значитъ найти такое третье алгебраическое число (разность), ко-
торое, будучи прибавлено къ вычитаемому, давало бы уменьшаемое.
Отсюда легко вывести слѣдующее правило вычитанія:
Чтобы вычесть одно алгебраическое количество изъ другого, на-
до къ уменьшаемому прибавить вычитаемое, взятое съ обратнымъ
знакомъ.
Дѣйствительно:
(4-5) —(4*2) = 5 —2 = 3,
(4~5) — (—2) = 5 4-2 = 7,
(_5)_(+2) = _5-2 = -7,
(—5) — (—2) = — 54-2 = -3,
-5 — 2-|-2= — 5
-5 4-2 — 2= —5
такъ какъ 5 — 2 4- 2= 5:
Т)
»	7)
Г)
Очевидно, что въ алгебраическомъ вычитаніи разность мо-
жетъ быть больше уменьшаемаго (2-й и 4-й примѣры), такъ какъ
вычесть отрицательное количество все равно, что приложить
положительное, равное ему по абсолютной величинѣ.
§ 20.	Вычитаніе алгебраическихъ выраженій. Изъ предыдуща-
го непосредственно вытекаетъ правило вычитанія одночленовъ:
Начала алгебры.
2
— 18 —
при вычитаніи одночлена слѣдуетъ къ уменьшаемому приписать
вычитаемый одночленъ съ обратнымъ знакомъ и, если возможно,
сдѣлать приведеніе.
Примѣръ.
— ІаѢ — ( + 2аѢ} — — 7а3Ъ — 2а3Ь = — №Ъ.
При вычитаніи многочлена слѣдуетъ къ уменьшаемому припи-
сать всѣ члены вычитаемаго многочлена, взятые съ обратными
знаками и, если возможно, сдѣлать приведеніе.
Это слѣдуетъ изъ того, что многочленъ можно разсматри-
вать какъ алгебраическую сумму всѣхъ его членовъ (§ 18),
а чтобы измѣнить знакъ суммы надо измѣнить знаки всѣхъ ея
слагаемыхъ.
Примѣръ.	(7а562 — 2аЬс3—т) — ( — 10аЪс3 -|- Зтп — а®62) =
=7а5Ь2 — 2аЬс3 — т Юабс3—3»и а5Ь3 ~ 8а5Ъ3 8аЬс3 — 4»и.
§ 21.	Раскрытіе скобокъ. Изъ правилъ сложенія и вычитанія
непосредственно вытекаютъ слѣдующія правила раскрытія ско-
бокъ, передъ которыми стоитъ знакъ 4- или —.
1) (Случай сложенія). Если передъ скобками стоитъ то
скобки опускаются вмѣстѣ съ знакомъ при чемъ всѣ члены
внутри скобокъ сохраняютъ свои знаки. Напр.,
2а -|- 3 Ъ -|- (—4с -|- сі) = 2а -|~ 3 Ъ — 4с -|~ сі.
2) (Случай вычитанія). Если передъ скобками стоитъ —, то
скобки опускаются вмѣстѣ съ знакомъ —, при чемъ всѣ члены
внутри скобокъ измѣняютъ свои знаки на обратные. Напр.,
2а ЗЪ— ( — 4с 4~ (?) — 2а 3Ъ 4- 4с — сі.
Если имѣется нѣсколько скобокъ, одна внутри другой, то
ихъ раскрываютъ по порядку, начиная съ наружныхъ или
внутреннихъ скобокъ, при чемъ слѣдуетъ помнить, что много-
членъ, заключенный въ скобки, считается за одночленъ (§ 9).
Примѣры. I. 5с — [7й 4" (4с — 6й) — Зс].
1. Раскрываемъ сперва наружныя, а потомъ внутреннія скобки:
5с _ 7Й — (4с—6й) 4-Зс = 5с — 7й — 4с 4-6й 4-Зс=4с — й.
2. Раскрываемъ сперва внутреннія скобки:
5с — [7й 4" 4с—— Зс] = 5с — 7сІ—4с 4~ 4" Зс — 4с — сі.
П. а —{4і —[а —( —3&4-3с)4-2с —( —2Ь-і-а —с)]}.
1. Начнемъ съ раскрытія наружныхъ скобокъ: а — 464"
4-	(—36+Зс) 4-2с—(~ 4- «— СИ =«— 46 +«— (— зь 4" Зс)+
— 19 —
+ 2с— ( — 2Ъ-[-а — с) =а — 46 +а +36 — Зс-}-2с-}-2Ь — а-}-е =
= а +&.
2. Начнемъ съ раскрытія внутреннихъ скобокъ: а — {46 —
— [« + 36 — Зс+ 2с+ 26 — « + с] } =а— {46 — а — 36 + 3с — 2с —
— 26 “|— а — с | а—46 + сі *+ 36 — Зс 2с 26 — а -|— с л -|— 6.
Очевидно, что тѣ же самыя правила существуютъ и при
обратномъ преобразованіи, т.-е. при заключеніи всего многочлена
или части его въ скобки.
2а3 — ЗаЪ — 7аЪ* + 56 = + (2а3 — ЗаЪ — 7аЪ2 + 56) = — ( —2а3 +
+ Заб + 7а62—56)=2а3 — (За6+7а62 — 56)=2а3 — Заб + ( — 7а62 +
+ 56) и т. д.
Умноженіе.
§ 22. Умноженіе алгебраическихъ чиселъ. Правило знаковъ. Чтобы
вывести правило умноженія двухъ алгебраическихъ (положитель-
ныхъ и отрицательныхъ) чиселъ, разсмотримъ 4 возможные здѣсь
случая:
I. ( + 7). ( + 3); II. (-7).( + 3); III. ( + 7). (-3); IV. (-7).(-3).
Замѣтимъ, что въ первыхъ двухъ примѣрахъ множитель —по-
ложительный, а въ двухъ послѣднихъ множитель—отрицательный.
I. ( + 7) . ( + 3). Этотъ случай представляетъ обыкновенное
ариѳметическое умноженіе. Умножить ( + 7) на ( + 3) значитъ
множимое ( + 7) повторить 3 раза слагаемымъ, т.-е.
( + 7) • (+3) = ( + 7) + ( + 7) + ( + 7) = + 21.
П. (— 7) .( +3). Руководствуясь тѣмъ же ариѳметическимъ
опредѣленіемъ, находимъ, что умножить (— 7) на (+ 3) значитъ
множимое (— 7) повторить 3 раза слагаемымъ, т.-е.
(-7) • ( + 3) = (-7) + (-7) + (-7) = -21.
ІП. (+ 7) . (— 3). Въ этомъ случаѣ мы не можемъ уже осно-
вываться на ариѳметическомъ опредѣленіи и поэтому должны
самостоятельно рѣшить вопросъ: что значитъ ( + 7) взять минусъ
три раза? Обратимъ вниманіе, что Въ данномъ случаѣ множи-
тель есть отрицательное число, т.-е. противоположное положи-
тельному. Въ дѣйствіяхъ сложенія и вычитанія отрицательныхъ
чиселъ получаемые результаты противоположны результатамъ
тѣхъ же дѣйствій съ положительными количествами: прибавить
отрицательное число все равно, что отнять равное ему положи-
2*
— 20 —
тельное и, наоборотъ, отнять отрицательное число все равно, что
прибавить равное ему положительное.
Основываясь на этомъ, можно утверждать, что если ( -|- 7). ( -Р 3)
означаетъ, что -}-7 надо взять 3 раза слагаемымъ, то (4*7}. (— 3)
будетъ означать, что 4-7 надо взять 3 раза вычитаемымъ, т.-е.
съ обратнымъ знакомъ.
Поэтому (4-7) . (-3) = (-7)4-(-7)4-(-7) = -21.
II. ( — 7) . (— 3). Такъ какъ здѣсь множитель (— 3) — отрица-
тельное число, то, разсуждая совершенно подобно предыдущему,
находимъ, что въ этомъ случаѣ надо множимое — 7 взять 3 раза
вычитаемымъ, т.-е. съ обратнымъ знакомъ.
(-7) . (-3) = (4-7)4-(4-7)4-(4-7) = 4-21.
Итакъ: (4-7). (4-3)=4-21 -I	(-|-«) • (4-&)=4-«&
Г>	(-7).(-3) = 4-21	]	и (-^.(-^ = 4-^	]
Г,	(-7).(4-3) = -21	-]	с™воа’(-«)-(4-Ь) = -«ь	-1
х	(4-7).(-3) = -21	]	ТЛН°- (4«).(-Ь) = -аЬ	]
Такимъ образомъ: при умноженіи двухъ количествъ съ одинаковыми
знаками получается въ произведеніи плюсъ, а съ разными минусъ * 1).
і) Иногда это правило выражаютъ, хотя и не совсѣмъ правильно, такимъ
образомъ: плюсъ на плюсъ и минусъ на минусъ дають въ произведеніи -р, а
плюсъ па минусъ или минусъ на плюсъ даютъ иъ произведеніи —.
Правило знаковъ очень часто выводятъ также при помощи слѣдующаго опре-
дѣленія умноженія (даннаго французскимъ математикомъ Коши):
Умноженіе есть дѣйствіе, въ которомъ изъ множимаго составляется новое число,
называемое произведеніемъ, точно такимъ же образомъ, какимъ множитель составленъ
изъ положительной единицы.
При умноженіи положительныхъ и отрицательныхъ чиселъ иозможны слѣ-
дующіе 4 случая:
I. (-р 7) . (-р 3). Множитель -р 3 составленъ изъ -р 1 черезъ повтореніе
ея слагаемымъ 3 раза; слѣдовательно, произведеніе составится черезъ повтореніе
-р7 слагаемымъ 3 раза:
(-р 7) . ( -р 3) = -Р 7 -р7 + 7 = -р 21.
II. ( — 7). ( — 3). Множитель —3 составленъ изъ -рі черезъ перемѣну въ
ней знака и повтореніе ея затѣмъ 3 раза слагаемымъ; слѣдовательно произведе-
ніе составится изъ — 7 черезъ перемѣну въ немъ знака и повтореніе его сла-
гаемымъ 3 раза:
( — 7) . ( —3) =-р7-р 7-р 7 =-р 21.
III. ( — 7) . (-рЗ). Чтобы найти произведеніе, слѣдуетъ —7 повторить сла-
гаемымъ 3 раза (множитель составленъ какъ въ 1 случ.):
— 7.-рЗ=-7 —7 —7 = -21.
IV. (-р7) . (— 3). Чтобы найти произведеніе, слѣдуетъ перемѣнить знакъ
множимаго и затѣмъ повторить его слагаемымъ 3 раза (множитель составленъ
какъ во II случ.);
_р7._3 = —7 — 7 — 7 = — 21.
— 21 —
Легко видѣть, что при перемноженіи нѣсколькихъ количествъ
положительныхъ и отрицательныхъ произведеніе будетъ съ зна-
комъ если число отрицательныхъ множителей четное, и со
знакомъ —, если число ихъ нечетное. Напр.,
а . — Ъ . — с . <1 . — е . — (~ аЪсдер, а. — Ъ . — с. д,. — е— — аЪсйе.
Вполнѣ очевидно, что если одинъ изъ множителей равенъ
нулю, то и все произведеніе равно нулю, т.-е.
О . а — а  О = О.
§ 23.	Умноженіе степеней одного и того же количества.
При умноженіи степеней одинаковыхъ буквъ показатели ихъ скла-
дываются.
Въ самомъ дѣлѣ: а3 . а2 —а . а . а . а  а . — а6 = а8*2;
Ъ2 . Ъ = Ъ . Ъ . Ъ = Ъ3
т разъ п разъ	т-^-п разъ
Вообще: ат . ап . ~а . а . а.. .а . а . а... —а .а . а . а... —ат+м.
Примѣръ: ст*1 - с3,я+2 = С’я+1+8’и+2г=: с*”*+8.
§ 24.	Умноженіе одночленовъ. За5і4с . — 5«2М’. Такъ какъ отъ
перемѣны порядка множителей произведеніе не измѣняется, то
За^с . — 5а2М2 = 3 . — 5 . а5' . а2 . Ь4 . Ъ . с . гі2 = — 15«’Ь5сй2, т.-е.
при умноженіи одночленовъ коэффиціенты перемножаются (съ со-
блюденіемъ правила знаковъ), показатели степеней одинаковыхъ
буквъ складываются, а буквы, входящія въ одинъ изъ производите-
лей, переносятся въ произведеніе безъ измѣненія.
Правило, очевидно, остается справедливымъ и въ случаѣ
произведенія какого угодно числа одночленовъ.
Примѣръ. — а2Ъ . Зтп. 4а»п2. с. а8с2 = — 6аеЪс3т3п.
А
§ 25.	Умноженіе многочлена на одночленъ Чтобы умножитъ
многочленъ на одночленъ, нужно каждый членъ многочлена помно-
житъ на одночленъ съ соблюденіемъ правила знаковъ, т.-е.
(а -|- Ъ — с) т = ат -\-Ът — ст.
Докажемъ это правило, замѣтивъ, что множитель т можетъ
быть положительнымъ или отрицательнымъ, цѣлымъ или дроб-
нымъ.
1) Множитель т цѣлое число. Напр., гп~3. Чтобы сдѣлать
умноженіе (а -]- Ь — с). 3, надо, по опредѣленію этого дѣйствія (§ 22),
повторить множимое (а Ь — с) слагаемыхъ 3 раза. Поэтому
(о -}— Ъ — с). 3= (а -)— Ь — с) -]— (а —}— Ь — с) (о Ь — с) Зя-}-3?> —-Зс.
— 22 —
Если т отрицательное число, напр., т —— 3, то (§22) слѣ-
дуетъ повторить множимое вычитаемымъ (или съ обратнымъ
знакомъ) 3 раза, т.-е.
(а Ъ — с). — 3 — — (а	Ъ — с) — {а Ъ — с) — (а Ъ — с) =
— — За —ЗЬ-}-Зс.
3
2) Множитель т есть дробь. Напр., т—Чтобы сдѣлать
3
умноженіе (аЪ— с).^, надо одну четверть (аЪ — с) или
| (а-}-Ь — с) повторить слагаемымъ 3 раза. Но
(а-}-Ь— с)=і а-|-| Ь—| с 2). Такимъ образомъ
(а /Л	3	(1	.	1	,	1	3	. 3	,	3
\а т° — с) •	7 = 1 -т а 4- - Ь — - с . 3 = 7 а 4- 7	Ъ	—	-яс.
4	\4	'	4	4/	4'4	4
Итакъ, правило остается справедливымъ для всѣхъ случаевъ.
Такъ какъ отъ перемѣны порядка множителей произведеніе не
измѣняется, то выведенное правило сохраняется и при умноже-
ніи одночлена на многочленъ.
Примѣръ.—2а3. ЗЬ — 5аЬ2	^аРс^ — —	4~	— авс.
§ 26. Умноженіе многочлена на многочленъ. Дано умножить
(а-}-Ь — с) (иг-|-п).
Замѣйимъ на время 1-й многочленъ одной буквой, напр., А;
тогда (а-|-Ь — с) (т-^-п)=А. (т -|- гі) = Ат -}- Ап (по предыду-
щему §). Подставимъ теперь вмѣсто А его величину:
Ат-[- Ап—(а Ъ — с)иг-|- (а -|- Ъ — с)п = ат-]-Ьт — ст -|-ап
-]-Ъп — сп.
Итакъ: (а Ъ — с) (т -|- гі) = ат Ът — ст ап Ъп — сп, т.-е.
для умноженія многочлена на многочленъ надо каждый членъ мно-
жимаго помножитъ на каждый членъ множителя съ соблюденіемъ
правила знаковъ.
Примѣры. 1. (а2	4Ь2 — 2аЬ) (а 2Ь) = а3 4аЬ2 — 2а2Ь
-}- 2а2Ь 4- 8Ь3 — 4аЬ2 = а3 + 863.
*) Это легко провѣрить, помноживъ какъ (а 4- Ъ — с), такъ и| а -|- ^ Ь — | с
на 4; Получимъ въ обоихъ случаяхъ одно и то же произведеніе а-)-Ъ— с.
— 23 —
2. (ах3-1~~а3— За3х) (\ах— \х2) = ' а3х3 -]-1 °^х —
— а3х2 — ^ах* — \а3х3 -}- \а3х3 — 1|а3х3 — |а4я; —
— Ца3х2—Іах4.
§ 27. Умноженіе расположенныхъ многочленовъ. Для удобства
дѣйствія при умноженіи многочленовъ очень часто * распола-
гаютъ множимое и множителя по возрастающимъ (восходящимъ)
или убывающимъ (нисходящимъ) степенямъ одной какой-нибудь
входящей въ нихъ буквы, т.-е. пишутъ члены каждаго многочле-
на въ такомъ порядкѣ, чтобы показатели степеней этой буквы
или увеличивались, или уменьшались отъ перваго члена къ
послѣднему. Членъ, содержащій наибольшаго показателя, назы-
вается высшимъ, а наименьшаго показателя — низшимъ.
Примѣръ. Многочленъ 2а®3-]-8— За2х -|- -2х3 располагается по
возрастающимъ степенямъ буквы х такимъ образомъ:
8 — За2х -]- 2а®3 -]- |®3; по убывающимъ: |®3-]-2а®3— За2®-]-8.
Расположеніе дѣйствія въ такомъ случаѣ будетъ слѣдующее:
Требуется умножить (7а — 5-]-2а3) (3 — 4а3-]-а).
2а34-7а- 5
— 4а3-]- а 4-3
— 8а4 — 28а3 -]- 20а2........Произведеніе	множимаго	на—4а3
2а34- 7а3— ба . . .	„	„	„ а
6а34-21а —15 я	„	„	3
— 8а4 — 26а8 -]- 33а3 -]- 16а —-15.	Полное произведеніе.
Выгода такого расположенія состоитъ въ томъ, что подобные
члены подписываются одинъ подъ другимъ, чѣмъ значительно
облегчается ихъ приведеніе. Изъ приведеннаго примѣра слѣ-
дуетъ:
1)	Если множимое и множитель расположены по убывающимъ
или возрастающимъ степенямъ, то и произведеніе располагается
по убывающимъ или возрастающимъ степенямъ.
2)	Высшій членъ произведенія получается отъ перемноженія
высшихъ, а низшій членъ отъ перемноженія низшихъ членовъ
множимаго и множителя.
3)	Число членовъ произведенія до приведенія подобныхъ членовъ
равно произведенію числа членовъ множимаго на число членовъ
множителя. Дѣйствительно, если напр., во множимомъ 4 члена,
а во множителѣ 3 члена, то при умноженіи получится три ряда,
— 24 —
а въ каждомъ ряду по 4 члена произведенія, т.-е. всего 4.3—12
членовъ произведенія.
4)	Высшій и низшій члены не могутъ имѣть себѣ подобныхъ
членовъ и потому произведеніе двухъ многочленовъ не можетъ
содержатъ менѣе двухъ членовъ.
§ 28- Замѣчательные случаи умноженія многочленовъ.
1.	(аЬ)’ = (а-}- Ъ) (а Ъ)~а* і-\-аЪ-\-аЪ 4- 62 = аа4~2аЬ 4-1»2,т.-е.
Квадратъ суммы двухъ количествъ равенъ квадрату перваго ко-
личества, плюсъ удвоенное произведеніе перваго количества на вто-
рое, плюсъ квадратъ второю количества.
2.	(а —Ь)а==(а —Ь)(а —Ь) —а2—аЬ—аЬ4-Ь2=аа—2аЬ4-Ь2,т.-е.
Квадратъ разности двухъ количествъ равенъ квадрату перваго
количества, минусъ удвоенное прогізведеніе перваго количества на
второе, плюсъ квадратъ второго количества.
3.	(а4-й)(а— Ь)=аа + аі — аЪ — Ъ^—а2 — Ъ\
Произведеніе суммы двухъ количествъ на ихъ разность равно
разности квадратовъ этихъ количествъ.
Посредствомъ приведенныхъ формулъ иногда можно сдѣлать
умноженіе проще, чѣмъ обыкновеннымъ путемъ.
Примѣры: 1. (10^4-г/)2 = 100хг4-20л;г/4-«/а.
2. (2т — Зп)2 — 4т2 — 12тп 4" 9п2.
3. (7а24-бЬ)(7аа —бі) = 49я« —25Ьа.
Точно такъ же этими формулами бываетъ иногда выгодно
пользоваться въ дѣйствіяхъ надъ числами, въ особенности, при
возвышеніи ихъ въ квадратъ г)-
При возвышеніи въ квадратъ п< б< лыпвхъ чиселъ полезно замѣтитъ слѣ-
дующіе сокращенные пріемы:
1. Общій видъ всякаго числа, кончающагося на 5, есть 1Оп4-5. Возвышая
его въ квац ать получимъ (1 Оп -|- 5)2 = ІООи2 4- ІООя-|- 25 = 100л («4-1)4-	т.-е.
чтобы возвыситъ въ квадратъ число кончающееся на 5, достаточно -утюжитъ
число, стоящее передъ 5-ю, на слѣдующее за нимъ цѣлое число и къ произведенію
приписать 25.
Примѣры: 352 = 1225; 75« = 5625; 20 2 = 42025.
Точно такъ же, возвышая въ квадратъ смѣшанное число вида получимъ:
что (» 4-1) а = п (п -I- 1) 4* !•
Примѣры: (6 | )2 = 42 і; (ІО а)2 = 1101-
— 25 —
Примѣры: 1. 41.39 = (40 4-1) (40 — 1) = 402 — 12=1600 — 1 =
= 1599.
2. 58’= (50 4-8)2 = 2500 4-800 4-64 = 3364 или
иначе: 582 = (60 — 2)2 = 3600 — 240 4- 4 = 3364.
3. 9982 = (1000 — 2)2 = 1000000 — 4000 4- 4 = 996004.
Дѣленіе.
§ 29.	Опредѣленія. Дѣленіе, есть дѣйствіе, въ которомъ по дан-
ному произведенію и одному изъ множителей отыскивается другой
множитель. Данное произведеніе назыв. дѣлимымъ, данный мно-
житель — дѣлителемъ, искомый множитель — частнымъ. Изъ этого
опредѣленія слѣдуетъ, что дѣленіе есть дѣйствіе обратное умно-
женію. На это необходимо обратить вниманіе, чтобы легче
усвоить особенности этого дѣйствія.
§ 30.	Правило знаковъ, въ алгебраическомъ дѣленіи остается
то же самое, какъ и въ умноженіи, т.-е. количества съ одинако-
выми знаками даютъ въ частномъ плюсъ, а съ разными знаками —
минусъ. Въ самомъ дѣлѣ:
(4-12): (4-3) = 4-4, такъ	какъ	(4-3) •	(4-4) = 4-12.
(-12):(-3) = 4-4,	„	„	(-3).	(4-4) = -12.
(4-12):(-3) = -4,	„	„	(-3).	(-4) = 4-12.
(-12):(4-3)=-4,	„	„	(+3).(-4)	=	-12.
§ 31.	Дѣленіе степеней одного и того же количества. При дѣленіи
степеней одинаковыхъ буквъ изъ показателя дѣлимаго вычитается
показатель дѣлителя.
а7: а* * —а3, такъ какъ аі . а3—а1.
Точно такъ же ЬВ:Ь = Ь4;— а1 :—а4 = + а3; а1: — а*— — а3;
— а1: а4 = — а.3
§ 32.	Дѣленіе одночленовъ. Положимъ, что требуется раздѣлить
—21ав/>3 с2<7 на 7 аЬ2с2. Очевидно, что
2. Всякое цѣлое число близкое 50 можетъ быть представлено въ видѣ
50гс ». Возвышаемъ его въ квадратъ:
(50 ± п)2 = 2500 * 100»-|- п* — 100 (25 ± п) -|- »Д
Примѣры: 47* = (50 — 3)2 = 100 (25 — 3) + 9 = 2209.
• 62* = (50+ 12)2= 100(25+12)4-144 = 3844.
Для чиселъ близкпхь къ 100 ѵдобнѣе пользоваться слѣдующей формулой:
(100 ± П)2	10000 і 2О0п + ПІ = 100 (100 * 2п) + »2.
Примѣры- 982 = (100 — 2,2= 100(100 — 4)+ 4 = 9604.
112* = (100 + 12)2 = 100(100 + 24) + 144 = 12544.
— 26 -
1)	Частное будетъ одночленъ съ знакомъ минусъ. Это прямо
слѣдуетъ изъ правила умноженія и правила знаковъ.
2)	Коэффиціентъ частнаго будетъ 3, т.-е. 21:7, такъ какъ
7.3 = 21.
3)	а5: а = а4; Ъ3: Ъ3 = Ъ; с2:с2=1. Эту единицу можно опу-
стить, такъ какъ отъ умноженія на 1 частное не измѣняется.
4)	Буква й, которой нѣтъ въ дѣлителѣ должна безъ измѣне-
нія перейти въ частное.
Итакъ:	— 21 а6Ь3с2й : 7 аЪ3с3 — — 3 а4Ы,	т.-е.
При дѣленіи одночленовъ коэффиціентъ дѣлимаго дѣлится на
коэффиціентъ дѣлителя съ соблюденіемъ правила знаковъ, изъ по-
казателей буквъ дѣлимаго вычитаются показатели тѣхъ же буквъ
въ дѣлителѣ; буквы дѣлимаго, которыхъ нѣтъ въ дѣлигпелѣ, пе-
реносятся въ частное безъ измѣненія.
Если въ дѣлителѣ есть такія буквы, которыхъ нѣтъ въ дѣли-
момъ, или, если показатели буквъ дѣлителя болѣе показателей
тѣхъ же буквъ въ дѣлимомъ, то говорятъ, что дѣленіе невоз-
можно. Тогда дѣйствіе дѣленія изображаютъ въ видѣ дроби. Напр.,
4 аЪ2с3: 6а3Ь6сй2 =7^57^55- •
Ьачгса?
§	33. Дѣленіе многочлена на одночленъ. Положимъ, что дано
раздѣлить 12а5Ь3 — 20а4Ь7с2 -ф- а8Ь’й на 4а3Ьа.
Такъ какъ дѣлимое равно дѣлителю, помноженному на част-
ное, то заключаемъ, что въ этомъ случаѣ:
1) Частное должно быть многочленомъ.
2) Первый членъ частнаго получится отъ дѣленія перваго
члена дѣлимаго на дѣлителя, 2-й членъ частнаго получится отъ
дѣленія 2-го члена дѣлимаго на дѣлителя, и т. д. Слѣдовательно
(12а’Ь3 — 20а4Ь7с2 а3Ъ5(І): 4а3Ь2 = За2Ь — 5аЬ5с2 ’Ь3й.
Итакъ, чтобы раздѣлить многочленъ на одночленъ, нужно
каждый членъ дѣлимаго раздѣлить на дѣлителя.
Дѣленіе одночлена на многочленъ, представляетъ случай не-
возможнаго дѣленія. Поэтому
5а2Ь : (7аЪ + 2а3Ь4 - 3)=^-^“	•
4	7аЬ-]-2а3Ь4 — 3
§ 34.	Дѣленіе многочлена на многочленъ. Это дѣленіе возможно
безъ остатка лишь въ немногихъ частныхъ случаяхъ. Чтобы луч-
ше уяснить себѣ ходъ дѣйствія, воспользуемся примѣромъ умно-
женія многочленовъ, расположенныхъ по убывающимъ степенямъ,
— 27 —
приведеннымъ въ § 27. Именно, положимъ, что требуется раз-
дѣлить многочленъ — 8а’ — 26а3-]-33а216а —15 на многочленъ
2а2-[-7а— 5.
— 8а’ — 26а3-]-33а2-]-16а—15| 2а2-]-7а— 5
± 8а’ ± 28а3 =+:20а2________| — 4а2 -]- а + 3
1-й	остатокъ	2а3-]-13а2-]-16а —15 гр 2а3гр 7а2 ± 5а
2-й	остатокъ	6а2-]-21а— 15
		=р 6а2=р21а=Ы5
3-й	остатокъ	0
Такъ какъ оба многочлена расположены по убывающимъ сте-
пенямъ и при умноженіи высшій членъ произведенія получается
отъ умноженія высшаго члена множимаго на высшій членъ мно-
жителя, то, очевидно, при дѣленіи высшій членъ частнаго полу-
чится отъ дѣленія высшаго члена дѣлимаго на высшій членъ дѣли-
теля, т.-е. высшій членъ частнаго будетъ — 8а’: 2а2 = — 4а2.
Далѣе, при умноженіи многочленовъ, каждый членъ множителя
множится на все множимое (или на каждый членъ его по поряд-
ку), и полученныя такимъ образомъ произведенія складываются
другъ съ другомъ, послѣ чего и получается полное произведеніе.
Поэтому пргг дѣленіи слѣдуетъ найденный 1-й высшій членъ част-
наго помножить на всего дѣлителя. Вычтя полученное 1-е про-
изведеніе изъ дѣлимаго, мы получимъ 1-й остатокъ, который пред-
ставитъ собой сумму произведеній дѣлителя на 2-й, 3-й и другіе
члены частнаго. Итакъ, подпишемъ подъ дѣлимымъ произведеніе
дѣлителя на—4а2 и измѣнимъ для вычитанія знаки этого про-
изведенія на обратные.
Разсуждая по предыдущему, легко понять, что 1-й или высшій
членъ перваго остатка получился отъ умноженія 1-го или высшаго
члена дѣлителя на 2-й членъ частнаго и, слѣдовательно, чтобы
получить 2-й членъ частнаго, надо 1-й членъ 1-го остатка раз-
дѣлить на 1-й членъ дѣлителя. Итакъ, 2-й членъ частнаго будетъ
2а3: 2а2 — а.
Помноживъ его на всѣ члены дѣлителя и вычтя найденное про-
изведеніе изъ 1-го остатка, получимъ 2-й остатокъ, который пред-
ставляетъ произведеніе всѣхъ членовъ дѣлителя па остальные чле-
ны частнаго, кромѣ 1-го и 2-го. Поэтому, раздѣливъ высшій членъ
2-го остатка на высшій членъ дѣлителя, получимъ третій членъ
частнаго, т.-е. 3, Умноживъ его на дѣлителя и вычтя произведеніе
— 28 —
изъ 2-го остатка, видимъ, что 3-й остатокъ оказался нулемъ, а это
показываетъ, что другихъ членовъ частнаго не можетъ быть.
Въ такомъ же порядкѣ производится дѣленіе, если дѣлимое и
дѣлитель расположены по возрастающимъ степенямъ.
Напр.,	1 — За 4- 4«3 — іа3 I	1 — а-}- 2а2
1	а 2а2 |	1 — 2а
— 2а 2а2—4а3
± 2а гр 2«2	4«3
Такимъ образомъ, при дѣленіи многочлена на многочленъ слѣ-
дуетъ расположить ихъ по степенямъ какой-либо буквы и 1-й
членъ дѣлимаго раздѣлить на 1-Й членъ дѣлителя. Получимъ
1-й членъ частнаго. Умноживъ его на дѣлителя и вычтя полу-
ченное произведеніе изъ дѣлимаго, найдемъ 1-й остатокъ. Раз-
дѣливъ 1-й членъ этого остатка на 1-й членъ дѣлителя, полу-
чимъ 2-й членъ частнаго. Умноживъ его на дѣлителя и вычтя
полученное произведеніе изъ 1-го остатка, найдемъ 2-й остатокъ.
Раздѣливъ 1-й членъ его на 1-й членъ дѣлителя,получимъ 3-йчленъ
частнаго и т. д.
§ 35.	Дѣленіе съ остаткомъ. Дѣленіе многочлена на многочленъ
безъ остатка происходитъ, какъ уже было замѣчено выше, только
въ рѣдкихъ случаяхъ. Остатокъ, получающійся при дѣленіи, при-
соединяютъ къ полученному частному въ видѣ дроби, числитель
которой равенъ остатку, а знаменатель—дѣлителю.
18а3Ь3+ 15а3^+ 12аЬ4
=р18«3Ь3±=12а2Ь3
27<?7? 4- 12«64
— 27«зая:±:18^4
ЗОоЬ4
За— 2Ъ
6а2Ъ2 9аЬ3 4
ЗОаб4
За — 2Ь
§ 36.	Случаи невозможнаго дѣленія. Очевидно, что дѣленіе
невозможно, когда:
1)	Высшій членъ дѣлимаго не дѣлится на высшій членъ дѣ-
лителя или низшій членъ дѣлимаго не дѣлится на низшій членъ
дѣлителя.
2)	Высшій членъ какого-либо остатка не дѣлится на высшій
членъ дѣлителя.
3)	Въ дѣлителѣ есть такія буквы, которыхъ нѣтъ въ дѣлимомъ.
4)	Въ остаткѣ получается одночленъ.
- 29 —
§ 37. Случаи возможнаго дѣленія. Полезно замѣтить слѣдующіе
случаи дѣленія безъ остатка:
1)	Разность одинаковыхъ степеней двухъ количествъ дѣлится
на разность этихъ количествъ. Напр., (а3 — 68):(«— Ъ) =
а2 + аЪ Ъ2- (а4 — 64): (а — 6) = а3 4~ а,2Ь 4~ аЪ2 4- Ь3.
2)	Разность одинаковыхъ четныхъ степеней дѣлится на сумму
этихъ количествъ. Напр., (а4 — №) : (а-±-Ъ) = а3—а2Ъ-\-аЪ2— Ъ3.
3)	Сумма одинаковыхъ нечетныхъ степеней дѣлится на сумму
этихъ количествъ. Напр., (а3 4- Ъ3): (а 4- 6) = а,2 — аЬ-]-Ь2.
Примѣры. 1. Двучленъ 81 — 1664 дѣлится безъ остатка на дву-
члены 3 4-26 и 3—-2Ъ, такъ какъ 81 = 34 и 1664 = (26)4.
2) Двучленъ 32®в 4-1 дѣлится безъ остатка на 2х 4~ 1, такъ
какъ 32®“ = (2®)5 и 1 = 1Б.
Разложеніе многочлена на множителей.
§ 38. Для различныхъ упрощеній и преобразованій въ алгебрѣ
часто приходится разлагать многочленъ на составляющихъ его
множителей. Мы укажемъ только на наиболѣе употребительные
способы.
1. Выведеніе общаго множителя за скобки. Многочленъ вида
ат-\-Ът— ст, всѣ члены котораго содержатъ общаго множи-
теля т, очевидно можетъ быть представленъ, какъ произведеніе
двухъ множителей, т.-е. въ слѣдующемъ видѣ:
ат 4~ Ът — ст=т (а 4 і —с).
Разберемъ болѣе сложный примѣръ. Положимъ, что требуется
разложить на множителей многочленъ 20а3Ь“с2 — 45а4Ь2с3й—15а563сй2.
Разсматривая сперва коэффиціенты 20,45 и 15, находимъ, что они
имѣютъ общаго множителя 5. Количество а входитъ во всѣ три
одночлена, какъ множитель; наименьшая степень его а3 представ-
ляетъ также общаго множителя, такъ какъ а4 = а3, а и а5 = а3а2.
Такимъ же разсужденіемъ найдемъ еще двухъ общихъ множите-
лей Ъ2 и с. Итакъ, мы получили слѣдующихъ общихъ множите-
лей 5, а3, Ь2 и с. Произведеніе ихъ 5а362с представить общаго
наибольшаго множителя (или, что все равно, общаго наибольшаго
дѣлителя), котораго и выводятъ за скобки, при чемъ въ скобкахъ,
очевидно, будетъ частное отъ дѣленія всѣхъ членовъ многочлена
на ихъ общаго множителя.
Ьа3Ь2с (4Ъ2с — 9ас2(1 —За2Ъс12).
— 30 —
Легко замѣтить, что выведеніе за скобки общаго множителя
есть дѣйствіе обратное умноженію многочлена на одночленъ.
Примѣры. 1. 48а3т5®4— 36а*т4хг-}~12а3тх = 12а3тх (4т*х3—
-Зат3х-}-1) і) 2).
2. 2я(а4-Ь)-}-3 (а + Ь) = (а4-Ь) (2®4~3).
II. Разложеніе по формуламъ сокращеннаго умноженія.
Извѣстно (§ 28), что а2—Ъ2 = (а-\- Ь) (а—Ъ).
а2-\-2аЪ-\-Ъ2 = (а-\-Ъ)2.
а2 — 2аЪ -}- Ъ2 = (а — Ь)2, т.-е.
1) Всякій двучленъ, представляющій разность квадратовъ двухъ
количествъ, можетъ бытъ изображенъ въ видѣ произведенія сум-
мы на разность этихъ количествъ. Напр., 9а2 — 166* есть раз-
ность квадратовъ количествъ За и 4Ь2 2) и, слѣдовательно,
9а2 — 1664 = (3а4~462) (За —4Ь2).
2) Всякій трехчленъ, состоящій изъ суммы квадратовъ двухъ
количествъ, увеличенной или уменьшенной удвоеннымъ произве-
деніемъ этихъ количествъ, представляетъ или квадратъ суммы,
или квадратъ разности этихъ количествъ.
Примѣры. 1. 25а2 -|- 20а®2 4®4 — (5а-)-2х2)2.
2.	т2 4-1 — 2т = (т — I)2.
Весьма часто разложеніе многочлена на множителей произво-
дится примѣненіемъ обоихъ способовъ.
Примѣры. 1. 2а3— 18ан2 = 2а (а2—9и2) = 2а (а-]-Зп) (а — Зп).
2.	а364 4- 4а3Ь2 4~ 4а3Ь3=а362(62 44-46)= а3Ъ2(Ъ -|-2)2.
Алгебраическія дроби.
§ 39.	Опредѣленія. Алгебраическая дробь есть частное отъ дѣ-
ленія одного количества на другое, когда это дѣленіе не можетъ
быть выполнено. При этомъ пишутъ дѣлителя подъ дѣлимымъ и
раздѣляютъ ихъ чертою.
Дѣлимое въ такомъ случаѣ называется числителемъ, а дѣли-
тель — знаменателемъ дроби. Дробь называется одночленной, если
знаменатель ея одночленъ, и многочленной, если знаменатель ея—
_	„ а Зт2	Л
многочленъ. Такимъ образомъ — одночленныя дроби, а
і) Предостерегаемъ учащихся отъ ошибки, которую они часто дѣлаютъ, про-
пуская въ скобкахъ членъ = 1.
«) (Зя)2 = 9О2; (462)2 — 166».
— 31 —
 ,	—г-г-г— многочленныя дроби. Дробь вида——-----
т—п 2а—с3—1	г	т
есть не что иное, какъ алгебраическая сумма трехъ одночленныхъ
дробей, т.-е.-а^~Ь с	. (См. § 42).
т т'тт
Если передъ дробью стоитъ знакъ минусъ, то его можно отне-
сти или къ числителю или къ знаменателю. Это прямо слѣ-
дуетъ изъ правила знаковъ при дѣленіи. (§ 30). Такимъ образомъ
2 _°4~ь
т—п
1 а _____— а____ а
Ь Ъ~ ~Ъ~—Ъ’
—(п-|-Ь) —а—Ъ	о-|— Ъ	а—(—Ъ
т—п т—п	т—п	п—т
Алгебраическія дроби по существу ничѣмъ не отличаются отъ
дробей ариѳметическихъ, и потому дѣйствія съ ними производятся
совершенно такъ же и на тѣхъ же основаніяхъ, какъ и дѣйствія
съ ариѳметическими дробями.
Разсмотримъ по порядку эти дѣйствія.
§ 40.	Сокращеніе дробей. Если числитель и знаменатель дроби
имѣютъ общаго множителя, то его можно опустить или, какъ гово-
рятъ, можно сократить дробь. Это дѣлается на томъ основаніи, что
отъ дѣленія числителя и знаменателя (или дѣлимаго и дѣлителя)
на одно и то же количество, дробь (или частное) не измѣняется.
ат___а 4аЪ2с3 2с2	5а3Ь2	1
апр'’ Ът ~~Ъ' 6а2Ь2сй2 ~ЗаМ2’ ~	~~ 40% ‘
§ 41.	Приведеніе дробей къ общему знаменателю основано, какъ
извѣстно, на томъ свойствѣ дробей, что при умноженіи числителя
и знаменателя (или дѣлимаго и дѣлителя) на одно и то же коли-
чество, величина дроби (или частнаго) не измѣняется. Здѣсь мо-
гутъ быть два случая.
1) Знаменатели дробей не имѣютъ общихъ множителей. На-
примѣръ,
а с е
ь’а’Г
Въ этомъ случаѣ числителя и знаменателя
каждой дроби слѣдуетъ помножить на произведеніе знаменателей
остальныхъ дробей. Общій знаменатель будетъ М/2, т.-е. произве-
деніе знаменателей всѣхъ дробей. Такимъ образомъ
а___ай? с____сЪ? с____еЪй
Ъ ~ Ъй?' 'й ~ ИйГ ? ~ Ъй?‘
2. Знаменателгі дробей имѣютъ общихъ множителей. Въ этомъ
случаѣ нужно всѣхъ знаменателей разложить на множителей; вы-
— 32 —
писать множителей одного знаменателя и прибавить къ нимъ изъ
множителей другихъ знаменателей тѣхъ, которыхъ недостаетъ.
Произведеніе этихъ множителей и будетъ общимъ знаменателемъ.
Далѣе слѣдуетъ общаго знаменателя раздѣлить на знаменателя
1-й дроби и полученное частное помножить на ея числителя и
знаменателя. Такъ же поступаютъ со 2-й, 3-й и т. д. дробями.
Зсі) 2
Примѣръ. Привести къ одному знаменателю дроби
хт.-тт  ’ ьгтт • Общій знаменатель = 2. 2. ІАІ2. Зйс. Ъ = 12Ъ“д,9с.
6Ъ2д3с 2Ь4й
1264й3с
Раздѣлимъ его на знаменателя 1-й дроби: -^р^2-=ЗЬйс.
Умножимъ частное на числителя и знаменателя:
Зс2. ЗМс _ 9с3М
ЗЬ3гі2. Ш<Г 12Ь4й3с*
Сдѣлаемъ то же самое со 2-й и 3-й дробями:
12Ь4й3с  , 2. 5а.2й2   ІОаЬ2 .
'бргі3с	’ 6Ж. 2Ь2~12б4^с’
12Ь4й3с	1.6/2с _ 6сРс
2ЬМ	С' 264Й. 6гі2с ~~ 12Ь*с13с ’
§ 42. Сложеніе и вычитаніе дробей. При сложеніи и вычита
ніи алгебраическихъ дробей ихъ приводятъ къ общему знамена-
телю, складываютъ или вычитаюгпъ числителей и подписыва-
ютъ общаго знаменателя.
„	,	, а . с . е ай['А- сЪ/'еЬд
Примѣры. 1.	+ Г =-------М?------'
Зс2 5а 1  9с3ЪсІ—Юаб2—6й2с
2* ІГ3^2	2ЬЫ 121ЛІ3с
с с — т-\-к____2с2 — с^4-игй —Ы
3' й 2с
2«7
Если при сложеніи и вычитаніи, кромѣ дробей, находятся и
цѣлыя количества, то ихъ обыкновенно трже приводятъ къ об-
щему знаменателю, для чего цѣлое количество умножаютъ и
дѣлятъ на этого знаменателя.
і) При вычитавіи слѣдуетъ помнить, что знакъ—передъ дробью относится
ко всему числителю, а не только къ первому члену его. Забывая это, учащіеся
с с — т-\-к	2с2 — сЛ — тЛ -|- М
ошибочно пишутъ, что	---—---------2сгі *
— 33 —
гт X , а I 6 | а2 Ъ* 2аЪ
Примѣры. 1. ^+-, + 2=^ + ^+-^ =
_ а» 2аЪ (а 4- ЪУ
аЬ	аЪ
2гг	у 10ж2 4-15®2^2— ѵ2
у 1 5х	оху
Примѣчаніе. Всякую дробь, числитель которой многочленъ,
а знаменатель одночленъ, можно всегда представить въ
видѣ алгебраической суммы нѣсколькихъ дробей. Напр.,
а2 — 26 —}— Зс а2	26	, Зс  а	1 ( Зс
2аЬ	2аЪ	2аЪ 2аЪ	2Ь	а'2аЪ	'
Въ частныхъ случаяхъ одна или нѣсколько изъ этихъ
дробей могутъ обратиться въ цѣлыя количества. Напр.
6ш3и4-аиг2 п , ат
- з»> ~2” +з7>'
§ 43. Умноженіе дробей. Чтобы перемножитъ дроби, надо пе-
ремножитъ отдѣльно ихъ числителей и знаменателей, и первое
... і	а с е асе
произведеніе раздѣлитъ на второе:
Случаи умноженія дроби на цѣлое количество и цѣлаго ко-
личества на дробь сводятся къ случаю умноженія дроби на
дробь, такъ
подписать
образомъ
какъ
(или
подъ каждымъ цѣлымъ количествомъ можно
лодразумѣвать) знаменателемъ 1. Такимъ
Примѣры. 1.
а
• т—~
Ь
2а364
5»г2п
5а
2.
3.
т	а т . т а т
1	Ъ ’ а ‘ п	1 п
10а2ш 	20а664»г _
363н3	15»п2п463	3»пи4
5.9а36	15а3
зг- • 90 ь= -з»>-=—•
Л Зх 4.3«3г/ 6ж3
4ХУ ’2р~ 2г/3 “V ’
ат
п
4.а6Ь
а
Ъ
§ 44. Дѣленіе дробей. Чтобы раздѣлитъ дробь на дробь, надо
числителя первой дроби умножитъ на знаменателя второй, а
знаменателя первой умножитъ на числителя второй и первое
...	а с ай
произведеніе раздѣлитъ на второе: і‘-^ =
Начала алгебры.
3
— 34 —
Это же правило распространяется и на случаи дѣленія дроби
на цѣлое количество и цѣлаго количества на дробь.
т	а т	ап
а	=-----
п	1 п	т
бгг4 _ 2.7х2ус2й2___ с2
^х1уъЛ
Примѣры. 1.
а а т а
ъ‘т~ъ' 1~Ъгі
2ж2с .	_
~ 2П/М3: “ 7у№ ~ 21. бу/т/М3
24а3. _ _____24а3 ____4а2
~ЪГ'-Ьа— 6аЪ2 ~'Ъ2 ‘
Юс’й6 2й5
2.
3.
§ 45. Дѣйствія
тѣмъ же самымъ
сложностью.
I. Сокращеніе.
дится числителя
а2 оас* ас2
надъ многочленными дробями подчиняются
правиламъ, но отличаются вообще большею
Примѣры. 1.
2.
Для сокращенія многочленныхъ дробей прихо-
и знаменателя разлагать на множителей.
6ж2 — І&п/ 6х(х — Зу)  х — Зу
6х 42ж3 — 6гг2(1 —7х) ~ х(1—7х) )
а2 — Ъ2 (а Ъ) (а — Ъ) а-\-Ъ
(а — Ъ)2 (а — Ъ) (а — Ъ) а — Ъ
II. Сложеніе и вычитаніе.
„	„ т . п	т(Ь—с)
Примѣръ. у-і--Ьт------— ,, г 4 77-^4
О-)-С	—С	(Ь-|-с) (Ь о)
__ тЪ—тс-\-пЪ-\-пс
п(Ь-|-с)
(Ь-}-с) (Ь—с) ~~
—	Ь2—с2
III. Умноженіе и дѣленіе. 1.	~
4лу-рЬау
2гг4-3а тт
5—г-45—і • Прежде
2ах2—2ау2	г
всего слѣдуетъ попробовать разложить многочлены на множи-
телей, затѣмъ обозначить дѣйствія знаками и, наконецъ, если
возможно, сдѣлать сокращеніе или приведеніе:
Зх2-^-Зху__ Зх(х-]-у) . 2х-^-За _____	2х-}-За
4ху-(-6ау	2у(2х-]-За) ’ 2ах2—2ау2	2а(х-\-у) (х—у)
Предостерегаемъ учащихся никогда не сокращать отдѣльныхъ слагаемыхъ
въ числителѣ и внаменателѣ: сокращаться могутъ только общіе множители всего
числителя и всего знаменателя, которыхъ поэтому слѣдуетъ выводить за скобки,
а + 5Ь
Напр., было бы грубой ошибкой сокращать дробь с на 56 или на б и
а
написать, что она=~ или
и т. и.
— 36 -
„	Зх2-\-Зху
Слѣдовательно .—т-тг-^-
4ху-\-Ьау
2х-[-За _____	Зж(ж-|-г/) (2.г-]-За)
2ах2— 2ау2	2у(2х-^-За).2а(х-І~у)(х—у)
Зх
— ±ау(х—у)-
/а-\-Ь	а—Ъ\	2Ь  (а-|-д)а—(а—Ь)а 2Ъ  
\а—Ь а-\-Ъ ) ’ а-\-Ъ (а~рЬ) (а—Ъ) ' а-}-Ь
а2-4~2ад-|-Ь5—а2~І~2аЪ—Ъ2	2Ъ  	4.аЪ(а-\-Ъ)	__ 2а
(а-}-Ь) (а—Ь)	’ а-]-Ъ (а-\-Ь) (а— Ь).2Ъ	а—Ъ
Пропорціи.
§ 46. Отношеніемъ двухъ количествъ называется частное отъ
дѣленія одною изъ нихъ на другое. Такимъ образомъ
отношеніе количествъ а и Ъ
Т)
Т)
і	а
есть а : Ь или ѵ ,
о
„ (с-[-т): (й—гі) или
— и т. п.
а—п
сравненія двухъ величинъ
Отношеніе есть результатъ отъ
посредствомъ дѣленія одной изъ нихъ на другую. Но такъ какъ
сравнивать между собою можно только или отвлеченныя вели-
чины, или величины одного наименованія, то отсюда слѣдуетъ,
что отношеніе есть всегда отвлеченное количество.
Величины а и Ъ, составляющія отношеніе называются чле-
нами отношенія, изъ нихъ а назыв. предыдущимъ членомъ, а
Ъ — послѣдующимъ.
Очевидно, что отношеніе двухъ величинъ имѣетъ всѣ свой-
ства частнаго или дроби.
тт „	„	а 7	,, ,	, а ат
Поэтому, если = к, то а = Ък; Ь — а:к\ т :
о	ЪЪт
а а'.т
т=,-----и т. д.
Ъ Ъ:т
§ 47. Пропорціей называется равенство двухъ отношеній. Такимъ
образомъ равенство
,	, а с
а:Ь=с:а или — у есть пропорція.
Четыре величины а, Ъ, с и сі, составляющія пропорцію, назы-
ваются пропорціональными; изъ нихъ а и (1 называются крайними
членами пропорціи, а Ъ и с — средними.
3»
— 36 —
Пропорціи а:Ъ==Ъ:с и т:п=р:т,
въ которыхъ средніе или крайніе члены равны, называются не-
прерывными.
Общій членъ Ь или т непрерывной пропорціи называется сред-
ней геометрической или средней пропорціональной двухъ другихъ
величинъ.
§ 48- Свойства пропорціи. I. Во всякой пропорціи произведете
крайнихъ членовъ равно произведенію среднихъ членовъ.
Дѣйствительно, приведя обѣ части пропорціи ^ = ^къ общему
аЪ Ъс	,	,
знаменателю, находимъ, что г, откуда аЪ = Ьс.
оа Ьа
Справедливо также и обратное предложеніе: если произведеніе
двухъ количествъ равно произведенію двухъ другихъ количествъ, то
эти четыре количества пропорціональны, т.-е. изъ нихъ всегда
можно составить пропорцію, принимая множителей перваго про-
изведенія за крайніе члены, а множителей второго произведенія
за средніе члены (или наоборотъ). Докажемъ это. Пусть е/=дк.
Раздѣливъ обѣ части равенства послѣдовательно на ед, ек, /д, /7г
и сдѣлавъ сокращенія, получимъ рядъ пропорцій
[=к. (_9.	®___9.
д е' к е' д к ?
Примѣръ. Изъ 4-хъ чиселъ равенства 6.3 —9.2 можно со-
ставить слѣд. пропорціи:
3 _2 3_9 6_2. 6_9
9 —6’ 2 —6’ 9 —3’ 2 —3
Слѣдствія. 1) Крайній членъ пропорціи равенъ произведенію
среднихъ, дѣленному на другой крайній.
2) Средній членъ пропорціи равенъ произведенію крайнихъ, дѣлен-
ному на другой средній.
Дѣйствительно, изъ пропорціи а : Ь—с : сі, слѣдуетъ, что а<1=Ъс.
Раздѣливъ обѣ части этого равенства на каждое изъ 4-хъ коли-
,	,	Ъс , асі ші , Ъс
чествъ а, с, Ъ и а, получимъ а = -~; Ь — — ; с=— ; а= — .
’ ’	17	дГ с Ъ а
3) Средняя геометрическая или средняя пропорціональная двухъ
величинъ равна квадратному корню изъ ихъ произведенія.
Дѣйствительно, изъ пропорціи а : Ъ — Ъ : с имѣемъ, что & — ас,
откуда	Ъ = \^ас.
— 37 —
Примѣръ. 36:12 = 12 : 4; 12 —]/36.4.
II. Во всякой пропорціи можно переставлять: 1) одни крайніе
члены-, 2) одни средніе члены, 3) крайніе и средніе члены вмѣстѣ.
Это доказывается тѣмъ, что при этихъ перестановкахъ произ-
веденіе крайнихъ членовъ будетъ оставаться равнымъ произве-
денію среднихъ членовъ.
Такимъ образомъ изъ пропорціи (1) можно составить
о а
еще 3 слѣдующія пропорціи:
^=-с (2);	(3);	(4).
о а к с д а с
Написавъ данную пропорцію въ видѣ^ —(5) и составивъ от-
сюда еще 3 пропорціи:
*=2 (6);	(7);	(8),
д с а о с а
заключаемъ, что всякая пропорція можетъ быть написана 8-ю
различными способами.
§ 49	- Сложными пропорціями называются пропорціи, получен-
ныя отъ перемноженія или дѣленія соотвѣтственныхъ отношеній
двухъ или нѣсколькихъ другихъ пропорцій. Напр., изъ двухъ про-
порцій ^ = ^(1)и~=| (2) получаются сложныя пропорціи
ае сд а/ ск
Ър дк И Ъе	дд '
§ 50.	Производныя пропорціи. Если прибавимъ или вычтемъ
изъ ѣбѣихъ частей пропорціи | ? по 1, получимъ |	1 = ® ± 1,
или по приведеніи каждой части къ своему знаменателю
а±Ъ____с±д	...
—Ъ~ ~ <Г
Раздѣливъ почленно найденную пропорцію (1) на данную,
находимъ
с-^	(2).
а с
Пропорціи (2) и (1) называются производными и читаются такъ:
сумма или разность членовъ перваго отношенія такъ относится къ
своему предыдущему (или къ своему послѣдующему), какъ сумма
— 38 —
или разность членовъ второго отношенія къ своему предыдущему
(или къ своему послѣдующему).
Переставивъ мѣстами средніе члены пропорцій (1) и (2), полу-
чимъ еще двѣ другія производныя пропорціи
а± Ъ	а Ъ
= ѵ,, т.-е.
с±а	с а
сумма или разность членовъ перваго отношенія такъ относится
къ суммѣ или разности членовъ второго отношенія, какъ предыду-
щій къ предыдущему или какъ послѣдующій къ послѣдующему.
Выведемъ еще одну весьма важную производную пропорцію.
Положимъ, что имѣемъ рядъ равныхъ отношеній ^ = ^-=^=...
Называя ихъ общее частное черезъ к, находимъ, что
= М (1); а2 = Ъ2к (2); а3 = Ъ2к (3);...
Сложимъ почленно равенства (1), (2), (3)...
°і 4* а» 4* «з 4* • • • = М 4" М 4" М 4" • • • или
аі 4" 4* аз 4* • • • — (\ 4* ^2 4~ ь3 4- • • •) &	(4).
Раздѣливъ обѣ части равенства (4) на сумму \ 4- Ъ2 4* Ъ3 4* • • •
получимъ
°і 4~ яз 4~ °з 4~ • • •
4" + ьз + • • •
_ 7. _аі_°2
- к-ъ-ъ~
. , т.-е.
если имѣемъ рядъ равныхъ отношеній, то сумма предыдущихъ чле-
новъ такъ относится къ суммѣ послѣдующихъ членовъ, какъ каждый
изъ предыдущихъ къ своему послѣдуюгцему.
§ 51.	О пропорціональности величинъ. Двѣ величины называются
прямо пропорціоналънымгг одна другой, если онѣ находятся
между собой въ такой зависимости, что при увеличеніи (или
уменьшеніи) одной изъ нихъ въ нѣкоторое число разъ, другая
также увеличивается (или уменьшается) во столько же разъ.
Напр., количество и стоимость товара, время и проходимое въ
теченіе его пространство въ равномѣрномъ движеніи, суть вели-
чины прямо пропорціональныя
Зависимость между двумя прямо пропорціональными величи-
нами а и Ъ выражается равенствомъ
а = тЪ	(1),
гдѣ т есть нѣкоторое постоянное число. Дѣйствительно, увели-
чивая величину Ъ, напр., въ 2, 3, 4... раза, мы заключаемъ изъ
— 39 —
равенства (1), что величина а также будетъ увеличиваться въ
2, 3, 4... раза.
Двѣ величины называются обратно пропорціональными одна
другой, если онѣ находятся между собой въ такой зависимости,
что съ увеличеніемъ одной изъ нихъ въ нѣкоторое число разъ,
другая уменьшается во столько же разъ (или наоборотъ). Напр.,
количество работниковъ и число дней, въ которое они могутъ
совершить извѣстную работу, скорость и время, въ которое можно
пройти извѣстное пространство въ равномѣрномъ движеніи, суть
величины обратно пропорціональныя.
Зависимость между двумя обратно пропорціональными вели-
чинами а и Ъ выражается равенствомъ
а — т . | (2) или а=^	(2'),
гдѣ т есть нѣкоторое постоянное число. Дѣйствительно, увели-
чивая въ равенствѣ (2') величину Ъ, напр., въ 2, 3, 4... раза, мы
находимъ, что величина а будетъ уменьшаться въ 2, 3, 4... раза.
Постоянное число т, называемое обыкновенно множителемъ
или коэффиціентомъ пропорціалъности, очевидно, равно значенію,
которое имѣетъ величина а, если величина Ь=1.
Двѣ величины могутъ быть связаны между собой не только
простой (прямой или обратной) пропорціональностью 1-й степени,
но и пропорціональностью 2-й, 3-й и т. д. степени.
Напр., двѣ величины с и <2 равенства с = тд2 связаны между
собой прямой пропорціональностью 2-й степени, такъ какъ при
увеличеніи <7 въ 2, 3, 4... раза, величина с увеличивается въ 2а,
З2, 42.., т.-е. въ 4, 9, 16... разъ. Такимъ образомъ, возрастанія
величины с пропорціональны квадратамъ возрастаній величины сі.
Точно такъ же изъ равенства
т
заключаемъ, что возраста-
нія величины е обратно пропорціональны кубамъ возрастаній
величины Л такъ какъ при увеличеніи / въ 2, 3. 4... раза вели-
чина е уменьшается въ 23, З3, 43... раза, или въ 8, 27, 64... раза.
Простѣйшіе примѣры прямой пропорціональности 1-й, 2-й и
3 й степени мы находимъ въ геометріи.
Называя черезъ С, К и V длину окружности, площадь круга
и объемъ шара, имѣемъ слѣдующія зависимости ихъ отъ радіуса г:
С~2лг (1); К=лг2 (2); V— = г3 (3).
О
— 40 —
Изъ равенствъ (1), (2) и (3) заключаемъ, что длина окружно-
сти прямо пропорціональна 1-й степени радіуса, площадь круга—
2-й степени или квадрату радіуса, объемъ шара — 3-й степени
или кубу радіуса.
Коэффиціентъ пропорціональности въ первомъ случаѣ = 2л,
4л
во второмъ =л, въ третьемъ =-.,- .
Степени и корни.
ВОЗВЫШЕНІЕ ВЪ СТЕПЕНЬ.
§ 52.	Опредѣленіе дѣйствія и правило знаковъ. Возвысить ко-
личество въ степень значитъ взятъ его множителемъ столько разъ,
сколько въ показателѣ степени единицъ.
Изъ правила знаковъ въ умноженіи слѣдуетъ, что
1) Четная степень всякаго количества есть положительное
количество.
(-|-«)4 = а . а . а  а .=} а*;	(—«)’ =— а . —а . —а . —а . —
= 4~«4; ( — 10/= 10000.
2) Нечетная степень какого-либо количества имѣетъ знакъ
самаго количества.
(а6) = а . а.а . а . а . = -|-аь, ( — а)8 — — а. — а. — а. — а. — а~=
= — а*\ (4-10)3 =1000; ( —10)3 = —1000.
§ 53. Правила возвышенія въ степень. 1) Чтобы возвысить въ
степень произведеніе, слѣдуетъ возвыситъ въ степень каждаго
множителя отдѣльно.
(аЪс)3 = аЬсаЪсаЪс = аааЪЪЪссс = а3Ь3с3; (2аж)4 = 24а4ж4 = 16а4ж4.
2) Чтобы возвысить въ степень дробь, слѣдуетъ возвыситъ въ сте-
пень отдѣльно числителя и знаменателя.
/а\3_а а а____а3 /2\3__23__ 8
\Ь)~Ь'Ъ'Ъ~Ѵ3> (б/	б3—125 ’
3) Чгпобы возвыситъ степень въ новую степень, слѣдуетъ пока-
зателей степеней перемножить.
(а4)3 = а4. а4. а 4= а4+4+4 = а4’3 = а12; (ІО2)3 = 10® = 1000000.
При помощи этихъ правилъ легко возвысить въ степень всякій
одночленъ.
— 41 -
Примѣры: 1. (—5т4и^3)^=—^біп18»3^9;
’2а3ЬѴ_16а12Ь\
Зтп2/ 8Ъп4»г3’
а2 V	а10
Ійс*1024бЧ1Г‘
ИЗВЛЕЧЕНІЕ КОРНЯ.
§ 54. Опредѣленіе дѣйствія и правило знаковъ. Извлечь изъ даннаго
количества корень какой-нибудь степени значитъ найти количе-
ство, которое, будучи возвышено въ эту степень, равняется дан-
ному количеству.
Изъ правила знаковъ при возвышеніи въ степень слѣдуетъ, что:
1)	Коренъ нечетной степени изъ положительнаго количества
есть положительное количество, а изъ отрицательнаго — отрица-
тельное.
^+64 — 4-4, т. к. (+ 4)3 =64;{/- 64 — — 4, т. к. (-4)3 = — 64.
2)	Корень четной степени изъ положительнаго количества мо-
жетъ быть положительнымъ и отрицагпельнымъ количествомъ.
у/-|-25 = ±г5 х), такъ какъ (-}-5)2 = 4-25 и (—5)2 = -}-25;
{/81=і±:3, такъ какъ (-{-3)4 = 81 и (— 3)4 = 81.
3)	Корень четной степени изъ отрицательнаго количества есть
выраженіе невозможное, потому что какъ всякое положитель-
ное, такъ и всякое отрицательное количество при возвы-
шеніи въ четную степень даютъ только положительныя количе-
ства. Такимъ образомъ V—36, |/—16, у/—5 выраженія невоз-
можныя или, какъ ихъ чаще называютъ, выраженія мнимыя.
§	55. Правила извлеченія корня. 1) Чтобы извлечь корень изъ
произведенія, слгъдуегпъ извлечь его изъ каждаго множителя от-
дгълѵно или коренъ изъ произведенія равенъ произведенію корней
изъ всгъхъ его множителей.
3у/а^=1/а.І/Ь.І/с.
*) Выраженіе ± 5 читается: плюсъ 5 и минусъ 5 или плюсъ-минусъ 5. Въ
дальнѣйшемъ изложеніи мывъ большинствѣ случаевъ, для краткости, не будемъ
ставить двойного знака.
— 42 —
Дѣйствительно, возвысивъ обѣ части въ 3-ю степень, полу-
чимъ тождество-.
(у/аЬс)3=(у/а)3-$Ь)3.($/с)3, откуда аЪс — аЪс *).
2	) Чтобы извлечь коренъ изъ дроби, слѣдуетъ извлечь его от-
дѣльно изъ числителя и изъ знаменателя.
/ а \/а
1/ г= такъ какъ
V ъ у/ъ
( і/- Ѵ=?и<ѵ«).2
Ь/ Ъ (у/ъ)3 Ъ
3	) Чтобы извлечь корень изъ степени, слѣдуетъ показателя
степени раздѣлитъ на показателя корня.
у/а* = а3, такъ (а2)2 — а4;	а*, такъ какъ (а4)3 = а12.
Извлеченіе корня изъ одночленовъ. Примѣнимъ эти правила
для извлеченія корня изъ одночленовъ.
Примѣры. 1. у/—32а15Ь5с20 =—2а3Ъс*.
/а6Ъи _ а3Ъ&
’у 25т2 5т
§	55. Выведеніе множителей изъ-подъ знака корня. Въ тѣхъ
случаяхъ, когда нельзя извлечь корня изъ всего подкоренного
количества, это послѣднее разлагаютъ на множителей и извле-
каютъ корень только изъ тѣхъ его множителей, изъ которыхъ
это возможно сдѣлать.
Примѣры. 1. у/Т!§=Ѵг9.2 = Зу/2. .
*) (УсЬс )в=оЬс; (^/о)3 = «; (ѵ/Ь~)3=Ь; (Уё)3—с> такъ какъ возвышеніе
количества въ 3-ю степень и извлечі ніе изъ того же количества корня 3-й
степени суть дѣйствія взаимно уничтожающіяся.
Необходимо замѣтить при эюмъ. что повѣі ка равенствъ при помощи воз-
вышенія въ степень п полученія тождества возможна-только тогда, когда возвы-
шаемыя количества им'Іютъ одинаковые знаки. Иначе можно прійти къ нелѣ-
пымъ вывоіашъ, напр., что = - ^а, такъ какъ (4у/«)2=« и (—^и)!=ои
проч. На этомъ основано много такъ называемыхъ математическихъ софизмовъ.
— 43 —
Если, наоборотъ, требуется подвести множителя подъ знакъ
корня, то его слѣдуетъ возвысить въ степень, равную показа-
телю корня.
Примѣры. 1.
2.
3.
2у/5=>/2і.5=у/2()'
а\/Ь
4™2 /— . /16^
5 ѵ [	25
Извлеченіе квадратнаго корня изъ чиселъ.
§	56. Изъ таблицы умноженія извѣстно, что числа
1,	4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100	(1)
суть квадраты послѣдовательныхъ цѣлыхъ чиселъ отъ 1 до 10 и
что, слѣдовательно, квадратные корни изъ написанныхъ чиселъ
будутъ
1,	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.	(2).
Всѣ цѣлыя числа, состоящія изъ однѣхъ единицъ, или изъ
единицъ и десятковъ, кромѣ написанныхъ въ первомъ ряду,
напр., числа 3, 7, 20, 56, п т. д. не квадраты и потому изъ нихъ
нельзя извлечь квадратнаго корня.
Изъ такихъ чиселъ, какъ 3, 7, 20, 56,... можно извлекать ква-
дратные корни только приближенные, т.-е. находить числа, ква-
драты которыхъ приблизительно равнялись бы этимъ числамъ.
Оставивъ пока этотъ вопросъ, обратимся къ извлеченію корня
изъ полныхъ квадратовъ большихъ 100 *).
§ 57.	Число цифръ	Квадратъ числа содержитъ или,
вдвое болѣе цифръ, чѣмъ самое число или вдвое болѣе безъ еди-
ницы. Въ самомъ дѣлѣ, квадраты всѣхъ однозначныхъ чиселъ отъ
1 до 9 содержатъ или одну или двѣ цифры (22=і4; 5’= 25);
квадраты всѣхъ двузначныхъ чиселъ отъ 10 до 99 содержатъ или
три или ч ищре цифры (112= 121; 40'2— 1600), квадраты всѣхъ
трехзначныхъ чиселъ отъ 100 до 999 содержатъ или пятъ или
шестъ цифръ (1252= 15625, 7802 = 608400) и т. д.
Это свойство позволяетъ сразу опредѣлить, сколько цифръ
имѣ'тъ квадратный корень изъ какого удобно числа, разбивъ
1) Замѣтимъ, что полные квадраты могуті оканчиваться только на 1, 4, 6,
9, 26 или на четное число нулей, передъ которыми должно стоять одно нзь
нтихъ чиселъ.
— 44 —
это число отъ правой руки къ лѣвой на группы, по двѣ цифры
въ каждой, при чемъ въ первой отъ начала числа группѣ мо-
жетъ оказаться одна цифра. Число этихъ группъ или, какъ ихъ
называютъ, граней равняется числу цифръ кв. корня.
§ 58.	Извлеченіе кв. корня изъ чиселъ отъ 100 до 1000 Кв.
корень изъ такихъ чиселъ состоитъ изъ двухъ цифръ — единицъ
и десятковъ. Положимъ, что требуется извлечь кв. корень изъ 4761.
Общій видъ всякаго двузначнаго числа есть ІО.г -ф ?/, гдѣ х-—
цифра десятковъ, а у — цифра единицъ. Общій видъ квадратовъ
такихъ чиселъ есть (1 Ох -фу)і) 2 = ІОО.г2 -ф 2. ІО^гг/ -ф у2, т.-е. квадратъ
двузначнаго числа состоитъ изъ квадрата его десятковъ, удвоеннаго
произведенія десятковъ на единицы и квадрата единицъ.
Раздѣлимъ данное число на грани: 47'61. Квадратъ числа де-
сятковъ будетъ никакъ не болѣе числа первой грани, т.-е. 47,
такъ какъ квадратъ десятковъ *), какъ число, оканчивающееся
двумя нулями, не можетъ быть болѣе 4700. Итакъ, квадратъ
числа десятковъ искомаго корня или равенъ, или менѣе 47. Онъ
не можетъ быть равенъ 47, такъ какъ 47 не есть квадратъ, зна-
читъ, онъ менѣе 47. Возьмемъ для цифры десятковъ число,
квадратъ котораго наиболѣе приближается къ 47. Это будетъ 6,
такъ какъ 62 = 36. Такимъ образомъ, число единицъ, выражаемое
цифрой десятковъ корня, будетъ 60; квадратъ его 602 = 3600.
Вычтемъ его изъ даннаго квадрата: 4761—3600=1161. Остатокъ
1161 заключаетъ въ себѣ два числа: удвоенное произведеніе
десятковъ на единицы и квадратъ единицъ.
Удвоенное произведеніе числа десятковъ на единицы не мо-
жетъ быть болѣе 116, такъ какъ произведеніе десятковъ на еди-
ницы, какъ число, оканчивающееся однимъ нулемъ, никакъ не
болѣе 1160. Отсюда слѣдуетъ, что, раздѣливъ 116 на удвоенное
число десятковъ, т.-е. на 12 получимъ въ частномъ число 9,
которое будетъ во всякомъ случаѣ, не менъгие числа единицъ,
а будетъ или равно или больше его.
Примемъ 9 за цифру единицъ и сдѣлаемъ повѣрку. Если
окажется, что эта цифра велика, возьмемъ 8; если и эта велика,
возьмемъ 7 и т. д. Удвоенное произведеніе десятковъ на единицы —
2.60.9 = 1080. Вычтемъ это число изъ полученнаго остатка:
1161 — 1080 = 81. Новый остатокъ 81 долженъ равняться квадрату
і) Во избѣжаніе недоразумѣній надо строго различать выраженія: квадратъ
числа десятковъ и квадратъ десятковъ числа. Такъ, у 64 квадратъ числа де-
сятковъ или 5а=25, а квадратъ десятковъ или 50а=2500.
— 45 —
единицъ. Такъ это и есть въ дѣйствительности, потому что 9* 2 = 81.
Порядокъ дѣйствія располагается такимъ образомъ:
у/ 4Г61- 69.
3600
6.2 = 12	116,1
9	1080
92	81
	81
	0
Обыкновенно, впрочемъ, этотъ порядокъ упрощаютъ.
Во-первыхъ, нулей у квадрата десятковъ не пишутъ, а только
подразумѣваютъ.
Во-вторыхъ, два послѣднія дѣйствія, т.-е. вычитаніе удвоен-
наго произведенія десятковъ на единицы и квадрата единицъ со-
единяютъ въ одно дѣйствіе. Такъ какъ 2.60.9 -ф 92 = (2.60 -ф 9).9 =
= 129.91), то вмѣсто двухъ этихъ дѣйствій можно, приписавъ къ
удвоенной цифрѣ десятковъ (12) найденную цифру единицъ (9),
помножить полученное число на число единицъ и затѣмъ произ-
веденіе вычесть. Такимъ образомъ:
1. ф47'61=69.		2. у/	8'41 = 29. 4	3. ]/56’25 =75. 49
	36			
129	116’1	49	4фГ	145 72’5
9	1161	9	441	5 725
	0		0	0
Во 2-мъ примѣрѣ при дѣленіи 44 на 4 получилось частное 11,
которое очевидно не можетъ представлять цифру единицъ. По-
этому за цифру единицъ взяли 11 — 2 = 9.
§ 59.	Извлеченіе кв. корня изъ чиселъ большихъ 10000. Извле-
ченіе кв. корня изъ чиселъ, состоящихъ болѣе, чѣмъ изъ четы-
рехъ цифръ, по существу ничѣмъ не отличается отъ извлеченія
корня изъ трехъ и четырехзначныхъ чиселъ. Положимъ, напр.,
что требуется найти 1/39'43'84. Раздѣливъ подкоренное число на
грани, заключаемъ, что искомый корень состоитъ изъ сотенъ, де-
сятковъ и единицъ. Но сотни и десятки, взятые вмѣстѣ, можно
разсматривать, какъ десятки2). Такимъ образомъ, попрежнему
*) или, въ общемъ видѣ: 2.10®уф у2 = (20ж
2) Напр., число 526 состоитъ изъ 52 десятковъ и 6 единицъ.
— 46 —
имѣемъ, что подкоренное число состоитъ изъ квадрата десятковъ,
удвоеннаго произведенія десятковъ на единицы и квадрата еди-
ницъ. Квадратъ десятковъ, какъ число, оканчивающееся двумя
нулями, можетъ заключаться только въ первыхъ двухъ граняхъ.
Извлекая изъ нпхъ корень и затѣмъ разсуждая попрежнему,
опредѣлимъ и единицы корня.
Положимъ еще, что надо найти ]/1 '3-3'63'36. Искомый корень
состоитъ изъ тысячъ, сотенъ, десятковъ и единицъ, но первые
три разряда можно считать за десятки. Квадратъ ихъ заклю-
чается въ первыхъ трехъ граняхъ даннаго числа. Извлекая изъ
нихъ корень, прибавимъ къ остатку послѣднюю грань и поступая
какъ ранѣе, найдемъ искомое число.
I. /39'43'84 = 628.	II./1'33'63'36 = 1156.	Ш. /16'56'49 = 407. 36	1	16			
122 2	34,3	21 244	1	3'3	807 21	7	564,9 564 9
1248 8	998,4	225 9984	5	126,3 1125	0
	0 ’	2306 6	1383,6 1383 6 0	
Итакъ, чтобы извлечь кв. корень изъ даннаго числа, разбиваемъ
его на грани, по двѣ цифры въ каждой. Извлекая корень изъ первой
грани, найдемъ первую цифру корня. Вычтя изъ первой грчни
квадратъ первой цифры корня, снесемъ къ остатку вторую гранъ
и число десятковъ полученнаго числа раздѣлимъ на удвоенную
первую цифру корня. Полученное частное припишемъ къ дѣлителю
(т.-е. къ удвоенной 1-й цифрѣ корня) и полученное число умножимъ
на частное. Если произведеніе будетъ равно или менѣе остатка
вмѣстѣ со второю гранью, то частное будетъ второй цифрой
корня. Въ противномъ случаѣ, частное слѣдуетъ уменьшитъ на
1, 2 и болѣе единицъ. Такъ же находимъ и остальныя цифры корня.
§ 60.	Извлеченіе корня изъ дробей. Чтобы извлечь корень
изъ простой дроби, слѣдуетъ, какъ уже было сказано ранѣе, из-
влечь корни изъ ея числителя и знаменателя.
V /~6889 . /~6889~ _ 83
V 455625~ |/455б25 ~~ 675 ’
При извлеченіи корня изъ десятичной дроби, необходимо по-
мнить, что число десятичныхъ знаковъ ея непремѣнно должно
— 47 —
быть четное, такъ какъ квадратъ десятичной дроби всегда со-
держитъ вдвое болѣе десятичныхъ знаковъ, чѣмъ самая дробь х).
Поэтому нечетное число десятичныхъ знаковъ прямо указываетъ
на невозможность извлеченія точнаго корня.
Корень извлекается сперва изъ цѣлой, а потомъ изъ дробной
части.
.____ </2809	2809	53 го
Напр,/28,09 = \/	= ^ = 5,3 ИЛИ
I. /28,09 = 5,3. II./62,88'49 = 7,93. 111. /0/00'31'36 = 0,056. 25	49	25	
103 30,9	149 3 309	9 0	1583 3	138,8	Ю6 63.6 1341	6 636
	474,9	0 4749
	0
§ 61.	Извлеченіе кв. корня по приближенію. Если данное число
не есть полный квадратъ, то изъ него можно извлечь корень
только съ приближеніемъ, т.-е. найти число, квадратъ котораго
приблизительно равнялся бы данному числу (§ 57).
Извлечь корень съ приближеніемъ до 1, и й й т. д.
значитъ найти одно изъ двухъ чиселъ, разность между которыми
равна 1, -д, тх0, и т. д. и между квадратами которыхъ за-
ключается данное число.
Примѣръ. Найти/547 съ точностью до 1. /5'47=23.
4
43 14,7
3 129
18
Число 23 и есть кв. корень изъ 547 съ приближеніемъ до 1
такъ какъ 232<547. Второй приближенный корень есть 24, такъ
какъ 242>547.
Чтобы извлечь кв. корень съ приближеніемъ или, какъ еще го-
ворятъ, съ точностью до	и т. д, слѣдуетъ, согласно
замѣчанію предыдущаго §, приписать къ подкоренному количе-
ству вдвое болѣе нулей, чѣмъ сколько ихъ въ знаменателѣ сте-
') Это прямо слѣдуетъ изъ правила умноженія десятичн. дробей: 2,52 = 6,25;
2,632 = 6,9169 и т. д.
— 48 —
пени точности, затѣмъ извлечь корень и отдѣлить въ немъ справа
столько десятичныхъ знаковъ, сколько указано степенью точности.
Примѣры. 1. Извлечь/547 съ точностью до -^-0.
/~б'47'00'00 = 23,38.
4
43 3	14,7 129
463	1800
3	1389
4668	4110,0
8	37344
3756
Число 23,38 и есть искомый корень, такъ какъ 23,382<547.
Второй приближенныый корень есть 23,39.
2. Извлечь у/ 5 съ точностью до 0,001.
/5,'00'00'00 = 2,236. 4	
42	10,0
2	84
443	160,0
3	1329
4466	2710,0
6	26796
304
При извлеченіи приближеннаго корня изъ простыхъ дробей,
ихъ обыкновенно предварительно обращаютъ въ десятичныя.
Извлеченіе приближеннаго корня изъ десятичной дроби съ точ-
ностью до 7І-, 1^, —у дѣлается на тѣхъ же основаніяхъ и совер-
шенно такъ же, какъ извлеченіе приближеннаго корня изъ цѣлыхъ
чиселъ. Именно, преобразовываютъ данную дробь такъ, чтобы
число десятичныхъ знаковъ ея было вдвое болѣе числа нулей зна-
менателя степени точности, для чего или приписываютъ слѣдуемое
число нулей или, наоборотъ, откидываютъ лишніе десятичные
знаки, и затѣмъ поступаютъ по предыдущему.
Прим.: 1. Извлечь /2^8 съ точн. до 0,01; \/ 2,80’00= 1,67.
2.	„	1/0,69132739	„	„	0,001;	/0,69'13'27 = 0,831.
3.	„	/0,00072	„	„	0,001;	/0,'00'07'20= 0,026.
4.	„	/Т	«	«	0,1;	/1=/б^З=0,9.
— 49 —
Извлеченіе кубическаго корня изъ чиселъ.
§ 62.	При помощи умноженія легко найти, что кубы
чиселъ: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	(1).
будутъ: 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000.	(2).
Всѣ цѣлыя числа отъ 1 до 1000, кромѣ стоящихъ въ рядѣ (2),
напр., 5, 100, 450 и т. д. не кубы и потому изъ нихъ можно
извлекать только приближенные кубичные корни, т.-е. находить
числа, кубы которыхъ приблизительно равнялись бы этимъ числамъ.
§ 63.	Число цифръ куб. корня. Кубъ числа содержитъ или втрое
болѣе цифръ, чѣмъ самое число, или втрое болѣе безъ единицы,
или втрое болѣе безъ двухъ. Въ самомъ дѣлѣ, кубы всѣхъ однознач-
ныхъ чиселъ содержатъ 3,2 или 1 цифру (83 = 512; 43 = 64; 23 —8);
кубы всѣхъ двузначныхъ чиселъ содержатъ 6, 5 или 4 цифры
(903=729000; 253= 15625; 113=1331); кубы всѣхъ трехзнач-
ныхъ чиселъ содержатъ 9, 8 или 7 цифръ (9003 = 729000000;
4003=64000000; 1113—1367631) и т. д.
Поэтому, если разобьемъ данное число отъ правой руки къ
лѣвой на грани по три цифры въ каждой, при чемъ въ первой
отъ начала числа грани можетъ быть 1, 2 или 3 цифры, то най-
демъ число цифръ куб. корпя. Оно, очевидно, будетъ равно числу
граней.
§ 64.	Извлеченіе куб. корня изъ чиселъ отъ 1000 до 100000.
Куб. корень такихъ чиселъ состоитъ изъ двухъ цифръ: десятковъ
и единицъ. Общій видъ двузначнаго числа, какъ уже было за-
мѣчено, есть 10«4-?/; слѣдовательно, общій видъ куба его бу-
детъ (ІО#-|-2/)3= 1000а"33 . 100а-2?/3 . 10ху2у3, т.-е. кубъ дву-
значнаго числа состоитъ изъ куба его десятковъ, утроегінаго про-
изведенія квадрата десятковъ на единицы, утроеннаго произве-
денія десятковъ на квадрагпъ единицъ и куба единицъ.
Положимъ, что требуется найти |/314'432. Кубъ цифры десят-
ковъ не можетъ быть болѣе числа 1-й грани, т.-е. 314, такъ какъ
кубъ десятковъ, какъ число, оканчивающееся тремя нулями, не
можетъ быть болѣе 314000. Возьмемъ поэтому для цифры десят-
ковъ число, наиболѣе приближающееся къ 314. Такое число бу-
детъ 6, такъ какъ 63 —216, а 73 = 343.
Вычтемъ кубъ десятковъ, т.-е. 603—216000 изъ даннаго
числа: 314432 — 216000 — 98432. Этотъ остатокъ, очевидно, со-
Начала алгебры.	4
— 50 —
стоитъ изъ утроеннаго произведенія квадрата десятковъ на еди-
ницы, утроеннаго произведеніе десятковъ на квадратъ единицъ и
куба единицъ.
Цифру единицъ найдемъ на основаніи слѣдующихъ соображе-
ній. Утроенное произведеніе квадрата десятковъ на единицы, какъ,
число, оканчивающееся двумя нулями, не можетъ быть болѣе 98 400
Слѣдовательно, раздѣливъ 984 на утроенный квадратъ цифры де-
сятковъ, т.-е. на 3.62=108, найдемъ число 9, которое будетъ
никакъ не менѣе цифры единицъ, а будетъ или равно, или бо-
лѣе ея.
Сдѣлаемъ провѣрку, не велика ли взята цифра единицъ.
Утроен. произвед. квадр. дес. на единицы 3.ІООх’г/ = 3.602.9 = 97200.
Утроен. произв. десяти, на кв. единицъ 3.10а?«/2 = 3.60.92= 14580.
Кубъ единицъ у3= 93 =	729.
Сумма —112509.
Сумма трехъ частей полнаго куба болѣе полученнаго остатка:
112509>98432
Итакъ цифра единицъ была слишкомъ велика. Уменьшимъ ее
на 1, т.-е. возьмемъ 9 — 1=8 и сдѣлаемъ вторую провѣрку:
3.100г2?/= 3.602.8 =86400
3. 10,-ет/2 = 3.60 .82 = 11520
г/з— 83 = 512
Сумма = 98432.
Сумма трехъ частей куба равна остатку, слѣдовательно, цифра
единицъ опредѣлена вѣрно.
Въ нѣкоторыхъ случаяхъ приходится дѣлать болѣе двухъ про-
вѣрокъ и цифру единицъ уменьшать на 2 и болѣе единицъ.
Самое дѣйствіе располагается въ такомъ порядкѣ:
уз 14'432 = 68			3.602.8 = 86400
	216	3.602.9 = 97200	
3.62 = 108	984,32	3.60.92 = 14580	3.60.8’= 11520
	984,32	93 = 729	83= 512
	0	112509	98432
Примѣры: 1.	^79'507 = 43 64	3.4023 =14400
3.42 = 48	155,07 155,07	3.40 .32= 1080 33=	27
	0	15507
— 51 —
2.	И 2'744 = 14		
	1	3.102.5 =1500	3.102.4=1200
3.12 = 3	17,44	3.10 .52= 750	3.10.42 = 480
	17,44	53= 125	43= 64
	0	2375	1744
§ 65. Извлеченіе куб. корня изъ чиселъ большихъ 1000000 совер-
шается по тѣмъ же правиламъ и отличается только большею
сложностью дѣйствій.
Положимъ, что требуется найти |/45’882'712. Искомый корень
состоитъ изъ сотенъ, десятковъ и единицъ. Разсматривая сотни и
десятки, взятые вмѣстѣ, какъ десятки, заключаемъ, что кубъ де-
сятковъ, какъ число, кончающееся тремя нулями, заключается въ
первыхъ двухъ граняхъ. Извлекая изъ нихъ корень и разсуждая
по предыдущему, находимъ единицы корпя.
Примѣръ. 1/^5'882'712 = 358
27
3- 32= 27 ІЩ82
158 75
3. 352 = 3675	3007712
3007712
О
3.302.6 =16200
3.30 .62 = 3240
63 = 216
19656
3.302.5 = 13500
3.30 ,52= 2250
53= 125
15875
числа, разбива-
3.3502.8 = 2940000
3.350.82 = 67200
83 =	512
3007712
Итакъ, чтобы, извлечь куб. корень изъ с
ютъ его на грани и, извлекая корень изъ первой грани, находягпъ
первую гуифру корня. Къ остатку сносятъ 2-ю гранъ и число со-
тенъ полученнаго числа дѣлятъ на утроенный квадратъ первой
цифры корня. Частное будетъ или второй цифрой корпія, или
болѣе ея на 1,2,... Ее испытываютъ провѣркой и, если нужно,
уменьшаютъ на 1,2,... Также находятъ остальныя цифры корня.
§ 66. Извлеченіе куб. корня изъ дробей. Чтобы извлечь корень
изъ простой дроби, слѣдуетъ, какъ извѣстно, извлечь его отдѣльно
изъ числителя и знаменателя. Корень изъ десятичной дроби из-
влекается сперва изъ цѣлой, а потомъ изъ дробной части, при
чемъ число десятичныхъ знаковъ данной дроби непремѣнно должно
4*
— 52 —
быть кратнымъ трехъ, т.-е. 3, 6, 9 и т. д. Это прямо слѣдуетъ
изъ правила умноженія десят. дробей.
—•
2)
|/ 389,017=7,3.
= 7,3 или
§ 67. Извлеченіе куб. корня по приближенію. Если данное число
не есть полный кубъ, то изъ него можно извлечь приближенный
корень съ точностью до 1, и т. д., т.-е. найти одно изъ
двухъ чиселъ, разность между которымъ будетъ равна 1,
и т. д. и между кубами которыхъ заключается данное число.
Примѣръ. Найти ]/ 71025 съ точностью до 1.
3.402.1 =4800
3.40.12 = 120
Р =	1
4921
Ѵ7Тб25 = 41.
64
3.42 = 48 70,25
49,21
2104
Число 41 есть куб. корень изъ 71025 съ точностью до 1, такъ
какъ 413< 71025, а (2-й приближ. корень) 423> 71025.
Чтобы извлечь куб. корень съ точностью до и т. д., слѣ-
дуетъ, по § 66, приписать къ подкоренному количеству втрое.
болѣе нулей, чѣмъ сколько ихъ въ знаменателѣ степени точности,
затѣмъ извлечь корень и отдѣлить въ немъ справа столько де-
сятичныхъ знаковъ, сколько указано степенью точности.
Примѣры: 1. Найти: |/ц съ точностью до і^.
|/Щббб'ббО = 2,22.
у 7 СЪ ТОЧНОСТЬЮ ДО 577.
р/7\000=1,9.
При извлеченіи приближеннаго корпя изъ простыхъ дробей,
ихъ обыкновенно обращаютъ въ десятичныя.
Чтобы извлечь приближенный куб. корень изъ десятичной
дроби съ точностью до и т. д., преобразовываютъ данную
дробь, прибавляя слѣдуемое число нулей или, наоборотъ, откиды-
вая лишніе десятичные знаки, и затѣмъ поступаютъ такъ же,
какъ при извлеченіи приближ. куб. корня изъ цѣлыхъ чиселъ.
— 53 —
Прим.	1. Извлечь 3|/9,81
г	2.	г	|/638,32417
„	3.	„	|/0,0251
4
Г)	Г 11
съ	точн.	до	0,01;	^9',810'000	—2,14.
„	„	„	0,1;	|/638',324	=8,7.
„	„	„	0,01;	{/0,025’100	=0,29.
„	„	„	0,1;	|/^=|/б\363=0,7.
7)	7)	7)	’ ’ г 11 г »	’
Дѣйствія съ ирраціональными количествами.
§ 68. Опредѣленіе. Количества, содержащія корень, который
нельзя извлечь, называются ирраціональными или радикальными.
Напр., ]/2^ ]/10, |/5, |/7^]/а, у/аЦ-Ь суть количества ирраціо-
нальныя.
Разсмотримъ дѣйствія съ простѣйшими ирраціональными коли-
чествами.
§ 69. Сложеніе и вычитаніе ирраціональныхъ количествъ дѣла-
ются по тѣмъ же правиламъ, какія были выведены для раціональ-
ныхъ количествъ, т.-е. при сложеніи иррац. количествъ пишутъ
эти количества одно за другимъ съ сохраненіемъ ихъ знаковъ, а
при вычитаніи къ уменьшаемому приписываютъ вычитаемое,
взятое съ обратнымъ знакомъ. Иногда бываетъ возможно путемъ
преобразованій сдѣлать радикальныя количества подобными, т.-е.
имѣющими одинаковые показатели корней и подкоренныя коли-
чества, а затѣмъ сдѣлать приведеніе.
Примѣры. 1.1/з_|_р/75_р^=1/з	—1]/3=^1/3.
2. }/а-|-]/а3-|-]/а5 — ]/а-|-а]/а а2 а = }/а (1а а2)
§ 70. Умноженіе и дѣленіе. При умноженіи ирраціональныхъ
количествъ съ одинаковыми показателями корней перемножаются
ихъ подкоренныя количества, а при дѣленіи — дѣлятся. Это слѣ-
дуетъ изъ того, что
ЦсГ. VЪ = пу/аЬ-,	Цъ = у/| •
Примѣры. 1. і/ба2^3? ]/2а3ж = ]/12а5Ь3ж = 2а2Ь]/ЗаЬа;.
2. ]/8я2г/ : у/бжу = Ѵ= Ѵ/—^—=? V/-^~
V 6ж3^4 у Зху3 у \ Зху.
§ 71. Возвышеніе въ степень. Чтобы ирраціональное количество
возвыситъ въ степень, слѣдуетъ возвыситъ въ эту степень подкорен-
ное количество.
— 54 —
. Дѣйствительно: у/ат = \/а. ’{/а. у/сГ. = у/а.а.а... = у/а™.
1-	(|/а)’=|/а2, такъ какъ (|/а)’=|/аГ |/а.
2.	(]/2аѢ)а = і/8а^'а = 2а 1>]/2аГ
При возвышеніи въ п-ю степень знакъ корня отбрасы-
вается, такъ какъ возвышеніе количества въ п-ю степень и из-
влеченіе изъ него корня п-ой степени суть дѣйствія взаимно
уничтожающіяся.
(Ѵа)71 = ’(/«" =а.
§ 72. Извлеченіе корня. Чтобы извлечь коренъ изъ ирраціональ-
наго количества, слѣдуетъ показателей корней перемножитъ.
1. а = \/а, такъ какъ	= у/(1/а)6=(/а3 = а.
и точно такъ же (^/аГ=а.
2. ^У^Ъ3=Ѵ^Ъ9 = аЪі\/'^Ь.
Отсюда слѣдуетъ правило извлеченія корней 4-й, 6-й, 8-й, 9-й
и т. п. степеней изъ чиселъ.
1. |/ЭД736 = у/~/20736 = 1/144=12.
2. 1/46656= у/1/46656 = 1/216 = 6.
§ 73. Сокращеніе корней. Величина ирраціональнаго количества
не измѣнится, если показателей корня и подкоренного количества
помножимъ или раздѣлимъ на одно и то же число.
Для доказательства возвысимъ ’Ѵ0" въ степень 1с и извлечемъ
изъ того же выраженія корень той же степени й. Такъ какъ эти
два дѣйствія суть взаимно-уничтожающіяся, то величина ирраціо-
нальнаго количества останется безъ перемѣны.
Поэтому	акп='у] ап .
На этомъ свойствѣ основано сокращеніе корней и приведеніе
ихъ къ одному показателю.
Сокращеніе корней состоитъ въ томъ, что показателей корня
и подкоренного количества дѣлятъ на одно и то же число, если
оно входитъ во всѣ показатели, какъ общій множитель.
Примѣры: 1. ^/а3Ь9 = }/аЬ3=Ъ \/аЪ.
2. ^81 а12Ь4с16 = Ѵ9а®ЬV = ас^аРс3.
— 55 —
§ 74. Приведеніе корней къ одному показателю имѣетъ большое
сходство съ приведеніемъ дробей къ одному знаменателю. Разсмот-
римъ два основныхъ случая.
1). Показатели корней не имѣютъ общихъ множителей. Въ
этомъ случаѣ показатель каждаго корня и его подкоренного коли-
чества умножаютъ на произведеніе остальныхъ корней.
Напр.,
по приведеніи къ общему показателю
принимаютъ слѣд. видъ:8у/а15, 3^/б20, 8у/64с18.
2). Показатели корней имѣютъ общихъ множителей. Въ этомъ
случаѣ составляютъ наименьшее кратное показателей и умно-
жаютъ показателей каждаго корня и его подкоренного количества
на недостающихъ множителей.
Напр., ^2а и ^ЗЬ2. Наименьшее кратное показателей = 12. По
приведеніи къ нему корней, получимъ 1у/8а3 и 1у/9д*.
При умноженіи и дѣленіи ирраціональныхъ количествъ съ
разными показателями, ихъ приводятъ къ общему показателю,
а затѣмъ уже умножаютъ или дѣлятъ ихъ подкоренныя коли-
чества.
Примѣры. I. у/а. Зу/Ь\ Ѵ2с3 = 3^а16.3^20.3^64с18 =
— 3Уб4а15630с18.
II. у/Зт. у/бп^р. ^2р5 = ^/27иг3. ^25п4р2. ^2р5 = ^/1350т3п4р’.
ІП.	= 1^Ѵ  *у^ =	=^128^.
. ОТДЪЛЬ ВТОРОЙ.
Уравненія первой степени.
Рѣшеніе уравненій съ однимъ неизвѣстнымъ.
§ 75. Опредѣленія. Два числовыхъ или буквенныхъ выраженія,
соединенныя знакомъ =, составляютъ равенство. Выраженіе, сто-
ящее налѣво отъ знака называется лѣвой или первой частью,
а стоящее направо отъ него, — правой или второй частью ра-
венства.'
Равенства бываютъ двухъ родовъ: тождества и уравненія.
Тождество есть такое равенство, которое справедливо при вся-
кихъ значеніяхъ входящихъ въ него буквъ. Напр.,
а Ъ а Ъ
а -|- Ъ = Ъ -}- а~, аЪ = Ъа\-1-=-; (а -{- Ъ) (а — Ъ) = аі —
т т т
Тождествомъ называется также равенство двухъ числовыхъ
выраженій. Напр.,
3
2.2=4; 7-1-5 = 15-3;- = 0,75.
4
Уравненіе есть такое равенство, которое справедливо не при-
всякихъ значеніяхъ, входящихъ въ него буквъ, а только при
нѣкоторыхъ.
Напр., равенство х — 8 = 2 есть уравненіе, такъ какъ оно
справедливо только при одномъ значеніи х, а именно при х —10.
т	2
Точно такъ же равенство - х = 4 есть уравненіе, такъ какъ оно
3
справедливо только при одномъ значеніи х, именно, при ж = 6.
Равенство ж2 = 25есть уравненіе, справедливое при двухъ зна-
ченіяхъ х, именно, при ж = -{-5 и при х = —5, такъ какъ
(4-5)2=25 и ( —5)2 = 25.
— 57 —
Очевидно, если вмѣсто х подставимъ его значенія, то уравне-
нія обращаются въ тождества.
Уравненіе х —8=2 при ®=10 обращается въ тождество 10—8=2.
2	2 п л
•п	х—6	» ті п з • 6—4.
„	я2 = 25 „ ® = -|-5 и при х =— 5	„	25 = 25-
Такія количества, какъ х, которыя только при нѣкоторыхъ
опредѣленныхъ своихъ значеніяхъ обращаютъ уравненіе въ то-
ждество, называются неизвѣстными уравненія. Они обыкновенно
обозначаются послѣдними буквами азбуки х, у, г и т. д.
Тѣ опредѣленныя значенія неизвѣстныхъ, которыя обращаютъ
уравненіе въ тождество, называются корнями уравненія. Напр., 10
есть корень уравненія х — 8 = 2; -|- 5 и —5 суть 2 корня урав-
ненія ®2 = 25.
Рѣшить уравненіе значитъ найти корни его.
§ 76. Раздѣленіе уравненій. Кромѣ численныхъ уравненій, по-
добныхъ приведеннымъ въ предыдущемъ §, существуютъ еще
уравненія буквенныя, въ которыхъ кромѣ буквъ, означающихъ не-
извѣстныя, входятъ еще буквы, означающія извѣстныя (или пред-
полагаемыя извѣстными) величины, Напр., х а = Ь — с;
2х — т = За -|-1 и т. д.
Уравненія раздѣляются:
1.	По числу неизвѣстныхъ на уравненія съ 1-мъ, 2-мя, 3-мя
и болѣе неизвѣстными.
2.	По степени неизвѣстныхъ на уравненія 1-й, 2-ой, 3-ей и
т. д. степени. Напр.,
х — 8 = 2 есть уравненіе 1-й степени съ 1-мъ неизвѣстнымъ.
3® у = 2я — 10 есть уравненіе 1-й степени съ 3-мя неизвѣстными.
®2=25 есть уравненіе 2-ой степени съ 1-мъ неизвѣстнымъ и т. д.
§	77. Основныя свойства равенствъ. Рѣшеніе уравненій осно-
вано на двухъ очевидныхъ свойствахъ всякаго равенства (а слѣ-
довательно, и всякаго уравненія) и на нѣкоторыхъ слѣдствіяхъ,
вытекающихъ изъ этихъ свойствъ.
Основныя свойства равенствъ:
1. Если къ обѣимъ частямъ равенства прибавимъ или отъ нихъ
отнимемъ равныя величины, то равенство не нарушится, т.-е-
если а = Ъ, то а-\- т — Ъ-\-т и а — т=Ъ — т.
2. Если обѣ части равенства умножимъ или раздѣлимъ на
— 58 —
одно и то же количество 1), то равенство не нарушится, т.-е.
і	, а Ь
если а = Ь, то ат — Ът и — =—•
т т
Эти основныя свойства опредѣляются еще такимъ образомъ:
1. Если къ равнымъ величинамъ прибавимъ или отъ нихъ отни-
мемъ поровну, то получимъ равныя величины. 2. Если равныя
величины помножимъ или раздѣлимъ на одно и то же количе-
ство, то получимъ равныя величины.
Изъ основныхъ свойствъ равенствъ, а слѣдов., и уравненій,
вытекаетъ слѣдствія, съ помощью которыхъ уравненія приводятся
къ простѣйшему виду.
§ 78. Преобразованіе уравненій. 1. Если въ обѣихъ частяхъ
уравненія находятся одинаковые члены съ одинаковыми знаками,
то эти члены можно опустить.
3'3	3
4-5а:—9=34-2ж-|-^ • Отнявъ отъ обѣихъ частей по получимъ
5х — 9 - - 3 -|- 2а;.
2. Всякій членъ уравненія можно перенести изъ одной части
въ другую, перемѣнивъ въ немъ знакъ на обратный. Напр., дано
ур-іе	5 х—9=34-2а?.
Прибавимъ къ обѣимъ частямъ по 4~ 9:
5х — 9 = 3 2х
+ 9	+9
5а;=3 4-2а:9, т.-е. членъ 9 перешелъ
во 2-ю часть съ обратнымъ знакомъ.
Вычтемъ изъ обѣихъ частей по 2х.
5х — 9 = 3 4~ 2а:
— 2а?	— 2х
5х — 9 — 2а? = 3, т.-е. членъ 2а; перешелъ
въ 1-ю часть съ обратнымъ знакомъ.
*) Умножать и дѣлить обѣ части равенства на 0, понятно, нельзя, такъ
какъ нуль не есть количество.
Кромѣ того, умножая и дѣля обѣ части равенства на величины, содержащія
неизвѣстныя, мы измѣняемъ степень уравненія, повышая или понижая его, при
чемъ могуть войти новые корни или пропасть часть прежнихъ. Напр., если обѣ
части уравненія 1-й степени За: = 15 умножить на х, то получится ур-іе 2-й
степени За:2 = 15гс, имѣющее уже не одни» корень, а два: х = 5 и х = О. По-
слѣдній корень, очевидно, не удовлетворяетъ данному уравненію.
— 59 —
3)	Знаки всѣхъ членовъ можно измѣнить на обратные. Пе-
ренесемъ всѣ члены 1-й части уравненія 5а;— 9 = 3-}-2а; во вто-
рую, а всѣ члены 2-й части въ первую:
— 3 — 2х—— 5х -}- 9 или —5а;-}-9 = —3—2х.
4)	Если всѣ члены уравненія имѣютъ общаго множителя,
то можно на него раздѣлитъ всѣ члены и такимъ образомъ
упростить уравненіе.
Примѣръ. 20-|-25а; = 5а;-}-100. Раздѣливъ всѣ члены на
общ. множителя 5, получимъ: 4-}-5а; = а;-}-20.
5)	Если въ уравненіи есть дробные члены, то отъ нихъ мож-
но освободиться, приведя всѣ члены къ одному знаменателю и
затѣмъ огпбросивъ его.
О	^0--___
Примѣръ. Дано ур-іе х 4---------' Приведемъ всѣ
4а; , 12—х	2(26—х)
члены въ одному знаменателю: -}-------—---------у мно'
жимъ обѣ части уравненія на 4 или, что все равно, отбросимъ
знаменателя:
4ж 4- 12 — х = 2(26 — х).
§	79. Рѣшеніе уравненій съ 1 неизвѣстнымъ сводится къ слѣдую-
щимъ правиламъ:
Послѣ освобожденія обѣихъ частей уравненія отъ дробей и
раскрытія скобокъ слѣдуетъ:
1)	Перенести всѣ извѣстные члены въ одну часть, а неиз-
вѣстные—въ другую.
2)	Произвести дѣйствія, указанныя знаками.
3)	Раздѣлить обѣ части уравненія на коэффиціентъ при не-
извѣстномъ.
5а; —7	Зж-}-12
Примѣръ. —5-------2 = —------
о	4г
1)	Освобождаемъ уравненіе отъ дробей: 4 (5а; — 7) —* 24 =
= 3(3а;-|-12).
2)	Раскрываемъ скобки: 20х — 28 — 24 = 9а; -}- 36.
3)	Переносимъ члены: 20а;—9а; = 36 4-28-}- 24.
4)	Дѣлаемъ приведеніе: 11а; = 88.
5)	Дѣлимъ обѣ части уравненія на коэффиціентъ при не-
извѣстномъ: а=8.
— 60 —
6)	Сдѣлаемъ провѣрку, подставивъ въ данное ур-іе вмѣсто х
. 5.8-7	.	3.8+12 33	9	36.
его значеніе: ---।-----2 = -	— 2 = -^; 9 = 9.
Уравненіе обратилось въ тождество, слѣдовательно, искомое
значеніе х опредѣлено вѣрно.
тт л, о	н	1 2 3 4 —х 7 + 9® 1
Примѣръ 2.	7®-----д— — — ------1.
1)	Освобождаемъ ур-іе отъ дробей: 252® — 4 (2 — х) =
= 9(7+ 9®)-36.
2)	Раскрываемъ скобки: 252® — 8+ 4® = 63+ 81® — 36.
3)	Переносимъ члены: 252®+ 4® — 81® = 63 — 36 + 8.
4)	Дѣлаемъ приведеніе: 175® = 35.
35	1
5)	Опредѣляемъ извѣстное: ®=р^-=-=-
Слѣдуетъ обратить вниманіе на ошибку, очень часто дѣлаемую
учащимися. Забывая, что знакъ дѣленія—черта замѣняетъ собою
скобки, измѣняютъ не всѣ знаки у многочленнаго числителя дроби,
передъ которой стоитъ знакъ минусъ, а только знакъ перваго члена.
Напр., при рѣшеніи ур-ія 7®— —------------1, освобождая
его въ умѣ отъ дробей, пишутъ такое выраженіе 1-ой части:
252® — 8 — 4® вмѣсто 252®—8 + 4®.
гг ѵ о 7	23 — ®	7	11
Примѣръ 3.	------
1) Освобождаемъ ур-іе отъ дробей: 84 — 92+4® = 7® — 3 — 4®.
2) Переносимъ члены: 4® — 7® + 4® = — 3—84 + 92.
3) Дѣлаемъ приведеніе: ® = 5.
.. „	,	7 23 — 5	7	1	1
4) Провѣрка. 5--3^-= 52-475-5-
7_18 _ 7__ 1 _1. 1	1.
5 15—12 20	3’ 5	5’
Примѣръ 4.	2г=іб=1-
1) Освобождаемъ ур-іе отъ дробей [Общ. знаменатель 6(®—5)]:
2(2® + 1) —3(® —11) = 6(® — 5).
2) Раскрываемъ скобки: 4®+ 2 — 3® + 33 = 6® — 30.
3 Переносимъ члены 4®—3® —6® = — 30—2 — 33.
— 61 —
4.	Дѣлаемъ приведеніе и измѣняемъ знаки на обратные: 5а=65.
65
5.	Опредѣляемъ неизвѣстное: я?=-^- = 13-
е ,	.2.13 + 1	13-11	.27	2
6.	Провѣрка. 313_15 2.13— 10 —1’24 16“1’1 — 1’
„ х с 6х2+ 4^+10	3
Примѣръ 5.	—р-^-.
1.	Освобождаемъ ур-іе отъ дробей. (Полезно замѣтить, что
данное ур-іе представляетъ пропорцію; поэтому для освобожде-
нія отъ дробей пишемъ, что произведеніе крайнихъ членовъ
равно произведенію среднихъ): 4 (6а;2 + 4« +10) — 3 (8а;2 — х + 26).
2.	Раскрываемъ скобки: 24а;2 +16а;+ 40 = 24я;2— За;+ 78.
3.	Уничтожаемъ одинаковый членъ 24а;2 въ обѣихъ частяхъ и
переносимъ члены: 16а; + За; = 78— 40.
4.	Дѣлаемъ приведеніе: 19а; =38.
38
5.	Опредѣляемъ неизвѣстное: а; = ^д = 2.
л Л 6.4 + 4.2 + 10 3 42	3 3 3
6.	Провѣрка. 8.4_2_]_26 ~4’56 —4’4~'4'
Примѣръ 6. ~+“ = “+~‘
1.	Освобождаемъ ур-іе отъ дробей: Ъ(х— Ъ) = а(а— х).
2.	Раскрываемъ скобки: Ъх— Ъ2 = а2 — ах.
3.	Переносимъ члены: ах + Ъх = а2 + Ъ\
4.	Выносимъ неизвѣстный членъ за скобки: х(а + Ъ) = а2 + Ъ2.
5.	Опредѣляемъ неизвѣстное: х —
§ 80. Рѣшеніе уравненій, содержащихъ неизвѣстное подъ зна-
комъ корня. Если уравненіе содержитъ неизвѣстное подъ зна-
комъ корня, то его стараются сдѣлать раціональнымъ, возвышая
обѣ части въ соотвѣтствующую степень, а также производя всѣ
возможныя преобразованія, чтобы уединить корень.
Примѣры: 1. 4 = ^90 — 2х.
Возвышаемъ обѣ части въ 3-ю степень: 64 = 90 — 2а;; откуда
а; =13.
2. Ѵ4а; + 21 =у/4а; + 1. Возвышаемъ обѣ части въ квадратъ:
— 62 —
кх 21 — 4® +1 -ф- 2ѵу4ж. Дѣлаемъ приведеніе, перенося
всѣ раціональные члены въ одну часть и снова возвышаемъ
обѣ части въ квадратъ:
10 = \]4.х', 100 = 4а:; я = 25.
Провѣрка. /100-]-21 = /100 4-1; 11=11.
3. /29— /с-}-4 = 5. Возвышаемъ обѣ части въ квадратъ:
29 — /ж 4-4 = 25. Переносимъ члены и дѣлаемъ приведеніе:
4=/г-]-4. Возвышаемъ снова обѣ части въ квадратъ:
16 = х-\- 4; а: = 12.
Провѣрка. /29 — /124- 4 = 5; /29=4 = 5; 5 = 5 *).
Составленіе уравненій съ 1 неизвѣстнымъ.
§ 81. Введеніемъ уравненій математика, во-1-хъ, значительно
облегчила способы рѣшенія весьма многихъ вопросовъ и задачъ,
рѣшавшихся прежде чрезвычайно трудными и искусственными
пріемами г), а во-2-хъ, что гораздо важнѣе, несравненно расши-
рила область самихъ вопросовъ. При помощи уравненій оказа-
лось возможнымъ разрѣшеніе такихъ вопросовъ, которые были
недоступны прежней наукѣ. Изученіе свойствъ математическихъ
величинъ, какъ количественныхъ, такъ и пространственныхъ,
многія открытія въ области физики, механики, астрономіи обя-
заны во многомъ методу уравненій.
Въ виду чрезвычайной важности этого отдѣла, учащійся дол-
женъ обратить на него особое вниманіе и помнить, что только
і) При возвышеніи обѣихъ частей уравненія въ степень получается вообще
уравненіе, не тождественное съ даннымъ (§ 78. Примѣчаніе). Вслѣдствіе этого,
рѣшивъ ирраціональное уравненіе, необходимо каждый разъ удостовѣриться
провѣркой, обращается или нѣтъ данное уравненіе въ тождество.
Примѣръ. Дано ур-іе: 1 — ]/а;і) 2— х— 2 = х. Рѣшимъ его, перенеся раціональ-
ные члены въ одну часть и возвышая обѣ части въ квадратъ: — |/гс2 — х — 2 =
= х — 1; а:2 — а: — 2 = о:2 — 2х +1; х = 3. Это рѣшеніе не удовлетворяетъ данному
ур-ію, такъ какъ подстановка приводитъ къ нелѣпому результату: 1 —|А>—3 — 2=
= 3 или 1 — 2 = 3. Рѣшеніе а? =3 удовлетворяетъ ур-ію: 1 + /а:2 — х—2 = х,
т.-е. ур-ію, одинаковому съ даннымъ, но передъ радикаломъ котораго стоитъ
»мюсі.
і) Примѣры подобныхъ вопросовъ и теперь еще встрѣчаются почти во всѣхъ
арнеметическихъ задачникахъ.
— 63 —
самостоятельный трудъ, продолжительная практика и сосредоточе-
ніе вниманія на условіяхъ разрѣшаемыхъ имъ вопросовъ помогутъ
ему овладѣть этимъ цѣннымъ методомъ.
Чтобы рѣшить задачу способомъ уравненій, надо: 1) соста-
вить уравненіе по условіямъ задачи и 2) рѣшить составленное
уравненіе. Опредѣленныхъ правилъ для составленія уравненій
нѣтъ, такъ какъ задачи могутъ быть самаго разнообразнаго рода,
а слѣдовательно и пріемы составленія уравненій будутъ различ-
ные для каждаго случая. Тѣмъ не менѣе существуетъ одно
общее указаніе, которымъ, полезно руководиться для всевозмож-
ныхъ случаевъ составленія уравненій, а именно слѣдуетъ:
1.	Обозначить искомую величину или величину, непосред-
ственно съ ней связанную, одной буквой, напр., х.
2.	Считая величину х, какъ за извѣстную, выразить знаками
дѣйствій зависимость между нею и остальными данными величи-
нами, входящими въ задачу.
3.	Составить по условіямъ задачи два количественно одина-
ковыхъ выраженія и связать ихъ знакомъ равенства х).
§ 82. Примѣры составленія уравненій.
Примѣръ 1. Въ лавкѣ находятся 3 куска ситца. Въ 1-мъ
кускѣ вдвое болѣе аршинъ, чѣмъ во 2-мъ а, во 2 -мъ вдвое болѣе,
чѣмъ въ 3-мъ. Когда отъ 1-го куска отрѣзали 15 аршинъ, отъ 2-го
13 арш. и отъ 3-го 5 арш., то оказалось, что число аршинъ
5	.
оставшагося ситца равно числа аршинъ, первоначально быв-
1) Вотъ что говоритъ великій математикъ Ньютонъ о рѣшеніи задачъ спо-
собомъ составленія уравненій: „Особенное превосходство алгебры состоитъ въ
томъ, что между тѣмъ какъ въ ариометикѣ вопросы рѣшаются путемъ перехода
отъ данныхъ величинъ къ искомымъ, — алгебра слѣдуетъ обратному порядку —
отъ количествъ искомыхъ, разсматриваемыхъ какъ данныя, къ количествамъ
даннымъ, какъ-будто они были искомыми, съ цѣлью прійти такъ или иначе къ
заключенію или уравненію, изъ котораго можно было бы опредѣлить искомыя.
Чтобы привести вопросъ къ уравненію, нужно дать обозначенія какъ извѣстнымъ,
такъ и неизвѣстнымъ количествамъ, насколько того требуетъ данный случай,
и выразить смыслъ вопроса алгебраическимъ языкомъ, если можно такъ выра-
зиться. Условія вопроса, выраженныя такимъ образомъ алгебраически, дадутъ
столько уравненій, сколько нужно для его рѣшенія.
Вы видите отсюда, что для рѣшенія вопросовъ, которые относятся къ числамъ
или отвлеченнымъ отношеніямъ величинъ, требуется только перевести задачу съ
того языка, на которомъ она предложена, на языкъ алгебраическій, т-.е. на
языкъ знаковъ, способный выражать наши понятія о соотношеніяхъ величинъ".
— 64 —
шихъ въ 1-мъ кускѣ. Сколько аршинъ осталось въ каждомъ
кускѣ?
Задачу эту можно рѣшить нѣсколькими способами.
1-й способъ. Положимъ, что въ 1-мъ кускѣ первоначально бы-
ло х аршинъ, тогда по условіямъ задачи во 2-мъ кускѣ было
1 „111
о х арш., а въ 3-мъ х отъ х, т.-е -г х арш.
1.1	7
Число аршинъ во всѣхъ 3-хъ кускахъ: х -]-	х=-^х.
Всего отрѣзано аршинъ: 15513 = 33.
7
Число оставшихся аршинъ: х — 33.
5
По условію задачи это число равно числа аршинъ, перво-
5
начально бывшихъ въ 1-мъ кускѣ, т.-е. равно х. Поэтому
7	5
- х — 33 = х.	Рѣшимъ это уравненіе:
21#— 396 = ІО#; II# = 396; # = 36.
Итакъ, въ 1-мъ кускѣ первоначально было 36 арш., и, слѣдо-
вательно, осталось въ немъ 36 —15 = 21 арш.
1	36
Во 2-мъ кускѣ первоначально было ~ #= = =18 аршинъ;
ы	и
осталось 18 —13 = 5 арш.
1	36
Въ 3-мъ кускѣ первоначально было ^#= —= 9 аршинъ;
осталось 9 — 5=4 арш.
7	7
Провѣрка: Всѣхъ аршинъ первоначально было ^х== ' 36 =
$
= 63 арш.; осталось 63 — 33 = 30; числа аршинъ 1-го куска =
_36д5_30
_ 6 — ло.
2-й способъ. Обозначимъ число аршинъ, первоначально бывшихъ
въ 3-мъ кускѣ, черезъ #. Тогда во 2-мъ было 2# арш. а въ 1-мъ
4# арш. Число всѣхъ аршинъ первоначально было #-|-2#-|-4# =
=7#; число оставшихся аршинъ во всѣхъ 3-хъ кускахъ = 7# — 33;
| числа арш. 1-го куска = |.4# = х. По условію задачи
— 65 —
7ж — 33 = ^х. Откуда 21ж— 99 = Юж; 11ж = 99; ж = 9 и, слѣдов.,
2ж=18; 4ж=36 и т. д.
3-й способъ. Пусть число аршинъ, оставшихся въ 1-мъ кускѣ,
было х. Слѣдов., первоначально было арш. въ 1-мъ кускѣ ж-|-15;
а;-1-15	ж4-15
во 2-мъ % въ 3-мъ —' и всего въ 3-хъ кускахъ было
,	, ж4* 15 . ж-|-15_4ж604-2ж30-|-ж-|-15______7ж4- 105
Ж +	+	2 + 4 “	4	~	4
7ж4-Ю5	5
арш., а осталось --— — 33; ^первоначальнаго числа аршинъ
5
въ 1-мъ кускѣ будетъ (ж4*15).
7ж +105	5
По условію задачи---- — 33 = (ж -|-15). Рѣшимъ уравненіе.
3 (7ж + 105) — 396 = 10 (ж 4- 15); 21ж 4- 315 — 396 = ІОж 4-150;
21ж—10ж = 150 — 3154*396; 11ж=231; ж = 21. Итакъ, въ 1-мъ
214-15	36
кускѣ осталось 21 арш., во 2-мъ—------13=— — 13 = 5 арш.,
,	21 + 15 , л
въ 3-мъ осталось—--------5 = 4 арш.
4-й способъ. Пусть первоначальное число аршинъ во всѣхъ
3-хъ кускахъ будетъ х. Такъ какъ числа аршинъ въ 1-мъ, во
2-мъ и 3-мъ кускахъ относятся, какъ 1 : І : -I пли какъ 4:2: 1,
25	-1
А
то число арш., первоначально бывшихъ въ 1-мъ кускѣ, равно уж,
„2	>15	,	,54
во 2-мъ^ж и въ 3-мъ^ж; - числа арш. 1-го куска будетъ . =х =
=11®- По условію задачи ж —33= |^ж, откуда 21ж —693 = 1 Ож;
11ж = 693; ж=63. Первоначальное число арш. 1-го кускауж =
4 63
=—у—=36; слѣдов., осталось въ немъ 36 —15 = 21 арш. и т. д.
Понятно, что задачу можно было бы рѣшить еще нѣсколькими
способами, напр., обозначивъ черезъ ж число аршинъ, первона-
чально бывшихъ или оставшихся во 2-мъ кускѣ, или число
аршинъ оставшихся во всѣхъ 3-хъ кускахъ и т. д. Составленіе
уравненій въ этихъ случаяхъ предоставляется самимъ учащимся.
Начала алгебры.	5
— 66 —
Уже изъ приведенныхъ примѣровъ можно заключить:
1. Обозначеніе неизвѣстнаго количества одной буквой, ука-
заніе посредствомъ ея той зависимости, которая существуетъ
между данными и искомыми величинами задачи и, наконецъ,
выраженіе условій задачи уравненіемъ—въ значительной степе-
ни облегчаютъ рѣшеніе всѣхъ подобныхъ вопросовъ.
2. Вообще говоря, можно рѣшить всякій предложенный во-
просъ нѣсколькими способами. Отъ опытности и находчивости
учащагося зависитъ выбрать самый короткій и легкій изъ нихъ.
Примѣръ 2-й. Найти число, которое при дѣленіи на 5 даетъ
въ остаткѣ 2, а при дѣленіи на 8 даетъ въ остаткѣ 5, зная, что
первое частное тремя единицами болѣе второго.
1-й способъ. Обозначимъ искомое число черезъ х. Вычтя изъ
него 2 и раздѣливъ разность на 5, найдемъ, что первое частное
будетъ —у—. Разсуждая точно такъ же, получимъ, что второе
х__5
частное будетъ —&—. Такъ какъ первое частное 3-мя единицами
болѣе второго, то Х &	з. Рѣшаемъ уравненіе:
8 (ж — 2) — 5 (х — 5) 4-120; 8» —16 = 5® — 25 +120;
За? = 111; х = 37.
Повѣрка. 37 5	371 8
остатокъ 2 7 остатокъ 5 4‘
2-й способъ. Пусть первое частное будетъ х, тогда второе част-
ное = х — 3. Такъ какъ дѣлимое равно дѣлителю, помноженному
на частное, плюсъ остатокъ, то, по условіямъ задачи, можно со-
ставить два выраженія искомаго числа: 5х -|- 2 и 8(а? — 3)	5.
Приравняемъ ихъ другъ къ другу: 5а?-}-2 = 8 (а?— 3)	5.
Рѣшимъ уравненіе. 5а? 4-2 = 8а?— 24-[-5; Зх=21; а? = 7.
Искомое число = 7.5 + 2 — 37.
Примѣръ 3. Братъ съ сестрой на вопросъ: „сколько въ ихъ
семьѣ братьевъ и сестеръ11, отвѣчали: первый,—что у него
братьевъ и сестеръ поровну, а вторая, — что у нея братьевъ
вдвое болѣе, чѣмъ сестеръ. Сколько было въ семьѣ братьевъ и
сестеръ?
Обозначимъ число всѣхъ сестеръ черезъ х. На основаніи
отвѣта брата заключаемъ, что всѣхъ братьевъ было а? 4-1.
Такъ какъ число сестеръ безъ той, которую спрашивали,
— 67 —
было ж—1, то на основаніи отвѣта сестры пишемъ уравненіе
ж+1=2(.т—1). Откуда ж = 3.
Итакъ, всѣхъ сестеръ было 3, а братьевъ 4.
Примѣръ 4. Сумма цифръ искомаго двухзначнаго числа
равна 9. Если его удвоить и къ произведенію прибавить 18, то
получится число изъ тѣхъ же цифръ, но въ обратномъ порядкѣ.
Найти это число.
Обозначимъ цифру десятковъ искомаго числа черезъ х. Тогда
цифра единицъ его будетъ 9 — х. Искомое число выразится че-
резъ 10.7 + 9 — х, а число изъ тѣхъ же цифръ, но въ обратномъ
порядкѣ черезъ 10(9 — х)-\-х. Изъ условій задачи находимъ:
(10.» +9— х) 2 + 18 = 10(9 — ®) + ®; откуда ® = 2; 9 — ® —7.
Искомое число: 27.	Провѣрка: 27.2 + 18 = 72.
§ 84.	Особые случаи, встрѣчающіеся при рѣшеніи уравненій.
Въ нѣкоторыхъ случаяхъ рѣшенія составленныхъ уравненій ука-
зываютъ на неправильный подборъ данныхъ величинъ, на невѣр-
ную постановку вопроса, на ошибочность въ предположеніи, до-
пущенную при составленіи уравненія или, наконецъ, на невоз-
можность вопроса.
Примѣръ 1. Партія рабочихъ, состоящая изъ мужчинъ и жен-
щинъ. заработала 250 рублей, при чемъ каждый мужчина полу-
чилъ по 20 руб., а каждая женщина по 14 руб. Сколько было
мужчинъ, если вся партія состояла изъ 15 человѣкъ?
Если число мужчинъ назовемъ черезъ х, то число женщинъ
выразится черезъ 15 — х. По условію задачи:
20® + 14 (15—®) = 250; откуда ® = 6|.
Это рѣшеніе противорѣчитъ необходимо подразумѣваемому
условію, что х долженъ быть цѣлымъ числомъ. Невозможный
отвѣтъ получился вслѣдствіе неправильнаго подбора данныхъ
величинъ, при которомъ не было обращено вниманія на это не-
обходимое условіе.
Примѣръ 2. Отцу 49 лѣтъ, а сыну 17. Когда отецъ будетъ
втрое старше сына?
Положимъ, что это случится черезъ х лѣтъ. Тогда отцу бу-
детъ 49+ ® лѣтъ, а сыну 17 -\-х. По условію задачи:
49 + х = 3 (17 + ®); откуда х~—1.
Отрицательное рѣшеніе въ этомъ случаѣ указываетъ на не-
вѣрную постановку вопроса. Вопросъ слѣдовало отнести не къ
5*
— 68 —
будущему а къ прошедшему времени, т.-е. слѣдовало спросить:
когда отецъ былъ втрое старше сына. Тогда уравненіе получило
<ы такой видъ:
49 — х — 3 (17 — х}, откуда х — 1.
Дѣйствительно, 1 годъ тому назадъ отецъ былъ втрое старше,
сына. Одному было 48, а другому 16 лѣтъ.
Примѣръ 3. Два путешественника выходятъ одновременно,
1-й изъ города А, 2-й изъ города В, и идутъ по одному напра-
вленію. На пути ихъ лежитъ городъ С, отстоящій отъ А на
135 верстъ и отъ В на 85 верстъ. На какомъ разстояніи отъ го-
рода С первый путешественникъ, проходящій въ день по 35 верстъ,
догонитъ второго, проходящаго въ день по 21 верстѣ?
А В_________У С М Положимъ, что первый путе-
щественникъ догонитъ второго въ точкѣ М, лежащей на разстоя-
ніи х верстъ за городомъ С. Пространство, которое придется
пройти первому до мѣста встрѣчи Л?, выразится черезъ 135 4-^
верстъ, а второму черезъ 85 4- х верстъ. Первый пройдетъ свой
,	135 4-ж	Л «	«	85-|-яг
путь до встрѣчи въ —— дней, а второй—свой путь въ ——
оО	—> -1-
дней. Такъ какъ эта числа должны быть равны, то
135 4-х	85 -{- х	,п
——, откуда х = —10 верстъ.
Отрицательное рѣшеніе показываетъ, что при составленіи урав-
ненія сдѣлано было невѣрное предположеніе, что путешествен-
ники встрѣтятся за городомъ С. Они встрѣтятся въ точкѣ В, не
доходя 10 верстъ до города С. Это легко провѣрить: измѣнивъ
предположеніе, получимъ такое уравненіе:
135— х __ 85—ж
35	“	21
откуда х —10.
Примѣръ 4. Числитель искомой дроби равенъ | знаменателя
ея. Если къ числителю прибавить 4, а къ знаменателю 6, то
дробь обратится въ |. Найти дробь. Изъ условій задачи слѣдуетъ
уравненіе:
Іх 4- 4 2	_
откУда ж = 0-
Рѣшеніе показываетъ, что задача невозможна.
Необходимо, впрочемъ, замѣтить, что не всякое рѣшеніе вида
х=0 (нулевое рѣшеніе) указываетъ невозможность задачи. Въ нѣ-
которыхъ случаяхъ оно даетъ опредѣленный отвѣтъ па вопросъ.
— 69
Примѣръ 5. Отцу 57, а сыну 19 лѣтъ. Когда отецъ будетъ
втрое старше сына? Положимъ, что это случится черезъ х лѣтъ.
Тогда
57 х = 3 (19	ж); откуда х=0.
Нулевое рѣшеніе въ этомъ случаѣ указываетъ, что отецъ
втрое старше сына въ настоящее время.
Уравненія со многими неизвѣстными.
§ 85.	Неопредѣленныя уравненія. Всякое уравненіе, содержа-
щее не одно, а два или болѣе неизвѣстныхъ, можетъ-быть удовле-
творено (т.-е. можетъ обратиться въ тождество) посредствомъ
безчисленнаго множества различныхъ значеній неизвѣстныхъ и
называется поэтому неопредѣленнымъ уравненіемъ.
Дѣйствительно, возьмемъ простѣйшее изъ такихъ уравненій,
а именно уравненіе съ двумя неизвѣстными, напр., 2гг4-3у = 5.
Перенеся Зу во вторую часть и раздѣливъ затѣмъ обѣ части на
ѵ ,	.	5 — 3 »/
коэффиціентъ при х, получимъ х——-—- .
Если будемъ давать неизвѣстному у произвольныя значенія,
напр., у = 0,1,2.., —1,-2.., то х будетъ принимать слѣдующія
значенія: х=І, 1, — *.., 4,"... Очевидно, что всякая пара значеній
для х и у, напр., (0;|), (1;1), (— 1; 4) и т. д. обращаетъ данное
уравненіе въ тождество. Такъ какъ нѣтъ никакихъ ограниченій
при выборѣ значеній неизвѣстнаго у, то оно можетъ имѣть без-
численное множество значеній, но тогда и х будетъ имѣть также
безчисленное множество значеній, изъ которыхъ каждое соотвѣт-
ствуетъ выбранному значенію у.
§ 86.	Совмѣстныя уравненія. Для того, чтобы получить опре-
дѣленныя значенія для нѣсколькихъ неизвѣстныхъ, необходимо
имѣть столько независимыхъ ') уравненій, сколько самихъ неизвѣст-
ныхъ. Имѣя два различныхъ уравненія съ двумя неизвѣстными,
три уравненія съ тремя неизвѣстными и т. д., мы можемъ по-
средствомъ тѣхъ способовъ, которые будутъ указаны, опредѣлить
величины неизвѣстныхъ. Независимыя уравненія, содержащія однѣ
и тѣ же неизвѣстныя величины, называются совмѣстными, а со-
вокупность ихъ — системой совмѣстныхъ уравненій.
*) Независимыми называются такія уравненія, которыя не могутъ получиться
одно изъ другого путемъ, напр., умноженія или дѣленія обѣихъ частей на
одно и то же количество, возвышеніемъ обѣихъ частей въ одну и ту же степень
и другихъ преобразованій.
— 70 —
§ 87.	Общій пріемъ рѣшенія уравненій съ двумя неизвѣстными.
Чтобы рѣшить два уравненія съ двумя неизвѣстными, исклю-
чаютъ изъ нихъ одно неизвѣстное, послѣ чего получается одно
уравненіе съ однимъ неизвѣстнымъ. Рѣшивъ его, т.-е. найдя это
неизвѣстное, подставляютъ величину его въ одно изъ данныхъ
уравненій и затѣмъ опредѣляютъ то неизвѣстное, которое было
исключено. Для исключенія неизвѣстныхъ, употребляются, въ
большинствѣ случаевъ, слѣдующіе способы: 1. Способъ уравни-
ванія коэффиціентовъ и 2. Способъ подстановки.
§ 88.	Способъ уравниванія коэффиціентовъ или способъ сложе-
нія и вычитанія. Чтобы исключить по этому способу одно изъ
неизвѣстныхъ, слѣдуетъ послѣ приведенія данныхъ уравненій
къ ихъ простѣйшему виду, уравнять коэффиціенты при исклю-
чаемомъ неизвѣстномъ въ обоихъ уравненіяхъ. Для этого умно-
жаютъ всѣ члены 1-го ур-ія на коэффиціентъ при исключаемомъ
неизвѣстномъ во 2-мъ ур-іи, а всѣ члены 2-го ур-ія — на коэф-
фиціентъ при томъ же неизвѣстномъ въ 1-мъ ур-іи. Затѣмъ оба
уравненія складываютъ или вычитаютъ, смотря по тому, какіе
знаки имѣетъ исключаемое неизвѣстное въ обоихъ уравненіяхъ,
разные пли одинаковые.
Примѣръ 1. 5« +4^ = 23 . . - .	.................(I).
7х-6у= 9..............................(2).
Чтобы исключить неизвѣстное у, множимъ всѣ члены ур-ія (1)
на 6, а всѣ члены ур-ія (2) на 4 и сложимъ полученныя уравненія.
30а -|-24// = 138 ......(1')
28а —24у = 36...........(2')
58а =174; а = 3.
Подставимъ найденное значеніе х въ ур-іе (1):
15 +4г/= 23; откуда у = 2.
Въ частныхъ случаяхъ этотъ способъ допускаетъ нѣкоторыя
упрощенія. Напр., замѣтивъ, что въ данныхъ ур-іяхъ коэффи-
ціенты при у имѣютъ общаго множителя 2, заключаемъ, что
достаточно помножить всѣ члены ур-ія (1) на 3, а ур-ія (2) на 2,
чтобы уравнять коэффиціенты. Такимъ образомъ
ба + 4г/= 23
7а — §у~ 9
2
15а + 12г/= 69
14а —12г/= 18
29а = 87; а =3.
— 71
Примѣръ 2. 13л — 5//= 19..................  (1).
17®—10г/= 11. ................. .	. .(2).
Чтобы исключить неизвѣстное у, достаточно помножить ур-іе (1)
на 2 и вычесть затѣмъ изъ пего ур-іе (2):
26® — 10г/= 38
+ 17® ± 10г/= =р 11
9® = 27; ® = 3.
Подставивъ въ одно изъ данныхъ ур-ій, напр., въ (2) вмѣсто
х его величину, находимъ:
17.3 — 10г/= 11; откуда у = 4.
§ 89.	Способъ подстановки.
Примѣръ 1. Даны два уравненія:
5® + 14г/ = 24..........................(1).
19® — 21г/ —17...........(2).
1)	Опредѣляемъ изъ одного какого-нибудь уравненія, напр.,
изъ (1) неизвѣстное у, считая ж, какъ бы извѣстнымъ:
2)	Подставляемъ эту величину вмѣсто у въ другое уравне-
(94 5 г\
.. -Ч —17...............(3).
14 /
3)	Уравненіе (3) содержитъ только одно неизвѣстное х. Рѣ-
3(24 — 5®) 17.
шаемъ его:	19®—----------- = 1/,
38® — 72	15® = 34; 53® = 106; ® = 2.
4)	Подставимъ найденную величину х въ выведенное для у
24___________________________5.2
выраженіе (1'):	У = ~—‘ ’> У-^-
Итакъ, х—2\ у — 1.
Провѣрка. Подставляемъ найденныя величины въ уравненіе (2):
19 . 2 — 21 . 1 = 17; 17 = 17.
Очевидно, можно было такимъ же способомъ исключить не-
извѣстное х и опредѣлить сперва величину у.
Итакъ, по способу подстановки опредѣляютъ какое-либо неиз-
вѣстное, напр., х изъ одного уравненія и полученное выраженіе
— 72 —
подставляютъ вмѣсто х въ другое уравненіе. Тогда получаютъ
одно уравненіе съ однимъ неизвѣстнымъ у. Опредѣливъ изъ него
это неизвѣстное, подставляютъ его значеніе въ выведенное ранѣе
выраженіе и находятъ отсюда другое неизвѣстное (х).
Обыкновенно исключаютъ то неизвѣстное, у котораго коэффи-
ціентъ меньше. Въ особенности выгодно употреблять этотъ спо-
собъ, если коэффиціентъ одного изъ неизвѣстныхъ —1.
Примѣръ 2. ^±7 = 1. . . .(1).
. • .(2).
7з/ + 1
1.	Приведемъ данныя уравненія къ простѣйшему виду:
Зх + 7 = 10г/4-3; Зж—10г/ = —4. . . .(1').
12^4-5 = 14^ + 2; 12а; — 14г/— — 3 . . . .(2').
2.	Опредѣляемъ изъ ур-ія (Г) х въ зависимости отъ у-
.........................(3).
О
3.	Подставляемъ величину х въ ур-іе (2'):
4 (10$/— 4) — 14г/= — 3............  (4).
4.	Рѣшаемъ полученное ур-іе (4):
40г/ — 16 — 14г/ = — 3; 26г/ = 13; у = |.
5.	Подставляемъ величину у въ выраженіе (3).
10.1—4	5—4	,
3 — 3 — 3.
§ 90 При рѣшеніи 3-хъ уравненій съ 3 мя неизвѣстными, напр.,
х, у и г, сперва исключаютъ изъ нихъ одно неизвѣстное, напр., г.
Получаютъ 2 уравненія съ 2-мя неизвѣстными х и у. Исклю-
чивъ изъ нихъ другое неизвѣстное, напр., у, получаютъ одно
уравненіе съ однимъ неизвѣстнымъ х. Рѣшивъ это послѣднее
уравненіе, находятъ это неизвѣстное, а затѣмъ черезъ подста-
новку два другихъ.
Примѣръ.	2х + 4г/ — За = 22.............(1).
4а; — 2г/ + 5а = 18...... .	. - (2).
6х+7у— а = 63...................•	(3).
— 73 —
Исключимъ неизвѣстное х изъ ур-ій (1) и (2) по способу
уравниванія коэффиціентовъ, умноживъ обѣ части ур-ія (1) на 2 и
вычтя изъ него ур-іе (2):
4ж 4- 8у — 6г —	44
^4а:^2у^:5^ = ^=18
10у —1Ь = 26..................(V).
Исключимъ то же неизвѣстное х изъ другой пары урав-
неній *), напр., изъ ур-ій (1) и (3), для чего умножимъ обѣ
части ур-ія (1) на 3 и вычтемъ у него ур-іе (3):
6х -}- 12у — 9# —	66
нР 6х зр 1у± г — рг 63
бу— 8г =	3..............(2').
Итакъ, имѣемъ систему 2-хъ уравненій съ двумя неизвѣ-
стными:
10^ — 11^ = 26....................(V).
бу— 8г — 3......................(2').
Чтобы исключить неизвѣстное у, умножимъ обѣ части ур-ія
(2') на 2 и вычтемъ полученное ур-іе изъ ур-ія (1'):
10г/ —11^= 26 . .................(Г).
+ 10у±16? = д= 6.................. (2').
5^=20; г=і.
Подставимъ величину г въ одно изъ уравненій съ 2-мя
неизвѣстными, напр., въ ур-іе (2'):
бу — 32 = 3; у = 7.
Подставимъ величины у и г въ одно изъ ур-ій съ 3-мя неиз-
вѣстными, напр., въ ур-іе (1):
2х’-|-28 — 12 = 22; я = 3.
Провѣрка. Подставимъ найденныя величины въ ур-іе (3):
184-49 — 4 = 63; 63 = 63.
Рѣшимъ эту же систему уравненій способомъ подстановки.
Опредѣляемъ г изъ ур-ія (3):
г = 6х -|- Чу — 63.
*) Начинающимъ слѣдуетъ обратить вниманіе, что исключать надо сперва
одно и то же неизвѣстное какъ изъ первой, такъ изъ второй пары данныхъ
уравненій (конечно, если вто неизвѣстное входитъ во всѣ данныя уравненія).
Иначе, исключивъ изъ одной пары, напр., ®, а изъ другой пары «/, мы получимъ
2 уравненія съ 3-мя неизвѣстными х, у и г.
— 74 —
Подставимъ эту величину въ ур-ія (1)
2 ур-ія съ 2-мя неизвѣстными.
и (2). Получимъ
2жф-4г/—3 (6.гЦ-7г/—63)=22 пли послѣ пре- 16ж-]-17у=167 (V)
4ж—2г/Ц-5 (б.гф-7?/—63)=18	образованій:	34жф-33«/=333 (2')
Рѣшивъ ур-ія (V) и (2'), найдемъ, что ж = 3; у = 7, и слѣ-
довательно:
е=6*+ Чу — 63 = 18 -{-49 - 63 = 4.
§ 91 Составленіе уравненій съ двумя неизвѣстными. Если за-
дача содержитъ нѣсколько неизвѣстныхъ величинъ, то для опре-
дѣленія ихъ необходимо имѣть такое же число условій. Въ нѣ-
которыхъ случаяхъ, когда связь между неизвѣстными такъ оче-
видна, что можно легко выразить черезъ одно неизвѣстное всѣ
другія, составляютъ одно уравненіе съ однимъ неизвѣстнымъ и,
рѣшивъ его, находятъ затѣмъ всѣ остальныя неизвѣстныя. При-
мѣры такого рода мы имѣли въ § 83. Но очень часто выбираютъ
другой путь рѣшенія такихъ задачъ, а именно, составляютъ
столько уравненій, сколько неизвѣстныхъ входитъ въ задачу;
Этотъ путь часто предпочитаютъ первому, такъ какъ онъ зна-
чительно облегчаетъ составленіе уравненій.
Примѣръ 1. Если младшій братъ дастъ старшему 5 копеекъ,
то у старшаго будетъ втрое болѣе денегъ, чѣмъ у младшаго,
если же старшій братъ дастъ младшему 5 коп., то у обоихъ бу-
детъ поровну. Сколько у каждаго денегъ?
Положимъ, что у старшаго х коп., а у младшаго у коп., Если
младшій отдастъ старшему 5 коп., то у перваго будетъ у — 5 коп.,
а у второго я-]-5 коп. По условію задачи:
«4-5 = 3 {у -5)..................(1).
Разсуждая такъ же, составимъ 2-е ур-іе:
ж —5 = у4-5......................(2).
Рѣшимъ эту систему. Изъ ур-ія (2) находимъ х = у ф-10.
Подставимъ эту величину вмѣсто х въ ур-іе (1):
у 10 ф-5 = 3.у— 15, откуда ?/ = 15, а х — у 4-10 = 25.
Примѣръ 2. Если неизвѣстное двузначное число раздѣлить
на сумму его цифръ, то въ частномъ получится 4; если же дву-
значное число, составленное изъ тѣхъ же цифръ, но въ обратномъ
порядкѣ, раздѣлить па сумму его цифръ, увеличенную единицей,
то въ частномъ получится 6. Найти это число.
Назовемъ цифру десятковъ черезъ х, а цифру единицъ че-
резъ у. Тогда видъ искомаго числа будетъ 10ж ф- у, а числа, со-
— 75 —
стоящаго изъ тѣхъ же цифръ, но въ обратномъ порядкѣ 10//-|-х.
Изъ условій задачи легко написать два уравненія (дѣлимое =дѣ-
лителю X частное):
Юж-]-«/— 4 (х-]-$/).................................(1)-
—6 (^4-2/+1).........  .	. . .(2).
Раскрывъ скобки, сдѣлавъ приведеніе и сокративъ ур-іе (1)
на 3, получимъ:
2х — у......................(Г).
4г/— 5х~ 6 ...... .............(2').
Подставимъ величину у изъ ур-ія (!') въ ур-іе (2'):
8»—-5:г = 6; х — 2; у= 4. Искомое число —24.
Повѣрка. 24 : 6 = 4; 42 : 7 = 6.
Приложеніе.
Числа.	Квадраты.	Числа.	Кубы.	у/	
11	121	1	1	1	1
12	144	2	8	1,41	1,26
13	169	3	27	1,73	1,44
14	196	4	64	2	1,58
15	225	5	125	2,23	1,71
16	256	6	216	2,45	1,81
17	289	7	343	2,64	1,91
18	324	8	512	2,83	2
19	361	9	729	3	2,08
20	400	10	1000	3,16	2,15
21	441	11	1331	3,32	2,22
22	484	12	1728	3,46	2,29
23	529	13	2197	3,61	2,35
24	576	14	2744	3,74	2.41
25	625	15	3375	3,87	2,47
26	676	16	4096	4	2,52
27	729	17	4913	4,12	2,57
28	784	18	5832	1,24	2,62
29	841	19	6859	1,36	2,67
30	900	20	8000	4,47	2,71
ЗАДАЧИ.
ОТДѢЛЪ ПЕРВЫЙ.
Предварительныя упражненія.
1.	Даны два числа: т и п. Изобразить: 1) ихъ сумму; 2) раз-
ность; 3) произведеніе; 4) частное отъ дѣленія перваго на второе.
2.	Увеличить т шестью единицами.
3.	Увеличить 18 на п единицъ.
4.	Увеличить с единицъ на А единицъ.
5.	Выгружено изъ вагона іп кулей овса; осталось невыгружен-
ными я кулей. Сколько кулей овса было въ вагонѣ? т = 137;
я =163.
6.	Уменьшить 5 единицъ на I единицъ. Отъ 40 отнять 8 еди-
ницъ. Изъ 1і вычесть 6 единицъ.
7.	Изъ кошелька, въ которомъ было с рублей, вынули Л ру-
блей, а затѣмъ вложили е рублей. Сколько стало въ кошелькѣ
рублей? с = 18; й = 11; е = 7.
8.	Кипы хлопка находились въ трехъ амбарахъ. Когда изъ пер-
ваго амбара перенесли во второй а кипъ, то во всѣхъ амбарахъ
хлопка оказалось поровну, именно по г кипъ. Сколько кипъ было
первоначально въ каждомъ амбарѣ? а = 5; г = 8.
9.	Въ стадѣ пасутся лошади, коровы, телята и овцы. Числа
лошадей = 1; коровъ было на т больше, чѣмъ лошадей; телятъ
было на п меньше, чѣмъ коровъ, а овецъ на р больше, чѣмъ те-
лятъ. Сколько было въ стадѣ лошадей, коровъ, телятъ и овецъ?
1=10; ш = 17; »=19; ^ = 21.
10.	Куплено 8 фунтовъ ягодъ по I копеекъ за фунтъ. Сколько
заплачено за ягоды?
11.	Привезено т возовъ муки. На каждомъ возѣ было п мѣш-
ковъ, а въ каждомъ мѣшкѣ р пудовъ. Сколько было привезено
пудовъ муки?
— 77 —
12.	Въ семьѣ с взрослыхъ и сі подростковъ. Каждый изъ взрос-
лыхъ зарабатываетъ на фабрикѣ въ день р, а каждый подро-
стокъ копеекъ. Сколько они выработаютъ вмѣстѣ: 1) въ 6 дней?
2) въ к дней? с = 3; й=5; 79 = 80; </ = 45; 7с = 10.
13.	Раздѣлить с на 14; 17 на й.
14.	Поѣздъ идетъ со скоростью ѵ верстъ въ часъ. Во сколько
времени онъ пройдетъ разстояніе въ з верстъ?
15.	Въ прямоугольномъ бассейнѣ, длина котораго р, ширина
9 и глубина г метровъ, вмѣщается а ведеръ воды. Какую часть
кубическаго метра составляетъ вмѣстимость одного ведра? р = 3,5;
9 = 2; г = 1,2; а = 6720.
16.	Отъ одного города до другого т верстъ. Во сколько дней
можно пройти это разстояніе, если въ каждый день итти по п ча-
совъ и проходить въ каждый часъ по р верстъ?
17.	Купецъ купилъ а аршинъ сукна по Ъ рублей за аршинъ.
При продажѣ онъ потерпѣлъ убытка с рублей. Почемъ онъ про-
давалъ 1 аршинъ сукна? а = 120; 6 = 4; с=30.
18.	а землекоповъ вырыли канаву въ Ъ дней, работая ежедневно
но с часовъ. Сколько землекоповъ могутъ вырыть такую же ка-
наву, если будутъ работать т дней по п часовъ ежедневно? а=. 30;
6 = 12; с = 8; т = 20; м = 9.
19.	Длины путей трехъ желѣзныхъ дорогъ относятся между со-
бою, какъ а\Ъ:с. Извѣстно, что вторая дорога длиннѣе третьей
на п верстъ. Найти число верстъ каждой дороги, а = 8; 6 = 5;
с= 3; п =80.
20.	Обозначить слѣдующія условія: 1) к и I равны между со-
бою; 2) т болѣе п; 3) р менѣе <?; 4) а болѣе суммы 6 и с; 5) с
менѣе разности Л и е; 6) количество а равно произведенію коли-
чествъ I, т и п; 7) г менѣе частнаго отъ дѣленія з на і.
21.	Изобразить частныя: 1) отъ дѣленія а на произведеніе 6
и с; 2) отъ дѣленія произведенія а и 6 на с; 3) отъ дѣленія про-
изведенія а и 6 на произведеніе с и сі-, 4) отъ дѣленія единицы
на произведеніе а, 6, с и <7.
22.	т есть цѣлое число. Чему будетъ равняться: 1) цѣлое число,
стоящее передъ нимъ, и 2) цѣлое число, слѣдующее за нимъ?
23.	п есть четное число. Какъ написать два ближайшихъ чет-
ныхъ числа, изъ которыхъ одно больше, а другое меньше даннаго?
24.	Написать два числа, изъ которыхъ одно было бы болѣе дру-
гого на с единицъ.
25.	Изобразить, что: 1) частное отъ дѣленія числа а на число
— 78 —
Ь менѣе суммы чиселъ к и 1\ 2) произведеніе т, п, р и. д болѣе
разности /’ и д; 3) я болѣе і на ѵ; 4) р менѣе о на г; 5) т болѣе
п въ 7 разъ.
26.	Сколько золотниковъ въ а фунтахъ? Сколько вершковъ въ
Ъ аршинахъ? Сколько метровъ въ с километрахъ?
27.	При покупкѣ товара заплачено с десятирублевыхъ, Л пяти-
рублевыхъ и е рублевыхъ монетъ. Сколько стоитъ товаръ?
28.	Сколько фунтовъ въ т пудахъ и п фунтахъ? Сколько дюй-
мовъ въ а саженяхъ, Ъ футахъ и с дюймахъ? Сколько граммовъ
въ р килограммахъ и д граммахъ? Сколько миллиметровъ въ а
метрахъ, Ъ сантиметрахъ и с миллиметрахъ?
29.	Въ числѣ а десятковъ и Ь единицъ. Сколько единицъ за-
ключается въ этомъ числѣ? Число учениковъ въ училищѣ состоитъ
изъ т сотенъ, п десятковъ нр единицъ. Изобразить число учащихся.
30.	На сѣнокосъ было нанято а косарей съ платою по Ъ ко-
пеекъ въ день каждому. Сколько имъ придется получить, если въ
двѣ рабочихъ недѣли было три праздничныхъ дня? а = 30; 6 = 50.
31.	Въ желѣзнодорожной кассѣ продано а билетовъ по 2 рубля,
Ъ билетовъ по 1 р. 25 коп. и с билетовъ по 75 коп. Сколько было
пассажировъ и на сколько рублей продано билетовъ? а = 30; Ь = 80;
с = 300.
32.	Куплено а пудовъ кофе по Ь копеекъ за фунтъ. По скольку
копеекъ слѣдуетъ продавать 1 фунтъ, чтобы получить прибыли
с рублей на весь товаръ? а = 6; 6 = 50; с = 60.
33.	Сколько лотовъ въ с золотникахъ? Сколько саженей въ Л
дюймахъ? Сколько метровъ въ а сантиметрахъ? Сколько кило-
граммовъ въ п граммахъ?
34.	Во сколько мѣсяцевъ съ капитала а рублей, отданнаго
п0 Рѵ1о- получится 6 рублей прибыли? а = 5400; 1> = 4; 6 = 90.
35.	По скольку процентовъ отданъ капиталъ въ а рублей, если
въ і мѣсяцевъ онъ принесъ 6 рублей прибыли? а=2400; 6=60; <=6.
36.	Опредѣлить капиталъ, который, будучи отданъ по р про-
центовъ, принесъ въ і мѣсяцевъ 6 рублей прибыли. р = 4; ? = 9;
6=420.
37.	Вексель въ а рублей учтенъ (коммерчески) за і мѣсяцевъ
до срока по р°/0. Опредѣлить учетъ, а = 750; < = 5; р — 8.
Слѣдующія выраженія изобразить безъ коэффиціентовъ:
38.	В 4а; 2) 56; 3) баб; 4) Зт-|-4« + 2Р-
39.	1) і«‘, 2)	3) 0,8а6с; 4) ЬаЪс-\-\тп.
79 —
Упростить выраженія:
40.	1) т -|- т -)- »и; 2) тп -|- тп -|- тп Ц- »<»і; 3)
/< | А ( &
5'5'5’
.. 8І . 8І . 8І . 8І
41.	1) к-^-к-\-к-\-Іт-[-Іт-\- Іт', 2) -у.	—^/с—
а 4- а	. аЪс Ч~ «Ьс -]- аЪс
' Ъ -|- Ъ Ь’ ’ іпп -|- тп Ч~ тп -]- тп
Найти численную величину слѣдующихъ выраженій:
42.	4адс, 43.	З.бЛ/, 44. 45.	\кІ, 46 — рдѵ'	если а = 3,5; Ь = 8; с = 2,7. г <7=|; е = *; / = 10. „ <,= 1А;/і = 32. К 3. 1  15 Л  4? 1  1 »• т = 0,5; н=3,7; р — 0,03; § = 37; г = 5.
47.	Къ утроенному числу с придать учетверенное число <1.
48.	Изобразить общій видъ четнаго числа и изъ него соста-
вить нѣсколько другихъ четныхъ чиселъ.
49.	Изобразить общій видъ нечетнаго числа и изъ него соста-
вить нѣсколько другихъ нечетныхъ чиселъ.
50.	Отъ куска полотна было отрѣзано: въ первый разъ т ар-
шинъ, во второй — тремя аршинами менѣе, въ третій разъ вчетверо
болѣе и въ четвертый разъ въ а разъ болѣе, чѣмъ въ первый.
Сколько всего аршинъ было отрѣзано? —20; а = 4.
51.	Если ежедневно проходить по р верстъ, то сколько верстъ
можно пройти: 1) въ 4 дня; 2) въ д дней; 3) въ р дней.
52.	Каждый изъ (I учениковъ рѣшаетъ въ часъ Л задачъ.
Сколько всего задачъ рѣшатъ они въ <1 часовъ? <7=10.
53.	Чему равняются: 1) Квадраты и кубы первыхъ 10 чиселъ;
2)	152; 202; 1002; 2532; 3) 12й; 203; 1003; 54; 25; 26; 20*; 10е?
54.	(|)2; (й)2; (I)3; (|)3; <^)*; (2|)2; (Р/Б)3; (23/4)<?
55.	(0,4)2; (4,02)2; (0,6)3; (0,03)3; (0,01)4?
56.	Чему равняются Ь\ Ъ3, Ъ\ Ъ5, если 1) Ъ=2\ 2)
57.	Чему равняются т” и пт, если 1) ш=2; м=3; 2) ш=4; п=5.
58.	Написать слѣд. выраженія безъ показателей степеней:
Г) ,«; 2) ІѴИ; 3)	4)	5)	6) “’-±
— 80 —
59.	Слѣдующія выраженія написать съ показателями степеней:
1)	кккккк, 2) Иррррдд; 3) тппппгг, 4)	5)	•
60.	Написать слѣд. выраженія безъ коэффиціентовъ и показа-
телей:
1)	За* 2; 2) 4Ь‘; 3) 5.т2у3 *; 4) 1а2Ь=; 5) |т3п*р5; 6) ^-4-3.
61.	Написать слѣд. выраженія съ коэффиціентами и показа-
телями:
1) ааа-\- ааа\ 2) хххх -}- хххх -|- хххх', 3) ЪЪссс ЬЬссс -|- ЬЪссс -}-
...	.. атт , атт сссххгі . сссхху . сссххц . аЪЬЪ . аЪЪЪ
+ Ыіт- 4) -3-+-3-;»)	Ч-5- +-у ;
„ 2.2.2 аа	сссс
3.3 ЪЪЪ ’ атт — 5.5 ЪЬЬ
62. Найти численную величину выраженій: 1) а 4-3; 2) За;
3) а3; 4) 3я, если а = 4.
Найти численную величину выраженій:
63. если 5=4; с = 8; іі=2.
64. Зс3/^1 „ е=% Г=1; 9 = 8; к=1.
65. ОД/сФт2 , * = 0,6; /=10; т=±
66. Пространство, проходимое свободно падающимъ тѣломъ
опредѣляется формулой з = 1ді2, гдѣ д есть ускореніе (т.-е. уве-
личеніе скорости въ 1 секунду) паденія, а I — число секундъ па-
денія. Зная, что д = 32 фута въ секунду, вычислить пространства,
проходимыя падающимъ тѣломъ 1) въ 1, 2, 3, 4, ..., 10 секундъ;
2) въ |,	|, ... ± секундъ.
67. Изъ данныхъ количествъ: а, Ь и с составить слѣдующія
выраженія: 1) къ квадрату перваго количества прибавить кубъ
второго; 2) изъ суммы удвоеннаго перваго и куба второго отнять
квадратъ третьяго количества; 3) произведеніе квадрата перваго
количества на квадратъ третьяго раздѣлить на второе въ четвер-
той степени; 4) утроенное произведеніе двухъ первыхъ количествъ
раздѣлить на удвоенный кубъ третьяго; 5) частное отъ дѣленія
квадрата перваго количества на второе взять слагаемымъ шесть
разъ; 6) разность кубовъ первыхъ двухъ количествъ раздѣлить
на сумму квадратовъ двухъ послѣднихъ количествъ; 7) отъ утро-
енной суммы трехъ количествъ взять пятую часть; 8) степень
третьяго количества, показатель которой равенъ первому количе-
ству; 9) сумму квадрата перваго количества, удвоеннаго произве-
денія перваго количества на второе и квадрата второго количества.
— 81 —
• Чему равняются:
68.	/81; [/Г, /Ш; /196; /256; 1/400; /25007
69.	/125; /216; /1000; /8000? /6406а
70.	/64; /64; /64; /16; /81; /100000; /243.
71.	/& /0; /І; /ЖІ /ЛГ; /іі /зГ
72.	/0,25; /0,09; /1,96; /0,064; /0,000027.
Найти численную величину выраженій:
73.	если	т = &,	« = 64.
74.	/р—/д	„	73 = 16;	2 = 27.
75.	3-|-а/а	„	а=5.
76.	/а2-/За— 4 — 2/а-|-22	„	а = 5.
77.	Провѣрить равенство: /а2—2аЪ-\-Ъ2 — а— Ъ, если а = |;
78.	Провѣрить равенство: ^=/а? при а—9.
79.	Опредѣлить численную величину формулы г> = /2#/Г ско-
рости г> свободно падающаго тѣла съ высоты Ъ, если д 32 фута
въ секунду, а 1і = 1) 100 ф.; 2) 225 ф.
80.	Одинъ рабочій можетъ приготовить въ день т кирпичей,
а другой на п кирпичей болѣе. Сколько приготовитъ второй кир-
пичей въ 6 дней? т = 40; и = 20.
81.	Сумма двухъ чиселъ равняется р; большее число рав-
няется д. Найти 1) меньшее число и 2) разность между числами.
р = 10; д—1.
82.	Заборъ состоитъ изъ а досокъ. Чтобы прибить ихъ, на
каждую доску пошло гвоздей на 3 меньше числа досокъ. Сколько
потребуется гвоздей? а = 100.
83.	Число состоитъ изъ единицъ и десятковъ. Единицъ р, а
десятковъ на 5 болѣе, чѣмъ единицъ. Написать это число. р = 3.
84.	Три брата купили а десятинъ земли, которую они раздѣ-
лили между собой такимъ образомъ, что старшему досталось Ъ
десятинъ, средній заплатилъ за свою часть с рублей, а младшій
А рублей. Сколько заплатилъ старшій? а = 376; 6 = 97; с=2079;
А — 2217,6.
85.	Изъ количествъ: I, т, п и р составить слѣдующія выра-
женія: 1) изъ I вычесть сумму т и п. 2) Изъ п вычесть разность
и т. 3) Разность I и п умножить на т. 4) Сумму I, т и п
Начала алгебры.	6
— 82 —
вычесть изъ р. 5) Сумму т и п раздѣлить на I. 6) Разность т
и п раздѣлить на разность I и р. 7) Разность I и т, умножен-
ную на р, вычесть изъ п. 8) Сумму I и р умножить на разность
т и п. 9) Сумму четвертыхъ степеней I, т и п раздѣлить на раз-
ность третьихъ степеней т и р. 10) Разность т и п увеличен-
ную въ I разъ, раздѣлить на разность вторыхъ степеней I и р.
86.	Изъ количествъ а и Ь составить: 1) квадратъ разности
этихъ количествъ; 2) разность квадратовъ ихъ; 3) кубъ суммы
ихъ; 4) сумму кубовъ; 5) произведеніе суммы этихъ количествъ
на ихъ разность.
87.	Составить слѣдующія выраженія: 1) Утроить кубъ т\ 2) воз-
вести въ кубъ утроенное т; 3) т въ квадратѣ умножить на п
въ кубѣ; 4) произведеніе т и п возвести въ квадратъ; 5) произве-
деніе половинъ квадратовъ тп и и; 6) изъ квадрата разности т и
п вычесть кубъ суммы ихъ; 7) къ квадрату суммы т и п приба-
вить разность квадратовъ ихъ; 8) утроить разность кубовъ т и п\
9) утроить кубъ разности т и и; 10) удвоенный квадратъ суммы
т и п раздѣлить на утроенную разность квадратовъ т и п.
3. Объяснить и вычислить выраженія: 1) д2)
2 — р т\ 3) 5 — (р — /и); 4) 2 —р — т\ 5) т — (р 2)25 6) т — (р2 -}- 2а),
если т = 2; р = 5; 2=10-
89.	Найти числовыя величины выраженій: иі^и; тп/-, {тпу\
тпр, если иг = 5; п — 4; р — 2.
90.	Вычислить сумму квадратовъ, а также квадратъ суммы
чиселъ: 1) 8 и 5; 2) 11 и 15; 3) 25 и 30.
91.	Вычислить разность квадратовъ, а также квадратъ раз-
ности чиселъ: 1) 10 и 6; 2) 14 и 12; 3) 20 и 16.
92.	Вычислить сумму кубовъ и кубъ суммы чиселъ: 1) 5 и 4;
2) 11 и 10; 3) 40 и 12.
93.	Вычислить выраженіе площади Д-ка по 3-мъ сторонамъ
1 |/(а + + с) (а + — с) (а с — Ь) (Ь с — а), если 1) а = 3; Ь = 4;
с—5; 2) а — 1\ 6 = 24; с = 25.
п, п «	»	тР т
94.	Найти численную величину слѣд. выраженій: —; — ;
®іѴ т/
— ; если т = 12; н = 3; р = 2.
п] п*	’
Вычислить:
95.	(т Зи) при т — 2; п—-3.
пс (яг4-и)2 — (т — п)2	.	.
96’	144»г2и®	’ ПрП т~»'’ 11
— 83 —
ІИ И I /СѴ .	II I .
97‘ Іб + Ь) ] : с ’ при а~” Ъ~3’ с~’-
[х/	//2 __ 1ТЗ
7------т^— , при а — 2; Ъ = 3.
6 (г ]
101. Площадь Д-ка—]/р(р — а)(р— Ь)(р — с), гдѣ а, Ь, с —сто-
роны, а р (полупериметръ) — *(« 4-6 4- с). Вычислить площадь,
если 1) а = 13; 6 = 14; с = 15; 2) а=25; 6 = 29; с = 36.
Провѣрить слѣдующія равенства, подставивъ вмѣсто буквъ
указанныя (или какія угодно) числа:
102.
103.
104.
105.
106.
6 = 2; с=1.
(а -}- 6) (а — 6) = а2 — Ъ3.
(а6)2 = а2 4~ 2а6-{-62.
(а — 1>)2=а3— 2аЪ-}~ 62.
(а-|-6)3 = а34-За26-|-За62^}-63, при а = 5 и 6 = 2.
(а 4- 6 -|- с)2 = а2 4- 62 с2 4- 2аЬ 4- 2ас -ф- 26с, при
при а — 1 и 6 = 3.
а = 3;
Двѣ полезныя формулы.
I. Опредѣленіе дня Св. Пасхи. (Юліанскій календарь). Если обо-
значимъ остатки отъ дѣленія числа ЛІ даннаго года на 19, на 4
и на 7 соотвѣтственно черезъ а, 6 и с; остатокъ отъ дѣленія числа
(19а 4~ 15) на 30 черезъ & и остатокъ отъ дѣленія числа 2(6 ~Ь 2с 4~
4-Зс?4-3) на 7 черезъ е, то день Св. Пасхи будетъ (22 4~ 4*е)
марта или, что все равно, (й-фе—9) апрѣля.
II. Опредѣленіе дней недѣли. Профессоръ Казанскаго универ-
ситета Ковальскій вывелъ двѣ слѣдующія формулы для опредѣ-
ленія дней недѣли:
1. Для срока отъ 1 марта до 25 декабря: В	,
т.-е. если возьмемъ число даннаго года 711, цѣлое частное Е отъ
дѣленія 717 на 4 и число дней (гі) съ 1 марта по данное число вклю-
чительно, то остатокъ (В) отъ дѣленія этихъ чиселъ на 7 пока-
жетъ день недѣли даннаго числа, считая воскресенье 0, поне-
дѣльникъ 1 и т. д.
6*
- 84 -
„ [МА- Еа М) 4- п’—1\
2. Для срока отъ 25 декабря до 1 марта: III—1-?---- I,
гдѣ —число дней съ 25 декабря года предшествующаго дан-
ному числу, а М—число этого года.
Примѣры: 1) На какой день приходилось 25 мая 1915 года?
Рѣшеніе 41 = 1915; Е(і4/)=478; «=314-304-25 = 86. Если
1915 4-478 Д-86 или 2479 раздѣлить на 7, то въ остаткѣ полу-
т.-е. па понедѣльникъ.
2) На какой день приходилось 15 января 1915 года? Рѣшеніе.
41=1914;ЕСіМ) = 478; п' —1 = 74-15 — 1 = 21. Если 1914 4-478 4-
4-21 или 2413 раздѣлить на 7, то въ остаткѣ будетъ 5, т.-е. на
чимъ 1, четвергъ.
Отрицательныя числа.
107.	Нѣкто имѣетъ а рублей и долженъ отдать Ъ рублей.
Сколько у него останется денегъ? Какъ объяснить отвѣтъ, если
а<Ы Числовой примѣръ: Ь = 40 р.; а=37 р.
108.	Барка, отправившись съ пристани, поднялась вверхъ по
рѣкѣ на р саженей, но, оторвавшись, была снесена внизъ на
д саж. На сколько саженей она подвинулась отъ пристани вверхъ
по рѣкѣ, если 1) р>д', 2) р = 9; 3) д>р? Числовой примѣръ:
1) р = 50; 9 = 30; 2) />=д = 20; 3) р = 40; 9=75.
109.	Нѣкто работаетъ въ день т часовъ, а отдыхаетъ п часовъ.
Насколько онъ больше работаетъ, чѣмъ отдыхаетъ, если т>п‘,
т — п\ т<п$
110.	Ртуть въ термометрѣ стояла утромъ на 0°. Къ полудню
она поднялась на с градусовъ, а къ вечеру упала на Л градусовъ.
Сколько градусовъ показывалъ термометръ вечеромъ, принимая,
что 1) с><?; 2) с = й; 3) с<(№ Числовой примѣръ: 1) с = 8;
<?=5; 2) с=гі=6; 3) с = 4; й=11.
111.	У хозяина двѣ лошади; одну изъ нпхъ онъ пріобрѣлъ а
лѣтъ назадъ, а другую Ъ лѣтъ назадъ. На сколько лѣтъ онъ прі-
обрѣлъ первую лошадь ранѣе второй? 1) а>Ь; 2) а=Ь; 3) а<Ъ.
Числовой примѣръ: 1) а = 7; Ь=5; 2) а=Ь = 2; 3) а=3; Ь = 4.
112.	Императоръ Августъ властвовалъ надъ Римомъ съ 30 года
до Рождества Христова, до своей смерти въ 14 году по Р. X.
Онъ умеръ 75 лѣтъ. Сколько лѣтъ онъ властвовалъ надъ Римомъ
и въ которомъ году онъ родился?
— 85 —
Приведеніе подобныхъ членовъ.
113.	4а 4- ЗЬ 4- 2а 4- 9а + 7Ъ -|-106.
114.	За-|-4ас2— 4с34~6а— 8с34-7ссс2.
115.	5а’ — 762 4- 8а3 — 462 4- 9а’ 4- 2Ъ2 — 7 а3.
116.	7ас3 — а2 — 5а6 -I- 4а2 4~ баб — За2 — ас3.
117.	Ьху2 — Зх — ху2 4~ 4ж—Ьху — х 4- Ѣху.
118.	10а.г2 4~ 2а2х 4~ Зах — За2.г — 1 Іаж2 4~ а2ж.
119 За2 — 0,462 — 7а62 4-1,262 — За2 4- 7а62.
120.	0,6а3 —|62 4- 2,2а262 — |а3 4- 2,7562 — З'а262.
121 За2 — 4а63 — 5а68 — 2а36 4~ баб3 4~ Юа36.
122.	15/5 — аі* 4- 74-8аР — 9/6 № 4- Ра — 6.
123.	8ж2 — 5/а3 — Зж2 -|- 6 — |ж2 — 5 4- ?ж3.
124.	Ірц2 — ау2 4“5 — 0,7ау2 4~ Ірд2 — 6 4-5, 4ас/2 4- ІР92 4~ 3.
125.	0,3а 4* 1,076с — 2,2а2 4~ 0,56с — 0,62а 4-0,09а2 4- 1,1а.
126.	1,25л:2г/ — 0,1.а'г/2 — Ьх2у2 4- 2,7 ху2 4- 0,5х2г/2 — ху2 4- 4,5.с2г/2.
?г.з
127.	^-4- Зс3 —|с3с/2 —7с3-]- 5с3 —1,3 4- с3с/2 - 4,3с3-]- 2,7.
128.	2|р 4"	— 1в23 —	+ 6 — ІР — 2.
129.	0,17р2у 4-2^ — 1,б2?дг2 — 0,03р2<? 4- 7,3г—0,6/?<?2 4- 4,08р27.
130.	3‘{с3с/е — |сс/3/2 4~ |с3с/е 4- с(131г.
131.
132.
2тп
9
т3п2
г
„ , . тп	ѣтп о, , _ „ ,
35/ 4- — 325 - 2-5 4- 0,65/.
Зс/
е2
4с/ 5?п3п2
4~ е2 г
4-4яг3п2 —
3»г3п2 2с/.
г * е2
Сложеніе.
Вычислить:
133.	74-С — 3); -74-( — 3); -74-(4-3). 133а. 124-( —5)4-
4- (- 10); -12 4- (- 5) 4- (4- 10). ІЗЗЬ. 25 4- (- 8) +(- 4) 4- (-13).
Сложить одночлены:
134.	23ж,5п, — 18/>,7т, — 16а,9р.
134а. 12тп, — 27рул Згв, 18тп, 24ру, 32гв.
135.	0,4ж2п,2|жп2, — 1|ж2п2, — 5,7»и2п, — 33/ии2,3|ж2ге2.
136.	4а4-( — 6а); 76-|-( — 46); 8с4-(— 11с).
137.	— 9а4-( — 14а); —1264- (— 86); — 5с4-( — 5с).
138.	23»г2 4- ( — 2т2) 4- (— 6»г2); 7ру2 -|- (— 14рд2) ( 4“ Зр/2)-
— Я(3 —
139.	Сложить многочленъ 6х— Зу 4~4# съ многочленомъ 5а; 4-
4~8у—9г и провѣрить сумму, принимая: х = 6; у = 5; ^=4.
140.	Сложить многочлены (а2 4- 2аЬ + ^2) + (“2 — 2аЬ 4" &2)- Про -
вѣрить сумму, если а = 7; Ъ—\.
141.	(За2 — Ъ) 4- (4а2 + с) 4- (а2 — Ь —с)- Провѣрить сумму, пола-
гая: «=О,3; Ъ=±- с = |.
142.	(а2Ъ 4- ЗаЪ2 — 2Ь3) 4- (Ьа2Ъ — 2аЪ2 4- ЗЪ3).
143.	(бтп — 4т) 4- (т —[Зп — 2тп) 4* (и — 2т — бти).
144.	(4,5а2—З’аЬ 4- 6Ь2)4-(8Ь24-5’аЬ—3,8а2)4-(2^0 аЪ — 14Ь24-2, За2)
145.	(аз _ 4 >7а2Ь + $аЪ2 — ІЪ3) 4- (4а3 4- 10,2а2Ъ — 13,5аЬ2 — 4|Ь3).
146.	(За3 — 7а2 4- 8а — 5)4-(14а3 4- 10а2 — 5а 4- 8) 4- (10а3 — За2 —
— За — 4).
147.	(а2 -аЪ2-\-4Ъ2 — а2Ъ) 4~(Ь2 4- ЗаЬ2 — За’Ь) 4- (4а2Ъ — а2 — 5Ь2).
148.	(5а — 4а3 — 6 4- 7а4) 4- (а2 4- 5а3 — 2а4 — 4).
149.	(4т2 — Зт 4- 5) 4- (6т2 4- 5т — 4) 4- (— 2т2 — 2т — 2).
150.	(ЗаЬ2с3 — 2тр24~5)4~ (4тр2 — сй3 — аЪ2с3) 4- (2сй3 — 2аЪ2с3—6).
151.	(5а2 — Зт2п 4" 7аЬ) 4" (2»Л 4" 2Ь2 — 4а2) 4- (т2п — 9аЪ — Ъ2).
152.	(6т2п3 — 4рV — 5) 4- (т2п2 4- 6р V 4- 9 — 6т2п3) 4- (2рV —
— 2т2п2 — 2т2п3).
153.	(а2т2 4- |аш2 — |а2т) 4- ( — За2т2 4* 0,9а2ж) 4- (|ат2 4- 2а2т2).
154.	(0,7т3и5 — 0,25р<?2 4- 7т5и2) 4- (— 0,05р<?2 4- 3,8тѴ — 2) 4-
4- (О,3р52 — 6т5п2 4- 3).
155.	(|а^3 — 4 4- 0,2х2у2-\-у3^) 44— |а;2г/^3 4~ 3 — 0,4г/3.?4 — |а;2г/2) 4~
4-(0,5ж2г/^3 4-1 — 0,6г/3#4).
156.	(ІаЪ2с3 — е2Г 4- Зй2 — 6) 4- (|е3Г 4-0,125аРс3 4- 4,3 4- 5й2) 4.
-НИ734-1,7-8Й2).
157.	(ЗаЪ3 4- 5с3й4 — е^— 5)4~(1 — 6с3й4 — 2аЪ3 4- 2ер) + (4 — аЪ3 4-
4-с3й4).
158.	(4атЪ" — с3й2 4-4ах5 — 5с2й3) 4~ (7И2 — За”‘й” — 4ах3 4* 4с2й3і4~
4-2с3<Р) 4- ( — с3й2 — 6/й2).
159.	(З^аЪ — 2^а2Ъ3 — |а2Ь2) 4" (с ~ 2,9аЪ —0,25а2Ь3) 4~ ( — 0,ЗаЬ —
—0,01с4-3,1а2Ь34-іа2Ь2).
160.	(7н2 — 4тп 4- 5т2)4-(—Зт2 — 5т« — би2) 4- (9тя — 2п2 — т2).
161.	(4а 4- 8с3 — 6й4 — 0,3) 4- (— Зс3 4- 7Ь2 4- 2 4- 4й4) 4- (а — 2с3 —
— 11Ь2 —0,7).	ч
162.	(«3Ь2 - 0,2а2Ьг 4- |а’Ь3)4-(— 4аЬ — | — 2,4а2Ь3) 4- (5,8 4- 3&2Ъ2).
163.	(4а2Ь 4- 7а2 -}- 2Ъ2 4~ 5аЬ2) 4- ( — 7Ь2 — 4аЬ2 — 9а2 — 2а2Ь)
-|- (— 5а2 4- 6а2Ь — 7аЬ2).
— 87 —
Вычитаніе.
Вычислить:
164.	14 — (— 5); —14 - (— 5). 164а. 20-(- 7) — (+ 3) —(—10).
1645. -20 —(4-7)—(-З)-Н-ІО). 164с. — 56—(—22) 4-(—15)—
-(4-И).
165.	Изъ 18т3н2 вычесть 8тV.	165а. 7 а— (— За).
166.	6624-(-462)-( — 562).
168. 5с — (4с 4-й).
170. (За24~262) — (4а2 — 362).
172. (6а — 464-5с) — (4а 4-36 4~2с).	Провѣрить
разность, полагая: а = 15; 6 = 10; с=17.
167. — 4т Зп2 — ( — 6т Зп2).
169. (б'/н3 4" п?') — (Зт3-]-2п3).
171. (4а24-а—3)—(2а2—5а-|-6).
полученную
173.	(а2 4- 2а6 4~ 62) — (а2 — 2а6 4- б2). Провѣрить результатъ, по-
лагая: а = 6; 6 = 5.
174.	(10тп — бтр — 15нр) — (8пр бтп — бтр).
175.	(6с3 — 4с2й 4- Зсй2 4- 7Й3) — (4с3 — 2с2й 4- Зсй2 — 8й3).
176.	(6т2 — 4тп 4“ 5и2 — Ія3) — (Зт2 4- 5я2) 4- (— 4тп 4- |и3).
177.	(5а263 — 7а362 -р 8а262) — (9а262 — 15а362 4- 8а5 -|- 5а263) —
— (8а362 4-7аБ).
178.	(0,9«32/ 4" Ю.и/й4-2л'2//2)4-(—0,5ж:?/2—4,5«3г/4-9«4)—(— 3,6«32/4~
4- 1,5жу — З.г4 0,1 ж?/3).
179.	(7т V — 5т2п3) -|~ (8т2п2 4~ 0,4) — ( — 8,5т3п2 — 4,6т2н8 4-
4~5т2и2 4* 6|).
180.	8а2 - [4а3 — (6а2 — 5а3) 4~ 9а2].
181.	5а - [(6а — 76) - (8а — 96)] —106.
182.	10« 4- [(11у 4- 12«) — (13^ — 22л)] — 24у.
183.	[6« — (7у — 8г)] — [(Зя — 2«/) 4~ж] — (5« — 5у 4- 5г).
184.	9т4- {Юп4-[Пр — (12т4-13та)] — (14^— 4т — 2гі)} 4“3р.
185.	12а6 4~ 562 — {362-|-7а2 — (8а2 — Юаб — 462)}.
186.	8а4-36— {9а —76-|-(126 —14а —6с)4-6с}.
187.	24а — {(7а —56) - (26— 16с)-]- (15а— 16с)}.
188.	17 — [5тп — { 8т3п2 — (4тя 4“ 11) — Зтя} 4- (16т3п2 — 10)].
189.	5,6 - {|а4 - [12 - ( - |а4 - 18,4) 4- |а4] }.
190.	(4т 4- 7и) — \7п—{6р 4- (8// — 2т}}].
191.	3|а - ^2]-|6 — (26 — 2,3а)) — ( 4Д6 4- (0,4а—	) .
192.	«-[22/4- { — Зж4-3г —(«4-2/)}] —[2ж —(г/-]-Зг)].
193.	2е5т — [2а — (Зс3 -]- й2 — е5т) 4- а26—4й2 — (2а26 — 4с3 4~ 2а
-5Й2)].
— 88 -
194.	4р3—{ 2а2Ь3 — [4т24-р34-2а2Ь3 — 2аЬ] 4- 2т2 — (4р3 + 5а2Ь3)—
—2аЬ} .
195.	3,5 — [4а3 -|~ 2Ь2—(4,54-5 Ь2 — а3) + (ЗЬ2 — а3	2)] — (5 — За3).
196.	5,2аЬ — (2с2й + Зс/’) — [6аЬ — 7с2й — (4с/ 4~ 0,8аЬ)].
197.	(5т2м + 6а) —{За 4- Ьс2 — (2»і2м + 4Ьс2 — (ЗЬс2 + 7мг2»)]}.
198.	— (1 ІсМ — 6с/3 — 8аЬ) — {ІЗаЬ — 5с2й -|- Зс/3 — (6с2й — е/3 —
— 5аЬ)}.
199.	(4й — Зс2 — За2Ь)—{с2 — (2с2 + М)} - (7^ — 2с2 — За2Ь).
200.	—( —а24 Ь34-4с4)—{ —4Ь3 —[4с4 —а2 —ЗЬ3]}.
201.	(2т — 3»г 4* Р) ~~ {2<1 — [4м + 3? — (Змг -|- 2^>)] — т — (р — д)}.
202-	Многочленъ а2 — 4Ь2-]-ЗаЬ — с4 4- 2Ь представить въ видѣ
суммы двухъ слагаемыхъ, изъ которыхъ одно: — 4Ь2 -|- ЗаЬ.
203.	Не измѣняя величины многочлена т—— Ч, поста-
вить скобки: 1) передъ п и послѣ 2) передъ п и послѣ р; 3) пе-
редъ т и послѣ р; 4) передъ т и послѣ п.
204.	Не измѣняя величины многочлена т? — Зм2 4- 4р2 — 5?2—г2,
1) поставить скобки передъ—Зм2 и послѣ 4р2; 2) передъ—5<?2
и послѣ—г2; 3) заключить весь многочленъ въ скобки и передъ
ними поставить знакъ минусъ.
205.	Измѣнить видъ выраженія (а—Ь) — (Ь — а) такъ, чтобы
двучлены, находящіеся въ скобкахъ, обратились въ одинаковыя
величины.
Умноженіе.
206. Змг2.— 4.
208. — 4а2Ь3с4.0,5Ь2й2.
210. За4.0,6а7. — |а2.
212. 4Ь2. —0,ЗЬ5с® .|Ьс.
214. (&№-
216. (—|а2Ь3с4)4. Ца3Ь12.
207. 5иг2и.3.4мг3».2.
209. (За4)2.
211. ( — Змг2)3.
213. — Змг5»4. — 0,6и6.4»г4ме.
215. ( —0,За4Ь2с)3.
217.	(|а2Ь)8. (|аЬ2)2. — |аЬ.
218.	(2Ь2 — ЗЬ) . 16	219. (За3 — 4Ь2 + 5а). — а2.
220.	Змг3(4мг2 — т—р).	221. (|«2 -|~ |®р2 4~ |р2). — ^ху.
222.	(»г4 — 4ж3м + 2тѴ — п3). — Зиг3и2. Провѣрить полученное
произведеніе, полагая: т=^1; п—2.
223.	(5а3 4- 4а2Ь3—ЗаЬ2 — 2Ь3).*а2Ь2.
224.	(4а4 — За3Ь2 — 6а2Ь3с4 — Ь2с34- 9Ь4 4~12с3). — 1а2Ь2с2.
225.	— Змг2м3.(—|»гв2 4*ті — 0,6мг5»3).
226.	— 3|«И|г — 41г/-Ьго^).
— 89 —
227.	2|«Ь(1,8 — 2,7« 4-3,6Ь Н- 5,4с).
228.	За2 (а2 —4с 4- *) + (2а2 — 5 с — к) 2с-(а2 —с — к)5к.
229.	(10т2 — 5тп — Зт). — 2п 4- (&тп — 2,5п2 — Зп)Ат.
230. (а — Ъ)(2а — 36).
232. (ЗА-2 — 7с) (4 — 2к).
234. (т -|- п) (т-|~ п).
236. (т 4- и) (т — п).
238. (1-Ь а2)2.
240. (т 4~ 4“ 7’) (т— п—р)-
242.
243.
244.
245.
246.
2(а 4- ж) (6 — х) Зх (6 — .с) — 4х(а х).
— 2(1 4- х -|- ж2) 4- (3 4- 2ж) (1 -|-4ж).
231. (4т 4~ Зя) (Зт — 2п).
233. (|<7- (с)(12й24-21с2).
235. (т — п)(т—и).
237. (4а-|-36)2.
239. (3,4а 4-2,56) (2,36 -|- 4,5а),
241. (т-}-« 4"2’)2'
(а 4~ 6 -|~ а2 -|~ Ь2 4~ а3 4- 63) (а — 6).
(4т3 — т2 4- 6) (Зт3 — 2т2 —'5).
(Зт2 — бтп — 2п2) (2т2 — 'ітп — 5п2).
247.	(_ б3 62 — 1) (66 — 6" — 63).
248.	(<75 4- —а2 -|- а2—і) (а3 — й2 — 3).
249.	(Юа -|- 6 — 9с) (20а	18с).
250. (2я4-3&)(6а>4- 12г/).
251. (9а2—12а64~ 1662)(За — 46). 252.(11а — 2|64-3’)(24а — 726).
253. (25а2 — 20аж2 -]- 16ж4) (5а 4~ 4ж2).
255. (ж3— 244~ПЖ—4л-2)(4ж54~^2)-
256. (10т -|- 6т3 — 5 — 8т2) (2 4~ 4т 4" Зт2).
257. (0,Зж3 4- 0,6ж2«/ — 0,9жг/2 — 2,4г/3) (1,2г/2 — 0,6жг/ — 0,4ж2).
258. (0,3а4 — 2,5а3 — 6а2) (0,5а2 — За 4- 1).
(лг»3 /у»2 лЛ
^4- у (Зж6—4ж2 4- 2х).
260. (5т2 Зти — 2п2)2.
261. (а4 — 2а3п — 2а2п2 4- ап3) (а2 — 2ап — п2).
262. (ж4 4~ 2ж3 4~ ж2 — 4ж — 11) (ж? — 2ж 3).
264.	(Іа2т — т3 — \а3 4- 2ат2) (т2 — |а2 — 2ат).
265.	(1|ж2^/4 -|- 10ж5«/ — 2‘ж4^2) (|ж4?/4 — 2х3у5).
266.	(т3 2т2р 4~ 2тр2 4~Р3) (т3 — 2т2р 4- 2тр2 — р3).
267.	(5й2 — Зй-|-1)(2й-5)(Зй4-4).
268.	(За2 — 5а 4- 2) (2а2 4- 4а — 1) (1 — а).
— 90 —
269.	(р2 4- Зр - 5) (2р3 — 4р2 4- 3) (р 4-1).
270.	\т(т 4-1) (т 4- 2) — |?и(»г 4" 1) (2т 4" 1 )
271.	(ЗЛ2 — 47с2) (5к 4- 27с) — (67с2 4- 37с2) (ЗЬ — 46).
272-	1{ х(х 4-1) (х 4- 2) 4- х(х — 1) (х — 2) } 4- 1(х — 1) (х 4- 1)».
273.	ба2 4- аЪ — 262 4~ [(4а — 36) (За ф- 26) — (За — 26) (6а - 46)].
274.	(а -6 4- с) (а 4- 6) — (а — 6) (а	6 4- с) 4- (а 4- 6 4- с) (а—6—с).
275.	(а4-6 4-с)24-(а—6 —с)24-(а—6 4-с)24-(а4-6 —с)2.
726.	[»2 4- 6аЪ 4- (2а 4- 36)»] . [»2 4- баб — (2а 36)»].
277.	(»4-2) (»-]-3)(»4-4) — 24{ »-|(» —1) } . { х—Цх — 2) }.
Сокращенное умноженіе по формуламъ.
^+1)^-1).
(2а2 —362)(2624- 362).
278.
280.
282. (2и + 3)(3 —2и).
279. (т-$-4:)(т — 4).
281. (6»3— 1)(6ж3+ 1).
283.Ь —^|[е + Л •
(1^—І«/)(к+!//)•
(т3 — 0,1н2) (т3 0,Іи2).
(0,4р2 — 0,02?) (0,4р2 + 0,02?).
(7 +а)2-
^ + 2^2.
(1 + 2«)2.
(^24-2)2.
(5т — т10)2.
285. (3»-]-’)(3»-|).
287. (|а6 + |»2)(|а6 —
291. (5 —6)2.
293. (2а262 —Заб)2.
295. (5 4-7Ь)2.
297. (»4-|р)2.
299. (|а —16)2.
зоі. о2+>3)2.
303- (0,1ж2 + 0,2^)2.
305. (т + и) (т — и) (т2 4- и2)-
И)(т2 —и2). 307. 412. 308. 682. 309. 1032.
284. (а3 4~ 62) (а3 — 62).
286.
288.
289.
290.
292.
294.
296.
298.
зоо. (^+Й/)2
302. (|ш — |и)2.
304. (1,2а6 — 0,8»3)2.
306. (т и) (т —
310. 72.68. т.-е. (704-2)(70 — 2). 311. 303.297. 312. 421.379.
313.	200.201. 314. 300.299. 315. 700.704. 316. 252; 852; 1052.
317.	Вычислить по формулѣ а2 — 62 = (а-]-6)(а— Ъ) раз-
ности квадратовъ: 682 — 342; 1022 —392; 6362—2472; 5252—4152;
3792— 2442.
318.	Доказать, что квадратъ всякаго цѣлаго числа, оканчиваю-
щагося 5-ю, оканчивается 25-ю.
319.	Вычислить: (352 — 252)2; (41.39 — 31.39) (41.39 -|- 31.39).
— 91 —
Дѣленіе.
320.	Зт5п4: т9п2. 321. 1 бредчг: 4/А/4.
322. —12тѴж6: ЗтѴ. 323. 210а664с2:— 35а264.
324. —45с9(?3:15с7й2. 325. — |а463 : — &*Ъ.
326. 6т3?»4: — 8т V. 327. 12ж3«/6.г: — 8ж5г/4.
328. — 36а364с6: — 45а663с6. 329. — 8а662сМ: ±аѢс3.
330. (4т5 + 3т3):т«. 331. (|й6 —15*6): —ЗН
332. (4а3— За2 — 2а):— 2. 333. (7х3у2— 4хъу3г2-\-Зх2уг3):2ху.
334. (— За24~4а6 — 5а262): — За. 335. (14а66 + 2а264 — 63): 76’.
336. (18тп І2тр — &пр~): &тпр.
337. (а34*5а362 — Ъ3):Ь3. 338. (8аѢ2 — За466): — а466.
339.	(а24-2а6 4-62):(а4-6).
340.	(ат 4~ ап—тх — пх): (а — х~).
341.	(аЪ а — Ъс — с):(а — с).
342.	(Зж2	бху 2у2): (х 4~ у).
343-	(5а2 — 2а — 7): (а 4~ 1) 
344.	(Зт4 + 12т3 — Зт — 12): (т + 4).
345.	(6ж7 - Зж6 4- 24ж2 —12):(2ж2 — 1).
346.	24а4 4- 22а3 4~ За3 4- 6а 4- 1): (6а 4~ 1).
347.	(24а3 4- 18а2Ьс — 15а62с2 4- 8аЬ2 4~ 1063с) : (4а 4- 56с).
348.	(28а4 — 39а3 4- 5а2 4~7а — 1): (4а3 — ба2 4~ 1).
349.	(15т4 — 33т3 4- 6т2 — 5т 4~ 1): (Зт3—6т2 — 1).
350.	(18а6 — 24а46 4~ 15а36 — 26а2Ъ2 4* 8а63): (6а3 4~ 5а6 — 262).
351.	(а2 — 26с—62 — с2): (а 4-6 4~ с).
352.	(т4 — ?г4): (т3 — т2п 4~ т«2 — п3.
353.	(4 4~ ж4): (2ж 4~ 2 4~я2).
354.	(|а4 + |а36 - ^а262 - ±аЪ3): (|а 4-|6).
355.	(^т6 —,6 т4п — ^т2п3 4~ ^тп4); (|т — |п).
356.	(0,1а4 4- 0,52а36 — 1,75а262 — 9,1а63): (0,5а 4- 2,66).
357.	(24 — Зж5 — 2ж4 — 18ж3 — 8ж2): (4 — Зж3 — 2ж2).
358.	(— 24т3 4- 46т4 4~ 47т6 — 41т6 — 28т7): (12т2 — 5т3 — 7т‘).
359.	(а3—63):(а —6). 360. (а34- 63): (а4-6).
361. (ж3 4- 1): (ж 4- 1). 362. (^3-8):(2/-2).
363. (а3 4-27): (а 4-3). 364. (а4 — 64): (а — 6).
365. (а6 — ж6): (а — ж). 366. (а6 — 6«): (а 4- 6).
367. (ж6 — 1):(ж — 1). 368. (216т6 — 8и3):(6т2 — 2п).
— 92 —
369.	(16ж8—у*): (2ж2 -|- у).
370.	[т(т — 4х) -|- 3(ж2 — ху -|- ту)] '.(т — Зх Зу).
371.	[| - За2 (2 + За)2]: [{ + а(2	За)].
372.	[аѴ ~|- (2ас — Ь2) ж4 -|- с2]: (ахі — Ъх2 -|- с).
373.	(х2 — 4) (х2 -р 4ж -[- 3): (х2 -|- х — 6).
374.	(16а3 — 26а2і — 37аЪ2 -[- 5Ь3): [(5а — ЗЬ)2 — (За -|- 2Ь)2].
375.	(Ъ3 — 5Ъ2 — 9Ь-|-45)(Ь — 1): (Ь_|_ 3) (Ь — 3).
Разложеніе на множителей.
376.	Зт— Зп. 377. сй—йе. 378. 8а2 — 12аЬ.
379.	6.рѴ4-14?2г3. 380. атп — п. 381. 5а3Ь3 -|- ЬаЪ2.
382.	х3 2.тг/ -|~ х. 383. 6а4 4~ 9а3 За2.
384.	8т4и — бт3^ — 10т2/?. 385. 5р3д2г — ЮрдМ — 25/)22г3.
386. 18а2Ь2с3— 9а3Ь3-]~ 27аЪ6с. 387. 5(ш — п) — 25.
388. «(ж+ «/)-[-&(«-]-у). 389. За(Ь-|-3) — 2(3 4-Ь).
390. а(х—1) -1- 6(1—х). 391. т(а— х) — т(х — а).
392. 4а2 — 12аЬ962. 393. 49я2 у2 — 14и/.
394. 25т24-10т4-1. 395. 4^2 — 9у2. 396. 36—й2.
397. |а2 — %Ь2. 398. 9/>2 — 24р 4-16. 3.99. х14- 4ж2 4- 4.
400. т2 —2тпр 4~ п2р2. 401. 4г4 4_ 20г252 -|- 2Й54.
402. 16с4 —81 й4. 403. 100р2-г^-2. 404. >26’ — ^а‘Ь2.
405. хкуі— ^х*ув. 406. 25р6д,в4-^’в — ^р3у3г3. 407. с8 — й”.
408. 72а2Ь4с — 2Ь2с. 409. 25аех14-16г/го—• 40а3х2у&.
410.	-|- а3 4~	. 411. х2 — 2-|---2-
412. Іс’й^-І-ІсМУ3 —тсМ2Л 413 2т'р-т2р2 — те.
414. 48#3г/2 — 27жг4. 415. а4 4~ 9а2-|-6а3. 416. 32а5 — 2а.
417. 4т4~ 16т^ 4-16т2р2. 418. 75а4Ь4180а2Ь2с 4~ 108с2.
419. (т — п)2 -|- 2 (т 4-^)4” 1-
420. (а4-Ь)2 —с2. 421. а2 — {Ь — с)2.
422. (а-|-Ь)2- 1. 423. 1 — (а — Ъ)2. 424. а34-Ь3.
425. х3 — у3. 426. а3—1. 427. ж34- 1. 428. х3 — у^.
429. а5 4-1. 430. 2а4-]-16ая3. 431. 24я5 —За2.
432. а6— Ъ\ 433. 128л8 — 2л2. 433„. х2-[~рх-І~
434. 9х4 — ЗяЛ/4-^- 435. ^4-|аЬ2—?а2Ь.
— 93 —
Докажите, что:
I.	Разность между какимъ угодно трехзначнымъ числомъ и
другимъ трехзначнымъ числомъ, составленнымъ изъ тѣхъ же
цифръ, но въ обратномъ порядкѣ, всегда дѣлится на 99.
II.	Разность между квадратомъ числа и самимъ числомъ
всегда дѣлится на 2.
III.	Разность между кубомъ числа и самимъ числомъ всегда
дѣлится на 6. Укажите на одно исключеніе!
Дроби.
1.	Одночленныя дроби.
Сокращеніе.
436.
440.
443.
446.
15ши	,	27«2ж2//2	4,5ш2и3/>4
25жр	’ 64«:і62	' 9«2ж4г/с	' 9«г4и3р2<75'
18аБЬ4с2 ... т — п , , (г -4- «)3(»’ — «У
— -----— 441 ----------- 442 ------!—
ЬаеЬѣ ’	3(т— п)2‘ ‘ '(г — $)5(г-}"5)2
Сложеніе и вычитаніе.
х , 2у ... 1 . 1 . 1	т	п
—444. Н----------Н- 445.--------
# З# х 1 у в	р	рд
а Ъ с 1	1	2
Зй + Т2 — 4й	р + а2-- аЬ
448.
т — п
5~

а2 —3	4 —а2
3 + 4
450. ? + 1. 451. с — -• 452.	453. 2 4-
Ъ 1	с	Ъ 1	аЪ
7)2	ху	А	/уі2	л«2
454. а — 2Ъ 455. у +	2. 456.
а	о	а	у*	.т2
457. ^+^^.458.^-^- 459.
.г2 1 а2	а х	с о а
460 Й(Й + 4Ь) . Ь(4а4-Ь) 4И х2-\-у2 у — х
ѵ Ь2 ~ а2	я;2 у
462. 1 +	463.
464 3-т~2^	2ж2 —2^/3 7т 4-и Зт 5п
х	ху	3	2	6
— 94 —
406. 2(Ж-г/)+|^-^.
1 2у 5х
,8т — 11п 2т Зп
468 —з-------Г~
467. Иа’-^-2
6
т — 2п . п
~2	т"12
а3 — Ь2
2
4-1-
Умноженіе и дѣленіе.
4»г2 15п3
5п 16т3
472.2а;2-—. 473.2
ху
4А3Р
47э- 5тѴ
477.------
РЧ
479 Зигп2 •
4^3
470.	471. 15сй4 -
Чу 15а;
36 а3	Зху 2,г2
.-15»>Ѵ. 476. ЙЙ-л-
Зсгсг 5а3
Ѵ2(7	С2 ( Ъ2\
-Я1- 478. аѢс.~. („
6	аЬ \3ас3/
2р2г2	/
Уту \
481.	482.
а — Ь
,о,	3	4а262 I— 2аЪ\	.о-	71і3к12
484. — : -• 485. —. 486. — о -2 :
р р	Й3	\ сі2 /	8т2п
81а;2у3 27х3у2	— а2 . —1	.	х
487> 25727 • "57Г' 488' ~ЗЪ  663	489‘
7)
490. Ъ2-.—- 491.— :4т\
За 3?г2
443 8/щ2 - Зг<от3 _ 8ге 494
5п<73 " 10п2д3 Ѵт '
495 _§г2±6 • /_Г!_81+ѵзгѴ
*аЭф 5ху5 Д10аѴ^2/ )
ЗтѴ _ 4иг2»г3 т3п3ру
497.
ру2 " р2у3
2
За;
сй2’
а-}~
2(а — Ь)
7к21
12тп2
1(Ѵ : 5а;2.
Юг/
^0*3
492. 20х2у:~-
_9«562.3ас631
Тй3' • 4й3 '6с ’
496 14^.^	1_.
<ыо. 9р . 3^4 -г С2
/и2 — п2 т-[-п
498. г-:	-
499.
501.
503.
„2	1 Іу Л
- У2)		500- (10«26 + 12«62) • 276
'2а2 4а6	662\
,362	5с2~і~7а2/'
_ ЛЛ	7 С \ 017993
502- и~б»-ій) 2,1 л-
12»"!»1.	504. (- +?)•(’— т)
\а 1 6/ \а Ь)
— 95 —
514
II. Многочленныя цроби.
Сокращеніе.
15а2-}-1063	2 т2 -}-6т3ж-}-4т*	_ 15ж2— Зху
18а2 + 126т‘ аіЬ' іОтМ—4т3 ’ ' МЛ Южг/ —2ут
51Я а+Л 519 9те~3	520 _2а24-8аЬ
Э1В- а2 — і2 ‘ °	9т2 — 1 ‘	*и' 9а2 -}- 462 + 12аЬ *
__ Зт3 4-12т2-}-12»»	125а3—5а
^т2р — 16р	’	50^^20аі+2а-
4ж3-}-16ж2г/	^—З#3	12а3-}-За
ж2—Ібу2 '	' р2—672-}—9 ’	’ 80а6 — 5а'
523.
Сложеніе и вычитаніе.
526.—^—-}-—^—. 527.—“^4
р-\-д р—д	«4-1
529.3---|-з. 530.-— 4-5.
т 4-1 а 4- Ь '
-Л,. 528.^-
а— 1	^~гУ
541 С + ^	с2-|-(12
Эб1- с—а с*—(і2
ж-}-^
х—у'
коп 5/2 — 16	3	5
532’-Р	5— р • 533,7(а-}-&)	14(а4-Ь)‘
534.
536.
538.
с	с2 к__ 1 -}-2а	1 — 2а
Г-2а~~ І~+2а'
3	Зт — 10	г„_ а 4- 2	а — 2
2т -{- 5	4т2 — 25 ‘ 'а — 2	а -)- 2
-1-4- -1------1. 539.^------------2.
1 -}- Ж 1 1 X	х2 — ху ху — у2
— 96 —
540.
542.
544.
х і Зх 2хУ 441 !+г I !—37
х — у'х-\-у	х2 — у2'	‘ 1 — х' 1 -4- х 1 — х2'
5к Зк ,	6А7 к/о 2	3 Зу + 5х
А- — Гк2 — 12‘ х Зх±у	9х2 — у2'
2а—Ъ , а — 2Ъ ( 3(6— а) ,.ЛІ.	1	,	1________1
1-|_а “Г 1 — а2 • °	а2 — Ь2-1"(а — 6)2	(а + 6)2*
Умноженіе и дѣленіе.
546.
548.
т2 — п2 ____2____ Зр — Зд ар2 — ад2
т2 + «2' т — п'	‘ ар-^ад' 2р2 4" 2</2 '
а — За2 Ъ2	т3 Зк-[-41
~~~аЬ~' За^Л ‘ Э<1Я№ —Ш2‘ ш4 •
550.
552.
554.
556.
с — й сЧ-й с_, ах-]-х2 2Ъх — сх2
_________________•___551	-  __________
С2_]_2а/-Н2’3с2 —3«Г	2Ъ — сх' (а + ж)2 '
2а 4- 26. аЪ^-Ъ2	Зсй—Зй2 . 6<?2
7ш_7п:21т—21п ' й Л с2-|-2сй4-й2’с2 —й2'
566.
567.
(2 х I 2хі\.^а + ах\ 568.
\	2 х/ х2у — 4«/
' с 4 й . Л
а/
с — А
ааі2 — Заіі3'
569. Д
оа
а 4*
5а
1
а— Ъ
а— Ъ
570	+ У*____Ё________) • А
\ рд рд -Ь чг 4- рѵ/ ' рч ’
>-п. (х—у ^4-?Л	2
571.		---: -»-------2.
\я;4-2/	х — у] х2 — у2
572.	' +Ь!|:( ' -1=4
—}— Я7	X / ~і~Х X /
— 97 —
2
573.
574.
575.
т— п
т — п
т2п2
Пропорціи.
Провѣрить слѣдующія пропорціи:
576. За2-АаЬ2 = 6ас2:Ыс2.	577. ^:^= —:Ь.
Ь а с
578. (а 4- Ъ): (а2 — Ъ2) = (а — Ъ): (а2 — 2аЪ + Ь2).
Составить пропорціи изъ равныхъ произведеній:
579.27.4 = 18.6. 580.18.8 = 12.12. 581.	4 = 6.
582. 0,24.2,5 = 0,4.1,5. 583. а2Ъ. Ъс2 — аЪ2. ас2. 584. х2 — аЪ.
585. 16а2 = ит. 586. (а — Ъ)2. (аЪ)2 = (а2 — Ъ2).(а2 — Ъ2).
Найти среднюю пропорціональную величину:
587. 18 и 8. 588. 242 и 2. 589. 0,2 и 1,8. 590. а2 и Ъ2.
591. тп2 и ЛА 592. За и 12а3.
Найти неизвѣстный членъ въ пропорціяхъ:
593. а : Ъ = с; х. 594. Ьс2: аЪ2 — х'.аЬ. 595. 2: а = Ъ: х.
596. х: 3 = (а Ъ): 6. 597. (»і 4~и): — х •’ (т — п)-
598.	х I (а2 — Ъ2) = (а 4- 5): (а — V).
599.	Въ пропорціи х: у=г\ и сдѣлать возможныя перестановки
членовъ.
600.	Изъ пропорціи 6:8 = 9:12 составить нѣсколько производ-
ныхъ пропорцій.
Съ помощью производныхъ пропорцій опредѣлить х и у, если
601.	- = | и я;4-2/ = 1О. 602. р=| и х—у = Ь.
У о	О о
603. - = - и х4-у=а. 604. - = Ѵ и х — у~2Ь.
у п 1	а Ь
Степени и корни.
Возвышеніе въ степень и извлеченіе корня.
(О \з / 9>»3<74Ѵ
-рйпѴ) . 607.	•
(Л п) 3\ 4
4г-ѵ)- 609. (1,1а’6и)2.
5ху6 /
Начала алгебры.
7
— 98 —
613.
615. — +
1\
618. (а + Ь2
хя.
. 612. [(—2а3)2]3.
616. (« + &)*. 617.
621. /а8; /б4518.	622. Ѵ^‘
г	ѵ 16п10
624. /—27г9вдЧ	625. /ІбаЛ/2^32.
А2Я V / 81с4
V юол-24г16'
626.)
629. /—243а1в530. 630. /б4(а + Ь)15. 631. /— 32аітЬ1в”.
632. /343«6""у+ 633.	634.
а18
216с12 •
627. /— 8(ж—у)9.	628. /б4а18.
Вывести множителей изъ-подъ радикала
635. і/2г2;
108.
’24ж5г/9
638.	/Ц; /0,24; /0,18. 639. /18а35св.	640. у ~ •
641.	/іа5'. 642. /0,03ж3^2. 643. /2,42»г3в8. 644. /125а,-у.
645.	/|Ж 646. /3^ 647. /^8Ь\ 648. /І08І\
649.	/бЗ/Ли3. 650. /— 54ж6г»3795. ии4. X! ~
652.	/81Ж 653. /128ау. 654. /- 64а1261в.
655.	/90(а + Ь)3. 656. |/48(т-|-п)Ѵ. 657. /50а3 —25а2.
658.	/ 36ж2г/ -}- ЗУ + 108а:3. 659. /16 + 32/2?
660.	/8/2 —2//Г272? 661. Р^а3 —/64^
Ввести множителей подъ радикалъ.
662.	5/|; 2/і. 663. б/{; 4/1,5. 664.	•
665.	5а\. 666. (с —	. 667. 10жа\/г§Ц
V а	с — а	V 25а:3
— 9!> —
668. 2|/і 669. »«!/—, • 670. 6с21/а-2. 671. 2Д/- + Д.
г	у т2	У Ус2	V х 1 2(/
/і 2	3 /1	3 / 2
672. аЬ\ /і + • 673. аі/ - + Ь. 674. (а + Ъ)1/	
\ а ' Ь3	у а '	Г (а-]-Ъ)2
Извлечь квадратный корень изъ чиселъ.
675. 289. 676. 529. 677- 841. 678. 1156. 679. 5329. 679а. 6084.
80. 1764. 681. 7921.	682. 12996	683. 55696.	684. 61504.
^85. 132496. 685а. 481636. 686. 316969. 687. 804609. 688. 974169.
89. 14899600.	689а. 64802500.	690. 24314761.	691- 25482304.
•92. 60481729.	693. 12345654321.	694. 4169672329.
•95 361	696	697 ІО®6-	698	699	•
•ИЭ. 576.	ЬШ>.	4169. оУ/. 1О121-	ьѵо.	18225 • «аа-	4528384
г00.	701. 0,0676. 702. 0,1369. 702а. 50,2681. 703. 0,018225.
ЭоѵооѴУ
104. 6,9169.	705. 0,008464.	706. 26,2144.	707. 49,632025
108. 66,308449.	709. 256,096009.	710. 346,220449.
Съ точностью до 0,01.
711. 2.	712. 3.	713. 10.	714. 20.	715. 51.	716. 366.
717. 4711.	718. 0,4. х719. 2,5.	720. 0,049 .	721. 0,00372.
722. |.	723. 3,141592.	724. 1^.	725. 5Д.
Съ точностью до 0,001.
726. 3,4.	727. 0,007.	728. 6,35.	723. 0,00215.
730. 0,00954835.	731. 0,0000681.	732. 5; 0,5; 50; 0,05.
733. 14; 140; 1,4; 0,14; 0,014. 734. 122; 12,2; 1,22; 0,0122; 1220.
735. Стороны правильныхъ вписанныхъ въ кругъ, радіуса —1,
треугольника, 12-ка, и 24-ка соотвѣтственно равны }/3;
у/2 — 1/3 и V 2	/ 2 4- }/ 3. Вычислить эти стороны.
Извлечь кубическій корень изъ чиселъ.
736. 2197. 737. 13824. 738. 50653. 739. 97336. 740. 328509.
741. 912673.	742. 10503459.	743. 50243409.	744. 78953589.
745. 395446904.	746. 68,921.	747. 0,571787.	748. 0,000068921.
7„™. 7М.597>«
7*
— 100 —
Съ точностью до 0,01.
752. 23. 753. 3,141592. 754. |. 755. 3|.
756. 29; 2,9; 0,29; 0,029. 757. 241; 24,1; 2,41; 2410.
Найти:
758. /194481. 759. V 150,06251 760. /3336,2176.
761. /4096: 762. (/7529536. 763. (/1679616.
Дѣйствія съ ирраціональными количествами.
1. Возвышеніе въ степень и извлеченіе корня.
764. (/З)2. 765. (/10)3. 766. (/—12)6. 767. (/Ііу.
768. (/7^ 769. (/^2)Т 770- (/а)2- 771. (/^)3.
772. (/а2)2. 773. (|/»ІйУ)3. 774. (/^б7г)\ 775. (а/Ь)2.
776. (ш/^Аг)3. 777. //^ 778. //ж3. 779. Ѵ/с2.
780. ѵѴ/«^ 781. \/Ѵі/сЧ 782. V а/Г
783.	784. \/т\/т\/т 785. \/ 2\/ 2\/2.
786. \- 2//// 787. зѴГѴГРГ 788. бѴГй /Г
789. у/Д/яІ/Т 789а. \/30+ |/8? 789Ь. /16 + /128.
2. Приведеніе.
790. 12/7-}-3/7 —ІО/Г 791. 2/3 4~ 5/12. 792. 7/2 — /Ж
793. 6/50 + 4/18 — /8? 794. 2/63 — 3 /28 — /175?
795. /2 4-3/32 44/128-бу 18.
795а. /12 — 2/27 — 3/75 4- 9/48.
796. 3/3 4- 5/48 4~ 1/75 — {/147.	797. 2/20^—/45^3 —/807.
798.	7 /8а3Т2 — аб/18а а/50^52 — Ь/32^3.
799.	/8а—/50а3 —3/18а.
800.	/98^? —1/50^/ — 3\/^.
801.	За/20^ —а‘2уА_|_іоау^.
—101 —
802.	\/^+5/75п — 2\/И„Ь. 803. 3/а6ж —/а2ж4
804. /бГ— 2|/16 + |/128. 805. /81“—2/Й+ 1/375?
806.	3/^2 + 3/І6 + 2|/Т—/=^6|.
807.	3/^ + 3/’ +5/144?
3. Умноженіе и дѣленіе.
808.	/бТ/201 809. /87/121 810. /127/181
811. /157/501 812. 2]/б~. 3/8? 813. 2/37/—91
814. /І27/8?_815. /К/Г? 816- 2/Т7б/І._
817.6/3.3/12.2/2. 818. (/2+/6 +/8)./2.
819. (3/5 + 5/20 — 2/45)7 7/5? 820. (2 + /ЗУ (5 — /ЗУ
821.	(/2 — /3) (/6 — ]/8).
822.	(2/3 +3/2) (5/3 —3/5)1
823.	(8 + 3|/2)*(2 —/2)1
824.	(1 +/2р1	825. (/10 + /5/.
26. (/6 — /3/. 827. (2/3 — 3/2/ 828. (1 + /2 + /3/.
829. (5 + /7) (5 — /7)1	830. (/И + /3) (/П — /ЗУ
831. 2/а. З/ж? 832. 2/а1 /9а1
833. »г/бг/1 н/24г/3. 834. а2/2ж.- /8ж.
35. /1/ /9а1 836. |/4й2.8/2р1
837. / 20а . 2Ъ •	838. а/аЬ . Ь]/Ьс. с/ас.
839. /а. 2/а2.3/а4. 840.	/й/2.-і-/»ф2.-і-3/ж2п2.
841. (ж + /ж) (ж—/ж). 842. (/3 + ж + /х) (/3+ж — /ж)1
843. (ш/2 —п/3/.	844.\/“ + ^.\/“ —
г	у о ' а у Ъ а
845. (/4ж + 2«/ — 2/ж) (/4ж + 2г/ + 2/ж)1	846. /24: /6І
847. / | : / |.	848. 3/иш3: /»і3п2.
— 102 —
853. (1/75 + б]/48 - 24]/з):]/зТ
854. (35а/баЬ3 — Щ/ЮЬс3 — 28с/14а3с) : 7аЪу2а&
855. (/9а6-}-12/4а4 —45/2Й) : 31/2^
856.	/4. 857. /125. ]/36. 858. /64. /К
859. /а. /а. 860. |/Ь*. ]/ЗЪ. 861. /4Й . /2^1
862. 1/.// 863. /27°.|/ЗаТ
864. /4т. 1/5т. 865. /2». |/3ж. /ж?
869. |/4 : /2. 870. /а2Ь2: ]/аЬ.
871. ]/][:	872. 9 : /27^ 873. /й : /2Й-.
874. /т°:/т. 875. /2с3:/ійА
876.	(/ЙГ— 2 /ЙЧ- 6/аФ): (2/^
877.	(/Й+/Ь) (/Г—/Б)?
878.	|/25а4ж : 5аж2.	879. (ти): | /т2 — п2.
880. (Зху /«Г-р 4у2 /й): 6 |Лп/(і.
ОТДѢЛЪ ВТОРОЙ.
Рѣшеніе уравненій 1-й степени съ 1 неизвѣстнымъ.
881. 7* = 63. 882. 5*+ 7 = 22. 883. 17* — 23 = 113.
884. 9* + 8 = 5*. 885. 7* +18=4*+102.
886. 14 — 5*= 14*—176. 887. 11+ 4* —3 +12*= 17+ 2* —2.
888.	5* —7 + 2* —9 + 3* + 11=0.
889.	0 = 12* + 11 + 5* —8 —* + 9.
890.	3*-0,4*=52. 891. 0,2*+0,3 = 0,9. 892. 0,4* + 0,5 = 1,9.
893. 6,7 —0,8*=1,1. 894. 3* —34=1,3*,
895. 2,3* —4,5 = 6,7* —13,3. 896. 8,9 —10,11*=1,89ж —3,1.
897. + = 8. 898. ^ = 6. 899. 6-^ = 0. 900.* + ^*=24.
5	4	7	1 7
901. |+=9. 902.?+5=? + 7. 903. у + ^=6.
904 10=??+??. 905 ?+^ + ^-б=0. 906.'-=7.
8	6	2	3	4	*
907. - — 2 = 0. 908.—+ 2 = 6. 909.19 — — = 16.
* * *
910. 5+(3-*) = О. 911. 7 —(6 —*)=0. 912. 20 = 19 —(17 —3*).
913. 9 —(8 —*) = 7 —(*—6). 914. 20 —(19* —18) = 15 —(17 —*).
915. 12*—(7*—19) = 8. 916. 4(* + 5) = 2 (5* — 3).
917. 7(* —3) + 8(* + 5) = 9(* + 6). 918.4(* — 3) — 7(ж — 4) = 6 — *.
919. 11* — 2(ж —1) = 5(* + 1). 920. 2 —(0,1* —0,6) = 0,1+0,4*.
921. (*+!)(*—!) = (* —З)2. 922. (* —1)2 = (* + 2)(* - 2).
923.	16 — 3(* + 4) + 7(* — 5) — 5(6 — *) — 2 = 0.
924.	2* + (3 —ж)2 —7 = 3+(* —2)2 —5*.
925.	(*+5)(ж —4) = (*+3)(ж —3).
926.	(* — 5)2 = 2*2 — (* + !)(* — 1) — 6.
927.	2[7*—4(*—5) — 3(5 — *) — 6] = 5[3* — 7(ж + 1) + 2 (* + 4) +3].
928.	*=.(* + 1) (* + 2) — (* — 3) (* — 4) +1.
928а. (* — 1) (* — 2) + (* — 1) (* — 3) = 2 (* — 2) (* — 3).
— 104 —
92а 2 + в=т + =- 930. ?-2=^-2,4.
930а.	1	_ — х—17. 931. 4х— ~— 1|о:=я: + 1.
932. 1^ + ^— 2±х— ±-]-Цх=0. 932а. ^ + ^ + ^ + ^=5.
933. ^-^ = 4. 934.12,9^ + 11 = 2,4^-^1^^.
935. 4(3 — 0,02а) — 9(0,бо; — 0,5) + 3(0,04а; — 3) = І.
___ За:—1	8а;4-2	___ г ,
936- —3— =	. 937. 5а; + |(2а; — 7) = 14>.
а: — 3 х— 2
2
931	___ 5(3а: 2)_2
Я38- 4а: + 5-9- 939‘ 9(6^5)~7’
941. 5^+=35=13). 942. 2
943. 77-Ц™=-^-ѳ- 944.-4
(х—12)3 х — 2	х~1-
945. |(2а; — 9) — Цх + 3)=|. 946. 4 — 5х -	= 0.
15—х ) 2х — 3 х — 2	х — 7
940. ~—— =1
2(^+1)	5
3
5 ~ 15	3	15
948. 2а; + -^1 = ^±1.
949.	^ + ^±_6 = ^±2_2 = ,.
950.	9^+_5-§^ = ж__1.
951.	3^^_(й_^Щ)у=:о.
952.	^~2 -^22——^3^ = 2Ж.
953.	Ц113 +12^11 = 2ж+ 1 — ^-1.
954.	^4~1 + ^+:2 = 19 — —.
955.	2^-1 + 4^ір1) = ж + 4.
956.	^1-1^ = 11,9-3(Ц+2).
957.	Ц^; ^±1)=2:3. 958. 22-І^Ь3 =2(^-1).
— 105 —
пгп 3x4-11 2х —17	3x4-1	2(х4-б) ,
959’	2	3	— 4	5	4"
960. 15» +13 = 1,4 (14|х 4-5,6).
961.
962.
{п[2Й<а:-1) + 6) + 3 Н Н = °
2х2 -4- 5х + 7	(х 4- 8) (х — 3) -}- 4 . „
4	“	2 "Г
963. 7 —— = 1.
х
964. 15 —
—=и——
X	X
15	6_і_ 21
4х'х 2х
966. *
о
965.
967.
969.
971.
973.
975.
976.
35 2 55 . 9х—5 ойо х—6_х—3	За; — 7 Зх—14
Т + з —З^4 2І~‘9Б8,^5~х—1‘9Ь8а,4х4-"2“4х—13‘
5х — 6_2(5х — 4)	х — 1_х-]-2
Зх —1 “3(2x4-1)‘ а'°‘	5 ' 9	' '
24-11=5=1. 972.	» =-^,-3.
х х—1	х—1	х-]-5
х	/ і і 6\ —п «7А 9ж + 4	1Ь —2_.
х —3 \	а/*- 5х —10 7х —14
•~~4-----------Ц = 0. 975а.-4---Ц=-?л-
х— 1 х — 2 х — 3	х х — 1	х-(-1
7х 4- 5 2(4х — 5) х — 1 „
2х — 6 Зх — 9	х — 3
977. т-\-х — п—р. 978. ах— Ъ — с. 979. тх— я = 0.
980. х — а = Ъ — х. 981. 2х4-3а = 4х— 5а.
982. Зх 4- 4а — Ь = 5х — 2а. 983. ах 4- т = х.
984. Зсх -}-<? = а ~І~2сх. 985. 2ах—2Ъх = Іі.
986. А’«4-г = 7пх4-п. 987. (х + а)2 = 2а2х2.
988. —— =.—-—. 989. рх — а(х — пі\=тр.
а — х	Ъ — х
990.	X 	п с	=0. 991.	- — Ъ = с. 992. а		X а~	_х ~с	
993.	X X а ‘ Ъ	। х 4——п. 1 с	««. а 994.	 тх	. ь 1—=р 1 пх	. 995.	1 -\-х 1	X	= с.
996.	а -|- х	= т. 997.	а 4“ Ъ __	2Ъ	998.	а	Ь
	Ь-І-х		х — Ъ	х — а ’			X	1 -]-х'
999.	с4-^	с — й	1000.	а	Ь	1001.	а	Ъ
	т-}-х	т — х'		— Ъх 1	— ах ’		Ъ — х	а — х ‘
— 108 —
Ю02. і±?_^ = 1. 1002а. ^=-а) + Уі=й =
а Ъ	Ь	а
1003-
1004. “-±-*=ІЦ. 1005. г±^=1-±^.
а — х аЪ — 1	х-\-2Ъ х~і~2а
1006.	~ = аЪ. 1007. Ж-І* = Йт“Ч •
а—Ъ а-\-Ь	х—1	а-\-Ь—1
1008.-^+^=-^+^.
аЬ ' х а — о ‘ х
1009.	*-+° + Ь=*+°~^-^Н’.
х~]-а	х — а	х‘ — а1
Составленіе уравненій съ 1 неизвѣстнымъ.
1010.	Если къ неизвѣстному числу прибавить 18, то въ суммѣ
получится 25. Найти неизвѣстное число.
1011.	Еели отъ 185 отнять неизвѣстное число, то въ остаткѣ
получится 143. Чему равняется неизвѣстное число?
1012.	Сумма двухъ чиселъ = 49; разность ихъ = 25. Найти эти
числа.
1013.	Сумма двухъ чиселъ = 44; отношеніе ихъ=|. Найти эти
числа.
1014.	Разность двухъ чиселъ равна 33; отношеніе ихъ = 3|.
Найти зти числа.
1015.	2 слитка серебра вѣсятъ 3 фун. 2 зол. Сколько вѣситъ
каждый, если второй тяжелѣе перваго на 36 золотниковъ?
1016.	На птичьемъ дворѣ число утокъ па 7 болѣе числа гусей,
число куръ на 5 болѣе числа утокъ, а всѣхъ птицъ вмѣстѣ 76
штукъ. Найти число гусей, утокъ и куръ.
1016а. Надо раздѣлить 1 рубль между тремя мальчиками такъ,
чтобы 1-ый получилъ на 5 коп. болѣе 2-го, а второй па 10 коп.
болѣе 3-ьяго. Сколько досталось каждому?
10166. Раздѣлить 90 р. между тремя лицами такъ, чтобы тре-
тій получилъ на 5 р. менѣе 2-го, а второй получилъ на 10 р.
болѣе, чѣмъ первый.
1017.	Мать моложе отца на 15 лѣтъ, дочь моложе матери на
23 года. Сколько лѣтъ отцу, если имъ всѣмъ вмѣстѣ 91 годъ?
1018.	Въ складѣ находилось нѣкоторое число трехведерныхъ
боченковъ съ бѣлымъ и такое же число десятиведерныхъ бочен-
— 107 —
ковъ съ краснымъ виномъ. Сколько было ведеръ каждаго вина,
если общее количество вина равнялось 195 ведрамъ.
1019.	Старшему брату 30 лѣтъ, среднему 20 л., младшему
6 л. Черезъ сколько лѣтъ число лѣтъ старшаго брата будетъ
равно суммѣ лѣтъ средняго и младшаго?
1020.	Отцу 48, а сыну 12 лѣтъ. Сколько лѣтъ тому назадъ
отецъ былъ въ 5 разъ старше сына?
1021.	Въ настоящее время отецъ въ 5 разъ старше сына, а
5 лѣтъ назадъ онъ былъ въ 9 разъ старше сына. Сколько ка-
ждому изъ нихъ .лѣтъ?
1022.	Помѣщикомъ сдано въ аренду: въ первый разъ | всей
земли, а во второй | остатка, послѣ чего осталось 45 десятинъ.
Сколько десятинъ было въ имѣніи?
1023.	У двухъ братьевъ 132 орѣха. Если старшій отдастъ
младшему 20 орѣховъ, то у младшаго будетъ втрое больше орѣ-
ховъ, чѣмъ у старшаго. Сколько орѣховъ было у каждаго брата?
1024.	На 1 р. 7 к. куплено 29 почтовыхъ марокъ по 3 коп.
и по 5 коп. Сколько было тѣхъ и другихъ?
1025.	Въ слесарной мастерской работаютъ 16 мастеровъ и
учениковъ. Каждому мастеру платятъ въ сутки Р/2 рубля, а
каждому ученику 60 коп. Сколько въ мастерской учениковъ, если
всѣмъ вмѣстѣ приходится въ сутки 15 рублей?
1026.	Изъ склада каменнаго угля было отпущено 60 пудовъ
послѣ чего осталось на 4 пуда меньше { первоначальнаго коли-
чества угля. Найти это количество.
1027.	Въ двухъ кускахъ сукна 182 аршина. Отъ перваго куска
отрѣзали | его величины, а отъ второго его величины, что
вмѣстѣ составило 89 аршинъ. Сколько аршинъ было въ каждомъ
кускѣ?
1028.	Въ мастерской число учениковъ на 8 менѣе числа масте-
ровъ, а утроенное число учениковъ на 10 менѣе удвоеннаго числа
мастеровъ. Сколько было тѣхъ и другихъ?
1029.	Летѣло стадо гусей. Навстрѣчу имъ попался гусь и го-
воритъ: здравствуйте, сто гусей! Насъ не сто гусей, отвѣчали
они, а было бы сто, если къ намъ прибавить еще столько,
да полстолька, да четверть столька, да тебя самого. Сколько
летѣло гусей?
1030.	На складѣ было 1296 саженъ дровъ, при чемъ березовыхъ
было вдвое менѣе осиновыхъ, а осиновыхъ втрое менѣе сосно-
выхъ. Сколько саженъ было березовыхъ дровъ?
— 108 —
1031.	Изъ 440 орѣховъ число грецкихъ орѣховъ равнялось |
числа калепыхъ, а число кедровыхъ равнялось * числа грецкихъ
и калепыхъ вмѣстѣ. Сколько было орѣховъ каждаго сорта?
1032.	Требуется составить ‘ пуда смѣси изъ чая трехъ сор-
товъ такъ, чтобы 1-го сорта было взято въ I1/, раза, а третьяго
въ 2г/2 раза болѣе, чѣмъ второго. Сколько фунтовъ каждаго сорта
войдетъ въ смѣсь?
1033.	Братъ старше сестры на 9 лѣтъ, а сестра въ I1/, раза
моложе брата. Сколько лѣтъ каждому?
1034.	Купецъ, предполагая купить стадо овецъ, разсчиталъ,
что если онъ заплатитъ за каждую овцу по 4 рубля, то у него
не хватитъ денегъ на покупку 3 штукъ; если же дастъ за каждую
по 3 рубля, то у него еще останется 8 рублей. Сколько было
овецъ и сколько было у купца денегъ?
1035.	Если на каждую изъ скамеекъ въ классѣ посадить по 5
учениковъ, то четверо останутся безъ мѣста, а если на каждую
посадить по 6 учениковъ, то на послѣдней будетъ два пустыхъ
мѣста. Сколько въ классѣ учениковъ и скамеекъ?
1036.	Купецъ, продавая матерію двухъ сортовъ, на одной полу-
чилъ прибыли 7 копеекъ, а на другой терпѣлъ убытокъ въ 3 коп.
на каждый аршинъ. По продажѣ 40 аршинъ оказалось, что онъ
получилъ прибыли 2 рубля. Сколько матеріи каждаго сорта онъ
продалъ?
1037.	Найти дробь, у которой знаменатель четырьмя болѣе
числителя и которая будетъ равняться |, если прибавить къ числи-
телю и знаменателю по 5.
1038.	Какое число слѣдуетъ отнять отъ числителя и прибавить
къ знаменателю дроби Ц, чтобы она обратилась въ 0,3?
1039.	Если къ искомому числу прибавить 2, сумму умножить
на 6 и изъ произведенія вычесть 4, то частное отъ дѣленія по-
лученной разности на 7 будетъ равно искомому числу. Какое
это число?
1040.	Старшему брату 30 лѣтъ, среднему 20 лѣтъ, младшему
6 лѣтъ. Черезъ сколько лѣтъ число лѣтъ старшаго будетъ равно
суммѣ лѣтъ средняго и младшаго?
1041.	На какое число слѣдуетъ увеличить 4 числа: 2, 5, 22 и
37, чтобы полученныя числа составили геометрич. пропорцію?
1042.	На какое число слѣдуетъ уменьшить 3 числа: 7, 15 и
39, чтобы полученныя числа составили непрерывную геом. про-
порцію?
— 109 —
1043.	Разложить 1 на такія двѣ дроби, чтобы | одной изъ
нихъ была равна | другой.
1044.	Найти число, которое, будучи помножено на 12, даетъ
| своего квадрата.
1045.	Разность лѣтъ брата и сестры = 7, а отношеніе ихъ
лѣтъ=|. Сколько лѣтъ брату и сестрѣ?
1046.	Товаръ былъ проданъ за 11160 рублей съ уступкой
10% первоначальной стоимости. Сколько стоилъ товаръ?
1047.	Сумма двухъ капиталовъ 6400 р. Первый приноситъ въ
годъ 8%, второй 7%. Черезъ 1 годъ 3 мѣс. получено со вто-
рого капитала на 110 р. прибыли болѣе, чѣмъ съ перваго. Найти
каждый капиталъ.
1048.	Два поѣзда, отправившись одновременно съ противопо-
ложныхъ станцій, находящихся на разстояніи 51 версты, встрѣ-
тились черезъ 20 минутъ. Сколько успѣлъ пройти каждый поѣздъ,
если первый проходитъ на 1,7 сажени болѣе второго?
1049.	Сколько фунтовъ серебра 72-й и 92-й пробы нужно спла-
вить, чтобы получить 15 фунтовъ 84-й пробы?
1050.	Изъ двухъ сортовъ спирта въ 86 и 70 градусовъ тре-
буется составить 40 ведеръ смѣси въ 80 градусовъ. Сколько пой-
детъ ведеръ того и другого сорта?
1051.	Въ двухъ чанахъ находится спиртъ. Если изъ второго
перелить въ первый 5 ведеръ, то въ первомъ будетъ вдвое бо-
лѣе, чѣмъ во второмъ; если же изъ перваго перелить во второй
5 ведеръ, то въ обоихъ чанахъ будетъ поровну. Сколько ведеръ
спирта въ каждомъ?
1052.	Сумма двухъ чиселъ =81. Если бблыпее изъ нихъ раз-
дѣлить на меньшее, то въ частномъ получится 3, а въ остаткѣ 1.
Найти эти числа.
1053.	Если задуманное число умножить на 3, справа приписать
2, полученное число раздѣлить па 19 и къ частному прибавить 7
то получится число, втрое болѣе задуманнаго. Какое это число?
1054.	Сумма цифръ двузначнаго числа = 8; если вычесть изъ
него 18, то получится новое двузначное число, составленное изъ
тѣхъ же цифръ, но въ обратномъ порядкѣ. Какое это число?
1055.	Если утроить двузначное число, сумма цифръ кото-
раго =5, и изъ произведенія вычесть 1, то получится число изъ
тѣхъ же цифръ, но въ обратномъ порядкѣ. Найти это число.
1056.	Сумма цифръ трехзначнаго числа = 16; цифра десятковъ
на 1 болѣе цифры сотенъ. Если изъ него вычесть число изъ
— 110 —
тѣхъ же цифръ, но въ обратномъ порядкѣ, то получится 594.
Какое это число?
1057.	Сумма цифръ искомаго двузначнаго числа = 10. Если
это число раздѣлить на цифру его десятковъ, то въ частномъ
получится 12, а въ остаткѣ 1. Найти это число.
1058.	Въ искомомъ трехзначномъ числѣ каждая слѣдующая
цифра на 2 меньше своей предыдущей. Если это число раздѣлить
на сумму его цифръ, то въ частномъ получится 50, а въ остаткѣ
3. Найти это число.
1059.	Разность квадратовъ двухъ послѣдовательныхъ цѣлыхъ
чиселъ = 23. Какія это числа?
1060.	Сумма двухъ чиселъ 40, а разность ихъ квадратовъ 400.
Какія это числа?
1061.	Лавочникъ купилъ нѣсколько кулей угля, по 9 мѣръ въ
каждомъ, по 90 коп. за куль. При продажѣ онъ за каждыя 4
мѣры бралъ 60 коп. и такимъ образомъ получилъ на весь куп-
ленный уголь 4 р. 50 к. прибыли. Сколько кулей онъ купилъ?
1062.	Сколько надо прибавить воды къ 35 ведрамъ спирта въ
90 градусовъ, чтобы получить спиртъ въ 84 градуса?
1063.	Нѣкто хотѣлъ купить 12 фунтовъ икры, но оказалось,
что для покупки этого сорта у него не хватаетъ 30 коп. Тогда
онъ купилъ 14 фунтовъ икры другого сорта, фунтъ котораго
былъ на 20 коп. дешевле перваго, послѣ чего у него осталось
20 коп. Что стоилъ 1 ф. икры и сколько у него было денегъ?
1064.	Нѣкто имѣлъ собраніе изъ 250 старинныхъ француз-
скихъ и нѣмецкихъ монетъ Желая имѣть однѣ только француз-
скія монеты, онъ вымѣнялъ свои нѣмецкія монеты, при чемъ за
каждыя 3 нѣмецкія получилъ по 5 французскихъ. По окончаніи
обмѣна у него оказалось 330 франц. монетъ. Сколько у него было
нѣмецкихъ монетъ?
1065.	Работникъ получаетъ за каждый рабочій день 50 коп. и
за каждый праздничный день 20 коп., а за каждый прогульный
день съ него вычитаютъ 30 коп. Сколько дней онъ прогулялъ
въ ноябрѣ, если ему пришлось получить 11 р. 40 коп. и праздники
въ этомъ мѣсяцѣ приходились на воскресенья, которыхъ было 4?
1066.	Сколько въ училищѣ учениковъ, если въ 1-мъ и во 2-мъ
классахъ 80 учениковъ, въ 3-мъ вдвое менѣе, чѣмъ въ 1-мъ, въ
4-мъ въ полтора раза менѣе, чѣмъ во 2-мъ и на 5 учениковъ менѣе,
чѣмъ въ 3-мъ?
1067.	Бассейнъ можетъ наполниться одной трубой въ 2 часа,
— 111 —
а другой въ 3 часа. Во сколько времени онъ наполнится при
одновременномъ дѣйствіи обѣихъ трубъ?
1068.	Одинъ работникъ можетъ сдѣлать нѣкоторую работу въ
10 дней, а другой работникъ въ 12 дней. Во сколько дней они
вдвоемъ сдѣлаютъ эту работу?
1069.	Въ бассейнѣ 3 трубы. Черезъ 1-ю онъ можетъ напол-
ниться въ 6 часовъ, черезъ 2-ю въ 8 часовъ и черезъ 3-ю онъ
можетъ опорожниться въ 4 часа. Черезъ сколько часовъ напол-
нится весь бассейнъ, если открыть всѣ трубы?
1070.	Въ 6 часовъ стрѣлки часовъ образуютъ прямую линію.
Черезъ сколько минутъ онѣ будутъ подъ прямымъ угломъ?
1071.	Въ 12 часовъ стрѣлки часовъ совпадаютъ. Когда и
сколько разъ въ теченіе 12 часовъ стрѣлки совпадаютъ?
1072.	Нѣкто покупаетъ 6 стопъ бумаги по 1 р. 5 к. за стопу.
При расплатѣ онъ выторговалъ съ каждой стопы столько копеекъ
скидки, во сколько ему обошлась потомъ 1 десть бумаги. Сколько
онъ платилъ за стопу?
1073.	Торговецъ ежегодно увеличиваетъ свое имущество на
~ его величины и расходуетъ по 1000 рублей. Черезъ три года
торговли оказалось, что его имущество удвоилось. Сколько онъ
имѣлъ при началѣ торговли?
1074.	Гуртовщикъ купилъ 112 воловъ по 65 руб. за голову.
Дорогой онъ уступилъ товарищу нѣсколько воловъ по 69 рублей,
а остальныхъ продалъ по 90 рублей за штуку. Распродавъ скотъ,
онъ получилъ35%барыша.Сколько воловъ онь уступилъ товарищу?
1075.	Кассиръ, получивъ деньги за билетъ, далъ сдачу съ
двухъ трехрублевыхъ бумажекъ. Если бы сдача была на 20 кои.
менѣе, то билетъ стоилъ бы втрое дороже сдачи. Что стоилъ билетъ?
1076.	Въ два погреба возятъ ледъ. Въ первый уже свалили
15 возовъ, когда во второй только что начали возить. Въ первый
сваливаютъ 7 возовъ въ то время, когда во второй только 6,
но на пяти возахъ, сваливаемыхъ въ первый погребъ, столько же
льда, сколько на трехъ, сваливаемыхъ во второй. Сколько возовъ
слѣдуетъ привезти во второй погребъ, чтобы количество льда въ
обоихъ погребахъ было одинаково?
1077.	Нѣсколько братьевъ раздѣлили наслѣдство слѣдующимъ
образомъ: 1-й взялъ 1000 р. и | остатка, 2-й 2000 р. и | вто-
рого остатка, 3-й 3000 р. и | третьяго остатка и т. д. При этомъ
оказалось, что всѣ получили поровну. Узнать: 1) величину наслѣд-
ства, 2) число наслѣдниковъ и 3) часть каждаго.
— 112 —
1078.	Сколько страницъ я прочелъ и сколько мнѣ осталось
прочесть, если 5 страницъ тому назадъ число прочитанныхъ
страницъ было въ 5 разъ болѣе непрочитанныхъ, а когда я
прочту еще 5 страницъ, то число прочитанныхъ страницъ будетъ
въ 11 разъ болѣе непрочитанныхъ?
1079.	Три боченка вмѣщаютъ 180 бутылокъ. Вмѣстимость пер-
ваго боченка=6/з вмѣстимости второго, а сумма вмѣстимостей
второго и третьяго на 20 бутылокъ менѣе вмѣстимости перваго.
Найти вмѣстимость каждаго боченка.
1080.	Найти емкость каждой изъ трехъ бочекъ, зная, что
емкость 2-й бочки = | емкости 1-й бочки, емкость 3-ей бочки = |
емкости 2-й бочки, емкость 1-й бочки равна суммѣ емкостей
2-й и 3-ей бочекъ безъ 1,5 ведра.
1081.	Изъ кассы проданы билеты второго и третьяго классовъ;
если бы еще продать 12 билетовъ 2-го класса, то число всѣхъ
билетовъ второго было бы въ 5 разъ менѣе числа билетовъ 3-го
класса; если же продать 12 билетовъ третьяго класса, то число
билетовъ 2-го класса будетъ въ 8 разъ менѣе числа билетовъ
3-го. Сколько продано билетовъ 2-го и 3-го классовъ?
1082.	Купецъ продалъ 130 арш. матеріи четыремъ покупателямъ;
1-му онъ продалъ втрое болѣе, чѣмъ 2-му, 2-му на 2 арш. менѣе
удвоеннаго числа аршинъ, проданныхъ 3-му, а 4-му столько, сколько
1-му и 3-му вмѣстѣ. Сколько аршинъ купилъ каждый покупатель?
1083.	Въ хлѣвѣ находятся кролики и фазаны; у всѣхъ у нихъ
вмѣстѣ 100 ногъ и 36 головъ. Сколько было фазановъ и сколько
кроликовъ?
1084.	Площадь треугольника=184 кв. футамъ. Основаніе его =
23 ф. Найти высоту.
1085.	Периметръ равнобедреннаго треугольника = 20 дюймамъ.
Основаніе его вдвое менѣе каждой стороны. Найти основаніе.
1086.	Одинъ изъ двухъ смежныхъ угловъ составляетъ | дру-
гого. Чему равенъ каждый уголъ?
1087.	Длины сторонъ Д-ка выражаются тремя послѣдователь-
ными цѣлыми числами. Периметръ его = 57 метр. Найти длину
каждой стороны.
1088.	Въ равнобедренномъ треугольникѣ уголъ при основаніи
въ 2,5 раза больше угла при вершинѣ. Найти углы треугольника.
1089.	Длина прямоугольника втрое болѣе его ширины. Если
увеличить каждую изъ его сторонъ на 1 футъ, то площадь уве-
личится на 9 кв. футовъ. Найти стороны прямоугольника.
— 113 —
1090.	Если увеличить сторону квадрата на 6 дюймовъ, то пло-
щадь его увеличится на 132квадр. дюйма. Найти сторону квадрата.
1091.	Какого вѣса должна быть еловая доска, которая должна
поддерживать на водѣ грузъ въ 30 ф„ если удѣльный вѣсъ ело-
ваго дерева 0,5?
Старинныя задачи.
Въ древней китайской ариѳметикѣ, называемой „ Девять отдѣ-
ловъ “ и составленной за 2600 л. до Р. X., находятся 2 слѣдующія
задачи:
1092.	Въ центрѣ квадратнаго пруда, сторона котораго = 10 фу-
тамъ, растетъ камышъ, возвышающійся на 1 ф. надъ водой. Притяну-
тый къ берегу, онъ достигаетъ своей вершиной середины стороны
пруда. Опредѣлить глубину пруда.
1093.	Бамбуковый стволъ, въ 32 фута высоты, переломленъ
бурей такъ, что вершина его касается земли на разстояніи 16 фут.
отъ основанія. На какомъ разстояніи отъ основанія переломлено
дерево?
1094.	На каждомъ берегу рѣки, шириной въ 50 локтей, сто-
ятъ другъ противъ друга двѣ пальмы, одна въ 20 локтей высоты,
другая въ 30. На вершинѣ каждой пальмы сидитъ по птицѣ. Обѣ
опѣ видятъ въ рѣкѣ рыбу и летятъ къ ней по прямой линіи.
Птицы одновременно достигаютъ поверхности воды и встрѣчаются
тамъ на прямой, соединяющей основанія пальмъ. На какомъ мѣ-
стѣ птицы встрѣтились? (Изъ древней арабской рукописи).
1095.	Надъ могилой Діофанта, автора древнѣйшаго сочиненія
по ариѳметикѣ и алгебрѣ (около 330 г. по Р. Хр.), по преданію,
находилась надпись слѣдующаго содержанія: „Діофантъ провелъ
своей жизни въ дѣтствѣ, въ юности, слѣдующую | часть жизни
былъ холостымъ; черезъ 6 лѣтъ послѣ женитьбы у него родился
сынъ, который прожилъ вдвое менѣе отца и умеръ за 4 года ра-
нѣе смерти его“. Сколько лѣтъ жилъ Діофантъ?
1096.	По преданію правительница Чехіи Любуша рѣшила отдать
свою руку тому жениху, который рѣшитъ предложенную ею за-
дачу: Сколько сливъ было въ корзинѣ, изъ которой она отдала
первому жениху половину всѣхъ сливъ и еще одну, второму —
половину остатка и еще одну, а третьему — половину новаго
остатка и еще три сливы, послѣ чего корзина опустѣла.
Начала алгеіры.
8
— 114 —
1097.	Собака догоняетъ лисицу, которая находится впереди на
60 своихъ прыжковъ. Лисица дѣлаетъ 9 прыжковъ въ то время,
какъ собака дѣлаетъ только 6; но 3 прыжка собаки равны 7 прыж-
камъ лисицы. Сколько прыжковъ должна сдѣлать собака, чтобы
догнать лисицу? (Рудольфъ. 1553 г.).
Задачи-шутки.
1098.	Вообразите, что вокругъ экватора апельсина обвита
(одинъ разъ) нитка, а вокругъ экватора земного шара обвита
веревка. Вообразите далѣе, что какъ нитка, такъ и веревка удли-
нены на 1 футъ и затѣмъ первая обведена около экватора апель-
сина, а вторая около экватора земли такъ, чтобы каждая изъ
нихъ находилась повсюду на одномъ и томъ же разстояніи отъ
соотвѣтствующаго экватора. Какое разстояніе будетъ больше:
между экваторомъ апельсина и окружностью нитки или между
экваторомъ земли и окружностью веревки?
1099.	Дано уравненіе 6х—15 = 10#— 25.
Изъ него имѣемъ, что 3(2#— 5) = 5(2#— 5).
Сокративъ обѣ части на 2# — 5, получимъ: 3=5 (!).
, тг	•	#4-5	4#— 40
1100.	Дано уравненіе —— 5=	----•
х— I	— х
Преобразовываемъ первую часть:
#4-5— 5(х—7)	4х— 40	4#— 40
х — 7	х — 7	7 — х
Слѣдовательно:
4# — 40 4х — 40	„
—=-----= то-----> откуда 7 — # = 13 — х или 7 = 13 (!).
і — X 16----X
1101.	Очевидно, что 16 — 36 = 25 — 45.
Прибавивъ къ обѣимъ частямъ по получимъ
81	81	/	9\2	/	9\2
16 —364-^ = 25 —454-^или ( 4 —	=( 5 — ;4 ;
'4	1 4	\	2/	\	2/
Извлекаемъ изъ обѣихъ частей квадр. корень:
9	9
4—2=5 — 2’ откУДа 4 = 5 (!).
1102.	Сумма двухъ чиселъ = а; разность ихъ —Ь. Найти эти
числа.
1103.	Сумма двухъ чиселъ=а; отношеніе ихъ = -. Найти эти
числа.
— 115 —
1103а. Какое число надо прибавить къ числителю и знамена-
телю дроби чтобы получить 1 ? Составить нѣсколько число-
выхъ примѣровъ.
1104.	Какое число надо прибавить къ числителю и отнять отъ
знаменателя дроби чтобы получить дробь -^-? Составить нѣ-
сколько числовыхъ примѣровъ.
1105.	Въ одной комнатѣ р, а въ другой д стульевъ. Сколько
надо переставить стульевъ изъ первой комнаты во вторую, чтобы
въ первой осталось стульевъ въ г разъ меньше, чѣмъ во второй?
1108.	Отцу т лѣтъ; сыну п лѣтъ. Черезъ сколько лѣтъ отецъ
будетъ въ к разъ старше сына?
1107.	Въ бассейнъ проведены двѣ трубы. Первая труба можетъ
наполнить бассейнъ вър часовъ, а вторая въ у часовъ. Во сколько
часовъ наполнится бассейнъ, если открыть обѣ трубы?
1108.	Изъ двухъ сортовъ чаю, цѣною первый а рублей, а вто-
рой Ъ рублей за 1 фунтъ, составлено т фунтовъ смѣси. Сколько
фунтовъ каждаго сорта взято для смѣси, если вся стоимость ея
с рублей? Изслѣдовать полученное рѣшеніе.
Рѣшеніе уравненій съ двумя и многими
неизвѣстными.
1109.	® + у = 39.
X— у= 11.
1110.	17^4-4^=97.
17а;— Зг/ = 76.
1111.	ж+?>«/ = 40.
5х-{-7р—112.
1112.	®4-52/ = 29.
10-г —7у=5.
1113.	10а; 4- 9у = 192.
7х — Зу— 60.
1114.	4х— 5у—15.
16а;	7 у =; 303.
1115.	18а; 4-112/ = 7.
11а;—18?/ = 29.
1116.	7а; —9у = 23.
9х — 7у — 57.
1117.	4.г — 6у = 0.
7х— 4?/= 38.
1118.	2у — 7х = — 2.
47 — 3«/ = 2а;.
1119.	За;=2з/4-1.
3?/ = 4а;4-1.
1120.	^4-1=10.
5х — Зу = 7.
1121.	^4-^ = 47.
— — ?/ = 2.
2	7
1122.	^4-^ = 5.
—і
2	2“
8*
— 116 —
1123.	0,25х + 0,04?/= 2.
4х-}-25у=611.
1124.	х-у=±
1X?
18х —5г/ = Ц.
1125.	74-< = 1.
4 1 5
І+Ь1-
1126.	| + | = 6.
И34 х_±У—л.^ -9__11
' х — у х-\-у~ 8‘
1135. ^±У=8.
У — х
12х — 7у	35х— 2?/—11
—у—+ 5=----------=------
іічс х —1	4 х + 3	5
1136-^==5:,7+3=5-
1137. (х-3):0/Н-1):(х+/)=5:6:13.
1138. 1х=12г/.
|(8х+11у)—2—-* (5х—2//+ 6)
х.у 3 + 2 1127. 3	4 х — 1	I И ^7	го	© і	II	•' 1	° СП
7 1128. 1 х-\-У	н я 1 ГО | 00 (8	(8 1 1	1 00 XI
со	ы	го Г*	©со Н соі ГО «« Н о «8 I ^+ го « 4- |	|| ' “| о	1 “1® 1 Ъз 1 оэ соі о. Ъ ^+^>	||	'	(X і-	II •	Г1	О	1 о	1 с	
X— 1 1132	5	со і- 1 1
х^2у 7	2х + у‘ 5
Зх — 2 1133. -5-г: X	1 2 .	<Х 1 « а
	- ОО | * н. 1	1 -1	Ь
1139. - + 1 = 9.
Ж 1 у
.1
X
-=1.
У
1140.
1141.
2 , 3_19
х '	у	15
5	7_ 4
х	у	15
х +	у -- 1Н.
X—у — п.
1142.	ах-^-Ъу — с.
ах— Ъу = сІ.
1143.	ах + Ъу = т.
х — у=н.
1144.	ах = Ъу.
X + У — к.
1145.	тх + пу — п.
пх-— у — 1.
I 1 /р
1146. —---=т.
У
?/ — ь
-----—П.
х
*\У_
т ' п
х_ у=1
п т
х
— 117
1149.
1150.
х— 1__с
У ~(1'
1__«
*~ у'
1151х + ^ = “-
’_1=ь
X у
1152. ж + у + ’=Ю.
х-\-у—г=0;х—у-\~г—±-
1153. * —04-2 = 3.
2*— у—2.2=3; 2*—304“3..=3.
1154. х-]-у + 2=2.
у-\-х =0; у — г=—1-
1155. х\-у = 2Ь.
2-}-у =18; х-\-2 = 23.
1156.	2*4-30=13.
Зу 4- 42 = 25.
42	5* = 26.
1157.	х-\-у-\-2 = 15.
5* = 4у.
Ъу=5г-
1158.	х-\-у-\-2— 100.
х\у\2 — 1:4:5.
1159.	3*4-40—6^4-14 = 0.
4*: 50: Зг = 4:10: 9.
1160.	|*-20 = О.
2	9
х — р з— 2.
о
^+г=6-
1162.	х — у — 2 = 2.
х — 2і/ = 1.
4^-30 = 1.
1163.	3* — 404-52 = 41.
5* •— 20 — г = 3.
2*4-32 — Б0 = О.
1164.	* — 0 -2 = 2.
* —20=1.
1168. (3*—40): (*4-22): (30—*)=
= 1:6:3.
0-1-2 — Ж=1.
1169. -^=4.
0—г
?±^ = 1.
X
* -}- у 4" 2 = 16.
3 — 1 — 0.
у 2
— 118 —
1171.	х^у=.3.
У~\~3=3.
г -|- и — 7.
гі -|~ 5х = 9.
1172.	х —у=2.
у — г = 2.
з — и = 2.
Зи— х=2.
1173.	+ у +	— 11-
Зж=2//.
4г/ — Зз.
5г—4м.
1174.	х-\-у = а.
у~\- з — Ъ.
г ~І~х = с.
1175.	х— у—Ъ — а.
у— з = с— Ъ.
х 4— з — а —2Ъ с.
1176.
1177.
1178.
— ?/ + ^
а 4- Ъ а
г/ — х_а — Ъ
у + х~ а-^-Ь'
х-І~у-^~з =
х — а у— Ъ з — с
а Ь с
х-}-у -н=і
Зж— у — з = а.
Зу — х — з—Ъ.
Зз — х — у — с.
1179. х-\-у-\гз=а-[-Ъ-\-с.
ах = Ъу.
аз = су.
1180. -4-- = а.
ж у
Составленіе уравненій съ двумя неизвѣстными.
1181.	За два дома заплачено 36000 рублей. Если бы за пер-
вый заплатили па 500 р. дешевле, а за второй на столько же до-
роже, то стоимость обоихъ домовъ была бы одинакова. Сколько
заплатили за каждый домъ?
1182.	Для учебнаго заведенія было куплено въ первый разъ
на 12 рублей 18 задачниковъ, изъ которыхъ 8 были въ перепле-
тахъ; въ слѣдующій разъ купили еще 12 задачниковъ, изъ кото-
рыхъ только 5 были въ переплетахъ, и заплатили 7 р. 95 к. Что
стоилъ задачникъ и во сколько цѣнился переплетъ?
1183.	Два мальчика А и В имѣютъ нѣсколько пряниковъ. Если
В отдастъ А два пряника, то у обоихъ станетъ поровну, если же
А отдастъ В три пряника, то у В будетъ вдвое больше пряниковъ,
чѣмъ у А. Сколько пряниковъ у каждаго?
1184.	Если ты мнѣ дашь гривенникъ, сказалъ одинъ мальчикъ
другому, то у насъ будетъ поровну; если ты мнѣ дашь столько же,
отвѣчалъ тотъ, то у меня будетъ вдвое болѣе, чѣмъ у тебя. Сколько
имѣлъ каждый?
1185.	Ученикъ сосчиталъ, что у него сдѣлано ариѳметическихъ
задачъ на 7 болѣе, чѣмъ алгебраическихъ; если бы онъ сдѣлалъ
— 119 —
ариѳметическихъ вдвое, а алгебраическихъ втрое болѣе, то число
первыхъ превышало бы число вторыхъ только на двѣ. Сколько
было у него сдѣлано тѣхъ и другихъ задачъ?
1186.	Двое стрѣляютъ въ одну мишень. Если бы первый по-
палъ еще 5 разъ въ цѣль, то число удачныхъ выстрѣловъ у него
было бы вдвое менѣе, чѣмъ у второго; если же второй попадетъ
еще 5 разъ, то число удачныхъ выстрѣловъ у него будетъ втрое
болѣе, чѣмъ у перваго. Сколько разъ попалъ каждый въ цѣль?
1187.	Въ бассейнъ проведены 2 трубы. Въ 6 часовъ утра была
пущена вода черезъ первую трубу, а черезъ часъ и черезъ вторую.
Въ 12 часовъ дня черезъ обѣ трубы влилось 72 кубич. метра воды,
и затѣмъ онѣ были закрыты. Въ часъ дня открыли опять первую
трубу и черезъ часъ вторую. Къ 6 часамъ дня всей воды въ бас-
сейнѣ было 131 кубич. метръ. Сколько кубич. метровъ доставляла
каждая труба въ часъ?
1188.	Въ 2-хъ ящикахъ лежитъ 95 р. 75 к. Если изъ перваго
вынуть * находящихся въ немъ денегъ, а изъ второго | его де-
негъ, то въ 1-мъ останется на 15 руб. болѣе денегъ, чѣмъ во вто-
ромъ. Сколько денегъ было въ каждомъ ящикѣ?
1189.	Помѣщикъ имѣлъ 3200 штукъ барановъ и овецъ; изъ
лихъ онъ продалъ 7|% числа всѣхъ барановъ и 12% числа всѣхъ
овецъ, что составило вмѣстѣ 321 штуку. Сколько было у помѣщика
барановъ и сколько овецъ?
1190.	Если къ числителю искомой дроби прибавить 1, а къ
знаменателю 3, то у полученной дроби знаменатель будетъ вдвое
болѣе числителя; если же отъ числителя искомой дроби отнять 1,
а отъ знаменателя отнять 4, то числитель будетъ вдвое болѣе
знаменателя. Найти дробь.
1191.	Если къ числителю искомой дроби прибавить единицу,
то дробь будетъ = Г, если же прибавить 1 къ знаменателю, то
дробь будетъ равна Какая это дробь?
1192.	Сосудъ наполняется водой черезъ двѣ трубки въ 8 ми-
нутъ. Если черезъ 5 минутъ послѣ того, какъ были открыты обѣ
трубки, первую закрыть, то вторая должна быть открыта еще
7 минутъ, пока наполнится весь сосудъ. Во сколько времени
каждая трубка отдѣльно можетъ наполнить сосудъ?
1193.	Если сложить неизвѣстное двузначное число съ суммою
его цифръ, то получится 50; если же вычесть изъ него 9, то по-
лучится двузначное число, состоящее изъ тѣхъ же цифръ, но въ
обратномъ порядкѣ. Найти это двузначное число.
— 120 —
1194.	Сумма удвоеннаго числителя и утроеннаго знаменателя
искомой дроби = 8. Если числителя увеличить на знаменателя, а
знаменателя уменьшить на числителя, то полученная дробь будетъ
равняться 3. Найти эту дробь.
1195.	Сумма двухъ чиселъ = 101. Разность квадратовъ ихъ
также =101. Найти эти числа.
1196.	Сумма двухъ чиселъ = разности ихъ квадратовъ. Если
каждое изъ этихъ чиселъ увеличить на 1, то разность квадра-
товъ ихъ будетъ =11. Найти эти числа.
1197.	Если длину одной стороны прямоугольника раздѣлить на
длину другой стороны, то въ частномъ получится 2, а въ остат-
кѣ 3. Если длину каждой изъ этихъ сторонъ увеличить на 3 ф.,
то площадь треугольника увеличится на 171 кв. ф. Найти дли-
ну сторонъ.
1198.	4 года назадъ отецъ былъ въ 5 разъ старше сына, а че-
резъ 17 лѣтъ онъ будетъ только вдвое старше сына. Сколько
лѣтъ отцу и сыну?
1199.	Два землекопа А и В должны выкопать ровъ. Они сдѣ-
лаютъ эту работу, если А будетъ работать 12 дней и В—8 дней
или, если А будетъ работать 9 дней и В—9 дней. Во сколько дней
каждый изъ нихъ можетъ выкопать ровъ, работая одинъ? Во
сколько дней они сдѣлаютъ эту работу, работая все время
вмѣстѣ?
1200.	Разность площадей двухъ квадратовъ = 99 кв. футамъ.
Если увеличить сторону перваго квадрата на 5 футовъ, а сторону
второго уменьшить на 5 футовъ, то разность площадей будетъ
равняться 429 кв. футамъ. Найти стороны квадратовъ.
1201.	Сумма двухъ капиталовъ равняется 2460 рублямъ. Найти
эти капиталы, если извѣстно, что первый капиталъ, отданный на
8 мѣсяцевъ по 6%, приноситъ столько же прибыли, сколько вто-
рой, отданный на 10 мѣсяцевъ по 7|%.
1202.	Было нанято нѣсколько рабочихъ вырыть канаву. Если
бы ихъ взяли 2-мя менѣе, то работа была бы окончена днемъ
позже; если бы ихъ наняли 3-мя болѣе, то работа была бы сдѣ-
лана днемъ ранѣе. Сколько было нанято рабочихъ и въ какой
срокъ они исполнили работу?
1203.	Подрядчикъ взялся перевести товаръ со станціи въ складъ
въ нѣсколько дней; если бы у него было на двѣ лошади меньше,
то ему потребовалось бы для перевозки времени на 2 дня больше,
а если бы у пего лошадей было на 4 больше, то времени потре-
— 121 —
бовалось бы на два дня меньше. Во сколько дней онъ перевезъ
товаръ и сколько у него было лошадей?
1204.	Камень соединенъ съ такимъ кускомъ пробковаго дерева,
что вся масса, при погруженіи въ воду, остается въ равновѣсіи,
т.-е. не тонетъ и не всплываетъ наверхъ. Найти вѣсъ камня и
пробковаго дерева, если вся система вѣситъ 115 ф. и удѣльн. вѣсъ
камня —3, а пробки—0,24?
1205.	Корона тирана Сиракузскаго Гіерона вѣсила 20 фунтовъ
и теряла въ водѣ 1,25 фунта. Сколько въ ней было золота и се-
ребра, если извѣстно, что 19,25 фунта золота и 10,5 фунта се-
ребра теряютъ въ водѣ по 1 фунту?
1206.	Два тѣла равномѣрно движутся по окружности, длина
которой 180 метровъ. Двигаясь въ одномъ направленіи они встрѣ-
чаются черезъ каждыя 45 секундъ, а двигаясь по противополож-
нымъ направленіямъ, встрѣчаются черезъ каждыя 9 секундъ.
Сколько метровъ въ секунду проходитъ каждое тѣло?
1207.	Два обоза, находящіеся на разстояніи 96 верстъ, должны
отправиться другъ другу навстрѣчу. Если первый обозъ выѣдетъ
ранѣе второго на 5 часовъ, то они встрѣтятся черезъ 4 часа
послѣ отправленія второго; если же второй выѣдетъ двумя часами
ранѣе перваго, то они встрѣтятся черезъ 6 часовъ послѣ отправле-
нія перваго. Сколько верстъ будетъ дѣлать каждый обозъ въ часъ?
1208.	Двѣ деревни, желая устроить школу, дѣлаютъ взносы про-
порціонально количеству населенія деревень. Каковъ будетъ взносъ
каждой деревни, если населеніе первой составляетъ 80% населенія
второй, и второй придется внести на 40 рублей больше первой?
1209.	Пассажирскій поѣздъ отъ станціи А до станціи В идетъ
1 часъ, а почтовый отъ станціи А до станціи С идетъ | часа.
Сумма разстояній АВ-{-АС равняется 42 верстамъ, а сумма раз-
стояній, дѣлаемыхъ обоими поѣздами въ минуту, равна Ц версты.
Найдите разстояніе АВ и АС.
1210.	Фунтъ чая и 10 фунтовъ сахара стоятъ теперь 3 р. 90 к.
Если чай подешевѣетъ на 15%, а сахаръ вздорожаетъ на 10%,
тогда за то же количество того и другого придется заплатить 3 р.
69 к. Что стоитъ теперь фунтъ чая и фунтъ сахара?
1211.	Если въ прямоугольникѣ основаніе увеличить на 2 метра
а высоту уменьшить на 5 метровъ, то площадь его уменьшится
на 39 кв. метровъ; если же основаніе увеличить на 5 м., а вы-
соту уменьшить на 2 м., то площадь увеличится на 12 кв. мет-
ровъ. Найти основаніе и высоту прямоугольника.
— 122 —
1212.	Уголъ, составленный двумя сѣкущими, выходящими изъ
одной внѣшней точки, равенъ 70°. Найти величину дугъ, заклю-
ченныхъ между сѣкущими, зная что сумма ихъ = 200°.
1213.	Трапеція, высота которой равняется 6 дюймамъ, а пло-
щадь 96 кв. дюйм., имѣетъ одну параллельную сторону на 4 д.
больше другой. Опредѣлить параллельныя стороны.
1214.	Лавочникъ продалъ 1-му покупателю: 7 ф. мяса, 3 ф.
масла и 10 яицъ за 2 р. 2 к.; 2-му: 3 ф. мяса и 2 ф. масла за
98 к. и 3-му: 4 ф. мяса и 7 яицъ за 70 к. Что стоилъ каждый
товаръ отдѣльно?
1215.	Три мальчика А, В и С имѣютъ 2 р. 40 к. Если А дастъ
В десять коп., то у нихъ будетъ поровну. Точно такъ же, если В
дастъ С десять коп., то у нихъ тоже будетъ поровну. Сколько
денегъ у каждаго?
1216.	37 рублей надо раздѣлить между 3-мя рабочими такъ
чтобы учетверенное число рублей, полученныхъ третьимъ, равня-
лось бы | числа рублей второго и удвоенному числу рублей пер-
ваго, а разность денегъ второго и третьяго была бы на 1 рубль
меньше разности денегъ, полученныхъ 1-мъ и 2-мъ рабочими.
Сколько получилъ каждый?
1217.	Сумма цифръ трехзначнаго числа = 12. Если прибавить
къ нему 297, то получится новое трехзначное число, изображенное
тѣми же цифрами, но въ обратномъ порядкѣ. Найти это число,
зная, что число сотенъ его на 3 больше числа десятковъ.
1218.	Найти трехзначное число, удовлетворяющее слѣд. усло-
віямъ: цифра десятковъ его есть средняя ариѳметическая цифръ
сотенъ и единицъ, и равна разности цифръ сотенъ и единицъ;
если изъ искомаго числа вычесть 198, то получится число изъ
тѣхъ же цифръ, но въ обратномъ порядкѣ.
1219.	Три землекопа А, В и С роютъ канаву: А и В, работая
вдвоемъ, могли бы вырыть ее въ 12 дней, А и С — въ 15 дней,
В и С — въ 20 дней. Во сколько дней каждый можетъ вырыть
канаву, если будетъ работать одинъ, и во сколько дней они вы-
роютъ ее, работая втроемъ?
1220.	Бассейнъ имѣетъ три трубы. Черезъ 1-ю и 2-ю онъ мо-
жетъ наполниться въ 6 часовъ, черезъ 2-ю и 3-ю въ 10 часовъ,
и черезъ 1-ю и 3-ю въ 7‘Д часовъ. Во сколько часовъ можетъ
наполниться бассейнъ черезъ каждую трубу отдѣльно?
— 123 —
1221.	Одинъ внѣшній уголъ треугольника больше другого на
30', а этотъ послѣдній больше третьяго на 31°. Найти внутренніе
углы треугольника.
1222.	Отцу, дочери и сыну вмѣстѣ 78 лѣтъ. Пять лѣтъ тому
назадъ сумма лѣтъ отца и дочери была въ восемь разъ больше
лѣтъ сына, а черезъ пять лѣтъ сумма лѣтъ дочери и сына будетъ
на 9 меньше лѣтъ отца. Сколько лѣтъ каждому?
1223.	Сумма трехъ чиселъ равна 123. При дѣленіи перваго на
второе получается въ частномъ 7 и въ остаткѣ 1; при дѣленіи
второго на третье также въ частномъ 7, а въ остаткѣ 1^ Найти
эти числа.
Уравненіе 1-й степени съ неизвѣстнымъ подъ знакомъ
радикала.
1224.	у^+2 = 5. 1225. 1 + 31/» = 7. 1226. 5 —1Ѵ&3.
1227. і/&й-6+1=10- 1228. 0+7=2. 1229.—1+|/5»+24=3.
1230. 17 — 5 {/6x4-3=2. 1231. 1/2ж —9 = 0 —».’
1232. 3)/Г4-1 = 4)/^— 1. 1233.
,23і 2-^+2 = #-’- *235-П^ = Г^-
,236-Й^Ы=ІТ^- 1237.(і^+1)(ГГ-1)=6.
1238. (2^ 4-3) (20 —3) = 1. 1239. 1++1/2» = 1.
1240. 07+05 = 10. 1241. 0+4=1+0
1242. 05 + 0» 4-80= 5. 1243. 0+0=0 — 50
1244. 0 + 0^4 = 3. 1245. 0+20—0^1 = 3.
1246. —Д— = ~  1247.= *2 
2]/х— 7 }/х	3	05 + 4
1248. 0 + 0=02 — 1/4+
1249. 00»—3 = 0»+12. 1250. 0» — 8 = 0»2 —12»+ 32.
1251. 0/ + 2 = |/9у2 + 10г/ — 6. 1252. 0++=|/+0
1253.а-^Д = 2. 1254. ~ — ^ = -Д —
ь 4-}/ х	і/» . 5 у/ х	а
1255.V° — 0=0+0. 1256. » +1/2д»4~»2 —
— 124 —
1257. т\/п— х = п\/іп— х. 1258. (]/х-^-а) (|/хЦ- а) — За2.
1259.	+	1---. 1260 1_±Х*=а.
0 ау х— ус	1—\/х
1261. [/4ах = 2[/1 х— ]/х.
Отвѣты.
О I	«П / I 777 «С Р9Г 1 6а— с
8. га; г — а; г. 12. (рс-\-цсІ)к. 15. 2-2-——. 17.---------------------
а оО	а
19. ^—^ = 320. 22. т —1;	27. 10с-}- 5^4-с.
28.	40»н-}-п; 84«-}-12Ь-|-с; 1000/9—(—/у; 1000а4~106с.
29.	10а-}-6; 100»» Н- 10п -\-р. 30. 116а. 32.	і 75 к.
34.	1211Р06 35 100-126	48 2п 2а-|-4. 49. 2п-Ц;
2а-}-3. 50. 6т— 3-|-ат. 51. 4р\ рд; р\
57. 8; 9. 65. 6. 66. 44,1 73. 7. 74. 1. 75. 3±. 76. О.
83. 10 (р + Ь) -}- р. 84.	1493,8 р. 88. 1) 3; 2) 7; 3) 7; 4) 3;
5) 227; 6) 127.
89. 100; 80; 400; 40. 90. 89; 169. 91. 64; 16. 92. 189; 729. 93. 24.
94. 48; 4; 16. 95. 16. 96. *. 97. 901. 98. і. 99. 4|. 100. 1.
101. 1) 84; 2) 360.
113. 15а-}-206. 114. 9а 4-Пас2 — 12с3.
115. 14а4 — 962-)-а3. 116. 6ас3-}-а6. 117. 4аа/2. 118. Зах— ах2.
119. 0,862. 120. 0,2а34-262— 1,05а262. 121. За2—За63-}-8а36.
122. 12г54-8аР-}-1. 123. 4|т2 —4*т3-}-1.
124. 1>!4-3,7«д2+2. 126. 0,6^24-1,25л-у 127. ?13—З,3с3-|-
-}-|с3<724-1,4.
128. Щр + 1> -}- 4. 129. 4,22р2д - 2,2ОТ2 + 9,3г.
130. З^с-НЛ 131. -^-2,4 8І-Ц 8. 133. 4; -10; -4.
133а. —3; —7. 1336. 0.
134. 30»» — Па — 9р; 138. 15т2; — ІЛрд2. 142. 6а26 4-а6-|- 63.
143. —Зтп—5т — 2п. 144. За2-|-4,7а6.
— 125 —
145. 5а34-б,5а26 — 5,5а62 — 563. 146. 27а3 —1. 147. 2а62.
148. баа2 4~ а3 + 5а4—10. 149. 8т2 —1. 150. 2тр24~сй3— 1.
151. а2—-2аЪ~1-Ъ2. 152. 4 — т2»2. 153. 0,1а2т ат2. 154. 4,5яі3и54*
4-иі5п24-1. 155. 0. 156. 0,5 аЪ2с3 + Іе3Г. 157. е^ — І.
158. атЪ" — сЧР+кѴ. 159. 0,35а263 4-’а262 + 0,99с. 160. т2 — п2.
161. ба — 4б24-3с3 — 2й44-1. 162. а362 —2а263 4- 3а262 —4а64-5.
163. 8а26 —7а2 —6*а62 —562. 164. 19; —9. 164а. 34. 646. —34.
165а. 10а. 166. 762. 168. с — й. 170. — а24-562. 171. 2а24-6а —9.
174. ±тп — 23пр. 175. 2с3 — 2сЧ 15г?3. 176. Зт2 —8»ш —|п3.
177. —а2624-а5. 178. 9,9.т/3 4-12а;4.
179. Іб.бт3»2 —0,4т2»34-3т2»2 — 6,2. 180. 5а2 —9а3.
181. 7а—126. 182.44.Г—26//. 183.0. 184.т — я. 185.2а6 — 2624~а2.
186. 13а —26. 187. 2а Ц-76. 188. 16 — 12тя — 8т3я2.
189. 36-На4- 190. 2иг-І-6р4-8д. 191. 1,1а —56. 192. За-.
193. е5т—-с34~а26. 194. 9р3 4- 2т2 4~ 5а263. 195. 1 — а3.
196. е/’4-5си 197. За. 198. 2е[3—10аЪ. 199. 0. 200. 0. 201. п.
205. (а — 6) -|-(— 6 4- а) = (а — 6) +(а — 6) = 2(а— 6). 208. —2а265с4<72.
211. —27т6. 212. — 0,9668с7. 213 7.2т9я«. 214. 0,16а4Ѵ°.
215. — 0,027а1266с3. 216. ^ап624с16. 217. ^а968.
219. — За54-4а262 — ба3. 220. 12т5 — Зт4 — Зт3р.
221. — 2х3у — х2у2 — {г.у\ 222. ЗтѴ—12т6»3 —6т5»4 4-ЗтѴ.
223. 2,5а5624-2а465 — 1,5а364 —а265. 224. — 2|а662с2 4-2а664с2 4~
4- 4а465с64-|а264с5—6а266с2—8а262с5. 225. ~т3п3—Зт6»3—1,8т7»8.
226. — 2х2уг 4- 1 Ьху2г — хуг2. 227. 4а6 — 6а26 4- 8а62 4~ 12а6с.
228. За4 —8а2с —2а2А; —10с24-ЗсК-4-5Л"2. 229. 4т2» —6»гя.
230. 2а2 —5а6 4-362. 231. 12т2 4- тп — 6я2. 232. 147с2 — 46 — 6/с3.
233. 8а'3 — 66й2с 4-14йс2 — 12с3. 237. 16а24-24а64-962.
238. 14-2а2 4-а4. 239. 15,3а2 4- 19,07а64-5,7562.
240. т2— п*— р2 — 2рп. 241. т2-\-2тп-\-п2-\-2тр-]~р2-\-2пр.
242. 2а6 4~ 56а; — баа; — 9а;2. 243. 1 4~ 12я4~ 6а;2. 244. а24-а34-а44-
4- аб2 4- аб3 — 62 — а26 — 63 — а36 — 64.
245. 12т6 — 11т54~2т4 — 2т3 — 7т2 — 30. 246. 6т44-38тп34~
4- 5т2и2 _ 21^зи	10п4. 247. 63 4- 64 — 65 — 66 4- 67 -Ь 68 — 69.
248. а3—2й6—й5—1^44-2й3—2й24-3. 251. 27а3—72а264-96а624-6463.
Л.З
253. 125а3 4-64г6. 254. 14~^’ 255- х5 —41я —120.
256.	18т54-10т3—9т2—10. 258. 0,15а6—2,15а54-4,8а44-15,5а3—6а2.
260.	25т4 4~ 30т3я — 11т2»2 — 12тя3 4* 4»‘.
261.	а6—4а5п-]-а4»24~7а3»3 — а»5. 262. х64-Юя — 33.
263.	|а6 4- ^а5 — ^4а4 4- |а3 4- 1Ца2 - Па — 3.
— 126 —
264-	— т5 -|- 4ат* — 2Ца2т3 — 2|а3ш2 4~ |а4т -|~ |а5.
265.	+	— З’а+9 — 21|яѴ-|-5лѴ. 266. т6 — р*.
267. 30(74 — 53й3 —73^ + 53(2—20. 268. —6 а5-|-4а4 4-21а3—
— 32а2 4-15а —2. 269. 2^6 + 4р5 — 20^4-Д^3 + 32/72 — бр — 15.
270. }т2 — ^т. 271. — ЗЛ8—29М2+30Л2*+4Н 272. х3.
273. 24а5— 1652. 274. а2 — 5а — с2. 275. 4а2 + 452-Д4с2.
276. «44-ЗСа2Ьа—4а 2а;2 — 952аЛ 277. 2а; 4-8. 325. 2а2Ъ2. 326. 7—
327. —	328. Д-- 329. — 2а3Ъс2Л. 330. 4т*-4-Зт.
2а:2 5а2с	1
331. —	+ 5/Л 332, — 2а3 + 1,5а2 + а.
А	5
333. 3,5а:2^ —2а;47/ѴЦ-1,5а.г3. 334. а — ?5 -|~ аЬ\
О	о
оос 3.2	1	___ а3 . 5а3	, ___	8 .3
336.	|---. 337. , ь —)—=----1. 338.-----777 4~ і • 340. т -4— п.
р * п	т Ъ3 Ь	а254 Ь
341. 54-1. 342. Зат+2і/.
344. Зт3 —3. 345. За;54-12. 346.4аг4- За24- 1. 347. ба2 — ЗаЪс4-2Ъ\
348. 7а —1. 349. 5т —1. 350. За2 —4а5. 351. а — Ь — с. Ъ52.т—п.
354.
357.
371.
374.
446.
|а3 — |а52. 355. |т4 — |т?г3. 356. 0,2а3—3,5а52.
6 х2. 358. 4т3 -|- Зт2 — 2т. 370. т—-х.
1 — 6а — 9а2. 372. ахА -|- 5а:2 -}- с. 373. х2 -|- Зх 4- 2.
«4-5. 375. 52 —65-Д5. 390. (я-1) (а-5). 410. а2(а-|-|)2.
421. (а 4~ 5 — с) (а — 54-е). 424. (а 4~ 5) (а2—а5 -|- 52).
425. (х — у) (х2 4~ ху 4~ у2). 444.	?.
хуз
4а4-5<7—Зс. (а — 5)2	11т —п
12<?	а252	448	30
.449.^.4514.
453. Ё+Д’. 454
ао	а
457.
а3 4~ х3 — агх3
х2а2
458 -—-
ах
459.
464.
466.
468.
а252 + а2с2 — 52с2 ,	у3-х3 2а2 — За5-4-52
-------;	 • 4Ы.	=-	 • 4&О.	-7Г,-!-
аЬс------------------------------------------х‘у-ЬЬ
Зу — 2х	о 2х 23т — Зп
-------= 3------ 465.--------г--•
У	У	6
2бх2у— 20ху2 4- 25а;2 — 12у2	ДСп 2(2а3 4~ 1)
4Ь7-	3
469.	470. -ДД5. 471. 45Л.
3	4т	3
475. 12АФт. 476. —	477. - 478. —  479. —
Ъс 2	3	г
— 127 —
482.	• 484. • 485. —• 486. —	 487.	. Зт’п8	3	(1	2т	ох
488.	2а2Ь2 493 —	• 494 ° 12. 495 _	г	 2	'	зрт 1У-1. аЬс	1УЭ. у2(г28з+ 1(ку)
496.	497.	498. 340»-я). 501. Зс2/<і	4	Ъ*у
505.	507.	508. 1^#-3’1Ѵ ”»• ~ ху	тх(т х)	12ху(2х— Зу)	ах
510.	X2— жЧ-1 с«« ч с,„ а3	со 1	1 с, 1 1 -т	• 511. х3. 512. рг-і—-• 513. -=— ,7,- 514.—\-у—х. х2— х—1	&	а	ХУ
515.	5	1 + 3тп + 2т3	Зх 6 аі”‘ 5п3 — 2т	01Л 2у
519.	з 522 5(5»-1). 523 _4^_. Зт 1	2(5а + 1)	х — 4у
524.	. §25	3	. 526	® - 527 6,2 + —3 а2а' 5(4а2 —1)	р2 — д2 Э“7’а2—Г
528.	--*Ц. 529. 3“‘±-1- 530. х2— у2	т-}-1	а-)-о
531.	. 532 16 Р3 . 533	1	. с2~а2 аЛ2, 5— р	а"’ 14(« + Ь)
534.	С(1	. 535 _§«_. 5зб .Зот~ 5 в2—й2 МЭ1—4а2	”• 4т2 —25
537.	2а(82~л~- 538-	539. — а2 •— 4	1 — х2	ху
540.	сл І+л:2	2к —і— • 541. г37—, • 542. р-т—7  х~1~у	1 — х2	к-]-1
543.	2(2х2—у2)	а(а-]-Ъ)	а2-^4.аЪ — Ъ2	2(т-|-«) з-(9.г2 — у2)	1— а2	(а2—Ъ2)2	т^п2
547.	548. —Ъ. 549.	1 .ъ • 550. „ .	- 2(р2 4- д2)	т[3к — 41)	Зс(с а)
551.	• 552.	• Замѣтить, что (у — х)2 = (х — у)2. Почему?
553.	т-4-п	а* — а2Ъ2-\-2аЬ3—с__ 4хі/ —И—. 554. 	г-—	 555. -г-—- п	а2 — Ь2	х2 — у2
556.	6 ___ (с — <І)2	с__ Ъ' 557' 2* + <і)' 508
559. 564.	560. а+}- 561. (х—у)2. 562. - 7^-7- 563- 2- а2_|_^2	а—2	\	•"	ат(а-)-т) — • 565 2т2(4 + т). 566. — За	р 24“3
— 128 —
640.
ж2п2* / п
2р у 3р
567. -^ + 2)- 568. асКс-Д). 569.	570
а	5а(а— Ъ)	3
ЕН« 2 I 2 ЕНЛ	“	ЕПЛ	2С2С?2	г*гч >	'" I ‘	™ —
571.	хі-\-у\ 572.	—т- 573. -.-----• 574. —♦ 575. у.
2х2—1 (с — й)(с3-|- Л2) т—и 17
601.	х = 4; V —6. 604. х — ^^- 612. 64а18. 627. — 2(.г — у)3,
а — Ь	ѵ
631. —2ашЬ2ж. 632. 7#2”*^3и.
633. аЪ\ 634. х2у\ 636. 5|/± 4 0Г 638. ^2; 0,2|/бТ
У	л
641. О,1хуу/3х. 642. 0,1.г#]/Зж. 643. 1,1»;н4|/2»г. 648. 362|/4А
650. — Зш2п//2р: 654. — 2а263|/2^ 655. 3(а4-Ь))/ІО(а'+6).
656. 4т?(?и гі) \/Зр.
657. 5а)/2а—1. 658. (6.т-|-і/))/Зх.
651. 4\/1 -Н2|/27 660. 2г\/2 —	661. 2аѴз - а^'а. 665./б^
666. ]/т(с— (I). 667. ]/8ху. 670. 1/120с4аг.
671.	+ у . 672.у/^2 + -“-• 673. у/а2а31>.
674. |/2(а + і). 675. 17. 676. 23. 677. 29. 678. 34. 679. 73. 681. 89.
682. 114. 683. 236. 685. 364. 688. 987. 689. 3860. 690. 4931.
1488
694. 64573. 696. 2^. 697. 3& 699. ™ -701. 0,26.
1	11	2128
703. 0,135. 705. 0,092. 707. 7,045. 709. 16,003. 710. 18,607.
711. 1,41. 712. 1,73. 713. 3,16. 714. 4,47. 715. 7,11.
716. 19,13. 717. 68,63. 718. 0,63. 719.. 1,58. 720. 0,22.
722. 0,61. 723. 1,77. 724. 1,15. 725. 2,25. 726. 1,844.
727. 0,083. 728 2,519. 729. 0,046. 730. 0,097. 731. 0,008.
733. 3,741; 11,832; 1,183; 0,374; 0,118. 734. 11,045; 3,493;
1,104; 0,110; 34,928. 735. 1,732; 0,517; 0,261. 736. 13.
737. 24. 738. 37. 740. 69. 742. 219. 743. 369. 744. 429.
745. 734. 746. 4,1. 747. 0,83. 748. 0,219. 749. 4|. 750. 12|.
751. 18|. 752. 2,84. 753. 1,16. 754. 0,84. 755. 1,47.
756. 3,07; 1,43; 0,66; 0,31. 757. 6,22; 2,89; 1,34. 758. 21.
759. 3,5. 760. 7,6. 761. 4. 762. 11. 764. 3. 766. —12.
767. 16. 768. 49. 769. 4. 772. а^ 775. а2Ь. 776. т'-п.
778.	780. а|/а\ 782. у/аЧ. 783.	784.
785. |/128. 787.	788. Ѵз. 789.	789а. 4і/2“.
— 129 —
7891». 2у/2 + /2? 790. 5/7. 791. 12/3. 792. 4/2.
793. 40/2? 796. 23/3? 797. — З.т/5^. 798. 12«7>/2а.
799. (-7-|-5а)/2^ 801. С,,Г>а]Ла. 804. 3/2. 805. 0. 806. 51/2'.
807. 3||/ІК 808. 10. 809. 4/6.
811. 5/б? 812. 24/3? 813. —6. 815. Д. 817. 216/2. 819. 245.
820. 7 +3/3. 823. 2(5 —/2)? 824. 3-/2/2. 825. 5(3 4-/2)?
927. 6(5 —2/бТ 834. 4а.г. 838. аѢѴ. 840. // 841. х* — х.
842. 3. 844. Д/^ад2—Ь.2с2. 846. 2. 848. - /и. 849. — /К
Ъа	т	ѣу
853. 1. 854. -/3?— ^-,/Гш — ^/7Ь? 859. |/^\ 860. б/276.
с 7а2 о2
863. а’/72а? 869. /2. 873. ]/~ 876. і /Г—/а-рз/^2?
877.	883. 8. 884. —2. 886. 10. 887. >. 888. >. 889. — |.
890. 20. 892. 3*. 894. 20. 895. 2. 901. 360. 914. 2. 915. —21.
916. 4|. 919. |. 821. 1>. 923. 7. 924. 1. 925. 11. 926. 3. 927. 1.
928. 1. 928а. 21 929. Ц. 930. 6. 930а. —60. 931. 1^. 932. 3.
933. 42. 934. 3. 935. 1&. 936. 5. 937. 3. 938. ± 939. 6|.
945. 7. 946. Ц-. 947. 9. 948. 16. 949. 10. 951. 1. 952. 5.
955. 11. 956. 3. 959. 25. 961. 2. 964. 8. 966. 12. 967. 5.
Ъ —I— с
968а. 7. 969. 2. 970. 16. 972. |. 973. 6. 979.
*	а
983.	 985. —	• 986. ~~-  987.  988. 0. 989. т.
I — а 2(а — о) к — т 2
991. «.(Ь-Н). 992.	993.	 994.	
Ѵ 1	Ь с аЬ -4- яс 4“ Ьс	тпр
995.	996.	997. а-\-2Ъ. 998. 0. 999. — •
с 1	т — 1	с
1000. -Д-т- 1001. я 4-6. 1002. Ъ — а. 1002а. о 4"^- 1003.—~.-
1004. 1. 1005. —0,4(а-|-V). 1006. "’^ТТГ ' Ю07. « +
Ь	1	о2 -(-о2
/у 2 ., /12	л І_ Ті
1008.	- — 1009. —	1017. 48. 1018. 45; 150.
а	2
1023. 53; 79. 1024. 19; 10. 1025. 6; 10. 1026. 140. 1027. 77; 105.
1029. 36. 1031. 180; 100; 160. 1034. 20; 68. 1036. 32; 8.
1039. 8. 1044. 16. 1045. 17|; 10|. 047. 2400; 4000.
1048. 25 в. 267 с. 1051. 35; 25. 1054. 53. 1056. 781.
Начала алгебры.
9
— 130 —
1063. 90 к.; 13 р. 50 к. 1064. 120- 1065. 3. 1066. 125.
1069. 24. 1070. 16Д м. 1071. 65Д; 11. 1072. 1 р. 1074. 12.
1075. 4 р. 30 к. 1076. 30. 1077. 25000 р.; 5. 1078. 105.
1081. 24; 180. 1085. I д. 1088. 30°. 1089. 2 ф.; 6 ф. 1091. 30 ф.
1103. Ъ -2а. 1104. Ь — а.
1105.	1106.’-^. 1107.-5-. 1108.^.
г 1	А' — 1	Р~г <]	а- Ь
1111. 7; 11. 1113. 15; 9. 1117. 10; 8. 1118. 4; 13. 1119. 5; 7.
1120. 14: 21. 1121. 18; 25. 1123. 4; 25. 1124. ’; |. 1125. —8; 15.
1127. 15; 12. 1129. 24 ; 9. ИЗО. 21; 10. 1133. 7; 6. 1134. 5; 3.
1135. 7; 9. 1137. 8; 5. 1138. 6; 2. 1139. |; ф 1140. 3; 5.
.... тА-п т—п	Ьн-І-т т— ап	2п п2— т
1141.	1143.	_  по.	я.
1146.	Ц47.	1148. ,,=±+1.
1 — тп I — тп	т* п2	аЬ — I
1149.	• 1150. - = -• 1152. 2; 3; 5. 1154. —1; 1; 2.
а — ас	У с
1155. 15; 10; 8. 1160. 8; 3; 15. 1161. 5; 2; 0. 1163. 7; 10; 12.
1166. 1; 1; ф 1167. 1; 2;	1169. 8; 5; 3. 1170. 2; 3; 1.
1174. а;—	Ц75. Ь + с; а-фс; а+Ь. 1176. Ь; а-, 0.
1177. ж=-, “ ,  1178. п = ^(2а-|-Ь + с). 1179. Ъ\ а- с.
а -ф й -ф с	4ѵ 1	' 1	’
1182. 60; 15. 1183. 13; 17. 1185. 19; 12. 1186. 15; 40. 1187. 7; 6.
1190. |. 1193. 43. 1200. 18 ф.; 15 ф. 1201. 1500 р.; 960 р.
1203. 6 дн.; 8 л. 1204. 20 ф.; 95 ф. 1205. 4| ф. с.; 15| ф. з.
1206. 12; 8. 1207. 8; 6. 1208. 160 р.; 200 р. 1209. 15; в. 17 в.
1211. 9 м.; 8 м. 1212. 170° и 30°. 1213. 14 д.; 18 д. 1214. 14 к.;
28 к.; 20 к. 1217. 417. 1219. 10; 15; 30. 1220. 49° 20’. 1222. 46;
20; 12. 1223. 106; 15; 2. 1226. 9. 1229. 8. 1230. 13. 1231. 5.
1233. і. 1234. 25. 1235.	1236. 9. 1237. 6.
1238.3. 1239.----1240.1-0- .
3-ф2/2	5 + 2/6
1241. 2ф 1243. 1. 1244. 20. 1245. 5. 1246. 441. 1247. 8|. 1248. 9.
1250. 1|. 1253. (а — 2Ъ}\ 1254. аѢ*. 1257.	• 1258. 4а2.
т п
1259.	 1260.	!Ѵ- 1261.
а2	\а + 1/	2а — 1
• г.-*" . .-бонк-.П. а.чгео.».	к :лдв»гь. Пзд. 8-е, Ц. 90к.
Уче	“ъ '<гч- На?. Г'п -В* д:< >• 	□»-. лх всѣі ееелн. учеви. заведенія
• і.^лчейіилй суг.г» алгебчы. И и» '• с Ц. <і
< - • «гікпс’лі ~~блииы сятичначпыхъ логариѳмовъ отъ ІеО до 10000
Аі ‘ ря лі  Соеіѵічіпі'і. Синодъ Нпдячн». Задачи 4 . П. з' кчп.
’ > и » іігп.іііены У еі іевъК ѵн.егомъ 'Лги. ы р г  .» а;, м-і.хтчз • '.новпдства і і
жен, ни' и ги и । ._ яхъ, учи - г С? ’ ’1'( I гі.Ъ и г- - ,і .	' у«{илхш*'гѵ ? <ены ѵ--
Г’‘» 5ченага Комитета Л. Н. Пр. пу’‘.ти .- црофес. д'.рЛо»».Ів въ <“ Лкаво.асгва
- ; •»-» технич- гихъ _• іилнщ.іъ, лагі . и Учевк » м« латамъ я- • С ...'('инодѣ въ
-  учебнаго пособія въ духсаиыхь ом.г .. іх* Учео.ч !' -чит с- д. Импера- пины Маріи
ец.І'е^ы лея жсѵоиухъ гимнаес и иистн ггоаъ.
5 Н'.чал» алгсбрзд и собраніе вадачі.. Дд.ч  ..-и ягъ начальныхъ ч і'чиеелея-
', Ь".Ъ учхді—-? , тортовіихъ школъ я веч«рш-л < ійЪ. ’! 1. Ѵ-Ѳ. Ц. ’.С ТЛтГ.
Дш ден- Отд*я-ыечъ 1 че іаі .. Комитета Мин. Я Пртсв. въ «ачеств* рѵиг.іепаства въ
иошхтъ прзхышавнныхъ «ч чг >гатъ » : ...«м Комит. М. Н. І’р въ к» ..,вѣ руно-
вча. .и 2ія горса-кихъ училпыг? ЯГГх ? да	*	'
•і. О.-нозы графической а.ігсор.д и собраніе яадачъ. Для -редоихъ • ч4иыхъ
н и? •ні'. и іысидхь іп іальч. /чнлкацъ Ц. 15 к.
д-нентарііал геомстчія и . обраніе геояет*еіческ>«\ь яедач ц д. 2-н.
’ ! р. '.’З к.	•
П:~ѵм.«иа :яп Кда гетспі I. I И. Праги. ; в,„ Отд,  •> ••м	к.» <иъ р" •
вояства л и иіпнихъ учеСн. зх-- , л и для тех-..
ъ. Наг.'чднеі. г смегрія въ нада.л\! .•••вонре. тть. Іи |. ‘ .	ла... і,.
'.і	". учейаыхі чмдеіп п а. ыіыхъ . •	>, "
“ 1 ооннв: ъ Гі-яметриче-’^ихъ иадачъ :ір вігчислсн а ._ ... р.	 ..
ГТ»І, !. ГрЯ.’О'. ’ОПОГ тат-.'й КЪ '  I г, ІЧ . • |1 г»., 'Г,'і. Н.Т
СЯрфгЛРЪ УчО“ЫіІЬ 1<!і’*і’т. ѵъ Мин Н'. Ъ ісь. - - іхЧГ, -І, ...іЧнаер пг.-пД(
риДі .	г у !И- . і.ъ ’» » ЛШИ	и	,	..,ь
.чей-:-:'.х '. тит” ;»» Ы -ст>.. . „овъ .. іебі'.іі> г(^соб. ; >. -• 	-
р-и»,;-.* 5Ъ . іх/очо итога?’
Црямолии Ічіан тригоня. .ДІЯ П сѵб.іе ‘?-	:	. ?іЧЫД
’іг. ,! ..!”> )1п. а-е, I-' Лі і  і.
• а л (леи ,і ь г іев і • '•«чтета М. е Про. . иъ учебн;' еу. водсть» и
"и--ичс *их« _..яі । _-ч
Гі . К з«.. дм чіч “КОіі п імѵ . вт	5 : кэя
-3 г а .	- 1 У го 1 • ’ а М і. И. ііг	ЛѴКОЗІДСТРЭ и тг
»	»	1 ▼ЧГЛИЛѴ
ц.1 ТКЧИР.Я или метрдчегкая с^гіема * . 4	• дЪсовъ ІС, » гх иг-
•'Р поста Ы •" » КОДІ4І	<.	1	' І.м ТЯ
’’ Ь МІ, 4 К . » • КЧ ІИ* 11	1	!	(	-н. И 5
л-.н а .-грлче> кіи і мѣ|	,,, ,. ।->тз<.лі.і.о). ІІзд, 6- " ]п-.
. > 	। рексмеи,іоп:іны У«е чч.ѵ ,‘1ѵ.,н. Ііпр/Прос. ..	
. СТО, иЧіи.і, I- Н-.Ч.— ........... •’	,,,. .1 ь. ..	, •.
1 на - йЧі. Я’н/г'ЧС'ИВіѣ 1,'вЖДШ‘ііІ им.’. Лл,.’ : я .< І.І,,. ; . при ’ • і .
г п-ч ;'*бх мпеѳоія/ ’-.н-'р-а- лнкъ	,	г
ІЧ4СТ«.-уіѴЧ* <чч1‘<на(4Й, НМД", -УЛЬХвМі. И 1ЧН> І.ЯЧЬ »чкЛ
<4. <‘<. ріілпт, ЦВИМ* -'•ВЪ И зад.і'ІЪ і’і . ч ч |	' , чы Йі .
Н-с. и. іо >оч.
ц.-.П?-'”-»  ЧС'-М'Ч. - ' лр Р *. у'і	'•уг Е Ч" ’ *Ч Ѵ'ЧГ-Г.Н РОСО^’*’
Ѵ'К'Чыіі. Э*г-.рч I,, вс'.р-иг	и* >И'4О.	, гэкх1,..л ,-лм .	.-х4,
' ' и' ъ	•	I'	МХь ’
' 	 гЬріа И За Д '.и Ъх, і/.Г..	•• V ..ІН-.Г-ІГ -<.......'	смС’
'хчальнмх’ъ учил і.ць, Іѵ 15 ,•...
(	’ѵіа.'. - се, •ртагел- Н'ій і гометрй ц и^секціокнаго ч₽(.'іе-:ія цл.
?. I ч  Т’.енгч- Іроі.ы и •	у-! ч.і'.. іГ'І. 2-,!. ]’, • Г. к.
і Кір<ъ *«« реіі-”.-. 7  исхеи'.’,1»г	учябіі..х і, ллюдеяі-; _«
и."'* /’	’ 1,?ТЬ- И і .1. ?5 « ‘ІПС’і II. . нлаянка. Ц. 1
' .синіе Кѳнп	; Мі Нар. ’/’Г.и допутепь ві
ЪЫСГГ’ ’ ’•!. .• •  ъ іг. ЕриД "•...  	’ •’ тлудіЯч., училніія.
•1	< ? і . Л іе>. -.п.ірішГ! х,1 р, ‘•ф.трічія.а.іънатл и ннтесраль-
».с.> хгіи...; Г; хие* И	і "«да'Ями В. I іЛ? е . ,іі;. “-о. іі. 2 р.
IV. А. ГодНіфічі’О і.лер1 .лк^.е т«?мчеет*в<. і/ь ыуаіхі 1>>д«иі1 н иъ тір..і<лвьдстиѵ
-- ..	"чімхд іжк:н>К съ 8-»> гъід. .с’гйвей ’і-р. ? <-. Ц. :/>	..
'» <вм<к . Р <-.-тМин. I .	, ', -	 -івбні
"Ь I	-I..	'< .- г Оіціч ІІ цГ.з пр-’-’.	-	УЧ'ИГ^Ь . ГХ”.
• • :•• • -лС
$<' ВіЛ^'К, лы’ѵ.; ііѣр п.зое ри ..-ліапіе въ Зач. Кврсшх і Ов. Америкѣ, съ
'	свымѵ.нчес».•..>:» •»'.і<»і:іііі -і ' і ».,чияг.му _ .ч'. । ьнию въ Рчгсіп ж
с ... . :?ч	• уугег'-хъ .йщеспчччі ѵъ » к а ..мехъ бітблі.» си. II. 1 р кои.
л	•?'* 	’ ѵ	і -н2 і<ь С -і .□•*»•«* ое уч.бн. завезеній
рЪ'Л 	-О..-;	. . " II. мчали й 1 Я 4 Е С Е й (МОа ««!•, Ь.>г >	4«Ч ГіЭПНл* -	*)
аа иересь'Ллу не пл - тт Инпгал . ыь .г