MATHÉMATIQUES
à l'Université
Cours et exercices corrigés
Charles-Michel Marie
Philippe Pilibossian
Extensions de corps
Théorie de Galois
niveau M'\-M2
Josette Calais
,jé>,

Mathématiques à l'Université
Collection dirigée par Charles-Michel Marle et Philippe Pilibossian
niveau M 1-M2
Extensions de corps
Théorie de Galois
Josette CALAIS
Professeur émérite à l'Université de Reims-Champagne-Ardenne

Dans la même collection "Mathématiques à l'Université"
i L'algèbre discrète de la transformée de F ourler,
g. peyré, 2004.
i Algèbre et théorie des nombres - cryptographie,
prlmallté, s. al fakir, 2003.
i Algèbre et théorie des nombres - théorie
de Galois, codes, géométrie et arithmétique,
s. al fakir, 2004.
i Algèbre fondamentale - Arithmétique, g. gras
et m.-n. gras, 2004.
i Algèbre linéaire, r. goblot, 2005.
i Algèbre linéaire, f. bories-longuet, 2000.
i Algèbre linéaire numérique - cours et exercices,
g. allaire et s. m. kaber, 2002.
i Analyse complexe et distributions, a. yger, 2001.
i Analyse fonctionnelle - exercices et problèmes
corrigés, b. maury, 2004.
i Calcul différentiel, g. christol, a. cot
et ch.-m. marie, 1997.
i Cours d'algèbre, r. elkik, 2002.
i Cours de calcul formel - algorithmes
fondamentaux, ph. saux picart, 1999.
i Cours de calcul formel - corps finis, systèmes
polynomlaux, applications, ph. saux picart
ete. rannou, 2002.
i Distributions - espaces de Sobolev, applications,
m .-th. lacroix-sonrier, 1999.
i Éléments dsalgèbre commutatlve, j. briançon
et ph. maisonobe, 2004.
i Éléments d'analyse convexe et varlatlonnelle,
d.azé, 1997.
i Eléments de géométrie, a. yger et a. hénaut,
2004.
i Éléments de théorie des anneaux - anneaux
commutatlfs, j. calais, 2006.
i Éléments d'Intégration et d'analyse fonctionnelle,
a. el kacimi alaoui, 1999.
i Équations aux dérivées partielles
et leurs approximations, b. lucquin, 2004.
i Extensions de corps - théorie de Galois, j. calais,
2006.
i Géométrie différentielle avec 80 figures, c. doss-
bachelet, j.-p. françoise et cl. piquet, 2000.
i Les Groupes finis et leurs représentations,
g. rauch, 2000.
i Initiation à la topologie générale, d. lehmann,
2004.
i Intégrales curvilignes et de surface, m. lofficial
et d. tanré, 2006.
i Intégration et théorie de la mesure -
une approche géométrique, p. krée, 1997.
i Une Introduction à la géométrie projective,
d. lehmann, 2003.
> Introduction à Scilab - exercices pratiques
corrigés d'algèbre linéaire, g. allaire
et s. m. kaber, 2002.
i Logique, ensemble, catégories - le point de vue
constructif, p. ageron, 2000.
i Méthodes d'approximation, équations
différentielles, applications Scilab, s. guerre-
delabrière et m. postel, 2004.
i Méthodes numériques directes de l'algèbre
matricielle, cl. brezinski et m. redivo-zaglia,
2005.
i Méthodes numériques itératives - algèbre linéaire
et non linéaire, cl. brezinski et m. redivo-zaglia,
2006.
i Précis d'analyse réelle - topologie, calcul
différentiel, méthodes d'approximation, vol. I,
v. komornik,2001.
i Précis d'analyse réelle - analyse fonctionnelle,
Intégrale de Lebesgue, espaces fonctionnels,
vol 2, v. komornik, 2002.
i Probabilités, m. brancovan et th. jeulin, 2006.
i Quelques aspects des mathématiques actuelles,
ouvrage collectif, 1999.
i Systèmes dynamiques - une Introduction,
ch.-m. marie, 2003.
i Théorie de Galois, i. gozard, 1997.
» Topologie, g. christol, a. cot et ch.-m. marie,
1997.
i la Topologie des espaces métriques, e. burroni,
2005.
isbn 2-7298-2780-3
© ellipses édition marketing s.a., 2006
32, rue b argue 75740 paris cedex 15
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tue le livre

Présentation de la collection
"Mathématiques à l'Université"
Depuis 1997, cette collection se propose de mettre à la disposition des
étudiants de troisième, quatrième et cinquième années d'études supérieures en
mathématiques des ouvrages couvrant l'essentiel des programmes actuels des
universités françaises. Certains de ces ouvrages pourront être utiles aussi aux
étudiants qui préparent le CAPES ou l'Agrégation, ainsi qu'aux élèves des
grandes écoles et aux ingénieurs désirant actualiser leurs connaissances.
Nous avons voulu rendre ces livres accessibles à tous : les sujets traités sont
présentés de manière simple et progressive, tout en respectant
scrupuleusement la rigueur mathématique. Chaque volume comporte, en général, un
exposé du cours avec des démonstrations détaillées de tous les résultats
essentiels, des énoncés d'exercices ou de problèmes.
Ce nouveau livre de Madame Josette Calais fait suite à son ouvrage sur les
anneaux, publié dans la même collection. Les lecteurs déjà familiarisés avec
les propriétés des anneaux commutatifs pourront l'aborder indépendamment
du précédent. La théorie de Galois, dont Madame Calais donne ici une
présentation remarquablement claire, est une magnifique construction de
l'esprit humain qui a permis de répondre de manière complète et définitive à des
questions, dont certaines étaient posées depuis l'Antiquité : quelles figures
géométriques planes, en particuliers quels polygones réguliers, peuvent être
construits de manière exacte à la règle et au compas ? quelles sont les
équations polynômiales qui peuvent être résolues par radicaux ? Cette théorie est
toujours d'actualité et comporte des développements récents, notamment pour
l'application aux équations différentielles analytiques. Comme le précédent,
ce livre comporte de nombreux exercices qui permettront au lecteur de bien
assimiler toutes les notions introduites.
Charles-Michel Marie
Philippe Pilibossian

Préface
Ce livre commence par une étude approfondie des Extensions de corps, prélude
indispensable à la THEORIE de GALOIS.
La Théorie de Galois occupe, historiquement, et encore actuellement, une place
importante dans le monde des mathématiques.
Elle repose sur l'idée géniale (au sens propre du terme) d'Evariste GALOIS (1811-1832),
consistant à associer à un polynôme f(X) à coefficients dans un corps K, une certaine
extension E de K et de faire correspondre à E, le groupe de ses ^f-automorphismes, qui
sera appelé le groupe de Galois du polynôme f(X) ou de l'extension E : K.
Ce procédé conduit à une remarquable mise en parallèle entre, les propriétés des
extensions de corps et celles de leurs groupes de Galois (Ch. 7).
Il en résulte une méthode d'investigation extrêmement puissante, qui permit de résoudre
plusieurs problèmes fondamentaux, dont certains préoccupaient les mathématiciens
depuis l'Antiquité, tels la construction de figures géométriques, par la règle et le compas
(Ch. 2 et 7), et qui amena E. GALOIS à la caractérisation des équations polynomiales
résolubles par radicaux (Ch. 9).
Cette dernière question intéressait, tout particulièrement, les mathématiciens
contemporains d'E.Galois, dont Niels Henrik ABEL (1802-1829), qui avait déjà obtenu un résultat
décisif, concernant ce problème (Voir l'introduction historique du Ch. 9).
Mais ce sont les travaux d'E. GALOIS qui apportèrent une réponse complète et
définitive à la question. Cependant, en raison de sa disparition en 1832, ses résultats ne furent
connus que beaucoup plus tard. C'est le mathématicien Joseph LIOUVILLE (1809-1882)
qui les publia en 1843, après avoir eu la possibilité de connaître et d'étudier les manuscrits
d'Evariste Galois.
Les sujets d'intérêt d'E.Galois, en mathématiques, ne se limitèrent pas aux équations
polynomiales ; il obtient, en particulier, des résultats concernant les fonctions et les
intégrales elliptiques.
De plus, il amorça l'étude des corps finis (longtemps appelés champs de Galois), qui
furent utilisés au 20ème siècle, en particulier pour la conception des codes correcteurs
d'erreurs, permettant d'augmenter la fiabilité des informations transmises par les
ordinateurs.
Aujourd'hui, la Théorie de Galois reste bien présente, par ses applications et ses
prolongements dans plusieurs domaines des mathématiques ([45]) : la théorie algébrique des
nombres, les anneaux non commutatifs, les corps gauches (anneaux à division), les
équations différentielles ; elle fût aussi utilisée dans les travaux conduisant à la classification
des groupes simples finis ([47]).
Evariste Galois conserve une place à part, dans l'esprit et dans le coeur de tout
mathématicien. Nul ne peut rester indifférent à l'évocation de la vie, si tumultueuse, si controversée,

vi
Préface
si dense et si courte, de ce génie mathématique, mort en duel, le 30 mai 1832, à 21 ans.
Il existe de nombreux écrits sur l'oeuvre et la vie d'Evariste Galois ([6], [11], [46], [48]).
Je signale, en particulier, au lecteur, le Numéro Spécial consacré à Evariste GALOIS ( Le
mathématicien maudit ) par la revue américaine « Scientific American », publié dans la
revue française, « Pour la SCIENCE », trimestre : Février 2003 - Mai 2003 ( Série : Les
Génies de la Science ).
Je tiens à remercier Elise Benlolo, maître de conférences au Département de
Mathématiques de l'Université de Reims-Champagne-Ardenne, qui a pris part à la relecture de ce
livre, avec beaucoup d'attention et de minutie.
J'exprime toute ma reconnaissance à Charles-Michel Marie et Philippe Pilibossian qui ont
bien voulu accueillir ce livre et le précédent, « Eléments de théorie des anneaux »([13]),
dans leur collection.
Je remercie chaleureusement, Monsieur Charles-Michel Marie pour l'aide précieuse et
bienveillante qu'il m'a apportée, lors de la mise aux Normes des Editions Ellipses de mes
deux livres.
J.C.

Introduction
Ce volume comprend neuf chapitres et deux appendices (A et B).
Dans les chapitres 1, 2, 3, sont développées les propretés essentielles des extensions de
corps (extensions algébriques - transcendantes - normales - séparables - purement sépa-
rables).
L'application de la notion d'extension algébrique, au problème de la construction par la
règle et le compas, est abordée dès le chapitre 2.
Le chapitre 4 est consacré aux corps finis, qui trouvent leur utilité dans des domaines très
divers, en particulier, dans la conception de codes correcteurs d'erreurs ([21]), d'où leur
intérêt en Informatique et en Statistiques.
La notion de clôture algébrique est étudiée au chapitre 5, dans lequel, on trouvera, entre
autres, une démonstration explicite du théorème dit Théorème fondamental de VAlgèbre :
« C est algébriquement clos ».
Par ailleurs, bien que l'Appendice B ait pour objet les preuves classiques de la
transcendance de e et de 7T, sur Q, une autre démonstration en est proposée dans ce chapitre 5, en
application de la notion à?éléments algébriquement indépendants ; cette preuve s'appuie
essentiellement sur le théorème de Lindemann-Weierstrass.
Les polynômes et extensions cyclotomiques sont traités au chapitre 6. Les cas où le corps
de base est soit Q, soit un corps fini, sont étudiés en détail. Le chapitre 6 se termine par
Y algorithme de Berlekamp qui permet, en particulier, de déterminer les facteurs
irréductibles, distincts, d'un polynôme cyclotomique sur un corps fini.
La Théorie de Galois classique (sur un corps commutatif, de caractéristique 0) est
présentée au chapitre 7, avec, comme premières applications, la construction des polygones
réguliers par la règle et le compas, et une seconde preuve du Théorème fondamental de
VAlgèbre.
Les chapitres 8 et 9 dépendent du chapitre 7, mais sont indépendants l'un de l'autre.
Au chapitre 8, les propriétés des corps de nombres, auxquels sont directement rattachés
les anneaux d'entiers algébriques, donnent l'occasion d'introduire et d'étudier les
anneaux de Dedekind.
Le chapitre 9 traite du problème de la résolution des équations polynomiales par
radicaux, auquel, historiquement, nous conduit la Théorie de Galois.
Quelques propriétés du corps R, utiles au chapitre 5, sont rappelées au début de
l'Appendice A. Mais, le but de cet appendice est de définir les corps de nombres p-adiques, qui

viii
Introduction
sont introduits, ici, à partir de la notion de complété d'un corps value.
Comme dans les livres "Eléments de théorie des anneaux" ([13]) et "Eléments de théorie
des groupes" ([12]), les propriétés énoncées sont généralement prouvées de façon
détaillée et à la fin de chaque chapitre, des exercices peuvent, éventuellement, permettre une
compréhention plus approfondie du cours.

Table des matières
Notations xiii
1 Notion d'extension de corps 1
1. Corps premiers 1
A. Caractéristique d'un corps 1
B. Sous-corps premier d'un corps 2
2. Notion d'extension de corps 3
3. Degré d'une extension de corps 6
4. Isomorphismes d'extensions de corps 7
5. Exercices 8
2 Extensions algébriques - Extensions transcendantes 11
1. Elément algébrique, élément transcendant 11
2. Extensions simples, transcendantes 12
3. Extensions simples, algébriques 13
A. Caractérisation des extensions simples, algébriques 13
B. Exemples d'extensions simples, algébriques 15
C. Extensions simples, algébriques, isomorphes 16
4. Extensions algébriques, extensions transcendantes 18
5. Construction par la règle et le compas 21
A. Méthode de formulation algébrique 21
B. Les trois fameuses constructions impossibles 24
C. Caractérisation des constructions possibles 26
6. Exercices 28
3 Extensions normales - Extensions séparables 35
1. Corps de décomposition d'un polynôme 35
A. Préliminaires 35
B. Notion de corps de décomposition d'un polynôme 36
2. Extensions normales - Clôture normale 39
A. Extensions normales 39
B. Clôture normale 40
3. Extensions séparables 41
A. Polynômes irréductibles séparables 41
B. Notion d'extension séparable - Corps parfaits 44
4. Extensions purement inséparables 47
5. Exercices 50

x
Table des matières
4 Corps finis 55
1. Cardinal d'un corps fini 55
2. Groupe des éléments non nuls d'un corps fini 55
3. Caractérisation des corps finis 57
4. Sous-corps d'un corps fini 58
5. Propriétés des corps finis 59
6. Exercices 61
5 Clôture algébrique d'un corps 67
1. Théorème fondamental de l'Algèbre 67
2. Plongement d'un corps dans un corps algébriquement clos 72
3. Clôture algébrique d'un corps 73
4. Clôture algébrique d'un corps fini 76
5. Transcendance de e et de K sur Q 77
6. Théorème de Frobenius 78
7. Exercices 79
6 Polynômes et extensions cyclotomiques 83
1. Notion de racine rfme primitive de l'unité 83
2. Extensions cyclotomiques - Polynômes cyclotomiques 84
3. Polynômes et extensions cyclotomiques sur Q 88
4. Théorème de Wedderburn 90
5. Polynômes cyclotomiques sur un corps fini 92
A. Notion de neme polynôme primitif sur ¥p 93
B. Factorisation dans ¥p[X] - Algorithme de Berlekamp 96
6. Exercices 106
7 Fondements de la Théorie de Galois 109
1. Groupe de Galois - Correspondance de Galois 109
A. Groupe de Galois 109
B. Correspondance de Galois 110
2. Théorème fondamental de Galois 112
A. AT-monomorphismes - Degré de séparabilité 112
B. Extensions galoisiennes, de degré fini 118
C. Théorème fondamental de Galois 123
3. Applications de la Théorie de Galois 125
A. Rappels concernant les groupes finis 125
B. Construction des polygones réguliers 125
C. Une preuve du Théorème fondamental de l'Algèbre . 130
4. Norme et Trace 131
A. Notions de Norme et Trace 132
B. Quelques applications des notions de norme et trace 135
5. Exercices 137
8 Corps de nombres - Entiers algébriques 147
1. Notion de corps de nombres 147
2. Discriminant d'une base d'un corps de nombres 147
3. Entiers algébriques 149
4. Entiers algébriques d'un corps de nombres 153

Table des matières xi
A. Anneau des entiers algébriques d'un corps de nombres 153
B. Bases entières d'un corps de nombres 154
5. Anneaux intégralement clos - Anneaux de Dedekind 156
A. Généralisation de la notion d'entiers algébriques 156
B. Anneaux intégralement clos 157
C. Anneaux de Dedekind 158
D. Idéaux fractionnaires d'un D.1 158
E. Idéaux fractionnaires d'un anneau de Dedekind 160
6. Norme d'un idéal d'un anneau d'entiers algébriques 164
A. Propriétés préliminaires 164
B. Norme d'un idéal, non nul, d'un anneau T> 166
7. Exercices 169
9 Résolution des équations par radicaux 175
1. Extensions radicales 176
2. Polynômes résolubles par radicaux 178
A. Rappels concernant les groupes résolubles 178
B. Caractérisation des polynômes résolubles par radicaux 178
3. Exemples de polynômes non résolubles par radicaux 183
A. Polynômes de degré premier impair 183
B. Equation polynômiale générale 184
4. Exercices 189
A Corps ordonnés - Complétion d'un corps value 191
1. Corps ordonnés 191
2. Corps values 194
3. Topologie d'un corps value 201
4. Complétion d'un corps value - Corps p-adiques 203
A. Complétion d'un corps value 203
B. Corps des nombres p-adiques 205
B Transcendance de e et de n 207
1. Transcendance de e sur Q 207
2. Transcendance de n sur Q 209
Bibliographie 215
Index 217

Notations
Les notations générales sont celles du livre "Eléments de théorie des anneaux" ([13]).
Si K est un corps, K* = K\{0} l*(d), 87
card{K) =\K\: cardinal de K G(L : K), 109
carK, 1 InL(H), 110
L:K, 4 [L:K]S, 114
*(r),tf(a), 4 JWa), r**(a)' 132
[L:AT],6 N(a), T(a), 132
Fp, 55 A^,^,...,*,,], 147
K, 74 .A, 149
UH, 83 D, 153
O., 84 £, 203
85 Zp, Q„ 205

Chapitre premier
Notion d'extension de corps
Les notations générales seront les mêmes que dans le livre : "Eléments de théorie des
anneaux" (Cf. [13]) ; en particulier, N,Z,Q,R,C ont la même signification que dans ([13]).
Rappels et remarques préliminaires :
a) On appelle corps, tout anneau unitaire, commutatif, dans lequel tout élément non nul a
un inverse ([13], Déf. 1.6).
Tout corps est nécessairement intègre ([13], Rem. 1.20).
b) Lorsque K et K' sont deux corps tels que Kr Ç AT, on dit que Kf est un sous-corps de
AT, si le corps K' est un sous-anneau unitaire de Jf ([13], Rem. 1.34),
et si de plus, Kr ^ AT, alors Kf est un sous-corps propre de K.
On notera que tout sous-anneau unitaire ([13], Rem. 1.34) d'un corps K n'est pas
nécessairement un corps. Par exemple, Z est un sous-anneau unitaire du corps Q, mais n'est
pas un corps.
1. Corps premiers
A. Caractéristique d'un corps
Proposition 1.1. La caractéristique d'un corps est soit 0, soit un nombre premier.
Démonstration. La notion de caractéristique d'un anneau unitaire, commutatif, a été
définie dans ([13], Déf. 1.68), ainsi que celle de nombre premier ([13], App. A, Déf. A.5,
Rem. A.6).
K désignant un corps, soit 0 l'unique morphisme d'anneaux unitaires de Z dans K ([13],
Prop. 1.66). Pour tout «EZ, (j>(n) — n\K, où 1^ désigne l'élément unité du corps K\ (j>
est appelé morphisme canonique de Z dans AT.
La caractéristique du corps K est, par définition ([13], Déf. 1.68), l'unique entier k € N
tel que Ker<t> = lcZ.
Si (j> est injectif, alors Ker (j> = (0), donc carK = 0.
Si (j> est non injectif, on a Ker<j> =kZ^ (0) et Im (f> ~ Z/kZ.
Im(j> étant un sous-anneau du corps K, l'anneau Z/kZ est intègre, par suite, k = carK est
un nombre premier ([13], Cor. 1.14). □
Remarque 1.2. a) On rappelle que les corps Q, R, C sont de caractéristique 0 et que pour
tout nombre premier /?, le corps Z/pZ est de caractéristique p ([13], Exemple 1.70).
b) Si K' est un sous-corps d'un corps AT, alors ([13], Rem. 1.71)
1*-' ~ 1*- =^ carK' = carK.

2
Chapitre premier. Notion d'extension de corps
B. Sous-corps premier d'un corps
K étant un corps, soit {ATI}/G/, la famille des sous-corps de K. Cette famille est non vide,
car elle contient K.
Posons A := f)ieiKi » A est a^ors ^e P^us Pet^ sous-corps de AT.
Définition 1.3. Dans le contexte ci-dessus, A est appelé le sous-corps premier de K.
Proposition 1.4. Le corps Q et les corps du type Z/pZ, où p est un nombre premier,
n 'ont pas dê sous-corps propre.
Démonstration. 1) Supposons que le corps Q des nombres rationnels ait un sous-corps
AT; le corps AT, contenant 0 et 1, contient alors l'anneau des entiers Z. Or, le plus petit
corps contenant Z est son corps de fractions, c'est-à-dire Q ([13], Exem. 5.4, Rem. 5.8) ;
on en déduit que K = Q.
2) Soit p un nombre premier; si Z/pZ avait un sous-corps propre, celui-ci serait de la
forme mZ/pZ, avec m > 1 et pZ C mZ c Z ([13], Th. 2.35). Ces conditions impliquent
m\p avec m ^ p et m ^ 1, ce qui contredit l'hypothèse p premier, donc Z/pZ n'a pas de
sous-corps propre. □
On en conclut que les corps Q et Z/pZ s'identifient à leurs sous-corps premiers respectifs,
ce qui justifie la définition suivante.
Définition 1.5. On dit que le corps Q, ainsi que les corps du type Z/pZ sont des corps
premiers.
Plus généralement, on appellera corps premier, tout corps isomorphe soit à Q, soit à un
corps du type Z/pZ.
Théorème 1.6. Le sous-corps premier d'un corps quelconque est isomorphe soit à Q,
soit à un corps du type ZjpZ.
Démonstration. K étant un corps, soit (j> le morphisme canonique de Z dans AT et A le
sous-corps premier de K (Déf. 1.3).
A contient les éléments 0 et 1 du corps AT, donc A contient
Im(j) = {nl;nêZ}.
Si carK = 0, alors (j> est injectif (voir la preuve de la Prop. 1.1) d'où Im(j> ~ Z. On en
déduit que A contient un sous-corps isomorphe au corps Q des fractions de Z; mais A
étant le plus petit sous-corps de AT, on a nécessairement A ~ Q.
Si carK = /?(^0), on a (Prop. 1.1) Im(j) ~ Z/pZ, donc Im<j) est un sous-corps de A;
mais A est le plus petit sous-corps de AT, d'où A = Im(j> ~ Z/pZ. □
Remarque 1.7. Soit A le sous-corps premier d'un corps K.
Si carK = 0 (resp. carK = p ^ 0), on identifie souvent A à Q (resp. Z/pZ) et on dit que
« Q (resp. Z/pZ) est le corps premier de K ».
On en déduit que
car K = 0 ==> card (K) infini ;
card (K) fini carK ^ 0.
On notera que les implications ci-dessus n'admettent pas de réciproques.
En effet, p étant un nombre premier, le corps (Z/pZ)(X) des fractions rationnelles à une
indéterminée sur Z/pZ ([13], Ch. 5) est de cardinal infini et de caractéristique p ^ 0.

§ 2. Notion d'extension de corps
3
2. Notion d'extension de corps
On rappelle que tout morphisme non nul d'un corps K dans un anneau, donc a fortiori
dans un corps L, est injectif ([13], Prop. 1.58).
En particulier, si X est un morphisme d'anneaux unitaires d'un corps K dans un corps L,
alors ^(1^) = 1L implique X ^ 0, donc X injectif ; par suite Im X est un sous-corps de L.
Définition 1.8. Etant donné un corps AT, on appelle extension de K tout corps L contenant
un sous-corps isomorphe à K.
Remarque 1.9. a) D'après ce qui précède, un corps L est extension d'un corps AT, s'il
existe un morphisme d'anneaux unitaires de AT dans L; un tel morphisme (nécessairement
injectif) sera appelé un plongement ou un monomorphisme de K dans L ([13], Ex. 16,
Ch. 1).
On en déduit qu'un corps L n'est pas extension d'un corps K si et seulement si l'ensemble
des morphismes d'anneaux unitaires de K dans L est vide.
b) Si K est un sous-corps de L, alors l'injection canonique de AT dans L est un
monomorphisme, donc L est extension de AT.
En conséquence, étant donné une extension L d'un corps AT, si X est un plongement de K
dans L, on identifiera souvent K à ImX ; on supposera donc AT Ç L, si cela ne restreint pas
la généralité.
Exemple 1.10. Les résultats du paragraphe précédent permettent de justifier les exemples
suivants.
1) Tout corps de caractéristique 0 est extension du corps Q.
En particulier, les inclusions Q C E C C montrent que R et C sont extensions de Q et
que C est extension de R.
Tout corps de caractéristique p ^ 0 est extension du corps Z/pZ.
2) Soit L := {p + qi ; (p, q) <E Q x Q, i2 = -1 dans C}.
On vérifie que L est un sous-corps de C contenant Q, donc L est une extension de Q et C
est une extension de L.
3) Posons P := {p + q>/2',(p,q) G Q x Q}.
On montre que P est un sous-corps de R ; on a, en particulier,
pour p + 9V2^0, (p + qy/2)-l= P - q v^dans P;
pz — 2qz pL — 2qA
donc R est extension du corps P.
4) Tout corps K est un sous-corps du corps K(X) des fractions rationnelles à coefficients
dans AT ([13], Ch. 5), donc K(X) est une extension de AT.
Définition 1.11. 5 étant une partie non vide d'un corps AT, on appelle sous-corps de AT
engendré par 5, l'intersection de tous les sous-corps de K contenant S; c'est donc le plus
petit sous-corps de AT contenant S.
Exemple 1.12. 1) Le sous-corps premier d'un corps AT (Déf. 1.3) est le sous-corps de AT
engendré par {0,1}.

4
Chapitre premier. Notion d'extension de corps
2) Soit {/} C C, où i2 = -1; alors le sous-corps de C engendré par {/} est le corps
L:={p + qi\{p,q) £QxQ}.
En effet, le sous-corps de C engendré par {/}, noté (/), est de caractéristique 0, donc
contient Q. On en déduit que L Ç (/). Or (i) est, par définition, le plus petit sous-corps de
C contenant l'élément /, par suite, (î) = L.
Notation : Le fait qu'un corps L est extension d'un corps K se traduit symboliquement
par la formule L : K.
Définition 1.13. Soit L : K une extension de corps. On suppose K CL; alors pour toute
partie non vide T de L, le sous-corps de L engendré par K(J T est noté K(T) et appelé
extension de K obtenue par l'adjonction de T à AT.
Cas particuliers : les notations sont celles de la définition 1.13.
1) Pour T = {a}, où a G L, K(T) s'écrit K(a) et est dite extension simple de AT, obtenue
par l'adjonction de a à AT.
On note que si a G K alors K(a) = AT.
2) Plus généralement, pour T = {ax, c^,...,a„}, où n G N* et les < i < n, sont
des éléments de L, K(T) est noté K(av a^,..., On) et appelé extension de K obtenue par
l'adjonction de ax, o^,..., an à K.
Proposition 1.14. Avec les hypothèses et notations précédentes, pour n > 1, le corps
K(ax,a2^..1ocn) peut être considéré comme r extension de K obtenue par les adjonctions
successives de , o^,..., a„ ; c 'est-à-dire que :
K(ava2)=K(al)(cc2), K{ava2,c^) = K(ava2)(a3),...
...,K(avo^,...,ccn)=K(ava2,...,an_x)(an).
Démonstration. On démontre ce résultat par récurrence sur n.
Supposons n = 2; les éléments ax et étant, par hypothèse, dans le corps L, d'après la
définition 1.11, K(ctx, o^) est le plus petit sous-corps de L contenant AT, ccx et o^. Or on a
K(ax) ç K(av a^) et G AT(al5 o^), d'où
AT^K^C Oi) CL.
Le corps K(al)(oc2) étant un sous-corps de L, contenant AT, ax et o^, on en déduit que
AT(a1,o2)=A:(a1)(a2).
Supposons /i > 2 ; si AT(aj, «2,..., an_x) est l'extension de AT obtenue par les adjonctions
successives de ax, o^,..., alors le raisonnement fait pour n = 2, permet de prouver
que
K(ava1,...,an)=K(avoc2,...,an_x)(an),
d'où le résultat énoncé. □
Remarque 1.15. Compte tenu de sa définition (Déf. 1.13), l'extension K(ax, o^,..., an)
de AT est indépendante de l'ordre dans lequel sont faites les adjonctions des a,-, 1 < i < n.
On a, en particulier
K(ava2)=K(ax)(a2)=K{cc2)(ax).
Exemple 1.16. 1) C = {a + bi\ (a,b) GRxR,/2 = -l} = R(i).
2) {p + ?/î(p,?)GQxQ,i2 = -l}=Q(i).
3) {/> + 4V2;(p,tf)GQxQ} = Q(V2).

§ 2. Notion d'extension de corps
5
Remarque 1.17. Les exemples ci-dessus sont des extensions simples, car du type K(a);
de plus, dans chacun des cas considérés, tout élément de K(a) s'exprime linéairement sur
K en fonction de a. Ces exemples sont des cas particuliers d'extensions simples, comme
le montre le résultat général suivant.
Proposition 1.18. Soit L une extension d'un corps K ; alors, pour tout aeLona
où K(X) désigne le corps des fractions rationnelles à coefficients dans K.
Plus généralement, K(XVX2,... ,Xn) étant le corps des fractions rationnelles à n
indéterminées sur K, pour ax, o^,..., o^, dans L, n > 1, dans N, on a
f (X X X )
où J yV"V ^K(XvX2,...,Xn) et 8(0^,02,...,an) ^0.
Démonstration. On vérifie facilement que l'ensemble écrit au second membre de la
relation (1.1) est un sous-corps de L contenant AT et a, donc contenant le corps K(a).
f C oc ) f )
D'autre part, dans L, tout élément . ,, où G K(X),g(a) ^ 0, appartient néces-
g(a) g{X)
sairement au corps K(a), d'où l'égalité (1.1).
De la même façon, on démontre la relation (1.2). □
Remarque 1.19. a) Il existe des extensions de corps qui ne sont ni simples, ni obtenues
par l'adjonction d'un nombre fini d'éléments, par exemple l'extension R : Q, ce que l'on
justifiera plus loin.
b) Une extension simple peut éventuellement se présenter sous une forme qui ne met pas
directement en évidence sa simplicité.
Montrons, par exemple, que Q(y/2, y/3) = Q(y/2 -f y/3).
On a d'une part,
VÎ+ y/3 G Q(\/2, y/3) =» Q(\/2+ y/3) Ç Q(y/2, y/3).
D'autre part, vérifions que y/l et y/3 appartiennent à Q(y/2 4- V^)-
(y/2 + y/3)2 = 5 + 2y/6 ==> Vë G Q(^2 + y/3)
y/6(y/2 + y/3) = 2y/3 + 3y/2 = 2(y/2 + y/3) + y/3,
d'où y/3 G Q(y/2 + y/3) ; on en déduit que y/2 G Q(y/2 + y/3) et par suite
Q(v/2,v/3) = Q(v/2 + ^3).
Définition 1.20. On dira qu'un corps K' est un corps intermédiaire pour une extension
L : K, si KÇK'ÇL.

6
Chapitre premier. Notion d'extension de corps
3. Degré d'une extension de corps
Etant donné une extension de corps L : AT, en supposant AT CL (Rem. 1.9, b)), on considère
le corps L comme un espace vectoriel sur AT.
On rappelle que tout espace vectoriel a au moins une base ([261) et que toutes les bases
ont le même cardinal.
Notation : Le cardinal d'une base d'une extension L : K est noté [L : AT].
Définition 1.21. Compte tenu des hypothèses ci-dessus, [L : AT] est appelé degré de
l'extension L : AT (ou degré de L sur K).
Si L est de dimension finie sur AT, on dit que L est une extension de degré fini sur K et
[L:K]= dimKL.
Si L est de dimension infinie sur AT, on dit que L est une extension de degré infini sur AT.
On remarque que L — K <=> [L : K] = 1.
Théorème 1.22. Quelles que soient les extensions de corps L:KetM:L,ona
[M:K] = [M:L][L:K]. (1.3)
Démonstration. On suppose AT Ç L Ç M(Rem. 1.9,b)).
Soit {xt}ieI une base de L sur AT et {yj}jeJ une base de M sur L, où / et J sont des
ensembles non vides.
Montrons que {xffj}^. ^elxj est une base de M sur AT.
Soit z EM;z=£ ap>y., où les ay sont des éléments de L, nuls, sauf un nombre fini d'entre
jeJ
eux (ce que l'on exprime aussi, en disant que les a. sont presque tous nuls dans L).
Pour tout j G 7, (Xj = ^PijXi, les éléments j3iy- étant presque tous nuls dans AT; alors
iei
z= ]T PijX^j, les fiij étant presque tous nuls dans AT.
(ij)eixj
On en déduit que la famille {x^j}^ ^eJxJ est une partie génératrice de l'espace vectoriel
M sur AT; montrons que c'est aussi une partie libre sur AT.
Supposons cuxiyj = 0' les cij étant presque tous nuls dans AT.
(ij)eixJ
On peut alors écrire
Or {y^-}y-Gy est une base de M sur L et pour tout j G /, c^jc,. G L; par suite,
= o, vy g / =>• cy = o, v(u) g / x y,
îe/
puisque est une base de L sur AT.
Ainsi la famille {x^j}^ ^elxj est une partie libre et génératrice du AT-espace vectoriel Af,
c'est donc une base de M sur AT.
D'autre part, d'après la théorie des ensembles ([8]), on a
card(I xJ)= card(I) x card(J)\
on en déduit la relation (1.3). □

§ 4. Isomorphismes d'extensions de corps
7
Remarque 1.23. a) On écrira souvent [L : K] < ©o, pour exprimer que l'extension L : K
est de degré fini.
b) Dans la relation (1.3),
[M : K] < oo [M : L] < oo et [L : K] < oo.
D'une façon générale, si deux des degrés qui figurent dans la relation (1.3) sont finis, le
troisième est fini et dans ce cas, les entiers [M : L] et [L : K] divisent l'entier [M : K].
Du théorème 1.22, on déduit facilement le résultat suivant.
Corollaire 1.24. SoitL: K une extension de corps, de degré fini; si {^}1<Kr, r > 1, est
une famille finie, totalement ordonnée, de corps intermédiaires (Déf. 1.20), alors
KÇKlÇK2Ç...ÇKrÇL implique
[L:K] = [L:Kr)[Kr:Kr_l}...[Kl:K].
Remarque 1.25. Soit L : K une extension d'un corps et B = {xj^/ une base de L sur K ;
alors L peut toujours être considéré comme obtenu par l'adjonction de B àK.
En effet, B Ç L et K Ç L, donc l'extension K(B), obtenue par l'adjonction de B à AT, est
un sous-corps de L. D'autre part, tout x E L s'écrit, de façon unique,
x = ]T api, les at étant presque tous nuls dans K.
iei
Par suite, tout élément de L est dans K(B), on en conclut que L = K(B).
En particulier, si [L : K] = n G N* et si est une base de L sur K, alors
L = K(xx,X2, ...,^w).
4. Isomorphismes d'extensions de corps
Rappels : a) Deux corps K et F sont dits isomorphes s'il existe un isomorphisme
d'anneaux unitaires de K sur F.
b) Etant donné un corps AT, une extension L : K est définie par la donnée d'un couple
(L, u), où u est un plongement de K dans L.
Définition 1.26. Soit AT et F deux corps isomorphes. On dira que les extensions L : K
et M : F, respectivement définies par les couples (L,w) et (M, v), sont isomorphes, s'il
existe un couple d'isomorphismes (A,,/*), respectivement, de K sur F et L sur M, tel que
le diagramme suivant commute :
K
M
c'est-à-dire ju o u = v o X.
On dit alors, que le couple (A,ju) est un isomorphisme d'extensions de corps de L : K
sur M : F.

8
Chapitre premier. Notion d'extension de corps
Cas particuliers :
1) Si AT Ç L et F Ç M, m et v étant alors, respectivement, les injections canoniques de K
dans L et F dans Af, on a
j±ou = voX <=> ju^=â.
2) Si K = F et X = idK, le diagramme commutatif devient :
K
d'où ju ou = v.
Si de plus, w et v sont les injections canoniques, alors
p,ou = v p,^ = idK
et dans ce cas, on dit que ju est un K-isomorphisme de L sur M.
Les corps L et M sont alors K-isomorphes (dans certains ouvrages, on dit que les corps
L et M sont conjugués sur K).
5. Exercices
1. Soit K = {0,1, a, J3 } un ensemble de quatre éléments distincts, muni d'une addition et
d'une multiplication, respectivement définies par les tables suivantes :
+
0
1
a
P
x
0
1
a
P
0
0
1
a
P
0
0
0
0
0
1
1
0
P
a
1
0
1
a
P
a
a
P
0
1
a
0
a
P
1
P
P
a
1
0
P
0
P
1
a
Vérifier que K est un corps. Quelle est la caractéristique de Kl
A désignant le sous-corps premier de AT, quel est le degré de K sur A? Montrer que
jr = A(a)=À(/î).
2. Un corps de cardinal infini peut-il contenir un sous-corps fini ?
3. Etant donné a G C, que peut-on dire de l'extension R(a) de E ?
4. Déterminer les sous-corps de C, respectivement engendrés par :
{0,1}; {0}; {\/2,V3}; R.
5. Soit A un domaine d'intégrité. On suppose que A contient un sous-corps F
1°) Vérifier que A est un F-espace vectoriel.
2°) On suppose A de dimension finie sur F
Soit a ^ 0 dans A ; montrer que l'application
ta : A —> A telle que ta(x) = ax, quel que soit x € A,
est un F-automorphisme de A.
En déduire que A est un corps.

§5. Exercices
9
6. Soit L une extension d'un corps K telle que [L : K] = p G N*.
Montrer que si p est un nombre premier, alors L est une extension simple de K.
7. K étant un corps, on considère le groupe multiplicatif K* et, quel que soit
ai G N*, l'application
1°) a) Vérifier que (j>n est un endomorphisme du groupe K* et que
(j)n est un automorphisme K* = K*n,
où JP" = {jcn;jcG JT}.
b) Soit H un sous-groupe du groupe K*\ montrer que
<f>n(H)=K*=>H = K*.
2°) Si K = R, pour quelles valeurs de n G N*, l'endomorphisme tyn est-il un
automorphisme du groupe R*?
8. Soit A un anneau unitaire ; une application d : A —► A est appelée une dérivation de
A, si quels que soient a et b dans A,
i) d(a + b) = d(a) + d(b)\
iï) d(ab)=ad{b)+d(a)b.
1°) d étant une dérivation d'un anneau unitaire A, calculer d(0) et d(l).
Vérifier que l'application nulle de A est une dérivation, que l'on appellera la dérivation
nulle de A
2°) Si K est un corps, vérifier que l'application
K[X}-^K[X]
/(X)—/(X),
où f'{X) est le polynôme dérivé de f(X), est une dérivation de l'anneau K[X\.
3°) A étant un anneau unitaire et commutatif, on pose
M(A) = {[ " ; ; (a,b)eAxA
a) Vérifier que M(A) est un sous-anneau unitaire de l'anneau M2(/4) des matrices
carrées d'ordre 2 sur A.
b) Etant donné une application d : A —► A, on considère
H:A—>M(A)
a d(a)
a] " 0 a
Démontrer que d est une dérivation de A si et seulement si ji est un morphisme
d'anneaux unitaires.

10
Chapitre premier. Notion d'extension de corps
4°) On suppose que A est un domaine d'intégrité ([13], Déf. 1.21.) et on note F son
corps de fractions ([13], Déf. 5.2.).
Etant donné une dérivation d de A, on considère l'application
X :A—>M(F)
On note e l'injection canonique de A dans F.
a) Prouver qu'il existe un unique morphisme d'anneaux unitaires
jU : F —► M(F) tel que \i o e = X. _
En déduire qu'il existe une unique dérivation d de F qui prolonge d (c'est-à-dire que
b) Pour tout - g F, expliciter l'expression de d(-) en fonction de d(a) et d(s).
s s
9. Construction deRà partir des suites de Cauchy de Q (Voir un cours de Ier cycle).
Rappel de définitions : Q\ désigne l'ensemble des nombres rationnels strictement
positifs.
a) Une suite u = (un)naN g qn converge dans q et lim = a g q,
ntn n—>oo
si V£gq+, 3NeGN t.q. n>Ne=ï\un-a\<£.
b) Une suite u = (un)neN g qn est une suite de Cauchy de q, si
VegQ;, 3NeeN t.q. (m>NE,n>Ne)=>\un-um \<e.
c) Une suite u = (un)neN g qn est dite bornée dans q, s'il existe M > 0 dans q tel
\un\<M, VazgN.
1°) a) Prouver que toute suite u = (un)neN g qn convergente dans q est une suite de
Cauchy de Q.
La réciproque est fausse : voir 3°), c).
b) Montrer que toute suite de Cauchy de Q est bornée dans Q.
2°) Soit S l'ensemble des suites de Cauchy de Q ; on a 6 C QN.
a) Montrer que, quels que soient u = (un)neN et v = (»>n)neN dans 6, on a
u -h v := (un -f vn)neN ^ 6 et uv := (unvn)neN g C.
En déduire que C est muni d'une structure d'anneau unitaire commutatif, dont on
précisera l'élément nul et l'élément unité.
b) Prouver que l'ensemble 60 des suites de Cauchy de Q qui convergent vers 0 forme
un idéal de l'anneau 6 ([13], Déf. 1.42).
3°) a) Démontrer que l'anneau quotient ([13], Déf. 2.27) C/eo est un corps. Ce corps
est appelé corps des nombres réels.
b) En identifiant tout élément q g q à la suite constante égale à q, montrer que q
s'identifie à un sous-corps de R.
c) Démontrer que la suite u = (un)n telle que V n g N, un = — est une suite de Cauchy
ni
non convergente dans Q.
En conclure que le nombre réel e défini par la suite (—)neN n'est pas un nombre
rationnel ; on dit que e est irrationnel.
e est le nombre de Néper.

Chapitre 2
Extensions algébriques - Extensions transcendantes
Les notions de racine et d'ordre de multiplicité d'une racine d'un polynôme à une
indéterminée sur un corps K sont supposées connues, ainsi que les propriétés de l'anneau
K[X] ([13], Ch. 4 et 5).
Remarque 2.1. Si L : K est une extension de corps telle que AT Ç L, alors tout polynôme
de K[X] peut être considéré comme un polynôme de L[X].
1. Elément algébrique, élément transcendant
Définition 2.2. Soit L une extension d'un corps AT, a un élément de L et K(a) l'extension
de AT obtenue par l'adjonction de a.
1) L'élément a est dit algébrique sur AT, s'il existe un polynôme non constant f(X), dans
AT[X],telque /(a)=0.
Dans ce cas, on dit que AT (a) est une extension simple, algébrique de K.
2) L'élément a est dit transcendant sur AT, si a n'est pas algébrique sur AT, donc, si
Vf(X)eK\X]\K, f(a)ÏO.
On dit alors que K(a) est une extension simple, transcendante de AT.
Remarque 23. Les notations étant celles de la définition 2.2,
a) Tout élément a de AT est algébrique sur AT, puisqu'il est racine du polynôme X — a.
b) Si a est algébrique sur AT, alors a est algébrique sur tout corps F contenant AT, puisque
tout polynôme de K[X] est un polynôme de F[X].
c)a^0 dans L est algébrique sur AT si et seulement s'il existe un nombre fini d'éléments
dans AT, a0,av... ,an (n > 1) tels que a0 ^ 0, les ai non tous nuls, pour 1 < i < n, et
£ a,a' = 0.
0<k«
Proposition 2.4. SoitL: K une extension de corps ; à tout cceLon associe l'application
6a:K[X)—+L
f(X) ^ /(a).
0a est un morphisme d'anneaux unitaires ; on pose K[cc] := Im6a ; alors
AT [a] est un domaine d'intégrité et
6a est non injectif a est algébrique surK.
0a est injectif <=> a est transcendant sur AT.
(2.1)
(2.2)

12
Chapitre 2. Extensions algébriques - Extensions transcendantes
Démonstration. On vérifie facilement que 0a est un morphisme d'anneaux unitaires ;
K[a] = Im6a est un sous-anneau unitaire du corps L, c'est donc un domaine d'intégrité
(D.I.).
6a non injectif Ker6a^ {0},
3/(X)GJ5T[X]\{0}telquc/(a)=0,
4=> a algébrique sur K.
En prenant la contraposée de (2.1) on obtient le résultat (2.2), d'où
a transcendant sur K K[a] ~ K[X]. □
2. Extensions simples, transcendantes
Théorème 2.5. Toute extension simple, transcendante K(oc) : K est K-iso-morphe à
Vextension K(X) : K, où K(X) est le corps des fractions rationnelles à une indéterminée sur
K.
Plus précisément, il existe un isomorphisme \i de K(X) surK(a) tel que
li/K = idKetp(X) = a.
Démonstration. Par hypothèse, quel que soit f(X) G ATQQ\AT, on a f(a) ^ 0. Or, d'après
la proposition 1.18,
par suite, l'hypothèse implique
K(a) = {q(a);q(X)eK(X)}.
On vérifie alors facilement, que l'application
H : K(X) —> K(a)
q(X)^q(a)
définit un isomorphisme du corps K(X) sur le corps Af(a), vérifiant fi^ = idK et
ti{X) = a. □
Corollaire 2.6. Deux extensions simples, transcendantes d'un corps K sont K-isomor-
phes.
Ce résultat est une conséquence directe du Th. 2.5.
Proposition 2.7. Si K(a) est une extension simple transcendante d'un corps AT, alors
K(a) est le corps des fractions du domaine d'intégrité K[a] (Cf. Prop. 2.4).
Démonstration. L'élément a étant transcendant sur AT, d'après la Prop. 2.4 et le Th. 2.5
on a
K[a} = {f(a);f(X)£K[X}}~K[X};
K(a) = {q(a) ; q(X) G K(X)} ~ K(X).
Or K(X) est le corps des fractions du domaine d'intégrité K[X] ([13], Ch. 5), on en déduit
que K(a) est le corps des fractions du domaine d'intégrité K[a]. □

§ 3. Extensions simples, algébriques
13
3. Extensions simples, algébriques
Rappel ([13], Ch. 4 et 5) : L'anneau K[X] des polynômes à une indéterminée sur un corps
K est euclidien, c'est donc un domaine principal (D.P.) et un anneau factoriel. De plus,
pour tout idéal non nul / de K[X], il existe un unique polynôme unitaire qui engendre /
([13], Cor. 4.37).
A. Caractérisation des extensions simples, algébriques
Théorème 2.8. Etant donné une extension de corps L : K, si a est un élément de L,
algébrique sur AT, alors
1 ) // existe un unique polynôme p(X) unitaire et irréductible dans K[X] tel que
(f(X)eK[X}\{0}etf(a)=0) p(X)\f(X) dansK[X). (2.3)
2) L'extension simple K(a) vérifie l'égalité
K(a) = {f(a)',f(X)eK[X}}. (2.4)
3) [K(a):K\=degp.
Démonstration. 1) L'élément a étant fixé, considérons le morphisme Ga défini dans la
Prop. 2.4 et posons, pour cette démonstration, G := Ga. On a
Ker G = {f(X) G K[X] ; f(a) = 0} (2.5)
K[a] :=Im9 = {/(a) ; f(X) e K[X}}. (2.6)
Ker G étant un idéal propre et non nul de K[X] (Prop. 2.4), il existe un unique polynôme
unitaire p{X), non constant dans K[X] qui engendre Ker G ; on peut écrire Ker G = (p(X)).
En appliquant le premier théorème d'isomorphisme relatifs aux anneaux unitaires, com-
mutatifs ([13], Th. 2.34), on obtient
K[a] est un domaine d'intégrité (Prop. 2.4)), par suite p(X) est un élément premier, donc
irréductible dans l'anneau factoriel K[X] ([13], Ch. 5) ; alors
(f(X) eKerG(= (p(X)))etf(X)^0) p(X)\f(X) d<msK[X}. (2.8)
2) K[X] étant un D.P., l'idéal premier, non nul, KerG = (p{X)) est maximal ([13], Th.
2.66), par suite, l'isomorphisme (2.7) implique que K[a] est un corps, donc un sous-corps
de L contenant Keta.
Or, par définition, l'extension simple K(a) est le plus petit sous-corps de L contenant K
et a, d'où
K(a)CK[a].
D'autre part, pour tout f(X) dans K[X], on a f(cc) dans K(a) (Prop. 1.18) ; on en déduit
l'égalité
K(a) = K[a],
d'où le résultat 2) du théorème 2.8.

14
Chapitre 2. Extensions algébriques - Extensions transcendantes
3) Posons d := degp ; dans K[X] \ K, p{X) est le polynôme unitaire, de plus petit degré
tel que p(a) = 0 ([13], Cor. 4.37).
Il en résulte que, dans le X-espace vectoriel L, les éléments 1, a, a2,..., ad~l sont
linéairement indépendants.
En effet, puisqu'aucun polynôme de K[X] \K, de degré strictement inférieur à d, n'est
annulé par a, dans L, on a
( L biai = °> bi G V/(° < ' < rf ~ *)) =>* (*/ = °> v/(0 < i < d - 1)).
0<î<rf-l
D'autre part, soit f(X) un polynôme de X[X], tel que f(a) ^ 0. La division euclidienne
de f(X) par p(X) dans X[X] ([13], Th. 4.33) entraîne l'existence de q(X) et r(X), uniques
dans X[X], tels que
/(X) = />(X)<7(X) + r(X), degr<degp.
En tenant compte du résultat 1) obtenu précédemment, on a
f(cc) J=0=> p(X) f/(X), donc r(X) ^ 0.
/(a) = p(a)ç(a) + r(a) ==> /(a)=r(a), alors
rf^r < d - 1 /(a) = £ ô.a', où bx G X, Vi(0 < i < - 1).
0<i<rf-l
Ainsi, dans le K-espace vectoriel K(a) = K[a], {a1,0 < i < d - 1} forme une famille
libre et génératrice, donc une base, d'où
[K(a):K]=d = degp. D
Définition 2.9. Etant donné une extension de corps L : X et un élément «EL, algébrique
sur X, l'unique polynôme p(X), unitaire et irréductible de AT[X], associé à a dans le
Th.2.8 est appelé le polynôme irréductible de a sur X. On écrira
p(X)=IrrK{a,X) ou p=IrrK(a).
Remarque 2,10. Les hypothèses étant celles du Th. 2.8 :
a) Dans certains ouvrages, le polynôme IrrK(a) est appelé le polynôme minimal de a
sur K.
b) La preuve du Th. 2.8 montre que tout x € K(a) s'écrit de façon unique
x= £ bfl\ où^eX, Vi(0<î<d-1).
0<i<d-l
Le théorème suivant constitue une réciproque du Th. 2.8.
Théorème 2.11. X étant un corps, soit p(X) un polynôme unitaire et irréductible de
K[X] ; il existe alors une extension simple X(a) : X telle que a est algébrique sur K
etIrrK(a,X) = p(X).
Démonstration. K[X) étant un anneau factoriel ([13], Ch. 5), le polynôme irréductible
p(X) est un élément premier, non nul, de X[X] ([13], Th. 5.89).
Mais K[X] étant de plus un D.P. ([13], Th. 4.36), l'idéal premier, non nul, (p(X)) est
maximal dans X[X] ([13], Th. 2.66), par suite ([13], Th. 2.62),
K[X]
F := / est un corps.
(/>(*))

§ 3. Extensions simples, algébriques
15
Soit u l'injection canonique de K dans K[X] et n la surjection canonique de K[X] sur F
% o u est un morphisme d'anneaux unitaires de K dans F, donc un monomorphisme de K
dans F. On en déduit que F est une extension de K telle que tout a£ K peut être identifié
à son image par nou.
Dans F, posons a := n(X) ; alors
F = {*(/(*)) ; f{X) E K[X)} = {/(a) ; f(X) E K[X}} (2.9)
De plus, n(p{X)) = 0 =» p(a) = 0,
donc l'élément a de F est algébrique sur AT.
Compte tenu du Th. 2.8, la relation (2.9) implique F = K(a)\ ainsi F est une extension
simple, algébrique de K et le polynôme p(X) étant, par hypothèse, unitaire et irréductible
dans K[X],
p(a)=0=*p(X)=IrrK(a,X). □
Les théorèmes 2.8 et 2.11 ont pour conséquence le résultat suivant.
Corollaire 2.12. Toute extension simple, algébrique d'un corps K est isomorphe à un
K\X]
corps de la forme ; , où p(X) est un polynôme unitaire et irréductible de K[X].
mx))
B. Exemples d'extensions simples, algébriques
Exemple 2.13. C = R(î) (Exemple 1.16) ; on a IrrK(i,X) = X2 + 1, donc [C : R] = 2
et C~J^L
[C : R] = 2 implique que tout z E C s'écrit de façon unique z = a + bi, où a, b sont dans
R.
Exemple 2.14. Soit p(X) := X3 - 2 dans Q[X]. On sait que le polynôme p(X) est
irréductible sur Q ; \/2 étant la racine cubique réelle de 2, on a
IrrK(V2,X)=X3-2, Q(^2) ~ ^f^y et [Q(^2):Q] = 3;
par suite, tout élément* E Q(v^2) s'écrit de façon unique :
x = a + b\/2-\-c(\/2)2, a,è,cdansQ.
Exemple 2.15. Soit p(X) = X2 +X + 1 dans Q[X] C R[X]. Le polynôme p(X) est ir-
1 zt / ^/3
réductible sur Q et sur R ; ses racines dans C sont , où i2 = -1. Ce sont les
racines cubiques complexes de 1, notées j et j2 ; alors,
Q(» = Q(/)ÇC, ®(»^(x2"x + ir [Q0'):Q] = 2,
d'où Q(j) ^ Q(i) ;cependant, Q(y') = + ; a,b dans Q} ^ Q(i).
R(y) =R(/) ~ (x2^]+1) ; \RU) ■ ^} = 2 =► R(y) = R(i) = C.

16
Chapitre 2. Extensions algébriques - Extensions transcendantes
C. Extensions simples, algébriques, isomorphes
Théorème 2.16. Soit L : K une extension de corps eta,p des éléments de L, algébriques
sur AT, tels que
IrrK(a,X)=IrrK(P,xy9
alors les extensions K(a) : K et K(P) : K sont isomorphes (Déf. 1.26).
Plus précisément, il existe un isomorphisme fi : K(a) —► AT(j3) tel que ju^ = idK et
M(«) = j3.
Démonstration. Posons p(X) := IrrK(a,X) = IrrK(p,X) ; d'après la preuve du Th. 2.8,
K\X]
les corps K(a) et K(P) sont AT-isomorphes au corps , par suite les extensions
\P\X))
K(a) : AT et Af(j3) : K sont isomorphes .
Posons d = degp; tout x G K(a) (resp. y E AT(j3)) s'écrit de façon unique (Th. 2.8) :
x= £ a{al (resp. y= £ èjS'),
0<K</-1 0<Kd-l
où pour tout i (0 < i < d - 1, ) a{ et ft, sont dans AT.
L'application
liiK(a)—+K(P)
£ x 0,0'
0<i<d-\ 0<i<d-\
est alors un morphisme d'anneaux unitaires, donc injectif ; la définition de jU implique sa
surjectivité, par suite ju est un isomorphisme ; de plus,
V/K = idK et ii(a) = p.
□
Remarque 2.17, En notant, respectivement, u et v les injections canoniques de AT dans
K(a) et AT(j3), le Th. 2.16 exprime que le diagramme suivant commute :
K(a) £ * tf(/J)
Définition 2.18. Etant donnés des éléments a et J3 appartenant à une extension d'un corps
AT et algébriques sur K, on dira que a et J3 sont conjugués sur AT, si
/r^(a)=/r^(j3).
Exemple 2.19. On considère le polynôme p(X) = X3 - 2, unitaire et irréductible sur Q
(Exemple 2.13).
Ses racines v^GR, j y/2, et j2 y/2, où j3 = 1 dans C, sont deux à deux conjuguées sur
Q (Déf. 2.18).
Les trois extensions simples de Q, obtenues par l'adjonction de chacune des racines de
p(X), sont deux à deux Q-isomorphes (Th. 2.16). On note cependant que Q(y/2) est un
sous-corps de R, alors que Q(j y/2) et Q(j2 y/2) sont dans C et de plus
j3=i=>Quy2)=®u2y2).

§ 3. Extensions simples, algébriques
17
Remarque 2.20. D'après le Th. 2.16, si des éléments a et j3 sont conjugués sur un corps
K (Déf. 2.18.), alors les extensions simples K(a) et Af(/3) sont Af-isomorphes, mais la
réciproque de cette propriété est fausse (Voir Exemple 2.15 et les Ex. 4., 5., 6. de ce
chapitre).
La définition suivante est justifiée par les théorèmes 2.11 et 2.16.
Définition 2.21. K étant un corps et p(X) un polynôme irréductible et unitaire de K[X],
on appellera corps de rupture de p(X) sur AT, toute extension simple K(a) de K telle que
IrrK(a,X)=p(X).
Remarque 2.22. :
a) Un corps de rupture d'un polynôme irréductible et unitaire de K[X] est défini à un
X-isomorphisme près (Cf. Th. 2.11 et 2.16).
b) Etant donné un polynôme q(X), irréductible de K[X], on pourra toujours supposer
qu'il est unitaire.
En effet, si q{X) a un coefficient directeur a ^ 1, comme a est non nul, il est inversible
dans K et le polynôme p(X) = a~lq(X) est unitaire et irréductible sur AT; de plus, pour a
appartenant à une extension de AT, on a
p(a) = 0 q(a) = 0.
Rappel ([13], Ch. 4) : Pour une extension de corps L : AT, tout plongement X : AT —► L se
prolonge en un morphisme injectif d'anneaux unitaires X tel que
X : K[X] —► L[X]
0<i<n 0<i<n
De plus, si X est un isomorphisme, il en est de même pour A.
Le théorème suivant généralise le théorème 2.16.
Théorème 2.23. Soit L:KetL':K' des extensions de corps, où Von suppose que K et AT'
sont isomorphes.
Etant donné un isomorphisme X de K sur AT', si a e L et fi e L' sont, respectivement,
algébriques sur K et sur K' et tels que
%(IrrK(a,X))=IrrK,(P,X),
alors les extensions K(a) : K et K (fi) : Kf sont isomorphes et il existe un isomorphisme
p, de K(a) surK'(P) tel que
Démonstration. Soit u et v les injections canoniques, respectivement, de K dans AT (a) et
de K' dans AT'(/3).
X étant un isomorphisme de K sur AT7, X est un isomorphisme de K[X] sur Kf [X], par suite
les polynômes IrrK(a,X) et/rr^,(j3,X) ont le même degré, que l'on noterai ;on vérifie
alors, que l'application
»:K(a)—+K'(P)
0<i<d-\ 0<i<d-l
est un isomorphisme tel que p/K = X et ju(a) = J3. □

18
Chapitre 2. Extensions algébriques - Extensions transcendantes
Remarque 2.24. a) En prenant K' = K et X = id^K dans le Th. 2.23, on retouve le Th.
2.16.
b) Compte tenu du Th. 2.23, si u et v sont les injections canoniques, respectivement, de K
dans K(a) et de Kf dans Af'(/3), alors le diagramme suivant commute.
K *K'
4. Extensions algébriques, extensions transcendantes
Définition 2.25. Une extension L d'un corps K est dite algébrique sur AT, si tout élément
de L est algébrique sur K (Déf. 2.2).
Dans ce cas, on dit que l'extension L : K est algébrique.
Théorème 2.26. Toute extension L de degré fini sur un corps K est algébrique sur K.
Démonstration. Posons [L : K] = n G N* et soit a G L.
Dans le cas où a G AT, alors a est algébrique sur AT (Rem. 2.3).
Supposons n>letaeL\K\ l'ensemble {a'; i G N} forme nécessairement une famille
liée dans le AT- espace vectoriel L ; par suite il existe un entier r > 1 et des éléments
a0 < / < r, non tous nuls dans AT tels que
I «,«' = o.
0<i<r
L'élément a est donc algébrique sur AT (Rem. 2.3). □
Corollaire 2.27. Toute extension simple, algébrique d'un corps K (Déf. 2.2) est une ex-
tension algébrique de AT.
Démonstration. Si K(a) est une extension simple, algébrique de AT, alors K(a) est de
degré fini sur AT (Th. 2.8), donc est une extension algébrique de AT (Th. 2.26). □
Remarque 2.28. La réciproque du Th. 2.26 est fausse (Voir Ex. 14. à la fin du chapitre).
Théorème 2.29. Une extension L : AT est algébrique et de degré fini si et seulement si L
est obtenu par l'adjonction à K d'un nombre fini d'éléments algébriques sur K.
Démonstration. Supposons L algébrique sur AT et [L : K) = n G N*. Soit {xx,x2,...
une base de L sur AT; alors, d'après la Rem. 1.25, onaL = K(xvx2,. •. ,xn) et l'extension
L : AT étant algébrique, chaque jc/5 1 < i < n, est algébrique sur AT.
Réciproquement, considérons L = K(ax, o^,..., o^), où n G N* et chaque a/}
1 < i < n, est algébrique sur AT.
D'après la Prop. 1.14, L peut être obtenu par les adjonctions successives des a,-, 1 < i < n.
ax algébrique sur AT => [K(ax) : K] < oo.
«2 algébrique sur AT algébrique sur Af(aj)
=^[AT(al,o2):A:(a1)]<oo.

§ 4. Extensions algébriques, extensions transcendantes
19
Raisonnons alors, par récurrence sur n, en supposant, pour tout i(2 < i < n — 1),
[K{av...,ai):K{av...,ai_l)]<°o;
alors, an algébrique sur K ==> (Xn algébrique sur K( ax,..., an_ x ),
d'où [K(av...,an):K(ccv...,an_l)}<oo',
et en appliquant le Cor. 1.24, on obtient :
[L:K} = [K(av...,0Cn):K(av...,an_x)}...[K^ □
Théorème 2.30. Soit L : K une extension de corps de degré fini ; alors L est une
extension simple de AT, si et seulement si V extension L: K n'a qu'un nombre fini de corps
intermédiaires (Déf. 1.20).
Démonstration. Ier cas : le corps K est de cardinal infini.
a) Posons [L : K] = n > 1 et supposons qu'il n'existe qu'un nombre fini de corps
intermédiaires. Pour tout a G L, on a 1 < [K(a) : K] < n ; considérons a € L tel que [K(a) : K]
soit maximal et montrons que L = K(a).
Supposons K(a) Ç L ; il existe alors j3 G L tel que j3 ^ Af(a).
Pour tout jc E AT, Af(a + j3jc) est un corps intermédiaire pour l'extension L : AT ; mais le
corps AT étant, par hypothèse, de cardinal infini, nécessairement, certains de ces corps
coïncident. Supposons x et y dans AT tels que
x^y et K(a + /5jc) =AT(a + j3y),
alors ((a + j3jc) et (a + /3;y) dans AT(a + j3jc))=^ P(x-y) G AT(a + j3jc).
Par suite, (jcetydans AT(a + j3jc) etjc^y) J3 G Af(a-fj3jc),
(a et 0 dans AT(a + px) et J3 g AT(a))=> [Jf (a + 0jc) : K] > [K(cc) : AT],
ce qui contredit la maximalité de [K(a) : AT], donc L = K(a).
b) Supposons L extension simple de AT ; soit L = AT(a). D'après le Th. 2.26,
[L : K] < oo « algébrique sur AT.
Soit F un corps intermédiaire pour l'extension L : K ; on a
KÇFÇL = K(a)
et [AT(a) : AT] < oo [K(a) : F] < ©o « algébrique sur F
Posons #(X) := IrrF(a,X) et r := degç ; alors,
KÇFC K(a) F (a) = AT(a),
d'où r = degq=>r=[F{a):F] = [K(a):F].
En supposant q(X) =Xr + ar_xXr~l H \-axX + a0 dans F[X], on a
^ç%,alr..,aM)ÇF et ç(X) G AT(«0,a1,...,ar_1)[X].
Le polynôme unitaire et irréductible dans F[X], est encore unitaire et irréductible
dans K(a0,ax,...,ar_X)[X]ÇF[X], par suite
q(a) =0=> [K{a0lav...,ar_x){a) :K(a0,av...,ar_x)] =r.
KCK(a0,av...,ar_x)ÇFCK(a)^K{a0,av...,a
d'où [K(a) : AT^,^,.. .,ar_x)] = r ; alors l'égalité

20
Chapitre 2. Extensions algébriques - Extensions transcendantes
entraîne [F :K(a0,ax,...,ar_x)] = l, donc F = K(aQ,av.,.,ar_x).
Ainsi, le corps F est déterminé par le polynôme q(X) = IrrF(a,X).
Soit p(X) := IrrK(a,X) considéré dans F[X] ; on a alors,
p(a)=0=>9(X) | p(X) dans ;
et le polynôme n'ayant qu'un nombre fini de diviseurs irréductibles dans on
en conclut qu'il n'existe qu'un nombre fini de corps intermédiaires F, pour l'extension
simple donnée K(a) : AT.
2ème cas : K est un corps )î/w (voir, Ch. 4).
Le Th. 2.30 est vrai car, d'une part (Th. 4.1),
(| K |< oo et [L : K] = n < oo) =>| L\=\K |n,
donc L est un corps fini et l'extension L : AT n'admet qu'un nombre fini de corps
intermédiaires (Th. 4.8).
Nous verrons d'autre part, que toute extension de degré fini d'un corps fini est une
extension simple (Th. 4.12, Rem. 4.14). □
Théorème 2.31. Soit L:K et M :L des extensions de corps ; alors
(L:K etM:L algébriques) => M : AT algébrique.
Démonstration. Les extensions L: K et M : L étant algébriques, démontrons que tout
élément J3 de M est algébrique sur K.
Par hypothèse, J3 est algébrique sur L, donc il existe un nombre fini d'éléments, non tous
nuls dans L, b0,bl,...,bm, tels que
I bfi' = 0. (2.10)
0<i<m
Or, pour tout i, 1 < i < m, bt est algébrique sur K, donc F := AT(fc0, bx,..., ôm) est une
extension algébrique et de degré fini sur K (Th. 2.29). On déduit de la relation (2.10), que
l'élément j3 est algébrique sur F, d'où [F(j3) : F] fini, et
[F(j8):F][F:^ = [F(j8):JC]<oo,
entraîne j3 algébrique sur AT (Th. 2.26). □
Remarque 232. La preuve du Th. 2.31 montre qu'étant donné des extensions de corps
L : K et M : L, pour j3 dans M, on a
(L : K algébrique et j3 algébrique sur L) ==» j3 algébrique sur AT.
Définition 2.33. Une extension L d'un corps AT est dite transcendante sur AT, si elle n'est
pas algébrique sur AT; autrement dit, s'il existe au moins un élément a G L transcendant
sur AT (Déf. 2.2).
Exemple 2.34. Il est connu que les nombres réels n et e sont transcendants sur Q (en
voir une preuve dans l'App. B de ce livre) ; on en conclut que les corps R et C sont
transcendants sur Q.
Remarque 2.35. Les nombres n et e ne sont pas les seuls nombres réels transcendants
sur Q ([28]).

§ 5. Construction par la règle et le compas
21
Proposition 2.36. Soit L : K une extension de corps.
\){cc£L et a transcendant sur K) <=> [K(a):K] infini.
2) L transcendant sur K => [L : K] infini.
Démonstration. 1) D'après les théorèmes 2.26 et 2.8,
[K(a) :K]<oo a algébrique sur AT.
La contraposée de cette relation donne le résultat 1) de la Prop. 2.36.
2) Si L est transcendant sur K, alors il existe un élément a eL transcendant sur K, donc
[K(a) : K] est infini, par suite (Th. 1.22),
[L:K] = [L: K{a)][K{a) :K] => [L:K] infini. □
Remarque 2.37, La réciproque de la propriété 2) de la Prop. 2. 36 est fausse. Il existe
des extensions algébriques de degré infini (Ex. 14. à la fin du chapitre.).
5. Construction par la règle et le compas
Nous abordons le problème de la construction par la règle et le compas, comme
application des propriétés élémentaires des extensions de corps.
Cette question préoccupait déjà les Grecs de l'Antiquité. En effet, la droite et le cercle
étaient, selon Platon, les seules figures géométriques parfaites. Aussi, les géomètres de
son époque accordèrent une grande importance aux constructions géométriques possibles
avec la règle et le compas.
Certes, ces deux instruments permettent d'effectuer de nombreuses constructions, les plus
fondamentales étant : la construction de la médiatrice d'un segment, de la bissectrice
d'un angle, de droites parallèles à une droite donnée, d'où la division d'un segment en un
nombre quelconque de segments égaux.
Cependant, trois célèbres problèmes résistèrent à l'ingéniosité des géomètres de la Grèce
Antique :
1) la duplication du cube : construire un cube ayant un volume double de celui d'un cube
donné.
2) la trisection de Vangle : partager un angle quelconque en trois angles égaux.
3) la quadrature du cercle : construire un carré ayant une aire égale à celle d'un cercle
donné.
Grâce à leurs connaissances déjà très étendues, les géomètres grecs avaient bien pressenti
r impossibilité d'effectuer, par la règle et le compas, les trois constructions en question,
mais ils n'avaient pas à leur disposition, la méthode de formulation algébrique permettant
d'en donner une preuve rigoureuse.
A. Méthode de formulation algébrique
La méthode consiste à traduire algébriquement le problème géométrique de la
construction par la règle et le compas.
On suppose connues les propriétés élémentaires de la géométrie affine euclidienne
classique ([251).

22
Chapitre 2. Extensions algébriques - Extensions transcendantes
1 / Point constructible par la règle et le compas
Nous considérons le problème de la construction par la règle et le compas dans le plan
affine euclidien R2, muni d'un repère orthonormé Oxy. Tout point de R2 est alors déterminé
par ses coordonnées (x,y).
D'une façon générale, résoudre un tel problème consiste à construire un certain nombre
de points à partir d'un ensemble 1P0 de points donnés, dans le plan R2.
Exemple : Construire le milieu d'un segment PXP2\ l'ensemble des points donnés est alors
\ = {PvP2)-
La construction, par la règle et le compas, d'un point M à partir de ÎP0, résulte d'un nombre
fini d'opérations 1 ou 2, dites élémentaires et définies comme suit :
Opération 1 : Tracer la droite passant par deux points de ÎP0.
Opération 2 : Tracer le cercle dont le centre est un point de ÎP0 et dont le rayon est égal à
la distance de deux points de 7Q.
Définition 2.38. Tout point d'intersection de deux droites ou cercles obtenus par les
opérations élémentaires 1 ou 2 sera dit construit en une étape à partir de !P0.
Définition 239. Un point M du plan R2 sera dit constructible à partir de ?0, s'il existe
une suite finie de points Mx,M2,...,Mn=M tels que, pour tout i (1 < î < n), le point Mi
est construit en une étape à partir de l'ensemble des points de 70 U {Mx, Af2,..., Af|_1}.
Exemple 2.40. Construction du milieu d'un segment PXP2.
1 px\
M3 JP2 J
M2
On a ^ = {PX,P2}. Les opérations élémentaires sont les suivantes :
1) Tracer la droite PXP2 (op. 1).
2) Tracer le cercle de centre Px, de rayon égal à la distance des points Px, P2 (op. 2).
3) Tracer le cercle de centre P2, de rayon égal à la distance des points PX,P2 (op. 2).
Soit Mx et M2 les points d'intersection des deux cercles précédents.
4) Tracer la droite MXM2 (op. 1)
Le point d'intersection Af3 des droites PXP2 et MXM2 est alors le milieu du segment PXP2,
puisque la droite MXM2 est la médiatrice du segment PXP2.
21 Formulation algébrique
On conserve les mêmes notations que précédemment.
On désigne par K0 le sous-corps de R engendré par l'ensemble des coordonnées (x, y) des
points de CP0. Le corps KQ est nécessairement de caractéristique 0, donc contient Q; par
suite, KQ est l'extension de Q obtenue par l'adjonction des coordonnées des points de CP0.
Etant donné un point M du plan R2, résultant des constructions successives de points
Mx,M2,...,Mn=M, pour tout i(l < i < n) on note (jc,-,^.) les coordonnées de Mi et on

§ 5, Construction par la règle et le compas
23
définit le corps Kt tel que
On obtient ainsi la chaîne d'extensions de corps
Qç^0ç^ ç...ç^cR. (2.11)
Lemme 2.41. Avec les notations précédentes, pour tout i(l < i < n), les nombres réels
x( et yt sont racines de polynômes de K._x [X], de degré 1 ou 2.
Démonstration. Trois cas sont à considérer pour la construction du point Mi à partir de
l'ensemble T0 U {MvAf2,... ,M._j}. En effet, le point Mt est l'intersection, soit de deux
droites, soit d'une droite et d'un cercle, soit de deux cercles.
Etant donné deux points distincts A et B dans le plan affine R2, dont les coordonnées
respectives (a,a'),(b,bf) sont dans Kt_v l'équation de la droite AB, dans le repère Oxy,
est ([25])
x — a y— a!
7 = i -r (2.12)
b-a b' -a!
Etant donné un point C dont les coordonnées (c, cr) sont dans Kt_v si r est la distance de
deux points de TqU {MvM2,. .. ,Mi-\}-> alors r2 G Kt_x et l'équation du cercle de centre
C et de rayon r est
(x-c)2 + (y-cf)2 = r2. (2.13)
L'équation (2.12) montre que si Mt est l'intersection de deux droites, alors ses
coordonnées x( et y, sont, chacune, solution d'une équation de degré 1, à coefficients dans Ki_l et
dans ce cas, on a K( = Ki_l.
Examinons les cas où Mi est un point d'intersection d'une droite et d'un cercle ou de deux
cercles.
a) Mt est un point d'intersection d'une droite AB, d'équation (2.12) et d'un cercle T,
d'équation (2.13).
Les équations (2.12) et (2.13) entraînent successivement :
y = ^-(x-a) + a'; (2.14)
b — a
(x-c)2+(^^(x-a) + a'-c'^ =?. (2.15)
Les points d'intersection M\ et M\ de la droite AB et du cercle T (qui existent, par
hypothèse) ont pour coordonnées (x^y^ et (x^y/), où xt et xft sont les racines (nécessairement
réelles) du polynôme du second degré défini par la relation (2.15) ; yt et yj étant obtenus
en substituant, successivement, xt et x!t à x dans la relation (2.14). On en déduit que
*i = (Wi) = (*/) = fy) (2.16)
et [Ki:Ki_l) = [Ki_l(xi):Ki_l} = lou2. (2.17)
b) On considère le cas où M( est un point d'intersection de deux cercles Fx et T2
d'équations respectives :
(x-cl)2 + (y-c\)2 = r21 (2.18)
{x-c2)2 + {y-c'2)2 = r2l. (2.19)

24
Chapitre 2. Extensions algébriques - Extensions transcendantes
En explicitant les équations (2.18) et (2.19), on obtient ensuite, par soustraction,
l'équation de la droite joignant les points Mt et M[ d'intersection des deux cercles :
2x{cx - c2) + 2y(c'x -c'2)-cx2 + c22 -cf2 + c'2 + rx2-r22 = 0. (2.20)
Les points Af. et M[ peuvent alors être considérés comme points d'intersection de la droite
d'équation (2.20) et de l'un des cercles Tx ou T2.
On est ainsi ramené au cas a) précédent; par suite, les conclusions (2.16) et (2.17) sont
valables dans le cas b). □
Théorème 2,42. Si un point M de coordonnées (x,y) est constructible à partir d'un
ensemble yQ de points de Vespace affine euclidien R2 et si K0 est le sous-corps de R
engendré par les coordonnées des points de iP0, alors
[K0(x):K0] et [K0(y) : K0]
sont des puissances de 2.
Démonstration. On suppose, selon la Déf. 2.39, que M résulte des constructions
successives des points Mx,M2,...,Mn — M. En reprenant les notations et les conclusions du
lemme 2.41, on a pour tout i (1 < / < n),
Kl = Kt_l(xl) = Ki_l{yl) et [AT,: ^1 = 1 ou 2.
On en déduit que
[Kn : K0] = [Kn : À^Hà^ : Kn_2] ...[Kx: KQ]
est une puissance de 2 (sachant que 1 = 2°).
Or, d'après les hypothèses, M = Mn, donc x = xn et y — yn, ; alors
[Kn : K0] = [Kn : K0(x)] [K0(x) : K0] => [K0(x) : K0] est une puissance de 2.
De même, [K0(y) : K0] est une puissance de 2. □
B. Les trois fameuses constructions impossibles
C'est le Th. 2.42 qui permet de prouver l'impossibilité de résoudre, par la règle et le
compas, les trois fameux problèmes cités au début de ce paragraphe.
On conservera les notations telles que CP0, K0, définies dans le paragraphe précédent.
Proposition 2.43. // est impossible de construire, par la règle et le compas, un cube ayant
un volume double de celui d'un cube donné.
Démonstration. Désignons par C0 un cube donné dans l'espace affine R3, rapporté à un
repère orthonormé Oxyz. On suppose que O est un sommet du cube et que l'une de ses
arêtes est sur l'axe Ox.
On choisit, comme unité de longueur, la longueur de l'arête de C0, dont le volume est
alors l3 = 1.
L'ensemble ÎP0 des points donnés dans le plan Oxy est ici formé par les points de
coordonnées (0,0) et (1,0). On en déduit que K0 = Q.
Résoudre le problème de la duplication du cube revient à construire un point A sur l'axe
Ox de coordonnées (a,0), a > 0 dans R, tel que le cube d'arête a ait pour volume 2 ; ce
qui implique a3 = 2.

§ 5. Construction par la règle et le compas
25
Si le point A était constructible par la règle et le compas, alors le degré de l'extension
Q(a) : Q serait une puissance de 2 (Th. 2.42).
Or a est la racine réelle du polynôme X3 - 2, irréductible sur Q, on a donc
[Q(a) * Q] = 3, d'où une contradiction qui prouve l'impossibilité de la duplication du
cube, par la règle et le compas. □
71
Proposition 2.44, U angle de mesure — ne peut être divisé en trois angles égaux, par la
règle et le compas.
Démonstration. On suppose choisie une unité de longueur dans le plan affine euclidien
E2, rapporté à un repère orthonormé Oxy ; alors l'ensemble CP0 est formé des points (0,0)
et (1,0), d'où K0 = Q.
71 7
Effectuer la trisection de l'angle — dans le plan Ez revient à construire le point A de
71
coordonnées (a, 0), où a = cos —.
J
(0,1)'
(0,0)
Si le point A était constructible (Déf. 2.39), il en serait de même du point B = (£,0), où
^ 71
b = 2a = 2 cos —, et réciproquement.
Appliquons la formule de trigonométrie
cos 30 = 4cos3 0 - 3cos 0,
71 ^ 1
en prenant 0 = —. On a cos 30 = -, par suite,
n b
cos- = -
i3-3è-l = 0.
Or le polynôme /(X) = X3 — 3X — 1 est irréductible sur Q (à vérifier en appliquant le
Critère d'Eisenstein au polynôme f(X + \) ([13], Ch. 5)), d'où
[Q(*):Q] = 3.
On en conclut (Th. 2.42) que le point B = (è, 0) et par suite, le point A = (a, 0), où a ■
n'est pas constructible par la règle et le compas.
2'
□
Remarque 2.45. La proposition 2.44 fournit un exemple permettant d'affirmer qu'étant
donné un angle de mesure a quelconque, 0 < a < 2n, la trisection de cet angle, par la
règle et le compas, est impossible, en général.
On rappelle cependant que l'on sait construire, par la règle et le compas, un angle de
71
mesure —, donc la trisection de l'angle de mesure n est possible ; il en est alors de même
pour les angles de mesure ^ ou 2n.

26
Chapitre 2, Extensions algébriques - Extensions transcendantes
Proposition 2.46. La quadrature du cercle est impossible par la règle et le compas.
Démonstration. On considère, dans le plan R2 rapporté au repère orthonormé Oxy, le
cercle de centre O et de rayon 1 ; son aire est donc égale à n.
Résoudre la quadrature du cercle, revient à construire le point M = (0, y/ïi) à partir de
l'ensemble ÎP0 = {(0,0), (1,0)} ; comme dans les problèmes précédents, on a K0 = Q.
Si le point M était constructible (Déf. 2.39), alors, à partir de ÎP0 et du point Af, on pourrait
construire, par la règle et le compas, le triangle AMB rectangle en Af, où A = (1,0) et
B = (-*,(>)•
y
M
(0,^)
B
V
O
(0,0)(1,0) *
En effet, dans ce triangle rectangle, la hauteur relative à l'hypothénuse est AfO, d'où (en
utilisant un résultat de géométrie élémentaire connu)
OM2 = OA.OB =>n = OB.
Le point B étant constructible, on aurait [Q(n) : Q] égal à une puissance de 2 (Th. 2.42),
ce qui est en contradiction avec la transcendance de % sur Q (Cf. App. B). □
C. Caractérisation des constructions possibles
Nous reprenons les notations du paragraphe A.
Dans les énoncés qui suivent, Jq désigne un ensemble de points du plan affine
orthonormé R2 contenant les points (0,0) et (1,0) ; K0 est le sous-corps de R engendré par les
coordonnées des points de ÏP0.
Lemme 2.47. Un point (a, b) € R2 est constructible à partir de Tq, si aetb appartiennent
au sous-corps K0 de R.
Démonstration. On remarque qu'étant donné un point (a,b) du plan R2, il est facile de
construire les points (0,a) et (0,i).
Inversement, la donnée des points (0,a), (0,è) permet de construire le point (a,b) dans
R2.
Pour démontrer le lemme 2.47, il suffit donc de prouver qu'étant donné des points (0,a)
et (0,è) de 3^, alors les points
(0,a + b), (0,*-*), (0,aè), (0,£), si MO.
sont constructibles.
Pour les deux premiers points, la construction est immédiate ; pour les deux autres, on
suppose a et b non nuls et on procède comme suit.
Par le point (0,a) on construit la parallèle à la droite joignant les points (0,è) et (1,0),
qui coupe l'axe Ojc en (f,0). En utilisant les propriétés des triangles semblables (voir la
figure) on obtient
- = - t = -, d ou le point (0,-).
a b b b

§ 5. Construction par la règle et le compas
27
En prenant a = 1, on construit, par le même procédé, le point (w,0) où u = — ; puis en
remplaçant le point (0,è) par (0, on obtient (v,0), où v = ab.
b
□
Lemme 2.48. On considère une extension K0(a) : K0 telle que
K0(cc) CR et [K0(a):K0] = 2;
alors, tout point (jc, y) du plan R2, tel que (x,y) G K0(cc) x K0(a) est constructible à partir
d'un ensemble fini de points dont les coordonnées sont dans K0.
Démonstration. L'hypothèse [K0(a) : K0] = 2 implique que a est algébrique sur K0 et
que pa{X) := IrrK^(a,X) est de degré 2. Posons
pa(X)=X2 + bX + c, dans K0[X] c R[X],
aeR=ï b2-4c>0 et a
-b±Vb2-4c
Compte tenu du lemme 2.47, pour prouver le lemme 2.48, il suffit de montrer que le point
(0, Vb2 —4c) est constructible à partir d'un nombre fini de points dont les coordonnées
sont dans K0.
Cela revient à montrer que, quel que soit a > 0 dans K0, le point (0, y/a) est constructible,
à partir d'un nombre fini de points dont les coordonnées sont dans KQ. La construction est
indiquée par la figure ci-dessous. □
-1,0)
(0,0)
(a,0) x
Théorème 2.49. Soit L une extension de KQ, contenue dans R, et x,y des éléments de L;
alors le point (jc,y) du plan R2, est constructible si et seulement s'il existe un nombre fini
de corps intermédiaires entre K0 et K0(x,y) tels que
K0GKlc-(ZKr = K0{x,y), r > 1 et [K( : K^] = 2, Vi(l < i < r).

28
Chapitre 2. Extensions algébriques - Extensions transcendantes
Démonstration. 1°) Si Af(jc,y) est constructible à partir des points de ÎP0 (Déf. 2.39),
alors, d'après le lemme 2.41, et la peuve du Th. 2.42, il existe une chaîne croissante finie
de corps, {^/}o<i<n5 i € N, telle que
QÇK0ÇKxÇ--.ÇKn = K0(x,y)cR
et Vi(l<i<n),[Ki:Ki_l] = l ou 2.
Si n > 1, en éliminant les cas où deux corps consécutifs sont égaux, on peut extraire de la
chaîne précédente une chaîne finie strictement croissante
{Kj}0<j<n 0 < r < n, que l'on écrira, moyennant un éventuel changement d'indexation :
K0cKlC-CKr = K0(x,y), [Kj : Kj_x] = 2, 1 < j < r. (2.21)
2°) Réciproquement, supposons qu'il existe une chaîne finie strictement croissante de
corps intermédiaires entre K0 et K0(x,y) C E vérifiant les conditions (2.21), montrons
qu'alors, le point M(x,y) est constructible.
Pour r = 0 et r = 1, le résultat est donné, respectivement, par le lemme 2.47 et le lemme
2.48.
Pour r > 1, on raisonne par récurrence sur r.
Pour tout y, 1 < j < r, soit (Xj € Kj\Kj_x. On a [Kj : Kj_x] = 2 donc ay est algébrique
sur Kj_x et le degré du polynôme IrrK ^ (ctj,X) est 2 ; on en déduit que Kj_x((Xj) = Kj.
D'après le lemme 2.48, tout point (jc,y) dont les coordonnées sont dans K. est
constructible à partir d'un nombre fini de points dont les coordonnées sont dans Kj_x.
L'hypothèse de récurrence et le raisonnement précédent, appliqué au cas j = r, donnent
le résultat énoncé. □
Remarque 2.50. Une droite étant déterminée par deux points, il a été prouvé qu'en fait,
toute construction par la règle et le compas pouvait s'effectuer en utilisant, uniquement,
le compas. Cette propriété est généralement attribuée à Mascheroni (1797).
Pour davantage de résultats, concernant les problèmes de constructions par la règle et le
compas, voir par exemple [14] ou [32].
Nous étudierons, dans le Ch. 7, le problème de la construction des polygones réguliers,
en utilisant, à la fois, les Th. 2.42, 2.49 et la Théorie de Galois.
6. Exercices
1. Soit L une extension d'un corps K, obtenue par l'adjonction d'un nombre fini
d'éléments :
L = K(al,a2,...,an), n> 1 dans N.
1°) Démontrer que [L : K] est fini si et seulement si ax est algébrique sur K et, pour
tout /(2 < i < h), at est algébrique sur K(ccx,... ai_x).
2°) Soit K[XX,X2,...,Xn] l'anneau des polynômes à n indéterminées sur K. Montrer
que si [L : K] est fini, alors
L={f(avcc2,...,any,fGK[XvX2,...1Xn}}.
2. Soit a G C ; que peut-on dire du degré du polynôme IrrR(a,X) ?
3. On considère l'extension Q(>/5) : Q-
1°) Vérifier que tout élément a E Q(>/5) s'écrit, de façon unique,
a = a 4- b\/5, où a et b sont Q.

§ 6. Exercices
29
2°) Pour a donné dans Q(y/5), déterminer le polynôme Irr^(a,X).
4. K étant un corps, soit f(X) G K[X] tel que degf = k > 1 et L une extension de K telle
que [L: K] =n> 1.
Montrer que si le polynôme / est irréductible sur K et k A ai = 1, alors /(X) n'a aucune
racine dans L.
5. Soit Q(i, \/2), où i2 = -1 dans C.
1°) On pose a := i+ \/2 ; vérifier que
a2-3 . a2+ 3 ^
En déduire que Q(i, \/2) = Q(a).
2°) Soit J3 G C tel que j32 = i.
Exprimer J3 sous la forme a + ib, où a et ô sont réels.
En déduire que Q(i, \/2) = Q(jS).
3°) Déterminer [Q(i, >/2) : Q] ; trouver alors, deux polynômes,
px(X), p2(X), unitaires et irréductibles dans Q[X], tels que
6. Justifier l'irréductibilité sur Q, des polynômes
p(X)=X2-2 et q(X)=X2-4X + 2.
Vérifier qu'il existe des corps de rupture Q(a) de p(X) et Q(J8) de contenus dans
E.
Comparer les corps Q(a) et Q(j8).
7. Etant donné une extension de corps L : K, pour tout élément a G L, algébrique sur K,
on pose
pa(X) :=/ir^(a,X).
On considère les cas suivants :
a)L = R,K = Q, a = V3\ b)L = R,K = Q, cc= 1+2^;
c)L = C,K = Q, (x = lA^-
1°) Dans chacun de ces cas, justifier l'existence du polynôme pa(X) en le calculant et
préciser le degré [K(a):K].
2°) Dans le cas b) (resp. c)) trouver un élément j3 G R (resp. J3 G C) tel que Q(J3) =
Q(a) ctpp(X)ïPa(X).
8. Dans chacun des cas envisagés ci-dessous, existe-t-il un élément a, appartenant à une
extension de AT, tel que IrrK(a,X) = p(X) ?
a) K = Z/3Z, = X2 +1 ; b)K = Z/5Z, = X2 -h 1 ;
c)jr = R, /?(X) =X7-3X6+4X3-X-1.
9. Déterminer le degré de l'extension Q(>/2, \/3) : Q et trouver une base de Q(\/2, \/3)
surQ.

30
Chapitre 2. Extensions algébriques - Extensions transcendantes
10. Soit /(X) G AT[X], où AT est un corps. On suppose degf = n > 1.
1°) Prouver que pour n = 2 et n = 3, f(X) est irréductible sur K si et seulement si f(X)
n'a pas de racine dans AT.
2°) Montrer, par un exemple, qu'un polynôme f(X) de degré n > 3, qui n'a pas de
racine dans AT, n'est pas nécessairement irréductible sur K.
11. On considère le polynôme p(X) = X3 +X - 1 dans Q[X].
1°) Vérifier que /?(X) est irréductible sur Q.
Q(a) étant un corps de rupture de p(X) sur Q, comment s'écrivent les éléments de
Q(a)?
2°) Soit A = 6 4- 3a -f 4a2. Déterminer le degré [Q(A) : Q] ; en déduire que
(5) est un système linéaire homogène de trois équations à trois inconnues, à coefficients
dans le corps Q(A).
- Ecrire le système (5) en remplaçant les a{ et bi (0 < i < 2), par les valeurs trouvées
dans la question a).
- Que peut-on dire du déterminant du système (S) ?
- Calculer le déterminant de (S) ; en déduire le polynôme irréductible de A sur Q.
12. Soit Aut(K) le groupe des automorphismes d'un corps K. On appelle involution de
AT, tout élément g € Aut(K) tel que g2 = idK.
On note 3K l'ensemble des involutions de K.
1°) Soit a e3K\ {idK} ; on pose
Vérifier que L et M sont non vides. Montrer que L est un sous-corps de K et que M est
un sous-groupe de (K, -h).
2°) On suppose carK ^ 2; montrer que pour tout a E ciK \ {idK}, on a les propriétés
suivantes.
a) K = L© M (somme directe de sous-groupes de (AT, -f)).
b) Va G Af \ {0}, M— La — {xa ; * G L}.
c) Va G M\{0}, a2 G L; en déduire que
d) Si t G 3^ \ {idK} et t,l = a, alors t = a.
3°) On suppose carK = 2 ; soit a G 3^ \ {m^}.
a) SoitaG K tel que g (a) ^ a; on pose è = fl(a —a(a))-1. Vérifier que <r(è) = 6-1-1.
a) Calculer les nombres rationnels a^b-v 0 < / < 2.
b) On considère le système d'équations linéaires suivant
(6-+3^+4X3=0
(S) = < a^ + {ax - A)X2 + a2X3 = 0
^ ft0X1+è1X2 + (è2-A)X3 = 0
L := {x G AT ; a(x)
M:= {jc G AT ; g(x)
-x}.
K = L{a)\ [K:L]=2 ; IrrL(a,X) =X2-a2.

§ 6. Exercices
31
On pose j3 := bo(b) ; montrer que
PeL et 62 + * + j3=0.
b) Soit* G K\L et y := {x-c(x))~l.
Montrer que (y + b) G L; en déduire que
K = L{b) ; IrrL{b,X) = X2 +X + p ; [K : L] = 2.
c) Soit t G 1K \ {idK} tel que = a ; prouver que t = a.
13. Soit K(a) et AT(J3) deux extensions simples algébriques d'un corps K telles que
[K(a) :K]=m>0, [K(a) : K] = n> 0.
1°) a) Vérifier que l'extension K(a,p) de K est de degré fini sur K, sur K(a) et sur
K(P).
b) On pose t := [K(a,P) : K]. Démontrer que t est un multiple de m et de n tel que
1 < t < mn.
En conclure que si m et n sont premiers entre eux (c'est-à-dire mt\n — 1), alors i = mn.
2°) On suppose, dans cette question,
m>l, n>\ et mA« = l.
Etant donné a ^ 0 dans AT, on considère le polynôme Xmn - a.
Le but de cette question est de prouver que Xmn - a est irréductible dans K[X] si et
seulement si Xm — a et Xn — a le sont.
a) Montrer que, dans K[X],
Xmn - a irréductible => Xm - a et X" - a irréductibles.
b) On suppose Xm — a et Xn — a irréductibles dans K[X].
Soit a une racine du polynôme Xmn — a dans une extension de K.
-Déterminer les polynômesIrrK(an,X) et IrrK(am,X).
- Montrer, à l'aide du 1 °) b), que a G K(am, an) ; en déduire que Xmn - a est
irréductible dans K[X].
14. Soit y l'ensemble des nombres premiers (Cf. [13], App.A, Déf. 0.5).
1°) Soit y/p désignant la racine carrée positive de p dans E, montrer que yfp g Q
et que [Q(y/p) : Q] = 2.
2°) On rappelle que ? est une partie infinie de N ([13], App.A, Th. 0.12) et on considère
la suite croissante des nombres premiers :
px<p2 <"<Pn-x </?„<...
où px = 2,p2 = 3,/?3 = 5,... ;pn désigne le neme nombre premier. On pose
et Vn G N,F„ := Q(v^, ..., y/fi), avec F0 := Q.
a) Démontrer, par récurrence sur n, que
V*GN, [Fn+l:FH]=2.
En déduire que, pour tout n G N, [Fn : Q] = 2n.
b) Prouver que F = \JneN Fn ; en déduire que F est une extension algébrique de Q, de
degré infini sur Q.

32
Chapitre 2. Extensions algébriques - Extensions transcendantes
15. Soit K(a) une extension simple transcendante de Af (Déf. 2.2). On pose
K[a] = {f(a);f(X)GK[X)}.
1°) a) L'élément a étant transcendant sur Af, justifier la propriété suivante :
Af [a] est un anneau factoriel.
Quelles sont les unités de l'anneau Af [a] ? ([13], Ch. 1)
b) Montrer que tout polynôme non constant /(X) G K(a) [X] peut s'écrire
f(X) = c(a)fx(X),
où c(a) G K(a) ctfx(X) est primitif dans Af[a][X] ([13], Déf. 5.102).
c) Si, dans AT(a)[X], on a
c(a)/1(X) = rf(a)*1(X),
avec c(a),d(a) non nuls dans Af(a) et fx(X),gx(X) primitifs dans Af[a][X], prouver
qu'il existe A: G Af* tel que
fx(X)=kgx(X).
2°) Soit P G K(a)\K. On pose /J = ; où € Af(X) et ii(X) A v(X) = 1 dans
v(a) v(X)
AT[X].Soit
p(X) := 0v(X) - u{X) dans AT[j3][X].
a) Montrer que a est algébrique sur AT(j3). En déduire que J3 est transcendant sur AT.
b) Si, dans Af [J3] [X], on a une égalité de la forme
p(X) = q(X)f(X), oùq(X) G K[X] et/(X) G Af[j3][X],
démontrer que degq = 0.
[Supposer degq > 0 et montrer que cette hypothèse conduit à une contradiction, en
considérant une racine de q(X) dans une extension de Af.]
En déduire que p(X) est irréductible dans Af[j3] [X]. [Considérer le degré de p(X) en /?.]
c) Démontrer que px (X) = u(a)v(X) - v(a)u(X) est primitif dans K[a] [X].
3°) Soit F une extension de Af telle que
KÇFCK(a).
a) Montrer que a est algébrique sur F.
b) On pose f(X) :== IrrF(a,X). Compte tenu du 1°), on a
f(X) = c(a)MX),
où c(a) G K(a) et fx (X) est primitif dans K[a] [X]. Ecrivons
f(X)= £ a,(a)X', A(*)= E b,(a)X',
0<i<n 0<i<n
où quel que soit i (0 < i < n), aê(X) G K(X) et *• (X) G AT[X].
Soit m = max{degbi ; 0 < i < n).
Justifier l'existence d'au moins un indice j (0 < j < n) tel que aj(a) G Af (a) \ Af. Pour
un tel indice y, on pose J3 := aj(a).
On écrit j3 = 4^r, avec w(X) A v(X) = 1 dans K[X].
v(a)
Calculer j5 en fonction de bj(a) et bn(oc). En déduire les inégalités
degu < m, degv < m.
c) On pose p(X) := fiv(X) - u{X).
- Prouver que f(X) divise p(X), dans F[X}.
On écrit alors, p(X) = f(X)q(X), dans F[X].
- Vérifier que les résultats des questions 1°), 2°) et 3°) a) permettent d'écrire
p(X)=a(a)Pl{X), q(X)=b(cc)qx(X)1 /(X) =c(a)/1(X),

§ 6. Exercices
33
1
avecfl(a) = ^^y> b(a),c(a) dans K(a) etpx,qvfx primitifs dans JC[a][X].
- Justifier l'existence d'un élément d, non nul dans tel que
px(X)=dfx(X)qx(X).
(2.22)
- En comparant les degrés en a des deux membres de (2.22), prouver qu'il existe dx,
non nul dans K, tel que
px(X)=dxfx(X).
d) Montrer que les résultats précédents entraînent F = K(p).
16. Montrer que la trisection d'un angle, de mesure 0, est possible par la règle et le
compas si et seulement si le polynôme
4X3-3X-cos0
est réductible sur Q(cos 6).
17. Dans le plan euclidien orthonormé Oxy ([25]), on considère le cercle trigonométrique
(H coupant l'axe Ox en A = (1,0) et B = (-1,0).
Soit C = (c,0), un point de Ox tel que (par exemple) -2 < c < -1, dans R. Le cercle
de centre C et de rayon 1 coupe (r) en deux points distincts, Af et M', où l'on suppose
Af d'ordonnée positive. Soit N le second point d'intersection de la droite CM avec (r) ;
on pose
6:=ÔA,ÔN, a:=CA,CN,
0 et a désignant, respectivement, une mesure des angles OA, ON et CA,CN.
(r)
(1,0)
Compte tenu du choix de la position du point C sur l'axe Ojc, démontrer que 9 = 3a.
(On pourra considérer les triangles semblables CMH et CNK, où H et K sont,
respectivement, les projections orthogonales de Af et Af sur Ox).

Chapitre 3
Extensions normales - Extensions séparables
Dans tout le chapitre, K désigne un corps et AT* = K\ {0}.
1. Corps de décomposition d'un polynôme
A. Préliminaires
a) On rappelle qu'un polynôme f(X) G K[X], de degré n > 0, a au plus n racines, «
distinctes ou confondues », dans K ([13], Cor. 4.48).
b) Dans le Ch. 2, nous avons défini la notion de corps de rupture pour un polynôme
irréductible et unitaire de K[X] (Déf. 2.21).
Afin d'étendre cette définition à un polynôme non constant, quelconque de K[X],
rappelons que, l'anneau K[X] étant factoriel ([13], Ch. 4), tout polynôme f(X) G K[X] \ K
s'écrit de façon unique (à l'ordre près des facteurs)
nx)=a(pl(X))"i(p2(X))"2...(pr{X))»', (3.1)
où a G K*, r G N* et pour 1 < i < r, les pi (X) sont des polynômes irréductibles et unitaires,
deux à deux distincts dans K[X], les nt étant dans N*.
Les polynômes Pi(X), 1 < i < r, sont les facteurs ou diviseurs irréductibles et unitaires de
f(X) dans K[X],
Le polynôme f(X) est dit scindé sur K si, dans la relation (3.1), pour tout i, 1 < / < r, le
polynôme pt{X) est de degré 1 ([13], Déf. 4.46) ; autrement dit :
f(X) = a(X-al)ni...(X-ar)n' et £ nt = degf. (3.2)
l<Kr
Dans ce cas, le polynôme /an racines dans K et les af, 1 < i < r, sont les racines
distinctes de / dans K.
Rappelons qu'un corps K est dit algébriquement clos ([13], Déf. 4.42), si tout polynôme
non constant de K[X] a au moins une racine dans K.
On en déduit ([13], Prop. 4.44) que si K est un corps algébriquement clos, alors tout
polynôme non constant de K[X] est scindé sur K.
La notion de corps algébriquement clos sera reprise dans le Ch. 5, où Von démontrera,
en particulier, que le corps C est algébriquement clos.

36
Chapitre 3. Extensions normales - Extensions séparables
Définition 3.1. Etant donné un polynôme /(X), non constant dans Af[X], on appellera
corps de rupture de / sur Af, tout corps de rupture d'un facteur irréductible quelconque
de/(X) dans K[X].
Remarque 3.2. On sait qu'un corps de rupture d'un polynôme irréductible et unitaire
p(X) de K[X] contient au moins une racine de p(X), mais pas nécessairement toutes les
racines de p(X) (Cf. Exemple 2.19) ; compte tenu de la Déf. 3.1, il en est de même pour
un corps de rupture d'un polynôme quelconque, non constant dans K[X].
Le but du paragraphe suivant est de prouver que, pour tout polynôme non constant f(X)
de Af[X], il existe un corps, extension de Af, sur lequel / est scindé et nous construirons la
plus petite extension de Af satisfaisant à cette propriété (Th. 3.3).
B. Notion de corps de décomposition d'un polynôme
Théorème 33. Soit f(X) un polynôme non constant de K[X] ; alors il existe une
extension E de K telle que
1) KÇE et f(X) est scindé sur E.
2) (K CE'CE et f(X) scindé sur E') =*E' = E.
Démonstration. On note que si Af est algébriquement clos, alors E = K.
On suppose donc que AT n'est pas algébriquement clos.
Posons n := degf > 1 et raisonnons par récurrence sur n.
- Si n = 1, f{X) = a(X - a), où a € AT* et a G AT, donc E = Af.
- Supposons n > 1 et le théorème vrai pour tout polynôme de degré n — 1 sur un corps
quelconque.
Soit px (X) un diviseur irréductible et unitaire de f(X) dans K[X]. Un corps de rupture de
px(X) est de la forme K(ocx), où ax appartient à une extension de AT et px(ccx) = 0. C'est
aussi un corps de rupture de f(X) sur Af (Déf. 3.1).
ax étant une racine de f{X) dans AT(a1), (X — ccx) divise f{X) dans Af( ax ) [X] ([13], Ch.4),
d'où
f(X) = (X-ax)g(X), oùg(X) €K(ax)[X] etdegg = n-l.
L'hypothèse de récurrence implique qu'il existe une extension E de K(ccx) satisfaisant
aux propriétés 1) et 2) du Th. 3.3, pour le polynôme g(X).
On a donc K(ax ) Ç E et g(X) scindé sur E ; de plus, si Er est une extension de K(ax ) telle
que K(ax ) C E1 C E et g(X) scindé sur alors E1 = E.
Montrons que l'extension E de K(ax), définie ci-dessus, est une extension de AT
satisfaisant au Th. 3.3 pour le polynôme f(X). On a en effet,
K(ax)ÇE=*KCE\
{f{X) = {X- ax)g(X) ctg(X) scindé sur E) => f{X) scindé sur£.
D'autre part, si E! est une extension de AT telle que
K CE' CE et f(X) scindé sur
alors, nécessairement, ax E E\ d'où K(ax) CE' CE. De plus,
f(X) scindé suri?7 => g(X) scindé sur E' ;
d'où E' = £, d'après l'hypothèse de récurrence formulée pour g(X).
□

§ 1. Corps de décomposition d'un polynôme
37
Définition 3.4. Etant donné un polynôme f(X) non constant dans K[X], on appellera
corps de décomposition de / sur K, toute extension E de K vérifiant les propriétés 1) et
2) du Th. 3.3.
Proposition 3,5. Soit E un corps de décomposition d'un polynôme f(X) non constant de
K[X] ; si n = degf > 0 et ax,..., ccn sont les racines distinctes ou confondues de f dans
E, alors
E = K{av...,On),
donc E est une extension algébrique, de degré fini surK.
Démonstration. On a
(KÇE et Vî(l < i < n), at G E) =>> K(ccv..., cfe) ç E. (3.3)
Le polynôme / étant scindé sur E (Th. 3.3), dans E[X], f(X) s'écrit :
f(X)=a{X-ax)...{X-an), où a G K*.
Cette égalité exprime que / est scindé sur K(ax,...,(Xn); alors, la relation (3.3) et la
propriété 2) du Th. 3.3 impliquent
E = K(al,...,an),
donc l'extension E : K est algébrique, de degré fini (Th. 2.29). □
Remarque 3.6. a) Si, dans la preuve précédente, ax,...,0Cm,m<n, sont les racines
distinctes de f(X) dans£, alors E = K(ax,...,ocm).
b) La preuve du Th. 3.3 montre que la construction d'un corps de décomposition E d'un
polynôme non constant f(X) de K[X] n'est pas unique, a priori ; cependant, nous allons
démontrer que deux corps de décomposition d'un polynôme f(X) sont K-isomorphes.
Lemme 3.7. Soit X un isomorphisme d'un corps K sur un corps K1 et f(X) non constant
dans K[X]. On pose
f(X):=X(f(X)).
E étant un corps de décomposition de f sur K, soit L une extension de K! telle que f(X)
est scindé sur L. Il existe alors un monomorphisme ju : E —► L tel que fi^ = X.
Démonstration. X désigne le prolongement canonique de X ([13], Ch. 4) ; X est donc un
isomorphisme de K[X] sur K'[X].
On suppose K' CL et on raisonne par récurrence sur n := degf > 0.
- Si n = 1, alors E = K, on en déduit que p, = X.
- Supposons n > 1 et la propriété vérifiée pour tout polynôme de degré n — 1, sur un corps
quelconque.
Soit px(X) un diviseur irréductible et unitaire de f(X) dans K[X] ; le polynôme f(X)
étant scindé sur £, il en est de même de px (X).
Puisque X est un isomorphisme, px (X) := X (px (X)) est un diviseur irréductible et unitaire
de f(X) dans Kf[X] et degpx = degpx.
De plus, f(X) étant scindé sur L, il en est de même de px (X). Ecrivons
px(X) = (X-ax)...(X-adl dans£[X],
Px(X) = (X-px)...(X-pd), dansLpT].

38
Chapitre 3, Extensions normales - Extensions séparables
Les extensions K(ax) et Kf(px) sont, respectivement, corps de rupture de px sur K et de
px sur K!. D'après le Th. 2.23, il existe un isomorphisme px de K(ax) sur Kf(fix) tel que
iU1/A: = Aet m(ccl) = Pv
ax étant une racine de /(X), X-ax divise f(X) dans K(ax)[X], d'où
f(X) = (X- atoùg(X) € ^[X], d^s = n-1.
Soit /X1 l'isomorphisme de K(ax)[X] sur ^'(^[X] prolongeant px ;
ju1(/(X)) = (X-j51)AÎ1(g(X));
or, ^ = X=> px(f(X)) = Â(/(X)) = /(X).
Par hypothèse, /(X) est scindé sur L; or j3x € L, donc /^(^(X)) est scindé sur L.
L'hypothèse de récurrence, appliquée au polynôme g de degré n - 1, entraîne alors l'existence
d'un monomorphisme
ju:£—+L telque M/A:(ai) = Mi et = A
7*
À. □
Théorème 3.8. Soit X un isomorphisme d'un corps K sur un corps K1 et f(X) un
polynôme non constant de K[X]. Si E est un corps de décomposition de f sur K et E1 un
corps de décomposition de f := X(f) sur K\ alors les extensions E : K et E' : K' sont
isomorphes et il existe un isomorphisme \i : E —► tel que PjK = X.
Démonstration. Soit u et ur les injections canoniques, respectivement, de K dans E et
de K! dans E'. D'après le lemme 3.7, il existe un monomorphisme ju : E —► E', tel que
\ijK = À, donc le diagramme suivant commute
Onajuo« = M,oÀ, d'où K' = X(K) = p(K) Ç /i(E) Ç E'.
f(X) = a [7 (X-rç), dans£[X],
l<i<«
implique f(X)=p(a) (X-/i(a,)), dans £'[X],
Ki<»
d'où / scindé sur ju(£). Mais E1 est, par hypothèse, un corps de décomposition de / sur
AT', par suite (Th. 3.3)
K' Ç n(E) Ç É => p(E) = É,
donc ju est un isomorphisme. □
Corollaire 3.9. Deux corps de décomposition sur K d'un polynôme f(X) e K[X] \ Af, sont
K-isomorphes.
Il suffit d'appliquer le Th. 3.8, dans le cas où Kf = K et X = idK.

§2. Extensions normales - Clôture normale
39
Remarque 3.10. Les résultats précédents (Th. 3.3, Cor. 3.9) montrent qu'un corps de
décomposition d'un polynôme non constant f(X) de K[X] est, à un Af-isomorphisme près,
la plus petite extension de Af sur laquelle f(X) est scindé.
Corollaire 3.11. f(X) étant un polynôme non constant de K[X], si f(X) est scindé sur
un corps L, extension de Af, alors L contient un corps de décomposition de f sur Af.
Démonstration. Soit E un corps de décomposition de f(X) sur Af. Les hypothèses du
corollaire impliquent, d'après le lemme 3.7, qu'il existe un plongement \i : E —► L tel
que P/K = idK ; donc ju(£) est un sous-corps de L, Af-isomorphe à E. □
Exemple 3.12. (à vérifier)
1) Le corps Q(v^2, j) C C est corps de décomposition sur Q du polynôme X3 — 2.
2) C est corps de décomposition sur R, du même polynôme X3 — 2.
2. Extensions normales - Clôture normale
A. Extensions normales
Définition 3.13. Une extension L de Af est dite normale sur Af, si
1) L est algébrique sur Af.
ii) Tout polynôme irréductible de K[X], qui a une racine dans L, est scindé sur L.
Exemple 3.14. 1) On remarque que tout corps Af est extension normale de lui-même ;
en effet, Af est algébrique sur Af et de plus, tout polynôme irréductible de K[X], qui a une
racine dans Af, est nécessairement de degré 1, donc est (trivialement) scindé sur Af.
2) C est une extension normale de R (une justification rigoureuse en sera donnée dans le
Ch. 5).
3) Q(v^) n'est pas une extension normale de Q (Cf. Exemple 2.19).
Théorème 3.15. L étant une extension de AT, alors L est normale et de degré fini sur K si
et seulement si L est corps de décomposition sur Kd'un polynôme de K[X].
Démonstration. - Supposons L : Af normale et de degré fini ; alors L est algébrique et de
degré fini sur Af, donc il existe un nombre fini d'éléments ax,..., ar dans L tels que (Th.
2.29)
L = Af(a1,...,ar), r e N*.
Chaque ah 1 < i < r, est algébrique sur Af ; posons pt(X) := Irr^a^X).
Pour tout i(l < i < r), le polynôme irréductible pt a une racine at£ L; alors, L étant
normale sur Af, p. est scindé sur L (Déf. 3.13). On en déduit que le polynôme
f(X) :=Pï(X)p2(X)...pr(X)
est scindé sur L, donc il existe un corps de décomposition E de / sur K tel que K Ç E Ç L
(cor. 3.11).
Mais ay,..., ar étant des racines de / dans L, on a (Prop. 3.5)
L = K{av...,cCr)ÇE, d'où£ = L.
- Réciproquement, soit L un corps de décomposition sur K d'un polynôme non constant
f(X) de K[X]. D'après la Prop. 3.5, L est une extension algébrique et de degré fini sur K
et si /3j,..., Bs (s G N* ) sont les racines distinctes de / dans L, alors
L = K{BV...,BS).
(3.4)

40
Chapitre 3. Extensions normales ■ Extensions séparables
Pour prouver que L est normale sur K, considérons un polynôme p(X) irréductible dans
K[X], ayant une racine a G L et démontrons que p(X) est scindé sur L (Cf. Déf. 3.13). On
peut supposer p(X) unitaire (Rem. 2.22).
- Si deg p = 1, alors p(X) = X - a et la propriété est vérifiée.
- Supposons deg p > 1 et considérons le polynôme
s(X):=/(X)p(X), dansK[X].
Par hypothèse, f(X) est scindé sur L; désignons par M un corps de décomposition de
g(X) sur K contenant L.
Le polynôme p(X), irréductible sur Af, est alors scindé sur M et a au moins deux racines
distinctes yx et y2 dans M.
- Montrons que [L{yx) : L] = [L(y2) : L]. Pour î = 1,2, on a
KÇKiyjÇLiYjÇM et ATÇLÇL(^.)ÇM, (3.5)
d'où [L(y,) : AT] = [L(Yi) : *(7,)][tf(7,) : *] (3.6)
= [L(ri):L][L:fl. (3.7)
Or, par hypothèse, p(X) est irréductible et unitaire dans K[X], donc
p(X)=IrrK(rvX)=IrrK(Y2,X),
ce qui entraîne (Th. 2.8 et 2.16)
[K(Yl):K] = [K(Y2):K)=degp. (3.8)
D'autre part, compte tenu de la relation (3.4), on a, pour i = 1,2,
L(7i) = JT(ft, • • • y,) = K(Yi)(Pv... (Prop. 1.14).
Par suite, Z^) et L(y2) sont corps de décomposition de /(X), respectivement, sur les
corps isomorphes K(Y\) et AT(y2) (Th. 2.16). On en déduit (Th. 3.8) que les extensions
L(yx) : K(Y\) et L(y2) : AT(y2) sont isomorphes et en particulier
Wyi):^(yi)] = Wr2)^()i]-
Cette dernière égalité, jointe aux relations (3.6), (3.7) et (3.8), donne
[L(Yl):L] = [L(y2):L}. (3.9)
Mais, par hypothèse, p(X) a une racine a dans L Ç M, et d'après l'égalité (3.9), quelle
que soit la racine y de p(X) dans Af, on a
[L(y):L] = [L(a):L] = l,
donc y G L. Ainsi p(X) est scindé sur L, d'où L normale sur K (Déf. 3.13). □
B. Clôture normale
Définition 3.16. On appelle clôture normale d'une extension de corps L : AT, une
extension N de L telle que KÇLÇN et
i) Af est une extension normale de K ;
ii) (LÇMÇN et M extension normale de K) =ï M = N.

§ 3. Extensions séparables
41
Théorème 3.17. Pour toute extension de corps L: de degré fini, il existe une clôture
normale, N, de degré fini sur K et unique à un K-isomorphisme près.
Démonstration. Si L : K est de degré fini, alors L est algébrique sur AT et obtenu par
l'adjonction à AT d'un nombre fini d'éléments, algébriques sur AT (Th. 2.29) ; supposons
[L : AT] > 1 et écrivons
L = K(ax,..., 0Cm), m e N*, a- algébrique sur Af, Vi, 1 < i < m.
Posons Vi, l<î<m, pt{X) := Irr^X) et/(X):= Yl Pi(x)-
\<i<m
Les af, 1 < i < m étant des racines de /(X), il existe un corps de décomposition Af de
f(X) sur AT contenant L, et l'extension N : AT est normale et de degré fini (Th. 3.15).
Supposons que Af soit une extension de L telle que L Ç Af Ç Af et Af normale sur AT, alors
chaque polynôme /?,(*), ayant une racine dans Af, est scindé sur M. Par suite, f(X) est
scindé sur Af. On en conclut (Th. 3.3) que Af = Af.
Si N' est une clôture normale de L : AT telle que Af' ^ Af, alors
L = AT(a1,...,am)ÇAf/
implique l'existence d'un corps de décomposition E, de f(X) sur AT, vérifiant L Ç E C Af'.
L'extension £ : AT est normale et de degré fini, d'où E = Af' (Déf. 3.16).
Ainsi, Af et N' sont deux corps de décomposition de f(X) sur AT, donc Af et Af' sont AT-
isomorphes (Cor. 3.9). □
Remarque 3.18. a) Pour une extension de degré fini L : AT, une clôture normale est, à un
AT-isomorphisme près, la plus petite extension de L normale et de degré fini sur AT.
b) La preuve du Th. 3.17 montre que si L = AT(a), alors Af est une clôture normale
de K(a) sur K si et seulement si Af est corps de décomposition sur K du polynôme
IrrK(cc,X).
Exemple 3.19. Soit a := \/2 dans R ; alors Q(oc) n'est pas une extension normale de Q,
car le polynôme X3 — 2, irréductible sur Q, n'a qu'une seule racine dans Q(oc).
Cependant, si j et j2 désignent les racines cubiques non réelles de l'unité, dans C, alors
Af := Q(a, a j, a j2) = Q(a, j) est corps de décomposition de X3 - 2 sur Q, donc Af est la
clôture normale de Q(a) sur Q, contenue dans C
3. Extensions séparables
A. Polynômes irréductibles séparables
Définition 3.20. 1) On dit qu'un polynôme irréductible de K[X] est séparable sur AT s'il
n'a que des racines simples ([13], Déf. 4.41) dans un corps de décomposition sur AT.
2) Un polynôme irréductible de AT[X], qui n'est pas séparable sur AT, sera dit inséparable
sur AT.
Exemple 3.21. 1) SoitX5 - 1 dans Q[X] ; on a
X5 - 1 = (X - 1)(X4 -f x3 -f x2 +x + 1).
Le polynôme p(X) := X4 -f X3 +X2 +X +1 est irréductible sur Q (Cf. [13]) et ses racines
2kni
sont les exp ——, 1 < k < 4, deux à deux distinctes dans C.

42
Chapitre 3. Extensions normales - Extensions séparables
Le polynôme irréductible p(X) est donc séparable sur Q.
2) Il s'agit d'un exemple de polynôme irréductible inséparable.
Soit p un nombre premier impair ; posons = Z/pZ.
Soit t un élément appartenant à une extension de ¥p et transcendant sur Fp. On considère
l'extension simple transcendante de Fp obtenue par l'adjonction de t et on pose
Soit f{X) :=XP-t dans K[X].
Désignons par E un corps de décomposition de / sur K et soit a une racine de / dans E ;
donc ap =t.
Or, d'après la définition de Af, on a carK = p > 2 ; par suite, dans K[X] ([13], Prop. 1.72) :
On en conclut que le polynôme / a p racines égales à a dans E.
Démontrons, maintenant, que le polynôme / est irréductible sur K.
Supposons / réductible sur K, donc dans K[X],
f(X)=g(X)h(X), avec \<degg<p, \<degh<p.
Compte tenu de l'unicité de la factorisation de f(X) dans E[X],
f(X) = (X-a)p =>g(X) = (X-a)s, \<s<p.
g(X) est un polynôme de K[X], donc son terme constant (—l)5^ est dans AT; montrons
qu'alors, a G K. En effet, p étant un nombre premier,
D'après le théorème de Bezout ([13], Àpp. A, Th. 0.31), il existe a et b dans Z tels que
as + bp = 1, d'où
{a = a(as+bri = (as)a(ap)h et a5 € AT, ap = t € K) => a E K.
Montrons que ce résultat conduit à une contradiction.
Par hypothèse, t est transcendant sur Fp, d'où (Th. 2.5)
K:=¥p(t).
(X-a)p=Xp-ap=Xp-t = f(X).
Quelle que soit la racine B de f(X) dans E, on a
0 = &p-t = Bp-ap = (B-a)p.
Un corps n'a pas de diviseur de zéro, donc
(B - a)p = 0 =► B = a.
\ <s < p =$> pAs=l.
a&K, donc il existe
v(X)
^GFp[X]telquea = ^.
ap = t <=> (v(t))p-t(w{t))p=0.
w(X)

§ 3. Extensions séparables
43
L'élément t est transcendant sur Fp, donc t n'est annulé par aucun polynôme non nul de
Fp[X] ; vérifions que (v(X))p-X (w(X))p n'est pas le polynôme nul.
Dans l'anneau factoriel FP[X],X est un élément irréductible et les polynômes v(X) et
w(X) s'écrivent de façon unique, à l'ordre près des facteurs :
v(X) = qt(X).. .qk(X); w(x) = r^X)...r,(X);
les q{,l <i< k, et les r-, 1 < j <l, étant irréductibles dans ¥p[X] et définis à une unité
multiplicative près ([13], Ch. 5).
Si (v(X))p-X(w(X))p=0, alors,
(ql(X))p...(qk(X))p=X{rl(X))p...(rl(X))p.
On en déduit que ([13], Prop. 5.26) kp = l-\-lp, d'où p(k-l) = 1, ce qui est impossible,
puisque p est premier dans Z.
On en conclut que que le polynôme f(X) = Xp — t est irréductible et inséparable sur
K = Fp(t).
Remarque 3.22. Dans tout ce qui suit, K désigne, de nouveau, un corps quelconque.
On rappelle qu'un polynôme /, non constant de K[X], n'a que des racines simples dans
un corps de décomposition sur K si et seulement si son polynôme dérivé /' vérifie ([13],
Cor. 8.49) :
/VO et /A/ = l.
Proposition 3.23. Soit f(X) G K[X] \K et f(X) son polynôme dérivé ; alors,
l)carK = 0==> /'(X)^0.
2)carK = pïO=>(f(X)=0 <=> f(X)=g(Xp))J
où g(X) est un polynôme de K[X].
Démonstration. Posons n := degf > 0; alors dans K[X],
(f(X) = £ af', a„ÏO)^ f'(X) = £ iapc'-K
0<i<n l<i<n
1) car K = 0; alors, an ^ 0 => nan + 0 =» /'(X) ^ 0.
2) carK est un nombre premier p ; l'expression de f(X) implique
/(X) = 0 Vi(l <i<n), iat = 0
Vi(l <i</i), {ai = 0o\ip\ï).
On en déduit que
f(X) = 0 <=* f(X)= £ bjPCkp^ où r G N*, bk£K,Vk(0<k< r)
0<k<r
*=^f(X)=g(Xp), où g(X)= £ bfCk. □
0<k<r
Théorème 3.24. K étant un corps,
- Si carK = 0, alors tout polynôme irréductible de K[X] est séparable sur K.
- Si carK = p ^ 0, alors un polynôme irréductible f(X) de K[X] est inséparable sur K
si et seulement si
f(X)=g(Xp), où g(X)£K[X}.

44
Chapitre 3. Extensions normales - Extensions séparables
Démonstration. - Si carK = 0 et si f(X) est un polynôme irréductible de K[X], alors /
est non constant, donc /' est non nul (Prop. 3.23) et
degf < degf dans K[X).
L'irréductibilité du polynôme / implique alors : f Af = 1 ([13], Prop. 5.47). On en
conclut que / est séparable sur K (Rem. 3.22).
- Si carK = p ^ 0, pour un polynôme f(X) irréductible de K[X], deux cas sont
possibles :
a)f(X) j£ 0, alors comme dans le cas de la caractéristique nulle, / A/' = 1,
donc / est séparable sur K.
b)f(X) = 0, alors le polynôme irréductible / a au moins une racine multiple dans un
corps de décomposition sur K (Rem. 3.22.), donc est inséparable sur K et( Prop. 3.23)
f{X) = 0 si et seulement si
f(x) = g(x*), où g(x)eK[x]. □
B. Notion d'extension séparable - Corps parfaits
Définition 3.25. :
1) Un polynôme f(X) G K[X] \K sera dit séparable sur K si tous ses diviseurs
irréductibles sont séparables sur K.
2) Etant donné une extension L de K, on dit qu'un élément a E L est séparable sur K si
a est algébrique sur K et le polynôme IrrK(a,X) est séparable sur K.
3) On dit qu'une extension L de K est séparable sur AT(ou que l'extension L : K est
séparable) si tout a € L est séparable sur K.
4) Un corps K est dit parfait si toute extension algébrique de K est séparable sur K.
Remarque 3.26. :
a) D'après la Déf. 3.25., 1), un polynôme séparable, qui n'est pas irréductible, n'a pas
nécessairement que des racines simples dans un corps de décomposition.
b) Dans la Déf. 3.25., 2), 3) impliquent que toute extension séparable sur K est algébrique
sur K.
Théorème 3.27. Un corps K est parfait si et seulement si
carK = 0 ou carK = p^0 et K = {ap \aeK}.
Démonstration. Soit L une extension algébrique de K.
- Si carK = 0, alors tout élément de L est séparable sur K (Th. 3.24), donc L : K est
séparable et K est un corps parfait.
- Si carK = p > 0, posons Kp := {ap ; a e K} et supposons K = Kp ; soit a G L et
q(X):=IrrK(a,X).
Si q(X) est inséparable sur K, alors q(X) est de la forme (Th. 3.24)
q(X)= £ bkXkp,oiireN*,bkeKiVk{0<k<r). (3.10)
0<k<r
K = Kp =»V*(0<*<r), 3ckG K, telque^ = c/, (3.11)
d'où q(X)= £ ckp(Xk)p={ £ ckXk)p, (3.12)
0<k<r 0<k<r

§ 3* Extensions séparables
45
puisque carK = p ([13], Prop. 1.72). Le résultat (3.12) est alors en contradiction avec
l'irréductibilité de q(X) dans K[X], donc q(X) est séparable sur K; par suite, L est
séparable sur K et AT est un corps parfait.
Réciproquement, considérons un corps parfait AT; alors, carK = 0 ou carK = p non nul.
Montrons que, dans le second cas, on a K = Kp.
Soit b G AT; si b = 0, alors b = 0^ ; on suppose donc b ^ 0 et on considère le polynôme
Xp-b.
Dans l'anneau factoriel K[X]9 il existe au moins un polynôme irréductible q(X) divisant
Xp - b et on peut supposer q(X) unitaire.
Soit a, appartenant à une extension de K, tel que q{àj= 0; alors a est aussi une racine du
polynôme Xp - b et dans AT(a) [X], on a
Xp-b = Xp-ap = (X-a)p, puisque car AT = p.
| Xp - b => q{X) = {X-a)m,\<m<p.
Mais K étant parfait par hypothèse, q(X) est séparable sur AT, d'où nécessairement, m = 1,
doncaGATetap = £; par suite, K = KP. □
Remarque 3.28. Si K est un corps tel que carK = p ^ 0 et K = Kp, alors
K = Kpn := ; a € AT}, quel que soit l'entier n > 0.
Théorème 3.29. Zfomr donné des extensions de corps L:KetM:L,ona
M : K séparable => M :LetL:K séparables.
Démonstration. On peut supposer AT Ç L Ç M. Il est immédiat que
(L Ç M et M séparable sur AT) =>> L séparable sur AT.
Montrons que M est séparable sur L.
Soit a € M; par hypothèse Af : AT est séparable, donc a est algébrique sur K. Posons
pa(X) :=IrrK(a,X).
(Pa(X) G K[X) et AT Ç L) => p«(X) G L[X]
et Pa(cc) = 0 a algébrique surL.
Posons qa(X) := IrrL(a,X) ; dans L[X], on a (Th. 2.8)
(*ap0 = /rrL(a,X) etpa(a) = 0)=>qa(X) \ pa(X).
a G M et M est séparable sur AT, donc pa(X) est un polynôme irréductible séparable sur
K. On en déduit que
(qa(X) | Pa(X) dans L[X])=» ça(X) séparable surL,
d'où a séparable sur L, et par suite, M : L est séparable. □
Proposition 3.30. Soit L : K une extension de degré fini, normale et séparable, alors L est
corps de décomposition sur K d'un polynôme séparable.
Démonstration. On suppose [L : K] > 1 ; L est normal et de degré fini sur AT, donc L est
corps de décomposition d'un polynôme non constant, f(X), de K[X] (Th. 3.15).
De plus, L est séparable sur AT, par suite, tout facteur irréductible de f(X) étant scindé sur
L, est séparable sur K. On en conclut que f(X) est séparable sur K (Déf. 3.25). □

46
Chapitre 3. Extensions normales - Extensions séparables
La réciproque de la Prop. 3.30 sera démontrée au Ch. 7 (Th. 7.20).
Théorème 3.31. Théorème de l'élément primitif
Soit L une extension d'un corps K telle que
[L:K]<oo et L : K séparable,
alors L est une extension simple de K.
Démonstration. Dans cette preuve, nous supposons K de cardinal infini ; dans le cas
d'un corps fini, le théorème résulte de propriétés qui seront vues au Ch. 4. (Rem. 4.14).
Posons [L:K] =n> 1.
-Etudions le cas où n = 2. Soit {a,j3} une base de L sur AT, alors L = Af(a,j3) (Rem.
1.25).
Les hypothèses impliquent que L est algébrique sur AT; posons
pa(X):=IrrK(a,X)ipp(X):=IrrK(P,X) et f(X):=pa(X)pfi(X).
Soit M un corps de décomposition sur AT du polynôme f(X) contenant L.
Posons degpa = r > 0 et degp^ = s > 0; soit
ax = a, «2,..., ar les racines de pa(X) dans Af,
fix = /?, J32,..., J35 les racines de Pp(X) dans M.
L est séparable sur AT, donc les al? 1 < i < r, (resp. jSy, l<j<s) sont deux à deux distincts
dans Af et (Prop. 3.5)
Montrons qu'il existe r G AT* tel que
V(î,j) (2 < i < r, 2 < j < s), (Xi + tpj ^a+tp. (3.13)
En effet, l'ensemble
*=|-f5f :2<i<r,2<y<j| (3.14)
est une partie finie, non vide de Af* = Af \ {0} ; or le corps K étant de cardinal infini, il
existe nécessairement f G AT* tel que t £ <t> et
t$ <ï> =». a + fj3 ^ a,V(i,y) (2 < i < r, 2 < ; < s).
Pour r fixé dans K et vérifiant la condition (3.13), posons Q :— a + tB ; on a alors
a» V(iJ) (2 < / < r, 2 < j < s).
Considérons le polynôme composé ([13], Ch. 4) h(X) := pa(8 - tX) dans K(d)[X] ; alors
h(B)=pa(a) = 0 et Vj(2< j< s), h(Bj) = pa(6-tBj) ^0.
On en déduit que B est algébrique sur K(0) et que B est la seule racine commune aux
polynômes h(X) et pp(X) éeK(9)[X}. On pose := IrrK(0)(B,X).
PpiP) = 0 MPO I PP(X), dans
h(B) = 0=* n(X) \h(X), dansK(0)[X].

§ 4. Extensions purement inséparables
47
Toute racine de ju(X) est donc une racine commune aux polynômes h(X) et Pp(X).
D'autre part, L est séparable sur AT, donc séparable sur Af(0), par suite, nécessairement,
H(X) = X - p. On en déduit que J3 G AT(0) ; alors,
(e = a + $p et r e K*)=> a e K(0),
d'où AT(a, J3) = AT(0) ; ainsi le théorème est démontré pour n = 2.
- Pour n > 2, on peut écrire L = K(al,a2,..,an), où {c^, o^,..., an} est une base de L
sur AT et on raisonne par récurrence sur n.
On suppose la propriété vraie pour toute extension séparable de AT, de degré n — 1 ; en
particulier, il existe un élément 0 G AT(a1,..., an_ x ) tel que
K(av...,an_l)=K(ey9
alors L = AT(0, oh) et d'après l'étude du cas « n — 2 », il existe un certain À G L tel que
L = K(X). □
Définition 3.32, Pour une extension L : K séparable et de degré fini, on dit que À G L est
un élément primitif, si L = K(X ).
Exemple 333. Dans la remarque 1.19., on a montré que
Q(v/2,\/3) = Q(^+^),
donc y/2 4- V? est un élément primitif pour l'extension <Q>( V5, >/3) : Q.
4. Extensions purement inséparables
Définition 334, Soit L : AT une extension de corps ;
1) Un élément a G L est dit purement inséparable sur AT si
ï) a est algébrique sur AT,
iï) il existe m G N* tel que IrrK(a,X) = {X- a)m, dans L(X).
2) L' extension L de AT est purement inséparable sur K si tout a G L est purement
inséparable sur AT.
Remarque 3.35. Compte tenu du 1) de la Déf. 3.34, toute extension L : AT purement
inséparable est une extension algébrique.
Proposition 3.36. Etant donné une extension de corps L: K, un élément a G L est à la
fois, purement inséparable et séparable sur AT, si et seulement si a G AT.
Démonstration. Les Déf. 3.34. et 3.20., impliquent que a G L est à la fois, purement
inséparable et séparable sur AT, si et seulement si
a est algébrique sur K et IrrK(a,X) = X - a,
c'est-à-dire a G AT. □
Remarque 3.37. Si AT est un corps parfait (Déf. 3.25, 4)), toute extension algébrique L
de AT est séparable, donc les seuls éléments de L purement inséparables sur AT sont les
éléments de AT, ce qui ne présente pas un grand intérêt.
En conséquence, nous supposerons, dans tout ce paragraphe, que K n'est pas un corps
parfait, autrement dit (Th. 3.27),
carK = p^0 et K^KP (Kp = {ap ; a G AT}). (3.15)

48
Chapitre 3. Extensions normales - Extensions séparables
Proposition 3.38. Soit Lune extension d'un corps K vérifiant (3.15), et un élément a E L
algébrique surK ; il existe alors k£N tel que ap est séparable sur K.
Démonstration. Posons /«(X) := IrrK(a,X) et n := deg fa.
- Si n = l,fa(X) = X - a, donc a E AT est séparable sur Af.
- Pour n > 1, raisonnons par récurrence sur n.
Si a est séparable sur AT, la propriété est vérifiée avec k = 0.
Si a est inséparable sur AT, alors (Th. 3.24)
fa(X)=g(XP),oùg(X)£K[X\.
On en déduit que, dans K[X], on a deg g < degfa et fa(X) irréductible et unitaire implique
g(X) irréductible et unitaire. Par suite,
g{ap)=0=^g{X)=IrrK(aP,X)
et l'hypothèse de récurrence implique qu'il existe kf G N tel que
(ap)p est séparable sur AT,
d'où séparable sur AT, pour k = kf +1. □
Théorème 3.39. Etant donné une extension L d'un corps K vérifiant (3.15), un élément
a E Lest purement inséparable sur K si et seulement s'il existe r E N etaeK tels que
fa(X) :=IrrK(cc,X)=XPr-a.
Démonstration. Supposons a purement inséparable sur AT ; il existe m E N*, tel que
fa(X) = (X-a)m, dansL[X].
L' entier m s'écrit de façon unique
m = spr, où r E N et p\s, dans N*, d'où
fa(X) = {X- a)spr = (Xpr - apry, dans L[X}.
Or, les coefficients du polynôme fa(X) sont dans AT, donc en particulier, le coefficient de
X^"1)^, c'est-à-dire ±sap\ appartient à K ; alors
p AS = i slK yé: 0 a? E AT;
(X - a)m = (Xpr - apr)s irréductible sur AT => s=l,
d'où fa(X) = (X- a)m = Xpr -a, où a := apr E AT.
Réciproquement, si a E L et fa(X) = Xpr - a, dans K[X], alors a = a^r ; par suite
fa(X)=XPr-aPr = (X-a)p\
donc a est purement inséparable sur AT. □
Théorème 3.40. AT ^tanf un corps vérifiant (3.15), si L: K est une extension purement
inséparable, de degré fini, alors [L : K] est une puissance de p.
Démonstration. L'hypothèse [L : AT] < oo implique que L est obtenue par l'adjonction à AT
d'un nombre fini d'éléments algébriques sur AT (Th. 2.29) :
L = K(av(x2,...,an), n E N*.
Posons Kx := K(al),K2 := Kx(o^), ..,Kn := A^(ofe) = L.
Par hypothèse aj est purement inséparable sur AT ; montrons que pour tout j{2<j<n),0Cj
est purement inséparable sur Kj_x.
Etant donné 7(2 < y < ai), posons
fj(X):=IrrK(aJ}X) et :=/rr^ t(a;-,X).

§ 4. Extensions purement inséparables
49
ctj est purement inséparable sur Af, donc dans Kj[X], on a
fj(X) = (X-aj)mJ, où mj£N\
D'autre part, dans Kj_x[X],
{gj(X)=IrrKjJaj,X) et/.(a.) =0) =► gj(X) \ fj(X),
d'où, gj{X) = (X-aj)m'j, l<m'j<mp dansN.
Par suite, ay est purement inséparable sur K._x.
Posons Af0 := Af ; d'après le Th. 3.39, pour tout j (1 < j < n), il existe r;- G N et aj G AT/_1
tels que
gj(X)=XPJ-aj.
On en déduit que
Vy(l < j < n), [Kj : AT._J = [Kj_l(cCj) : Kj_x\ = //V.
Par suite,
[!:*] = [£,:*] = If,:f/-i]= Il
l<j<n l<j<n
donc [L : AT] est une puissance de p. □
Théorème 3.41. K étant un corps vérifiant (3.15), soit a£K\Kp ; alors, pour tout entier
n>0,le polynôme f(X) := X^ — a est irréductible sur K.
Démonstration. Soit q(X) un diviseur irréductible et unitaire de f(X) dans K[X] et soit
K(a) un corps de rupture de q(X) (Déf. 2.21).
q(a) = 0 ==> /(a) = 0 = a? - a.
Dans K(a)[X], on a
/(X) = XPn -aPr = {X- a)P", puisque carK = p.
Par suite, tout diviseur, irréductible et unitaire h(X) de f(X) dans AT[X] s'écrit, dans
K(a)[Xi
h(X) = (X- a)pm, 0<m<n dans N;
alors h(a) =0=> q(X) \ h(X) dans K[X].
Les polynômes q(X) et h(X) étant irréductibles et unitaires dans K[X], on en déduit que
q(X) = h{X). Ainsi f(X) est nécessairement une puissance de q(X) :
/(ï) = (?(X))*,tGN*, et degf = pn=>kdegq = pn.
Par suite, les entiers k et degg sont des puissances de p ; d'où
f(X) = (^(X))^, pour un certain r G N.
Soit c G AT, le terme constant de q(X) ; le terme constant de f(X) est alors
a = (±cY\ où r G N.
En supposant r > 0, on aurait a G A7, ce qui est contraire à l'hypothèse, donc r = 0 et
f{X) = XP" - a = q(X) est irréductible dans K[X]. □
Théorème 3.42. Soit L une extension d'un corps K vérifiant (3.15), alors a e L est
purement inséparable sur K si et seulement s'il existe r G N tel que apf G K.
Démonstration. D'après le Th. 3.39, si a est un élément de L purement inséparable sur
AT, alors il existe un entier r > 0 et a G K tels que
fa(X)=IrrK(a,X)=XPr-a,
donc apr = a£ K.
On remarque que r est alors le plus petit élément de N tel que a? G K.
En effet, s'il existait un entier / tel que 0 < / < r et ap =b G AT, a serait racine du

50
Chapitre 3, Extensions normales - Extensions séparables
polynôme g(X) :=XP -b £ K[X], de degré strictement inférieur à celui /«(X), ce qui
est impossible.
Réciproquement, soit a E L tel que apr E AT, pour un certain entier r > 0. On peut
supposer que r est le plus petit élément de N satisfaisant à cette condition.
Si r = 0, alors a E AT, donc a est purement inséparable sur K.
Si r > 0 et apf E K, supposons que apT E Kp ; il existe alors b E K tel que apr =bp,ce
qui implique a? 1 =b€K, d'où une contradiction avec l'hypothèse de minimalité faite
sur r. On en déduit que
(r > 0 et apr E AT) apT £ Kp.
D'après le Th. 3.41., le polynôme XpT - a? est irréductible sur AT, et nécessairement
IrrK{a,X) = XpT - apT = (X - a)*7',
donc a est purement inséparable sur K. □
5. Exercices
1. Soit f(X) = X4 +X2 + 1 dans Q[X].
1°)/(X) est-il irréductible dans Q[X] ?
2°) Existe-t-il des racines de f(X) dans Q ? ou dans R ?
3°) Vérifier qu'il existe un corps de décomposition F, de f(X) sur Q, contenu dans C.
Déterminer [F : Q],
2. AT étant un corps, soit f(X) E AT[X] tel que degf — n>\.
Démontrer que f(X) est irréductible dans K[X] si et seulement s'il n'a aucune racine
dans les extensions L de AT telles que
[L : AT] < [^], où [^] désigne la partie entière de ^.
3. Soit f(X) E AT[X] où AT est un corps ; on suppose degf = n>l.
1°) Soit px (X) un diviseur irréductible et unitaire de f(X) dans K[X].
a) On note Lx un corps de rupture de px (X) sur K ; montrer que
1 < [Lx : K] < n.
b) Soit F un corps de décomposition de f(X) sur AT. Démontrer que
1 < [F : AT] < ni
2°) On suppose que le polynôme / est irréductible sur K ; prouver que l'on a alors,
n < [F : K] < n\ et n divise [F : AT].
3°) Vérifier que les polynômes
f(X)=X3-2 et £(X)=X4-2
sont irréductibles sur Q.
F (resp. E) désignant un corps de décomposition de / (resp. g) sur Q, déterminer
[F : Q] et [F : Q].
4. Soit Z/2Z = {0,1} le corps à 2 éléments ; on pose F2 := Z/2Z.
Dans ¥2[X], on considère le polynôme f(X) := X2 +X -f 1.
1°) Vérifier que f(X) est irréductible sur F2. Etant donné une racine a de f(X) dans
une extension de F2, préciser le degré de F2(a) sur F2.
2°) a) Montrer que F2(a) est corps de décomposition de f(X) sur F2 et écrire la
factorisation de f(X) dans F2(a)[X].

§ 5. Exercices
51
b) Soit K := {0, l,a,a+ 1}. En écrivant les tables d'addition et de multiplication
des éléments de AT, montrer que K est un sous-corps de F2(a) ; en déduire l'égalité
F2(a)=K.
5. Soit y:= y/2 + y/2 dans E.
1°) Déterminer p(X) :=Irrq(y,X).
2°) Montrer que le polynôme p(X) a un corps de décomposition K sur Q tel que
Q C AT C E.
Préciser le corps AT et déterminer [AT : Q].
6- Soit f(X) = X4 + 4X2 + 2 dans Q[X].
1°) Vérifier que /(X) est irréductible sur <Q> ([13], Prop. 5.112 et 5.108) et réductible
(c'est-à-dire non irréductible) sur q(y/2).
2°) Trouver un corps de décomposition F de f(X) sur Q tel que
Q C Q(\/2) C F c C.
- Préciser les degrés [F : q] et [F : Q(\/2)].
- F est-il corps de décomposition de f(X) sur Q(y/2) ?
7. Soit K := Q(iJ, y/2), où i2 = -1, j3 = l,y ^ 1, dans C.
1°) a) Vérifier que AT est une extension algébrique, de degré fini sur Q. Calculer
[K:q).
b) Justifier l'existence d'un élément À G AT tel que AT = q(X).
2°) a) En tenant compte de la Rem. 1.19.b) (Cf. Exemple 3.33.), prouver que
K = Q(i9y/2 + y/3).
b) Déterminer le polynôme /atq(\/2 + y/3,X).
c) En suivant la démonstration du Théorème de Vêlement primitif (Th. 3.31), trouver
un élément X e K tel que K = Q(Â).
8. Soit AT un corps de caractéristique p ^ 0 et AT(a) une extension simple, transcendante
de AT (Déf. 2.2).
1°) Démontrer que le polynôme Xp — ap est irréductible sur K(ap) ; en déduire que
[ff(a) :*(«')]= P.
2°) Soit AT(/î) une extension simple, transcendante de AT, telle que
a£AT(j3)et/3£A:(a).
a) Prouver que [AT(a,j8) : JT(a',0')] = p2.
b) Vérifier que w G AT(a,j3) € K(ap,jip) ;
en conclure que K(a, J3) n'est pas une extension simple de K(ap,pp).
9. Soit AT un corps, /? un nombre premier et a un élément donné dans AT, tel que
On suppose, dans toutes les questions qui suivent, que le polynôme Xp — a est
irréductible sur K et on note a une racine de ce polynôme dans une extension de AT.
1°) Donner l'expression d'un élément quelconque de K(a) en fonction de a.
2°) On suppose carK = p.
Démontrer que le polynôme Xp — a n'a pas de racine dans K(a).
3°) On suppose p = 2 et carK ^ 2.
Démontrer que le polynôme Xp — cca. une racine dans K(a) si et seulement si —4a est
une puissance 4e"1* dans AT (c'est-à-dire qu'il existe jc G K tel que — 4<2 = jc4).
4°) On suppose p ^ 2 et car AT ^ p.

52
Chapitre 3. Extensions normales - Extensions séparables
Soit L un corps de décomposition sur K du polynôme Xp — 1.
a) Vérifier que Xp - 1 n'a que des racines simples dans L.
b) On note F l'ensemble des p racines de Xp — 1 dans L.
- Vérifier que T forme un sous-groupe cyclique du groupe multiplicatif L* = L\ {0}.
- En déduire que, pour tout e ^ 1 dans T, on a L = K(e).
- Déterminer le produit ee2e3... ep~1.
5°) On suppose toujours p^2 et carK ^ p.
Soit e ^ 1 dans le groupe T défini dans la question précédente.
On suppose que le polynôme Xp — a, irréductible sur Af, par hypothèse, est, de plus,
irréductible sur K(e).
On poseAf = K(a,e).
a) Vérifier que le polynôme Xp -a est séparable sur K et que, pour 0 <i< p - 1, les
éléments ael sont les racines de Xp — a dans M.
En conclure que Af est une extension de degré fini, normale et séparable sur K.
b) Montrer que, pour tout entier i, 0 < i < p — 1, il existe un automorphisme ct du
corps Af tel que
ci(a) = aeictai/m = idK{e).
(On remarquera que M = K(e)(a) =K(e)(£icc), V/(0 < i < p - 1)).
c) Le but de cette question est de prouver que le polynôme P-an'a pas de racine
dans K(a).
On suppose qu'il existe J3 € AT(a) tel que = a, il s'agit alors de montrer que cette
hypothèse conduit à une contradiction avec l'irréductibilité sur K du polynôme Xp — a
- Vérifier que jip — a implique K(f}) =K(cc). En déduire que j3 est algébrique sur K.
- On pose g(X) := IrrK(p,X). Quel est le degré du polynôme g(X) ?
Montrer que g(X) est scindé sur M.
- Les <T£., 0 < i < p — 1, étant les automorphismes de M définis dans la question 5°)b),
on pose, pour tout i",
- Prouver que les j3l5 0 < i < p - 1, sont exactement les racines de g(X) dans Af. On
pose
Comparer b au terme constant de g(X).
Calculer bp ; en conclure que Xp — a n'a pas de racine dans K(a).
10. Soit d une dérivation d'un corps AT (Ex. 8., Ch. 1). Pour tout f(X) = £ a^Y', dans
o</<*
K[X], on pose
£ d(at)Xl.
0<i<n
1°) Calculer (/+£)d et (fg)d pour / et g dans AT[X].
2°) Soit K(a) une extension simple de K.
a) On suppose qu'il existe une dérivation dx de K(a) prolongeant d (c'est-à-dire que
dl/K = d).
Pour tout n E N, calculer dx(an) ; en déduire ^(/(a)), pour tout f(X) E AT[X].
b) On considère le morphisme
0:K[X]—>K(a)
f(X)>->f(a).

§5. Exercices
53
On pose K[a] := Im 6 et on note 0X la restriction surjective de 0 ; autrement dit :
6X : K[X] —► K[a] et pour tout f(X) G K[X]9 0X (f(X)) = f(a).
Comme dans l'Ex. 8., Ch. 1, on définit l'anneau de matrices
A#(*(a)):={(j ; (x,y) G K(a) x AT(o)|.
Soit /J G tf(a) ; on considère l'application
<p:AT[X] —► M(AT(a))
f{a) fd(a)+f'(a)B
/(X)l V 0 /<«)
où /'PO désigne le polynôme dérivé de f(X).
Vérifier que (p est un morphisme d'anneaux unitaires.
3°) Comme précédemment, soit K(a) une extension simple de K.
a) On suppose a transcendant sur K et, comme ci-dessus, on note 0X la restriction
surjective de 0. Justifier les propriétés suivantes :
0j est un isomorphisme et K(a) est le corps des fractions du domaine d'intégrité K[a}.
On pose çl=çoQl~l et on note e l'injection canonique de K[a] dans K(a). Prouver
qu'il existe un unique morphisme d'anneaux unitaires y de K[a] dans M(K(a)) tel
que i/Aoe = (pv
En déduire que, pour tout j3 G K(a), il existe une unique dérivation dx de K(cc) qui
prolonge 5 et telle que dx (a) = j3 (Cf. Ex. 8, Ch. 1).
b) On suppose a algébrique sur K et p G AT (a) ; on considère
p(X) := IrrK(a,X) et on note n la surjection canonique de K[X] sur
K\X]
En identifiant Af(a) à ^ (voir la preuve du Th. 2.11), montrer qu'il existe un
\P\X))
unique morphisme d'anneaux unitaires
y/de #(a) dans Af(ÀT(a)) tel que xffon^cp
si et seulement si on a
(p(X))ÇKerç. (3.16)
Montrer que la condition (3.15) équivaut à la condition
pd(a)+p'(a)p=0. (3.17)
En déduire que la condition (3.16) équivaut à l'existence d'une dérivation dp de K(a)
prolongeant d et telle que dp(cc) = p.
Vérifier que si la dérivation dp existe, alors elle est unique.
- Si a est séparable sur AT, prouver que dp existe pour une seule valeur de p G K(a).
-Si a est inséparable sur K et si p(X) = £ cpt1, démontrer que dp existe, pour tout
0<i<d
p G K(a), si et seulement si d(q) = 0, quel que soit i (0<i<d).

Chapitre 4
Corps finis
Signalons que les corps finis sont encore appelés « champs de Galois », mais nous
n'utiliserons pas ce vocable.
1. Cardinal d'un corps fini
Rappels :
a) Tout corps fini (c'est-à-dire de cardinal fini) est nécessairement de caractéristique non
nulle (Rem. 1.7).
b) Pour tout nombre premier p, le corps Z/pZ est de cardinal p et de caractéristique p
(Ch. 1).
c) Si V est un espace vectoriel sur un corps K, alors (voir un cours d'Algèbre Linéaire)
dimKV = n<oo V~Kn. (4.1)
Notations :
a) p étant nombre premier, on notera Fp, le corps Z/pZ.
b) Le cardinal d'un ensemble X sera noté card(X) ou |X|.
Théorème 4.1. Si K est un corps fini de caractéristique p, il existe alors un entier n>l
tel que \K\ = pn.
Démonstration. K est un corps de caractéristique p^O, donc K est une extension de ¥p
(Ch. 1) ; on peut supposer ¥p Ç AT, alors,
(F^ÇA: et \K\<oo)=^[K:¥p]<oo.
Posons n := [AT : F^] ; ainsi AT est un espace vectoriel de dimension finie, n, sur F^ ; d'où
AT ~ ¥pn (Rappel c), ci-dessus), ce qui implique \K\ = pn. □
2. Groupe des éléments non nuls d'un corps fini
A tout corps K on peut associer le groupe multiplicatif abélien AT*.
Si AT est un corps fini de cardinal pn (Th. 4.1), alors K* est un groupe abélien fini de
cardinal pn- 1.
Théorème 4.2. Le groupe multiplicatif des éléments non nuls d'un corps fini est cyclique.

56
Chapitre 4. Corps finis
Démonstration. 10 ) Rappels ([ 12], Ch. III)
Un groupe fini G est cyclique s'il est engendré par un élément x et dans ce cas (en
supposant que G est un groupe multiplicatif),
\G\ = m=>G = <x>= {jc* ; 0<fc<m-l}.
L'élément x est alors un générateur de G.
Le nombre des générateurs d'un groupe cyclique G d'ordre m est <p(m), où (p est la
fonction d'Euler ([12], Prop. 3.21).
De plus, pour tout diviseur d de m dans N*, le nombre des éléments de G, d'ordre est
(p(d) > 0 et
m=£ç>(</). \<d<m. (4.2)
d\m
2°) Le Th. 4.2 résultera du lemme suivant ([12], Ex. 19, Ch. III).
Lemme 43. Soit G un groupe (multiplicatif) fini d'ordre m ; si pour tout diviseur d de m
dans N, le nombre d'éléments xde G vérifiant l'égalité xf* = 1, est au plus égal à d, alors
G est cyclique ( 1 désigne l'élément unité de G).
Démonstration. On remarque que l'hypothèse du lemme ne suppose pas G abélien.
Quel que soit le diviseur d de m dans N*, désignons par X(d) le nombre des éléments de
G, d'ordre d. On a alors
X(d)>0 et m = YéX(d), \<d<m. (4.3)
d\m
(p étant la fonction d'Euler, montrons que
(1 < d < m, d | n et X(d) ^ 0) X(d) = ç(d).
En effet, X(d) ^ 0 implique qu'il existe au moins un élément y G G d'ordre d ; le sous-
groupe cyclique de G engendré par y, noté < y >, est alors d'ordre d et tout jc €< y >
vérifie : jc^ = 1.
Compte tenu de l'hypothèse du lemme, on en déduit que les seuls éléments jc de G,
vérifiant jc^ = 1, sont les éléments du groupe < y > . Par suite, les seuls éléments de G,
d'ordre d, sont les générateurs du groupe < y >, d'où
x(d) = <p(d).
Pour prouver que le groupe G est cyclique il suffit de montrer que X(m) est non nul. En
tenant compte des résultats (4.2) et (4.3), on obtient
Â(m) = m- £ X(d) > m- ]T (p(d) = (p{m) > 0,
d\m,d^m d\m7d^m
d'où X(m) ^0. □
3°) Preuve du Th. 4.2.
Pour un corps K fini, de caractéristique p et de cardinal pn (Th. 4.1), le groupe K* est
d'ordre pn-l.
Pour tout diviseur d de pn — 1 dans N*, le polynôme — 1 a au plus d racines dans K
([13], Cor. 4.48) et plus précisément, dans AT*, puisque 0 n'est pas l'une de ses racines.
On en déduit que le groupe fini AT* satisfait aux hypothèses du lemme 4.3, donc K* est
cyclique. □

§ 3. Caractérisation des corps finis
57
En particulier, le groupe ¥p* est cyclique d'ordre p—1.
Corollaire 4.4. Quel que soit le corps K (fini ou non), tout sous-groupe fini du groupe AT*
est cyclique.
Démonstration. En effet, si G est un sous-groupe fini de AT*, le raisonnement fait pour la
preuve du Th. 4.2 montre que le groupe G vérifie les hypothèses du lemm 4.3, donc G est
cyclique. □
3. Caractérisation des corps finis
Théorème 4.5, Etant donné n € N*, un corps AT, fini et de caractéristique p, est de
cardinal pn si et seulement si AT est corps de décomposition sur ¥p du polynôme Xp" — X.
Démonstration. Soit AT un corps fini tel que carK = pet \K\ = pn ; alors K est une
extension de ¥p et [K : ¥p] = n (voir la preuve du Th. 4.1).
De plus (Th. 4.2), le groupe AT* est cyclique d'ordre pn — 1, donc tout a G AT* vérifie :
Considérons le polynôme f(X) := Xp"-X = X(Xpn~l - 1) dans ¥p[X] ; alors tout
élément a de AT est racine du polynôme f{X).
D'autre part, car¥p = p implique f(X) = — 1, d'où / A/' = 1.
On en déduit ([13], Cor. 8.49) que le polynôme f(X) a pn racines simples dans un corps
de décomposition sur ; ce sont donc les pn éléments de AT. Par suite, K est corps de
décomposition du polynôme X^ — X sur ¥p.
Réciproquement, soit K un corps de décomposition sur Fp, du polynôme f(X) = Xp" —X.
Comme on l'a vérifié précédemment, f(X) n'a que des racines simples dans K.
Soit R = {ax, «2,..., apn} l'ensemble des racines distinctes de f(X) dans K. Montrons
que R est un sous-corps de K.
On remarque que {0,1} ÇR ; posons [l,pn] := {i G N ; 1 < i < pn}.
Pour tout / G [l,//1], on a at = afdonc quels que soient i et j dans [l,pn] :
On en conclut que R est un sous-corps de K. On a ¥p Ç R et f(X) scindé sur R ; or par
hypothèse, K est corps de décomposition de f(X) sur ¥p, par suite (Th. 3.3), R = K, d'où
Corollaire 4.6. Quels que soient le nombre premier p et Ventier n > 1, il existe un corps
fini de cardinal pn, défini à un Fp-isomorphisme près.
Ce résultat se déduit des théorèmes 3.3 et 4.5 et du Cor. 3.9.
Notation : Un corps fini de caractéristique p et de cardinal pn,n>0, étant unique à un ¥p-
isomorphisme près (Cor. 4.6), nous utiliserons couramment, la notation ¥pft pour désigner
un tel corps et nous supposerons ¥p Ç F^.
at-a
ij = af - ajp" = (at - a^, puisque carK = p.
1 = afia^)'1 = (a^.-1)^, en supposant ay. ^ 0.
□

58
Chapitre 4. Corps finis
4. Sous-corps d'un corps fini
Rappel ([13], App.A, Prop. 0.37):
Quels que soient les entiers a > 1,az > 0,s > 0, on a, dans N*,
(as-l) | (an-l) s\n. (4.4)
Lemme 4.7. Etant donné un corps K et un entier n > 1, alors pour s E N*,
Xs - 1 | Xn - 1, dans K[X] <=> s\n, dans N*. (4.5)
Démonstration. Ier cas : carK — 0 ou carK — pcXp\n.
Supposons s | n ; il existe alors un entier d > 1 tel que n — sd, donc dans le cas où
carK = p et p \ n, on a /? f s. On en déduit que
xn -1 = pn* -1 = (xs -1)^-1)+x^-2>+• • •+x+1),
d'où X5 — 1 | — 1, dans #[X].
Réciproquement, supposons X5 — 1 | X" — 1, dans ÀT[X] ; on a alors, 0 < .s < n, dans N.
On en déduit qu'il existe des entiers q et r tels que
n = sq + r, q>0, 0<r<s.
Par suite,
Xn- 1 =JTOr- 1 = (X5*- l)Xr+Xr- 1 ;
alors, Xs-l\Xsq-l ==> (Xs-l\Xn-l <^=> Xs- 1 \Xr- 1).
Compte tenu de la condition 0 < r < s, on en déduit que
Xs-\\Xn-\=> r = 0=> s\n.
2ème cas : carK = p^0etp\n.
Dans N, on peut écrire n = kpa, avec a > 0, /: > 0, p \ k, alors la condition carK = /?
implique
X" - 1 = (Xkya -\ = (Xh- \y\ (4.6)
Si s | n dans N, on a s = kfpP, où fc71 k, donc /? f kf, et 0 < j3 < a, d'où,
X5 - 1 = (X*p* - 1) = (Xe - l)pP;
par suite, (£' | fc, p\k, 0 < j3 < a) => (X* - 1)^ | (Xk - l)p<x
donc, s\n=>Xs-\ \Xn-l.
Réciproquement, supposons Xn - 1 = X**'" - 1 = (Xk - 1)?", où, dans N, p \ k et a ^ 0
; si X5 — 1 | X" — 1 dans AT[X], alors nécessairement,
X5 - 1 = (X*' - \)p\ avec kf \ k et 0 < j8 < a;
d'où, (Xs- 1 =X*^ - 1) $ = *y ==> 5 | n. □
Théorème 4.8. ôwe/s que soient le nombre premier p et rentier n > 1, il existe une
bijection entre l'ensemble des sous-corps de F^ et l'ensemble des diviseurs de n dans
N*. Plus précisément,
sous-corps de Fp„ s \ n, dans N*.

§ 5. Propriétés des corps finis
59
Démonstration. Rappelons que pour n = 1, le corps n'a pas de sous-corps propre
(Prop. 1.4) ; dans ce cas, on peut dire que le théorème est trivialement vérifié. On suppose
dans la suite, n > 1.
Notons S un sous-corps de F^ ; S est donc un corps fini de caractéristique /?, donc il existe
un entier s > 0, tel que |5| = ps (Th. 4.1). On peut écrire :
S = ¥pS et F^ÇF^ÇF^
D'après les Th. 4.5 et 3.3, F^ (resp. F^) est l'unique corps de décomposition sur F^, du
polynôme Xp" — X (resp. X^ — X), contenant F^.
La preuve du Th. 4.5 montre que F^ est un sous-corps de F^ si et seulement si toute
racine de XpS - X dans FpS est aussi racine de Xp" - X dans F^ ; alors, compte tenu des
résultats (4.4) et (4.5), on a
F^ sous-corps deFp„ (Xp5'x - 1) | (Xpn~x - 1), dans FP[X],
(p5-l)|(pw-l),dansN*,
<=> s | n, dansN*. □
Remarque 4.9. a) Si Fp Ç FpS Ç F^, alors le groupe multiplicatif Fp est l'unique sous-
groupe d'ordre ps — 1 du groupe cyclique Fp.
Le Th. 4.8 peut être démontré à partir de cet argument.
b) La preuve du Th. 4.7 montre que quel que soit le diviseur s de n dans N*, F^* est corps
de décomposition du polynôme Xp" — X, sur le corps F^.
5. Propriétés des corps finis
Lemme 4.10. Lemme de Frobenius
Soit K un corps de caractéristique p^O, alors l'application
<j>:K—>K
a^aP
est un endomorphisme de K, appelé endomorphisme de Frobenius.
5/ le corps K est fini, alors <f> est un automorphisme de K.
PourK = Fp, <t> = idK.
Démonstration. carK = p, donc quel que soit (a,b) G AT x AT, on sait que
+ = {a + b)p = ap + bp et (f>(ab) = (ab)p=apbp, déplus, </>(l) = 1.
Ainsi, (j> est un endomorphisme non nul, donc injectif do K.
Si K est fini, alors, <j> injectif ==> (j) bijectif, donc (j) est un automorphisme de AT, d'où
K = {ap ; a G AT}. (4.7)
si K = Fp, on a, quel que soit a G F^, ap = a, d'où (f> = idFp. □
Théorème 4.11. Tout corps fini est parfait.

60
Chapitre 4. Corps finis
Démonstration. K étant un corps fini de caractéristique p, l'égalité (4.7) est vérifiée,
donc, d'après le Th. 3.27, K est un corps parfait (Déf. 3.25). □
Théorème 4.12. Si K est un corps fini, alors toute extension de degré fini sur K est une
extension simple, normale et séparable de K.
Démonstration. On suppose carK = p et \K\ = pn, n > 0, donc [K : ¥p] = n.
Soit L une extension de K telle que AT Ç Let [L : Af] = r > 1 ; L est une extension algébrique
de K (Th. 2.26) et K étant un corps parfait (Th. 4.11), L est séparable sur K.
D'autre part,
([L :K]=r et [K : ¥p] = n) [L : ¥p] = rn.
On en déduit que L est corps de décomposition du polynôme Xp™ —X sur AT (Rem. 4.9
b)), donc L est une extension normale de K (Th. 3.15).
On a supposé r > 1, donc il existe g{X) E AT[X] tel que
XPrn-l-l = (XPn-l-l)g(X), degg>0. (4.8)
D'après la preuve du Th. 4.5, les éléments du groupe cyclique L* (resp. K*) sont les
racines du polynôme XPr°~l - 1 (resp. X^~x - 1).
Si X est un générateur du groupe L*, alors X g K*, donc X est une racine du polynôme
g(X) défini par la relation (4.8) et AT C K(X) Ç L.
Mais, L = {0} UL* = {0} U {Xk ; 1 < k < pm - 1} L Ç Af(À),
d'oùL = AT(A). □
Corollaire 4.13. /? ^ta/tf nombre premier, tout corps fini ¥pn est une extension simple,
normale et séparable de ¥p.
Démonstration. Il suffit d'appliquer le Th. 4.12 avec K = ¥p et L = ¥p„. □
Remarque 4.14. D'après le Th. 4.12, le Théorème de l'élément primitif (Th. 3.31) est
vérifié par toute extension de degré fini d'un corps fini.
D'après la preuve du Th. 4.12, tout générateur co du groupe cyclique F** est un élément
primitif (Déf. 3.32) pour l'extension ¥pfl : ¥p ; c'est-à-dire que
¥p„=¥p(œ).
Plus généralement, quels que soient le diviseur s de n dans N* et le générateur co du
groupe cyclique F£», on a
¥^=¥^((0).
pn-l
Précisons qu'en posant q := -, on a ([12], Ch. III)
ps-\
¥*pn = {(ùk\\<k<pn-\} et ¥*pS = {(ùql\\<l<ps-\}.
Mais, il est important de noter, qu'un élément a, primitif^pour une extension F^ : Fp,
donc tel que
¥pn=¥p(a),
n 'est pas nécessairement un générateur du groupe F*„. (Cf. Ex. 3. et 4. de ce chapitre).

§6. Exercices
61
Cette remarque sera utile au Ch. 6, pour l'étude des extensions et polynômes
cyclotomiques sur un corps fini.
Cependant, quels que soient le nombre premier p, l'entier n > 1 et l'élément a, primitif
pour l'extension Fp„ : Fp, on a
[F^ : Fp] = n degIrr¥p(a,X) = n.
On en conclut que pour tout nombre premier p et tout entier n>l:il existe au moins un
polynôme irréductible de degré n, dans FP[X}.
6. Exercices
1. Soit K un corps fini tel que \K\ = q(q est une puissance de la caractéristique de AT).
Comme dans l'Ex. 7., Ch.l, pour tout entier n > 0, on considère l'endomorphisme de
groupes
un : AT* —► K*
jc i—►
Démontrer que un est un automorphisme du groupe AT* si et seulement si
nA(q-l) = l.
2. Soit K un corps fini de caractéristique p.
1°) On suppose qu'il existe une involution a de AT (Cf. Ex. 11., Ch. 2) telle que a ^ idK.
On pose
La := {jc€ AT; a(jc) =jc}.
Compte tenu des résultats de l'Ex. 11., Ch. 2, montrer qu'il existe n G N*, tel que
11^1 = ^ et |*|=/>2n.
2°) Réciproquement, soit K = F ^ un corps fini de cardinal p2n, où p est premier et
n G N*. '
Démontrer que l'application
r:K—>K
est l'unique involution de AT, autre que idK, et que LT = F^,,.
3. Soit F2 le corps à deux éléments.
1°) Prouver que les polynômes
/?(X)=X4 + X + 1 et 4(X)=X4+X3+X2+X +1
sont irréductibles sur F2.
2°)0„posc*:-^«,.-Wx)).
Vérifier que AT et L sont des corps finis dont on précisera le cardinal ; sont-ils
isomorphes ?
3°) Soit, respectivement, net a les surjections canoniques de F2[X] sur AT et L. On pose
a = n(X) et j3 = a(X).

62
Chapitre 4. Corps finis
Montrer que a engendre le groupe cyclique AT*, mais que J3 n'engendre pas le groupe
cyclique L*.
Trouver, en fonction de /?, un générateur 7du groupe L* et en déduire un isomorphisme
<j0 de K sur L tel que q>^ = idF^ et (p{a) = y.
4. Soit F3 = Z/3Z.
1°) Montrer que les polynômes X3 - X +1, X3 - X - 1 et X2 -h 1 sont irréductibles
sur F3.
2°) On considère les quotients de l'anneau F3[X] par les idéaux respectivement
engendrés par ces polynômes ; on pose
~ FsW T F3W F3[Y]
(X3-X + l)' (X3-X-l)' (x2 + i)'
On note, respectivement, a, T les surjections canoniques de F3[X] sur AT, L, H.
Justifier les propriétés suivantes :
a) AT, L, H sont des corps finis ; préciser leurs cardinaux.
b) Les corps AT et L sont isomorphes.
c) AT, L, H sont des extensions simples de F3 telles que si
a := tt(X), j3 := <r(X) é* y := t(X), alors AT = F3(a), L = F3(jB) ef
H = F3(y).
3°) On considère les groupes cycliques K*, L*, H*.
a) Préciser l'ordre de chacun de ces groupes.
b) Démontrer que a (resp. j3) engendre le groupe AT* (resp. L*).
c) Prouver que y n'engendre pas le groupe H* et trouver un générateur de H*, en
fonction de y.
5. Carrés dans un corps fini
Soit AT un corps fini de caractéristique p et de cardinal q (q est une puissance de /?). On
pose
k:=fq, F2q:={x1;x€Fql Ff:=F2\{0}.
1°) Montrer que si p = 2, alors F^ = F2 (Lemme 4.10).
2°) On suppose p^2. Vérifier que l'application
va:f;—*f;
x 1—► jc2
est un endomorphisme du groupe F*.
En considérant Im \jf et Ker y/, prouver que |F*2| = ^ * ; en déduire |F2|.
3°) On suppose toujours /? 7^ 2. Démontrer les propriétés suivantes :
a) x G F* ==» jcV =±1.
b) jcgF;2 <=ï *V = 1.
c) -lGFJ2 9-1=0 (mod4).
d) Si — 1 et x ne sont pas des carrés dans F*, alors — x est un carré dans F^.
4°) Soit p un nombre premier impair ; dans le corps Fpi on pose
A:={-^;xeFp} et B := {1 -fy2 ; y e F^,}.

§6. Exercices
63
Montrer que \A\ = \B\ = .
En déduire qu'il existe x et y dans Fp tels que 1 -f jc2 -h y2 = 0.
En déduire qu'il existe des entiers a, b tels que /? | 1 -I- a2 4- fc2.
6. 1°) Etant donné un entier n > 1, soit /? un nombre premier divisant 1 4- (n!)2 dans N*.
a) Vérifier que l'on a p impair et p > n.
b) En application du 3°)c) de l'exercice 5) précédent, montrer que
\ + (n\)2 = 0 (modp) 4=> p-l=0 (mod 4)
En déduire qu'il existe une infinité de nombres premiers de la forme 1 +4m, m E N*.
Donner quelques exemples de tels nombres premiers.
2°) Soit p un nombre premier de la forme p = 4m 4- 1.
Dans FpfX], on considère le polynôme
f(X) :=X4m-l.
Justifier l'affirmation suivante : f(X) est scindé sur Fp et les racines de f(X), dans Fp,
sont les éléments de F* = Fp \ {0}.
3°) a) Prouver qu'il existe au moins un entier a G Z tel que p divise a2m +1. Pour un
tel entier a, on pose b = am ; montrer que p divise b2 4-1 dans Z.
b) On considère p dans l'anneau des entiers de Gauss Z[î] ([13]). Vérifier que /? n'est
pas premier, donc n'est pas irréductible dans Z[i]. En déduire qu'il existe, c + id€ Z[i],
différent d'une unité et non associé à p, qui divise p dans Z[i] ([13]).
- Démontrer que p
- En conclure que tout nombre premier p = 4m 4-1 dans N, est la somme des carrés de
deux entiers c et uniques au signe près, et tels que c A d = 1 dans Z.
c) Déterminer les nombres premiers p = 4m +1 tels que 1 < p < 30 et les écrire sous
forme d'une somme de deux carrés, dans N.
7. 1°) Prouver que le polynôme f(X) = X4 4-1 est irréductible dans Z[X] (Appliquer le
critère d'Eisenstein à f(X 4-1)).
En déduire que X4 4-1 est irréductible dans Q[X].
2°) Soit p un nombre premier. On considère /(X) = X4 + 1 dans FP[X], où Fp est le
corps à p éléments.
a) Montrer que f(X) est réductible dans F2[X].
b) On suppose, dans cette question, p premier impair.
Montrer qu'un élément a, appartenant à une extension K de Fp, est racine du polynôme
f(X) si et seulement si a est un élément d'ordre 8, dans le groupe multiplicatif K*.
Vérifier que 8 divise p2 - 1.
En déduire que pour tout nombre premier impair, le polynôme X4 -t-1 a une racine dans
le corps Fp2 (de cardinal p2).
3°) En utilisant le résultat de l'Ex. 2., Ch. 3, prouver que, quel que soit le nombre
premier p, le polynôme X4 -j-1 est réductible sur F^.
8. Etant donné un entier a > 1, sans facteur carré dans Z, on note y/â la racine carrée
positive de a, dans M, et on considère le polynôme
fa(X) := X4 + 2(1 -a)X2 + {\+ a)2.

64
Chapitre 4. Corps finis
1°) a) Soit i le nombre complexe tel que i2 = -1 ; montrer que le corps K := Q(i, y/a)
est corps de décomposition, sur Q, du polynôme /a(X).
b) On pose z:—i+y/â\ démontrer que K = Q(z) et que de plus,
/fl(X)=/rrQ(z,X).
En déduire que /a(X) est irréductible dans Z[X].
2°) Soit p un nombre premier ; on note la surjection canonique de Z sur Fp := Z/pZ.
Soit 5f : Z[X] —► ¥p[X] le prolongement canonique de n. On pose
Vn G Z, *(n) = » ; V*(X) E Z[X], g(X) = *(s(X)).
a) Pour p — 2, vérifier que le polynôme /fl(X) est réductible dans ¥2[X\.
b) Démontrer que, quel que soit p ^ 2, le polynôme /fl(X) est réductible sur F^, en
considérant les cas suivants :
1) p diviser.
2) p ne divise pas a et
ou bien, a est un carré dans F* ;
ou bien, â n'est pas un carré dans F* et
-1 est un carré dans F* ou -1 n'est pas un carré dans F*.
(Voir l'Ex. 5. de ce chapitre)
9. Etant donné un domaine d'intégrité A ([13], Déf. 1.21) on dira qu'un polynôme est
irréductible sur A, s'il est irréductible dansA[X].
1°) Soit A un anneau factoriel ([13], Déf. 5.87) et K := FrA, le corps des fractions de
A ([13], Déf. 5.2).
On considère un idéal premier / de A tel que B := A/I est : soit un anneau factoriel,
soit un corps.
Pour tout a G A, on note a la classe de a modulo /. Soit
f(X):= £ ^.X'EAM et/(X):= £ ZT^Efi[X].
0<Kn 0<i<n
On suppose n > 0 et ^ 0 ; démontrer que
f(X) irréductible sur B f(X) irréductible sur K. (4.9)
En déduire que si f(X) est irréductible sur B et f(X) primitif ([13], Déf. 5.102) dans
A[X], alors f{X) est irréductible sur A.
Applications :
a) Vérifier que X3 -\-X -h 1 est irréductible sur F2 = Z/2Z ; en déduire que le polynôme
X3 + 86X2 4- 525X -f 1341 est irréductible sur Z.
b) Prouver que X2 + Y2 + 1 est irréductible dans R[X, Y].
2°) Soit p un nombre premier et Fp = Z/pZ ; on considère le polynôme
/(X) :=XP-X-\, dansF^X].
a) Vérifier que /(X) n'a pas de racine dans ¥p.
b) Soit a une racine de /(X) dans un corps de décomposition, noté £, de /(X) sur ¥p.
Montrer que /(X) n'a que des racines simples dans E et que ces racines sont les a + a,
où a décrit Fp.
c) Prouver que Xp — X - 1 est irréductible sur ¥p ; en déduire que Xp - X - 1 est
irréductible sur Z.

§6. Exercices
65
3°) En utilisant le résultat de l'Ex. 2., Ch. 3, montrer que X4 +X -f 1 est irréductible
sur le corps F2 ; en déduire que les polynômes X4 +X + 1 et 3X4 — 6X2 -f- 19X 4- 9 sont
irréductibles sur Z.
4°) Compte tenu des résultats des questions 1°) et 3°) de l'Ex. 7. ci-dessus, vérifier que
la propriété exprimée par la relation (4.9) n'admet pas de réciproque.
10. Soit p un nombre premier et := Z/pZ.
1°) Soit q(X) un polynôme irréductible et unitaire dans F^[X], On pose d := degq > 1
et on note {q(X)) l'idéal de FP[X] engendré par q{X).
F [XI
a) Vérifier que ^ est un corps fini, dont on précisera le cardinal. Montrer que
\Q\X))
q{X) divise X^ -X dans Fp[X].
b) Soit n > 1 dans N ; démontrer que
q(X)\Xp"-X dansF^X] d \ n dansN*.
2°) Soit f{X) E FP[X] tel que n := degf > 1.
Soit n = rxr2... rk la factorisation de n en un produit de nombres premiers r-, 1 < / < jt,
les r, n'étant pas nécessairement distincts. Pour tout i(l <i<k), on pose rf. = —.
Démontrer que le polynôme f(X) est irréductible dans FP[X] si et seulement si les
conditions suivantes sont satisfaites dans FP[X] :
f(X)\X?-X et /(X)A(X^'-X) = 1, Vi(l<i<k).
3°) Soit D£ l'ensemble des polynômes de Fp[X], irréductibles, unitaires et de degré n.
a) Prouver que l'ensemble T)np est fini. On pose Ip := card(T>p).
b) Démontrer la relation :
X"-X = Hllq(X). (4.10)
d\n qeT>dp
En déduire que
pn = Y.dldp (4-n>
d\n
et que pour tout entier n > 1, on a pP > nlp.
c) A partir des résultats précédents, démontrer que pour tout entier n > 1, on a
nIp^Pn-jTT' <4'12)
11. Soit F^ un corps fini de cardinal où q est une puissance d'un nombre premier p.
Question préliminaire : Pour tout polynôme f(X) E F^JX], on pose
S(f) := I /(*).
xe¥q
Pour tout m E N, on considère S(Xm) := ]T x"1 ; prouver que
S(XW) = -1, si m = 0 ou si m > 1 et (q- 1) | m;
S(Xm) = 0, sinon.

66
Chapitre 4. Corps finis
Soit n G N* ; dans l'anneau Fq[Xv... ,X„], on désigne par SF une famille finie de
polynômes non constants :
y={/A;ÂGA}, l<|A|<oo.
On rappelle que x= (xl,...,xn) G F£ est un z^ra d'un polynôme /gF^[X1,...,X„], si
/(*)=0.
Soit V l'ensemble des zéros communs aux polynômes fx, X G A. Pour tout A G A, on
note le degré total de /A.
Le but des questions 1°) et 2°) est de prouver la relation (4.13) (Th. de Chevalley-
Warning, [43])
£ degfx < n =► |V| = 0 (mod p). (4.13)
Aga
1°) Dans F^[Xj... on considère le polynôme P défini par
Pour tout jc G FJ, on a donc P(jc) = ITagaC1 ~ f{~1 (*))•
Démontrer les propriétés suivantes :
a) jc G V P(x) = 1 ; ft) jc £ V => P{x) = 0.
2°) Pour tout / G F^pfj... ,X„], on pose := £ /(jc) .
*gFj
a) Démontrer que
|V|=5(P) (mod/?). (4.14)
b) Prouver que
£ degfx <n=^ degP < n(q- 1).
Aga
En déduire que P est combinaison linéaire sur Fp, de monômes de la forme :
xp.-.XT'i où £ m,<nte-l).
l<i<n
Prouver que, pour un tel monôme, il existe j(l < j <n) tel que S(Xmj) = 0.
En déduire que S(X^ ...X^) = 0.
Justifier alors le résultat (4.13), moyennant la relation (4.14).
3°) En application de la relation (4.13), montrer que si, pour tout À G A, les polynômes
/A, sont sans terme constant, alors la condition Y*\eAdegfx < n implique que ces
polynômes ont au moins un zéro commun, non nul.
En conclure que toute forme quadratique sur un corps fini, f(XvX2,... ,X„), n > 3, a
au moins un zéro non trivial.

Chapitre 5
Clôture algébrique d'un corps
Dans tout ce chapitre, la notion essentielle sera celle de corps algébriquement clos, dont
la définition ([13], Déf. 4.42) a été rappelée dans les Préliminaires du Ch.3.
Proposition 5.1. Pour un corps K, les propriétés suivantes sont équivalentes
i) K est algébriquement clos.
ii) Tout polynôme non constant de K[X] est scindé sur K.
iii) Tout polynôme irréductible de K[X] est de degré 1.
Démonstration. i) ii) ([13], Prop. 4.44).
ii) => iii) : Supposons que f(X) soit un polynôme irréductible, de degré n > 1, dans
K[X] ; l'hypothèse ii) implique que f(X) est scindé sur K, ce qui est impossible, donc
degf=\.
iii) i) : Dans l'anneau factoriel K[X], tout polynôme non constant, f(X), a au moins
un diviseur irréductible ; d'après l'hypothèse iii) celui-ci est de degré 1, donc f(X) a au
moins une racine dans K ; autrement dit, K est algébriquement clos. □
Remarque 5.2. a) Un corps fini n'est jamais algébriquement clos.
En effet, soit K un corps fini ; posons q := \K\ et K = {a( ; 1 < i < q}.
En notant 1, l'élément unité de considérons, dans K[X], le polynôme
/(X) := (X-al)(X-a2)...(X-aq) +1;
alors, quel que soit i(l </<^),ona /(«,•) 0, donc K n'est pas algébriquement clos,
b) Un corps algébriquement clos n'admet aucune extension algébrique propre.
1. Théorème fondamental de l'Algèbre
C'est ainsi, qu'en général, est désigné (en Algèbre) le Théorème suivant.
Théorème 5.3. Le corps C des nombres complexes est algébriquement clos.
Il existe plusieurs démonstrations de ce résultat, extrêmement important dans l'ensemble
des mathématiques. La première fut donnée par Gauss, en 1799. Compte tenu de la rigueur
des mathématiques actuelles, cette démonstration présentait quelques imperfections, mais
le principe général en était correct. Elle fut d'ailleurs reprise par Gauss, lui-même, en
1815, puis par d'autres mathématiciens. Dans sa version « revue et corrigée », elle figure
dans plusieurs ouvrages (par exemple, [27]).
La preuve du Th. 5.3., donnée ici, utilise les propriétés PvP2iP3 ci-dessous, ainsi que le
Théorème fondamental des polynômes symétriques ([13], Th. 8.14).

68
Chapitre 5. Clôture algébrique d'un corps
Px : Tout polynôme de R[X], de degré impair, a au moins une racine dans R.
Cette propriété résulte d'un théorème d'Analyse, dit Théorème de la valeur intermédiaire
(supposé connu) ([4]).
En effet, soit f(X) dans R[X], de degré n impair : f(X) = £ ajt1.
0<i<n
La fonction polynôme / : R —► R ([13], Déf. 4.21) est continue; en supposant, par
exemple, le coefficient directeur de /, an, strictement positif, alors (Th. de la valeur
intermédiaire)
( lim /(jc) = -oo et lim /(jc) = +«>) ==> 3jc0 G R tel que f{x0) = 0.
P2 : Tout nombre réel a>0a une racine carrée dans R.
Une preuve en est donnée dans l'App. A de ce livre (Cor. A. 10).
Les racines carrées, positive et négative d'un nombre réel a > 0, sont respectivement
notées y/âet —\Ja.
P3 : Tout nombre complexe a une racine carrée dans C.
Ce résultat est une conséquence de la propriété P2 (voir un cours de Ier cycle [3], ou
l'Ex. 1. de ce chapitre).
Remarque 5.4. A partir de la propriété P3, on montre facilement que tout polynôme du
second degré, à coefficients dans C, a deux racines dans C distinctes ou confondues (Ex.l.
de ce chapitre).
Notations : Pour z G C, on désigne par z l'imaginaire conjugué de z et on note a l'auto-
morphisme de C tel que
VzgC, g(z)=z.
Soit à T automorphisme de C[X] prolongeant g. Pour f(X) G C[X],
f(x)= £ akxk ô(f(x))= £ apr*-
0<k<n 0<k<n
On pose alors, f(X) := a (/(X)).
Remarque 5.5. Compte tenu des notations ci-dessus, d étant un automorphisme, on a
degf = degf; (5.1)
f(X) irréductible f(X) irréductible. (5.2)
Pour a G C, /(a) = 0 <=> /(a) = 0. (5.3)
Lemme 5.6. Tout polynôme irréductible de C[X], de degré impair est nécessairement de
degré L
Démonstration. Supposons f(X) G C[X], irréductible et de degré n > 1, impair.
Il s'agit de montrer que ces hypothèses conduisent à une contradiction. Sans restreindre
la généralité, on peut supposer f(X) unitaire et on pose
g(X) :=f(X)f(X),

§ 1. Théorème fondamental de l'Algèbre
69
où, compte tenu des notations définies plus haut, f(X) := ô (f(X)).
{g(X) = f(X)f(X) = g(X)) g(X) G R[X}.
a) Supposons g(X) non irréductible dans R[X].
Il existe alors gx,g2 dans R[X] tels que
g = £i£2> 1 ^ de88\ < de88, 1 < degg2 < degg. (5.4)
Les polynômes / et / sont irréductibles dans l'anneau factoriel C[X]. D'autre part, les
relations (5.4) montrent que gx et g2 ne sont pas des unités dans C[X] ; alors, compte
tenu de l'unicité de la factorisation d'un polynôme de C[X] en un produit d'éléments
irréductibles, ([13], Déf. 5.67), on a nécessairement, dans C[X],
*i*2 = // («i ~ / et #2 ~ 7) ou (*i ~ 7 et #2 ~ /)■ (5-5>
Les relations (5.5) impliquent, en particulier
deggx=degf = n> 1.
Or par hypothèse, n est impair et gx(X) G R[X] ; d'après la propriété Pv le polynôme gx
a donc au moins une racine dans R et, compte tenu des relations (5.5), il en est de même
pour le polynôme / (ou f) ce qui contredit l'hypothèse : / irréductible dans C[X].
b) On suppose g(X) irréductible dans R[X].
On pose d := degg — 2n (Cf. relation (5.1)). Soit E un corps de décomposition de g sur
C. On a supposé / unitaire, donc g = ff est aussi unitaire. Dans E[X], on peut écrire
g(X)= H (X-aJ, (5.6)
\<i<d
où les a,., 1 < i < sont distincts ou confondus dans E. On considère alors le polynôme
h{X):= (*-(«, + «;)). (5.7)
l<i<j<d
Le degré de h est égal au nombre de couples d'entiers (1,7) tels que 1 < i < j <d\ d'autre
part, on a n > 1 et impair, d'où
degh = C2d = d^d~ ^ = n(2n - 1) => degh > 1 et impair. (5.8)
La relation (5.7) montre que le polynôme h est unitaire et que tous ses coefficients, autres
que le coefficient directeur, sont des polynômes symétriques en les af-, 1 < i < rf, dans
Désignons par Zf., 1 < i < d, les fonctions symétriques élémentaires des at ([13], Ch.
8). D'après le Théorème fondamental des polynômes symétriques ([13], Th. 8.14), pour
chaque coefficient c de A, autre que le coefficient directeur, il existe un unique polynôme
(p£R[Lv...,Ld] tel que
c = c(a1,...,arf) = 9(E1,...,EJ).
Les af., 1 < 1 < étant les racines du polynôme g(X) G R[X], quel que soit
i ( 1 < i < rf), ^ G R ([13], p. 259). On en déduit que G R[X]. Or A est de degré impair
(Cf. (5.8)) donc h a une racine dans R (Cf. Px).

70
Chapitre 5. Clôture algébrique d'un corps
Soit j3 une racine réelle de h(X) ; il existe alors un couple (i,j) tel que 1 < i < j < d et
J3 = af. + a-. Posons
Pl(X):=g(X + £) et p2(X):=*(-X + |).
g(X) G R[X], J3 G R, donc pt et p2 sont dans R[X].
Le polynôme g étant, par hypothèse, irréductible dans R[X], il en est de même pour les
polynômes px et p2 ([13], Ch. 5, Ex. 19) ; on en déduit que, dans l'anneau factoriel R[X]
([13], Ch. 5),
degpl=degg = degp2==> px~ p2 ou pxAp2 = l.
Maispx(-^-)=g(ai)=0 et P2{-L^J-) =g(cCj) =0.
Par suite, pt et p2 ne sont pas premiers entre eux, donc ils sont associés et g étant unitaire,
pxttp2 sont aussi unitaires. On en conclut que px= p2 d'où
px(-X)=p2(X)=px(X).
Le polynôme px est symétrique en X, donc il existe un polynôme p dans R[X], tel que
Pl(X)=p(X2).
(degpl = degg = 2n, n > 1) rf^p = n.
Le polynôme € R[X], de degré impair n > 1, a au moins une racine réelle a (Cf. Pj).
Notons a une racine carrée de a dans C (Cf. P3) ; alors
p(a2) = 0 />!(a) = «(a +1) = /(a + |)/(a +1) = 0,
d'où /(o + |) = 0 ou /(o + |) = 0(«^/(a + |)=0).
Ainsi / a une racine dans C, ce qui contredit encore l'irréductibilité de / dans C[X].
On en conclut que, dans C[X], tout polynôme, irréductible et de degré impair, est
nécessairement de degré 1. □
Preuve du Théorème fondamental de l'Algèbre (Th. 5.3) :
Démonstration. Il s'agit de montrer que tout polynôme irréductible /(X), de C[X], est
de degré 1 (Cf. Prop. 5.1).
Supposons n := degf > 1 et /(X) unitaire. Dans N*, on peut écrire, de façon unique,
n = 2mq, avec m > 0 et q impair.
D'après le lemme 5.6, le résultat à prouver est vrai pour m = 0.
On suppose m > 0 et on raisonne par récurrence sur m ; l'hypothèse de récurrence étant
qu'un polynôme irréductible de C[X], de degré 2m'qî, où 0 < ml < m et q* impair, est
nécessairement de degré 1.
Soit F un corps de décomposition de / sur C. Dans F[X], on peut écrire
nx)= n
i<i<*
où les À- sont distincts ou confondus dans F. On pose
k(x)= n (x-(x,+kj)).
l<i<j<n

§ 1. Théorème fondamental de l'Algèbre
71
degk=n<<n2 ^ =2m-lq(2mq- 1) et qf :=q(2mq-l) est impair.
D'autre part, comme dans la preuve du lemme 5.6., on montre, à l'aide du Théorème
fondamental des polynômes symétriques, que k(X) G C[X].
Dans l'anneau factoriel C[X], écrivons
k(X) = rx(X)r2(X)...rt(X\ avec / > 1, (5.9)
les r.(X), 1 < i < /, étant irréductibles et unitaires (non nécessairement distincts). Pour
tout i(l < i < /), posons degri = 2mtqi et (quitte à changer l'ordre des r() supposons, dans
N,
mi > 0, qt impair et 0 < mx < m2 < .. • mr (5.10)
Les relations (5.9) et (5.10) impliquent alors, \
degk = 2m-lq'= £ 2miqi = 2m^qx+ £ 2m.-mift). (5.11)
\<i<l 2<i<l
En écrivant, dans N,
+ L 2m'"wiç|. = 2^;/, avec s > 0 et impair,
2<K/
on obtient, en tenant compte des relations précédentes,
2m_v = 2mi+y' => m-\=mx+s mx<m-\.
Le polynôme irréductible et unitaire rx (X) est donc de degré 2m^qx, avec
0 < mx < m et qx impair; l'hypothèse de récurrence implique alors degrx = 1, par suite
le polynôme k(X) a au moins une racine dans C.
Notons ju une racine de k(X) dans C ; il existe donc un couple (ij) tel que 1 < i < j <n
et Xt + Xj = ju. On considère les polynômes
:=/(* + £) et f2(X):=f(-X + ±).
Le polynôme / étant irréductible et unitaire dans C[X], il en est de même des polynômes
X.-X.
fx et f2. De plus, on vérifie que —-^-L est une racine commune à fx et /2, dans F.
On en déduit, comme dans la preuve du lemme 5.6., que fx = f2 et qu'il existe un
polynôme t{X) G C[X] tel que
/1(X)=/2(X)=r(X2);
alors, 2degî = d^/j = rf^/ = n ==> degt — 2m~lq.
Compte tenu de l'hypothèse de récurrence, tout diviseur irréductible de f (X) dans C[X]
est de degré 1, donc le polynôme r a au moins une racine c dans C. Soit y une racine
carrée de c dans C (Cf. P3).
f(c)=0=»/i(y)=0=*/(y+!)=0.
La dernière égalité contredit l'irréductibilité de /(X), supposé de degré n > 1 dans C[X],
donc degf =1. □
Remarque 5.7. Une autre démontration du Th. 5.3, utilisant la théorie de Galois, sera
donnée au Ch.7.

72
Chapitre 5. Clôture algébrique d'un corps
2. Plongement d'un corps dans un corps algébriquement clos
Théorème 5.8. Pour tout corps AT, il existe au moins un corps E algébriquement clos et
extension de K.
Démonstration. La preuve proposée s'inspire de celle d'Emile Artin ([5]).
1 / Anneau de polynômes à une infinité d'indéterminées
Etant donné un corps K et une famille {Xj/G/, où / est un ensemble de cardinal infini, on
notera
A:=K[{X,}iel],
l'anneau des polynômes sur AT, à une infinité d'indéterminées, dont les éléments
sont définis comme suit.
On dit que
f£A 3nGN*ct3{i1,...i„}c/telsquc/G«'[Xi ,...,XJ.
De façon naturelle, on munit A d'une addition et d'une multiplication : quels que soient /
et g dans A, pour
/€*[*,.,.et gEK[XJi,...,XjJ,
on considère f + getfg dans l'anneau K[X^,... ,Xin,Xj^,... ,XjJ.
On vérifie que A est alors muni d'une structure d'anneau unitaire, commutatif, l'élément
unité de A étant celui de K ; de plus, K se plonge canoniquement dans A.
21 Démonstration du Théorème 5*8
Soit A l'anneau des polynômes sur AT, à une infinité d'indéterminées indexées par
l'ensemble / = K[X] \ AT, donc
A = K[{Xf}feK[x^K].
Notons J l'idéal de A engendré par l'ensemble
{f(Xf)eK[Xf]GA;feK[X}\K}.
Montrons que 3 est un idéal propre ([13], Déf. 1.45) de A.
Un élément quelconque de J s'écrit sous la forme
I *,/,(*/,),
\<i<n
où n € N* et pour tout i(l < i < n), g. <E A, f. G K[X]\K.
Supposons que l'on ait
L */,(*/.) = 1- (5.12)
\<i<n '
Pour tout ï(l < / < /i), désignons par at une racine du polynôme f^Xj-), dans un corps
de décomposition sur K et considérons le corps
L:=K(al,...,an).
La relation (5.12) est valable dans L[{Xf}f€Kpc]\K]i ce Qui entraîne la contradiction
suivante
1= E 8,f,(al) = 0.
l<i<n

§ 3. Clôture algébrique d'un corps
73
On en déduit que 1^5, donc 3 ^ A.
3 étant un idéal propre de l'anneau unitaire et commutatif A, il existe un idéal maximal M
de A contenant 3 ([13], Cor. 2.72).
Posons Ex :=A/M ; Ex est un corps ([13], Th. 2.62) ; soit % la surjection canonique de A
sur Ex et u l'injection canonique de K dans A :
K o u est un morphisme non nul, donc un monomorphisme de K dans Ex, par suite Ztj est
wne extension de K. En identifiant K à son image par ^ow, on peut considérer que l'on a
KÇEX.
Montrons que tout polynôme /(X) G K[X] \K a au moins une racine dans Ex.
D'après la définition des idéaux 3 et M, on a
V/ G AT[X] \Af, /(X,) G J Ç M ^(/(X,)) = 0, dans Ev
Posons a :=x(Xf) et /(X7) = XI 0/X-f dans Af [Xy] \ Af ; alors
«(/(X/)) = 0 ^ £ a,.a' = /(a) = 0.
0<j<n
Ainsi a est une racine de / dans Ex.
En reprenant, à partir du corps Ex, le raisonnement fait à partir de Af, on construit un corps
E2, extension de Ex, tel que
KÇEXÇE2
et tout polynôme de Ex [X] \Exa. une racine dans E2.
En réitérant le processus, on obtient, de proche en proche, une chaîne croissante
d'extensions de corps :
KÇElÇ...ÇEkÇEk+ïÇ...
telle que, quel que soit k G N*, tout polynôme de Ek[X] \^aau moins une racine dans
ek+v
On pose E0 := K et E := (J Ek.
ken
La famille {^l^ est totalement ordonnée par l'inclusion, donc E est un corps,
extension de Af. Vérifions que E est algébriquement clos.
Dans E[X] \ E, soit /(X) = t^<i<nai^lj degf = n > 1 ; il existe alors k G N tel que
{a0,av... ,an} C Ek ; par suite, /(X) G £*[X] \Ek.
Le polynôme /(X) a donc au moins une racine dans Ek^x Ç £, d'où E algébriquement
clos.
On en conclut que tout corps Af peut être plongé dans un corps algébriquement clos. □
3. Clôture algébrique d'un corps
Définition 5.9. On appelle clôture algébrique d'un corps AT, toute extension L de AT telle
que
i) L est algébrique sur AT.
ii) L est un corps algébriquement clos.

74
Chapitre 5. Clôture algébrique d'un corps
Théorème 5.10. Tout corps K admet une clôture algébrique.
Plus précisément, si E est un corps algébriquement clos, extension de Af, alors
K := {a G E ; a algébrique surK} (5.13)
est un corps et c'est une clôture algébrique de Af.
Démonstration. D'après le Th. 5.8., pour tout corps AT, il existe au moins un corps E
algébriquement clos et extension de Af. On considère alors l'ensemble K défini par la
relation (5.13).
Vérifions que Af est un sous-corps de E.
On a Af ^ 0, car Af Ç Af. Il faut alors prouver que quels que soient a, j3 dans AT. on a a - j3
et a P dans K et si a ^ 0, alors a1 G K.
D'après la définition de AT, a et J3 sont algébriques sur AT, donc Af (a, j3) est une extension
algébrique de AT telle que
KÇK(a,P)ÇK.
Or a - j3 et aj3 sont dans Af(a, j3), donc dans Z. De plus, a ^ 0 implique
_ a-1GAT(a)ÇA:(a,j3)ç^.
On en déduit que AT est une extension algébrique de K.
Il reste à prouver que Af est un corps algébriquement clos.
Soit f(X) un polynôme non constant dans K[X].
KÇE=>f(X)eE[X]\E.
E étant algébriquement clos, f(X) a au moins une racine a dans E.
Or, f(X) G K[X], donc a est algébrique sur Z; d'après la Rem. 2.32,
(K : K algébrique et a algébrique sur K) a algébrique sur K.
On en déduit que a G Z, par suite K est algébriquement clos.
En conclusion : K est une clôture algébrique de K. □
Exemple 5.11. :
1) C est extension algébrique de R (C = R(i)) et C est un corps algébriquement clos (Th.
5.3), donc C est une clôture algébrique de R.
2) On remarque que C n'est pas une clôture algébrique de Q, car C n'est pas algébrique
sur Q, puisqu'il contient, en particulier les nombres K et e qui sont transcendants sur Q
(Cf. App. B, ou cor. 5.20.). Cependant C est algébriquement clos et contient Q, donc
Q = {a G C ; a algébrique sur Q} Ç C
est une clôture algébrique de Q (Th. 5.10.).
On peut prouver, de différentes façons, que Q est de degré infini sur Q.
Dans l'Ex. 13., Ch. 2., on montre que si
Pl<p2<~m<Pn<Pn+l<~'
est la suite croissante des nombres premiers dans N, alors
F:Q, oùF = Q(v^T,v^,...,v^,...),
est une extension algébrique de degré infini sur Q. D'après la définition de Q, on a
Q C F c Q,
alors
[F : Q] infini =*> [Q : Q] infini.
L'Ex. 2. de ce chapitre donne une autre justification de cette propriété.

§ 3. Clôture algébrique d'un corps
75
Remarque 5.12. A priori, il peut exister différents corps algébriquement clos et
extensions de Af, donc éventuellement différentes clôtures algébriques de AT, mais nous allons
prouver qu'elles sont toutes AT-isomorphes.
Lemme 5.13. Soit L:K et E :K des extensions de corps, respectivement définies par les
couples (L, u) et (E, v) (Rem. 1.9). Si l'extension L : K est algébrique et si le corps E est
algébriquement clos, alors
1) // existe un monomorphisme g : L —► E tel que gou = v;
2) si de plus, L est algébriquement clos et E est algébrique sur v(Af), alors g est un
isomorphisme.
Démonstration. On peut supposer K Ç L et K Ç E, c'est-à-dire que u et v sont des
injections canoniques.
1) On désigne par 5F l'ensemble des extensions algébriques F de AT telles que AT Ç F Ç L
et pour lesquelles il existe un monomorphisme r : F —► F, tel que XjK = v.
Soit S l'ensemble des couples (F, t), où F G 3r. On a S ^ 0, car (AT, v) G S.
On considère, dans S, la relation binaire, notée <, définie par
(F,t)<(F',t') <=> F Ç F' et T*/F = t.
La relation < est une relation d'ordre partiel dans S (à vérifier).
Montrons que l'ensemble partiellement ordonné S est inductif ([13], Déf. 2.69).
Soit {(f), une famille totalement ordonnée d'éléments de S, alors
F := Uie/^/ est un corPs tel Que AT Ç F Ç L ; de plus, pour tout i G /, F{ est algébrique sur
AT, par suite F est algébrique sur K.
On définit un monomorphisme T : F —► E en posant, quel que soit i G /, = Tf-, ce qui
implique TjK = v.
On en déduit que le couple (F, r), ainsi défini, appartient à S et est un majorant pour la
famille Par suite, l'ensemble partiellement ordonné § est inductif ; alors,
selon l'axiome de Zorn ([13], p. 50), il existe au moins un élément maximal dans S ;
notons (A/, g) un tel élément.
On a AT Ç M Ç L, M algébrique sur K et gjK — v ; démontrons que M = L. Supposons
M Ç L ; il existe alors a G L tel que a ^ M. Par hypothèse, a est algébrique sur K ;
posons p(X) :=IrrK(a,X).
Soit v : K[X] —► E[X] le prolongement canonique de v ; on pose
p(X) := 0(p(X)).
Par hypothèse, F est algébriquement clos, donc le polynôme p(X) a au moins une racine
J3 dans F.
Désignons par g' le monomorphisme de Af (a) dans L défini par :
gf/m = g et a;(a) = j3.
On a alors
g'/k = v et KÇM Ç M(a) Ç L.
De plus Af (a) est algébrique sur AT, d'où
(M(a),a;)G§ et (M,a) < (M(a),a;) ;
ce qui contredit la maximalité de (M, g) dans § ; ainsi, M = L, d'où le diagramme com-

76
Chapitre 5. Clôture algébrique d'un corps
mutatif :
K
donc a o u = i>, ce qui est équivalent à a^K = idK, lorsque u et v sont les injections
canoniques.
2) Montrons que si E est algébrique sur v(K) et L algébriquement clos, alors le
monomorphisme a : L —> E est surjectif.
D'après ce qui précède, on a
v{K)=o(K) et o(K)Ça(L)CE.
D'autre part,
L algébriquement clos => <j(L) algébriquement clos.
Soit y G E ; posons \=Irr0^(y,X). On peut considérer comme un polynôme
de <7 (L) [X], or a (L) est algébriquement clos, donc y € a (L), d'où a (L) = F.
On en conclut que a est un isomorphisme. □
Théorème 5.14, Deux clôtures algébriques d'un corps K sont K-isomorphes.
Démonstration. Soit Ex et E2 deux clôtures algébriques d'un corps K.
Les hypothèses permettent d'appliquer la partie 2) du lemme 5.13. avec L = E{ et E = E2.
On obtient, alors le diagramme commutatif suivant, où l'on peut supposer que a et v sont
les injections canoniques de K dans Ex et K dans E2,
K
d'après le lemme 5.13, G est un isomorphisme, de plus a o u = v équivaut à C/K = idK ;
donc G est un ÀT-isomorphisme. □
Remarque 5.15. Le Th. 5.14 montre que tout corps K a une clôture algébrique unique, à
un ÀT-isomorphisme près ; on pourra donc éventuellement parler de la clôture algébrique
d'un corps et celle-ci sera généralement noter K.
4. Clôture algébrique d'un corps fini
Comme dans le chapitre 4, p étant un nombre premier et n un entier strictement positif,
on notera un corps fini de caractéristique p et de cardinal pn et on supposera Ç .
Rappel : Un corps fini ne peut être algébriquement clos (Rem. 5.2).
D'autre part, pour m et n dans N*, on a (Th. 4.8)
F^ÇF^ <^> m | n.

§ 5. Transcendance de e et de k sur Q
77
Par suite, quels que soient m et n dans N*,
l<m<n=*m!|Az! =^F^CF^,
Théorème 5.16. Soit p un nombre premier, alors pour tout entier n > 1,
E = (J F est une clôture algébrique du corps fini ¥pn.
ken*
Démonstration. La famille {F^,}^. de corps finis de caractéristique p, étant
totalement ordonnée par l'inclusion, E = (J F kl est un corps. De plus,
ken*
V* G N*, (F, Ç F,, => ¥pk Ç £). (5.14)
a) Montrons que, quel que soit n G N*, £ est une extension algébrique de ¥pn.
Soit n donné dans N* et x quelconque dans E ;
x G £ ==> 3m G N* tel que jc € F^m!.
On choisit le plus petit entier m tel que x G F^m!.
- Si m < n, alors F , Ç F^, x G ¥pnl et (Th. 2.26.)
[F^ : F^] < - F^ algébrique sur F^,
d'où jc algébrique sur Fp„.
- Si n < m, on a alors, Fp„ ç F , C F , et [F^m! : F^] < oo,
d'où, comme précédemment, jc algébrique sur F^,.
b) Démontrons que E est algébriquement clos.
Soit/(X)E£[X]telque/(X) = £ aiXi,degf = r>\.
0<i<r
Il existe kGN* tel que {a^av...,ar} Ç F^, ; on a alors /(X) G ¥pk< [X].
Soit L un corps de décomposition de / sur F^,, alors L est de degré fini sur F^, (Th.
4.5) ; on en déduit que L est de degré fini sur Fp, car
{L:¥p} = [L:¥^][¥pk,:^p}.
Si [L : Fp] = s, alors L est un corps fini de cardinal ps que l'on peut identifier à ¥pS (Cf.
Ch. 4) et d'après la relation (5.14), on a L = F^ Ç E.
Par suite, le polynôme f(X) est scindé sur E ; on en déduit que E est algébriquement clos
(Prop. 5.1.).
En conclusion, quel que soit l'entier n > 1, E = (J F^, est une clôture algébrique du
corps fini F^. □
5. Transcendance de e et de % sur Q
Une preuve complète de la transcendance, sur Q, des nombres réels e et n, utilisant des
méthodes classiques d'Analyse, est donnée dans l'appendice B. La démontration que nous
proposons ici s'appuie sur le Théorème de Lindemann-Weierstrass ([29], p. 268), que
nous ne pouvons démontrer dans le cadre de ce livre, mais que nous appliquerons.

78
Chapitre 5. Clôture algébrique d'un corps
Définition 5.17. Soit L : K une extension de corps ; des éléments ax,..., (Xn de L, n G N*,
sont dits algébriquement indépendants sur K si
\/f(xv...,xn)€K[xv...,xn}\K, ^o.
Remarque 5.18. a) La définition 5.17 généralise, pour n > 1, la définition d'un élément
transcendant sur un corps (Déf. 2.2), qui correspond au cas n = 1.
b) Des éléments algébriquement indépendants, sur un corps K, sont, a fortiori,
algébriquement indépendants, sur tout sous-corps de K.
Théorème 5.19. Théorème de Lindemann-Weierstrass
Quel que soit n£W,sizx,z2,--'Zn sont des éléments de Q linéairement indépendants sur
Q, alors les nombres complexes ez^ez^,..., ez" sont algébriquement indépendants sur Q.
Corollaire 5.20. e et n sont transcendants sur Q.
Démonstration. D'après le Th. 5.19, appliqué dans le cas n = 1, quel que soit z ^ 0 dans
Q, ez est transcendant sur Q ; alors, en prenant z = 1, on obtient : e transcendant sur Q,
donc a fortiori, sur Q.
Par ailleurs, dans C, ei% = cos n + i sin n = -1 G Q C
Par suite, d'après ce qui précède, in & Q ; alors, i G Q implique n g Q, donc % est
transcendant sur Q. □
6. Théorème de Frobenius
Le corps gauche des quaternions réels H ([13], Déf. 1.6), qui intervient dans le
Théorème de Frobenius (publié en 1878), est étudié dans "Eléments de théorie des anneaux"
([13], Ch. 3).
Rappelons que R et C sont des sous-corps commutatifs de H et qu'en particulier, le centre
([13], Déf. 1.32.) de El est le corps R. ([13], Prop. 3.86.).
Théorème 5.21. Tout corps AT, non nécessairement commutatif, dont le centre contient le
corps R des nombres réels, et qui est de dimension finie sur R, est isomorphe soit à R,
soit au corps des nombres complexes C, soit au corps des quaternions réels EL
Démonstration. En notant Z(K) le centre de on a, par hypothèse,
RQZ(K)ÇK et [K : R] = dimRK < oo. (5.15)
- Si K est un corps commutatif, alors Z(K) = K et
1 < [K:R] <oo => K = R ou AT~C,
car C est clôture algébrique de R et [C : R] = 2.
- Supposons K non commutatif; dans la relation (5.15), on a
R Ç Z(K) Ç K.
Soit x G AT\R et R(jc) le plus petit sous-corps commutatif de K contenant R et jc, alors
1 < [R(jc) : R] < oo R(jc) ~ C.
On en déduit qu'il existe ex G K \ R tel que
ef = -l et R(e1)=R(jc).
Le corps R n'ayant pas d'extension algébrique propre, autre que C (à un isomorphisme

§ 7. Exercices
79
près), R(£x) est un sous-corps commutatif maximal de K et tout élément de K qui
commute avec £x est dans R(£j).
Soit y G K \ R(£x ) ; y ne commute pas avec ex, posons z := y£x - £xy-
On a z 7^ 0, £jz = y -h elyel et z£t = -y - ,
d'où (zel = -£xz ^0)=*z<£R(£x) => R(z) ^ R(ex).
Or, R(z) est, une extension algébrique propre de R contenue dans AT, d'où
R(z)~R(e1)-C.
On en déduit que R(z) ^ R(ex) R = R(z) nR^).
Par suite, z£x = — £xz => z2£x = — z^z = ^z2,
=>z2 GR(z)flR(e1) = R.
Mais z ^ R, donc z2 n'est pas un nombre réel positif, d'où z2 < 0 dans R.
Soit v—z2 la racine carrée positive de —z2 dans R ; posons £2 := ^ 2, alors
é| = -1 et e1e2 = -e2ei.
Posons £3 := ; dans AT, £1? £3 vérifient les relations
£? = £$ = £% = -!, (5.16)
^1^2 = — €2C1 ~ ^3 ' ^2^3 = —^3^2 == Cl ' ^3^1 = —€1^3 = ^2' (5.17)
De plus, les éléments 1, £x, £2, £3 sont linéairement indépendants sur R, comme on peut le
vérifier, en montrant que les relations (5.16) et (5.17) impliquent (avec £0 := 1)
( L ^i=0, où^gR, V/(0</<3))=^^ = 0, V/(0<i<3).
0<i<3
On en déduit que le sous-corps Kx de K engendré par {l,£l,e2,£3} est isomorphe au
corps des quaternions H ([131, Ch. 3) ; R est alors le centre de Kx et on a
R c R(£x) CKXÇK, avec R(£x) ~ C.
Montrons que Kx = K.
Supposons qu'il existe u G K\KX ; alors u & R(£x). En considérant l'extension de R
contenue dans K et obtenue par l'adjonction de £x et u, soit R(£l5 w), on obtient
R{£X)CR{£vu)CK,
ce qui est en contradiction avec la maximalité du corps commutatif R{£x) dans AT, d'où
Kx = K. □
7. Exercices
1. Justification de la propriété P3 et de la Rem. 5.4.
1°) Montrer que pour tout élément a + ib G C = R(i), où i2 = — 1, il existe z G C tel
que z2 = a + ib.
Indication : en posant z = x+ly, vérifier que la question revient à trouver x et y dans R
tels que
(jc2 4-y2)2 = a2 -h b2 et 2jcy = è.

80
Chapitre 5. Clôture algébrique d'un corps
En déduire qu'en désignant par \JcP- + b2 la racine carrée positive de a2 + b2 dans R,
on obtient
, . a + Va2 + b2 . -a + Va2 + b2
z = ±i \ z +ei\
où e = 1 si b > 0 et e = -1 si b < 0.
2°) Montrer que le résultat précédent entraîne que tout polynôme du second degré
f(X) := aX2 -f pX -f 7 de C[X] a deux racines dans C, distinctes ou confondues.
J3 o J32 y-,
Indication : écrire /(X) = a [(X + ^) - ^ + •
2. Etant donné un nombre premier p ([13], App. A, Déf. A.5), pour tout entier n > 1, on
considère le polynôme
fn(X) =Xw + jpXw-14-pXn-24----+/?X + /?.
1°) Prouver, à l'aide du critère d'Eisenstein ([13], Prop. 5.112), que tout polynôme
fn(X) est irréductible dans Z[X] ; en déduire que fn(X) est irréductible dans Q[X] ([13],
Prop. 5.108). _
2°) Démontrer que pour tout entier n_> 1, on a [Q : Q] > n ; en conclure que
[Q : Q] est infini.
3. Les corps Q et Q D R sont-ils des corps ordonnés ? (Cf. App. A.)
4. 1°) SoitX = Q(>/2) et L = Q(i), où i2 = -1 dans C.
Déterminer, dans C, la clôture algébrique de chacun de ces corps.
2°) Soit M = Q(n) et M la clôture algébrique de M contenue dans C ; vérifier que
QÇMÇC.
5. Soit L une extension algébrique d'un corps K de cardinal infini. En considérant L
comme une réunion disjointe d'ensembles finis, chacun d'eux étant l'ensemble des
racines, dans L, d'un polynôme unitaire, irréductible de X[X], prouver que
card(L)=card(K).
En déduire que la clôture algébrique Q de Q est dénombrable.
6. Nullstellensatz théorème de Hilbert
K étant un corps algébriquement clos, soit n > 1 dans N et
K[XX,... ,X„] l'algèbre des polynômes à n indéterminées sur K.
Conventions préliminaires :
- Un élément P de Kn sera appelé un point ;
P^Kn ^ P=(av...,an),ai£K,\/i(l<i<n).
Kn est alors considéré comme n-espace affine sur K ([23]).
- Pour / g K[XV... ,X„] et P = (al5... ,a„) dans X", on pose
f(P) :=f(av...,an).
On dit que P est un z^ra de / si f(P) = 0.
- Pour / g X[X1?... ,X„], on pose
V(f) :={PeK»;f(P)=0}.
On dit que V(f) est Vhypersurface de Kn engendrée par f ([23]).
D'une façon générale, pour une partie non vide S de K[XX,... ,X„], on pose
V(S) := {P g X" ; /(P) = 0, V/ g 5}

§ 7. Exercices
81
V(S) est, par définition, la variété algébrique affine de K" engendrée par S ([23]).
Si 5 est une partie finie, non vide, de K[XX,... ,Xn], telle que
S = {/i, • ■ • ,/r}, ; r £ N*, /, eK[Xv... ,Xn], Vi(l < i < r),
on écrira V(S) = V(fv...,fr).
I
1°) a) Vérifier que V(0) = K" et V(K^,... ,X„]) = 0.
b) S et S'étant des parties non vides de K[Xl,... ,Xn], montrer que
SÇS" =*> V(S)DV(S').
c) S étant une partie non vide de K[X^,X„], vérifier que
v(S) = nfeSv(f).
I désignant l'idéal de K[XV... ,Xn] engendré par S, prouver que
V(/)=V(S).
2°) On dit qu'une partie E de Kn est une variété algébrique affine de Kn, s'il existe une
partie non vide S de K[XX,... ,Xn] telle que
E = V(S).
Démontrer que, pour toute variété algébrique affine E de Kn, il existe une famille finie
{/p • • • i fr), t E N*, de polynômes de
K[Xv...,Xn] telle que
E = V(fv... Jr) (voir [13], Th. 4.72)
- Vérifier que Kn et la partie vide de Kn sont des variétés algébriques affines de Kn.
- En conclure que toute variété algébrique affine de Kn est l'intersection d'un nombre
fini d'hypersurfaces de K71.
II
Etant donné une partie non vide F de AT", on pose
/(F) := {/GK[XV...,Xn] ; f(P) = 0,VP g F}
et par convention 7(0) =K[Xv...,Xn].
1°) a) Prouver que pour toute partie F de Kn, I(F) est un idéal de K[Xv..,Xn]. On dira
que I(F) est r idéal de F.
b) Montrer que 7(ATn) = (0) (voir [13], Prop. 4.71).
c) Vérifier que pour deux parties de AT", F et F',
FCF' =>I{F)DI(F').
d) S étant une partie non vide de K[XX,... ,Xn] et F une partie de AT", démontrer que
SÇI(V(S)) et FÇV(/(F)).
En déduire les égalités
V(I(V(S))) = V(S) et 7(V(/(F)))=/(F).
2°) Soit point P = («j,..., an) g Kn ; on considère l'application
aP :K[Xv...,Xn] —► K
On note que GP est un morphisme d'anneaux unitaires.
Prouver que / := KerGP est un idéal maximal de K[XX,... ,Xn].
3°) Rappels ([13], Ex. 14. et 15., Ch. 2) :
B désignant un anneau unitaire commutatif, pour tout idéal / de B, on pose
Vl:={x£B; BmeW^GJ}.
y/1 est appelé le radical de J.

82
Chapitre 5. Clôture algébrique d'un corps
y/J est un idéal de B contenant J et on dit que / est un idéal radical si J = \J1. On
vérifiera que tout idéal premier est un idéal radical.
a) Montrer que pour tout point P de Af", I(P) est un idéal radical.
b) Prouver que, plus généralement, quelle que soit la partie F de AT", /(F) est un idéal
radical.
III
/ étant un idéal de K[XX,... ,X„], le but de ce qui suit est de démontrer l'égalité :
I(V{I) = Vi. (5.18)
1°) Montrer que pour tout idéal / de K[XX,... , on a
V(I) = V(Vl) et V7ç/(V(/)).
2°) L'objet de cette question est de prouver l'inclusion
/(v(/))çV7.
a) Examiner les cas / = 0 et / = K[XX,... ,Xn].
b) On suppose / ^ 0 et / K[XX,... ,X„] ; justifier l'existence, dans K[XX,... ,Xn], d'un
nombre fini de polynômes, fx,..., fn
r > 1, engendrant F
Etant donné un polynôme g G I(V(I)) \ {0}, il s'agit de trouver m G N* tel que g"1 G /.
On considère l'anneau de polynômes à n + 1 indéterminées :
B:=K[Xv...,XnJ}.
Soit J l'idéal de B engendré par {fx,..., fr, gY — 1}.
- Démontrer que l'on a V(J) ^ 0 dans Kn.
- Justifier l'exitence de r -f 1 polynômes {hx,..., hr, q) dans B, tels que
l<j<r
On considère le morphisme d'anneaux unitaires
<t>:K[Xv...,XnJ] —
où K(XX,... ,X„) est le corps des fractions rationnelles à n indéterminées sur AT, tel que
<j>/K = idK, =X„Vi(l < i < n) et 4>(F) = I.
Démontrer que 1 = £ ^(fy)/,-, où, pour tout j(\ < j < r), (j>(hj) est de la forme
l</<r
^j, avec ry. G AT[Xl5... et mi G N*.
Trouver m G N* tel que f1 G /. En déduire l'égalité (5.18).
3°) Prouver, en utilisant la relation (5.18), que pour tout idéal propre I de K[XX,... ,X„],
on a V(/) ^ 0.
[Montrer que V(I) = 0 conduit à une contradiction].

Chapitre 6
Polynômes et extensions cyclotomiques
Pour tout corps AT, on note K une clôture algébrique de AT.
Rappel de notation ([13]) : le p.g.c.d. de deux éléments non nuls a, b d'un D.I. est désigné
par aAb.
1. Notion de racine nème primitive de l'unité
Définition 6.1. Etant donné un corps K et un entier n > 1, on appelle racine n6™* de
l'unité de K , tout a G K racine du polynôme Xn - 1 de K[X].
Proposition 6.2. Les notations étant celles de la Déf. 6.1, si carK = p > 0 et n = pm,
m G N*, alors, dans K, 1 est l'unique racine du polynôme Xn — 1 de K[X].
Démonstration. Les hypothèses carK = p et n = pm impliquent, dans K[X], ([13], Prop.
1.78)
xn-\=xpm-\ = (x-\ym,
donc 1 est l'unique racine du polynôme Xpm — 1, à l'ordre de multiplicité pm. □
Remarque 6.3. Si, dans la Déf. 6.1, on a carK = p > 0 et p | n, alors il existe /: G N* tel
que n = kpm,m G N* et p \k, d'où, dans K[X],
xn-\=xkpm-\ = (xk-\ym.
Compte tenu de la Prop. 6.2, l'équation Xn — 1 = 0 se ramène à
Xk- 1=0, avec p\k.
En conséquence, dans toute la suite de ce chapitre, nous supposerons que, dans le contexte
de la Déf. 6.1, le corps K et l'entier n satisfont à la condition :
carK = 0 ou carK = p> 0 et p\n. (6.1)
Proposition 6.4. Si un corps K et un entier n > 1 vérifient la condition (6.1), alors le
polynôme Xn — 1 a n racines distinctes dans K.
L'ensemble Un, des n racines ri™65 de l'unité de AT, est un sous-groupe cyclique du groupe
multiplicatif T = K\ {0}.
Démonstration. La proposition est immédiate pour n = 1 ; supposons n > 1 et posons
qn(X) := Xn - 1 ; on a qfn(X) = nXn~l.
La condition (6.1) implique alors qn A q*n = 1, donc le polynôme qn (X) n' a que des racines
simples dans K (Rem. 3.22)

84
Chapitre 6. Polynômes et extensions cyclotomiques
Soit Un l'ensemble des n racines distinctes de qn(X) dans K, on a Un C AT*, 1 G Un et si
a, J3 sont deux éléments de f/n, alors
((ap-l)n = anp-n = l)=> a/3-1 G Un.
On en déduit que Un est un sous-groupe fini d'ordre n du groupe multiplicatif K* ; par
suite le groupe Un est cyclique (Cor. 4.4). □
Définition 6.5. Etant donné un corps K et un entier n > 1 vérifiant la condition (6.1),
on appelle racine neme primitive de l'unité de K, tout générateur du groupe cyclique Un
([12], Ch. ni).
Remarque 6.6. Dans les conditions de la Déf. 6.5, un élément œ de Un est une racine
neme pT[mixive de l'unité si et seulement si (ù est un élément d'ordre n dans le groupe Un
([12], p.36) ; c'est-à-dire, pour n > 1 :
(ùn = \ et V*(l<*<n),û>*^l.
On rappelle que le nombre des générateurs d'un groupe cyclique d'ordre n est <p(fl), où
(p est la fonction d'Euler ([12], p.99). Le calcul de (p(n) ([12], p.105) donne ç(\) = 1 et
pour
où les pv 1 < i < k, sont des nombres premiers deux à deux distincts et les mi sont non
nuls dans N,
9W=n(l_J_)(1_J_)...(!_!). (6.2)
Pi Pi Pk
Notations : Dans le contexte de la Déf. 6.5, l'ensemble des racines nemes primitives de
l'unité d'un corps K sera noté Çln. Compte tenu de la propriété rappelée dans la Rem. 6.6,
on a
\Qn\=9(n)
et quel que soit (ù E Q.n,
Un = {(dk;l<k<n, dans N}, (6.3)
Çln = {(ùk£Un\ k/\n=\}. (6.4)
Exemple 6.7. Si K = Q, alors QcQcC (Cf. Ch.5) et quel que soit l'entier n > 1,
2k7ti
Un = {cc,:=exp ; \<k<n), (6.5)
n
Qil = {ajbGt/„;ifcA/i=l}. (6.6)
2. Extensions cyclotomiques - Polynômes cyclotomiques
Comme dans le paragraphe précédent, K désigne un corps et n > 1 un entier qui vérifient
la condition (6.1).
Proposition 6.8. Compte tenu des notations définies précédemment, pour tout co G
le polynôme IrrK(œ,X) est séparable et K(œ) est une extension de degré fini et normale
sur K.

§ 2. Extensions cyclotomiques - Polynômes cyclotomiques
85
Démonstration. La propriété est triviale pour n = 1, on suppose n > 1.
Quel que soit (ù E Çln, le polynôme IrrK((ù,X) divise Xn — 1 dans Af [X], il est donc
séparable sur Af, d'après la Prop. 6.4.
On remarque que si co et co' sont deux racines n*"1*5 primitives de l'unité dans AT, alors
d'après la relation (6.3), on a
% = {<ok ; 1 < * < n} = {©'* ; 1 < jfc < n},
ainsi co € AT(û)') et co' E Af(û)), d'où K(a>) = K(û)').
L'extension K(co) : Af est donc indépendante du choix de co dans £ln.
Pour tout co dans Af (û)) est un corps de rupture du polynôme Xn — 1 ; mais £/„ C K(co)
entraîne que K(co) est corps de décomposition de Xn — 1 sur Af. On en déduit que Af(to)
est une extension normale et de degré fini sur Af (Th. 3.15). □
Remarque 6.9. La Prop. 6.8 montre que tout co E £ln est séparable sur Af ; on en déduira,
au Ch. 7 (Cor. 7.18), que K(cù) : Af est séparable.
Définition 6.10. Compte tenu des notations et des résultats ci-dessus,
1) Quel que soit co E £ln, l'extension K(co) : Af est appelée la neme extension cycloto-
mique de Af.
2) Le polynôme <Ï>„(X) := J"J (X-co)
(oeCl„
est appelé le n*"* polynôme cyclotomique sur Af.
Remarque 6.11. Le polynôme &n{X) est unitaire dans Af [X] ou, plus précisément, dans
K(<o)[X], où co E D'autre part,
\Qn\ = ç(n) deg<t>n = ç(n),
où <p est la fonction d'Euler.
Exemple 6.12. Supposons Af = Q et déterminons les polynômes <&n(X) pour 1 < n < 4,
sachant que, pour n > 1, on a
£2„ = {exp—— ; 1 < k < n, fcAn = 1}.
Û1 = {1}=^*1(X)=X-1.
Û2 = {-1}=»*2(X)=X+1.
"3 = O",/} =» <ï>3(X) =X2+X4-1.
Û4 = ft-i}=^*4ffl=^+1-
Pour 1 < n < 4, on remarque que le n*"1* polynôme cyclotomique sur Q est unitaire dans
Z[X]. Cette propriété sera confirmée et généralisée par le Th. 6.14, dont la preuve utilisera
le lemme suivant.
Lemme 6.13. Soit A un anneau unitaire commutatif et p(X) un polynôme non constant
de A[X], dont le coefficient directeur est inversible dans A ; alors, pour tout polynôme
f{X) E A[X], il existe q(X) et r(X) dans A[X] tels que
f(X) = p(X)q(X) + r(X), avec r(X) =0oudegr< deg p.
Démonstration. Soit (p(X)) l'idéal de A [X] engendré par p(X) et
b:=a[X)/(p(X)).

86
Chapitre 6, Polynômes et extensions cyclotomiques
On note n la surjection canonique de A[X] sur B ; on pose
iv(X) := x et pour tout a € A, ;r(tf ) := â.
Le coefficient directeur de p(X) étant inversible, on peut supposer que p(X) est unitaire.
En effet, si
p(X) = avec inversible, on peut écrire
0<i<n
p(X) = anpx(X), où px{X) est unitaire dans A[X]; alors,
(p(X)) = (Pl(X))=^5 = A[X]/(Pl(X)).
Nous supposons donc p(X) unitaire. Pour tout /(X) € A[X], on pose
n(f(X))=J(X);
ainsi, f(X)= £ è,xW/(X)= £ F^.
0<Km 0<Km
En posant A := 7r(A), on peut identifier B à l'anneau de polynômes A[x] et dans B,
j(X)=xn+ £ wixi = 0=^xn = - £ ô^1;
0<Kn-l 0<Kn-l
par suite, pour tout élément /(X) € £, il existe r(X) E13 tel que
7(xy = r(Xy, avec degr{X) <n-\.
On en conclut qu'il existe r(X) € A[X] tel que
/(X) = r(X) (mod /?(X)), avec r(X) = 0 ou âtegr < n - 1, donc,
/(X) = p(X)q(X)+r(X), avec r(X) = 0oudegr <n-\ < degp. □
Théorème 6.14. Zsfcwf donné un corps K et un entier n > 1, satisfaisant à la condition
(6.1), pour tout d divisant n dans N*,ona
1) x»-i=n**cn
d\n
2) carK = 0 =o <*>„(X) ww'tow d^w Z[X].
(carK = p >0etp\n) =^>4>„(X) unitaire dans F^[X], où¥p = Z/pZ.
Démonstration. Sans restreindre la généralité des hypothèses, on peut supposer que, si
car AT = 0 (resp. carK = p > 0), le sous-corps premier de K est Q (resp. ¥p) ; alors, dans
le premier cas, on a Xn - 1 € Z[X] et dans le second cas, Xn - 1 E Fp [X].
1) Le groupe Un des racines n'm*J de l'unité dans K étant cyclique d'ordre n (Prop. 6.4),
pour tout diviseur d de n, dans N, il existe exactement (p(d) éléments d'ordre d dans
Un ([12], Ch. III), ce sont les racines d""*5 primitives de l'unité dans AT, c'est-à-dire les
éléments de £ld. On en déduit que
Un = \jad. (6.7)
d\n
Dans Z[X], on a donc X"-l= ]\ = IÏ( il
ae£/,, d\n ae£ld

§ 2. Extensions cyclotomiques - Polynômes cyclotomiques
87
d'où, d'après la définition de <S>d{X) (Déf. 6.10),
Xn-l=H*d(X). (6.8)
d\n
2) Pour n = 1, quelle que soit la caractéristique du corps AT, on a 3^ (X) = X — 1, donc la
propriété 2) du Th. 6.14 est vérifiée.
Pour n > 1, on raisonne par récurrence sur L'hypothèse de récurrence implique que
pour tout diviseur d de n tel que 1 < d < n, dans N*, ®d{X) est unitaire dans Z[X] si
car AT = 0 (resp. unitaire dans ¥P[X] si carK = p > 0 et p \ n). Posons
</>(*)= n «w-
Le polynôme 0(X) est unitaire dans Z[X] si car AT = 0 (resp. unitaire dans ¥P[X] si
car AT = p > 0 et p \ n). Compte tenu de la relation (6.8), dans Âf [X]), on a
Xn-l=(j>(X)^n(X) (6.9)
- Dans le cas où carK — 0, en appliquant le lemme 6.13, on obtient, dans Z[X],
Xn- 1 = <t>(X)q{X) +r(X), avec r(X) = 0 ourfcgr < deg<t>. (6.10)
-Dans le cas oùcarAT = p >0,p\n, on obtient (6.10) en effectuant la division euclidienne
deXn - 1 par </>(X) dans Fp[X]. _
Les relations (6.9) et (6.10) impliquent, dans Af[X]),
MX){9n{X)-q{X))=r(X). (6.11)
Si r(X) ^ 0, alors le premier membre de l'égalité (6.11) est un polynôme de degré
supérieur ou égal au degré de (j>, tandis que le second membre est de degré strictement inférieur
à celui de 0, d'où une contradiction.
On en déduit que r(X) = 0, par suite, ^(X) = #(X). Ainsi la relation (6.9) est une égalité
dans Z[X] (resp. dans FP[X]) et les polynômes 0(X), Xn — 1 étant unitaires, 3>„(X) est
unitaire. □
En vue du Th. 6.17, nous introduisons ici la fonction arithmétique de Môbius ; il s'agit,
comme pour la fonction d'Euler, d'une fonction arithmétique classique ([28]).
Définition 6.15. On appelle fonction de Môbius, l'application
ju : N* —► N*
d^ii{d)
telle que ju(1) = 1
p(d) = (—1)*, si d est produit de k nombres premiers distincts
ji(d) =0, si d est divisible par le carré d'un nombre premier.
Proposition 6.16. Pour tout entier n>0,ona
= j1' Sin = 1
\o, *„>/.

88
Chapitre 6. Polynômes et extensions cyclotomiques
Démonstration. D'après la Déf. 6.15, la propriété énoncée est vraie pour n = 1. Pour
n > 1, soit P\,p2,-iPk les nombres premiers distincts divisant/!, alors
£>(</) = £ h(pi) + { £ M(/>,/>,)) + --- + M(/>i/>2-pk)
d\n \<i<k 1 <i</'<*
= i + (-i)ci + (-i)2c£+--- + (-i)*
= (l + (-l))*=0. □
Théorème 6.17. Etant donné un corps K et un entier n>0 vérifiant la condition (6.1), si
<ï>n(X) est le neme polynôme cyclotomique sur K, alors
<Pn(X) = l\(XÏ-iy(d\ (6.12)
d\n
où ju est la fonction de Môbius.
Démonstration. Pour tout n E N*, posons h(n) := <&n(X) et H(n) := Xn - 1.
D'autre part, pour d divisant n dans N*, posons d':= —.
A partir de la relation (6.8) et de la Prop. 6.16, on obtient
d\n d\n c\d!
Posons A = {(d,c) E N* x N* ; d \ n et c \ d1}.
Onaaussi A = {{d,c) E N* x N* ; c|/ietd|c'}, oùc' = ",
d'où n^-i)^ n (*(c))/4W=n(n*w)/iW
(d,c)EA c\n d\d
= H(h(c))^ où y (Prop. 6.16)
= A(,i)=<I>n(X). □
Exemple 6.18. Appliquons le Th. 6.17. pour trouver le polynôme cyclotomique ^(X)
sur Q, sans utiliser les racines %emes de l'unité dans C. La relation (6.12) nous donne
%(X) = (X8 - 1)^)(X4 - \)^2\x2 - l)rt*\x - 1)"(8)
^(X8-!)^4-!)-1
= X4+1.
3. Polynômes et extensions cyclotomiques sur Q
Théorème 6.19. Soit n E N* et 4>n(X) le n™e polynôme cyclotomique sur Q, alors, pour
toute racine neme primitive de l'unité coGQ.ona
7/rQ(a>,X)=<M*), donc [Q(a>) : Q] = ç(n).
Démonstration. La propriété est vérifiée pour n = 1 ; on supposera n > 1.
Q.n étant l'ensemble des racines nemes primitives de l'unité dans Q, par définition on a
<ï>„(x)= n (x-co).

§ 3. Polynômes et extensions cyclotomiques sur Q
89
D'après le Th. 6.14, <ï>n(X) est dans Z[X] cQ[I], par suite, pour tout co G
*n(œ) =0=>IrrQ(co,X) \ <ï>n(X), dansQ[X}. (6.13)
Posons Po)(X) = Irr^(cù,X) ; il existe alors q(X) G Q[X], tel que
*n(X)=Pa>(X)q(X). (6.14)
<I>n(X) est unitaire dans Z[X] (Th. 6.14), p^X) est unitaire dans Q[X], donc q(X) est
unitaire dans Q[X].
On rappelle alors ([13], Lemme 5.106) qu'il existe y et 8 dans Q*, tels que
= rs(X), q(X) = 8h(X), (6.15)
où g(X) et h(X) sont primitifs dans Z[X].
Notons a (resp. 6) le coefficient directeur de g(X) (resp. h(X)) ; les égalités (6.15)
impliquent 1 = ya et 1 = 8b. En tenant compte de la relation (6.14), on obtient
ab<i>n(X) = g{X)h(X), dans Z[X].
Dans Z[X], les polynômes g et h sont primitifs et ^W(X) est unitaire, on peut donc
supposer ab = 1 et a = 1, = 1, d'où P(o(X) = g(X).
Par suite, le polynôme unitaire Pcq(X) est primitif dans Z[X] et irréductible dans Q[X] ;
on en conclut ([13], Prop. 5.108) que
P(o(X) est unitaire et irréductible dans Z[X].
Il reste à vérifier que pour (ù' ^ (ù dans Çln, on a /^/(X) = P(o(X).
Il suffit de montrer que tout û)' G £ln est racine de P(q{X). On sait que
Qn = {cok; 1 <k< nctkAn= 1}.
a) Supposons (ù1 = û)r, 1 < r < r { n et r premier. Posons
par(X)=IrrQ(û>r,X);
alors, P(ûr(cor) = 0 Po){X) et pû)r(Xr) ont une racine commune û).
Supposons pwr(X) AP(o(X) = 1. Les polynômes pwr(X) et pw(X) sont alors deux
diviseurs unitaires et irréductibles de Xn — 1 dans Z[X], donc il existe #(X) € Z[X] tel que
Xw-l=/7û)(X)pû)r(X)9(X). (6.16)
Notons n la surjection canonique de Z sur le corps Z/rZ et # le prolongement
canonique de 7T, de Z[X] sur (Z/rZ)[X]. Pour tout /(X) G Z[X], on pose A(f(X)) = /(X) ; en
particulier,
*(xn-i)=xn-t.
Le nombre premier r ne divise pas n, donc Xw — 1 n'a que des racines simples dans un
corps de décomposition sur Z/rZ. D'autre part, la relation (6.16) entraîne
Xn-ï = pï(X)p^(X)q(X), dans(Z/rZ)[X]. (6.17)
Or Pq){X) et pwr(Xr) ont une racine commune, donc ils ne sont pas premiers entre eux et
PcoiX) étant irréductible dans Z[X], nécessairement
pœ(X)|/V(Xr),dansZpr].

90
Chapitre 6. Polynômes et extensions cyclotomiques
Il existe donc u(X) g Z[X], tel que par{Xr) = pœ(X)u{X) et r étant premier,
m{X)û{X) =p^(Xr) = (7v(X))r, dans (Z/rZ)[X].
On en déduit que, dans l'anneau factoriel (Z/rZ)[X], les polynômes Âô(X) et p^7(X) ont
au moins un diviseur irréductible commun, que nous noterons V(X). La relation (6.17)
implique alors
(v{X))2\Xn -T, dans (Z/rZ)[X].
Mais v(X) étant irréductible, on a degv(X) > 1, donc le polynôme Xn - T a au moins une
racine double dans un corps de décomposition sur Z/rZ, ce qui est en contradiction avec
l'hypothèse : r \ n (Prop. 6.4). On en conclut que, dans Z[X], les polynômes irréductibles
et unitaires p^X) et pa(X) ne sont pas premiers entre eux, par suite,
P(ûr(X)=p(û(X). (6.18)
b) Supposons co' = û)5, avec l <s <n,sAn=l.
Soit s = rxr2... rk la factorisation de s, en nombres premiers, non nécessairementdistincts
dans N. A partir du résultat (6.18), on obtient :
PcoiX) = (X) = P(ùW2 (X) = • • • = p^.,, (X) = /v(X).
Ainsi, quel que soit (ù g £ln, PcoiX) = Irr^(co,X) admet pour racines les ç(n) racines
nemes primitives de l'unité contenues dans Q, donc
4>w(X)|/rrQ(û),X),dansQ[X].
En tenant compte de la relation (6.13) et du fait que les deux polynômes considérés sont
unitaires dans Z[X], on obtient, pour tout co g
4>„(X)=/rrQ(û),X), d'où. [Q(œ) :Q] = ç(n). □
4. Théorème de Wedderburn
Théorème 6.20. Tout anneau à division (ou corps gauche) fini est un corps (commutatif).
Démonstration. Il existe plusieurs démonstrations de ce théorème, celle que nous
donnons ici est une application du Th. 6.14 (relation (6.8)).
a) Soit A un anneau à division (ou corps gauche) fini ([13], Déf. 1.6) ; le groupe
multiplicatif fini A* = A \ {0} est alors non abélien.
Soit Z(A) le centre de A ([13], Déf. 1.32) :
Z(A) = {jcgA; ax = xa, Va g A}.
Le but de la démonstration est de prouver que Z(A) = A.
On remarque que Z(A) est un sous-corps commutatif de A et, A étant fini, Z(A) est un
corps fini ; posons
q.= \Z(A)\.
L'anneau à division fini A est un espace vectoriel sur Z(A), nécessairement de dimension
finie et
n := dimz(A)A =^\A\ = qn.

§ 4. Théorème de Wedderburn
91
On est ramené à prouver que n = 1.
b) Supposons n > 1 et considérons le groupe A* comme opérant sur lui-même par
conjugaison ([12],p.l77):
A*xA*—► A*
(a,x) i—► axa~l.
Soit {^}1<Kr, 1 < r < cf1 - 1 dans N, une famille de représentants des classes de
conjugaison (distinctes) de A*.
Pour tout x E A*, notons C(x) le centralisateur de jc dans A* ([12], p.64) :
C(;c) = {a € A* ; ax = xa).
C(x) est un sous-groupe de A* ([12], p.76) et, [A* : C(jc)] désignant l'indice de C(x) dans
A*, "Véquation aux classes" s'écrit ici ([12], Cor. 5.22) :
|A*|= £ [A*:C(x/)]=?w-l. (6.19)
l<i<r
Soit Z(A*) le centre du groupe A* ; on a
Z(A*)=Z(A)\{0}=*\Z(A*)\=q-l.
x e Z(A*) =► C(x) = A* => [A* : C(x)] = 1.
Quitte à réordonner l'ensemble des jc, (1 < i < r), on peut supposer
xt€Z(A')yi(l<i<q-l) et x,#Z(A'),Vi(q<i<r).
Par suite, la relation (6.19) permet d'écrire
q" -1=4-1+ £ [A*:C(*,)]. (6.20)
Pour tout i(q < i < r), posons
Df = {a g A ; ox,- = xp} = C{xt) u {0}.
On vérifie que Di est un sous-anneau de A, contenant Z(A) ; ainsi Dt est un espace vectoriel
de dimension finie sur le corps fini Z(A) ; alors,
ni := dimZ{A)Di =* \Di\ = =» lC^)l = f ~ L
C(xi) étant un sous-groupe de A*, son ordre - 1 divise qn - 1 = |A*| ([12], Th. 2.9) et
on obtient ([12], Prop. 2.15) :
La relation (6.20) s'écrit alors,
Rappelons que, dans N, ([13], App. A, Prop. A.37)

92
Chapitre 6. Polynômes et extensions cyclotomiques
D'autre part, d'après le lemme 4.7, on a
d\n, dansN* Xd- 1 |Xn- 1, dansQ[X].
Pour tout diviseur d de ai, il existe donc gd{X) G Q[X], tel que
X"-l = (X'-l)*rf(X). (6.22)
Or, d'après le Th. 6.14, on a
Xrf-1=17*^)1 déplus, k\d=ïk\n, (6.23)
alors (6.8) Xn - 1 = {Xd -1) [J 4>^,(X). (6.24)
Dans le domaine d'intégrité Q[X], les relations (6.22) et (6.24) impliquent
sa*)- n *ax)={ n *ax))*n(x).
d'\n,d<d'<n d'\n,d<d'<n
Par suite (Th. 6.14.), quel que soit le diviseur d de n,gd(X) est unitaire dans Z[X] et
4>n(X) divise gd(X) dans Z[X].
On en déduit que, dans Z, pour l'entier # = |Z(A) | > 1 et pour tout diviseur d > 1 de /i,
(6.22) =» gd(q) = =» *„(?) | (6.25)
En appliquant la relation (6.25) aux diviseurs n{ de intervenant dans la relation (6.21),
on obtient :
(Vî(« < ^ < r), *„(*) | ^1) => | ^^T-
D'autre part, (6.8) => <ï>„(#) | 9" - 1,
alors (6.21) | 9-1.
Or, 3>„(<7) = PJ(? —û)), où û) = exp^^-, \<k<n, kAn = 1 ; si pour tout co G
coeCln n
on note |# — co\ le module du nombre complexe q—Cù, alors,
to^l —► |#-û)| >?-l, d'où, \®n{q)\ >?-l, dans Z;
par suite, pour n > 1, l'entier &n(q) ne peut diviser q—1.
On en conclut que n = 1, donc A = Z(A), ainsi l'anneau à division fini A est un corps
(commutatif). □
5. Polynômes cyclotomiques sur un corps fini
Remarque 6.21. a) Les résultats du chapitre 4 montrent que tout corps fini de
caractéristique p est une extension cyclotomique du corps fp.
En effet, étant un corps fini de caractéristique p et de cardinal
q = j/n^m g N*, on a (Rem. 4.14),
fq = fp{cù), (6.26)

§ 5. Polynômes cyclotomiques sur un corps fini
93
où (0 est un générateur du groupe cyclique F*, donc une racine (q - \ )eme primitive de
l'unité de ¥pi ainsi F^ est la (q - X)™6 extension cyclotomique de ¥p.
Plus généralement, étant donné le corps fini F^m, pour tout diviseur s de m, F^ est une
extension cyclotomique du sous-corps F^ (Cf. Rem. 4.14).
b) Compte tenu de la relation (6.26),
q = pm [¥q:¥p] = m=[¥p(co):¥p}1
donc le degré du polynôme 7rrF (û),X) est m.
- Dans les cas particuliers suivants,
p = 2eim = 1 ou 2, ou bien, p = 3etm = l, (6.27)
on vérifie que m = <p(pm — 1) ; on en déduit que dans FP[X],
Irr¥p(<o,X) = *q_l(X), où q = pm.
- Mais en général (c'est-à-dire, sauf dans les cas particuliers précédents), on a (voir, par
exemple, le cas p = 3, m = 2) :
1 < m < ç(pm - 1), donc degIrr¥p((0,X) < deg®q_x{X), oùq = pm.
Si est l'ensemble des racines (q — \)emes primitives de l'unité de Fp, alors dans
¥P[X], on a, pour tout co G SI x, :
Irr^ico^l^iX) et IrrVp(a>;x) ^%_X{X). (6.28)
On en déduit que le polynôme (X), où q = pm, n'est pas nécessairement irréductible
sur ¥p ; cette propriété sera confirmée par l'étude qui suit.
A. Notion de nème polynôme primitif sur ¥p
Soit p un nombre premier et n > 1, un entier tel que p \ n, auxquels on associe Un et £ln
définis par les relations (6.3) et (6.4), dans ¥p.
1/ Pour tout (ù G £2„, posons Pco(X) := Irr¥p((ù,X).
La nème extension cyclotomique ¥p(co) : ¥p est indépendante du choix de co dans Q.n et
de degré fini (Prop. 6.8.) ; alors,
{degp^X) = m, Vû) E Sln) {[¥p{co) : ¥p] = m, Va> G ft,), (6.29)
(F,(a>) = F^, Vo G (6.30)
Définition 6.22. Dans le contexte ci-dessus, on appellera, n*"1* polynôme primitif sur
¥p, tout polynôme pm{X) = Irr^ (<o,X), où (ù G £ln-
Remarque 6.23. Par définition, tout œ G £ln engendre le groupe cyclique Un d'ordre
formé par les racines du polynôme Xn — 1 G Fp[X], Par suite, dans les conditions (6.29),
(6.30), Un est un sous-groupe du groupe cyclique ¥*pfn d'ordre jT — 1, d'où
n\pm-l et ny£pm-l =>UnÇ¥*pm.
Dans le cas où n ^ pm — 1, aucun élément û) G £2n n'engendre le groupe F£m, cependant,
pour tout (ù G on a F^m = Fp(û)) (Cf. Rem. 4.14), donc û) est un élément primitif
(Déf. 3.32) pour l'extension F^„ : ¥p.

94
Chapitre 6. Polynômes et extensions cyclotomiques
21 Le ri™6 polynôme cyclotomique sur Fp, <ï>«(X), est unitaire dans Fp[X] (Th. 6.14.) et
il découle de sa définition (Déf. 6.10), que, quel que soit le polynôme p{X), unitaire et
irréductible dans FP[X], on a
p{X) | <D„(X) <=> 3œ E O,, tel que p{X) = P(Û(X). (6.31)
Proposition 6.24. Le n61716 polynôme cyclotomique sur Fpi<$n{X), est le produit des nemes
polynômes primitifs sur Fp distincts et
{degPaiX) = m, Vû) g £ln) m \ ç{n).
Démonstration. D'après sa définition, le polynôme <&n{X) n'a que des racines simples
dans Fp, donc dans l'anneau factoriel FP[X], on peut écrire
*n(X)=Pl(X)p2(X)...pk(X), où l<k<ç(n) (6.32)
et les polynômes p^X), 1 < i < sont unitaires, irréductibles, deux à deux distincts et
séparables (Déf. 3.16). Compte tenu de (6.31),
Vî(l < i < k), 3 (ùt G Çln tel que Pi{X) = P(Û.{X)\
alors, {degp^X) = m,V/(l < i < k)) =>km = deg®n{X) = <p(n). □
3/ Calcul de m = [Fp{œ) : Fp], où (ù € Cln.
Remarque 6.25. D'après les résultats obtenus précédemment,
{coeQn et m = [Fp{co):Fp)) =>n\pm-\, dansN*. (6.33)
D'autre part, n \ pm - 1 pm = 1 (mod n). (6.34)
Considérons alors l'anneau Z/nZ = {0,1,..., n — 1}.
{p\n et p premier) => pAn = 1,
par suite, p est un générateur du groupe cyclique (Z/nZ, -f), donc un élément du groupe
multiplicatif Gn, formé par les éléments inversibles de l'anneau Z/nZ. On rappelle que le
groupe Gn est d'ordre ç{n).
De plus, m = degp^X) = [Fp{(o) : Fp] entraîne que m est, dans N*, le plus petit entier
tel que pm = 1 (mod n) ; en notant o{p) l'ordre de p dans le groupe multiplicatif G„, on
en déduit que
m = [Fp{co) : Fp] o{p) = m, dans Gn. (6.35)
Cas particuliers :
1) On rappelle que, dès le début de ce paragraphe, on a supposé n > 1 car, n = 1 m =
1, quel que soit le nombre premier p.
2) p = 1 (mod n) => m = 1.
En particulier, {n = 2etp impair) => p = 1 (mod 2) m = 1.
Proposition 6.26. Star n > 2 da/w N et p un nombre premier tel que p\n et p ^ 1
(mod n). Si la factorisation de n dans N* est
n = 2a4*...<g, (6.36)
où Von suppose a > 0, > 0 et pour k > 0, tes 1 < i < k, sont des nombres premiers
impairs deux à deux distincts et les at sont non nuls, on obtient les résultats suivants, pour

§ 5. Polynômes cyclotomiques sur un corps fini
95
le degré m de la neme extension cyclotomique sur ¥p :
(jfc = 0;a = 2) =* m = 2; (6.37)
(* = 0;2<a) =»m = 2a-2; (6.38)
(1 < jfc ; 0 < a < 2) ==» m = p.p.c.m. (o(pw) ; 1 < î < *) ; (6.39)
(1 < Jt ; a = 2) m = p.p.c.m. (2, o(p(.}) ; 1 < i < k) ; (6.40)
(l<Jfc;2<a)=*m = p.p.c.m. (2a~2, o(p(0) ; 1 < î < t), (6.41)
où désigne la classe d*équivalence de p modulo q**' et o(p^) est l'ordre de p^
dans le groupe multiplicatif G a,.
Démonstration. Compte tenu de la relation (6.35), les résultats énoncés découlent de la
structure du groupe Gn (Cf. Ex.l., de ce chapitre).
L'hypothèse n > 2 entraîne que pour k = 0, on a a > 2.
L'hypothèse p ^ 1 (mod n) implique p ^ 1 dans Z/nZ ; on écarte ainsi les cas où m = 1.
Examen des différents cas (le détail des preuves est laissé au lecteur, en application de
l'Ex. 1. de ce chapitre) :
(jfc = 0, a = 2) =» n = 4, alors G4 ~ Z/2Z m = o(p) = 2.
(k = 0, 2 < a) G„ - (Z/2Z) x (Z/2a"2Z)
m = p.p.cm. (2,2a~2) = 2a~2.
(1 < a = 0) Gn ~ G ai x • • • x G k
=> m = p.p.cm. (o(p^); 1 <i<k).
(1 < A:, a = 1) G„ ~ G2 x G «L x • • • x G ^
m = p.p.cm. (o(p^) \l <i<k).
(1 <£, a = 2) G„~G4xG «. x .-xG ,
=>m = p.p.cm. (2, 0(p(/)) ; 1 < / < *).
(1 < k, 2 < a) => G„ ~ G2a x G «L x • • • x G *
=> m = p.p.c.m. (2a~2, o(p{i)) ; 1 < î < it). □
Exemple 6.27. 1) n = 25 = 32. p = 7. Soit 7 la classe d'équivalence de 7 modulo 25 ;
dans le groupe G25, d'ordre <p(25) = 24 = 16, on a, d'après le résultat (6.38),
m = o(7) = 23 = 8.
On en conclut que la 32eme extension cyclotomique sur F7 est F?8 ; tout 32*w* polynôme
primitif sur F7 est de degré 8 ; alors le 32*w* polynôme cyclotomique sur F7, qui est de
degré <p(32) = 16, est le produit de deux polynômes unitaires, irréductibles, de degré 8.
(Prop. 6.24.).
2) n = 33 = 27, p = 19. Le groupe G33 est d'ordre ç>(33) = 2 x 32 = 18 et cyclique (Ex.
L, Ch. 6).
Pour tout jc g Z, soit x la classe de x modulo 33. Le résultat (6.39) donne

96
Chapitre 6, Polynômes et extensions cyclotomiques
m = tf(19) dans le groupe G33.
_ l92 = 361 =î>Î92=ÎÔ=>Î93 = T9Ô = T,
d'où m = o(19) =3.
En conclusion : la 27ème extension cyclotomique sur F19 est F193 ; les 27emes polynômes
primitifs sur F7 sont de degré 3 ; alors le 27eme polynôme cyclotomique sur F19, qui est de
degré 18, est le produit de six polynômes unitaires, irréductibles, de degré 3.
3) n = 3 x 52 = 75, p = 2. Le groupe Gn est cyclique et d'ordre
ç(n) = <p(3) ç>(52) = 2 x (4 x 5) = 40.
Notons, respectivement, 2,2, et 2 les classes d'équivalence de 2 modulo 75, modulo 3 et
modulo 52 ; alors d'après la Prop. 6.26., relation (6.39),
m = o(2)=p:px:m.(o(2)MÏ)),
où <?(2), o(2) et 0(2) sont les ordres de 2, 2 et 2, respectivement, dans les grou-pes G75, G3
etG52.
Dans le groupe G3 d'ordre 2, on a 0(2) = 2 et on vérifie que 2 engendre le groupe cyclique
G52, d'ordre 20, d'où
m = p./?.c.m.(2,20) = 20.
Ainsi la 75e"1* extension cyclotomique sur F2 est F220 ; le degré d'un 75e"1* polynôme
primitif sur F2 est égal à 20, donc le 75e"1* polynôme cyclotomique sur F2, qui est de degré
40, est le produit de deux polynômes unitaires, irréductibles, de degré 20.
4) n = 23 x 5 = 40, p = 7. L'ordre du groupe G40 est
<p(23 x 5) = 22 x 4= 16.
D'après la Prop. 6.26, relation (6.40),
m = p.p.c.m.(2,o(1)),
où 7 est la classe d'équivalence de 7 modulo 5 et 0(7) est l'ordre de 7 = 2 dans le groupe
G5. Or, 2 est d'ordre 4 dans G5, d'où m — 4.
La 40*m* extension cyclotomique sur F7 est donc F?4 ; tout 40*™* polynôme primitif sur
F7 est de degré 4 et le 40*™* polynôme cyclotomique sur F7, qui est de degré 16, est le
produit de quatre polynômes unitaires, irréductibles, de degré 4.
B. Factorisation dans FP[X] - Algorithme de Berlekamp
Ce paragraphe est motivé par la recherche d'une méthode de détermination ( pour tout
entier n > 1) des facteurs irréductibles du neme polynôme cyclotomique sur Fp, c'est-à-dire,
des rf"1™ polynômes primitifs sur Fp (Prop. 6.24)
Il Propriétés préliminaires
Lemme 6.28. Etant donné un anneau factoriel A et un entier k>l,on considère, dans A,
des éléments non nuls ava2,...,ak, deux à deux premiers entre eux et un élément b^O
tel que
b divise Yl ai et V/ (1 - i - k) > b t aii•
\<i<k
Pour tout i(l < i < k), on pose dt = bAat, alors
1) Pour tout couple (ij), \ <i< j <k, ona dtAdj = 1.
2) Il existe une unité uGA telle que b = u Y[ dt.
\<i<k

§ 5. Polynômes cyclotomiques sur un corps fini
97
Démonstration. On remarque que, pour tout i (< i < k), b \ at entraîne di ^ b.
1) Soit (/,y), 1 < i < j <k, posons 5 = di Adj ; alors
(S\di et di = bAai)=>8\ai.
De même, on a 5 | aj ; par suite, atAaj = 1 => d{Ad^ = 1.
2) Quel que soit i(l < i < k), on a ^ | b ; alors,
\<i<k
donc il existe « G A* tel que è = u Y\ dr
\<i<k
Démontrons que u est une unité dans A.
Quel que soit i{\ <i<k), dt = b Aat implique qu'il existe a,,/?,, dans A*, tels que
([131, Prop. 5.43)
a^a^ b = pidi et rçAft = l. (6.42)
Posons a = af ; des égalités (6.42) et de l'intégrité de l'anneau factoriel A on déduit
l<i<*
que
(b=u n 4, n ai=a n 4 * *i n (6.43)
l<i<* 1<K* 1<K* l<i<k
De plus, Vî(l < i < k){b = u ]J dj = jB^) ft = «n^-
i</<* H*
D'après (6.42), V/(l < i < k), a, Aft = 1, d'où
V*(l </<*), (aiAuY[dJ = l => aiAu=\). (6.44)
Dans l'anneau factoriel A, (6.44) implique a A u = 1 et avec le résultat (6.43), on obtient
(a | aetiiAa = 1) w G f/^,
C/A étant le groupe des unités de A. □
Proposition 6.29. Soit Fq un corps fini de cardinal q et de caractéristique p.
1) Pour tout polynôme g(X) G Fq[X], on a
(g(X)Y-g(X)= n (*(*)" «)
et [degg > 0, a ? a' dans Fq) (g(X) -a) A (g(X) -a') = l.
2) Etant donné g(X) G Fq[X] \ Fq, si f(X) est un polynôme non constant, unitaire de
F q[X], divisant (g(X))q—g(X) et ne divisant aucun des g(X) — a, a GF^, alors,en posant
Va<=Fq,da(X) :=f(X)A(g(X)-a)
et en prenant da(X) unitaire, on obtient
f(X) = da(X). (6.45)
Démonstration. 1) Posons Y := g(X), et considérons Yq — Y dans F^[F].
Tout a G F^ vérifie aq — a = 0, donc est racine du polynôme Yq — F, par suite
v - y = n (y - «) = n (*w - «)•

98
Chapitre 6. Polynômes et extensions cyclotomiques
Supposons que g(X) - a et g(X) — a' aient un diviseur commun r(X) E ¥q[X] \ Fq. Soit
j3 E F^, une racine du polynôme r(X) ; alors
(g(p)-a = 0 et g(p)-ar = 0)=>a = ct,
ce qui est contraire à l'hypothèse a ^ a', donc
(g(X)-a)A(g(X)-cc') = l.
2) Compte tenu des hypothèses, appliquons le Lem. 6.28., dans l'anneau factoriel ¥q[X] ;
on obtient
f(X) = uY[da(X\u£¥*q.
aeWq
Mais f(X) étant unitaire, ainsi que les da(X), on a u = 1, donc
/(x) = n °
aeWq
2/ Polynômes /(X)-réducteurs
Les résultats de ce paragraphe découlent de la Prop. 6.29 et du Théorème Chinois (encore
appelé Théorème des restes chinois) que nous rappelons ici ([13], Ch. 2).
Théorème Chinois
Etant donné un domaine principal A ([13], Déf. 2.7) et k E N*, si pl5/?2,. •. ,pk sont des
éléments non nuls et deux à deux premiers entre eux dans A, alors, quel que soit le fc-uple
(cx, c2,..., ck) E Ah, il existe a^Atel que
Vî(l </< *), a = cê (mod pt).
De plus, si bGA vérifie la même propriété que a, alors
b = a (mod f] p.).
l<i<k
Dans ce qui suit, on se limite à étudier la factorisation, dans ¥q[X], d'un polynôme f(X)
tel que
f(X)=Pl(X)p2(X)...pk(X), keN*, (6.46)
où les Pi(X), 1 < i < k, sont irréductibles, unitaires, et deux à deux distincts dans ¥q[X],
le problème étant de trouver une méthode de détermination des p,(X), connaissant /(X).
Proposition 630. Etant donné f(X) E ¥q[X] satisfaisant à la condition (6.46) et un k-
uple (av «2,..., ak) d'éléments de Fq, alors il existe g(X) E ¥q[X] tel que
Vi(l <*<*), g{X) = at (mod/^X)); (6.47)
ce qui entraîne {g{X))q = g{X) (mod /(X)). (6.48)
Démonstration. Etant donné un fc-uple (ax, o^,..., ak) d'éléments de c ¥q[X], d'après
le Théorème Chinois, appliqué dans le domaine principal Fq[X], il existe g(X) E F^[X] tel
que
Vî(l</<*),*(X) = rç (modp,(X));
par suite (g(X))q = af (mod p,(X)),
et <xie¥q=ï(x? = ai=>(g(X)y = (xi (mod Pi(X)).

§ 5. Polynômes cyclotomiques sur un corps fini
99
La seconde partie du Théorème Chinois et l'hypothèse (6.46) entraînent
(g(X))q=g(X) (mod fi />*(*));
1<I<*
donc (6.46) et (6.47) => (g(X))q = g(X) (mod f(X)). □
Remarque 6.31. Dans le contexte de la Prop. 6.30,
a) on note qu'un polynôme constant, a, satisfait à (6.47) si et seulement si le fc-uple
donné (ax, o^,..., ak) est tel que
Vî(l <*<*), a, = a.
b) pour un polynôme g(X) de ¥q[X] \Fq, on a (g(X))q= g{Xq),
car q est une puissance de la caractéristique p du corps ; par suite
(g(X))q= g(X) (mod f(X)) g(X<) = g(X) (mod /(X)).
Proposition 6.32. Soit f(X) <E ¥q[X] vérifiant (6.46).
1 ) Etant donné un k-uple (a^o^,... , û^) E ¥q, parmi les polynômes de ¥q [X] qui vérifient
(6.47), il existe un unique polynôme h(X) tel que
degh < degf.
2) Si h(X) e ¥q[X] satisfait aux conditions
(h(X))q=h(X) (mod/(X)) et degh < degf, (6.49)
alors il existe un unique k-uple, (a1,a2,...,ajGF*fôl que
V/(l < i < Jt), A(X) = at (mod p,(X)).
3) // existe exactement cf polynômes de ¥q[X] vérifiant (6.49).
Démonstration. 1) Soit g(X) e ¥q[X] vérifiant (6.47) pour un jfc-uple de F*,
(^,«2,...,^). Si degg < deg f ,onprend h = g.
Dans le cas où degg > deg f, en effectuant la division euclidienne de g(X) par /(X) dans
¥q[X], on obtient un unique couple de polynômes (ju(X),A(X)) tel que
g(X)=ii(X)f{X)+h(X) et degh < degf;
d'où, h(X) = g(X)-Lt(X)Pl(X). ..pk(X).
Or, par hypothèse, g(X) vérifie (6.47), donc pour tout i (1 <i<k),
3Af.(X) € ¥q[X], tel queg(X) = ^(X)Pi(X) + a,;
d'où h(X) = ^(X)Pi(X) 4- a, - li(X)pl (X). ..Pk(X),
donc, h(X) = cct (mod p^X)).
Ainsi h(X) vérifie (6.47) et degh < degf; s'il existe hx(X) ^ A(X) dans F9[X],
satisfaisant à ces mêmes propriétés, alors le Théorème Chinois, appliqué à h(X) et hx(X), et
l'hypothèse (6.46) entraînent
hx(X) = h(X) (mod/(X)),
donc, /(X) divise hx(X) -h(X) dans Fq[X], mais
{deghx < deg fet degh < degf) =>deg(hx-h) <degf

100
Chapitre 6» Polynômes et extensions cyclotomiques
d'où une contradiction ; on en conclut que hx (X) = h(X).
2) Soit h(X) E ¥q[X] vérifiant les conditions (6.49).
D'après la Prop. 6.29, on a
(h(X))q-h(X) = ][[ (M*) - a) (6.50)
et (degh > 0, a ^ a' dans ¥q) (h(X) - a)A(h(X) - a')= 1. (6.51)
Pour h(X) non constant, vérifiant (6.49), la relation (6.50) implique
n ptw\ n
\<i<k aeWq
Dans l'anneau factoriel ¥q[X], les polynômes pt(X) sont, par hypothèse, deux à deux
distincts et irréductibles donc premiers ; par suite,
Vi(l < i < Jfc), 3at E ¥q tel que pt(X) \ h(X) - at
et \/cc€¥q(a^ai=>pi(X)\(h(X)-a)).
On en déduit qu'il existe un unique fc-uple, (a1,...,ak) E F^ tel que
Vi(l < i < Jfc), h(X) = at (mod pt(X)).
D'autre part, quel que soit a E F^, le polynôme constant a vérifie (6.49) et il lui
correspond le fc-uple, (ccx,... ,ock) E F^ tel que at = a, quel que soit i, 1 < i < k (Rem. 6.31.).
3) D'après la détermination (ci-dessus) de l'unique fc-uple (av..., ak) d'éléments de F^
associé à un polynôme h(X), vérifiant (6.49), le nombre de ces polynômes est égal au
nombre d'applications de l'ensemble {px(X),...,pk(X)} dans F^, c'est-à-dire, ([3],
Ch.ni). □
Définition 6.33. Etant donné f(X) E ¥q[X] vérifiant la condition (6.46), on dira que
h(X) E ¥q[X] est un polynôme f(X)-réducteur s'il satisfait aux conditions :
(h(X))q=h(X) (modf(X)) et 0< degh < degf. (6.52)
Remarque 6.34, Pour f(X) vérifiant (6.46), la Prop. 6.32 montre qu'il existe
polynômes h(X) satisfaisant aux conditions (6.49), dont q sont des polynômes constants.
Proposition 6.35. Soit f(X) satisfaisant à la condition (6.46), avec k > 1.
5/ h(X) E ¥q[X] est un polynôme f(X)-réducteur, alors, en posant, pour tout a E F^,
da(X) = f(X) A (h(X) — a), on obtient
f(X) = da(X). (6.53)
aeFq
Démonstration. Par hypothèse, on a 0 < degh < degf, donc f(X) ne divise aucun des
facteurs h(X) - a ; l'application de la Prop. 6.29 donne alors
f(X)= l\da(X). □

§ 5. Polynômes cyclotomiques sur un corps fini
101
Remarque 636. La factorisation (6.53) de f(X) dépend du choix du polynôme f(X)-
réducteur h(X).
D'autre part, dans l'égalité
n Pi(x)= n
l<*<* cceFg
les pt{X), 1 < i < k sont, par hypothèse, distincts et irréductibles, mais il n'en n'est pas,
nécessairement de même, pour les polynômes
da(X) = f(X) A (h(X) - a), a £ Fq, où h(X) est un polynôme /(X)-réducteur donné.
En effet, soit (al5..., ak) l'unique &-uple d'éléments de associé à A(X)(Prop. 6.32).
Pour aGF^\{a1,a2,..., ak}, on a
Vî(l < i < k), p^X) A (h(X) - a)= 1, d'oùda{X) = 1.
Par suite, degda > 0 <=> a € {c^, o^,..., ak} et dans ce cas (Rel. 6.51),
ai^o^^)A^) = l.
D'autre part, dans l'unique fc-uple associé au polynôme h(X), tous les éléments ne sont
pas égaux (Prop. 6.32, Rem. 6.34), mais certains peuvent l'être ; par exemple, si a! = c^,
alors da(X) = dc^(X) et
px(X) | {h(X)-al)=^pl(X)\dai(X),
P2(X)\(h(X)-al)=*p2(X)\dai(X).
Ainsi px(X)p2(X) \ da^ (X), donc, da{ {X) n'est pas un facteur irréductible de f(X).
Cependant, nous verrons, dans le paragraphe suivant que le calcul des da(X) pour,
éventuellement, plusieurs polynômes /(X)-réducteurs, permettra de déterminer les k facteurs
distincts et irréductibles de f(X).
3/ Algorithme de Berlekamp
Pour f(X) e Fq[X] vérifiant (6.46), l'Algorithme de Berlekamp est un processus qui
permet déterminer les polynômes /(X)-réducteurs et par suite les facteurs irréductibles,
unitaires, distincts de f(X).
Théorème 6.37. Algorithme de Berlekamp
Soit f(X) e Fq[X], vérifiant (6.46) ; on suppose s := deg f > 1.
Pour tout i(0 < i < s — 1), on note r^X) le reste de la division euclidienne de Xlq par
f(X),dans¥q[X}. On pose
oW-= I buxj et B'-=(bu)>
0</<s-l
où la matrice B appartient à l'anneau Ms(Fq) des matrices carrées d'ordre s sur Fq.
1) Pourh(X) := £ atXl G Fq[X], les conditions (6.49) ;
0</<s-l
h(Xq) = h(X) (mod f(X)) et degh < degf
est équivalente à
(a0iav...,as_l)(B-I)=0 (6.54)
où, 0 désigne l'élément nul de Fqs et I est la matrice unité de Ms(Fq).
2)f(X) est le produit de k facteurs unitaires, irréductibles, distincts (Cf. (6.46)) si et
seulement si
rang(B-I)=s-k. (6.55)

102
Chapitre 6. Polynômes et extensions cyclotomiques
Démonstration. 1) Pour tout i, 0 < i < s - 1, il existe ^-(X) et r,.(X), uniques dans ¥q[X]
([13], Th. 4.33), tels que
Xiq=f(X)qi(X) + ri(X), et deg rt< degf, d'où
X* = r,(X) (mod/(X)) et deg rt< degf.
Les conditions (/(X) vérifie (6.46)) et (deg/ = s > 1) impliquent r£(X) ^ 0.
Soit /i(X) := £ a?C dans [X], vérifiant (6.49).
0<i<5-l
Compte tenu de la Rem. 6.31, b), on a alors, dans l'anneau quotient Fq[X]/(f(X)) (en
conservant la notation X pour la classe de X modulo /(X)),
h{X<*)=h(X) et degh < degf, d'où
h(X) vérifie(6.49) £ airi{X)= £ atXl,
0<I<5-1 0<I<5-1
t at( I V^') = I "t*'*
0</<5-l 0<j<s-l 0<i<s-\
I ( Ê «,A,)*;= L
0</<j-1 0<i<5-1 0</<j-1
£ û,*tf = ^,vy(o<y<j-i),
0<k^-1
(fl0,fl1,...,flJ_1)(B-/)=0.
2) Ce qui précède montre que la matrice B est déterminée par la donnée du polynôme
/(X) et d'après la relation (6.54), les coefficients at,0 < i < s - 1, forment une solution
du système (S) de s équations linéaires sur F^, à s inconnues, dont la f"* équation
(0<j<s-l) s'écrit
L ciibij-aj=0.
0<I<5-1
On peut aussi considérer que la matrice (B — I) définit le morphisme
*F : Fqs —► Fqs
(a0,al,...,as_l)^{a0,al,...,as_l)(B-I).
On a dim^ImW-f dim^ Ker^f = s, d'où (Prop. 6.34.),
le système (5) asolutions <=^ dim¥^KeryV = k,
dim^ImW = s — k,
<=> rang(B-I) =s-k. □
Remarque 6.38. Ker*¥ est le sous-espace nul correspondant au morphisme V ou à la
matrice B — I.
Les définitions de s et k, impliquent 1 < s — k < s — 1 et
rang(B -I)=s-l f(X) irréductible
rang(B -I)=s-k<s-l /(X) réductible et
produit de k facteurs irréductibles, unitaires, distincts.
Le premier cas montre que l'algorithme de Berlekamp peut servir de critère
d'irréductibilité pour les polynômes de Fq[X].

§ 5. Polynômes cyclotomiques sur un corps fini
103
Dans le second cas, si Ton identifie toute solution (a0,av...,as_x) du système (S), au
polynôme h(X) = afi\ alors le F^-espace vectoriel Ker*¥ contient au moins une
0<i<j-1
base formée de k polynômes hj(X), 1 < j < k, où l'on peut supposer hx(X) = 1 et les
hj(X),2 < j <k, sont des polynômes /(X)-réducteurs.
4/ Applications de l'algotithme de Berlekamp
Exemple 6.39. Soit, dans N, n > 1 et p premier tel que p \ n.
La Prop. 6.24. montre que tout polynôme cyclotomique <t>n(X) sur Fp satisfait à la
condition (6.46), ses facteurs irréductibles et unitaires étant les nemes polynômes primitifs sur
Fp ; ceux-ci peuvent donc être déterminés par la méthode de l'Algorithme de Berlekamp
(Th. 6.37), appliquée dans le cas où q = p.
Exemple : on considère le l*"1* polynôme cyclotomique sur F2 ; avec les notations du Th.
6.37, on a, dans ce cas,
q = 2, f(X) = <Ï>7(X), s = degf = ç>(7) =7-1=6.
X1 - 1 = (X - 1)(X6 +X5 +X4 -f X3 + X2 +X + 1)
implique *7 (X ) = Xe + X5 -h X4 4- X3 -f X2 4- X 4- 1.
Les polynômes r-(X), pour 0 < i < 5, sont les seconds membres des relations
d'équivalences ci-dessous (sachant que q = 2, donc —1 = 1)
/ = 0=» 1 = 1 (mod<I>7(X))
i = 1 =* X2 = X2 (mod <ï>7(X))
i = 2 => X4 = X4 (mod 3>7(X))
i = 3 X6 = X5 -f X4+X3 +X2 4-X4-1 (mod <Ï>7(X))
i = 4 =► X8 = X (mod *7(X))
î = 5 =» X10 = X3 (mod <ï>7(X)).
On en déduit la matrice B - /, dans Af6(F2) :
/o
0
0
0
0
o\
0
1
1
0
0
0
0
0
1
0
1
0
1
1
1
0
1
1
0
1
0
0
1
0
0
0
1
0
1 /
La relation (a0,av...,a5){B-I) = 0équivautau système (S) suivant
' «3 = 0
(s).\ «1+a2 + «3=°
a2 + a3 + a4 = 0
> a3+a5=0
On vérifie que

104
Chapitre 6. Polynômes et extensions cyclotomiques
(rang{B-I)=4 = 6-2)=>k = 2.
Le 7*w* polynôme cyclotomique sur F2, <î>7(X), est donc le produit de deux 7e™*5
polynômes primitifs, pl(X),p2(X), de même degré m tel que 2m = 6, d'où m = 3 ; d'autre
part, 23 = 8, donc
F8 est la Tme extension cyclotomique sur F2.
Le système (S) a quatre solutions ; on a q = 2, donc deux d'entre elles correspondent à
des polynômes constants (Rem. 6. 34), d'où deux polynômes 4>7(X)-réducteurs.
L'inconnue a0 n'intervient pas dans le système (S), donc est quelconque dans F2 ; de plus
a3 = a5 = 0, d'où les solutions de {S) :
(0,0,0,0,0,0), (1,0,0,0,0,0), (0,1,1,0,1,0), (1,1,1,0,1,0).
Les deux premières correspondent au polynôme nul et au polynôme hx (X) = 1, les deux
polynômes <I>7(X)-réducteurs sont alors,
h2{X) = X+X2+X4, h3(X) = 1+X+X2 + X4.
D'après ce qui précède, le sous-espace nul estde dimension k = 2; {hl,h2} et {hl,h3}
sont des bases de ce sous-espace nul.
Déterminons la factorisation de «^(X) par la relation (6.53) avec h2, sachant que les deux
qemes p0ivnômes primitifs sur F2 sont de degré 3.
<Î>7(X) A (X4 +X2+X) = X3 +X +1 = Pl (X)
<Ï>7(X) A (X4 +X2 +X + 1) = X3 +X2 + 1 = p2(X),
d'où <Ï>7(X) = (X3+X2 + 1)(X3+X + 1).
Les racines des polynômes px (X) et p2(X) sont les racines 7em<f5-primiuves de l'unité du
corps F2 ; ce sont donc les six générateurs du groupe cyclique U7 = F8 \ {0}.
On remarquera que la valeur m = 3 du degré d'un 7e™
que l'on obtient en appliquant la Prop. 6.26 :
(6.39) m = o(2) dans G7
polynôme primitif, est bien celle
= 3.
m
Exemple 6.40. Factorisation dans F2[X], de
/(X) =x8+x6+x5+x4+x3+x2 + i.
On a /'(X) = X4 +X3 = X3(X +1), d'où /(X) A/'(X) = 1 ; le polynôme /(X) n'a donc
que des racines simples dans un corps de décomposition sur F2 ([13], Cor. 8.49), on en
déduit que /(X) vérifie la condition (6.46), pour un certain entier k > 1.
Selon le Th. 6.37, déterminons les polynômes r((X), 0 < i < 7.
0
1 = 1 (mod /(X))
(mod /(X))
1==»X2=X2
= 2:
= 3:
= 4:
= 5:
= 6:
1=7 =
X4=X4 (mod/(X))
X6=X6
(mod /(X))
(mod /(X))
X8 =X6+X5+X4+X3+X2 + 1
X10 = X7 +X3 + 1 (mod /(X))
X12=X7+X6+X4+X3+X2+X (mod/(x))
X14=X7+X6+X5+X4+X3+X2+X + 1.

§ 5. Polynômes cyclotomiques sur un corps fini
105
On en déduit la matrice B — I, dans Af8(F2) :
/00000000\
0 1 1 0 0 0 0 0
0 0 1 0 1 0 0 0
0 0 0 1 0 0 1 0
10 110 110
10 0 10 10 1
0 11110 0 1
\ 1 1 1 1 1 1 1 0 /
La condition (a^a^,... ,a7)(B -1) — 0 équivaut au système (S) :
a4+a5+a7 = 0
a\ +°6 + a7 = 0
al +«2 + a44"fl6 + fl7 =0
(S):\ a3+a4+a5 + a6 + al=0
I «2+fl6 + a7 = 0
a4 + a5+a7 = 0
a3+a4 + a7 = 0
k a5+a6 = 0
On vérifie que la matrice B -1 est de rang 5 = 8-3, donc /(X) est le produit de 3 facteurs
irréductibles, unitaires, distincts. Le nombres des polynômes /(X)-réducteurs est 23 -
2 = 6. A chaque solution (a0, ax,... a7 ) du système (S) correspond un polynôme h{X) =
£ a,X', d'où, les polynômes /(X)-réducteurs h AX), 2<j<l (a0 est arbitraire dans
0<k7
F2).
(0,0,0,0,0,0,0,0) =^ h0(X) = 0
(1,0,0,0,0,0,0,0) =^v*) = !
(0,1,1,0,1,0,0,\)=>h2(X) = x+x2+x4+x7
(1,1,1,0,1,0,0,1) =^3(x) = i+x+x2+x4+x7
(0,0,0,1,0,1,1,1) =► h4{X) =x3 +x5 +x6 +x7
(l,0,0,l,0,l,l,l)=^fc5(X) = l+X3+X5+X6+X7
(0,1,1,1,1,1,1,0) h6(X) = X +x2 +x3 +x4 +x5 +x6
(l,l,l,l,l,l,l,0)==^/i7(X) = l+X+X2-|-X3+X4+X5+X6.
En calculant les p.g.c.d. par l'algorithme d'Euclide ([13], Ch. 5) et en tenant compte des
Rem. 6.36, on obtient :
f(X)Ah2(X) = X3 +X2 + 1, irréductible dans F2[X];
f(X)Ah4(X) =X3+X + l, irréductible dans F2[X];
f(X)Ah6(X) = X2 + X + 1, irréductible dans F2[X].
On en déduit la factorisation de /(X) recherchée :
/(X) = (X2+X + 1)(X3+X + 1)(X3+X2 + 1).

106
Chapitre 6. Polynômes et extensions cyclotomiques
Remarque 6.41. a) Comme on l'a signalé dans la Rem. 6.36, dans la formule (6.53),
certains facteurs da(X) peuvent être réductibles (c'était le cas dans 1' exemple précédent) ;
mais on remarque que, d'une façon générale, un polynôme da{X) vérifie la condition
(6.46), son degré est inférieur à celui de f(X) et ses facteurs irréductibles divisent f(X).
On peut donc, éventuellement, réappliquer la méthode de l'algorithme de Berlekamp à
un tel polynôme da(X), et, s'il le faut, répéter le processus, jusqu'à l'obtention de la
factorisation recherchée pour /(X).
b)Dans les exemples précédents, le degré du polynôme f(X) n'est pas très élevé et le
corps de base est F2 ; le nombre des polynômes /(X)-réducteurs n'est donc pas trop
grand ; et même, dans le second exemple, la connaissance de deux facteurs irréductibles
pouvait permettre de calculer sans peine, le troisième.
Mais on conçoit facilement que, lorsque le degré de /(X), ainsi que le nombre des
éléments du corps sont élevés, la méthode de l'algorithme de Berlekamp devient
impraticable « à la main », et il est nécessaire de faire appel à l'informatique, ce qui est possible,
puisqu'il s'agit d'une méthode algorithmique.
6. Exercices
1. Structure du groupe des éléments inversibles de Z/nZ.
Pour tout entier n > 2, on désigne par Gn le groupe des éléments inversibles de l'anneau
Z/nZ ; on note jc, la classe modulo n d'un élément x de Z.
Gn est l'ensemble des générateurs du groupe cyclique (Z/rtZ,-h) ([12], Prop. 3.24),
donc
Gn = {xeZ/nZ\xAn = 1}
et on rappelle que \Gn\= ç(n).
1°) Montrer que si, dans N, on a
n = 2aq?q?...q«>> 2,
avec a > 0, k > 0, les qi étant, pour k > 1, des nombres premiers impairs, deux à deux
distincts, alors
Gn~G2<xxG a. X ••• X G a.-
V V
2°) Soit q un nombre premier impair.
a) Démontrer, par récurrence sur a, que pour tout entier a > 0, il existe À G N* tel que
(l+q)f = l+Xqa+l et q\k. (6.56)
b) Préciser l'ordre du groupe GqU et vérifier que l'élément 14- q est d'ordre qa~l dans
3°) a) Vérifier que le groupe Gq est cyclique d'ordre q—1.
b) Pour tout x G Z, x désignant, dans cette question, la classe de x modulo qa, on note
x la classe de x modulo q et on considère le morphisme de groupes
y:Gqa—+Gq
x\—► x.
Prouver que | Ker y |= qa~x et en tenant compte du 2 °) b), montrer que Ker y/ est un
sous-groupe cyclique de Gqa.
c) Soit x G Gqa tel que x soit un générateur du groupe Gq.
On note < x > le sous-groupe de Gq(X engendré par x. Montrer qu'il existe un élément
y E< x > d'ordre q - 1.

§ 6. Exercices
107
En déduire l'ordre de y (1 -\-q) dans Ga ; en conclure que le groupe G» est cyclique et
Gqa~Z/(q-l)ZxZ/qa-lZ.
4°) On considère le groupe G2a, pour a G N*.
a) Vérifier les propriétés suivantes :
a = 1 => G2 = {ï}, dans Z/2Z.
a = 2 ==> G22 cyclique d'ordre 2.
Dans les questions b) et c) qui suivent, on suppose a > 2.
b) Démontrer, par récurrence sur a, que pour tout entier a > 2, il existe À E N* tel que
52a = l + À2a+2. (6.57)
c) Pour tout x G Z, x désignant, ici, la classe de x modulo 2", on note x la classe de x
modulo 22 = 4 et on considère le morphisme de groupes :
Y: G2a —► G22
x i—► x.
- Prouver que 5 G Ker y/ ; en déduire que, dans le groupe G2«, Ker y est un sous-groupe
cyclique d'ordre 2a~2.
- On considère le sous-groupe d'ordre 2 de G2a, H := {—1,1}. En posant K := Kerijf,
montrer que
G2a — H K.
En déduire que
G2a ~ Z/2Z x Z/2a~2Z.
En conclure que pour a > 2, le groupe G2a n'est pas cyclique.
5°) Expliciter une preuve détaillée de la Prop. 6.26.
2. Soit soit K un corps de caractéristique 0 et n > 1 dans N. On suppose que le polynôme
Xn — 1 est scindé sur K.
Soit f(X) := Xn - a, où a G AT*,a ^ 1. On note £ un corps de décomposition de f(X)
sur K.
a) Vérifier que f(X) n'a que des racines simples dans E.
b) Soit (ù une racine primitive de l'unité de X et a G £ une racine de f(X), montre
que l'ensemble des racines de f(X) dans E est
{<o*a; 0<À:<A2-1}.
En déduire que E = K(a).
3. Soit K une extension algébrique de Q, a G AT*, n G N* et a G Q une racine du polynôme
1°) On suppose, dans cette question, que le polynôme Xn — a est non irréductible sur
K.
Soit /(X) un diviseur de Xn - a, dans K[X], de degré d tel que l<ûf<n-let soit
£n E Q, une racine rf™* primitive de l'unité.
a) Montrer que le terme constant de f(X) est de la forme e£a^, où c G N (voir Ex. 2.
précédent).

108
Chapitre 6. Polynômes et extensions cyclotomiques
b) Soit s:=dAn (p.g.c.d. de d et ri). Démontrer qu'il existe une racine neme de l'unité
tj e Q, telle que
îias£K.
2°) Soit p un nombre premier et Xp - a dans K[X], a ^ 0.
Montrer que si a n'a pas de racine p*™* dans AT, alors Xp -a est irréductible sur K.
4. Déterminer le 5eme polynôme cyclotomique sur F2.
5. Utiliser l'algorithme de Berlekamp pour factoriser les polynômes suivants :
X10+X5 + l surF2;
X8 +X6 4-X4 4-X3 4-1 sur F2;
X1 +X6 4-X5 -X3 +X2 -X-l surF3.

Chapitre 7
Fondements de la Théorie de Galois
Préliminaires
La Théorie de Galois est l'étude des extensions de corps L : K au moyen du groupe des
AT-automorphismes de L (Déf. 7.1).
Cette méthode, introduite par le mathématicien français Evariste Galois (1811-1832),
s'avéra d'une grande efficacité (Voir la Préface de ce livre) ; elle lui permit, en particulier,
de résoudre un problème qui préoccupait les mathématiciens de son époque, à savoir : la
caractérisation des équations polynomiales dites résolubles par radicaux (Voir Ch. 9).
Par ailleurs, grâce à la Théorie de Galois, il a été possible d'apporter des réponses à
plusieurs questions que se posaient les mathématiciens, parfois depuis l'Antiquité, telle
la construction des polygones réguliers par la règle et le compas (voir le par. 3. de ce
chapitre).
1. Groupe de Galois - Correspondance de Galois
Pour une extension de corps L : AT, on supposera, de façon générale, AT Ç L.
A. Groupe de Galois
Définition 7.1. Etant donné une extension L d'un corps AT, on dit qu'un automorphisme
o du corps L est un AT-automorphisme de L, si OjK = idK.
Remarque 7.2. Les AT-automorphismes de L ne sont autres que les automorphismes de la
Af-algèbre L ; leur ensemble forme un sous-groupe du groupe AutL de tous les
automorphismes du corps L.
Définition 73. On appelle groupe de Galois d'une extension de corps L : AT, le groupe
des AT-automorphismes de L.
Notation : Le groupe de Galois d'une extension L : AT sera noté
G(L:K).
Exemple 7.4. 1) SiL = AT, alors G(L : K) = {idL} = {idK}.
2) K = R, L = C ; puisque
C = R(i) = {* + fy; (jc,y) <E R x R},
tout a e G(C : R) est déterminé par la donnée de <r(/) ; or,
f2 = -1 =» (<7(/))2 = g(i2) = CT(-l) = -1,
d'où o(ï) = i ou <r(i) = —L
Par suite G(C : R) = {idc, y}, où 7 est l'automorphime de conjugaison défini par
Vx + iy € C, y{x + iy) =x-iy.

110
Chapitre 7. Fondements de la Théorie de Galois
Le groupe G(C : R) est d'ordre 2, donc cyclique.
3) K = q, L = Q(^);ona
Irrq(v3,X) = X2-3^ [Q(V5) : Q] = 2;
Q(V3)={^+)-\/3; (i,y)€QxQ};
donc tout a G G(Q(\/3) : Q) est déterminé par la donnée de a(v3) ; or,
(a(v3))2 = <r(3) = 3 <7(V3) = ±v3,
par suite G(Q( V5) : Q) = {idq{^y o}, où
V(x+yv3)e®(v3), G(x+yvî)=x-yv3.
Le groupe G(Q(\/3) : Q) est encore d'ordre 2.
4) = Q, L = Q(X), où X := s/2 G R.
Soit a G G(Q(A) : Q), alors
(o(X)f = o(X3) = o(2)=2.
L'automorphisme a de Q(X) se prolonge en un automorphisme :
Ô:Q(X)[X)—>Q(X)[X]
0<kn 0<i<n
d'où ô(X3 — 2) = X3 — 2. Par suite, dans Q(A), a transforme une racine cubique de 2 en
une racine cubique de 2, or on a Q(À) c R et À est la seule racine cubique réelle de 2,
donc a (À ) = À, ce qui implique
G(Q(^):Q) = {/<W.
B. Correspondance de Galois
A toute extension de corps L : AT, on associe les deux ensembles suivants :
J := l'ensemble des corps intermédiaires de L : AT (Déf. 1.20) ;
!K := l'ensemble des sous-groupes de G(L : K).
Définition 7.5. Pour tout H g IK, on appelle invariant de H dans L, l'ensemble :
InvL(H) := {x £ L ; Va g #, a(x) = jc}. (7.1)
Compte tenu des notations précédentes, pour toute extension de corps
l)Fey^G(L:F)€J{.
2)H£<K=^InvL(H) g
Démonstration. Par hypothèse, KÇ.F CL.
1) Soit a g G(L : F) ; <j est un automorphisme du corps L tel que oyF = idF, donc, a
fortiori, oy^ = idK, d'où <J g G(L : K). On en déduit que G(L : F) est un sous-groupe de
G(L : AT), donc G(L:F)g3{.
Proposition 7.6.
L:K,ona
2) Les éléments a eH étant des AT-automorphismes de L, on vérifie facilement que
l'ensemble InvL{H) est un sous-corps de L contenant AT, autrement dit, InvL(H) g 3\ □

§ 1. Groupe de Galois - Correspondance de Galois
111
Les résultats de la Prop. 7.6 amènent à associer à toute extension de corps L : K les
applications :
F i—>G(L:F) H\—► InvL(H).
Proposition 7.7, Les ensembles J et % étant partiellement ordonnés par Vinclusion, les
applications y et Y, associées à une extension de corps L : vérifient les propriétés
suivantes :
\/(FvF2)eïxï, FxÇF2=*y(F2)Çy(Fx); (7.2)
V(HVH2) eMxM, HxÇH2=> Y(H2) Ç Y(Hx); (7.3)
FeJ=>FÇ/oy(F) ; H g <K=*H Ç yo/(//); (7.4)
F g J => y(F) = y o / o y(F); (7.5)
H g Oi => Y {H) = Y°7° Y (H). (7.6)
Démonstration. Par hypothèse, on a AT Ç Fx Ç F2 Ç L, donc F2 est un corps intermédiaire
pour l'extension L : Fx. On en déduit que (Prop. 7.6)
y(F2) = G(L : F2) est un sous-groupe de G{L : Fx) = y(F1),
ce qui justifie la relation (7.2).
Soit x un élément de Y(H2) = /wL(ff2)î alors
((V(tg/f2, a(jc)=jc) et HxÇH2)=>xeY(Hx)=InvL(Hx),
d'où la relation (7.3).
Quels que soient F g y et H g J{, on a
x G F => (Va g y(F), a(jc) = jc)=>jc g /oy(F) ;
a g # =» (Vjc g /(//), a(jc) = jc) a g y o /(#) ;
on déduit les relations (7.4).
Par hypothèse F g alors la relation (7.4) implique
ATÇFÇ/oy(F)ÇL;
en utilisant la relation (7.2), avec F2:=Y° y(F) et Fx = F, on obtient
yo/oy(F)Çy(F),
et, en appliquant (7.4) au groupe H := y(F), on a
y(F) Ç yo/oy(F) ;
ce qui entraîne la relation (7.5).
L'hypothèse H g implique, d'après (7.4), HÇyo Y (H), et l'application de (7.3) donne
/oyo/(ff)Ç/(ff).
D'autre part, la relation (7.4) appliquée à F := /(#), entraîne
/(iï)C/oyo/(ff),
d'où la relation (7.6). □
Définition 7.8. Dans le contexte précédent, le couple (y,/) définit ce qu'on appelle la
correspondance de Galois associée à l'extension de corps L : K.
Nous résumons les résultats de la Prop. 7.7, par le tableau suivant,
K Ç F Ç L
G{L:K) D G(L : F) D {idL}
InvL(G(L:K)) C InvL(G(L:F)) Ç L
G(L : K) D G(L : F) D {itfj

112
Chapitre 7. Fondements de la Théorie de Galois
dans lequel les éléments des lignes 2, 3 et 4 sont respectivement, les images par y, / o y
et y o / o y des éléments de la \ere ligne.
Remarque 7.9. a) D'une façon générale, si II et V désignent deux ensembles
partiellement ordonnés et si y : lt —► V, / : V —► U forment un couple d'applications satisfaisant
aux propriétés de la Prop. 7.7, on dit que le couple (y, /) définit une correspondance de
Galois entre IX et V.
b) Les relations (7.4) de la Prop. 7.7 montrent qu'en général, le couple (y,/) ne définit
pas une bijection de J sur %. En particulier, on a, généralement,
KÇInvL(G(L:K)) = Yoy(K).
Par exemple, pour K = Q et L = Q(\/2), on a (Cf. Exemple 7.4,4))
y(Q) = G(Q(^5):Q) = {îrfQ(^)}
d'où /oy(Q)=Q(^2)2Q.
La Théorie de Galois établit une corrélation entre certaines propriétés des extensions de
corps et certaines propriétés de leurs groupes de Galois. De ce point de vue, les extensions
de corps L : AT les plus « intéressantes » seront celles pour lesquelles la correspondance de
Galois (y, /) définit une bijection entre les ensembles J et Oi (Th. 7.30).
2. Théorème fondamental de Galois
Dans toute Vétude qui suit, les résultats du Ch.3, concernant les notions d'extension
normale, de clôture normale et d'extension séparable sont essentiels; nous les complétons,
de plus, par les propriétés et notions développées dans le paragraphe A. ci-dessous.
A. AT-monomorphismes - Degré de séparabilité
A un corps AT donné, on associe une clôture algébrique AT et toute extension algébrique de
K sera considérée dans AT.
Définition 7.10. Soit L et M deux extensions d'un même corps K ; alors tout
monomorphisme (p de L dans M (Rem. 1.9) tel que (pjK = idK est appelé un AT-monomorphisme
de L dans M.
Remarque 7.11, Les notations seront celles de la définition 7.10.
a) Lorsqu'il n'y a aucune ambiguïté possible, la restriction surjective d'un AT-monomor-
phisme <p:L<—>M (c'est-à-dire le AT-isomorphisme de L sur ç(L) qui, à tout x E L, associe
<jp(jc)) sera encore notée ç.
b) Si <p : L ^ M est un monomorphisme (resp. AT-monomorphisme) de L dans M, alors
9 est un isomorphisme (resp. AT-isomorphisme) si et seulement si (p est surjectif.
c) Si AT Ç L Ç M et si [L : AT] est fini, alors tout AT-monomorphisme ç : L ^ M tel que
<p(L) CL est un Af-isomorphisme de L, donc un élément du groupe G(L : K).
En effet, ç est AT-linéaire et injectif, par suite, dimK L = [L : AT] < oo et (p(L) Ç L impliquent
ç(L) = L, donc <p surjectif.
d) Si <p est un AT-monomorphisme de L dans M et si f(X) e K[X] a une racine a dans L,
alors
$(f(X)) = f(X) dans M[X] et q>(a) est racine de f{X) dans M.

§ 2. Théorème fondamental de Galois
113
En effet, supposons f(X) = ]T a^C dans K[X], alors
0<i<m
(«>(<!,) = a„Vi(O<i<m))=*0( £ aiXi)= £ <p(a,.)X' = /(X).
0</<m 0</<m
On en déduit que : (f(X) = (X - a)g(X) dans L[X]) implique
Q(f(X)) = (X-ç(a)mg(X)) = /(X)dansM[X],
donc <jp(a) est racine de /(X) dans M.
En appliquant ce résultat au cas où /(X) = IrrK(a,X), on en déduit que (p(a) est un
conjugué de a dans M (Déf. 2.18).
Proposition 7.12. 1) Soit L : AT une extension de corps de degré fini, alors L est une
extension normale de AT si et seulement si, quelle que soit l'extension M de L, tout AT-
monomorphisme de L dans M est un K-automorphisme de L, donc un élément de G(L: K).
2) Si L: K est une extension normale, de degré fini et si F est un corps intermédiaire :
KÇF CL alors, pour tout K-monomorphisme <p : F <-> L, // existe a G G(L : AT) tel que
V = 9-
En particulier, si des éléments a et P de L sont racines d'un même polynôme irréductible
et unitaire de K[X], il existe G G G(L : AT) tel que c(a) = j5.
Démonstration. 1 ) Par hypothèse, L : K est normale, de degré fini et AT C L c M.
Soit <p un AT-monomorphisme de L dans M. Etant donné un élément a de L, posons
pa(X) := IrrK(a,X) ; alors, d'après la Rem. 7.11, d), ç{oc) est une racine de pa(X) dans
M. Mais L étant une extension normale de AT, pa(X) est scindé sur L, donc ç(oc) GL. On
en déduit que <p(L) Ç L ; de plus, L : K étant de degré fini, <p(L) = L, donc q> G G(L : AT)
(Rem. 7.11, c)).
Réciproquement, supposons L : K de degré fini et telle que quels que soient l'extension M
de L et le AT-monomorphisme <p de L dans M, on ait <p(L) = L.
Par hypothèse L : AT est de degré fini, donc algébrique. On suppose [L : AT] > 1, on a alors
(Th. 2.29),
L = AT(a1,..., Om), m G N* et Vî, 1 < i < m, af. algébrique surAT.
Pour tout i, 1 < i < m, soit := IrrK(a^X) ; posons
/(X) := f[ Pi(X).
\<i<m
Soit M un corps de décomposition de f(X) sur K contenant L.
Supposons M ^ L ; il existe alors, au moins un polynôme p^X), 1 < / < m, ayant une
racine a[eM\L \ admettons que px(X) vérifie cette propriété. D'après le Th. 2.16, il
existe un AT-isomorphisme \i de K(ax) sur AT(a{) tel que ii(a{) = a[.
Or, M est corps de décomposition de f(X) sur AT(a1) et sur K(a[), donc il existe un
automorphisme tj de M prolongeant jU (Th. 3.8) ;
( VK) = M et V/k = idl^ V = "V
Ainsi, tj^l est un AT-monomorphisme de L dans M, donc l'hypothèse implique tj (L) = L,
d'où, tj (ax ) = a[ G L. On en conclut que M = L.
Ainsi L est corps de décomposition de f(X) sur AT, donc L est une extension normale sur
AT (Th. 3.15).

114
Chapitre 7. Fondements de la Théorie de Galois
2) Le corps L est une extension de AT, normale, de degré fini, donc L est corps de
décomposition, sur AT, d'un polynôme f(X) G K[X] \ AT.
L'hypothèse AT Ç F Ç L implique que L est aussi corps de décomposition de f(X) sur F.
Etant donné un AT-monomorphisme (jO, de F dans L, la restriction surjective de <p que,
pour plus de précision, nous noterons ici çv est un AT-isomorphisme de F sur (p(F) Ç L ;
d'autre part (Rem. 7.11, d)),
f(X) G K[X) => = (ft (/(*)) = /(X) ;
on en déduit que L est corps de décomposition de f(X) sur (p(F).
Par suite (Th. 3.8), il existe un automorphisme a de L qui prolonge (pv donc = (pv
On en déduit que
(°/k = (P/k = id/k==>G£G<<L:Kïï et g/f = <P-
En particulier, si des éléments a et j3 de L sont racines d'un même polynôme
irréductible de K[X], alors (Th. 2.16), il existe un AT-isomorphisme ji de AT(a) sur AT(j3) tel que
M(«) = 0.
Soit j l'injection canonique de AT(j3) dans L; y o ju est un AT-monomorphisme de AT(a)
dans L :
K{a)K(fi)L.
Par suite, il existe G G G(L : AT) tel que a/K(a) = J°^' ^onc via) = P- D
Proposition 7.13. L : K une extension de corps de degré fini et N la clôture normale
de L: K contenue dans AT ; alors
l)N est obtenue par Vadjonction àK de Vensemble des racines, dans AT, des polynômes
irréductibles de AT[X], ayant une racine dans L.
2) Tout K-monomorphisme de L dans AT est un K-monomorphisme de L dans N.
Démonstration. La proposition est triviale, lorsque L = AT (Cf. Exemple 3.14), on suppose
donc[L:AT]>l.
1) Désignons par AT7 l'extension de AT obtenue par l'adjonction de l'ensemble, noté % des
racines des polynômes irréductibles de K[X] ayant une racine dans L. On a
KCK et KCLÇK'ÇNÇK.
En effet, quel que soit a G L, a est racine de pa(X) = IrrK(a,X), d'où L Ç AT7 ; d'autre
part, l'extension N : K est normale, donc tout polynôme irréductible de K[X] ayant une
racine dans L Ç Af est scindé sur N, ce qui entraîne AT' Ç N.
Or (voir la preuve du Th. 3.17) si l'on écrit
L = K(av...,ctm) et Vî(l < i < m),Pi(X) =IrrK(ai9X),
alors, N est corps de décomposition, sur AT, de f(X) = rii</<mPiW- Mais la définition
de AT; implique que f{X) est scindé sur AT', d'où N = AT7 (Th. 3.3).
2) Soit q> un AT-monomorphisme de L dans AT.
Quel que soit a G L\AT, si pa{X) := IrrK(a,X), alors q>(a) est une racine de pa{X) dans
K (Rem 7.11, d)). Par suite <p(a) G N, d'où <p(L) ÇN. □
Définition 7.14. Etant donné une extension de corps L : AT, de degré fini, le cardinal de
l'ensemble des AT-monomorphismes de L dans AT est appelé degré de séparabilité de L : K
et est noté [L:K]S.

§ 2. Théorème fondamental de Galois
115
Proposition 7.15. Soit L : AT une extension de corps, normale et de degré fini ; alors,
[L:K]S=\G(L:K)\. (7.7)
Démonstration. D'après le 2) de la Prop. 7.13, si [L : K] est fini, alors [L : K]s est le
cardinal de l'ensemble des AT-monomorphismes de L dans Af, où N est la clôture normale
de L : AT contenue dans AT.
Lorsque L : AT est normale, de degré fini, alors L = N, donc [L : K]s est le cardinal de
l'ensemble des AT-automorphismes de L, d'où
[L:K]S=\G(L:K)\. □
Proposition 7.16. Pour tout a G AT, [K(a) : K]s est égal au nombre de racines distinctes
du polynôme IrrK(a,X), dans K ; de plus,
[K(a):K]s<[K(a):K]
et [AT(a) : K]s = [AT(a) : AT] a est séparable surK.
Démonstration. 1°) Posons pa(X) :=IrrK(a,X).
La clôture normale N de AT(a) : AT, contenue dans AT, est le corps de décomposition de
pa{X) dans K (Rem. 3.18, b)). _
Si pa{X) a r racines distinctes, ax = a, o^,..., ar, dans AT, on a
r<degpa(X) = [K(cc):K] et N = K{ava2,...,ar).
Compte tenu de la Prop. 7.13 et de la Rem. 7.11, c), étant donné un
AT-monomorphisme <p, de AT(a) dans AT, il existe i (1 <i<r) tel que
ç(a) = at.
Réciproquement, quel que soit i (1 < i < r), il existe un AT-isomorphisme <pf-, de K{a) sur
AT(a/) tel que (pt{a) = at (Th. 2.16). Notons jU£. l'injection canonique de K{at) dans K :
KiaJ K;
alors jU£- o q>. est un AT-monomorphisme de AT(a) dans AT, ce qui entraîne
[K(a):K}s = r<[K(a):K].
2°) Compte tenu du résultat précédent, on a
[K(a) : K}s = [K(a) :K\ r = degpa(X)
<f=> pa(X) séparable sur AT,
<=> a séparable sur K. □
Proposition 7.17. Soit L : AT une extension de corps de degré fini, alors [L : K]s est fini;
on a
[L:K]S<[L:K]
et [L : K]s = [L : K] <==> L est séparable surK.
Démonstration. Si [L : K] = 1, alors L = K et l'injection canonique de AT dans AT est
l'unique AT-monomorphisme de AT dans AT.
Pour [L : AT] = n > 1, on raisonne par récurrence sur n.
Soit N la clôture normale de L : K contenue dans AT.

116
Chapitre 7. Fondements de la Théorie de Galois
On sait (voir la preuve du Th. 3.17) que af est corps de décomposition sur AT d'un
polynôme non constant f(X) de K[X], dont tout diviseur, irréductible et unitaire dans K[X], a
une racine dans L\AT. Soit p(X) un tel diviseur de /(X), ayant une racine a dans L, donc
p(X)=IrrK(a,X).
N est aussi corps de décomposition de f(X) sur K(a) et on a
[L : K(a)] < [L:K].
Appliquons l'hypothèse de récurrence à l'extension L : K(cc) ; il existe alors un nombre
fini de X"(a)-monomorphismes de L dans N, que l'on note px,..., pq, où
q:=[L:K(a)}s<[L:K(a)}= [L''K]
[K{a):K\
D'autre part, posons r := deg/?, alors le nombre de racines distinctes de p(X) dans af est
/ < r = [K(oc) : AT] et d'après la Prop. 7.16, on a
/ = [tf(a)
.Assoit ax = a,o^,. ..,0^, les / racines distinctes de p(X) dans af, alors (Prop. 7.12.) il
existe ax, a2,..., dans g(at : AT) tels que
ai(a) = a|.,Vi(l <!</).
Montrons que les seuls AT-monomorphismes de L dans N sont les
<Pl7 := otopj, \ <i<rf,\<j<q.
En effet, soit ç un AT-monomorphisme de L dans af, alors <p(a) est une racine de p(X)
dans af, donc il existe i{\<i<rJ) tel que ç(a) = ar
y/ := c7x o (p est un AT(a)-monomorphisme de L dans af, donc il existe j(l < j <q) tel
que y = Pj, d'où ç = aiop. = ç>f.. On en déduit que [L : K]s = q/, d'où
[L : AT], = [L : K(a)]s[K(a) : AT],; (7.8)
alors, ([L : AT(a)]5 < [L : AT(a)] et [AT(a) : AT]5 < [AT(a) : AT]) [L : AT], < [L : AT].
Si L : AT est de degré fini et séparable, alors L est une extension simple de AT (Th. 3.30).
Supposons L = AT(a) ; d'après la Prop. 7.16,
L : AT séparable => a séparable sur AT => [L:K]S = [L : AT].
Réciproquement, supposons [L : AT] < oo et [L : AT], = [L : AT].
L : AT non séparable implique l'existence d'un élément «EL non séparable sur AT, donc
tel que (Prop. 7.16)
[K(a):K]s<[K(a):K],
Par suite (Rel. (7.8)),
[L : AT], = [L : K(a)]s[K{a) : AT], < [L : K(a)][K(a) :*] = [!: AT],
entraîne une contradiction avec l'hypothèse, d'où L séparable sur AT. □
Corollaire 7.18. Pour tout a G K, on a
a séparable surK <=> K(a) séparable surK.
Ce résultat est une conséquence des Prop. 7.16 et 7.17.
Théorème 7.19. Une extension de corps L : AT est séparable si et seulement si le corps L
est obtenu par l'adjonction à K d'une famille d'éléments séparables sur AT.

§ 2. Théorème fondamental de Galois
117
Démonstration. Supposons L = Af ( A), où A = {Xt}ieI, / étant un ensemble non vide
quelconque.
1) Si L = K(A) est séparable sur AT, alors, par définition, quel que soit i E /, Àf. est
séparable sur K.
2) Réciproquement, supposons que pour tout i E 7, \ est séparable sur K et montrons que
L = K(A) est séparable sur AT.
Soit a E L = AT(A) ; il existe alors une famille finie d'éléments de A, {Xt ,..., où
m E N*, telle que a E AT^,...,XtJ.
Si m = 1, alors, a E AT(Â/ ) et À,, étant, par hypothèse, séparable sur AT, l'extension
AT(Âf. ) : AT est séparable (Cor. 7.18), donc a est séparable sur K.
Supposons m > 1 ; par hypothèse, Â/m est séparable sur AT, donc sépérable sur
K(X^,..., A,. ^ ), par suite (Prop. 7.16)
(mv---.\)^(\.---.\_1)].=m1.--->^j^(\>---.\_1)]-
De même pour tout j (1 < 7 < m), on a
[AT^,...,^:^,...,^)]^^,...,^:^,...,^)].
Compte tenu de la relation (7.8), on obtient
[K(\,...,Xin):K]s = [K(Xii,...,Xim):K].
Ainsi K(X^,..., Xim) est séparable sur AT, d'où a séparable sur AT.
On en conclut que L est séparable sur AT. □
Théorème 7.20. Une extension de corps L : K est normale, de degré fini et sépérable, si
et seulement si L est corps de décomposition sur K d'un polynôme séparable de K[X].
Démonstration. On sait que si L : K est normale, de degré fini et séparable, alors L est
corps de décomposition sur K d'un polynôme séparable de K[X] (Prop. 3.30).
Réciproquement, supposons L corps de décomposition sur AT d'un polynôme séparable
f(X) E K[X] ; alors L est obtenu par l'adjonction à AT des racines distinctes de f(X) dans
L (Rem. 3.6) :
L = K{av...,am).
Le polynôme f(X) étant séparable sur AT, chacune de ses racines distinctes at, 1 < i < m,
est séparable sur AT, donc L est séparable sur AT (Th. 7.19). □
En conclusion de ce paragraphe, on obtient la propriété essentielle, suivante.
Théorème 7.21. Si L: K est une extension de corps normale et de degré fini, alors le
groupe de Galois de L:K est fini et
\G(L:K) \< [L : K]. (7.9)
Si de plus l'extension L:K est séparable, alors
\G{L:K)\=[L:K] et K = InvL(G(L: K)). (7.10)

118
Chapitre 7. Fondements de la Théorie de Galois
Démonstration. L'extension L : K est normale, de degré fini, alors compte tenu des Prop.
7.15 et 7.17, on obtient
\G(L:K)\=[L:K]S<[L:K}.
Si, de plus, l'extension L : K est séparable, la Prop. 7.17 implique
\G(L:K) \={L:K).
Il reste à prouver que si L : K est normale, de degré fini et séparable, alors
K = InvL{G{L:K)).
Posons F := InvL(G(L : K)) = / o y(K), où (y, /) est la correspondance de Galois
associée à l'extension L:K ; alors (Prop. 7.6) :
KÇF CL et y(F) = G(L : F) est un sous-groupe de G(L : K).
De plus (Prop. 7.7, relation (7.5)),
F = i o y(K) =► y(F) = y o / o y(K) = y(K) = G(L : K),
d'où G{L:F) = G{L:K).
Or L est corps de décomposition sur K d'un polynôme séparable f(X) G K[X] (Th. 7.20),
donc L est aussi corps de décomposition de f(X) sur F. Le polynôme /(X), qui est
séparable sur AT, est aussi séparable sur F, par suite, comme précédemment, la Prop. 7.17
implique
\G(L:F)\=[L:F}.
On en déduit que [L: K] = [L: F], d'où F = K. □
B. Extensions galoisiennes, de degré fini
Définition 7.22. On dit qu'une extension de corps L : K est galoisienne (ou que L est
galoisienne sur K) si
i) L est algébrique sur K ;
ii) K = InvL(G(L:K)).
Nous n'étudierons, dans ce chapitre, que les extensions galoisiennes, de degré fini. Il
existe cependant des extensions galoisiennes de degré infini, par exemple Q : Q (voir Ex.
6. à la fin du chapitre).
Remarque 7.23. Une extension de degré fini est algébrique (Th. 2.26), donc L : K est une
extension galoisienne, de degré fini, si et seulement si elle vérifie :
[L : K] < oo et K = InvL(G(L : K)).
Le Th. 7.21 entraîne l'assertion suivante :
Théorème 7.24. Toute extension de corps L:K, de degré fini, normale et séparable, est
galoisienne, de degré fini ; de plus, le groupe de Galois G(L : K) est fini et
\G(L:K) \=[L:K].
Le Th. 7.26 (Théorème d* Artin) permettra d'établir une réciproque du Th. 7.24 ; une
partie de sa démonstration consiste à prouver le résultat suivant, que nous appellerons
Lemme d'Artin.

§ 2. Théorème fondamental de Galois
119
Lemme 7.25. Lemme d'Artin
Soit L un corps et G un sous-groupe fini du groupe AutL des automorphismes de L. Si
Von pose K := InvL(G), alors
L : K est une extension de degré fini et [L : K] < \ G \ .
Démonstration. Soit n :=| G | ; pour démontrer le lemme, il suffit de prouver que pour
tout entier m> n,m éléments non nuls de L sont linéairement dépendants sur K.
Supposons G = {ax = idL,o2,... ,on} ; étant donné m > n dans N et ax,a2,... ,am non
nuls dans L, considérons le système linéaire et homogène (S) de n équations à m
inconnues dans L, dont la F™ équation (1 < i < n) s'écrit
£ 0^)^ = 0. (7.11)
\<j<m
L'hypothèse m > n implique que le système (5) a des solutions non nulles (xx, jc2, ...,xm) G
Lm ; parmi celles-ci, choisissons une solution, pour laquelle le nombre des Xj ^ 0 est
minimal ; une telle solution non nulle sera dite minimale.
Moyennant, éventuellement, une permutation des inconnues Xj, 1 < j < m, on peut
supposer xx ^0 ; alors
est encore une solution du système (5) ; par suite, dans la solution minimale choisie
initialement, on peut supposer que xx = 1. On a 1 G AT, démontrons qu'alors, tous les éléments
Xj, 2 < j < m, de la solution minimale considérée, sont dans K.
Supposons qu'il existe y, 2 < j < m, tel que XjGL\K ; par exemple, supposons x2 £ K ;
il existe alors au moins un entier k ( 1 < k < n) tel que ak(jc2) ^ x2. Pour tout i ( 1 < i < n),
on a
<*( L oi(a^)=0= £ (aioa^))^). (7.12)
\<j<m l<j<m
G étant un groupe,
ok£G ==> akG = G => {ako a,}^ = {aj^^.
On en déduit que,
Vî(l<î<n), £ ai(flJ)ajk(xJ) = 0;
l<j<m
donc ( 1 = ok ( 1 ), ak (x2 ),..., ck (xm ) ) est une solution non nulle du système (S), par suite,
(0, ok(x2) — x2,...,ok(xm) — xm) en est une autre, ce qui contredit la minimalité de la
solution (l,jc2,...,;cm).
Par suite, dans la solution minimale (1, jc2, ... ,Jcm) du système (5), tous les jcy-, 2 < j < m,
sont dans K.
Montrons qu'alors, les éléments a^, 1 < j < m, de L* sont linéairement dépendants sur
K. En effet, on a ox = /dL, donc la première équation du système (5) donne
L "j*j = 0= L
\<j<m l<j<m
où les jcy. sont non tous nuls dans K (en particulier, xx = l). On en conclut que
dimKL=[L:K]<n=\G\. □
Théorème 7.26- Théorème d'Artin
Etant donné un corps L et un sous-groupe fini G du groupe AutL des automorphismes
de L, si Von pose K = InvL(G), alors L est une extension de AT, de degré fini, normale et
séparable telle que
[L : K] = | G |, G(L:K)=G, donc K = InvL(G(L : K)).

120
Chapitre 7. Fondements de la Théorie de Galois
Démonstration. D'après le Lemme d'Artin (lemme 7.25), l'extension L : K est de degré
fini et [L : K] < | G | ; L est donc algébrique sur K (Th. 2.26).
Soit a G L et p(X) := IrrK(a,X). Supposons
p{X)= £ aJC1, dans K[X]\K.
0<i<r
Pour tout i (0 < i < r) et tout a G G,
aieK = InvL(G) => a(aj) = a( ;
alors, quel que soit a G G,
p(a)= £ ^'=0=* £ a,(a(a))' = 0,
0<kr 0<i<r
donc o(a) est racine de p(X). Posons Q.a = {o(cc) ; c G G}.
Le groupe G étant fini, par hypothèse, l'ensemble Q.a est une partie finie de L telle que
|ûal<|G|-
D'autre part, quel que soit t G G, tG = G entraîne r(£2a) = donc est une
permutation des éléments de Cla. Posons
s:=\Sla\ et £2a = {a{ = a,^....,^}, où 1 < s<\G |.
Les at (1 < / < s) sont s racines distinctes de /?(X) dans L, donc
s<r = degp et ç(X) := (X-at) divisep(X) dansL[X].
Tout élément T G G se prolonge en un automorphisme t de L[X] et
*(*(*)) = il (*-*(<*,)), dansL[X].
1<£<5
Or r est une permutation de {av..., ofc}, d'où
vtgg, f(9(x)) = <?(*).
On en déduit que les coefficients du polynôme q(X) sont dans InvL(G) = Af, donc #(X) G
Af[X] \ AT. D'autre part, p(X) étant irréductible et unitaire dans Af[X],
«(X) divise />(*) * (X) = />(*) =» p(X) = U(X~ ai)'
\<i<s
On en conclut que, quel que soit a G L, p(X) := IrrK(a,X) est scindé sur L et n'a que des
racines simples dans L, donc L est normale et séparable sur AT. De plus, L étant de degré
fini sur AT, d'après le Th. 7.21, le groupe G(L : AT) est fini et plus précisément,
\G(L:K)\=[L:K] ; K = InvL(G(L:K)).
Utilisons les propriétés de la correspondance de Galois (y, /) associée à l'extension L : AT
(Prop. 7.7) ; on a
K = InvL{G) = Y(G) et y(K) = G(L:K)\
(7.4) =» G Ç yo /(G) = y(Af) = G(L : AT),
d'où \G\<\G(L:K)\ = [L:K].
D'après le lemme 7.25, on a [L : AT] < | G | par suite, [L : AT] = | G |.
Les groupes G et G(L : AT) étant finis,
(|G|=|G(L:A:)| et G ÇG(L: K))=> G = G(L: K). □

§ 2. Théorème fondamental de Galois
121
Théorème 7.27. Pour une extension de corps L : AT, les trois conditions suivantes sont
équivalentes :
1 ) L:K est une extension galoisienne, de degré fini.
2) L : AT est de degré fini, normale et séparable.
3) Le groupe G(L : K) est fini et K = InvL(G(L : AT)).
De plus, dans ces conditions on a
\G(L:K)\=[L:K}.
Démonstration. D'après les théorèmes 7.24 et 7.26, on a 2) <==> 3)
et chacune de ces deux conditions implique | G(L : K) \=[L: K].
D'autre part (Rem 7.23), la condition 1) est équivalente à
[L : AT] < oo et K = InvL{G(L : AT)).
Le théorème 7.24 donne donc aussi 2) => 1). Démontrons que 1) 3), ce qui
entraînera l'équivalence des trois conditions énoncées. Compte tenu de l'hypothèse 1), il suffit
de prouver que le groupe G(L : AT) est fini.
On suppose [L : AT] > 1 ; l'hypothèse implique L : K algébrique et de degré fini, donc le
corps L est obtenu par l'adjonction à K d'un nombre fini d'éléments, algébriques sur K
(Th. 2.29) ; posons
L = K(av..., (Xm), m G N*, où, V/(l < i < m), at est algébrique sur AT.
Pour tout i(l < i < m), posons pt(X) = IrrK{a^X) et considérons
/(*)= FI Pi&)> toK[X)\K.
\<i<m
Si f(X) a r racines (distinçtes^ou confondues) dans L, alors ^,...,0^ font partie de
ces racines, d'où r> m; ehnotant {ax,..., o^,, ccm+l,..., ccr} l'ensemble de toutes les
racines (distinctes ou confondues) de f(X) dans L, on peut écrire, dans L(X) :
nx)=g(x) n (*-«,)>
KKr
où g(X) E L[X] et n'a pas de racine dans L.
Pour tout a G G(L : K), soit d l'isomorphisme de L[X] prolongeant a ; alors,
ô(f(X))=f(X) = Ô(g(X)) YliX-oiOt)).
l<i<r
On en déduit que, pour tout î(l < i < r), a(al) est encore racine de f(X) dans L, donc
a permute les éléments a{, o^,..., ar de L, alors
n (X - a(a,)) = n (* - «.) à(g(X)) = g(X) g(X) G K[X],
\<i<r KKr
car K — InvL(G(L : K)), par hypothèse.
Soit E un corps de décomposition de f(X) sur AT, contenant L = K(ccx,..., 0Cm),
1 < m < r; alors, l'extension E : K est normale, de degré fini (Th. 3.15), de plus (Th.
7.21), le groupe G(E : K) est fini et
\G(E:K)\<[E:K).
Soit tj G G(E : AT) et f) l'isomorphisme de E[X] prolongeant tj. Les polynômes f(X) et
g(X) étant dans K[X],
f)(/(X))=/(X), f)W))=*(X),
d'où, f)( n n n (^-^)-
l</<r l</'<r l<i'<r

122
Chapitre 7. Fondements de la Théorie de Galois
Ainsi, quel que soit / ( 1 < i < r), rj (a.) g L, par suite,
L = AT(a1,...,am) =^rj(L) CL.
On en déduit que tj^l g G(L : K) (Rem. 7.11, c)). Montrons alors, que
<j):G(E:K) —► G(L : K)
est une application surjective. £ peut être considéré comme corps de décomposition de
f(X) sur L ; alors tout g g G(L : K) se prolonge en un AT-automorphisme tj de £ (Th.
3.8) ; rj g G(E : K) et tj^l = a, donc l'application 0 est surjective. On en déduit que
G{E : K) fini => G(L : K) fini,
d'où 1)=^ 3).
D'autre part, puisque 3) => 2), on remarque que, dans le contexte ci-dessus, on a
nécessairement, L = E et f(X) séparable sur K. □
Corollaire 7,28. 1) Une extension de corps L : K est galoisienne, de degré fini si et
seulement si L est corps de décomposition sur K d'un polynôme séparable de K[X].
2) Toute extension galoisienne, de degré fini, est une extension simple, algébrique (la
réciproque est fausse - voir exemple ci-dessous).
Démonstration. 1) : la propriété énoncée découle directement des Th. 7.20 et 7.27.
2) : le Th. 7.27 montre que toute extension galoisienne, de degré fini est séparable, c'est
donc une extension algébrique simple, d'après le Théorème de Vêlement primitif (Jh.
3.31). □
Exemple 129. 1) Reprenons les exemples 7.4; il estimmédiatque les extensions C : R
et Q(>/3) : Q sont galoisiennes, de degré fini (Cor. 7^8,1)).
Par contre, l'extension Q(\/2) : Q n'est pas une extension galoisienne, car ce n'est pas
une extension normale (Cf. exemples 3.19) ; on a d'ailleurs,
[Q(^5):Q] = 3 et | G(Q(\/2) :Q) |= 1.
Cet exemple montre qu'une extension simple, algébrique n'est pas nécessairement
galoisienne (Cf. Cor. 7.28, 2)).
2) Pour un entier n > 1, considérons la rf716 extension cyclotomique de Q, c'est-à-dire
(Déf. 6.10):
Q(û)), où co est une racine nème primitive de l'unité de Q.
Q(co) est corps de décomposition sur Q du polynôme séparable Xn — 1
de Q[X] (Prop. 6.8), donc l'extension Q(co) : Q est galoisienne, de degré fini (Cor. 7.28.).
On en déduit que (Th. 6.19 et Th. 7.27)
|G(Q(©):Q)|=[Q(©):Q] = 9(n).
Déterminons les éléments du groupe G := G(Q(co) : Q).
Tout élément a g G étant un automorphisme de Q(û>) tel que g^ = id^, la donnée de
g((ù) détermine g et g((ù) est nécessairement une racine nème primitive de l'unité de
Q.
Il en résulte que tout élément a de G est une permutation de l'ensemble Q.n des racines
neme primitiVes de l'unité. Or, étant donné (ù g on a
Çln = {œk ; 1 < k < n- 1, k An = 1},
et quel que soit if € N, cok' = co* <=> kf = k (mod n).
On en déduit que, pour tout a g G, il existe un unique entier k tel que
1 n— 1, kAn= 1 et g(co) = cok.

§ 2. Théorème fondamental de Galois
123
Pour co fixé dans ftn, notons ok l'unique élément de G tel que <Jk(a>) = cok.
Soit coJ g alors j^k a- ^ 0^ et
ay- o ak(œ) = œkj = œjk = oko <x.(û>).
Le groupe de Galois G(Q(cû) : Q) est donc un groupe abélien ([12], Déf. 1.5) ; de plus, Gn
désignant le groupe des unités de l'anneau Z/nZ (Cf. Ex.L, Ch. 6), on vérifie facilement
que l'application
g : G(Q(û>) : Q) —>Gn telle que g{ck) = *, Vc^ g G(Q(û>) : Q),
est un isomorphisme de groupes, d'où l'énoncé suivant.
Quel que soit l'entier n>\,le groupe de Galois de la neme extension cyclotomique de Q,
est isomorphe au groupe Gn des unités de l'anneau Z/nZ.
Théorème 7.30. Pour une extension de corps L : K, les deux conditions suivantes sont
équivalentes :
l)L:K est galoisienne, de degré fini.
2)L:K est de degré fini et la correspondance de Galois définit une bijection de l'ensemble
5f des corps intermédiaires sur Vensemble % des sous-groupes de G(L : K).
Démonstration. Soit (y, /) le couple d'applications définissant la correspondance de
Galois associée à l'extension L : K (Déf. 7.8).
1) => 2) : L'hypothèse implique que le groupe G(L : K) est fini (Th. 7.27). Soit H un
sous-groupe de G(L : K) ;H v&tMors un sous-groupe fini du groupe Aut L des
automorphismes du corps L.
Posons F = InvL(H) = Y (H) ; d'après le Théorème d'Artin (Th. 7.26), on a
H = G(L : F), donc
H = G{L:InvL(H)) = yoY{H), d'où yo/ = /rfrK.
Considérons maintenant, un élément quelconque F g J ; on a
KÇFÇL.
On déduit de l'hypothèse 1) (Cor. 7.28) que L est corps de décomposition, sur at, d'un
polynôme séparable f(X) g K[X]. Mais L est aussi corps de décomposition de f(X) sur
F ; par suite (Th. 7.27),
F = InvL(G{L:F)) = Yoy{F), d'où /oy = /^.
2) 1) : [L : K] fini implique L algébrique sur K et
/ o y = id^ => K = InvL(G(L : K)),
donc L : K est galoisienne, de degré fini. □
Remarque 7.31. Le Th. 7.30 permet de donner une autre justification à la propriété 2)
du Cor. 7.28 ; en effet, si L : K est galoisienne, de degré fini, alors le groupe G(L : K)
est fini (Th. 7.27), donc il n'a qu'un nombre fini de sous-groupes et la correspondance
de Galois associée à L : K étant une bijection (Th. 7.30), il n'existe qu'un nombre fini de
corps intermédiaires, ainsi, L : K est une extension simple (Th. 2.30).
C. Théorème fondamental de Galois
Rappel de notations concernant les groupes :
Etant donné un groupe G et un sous-groupe H de G,
[G : H] désigne l'indice de H dans G ([12], p.76). Si G est fini, alors
\GHH\[G:H}.
H<G exprime que H est normal (ou distingué) dans G ([12], p. 136).
Dans ce cas, le groupe quotient de G par H sera noté G/H ([12], p.137).

124
Chapitre 7. Fondements de la Théorie de Galois
Théorème 7.32. Théorème fondamental de Galois
SoitL : K une extension de corps galoisienne, de degré fini. Si F est un corps intermédiaire
pour cette extension, alors
Y) L: F est une extension galoisienne, de degré fini.
2)[F:K] = [G(L:K):G(L:F)}.
3) Pour l'extension de degré fini F : K, les trois conditions suivantes sont équivalentes :
i)F :K est une extension normale.
H)G{L:F)<G{L:K).
iii) F :K est une extension galoisienne.
De plus, dans ces conditions, on a G(F : K) ~G(L: K)/G(L: F).
Démonstration. 1 ) (K Ç F Ç L et [L : K] < °°) => [L : F] < «>, donc L : F est algébrique,
de degré fini. D'autre part, L : K est galoisienne, de degré fini, d'où (Th. 7.30),
F = Yoy(F)=InvL(G(L:F)).
Ainsi, L : F est galoisienne, de degré fini (Rem. 7.23).
2) L : K et L : F étant galoisiennes, de degré fini, les groupes G(L : K) et G(L : F) sont
finis (Th. 7.27) et
\G(L:K)\=[L:K], | G(L : F) \= [L : F}.
Par suite, [L : K] = [L : F][F : K] <==* | G(L : K) |=| G(L : F) \ [F : K] ;
d'où [F : K] = [G(L : K) : G(L : F)].
3) On a {KQF ÇLet[L:K] < °°) =» [F : K] < ~.
i) ii) : Soit <7 g G(L : K) ; alors oyF est un ^T-monomorphisme de F dans L. Par
hypothèse, l'extension de degré fini F : K est normale, donc (Prop. 7.12), a^F g G(F : K).
ç:G(L:K) —► G(F : K)
est alors un morphisme de groupes et
Kerf = {o g G(L : K) ; a/F = idF) = G(L : G(L : F) < G(L : K).
ii) iii) : D'après la propriété 1), l'extension L : F est galoisienne, de degré fini. Posons
H = G(L : F) ; en tenant compte de l'hypothèse ii) et du Th. 7.27, on a
H<G{L:K) et F = InvL(H);
alors, V(7GG(L:#), oHo~l = // F = InvL(oH<J~l).
InvL(oHa~l) = {x g L ; Vt g //, ara"1 (x) = jc}
= {jcgL; Vtg#, T(a-1(jc)) = <y-1(;c)}
= {x g L ; a"1 (jc) g InvL(H)}
= o(InvL(H)) = <j(F),
d'où, G(L : F) < G(L : AT) V<7 g G(L : K), a(F) = F,
•<=>• Va g G(L : A"), <x//r g G(F : AT).
En considérant de nouveau, le morphisme de groupes
ç:G(L:K) —► G(F : K)

§ 3. Applications de la Théorie de Galois
125
on obtient : JnvF(Im(p) = {x g F ; Va g G(L : K), a(x) = x} = K.
L'extension L : K étant galoisienne, de degré fini, le groupe G(L : K) est fini, par suite
Im (p est un sous-groupe fini de G(F : K) Ç Aut F.
L'application du Théorème d'Artin (Th. 7.26) donne
\Imç\=[F:K]etImç = G(F:K), d'où K = InvF{G(F :K)).
On en conclut que l'extension de degré fini F : K est galoisienne et
Imç ~ G(L : K)/Kerç <=^ G(F : K) ~ G(L : K)/G(L : F).
iii) => i) : Si l'extension de degré fini F : K est galoisienne, alors F : K est une extension
normale (Thr7.27). □
Remarque 733. Dans de nombreux ouvrages, le théorème, dit « Théorème fondamental
de Galois », regroupe les théorème^03O et 7.32 ; c'est en vue d'un exposé plus clair des
résultats concernés et de leurs preuves, que l'on a préféré les séparer en deux énoncés.
3. Applications de la Théorie de Galois
A. Rappels concernant les groupes finis
Si G est un groupe fini, le cardinal de G, appelé ordre de G, sera noté o(G).
1°) Si o(G) > 1 et si p est un nombre premier divisant o(G), il existe alors n et s uniques
dans N*, tels que
o(G)=spn et p\s.
Dans ce cas ([12], Th. de Sylow), quel que soit l'entier r (1 < r < n) il existe au moins un
sous-groupe de G, d'ordre pr.
Pour r = n, un sous-groupe de G, d'ordre pn est appelé un p-sous-groupe de Sylow de G.
Si S est un /?-sous-groupe de Sylow de G, alors [G : 5] désignant l'indice de S dans G, on
a
[G: S] =s, donc p\[G:S].
2°) Si o(G) = pr, où p est un nombre premier et r > 0, on dit que G est un p-groupe fini
et dans ce cas, il existe ([12], Ch. VII) une famille {Gi}\<i<r de sous groupes de G telle
que
(1) = G0CG1C-C Gr-1 C Gr = G (7.13)
et Vi (1 < i < r), o(Gt) = p', Gl_1 < G,.. (7.14)
Cette propriété exprime que tout p-groupe fini est résoluble ([12], Prop. 7.35).
B. Construction des polygones réguliers
On suppose connue, la notion de polygone régulier, à n côtés et n sommets, pour tout
entier n > 3 ; on notera Pn un tel polygone.
En particulier, P3 est le triangle équilatéral, P4 est le carré, P5 est le pentagone (régulier),
P6 est l'hexagone (régulier).
Dès l'antiquité, les Grecs savaient construire, par la règle et le compas, (Cf. Ch. 2) les
polygones P„, pour n = 3,5,15 et un polygone P^, connaissant P„. Puis, pendant environ
2000 ans, aucun progrès ne fut fait à ce sujet. Mais le 30 mars 1796, Gauss découvrit, en
le prouvant ([24]), que le polygone régulier à 17 côtés était constructible par la règle et

126
Chapitre 7. Fondements de la Théorie de Galois
le compas. Il n'avait que 19 ans ! Sa joie fut telle, qu'il décida ce jour-là, de consacrer sa
vie aux mathématiques, alors que jusque là, il hésitait encore entre cette discipline et la
philosophie.
Ce paragraphe a pour but la caractérisation des entiers n > 3 pour lesquels le polygone
Pn est constructible par la règle et le compas ; c'est l'objet du Th. 7.40, justement appelé
Théorème de Gauss.
Pour alléger le texte, nous dirons qu'un polygone Pn est constructible, s'il est constructible
par la règle et le compas.
Remarque 734. On rappelle que dans le « plan complexe », c'est-à-dire le plan affine
euclidien R2 rapporté à un repère orthonormé Oxy, les images des racines nemes de l'unité,
dans C (Ch. 6), forment les sommets d'un polygone Pn.
Il en résulte qu'un polygone Pn est constructible, si et seulement si on sait construire, dans
_ 2% 2%
le plan affine, orthonormé R2, le point M de coordonnées (cos —, sin —), à partir des
n n
—— 2n
points (0,0) et (0, l),donc l'angle Ox, OM = —, défini à 2kn près (Cf. Ch. 2).
n
La construction des polygones P3,P4,P6 est supposée connue.
Si l'on considère un polygone P„, il est entendu que n > 3.
Lemme 735. Si Pn est un polygone constructible, il en est de même de P2n. En particulier,
tout polygone P2nr>2 dans N, est constructible.
Démonstration. Dire que le polygone Pn est constructible, c'est dire que, dans le plan R2,
le point M du cercle trigonométrique tel que
Ô^OM = —
n
est constructible (Rem. 7.34) ; alors, sachant construire la bissectrice d'un angle par la
règle et le compas, on en déduit le point Mr du cercle trigonométrique tel que
2n
Ox,OM' = —,
d'où le polygone P^.
En particulier, ayant construit le cube, c'est à dire P4 = P22, on peut construire P23 et
par récurrence sur r, on prouve que tout polygone P2r est constructible, pour tout entier
r>2. □
Lemme 736. Soit metn dans W.
1) Si le polygone Pn est constructible et si m \ n et m> 3, alors le polygone Pm est
constructible.
2) Si m An —1 et si Pm et Pn sont constructibles, aio)rs Pmn aussi.
Démonstration. 1) Le cas m = n étant sans intérêt, on suppose m ^ n,m | a, et m > 3,
donc il existe un entier d > 1 tel que n = dm.
On construit alors Pm à partir de Pn enjoignant les sommets du polygone Pn,«dhd ».
En particulier, si n = 2m, m > 3, on construit Pm à partir de Pn en joignant « 2 à 2 » les
sommets de Pn.
2) Si m An = 1, il existe alors a, b dans Z (Th. de Bezout) tels que am 4- bn = 1, d'où
1 1 , 1
— = a- + b—.
mn n m

§ 3. Applications de la Théorie de Galois
127
On en déduit que si l'on sait construire Pm et P„, donc, sur le cercle trigonométrique,
2k 2k
les points d'angle polaire — et —, alors on sait construire le point d'angle polaire
m n
2k 2k
a— + b—, puisque a et b sont des eMers ; d'où la construction de Pmn. □
Proposition 7.37. Soit n = 2rpk^ pk*... p*;s > 3, dans N*, oùr>0et pour l<j<s, les
Pj, sont des nombres premiers impairs, distincts, les kj > 0 ; alors Pn est constructible si
et seulement si P k est constructible, pour tout j(l < j <s).
Ce résultat se déduit directement des lemmes 7.35 et 7.36
On est ainsi ramené à étudier la construction des polygones P^, pour p premier impair,
k £ N*. P
Lemme 738. Soit p un nombre premier impair et keN* ; si le polygone Ppk est
constructible, alors nécessairement, k=\et p- \ est une puissance de 2.
Démonstration. La construction du polygone P^ équivaut à la construction du point
2k 2k
Af (cos —r-, sin —r-), image dans le plan complexe, de la racine
2k 2k
p**™ primive de l'unité, co = cos -p- -f i sin-j, où i2 = — 1, dans C.
De l'application du Th. 2.42, avec K0 = Q et 3>0 = {(0,0), (1,0)}, on déduit que, si le
point M est constructible, alors
2k 2k
[Q(cos —r, sin —r-) : Q] est une puissance de 2.
PK r
2k 2k
Supposons [Q(cos —r, sin -T) : Q] = 2r, r € N*;
p* pK
alors, [Q(cos sin i) : Q] = 2r+1.
P y
Par suite, œ G Q(cos —r, sin —r, i) [Q(œ) : Q] \ 2r+1,
2k . 2k
donc [Q(û)) : Q] est une puissance de 2. Or (Th. 6.19),
{Q((0):Q]=<p(pk) = pk-\p-l)
et par hypothèse, p est impair, donc pk~l(p — 1) est une puissance de 2 implique
k = 1 et p — 1 est une puissance de 2.
□
On remarque qu'en particulier, les nombres premiers p = 3,p = 5, sont tels que p — 1 est
une puissance de 2 ; le Théorème de Gauss (Th. 7.40) précisera l'expression des nombres
premiers p tels que le polygone Pp est constructible.
Le lemme suivant utilise le Th. 2.49.
Lemme 739. Soit K0 le sous-corps de R engendré par les coordonnées des points d'une
partie ÎP0 de l'espace affine, orthonormé R2, contenant (0,0) et (1,0).
Si LcR est une extension normale de K0 telle que [L : KQ] = 2r, où r £ N*, alors tout
point de coordonnées (x,y) eLxL peut être construit à partir de 1P0.

128
Chapitre 7. Fondements de la Théorie de Galois
Démonstration. AqCE ==> carK0 = 0.
Par suite, le corps K0 est parfait. On en déduit que l'extension normale, de degré fini L : K0
est séparable, donc galoisienne de degré fini (Th. 7.27) ; alors, si G := G(L : K0),
[L:K0]=2r=ïo(G)=2r;
G est un 2-groupe fini. On en déduit (voir Rappels, par. A. précédent) qu'il existe une
famille {GI}1<l<r de sous-groupes de G telle que
(l)=G0cG1C---cGr_1cGr = G
et V/(l < i < r), o(G,.) = 21*, Gt_x < G„ donc [G,. : G^J = 2.
En posant, pour tout i(l < / < r), Kt = Inv^G^), on obtient, en application du
Théorème fondamental de Galois (Th. 7.32), une chaîne finie de corps intermédiaires entre
K0 = InvL(Gr) et L = InvL(G0), telle que
#0 C Kx C • • • C Kr = L et V i ( 1 < i < r), % : K(_ x ] = 2.
Par suite, tout point dont les coordonnées sont dans l, est constructible à partir de Tq
(Th.2.49.). □
Théorème 7.40. Théorème de Gauss
Le polygone Pn peut être construit par la règle et le compas si et seulement si
n = 2rPlp2...ps, (7.15)
où r, s sont des entiers positifs ou nuls et pour s>\, les pj, \ < j < s, sont des nombres
premiers distincts tels que
p,. = 22° + l, r;.çN. (7.16)
Démonstration. Supposons le polygone Pn constructible et
n = 2rpk^p*2 .../#> 3, dans N.
r et s sont des entiers positifs ou nuls et (lemme 7.38) pour s > 1,
V j ( 1 < j < s), kj = l et Pj — 1 est une puissance de 2;
Par suite, pour tout j(1 < j < s), il existe ay. G N* tel que
p,.-l=2a; et n = 2rpx...pr (Rel. (7.15)).
Pour 1 < j < s, supposons que (Xj ait un diviseur impair, a > 1.
Il existe alors d € N*, tel que ay. = da, d'où
^ = (2J)fl + l = (2rf + l)( £ (-î)l2dl),
0</<a-l
ce qui est contraire à l'hypothèse Pj premier. On en déduit que pour tout j (1 < j < s), (Xj
est une puissance de 2, d'où la relation (7.16) :
Pj = 2* + 1, r.GN.
Réciproquement, démontrons que pour un entier n > 3 satisfaisant aux conditions (7.15)
et (7.16), le polygone Pn est constructible.

§ 3. Applications de la Théorie de Galois
129
Compte tenu de la Prop. 7.37, il suffit de montrer que, pour tout 7(1 < j < s), le
polygone PPj est constructible. On est ramené à prouver que, d'une façon générale, si p
est un nombre premier tel que p = 2a 4-1 et a est une puissance de 2, alors le
polygone Pp est constructible. Il s'agit de montrer que, pour un tel nombre premier p,
on peut construire par la règle et le compas, l'image M de la racine p"™ de l'unité,
2% . . 2tt ^
co = cos hJsm— g C.
P P
2%
On remarque que la connaissance du point H de coordonnées (cos—,0) suffit pour
P
construire le point À/, donc le polygone Pp. Posons K = R il Q(co) ; on a
QcKcQ(co) et cos— = œ + ® g K;
P 2
alors, Q(co) = K(i), où i2 = -ldans Complique
[Q(œ):K) = [K(i):K}=2.
Mais co est une racine p*"1* primitive de l'unité de Q, donc
[Q(û)):Q] = (p(p)=p-l=2a;
[Q(û>) : Q] = [Q(û>) :K][K:Q] =>[K:Q] = 2a~K
L'extension Q(co) : Q est galoisienne de degré fini et son groupe de Galois est abélien
(Exemple 7.29,2)), d'où
G{Q{co):K)<G(Q(co):Q).
D'après le Théorème fondamental de Galois (Th. 7.32), K est alors une extension normale
2%
de Q et d'après le lemme 7.39, le point //(cos —,0) est constructible à partir des points
(0,0) et (0,1). □
Remarque 7,41. a) Le Théorème de Gauss nous ramène à un problème de Théorie des
Nombres, à savoir :
Pour quelles valeurs de n g N, Ventier Fn := 22" +1, appelé n™6 nombre de Fermât,
est-il un nombre premier 1
L'appellation « nombre de Fermât » est justifiée par le fait que dès 1640, le
mathématicien Pierre Fermât note que
F0 = 3, Fx = 5, F2 = 17, F3 = 257, F4 = 65537
sont des nombres premiers.
Fermât avait conjecturé que, quel que soit n, Fn était premier, mais en 1732, Euler
démontra que F5 n'était pas un nombre premier, plus précisément ([38]),
F5 = 641 x 6700417.
Aujourd'hui, malgré tous les moyens mis en oeuvre par les spécialistes de la question,
on ne connaît toujours pas de nombre de Fermât premier, autre que les F„, 0 < n < 4,
signalés par Pierre de Fermât.
La recherche de la factorialité ou de la primalité des nombres de Fermât reste un problème
d'actualité pour les théoriciens des nombres.
Il existe une liste (qui s'allonge progressivement) de nombres de Fermât, dont on a prouvé
qu'ils n'étaient pas premiers, on dit que ce sont des nombres de Fermât composés. Mais
la factorisation complète de la plupart d'entre eux n'est pas connue, car les nombres de
Fermât croissent très vite, ce qui rend difficile la recherche de leurs facteurs premiers.
Actuellement, les seuls nombres de Fermât composés, dont a obtenu la factorisation
complète, sont
^5> ^6» ^7' ^8> ^9 et ^11*
La factorisation de F7 n'est connue que depuis 1971 et celle de Fg, depuis 1982 ([38]).

130
Chapitre 7. Fondements de la Théorie de Galois
b) Le Théorème de Gauss pose un second problème, qui est celui de la méthode
géométrique de construction des polygones théoriquement constructibles par la règle et le
compas.
On considère essentiellement les polygones Pp, où p est un nombre premier de Fermât
Pour P5 la méthode est élémentaire (Cf. Ex. 19-, Ch. 7).
Pour P17 il existe plusieurs méthodes de construction ([45]), dont la première fut publiée
par Huguenin en 1803.
La construction géométrique des polygones P257 et P65537 n'est pas vraiment d'un grand
intérêt, signalons cependant, que
- pour P257, un procédé de construction a été publié en 1832, par Richelot ;
- pour P65537, Bell ([6]) raconte qu'une méthode de construction aurait été trouvée par un
américain, au bout de 20 années de recherche !
En Allemagne, le Professeur Hermès von Lingen a travaillé 10 ans sur la question ; ses
manuscrits sont probablement conservés à Gôttingen.
C. Une preuve du Théorème fondamental de PAlgèbre
Ce théorème a déjà été démontré au chapitre 5 (Th. 5.3). La preuve donnée ici utilise les
propretés des extensions galoisiennes.
1/ Préliminaires
Lemme 7.42. Soit K un corps de caractéristique 0. S'il existe un nombre premier p tel
que, quelle que soit l'extension de degré fini Lde K,L^K, on ait p \ [L : K], alors [L : K]
est une puissance de p.
Démonstration. Le corps K est de caractéristique 0, donc K est un corps parfait (Déf.
3.25). Etant donné une extension L : K telle [L : K] < °o et L ^ AT, soit Af une clôture
normale de L : K ; alors N : K est une extension galoisienne, de degré fini (Th. 7.27) et
d'après l'hypothèse du lemme, p divise [N : K].
Posons G = G(N :K)\G est un groupe fini (Th. 7.27) et
o(G) = [N:K]=ïp\o(G).
On en déduit (Cf. Rappels, par. A. précédent) que o(G) = spn où s et n sont dans N* et
p \ s. Supposons s 7^ 1.
Soit S un p-sous-groupe de Sylow de G. L'extension N : K est galoisienne, de degré fini,
donc la correspondance de Galois définit une bijection de l'ensemble des sous-groupes
de G, sur l'ensemble des sous-corps de N contenant K (Th. 7.30). D'après le Théorème
fondamental de Galois (Th. 7.32),
K Ç InvN(S) CN => [InvN(S) :K] = [G: S].
L'hypothèse du lemme implique que p | [InvN(S) : K] or, 5 est un p-sous-groupe de
Sylow de G, donc p f [G : S] = s, d'où une contradiction. Par suite s = 1, donc
[N : K] = o(G) est une puissance de p ;
alors [L : K] \ [N : K] => [L : K] est une puissance de p. □
Lemme 7.43. Pour toute extension L de R,
(L ^ R et [L : R] < oo) [L : R] est une puissance de 2.
Démonstration. Soit L ^ R une extension de degré fini sur R, donc algébrique sur R (Th.
2.26). Soit a G L\ R et pa := Irrr((x,X). Tout polynôme de R[X], de degré impair ayant
une racine réelle (Propriété Pv Ch. 5.1.), le degré du polynôme irréductible p«(X) est
nécessairement pair. Par suite [R(a) : R] = degpa est pair et

§4. Norme et Trace
131
[R(a) : R] | [L : R] [L : R] pair.
D'après le lemme 7.42, [L : R] est alors une puissance de 2. □
21 Preuve du Théorème fondamental de l'algèbre
Montrons que le corps C des nombres complexes n'a pas d'extension algébrique propre
(Cf. Th. 5.1).
Supposons qu'il existe une extension L de C telle que
[L:C]<oo et L^C.
Cette hypothèse implique que L est algébrique sur C (Th. 2.26) ; on en déduit que L est
algébrique sur R (Th. 2.31). Soit N une clôture normale de L sur R. On a
RCCCLÇN
et N est une extension de R de degré fini (Th. 3.17), normale et séparable, car R est un
corps parfait, donc N : R est galoisienne, de degré fini (Th. 7.27). D'après le lemme 7.43,
[N : R] est une puissance de 2 ; supposons
[N:R] =2n,n> 1.
Soit G := G(N : R), alors o(G) = 2n (Th. 7.27).
[[N :R]=2n et [C : R] = 2)=* [N : C] = 2n~\
L'hypothèse L ^ C implique N C et N : C est une extension galoisienne de degré fini.
Posons H := G(N :C);H est un sous-groupe de G et
o(H) = [N :C] = 2n~l >1.
Par suite, H contient au moins un sous-groupe H1 d'ordre 2n~2 (voir Rappels, par. A., Th.
de Sylow). Posons F := InvN{Hf), onaRcCcFcN,et
[H :H'] — 2 Hf <H ([12], Prop. 4.14)
Le Théorème fondamental de Galois (Th. 7.32) implique alors
[F:C] = [H:H'} =2 et F:C galoisienne.
On en déduit (Cor 7.28) qu'il existe j3 G F \ C tel que
F = C(p) et degIrrc(p,X) = 2.
Or, dans C[X], tout polynôme de degré 2 est scindé (Ch. 5, Rem. 5.4 et Ex. 1.), par suite
j3 g C, d'où une contradiction avec ce qui précède, donc avec l'hypothèse L^C
En conclusion : C est algébriquement clos.
4. Norme et Trace
Notations et Rappels
Etant donné une extension de corps L : K de degré fini, on pose [L : K] = n > 1 et on
note [L : K]s son degré de séparabilité (Déf. 7.14). Toute extension algébrique de L sera
supposée contenue dans une clôture algébrique de K fixée, K.
(p.L^r K désignera un AT-monomorphisme de L dans K.
Soit M la clôture normale de L sur AT, dans K ; alors, M : K est de degré fini, galoisienne
sur K (Th. 7.27 et tout AT-monomorphisme de L dans K est un AT-monomorphisme de L
dans M (Prop. 7. 13), de plus (Prop. 7.17, 7.15, 7.12),
1)L: K séparable <=^ [L : K]s = [L : AT].
2)L : K normale [L : K]s =\ G(L : K) |.
3) Vç> : L ^, 3a g G(Af : AT), tel que a, = <p.

132
Chapitre 7. Fondements de la Théorie de Galois
A. Notions de Norme et TVace
La propriété 1), rappelée ci dessus, justifie la définition suivante.
Définition 7.44. Soit L : K une extension de corps séparable, de degré fini n > 1 ; notons
{<p/}1</<w l'ensemble des jRT-monomorphismes de L dans Af, alors, pour tout a dans L,
\<i<n \<i<n
sont, respectivement, appelés la norme et la trace de a sur AT.
Remarque 7.45. Les hypothèses et les notations sont celles de la définition 7.44.
a) Si aucune ambiguïté n'est possible, la norme et la trace d'un élément a de L, sur AT,
seront respectivement notées, N(a) et T(a).
b) D'après le rappel 3), M étant la clôture normale de L sur AT, quel que soit i ( 1 < i < n),
il existe oi E G(M : K) tel que a^L = % d'où
Va EL, N(a) = et r(«) = L (7-18)
l<i<n l</<«
c) Les notions de norme et trace seront utiles dans les Ch. 8 et 9.
Proposition 7.46. Si L : AT est une extension de corps galoisienne, de degré fini n>l,et
si G(L : AT) = {o;}1</<w, alors, pour tout a E L,
N(cc) = *i(a) et T(a) = £ a,(a). (7.19)
l<i<n l<i<n
Démonstration. L'extension galoisienne L : AT, de degré fini n > 1, est séparable et
normale (Th. 7.27), donc L s'identifie à sa clôture normale M et les formules (7.19) se
déduisent des formules (7.18). □
Remarque 7.47. On suppose [L : AT] = n > 1 et L : K séparable ; les notations sont celles
de la Déf. 7.44 et de la Rem. 7.45
a) Soit a E L et pa{X) := IrrK(a,X). M étant une clôture normale de L sur AT, pour
tout i, 1 < i < /i,<p.(a) est une racine de pa(X) dans M (Rem. 7.11, d)), c'est-à-dire un
conjugué de a dans M (Déf 2.18).
On a nécessairement, 1 < r := degpa(X) < n et L est séparable sur AT, donc pa(X) a
exactement r racines distinctes dans M.
Cela signifie que le nombre des ç>f.(a), 1 < / < n, distincts dans M, est r < n.
D'autre part, quels que soient G E G(M : AT) et i ( 1 < i < n), a o <p. est un
AT-monomorphisme de L dans M et i ^ 7 (jo^.^ao^., d'où
Ver G G(M : AT), {^°<P,}i<kn = {<PJi<k„-
On en déduit que,
Va E L, Va E G(Af : AT), o(N(a)) = N(a) et a(7(a)) = T(a).
Or, l'extension Af : AT est galoisienne, donc InvKG(M : AT) = AT, d'où
Va EL, N(a)eK et r(a) E AT.
Ainsi N etT sont des applications de L dans AT.
b) Les hypothèses de la Déf 7.44. impliquent que, dans les formules (7.17), les mor-
phismes (pt, (1 < i < n) sont distincts, injectifs, donc non nuls ; en conséquence,
W(a)=0 a = 0 et 7(0) =0.

§ 4. Norme et Trace
133
Mais l'application T, de L dans AT, n'est pas nulle. En effet,
r = o £ <P/ = o.
1<k«
Or, d'après le Lemme de Dedekind (Lemme 7.48, ci-dessous)
L Çi = 0=ï ^. = 0, V/(l </<*),
ce qui est impossible dans le contexte de la Déf. 7.44.
Lemme 7.48. Lemme de Dedekind
Quels que soient les corps K et L, toute famille de morphismes distincts, non nuls de
K dans L, O = {<P/}ie/, où I est un ensemble non vide, quelconque, est linéairement
indépendante sur L.
Démonstration. Supposons la famille 4> linéairement dépendante sur L.
Nécessairement, il existe au moins une sous-famille finie <ï>' de 4>, linéairement
dépendante sur L ; posons 4>' = {ç^,..., çin} ; n G N*.
On peut supposer que 3>' est minimale, c'est-à-dire que toute sous-famille propre de <!>'
est linéairement indépendante sur L.
L'hypothèse implique qu'il existe des éléments ax,..., Cfo, non tous nuls dans L, tels que
L 0.
La minimalité de la famille finie <!>' implique qu'aucun ak, (1 < k < n), n'est nul. En
particulier, ^ 0 permet d'écrire
«* = L où V*(2<*<*), a^-o^a"1. (7.20)
2<k<n
En utilisant (7.20), on obtient :
\/xeK,q>i(x)= £ ofofc); (7.21)
2<k<n
\/xjeK,çi(xy) = çi(x)çi(y)= £ (y) (7.22)
2<*<*
= ( I ^M)^)- (7.23)
2<k<n
(7.22) et (7.23) entraînent que, quels que soient jc,y dans at,
o= I <{\{y)-\{y))<Pi\x). (7.24)
2<*<*
Or, la minimalité de la famille <!>' implique que {(p^ }2<*<,i est linéairement indépendante
sur L ; on en déduit que
(7.24) =► afk{cpiv{y) - ^(y)) = 0, V*(2 < * < n), Vy g at.
alors, V*(2 < ifc < /î), a£ ^ 0 = ç>f. ,
ce qui contredit l'hypothèse. □

134
Chapitre 7. Fondements de la Théorie de Galois
Proposition 7.49. Soit L : AT une extension de corps séparable, de degré fini n>\, alors
la norme N et la trace T de L sur AT, vérifient les propriétés suivantes. Quels que soient
a, p dans LetX dans AT,
N(aP)=N{a)N{p) T(a + P) = T{a) + T{P)
N(X a) = XnN{a) T(X a) = X T(a)
N(X) = Xn T(X) = nX.
Preuve laissée au lecteur.
Remarque 7.50. Les hypothèses étant celles de la Prop. 7.49, on sait que l'application 7,
de L dans AT, n'est pas nulle (Rem. 7.47, b)). Montrons qu'il existe y G L tel que T{y) = 1.
En effet, soit a G L, tel que T(a) ^ 0. Posons X := T(a) et y = X~la ; alors (Prop.
7.49),
T(y)=X-lT(a) = X-lX = l.
Proposition 7.51. Formules de transitivité
Soit L : AT une extension de corps de degré fini, séparable, et F un corps intermédiaire ;
alors pour tout a G L, on a
^l:k(^)=nF:K^L:F^)) * TL:K(a) = TF:K(TL:F(cc)). (7.25)
Démonstration. L'extension L : AT étant séparable, il en est de même des extensions L : F
et F: AT (Th. 3.29).
Soit M Ç AT, la clôture normale de L sur AT. On a AT Ç F Ç L Ç M et Af est galoisienne, de
degré fini sur AT.
M est une extension normale de F, donc tout AT-monomorphisme de F dans AT est un
AT-monomorphisme de F dans Af. Posons m := [F : AT] ; puisque l'extension F : AT est
séparable, on a aussi m = [F : AT]5.
Notons {<P|}i</<m l'ensemble des AT-monomorphismes de F dans Af ; alors (Prop. 7.12),
quel que soit i ( ï < i < m), il existe ci G G{M : AT) tel que G^F = (pt et pour tout J3 G F,
"f:k(P)= FI °l(P) et TF:k(P)= I (7.26)
l<i<m l<i<m
Posons n := [L : F] ; alors n = [L : F]s, puisque L : F est séparable ; soit {V/}i</<n>
l'ensemble des F-monomorphismes de L dans Af.
Etant donné t : L <—► Af, XjF est un AT-monomorphisme de F dans Af, donc il existe un
unique /, 1 < i < m, tel que ZjF = <pt- = a^F, où at G G(M : AT) ; par suite,
V/3GF, a^ot(P) = arloai(P) = p,
donc oi 1 o r est un F-monomorphisme de L dans Af ; par suite, il existe un unique
j, 1 < j < n, tel que or1 o t = y/^, d'où t = af o y/^.. Or,
([L:F]=/i, [F : AT] = m) =» [L : AT] = mn = [L : AT]5,
car L : AT est séparable ; donc l'ensemble des AT-monomorphimes distincts de L dans Af est
{a.oy^.; \<i<m, \ <j<n).
Va G L, NL:F(cc) = n V0-(a)> r^(a) = L *"/(<*)•
\<j<n l<j<n
NL:F(a), TL:F(a) sont des éléments de F ; d'où (Rel. (7.25)),
NF:k("l:f(<*))= II ^ ( Il VjW) = UGi°^a) = n^k(^
l<i<m l<j<n
i<«<m i</<n (y)

§4. Norme et Trace
135
Exemple 7.52. Soit Q(a) une extension simple algébrique de Q ; posons pa(X) :=
Irr^(a,X)ttn:=degpa.
Q étant un corps parfait (Déf. 3.25), a est séparable sur Q, d'où (Th. 7.16),
[Q(a):Q], = [Q(a):Q]=«.
Notons (px, <p2,... (pn, les n AT-monomorphismes de Q(a) dans Q.
Soit E un corps de décomposition de pa(X) sur Q; alors (Prop. 7.12), quel que soit
i, 1 < i < /i, il existe ci E G(E : Q) tel que
°i/Q(a) = Vî;
Soit 0 E Q(a) ; les hypothèses impliquent que {a1,0 < i < n - 1} est une base de Q(a)
sur Q, d'où
0= £ o^pourtouti^O^/^/i-l),^. GQ.
0</<n-l
En posant, quel que soit £, 1 < k < n, çk(cc) = fik, on obtient
L a^d'où
0<i<n-l
n ^(0)= n ( i «a1) a27)
1<*<* 1<*<" 0<i<n-l
= I = l" ( £ «a')- (7-28)
l<JKn 1<*<w 0<i<n-l
B. Quelques applications des notions de norme et trace
Théorème 7.53. Soit L : AT une extension galoisienne, de degré fini n > 1, telle que le
groupe de Galois G(L : AT) est cyclique, engendré par c ; alors pour a £L,ona
7(a) = 0 3j3 EL te/^e a = j3-a(j3),
au 7 es* r application trace de L dans AT.
Démonstration. Les hypothèses impliquent que le groupe G(L : AT) est cyclique d'ordre
n = [L : AT] (Th. 7.27), engendré par a, donc
G(L:AT) = {a', 0<i<n-l}.
Soit /3 ^ 0 dans L ; on alors a := J3 - cr(j3) ^ 0, car a ^
7(a) = (/dL + a4-a2 + ..- + an-1)(a)
= (/J - a(0)) + (<x(j8) - a2(^)) + . • • + (a""1^) - a"(/3))
= 0, car an — /rfL.
Réciproquement, supposons a E L tel que 7(a) = 0.
On sait qu'il existe y E L, tel que 7(y) = 1 (Rem. 7.50). Posons
Vi (0 < i < n - 2), dx := (a + a(a) + • • • + (^'(a))a'(y)
et p:=d0 + dx+-+dn_2.
Pour ai>2,
(i = ai - 2 et 7(a) = 0) o(dn_2) = -aa""1^)-
Pour ai > 2,
(0 < î < n - 3) a(rff.) = (a(a) + • • • + am (a)) (y)
=^rf,+1-a(rfi)=aai+1(y),
d'où, j3 - a(j3) = </0 + (4 - a(<g) + • • • + {dn_2 - o(dn_3))-c(dn_2)
= ay+ao(y)-\ \-aon~l{y)
= a, car 7(y) = 1. □

136
Chapitre 7. Fondements de la Théorie de Galois
En application de ce théorème on obtient une description d'une extension galoisienne de
degré /?, sur un corps K de caractéristique p.
Théorème 7.54. Soit K un corps de caractéristique p^O. Si L est une extension
galoisienne de K telle que [L : K] = /?, alors L == K(u), le polynôme IrrK(u,X) étant de la
forme X^-X-a.
Démonstration. Les hypothèses impliquent que | G(L :K)\=p, donc le groupe G(L : K)
est cyclique, puisque p est un nombre premier ([12], Prop. 3.9).
Soit a un générateur du groupe G(L : AT), T étant l'application trace de L dans AT, on a
T(l)= £ ai(\) = p.\=0, dans AT.
0<i<p-\
D'après le Th. 7.52, il existe J3 g L tel que 1 = j3 - a(j3).
En posant u = — J3, on a a(u) — u = 1 et par suite,
a(u) = w + 1 =» o(uP) = {o(u))p= (1 + u)p = 1 + uP.
On en déduit que a:= up — u est invariant par a, générateur du groupe G(L : K) ; donc
a g InvL(G(L : K) = AT, car L : AT est galoisienne.
D'autre part, /? étant un nombre premier, il n'existe aucun corps intermédiaire entre AT et
L (autre que AT et L), donc nécessairement, L = K(u) et Xp-X -a = IrrK(u,X). □
Théorème 7.55. Soit L : AT une extension de corps galoisienne, de degré fini n> 1. Si le
groupe G(L : AT) est cyclique, engendré par <r, alors pour a G L, on a
N(a) = l <^=> 3j3gL re/tfwé? a = /}(a(j8))_1,
où N est Vapplication norme de L dans K.
Démonstration. Soit j3 ^ 0 dans L et a := jS (cr(/3)) 1 ; on a a ^ 1, car a ^ idL.
B
Pour des raisons de commodité, on écrira a sous la forme —7777 ; alors
N(a) = aa{a)...an~l(a)
= j8_o(/3)_ q"-i(/})
a(/î)a2(/î)-' a»(/5)
Réciproquement, supposons a g L tel que N(a) = 1, donc a 7^ 0.
Etant donné jc g L, posons
Vi (0 < i < n - 1), dt = (ccg{oc) ... a^a))^*);
alors, rf0 = ajc, = ^VT(a)an~1(x) = cf"-1(jc)
et Vi(l <i</i-2), d^aaid^).
Soit j3 :=</0 + + •••+ rfn_!.
Vérifions qu'il existe jc g L, tel que l'on ait j5 ^ 0. En effet, en posant
Vi(0< i< n — 1), Xif:= aa(a)...a'(a), dans L,
on a 0= £ V(jc).
0<i<n-l
Or, d'après le lemme de Dedekind (Lem. 7.48), les AT-automorphismes
a1, 0 < / < n — 1, sont linéairement indépendants sur L ; par suite,

§ 5. Exercices
137
(/3=0,VjcéL) => Aï = 0,Vî(0<î<n-l);
mais, Aq = a = 0, est contraire à l'hypothèse ; il est donc possible de choisir * e L tel que
j3 7^ 0. Dans ce cas, on a a(j3) 0 et
o(P) = o(d0) + o(dl) + ..- + o(dn_l)
= a"1(rf1+rf2 + ---+rfn_1) + a,,(jic);
an(jc) = jc = oT1^ => a(/î) = orVo-Mi + • • • +rfn_i) = «_1J3,
d'où a = p(a{p))~l= pa(p~l). D
Théorème 7.56. Soit L : K une extension galoisienne, de degré fini p,oùp est un nombre
premier. On suppose que le corps K est de caractéristique Oouq^ p,et que le polynôme
Xp - 1 est scindé sur K; on a alors L = K(a) et le polynôme IrrK(a,X) est de la forme
Xp-a.
Démonstration. Les hypothèses impliquent que le corps K contient le groupe cyclique
Up, d'ordre /?, des racines pemes de l'unité (Prop. 6.4) ; p étant un nombre premier, tout
û> tM, dans Up, est un générateur du groupe et on peut écrire, pour un (ù donné,
Up = {cûi\0<i<p-l}.
Par ailleurs, l'extension L : K est galoisienne, donc
[L:K\=p=*\G(L:K)\=p\
par suite, le groupe G(L : AT) est cyclique ; désignons par a l'un de ses générateurs.
Soit Af l'application norme de L dans AT et (ù ^ 1 dans UpC.K; alors (Prop. 7.49),
<ùçlK=*N(<ù) = <ùP = \.
On en déduit (Th. 7.54.) qu'il existe a G L, tel que (O = a(a(a))~l.
On note que œ ^ 1 =» a (a) ^ a, donc a#K = InvK(G(L : AT)).
o(a) = col(x=> a(ap) = (a(a))p= (ù~pap = ap, car œ~p = 1.
Par suite, ap G InvK(G(L : AT) = AT ; posons a := ap.
L'hypothèse (carK = 0 ou carK = q ^ p) implique que le polynôme Xp — a est
séparable sur K. Les p racines distinctes de Xp — a sont alors les g)'ce, pour 0 < i < p — 1,
par suite K(a) est corps de décomposition sur AT, de Xp — a.
On a montré ci-dessus, que a AT, d'où AT C Af (a) Ç L.
Or, [L : AT] = p et p est premier, donc il n'existe aucun corps intermédiaire entre AT et L
(autre que K ou L), on en déduit que L = AT(a) et Xp — a = IrrK(a,X). □
5. Exercices
1. Enoncer cinq propriétés équivalentes à
L : AT est une extension galoisienne, de degré fini.
2. Soit K un corps de caractéristique 0 et n > 1 dans N. On suppose que le polynôme
Xn - 1 est scindé sur K.
Soit f{X) :=Xn — a, où a G K*,a ^ 1.
1°) Vérifiez que si a est une racine de f(X) dans une extension de AT, alors l'extension
AT(a) : K est galoisienne, de degré fini (voir Ex. 2., Ch. 6).
2°) Prouver que le groupe G(K(a) : K) est abélien [voir Exemple 7.29, 2)].

138
Chapitre 7. Fondements de la Théorie de Galois
3. 1°) On considère les extensions de corps suivantes
Q(v^5):Q; Q(v^,i):Q(0, oui2 =-1, dans C;
Q{\f5J) : Q; Qffij) : Qtf), où / = 1JÏ 1, dans C.
Pour chaque extension,
- trouver son degré ;
- préciser si l'extension est galoisienne ou non ;
- déterminer son groupe de Galois, en définissant chacun des éléments de ce groupe.
Lorsque le cardinal du groupe de Galois est différent de 1, préciser la structure de ce
groupe ( est-il abélien ? est-il cyclique ? ou isomorphe à un groupe symétrique ?).
2°) Répondre aux mêmes questions que précédemment, au sujet des extensions
suivantes.
Q(v^,^5,/):Q(î); Q(\/3,v/5,i):Q; Q(v/2, VEj):Q.
4. Soit AT un corps tel que carK =^ 2. On note K une clôture algébrique de K.
1°) On considère un polynôme unitaire f(X) E AT[X], de degré n > 1. Soit E C K
un corps de décomposition de f(X) sur K. On suppose que f(X) n'a que des racines
simples dans E ; on les notera ax, o^,..., Cfo. On pose
A:= n («<-<*,)> *>:=A2, Gf = G(E:K).
l<i<j<n
a) Justifier les propriétés suivantes.
ï) E :K est une extension galoisienne de degré fini.
ii) D E AT.
iii) Lorsque G décrit Gy, il n'y a, dans £, que deux valeurs possibles pour a (A) et
[K(A) : K] = 1 ou 2.
b) Soit 7/ := {a E Gj ; a(A) = A}. Montrer que H est un sous-groupe normal de Gy
et préciser l'indice [Gy : //].
Prouver que # et AT(A) se correspondent dans la correspondance de Galois associée à
l'extension E : K.
c) Vérifier que le groupe Gy est isomorphe à un sous-groupe du groupe symétrique S„.
Montrer que si f(X) est irréductible dans K[X], alors n divise l'ordre du groupe Gy.
2°) Dans K[X], on considère f(X) = X3 + pX 4- ç et on suppose /(X) irréductible sur
K et séparable.
On conserve les mêmes notations que dans le 1°).
a) Montrer que, suivant la valeur de [K(A) : AT], on a
Gj ~ S3 ou Gj ~ A3 (groupe alterné).
Dans chaque cas, préciser quel est le sous-groupe H de Gy.
b) Vérifier que D = -4p3 - 21q2 ([13], Ch. 8).
c) Dans le cas où f(X) = X3 — IX 4-14, déterminer le groupe Gj (à un isomorphisme
près).
5. Etant donné une extension de corps L : AT, de degré fini, soit E et F deux corps
intermédiaires. On pose
EF:={ £ x^;/i6N*,^e£,y,GF,Vi(l</<»).
\<i<n
(n décrit N)

§ 5. Exercices
139
1°) Prouver que EF est un sous-corps de L. [voir Ex. 5., Ch. 1].
Vérifier que EF est le sous-corps de L engendré par EU F.
2°) On suppose que l'extension L : K est galoisienne.
a) Prouver que les extensions E : Af, F : Af, EF : F et EF : Af sont galoisiennes.
b) Soit a e G(EF : F) et G/E la restriction de G à E.
Montrer que GjE e G(E : E fl F). Vérifier que l'application
\l/ : G(EF : F) —► G(E :EDF)
o^G/E
est un morphisme injectif 'de groupes.
Démontrer que {a e F ; r(a) = a, Vr e Im y} = E flF.
En déduire que y/ est un isomorphisme de groupes.
Montrer que l'extension de degré fini E : E DF est galoisienne.
3°) On suppose toujours L : AT galoisienne.
Soit {LX,L2,... ,Ln} une famille de corps intermédiaires, n > 2, dans N. On pose
où 1/ est défini par récurrence sur n, à partir du cas n = 2 (Cf. 1°) ).
a) Vérifier que L' est le sous-corps de L engendré par \J\<i<n^i'
b) Prouver que si, quel que soit i, 1 < / < n, L{ : AT est une extension normale, alors
L' : AT est galoisienne.
6. Pour tout corps AT, AT désigne une clôture algébrique de AT^
1°) Soit G := G(Q : Q) et AT := //ii^(G). On a Q Ç AT Ç Q.
On suppose qu'il existe un élément a e AT\Q. Montrer que le polynôme rrr^(a,X)
est alors, nécessairement, de degré 1.
En conclure que l'extension, de degré infini (Rem. 5.11.), Q : Q est galoisienne.
2°) Montrer de même que, pour tout nombre premier /?, l'extension ¥p : Fp, où est
le corps à p éléments, est galoisienne et n'est pas de degré fini (voir Rem. 5.2.).
3°) Vérifier que pour tout corps parfait AT, l'extension AT : K est galoisienne.
7. Soit L : AT une extension de corps de degré infini.
1°) Le but de cette question est de prouver que L : AT est galoisienne si et seulement si
L : K est normale et séparable.
a) On suppose L : AT normale et séparable.
Prouver que K = InvL(G(L : K)) [utiliser la même méthode que dans le 1°) de l'ex. 6.
précédent] ; en conclure que l'extension L : K est galoisienne.
b) On suppose L : K galoisienne. Soit G := G(L : AT).
Etant donné a e L\AT, soit/? = {o(a) ; g e G}.
Montrer que l'ensemble R est fini. On pose R = {ax, o^,..., ar},
où, les af, 1 < i < r, sont deux à deux distincts et ax =a.
Soitg{X) :=(X-ax)(X-a2)...(X-ccr) dansL[X).
Montrer que g(X) e K[X] ; en déduire que IrrK(a,X) = g(X).
En conclure que l'extension L : K est normale et séparable.
2°) Prouver que si L : AT, de degré infini, est galoisienne, alors, quel que soit le corps F
tel que K ÇF CL, l'extension L : F est galoisienne.
8. Etant donné une extension de corps L : AT, on considère l'ensemble J des corps
intermédiaires et l'ensemble 'K des sous-groupes de G(L : K).

140
Chapitre 7. Fondements de la Théorie de Galois
On ne fait aucune hypothèse sur le degré de Vextension L : Af.
Soit (7, /) la correspondance de Galois associée à L : Af.
On dira qu'un corps Fgj (resp. un sous-groupe H g 5C) est fermé si
_ 7/0 y(F) = F (resp. y o y (H) = #).
Soit J (resp. JC) l'ensemble des éléments fermés de J (resp. JC).
1°) Vérifier que _
VF g ^ y(F) g JC et Vtf g JC, /(//) g
2°) On considère les applications
y^â3—>JC y(:JC—► ?
F^y(F) H^->y(H).
a) Prouver que y^, sont des bijections telles que yf1 = y{.
b) Justifier l'assertion : « L : Af est galoisienne, de degré fini, si et seulement si J = 5f
et JC = JÏ. » _
c) On suppose que l'extension L : Af est galoisienne, de degré infini. Prouver que J = 7
(voir l'Ex. 7., 2°)).
3°) Soit p un nombre premier. On considère l'extension galoisienne, de degré infini
¥~p : F, (Cf. Ex. 6., ci-dessus). Soit G := G(F^ • ^P) et a l'application
a) Vérifier que o g G.
b) Soit H le sous-groupe de G engendré par a.
(y, /) désignant la correspondance de Galois associée à l'extension ¥p : ¥p, déterminer
/(ff)etyo/(Jï). _
En considérant un élément a £¥p\¥pGt un automorphisme
t g G(¥p : ¥p(a)), prouver que H ^ G. En déduire que JC 7^ JC.
En conclure, qu'en général, pour une extension galoisienne, de degré infini, la
correspondance de Galois ne définit pas une bijection.
9. Soit un corps Af. Toutes les extensions algébriques de Af seront considérées dans une
clôture algébrique de Af donnée, Af.
1°) Soit L une extension algébrique de Af (on ne fait aucune hypothèse sur le degré de
L : Af).
Démontrer l'équivalence des trois propriétés suivantes :
a) L : Af est une extension normale.
b) Va g G(K : AT), a/L g G(L : Af).
c) G(L : AT) = {o/L ; a g G(K : Af)}.
[Prouver que a) b) c) => a) ; voir la Prop. 7.12]
2°) I étant un ensemble non vide, quelconque, soit <ï> := {fi(X)}ieI une famille de
polynômes séparables de K[X] (Déf. 3.35.).
Soit L l'extension de Af obtenue par l'adjonction de toutes les racines des polynômes
ft(X), / g 7, prises dans AT.
a) Vérifier que L est une extension séparable de Af (Th. 7.19.).
b) Soit a g L ; justifier l'existence d'un corps F tel que
Af ç F CL, a g F, F : AT est galoisienne de degré fini.
En déduire que L est une extension normale de AT.

§ 5. Exercices
141
c) Montrer que les résultats précédents impliquent que, quel que soit le degré de L sur
K, l'extension L : K est galoisienne (dans le cas du degré infini, voir l'Ex. 7., ci-dessus).
10. Cet exercice utilise la notion de groupe opérant sur un ensemble ([12], Ch. 5). On
rappelle qu'un groupe G opère transitivement sur un ensemble X, par
GxX—>X
—>g.x,
si quels que soient jc,y dans X, il existe, au moins, un élément £ E G tel que y — g.x.
Etant donné un corps AT, K désigne une clôture algébrique de K.
Soit f(X) un polynôme unitaire de K[X] tel que deg f = n > 1 ; soit E C K un corps de
décomposition de f(X) sur AT. On suppose que f(X) n'a que des racines simples dans
E ; on les note rx,... ,r„. On pose
R:={rv...,rn} et G := G(E : AT).
1°) Montrer que l'extension E : est galoisienne, de degré fini.
2°) Vérifier que, quel que soit ci E G, oy^ est une permutation de R ; en déduire que
G opère sur /? et que l'on peut identifier G à un sous-groupe du groupe symétrique Sn
([12], Ch. 3), de telle façon que l'on puisse écrire
Va E G, Vî(l<î<n), a(r,)=ra(<).
3°) Démontrer que le polynôme unitaire /(X) est irréductible dans K[X] si et
seulement si le groupe G opère transitivement sur R.
IL Les hypothèses générales et les notations sont celles de l'Ex. 10. précédent et les
résultats de cet Ex. 10. seront supposés connus.
1°) Soit AT := K(XX,... ,Xn) et É := E(XX,... ,Xn) les corps des fractions rationnelles
à n indéterminées, respectivement sur K et E.
a) Montrer que Ë est corps de décomposition de f(X) sur K.
b) Soit G := G(Ë : J?). Prouver que, quel que soit a GG^a = a^E
(restriction de a à E) appartient à G et que l'application
y/:G—>G
est un isomorphisme de groupes ; on pourra alors identifier G h G (sous-groupe du
groupe symétrique Sn).
2°) Sachant que E : K est une extension galoisienne, de degré fini (Ex. 10., ci-dessus),
montrer qu'il en est de même, pour Ë : K.
3°) Etant donné r E 5n, on pose, dans £,
u*:= L rt(i)Xi et U:={uT;reSn}.
\<i<n
a) Vérifier que : ix ^ t^, dans Sn ==> wTl 7^ ut2, dans £
et que G (sous-groupe de Sn) opère sur U, par
Gxf/—>U
(a,mt) 1—► waoT.
Soit £lUx, la G-orbite de wT, dans cette action ([12], Déf. 5.13) :
ÇiUx = {a(wT) = «aoT ; a E G}.

142
Chapitre 7. Fondements de la Théorie de Galois
Prouver que, quel que soit t G Sn, card (£2Mt) = card (G).
Soit HUt le stabilisateur de wT, dans l'action de G sur U ([12], Déf. 5.19). Montrer que
HUx = (e), où e est l'élément unité de G.
Démontrer que Ë = K(uT), quel que soit t € S„.
b) Pour tout t G S„, on pose /?T(X) := Irr^(ux,X).
Prouver que pT(X)=H(X- £ r^X,), dans
oeG l<i<n
4°) On pose <p(X) = (X - aT), dans £[X].
a) Démontrer que <p(X) G K[XV... ,X„,X] = K[X].
b) Prouver que tout diviseur irréductible de <p(X), dans K[X], est de la forme pT(X),
où t G 5„.
c) On note T le groupe des automorphismes de l'anneau des polynômes
K[XX,... ,X„,X], à n +1 indéterminées sur K. On considère l'application
ô:Sn —+r
a i—► o7 := 5(a), tel que
0/* = *to o*(X)=X\ &(Xi)=Xa(0yi(l<i<n).
Démontrer que a G G si et seulement si o' = 5 (a) laisse invariant tout diviseur
irréductible de q>(X) dans K[Xv...,Xn,X].
12. Une extension de corps L : K est dite cyclique , si L : K est galoisienne et G(L : K)
est un groupe cyclique [c-à-d. monogène fini ([12], Ch. 3)].
Question préliminaire : Vérifier que toute extension cyclique est de degré fini.
Pour tout corps AT, on pose K* := K\ {0}.
Soit p un nombre premier et F^ un corps de cardinal q = pr, r G N*.
(Les Th. 7.53 et 7.55 pourront être utiles.)
1°) Pour un entier m > 1, on considère le corps F^« à (f1 éléments.
Montrer que l'extension F^ : F^ est cyclique.
[ Considérer a : F^ —► F^ telle que V a G F^m, a (a) = afl]
2°) A tout a G F^,, on associe sa norme
a) Vérifier que a G F£m N(a) G F* et que l'application
N : F^m —► F* est un morphisme de groupes.
qm-l
b) Démontrer que le sous-groupe KerN de Fîm est d'ordre -
q 9-1
En déduire que, quel que soit l'entier m > 1, tout élément de F* est la norme d'un
élément de FJ».
3°) A tout a G F^m, on associe sa trace
T(a):=Tr^(a).
a) Vérifier que l'application T : F^ —► F^, qui à tout a G F^, associe T(a), est un
morphisme de groupes additifs.
b) Déterminer l'ordre du sous-groupe Ker T de F^,.
En déduire que, quel que soit l'entier m > 1, tout élément de F^ est la trace d'un
élément de F^».
13. On suppose connue la notion d'extension cyclique définie dans l'Ex. 12. précédent.

§ 5. Exercices
143
Soit K un corps de caractéristique p ^ 0. On note ¥p le sous-corps premier de K.
Soit L une extension galoisienne de K telle [L : K] = p.
1°) Justifier les propriétés suivantes (voir les résultats du Ch. 7).
a) L'extension L : K est cyclique ([12], Prop. 3.9).
b) TL:K{x) = 0,VjcG K.
c) a étant un générateur du groupe G(L : AT), il existe m € L tel que
a(u) = w+1, L = K(u) et
IrrK(u,X) est de la forme Xp —X -a.
2°) a) Soitv = att + j3oùaeFj; = Fp\{0}et/î G AT.
Démontrer que L = AT(v) et que le polynôme IrrK(v,X) est de la forme Xp -X - b.
b) On suppose, réciproquement, que v est un élément de L tel que L = K(v).
Prouver qu'il existe a G ¥p et J3 G K tels que y = au + J3.
14. K étant un corps de caractéristique p^O, soit /(X) = Xp — X — c, dans Af [X] et £ un
corps de décomposition de /(X) sur AT.
1°) Vérifier que /(X) n'a que des racines simples dans E.
2°) a) Soit ue E une racine de /(X) ; trouver toutes les racines de /(X), dans E.
b) On suppose que u G E \ K est une racine de /(X). Prouver que
E = K(u), E : K est une extension cyclique et /(X) = lrrK(u,X).
(Cf. Ex. 12. précédent)
c) En conclure qu'un polynôme de AT[X], de la forme Xp — X — c, est soit irréductible,
soit scindé sur K.
15. Soit un corps AT tel que carK = p ^ 0. On considère une extension cyclique (Cf. Ex.
12. précédent) L : K telle que [L : AT] = p5, s > 1 dans N.
1°) Justifier l'existence d'un unique corps F tel que
K C F C L, [F : K] = ps~l et F : K est cyclique.
2°) a) Vérifier que L : F est une extension cyclique.
Montrer que si a est un générateur du groupe G(L : AT), alors t := engendre
G(L:F).
Compte tenu des résultats de l'Ex. 13. précédent, justifier l'existence d'un élément
w G L tel que
t(w) = w+1, L = F(w) et
IrrF(w,X) est de la forme Xp - X - a.
b) On pose pK(X) := IrrK(w,X).
Démontrer que degpK{X) = ; en conclure que L = K(w).
16. Soit p un nombre premier et a G Q*. On suppose que a n'a pas de racine p*7"* dans
Q (voir Ex. S^Ch.6).
1°) Soit a G Q, une racine peme de a et £^ une racine peme primitive de l'unité.
a) Quel est le degré de l'extension Q(a) : Q ?
b) Vérifier que Q(ep, oc) : Q est de degré fini et galoisienne.
c) Prouver que [Q(epj a) : Q] = p(p - 1). En conclure que Xp - a est irréductible sur
Q(e,).
d) On suppose p ^ 2. Soit G := G(Q(£p, a) : Q) ; en choisissant deux éléments a et t
dans deux sous-groupes convenables de G, montrer que le groupe G n* est pas abélien.
2°) Dans Q[X], on considère X4 - a, avec a > 0.
a) Justifier l'existence d'une racine 4*méî de a, a, dans R.
b) Démontrer que si a n'a pas de racine carrée dans Q, alors X4 — a est irréductible sur

144
Chapitre 7. Fondements de la Théorie de Galois
Q(/),où/2 = -ldansC.
Montrer que dans ce cas, le groupe G(Q(i, a) : Q) est non abélien.
17. Soit {/?l5/?2,... ,pk} une famille de nombres premiers distincts, oùkG N*.
Pour tout j (1 < j < k), on note ^pj la racine carrée positive de p - dans R (Cf. App.
A, Th. A.9.). _
Etant donné un entier n > 2, on désigne par £„ une racine ri™6 de l'unité, dans Q. On
pose
r.^Q^,^,^,....^).
1°) a) Vérifier que l'extension T : Q est de degré fini et galoisienne.
b) Démontrer que le groupe G(T : Q) est abélien.
2°) Soit a > 0 dans Q et n > 2 dans N.
a) On suppose qu'il existe un nombre premier impair p tel que p | a. Démontrer que si
a n'a pas de racine p*"1* dans Q, alors a n'a pas de racine peme dans T.
[On supposera qu'il existe a E T tel que ap = a et en considérant G(Q(ep, a) : Q), on
sera conduit à une contradiction (voir Ex. 16. précédent).]
b) En supposant que 4 | n, démontrer que, si a n'a pas de racine carrée dans Q, alors a
n'a pas de racine A*™6 dans T (voir Ex. 16. précédent).
3°) Soit q un nombre premier quelconque. On suppose toujours n > 2.
a) Soit m un diviseur de n tel que 2<m<n.
Montrer, à l'aide des résultats précédents, que q n'a pas de racine mt™6 dans T
[distinguer les cas où m a, ou n'a pas, de diviseur premier impair].
b) On pose S := Q(v/pTî y/Pi, • • •, y/Pl)-
Compte tenu de l'hypothèse m > 2, montrer que q n'a pas de racine meme dans 5.
c) Démontrer, par récurrence sur n, que [S : Q] = 2*.
4°) On suppose n > 2 dans N et n pair.
Pour tout j, l < j <k, yfpj désignant la racine neme positive de p - dans R, on écrira
i
aussi ^p~j sous la forme pn..
On considère l'ensemble
1 r.i 1
où, pour tout j, 1 < j < k, 0 < ry. < ^, dans N.
a) Démontrer que card(Bk) = (^)*.
b) Prouver que Q(^PT, ^p^,..., j/p£) = S(Bk), corps obtenu par l'adjonction à 5, des
éléments de Bk.
c) On pose Fk := T{^p[, j/p^,...,
En considérant le polynôme X? — p£ dans T[X], démontrer que
[Fjt: = \ (v°ir précédent).
En déduire que est une base de Fk sur T.
d) Prouver que, pour tout entier n > 2 et pa/r, on a
[Q(^r,<^,-^):Q]=«k-
5°) Prouver que pour tout entier n > 1, on a
[Q(<^^..-,<^):Q]=**-
18. Soit F„ le Afmé? nombre de Fermât (Rem. 7.41) :
F„ = 22" + l; «GN.

§ 5. Exercices
145
Démontrer, par récurrence sur n, que
V*EN, FH+l=2 + FnFn_x...F0.
En déduire que pour m et n dans N,
m 7^ n => Fm et Fn premiers entre eux.
Montrer que ce résultat implique l'existence d'une infinité de nombres premiers.
19. Construction du pentagone régulier
Soit P5 le pentagone régulier, inscrit dans le cercle trigonométrique du plan affine R2,
identifié au plan complexe.
1°) Justifier les propriétés suivantes :
a) Pour construire (par la règle et le compas) le polygone P5, il suffit de construire,
2% 2%
dans le plan complexe, le point M d'affixe a := cos"^ + isin—.
b) a est une racine du polynôme f(X) de Q[X], où
f(X) = X4 + X3 +X2 +X + 1.
2°) Pour résoudre l'équation f{X) = 0, on pose Y := X -f
2;r >/5-l
Calculer 7, en déduire que ^'"g" = —^—•
3°) On considère un triangle ABC, rectangle en A et tel que les longueurs des côtés
vérifient A5= 1,BC = 2.
Construire, sur l'hypoténuse BC, le point E tel que CE =
a/5-1
En déduire, la construction du point M, du cercle trigonométrique, d'angle polaire
2n
Ox,OM = —.
y
O H
' P x

Chapitre 8
Corps de nombres - Entiers algébriques
La connaissance des propriétés des groupes abéliens libres de type fini ([12], Ch. VIII) est
nécessaire, pour ce chapitre.
1. Notion de corps de nombres
Définition 8.1. On appelle corps de nombres toute extension K de Q, de degré fini.
Remarque 8.2. Soit K un corps de nombres tel que [K : Q] = n > 1.
a) K est algébrique sur Q, d'où Q Ç AT c Q C C.
b) Q est un corps parfait, donc K est séparable sur Q, par suite K : Q est une extension
simple (Th. 3.31) ; supposons
K = Q(a) et pa(X) :=IrrQ(a,X).
Soit £ C Q un corps de décomposition de pa(X) sur Q ; l'extension E : Q est galoisienne,
de degré fini et les hypothèses impliquent
[K:Q]s = [K:Q] = n = degpa(X).
çv (p2,..., çn étant les Q-monomorphismes de K dans Q, lesjéléments a( :=
1 < i<n, sont, les n conjugués (Ch. 2 et Ch. 7) de a dans Q, c'est-à-dire les n racines
distinctes de pa(X) dans E, d'où, en posant (px := id^K,
Exemple 83. 1) Les extensions suivantes sont des corps de nombres :
Q(V5), Q(î), Q(iVS), où i2 = -1 dans C, Q(^2), Q(V5, y/3), Q(j), où j3 = l,j^ 1,
dans C.
2) Pour tout n g N*, la neme extension cyclotomique de Q (Ch.6) est un corps de nombres.
2. Discriminant d'une base d'un corps de nombres
Définition 8.4. Soit K un corps de nombres tel que [K : Q] = n > 1.
Si B := {x{,jc2, ...,xn} est une base de K sur Q et si (px, ç2,..., çn désignent les
Q-monomorphismes de K dans Q, on appelle discriminant de la base B,
l'élément de Q, noté A[xx ,x2,... ,xn] et défini par
A[xvx2,...,xn] := (detiÇiixj)))2. (8.1)
Changement de base
Les notations étant celles de la Déf. 8.4, soit {yvy2, • • • ,y>n} une autre base de K sur Q ;
alors, pour tout j, 1 < j <n,
yj= L ty**>oùtyeQ,Vi,l<i</t; det(c/y.)^0.
\<i<n

148
Chapitre 8. Corps de nombres - Entiers algébriques
Quels que soient l'élément y., 1 < j < n, et le q-monomorphisme (pk, 1 < k < n, de K
dans q, on a
1<k«
d'où, A^,...^] = (det(cl7))2A[^,^2,...,^]. (8.2)
Remarque 8.5. Dans la formule de changement de base (8.2), (detic^))2 est le carré
du déterminant de la matrice de passage de la base {xx,... ,xn} à la base \yx,... ,y„}, d'où
(<te(cy))2>0, dansQ.
Théorème 8.6. Soit K = q(o) w/i c^/ps de nombres; si [K:Q]= n, quelle que soit la
base {xx ,x2, ...,xn} de K sur q,
A[xvx2,...,xn] gq*.
Si tous les conjugués de a sont réels, on a alors A[xx,x2, ...,*„]> 0.
Démonstration. Pour prouver que A[xx,x2, ... ,jc„] g q*, il suffit de montrer (Rem. 8.5)
que le discriminant d'une base particulière de K sur q, appartient à q*.
Les hypothèses K = q(o) et [K : q] = n entraînent que 1, o, o2,..., anl forment une
base de K sur q (Th. 2.8). _
Les <p£-, 1 < i < n, étant les q-monomorphismes de K dans q, posons
A:=A[l,a,a2,...,aw_1] et Vi, 1 <i<n, ot,. := ç>f(a);
alors, A = (det(ç>/(a-,)))2= (det(o/))2, 1 < i < n, 1 < j < n.
= (V(a1,a2,...,a„))2,
où V(ax, o^,..., an) désigne le déterminant de Vandermonde des ar Le calcul de ce
déterminant ([13], Ex. 8., Ch. 8) nous donne
A = (V(ava2,...,an))2= ]J (o^-a/. (8.3)
l<i<j<n
V(ax, ..., o„) est un polynôme à coefficients rationnels, anti-symétrique en ax,..., ofo,
donc A = (V^Oj, 02,..., o„))2 est un polynôme symétrique en les o,, 1 < / < n, qui sont
les racines distinctes de pa(X) — Irr^(a^X). Par suite ([13], Th. 8.14), il existe un
polynôme
0 GQ[X1,X2,...,X„] tel que A = (j>(svsv...,sn),
où les 1 < k < n, sont les polynômes symétriques élémentaires en ax,...,an ([13],
p.250). Supposons
/?a(X) = Xn + an_xXn~l + • • • +axX + a0, </ou q[X],
alors les Relations entre les Coefficients et les Racines d'un polynôme ([13], p.259)
donnent, avec an = l,
S\ = ~an-V S2 = an-2' = ("!)\-^ •••>*«= (-1)^0-
On en déduit que A g q et d'après l'égalité (8.3), A est non nul, car les o, sont deux à
deux distincts. De plus, si tous les o,-, 1 < / < n, sont réels, alors la relation (8.3) implique
A>0. □

§ 3. Entiers algébriques
149
Remarque 8.7. Les notations étant celles de la preuve du Th. 8.6, l'égalité (8.3) montre
que le discriminant À de la base {1, a, a2,..., a"-1} de K sur Q n'est autre que le
discriminant des af, 1 < i < n, tel qu'il a été défini dans "Eléments de Théorie des anneaux"
([13], p.250), ce qui, moyennant la formule du changement de base (8.2), justifie
l'appellation « discriminant » utilisée dans la Déf. 8.4..
De plus, si l'on introduit la notion de discriminant d'un polynôme ([13], Déf. 8.50), alors,
à partir du résultat ([13], Prop. 8.55) et de la relation (8.3) ci-dessus, on obtient
A(l,a,^...,on) = (-l)2È^A(pa),
où A(pa) = ^(PaiPa) : résultant de pa et de son polynôme dérivé pra.
3. Entiers algébriques
Définition 8.8. Un élément a G Q est un entier algébrique s'il est racine d'un polynôme
unitaire de Z[X].
Notations et Rappels.— Soit A l'ensemble des entiers algébriques, on a
_ ZcAcQcC.
A tout a € Q, on associe le morphisme d'anneaux unitaires
Xa : Z[X] —y Q
On pose Z[a] :=ImXa = {f(a) ; f(X) G Z[X]}.
On rappelle que la structure de groupe (additif) abélien coïncide avec la structure de Z-
module ([12], p.269). En particulier, un groupe (additif) abélien de type fini est un Z-
module de type fini.
Remarque 8.9. Z[a] est un sous-anneau de Q, donc aussi de C
En particulier, (Z[a],+) est un sous-groupe du groupe abélien (Q,+) et, plus
précisément, c'est le sous-Z-module de (Q, +) engendré par les a'", i G N (Cf. [12], Ch. VIII).
Théorème 8.10. Compte tenu des notations définies précédemment, pour tout a G Q, les
conditions suivantes sont équivalentes
1) a G A
2) Le groupe abélien (Z[a], +) est de type fini
3) Il existe un sous-anneau B de contenant Z et a, qui est un groupe abélien de type
fini.
Démonstration. 1) 2) Montrons que pour tout a G .A, le groupe abélien (Z[a], -f-)
est engendré par un nombre fini d'éléments ([12], Ch. VIII).
D'après la définition 8.8., a G A si et seulement s'il existe un nombre fini d'entiers,
c0, c{,..., cn_ j, non tous nuls dans Z, tels que
ocn 4-cn_xan~l 4- • • • + cxa + c0 = 0. (8.4)
On peut supposer que pour a fixé, le nombre n est minimal, donc, pour a non nul, on a
c0^0.
(8.4)=^a" = -(cw_1a"-1+..-+c1a + c0).

150
Chapitre 8. Corps de nombres - Entiers algébriques
Par suite, an appartient au sous-groupe de (C,+) engendré par les a1, 0 < i < n - 1,
que l'on notera T. On en déduit que, d'une part, T Ç Z[a] (Rem. 8.9.) et d'autre part,
pour tout j G N, an+l G T, donc tout élément f(a) E Z[a] appartient à T, ce qui entraîne
Z[a] = T ; ainsi le groupe abélien (Z[a], +) est de type fini, engendré par 1, a,..., an~1.
2) 3) Il suffit de prendre B = Z[a].
3) => 1) Soit ... une partie génératrice finie du groupe abélien B ; on a
B = Zxx H h Zx* et 5 étant un sous-anneau de Q C C,
a GB ==> axt G B, Vi, 1 < i < az, d'où,
Vi,l <i</i, £ fl^., oùfly€Z, Vi,j.
Par suite, (jcj ,... , jt„) est une solution du système homogène, que nous désignerons par
(S), de n équations linéaires sur Z C Q, et n inconnues, dont la ieme équation est
£ (8ija-aij)XJ = 0,
l<j<n
où S(j est le symbole de Kronecker (5^. = 0 si i ^ y, et ô£l = 1).
Compte tenu des hypothèses, on peut supposer que les jc,, 1 < i < n, sont non nuls, par
suite, le déterminant du système homogène (S) est nul, donc,
rf«(«va-ûv)=P(a)=0,
où (—1)"P(X) est le polynôme caractéristique de la matrice
A=z(au)nxm dansMw(Z).
Le terme de plus haut degré du polynôme P(X) étant X", on en déduit que a est racine
du polynôme unitaire P(X) G Z[X], donc a G A (Déf. 8.8). □
Théorème 8.11. L'ensemble A des entiers algébriques est un sous-anneau unitaire de Q.
Démonstration. On a Z C A ; vérifions, d'autre part, que, quels que soient a et j3 dans
A, a -h jS et a j3 sont dans A Considérons
Z[«,fl := {/(«,« ; A*,Y) € Z[X\r]}.
Z[a,j8] est un sous-anneau de Q; montrons que Z[a,j3] est un Z-module de type fini.
Supposons que l'on ait, pour a et /?,
a" + <ViaW-1 + • • • + = 0, cf. G Z, Vi, 0 < i < /i- 1 ;
jS' + ^.^-^-.+d^+^^O^^G^V^O^^m-l.
On en déduit que, quel que soit /(a, j3) G Z[a,/J],
/(«,£) = £flya^, 0 < i < n - 1, 0 < y < m - 1, ay G Z, Vi,;.
Par suite, le Z-module Z[a, j3] est engendré par les éléments a1/?-7, où 0 < i < m - 1 et
0 < j < m - 1, donc il est de type fini. Posons B := Z[a, J3] ; alors, l'équivalence des
conditions 1) et 3) du Th. 8.10, implique que a + /3 et aj3 appartiennent à .A ; on en
conclut que A est un sous-anneau unitaire de Q. □
Définition 8.12. L'anneau A (Cf. Th. 8.11) est appelé anneau des entiers algébriques.
Théorème 8.13. Un élément a G Q est un entier algébrique si et seulement si le polynôme
/#t0(a,X)GZ[X].

§ 3. Entiers algébriques
151
Démonstration. Posons pa(X) := /rr^a.X).
Si pa(X) £ Z[X], alors a G A, car Pa(X) est unitaire.
Réciproquement, supposons a G A ; il existe alors un polynôme /(X), unitaire dans Z[X],
tel que /(a) =0.
On suppose que /(X) est, dans Z[X], un polynôme de plus petit degré, annulé par a.
(f(X) G Z[X] c Q[X]) pa(X) | /(X), dans Q[X] ==> degpa < degf.
Dans Q[X], on peut écrire ([13], Lem. 5.106) pa(X) = où | G Q* et
g(X) est primitif dans Z[X] ([13], Déf. 5.102) ; alors, compte tenu de la minimalité du
degré de /(X),
(bpa(X) G Z[X] et bpa(a) = 0) ==> < degpa,
d'où deg/?a = degf. Par suite, dans Q[X],
pa(X) | /(X) =» /(X) = kpa(X), OÙ À G Q*.
Les polynômes /(X) et pa(X) étant unitaires, on a À = 1, donc pa(X) eZ[X]. □
Corollaire8.14. AnQ = Z.
Démonstration. On a Z Ç A H Q et d'après le Th. 8.13,
a £Af]Q=> pa(X) = X-cc a G Z,
d'où le résultat énoncé. □
Corollaire 8.15. Soit aeA.
1 ) Tout conjugué de a appartient à A.
2) N(a):=Nma):Q(a)€Z et T(a) := rQ(a):Q(a) G Z.
Démonstration. Le résultat 1) découle directement du Th. 8.13, puisque les conjugués de
a sont, par définition, les racines de pa(X).
2) N(a) et T(cc) sont, respectivement, le produit et la somme des conjugués de a, donc
des racines de pa(X) e Z[X] (Th. 8.13) ; par suite, les Relations entre les Coefficients et
les Racines d'un polynôme ([13], p.259) impliquent les résultats énoncés. □
Théorème 8.16. Soit a G Q; s'il existe un polynôme unitaire /(X), dans A[X], tel que
f(a) = 0, alors aeA.
Démonstration. On suppose qu'il existe, dans A, un nombre fini d'éléments
c0, c{,..., cn_ j, non tous nuls, tels que
an + cn_ ! an~1 + • • • + cx a + c0 = 0. (8.5)
Si a ^ 0 et si l'entier n est minimal, alors on a c0 ^ 0.
Chaque ci étant un entier algébrique, pour tout i, 0 < i < n - 1, il existe un nombre fini
d'entiers, di0ldiV...,dim_l, non tous nuls dans Z, tels que
Pour tout c( 0, on suppose l'entier mi minimal ; d'où di 0 ^ 0. Posons
B: = Z[c0l...,cB_,]
= {/(c0, ■ • • ,c„_!) ; .. ,Xn) e Z[X1;... ,Xn}}.

152
Chapitre 8. Corps de nombres - Entiers algébriques
B est un sous-anneau unitaire de A et la relation (8.5) implique que an appartient au
sous-B-module de q engendré par 1, a, a2,..., an~l, que nous désignons par M.
Comme dans la preuve du Th. 8.10, on en déduit que toute puissance entière positive de
a appartient à af, ce qui entraîne,
M = B[cc] = {g(a)',g(X)£B[X}}, d'où
0 e af <=> 0 = £ //(co,...,^)**'.
0</<n-l
VZ, 0 < / < n - 1, /z(c0,.. .,cn_x) = J>; c**c*4 ... ,
j
°ù 7 = Uo'Jv • • -->Jn-\) ^ ^es aj ^tant Presque tous nuls dans z.
Le groupe (additif) abélien (af, -f ) est donc engendré par les
*/ *; */ /
pour lesquels, 0 < / < n- 1 et Vi, 0 < i < n- 1, 0 < jfc, < m,- 1 (Cf. Rel. (8.6)).
En conclusion, M = z[c0,... ,cM_1][a] est un sous-anneau unitaire de q, contenant z et
a, et c'est un groupe additif abélien de type fini ; donc a e A (Th. 8.10). □
Proposition 8.17. 1) Etant donné y e q, il existe c e z* te/ çwe cy e a.
2) q est le corps des fractions de A.
Démonstration. 1) On suppose y ^ 0; y est algébrique sur q ; posons, dans Q[X],
py(X):=/rrQ(y,X)=Xr+ £
0<kr-l
Quel que soit i, 0 < i < r — 1, on a {a^b^ e z x z* et a0 7^ 0, car /?r(X) est irréductible
surQ.
Soit c le p.p.c.m. positif des 0 < 1 < r — 1, dans z ; pour tout 1, il existe s( e z* tel que
c =
exposons, quel que soit /, 0 < i < r - 1, a\ := ap^ alors
pr(7) = 0^f + £ 4yf = 0.
0<i<r-l c
0<kr-l
Par suite, l'élément cy de q est racine d'un polynôme unitaire de z[X], donc cy e .a.
2) Notons FrA le corps des fractions de A.
zcacq=>qc FrA ç q.
Soit y e q ; on suppose y ^ 0. D'après la propriété 1), ci-dessus, il existe c e z* tel que
cy e A ; alors
I £FrA=> -cy=yeFrA;
_ c c
d'où, FrA = Q. □

§ 4. Entiers algébriques d'un corps de nombres
153
4. Entiers algébriques d'un corps de nombres
A. Anneau des entiers algébriques d'un corps de nombres
Définition 8.18. Soit K un corps de nombres (Déf. 8.1) ; A étant l'anneau des entiers
algébriques, l'anneau
D :=KC\A.
est appelé anneau des entiers algébriques du corps K.
Si aucune ambiguïté n'est possible, T> pourra être simplement appelé l'anneau des entiers
de AT.
Remarque 8.19, L'anneau D, sous-anneau du corps K, est un domaine d'intégrité ([13],
Déf. 1.21) et
(ZcQcAT et ZcA) => Z C D.
Théorème 8.20. Si K est un corps de nombres, alors il existe un entier algébrique 0 tel
K = Q{0).
Démonstration. On sait (Rem. 8.2) qu'il existe a g q tel que K = Q(a).
Du 1) de la Prop. 8.17, on déduit qu'il existe c e Z* tel que
ca e AnK = D.
Montrons que Q(ca) = Q(a) = K.
c e Z* cae Q(a) => Q(ccc) ç Q(a);
a = -cae Q(ca) ==> Q(a) ç Q(ca),
c
d'où, en posant 0 := ca, K = Q(a) = Q(0), avec 0gD. □
Définition 8.21. On appelle corps quadratique (ou extension quadratique de Q) tout
corps de nombres, de degré 2 sur Q.
Proposition 8.22. Tout corps quadratique AT, est tel que K = Q(Vd), où d e Z* \ {1} et
d n 'est pas divisible par un carré (^ 1 ) dans Z.
Si d > 1, \fd désigne la racine carrée réelle, positive, de d.
Sid< -1, Vd := iy/\d~\, où i2 = -1, dans C.
Démonstration. K est un corps de nombres, donc, d'après le Th. 8.20, il existe un entier
algébrique 6 tel que K = Q(0).
Soit pe(X) := /rrQ(0,X) ; par hypothèse, [JST : Q] = 2, d'où (Th. 8.13),
pe(X) =X2 + aX + b, où a et è sont dans Z ;
alors 0 = a^ 2 °^ ^2 — 4è a la signification précisée dans l'énoncé.
Le polynôme pd (X) étant irréductible sur Q, on a A := a2 — 4b ^ 0 et A n'est pas un carré
dans Z.
La factorisation dans Z entraîne qu'il existe m et d dans Z* tels que A := a2 — 4b = m2d,
où d e Z* \ {1} est non divisible par un carré. Par suite, compte tenu de la signification
du symbole \fd donnée dans l'énoncé,
—a±my/d
° = 2 ;
d'où l'on déduit K = Q(0) = Q(Vd). □

154
Chapitre 8. Corps de nombres - Entiers algébriques
B. Bases entières d'un corps de nombres
Remarque 8,23. Pour tout corps de nombres AT, il existe une base de K sur Q formée
d'éléments de T> = K D A.
En effet, si [K : Q] = n et si {yx,..., yn} est une base quelconque de K sur Q, alors, d'après
le 1) de la Prop. 8.17, quel que soit i, 1 < i < n, il existe ct G Z* tel que ciyi G D.
{c^,...,c^y,,} est alors une base de K sur Q, formée d'éléments de D.
Lemme 8.24. Soit K un corps de nombres et T> = A D K.
Si {01,..., 0„} est une base de K sur Q telle que, quel que soit i, 1 < i < n, 0i G D, alors
A[e1,...,e„]GZ*.
Démonstration. La Rem. 8.23 justifie l'existence d'une base de K sur Q, vérifiant les
hypothèses du lemme. Avec les notations de la Déf. 8.4, on a
A[e1,...,^] = (^(9/(flJ)))2GQ\
j étant fixé (1 < j < n), pour 1 < i < n, les çé{0j) sont les conjugués de 9j, par suite
(Cor. 8.15 et 8.14),
(Oj €V = AHK) => Çi(Oj) G A,
d'où A[el5...,ew]G.AnQ* = z*.
□
Théorème 8.25. Si K est un corps de nombres et V est l'anneau des entiers de AT, alors
(D, +) est un groupe abélien libre de rang fini n := [K : Q] ([12], Déf. 8.10).
Démonstration. D'après le Lem. 8.24, si tous les éléments d'une base de AT sur Q sont
des éléments de l'anneau D, alors le discriminant de cette base est un entier non nul dans
Posons n := [K : Q] et considérons une base {col,..., (ùn\ de K sur Q telle que, quel que
soit i, 1 < i < n, œi G D, et
| A[cov..., (On] | minimal dans N*. (8.7)
Démontrons que tout élément 0 G D s'écrit, de façon unique,
0= £ n,©., /!,eZ,Vi, 1 </</!. (8.8)
i</<«
S'il n'en était pas ainsi, il existerait 0 G D tel que
0 = Li<i<n^ <*i e Q, Vi, 1 < i < n,
les tf£ n'étant pas tous dans Z.
Supposons a j ^ Z ; il existe a G Z et r G Q tels que
a^a-hr et 0<r<l.
Posons 9l = 0-acol et 0, = Vi(2 < i < n).
{0v...,Qn} est encore une base de AT, sur Q, dont tous les éléments sont dans D. Le
déterminant de la matrice de passage de la base {(Ox,..., û^} à la base {01,..., 0n} est
ax — a a2 fl3
0
0
1 0
0 1
an
0
0
0 0 0 1
= a, —a = r.

§ 4. Entiers algébriques d'un corps de nombres
155
La relation de changement de base (8.2) et la condition 0 < r < 1 impliquent alors
| A^,...,^] \=r1\A[(ùv...,(ùn] \ <\ A[û)l5...,û^] |,
d'où une contradiction avec l'hypothèse (8.7).
La condition (8.8) exprime alors que {û)1?..., Cùn} est une base du groupe abélien (î>, +),
qui est donc libre, de rang n ([12], Th. 8.18). □
Définition 8.26. K étant un corps de nombres, une base {cox,..., û^} de K sur Q, formée
d'éléments coi E T> et qui, de plus, est une base du groupe abélien libre (D, 4-), est appelée
une base entière de K.
Remarque 8.27, Toute base du groupe abélien (ou Z-module) libre, (D, 4-), est une base
de K sur Q.
En effet, supposons n = [K : Q] ; si {cox,..., con} est une base de (D, +), alors les œi sont
linéairement indépendants sur Z, donc sur Q ; ainsi {œv..., (un) est une base de K sur Q.
Par contre, une base de Af, sur Q, formée d'éléments de D, n'est pas nécessairement une
base entière de AT.
Par exemple, si K = Q(\/5), alors {1, y/5} est une base de K sur Q, où 1 et y/5 sont des
entiers de K. Cependant {1, y/5} n'est pas une base entière de AT, puisque ce n'est pas une
base du Z-module (D, -h), car on a (Ex. 2., Ch. 8)
V^Z[y/5] :={a + bV5; a,fcdansZ}.
En effet, - 4- -V5 est racine du polynôme X2 — X — 1, donc est un élément de D, qui
n'appartient pas à Z[y/5].
La proposition suivante montrera que {1,-4- ^V^} est une base entière de AT.
Proposition 8.28. AT étant un corps de nombres, si {6V..., 6n} est une base de K sur Q
telle que, pour tout i, 1 < i < n, 6i € T> et si, de plus, A[6X,..., 0n] n'est pas divisible par
un carré ( > 1) dans Z, alors {6X,..., 6n} est une base entière de AT (mais la réciproque
est fausse).
Démonstration. Considérons une base entière {j3l5...,j3n} de AT. Par hypothèse, pour
tout i, 1 < i < ai, 0i g D, donc
°i= L CtjPjtOiiCijZZiViJ et det(cy)^0.
La formule du changement de base (8.2) donne alors,
A[9v...,8n] = (det(cIJ))2A\pv...,Pn].
Or, A[6X,..., 0n] €Z* (Lem. 8.24.) et n'est pas divisible par un carré ( > 1), donc
{det{Cij)f=\.
Ainsi, le déterminant de la matrice de passage de la base {px,..., jS„} à la base { 6X,..., 0n}
est égal à ±1.
On en conclut que {0X,..., 6n} est, comme {px,..., j3„}, une base du groupe abélien libre
(D, -h) ([12], p.298), donc une base entière de AT. □
Exemple 8.29. Montrons que B := {1, i 4- ^\/5} est une base entière de AT = Q(y/5)
(Cf. Rem 8.27). B est une base de AT sur Q, dont les éléments sont des entiers de AT (Rem.
8.27) et

156
Chapitre 8. Corps de nombres - Entiers algébriques
D'après la Prop. 8.28, B est une base entière de K = Q(y/5).
Théorème 8.30. Soit K un corps de nombres et D l'anneau des entiers algébriques de K.
1) K est le corps des fractions du domaine d'intégrité D.
2) D est noethérien.
3) Tout idéal premier, non nul, de D est maximal.
Démonstration. Soit n := [K : Q] > 1.
1) D est un D.I. (Rem. 8.19) ; soit Kf := FrV son corps de fractions ([13], Déf. 5.2).
ZCV=>QÇK'ÇK,
car K! est le plus petit corps contenant D ([13], Rem. 5.8)
Mais, d'après le Th. 8.20, il existe 0 G D tel que K = Q(0) ; on a alors
K = Q(0) Ç K', par suite, K' = K ; donc K = FrV.
2) Soit / un idéal non nul de D.
(7, +) est un sous-groupe de (D, + ), donc (7, -h) est un groupe abélien libre de rang fini
m < n [(Th. 8.25) et ([12], Th. 8.54)].
Soit {jc1?...,xm} une Z-base de 7; alors, 7 est l'idéal (xl,...,xm) de D, engendré les
xt, \ <i<m; ainsi, tout idéal de D est de type fini, donc D est un anneau noethérien.
3) Soit P un idéal premier ([13], Déf. 2.50) non nul, de D.
On vérifie alors, que P H Z est un idéal premier, non nul de Z, d'où P n Z = pZ, où p est
un nombre premier. Par suite,
Z/P H Z = Z/pZ est le corps fini de cardinal p.
Notons 5 l'injection canonique de Z dans î> et considérons les surjections canoniques
a:Z—>Z/PDZ et t:D—>D/P.
On a Ker(xo 8) = PP\Z et 5 injectif, donc il existe un morphisme injectif 8 de
Z/P fïZ dans D/P tel que le diagramme suivant commute ([13], Lem. 2.37, Rem. 2.38)
Z >- T>
Z/PHZ »V/P
donc ro5 = ôocr.
On en déduit que D/P contient un sous-corps isomorphe à Z/pZ ; on peut alors considérer
D/P comme un Zj/?Z-espace vectoriel.
T> étant un Z-module de type fini (Th. 8.25), D/P est un espace vectoriel de dimension
finie sur Z/pZ. Or, Z/pZ est un corps fini, par suite, D/P est de cardinal fini.
Il en résulte que D/P est un D.I. fini, donc un corps ([13], Prop. 1.24) ; on en déduit que
P est un idéal maximal de D ([13], Th. 2.62). □
Les propriétés de l'anneau des entiers algébriques d'un corps de nombres nous amènent
à introduire, dans le paragraphe suivant, les notions d'anneau intégralement clos et
d'anneau de Dedekind ([42]).
5. Anneaux intégralement clos - Anneaux de Dedekind
A. Généralisation de la notion d'entiers algébriques
On écrira couramment que A est un D.I. (resp. D.P.) pour exprimer que A est un domaine
d'intégrité (resp. domaine principal) ([13], Ch. 5) ; on notera alors FrA le corps des frac-

§ 5. Anneaux intégralement clos - Anneaux de Dedekind
157
tions de A ([13], Déf. 5.2).
Définition 8.31. Soit R un anneau unitaire commutatif ; si A est un sous-anneau unitaire
de /?, un élément a g R est dit entier sur A s'il existe un polynôme unitaire, non constant
/(X)gA[X] telque /(a)=0.
L'anneau R sera dit entier sur A, si tout élément de R est entier sur A.
Les hypothèses de la Déf. 8.31, impliquent que A[a] = {/(a) ; /(X) € A[X]} est un
sous-anneau de R.
Proposition 8.32. Dans le contexte de la Def. 8.31,
1) Les trois conditions suivantes sont équivalentes,
- i) L élément a de R est entier sur A.
- iï) Le groupe abélien (A [a], +) est de type fini.
- iii) Il existe un sous-anneau B de R, contenant A et a, tel que le groupe (B,+) est de
type fini.
2) L'ensemble, noté A', des éléments de R, entiers sur A, est un sous-anneau de /?, appelle
fermeture intégrale de A dans R.
Même démonstration que pour les Th. 8.10 et 8.11.
B. Anneaux intégralement clos
Définition 8.33. Soit A un D.I. et K := FrA.
a) L'anneau A! des entiers de K sur A (c'est-à-dire la fermeture intégrale de A dans FrA)
est appelé la clôture intégrale de A dans K.
b) Si A = A', on dit que A est un anneau intégralement clos.
Exemple 8.34. L'anneau Z est intégralement clos, car la clôture intégrale de Z dans Q
estAnQ = Z(Cor. 8.14).
Théorème 8.35. Si K est un corps de nombres (Déf. 8.1), alors l'anneau T> = A DAT est
intégralement clos.
Démonstration. D, sous-anneau du corps AT, est un D.I. et K est le corps des fractions de
D (Th. 8.30).
Vérifions que tout élément a de AT, entier sur D, appartient à T>.
En effet, a £ K implique a g Q et si a est entier sur 2), il existe alors, un polynôme
unitaire /(X) g D[X] tel que f{a) = 0. Or, D = An AT, par suite,
/(X) g A[X], donc a eA (Th. 8.16), d'où a g ADK = T>. □
Proposition 836. Tout anneau factoriel est intégralement clos.
Démonstration. Soit A un anneau factoriel; A est donc un D.I. ([13], Déf. 7.87). Soit
K := FrA et A' la clôture intégrale de A dans K (Déf. 8.33). Etant donné a£A'\A, il
existe, dans A, des éléments non tous nuls c,, (1 < i < n — 1), n g N*,
tels que
an + cn_ x an~1 + • -f q a + c0 = 0. (8.9)
cc£A'\A a = ^, (a,b) g A x A*, b <£UA, a Ab = 1
alors (8.9) ^ an+ b{cn_xan-1 + •• + c1a6"_2-fc0bn~l) =0.
On en déduit que b \ an dans l'anneau factoriel A, ce qui contredit les hypothèses a a b = 1
etè ^ UA, donc a g A.
La réciproque de ce théorème est fausse (Ex. 4., Ch. 8). □

158
Chapitre 8. Corps de nombres - Entiers algébriques
Corollaire 8.37. Tout domaine principal, donc tout anneau euclidien, est intégralement
clos.
Démonstration. Cette propriété résulte directement de la Prop. 8.36, puisque tout anneau
euclidien est un D.P. et tout D.P. est anneau factoriel ([13], Ch. 5). □
C. Anneaux de Dedekind
Définition 8.38. On dit qu'un domaine d'intégrité A est un anneau de Dedekind , si
1) A est noethérien et intégralement clos.
ii) Tout idéal premier non nul de A est maximal.
Exemple 8.39. 1) Z est un anneau de Dedekind.
En effet, Z est un D.I. noethérien (car principal, [13], p.54) dans lequel tout idéal premier
non nul est maximal ([13], Th. 2.66). De plus Z est intégralement clos (Exemple 8.34.)
2) L'anneau D des entiers d'un corps de nombres K, est un anneau de Dedekind (Th. 8.30
et 8.35).
Remarque 8.40. a) La condition « tout idéal premier non nul est maximal » est vraie
dans tout D.P. ([13], Th. 2.66), mais il existe des anneaux de Dedekind non principaux,
car non factoriels (Ex. 4., Ch. 8).
b) La condition ii) de la Déf. 8.38 montre qu'un corps n'est pas un anneau de Dedekind.
D. Idéaux fractionnaires d'un D.I.
1/ Monoïde des idéaux d'un D.I.
Définition 8.41. On appelle monoïde, tout ensemble muni d'une loi de composition
interne associative, pour laquelle il existe un élément neutre ([12], Déf. 1.1).
Si, de plus, la loi de composition est commutative, alors le monoïde est dit commutatif.
On rappelle ([13], Prop. 2.20) que, l'ensemble 3 des idéaux d'un anneau unitaire,
commutatif, est muni d'un produit, tel que
V(IVI2) G J x IXI2 = { £ Xixi2 ; xh G Iv xh £ I2}.
finie
Le produit des idéaux d'un anneau unitaire, commutatif A est associatif et commutatif
([13], Déf. 2.19, Prop. 2.22, Rem. 2.23) ; de plus, pour tout idéal / de A, on a
IA=AI = I.
On en conclut que l'ensemble des idéaux d'un anneau unitaire, commutatif, muni du
produit des idéaux, est un monoïde commutatif.
Lemme 8.42. Tout idéal propre, non nul d'un D.I. noethérien A (qui n'est pas un corps)
contient un produit d'idéaux premiers non nuls de A.
Démonstration. En vue d'un raisonnement par l'absurde, on suppose que la famille T
des idéaux propres, non nuls de A, ne contenant pas un produit d'idéaux premiers non
nuls, est non vide ; ceci implique, en particulier, qu'un idéal quelconque /El n'est pas
premier.
L'anneau A est noethérien, donc la famille T, ordonnée par l'inclusion, contient un
élément maximal, I0 ([13], Déf. 2.79).
L'idéal 70 n'est pas premier, par suite, il existe x,y dans A \ 70, tels que xy £ 70.

§ 5. Anneaux intégralement clos - Anneaux de Dedekind
159
/0 étant maximal dans T, les idéaux Ax 4- 70 et Ay -h 70 n'appartiennent pas à la famille T ;
par suite, chacun d'eux contient un produit d'idéaux premiers non nuls, soit :
PlP2...PrÇAx+I0, QXQ2 ...&ÇAy + 70.
xy G 70 =» (Ax + I0)(Ay + I0) ÇI0=> PXP2.. .PrQxQ2. •. Qs Q 70,
ce qui est en contradiction avec la condition 70 G T, d'où le lemme. □
21 Monoïde des idéaux fractionnaires d'un D.I.
Définition 8.43. Soit A un D.I. et K := FrA. On appelle idéal fractionnaire de A, tout
sous-A-module / de AT, tel qu'il existe c G A* = A \ {0} vérifiant J Çc~lA.
Remarque 8.44, a) Dans les conditions de la Déf. 8.43,
JCc'lA <==> cJÇA,
ce que l'on peut exprimer, en disant que les éléments de l'idéal fractionnaire J ÇK ont
un dénominateur commun, c.
I := cJ est alors un idéal de A.
b) Tout idéal de A est un idéal fractionnaire de A.
c) Pour un idéal fractionnaire / de A, l'élément ce A* vérifiant
cJ Ç A, n'est pas unique, car
cJCA=>acJÇA,Va£A*.
Exemple 8,45. Les idéaux fractionnaires de l'anneau Z sont les qZ, pour q G Q.
0 désignant l'ensemble des idéaux d'un domaine d'intégrité A, on notera J l'ensemble
des idéaux fractionnaires de A. On a J Ç y.
Pour Jx, J2 dans y, il existe cx, c2 dans A* et Ix, 72 dans 3 tels que
«7^ — c x Ix et J2 — c2 I2.
On définit alors le produit des idéaux fractionnaires JVJ2, par
J\^2 :== (c1c2) ^1^2'
On vérifie facilement que, relativement à ce produit, l'ensemble 5F est muni d'une sfrac-
ture de monoïde commutatif induite par celle de l'ensemble J (voir par. L).
Proposition 8.46. Soit A un D.I. et K := FrA.
1) Tout sous-A-module de type fini de K est un idéal fractionnaire de A.
2) Si A est noethérien, alors, tout idéal fractionnaire de A est un sous-A-module de type
fini de K.
Démonstration. 1) Soit J un sous-A-module de type fini de K et {xx,...,xn} une partie
génératrice finie de J ; alors, J = ]T Axr
\<i<n
Vî(l <i</i), = EAx^^Ai^l.
c:= ]^[ fc.^c^Oetcjc,. GA,V/(1 <i</i),
=^c^0etc/ÇA,
donc / est un idéal fractionnaire de A. On a c/ = 7, où 7 est l'idéal de type fini de A,
engendré par les jc^ := cxt, 1 < i < n.

160
Chapitre 8, Corps de nombres - Entiers algébriques
2) On suppose A noethérien. Soit J un idéal fractionnaire de A ; montrons que J est un
sous-A-module de type fini de K.
En effet, il existe c GA* tel que / Ç c~lA ; c~lA est un sous-A-module de Af, isomorphe
à A, donc de type fini, par suite c~lA est un A-module noethérien ([13], Cor. 3.80), ce qui
entraîne que /, sous-A-module de c-1A, est de type fini ([13], Th. 3.76). □
E. Idéaux fractionnaires d'un anneau de Dedekind
Dans tout ce paragraphe, on désigne par Z), un anneau de Dedekind et Af := FrD.
Les lemmes suivants ont pour but la preuve des Th. 8.50 et 8.51
Etant donné un idéal 7 de Z), on pose
If = {a gK\ al CD}. (8.10)
On remarque que pour des idéaux Ix, 72 de D,
Ii(zi2=>i'2<zi[. (8.11)
Lemme 8.47. à) Pour tout idéal I de D, V est un idéal fractionnaire de D tel que
DÇl1 et II' est un idéal de D.
b) Si I est un idéal propre, non nul de D, alors D Ç V.
Démonstration. Le cas I = (0) est trivial, on suppose 7 ^ (0).
a) On vérifie que 7', défini par la Rel. (8.10), est un sous-D-module de AT, contenant D.
D'autre part, pour tout c ^ 0, dans 7, on a cl' Ç D, donc I' est un idéal fractionnaire de D
tel que 77' CD et 77' est un idéal de D.
b) On suppose 7 non nul ctï^D. Il existe alors un idéal maximal M de D, contenant
7 ([13], Cor. 2.71). Soit M', l'idéal fractionnaire de D associé à l'idéal M (Rel. 8.10).
D'après le résultat a) et la Rel. (8.11), on a
IÇM=>DÇM' ci'.
Pour prouver que V ■=£ D, il suffit de montrer, que pour l'idéal maximal M, on a M'^ D.
Soit a^O, dans M; d'après le Lem. 8.42., l'idéal principal (a) contient un produit
d'idéaux premiers, non nuls, P^ 1 < / < r de D :
PxP2...PrÇ (a) CM. (8.12)
Or, l'idéal maximal M est premier ([13], Cor. 2.64), par suite ([13], Prop. 2.55),
PjP2...PrÇM=^]/(l <i<r) tel que Pt Ç M.
Moyennant, éventuellement, une permutation des indices i, on peut supposer Px Ç M.
Dans l'anneau de Dedekind D, tout idéal premier non nul est maximal (Déf. 8.38), donc
P1 ç M => Px = M.
D'autre part, si l'on suppose que, dans la relation (8.12), l'entier r > 1 est minimal, c'est-
à-dire que tout produit d'idéaux premiers, non nuls, inclus dans (a), comporte au moins r
facteurs, alors on a
MP2...PrÇ(a) et P2...Pr<£(a).
On en déduit qu'il existe b G D, tel que
bGP2...Pr et b£(a).
bM C (a) = aD=ï a~lbM ÇZ)=> a~lb G M;.
Mais, bgaD=^a-lb<jÉD, d'où W^D.
□

§ 5. Anneaux intégralement clos - Anneaux de Dedekind
161
Lemme 8.48. Soit I est un idéal non nul de D etT une partie non vide de K, alors
TIÇI=>TÇD.
Démonstration. L'anneau de Dedekind D est noethérien (Déf. 8.38), par suite,
l'idéal I ^ (0) est de type fini ; supposons
/=(jc1}jc2,...,jc«), avec, Vi(l < i < n), xt ^ 0dans D.
Soit a € 7, l'hypothèse implique al Ç7 ; alors, pour i, 1 < i < n, il existe des éléments
bij GDÇK, \ <j<n, tels que
I buxr (8-13>
l<j<n
Ainsi, {xv...,xn} est une solution du système homogène de n équations linéaires sur
DÇK,hn inconnues, dont la ieme équation est
£ (8ija-bij)Xj = 0.
\<j<n
On en déduit (par un raisonnement déjà utilisé dans la preuve du Th. 8.10) que a est
racine d'un polynôme unitaire de D[X] ; or, l'anneau de Dedekind D est intégralement
clos (Déf. 8.38), donc aeD. □
Lemme 8.49, Tout idéal maximal M de D est inversible dans le monoïde commutatif 3
des idéaux fractionnaires de D.
Démonstration. Soit M un idéal maximal de D et M' l'idéal fractionnaire qui lui est
associé (Rel. (8.10)). Démontrons que, dans le monoïde dont l'élément unité est D, on
a MM' = D.
D'après le Lem. 8.47, on a D Ç M' et MM' est un idéal de D, alors,
(D Ç M' et M = MD)=>MÇMM'ÇZX
Or, M est un idéal maximal, d'où
MM' = M ou MM' = D.
D'après le Lem. 8.48, l'égalité MM' = M'M = M entraîne M' Ç D, ce qui contredit le
Lem. 8.47. On en conclut que
MM' = D.
Ainsi, M' est l'inverse de l'idéal maximal M dans le monoïde commutatif 7. □
Théorème 8.50. Le monoïde des idéaux fractionnaires non nuls d'un anneau de Dedekind
est un groupe abélien.
Démonstration. On conserve les notations précédentes.
1°) Démontrons que pour tout idéal I ^ (0) de Z) on a 77' = D, 7' étant l'idéal fractionnaire
défini par (8.10).
La propriété a été prouvée dans le cas où 7 est maximal (Lem. 8. 49).
Supposons que l'ensemble, noté £, des idéaux non nuls 7 de D, pour lesquels 77' ^ D, soit
non vide.
L'anneau de Dedekind D étant noethérien, l'ensemble E contient au moins un élément
maximal, que l'on note 7.
D'après le Lem. 8.47,7 n'est pas un idéal maximal de D, donc il existe un idéal maximal
M de D tel que

162
Chapitre 8, Corps de nombres - Entiers algébriques
Soit M' l'idéal fractionnaire associé à M par la Rel. (8.10). En appliquant les lemmes
précédents on obtient
D Ç M' Ç V IÇ IM' ç IV C D.
IÇ IM! Ç D montre que IM' est un idéal de D contenant /.
On ne peut avoir / = IM', car, d'après le Lem. 8.48, cette égalité entraînerait M' Ç D, ce
qui contredit le Lem. 8.47, d'où I Ç IM'.
La maximalité de I dans E implique IM! £ E, donc
IM'{IM!)' = D, (8.14)
où (IM')' est l'idéal fractionnaire associé à l'idéal IM', par la Rel. (8.10).
Compte tenu de la définition de I', la Rel. (8.14) entraîne
M'(IM')'çi',
d'où l'on déduit
DÇIl'ÇD=ïIl' = D,
ce qui est contraire à l'hypothèse II' ^ D.
On en conclut que E = 0, donc tout idéal non nul I de D est inversible dans le monoïde 7
et son inverse est l'idéal fractionnaire I'.
Désormais, pour tout idéal I non nul de D, on utilisera la notation I~l à la place de V.
2°) Considérons le cas d'un idéal fractionnaire quelconque, non nul, J de D. Il existe
c E D* tel que
J = c~ lI, où / est un idéal de D ; alors,
{c-li)(crl)=irl=D,
entraîne que J = c~lI est inversible dans le monoïde 7 et J~l = cl~l.
Ainsi, 7, muni du produit des idéaux fractionnaires, est un groupe abélien. □
Théorème 8.51. Soit D un anneau de Dedekind, 7 le groupe de ses idéaux fractionnaires
et y Vensemble de ses idéaux premiers, non nuls; alors, tout J ^ (0) dans 7 s'écrit, de
façon unique (à l'ordre près des facteurs)
J= fl^p(y\ (8.15)
où les nP(J) sont presque tous nuls dans Z.
Démonstration. 1°) Montrons, que tout idéal non nul de D est un produit d'idéaux
premiers de D. Supposons qu'il n'en soit pas ainsi ; alors, l'ensemble, désigné par Z, des
idéaux non nuls de D, qui ne sont pas produit d'idéaux premiers est non vide.
L'anneau de Dedekind D est noethérien (Déf. 8.38), donc E contient au moins un élément
maximal, que nous notons /. La définition de E implique que l'idéal non nul 7 n'est pas
premier, donc n'est pas maximal. Par suite, il existe un idéal maximal M de D, tel que
IÇM.
Moyennant le Lem. 8.47 et la définition de l'inverse d'un idéal non nul (Cf. la preuve du
Th. 8.38) on a,
D Ç M~l çrl =>IÇ IM~l ç D.
IM'1 est donc un idéal non nul de D contenant strictement I. La maximalité de I dans Z,
implique que IM~l £ Z ; alors IM~l est un produit d'idéaux premiers non nuls Px,... Pr,
et
IM'1 = PXP2.. .Pr =^ I = PXP2.. .PrM.
L'idéal maximal M est premier, donc I est un produit d'idéaux premiers, ce qui contredit
l'hypothèse, / EL, d'où nécessairement, E = 0.

§ 5. Anneaux intégralement clos - Anneaux de Dedekind
163
On en conclut, qu'un idéal non nul, quelconque, I de D, peut s'écrire
I = PxP2...Pn, (8.16)
où, pour tout i, 1 < / < n, P. est un idéal premier, non nul de D.
Vérifions l'unicité de la relation (8.16), à l'ordre près des facteurs.
Supposons que l'on ait une autre factorisation de I :
I=QXQ2--Qm,
où les Qj, 1 < j < m, sont des idéaux premiers, non nuls et m ^ n ; par exemple, m<n.
On a l'égalité
PlP2...Pn = QlQ2-..Qm-
Les propriétés des idéaux premiers ([13], Prop. 2.55), donnent alors
PlP2...PnçPl=>QlQ2-.QmçPl
3jv l<jx< m, tel que, Qh Ç Pv
Mais dans l'anneau de Dedekind D, tout idéal premier, non nul, est maximal, par suite,
Qj = Px ; de plus, Px est inversible dans 5F (Th. 8.50), il en résulte que
pxp2...pn = px( n Qj)=*p2-p*= II Qj-
1 <j<mj^jl 1 <;<m, tfjx
En réitérant le raisonnement pour i = 2,... ,m, on peut dire que, pour tout i (1 < i < m),
il existe ^ E {1,2,... ,m} tel que Qj = Pt, d'où l'on déduit que
Cette égalité implique : D Ç V/(m+1 < î < n), ce qui est impossible, puisque les P.,
sont, par définition, des idéaux propres de D. On en conclut que m = n.
L'application i \—► j. définit alors une permutation a de {1,2,.. .n} telle que, pour tout
î(l</<n),P, = ea(0.
2°) Soit / un idéal fractionnaire non nul de D ; il existe un idéal non nul / de D et c G D*
tels que cJ = I.
L'idéal cZ), engendré par c ^ 0, est inversible dans le groupe jF (Th. 8.50), ce qui permet
d'écrire
J=(cD)-lI.
D'après la première partie de la preuve, les idéaux cD et I sont, de façon unique, des
produits d'idéaux premiers inversibles dans 5F :
(CD = PXP2 ...Pr,I = QxQ2...Qs)=*J = Pf1P2"1 • ..PrlQXQ2 .-Os,
d'où l'on déduit l'égalité (8.15) de l'énoncé. □
Proposition 8.52. Soit IetJ deux idéaux, non nuls, d'un anneau de Dedekind D, tels que
i=Y\pnp('), j=Y[pnp(j\
où les nP{I) et nP(J) sont presque tous nuls dans N ; alors,
\)nP{IJ)=nP(I) + nP{J).
2)1 çj nP(I) >nP{J), V/>e3>.
3)/+/=n/»ea.^,/n7=nPeJ.^,
où, pour tout P S P,
vP = min(nP(I),nP(J)) et nP = max(nP(I),nP(J)).

164
Chapitre 8. Corps de nombres - Entiers algébriques
Démonstration. 1) Compte tenu de l'unicité de la factorisation d'un idéal de D (Th. 8.51),
les hypothèses impliquent immédiatement le résultat énoncé.
2) D'après le Th. 8.51, les idéaux 7 et 7 sont inversibles dans jF et
IÇJ 4=> IJ~lÇD
Y\ pnp(0-nP(J) ç d
nP(I) - nP{J) > 0, VP € 9.
3) 7 + 7 est l'idéal de D engendré par / U7 ([13], Prop. 2.13.), c'est donc, relativement à
l'inclusion, le plus petit idéal de D, contenant / et 7, ce qui entraîne, moyennant le résultat
2) précédent,
VP € 3>, nP(I + J) = min(nP{I),nP(J)).
/H / est, relativement à l'inclusion, le plus grand idéal de D contenu dans I et 7 ; alors, à
l'aide du résultat 2), on obtient
VP € P, nP(ir\J) = max(nP(I),nP(J)). □
Les résultats du Th. 8.51 et de la Prop. 8.52 conduisent à définir une notion de divisibilité
dans l'ensemble des idéaux non nuls de D.
Définition 8.53. Etant donné deux idéaux, non nuls, 7 et 7 d'un anneau de Dedekind D,
on dira que 7 divise 7 (noté 7 | 7), si 7 Ç 7.
On a alors
j\i ^ içj nP(I)>nP(J),VP£y. (8.17)
Remarque 8.54. Moyennant le Th. 8.51, la Prop. 8.52 et la Déf. 8.53, on peut considérer
que deux idéaux non nuls 7 et /, de D, ont un p.g.c.d. et un p.p.c.m. En effet, en
définissant ces notions, comme elles l'ont été dans un D.I. et en particulier, dans un anneau
factoriel ([13], Ch. 5), on vérifie que
7 et 7 ont 7-h7 pour p.g.c.d. et 7D7 pour p.p.c.m.
6. norme d'un idéal d'un anneau d'entiers algébriques
A. Propriétés préliminaires
Rappels relatifs aux les groupes abéliens libres (ou Z-modules libres) de type fini ([12],
Ch. 8).
Soit G un groupe abélien libre de type fini, de rang n > 1. Par définition, une base de G
est une base du Z-module libre G.
1) Si b et b' désignent deux bases de G, alors le déterminant de la matrice de passage de
bhb' est égal à ±1.
2) Tout sous-groupe 77 non nul de G est abélien libre de rang m < n et
G/77 est fini m = n.
Si rang(H) =m<n = rang(G), alors ([12], Th. 8.54), il existe une base {uv..,un} de G
et des entiers hv..,hm, dans N*, tels que
{hluv...,hmum} est une base de 77 et ht \ hi+v Vi(l < i < m- 1).
Dans le cas oùm = n,ona ([12], Th. 8.57),
G/H~ \\ Z/ftjZ, d'où card(G/H)=hlh2...hn. (8.18)
\<i<n

§ 6. Norme d'un idéal d'un anneau d'entiers algébriques
165
Proposition 8.55. Soit G un groupe abélien de rang fini et H un sous-groupe de G, tel
que rang(H) = rang(G) =n>l.
On suppose que {xx, ... et {yv... ,yn] sont, respectivement, des bases de G et de H,
telles que
Vî(l < î < n), yf- = £ a^a.jEZ^iJ,
l<j<n
alors, pour la matrice A = (fly)nxn G Mnxn(Z), on a
\detA\=card(G/H).
(8.19)
Démonstration. Compte tenu des hypothèses et du Rappel 2) ci-dessus, il existe une base
{ux,..., un] de G et des entiers hv... ,hm dans N*, tels que
{hxuv... ,hnun} est une base de H et ht \ Vi(l <i<n—\).
Pour tout i, 1 < i < n, posons
l<j<n \<j<n
où tous les coefficients fey, c/7. sont dans Z. Soit
5 := (*y)nxn. C := (cij)nxm M :=
/ hx 0 0
0 ft2 0
; o "•.
o \
0
0
\ 0 0 0 0 hn J
Par hypothèse A = {atj)nxn est la matrice de passage de la base
{*>,.•-i*»} de G, à la base {yv.^,yn} de H.
D'autre part, B est la matrice de passage de la base {xx,...,xn} h la base {ux,..., un] de
G et C est la matrice de passage de la base {vv..., vn} à la base {yv... ,y„} de H, on en
déduit que
A = CMB, d'où detA = detCdetMdetB.
Or, on a (Cf. Rappel 1), ci-dessus),
detB = ±\ et detC = ±\.
On en conclut (Rel. (8.18)) que
| detA |=| detM |= ...*„ = card{G/H).
□
Exemple 8.56. Soit G un groupe abélien libre de rang 3 ; {*,y,z} étant une base de G,
soit H le sous-groupe de G engendré par {m, v, w}, où
w = 2x+y-z
v = 3;c-y + 5z
w = x + 4y
2 1 -1
3-15
1 4 0
= 48.
On a 48 7^ ±1, donc {w, i/, w} est une base de H, qui est un sous-groupe propre de G (voir
Rappel 1) et Prop. 8.55) et
rang(H) = ,w«(G) G/// fini et card G/H = 48.

166
Chapitre 8. Corps de nombres - Entiers algébriques
B. Norme d'un idéal, non nul, d'un anneau 2)
Dans tout ce paragraphe, 2) désigne Vanneau des entiers algébriques d'un corps de
nombres K (Déf. 8.4). On suppose [K : Q] = n > 1 ; alors 2) est un groupe (additif) abélien
libre de rang fini, égal à n (Th. 8.25).
Proposition 8.57. Dans Vanneau 2) des entiers d'un corps de nombres, pour tout idéal
non nul, 7, D/ï est fini ; par suite (7, +) est un sous-groupe abélien libre de (D, +) tel
que rang(I) =rang(D).
Démonstration. Par hypothèse (7, -f) est un sous-groupe du groupe abélien libre de rang
fini (D,-h) ; on suppose rang(D) =n>l.
Considérons le cas où 7 est un idéal principal de 2), donc 7 = aD, a^O.
L'application ma : 2) —► aD telle que, quel que soit x e 2), ma(x) = ax, est un Z-
isomorphisme, par suite, aT> est un sous-groupe abélien libre de 2), de rang n. On en
déduit que D/aD est fini (Rappel 2), ci-dessus).
Dans le cas où 7 est un idéal, non nul, quelconque de 2), considérons un élément a ^ 0
dans 7. On a aD ÇIÇ 2), d'où ([13], Th. 2.41)
et
2)/7 ~ (D/aD)/(I/aD)
(2)/a2) fini) => (I/aD) fini) D/I fini.
(7, -f) est alors un sous-groupe abélien libre de (2), -h), de rang n. □
Corollaire 8.58. Les hypothèses sont celles de la Prop. 8.57.
a) Pour tout idéal premier, non nul, P de 2), 2)/P est un corps fini.
b) Si K = Q(a), où a G 2) (Th. 8.20), alors
card (2)/aV) =|i^:Q(a)|.
Démonstration, a) 2) est un anneau de Dedekind (Exem. 8.39.), alors tout idéal premier,
non nul, P de 2) est maximal (Déf. 8.38), donc 2)/P est un corps fini (Prop. 8.57.).
b) a € 2) =AHQ, donc pa{X) :=IrrK(a,X) appartient àZ[X] (Th. 8.13.).
Si [K : Q] = n et
pa(X) = Xn + an_xXn-1 + ... + alX + a0i
alors, NK.^(a) étant le produit des conjugués de a, donc des racines de pa{X),
NKy(a) = (-l)»aQeZ.
D'autre part, les hypothèses entraînent que b := {ljC^a2,...,^-1} est une base de
K sur Q, mais le polynôme pa(X) étant de degré n dans Z[X], on en déduit que b
est une base entière (Déf. 8.26.) de K, c'est-à-dire une base du groupe libre (2),+) et
b' := {a, a2,..., an} est alors une base du sous-groupe aT> de (2), -f).
Soit Mbbf la matrice de passage de la base b de 2) à la base b' de a2) ; d'après la Prop.
8.55, on a
card (V/aV) =\ det{Mw) \.
detM,
w
0 0
1 0
0
d'où cardCD/aD)=\Nm(a)
0 -a0
0 -a,
0 0 0 1
An-\
= (-l)"«0,
□

§ 6. Norme d'un idéal d'un anneau d'entiers algébriques
167
Définition 8.59. Soit D l'anneau des entiers d'un corps de nombres et I un idéal, non nul,
de D ; on appelle norme de 7, l'entier positif, noté N(I), défini par
N(I) := card (D/I).
Remarque 8.60. L'appellation « norme d'un idéal », utilisée dans la Déf. 8.59, se justifie
par le résultat b) du Cor. 8.58., qui correspond au cas où l'idéal / est principal.
Théorème 8.61. Soit D l'anneau des entiers algébriques d'un corps de nombres ; si I et
J sont deux idéaux non nuls de D, alors
N(IJ)=N(I)N(J). (8.20)
Démonstration. Compte tenu de la factorisation unique d'un idéal non nul de D, en un
produit d'idéaux premiers non nuls (Th. 8.51), il suffit de prouver la relation
N(IP)=N(I)N(P), (8.21)
où P est un idéal premier non nul de D.
Le 3eme théorème d'isomorphisme ([13], Th. 2.41) implique
V/i~CD/ip)/{i/ip).
On en déduit que
card (D/I) = card (D/IP) card (I/IP). (8.22)
Démontrons que card (I/IP) = card (D/P).
La factorisation unique (Th. 8.51) implique I ^ IP, donc IP Ç L
Vérifions qu'il n'existe aucun idéal 7 de D, strictement compris entre IP et /. En effet,
supposons
IPÇJÇI.
L'idéal non nul / étant inversible (Th. 8.50), on a
rlip ç rlj ç r1/, donc p c rlj ç d.
Or, dans (D,P est un idéal maximal (Th. 8.30), d'où,
IlJ = P ou I~lJ = D et par suite, 7 = IouJ = IP.
Il en résulte que, pour tout a g / \ IP, on a
/P+ <a>=I,
<a> désignant l'idéal de D engendré par a.
Soit 0 :D —► I/IP tel que 6(x) =xâ:= IP+xa,Vx E D.
6 est un morphisme de D-modules, qui est surjectif, puisque / = IP+ < a > . On vérifie
que KerO = P, par suite,
D/P ~ I/IP.
La relation (8.22) implique alors
N(IP)=N(I)N(P),
entraînant la relation (8.20). □
Nous terminerons ce chapitre par un exemple de factorisation d'un idéal, dans un anneau
d'entiers algébriques (Cf. Th. 8.51).

168
Chapitre 8. Corps de nombres - Entiers algébriques
Exemple 8.62. Soit T> l'anneau des entiers algébriques de Q(\/-17) ; on vérifie que (voir
Ex. 2., Ch.8)
V = Z[y/=Y7] = {a + byf^ \a,b dans Z}.
Soit < 18 > l'idéal de l'anneau D, engengré par 18.
On remarque que, dans D, on a
18 = 2.3.3 = (1 + v^O - y/^ÛY
Soit Px :=< 2,1 -h yf-YÎ > l'idéal de D engendré par 2 et 1 4- yf-ïï;
1-vC47 = 2-1 + VZT7 =» (I-v^Jg^,
alors, I8 = (i + ^IT7)(1-V1^) =» 18 G/f ;
d'où, < 18 > Ç P\ ^=> P\ | < 18 > (Déf 8.53).
Démontrons que Pt est un idéal premier de D, donc maximal, car D est un anneau de
Dedekind (Exemple 8.3).
Un élément x£Px s'écrit,
x = 2(a 4- bV^TÏ) + ( 14- yf=?f) (c + dy/^YÎ),
où, a, b, c, d sont dans Z; d'où
x=(2a + c-17d) + (2* + c + d)A/=T7.
En posant r := 2a-\-c-\ld et s := 2£4-c-fd, on a
r-.j = 2(fl-ft-9rf) G2Z.
On en déduit (à vérifier par le lecteur) que, pour r et 5 dans Z,
jt = r+aV--17 GPt <î=> r-s €2Z.
On en déduit que Pj =^ D et pour prouver que Pj est un idéal maximal, montrons que le
quotient iD/Pl est un corps ([13], Th. 2.62). Considérons le diagramme :
71,
V/P,
l- Z/2Z
où, TTj et ox sont les morphismes canoniques et quel que soit r + s\J—17 dans D,
/1(r4-5\/-T7) = r-s. On a
Ker(ax ofl)=Pl et CTj o/j surjectif,
ce qui entraine l'existence de l'unique isomorphisme fx ([13], Lem. 2.37) tel que
fxonx =axofx.
Ainsi T>/Px est un corps isomorphe Z/2Z, d'où P1 idéal maximal, donc premier dans D.
On considère de même les idéaux
Pl :=<3îi + x/Zr7> et P,
On a 18 g P2 et 18gP|, d'où
3=<3,1-
Vzt7>.
<18>Ç/f /f |< 18 >, i = 273.
Comme dans le cas de l'idéal Px, on vérifiera que, pour x = r 4- Sy/—17 dans 'D, on a
jceP2 4=> r-5'G3Z et jcGP3 r + ,sG3Z.
Pour i = 2,3, on définit alors, les applications ft : T> —► Z telles que,
f2{r + syf^Y7) = r-s et ^(r + sx/1^) = r4-s.
Les diagrammes semblables à celui utilisé pour Pv conduisent à l'exitence d'isomor-
phismes fi de T>/Pi sur le corps Z/3Z ; par suite, P2 et P3 sont des idéaux maximaux,
donc premiers dans T).
Les résultats précédents entrainent que PXP^¥^ | < 18 > .
Si l'on suppose < 18 >^ Pf P2P|, alors il existe un idéal non nul /de D tel que

§ 7. Exercices
169
< 18 >=P2P|P32/.
Calculons la norme des idéaux constituant chacun des deux membres de l'égalité
précédente. On doit avoir (Th. 8.61)
N(< 18 >) = N{P2)N{P2)N(P2)N(I).
Pour x = a + b\J—\l dans D, on a
x E< 18 > (a,6) G 18Z x 18Z,
d'où
Af(< 18 >) = caïd CD/ < 18 >) = 182.
D'autre part,
D/Px ~ Z/2Z => = 2,
et pour i = 2,3, D//^. - Z/3Z = 3.
Il en résulte que
N(P2)N{P2)N(P2) = 223232 = 182.
Par suite, N(I) = 1 implique / = D, d'où la conclusion :
< \%>=P2F%F$.
7. Exercices
1. On considère le corps quadratique Q(i'), où i2 = — 1 dans C.
1°) Vérifier que tout a E Q(î) s'écrit, de façon unique,
a = a4-W; a,ftdansQ.
Pour a = a + bi dans Q(î), déterminer pa(X) '= Irr^a^X).
2°) Soit 33 l'anneau des entiers algébriques de Q(i).
A tout a = a-\-bi dans Q(i), on associe cc:=a- bi. Justifier l'implication :
a E D =» a, a+â, a — â et aa dans D.
Etant donné a = a + bi dans Q(i), on pose u := 2a, v := 2b ; montrer que a E D si et
seulement si
wEZ, veZ et w2 + v2 = 0 (mod 4).
En déduire que
D = {a +W ; dans Z} = Z[/].
2. Soit AT := Q(\/d) une extension quadratique de Q ; on suppose d<—\oud>\ dans
Z et d non divisible par un carré.
Selon la convention habituelle,
si d > 0, y/d désigne la racine carrée réelle positive de d ;
si d < 0, y/d = iV^-d, où i2 = -1 dans C.
1°) Vérifier que tout a E AT, s'écrit de façon unique,
a = a-\-bVd\a,b dans Q.
2°) Etant donné a = a -f dans K, on pose a7 := a — b\fd
et tf(a):=A^Q(a).
On note D l'anneau des entiers algébriques de K.
a) Vérifier que a E D implique
a', a + a', a-a1 dans D et N(a) dans Z.
b) Pour a = a + dans AT, on pose u:=2a, v:= 2b.
Démontrer que a E D si et seulement si
u E Z, v E Z et w2 - rfv2 = 0 (mod 4).

170
Chapitre 8, Corps de nombres - Entiers algébriques
3°) Vérifier que les hypothèses impliquent d ^ 0 (mod 4) et prouver que
d ^ 1 (mod 4) => D = Z[Vd] := {a + bVd ; a,b dans Z}.
= 1 (mod 4) => T> = -f ; w, v de même parité dans Z}.
(Indication : Pour d = 2, ou 3, ou 1, modulo 4, considérer w2 - dv2 dans les
quatre cas suivants : u et v pairs ; w pair, v impair ; w impair, v pair ; m et v impairs.)
3. Soit K un corps de nombres et î> l'anneau des entiers algébriques de K. On note
Uv le groupe des unités de l'anneau D ([13], prop. 1.9.). Pour tout a € AT, on pose
N(a):=NK:Q(a).
1°) Pour a G D, prouver que
aeUp #(a) = ±l.
En déduire que, pour a et J3 dans D,
a~p =» N{a) = ±N(fi).
[a ~ J3 signifie : a omociV à j3 ([13], Déf. 5.11.)]
2°) On suppose AT = Q(Vd), d < — 1, dans Z et d non divisible par un carré.
Les résultats de l'Ex. 2. précédent sont supposés connus.
a) Prouver que
d = -l =>UV = {±1, ±i}, où î2 = -1 dans C ;
d = -2=*Uv = {±l}\
d — -3 => = {±1, ±j, ±j2}, où y et j2 sont les racines cubiques non réelles de
l'unité, dans C ;
d<-3 => ^ = {±1}.
b) Démontrer que, pour a G D,
N(a) premier dans Z => a irréductible dans D.
3°) Dans le cas où J£ = Q(>/-7), vérifier que et sont des éléments
irréductibles de l'anneau D.
En déduire que 2 n'est pas irréductible dans D.
4. Soit K = Q(\/d) une extension quadratique de Q, où l'on suppose d < -1 dans Z, et
d non divisible par un carré.
Les résultats de l'Ex. 2. précédent sont supposés connus.
On note T> l'anneau des entiers algébriques de K et Uv le groupe des unités de D.
1°) Pour tout a G AT, on pose N(a) := NK.^(a).
Vérifier que a G V* := T> \ {0} => N(a) G N*.
2°) On suppose d G {—1,-2, —3, —7,-11} et soit
W:î)—► N
a i—>N(a).
a) Montrer que a | j3 dans D* =» Af(a) < N(p) dans N*.
b) Soit a = a + bVdet j3 = r-\-s\/d dans D*.
Démontrer qu'il existe 7 et p dans D tels que
a = J87+P, avec p = 0 ou N(p) < N(p) dans N*.
En déduire que, quelque soit d G { — 1,— 2,— 3,— 7, —11}, T anneau D est euclidien.
(Indications : utiliser la même méthode que celle qui a permis de montrer que l'anneau
de Gauss est euclidien ([13], Exemple 5.75), en distinguant les cas où d ^ 1 mod 4 et
d~\ mod 4).

§7. Exercices
171
Remarque : on a -5 ^ 1 mod 4, donc l'anneau des entiers algébriques de Q( v/—5) est
Z[\/^5], qui est un D.I. non factoriel ([13], p.145), donc non euclidien.
3°) Le but de cette question est de prouver que pour d < —11, l'anneau T> n'est pas
euclidien.
En vue d'un raisonnement par l'absurde, on suppose que pour
d < -11, l'anneau D est euclidien relativement à un stathme
5 : T>* —► N.
On note Uv le groupe des unités de T).
Soit a E D* tel que a g Uv et 8(a) minimal dans N.
a) Etant donné j3 G D*, par hypothèse, il existe y et p dans D tels que
j3 = ay+p, avec p =0ou 5(p) < §(a).
Montrer que la minimalité de 5(a) implique
p = 0 ou p = ±1.
En déduire que card{T>/aD) < 3 et que par suite, Af(a) < 3.
b) Démontrer que les conditions N(cc) < 3 et d < —11 entraînent une contradiction
avec l'hypothèse a & Uv et conclure.
(Distinguer les cas où d ^ 1 (mod 4) et d = 1 (mod 4)).
5. Soit B un domaine d'intégrité (D.I.) et A un sous-anneau de B tel que B soit entier sur
A (Déf. 8.31).
Le but de l'exercice est de prouver que B est un corps si et seulement si A est un corps.
1°) On suppose que A est un corps. Soit b eB\ {0}.
a) Vérifier que A [b] := {f(b) ; f(X) €A[X]} est A-espace vectoriel de dimension finie.
b) Prouver que l'application
A[X)-+A[b)
a\—>ba
est A-linéaire et bijective. En déduire que B est un corps.
2°) Réciproquement, on suppose que B est un corps.
Soit aeA\ {0} et a~x l'inverse de a dans B. Prouver que a~l € A et conclure.
6. Soit p un nombre premier et co G Q, une racine p*™6 primitive de l'unité. Pour tout
a e Q(û>), on pose
7,(«) = 7«œ):Q(a) Ct
1°) a) Rappeler quel est le polynôme Irr^co^X) et préciser sa factorisation dans
Q[X}.
b) Montrer que r(û)) = -l, T(\)=p-\, et T(o>>) = -1,
quel que soit j(l < j < p — 1).
En déduire que
T(l-co)=p = T(l-coJ), Vy(l<7<p-1).
c) MontrerqueA^(co) = (-l)^1 et 7V(û)- 1) = (-l)^"1/?.
En déduire que (1 - œ) (1 - û)2) ... (1 - û)^-1) = p.
2°) Soit D l'anneau des entiers algébriques de Q(co).
a) Vérifier que co G D ; en déduire que p G (1 - û))D.
b) Prouver que ( 1 — û))D n Z est un idéal de Z et que
(i-û))Dnz = /?z.
(Indication : montrer que ( 1 — û))D fl Z ^ pZ conduit à une contradiction.)
3°) Démontrer que pour tout a G D, on a

172
Chapitre 8, Corps de nombres - Entiers algébriques
T(a{l-œ)) g pZ.
4°) Soit a g D.
a) Vérifier que a s'écrit de façon unique
a = £ ajCQJ,
0<j<p-l
où^-GQ,vy(o<y<p-i).
Démontrer que T(a(l-(û)) = a0p ; en déduire que a0 g Z.
b) Vérifier que (ù~l g D ; en déduire que (a - a0) co~l g D.
On pose ax := (a — a0) (ù~l ; démontrer que ax g Z, en utilisant la méthode qui a
permis de prouver que a0 g Z.
c) Montrer que pour tout j(0 < j < p - 1), on a a. g Z ; en déduire que
2) = z[û>] := { £ aj(ùÂ » G Z' V>(° ^ > < !)}•
0<j<p-l
En conclure que {1, û),..., (Op~l} est une base entière de Q(û)) et que, quel que soit le
nombre premier p, Z[(o] est un anneau de Dedekind.
7. Soit R un domaine d'intégrité (D.L), A un sous-anneau de /? et 5 une partie
multiplicative de A ([13], Déf. 6.1.).On note B la fermeture intégrale de A dans R.
1°) Démontrer que la fermeture intégrale de S~lA dans S~lR est ([13], Ch. 6).
2°) Montrer que si A est un anneau intégralement clos (Déf. 8.33) alors, pour toute
partie multiplicative S de A, l'anneau localisé S^A est intégralement clos.
3°) Démontrer que tout localisé S~lA d'un anneau de Dedekind A est un anneau de
Dedekind (voir [13], Prop. 6.16, 6.19 et Th. 6.21).
8. Le but est de prouver (Th. de Ramanujan-Nagell) que les seuls couples (x,n) g Z x N
satisfaisant à l'équation
^ + 7 = 2" (8.23)
sont (±1,3), (±3,4), (±5,5), (±11,7), (±181,15).
On considère le corps quadratique K = Q(\/^7) ; T> étant l'anneau des entiers
algébriques de AT, les résultats (supposés connus) des Ex. 2., 3., 4., ci-dessus, impliquent
il _|_ J
T> = { ; w, v de même parité dans Z}
et D euclidien.
1°) Montrer que les seules solutions de l'équation (8.23) pour lesquelles n est pair sont
(±3,4).
2°) On recherche désormais les solutions de (8.23), pour lesquelles n est impair.
a) On remarque que l'équation (8.23) n'a pas de solution pour n = 1 et que, pour n = 3,
on obtient x = ±1.
On considère dans la suite, n > 3 et impair ; on pose alors
m := n-2 > 1.
On écrit l'équation (8.23) sous la forme
^j-=2m. (8.24)
On note que dans toute solution de l'équation (8.24), x est nécessairement impair.
Montrer que (8.24) peut s'écrire

§ 7. Exercices
173
Prouver que
(8.25)^^Z = ±(i^Z)W; (8.26)
(8.26) -> ±V^7 = (i±|^)m- (^)m (8.27)
b) On pose a := et b := .
On considère le cas où le signe du premier membre de l'équation (8.27) est + ; on a
donc
y/^ï = am-bm. (8.28)
En utilisant les relations a+b—\, a — b — \/—7, ab = 2, démontrer que, dans l'anneau
euclidien D,
(8.28) =► a = a-b (mode2).
En conclure que, dans le premier membre de l'équation (8.27), le signe 4- est
impossible.
3°) Pour m > 1, dans N, on considère l'équation
-^=(—R -(—R • <8-M>
a) En utilisant la formule du binôme, prouver que
(8.29) => -2m~1 = m (mod 7). (8.30)
b) Etant donné que 23 = 1 (mod 7), montrer que si m vérifie (8.30), alors, pour m! > 1
dans N,
rri = m (mod 21) =*> -2m'~1 = m' (mod 7).
c) Prouver que les seuls entiers impairs m, vérifiant (8.30) et pour lesquels 1 < m < 21,
sont 3,5 et 13.
4°) a) Montrer que, pour m E {3,5,13}, l'équation (8.24) a des solutions, que l'on
déterminera.
En déduire les solutions correspondantes de l'équation (8.23).
b) Vérifier que pour m E {3,5,13} et m! E N,
{rn! = m (mod 21) et m7 impair) => mr = m (mod 42).
c) On suppose m E {3,5,13}, m' ^ m, dans N et m' = m (mod 42) ; le but de ce qui
suit est de prouver que l'équation
^±l = 2m' (8.31)
n'a aucune solution.
On suppose que 7*, keN*, est la plus grande puissance de 7 divisant m' — m.
Les notations étant celles de la question 2°,b), vérifier les relations suivantes, dans
l'anneau euclidien T).
am' = cf>(^)m'-m{l + ^ï)m'-m ; (8.32)
(\)m'~m-î=0 (mod7*+1); (8.33)
(l + V=7)'*'-w-l = (m'-m)vc7 (mod7*+1); (8.34)
^-1+^=7 (mod7)_ (835)

174
Chapitre 8. Corps de nombres - Entiers algébriques
En déduire, en utilisant la relation (8.32), que
am' =am + ^^^7 (mod 7*+1), (8.36)
bm' = bm- r^^^/-ï (mod 7*+1). (8.37)
Démontrer qu'on a alors, mr = m (mod 7*+1) ; en déduire une contradiction avec
l'hypothèse consernant lk et conclure.

Chapitre 9
Résolution des équations par radicaux
Historique du problème ([10], [45])
Les équations polynomiales ont une longue histoire.
Des tables babyloniennes, datant de 1600 av. J.C, posent déjà des problèmes amenant
à la résolution d'équations du second degré; il est clair, d'après les tablettes, que les
Babyloniens avaient des méthodes pour les résoudre, bien qu'ils n'aient pas de notations
algébriques pour exprimer leurs solutions.
Les Grecs de Vantiquité résolvaient les équations du second degré par des constructions
géométriques, mais il n'y a aucun signe de formulation algébrique, avant 100 ap. J.C.
Toujours grâce à la géométrie, les Grecs avaient aussi des méthodes de résolution des
équations polynomiales du 3eme degré ; mais la résolution algébrique de celles-ci restent
longtemps inconnue, puisqu' en 1494, Pacioli publie un traité arithmétique, dans lequel il
écrit que la résolution des équations
x?+mx = n; x?+n = mx (m et ai entiers positifs),
est aussi impossible, compte tenu des connaissances « actuelles », que la quadrature du
cercle !
Cependant, les mathématiciens italiens de la Renaissance, principalement ceux de
Bologne, arrivent à résoudre algébriquement les équations du 3e"16 degré, à coefficients
entiers positifs (car les nombres négatifs n'étaient pas encore utilisés), en les ramenant aux
trois types suivants :
x3 -h px = q, x3 = px + q, x3 4- q = px.
Plusieurs mathématiciens italiens se disputent alors la primauté de la résolution de ces
équations, que certains gardent farouchement secrète.
Finalement, en 1545, le physicien Girolamo Cardano publie, dans Ars Magna, la
résolution complète de ces équations, découverte, au moins une dizaine d'années auparavant,
par des mathématiciens de l'époque, dont Niccolo Fontana.
Dans Ars Magna, Cardano donne les fameuses formules exprimant les solutions des
équations du 3eme degré, citées plus haut ; par exemple, celle (attribuée à Fontana) qui donne
une solution de l'équation,
x3 + px = q, où p et q sont des entiers positifs :
Ce sont des formules de ce type (qu' on a pris l'habitude d'appeler Formules de Cardan)
qui permettent d'écrire les solutions d'une équation du genre X3 + pX -f q = 0, à
coefficients dans C ([13], Ex. 7, Ch. 8) et on sait, d'autre part, que toute équation polynômiale
de degré 3, peut se ramener à cette forme canonique ([13], p. 277).
Ces formules nous amènent à préciser le sens du Titre de ce Chapitre.

176
Chapitre 9. Résolution des équations par radicaux
Etant donné une équation polynômiale à coefficients dans Q, par définition, résoudre cette
équation par radicaux, c'est pouvoir exprimer ses solutions, à l'aide des seules opérations
suivantes : addition, multiplication, soustraction, division et extraction de racine.
Une expression algébrique, ainsi obtenue, sera dite radicale.
La publication de Cardano, Ars Magna, contenait aussi une méthode (due à Ludovico
Ferrari) de résolution par radicaux, d'équations de degré 4, obtenue en se ramenant à la
résolution d'équations de degré 3.
Dès 1545, il devient naturel de s'attaquer au problème de la résolution des équations de
degré supérieur à 4, en particulier, de degré 5.
Plusieurs mathématiciens s'intéressent au problème. Mais ce n'est qu'en 1770, que La-
grange (Louis Joseph de) franchit une étape importante, en montrant que les méthodes,
utilisées pour les équations de degré inférieur ou égal à 4, tombaient en défaut pour celles
de degré 5.
Dès ce moment-là, l'idée, que toutes les équations du 5*™* degré n'étaient pas résolubles
par radicaux, était dans l'air.
C'est Abel (Niels Henrik) qui, en 1824, trancha la question, en démontrant,
rigoureusement, que l'équation polynômiale, dite générale (Déf. 9.26), du 5eme degré, n'est pas
résoluble par radicaux.
Le nouveau problème était alors, de savoir à quelle condition, une équation polynômiale
de degré quelconque n > 4, est, ou non, résoluble par radicaux.
C'est Evariste Galois, qui, avant de mourir, en 1832, donna une réponse définitive à cette
question ; mais, comme nous l'avons signalé dans la Préface, ses travaux ne furent publiés,
qu'en 1843, par Joseph Liouville.
1. Extensions radicales
La notion d'extension radicale va permettre de formaliser algébriquement la notion de
polynôme résoluble par radicaux.
Définition 9.1. Une extension de corps L : K est dite radicale , si
L = K(avcc2,...,am), m E N*, et
Vi(l<î<m), 3/1,-eN*; E K, a?E /^a^,...,^). (9.2)
On dit que les éléments a,., 1 < i < m, forment une suite radicale pour l'extension L : K.
Une extension K(a) : K sera dite simple radicale , s'il existe un entier ai > 1 tel que
aneK.
Remarque 9.2. a) Une extension radicale est de degré fini.
En effet, dans le contexte de la Déf. 9.1, pour tout i (1 < i < m), posons
L^^,^,...,^.) et L0 = K.
([Z, : = [L^W : L^] et af< E L^) => [Z, : Z,_J < ~.
Par suite, [L:K]= [Wil °°-
l<km
L : K est de degré fini, donc algébrique (Th. 2.26).
b) Avec les notations précédentes, on a
K = LùCLlÇ...ÇLm_lÇLm,
(9.3)

§ 1. Extensions radicales
177
V/(l</<m), L^L^icCi) et a"* e ni e N*. (9.4)
On en déduit l'énoncé suivant.
Une extension L: K est radicale si et seulement s'il existe une chaîne de corps
intermédiaires telle que (9.3), dans laquelle chaque extension L{ : Li_l est simple radicale.
c) On suppose que, dans la relation (9.3), pour tout i (1 < i < m), nt est minimal, c'est-à-
dire, est le plus petit entier non nul et positif vérifiant (9.2).
Par suite, si pour 1 < i < m, l'entier nt n'est pas premier et nt > 1, alors il existe un nombre
premier p. qui divise nt et
:=vi(«fo vicCL,..
On peut, dans ce cas, intercaler Hi_l dans la chaîne (9.3).
En réitérant ce processus, autant de fois qu'il est nécessaire, on aboutit à une chaîne du
type (9.3), dans laquelle (moyennant une adaptation des notations), pour tout i (1 < i < m),
il existe une puissance première pi de at qui appartient à Li_l.
d) Toute expression radicale, telle qu'on l'a définie dans l'introduction historique,
appartient à une extension radicale de Q ; par exemple
x= y/îy/z+y/lî 4- y—-— => x E Q(ax, o^, o3, o4, o5), où,
«2=7, a| = 23, 03=3 + 0^, 04=5, o| =
Cette remarque nous conduit à généraliser la notion d'équation polynômiale résoluble par
radicaux, aux polynômes à coefficients dans un corps K quelconque.
Dans l'étude qui suit, nous supposerons car K = 0.
Définition 9.3. Etant donné un corps K de caractéristique 0 et un polynôme f(X), non
constant dans K(X), on désigne par £, un corps de décomposition de f(X) sur K. On
dira que le polynôme f(X) est résoluble par radicaux , s'il existe une extension RdeE
radicale sur K.
Remarque 9.4. a) Dans la Déf. 9.3, on a K Ç E Ç R et il n'est pas nécessaire que E soit
radicale sur K.
b) La définition 9.3 implique que toutes les racines du polynôme f(X) sont exprimables
par radicaux ; mais il est possible qu'un polynôme soit tel que seulement certaines de ses
racines le soient. En effet, il suffit de prendre un produit de deux polynômes, dont l'un
seulement est résoluble par radicaux.
Cependant, si f(X) est irréductible sur K et si l'une de ses racines est exprimable par
radicaux, les autres le sont aussi (Cf. Th. 2.16).
Définition 9.5. Etant donné f{X), non constant dans K(X) et E un corps de
décomposition de f(X) sur K, le groupe de Galois G(E : K) est appelé groupe de Galois du
polynôme f(X) sur K.
Remarque 9.6. a) Dans la Déf. 9.5, le corps de décomposition E de f(X) sur K est défini
à un ^-isomorphisme près (Cor. 3.9) ; on admettra que le groupe G(E : K) est alors défini
à un isomorphisme près.
b) Si {0^03,..., or} sont les racines distinctes de f(X) dans £, alors tout o E G(E : AT),
est une permutation des a/5 1 < / < r (Rem. 7.11, d)). Par suite, G(E : K) est un sous-
groupe du groupe symétrique Sr ([12], Ch. III).

178
Chapitre 9. Résolution des équations par radicaux
2. Polynômes résolubles par radicaux
A. Rappels concernant les groupes résolubles
La caractérisation des polynômes résolubles par radicaux est liée à la notion de groupe
résoluble ([12], Ch. VII). C'est d'ailleurs cette question qui est à l'origine du qualificatif
« résoluble » donné à de tels groupes.
Rappelons qu'on appelle suite de composition d'un groupe G ([12], Déf. 7.1), toute chaîne
finie de sous-groupes de G du type :
(l) = GllÇGII_1ç-"ÇG1ÇG0 = G,
dans laquelle, pour tout i (1 < i < n), on a Gi < Gl_1.
Les groupes Gi_l/Gi sont appelés les quotients de la suite.
On utilisera, essentiellement, les propriétés suivantes :
(1) Les trois conditions suivantes sont équivalentes :
i) G est un groupe résoluble.
ii) G a une suite de composition telle que tous les quotients de la suite sont abéliens ([12],
Th. 7.25).
iii) G contient un sous-groupe normal propre H tel que H et G/H sont résolubles ([12],
Th. 7.29).
(2) Si G est un groupe résoluble, alors tout sous-groupe et tout quotient de G est résoluble
([12], Th. 7.23).
(3) Pour n > 5, le groupe symétrique Sn n'est pas résoluble ([12], Cor. 7.27).
B. Caractérisation des polynômes résolubles par radicaux
Le but de ce paragraphe est de prouver le résultat définitif obtenu par Galois :
Théorème 9.7. Théorème de Galois
Soit K un corps, de caractéristique 0, et f(X) E K[X] \ Af, alors f(X) est résoluble par
radicaux si et seulement si son groupe de Galois est résoluble.
Cette assertion sera la conséquence directe du Th. 9.11 (Cond. nécessaire) et du Th. 9.12.
Dans tout ce qui suit, K désigne un corps de caractéristique 0, ce qui entraîne que K est
un corps parfait (Déf. 3.25.), donc une extension, de degré fini sur Af, est galoisienne si et
seulement si elle est normale sur Af.
Lemme 9.8. Si, pour un entier n > 1, le polynôme Xn-lde K[X] est scindé sur Af, alors,
pour tout a^O dans AT, le groupe de Galois du polynôme Xn -a est abélien.
Preuve: Voir Ex. 2., Ch 7.
Lemme 9.9. Soit F : Af une extension galoisienne, de degré fini et F (y) une extension
simple, radicale de F ; alors il existe une extension Lde F telle que
a) L: F est radicale.

§ 2. Polynômes résolubles par radicaux
179
b)L:F et L:K sont galoisiennes.
c) Le groupe G(L : F) est résoluble.
Si, de plus, on suppose G(F : K) résoluble, alors G(L : K) est résoluble.
Démonstration. On suppose K C F c F (y) C AT, où AT est une clôture algébrique de K.
a) Soit n > 1 le plus petit entier tel y" e F. Posons
«i :=f, p(X) :=IrrK(avX), etk:=degp>\.
La condition carK = 0 implique que p(X) est un polynôme irréductible et séparable sur
K (Cf. Ch. 3). D'autre part, F : K est galoisienne, donc normale (Th. 7.27), alors p(X) est
scindé sur F. Soit
ttjj (1 < / < n), les k racines distinctes de p(X) dans F.
On a Y1 = ax et, pour tout i (2 < i < n), il existe yi e K, tel que y? =
assoit cogK une racine nemé> primitive de l'unité de K. Posons yx := y et
F0:=F(©),Fl:=F(©,y1,y2î...,y,),Vi(l<î<*);L:=F4. (9.5)
On a FÇF0ÇFxÇ.-ÇFk = L.
De plus, (on = 1 implique que l'extension F0 : F est simple radicale et d'après la définition
des yv pour tout j(l <i<k), FiFi_x est simple radicale ; par suite, L = Fk est radicale
sur F (Rem. 9.2, b)).
b) Soit q(X) := ]~| (Xn - at) ; q(X) e F[X], puisque les at sont dans F. Les racines de
l<i<k
ce polynôme sont les (o^y^ 1 < y < n, 1 < i < fc.
Or, d'après ce qui précède, L = F(û), yv y2,...,%) i par suite, L est corps de
décomposition de q(X) sur F, donc l'extension de degré fini L : F est galoisienne (Cor. 7.28).
D'autre part,
p(X)=IrrK(avX)= [J (X-at) p(Xn) =q(X) e K[X}.
\<i<k
Soit m:—[F:K\. Dans F, ax^0 entraîne l'existence d'une base Bée F sur K telle que
B . = { ce x, x> ? • • • ? *m } •
On a alors (Rem. 1.25), F = K(ax,x2,... ,xm). Posons
Ps(X):=IrrK(xs,X),Vs(2<s<m) et f(X):=p(X)p2(X)...pm(X).
Par hypothèse, F : K est normale, de degré fini ; on en déduit que F est corps de
décomposition de f{X) sur K (Déf. 3.13, Th. 3.15), d'où
L = K(œ,x2,...,xm,yvy2,...,yk), car ax = yf.
Ainsi, L est corps de décomposition, sur AT, du polynôme séparable
q(X)p2(X) ...pm(X), donc L : AT est galoisienne, de degré fini.
c) Par hypothèse, F : AT est galoisienne, de degré fini. D'autre part, avec les notations
utilisées précédemment, on a
F0 = F(œ) ; or F(co) est corps de décomposition de Xn - 1 sur F, donc F0 : F est
galoisienne, de degré fini.
Quel que soit i(l <i<k),Fi est corps de décomposition de Xn - at sur par suite,
Ft : est galoisienne, de degré fini.
Enfin, quel que soit i ( 1 < i < k), L = F.ty^,..., yk) implique que L est corps de
décomposition, sur fj, du polynôme

180
Chapitre 9. Résolution des équations par radicaux
ht(X) := (X"-ai+l)(X"-ai+2)...(X*-ak);
donc L : Ft est galoisienne, de degré fini.
On peut alors associer, à la chaîne d'extensions de corps
KÇFÇF0ÇFX Ç.-.ÇFk = L, (9.6)
la chaîne de sous-groupes de G(L : K) :
(idL) Ç G(L : Fk_x) • • • Ç G(L : F0) Ç G{L : F) Ç G(L : AT). (9.7)
La chaîne (9.7) est une suite de composition du groupe G(L : AT) (Cf. Rappels, Par. A.
ci-dessus), car, compte tenu des hypothèses et des résultats précédents, on a, d'après le
Théorème fondamental de Galois,
G(L:F)<G(L:K), G(L:F0)<G(L:F), (9.8)
G(F0:F)~G(L:F)/G(L:FQ), (9.9)
Vî(l <i<k), G(L:f;.)<G(L:f;._1), (9.10)
GiFr.F^-GiLiF^yGiL-.Fi). (9.11)
On a supposé carK = 0, on a donc aussi car F = 0 et par définition, F0 = F(û)), où co est
une racine neme primitive de l'unité ; alors le groupe de Galois
G(F0 : F) = G(F(œ) : F) est abélien (même preuve que dans le cas où F = Q, (Cf.
Exemple 7.29, 2)).
D'autre part, la définition des Ft (Rel. (9.5)) montre que, pour tout i(\ <i<k),Fi est
corps de décomposition de Xn - at sur Ft_x et que le polynôme Xn - 1 est scindé sur
F._v De plus, d'après le Lem. 9.8, le groupe G(Fi : F^) est abélien.
Alors, des Rel. (9.9) et (9.11), on déduit que tous les quotients de la suite de composition
( 9.7) sont abéliens, donc G(L : F) est un groupe résoluble (Rappels, Par. A.).
Si on suppose, de plus, G(F : K) résoluble, alors (Rappels, Par. A., i) iii)),
G(F : K) ~ G(L : K)/G(L : F) => G(L : K) résoluble. □
Lemme 9.10. Si M : K est une extension radicale, il existe, alors, une extension L de AT,
contenant M, telle que
L : K est galoisienne, de degré fini, et G(L : K) est résoluble.
Démonstration. Par hypothèse, M = K(Xx, ,... Xs), s > 1, et
Vi(l <i<s), 3/i, €N* telque Â^eAT, GK(Xl,X2,...,Xi_l).
Pour tout /, 1 < i < s, on suppose l'entier nt minimal (Rem. 9.2, b)).
Soit (ùx une racine nxme primitive de l'unité de K. On pose F = Af^) ; alors F est corps
de décomposition de Xni — 1 sur AT, de plus il existe nt g N* tel que A"1 g AT Ç F ; par
suite,
F : AT est galoisienne, de degré fini et F (Aj ) : F est simple radicale.
D'après le Lem. 9.9., il existe une extension Lx de F telle que
Lx : F est radicale et galoisienne,
Lx : K est galoisienne et le groupe G(LX : F) est résoluble.
Or le groupe G(F : K) = G(K(cox) : K) est abélien, donc trivialement résoluble, par suite
(Lem. 9.9.), G(LX : K) est résoluble.
D'après la construction de Lx (Voir L dans la preuve du Lem. 9.9), on a

§ 2. Polynômes résolubles par radicaux
181
Considérons maintenant, les extensions K Ç Lx Ç L^À^) ;
Lx : K est galoisienne de degré fini et Lx (À^) est simple radicale,
il existe alors (Lem. 9.9), une extension L^ de Lx telle que
L2 : Lx est radicale et galoisienne,
: K est galoisienne et le groupe G(L2 : Lx) est résoluble.
Mais, d'après ce qui précède, le groupe G(LX : K) est résoluble, ce qui entraîne (Lem. 9.9)
G(Z^ : K) résoluble.
D'après la construction de L2 (Preuve du Lem. 9.9), on a
K(XVX1)<ZL2.
Ainsi, de proche en proche, on arrive à une extension Ls de degré fini sur K telle que
K(XV^...,XS)=MÇLS,
Ls : AT est galoisienne et le groupe G(LS : K) est résoluble.
On obtient l'énoncé du Lem. 9.11, en posant L := Ls. □
Théorème 9.11. Si f(X) E K(X) \K est un polynôme résoluble par radicaux, alors son
groupe de Galois est résoluble.
Démonstration. On suppose que f{X) E K[X]\K, est résoluble par radicaux (Déf. 9.3),
donc II existe une extension radicale M : K telle que K Ç E Ç M, où E désigne un corps de
décomposition de f(X) sur K. Le Lem. 9.10. implique alors l'existence d'une extension
L de M telle que
L : K est galoisienne, de degré fini et G(L : K) est résoluble.
L'application du Théorème fondamental de Galois (Th. 7.32.) aux extensions KÇ.E CL
donne
G(E:K)~G(L:K)/G{L:E).
Le groupe G(E : K) est alors résoluble, en tant que quotient d'un groupe résoluble (Cf.
Rappel (2), Par. A.). □
Théorème 9.12. Etant donné un corps K de caractéristique 0, soit L une extension de
degré fini, normale sur K telle que G(L : K) est résoluble; alors, il existe une extension
R : L telle R : K est radicale.
Démonstration. L'hypothèse carK = 0 entraîne que L : K est séparable, par suite, L : K
est galoisienne de degré fini.
On démontre le théorème, par récurrence sur n := [L : K]. On pose G := G(L : K) et o(G)
désigne l'ordre du groupe G.
Si [L : K] = 1, alors L = K et K est trivialement radicale sur K.
Pour [L : K] = n > 1, on a o{G) = n. Soit H un sous-groupe propre, normal maximal de
G ; H existe, car G est un groupe fini d'ordre n > 1 ([12], Rem. 4.49). G/H est alors un
groupe simple ([12], Prop. 4.52) et G/H est un groupe résoluble, car, par hypothèse, G
est résoluble (Rappel (2), Par. A.). On en déduit que G/H est cyclique d'ordre premier
([12], Cor. 7.26). Soit p := o(G/H) et E un corps de décomposition, surL, du polynôme
XP-l.
L'extension L : K étant galoisienne, de degré fini, L est corps de décomposition, sur K,
d'un polynôme (séparable) f(X) E K[X] (Cor. 7.28), donc E est corps de décomposition,
sur AT, de (Xp — 1)/(X), par suite, E est galoisienne, de degré fini sur K.
Dans L, une racine co ^ 1, du polynôme Xp - 1 est une racine pème primitive de l'unité,
puisque p est un nombre premier, d'où E — L(co).
Posons M := K(co), alors, cop = 1 implique que les extensions E : L et M : K sont simples
radicales. Soit ax, o^,..., ar, les racines distinctes de f(X), dans L Ç E, alors,

182
Chapitre 9. Résolution des équations par radicaux
(E = K(co,ava2,...,ccr) et M = K(œ))=> £ = Af(a1,a2,...,ar).
Ainsi, E est corps de décomposition de f(X) sur M, on en déduit que est £ galoisienne,
de degré fini sur M.
D'autre part, on sait que le groupe G(E : L) = G(L(co) : L) est abélien (Ex. 19, Ch. 7), donc
résoluble et l'application du Théorème fondamental de Galois (Th. 7.32) aux extensions
K Ç L Ç F, donne
G(L:K)~G{E:K)/G{E:L).
Les groupes G(L : K) et G(F : L) étant résolubles, on en déduit que le groupe G(E : K)
est résoluble (Rappels, (1), i) <=> îiï), Par. A.).
Montrons que G(F : Af) est isomorphe à un sous-groupe de G(L : Af).
Pour a E G(E : Af), on a
a/Af = wm °/* = idk => °/l e g(l 1k)-
On peut alors considérer l'application
p:G(E:M)—>G(L:K)
p est un morphisme de groupes ; vérifions que p est injectif.
o E Kerp a^L = idL ;
°/m = idm g/k==idk et o(œ) = œ\
or, F = L(û>), d'où, (a E G(£ : Af) et a/L = îrfL) a/£ =
On en déduit que Kerp — {idE} ; donc p est injectif et
J=Imp => G(E : Af )
7 est sous-groupe du groupe résoluble G(L : AT), donc / est résoluble, par suite, le groupe
G(E : Af ) est résoluble.
Ier cas : J 7^ G(L : AT) ; l'extension E : M étant galoisienne, on a (Th. 7.27)
[£:M]=|G(E:Af) \=o{J)<n.
L'hypothèse de récurrence, appliquée à l'extension E : Af, entraîne l'existence d'une
extension R de E telle que R : Af est radicale et K c L C E Ç
Par définition, Af = AT(û)), où û)^ = 1 et (ù ^ 1 ; alors si j3jest une suite radicale
(Déf. 9.1) pour l'extension /? : Af,
R = M(pv...,f5m)=^R = K(co,Pv...pm)
et co, j3test une suite radicale pour l'extension /? : AT, donc /? : AT est radicale.
2eme cas : / = G(L : AT) ; le morphisme p est alors, un isomorphisme de groupes. Soit
H' := p_1(//), où // est le sous-groupe normal, d'indice p, de G = G(L : AT), considéré
au début de la preuve.
Puisque p est un isomorphisme, H1 est un sous-groupe normal, d'indice p, dans G(E : Af ).
F := InvE(H') => MÇF CE.
L'extension E : Af est galoisienne, de degré fini, alors, d'après le Théorème fondamental
de Galois (Th. 7.32), il en est de même de E : F et de plus, puisque Hf = G(E : F), on a
H' < G(E : M) ==> F : Af galoisienne, de degré fini
et G(F : Af) ~ G(E : M)/Hf.
D'autre part, le polynôme Xp -1 est scindé sur Af ; on en déduit (Th. 7.55) que F = Af (a),
où ap = a E Af, le polynôme Xp — a étant irréductible sur Af.
L'extension, de degré fini E : F est galoisienne, donc normale ;
MÇFCE G{E:F)ÇG(E:M);
on en déduit que [E : F] =| G(E : F) \< \ G(E :M)\=n et
G(E : M) ~ G(L : K) G(E : F) résoluble.

§ 3. Exemples de polynômes non résolubles par radicaux
183
L'hypothèse de récurrence appliquée à l'extension E : F entraîne l'existence d'une
extension RdeE telle que R : F est radicale ; on a L Ç E, donc R est extension de L et
(R : F radicale , F = M (a), ccp = a G M) R:M radicale ;
(R : M radicale, M = K(co), cop = l => /? : K radicale.)
□
Preuve du Théorème de Galois (Th. 9.7)
Rappel de l'énoncé : Etant donné un corps K(carK = 0), f(X) G K(X)\K est résoluble
par radicaux si et seulement si son groupe de Galois est résoluble.
Démonstration. D'après le Th. 9.11, si f(X) est résoluble, son groupe de Galois est
résoluble. Montrons que le Th. 9.12 entraîne la réciproque de ce résultat.
Soit E un corps de décomposition, sur K, d'un polynôme f(X) non constant de K[X] ; si
le groupe G(E : K) est résoluble, alors, d'après le Th. 9.12, il existe une extension RdeE
telle que R : K est radicale, donc f(X) est résoluble par radicaux (Déf. 9.3). □
Remarque 9.13. a) Un polynôme f(X) G K[X] \K (carK = 0), dont le groupe de Galois
est abélien est résoluble par radicaux ; en particulier, quel que soit
n > 1, Xn — 1 G Q[X], est résoluble par radicaux.
b) Pour tout n > 5, le groupe symétrique Sn étant non résoluble (Rappel, (3), Par. A.),
tout polynôme de K[X], dont le groupe de Galois est isomorphe à un groupe symétrique
Sn n > 5, est non résoluble par radicaux.
L'étude de certains de ces polynômes fait l'objet du paragraphe suivant.
3. Exemples de polynômes non résolubles par radicaux
A. Polynômes de degré premier impair
Proposition 9.14. Soit p un nombre premier impair et, dans Q[X], un polynôme f(X),
irréductible, de degré p, ayant exactement deux racines complexes, non réelles, alors le
groupe de Galois de f(X) sur Q est le groupe symétrique Sp.
Démonstration. Soit E C Q, un corps de décomposition de f(X) sur Q. L'extension E : Q
est galoisienne, de degré fini ; posons G := G(E : Q).
Le polynôme irréductible f(X) est séparable (Th. 3.24), donc G est un groupe de
permutations des p racines distinctes de f(X) dans E ; G peut alors être considéré comme un
sous-groupe deS^.
Soit a G £ tel que /(a) = 0 ; alors, f(X) = 7rrQ(a,X), d'où
[Q(a):Q]=p=»p|[£;Q].
Par suite, p \ o(G) ; or, p est premier, donc il existe au moins un élément, c, d'ordre p
dans G ([12], Cor. 6.4). Mais les seuls éléments d'ordre p, dans Sp, sont les p-cycles ([12],
Ch. III) donc a est un p-cycle.
D'autre part, notons ici, T, la conjugaison complexe :
T : C —► C et F(a + ib) = a- ib, Va -h ib G C.
T est un R-automorphisme de C, donc YjE G G ; de plus, YjE laisse fixes les p — 2 racines
réelles de f(X) et permute ses deux racines non réelles. On en déduit que le groupe G
contient un 2-cycle, c'est-à-dire, une transposition.
En changeant, au besoin, les notations, on peut supposer que G contient la transposition
(1,2) et le cycle (1,2,...,/?— l,p) ; or ces deux permutations engendrent le groupe
symétrique Sp ([12], Ex. 24., Ch. III), par suite, G = Sp. □

184
Chapitre 9. Résolution des équations par radicaux
Remarque 9.15. Un polynôme de degré premier p > 5, satisfaisant aux hypothèses de la
Prop. 9.14, est non résoluble par radicaux.
Exemple 9.16. Soit f(X) =X5-4X-2 dans Q[X}.
Ce polynôme est unitaire et irréductible dans Z[X], d'après le Critère d'Eisenstein
(appliqué avec p = 2) ([13], Prop. 5.112), c'est donc un polynôme irréductible de Q[X] ([13],
Prop. 5.108.), de degré 5 (premier impair). Montrons que f(X) a exactement trois racines
réelles distinctes. On note que
f(-2) = -26, /(-l) = 1, /(O) = -2, /(l) = -5, /(2) = 22.
La fonction polynôme /, de R dans R, étant une fonction continue, on en déduit qu'il
existe av o^, «3, réels tels que
-2<a1<-l<a2<0<l<a3<2 et f(ai) = 0, pouri= 1,2,3.
L'étude de la croissance de la fonction réelle / montre que le polynôme f(X) n'a pas
d'autre racine réelle. En effet,
f'(X) = 5x4 - 4 = {V5X2 - 2)(y/5X2 + 2);
Le signe de f{x), pour x réel, est celui de y/5x2 — 2, qui s'annule pour
. Posons j3 :=
' —p ; on a /;(-j3) = /(/?) = 0 et le tableau de variation de
v5
la fonction réelle / est le suivant
—00
-1 -p
0
P 1 +00
f(x)
-f
0
-
0 +
m
—00
- • M
-
m -—* +°°
On a nécessairement
-2<a1<-l<-j3<a2<0</?<l<a3<2
et /(jc) a un maximum positif /(—j3) et un minimum négatif /(j3).
On en conclut que f(X) a exactement trois racines réelles distinctes, at, 1 < i < 3, donc
deux racines complexes, non réelles. Par suite (Prop. 9. 15), le groupe de Galois de f(X)
est le groupe symétrique 55, non résoluble, d'où f(X) non résoluble par radicaux.

§ 3. Exemples de polynômes non résolubles par radicaux
185
B. Equation polynômiale générale
1 / Degré de transcendance d'une extension de type fini
Définition 9.17. On dira qu'une extension de corps L : K est de type fini si L est obtenue
par l'ajonction à AT, d'un nombre fini d'éléments.
Remarque 9.18. Soit L est une extension d'un corps AT, si tx, f2, • • •, tn, n > 1,
sont des éléments de L, tous transcendants sur AT, alors, ces éléments peuvent être
algébriquement indépendants (Déf. 5.17) ou algébriquement dépendants sur AT, comme le
montrent les exemples suivants.
Soit r et m dans L ; supposons t transcendant sur AT et w transcendant sur K(t). Vérifions
que r et w sont algébriquement indépendants sur AT.
En effet,l'anneau de polynômes Af[X,7] étant identifiable à l'anneau AT[X][F], si u est
transcendant sur K(t) alors,
(/(n)^0, Vf£K(t)[Y])=*g(t,u)ÏO, Vg£K[X,Y].
Par contre, soit t g L transcendant sur K et u = t + 1, alors u est un élément de L,
transcendant sur AT, mais
(f(X,Y) = X - Y -f 1, dans K[X, Y)) =» /(r, u) = 0,
donc, dans ce cas, r et w sont algébriquement dépendants sur AT.
Proposition 9.19. Soit L : K une extension de corps de type fini, non algébrique ; il existe
alors un corps intermédiaire F tel que
i) F = K(av..., ar), r g N*, où les a(, 1 < / < r, ,s<9rtf transcendants, algébriquement
indépendants sur K ;
//) [L : F] est fini.
iii) Si M est un autre corps intermédiaire tel que Af = AT(j31,..., j35), où les jS^, l < j < s,
sont transcendants, algébriquement indépendants sur K et[L: M] fini, alors, s = r.
Démonstration. On suppose L = K(ax,...,an), non algébrique sur AT, donc il existe au
moins un \ <i <n, transcendant sur AT; de plus on a nécessairement [L : K] infini
(Prop. 2.36). Quitte à changer l'ordre des a,, on peut supposer ccx transcendant sur AT.
Si [L : K(ax )] < alors F := K(ax ) vérifie les conditions i) et ii) de l'énoncé.
Si [L : K(ax)] est infini, il existe nécessairement a-, 2 < i < n, transcendant sur K(ax),
donc sur K ; supposons transcendant sur K(ax).
Si [L : K{ax^Oq)} < °o, alors F := AT(a1,a2) convient, sinon, on réitère le processus,
jusqu'à ce que l'on obtienne, pour r, 1 < r < n, K(ax,..., ar), tel que
[L: AT(a1,...,ar)] < «>; alors, F = AT(ap..., ar) vérifie i) et ii).
Le procédé de construction de F montre que chaque a/5 1 < / < r, est transcendant sur
Kt_ x — K(ax,..., x ), où K0 = K. On en déduit que les a{, 1 < / < r, sont trancendants,
algébriquement indépendants sur K.
Montrons que F satisfait à la condition iii) de l'énoncé.
Soit M un corps tel que AT Ç M Ç L, [L: Af] < °oet Af = AT(j3l5..., ft), où les J3y., 1 <j<s,
sont transcendants, algébriquement indépendants sur AT.
[L : F] < oo => L algébrique sur F => Af algébrique sur F ;
alors, f5x est algébrique sur F, donc il existe / g F[X], tel que /(jS^ = 0 ; d'autre part,
F = K(ax,..., ar) implique / g K(ax,...,ar)[X\. On en déduit qu'il existe g dans
l'anneau des polynômes à r + 1 indéterminées sur AT tel que
s(/31,apa2,...,ar) = 0.
(9.12)

186
Chapitre 9. Résolution des équations par radicaux
Si l'élément ax figure explicitement dans l'égalité (9.12), alors a, est algébrique sur
K(Plta2,...,ar). On a
[L : F] < « =► [L : K($x,a„...,a,)]^,^,...,ar) : f] < oo
=^[L:K(Pl,al,...,ar))<oo.
K(Pva2,...,ar)cK(fil,av...,<Xr)ç:L implique
[L:K(pvav...,ar)}[K(pval,...,ar):K(pva2,...,ar)}<™,
d'où, [L:K{p%va2,...,ar)]<«>.
Si 5 > r, avec le processus précédent, on remplace, de proche en proche les a,-, 1 < i < r,
respectivement, par les /},-, 1 < i < r ; on obtient alors,
\L:K(PvP2,...,pr)]<°o,
d'où, compte tenu des hypothèses, j3r+1 transcendent sur K(p{, /32,..., /3r), ce qui contra-
dit L : K(fix , j32,..., j3y) algébrique, d'où nécessairement, s < r.
Si l'on avait s < r, alors, le raisonnement précédent, appliqué en échangeant les rôles de
F et M, conduirait à : r < s, donc, en conclusion r = s. □
Remarque 9.20. Les hypothèses étant celles de la Prop. 9.19, l'entier r > 0 caractérise
l'extension L : K de type fini, non algébrique.
Si une extension L : K est de type fini et algébrique, alors L est obtenue par l'adjonction à
K d'un nombre fini d'éléments, tous algébriques sur Af, ce qui entraîne (Th. 2.29) :
[L:K]< oo.
On peut, alors, considérer que le résultat de la Prop. 9.19 reste valable, en prenant
F = K et r = 0.
Définition 9.21. L'entier r > 0 qui, selon la Prop. 9.19 et la Rem. 9.20, caractérise une
extension de corps de type fini L : Af, est appelé le degré de transcendance de cette
extension.
Remarque 9.22. Si L = K(av..., Gfr,), n G N*, on a 0 < r < n et
r = 0 <=> [L : AT] < oo L : AT algébrique ;
r > 0 [L : AT] infini L : AT non algébrique.
r = n <==> av...,On transcendants, algébriquement indép. sur AT.
Exemple 9.23. Supposons L = Af(r, w, où r est transcendant sur AT, u2 = t et v
transcendant sur K{t,u).
Posons F := Af(f, v), alors r, v sont transcendants, algébriquement indépendants sur Af et
[L : F] = [F(u) : F] = 2, par suite, le degré de transcendance de L sur Af est 2.
Remarque 9.24. On rappelle que toute extension simple, transcendante d'un corps AT, est
isomorphe à l'extension K(X) : AT, où K(X) est le corps des fractions rationnelles à une
indéterminée sur AT (Th. 2.5).
Par récurrence, on montre qu'une extension de type fini,
L = K(av...,an),n€N\
où les a£, 1 < i < n, sont transcendants, algébriquement indépendants sur AT, est
isomorphe à l'extension K(XX,... ,Xn) : AT, où Af ,... est le corps des fractions
rationnelles, à n indéterminées sur AT ; cet isomorphisme est défini par
K(Xv...,Xn)-^>K(av...,On)
f(Xv...,Xn)\ ►/(«!,...,«„),
d'où, Vu G L, 3!/ G Af(Xl5... ; u = /(^,...,(%,). (9.13)

§ 3. Exemples de polynômes non résolubles par radicaux
187
Proposition 9.25. Soit L = K(ax,..., an) une extension de type fini de K, n g N*, où les
ty, 1 < i < n, «wwf transcendants, algébriquement indépendants surK; alors,
1) Le groupe symétrique Sn s'identifie à un sous-groupe de G(L : K).
2) F := InvL(Sn) = AT (s^,..., , <9w /es sk,\ < k < n, sont les fonctions symétriques
élémentaires des ah 1 < i < n.
[L:F]= n\, G(L : F) = S„, d'où L : F galoisienne de degré fini
De plus, les sk, \ <k<n, sont transcendants, algébriquement indépendants sur K.
Démonstration. 1) Soit G := G(L : K) et Sn le groupe des permutations de {1,2,... ,ai},
que l'on identifie au groupe de permutations de l'ensemble {ax,o^,...,a„}, en posant
([12], Lem. 1.74):
Va € Sn, Vî(l < i < n), o{at) = aa(f).
On peut alors considérer que tout G € Sn détermine un élément du groupe G, que l'on
appellera encore c, tel que
\/a e AT, Vi(l < / < n), a (a) = a, o{aai) = «czff^.
On identifie ainsi £„, à un sous-groupe de G = G(L : K).
2) Soit F :=InvL(Sn).
On rappelle qu'une fraction rationnelle / e K(Xv...,Xn) est dite symétrique ([13], p.
260) si
où, dans K(XX,... ,X„), /a(Xls... = /(*a(1),... ,Xa(n)).
Par suite, compte tenu de la relation (9.13), pour / e K(XX,...
f(ax,...,On) € F 4=^ f0 = f,\/oeSn. (9.14)
Ainsi, toute expression polynômiale sur AT, symétrique en ax, o^,..., On, appartient à F ;
en particulier, les fonctions symétriques élémentaires des at ([13], p. 250) sont des
éléments de F Compe tenu des notations de l'énoncé, pour tout k, \<k<n,
sk = Zk(av...,an)= £
\<ii<i2<-<ik<n
En particulier, sl=JLl(av...,an) = ocl + (X2-\ h ccn,
j2 = Z2(a1,,..,ofc)= £ ataj\
l<i<j<n
sn = Zn(av...,an) = axoc2...ocn.
D'après ce qui précède, on a K(sx,..., sn) Ç F
Mais, pour toute fraction rationnelle / symétrique dans AT(X1,... il existe ([13], Th.
8.29) une fraction rationnelle 0, à n indéterminées sur AT, telle que
f(av. ..,ccn) = <l)(sx,.. .,sn). (9.15)
La relation (9.14) implique alors,
F:=InvL(Sn)=K(sv...,sn).
D'autre part, Sn étant un sous-groupe fini de G(L : K) c AutL, d'après le Théorème
d'Artin (Th. 7.26), on a
[L:F]=\Sn\=n\, G{L:F)=Sn, et F = InvL(G(L : F)),

188
Chapitre 9. Résolution des équations par radicaux
donc l'extension L : F est galoisienne de degré fini.
De plus, quel que soit fc, 1 < k < n, sk est un polynôme symétrique en av...,On. Or,
par hypothèse, les a-0 1 < i < n, sont transcendants, algébriquement indépendants sur
Af. On en déduit (en utilisant (9.15)) que sv...,sn sont transcendants, algébriquement
indépendants sur K.
Par suite, le degré de transcendance des extensions de type fini L : K et F : K est n. □
2 / Notion de polynôme général sur un corps
Définition 9.26. Soit F = K(sv... ,sn) une extension de type fini d'un corps Af, où l'on
suppose que les sk, 1 < k < n, sont transcendants, algébriquement indépendants sur Af ;
alors, le polynôme
appartenant à F[X], est appelé le
polynôme général, de degré n, sur AT.
L'équation g(X) = 0 est alors,
l'équation polynômiale générale , de degré ai, sur AT.
Théorème 9.27. Les hypothèses et les notations étant celles de la Déf. 9.26, soit L un
corps de décompositon, sur F, du polynôme « général », g(X),de degré n sur Af ; alors les
zéros av...,an,de g{X), dans L, sont transcendants, algébriquement indépendants sur
K et le groupe de Galois de g(X) est le groupe symétrique Sn.
Démonstration. Les hypothèses impliquent que L = F(a{,..., (Xn) (Prop. 3.5) et que L : F
est de degré fini (Th. 3.15).
D'autre part, les Relations entre les Coefficients et les Racines du polynôme g(X) ([13],
p. 259) montrent que les sk, 1 < k < n, sont, respectivement, égaux aux n fonctions
symétriques élémentaires des af-, 1 < i < n ; alors,
Ainsi, L est une extension de K telle que
AT c F c L, [L:F] <oo
Par hypothèse, le degré de transcendance de F : AT est n. On en déduit (Prop. 9.19) que,
nécessairement, le degré de transcendance de L : K est n, donc les zéros ax,..., oc^ du
polynôme g(X) sont transcendants, algébriquement indépendants sur AT.
On se retrouve dans le contexte de la Prop. 9.25 ; on en conclut que G(L : F) = Sn et
G(L : F) est ici, le groupe de Galois du polynôme g(X) (Déf. 9.5). □
Théorème 9.28. Si K est un corps de caractéristique 0etn>5, alors le polynôme
général, de degré n sur K, n'est pas résoluble par radicaux.
Démonstration. D'après le Th. 9.27, le groupe de Galois du polynôme général, de degré
n sur AT, est le groupe symétrique Sn, qui n'est pas résoluble, pour n > 5 (Rappels, Par. A.).
On en conclut, d'après le Théorème de Galois (Th. 9.7), que, pour n > 5, le polynôme
général, de degré n sur AT n'est pas résoluble par radicaux. □
g(X) =Xn- SlXn~l + • • • + (-l)*^*-* + • • • + (-1)"$
(9.16)
F = K{s
L = K(av...,On).

§ 4. Exercices
189
4. Exercices
1. Notations : Pour une extension de corps F : AT, on écrira
k<f
pour exprimer que f : k est galoisienne, de degré fini.
Etant donné un corps k de caractéristique 0, AT désigne une clôture algébrique de AT.
Soit y g AT ; on considère les extensions de corps
kçfçf(y)ck
telles que, par hypothèse,
i) k<f;
ii) 3azgN* tel que y" g F
On suppose que n est le plus petit entier vérifiant la condition ii).
1°) On pose ax := y", p(X) := IrrK(avX) et /; := degp(X).
On supposera /c > 1.
a) Vérifier que a A: racines distinctes dans F ; on les notera ccx, o^,..., ak.
b) On pose [F : AT] = m ; justifier l'existence d'une base de F sur AT pouvant s'écrire
{û£j,• • • î*#n}-
En déduire un polynôme f(X) g k[X] divisible par p(X) et admettant F comme corps
de décomposition sur AT.
2°) Pour tout i ( 1 < i < ifc), soit y; g X tel que )f = a£, avec 7! = y.
e désignant une racine n*"16 primitive de l'unité de AT, on pose
l:=f{e,yv...,yk)
Fl:=F(£,y1>...,y,),V/(l<î<t);F0 = F(c).
Démontrer les propriétés suivantes.
a) L : F est une extension radicale.
v)f<f(e), Vî(l </<*), ft<fm et ft<l.
3°) a) En utilisant le polynôme q(X) := J^J(Xn-a.)5
montrer que F < L.
b) Vérifier que ç(X) g AT[X] ; à l'aide du 1°), prouver que k<\l.
4°) a) Montrer que les groupes de Galois g(l : fj), 1 < / < forment, avec le groupe
G(L : F), une suite de composition ([12], Déf. 7.1) du groupe g(l : k).
b) Vérifier que le groupe G(F0 : F) est abélien.
c) En considérant les quotients de la suite de composition du groupe
g(l : F), extraite de la suite de composition de g(l : k), prouver que le groupe G(L : F)
est résoluble ([12], Ch. 7).
d) Montrer que, si l'on suppose de plus g(f : AT) résoluble, alors le groupe g(l : k)
est résoluble.
2. AT désigne un corps de caractéristique 0 et AT est une clôture algébrique de AT. On
utilisera la notation « AT < F », définie dans l'exercice précédent.
1°) Soit Af C AT une extension radicale de AT. On suppose
M:=AT(A0,A1,...,Â5), seN* et
Vi(0 < / < s), 3n, g N* ; ÂQ"o g AT, À,"* g AT(A0,...,Xt_x).
a) £q étant une racine ne™e primitive de l'unité de AT, on pose F := k(e0,àx)) et on
considère les extensions
AT C F C F(Â1).
En utilisant les résultats de l'Ex. 1. précédent, montrer qu'il existe une extension lx de
AT telle que

190
Chapitre 9. Résolution des équations par radicaux
Lx est radicale sur K et K < Lx,
JT^Â^CL! et G(Lt : AT) résoluble,
b) En réitérant le raisonnement ci-dessus, à partir des extensions
ATC^CL^),
montrer qu'il existe une extension L de AT vérifiant les conditions :
L est radicale sur AT, K <L, M C L, et G(L : AT) est résoluble.
2°) Montrer que les résultats précédents donnent une preuve du Th. 9.11.

Appendice A
Corps ordonnés - Complétion d'un corps value
1. Corps ordonnés
Définition A.l. Un corps K est un corps ordonné s'il existe une partie P de AT telle que
/)0£P;
ii) aÇzK => (a E P ou a = 0 ou - a E P);
iii) {a,b) GPxP (a + beP et abcP).
P est alors appelé 1' ensemble des éléments positifs de K.
Proposition A.2. Si K est un corps ordonné, alors la relation binaire, notée <, et définie
dans K par
a<b (a = 6 on (b-a)GP) (A.l)
esf «ne relation d'ordre total telle que
l)a<EP=^0<a.
2) (a, c <ftz/i£ K et a<b) a + c < è 4- c.
3) (a, c dans K et a<b, 0 < c) => < èc.
4) a E K a2 > 0.
De p/ns, /e corps K est de caractéristique 0.
Démonstration. Tout corps K ayant au moins un élément non nul, si K satisfait aux
conditions de la Déf. A.l, alors P est non vide, et on montre facilement que la relation (A.l)
définit une relation d'ordre dans K (à vérifier par le lecteur). De plus, la condition ii)
implique
V(a,ô) EATxAT, b-a = 0 ou b-aeP ou -(b-a)£P.
On en déduit que
V(a,b)eKxK, a = b ou a<b ou a>b,
donc K est totalement ordonné par la relation (A.l).
Vérifions les propriétés énoncées :
1) a€P=>a^0;alors, a-0 £ P 0 < a.
2) Soit a, b dans K tels que a<b \ quel que soit c E AT, on a
ou bien a = b => a + c = b + c ou bien b-a E P =» ((ô + c— (fl + c)) E P,
d'où a + c < è-fc.
3) De l'hypothèse (a < b et 0 < c), on déduit que

192
Appendice A. Corps ordonnés - Complétion d'un corps value
pour c = 0, on a ac = bc = 0 et pour 0 < c, on a deux possibilités :
b-a = 0 bc-ac = 0 ou b-aeP bc-ac G P,
d'où la propriété 3).
4) Soit a G AT, si a ^ 0, alors, moyennant les conditions ii) et iii),
(a e P ou —a e P) a2 £ P => 0 < a2,
d'où 0 < a2, quel que soit aG K.
En particulier, si 1 désigne l'élément unité du corps AT, alors
1 = 12 lEP
et la condition iii) entraîne : ni G P, Va e N*. On en conclut que car AT = 0. □
Remarque A.3. Posons Af := {-a G K ; a G P} ; la Déf. A.l implique
0£7V, K = PU{0}UN et PDN = (d.
Pour vérifier que PfW = 0, supposons aePON; alors a € N implique -a e P et d'après
la condition iii),
(a,-a) GPxP=>a+{-a)=0GP,
ce qui contredit la condition i).
La propriété 1) de la Prop. A.2 implique alors,
(aGP ^==> 0<a) et (aGN <=> a<0).
N est appelé l'ensemble des éléments négatifs de AT.
Corollaire A.4. AT étant un corps ordonné, on a
a)((a,b)ePxN=>abeN) et ((a,b) e N xN ==>ab e P).
b) P est un sous-groupe du groupe multiplicatif AT*.
Démonstration, a) Le 3) de la Prop. A.2 donne
(b < 0 et 0 < a) => ba = ab < 0.
D'autre part,
(a<0,b<0)=>(0<-a,0<-b)=>0< (-a)(-b) = ab.
b) D'après la Déf. A.l, P est un sous-ensemble non vide de AT*, fermé pour la
multiplication de AT.
Le 4) de la Prop. A.2 montre que 1 e P ; de plus, tout élément a de P est non nul, donc
inversible dans AT et
(a e P, tftf-1 = 1 e P) ==> a~l e P,
d'après le résultat a) du Cor. A.4. □
Exemple A.5. Le corps Q des nombres rationnels est un corps ordonné par la relation
d'ordre induite par l'ordre de Z. En effet, Q est le corps des fractions de Z et la partie P
de Q telle que
P:={" ; as>0, dansZ}
répond aux trois conditions de la Déf. A.l.
Notation : On pourra désigner par (AT,P), un corps ordonné AT, dont l'ensemble des
éléments positifs est P.
Remarque A.6. a) Etant donné un corps ordonné (AT,P), si AT' Ç AT est un sous-corps de
AT et si l'on pose P/ := AT' HP, alors (Af',P') est un corps ordonné (à vérifier).
La relation d'ordre ainsi définie sur Kf est dite induite par celle de AT.
b) Deux corps ordonnés (AT,P) et (Af',P') sont des corps ordonnés isomorphes s'il existe
un isomorphisme X de K sur Kr tel que X(P) Ç P/.
S'il en est ainsi, on a Â(0) = 0 et X(N) Ç N', ce qui entraîne Pf = X(P) et N' = X(N).

§ 1. Corps ordonnés
193
Théorème A.7. R est un corps ordonné.
Démonstration. On suppose connue la construction du coips R des nombres réels, à partir
de l'anneau G des suites de Cauchy de Q (Cf. Ex. 8., Ch. 1, ou [4]).
On rappelle que, dans l'anneau C, l'ensemble 60 des suites qui convergent vers 0, est un
idéal maximal et R = 6/eo.
On définit dans C, les parties C+ et C_ telles que pour u = (un)neN G C :
u G e+ <=> V£ G q+, 3n£ e N, t.q. (n>ne=>un> -e);
u G S_ Ve € <Q>+, 3rte E N, t.q. (n> ne=>un< e).
Or, « G 60 Ve G <Q>+, 3ne G N, r.ç. (ai > ne -e < un < e),
d'où, e = e+ue_ et e+ne_ = e0.
on pose e;:=e+\e0 et e!.:=e_\e0.
Dans R = e/60 = {jc := ïï ; w G C}, on dira que
jc = ïï est positif, s\u£G+ ; on écrira 0 < jc ;
jc = ïï est négatif, si u G Cl ; on écrira jc < 0.
D'autre part, on sait que jc = 0 si et seulement si jc = ïï, où u G C0.
On note R*j_ (resp. R*_) l'ensemble des éléments positifs (resp. négatifs) de R et on montre
que la partie P : = R^ de R satisfait aux conditions de la Déf. A. 1. (à vérifier par le lecteur).
On en conclut que R est un corps ordonné par la relation d'ordre telle que, pour jc et y
dans R :
jc<y x = y ou y-jcGR+. (A.2)
On pose alors, R+:=R;u{0} et R_:=R1U{0}. □
Remarque A.8. a) L'ordre « naturel » défini sur Q (Exemple A.5) correspond à l'ordre
induit sur Q par celui de R, puisque = R^ D Q.
b) Le corps C des nombres complexes n'est pas un corps ordonné.
En effet, si C était un corps ordonné, il existerait une partie non vide P de C vérifiant les
conditions de la Déf. A.l et les propriétés de la Prop. A.2. Mais, le 4) de la Prop. A.2
impliquerait, à la fois
1 = 12GP et -1 = /2gP,
d'où une contradiction.
Cependant, comme tout ensemble non vide peut être ordonné ([8]), il est possible de munir
l'ensemble des nombres complexes d'une relation d'ordre, mais celle-ci ne vérifiera pas
les conditions de la Déf. A.l.
Par exemple, on peut vérifier que la relation binaire < définie dans le corps
C = {a + ib\ (a,b) G R x R}, par
a + ib<a! + ibf <=> (a<a!c\b< b', dans R).
est une relation d'ordre dans l'ensemble C.
Moyennant le « Théorème de la valeur intermédiaire » (supposé connu, ([4]) nous
pouvons démontrer la propriété suivante.
Théorème A.9. Quel que soit l'entier n > 0, tout nombre réel a>0 a une racine nème
dans R+.

194
Appendice A. Corps ordonnés - Complétion d'un corps value
Démonstration. Pour tout a > 0 dans R, la fonction polynômiale
f:R—>R
x i—► jc" - a est continue.
Si a — 0, 0" = 0, donc le théorème est vérifié.
Si a>0, ona/(0) = -a<0 et f(a+l) = (a + l)n-a>0.
On en déduit, d'après le Théorème de la valeur intermédiaire, qu'il existe a g R tel que
0<cc<l+a et /(a) = 0,
donc a>0 et a" = a. □
Corollaire A.10. Tout nombre réel positif, a, a une unique racine carrée réelle positive.
Démonstration. En effet, d'après le Th. A.9, quel que soit a > 0 dans R, il existe a > 0,
dans R tel que a2 = a. Or,
a > 0 => -a < 0 et (-a)2 = a2 = a.
L'équation X2 — a = 0 ayant au plus 2 racines dans R ([13], Th. 4.39), la racine carrée
positive a de a > 0 est unique, l'autre racine étant - a < 0.
Si a > 0 dans R, on note la racine carrée positive de a. □
Théorème A.1L II existe une unique relation d'ordre sur le corps R, qui lui confère une
structure de corps ordonné.
Démonstration. D'après le Th. A.7, R est un corps ordonné dont la partie positive est
R*j_. Supposons qu'il existe une partie P de R telle que (R,P) soit aussi un corps ordonné.
D'après le Cor. A. 10,
Va g R^, 3! a g R;, t.q. a = cc2
et d'après la Prop. A.2, dans le corps ordonné (R,P),
a = a2 => a g P, d'où R; ç P.
On en déduit que R^ = P (Rem. A.6, b)). □
2. Corps values
Définition A.12. (Rappel) Pour tout x g R, on pose
| x |= max{x, —x). (A.3)
| x | est la valeur absolue de x dans le corps ordonné R et on a, quels que soient les nombres
réels *,y,
1) | jc |= jc x>0; | jc |= -jc <=> x< 0.
2) |xy|=|*lly|-
3) | jc+y | < | jc | + | y | (Inégalité triangulaire).
Cette valeur absolue, dans le corps ordonné R, permet de définir une notion de valeur
absolue dans un corps quelconque.
Définition A.13. On appelle valeur absolue sur un corps K, toute application, que l'on
notera | |, telle que

§ 2. Corps values
195
\\:K—»R+
et, quels que soient jc, y dans AT,
i) | 0 |= 0; jc^O 4=> |jc|>0; (A.4)
ii) |xyH*IM; (a.5)
iii) |jc+y|<|jc| + |y|. (A.6)
Remarque A.14. L'ensemble {| jc | ; jc g AT*} forme un sous-groupe du groupe
multiplicatif r;.
Définition A.15. Si un corps K est muni d'une valeur absolue | |, on dira que le couple
(AT, | |) est un corps value .
Exemple A.16. 1) Les corps q et r sont respectivement munis de la valeur absolue
(dite « ordinaire ») définie par la relation (A.3).
2) Le corps C est muni de la valeur absolue (dite « ordinaire ») telle que, quel que soit
a -f ib dans C,
\a + ïb |= Va2-\-b2
(| a -h ib | est le module du nombre complexe a + ib).
Cet exemple montre qu'un corps value n'est pas nécessairement un corps ordonné.
Notation : La valeur absolue ordinaire de q,r ou C est généralement notée | |oo.
3) Sur tout corps AT, on peut considérer ce qu'on appelle la valeur absolue triviale ,
notée | |0 et définie par
| 0 |0= 0 et VjcgAT*, |jc|0=1.
4) Valeurs absolues /7-adiques sur Q.
On note IP l'ensemble des nombres premiers (c'est-à-dire des éléments premiers, positifs
de Z [13], App. A).
Soit p fixé dans 9; Q est le corps des fractions de Z, par suite, la notion de valuation
p-adique de Z, ([13], App. A, Déf. 0.15) induit, de façon naturelle, la notion de valuation
p-adique de Q.
Soit jc E Q* ; supposons jc = -, a, s non nuls dans Z.
Soit wp la valuation /7-adique de Z ; on peut écrire, de façon unique
a=Y\pWp(a\ s= l\pw?(s\
où seuls un nombre fini de wp(a) et wp(s) sont non nuls dans N. On en déduit que
jc=- = Y[ pwp(a)~wp(s\
s pe?
En posant, dans la relation précédente, pour tout p G T,
^p(x) = Wp(a)-wp(s),
on obtient, de façon unique,
*=rbvpW> (a.7)
pe9
où, seuls un nombre fini de v^(jc) sont non nuls dans Z.
Par convention, on pose ^(0) := «s quel que soit le nombre premier p.

196
Appendice A. Corps ordonnés - Complétion d'un corps value
Définition A.17. L'application vp : Q —> Z U {«>}, associée, d'après ce qui précède, à
tout p € 9, est appelée valuation p-adique de Q.
On vérifie facilement les propriétés suivantes ;
Proposition A.18.
1)V/,(jc)=oo jc = 0. (A.8)
2) ^(jçy) = vp(jc) + vp{y), V(jc,y) G Q* x Q*. (A.9)
3)vp(jc4-y) >mm{i;,W,v/,W}, V(^j)€Q*xQ*. (A.10)
Définition A.19. Pour p donné dans on dit que jc € Q est un p-entier, si vp(x) > 0.
Remarque A.20.
jc € Z <==> x est un p-entier, Vp G V.
On rappelle que
jt|ydansZ* <=ï vp(x) < vp(y), Vp g 7.
Etant donné p e 7 et un nombre réel y tel que 0 < y < 1, on pose
VjceQ*,\x\p:=f^x) et |0|p=0. (A.11)
Proposition A.2L Pour towf P € vapplication \ \p : Q —► R+ cfé/îme par tes refa-
ri^ns (A.l 1) satisfait aux propriétés suivantes :
i) |0 !, = (>; jc^O 4=^|jc|p>0;
iï) \xy\p = \x\p\y\p\
iii) \x+y\p < max(\x\p,\y\p) <\x\p + \y\p,
donc définit une valeur absolue de Q.
Démonstration, laissée au lecteur. □
Définition A.22. Quels que soient le nombre premier p et le nombre réel y(0 < y < 1),
on dit que l'application | |p, définie par (A.ll), est une valeur absolue p-adique de Q.
Dans le cas particulier où y = —, la valeur absolue | \p est appelée valeur absolue p-
adique normalisée de Q. On a alors
VjcgQ*, \x\p=p-vp<x\ (A.12)
Remarque A.23. a) Compte tenu de la définition A.19, si | \p désigne la valeur absolue
p-adique normalisée de Q, alors pour jc g Q, on a
jc est un p-entier 0<\x\p<l.
jcgZ 0 <|jc|p< 1, VpE?.
b) L'inégalité iii) vérifiée par une valeur absolue p-adique :
\x + y\p< max(\x\p,\y\p),
est appelée : inégalité ultramétrique (elle entraîne r inégalité triangulaire).
Définition A.24. On dit que des corps values (JC, | |) et (K\ | |') sont isomorphes, s'il
existe un isomorphisme À : K —► Kr tel que
|â(jc) |'=|jc|, VxGK.

§ 2. Corps values
197
Remarque A.25. (Af, | |) étant un corps value, si K1 est un sous-corps de AT, alors la
restriction de la valeur absolue | | à K' définit une valeur absolue de AT'.
Ainsi, les restrictions à Q et R de la valeur absolue ordinaire de C sont les valeurs absolues
ordinaires de Q et R.
Définition A.26. On dit qu'un corps value (AT, 11) est non-archimédien (ou que sa valeur
absolue est non-archimédien ne), si
Vaz € Z, | n\K |< 1, 1^ désignant l'élément unité de AT.
Dans le cas contraire :
3nEZ, tel que \n\K\>\,
on dit que le corps value (JC, | |) est archimédien (ou que sa valeur absolue est archimé-
dienne).
Exemple A.27. 1) Les valeurs absolues ordinaires définies sur Q, R, C, sont archimé-
diennes.
2) Sur tout corps AT, la valeur absolue triviale (Exemple A. 16, 3)) est non-archimédienne.
3) Pour tout p € IP, toute valeur absolue p-adique de Q est non-archimédienne (Rem.
Remarque A.28. a) Un corps fini n'a pas d'autre valeur absolue que la valeur absolue
triviale.
En effet, soit (AT, | |) un corps value fini ; si carK = p et cardK = pn, alors, | 0 |= 0 et
pour jc g AT*,
d'où | jc |= 1, quel que soit jc g K*.
La valeur absolue de K est donc non-archimédienne.
b) Si (AT, | |) est un corps value archimédien (resp. non-archimédien) et Kf est un sous-
corps de AT, alors, | |; désignant la restriction de | | à AT7, le corps value (AT7, | |') est
archimédien (resp. non-archimédien).
Cette remarque s'applique, en particulier, lorsque K' est le sous-corps premier de K (Déf.
1.3). Par suite, la remarque a) précédente implique la propriété suivante :
Tout corps value, de caractéristique p 7^ 0, est non-archimédien.
c) Un corps value (AT, 11), de caractéristique 0, peut être archimédien ou non-archimédien,
suivant le choix de la valeur absolue | |.
On a vu, par exemple, que le corps value (Q, | |«>), où | !«> désigne la valeur absolue
ordinaire de Q, est archimédien ; par contre, quel que soit le nombre premier p, le corps
value (Q, | \p) est non-archimédien.
Proposition A.29. Dans (R, 11), où 11 est la valeur absolue ordinaire, la condition archi-
médienne est équivalente à
Démonstration. Supposons la condition (A. 13) vérifiée. En prenant a = b = 1 dans R et
N > 1 dans Z, on obtient | NI |> 1, d'où la condition archimédienne dans (R, | |).
Réciproquement, la valeur absolue ordinaire de R étant archimédienne, montrons que la
condition (A. 13) est vérifiée.
Soit a > 0 et b > 0 dans R.
A.23).
V(fl,6) € R; x R+, 3JV E N* ; Na > b.
(A.13)

198
Appendice A» Corps ordonnés - Complétion d'un corps value
Si b = 0, alors la relation (A. 13) est vérifiée pour tout N > 1, dans N.
Si a > b > 0, quel que soit N > 1 dans N, on a
Na>Nb> è, d'où la condition (A. 13).
Si 0 < a < b, on considère ba~l dans R = C/eo (voir la construction de R, Ex. 8., Ch. 1).
D'après la preuve du Th. A.7.,le nombre réel ba~l > 0 est la classe d'équivalence w, d'une
suite de Cauchy u = (un)neN E C+.
Or, toute suite de Cauchy de Q est bornée (Ex. 8, Ch. 1), donc il existe N E Q* (et on
peut supposer N E N*) tel que Vn E N, un < N.
En considérant N comme la limite d'une suite constante de Q, on a alors, w < Af, d'où
ba~l <N=ïb<Na. □
Proposition A.30. Pour une valeur absolue \\d*un corps Af, les conditions suivantes sont
équivalentes :
1) | | est non-archimédienne.
2) | | vérifie l'inégalité ultramétrique (Rem. A.23).
3) Pour tout r E R+, l'application \ \r de K dans R+ est une valeur absolue de K.
Démonstration. 1) => 2) : L'hypothèse implique que quels que soient jc E AT et m E Z,
| mx |=| ml^jc |=| m\K \\x \<\x |. (A.14)
De (A.14), on déduit que, quels que soient n > 0 dans Z et jc,y dans AT,
|jc-l-yr=|jcn + C^jcw-1y + ---+/ I
<|jcr+ixr-i|y|+---+iyr
< (n + l)max{\x\n,\y \n) = (n + l)(max(\x |,| y |))".
En prenant, dans R+, les racines n*"1*5 de chacun des deux membres de l'inéquation
précédente (Th. A.9), on obtient
1 \x+y | <max(\x\,\y |);
alors, ( lim —= = 1) =>\x + y\<max(\x\,\y\).
2) => 3) : Pour tout jc E AT et tout nombre réel r > 0, on a | jc |r> 0 et | jc |r= 0 <==> x = 0.
De plus, quels que soient jc,y dans AT et r E R+,
|*+y|r< (max(\x\,\y\)Y=max(\x\r,\y\r)<\x\r + \y\r.
3) =>> 1) : | |oo désignant la valeur absolue ordinaire dans R, pour tout n E Z*, on a
| n \oo= ±n > 0.
L'hypothèse entraîne que pour tout nombre réel r > 0 et tout n E Z*, pour lequel on pose
r! :=| n |oo, on a
\n\K \r = \n'\K \r<n'\lK \r<n';
alors, | n\K \r < n' \ n\k \< lim (n')^ = 1.
Ainsi, I I est une valeur absolue non-archimédienne de K. □

§ 2. Corps values
199
Définition A.31. Deux valeurs absolues | | et | |' d'un corps K sont dites équivalentes,
s'il existe r G R+ tel que | |'=| |r .
Remarque A32. Si (AT, | |) est un corps value et si r > 0 dans R, alors | |r n'est pas
nécessairement une valeur absolue de K.
Par exemple, si | | désigne la valeur absolue ordinaire de Q, alors
|1 + 1|2=4 et |1|2 + |1|2=2,
donc | |2 n'est pas une valeur absolue sur Q.
Proposition A.33. Soit {xvx2, •.. n > 2, des éléments non nuls d'un corps value,
non-archimédien (AT, | |) ; alors
(\xi\<\xx |,Vi\2<î<,i) =>\xl+x2 + -~+xn \=\xx | . (A.15)
Démonstration. L'inégalité ultramétrique implique
1*1 +*2"^ I ^ rnax(\ xt |, 1 < i < n) =\xx |;
| x2 H \-xn | < max(\x( |, 2 < / < n) <| xx \.
Si l'on avait | xx 4-jc2 H hx„ \<\xx | ; on aurait alors
1*1 I =1 (xl+X2 + ~-+Xn)-(x2 + ---+Xn) \
<max(\xx-{-x2-\ \-xn |, |x2H hA:n |) <| ^ |;
d'où une contradiction, dont on déduit l'égalité (A.15).
On remarque que la relation (A.15), appliquée dans le cas de deux éléments x et y, donne
|x|<|y|=*|x + y|=|y|. □
Proposition A.34. Toute valeur absolue non-archimédienne, non triviale, de Q est une
valeur absolue p-adique, pour un certain nombre premier p.
Démonstration. Soit | | une valeur absolue non-archimédienne de Q, que l'on suppose
non triviale ; on a alors
M ={m<EZ; \m\< 1}^{0}.
Montrons que M est un idéal de Z.
On a 0 G M ; d'après la Prop. A.30, | | vérifie l'inégalité ultramétrique, d'où, pour m et m'
dans Af,
\m + mf \<max(\m\,\m' \) < 1.
D'autre part, me M implique -m G M; enfin, | | étant non-archimédienne, on a, quels
que soient n G Z et m G M,
| nm |=| n \ | m \< 1,
d'où nm G M.
De plus, M est un idéal premier de Z, car pour des entiers n et ni
(| n |= 1 et | ri |= 1) =H nri |= 1 donc (n ^ M et ri <£M) nri&M.
On en conclut qu'il existe un nombre premier p tel que M = pZ etO < | p |< 1 ; posons
r=|p|-
Pour tout jc G Q, il existe a,b, k dans Z tels que jc = ~ pk, où
aAp = l=bAp et k=vp(x) (valuation /?-adique de jc).
a pZ, b pZ | a \= 1 =| * |.
On en déduit que | jc | = y*> W ,où0<7=|p|<l dans R, donc 11 est une valeur absolue
p-adique sur Q (Déf. A.22). □

200
Appendice A, Corps ordonnés - Complétion d'un corps value
Théorème A.35. Soit (K,\ |) un corps value non-archimédien (| | non triviale ), alors
1) A :== {jc g K ; | x|< 1} est un domaine d'intégrité ([13], Déf. 1.21).
A est appelé l'anneau des entiers du corps value (K, | |).
2) M := {jc g K ; | jc |< 1} est l'unique idéal maximal de A, donc A est un anneau local
([13], Déf. 2.73)
Le groupe multiplicatif des éléments inversibles de A est alors
U:=A\M.
On dit que 5F := A/M est le corps résiduel du corps value (AT, | |).
3) K est le corps des fractions du domaine d'intégrité A.
Démonstration. 1) On vérifie que A est un sous-anneau du corps K, c'est donc un
domaine d'intégrité ([13], Ch. 5).
2) On montre facilement que M est un idéal de A et pour prouver que c'est l'unique idéal
maximal de A, il suffit de vérifier que M est l'ensemble des éléments non inversibles de
A ([13], Th. 2.77). Or, pour jc g A, on a
jc inversible <*=>|jc|=1, d'où jc non inversible jcgM.
3) Soit a l'injection canonique de A dans son corps de fractions FrA et j l'injection de
A dans K.
La propriété universelle du couple (FrA, a) ([13], Th. 5.5.) entraîne l'existence d'un
unique morphisme (p de FrA dans K tel que le diagramme suivant commute
et V^eFrA, <p(^) = j(x)(j(y))-1 =xy~l ([13], Th. 5.5).
On sait que le morphisme (p est injectif, vérifions qu'il est surjectif. Soit z ^ 0, dans K;
alors
\z |< 1 ==> Z G A (p(z) = z\
| z |> 1 => z~l G A* ==» 9(4t) = z-
z 1
Ainsi <p est un isomorphisme. Or, le corps FrA est défini à un isomophisme près ([13],
Rem. 5.8), d'où le résultat énoncé. □
Exemple A36. Dans le cas du corps value non archimédien (Q, | \p), posons
Ap := {jcgQ; | jc \p< 1} = {jcg Q ; vp(x)>
Mn
Up
= {*GQ; |jc|^<1} = {jcgQ; ^(jc)>0};
= {jcgQ; |jc|p<1} = {jcgQ; vp(x)>0}\
= Ap\Mp = {- g Q* ; p\a,p\s}.
On a Z c Ap et Mp = pAp. Tout jc g Ap \ {0} s'écrit de façon unique,
x = -pVp(x\ où - g Up, vp(x) > 0 et a As = 1, donc
s s
x = upvp(x\ où ueUp.
On en déduit que les idéaux non nuls de Ap sont les p Ap, keN, donc l'anneau local Ap

§ 3. Topologie d'un corps value
201
est principal.
Les éléments non nuls du corps Jp = Ap/Mp, sont les classes d'équivalence, modulo
Mp, des éléments u de Up, notées ïï. Si u = - € Up, alors p \ a et p \ s impliquent que
les classes d'équivalence des entiers a et s modulo p, notées â, s, sont des éléments non
nuls, donc inversibles, du corps Z/pZ. Par suite, ïï peut être identifié à l'élément non nul
as'1 deZ/pZ.
On en conclut que le corps résiduel, 3p, du corps value (Q, | \p) s'identifie à Fp = Z/pZ.
3. Topologie d'un corps value
Etant donné un corps value (AT, | |), l'application
d:KxK —► R+
(x,y) «—>\x-y\
est une distance sur K ([19]) ; en effet, on vérifie facilement, que
i)d(x,y)=0 x = y;
iï) d(y,x) = d(x,y), Vx,y dans AT;
iiï)d(x,y) <d(x,z)+d(z,y), \/x,y,zdmsK.
Ainsi tout corps value (AT, 11) est un espace métrique relativement à la distance d associée
à la valeur absolue | |, donc AT est muni de la topologie définie par d, qui sera dite induite
par | | ([19]). Les applications
K
— x
jc-1, sijc^o,
KxK —
K
-*x+y
x
-+xy
X
sont continues et la relation
ll*l-M
l<
-y\
implique que l'application x —>| x \ de AT dans R+ est uniformément continue ; donc
l'espace métrique (K,d) est un espace topologique uniforme ([19]).
Remarque A.37. Si X est un isomorphisme de corps values de (AT, | |) sur (AT7, | |;) (Déf.
A.24.) et si d et d'sont les distances, respectivement associées aux valeurs absolues de K
et AT', alors quels que soient jc et y dans AT,
\X{x-y) \'=\x-y\=>d'(X(x\X(y)) = d(x,y).
Par suite X est une isométrie de (K,d) sur (Kf,dr).
Rappel ([19]) : Une partie A d'un espace topologique E est dense dans E, si toute partie
ouverte non vide de E rencontre A.
Théorème A.38. Q est dense dans R.
Démonstration. Toute partie ouverte non vide de R contient un intervalle ouvert ; il suffit
donc de montrer que quels que soient a, b dans R* tels que a < b, il existe au moins un
élément q G Q tel que a<q <b.

202
Appendice A. Corps ordonnés - Complétion d'un corps value
Si a < 0 < b, on prend q = 0. Supposons 0 < a < b ; (R, | !«,) étant archimédien, il existe
n G N* tel que n(b - a) > 1 (Prop. A.29) ; étant donné un tel entier n, on a b-a> -.
n
Posons
k
E :={k G N* ; ->b}\E est une partie non vide de N*.
n
Notons m le plus petit élément de E ; alors,
tfî , m-l
— > b et < b.
n n
( > (b-a)) ==> >b-(b-a)=a.
xn n n 7 n
_ m-l
En posant q = , on obtient a<q<b.
n
Dans le cas où a < b < 0, on a 0 < — b < —a, donc, d'après ce qui précède, il existe q G Q
tel que —b < qr < -a\ en posant q := -q\ on obtient a<q<b. □
On rappelle qu'un espace métrique E est dit complet si toute suite de Cauchy de E est
convergente dans E ([19]).
Théorème A.39. Le corps value (R, | |TO) est un espace métrique complet
Démonstration. On note ici | | la valeur absolue ordinaire, | I», de R.
Soit {un)neN G RN, une suite de Cauchy de R.
Pour tout n G N, ^ G et, puisque Q est déTwe dans R (Prop. A.38), il existe qn G Q
tel que
|<^- (A.16)
On peut ainsi déterminer une suite q = (?n)ne^ € QN ; montrons que ç est une suite de
Cauchy dans Q.
Soit e G R*J_ ; la suite (^)ne^ G QN converge vers 0, donc il existe NxgN tel que
1 e
n>N, => —<-.
- i 2n ~ 3
D'autre part, la suite (w„)weN est une suite de Cauchy de R, alors il existe N2eN tel que
£
(m >N2,n> N2) =>\um-un\< -.
Posons Af := max{NvN2] ; compte tenu de (A.16), la condition m > N,n> N dans N
implique
I qm ~qn | < \qm - um | -I-1 um - un \ -h | un - qn \ < e.
La suite de Cauchy (qn)n(zn définit un nombre réel r := lim qn.
Montrons que la suite de Cauchy (un)neN G RN converge aussi vers r. La définition de r,
entraîne qu'étant donné e > 0 dans R, il existe vx G N tel que
n>vx ^\qn-r\<^.
D'autre part, lim = 0 implique qu'il existe v9 G N tel que
1 / £
- 2 2" ~ 2
En posant v := max^, v2}, on obtient, moyennant la relation (A.16),
n> v =H ww-r\<\un-qn \ + |?«-r|<e,
d'où lim m„ = r G R. □

§ 4. Complétion d'un corps value - Corps p-adiques
4. Complétion d'un corps value - Corps p-adiques
A. Complétion d'un corps value
Théorème A.40. Etant donné un corps value (Af, | |), il existe un corps value (£, | |) tel
que
l)K est une extension de K et\ \ est la restriction de | | à K.
2) K est dense dans K.
3) (AT, | |) est un corps value complet
Démonstration, (non détaillée) : On suppose la valeur absolue de K non triviale.
1) Soit C(K) l'ensemble des suites de Cauchy de (AT, | |) et C0(Af) l'ensemble des
éléments de C(K) qui convergent vers 0.
Posons C := C(K) et C0 := C0(K) ; on a C0 C C C ATN.
En identifiant tout élément a de K à la suite constante, dont tous les éléments sont égaux
à a, on obtient l'inclusion AT C C.
On vérifie que C est un sous-anneau de AfN et que C0 est un idéal de C (voir le cas où
K = Q, Ex. 8., Ch. 1).
Montrons que C0 est un idéal maximal de C.
Supposons qu'il existe un idéal B de C tel que C0ÇBÇC.
Soit u = {un)neN G B\C0 ; il existe alors tj g R+ et N G N, tels que
n>NdansN | un |> tj.
Considérons la suite v = (vn)neN définie par :
vn — 1, si 0 < n < N et vn = un, ûn> N.
La suite (un - vn)neN G C0 £ £ et la suite v est inversible dans l'anneau C ; B étant un
idéal de C,
v_1v = v-1(w-i>) Gfi;
alors 1 G fi entraîne B = C, donc C0 est un idéal maximal de C.
Posons K := C/C0 ; £ est un corps ; j étant l'injection canonique de K dans C et <p la
surjection canonique de C sur C/C0, (poj est un morphisme non nul de K dans donc
È est une extension de AT (Ch. 1).
Soit ïï G if; ïï est la classe d'équivalence modulo C0 d'une suite
u — (un)neN ^ ^* Que^ ^ue s°iï e ^ ^ existe Ne G N, tel que, pour des entiers m et n,
(m >Ne,n> Ne) => \ un - um |< e.
Par suite, dans (R, | !«>), on a
Il "n | - | «m | |oo < 11 W„-Wm ||co=| Wn-Ww |, donc
(m> Ne,n> Ne) => \\un \ — \um ||oo< e.
Ainsi (| wn \)neN est une suite de Cauchy dans R et, puisque (R, | |oo) est complet (Th.
A.39), (| un \)neN converge dans R ; alors,
ÏÏ = 0 «=(",iLnEC0 lim I Un l=°;
fl >oo
ïï^O lim | un |>0.
Pour tout ïï G on pose | S | := lim \un\ et on vérifie que l'application | | de K dans
n—>oo
R+ ainsi définie, est une valeur absolue de K, prolongeant la valeur absolue | | de AT.
2) Etant donné ïï et P dans K, quels que soient leurs représentants respectifs, (un)neN et
(v")h<eN dans c> on a
ïï = v lim (wn — v„) = 0 <^=^> lim un = lim v„.

204
Appendice A. Corps ordonnés - Complétion d'un corps value
On convient alors d'identifier tout élément u de k, à lim un, quel que soit le représentant
n—>oo
(«„)W(EN, modulo C0, de ïï dans C.
Ainsi, tout élément de k est la limite d'une suite d'éléments de K ; on en déduit que K est
dense dans K, muni de la topologie induite par | |.
3) On démontre que le corps value (È, | |) est complet, c'est-à-dire que toute suite de
Cauchy d'éléments de K converge dans K, par une méthode analogue à celle qui à permis
de prouver que (R, | |«>) est complet (Th. A.39). □
Définition A.41. On appelle complétion d'un corps value (AT, 11), tout corps value (K, | |),
qui vérifie les conditions du Th. A.40.
On dit aussi que K est un complété de K relativement à la valeur absolue | |.
Théorème A.42. Propriété universelle de la complétion d'un corps value
(K, | |) étant la complétion de (K,\ |) définie dans le Th. A.40., soit X le morphisme
canonique de K dans K; alors quels que soient le corps value complet (Af',| |') et le
morphisme f de K dans Kf tel que, pour tout a e AT, | f(a) \f=\a\, il existe un unique
morphisme \ff de k dans K' tel que yoX=f,ce qui implique
|s|=| va(ïï) |',Vïïe£.
Démonstration. On utilise les notations de la preuve du Th. A.40.
Les éléments de K sont identifiés aux suites de Cauchy constantes et quel que soit a dans
K,X(a) = a.
Soit ïï e K et (wn)weN e C un représentant de ïï modulo C0 ; on écrit alors (voir preuve du
Th. A.40),
ïï = lim un.
n—k»
Moyennant l'hypothèse concernant le morphisme /, on montre que,
{un)neN étant une suite de Cauchy de AT, (f{un))neN est une suite de Cauchy de K' ; alors
puisque K' est complet, cette suite converge dans K' et on vérifie que sa limite est
indépendante du choix de la suite (un)neN représentant l'élément ïï de K.
On considère l'application
u = lim un i—> l := lim f(un).
n—>oo n—>oo
y est alors un morphisme de K dans K1 tel que y/'o X = /, dont on vérifiera l'unicité. De
plus, quel que soit ïï = lim un dans K,
n—>oo
| ïï | = Um \ un\= lim | f(un) \
n—>oo n—>oo
=| lim /(«„) |'=| r • □
n—k»
Le Th. A.42 se traduit par le diagramme commutatif suivant :
k
i
i
i
Kf

§ 4. Complétion d'un corps value - Corps p-adiques
205
Corollaire A.43. Tout corps value (K,\ |) admet une complétion (K,\ |), unique à une
isométrie près.
Démonstration. Le Th. A.40 prouve l'existence d'une complétion (K, | |) d'un corps va-
Si l'on suppose que (K\ \ |') est aussi une complétion de (K, | |), alors, X' désignant le
monomorphisme canonique de K dans K', la propriété universelle appliquée au couple
(K1\X') implique qu'il existe un unique morphisme x/ : Kf —> K tel que
y/oA' = Â et |jc|'=| y/(jc) |,Vjce#'.
On vérifie que y/ = yr-1 ; par suite, y/ est une isométrie de K sur Kf (Rem. A.37). □
Exemple A.44. Les théorèmes A.38. et A.39. montrent que (R, | |«>) est la complétion du
corps value (Q, | |oo).
Remarque A.45. Un corps value (K, | |) est complet s'il coïncide avec sa complétion.
B. Corps des nombres p-adiques
Définition A.46. Le complété du corps Q, relativement à la valeur absolue p-adique
normalisée | \p (Déf. A.22), est appelé le corps des nombres p-adiques et noté Qp.
On notera encore | |p, la valeur absolue de Qp induite par la valeur absolue p-adique
normalisée de Q (Cf. Th. A.40)
L'application du Th. A.35 au cas du corps value complet (Q^, | \p) donne les résultats
suivants.
Définition A.47. L'anneau des entiers du corps value complet
(Qp, I \p) est noté Zp et ses éléments sont appelés les entiers p-adiques .
Théorème A.48. Pour tout nombre premier p,
1) L'anneau local Zp est principal et son unique idéal maximal est pZp.
2) Le corps résiduel du corps value (Qp, \ \p) est isomorphe à Z/pZ.
3) Qp est le corps des fractions de l'anneau Zp.
Démonstration. La propriété 3) résulte directement du Th. A.35
1) Comme dans le cas de (Q, | \p) (Exemple A.36), pZp est l'idéal maximal de l'anneau
local Zp dont les idéaux non nuls sont alors les p^Zp, k E N ; donc l'anneau local Zp est
principal.
2) D'après le Th. A.40, tout x G Qp est la limite d'une suite de Cauchy (xn)neN du corps
value non-archimédien (Q, | |^) ; alors, quel que soit e E Q tel que 0 < e <\ x \p, il existe
N E N tel que
n > N => | x-xn \p< e <\x\p .
En appliquant la Prop. A.33 aux éléments xn — x et jc, on obtient
lue (K,\\).
zp = {xeQp \ |*!,<!}.
(A.17)
n> N =>\xn \p=\x\p .
On en conclut que, quel que soit jc E il existe y E Q tel que
\x-y \p<\x\p, donc \y\P = \x\p.
(A.18)

206
Appendice A. Corps ordonnés - Complétion d'un corps value
Par ailleurs, les éléments non nuls, ïï, du corps résiduel Zp/pZp sont les classes modulo
pZp des éléments u G (Zp\pZp), donc des éléments u tels que | u \p— 1.
On en déduit (voir relation (A. 18)) que, quel que soit u G (Zp\pZp), il existe v G Q tel
que
| v \p = \ u \p = 1 et \v-u\p<\.
Compte tenu des notations utilisées dans l'étude de (Q, | \p) (Exemple A.36), on a alors,
v G Up et
| v - u \p < 1 => v = ïï, dans Zp/pZp.
Par suite, moyennant le résultat obtenu dans l'Exemple A.36., le corps Zp/pZp s'identifie
au corps Z/pZ.
Le corps value (Q, | \p) et son complété (Qpj \ \p) admettent donc le même corps résiduel
Z/pZ. □
Remarque A.49. D'une façon générale, on démontre qu'un corps value et son complété
ont le même corps résiduel (à un isomorphisme près) ([33]).
Nous énoncerons, sans démonstration, le théorème donnant le Développement de Hensel
d'un nombre /?-adique ([18, 30, 38]).
Théorème A.50. Développement de Hensel
Quel que soitx G Qp, il existe une unique suite d'entiers (0,-)/>m tels que,
0<ai<p—l,m = vp(x) G Z et la série
i>m
converge vers x dans le corps value complet (Qp, \\p). On écrit
x=£aipi. (A.19)
i>m
La relation (A.19) définit ce qu'on appelle le développement de Hensel de x.
Remarque A.51. Nous avons défini le corps des nombres p-adiques comme le complété
du corps value (Q, | mais on peut aussi définir le corps Qp, en utilisant la notion de
« limite projective », qui est une notion de Théorie des Catégories, non introduite dans ce
livre ([30,43]).

Appendice B
Transcendance de e et de n
Préliminaires :
Cet appendice est consacré aux preuves, données en Analyse, de la transcendance des
nombre réels e et n sur le corps des nombres rationnels Q (Cf. Exemple 2.30).
La transcendance de e a été démontrée par Hermite en 1873 ; en utilisant des méthodes
analogues, Lindemann a démontré la transcendance de n en 1882.
Ces démonstrations utilisent la méthode du « raisonnement par Vabsurde » conduisant à
une contradiction avec le lemme suivant.
Lemme B.l. Une fonction f : Z —> Z, telle que f(n) tend vers 0 quand la variable n
tend vers -h00, est nécessairement nulle, à partir d'un certain entier n0.
Démonstration. L'hypothèse du lemme implique qu'il existe un entier n0 tel que
Vn E Z, n>n0=^\ f(n) - 0 |< X- ;
or, f(n) est entier, par suite, f(n) = 0, Vn > n0. □
1. Transcendance de e sur Q
Théorème B.2. (Hermite)
Le nombre réel e est transcendant sur Q.
Démonstration. La preuve originale de Hermite (1873) a été successivement simplifiée
par Weierstrass, Hilbert, Hurwitz et Gordan ; c'est cette démonstration simplifiée que nous
développons ici.
On suppose e non transcendant sur Q, donc algébrique sur Q.
Il existe alors un polynôme non constant q(X) E Q[X], tel que q(e) = 0.
Posons q(X) = Y.Q<i<naP^1, avec a0 ^ 0 et n > 0.
Q étant le corps des fractions de Z, il existe y E Q et qx (X) E Z[X] tels que
q(X) = yqx(X) et qx(e)=0.
On peut donc, dès le départ, supposer que les coefficients a^O <i<n, du polynôme q(X)
sont des entiers.
Soit p un nombre premier quelconque ; on considère, dans
/w.- ô^rryi • (B-1}
On pose F(X) := f(X) + f'(X) + ■ ■ • + fi"P+P~l)(X), (B.2)

208
Appendice B. Transcendance de e et de %
où les f(k\X), 1 <k<np + p-ï, sont les polynômes dérivés à l'ordre k de /(X) ([13],
Déf. 4.30) ; on note que
degf = np + p-\=> f{np+p) (X) = 0.
Les polynômes f(X) et F(X) étant considérés dans R[X], notons encore, / et F les
fonctions polynômes réelles qui leurs sont associées ([13], Déf. 4.21). Pour x g R, on a
^(e-xF(x)) = e-x(F'(x)-F(x))= -e~xf(x). (B.3)
Les entiers ^,0 < i < n, étant les coefficients du polynôme q(X) tel que q(e) = 0, la
relation (B.3) permet d'écrire, pour tout entier î, 0 < / < n,
at f e-xf(x)dx = cii[—e~xF(x)}iQ (B.4)
= ai(F(0)-e-iF(i)). (B.5)
On en déduit
£ a/ f e-'f(x) dx = F(0) £ - £ a,F(i) ;
i=0 J0 i=0 1=0
alors la définition de F et l'hypothèse q(e) = Y!i=oaie' = 0 impliquent
n ri n np+p-\
X><7 e-xAx)dx = -£( £ <i,/«(/)). (B.6)
i=0 70 i=0 *=0
Compte tenu de la relation (B.l) donnant l'expression de /(jc), en appliquant la règle de
Leibnitz, on obtient les résultats suivants, pour les valeurs de f^(i).
Pour i = 0, f{k){0) = 0, V it(0 < k < np - p + 1, Jfc ^ (p - 1)),
et /('-^(O) = ^^(-l)P...(-n)P = (-l)»P(nl)P.
Pour 1 < i < n, /W(î) = 0, VJfc(0 < k < p - 1) et
quel que soit k(p <k<np-\-p—\), les seuls termes non nuls, intervenant dans f^k\ï),
sont des entiers provenant des facteurs (X — i)p dérivables p fois ; on en déduit que tous
ces entiers sont divisibles par p, car
f{k){i) = T^~[VXi = pXi °Hez\
Par suite, la relation (B.6) entraîne
£ f'e-xf(x)dx = -£û,Mi-ûo(-l)"'W (B.7)
i=0 70 i=0
= mp - ^(-l)"^/!!)', où m g Z*. (B.8)
Pour p > max(n, \ a0 |), l'entier a0(—l)"^!)^ est non nul et non divisible par p.
On en déduit qu'en choisissant le nombre premier p suffisamment grand, le premier
membre de la relation (B.6) est un entier non nui

§ 2. Transcendance de n sur Q
209
Pour x E R et 0 < x < n, on a, pour tout entier /(!</< n),
0<\x-i\p<np, d'où |/(jc) |<, 1 ^%nnp+p-\
(p-l)\
Par suite,
n ni n ri nnp+p-\
| £ / *"*/(*) dx | < £ | a/ | / -r—rrrdx (B.9)
" . nnp+p-1
-S"""'"'^ (B-,0)
qui tend vers 0 quand p tend vers +°o ; or le premier membre de l'inégalité (B.9) est un
entier non nul, ce qui contredit le lemme B.l.
On en conclut que e est transcendant sur Q. □
2. Transcendance de n sur Q
Démontrons, dans un premier temps, que K & Q, autrement dit,
Théorème B3. Le nombre réel n est irrationnel
Démonstration. Pour a E R* et tout n E N, on considère l'intégrale
In = j (1 -xr)n cos axdx.
Intégrons ln par parties, dans le cas n > 2.
1
In = - r\l-j?)nd(sinax)
CC J-\
= 1[(1 -x2)nsmax)t\ - ^sinajc(-2>uc(l - jc2)*"1)
= — / 2nx(\-xl)n~x smaxdx
a J-i
1
= ~^y 2njc(l-x2)w-1J(cosajc).
On intègre, de nouveau, par parties :
/„ = - ^ [2iw(l -^"^cosoxjî}
+ / j {-Mn~l)x1(l-x2)n-2)cosaxdx
+ ^2 y 2n(l-jc2)n~1cosajcrfjc.
/„ j+\n{n-\)(\-x2)n~l cos axdx
1
^2 y 4n(n-1)(1-jc2)n_2cosa^â(jc
+ ^2/ 2Az(l-jc2)n-1cosajcrfx

210
Appendice B. Transcendance de e et de n
On en déduit
Vn > 2, a2I„ = 2n(2n- l)/„_, -4n(n- l)/„_2.
r+1 1 . 2
/+1 1 i 2
cos ajcrfjc = [— sin ax]t\ = — sin a, d'où
a/n = 2 sin a.
(B.ll)
(B.12)
) cos axdx
Ix= J^ (l-jc2)(
1 1 /**
= f—(1 -jc2)sinajcl+î / -2xsinajcdjc
La 1 aJ-\
= — f xsin axdx
a 7-i
r 2 i+i 2 f"1
= —T;ccos axy\ /
a2 1 aJ-i
cosax
d'où la relation
4 4 .
cos oH—^ sin a,
a2 a3
a /t = 4sina-4acosa.
(B.13)
Pour n = 2, les relations (B.ll), (B.12), (B.13) impliquent
Par suite,
12A-8/0,
4 4 2
12(—^ sin a ~ cosa) — 8— sin a.
cr a1 a
a5I2=2\ ((24 -8a2) sin a -24a cos a).
(B.14)
Par récurrence sur ai, démontrons que pour tout n E N, l'intégrale /„ satisfait, quel que soit
a E E*, à une relation de la forme :
a2n+xIn = n\ (Pn(oc) sin a + Qn{a) cos a),
(B.15)
où Pn(X) et Qn(X) sont de degré inférieur ou égal à n -h 1, dans Z[X].
Les relations (B.12), (B.13) et (B.14) montrent que la relation (B.15) est vérifiée pour
0 < n < 2 ; on suppose alors n > 2 et la relation (B.15) vraie pour tout entier positif
k < n — 1. Ecrivons la relation (B.15) pour In_l et In_2 :
a
2/i-l
a
2n-3
/„_ i = (n - 1 ) ! (Pn_! (a) sin a + <2„_ i (a) cos a),
7«-2 = (n ~ 2)! (P*-2(°0 Sina + Qn-2(«) C0S °0 •
En utilisant la relation (B.ll), on obtient
a2n+lIn = n ! (2(2* - 1)(P„_i (a) + Qn_x (a))
- 4a2(P„_2(a) sin a 4- <2„_2(°0cos °0)
a2n+lIn = n ! ((2(2* - l)Pn_x (a) - 4a2P„_2(a)) sin a
+ (2(2#i - 1 )Ô„_i (a) - 4a2<2„_2(a) ) cos a).
Posons Pn(X) := 2(2n- l^^ffl -4X2P„_2(X),
Qn(X) := 2(2n-l)Qn_l(X)-4X2Qn_2(X).

§ 2. Transcendance de n sur Q
211
L'hypothèse de récurrence entraîne que les polynômes Pn(X) et Qn(X) sont dans Z[X] et
(degPn_x < n, degPn_2 < n- 1) degPn < n+1.
De même, on a degQn < n +1, d'où la relation (B.15).
Supposons, 7t rationnel; on peut écrire 7t = -, où (a,5') e z x z*, a et 5' positifs; en
appliquant la relation (B.15) pour a = —, on obtient
rf^Pn<» + l< 2#i+l (2s)2"+1P„(^-)eZ.
251
On en déduit que a2*1^— e z, donc
n !
/„:=—y-y ^ (l-jrfcos-jcdjc ez.
Posons /(jc) := (1 -jr)wcos— jc.
L'étude de la fonction / de la variable réelle jc montre que l'on a
j^f(x)dx>0,
donc, Mn en, Jn> 0, en particulier, 7„^0 mais
a2n+\ ,+1 n a2n+\
0<Jn< —— / cos —xdx /„ < —À,
ni 7-i 2 n!
où A est positif dans E, ce qui entraîne que Jn tend vers 0 quand n tend vers +«>, d'où une
contradiction avec le lemme B.I., donc % £ Q. □
Théorème B A (Lindemann)
Le nombre réel % est transcendant sur Q.
Démonstration. On sait que % Q, (Th. B.3), supposons /r algébrique sur Q. On
considère alors 7t dans la clôture algébrique Q de Q, dans C (Ch. 5). Par ailleurs, le nombre
complexe i étant algébrique sur Q (i2 = -1), on a aussi algébrique sur Q.
Posons px(X) := IrrQ(in,X) et n := deg/^ > 1 (Cf. Ch. 2).
Le polynôme irréductible px (X) a n racines distinctes et non nulles dans Q (Th. 3.24) ;
on les notera : ax := in, o^,..., o^. Par ailleurs, on a
ein = cos7t + /sin^: = -1 eai + l=0,
ce qui permet d'écrire, dans C,
+ 1)(^ +1)... (e* +1) = 0. (B.16)
En développant le premier membre de (B.16), on obtient une relation de la forme :
*ri+e*2 + --- + ** + l =0, (B.17)

212
Appendice B, Transcendance de e et de n
où l'on considère que 1 = e.
Nous allons montrer qu'il existe un polynôme à coefficients entiers, dont les racines sont
les exposants de e qui apparaissent dans le premier membre de la relation (B.17).
Ces exposants s'écrivent, d'une façon générale,
% + a/2 + ' + °V 1 ~ *l k *2 < " " < '* - l-k-n- (bas)
Le cas : k = 1, correspond aux exposants de e qui sont les racines ap 1 < i < n, du
polynôme px(X) £ Q[X],
Le cas : k = 2, correspond aux exposants de e de la forme j5f. . = a, 4- a-, où 1 < i < j < n.
On en déduit que les coefficients du polynôme
p2(X):= n (X-Pij)
\<i<j<n
sont des polynômes symétriques en les racines de px(X), donc s'expriment
rationnellement en fonction des coefficients de ce polynôme ([13], Ch. 8), d'où p2(X) £ Q[X].
D'une façon générale, pour tout entier k fixé, 1 < k < n), on considère le polynôme
pk(x)= n (*- e
l<«l<i2<-<«Jt<n l<j<k
dont les coefficients sont encore des polynômes symétriques en les racines de px (X) ;
on en déduit que pour tout k, 1 < k < n, pk(X) g Q[X]. On a, en particulier, pn(X) =
X— £ ar Posons alors,
\<i<n
q(X) :=Xpx(X)p2(X)...pn(X). (B.19)
Le polynôme q(X) G Q[X) et a pour racines l'ensemble des exposants de e qui
apparaissent dans le premier membre de la relation (B.17).
Moyennant une éventuelle réindexation des exposants de e dans (B.17), notons yx,..., yr
les racines non nulles, distinctes ou confondues, de q(X) et m > 1, l'ordre de multiplicité
de la racine 0 ; on a nécessairement, 1 < r < s et m > 1. La relation (B.17) s'écrit alors,
eïi +ey2 + - -\-eïr+m = 0. (B.20)
Par suite Xm divise q(X) dans Q[X].
D'autre part, Q étant le corps des fractions de Z, il existe un entier d tel que dq(X) £ Z[X].
On endéduit qu'il existe p(X) £ Z[X] tel que dq(X) = Xmp(X) ; et les racines de p(X),
dans Q, sont les y., 1 < j < r.
Dans Z[X], supposons
p(X) = crXr + cr_xXr~l + • • • + c0, (B.21)
où, compte tenu de ce qui précède, on a r > 0 et c0, cr non nuls.
Etant donné un nombre premier p, considérons, dans Q[X],
f[x) := ~^vxp~x (p(x))/?5 où c := cr (b*22)
et F(X) :=/(X)+//(X) + ... + /<r^-1)(X)> (B.23)
où, les f(k\X), 0<k<rp + p-l sont les polynômes dérivés successifs de f(X) ;
degf = rp -f p - 1 implique frr+p\X) = 0.

§ 2. Transcendance de % sur Q
213
Comme dans la preuve du Th. A.2, on note encore / et F les fonctions polynômes de la
variable réelle jc, respectivement associées aux polynômes / et F définis par les relations
(B.22) et (B.23) et on obtient (voir la relation (B.3))
±(e-*F{x)) = -e-*f(x),
e-*F(x)-F(0) = - fXe-yf(y)dy.
Jo
Supposons jc fixé et posons y = Xx ; alors, dy = xdX et
e~xF(x) -F(0) = -jc [l e~Xxf{Xx)dX, (B.24)
Jo
d'où F(x) - exF{0) — —x f e{l-k)xf(Xx)dX. (B.25)
Jo
Dans la relation (B.25), donnons successivement à jc les valeurs yv... ,yr et sommons ;
en tenant compte de l'égalité (B.20), on obtient
f F(Yj) +mF(0) = - f Yj C ^(^4 (B.26)
où m = — YJj=\erj-
Montrons qu'en choisissant le nombre premier p suffisamment grand, le premier membre
de la relation (B.26) est un entier non nul.
r r rp+p-\ rp+p-l r
EF(r,) = E( E /%•))= E (E/W(r,))-
7=1 j=l k=0 k=0 j=l
Le calcul des f^{x) montre que, quel que soit j (1 < j < r), on a
- pour 0 <k<p- 1, p{Yj) = 0 /«(r7) = 0.
-pour p<k<rp + p-\, degf^(X) = rp-l=> degf^k\X) < rp- 1 ;
de plus, f^k\X) contient pcrp~l en facteur. On a, en particulier,
Vy(1 < j < r), flp\y.) = p{yjy-xcrP-\p'{yj)Y.
r
On en déduit que, pour p < k < rp + p-\, £ f^Hïj) est une fonction polynômiale
symétrique en YX,Y2, • • • ,7r, de degré inférieur ou égal à rp — l. Par suite ([13], p. 259),
r
pour p<k< rp + p-l, £ /^ (y.) est une fonction polynômiale de degré inférieur ou
à r/? — 1 en les fonctions symétriques élémentaires des yy-, 1 < j < r, donc en les
— = —, ou les
cv 0 < i < r, sont les coefficients du polynôme p(X) G Z[X] (Cf. (B.21)).
Sachant que pour p < k < rp + p — 1, les fk{X), contiennent pcrp~l en facteur, on obtient
P<k<rp + p-\ => j^f{k\yj)=psk, où^EZ. (B.27)

214
Appendice B. Transcendance de e et de n
Examinons F(0) ; en utilisant toujours la notation c = cn on a
(0 pour0<ifc</?-l,
crP~lcP pour* = p-l,
phk, hkGZ pourp<k<rp + p-\.
Le premier membre de la relation (B.26) est donc de la forme
lp + mcrp-lcP, où/GZ.
On sait que les entiers m, c, c0 sont non nuls, par suite, en choisissant le nombre premier
p tel que
p > max(m, \ c |, | c0 |),
on peut affirmer que l'entier lp + mcrp~lcp est non nul.
Considérons, maintenant, le second membre de la relation (B.26).
MJ) :=*Vo<A<i(lP(*rç) D =H/(*7j) |< I ïj T1 (h(j))p,
i - irjjoe(1~xyrjnxrj)dx 1 - t |f^T)T1 r-> n
où Af = | supt<j<r f e(x~x)lfidx | .
«/ 0
Ainsi le second membre de la relation (B.26) tend vers 0, quand p tend vers oo, ce qui
entraîne encore une contradiction avec le lemme B. 1. ; donc n est transcendant sur Q. □

Bibliographie
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Index
anneau
de Dedekind, 158
intégralement clos, 157
anneau des entiers
algébriques, 150
d'un corps de nombres, 153
base entière
d'un corps de nombres, 155
Berlekamp
algorithme de —, 101
clôture
intégrale, 157
clôture algébrique, 73
clôture normale, 40
complété, 204
complétion, 204
corps, 1
caractéristique d'un —, 1
de nombres, 147
des nombres p-adiques, 205
extension de —, 3
intermédiaire, 5
ordonné, 191
parfait, 44
premier, 2
quadratique, 153
value, 195
corps de décomposition
d'un polynôme, 37
corps de rupture
d'un polynôme irréductible, 17
d'un polynôme, 36
corps résiduel
d'un corps value, 200
corps value
archimédien, 197
non-archimédien, 197
correspondance de Galois, 111
degré de séparabilité, 114
degré de transcendance, 186
discriminant
d'un corps de nombres, 147
élément
algébrique sur un corps, 11
primitif, 47
purement inséparable, 47
séparable sur un corps, 44
transcendant sur un corps, 11
éléments
algébriquement indépendants
sur un corps, 78
conjugués sur un corps, 16
entiers
p-adiques, 205
algébriques, 149
d'un corps value, 200
équation polynômiale
générale sur un corps, 188
Euler
fonction d'—, 84
expression radicale, 176
extension
galoisienne, 118
algébrique, 18
cyclique, 142
cyclotomique, 85
de degré fini, 6
de degré infini, 6
de type fini, 185
degré d'une —, 6
normale, 39
obtenue par l'adjonction de ..., 4
purement inséparable, 47
radicale, 176
séparable, 44
simple, 4
simple radicale, 176
simple, algébrique, 11
simple,transcendante, 11
extensions
isomorphes, 7

218
Index
Fermât
nombre de, 129
fermeture intégrale, 157
Frobenius
endomorphisme de—, 59
lemme de—, 59
groupe de Galois, 109
d'un polynôme, 177
idéal fractionnaire, 159
inégalité
triangulaire, 194
ultramétrique, 196
invariant de H dans L, 110
AT-isomorphisme, 8
AT-monomorphisme, 112
monomorphisme, 3
monoïde, 158
multiplicité d'une racine, 11
Môbius
fonction de —, 87
norme, 132
p-entier, 196
plongement, 3
point
construit en une étape, 22
constuctible, 22
polynôme
/(X)-réducteur, 100
neme — cyclotomique, 85
nème — primitif, 93
général sur un corps, 188
résoluble par radicaux, 177
séparable, 44
polynôme irréductible
de a sur K914
inséparable, 41
séparable, 41
racine, 11
nème de l'unité, 83
sous-corps, 1
engendré par..., 3
premier, 2
propre, 1
suite radicale, 176
théorème
de l'élément primitif, 46
trace, 132
valeur absolue, 195
archimédienne, 197
non-archimédienne, 197
p-adique, 196
p-adique normalisée, 196
triviale, 195
valeurs absolues
équivalentes, 199
valuation p-adique, 196

La collection Mathématiques à l'Université se propose de mettre à la
disposition des étudiants de troisième, quatrième et cinquième années d'études
supérieures en mathématiques des ouvrages couvrant l'essentiel des programmes
actuels des universités françaises. Certains de ces ouvrages pourront être utiles
aussi aux étudiants qui préparent le CAPES ou l'agrégation, ainsi qu'aux élèves
des grandes écoles.
Nous avons voulu rendre ces livres accessibles à tous : les sujets traités sont
présentés de manière simple et progressive, tout en respectant
scrupuleusement la rigueur mathématique. Chaque volume comporte un exposé du cours
avec des démonstrations détaillées de tous les résultats essentiels et de
nombreux exercices. Les auteurs de ces ouvrages ont tous une grande
expérience de l'enseignement des mathématiques au niveau supérieur.
Ce livre sur les Extensions de corps, incluant la Théorie de Galois, est
une suite logique de l'ouvrage du même auteur, Éléments de théorie
des anneaux dans la même collection. Il fait naturellement référence
au livre Éléments de théorie des groupes publié aux Presses
Universitaires de France, en raison du rôle important des groupes en
Théorie de Galois.
Ces trois ouvrages constituent un ensemble cohérent de
connaissances de base, en Algèbre générale, pour un étudiant se dirigeant
vers la préparation à l'agrégation ou vers un master recherche, en
mathématiques.